Werner Junker
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Physik für Ahnungslose Eine Einstiegshilfe für Studierende 3. Auflage
Der Autor
Or. Werner Junker Metterzimmerstrasse 100
74343 Sachsenheim
Dr. Wemer Junker, Jahrgang 1950, studierte f\tathematik und Physik (Di plom und Lehramt) an der Universität Stuttgart und promovierte 1981 in
Theoretischer Physik. Seitdem ist er Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik, ließ sich aber zeitweise für seinen Forschungsauftrag auf dem Gebiet der Quantendiffusion freistellen.
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http:/fdnb.d-nb.de abrufbar. ISBN 978-3-7776-1574-5
Jede Verwertung des Werkes außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist unztJlässig und strafbar. Dies gilt insbesondere für Übersetzung, Nachdruck, fo1ikroverfilmung oder vergleichbare Verfahren so\'lie für die Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen. 1. Auflage September 2003 2. Auflage August 2004 3. Auflage Februar 2008
© 2008 S. Hirzel Verlag, Birkenwaldstraße 44, 70191 Stuttgart
Printed in Gennany Satz: Dörr+ Schiller GmbH, Stuttgart Druck: Hofmann, Schorndorf
Umschlaggestaltung: Atelier Schäfer, Esslingen
V Mejner Frau gewidmet, dje als Njchtphysjkerin dje Rolle des ahnungslosen Testlesers übernommen hat
Vorwort zur 3. Auflage
Inausverkauft, weniger alwass Jahresfrist war di e erste Auflage von Physik für Ahnungslosei l " Autor undderartiges Verlag überrascht undRepeti natürlich auchdersehr gefreut hat.als Offenbar besteht für ein Buch, ein t orium Schulphysik Einstieghil fe fürerfolgte Studierende, ein unveränderter echter BedarfNachdruck. - der Erfolg bestätigt dies. Die zwei tDiee vorl Auflage daher als iegende dritteerAuflage wurdeHiervollständig überarbeitet,DankunddendieLesern, nie zu vermeidenden Druckfehl korrigiert. gil t der aufrichtige die durch aufmerksames Durcharbeiten Unstimmigkeiten entdeckt und uns auf diese taufmerksam gemachtundhaben. Diebeibehal Strukturten.und die Darstellung der Sach verhal e hat sich bewährt wurde Möge dieses Buch noch vielen Generationen eine wertvolle Hilfe sein! Werner Junker Sachsenheim, im Winter 2007
VI Vorwort zur 1. Auflage
Dieses Buch wendetdiesichplöantzlich Studierende technischer und naturwissenschaftl icherim Fachrichtungen, über Physikkenntnisse verfügen sollen, schl i mmsten gar einevergessen, Physikprüfung machen müssen, aber dasdasentsprechen dewegen Schul wfrüher issenFalle entweder oder aus Abneigung gegen Fach bzw.In Abwahl des Faches in der Schul e sich nie angeeignet haben. dieser Situation sollGedächtnis das Buchzueine Mögl i chkeit bieten, sich den Schulstoff in Physik wieder ins rufen oder ihn neu zu erwerben. Entsprechend der Optik, Einteilung derzitätslehre Schulphysik inMagnetismus die Disziplsowie i nen Mechanik, Wärmelehre, Akustik, El e ktri und Atomphy sik ist dasTeilenBuchunabhängig in sechs Kapitel (unterschiedl itcher Länge)können aufgeteil- tje, dienachin weiten voneinander bearbei et werden Interessenlage. Allerdings werden grundl e gende Begriffe von Kapitel 1, der Mechanik, desoderÖfteren in anderenderDisziplinen gebraucht (z. B.- dasin diesem Newton'Falschele Grundgesetz Eigenschaften mechanischen Wellen) erfolgt dann an entsprechender Stel l e ein Rückverweis. Jedes Kapitel fängt " beim Kenntnisstand "null an,undbehandel t dem dannAbiturniveau zunächst dendeseinfacheren Stoff der gymnasial e n Mittelstufe endet auf Leistungskurses der Oberstufe. Daher ist es bei entsprechender Interessenl a ge durchaus mögl i ch, einzelne Kapitel (z.Wissen B. Optikausreichend oder Wärmelehre) an derabzubrechen Stelle, an und der einem das bisher erworbene erscheint, zu einem anderen Kapitel (z. B. Elektrizi t ätslehre) überzugehen. An mathematischen Kenntnissen sind dererforderl Stoff deri ch.Mittel sinhal tufe und Grundkurs kenntnisse der Oberstufe des Gymnasiums Die t liche und me thodische Präsentation des Stoffes entspricht dem Vorgehen im Schulunterricht; allerdings können Versuchsergebnisse natürl i chPrüfung nur mitgeteil t werden. Die zahldie reichen Aufgaben sollen wi e es in einer ja erforderl i ch i s t praktische Umsetzung verdeutl i chen.in abgewandelter Es sind durchweg Standardaufgaben, die indie jedem Physikunterricht so oder Form behandel t werden und natürlAuswahl ich auchininderdenLiteraturl eingeführten Schulbüchern enthalsichtenja sind (unvoll ständige i ste im Anhang), auf die jeder Physik unterricht wesentli ch stützt. Sachsenheim, im Frühjahr 2003 Werner Junker
VII Inhaltsverzeichnis
V
Vorwort
1
1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.4 1 .4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.5 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.7 1.8 1.8.1 1.8.2 1.9 1.9.1 1.9.2 1.9.3 1.10 1.10.1 1.10.2 1.10.3 1.10.4 1.10.5 1.11 1.11.1 1.12 1.13 1.13.1 1.13.2 1.13.3
Mechanik
Grundgrößen und ihre Messung Die Dichte Die Krafteiner Kraft Wirkung Vektorgrößen Gewichtskraft Hooke'sches Gesetz Kraft und Gegenkraft Geschwindigkeit/Beschl e unigung Geradl i nige glbeschleunigte eichförmige Bewegung GlDurchschnittseichmäßig Bewegung und Momentangeschwindigkeit Durchschnitts- und Momentanbeschleunigung Kräftegleichgewicht/Trägheitssatz Reibung/Luftwiderstand GlHaftreibungskraft eitreibungskraft Strömungswiderstand Das Newton'sche Grundgesetz Der freie Fall Freier Fall ohne Luftwiderstand Fall mit Luftwiderstand Überlagerung von Bewegungen,Bewegungen Würfe, Bremsbewegungen Überlagerung gl e ichförmiger Würfe Bremsbewegungen EinfacheundMaschinen Stange Seil Feste Rolle Lose Rolle ") Rolle Kombination einer festen und einer losen ("masselosen Der physikal Flaschenzug Die ische Arbeit Spezial f älle Leistung Energieder Energie Arten Verlustfreie Speicherung von, verlustfreie Umsetzung in Arbeit Energieumwandlungen
1 2 2 2 2 4 5 5 6 6 7 9 9 10 11 11 11 12 13 14 14 14 15 15 15 19 20 20 20 21 21 22 23 23 27 28 28 28 29
VIII 1.14 1.14.1 1.14.2 1.14.3 1.14.4 1.14.5 1.14.6 1.15 1.15.1 1.15.2 1.15.3 1.15.4 1.15.5 1.15.6 1.16 1.16.1 1.16.2 1.16.3 1.16.4 1.16.5 1.16.6 1.17 1.17.1 1.18 1.18.1 1.19 1.20 1.20.1 1.20.2 1.21 1.21.1 1.21.2 1.22 1.22.1 1.22.2 1.22.3 1.22.4 1.22.5 1.22.6 1.22.7 1.23 1.23.1 1.23.2 1.24
Inhaltsverzeichnis
Impuls Impul serhaltungssatz Ballistisches Pendel Unel a stischer Stoß Gerader elastischer Stoß Schiefer Stoß gegen ruhendeKraftstoß Wand Kraft und Impul s änderung, Die Kreisbewegungund Zentripetalbeschleunigung Zentripetalkraft Größe derunigung Zentripetalkraft F und der Zentripetalbeschl e az Begriffe undKreisbewegung Größen bei der Kreisbewegung Vertikale Arbeit bei der Kreisbewegung Weitere Beispiele zurundKreisbewegung Himmelsbewegung Gravitation Geozentrisches Wel t system Hel i ozentrisches Weltsystem Kepler' s che Gesetze Planetenbewegungen Erd- und Sonnenmasse SateLLiten auf Kreisbahnen um die Erde Trägheitskräfte MöglStempeldruck ichkeiten zur inBeschreibung dynamischer Probleme Der Flüssigkeiten und Gasen Anwendungen des Stempeldrucks Der hydrostatische Druck (Schweredruck) Der Auftrieb/Schwimmen, Schweben, Sinken Auftrieb Schwimmen, Schweben, Sinken Statik der Gase/Gesetz von Boyle-Mariotte Statik der Gase Gesetz von Boyle-Mariotte Mechanische Schwi ngbewegungen Schwingbewegung Schwingungsfrequenz Beispiel für eine kompliziertere Anfangsbedingung Energie der mechanischen Horizontalschwingung Die vertikale Federschwingung Die U-Rohr-Schwingung Das Fadenpendel Gedämpfte Schwingungen/Erzwungene Schwingungen der Mechanik Schwingungen Gedämpfte Erzwungene Schwingungen Überlagerung von Schwingungen 2
32 32 34 34 35 37 38 40 40 41 42 44 45 46 48 48 49 49 50 52 52 53 54 56 57 58 61 61 63 64 64 66 67 67 68 69 70 70 72 72 75 75 76 79
Inhaltsverzeichnis 1.24.1 1.24.2 1.25 1.25.1 1.25.2 1.25.3 1.26 1.26.1 1.26.2 1.26.3 1.27 1.27 .1 1.27 .2 1.27.3 1.28 1.28.1 1.28.2
2
2.1 2.2 2.3 2.3.1 2 .4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.6 2.7 2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3 2.9 2.9.1 2.9.2 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.11 2.11.1 2.11.2
Zahl e nbeispielejßewegungstypen bei der Überlagerung von HorizontaL- undeVertikal schwingung Eindimensional Überlagerung Mechanische Querwellen (eindimensional ) TransversalundTransversal Longitudinal wellen Reflexion der s törungen Die sinusförmige Querwelle Überlagerung von Wellen Überlagerung einer Welle mit ihrer " Reflexion'' - Ausbild ung stehender Wellen Stehende Wellen in Trägern Saitenschwingungen Längswellen von (Eindimensional ) Unterdruckstörung Ausbreitung Überdruckund Reflexion von Längswellen Reflexion einer sinusförmigen Längswelle am festen Ende/ Losen Ende Zweidimensionale Wellenfelder (mechanischer Wellen) Erklärung der Refl e xion Erklärung der Brechung Wärmelehre
IX
80 83 85 85 87 88 92 94 95 96 99 99 101 102 103 105 106
108 Die Temperatur und ihre Messung Längsausdehnung fester Körper beim Erwärmen i e des 110 Die Volumenausdehnung von Flüssigkeiten/Anomal Wassers 111 111 Anomalie des Wassers Die Volumenausdehnung der Gase/Kelvinskala 112 Temperatur und Teil c henbild/Wärme 114 Aufbau der Körper im Teil c henbild 114 Mechanische Arbeit und WärmeWärmekapazität 116 Wärmemenge und spezifische 118 Mischungsversuche 119 Erscheinungsformen der Stoffe/Schmelz- und Verdampfungswärme 120 120 Aggregatzustände 120 Schmelzwärme Verdampfungswärme 121 Ergänzungen: Verdunsten, Siedepunktserniedrigung 123 123 Verdunstung 123 Siedepunkterniedrigung 124 Wärmetransport Wärmekonvektion 124 125 Wärmel eitung 125 Wärmestrahlung 125 Das allgemeinedes Gasgesetz Erstfassung Gasgesetzes 125 Avogadro- oder Loschmidt-Zahl, Endfassung des Gasgesetzes 127
X 2.12 2.12.1 2.12.2 2.12 .3 2.13 2.14 2.14.1 2.14.2 2.14.3 2.14.4 2.14.5 2.15 3
3.1 3 .1.1 3 .1.2 3 .1.3 3.2 3 .2.1 3 .3 3 .3.1 3.3.2
4
4.1 4.1.1 4.1.2 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3 .2 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.6.1 4.6.2
Inhaltsverzeichnis
Kinetische Gastheorie Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit Zusammenhang zwischen Temperatur und Geschwindigkeit Innere Energie Der 1. Hauptsatz2. derHauptsatz, Wärmelehre Carnotprozess, Wirkungsgrad bei Wärmemaschinen Der Carnotprozess Wirkungsgrad von Wärmemaschinen Einige Erfahrungstatsachen Der 2. Hauptsatz der Wärmelehre Wärmemaschinen Strah Lungsgesetze Akustik Grundtatsachen Ampl itude und Frequenz Die Lochsirene Ausbreitung von Schall Schall als Längswelle Versuche mit Schallwellen Der Doppler-Effekt: Erreger oder Beobachter einer Welle bewegen sich Erreger bewegt, Beobachter in Ruhe Erreger fest, Beobachter bewegt Optik Grundbegriffe Punktförmige Lichtquelle, Lichtstrahl Das optische Bild Schatten Kernschatten undderHalbschatten Die Entstehung Mondphasen Mondund Sonnenfi n sternisse Die Reflexion des Lichts Reflexionsgesetz Das Spiegelbild Die Brechung des Lichts Brechungsgesetz Anwendungen des Brechungsgesetzes Total r efl e xion Strahl engangi nsedes Lichts im Prisma Die Sammell Strahl eungngangdurchbei Sammell der Sammellinse Abbil d i nsen Das menschl i che Auge Veränderung der Brennwei t e Augenfehler
128 128 130 130 131 131 131 133 133 134 135 136 138 138 139 140 141 141 145 145 148 152 152 152 154 154 154 155 156 156 157 159 159 161 162 163 164 164 166 169 169 170
Inhaltsverzeichnis 4.7 4.8 4.8.1 4.8.2 4.8.3 4.8.4 4.8.5 4.8.6 4.9 4.9.1 4.9.2 4.10 4.10.1 4.10.2 4.10.3 4.10.4 4.11 4.11.1 4.11.2 4.11.3 4.12 4.12 .1 4.12.2 4.12.3 4.12 .4 4.13 4.13 .1 4.13 .2
5
5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4
Der Fotoapparat Farbigesfarben Licht, Körperfarben Spektral Entstehung des Regenbogens Linienspektrum und kontinuierliches Spektrum Farbaddition Farbsubtraktion Körperfarben 'sches Teilmodell, Newton Huygens'sches Wellenmodell für Licht Korpuskelmodell des Lichts HMessung uygens'sderchesLichtgeschwindigkeit Welle nmodell AstronomischeMethode MethodenachnachFizOlaf Rönner (1675) Terrestrische eau (1849) - Zahnradmethode Drehspiegelmethode nach Foucault tsmessung Ergebnisse der Lichtgeschwindigkei Die Interferenz des Lichts BestätigungsversuchvonnachFresnel Wiener Interferenzversuch Interferenz an dünnen Schichten Die Beugung des Lichts kleinen Objekten Beugung an verschiedenen Beugung am Spal t � eugung am Gitter Uberlagerung vondesGitterund Spaltinterferenz Die Polarisation Lichts Licht als sQuerwelle Brewster' ches Gesetz Elektrizitätslehre und Magnetismus Einfache Grundaussagen des Magnetismus Magnetische Pol e Elementarmagnete Magnetische Influenz Das magnetische Feld Das Erdmagnetfel d Elektrizitätsl ehre - Grundbegriffe, Grundaussagen Stromkrei s Leiter und Nichtleiter Wirkungen des Stroms Ergänzungen Ladung und Stromstärke Elektrische Ladung Definition der LadungseinheitStromstärke Definition der elektrischen Eigenschaften der Ladung Elektronen, Atombau, Ionen
XI 171 172 172 173 173 173 175 175 176 176 177 177 177 178 179 179 179 179 180 180 184 184 185 187 191 192 192 192 194 194 194 195 195 197 198 198 199 200 201 202 202 203 203 204 205
XII 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.7 5.8 5.8.1 5.8.2 5.9 5.10 5.10.1 5.10.2 5.10.3 5.10.4 5.11 5.11.1 5.11.2 5.12 5.13 5.14 5.15 5.15.1 5.15.2 5.15.3 5.16 5.16.1 5.16.2 5.16.3 5.16.4 5.17 5.17.1 5.17.2 5.17.3 5.17.4 5.17.5
Inhaltsverzeichnis
Versuch von Edison Atombau Stroml eitungverschiedener in Metallenelektrischer Erscheinungen Erklärung im Elektronenbild Stroml ezuritungMessung in Flüssigkei ten (Elektrolyse) Geräte der Stromstärke Hitzedrahtamperemeter Drehspulamperemeter Mittelwert bei derSpannung Stromanzeige Die elektrische Definition dertungSpannung Reihenschal (Hintereinanderschaltung) von Stromquellen ElDasektrisches Potenzial 'sche Gesetz/Elektrischer Widerstand Ohm Widerstand eines Drahts Widerstandsformel für einen Draht Schiebewiderstand Stromstärke, Ladung, Spannung, Arbeit, Leistung im Stromkreis Parallel s chaltung und Reihenschal t ung von Widerständen Kirchhoffsches Gesetz Reihenschal t ung von Widerständen Anwendung von Reihenschal t ung Parallelschaltung von Widerständen Messbereichserwei t erung beim Strom- und Spannungsmesser Strommesser Spannungsmesser Fernsehröhre Der Elektromotor(qualitativ) Die Lorentzkraft Elektromagnetische Induktion 1. Teil: Einfache Aussagen (qual i tativ) Generatorprinzip Induktion vonLeiterschl Wechseleifsepannung bei einer sich im Magnetfeld drehenden Induktion von Spannung durch Magnetfel d änderung Röhrendiode und derRöhrentriode UDiode i nien Röhrendiode A-rA-Kennl al s Gleichrichter Röhrentriode Anwendung: Triode als Verstärker Hal b lei t er, Hal b lei t erdiode, Transistor Undotierte Halbl e i t er Dotierte Halbleiter Der pjn-Übergang Hal b l e iterdiode als Gl e ichrichter Gleichrichterschaltung mit vier Dioden und Foto-Diode
205 206 207 208 209 210 210 210 211 211 211 213 214 214 215 215 216 217 218 218 219 220 221 223 223 224 225 226 227
-
229 229 230 231 231 231 232 233 233 234 234 236 236 237 238
Inhaltsverzeichnis 5.17.6 5.18 5.18.1 5.18.2 5.19 5.20 5.20.1 5.20.2 5 .20.3 5.20.4 5.20.5 5.20.6 5.21 5.21.1 5.21.2 5.21.3 5.21.4 5.22 5.22.1 5.22.2 5 .23 5 .24 5.24.1 5 .24.2 5.25 5.25.1 5.25.2 5.25.3 5.26 5.26.1 5.26.2 5.26.3 5.26.4 5.27 5.27.1 5.27.2 5.27.3 5.28 5.29 5.29.1 5.29.2 5.29.3 5.30 5.30.1 5.30.2 5.30.3
Der Transistor Das elektrische Feld,FeLdLeleiktrische Feldstärke Elektrische Felder, nien Elektrische Feldstärke Elektrische Feldstärke und Spannung Ladungsdichte und Kapazität FLKapazität ächenLadungsdichte und Feldkonstante Dielektrizi tätszaht Pol a risation der Atome Ergänzungen Größenfaktoren Schal tung vontungKondensatoren Parattelschal von Kondensatoren Reihenschaltung von Kondensatoren Aufgaben Kondensator mit Diel e ktrikum und Luftschl i tz Die Energie des elektrischen Feldes Energie des geladenen Kondensators Räuml i che Energiedichte RadiaL feLd einer punktförmigen Ladung, Coulomb-Gesetz Die magnetische FLussdichte Definition der FLussdichte Magnetische FLussdichte B in (quantitativ), einer Lang gestreckten Spute Lorentzkraft auf ein ELektron Halt-Effekt Eine Formet für die Stromstärke im Lei t er Lorentzkraft auf ein ELektron Der Halt-Effekt Geladene Teilchen in elektrischen Feldern, Mitti kanversuch Elektronenvol t Parabelbahnen bei Teilchen im Kondensatorfeld Bremsbewegung Mil i kanversuch Bestimmung der Elementarl a dung e Teilchen in magnetischen und elektrischen Feldern Teilchen in magnetischen Feldern E-Fetd und B-Fetd senkrecht zueinander TeiLchenbeschLeuniger Ladungsträger in Gasen Elektromagnetische Induktion - 2. TeiL (quantitativ) Wirbelströme Versuch: "Aturingu/Spulenmagnet Aufgaben Selbstinduktion bei Sputen Größe der induzierten Spannung der Spute im Falte der Selbstinduktion Quanti t ative Betrachtung des Einund Ausschal t vorgangs Energie des Magnetfeldes
XIII 239 241 241 243 245 246 246 248 248 249 249 252 252 252 253 253 254 255 255 255 256 261 262 264 266 266 267 267 268 268 269 269 270 270 270 272 273 276 278 282 283 284 285 286 287 288
XIV 5.31 5.32 5.33 5.33.1 5.33.2 5.33.3 5.33 .4 5.33.5 5.33 .6 5.33 .7 5.34 5.34.1 5.34.2 5.34.3 5.34.4 5.35 5.35.1 5 . 35.2 5.36 5.36.1 5.36.2 5.37 5.37.1 5.37.2 5.37.3 5.37.4 5.38 5.39 5.39.1 5.39.2 5.40 5.40.1 5.40.2 5.40.3 5.40.4 6
6.1 6.1 . 1 6.1.2
InhaLtsverzeichnis
Erzeugung sinusförmiger Wechsel s pannung im Generator Effektischer vwerteWiderstand, von StromSpul unde Spannung bei Wechsel strom Ohm' und Kondensator im Wechselstromkreis Indukti ver Widerstand Kapazitiver Widerstand Zeigerdiagramm Reihenschaltung vonKondensator Ohm'schemmitWiderstand R,C Spul e mit Induktivität L und Kapazi t ät im Wechselstromkreis (Siebkette) Abhängigkeit der Größen Ieff und von der Frequenz f, wenn R, L, C und Ueff fest vorgegeben sind Sperrkreis Aufgabe Der Schwingkreis UGedämpfter ngedäm pfterSchwingkreis Schwingkreis Aufhebung der Dämpfung durch Rückkopplung (Meißner-Schaltung) Erzwungene elektromagnetische Schwingungen Der Transformator (Trafo) Hochund und Niederspannungstrafo Belasteter unbelasteter Trafo Drehstrom Prinzip dervondrei Drehstrom Phasen Erzeugung Elektromagnetische Wellen Hertz'scher Dipol Wellen im Raum Elektromagnetische Maxwells Uberlegungen Ergänzungen " elektromagnetischer Wellen Lichteigenschaften "Licht al s elektromagnetische Welle Faraday-Effekt und Kerr-Effekt der elektrischen oder der Entspricht die Modell-Lichtwelle magnetischen Teilwelle? Nicht sichtbare Spektralbereiche im elektromagnetischen Spektrum /Überblick ,Röntgenstrahlen Jnfrarotli cht", "Ultraviolettlicht" y-Strahlung Uberblick über das elektromagnetische Spektrum Atomphysik und Quantenphysik Kernphysik Kernaufbau Radioaktivität 8
290 291 293 293 295 296 297 299 301 302 303 303 306 306 307 309 309 309 311 311 312 313 313 314 315 317 318 320 320 321 323 323 323 323 324 325 325 325
Inhaltsverzeichnis 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.3.1 6.3.2 6.4 6.4.1 6 .4.2 6 .4.3 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.7 6.8 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.9 6.9.1 6.9.2 6.9.3 6.10 6.10.1 6.10.2 6.10.3 6.10.4
XV
Wie wird die unsichtbare Strahlung nachgewiesen? 326 328 Was passiert beim radioaktiven Zerfall eines Atomkerns? 328 Kernreaktionen Kernspaltung ( Otto Hahn, 1938 ) 329 Kernfusion 329 Kristalluntersuchungen mit Röntgenstrahl e n 330 'sche Reflexionsbedingung 330 Bragg Drehkri stallmethode ( Pulvermethode) 331 332 Debye-Scherrer-Methode Der Fotoeffekt 333 333 Lichtquanten und Planck'sches Wirkungsquantum 335 Fotostrom Einige Aussagen der speziellen Relati v i t ätstheorie, Comptoneffekt 337 Massenzunahme und relativistische Energie 337 Photonenmasse, Photonenimpuls 339 Comptoneffekt 340 Materi e wellen 342 Wellencharakter vonle Elektronen 342 Bedeutung der Wel bei Materieteilchen 342 FreElektronen e ngeschwindigkeit bei Materiewellen 343 quenz undamWell Doppelspal t 344 344 Elektronen am Einzel s pal t 346 Entwicklung des Atommodells, Erklärung der Balmerserie Bohrsehe PostulBerechnung ate des Wasserstoffspektrums 346 346 Halbkl a ssische 348 Strahlungsserien Der eindimensional e Potentialtopf - Quantengesetz des eingesperrten El e ktrons 349 352 Der Franck-Hertz-Versuch, Umkehrung der Na-Linie 352 Franck-Hertz-Versuch Umkehrung der Na-Linie 354 Fraunhofer' s che Linien 354 Röntgenstrahlung 355 355 Bremsstrahlung und charakteristische Röntgenstrahlung 356 Deutung der kontinuierl i chen Röntgenstrahlung Deutung der charakteristischen Röntgenstrahlung 356 Quantenmechanische Behandlung physikalischer Probleme mit 359 der Schrödingergl e ichung 359 Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödingergleichung 361 Teilchen im eindimensionalen Potenzialtopf 361 Das harmonische Wasserstoffprobl Der Oszillemator - "Teilchen, das an einer Feder hängt" 363
Anhang 1: Physikalische Konstanten Anhang II: Literatur Stichwortverzeichnis
368 369 370
1
1
Mechanjk
1.1
Grundgrößen und ihre Messung
Die grundl egenden Größen derundMechanik sind die Länge, gemessen in Meter, die gemessen in Sekunden die Masse, gemessen in Kilogramm. 1 m (Meter) iprototyps st die Länge- beide des Urmeterprototyps, 1 kg (Kilogramm) die Masse des Urkilo gramm werden in Paris aufbewahrt. Flächeninhalt (gemessen in m 2) und Volumen (gemessen in m3 ) sind von der Länge abgel eitete Größen.(z. B.DieDreiecksfl Ermittlung des"' � Flächeninhal ts erfolgt über be stimmte Rechenformeln ä che Länge· Höhe) und Längenmes · sung, bei krummli nigen(Abb.Objekten experimentell durch Auszählu ng von Quadraten auf Millimeterpapier 1.1) :
Zeit,
IrII 1\ )
,....
I
Abb. 1.1
v-r-..
1--'
v
r--...
1'-.......
.......
1--"
Man zählt beispielsweise die am soRande Liegenden Quadrate halb" undt. die innen " Liegenden ganzu und ermittelt näherungsweise den Flächeninhal " von Volumina erfolgt über Längenmessung und Rechenformeln Die Ermittlung (z.tellB.überKugelMessgläser volumen und� ·Überlaufgefäße Radius3) oder bei(Abb.unregelmäßigen Körpern experimen 1.2): ..
Abb. 1.2
Man men.misst das vom Stein beim Eintauchen verdrängte aufgefangene Wasservolu
t�echanik
2
1.2
Dje Djchte
Misst man bei verschiedenen Körpern aus dem gleichen MateriaL jeweil s das Volumen V und diemMasse steLLt man dass sieWeise: zueinander proportionaL sind, geschrieben �V. m,Diessoäußert sich fest, in dreierlei 1. Das Schaubild ist eine Ursprungsgerade im mjV-Achsenkreuz (Abb. 1.3). m
Abb. 1.3
Zum k-fachen mVolumen gehört die k-fache Masse. 3 . Der Quotient ist eine Konstante. V Dichte p = m und beschreibt das MateriaL; die Einheit der Dieser Quotient heißt Dichte ist fp] = 1 mk; (übli cher sindV 1 dkgm3 = 1 � ) . Dichtewerte sind tabeLLiert. cm Aufgabe: Welche Masse hat ein Eisenquader der Dichte p = 7, 9 �, der 20 cm cm Lang, 15 cm breit und 10 cm hoch ist? Lösung: V 20 cm 10 cm 15 cm 3000 cm3 3 dm3; p = V' also kg m = p · V = 7, 9 dm3 3 dm3 = 23 , 7 kg. 2.
·
=
·
·
=
=
•
1.3
Dje Kraft
1.3. 1
Wirkung einer Kraft
Eine Körper (z. B. Muskelkraft, magnetische Kraft)odererkennt man an ihrer Wirkung: sie (z. B. Dehnen einer Feder) verändert Bewegungen (sie be schleunigt oder bremst beispiel s weise einen fahrenden Wagen oder ändert dessen Bewegungsrichtung). Kraft verformt
1.3.2 Vektorgrö�en
KräfteRichtung sind Vektorgrö ßen; neben ihrer Größe, gemessen in N (Newton), ist auch ihre wichtig. Man veranschaul ichtKraftKräfte durchderenPfeile,Richtung deren Länge ein Maß für den Betrag, d. h. die Größe der i s t und di e Kraft richtung angibt (Abb. 1.4 a).
Die Kraft
3
Abb. 1.4a Kräfte werden wie Vektoren addiert (
siehe Abb. 1.4) : 1. Möglichkeit (Abb. 1.4 b): Man hängt den zweiten Kraftpfeil an den ersten und erhält so die Gesamtkraft
Abb. 1.4b
Man setzt die Kraftpfeile am Ende aneinander und ergänzt zum Parallelogramm, dessen Diagonale die Gesamtkraft F1 F2 liefert.
2. Möglichkeit (Abb. 1.4 c) :
+
I
Abb. 1.4c +
Man erkennt, dass beide Konstruktionen zum gleichen Gesamtkraft-Pfeil F1 Fz führen; erdurchgestrichen ersetzt die beiden Einzelkräfte, deren Pfeile daher nach der Kons truktion werden, und heißt Resul t ierende. Umgekehrt kann man eine gegebene Kraft F durch zwei andere Kräfte F1, F2 ersetzen, die in andere Richtungen wirken - sie heißen Komponenten. Aufgabe: Ein Stab BC ist mit einem Gelenk bei B an einer Mauer befestigt, das Seil ACnachhindert ihn(�bb.am 1.5) Abkippen. Eincherangehängter Körper zieht bei C mit der Kraft F unten. Mit wel Kraft F1 zieht das Seil bei A an der Mauer, mit welcher Kraft F2 drückt der Stab bei B auf das Gelenk?
t�echanik
4
Abb. 1.5
Man fasst ,}" als Diagonale eines ParaLLelo gramms auf, dessen Seiten und man ermitteln möchte - man kennt aber von F1 nur die Richtung F 2 (die von BC). Die gestrichelten ParaLLelen zu AC bzw. (die von AC), ebenso von BC durch die Spitze von F Liefern die Pfeilspitzen von F1 bzw. F2• Die derLängen von Kraftkomponenten bei rechnerisch der Kräftezerlermitteln egung bzw.(SatzResul tPythago ierenden beiras, Kräfteaddition Lassen sich auch des Trigonometri e !); ebenso die Winkel z�ischen den Kräften. Ein wichtiges Beispiel1.6)istindiedieZerlegung der Gewichtskraft G eines Körpers an der schiefen Ebene (Abb. Hangabtriebskraft FH (paraLLeL zur Ebene) und die �ormaLigaft FN (senkrechtgiltzur taucht, : Ebene). Da der Neigungswinkel auch zwischen G und FN auf . (F1.1 a, b) -G = coso:, also: FFHN GG . smo: Lösung: "F 1 " J2"
o:
l1l
COSO:
=
=
·
Abb. 1.6
1.3.3 Gewichtskraft
Die Gewichtskraft G (Betrag G oder IG'I) eines Körpers auf der Erde ist die Kraft, mit zur der ihn die Erde (nach Masse des Körpers: G unten) m. anzi �h't. An einem festen Ort ist G proportional Die Konstante = g heißt Ortsfaktor g. Auf der Erde ist g 9) 81 N (am Pol N N<· .. am Aquator 9�eines 781Nfj(<),örpers 9, 83Die19<,Gewichtskraft auf demist alMond ist g 1, 67 1 s o ortsabhängig, e fn Kilo grammstück hat auf derKörpers Erde etwa die Gewichtskraft 9,81derN,Erde, auf dem MondMond, etwaim1,67WelN;taLL)dieglMasse einesMassen ist dagegen überaLL (auf auf dem eich. bestimmt man mit Balkenoder Tafelwaagen (man vergleicht sie mit der Masse der Stücke des Wägesatzes), Kräfte misst man mit geeichten Kraft messern (d. h. überist Federverl ngerungen). eines 102 g-Stückes" auf der Erde. etwa dieäGewichtskraft 1 N (Newton) " Aufgabe: Welche Masse hat ein Körper, dessen Gewichtskraft auf dem Mond 20 N beträgt? .2 m
IV
�
�
k
g
Die Kraft
5
G g, also m G m g
l.. osung: - =
=
-
20 20N �5 N 1, 67 kg 3
=
kg
=
12
kg
1.3.4 Hooke'sches Gesetz
Untersucht man,soumsteLLtwelche Streckedasss ineineeinem gegebene FederKraftbereich durch einegilKraft F verl ä ngert wird, man fest, gewissen t : F- s (Abb. 1.7).
Abb. 1.7
Die Konstante D sF heißt Federkonstante - sie beschreibt die Härte der Feder und hatmehr.die Einheit [D] 1 � Wird die Kraft zu groß, gilt die Proportionalität nicht Aufgabe: Welche Länge hat eine Feder ( unverlängert 20 cm ) der Härte D 2 � wenn an ihr 300 g hängen? F 3 N 1, 5 cm; Federlänge also 21,5 Lösung: F 3 N, also Verlä ngerung s D cm. =
-
=
c
.
=
�
c
'
=- = w =
Ciii
1.3.5 Kraft und Gegenkraft
Eine Person A drückt mit der Kraft F1 auf einen Baum B. Dann spürt auch A eine Kraft F2 vom Baum auf sich. Sie ist betragli eh gleich groß wie F1, wirkt aber in die Gegenrichtung; außerdem wirkt F1 auf B, F2 auf A (Abb. 1.8) . B
A
0
Abb. 1.8
ALLWirktgemein gilt: mit der Kraft F1 (actio) auf einen anderen Körper, so wirkt von ein Körper diesem eine Gegenkraft F2 (reactio) auf den ersten Körper zurück. Kraft und
t�echanik
6
Gegenkraft sind betragl i eh gl e ich groß, aber entgegengesetzt gerichtet und greifen an verschiedenen Körpern an. Beispiel: Beim Start drückt der Sprinter mit einer Kraft auf den Startblock. Die Gegenkraft vom Startblock auf den Sprinter Lässt diesen herausschnellen. Problem: Ein Pferd soll einen Klotz ziehen. Es weigert sich und argumentiert: Wenn ich anichdemdenKlotz Klotz mitbewegen! einer gleich großen Gegenkraft also kann Klotzziehe, nichtwirkt von derder Stelle Lösung des Paradoxons: Richtig ist, dass die Zugkraft F1 des Pferdes auf den Klotz eine Gegenkraft F2 vom gleichen Betrag hervorruft. Allerdings wirkt F2 auf das Pferd! Man kann also nicht F1 und F2 in einen Topf werfen und sagen, sie heben auf denbewegt gleichen sich aufdies ginge nur, wenn Tatsächli ch wirkt auf den Klotz nur F1,F1erundkannF2 wohl werdenKörper(Abb.wirkten! 1.9).
Abb. 1.9
1.4
Geschwindigkeit/Beschleunigung
1.4. 1
Geradlinige gleichförmige Bewegung
Der einfachste Fall einer Bewegung ist der, bei dem ein Körper sich geradl i nig bewegt und derauszurückgelegte Weg proportional zurdievergangenen Zeitbeschreibt, ist: s "' t Der Quotient Weg und Zeit i s t eine Konstante, die Bewegung die Geschwindigkeit v des Körpers: I_t�� const� v .I bzw. Geschwindigkeit� WZe1�gt Eine solche Bewegung heißt geradlinige gleichförmige Bewegung (Spezialfall: v 0 heißt Körper in Ruhe). Beispiel: Ein Spielzeugauto hat nach 10 s den Weg 4 m, nach 20 s den Weg 8 m, ... zurückgelegt. =
Geschwindigkeitjßeschleunigung
7
Im(Abb.Weg-Zeit-Diagramm liegen di e Messpunkte auf einer Ursprungsgerade 1.10 a), deren Steigung gerade die Geschwindigkeit ist: 2m s 16m = 4m =-V= - = t 40s lOs 5 s -
-
s 1 6m
4m
Abb. 1.10a
0
10s
40s
Das Geschwindigkei t -Zei t -Diagramm (Abb. 1.10 b) zeigt eine Gerade parallel zur Zeit-Achse, da ja v = const ist. V
Abb. 1.10b
0
1 0s
40s
t
Wir betrachten die Fläche unter der "Kurve" in Abbildung 1.10b bis t = 10 s: A1 = lOs 2m5s = 4 m = zurückgelegter Weg von 0 bis 10 s bis t = 30 s: A2 30s 2m5s = 12 m = zurückgelegter Weg von 0 bis 30 s Allgemein: Fläche unter der Kurve = zurückgelegter Weg bzw. v t = s ·
=
·
·
1.4.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
nächste Fall sei der einer nicht geradlkonstant i nigen Bewegung einesgleichmäßig, Körpers aus derd. h.Ruhe, beiDer der di e Geschwindigkeit ist, sondern pro portional zur Zeit anwächst: v t oder I� const aI oder v = a-t (F1.2) solche Bewegungdes heißt gleichmäßig beschleunigte Bewegung; die Größe a ist dieEineBeschleunigung Körperssie gibt die Geschwindigkeitszunahme je Zeit an. Beispiel: Ein Körper hat nach 10 s die Geschwindigkeit 2�, nach 20 s habe er 4 � , nach 40 s habe er 8� usw. �
�
�
8
t�echanik
2!!!s = 3!!!s = 1m2 . Hier wäre a = -vt = _40s lOs 5s Um herauszufinden, welchen Wegs der Körper nachdasjeweils dereineZeitUrsprungsgerade t zurückgelegt hat, ist ein Bl i ck auf das v-t-Diagramm hil f reich, jetzt darstellt (Abb. 1.11). v
(in m/s)
8 6 4 2 10
Abb. 1 . 1 1
20
30
40
t O n s)
8 � = 1m2 . 1StJetzt . tV = a = 40s . . d"1e Beschleumgung: Ih re Ste1gung 5s Wir nehmenAnnahme an, dassistdergerechtfertigt, zurückgelegte denn Weg wieder die Fläche unter der Geraden istlässt(diese der exakte Geschwindigkeitsverlauf " mit stückweise konstanter sich bel i ebig genau durch eine "Treppenkurve Geschwindigkeit annähern). So ergibt sich: s (t 40 s) �2 40s 8 ms = 160 m (Dreiecksfl.äche) s (t 20 s) 21 20s 4-ms = 40 m usw. Allgemein: s(t) = �2 t v(t) = �.2 t . (a . t) = �2 at2 Der Weg wächst also proportional zum Quadrat der Zeit: 1 . s 1m2 s "' t2 oder-ts2 = const = -a21 oder s = -at 2 2 (F1.3) H1er: .:; = -lOs Das Weg-Zeit-Diagramm ist demnach eine Parabel! Aufgabe: Ein Auto fährt gleichmäßig beschleunigt mit a = 4� an. Welchen Weg hat es nachWelche 2 s zurückgelegt? Welchen zurück? Geschwindigkeit hat esWegnachlegt2,5ess?zwischen der 2. und 3. Sekunde Lösung: Weg nach 2 s: s(2s) = �. 4 � (2s) 2 = 8 m; Weg zwischen 2. und 3. 2 s Sekunde: 1 m s(3s) - s(2s) = 2 4 (3s) 2 -21 4 sm2 (2s) 2= 18 m - 8 m = 10 m; Geschwindigkeit nach 2,5 s: v(2, 5s) = 4 �s 2, Ss = 10 ms Beachte: Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung gilt nicht�t = v! =
=
=
=- ·
·
·
·
·
·
�
·
·
$l
.
·
·
·
9
Geschwindigkeitjßeschleunigung
1.4.3 Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
AnAutofahrer dieser Stel l e muss der Begriff Geschwindigkeit präzisiert werden. Wenn ein sagt, er habe 2 Stunden für eine Strecke vonkm 150 km gebraucht, so hat 150km . · h · d'1gke1t = 2h = 75 h geh abt; se1n ach ometer er d1e Durchschmttsgesc hat ihmhatdiesichganze Zeitdauernd über geändert. die Momentangeschwindigkeit v(t) Bewegung angezeigt sind und diese wohl Bei der gl e ichförmigen beide Geschwindigkeiten gleich, bei anderen Bewegungen muss man sie unter scheiden. Beispiel: Ein Wagen auf einer Fahrbahn startet aus der Ruhe und hat nach 1,7 s den Weg 0,3 m und nach 3,1 s den Weg 1 m zurückgelegt. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt zwischen . 0 und 0, 0,37m m gerade m 0, 3m m . . etragt s1e v = -- 0, 5 v1 = -0, 18 , zw1sc h en 0,3 m un d b 1 m 2 1. 7s · szurückgelegter Weg ßs 1.4s s ALLgemem g1' Lt. v - benotigte . . Ze1.t 1\t Will man di e Momentangeschwindigkei t näherungsweise messen, so muss man die ß Wegstrecke s möglBeispielsweise i chst klein machen, dann wirddienatürlich auch die Zeitdiffe renz ßt sehr klein. könnte man, um Momentangeschwindigkeit bei 1 m zu ermitteln, die Zeitdifferenz .6.t zwischen den Wegmarken6�97m cm und 103 cm, also für ßs 6 cm, messen - dann gilt: v(bei 1 m) � = t · Genau genommen müssen.6.s, .6.t beliebig klein sein, d. h. v Li m ß.6.ts (F1.4) Liefert die Momentangeschwindigkeit. Mathematisch bedeutet der Grenzwert l!� �� die Ableitung der Wegfunktion s(t) nach s(t) der Zei(Ablei t t.tungÜblinach cherweiderseZeit). schreibt der Mathematiker dafür s'(t); wir schreiben Überprüfung der Formel (F1.4) für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung: s(t) � at2, also s(t) � a 2t a t - dies ist aber gerade die Momentan geschwindigkeit v(t)! wm
·
v
·
�
_
T
�
_
·
·
.
_
_
u
'iJ
=
=
�t-o
o
=
=
·
=
·
1.4.4 Durchschnitts- und Momentanbeschleunigung
Auch bei derunterscheiden. Beschleunigung muss man zwischen dem Durchschnitts- und Mo mentanwert Beispiel: Die Geschwindigkeit eines Autos erhöhe sich zunächst beim Anfahren 0 auf4520�� beträgt. in 10 s; Wel anschl gibt der Fahrertreten mehrauf? Gas, sodass siegleichmäßig cheießend Beschleunigungen nach 15 svonbereits
10
l•\echanik
m2 ; zwischen 10 s und 15 s: a2 = -25!!!s = 5-m2 s = 2Zwischen 0 und 10 s: a1 = -20!!! 5s s 1 0s s 45 Durchschnittliche Beschleunigung zwischen 0 und 15 s: a 3 = 15s� = 3 �s . tszunahme, . Geschwindigkei . . Allgemem: DurchschmttL1 che Beschteumgung . benot1gte Ze1t v also = D..6.t Wenn sich die Beschleunigung immer wieder ändert, betrachtet man die D.v = v = s (F1.5) Momentanbeschleunigung a = ti m .6.t GLeichmäßig beschleunigte Bewegung (Überprüfung von (F1.5)): s(t) = � ae, s(t) = v(t) = a t, s(t) = v(t) = a - dies ist die Beschleunigung! Bemerkung: Die Umrechnung von � in k� erfolgt durch Muttipli kation mit dem Faktor 3,6 1 s' m 1sm = 3 , 6 km; z. B.: 10811km = 108m = 305m 111km = 1000m = 11 oo 3 : 6s 36 s 3 : 6 =
ä
.
.
�t--.0
·
1.5
Kräftegleichgewicht/Trägheitssatz
Wirken aufRichtung einen Körper zwei betragti ch gleich große Kräfte F1, F2 entgegen gesetzter (d. h. F1 = F2 ) , so heben sie sich in ihrer Wirkung auf; man sagt, am Körper herrscht Kräftegteichgewicht. (Abb. 1.12). -
Abb. 1.12
ImaufUnterschied zumKörper. PrinzipWennvonerActio/Reactio (Kap. 1.3.5) wirken hier die Kräfte den gl e ichen in Ruhe ist, wi r d er auch in Ruhe bleiben; wennin ergleinicherBewegung ist und Kräftegleichgewicht an ihm herrscht, wird er sich Richtung mit konstanter Geschwindigkeit weiterbewegen. Trägheitssatz: Körper sind träge, d. h. sie behalten ihren Bewegungszustand bei, wenn an ihnen Kräftegleichgewicht herrscht.
Beispiel: PLötzLicher Stopp beim AuffahrunfaLL ohne Gurt! Der Wageninsasse möchte seinen Bewegungszustand beibehal t en und schießt" nach vorne auf " die Windschutzscheibe. Bemerkung: Auch mehrere Kräfte, deren Vektorsumme unutt/1 ergibt, bewirken ein Kräftegteichgewicht.
11
Reibung/Luftwiderstand
1. 6
Reibung/Luftwiderstand
1. 6. 1
Gleitreibungskraft
Um einen Körper auf einer Unterlage mit konstanter Geschwindigkeit v nach F rechts zu ziehen, mussoffenbar man aufihn die Kraft anwenden (Abb.links, 1.13a).d. h.Daentgegen er nicht schneller wird, zieht eine zwei t e Kraft an ihm nach der Bewegungsrichtung - die Gleitreibungskraft F9 1• Sie rührt von mikroskopischen Rauigkeiten an Körperunterseite und Unterlage her, die sich ineinander verhaken. Abb. 1.13a
Versuche zeigen, dass zur die GlGewichtskraft eitreibungskraft vom Stoffpaar Körper /"'Unterlage G, abhängt, proportional des Körpers ist, d. h. F t aber 9 kaum von der Geschwindigkeit v und von der Größe der reibenden Fläche abhängt. Versuche zeigen,FN dass dort die Gleitreibungskraft kleiner ist; hierG! DieanpresstderAussage jaschiefen nichtF 1 G,Ebene sondern denpräzisiert Körper werden gegen dizue Unterl aFNge bzw. und "' G muss also F 1 "' 9 F9F;t = const = fgt· 9 - - -_ _ --, Allgemein: I.-F9 1 = f9 1 · FN 1 (F1.6 a), wobei die Gleitreibungszahl f9 t vom Stoffpaar abhängt. 11-l
<
1 . 6.2 Haftreibungskraft
jj[
Abb. 1.13b
Ein weitwenn erer Versuch zeigt, dasseiner ein ruhender Körperft, aufdie einer Unterlage in (Abb. Ruhe F bleibt, man an ihm mit Kraft angrei nicht zu groß ist 1.13b). Offenbar stell t sich eine Haftreibungskraft Fh in Gegenrichtung ein, die F zusammen mit eininKräftegl eichgewicht bewirkt. Vergrößert man vergrößert. F, so bleibt der Körper immer noch Ruhe offenbar hat sich Fh gl e ichermaßen Die Haftreibungskraft hat also keinen bestimmten Wert, sondern passt sich dem Wert der Zugkraftwirdan.derWenn allerdings FVerankerung und damit Fhgerissen"; einen bestimmten Werte über schreiten, Körper aus der diese maximal Haft " reibungskraft Fh,mFhax kann man angeben si e ist ebenfalls proportional zu FN: ,max b FN,max = COnSt = fh Allgemein: J lit,max = FN J (F1.6 b), wobei die Haftreibungszahl fh wieder vom Stoffpaar abhängt. f91 undder fh"Verankerung sind tabelliert,im wobei fh f91zuist-reißen", man braucht mehr Kraft, den Körper aus Ruhezustand al s ihn mit konstanter Geschwindigkeit gleiten zu Lassen. 1:. lh
rv
1:.. IN
ZW.
--
fh
·
>
12
l•\echanik
Ein Klotz der Masse 5 kg gl e ite auf einer schiefen Ebene mit Neigungs 1 winkel resultierende30°Kraftnachwirktunten, auf denwobeiKlotz?Gleitreibung mit f9 0, 1 auftritt. Welche Lösung: Die Gewichtskraft G wird in Normalkraft FN und Hangabtrieb FH zerlegt (Abb. 1.14).reagiert Die Normalkraft möchte den Körper an großen die Unterlage pres�en - die Unterlage mit einer entgegengesetzt gleich Kraft Fu! Da Fu und FN �eh ausgl bleiben FH mit f H = G sino: = 50N · sin30° = 25N und F9t mit f91 eGichen, · cosa_ 0 , 1 · 50N Yf 4, 3N übrig; der Körper erfährt also die re Fsul91 t=ierende Kraft Fr parallel zur Ebene nach unten mit Fr FH F91 20 , 7N Aufgabe:
o: =
=
•
·
·
�
=
-
�
Abb. 1.14
1. 6.3 Strömungswiderstand
Für den Strömungswiderstand Fw (z. B. in Luft) findet man nach Messungen die Formel: IFw = � c. · A · v' I (F1.7) Hierbei ist A der größte Querschnittsflächeninhal t senkrecht zur Strömung (Abb.Luft1.15),und Cwistderdie soDichte (z. B. Widerstandsbeiwert der Luft), v die Geschwindigkeit gegenüber der genannte (hängt vom Profil ab). Insbesondere gilt Fw v2! p
·
·
p
rv
Abb. 1.15
Eine Limousine mit A::::beträgt 2m2 fährt bei Cw = 0, 3 mit 721W gegen einen Wind von 107; die Luftdichte = 1 : 25 .Y, Berechne den Luftwiderstand Fw!
Aufgabe:
p
Reibung/Luftwiderstand
13
km -72m m . . = 20 - . Wegen d es G egenwm des von 10 5 1st d'1e G e6s gegenüber s der Luft v = 20-m 10 -m = 30-.m schwindigkeith des 3,Autos skg m2 s s m 2 1 kg ( m ) Fw = - · 0 ' 3 · 2m 2 · 1 . 25 -3 · 30 - = 0 ' 375 · 900 - · -2 = 337. 5 kg -2 m s · s 2 m m s kg = 337, SN. Hier wurde 1 � = 1 N gesetzt, was im nächsten Kapitel gerechts fertigt wird! Losung: 7 2 - =
m •
+
·
1.7
Das Newton'sche Grundgesetz
Welche Kräfte rufen welchen Bewegungstyp hervor? 1. In 1.5 wurde erläutert, dass ein Körper im Kräftegle ichgewicht seinen Bewe gungszustand beibehält, d. h. sich geradlinig gleichförmig nach dem Träg heitssatz fortbewegt. 2 . Versuche zeigen, dass ein ruhender Körp � auf den fortwährend eine betrag lieh und richtungsmäßig konstante Kraft F wirkt, eine gl e ichmäßig beschleu nigte aus derm desRuheKörpers vollführt.ab. Die Beschleunigung a hängt dabei von F und Bewegung von der Masse Man stellt const)heißt und hala b e�Beschleunigung (wenn F const)") ("dreifache a F (wenn Kraft heißtfest: dreifache, doppeltme Masse a · -m const Daraus folgt: a mF bzw. Ima = F kg Messungen zeigen, dass diese Konstante den Wert const 1 7" hat, sodass man a · m a · m · 1 Nm erhält. F -1
rv
rv -
=
I'V
F
=
=
=
!11 .
=
=
=
Das kann alGewichtskraft s dynamische von Definition der Kraft 1 N aufgefasst werden (statische Definition: 102 g auf der Erde). Wir gehen noch weiter und sagen direkt: m 1N = 1 kg · 1 2 (F1.8) s DamitFassung wird diedesKonstante im obigen Gesetz dimensionslos und man erhält eine neue Beschleunigungsgesetzes: I F m · a I ( F1.9 ) (Newton'sches Grundgesetz) =
14
l•\echanik
1) Wel c he Kraft braucht ein Auto der Masse m 1000 kg, um mit aMasse6 �400anzufahren? kg zu ziehenWieist?groß istm die Beschleunigung, wenn noch ein Anhänger Lösung: F m · a 1000kg · 6 2 6000N; Mit Anhänger ist m' 1000kg 400kg s 1400kg - also: 6000N = 4 3 m2 a' = _!._m' = 1400kg 's 2) Aufgabe Kap. 1.6.2 - Wie groß ist die Beschleunigung des Klotzes? Fr 20, 7N 4 14 -m2 .. Losung: a m 5 kg ' s Aufgaben:
=
=
=
=
=
+
=
=
= - = -- =
1.8
Der freie Fall
1.8. 1 Freier Fall ohne Luftwiderstand
Unter dem freien Fall versteht man die Bewegung eines Körpers, auf den nur seine Gewichtskraft wirkt,wirdausundder dass Ruhederheraus. VorausgesetztkeinewirdRolle also,spiel dasst.derLetzteres Körper nicht abgeworfen Luftwiderstand ilsi nienförmigen t streng genommen nur im Vakuum erfüllt, näherungsweise bei schweren strom Körpern (z. B. Eisen kugeln), wenn die Geschwindigkeit beim Fall = � = � = g, die Bewenoch nicht zu groß ist. Für die Beschl e unigung gil t a m m gungAlleistKörper eine glerfahren eichmäßigalsobeschl e unigte Bewegung. Ort die- z.glB.eiche gerade dem Ortsfaktor g aus am1.3.3gleichen entspricht auf derFallbeschl Erde eunigung, die gE = 9,81 kgN = 9,81 kg kgm;.s2 9,81 sm2' auf dem Mond gM 1,67 m Für den Fallweg gilt also: s(t) 21 gt2 Für die Fallgeschwindigkeit gilt: v(t) g · t Aufgabe: Wie lange dauert der Fall eines Steins von einem 100 m hohen Turm und mit welcher Geschwindigkeit trifft er unten auf?.--__ .. s 12 gt2 - also Fallze1t:. t .\�gs 10200mß2;m 20s 4, 47s; Losung: G esc h . d"1g ke1t: v = g t 1052 4,47s; v 44,7 $m 161 hkm ·
=
s2
�
=
-
=
=
wm
=
-
.
·
�
m
·
-
= .
=
�
= v
�
�
1.8.2 Fall mit Luftwiderstand
Für den Fall mit Luftwiderstand gilt, dass die Gewichtskraft G beschleunigend und der Luftwiderstand Fw bremsend wirkt. Während G immer gle ich bleibt, wächst Fw mit v2 an - die Resultierende Kraft Fr mit Fr G - Fw wird immer kleiner und die =
15 Beschl e unigung des Körpers auch. Bei einer bestimmten Grenzgeschwindigkeit v 9 1 G = glFVe;ichförmige dann herrscht am Körper ichgewicht, jetztschneller. ab macht eristeine nach eunten -er wirdd. h.nichtvonmehr Bewegung mit v9Kräftegl Überlagerung von Bewegungen, Würfe, Bremsbewegungen
1.9
Überlagerung von Bewegungen, Würfe, Bremsbewegungen
1.9. 1
Überlagerung gleichförmiger Bewegungen
Eineichzeitig Boot habehatsenkrecht zum Ufergegenüber gegenüberdemdemLandWasser die Geschwindigkeit Y'x , glkeit das Flusswasser di e Strömungsgeschwindig lidem y (Abb.Land1.16). Da das Boot mit der Strömung getrieben wird, hat es gegen über die Gesamtgeschwindigkeit v = lix vy, mit der es sich schräg glbewegungen eichförmig bewegt. Die Gesamtbewegung (schräg) ist Überl a gerung der Einzel mit iix bzw. Vy. +
Abb. 1.16
1.9.2 Würfe
Bei einem Wurf erhäl t der Körper eine Anfangsgeschwindigkeit v0, aufgrund welcher erkeine eineGewichtskraft gleichförmige gäbe. Bewegung machen würde,ihrerseits wenn es bewirkt (z. B. weiteinenim Wel t aLL) Die Gewichtskraft freien FaLL, d. h. eine gl e ichmäßig beschleunigte Bewegung, die der gleichförmi gen1.überlagert wird - das Ergebnis ist die Wurfbewegung! Fall: Waagrechter Wurf, d. h. die Abwurfgeschwindigkeit v0 zeigt horizon talvertikaler und bewirkt eine horizontale gleichförmige Bewegung;(x-Achse überlagert wirdrechts,ein freier Fall! In einem xjy-Koordinatensystem nach y-Achse unten) gilt dann, wenn wir annehmen, dass die Bewegungen sich ungestörtnachüberlagern: x(t) = Vo · t, Vx(t) = Vo (F1.10 a,b,c,d) y(t) = 21 g vy(t) = g . t Hierbeibzw.sindvy(t) x(t) bzw. y(t) die in x- bzw. y-Richtung nach tzurückgelegten Wege, vx(t) sind die Geschwindigkeitskomponenten in xbzw. y-Richtung nach der Zeit t. ·
f,
16
l•\echanik
m Liefert: x(t) = 15 m · t, Vx = 15 m , v0 = 15 s y(t) = 5 -smz · t2 ' VY (t)s = 10 -sm2 · t s Berechnet man so für t = 0, 5 s/1 s/1, 5 s/2 s/2, 5 s/3 s jeweil s x und y, so entsteht die Wurfparabel von Abbildung 1.17. Berechnet man vx und vy und addiert vx , vy vektoriell, so entsteht v; man erkennt, dass v stets tangential zur Kurve Li egt! Beispiel:
glaichförtn:ge Bewegung ---l�
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
x lin m)
5 V0 = 1 5 m/s
10
20
2
25
� !0
·§l �
30
�
@,
35
Cl
40
J::
�
.Q
�·�
l
45
50
,,
g = 1 0 rnts•
y = 5 rnts• · t V = 1 0 rntsz Y
y (ln m)
Abb. 1.17 .-------_,
·
t
Ii )' X
Aus (F1.10 a) folgt t = vo-; setzt man in (F1.10 c) ein, so erhält man g · x2 (F1.11) y = -g12 · x2v20 = 2v6 DiesFüristdendieAuftreffpunkt Gleichung dergilWurfparabeL t (Abb. 1.18) tann: = VVx (F1.12 a) + v-� (F1.12 b) Vges = Jv�-2
,....
·
vx = 1 5 rnls
15
�
&$l
X = 1 5 m/s
t
Überlagerung von Bewegungen, Würfe, Bremsbewegungen
17
----
Abb. 1.18
vf;O,
lio
" gleichförmigen Bewegung mit d. h. einer schrägen " wirdAbbildung ein vertikaler freier Fall überlagert. 1.19 zeigt die punktweise konstruierte Bahnkurve für v0 = 30 � bei einem Abwurfwinkel voni gen60°Zeit ohne die Visierl i nie mit dendiesenZeitmarken zeigt, wo die der Körper nach der jeweil Fall wäre; von Punkten aus muss jeweilige Fallstrecke nach unten abgetragen werden! 2. Fall: Schiefer Wurf,
-
Abb. 1.19
Zerl e gung von v0 Vox nach rechts und nach oben mit Voy = Vox v0 coso:, V0y v0 sino: (Abwurfwinkel o:) Die Bewegung nach rechts ist gleichförmig: Vx(t) = Vox, x(t) = Vox t m
Rechnung:
=
·
·
·
l•\echanik 18 Die Bewegung nach oben ist Differenz einer gl e ichförmigen Bewegung mit Voy (nach oben) und eines freien Falls (nach unten): vy(t) = Voy - g · t y(t) V0y · t - �2 g · Fall: Senkrechter Wurf nach oben, d. h. einer gle ichförmigen Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit vo nach oben wird ein freier Fall nach unten überlagert. h 1 v0 t (nach oben), v1 v0 (nach oben) h2 = � g · (nach unten), v2 = g · t (nach unten) Die tatsächl ergeben sichiche zu: Höhe h(t) = ht - h 2 bzw. die Geschwindigkeit v(t) Vt - v2 dass v heißt,zeigt). I. h(t) v0 t - �2 g · t2 , v(t) v0 - g . tl. (F1.13 a, b) v(t)(negatives nach unten Man kann zeigen, dassdieser die Gesamtbewegung vöLLig4 s erreicht, symmetrisch zumder oberen Umkehrpunkt ist; wird beispiel s weise nach so ist Körper s undhaben 7 s gleich hoch und dieVorzeichen. Geschwindigkeiten sind dann betraglieh glnacheAmich1groß, aber verschiedene oberen Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit v 0, woraus sich die Steig:eit ::�:\. a�o . 8] Nach 2 T ist der Körper wieder am Boden; di e Wurfhöhe H erhäl t man durch Einsetzen von T in (F1.13 a): H vo T - -21 gT , also [3] H 2g� 1 g · t2 4. Fall: Senkrechter Wurf nach unten: v(t) v0 g t, s(t) v0 · t 2 (nach unten positiv gerechnet) Aufgabe: Ein Stein wird mit v0 = 40 � senkrecht nach oben geworfen. Nach welcher Zeit hat er den höchsten Punkt erreicht, wie hoch ist er dann und wann ist er wieder unten? Wann ist er 70 m hoch? (4o m ' ) 2 1600 m 40ml' = 80 m ' = Lösu ng: Steigzeit T = m s = 4 s ' Steig höhe H = / 2 2g 20 10 s wieder am Boden nach 8 s m Bedingung: 70 m = h(t) = v0 · t - � gt2 , also 5 � - 40 t 70 m = 0 (qua2 s s dratische Gleichung) 2 m / ± V1600 m /s2 - 4 · 5 � · 70m 40 J200 40 . s = Som1t t112 = 10 mAs2 10 s (4 ± 2)s, damit tt1 2,5, 46 ss (Aufstieg) (Abstieg) 2 t2
=
3.
=
=
•
t.2
=
=
=
•
=
=
2
·
=- .
=
+
+-
=
·
IS
t2
+
±
� �
=
rn v
19
Überlagerung von Bewegungen, Würfe, Bremsbewegungen
1.9.3 Bremsbewegungen
Ein Wagen der Masse m fahre mit der Geschwindigkeit iio nach rechts. Zur Zeit t 0 setzt ein Bremsvorgang ein, indemwirkt jetzt(Abb. die konstante entgegen der Bewegungsrichtung 1.20). Kraft F nach Li nks, d. h. =
t=O
Abb. 1.20
t=T V=Ü
Bremsweg S
lio
Einer gleichförmigen Bewegung nach rechts mit Geschwindigkeit wird jetzt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach Li nks infolge der Bremskraft F mit F der Beschleunigung ä =- überlagert (ähnli ch wie beim senkrechten Wurf nach m oben). -___------____-----.2 Bewegungsgleichungen: l v (t) = v0 - a . t , s ( t) = v o · t - � at l (F1.14 a, b) (v, Dis epositiv heißt nach rechts"). " Gesamtbewegung ist eine gleichmäßig verzögerte Bewegung nach rechts, bisT wirdder der KörperBremsweg nach der zurückgelegt, Bremszeit Tzum Stillstand kommt. Während der Bremszeit wobei entsprechend zum senkrechten Wurf V o nach oben T = -,a S = -'i2a g1"lt. Aufgaben: 1) Ein Auto bremst so, dass alle vier Räder blockieren. Wie groß sind die F unddesdie Bremsvorgangs, Bremsverzögerungwenna? Wie groß war die37Geschwindigkeit Vo vorBremskraft dem Beginn die Bremsspur m L a ng ist, die Automasse 1 t und die Gleitreibungszahl f91 0,4 beträgt? Lösung: Wenn alle Räder blo ckieren, ist die Bremskraft die Gteitreibungskraft: Fsr = F9t = f9t m · g = 0,4 · 10 N = 4000 N; . a Fsr = f9t m · g = f9t g = 4 2m Bremsverzogerung: s m m Bremsweg Bremsspur: S = 2av� , also v0 = � = \/2f91 . S m m km \. I2 · 0 ' 4 · 10-2 · 37 m = 17 ' 2 - = 61 ' 9 h s s k� gegen einen Baum und wird dabei um 20 cm 2)verkürzt Ein Auto fährt mi t 108 " . WieF wirkt groß dersindGurtdieaufBremsverzögerung a und70 diekg? Bremszeit T? Mit " Kraft welcher den Fahrer der Masse km m Lösung: v0 = 108- = 30-; Bremsweg: S = 0, 2 m = ° , g s 2a .-
5
·
=
hier
•
4
hier
•
=-
•
hier
=
�
20
l•\echanik
2 also Verzögerung a v220S goo0 : 4m mj.s2 2250 2sm 30mm/s -s 1 Bremsze1t:. T voa 2250 /s2 75 '· Kraft auf den Fahrer: F m a 70 kg 2250 2sm 157 500 N 225 · G. =
=
=
=- =
=
=
·
=
·
=
=
1.10 Ejnfache Maschjnen 1. 1 0. 1 Stange und Seil
sind Hilfsgeräte, dieauf beispielsweise (Abb.übertragen. 1.21 a) dieSievonverlagern einem Bauarbeiter oben ausgeübte Kraft den Eimer unten nur den Angriffspunkt der Kraft, Betrag und Richtung der Kraft bleiben erhal t en. Dabei übertragen Seile nur Zugkräfte, Stangen auch Schubkräfte.
Stange und Seil
F
Abb. 1.21a
1. 1 0.2 Feste Rolle
Über einenistHaken (Abb.der1.21Reibungskraft b) kann mandie dieZugkraft Richtung der Kraft verändern allerdings aufgrund F größer als die eigentlich 2 ; bei einer ortsfesten Rolle (Abb. 1.21 c) fällt dieser Nachteil erforderl iche Kraft weg (Reibung kaumF1spürbar):
Abb. 1.2 1b, c
Einfache Maschinen
21
Eine feste Rolle Lenkt die Kraft in eine andere Richtung um; der Betrag der Kraft bleibt erhalten. 1 . 1 0.3 Lose Rolle
Eine lose Rolle verteilt die erforderliche Kraft gle ichmäßig auf die beiden Seil abschnitte (Abb. 1.21 d)Rolle- F1selbst wird Leicht dabei sein, vom Haken inGewichtskraft der Decke aufgebracht. (Allerdings sollte die da ihre auch zum Tragen kommt.) Beispiel: Bei einem Klotz der Masse 5 kg und einer Rolle nmasse von 500 g haben beidetenden zusammen die Gewichtskraft " aufgebracht "Hal werden (Abb.551.21N; also d). muss F2 = 5i N = 27) 5 N vom
Abb. 1.21d
1 . 1 0.4 Kombination einer festen und einer losen ("masse losen.#) Rolle
Abb. 1.22
Mechanik
22
Bei der Losen Rolle Links (Abb. 1.22) müssen die beiden Seilstücke jeweils die Hälfte der Gewichtskraft der Last aufbringen: F1
=
F2
=
�
Durch die feste Rolle wird die Kraft nur umgelenkt, d.h. die Person unten
�
benötigt die Kraft F =F2 = Andererseits müssen, wenn die Last z.B. um 1 m gehoben werden soll, beide Seilstücke der Losen Rolle um 1 m verkürzt werden; d.h. es müssen von der Person unten über die feste Rolle 2 m Seil heruntergezogen werden, d.h. der Kraftweg ist doppelt so groß wie der Lastweg: sF
=
2
·
SL
1.1 0.5 Der Flaschenzug Beim Flaschenzug mit 3 festen und 3 Losen Rollen (Abb. 1.23) hängt die Last an 6
�
Seilstücken, die jeweils " der Last tragen müssen" (Die Masse der "Losen Flasche" sei vernachlässigt ). Für L
=
6 N muss jedes Seilstück 1 N übernehmen und die
ZugkraftF ist deshalb ebenfalls 1 N. Um die Lastjedoch um 2m zu heben, mussjedes Seilstück um 2m verkürzt werden, d.h. der Ziehende muss 12m Seil durchziehen.
c Abb. 1.23 Allgemein: Hängt bei einem Flaschenzug die Last an n Seilstücken, so braucht man zum Halten den n-ten Teil der Kraft. Der Kraftweg ist aber n-mal so Lang wie der L Lastweg F =-, sF = n sL n ·
23
Die physikalische Arbeit
1.11 Die physikalische Arbeit
Wirkt auf einen Körper die konstante Kraft F, während er den geraden Weg s zurücklegt, so wird an ihm die Arbeit l w = Fs · s l (F1.15) verrichtet, wobei Fs die Kraftkomponente in Wegrichtung ist (Abb. 1.24).
s
Abb. 1.24
Einheit: [W] = 1 Nm = 1J (Joule) 1. 1 1. 1 Spezialfälle 1.11.1.1
Hubarbeit (auf der Erde)
KörperF derGMasse den Höhenunterschied dieEin Kraft brauchtm wird (F mussum minimal größer als G sein)h angehoben, wozu man I WH = G · h = m g · h I (F1.16 a) Beispiel: Für h 20 m, m = 3 kg ist W H 30 N · 20 m = 600 J Wir denken(Abb. uns jetzt KörpermanaufArbeit einergegenüber schiefen dem Ebenedirekten reibungsfrei hoch geschoben 1.25)den- spart Hochheben? �
·
=
=
Abb. 1.25
Mander zerlegt wieder G in FH und FN, wobei die Normalkraft FN durch die Kraft von Unterlage Fu ausgegli chen wird. Die Kraft Fs muss also betragli eh minimal größer als FH sein, um den Körper hochzuschieben. Fs FH = G sino:, also W = Fs · s = G · sina: s Setzt man �s = sina:, also s = � �na = G · h = WH �na: ein, so folgt: W = G · sina: � Lösung:
�
·
·
·
l•\echanik 24 Die Arbeit ist also auf der schiefen Ebene gl e ich groß wie beim direkten Hocheben -gegenüber der LängereG) ausgegl Weg s i(gegenüber h) wirdKraftdurch diekeinekleinere Kraft Fs (jetzt FH chen. Man spart aber Arbeit! Auch mitKrafteinem würde man keine Arbeit sparen: Zwar ist die benötigte nur � Flaschenzug wie der Lastweg. der Gewichtskraft, jedoch ist der Kraftweg n-mal so groß Die Hubarbeit ist nur unabhängig vom Weg, aufGdemundman einen Körper in die Höhe bringt; sie hängt von der Gewichtskraft vom Höhenunterschied h nur ab! Mit einfachen Maschinen kann man keine Arbeit sparen, sondern sie sich (kleinere Kraft!) erleichtern. (Goldene Regel der Mechanik) 1 . 1 1 . 1 .2 Reibungsarbeit
F9 1 durch eine betraglieh gleich EingroßeKörper urde gegen die Glei t reibungskraft � Kraft Fs gleichförmig Längs des Weges s bewegt; dann ist die Reibungsarbeit I WR = Fs · s = F91 · s I (F1.16 b) zuDies.Reibungsarbeit ist im Gegensatz zur Hubarbeit wegabhängig, da proportional 1 . 1 1 . 1 .3
Beschleunigungsarbeit
Ein Körper derundMasseaufmdiewirdGeschwindigkeit durch die konstante Kraft FDann aus dergiltRuhe gleichmäßig beschleunigt gebracht. (vergleiche Kap. 1.4.2) für die Beschleunigungsarbeit: 1 1 1 W s = F s {1=.7) m · a · s {1.4.2) = m · a · -at2 = -m · (at) 2 = - m · v2 , also {1 .4.2) 2 2 2 IW8 � mv' l (F1.16 c) m Beispiel: m = 5 kg: v = 10 Liefert Ws = · 5 kg · (10 !!!) 2 = 250 kg sm2 ·m = 250 Nm = 250 J Die Formel (F1.16 c) gilt nur für Beschleunigung aus der Ruhe! v
·
12
S N ,.,...-A-...
s
1 . 1 1 . 1 .4 Spannarbeit
Auch zumauchSpannen einer Feder braucht man Kraft; da sichSpannarbeit. die Feder verlängert, gibt es einen Wegu, d. h. der Spannende verrichtet Man kann " nicht einfach Wspann =nachFs · sdemmitHooke' s als sFederverlängerung rechnen, daderFs Feder nicht konstant ist, sondern chen Gesetz (Kap. 1.3. 4 ) mit verlängerung immer mehr zunimmt. Abb. 1.26egtena zeigt die Kraft s-s-Diagramm, zurückgel Wegs,dasd. h.Fkonstant ist (z. B.wenn Hubarbeit mit FsFs=unabhängig G = 12 N, s vomh). =
Die physikalische Arbeit
25
2N 1 m
Abb. 1.26a
5m
7m
Geraden bei Hubhöhe 5 m bisbisWir 75betrachten 1122 NN unter 6084 JJ derHubarbeit m:m: AA1 75 mmdie· Fläche Hubarbeit bei Hubhöhe 7 m 2 =
=
·
=
=
=
=
Die Fläche im Fs-s-Diagramm unter der "Kurve�� entspricht also der ver richteten Arbeit bis zur entsprechenden Wegmarke!
Abb. 1.26 b zeigt das F -s-Diagramm beim Spannen einer Feder mit der Konstan s ten 6 N 3 N D = 8 cm = 4 cm -
-
6N
2N
Abb. 1.26b
Die Fläche bis 8 cm gibt wieder die Arbeit an, die nötig ist, um die Feder umunter8 cm1derzuGeraden verlängern: Wspann (8 cm) = -2 · 8 cm · 6 N = 24 Ncm = 0, 24 Nm = 0, 24 J Allgemein gilt für die Spannarbeit: Wspann = -21 · s · Fs (s) (1.=3.4) -21 · s · D · s, d. h. (F1.16d) Wspann = -21 D · s2 Beispiel: Eine Feder wird von der Kraft 120 N um 60 cm gedehnt. Welc he Arbeit wird verrichtet? F 120 N = 2 -;N Lösung: Federhärte D = - = s 60 cm cm --
26
l•\echanik
Wsp = -21 D · s2 =-12 2-cmN · (60 cm)2 = 3600 Ncm = 36 Nm = 36 J umDie sFormel verkürzt(F1.16 wird.d) gilt übrigens auch, wenn eine Feder zusammengepresst, d. h. Wir halten nochmals fest: Hubarbeit, Spannarbeit und Beschl evom unigungsarbeit sinddernurEndzustand vom Anfangsund Endzustand abhängig nicht aber Weg, auf dem erreicht wird. Die Reibungsarbeit ist wegabhängig. ·
Ein Körperhochgezogen. (Masse 100 kg)Wiewird eine 20Hubarbeit m Lange schiefe Ebene mit 10(fmt Höhenunterschied groß sind und Reibungsarbeit 9 0,8)? Wie groß ist die Beschl e unigungsarbeit, wenn der Körper unten die Geschwindigkeit 1 � und oben 3 � hat? Wie groß ist die Gesamtarbeit? - darf man einfach addieren? Lösung: Krai!zerlegung von G in }N und FH , Fu gle icht FN aus (Abb. 1.27). tj_ und Reibungskraft F paraLLeL zur Ebene nachundunten; die Hangabt e b F 91 zeigen H Zugkraft F paraLLeL zur Ebene nach oben muss beide kompensieren darüber s hinaus den Körper noch beschleunigen! Aufgabe:
=
10 m
Abb. 1.27
Hubarbeit: WH = G · h = 1000 N · 10 m = 104J; Reibungsarbeit: WR 1=. s · F91 = s · fgt FN = s · fgl G · coso: h Wegen -s = sma = -2 1st = 300 - a o WR = 20 m · 0, 8 · 1000 N · cos30° = 16 000 Nm - = 8000 · ·J3 Nm 13 840 J eunigungsarbeit: Von 0 auf 1 � erfordert W�1 = �2 m . v� (diese Arbeit ist Beschl bereits vor der schiefen Ebene erbracht worden.) Von 0 auf 3 ms erfordert W82 = �2 m v� - Beschleunigungsarbeit an der schiefen Ebene: Ws = Wsz - Ws1 WB = 21 · 100 kg · 9 $2m2 - 21 · 100 kg · 1 $2m 2 = 400 J Beschleunigende Kraft: Fs = Fs FH F9 t ·
.
o:
Ls
·
-
-
·
,13
�
27
Leistung Gesamte Arbeit:
Fs · s = (Fs + FH F9t) s = FH · s Man darf einfach addieren! W9es =
+
·
""-v-" WH
+
F9t · + F · =
s s s 24 240 J ""-v-" Ws
""-v-" WR
.;:
1.12 Leistung
iskann t "Arbeit prodieZeitu. Ist dieP verrichtete Arbeit proportional zur Zeit, d. h. = � const als Leistung definieren mit der WLeistung "' t, so man Konstante = 1� = 1 W (Watt) Einheit (P] Normalerweise muss man entsprechend zur Geschwindigkeit (siehe F1.4.) präzisieren: Mittlere Leistung: = �� (die Arbeit D..W wird in der Zeit .6.t verrichtet); Momentan e1stung: P im .6.utW l�t--o Für die. Momentanleistung kann man wegen .6.s .6.s .6.W Fs . = Fs · l1m ' ' = l1m l1m � � = Fs · v auc h sc h ret' b en: P = �t-.o ut �t--o .6.t �t--o ut l p F v l (F1.17) Die Momentanl ist also das wirkenden Produkt derKraft Momentangeschwindigkeit Körpers mit dereistung momentan auf ihn in Wegrichtung. eines Aufgabe: Ein Auto braucht 22 s, um aus dem Stand auf ao km;h zu kommen. Welche Kraft müsste der Motor bei konstanter Beschleunigung aufbringen, wenn die Massein900 kgersten beträgt? Wie groß iistst diediemomentane durchschnitBeschl tlicheeBeschl e unigungs leistung den 10 s? Wi e groß unigungsleistung nach 4 s bzw. 10 s? Lösung: Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung gilt: v a · t, als o 80 m ·-1 � 1,01-m2 � 1-m2 a = -v1tl = -3,. 6 s 22 s s s Beschleumgende Motorkraft: F = m a � 900 kg · 1 2sm = 900 N Momentane Beschleunigungsleistung: P = F · v = F a t = 900 N · 1 �s t; P(4 s) = 3600 �s = 3, 6 kW, P(10 s) = 9 kW .6.Ws, wobei die Beschleunigungsarbeit in den ersten Durchschnittsleistung: = .6.t 10 s gegeben ist durch D..W s = 21 m(v(10 s)) 2= 21 900 kg · (1 sm2 10 s) 2= 45 000 kg $2m2 = 45 kJ. Damit -P 4510 kJs 4.. 5 kW Also ist dieeistung Durchschnittsleistung in den ersten 10 s gerade die Hälfte der Momentanl nach 10 s. =
L •
P
�
=
=
·
=
·
·
P
·
= -- =
•
P
·
·
28
l•\echanik
1.13 Energie
Wird ankanneinemeineSystem Arbeit verrichtet,Federso istanesihrhinterher arbeitsfähig.verrichtet Beispiels weise zusammengepresste wurde Spannarbeit beim dieEntspannen eine Arbeitsfähigkeit Kugel beschleunigen, d. h. an ihr Arbeit verrichten; man sagt, Feder besitzt bzw. Energie. Energie ist Arbeitsfähigkeit. Man misst die Energie eines Systems durch die Arbeit, die es verrichten kann.
Einheit der Energie: [E] 1 J 1 Nm 1 Ws Energie beschreibt einen Zustand (ein Körper bzw. System besitzt Energie), wäh rend Arbeit einen Vorgang, d. h. eine Zustandsänderung beschreibt: Beim Über gang vom Zustand 1 zum Zustand 2 wird am Körper Arbeit verrichtet. =
=
=
1. 13. 1 Arten der Energie
(vorher) Hubarbeit am Körper Spannarbeit an Feder am Körper Beschleunigungsarbeit
Zustand hinter
Vorgang
--}
--} --}
Reibungsarbeit am Körper
--}
System besitzt Lageenergie (bei der Rückkehr zum Ausgangszustand kann der Körper wieder Arbeit verrichten) Feder besitzt Spannenergie Bewegungs- bzw. kinetische Energie (der Körper kann,Federwennspannen) er abgebremst wird z. B. eine keine mechanische Energie, Wärme
1. 13.2 Verlustfreie Speicherung von, verlustfreie Umsetzung in Arbeit
Einverrichtet Körperwerden wird ummuss.die EsHöhestellth sich angehoben, wobei di e Hubarbeit W = G ·h H jetzt dieihnFrage nach der Arbeitsfähigkeit des Körpers am oberen Punkt kann er die in hineingesteckte verlustlos abgeben, wenn er zum unteren Punkt zurückkehrt? Arbeit wieder 1. Denkmöglichkeit: Der Körper K kehrt nach unten zurück und hebt über eine Rolle aneinenK' genau zweitendienahezu gleich schweren KörperW K'! um h hoch erreibungsfreie verrichtet dann in ihn gesteckte Hubarbeit H 2. Denkmöglichkeit: Der Körper fällt frei um die Höhe h nach unten und verrichtet an sich selbst die Beschleunigungsarbeit Ws = �2 mv2 = �2 m (g t)2= (m g) (�2 g · t2) = G h = WH Also geben!wird die hineingesteckte Hubarbeit verlustfrei gespeichert und wieder abge (1 .8)
·
·
·
·
1 .8.
·
29 Damit kann man die Lageenergie rechnerisch angeben: I Etage = G h = m g · h l (F1.18a) Die Höhe h beziehtist.sich dabei auf einen festen Bezugspunkt, das "Nullniveau" NN, das frei wählbar Entsprechend werdenverlustfrei die Spannarbeit beimundSpannen einer Feder undwer die Beschl e unigungsarbeit gespeichert können dann abgerufen den, sodass also gilt: Espann =1 -12 D s und (F1.18 b) EKin = -2 mv (F1.18 c) ·
·
·
2
2
1. 13.3 Energieumwandlungen
Während wir biskannjetztmandieauch Umwandlung von Arbeit in EnergieEnergiearten und wieder inin einan Arbeit betrachteten, Umwandlung verschiedener der betrachten. 1. Beispiel: Freier Fall eines Körpers aus der Höhe h (Abb. 1.28)
� =h
@
Abb. 1.28
NN
Beim Start im Zustand {1) hat er nur Lageenergie: �� = �!�e = m g · h Im Zustand {3), d. h. am Boden hat er nur kinetische Energie: Em = E��� = m g h (siehe Kap. 1.13.2) Sei irgendein Zwischenzustand (2) betrachtet, z. B. der nach der halben Fallzeit � f:Fallr dann gilt : 2 s 2 = �2 g� = �2 g t�4all = 4� h ist der Fallweg, also h 2 = h - �4 h = �4 h die verbleibende Höhe. ·
·
i2 =
·
·
30 l•\echanik ( i:Fall) 2= m g 1 1 gt = 1 m g h, Ek{2)in = 21 mif (t2 ) = 21 m g 2 · · 4 · 2 Fall 4 E2Lage = -h43 · m · g' also Eg{2es) = m g h Die auftretenden Energien ELage und Eki wandeln sich also ineinander um und zwar so, dass die Gesamtenergie Eges = �ge Ekin stets gleich bleibt. 2. Beispiel: Beim schwingenden vertikalen Federpendel (Abb. 1.29) bewegt sich einund Massestück periodischauf.aufEin und ab; es treten Lageenergie, Spannungsenergie kinetische Energie Messversuch zeigt (v kann mit einer Lichtschranke ermittelt werden), dass sich diese fortwährend ineinander umwandeln, dass aber ihre Summe gleich bleibt: in E n � e = const ·
2
·
·
·
·
n
Ek
·
+ s n + pa
+
g
Abb. 1.29
Allgemein gil t der Energieerhaltungssatz der Mechanik: Bei reibungsfrei verlaufenden mechanischen Vorgängen in einem energetisch abgeschlossenen System ist die Summe aus Lage-, Bewegungsund Span nungsenergie konstant. Die Energieformen wandeln sich ineinander um Energie geht nicht verloren. Tritt Reibung auf, so geht mechanische Energie verloren - dafür entsteht Wärme. InSumme einemdernicht abgeschlossenen System vermehrt oder vermindert sichdemdie mechanischen Energien um die Arbeit (bzw. Energie), die System zugeführt oder ihm entzogen wurde. Bezieht manWärme sämtlein,icheso anderen Energien (chemische, elektrische, magnetische usw. ) und kann man den Energiesatz der Mechanik zum all g emeinen Energieerhaltungssatz erweitern. Aufgaben: 1) Wir greifen nochmals die Aufgabe mit der schiefen Ebene von Kap. 1.6.2 aufhatunder,denken den ist? Klotz in 10 m Höhe Losgelassen. Welche Geschwin digkeit wenn erunsunten Lösung: 1. Version (mit dem Newton'schen Grundgesetz) : Beschle unigende Kraft: Fr = 20l 7 N, Beschleunigung: a 4, 14 � (siehe Kap. 1.7) Länge s der Wegstrecke: �s = sinn- = sin� 0° = �2 ::::} s 2 · h = 20 m; =
=
31
s = � a� liefert t = \{! 3 , 11 s Also in die Fahrzeit (Gleitzeit) t 3 , 11ms; m Geschwindigkeit unten: v = a · t = 4, 14 2 · 3, 11 s 12, 87 s s 2. Version (mit Energieüberlegungen): Oben hat der Klotz die Lageenergie E(lLa}ge = m g h = 50 N 10 m = 500 = Eges(l} Unten, wohin wir das Nullniveau legen, hat der Klotz die kinetische Energie 2 EEnergie ��� = � mv = �2. Da Reibung auftritt, gilt die Erhaltung der mechanischen sondern �2 ist um die Reibungsarbeit WR kleiner als = E m - WR mit WR = F9 t · s 4, 3 N 20 m = 86 Em : Emnicht, Einsetzenr--liefert �2 mv2 = 500 J - 86 J, also v2 = 2,4145 kg und m - 828 kg "" - 12 87 V - \ 5 kg Bei dereunigung Version oder mit Energieüberl egungen erhälhandel t mant keine Aussage überbiladien Beschl die Zeitdauer vielmehr es sich um einen zierenden Anfangs- und Endzustandes; natürli ch erhält man beide Mal für v dasVergleich gleichedesErgebnis. �
�
�
·
·
·
J
·
�
ST
J
J
mz
'
S
5 kg
1
kg
1 m
Abb. 1.30
2 ) In Abbildung 1.30 kann der 5 kg-Klotz auf dem Tisch reibungsfrei gleiten und istbunden. über Seile und reibungsfrei laufende Rollen mit zwei weiteren Körpern verDas Gespann wird aus der Ruhe in der gezeichneten Lage losgelassen mit welcher Geschwindigkeit trifft der 2 kg-Körper am Boden auf? Lösung: 1. Version (mit dem Newton'schen Grundgesetz) : Das Gespann hat die Gesamtmasse m9es = 8 kg und. wird. durch dieF Kraft10 FN = G52 m- G1 = 20 N - 10 N = -- = -2 10 N nac h rec hts b esc hleumgt m1t a = kg 4 ss = 1 a�) in der Zeit m es 9 Das Gespann legt den Weg s 2 m zurück und zwar8 (wegen 2 t = Va (2$ = � V 5 m/4 = �5 Vss; es trifft also mit der Geschwindigkeit v = a · t = 45 sm2 · �5 v'5 s = J5 ms auf. 2. Version (mit dem Energieerhaltungssatz): Wir legen das NN der Lageenergie nach unten und beziehen uns (was erlaubt ist) auf die Unterkante der Körper statt =
-
=
.
s2
-
32
t>\echanik
auf deren Schwerpunkt. alle drei Körper nur m 20 (1)N 2haben Lageenergie: E�!! = 10 NIm1 skizzierten m 50 N 3Zustand m = 200 ImHöheZustand (2) (Auftreffen des rechten Körpersam Boden) hat der Li nke Körper die 3 m und die Lageenergie 30 der rechte die Höhe 0 und keine Lageenergie und mittleredieimmer die Höhe 3 m und die Lageenergie 150 alle drei Körperderhaben gesuchtenochGeschwindigkeit v, sodass E�� = 30 0 150 � ( m1 m2 m 3 ) v2 ist. Energieerhal t ung Liefert: E �!! = �� ' also 200 = 180 �2 . 8 kg . v2 . Somit 20 m v2 = -, also v = v'S4 kg s ·
+
·
+
·
J.
J,
J +
J +
J +
J;
+
+
•
J
J
J+
1.14 Impuls 1. 14. 1 Impulserhaltungssatz i:h
Bei Stoßversuchen kannMassen man untersuchen, welche Geschwindigkeiten bzw.diei12 zwei Wagen mit den m bzw. m nach dem Stoß haben, wenn 1 2 Geschwindigkeiten vor dem Stoß v1 , v2 waren. Wagen 1
I0
Abb. 1.3 1
I 0
-
V1
Fed�
)lo
wagen 2
0
I
0
Abbildung 1.31 verdeutlicht beispielsweise einen typischen derartigen Versuch, bei dem ein Wagen mit m1 = 300 g und v1 = 1p elastisch, d. h. über eine Feder auf einen zweiten ruhenden (d.Stoßh. vder2 =erste 0) derselben Masse m 2 = 300 g stößt; und man stell t fest, dass nach dem Wagenkinetische stehen blEnergie eibt (u1des= o)ersten der zweite Wagen mit u � weiterfährt. Die = 1 2elastischen Stoß vollkommen auf den zweiten über, der Wagens geht bei diesem Energieerhal tungssatz ist alsonachhierdemerfülStoß lt - erzu!Ließe aber auch andere Möglich keiten der Energieverteilung " (z. B. Knetmasse) und wiederholt dann Ersetzt man di e Feder durch Klebstoff " den Versuch beidiesem m1 =total 300 g, v1 = 1 7, v2 = 0, so ist das Ergebnis völli g m2 =unel anders bei astischenu 1 =Stoß hinterher beide Wagen gemeinsam mit der Geschwindigkeit u2 =fahren 0, 5 7 weiter. Hier bleibt die kinetische nicht erhal1 ten: ( m) 2 1 voE r = Ek(lin)vorEnergie = -2 · m1 · v21 = -2 · 0 , 3 kg · 1 -s = 0, 15 Enach = .-f:>nach E(2)nach = � ( m1 m ) . (V1 ) 2 ,. a ls o 2 2 tkm kln 2 Enach =-21 2 m1 · -vi4 = -41 m1v21 = 0, 075 =-21 !"Yor d. h. 50 % der mechamschen Energie geht verloren nämlich in Form von Wärme (innere Reibung beim Zusammenpressen der Kl-e bmasse). 9 e:s
+
g es 9e:s
·
+
J;
J
L g e:s ,
·
33 Beide Versuche zeigen, bzw. dass ungeeignet der Energiesatz für die Behandlung von Stoß problemen nicht ausreicht sein kann! Wir nehmen gemäß Abbild ung 1.32 auf Wagen 1 die Kraftan,F1dassund während auf Wagendes2 Stoßkontakts die Kraft F2 wirkt. Impuls
Fl-+-1-�
..._ �
Abb. 1.32
Wagen 1
Wagen 2
..-----.,.o ...-� � a
� a ...-___" -- o ...-�
I
F2
•
DannMitgildemt: F1Newtonsehen - siehe Kap.folgt1.3.5) = - F2 (actiojreactio Grundgesetz (1. 7) für die Beschl e unigungen der Wagen: mdie1 ät Definition = -m2 · ä2 der Beschleunigung (Kap. 1.4.4) ergibt sich für die Über Geschwindigkeitsänderungen: (.6.ii) 2 (.6.V) 1 = - m2 � m1 · � Wegen .6.ii = vorher): ii (Geschwindigkeitsänderung nachher Geschwindigkeit m1(ü1 - v1) = - m2 (ü2 - Geschwindigkeit v2 ) Schli eßlich folgt: m1 1 m 2 Ü2 = m1 ii1 m 2 v2 (F1.19) Gl=eichung Legt di[pe] Definition Größe nahe, des Impulses m mit(F1.19) der Einheit = 1 kg · � =einer1 Ns;neuen damit erhält (F1.19) die Gestalt: der Impul P1 pn2 = pvor1 p2 (F1.20) blDieeibtVektorsumme beim Stoß erhal ten. se Die Impulserhaltung gilt aber nicht nur für Stöße, sondern allgemein in impuls mäßig abgeschlossenen Systemen, d. h. solc hen, in denen nur innere Kräfte wirk sam sind (d. h. solche, die zum System gehören). ü-
=
·
ü +
·
·
nach Stoß
j5
·
::'!lach
+
v
ach
+
vo r
+
·
vor Stoß
f-
Impulserhaltungssatz:
Die Vektorsumme der Impulse p; = m; ii; eines impulsmäßig abgeschlossenen Systems ist ein zeitlich konstanter Vektor, der Gesamtimpuls p : 2:::: m;ii; (t1) = 2:::: m;ii; (t2 ) = . . . = p (L bedeutet Summe) i i ·
...
Unterschiede zum Energieerhaltungssatz:
1)Stoß),Impulserhaltung gil t auch bei inneren Reibungskräften (z. B . unelastischer Energieerhaltung nicht. 2) Der Impuls ist eine Vektorgröße (gilt auch für schiefe Stöße), die Energie ist ein Skalar.
34
t>\echanik
1.14.2 Ballistisches Pendel
Zur der Geschwindigkeit vschweres eines Geschosses: DasSandsack), Geschoss derin dem Massees mstecken undBestimmung Geschwindigkeit v tri fft auf ein Pendel (z. B. bleibt; danach schl ä gt das Pendel mit dem Geschoss um o: aus (Abb. dem 1.33 a, b). Es handelt sich um einen völlig unelastischen Stoß - direkt nach Stoßo haben Pendel und Geschoss die gemeinsame Geschwindigkeit M m + mit m v p-v r ::'l'lpach m u-+ M u-, d h -m -u =
·
ges =
ges
m
=
·
·
•
•
-
v=
V
u
M
vor dem StoßG)
direkt
d
�®
�
3
fh
,.
nach dem Stoß@
--m+M
Abb. 1.33a
·
-
-
".. .. �
ü
Bisher man wurde der(sowieImpulserhal tungssatzBeimbenutzt; man kanndesalsoPendels v bestimmen, wenn m, M) kennt. Ausschwingen gilt der Energieerhaltungssatz: E��� ��e' also � (m M) u2 (m + M) g h bzw. u = \� Die Höhe h lässt sich schld echt messen, weil sie klein ist; aberl -überh d und l folgt (Abb. 1.33 b) gemäß L sino: der Winkel und über -l- coso:, d. h. hPendell(1ist- coso:) ergibtfallsicheinesrechnerisch h und damit u und v! Das ballistische ein Spezial geraden Unelastischen Stoßes. IT
+
=
=
·
·
=
=
·
n:
=
f h
Abb. 1 .33b
1. 14.3 Unelastischer Stoß
Nach einem Unelastischen Stoß bewegen sich die Stoßpartner mit der gle ichen Geschwindigkeit weiter.verloren. Der Energieerhal tungssatzdesderStoßes Mechanik giltdernichtImpul- ess geht kinetische Energie Zur Beschreibung genügt satz: m1 v1 + m2 v2 m 1 + m2 also ·
·
=
·
IT
· IT
35
Impuls
1.14.4 Gerader elastischer Stoß
Beim völlig elastischen Stoß gilt zusätzlich zum Impuls erhaltungssatz der Ener gieerhal ungssatz der Mechanik. Man hat also für die beiden Unbekannten i12 zwei Gletichungen: m1il1 + m2il2 = m1 · i11 + m 2 · i12 (a) 1 v12 +-m 1 2v22 =-mtu 1 21 +-m 1 2 u22 (b) -m1 2 2 2 2 Da ein gerader Stoß betrachtet wird, bewegen sichdieser. alle Man Stoßpartner aufVektor einer Geraden, ihre Geschwindigkeiten sind parallel zu kann den charakter berücksichtigen, dass man vereinbart, die vonassen il1 , ilund 2 , i11,allei12nachdadurch Pfeil e wegzul rechts zeigenden Geschwindigkeiten positi v , die anderen negativ zu rechnen; dann wird aus (a) m v v u u bzw. + m + m = m 1 1 1 1 2 2 2 2 m1(v1 - Ut) = m 2 (u2 - v2) (a') (b) Lässt sich umformen zu % m1 (� - uD = � m 2 (u� - vD bzw. m1(v1 - Ut)(vt + Ut) = m2 (u2 - v2)(u2 + v2) (b') Eind. h.echter Stoß Lässt die Geschwindigkeiten der Stoßpartner nicht unverändert, u2 +Vtv2-(c)u1 o, u2 - v2 o; Division von (b') durch (a') LiefertUtdannVt,v1u+2 u1v=2 bzw. Auflösung von (c) nach u 2 Lie-fertm1u1u 2 == v1m + Ut - v2 (c'), v Einsetzen in (a) Liefert m1v1 (v1 + Ut v ) m bzw. 2 2 2 2 v ). m1v1 - m2v1 + 2 m 2 2 = m1u1 + m2 u1 (c" Damit ergibt sich u1 (und entsprechend u2) wie folgt: u1 = 2 m 2v2 m+l (m+ 1m-2 m 2)v1, u2 = 2 m1v1 m+l (m+ 2m-2 m 1)v2 (F1.22 a, b) Aufgaben: 1} Zwei Wagen (Massen 200 g bzw. 400 g) fahren mit den Geschwin digkeiten(Betrag/Richtung) 5� bzw. 2� geradehabenaufeinander zudem(Abb.Stoß,1.34). Welche Geschwindig keiten sie nach wenn dieser vollkommen elastisch bzw. total unelastisch ist? i:it ,
=/=
Abb. 1.34
Lösung:
=/=
=/=
I0
jV11 5 mts
I 0
m 1 = 200 g
=/=
=
)t
lv21
=
•
2 m/s
I0
I
0
� = 400 g
v1 = 5 � , v2 = -2 � (Vorzeichenkonvention)
36
t>\echanik
Elastischer Fall:
g - 400 g) . 5 !!!s u1 - 2 . 400 g (-2!!!200s ) +g (200 + 400 g -1600 g ms - 1000 g ms = - -13 m : 600 g 3s g - 200 g) (-2 �) -8m u 2 · 200 g 5 � + {400 3s 600 g Der erste Wagen fährt also nach dem Stoß nach li nks, der zweite nach rechts. Unelastischer Fall: Mit der Vorzeichenkonvention gilt nach (Gl. F1.21): u = 200 g 5ms +600400g g · (-2ms ) = 200600ggms =-31m-s Beide fahren nach dem Stoß zusammen nach rechts. 2) Gerade elastischer Stoß gegen einen viel schwereren ruhenden Stoßpart ner, z. B. gegen ruhende Wand {Abb. 1.35) _
2
-
-
·
_
_
-
·
1'11:1 -
m1
v1
•
-
u1
.....
� •
�
Abb. 1.35
Zahle nbeispiel: m1 = 1 g, = 10 kg, v1 = 1 -ms , = 0 g ms -- - 9999 m '"" -V1 1 -- 2 · 10 kg · 10 kg+ (1+ 10g -kg10 kg) · 1ms -- -9999 10 001 g 10 001 s "' (10 kg - 1 g) · O - 2 m '"'-' 0 u2 - 2 · 1 g · 1!!!s 10+ 001 g 10 001 s ""' Die Wand bleibt nahezu in Ruhe, die Geschwindigkeit des Körpers 1 kehrt sich um Energien: = 2 1 g ( 1 !!!s ) 2= 5 10-4 ' 1 1 g ( 9999 m ) 5 . 10-4 = 1:1yor. 2 10 001 Ek. = -21 · 10 kg (102001m s) = 2 · 10 0 v2
m2
U
p�r km
p�ach km
2nach m
1
=
·
_
·
.
J·
·
.
_
·
2
S
J
�
2
-7
J �
'i<m '
37
Impuls
Impulse: m m 1 g 1- 1 g-. p tnach - 1 g m m 2 m 2 gP�ach 10 kg 10 001 s s Die Wand übernimmt nahezu keine Energie, aber den doppelten Impul s , den Körper 1 vorher hatte! pvor = ges
.
S
�
=
S
'
S
=
·
�
1.14.5 Schiefer Stoß gegen ruhende Wand
Wir zerlegen die Geschwindigkeit v von Körper 1 in Komponenten 'Vp und lis parallel und senkrecht zur Wand (Abb. 1.36). Von der Wand wirkt beim Auftreffen eine Kraft F auf Körper 1, die senkrecht zur Wand ist ( Reibungsfreiheit voraus gesetzt Stoß Zu diskutieren bleibtderdannGeschwindigkeit ein gerader Stoßändert mit Vssichaufbeim die Wand. nicht: Üp) . DievP.Parallelkomponente Falls dieser elastisch ist, gilt Üs = -Vs und damit l i11= l VI } = ( Das Reflexionsgesetz ist also erfüllt) Falls der gerade Stoß unelastisch ist, ist l i1s i < I 'Vsl (Abb. 1.36}, damit llil < lvl und ,8 Es geht kinetische Energie verloren/ der Reflexionswinkel ist größer als der EinfallswinkeL =
n:
> n:
Abb. 1.36
,t3
38
t>\echanik
1. 14. 6 Kraft und Impulsänderung, Kraftstoß
Wirkt auf einen Körper der Masse m während der Zeit .6.t die Kraft F, so gilt: -F m · -a m D.v m.6.v .6.p also .6.t .6.t D.t' -F .6.p, genauer -F hm. .6.p p (F1.23 a, b) .6.t ll.t-+o .6.t =
=
=-
· - = -- = =
- =
�
Kraft = Impulsänderung pro Zeit bzw. Kraft ist die zeitliche Ableitung des Impulses.
Formt man (F1.23 a) um, so folgt: I F .6.t D.pl (F1.24) Das Produkt F · .6.t heißt Kraftstoß. GL. (F1.24) besagt dann, dass der Kraftstoß F · .6.t, der auf einen Körper in der Zeit .6.t wirkt, dessen Impuls p um .6.p ändert. Beispiel: Durch ein gebogenes Rohrstück wird fli eßendes Wasser umgeleitet (Abb. 1. 3 7). Beim Eintritt oben zeigt der Impul s Pt einer Wassermenge nach unten, beim Austritt zeigt der Impuls derselben Wassermenge nach rechts. .
=
P2
Impulsänderung: D.p P2 - Pt bzw. Pt D.p P2 Diese Gl e ichung ist vektoriell zu Lesen; der resul t ierende Differenzimpuls D.p zeigt nach obenRohrwand. (Abb. 1.37), die Kraft Fwvom MWasser auf dasaufWasser ebenfalls - sie schräg kommt von der Die Gegenkraft das Rohr zeigt schräg nach unten sie bewirkt, dass das Rohrstück nach L i nks ausschwenkt, wenn es oben in einen befestigten Schlauch übergeht. . .6.(m .6.p Formel (F1.23 a) F .6.t .6.t v) beinhaltet für zeitl i ch konstantes m (fester Körper) das Newton'sche Grundgesetz -F m · .6.\i const .6.t m · ä. Ist dagegen und m ändert sich, so folgt aus (F1.23 a) die Gleichung j i' Ll.m .6.t vj (F1.25) Abb. 1.37
=
=
+
=
=
=
=
Ii =
=
.
39 GL. der(F1.25) Raketengleichung" interpretiert werden. Bei der Rakete wird ingegenüber Zeitderkann lltRakete dieals "Gasmasse �m(Abb.ausgestoßen undmussaufdiese die Geschwindigkeit v gebracht. 1.38) dazu Gasmasse die Kraft F gemäß (F1.25) von der Rakete erfahren. Die Gegenkraft F' wirkt auf die Rakete und treibt sie an. Impuls
F'
�
Abb. 1.38
( �
�
-----
�m
F
�
1) Ein800�Geschoss der Masse Wie 20 ggroß verlässt denRückstoßgeschwindigkeit Lauf eines Gewehrs der Masse 4 kg mit Geschwindigkeit. ist die des Gewehrs? 0,1s abfängt?Welche Kraft hat der Schütze auszuhalten, wenn er den Rückstoß in Lösung: Impulserhaltung Liefert: m Pges = 0 = P ges = m1 U1 + m2 · u 2 m1t m1 = 20 g, m 2 = 4 I
=vor
_
-nach
-
-
•
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
40
t>\echanik
Abb. 1.39
. a = mFs = 87 . 101034 kgN = 708 sm2 = 8, 75 sm2 Beschle umgung: ·
1.15 Die Kreisbewegung 1. 15. 1 Zentripetalkraft und Zentripetalbeschleunigung
Man denke sich eineDasHolSeilzkugelwirdanüber einemeineSeilHülse befestigt und1.40)in einem horizontalen Kreis geschwenkt. (Abb. nach unten umgeim lAlltag e nkt undmeistmitfälschl einemicherweise Kraftmesserals verbunden. Dieser zeigt eine Kraft an, die Riehkraft bezeichnet wird. Tatsache ist, dass auf die Hol z kugel der Masse m dauernd eine Kraft F wirkt, die stets lul Mittel punkt des Krei s es gerichtet i s t (Zentripetalkraft) und deren Betrag F zeitlich konstant ist,en Grundgesetz wenn man erfährt die Kugeldie glHoleichmäßig kreisen lässt.eine GBeschläß edem Newton'scl}. z kugel auch dauernd uni gung ä �; auch sie ist stets zu rr,_ �ittelpunkt gerichtet (ZF,��tripetalbeschleu nigung) und ihr Betrag l äl = � 1 Fl ist ebenso wie der von 1 Fl zeitlich konstant. =
·
F
--
--
Hülse -
Abb. 1.40
�\
ä /
Die Momentangeschwindigkeit v = �t-->0 li m L..l" tsist in jedem Augenbli ck tangential zur Kreisbahn gerichtet; dies erkenntdieman,Kugelwennfliegtmandannz. B.tangential plötzlichweiter! mit einer Rasierkl i nge die Schnur durchtrenntDer Geschwindigkeitsbetrag lvl ist zeitlich konstant. (Abb. 1.41). /).-
41
Die Kreisbewegung
Abb. 1.41: Sicht von oben
Esgeradl handel t sich nicht um eine gl e ichförmige Bewegung, da die Bewegung nicht i nig istdaundes dauernd eineeKraft wirkt;gibt,es handelt sich umum eine beschleunigte Bewegung, eine Beschl unigung aber nicht eine gleichmäßig beschleunigte, da ä dauernd die Richtung ändert! DiedieBeschl eunigung besteht hier während nicht darin,IVJ gldasseichl VIblgeändert wird,1.4sondern es wird Richtung von geändert, e ibt (Abb. 1): -a .ßV m1t .6.tes nun diese Fliehkraft? Nein! Damit überhaupt ein Körper eine Kreisbewe Gibt gung ausführt, muss auf ihnvonständig eine zum Kreismittelpunkt M gerichtete Kraft wirken und ihn dauernd der geradl i nigen Bahn "abbringen"; ohne diese Zentripetalkraft würde er die Kreisbahn sofort tangential verlassen und sich gleichförmig nach dem von Trägheiaußen tssatznicht! fortbewegen. existiert somit bei dieser Betrachtung (VergleicheEinedazuF/jehkraft auch 1.17.) =-
.
-
V1 +
'J D.V
Ii
-
= V2
1. 15.2 Größe der Zentripetalkraft fz und der Zentripetal beschleunigung az
Wir nehmen.6.tnäherungsweise an, dass während der kleinen Zeitspanne als Überlagerung einerman(Abb.die1.Kreisbewegung 42) 1.2. einer gleichförmigen Bewegung in x-Richtung mit Geschwindigkeit v und gl e ichmäßig beschleunigten Bewegung in y-Richtung mit Beschleuni gung auffassen kann (stimmt nicht ganz, da während .6.t die Richtung äz äz ändert, stimmt aber für 1.6.t o). Dann gilt: s v .6.t (I) und h 2 az ' (.6.t) (II) =
·
=
�
2
42
t>\echanik X
yr
-
-
B
V
a"
s
I I
M
I I I
r
I I
A
Abb. 1.42: Sicht von oben
azdasswirCd auf dadurch festgelegt, dassDannanists undDreieck h dieACBgeometrische Forderung ergeht, dem Kreis Liegt. rechtwinklig und nach dem 2 (2 r - h) h (III) Höhensatz (Höhe ist s!) gil t : s Einsetzen von (I) und (II) in (III) liefert: v2 · (.6.t) 2 (2 r - 21 az(.6.t) 2) · 21 az(.6.t)2 bzw. v2 2 r · 21 az - 41 a2z · (.6.t)2 DaGrenzübergang unsere Überldurch egungenund sowieso nur für .6.t � 0 stimmen, führen wir diesen 2 erhal ten: v r deraz Zentripetalbeschleunigung az und Damit folgt die Formel zur Berechnung der Zentripetalkraft m · az: az vr2 Fz mvr 2 (F1.26) Messversuche bestätigen die Formeln. =
·
=
=
=
·
Fz =
=-l
=-
1. 15.3 Begriffe und Größen bei der Kreisbewegung Umlaufdauer T gibt die Zeit an, die ein Umla uf dauert; die Drehfrequenz f gibt dieDie Zahl der Umdrehungen je Zeit an. Man erkennt Leicht, dass lf - j I (F1.27) 5 gilt (z. B. 5 Umdrehungen in 10 s � T 2 s, f -- _.!._ ! Hz), die Einheit 10 s 2s 2 von f ist [f] 1s 1 Hz (Hertz). =
= -=
=
=
=
43 Die Winkelgeschwindigkeit Kreisfrequenz) ingibt10dens heißt überstrichenen Winkel (im Bogenmaß) je Zeit an (z.(auch B.2 1i 5 Umdrehungen 360 = 2 n 2 s, also w == -s � 3,14 Hz) 2 s Zusammenhänge: Bei jeder Kreisbewegung wird in der Zeit T der Winkel 2 1i überstri eh en, also I w 3-f- 2 ml (F1.28) 2 1ir = · r = 2 · r (F1.29) Gesch W1n. d"1g ke1t. = UKreisumfang v =m laufdauer T Aufgaben: 1) Bei einer Kreisbewegung sei m = 2 kg, r = 80 cm und es finden 12 Umdrehungen in 8s statt. Wie groß sind f, T, v, az , Fz ? 12 3 1 2 . Losung: f =- =- Hz:. T =- = - s; = 2 1i · f = 3 1i Hz � 9,42 Hz; f 3m 8s 2 v = · r = 3 n Hz · 0.2. 8 m = 2, 4 n-s � 7,. 54 -ms az = -vr2 ::::.::: (7,054: 8mm/s) � 71, 06 sm Fz = m · az = 142 : 12 N 2) EinScheibe. Gummipfropfen liegtdieim Drehfrequenz Abstand r vommaximal Mittelpunkt auf einerer lisich den Wie groß darf sein, damit egendrehen bleibt? Lösung: Dreht sich die Scheibe langsam, so macht der Pfropf die Kreisbewegung m = m . (2 nrf)2 = m · 4 2 r · .m1t; d"1e notwend"1ge Zentnpeta . lkraft Fz = -r sich schneller r dreht, wird ligrößer; efert diedie Haftreibungskraft Wenn die Scheibe Haftreibungskraft ist aberaufgebracht höchstens werden Fh =kann Kap. 1.6), fh · G- (siehe sodass irgendwann Fz nicht mehr dann fl i egt der Pfropf tangential weg! " Bedingung für "Liegenbleiben : Fz Fh d.h. m 4 n2 · r · fh · g · m bzw. f J4fhn� g. r Die Wurzel stellt kritische unabhängig von derdieMasse m ist.Drehfrequenz dar, man sieht, dass das Ergebnis 3)beiWeleinercheHaftreibungszahl Geschwindigkeitvondarffeinh = Auto in einer ebenen Kurve von 100 m Radius 0, 5 höchstens haben, damit es nicht schleu dert? Lösung: Die Haftreibungskraft liefert die erforderliche Zentripetalkraft, also muss gelten: Fz 2 Fh Damit m r· v fh · m · g bzw. m km v 1fh · g · r h=ier y. f0, 5 · 10 sm2 · 100 m = �m soo 5 � 22,36 s = 80, 5 h Die Kreisbewegung
co
0 ;,
1f
m •
�
�
7rf
w
co,
w
w
2;
.
v2
1r
, m!l.X
s;
, IDAX '
s;
--
s;
\
·
f2 s;
s;
, m!l.X
s;
r-
v
.
•
.c2 r-
Fz
t>\echanik
44 1. 15.4 Vertikale Kreisbewegung
Während beisodass der horizontalen Kreisbewegung derist,Körper immerer beiaufderdervertikalen gleichen Höhe kreist, seine Lageenergie konstant verändert Kreisbewegung dauernd seine Höhe und damit auch seine Lageenergie. Wenn keine äußere Arbeit amGesamtenergie Körper stattfindet (diesE ist z.EB. derkonstant; Falt, wennErhöhung er an einer Schnur kreist), ist die E von i n la k 9es ge Edigkeit aL ge gehtlv also auf Kosten von E i n und umgekehrt. Daher ist dann die Geschwin k l nicht mehr konstant, sondern maximal im tiefsten Punkt und minimal im höchsten. Aufgabe: Wir betrachten die Todesspirale von Abbild ung 1.43 mit Radius r 6 m. Wie schnell muss das Auto im obersten Punkt mindestens sein, damit es die Spirale durchfahren kann? WieKraftgroßwirkt ist dann imvonuntersten PunktaufdiedasGeschwindig keit des Autos und welche dann der Spirale Auto? Aus welcher Höhe h müsste das Auto dafür tosrotten? +
=
=
Abb. 1.43
Wenn das Auto in B gerade nicht fäLLt, muss die Gewichtskraft gerade die erforderl Liefern, d. h. m km m v82 =iGche Zentripetalkraft 9 27 � 7, 75 . : g bzw. v8 m h Dardie Gesamtenergie gleich 1bleibt, gil1t: s E9es d. h. m · g · 2 r 2 mv28 2 mv2 m km Also ist v� v� 4 gr = 5 gr, somit = y'5'"9r 17.32 62,4 . s h Lösung: ·
B
=
=
=
--
E9es, C
=
+-
+
=
=-
Vc
-
c
�
=
-
�
45 Imaufuntersten Punkt wirkt G nach unten und die Kraft K von der Spirale nach oben das Auto die Gesamtkraft tripetalkraft Liefern2 (nach oben)! aus beiden muss gerade die erforderliche Zen K - G = fi = mvr also K = G + � = m g + -mr 5 gr = 6 m g, d. h. K = 6 G (sechsfache Gewichtskraft) Starthöhe: Nach dem Energieerhal1tungssatz müsste Elage E n sem: d5. h . hmier g h = .2 m v2 21 m 5 gr . te h 2 r 15 m sem. Dam1't muss Die Kreisbewegung
_c,
A
=
ki
C
·
•
=
-
=
·
·
·
c =
·
·
·
·
1. 15.5 Arbeit bei der Kreisbewegung
Bei deraufhorizontalen Kreisbewegung mit betragli eh konstanter Geschwindigkeit wirkt den kreisenden der Masse mFz.alsInResul dieicknachist FzM (Kreismittelpunkt) gerichteteKörperZentripetalkraft jedemtierende Augenbl senkrecht zur tangentialen Momentangeschwindigkeit v Li m .6.ut" -s und damit auch zu .6.5. Da alFssoin diWegrichtung e Kraft dauerndalsosenkrecht zum Weg ist, gibt es keine Kraftkomponente wird keine Arbeit verrichtet. Dies steht im Einklang mit der Energieerhaltung: l VI und damit �in �2 mv2 sind konstant. Bei kderomponente vertikalen Kreisbewegung zerlegen wir die Gewichtskraft in eine Tan gential F;. und eine Radialkomponente F;, zusätzlich kommt noch die radial e Kraft K des Seil s ins Spiel (Abb. 1. 4 4). K und F:. ergeben zusammen die radiale senkrechtZentripetalkraft, zu v sind. d. h. � K + F;, verrichten aber keine Arbeit, da sie =
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�t->o
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m
Abb. 1.44
Nur die Tangentialkomponente � beschleunigt (Abwärtsbewegung) bzw. bremst (Aufwärtsbewegung) den Körper, h. verrichtet Arbeit, indem sie lvl verändert. Ä nderung von jvj Lässt sichd. mithil Diese f e des Energiesatzes ermitteln (siehe Aufgabe in Kap. 1.15.4). Zusätzliche Arbeit von außen kann über eine Stange erfolgen, die (im Gegensatz zum Seil) tangentiale großen Kräfte vonTrommel außen, dieübertragen kannwaagrechte (z. B. in einemAchsevertikalen Volksfestrotor-einer sich um eine dreht der Fall, wenn die Konstanz von !V oben und unten - erzwungen wird!) I
-
46
t>\echanik
1. 15.6 Weitere Beispiele zur Kreisbewegung 1 . 15. 6. 1
Drehfrequenzregler
ZweiundKugeln sind überwerden Stangen der Länge L undAchsenstange ein Gele nk (über das dieseum Stangen auf ab bewegt können) an einer befestigt, diedesto sich die ganze Anordnung dreht (Abb. 1.45). Je größer die Drehfrequenz f ist, "höher ab? steigen" die Kugeln, d. h. desto größer ist der Winkel a. Wie hängt a von f Achse
Abb. 1.45
Auf jede Kugel m wirkt ihre GewichtskraftdieG senkrecht nach unten undF1 F vonFderderMasse die Kraft Stange in Stangenrichtung, wir in Komponenten (vertikal ) und (hori_ z ontal) z�L e gen (Abb. 1.45}; Wenn sich ein Gl e ichgewicht 2 und F2 muss gerade die Zentripetal eingestell kraft Liefern,t hat,d. h.muss F1 gerade mvG ausgleichen F1 G m · g und F2 Fz r 2 mr (2 mf). 2 m4 r . -r (2) Trigonometrisch gilt: tana -FF21 m4mg-rr2 rf2 4 -rrg2 rf2 (1) und smo: L 22 2 2 . . . von (1) durch (2) Ll.efert: tana D1V1s1on .sma 4 -rrg rf· r l bzw. coso:si no:smo: . 4 w gf l und damit coso: 4 w2gf2 . l (F1.30) ist derbeispiel gesuchte cmGL. (F1.30) ergibt sich s2 weiseZusammenhang zwischen o: und f! Für f 1,4 Hz, L 20 coso: 4 (11o4.!m;.s) 2 ·0 2 m 0, 646. d . h. 49,75 ° =
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Abb. 1.46
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47 InDrehachse Verbindung mitodereinerweniger Hülse,verschl die einießen Loch kann in der(Abb. hohle1.n,46),dampfdurchströmten mehr kann mankonstant so die Drehfrequenz einer Dampfturbine, auf der der Drehfrequenzregl e r steckt, halten:derDrehtDampfdurchzug sie sich zu schnell so gehen diedie Kugeln verschli eßen das Loch, wird ,behindert, Drehungnachwirdoben, La ngsamer. Die Kreisbewegung
1. 15. 6.2 Radfahrer
in der Kurve in Schräglage
Bekanntl i ch kippt ein Radfahrer, der eine Kurve ohne Schrägl a ge nehmen will nach außen weg; um welchen Winkel muss er sichseineneigen, umtskraft gut durchzukom.: men? Auf den Radfahrer wirkt im SchwerpunktS Gewicb_ (samtUnterlage Rad) G nach unten (Abb. 1. 4 7). Im Auflagepunkt A wirkt die Kraft Fu von der senkrecht nach oben sie häl t G das Gle ichgewicht. Außerdem wirkt die Haft F hierende reibungskraft nach rechts-sie stellt die Zentripetalkraft Fz für die Rechtskurve dar. Die Resul t F von Fh und Fu muss in Richtung des Schwerpunkts S zeigen, sonst kippt der Radfahrer um S (nach innen oder außen).
Abb. 1.47
�
Damit gilt: Fu = G = m · g, Fh = Fz = m ·r � und tana = -Fu = r m�m g, also B (F1.31) GL.Kurvenradius {F1.3 1) beschreibt also, welchen Winkel n: der Radfahrer bei gegebenem r und gegebener Geschwindigkeit v gegenüber derfh�Vertikalen einFu nehmen muss. Da aber Fh :::; Fh, = fh Fu ist, folgt tann: :::; ; man erhält also die Zusatzbedingung I tann: :::; fh I (F1.32), die angibt, ob d1e Haftreibung diesen Winkel erlaubt! So wäre z. B.2 für r = 20 m und v = 5 ms der Winkel n: = 7,1° zu wähle n, denn tana: = 2025mm· /10s2 = �.8 Voraussetzung, dass die "Straße mitmacht'', ist allerdings fh �! --
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52
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48
t>\echanik
1.16 Hjmmelsbewegung und Gravitation 1. 1 6. 1 Geozentrisches Weltsystem
Zur Beschreibung der Bewegung der Himmelskörper wurde zunächst das auf Aristoteles (350 Chr.) und Ptolemäus (150 n. Chr.) zurückgehende geozentri sche Weltsystem herangezogen, das ca. 1500 Jahre Lang Bestand hatte; es beruht auf folgenden Annahmen (Abb. 1.48): v.
•
weitere Planeten und Fixsterne
: 1. Die Erde ruht im Zentrum. Sonne, Mond, Planeten und Fixsterne kreisen auf Halbkugeln (Sphären) um die Erde. 2. Die Sphären sind undurchdringli ch. 3 . Aus ästhetischen und philosophischen Gründen sind nur Kreisbahnen mögli ch. 4. Himmelskörper und Sphären bestehen aus dem 5. Ele ment Himmels-Äther (Elementenlehre Luft und Feuer). des Empedokles: Es gibt vier irdische Elemente Erde, Wasser, Einä ngeren ProblemZeitraum war diemanche ErklärungPlaneten der Tatsache, dassdenbeiFixBeobachtung über einen Lsatzbewegungen gegenüber sternen eigenartige Zu " , Schleifen) ausführen. offensichtlichen Widerspruch zur 3.("Rückläufigkeit Hypothese erklärte Ptolemäus mit seinerDiesenEpizykel theorie: Abb. 1.48
Abb. 1.49
Himmelsbewegung und Gravitation
49
Der Mars kreiTrägerkreis st auf einemum kleinen Kreikreist s (Epizykel), dessen MittelpunktS auf einem größeren die Erde (Abb. 1.49) . Die Überlagerung dieser beiden Kreisbewegungen L i efert tatsächl i ch Schlei f en und Rückl ä ufigkeit! Dasscheint geozentrische Weltbild entspricht offenbarsiedemauchWortlaut der Bibel. Den noch die Epizykel t heorie, so raffiniert ist, etwas künstl i ch. Außerdem müssten die Epizykel ja die Sphären schneiden offenbar ein Wider spruch zur 2. Hypothese. Darüber hinaus entdeckte Gali le i (1564-1642) mit einem selbst konstruierten Fernrohrschien, auf dass dem dieMondMondGebirge wie auf dergrund Erde, was der Theorie zu widersprechen und Erdmaterie sätzlich verschieden sein sollten. 1 . 1 6.2 Heliozentrisches Weltsystem
Bereitsunakzeptables Kopernikus (1473Gegenmodell - 1543), Domherr in Ostpreußen, hatte ein für die Kirche völlig vorgestellt, das heliozentrische Weltsystem. Danach gilt (Abb. 1.50):
•
Abb. 1.50
e •
Jupiter, Satum (Uranus, Neptun, Pluto)
Die Erde dreht sich täglich einmal um ihre Achse - die tägli che Bewegung der Gestirne ist also nur scheinbar. 2. Die Sonne ruht im Zentrum; alle Planeten einschli eßli ch der Erde bewegen sich auf Kreisen um die Sonne (Umlaufdauer für die Erde: 1 Jahr). 3 . Der einzige Körper, der um die Erde kreist, ist der Mond (Umla ufdauer: 1 Monat). Auch mit Mars dem und heliozentrischen Welsichtbilbeide d Lässtumsich die rückläufige Bahn des Mars erklären: Erde bewegen die Sonne, aber mit verschiedenen " den Mars innen, wodurch dieser von der Erde Umlaufzeiten. Die Erde überhol t " aus gesehen rückwärts Läuft. 1.
1 . 1 6.3 Keplersche Gesetze
Obwohl alsdasdasheliozentrische Weltbild einfachere Rechnungen zu ermögl ichen scheint geozentrische Wel t bild, sprachen die astronomischen Messwerte oftmals für die geozentrischen Rechnungen. Dies Lag zum einen an den erstaun-
50 t>\echanik lieh allem raffinierten mathematischen MethodenSystem einesnochPtolemäus, zum anderen und vor daran, dass das hel i ozentrische von Kreisbahnen ausging. Mit der Keplerschen trischen Rechnungen Ersetzung sehr präzise.der Kreise durch Elli psen wurden die heli ozen 1. Keplergesetz: Die Planeten bewegen sich auf fast kreisförmigen Elli psen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Keplergesetz: Der von der Sonne zum Planeten gezogene Fahrstrahl über streicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Abb. 1.51 a).
Abb. 1.51a
Dies besagt, die Uml ufgeschwindigkeit umso größer ist, je näher er an derdassSonne ist. aDieses Gesetz heißt desauchPlaneten Flächensatz. 3. Keplergesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier beli ebiger verhalten sich (Abb. 1.51 b) wie die 3. Potenzen der großen Halbachsen aPlaneten 1 und a2 ihrer Bahnellipsen Ti - � - 11 - - const - C (F1.33) a31 a23 a33 _
_
_
Abb. 1.51b
(1 Jahr) 2 3 3 . 10 25 Jahr3 D1e. Konstante hat den Wert C Ta�2Erderde (150 Mill km ' i onen km) der Mars mit a�lars 228 Milli onen km hat die Umlaufdauer = Je · a�la rs 1, 88 Jahre. =
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TMars
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1 . 1 6.4 Planetenbewegungen
Die ErklärungüberderKräfte. Planetenbewegung erfolgte schli eßli ch durch Newton (1643-1727) Er ging davon aus, dass die Planeten nur deshalb auf kreisähnlichenkonnte Bahnennur umvondieder Sonne laufen, weil Zentripetalkraftzeigen, auf sieer wirkt-diese Sonne kommen und eine in Sonnenrichtung
51 nannte sie Zentralkraft. Geht man von Kreisen statt ELLi psen aus, gilt für diese Zentratkraft F: 2 et = m pt . (2 nrpt) = m pt . 4 . rpt . ]_ (a) F = Fz = mPlanerPtla.nev�lan �� rpl T Pl t Bezieht man das 3. Keptergesetz ein mit rpt ansteLLe von a, so folgt: T�L = C bzw 21 = C · rp1 (b) . Tp rpl 4 112 · -mpt-2 , Einsetzen von (b) in (a) Liefert: F = mpt · 4112 C rpt· rpl = mp[ (c) const also F y Pl Wenn nunSonne stattsäße, einermüsste Sonne wohL am gldieeichen PLatz zweiF aufSonnen bzw. eineauchdoppel t sot schwere Zentratkraft die PLaneten doppel so groß sein, d. h. auch F "' msonne (d) Aus (mptc) und (d) folgt. für die Zentratkraft der Sonne auf die PLaneten: · mso F "' r2P , wobe1 rp1 der Abstand zwischen Sonne und PLanet ist. Newton veraLLgemeinerte und kam zum Himmelsbewegung und Gravitation
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r p[
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Gravitationsgesetz:
Zwei beliebige Körper der Massen m1 und mm21 im· m Schwerpunktabstand r 2 ziehen sich gegenseitig mi t einer Kraft "' an (Abb. 1.52), also: (F1.34) 2 r m · m 1 2 F1 = F2 = r2 (Gravitationskraft) "'i
·
3 (Gravitationskonstante) Ein Messversuch Liefert ,. = 6, 67 · 10-11 � . s kg Aufgabe: Zwei Personen mit je 70 kg Masse befinden sich im Abstand r "' 50 cm. Berechne Anziehungskraft! m 3 2 (70 kg) 22 -Losung: Fihre 1 = F2 = m 1 r·2 m2 = 6 ' 67 10-11 -kg · s (0: 5 m) 2 3 0 49 m kg m2 1 ' 3 · 10-6 N kg '0, 25- · 104 · 10-11 kg s2 · m2 = 13,07 · 10-7 -6 ' 67 · s Nach Newtons Schwerpunkt. Überlegungen Dieser bewegenLiegtsichaLLerdings die Sonnenochund innerhalb die PLanetender umSonne, den gemeinsamen sodass diese näherungsweise als ruhend und die PLaneten als kreisend annehmenmankann. Abb. 1.52
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52
t>\echanik
1. 1 6.5 Erd- und Sonnenmasse
Newton erkannte, dass die Gewichtskraft einesErdeKörpers auf derder Abstand Erde nichtsderanderes iKörper st als dientspricht e Gravitationskraft, mit der ihn die anzieht; beiden dem Erdradius R 6370 km. Zum Beispiel gilt für ein Kilogrammstück: 10 N G FGrav . 1 kg R· 2mErde bzw. mErde 101 · N1 kRg2 Damit erhält man die Erdmasse:2 m Erde 10 N6,. (676 , 3710-· 10116 mm3) ·s2 6 1024 kg Die Gravitationskraft von der Sonne auf die Erde liefert die Zentripetalkraft für die "Kreisbewegung" der Erde um die Sonne, also gilt: 2 (2 r ) msonne · m Erde m Erde · �rde 1r . zw. "' f · r b ms o T 4 2 T2 r2 r Aus Gleichung folgt der allgemeine Ausdruck für die Konstante C des 3. Kepledieser rgesetzes: T2 4 n2 (F1.35) C=-= r3 m Sonne Zum anderen lässt sich daraus die Sonnenmasse bestimmen: msonne 4"'f · T.2f t r 150365Mill24i onen· 3600 km alss folgt: Entfernung Erde - Sonne (siehe Kap.1.16.3) und T 1MiJahr 11 m)3 ·kg s2 """,... 2 103o kg 4 (1, 5 · 10 mson ne 6,67 · 10-11 m3 · (3 , 1536 107 s)2 ., . =
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1. 1 6. 6 Satelliten auf Kreisbahnen um die Erde
Mögl ich sind nurdieGroßkreise des Satelliten (derliefert Massediem)Zentripetalkraft mit Radius r umfürdendie Erdmittelpunkt; Gravitationskraft der Erde Kreisbewegung des Satelliten. Also gilt: "'f · m Erder2 m m r· v2 bzw. Wle. oben (Kap. 1.16.5) I' · m Erde 4 · Tr32 bzw. 4 r3 · m Erde (F1.36) (36) astell t eineT, Radius Art 3.r)Kepl für die Bewegung beliebiger Satelliten (Uml ufdauer um edirgesetz e Erde dar! ·
T2
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C
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53 Beispiel: Soll ein Satellit an einem "festen Punkt über der Erde stehen ", so heißt das, dass ser"" den zur Erddrehung umkreist,geostationär.) d. h. T "" 1 Tag 24 3600 86 400Äquator s. (Mansynchron nennt einen solchen Satelliten 2 T · !' · mErde (8 , 64 · 104 s) 2 ·6, 67 · 10- 11 m 3 6 1024 kg Wegen 2 · kg · s2 4 1r 4 ist � 75,67 · 1021 m3 und r 42 300 km Die Höhe des Satelliten über der Erdobeifläche beträgt dann h r- R 42 300 km - 6370 km 36 000 km (Vergleiche Abb. 1.53, nicht maßstabsgerecht.)
Trägheitskräfte
""
·
3 r
T2
= ....:...._ ---'-----::---:----=------....:.
= -=- = c
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�
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•
·
�
Satellit
Abb. 1.53
1.17 Träghejtskräfte = 3�. Ein mitfahrender Ein Zug beschleunige gl e ichmäßig mit a Kinderwagen der Masse m 20 kg lenkt einen Kraftmesser aus (Abb. 1.54). Beispiel 1:
""
Beschleunigung
Abb. 1.54
Der Kinderwagen muss mit beschleunigt werden; dazu ist die Kraft K nötig, die der Kraftmesser liefert. Nach dem Grundgesetz ist K = m a = 3� . 20 kg = 60 N Erklärung durch den mitbeschleunigten Beobachter (im Wagen), der nichts von der Außenwelt weiß: Der Kinderwagen ist in Ruhe, also kräftefrei: Da aber offensicht lich eine Kraft K vom Kraftmesser auf ihn wirkt, muss zusätzli ch eine unbekannte Kraft i(-t. am Ki �derwag,,n. wirken, welche K das Gleichgewicht hält. K* heißt Trägheitskraft (K * -K) Erklärung durch den ruhenden Beobachter (außen): ·
=
54
t>\echanik
Beispiel 2: Eine Person befindet sich im Aufzug, der nach oben beschle unigt eine Waage zeigt mehr als seine Gewichtskraft an! Erklärung durch den ruhenden Beobachter (außen): Die Waage muss zusätzli ch zur Gewichtskraftwird. noch eine Kraft K aufbringen, damit durch K die Person nach oben beschleunigt Erklärung durch mitjahrenden Beobachter: Die Person erfährt nicht nur ihre Ge wichtskraft unten,ausgleichen. sondern eine zusätzli che Trägheitskraft K* nach unten beide muss GdienachWaage Beispiel 3: Ein Wagen, der sich auf einer rotierenden Scheibe befindet (Abb. 1.55), muss durch eine Kraft K (Kraftmesser) festgehalten werden.
Abb. 1.55
Damit deraufWagen auf der Kreisbahn bleibt und diese nicht tangential verl ä sst, muss ihn eine Zentn"petalkrajt K zum Mittelpunkt wirken - sie kommt vom Kraftmesser. Erklärung des mitrotierenden Beobachters (er weiß !]ichts von der Außenwelt): Der Wagen ruht undeineist nach demnach kräftefrei. DerKraft KraftK*KdasvomGlKraftmesser aufK*ihnist eine hält offensichtlich außen gerichtete e ichgewicht. Trägheitskraft, die FliehkraftBeobachter! heißt. Diese Fli ehkraft (Zentn"jugalkrajt) gibt es aber nur für den mitrotierenden Erklärung des ruhenden Beobachters (außerhalb der Scheibe):
1. 1 7. 1 Möglichkeiten zur Beschreibung dynamischer Probleme
ImnurInertialsystem (ruhend oder- Newton'sche gleichförmigMechanik. bewegt): Keine Trägheitskräfte, sonstige (äußere) Kräfte 2. ImKräften beschleunigten System (z. B. rotierende Scheibe): Zusätzlich zu äußeren Trägheitskräfte einbeziehen! - dann gilt der Trägheitssatz auch" hier. Bei einem Versuch wird eine sich drehende Scheibe mit Kreide eingeweißt , dann " wird l über dieist Scheibe t, sodassgekrümmt er von außen(Abb.offenbar geradleini nignasser rollt;Tennisbal auf der Scheibe die nassegeroll Kurvenbahn 1.56) . Erklärung der gekrümmten Bahn durch den äußeren Beobachter: In der Zeit, die der Ball Li niefüran diedie Strecke Stelle vonAB Bbenötigt, usw. Läuft der Scheibenpunkt D auf der Kreisbogen 1.
Trägheitskräfte
55
Bahn von außen .....L-----1 I
I
Nasse Bahn Abb. 1.56
D
_
\
(5• C" /
auf Scheibe
I
1-
Scheibenrand
Eine b�l.zwingt der Bewegungsrichtung nach rechts wirkende Trägheitskraft, die die Kugel auf die gekrümmte Bahn von A über M nach B. InNordhal der Geographie hatdiedieLinksabweichung Corioliskraft dieaufRechtsabweichung derzurWinde auf- eine der b kugel und der Südhalbkugel Folge Konsequenz der Erdrotation (Abb. a).
Erklärung durch den mitrotierenden Beobachter: Corioliskraft C'
1.57
Abb. 1.57a
Die Erdrotation lässt sich experimentell mithil f e des Foucault-Pen dels nachweisen. Bemerkung:
Äquator
Abb. 1.57b
s
Die Schwingungsebene desam Pendel s issot indreht Abbilsichdungdiese Ebene b schwarz gezeichnet. Befindet sich das Pendel Nordpol, im Laufe von(dabei 24 h gegenüber der Verbindungsl i nie der "Pendelpfosten/ / auf der Erde um 360° dreht sichstellnicht dieüberhaupt Schwingungsebene, sondern die Schwingungsebene Verbindungsli nie). und Am Äquator t man keine Drehung zwischen Verbindungsl i nie fest. An irgendeinem anderen Punkt der Erde zwischen Pol und 0 Äquator findet man eine Drehung um einen Winkel o: mit 0 < o: < 360 pro Tag. 1.57
56
t>\echanik
1.18 Der Stempeldruck in Flüssigkeiten und Gasen
Eine Flüssigkeit sei in einem Glaskolben mithil f e eines Stempel s eingesperrt. Wirkt man mit der -Kraftsie Fsteht von außen auf denAufStempel, soFlächenelement kann die Flüssigkeit nicht ausweichen unter Druck. jedes Ai der Gefäßwand wirkt eine Kraft Fi (Abb. 1.58). Diese Kraft Fi ist stets senkrecht zur Wand spri gerichtet, was man erkennt, wenn manheraus. LöcherAuchin den Gläachen skolbenim Inneren bohrt dann t zt die Flüssigkeit hier senkrecht auf Fl Flüssigkeit wirkt eine Kraft (Abb. 1.58, A5 und F5 bzw. Ps); dies erkennt man der beispielDurch sweise,die wenn ein aufgeblasener Luftballon in die Flüssigkeit gegeben wird: Druckkräfte wird er gleichmäßig zusammengepresst!
Abb. 1.58
JeAi; größer das Flächenel ementmanAi sich ist, desto größer ist auch die wenn Kraft �I�a �I auf die es gil t Fi Ai. Dies kann anschaul i ch klar machen, Flüssigkeitsteilchen al s kleine, nicht zusammenpressbare Kugeln auffasst, die untereinander Kräfteist,ausüben, weil sieKugeln gegeneinander gepresstsie,werden; je größerist eine (Wand-)Fläche desto mehr drücken gegen desto größer also die Kraft gegen die Wand. Wegen F A ist somit � = const - diese Konstante wird als Druck p in der Flüssigkeit (bzw. in einem Gas) definiert. fV
rv
Also:
-a. che- bzw. p = -AF (F1.37) Druck = -FlKraft Druckeinheiten: N (
10 2N , 1 at = 9, 81-N 2 1 bar (Atmosph are. ) 1 Pa = 12m Pascal) : 1 b ar = -cm cmN 1 1 10 N 1 mbar = 1000 bar = 1000 10- m2 = 100-m 2 = 100 Pa = 1 hPa (Hektopascal) --
�
--
·
4
57
Der Stempeldruck in Flüssigkeiten und Gasen
atü = 2 at (1 at Überdruck), 3 atü = 4 at (3 at Überdruck) Aufgabe: Bei einer Wasserleitung herrsche ein Druck von 4,3 bar. Welc he Kraft braucht man, um mit dem Daumen an einem geöffneten Hahn von 1,4 cm2 Querschnitvon tsfläche das Ausfließen zu verhindern? Welche Kraft wäre am Hydrant anschluss 25 cm2 Querschnittsflä che nötig? Lösung: p = AF F = p · A, also: 10 N 10 N 2 = = 60, 2 N; 4 3 · -· 1, 4 cm F F1 = 4 ,3 · -2 ' cm2 · 25 cm2 = 1075 N cm 2 1
�
1. 18. 1 Anwendungen des Stempeldrucks 1 . 1 8. 1 . 1
Öldruckbremse
Öldruckbremse im Auto erhält man gleiche Bremskräfte BeiF , Fder, FFlüssigkeitsoder 1.59 ) auf alle vier Reifen, wenn die Querschnittsflä chen in 1den Schläuchen 2 3 , F4 (Abb. der Flächen regeln.gleich sind. Die Größe der Bremskräfte lässt sich durch die Größe
Abb. 1.59 1 . 1 8. 1 .2 Hydraulische
Hebebühne
Bei inderAbbildung hydraulischen Hebebühne (auch zur hydraulischen Presse umbaubar), wie siemit 1.60 skizziert ist, wird der Druckkolben li nks (kleine Flä che A1 ) um die große Höhendifferenz h bewegt; die der kleinen Kraft F 1 1 nachFlunten verdrängte Flüssigkeit hebt rechts den Presskolben (große ä che A ) mit der 2 großen Kraft F2 um die kleine Höhendifferenz h 2 . Dabei gilt: F1 F2 1. Der Druck ist überall in der Flüssigkeit gleich, d. h. =p= oder F2 = Fl · Al Wegen A2 A1 wird also F2 F1 sein; d. h. die Kraft wird vervielfacht! 2. Das li nks verdrängte Flüssigkeitsvolumen taucht rechts wieder auf, da sich Flüssigkeiten kaum zusammenpressen lassen; also �
�
�
�
�
58
t>\echanik
ht · At = h2 A2 oder h2 = ht AA21 . Wegen A2 At ist also h2 h1; d. h. die Hubhöhe wird verkleinert! 3. Arbeit. am Druckkotben: W1 F1 · h 1 A At Arbe1t am Presskolben: W2 F2 · h 2 = Ft · A21 · ht · A2 Ft · ht Wt ·
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·
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I
F1
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l
h,
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i=2 h2
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Abb. 1.60
Auch der hydraulischen Bühnenurbleibt also die Arbeitdurch erhaltKraftreduktion. en. Es gibt aber keine anArbeitsersparnis, sondern Arbeitserleichterung 1.19 Der hydrostatische Druck (Schweredruck)
Taucht manmuss in tiefem Wasser,im soWasser spürtherrschen. man, dass Dieser eine Kraft aufdahedas Trommel fett wirkt; also ein Druck rührt dass (siehe _r, Abb. 1.61) aufWassersäul eine Fläche der Größe A imDruck Wasserp indiederGewichtskraft Gdemnach: der darüber " Liegenden e wirkt. Für den Tiefe h gil t "· m g · p · V g · p · A · h G g p = Ä = A = A = A , also I p g . p . h I (F1.38) =
h
Abb. 1.61
/
/
/
/
r - - - -
59
Der hydrostatische Druck (Schweredruck) Beispiel: Wasserdruck in 10 m Tiefe
kgm2 ·-12 = 105 -N2 = p =5 10-sm2 · 1-kgl · 10 m = 100 kgms2 2 · 10-13 m3 = 105 s m m 10 Pa = 1 bar Der Schweredruck in 10 malsTiefeFlüssigkeit, bei Wasserdessen entspricht äußerensoLuftdruck. Nimmt man Quecksilber Dichtealsoetwadem13,5-mal groß ist 1 wie die von Wasser, so braucht man für den gleichen Schweredruck nur -3 - der 10 m Höhe wie bei Wasser; d. h., dass bei Quecksilber schon in 13, 5 = 76 cm ii�f� der Schweredruck Da anefeder1 barWasseroberfläche der Gesamtdruck1 barin 10beträgt. m Wasserti + 1 bar = 2 bar.Luftdruck herrscht, ist Bemerkung: Unter dem spezifischen Gewicht bzw. der Wichte eines Körpers verstehtm . gman die Größe �;V sie hängt mit der Dichte p gemäß = -V- = g · p zusammen. Damit kann man den Schweredruck auch als Produkt aus Wichte und Tiefe erhalten: p = g p h = ''/. h. Einstellten Versuch mit einem Druckmeßgerät (Manometer) zeigt bei einer schräg ge Wanne Dies (sieheerscheint Abb. 1.62), dass inin Stellung Stellung 2)1),ist2),mehr3) jeweils derselbe Druck herrscht. paradox: Wasser über der MembranWasser als in 1),überals odererwartet man Liegt, einen was höheren Druck, währendDruck in Stelerwarten lung 3) weniger Membran einen geringeren Lässt.Die Erklärung ist, dass in Stellung 3) das Wasser mit der Kraft F schräg nach oben gegen drückt. die WandZerlegt und diese mit indereineGegenkraft P schräg nach unten gegen das Wasser man HorizontalundWandeineaufVertikalkom ponente (Abb. 1.62), so bl e ibt also eine Kraft von der das Wasser nach unten übrig, die zur2) Gewichtskraft der eine Wassersäul e überKraftkomponente der Membran hinzukommt. In Stellung Li e fert die Wand vertikale auf das Wasser nach oben und fängt so einen Teil der Gewichtskraft der Wasser " säule ab11• --
rr"t-
lr"t- =
·
·
·
F'
1)
2) Wasseroberffäche
Niveaulinie paralfel zur \Nassero�äche
Abb. 1.62
60
t>\echanik
Hydrostatisches Paradoxon:
Überall auf einer Niveaul i nie in einer Flüssigkeit herrscht der gl e iche hydro statische ber. Druck - völlig unabhängig von der Form der Flüssigkeitssäule darü Verbundene Gefäße (Abb. 1.63) sind mit Flüssigkeit gefüllte Behälter, die ober halb und durch unterhalb desHierFlüssigkei tdiesspiegels miteinander verbundenaufsindgleicher (hier oberhalb Luft). liegen Oberfl ä chen der Flüssigkeit Höhe, denn am Boden muss p h · p · g gleich groß wie p 2 h 2 · g · p sein (im 1 1 Gleichgewicht). =
=
Abb. 1.63
1) Mithil fme des Druckswerden. in der Wasserl eitungübervondem4,5Wasserhahn bar soll ein Wagen von 5 t Masse um 2 gehoben Wie hoch ist der Wasserspiegel ? Welche Querschnittsfläche muss der Presskolben erhalten? Wie groß ist die notwendige Arbeit? Wie groß istmitderSalzwasser Druck in 1000gefüllten m Meerestiefe (Psatzwas�r = 1, 02 c�3)? Wäre er in 2)einem engen Schacht von 1000 m Tiefe kleiner als im 2 Pazifik mit seiner großen Fläche? Wie groß ist dort die Kraft von außen auf 1 cm Oberfläche einer Taucherkugel? Lösung zu 1 ) : Hier ist der Überdruck gegenüber dem äußeren Luftdruck gemeint, d.Wasserhahn h. der reineliegen Schweredruck. Die Druck Wasseroberfl äLeitung che müsste also in5,545 bar; m überda aber dem (der absolute in der wäre dann ambar Presskolben auchGewichtskraft Luftdruck herrscht, kann beträgt man diesen abziehen undgroßmitmuss 4,5 rechnen). Die des Wagens 50000 N so mindestens die Kraft auf dem Presskolben sein ( Kolbengewicht vernachlässigt!). N 50 000 N 50 000 N · cm 2 1111 cm 2 Wegen p -AF 1st. A pF 504, 000 5 bar 4' 5 10 2 45 N cm = 11 , 11 dm 2 Notwendige Arbeit: W = F s = 50 000 N 2 m = 10 5 Lösung zu 2): Hydrostatischer Druck: p1 = g · p · h = 9, 81 kgN · 1, 02 dmkg3 · 1000m = 10 006,2 dmNm3 = 100 062 dmN 2
Aufgaben:
=
=
-
=
.
·
·
N
__
=
=
J
61
Der Auftrieb/Schwimmen, Schweben, Sinken
N 2 = 100 : 062 bar. Dazu kommt der Luftdruck von 1 bar, sodass Pt = 1000, 62cmetwa 101 bar beträgt; er wäre im engen Schacht genauso groß der Gesamtdruck (nur h entscheidet!) 10 N2 1 cm2 = 1010 N Kraft: F = p · A = 101 bar · 1 cm 2 = 101 -cm ·
·
1.20 Der Auftrieb/Schwimmen, Schweben, Sinken 1.20. 1 Auftrieb
Aus Erfahrung weiß man, dass ein Stein scheinbar an Gewicht verliert, wenn man ihn ins muss Wasseralsbringt. DieseSteinErfahrung Lässtobensichgerichtete experimentell bestätigenwirken, - im Wasser o auf den eine nach Auftriebskraft die der Gewichtskraft entgegen gerichtet ist, sie also "abmildert''. Erklärung: In einem mit Wasser gefüllten quaderförmigen Becken befinde sich ein ebenfall szurquaderförmiger Körper so,(Abb.dass1.64). zwei Dann seinerwirken Flächenauf(getönt, Inhal t A) parallel Wasseroberfläche sind die sechs Quader flächen dessichKöre_ersundau�rund d�F und Druc�sF6 imgegenseitig Wasser die Kräfte � , �- Dabei heben F sowie auf. Dagegen ist F 5 3 Ft größer alseibtF2 insgesamt , weil an dereineKörperunterseite der hydrostatische Druckobengrößer ist; also bl Kraft von der Größe FA = Ft F nach vom 2 Wasser auf den Körper übrig. ...
4
Abb. 1.64
Auftriebskraft:
FA g= Ftp -A F2h == Ptg pA·-V.PDabei p A - h2 g p A = g · p · A(ht - h2 ) 2 · A =isthtp dieg Dichte =Körpers der Flüssigkeit, V das Volumen des bzw. der vom Körper verdrängten Flüssigkeit; somit i s t p V die Masse und g p V die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. ·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
62 Damit gilt für die Auftriebskraft: I FA = g ·
t>\echanik PFIUss
·
VKörper
= I (F1.39) G Fiuss
Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit Bemerkungen:
1. lDieiegend, Formelsondern gilt nichtfür nurallefürKörper, regelmäßige Quader, parallel zur Wasseroberfläche auch unregelmäßige. 2. unabhängig Solange manvon derbzwTiefe,. in deralssichkonstant ansetzen kann, ist der Auftrieb der Körper befindet. Berühmt ist der Auftrag von König Hieran von Syrakus an den Gelehrten Archimedes, eine GoldderkroneÜberprüfung auf ihre Echtheit zu zerstören. Ergebnis schwankenzu dieüberprüfen, Meinungen,ohnedassieVorgehen war wieÜberfolgt:das 1. Schriinstt: GlIneichgewicht Luft wird aufgebracht; einer Waage Goldes also gildiet Krone=mit einem Klumpen reinen 2.erhalSchritt: Beim Eintauchen der Anordnung in Wasser bl i eb das Gl e ichgewicht ten,= also erfahren beide Körper den gLeichen Auftrieb; somit gilt Daher =müssend.beide h. die Körper Krone waraufecht.die gleiche Dichte p = v besitzen, d. h. Aufgaben: 1) Man hebt unter Wasser einen Felsblock (P = 2, 5 �) mit der Kraft cm 100 N. Welche Gewichtskraft erfährt er über Wasser? 2)13,75Ein cN,Körper erfährt in Luft die Gewichtskraft 20,5 cN, in Wasser wiegt' ' er " Flüssigkeit!in einer unbekannten Flüssigkeit 9,36 cN. Berechne die Dichte der (1 cN = 0: 01 N) Lösung zu 1) : Über Wasser: G = g · m = g · ·V Unter Wasser: F = G - FA = g · V - g · V G g· · 2, 5 = -= F g·V ( ) 2: 5 - 1 G_ = 2 ' 5 bzw. G = 25 · 100 N = 500 N = 166 � N also _ 100 N 1, 5 15 3 3 Lösung zu 2): Auftrieb in Wasser: FA = 20, 5 cN - 13: 75 cN = 6, 75 cN kg · V = G v, = g · · V = 10-kgN · 13 dm = 106, 75 1cNkg 6, 7510· 10-2 dm3 = 6 , 75 cm3 Pftüss
VKö rper
m Kro ne
VKrone
VKtum pen
PKrone
PGoldr
m Ktu m pen
PFets
·
V PFels
::::}
verdrängt .asser
::::}
VKörper
· PFels - /)/lasser
PWasser
N kg
PFets
.
!friil
-
·
PWasser
...:._ .___ _
63
Der Auftrieb/Schwimmen, Schweben, Sinken
Auftrieb in der Flüssigkeit: FA = 20,5 cN - 9,36 cN = 11, 14 cN = g · · V = 10 kgN · 6, 75 cm3 11, 14 cN - 11, 14 · 10-2 N .3kg - 11 , 14 g 3 1 ' 65-g cm3 10 � . 6 , 75 cm3 10 · 6, 75 Ncm 6, 75 cm · Pflüss
Pflüss
=}
Pfl'·uss -
-
-
--
-- �
1.20.2 Schwimmen, Schweben, Sinken
Auf Gewichtskraft einen Körper, Gdermitvollkommen in einernachRüssigkeit untergetaucht ist, wirken Auftriebskraft die g und = GK unten die FA mit FA = g · nach oben. 1. Fall: G FA bzw. PA : Der Körper sinkt nach unten (z. B. Stein) 2. Fall: Gx = FA bzw . = PA: Der Körper schwebt (z. B. Fisch) Der Körper steigt zur Oberfläche, taucht teilweise 3. Fall: G < FA bzw . < auf und schwimmt dann. Bedingung für das Schwimmen an der Oberfläche: Der Körper in die Flüssigkeit ein (Abb. 1.65), sondern nur soweit bis taucht FA = GKnicht gilt;vollständig also Schwimmbedingung (F1 .40 a ) = · V · PK
K
V · PFL
K >
PK > PK
PK
K
GK örper
Pfl:
G verdrängt Flüss
\ol!rdriingl.
V Flüee.
I I
Ir
II/
�
GK i=,,
Abb. 1.65
Beim Schwimmen ist das Gewicht des Körpers gleich dem Gewicht der verdrängten Wassermenge
Umformung von (F1.40 a) liefert g = g F� also gilt beim Schwim men: · V (F1.40b) Beispiel: Sei die Flüssigkeit dreimal so dicht wie der Körper, dann gilt 1 d er K"orper a ucht a lso gerade zu -1 em. V 3 3 3 · PK
verdräng t VFl.. uss
V
PKörper
_ - --
verdrängt = Fl..uss
PFLüss
PK
-.
PK
·
•
VK
·
P FL V ·
rdr
,
Korper _
Körper = - V Körper;
t
.
I
64
t>\echanik
Aufgaben: 1) Die Gewichtskraft eines Hühnereis beträgt in Luft 61 cN, in Wasser scheinbar 6 cN. Welc he Dichte hat eine Kochsalzlösung, in der es schwebt? 2) Wie viel%= 1,eines Eisbergs (Dichte 0, 99fcm 3 ) ragen über die Wasseroberfläche )? 02 c� Ps ser 3 ( al.zwas 3)Wasser In einem randvolldasgefüllten über, wenn Eis schmilBecherglas zt? schwimmt ein Eisbrocken. Läuft das Lösung zu 1): Auftrieb = 61 cN - 6 cN = 55 cN = g · P/lasser · VEi ; also VEI = N55 cN kg - 55 10-102 NN dm3 = 55 cm3 10-kg · 1dm 3 61 g 3 = 1,11-g 3 --> d1ese mEi . ' m1t m D1c. hte des E1s:. PEi = Ei = 61 g, a ls o PEi = 55 cm cm VEi Dichte hat die Kochsalzlösung, in/ der es schwebt.88 23 g 0, 9 , · VEisberg, .. t cm3 Losung 2) : Vverdräng FI.üss = 1 , 02 g� 3 · VEisberg = -100 cm also ragen 11,77% des Eisbergs über das Wasser. Lösung zu 3 } : Es gilt G Eis = G���s�;9t, wenn der Brocken schwimmt. Wenn er zu Wasser schmil z t, gil t G Eis = G�i�s�:rlz; also haben Schmelzwasser und verdrängtes Wasser gleicheDasGewichtskraft gleichesundWasser gleiche dieVolumen. Glas bleibt und also -randvoll Läuftvorausgesetzt nicht über. - auch das FA
·
·
ZU
1.21 Statik der Gase/Gesetz von Boyle-Mariotte 1.21. 1 Statik der Gase
" zusam Beim Versuch nach Abbil d ung 1.66 werden die Hal b kugeln Luftdicht " mengesetzt, dannKraftaufwand wird der Innenraum Leer gepumpt. Mantrennen stellt fest,Lassendass{1650 erst unter großem di e Halbkugeln sich wieder führte diesengelang Versuches, auf dem Magdeburger Marktplatz durch - erst zweimalGuericke acht Pferden die Kugeln wieder zu trennen).
Abb. 1 . 6 6
Erklärung: Die Kraft des äußeren Luftdrucks presst die Halbkugeln gegeneinan der.
65 BeiFlüssigkeitssäul Flüssigkeitene über erklärten wirFläche; den Schweredruck durch dieLuftdruck Gewichtskraft der einer entsprechend ist der durch die Gewichtskraft der "Luftsäule" über uns zu erklären. Bemerkungen: 1. Gasdichte Bei Gasen nicht gilt diekonstant Formelist,p sondern g · p · hmitfürderdenHöheSchweredruck nicht, weil die abnimmt; dagegen gil t die den Auftrieb inHöheGasenab.auf unserer Erde Auftriebsformel FA = Vhängt g ebenfürstark weiterhin allerdings von der 2. Wir merken die Kraft des Luftdrucks auf unseren Arm (Abb. 1.67) deshalb nicht, sie von allen Seiten wirkt und somit Kräftegleichgewicht herrscht; weil wir zuweil über 90 % aus Flüssigkeit bestehen, werden wir nicht zusammengepresst Flüssigkeiten lassen sich kaum zusammenpressen!
Statik der Gase/Gesetz von Boyle-t�ariotte
=
Kör per ·
· PGas
PGas
Abb. 1.67
3. Bei normalenFehler Wägungen wird dermeistaberderimAuftrieb vernachlsehrässigt undist.damit ein prinzipieller gemacht, All g emeinen klein 4. auf Die Bedingungen für Sinken, Steigen, Schweben lassen sich von Flüssigkeiten Gase übertragen mitin der dem Flüssigkeit prinzipiellenzurUnterschied, dass ein Körper mit " steigt und dann Oberfläche nicht wie < " gilt (die Gasdichte nimmt ja schwimmt, sondern sol a nge steigt bis mit der Höhe ab) und dann schwebt. PK
PGas
PK = PGas
Ergänzungen:
1. überMit dembzw.Flüssigkeitsodergegenüber U-Rohr-Manometer (Abb.bestimmen. 1.68) lässt Auf sichderderunte Gas Gasunterdruck dem Luftdruck ren Niveaul i nie muss nämlich Druckgleichheit li nks und rechts herrschen, d.h. = =h g· (F1.41) bzw. Pluft + PF!Uss
P Gas
PGas - Pluft
'-....--'
·
PFiüss
Gasüberdruck
P t.un --1--1-:-----1:=:1h
Abb. 1.68
66 t>\echanik 2. Winkelheber: Wennbis keine Luft imderRohrWasserspiegel ist, Läuft solange Wasser ausHöheGefäßLiegtB nach Gefäß A, beiderseits auf gl e icher (Abb. 1.69).Da auf Höhe der Wasseroberfläche von A Luftdruck herrscht, ist der Erkl ä rung: Druck das obenRuhrli nksgelvonegt)Rum(BeiP der= hStelle R denken wir uns einen Querschnitt durch w 1 · g · kleiner. Also Li nks von R: P�es = PLurt ht · g · pw rechts von R: p�� = PLuft h2 · g · h1 h2 ist P�es < p�� ; also fließt so Lange Wasser nach li nks, bis w�gen P�es = p�� bzw . ht = h2 gllt. Pw
-
P VI
-
=}
>
R
Abb. 1.69 A
Kinderball o nsLufthatdereineDichte Gewichtskraft von 3 cN und fasst 5Gesamtgewicht L Gas. WieDiegroßHülundliste eines sein Auftrieb in p = 1, 28 gfL? Wie groß sind Tragkraft bei einer Füllung mit Leuchtgas (p = 0, 69ft) , g g Wasserstoff (p = 0, 09 /L), Helium (p = 0, 18 fL)? Lösung: N- · 5 l = 64 · 10-3 N = 6, 4 cN FA = g · PLuft · V = 10-kNg 1, 283mkg · 5 L = 12,8 3 10 l (Auftriebskraft) Leuchtgasfüllung: = g · · V = 10 kgN 0, 6 mkg3 · 5 L = 3 cN, Gesamtgewicht: 6 cN, Tragkraft: 6,4 cN - 6cN 0,4 cN Wasserstoff: Gesamtgewicht 3,9 cN, Tragkraft 2,5 cN. 3,45 cN, Tragkraft 2,95 cN; Heli um: Gesamtgewicht
Aufgabe:
·
GGas
PGas
·
=
1.21.2 Gesetz von Boyle-Mariotte
Dieiner e Erfahrung zeigt, dass Gase sich zusammenpressen Lassen; je größer der Druck ound ssenen) GasmengeDenbeigenauen konstanter Temperatur ist,liefertdestoeinkleiner istversuch; ihr(eingeschl Volumen umgekehrt. Zusammenhang Mess man erhält das Gesetz von Boyle-Mariotte:
67
�\echanische Schwingbewegungen
Beimeneinem eingeschl ossenen Gasd.h.konstanter Temperatur sind Druck und Volu umgekehrt proportional, zum n-fachen Druck gehört � des Volumens bzw. p · V = const bzw. P1 · V1 = P2 V2 (F1.42) ·
1.22 Mechanische Schwingbewegungen 1.22.1 Schwingbewegung
Ein(Luftkissen!) Körper seiaufmittels zweier Federn seitlich eingespannt und soll reibungsfrei einer Unterlage gleiten können. Lenkt manperiodische ihn aus seiner Gleichgewichtslage aus und lässt ihn los, so vol l f ührt er eine und Herbewegung, eine so genannte Schwingbewegung (Abb. 1.70). Hin Ruhelage
t
Abb. 1.70
s
h
In derängertRuhelage ist dieeineli nkeKraftFederK1 nach mit derli nks;Federkonstante D1 bereits umt um verl und bewirkt die rechte Feder mi t D i s 2 Körper lherrscht mit K nach rechts, wobei Kräftegleichgewicht am 2 verlä ngertd.h.und zieht 2 K1 gil=tK.(Daraus bzw. und(Hooke' schesGesamtverlängerung Gesetz, siehe Kap.+ l beider 1.3.4) 2 D1Federnl1 =lassen D2 · lsich (I) aus der 2 übrigens und l2 berechnen). 2 man jetzt ausrechts der RuheoderwirdGledieichgewichtslage zusätzlich denrechteKörperum uml -Lenkt dies verlängert; Strecke s nachwegen aus, so l i nke Feder um l + s, die 1 Hooke'F1s=chen {lGesetzes zieht (Abb. 1.70) die l i nke 2Feder mit der Kraft F1 vomdesBetrag 1 +größer s) nachist,links, dieinsgesamt rechte miteineF2 vom Betrag F = D {l s)nach rechts: Da F1 bl e ibt 2 2 2 Kraft vom Betrag F = F1 - F2 = D1( h + s) - D 2 {l2 - s) = (D1 h - D2 l2 ) +D1 s + D2 · s = (D1 + D2 ) s = D · s mit D = D1 + D2 nach links übrig. WürdeeinemanKraftdenvomKörper umF""s nach lnach i nks aus derwirken. RuhelageBeiauslenken, sodeswürde auf ihn Betrag D · s rechts Ausl e nkung Körpers aus der RuhelzurageRuhel stelltagesichhinalsogerichtet immer eineist -Kraftsie ein,heißtdieRückstellkraft entgegengesetzt Ausl e nkung und zurist ·
h
h
�
·
'-----...----
= o (s.o. (I))
·
68
t>\echanik
und führt zur fürSchwingbewegung. DieRolle.Verlängerungen lt, Dielz derRückstellkraft Federn in derbewirkt Ruhelage spielen F übrigens keine nach dem Newton'schen Grundgesetz (Kap. 1. 7) m a eines(t)Beschleunigung dess(t)Körpers, welche (siehe Kap. 1.4.4) = m s (II) diegemäß zwei t e Ableitung der Wegfunktion ist, d. h. F WeilF =dieDRückstellkraft entgegen derKonvention, Auslenkung sdasszeigt,wirsagen wirwieim Folgen den · s (III). Hierin steckt die ab jetzt in Kap. 1.14. 4 ansetzen, alle nach undrechtsalle zeigenden Auslenkungen, Kräfte, Geschwindigkeiten positiv nach L i nks zeigenden negativ. Setzt man (III) in (II) ein, so folgt: I m · D s oder = -� s oder + � . s = o I (F1.43 a, b, c) Dies ist die Differentialgleichung der hannonischen Schwingbewegung mit der Schwingermasse m und der Gesamtfederkonstante D. EinezurSchwingbewegung heißt harmonisch, wenn die Rückstellkraft proportional Ausl e nkung ist. Gesucht istmitdieihrerWegfunktion in t(F1. zusammen zweiten Abls(t), eitungdies(t)aberauftri t! 43) nicht direkt, sondern
proportional zur Auslenkung F
"'
·
·
-
S= -
·
S
S
·
Gemäß (F1.43 b) konstanten sucht man alFaktor so eine- �Funktion s(t), derenselbst 2. Ablübereinstimmt! eitung bis auf einenAls negativen mit der Funktion Lösungsfunktionen bietenvonsich(F1.4Sinusgemeinster Ansatz zur Lösung 3) wäreoder Kosinusfunktionen an - all I s(t) = s0 sin(UJt +
·
•
•
-ul
w
IDerw Ansatz �� (F1.(F1.444)6 a).beschreibt eine periodische Bewegung; alles wiederholt sich nach der Periode T mit w T = 2 Also ist T = 2w = 2 ·
1r.
1r
fm die Dauer einer Vo
1r.
69
�\echanische Schwingbewegungen
/D (vergleiche Kap. 1.15.3) die Schwinund f = �T = 2 11 = _2__ 2 1r V m gungsfrequenz, d. h. die Zahl der Schwingungen je Sekunde. ..!:!.._
Schwingung
·
Ergebnis:
Für die harmonische Schwingung (Masse m, Federkonstante D) gilt: 1 /D � \(;;:., w= , f== 2 11 - (F1. 46 a, b, c) T 2 11 m D
Bemerkungen:
1. Eine DimensionskontroLLe Liefert [� � J� - k� � kgs;m . m�g � � � Hz, sodass f die richtige Einheit hat. 2. so ist (für s0 0) die maximale Ausle nkung aus der Ruhetage und heißt Amplitude der Schwingung. 3. Im Ansatz (F1.44) wird gemäß (F1.4 6 a) nur die Größe w festgelegt; die Ampl i tude s0 und die Phasenverschiebung cp0 folgen aus den Anfangsbedin gungen, d. h. der Ausle nkung s(t"' 0) und der Geschwindigkeit v(t 0) zur Zeit t "' 0. Sott etwa bei t "' 0 der Körper maximale Ausle nkung s0, aber keine Geschwindigkeit haben, so wäre s(t) = s0 cos wt = s0 sin (wt �, d. h. cp0 = 2 der richtige Ansatz. Sott bei t 0 die Auslenkung gerade 0 sein, aber Ruhetage schwingen, mit v(t) = ws0 v0cosdurch wt, alsodie v(t = 0) = s0w = v0, so wäreder s(t)Körper= s0mitsinderwtGeschwindigkeit also s0 = Vwo und
=
+
·
�
=
·
·
Be1. m = 50 g und D = 5 -cmN se1. s(t = 0) = 0, 3 m, v(t = 0) = 20 -ms Die Frequenz ist durch m und D fest vorgegeben: ·m w w = . 500m N 0, 051 kg = \ 104 skg2 mkg = 100 Hz, f = - ::;::: 15, 9 Hz 2 11 Ansatz: s(t) = S0 sin(wt
1.22.3 Beispiel für eine kompliziertere Anfangsbedingung
--
·
+
·
�
c
+
70
t>\echanik
3 1 = 300 Hz also tan�o = 3 (III) Daraus folgt: tanwo = w · -2 200-s 200 Hz im Periodizitätsintervall zwischen 0 und 2 wähl e n, gleichzeitig Wir wollen <po soll positiv und damit gemäß (I)/(II) sin�o 0 und cos<po 0 gelten. Damit hat (III) genau eine Lösung zwischen 0 und näml i ch 0 983 Einsetzen in . , 2 o, 3 m . s0 = . 0, 36 m (I) L1e.ert s1n<po Lautet also dann s(t) 0 : 36 m sin (100 t + 0 983 Die gesuchte Lösung $ , ) ,
·
-
1r
So
c
--
7!:,
>
>
<po �
�
=
·
1.22.4 Energie bei der mechanischen Horizontalschwingung
Es treten und Bewegungsenergie auf, wobei wegen der Vorspannung der Federn1 Spannungsin der Ruhelage gilt1: 2 nn + EKin 2 D1(h + s)2 +-12 D2 (L2 - s) 2 +-12 mv2 E ges ESpann + Espa 1 1 1 1 1 = 2 D1�2 + 2 D 2 �2 + 2 D 1 s2 + 2 D 2s2 + D1 L1 s - D 2 L2 s + 2 mv2 =
=-
=
+ �2 (D1 + D2 )s2 + s (D1 L1 - D2 L2 ) + �2 mv2 wegen in 1 .22 .1 Damit: Eges = E0 + -21 Os2 + -21 mv2 (F1.47) Eo = � 0 1 � + � D2 � ist die Ruheenergie der gespannten Federn, wenn der Körper in de; Gleichge�ichtslage ruht, � Ds2 ist die zusätzliche Spannungsenergie bei Ausle nkung um s aus der Ruhela�e, � mv2 die kinetische Energie. mansos(t)folgt: sin(wt + �0), v(t) s0w cos(wt + �o) und /fnm in (F1.Setzt 47) ein, E9es(t) = Eo + �2 Os� sin2 (wt + �o) + �2 m · w2 s �cos2 (wt + 'Po) = Df � + � Ds� const E, + � Ds� sin 2 (wt +
=Ea
Ea
·
=
'-......--'
0
(I)
�------�
[
= So ·
=
·
r
w
=
�
,
�
1.22.5 Die vertikale Federschwingung
" Hier ist in der Ruhel a ge die Feder bereits um die Strecke L 0 gedehnt und fängt " die Gewichtskraft des Körpers auf (Abb. 1.71):
71
�\echanische Schwingbewegungen ·
·
D Lo = FFeder = G = m g (I)
-
_t "j o .. ---f-----,-..JI------'--.:::.
•
_
s
_.__
.... ..�._ _ _ _
_ _ _ _ _ _
Feder ungedehnt Ruhelage
Ausl::mkung um s aus Ruhelage
LenktLo +mans gedehnt; die Federsieumbewirkt s aus der Ruhelage nach unten ,�s,F d ist= D(Lo sie insgesamt umoben, die Federkraft vom Betrag + s) nach Fe er J während die Gewichtskraft am Körper nach unten zieht. erden ab jetzt alle nach unten gerichteten Größen positiv gerechnet, so gil t für die Gesamtkraft auf den Körper: F = -D (lo s) + G = -D Lo + G - D s = -D s Abb. 1.71
·
(
+
·
=
o
nach (I)
)
·
·
F s Roll - e). spielt für F keine Die Differenzialgleichung für das Problem Lautet formal gleich wie bei Dder horizontaten Federschwingung, nämli ch -D s = F = m a = m bzw. rn- s = 0 und von dort darf auch die Lösung s(t) = s0 sin (wt + cp0) mit w = \/ � �bernommen werden, wobei hier D die Konstante der einen Feder ist. Bei der Energie tritt jetzt zusätzlich Lageenergie auf! Legt man deren Null niveau in die Ruhelage, so gil1t: E9es = Espann + Elage + E n = 2 D (L0 s)2 -G s + 21 mv2 = -12 DL2° + -12 Ds2 + D L0 - G s + -12 mv2 = Eo + -12 Ds2 + -12 mv2 nach (I) Man erhäl t das entsprechende Ergebnis wie im horizontalen Fall und kann ebenso dienungs-zeitlundicheLageenergie Konstanz derwandeln Gesamtenergie zeigenum.- Bewegungsenergie, Span sich ineinander F ist also wieder rücktreibend, d. h. eine Rückstellkraft wegen des Minus, und es gilt also liegt wieder eine harmonische Schwingung vor (Lo "'
·
·
( ) Ki
...._".._... ·
=
0
+
·
·
·
s
s
-
72
t>\echanik
1.22. 6 Die U-Rohr-Schwingung
InkanneinemmanU-förmigen Gldassasrohr befinde sich (gefärbtes) Wasser.Teilstück Durch "Ansaugen�� erreichen, etwa der Wasserstand im rechten höher und gl(Abb. eichzeitig der im l i nken Teil s tück tiefer liegt als bei der Gl e ichgewichtsl a ge " 1.72).um"Lässt dann los , so aus. führt das Wasser im U-Rohr eine Schwing bewegung die Glman eichgewichtslage - - _ sj
Ruhelage
Abb. 1.72
Lenkt dermanWasserspiegel das Wasser rechts umums aus2 s derüberGleichgewichtsl ageGewichtskraft nach oben aus, so steht rechts dem l i nks; die dieses " Gü = g mü = g Vü = g A · 2 s (A ist die Querschnittsflä Überstands "che), wirktnachals rücktreibende Kraft und sobeschleunigt das gesamte Wasser. Wird die Richtung oben positiv gerechnet, folgt also: Frück = -g · A · 2 s = m · Ist l die Gesamtl ä nge der Wassersäul e , so gil t m = V = A l und durch Einsetzung in die vorherige Gleichung erhält man die Differentialgfejchung der U-Rohrschwingung: ·
·
p·
·
p·
p
·
p
p
·
·
·
s
A 2 s = · A · l · bzw. + f s = oI (F1.48) 2g 2 Lösung: s(t) = s, sin (wt + ;o,) mit w = } 1 , T = w" = 2 "/Jg (folgt analog zu (F1.43)/(F1.46 a), wenn man dort mD durch -2-lg ersetzt) Bemerkung: Wegen Frück s liegt wieder eine harmonische Schwingung vor, bei der diedieEnergie zwischenzeitlich Lage- und kinetischer wobei Gesamtenergie konstant ist. Energie hin und her pendelt,
1 -g
·p·
·
p
S
S
·
rv
1.22. 7 Das Fadenpendel
Versuche zeigen, dass sondern die Freq uenz derderFadenpendelschwingung nicht von ist, der Pendelmasse abhängt, nur von Faden l ä nge: Je kürzer der Faden desto größer die Frequenz. Wir denken (Abb. 1.73) GdasdesPendel um denin Winkel aus derist Ruhelage ausgelenkt und dieunsGewichtskraft Kügelchens a
73 F bzw F in bzw. senkrecht zur Fadenrichtung zerlegt - dann gilt FKomponenten 1 = G · coso:, F12 = G. · 2sino:
�\echanische Schwingbewegungen
\
\
\
\
\
F1 wird durch eine Fadenkraft ausgeglichen, die Kraft F2 treibt das Die Kraft zur RuhelKraftageFzurück; mit der üblichen Vorzeichenkonvention ist also dieKügelchen rücktreibende ruck = -G · sino: (I) Nun gilt: Bogenstück s = Winkel o: (im Bogenmaß), also o: = -s (1m Bogenma.ß) (II) . l Kre1sumfang 2 · l Gesamtwmkel 2 1r Einsetzen von (II) in (I) liefert: Frück = -G · sin�l (F1.49) Wegen des Sinus gilt also beim Fadenpendel nicht F "' s, d. h. es liegt keine harmonische Schwingung vor. Über Frück = m erhält man die schwierig zu lösende Differenzialgleichung + � sin� = 0 der Fadenpendelschwingung. m l Tabelle 1.1: Kleine Winkel beim Fadenpendel Winkel im Gradmaß 0,5 10 50 20 1 Winkel im Bogenmaß 0,0087 0,0175 0,0349 0,0873 sin� 0,0087 0,0175 0,0349 0,0872 Die Tabelle 1.1 fürs kleine Winkel zeigt, dass man für kleine Auslenkungen s l s setzen
'
1r
.
·
s
s
=
L
I
.
T
�
t>\echanik 74 Damit erhält man für kleine Auslenkungen näherungsweise eine harmonische Schwingbewegung mit Frück � -G · T s und der Differentialgleichung 1 5 + � · 1 � o bzw. + t . s � ol (F1.50) Die Lösung kann man wie üblich angeben: s(t) sin(w +\Po) mit w �· f /" Jf, T 1 2 r.A 1 Das Versuchsergebnis bestätigt sich f i s t masseunabhängig und wegen f L wächst f, wenn L kleiner wird. Aufgabe: 1) Ein Klotz der Masse m 0,5 kg ist zwischen 2 gle ichen Federn mit je und wirdWieum groß 15 cmistnachdie rechts ausgel e nktSchwingbewegung, und dann bei t D =aus1 c%dereingespannt 0wann Ruhe Losgel a ssen. Periode T der hat er zum ersten Mal di e Ausl e nkung 5 cm nach L i nks erreicht und welche Geschwindigkeit hat er dann, wenn er zunächst reibungslos gleitet? wird das( ,1L=uftkissenfahrbahn-Gebläse" abgestellt, sodass Gleitreibung ins2)cm Jetzt Spiel kommt f9 0, 2) . Wieder wird der Körper bei einer Ausle nkung von 15 nach rechts zur Zeit t 0 aus der Ruhe Losgelassen. Welche Geschwindigkeit hat eranjetzt, er zumx hatersten die AuslGeschwindigkeit? e nkung von 5 cm nach Li nks erreicht und welcherwennStelle er dieMalgrößte Lösung: 1) Gesamtfederkonstante {ri /2 N/c m N = 20 Hz, f _ 20 Hz �-- 3 ' 2 Hz D = 2 cmN ' w = Vm = \ o, 5 kg = J400 2 1r m kg 1 T = -f 10 s 0, 31 s; s(t) = 15 cm · coswt,m v(t) = s(t) = -15 cm · 20 Hz · sin wt = -3 s sinwt Zeit: Soll sein -5 cm = 15 cm cos�, als o 1 ' 91- � 0, 10 s coswt = -31 wt � 1, 23 � 1, 91, also t = 20 Hz m m Geschwindigkeit: v(01 1 s) = -3 sin(1, 91) = 2 83 (die Geschwindigkeit s s zeigt nach Li nks) 2) Da jetzt zusätzlich die Reibungskraft auftritt, gelten die meisten Formeln nicht mehr; esdiLiegt keine werden ungedämpfte sinusförmige vor, sondern e Auslauch e nkungen immer kleiner, bis derSchwingbewegung Körper zum Stillstand kommt. Weiterhin gilt die Energieformel E9es = Eo + �2 D*s2 + �2 mv2 Beim Start hat� der Körper die Energie� 225 � E1 = Eo + 2 · 2 cm · (15 cm) 2 = E0 + 100 m · 104 m2 = + 2,25 J Bei der Ausle nkung um 5 cm nach Li nks hat er die Energie E2 = Eo +�2 · 2 ..!!.cm · (-5 cm) 2 +�2 mv2 = E0 + 0,25 J +�2 mv2 ""V
s
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So
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11 v
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1r -
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1
Eo
75 Wegen Reibung wird die mechanische Energie nicht erhalten - vielmehr ist EWR2 um= dieF derReibungsarbeit 9t s = f9t G (15 cm + 5 cm) = 0, 2 5 N 0, 2 m = 0 : 2 J kleiner als E1 ! Also ist E2 = E1 - 0, 2 J bzw. Eo 0, 25 J + � mv2 = + 2, 25 J - 0, 2 J E0 spielt keine Rolle, manmerhäl t 2 3, 6 J 1-DiemvRuheenergie = 1,8 J bzw . v2 = = 7,2 2Da die2 Geschwindigkeit 0,5 kg nach li nks zeigt, gilst v = vf7(i. ms -2,68 -ms ; wegen der Reibung hat der Körper weniger Geschwindigkeit als im Falle 1). Nachdem der Körper bei der Auslenkung 15 cm losgelassen wurde, wird er durch dierechtsRückstellkraft Frück = -D* s nach li nks beschle unigt, während die nach zeigende Reibungskraft F t ihn bremst. Zunächst überwiegt die beschleu 9 nigende Kraft- siewenn wird aber betragl iehgroß proportional zu s derimmerKörper kleiner,nichtwährend Fbeschleunigt beide gl e ich sind, wird mehr 9t bleibt. Dann der Körper hat maximale Geschwindigkeit! Weiter l i nks überwiegt die bremsende Reibung. Bed.: 1-Frück I = 1-Fgl I ) also o· . X = fgl . G bzw. X = 0,2 2Nj. cm5 N = o , 5 cm (rechts der Ruhelage) Gedämpfte Schwingungen/Erzwungene Schwingungen der �1echanik
·
·
·
·
+
·
Eo
2
-
-
�
·
*
1.23 Gedämpfte Schwingungen/Erzwungene Schwingungen der Mechanik 1.23. 1 Gedämpfte Schwingungen
Durch Reibungsverluste erhält manmitkeine periodische ungedämpfte Schwingbe wegung, sondern eine gedämpfte abkl i ngender Ampl i tude. Handel t esGröße sich derum die übl i che Gl e itreibung, die (vergl e iche Kap. 1.6) unabhängig von der Geschwindigkeit ist, so-minimau erhält manliegen li nearaufgedämpfte Schwingungen (diedie"Am "vbzw. plitudenmaxima schrägen Geraden); wenn " bung vom Luftwiderstand kommt, ist die Reibungskraft proportionaL Bei Rei der Bewegung vonist dieKörpern in zähenaufFlüssigkeiten ist9es =dieFrücReibungskraft proportional zuund v-midann Gesamtkraft den Körper F k + Fn.eib = -D · s - k v t v = Lautet die Differenzialgleichung I F = m . s = -Os - k . bzw . ms + k . + D . s = 0 I (F1.51) Als Lösung erhäl t man eine experimentell gedämpfte Schwingbewegung, bei der von zwei aufeinander folgenden Amplituden nahezu konstant ist: sderk+1Quotient = const < 1 (Abb. 1.74) (ß�e Lösung hat die Gestalt s(t) = e-pt s0sin(wt + <po ) mit p = _2 _,km w = V. /mD - � 4 m , wie eine längere Rechnung zeigt). v2 .
s
·
s
s
76
t>\echanik s
'
' '
Abb. 1.74
1.23.2 Erzwungene Schwingungen
Ein schwingungsfähiges System habe eine bestimmte Eigenfrequenz f0 im rei bungsfreien Falt - z. B. gilt für ein Feder-Masse-System f0 = J:_ Jetzt soll \10. 2 1r /; auf Zwangsfrequenz dieses System vonf einwirken, außen lä ngere Zeit einesollsinusförmige periodische Kraft mit der außerdem Reibung vorhanden sei. Schwingt das Systemoderundungedämpft? wenn ja mit der Frequenz f0 oder f oder einer anderen Frequenz, gedämpft 75 zeigt, wie man über eine sich drehende Scheibe mit einem Bolzen, andannAbb. demmitein1.dem SeilFeder-Masse-System befestigt ist, das zwischen zweiist,festen Bolsolzcenhehindurchläuft und verbunden eine periodische Kraft experimentell realisierenist.kann. Eine längere Rechnung zeigt, dass die Kraft tatsächl ich sinusförmig
�
Schv.�ngendes Feder-Masse-System
= �
Abb. 1.75
.
Motor mit gleichmäßiger Umdrehungszahl über Triebriemen mit Scheibe verbunden
Der Versuch zei g t, dass das System (nach einer gewissen Einschwingphase) mit der Zwangsfrequenzfeine ungedämpfte Schwingung ausführt. In der Einschwing-
77 phase gelAmpl angtitude durchsichdie immer äußere mehr Kraft immer wiederbisneueschlEnergie zum Schwinger, dessen vergrößert i eßl i ch die zugeführte Energie gleich der (durch Reibung) verloren gehenden i s t dann bleibt die Ampl i tude konstant. Das anfängl i che Vergrößern der Ampl i tude heißt Aufschau keln der Schwingung. Bei f wirdf0 istzumdieoptimal sich einstell ende Amplzugeführt itude maximal (Resonanzfall) die Energie e n Zeitpunkt (man stell t fest, dass der Schwinger der Zwangskraft um � in der Phase bzw. { in der Zeit hinterherläuft siehe Abb. 1.76 b). Resonanzkatastrophe: Wenn die sich einstellende Ampli tude für f fo zu groß wird, bricht das schwingende System auseinander (z. B. Brückeneinsturz durch Soldaten im Marschtritt, Motorschwingungen bei Fahrzeugen ini chenWerkshall e n). Ä nderung Durch von f0 oder f (Hinweggehen über den gefährl Frequenz bereich) bzw. Lockere Kopplung zwischen Erreger und Schwinger kann man die Katastrophe verhindern. Eine Rechnung präzisiert und erklärt diesen Befund. Auf denZwangskraft: Schwinger wirken jetzt die Federkraft, die Reibungskraft und die periodische Fges = + + = F . sinwt - D . s - k . Über F9es = m · s folgt die Differenzialgleichung der emvungenen Schwingung: I m · s + k · + D · s = Fsinwtj (F1.52) Da nach wirdemdenVersuchsergebnis machen Ansatz s(t) = s dassin(wtSystem - 8) mit(I) der Zwangsfrequenz schwingt, s(t) = (cos(wt - 8))w, s(t) = -s(sin(wt - 8)) . Einsetzen in (F1.52) Liefert: -mc.J sin(wt - 8) + k w s cos(wt - 8) + Ds sin(u-1: - 8) = Fsinwt bzw. sin(wt- 8) [D - mul] + k wcos(wt - 8) = { sinwt " 2 Wir Abkürzungen x = wt-: AeS)==DC-· sinx mw , B = k · w und C = �s ein und erhalführen ten sodieA · sin(x - eS) + Bcos(x Über die trigonometrischen Summenformeln folgt A · [sinx coscS - cosxsin8] + B [cosxcos8 + sinxsinc5] = C sinx und schließlich sinx · [AcoscS + BsincS] + cosx · [Bcosc5- Asin8] = C sinx (II) Gleichung (II)vonsolsinl zuxjeder Zeitxt,Lid.nksh. fürundallerechts x geldesten Gl- edies gehttszeichens nur, wennüberdie Vorfaktoren und cos ichhei einstimmen, also: Acos8 Bsinc5S == C0 ((IV) III) Bcosc5-+ Asinc Aus (IV) folgt Bcos8 = Asinc5 bzw. tanc5 = sin8 = -AB (V) Gedämpfte Schwingungen/Erzwungene Schwingungen der �1echanik
�
-
�
Fzwang
FFeder
V
FReibung
s
·
s.
==?
s
uJ
·
·
·
·
·
·
·
·
c
-
COS u
t>\echanik
78
(III) 2 + (IV) 2 Liefert: A2cos28 + 2ABcos8sinc5 + B2 sin28 + B2 cos2 8 - 2ABcos8sinc5 + A2sin 28 = bzw. ( A2 + B2) sin 28: cos28 = C2 1 Setzen wir anstelle von A, B, C die ursprüngli chen Größen ein, so folgt: . frequenL w0 = � tano = D -kwmw2 = mw20 kw- mc.u mtt. der 1/Etgen m 2/ + i
(
(2
)
�
._J/
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-�
·
'-."..-" A
Ergebnis:
Bei einer periodischen Zwangskraft F(t) = F · sinwt ist s(t) = s sin(wt- 8) und es gilt für die Amplitude s = 2 F 2) 2 i
--;:.=======
kw
A
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·
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A
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U)Ot
79
Überlagerung von Schwingungen \ \
0 �------�--· Abb. 1.76a
Abbildung 1.76 b Schwinger zeigt die Phasenverschiebung 8 als Funktion von w. Für kleine Frequenzen sind und erregende Kraft nahezu in Phase, für w =läuft (Resonanzfall) Läuft der Schwinger um� hinterher und für große Frequenzen er um 1r hinterher, d. h. Kraft und Schwinger sind in Gegenphase. u.-·0
l)
Abb. 1.76b
1.24 Überlagerung von Schwingungen
Wir denken Federn uns folgenden Versuch (Abb. 1.77): Ein Wagen ist zwischen zwei 0 ) eingespannt und macht eine horizontal e horizontale (Konstanten 01, 2 Schwingbewegung; an ihm 0befestigten Gleineasrohrreibungsfreie hängt einvertikale kleines an einer inFedereinem(Konstante Massestück ) und kann 3 vollführt es in einem xfy-Koor Schwingbewegung machen. Wel c he Bewegung dinatensystem, dessenMassestücks Ursprung inach n der rechts Ruhelage( Liegt? Ausl e nkung des Ausle nkung des Wagens nach rechts): x(t) Ausl e nkung nachistoben:die y(t) In der Ruhelage Lli1nke= 0Federl und um L1,0 diel =rechte umckl2=, dieg mobere umt dieL3 (m i s verl ä ngert, wobei gil t : 0 G l ssestll 1 � a 3 und Glasrohr zusammen). Masse des Massestücks, M sei die 2Masse2 von 3Wagen =
·
·
·
·
t>\echanik
80
Abb. 1.77
BeiKraft:derF Ausl e nkung um x nach rechts aus der Ruhelage gil t für die rücktreibende = -D1(lt + x) + D2 (l2 - x) . Also: F = -D1 l1 + D2 l2 -D1x - D2 x = -D*x mit D* = D1 + D2 . Wir ten einebeschl harmonische Horizontalschwingung, wobei F· Wagen, Glasrohr und erhal Massestück e unigt. Damit ist F = -D*x = (m + M) bzw. + m D*+ M x = 0 (I) Für die Auslenkung um y nach oben ist die rücktreibende Kraft K = -G�Iassestück + D3 · (l3 - y) = -g · m + D3 l3 -D3y, also ist auch diese Schwingbewegung harmonisch und es gilt D K = -D3y = m y bzw. y + m3 y = 0 (II) (I) bzw. (II) stellendardie-Differenzialgl Schwingbewegung die Lösungeneichungen sind für die horizontale bzw. vertikale x(t) = · sin (w1t + 'Pt) mit = \/M D+* m , y(t) = sin (u,•2t +
= 0 (s.o.)
x
x
'------v--
= o (s.o.)
·
x
9
uh
·
�.t-'2
1.24. 1 ZahlenbeispielejBewegungstypen bei der Überlagerung von Horizontal- und Vertikalbewegung
1. Sei M = 1 kg, m = 20 g, D1 = 140 �m , D2 = 13 .!!m , D3 = 3 .!!m; dann 1st. w1 = . m 1531, 02N kg = 150 skg2 m kgm = 5.;6 Hz 12 '. 25 Hz 411" Hz ·
'\ \
·
�
�
81
Überlagerung von Schwingungen
und w2 = . m 0)3 02N
w
1
w1 �
�
·
�
Vy
Vx
·
·
.
.
=>
y (cm)
--���� ���-x (cm)
Abb. 1.78a
In diesem Fall sind Horizontal- und Vertikalschwingungfrequenz- und phasengleich.
Für t 0 sei x 3 cm, 01 y 01 15 J6 cms : Dann ist x(t) = 3 cm · cos (4; t) 41l ) m1t. y. (0) = y0 ·-41l = 15v 6 -cm y(t) = y0sm. (-t s15·/6-cm s s 15 J6 41r t) ( Damit ist y0 = �4 s � cm = 3 cm, aLso y(t) = 3 cm sin s 5v 6 s1. Falt für die gLeichen Zeiten die entsprechenden Punkte aus Wir rechnen wie im und dass sich das Massestück auf einem Ursprungskreis bewegt (Abb.erkennen/ 1.78 b). Grund: x2 + l = (3 cm) 2 cos2 (4; t) + (3 cm)2 ·sin2 (4; t) = 9 cm2 , d. h. der Abstand r = Jx2 + y2 des Kurvenpunktes vom Ursprung ist stets 3 cm! 2. Fall:
=
Vx
=
=
=
Vy
=
/C
�
1
82
t>\echanik y (cm)
x {cm)
Abb. 1.78b
(cos (41l"s t) = sm. (41fs t + 1l"2) )
Horizontal- und Vertikalbewegung sind frequenz- und amplitudengleich, aber um �
2 cm - dies Liefert Fall: Für t 0 sei x 5 cm, V x = o , y 0, vy 15·v'6 s (4n ) . (S4n t) . x (t) = 5 cm COS S t , y(t) 3 cm Sln Hier sind die beiden Bewegungen frequenzgleich, aber um i phasenverschoben und haben verschiedene Amplituden - man erhält eine Ellipse symmetrisch zur x- und y-Achse. Allgemein gilt: Bei der Überlagerung einer Horizontalschwingung mit einer frequenzgl sen (Spezialeichen fälle: Vertikalschwingung Kreise, Geradenstücke)erhält man als Bewegungskurven Ellip 2. Sei 2.24 Hz. fcm2 2.16 Hz, d. h. 3n24 cms, T2 16 s und für t 0 sei x (O) = 0 , Vx (O) = , y(O) = 0, Vy(O) = 4 s 3 s 2n t) m1t. x. (0) 2r. x 1r cm , a lso Dann 1.st x(t) xsm (24 s ( 21l"t ) 24 s 3 s (21rt) x = 4 cm x (t) = 4 cm sm - , ebenso y (t) = 6 cm sm -24 s 16 s
phasenverschoben 3.
=
=
�
·
f1
1r
=
- -
A
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=
=
=
- -
A
•
=- ·
=
A
·
T1
=
=
=
=
- -
0
0
X
Abb. 1.78c
Überlagerung von Schwingungen
83
Manterkennt Leicht, dass die Gesamtbewegung die Periode 48 s hat. Rechnet man fürx-/y-K. 0,. 2 s, 4 s, . . . 48 s jeweils (x(t) ly(t)) aus und trägt den Punkt in ein S. ein, so durchlaufen ergibt sich diewird.Abbildung 1 .78 c, wobei die Pfeile angeben, wie dieseSolche Bahnkurve Figuren, dieheißen durchLissajou-Figuren. Überlagerung von Horizontal- und Vertikalschwin gungen entstehen, =
1.24.2 Eindimensionale Überlagerung
Bei einem Versuch gemäß Abbildung 1.79 sind zwei gela dene Kondensatorplätt chen Gleichgewichtsabstand d0einerbefestigt und mitgetroffen Q bzw. -Qundaufgeladen. Das lSchwingung i nke imPlättchen werde nun von Schallwelle vol l f ührt eine um seine Ruhelage: x (t) = x1 sin(w1 t + 1,01) (nach li nks positiv 1 gerechnet). Dasumrechte PlRuhelage ättchen werde ebenfall s von einer Schallwelle getroffen und schwingt seine gemäß x (t) = x2 · sin(w2t + 1,02 ) (nach rechts 2 positiv gerechnet). +0
-Q
Abb. 1.79
Der Plattenabstand ist dann d(t) = do +x1 (t) + x2 (t) = do +x1 · sin(w1t + 1,01) + x2 sin(w2t + 1,02 ) Man kann zeigen (vergl e iche die entsprechenden Kapitel der El e ktrizitätsl e hre), dass died(t).Spannung am Kondensator proportional zum Plattenabstand ist: U(t) Über die Spannung lässt sich die Gesamtschwingung wieder in Schall umsetzen! 21r = W2 = 15' • • l s e10 do = 3 cm, x1 = x 2 = 1 cm, <,01 = 0, ({)2 = 2 : 1. B e1sp1e T1 = T2 = 1 s : d(t) = 3 cm + 1 cm sin (� t) + 1 cm cos (� t) Die Überl a gerung der beiden Schwingungen gibt eine neue Schwingung mit gleicher Frequenz, aber neuer Ampli tude und neuer Phase - dies gilt immer dann, wenn beide Schwingungen gleiche Frequenz haben! ·
f
Eindimensionale Überlageru ng zweier Schwingungen
RuhCJb
AJ
:
A
A
11
u-1
t>\echanik
84
Wir setzen an: . 211" . ] d(t) = 3 cm +So · Sln (S t+ ipo) = 3 cm + So [sm. S211' t· COS<po + COS S211" t · Slnip o (Summenformeln) Dann soll. 2also gelten: 211" . 211" + s0 · s1n
(I)
1i
>
-rr
�
vr,;
\
x1 (t)+x:;J:f)=x(t)
Abb. 1.80
>
�\echanische Querwelten (eindimensional)
85
1.25 Mechanische Querwellen (eindimensional) 1.25.1 Transversal- und Longitudinalwellen
Wir denkenamunsanderen eine Lange Spiral feder auf Hand, den Boden gelegt undfolgende an einem Ende befestigt; Ende führt unsere der Erreger, Versuche durch: 1. Der Erreger macht eine ruckartige Ausle nkung zur Seite - diese Läuft (Abb. 1 .81 a) als ruckartige Störung durch den ganzen Wellenträger, unsere Feder. E (Erreger) Abb. 1.81a
2.
Der Erreger eine 1.81 ruckartige e nkung zur SeialsteBergundhindurch. dann wieder zurück; dannmacht Läuft (Abb. b) dieseAuslDoppelstörung
Abb. 1.81b
3.
Der Erreger stößt ruckartig in Richtung der Feder; dann durchläuft (Abb. 1.81 c) eine Verdichtung bzw. Überdruckstörung durch die Feder.
Abb. 1.81c
Daausbreiten, sich die nennt obigenmanStörungen auf einem geradl i nigen Träger, der Spiral f eder sie eindimensionale Wellen. In den Fällen 1), 2) spricht man von Quer- oder Transversalwellen (-Störungen), weil die Ausle nkung quer zur Ausbreitungsrichtung erfolgt, während im Falle 3) die Ausle nkung der " Feder teil chenu in Ausbreitungsrichtung der Welle (Störung) erfolgt und folglich eine Längs- bzw. Longitudinalwelle vorli egt. Zur Erklärung dieser Wellen stellen wir uns die Feder als System von Masse punkten können vor, die durch kleine Federninverbunden sind. Bei einerzumeinfachen Quer störung diese dann Schienen senkrecht Träger Laufen. quasi Folgendes vereinfachte Bild erklärt die Querstörung (Abb . 1.82):
t>\echanik
86
Durch da ruckartige Bswegung des Erregers 2
4
3
MBS3ep.r/-
5
emält der erste
"Punkt 1 " g=iangt fn ss
-
bremst, 'Punkt 2' bes:t-Jeunigt.
"
2
1
2
4
3
5
4
3
"Punkt 2" hat ietzt Geschwindigkeit, "Punkt 1" ruht; d8 erste Feda- 'hat ihre Aufga.OO erfüllt'.
"Punkt 2" ist nach oben gelangt und wurde durch d8 zweite Ft.::ler abgebremst, de zugleich "Punkt 3' Gwctrwhdgkeit ver�ehen
hst.
5
Abb. 1.82
Natürlichgedulist ddiese Darstell u ng1"zuoben bild haft undabgebremst stark vereinfacht (" Punkt 2u wartet nicht ig�� bis Punkt i s t und wurde ) , aber sie erklärt " Querstörung. " die einfache -
V
E
Abb. 1.83
1
-
V 2
3
4
5
�\echanische Querwelten (eindimensional)
87
vist die Geschwindigkeit, mit derunddieheißt einzelnen Teilchen auf und ab laufen; sie ist fürderjedes Teilchen zeitabhängig Schnelle. ist die Geschwindigkeit, mit sichderdiekleinen StörungFedern fortpflanzt; sie heißt hängt Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Teilchenmasse und der sieFederist stärke ab und zeitunabhängig. Beirechts einer Querwelle wandern die Teilchen, die Bewegungsenergie haben nicht nach in Ausbreitungsrichtung der Welle, geben aber ihre Energie nach rechts weiter; es findet alsoGeschwindigkeit kein Materietransport nach rechts statt, sondern ein Energietransport mit der Unser vereinfachtes Bild erklärt auch (siehe Abb. 1.83) die Ausbild ung und Fortbewegung desundWellverl enbergs bei dererstentransversalen Doppeleine störung; der Erreger greift zweimal ein e iht dem Punkt' ' zunächst Geschwindigkeit " nach oben, dann nach unten. c
-
c.
1.25.2 Reflexion von Transversalstörungen
Wenn die Störung ans wieder Ende deszumTrägers gelazurück. ngt ist Dabei wird siekanndortdasreflektiert und läuft auf dem Träger Erreger Trägerende festgemacht seinder(festes Ende) oder (Einfachfrei beweglich (loses sEnde); vonhängtder das Art des Endes und Art der Störung oder Doppel törung) Ergebnis der Reflexion ab.
~ V
Doppelstörung erreicht Ende; eigentlich müßte " Punkt 4" Schnelle haben - das ist nicht möglich, weii " Punkt 4" starr ist.
"Punkt 3" 'schießt' nach unten und V\�rd abgebremst, "Punkt 2" er'n.ält Schnelle.
Abb. 1.84
-
V
"Punkt 2" wurde abgebremst, "Punkt 3" wurde von 2 Federn beschleunigt und hat doppelt so große Schnelle.
'Punkt 2' wurde von der linken Feder abgebremst, die 'Punkt 1 ' Schnelle verliehen hat; die rechte Feder hat "Punkt 3" beschleunigt.
Ein Versuch zeigt,wieder dassseine bei einer Einfachstörung nachwährend der Reflexion amReflfesten Ende der Träger ursprüngl i che Lage hat, er nach am losen Ende um das Doppelte der ursprünglichen Auslenkung zur Seiteexion ver-
t>\echanik 88 schoben ist.ist jedoch Dies lässt sich mit der unserem einfachen Bild 1.leicht erklären, viel wichtiger die Reflexion Doppel s törung (Abb. 8 4). " nach der Reflexion Aus Abbil d ung 1. 8 4 folgt, dass ein Doppelstörungsberg " " amErläuterung festen Ende alsLeser"Doppelstörungstal zurückläuft! Aus Ende Abbildung 1.85," wieder deren dem überlassen sei, folgt, dass am losen ein Berg " als "Berg" reflektiert wird. •
-
V
V
•
�
V
V
�. -
V
Abb. 1.85
Die Ergebnisse der Modellüberlegung lassen sich experimentell voll bestätigen! Trägerende werden Störungen reflektiert. BeiRichtung, Doppelstörungen erhältläuft, man beiAmam festen losem Ende einen Well e nbauch in gl e icher der rückwärts Ende einen "Bauch" in Gegenrichtung. 1.25.3 Die sinusförmige Querwelle
Bis jetzt wurde eine einmal i ge (zweimal i ge) Störung des Trägers betrachtet, jetzt soll eine fortgesetztedurchführen Störung erfolgemäß gen; s(t) speziell der Erreger eine sinusförmige Schwingbewegung = sollsinwt. Abbildung 1.86 zeigt das sjt-Schaubild der Erregerschwingung .. s·
s
Abb. 1.86
89 DiedieBuchstaben bis kennzeichnen bestimmte Schwingungspositionen, z.EinB. 5Versuch maximale Auslenkung nach oben, den NuLLdurchgang nach � usw. 3 zeigt, dass bei zeitli ch sinusförmiger Erregung sich auf dem Wettenträger eine räumtich sinusförmige Wette ausbreitet. Bild derT Wette auf dem Träger - sjx-Schaubild nach T T t1 12 t2 4 ' t3 2 � T (Abb. 1.87): �\echanische Querwelten (eindimensional) 51
=-.
=-,
56
54
=-)
=
Nach der Zelt T/1 2 hat dEt' Erreger dls Ausleol<�.mg 8,'2 errel::ht und Ist rn Pcml::fi �- WfN! sldl d>"l Stönmg mit der .I>J.JSbret
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$:=:!-'---x---
t3=Tf2 x
tungsgesctmlrd�k€lt c eusbrelt&! und rn dEt' 1\:0::00 T der Sclwlngmg dls &recke >. zurllcldegt (.\:ol), hat cle Anfut1gest&ung da Strecke :V12 Q83chafft - die eotBprochEt'lde Tri:lgerstell:> 1st h Pce�l::fi
�-
Nsch Tf2 1st der ErregEt' b�
0 ln Pceltbn S,, dls Mlsngsstö-
rung Ist tel x::V2 urY.:t cle msxlmsle Auslsokung
� x=:V...
Abb. 1.87
Bemerkungen:
1. Nach derSinuswette Zeit T hatzudersehen, Erregeraneine Schwingung durchgeführt, auf dem Träger = .A beginnt die Schwingbewegung istaufeine der SteLLe x dem Träger (Abb. 1.87 unten). Hört der Erreger jetzt auf zu schwingen, so durchläuft diese eine Sinuswette den Träger; schwingt der Erreger weiter, so entsteht auf dem Träger eine fortgesetzte Sinuswette. Die Energie, die in die Erregerschwingung gesteckt wurde, durchläuft den Träger mit der Geschwindigkeit 2. Wir betrachten etwa das Teilchen des Trägers bei x Dieses ist für t2 !4 inSTPosition ft.ir t3 !2 in Position 53 für � = T i� Position 55 und für t5 4 in Position d. h. es voltführt wie der Erreger eine Schwingbewegung mit (von Dämpfungsverlusten abgesehen) Amplitude und Zeitdauer T, aLLerdings beginnt diese Schwingbewegung um � später. Jedes Teilchen auf dem Wettenträger voltRuhetage; führt einediese erzwungene Schwingbewegung mit verspätet der Erre gerfrequenz um seine Schwingbewegung erfolgt aber gegenüber der des Erregers. c.
=
51,
56,
=
.A = -.
s
90
t>\echanik
und gibtaufdiedemEntfernung zwischengilt zwei c(gl· Teich(in der gerichte ten) Nachbarwellenbergen Träger an. Dabei Zeit T hat Position S1 gerade mit c die Strecke .A zurückgelegt) oder I� � c oder A f � cI (F1.54 a, b, c) Phasenunterschied der Schwingung eines Trägerpunktes an der Stelle x 4. Der gegenüber der Erregerschwingung istx ist.umso größer, je weiter der Punkt vom Erreger entfernt ist, d. h. je größer Der P un kt be1. x .A 1.st - w1·e m· 2) erl"autert - um -T 1n. der Ze1t,' d . h . um 1igegenüber dem Err!gerT hinterher, der Trägerpunkt �ei x �2 beginnt sein; Schwingung erst nach hinkt also um in der Phase hinterher; allg emein hat das Teilchen an der Stelle x des Trägers gegenüber dem Erreger den Phasen unterschied � · 211 Für die Auslenkung des Teilchens bei zur Zeit t gilt also: s(x : t) s · sin(wt -
.A =
·
=-
2,
=
1r
'P =
x
=
=
·
·
·
<
.A -
.A
< w
-
Bei spiele:
w
·
.A
> -
.A
(
"
.A
)
Auslenkung für t 43 T be1. x s(x) t) s · sm. 21i · 43 T - 2 · ""I211 � S · sin (� r. - ") � S · sin G) � s '-;;:';; Auslenkung für t 25 T be1 x 43 .A s(x : t) s · sm (T211' · 25 T - 43 · T211) s · sm (511' - 23 1r) s sm (27 1r) -s Auslenkung für t = 23 T bei x = 47 .A s(x, t) = s · sin (T211' · 23 T - 47 .A · ""I211') s sin (-V X (Argument negativ) richtig: 0 =
=
=
=
•
A
2�
=
=
=
�
=
o
A
A
A
�
=
=
·
=
.A
,
=
o
·
T
A
91
�\echanische Quenvellen (eindimensional)
Da jeder eine PunktKosinusfunktion; eine Sinusschwingung Schnelle genauer gilausführt t: wie der Erreger, ist seine v(x, t) s(x, t) ! s(x, t) � ( � 211) cos (wt - � 211)
=
=
=
· COS u-1: -
.
=V.
.
s
Abb. 1.88 7.
sind solche, die sich in einer festen Ebene ausbreiten, welche tdurch die Erregerschwingung unddie den Weltenträger festgelegt ist. Wechsel der Erreger dagegen dauernd Ausbreitungsrichtung, entstehen nichtpolarisierte Welten. Polarisierte Wellen
s
Abb. 1.89a s
Polarisierte Welten ligehen unbeeinträchtigt durch einen Spalt, der in der Polari s ationsebene egt (Abb. 1.89 a); li egt der Spalt senkrecht zur Pola risa tionsebene, so wird die Welle gelöscht (Abb. 1.89 b ). Liegt der Spalt schräg zur Ebene, dann werden die Komponenten senkrecht zum Spalt gelöscht. Abb. 1.89b
92
t>\echanik
1.26 Überlagerung von Wellen
Bei der l a ngen Spiralfeder (siehe Kap. 1.25 ) kann man auf beiden Seiten Doppel störungen erzeugen, die dann aufeinander zu laufen. Man stellt fest, dass sie sich ungestört durchlaufen und dass dort, wo sie sich durchkreuzen, sich die Auslenkun gen addieren. Laufen zum Beispiel zwei "Wellenberge" aufeinander zu und treffen " " aufeinander, so sieht man kurzfristig einen doppel t so hohen Berg ; tri fft Berg " " ", so sieht man kurzzeitig völli ge Auslöschung. Dies folgt "auch aus auf Tal " unserem einfachen Modell , wie in Abbil d ung 190 a für zwei " Berge und in " Abbildung 1.90 b für "BergjTal ausgeführt ist. V
V
-
V
V
Abb. 1.90a
DieseaufErgebnisse sich auf glStörung eichläufige Doppelstörungen, Einzelstörungen und Wellen mitlassen fortgesetzter verallgemeinern: Treffen zwei Wellen an oder einergegenl Stelle äaufeinander odersounterl i egt dersichTräger einer Überlagerung gl e ichufiger Wellen, addieren (an dieser Stelle) die Auslenkungen und daher auch die Schnellen. Überlagert man gleichläufige sinusförmige Wellen, deren Schwingungsebene und Wellenlänge (bzw. Frequenz) gleich ist,
so ergibt sich wieder eine sinusf6rmige Wel le derselben bzw. Wellevom nlänge, deren Amplituded (Maximumsabstand vom Phasenunterschied (Winkel im>.) derBogenmaß) Gangunterschied in Anteilen von Ausgangswellen abhängt. 1. Beispiel: 0 bzw . d 0, d. h. gleichphasige Überlagerung (Abb. 1.91 a) dann addieren sich die Ampl i tuden zur neuen Ampl i tude (bei gl e icher Ampl i tude Verdoppelung).
=
93
Überlagerung von Wellen Berg ---
-
V
-
V
-
-
V
V
'keine Queraus!enkung"
-
V
�--- Tal
V
V
-
V
Abb. 1.90b
s I
I
/
/
',
Welle 2 t-.
�
X
Abb. 1.91a
bzw. d �'2 d. h. gegenphasige Überlagerung (Abb. 1.91 b) dann ist die Amplitude der Überlagerung die Differenz der beiden Amplituden. 2. Beispiel:
r.p =
1r
=
Speziell löschen sich die beiden Wellen gegenseitig aus, wenn ihre Amplituden gleich sind!
(Dies gilt solange beide Erreger weiterschwingen) 3. Beispiel: Die Überlagerung zweier Wett e n, deren Welt e nl ä nge (bzw. Frequenz) sich gering fügig unterscheidet Liefert Schwebungen auf dem Träger (im sjx-Schaubild)
t>\echanik
94
X
Abb. 1.91b
1.26. 1 Überlagerung einer Welle mit ihrer "Reflexion.u Ausbildung stehender Wellen
ImdurchFolgReflexion enden sollameinefestenWelleEndemitentsteht der gegenl(Abb. äufigen Welle überlagert werden, die 1.92). s
-
fes1E<3 Ends Dia enlaufends Welle erreicht erstmals dss Trägernnde, Beginn der Reflexion.
x
Gestricr� ist gaz€ichnet, wia die WeJ:e ohne Reflexion v/OOerliefe. Der ges!rich9!te Teil v.ird reflektiert, dabei wird
refl. Wella
"Berg• zu
X
"Tal". Einlaufende und reflektierte Wels looch9n
sich aus.
'
Dia enlaufends und die reflektierte (punktiert) V•ielle lagern
sich so,
daß Verdopplung entsteht.
Einlauiande und reflektierte WeJ:e 100ch9n sich aus. X
s
/ - , ....
_
' _
/
'
��1di��
/
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- '
/ ...
--
'
/
- ....
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'
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'
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...
I
'
I
'
X
X
". ....
' X
_
--
I
/ X
gezeichnete) Überlagerung ist eine so genannte stehende Welle:
ubar
Überlagerung von Wellen
95
"" ) - sie heißen Knoten. rund gibt Punkte, die dauernd in Ruhe bleiben ( " Oie Punkte genau zwischen den Knoten ("eckig ) haben stets die größte Ausle nkung (Bäuche) und -4 später - wenn überall die Querauslenkung 0 ist - die größte Schnelle (Schnellebäuche). 3) Alle Punkte zwischen zwei Nachbarknoten schwingen in Phase (erreichen die maximale Nachbarknoten Auslenkung undschwingen den Nulldurchgang gleichzeitig) nächsten in Gegenphase dazu. - die zwischen den Führt manamdenfesten Versuch mittatsächl der liachngeneineSpiralfeder durch,die soaufgrund erhält dermanKno bei Reflexion Ende solche Welle, ten zu stehen scheint. Knoten befinden sich am festen Ende, sowie in der Ent3 A fernung 2 , A, 2 A, . . vom festen Ende, Bäuche folgen genau dazwischen ebenfalls im � -Abstand. Bei der Überlagerung einer Welle mit ihrer am losen Ende reflektierten Welle A t man ebenfall stehende Welle mit Knoten und Bäuchen im 2 -Abstand -erhäl allerdings ist jetzts eine am Ende ein Bauch. 1) Es 2)
T
.
1.26.2 Stehende Wellen in Trägern
Einproduziert Seil seieinzwischen zwei Punkten fest eingespannt. Nahe des Anfangspunktes ErregerWelle eine Seilwelle, dievorderen zum hinteren Endedortläuft,wieder dort reflektiert reflektiert wird, die reflektierte läuft zum Ende, wird usw. Durch viel fa che Reflexion entstehen viele Well e n, di e sich alle überlagern normalkeine erweisedauerhafte werden sivernünftige e sich gegenseitig auslöbestimmten schen bzw. Bedingungen die Überlagerung ergibt Welle! Unter aber können sich dauerhafte stehende Wellen ausbilden, man spricht auch von Eigen schwingungen des Wellenträgers (dieser besteht eigentlich aus vielen durch kleine I Ist ole Tffig:ri�e
durchgezog:n lst d� m::mm!llnil Trllger B>..I31enloJng, gestrlch:;lt d� /ws k:olo.Jng Tf� �ff
3. M .. "gk:hkelt l'2. ObEro:hw:ngung)
3 Knoten
1 Beu::h
:2 B�.!Ch9
Abb. 1.93a
(3. Obfre:hw:ngung)
k-te Cb:rectw1ngt.ng
slro X:! = �/3 1
sloo >.3 = � '/•
lk+1} · � = I 800 >.� = � ���..,
3 Br.>.x:he
4 Br.>.x:ha
k+1 B�ha
�
�
fj( = •Y.;.1) r{
3 j� :1. = 1 :2 Knoten
4. ,,�k:hkelt
4 Knoten
=
3cj� 1
2 :1. = 1
5 Knoten
=
' 4 � ,
k+:2 Knoten
21
96
t>\echanik
gekoppel1.tenArtMassepunkten und ist ein Schwinger 2. Art im Gegensatz zuFederehen den Schwingern aus 1.22). Diese Bedingungen werden jetzt untersucht (Abb. 1.93) . 1. Fall: Zwei feste Enden (Abb. 1.93 a) - dort müssen bei einer stehenden Welle Knoten sein! 2. Fall: Zwei lose Enden (Abb. 1.93 b)-dort müssen Bäuche sein (der Träger kann hier kein Seil sein, sondern etwa ein Metallstab, der an einem Knoten eingespannt ist)! Abb. 1.93b
GS : -A2 = l, also Ao = 2 l 1 . OS A = l, also At = l 3 2 2. OS - A = l. also A2 = -l 2 3 2l k. OS : AK = K + 1 3. Fall: Ein festes und ein loses Ende - Knoten am festen, Bauch am losen Ende (Abb. 1.93 c). :
:
--
. . . . .
Abb. 1.93c A : - = 4 3 -A = 1. 4 2. -A = 4 : AK =
,'
GS
l, also Ao = 4 l OS : l, also At = 4-3 l OS : 5 l, also A2 = 4-5 l k. OS 2 K4+l 1 ---
1.26.3 Saitenschwingungen
Die Schwingung einerbelSaiteiebiglässtgenau sich nach FourierAbbildung durch Überlagerung geeigneter Eigenschwingungen annähern. 1.94 zeigt, dass die Grundschwingung noch keine gute, die Überlagerung von GS und 2. OS eine schon viel Annäherung der Saitenschwingung darstellt. legt bessere den Grundton, die Oberschwingungen (Obertöne) legenDiedieGrundschwingung Klangfarbe fest.
97
Überlagerung von Wellen
I
-
Uberiagerung von GS und 2. OS
Abb. 1.94
Bemerkung: Schwinger 2. Art können unendli ch viele Einzelschwingungen aus führen, solc he 1. Art (siehe Kap. 1.22) nur eine einzige. Aufgabe 1: Eine Drahtlo cke wird auf die Länge L"' 5 m ausgezogen und an beiden Endenstehende fest eingespannt. Durch Erregung mit "der. WieFrequenz f "' die2,5 Ausbreitungs Hz bildet sich eine Querwelle mit drei Bäuchen groß ist " fortlaufenden Welle? Wie Lange dauert geschwindigkeit der zugrunde L i egenden es,undbiszurück eine Läuft? kurze Querstörung, an einem Ende ausgelöst, die Locke fünfmal hin � Lösung: Es handelt sich um die 2. OS (Abb. 1.95) mit .X · = L, 2 10 d.h . .X =-2 L =-m 3
3
1=5m
Abb. 1.95
10 L =50 m = 6 s G esc hwtn. d"1g ke1t:. c = , f =-103 m 25 Hz =-253 -ms ; Ze1.t: t =-c 25 m 3 s Aufgabe 2: Ein Querwelle nerreger mit T = :o s schwingt zur Zeit t"' 0 gerade mit maximal e r Geschwindigkeit nach unten durch seine Gl e ichgewichtslage (Ampl i tude � = 1, 5 cm). Man beobachtet, dass der anschli eßende Welle nträger zur Zeit t1 = 8 s bei x = 9 m erstmals in die positive s-Richtung, d. h. nach oben zu schwingen beginnt. a)desWieTrägers großzursindZeitf, .Xt und c? Wie sieht das Auslenkungs- und Schnellediagramm 1 aus? b) Der Träger ist 205m Lang und besitzt ein festes Ende. Wie sieht die Auslenkung im Träger für t2 8 s aus? 20rr 1 10 . Losung: a ) f = - = - Hz, = 2-1 , , = - H z; nac h Vorga b e g1" Lt für d en ErreT 3 3 ger: A
· -
•
s
=
-
w
-L
.
t>\echanik 98 20 s(t) = -s sinwt. = -1,5 cm · sin ( 11" t) und für den Träger (solange das Ar201T t - :x- · 21r) gument des S1nus mc. ht negativ. 1.st)3: Ss (x, t) = -1,5 cm · sm. (35 Da der Trägerpunkt bei x = 9 m nach t1 = �8 s gerade eine halbe Schwingung hinter sich hat (erstmal s nach oben!), ist das Argument des Sinus dann d. h. 201r 3 s - 9 m · 21r = bzw. -5 - -18 m = 1 bzw. -3 = -18 m >. = 12 m 3 s 8 1°>. 2m >. 2 >. c =m>. · 3f = 3 Hz 12 m = 40 s ; nach t1 hat die Welle die Strecke · kgeLegt. Ze1c. h net man von x 15 m aus d"1e Kurve m1t. 40 ·- s = 15 m zuruc s 8 >. = 12 m rückwärts, so erhält m das sjx-Bild von Abb. 1.96. X
-
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1r
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-
S, V
s
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- - - · - - - - - - - - -
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��
20 m
' ' _,
201r - -- · 21r) . t) = -1,5 cm 2011" cos (-t v(x, t) = s(x, 3 s 3 s 12 m m D1e. Sch neLLeampt1tu· de 1st. = 1 : 5 cm 2011" = 0, 1 11" 3 Schnell s e 0, sbei Nulldurchgängen ist sie Bei Maxima und Minima von s i s t di e betragtich maximal - so erhält man Leicht die vjx-l
X
· -
·
-
·
s
-
Überlagerung
reflektierte \l\1elle
I
,
/
Abb. 1.97
,
,
, ,
,
X
99 " von x 25 m aus erhält man die einlaufende Welle, Durch Rückwärtszeichnen " durch festen Ende die (punktierte) lagerungReflexion beider diame (Gesamt-)Auslenkung (Abb. 1.97)reflektierte und durch Über Längswellen (Eindimensional)
=
1.2 7 Längswellen (Eindimensional) 1.27. 1 Ausbreitung von Überdruck- und Unterdruckstörung
Zunächst soll versucht werden, dieVersuch Ausbreitung einer einfachen Überdruckstörung (Verdichtung) vom Kap. 1.25.1) 3 mit dem einfachen Modell zu erklären; dies geschieht in Abbildung 1.98 a. In Abbildung 1.98 b wird die Ausbrei t ung " einer Verdünnung ("Unterdruckstörung ) dargelegt.
Abb. 1.98a
-
-
---.. c
V -
E �
Abb. 1.98b
-
--� c
ImhandVersuch erzeugt man ameineAnfang einfacheder Verdünnungsstörung, indem die Erreger kurz und ruckartig l a ngen Spiral f eder zieht. "-Störungen durchlaufen den Träger in Form von Über' ' bzw. Unterdruck " " Verdünnungen undv dieVerdichtungen. istSchnell wiedere derdieTeilkonstante Ausbreitungs geschwindigkeit, zeitabhängige c hen. Bei Längswellen sind beide paral l el gerichtet und zwar gl e ich gerichtet bei Überdruck und entgegengesetzt bei UWelle nterdruckstörungen. Polarisierte Längswellen ". kannManes kann nichtauch gebengerichtet die ganze verläuft ja auf der Trägergeraden " eine Kombination aus Verdichtung und Verdünnung (Doppel störung) imderVersuch undin Modell betrachten,sinusförmig wichtigerschwingt. jedoch sindAbbilLängswellen, bei denen Erreger Trägerrichtung dtung 1.99 erläutert vereinfacht die Entstehung und Ausbreitung der daraus resul ierenden sinusförmigen Längswelle auf dem Träger. c
100
�techanik Nr. 1
Zeit
Erreg9r
0
Nr. 2
Nr. 3
Nr. 4
Nr. 5
I
Da" Erreger beginnt die ainusförrnlge S::hwingbe11egung
Teilchen 1 nsch rechts, slao Verdichtung zvlischen Nr. und 2.
T/4
1
Teilchen 2 nsch rechts, slao Verdichtung zvlischen Nr. 2 und 3; zugle
T/2
Nr. 3 nach rtdota, 1/eroi:htung zwischen 3 und 4.: 2 n.. <>ch links, Erreger nsch links, sloo Vsrdunm.r.g zwischeo 1 und 2 bzv1. 2 und 3.
3l4 T
4 nach rechts: Verdichtung 4/5; 3 nach lh.l;s, 2 nach lrl-
T
4 nach rnka, 3 nach links, 1 , 2, 5 nach rechts: Verdlrlnungen 3/4 lnd 4/5, Verdichtungen 112, 2/3, 5/6.
5/4 T 3/2 T
Abb. 1.99 Man erkennt:
1. Schwingt der Erregermitsinusförmig, so führt auch jedesfehlTeilchen eine erzwun gene Schwingung der Erregerfrequenz und (bei e nder Reibung) der Erregerampl i tude in Längsrichtung um seine Gl e ichgewichtslage aus. Die Phasenverschiebung gegenüber dem Erreger ist umso2 größer, je weiter das x · Teilchen von diesem entfernt ist, wieder gilt : (vergleiche Kap. 1.25.3). 2. Es wandern sinusförmige Überdruck-/Unterdruckwellen im Träger nach rechts, wobei für die Wellenlänge diec wie Frequenz die Schwingungsdauer T undKap.die Ausbreitungsgeschwindigkeit bei f,Querwellen gilt (vergleiche cp =
.X,
1.25.3): =
.X
= .X
= .X
c T oder c · f oder T c 3 . Es haben bei Abbildung 1.99 in dem Bereich, wo sich die Welle bereits ausgebildet hat, all e Teil c hen an Unterdruckstellen (0) eine Schnelle ent gegengesetzt zur Ausbreitungsrichtung, und alle Teilchen an Überdruckstellen (c::J ) eine Schnelle in Ausbreitungsrichtung. Bei den Teilc hen mit maximaler " (Übergang von Über- zu Unterdruck) und Auslenkung ist der Druck normal " die Schnelle ist 0. -
·
p, v
p {1
X
Abb. 1.100
101 4.SomitIn einem Überdruckdiagramm gibt fürp dieUnterAbweichung vomfür Normal druck an.In ist p positiv für Über-, negativ und p 0 Normaldrude einem SchneLLediagramm wird v positiv betrachtet, wenn die SchneLLe in Aus breitungsrichtung zeigt, ansonsten negativ. Aus 3 . folgt dann, dass die p(x) Kurve1.100). und die Dav(x)-Kurve beiaberforttaufenden Längswet te n inhaben, Phase kann sind (vergleiche Abb. p und v verschiedene Einheiten manin Längs sogar beide Kurven aufeinander L e gen." Man beachte aber, dass die SchneLL e richtung zeigt." Längswellen (Eindimensional)
""
1.27.2 Reflexion von Längswellen
Mit dem einfachen Modelt kann bzw. man untersuchen, wie einfache Überdruck- bzw. Unterdruckstörungen am festen tosen Ende reflektiert werden . festen Ende Abbil d ung 1.101 a macht deutl i ch, dass eine Überdruckstörung am wieder hier um!als Überdruckstörung reflektiert wird - die SchneLLevektoren kehren sich
Abb. 1.101a
am tosen (Abb. bleibt 1.101 b)hieralserhal Überdruckstörung re flEineektiertUnterdruckstörung - die Richtung derwirdSchneLLevektoren ten! -
V -
-
V -
� Abb. 1.101b
Man kann auch die beiden restl i chen FäLLe (Reflexion von Überdruckstörung am tosen bzw. Unterdruckstörung am festenVersuch Ende)mitim derModeLL untersuchen undbestädie gefundenen Ergebnisse im praktischen L a ngen Spiral f eder tigen; zusammenfassend ergibt sich:
�techanik
102
Am festen Ende werden Überdruckreflektiert; - als Überdruckstörungen und kehren Unter druck al s Unterdruckstörungen die Schnellevektoren ihre Richtung um. 2) Am losen Ende werden Überdruck - als Unterdruckstörungen und Unter druck - als Überdruckstörungen reflektiert; die Richtung der Schnellevek toren bleibt erhalten. 1)
1.27.3 Reflexion einer sinusförmigen Längswelle am festen Ende/losen Ende
Man interessiert sich-hierfür weniger für die Auslenkung der Teilchen, sondern - im Hinbl i ck auf Schall den Druck- und Schnelleverlauf der Überlagerung von einlaufender und reflektierter Welle. Im Sinne von Kap. 1.27.1 Punkt 4) darf man dieReflexion gleicheamKurvefestenfür dieEndeeinlgilaufende Druckund Schnel lÜberewelleinverwenden; bei" aber der t dann die Regel, dass Überdruck " " verwandel t wird. So behandel t Abbild ungKurve 1.102 a positive in negative Schnell e "den Schnelle- und Abbild ung 1.102 b den Druckverlauf. Die einlaufende ist durchgezogen, die reflektierte punkti e rt, die Gesamtkurve (Überlagerung) fett gezeichnet. V
Beginn .. _ , ,
X
Tf.t später
X
a T� später ' ,
Abb. 1.102a
X
Stehende Welle mit Schnelleknoten am festen Ende
Bei der stehenden Längswelle sind Stellen mit Schnelleknoten solche mit Druckbäuchen und umgekehrt. BeieinderDruckbauch Reflexion amaus,festen EndeReflexion bildet sicham dort ein Schnelleknoten und zugl e ich bei der losen Ende ist dort ein Druckknoten und zugl e ich Schnellebauch. Ein Druckbauch ist eine Stelle maximaler Druckschwankung zwischen Über- und Unterdruck. Ergebnis:
103
Zweidimensionale Wellenfelder (mechanischer Wellen) p .. ... - -
..
\,
.. . .. ...
,
,
X
... �"'
.. ... ... ""
X
... ... .. ...
' '
X
,'
,'
X
Stehende Welle mit Druckbauch em festen Ende
Abb. 1.102b
1.28 Zweidimensionale Wellenfelder (mechanischer Wellen)
Wasserwellen, die sich an der Wasseroberfläche ausbreiten, sind zweidimensio naL , d. h. sich in zeigen: einer Ebene ausbreitende mechanische Querwellen. Versuche miteWasserwellen 1. Von einem punktjörmigen Erreger wandern Welle nberge ( und -täLer) in konzen trischen Kreisen nach außen. 2. Streifen Die WellenderzAuslöschung eier punktförmiger Erreger überLagern sich (inteiferieren) so, dass entstehen. 3. Die Wellen vieLer punktförmiger Erreger nahe beieinander überLagern sich so, dass nahezu paralleLe Wellenfronten entstehen, wenn die Erreger auf einer Geraden Liegen. 4. Treffen paralleLe Wellenfronten auf einen SpaLt, so entsteht dahinter bei einem engen SpaL t eine Kreiswelle, bei einem breiteren SpaL t entstehen Zonen der AusLöschung und der Verstärkung (Abb. 1.103 a, b ) . w
Abb. 1.103a
Abb. 1.103b
104
�techanik
Auchtenwennnebeneinander, parallele Welltreffen, enfrontengibtaufeseinAuslöschung Gitter, bestehend aus vielen engen Spal und Verstärkung Erklärung zu 2.: DieMinimumkreise}f Erreger E1 und E(normal im Wechsel Maximum kreisel f (fett gezeichnet) und 2 "sendenugezeichnet " außen. gerade Wir nehmen an,e nlänge dass sieA "phasengleich schwingen und dass ihre) nach Entfernung der Well entspricht; ferner sollen sie zum Zeitpunkt von Abbil d ung 1.104 beide gerade einMaximum Maximum haben. DieundAbbildung 1.104 zeigt die beiden Wellenfelder. Da, wo auf Maximum Minimum aufMaximum Minimumauftrifft, addieren sichLöschen die Wellen zur doppel t so hohen Welle; dort, wo Minimum trifft, sich die Wellen gegenseitig aus.
5.
/ Auslöschung
Auslöschung
Abb. 1.104 zu 3.: EsAErklärung ist wieder angenommen, dass alle Erreger in Phase schwingen und ihr Abstand sei.1.105 Fernersindsollendie zurMinimumkreise Zeit von Abb." 1wieder . 105 alle Erreger ein Minimum haben. In " fett Abb. die "1.105) Maximumkreise " agerung der Kreise normal, gezeichnet. Durch Überl (siehe Abb. ergeben sich nahezu geradli nige Maximum- und Minimumwellenfronten.
Abb. 1.105
Die Aussage 1) kann jeder bestätigen, der einen Stein ins Wasser wirft und das Well e nbild beobachtet, sprechend genau erklärt!die Aussagen 4) und 5) werden im Kapitel Optik ent
105
Zweidimensionale Wellenfelder (mechanischer Wellen) Weitere Beobachtungen bei Wasserwellen:
6. Senkrechten ParalleLe Wettenfronten werden angiLtHindernissen so reflektiert, dass für die,B der Wellenfronten : EinfaLLswinket Reflexionswinket (Reftexionsgesetz) (Abb. 1.106) o:
=
Abb. 1.106
7. d.Beimh. dieÜbergang zwischen unterschiedLhatichen Medien werden/3Wetten gebrochen, Senkrechte zur Wettenfront einen Knick: (Bei Wasserwellen sind fLaches bzw. tiefes Wasser unterschiedLiche Medien) (Abb. 1.107). o: >
Lot
Abb. 1.107
1.28. 1 Erklärung der Reflexion (Abb. 1.108)
Die eint a ufenden Maximafronten sind fett gestricheL t gezeichnet. Die erste dieser (jetztderimRefLexion BiLd ganzamrechts) erzeugt zuerstdiebeisichA, dann bei B,Zentren schLießtaus ich beiFronten C wegen festen Ende Minima, von diesen kreisförmig um A, B, C ausbreiten (normaL gezeichnete Kreise) ihre ÜberLage rung istKreistangente. die durchgezeichnete austaufende Minimumfront durcherzeugtdie entspre gemein same Die mittLere eintaufende Maximumfront chend die fett durchgezogene austaufende Minimumfront durch B (über den fett gezeichneten Kreis).die Derdie Radius des großen Kreises ist die Laufstrecke derC Welle in der Zeit 2T, eint a ufende rechte Maximumfront von A nach braucht; er entspricht aLso genau dem Abstand der L i nken zur rechten Maxim umfront. Die Dreiecke ACD ACD2 sind aLdieso Ergänzungswinket kongruent nach SSW und {90°-Winket, 1 undDamit = gLundeiche,B aufSeite AC AD CD1). sind ß von : 90° gLeich,2 aLso = C
o:
{3.
0:
o:
106
�techanik
Abb. 1.108
1.28.2 Erklärung der Brechung (Abb. 1. 109)
Eswird,wirddieangenommen, dass im unteren Medium, das al s das dichtere bezeichnet Ausbreitungsgeschwindigkeit dersindWelwieder le n kleiner ist als im Maxim oberen (dünneren). Fett gestrichel t gezeichnet die einlaufenden umfronten. Die rechte Front erzeugt nacheinander bei A, dann bei B, dann bei CMedium im unteren Medium- normal Maximagezeichnete (keine Reflexion!), die sich kreisförmig imdieunteren ausbreiten Kreise. Ihre Überl a gerung ist durch gezeichnete auslaufende Maximumfront, die gemeinsame Kreistangente. Entspre chend erzeugt di e mittlere einl a ufende Maximumfront den fett gezeichneten Kreis und die fettMedium gezeichnete auslaufende Maximumfront. In der Zeit T wird imim dünneren die Strecke s durchlaufen (mit der Geschwindigkeit c ), 1 1 dichteren die Strecke s2 . Dabei gilt : s1 c1 · T, s2 c2 · T =
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dünner
Abb. 1.109
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107 S1 = -C1 T = C1 . bzw. -ß s1nd Wegen cos = ABS1 . cosB-' = ABS2 folgt COSO: = C2 T c2 auf 90 o, s2 Ergänzungswinket cosBrn deren nicht Einfaltsund Brechungswinket, sonde' d. h. . = 90° - . p = 90° - Setzt man dies einc1undcosberücksichtigt, dass für ( sino: ° o:) 90 bet. Wmket
a
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o:
-
·
a
a,
ß.
-
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a >
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J
.
108
Wärmelehre
2
Wärmelehre
2.1
Die Temperatur und ihre Messung
" oder "heiß" an. Dabei können zwei Menschen den Körper fühlen sich kalt " glempfinden. eichen Wärmezustand einesMensch Körpers,empfindet d. h. seinemitunter Temperatur, als verschieden Auch der einzelne die gl e iche Temperatur almits verschieden/ wie fotgender Versuch zeigt: Auf einem Tisch stehen drei Behäl t er heißem bzw. kaldannteminsbzw.tauwarme tauwarmem Wasser. Taucht man mit derWasser LinkenseiHand zuerst ins heiße/ Wasser, wird man sagen, das kalt; taucht man dann mit der rechten Hand zuerst ins kat t e und dann ins tauwarme Wasser, wird man dieses als warm bezeichnen. Zur Messung der Temperatur braucht man also ein objektives Hilfsmittel, das Thermometer. der HersteLLung eines Thermometers nutzt man das Ausdehnungsverhatten vonBei Körpern beim Erwärmen aus. Dazu seien zunächst drei einfache Standardversuche beschrieben! Beim ersten Versuch wird eine Eisenkuget, die genau durch das Loch einer Eisenplatte passt mit einem Brenner erwärmt. Zunächst passt die kat t e Kugel durch das Loch (Abb. 2.1 a). Nach dem Erhitzen der Kugel passt diese nicht mehr durch das Loch (Abb. 2.1 b) - sie hat sich ausgedehnt. Schli eßtich wird auch die Platte mitisdem LochDurchmesser erhitzt, worauf dieLochsheißebeimKugelErhitzen wieder größer hindurchgeworden passt offenbar t der des (Abb. ist nicht und Ring2.1 c).kannAbbilmand ungmit2.1bloßem Augemaßstabsgetreu nicht erkennen!- die Ausdehnung von Kugel Abb.
2.1
=0= � =0= a)
b)
c)
Beimeinem zweiten Versuch wird ein Gla skotben mit gefärbtem Wasser gefüLLt und oben mit Korkpropf verschlossen, in dem ein dünnes Gl a srohr steckt, das in die Flüssigkeit ragt. SteLLtWasser manimdieseRöhrchen Anordnung ineseindehnt Bad sich mit heißem Wasser, so steigt das gefärbte hoch aus. Beim dritten Versuch wird (siehe Abb. 2.2) ein LuftgefüLLter Glaskotben mit der Öffnung nach unten in ein Wasserbecken getaucht und der Kotben mit der Hand gehalten.Luftblasen Man siehtimwieWasser die auf. LuftOffenbar im Kotbengenügt sich bereits ausdehntdie -Handwärme, nach kurzerdamit Zeit steigen sich die Luft deutlich ausdehnt. Feste/ flüssige und gasförmige Körper dehnen sich beim Erwärmen aus (auch die Durchmesser von ÖffnungenDabeiwerden dabeisichgrößer) und ziehen sichausbeimals Abkühl e n wieder zusammen. dehnen Flüssigkeiten stärker feste Körper und Gase dehnen sich am stärksten aus.
109
Die Temperatur und ihre Messung
n 0 � 00 Luft
Blason
Abb. 2.2
Wasser
Folgerungen:
PlReifen atzenerhitzt von Autoreifen bei starker Sonneneinstrahlung, da sich die Luft im und ausdehnen will. 2) Dehnfugen sollen bei Schienen und Brücken ermögli chen, dass sie sich im Sommer problemlos verlängern und im Winter zusammenziehen können. Beim Flüssigkeitsthermometer (Abb. 2.3) hat man ein dünnes Glasrohr mit einem Vorratsbehäl ter fürausdieundFlüssigkeit (z. B. Quecksilber) . Man wählt jetzt zwei Tem peraturfixpunkte markiert den Stand desder Wassers Quecksilbersäul e bei und diesendenübl i cherweise nimmt man den Gefrierpunkt als unteren Siedepunkt des Wassers als oberen Fixpunkt. 1)
2. Fixpunkt
1 . Fixpunkt
Quecksilber
Abb. 2.3
Bei der Celsiusskala wird derzwischen unterebeiden Punkt inmit1000 gleiche °C und Teile der obere miltt.100Steigto c bezeichnet und die Strecke untertei die Quecksilbersäule um ein solches Teil u , so ist die Temperatur um 1 oc " gestiegen. Beachte: 1. Die Temperatur wird in o c ( Grad Celsius) angegeben, der Temperaturunterschied aber in K (Kelvin) ; der Buchstabe für die Temperatur ist -8. Sei beispielsweise dieTemperaturunterschied Temperatur am Morgen�:t9 15 10K °C, am Nachmittag -82 25 °C, so ist der 2. In den USA ist anstelle der Cels iusskala die Fahrenheitskala gebräuchli ch, bei der der Gefrierpunkt des Wassers bei 32 °F und der Siedepunkt des Wassers bei 212 °F liegt. Aufgaben: 1) Wie viel °F sind 40 °C? 2) Wie viel oc sind 86 °F? Zu(Lösung: Abb.1) Der2.4).Unterschied zum Gefrierpunkt des Wassers sind auf der Celsiusskala 40 K ·1?1 = =
=
110
Wärmelehre 1 00" c
1 00 K 400 C 40 K
Abb. 2.4
0" C
t
72<> FU
1 80° FU
?
32" F
Unterschied auf der Celsiusskala entsprechen 180 o FU (U für Unterschied) auf der Fahrenheitskata.40 40 K entsprechen also - · 180 °FU = 72 °FU 100 Der Unterschied der gesuchten Temperaturmarke zum Gefrierpunkt beträgt also 72 °FU auf der Fahrenheitskata. Da der Gefrierpunkt dort bei 32 °F Liegt, ist die gesuchte Temperatur (32 + 72) °F = 104 °F Zu(86 2)- 32)Unterschied zum Gefrierpunkt des Wassers auf der Fahrenheitskala: °FU = 54 °FU 10° 54 " 10° 100 K 180 °FU , also 1 °FU K a ls o 54 °FU K = 30 K 180 180 Die gesuchte Temperaturmarke Liegt also 30 K über dem Gefrierpunkt des Wassers auf der Celsiusskala, sie Liegt also bei 30 o c 100 K
II
/ I
2.2
,
I /
Längenausdehnung fester Körper beim Erwärmen
Die Verl ä ngerung .ö.. l eines Stabes ist proportional zur Temperaturerhöhung sieiistch auch proportional zur ursprüngl ichenbesteht. Länge t des Stabes und hängt schließl vom Material ab, aus dem der Stab Die Proportional i tät .ö.. l kann man experimentell nachmessen, sie ist aber auch unmittelbar einsichtig. Beispiel: Ein Stab verlängert sich um 2 mm, wenn man ihn von 10 °C auf 50 oc erhitzt. Um wie viel verlängert er sich bei Erwärmung von 10 o c auf 40 °C? .6..1J,
rv
.6..1?
Lösung: Temperaturunterschied 40 K entspricht Verlängerung um 2 mm Temperaturunterschied 1 K entspricht Verlängerung um -20 mm Temperaturunterschied 30 K entspricht Verlängerung um�0 · :o mm = 1: 5 mm Die Proportional ität .ö..l l kann man sich so klar machen: Angenommen ein Stab der Länge 1 m verlä ngere sich bei Erwärmung um .ö.. t. Wird jetzt ein 2 m Langer Stab aus dem gleichenin Material gleichermaßen (gl1 meiches .6..·19) erwärmt, so kann man diesen gedanktich zwei Stücke von jeweils Länge sich jeweils um .ö..t verlängern - der ganze Stab hat sich dann um 2 .ö..zerll, d.egen, h. dasdieDoppel te verlängert. rv
Die Volumenausdehnung von Flüssigkeiten/Anomalie des Wassers
111
Die Abhängigkeit der Verlängerung .6.l vom Material kann man demonstrieren, indem man einen Bimetallstreifen erhitzt, bei dem zwei verschiedene Metalle aufei nander gelötet sind. Abbildung 2.5 zeigt, dass sich der Streifen beim Erhitzen biegt, weil ein Metall (hier Metall 1) sich stärker beim Erhitzen ausdehnt als das andere. heiß
kalt Metall 1 Metall 2
0
Abb. 2.5
Bemerkung: Damit lässt sich ein Bimetallthermometer herstellen.
Für Ausdeh nungsberechnungen m uss man tabellieren, um wie viel sich verschie dene Feststoffe bei 1 m Länge und Erwärmung um 100 K ausdehnen (z. B. Eisen um 1,2 m m, Kupfer um 1,7 mm). Aufgabe: Um wie viel ist der Eiffelturm (Eisen, Höhe etwa 300 m) an einem Som mertag bei 30 oc höher als im Winter bei - 20 Lösung: .6.·t9 = 50 K; bei 1 m Höhe und 100 K wäre die Verlängerung 1,2 mm; bei 300 m Höhe und 50 K beträgt sie 1 . 2 mm 300 � = 180 mm = 18 cm 2
°C?
·
2.3
·
Die Volumenausdehnung von Flüssigkeiten/ Anomalie des Wassers
Füh rt man den in 2.1 beschriebenen zweiten Versuch mit Wasser und im Vergleich dazu mit Alkohol aus, so stellt man fest, dass sich Alkohol stärker ausdehnt als Wasser. Die Volumenausdehnung bei Flüssigkeiten hängt von der Art der Flüssigkeit ab. 2.3. 1 Anomalie des Wassers Kühlt man Wasser ab, so zieht es sich zunächst erwartungsgemäß zusammen. 1 Ü berraschungu: Kühlt man von weiter bis 0 ab, so dehnt sich das Wasser wieder aus. "2. Ü berraschung ": Gefriert das Wasser bei 0 so dehnt es sich plötzlich um 10% seines Volumens aus, d. h. der Feststoff Eis hat ei ne geringere Dichte als die zugehörige Flüssigkeit. "
.
4 °(
°(
°(,
112
Wärmelehre
Beide überraschenden Eigenschaften unterscheiden das Wasser von anderen Flüssigkeiten und werden zusammen aLs Anomalie des Wassers bezeichnet. Bemerkungen:
1. Die Dichte von Wasser ist offenbar bei 4 oc am größten; Eis schwim mt auf 1 Wasser - nur etwa - eines Eisbrockens ragt über die Oberfläche (vergleiche 1.20, Aufgabe 2). 10 2. Die "2. Ü berraschung" kann man experimentell bestätigen, indem man in ein Reagenzglas eine 10 cm lange "Wassersäuleu gibt und dieses in eine Kälte mischung (halbflüssig aus Eis und Kochsalz) von etwa - 15 oc stellt; das Wasser gefriert und die Eissäule ist dann etwa 11 cm lang! 3 . Folgeerscheinungen der Ausdehnung von Wasser beim Gefrieren si nd Frost aufbrüche bei Straßen, platzende Wasserleitungen im Winter und Verwitterung durch Spaltenfrost (Wasser dringt in Gesteinsrisse und "sprengt" das Gestein beim Gefrieren) .
2.4
Die Volumenausdehnung der Gase/Kelvinskala
Man denke sich folgenden Versuch durchgeführt: Eine bestimmte Luftmenge ist in einem engen Glasrohr durch einen verschiebbaren Quecksilberpfropfen einge schlossen. Erwärmt man die Luft, so dehnt sie sich aus und verschiebt den Quecksilberpfropfen entsprechend - aus dessen Lage kann man aLso das jeweilige Luftvolumen bei einer bestimmten Temperatur ermitteln. Trägt man dieses über der Temperatur auf, so erhält man das Schaubild von Abbildung 2.6. Offenbar liegt eine Gerade vor, das heißt ein Zusammenhang der Art
l v(l?) = V0 + m · 19 1 (F2.1),
wobei V0 das Volumen bei 0 oc ist. Bei einer genauen Messung stellt man fest, dass das Volumen bei 100 etwa 1,366-mal so groß wie V0 ist, d. h. die Volumenzunahme beträgt 0,366 · V0 bei Erwärmung um 100 K und 1 0, 00366 · V0 � V0 bei Erwärmung um 1 K. Dies gilt nicht nur für Luft, 273 sondern für jedes Gas! Man beachte, dass bei dem Versuch der Gasdruck immer konstant ist und dem äußeren Luftdruck entspricht.
°C
V
- -
-
Abb. 2.6
-
O" C
1 00" c
113
Die Volumenausdehnung der Gase/Kelvinskala
Gesetz von Gay-Lussac für die Ausdehnung von Gasen bei konstantem Druck:
Die Volumenzunahme beim Erwärmen istfür alle Gase gleich groß und propor tional zur Temperaturerhöhung. Erwärmt man ein beliebiges Gas um 1 K, so 1 nimmt sein Volumen um - des Volumens V0 bei 0 °C zu; kühlt man das Gas 273 1 um 1 K ab, so ni mmt das Volumen um - · V0 ab. 273
(
)
1. Beispiel:
Ein Saal sei 10 m Lang, 8 m breit, 3 m hoch und Leer. Wie viel Luft entweicht durch die Ritzen von Tür und Fenstern, wenn er von 0 oc auf 25 oc erwärmt wird? Lösung: Volumen bei 0 °C: V0 "' 10 m . 8 m . 3 m "' 240 m 3 Diese Gasmenge hätte bei Erwärmung um 25 K die Volumenzunahme 240 m 3 . 25 � 22 m3 - so viel Gas würde entweichen ! flV = 273 2. Beispiel: Ein Gas habe bei 0 oc das Volumen 546 L. Welches Volumen hätte das Gas bei gleichem Druck bei a 20 oc, b - 1 °(, c - 273 °(, d - 1000 °C? 20 V0 = 40 L, also V 20 °C 546 L + 40 L "' 586 L Lösung: zu a : flV = 1 273 zu b : ßV = V0 = -2 L, also V - 1 °C "' 544 L 273 273 zu c : ßV = · Vo = -546 L, also V - 273 °C 546 L - 546 L "' 0? 273 zu d : ? ? Nach dieser Rechnung erhält man das seltsame Ergebnis, dass das Gas bei - 273 o c gar kein Volumen und bei tieferen Temperaturen sogar negatives Volumen hätte ! !
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Erklärung:
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Tiefere Temperaturen als - 273 °( gibt es nicht genauer - 273,15 °C und auch - 273 oc werden nur fast, aber nicht ganz erreicht.
(undIm sogar Ü brigenfest.werden alle Gase unter Normaldruck oberhalb von - 273 o c flüssig Sauerstoff wird bei - 183 oc flüssig und bei - 219 oc fest, Helium bei - 269 °C flüssig und bei - 272 °C fest) Man kann dann eine neue Temperaturskala einführen, deren Nullpunkt die
tiefste Temperatur von - 273 oc ist, die Kelvinskala, deren Abstände aber denen der Celsiusskala entsprechen. Beispiele:
0 K Kelvin 11 -273 °C absoluter Nullpunkt ; 273 K 11 0 °C Gefrierpunkt des Wassers ; 73 K � -200 °C Temperatur von flüssiger Luft Die Zahlenwerte der Kelvi nskala Liegen also immer um 273 über denen der Celsius skala!
( ) )
((
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( )
Wärmelehre
114
2.5
Temperatur und Teilchenbild/Wärme
2.5. 1 Aufbau der Körper im Teilchenbild Für weitergehende Betrachtungen ist es notwendig, eine gewisse Vorstellung vom Aufbau fester, flüssiger und gasförmiger Körper zu haben . Dazu sollen zunächst grundlegende Eigenschaften dieser Körper aufgefüh rt werden : Feste Körper haben ei ne bestim mte Gestalt. Flüssigkeiten passen sich der Form des Gefäßes an und bilden eine waagrechte Oberfläche. Gase haben das Bestreben, jeden Raum zu füllen, den man ihnen zur Verfügung stellt. Feste Körper und Flüssigkeiten lassen sich kaum zusammenpressen, d. h. ihr Volumen ist nahezu konstant. Gase lassen sich zusammendrücken, d. h. ihr Volumen lässt sich leicht ändern. Alle Stoffe bestehen aus kleinsten Teilchen (Atome, Moleküle usw.), die man mechanisch nicht mehr zerteilen kann. Bei festen Körpern hat jedes Teilchen seinen bestimmten Platz in einer regel mäßigen Struktur (Gitter). Die Teilchen ziehen sich gegenseitig durch Kohäsions kräfte an und sitzen dicht beieinander. Man kann sich als Modell Massepunkte, die durch Federn verbunden sind (wie bei einer Matratze), vorstellen - diese Federn "holen ein Teilchen wieder zurück", wen n es aus seiner normalen Lage ausgelenkt wurde. Die Teilchen sitzen aber nicht ruhig da, sondern führen Schwi ngbewegun gen um ihre Gleichgewichtslage aus (siehe Abb. 2. 7 a) . Diese unkoordi nierten
" "Zitterbewegungen sind umso heftiger, je höher die Temperatur ist.
Abb. 2.7a
Auch bei Flüssigkeiten ziehen sich die Teilchen durch Kohäsionskräfte an und sitzen dicht beieinander. Allerdi ngs sind die Teilchen gegeneinander verschiebbar (ein Teilchen kann in der Flüssigkeit wandern), d. h. das Modell mit den Federn passt hier nicht. Besser geeignet als Modell erscheint ein Becher mit vielen kleinen Kugeln. Auch in Flüssigkeiten führen die Teilchen Zitterbewegungen aus, die mit wachsender Temperatur heftiger werden. (Abb. 2.7 b).
Temperatur und Teilchenbild/Wärme
115
Abb. 2.7b
Beide Modelle erklären die spezifischen Eigenschaften von Flüssigkeit und Fest körper; insbesondere erklärt sich die Inkompressibilität ("Nichtzusammendrückbar keit") daraus, dass die Teilchen sehr dicht sitzen. Bei Gasen, deren Volumen leicht veränderbar ist, muss zwischen den Teilchen "viel Platz" sein; daher ziehen sich die Gasteilchen auch kaum an (die Kohäsionskräfte wirken nur über kurze Entfernungen). Man kann sich im Modell die Teilchen eines Gases wie vollelastische Gummibälle vorstellen, die mit großer Geschwindigkeit durch den zur Verfügung stehenden Raum fliegen und an den Wänden reflektiert werden. Je höher die Temperatur ist, desto größer wird die Geschwindigkeit der Teilchen (Abb. 2.7 c).
� Abb. 2.7c
/
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-
V
....
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Erhöht man die Temperatur eines Körpers, so wird die Bewegung seiner Teilchen heftiger; sie brauchen also mehr Platz, weshalb sich der Körper ausdehnt. Außerdem nimmt die innere Energie des Körpers (Bewegungs energie seiner Teilchen zuzüglich Span nungsenergie im Festkörper) zu. Bemerkungen: 1. Neben der Kohäsion, d. h. der Anziehung zwischen den Teilchen einer Flüssig
keit gibt es auch die Adhäsion, die Anziehung zwischen den Flüssigkeits teilchen und der Gefäßwand. Da diese bei Wasser größer als die Kohäsion ist, steigt das Wasser an der Gefäßwand aus Glas etwas hoch, wodurch die Oberfläche im Querschnitt gekrümmt erscheint (Abb. 2.8). Man spricht wegen der "Mondform" vom Meniskus des Wassers. Von der Seite erscheint die Wasser oberfläche als Doppelstrich - man muss für Volumen messungen den unteren Strich wäh len. Bei Quecksilber überwiegt die Kohäsion, weshalb der Meniskus anders herum gekrümmt ist. 2. Die Größe der "kleinsten Teilchen" kann man näherungsweise mit dem Ölfleck versuch ermitteln. Dabei gibt man ei n Trioleintröpfchen, dessen Volumen man bestimmt hat, auf eine Wasseroberfläche; hierbei verdampft der Leichtbenzin anteil (99,9 % des Volumens) im Tröpfchen, während der Ölanteil (0,1% des Volumens), dessen Volumen V man ja jetzt kennt, auf dem Wasser einen kreisförmigen Fleck bildet, dessen Radius r man bestimmen und dessen Fläche
116
Wärmelehre
A man über A = r2 · 1i berechnen kann. Unter der Annahme, dass die Dicke der Ölschicht der Dicke d des Teilchens entspricht, gilt V = d · A bzw . d = �. Für die Öltröpfchen erhält man eine Dicke von ca. 1 Millionstel Millimeter. A Glas
Abb. 2.8: "Querschnitt"
3. Betrachtet man unter dem Mikroskop einen Tropfen Milch unter 1000-facher Vergrößerung, so sieht man kleine Kügelchen, die ständig unregelmäßig hin und her zittern. Dieses " Kleingewimmel" heißt Brown'sche Bewegung. Man sieht aber nicht die kleinsten Teilchen der Milch, sondern Fetttröpfchen, die im "Milch-Wasser" schweben. Die Wassermoleküle sind viel kleiner. Jedoch stoßen die Wasserteilchen wegen ihrer Zitterbewegungen die wesentlich grö ßeren " Fettbrocken" an und bringen auch sie - für das Mikroskop sichtbar zum Zittern. Ein ähnliches Phänomen zeigt sich beim Betrachten des Rauchs, der aus ei nem abgebrannten Streichholz in ei ner unregelmäßigen Bewegung aufsteigt: Die größeren für das Auge sichtbaren Rauchteilchen werden dauernd von den viel kleineren unsichtbaren Luftteilchen unregelmäßig angestoßen. 4. Eine weitere Folge der Teilchenbewegung ist die Diffusion. Hat man etwa in einem Behälter - durch eine Trennscheibe in zwei Kammern aufgeteilt - zwei verschiedene Gase, so diffundieren nach Wegnahme der Scheibe die Teilchen des ersten Gases zwischen die des zweiten und umgekehrt, bis sie sich schließ lich vollständig durchmischt haben. 2.5.2 Mechanische Arbeit und Wärme Um die innere Energie eines Körpers zu erhöhen (und damit seine Temperatur) gibt es prinzipieLL zwei Möglichkeiten: 1. Durch mechanische Arbeit W kann man die Heftigkeit der Teilchenbewegung steigern: Durch Hämmern (Abb. 2 .9 a) oder Reiben (Abb. 2.9 b) bewegt man die Teilchen etwas (Weg s) und presst die " Federn" im Festkörpermodell zusam men oder dehnt sie, wozu Kraft nötig ist - insgesamt hat man also Arbeit W = s (vergleiche Kap. 1.11) verrichtet. In der Tat kann man durch Hämmern die Temperatur eines Eisenstücks so sehr steigern, dass es zur Rotglut kommt! 2. Normalerweise erhöht man die Temperatur eines Körpers und damit seine innere Energie, indem man ihn in Kontakt mit einem heißeren Körper (z. B. Ofen) bringt. In Abbildung 2.10 ist der heißere Körper rechts gezeichnet seine Teilchen zittern viel heftiger als die des kälteren. Durch Kontakt stoßen die Teilchen des heißeren die des kälteren an und werden selbst etwas abge-
F
·
117
Temperatur und Teilchenbild/Wärme
Abb. 2.9a
Abb. 2.9b
bremst. Es geht Energie vom heißeren zum kälteren Körper über - diese überge hende Energie heißt Wärme Ow (In Abb. 2.10 sind die ,,Federn'' weggelassen )
Abb. 2.10
Bewegungsenergie
=
!
Wärme Ow
Energie E, mechanische Arbeit W und Wärme Ow haben also alle die gleiche Einheit, das Joule: [ E = [W] = [Ow] = 1 J
]
Insbesondere ist also Wärme etwas völlig anderes als Temperatur.
1 18
2.6
Wärmelehre
Wärmemenge und spezifische Wärmekapazität
Die Wärmemenge Ow, die man einem Körper zuführen muss, um ihn zu erwärmen, ist proportional zur Temperaturerhöhung ll1? des Körpers, sie ist auch propor tional zur Masse m des Körpers, und sie hängt auch vom Stoff ab, aus dem der Körper besteht (Erfahrungstatsache: Eisen erwärmt sich Leichter als Wasser). Aus Qw "" m (.6:1? = const, Stoff const) und Ow "" !l19 (m = const, Stoff const) folgt Ow "" m · ll·1? bei unverändertem, d. h . konstantem Material; also
��1
I
= const = c bzw. I Ow = m ß·1? c ( F2.2) m 9 Die Konstante c in GL. (F2.2) beschreibt den Stoff und heißt spezifische WärmekaJ kJ . · [c] = Ow = 1 · ' W e rte fü' r c = 1 -- un d d 1e h e1t· 1st paz1tät; 1' h re Em k m · D.19 g · K g · K sind tabelliert. Beispiel: Ein Versuch zeigt, dass man 300 g Wasser mit einem 1000 W-Tauchsie der 25,2 s Lang erwärmen muss, um das Wasser von 10 auf 30 zu erhitzen . J Dabei Liefert der Tauchsieder die Wärme Ow = P · t = 1000 - · 25, 2 s = 25 200 J, s die Wassermasse m = 300 g wird um ß·1? = 20 K erwärmt. Einsetzen in (F2.2) Liefert für Wasser J 25 200 J O = 4 ' 2 __ c= w = g·K m · ll1? 300 g 20 K
[
.
]
.
°(
°(
·
(
)
Bemerkungen: 1) Generell ist c für Metalle sehr klein, für Flüssigkeiten groß
J J J C ÖL � 2 Cwasser � 4, 2 g·K g·K g·K 2) Die Wärmeleistung P eines Heizgeräts kann analog zur Leistung in der Mechanik Ow (vergleiche Kap. 1.12) definiert werden als P = , wobei Ow die in der Zeit t t gelieferte Wärme ist. 3) Der Heizwert eines Stoffes gibt an, wie viel Wärme beim Verbren nen von 1 kg kJ kJ Brennstoff entsteht (z. B. Steinkohle: 31 800 , Heizöl : 42 200 ) kg kg Aufgabe: Welche Wärmemenge ist nötig, um 500 g Eisen von 20 auf 50 zu erhitzen, welche um 500 g Wasser im Glas 100 g, CGtas = 0, 8 von 20°( g·K auf 50 °C? Wie Lange müsste im Falle des Wassers der 350 W-Tauchsieder in Betrieb sein? (Von Verlusten abgesehen) . Cfisen =
0, 45
_ _ ,
_ _ ,
_ _
° ( °( J)
(
_ _
Lösung:
J Bei Eisen ist Ow = m E · CE · ß·1? E = 500 g · 0: 45 · 30 K = 6750 J = 6, 75 kJ g.K J . . + m Glas CGtas ß·1? = 500 g · 4, 2 Be1 Wasser 1st Ow = m wasser cwasser · ll·1? Glas Wasser g·K J 30 K + 100 g · 0, 8 - · 30 K: also Ow = 65 400 J = 65, 4 kJ (Das Glas muss g·K miterwärmt werden) -
·
·
·
-
·
119
�\ischungsversuche
Ow , also t = Ow = 65 400 J � 186, 86 s � 3 Betriebszeit: P = p t 350 w 2.7
. 7s
mm
Mischungsversuche
°C
Bei einem Versuch mischt man 150 g Wasser der Temperatur ·!91 = 55 mit 75 g Wasser der Temperatur 112 = 25 Nach Umrühren erhält man als Temperatur der Mischung '193 = 45 oc. Das kältere Wasser wurde dabei von 25 auf 45 d. h. um 20 K erwärmt und J nahm Wärme auf: �rf = m 1 · c1 · .6:19 1 = 75 g 4, 2 20 K = 6300 J g·K Das wärmere Wasser kühlte sich beim Mischen von 55 auf 45 ( also um 10 J K ab und gab Wärme ab: 0�� = m 2 · c2 · .6.:1?2 = 150 g · 4, 2 10 K = 6300 J g·K Man erkennt, dass 0�/f = 0�� gilt, d. h. die aufgenommene Wärmemenge ist gleich
°C.
°(
°(,
·
- ·
°,
°(
-
·
der abgegebenen.
Erklärung: Das heißere Wasser wird abgekühlt und gibt dabei die Wärme �� ab; seine in nere Energie wird um 0�� kleiner. Das kältere erwärmt sich und ni mmt 0�/f auf; seine in nere Energie wird um U?/f größer. Es findet ein Energieübertrag vom heißeren zum kälteren Wasser statt. Wenn kei ne Energie an die Umgebung verloren geht (idealisiert!), ist demnach 0�/f = 0��: Die Summe der inneren Energien beider Wassermengen bleibt in der Mischung erhalten. Aufgaben: 1) In ei n Glas mit 100 g von 20 oc werden 200 g heißes Wasser von 70 oc gegossen. Welche Mischungstemperatur stellt sich ein? 2) Ein Messingstück so g; c = 0.. 38 wird mit dem Bren ner stark erhitzt gK und dan n in 200 g Wasser von 24 °( geworfen. Wie heiß war das Messingstück, wenn man als Mischungstemperatur 38 °( misst? Lösung zu 1}: Die Mischungstemperatur sei o c. Das Glas wird von 20 oc auf oc J erwärmt, d. h. um 20) K und nimmt die Wärme o�rf = 100 g o, 8 g·K 20) K auf; das Wasser kühlt sich um 70 o c auf oc ab und gibt die Wärme J (70 - x) K ab. Dabei gilt ��f = 0��, also: a�� = 200 g · 4, 2 J g.K J 100 g · 0, 8 20) K = 200 g · 4, 2 · ( 70 - K, d . h . 80 · 20) g·K g·K = 840 · ( 70 Daraus folgt 80 x - 1600 = 58 800 - 840 x, d.h. 920 x = 60 400 bzw. 60 400 X= � 65 ' 65 920 Man darf also eine Temperatur von 65, 65 oc erwarten. (Idealisiert: Ein Teil der Wärme geht an die Umgebung!)
(
(x
(x-
-
-
x)
-
(x -
�)
.
x
x
-
x)
x
_ _ .
(x -
Wärmelehre
120
Lösung zu 2): Die Anfangstemperatur des Messingstücks sei x oc. Es kühlt sich auf 38 oc ab und gibt Wärme ab. Das Wasser erwärmt sich von 24 oc auf 38 oc und nimmt Wärme auf. Dabei gilt Q�/f = Q��, d. h. J J 200 g · 4) 2 - · 14 K = 50 g · 0, 38 - · (x - 38) K oder 11 760 = 19 · (x - 38) g·K g·K 11 760 � 618, 9, also x � 657 . 19 Das Messingstück hatte eine Anfangstemperatur von 657 oc. (Idealisierend wur
Daraus errechnet man x - 38 =
den das Glas und die Wärmeabgabe an die Umgebung vernachlässigt.)
2.8
Erscheinungsformen der Stoffe/Schmelz- und Verdampfungswärme
2.8. 1 Aggregatzustände Jeder Stoff kann theoretisch als Feststoff, als Flüssigkeit oder als Gas vorliegen dies sind die so genannten Aggregatzustände. Das Schema von Abbildung 2.11 verdeutlicht die Ü bergänge zwischen diesen Zustandsformen. EM•ärmen Erstarrungspunkt
t
Kondensationspunkt
t
erstarren
kondensieren
� ---, ... � ---, ...__ I Flüssigkeit I Ir--....:. Gas Ir------<:. fester Stoff I � schmelzen
�
t
Schmelzpunkt
Abb. 2.11
verdampfen
t
Siedepunkt
Abkühlen
Der Schmelzpunkt entspricht normalerweise dem Erstarrungspunkt (bei Wasser unter Normaldruck 0 °C), der Siedepunkt dem Kondensationspunkt (bei Wasser unter Normaldruck 100 °C) . Auch den direkten Ü bergang vom Feststoff zum Gas (Sublimation) gibt es. 2.8.2 Schmelzwärme Bei einem Versuch werden 100 g Eis von 0 ° ( in 400 g Wasser von 50 °( gegeben; dann wird solange umgerührt, bis das Eis völlig geschmolzen ist und als ein-
121
Erscheinungsformen der Stoffe/Schmelz- und Verdampfungswänne
heitliche Mischungstemperatur werden 25,5 ° ( gemessen. Dabei hat der Gtasbe cher, in dem das Wasser sich befindet, die Masse 150 g. Bilanz: Das Wasser samt GLasbecher kühlt sich von 50 ° ( auf 25,5 ° ( und gibt Wärme ab; J J · (50 - 25) 5) K + 150 g 0) 8 �� = 400 g · 4: 2 · (50 - 25, 5) K g.K g.K = 41 160 J + 2940 J = 44 100 J Das Eis schmitzt zu Wasser von 0 ° ( und das Sch melzwasser {100 g ) erwärmt sich auf 25,5 ° ( und nimmt Wärme auf: J �rf = 100 g 4, 2 · (25, 5 - 0) K = 10 710 J g.K Die Differenz von 44 100 J - 10 710 J = 33 390 J ist sichertich nicht an die umgebende Luft und die U ntertage (Isolation durch Styroporplatte! ) gegangen höchstens ein kleiner Teil! Sie musste vielmehr aufgebracht werden, um das Eis zum Schmelzen zu bringen, d. h. O�Yfschmetz � 33 400 J für 100 g Eis. Ergebnis: 1) Beim Schmelzen eines Festkörpers muss Wärme zugeführt werden (Schmelzwärme), ohne dass sich die Temperatur erhöht; diese Schmelzwärme ist proportional zur Masse des Festkörpers und hängt vom Stoff ab. 2) Die spezifische Schmelzwärme s gibt an, welche Wärmemenge zum Schmelzen je g nötig ist. Beispiele: SEis = 335 � (siehe oben ) , Szinn = 60 � ( gering Löten! ) , g g J Ssatz � 500 g 3) Erstarrt eine Flüssigkeit, so gibt sie umgekehrt Erstarrungswärme ab. Die spezifische Erstarrungswärme ist gleich groß wie die spezifische Schmelzwärme! Die Schmelzwärme wird dazu benutzt, den Gitterverband ei nes Festkörpers ( siehe Kap. 2.5) aufzulösen, d. h. im Federmodelt um die " Federn" aufzubrechen. Dabei muss Arbeit gegen die Kohäsionskräfte verrichtet werden - die Bewegungsenergie der Teilchen wird so groß, dass sie nicht mehr in ihre Gleichgewichtslage zurück kehren. Die Schmelzwärme entspricht gerade der erforderlichen Arbeit! -
·
·
-
-
'
�
2.8.3
Verdampfungswärme
Auch zum Verdampfen einer Flüssigkeit ist Arbeit erforderlich: Beim Ü bergang zum Gas werden die Teilchen zu frei fliegenden Teilchen, d. h. die Kohäsionskräfte zwischen den Flüssigkeitstei lchen müssen komplett überwunden werden . Dazu ist noch wesentlich mehr Arbeit nötig als zum Schmelzen - diese äußert sich in Verdampfungswärme, die der Flüssigkeit zum Verdampfen ( ohne Temperatur anstieg ) zugeführt werden muss. Bei einem Versuch wird mit einem Tauchsieder der Wärmeleistung 1000 W für eine Zeitdauer von 5 min ( ab Beginn des Verdampfungsvorgangs ) Wasser ver-
Wärmelehre
122
J
dampft. Dabei verdampfen ca. 135 g Wasser, wobei der Tauchsieder in 5 min die Wärmemenge Ow = P · t = 1000 � · 300 s = 300 000 Liefert. Die spezifische Ver s dampfungswärme r vom Wasser beträgt demnach
J
J
J
300 000 � 2222 (genauer 2258 ) 135 g g g Bemerkungen: 1. Alkohol verdampft ( bei 78 °C} wesentlich Leichter als Wasser: rAtkohol � 858 g 2. Kondensiert ein Gas, so gibt es Kondensationswärme ab; die spezifische Kon-
rwasser =
-
-
-J
densationswärme ist gleich der spezifischen Verdampfungswärme.
Aufgaben: 1 ) Zur Kühlung werden in 250 ml eines Fruchtsaftgetränks Eisbrocken
(
!) _J_ ,
im Gesamtvolumen von 16 cm3 PEis � 0 ) 9 c 3 gegeben. Welche Mischungs temperatur hat das Getränk nach dem Schmelzen der - 5 o c kalten Eisbrocken, beim Getränk soll einfachheitswenn es vorher 25 o c hatte? ( CEis = 2 ) 1 g·K halber mit Wasser gerech net werden, das dünnwandige Glas soll vernachlässigt werden. ) Lösung: Eismasse : mEis = p · V = 0. 9 �3 · 16 cm 3 = 14, 4 g ; cm Fruchtsaft : msaft � 250 g ; Mischungstemperatur: x Das Eis erwärmt sich auf 0 °(, schmilzt dann und danach erwärmt sich das Schmelzwasser auf x o c - dabei wird jedes Mal Wärme aufgenommen: · 5 K + 14 , 4 g · 335 + 14, 4 g · 4) 2 QV1auf = 14) 4 g · 2, 1 · xK, also g·K g g·K o�yf = 4975 , 2 + 60, 48 x Das Fruchtsaftgetränk kühlt sich von 25 °( auf x ( ab und gibt Wärme ab: Q�� = 250 g · 4, 2 ...2_ · ( 25 x) K also �� = 26 250 1050 · x g.K Wegen Q�/f = Q�� folgt 4975,2 + 60,48 x = 26 250 - 1050 x bzw. 1110,48 x = . x = 21 274 8 � 19 ) 2 21 274,8; dam1t 1110 , 48 Also beträgt die Mischungstemperatur etwa 19,2 ° (. 2 ) Durch Erhitzen werden 40 g Eis von - 20 °( in Wasserdampf von 130 °( verwandelt - welche Wärmemenge ist nötig, wenn man von Verlusten absieht? = 4, 2 ) Eis = 335 - , m = 1 , 95 , , CEis = 2 , 1 g · K Cwasser g · K Cwasserda pf g·K S g rwasser = 2258 ) g · 20 K Erwärmung des Eises von - 20 oc auf 0 o c erfordert 0�1 = 40 g · 2 ) 1 g·K ·
·
J
J -
J.
'
(
=
1680
J
J --J
J-
-
J -
0
J --
°C
J-
J
J --
J --
J
Ergänzungen: Verdunsten, Siedepunkterniedrigung
123
Sch melzen des Eises bei 0 oc erfordert Q�1 = 40 g · 335 � = 13 400 J g Erwärmen des Schmelzwassers von 0 o c auf 100 o c erfordert J Q� = 40 g 4: 2 - 100 K = 16 800 J g·K Verdampfen des Wassers bei 100 oc erfordert �1 = 2258 -J . 40 g = 90 320 J g Erwärmung des Wasserdampfs von 100 oc auf 130 oc erfordert J 5 = 40 g · 1: 95 - · 30 K = 2340 J Q;11 g·K Gesamte Wärmemenge: Ow = 0�1 + ... + Q,�1 = 124 540 J = 124: 54 kJ ·
·
2.9
Ergänzungen: Verdunsten, Siedepunkt erniedrigung
2. 9. 1
Verdunstung
Das Verdampfen von Wasser ist auf zweierlei Arten möglich: 1 . Bei 100 oc siedet das gesamte Wasser (große Blasen von Wasserdampf i m Inneren) 2. Bei jeder Temperatur verdunstet Wasser an der Oberfläche (je größer die Oberfläche, desto mehr verdunstet) Ein Versuch zeigt: Wenn Ether von Zimmertemperatur auf die Hand geträufelt wird, wird diese kalt. Erklärung: Auch zum Verdunsten ist Wärme nötig. Sie wird der Flüssigkeit und ihrer Umgebung entzogen, die sich deshalb abkühlen (ungenaue Sprechweise: "Ver dunstungskälte") Anwendungen dieser Tatsache sind etwa der Erfrisch ungseffekt durch Kölnisch Wasser oder das Kühlhalten von Getränken durch minimale Verdunstung in porösen Tonkrügen. 2. 9.2 Siedepunkterniedrigung Bei einem Versuch wird Wasser von ca. 90 oc in einen Kolben gegeben und dann durch eine Pumpe oder einen Kolbenproher Unterdruck erzeugt - das Wasser beginnt zu sieden ! Der Siedepunkt einer Flüssigkeit sinkt, wenn man den Druck erniedrigt.
Beispiel: Auf Meereshöhe (Luftdruck 1013 mbar) siedet Wasser bei 100 °(, auf dem 8848 m hohen Mount Everest (Luftdruck ca. 300 mbar) bei 70 oc. Bemerkungen: 1 ) Auch der Schmelzpunkt wird vom Druck beeinflusst! (Beispiel: Unter dem Druck des Schlittschuhs schmilzt Eis unter 0 oc zu einem Wasserfilm) .
Wärmelehre
124
2) Beim Kompressorkühlschrank (Abb. 2.12) presst ein Kolben ein Kühlmittelgas zusammen und über ein Ventil rechts in die angeschlossenen Rohrschlangen. Dort kondensiert das Gas unter dem hohen Druck und gibt Wärme ab (Abwärme des Kühlschranks) . Das flüssige Kühlmittel gelangt in den oberen Bereich und kann sich dort wieder stark ausdehnen - bei viel niedrigerem Druck siedet es und braucht dazu Verdampfungswärme. Die entzieht es der Umgebung, die deshalb gekühlt wird (Kühlbereich im Bild schraffiert). Geht der Kolben nach unten, strömt das Kühlmittelgas links nach unten und über das linke Ventil in die Kolbenkammer. Beim Heben des Kolbens begi nnt alles von vorne. (Bei einem typischen Kühlmittel liegt der Siedepunkt bei - 30 oc für Normaldruck und bei 40 °( für 9 bar Druck) . Kühlmittel gasförmig
Ventile
Verdampfer
l
Kühlmittel flüssig -
Kondensator
Kolben
Abb. 2.12
2.10 Wärmetransport 2. 1 0. 1 Wärmekonvektion Beim Versuch nach Abbildung 2.13 wird das Wasser rechts unten erwärmt, worauf sich eine Strömung ausbildet; das Wasser fließt im Kreis. Die Erklärung ist, dass das erwärmte Wasser geringere Dichte hat, damit leichter ist und hoch steigt - so gelangt das warme Wasser an jede Stelle im Rohr.
l Abb. 2.13
l
125
2.11 Das allgemeine Gasgesetz
Hier wandert Wärme, indem Materie (heißes Wasser) wandert (Wärmekonvektion)
Auf diesem Prinzip basieren die Warmwasserheizung und die Erwärmung der Zimmerluft über Heizkörper. 2. 1 0.2 Wärmeleitung Erhitzt man einen Eisenstab auf der einen Seite, so wird nach einer gewissen Zeit auch die andere Seite heiß. Hier wandern keine Eisenteilchen. Vielmehr erhalten die Teilchen auf der einen Seite des Stabes durch das Erhitzen viel innere Energie, die sie durch Stöße zur anderen Seite weitergeben. Es wandert Wärme ohne Materietransport (Wärmeleitung) .
Metalle sind im Allgemeinen gute Wärmeleiter; Glas, Kunststoffe, Flüssigkeiten (und Gase) sind schlechte Wärmeleiter und werden zur Wärmedämmung benutzt ( Energieverluste durch Wärmeleitung sollen verhindert werden) . 2. 1 0.3 Wärmestrahlung Durch die Strahlung der Sonne gelangt Wärme zur Erde. Dabei wandert keine Materie von der Sonne zur Erde, und die Wärme wird - im Vakuum zwischen Sonne und Erde - auch nicht durch Stöße weitergegeben. Die Wärmestrahlung ist also keine Konvektion und auch kei ne Wärmeleitung im Sinne von Kap. 2.10.2 - es handelt sich (siehe Elektrizitätslehre) um Wärmetransport durch elektromagneti sche Wellen. Auf diesem Pri nzip basieren Heizstrahler und Infrarot-Lampen. Wärmestrah lung wird vor allem von dunklen Körpern, auf die sie trifft, absorbiert; helle, insbesondere glänzende Körper reflektieren sie größtenteils (silberne Kühlwag gons!).
2.11 Das allgemeine Gasgesetz 2. 1 1. 1 Erstfassung des Gasgesetzes In Kap. 2.4 wurde das Gesetz von Gay-Lussac für das Ausdehnungsverhalten von Gasen bei konstantem Druck besprochen, wonach das Gasvolumen bei Erwärmung
1 um 1 K um -- seines Volumens V0 (bei 0 °C) zunimmt. Danach beträgt das 273 273 + x V0 . Gasvolumen bei X oc gerade V(x °C) = Vo + D.V = V o + X = Vo . 273 273 (273 + x) K = Vo . 273 K Geht man von der Celsiusskala zur Kelvinskala über, so entspricht der Tem peratur 0 oc gerade T0 "" 273 K und der Temperatur x oc gerade T "" (273+x) K; setzt man dies ein, so gilt für das Gasvolumen V bei der Temperatur T: -
---
126
Wärmelehre
T V Vo V = V0 · - bzw . - = - = const (F2.3 a, b) To T To (F2.3 a, b) kan n als modifizierte Form des Gesetzes von Gay-Lussac angesehen werden. Für das Ausdehnungsverhalten von Gasen bei konstanter Temperatur gilt das Gesetz von Boyle-Mariotte (siehe Kap. 1.21):
I p · V = const l (F1.42)
Aus beiden Gesetzen soll nun ein einziges Gesetz gewonnen werden, das das Gasvolumen bei Änderung von Temperatur und Druck gleichzeitig beschreibt. Sei V1 das Gasvolumen bei Druck P1 und Temperatur T1, entsprechend sei Vz das Volumen bei pz, Tz. Man denke sich das Gas in 2 Schritten von P1I T1 auf Pz iTz gebracht. 1. Schritt: Unter Konstanthaltung des Drucks bringt man das Gas von V1I P1 I T 1 auf die Temperatur Tz , den Druck p1 und das Volumen V3 (fiktiver Zwischenzustand); v1 v3 . nach Gay-Lussac g1lt = - (I) T1 Tz 2. Schritt: Vom Zustand V3 I P1 I Tz bringt man das Gas unter Konstanthaltung der Temperatur Tz auf den Endzustand Vzi P ziTz; nach Boyle-Mariotte gilt Vz P z = V3 · P1 (II) Tz ' . h ungen nac h V auf, so 10 Löst man b e1'd e Gle1c s: lgt V3 = V 1 (I ) un d 3 T1 Pz V3 = Vz · (II') �1 P1 = V · Pz Pz bzw V · Durch Gle1chsetzen folgt V1 Tz = Vz · . 1 z T1 T1 Tz P1 Damit ergibt sich das allgemeine Gasgesetz, in dem jetzt Druck und Temperatur veränderlich sind, in der Form ·
· -
·
-
P1 · V 1 = Pz · V z = oder P · V = const (F2.4) T1- Tz- . . . T Aufgabe: Ein Wetterballon hat bei 1000 mbar Druck und 20 ° ( das Volumen 50 L.
Welches Volumen hat er in großer Höhe bei 300 mbar und - 30 °C? Lösung: p 1 = 1000 mbar = 1 bar; Pz = 300 mbar = 0,3 bar; T1 = 293 K; T z = 243 K; v1 = 5o l _ p 1 · V1 · Tz _ 1 bar · 50 l · 243 K _ 138 2 P1 · V1 _ Pz · Vz , l -- - --, d . h . V z Tz T1 · Pz - 293 K · 0, 3 bar T1 Bemerkung: Aus dem allgemeinen Gasgesetz erhält man das Gesetz von Amonton über den Zusammenhang des Drucks p mit der Temperatur T bei konstantem Volumen;
dividiert man nämlich GL. (F2.4) durch das konstante Volumen, so ergibt sich: P1 = Pz = oder p = const ( F2.5) .. . T
2.11 Das allgemeine Gasgesetz
127
2. 1 1.2 Avogadro- oder Loschmidt-Zahl, Endfassung des Gasgesetzes Fragt man sich jetzt, wovon das VoLumen V0 eines Gases bei NormaLdruck p0 ::o 1013 mbar und NormaLtemperatur T0 "' 273,15 K abhängt, so wären mögLiche Antworten "von der Gasmenge" bzw "von der Gasart11• Messungen zeigen ein seltsames Ergebnis: Für 2 g Wasserstoffgas, 32 g Sauerstoff gas, 20 g Neongas ergibt sich derseLbe Wert - nämLich V0 "' 22,4 L. Wasserstoffgas besteht (vergLeiche Atomphysik) aus H z-MoLeküLen - iH enthäLt im Kern ein Proton der Masse 1 u .. 1,66 . 1o- z7 kg (atomare Masseneinheit), d. h. ein H z-MoLeküL hat aLso die Masse 2 u. Sauerstoffgas besteht aus Oz-MoLeküten - �60 enthäLt im Kern 8 Protonen und 8 nahezu gLeich schwere Neutronen jeweiLs der Masse 1 u, d. h. ein Oz-MoLeküt hat die Masse 32 u. Neongas besteht aus Ne-Atomen - �g Ne hat im Kern 10 Protonen und 10 Neutronen; ein Ne-Atom hat aLso die Masse 20 u. 1g z 2 g Wasserstoffgas enthaLten aLso � = .!.J! = = 6 10 3 Teitz 4 . 2 u 1 u 1 , 66 10- g 32 g 23 TeiLchen, desgLeichen chen, 32 g Sauerstoffgas enthaLten somit = 6 · 10 3 2 u 20 g enthaLten 20 g Neongas - = 6 10 z3 TeiLchen. 20 u ·
·
1 Mol eines Stoffes ist diejenige Menge, die {Avogadro- oder Loschmidt-Zahl)
6
·
10 23 Teilchen enthält
Das obige Messergebnis besagt damit: 1 MoL eines Gases nimmt bei Normbedingungen (Tol Po) stets das VoLumen Vo "' 22,4 L ein - unabhängig von der Gasart.
oder umgekehrt (Avogadro) : Gasportionen, die in VoLumen, Temperatur und Druck übereinstimmen (und damit bei Tol Podas gLeiche VoLumen haben) enthaLten stets gLeich vieLe TeiLchen, d. h . sie haben die gLeiche Stoffmenge (in MoL) . Damit hängt das GasvoLumen Vo bei Normbedingungen nur von der Gasmenge v i n MoL ab: V 22, 4 L 22, 4 L V0 "' v bzw . -o = const = -- bzw . V0 = -- · v v moL moL Setzt man dies in die aLLgemeine GasgLeichung ( F2.4) ein, so ergibt sich p · V - Po V0 - 1013 mbar 22, 4 L v 273 , 15 K · moL T T0 ·
·
128
Wärmelehre
N · 22, 4 10- 3 m 3 . 22 . 4 l 1013 10 2 2 1013 mbar . m = 8 ' 3 Nm · = M1t R = 273� 15 K mol K · mol 273, 15 K · mol erhält man das allgemeine Gasgesetz in der Form: ·
·
·
J p.V - = v · R m1t R = 8 ' 3 (Gaskonstante) (F2.6) T K · mol •
Aufgabe: Bei welcher Temperatur nim mt 50 g Sauerstoffgas das Volumen 40 L ein,
wenn der Druck 1,5 bar beträgt? Lösung: 32 g Sauerstoff entspricht 1 Mol Sauerstoffgas, also ist hier 1, 5 bar · 40 l p·V= 50 v= mol· damit T = 50 J II . R 32 ' - m o l 8 ' 3 --------.,K · mol 32 3 3 5 2 · 40 · 10 - m 60 . 102 · 32 = . 1st . T = 1 . 5 · 10 !!.._ m S om1t - 50 . 8) 3 K 462, 62 K, 50 Nm . 8 3 I< 32 ' d. h. 7? = 189 , 62 ·
°(
2.12 Kinetische Gastheorie 2. 12. 1 Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit Die Teilchen ei nes Gases fliegen (siehe Kap. 2.5) mit großer Geschwi ndigkeit frei durch den Raum und machen immer wieder vollelastische Stöße untereinander und gegen die Gefaßwand. Mit zunehmender Temperatur wächst ihr mittlerer Geschwindigkeitsbetrag v und damit ihre kinetische Energie mv2 . Damit steigt auch der Platzbedarf, d. h. bei gleichem Volumen wächst der Druck. Der Gasdruck auf die Wand entsteht dadurch, dass die Teilchen gegen die Gefaß wand prallen und reflektiert werden; dadurch üben sie eine Kraft auf die Wand aus (die Gegenkraft ändert gemäß Kap. 1.14 ihren Impuls) und verursachen den Druck.
�
Wie hängt der Druck mit dem Geschwindigkeitsbetrag v der Teilchen zusammen?
Seien Vx, vy , Vz die mittleren Beträge der Geschwindigkeitskomponenten der Teilchen in x-, y-, z-Richtung; dann gilt nach Pythagoras v; + v� + v; = VZ und 1 wegen vx = Vy = vz auch v� = - 1/ . Man stelle sich nun ein Flächenelement der 3 Größe A der Gefäßwand vor, das senkrecht zur x-Achse zeigt (Abb. 2.14) . In der sehr kleinen Zeit ßt legen die Teilchen in x-Richtung im Durchschnitt den Weg s = �t . vx zurück, sodass in der Zeit .6.t etwa die Hälfte der im Volumenelement V1 = s · A befindlichen Teilchen zur rechten Wand fliegt und dort reflektiert wird (die andere Hälfte fliegt zur li nken Wand; die Zahl der Teilchen, die zu den anderen vier verschwindend kleinen Wänden fliegt, ist vernachlässigbar).
129
Kinetische Gastheorie
-1� J.
- - - - - - - - -
- - - -
� .
A - - - - -
- - - - - -
----�
- " -.. ...
Abb. 2.14
�
�
�
Ist n die Teilchen dichte, d. h. die Zahl der Teilchen je Volumen, so finden also i n der Zeit .6.t gerade · n · V1 = n s A = n · A · .6.t lix Stöße gegen die rechte Wand im Volumenelement V1 stat. Bei jedem Stoß erfährt (siehe Kap. 1.14) ein Teilchen die Impulsänderung .6.Px = 2 mvx (Betrag); die gesamte 2 ml7x . . . . . 1 . . Impu ls än d erung d1eser Tellehen m der Zelt .6.t 1st som1t - n V1 · - s1e b..t 2 entspricht dem Betrag der Kraft der Wand auf die Teilchen bzw. der Gegenkraft F der Teilchen auf die Wand der Fläche A. Also ist die Wandkraft 1 2 mvx " t · _Vx � F = n · A mv_x2 = nA · m · _v2 · '31 = 2 n · A · u. Kraft nA mv2 und damit ist der Druck auf die Wand (Gt. (F1.37)) = .. = 3·A Flac h e Ist N die Gesamtzahl der Gasteilchen im Volumen V, so gilt n = und die gesuchte Beziehung tautet: ·
·
·
·
·
·
·
P
·
-
--
�
1 1 N Druck p = - n mv_2 = - · mv_2 ( F.2. 7 ) 3 3 V -
·
( P = 1013 mbar, Luftdichte
t)?
Aufgabe: Wie groß ist die mittlere Teilchengeschwindigkeit v der Luftteilchen im
Normzustand
.. Losung: M assen d'1c hte
p=
�
p
V2 bzw . V =
also v =
p
p
= 1 , 29 Masse N·m ' ' fert = 1n = -- ; E1nsetzen . ( 62 ) l1e V V o lumen
�
3, 039 kgm 1 m 3 m km · 105 - · - � 485 - � 1747 1 : 29 s 2 m2 kg s h
·-
130
Wärmelehre
2. 12.2 Zusammenhang zwischen Temperatur und Geschwindigkeit
N.
Setzt man p aus ( F2.7) in die Gasgleichung (F2.6) ein, so folgt 1 2 1 1 N 2 V . mv . - = V . R bzw . V . R . T = mv2 = - N . - mv2 -. V 3 T 3 3 2 -
Damit:
I N.�
mv2
�� vR .
r
l
( F2.8)
Die gesamte kinetische Energie aller Teilchen ist gleich dem Produkt
� vRT
� . ( 1 mol . R) . T = � . 8. 3 � . T 2 2 K 8' 3 T = � k8 · T mit der BoltzUnd speziell für 1 Teilchen: 2 mi1 = � · 2 2 6 · 10 2 K 2 J 2 mannkonstante k8 = 1, 38 · 10- 3 K
Speziell ergibt sich für 1 mol: 6 . 1023 � m\1 •
2
=
�
'
•
2. 12.3 Innere Energie Ein einatomiges Gas besitzt kei ne andere Energie als die übliche kinetische Energie - also ist seine gesamte innere Energie U gegeben durch
Iu N . � �
mv '
�
(einatomiges Gas)
� vR .
r
l
(F2.9)
' '
0 '
'
•
:s '
•
Abb. 2.15a
Bei Gasen, deren Teilchen aus Molekülen bestehen, können noch zusätzliche Energien auftreten, nämlich Rotationsenergie (Abb. 2.15 a) und Schwingungs energie (Abb. 2 . 15 b, S ist der Schwerpunkt) . Dann erhöht sich die in nere Energie 1 des Gases entsprechend; N 2 mi/2 ist nur der Anteil der Translations- (= übliche Bewegungs-) Energie der Teilchen. ·
Abb. 2.15b
131
Der 1. Hauptsatz der Wärmelehre
2.13 Der 1. Hauptsatz der Wärmelehre Man kann - siehe l
I w + Ow = .6.U = u2 - u l l (F2.10) (1. Hauptsatz)
Aus ( F2.10) folgt für W = Ow = 0 der allgemeine Energieerhaltungssatz, nach dem die Gesamtenergie eines Systems (mechanische + elektnsche + chem1sche Energie) konstant bleibt, wenn von außen weder Arbeit noch Wärme zugeführt werden.
Beispiel: An 5 mol Neongas wird zunächst von außen die Arbeit W "' 10 J
verrichtet, danach werden dem Gas zusätzlich 15 J an Wärme Ow zugefüh rt. Um wie viel wachsen innere Energie und Temperatur des Gases? 3 Lösung: .6.U = W + Ow = 10 J + 15 J = 25 J = Energiezuwachs; U = - vR T, 2 3 .6.U . 2 also .6.U = vR .6.T' d.h . .6.T = 3 vR 2 2 . 25 J 10 = -- K � 0, 4 K Temperaturzunahme: .6.T = J 24, 3 . 5 mol . 8, 3 . mol K Adiabatische Zustandsänderungen sind solche, die ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung ablaufen (sehr rasch oder gute Isolation) . Wird beispielsweise ein Gas rasch zusammengepresst, so erwärmt es sich deutlich; dehnt es sich rasch aus, so kühlt es sich stark ab. Der Grund Liegt darin, dass man beim Zusammenpressen äußere Arbeit am Gas verrichtet, die (wegen Ow "' 0) gemäß W "' .6.U entsprechend (F2.10) seine innere Energie und damit die Tem peratur erhöht; beim Abkühlen muss das Gas seinerseits Arbeit verrichten, d. h. U und T nehmen ab. ·
-
--
9
2.14 Carnotprozess, 2. Hauptsatz, Wirkungsgrad bei Wärmemaschinen 2 14 1 Der Carnotprozess .
.
Man stelle sich ein Gas vor, das in einem Glaskolben mit verschiebbarem Stempel eingeschlossen ist. Dieses Gas hat im Zustand (1) das Volumen V1, den Druck p1 , die Temperatur T1. 1. Es wird nun mit einem Wärmebad 1 der Temperatur T1 in Kontakt gebracht und Langsam (quasistatisch) expandiert und auf den Zustand (2) mit V2, P 2, T2 gebracht, wobei T1 "' T2 ist: Im p/V-Schaubild von Abbildung 2.16 "bewegt es sich " auf der oberen "IsoV therme��. Wegen p · V = v · R · T = const gilt p · V = p1 · V1 bzw . p = Pl 1 ,
�
132
Wärmelehre
d. h. die "Isotherme" hat als Schaubild eine Hyperbel 1. Ordnung . Bei dieser Expansion muss das Gas Arbeit gegen den äußeren Druck verrichten und nimmt vom Wärmebad 1 die Wärme Ow auf; die innere Energie bleibt konstant, weil T konstant bleibt. p
Abb. 2.16
2. In einem zweiten Schritt wird das Gas aus dem Wärmebad genommen und rasch adiabatisch expandiert und auf den Zustand (3) mit V 3 , p3, T3 gebracht. Dabei ni mmt es weder Wärme auf, noch gibt es welche ab; aber es verrichtet wieder Arbeit, sodass seine in nere Energie "U und die Temperatur sinkt: T3 < T 2 . In Abbildung 2.16 ist die "Adiabate rechts (von ( 2 ) nach (3)) steiler als die Isotherme - wie man mathematisch zeigen kann. 3. Jetzt wird das Gas in ein Wärmebad 2 der Temperatur T3 gegeben und quasi statisch in Kontakt mit diesem Bad komprimiert und auf den Zustand (4) mit V4J P 4J T4 gebracht. Dabei wird von außen Arbeit am Gas verrichtet, die Temperatur bleibt konstant, d. h. T4 ::::: T3 ("Bewegung�� auf der unteren "Iso therme" in Abb. 2.16 ) , die innere Energie U bleibt auch gleich, sodass das Gas Wärme an das Wärmebad abgibt. 4. Jetzt wird das Gas aus dem Wärmebad 2 genommen und rasch adiabatisch kom primiert. Den Zustand (4) kann man so wählen, dass man schließlich wieder im Zustand ( 1 ) ankommt. Bei der adiabatischen Kompression wird von außen Arbeit am Gas verrichtet, es gibt keine Zufuhr oder Abgabe von Wärme und die innere Energie U und die Temperatur T erhöhen sich. ("Adia bate" links von (4) nach ( 1 ) in Abb. 2.16 ) .
Bei diesem Prozess verrichtet - wie man berechnen kann - das Gas insgesamt Arbeit nach außen, diese sei W ( d. h. es gibt mehr Arbeit nach außen ab als es von außen empfängt) . Es nimmt von einem heißeren Wärmebad der Temperatur T1 die 3 1 Wärme Oyj2 auf und gibt an das kältere Bad der Temperatur T3 die Wärme Ov/4 ab. Werden alle Größen positiv, d. h. betraglieh gerechnet, so folgt nach dem 1. 1 3 Hauptsatz W = 0y{2 Ov{4, da nach einem Zyklus die innere Energie des Gases gleich geblieben ist. -
Carnotprozess, 2. Hauptsatz, Wirkungsgrad bei Wärmemaschinen
133
2. 14.2 Wirkungsgrad von Wärmemaschinen Die Carnot-Maschine nach Kap. 2. 14. 1 ist also eine Wärmemaschine, die Wärme aufnimmt, " einen Teil davon in Arbeit ven-vandelt" und einen Teil der Wärme wieder abgibt.
Als Wirkungsgrad ·r, einer solchen Wärmemaschine bezeichnet man den Quotienten w aus verrichteter Arbeit W und aufgenommener Wärme Q: ?J = Q = Bei der Carnotmaschine ist ?J . Man kann hier den Wirkungsgrad direkt 2 / Q'II berechnen, muss dazu aber die p(V)-Funktion der "Adiabaten" aufstellen und die Arbeit für die ei nzelnen Teilschritte berechnen - jeweils durch Integration! Das Ergebnis ist ·r, = 1 d. h. der Wirkungsgrad hängt nur von den Temperaturen T1 der beiden Wärmebäder ab.
�
-
T3 ,
2. 14.3 Einige Erfahrungstatsachen Im Fotgenden seien einige Eifahrungstatsachen erwäh nt: 1. Wärme fließt stets vom heißeren zum kälteren Körper - der heißere kühlt sich dabei ab, der kältere wird wärmer. Niemals fließt Wärme vom kälteren Körper zum heißeren, indem der kältere noch kälter und der heißere noch heißer wird! 2. Ei n Stei n fällt auf den Boden, gibt beim AufpraLL sei ne kinetische Energie ab und erwärmt sich und den Boden. Niemals kühlt sich der Boden von selbst ab, gibt Wärme an den Stein, der kinetische Energie erhält und von selbst " nach oben fliegt''! 3. Nimmt man die Trennscheibe zwischen zwei Kammern weg, in denen sich verschiedene Gase befinden, so vermischen sich diese vollständig. Niemals wird sich ei n Gasgemisch von selbst vollständig entmischen, sodass sich die beiden Gase getrennt in den Kammern befinden! Die erwähnten Vorgänge sind solche, die nur in ei ner Richtung ablaufen können - man nennt sie irreversibel. Die Umkehrung eines solchen Vorgangs kommt in der Natur nicht vor, obwohl sie nach dem 1. Hauptsatz mögtich wäre! 4. Ei n weiteres Beispielfür einen nicht möglichen Vorgang wäre ein Schiffsmotor,
der im Dauerbetrieb Arbeit Liefert, indem er nur dem das Schiff umgebenden Meer Wärme entzieht und dieses dabei abkühlt.
134
Wärmelehre
Ein solcher Motor wäre kein Verstoß gegen den Energieerhaltungssatz bzw. den
1. Hauptsatz, d. h. kein Perpetuum Mobile 1. Alt* , aber ei n Perpetuum Mobile 2. Art, d. h. ei n Verstoß gegen den jetzt zu formulierenden 2. Hauptsatz.
2. 14.4 Der 2. Hauptsatz der Wärmelehre Der 2. Hauptsatz der Wärmelehre zielt darauf ab, die Unmöglich keit von Vorgängen wie in Kap. 2.14.3 zu erfassen. 1. Formulierung nach Planck:
Es ist unmöglich, eine Maschi ne zu bauen, die dauernd Arbeit liefert und dabei nur einen einzigen Körper abkühlt. Mit dieser Formulierung ist die Unmöglichkeit des Schiffsmotors in Kap. 2.14.3 Punkt 4) erfasst, auch von Punkt 2) in Kap. 2.14.3 (hier wird am Stein Beschleu nigungs- bzw. Hubarbeit verrichtet) und von Punkt 1) dort (durch das dauernde Erhitzen des heißeren Körpers würde sich dieser ununterbrochen ausdehnen und könnte Hubarbeit verrichten) . Schwiedg ist nach Planck die Erklärung, warum sich Gase nicht von selbst entmischen (siehe Kap. 2.14.3 Punkt 3). Hilfreicher si nd hier 2. Statistische Formulierungen:
In einem abgesch lossenen System sind nur Vorgänge möglich, die von einem Zustand niedrigerer Wahrscheinlichkeit zu einem solchen höherer Wahrschein Lich keit führen. oder: Ein abgeschlossenes System strebt stets einem Zustand maximaler Unordnung als dem wahrscheinlichsten zu. Damit lässt sich die Unmöglichkeit der spontanen Gasentmischung (siehe Kap. 2.14.3 Punkt 3) erklären oder auch Punkt 1) (am wahrscheinlichsten ist der Zustand, bei dem im Mittel die Teilchen alle gleich stark zittern, d. h. die Körper gleiche Temperatur haben .) 3. Eine quantitative Formulierung des 2. Hauptsatzes, d. h. eine solche, die Wahr scheinlichkeiten bzw. Irreversibilität rechnerisch erfasst, geht vom - allerdings nicht ganz einfachen - Begriff der " Entropie " aus (siehe Physiklehrbücher) * Ein Perpetuum Mobile 1. Art ist eine Maschine, die ewig läuft und dabei Arbeit verrichtet, ohne dass von außen Energie zugeführt wird; eine solche Maschine kann es nach dem Energieerhaltungssatz nicht geben.
Carnotprozess, 2. Hauptsatz, Wirkungsgrad bei Wärmemaschinen
135
2. 1 4.5 Wärmemaschinen Jede Wärmemaschi ne funktioniert prinzipiell (vergleiche Carnotprozess) nach folgendem Prinzi p (Abb. 2.17): Sie entnimmt ei nem Reservoir der Temperatur T0 die Wärme Q31, verrichtet davon die Arbeit W und gibt einen Teil der Wärme Q�1 als <1�1 an ein kälteres Reservoir der Temperatur 2Tu ab: 0�1 = W + Q�1 w � Q1 - Q Der Wirkungsgrad ist dann .." = 1 = VI � VI = 1 - / oVI 1 Ow heißes Reservoir T0
Ow1 (aufgenommene Wärme) Oy,1 - 0vl
abgegebene Arbeit
w=
Ovl (abgegebene Wärme)
Abb. 2.17
kaltes Reservoir Tu
Beachte: Eine periodisch arbeitende Maschine, die reversibel Arbeit Liefert mit zwei Reservoirs der Temperaturen T0/Tu verstößt nicht gegen die Planck'sche Formulierung des 2. Hauptsatzes! Beispiel: Bei einem Benzinmotor werden 100 g Benzin verbrannt, wobei 4600 kJ Wärme entstehen; der Motor soll dann 1600 kJ an Arbeit verrichten, der Rest wird als Abwärme abgegeben. 1600 kJ 8 1 = � Wirkungsgrad: 17 = 4600 kJ 23 3 Bemerkungen:
1. Man kan n zeigen, dass der bestmögliche Wirkungsgrad einer Wärmemaschine zwischen den Reservoirs mit T0 und Tu gegeben ist durch ''flideal =
T 1 - -u ( F2.11) To
Dies ist gerade der Wirkungsgrad der eher theoretischen Carnot-Maschine. Für "'lu = 20 °C (Leitungswassertem peratur) und "'lo = 500 °C (überhitzter Wasserdampf) 293 K � 1 - 0 . 38 = 62 % erhält man beispielsweise 'l]ideaL = 1 773 K Ü bliche Wirkungsgrade realistischer Wärmemaschinen Liegen zwischen 20 % und 40 %. 2. Die Umkehrung der Wärmemaschine wäre die Kältepumpe: Aus dem kalten Reservoir wird �� aufgenommen, außerdem wird von außen die Arbeit W ver richtet; ans heiße Reservoir wird Q�1 abgegeben. Dann gilt 0�1 = Q�1 + W wie oben, das kältere Reservoir wird kälter (das heißere wird noch heißer) .
136
Wärmelehre
2.15 Strahlungsgesetze Hier muss zunächst auf die entsprechenden Kapitel der Elektrizitätslehre und Optik verwiesen werden, wonach Licht als Welle aufgefasst werden kann mit Wellenlänge ).. und Frequenz f, und dass auch Wärmestrahlung in Form von elektromagnetischen Wellen erfolgt. Beobachtet man im Versuch das Licht einer Experi mentierlampe, die mit 12 V bzw. 6 V betrieben wird, so erscheint das Licht im 6 V-Falle rötlicher, im 12-Falle eher weiß (und heller). Ei ne Zerlegung dieses Mischlichts mithilfe eines Prismas bzw. Gitters zeigt, dass im 6 V-Fall eher die Lichtsorten im Rotbereich dominieren (großes .>.. ) , während die Blautöne (kleines .>.. ) eher fehlen, bei der 12 V-Lampe ist es gerade anders. Natürlich ist der Glühdraht der Lampe bei 12 V wesentlich heißer. Dies belegt, dass die maximale Strahlungsintensität eines Strahlers umso mehr in Richtung kleiner Wellenlängen verschoben wird, je heißer der Strahler ist. Abbildung 2.18 zeigt die Intensität E (.>.. , T) der emittierten Strahlung in Abhängigkeit von der Wellenlänge bei verschiedenen Temperaturen des Strahlers. Man sieht deutlich, wie die Wellenlänge Amax, bei der die Intensität der Strahlung am größten ist, für wachsendes T immer klei ner wird. Intensität E(;\,T)
Abb. 2.18
Dies formuliert der Wien'sche Verschiebungssatz:
I Amax · T = constl (F2.12 )
Gleichzeitig sieht man in Abbildung 2.18, dass für alle ).. die Intensität E (.>.. , T) der jeweiligen Strahlungsart stark anwächst, wenn die Temperatur erhöht wird. Für die gesamte emittierte Strahlungsenergie gilt nach Stefan-Boltzmann die Abhängigkeit
I Eges
IV
r
I (F2.13)
(Die Energie ist proportional zur vierten Potenz von T) .
Strahlungsgesetze Bemerkungen:
137
1. Oie Sonne hat als Strahler etwa eine Außentemperatur von T � 6000 K; .>. max Liegt dann bei 500 nm. 2. Wärmestrahlung findet vor allem im nicht sichtbaren IR-Bereich des Spektrums statt. 3. Oie Strahlungsgesetze spielen ei ne wichtige Rolle bei Modellberechnungen zum Treibhauseffekt.
Akustik
138
3
Akustik
3.1
Grundtatsachen
3. 1.1 Amplitude und Frequenz Versuche mit Schallerregern wie Stimmgabeln, Blattfedern, Saiten usw. zeigen, dass zur Erzeugung eines Tons die schnelle Schwingbewegung des Schallerregers nötig ist. Eine Schwingbewegung ist eine periodisch hin und her gehende Bewegung. Abbildung 3.1 verdeutlicht am Beispiel des Fadenpendels, dass eine Schwin gung eine volle Hin- und Herbewegung umfasst.
\IT L \ Start: Rechter Umkehrpunkt
Ruhelage (Mitte)
Unker Umkehrpunkt
Ruhelage (Mitte)
Rechter Umkehrpunkt
Abb. 3.1: Schwingbewegung eines Fadenpendels
Unter der Amplitude versteht man den Weg des Schwi ngers vom Umkehrpunkt zur Ruhelage in der Mitte (gemessen in m), die Frequenz f gibt die Zahl der Schwingungen je Sekunde an (Einheit: [f] = � = 1 Hz, gesprochen Hertz) s Beispiel: Ein Pendel führt in 29 s gerade 20 Schwingungen aus. Dann führt es in 1 s gerade Schwingungen aus, d. h. f = Hz � 0, 68 Hz ist die Frequenz und 29 . . s c h wmgung d auert T = - s = 1, 45 s. eme 20 Dabei gilt wieder f = (vergleiche Kap. 1.15.3), (F1.27)).
��
�
��
Versuche zeigen: 1. Wenn ei n Schallerreger schwingt, dann hängt seine Frequenz nicht von der
Amplitude ab.
2. Je größer die Amplitude der Schwingbewegung ist, desto lauter ist der Ton.
3 . Je größer die Frequenz der Schwingbewegung ist, desto höher ist der Ton.
Der Hörbereich des Menschen umfasst Töne, deren Erreger mit einer Frequenz zwischen 16 Hz und 16 000 Hz schwingt. Schwingbewegungen lassen sich mit Schreibstimmgabeln auf rußgeschwärzten Platten oder elektronisch mit Oszillographen veranschaulichen (Abb. 3.2, ver gleiche Kap. 1.25, Abb. 1.86).
139
Grundtatsachen Auslenkung
Abb. 3.2
3.1.2 Die Lochsirene Eine Lochsirene ist eine sich drehende Scheibe, auf der Löcher in regelmäßigem Abstand in acht verschiedenen konzentrischen Kreisen um den Drehmittelpunkt angebracht sind. Jede Reihe umfasst eine ganz bestimmte Anzahl von Löchern, die äußerste 48, die innerste 24. Bläst man durch ein Glasrohr Luft gegen ei ne der Reihen, so entsteht ein Ton; dieser ist umso höher, je weiter außen sich die Lochreihe befindet (Abb. 3 .3). Bläst man die Reihen nacheinander an, so entsteht die Tonleiter; erhöht man die Drehzahl der Scheibe, so liegt die Tonleiter höher.
_3=
Luftstmm
Abb. 3.3
Erklärung der Tonentstehung: Wenn sich eine der Öffnungen der Scheibe vor
dem Luftstrom befindet, kann dieser ungehindert weiter fließen und stößt auf die Luft hinter der Scheibe; wird dagegen der Luftstrom durch das Blech der Scheibe abgeschnitten, wird die Luft hinter der Scheibe nicht angestoßen. Die Luft hinter der Scheibe wird also regelmäßig angestoßen und so zum Schwingen gebracht. Dabei entsteht ein Ton, dessen Frequenz gleich der Zahl der Stöße pro Sekunde ist. Beispiel: Wenn sich die Scheibe in 1 s gerade 5-mal dreht, so erhält die Luft hinter der Scheibe bei der äußersten Reihe (48 Löcher) gerade 5 48 = 240 Stöße in der Sekunde - es entsteht ein Ton mit 240 Hz. Beim Anblasen der innersten Reihe ( 24 Löcher) entsteht ein Ton mit 120 Hz, bei der 5. Reihe von innen ( 36 Löcher) ein Ton mit 5 36 Hz = 180 Hz. Das Frequenzverhältnis vom tiefsten zum höchsten Tonleiterton (Oktave) ist also 1 : 2, das Verhältnis vom tiefsten zum "5. Ton von innen " (Quinte) ist 120 : 180 = 2 : 3. ·
·
Generell entspricht jedem musikalischen Intervall ein bestimmtes Frequenzverhält nis, das unabhängig von der absoluten Frequenz der beiden Einzeltöne ist.
140
Akustik
3. 1.3 Ausbreitung von Schall Bringt man eine Klingel unter einer Glasglocke zum Läuten und pumpt, während sie läutet, die Luft aus der Glocke, so hört man das Läuten immer schwächer, zuletzt überhaupt nicht mehr. Lässt man wieder Luft einströmen, wird das Läuten wieder stärker und erreicht schließlich die alte Lautstärke. Dieser Versuch zeigt, dass der Schall von der Klingel durch den luftleeren Raum nicht an unser Ohr gelangen kann. Schall braucht ein Medium, um sich auszubreiten. Normalerweise ist dies die Luft, jedoch leiten auch feste und flüssige Stoffe den Schall. Weiche und poröse Stoffe sind schlechte Schallleiter und werden zur Schalldämmung benutzt. Auch der Schall braucht eine gewisse Zeit, um eine Entfernung zurückzulegen. Versuche zeigen, dass der Schall in Luft etwa 3 Sekunden für einen Kilometer braucht, die Schallgeschwindigkeit in Luft ist c = 340 �· Trifft Schall auf ein Hindernis, z. 8 . eine feste Wand, so wird er zurückgeworfen, d. h. reflektiert. Dadurch entstehen das Echo und der Nachhall in großen Räumen .
Ein Versuch, bei dem am Grunde eines Glaszylinders eine tickende Uhr auf Watte soll die Schallausbreitung zur Seite dämpfen liegt, zeigt, dass deren nach oben laufender Schall so an einem Spiegel reflektiert wird, dass Einfalls- und Reflexionswinkel gleich sind Abb. 3 .4) .
(
)
(
\'Vatte
Abb. 3.4
Die Wahrnehmung des Schalls erfolgt dadurch, dass er das Trommelfell im Ohr zum Schwingen bringt und diese Schwingungen über die Gehörknöchelchen zur mit Flüssigkeit gefüllten Schnecke im Innenohr weitergeleitet werden, wo sie die Sinneszellen des Innenohrs reizen. Aufgabe: Ein Schiff schickt per Echolot ein Ultraschallsignal zum Meeresgrund und misst die Zeit nach der es wieder beim Schiff ei ntrifft, mit 4 s. Wie tief ist das Meer dort, wenn die Schallgeschwindigkeit im Meerwasser 1500 beträgt? Lösung: Zurückgelegter Weg im Wasser in 4 s Hin- und Rückweg : 1500 � 4 s = 6000 m; also Meerestiefe: 3000 m.
(
·
�
)
Schall als Längswelle
3.2
141
Schall als Längswelle
Beim Versuch mit der Lochsirene kann der Luftstrom im regelmäßigen Abstand hindurch bzw. wird gestoppt; dadurch wird die Luft hinter der Scheibe regelmäßig an- bzw. nicht angestoßen und es entsteht im periodischen Wechsel Ü ber- bzw. U nterdruck. Wie in Kap. 1.27 erläutert entstehen Über-/Unterdruckwellen, eben
Schall.
Dabei breiten sich also Verdichtungen und Verdünnungen der Teilchen des Schallträgers nach allen Seiten von der Erregerstelle (dies kann auch die schwin gende Stimmgabel sein, die periodische Stöße auf die umgebende Luft austeilt) aus; die Teilchen selbst schwingen nur um ihre Gleichgewichtslage (Längsschwin gung), wandern aber nicht zum Ohr. Schall ist also offenbar eine Welle aus Ü ber- und Unterdruckstörungen, d. h. eine Längswelle.
Dass er keine Querwelle sein kann, folgt auch daraus, dass im Inneren von Flüssigkeiten und Gasen nur Längswellen möglich sind. Dazu folgende Ü ber legung: Abbildung 3.5 zeigt das Matratzenmodell eines Festkörpers, bei dem ein Teilchen sch nell nach rechts ausgelenkt wurde. In der Folge werden Längs wellen sich nach links und rechts und Querwellen sich nach oben und unten ausbreiten. Grund für die Querwellen sind die "Querfedern" im Festkörper, die dafür sorgen, dass dieser eine bestim mte Gestalt hat. In der Flüssigkeit und im Gas, wo die Teilchen gegeneinander verschiebbar sind (vergleiche Kap. 2.5), gibt es solche Querfedern nicht - also auch keine Querwellen. Quer.velle
Unterdruck
Querwelle
Abb. 3.5
3.2. 1
Versuche mit Schallwellen
Im Folgenden seien einige Versuche mit Schallwellen beschrieben: Versuch 1 (Abb. 3.6): Schickt man per Lautsprecher Schall oder U ltraschall auf eine Wand, so wird dieser reflektiert und eine stehende Welle (vergleiche Kap.
Akustik
142
1.27) bildet sich aus. Das Mikrofon zeigt in regelmäßigen Abständen Lautstärke bäuche und dazwischen -knoten - sie entsprechen Druckbäuchen und -knoten. Mikrophon
Lautsprecher
reflektierende Wand (fest)
P
Lautstärkebäuche
Abb. 3.6
Die Druckverteilung ist in Abbildung 3.6 auch angegeben. Da der Abstand zweier Druckbäuche der halben Wellenlänge entspricht, kann man durch Messung diese ermitteln und bei Kenntnis der Schallfrequenz die Schallgeschwindigkeit in Luft bestim men. Für d = � = 2.. 3 cm erhält man .>.. = 4,6 cm und bei f = 7000 Hz folgt 2 m c = .>.. · f = 4) 6 · 10-2 · 7000 = 322 als Schallgeschwindigkeit. s s Versuch 2 (Abb. 3 7) : Ein Tonfrequenzgenerator mit Lautsprecher erzeugt durch vielfache Reflexion in einem Glaskolben mit veränderlicher Länge (verschiebbarer Kolben als festes Ende) stehende Längswellen im Träger Luft (das Lautsprecheren de kann als loses Ende aufgefasst werden).
m
.
Tonfreque genecatoc it
�l
::utsprecher Abb. 3.7
�
Luftsäule als Wellenträger
I
1
_
_
_
_
>f-
Kolben
Schnellebild der Grundschwingung
Die Schnelleverteilung der Luftteilchen im Rohr lässt sich durch Korkmehl ver deutlichen, das bei Schnelleknoten ruhig als Häufchen liegen bleibt, bei Schnel lebäuchen aber von den Luftteilchen mitgewirbelt wird. Durch Hochfahren der Generatorfrequenz bei fester Kolbenlänge L Lassen sich die verschiedensten Oberschwingungen erhalten - ihre Schnelleverteilung ist in Abbildung 3.8 skizziert.
143
Schall als Längswelle
Abb. 3 .8: Oberschwingungen - Schnelleverteilung im Resonanzrohr
Versuch 3 (Abb. 3.9 ) : Ein Glaszylinder ist teilweise mit Wasser gefüLLt; darüber
befi ndet sich eine Luftsäute, deren Länge durch die Höhe des Wasserstands variiert werden kann. Schlägt man die StimmgabeL an und hält sie von oben über die " Resonanzröhreu, so wird bei bestimmten FüLLhöhen der Ton der Stimm gabeL erhebtich verstärkt.
Luftsäule
Abb. 3.9
Erklärung: Die Luftsäule über dem Wasser hat oben ein offenes (Loses) Ende, unten
ein festes Ende. In ihr können durch die StimmgabeL stehende Längswetten angeregt ). werden, wenn die Länge der Säule "passtu - z. B. die Grundschwingung, wenn L = 4 gilt. Da die SchaLtgeschwindigkeit c in Luft festliegt und mit der Stimmgabelfrequenz c f auch die Länge = f der entstehenden Wette, gibt es "Resonanzen" für ). 3 5 Lo = - ., L1 = - . Lz = - usw. 4 4 4 Anwendung: Durch Messung der Resonanzlängen Lo, L1 . . . kann man bei bekann ter Stimmgabelfrequenz die Schaltgeschwindigkeit c bestimmen oder bei bekann tem c die Stimmgabelfrequenz f ( Eichung von Stimmgabeln). Zahlenbeispiel: Sei Lo = 20 cm die Luftsäutentänge, bei der sich die Grund schwingung einsteLLt und sei c = 340 .!f. Dann ist = 4 L0 = 80 cm und die 340 Stimmgabelfrequenz ist f = � = � = 425 Hz 0, 8 m Weitere Resonanzen darf man dann bei L1 = 60 cm, L2 = 100 cm usw. erwarten. Bemerkung: Die Tonerzeugung in einer Holzpfeife erfolgt (Abb. 3 .10) dadurch, dass durch Anblasen an der Sch neide LuftwirbeL entstehen. Diese regen die Luftsäule in der Pfeife zu einer Eigenschwingung an.
>..
>.
>.
>.
>.
·
144
Akustik
Sch>A�ngende Luftsäule
Luft (Blasen)
Abb. 3.10
Bei einerbeiobeneineroffenen PfeifPfei e istfe dort einfestes SchnetlEnde)ebauch, zugleineichDruckbauch, ein Druck knoten; gedeckten (oben ist oben zugleich ein Schnetleknoten. Aufgabe: Eine 1 m Lange Luftsäule in einem Glasrohr werde durch einen Ton frequenzgenerator am Anfang zu Eigenschwingungen angeregt-das vordere Ende sei lose, das hintere Ende sei fest. 1) gung Man steLLe eine340aLlgemeine Formel für die Frequenz fk der k-ten Oberschwin auf (c �)! 2) welcher? Man zeige, dass f 765 Hz zu einer solchen Oberschwingung gehört - zu 3) teilchen Man zeige,beidassx1 bei38dercm zuundf 765 50Hzcmgehörigen Oberschwingung diwase Luft gegenphasig schwingen, den Druckverlauf anbetri fft. für diese Oberschwingung druckempfindliche Mikro 4) Angenommen, man würde phone bei x3 11,1 cm und 55, 5 cm platzieren und an den x- bzw. y-Eingang eines Oszilloskops welches Schaubild würde sich aufanschl demießen Schirm(vergleiche ergeben? ELektrizitätslehre) 3 , 2. OS: L -i, 5 allgemein zuLösung: 1)(2Grundschwingung: L 1 OS: L � . L k +4 1) AK (k. OS) 4 Für diec Frequenz der k. OS gil t : fk mtt. Ak 2 k4 +L 1, also fk 4Lc · (2 k + 1) (k 0; 1 ; ) Zahlenwert: fk 3404 mm;.s · (2 k + 1) 85 Hz · (2 k + 1) (k 0 , 1 . . . . ) zu4. Oberschwingung. 2) 765 Hz 85 Hz · (2 k 1) Liefert k (765 85 - 1) · �2 4 - es ist die zu 3) Bei dieser 4. OS beträgt die Wellenlänge .A4 2 · 44 L+ 1 49m Am vorderen losen Ende ist eine Schnetlebauch, d. h. Druckknoten; die weiteren �ruc,�kno,�en f,�lgen im Abstand �4 � m bei � m �� m �� m �� m, während bei 9 m 9 m 9 m 9 ml1 m Druckbäuche sind. =
=
=
x2 =
=
><4 =
=
=
=
=
�
=
.A
=
=
=
·
=
=
=
. . .
=
=
+
.A
=
=
=
=
.A
�,
_
Der Doppler-Effekt: Erreger oder Beobachter einer Welle bewegen sich
145
Zwischen den Stellen x1 = 38 cm und x2 = 50 cm befindet sich genau ein Druck knoten bei 44,4 cm - also ist der Druckverlauf bei x1 und x 2 gegenphasig (Abb. 3 .11). zu 4) Bei x3 = � m und x4 = � m sind Druckbäuche und zwar ist an diesen Stellen 9 9 der Druck jeweils gleichphasig. Also gilt p(x3) = p(x4) zu jeder Zeit (Abb. 3 .11). p
Abb. 3 . 1 1: Druckverlauf bei der 4. Oberschwingung
� �!�
Wenn beim Anschluss an das Oszilloskop p(x3) die x-Ablenkung und p(x4) die = 1 zu y-Ablenkung des Punktes zur betreffenden Zeit bestimmt, so gilt jeder Zeit; wie bei der Lissajou-Figur in Abbildung 1. 78 a (Kap. 1.24.1) erhält man als Schaubild auf dem Schirm ein Stück einer Ursprungsgeraden und zwar hier der 1. Winkelhalbierenden.
3.3
Der Doppler-Effekt: Erreger oder Beobachter einer Welle bewegen sich
3.3. 1 Erreger bewegt, Beobachter in Ruhe Sicher hat der Leser schon die folgende Erfahrung gemacht: Man steht an einer Straßenecke, ei n Krankenwagen mit eingeschalteter Sirene rast auf einen zu, dann an einem vorbei und entfernt sich wieder - dabei ändert sich die Höhe des Sirenentons sprunghaft: Er wird tiefer. Zur Erklärung dieser Beobachtung sei angenommen, dass sich der Erreger einer Welle mit der Frequenz f = 1 Hz, d. h. T = 1 s mit der Geschwi ndigkeit v = 0, 7 c� nach rechts bewegt; die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle sei c = 1 c� . Die Wellenlänge ist dann .A = � = 1 cm . Zur Zeit f:o = 0 sei der Erreger am Ort Xo = 0 im Zustand eines Maximums. Dieses breite sich in zwei Dimensionen aus (nach allen Seiten); nach der Zeit t4 = 4 s ist daraus eine kreisförmige Maximumfront entstanden, ein Kreis Ko um x o mit Radius 4 cm (siehe Abb. 3.12 ) .
146
Akustik
Abb. 3 . 1 2
Zur Zeit t1 = 1 s ist der Erreger am
Ort
x1 = 0,7 cm und hat wieder ein Maximum. Dieses breitet sich von der Zeit t1 = 1 s bis zur Zeit � = 4 s gerade 3 s Lang mit cm c=1 aus - nach � = 4 s ist daraus ein Maximumkreis K1 um x1 mit Radius s 3 cm entstanden.
Zur Zeit t2 = 2 s ist der Erreger bei x2 = 1,4 cm und hat ein Maximum; zur Zeit � =
4 s ist daraus ei n Maximumkreis K2 um x2 mit 2 cm Radius geworden. Zur Zeit t3 = 3 s ist der Erreger bei x3 = 2,1 cm und hat ein Maximum, aus dem zur Zeit � = 4 s, d. h. 1 s später, der Maximumkreis K3 um x3 mit Radius 1 cm geworden
ist.
Zur Zeit t4 = 4 s ist der Erreger bei � = 2,8 cm und hat ein Maximum.
Abbildung 3.12 zeigt den Zustand zur Zeit t4 = 4 s: die Kreise K0, K1 , K2, K3 der Maximumfronten sind nicht konzentrisch! Es seien P0 und 00 die Schnittpunkte des Kreises Ko mit der x-Achse, entsprechend seien 01, 02, 03, P1, P2 1 P3 Schnittpunkte der anderen Kreise mit der x-Achse. Beobachter B 1 sitze rechts von Po auf der x-Achse; er sieht Maximum-Wellen fronten �it Ausbreitungsgeschwindigkeit c = 1 c� auf sich zukom men, deren Abstand .A aber viel kürzer ist als beim ruhenden Erreger. Beobachter B 2 sitze links von 00 auf der x-Achse; er sieht Maxi mumfronten mit c auf sich zukommen, deren Abstand .A* wesentlich größer als die Wellenlänge .A beim ruhenden Erreger ist. Die genaue Rechnung geht von den x-Koordinaten der P- bzw. 0-Punkte aus! X p0 = hier = 4 cm, allgemein: Xp0 = c 4 s } � ·
Xp1
Radius
= hier = 0,7 cm + 3 cm = 3,7 cm; allgemein: Xp 1 = c · 3 s + v 1 s �
Radius
� ·
x1
147
Der Doppler-Effekt: Erreger oder Beobachter einer Welle bewegen sich Xp2
= hier = 1,4 cm + 2 cm = 3,4 cm; allgemein: Xp2 = ...._ c · 2 s _.."_,. + ...._ v · 2 s _.."_,. Radius
Xz
= hier = 2,1 cm + 1 cm = 3,1 cm; allgemein: Xp3 = ...._ c · 1 s _.."_,. + ...._ v · 3 s _.."_,. Radius X3 Abstand: Xp0 - Xp 1 = c . 1 s - v . 1 s Abstand: Xp1 - Xp2 = c 1 s - v 1 s Abstand: Xp2 - Xp3 = c 1 s - v 1 s Man sieht, dass die Maximumfronten, die auf Bt zulaufen, alle den gleichen Abstand "X = (c - v) 1 s, bzw. allgemeiner "X = (c - v) T haben. Entsprechend haben die Maximumfronten, die auf B 2 zulaufen, aLLe den glei chen Abstand ..X* = (c + v) · T Beobachter Bt registriert also eine WeLLe mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c, - c c 1 1 1 WeLLenlänge -..X und Frequenz f = = =-· =f· , Beobv 1 - v/c .A (c - v) · T T 1 - /c 1 c achter B 2 eine mit c . ..X* und F· = f · = f . __ v c+v 1 + �c Für B1 ist die Frequenz also gegenüber f vergrößert (höherer Ton), für B 2 ist sie verkleinert (niedrigerer Ton); im Beispiel mit dem Krankenwagen springt die Frequenz beim Vorüberfahren von f auf f* ! Xp3
·
·
·
·
·
·
=
·
Ergebnis:
Bewegt sich ein Wellenerreger mit Ruhefrequenz f auf einen ruhenden Beob achter mit der Geschwindigkeit v zu, so registriert dieser eine Welle mit der c Frequenz f = f · __; bewegt er sich weg, registriert der Beobachter eine c-v c WeLLe mit F· = f . __ _ (F3.1 a, b) c+v Bemerkungen:
1. Was passiertfür v > c? - die Formel für f* gilt weiterhin! Wählt man im obigen Beispiel v = 1: 4 c:, so ist x 0 = 0, x 1 = 1,4 cm, x2 = 2,8 cm, X3 = 4,2 cm, x4 = 5,6 cm (Abb. 3.13).
X
Abb. 3.13
148
Akustik
Es ist Xp0 < Xp1 < Xp2 < X p3 , d. h. die Maximumkreise durchstoßen einander. Der Abstand der Maxima auf der x-Achse für B 1 ist jetzt ); = Xp1 - Xp0 = Xp2 - Xp1 = Xp3 - Xp2 = (v - c) · T c (F3.1 a') Also beträgt die Frequenz für B, jetzt f f . v-c
I
I
Diese FormeL macht Sinn, da sie wegen v c jetzt f positiv Liefert im Gegensatz zu (F3.1 a). Die Kreise haben übrigens zwei gemeinsame Tangenten vom Punkt bei x4, dem Erregerpunkt, aus; im realen dreidimensionalen FaLL gibt es ansteLLe von Maxim umkreisen Kugelschalen mit einem KegeL als gemeinsamer HüLLkurve. 2. Was gilt für c "" v? - die FormeL für f* gilt weiterhin, die für f Liefert f = "oo"! Abbildung 3.14 zeigt die Situation für c = v = 1 c: ! >
-
-
Umgebung des Frontpunktes 4
X
Umgebung des Frontpunktes
Abb. 3.14
In der Umgebung des Frontpunktes bei x 4 - hier ist der Erreger! - wechseln
WeLLenberge und WeLLentäLer ungeheuer schneLL. Dadurch ni mmt die Energie mit wachsender Entfernung von x0 immer mehr zu, da i mmer neue BergejTäLer hinzukommen . Diese Situation Liegt etwa beim " Durchbruch eines FLugzeugs durch die SchaLL mauer�� vor - über Längere Zeit führt sie zur Katastrophe. 3. Der Ü berschaU-KegeL eines FLugzeugs (siehe Punkt 1) breitet sich mit SchaU geschwindigkeit aus; dort, wo er den Boden trifft, hört der Beobachter den Lärm. Dies ist an jeder SteLLe nur einmaL der FaLL, da das FLugzeug den KegeL mit sich schleppt. Je näher v bei c Liegt, desto dichter Liegen die WeLLenfronten in der HüLLkurve, desto größer ist die Energie, desto Lauter der KnaLL. 3.3.2 Erreger fest, Beobachter bewegt sich Der Beobachter B bewege sich mit der Geschwindigkeit v auf den ruhenden Erreger E zu, von dem sich die WeLLenfronten mit der Geschwindigkeit c kreisförmig
149
Der Doppler-Effekt: Erreger oder Beobachter einer Welle bewegen sich
entfernen. Abbildung 3.15 zeigt eine Situation, bei der B gerade eine Maxim umfront 1 passiert; die nächste Maximumfront 2 hat von B die Entfernung >..
B
•
E
Abb. 3.15
Da Beobachter B der Front 2 entgegenläuft, trifft er früher, nämlich nach der Zeit T' (T' T) auf die Front 2, als wenn B in Ruhe wäre. Die gestrichelte Kreislinie in Abbildung 3.15 zeigt die Position von Maxim umfront 2, wenn B auf sie trifft. In der Zeit T' hat die Front die Strecke 5t = c T' und B die Strecke s 2 = v · T' zurückgelegt - offenbar gilt St + s 2 = >. bzw. c T' + v T' = >. = ( c + v) T' >. Daraus folgt T' = -- für die Zeit, die der Beobachter zwischen zwei Maxima c+v registriert. Die Frequenz der Welle ist für ihn dann 2. v + c c ( 1 + v/c) = =f. 1+ f' = = >. c >. T' Ein Beobachter, der sich vom Er� ger entfernt, würde aufgrund ähnlicher Ü berlegungen eine größere Zeitspanne T zwischen zwei Maximumfronten registrieren, als >. wenn er ruhte - nämlich T = __ und damit die Frequenz f = ;; = f · 1 c-v c T <
·
·
·
( �) .
( �)
Ergebnis:
Bewegt sich ein Beobachter mit der Geschwindigkeit v auf einen ruhenden Wellenerreger mit Frequenz f zu, so registriert er eine Welle mit der Frequenz f' = f · 1 + = f · C V; bewegt sich der Beobachter vom Erreger weg, so registriert er c v . (F3.2 a, b) f=f· 1 - =f
;
( �)
( �)
Bemerkungen:
·
�
1. Die Formel für f liefert Unsinn für v 2:: c; in der Praxis heißt das, dass der Beobachter der Welle davonläuft. 2. Ist v � c, so kann man die Formeln (F3.1 a, b) näherungsweise verei nfachen ! Aus der Mathematik kann man für kleines positives x � 1 entnehmen, dass 1 1-x 1 -x . ( ) ( ) = -2 � 1 - x g1lt und ebenso 1+x 1+x 1 -x 1 -x
150
Akustik
1 1+x 1+x . _ � 1 + x, wobe1 Glieder der Ordnung x 2 ver= = z 1 x (1 x) (1 + x) 1 x _
_
nachlässigt wurden.
Damit gilt bei v � c für den ruhenden Beobachter: 1 1 f=f. f* = f . �f 1 �f 1 + ' v c 1 + v/c c 1 - /c Diese si nd die gleichen Ausdrücke, wie sie exakt für den bewegten Beobachter gelten - siehe (F3.2 a, b) !
( �)
( �)
Die Frequenzerhöhung bzw. -erniedrigung durch den bewegten Erreger oder V Beobachter ist gegenüber dem ruhenden Fall stets durch .6.f � f · - (F3.3) c gegeben, sofern v � c gilt! Aufgabe:
1) Eine Sirene hat die Frequenz f = 440 Hz. Ein Wagen mit eingeschalteter Sirene fährt mit 72 1W an einem Beobachter vorbei, der an der Straße steht. Welche Frequenzen registriert dieser ( c = 340 ? 2) Jetzt sei die Sirene fest an einer Straßenecke montiert und der Beobachter fährt mit 72 k� an ihr vorbei. Welche Frequenzen registriert er? 3) Die Sirene sei auf ei nen Wagen montiert, im anderen Wagen sitzt der Beob achter. Beide Wagen fahren mit je 36 k� zunächst aufeinander zu und passieren sich dann. Was registriert der Beobachter? km 72 m m Zu 1) : (Erreger bewegt) : v = 72 - = - - = 20 h 3, 6 s s 340 m;.s 34 Vorher: f = 440 Hz · = 440 Hz · - = 467 . 5 Hz 340 mfs - 20 m/s 32 m 340 ;.s 34 = 440 Hz · - = 415, 6 Hz Nachher: f* = 440 Hz · m m 36 340 /s + 20 fs Zu 2) : (Beobachter bewegt) : 340 m;.s + 20 m;.s 36 = 440 Hz · - = 465, 9 Hz Vorher: f = 440 Hz · m 34 340 /s . 340 - 20 Nachher: f = 440 Hz · = 414, 1 Hz 340 Zu 3): Vorher: Ein ruhender Beobachter am Straßenrand würde einen Erreger registrieren, der mit v 1 = 10 �s auf ihn zufährt mit der Frequenz 340 f1 = 440 Hz · = 453, 3 Hz. 340 - 10 Der Beobachter fährt mit v2 = 10 dieser Wellenfront entgegen und registriert 35 = 466, 6 Hz 340 + 10 = 453, 3 Hz f2 = f1 340 34
�)
·
(
)
�
�
•
· -
Der Doppler-Effekt: Erreger oder Beobachter einer Welle bewegen sich
151
Nachher: Ein ruhender Beobachter registriert die Wellen eines mit v1 = 10 wegfahrenden Erregers, er registriert also die Frequenz f3 = 440 Hz ·
340 = 427, 4 Hz. 340 + 10
Der Beobachter fährt von dieser Wellenfront mit v2 = 10
33 f4 = f3 · 340 - 10 = 427, 4 Hz · - = 414, 9 Hz 340 34
�
� weg und registriert
Optik
152
4
Op tik
4.1
Grundbegriffe
4. 1.1 Punktförmige Lichtquelle, Lichtstrahl Selbstleuchtende Körper, z. B. Glühbirnen, Kerzen, die Sonne, heißen Lichtquellen im Unterschied zu beschienenen Körpern (z. B. der Mond), die "ihr Liehe von einer Lichtquelle erhalten. Licht ist eine Form von Energie - in Sonnenkollektoren und Solarzellen lässt sie sich in elektrische Energie umwandeln. Das Licht breitet sich von der Lichtquelle nach allen Seiten geradlinig aus. Ein von einer Lichtquelle beleuchteter Körper wird gesehen, wenn das Licht von ihm ins Auge gelangt; das Licht selbst kann man nicht sehen, wie folgender Versuch verdeutlicht. Strahlt man im Dunkeln mit einer Taschenlampe eine Wand an, so sieht man nur den hellen Fleck an der Wand, dagegen nichts zwischen Lampe und Wand. Schüttelt man dagegen Staub zwischen Lampe und Wand, so meint man, den Lichtkegel der Lampe zu sehen ! In Wirklichkeit sieht man nur die vielen hell erleuchteten Staubkörnchen, die als beschienene Körper das Licht ins Auge umleiten. Körper lassen das Licht unterschiedlich stark durch sich hindurchgehen - es gibt durch sichtige Stoffe (z. B. Glas), durchscheinende Stoffe (z. B. Mattglas, dünnes Papier) und undurchsichtige. Das Licht breitet sich mit der Geschwindigkeit v � 300 000 k: im Vakuum aus, d. h. von der 1508Millionen km entfernten Sonne zu uns braucht das Licht die Zeit 1 . s 1, 5 · 10 km = 500 s = 8 - m1 n. t= = 3 v 3 . 10s km/s Ein Lichtjahr ist die Entfernung, die das Licht in 1 Jahr zurücklegt - etwa 9,5 Billionen Kilometer. Zur Beschreibung optischer Phänomene eignet sich das Modell der punkt förmigen Lichtquelle, von der nach allen Seiten Lichtstrahlen ausgehen. Streng genommen gibt es nur flächenhafte Lichtquellen und auch nur schmale Licht bündel - die Modellbegriffe sind als idealisierte Grenzfälle zu sehen ! Lichtstrahlen können sich gegenseitig durchdringen, ohne sich zu stören (das Licht einer Taschenlampe quer zur dem einer anderen beeinflusst deren Licht nicht!) -
4. 1.2 Das optische Bild Eine Lampe mit einem leuchtenden Gegenstand, z. B. F, steht vor ei ner Blende mit einem Loch. Dann lässt sich auf einem Schirm hinter der Blende ein Bild des Gegenstands auffangen (Abb. 4.1) . Dieses ist seitenverkehrt, es steht auf dem Kopf und ist um so größer, aber auch um so lichtschwächer, je weiter der Schirm von der Blende weg ist. Es wird heller, aber unschärfer, wenn man das Loch der Blende vergrößert und ist nur da, wenn man es mit dem Schirm auffängt.
153
Grundbegriffe
Lampe
mit F
Blende mit Loch
Abb. 4.1
Schirm mit Bild
Alle Eigenschaften Lassen sich Leicht erklären, wenn man annimmt (Abb. 4.1), dass von jedem Punkt des Gegenstands ein schmales Lichtbündel durch das Blendenloch geht und auf dem Schirm einen Lichtpunkt (Bildpunkt) erzeugt. Bei größerer Entfernung des Schirms muss eine größere Fläche ausgeleuchtet werden, d. h. das Bild wird Lichtschwächer; vergrößert man das Blenden loch, so kommt mehr Licht hindurch (heller!), aber auf dem Schirm entstehen statt Lichtpunkten "Lichtscheibchen", die sich gegenseitig überlappen - das Bild wird unscharf! Anwendung: Lochkamera - Man kann mit einer Pappschachtel mit Loch fotografieren, m uss aber wegen der Lichtschwäche ewig Lang belichten, um bei kleinem Loch (sonst unscharfes Bild) ein brauchbares Resultat zu bekommen! Im Folgenden sei G die Gegenstandsgröße, B die Größe des Bildes, g die Entfernung des Gegenstands von der Blende (Gegenstandsweite) und b die des Bildes von der Blende (Bildweite). In Abbildung 4.2 ist als Gegenstand ein Leuchtender Pfeil mit der Pfeilspitze P gewählt - ihr Bildpunkt ist P', der Punkt M kennzeich net das Blendenloch. p
��===;b �>;= - }
:L� nstand
B
Blende P'
Bild auf Schirm Abb. 4.2
P'M b .. den 1 . und 2. Strahlensatz der Mathematik erhält man: B = = Uber = , also G PM g (F4.1)
rn
-
�
-
Hierbei ist A = der Abbildungsmaßstab, der angibt, ob das Bild eine Vergrö ßerung darstellt (B G bzw. A 1), eine Verkleinerung (A 1) oder eine größentreue Abbildung. >
>
<
154
Optik
Aufgabe: Ein 12 cm großer Gegenstand stehe in 20 cm Entfernung von der Blende
und soll in dreifacher Vergrößerung abgebildet werden. Wo muss der Schirm stehen, wie groß muss er mindestens sein? b B Lösung: Mit G = 12 cm, g = 20 cm und A = 3 folgt __ = __ = 3, also 12 cm 20 cm B = 36 cm und b = 60 cm. Das Bild wird 36 cm groß und der Schirm muss 60 cm hinter der Blende stehen!
4.2
Schatten
4.2. 1 Kernschatten und Halbschatten Beleuchtet man mit ei ner punktförmigen Lichtquelle (z. B. Kerze) einen Gegen stand, so entsteht ein scharfer dunkler Schlagschatten - der Bereich, in den das Licht nicht gelangt. Nimmt man zwei punktförmige Lichtquellen (Abb. 4.3), so hat jede ihren Schattenbereich. Dort, wo sich beide Bereiche überdecken, kommt kein Licht an (dunkler Kemschattenbereich); dort, wo nur ei ne Quelle Schatten wirft, das Licht der anderen aber ankommt, ist ein halbheller Bereich (Halbschatten) .
�---1-1- Kernschatten 2
Abb. 4.3
Halbschatten
Nimmt man viele punktförmige Lichtquellen, so verschwinden die harten Kanten der Schattenbereiche immer mehr; nimmt man eine ausgedehnte Lichtquelle (matte Glühbirne oder Neonröhre), so geht der Kernschatten stufenlos weich in das schattenfreie Gebiet über. Auch indirekte Beleuchtung, bei der das Licht erst reft.ektiert wird, verhindert scharfe Schatten. Schatten lassen nicht nur Körper räumlich plastisch erscheinen, sondern sind auch für die Mondphasen, Mond- und Sonnenfinsternisse verantwortlich. 4.2.2 Die Entstehung der Mondphasen Der Mond umkreist hier - von oben gesehen - die Erde im Gegenuhrzeigersinn (Abb. 4.4) . Beide Himmelskörper erhalten von links nahezu paralleles Sonnenlicht - ihre beschienene Seite ist jeweils schwarz gezeichnet. Der Beobachter auf der Erde schaut jeweils in Pfeilrichtung auf den Mond und sieht diesen - je nach Stellung - unterschiedlich ausgeleuchtet.
Schatten
155
Sonnenlicht
abnehmend
---�
f)
()
l
.
� /
() - t)
f)
E•de
Neumond
0
()
Vollmond
/ 1 � ()
�
()
zunehmend Abb. 4.4: Mondphasen
4.2.3 Mond- und Sonnenfinsternisse Hier ist es wichtig, dass die Lichtstrahlen der Sonne zwar nahezu, aber nicht exakt parallel sind. Daher besitzt die Erde sowohl einen Halb- wie auch einen Kern schattenbereich im Weltraum. Tritt nun (Abb. 4.5, nicht maßstabsgerecht) der Mond in den Halb- bzw. Kernschattenbereich der Erde ein, so sieht man (von jedem Punkt der N achthalbkugel aus gleich) Mondtei le oder den ganzen Mond dunkler oder überhaupt nicht - man spricht von einer partiellen oder totalen Mondfins ternis.
Abb. 4.5: Mondfinsternis
,.,. - - -
'
- Halbschatten der Erde
Kernschatten der Erde
Fällt dagegen der Kern- bzw. Halbschatten des Mondes auf die Erde, so tritt in dem jeweiligen Gebiet der Erde eine totale bzw. partielle Sonnenfinsternis (Abb. 4.6) auf. Bei der totalen Sonnenfinsternis wird die Sonne überhaupt nicht gesehen, bei
156
Optik
der partiellen sind Teile der Sonne (z. B. der Bereich um Punkt P) komplett verschwunden. --p
/
'
\ 11 ' '
Abb. 4.6: Sonnenfinsternis
,---
/
Halbschatten des Mondes
/
Kernschatten des Mondes
Damit ist klar, dass eine Mondfinsternis nur in der Voltmondphase auftreten kann, wenn die Erde zwischen Sonne und Mond steht, eine Son nenfinsternis nur bei Neumond. Dass nicht bei jeder Voltmondphase eine Mond- bzw. bei jeder Neumondphase eine Sonnenfinsternis auftritt, sondern die Finsternisse viel seltener sind, liegt daran, dass die Ebene, in der die Erde die Sonne umkreist und die Ebene, in der der Mond die Erde umkreist, nicht übereinstimmen, sondern gegeneinander geneigt sind.
4.3
Die Reflexion des Lichtes
4.3 . 1 Reflexionsgesetz Stellt man eine Kerze vor einen Spiegel oder eine Glasplatte, so erkennt der Beobachter vor der Glasplatte hinter der Platte ein Spiegelbild der Kerze. Im Gegensatz zum optischen Bild aus Kap. 4 . 1 . 2 (siehe Lochkamera) ist dieses Bild nicht umgekehrt und seitenverkehrt, genauso groß und gleich weit von der Glasplatte weg wie das Original (man erhält es mathematisch durch Spiegeln des Originals an der Platte) und es ist auch ohne Schirm da. Um diese Erscheinung zu erklären, gilt es zu überlegen, was mit den Licht strahlen passiert, wenn sie auf die Glasplatte treffen. Sie werden dort beim Ü bergang zwischen zwei verschiedenen optischen Medien (hier Luft/Glas) reflek tiert und zwar nach dem Reflexionsgesetz (Abb. 4.7 ) :
Abb. 4.7
Die Reflexion des Lichtes
157
1) Ei nfallender Strahl, EinfaLLslot (Senkrechte auf Spiegelebene am Ei nfaLLs punkt) und reflektierter Strahl Liegen in einer Ebene E. 2) Ei nfaLLswinkeL n und Reflexionswinkel ß (beide gemessen zwischen Strahl und Lot!) sind gleich: o: = /1 Bemerkungen: 1. Ein entsprechendes Gesetz gilt auch für SchaU, die Reflexion elastischer BäLLe an einer Wand und WasserweLLen (vergleiche entsprechende Kapitel z. B. 1.28.1) . 2. Lässt man das Licht von einer Lam pe aus der Richtung des reflektierten Strahls
ei nfallen, so nimmt es den gleichen Weg in umgekehrter Richtung
Lichtweg ist beim ebenen Spiegel umkehrbar!
-
der
3 . Dreht man den Spiegel um den Winkel n:, so dreht sich der reflektierte Strahl um 2 o: (Erstens hat sich das Ei nfaLLslot um n mitgedreht, zweitens ist der
Ei nfaLLs- und damit auch der Reflexionswinkel gegenüber diesem Lot um n größer geworden.)
4.3.2 Das Spiegelbild Mithilfe des Reflexionsgesetzes gelingt nun die Erklärung des Spiegelbildes. In Abb. 4.8 sieht man von der Ebene der Glasplatte aus diese als Gerade. Die punktförmige Lichtquelle L rechts von der Platte sendet nun in alle Richtungen Strahlen aus, die an verschiedenen Punkten P, Q, R auf den Spiegel treffen und dort nach dem Reflexionsgesetz unter den Winkeln n, ß, I' usw. reflektiert werden. Die reflektierten Strahlen gelangen ins Auge. Dieses wird getäuscht es sucht die Lichtquelle in der rückwärtigen Verlängerung der eintreffenden Strahlen und findet sie in deren gemeinsamem Schnittpunkt B Links vom Spiegel.
L Lichtquelle Abb. 4.8
Spiagel (Giasplatte)
Man überlegt sich geometrisch Leicht, dass die gestrichelten rückwärtigen Ver Längerungen sich tatsächlich alle in einem Punkt schneiden, den man geo metrisch durch Spiegeln von L an der Glasplatte erhält.
158
Optik
Da alte Lichtstrahlen rechts vom Spiegel bleiben, befindet sich im Punkt B kein Licht; das Bild B ist (im Gegensatz zum reellen Bild von Kap. 4.1.2) ein virtuelles Bild. Es Lässt sich deshalb nicht per Schirm auffangen, wird aber vom Auge im Zusammenspiel mit dem Gehirn genauso wahrgenommen. Aufgaben: 1 ) Eine Person (Größe 1,80 m; Augenhöhe 1,70 m) möchte sich im Spiegel ganz
sehen . Wie groß muss der Spiegel sein, wie hoch muss er hängen? Hängt das Ergebnis vom Spiegelabstand ab? Lösung: In Abb. 4.9 ist die Konstruktion des Spiegelbildes dargestellt. Die obere Spiegelkante muss mindestens soweit oben sein, dass die Kopfspitze in 1,80 m Höhe einen Lichtstrahl aussenden kann, der noch am Spiegel ins Auge bei 1,70 m Höhe reft.ektiert wird - also muss die obere Kante mindestens auf 1,75 m sein (Mitte zwischen 1,80 m und 1,70 m). Entsprechend darf die untere Spiegelkante höchstens die Höhe von 85 cm (halbe Augenhöhe) haben, damit der Lichtstrahl von der Fußspitze ins Auge reflektiert wird.
Spiegel 85 cm
II - 1
Person
Spiegelbild
Abb. 4.9
Die Spiegelgröße muss also mindestens 175 cm 85 cm = 90 cm (halbe Per sonengröße) betragen - diese Größe und die Aufhänghöhe sind unabhängig davon, wie weit die Person vom Spiegel entfernt ist (Leicht auszuprobieren) . 2 ) Man stellt zwei Spiegel im rechten Winket zueinander und eine Kerze davor dann sieht man drei Spiegelbilder. Wie Lassen sich diese erklären und wo Liegen sie? Lösung: Das erste Spiegelbild Liegt bei B 1 (Abb. 4.10 ) dort schneiden sich für alte Lichtstrahlen, die von der Quelle L kommend nur einmal am Spiegel 1 reflektiert werden, die rückwärtigen Verlängerungen (nicht gezeichnet in Abb. 4.10 ) . B1 ist der mathematische Spiegelpun kt bei Achsenspiegelung von L an Spiegel 1. Das zweite Spiegelbild ist B2 , der mathematische Spiegelpunkt von L an Spiegel 2. Die rückwärtigen Verlängerungen alter Strahlen, die von L kommend nur ei nmal an Spiegel 2 reflektiert werden, schneiden sich in B2 (nicht gezeich net!) In Abbildung 4.10 ist nur die Entstehung des dritten Bildes B3 gezeichnet. Alle Lichtstrahlen, die von L ausgehend, erst an Spiegel 1 reflektiert werden, dann an -
-
Die Brechung des Lichts
159
Spiegel 2 nochmals (oder erst an Spiegel 2, dann an Spiegel l reflektiert werden), treffen so ins Auge, dass sich ihre rückwärtigen Verlängerungen in B3 schneiden B3 ergibt sich durch Punktspiegelung von L am Schnittpunkt S der Spiegel!
/ /
Spiegel 2
'
Spiegel 1
/
.; / .; / .; // ..
.;
I I
�
Abb. 4.10
s
....
'
'
'
Verlängerung von Spiegel 2
Grund: Die an Spiegel l reflektierten Lichtstrahlen von L verlassen den Spiegel so, also ob sie von B1 ausgingen und treffen so auf Spiegel 2. Dort werden sie so reflektiert, dass ihre rückwärtigen Verlängerungen sich im Spiegelpunkt B 3 der vermeintlichen Quelle B1 am Spiegel 2 schneiden - B3 entsteht also durch doppelte Achsenspiegelung bzw. Punktspiegelung aus L.
4.4
Die Brechung des Lichts
4.4. 1 Brechungsgesetz Schickt man ein schmales Lichtbündel schräg auf eine Wasseroberfläche, so wird es dort teilweise reflektiert; ein anderer Teil des Bündels verläuft im Wasser weiter, jedoch nicht in Fortsetzung der Einfallsrichtung, sondern - siehe Abbil dung 4.11 er wird abgeknickt. -
einfallender Strahl
Abb. 4. 1 1
Einfallslot reflektisrter Strahl
gebrochener Strahl
Optik
160
Beim Übergang zwischen zwei verschiedenen optischen Medien ändert also ein Lichtstrahl an der Grenzfläche seine Richtung, er wird gebrochen (8 ist der Ablenkwinkel von der ursprünglichen Richtung). Dabei gilt das Brechungsgesetz: 1. Einfallender Strahl, Einfallslot und gebrochener Strahl (und reflektierter Strahl) li �g en in einer Ebene senkrecht zur Grenzfläche. 2. Beim Ubergang vom optisch dünneren zum optisch dichteren Stoff (z. B. Luft/Wasser) wird der Strahl zum Einfallslot hin gebrochen: Einfalls winkel o: > Brechungswinkel ,ß
Man kann nun in einer Maßtabelle für verschiedene Einfallswinkel n: den jeweiligen Brechungswinkel {3 bestimmen und aus den Messwerten ein Brechungsdiagramm zeichnen. Dies ist in Abbildung 4.12 ft.ir das Stoffpaar Luft/Glas erfolgt, der Ablenk winkel c5 = o: ß von der ursprünglichen Ausbreitung ist ebenfalls angegeben. -
ß (in Glas)
Abb. 4.12
10''
50°
90"'
Für n: = 0 ° ist {3 = CP, d. h. ein senkrecht auf eine Grenzfläche einfallender Strahl wird nicht abgelenkt; für o: = 90° (dieser Strahl "schleicht an der G renzfläche entlang") ergibt sich als Brechungswinkel der so genannte Grenzwinkel ,Bgrenz (abhängig vom Stoffpaar - hier ist /�grenz � 42°) Bemerkungen: 1. Man kan n zeigen, dass auch hier der Lichtweg umkehrbar ist, d. h. ein Licht
strahl von einer Lampe im Glas bzw. Wasser, der in Gegenrichtung des gebroche nen Strahls von Abb. 4.11 läuft, gelangt aus dem dichteren Medium zur Grenz fläche und läuft in Luft dann in Gegenrichtung des einfallenden Strahls von Abb. 4.11 weiter, d. h. er wird an der Grenzfläche vom Lot weg gebrochen. 2. Mit dem Brechungsdiagramm kann man zeichnen"sch zu jedem Einfallswinkel o: den Brechungswinkel /3 für ein bestimmtes Stoffpaar ermitteln; wegen der U m kehrbarkeit des Lichtweges kann man mit dem gleichen Diagramm auch den Ü bergang vom dichteren zum dünneren Medium bearbeiten - jetzt muss man eben /3 als Einfallswinkel auffassen und das zugehörige n: konstruktiv per Dia gramm ermitteln. Der zweite Teil des Brechungsgesetzes o: > {3 lässt sich mathematisch präzi sieren. Wenn man die dem Brechungsdiagramm zugrunde liegenden Zahlenwerte für o: , ,ß heranzieht, kann man zeigen, dass gilt
161
Die Brechung des Lichts
sina = n = const (F.1.56') sm/1
. -
Diese Formel kann man auch theoretisch begründen (vergleiche Kap. 1.28.2, Formel (F1.56)), wenn man - wie dies später erfolgt - Licht als Welle auffasst. n ist hierbei die vom Stoffpaar abhängige Brechzahl, eine Konstante, die sich siehe Kap. 1.28.2 - aus den Geschwindigkeiten c1 bzw. c2 des Lichts in den c betreffenden Medien ergibt: n = 1 c2 Bemerkung: Setzt man für o: = 90°, so erhält man (3 = ß9renz und damit sin 90° sm ßgrenz .
=
1 n b zw. sin ;1grenz = (F4.2) n -
4.4.2 Anwendungen des Brechungsgesetzes Mithilfe des Brechungsgesetzes Lassen sich folgende verblüffende Versuchsergeb nisse erklären. Versuch 1: Eine Münze Liegt in einer Wasserwanne (Leer), ein Beobachter sieht sie wegen des Wannenrandes gerade nicht. Lässt man Wasser einlaufen, so taucht sie für den Beobachter plötzlich ins Blickfeld. Versuch 2: Versucht man einen unter Wasser Liegenden Gegenstand schräg von oben mit einem Stab über der Wasseroberfläche anzupeilen und mit geradem Stoß zu treffen, so "sticht" man darüber. Versuch 3: Betrachtet man einen halb im Wasser befindlichen Stab von oben, so scheint er an der Eintauchstelle geknickt zu sein. Zur Erklärung dieser optischen Täuschungen gehen wir (Abb. 4.13) von einem Gegenstand im Wasser aus, der Lichtstrahlen schräg zur Wasseroberfläche schickt. An der Wasseroberfläche werden sie vom Lot weg gebrochen und gelangen ins Auge. Dieses sucht den Gegenstand in der rückwärtigen Verlängerung der Licht strahlen - der Gegenstand erscheint angehoben.
Abb. 4.13
Dies erklärt Versuch 1 und 2; da bei Versuch 3 der Teil im Wasser auch angehoben erscheint, entsteht so der Scheinknick im Stab an der Eintauchstelle.
Optik
162
Weitere Folgerungen der Brechung: 1) Scheinbare Hebung eines Sternorts: Die Luftschichten der Erde werden nach
oben optisch immer dünner. Durch Brechung läuft das Licht eines schräg stehen den Sterns nicht geradlinig zur Erde, sondern in leichtem Bogen (Abb. 4.14) . Das Auge sucht den Stern in der rückwärtigen Verlängerung der eintreffenden Strahlen und siedelt ihn zu weit oben an. 1
!
scheinbarer Sternort
I
Sternort
Luftschichten Abb. 4.14
Erde
2) Abplattung der Sonne am Abend: Wenn die Sonne sehr tief steht fallen ihre Lichtstrahlen sehr schräg ein und werden gebrochen. Wie bei m Stern (s. o.) wird der untere und der obere Rand der Sonne gehoben - der untere aber stärker! Dadurch erscheint die Son ne abgeplattet. 3) Luftschlieren über einer brennenden Kerze, Flimmern der Luft über heißem Asphalt: Die heiße aufsteigende Luft ist optisch dünner als die kalte, dadurch
wird das Licht gebrochen. 4.4.3
Totalreflexion
Beim Ü bergang Luft/Glas gehört zum Einfallswi nkel /1grenz � 42 ° . Ü bergang Glas/Luft (Abb. 4.15): gebrochene Strahlen
{
o: =
90° der Grenzwinkel
Lot ....._ ..
.. .. .. ..
Luft
K totalreflektierter Strahl
Abb. 4.15
reflektierte Strahlen
GrenZVIrinkel
1) Strahlen (a), deren Einfallswinkel kleiner als 42 ° ist, werden teilweise (vom Lot
weg) gebrochen, teilweise reflektiert (ins Glas zurück).
Die Brechung des Lichts
163
2) Ein unter 42° einfaltender Strahl (b) wird unter 90° gebrochen, d. h. der gebrochene Strahl schleicht an der Grenzfläche entlang. 3) Strahlen, deren Einfallswinkel größer als 42° ist (c) werden nur noch ins Glas zurückreflektiert (Totalreflexion) .
Totalreflexion tritt ein, wenn beim Ü bergang des Lichts vom optisch dichteren zum dünneren Medium der Grenzwinkel (der Totalreflexion) überschritten wird; dann wird nichts mehr gebrochen. Folgerungen:
1) Scheinbar sieht man an heißen Tagen Wasser in der Ferne auf der Straße (Fata Morgana) . Tatsächlich sieht der Betrachter im Auto infolge Totalreflexion (Abb. 4. 16)
zwischen verschieden heißen Luftschichten den Himmel auf die Straße "gespie gelt''. (Entsprechend Fata Morgana in der Wüste). kalte Luft (dichter)
Himmel
'�
I
heiße Luft (opt. dünner)
Abb. 4.16
Spiegelbild des Himmels
2) Lichtleitung im Glasstab (Abb. 4.17) : Wegen Totalreflexion kann das Licht den leicht gekrümmten Glasstab nicht seitlich verlassen und wird darin geführt wie in einem Kabel.
Abb. 4.17
4.4.4 Strahlengang des Lichts im Prisma Ein Lichtstrahl, der durch ein Prisma geht, wird an den brechenden Flächen insgesamt zweimal gebrochen (und auch teilweise reflektiert) . Die Ablenkung zeigt stets zum breiten Prismen ende, der Basisfläche (Abb. 4.18) . Sie wird größer, wenn man den Keilwinkel 1 des Prismas größer macht. Dabei hängt der Ablenkwi nkel nicht davon ab, wo der Lichtstrahl auf das Prisma trifft, aber er hängt vom Einfallswinkel bzgl. der ersten brechenden Fläche ab.
_ Abb. 4.18
� I
i
Basisfläche
'Y
Äb�okw;okel
'
164
Optik
Aufgabe: Ein Glasprisma habe als Querschnitt ein gleichschenklig rechtwi nkliges
Dreieck.
1) Drei Lichtstrahlen, die jeweils parallel zur Basisfläche (Hypotenusenfläche)
sind, treffen die Seitenfläche des Prismas in deren unterem Drittel. Man kons truiere den Strahlengang durch das Prisma! 2) Ein Strahl fällt senkrecht von außen auf die Hypotenusenfläche - Wie ist sein weiterer Verlauf? Lösung: zu 1)
Mit dem Brechungsdiagramm oder dem Gesetz (F1 .56') (n � 1, 5) ermittelt man zum Einfallswinkel n: = 45° den Brechungswinkel ß � 28°. An der Basisfläche erfolgt Totalreflexion, an der zweiten brechenden Fläche Brechung vom Lot weg. Die Strahlen verlassen das Prisma wieder parallel, aber (Abb. 4.19) der oberste Strahl ist hinterher der unterste (Umkehrprisma) .
Abb. 4.19
Zu 2):
Totalreflektierendes Prisma! (Abb. 4.20)
Abb. 4.20
An beiden Kathetenflächen trifft das Licht - aus dem Glas kommend - jeweils unter 45° auf die G renzfläche Glas/Luft. Der Grenzwi nkel wird überschritten, Totalreflexion findet statt! Der einfallende Lichtstrahl wird "zurückgeschickt".
4.5
Die Sammellinse
4.5. 1 Strahlengang bei der Sammellinse Die Sammellinse ergibt sich zweidimensional als Sch nitt zweier Kreise, dreidi mensional als Schnitt zweier Kugeln. Die Verbindungsgerade der Kugelmittel punkte heißt optische Achse, die dazu senkrechte Ebene des Sch nittkreises ist die Mittelebene der Linse mit dem Li nsen mittelpunkt M . Versuche zeigen den Strahlengang bei der Sammellinse:
1) Achsenparallel einfallende Strahlen werden durch die Linse so gebrochen (Abb. 4.21), dass sie sich hinter der Linse alle in einem Punkt F der optischen Achse
Die Sammellinse
165
schneiden, dem Brennpunkt. Seine Entfernung von der Mittelebene heißt Brennweite f. Aus Symmetriegründen gibt es vor der Linse einen zweiten Brennpunkt! I Mittelebene
:� �
_ • .
Abb. 4.2 1
·
� #�� optische Achse 1-
Dies erlaubt die vereinfachte Konstruktion von Abbildung 4.22 a, bei dem die Strahlen bis zur Mittelebene durchgezeichnet und dann einmal geknickt werden.
Abb. 4.22a
:
·: �
F
- �f f
2) Strahlen, die vor der Linse durch den Brennpunkt F gehen (Brennstrahlen), verlassen die Li nse achsenparallel (Abb. 4.22 b) . Dies folgt auch aus 1) und der
U mkehrbarkeit des Lichtweges.
Abb. 4.22b
3) Lichtstrahlen, die durch den Linsenmittelpunkt gehen (Mittelpunktstrahlen) werden nicht abgelenkt ( Abb. 4.22 c) .
Abb. 4.22c
� I
4) Lichtstrahlen, die untereinander parallel, aber nicht parallel zur optischen Achse sind, schneiden sich in einem Punkt der Brennebene (Abb. 4.22 d ) . Diese
verläuft parallel zur Mittelebene durch den Brennpunkt.
Abb. 4.22d
166
Optik
4.5.2 Abbildung durch Sammellinsen Versuchsergebnis: Steht ein Leuchtender Körper vor einer Sammellinse in ei nem Abstand g (Gegenstandsweite), der größer als deren Brennweite f ist, so erhält man auf einem Schirm hinter der Linse im Abstand b (Bildweite) zu ihr ein Bild. Dieses Bild ist wie bei der Lochkamera (siehe Kap. umgekehrt und seitenvertauscht, es ist reell und kann (muss) mit einem Schirm aufgefangen werden (d. h. an der Stelle des Bildes ist Licht!). Im Gegensatz zur Lochkamera hat es aber eine ganz bestim mte Entfernung b von der Linse (abhängig von g) - nur dort ist es scharf. Mit den Kenntnissen aus Kap. Lässt sich die Bildentstehung erklären und das Bild konstruieren. Man geht davon aus, dass jeder Leuchtende Gegenstands punkt P Lichtstrahlen in alte Richtungen aussendet. Diejenigen, die durch die Linse gehen, werden von ihr so gebrochen, dass sie sich hinter der Linse alle in einem Punkt, dem Bildpunkt P', schneiden. Zur Konstruktion von P' genügt es, Mittelpunktstraht, Brennstrahl und achsenparallelen Strahl zu verwenden . In Abbildung ist die Brennweite f = 2 cm gewählt, der Gegenstand ist ein cm hoher Pfeil in der Gegenstandsweite g = cm.
4.1.2)
4.5.1
4. 23
1,5
3,5
I f f _._I_,..
G
Abb. 4.23
b
9
2
Man erkennt, dass das Bild ein umgekehrter Pfeil der Größe B � cm in der Bildweite b � 7 cm ist.
4,
Bemerkungen:
1.
Je größer die Gegenstandsweite g ist, desto flacher wird der Mittelpunktstrahl, desto näher bei der Linse schneidet er den durch F2 gehenden Strahl, desto kleiner wird das Bild und desto kleiner die Bildweite b.
2 . Aufgrund des 2 . Strahlensatzes gilt wie bei der Lochkamera: m (F4.1) _ _ f B MN2 F1M 3. Ebenfalts wegen des 2. Strahlensatzes gilt = = = bzw . - = -G g - f (* ) N1 P N 1 F1 Für eine größentreue Abbildung mit A 1 bzw. B G muss also f 1 -bzw . g - f f bzw. g 2 f gelten: g-f Steht der Gegenstand in der doppelten Brennweite, so ist das Bild gleich groß und gleich weit von der Linse weg (b A g g 2 f in diesem Fall) . =
=
=
=
=
·
=
=
=
Die Sammellinse
167
4. Setzt man (F4.1) in ( *) ein, so folgt � g g g-f g -= =- - 1 b f f 1 1 1
--
Division durch g Liefert b
� (F4.3)
f _ bzw. durch Kehrwertbildung =_ g-f
= f - -g damit die Linsengleichung -
Die Linsengleichung gestattet, die Bildweite b bei gegebener Gegenstandsweite g und Brennweite f direkt auszurechnen. Ob;ges Be;sp;et:
_
=
=
1 1 1 1 1 3,5 cm, f = 2 cm, G = 1,5 cm Liefert b f g 2 cm 3 , 5 cm 3 = , also ist b = 4, 6 cm 14 cm b 14 cm 14 · 3 und nach (F4.1) ist B G · 1, 5 cm cm 2 cm in 3·7 3 3, 5 cm g
g
--
=
=
·
-
=
·
·
·
einstimmung mit der Konstruktion.
-
- -
=
--
--
--
=
1, 5 7 cm ..
Uber-
5. Steht der Gegenstand im Brennpunkt, so erhält man kein Bild (vergleiche Abb. 4.24), da die Strahlen durch M und F2 parallel sind ( kongruente Dreiecke F1 MP und MF2 N) und sich daher nicht schneiden.
t
Abb. 4.24
f
Abb. 4.25
6. Steht der leuchtende Gegenstand zwischen Brennpunkt und Linse ( g
f) , so sieht der Beobachter hinter der Linse ein Bild vor der Linse. Dieses ist virtuell ( Lässt <
168
Optik
sich also nicht mit einem Schirm auffangen), nicht seitenverkehrt und vergrößert (Abb. 4.25) . Diesen Vergrößerungseffekt nützt man bei der Lupe aus! Tab. 4.1 Zusammenfassung der Ergebnisse
Gegenstand Ort
Bild Ort
1) in der doppelten Brennweite: g=2f 2) außerhalb der doppelten Brennweite g>2f 3) zwischen einfacher und doppelter Brennweite f< g < 2 f 4) in der ei nfachen Brennweite: g=f 5.) innerhalb der einfachen Brennweite g
Bild höhe, Abbildungsmaßstab gleich groß B = G, A = 1
Art
Orientierung
in der doppelten Brennweite: b=2f zwischen einfacher und doppelter Brennweite f< b < 2 f außerhalb der doppelten Brennweite b>2f
reeLL
umgekehrt, seitenvertauscht
reeLL
umgekehrt, seitenvertauscht
verkleinert B < G, A < 1
reeLL
umgekehrt, seitenvertauscht
vergrößert B > G, A > 1
-
-
-
-
auf derselben Li nsenseite, b>g
virtueLL
aufrecht, seitenrichtig
vergrößert B > G, A > 1
Aufgaben:
1) Ein Gegenstand sott durch eine Sammetlinse mit 15 cm Brennweite 3fach vergrößert abgebildet werden. Wo muss er stehen, wo ist das Bild? 2) Die Abbildungslinse eines Diaprojektors hat die Brennweite 9,8 cm. In einer Entfernung von 4,90 m ist eine Projektionswand aufgestellt. Wie weit muss das Dia von der Linse entfernt sein? Wie hoch wird das Bild, wenn das Dia eine Höhe von 35 mm besitzt? B b . . h ung . Lmsengte1c . d 1e Losung zu 1 ) : A 3 g' d . h . b = 3 g. E1. nsetzen m G 1 1 1 4 1 . L1efert: - + - --. Also - -g 3 g 15 cm 3 g 15 cm ··
=
= = =
=
169
Das menschliche Auge
Und damit 3 g = 60 cm bzw. g = 20 cm (Entfernung des Gegenstands); b = 3 g = 60 cm (Entfernung des Bildes) . Zu 2) : f = 9,8 cm, b = 4,90 m, G = 35 m m 1 1 1 10 1 50 - 1 1 . . = --, = Lmsengle1chung: - = - - - = -- g f b 98 cm 490 cm 490 cm 10 cm also g = 10 cm (Entfernung) 490 cm . 35 mm = 49 . 35 mm = 1715 mm = 171, 5 cm (Bildhöhe) B=�.G = g 10 cm
4.6
Das menschliche Auge
4. 6. 1
Veränderung der Brennweite
Abbildung 4.26 zeigt das menschliche Auge im Querschnitt. Die Iris dient als Blende und bestimmt, wie viel Licht ins Auge fällt. Hornhaut, Kristalllinse und Glaskörper wirken zusammen wie eine Sammellinse - sie erzeugen ein umge kehrtes reelles verkleinertes Bild des Gegenstands, den das Auge sieht, auf der Netzhaut. Diese dient als Schirm; auf ihr sitzen die Sehzellen, lichtempfindliche Zapfen und Stäbchen, die den Seheindruck umsetzen und über den Sehnerv zum Gehirn leiten.
Netzhaut Aderhaut Lederhaut
Abb. 4.26
Da sich die Entfernung des Gegenstands vom Auge (Gegenstandsweite g) ändert, muss sich das Auge darauf einstellen . Während beim Fotoapparat die Bildweite angepasst wird und die Brennweite f gleich bleibt, bleibt beim menschlichen Auge die Bildweite gleich, aber die Brennweite f kann verändert werden: Zieht sich der Ringmuskel zusammen, kann sich die daran aufgehängte Kristalllinse verdicken, die Gesamtbrennweite f wird kleiner - man sagt, das Auge akkommodiert! Beim weit entfernten Gegenstand ist das Bild sehr nah, d. h. f � b - der Ringmus kel ist entspan nt, die Li nse dünn. Beim nahen Gegenstand würde, wen n f unverändert bliebe, das Bild von der Linse wegrücken - das darf nicht sein! Also akkommodiert das Auge, die Linse verdickt sich, f wird kleiner - dadurch ist ein scharfes Bild bei gleicher Bildweite b möglich.
170
Optik
4. 6.2 Augenfehler Beim normalsichtigen Auge ist bei entspanntem Ringmuskel ( dünner Linse) das Auge auf Fernsicht ei ngestellt: Nahezu parallele Lichtstrahlen eines sehr fernen Gegenstandspunkts P schneiden sich auf der Netzhaut in P'. Einstellung auf Nahsicht: Linsenverdickung (Akkomodation ) .
Weitsichtiges Auge (Abb. 4.27 a, b) :
Der Augapfel ist zu kurz - bei entspannter Linse sch neiden sich die Lichtstrahlen eines fernen Gegenstands hinter der Netzhaut (Abb. 4.27 a ) . Das Auge muss bereits akkom modieren, um in der Ferne scharf zu sehen und sieht in der Nähe nichts mehr scharf.
Abb. 4.27a
Abhilfe schafft eine Brille mit Sammellinse (Abb. 4.27 b ) .
Abb. 4.27b
Kurzsichtiges Auge (Abb. 4.28 a, b) :
Der Augapfel ist zu lang - bei entspannter Linse schneiden sich die Lichtstrahlen eines fernen Gegenstands vor der Netzhaut (Abb. 4.28 a) . Akkommodieren nützt nichts, dadurch kommt der Schnittpunkt noch weiter nach vorn . Kommt der Gegenstand näher, so wandert bei entspannter Linse das Bild in Richtung Netz haut und wird scharf.
Abb. 4.28a
Abhilfe schafft eine Brille mit Zerstreuungslinse (Abb. 4.28 b )
Abb. 4.28b
171
Der Fotoapparat
Alterssichtigkeit: Das Auge kann nicht mehr gut akkommodieren, man sieht
nahe Gegenstände nicht mehr scharf. Abhilfe schafft eine Brille mit Sammellinse für die Nahsicht (Lesebrille). Optiker verwenden anstelle der Brennweite f Lieber deren Kehrwert ' die Brech krajt D mit der Einheit Dioptrie Brech kraft : D
= �f ., Einheit : [D) = ..!.m = 1 dpt (Dioptrie)
�
(F4.4)
Ein Weitsichtiger, dessen Brille 5 dpt Stärke besitzt, hat also eine Sammelli nse mit � = �' d. h. Brennweite f = � m = 20 cm. 5 f m
4.7
Der Fotoapparat
Eine Lochkamera (siehe Kap. 4.1.2) wäre zwar ein sehr billiger Fotoapparat, Liefert aber vernünftig scharfe Bilder nur bei gutem Licht und ewig Langer Belichtungs zeit - sie ist einfach zu Lichtschwach. Bei einer normalen Kamera wird daher mit einer Sammellinse (Objektiv) ein umgekehrtes, reelles, verkleinertes Bild auf einer Lichtempfi ndlichen Filmschicht erzeugt. Die Entfernungseinstellung wird durch Vor- bzw. Rückdrehen der Objektivlinse geregelt: Die Bildweite b wird der Gegen standsweite g angepasst. Schärfentiefe: Sind zwei Gegenstandspunkte A und B verschieden weit von der Linse entfernt, so gilt das auch für ihre Bildpunkte A', B' (je näher der Punkt ist, desto weiter weg ist sein Bildpunkt!). Stellt man in Abbildung 4.29 den "Schirm" mit dem Film auf die Linke gestrichelte Li nie wird nur A' scharf, B' nicht; bei der rechten gestrichelten Linie wird nur B' scharf. Bei keiner Schirmstellung werden A und B gleichzeitig als Punkte abgebildet, allerdings ist dies für ein scharfes Bild nicht nötig. Das Filmmaterial enthält nämlich Lichtempfindliche Körnchen end Licher Größe, die vom Licht getroffen werden müssen. Für ei n scharfes Bild genügt es, wen n an der Stelle des Bildpunkts ein kreisförmiger kleiner Lichtfleck (Licht scheibchen) ist. Man wird also den Film irgendwo zwischen den gestrichelten Linien von Abbildung 4.29 platzieren - dann werden eventuell A' und B' als kleine Lichtscheibchen im Foto scharf erschei nen.
Bleo o l � A' scharf B' unschart
6
Abb. 4.29
�� �
B' schart A' unschart
172
Optik
Man stellt nun beim Fotoapparat eine bestim mte Gegenstandsweite g ein, d. h. man passt die Bildweite b genau dieser Gegenstandsweite, z. B. g = 10 m, an. Die Schärfentiefe ist dann die Zone, in der Gegenstände bei dieser Einstellung stehen dürfen, damit sie auf den Bild scharf erschei nen - z. B. hier von 8 m bis 14 m. Aus Abbildung 4.29 wird klar, dass ein kleinerer Durchmesser d der Blende die Schnittwinkel der Lichtstrahlen bei A' bzw. B' verkleinert und die Lichtscheibchen kleiner macht, d. h. die Schärfentiefe vergrößert. Ebenso bewirkt ei ne Vergrößerung der Objektivbrennweite f eine Vergrößerung der Schärfentiefe, da die Bildpunkte A', B' (in Abb. 4.29) weiter nach rechts wandern und deshalb Winkel- und Scheibchengröße kleiner werden. Blendenzahl: Darunter versteht man den Quotienten aus Objektivbrennweite und Blendendurchmesser. Sie wird groß, wen n f groß oder d klein ist - beides erhöht die Schärfentiefe:
�
Je größer die Blendenzahl ist, desto größer ist die Schärfentiefe.
Beispiel: Bei einer Entfernungseinstellung von 6 m beträgt die Schärfentiefe
2,80 m bis oo bei Blende 16, dagegen nur 5,20 m bis 7 m bei Blende 2. Dies spricht dafür, eine möglichst große "Blende" zu wählen . Auf der anderen Seite regelt natürlich die Blendenzahl die Lochgröße. Für f = 4 cm ist bei Blende 2 1T gerade d = 2 cm und damit die Lochfläche - d 2 = 11 cm 2 , bei Blende 4 ist d = 1 cm und die Lochfläche � cm 2 , d. h. auf � abg unken, was die vierfache Belichtungs4 4 zeit erforderlich macht. Beim Einstellen der Blendenzahl muss also auch darauf geachtet werden, dass die Belichtungszeit mit dem Quadrat der Blende wächst!
�
4.8
Farbiges Licht, Körperfarben
4.8. 1 Spektralfarben Farbiges Licht, das man aus weißem Licht über Farbfilter erhalten kann, verhält sich optisch völlig gleich wie das weiße (Reflexion usw.) - mit einer Ausnahme: farbige Lichtsorten werden unterschiedliche stark gebrochen; rotes Licht wird am wenigsten, violettes am stärksten gebrochen. Weißes Licht (der Sonne oder einer Glühlampe) besteht aus vielen farbigen Komponenten; durch Brechung an einem Prisma wird das weiße Licht (Abb. 4.30) in seine farbigen Bestandteile zerlegt. Man erhält ein kontinuierliches Spektrum, in dem man üblicherweise sechs Spektralfarben namentlich hervorhebt: rot, orange, gelb, grün, blau, violett. Die Spektralfarben sind keine Mischung, sondern rein. Das sieht man, wenn man eine Farbe über eine Blende, die die anderen ausblendet, aus dem Prismen spektrum herausholt und durch ein zweites Prisma schickt - sie lässt sich nicht mehr weiter zerlegen. Vereinigt man (Abb. 4.30) die Farben des Spektrums wieder mit einer Sammelli nse, so erhält man wieder weißes Licht.
173
Farbiges Licht, Körperfarben
weißes Licht
Abb. 4.30
4.8.2 Entstehung des Regenbogens Das weiße Licht der Sonne wird (Abb. 4.31) durch die Regentröpfchen mehrfach gebrochen und (total-)reflektiert; durch die Brechung wird es in seine farbigen Bestandteile zerlegt. Man unterscheidet den Hauptregenbogen (einmalige Refle xion - Abb. 4.31) und den Nebenregenbogen (zweimalige Reflexion i m Tropfen), deren Farbfolge umgekehrt ist.
Wassertro pfen
rotes Licht blaues Licht
Abb. 4.3 1
4.8.3 Linienspektrum und kontinuierliches Spektrum Zerlegt man das Sonnenlicht oder das Licht glühender fester (Glühdraht) oder flüssiger Stoffe mit dem Prisma, so ergibt sich ein kontinuierliches Spektrum, d. h. ein Farbband ohne Lücken mit allen Farbübergängen . Leuchtende Gase liefern im allgemeinen Linienspektren, bei denen nur einzelne charakteristische schmale farbige Linien auftreten; solche Spektren kann man benutzen, um die betreffen den Gase nachzuweisen (Spektralanalyse). 4.8.4 Farbaddition Versuchsergebnis: Blendet man aus dem farbigen Spektrum ei nes Prismas etwa
mit einem schmalen Bleistift eine Spektralfarbe aus und vereinigt die restlichen Spektralfarben mit einer Sammelli nse, so erhält man kein weißes, sondern far biges Mischlicht nach Tabelle 4.2
174
Optik
Tab. 4.2: Ausblenden einer Spektralfarbe und Entstehung eines Misch Lichts.
Ausgeblendete Spektralfarbe Mischfarbe des Restes
Rot
Orange
Gelb
Grün
Blau
Violett
Grün
Blau
Violett
Rot
Orange
Gelb
Natürlich ist diese Darstellung vereinfacht, da es i m Farbspektrum die unter schiedlichsten Rot-, Grün- usw. Farben gibt. Dennoch tauchen die sechs Haupt farben je zweimal auf - als reine Spektralfarbe und als Mischfarbe. Die Farben des Prismenspektrums bilden ein Band von Rot bis Violett; es erweist sich als zweckmäßig, die Farben kreisförmig anzuordnen (Abb. 4.32) .
Rot
Grün
Abb. 4.3 2: Farbkreis
Versuche, bei denen man zwei Spektralfarben addiert, zeigen: 1. Gegenüberliegende Farben im Kreis ergänzen (addieren) sich zu weiß - sie heißen Komplementätfarben (z. B. Rot/Grün, Gelb/Violett) 2. Addiert man näher beieinander Liegende Farben im Farbkreis, so ergibt sich eine Mischfarbe, die dazwischen Liegt (z. B. Blau + Gelb Liefert Grün, Blau + Grün ergibt Türkis) Mithilfe der Letzten beiden Ergebnisse kann man die Tabelle 4.2 erklären: Blendet man etwa Rot aus dem Spektrum aus, so ergeben Violett/Gelb wie auch Blau/ Orange jeweils als Mischfarbe Weiß; übrig bleibt grünes Licht, das durch weißes Mischlicht aufgehellt ist - Mischfarbe Grün !
Farbiges Licht, Körperfarben
175
4.8.5 Farbsubtraktion Farbfilter lassen entweder nur das Licht einer Spektralfarbe hindurch (spektralrei ne Filter) oder sie lassen verschiedene Farbsorten hindurch und liefern dann
farbiges Mischlicht. Beispiel: Ei n Blaufilter lasse blaues, grünes und violettes Licht hindurch, ein Gelbfilter lasse gelbes, grünes und orangefarbiges Licht hindurch (man überprüft leicht, dass aus weißem Licht durch so einen Filter tatsächlich blaues bzw. gelbes Mischlicht entsteht) . Schaltet man beide Filter hintereinander, so gelangt aus dem weißen Licht nur spektralreines Grünlicht hindurch. Allgemein gilt: Schaltet man mehrere Farbfilter hintereinander und strahlt weißes Licht ein, so sieht man dahinter die Farbe(n), die von allen durchgelassen wird (werden); sie entsteht aus weißem Licht durch Wegnahme der übrigen Farbkomponenten: Farbsubtraktion. Schaltet man zwei verschiedene spektralreine Filter hi ntereinander (z. B. Grün und Rotfilter) und bestrahlt mit weißem Licht, so ist das Ergebnis stets schwarz es gibt keine Farbkomponente, die beide durchlassen ! 4.8. 6 Körpe�arben Bei einem Versuch erscheint ein L in weißem Licht rot auf weißem Grund, im Rotlicht (spektralrein) si nd das L und der Hi ntergrund rot (L kaum sichtbar), im spektralreinen Grünlicht ist das L schwarz auf grünem Grund. Mögliche Erklärung: Der Hintergrund reflektiert alle Lichtsorten, das L nur rotes Licht (es absorbiert die anderen Komponenten). Wird spektralreines Grünlicht angeboten, reflektiert der Hintergrund dieses, das L nichts. Farbige Körper reflektieren entweder nur eine Art farbigen Lichts (spektralrein)
und absorbieren den Rest oder sie reflektieren mehrere Spektralfarben, deren Mischung dann die Körperfarbe ergibt. Weiße Körper reflektieren alle Lichtarten, schwarze Körper absorbieren alle Lichtarten.
Aufgaben:
1) Wie unterscheidet man spektralreines Licht von Mischlicht? 2) Warum gibt es in Kleidergeschäften Tageslichtlampen? Lösung: Zu 1} : Man "schicktu das Licht durch ein Prisma. Ist es Mischlicht, wird es in seine Bestandteile aufgespalten; spektralreines Licht wird nur abgelenkt. Zu 2): Ein Pullover reflektiere beispielsweise gelbes und blaues Licht. Im Tages licht erhält er beide Spektralfarben angeboten, reflektiert sie und erscheint grün (Misch licht). Im spektralreinen Gelblicht reflektiert er dieses und erscheint gelb, im spektralreinen Blaulicht ist er blau. Im spektralreinen Rotlicht erscheint er schwarz, da er das angebotene Licht absorbiert.
176
4.9
Optik
Newton'sches Teilchenmodell, Huygens'sches Wellenmodell für Licht
Das Modell der punktförmigen Lichtquelle und der Lichtstrahlen eignet sich zur Beschreibung vieler optischer Erscheinungen, sagt aber nicht, was Licht eigent Lich ist. 4.9. 1 Korpuskelmodell des Lichts Newton stellte 1669 ein Korpuskelmodell des Lichts vor, wonach Licht aus Teilchen
besteht, die den mechanischen Gesetzen (Trägheit, Gravitation) gehorchen. In einem homogenen optischen Medium erfahren diese Teilchen Anziehungskräfte nach allen Seiten. Weil diese sich aber ausgleichen, bewegen sich nach Newton die Teilchen reibungsfrei entsprechend dem Trägheitssatz - so erklärt er die geradlinjge Ausbreitung des Lichts. Die Rejlexjon des Lichts entsprechend dem Reflexionsgesetz erklärt er mit der Reflexion vollelastischer kleiner Kugeln an einer Ebene (vergleiche Kap. 1.14.5) . Die Brechung des Lichts erklärt Newton wie folgt (Abb. 4.33):
~
optisch dünner
.....
optisch dichter
Abb. 4.33
Die Kräfte innerhalb eines optischen Mediums auf die Teilchen gleichen sich insgesamt aus. Im optisch dichteren Medium sind sie jedoch größer als i m dünneren Medium! So bleibt a n der Grenzfläche eine resultierende Kraft auf die Lichtteilchen zum dichteren Medium übrig, die sie in diese Richtung beschleu nigt, d. h. ihnen eine Geschwindigkeitszusatzkomponente in dieser Richtung verleiht. Dadurch wird ihre Geschwindigkeit betraglieh größer und in Richtung zum Lot hin gedreht. Die Tatsache, dass verschiedene farbige Lichtsorten unterschiedlich stark gebrochen und daher am Prisma das weiße Licht in farbige Bestandteile zerlegt wird (Dispersion des Lichts), erklärt Newton mit unterschiedlichen Teilchen für unterschiedliche Lichtarten. Newtons Modell erklärt also die wesentlichen optischen Erscheinungen; bei ihm ist die Lichtgeschwindigkeit im optisch dichteren Medium größer als im dünneren Medium .
�\essung der Lichtgeschwindigkeit
177
4.9.2 Huygens'sches Wellenmodell 1678 stellt Huygens ein Wellenmodell des Lichts vor. Danach ist die punktförmige
Lichtquelle Erreger einer fortlaufenden Welle (etwa einer Wasserwelle oder einer räumlichen Kugelwelle mit Verdünnungen und Verdichtung ähnlich dem Schall), die sich auf dem " Lichtäther'/ als Wellenträger ausbreitet. Der Schnitt durch die Kugel mit einer Ebene liefert konzentrische Kreise um den Erreger - auf diesen sind alle "Trägerteilchen// in Phase. Die Lichtstrahlen sind dann - wie in Kap. 1 .28 bei den Wasserwellen - die Senkrechten zu den Wellenfronten. Huygens erklärt die geradlinige Ausbreitung des Lichts über konzentrisch nach außen laufende Kreiswellen (Kugelwellen) mit gemeinsamen Normalen durch die punktförmige Quelle, die Reflexion und Brechung wie bei Wasserwellen (siehe Kap. 1.28) - allerdings ist bei ihm die Lichtgeschwindigkeit im optisch dichteren Medium kleiner! Zur Dispersion erläutert er/ dass alle verschiedenen farbigen Lichtarten im Vakuum gleiche Geschwindigkeit haben, in den anderen optischen Medien aber unterschiedliche und bei dem Ü bergang von Vakuum zu Glas etwa wegen n = Cvak unterschiedlich stark gebrochen werden. Cgtas Auch Huygens' Modell erklärt die optischen Erscheinungen - bei ihm ist die Lichtgeschwindigkeit im dichteren Medium kleiner.
4.10 Messung der Lichtgeschwindigkeit Hier gibt es in der Zwischenzeit eine Vielzahl verschiedenster Methoden zur Lichtgeschwindigkeitsmessung. Eine der ältesten ist die astronomische Methode nach Olaf Römer. 4. 1 0. 1 Astronomische Methode nach Olaf Römer (1 675) Er beobachtete von der Erde aus den Eintritt eines Jupitermondes in den Jupi terschatten und den Wiederaustritt, registrierte die Zeitspan ne, die der Mond unsichtbar im Schatten war und stellte unterschiedliche Zeitspannen fest - je nach Stellung der Erde zu Sonne und Jupiter (Abb. 4.34) Erdposition I: Man sieht den Eintritt des Mondes in den Jupiterschatten ver spätet (um die Zeit, die das Licht vom Mond zur Erde braucht) und auch den Austritt verspätet (um die gleiche Zeit) - die gemessene Dunkelzeit Tr entspricht der wirklichen Zeit des Mondes im Schatten. Erdposition li: Man sieht den Eintritt des Jupitermondes um die Zeit t1 verspätet, die das Licht zur Erdposition IIa braucht; man sieht den Austritt um die Zeit t2 verspätet, die das Licht zur Erdposition IIb (näher am Jupitermond) braucht. t2 ist kürzer als t1, da der Lichtweg um die Strecke s kürzer ist. Die gemessene Dunkel zeit Tn ist um �t = t1 - t2 kleiner als T1, die tatsächliche Dunkelzeit.
Optik
178 b
II
a
Abb. 4.34
.6.t = t1 - t2 = T1 - Tu ist also messbar; es ist die Zeit, die das Licht für die Strecke s braucht, welche die Erde in der Zeit Tu zurücklegt. Man kennt die Geschwindigkeit der Erde bei ihrem Umlauf um die Sonne (Umlaufdauer 1 Jahr, Umlaufradius 150 Millionen Kilometer, Geschwindigkeit km 2 11 · 1 5 · 108 km � 1 : 076 · 105 h) und kann s = v · Tu und damit die v= 36� . 24 h Lichtgeschwindigkeit c = � bestimmen ! .6.t 4. 1 0.2 Terrestrische Methode nach Fizeau (1849) Zahnradmethode
-
Eine Lichtquelle schickt ein Lichtbündel auf einen halb durchlässigen Spiegel. Dort wird ei n Teil des Lichts durch die Lücke eines Zahnrads zu einem voll reflektierenden Spiegel in der Entfernung l (ca. 9 km) geschickt, dort reflektiert und - durch die Zahnradlücke zum halbdurchlässigen Spiegel und zum Auge dahinter geschickt (Abb. 4.35). Zahnrad
.,._ _ _ ....;__ _ _ _
Spiegel (reflektierend)
�J A; �� >
�
L
(halbdurchlässig)
(Quelle)
Abb. 4.35
Wenn sich jetzt das Zahnrad dreht, kann es sein, dass der reflektierte Strahl nicht mehr durch die gleiche Zahnradlücke kommt; wenn dies für alle Lichtstrahlen gilt, gelangt kein Licht mehr ins Auge. Dann ist genau in der Zeit .6.t, die das Licht für die Strecke 2 L (hin und zurück) braucht, ein Zahn anstelle der Lücke getreten. Aus der Drehzahl und der Lückenbreite lässt sich .6.t und damit die Lichtgeschwindig2 l . ln . kett. c = - ermttte .6.t
Die Interferenz des Lichts
179
4. 1 0.3 Drehspiegelmethode von Foucault Eine weitere historisch wichtige Methode ist die Drehspiegelmethode von Foucault (1849) , auf die hier nicht eingegangen werden soll. 4. 1 0.4 Ergebnisse der Lichtgeschwindigkeitsmessung 1) Die Lichtgeschwindigkeit in Luft und i m Vakuum beträgt m km c � 300 000 - = 3 . 108 s s 2) Im optisch dichteren Medium ist die Lichtgeschwindigkeit kleiner - dies spricht
für das Wellenmodell (Huygens)
c1 3) Die von H uygens hergeleitete Formel n = Lässt sich experimentell bestätiCz gen .
4.11 Die Interferenz des Lichts Nimmt man das Wellenmodell für Licht ernst, so folgt als Konsequenz, dass Licht + Licht auch Dunkelheit ergeben kann ( Auslöschung von Wellen, die in der Phase um 1r verschoben sind - siehe Kap. 1.26). 4. 1 1. 1 Bestätigungsversuch nach Wiener Wiener ging davon aus, dass bei Reflexion einer Lichtwelle an einem Schirm bzw. Spiegel wie bei der Reflexion einer Querwelle am festen Ende sich stehende Wellen Spiegel
/
Fotoplatte
Abb. 4.36
/
.,. -
.....
Optik
180
bilden. Ei ne Fotoplatte müsste dann an Bäuchen (dort gibt es viel Licht!) stark geschwärzt werden, an Knoten (kein Licht!) gar nicht. So durfte ei n Streifen muster auf der Fotoplatte (Abb. 4.36) erwartet werden. Tatsächlich Liegen die Bäuche im Abstand sehr dicht, weil bei Licht sehr klein ist; erst bei sehr schräger Stellung der Platte ( a sehr klein) Ließen sich �tsächlich Streifen auseinander halten. Ist ihr Abstand auf der Platte d, so gilt 2 = sin o: bzw.
�
I>. = 2 d
·
>.
I
sin a (F4.5)
�
>.
Ü ber das Streifenmuster konnte Wiener den Interferenznachweis tatsächlich führen und zugleich nach (F4.5) die Wellenlänge des Lichts bestimmen. 4. 1 1.2 Interferenzversuch von Fresnel
Das Wassermodell für zwei Erreger (siehe Kap. 1.28) zeigt, dass es im Interferenz feld Streifen der Auslöschung und der maximalen Auslenkung gibt. Die Ü ber tragung dieses Sachverhalts auf Licht hieße, dass bei zwei punktförmigen Licht quellen ebenfalls ein Hell-Dunkel-Streifenm uster auf einer Fotoplatte im Interfe renzfeld zu sehen sein müsste. Das Problem dabei ist, dass beide Lichtquellen kohärent sein müssten, d. h. ihre Frequenz müsste gleich sein und es müsste ein konstanter Gangunterschied ihrer Wellen vorliegen (möglichst sollten sie in Phase sein) - das ist experimentell so nicht realisierbar, da beispielsweise das Licht einer Glühlampe auf spontanen atomaren Elektronenübergängen basiert! 181 6 kam Fresnel auf die Idee mit dem Knickspiegel (Abb. 4.37) : Er nahm eine punktförmige Lichtquelle L, deren Lichtstrahlen vom geknickten Spiegel so reflektiert werden, als ob sie von den beiden virtuellen Lichtquellen L1 bzw. L2 (erhält man durch Achsenspiegelung von L an den Spiegelteilen) ausgingen. Die "beiden" Lichtfelder von L 1 und L2 sind kohärent, da "ihr Licht" ja von derselben Quelle stammt. Schirm
virtu elle Qu ellen
,..
Abb. 4.37
,..
� -==- - - - - - - "'
Fresnelspieg el
So konnte Fresnel tatsächlich ein Streifenmuster aufdem Schirm erkennen! Genau in
der Mitte des Schirms, dort wo die Mittelsenkrechte von L1 und L2 ihn trifft, ist der mittlere (Ote) Hellstreifen: Die Entfernung zu L1 , L2 ist von diesem Schirmpunkt aus gleich, sodass sich die Lichtwellen ohne Gangunterschied überlagern.
Die Interferenz des Lichts
181
Seien d1 der Abstand des ersten (nächsten) Hellstreifens zum mittleren (Abb. 4.38) und x bzw. y die Entfernungen des betreffenden Schirmpunkts zu L2 bzw. L1 1 so ist x - y = A ( * ), da sich Hellstreifen immer dann ergeben, wenn der Gangunterschied der Wellen ein Vielfaches von A ist.
Abb. 4.38
( �) ( �) ( D
( �)
2 2 Nach Pythagoras gilt: x2 = dt + +a2 , y 2 = dt +a2 (**) , wobei L der Abstand von L1 zu L2 und a der Abstand der Lichtquellen zum Schirm ist. Aus 2 2 ( ** ) folgt x2 - y' - d1 d1 + und damit (x + y) (x - y) 2 dtl �
�
bzw. mit ( * ) : A = x - y = � x+y d ·L d1 · L Setzt man näherungsweise x � y � a, so folgt A = -- und ebenso A = _m_ , m·a a wenn dm der Abstand des m-ten Hellstreifens vom mittleren ist. So hat man wieder eine Möglichkeit, ').., experimentell zu bestimmen. Ergebnisse:
Die verschiedenen farbigen Lichtarten haben unterschiedliche Wellenlängen A c und Frequenzen f = ); km Im Vakuum ist c = 300 000 für alle Lichtarten gleich; aber Arot � 800 nm s = 8 · 10 - 7 m �violett � 400 nm = 4 · 107 m (die anderen Liegen dazwischen) und 3 · 10 8 s 1 1 = o = 3 , 75 · 16 4 Hz, fviotett = 7, 5 · 10 4 Hz . _ fr t 8 10 7 m 2) Beim Ü bergang einer Lichtart ins optisch andere Medium ändert sich ihre Wettenlänge und Geschwindigkeit, nicht aber die Frequenz: 1)
f1
=
A f2 , also � = �� also t = Ct At A2 A 2 c2
=
n ( F4.6) {1 kennzeichnet das opt. dünnere Medium.)
4. 1 1.3 Interferenz an dünnen Schichten Ein dünnes Lichtbündel 1 treffe (Abb. 4.39), aus dem optisch dünneren Medium kommend, im Punkt A auf das dichtere Medium. Dort teilt es sich auf in das reflektierte Teilbündel 2 und das gebrochene Teilbündel 3. Durch weitere Refle xion und Brechung entstehen die Teilbündel 4 bis 8. Die Wellenfronten der Bündel 2 und 6 werden (ins dünnere Medium zurück-)reflektiert und überlagern sich; ebenso überlagern sich die Wellen der durchgehenden Bündel 5 und 8.
182
Optik
optisch dünner (Luft) o ptisch dichter
d
Abb. 4.39
Inteiferenz der reflektierten Anteile: Sie hängt ab vom Gangunterschied der
WeLLenfronten von Bündel 2 und 6! Geometrischer Gangunterschied: Bündel 6 Legt i m dichteren Medium die Strecke AB + BC = 2AB mehr zurück als Bündel 2, was im dünneren Medium (dort ist die C Lichtgeschwindigkeit größer) der Strecke 2AB · d·· = 2AB · n entspricht, Bün _Cclicht del 2 Legt im dünneren Medium die Strecke AE mehr zurück als Bündel 6. Der Gangunterschied zwischen Bündel 2 und Bündel 6 ist also geometrisch d d 2AB · n - AE = 2 n · -- - AC · cos(90° - o:) = 2 n · -- - 2 sin o: · d · tan ß, cos ß '---v----" cos ,B n At AC/2 d =si (Y. wobei die Bezieh ungen cos .8 = cos(90° - o:) = und -- = tan '8 bed AB ' AC nutzt wurden. Weitere Umformung Liefert den geometrischen Gangunterschied zu d sin /3 2d . . o: · d · -. = -- ( n - s1n o: · sm ß) 2 n · -- - 2 sm ' cos ,ß cos j3 cos ß
�
= .
=
(
=
)
2d sin o: . 2 . 2 ) 2 dn ( -- n - -- · s1 n ß ' also zu -- 1 - sm 'ß cos ,ß cos ,B si n ,8 '
=
....__"
=
2 dn · cos ,ß
=n
2 dn 2 -- · cos 'ß cos l3
Optischer Gangunterschied: Die Reflexion i m Punkt A am optisch dichteren Medium entspricht der Reflexion einer QuerweLLe am festen Ende; dabei wird Wellenberg als WeLlental usw. reflektiert. Dies entspricht einem Phasen-Sprung um 1r bzw. einem Gangunterschied um � 2
� � + 2 dn · cos ß
Gesamter Gangunterschied der Bündel 2 und 6:
I
l> 1
I
(F4.7 a)
(Für senkrechten Einfall ist a = ,ß = 0° also .6.1
.A
=-
2
+ 2 dn)
183
Die Interferenz des Lichts
der durchgehenden Anteile: Geometrischer Gangunterschied 2 dn · cos ß, kein optischer Gangunterschied, da die Reflexion bei C ins dichtere Medium zurück der am Losen Ende entspricht.
Intetferenz
Gesamter Gangunterschied der Bündel 5 und 8:
1.6.2 = 2 dn . cos .el (F4.7 b) (für senkrechten Einfall: .6.2 = 2 dn)
Zwei sich überlagernde Wellen gleicher Wellenlänge löschen sich aus, wenn der
.A
3
5
Gangunterschied - oder - .A oder - .A beträgt; sie verstärken sich, wenn der 2 2 2 beträgt. Gangunterschied 0 oder .A oder 2 .A Man erhält also im durchgehenden Licht Helligkeit für = 2 dn · cos ,ß • • •
• • .
= k · .A, Dunkelheit für .6.2
= 2 dn · cos ,ß = (2 k + 1) �, d. h. 2 .A
Helligkeit für dn cos;.'1 = 2 k · -, 4 .A Dunkelheit für dn cos ß = (2 k + 1) · - mit k = 0, 1, 2, 4
.6.2
(F4.8 a, b) . . .
Entsprechend erhält man im reflektierten Licht .A
Dunkelheit für dn cos ß = 2 k · -, 4 Helligkeit für dn cos /3 = (2 k + 1)
.A
(F4.8' a, b)
4
· -
Man erkennt, dass die Bedingungen für Helligkeit bzw. Dunkelheit beim durch gehenden bzw. reflektierten Licht gerade vertauscht sind! Bestrahlt man eine Seifenhaut in einem Drahtbügel mit monochromatischem Licht, d. h. Licht einer bestimmten Wellenlänge (z. B. reines Gelblicht), so erkennt man im reflektierten Licht ei n Hell-/Dunkel-Streifenmuster dieses Lichts. Erklärung: Aufgrund ihrer Gewichtskraft "sackt'' die Seifenlösung nach unten, sodass die Haut oben dünner ist - im seitlichen Querschnitt bildet sie ei ne keilförmige dünne Schicht, deren Dicke nach unten zunimmt. Immer dann, wenn die Dicke d eine der Bedingungen (F4.8' a, b) zum vorgegebenen .A der Lichtart erfüllt, ergibt sich ein heller oder dunkler Streifen. Führt man den Versuch mit weißem Licht durch, erhält man ein Farbstreifen muster! Aufgabe: Eine Seifenhaut sei 0� 6 p.m dick. Die Brechzahl beim Ü bergang Luft/ 4 Seifenlösung ist n = 3. Weißes Licht fällt senkrecht ein. Welche Bereiche des sichtbaren Spektrums werden im reflektierten bzw. durchgehenden Licht jeweils ausgelöscht, welche verstärkt? Wie ist es bei ei ner Dicke von 1, 2 f.tm? k Lösung: Durchgehendes Licht: Verstärkt werden Lichtbereiche mit d n · 1 = - · .A, 2 ·
Optik
184 4 2 · 6 · 10-7 m · - 1600 nm 3=
2 dn d. h. A = -- = k k k Da k eine ganze Zahl ist und A im Bereich 400 nm :::; A :::; 800 nm Liegen muss, 1600 kommen A1 = 800 nm für k = 2, A2 = nm � 533 nm für k = 3 und 3 A3 = 400 nm für k = 4 in frage - diese Lichtarten werden verstärkt. 4 dn Ausgelöscht werden Bereiche mit d · n · 1 = (2 k + 1) . �� d. h . A = 4 2 k+1 3200 nm 2 k + 1 3200 3200 Es sind A4 = nm = 640 nm für k = 2 und As = nm = 457, 4 nm für 7 5 k=3 --
--
Im reflektierten Licht ist es gerade umgekeh rt - die Bereiche mit A1 , A2 , A3 werden ausgelöscht, die mit A 4 , As verstärkt. Bei Verdopplung der Seifenhaut dicke auf 1, 2 p.m Liefert die Rech nung, dass die Wellen mit A1 , Az , A3 , A4 , As im durchgehenden Licht verstärkt, i m reflektierten ausgelöscht werden. Aus gelöscht im durchgehenden Licht (verstärkt im reflektierten ) werden Wellen mit A6 = 711 nm, A7 = 582 nm, As = 492 nm, Ag = 427 nm . Allgemein werden bei dünnen Schichten wenige Farben verstärkt bzw. ausgelöscht, bei dicken Schichten viele!
4.12 Die Beugung des Lichts 4. 12. 1 Beugung an verschiedenen kleinen Objekten Scharfe Schatten, wie man sie anscheinend oft sieht, Lassen sich mit der Strahlen optik Leicht erklären ( vergleiche Kap. 4.2); sie widersprechen aber offenbar der Wellentheorie des Lichts, nach der im Interferenzfeld stets Zonen der Aus Löschung und der Verstärkung nebeneinander Liegen. Versuche mit Laserlicht zeigen: 1 . Im Schatten einer Stecknadel findet sich ein heller Fleck ( Poisson-Fleck) und "
im hellen Raum um den Schatten finden sich dunkle Streifen (" Beugung am Hindernis) - siehe Abbildung 4.40 a.
L� u Blende
Abb. 4.40a
Poissonileck
Stecknadel
Schattenbild
2. Bildet man einen schmalen Spalt ab, so treten außerhalb des hellen Mittel
streifens im Schattenraum helle Streifen auf (" Beugung " am Spalt) Abbildung 4.40 b.
-
siehe
Die Beugung des Lichts
185
en g er Spalt
Abb. 4.40b
111 111 Spaltbild auf Schirm
3 . Im Schattenraum einer Kante treten helle Streifen auf, im Lichtraum dunkle Streifen (" Beugung" an der Kante) - siehe Abbildung 4.40 c. Blende
L
Kante
111 I I I
Bild der Kante auf dem Schirm
Abb. 4.40c
Man findet also Licht auch i m geometrischen Schattenraum und dunkle Stellen im geometrischen Lichtraum. Licht "weicht von der geradlinigen Ausbreitung ab", es wird gebeugt. Die Beugung des Lichts - tatsächlich handelt es sich um Interferenzerschei nungen - kommt anscheinend erst bei sehr kleinen Objekten zum Tragen (Nadel, Spalt), wenn deren Größenordnung besser zur Wellenlänge des Lichtes "passt". Für Objekte normaler Größe widerspricht ein nahezu scharfer Schatten somit der Wellentheorie nicht! 4. 12.2 Beugung am Spalt Man geht davon aus, dass die Spaltbreite L im Bereich zwischen 50 A und 100 A ist, wobei A die Wellenlänge des eingestrah lten Lichts ist. Dieses bewirkt, dass im Spalt zwischen 50 und 100 Elementarwellenzentren (vergleiche Kap. 1.28) ent stehen, um die herum sich kreisförmige Wellen der Wellenlänge A ausbreiten - ein rechnerisch geschicktes Zahlenbeispiel wären 61 Zentren. Jedes Zentrum sendet als Normalen zu den Kreiswellen - Strahlen in alle Richtungen aus; die Wellen paralleler Strahlen überlagern sich an einer Stelle des Schirms (Abb. 4.41). Sei d der Gangunterschied zwischen dem ersten und Letzten (hier 61.) Strahl - dann d g1"Lt: = sm o: L -
Abb. 4.41
•
186
Optik
1. Falls o: = 0° ist, ist d = 0. Dann Liegt eine gleichphasige Ü berlagerung aller Parallelstrah len vor, die für optimale Helligkeit sorgt: heller Mittelstreifen. 2. Falls d = 'A ist, beträgt der Gangunterschied zwischen dem 1. und 31. Strahl gerade � - die Wellen dieser Strahlen Löschen sich gegenseitig aus! Ebenso die 2 des 2. und 32., . . . 30. und 60. Strah ls, sodass nur die Welle des 61. Strahls übrig bleibt - Ergebnis: Dunkelheit (1 . Dunkelstreifen). .X 3 . Für d = 2 'A beträgt der Gangunterschied zwischen dem 1. und 16. Strahl 2, die Wellen dieser Strahlen Löschen sich aus und ebenso die des 2./17 . . . . 15./30., 31./46 . . . . 45./60. Strahls. Ü brig bleibt die Welle des 61. Strahls - 2. Dunkel streifen.
Allgemein erhält man für d = k
'A
·
mit k = 1, 2, . . . Dunkelstreifen
Ansonsten gibt es mehr oder weniger Helligkeit - z. B. Löschen sich für d = � nur 2 die Wellen des 1. und 61. Zentrums aus (Randhelligkeit des Mittelstreifens) , für 2 k+ 1 d= .X Liegen Nebenmaxima der Helligkeit vor. 2 Setzt man d = L si n o: ein, so erhält man .
·
k · .X Dun kelstreifen für si n o: = und L . o: = (2 k + 1) .. sm . fur Nebenmax1ma 2L
·
.X
m1t k = 1, 2, 3, . . . .
(F4·9)
In Abbildung 4.42 a sind die wesentlichen geometrischen Größen für die Beugung am Spalt verdeutlicht. Abbildung 4.42 b zeigt die Helligkeitsverteilung am Schirm bei der Beugung am Spalt - die Nebenmaxima entsprechen den hellen Streifen i m Schattenraum aus Kap. 4.12.1 Punkt 2)! Schirm Hellstreifen {Dunkelstr.)
Spalt l t I��
tI
Abb. 4.42a
� Mitte
-
Schirmabstand a
Aufgabe: Einfarbiges Licht fällt senkrecht auf einen Spalt der Breite 0,3 mm. Auf
einem 3 m entfernten Schirm haben die beiden mittleren dunklen Interferenz streifen einen Abstand von 10 mm. Man berechne die Wellenlänge des Lichts! Lösung: 10 mm Abstand ist 2ß, d. h. � = 5 mm; � 5 · 10-3 m hier 1 tan o: = - = = 1 . -6 10 -3 � sin o: = A , also 3m L a .X = sin o: · L � 1, 6 10 -3 · 0, 3 m m = 500 nm ·
·
·
·
-
187
Die Beugung des Lichts Uchtintensität -
Abb. 4.42b
Dunkelstreifen
Mittelstreifen
Hellstreifen
Diskussion der Formeln (F.4.9):
1. Bei einem sehr breiten Spalt ist L � .A, sodass die Winkel o:1 , o: 2 , o:3 der Dunkelstreifen und der Neben maxima sehr klein sind; die Unterschiede zwi schen den Streifen sind vom Auge kaum mehr wahrzunehmen. Man sieht eine Abbildung des mittleren Streifens mit unscharfem Rand. 2. Ist L in der richtigen Größenordnung (zwischen 50 .A und 100 .A) sind helle und dunkle Streifen klar erkennbar. 3. Für l .A folgt si n a:1 = 1, also strebt der Winkel ll'1 des ersten Dunkel streifens gegen 90°. Dann ist der ganze Schirm - allerdings sehr schwach und kaum wahrneh mbar - erleuchtet. 4. Bei monochromatischem (einfarbigem) Licht wächst sin o: proportional zu .A: Je größer .A ist, desto stärker wird das Licht gebeugt (rotes Licht wird viel stärker gebeugt als violettes) . Bei Weißlichteinstrah lung erhält man einen weißen Mittelstreifen; dessen Rand und die Nebenmaxima zeigen Farbver schmierungen (Kontinuum aus Mischfarben). • • •
�
�
�
4. 12.3 Beugung am Gitter Bei einem optischen Gitter findet man viele sehr enge Spalten parallel im Abstand g (Gitterkonstante) angeordnet. Bestrahlt man ein Gitter mit monochromati schem Licht, so findet man auf einem Schirm in regelmäßigem Abstand parallele, sehr scharfe nahezu gleich helle Linien. Da hier die Spaltbreite eines Gitterspalts in der Größenordnung von .A Liegt (der Spaltabstand g liegt üblicherweise bei 5 .A bis 10 .A), kommt pro Spalt nur eine Elementarwelle in Betracht. Man geht davon aus, dass sich die Wellenfronten paralleler LichtstrahLen jeweils an einer Stelle des Schirms überlagern. Helligkeit ergibt sich, wen n der Gangunterschied d zwischen zwei benachbarten Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches von .A ist, d. h. für d = k .A mit k = 0, 1, 2, . . . Auslöschung ergibt sich, wenn dieser Gangunterschied etwa d = � '. � .A, � .A . . . ist - dann löschen sich 2 2 2 nämlich die Wellen benachbarter Spalte aus. Also gibt es Dunkelstreifen für 2 k+ 1 . _A d= 2 ·
.
.
188
Optik
=
= k g. .A o: = (2 k2+ 1 ) .Ag mtt. k
. d . ' . sm a H e tttg ket"t f'ur sm a Wegen g . fur ( Abb. 4.43 ) folgt: Dunkethett .. st. n -
( F4.10)
-
=
0, 1, 2, . . .
Abb. 4.43
Um die Frage zu klären, was man für andere Gangunterschiede d, d. h . andere Winket a erhält, schaue man sich die Lichtintensitätsverteilung auf dem Schirm in Abhängigkeit von der ZahL der Gitterspatte an (Abb . 4.44) . 2 Spalte im Gitter
4 Spalte im Gitter
Abb. 4.44
Beim Doppelspalt erhält man zwischen HeLLigkeit und Dunkelheit noch alte mög Lichen Zwischenhettigkeiten; mit zunehmender ZahL der Spalte erhält man nur für d = k .A scharfe Hettigkeitstinien, ansonsten Dunkelheit. Damit gilt: k .A Bei ei nem guten Gitter mit vielen Spalten gibt es genau für sin a = g ( k = 0, 1, 2, . . . ) scharfe heLLe Linien, Maxima k-ter Ordnung, sonst überaLL Dunkelheit ·
·
189
Die Beugung des Lichts Bemerkungen:
1. Oie scharfen hellen Linien beim Gitterspektrum von monochromatischem Licht sind um so weiter vom Mittelstreifen entfernt, je größer sin o:, d. h. je größer .X und je kleiner g ist. 2. Bei weißem Mischlicht erhält man durch das Gitter ein Farbspektrum, das in 1. Ordnung aus Spektralfarben besteht, da jede Farbe scharf abgebildet wird; in höherer Ordnung ergeben sich Ü berlappungen und Verschmierungen (siehe folgende Aufgabe) . 3 . Die Farbfolge beim Gitter- und Prismenspektrum ist vertauscht: Beim Gitter wird das rote Licht durch Beugung am stärksten abgelenkt, beim Prisma das violette durch Brechung. Aufgabe: Ein optisches Gitter mit 2500 Strichen je cm wird von parallelem weißen Licht senkrecht beleuchtet. 1) Wie breit erscheint das Spektrum 1. Ordnung auf einem 3 m entfernten Schirm? Welchen Abstand haben dort die beiden violetten Linien 1. Ordnung? 2) Man zeige, dass sich die sichtbaren Spektren 2. und 3. Ordnung überlappen! Bis zu welcher Wellenlänge ist das Spektrum 2. Ordnung noch ungestört zu sehen? 3) Man bringt eine durchsichtige Flüssigkeit zwischen Schirm und Gitter, worauf der Abstand der beiden violetten Linien 1. Ordnung nur noch 40 cm beträgt. Man berechne die Brechzahl n der Flüssigkeit! 4) Jetzt wird die Flüssigkeit aus 3) wieder entfernt, aber das Gitter um 30° gedreht. Unter welchen Winkeln erscheinen jetzt die violetten Linien 1. Ordnung (Es genügt eine solche Linie zu behandeln - die unterhalb der Mittelinie)? . h a bstan d = 1 cm = 10-2 m = 4 . 10-6 m . L.osung: 1 ) G"1tterI
.
.
.
•
.
r
·
v
·
.
v
r
Optik
190
• s1n • o: 3 = 3 · 400 nm = 0, 3, d. h. 0!3 = 17, 5 ; In 3. Ordnung 1st 4000 nm also .ö.� = 3 m tan 17, 5° = 94: 3 cm (violette Linie 3. Ordnung ) . Abb. 4.45 verdeutlicht den Zusam menhang: Das Spektrum 1. Ordnung geht von 30,1 cm bis 61 cm und ist ungestört. v
v
0
·
·
Spektrum 3.0 .
t � � lr:- - - y-
Spektru m 2 . 0 Spektru:;, Mittel linie
Abb. 4.45
2 .� r �·
-1 = =
e ng Üb rl'��
1 3 1 cm
_
_
_
_
rot
61 cm
··I
�:�:
... 30 1 cm
--
!
'
violett
9 4, 3 c m
'f
Das Spektrum 2. Ordnung reicht von 61 cm bis 131 cm und wird übertappt vom Spektrum 3. Ordnung, das bei 94,3 cm beginnt. Die Überlappungsbreite ist 131 cm - 94,3 cm = 36,7 cm Das Spektrum 2. Ordnung ist ungestört bis zu der Wettenlänge ). zu sehen, für die Linie 2. Ordnung mit der violetten Linie 3. Ordnung übereinstimmt: 2 A 3 4QQ • a).2 = s1n • o:3 b zw. s1n = nm - a lso 1st A\ = 600 nm g g 3 ) Die Flüssigkeit verkleinert Wettenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit: Ctuft = >.Luft = n ( Brechzahl) C ftüss A flü�s 400 nm setze >.' = .Aviolett = n n , "' .Ö,� 0: 2 m 1 AV H•1er 1st • L..l 1' = 20 cm, a lso tan o:1 = - = -- = -. a 3m 15 ' Somit o{ = 3,8° und sin o:� = bzw. >. ' = g · sin 3: 8° nm � 1. 56 >.' = 256 nm, also n = 400 ' 256 nm •
V
.
( ) ( ) �
Abb. 4.46
4) Jetzt hat (Abb. 4.46) der obere Strahl vor dem Gitter gegenüber dem unteren den Gangunterschied 81 = g sin 30°. Hinter dem Gitter haben die Strahlen den Gangunterschied 82 = g · sin (30° - o:1) . Bedingung für das 1. Maxi mum ist, dass ·
Die Beugung des Lichts
191
der Gesamtgangunterschied c5 = (� - 82 = g [sin 30° - sin(30° - o:1)] gerade A.v ist. v Also: A. = sin 30° - sin (30° - o:1 ) bzw. sin (30° - a1) = sin 30° - 0, 1 = 0, 4 g Damit ist 30° - o:1 � 23 ) 6°, d. h. a1 = 6, 4° 4. 12.4 Überlagerung von Gitter- und Spaltinterferenz Bisher wurden die GrenzfeHle eines Einzelspalts mit Breite l � A. (viele Elemen tarwellen im Spalten - diese interferieren) und eines Gitters mit vielen Einzel spalten, deren Spaltbreite im Bereich von A. Liegt (je Spalt eine Elementarwelle Interferenz dieser für alle Gitterspalte) untersucht. Bei einem Gitter mit breiten Spalten müssen beide Arten der Interferenz betrachtet bzw. überlagert werden. Sei beispielsweise g = 3 l, l = 1 0 A.. Eine reine Gitterbetrachtung liefert schaife k . A. k . o:k = ' s1n ' ' lt o:1 = 1, 9 0 o:2 = 3 , 80 , ' ke1t f'ur = ; man erh a M wama der Hell1g g 30 o: 3 = 5, 7° , o:4 = 7, 7 °, o:5 = 9, 6 °, o:6 = 11 ) 5 °, o:7 = 13, S0 usw. p · A. Eine reine Spaltbetrachtung liefert Minima (Auslöschung) für sin /1p = = J:., L 10 man erhält ß1 = 5, 7 °, ,82 = 11, S 0 (2 q + 1) -A. 2 q + 1 1 · , a ls o /'1 = 8 , 60 = un d Nebenmaxrma t·ur· sm "/q = 10 2 2 l Beim Gitter mit breiten Spalten gibt es in jedem Spalt mehrere Elementarwellen. Alle zu parallelen Strahlen gehörenden Wellen aller Spalte überlagern sich an einem Punkt des Schirms. Natürlich kann nur dort Helligkeit entstehen, wo bereits Maxima des rei nen Gitters si nd - denn für andere Winkel kann man die Strahlen im Spalt sortieren und alle mittleren Strahlen der verschiedenen Spalte löschen sich aus, alle oberen, alle unteren usw. Entsprechend kann unter einem Winkel, bei dem der reine Spalt Auslöschungsstreifen hat, auch beim Gesamtgitter nur Dunkelheit die Folge sein. .
.
.
'
Abb. 4.47
......
-
.
/
I
......
'
,
-
·
'
I
/
I
/
I
/
"'
0
'
'
'
'
' '
0:1
0:2
'
/ 0:3
ß1
-
I 0:4
' o:s
' v o:s
ß2
,
CL 7
Abb. 4.47 zeigt die Intensitätsverteilung des reinen Gitters (durchgezogen) und des reinen Spalts (gestrichelt) . "Überlagerung" beider ergibt die Gesamtintensi tätsverteilung; man erken nt:
192
Optik
1. Manche Gittermaxima ( hier bei a3 , o:6 ) werden durch die Spaltinterferenz komplett unterdrückt. 2. Zwischen den Dunkelstreifen des Spaltes 1. Ordnung ( hier bei ,81 links und rechts ) gibt es ein zusätzliches Spaltenmuster durch das Gitter (5 Hell- und 4 Dunkelstreifen ) . 3. Die Intensitätsverteilung der Gitterhellstreifen nimmt nach außen (stark) ab ( dann teilweise wieder zu ) .
4.13 Die Polarisation des Lichts 4. 13. 1 Licht als Querwelle Ist Licht ei ne Längs- oder Querwelle? Anders formuliert: Lässt sich das Licht polarisieren oder ist es bereits polarisiert oder nicht? Wenn Licht eine Querwelle ist, dann müsste es sich durch einen ersten ,,Spalt" ( Polarisator) polarisieren lassen und durch einen zweiten dazu senkrechten "Spalt" (Analysator) wie in Abbildung 4.48 auslöschen lassen (vergleiche Kap.1.25.3 Punkt 7).
Abb. 4.48
Polarisator P
Ein Versuch bestätigt tatsächlich, dass sich für P I I A Helligkeit und für P ..LA Dunkelheit ergibt. Man findet: 1. Licht ist eine Querwelle 2. Natürliches Licht - auch monochromatisches - ist (bedingt durch seine Ent stehung bei atomaren Elektronenübergängen ) nicht polarisiert; durch einen Polarisator kann man es polarisieren. "Optische Spalte", d. h. Polarisationsfolien, enthalten kettenförmige organische Moleküle, die das Licht nur in einer Schwingungsebene durchlassen. 4. 13.2 Brewster'sches Gesetz Das Licht wird nicht nur durch Polarisationsspalte, sondern auch durch Reflexion
und Brechung (teilweise) polan"siert!
1. Das reflektierte Licht (Abb. 4.49) enthält vorwiegend Anteile mit Polarisati onsrichtung senkrecht zur Einfallsebene, während das gebrochene Licht über wiegend Anteile mit Polarisationsrichtung parallel zur Einfallsebene hat (Sor tierung der Anteile des einfallenden Lichts!) .
193
Die Polarisation des Lichts Lot
einfallendes Ucht '-,...
reflektiertes Ucht
Einfallsebene
gebrochenes Ucht
Abb. 4.49
2. Brewster'sches Gesetz: Genau dann, wenn der Winkel zwischen reflektiertem und gebrochenem Strahl 90 o beträgt, ist das reflektierte Licht vollständig (senk recht zur Einfallsebene) polarisiert.
Für den Einfallswinkel gilt dann tan
o: =
n (Brewsterwinkel)
Grund: Es soll o: + ß = 90° sein, d. h . ,ß = 90° - o:, also sin ß = cos o: .
sin o: sin c:r D am1t. g1'Lt n = � = -= tan o:, woraus d er 2. Te1'l d es G esetzes fo lgt. Sln Jl CO$ c:r Das unter dem Brewsterwinkel o: einfallende Licht kann natürlich nur dann reflektiert werden, wenn das einfallende Licht bereits Anteile senkrecht zur Einfallsebene hat .
Dies bestätigt der Versuch mit der Brewster-Pyramide, bei dem das Licht auf alle vier Seitenflächen der Pyramide unter dem Brewsterwinkel fällt. In Spalt stellung 1 werden die in Abbildung 4.50 weißen Flächenteile der Grundplatte hell erleuchtet, da das Licht in sie reflektiert wird und nicht nach oben. In Spalt stellung 2 werden die dunkel gezeich neten Flächenteile oben und unten durch Reflexion erleuchtet. Grundplatte
Pyramide
Abb. 4.50
weiße Flächenteile der Grundplatte
Elektrizitätslehre und Magnetismus
194
5
Elektrizitätslehre und Magnetismus
5.1
Einfache Grundaussagen des Magnetismus
5. 1.1 Magnetische Pole Jeder Magnet besitzt zwei Stellen stärkster Anziehung, die Pole. Versetzt man mehrere waagrechte drehbare Stabmagneten - in gebührendem Abstand von einander - in Drehung, so stellen sie sich nach einigen Drehungen alte in Nord-Süd-Richtung. Man bezeichnet den nach Norden zeigenden Pol als Nordpol, den anderen als Südpol. Versuche zeigen, dass sich gleichnamige Pole abstoßen, ungleichnamige anziehen. Die Erde selbst ist ein großer Magnet - ihr magnetischer Südpol liegt geographisch i m Norden und bewirkt die Anziehung der Drehmag netnordpole (siehe Versuch oben) dorthin (entsprechend liegt der magnetische Nordpol der Erde geographisch im Süden - südlich von Australien). Testet man die Stärke von Magneten über die Zahl der Eisennägel, die an ihnen hängen bleibt, so stellt man fest, dass sich gleichnamige Pole in ihrer Wirkung nach außen verstärken, ungleichnamige abschwächen.
5. 1.2 Elementarmagnete Ein Versuch zeigt, dass beim Auseinanderbrechen eines Stabmagneten mit Nord und Südpol zwei Magnete mit jeweils Nord- und Südpol entstehen (Abb. 5.1). An der Bruchstelle entstehen also neue Pole N' und S'. Es gibt also keinen einzelnen
Nord- bzw. Südpol, sondern immer nur magnetische Dipole.
Abb. 5.1
Auch bei der weiteren Teilung entstehen immer kleinere Stabmagnete, bis man schließlich bei den kleinsten Magneten angelangt ist, den Elementarmagneten.
Abb. 5.2
N
N
s
N
s
N
s
N
s
N
s
N
s
N
s
N
s
N N
s s
N N
s s
N N
s s
N N
s s
s
In einem Magneten gibt es lauterElementarmagnete, die wie in Abb. 5.2 geordnetsind.
Dort, wo deren Nord- und Südpole aufeinander treffen (z. B. in der Mitte), heben sich ihre Wirkungen nach außen auf; an den Enden des Magneten, wo nur Pole einer Sorte vorkommen, verstärken sie sich zum Nord- bzw. Südpol des Gesamtmagneten.
195
Einfache Grundaussagen des t�agnetismus
Reibt man an ei nem zunächst unmagnetischen Eisenstück mehrfach mit dem Nord- oder Südpol eines Magneten entlang, so wird dieses magnetisiert, das heißt, es wird zum Magneten; beim Reiben werden nämlich die zunächst ungeordneten Elementarmagnete im Eisenstück gedreht und so geordnet . Um einen Magneten wieder unmagnetisch zu machen, d . h . ihn zu entmag netisieren, muss man die geordneten Elementarmagnete in ihm in Unordnung bringen. Das kann durch wiederholtes starkes Schütteln (Behämmern) erfolgen oder durch Erhitzen des Magneten über den Curiepunkt von 769 °( - dann werden nämlich die Zitterbewegungen der kleinsten Teilchen des Magneten (siehe Kap. 2.5) so stark, dass die Elementarmagnete durcheinander geraten . 5. 1.3 Magnetische Influenz Weicheisen lässt sich durch Reiben nicht magnetisieren - an ihm bleiben keine Nägelchen hängen. Nähert man jedoch ein Weicheisenstück dem Nord- oder Südpol eines Magneten, so wird es beide Mal angezogen . Zur Erklärung dieser Eigenschaften kön nte man annehmen, dass Weicheisen keine Elementarmagnete hat oder nur solche, die sehr schwer drehbar si nd. Oder aber, dass die Element armagnete in Weicheisen so leicht drehbar sind, dass sie durch die Temperatur bewegung der Teilchen dauernd durcheinander geschüttelt sind. Ei n Versuch gemäß Abbildung 5.3 zeigt, dass Weicheisen in Gegenwart eines Magneten selbst zum Magneten wird. Somit ist die dritte Erklärung mit den leicht drehbaren Elementarmagneten die richtige - in Anwesenheit eines Magneten werden diese sofort geordnet.
Weicheisen
Abb. 5.3
Der Vorgang der vorübergehenden Ausn"chtung der Elementarmagnete von Weich eisen in Magnetnähe heißt magnetische Influenz. Nähert man nun einen magnetischen Nordpol ei nem Weicheisenstück, so drehen sich dessen Elementarmagnete sofort so, dass ihre Südpole sich dem Magnetnordpol zuwenden; die Anziehung WeicheisenjMagnet rüh rt also von der Anziehung der (geordneten) Elementarmagnete in beiden her. Nähert man dem Weicheisenstück den Magnetsüdpol, so drehen sich dessen Elementarmagnete sofort - wieder gibt es Anziehung. 5. 1.4 Das magnetische Feld Abbildung 5.4 zeigt einen quaderförmigen, mit Wasser gefüllten Glasbehälter, an dessen Längsseite sich ein Stabmagnet M mit den Polen N' und S' befindet. Eine
196
Elektrizitätslehre und Magnetismus
lange magnetisierte Nadel mit den Polen N und S schwimmt, an einem Stück Kork befestigt, so auf dem Wasser, dass der Südpol weit unten ist und den Magneten M kaum spürt. Der Nordpol dagegen ist dem Magneten sehr nahe. Setzt man die Nadel an i rgendei ner Stelle ins Wasser, so Läuft (schwimmt) sie auf einer kreis ähnlichen Bahn von N' nach S'. Dies ist die Laufbahn ei nes einzelnen Nordpols (der hier durch den weit entfernten Südpot simuliert wurde) im Einflussbereich des Stabmagneten M. Setzt man die Nadel an anderer Stelle aufs Wasser, so durchläuft sie eine ähnliche Nachbarbah n.
Abb. 5.4
Der Raum um einen Magneten, in dem die magnetischen Kräfte auftreten, heißt Magnetfeld. Die Bahnen, die ein Nordpol im Magnetfeld durchläuft, heißen magnetische
Feldlinien.
Der Pfeil einer Feldlinie gibt die Richtung an, in die der Nordpol Läuft; ein Südpot würde sie in umgekehrter Richtung durchlaufen. Die Abbi ldungen 5.5 a bzw. 5.5 b zeigen das magnetische Feld beim Stab- bzw. Hufeisenmagneten. Der Feldlinienverlauf Lässt sich mittels kleiner drehbarer Magnetnadeln verdeutlichen, die sich (wie in Abb. 5.5 a) längs der Feldlinien tangential einstellen. Oder man nimmt Weicheisenfeilspäne, die durch Influenz vorübergehend zu klei nen Magnetnadeln werden und sich zu Ketten Längs der Feldlinien zusammenschließen . . I \ \ \ \ \
I I I I I
' \ ' ' \
Abb. 5.5a
197
Einfache Grundaussagen des t�agnetismus
Das FeLdLinienbild gibt wesentlichen Aufschluss über die Kraft auf einen NordpoL Dort wo die FeLdLinien dicht Liegen z. B. an den Polen ) ist die magnetische Kraft stark z. B. Kraft auf Nordpot in Position 1 in Abb. 5.5 b ) . Die Kraft auf einen "Probenordpot" an einer SteLLe im Feld ist paralLeL zur Tangente an die FeLdLinie dort.
(
(
Abb. 5.5b
5. 1.5 Das Erdmagnetfeld Wie bereits erwähnt, ist die Erde selbst ein großer Magnet. Ihr magnetischer Südpot Liegt nördlich von Kanada, ihr magnetischer Nordpot südlich von Aust ratien. Die magnetische Achse und die Drehachse der Erde sind also verschieden Abb. 5.6).
(
Drehachse
-
IJ!agnetischer Aquator
--+--- magnetische Achse
Abb. 5.6
Ä
Die magnetischen FeLdLinien taufen am magnetischen quator paratteL zur Erd oberfläche und sind an den magnetischen Polen senkrecht zu dieser.
198
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Ihre jeweilige Abweichung gegenüber der Horizontalen heißt Inklinations
winkel (bei uns ca. 65°).
Die Nadel eines Kompasses zeigt in Richtung des magnetischen Südpols, weicht also von der Richtung des geographischen Nordpols ab. Der Deklinationswinkel (bei uns ca. 4°) gibt an, wie groß diese Abweichung ist - er hängt vom Ort ab. Aufgabe: Abbildung 5. 7 zeigt zwei Weicheisen nägel, die, an Fäden aufgehängt, im Feld eines Magneten (hier nur Nordpol gezeichnet) durch magnetische In fluenz selbst zu Magneten werden und sich abstoßen. Fäden
l\N'
I �. I l"l
Abb. 5.7
S'
Warum werden sie vom Magneten insgesamt angezogen, obwohl der Nordpol N die Nordpole N' abstößt? Warum stoßen sich die Nägel gegenseitig ab? Lösung: Der Nordpol N stößt zwar N' ab, zieht aber S' an; da die Entfernung zu S' kleiner ist, überwiegt die Anziehung. Bei den Nägeln stoßen sich N' und N' jeweils ab, ebenso S' und S', aber N'/S' ziehen sich jeweils an. Hier überwiegt - wegen der geringeren Entfernung - die Abstoßung!
5.2
Elektrizitätslehre - Grundbegriffe, Grundaussagen
5.2. 1 Stromkreis Jede Stromquelle (Batterie, Steckdose etc.) hat zwei Anschlüsse, die Pole; jedes elektrische Gerät hat im Wesentlichen auch zwei Anschlüsse. Das Gerät arbeitet, wenn man die Pole mit den Geräteanschlüssen über Kabel verbindet (bei den meisten Geräten sind allerdi ngs diese Anschlusskabel in einem einzigen Gesamt kabel zusammengefasst). Bei ei nem Glühhirnehen sind z. B. die Anschlüsse das Plättchen unten und über eine Isolierung davon getrennt - der GewindesockeL Verbindet man sie über Kabel mit dem Plus- und Min uspol einer Batterie (Abb. 5.8), so leuchtet das Birnchen. Im Inneren des Birnchens läuft ein Draht vom Plättchen über den Glühdraht zum Gewindesockel - wenn es leuchtet, besteht also eine geschlossene Drahtverbindung von einem Pol zum anderen, über die der Strom fließen kann. Im Gegensatz zu Gas, das aus der Leitung strömt und dort verbrannt wird, braucht Strom also eine Rückleitung: Strom fließt, wenn der Stromkreis geschlossen ist.
199
Elektrizitätslehre - Grundbegriffe, Grundaussagen Pluspol
Abb. 5.8
Glühdraht
0
Gswindesockel ----- lsderung
I
Plättchen
Minuspol
5.2.2 Leiter und Nichtleiter Es gibt Stoffe, die den Strom hindurchlassen, z . B. Metalle, Graphit, Salzlösungen; sie heißen Leiter. Nichtleiter (oder Isolatoren) wie Glas, Plastik, Holz, Luft lassen ihn nicht hindurch. Gase sind normalerweise gute Isolatoren; bei starkem Unter druck und hohen Spannungen (siehe später) werden sie leitend. Ein geschlossener Stromkreis im Sinne von Kap. 5.2.1 ist durch Leiter geschlossen. Ein Schalter (Symbol _/L) unterbricht oder schließt einen Stromkreis. Ein Klingelknopf (Abb. 5.9) schließt beispielsweise beim Drücken den Kreis (Druckschalter), der sonst durch eine Feder geöffnet ist. � ;---- Metall
Drücker ---...
Abb. 5.9
-------'�'�--
� LBIWng_/
Aufgabe: Eine Klingelanlage soll so konstruiert werden, dass es läutet, wenn an
der Haustür oder der Wohnungstür der Druckschalter betätigt wird. Wie sieht das Schaltbild aus? Lösung: siehe Abbildung 5.10! Wird � geschlossen, so fließt der Strom über St(t ) Wird � geschlossen, so fließt der Strom über �(t) Sind S1 und 5 2 geschlossen, nimmt der Strom beide Wege. In all diesen Fällen fließt der Strom über die Klingel - sie läutet. Stromquelle
1 �--�
+ � -� ----
tl
Haustür
Abb. 5.10
Wo.'mungstür
-
200
5.2.3
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Wirkungen des Stroms
Fließt elektrischer Strom, so entsteht Wärme. Dies nutzt man vielfach aus (Bügel eisen, Herd, Tauchsieder, Schmelzsicherung: Wird der Strom zu stark, schmilzt der Draht in der Sicherung, d. h. an einer bestimmten Leicht zugänglichen SteLLe im Stromkreis und dieser wird unterbrochen) . Dünne stromdurchflossene Drähte glühen und senden Licht aus (Glühbirne) . Bei Elektrolyseversuchen zeigt der Strom eine chemische Wirkung. Fließt er beispielsweise durch eine NaOH-Lösung (Knallgaszelle) , so entsteht Knallgas, ein explosives Wasserstoff-Sauerstoff-Gemisch. Beim Kupferchloddversuch nach Abb. 5.11 werden zwei Kohleelektroden in Kupferchloridlösung gesteckt und mit den Polen einer Spannungsquelle (Strom quelle) verbunden. Die Pfeile sollen den Stromfluss andeuten - nach der tech nischen Stromrichtung (s. u.). An der Kathode (mit dem Minuspol verbundene Elektrode) Lagert sich Kupfer ab, während sich an der Anode (mit dem Pluspol verbunden) Chlorgas entwickelt .
Kathode
Abb. 5.11
Anode
Kupferchlorid· Iösung
Die magnetische Wirkung des Stroms zeigen die Abbildungen 5 .12 a, b. Mit Eisenfeilspänen (siehe Kap. 5.1.4) kann man nämlich die Magnetfelder eines stromdurchflossenen Drahtes (Abb. 5.12 a: konzentrische Feldlinien kreise) bzw. einer stromdurchflossenen Spule (Abb. 5.12 b) sichtbar machen . +
Abb. 5.12a
Man erkennt, dass das Feldlinienbild der Spule genau dem eines Stabmagneten entspricht - jedenfalls außerhalb der Spule. Und so wirkt die stromdurchflossene Spule nach außen auch wie ein Stabmagnet mit Nordpol und Südpol.
Elektrizitätslehre - Grundbegriffe, Grundaussagen
201
N
s
Abb. 5.12b
Auf dieser magnetischen Wirkung beruht auch das Pn"nzip der Klingel gemäß Abb. 5.13. Eine Eisenstange 1 berührt eine Eisenstange 2 im Punkt A gerade. Die Stangen sind über eine Spule mit einem Weicheisenkern (dieser wird durch die magnetische Spule selbst zum Magneten und verstärkt die magnetische Wirkung) mit einer Stromquelle verbunden. Also fließt Strom, die Spule wird zum Magneten, sie zieht Stab 1 nach unten. Dadurch wird der Stromkreis bei A unterbrochen, die Spule ist nicht mehr magnetisch, der Stab 1 schnellt nach oben und schließt den Kreis bei A wieder. Jetzt beginnt alles von vorn. Stab 1 schwingt also ununter brochen auf und ab und kann als Klöppel einer Klingel verwendet werden - fehlt nur noch der Klingeldeckel!
(I
Stromquelle -=- +
2
- Spule mit Weicheisenkem
Abb. 5.13
Eine weitere Wirkung des Stroms ist das Glimmlicht im Glimmlämpchen. In diesem befindet sich Neongas unter Unterdruck, zwei Elektroden ragen hinein. Wenn die Spannung hoch genug ist, ftießt Strom durch das Lämpchen; dann Leuchtet es um die Kathode rot auf. 5.2.4 Ergänzungen 1. Technische (konventionelle) Stromn"chtung: Man hat festgelegt (leider bevor
man es besser wusste), dass der Strom vom Pluspol der Stromquelle zum Minuspol fließt. 2. Aus der Batterie kommt Gleichstrom, aus der Steckdose Wechselstrom, der dauernd seine Richtung ändert. Da dann im Glimmlämpchen jede Elektrode im schnellen Wechsel Kathode wird und das Auge träge ist, scheinen beide Elektroden rot zu Leuchten. Schwenkt man das Glimmlämpchen dann aber schnell hin und her, sieht man, dass die Kathode sch nell wechselt. 3. Bei der Steckdose ist ein Pol immer geerdet, d. h . Leitend mit einem großen, in der Erde versenkten Metallband verbunden (Symbol: *). Er heißt Nullleiterpol, der andere Außenleiterpol oder Phase. Berührt man den Außenleiterpol, so fließt der Strom über den Menschen zur " Erde" und damit zum Nullleiterpol - es
202
Elektrizitätslehre und Magnetismus
kommt zum Lebensgefährlichen Erdschluss. ( Das Berühren des NuLLteiterpols wäre harmlos; allerdings weiß man nie vorher, welcher der beiden er ist - es sei denn, man nimmt einen Phasenprüfer) . 4. Haben Hin- und Rückleitung an einer Stelle i m Kabel direkten Kontakt, bei spielsweise wegen defekter Isolierung, so fließt der Strom größtenteils nicht über das elektrische Gerät wie vorgesehen, sondern nim mt den direkten Weg über die Kontaktstelle. Dabei kann die Stromstärke sehr groß werden ( Vor sicht! ) - man spricht vom Kurzschluss. 5. Sicherungen (Schmelzdraht-, magnetische, Bimetallsicherung ) unterbrechen bei zu starkem Strom den Stromkreis. Aufgaben: 1) Ei ne Schlafzimmerlampe soll sowohl durch einen Schalter an der Tür ein- und ausgeschaltet werden können als auch durch ei nen Schalter am Nacht tisch. Wie sieht das Schaltbild aus? Lösung: Man nimmt wie in Abbildung 5.14 zwei Wechselschalter SA und SB. Stehen SA und SB in Stellung 1 ( siehe Abb. 5.14), so ist der Stromkreis geschlossen, die Lampe an; ebenso ist sie an, wenn SA und SB in Stellung 2 sind. Ist dagegen einer in Stellung 1, der andere in 2, so ist der Stromkreis unterbrochen, die Lampe ist aus.
Abb. 5.14
2 ) Man konstruiere das Schaltbild einer Feuerwarnanlage mithilfe eines Bimetall streifens! Lösung: Bei starker Hitze biegt sich der richtig montierte Bimetallstreifen (siehe Kap.2.2 ) nach oben, der Stromkreis wird geschlossen, die Klingel läutet Alarm ( Abb. 5.15).
Abb. 5.15
5.3
Ladung und Stromstärke
5.3. 1 Elektrische Ladung Bei einem Versuch sind zwei Glimmlämpchen 1 und 2 mit den Polen einer
Span nungsquelle verbunden (Abb. 5.16); sie stehen auf isolierten Sockeln.
Ladung und Stromstärke
203 -+
1
2 JIC::'-
Abb. 5.16
1�
KondoktoO
1) Bei ei ner Spannung von etwa 1000 V ( der Spannungsbegriff wird später erklärt - hier ist gemeint, dass am Gerät die Marke 1000 V ei ngestellt wird ) werden
zunächst beide Lämpchen mit einem Kabel verbunden ( geschlossener Stromkreis) , worauf beide durchgehend an der Kathode aufleuchten: dauernd fließt Strom. Ohne Kabel ist der Stromkreis dagegen unterbrochen: kein Leuchten, kein Strom. 2) Jetzt dreht man die Spannung höher ( auf ca. 6000 V) . Dann berührt man Lämpchen 1 mit einer Konduktorkugel ( Metallhohlkugel auf Isolierstab ) - es leuchtet kurz auf ( kurzer Stromstoß) . Offenbar ist etwas vom Pluspol auf die Kugel geflossen - das nennt man die elektrische Ladung. Mit der geladenen Konduktorkugel berührt man dann Lämpchen 2 - es leuchtet kurz auf: Die Ladung ist von der Kugel zum Minuspol abgeflossen. Die Konduktorkugel ist ein Behälter für die Ladung. Auf ihr ruht die Ladung, es fließt kein Strom. Elektrischer Strom istfließende Ladung. Mit einem Konduktor kann man Ladung portionsweise transportieren - die Ladung hat also Mengencharakter. Man kann Ladung also aufhäufen - dies lässt sich mit einem Elektroskop zeigen, das später erklärt wird. 5.3.2 Definition der Ladungseinheit Die Messung der Ladung und die Definition ihrer Einheit erfolgt über die i n Kap.
5.2.3 erwähnte Knallgaszelle. In ihr fließt dauernd Ladung zwischen den Elek
troden, wobei sich Knallgas abscheidet. Die entstandene Knallgasmenge ist dabei porportional zur geflossenen Ladung.
Man legt fest: Die Ladungsmenge, die 0, 19 cm3 Knallgas bei 20 oc und 1 bar Druck abscheidet, heißt 1 C (Coulomb) ( die " krummeu Zahl ist historisch bedingt) .
Bemerkung: Als Buchstabe für die Ladung ist Q üblich.
5.3.3 Definition der elektrischen Stromstärke Was ist nun elektrischer Strom? Jeder Strom, ob Wasserstrom, Luftstrom oder Menschenstrom zeichnet sich dadurch aus, dass sich irgendetwas bewegt und
204
Elektrizitätslehre und Magnetismus
dass sich dieses in eine bestimmte Richtung bewegt. Beim elektrischen Strom bewegt sich die Ladung. Um die Stärke eines Wasserstroms zu kennzeichnen, muss man angeben, welche Wassermenge in einer bestimmten Zeit durch einen Fluss querschnitt fließt; entsprechend geht es beim elektrischen Strom darum, welche Ladungsmenge in ei ner bestimmten Zeit durch ei nen Kabelquerschnitt im Leiter kreis fließt. Definition:
Q .. ke = Ladungsmenge . h e Stromstar b zw. I = (B uc h stab e I) (F5.1 ) Ele ktnsc . Ze1t t -
Einheit der elektrischen Stromstärke: [I]
=
1 � = 1 A (Ampere) (F5.1 a) s
Aufgaben: 1) In 15 s werden 5,7 cm3 Knallgas abgeschieden. Man berechne
Ladung und Stromstärke! Lösung: 1 C scheidet 0,19 cm3 Knallgas ab; für 5,7 cm3 sind � C = 30 C nötig, 0, 19 Q 30 c also Ladung Q = 30 C; Stromstärke I = t = = 2 A 15 s 2) Aus 1 A = 1 � fo lg t 1 C = 1 As: Ein Coulomb ist eine Amperesekunde. s Ein "Akku" gibt 80 Ah ab. Wie viel C sind das und wie Lange kann man dem "Akku" Strom der Stärke 2 A entnehmen? Wie Lange könnte man damit zwei parallel geschaltete Lampen, die von je 4 A Strom durchflossen werden, betreiben? Lösung: 1 Ah = 1 A · 3600 s = 3600 C, der Akku gibt also die Ladung Q = 80 · 3600 C = 288 000 C ab. 144 000 Q Q 288 000 As . . I1 144 000 s h - 40 h fur -2A I - d . h . tl - Il - t' 3600 2A Beim Betrieb der Lampen beträgt die Gesamtstromstärke 8 A, also 28 00 As tz = 8 0 = 10 h 8A 5.3.4 Eigenschaften der Ladung Beim Bandgenerator (Abb. 5.17) wird durch ein Gummiband, das über eine Kunst stoffwalze Läuft, Ladung transportiert. Die große Kugel oben wird zum Minuspol, die kleine (mit dem Generatorfuß verbundene) Kugel zum Pluspol, wie man über Glimmlampen zeigt. Mit Konduktorkugeln kann man nun vom Minuspol negative Ladung, vom Pluspol positive Ladung abschöpfen. Man stellt fest: Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.
Lässt man Wattebällchen auf den Minuspol (oder Pluspol) fallen, so laden diese sich auf, sträuben sich (da sich gleiche Ladungen abstoßen), werden vom Min us pol (oder Pluspol) senkrecht abgestoßen, fliegen eventuell zum anderen Pol, werden dort umgeladen usw.
Elektronen, Atombau, Ionen
205
Abb. 5.17
Gibt man Ladung auf einen Leiter, so verteilt sie sich dort gleichmäßig bei möglichst großem Abstand, da sich die " Ladungsteilchen" untereinander absto ßen; auf einem Isolator dagegen kann sich die Ladung nicht bewegen und sitzt dort, wo sie abgeladen wurde. Bemerkungen: 1. Beim Elektroskop, das zum Ladungsnachweis dient, wandert (Abb. 5.18) die
auf dem oberen Teller abgestreifte Ladung nach unten in den Stiel und in ein bewegliches Plättchen - dieses wird abgestoßen und schlägt aus. Ladung
--
:::::
Leiter bfJINegliches Plättchen
Abb. 5.18
2 . Lädt man einen Metallbecher auf, so verteilt sich die Ladung - da sich "die
Ladungsteilchen" gegenseitig abstoßen und möglichst großen Abstand an streben - außen auf dem Becher (Faradaybecher); aus demselben Grund sammelt sich die Ladung auf einem Metallkäfig außen (Faradaykäfig) . 3 . Lädt man zwei gleiche Elektroskope mit entgegengesetzten Ladungen gleich stark auf und verbindet sie anschließend Leitend, so geht bei beiden der Ausschlag völlig zurück - offenbar neutralisieren sich gleiche Mengen positiver und negativer Ladung gegenseitig, d. h. sie heben sich in ihrer Wirkung nach außen auf.
5.4
Elektronen, Atombau, Ionen
5.4. 1
Versuch von Edison
In der Edisonröhre befindet sich Vakuum. Auf der einen Seite ragt ein Heizdraht hinein, der durch Anlegen einer Heizspannung durch einen klei nen Heizstrom zum Glühen gebracht werden kann, auf der anderen Seite ragt ein Metallplättchen in die Röhre hinein. Edison verband dieses Metallplättchen über ein Kabel mit dem Teller eines positiv aufgeladenen Elektroskops (Abb. 5.19); dann brachte er den Heizdraht zum Glühen, worauf der Ausschlag des Elektroskops zurückging. Führte
20 6
Elektrizitätslehre und Magnetismus
er den entsprechenden Versuch mit einem negativ geladenen Elektroskop durch, hatte dessen Ausschlag Bestand.
Elektroskop
Abb. 5.19
- +
Sein Schluss: Beim Glühen kommen aus dem Draht sehr leichte negativ geladene
Teilchen; sie gelangen zum positiv geladenen Metallplättchen und neutralisieren die positive Ladung des Elektroskops. Ist dieses und damit das Metallplättchen negativ geladen, so können die negativen Ladungsteilchen, er nannte sie Elek tronen, dort nicht anlanden - der Ausschlag bleibt.
Glühelektdscher Effekt: Ein zum Glühen erhitztes Metall sendet Elektronen aus; sie sind negativ geladen.
5.4.2 Atombau In Kap. 2.5 wurde festgestellt, dass jeder Stoff aus kleinsten Teilchen (Atomen, Molekülen) besteht. Der Edisonversuch legt nahe, dass Atome ihrerseits noch kleinere Teilchen, nämlich die negativ geladenen Elektronen enthalten; außer dem müssten im Atom, da dieses ja elektrisch neutral ist, dann auch positive Teilchen sitzen ! Wie ist nun das A tom aufgebaut? Das so genannte Thomson'sche "Rosinenkuchenmodell" ging von einer positiv geladenen Grundmasse aus, in die die Elektronen wie Rosinen im Kuchen eingelagert sind. Elektronenbeschussversuch: Thomsons Schüler Rutherford beschoss dünne Fo lien aus mehreren Millionen Atomlagen mit Elektronen (und anderen Teilchen) . Aufgrund des Rosinenkuchenmodells für die Atome durfte erwartet werden, dass die meisten Elektronen entweder in der Folie stecken bleiben oder reflektiert werden würden . Erstaunlicherweise aber gingen fast alle Elektronen geradli nig ungehi ndert hindurch - die Atome mussten also fast völlig leer sein! Rutheiford stellte ein Atommodell vor, bei dem ein sehr kleiner positiv gela dener Kern, indem nahezu die gesamte Atom masse konzentriert ist, in großem Abstand (relativ zu seiner Größe) von noch wesentlich kleineren negativ gelade nen Elektronen umschwirrt wird. Die Anziehungskraft auf die Elektronen seitens des Kerns stellt die Zentripetalkraft (siehe Kap. 1.15) für deren Kreisbewegung um den Kern dar . Bemerkungen: 1) Der Durch messer des Kerns beträgt ca.
1 des Atomdurch messers. 100 000 2) Die Ladung eines Elektrons beträgt 1, 6 · 10-19 C; es ist die kleinste mögliche
Ladungsmenge (Elementarladung) .
Elektronen, Atombau, Ionen
207
3) Bei einem neutralen Atom entspricht die Zahl der positiven Kernladungen der Zahl der Elektronen. Nimmt man einem neutralen Atom ein (zwei) Elektron(en) weg, so entsteht ein einfach (zweifach) positiv geladenes Ion; Lässt man zusätz Liche Elektronen um den Kern schwirren, entsteht ein negativ geladenes Ion.
5.4.3 Stromleitung in Metallen 1) Metallatome haben die besondere Eigenschaft, dass jedes Atom im Verband ein Elektron abgibt (manche Metallatomarten geben auch mehr Elektronen ab) diese Leitungselektronen schwirren im Metall völlig frei beweglich umher, auch wenn kei n Strom fließt (Abb. 5.20) .
Abb. 5.20
Atomreste (ortsfest)
Leitungselektronen (frei beweglich)
Die zurückbleibenden Atomreste sind einfach positiv geladene Ionen; sie bilden ein ortsfestes Gitter, d. h . sie können Zitterbewegungen um ihre Gleichgewichts Lage (vergleiche Kap. 2.5) machen, sind aber ansonsten nicht beweglich. Da die Elektronen in die verschiedensten Richtungen fliegen, machen sie insgesamt keinen Strom, obwohl sie bewegte Ladungen darstellen. 2 ) A m Pluspol einer Stromquelle herrscht Elektronenmangel, a m Minuspol Elektro nenüberschuss.
Verbindet man nun Plus- und Minuspol der Quelle durch einen Leiter, so drückt der Minuspol dauernd Elektronen in den Leiter hinein, der Pluspol zieht welche aus dem Leiter heraus; im Leiter wandern sie vom Minuspol zum Pluspol. Ihrer unkontrollierten Schwirrbewegung wird dabei eine viel Langsamere zielgerichtete Bewegung überlagert - es fließt Strom, Elektronenstrom. Beim Stromfluss ver schwi nden die Elektronen nicht, jedoch wird ihnen - beispielsweise bei der "Wanderung" durch den Glühdraht einer Lampe - Energie entzogen. Das Elek trizitätswerk hinter der Stromquelle (bzw. die Batterie) "pumpt" unter Arbeits aufwand dauernd am Pluspol ankommende Elektronen zurück zum Minuspol, um dort den Elektronenüberschuss - Voraussetzung für weiteren Strom - aufrecht zuerhalten.
Die Stromleitung im Draht erfolgt somit durch Elektronen. Die physikalische Stromrichtung, d. h. die Laufrichtung der Elektronen, geht also vom Minuspol zum Pluspol - entgegengesetzt zur konventionellen, d. h . technischen Stromrichtung
(Kap. 5.2.4), die man - damals ohne besseres Wissen - einfach festlegte.
Elektrizitätslehre und Magnetismus
208
5.4.4 Erklärung verschiedener elektrischer Erscheinungen im Elektronenbild 1. Wärmewirkung: Wenn Strom fließt, stoßen die Elektronen im Leiter immer wieder gegen die zitternden Atomreste und erhöhen durch Stöße deren Bewe gungsenergie, worauf die Temperatur des Leiters steigt. 2. Aufladen einer Konduktorkugel: Auf der neutralen Konduktorkugel herrscht ein Gleichgewicht zwischen Elektronen und positiven Atomresten. Bringt man die Kugel in Kontakt mit dem Mi nuspol einer Stromquelle, so drückt dieser zusätzliche Elektronen auf die Konduktorkugel, die dann ebenfalls Elektronenüberschuss hat; bei Kontakt mit dem Pluspol entzieht dieser der Kugel Elektronen - sie hat Elektronenmangel und ist positiv geladen. 3. Neutralisation: Bei Kontakt einer positiv geladenen Konduktorkugel ( Elektro nenmangel) mit einer gleich stark negativ geladenen ( Elektronenüberschuss) wandern die überschüssigen Elektronen über den Draht zur positiven Kugel und zwar solange, bis auf beiden Kugeln Gleichgewicht zwischen Elektronen und Atomresten herrscht. 4. Elektrische Influenz: Nähert man ei ne positiv geladene (oder negativ geladene) Kondukturkugel einem neutralen Leiterkügelchen, so wird dieses angezogen warum? Abbildung 5.21 verdeutlicht die Erklärung der Erscheinung für ei ne positiv geladene KonduktorkugeL Links ist die Verteilung der Elektronen und Atomreste auf dem Kügelchen vorher, d. h. ehe die Konduktorkugel in dessen Nähe gebracht wurde, gezeichnet: Ü berall herrscht Gleichgewicht zwischen Elek tronen und Atomresten. Nähert man nun die Konduktorkugel, so zieht diese die beweglichen Elektronen auf die rechte Seite des Kügelchens; die unbeweglichen positiven Reste bleiben an ihrem Platz - also ist das Kügelchen li nks positiv, rechts negativ geladen (nachher).
vorher
nachher
Abb. 5.2 1
In Anwesenheit der Ladung der Konduktorkugel werden also die Ladungen auf dem neutralen Kügelchen vorübergehend getrennt; diesen Vorgang nennt man elektrische Influenz.
Die Konduktorkugel stößt nun die positive Ladung Links auf dem Kügelchen ab und zieht die negative rechts an. Da die negative näher an der Konduktorkugel ist, überwiegt die Anziehung - insgesamt wird das Kügelchen angezogen. 5. Aufladen eines Isolators (Reibungselektrizität): Bei einem Versuch werden Watte und ein Kunststoffstab, beide neutrale Nichtleiter, anei nander gerieben.
Elektronen, Atombau, Ionen
209
Streift man den Kunststoffstab am Teller ei nes Elektroskops entlang, stellt man fest, dass er beim Reiben negativ aufgeladen wird und entsprechend die Watte positiv. Man kennt diesen Aufladungseffekt vom Alltag ( Kämmen, Gehen über einen Teppichboden usw. ) . Beim Reiben entreißt der Stab der Watte Elektronen und lädt sie auf seiner Oberfläche ab. 6. Wechselstrom mit Erdung (Steckdose): Der Nullleiter-Pol ist mit dem großen, in der Erde versenkten Metallband verbunden ( geerdet) - an ihm herrscht immer Gleichgewicht zwischen Elektronen und Atomresten. Der andere Pol ( Außenleiter) hat im Wechsel Elektronenüberschuss - dann fungiert er als Minuspol, d. h. die Elektronen fließen von ihm zum Nullleiter - und Elektronenmangel - dann fungiert er als Pluspol, d. h. die Elektronen fließen vom Nullleiter zu ihm. 5.4.5 Stromleitung in Flüssigkeiten (Elektrolyse) Beim Kupferchloridversuch in Kap. 5.2.3 lagert sich an der Kathode Kupfer ab, an der Anode steigt Chlorgas auf; also können nicht nur Elektronen gewandert sein,
sondern in der Lösung müssen sich Materieteilchen bewegt haben.
In der Kupferchloridlösung sind doppelt positiv geladene Kupferionen Cu* und einfach negativ geladene Chlorionen n- ( doppelt so viele) enthalten. Die Cl- Ionen werden zur positiv geladenen Anode gezogen, geben dort ihr überschüs siges Elektron ab, werden zu neutralen Cl-Atomen und entweichen als Ch lorgas Cl2 an der Anode (Abb. 5.22). - +
:
Kupfemiederschlag
� �I Cu
++
C(
........_
: -+-� � Cl_
-
..,..... I
Abb. 5.22
I
I
t +
t
Kupferchlorid lösung
Die Cu*-Ionen werden zur negativ geladenen Kathode gezogen, nehmen dort zwei Elektronen auf, werden zu neutralen Cu-Atomen und lagern sich an der Kathode ab ( Kupferniederschlag ) . Bilanz: Es fließen also gleichzeitig zwei negativ geladene Ionen zur Anode und ein positiv (doppelt) geladenes Ion zur Kathode in Gegenrichtung. Nach ihrer Entladung sind zwei Elektronen an der Kathode verschwunden und 2 Elektronen an der Anode angekommen; Letztere wandern zum PluspoL, während Erstere vom Minuspot nachgeliefert werden . Letztlich sind - über Ionen - zwei Elektronen vom Minuspol zum Pluspol geflossen.
210
5.5
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Geräte zur Messung der Stromstärke
5.5. 1 Hitzedrahtamperemeter Man nutzt aus, dass sich ei n stromdurchflossener Draht erwärmt und zwar umso mehr, je größer die Stromstärke ist. Beim Erwärmen verlängert sich der Draht (siehe Kap. 2.2). Die Verlängerung des Drahts kann über einen Zeiger an einer Skala sichtbar gemacht werden - durch Eichung erhält man ein Gerät, das zu jeder Stromstärke einen spezifischen Zeigerausschlag liefert. Dies funktioniert prinzi piell für Gleich- und Wechselstrom. 5.5.2 Drehspulamperemeter Beim Versuch nach Abb. 5.23 hängt eine Spule an einem dünnen Metallband in einem Hufeisenmagneten. Fließt Strom durch die Spule, so dreht sie sich und zwar umso mehr, je größer die Stromstärke ist. Fließt der Strom in umgekehrter Richtung, so dreht sich die Spule in die andere Richtung, bei Wechselstrom dreht sie sich nicht.
Abb. 5.23
Erklärung: Die stromdurchflossene Spule ist ja ein Magnet, z. B. mit Nordpol N'
hinten und Südpol S' vorne, der sich i m Feld des Hufeisenmagneten ausrichten möchte: "S' will zu N, N' will zu su, sodass sich der Zeiger nach rechts dreht. Die Verdrillung des Metallbändchens wirkt dieser Drehung entgegen . Je größer die Stromstärke ist, desto stärker magnetisch ist die Spule, desto mehr dreht sie sich. Bei Umpolung werden S' und N' vertauscht, so dass die Drehung in die andere Richtung erfolgt. Bei Wechselstrom, d. h. dauerndem Vertauschen der Pole N' und S' kommt die Spule mit dem Drehen nicht nach. Auf diesem Prinzip basieren die üblichen Geräte zur Strommessung; bei Wechsel strommessung muss man den Strom durch geeignetes U mschalten erst (im Gerät) g leichrichten (siehe Kap. 5.16.2 und 5.17.4).
211
Die elektrische Spannung
5.5.3 Mittelwert bei der Stromanzeige Bei einer Knallgaszelle fließe dauernd ein Strom der Stärke I = const = � A, den 2 das Messgerät anzeigt. Im I/t-Diagramm erhält man eine Parallele zur t-Achse (Abb. 5.24 a); der Flächeninhalt unter dieser Kurve bis zur Marke 3 s ist die Ladung, die in den ersten drei Sekunden geflossen ist: � A 3 s = I t = Q = � C 2
·
·
2
I [A]
Abb. 5.24a
o �===r===T====�--�----� 1
2
4
3
t[s]
Baut man jetzt in die Schaltung einen Schalter ein, der nur � der Zeit geschlossen, 3 aber � der Zeit geöffnet ist, erhält man das I/t-Diagramm von Abb. 5.24 b. 3 I [A]
Abb. 5.24b
0 0,1
0,3 0,4
0,6
0,9
1 ,2
t [s]
�
Der Zeiger kann bei kurzer Kontaktzeit dem Stromverlauf nicht mehr folgen - er zittert um den Mittelwert � A = � A. 3 2 6 Der Flächeninhalt unter der Zeigerkurve stimmt mit dem unter der Kurve des wirklichen Stromverlaufs überein und gibt weiterhin die geflossene Ladung an! Z. B. bis 1,2 s: Fläche des wirklichen Stromverlaufs: A1 = 4 · � A · 0, 1 s = 0 . 2 C; Fläche unter Zeigerkurve: A2 = � A · 1, 2 s = 0.. 2 C 6 2 ·
.
5. 6
Die elektrische Spannung
5. 6. 1 Definition der Spannung Das Elektrizitätswerk wird nach Kilowattstunden bezahlt; dabei ist 1 kWh "' 1000 W 3600 s = 3 600 000 J. ·
212
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Man bezahlt also Arbeit - die Ü berführungsarbeit des Elektrizitätswerks, um Ladung (Elektronen), die am Pluspol angekommen ist, wieder zum Min uspol zu bringen. Zunächst einmal ist diese Arbeit nicht so einfach zu berechnen; man kennt ja die Kraft, die auf ein Elektron wirkt, nicht - sie hängt ab von dessen Abstoßung vom Minus- bzw . Anziehung durch den Pluspot der Anlage . Sicherlich aber ist bei einer bestimmten Anlage die Überführungsarbeit W 1 2 vom Pluspol 1 zum Minuspol proportional zur übergeführten Ladung Q : W 1,2 Q. w1 Damit ist der Quotient 2 eine Konstante, die die Stromquelle beschreibt - er heißt Spannung.
�
tv
Definition:
Unter der Spannung U 112 zwischen zwei Punkten im Stromkreis (beispielsweise den Polen der Stromquelle) versteht man den Quotienten aus Ü berführungs arbeit und (zwischen den Punkten) übergefüh rter Ladung Q: 1;2 (F5.2 a) u 1/2 = 0 Einheit der Spannung: [U] = 1 = 1 V (Volt) ( F5 . 2 b)
WJ?
�
Beispiel: Bei einer Span nung von 2 V = 2 � muss die Arbeit w 1 = 2 J auf 12 gebracht werden, um die Ladung 1 C vom Ptu f- zum Mi nuspol zu schaffen; fließt diese Ladung dann im Stromkreis wieder zum Pluspol, so gibt sie diese Arbeit von 2 J wieder ab - z. B. an ein Lämpchen. Bemerkungen:
1 . Ei ne Spannung hat nur einen Sinn zwischen zwei Punkten; Spannung kann es auch ohne Stromkreis geben. 2. Vergleicht man ei ne Stromquelle bildlich mit einer Anlage, bei der aus ei nem oberen Wasserbecken (entspricht dem Minuspol) Wasser in ein unteres ( ent spricht dem Pluspol) gelangt und dabei eine Turbine oder ein Wasserrad antreibt (entspricht einem Birnchen), so entspricht der Spannung in etwa der Höhenunterschied der beiden Becken. Aufgabe: Beim Anlassen eines Autos im Winter orgelt der Motor ei ne Minute lang, wobei ein Strom von 8 A fließt . Welche Arbeit muss die 12 V-Batterie verrichten? Lösung: I = also Q = I · t = 8 · 60 s = 480 C. Diese Ladung muss die Bat terie überführen (zum Min uspol) . w J U = ' also W = U · Q = 12 V · 480 C = 12 · 480 C = 5760 J C Q
�'
�
213
Die elektrische Spannung
5. 6.2 Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung) von Stromquellen Der Pluspol der zweiten Batterie ist mit dem Mi nuspol der ersten verbunden (Abb. 5 . 25) . Sei z. B. die Spannung U �12 = 8 V für die erste und U 3 � = 4 V für 1 die zweite Batterie. Welche Ü berführungsarbeit W 114 ist nötig, um 1 C von 1 nach 4 zu überführen?
Abb. 5.25
r
H +
-
3
2
u 1/4
+
1
J Von 1 nach 2: W 1/2 = Q U 112 = 1 C · 8 = 8 J; Von 2 nach 3: W 2/3 C schluss von 2 und 3); Von 3 nach 4: w3 � = 4 J � Insgesamt: W 114 = W 112 + W 2/3 + W 314 = 12 J 12 J Also: u 1/4 = TI = 12 v = u 1/2 + u 3 14 ·
=
0 (Kurz-
Schaltet man zwei Spannungsquellen hintereinander, so addieren sich die Span nungen.
Bemerkungen:
1. Beim Akku einer Autobatterie sind üblicherweise 6 Zellen zu je 2 V hinter ei nander geschaltet, sodass die Gesamtspannung 12 V beträgt. 2. Im Wassermodell entspricht der Reihenschaltung die Verbindung zweier An Lagen, bei der das "Talbecken" der einen auf Höhe des " Bergbeckens" der anderen Liegt; die Spannungsaddition entspricht der Addition der Einzel höhen. 3. Schaltet man die Span nungsquellen gegeneinander (Abb. 5 . 26), so ist die Gesamtspannung die Differenz der Einzelspannungen. +
Abb. 5.26
r
H
+
u
4. Bei der Parallelschaltung von Spannungsquellen werden deren Pluspole und Minuspole jeweils verbunden. Haben beide Spannungsquellen jeweils die gleiche Einzelspan nung, so erhält man diese auch als Gesamtspannung allerdings hat die Gesamtanlage ein größeres Ladungsreservoir zur Verfügung. (Bei verschiedenen Einzelspannungen stellt sich ein Zwischenwert als Gesamt spannung ein.)
214
Elektrizitätslehre und Magnetismus
5. 6.3 Elektrisches Potenzial Unter dem Potenzial
Spannungsdifferenz
�
I
NN U 3 = 2\f
-: (Erdung)
fl.s(f3 = -2 V}
Abb. 5.27
Entsprechend sind die Potenziale von A2 durch 'P2 = +3 V und von A 3 durch 'P3 = -2 V gegeben. Man überprüft Leicht, dass gilt: UA2A1 = 1 5 V - 3 VI= 2 V =I 'Pl - (/)2 I, UAtA3 = 1 5 V - (-2 V) l = 7 V = I'P3 -
=
Die Spannung zwischen zwei Punkten ist der Betrag ihrer Potenzialdifferenz.
5.7
Das Ohm'sche Gesetz/elektrischer Widerstand
Bei einem Versuch wird in einem festen Stromkreis (bestehend aus Konstantan draht) die Stromstärke gemessen, die sich jeweils bei Anlegen der Spannung von einer, zwei, drei, . . . Akkuzellen ergibt . Man stellt fest: Im Leiterkreis stellt sich bei einer angelegten Spannung U die Stromstärke I so ein, dass sie proportional zur Spannung ist: I "' U (Ohm'sches Gesetz) Voraussetzung bei m Versuch ist, dass man die Temperatur konstant hält (Kühlen) oder mit dem Material Konstantan arbeitet (dann ist Kühlen überflüssig). Definition: Der konstante Quotient U!r heißt Widerstand R er beschreibt den Leiterkreis .
-
�
u ( F5.3 a) R=Einh it: [R] = 1 = H 1 (Ohm) (F5.3 b)
!
1 Aufgabe: Wie groß ist der Widerstand eines Birnchens, das bei 6 V von einem Strom der Stärke �2 A durchflossen wird? Welcher Strom würde bei 4 V fließen? V 12 Q. Bei 4 V wäre der Widerstand des Lämpchens immer Lösung: R � � I A � noch gleich, aber ie Stromstärke kleiner: I = �R = 124 V�/ = i.12 A = �3 A Ergänzungen: 1) Spannungsmessung erfolgt mit geeichten Drehspulmessgeräten (vergleiche Kap. 5.5) Verbindet man nämli ch zwei Punkte A und B im Stromkreis mit den Anschlüssen dieses Geräts, so fli eßtist,eind. h.Strom unddemderOhm'schen Zeiger schlägt ausje und zwar umso mehr, je größer der Strom nach Gesetz größer die Spannung am Gerät, also zwischen A und B ist. Die Spannung wird also indirekt über dem Strom gemessen! 2) Gefahren des Stroms für den Menschen: Direkt gefährlich ist die Stromstärke, da siDae sich die chemische Wirkung bestimmt, die menschlichen Zellen verändert. aber die Stromstärke nach der welche Spannung richtet, ist diese indirektfür uns 6 A, "Milli") gefährlich. Als Richtwert gilt, dass Wechselströme über 6 mA ( 1000 und Gleichströme über 40 mA zum Zusammenziehen der Muskeln führen, Strom stärken über 25 mA Atmungslähmung und Herzgefährdung bewirken und Strom stärken über 70 mA zum Herzstillstand führen. Der WiderstandderdesHautMenschen hängt dabei vom Weg des Stroms im Körper, vontution der Feuchtigkeit an der Eindringstelle und der jeweil i gen Körperkonsti abeventuell und beträgt je nachdem 500 Q bisgil20t 000somitQ. AlsU1unterer Schwellwert für eine gefährl i che Spannung R I1 500 Q 0 , 025 A 12, 5 V, als Schwellenwert für eine eventuell tödli che Spannung U 2 R I 2 500 Q .· o ,. 07 A 35 V. UBeim220Stromschlag in der Badewanne kann die StromV star <e belSplelsWelse I = R = 500 = 0, 44 A = 440 mA betragen. Widerstand eines Drahts
=
=
2 5
=
-
JÄ
=
=
·
=
·
=
=
=
·
=
.. I
n
.
1
5.8
Widerstand eines Drahts
5.8. 1
Widerstandsformel für einen Draht
Versuche zeigen, dassproportional der Widerstand eines Drahts proportional zur Drahtlänge L iist,st und umgekehrt zur Querschnittsfläche A i s t (je dicker der Draht desto Leichter kommt der Strom durch' ' , d. h. desto größer ist bei vorgege " bener fester Spannung U die Stromstärke); zudem hängt der Widerstand vom Material ab. 1 L bzw. Aus R L (für konstantes A) und R (für konstantes L ) folgt R A . L des Drahtes abhängt. 1eAh e1'ßt R R -A K d' 1 s t eme onstante, 1 e vom Matena VA L spezifischer Widerstand und gibt an, welchen Widerstand ein 1 m La nger Draht mit 1mm2 Querschnittsfläche aus diesem Material hat. "'
=
.
·
·
"' -
Ps
"' -
s·
Elektrizitätslehre und Magnetismus
216
= 0 . 017
n.
mm 2 . . , b e1 Konstantan 1st m 2 n H . mm 2 H mm . Ps � 1018 n . porzeLLan 1st (Iso Lator) , e1 b 5 � 0 ) Ps m m R·A ( F5 .4) Aus -- = p5 folgt: L . Ps B e1sp1e l: B e1. K up fer 1st •
•
•
.
�
(�)
�
Beispiel: Widerstand ei ner 1 km Langen Kupferleitung mit 1 cm Dicke!
2 . 1r = cm 2 ; Querschnittsfläche: A = L n mm 2 1000 m . W1derstand: R Ps 0, 017 � 0) 22 n A m · 100 mm 2
= ·-=
· 1r -
4
Bemerkungen: 1. Je kleiner Ps ist, desto besser Leitet der Stoff. 2. Bei einem reinen MetaLL wächst der spezifische Widerstand, wenn es erwärmt
wird ( Grund: Die Atomreste zittern stärker, deshalb " haben es die ELektronen schwerer, durchzukommen") . 3. Konstantan ist eine spezieLLe MetaLLLegierung ("Mischung") , bei der p5 nicht von der Temperatur abhängt. 4. Bei Kohle (Graphit) sinkt der Widerstand mit wachsender Temperatur ( die Leitung erfolgt hier nicht durch freie Elektronen ) 5.8.2 Schiebewiderstand Schließt man bei dem Widerstand von Abbildung 5 . 28 die KabeL bei A und B an, benutzt also Anschluss C und den Schieber überhaupt nicht, so muss der Strom durch alte Drahtwindungen hindurchfließen - der Widerstand ist dann maximaL, z. B. beträgt er 1000 n. Schiene (leitend)
Abb. 5.28
Schließt man dagegen die KabeL bei A und C an (wie in Abb. 5.28 dargesteLLt) , so fließt der Strom nur durch einen Teil der Drahtwindungen. Je nach Schieber steLLung kann ein beliebiger Widerstand zwischen 0 n (Schieber ganz Links ) und dem Maximalwert - hier 1000 n (Schieber rechts) - eingesteLLt werden.
217
Stromstärke, Ladung, Spannung, Arbeit, Leistung im Stromkreis
5.9
Stromstärke, Ladung, Spannung, Arbeit, Leistung im Stromkreis
Für Ladung Q, Stromstärke I, Zeit t gilt der Formelsatz:
I
I=
� bzw. Q = I · t bzw. t = �� (F5.1)
� bzw. W = U · Q bzw. Q = � I (F5.2)
Für Span nung U, Ladung Q, Arbeit W gilt der Formelsatz:
I
U=
Aus der Mechanik (siehe Kap. 1.12) kennt man den Zusammenhang zwischen Leistung P, Arbeit W, Zeit t, der im einfachsten Fall (W t) zum folgenden Formelsatz führt:
I
P=
I'V
� bzw. W = P · t bzw. t = � I ( F5.5)
Verknüpft man diese Formelsätze, so folgt: 2 W 2 U · Q (F5.1 } U I W (F5. } U Q (FS .l} U I t bzw . p (Fs.s} (F5. } t t .
.
.
.
Ergebnis:
Die elektrische Leistung im Stromkreis ist das Produkt aus Spannung und Stromstärke, die elektrische Arbeit ist das Produkt aus Spannung, Stromstärke und Zeit: P = U · I mit [P] = 1 W = 1 VA, W = U · I · t mit [W] = 1 J = 1 VAs (F5.6) Bemerkung: Mithilfe des elektrischen Widerstands R =
� lässt sich die Leistung
auch durch U und R bzw. I und R statt durch U und I ausdrücken:
I= P
U·I=U·
� = � oder P = U
•
I
I = R · I · I = R · I' (F5.6' a, b)
Aufgaben: 1) Welche Stromstärke fließt durch ei n Lämpchen, das bei 3 V die Leistung 2 W liefert, wenn man 3 V anlegt? Welche Energie gibt es dann in 10 s ab?
Welche Ladung fließt in 20 s? P 2 VA 2 .. .. Losung: P = U I also I = TI = 3V = 3 A (Stromstarke); W = P · t = 2 W · 10 s = 20 J (abgegebene Arbeit bzw. Energie); 40 Q 2 I = t' also Q = I · t = 3 A 20 s = 3 C (Ladung) ·
,
·
218
Elektrizitätslehre und Magnetismus
2) Auf dem Typenschild eines Heizofens steht 220 V, 1 kW. Wie groß ist die Stromstärke? Welche Energie wird in 15 min geliefert? Was kostet das bei 12 Cent je kWh? Um wie viel würde die Temperatur eines Zimmers mit 50 m3 Luftinhalt steigen, wenn man die Wärmeabgabe an Möbel, Wände und Fenster vernachlässigt ? Luftdichte : 1, 2 9JL spezifische Wärmekapazität 1 g·K P 1000 W 50 .. ' .r: E nerg1e ::::: frel-. Stromstarke I = U = Losung: = A � 4: 5 A; G e L1e.erte 220 V 11 gesetzte Arbeit: W ::::: P · t, also 1 1 1 W = 1 kW h = - kWh = · 1000 W 3600 s = 900 kJ, Kosten: 4 4 4 12 - Cent = 3 Cent; 4 1 2g Zuerst wird die Luftmasse über p = � bzw. m = p · V = d · 50 m 3 3 1 ' 2 kg 50 m3 = 60 kg berechnet, für die Berechnung des Tempera ranstiegs m3 braucht man die Formet (F2.2) aus Kap. 2.6: Ow = m c · �19
J)
(
_ _
00
0
=
-
-
o
0
0
0
�
Hier darf für Ow die gelieferte Energie von 900 kJ angesetzt werden, sodass man für den Temperaturanstieg der Zimmerluft 19 90 0 000 J 90 0 00 0 Ow � = = = K = 15 K erh ält. m c 60 kg . 1 g�K 60 000 0
5.10 Parallelschaltung und Reihenschaltung von Widerständen 5. 1 0. 1 Kirchhoffsches Gesetz Auf die Frage, wie im Haus die verschiedenen Geräte geschattet sind, kann man schematisch zwei prinzipieLLe Möglichkeiten anbieten: Abbildung 5.29 a zeigt die Parallel- oder Gleichschaltung, Abbildung 5.29 b die Reihen- oder Hintereinanderschaltung. Strom
Abb. 5.29a
�
Strom
Bei der Parattelschaltung verzweigt sich der Stromkreis an den " Knotenpunkten" dort tei lt sich der Strom für den Weiterfluss durch die verschiedenen Zweige auf. Bei der Reihenschaltung ist der Stromkreis unverzweigt - durch alte Geräte fließt der gleiche Strom und, wenn ein Gerät ausfäLLt und den Strom nicht durchlässt, fließt kei n Strom, d. h. nichts geht mehr. Die beiden Letzten Eigenschaften der
Parallelschaltung und Reihenschaltung von Widerständen
219
Reihenschaltung i chen, dass im Haus normalerweise die Parallelschaltung Sinn macht. verdeutl strom ....
Abb. 5.29b
� Strom
EindurchMessversuch bel e gt, dass tatsächl i ch bei der Reihenschaltung die Stromstärke jedes Gerät gleich groß ist (Grund: Da im Stromkreis keine Ladung verloren geht oder sichdurch staut,einen mussKabelquerschnitt in jeder Sekundefließen). bei allen Geräten die gleiche Ladungsmenge Im tverzweigten Stromkreis, etwa wenn Q,eindieLeiterstrang sichdurchin den zweiGesamt Zweige aufteil , teilt sich auch die Ladungsmenge je Sekunde strang fli eßt,(nachaufDivision in die Portionen 01Durchflusszeit und 02 durch dievonTeilzweige. Dabei gile tStrom Q"' 01 0 bzw. durch di e 1 Sekunde) für di 2 I "' I1 I2. Dies lässt sich leicht experimentell bestätigen. stärken 1. Kirchhoff'sches Gesetz: Bei einer Verzweigungsstelle addieren sich die (i.a. verschiedenen) Teilstromstärken in den einzelnen Strän gen zuruntereinander Gesamtstromstärke. +
+
Bemerkung: Stellt man sich bild li ch einen verzweigten oder unverzweigten Fluss ohne QuellensindunddieAbflüsse vor, wobeioffensichtl das Wasser entspricht, obigen Aussagen ich. der Ladung im Stromkreis
5. 1 0.2 Reihenschaltung von Widerständen
Insie Abbildung 5.30 sind die Widerstände R1, R2 hintereinander geschal tet, istdurchI); , I fl i eßen Ströme der Stärke I (Gesamtstromstärke in der Zuleitung 1 2 angelliegen. egt wurde die Spannung U, wobei an den Widerständen die Spannungen Utt u2 Abb. 5.30
u
Die folgendenbestätigen; Gesetzmäßigkeiten lassenproblsiche mlosdurchauf mehr Überlegen finden und im Experiment sie lassen sich als zwei Widerstände verallgemeinern. 1. Stromstärken: Durch beide Widerstände fli eßt ein gleich starker Strom II = I1 = I2 l (F5.7 a)
Elektrizitätslehre und Magnetismus
220
2 . Teilspannungen: Wie bei der Reihenschaltung von Spannungsquellen (F5.7)
folgt:
I u = U 1 + U2 1 (F5.7 b)
Die Teitspannungen addieren sich zur Gesamtspannung! 3. Wenn man die einzeLnen Widerstände für sich betrachtet, so giLt (siehe Kap. u1 u 5.7): R1 = , R 2 = -2 It I2 Ut U Umformung Liefert: = I1 = I 2 = 2 = I. Damit foLgt: R, R, (F5.7 c)
IHI
Die Teilspannungen verhalten sich wie die Widerstände - am größeren Widerstand liegt die größere Teilspannung.
4. Gesamtwiderstand R: Nach Definition ist
u1 u u + u2 u1 u u = + -2 = - + -2 = Rt + R2 R = - , d. h . R = l I I I I It I2 Der Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) der ReihenschaLtung ist Summe der Einzetwiderstände:
5. 1 0.3 Anwendungen der Reihenschaltung 1. Problem: Ein Birnchen mit der Aufschrift 12 V/36 W sott mit der Steckdose ( 220 V) betrieben werden, ohne durchzubrennen! Lösung: Ein in Rei he geschaLteter Vorwiderstand (Abb. 5.31) schützt das Birnchen vor zu großer Spannung!
�t T !] r- 1 2 Vl
1 2os v 1
Abb. 5.3 1
1-------' 220V
'----11
36 W Stromstärke (SoLLwert): IL = � = = 3 A = Iv = I UL 12 V Spannung am Vorwiderstand: Uv = 220 V - UL = 208 V Uv 208 V - r. . G ro. ße d es Vorw1. d erstan d s: Rv = - = -- = 69,. 3 H Iv 3A
Parallelschaltung und Reihenschaltung von Widerständen
Zum Vergleich der Lämpchenwiderstand: Rt_ =
�L
=
221
4n
2. Spannungsteilerschaltung (Potenziometerschaltung) : Der Schiebewiderstand (siehe Kap. 5.8.2) wird über die Anschlüsse A und B in den
Stromkreis geschaltet, dann fließt der Strom des Kreises durch alle Drahtwindun gen. Zwischen A und B liegt dann der volle Widerstand von z. B. 1000 n, und die Gesamtspannung, z. B. 10 V. Ü ber den Anschluss C, die Schiene und den Schieber kann man einen Teil der Drahtwindungen abgreifen - in Abbildung 5.32 liegen etwa 3 0 % der Windungen links vom Schieber und 70 % rechts davon. Der Wider stand des Drahtanteils zwischen A und C beträgt dan n 3 0 % von 1000 n, d. h. 300 Q und der zwischen C und B beträgt 700 Q. Demnach teilt sich die Span nung UAc 300 n 3 10 V so auf UAc bzw. Ucs auf, dass gtlt: - = ----o. = UCB 700 .. 7 •
�
Schieb€r
I
Schiene
Abb. 5.32
Also beträgt U Ac gerade 3 V und Usc beträgt 7 V. Je nach Schieberstellung kann man zwischen A und C (bzw. B und C) also jeden Bruchteil der Gesamtspannung abgreifen. 5. 1 0.4 Parallelschaltung von Widerständen (Abb. 5.33)
u
Abb. 5.33
1) Spannungen: An beiden Widerständen liegt die gleiche Spannung:
I U1
=
I
U 2 = u ( F5.8 a)
2) Stromstärken: Die Teilstromstärken addieren sich zur Gesamtstromstärke:
I
( 1. Kirchhoff-Gesetz) I I1 + I2 = I (F5.8 b)
222
Elektrizitätslehre und Magnetismus
3) Aus U 1 = R1 · l1 und Uz = Rz · lz folgt: R 1 · l1 = U 1 = Uz = Rz · lz, also
� (F5.8 c) E_§j
Die Teilstromstärken verhalten sich umgekehrt wie die Widerstände - durch den größeren Widerstand fließt der kleinere Strom.
U 1 I I1 lz I1 Iz 1 1 . 4) Gesamt�Vlderstand R: Wegen R = - bzw. - = - = - + - = - + - = - + I R U U U U1 Uz R1 Rz gilt: Der Kehrwert des Gesamtwiderstands ist die Summe der Kehrwerte der Einzel widerstände: 1 1 1 - = - + - (F5.8 d) R R 1 Rz Aufgaben: 1) Man schaltet drei Widerstände von 2 n, 6 n, 12 Q parallel bzw. i n
Reihe. Wie groß ist jeweils der Gesamtwiderstand der Schaltung? Welche Teil stromstärken ergeben sich bei der Parallelschaltung, wen n insgesamt 5 A fließen? Welche Teilspannungen erhält man bei der Reihenschaltung für eine Gesamt spannung von 8 V? 2) Ein Tauchsieder hat bei 200 V die Leistung 300 W. Man berechne seinen Widerstand und die Stromstärke bei 200 V! Wie groß si nd Stromstärke und Leistung, wenn man zwei solche Tauchsieder in Reihe bzw. parallel an 200 V Legt? 3) In Abbildung 5.34 sollen die beiden Birnchen richtig Leuchten. Welche Span nung U muss man wählen, wie groß muss R3 sein? Welche Spannungen und Stromstärken treten auf?
-!
1
- +
.... _ ..__ _
Abb. 5.34
u
8V/4W
----'
Lösungen: Zu 1) : Reihe: R = R1 + R2 + R 3 = 20 n
1 1 1 1 1 1 1 6+2+1 9 , Parallel: - = - + - + - = - + - + = R R 1 Rz R3 2 n 6 n 12 n 12 n - 12 n 4 also R = - Q 3 Wenn bei der Parallelschaltung 5 A = I gilt, so ist die Gesamtspannung 4 20 V = U1 = Uz = U3 U = R·I = 3 Q · 5 A =3 10 U U 10 20 V Dann ist I 1 = 1 = = A Iz = 1 = A ' R1 3 2 n 3 ' Rz 9 30 + 10 + 5 A = 5 A = I) (Probe: I1 + I 2 + I3 = 9 --
-
·
--
223
�\essbereichserweiterung beim Strom- und Spannungsmesser
Wenn bei der Reihenschaltung U = 8 V gilt, so ist die (Gesamt-)Stromstärke U 8V 2 I = - = -- = - A = I1 = I2 = I3 R 20 n 5 . 2 4 12 24 Dann 1st U1 = R 1 I1 = 2 n · -A = - V, U 2 = R2 · I2 = - V, U3 = R3 I3 = - V ·
(Probe: U1 + U 2 + U 3 =
40
5
5
·
5
5
V = 8 V = U). S W 3 U 200 V 400 . .. I = -P = 300 Zu 2): Stromstarke: -- = - A; Wtderstand: R = - = -- = - n I 3/2 A 3 U 200 V 2 Schaltet man zwei solche Tauchsieder in Reihe, so beträgt ihr Gesamtwiderstand 800 · U 200 V 3 . . - H " = - A un d an Je d em Tauc h ste d er ltegt ("") , d"te Stromsta ..r.ke I = - = 1f. H 800 11 3 4 �g_es :t3 nur eine Spannung von 100 V. 300 Also hat jeder Tauchsieder die Leistung P' = 100 V . � A = W, d. h. die Gesamtleistung ist 1 50 W (Halbierung der Einzelleistung). 4
4
Schaltet man die Tauchsieder parallel, so Liegen an jedem 200 V, jeder wird von 2 A durchflossen und hat 300 W Leistung. Die Gesamtstromstärke beträgt 3 A, die 3
Gesamtleistung 600 W (Verdopplung) .
8w 4 Zu 3 ) : Durch das erste Lämpchen müsste ei n Strom der Stärke I 1 = - = - A, 6V 3 4W 1 durch das zweite einer mit I 2 = - = - A fließen. 8V 2
Weil hier I1 = I2 + I3 gilt, müsste I3 = � A - � A = � A die Stromstärke durch den 6 6 6 Widerstand R 3 sein. Die Gesamtstromstärke ist hier durch I1 gegeben. An L1 sollen 6 V Liegen, an L2 und R3 , welche zusammen ein Parallelglied bilden, sollen jeweils U 8 V Liegen - also muss die Gesamtspannung 14 V sein. Schließlich ist R3 = 3 I3 8V 48 = - = - n. 5/6 A 5
5.11 Messbereichserweiterung beim Strom- und Spannungsmesser 5. 1 1. 1 Strommesser Ein Messgerät zeige Vollausschlag, wenn ein Strom der Stärke 0,1 A durch das Messwerk fließt - Wie misst man dann einen Strom der Stärke 1 A ? Wenn das Drehspulinstrument jetzt bei 1 A Vollausschlag zeigen soll, müssen 0,1 A durch das Messwerk mit dem Zeiger fließen, die restlichen 0,9 A müssen über einen parallel geschalteten Widerstand R2 umgeleitet werden (Abb. 5.35) . Beim Umschalten vom Messbereich bis 0,1 A auf den Bereich bis 1 A schaltet man also dem Messwerk mit dem Widerstand R1 den Widerstand R2 parallel, wobei R2 I1 O, 1 A 1 . gtlt: = - = -- , d. h . R2 = - · R 1 . R1 I2 0, 9 A 9
Elektrizitätslehre und Magnetismus
224
1A
R:l0,9A
Abb. 5.35
Halber Ausschlag des Zeigers bei diesem Messbereich heißt dann, dass durch das Messwerk 0,05 A fließen, durch R 2 ft.ießen 0,45 A und insgesamt fließen 0,5 A durch das Gerät. 5. 1 1.2 Spannungsmesser Ein Span nungsmesser (Drehspulgerät) zeige Vollausschlag, wenn am Messwerk 1 V Span nung anliegt - wie erweitert man den Messbereich auf 1 0 V, d. h. wie misst man 10 V?
Wenn das Gerät bei 10 V Vollausschlag zeigen soll, müssen am Messwerk selbst 1 V abfallen; die restlichen 9 V fallen an einem Vorwiderstand R2 ab, den man beim Umschalten zum Messwerkswiderstand R1 in Reihe schaltet (Abb. 5.36) r- Gerät
Abb. 5.36
Rz Dab e1 g1. Lt: R1 .
9V d . h . R2 = 9 · R1 . = UUz1 = lV'
5.12 Fernsehröhre Bei der Braun'schen Röhre ( Fernsehröhre) gemäß Abbildung 5.37 befindet sich am Ende eine Heizwendel, die über eine kleine Heizspannung UH von Strom durch flossen und zum Glühen gebracht wird - es werden (Kap. 5.4.1) Elektronen ins Vakuum herausgeglüht - die Heizwendel fungiert als Kathode K. Über eine große Anodenspannung UA(:;::::: 6000 V) werden die Elektronen auf die Anode A hin beschleunigt und schießen durch das Anodenloch in den mittleren Teil der Röhre. Der Wehneltzyli nder W ist negativ aufgeladen und bündelt (fokussiert) die Elek tronen zu einem scharfen Strahl; zugleich kan n man durch stärkere oder schwä chere Aufladung des Wehneltzyli nders mehr oder weniger Elektronen "durch lassen " und so die Elektronendichte des Strah ls regeln. Durch geladene Platten paare P 1 und P 2 (bzw. durch Lorentzkräfte - siehe Kap. 5.14 - dann muss man
Fernsehröhre
225
die Plattenpaare durch Spulen ersetzen) kann man den Elektronenstrahl nach oben/unten bzw. links/rechts ablenken und ihn an einem bestimmten Punkt von hinten auf den Bildschirm auftreffen Lassen. Eine chemische Substanz lässt den Auftreffpunkt kurz aufleuchten. Man braucht noch eine Absaugvorrichtung für die ankom menden Elektronen. Vakuum Schirm
Elektronen
Heizwendel
Abb. 5.37
Bektronenstrahl
Bemerkungen:
1. Bei der Fernsehröhre wird die Ablenkung so gesteuert, dass der Elektronenstrahl den gesamten Bildschirm in 625 Zeilen innerhalb von � s einmal durch25 Läuft. Die Helligkeit der jeweiligen Bildpunkte Lässt sich durch die Zah l der Elektronen über W regeln - diesem muss die Helligkeit des jeweiligen Gegen standspunktes "mitgeteilt" werden . Da das Auge träge ist, sieht es alle Punkte auf dem Schirm gleichzeitig, also ein Gesamtbild. 2. Beim Farbfernsehen wird das Objekt gleichzeitig von drei Kameras in einem Gerät erfasst, die den Rot-, Grün- und Blauanteil jedes Objektpunktes erfassen ("Farbzerlegung "). Entsprechend gibt es in der Fernsehröhre für jede Farbe einen Elektronenstrahl, d. h. insgesamt drei, und am Bildschirm gibt es Farbscheibchen, die rot bzw. grün bzw. blau aufleuchten, wenn sie vom jeweiligen Elektronen strahl getroffen werden. Sie zusammen Liefern den Farbmischton für den Bild punkt. 3. Beim Oszillographen, einem physikalischen Gerät, das Spannungsverläufe an zeigt, Liegt am Plattenpaar P2 eine Kippspannung (Sägezahnspannung) gemäß Abbildung 5.38. Sie sorgt dafür, dass der Elektronenstrahl erst ganz Links auftrifft und dann gleichmäßig nach rechts wandert; vom rechten Rand springt er abrupt zum Linken Rand zurück. u
Abb. 5.38
Zeit
Gibt man auf Plattenpaar P1 eine (zeitlich) sinusförmige Wechselspannung, so sieht man durch Überlagerung beider Ablenkungen die typische Sinuskurve, die der Strahl auf dem Schirm durchwandert.
Elektrizitätslehre und Magnetismus
226
5.13 Der Elektromotor Eine stromdurchfl.ossene Spule spürt i m Magnetfeld eines Dauermagneten ein Drehbestreben, da sich gleiche Pole abstoßen, ungleiche anziehen. Abbildung 5.39 zeigt vier Stellungen der Spule im Magnetfeld. +
-
:s N ./� 'N I\ 1\(\1\S�-
a)
b}
�
d)
c)
Abb. 5 .3 9 : Stellungen einer Spule im Magnetfeld. a) Bestreben zur Drehung im Gegen u hrzeigersinn ("S' will zu N, N' zu S"), Strom fließt physikalisch gesehen nach unten; b) kein Dreh bestreben : 1. Totpunkt; c) Bestreben zur Drehun g im Uhrzeigersinn, Strom fließt nach oben; d) kein Drehbestreben : 2. Totpunkt (instabile Lage)
Will man - wie es bei einem Motor nur Sinn macht! - eine dauerhafte Drehung der Spule in einer Richtung (z. B. im Gegenuhrzeigersinn) erreichen, so muss man verhindern, dass sich nach jeder 180°-Drehung die Stromrichtung (nach "unten" bzw. nach "oben") umkehrt; dies geschieht durch Kom mutatorhalbringe, bei denen der Kontakt durch Kohlebürsten erfolgt, auf dem die Motormetallscheibe schleift (Abb. 5.40) . In Abbildung 5.40 a fließt der Strom vom Minuspol durch den (zur Unterschei dung) schraffierten Linken Halbring nach oben und von oben nach unten durch die Spule - der Südpol S' ist oben, N' ist unten. Kohlebürsten
Abb. 5 .40a
+
Abb. 5.40 b zeigt das Ganze nach einer 180°-Drehung: Jetzt ist der schraffierte Halbring rechts, der Strom fließt durch den unschraffierten links hoch und in der Spule von oben nach unten - S' wieder oben, N' unten.
Die Lorentzkraft (qualitativ)
227 linker/rechter Kommutatorhalbring
�
S'
Abb . 5 . 40b
J +
Prinzip des (Gleichstrom-) Elektromotors:
Ü ber Spule und Kom mutatorringe bewirkt ein elektrischer Strom eine mecha nische Drehbewegung. Der Nachteil besteht darin, dass je nach Spulenstellung das Drehbestreben unter schiedlich stark, im Totpunkt gar nicht vorhanden ist; dadurch ist die Drehung des Motors ungleichmäßig. Zur Behebung dieses Nachteils kann man mehrere Spulen mit zugehörigen Kommutatoren (Viertelringe, Sechstelri nge usw.) gekreuzt über einander anbringen; die Kohlebürstchen werden so angebracht, dass der Strom immer durch die Spule in optimaler Stellung fließt (Spulen im Totpunkt erhalten keinen Strom).
5.14 Die Lorentzkraft (qualitativ) Beim Versuch nach Abbildung 5.41 hängt ein Leiterband Locker in einem H uf eisenmagneten. Schickt man Strom durch das Band, sodass die physikalische Stromrichtung (Laufrichtung der Elektronen) nach oben zeigt (Abb. 5.41), so wird das Band nach rechts ausgelenkt; kehrt man die Stromrichtung um, so wird es nach li nks ausgelenkt. + Pol
Abb . 5 . 41
- Pol
228
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Erklärung: Offenbar erfahren Elektronen, die sich senkrecht zum Magnetfeld bewegen, eine Kraft F, die senkrecht zum Magnetfeld und zur Bewegungsrichtung zeigt - im Bild nach rechts! Diese Kraft heißt Lorentzkraft. Bemerkungen: 1. Dass nur bewegte Elektronen diese Kraft erfahren, ergibt sich daraus, dass das
Band erst ausgelenkt wird, wenn Strom hindurchfließt (im Band ohne Strom sind genügend Elektronen). 2. Dass es tatsächlich die Elektronen sind, die die Kraft erfahren und nicht die Metallatome im Leiterband, belegt die Tatsache, dass auch frei durchs Vakuum fliegende Elektronen die Lorentzkraft erfahren (In der Braun'schen Röhre Lässt sich der Elektronenstrahl mit Magneten ablenken). 3 . Elektronen, die parallel zu den Feldlinien ei nes Magnetfeldes fliegen, erfahren keine Lorentzkraft. Es gilt die Dreifinger-Regel der linken Hand: Der Daumen der Linken Hand zeige in Richtung der Elektronenbewegung (Ursache), der senkrecht dazu gespreizte Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes. Dann zeigt der zu beiden senkrecht abgespreizte Mittelfinger die Richtung der Lorentzkraft (Wirkung) an. Die Lorentzkraft Liefert eine weitere Erklärung für die Drehung einer stromdurch flossenen Leiterschleife (Vorstufe des Elektromotors) im Magnetfeld (Abb. 5.42) . 111
;-6
/
Abb.
5 . 42
/
+�l I
Auf der rechten Seite der Leiterschleife (Bereich I) gilt: - Die Elektronen bewegen sich nach hinten, das Magnetfeld zeigt nach rechts, die Lorentzkraft F nach oben . - Auf der Linken Seite (Bereich II) bewegen sich die Elektronen nach vorne, die Lorentzkraft zeigt nach unten. - In den Bereichen III (hinten) und IV (vorne) der Schleife gibt es keine Lorentzkraft, da die Elektronen sich parattel zu den Feldlinien bewegen. Insgesamt dreht sich die stromdurchflossene Schleife im Gegenuhrzeigersinn um die gestrichelte Drehachse.
Elektromagnetische Induktion -
1.
Teil: Einfache Aussagen (qualitativ)
229
5.15 Elektromagnetische Induktion 1. Teil: Einfache Aussagen (qualitativ) 5. 15. 1 Generatorprinzip Vom Fahrraddynamo her weiß man, dass bei der Drehung einer Spule im Magnet feld ein angesch lossenes Lämpchen Leuchtet - d. h . zwischen den Enden der Spule wird Spannung induziert. Dies ist der umgekehrte Prozess wie beim Elektromotor, das Generatorprinzip (Kraftwerk). Zwischen den Enden einer sich im Magnetfeld drehenden Spule wird eine Spannung induziert. Umsetzung: Mechanische Drehbewegung elektrischer Strom -4
Die Erklärung soll über die Lorentzkraft in mehreren Schritten erfolgen. 1. Schritt: Ein Leiterstab wird (Abb. 5.43 a) senkrecht zum Magnetfeld nach oben bewegt - dabei wandern alle Elektronen im Stab mit nach oben. Jedes Elektron erfährt daher eine Lorentzkraft nach vorne, d. h . in Stabrichtung - am ei nen Stabende entsteht Elektronenüberschuss, am anderen ElektronenmangeL N
V
+
s
Abb. 5.43a Ergebnis:
Zwischen den Enden eines quer zum Magnetfeld bewegten Leiters entsteht eine Induktionsspannung (1. Grundaussage zur Induktion). 2. Schritt: Eine Leiterschleife wird gemäß Abbildung 5.43 b i m Magnetfeld um die gestrichelte Achse gedreht - im Uhrzeigersinn! Der rechte Draht der Schleife (Bereich I) wird senkrecht nach unten bewegt, die Elektronen i n ihm mit, das Magnetfeld zeigt nach rechts - also erfahren die Elektronen in diesem Draht eine Lorentzkraft F nach hinten. Der Linke Draht (Bereich II) wird nach oben bewegt, die Elektronen dort erfahren eine Lorentz kraft nach vorne. Wie beim ersten Schritt gilt nun: Am rechten Draht entsteht eine Spannung (Pluspol vorne), am Linken ebenfalls (hier ist der Minuspol vorne) beide Spannungen sind in Reihe geschaltet und bewirken eine Gesamtspannung an der Schleife, deren Pluspol am rechten und Minuspol am Linken Ansch luss Liegt.
Elektrizitätslehre und Magnetismus
230
Abb. 5.43b
/
/
/
/
(In den Bereichen III und IV gibt es auch Lorentzkräfte nach vorne/hinten - diese sind aber senkrecht zum Draht und können sich daher nicht im Sinne des 1. Schritts auswirken.) Ergebnis: Zwischen den Enden einer im Magnetfeld bewegten Leiterschleife wird Spannung induziert.
3. Schritt: Ersetzt man die Leiterschleife durch eine Spule, bestehend aus n
solchen Schleifen, so entsteht eine n-mal so große Induktionsspannung - dies erklärt den Generator. 5. 15.2 Induktion von Wechselspannung bei einer sich im Magnetfeld drehenden Leiterschleife Abbildung 5.44 zeigt in a) die Drehung der Schleife im Magnetfeld entsprechend zu Abb. 5.43 b, in 5.44 b), c), d) ist die Schleife jeweils eine Vierteldrehung später dargestellt. Zur Unterscheidung wurde die eine Hälfte der Schleife dick gezeichnet. Man erkennt, dass in den Fällen b) und d) keine Spannung induziert wird, weil die Elektronen in den Drahtteilen parallel zu den Feldlinien bewegt werden - also erfahren sie keine Lorentzkraft. Im Falle c) ist die Polung umgekehrt wie bei a).
/
a) Wie in F�g. 5.43 b Spannung induziert! Minuspol am dicken Teil der Schleife
b) keine Spannung
c) Spannung induziert! Minuspol am dünnen Teil der Schleife
d) keine Spannung
Abb. 5.44 In Spulen, die in einem Magnetfeld rotieren, wird Wechselspannung induziert.
231
Röhrendiode und Röhrentriode
5. 15.3 Induktion von Spannung durch Magnetfeldänderung Versuche zeigen: 1. Wenn man einen Magneten einer Spule mit Weicheisenkern nähert, oder ihn
von ihr entfernt oder den Magnet über ihr dreht, so wird an ihr Spannung induziert; bleibt der Magnet in Ruhe, wird nichts induziert. 2. Bei einem anderen Versuch (Abb. 5.45) sind zwei Spulen über ein Eisenjoch verbunden, welches das Magnetfeld der ersten auf die zweite überträgt. Schaltet man bei der ersten Spule den Strom ein oder aus oder verändert man die Stromstärke und damit ihr Magnetfeld, wird an der zweiten Spannung induziert. Joch
Magnetfeld
Spule 2
Ändert sich das Magnetfeld in einer Spule, so Grundaussage zur Induktion).
wird
in ihr Spannung induziert (2.
5.16 Röhrendiode und Röhrentriode 5. 1 6. 1 UA-IA-Kennlinien der Röhrendiode Versuch: Man Legt an die Glühelektronenröhre aus Kap. 5.4.1 eine Heizspannung
an, verbindet die Glühkathode K mit dem Minuspol und die Anode A über einen Widerstand und einen Strommesser mit dem Pluspol einer Spannungsquelle (Abb. 5.46) . Variiert man die Anodenspannung UA und Liest jeweils dazu die Stärke lA des Anodenstroms ab, so erhält man die U A - lA-Kennlinien (Abb. 5.47) der Diode.
Glühkathode K
Abb. 5.46
_
+
Raumladungen (8ektronen)
Elektrizitätslehre und Magnetismus
232 Sättigungsber€(ch
..;;---1---- l s U1-F4,5V 0
Abb. 5.47
250 V
Raumladungsbereid1
Man erkennt am Diagramm, dass das Ohm'sche Gesetz lA rv UA hier offenbar nicht gilt; vielmehr steigt der Strom zunächst steiL an und erreicht dann einen kon stanten Sättigungswert Is, der von der Heizspannung UH abhängt. Erklärung: Die aus der Glühkathode gelieferten Elektronen füllen zunächst den Raum um die Kathode K. Wird die Anodenspannung eingeschaltet, werden sie zum Teil zur Anode A abgezogen, es gibt einen Anodenstrom. Je größer UA, desto mehr Elektronen werden abgezogen, d. h. desto größer ist lA; aber immer noch bleibt ein TeiL der Elektronen als Raumladung in der Röhre. Ist UA groß genug, gelangen alle Elektronen zur Anode A, 4 kann nicht mehr wachsen (Sättigungswert erreicht). Zu verschiedenen Heizspannungen gehören verschiedene Kennlinien, für U H :::; 4 V gibt es keinen Strom. Grund: UH Legt fest, wie viele Elektronen pro Zeit herausgeführt werden - je größer UH, desto mehr sind es, desto größer ist IA bei gleicher Anodenspannung UA. Ist UH zu klein, so erhalten die ELektronen im Glühdraht zu wenig Energie, um den Draht zu verlassen. 5. 1 6.2 Diode als Gleichrichter Man sieht aus Abbildung 5.47, dass für "negatives" UA", d. h . wenn der Minuspol am Anodenplättchen Liegt, kein nennenswerter Strom fließt: die Elektronen kön nen nicht am PLättchen anlanden. ALso gilt: 1. Wird K mit dem Minuspol und A mit dem PLuspol verbunden, so fließt (wenn UA groß genug ist) Strom; Elektronen fließen zum Pluspol. 2. Wird K mit dem PLuspoL und A mit dem MinuspoL verbunden, so fließt kein Strom. 3. Werden die Anschlüsse K und A mit den Polen einer WechseLstromqueLLe - z. B. der Steckdose - verbunden, so Liegt in jeder Sekunde K 50-mal am Minus- und gleichzeitig A am Pluspol der QueLLe - Strom fließt! Außerdem Liegt in jeder Sekunde K 50-maL am PLus- und zugleich A am MinuspoL der Quelle - kein Strom fließt! Die Röhrendiode - eingebaut in eine Schaltung mit Wechselspannung - Lässt also den Strom nur in einer Richtung durch; während der "Gegenrichtungs phase" fließt kei n Strom (Diode als Gleichrichter) .
Röhrendiode und Röhrentriode
233
5. 1 6.3 Röhrentriode
(
Man baut nun zusätzlich zur Kathode K und der Anode A ein Gitter G Abb. 5.48) ein und erhält so eine Triode. Zunächst werden ei ne feste Heizspannung UH und Anodenspannung UA eingestellt - bei der Diode würde sich dann ein bestimmter Wert JA für den Anodenstrom ergeben. Nun versucht man, diesen Wert zu beein flussen, indem man das Gitter positiv gegenüber der Kathode K bzw. negativ auflädt - man erhält so die UG - lA-Kennlinie der Triode in Abbildung 5.49.
(
)
Abb. 5 .48
(
)
Man erkennt, dass erst bei gegenüber K negativ geladenem Gitter IA vollständig unterdrückt wird bei 1): Das Gitter stößt die Elektronen ab, sie gelangen nicht mehr zur Anode.
(
IG 1 00 mA
1)
Abb. 5 .49
-1 5
25
(
Ab ei ner besti mmten Gitterspan nung nimmt IA ab Bereich 2): Die Elektronen werden verstärkt vom positiv geladenen Gitter abgezogen, es gelangen weniger Elektronen zur Anode. Im Zwischenbereich Bereich 3) Liegt ein steiler, nahezu Linearer Anstieg vor Verstärkerbereich .
(
) (
5. 1 6.4 Anwendung: Triode als Verstärker
Ä Ä
Der Abbildung 5.49 Lässt sich entnehmen, dass eine nderung der Gitterspannung um �UG = 1 V im Verstärkerbereich 3 ei ne nderung des Anodenstroms um �IA = 3 mA mit sich bri ngt. Wählt man als Arbeitswiderstand i m Anodenkreis
)
Elektrizitätslehre und Magnetismus
234
(Abb. 5.48) RA = 10 kn, so ändert sich mit .6.IA die Spannung an RA um RA · .6.IA, also um .6. U RA = 104 * · 3 · 10-3 A = 30 V. Prinzip der Verstärkung: Eine kleine Spannungsschwankung von UG um 1 V wird in eine große Spannungsschwankung von U RA um 30 V umgesetzt: Verstärkung um .6.URA =
Faktor 30!
5.17 Halbleiter, Halbleiterdiode, Transistor 5. 1 7. 1 Undatierte Halbleiter Bei den Halbleitern Silizium und Germanium ist im Gitter jedes Atom tetraeder förmig von vier nächsten Nachbarn umgeben. Im Atom gibt es vier Außenelek tronen; jedes "sucht" sich bei einem nächsten Nachbarn ein zweites - beide zusammen bilden ein Elektronenpaar zwischen nächsten Nachbarn, das für den Zusammenhalt des Gitters sorgt. Abbildung 5.50 zeigt ein vereinfachtes zweidimensionales Schema; die Germa niumatomreste si nd - ohne die vier Außenelektronen - vierfach positiv geladen.
©�©�© @ ',�� @ Lech 0 .-
!-
fre1es Elektron
..
Abb. 5. 50
Durch Energiezufuhr (Temperaturerhöhungjlicht) kann aus einem Elektronenpaar ein Elektron herausgeschlagen werden - dann erhält man ei n freies Elektron (negativ geladen) und ein verbleibendes Elektronenloch (positiv geladen) . Seide können im Kristall wandern: das Loch, indem es z. B. von einem Außen elektron eines Nachbarpaars (in Abb. 5.50 Links oben) gefllllt wird - dann ist dort ein Loch, das alte Loch ist verschwunden. Legt man von außen Span nung an, so wandern die freien Elektronen zum positiven Pol, die Löcher zum negativen Pol: Es fließt Strom (Eigenleitung: Loch und Elektron - beide vom Germanium stammend - tragen gleichermaßen dazu bei !) Eine anschauliche Vorstellung gibt das Parkhausmodell (Abb. 5.51) : Solange die untere Ebene voller Autos ist und die obere Leer - dies entspricht der Situation, dass alle Elektronen in Bindungspaaren sitzen, keines frei beweglich ist (man sagt auch "alle Elektronen sind im Valenzbandniveau, keines im Lei-
235
Halbleiter, Halbleiterdiode, Transistor
tungsbandniveau") - kann kein Auto bewegt werden. Wird durch äußere Arbeit W ein Auto auf die nächste Etage (ins " Leitungsband") gehoben, entsteht unten (im "Valenzband") ein Loch - oben und unten herrscht Beweglichkeit. -
'N
Abb. 5 . 5 1 Bemerkungen: 1. Halbleiter der beschriebenen Art haben umso mehr freie Elektronen und
Löcher, je höher die Temperatur ist; umso größer ist auch die Stromstärke bei Anlegen einer Spannung, während bei Zimmertemperatur nur ein schwa cher Strom fließt. Sie heißen somit Heißleiter - ihr Widerstand ist um so kleiner, je höher die Temperatur ist. 2. Bei anderen Halbleitern entstehen freie Elektronen und Löcher durch Licht zufuhr. Beim Beleuchten nimmt die Stromstärke zu, der Widerstand ab (Foto widerstand) .
3 . Der Vorgang, dass beim Fotowiderstand durch Lichteinwirkung gebundene
Bindungselektronen zu energiereicheren Leitungselektronen werden, heißt
innerer Fotoeffekt. Es gibt auch den äußeren Fotoeffekt (siehe Kapitel 6), bei
dem aus Metallen durch Licht bereits freie Leitungselektronen ganz heraus geschlagen werden - man kann so entsprechend zur Glühelektronenröhre ei ne Fotozelle bauen . Aufgaben: 1) In der Schaltung von Abbildung 5.52 wird der Heißleiter bzw. der Draht erhitzt. Wie ändert sich die Stromstärke I, wie die Teilspannungen am Heißleiter und am Draht? Heißleiter Draht
Abb.
5. 5 2
Lösung: Heißleiter erhitzt: Sein Widerstand RHL sinkt, der des Drahtes Ro bleibt,
also sinkt R9es = RHL + Ro und die Stromstärke I = � wird größer. Rges Die Spannung U0 = R0 I steigt mit I, die Spannung U HL = U - U0 fällt. Draht erhitzt: Ro steigt, RHL bleibt, also steigt R9esr die Stromstärke sinkt; UHL = I · RHL sinkt, U0 = U - U HL steigt. 2) Entwickle mit einem Fotowiderstand eine Lichtschranke, die beim Unterbre chen des Lichtweges eine Klingel ertönen Lässt! •
236
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Lösung (Abb. 5.53): Fällt Licht auf den Fotowiderstand, ist die Stromstärke I1 im
Linken Stromkreis groß, der Sputenmagnet stark - er häLt den SchaLter im rechten Stromkreis offen. - 11 Foto w-iderstand
Abb . 5 . 53
Uchtweg unterbrochen
+-
u
Spule
l I Feder
lj
Unterbrechung des Lichtwegs bedeutet, dass I1 kLein wird und der Magnet der Spute schwach - die Feder schLießt den rechten Stromkreis, die KLingeL erhäLt Strom und Läutet. Bemerkung: Baut man den SchaLter im rechten Stromkreis so, dass ihn eine Feder nach rechts öffnen möchte, so Läutet die KLi ngeL bei Lichteinfall - man hat eine AlarmanLage. Ersetzt man in dieser Konstruktion den Fotowiderstand durch einen HeißLeiter, hat man eine Feuerwarnantage. 5. 1 7.2 Dotierte Halbleiter Die Leitfähigkeit des reinen GermaniumkristaLLs ist auch bei hohen Temperaturen kLein. Man kann sie steigern, indem man Fremdatome einbaut (den Kristall dotiert), die Leichter ELektronen abgeben oder mehr Löcher erzeugen. Arsen hat beispielsweise 5 äußere ELektronen. Baut man ein Arsenatom in den Germaniumverband üeweils vier Nachbarn) ein, so ist ein ELektron "überflüssig " das Arsen gibt es Leicht als freies ELektron ab (Elektronendonator) . Zurück bLeibt ein positives Loch, das allerdings beim Arsen festsitzt, d. h. unbewegtich ist. Im mit Arsen dotierten Germaniumkristall befinden sich also vieL mehr freie Elek tronen, sodass die Leitfähigkeit vieL größer ist als beim reinen KristaLL ( ELek tronenteitung = n-Leitung, "n " von negativ) . Baut man in den Germaniumkristall ein Indiumatom ein mit 3 äußeren ELek tronen, so braucht dies für den Einbau ein viertes ELektron - dies " hoLt es sich " aus einem Germanium-Bindungsetektronenpaar, dort bLeibt ein Loch zurück. Beim Indiumatom ist jetzt eine unbewegLiche negative Ladung (Indium ist ein Elek tronenakzeptor), irgendwo im KristaU ei n bewegLiches Loch . Die Steigerung der LöcherzahL bewirkt ei ne vieL größere Leitfähigkeit ( LöcherLeitung = p-Leitung) . 5. 1 7.3 Der pjn- Übergang Ein p-Hatbteiter und ei n n-Hatbteiter werden miteinander zu einem Bauteil, genannt pjn-Diode, verbunden (Abb. 5.54) . Im p-Gebiet gibt es ortsfeste nega tive Ladungen beim Indium B und bewegLiche positive Löcher <±>; im n-Gebiet gibt es ortsfeste positive Ladungen beim Arsen 1±1 und bewegLiche negative Ladungen, freie ELektronen 6.
237
Halbleiter, Halbleiterdiode, Transistor p-Halbleiter
4> 4> 4> 4> 4> 4> 4> 4> Abb. 5.54
G G [] []
n-Halbleiter
G G [] []
-
G G G G + G G G G
<ß <ß <ß <ß <ß <ß <ß<ß
Sperrschicht
An der Grenze zwischen p- und n-Gebiet kommt es zur Rekombination: Elektronen aus dem n-Gebiet gelangen ins p-Gebiet, treffen dort auf die beweglichen Löcher, neutralisieren sich mit ih nen und verschwinden mit ihnen. Als Folge davon baut sich an der Grenze zwischen p- und n-Gebiet eine Spannung auf; im Grenzgebiet finden sich nur sehr wenige bewegliche Ladungs träger (tadungsträgerarme Sperrschicht) . 5. 1 7.4 Halbleiterdiode als Gleichrichter Man Legt von außen eine Spannung an eine p/n-Diode, wie sie in Kap. 5.17.3 beschrieben wurde. 1. Fall: Minuspol am n-Halbleiter, Pluspol am p-Halbleiter
Dann werden die beweglichen Löcher im p-Gebiet und die Elektronen im n-Gebiet nach innen getrieben, die Sperrschicht wird viel dünner; außerdem gewinnen Löcher, die nach rechts bzw. Elektronen, die nach Li nks taufen (Abb. 5.55 a) Energie. Abb. 5.55a Also kann der Strom hindurchfließen (Durchlasspolung)
2. Fall: Minuspol am p-Halbleiter, Pluspol am n-Halbleiter
Dann werden die beweglichen Löcher und Elektronen jeweils nach außen gezogen, die Sperrschicht wird breiter; Elektronen und Löcher brauchen Energie, um hin durch zu taufen. Also kann der Strom nicht hindurchfließen (Sperrpolung - Abb. 5.55 b). Abb. 5.55b
Elektrizitätslehre und Magnetismus
238
Das Symbol für die Halbleiterdiode ist ---pfn, wobei das Pfeilende das p- und der Querstrich das n-Gebiet bezeichnet. Bei Durchlasspolung fließen Elektronen ent gegen der Pfeilrichtung, d. h . die konventionelle (tech nische) Stromrichtung ist dann in Pfeilrichtung. Die Halbleiterdiode kann zur Gleichrichtung von Wechselströmen benutzt werden (wie die Röhrendiode aus Kap. 5.16.2). Abbildung 5.56 a zeigt den Stromverlauf durch ein Lämpchen bei Wechselstrom ohne Diode - "negativer Strom" bedeutet Strom in Gegenrichtung. -
-
-
Abb. 5.56a
Baut man zusätzlich eine Halbleiterdiode in Reihe ein, so wird (Abb. 5.56 b) der Strom in Gegenrichtung gestoppt! -
C\
Abb. 5.56b
-
f"
•
Zeit
5. 1 7.5 Gleichrichterschaltung mit vier Dioden und Foto-Diode 1. Gleichrichterschaltung mit vier Dioden (Brückenschaltung) : Man Legt Wechselspan nung U ,..., an. Ist der Pluspol oben und zugleich der Minuspol unten (Abb. 5.57), so sperren die Dioden D1 und D 4 - der Elektronenstrom fließt von unten durch D3 , dann im Lämpchen nach rechts und über [h zum Pluspol.
Abb. 5.57
Ist dagegen der Minuspol der Quelle oben und gleichzeitig der Pluspol unten, so sperren D 2 und D3; der Elektronenstrom fließt von oben über D 1, dann nach rechts durch das Lämpchen, schließlich durch D4 zum Pluspol unten. Der Stromverlauf durch das Lämpchen hat jetzt den zeitlichen Verlauf von Abbildung 5.58 gegenüber einer Diode (Abb. 5.56 b) entfallen die Längeren "Nullstromzeiten" . Baut man anstelle des Lämpchens ei nen geeigneten Wider stand mit parallel geschaltetem Kondensator ei n und greift dort die Spannung ab, so ist ihr Verlauf stark geglättet wie in Abbildung 5.58 b, also schon recht "gleichspannungsäh nlich" - dies soll hier nicht begründet werden.
a
-
Halbleiter, Halbleiterdiode, Transistor
239
Abb . 5 . 58 a
Abb. 5 . 58b
2. Foto-Diode: Sie wird in Sperrrichtung betrieben ! Ohne Lichtfließt kein Strom. Beim Beleuchten werden in der Sperrschicht zusätzliche bewegliche Löcher und
freie Elektronen erzeugt (Abb. 5.59). Die Elektronen Laufen zum Pluspol, die Löcher in Richtung Minuspol; der Strommesser zeigt Strom!
Ucht � """
� n p
Abb. 5 . 5 9
-+
5. 1 7. 6 Der Transistor Ein npn-Transistor ist (Abb. 5.60 a) wie ein Sandwich aufgebaut aus zwei n-Halb Leiterschichten und einer sch malen p-Zwischenschicht; Abbildung 5 .60 b zeigt das Schaltsymbol des Transistors. Kollektor (n) Basis (p) Emitter (n) Abb . 5 . 60 a
Abb . 5 . 60b
1. In einem Stromkreis sei der Emitter am Minuspol, der Kollektor über ein Birnchen am Pluspol der Spannungsquelle (U ::::: 4,5 V) angeschlossen.
240
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Wie muss man die Basis anschließen, damit das Birnchen hell Leuchtet bzw. dunkel bleibt?
1. Fall: Wird die Basis (über einen Schutzwiderstand R) mit dem Pluspol verbunden, so leuchtet das Birnchen hell. Erklärung: Der pjn- Ü bergang Basis/Emitter ist in Durchlassrichtung gepolt (+ an
p, - an n), also fließen Elektronen von E nach B. Die meisten Elektronen verlassen aber nicht den Transistor bei B, sondern schießen über die schmale Basis hinaus ins Kollektorgebiet (Abb. 5.61). Also gibt es einen kleinen Basisstrom I a (� 1 mA) und einen großen Kollektorstrom Ie (� 40 mA) . Die Spannung am Widerstand beträgt für R � 200 ,Q gerade UR Ia · R 0, 001 A · 200 0,2 V, die Span nung UaE ist demnach UaE � 4, 3 V. Der Transistor " lässt durch JJ.
=
*
=
""
"t (4,5 \IJ
Abb . 5 . 6 1 2.
Fall: Wird die Basis mit dem Minuspol verbunden, ist die Lampe aus.
Erklärung: Dann ist keine Spannung am p/n-Übergang B/E, der pjn- Ü bergang
B/C ist in Sperrrichtung gepolt. Also gibt es keinen Basisstrom, keinen Kollektor strom: Ia "" 0, Ie "" 0. Außerdem ist U a E "" 0. Der Transistor "sperrt". Transistor als "Schalter' im Kollektorstromkreis:
Basis stark positiv gegenüber Emitter: großer Kollektorstrom; keine Spannung zwischen Basis und Emitter: I e � 0 2. Zwischen den Extremfallen UaE = 0/Ie "" 0 und UaE � 4, 3 V/Ie "" 40 mA gibt es natürlich Zwischenstufen. Abbildung 5.62 zeigt, wie der Kollektorstrom Ie von der Basis/Emitter-Spannung UaE abhängt - statt des Lämpchens i m Kollektorkreis wurde ein Widerstand Re (� 100 n) eingebaut. Diese Transistor-Kennlinie zeigt einen steilen Linearen Stromanstieg etwa bei UaE � 0, 7 V; in diesem Bereich bewirkt eine klei ne Änderung von UaE eine große Änderung von Ic und der Spannung URe "" Ie · Re am Widerstand im Kollektorkreis (Verstärkerbereich) . Wie die Röhrentriode (siehe Kap. 5.16.4) kann der Transistor als Verstärker (z. B. von Spannungen) benutzt werden; man muss vorher den Arbeitspunkt U aE � 0, 7 V mittels einer Spannungsteilerschaltung (siehe Kap. 5.10.3, Punkt 2) einstellen.
Das elektrische Feld, elektrische Feldstärke
241
lc (mA) 36
lc "'= 40 mA "Schalter" läßt durch
24 12
0,2
Abb . 5 . 62
0,4
0,6
0,8
1 ,o
UsE M
1 ,2
lc,." O "Schalter unterbricht"
5.18 Das elektrische Feld, elektrische Feldstärke 5. 18. 1 Elektrische Felder, Feldlinien Bei Versuchen mit dem Bandgenerator (Kap. 5.3.4) springen geladene Wattebäll chen von der großen Kugel (Minuspol) senkrecht weg, fliegen eventuell zum Pluspol, werden umgeladen usw. Wie beim Magnetfeld gilt: Der Bereich um elektrische Ladungen, in dem deren elektrische Kräfte wirken, heißt elektrisches Feld. Die Bahnen, auf denen Probeladungen im elektrischen Feld Laufen, heißen elektrische Feldlinien. Die Pfeilrichtung einer Feldlinie gibt die Laufrichtung einer positiven Probeladung an - eine negative würde die Bahn in umgekehrter Richtung durchlaufen. Feldlinien enden nie frei im Raum sie beginnen (senkrecht) an positiven Ladungen und enden (senkrecht) an negativen Ladungen. -
Abbildung 5.63 zeigt das elektrische Feld zweier kugelförmiger Ladungen mit verschiedenen Vorzeichen. Die Kraft auf eine Probeladung an irgendeiner Stelle im Feld ist tangential zur Feldlinie dort gerichtet und umso größer, je dichter die Feldli nien dort sind.
/
'
Abb. 5 . 63
'
\
242
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Elektrische Felder Lassen sich - ähnlich wie magnetische durch Eisenfeilspäne mit Grießkörnern verdeutlichen, die in ÖL schwi mmen: Durch elektrische Influenz (Kap. 5.4.4, Punkt 4) werden in den Grieskörnern im Feld die Ladungen getrennt und die Körner Lagern sich in Ketten Längs der Feldlinien.
Abb. 5.64a
Abbildung 5.64 zeigt zwei wichtige Feldtypen ! In Abbildung 5.64 a ist ein radiales Feld zu sehen, in Abbildung 5.64 b das Feld eines Kondensators mit zwei parallelen geladenen Metallplatten . Letzteres ist zwischen den Platten homogen, d. h. die Feldlinien si nd parallel und die Feldstärke (siehe 5.18.2!) ist an jeder Stelle gleich; das Randfeld ist nicht mehr homogen. + +
+
+ +
+
Abb. 5.64b Bemerkungen:
+
A ,.
-
)o ,. ,. ,..
\:::)
-
1. In der Elektrostatik (es fließt kein Strom!) müssen die Feldlinien senkrecht auf Leiteroberflächen enden, und das Innere aller Leiter ist feldfrei. Begründung: Würde wie in Abbildung 5.65 die Feldlinie an der Leiteroberfläche nicht senkrecht enden, so würden Elektronen in de_! Oberfläche eine Kr�ft schrä_9 zur Oberfläche erfahren. Zerlegung dieser Kraft F in Komponenten Fs bzw . Ft senkrecht bzw. tangential zur Oberfläche hätte wegen Ft =1= 0 einen Elektronen strom in der Oberfläche zur Folge - dies widerspricht der Annahme "Statik"! Ebenso hätte ein Feld im Inneren einen Elektronenstrom zur Folge.
Das elektrische Feld, elektrische Feldstärke
243
Abb. 5 . 6 5
2 . Ist dagegen ein Leiter stromdurchflossen, so gibt es in seinem Inneren ein Feld,
dessen Feldkräfte auf die Elektronen diese "antreiben". Ohne Feld kein Strom! Aufgabe: Eine positiv geladene Kugel wird vor eine Metallwand gehalten. Man zeichne die entstandenen Influenzladungen und das Feld! Treten Kräfte zwischen Wand und Kugel auf? Lösung: Die zunächst in die Platte eindringenden Feldlinien rufen dort sofort einen Elektronenstrom hervor - an der Wand sammeln sich Elektronen (Influenz Ladungen), deren Feld das der positiven Kugel im Leiterinneren ausgleicht (Abb. 5.66) . Die Kugel und die Wand ziehen sich gegenseitig an.
Feldfrei
Abb. 5 . 6 6
5. 18.2 Elektrische Feldstärke Ein geladenes Kügelchen erfährt im homogenen Feld eines Plattenkondensators eine Kraft F und daher eine Auslenkung s. (Abb. 5.67). Dabei zeigt die Resultierende R aus Gewichtskraft G und elektrischer Feldkraft F in Fadenrichtung und wird vom Faden ausgeglichen; es gilt = tan o: = � (die Letzte Beziehung gilt für kleine a) , also F � .: · G: d . h . F "" s Die Feldkraft ist also proportional zur Auslenkunlg s, welche im Experiment viel Leichter ermittelbar ist als die (sehr kleine) Kraft F.
�
� �
Elektrizitätslehre und Magnetismus
244
Abb . 5 . 6 7
Sicherlich ist bei gleicher Plattenladung, d. h . gleichem elektrischem Feld, die Feldkraft F umso größer, je stärker das Kügelchen geladen ist; genauer kann man sagen, dass ein doppelt so stark geladenes Kügelchen auch die doppelte Feldkraft erfährt (und damit - wie im Experiment nachweisbar - auch die doppelte Aus Lenkung s) .
Somit i�t in einerv, festen Feld die Kraft _ proportional zu q: 1 F j q
Der Quotient
I �I E
"'
JrJ auf ein Kügelchen der Ladung q
(F5.9) ist konstant und ein Maß für die Stärke des Feldes
er heißt elektrische Feldstärke E und hat die Einheit J V 1 1 = = = 1 CN = 1 Nm Cm Cm m
[E]
·
Bemerkungen:
1. Die elektrische Feldstärke E ist ein Vektor, dessen Richtung die Feldlinienrich tung angibt. 2. Die Feldkraft auf eine Ladung ist F = E · q bei einer negativen Ladung sind F und E antiparaLLeL 3 . Im homogenen Feld ist E überall gleich (Betrag und Richtung) . Aufgabe: Welchen Ausschlag erfährt ei n Pendelkügelchen der Masse 0,4 g am Faden der Länge l "' 1 m, wenn es die Ladung q "' 5 nC trägt, im Feld der Stärke 70 kNc -1? N Lösung: Kraft des Feldes: F = E · q = 7 · 10 4 · 5 · 10-9 C = 35 10- 5 N C Wegen F � G gilt mit G 4 · 10 -3 N für die Auslenkung: F 3 5 · 10-4 N s�-· L= ' 1 m = 8, 75 cm 4 · 10-3 N G -
1·
·
"'
·
·
Elektrische Feldstärke und Spannung
245
5.19 Elektrische Feldstärke und Spannung Um den Zusam men hang zwischen Feldstärke E und Spannung U zu erkennen, denke man sich eine positive Probeladung mit q = 2 nC im Feld der Stärke E = 30 kNc-1 von der negativ geladenen Platte zur positiven gebracht, die d = 5 cm von der negativen entfernt ist (Plattenabstand) . Dazu ist eine Kraft F gegen die Feldkraft aufzubringen und somit Arbeit W zu verrichten! N Kraft: F = Fretd = E q = 2 10 - 9 C 3 · 10 4 = 6 10- 5 N C Arbeit im homogenen Feld: W = F · d = 6 · 10- 5 N . 5 cm = 3 . 10- 6 J W 3 . 10 -6 J 3 . h en d en Platten 1st U = q . S pannung zw1sc = 1, 5 · 10 V = . D 1e 2 10 _9 C ·
·
·
·
·
Allgemein gilt:
W F·d = = E d (F.5.10) q q Die Span nung zwischen den Kondensatorplatten ist das Produkt aus Feldstärke und Plattenabstand. U=
-
-
·
Bemerkungen:
1. Für den obigen Gedankenversuch Lässt sich (F5.10) bestätigen: N 3 V E . d = 3 . 10 4 -c . 5 . 10 -2 m = 1500 - . m = 1 . 5 . 10 V m 2. Lädt man zwei Kondensatorplatten auf, trennt sie von der Spannungsquelle ab, Lässt aber ei n Spannungsmessgerät angeschlossen, so stellt man fest, dass beim Auseinanderziehen der Platten die Spannung steigt (Erklärung: Offenbar bleibt E konstant, aber d und U = E · d werden beim Ausei nanderziehen größer.) 3. Läuft eine positive Probeladung gegen die Feldrichtung bzw. eine negative in Feldrichtung, so muss von außen die Arbeit W = U · q = E · d · q hineingesteckt werden; Läuft die positive Probeladung in (die negative gegen die) Feldrichtung, so verrichtet das Feld an ihr Arbeit . 4. Fließt in ei nem Draht Strom, so verrichtet das Feld dauernd Arbeit an den Elektronen (siehe 3)); die Elektronen werden dadurch aber nicht schneller, sondern sie führen die Arbeit bei Stößen mit den (größeren) Ionenresten an diese ab. Als Folge steigt die Temperatur des Drahts, er gibt Wärme ab! 5. In der Braun'schen Röhre werden die Elektronen aus der Kathode heraus geglüht; durch eine starke Spannung U erfahren sie Arbeit - sie werden zum Anodenring beschleunigt! Dann gilt: 1 U · q = W retd = EKi n = mv2 , also haben sie am Anodenring die Geschwindigkeit V=
� {F5.11)
-
2
6. Hängt die Arbeit des Feldes an einer Probeladung von deren Weg im Feld ab? Man stelle sich vor, dass die positive Probeladung gemäß Abbildung 5.68 nicht direkt
246
Elektrizitätslehre und Magnetismus
zur negativen Platte läuft, sondern schräg unter dem Winkel o:. Man zerlegt F in F Komponenten f\ in Wegrichtung mit 1 = cos o: und F2 senkrecht zur WegrichF tung und erhäLt: WsFeld chräg = F1 · S = ( COS o: · F) · S = F · ( COS o: · S) = F · d = Wdirekt Feld d
Abb . 5 . 68
Die Arbeit ist wegunabhängig! (Der Längere Weg wird durch die kLeinere Kraft ausgegLichen). Aufgabe: Zwischen zwei KondensatorpLatten mit 3 cm Abstand Liegt die Span nung 500 V. Man berechne die Feldstärke, die Kraft auf eine Probeladung von q = 5 nC, die Arbeit der FeLdkräfte an dieser, wen n sie von einer zur anderen PLatte Läuft und die Geschwindigkeit mit der sie dort ankommt! (wenn sie beim Start v = 0 hatte, und ihre Masse 0,5 g beträgt). U 500 V 5 4 V .. 10 , Losung: U = E · d, also E _ 2 m d 3 . 10 m 3 · 25 25 5 4 N F = E . q = . 10 - . 5 . 10 _9 C = - · 10 _ 5 N ) W = F · d = - · 10 _5 N · 3 cm
=
= =
-
3
c
3
also W = 2,5 10-6 J (KontroLLe: W ·
Geschwindigkeit: v =
q
= U = 25 ·
·
I
10-7 J) ;
2 500 V · 5 · 10 -9 C . 1 _ 2 J m �
.
3
_
_
5.20 Ladungsdichte und Kapazität 5.20. 1 Flächenladungsdichte und Feldkonstante Entnimmt man bei einem aufgeLadenen Kondensator über ein MetaLlpLättchen mit Isolatorstil der KondensatorpLatte an verschiedenen StelLen innen Ladung und misst diese mit dem Messverstärker, so erhäLt man immer etwa den gLeichen Wert; die Ladung sitzt also überalt auf den Kondensatorplatten gleich dicht (Abb. 5.69).
247
Ladungsdichte und Kapazität
Plättchen
Abb.
5 . 69
Nimmt man zwei gleiche Testplättchen und misst deren Gesamtladung, so erhält man doppelt so viel an Ladung bei auch doppelter Gesamtfläche; der Quotient aus Ladung und Fläche, die Flächenladungsdichte, ist gleich wie bei einem Plättchen. Definition: Flächendichte
(J
einer Ladung Q, die auf einer Fläche A gleichmäßig
verteilt sitzt: ( F5.12 ) Q Ladung C . . . " Flac h en d 1c h te = (J = E h e1t : [(J) = 1 2 Fläche ; m A m Aus Abbildung 5.69 wird klar, dass im Augenblick der Berührung mit dem Plätt chen die Ladung der Kondensatorplatte an dieser Stelle auf das Plättchen über geht ( Leiteri nneres feldfrei! ) - also entspricht die Flächenladungsdichte auf dem Plättchen genau der auf der Kondensatorplatte! Halbiert man bei gleichem Plattenabstand die Span nung ( und damit auch E= so zeigt sich, dass auch die Ladungsdichte (J der Platten halbiert wird; halbiert man bei gleicher Spannung den Plattenabstand ( und verdoppelt damit E = so wird (J verdoppelt, wie das Experiment zeigt. �
.
*), *),
(J I'V
E Der Quotient E ist ei ne Konstante, für den Luftgefüllten Kondensator ei ne Naturkonstante - die elektrische Feldkonstante so :
Offensichtlich sind Feldstärke und Ladungsdichte proportional: (J
so = -(JE = 8, 85
10-12 - ( F5.13 ) Vm c
·
Bemerkungen:
1 ) Für ein homogenes Kondensatorfeld ("Luftfüllung") gilt also: (J = co · E 2 ) Trägt die eine Kondensatorplatte die Ladung Q, so trägt die andere die Ladung - Q. Die Plattenladungsdichte ist (J = wobei A die Fläche einer Platte ist.
��
248
Elektrizitätslehre und Magnetismus
5.20.2 Kapazität Schreibt man die Formel (F5.13) um, so folgt: () = c:0 · E bzw .
( �) · U = C · U mit C = · �
Also gilt: Q = s0 ·
c:0
Q = c: 0 · du A
Bei einem festen Kondensator (mitfestem Plattenabstand d undfester Plattengröße A) ist die Plattenladung Q proportional zur angelegten Spannung U; der konstante
Quotient C = ß beschreibt das " Fassungsvermögen" des Kondensators (in C je V) und heißt Kapazität C. Definition:
. "' Ladung , also C = -QU ( F5.14) Kapaz1tät S pannung Einheit: [C] = 1 = 1 F (Farad) (F5.14 a)
�
Die Kapazität bei LuftfüUung ist also 5.20.3 Dielektrizitätszahl
B
(F5.15)
Bei einem Versuch werde an einen Kondensator mit Luftfüllung eine bestim mte Spannung angelegt, dann wird er von der Spannungsquelle abgetrennt und seine Plattenladungsdichte gemessen. Danach wird eine Kunststoffschicht zwischen die Platten geschoben, dieselbe Spannung angelegt, der Kondensator von der Span nungsqueUe abgetrennt und wieder die Plattenladungsdichte gemessen - sie ist viel größer. Der Kondensator hat also mit Isolatorschicht bei gleicher Spannung ei ne größere Plattenladung und damit auch eine größere Kapazität C = ß. Bei einem anderen Versuch wird ein Kondensator aufgeladen, dann von der Spannungsquelle getrennt (ein Spannungsmessgerät bleibt angeschlossen) . Schiebt man bei isolierten Platten eine Isolatorschicht (Kunststoff) zwischen die Platten, so sinkt die Spannung stark ab. Der Kondensator hat also bei gleicher Plattenladung (sie kann ja nicht von den isolierten Platten abfließen) mit Isolatorschicht eine kleinere Spannung und damit eine größere Kapazität C = 8Ergebnis: Wird der Raum zwischen den Platten eines Kondensators mit einem Isolator (" Dielektrikum ") gefüllt, so steigt die Kapazität um einen bestimmten Faktor sr, die Dielektrizitätszahl
I
Also lautet die Kapazität bei Dielektrikum: C
e0 . e, .
��
( F5.16)
Bemerkung: Die dimensionslose Konstante sr hängt vom Stoff ab
s �/asser � 81)
(c:�Las � 5,
Ladungsdichte und Kapazität
249
5.20.4 Polarisation der Atome Erklärung des Sachverhalts von 5.20.3: Im feldfreien Raum Liegen der Schwerpunkt
der positiven und der negativen Ladung eines neutralen Atoms an derselben Stelle (Abb. 5.70 a) . Im äußeren Feld verschieben sich die Schwerpunkte der Ladungen im Atom - es wird polarisiert (Abb. 5.70 b) .
Abb . 5 .7 0
a)
b}
Das Kondensatorfeld bewirkt die Polarisation der Atome im Isolator, an dessen Rändern sich die Polarisationsladungen - Op/+ Op bilden (im Inneren gleichen sich diese aus). An ihnen endet ein Teil der Feldlinien, aber nicht alle, da Op < Q ist (im Gegensatz zu den Influenzladungen eines Leiters im Feld); die restlichen Feldlinien gehen durch den Isolator (Abb. 5. 71) . +0
,-+
-Qp ""
-
,.
-
+
Abb. 5 .7 1
" ,
"" ,..
-
;--
+
-
" ,
+
'-
+ " ,..
+ +
-Q
+Qp
-
+
... -
'-
Isolator
ti
Im Isolator ist also die Feldstärke kleiner. Kleinere Feldstärke E bedeutet aber auch
weniger Spannung U E · d; bei gleichem Q ist also C = größer! "'
Bemerkung: Neben der beschriebenen Verschiebungspolarisation durch das Feld gibt es auch den Fall, dass die Teilchen des Dielektrikums bereits Dipole sind und sich im Feld ausrichten, d . h . drehen (Orientierungspolarisation) - dies erklärt den großen er-Wert bei Wasser!
5.20.5 Ergänzungen 1. In Abbildung 5.71 Liegt im Luftspalt links und rechts des Isolators das ursprüngliche (äußere) elektrische Feld der Stärke Ea vor, das durch die Platten Ladungen + 0/- Q bestimmt wird; die Polarisationsladungen - Op/+ Op machen ein
250
Elektrizitätslehre und Magnetismus
�
Polarisationsfeld der Stärke Ep in Gegenrichtung, sodass das innere Feld im Ea E Q Isolator die Stärke Ei = E a - Ep hat. Es gilt = Ep Q n'-
I u = ul + u2 + u 3 = E a . d l + Ei . d2 + Ea . d3 1
,
-
(F5.17)
3. Nur wenn das Dielektrikum den Raum im Kondensator vollständig füllt, gilt
A C = C:o · C:r · (f' Bei Luftschlitzen Liegt (genauere Berechnung später) die Kapazität zwischen co Ad und c: o · C:r Ad 4. Man denke sich den Kondensator mit Q aufgeladen und dann von der Span nungsqueUe abgetrennt und isoliert. Vergleicht man seine Kapazität ohne Dielek trikum mit der bei einem Dielektrikum, das den Raum voll ausfüllt, so gilt: Q Cmit Ea Q Coh ne = Q = Q , Cmit = = -- und som1t -= - bzw. U oh ne Ea d Umit Ei d Coh ne Ei · C:r A/d Ea a co-----, also ---= --== er (F5.18) = Ei co . AYd Ei Diese Formel gilt auch bei Luftschlitzen! Zwar wurde sie mit vollständig raumfül Lendem Dielektrikum hergeleitet, jedoch ändern sich weder Ea noch Ei , wen n das Dielektrikum etwas schrumpft (Luftschlitze!) 5. Aus (F5.18) folgt für die Plattenladungsdichte des Kondensators: ·
-
·
--
-.
-·
·
I
rT
.
[G
·
I
= co · Ea = e o · C:r · Ei (F5.19)
6. Setzt man schließlich (F5.18) ein in die Formel der 1. Bemerkung, so folgt:
0
Q - 0P
=
�E, = er
(F5.20) und durch Umformung eine Formel zur Berechnung
der Polarisationsladung:
I�
1
-
:
,
I
(F5.20 a)
Aufgaben: 1) In ei nem Kondensator (Plattendurchmesser 20 cm, Plattenabstand 6 cm) befindet sich ei n Dielektrikum der Breite 3 cm mit 4 zwischen zwei Luftschlitzen der Breite 1 cm bzw. 2 cm . Von außen wird die Spannung 6 kV
er =
angelegt. a) Man berechne die äußere und innere Feldstärke, die Plattenladung und die Polarisationsladung, die Kapazität sowie die Spannungen am Dielektrikum und an den Luftschlitzen!
Ladungsdichte und Kapazität
251
b) Die linke Platte sei geerdet und mit dem Mi nuspol verbunden. Man trage das Potenzial cp (x) über x auf, wenn x der Abstand eines Punkts im Kondensator von der linken Platte ist (0 :s; x :::s; 6 cm). 2) Wie ändern sich Feldstärke, Spannung, Plattenladung und Ladungsdichte eines Kondensators, wenn man die Platten a) bei konstanter Plattenladung (Platten isoliert), b) bei konstanter Spannung (Quelle angeschlossen) auseinander zieht? Lösungen:
= Ea · dt + Ei · d 2 + Ea · d3 , E Ea also 6000 V = Ea · 1 cm + 4a 3 cm + Ea · 2 cm wegen "[. = e r = 4; 6000 V V Ea V . . som1t 1st Ea · 3, 75 cm = 6000 V, d. h. Ea = = 1600 -, Ei = - = 400 3 , 75 cm cm 4 cm V V Ut = Ea · dt = 1600 - · 1 cm = 1600 V, U 2 = Ei · d2 = 400 - 3 cm = 1200 V, cm cm u 3 = Ea . d 3 = 32oo v Probe stimmt: U 1 + U 2 + U3 = 6000 V (Abb . 5.72 ) . C · 1600 V = 14, 16 · 10- -C und A = 1rr2 Wegen a = c-0 · Ea = 8, 85 · 10 -12 cm m2 Vm 2 2 = 100 1rcm � 0, 0314 m ist die Plattenladung Q = a · A = 4, 45 · 10-8 C; Polarisationsladung: Op = (1 -l) Q = 3 , 34 . 10-8 C Zu 1) : a) Es gilt U
·
1
-
. .. C = Q = 4, 45 . 10Kapantat: 6000 V U
8c
1
-
= 7, 4 · 10 -12 F
fM 6000
� �
Steigung ist die jeweilige Feldstärke
1 000
Abb. 5 . 72
1
4
=
x (cm}
b) An der linken Platte ist das Potenzial
252
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Ü ber cp(6 cm) - cp(O) = U folgt: cp(6 cm) = 6000 V . Potenzialdifferenz ist Spannung! Innerhalb der Luftschlitze bzw . des Dielektrikums steigt das Potenzial Linear an b.
E
E �
·
E
-
(E � )
•
E
5.20. 6 GröJßenfaktoren Größenfaktoren, die hier und in den folgenden Kapiteln immer wieder auftreten:
M (Mega) k (Kilo) m (Milli) J.L (Mikro) n (Nano) p (Piko)
1 MV 1 kV 1 mA 1 pA 1 nC 1 pF
"' 1 000 000 V "' 106 V "' 1 000 V = 103 V 1 "' -- A "' 10-3 A 1 000 "' 0,000 001 A = 10-6 A "' 10-9 C = 10 12 F
-
5.21 Schaltung von Kondensatoren 5.21.1 Parallelschaltung von Kondensatoren Bei der Parallelschaltung zweier Kondensatoren mit den Kapazitäten (Abb. 5 . 73):
u
Abb . 5 .7 3
C11 C2
I u l = u2 = u I (F5.21 a) 2) Die Gesamtladung ist Summe der Einzelladungen: I Q = Q1 + Q2 1 (F5.21 b)
1) Alle Teilspannungen sind gleich:
3) Wegen
C1
l B
Ql Ql, c � <=t Q2 g1" Lt: - = (F5 . 21 c) =u =u =u 2=u 1
2
U2
C2
gilt
253
Schaltung von Kondensatoren
Die Ladungen verhalten sich wie die Kapazitäten; je größer die Kapazität ist, desto
mehr Ladung sitzt auf dem Kondensator. 4) G esamtI
Die Gesamtkapazität ist Summe der Einzelkapazitäten:
+ C--,21 I.-C-=-C1__
(F5.21 d)
5.21.2 Reihenschaltung von Kondensatoren
c1-01 1�c1 202 u 1 2 Cu
Reihenschaltung zweier Kondensatoren (Abb. 5.74):
q=O
-+
1------'
Abb. 5 .7 4
1) Es ist 01 Qz, denn der innere Teil ist isoliert und behält seine anfängliche Gesamtladung q 0 vor dem Anschluss an die Span nungsquelle auch danach bei. Also sitzt auf allen Platten eine betraglieh gleich große Ladung: "'
"'
I Ot = 02 = ol (F5.22 a)
2) Die Teilspannungen addieren sich zur Gesamtspannung:
I U = U1 + U 2 1 (F5.22 b) 3) Wegen
c,
= o, = __
Ut U t
U 2 U2
I C2 uU,t l c,
(F5.22 c)
Die Spannungen an den Kondensatoren verhalten sich umgekehrt wie die Kapazi täten; je größer die Kapazität ist, desto kleiner ist die Spannung am Kondensator.
Q 1 U U1 U2 1 1 1 1 1 4) C = -, also - = - = - + C2 -C = -C1 + -C2 (F5.22 d) U C Q Ot 02 = -Ct + -: Bei der Reihenschaltung ist der Kehrwert der Gesamtkapazität gleich der Summe der Kehnverte der Einzelkapazitäten.
5.21.3 Aufgaben 1) Man berechne für die Schaltung aus Abbildung 5.75 die Gesamtkapazität, Gesamtladung, die Einzelladungen sowie die Teilspannungen!
254
Elektrizitätslehre und Magnetismus
U:SV
Abb . 5 .7 5
2) An einem Kondensator mit Kapazität C1 = 10 pF Liegt die Spannung 50 V . Schaltet man einen zweiten ungeladenen der Kapazität C2 parallel, ohne dass Ladung verloren geht, so sinkt die Span nung auf 20 V ab. Wie groß ist C2? Lösungen:
Cp = C1 + C2 = 30 Jl.F; Reihenschaltung . 1 1 1 4 3 7 F' d. h. Gesamtvon Cp und C3 Liefert - = - + - = + 120 C Cp C3 120 p.F 120 11F 120 11 kapazität ist C = - p.F 7 120 600 c . . . . G esamtlad ung: Q = U · C = 5 V · 7 p.F = 7 11 D1ese La d ung s1tzt Jewe1 ls auf den Kondensatoren mit den Kapazitäten C3 und "CP"! Q3 600 p.C = 15 V . Q . 1St Damlt p. C und u3 = - = 3 = 600 7 c3 7 . 40 p.F 7 20 U1 = U 2 = U - U 3 = l V = Up u 20 4 c3 (Probe: � = - = - = -!) u 3 15 3 2 P 2oo 4oo 11C, Qz = Cz · Uz = - Jl.C stimmt wegen 01 = C1 · U1 = 10 11F · -7 V = 7 7 600 = Op Jl C . 01 + Oz = 7 Zu 2): Auf dem ersten Kondensator sitzt zunächst die Ladung Q = 10 pF · 50 V = 500 pC. Dies ist die Gesamtladung, die nach dem Parallelschalten des zweiten erhalten bleibt, sich aber anders verteilt: Ei n Teil fließt auf den zweiten Kon densator. Nach dem Zusam menschalten ist die gemeinsame Spannung U = U1 = Uz . Q 500 pC = 20 V, also 1st Cgesamt = ij = 20 V = 25 pF = C1 + (z. Also ist C2 = 25 pF - C1 = 15 pF Zu 1) : Ersatzkapazität des Parallelglieds:
-
•
--
6
-
I
-4
5.21.4 Kondensator mit Dielektrikum und Luftschlitz Bemerkung: Das Problem eines Kondensators mit Dielektrikum, das Links an die
Kondensatorplatte anschließt und rechts ei nen Luftschlitz hat, kann jetzt anders als in 5.20 behandelt werden. Man denke sich zwischen dem Dielektrikum und der Luft ei ne beliebig dünne Metallfolie eingeschoben, die die Kapazität nicht wesentlich verändert. In dieser kommt es durch Influenz zur Ladungstrennung, das Innere ist feldfrei (Abb. 5.76).
255
Die Energie des elektrischen Feldes
Man kann die gesamte Anordnung als Reihenschaltung zweier Kondensatoren Links bzw. rechts der gestrichelten fiktiven Trennlinie auffassen. . . + Dann g1' Lt: - = -- + -- = -; d am1t Lässt s1c h d'1e G esamtA A C Cunks Crechts .So Er .So · -dz d1 kapazität C berechnen!
1 1
·
1
1
1
1
d1
+
�:
I -. + I
+
-1 + I ;+
+
I -I + I ;+
+
/
linke Platte
Abb . 5 . 7 6
Trennlinie
+
I
I
....-.. d2
A Luft
rechte Platte
I
Dielektrikum : � tallfolie
5.22 Die Energie des elektrischen Feldes 5.22.1 Energie des geladenen Kondensators Wenn man die PLatten eines aufgeladenen Kondensators über einen Widerstand verbindet, fließt solange Strom, bis der Kondensator entladen ist - im geladenen Kondensator steckt also Energie! Um diese zu berechnen, steLLe man sich vor, die geladenen Platten stünden im minimalem Abstand voneinander und man würdejetzt die Linke PLatte festhalten und die rechte bis auf den Abstand d von ihr wegziehen. Dazu muss man die Anziehungs kraft überwinden, mit der die rechte von der Linken PLatte angezogen wird, d. h. man muss selbst eine genauso große Kraft F aufbringen und die Arbeit W = F · d verrichten. Die Kraft F muss so groß wie die Feldkraft FFeld = E' Q sein, wobei Q die Ladung der rechten PLatte ist; aLLerdings ist bei E' nur der TeiL der Feldstärke E zu berück sichtigen, der von der Linken PLatte stammt - die rechte kann sich ja nicht selbst anziehen. Da beide PLatten gleichermaßen zur Feldstärke beitragen, ist E ' = E. . W = - E · Q · d = - Q · ( E · d) = - Q · U = - c · U2 = - -Q2 d1e' Arb2e1t. I A ls o 1st 2 2 2 2 2 C die beim Auseinanderziehen in den Kondensator gesteckt wurde - sie stecktjetzt als Energie in ihm! ·
1
1
Energie des geladenen Kondensators:
1
I
W
� CU'
1
I
1
1
-
(F5.23)
5.22.2 Räumliche Energiedichte Die Energie steckt nicht in den PLattenLadungen - ein Auseinanderziehen der PLatten des isolierten Kondensators erfordert Arbeit, erhöht also dessen Energie,
256
Elektrizitätslehre und Magnetismus
ändert aber an den Plattenladungen nichts! Eher schon scheint plausibel, dass diese Energie im felderfüLLten Raumvolumen V = A · d zwischen den Platten steckt - dieses wird beim Auseinanderziehen auch vergrößert! Umformung Liefert: 1 1 A 1 1 W = - CU 2 = - cocr - (Ei d) 2 = - c:oc:r E � A d = - .socr Ef · V d 2 2 2 2 Also ist W Er (bei ,,Luftfüttung" ist E1 = Ea und sr = 1) und W rv V, d. h . die Energie sitzt im Raum.
· ·
·
f"V
Definition:
Räumliche Energiedichte = Ein heit: [p]
. = .m;
·
·
1
·
w 1 Energie = = C:ocr Ei2 (F5.24) E P L ,..,. . V o....,.tumen V -2 (F5.24 a)
Aufgaben: 1) Betrachte Aufgabe 2 von Kap. 5.21.3. Wie viel elektrische Energie
geht beim Zusammenschatten verloren? Auf welche Weise? 2) Man vervierfacht den Abstand isolierter geladener Kondensatorptatten . Wie ändert sich die Energie, wie die Energiedichte? Wie groß si nd beide am Schluss, wenn dAnfang = 5 cm, A = 500 cm2 , Q = 10-7 C ist?
1 1 = -2 Ct · Ui = -2 · 10- 11 F · 2500 V2 = 1, 25 · 10-8 J ; w nach = � C · U 2 = � · 25 · 10 -12 F 400 V2 = 5 10-9 J 2 2 Lösung:
Zu 1) : wvor
·
·
Energievertust: D..W = 7, 5 · 10-9 J ; beim Zusammenschatten wandern Ladungen, es fließt Strom; es entsteht Wärme! 1 Q2 1 Q2 Q2 . d 1 = = Zu 2): W = 2 CU 2 = 2 mit d wird auc h W vielfach ! C 2 co . � 2 5 . A pa = � co E2 bleibt, weit mit Q auch (J und E bleiben ! 2 A C 0 , 05 m 2 CEnde = 5o -- = 8, 85 10 _ 12 - · 2, 2 pF; V m 0, 2 m = dEnde J W 2 , 3 . 10-3 J 1 Q2 23 3 W Ende - C 0, - 2, 3 . 10 - 3 J ,. PEEnde L . 2 A d 0, 05 . 0, 2 m3 m
· ·
-4
·
5.23 Radialfeld einer punktförmigen Ladung, Coulomb-Gesetz
�)
Man denke sich eine Kugel an der Oberfläche gleichmäßig geladen (Ladung Q, Q Ladungsdichte (J = _ = und ihre Oberfläche in kleine geladene Platten A 4 1rr
Radialfeld einer punktförmigen Ladung, Coulomb-Gesetz
257
zerlegt (Abb. 5. 77). Durch Ü berlagerung der Felder gegenüberliegender Platten ergibt sich : 1) Das Kugelinnere ist feldfrei - hier heben sich die Felder gegenseitig auf!
Abb. 5 .77
2) An der Oberfläche der Kugel herrscht überall die gleiche Feldstärke - hier verdoppeln sich die Plattenfelder ähnlich wie beim Kondensator, wo sie sich innen verdoppeln und außen aufheben, da die Platten entgegengesetzt geladen sind. Das Feld ist senkrecht zur Oberfläche und wie beim Kondensator gilt a = co E. Auflösung nach E Liefert die Feldstärke an der Oberfläche der geladenen Kugel (Ladung Q, Radius r): E = !!.... = .so 4 1rr co Damit ist die Kraft auf eine Probeladung q an der Kugeloberfläche (Abb. 5.77) angebbar: F = q · E = O · q (*) 4 1rr2 · co Beim Gravitationsgesetz in Kap. 1.16 wurde die Gewichtskraft eines Körpers als die Gravitationskraft der Erde auf den Körper gedeutet und die Erde dabei so behandelt, als ob ihre gesamte Masse im Zentrum steckt (Massepunkt) und ihr Abstand vom Körper der Erdradius ist - dies ist nach dem Gravitationsgesetz (F1.34) zulässig (Schwerpunktabstand!). In Analogie dazu ist es plausibel, dass die Kraft der gleichmäßig mit Q geladenen Kugel vom Radius r auf eine Pro beladung q an ihrer Oberfläche genau der einer mit Q geladenen Punktladung in der Kugelmitte auf q entspricht. Dann erhält man aus ( *) das
�
F
Coulomb-Gesetz für die Kraft zwischen zwei Punktladungen Q und q im Abstand r:
F=
Q.q
4 1Tr2 · .s0
(F5.25)
Dieses Gesetz ist vollkommen baugleich zum Gravitationsgesetz (F1.34), ins1 besondere gilt beide Mal F allerdings enthält es im Gegensatz zu (F1.34) r2 ' Anziehung und Abstoßung! Zur Vereinfachung sollen in ( F5.25) F, Q, q nur Beträge (positives Vorzeichen) sein. In Analogie zu (F1.34) darf das Coulomb Gesetz auch für kugelsymmetrische Ladungsverteilungen (anstelle von Punkt Ladungen) mit Schwerpunktabstand r verwendet werden . Aus (F5.25) folgt auch, für beliebige kugelsymmetrische Ladungen und beliebiges r dass E = 4 1l"T . co IV
�
258
Elektrizitätslehre und Magnetismus
(größer als der Kugelradius) gilt. Im Falle eines Dielektrikums tritt der Faktor er hinzu, sodass zusammenfassend gilt: Kraft zwischen zwei punktförmigen (kugelsymmetrischen) Ladungsverteilungen
im Schwerpunktabstand r: F = 4 Q · q r2 (F5.26) 7r C:: o €r · •
Radialfeldstärke einer punktförmigen (kugelsymmetrischen) Ladungsverteilung
im Abstand r vom Zentrum: Q (F5.27) E= 4 1r C:o €r . r2 •
Um die Spannung im Radialfeld einer kugelsymmetrischen Ladung Q zwischen zwei Punkten P1 und P2 (Abstände r1 bzw. r2 vom Zentrum) zu ermitteln, muss man die Arbeit W12 berechnen, die das Feld wegen der Feldkraft Fan einer Probeladung q auf dem Weg von P 1 nach P2 verrichtet (Abb. 5.78).
Abb. 5 .7 8
Die Formel W 12 = F · s mit s = r2 - r1 als Wegstrecke ist nicht anwendbar, da sich F auf dem Weg dauernd ändert, wie aus Abbildung 5 .79 zu entnehmen ist: Gemäß (F5.26) ist F(x) = Q · q 2 , wen n x die jeweilige Entfernung vom Zentrum ist! 4 r. €0 €rX Näherung: Zerlegung des Weges in sehr kleine Wegabschnitte 6x1 , ßx2 , . .. ßxn, auf denen die Kraft näherungsweise konstant ist, Liefert: W 12 = 6W1 + 6W2 + .. . + 6Wn = F1 · 6x1 + F2 · 6x 2 + . . . + Fn · 6xn •
X
Abb. 5.7 9
259
Radialfeld einer punktförmigen Ladung, Coulomb-Gesetz
Macht man die Unterteilung immer feiner, so stellt W1 2 nichts anderes als die Fläche unter der F(x)-Kurve von r1 bis r2 dar. Diese Lässt sich mathematisch durch Integration bestimmen: 1 1 Q·q 1 1 Q·q Q·q dx · W 12 = F(x)dx = r2 X2 Tl X
lrz . r1
f rz 4 nc:ocr . r1
----=---
Ergebnis:
4 1i'cocr
(
)
-
( 1 1 rz 4 1i'Socr r1 4 11"6ocr ·
- -
- -
)
Die Arbeit an ei ner Probeladung q im Radialfeld der Ladung Q ist Q·q 1 1 W1 2 = - - - ( F5.28) r1 r2 Die Spannung zwischen zwei Punkten (Abstände r1 bzw. r2 vom Zentrum) ist W 12 = o . -1 -1 U 12 = ( F5.29) q r1 r2 Noch einmal sei darauf hingewiesen, dass in den Formeln ( F5.26) bis ( F5.29) immer die Beträge betrachtet werden, d. h. F, E, Q, q, W12, U 12 sind positive Größen (r1 r2) . Richtungen und verschiedene Ladungsvorzeichen sowie Absto ßung/Anziehung werden im jeweiligen Fall durch Zusatzüberlegungen geklärt. Das Potenzial r.p eines Punktes P (mit Abstand r vom Zentrum) im Radialfeld ist seine Spannung gegenüber "Unendlich". Setzt man r = r1 , ,h = oo" in (F5.29), so ergibt sich : ·
(
4 1rcocr
)
<
cp(r) =
4 1rcocr 1
. -Q (F5.30) r
Hier wird allerdings bei Q das Vorzeichen mitgenommen - das Potenzial kann negativ sein . Bemerkungen:
1. lr.p(r) ql ="U00 (r)" q = Woo(r) ist die Arbeit, die das Feld an der Probeladung verrichtet, wenn sie vom Zentrumsabstand r nach " Unendlich" läuft - falls q und Q (Zentralladung) gleiches Vorzeichen habe; i m Falle verschiedener Vorzeichen muss man diese Arbeit gegen das Feld von außen aufbri ngen. 2. Kapazität einer geladenen Kugel (Radius r, Ladung Q) = Ladung der Kugel Spannung von der Oberfläche nach " Unendlich" ·
Also gilt: C =
·
� -----:�:----, d. h. 41r cocr r
"Uoo r)"
·
C=
41l" cocr r ·
(F5 . 31)
Aufgaben: 1) Eine Kugel mit Radius r1 = 3 cm trägt die Ladung + 1 pC. Wie groß ist ihre Span nung gegen "Unendlich "? Welches Potenzial hat die Kugeloberflä che? Wie weit kann man von ihr die Probeladung q = 1 nC mit der Energie 10-4 J entfernen? Welche Radialfeldstärke herrscht in 50 cm Entfernung vom Zentrum?
260
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Lösung: "U00" (3 cm) Q
=
1 =
1
1 = 3 · 05 V; 1 1 2 8, 85 100, 03 m 4 FmQ 1 3 cm � = aufzubringende Arbeit W12 = � 4 1r.so · 3 cm r 4 1r.so 3 cm r 3 m · q. Somit also 10 -4 J = cp(3 cm) 1 1r
·
10-4 J d. h.
1
=
(
3 · 105 V · 1
·
(
-
-
�
3 m
·
�)
_
) · 10-9 C bzw. 10-4
3 cm 1 3 = bzw. r = · 3 cm = 4, 5 cm 2 r 3
- --
-
(
(-1- )
·
=
(
3 · 10-4 1
_
-
)
.
ql
� )I
3 m
-
Man kann die Ladung q also 115 cm von der Oberfläche wegbringen!
E (so cm) = 4 1r .so · Q(50 cm) 2
1
V m 2) Zwei Ladungskügelchen mit den Ladungen q1 = 5 nCI q2 = 10 nC und den Massen m 1 = 2 gl m 2 = 1 g sind an einem gemeinsamen Punkt an Fäden der Längen Lt = l2 = 5 m aufgehängt. a) Wie weit sind sie durch Abstoßung auseinander? b) Wie stark und wie gerichtet ist das Feld genau in der Mitte zwischen i hnen? c) Wo zwischen den Kügelchen ist die Gesamtfeldstärke gleich 0? Lösung: a) Die beiden Kügelchen werden durch die Kräfte F1 bzw. F2 (Abb. 5.80) ausgelenkt1 die wegen actiojreactio betraglieh gleich groß sind: ql . q2 F1 = F2 = F = 4 1rc:o · (s1 + s2 )2 �
3, 6 · 04
-
(I)
Abb . 5 .80
d
Dabei darf die Näherungsformel von Kap. 5.18.2) für beide Kügelchen angewandt werden: F1 St F2 s2 � � G 1 h ' G2 l2 G 1 S F· l F1 · l1 F l Daraus folgt s1 = � = G1 I s 2 = G , d . h . t = G2 = 2 1 52 2
(II)
·
261
Die magnetische Flussdichte
�
Damit ist die Auslenkung St des doppelt so schweren Kügelchens halb so groß wie s 2 - siehe Abbildung 5.80. Setzt man S t = d, s2 = � d in (I)/(II) ein, so ergibt 3 3 St Gt d G t qt = sich: Q2 = Ft = 3 Lt 4 1rc:0 · d2 Lt q · q · t Abstand: d3 = _2_ · t 2 \ d. h . d . 3 3 qt · q2 · Lt = 6, 96 cm 4 · c:0 · G t 4 1r c:0 G t (s t = 2, 32 cmjs2 = 4, 64 cm) b) Das Feld in der Mitte zwischen den Ladungen ergibt sich durch Überlagerung der Felder Et des Linken und E2 des rechten Kügelchens dort! Et zeigt nach rechts, q, q2 E2 nach Links und es gilt E 1 = = 2 E , wegen , E2 = 2 d d 2 4 1rco . 2 4 1rco . 2 q 2 = 2 qt ; es bleibt also ein nach links gerichtetes Feld in der Mitte (bei Pt) übrig der Stärke E 4 V 5 · 10-9 C = E2 - Et = Et = = 3 ' 7 · 10 2 m 4 1r · 8, 85 · 10 - t2 Fm - 1 · (0, 0348 m) c) Im �unkt Pf/ Links von Pt, ist die Gesamtfeldstärke gleich 0, wenn sich die Felder Et bzw. E2 der Kügelchen dort aufheben. Sei P2 um rt vom Li nken und um r2 vom rechten Kügelchen weg; so gilt: qt q2 rt + r2 = d (III), Et (rt ) = E2 (r 2), d. h . � � bzw. 4 4 o o 1r 1r t c c 2 r2 2 q2 = = 2 (IV) rt Qt Aus (IV) folgt r2 = V2 rt , und Einsetzen in (III) Liefert rt 1 + = d, d. h. d rt = /2 � 2, 88 cm, r2 = d - rt = 4,06 cm 1+· 2 .
=
•
1r
()
()
()
-
.
.
( v'2)
5.24 Die magnetische Flussdichte In Kap. 5.2.3 wurden die beiden wichtigsten Magnetfelder stromdurchflossener Leiter beschrieben: 1) Abbildung 5.12 a zeigt die gesch lossenen kreisförmigen Feldlinien um einen stromdurchflossenen Draht, deren Richtung durch die Linke-Hand-Regel gegeben ist. Weist der Daumen der Linken Faust in Richtung der Etektronenbewegung, so geben die Finger der Linken Faust die Feldlinienrichtung an. 2) Das Feld einer stromdurchflossenen Spute (Abb. 5.12 b) entspricht außerhalb der Spute dem eines Stabmagnetes; im Inneren der Spule laufen die Feldlinien
parallel und sind dicht - es liegt ein (starkes) homogenes Feld vor.
262
Elektrizitätslehre und Magnetismus
5.24. 1 Definition der Flussdichte Bis jetzt fehlt aber eine Größe, die die Stärke des Magnetfeldes beschreibt, eine Art magnetische Feldstärke. Dazu soll folgender Versuch betrachtet werden (Abb. 5.81) : In einem Hufeisenmagneten befindet sich eine "Leiterschaukelu aus einem Aluminiumstab und zwei Zuleitungsdrähten. Wird die Schaukel vom Strom durchflossen, wird sie nach rechts (siehe Bild) bzw. Links - je nach Polung ausgelenkt. +
Abb . 5 .8 1
Magnetfeld
Die Erklärung ist klar - auslenkende Kraft ist die Lorentzkraft auf die Elektronen im Leiterbügel (siehe Kap. 5.14) . Wovon hängt nun die Gesamtkraft F aufden Bügel
ab?
1) Ein Messversuch Liefert, dass sie proportional zur Stromstärke ist, wenn alle anderen Größen gleich bleiben: F I (Bügellänge d konstant, Magnetfeld gleich bleibend). 2) Man überlegt Leicht, dass sie auch proportional zur Bügellänge sein muss, wenn Stromstärke und Magnetfeld gleich bleiben: F d (I konstant, Magnetfeld gleich) . Grund: I m doppelt s o langen Bügel gibt es dann doppelt s o viele Elektronen, die eine Lorentzkraft erfahren. F Aus 1) und 2) folgt, dass F I d bzw . . = const ist. Diese Konstante hängt I d nur noch von der Stärke des Magnetfeldes ab, sie beschreibt diese Stärke. �
�
tv
·
Definition:
U nter der magnetischen Flussdichte 8 versteht man die Größe F (F5.32) B= wobei F die (auslenkende) Kraft auf einen Leiter der d . I' Länge d quer zum Feld ist, der vom Strom der Stärke I durchflossen (F5.33) wird. Die Einheit der Flussdichte ist 1 Tesla: (B] = 1 � = 1 T Am
Die magnetische Flussdichte
B 7
=7
I=
263
=
cm, 2 A, F 3 mN ergibt sich 3 · 10-3 N = = 0 ' 021 T = 21 mT · 10-2 m · 2 A
Beispiel: Für d
Bemerkungen:
�
T
1. Die Messung der Kraft auf den Leiterbügel erfolgt über dessen Auslenkung s und � (l ist die wie für Pendelkügelchen im elektrischen Feld geltende Formel Bugel die Drahtlänge der Aufhängung) . 2. Die Messung von erfolgt entweder über eine F/dji-Messung und (F5.32) oder über Hallsonden (siehe später) . 3. Die Flussdichte ist ein Vektor in Richtung der Feldlinien: B 4. Die Kraft auf ei nen Leiter senkrecht zum Magnetfeld ist (Abb. 5.82 a) senkrecht zu beiden (Lorentzkraft!) und berech net sich zu I F = I . d . ( F5.34) .
B
BI
§
I)
Abb. 5.82a
_ßs Bs
5. Um die Kraft auf einen Leiter der Länge d (Stromstärke schräg zum Magnet feld zu ermitteln, zerlegt man den Vektor B in Komponenten und Bp senkrecht bzw. parallel zum Leiter. Nur die senkrechte Komponente bewirkt eine (Lo rentz- ) Kraft. (Abb. 5.82 b) - sie steht auf dem Leiter und auf senkrecht und berech net sich zu F · sina (F5.35) . · d · mit
I =I
Bs
Bs = B
I
Bs
Abb. 5.82b
6. Ein Versuch zeigt, dass sich zwei parallele stromdurchflossene Drähte abstoßen, wenn die Stromrichtungen verschieden sind und anziehen, wenn die Stromrich tungen gleich sind. Erklärung: Im Magnetfeld des linken Leiters spürt der rechte Leiter eine ent sprechende Lorentzkraft (Abb. 5.83).
F
264
Elektrizitätslehre und Magnetismus +
F
Abb. 5.83
+
+
+
5.24.2 Magnetische Flussdichte 8 in einer lang gestreckten Spule Die magnetische Flussdichte B, d. h. die "Stärke�� des Magnetfeldes im Inneren einer Lang gestreckten Spule könnte von der Spulenlänge L, der Windungszahl n, der Querschnittsfläche A der Spule abhängen und vom Erregerstrom Ierr durch die Spule. Beim Versuch nach Abbildung 5.84 passt ein kleiner quadratischer Spulen rahmen mit z. B. 50 Wi ndungen und 5 cm Breite gerade in den Schlitz einer großen Spule und spürt deren Magnetfeld. Wird er vom Strom I durchflossen, spürt seine untere Seite im Magnetfeld der Großspule eine Kraft F, die am Kraftmesser abge Lesen werden kann - über I, F und d = 50 5 cm Lässt sich jeweils das B-Feld der Spule bestimmen (F5.32). ·
Abb. 5.84 Man stellt fest:
1
1 . B Ierr (für n, L, A const) 2 . Nicht n bzw. L, sondern die Windungsdichte ist entscheidend: B (für A, Ierr const) (Erklärung: Das Magnetfeld an ei ner Stelle wird nicht verändert, wenn man außen Windungen hinzugibt oder wegnimmt; es wird sich jedoch verdoppeln, wenn man die Windungszahl an der betreffenden Stelle verdoppelt.) 3 . B ist unabhängig von der Querschnittsfläche A der Spule! rv
rv
1
265
Die magnetische Flussdichte
Ierr · �l bzw. BjJ.rerr
nI = const . Diese Konstante ist für eine Spute mit "Luftfüllung" eine Naturkonstante, die magnetische Feldkonstante: Damit folgt:
B
"'
B
.
_6 Tm (F5.36) = 1, 257 10 n A Ierr · -l n Für ei ne LuftgefüLLte Lange Spute gilt somit B = p.0 . 1 . Ierr · Ei n Eisenkern in der Spute verstärkt wegen der Ausrichtung der Etementarmagnete im Eisen durch das Sputenfeld die magnetische Flussdichte um einen Faktor Pr (materiatabhängige Permeabilitätszahl) . Also gilt für die
J.t o
=
--
·
8
Magnetische Flussdichte B
= /10
· · -nl • Ierr Jl·r
im Inneren einer lang gestreckten Spule:
(F5.37)
Aufgabe: Ein quadratischer Drahtrahmen (Seitenlänge 5 cm) steht mit seiner
Fläche senkrecht zu einem Magnetfeld der Flussdichte B = 2 T, in das er halb hineinragt. Welche Kraft erfährt er, wenn er von einem Strom der Stärke I = 3 A durchflossen wird? Lösung: In Abbildung 5.85 steht das Magnetfeld senkrecht zur Zeichenebene und tritt aus ihr heraus, was durch 0 angedeutet ist (ein in die Zeichenebene hineinzeigendes Feld würde mit ® gekennzeichnet) .
F2
Abb. 5.85
l
0 0 0
-0 - -0- - 0 0 0 0 ... 0 0 0
t00 0
f1
F3
Die dünnen Pfeile geben die Richtung des physikalischen Stromes an, die Kräfte auf die Seiten des Rahmens folgen aus der Dreifingerreget und über (F5.34) . N F1 = F2 = 2, 5 cm · 3 A 2 T = 0, 15 mA - = 0, 15 N, Am F3 = 5 cm · 3 A · 2 T = 0 , 3 N Da sich F\ und F2 gegenseitig aufheben, bleibt als Gesamtkraft F = F3 nach unten ! ·
266
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Bemerkung: Die Elementarmagnete (siehe 5.1.2) entstehen durch atomare Ring ströme von Elektronen (Abb . 5.86 und linke Faustregel)
Abb. 5 .8 6
5.25 Lorentzkraft auf ein Elektron (quantitativ), Hall-Effekt 5.25. 1 Eine Formel für die Stromstärke im Leiter Gemäß Abbildung 5.87 sei der Elektronenstrom in einem Leiterstück der Länge l und der Querschnittsfläche A betrachtet. Im Drahtvolumen V "" l · A sollen sich im Durchschnitt N Elektronen mit der Geschwindigkeit v befinden.
Abb. 5. 8 7
�bt-��r� I
�
A
Wenn .6..t die Zeit ist, die ein Elektron zum Durchlaufen der Drahtlänge l benötigt, so ist v = bzw . .6.t = ! (I) . Weil Stromstärke ja Ladung pro Zeit ist, gilt N e I= : in er Zeit .6.t si d gerade so viele Elektronen durch die linke Quer t schnittsfläche ins Volumen V eingedrungen, wie sich im zeitlichen Mittel darin aufhalten, also N, und ihre Ladung hat den Betrag N · e.
�
�
�
I ;z;
Setzt man hier (I) ein, so ergibt sich: I =
I SI
=
N
· � · v I (F5.38) .
Unter der Teilchendichte n versteht man die Anzahl der Teilchen pro Volumen, d. h . n
(F5.39)
Lorentzkraft auf ein Elektron (quantitativ), Hall-Effekt
267
Setzt man das Volumen V = l · A und (F5.39) in (F5.38) ein, so ergibt sich Nev NevA = NevA = = n . e . v . A, also: I= l l·A V I= n e · (F5.40) v A t
B:lldichtc
t
Gc.dn•indlg�.clt der Eldctronon
t
Qumcr.nh::fllcl>>
5.25.2 Lorentzkraft auf ein Elektron In einem Magnetfeld senkrecht zum Drahtstück erfährt dieses die Lorentzkraft (siehe F5.34) F = B · I l; die Kraft auf ein einzelnes Elektron ist dann Fi = � = N 1 N·e·v (mit (F5.38)) = · B · l · N l ·
Also Lorentzkraft auf ein senkrecht zum B-Feld bewegtes Elektron der Geschwindig keit v:
I FL = e · B · v I (F5.41)
Verallgemeinerung auf ein Teilchen der Ladung q (Betrag) Liefert die Lorentzkraft:
I FL = q
·
l
B · v (F5.42)
Bemerkung: Auch in (F5.42) ist angenommen, dass das Teilchen sich senkrecht
zum B-Feld bewegt . Oie Kraftrichtung ergibt sich bei negativ geladenen Teilchen mit der Dreifingerregel der linken Hand, bei positiv geladenen Teilchen ist es die Gegenrichtung. Bewegt sich das Teilchen schräg zum Magnetfeld, so kann man seine Geschwindigkeit v in Komponenten Vp bzw. Vs parallel bzw. senkrecht zum B-Feld zerlegen - nur Vs liefert dann eine Lorentzkraft mit FL = q · B · Vs ! 5.24.3 Der Hall-Effekt
Im Halbleiterplättchen von Abbildung 5.88 werde durch eine äußere Spannung U 1 ein Elektronenstrom nach rechts erzeugt; sen krecht dazu steht ein Magnetfeld (0), das in die Zeichenebene hineinzeigt. Im Magnetfeld erfahren die Elektronen die Lorentzkraft FL nach unten - Elektronen werden nach unten getrieben, die untere Seite lädt sich negativ, die obere positiv auf. Es baut sich ei ne Spannung UH zwischen Ober- und Unterseite des Plättchens auf, die bewirkt, dass eine zweite Kraft, eine elektrische Feldkraft FE in Gegenrichtung zu K wirkt. Schließ lich stellt sich ein Kräftegleichgewicht ei n: FL = F E
Elektrizitätslehre und Magnetismus
268
/:I + + 1 + /I
Magnetfeld
® I FE - I I �I - -
r---
....
/
0
-
®-
f.b_
t
-
I
Also: B . e
l
--& -
I-
- +
Abb . 5 . 88
h
V
-
:.00
A
« I
'!' UH
-�
uH V :::::: e . E :::::: e . bzw. U H = B . V . h (F5.43)
h Mithilfe von (F5.40) folgt I = n e · v · A = n · e · v b h und damit Lässt sich die experimentell schlecht zugängliche Geschwindigkeit v durch I ausdrücken: I V= n·e·b·h Einsetzen in (F5.43) Liefert die Formel für die Hallspannung UH: .
·
·
·
---
I
.
UH = B .
I
I (F5.44) n·e·b
Bemerkungen:
1. Die Hallspannung ist proportional zur Flussdichte: UH B; in der Hallsonde gibt es ein Halbleiterplättchen, über dessen Hallspannung die Flussdichte ge messen wird. 2. Mittels (F5.44) Lässt sich über eine Messung von UH, B, I, b die Dichte n der effektiven Ladungsträger messen! I'V
5.26 Geladene Teilchen in elektrischen Feldern, Millikanversuch 5.26. 1 Elektronenvolt In einer Elektronenröhre werden Elektronen aus der Kathode herausgeglüht und durch eine Spannung U beschleunigt; das elektrische Feld verrichtet an ihnen die Arbeit W = q · U, die normalerweise in Bewegungsenergie verwandelt wird. Durchläuft ein Elektron mit q = e = 1,6 · 10 -19 C die Spannung U = 1 V, so wird an ihm die Arbeit W = 1 eV = 1, 6 . 10- 19 C . 1 V = 1, 6 . 10-19 J (F5.45) ver richtet. 1 eV ist also ei ne Arbeits- bzw. Energieeinheit (Elektronenvolt) .
I
I
269
Geladene Teilchen in elektrischen Feldern, Millikanversuch
5.26.2 Parabelbahnen bei Teilchen im Kondensatorfeld Wird ei n geladenes Teilchen senkrecht zu den elektrischen Feldlinien in einen Kondensator mit der Geschwi ndigkeit lio eingeschossen (z. B. in Abbildung 5.89 ein Elektron), so durch läuft es dort eine Parabelbahn. Es wird beim Verlassen des Kondensators schräg unter dem Winkel o: zur Einschussrichtung mit der Quer geschwindigkeit v1 und der Gesamtgeschwindigkeit v9� weiterfliegen und ist um die Strecke Yt quer abgelenkt. Legt man nämlich ein Achsenkreuz gemäß Abbildung 5.89 zugrunde und startet die Uhr beim Eintritt des Teilchens ins Feld, so überlagern sich eine gleichförmige Bewegung in x-Richtung mit 'Vo und ei ne gleichmäßig beschleu nigte Bewegung in y-Richtung mit Beschleunigung ä mit a=
Fel
m
=
·
E q Uy q ( F5.46) = m d.m ·
Abb . 5 . 89
y
(vergleiche waagrechter Wurf, Kap. 1.9.2, 1. Fall) und es gilt:
·
x(t) = v0 t, vx (t) = v0, y(t) = � a · t2 , vy(t) = a · t (F5.47 a bis d) . 2
(�)
2 Einsetzen von t = � aus ( F5.47 a) in (F5.47 c) liefert: y = � a , d. h. 2 v0 v0 a y = -2 X 2 rv X2 (F5.48) 2 v0 (F5.48) mit a aus (F5.46) ist die Gleichung der Parabelbahn. Für das Durchlaufen des Kondensators braucht das Teilchen die Zeit t1 = �� in der es die Quer 0 ablenkung Yt = � ati und die Quergesch windigkeit Vt � a · t1 erfährt; für den 2 v Ablenkwinkel gilt tan o: = \ außerdem ist v9� = v� + � · ·
r------, •
Vo
J
5.26.3 Bremsbewegung Schießt man ein geladenes Teilchen mit der Anfangsgeschwindigkeit % parallel zum elektrischen Feld so ein, dass die Feldkraft entgegengesetzt zu ilo ist, so
270
Elektrizitätslehre und Magnetismus
�)
erfolgt eine Bremsbewegung (vergleiche Kap 1.9.3} bis das Teilchen zum Stillstand kommt, danach wird es in Gegenrichtung zu v0 beschleunigt. F Im homogenen Feld gilt mit Fel = E q, a = L :
(
·
s (t) = v0 t - � at2 (F5.49 a, b) 2 v(t) = vo - at ·
Die Differenz in (F5.49 a, b) rührt daher, dass es sich um eine Ü berlagerung einer gleichförmigen und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung handelt, die beide entgegengesetzt gerichtet sind. 5.26.4 Millikanversuch - Bestimmung der Elementarladung e Man sprüht kleine Öltröpfchen durch eine enge Öffnung in ei nem dosenförmigen Kondensator (Abb. 5 .90} . Beim Zerstäuben werden die Tröpfchen geladen - ihnen werden Elektronen entrissen bzw. zusätzliche Elektronen übertragen . Wenn die Tröpfchen negativ geladen sind, wirkt auf sie die Feldkraft F = q · E nach oben und die Gewichtskraft G nach unten. Durch Variieren der Spannung und damit der Feldstärke E kann man Kräftegleichgewicht herstellen und ei n Teilchen zum
u
Schweben bringen - dann gilt G = q · E = q · d bzw.
r=Dl � (F5.50} .
Durch
Ablesen von U kann man bei Kenntnis von G (und d) also die Ladung q der Tröpfchen ermitteln. G bestimmt man aus der Sinkgeschwindigkeit des Teilchens nach Abschalten von U (dann gleichförmige Bewegung wegen Luftwiderstand). Man stellt fest, dass die gemessenen Ladungswerte für q immer ein Vielfaches von 1,6 10-19 C sind und schließt daraus, dass dieser Wert die Elementarladung eines Elektrons ist! ·
+
Abb . 5 .90
dl t:
l
E1nspoühen
u
5.2 7 Teilchen in magnetischen und elektrischen Feldern 5.27. 1 Teilchen in magnetischen Feldern Erzeugt man in einer Röhre einen Elektronenstrahl und lässt senkrecht dazu das Magnetfeld eines Helmholtz-Spulenpaars wirken, so durchlaufen die Elektronen eine Kreisbahn. In Abbildung 5.91 ist das Magnetfeld (,�) senkrecht zur Zeichen-
271
Teilchen in magnetischen und elektrischen Feldern
ebene und zeigt in diese hinein. Durch Füllung der Röhre mit etwas Gas kann man den an sich unsichtbaren Elektronenstrahl (bläulich) sichtbar machen. Helmhottzspufen
Elektronenquelle Fadenstrahlröhre
Elektronenstrahl
Abb. 5 . 9 1
Erklärung: Die Lorentzkraft wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektro
nen (und senkrecht zum Feld siehe Kap. 5.14). Sie stellt eine Zentripetalkraft dar, welche die Elektronen auf eine Kreisbahn - senkrecht zum Magnetfeld - zwingt. Wie in Kap. 1.15.5 erläutert (horizontale Kreisbewegung) verrichtet diese Lorentz kraft keine Arbeit an den Elektronen (sie steht ja stets sen krecht zu V), macht diese also nicht /lschneller', ändert aber dauernd deren Bewegungsrichtung. Setzt man das Wirken der Lorentzkraft als Zentripetalkraft rechnerisch um, so folgt mit m · v2 · B r= (F1.26) und (F5.42): · B · v = bzw. v mit = e ft.ir Elektronen . r m Werden die Elektronen (Teilchen) durch eine Anodenspan nung UA auf die Ge2U · schwindigkeit v gebracht, so gilt nach (F5.1 1) v = setzt man gleich, B·r uA . so folgt = und durch weitere Umformung ergibt sich m m � 2 UA m = Bz . r2 (F5.51)
q
q
·
.------,
--
q
·
q
J � q;
ppq
Die Gl. (F5.51) gestattet es, durch Messung von UA und B sowie des Kreisradius r den Quotienten q/m (bei Elektronen o/m ) experimentell zu ermitteln - man erhält 11 c elm /1 = 1 ' 759 · 10 kg Bei Kenntnis von e kann man damit die Elektronenmasse bestimmen: m � 9, 1 10 -3 1 kg. ·
Bemerkungen:
1) Im Magnetfeld gilt ft.ir die Kreisbahn (s. o.) ei nes Teilchens:
I
q
I
· B r = m · v = p (Impuls) (F5.52) . ·
2 r Für die Umlaufzeit des Teilchens gilt: T = 1r bzw. mit (F5.52) V
272
Elektrizitätslehre und Magnetismus
� (F5.53) �
Die Umlaufzeit hängt also nicht primär vom Radius bzw. der Einschussgeschwin digkeit des Teilchens ab, sondern nur von der Flussdichte B und dem Quotienten o/m . Zur Verkürzung der Umlaufzeit muss man B vergrößern ! 2 m 2) Aus ( F5.51) folgt r2 = ; vergrößert man also die Flussdichte, so wird r B q kleiner, vergrößert man die Anodenspannung, wird r größer.
�A .
3 ) Ein Elektron werde nicht senkrecht zum B-Feld eingeschossen, sondern schräg (Abweichungswinkel rp von der Senkrechten). Man zerlegt dann die Geschwindigkeit v in Komponenten Vs und Vp senkrecht bzw. parallel zum Magnetfeld (Abb. 5.92 ) . Vs bewirkt eine Kreisbewegung senkrecht zum B-Feld mit Radius 2 nm V m m v cos rp = -8 gemäß (F5.52) , (F5.53). r= s 8 = und T 8 ·e e· ·e Gleichzeitig findet eine ihr überlagerte gleichförmige Bewegung parallel zum B-Feld mit der Geschwi ndigkeit Vp statt. Ihre Ü berlagerung ist die in Abbildung 5.92 skizzierte Schraubenbahn mit 2 nm v sin
·
·
-
--
Abb. 5.92
Aus dem Weltraum (z. B . von der Sonne) fliegen ständig geladene Teilchen in das Magnetfeld der Erde, machen dort Schraubenbewegungen um die Feldlinien und kehren im inhomogenen stärker werdenden Feld in der Gegend der Pole um. Stoßen sie dort auf Luftmoleküle, so kön nen Leuchterscheinungen entstehen (Nordlicht) . Das Feld hält wie eine magnetische Flasche die Teilchen in mehreren "Strahlungsgürteln" gefangen und hält so einen großen Teil der kosmischen Höhenstrahlung von uns ab. 4)
__.
__.
5.2 7.2 E-Feld und B-Feld senkrecht zueinander Gemäß Abbildung 5.93 bewegt sich ein geladenes Teilchen mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu einem Magnet- und elektrischen Feld (die Felder sind ihrerseits senk recht zueinander) und erfährt dabei eine elektrische Feldkraft Fet und eine Lorentz kraft FL. Diese können entgegengesetzt sein und sich aufheben - dann gilt:
273
Teilchen in magnetischen und elektrischen Feldern
l ��
F, = F,, bzw. q · B · v = q · E bzw. v
( F5.54)
Fe!
§
®
®
®
®
E
Abb. 5.93
�
�
® v
FL
®
In diesem Falte ist das Teilchen kräftefrei und fliegt geradeaus weiter, während für v > oder v < ei ne der beiden Kräfte überwiegt und das Teilchen ablenkt. Man kann also durch Variation von E bzw. B Teilchen ei ner bestim mten Geschwindigkeit geradeaus fliegen Lassen und so aussondern (Wienscher Geschwi ndigkeitsfilter) Anwendung: Massenspektrometer
Hat man Teilchen unterschiedlichster Masse und Geschwindig keit (Ionen) und will diese sortieren und gegebenenfalls Masse und Geschwindigkeit bestimmen, so kann man sie (Abb. 5.94) zunächst durch gekreuzte Felder Laufen Lassen und in diesem Geschwi ndigkeitsfilter Teilchen einer bestim mten Geschwindigkeit v ausmv sortieren. Diese Laufen danach durch das reine B-Feld, wo nach (F5.52) ja r = B·q gilt: Teilchen unterschiedlicher Masse Laufen bei gleichem v und B (und q) auf verschiedenen Kreisen (Massentrennung). E
Telfehenquelle
®
V
Geschwincfgkeltsfilter
Abb. 5.94
Massen trennung
5.27.3 Teilchenbeschleuniger U m Kern reaktionen mit Teilchen (z. B. geladenen Ionen) durchzuführen, muss man diese mit hohen Geschwindigkeiten aufeinander treffen Lassen, um ihre Coulombabstoßung zu überwinden - man muss sie also beschleunigen. 1. In Kreisbeschleunigern mit festem Radius werden die Teilchen durch ein Mag netfeld auf eine Kreisbahn gezwungen und gewinnen bei jedem Umlauf die Energie W = q · U m·V Problem: Wegen r = muss für konstanten Radius B v wachsen B q (Abb. 5.95 a) . -.
.-v
274
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Abb . 5 .9 5 a
2. Beim Zyklotron (Abb. 5.95 b) Liefert einen Ionenquelle im Zentrum die Ionen, die zwischen zwei Halbdosen durch eine Spannung beschleunigt und über ein m v Magnetfeld auf Kreisbahnen gezwungen werden. Hier wird r = · bei konstan tem B mit wachsendem v im mer größer, aber T = 2 1rm (s e h� (F5.53)) ist q·B unabhängig von r und v, also konstant. Man wählt die Periode der Wechselspan nung U gerade so groß wie T - dann hat sich nach einem halben Umlauf die Polung der Halbdosen vertauscht, sodass die Teilchen je Umlauf zwei mal beschleunigt werden (immer dann, wenn sie den Spalt passieren) .
�
Abb . 5 . 95b
Aufgaben: 1) Elektronen werden durch die Anodenspannung UA = 1 kV beschleu
nigt und quer zum elektrischen Feld eines Kondensators (quadratische Platten mit 4 cm Kanten länge, Plattenabstand 1 cm) eingeschossen (mittig). Welche Quer ablenkung y1 erfahren sie im Kondensator, wenn an ihm die Plattenspan nung Uy = 50 V liegt? Welche Querablenkung y2 erfahren sie - die hinter dem Kondensator schräg weiterfliegen - auf einem 40 cm hinter dem Kondensator stehenden Schirm? Man zeige, dass diese Querablenkung proportional zu Uy ist (Prinzip des Oszillogra phen !) Was sieht man auf dem Schirm, wenn Uy Wechselspan nung der Amplitude 50 V und der Frequenz 50 Hz ist? Jetzt wird das elektrische Feld im Kondensator durch ein magnetisches in gleicher Richtung ersetzt. Man ermittle die Flussdichte, wenn die Elektronen den Kondensator genau an der Ecke verlassen. 2) Positive Ionen verschiedener Masse durchlaufen ein gekreuztes E- und B-Feld geradlinig und senkrecht zu den Feldlinien (E = 50 kvm-1, B = 0,25 T) . Wie schnell
275
Teilchen in magnetischen und elektrischen Feldern
sind sie? Die Ionenladung sei q = 2 e - welche Massen haben die Ionen, wenn sie Kreise mit 20 cm bzw. 33 � cm Durch messer durch laufen? 3 Lösung zu 1): Einschussgeschwi ndigkeit v0: � mv� = UA · e, also 2 1 3 m· 2 · 10 V L 6 · 10 - 9 C � 1 9 · 10 7 v0 = = ' 1 3 s' 9, 1 · 10 - kg l 0 04 m � -9 . 2 , 1 · 10 s; Durchflugzett: t1 = - = v0 1, 9 · 10 7 s F E e Uy · e 50 V · 1, 6 · 10-19 C . Besc hleum gun g: a = - = = -= d m 0 , 0 1 m 9 1 . 1 Q-3 1 kg m m m 1 4 = 8, 8 · 10 -2 s 1 m Querablenkung y1 : y1 = 2 ati = 4, 4 · 10 14 s2 · 4, 41 · 10- 18 s2 = 1, 94 mm; m Quergeschwindigkeit: v 1 = a t1 = 1, 85 . 106 ; s 6 mJs 1 85 · 10 v , 1 1/. � 0, 1 - o: = 5 , 56 . Ablen I<wm • 1<e l: tan o: = - = v0 1 , 9 10 7 m1s Zwischen Kondensator und Schirm fliegen die Elektronen geradlinig schräg un ter a (Abb. 5.96 a); es gilt: tan o: = __1!_ bzw. y1' = 0,4 m tana = 38,94 mm 40 cm Querablenkung Y2 : Y2 = Yt + Y1' = 38,94 mm + 1,94 mm � 4,1 cm .----·
.
·
'
m
,
·
-
·
·
.
·
0
·
·
( l)
2 v 1 Uy e 1 Y1 = - at21 = - · - "" Uy; y1 = 40 cm · tan a = 40 cm · -1 v0 2 2 d m v0 a·t l Uy · e . st Y = y + Y U y y,1 = 40 cm · 1 = 40 cm 2 · ; damtt U t 2 1 1 "" )' "" v0 d · m 1 Wechselspannung: Die Periode T = s = 2 · 10-2 s ist ca. 10 Millionen Mal so 50 groß wie die Durchflugzeit; man darf also annehmen, dass während des Durchflugs irgendeines Elektrons am Kondensator eine konstante Spannung Uy mit - 50 V Uy + 50 V liegt. Das Elektron trifft also zwischen 4,1 cm oberhalb und 4,1 cm unterhalb des Punktes A (Abb. 5.96 a) auf - insgesamt sieht man auf den Schirm eine Strecke (Vertikale) von 8,2 cm Länge. Im Falle eines Magnetfeldes durchlaufen die Elektronen im Kondensator ein Stück einer Kreisbahn (Kreismittelpunkt M) wie in Abbildung 5.96 b gezeigt. Nach Pythagoras gilt: r2 = (4 cm) 2 + (r - 2 cm)2 , also 2 = 16 cm 2 + r2 - 4 cm r + 4 cm2 bzw. r = 5 cm Somit nach (F5.52) : kg 9, 1 · 10-3 1 kg · 1, 9 · 107 ms B = mv0 = = 2 ' 16 · 10_3 fi = 2 ' 16 mT 1 e·r 1, 6 10- 9 C · 0, 05 m Am Proportionalität:
·
Vo
-·
---
·
·
-
,
,
.
--
-
<
<
r
-
-
·
276
Elektrizitätslehre und Magnetismus Schirm A
Y2
Abb. 5.9 6a: Seitenansicht
40 cm M
r
0 0
0
Abb. 5.96b: Sicht von oben
0
E 50 · 10 3 V W 5 m = 200 10 3 = 2 . 10 N s B m 0 ' 25 Am N q · B · r 2 e · B · 2� = Nach ( F5.52) ist m = V V . m = 1 ' 6 · 10-19 C 0 25 T · 0 2 m = 4 · 10-26 kg = 24 u m1t. u = 1,66 Also 1st 1 2 · 10� 2 7 10 kg als atomarer Massenein fi eit (etwa Masse eines Protons) und m 2 = 6,66 · 10-26 kg = 40 u (Es könnte sich um Mg 2+- bzw. Ca2+-Ionen handeln). ..
Losung zu 2 ) : Es g1'lt v = - =
·
·
·
·
-
-
'
m
·
5.28 Ladungsträger in Gasen Legt man an eine gasgefüllte Glasröhre eine Spannung von ca. 4 kV an, so passiert nichts - es fließt kein Strom und das Gas Leuchtet nicht. Wird dagegen das Gas stark verdünnt und Spannung angelegt, so fließt Strom und das Gas Leuchtet (Abb. 5.97) : An der Kathode erkennt man das fluoreszierende Glimmlicht, dann folgt eine Dunkelzone, an der Anode bildet sich eine Leuchtende Säule mit Schichtstruktur aus (alles ist abhängig von der Gasart und vom Druck) .
277
Ladungsträger in Gasen
Dunkelzone ----+ Auoreszierendes
Glimmficht
}
Anode Säule mit Schichtstruktur
Kathode
Abb . 5 . 9 7
Erklärung: Im verdünnten Gas befinden sich einige positive Ionen, die durch die
Spannung auf die Kathode zu beschleunigt werden und beim AufpraLL aus ihr Elektronen herausschlagen. Die Elektronen werden durch die Spannung in Rich tung Anode beschleunigt und stoßen auf Gasatome; dabei erzeugen sie neue Ionen, die ihrerseits wieder zur Kathode kommen . Elektronen und Ionen wachsen Lawinenartig an, es kommt zu messbarem Stromfluss, man spricht von einer selbstständigen Gesamtladung (die Ladungs träger erzeugen sich selbst) . Dabei gibt es zwei verschiedene Teilchenströme Elektronen fliegen von der Kathode zur Anode (Kathodenstrahlen), positive Ionen fliegen zur Kathode (historisch heißen sie Kanalstrahlen). Ei n Ion kann aber nur dann Elektronen aus der Kathode schlagen, wenn es im E-Feld auf der Beschleunigungsstrecke der Länge L genügend Bewegungsenergie W "' F · L "' e E · L erhält; Entsprechendes gilt für Elektronen, die durch Stoß Gasatome ionisieren soLLen. Beim unverdünnten Gas ist die mittlerefreie Weglänge L zwischen zwei Stößen, d. h . die Beschleunigungsstrecke, zu kurz, weil die Gas atome dicht sitzen - so ergibt sich kein Lawineneffekt. Beim Stoß von Elektronen auf Gasatome übertragen erstere Energie auf die Gasatome - dabei kann zweierlei passieren: Die Gasatome können die Energie in Form von Licht wieder abgeben (siehe Atomphysik, Kapitel 6), was die Leucht säule erklärt; die Energie kann aber auch ausreichen, um ein Elektron des Gas atoms herauszuschlagen, wodurch ei n Ion erzeugt wird. Die genaue Erklärung der Leuchtzonen ist kompliziert. Grob kann man sagen, dass die Elektronen in der Glimmlichtzone schon genug Energie haben, die Gasatome zum Leuchten zu bringen; in der Dunkelzone sind sie zu schneLL, d. h. ihre Verweildauer bei den Gasatomen ist zu kurz. Am Ende der Dunkelzone haben sie genügend Energie, um Gasatome zu ionisieren - dabei verlieren sie fast aLLe Energie. In den Dunkelzonen zwischen den Schichten sammeln die Elektronen wieder Energie flir die nächsten Stöße. ·
278
Elektrizitätslehre und Magnetismus
5.29 Elektromagnetische Induktion - 2. Teil (quantitativ) Lässt man die Leiterschaukel von Kap. 5.24.1) durch das Mag netfeld schwi ngen, so wird - mit einem Messverstärker nachweisbar - an den Enden der Schaukel Spannung induziert; auch bei einer Spule, die sich im Magnetfeld dreht wird Spannung induziert. Bewegt sich ein Leiter quer zum Magnetfeld, so wird an ihm Spannung induziert - diese 1. Grundaussage der Induktion wurde in Kap. 5.15 qualitativ über die Lorentzkraft erklärt. Die quantitative Frage nach der Größe der Induktionsspan nung und die Behandlung der 2. Art von Induktion (Spannung durch Änderung des Magnetfeldes in einer Spule) stehen noch aus. Zunächst soll die Erklärung von Kap. 5.15 (Abb. 5.43 a) quantifiziert werden. Dabei wird ein Leiterstab quer zum Feld mit v nach oben bewegt, wobei die Elektronen im Stab die Lorentzkraft FL mit FL = e · B · v erfahren. Daher sammeln sie sich am vorderen Stabende (Überschuss), während hinten am Stab Elektronen mangel herrscht - es baut sich ein elektrisches Feld auf, das der Lorentzkraft die Feldkraft Fel mit Fet = E · e = · e entgegensetzt (l ist die Stablänge, U die Spannung zwischen den Stabenden). Rasch stellt sich ein Gleichgewicht ein, e = e · B · v bzw. U ind = B · v · l (F5.55) bei dem gilt: Fel = FL bzw. (F5.55) gibt die an einem Leiterstab induzierte Spannung an, der senkrecht zum Feld der Flussdichte B mit v bewegt wird. Bei einer Leiterschleife, die sich senkrecht zum Magnetfeld dreht, gilt entsprechend Uind = 2 B v l, da sich gemäß Abbildung 5.43 b die beiden Spannungen an den Längsseiten addieren. Umdeutung: Eine Leiterschleife wird durch ein Magnetfeld gezogen. In Abbil dung 5.98 a taucht die Schleife ins Magnetfeld (unterhalb der gestrichelten) Linie ein - am unteren Leiterbügel wird Spannung U = B · Vs l induziert (rechte Seite Pluspol, linke Minuspol), am oberen außerhalb des Feldes wird keine Spannung induziert; also wird an der Schleife insgesamt Spannung induziert (Minuspol oben).
Y
�
l
l
·
·
·
·
•
Abb . 5.98a
In Abbildung 5.98 b wird die Schleife innerhalb des Feldes bewegt. An beiden Strängen wird die Spannung U = B V s l induziert - zwischen den Schleifenenden ·
•
gibt es keine Spannung.
Abb. 5. 98b
® ®
+ +
®
U ind = 0
Elektromagnetische Induktion -
2.
279
Teil (quantitativ)
In Abbildung 5.98 c verlässt die Schleife das Magnetfeld - nur am oberen Strang wird Spannung induziert! Daher wird insgesamt zwischen den Enden der Schleife die Spannung U = B · Vs · l jnduziert.
Abb. 5 . 98 c
Sei nun As = s · l diejenige Fläche der Spule (getönt), die jeweils felddurchsetzt ist und senkrecht zum B-Feld steht. In Abbildung 5.98 b ändert sich As nicht, im Falle der Abbildung 5.98 a wird As größer, im Falle in Abbildung 5.98 c kleiner. Offensichtljch wird genau dann Spannung an der Spule induziert, wenn As sich zeitlich ändert!
I
I
.-----------------,
ßs = ß (s · l) = B ßAs (F5.56) Außerdem gllt: Uind = B · Vs · l = B · ·l B· ßt ßt ßt . Die induzierte Spannung ist in diesem Falle gleich dem Produkt aus magneti sche Flussdichte B und der zeitlichen Änderung der felddurchsetzten Fläche ßAs senkrecht zum Feld -. ßt ·
· -
Ü berprüfung der Formel ( F5.56) bei der sich im Magnetfeld drehenden Leiterschleife
In Abbildung 5.99 a ist die sich drehende Leiterschleife räumlich dargestellt, in Abbildung 5.99 b in Seitensicht.
Abb. 5 . 99a
".
Drehachse
(perspektivisch)
..
v
B
Abb. 5 . 99b
(Seitenansicht)
280
Elektrizitätslehre und Magnetismus
{ } 2 2 /!T
Die Fläche der Leiterschleife ist A = 2 r · l, die felddurchsetzte Fläche As senkA für
2
'
As (t) = r · l · sin
�
II
(3..f- · t)
·
2
(F5.57)
ßAs nähert sich für kleine Zeiten .6.t(.6.t 0) der zeitlichen Ableitung Äs (t) der .6.t Funktion As (t) an - also 1r 1r 1ir 1r .6.As r · L · cos - · t · - = 2 L · - cos - · t � As(t) = .6.t T T T T
2 ( 2 ) 2 2 (2 ) 2 2 2 (-2 ) 2 �
.
•
-
'-v--" rp
1rr Da 1rr der Umfang des Drehkreises ist, ist = v die Drehgeschwindigkeit der T Elektronen auf den Bügellängsseiten. Aus (F5.56) ergibt sich die an der Leiter schleife induzierte Span nung zu
Uind(t) = 8
.6.As .6.t
·- �
B · l · V · COS
1f
T
·t
'-v--" rp
( F5.58)
Uind (t) von (F5.58) ist die momentane induzierte Spannung (.6.t ---�- 0); man überprüft leicht, dass in den Spezialfällen eine zentrale Rolle - es heißt nach Faraday magnetischer Fluss . Da sich im Falle eines im konstanten Magnetfeld bewegten Leiters nur ASI nicht aber B ändert, ist .6.As = .6. 4> für ei ne Leiterschleife .6. r:f> = ß (As · B) = B · .6.As; also ist U ind = B · .6.t .6.t .6. und U in d = n · -r:f> für eine Spule mit n Windungen. ßt
Elektromagnetische Induktion -
2.
281
Teil (quantitativ)
Induktionsgesetz: 1. Der magnetische Fluss
= B A5; Einheit: [4>] = 1 Tm 2 = 1 !!._ · m 2 = 1 � = 1 Vs F5.59 a, b
(
)
A Am 2. Die bei der Bewegung von Spulen mit n Windungen im Magnetfeld induzierte 4> Spannung U i nd hängt nicht vom Fluss
·
4> (
�
)
-
( )( ) Für die Herleitung von ( F5.58) hätte man das Induktionsgesetz bzw. seine Vorstufe ( F5.56) nicht gebraucht - man hätte auch die Geschwindigkeit v in Abbildung 5.99 b in Komponenten parallel und senkrecht zum Magnetfeld zerle ·
gen und die Lorentzkraft ausnutzen können. Auch bei allen anderen Vorgängen, wo ei n Leiter im ruhenden Feld bewegt wird, kommt man mit der Lorentzkraft zum Ziel. Allerdings gestattet das Induktionsgesetz auch die Berechnung der Induk tionsspannung in dem Fall, in dem sich nur das Feld innerhalb einer Spule ändert z. B. Einschaltvorgang bei einer Spule mit Eisenkern - siehe Kap. 5.15.2, Punkt 2, 2. Grundaussage der Induktion oder in dem sowohl Leiter bewegt werden als auch Magnetfelder sich ändern. ndert sich beispielsweise in einer ruhenden Spule mit n Windungen das Magnetfeld, so wird an ihr die Spannung U ind induziert mit
(
Ä )
(siehe F5.60) momentan
Ü ind = n
I Uind(t) = n
·
·
( ) J ( F5.61 a) .
ßB .6. As · B ß = n . As . =n .6.t ßt ßt
4>
As
·
·
B
( F5.61) bzw.
Problem: Ein Leiterstab schaukelt durch ein Magnetfeld; dabei wird zwischen seinen Enden Spannung induziert. Damit könnte man Abb. 5.100 ein Glühhirn ehen betreiben. Erhielte man so ein "Perpetuum Mobile 1. Art", wenn man die Reibung beim Schaukeln ausschalten würde?
(
Abb. 5 . 100
Elel
)
282
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Erläuterung: Wenn Strom durch das Birnchen fließt (vom Minuspol des Stabes zum Pluspol) , so müssen - zur Aufrechterhaltung der Spannung - auch Elektronen im Stab fließen - von Plus nach Minus! Dieser Elektronenstrom im Stab bewirkt aber eine zweite Lorentzkraft FL im Stab, die der Schwingbewegung entgegengerichtet ist, sie also abbremst. Also wird die Bewegung, welche Ursache für die Induktionsspannung war, abgebremst, wenn man diese Spannung zur Stromgewinnung ( Lämpchen Leuchtet) nutzt - kein Perpetuum Mobile!
Lenz'sche Regel: Induktionsspannungen sind stets so gepolt, dass sie durch
ihren Strom ihrer Ursache entgegenwirken können. Man schreibt daher sym bolisch statt (F5.60): Uin d = - n · � ( F5.62) 5.29. 1 Wirbelströme: Eine Pendelplatte aus Metall schwinge hin und her. Schaltet man ein Magnetfeld senkrecht zur Platte ein, wird das Pendel sofort abgebremst. Erklärung: In Abbildung 5.101 schwingt das Pendel nach Li nks. Im Bereich des gestrichelten Quadrats durchdringt das Magnetfeld die Platte - dort gibt es Lorentzkräfte, die für eine Induktionsspannung (+ oben, - unten ) sorgen. Außer halb des Magnetfeldbereiches werden Elektronen in der Metallplatte von - nach + fließen; im Magnetfeldbereich müssen dann - zur Aufrechterhaltung der Span nung - Elektronen von + nach - fließen. Dadurch ergibt sich eine zweite Lorentz kraft FLnach rechts, die die Bewegung abbremst. Schwingt das Pendel nach rechts, wirkt die zweite Lorentzkraft nach Links und bremst ebenfalls.
FL
Abb . 5 . 101
Bemerkungen:
1. Dieses Prinzip der Bremsung durch Wirbelströme wird tech nisch ausgenutzt
(Wirbelstrombremse) , indem man zum Bremsen ein Magnetfeld einschaltet - dem
Pendel entsprechen sich drehende Räder. 2. Sägt man ins Pendel vertikale Schlitze, so kön nen sich keine Wirbelströme ausbilden - kein Bremseffekt!
Elektromagnetische Induktion -
2.
283
Teil (quantitativ)
3 . Dreht man einen Hufeisenmagneten unter einer Kupferscheibe, so dreht sich diese ein Stück mit (Prinzip des Tachometers). Zur Erklärung denke man sich eine Drehung des Magneten im Gegen uhrzeigersin n unter der ruhenden Scheibe. Vom ruhend gedachten Magneten aus (Standpunktwechsel) dreht sich stattdessen die Kupferscheibe im Uhrzeigersinn! An ihr wird Spannung induziert; es bilden sich Wirbelströme, Lorentzkräfte "bremsen " die Scheibendrehung - tatsächlich setzen sie die Scheibe im Gegenuhrzeigersinn in Bewegung! Ein an der Scheibe befes tigter Zeiger ("Tachozeiger'') dreht sich mit ihr, die Drehung ist umso stärker, je größer die Drehgeschwindigkeit des Magneten ist. 5.29.2 Versuch "Aluring-''lSpulenmagnet Bei diesem Versuch hängt ein nichtmagnetischer Aluminiumring über dem Weich eisenkern einer Magnetspule (Abb. 5.102).
+ Abb. 5.102
Abstoßung
- �halter
Beim Einschalten wird der Ring abgestoßen, beim Ausschalten angezogen.
Erklärung: Das Einschalten des Magnetfeldes ändert den Fluss B durch den Ring an ihm (geschlossene Leiterschleife) wird Spannung induziert, es entsteht ein Kreisstrom im Ring. Der Kreisstrom bewirkt ein Magnetfeld, sodass der Ring wie ein Stabmagnet wirkt (vergleiche Abbildung 5.86). In diesem Falle ist (Lenz'sche Regel) der " Ringstabmagnet" so gerichtet, dass sein Magnetfeld dem des Spulen feldes entgegenwirkt, um dieses - Ursache des Ringstroms - abzuschwächen. Der Nordpol des " Ringstabmagneten " ist links - also folgt Abstoßung. Im Falle des Ausschattens stellt sich der Ringstrom in Gegenrichtung ein, sodass das "Ringfeld" gleich gerichtet ist wie das Magnetfeld - nach Lenz "versucht" das Ri ngfeld, den Abbau des Magnetfeldes abzuschwächen. Der Südpol des Ri ngstabmagnets ist links - also wird der Ring angezogen . Bemerkung: Dem Kreisstrom im Ring entspricht ein kreisförmiges elektrisches Feld, das beim Anwachsen bzw. Abnehmen des Magnetfelds durch den Ring entsteht; beide, d. h. Elektronenstrom und elektrisches Ringfeld sind entgegen gesetzt gerichtet.
284
Elektrizitätslehre und Magnetismus
5.29.3 Aufgaben
Eine40Spul in Form gleichschenklGeschwindigkeit i g-rechtwinkligen Dreiecks (Katheten LT1)ä ngeeingeschoben; cm)ewird inzur8seines mit konstanter ins Magnetfeld mit B 3 Zei t t 0 i s t di e Dreieckspitze am Magnetfeldrand (Abb. 5.103). Berechne den Momentanwert Uind(t) der Induktionsspannung und den Durchschnittswert! =
=
1
I
0
0
0
0
�Q9
Uind
Abb. 5.103
-
I 1
0
0
0
2)feldEine(T quadratische Leiterschleife ( Kantenlänge L m) dreht sich im Magnet 4 8 s) undfälltsteht Zum Zeitpunkt 4 T, dann B inzur6 sZeit auf-t 70Tsenkrecht ab (Li near).zumManFeld.berechne Uind(t)!t 0 ist B Lösungen: Zu 1} : Eindringtiefe 0, 4 m : As (t) = -1 L2 (t) =-1 0 .· 16 m2 2 = 0 ' 00125 -m22 · t2 L(t) = · t = t · -8s 2 m2 2 2 64 s Vs 2 s Fluss: q)(t) = B · As (t) = Ol 00375 T $2 t = 3, 75 · 10 -3 s2 · t ; Uind(t) = - <;&. (t) = -7, 5 · 10-3 -Vs · t (momentan) b..d>· = -
=
=
=
= -
V
·
·
10
·
..2 L-
•
285
Selbstinduktion bei Spulen
5.30 Selbstinduktion bei Spulen Versuchsergebnis: In der Schaltung von Abbildung 5.104 si nd ein Widerstand
und eine Spule parallel geschaltet. Schließt man den Schalter, so Leuchtet Lämp chen L 1 sofort, Lämpchen L 2 Leicht verzögert auf. Ohmscher \l'liderstand
Spule
_+ Abb. 5. 104
1 t--
Uo
_, ______. ____/
_ _ _
Schalter
Offensichtlich stellt sich in dem Zweig mit dem Widerstand sofort die volle Stromstärke ein, während sich der Strom im Zweig mit der Spule erst allmählich aufbaut! Entsprechend stellt man fest, dass beim Ausschalten der Strom durch die Spule sich allmählich abbaut und nicht schlagartig auf 0 zurückgeht. Abbildung 5.105 zeigt den Stromverlauf durch die Spule, wenn zum Zeitpunkt to ein- und bei t1 ausgeschaltet wird.
Abb. 5.105
Erklärung: 1) Beim fjnschalten Legt man von außen die Gleichspan nung U0 an, der Strom durch die Spule baut sich auf und mit ihm ein B-Feld im Inneren der Spule. Folglich wird an der Spule Spannung induziert und zwar so, dass sie dem Aufbau des B-Feldes entgegenwirkt, d. h. "U0 verkleinern wiLL" - die tatsächliche Spannung an der Spule U = U0 - I U i ndl ist kleiner als U0, sodass sich der Strom allmählich aufbaut. 2) Beim Ausschalten werden I und B abgebaut; also wird Spannung so induziert, dass diese dem Abbau entgegenwirkt. Folglich ist die tatsächliche Spannung an der Spule U = U ind nicht 0, sodass sich der Strom allmählich abbaut.
286
Elektrizitätslehre und Magnetismus
5.30. 1 Größe der induzierten Spannung an der Spule im Falle der Selbstinduktion Sei A die Querschnittsfläche der Spule, n die Windungszahl, L die Länge und I die Spulenstromstärke. Wegen des Induktionsgesetzes gilt U ind = -n · cf> mit q)(t) = A B (t) als mag netischem Fluss durch die Spule. Einsetzen Liefert Uind = -n · A · B (t), wobei gemäß (F5.37) I(t) ist. B(t) = flo · fl·r ·
·
Damit folgt:
T
·
Uind = - L · i(t) (Momentanwert) bzw. _
Uind
=
-L ·
.6.1
M
(F5.63 a, b, c) n2 (Mittelwert) mit L = f.Loflr T A
Die durch Selbstinduktion an ei ner Spule induzierte Spannung Uind ist das Produkt der Eigeninduktivität L der Spule (Konstante) mit der zeitlichen Änderung der Spulenstromstärke.
�
Vs -U ind Einheit der L = . : [L) = 1 A = 1 = 1 H (He nry) (F5. 64) A Eigeninduktivität �--1:s I ---� Beispiel: Eine Spule mit 8 000 Windungen, 8 cm Spulendurchmesser, 50 cm Länge und "Luftfüllung " (fl·r = 1) hat bei A = rar2 = 1r 16 cm2 � 50 cm 2 die Eigenin duktivität 6 Tm 64 · 106 3 5 10 - m 2 = 0 ' 804 H L = 1 ' 256 10·1 A 0, 5 m •
·
-
·
·
·
Bemerkungen: 1. Wegen Uind "' i(t) ist die Induktionsspannung umso größer, je schneller der
Strom sich ändert! 2. Schaltet man Widerstand und Spule parallel, so fließt nach dem Einschalten der Strom durch beide in gleicher Richtung (Abb. 5.106 Links) . Nach Öffnen des Schalters fließt der Strom durch den Widerstand in Gegenrichtung (Abb. 5.106 rechts), um in einem geschlossenen Stromkreis ein allmähliches Abklingen des Spulenstroms zu ermöglichen.
Abb. 5.106
f l
-
-
_
+ &-...halter geschlossen
! l 1
-
_
+
I
l /
Schalter offen
287
Selbstinduktion bei Spulen
3. Unterbricht man den Kreis per Schalter ohne Parallelwiderstand, so reißt der Spulenstrom plötzlich ab; also ist j i(t) I sehr g roß, sodass die Induktionsspannung groß wird (Funkenüberschlag an Scha lter!) 5.30.2 Quantitative Betrachtung des Ein- und Ausschaltvorgangs Beim Einschalten (Stromverlauf gemäß Abb. 5.107 a) wird von außen die Span
nung Uo angelegt und durch Induktion entsteht Uin d = - L · i, sodass die tatsäch liche Spannung an der Spule durch Utats = U 0 - L i gegeben ist. Ist R der Spulenwiderstand, so gilt nach (F5.3 a) Utats = R · I bzw. ·
I U0 - L · I(t) = R · I(t) I (F5.65)
(Differenzialgleichung für den Einschaltvorgang der Spule).
Abb. 5.107a
0
In (F5.65) treten neben den Konstanten R, L und Uo noch der Spulenstrom I(t) und seine zeitliche Ableitung i(t) auf - gesucht ist ei ne Funktion I(t), die (F5.65) erfüllt! Uo Sondelfälle: Für t = 0 ist I = o, sodass aus (F5.65) folgt: i(o) (F5.66 a) l
I �I
Für t --+ oc ist I "' Io und i "' 0, sodass gilt: Io
I
I
(F.5.66 b)
Beim Ausschalten (Stromverlauf gemäß Abb. 5.107 b) gilt Gleichung (F5.65)
entsprechend - allerdings ist die außen angelegte Span nung jetzt U0 = 0 und für den Widerstand muss man im Sinne von Kap. 5.30.1 Bemerkung 2) den gesamten Widerstand R* = Rspule + RParallel setzen. Differenzialgleichungfür den Ausschaltvorgang der Spule: -L · i(t) = R* I(t) bzw. . R* I(t) = . I(t) (F5.67) T ·
-
Sonderfälle:
Für t --9
oo
ist I � o, I � O; für t = o gilt I(O) = -
� · I0
(F5.68)
288
Elektrizitätslehre und Magnetismus
t
Abb. 5.107b
Allgemeine Lösung: Die Differenzialgleichungen (F5.65) bzw. (F5.67) unter scheiden sich von der früher betrachteten Differenzialgleichung ( F1.43) der mechanischen Schwingbewegungen wesentlich dadurch, dass hier die erste Ab Leitung, in (F1.43) die zweite Ableitung der gesuchten Funktion auftritt. Während bei Differenzialgleichungen zweiter Ordnung häufig periodische Funktionen als Lösung auftreten (Sinus- bzw. Kosinusfunktionen), sind die Lösungen von Diffe renzialgleichungen 1. Ordnung typischerweise Exponentialfunktionen.
Lösung von (F5.67): Lösung von (F5.65):
I(t) = I o . e- &C·t
(F5.69 a);
I(t) = I0 (1 - e-�·t) ·
( F5.69 b)
Die Lösungen (F5.69 a)/( F5.69 b) wurden hier ei nfach mitgeteilt; man überprüft Leicht, dass sie die betreffenden Differenzialgleichungen tatsächlich erfüllen und dass der Strom für t = 0 bzw. t ---} oo das richtige Verhalten zeigt. Bemerkung: Unter der Halbwertszeit 1ll versteht man die Zeit, nach der beim Ausschalten der Strom auf die Hälfte abgesunken bzw. beim Einschalten der Strom I auf die Hälfte des Endwerts gestiegen ist. Der Ansatz o = I(-TH ) = I0 · e-.!lf 2 L Liefert beim Ausschalten 'TH = --;;. Ln 2; dies gilt mit R statt R * auch beim EinR schalten! rH
5.30.3 Energie des Magnetfeldes Beim Ausschaltvorgang einer Spule baut sich der Strom allmählich ab, d. h. es fließt Strom ohne äußere Spannung. Die beim Stromfluss abgegebene Energie stammt aus dem Magnetfeld, das sich abbaut - im Magnetfeld steckt also Energie. Ohne Herleitung sei hier die Formel für die magnetische Energie einer strom durchflossenen Spule angegeben (sie ist analog zum Ausdruck (F5.23) für die elektrische Feldenergie im Kondensator) :
W mag n = "21 L · I
2
(F5.70)
289
Selbstinduktion bei Spulen
B
Jl2oJ.Lr · n;t' was mit (F5.63 c) und (F5.70) zu 2 1 2 Wmagn = �2 (JloJlr nl A) · (Jl-oJ.LBr n;l. ) bzw. W magn = �2 J.LoJlr- · B (L A) mit Umformung: Aus (F5.37) folgt I =
·
·
·
L A = V (Volumen) führt. Damit ergibt sich die Energie des Magnetfelds: •
2
B Wmag n = -12 · J10/1r · V
{ F5.71)
und die magnetische Energiedichte:
Wmagn = -B2 Pmagn = -2JloJ1r V
{F 5. 72 )
Aufgaben: 1) Bei einer Spule (R = 15 n, L = 10 H) wird die Spannung 5 V angelegt.
Welche Endstromstärke I0 stellt sich ein, wie steil ist der Anstieg zu Beginn (i(o)!), nach welcher Zeit ist die halbe Endstromstärke erreicht. 2) Die an einer Spule induzierte Spannung habe den Verlauf von Abbildung 5.108. Man ermittle den Stromverlauf I (t) durch die Spule für L = 3 H und I {0) = 0! u
3V 1V 0
Abb. 5.108
1s
Uo
.
.
4s
Uo
5V 1 5V 1 V 1 A Losung: Zu 1): Io = - = - = - A - I(O) = - = - = - - = -
L 10 H 2 Vs/A R 15 n 3 L 2 111 = Ln 2 = '3 · In 2 s � 0 ) 46 s R Zu 2): U i nd = -L · i, 3V A '' .,.,.. fur O � t < 1 s = -1H (t) U nd s 3 i d. h. i(t) = = L für 1 s � t < 4 s (periodisch)
{
_
{
I
-� �
2s
-·
I
Die Stammfunktion I (t) erhält man durch "Aufleiten'J: A - 1 - · t + c1 f"ur 0 � t < 1 s s I(t) = 1 A - - - · t + c2 für 1 s � t < 4 s usw. ) 3 s wobei c1 , c2 . . . so zu wählen sind, dass I {0) = 0 ist und I (t) stetig ist. Man erhält den I (t)-Verlauf von Abbildung 5.109.
290
Elektrizitätslehre und Magnetismus 1s
4s
-1A -2A -3A
Abb. 5.109
5.31 Erzeugung sinusförmiger Wechselspannung im Generator Gemäß ( F5.58 ) entsteht bei gleichmäßiger Drehung einer Leiterschleife der Länge l im Magnetfeld der Flussdichte B durch Induktion an den Schleifenenden die Spant , wobei T die Umlaufdauer einer Drehung und v nung Uind = B · l · v · cos die Drehgeschwindigkeit der Schleifenpunkte ist. Wählt man den Startpunkt der Zeit so, dass für t = 0 die Schleife senkrecht zum Feld steht, erhält man sin ( . . . ) statt cos ( . . ) ; bei einer Spule mit n Leiterschleifen ergibt sich dann t . Fasst man die Konstanten zu 0 = n · B · l · v U ind = n · · B · l · v · sin zusammen, so folgt der Ausdruck für die Induktionsspannung beim Generator (bzw. Dynamo) :
(\n )
2
.
2
U (t) = U · sin �
(2 t) 1f
T
(2t )
2
( F5.73 )
2t
Die Umdrehungsdauer T ist zugleich die Periode der Wechselspannung.
�
2
2t
1�
291
Effektivwerte von Strom und Spannung bei Wechselstrom
•
//IDrehachse
Abb. 5.110
5.32 Effektivwerte von Strom und Spannung bei Wechselstrom Eine "6 V-Wechselspannungll mit sinusförmigem Verlauf schwankt - wie man am Oszillograph erkennt - zwischen den " Maximalwerten " 9 V und - 9 V. Was gibt der 2 Nennwert (Effektivwert) 6 V, der ca. - des Maximalwerts beträgt, an? 3 Legt man an einen gewöhnlichen Ohm'schen Widerstand R eine Si nusspannung U(t) = 0 · sin (wt) an, so stellt sich auch �in sinusförmiger Stromverlauf . u (t) = -u sm. (wt) = l... · Sln (wt) m1t. 19 = -u em. I(t) = R R R Strom und Spannung sind in Phase, d. h. sie werden gleichzeitig maximal, mini mal, 0 usw. (negative Span nung bzw. Stromstärke heißt Umpolung bzw. Strom in Gegenrichtung). Die Momentanleistung P(t) = U (t) I(t) = 0 I sin 2 (wt) schwankt zeitlich um einen Mittelwert. .
·
·
·
Der Effektivwert eines Wechselstroms (einer Wechselspannung) ist diejenige Gleichstromstärke (Gleichspannung), die im gleichen Oh m'schen Widerstand die gleiche mittlere Wärmeleistung hervorbringt. Beim sinusförmigen Wechselstrom gilt: A2 P(t) = 0 . i · sin2 (wt) = � sin 2 (wt) = J 2 R . sin 2 (wt) R Um den zeitlichen Mittelwert der Momentanleistung zu ermitteln, wird P (t) 1 1 mithilfe der trigonometrischen Hilfsformel sin2 x = - - - cos (2x) umgeformt: 2 2 1 P(t) = - I2 R � f2 · R · cos (2 wt) 2 2 .!. Der Summand I2 · R ist eine Konstante, der Verlauf von -cos(2 wt) (im zweiten 2 Summanden) ist in Abbildung 5.111 skizziert - sein Mittelwert über die Periode T von sin wt ist offensichtlich 0. Also ist der Mittelwert der Momentanleistung 1 P = - "I2 R . 2 ·
•
·
-
292
Elektrizitätslehre und Magnetismus
1-cos
y 1
(2rot)
-1
Abb. 5.1 1 1
R
R
R
Ein Gleichstrom I bringt im gleichen Ohm'schen Widerstand die konstante Wär meleistung P = · F . Für den Effektivwert gilt also: I!ft = P = � I2 · 2 Damit erhält man für den sinusförmigen Wechselstrom Ieff
r
·
= J2 � 0, 7 · I (F5.74 a) A
und entsprechend für die sinusförmige Wechselspannung 0
Ueff = "J2 � 0, 7 · U ( F5.74 b) A
Ergänzung: Bei konstanter zeitlicher Leistung P ist die Arbeit in der Zeit t durch W = P · t gegeben. Im Falle einer zeitlich veränderlichen Momentanleistung P (t) muss man zur Berechnung der Arbeit den Zeitraum zwischen Startzeit t1 und Endzeit � in kleine Zeitabschnitte der Länge .ö.t zerlegen, in denen P näherungs weise konstant ist und W über W = .ö.W1 + ßW2 + ... = P1 · ßt + P 2 · ßt+ ... berechnen, was der Fläche unter der P (t)-Kurve in einem Pjt-Diagramm ent spricht; diese ermittelt man genauer durch Integration
.I P(t) dt. t2
W=
Die Durchschnittsleistung bei einem periodischen Strom-/Spannungsverlauf mit Periode T ergibt sich dann als
T
p = WPeri ode =
über
Ieff
R
=
T
·
�
I ff
\
.{ P(t) dt o
=P=
� ./ R
T T 0
T .I U(t) . I(t) dt = �T I
=�
T
o
· I 2 (t) dt ergibt sich:
� .I J2 (t) dt, ebenso T
0
T U2 (t)
U eff
�� .IT
=.
0
'o
R
�T I R . I2 (t) dt T
=
o
U2 (t) dt ( F5.74' a, b)
293
Ohm'scher Widerstand, Spule und Kondensator im Wechselstromkreis
Die Formeln (F5.74' a, b) gelten für beliebige periodische Strom- bzw. Spannungs
verläufe.
Für sinusförmigen Verlauf erhält man aus (5 .74' a, b) wieder (5.74 a, b) . Beispiel: Beim periodischen Spannungsvertauf nach Abbildung 5.112 ist 1s � V für 0 < - t < 0, 25 s 5 4 U2 (t) dt U(t) = .. 0, 25 s :::; t < 1 s Effektivwert: Ueff = _!_ - 15 V f ur 1s . 0 periodisch
·I
u
..1 v 5
-
-
Abb. 5.1 1 2
[ \ j (�)
Aufteilung des Integrals Liefert: 0.25 s 2 = V2 dt + 1
1s
�
V2 d f ( 1:) �2 5 s 4 2 4 2 V 0 25 s + V) ·0 75 s , ( ( 5 ) 15 Bei stückweise konstanter SpanU �ff =
u�ff
1s
2
.
-
o
·
f-
1s nung (Stromstärke) kann man also auch die einzelnen Werte quadrieren, mit der zugehörigen Zeitspanne muttiplizieren ("wichten" ), addieren und durch die Pe riode teilen - dies Liefert das Quadrat des Effektivwerts! 16 3 16 16 1 2 . . Damlt. U eff - 25 · 4 v 2 + 225 · 4 v 2 - 75 v2 4 Ueff = - v'3 V 15 ,
_
_
5.33 Ohm'scher Widerstand, Spule und Kondensator im Wechselstromkreis 5.33.1 Induktiver Widerstand Während beim Ohm'schen Widerstand R eine angelegte Spannung U(t) = 0 sin (wt) (si nusförmig) einen ebenfaLLs sinusförmigen Strom I(t) = i sin(wt) zur Folge hat (Strom und Spannung si nd in Phase), wobei ·
294
Elektrizitätslehre und Magnetismus
R=
U(t) 0� sin (wt) Ü j../2 U eff .. " · L- un d Effe kttv· = = = - fur d te M omentan-, M axtma I (t) I sin(wt) I/ v 2 J eff �
werte gilt, zeigt der Strom-/Spannungsverlauf an einer Spule ein völlig anderes Bild.
Versuchsergebnis: Legt man an eine Spule mit geringem Ohm'schen Widerstand
eine Sinusspannung U(t) = 0 sin(wt), so zeigt der Strom einen -cos-Verlauf (siehe Abb. 5.113); d. h. Strom und Span nung sind nicht mehr in Phase, sondern der Strom hinkt bei der Spule der Spannung in der Phase um � (zeitlich um !) 2 4 ���
i
Erklärung: Einfachheitshalber sei der Widerstand R der Spule gleich 0 gesetzt -
U(t) U . . dann gilt nach (F5.65): U(t) - I(t) = o, also I(t) = -- = sin (wt) L L 0 " "Aufleiten Liefert I(t) = - L w cos(wt) + c ; für c = 0 (Integrationskonstante)
-
·
· -
(
erhält man I(t) = -f cos(wt) = t sin wt - � mit t = _Q_ (F5. 75) 2.) L·w
�
·
Die Größe = L · w hat die Dimension n (Ohm) und heißt induktiver Widerstand Xt der Spule. Er Legt die Größe der Stromamplitude I (bei vorgegebenem Ü ) fest, U eff U(t) wobei XL = = , aber nicht XL = gilt. Anschaulich kann man sich das I (t) I Ieff Nachhinken des Stroms damit erklären, dass die Spule wegen der Selbstinduktion verspätet reagiert. Xt = w · L ist groß, wen n die Eigeninduktivität L der Spule groß ist und damit die Induktionsspannung groß wird oder wenn durch schnelle Stromänderung, d. h. große Kreisfrequenz w = 2 1r · f, die Induktionsspannung groß wird (U i nd = -L · i). Momentanleistung: � 1 � P(t) = U (t) · I(t) = U · I · sin(wt) cos(wt) = - - U · I · sin(2 wt), wobei die trigonometrische Beziehung si n x · cos x = sin 2 x) benutzt wurde. Die Mo2 mentanleistung wird positiv, wen n U(t) und I(t) gleiches Vorzeichen haben. Dies ist (Abb. 5. 113) immer dann der Fall, wenn I I(t) l ansteigt - dann Liefert die Spannungsquelle Energie, die beim Aufbau des Magnetfeldes der Spule in dieses gesteckt wird. Wird I I(t) I kleiner, so baut sich das Magnetfeld ab, die Spule gibt ihre Energie an die Stromquelle zurück. Da in diesem Falle (Abb. 5.113) U (t) und I
�
-
....
�
C
....
U(t}, l(t)
t
Abb. 5.113
Ohm'scher Widerstand, Spule und Kondensator im Wechselstromkreis
295
(t) verschiedene Vorzeichen haben, ist dan n P (t) negativ; P (t) ist die Leistung der Quelle. Der zeitliche Mittelwert von P(t) ist P = 0; man spricht von Blind leistung, die keine Wärme liefert. 5.33.2 Kapazitiver Widerstand Versuchsergebnis: Abbildung 5.114 zeigt den Strom- und Spannungsverlauf an
einem Kondensator (gemeint ist der Strom in den Zuleitungen), an den eine sinusförmige Spannung U(t) = 0 · sin(wt) angelegt wurde. Offenbar ist der Stromverlauf eine cos-Funktion, d. h. wieder sind Strom und Spannung nicht in Phase. Beim Kondensator eilt der Strom der Spannung in der Phase um � (zeitlich 2 T um 4) voraus. U(t), l{t)
Abb. 5.114
Erklärung: Anschaulich bedeutet ei n steiler Anstieg der Spannung eine große Stromstärke, weil in kürzester Zeit viel Ladung auf dem Kondensator fließen muss. Vor der rechnerischen Behandlung muss eine Präzisierung des Begriffes der Stromstärke von Kap. 5.3/(F5.1) erfolgen. Wenn der Ladungsfluss gleichmäßig erfolgt, d. h. Q "' t gilt, ist die Definition von I über .9 = const = I sinnvoll. Im t Falle eines schwankenden Ladungsflusses wäre die in der Zeit ßt geflossene Q Ladungsmenge b.Q zu betrachten - dann wäre I = die mittlere Stromstärke Q (im Zeitintervatl) und I(t) = lim0 = Q(t) die mo entane Stromstärke. Q (t) .M-> .ut gibt dann die auf einer Kondensatorplatte sitzende Ladung zur Zeit t an, b.Q ist die Änderung dieser Ladung und zugleich die in der Zeit ßt im Zuleitungsdraht fließende Ladung und Ö.(t) ist die zeitliche Ableitung der Ladungsfunktion. Da am Q(t) . = C · U. (t) gilt, folgt I(t) = Q(t) Konde nsator nach (F5 .14) st:ts C = U (t) � = C U w · cos(wt) für U(t) = U · si n(wt), also
�
�
·
I(t)
·
=
I · cos(wt)
=
(
I · sin wt +
i) mit i
�
=
C · w · 0 (F5.76)
296
Elektrizitätslehre und Magnetismus
�
1 Die Größe = C heißt kapazitiver Widerstand Xe des Kondensators. Er Legt ·W I die Amplitude t (bei gegebenem Ü ) fest. Bei schnellem Ladungswechsel, d. h. großem w und bei großer KaRazität C muss viel Strom fließen, d. h. I groß und Xe U (t) Ueff ! klein sein. Wieder gilt Xe = � , aber nicht Xe = I (t) I Ieff Auch klar ist die Momentanleistung P(t) = U (t) · I(t) abwechselnd positiv - nach Abbildung 5.114 dann, wenn IU(t) l anwächst, das elektrische Feld sich am Kondensator aufbaut und Energie aus der Quelle ins Feld gepumpt wird - und negativ, wenn das Feld sich abbaut und die Energie an die Quelle zurückftießt. Der zeitliche Mittelwert von P (t) ist wieder P = 0, d. h. man hat wieder Blindleistung. -
=
5.33.3 Zeigerdiagramm Ein sinusförmiger Stromverlauf kann in einem zweidimensionalen Achsenkreuz durch einen Pfeil veranschaulicht werden, dessen Pfeilende im Ursprung 0 Liegt, während die Pfeilspitze auf einem Kreis um 0 mit Radius t (Amplitude) gleich2 mäßig mit der Winkelgeschwindigkeit w = 1r wandert (bei t = 0 zeigt der Pfeil in T Richtung der x-Achse) : Die y-Komponente des Pfeils entspricht dem Momentan wert I (t) = i sin (wt) des Stroms - siehe Abbildung 5.115.
Abb. 5.1 1 5
In einem solchen Diagramm kann man ebenso die Spannung durch ei nen ent sprechenden Zeiger der Länge 0 verdeutlichen. Sind Strom und Span nung in Phase, so Laufen beide Zeiger aufeinander; ist die Spannung - wie bei der Spule - um in der Phase voraus, so gilt dies auch für den Spannungszeiger (Abb. 5.115).
i
Ohm'scher Widerstand, Spule und Kondensator im Wechselstromkreis
297
5.33.4 Reihenschaltung von Ohm'schem Widerstand R, Spule mit Induktivität L und Kondensator mit Kapazität C im Wechselstromkreis (Siebkette) An den Stromkreis von Abbildung 5.116 werde eine sinusartige Wechselspannung U....., (t) angelegt. Erhält man dann ebenfalls ei nen sinusartigen Wechselstrom L(t)? - und wenn ja, mit gleicher Frequenz? mit welcher Amplitude? mit welcher Phasenverschiebung? c
I_
t
R
L
I�-1 � �-
'000000'
'-----v-'
'-v-'
Uc
UL
u
Abb. 5.116
_
Da durch alle Bauteile der gleiche Strom fließt, erschei nt es besser, einen sinusförmigen Strom I....... (t) vorzugeben und umgekehrt nach der zugehörigen Spannung U....., (t) zu fragen ! 1T Die Spannung UL an der Spule Läuft dem Strom in der Phase um - voraus, die 2 Span nung Uc am Kondensator um � hinterher und die Spannung UR am Ohm'schen 2 Widerstand läuft in Phase mit dem Strom - dieser Sachverhalt ist im Zeigerdiagramm von Abbildung 5.117 dargestellt. �
I
I
Abb. 5.1 1 7
I
\
I
/
/
.;'
Ä
OL Oe ;;
'
\
'
'
.....
'
'
\
"
I
�
.... - - - - --
/
\
,...
/
I
I
I
I
I I
j ro
Bei der Reihenschaltung gilt U....., (t) = Uc(t) + UL(t) + UR (t), d. h. man müsste die y-Komponenten der Zeiger von Uc, U L und UR addieren, um die Gesamtspannung U....., zu erhalten ! Einfacher ist der alternative Weg: Man addiert die Zeiger von ULt UR und Uc als Ganzes vektoriell und erhält so den Zeiger der Gesamtspannung U....., - seine y-Komponente ist der Momentanwert U....., (t)! Diese Vektoraddition ist in Abbildung 5.118 durchgeführt - der Zeiger der Gesamtspannung hat die Länge 0 (hier übrigens kleiner als ÜL) und kreist ebenfalls mit w - er eilt dem Strom in der Phase um den Winkel 8 voraus!
298
Elektrizitätslehre und Magnetismus
,.. I ... �-Uc
(
1 . Vektorsumme
Abb. 5.1 1 8
uL+ U0)
A
"
--l
y
�
- - �"CO
O
"' o
:
I 1
DR
Rech l"!_u n � : Nach __Pyt� agoras ist 0 2 = 0� + (OL - Oe) 2 • Setzt man hier OR
[
]
= R · I , UL = XL · I, U e = Xe · I ein, so folgt: Ü 2 = R 2 I 2 + (XL - Xc) 2 .f2 = R2 + (XL - Xe) 2 I2 , also 0 = •
•
J(XL - Xe) 2 +R2 · I
Ü L - ÜL (XL - Xe) · I XL - Xe . = Außerdem 1st tan c5. = " , also tan c5 = " R UR R·I
I
Deli niert man den Blindwiderstand X als X = x, - Xe = w L -
I
;;kI (FS. 77 a)
--
·
und den Scheinwiderstand Z als Z = VR2 + X2 = so kann man wie folgt zusammenfassen:
J R2 + (XL - Xcf
I
(F5.77 b),
1) Bei der Siebkette stellt sich zu einem si nusartigen (d. h. phasenverschobe nem si nusförmigem) Stromverlauf ein si nusartiger Spannungsverlauf ein und umgekehrt; dabei ist die Frequenz f = ...:::.._ für beide gleich. 2 11 2) Der Blindwiderstand regelt die Phasenverschiebung 8, um die der Strom der Spannung hinterherhinkt: tan c5 = (FS. 78) mit - ::::;; c5 ::::;; + (für negatives c5 Läuft der Strom voraus)
�
�
�
3) D�r Scheinwiderstand regelt den Zusammenhang zwischen 0 und 1: U eff Z=�= (F5.79) I Ieff 4) Für U (t) = 0 sin(cot) ist also I(t) = 1 si n(cot - o)
Ergänzung: Die Leistungen an Spule (ohne eigenen Ohmsehen Widerstand) und
Kondensator sind Blindleistungen; die Wirkleistung, d. h. der Mittelwert der Gesamtleistung, entsteht als Wärmeleistu (f' am Ohmf ehen Widerstand, und zwar gilt wie in Kap. 5.32) und mit Ueff = y2 , Ieff = y2: -P = -1 "I2 · R = -1 I · UR = (Abb. 5.118) = -1 I · U cosc5, also 2 2 2 P = I ff · R = Ieff · Ueff · cosc5 ( F5.80) A
I
�
A
1
A
A
299
Ohm'scher Widerstand, Spule und Kondensator im Wechselstromkreis
R = 20 wird eine Ueff =20200V angelegt - man ermittle eS, Ieff, 1 50 1 w = 2 = 1001r- ' XL = wl = 10 m1, Xe = -- =s C·w x = XL - Xe � 15, 5 = VR2 + X2 � 25: 3 n tancS = � 0: 775, d. h. eS � 0, 66 (entspricht 37,8 °); Ueff � 0, 79 A; -P = Ieff · U eff · coscS 12, 5 W Ieff = z Zahlenbeispiel: An eine Siebkette mit L = 0,1 H, C
sinusartige Wechselspannung von 50 Hz mit P!
1if
p.F,
=
1r
n, z
n
n'
�
�
Bemerkung: Hat eine Spule einen nicht vernachlässigbaren eigenen Widerstand Rspr so denke man sich diesen im Schaltbild von Abbildung 5.116 mit der Spule in Reihe geschaltet; im Zeigerdiagramm (Abb. 5.119) taucht dann ein zusätzlicher Zeiger für U Rsp auf. In den Formeln ( F5.77 b) bis (F5.79) muss dann anstelle von R der gesamte Ohm'sche Widerstand R + Rsp betrachtet werden. Außerdem ist der Zeiger der Spulenspannung Usp dann die Vektorsumme der Zeiger von bzw. U Rsp , er Läuft (Apb. 5.119) dem Strom um 81 voraus und es gilt: tan o1 Usp + �P · 19 . p R U Rs s ?
(' = -..UL.. - = XL
UL
= VX[2 2
A
-,
Ä---
Oe
Abb. 5.119
Y
�
5.33.5 Abhängigkeit der Größen Ieff und 8 von der Frequenz f, wenn R, L, C und Ueff fest vorgegeben sind
Ieff = Uiff wird maximal, wenn (bei festen U eff) Z = VR2 + )(!. minimal wird/ d. h. wenn X XL 0 ist, d. h. wen n Xe ist. Diesen Fall nennt man den Resonanzfall. Er tritt ein für L = � ' d. h. w2 = � ' d. h. = �� d. h. w·C L·C vl · C I�' = L �� (F5.81) (Resonanzfrequenz) 2 1r v l · C . Im Resonanzfall ist die Phasenverschiebung gleich 0 (wegen tan 8 = � = 0), der Scheinwiderstand ist Z R und die dann vorliegende maximale Stromstärke ist Ueff . Ieff = R =
-
Xe ·
Xt.
=
w
=
u.r
=
300
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Im Experiment erkennt man am Oszillographen, wenn man bei fest eingestellter Spann ungsamplitude die Frequenz f der Spannung von kleinen zu großen Werten hochfährt, dass die Amplitude der Stromstärke I eff zunächst wächst, dann plötz Lich ihren maximalen Wert erreicht und danach wieder klein wird. Rechenbeispiel: Sei R = 10 n, L = 0, 025 H , C = 1 p. F, U eff = 1 V 1 1 Resonanzfrequenz: fr = � 1006, 6 Hz 2 1i j2, 5 · 10 - 2 H · 10 - 6 F Man kann nun für verschiedene Frequenzwerte Xt, Xe, X, Z, 8 und Ieff berechnen; trägt man die Werte für leff bzw. c5 in einem Schaubild über der Frequenz f auf, so erhält man die Resonanzkurven von Abbildung 5.120 a und Abbildung 5.120 b. Gestrichelt sind zum Vergleich die Kurven eingetragen, die man erhielte, wenn man alle Größen beibehält und nur R wesentlich vergrößert - die gestrichelte Kurve in Abbildung 5.120 a ist niedriger und breiter. 1 00
I I
I
\ I I
I I
/
Abb. 5.1 20a
/
/
\
'
' '
0
1t 2
\ \ \ \
I I I I I
-
- - -
-
-
-
-
-
-
/
/
1t
Abb. 5.1 20b
-2
f {l-lz)
1 000
'
/
/
-
/
-
::::
f {Hz)
��--�- - - - - - - - - -
301
Ohm'scher Widerstand, Spule und Kondensator im Wechselstromkreis
Der Name Siebkette wird jetzt verständlich : Die Schaltung "siebt" aus verschie denen Frequenzen diejenigen von der Größenordnung der Resonanzfrequenz fr aus - nur dann stellt sich ein nennenswert großer Strom ein ! Bemerkung: Das Prinzip des Oszillographen, bei dem a n einem vertikalen Platten paar eine Sägezahnspannung angelegt wird, um einen am horizontalen Platten paar angelegten Spannungsverlauf zu verdeutlichen, wurde bereits in Kap. 5.12, Bemerkung 3) erläutert. Beim Zweikanaloszillograph (Schaltbild Abb. 5.121) kann man Strom- und Spannungsverlauf (und damit Phasenverschiebungen) gleichzeitig sichtbar machen. Gerät
r - - - - - - - - - - 1
n
l/
Uc (t)
��-Kanru
,.
lL (t)
'-y-----J
·_
Stromkreis
Abb. 5.121
�nal 1
...
:
21 :
r. :
---- --_jj
Kippspannung
Die Spannung U"'(t) wird auf die untere Horizontalplatte und Kanal 1, die Spannung am Widerstand R (entspricht L (t)) auf die untere Platte und Kanal 2 "gegeben". Der Schalter S schwingt sehr sch nell zwischen Kanal 1 und 2 hin und her, sodass in schnellem Wechsel beide Spannungen am Horizontalplattenpaar liegen - das träge Auge sieht beide gleichzeitig. 5.33.6 Sperrkreis An eine Parallelschaltung eines Kondensators und einer Spule mit vernachlässig barem Widerstand R wird die Si nusspannung U(t) = 0 · sin(wt) angelegt (Abb. 5.122). L
u
Abb. 5.122
1r
Die Spannung liegt an beiden Bauteilen . Der Spulenstrom h hinkt U um - in der 2 Phase hinterher, der Kondensatorstrom eilt um � in der Phase voraus. 2 u Also: IL(t) = h · sin wt - 2 = -h cos(wt) = - · cos(wt), XL A
(
1r)
A
A
302
Ie(t)
= Ie A
·
(
Elektrizitätslehre und Magnetismus
1!") = Ie cos(wt) = 0
si n wt + -
�
Xe
-
2
·
cos(wt)
= It (t) + Ie(t) = U · (Xe1 - XL1 ) cos(wt) = ± UA Also Gesamtstrom: I(t) = ± I cos(wt) mit I = U · I Der Gesamtstrom in den Zuleitungen ist
I(t)
A
A
·
A
A
·
I Cw - 1 1 cos(wt) Lw 1 I , wobei + für
Cw -
·
L
.
w __!_ und - für Cw < __!_ gilt! Lw Lw Auch hier gibt es Resonanz: Da IL und Ie relativ zueinander um 1t in der Phase verschoben sind, d. h. in gegensätzlicher Richtung Laufen, ist der Gesamtstrom 0, . . 1 1 wenn h = Ie bzw. bzw. XL = Xe gilt! e Wie bei der Siebke e is die Resonanzfrequenz fr ____!_ · im ResonanzfaLL 2 11 V LC Lässt die Schaltung aber keinen Strom I zu, sie "sperrt''! Abbildung 5.123 zeigt die Abhängigkeit der Gesamtstromamplitude i von der Frequenz f. Cw >
=
� �
=
-
�-
Abb. 5.123
Wohin "geht" der Strom im Resonanzfall?
Er fließt in der Spule umgekehrt wie im Kondensator; insgesamt fließt er in einem T geschlossenen Kreis, wechselt aber regelmäßig nach 2 die Richtung! Es Liegt ein Schwingkreis vor (vergleiche Kap. 5.34), bei dem die Energie zwischen elektrischer Feldenergie (im Kondensator - wenn IU I maximal ist) und magnetischer Feld energie (in der Spule - wenn l h l maximal ist) pendelt. 5.33. 7 Aufgabe
=
Aufgabe: Eine Spule mit L = 30 mH (Innenwiderstand vernachlässigbar) wird mit einem Ohm'schen Widerstand R 0, 4 kQ in Reihe geschaltet, dann wird eine Wechselspan nung Urv mit f = 2000 Hz und Ueff = 10 V angelegt.
1) Zunächst sind D und E Leitend verbunden (Abb. 5.124). Man berechne die Phasenverschiebung 8 des Stroms Irv gegenüber Urv und gebe die Funktionen I(t), Ux(t), Uy (t), U (t) an, wen n zur Zeit t = 0 Ux = 0 ist und gerade
zu positiven Werten ansteigt!
303
Der Schwingkreis u�
D E
Abb. 5.124
2) Jetzt wird das Leiterstück zwischen E und D durch einen Kondensator ersetzt, dessen Kapazität so gewählt ist, dass der Resonanzfall ei ntritt. Man besti mme C und f und gebe Ux(t) und Uy (t) an, wen n I(t) = -I si n(wt) ist! Lösung: 1) "Siebkette ohne Kondensator'/ mit w = 2 1r f = 4000 n Hz, XL = w . L = x = 120 11n, z = Jx2 + R2 � 549, 7 n ; 9 Ü 10 V · -/2. X 377 . 8 � 0, 76 = 43. 3° ; 1 = - = 0 � 25, 7 mA; tancS = - � dam1t . Z 549, 7 �� R 400 Üx = R · I = 10, 25 V; Üy = XL · I � 9 , 7 V; Ux(t) = Ü sin(wt); I(t) = I sin(wt) (in Phase mit Ux); Uy (t) = Üy · sin wt + (um dem Strom voraus) U (t) = 0 · sin(wt + 8) (dem Strom um c5 voraus) ·
(II
-,
(
�
�
x
)
·
1
2) Resonanzbedingung: L · w = bzw . C·w 1 C= = 1 = 2, 1 · 10-7 F; V L w 0 ' 03 __: 16 106 n2 2 s A 10 v'2 V � 35, 3 mA I = _Q_ = ZR,es R Jetzt ist � = Xe, d. h. OL = XL · I = Xe · i = Üe; also sind U L und U e stets gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Qaher jst Uy = lh.(t) + U e(t) stets O!�Damit entspricht Ux der Gesamtspannung, d . h . Ux = U = 10\12 V und Ux(t) = - U sin(wt)
�
-
.
·
·
-
·
5.34 Der Schwingkrejs 5.34. 1 Ungedämpfter Schwingkreis In ei nem Schwingkreis sind Kondensator und Spute (ihr Widerstand sei zunächst vernachlässigbar) wie in Abbildung 5.125 geschaltet. In der gezeichneten Schal terstellung 1 wird der Kondensator durch die Gleichspannungsquelle (Spannung Üe) aufgeladen; durch Schalterstellung 2 wird der Schwingkreis anschließend geschlossen und von der Spannungsquelle abgekoppelt.
304
Elektrizitätslehre und Magnetismus
L
Abb. 5.125
Geschlossener Schwingkreis: Der Kondensator entlädt sich/ wobei Strom durch die Spule fließt; durch Induktion fließt der Strom auch weiter/ wenn der Kondensator //leer' ist und lädt diesen entgegengesetzt auf. Daraufhi n fließt der Strom in umgekehrter Richtung durch die Spule und der Kondensator lädt sich auf wie am Anfang - alles beginnt von vorne. Gäbe es keine I/Reibungsverluste// durch / Ohm sehe Widerstände im Kreis/ so erhielte man einen endlosen periodischen Schwingungsvorgang, bei dem die Energie dauernd zwischen elektrischer Feld energie (geladener Kondensator) und magnetischer Energie (Strom durch die Spule bewirkt Magnetfeld) hin und her pendelt. Rechnung: An der Spule liegt die Span nung U sp mit (vergleiche Kap. 5.33.1) U sp - L · i = 0, d. h. U sp = L · i; am Kondensator liegt die Spannung U c = Bei einem I/UmlauF im geschlossenen Schwingkreis muss die Gesamtspannung 0 sein/ Q d. h. U sp + U c = 0 bzw. + L · I. = 0. C Setzt man I = Q und somit i = Ö ein, so erhält man die Differenzialgleichung des
�-
Schwingkreises:
--; �
Wegen Ö(t) = · Q(t) sucht man eine Lösungsfunktion Q(t), deren zweite · zeitliche Ableitun _ bis auf den negativen Vorfaktor - � der Funktion selbst L.C entspricht und kommt - wie bei der Lösung des mechanischen Schwingungsproblems (GL (F1.43)) auf sin- oder cos-Funktionen als Lösung. Da zur Zeit t = 0 der Kon densator maximal aufgeladen ist/ macht die Lösung Q(t) = Ö · cos(wt) Sinn! Einsetzen von Q(t) und Ö(t) = v.J · Ö cos(wt) in (F5.82) liefert: + L 1· C · Ö cos(wt) = 0. Diese Gleichung soll für jeden Zeitpunkt erfüllt sein/ was nur dann möglich ist, wenn die Klammer 0 ist! 1 1 1 Also ui = und somit (w soll positiv sein) w = - -,f = � = L·C 2 1r 2 1r-� ,IGC 1 L · C. T = f = 2 1r · V�
[-J
]
-
-
-
·
I
305
Der Schwingkreis
Q sin(wt); Q(t) ö Spannung am Kondensator: Ue(t) = -- = cos(wt) C C
Stromverlauf I(t) = Ö(t) =
-
w
Ergebnis: In einem Schwingkreis mit Widerstand R = 0 werde zur Zeit t = 0 der
Kondensator auf die Spannung Oe geladen - dan n entsteht eine ungedämpfte Schwingung mit der Wechselspannung Ue(t) = Oe · cos(wt), der Kondensator Ladung Q(t) = Ö · cos(wt) und dem Wechselstrom I(t) = -I sin(wt) mit A A A [c 1 A A A 1 w = ll"r' Q = C · Ue, I = wO = wCU e = U e · \1 1, f = � und der L vL· C 2n L·C Periode (Thomsongfejchung) T = 2 1r � (F5.83) Bemerkungen: 1. Die Schwingkreisfrequenz f =
1
� hat die gleiche Gestalt wie die Reso2n L·C
nanzfrequenz der Siebkette. 2. Auch hier gilt nach den Wechselstromgesetzen: Ü sp = Xt. · i = wL · i und 1 A A 1 A 1 J[ U e = Xe · I = · I. Wegen Xt. = wL = ·L=-= 1 = Xe 1st d1es wC v'GC JC c v'GC mit Osp = O e bzw. U sp = - U e (s. o.) im Einklang ! 3. Die magnetische Energie Wmag n (t) = � L · I2 (t) = ! L · I2 · sin 2 (wt) und die 2 2 elektrische Feldenergie Wel (t) = � C · U 2 (t) = � C · 0� cos2 (wt) wandeln sich in2 2 einander um - ist W mag n (t) maximal, so ist W et(t) gleich 0 und umgekehrt. 2 1 1 "2 " 2 Wegen W9es(t) = Wet(t) + W magn(t) = 2 CUe · cos (wt) + 2 L U e \I I ·sm 2 (wt) = �2 C · 0 � (cos2 (wt) + sin2 (wt)) = ! C · 0� ist die Gesamtenergie zeitlich konstant. 2 =1 4. Man kann übrigens aus der Konstanz der Gesamtenergie W ges(t) = ! · C · [Ue(t))2 + � L · [I(t)) 2 = const durch Ableiten nach der Zeit mit 2 2 Q(t) = C · U (t) und I(t) = Ö(t) die Differenzialgleichung (F5.82) herleiten ! 5. Aus (F5.82) e�hält man über Q(t) = C · Ue(t) bzw. durch Ableitung nach der Zeit und mit I(t) = Q(t) entsprechende Differenzialgleichungen für Ue(t) bzw. I(t):
--
-
0
--
·
·
..
Ue +
1
CL
..
· Ue = 0, I e +
1
CL
· Ie = 0 (F5.84 a, b)
( [c)
•
0
Elektrizitätslehre und Magnetismus
306
5.34.2 Gedämpfter Schwingkreis Füh rt man den am Anfang von Kap. 5.34.1 beschriebenen Versuch durch und misst den Verlauf von Uc(t) bzw. I(t), so erhält man keineswegs die ungedämpfte Schwingung von Kap . 5 .34.1, sondern - aufgrund der "Reibungsverluste" durch den endlichen Widerstand R im Kreis - eine exponentiell gedämpfte Schwingung (siehe Abb . 5.126) mit abnehmender Amplitude. U c(t), l (t)
t I I
I I '
I . .J
Abb. 5.126: Span n ung (durchgezogen) und Strom (gestrichelt) beim Schwingkreis
Durch den Widerstand tritt neben U sp und U c noch eine Spannung an R auf, UR = R I; daher heißt die Differenzialgleichung des gedämpften Schwingkreises . U sp + UR + Uc = 0 bzw . CQ + L · I + R · I = O bzw . mit I = Ö.: 1 R R Q + I Q + . Q = 0 (Dämpfungsglied Q) I L C ·
··
·
·
·
·
5.34.3 Aufhebung der Dämpfung durch Rückkopplung (Meißner-Schaltung) Die Idee ist die, dass man den dick gezeichneten Schwingkreis in Abbildung 5.127 im richtigen Augenblick an eine Gleichspannungsbatterie anschließt, die die verloren gegangene Energie wieder hineinpumpt; und zwar müsste genau dann, wen n die obere Kondensatorplatte 1 positiv und gleichzeitig 2 negativ ist, die obere mit dem Pluspol, die untere mit dem Minuspol verbunden werden ! Jede Art von Handschaltung ist zu langsam - man realisiert die Idee durch einen Transistor als Schalter (Abb . 5.127) . Das Magnetfeld und damit die induzierte Spannung der Schwingkreisspule wird auf eine zweite Spule übertragen mit den AnschLüssen 3 und 4; danach wird über einen variablen Widerstand$ ein Teil der Spannung U der Batterie abgegriffen und zwar wird die Spannung zwischen E und Abgriffpunkt 5 auf Us E � 0, 7 V ei ngestellt (Transistor-Arbeitspun kt) .
307
Der Schwingkreis
2
+
u
Abb. 5.127
1. Fall: Herrscht keine Spannung am Kondensator, so herrscht auch an den Spulen
und damit zwischen 3 und 4 keine Span nung; dann ist auch zwischen 5 und B keine Spannung, also ist Us E :::: UsE :::: 0, 7 V . 2. Fall: Ist 1 positiv gegenüber 2, so auch 3 gegenüber 4; im Sinne des elek trischen Potenzials cp aus Kap. 5.6.3 wäre cp ( E) = 0, cp (5) = 0, 7 V = cp (4), cp (3) größer als cp(4), z. B. cp (3) = 0, 8 V = cp ( B ) Damit ist Us E :::: 0,8 V > 0,7 V, d. h. der Transistor Lässt durch ( Kap. 5.17.6), die Batterie pumpt Energie in den Schwingkreis. 3. Fall: Ist 1 negativ gegenüber 2, so auch 3 gegenüber 4, d. h. cp (5) = cp (4) = 0, 7 V und z. B. cp (3) = cp(B) = 0, 6 V; dann ist Us E 0,6 V 0,7 V, d. h. der Transistor sperrt, es gelangt kei ne neue Energie in den Schwing kreis. Bei dieser Meißner-Schaltung führt also der Schwingkreis sich selbst ( über Induktionsspule und Transistor) im richtigen Moment Energie zu (Rückkopplung) . Die Schwingung schaukelt sich auf, bis Dämpfungsverluste die Energiezufuhr gerade ausgleichen - dan n stellt sich eine ungedämpfte Schwingung ein. ::::
<
5.34.4 Erzwungene elektromagnetische Schwingungen In Kap. 5.34.1 und 5.34.2 wurde der Fall betrachtet, dass man nach Aufladen des Kondensators den Kreis von der Span nungsquelle abkoppelt und sich selbst überlässt. Er macht eine gedämpfte Schwingung; im Falle R ::::::: 0 ist die Frequenz fo = Jetzt soll eine periodische Zwangsei nwirkung von außen auf den 2 1r L · C Kreis mit der Frequenz f erfolgen - schwingt er? Wenn ja, gedämpft oder ungedämpft und mit welcher Frequenz? (f?, f0? ) . Ei ne erste experimentelle Realisierung einer solchen Zwangseinwirkung ist i n Abbildung 5.128 dargestellt: Ü ber einen Sinusgenerator wird eine sinusförmige Wechselspan nung U an die Linke Spule gelegt. Deren periodisches magnetisches Wechselfeld ( Frequenz f) wirkt ins Innere der Schwingkreisspule und erregt
�T
308
Elektrizitätslehre und Magnetismus
(magnetische Anregung!) im Schwingkreis ei ne elektromagnetische Schwingung. Man stellt fest - z. B. indem man Ue am Oszillograph betrachtet - dass diese Schwingung mit der Zwangsfrequenz f erfolgt. Verändert man am Sinusgenerator die Frequenz f von U, lässt aber die Amplitude von U konstant, so stellt man fest, dass die Amplitude von Ue stark anwächst, wenn f der Frequenz f0 angenähert wird - dies ist das typische Resonanzverhalten wie bei mechanischen erzwungenen Schwingungen (Kap. 1.23. 2) !
R
Abb. 5.128
Eine zweite experimentelle Realisierung einer solchen Zwangseinwirkung wäre, an den Schwingkreis eine Wechselspannungsquelle mit der Frequenz f anzuschließen und den Schwingkreis elektrisch anzuregen. Die Differenzialgleichung lautet dann Q Usp � Ue + UR = Uaußen bzw. L · I + C + R · I = U sinwt bzw. mit Q = C Ue und I = Q: A
•
·
I
L
l
· C · Üe + R C · Üe + Ue = 0 sinwt mit w = 2 1r f (F5.85} ·
•
Die Lösung dieser Differenzialgleichung ist aber bekannt - es handelt sich bei der Schaltung ja um eine Siebkette! .. ./ 1 u Also ist I = I · sin (wt - c5) mit I = , Z = v X2 + R2 , X = Xt. -_!e = Lw - Cw , Z tanc5 = � und die Kondensatorspannung hinkt dem Strom u m � i n der Phase 2 R .. .. .. 0 hinterher: Ue = Ue si n wt c5 2 mit Ue = I · Xe = Xe · Z Für die Amplitude Oe der erzwungenen Schwingung gilt: A
A
·
Ue = �
1
wC
.
0
(
- - 1r)
' (Lw �c) +R' z
0
(:J;.ijw� )
- ----.=:;===
.
R'w'C' +
2
� -1
1r
Die Phasenverschiebung von Ue gegenüber U ist ll = <5 + -. 2 " Trägt man U e bzw. c5' über w auf, so erhält man die entsprechenden Resonanzkurven wie in Abbildung 1.76 a, b bei den erzwungenen mechanischen Schwin gungen.
309
Der Transformator {Trafo)
5.35 Der Transformator (Trafo) 5.35. 1 Hoch- und Niederspannungstrafo Gemäß Abbildung 5.129 sind zwei Spulen über ein Eisenjoch miteinander ver bunden. An Spule 1, der Primärspule mit n1 Windungen, wird die Wechselspan nung U 1 angelegt. Der daraus resultierende Wechselstrom bewirkt in Spule 1 ein sich ständig änderndes Magnetfeld, welches über das Weicheisenjoch auf Spule 2 übertragen wird. Dadurch wird an Spule 2, der Sekundärspule mit n 2 Windungen, die Spannung U2 induziert, ebenfalls Wechselspannung.
1
l
c c
�
;
:::>
:::
1 T
>
� B-Feld
Abb. 5.129
Messungen zeigen:
u!: U 2
=
n1 (F5.86) n2
�
die Spannungen verhalten sich wie die Windungszahlen der Spulen
Herleitung: Für die Primärspule gilt U 1 - L1 i1 = R1 !1 = 0 für R1 "' 0, d. h. U 1 "' L1 i 1 = - Ufnd = n1 · 1>,. nach (F5.62) . Für die Sekundärspule ist U 2 = Ufnd ·
·
·
= - n 2 · eh . Weil beide Spulen die gleiche Querschnittsfläche A haben und von der gleichen Flussdichte B durchdrungen werden, ist der Fluss 4> = A · B -!._ · · U 1 = = '1l-' = - U 2 un d som1t · · D am1t 1st b e1. b e1' d en g Lel. C h , d . h .
-
-
.
>
>
5.35.2 Belasteter und unbelasteter Trafo 1) Wenn bei Spule 2 der Stromkreis nicht geschlossen ist, fließt dort kein Strom; dann gibt es dort auch keine elektrische Leistung, d. h . der Sekundärkreis ent-
310
Elektrizitätslehre und Magnetismus
nimmt dem Trafo keine Energie (unbelasteter Trafo) . Der Primärstrom hinkt der Primärspan nung um � in der Phase nach und hat nur Blindleistung (für R 1 = 0). 2 2) Belasteter Trafo: Schließt man im Sekundärkreis den Stromkreis, so steigt - wie ein Versuch zeigt - der Primärstrom stark an! Im Sekundärkreis fließt jetzt ein Strom I2 über einen Widerstand und I2 ist in Phase mit U2 - also entsteht dort die elektrische Wirkleistung P2 = I�ff · U�ff . Sie wird über den Trafo dem Primärkreis (und damit Letztlich dem Netz) entnommen also muss auch im Primärkreis eine Wirkleistung P1 entstehen, indem dem Blind strom ein Wirkstrom h Zusatz (in Phase mit U1) überlagert wird: j51 = u�ff . ���usatz! Dies erklärt das Anwachsen der Stromstärke im Primärkreis. Da ein guter Trafo selbst kaum Energie braucht, gilt: P1 � P2 , also U�ff · ���usatz � U�ff · I�ff . I1eff(Zusatz) ueff n 2 . belasteten Trafo verhalten sich die 2 = - (F5.87) � Be1m ff e ----I----= --'- eff� � n1 u1 2 zusätzlich auftretenden Ströme umgekehrt wie die Windungszahlen Versuch: Mit einem Niederspannungstrafo (n1 = 500, n 2 = 5) mit "kleinfingerdi "
cken Windungen der Sekundärspule kann ein dicker Eisennagel, der dort den Stromkreis schließt, zur Rotglut gebracht werden Primärspannung: U�ff = 220 V; n 5 Sekundärspannung: U�ff = -2 · U�ff = · 220 V = 2, 2 V; n1 500 Stromstärke im Sekundärkreis bei R2 = � n (Dicker Windungsdraht, 100 eff 2 2 V u ff ' 2 dicker Nagel): I� = = = 220 A! ! R o. 01 n n Zusätzliche Stromstärke im Pri � ärkreis: I�ff(Zusatz) = 2 I�ff = 2 220 A = 2, 2 A n1 500 Hier hat man also einen Hochstromtrafo, der eine riesige Sekundärstromstärke bewirkt (Prinzip des Elektroschweißens) . Bemerkung: Dass man eine im E-Werk mit 220 V erzeugte Spannung für den Weitertransport in der Fernleitung auf beispielsweise 220 000 V hoch trans formiert und am Transformatorenhaus am Ende der Fernleitung wieder auf 220 V heruntertransformiert, mag zunächst seltsam erscheinen. Eine einfache Modell rechnung Liefert die Erklärung. Würde das E-Werk seine Leistung von z. B . P = 440 M W = U eff I eff direkt mit 220 V weiterleiten, wäre der Strom 440 · 106 w = 2 106 A; Der Verlust in den Fernleitungen Ieff = 2 20 V Pverlust = UL�tu ng · Ieff = R I�ff darf nicht zu hoch sein. Lässt man 10 % Verlust, • rlust = 44 · 106 W = 1, 1 . 10 _5 n der maxlmale Pve. R=d. h. 44 MW, ZU, so 1St 1 2 2 2 Ieff 4 · 10 A Ohm'sche Widerstand der Leitung. -
·
·
.
·
·
Drehstrom
311
Eine 100-km-Fernleitung (die doppelt zu nehmen ist wegen Hin- und Rückleitung) aus Kupfer mit diesem Widerstand müsste nach Gl. (F5.4) 20 m dick sein (unmög
lich !). Bei einer Transportspannung von 220 000 V dagegen wird R = 11 n und die Leitungsdicke 2 cm (machbar!).
5.3 6 Drehstrom 5.3 6. 1 Prinzip der drei Phasen Versuch: Ein Drehstromgenerator hat vier Anschlüsse - den geerdeten Mittel
punktsleiter Mp und die Außenleiterphasen R, S, T. Verbindet man die Außenleiter über gleiche Birnchen mit Mp und misst den Gesamtstrom I (Abb. 5.130), so stellt man fest: 1) Bei zwei Phasen "in Betrieb" ist I genauso groß wie bei einer Phase. 2) Nimmt man alle drei Phasen "in Betrieb", so geht I sogar auf 0 zurück. 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
Drehstromgenerator
1
1 I
Mp
I
- - - - - - - - - - -
J
Abb. 5.130
Gibt man die Spannungen ul = UMPR' Uz = u �,JO ' u3 = UM T auf einen Zweikanalos zillographen, so stellt man fest, dass sie alle sinusartig und von gleicher Am2 7r 11 plitude, aber jeweils um 120° phasenverschoben sind. 3
(
)
p
Im Zeigerdiagramm für die Spannungen laufen drei gleich lange Zeiger mit der 2 7r Winkelgeschwindigkeit w, und der U2 -Zeiger läuft um hi nter dem U1 -Zeiger, 2 der U3 -Zeiger um 1i hinter dem U 2 -Zeiger. Bei gleicher elastung, d. h . gleichen 3 Birnchen ergibt sich ein entsprechendes Zeigerdiagramm für die Stromstärken (Abb. 5.131) . Addiert man zwei der Pfeile vektoriell - zum Beispiel die I1 /IrPfei le, so erhält man wieder einen Pfeil gleicher Länge, weshalb bei zwei Phasen der Gesamtstrom so groß wie bei einer ist; addiert man alle drei Pfeile vektoriell, so ergibt sich der Gesamtstrom 0. Das erklärt den Versuchsbefund. Physikalisch maßgeblich si nd nur die y-Komponenten der Pfeile. In Abbildung 5.131 sind diese für I1 und I3 gerade halb so lang wie für I2 , aber entgegengesetzt gerichtet; die Elektronen von It bzw. h fließen also gar nicht in den Nullleiter (Mittelpunktsleiter), sondern fließen im 2. Phasenstrang nach S zurück!
�
Wenn alle drei Phasenstränge gleich belastet sind, vom Strom durchflossen.
wird der Nullleiterstrang gar nicht
Elektrizitätslehre und Magnetismus
312
Abb. 5.1 3 1
5.3 6.2 Erzeugung von Drehstrom Zur Erzeugung von Drehspannung (Drehstrom) Lässt man einen Stabmagnet gemäß Abbildung 5.132 sich mit der Winketgeschwindigkeit w zwischen drei gleichen Spulen drehen . Dabei "passiert" für jede Spute dasselbe, wie wenn sie sich mit w im ruhenden Magnetfeld drehen würde: An den Spulen wird sinusförmige Wech2 selspannung (jeweils um phasenverschoben) erzeugt. Der gemeinsame Spu Lenanschluss am Mittetkrefs ist der N uLLLeiter Mp, das andere Ende der R, S, T-AnschLuss.
1f
T
Abb. 5. 132
Bemerkung: Legt man umgekehrt in der Anordnung von AbbiLdung 5.132 die DrehstromanschLüsse eines Generators an MP' R, S, T, �.o entstehen in den Sputen sinusförmige phasenverschobene MagnetfeLder. Ihre Ubertagerung ist ein rotie rendes B-Fetd, das den Stabmagneten rotieren Lässt: Drehstrommotor!
Elektromagnetische Wellen
313
5.3 7 Elektromagnetische Wellen 5.37. 1 Hertz'scher Dipol Jeder Welle (zeitlich und räumlich periodisch ) geht eine Schwingung (zeitlich periodisch ) voraus - so entstehen durch "Ausbreitung" mechanischer Schwingun gen im Raum mechanische Wellen ( z. B. Seilwellen, Wellen in Stäben ) und akus tische Wellen ( Schall, Ultraschall) und der Lichtwelle geht im Sinne von Huygens eine " Uchtätherschwingung " voraus. Um aus elektromagnetischen Sch win_gungen elektromagnetische Wellen zu erhalten, müsste man die beiden Felder (E-, B-Feld) , die beim Schwingkreis räumlich stark gebunden sind (im Kondensator bzw. in der Spule) in den Raum hinaus verlagern. In einem ersten Schritt könnte man die Spule durch eine Kabel-Schleife ersetzen, in einem zweiten Schritt den Kondensator wie in Abbildung 5.133 a, b "aufweiten". E
Abb. 5.133a
Abb. 5.133b
Im dritten Schritt schließlich ersetzt man - nach Weglassen des Kondensators das Ganze durch einen Metallstab (Abb. 5. 134), den Hertz'schen Dipol. Zunächst einmal sind das Gedankenspiele! Wenn der Dipol tatsächlich einen Schwingkreis darstellt, so sind C und L und damit T = 2 1r � extrem klein, d. h. f = muss sehr groß sein ( Hochfrequenz) .
�
Aufgrund erheblicher Dämpfungsverluste muss eine Rückkopplung des Hertz'schen Dipols mit einer Meißnerschaltung oder einer Röhrenschaltung ( Röh rentriode gemäß Kap. 5.16 statt Transistor) erfolgen.
Elektrizitätslehre und Magnetismus
314
Abb. 5.134
Führt man einen entsprechenden Versuch durch, so stellt man fest, dass ein solcher Schwingkreis tatsächlich funktioniert - ein in der Mitte des Dipols angebrachtes Birnchen leuchtet, d. h. es fließt Strom! Mit geeigneten Prüfinstrumenten ermittelt man, dass die elektrische Feld stärke an den Dipolenden am größten ist (dort muss auch die Ladung gespeichert werden ) und die magnetische Feldstärke in der Mitte des Dipols am größten ist ( dort ist auch die Stromstärke am größten ) . Die Strom- und Ladungsverteilung am schwingenden Dipol sowie die Struktur des elektrischen und magnetischen Feldes über eine Periode zeigt Abbildung 5.135 ( die " Ladungsverteilung " dort ist eher eine Ladungsdichteverteilung - "Ladung je Länge") .
E
B
t=O
t=
E
I
=f= +
t=
B
�
t=
F
=f= ~
Abb. 5.135: E-/ B-Feld bzw. Strom- und Ladungsvertei lung am Dipol über ein e Schwin gungsperiode
5.3 7.2 Elektromagnetische Wellen im Raum Um zu überprüfen, ob ein Dipol tatsächlich elektromagnetische Wellen in den Raum abstrahlt, kann man durch Reflexion dieser hypothetischen Wellen an einem Metallschirm stehende Wellen im Raum erzeugen (Ü berlagerung von ein- und auslaufender Welle ) . Deren Knoten und Bäuche müsste ein Prüfdipol zeigen, der mit der vom Sendedipol ausgestrahlten Zwangsfrequenz ei ne erzwungene Schwin gung macht und zwar besonders gut, wen n er in Resonanz damit ist, d. h. wenn
Elektromagnetische Wellen
315
seine Eigenfrequenz der Zwangsfrequenz entspricht; im Prüfdipol muss dann zur Ü berprüfung, ob Strom fließt, statt eines eingebauten Birnchens ein empfindli cher Strommesser angebracht werden. Die Durchführung des Versuchs bestätigt die stehende Welle, d. h. tatsächlich strahlt der Sendedipol eine elektromagnetische Welle in den Raum ab! Außerdem .A liefert der Versuch die Abstände der Knoten bzw. Bäuche und damit-; da man die 2 Sendefrequenz f kennt, kann man über c = A · f die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen ermitteln . Ergebnis: In Luft bzw. im Vakuum breiten sich elektromagnetische Wellen mit der
m s
Lichtgeschwindigkeit c = 3 · 108 - aus.
5.3 7.3 Maxwells Überlegungen 1) Beim Versuch "Aluring/Spulenmagnetll (Kap. 5.29.2) wurde festgestellt, dass in
einem Leiterring, welcher ein sich änderndes Magnetfeld umgibt, sich durch Induk tion ein Kreisstrom so einstellt, dass dessen Magnetfeld der Änderung entgegen wirkt. Der Physiker Maxwell stellte sich vor, dass auch ohne Leiterring Elektronen, die sich anstelle des Rings befinden, das sich ändernde B-Feld kreisförmig umrunden müssten - als Ursache dafür sah er ein elektrisches Ringfeld: Ein sich änderndes Magnetfeld ist von ringförmig geschlossenen Feldlinien eines elektrischen Feldes umgeben
2) Zur Klärung der Frage, ob umgekehrt ein sich änderndes elektrisches Feld von ringförmigen Magnetfeldlinien umgeben ist, stelle man sich einen Kondensator vor mit elektrischem Feld, wodurch das Dielektrikum im Inneren polarisiert ist (Abb. 5.136, Kap. 5.20.4) . Ändert sich das elektrische Feld (Zunahme oder Abnahme), so ändert sich die Polarisation (größer oder kleiner); die Ladungs verhältnisse im Kondensatorinneren ändern sich, es fließt dort ein Polarisations strom (und auch in den Zuleitungen fließt ein Strom). Der Polarisationsstrom hat ein ringförmiges Magnetfeld um sich. Maxwell verallgemeinert dies auch auf Kondensatoren ohne Dielektrikum.
.,....____ I
.,....____ I
Abb. 5.136
Jedes sich ändernde elektrische Feld ist von ringförmig geschlossenen Feldlinien eines magnetischen Feldes umgeben.
Elektrizitätslehre und Magnetismus
316
3) Die Entstehung elektromagnetischer Wellen, d. h. die Ausbreitung der Felder in den Raum erklärt Maxwell so (Abb. 5.137): +
+ E
0 ..- t ..- I . ' '4 .
t = O: Elektrisches Feld maximal, kein Magnetfeld
Es
fließt Strom, das elektrische Feld wird abgebaut, das mag netische aufgebaut; um die magnetischen Feldlinien entstehen kreisförmige elektri sche- Einschnürungen"
Das magnetische Feld ist maximal, das elektrische hat sich vollkommen vom Dipol abgeschnürt
Elektrisches Feld maximal, kein Magnetfeld
•
Abb. 5.137
Durch fortgesetzten Auf- und Abbau von elektrischen und magnetischen Feldern ergibt sich schließlich ein "Zwiebelschalen modell", der i m Raum sich ausbreiten den elektromagnetischen Welle (Abb. 5.138). Das elektrische und das magneti sche Feld stehen an jeder Stelle des Raumes senkrecht aufeinander und sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Abb. 5.139).
Abb. 5.138
317
Elektromagnetische Wellen
5.3 7.4 Ergänzungen 1) Beim Nahfeld am Dipol direkt sind nach Kap. 5.37.1 das B-Feld und das E-Feld um � phasenverschoben. Sind diese Felder i m Fernbereich (weit weg vom Dipol) 2 ebenfalls phasenverschoben oder in Phase? Man eri nnere sich an die " Leiterschaukel" in Kap. 5.29, Abbildung 5.100, wo der Stab gerade mit der Geschwindigkeit v nach rechts schaukelt. Es wird an ihm ein elektrisches Feld induziert mit (vergleiche Kap. 5.25.3) E · e = B · e v bzw. E = B v. Dies bedeutet, dass E umso größer ist, je größer B ist! Dieselbe Induktionssituation ergibt sich, wenn der Stab ruht und das Magnetfeld mit der Geschwindigkeit v an ihm vorbei nach Links Läuft. Dies macht plausibel, dass E-Feld und B-Feld im Fernbereich in Phase sind - d. h. ihre Maxima und Nullstellen liegen an der gleichen Stelle (Abb. 5.139). ·
·
Dipol
E
I ...
At--;,. ;---7--+--*-+--r-7--7---:;J--f- .. Ausbreitungs richtung
B
Abb. 5.139
2) Maxwell folgert aus seiner Theorie für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle: CV/elle
=
1
.Jc:o · er
· /lo ·
(F5.88)
P.r
Daraus ergibt sich in Luft/Vakuum ( c:r = J.tr = 1) : Cweue
=
V
�
1
=
F Tm . 8 .' 8 . 10- 12 - 1 25 . 10 -6 A m ' A "" 3 10 8 (Lichtgeschwindigkeit) 1o' · � N V Am 1 In Wasser (Jlr � 1, er � 81) erhält man: cwasse r = Ctuft 9 3) Deutet man die Ladungs- bzw. Stromverteilung im Dipol (Abb. 5.135 unten) um als Eigenschwingung (Grundschwingung) der elektrischen Feldstärke bzw. mag netischen Flussdichte am Dipol (Abb. 5.135 oben), so entspn"cht die Dipollänge der ). halben Wellenlänge dieser stehenden und damit der ausgesandten Welle - "2 -Dipol" (man könnte sich auch eine Oberschwingung am Dipol vorstellen) .
�.
•
·
�
-
318
Elektrizitätslehre und Magnetismus
.A
Dies bestätigt der Versuch nach Abbildung 5.140, bei dem ein Sender eine elektromagnetische Welle aussendet, deren Wellenlänge der doppelten Sender Länge entspricht. Ein Empfänger- bzw. Prüfdipol (Lämpchen) muss in Luft ebenfalls 2 -Länge ha en (Senderlänge) - in Wasser klappt der Empfang erst, wenn die Empfängerlänge - der Senderlänge ist. 9 Grund: Bei m Ü bergang ins Wasser bleibt die Frequenz f der elektromagnetischen elle Welle gleich, jedoch verkürzen sich cwelle und = CV/ auf der jeweiligen Werte f 1 9 in der Luft - also muss auch die Empfängerlänge auf 9 schrumpfen!
.A
�
�
.A
Dipol mit Röhrengenarator
Wasser
Elektromagnetische Welle
Abb. 5.140
=D Sender
5.38 "Lichteigenschaften# elektromagnetischer Wellen
(.A �) .A
Zu den elektromagnetischen Wellen gehören die Radiowellen, die man üblicher weise in Langwellen mit 150 kHz f 285 kHz und = 2000 m .A 1050 m, Mittelwellen mit 525 kHz f 1605 kHz und 571 m 187 m, Kurzwellen mit 3,95 MHz f 26,1 M Hz und 76 m 12 m sowie Ultrakurzwellen (UKW) mit 87,5 MHz f 108 MHz und 3,4 m 2,78 m einteilt. Weitere Frequenzbereiche werden vom Fernsehen, der Radarüberwachung (Dezi meterwellen) usw. genutzt. Langwellen können über große Distanzen an der Erdoberfläche entlanggeführt werden, d. h. ihre Ausbreitungsrichtung weicht dann von der Geraden ab; bei den viel kurzwelligere U KW-Wellen geht das nicht - sie breiten sich wie das Licht geradlinig aus. Um festzustellen, welche weiteren "Lichteigenschaften" auch bei elektromagnetischen Wellen eventuell zutreffen, untersucht man noch kurzwel ligere, nämlich Mikrowellen (Zentimeterwellen) . Der Mikrowellensender (Klystron) hat einen Metalltrichter, der Empfänger (mit Gleichrichterdiode) ebenfalls (Abb. 5.141). Man stellt fest, dass der Empfänger nur etwas registriert, wenn er im getönten Bereich ist - nahezu geradlinige Ausbreitung der hochfrequenten Mikrowelle (Abb. 5.141)! <
<
<
<
<
<
<
<
.A
>
>
.A
>
>
>
>
>
>
319
"lichteigenschaften" elektromagnetischer Wellen
Abb. 5.141
Empfänger
Sender
Gemeinsamkeiten zwischen Licht und Mikrowellen (Versuchsergebnisse) :
1. (Nahezu) geradlinige Ausbreitung m 2. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum/in Luft beträgt c = 3 108 . s 3. Wie für Licht, gilt es auch für Mikrowellen Stoffe, die nicht durchdrungen werden es sind im Wesentlichen elektrische Leiter (Anwendung: Metalltrichter als Blenden für Mikrowellen) 4. Für Mikrowellen gelten - wie für Licht - beide Teile des Reflexionsgesetzes (Kap. 4.3.1). 5. Wie Licht werden Mikrowellen - z. B. (Abb. 5.142) beim Ü bergang Luft/Sand gebrochen, wobei das Brechungsgesetz gilt: Einfallender, gebrochener Strah l und Ei nfallslot Liegen in einer Ebene und sin o: CLuft: 0 = - = const = n (Brechzahl) (s1ehe 1.28, (F1.56)) . Sln Jl Cstoff ·
-
•
-
Abb. 5.142
6. Wie bei Licht Lassen sich (vergleiche Kap. 5.37.2) mit Mikrowellen durch Reflexion an einer Metallplatte stehende Wellen mit Knoten und Bäuchen erzeu gen. 7. Intetferenz von Mikrowellen an dünnen Schichten durch Ü berlagerung von direkt reflektierten und zweitreflektierten Wellen gemäß Abbildung 5.143: Je nach Gangunterschied (abhängig vom Plattenabstand d) erhält man Verstärkung bzw. Abschwächung (gilt auch für durchgehende Wellen).
320
Elektrizitätslehre und Magnetismus Empfänger
Sender
Abb. 5.143
Glasplatten
8. Beugung: Wie bei Licht lässt sich die Beugung am Spalt bzw. am Hindernis ( einschließlich des Poissonflecks) gemäß Abbildung 5.144 nachweisen. Empfänger
)::J
bzw Hindernis
Abb. 5.144
9. Polarisation:
a) Licht ist normalerweise nicht polarisiert, lässt sich aber durch einen Polarisator polarisieren ( Kap. 4.13). Je nach Spaltstellung kann dann das polarisierte Licht einen zweiten " Polarisationsspalt'' (Analysator) durchdringen oder nicht. b ) Elektromagnetische Wellen des Klystrons sind bereits polarisiert. Ein Polarisa tionsgitter aus Metallstäben sperrt (Abb. 5.145), wenn die Gitterstäbe gleich wie das E-Feld gerichtet sind - dann wirken die Stäbe als Empfangsdipole und absorbieren die Wellenenergie. E
B
Abb. 5.145
sperrt
läßt durch
5.3 9 Licht als elektromagnetische Welle 5.39. 1 Faraday-Effekt und Kerr-Effekt Die " Lichteigenschaften'/ kurzwelliger elektromagnetischer Wellen zeigen deren Verwandtschaft mit Licht und Lassen vermuten, dass Licht als elektromagnetische Welle aufzufassen ist. Dies wird durch zwei weitere Erscheinungen bestätigt, die zeigen, dass Licht durch elektrische bzw. magnetische Felder beeinflusst wird.
321
Licht als elektromagnetische Welle
Beim Faraday-Effekt wird polarisiertes Licht (Polarisator!) durch ein starkes Mag netfeld geschickt (Abb. 5.146). Dabei wird die Polarisationsebene von E- und B-Feld des Lichts gedreht, wie man am Schirm hinter ei nem Analysator erkennt! B'
Polarisator
Analysator Elektromagnet
Abb. 5.146
Auch beim Durchgang durch ein starkes elektrisches Feld ändert sich die Polari sationsebene von polarisiertem Licht (Kerr-Effekt) . 5.39.2 Entspricht die Modell-Lichtwelle der elektrischen oder der magnetischen Teilwelle? Wenn Licht eine elektromagnetische WeLLe ist, dan n bleibt zu untersuchen, ob die ModeLL-LichtweLLe der Optik dem elektrischen oder dem magnetischen Anteil entspricht. Dazu sei die Reflexion einer elektromagnetischen Welle an einer MetaLLplatte genauer betrachtet. '
\
\
. \ - -, - - - - 7 I \ I \ .... _ /
• • •
Abb. 5.147a
. ..
..
• • • • •
•
..
• • • • • •
• • • • •
• • • • • ·-·
Elektrizitätslehre und Magnetismus
322
1. Die einlaufende elektrische Welle ist in Abbildung 5.147 a fett gezeichnet - das E-Feld bewirkt (oberes Bild) in der Oberfläche der Platte einen Elektronenstrom in Gegenrichtung zum Feld, sodass ein elektrisches Gegenfeld E' aufgebaut wird. Dadurch entsteht die reflektierte elektrische Welle (dünn gezeichnet), die gegen über der einlaufenden Welle einen Phasensprung um 1r hat - so entsteht durch Ü berlagerung von einlaufender und reflektierter Welle eine stehende elektrische Welle (gepunktet in Abbildung 5.147 a) mit Knoten an der Metallplatte. 2. Das Magnetfeld stellt sich in Phase zum elektrischen Feld nach der "modifi zierten Dreifingerregel der Linken Hand" ein: Zeigt der Daumen der Linken Hand die E-Feld-Richtung und der senkrecht dazu gestellte Zeigefinger die Ausbrei tungsrichtung (i/!) an, so gibt der senkrecht zu beiden gestellte Mittelfinger die B-Feld-Richtung an. Diese Regel folgt aus Maxwells Ü berlegungen und lässt sich an Abbildung 5.139 Leicht verifizieren . Wendet man sie auf die ei n Laufende und reflektierte magnetische Welle an, so erhält man zu dem Zeitpunkt, der dem oberen Bild von Abbildung 5.147 a entspricht, die einlaufende (dick), reflektierte (dünn) und überlagerte (gepunktet) magnetische Welle wie in Abbildung 5.147 b:
·� ·
�auslaufe�� � t E'
einlaufend
•
•
Abb. 5.147b
. .
.
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I •
·. /
Es gibt eine stehende magnetische Welle, die an der Platte einen Bauch hat.
Bei der Modellwelle für Licht wurde von einer Querwelle ausgegangen, die bei der Reflexion am festen Ende (Übergang vom dünneren Medium ins dünnere zurück) einen Phasensprung um 1r macht ( " Bergu wird zu "Tal/' und umgekehrt), sodass die stehende Welle dort einen Knoten hat - wie die elektrische Welle oben. Ergebnis: Die Lichtwelle entspricht dem elektrischen Anteil einer elektromagneti schen Welle.
Nichtsichtbare Spektralbereiche im elektromagnetischen Spektrum, Überblick
323
5.40 Nichtsichtbare Spektralbereiche im elektro magnetischen Spektrum, Überblick 5.40. 1 "Infrarotlicht'", " Ultraviolettlicht# Erzeugt man mit einem Gitter ein Spektrum des Glühlichts einer Lampe, so registriert eine Photozelle nicht nur den sichtbaren Bereich (von Rot bis Violett), sondern zeigt auch jenseits des Rotbereiches (im Infrarot - bzw. IR-Bereich) und jenseits des Violettbereiches (im Ultraviolett- bzw. UV-Bereich) Strahlung an. Das Infrarotlicht ist Hauptträger der Wärmestrahlung (Sonne, IR-Lam pen); es kann bei der Fotografie verwendet werden, um bei diesigem Wetter klare Bilder zu erhalten (IR-Strahlen durchdringen Dunst) oder um im Dunkeln Wärme abstrah Lende Objekte (z. B. Tiere) aufzunehmen. Ultraviolettlicht bräunt die Haut, zerstört sie aber auch (Sonnenbrand, Haut krebs), macht durch Bestrahlung keimfrei, ionisiert die Atmosphäre; es bewirkt bläuliche Fluoreszenz (UV-Lampe), wird von Glas (außer Quarzglas) absorbiert und von Bienen ,,gesehen " . IR-Licht und UV-Licht werden - wie sichtbares Licht - durch Ü bergänge von Elektronen zwischen äußeren Schalen der Atomhülle (siehe Kapitel 6) erzeugt. 5.40.2 Röntgenstrahlen Röntgenstrahlen sind hochfrequente elektromagnetische Wellen, die z. B. in den
inneren Schalen der Atomhülle entstehen (siehe Kapitel 6), wenn in ei ner Rönt genröhre stark beschleunigte Elektronen auf eine Metallanode prallen. Der Phy siker Laue nahm an, dass ihre Wellenlänge von der Größenordnung der Ionen abstände in Kristallgittern liegen müsste und wies ihre Beugung am Kristallgitter nach. So konnte er Gitterabstände bestimmen, Kristalle analysieren, aber auch Wellenlängen von Röntgenstrahlen ermitteln. 5.40.3 y-Strahlung y-Strahlung entsteht im Atomkern. Es handelt sich um hochfrequente Strahlung,
die in ihrer Wirkung oftmals der "harter'' Röntgenstrahlung entspricht.
324
Elektrizitätslehre und Magnetismus
5.40.4 Überblick über das elektromagnetische Spektrum Tab. 5.1: Überblick über elektromagnetische Wellen
1.. (in m)
f (in Hz)
1 04
1()3 � 1 km 1 02 10 1 m 1 0- 1 � 1 1o- 2 � 1 cm 1 0-3 � 1
dm
1 0-4 t o- s
mm
1 0-6 1 0-1 � 1 00 n m 1 0-8 1 0-9 � 1 nm l Q- 10
1 0- ll 1 0- 12 � 1
1 0-13
pm
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 04 1()5 1 06 1 07 1()8 1()9 1 ()1 0 1 011 1 012 1 01 3 1 014 1 ()1 5 1 01 6 1 ()17 1 018 1 019 1 020 1 021
Art der Wetten
_}
Langwetten Mittelwetten Kurzwellen U ltrakurzwellen
�
Dezimetervvellen
l
Mikrowellen
l f
fernes Infrarot nahes Infrarot sichtbares Licht
� ���;h:, ;] =1
U ltravio lett eic he
·········
f
harte sehr harte
y-Strahlung
elektrotechnisch erzeugte Wellen
I
licht
Röntgenstra h le n
325
Kernphysik
6
Atomphysik u nd Quan tenphysik
6.1
Kernphysik
6. 1.1 Kernaufbau In Kap. 5.4.2 wurde das Rutherford'sche Atommodell vorgestellt, wonach negativ geladene Elektronen einen positiv geladenen Kern umschwirren, in dem nahezu die gesamte Atommasse sitzt; der Atomdurchmesser liegt dabei in der Größen ordnung von 10-s cm, der Kerndurchmesser beträgt ca. 10-1 3 cm . Der Atomkern besteht aus positiv geladenen Protonen und etwa gleich schweren ungeladenen Neutronen beide haben etwa die 2000fache Masse des Elektrons. Der Zusammenhalt des Kerns erscheint zunächst rätselhaft - die positiven Pro tonen stoßen sich ja elektrostatisch ab! Besondere Anziehungskräfte zwischen den Kernteilchen (Nukleonen), die zwar nur auf sehr kurzer Distanz wirken, dann aber sehr stark sind, machen den Zusammenhalt. Die Kernladungszahl Z entspricht der Zahl der Protonen im Kern und gleich zeitig beim ungeladenen Atom auch der Zahl der Elektronen; sie legt die Nummer eines Elements im Periodensystem fest und bestimmt so seine chemischen Eigenschaften . Die Nukleonenzahl A (== Protonenzahl Z + Neutronenzahl N) legt die Masse des Atoms fest. Je nach der Anzahl der Neutronen kann jedes chemische Element in verschie dene Isotopen auftreten. Zum Beispiel gibt es (Abb. 6.1) drei verschiedene Wasserstoffisotope. -
gewöhnlicher Wasserstoff
Deuterium "schvverer Wasserstoff"
Tritium "superschwerer Wasserstoff'
(1 Proton /1 Neutron)
(1 Proton /2 Neutronen)
1 H 1
(1 Proton)
Abb. 6.1
6. 1.2 Radioaktivität Viele Elemente haben stabile und instabile Isotope. Isotope, die nicht stabil sind, zerfallen von selbst in verschiedene Bestandteile und senden dabei Strahlung aus - sie sind radioaktiv! Ei n Magnetfeld spaltet die unsichtbare radioaktive Strahlung in drei verschie dene Bestandteile auf (Abb. 6.2), wobei nicht alle gleichzeitig auftreten müssen.
326
Atomphysik und Quantenphysik ·r- Strahlung
ß- Strahlung
�1----- radioaktiver ....-... . .. . Stoff
Abb. 6.2
ß-Strahlung: Wird stark abgeLenkt gemäß der Dreifingerreget der Linken Hand
(siehe 5.14) - sie besteht aus Leichten negativ geLadenen TeiLchen.
cx-Strahlung: Schwächere AbLenkung in die Gegen richtung - sie besteht aus
schweren positiv geLadenen TeiLchen (doppeLt positiv geLadene Hetiumkerne). y-Strahlung: Wird überhaupt nicht abgeLenkt - keine TeiLchenstrahLung, sondern energiereiche eLektromagnetische Wette (ähnLich wie LichtjRöntgenstrahtung). 6. 1.3
Wie wird die unsichtbare Strahlung nachgewiesen?
1) Vorüberlegung: Schießt man "schneLLe" ELektronen auf Atome, so können diese AtomeLektronen aus äußeren "SchaLen" herausschLagen und (Abb. 6.3) so die Atome ionisieren - positiv geLadene Ionen entstehen. (Lagern sich herum fLiegende ELektronen an neutraten Atomen an, entstehen negativ geLadene Io nen) .
/
-
-
•
r
I I • • •
Abb. 6.3
-
-
- .=
-
-
�
1
+
Bemerkungen: 1. Die schnellen ELektronen kön nen äußere AtomeLektronen auch auf höhere
unbesetzte SchaLen (uKreisbahnen") heben; faLLen sie dann auf die ursprüngLiche SchaLe zurück, senden die Atome Licht aus.
327
Kernphysik
2. Auch Gasmoleküle können bei hohen Temperaturen durch ihre Wärmebewegung aufeinander prallen und sich dabei gegenseitig ionisieren (bzw. Licht aussenden), wie in Abbildung 6.4 verdeutlicht ist.
Abb. 6.4
e--o vorher: neutral
+
-
o-
nach Stoß: Ionen
2) a-Strahlung besteht aus sch nellen geladenen Teilchen, die die Luftmoleküle ionisieren, auf die sie treffen. In einer Nebelkammer (gefüllt mit Luft, welche mit Wasserdampf gesättigt ist) Lassen sich dan n die Bahnen der n--Teilchen als Kondensstreifen sichtbar machen, da an den ionisierten Luftteilchen Nebeltröpf chen entstehen. Man erhält ein "Rasierpinselbild" wie in Abbildung 6.5. Die Reichweite der n:-Teilchen ist sehr kurz, da sie bei jedem Stoß viel Energie verlieren.
Radioaktiver Stoff (f!-strahler)
Abb. 6.5
3) Im Geiger-Müller-Zählrohr zum Nachweis radioaktiver Strahlung, kurz Geiger zähler genannt, wird zwischen einer zylinderförmigen Röhre und ihrem Zentral draht eine hohe Spannung angelegt (Pluspol am Draht); die Röhre ist mit Edelgas gefüllt. Gelangen a-Teilchen in die Röhre, ionisieren sie die Edelgasteilchen durch Stoß. Die geladenen Edelgasionen gelangen zum negativen Außenmantel bzw. positiven Innendraht der Röhre; es erfolgt ei n Stromstoß verbunden mit einem knackenden Geräusch in einem angeschlossenen Lautsprecher (Abb. 6.6)
! Abb. 6.6
Edelgas ionen
Strom
+ -
u {500 V)
Damit Lassen sich einzelne ionisierende radioaktive Teilchen nachweisen - vor allem aber auch ß-Teilchen.
CY.-,
4) Eine weitere Nachweismöglichkeit radioaktiver Strahlung beruht darauf, dass sie Fotoplatten schwärzt.
328
Atomphysik und Quantenphysik
6. 1.4 Was passiert beim radioaktiven Zerfall eines Atomkerns? 1. Beispiel (cx -Strahler) : Ein Radiumisotop �6 Ra zerfällt in ei n Radonisotop ��2 Rn und einem Heliumkern � He, wobei Energie frei wird: �6 Ra ��2 Rn
+
� "-...r-"
�
(+ Energie) .
Die Kernladungszahl (untere Zahl) wird beim Zerfall also um 2 erniedrigt (während die Nukleonenzahl oben um vier verkleinert wird) . 2. Beispiel (ß-Strahler): Das Kryptonisotop +�� Kr zerfällt in das Rubidiumiso top +�i � b und ein Elektron, wobei Energie frei wird: �� Kr �� Rb +
@ "-...r-"
�
(+ Energie)
Die Kernladungszahl wird um 1 erhöht! (Tatsächlich zerfällt dabei ein Neutron des Kr-Kerns in ein Proton und ein Elektron: � n i p + -� e) . Während beim o:- oder j1-Zerfall ein völlig neuer Atomkern entsteht, ändert sich beim 1·-Zerfall der Kern prinzipiell nicht. Bemerkung: Der radioaktive Zerfall erfolgt nach einem exponentiellen Zeitgesetz: �
I n(t)
=
l
n 0 · at (F6.1)
Hierbei ist n0 die ursprüngliche Kernzahl zur Zeit t = 0, n (t) die Zahl der zur Zeit t noch vorhandenen (nicht zerfallenen) Kerne und a der Zerfallsfaktor (0 a 1). Nach der Halbwertszeit rH ist jeweils noch die Hälfte der ursprünglich vorhandeln 2 n nen Kerne nicht zerfallen. Wegen o = n ('TH) = n0 · arH ist '7ll = loga � = -n a . 2 2 l Bemerkung: Radioaktive Strahlung schädigt den Organismus, da die energiereichen Teilchen die Zellen, auf die sie treffen, zerstören oder verändern können; beispiels weise können schwere Verbrennungen auftreten, aber auch schwerwiegende Spät folgen (Krebs, Missbildungen durch Schädigung des Erbguts) . Für Einzelheiten hinsichtlich Strahlenbelastung und Strahlenschutz wie auch Nutzbarmachung radio aktiver Nuklide etwa in der Medizin sei auf die einschlägige Literatur verwiesen. <
<
6. 1.5 Kernreaktionen Wenn Atomkerne mit so großen Geschwindigkeiten aufeinander prallen, dass die elektrostatischen Abstoßungskräfte überwunden und die kurzreichweitigen Kern anziehungskräfte wirksam werden, können vollkommen neue Kerne entstehen. Die große Geschwindigkeit wird den Teilchen z. B. in großen Beschleunigern verliehen. Als Beispiele für solche Kernreaktionen, die teilweise auch in der "freien Natur'' ablaufen, seien erwäh nt: 1) 1� N + � He � 1� 0 + i p ("Aus Stickstoff entsteht Sauerstoff")
Kernphysik
329
2) � Be + � He -4 1� C + ö n ("Aus Beryllium entsteht Kohlenstoff") Bemerkung: Auf diese Weise kann man auch ( wirtschaftlich uninteressant!) Gold
künstlich herstellen; dieses Ziel suchten die Alchi misten des Mittelalters auf chemischem Weg vergeblich zu erreichen. 6. 1 . 6 Kernspaltung (Otto Hahn, 1 938) Beschießt man Urankerne mit (Langsamen) Neutronen, so zerbrechen sie in vergleichbar große Bruchstücke etwa nach den Schema von Abbildung 6. 7:
Gj-- ---
�� -
+
CB-
Abb. 6.7
Dabei entsteht viel Energie (in Form von Wärme). Die Bruchstücke sind radioaktiv (a-, ,ß-, ')'-Strahler) - Entsorgungsproblematik beim Kernreaktor! Es werden zusätzlich drei schnelle Neutronen frei, die - nach Abbremsung - ihrerseits drei weitere Kerne spalten können, sodass der Prozess Lawinenartig anwächst. Im Kernreaktor erfolgt eine kontrollierte Kernspaltung zur Energiegewinnung, wobei das unkontrollierte Anwachsen durch Neutronenabsorber verhindert wird. Bei der Atombombe Läuft der Lawinenprozess als unkontrollierte Kettenreaktion ab. 6. 1 . 7 Kernfusion Hierbei handelt es sich um die Umkehrung der Spaltung - die Energiegewinnung durch Verschmelzung von Leichten Kernen zu schwereren. Beispiel: f H + i H -4 � He + ö n � Bei diesem Prozess wird sehr viel Energie frei, das völlig instabile Tritium bei diesem Prozess muss über eine Kernreaktion erzeugt werden (� Li + ö n -4 � He + i H) . Problem: Der Prozess "gelingt" auf der Sonne bzw. als unkontrollierte Reaktion in der Wasserstoffbombe (H-Bombe); eine kontrollierte, wirtschaftlich nutzbare Reaktion im Fusionsreaktor ist noch nicht gelungen. Sie hätte viele Vorteile: Ein unerschöpfliches Reservoir an Grundstoffen (Wasserstoff), weniger radioakti ve Abfallprodukte, einen großen Energiegewinn.
330
6.2
Atomphysik und Quantenphysik
Kristalluntersuchungen mit Röntgenstrahlen
6.2. 1 Bragg'sche Reflexionsbedingung Präpariert man eine Styroporplatte mit regelmäßig angeordneten klei nen Metall plättchen und strahlt Mikrowellen darauf ein (vergleiche Kap. 5.38) wie in Abbildung 6.8, so stellt man fest, dass die Mikrowellen zum Teil wie bei ei nem ebenen Spiegel reflektiert werden (der andere Teil geht durch) - und zwar für jeden Einfallswinkel a-.
Abb. 6.8
Bei den meisten Festkörpern sitzen die Atome (Ionen) in einem Kristallgitter angeordnet. Bestrahlt man analog einen solchen Kristall mit Röntgenstrahlen, so stellt man fest, dass auch hier die Strahlung gemäß dem Reflexionsgesetz reflektiert wird - allerdings nur bei ganz bestimmten Einfallswinkeln, den " Glan zwinkeln"; bei anderen Einfallswinkeln registriert man keinen Reflex. Erklärung nach Bragg: Im Kristall Liegen die Atome (Ionen) in Ebenen geordnet so wie im obigen Versuch die Metallplättchen auf der Styroporplatte. Diese Netzebenen haben untereinander den Abstand d (Gitterkonstante) . Einfallende Röntgenstrahlung kann nun - wie beim Mikrowellenversuch - an der ersten Netzebene reflektiert werden, zum Teil aber diese durchdringen und dan n an der zweiten Netzebene reflektiert werden oder der dritten usw. (Abb. 6.9). Je nach Gangunterschied können sich die reflektierten Röntgenstrahlen durch Über Lagerung verstärken bzw. auslöschen. In Abbildung 6.9 wird der Einfallswinkel r.p wie bei Bragg üblich - nicht zum Lot, sondern (als Ergänzungswinkel dazu auf 90°) zur Ebene gemessen. Der Gangunterschied zwischen dem ersten reflektierten Strahlenbündel und dem zweiten, wie auch zwischen dem zweiten und dem dritten usw. ist durch 2 s gegeben mit = sin cp . Konstruktive Intetjerenz, d. h . Verstärkung findet statt, wenn dieser Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge ist, d. h . 2 s = n · .A gilt. Daraus folgt die Bragg'sche Reflexionsbedingung für konstruktive Intetjerenz:
�
1 2 d sincp
=
n .A mit n = 1, 2, . . ·
· I (F6.2).
331
Kristalluntersuchungen mit Röntgenstrahlen
d
d
Abb. 6.9
Jeder Winkel, der diese Bedingung erfüllt, ist Glanzwinkel (n-ter Ordnung) zu d und .X. 6.2.2 Drehkristallmethode Bei einem Bragg-Experiment an einem Ei nkristall stehe dieser unter dem Winkel 'P zur Ei nschussrichtung der Röntgenstrahlung (Abb. 6.10) . Dann muss das Zählrohr zur Messung der reflektierten Strahlung (über Geräusche oder Lichtblitze) immer auf dem doppelten Winkel 2 'P gegenüber der Einschussrichtung platziert sein. Zählrohr -------...
Röntgenstrah!en
Abb. 6.10
Durch Drehen des Kristalls und Mitdrehen des Zählrohrs Lassen sich die Glan zwinkel bestimmen (Zählrohr spricht an!) und daraus bei bekannten .X die Gitter konstante bzw. bei bekannten d die Wellenlänge über (F6.2) berechnen.
Abb. 6.11
Bemerkung: Eine Röntgenröhre Liefert Strahlung unterschiedlicher Wellenlänge .X gleichzeitig und (Abb. 6.11) jeder Kristall hat verschiedene Netzebenenscharen mit unterschiedlicher Gitterkonstante d; zu jedem d und .X gibt es verschiedene
332
Atomphysik und Quantenphysik
Glanzwinkel 1./2 . . . . Ordnung. Man erhält viele Glanzwinkel und braucht zur Interpretation eines Messversuchs Zusatzinformation und Erfahrung ! 6.2.3 Debye-Scherrer-Methode (Pulvermethode) Hat man anstelle eines großen Einkristalls nur ein Pulver aus vielen mikroskopisch kleinen Kristallen, so bestrahlt man eine solche Probe ebenfalls mit Röntgen strahlung und registriert die gesamten Reflexe gleichzeitig auf einer Fotoplatte. Jeder Kleinkristall Liegt unter irgendeinem Winkel
Abb. 6.12
Aufgabe: Kochsalz bildet ein ei nfach kubisches Gitter gemäß Abbildung 6.13.
Man ermittle aus den Atommassen für Chlor {35,5 u ) und Natrium {23 u) sowie der Dichte 2, 16 die Gitterkonstante und bestimme Zahl und Größe der Glancm zwinkel für Röntgenstrahlung mit .X = 100 pm!
�
•
0
Na+ Cl -
Abb. 6.13
Lösung: Ein Ionenpaar hat die Masse mcr + mNa.. = 35,5 u + 23 u = 58,5 u = 58,5
1,66 . 10-27 kg = 97,11 10-24 g ( atomare Masseneinheit u ) ·
·
333
Der Fotoeffekt
2: 16 � � 1 cm3 Kochsalz hat die Masse 2,16 g, enthält also 4 g 2 , 224 1022 2 97, 11 10 Ionenpaare. Jedes Ion ist Ecke von 8 Würfeln, ebenso hat jeder Würfel 8 Ionen i n den Ecken, d. h. auf ein Ion kommt ein Würfel, auf ein Ionenpaar kommen zwei Würfel. Damit enthält 1 cm3 Kochsalz gerade 2 · 2,224 · 1022 Würfel. Das Würfelvolumen ist 1 cm 3 V ." d 3 ." . ." 0,224 . 10-22 cm 3, woraus man die Gitterkonstante zu 2 2: 224 · 10 22 d = {/22 , 48 10- 24 cm3 ::::::: 2,82 · 10 -s cm = 282 · 10 -12 m = 282 pm berechnet. n = 1 : <,01 = 10, 2° n = 2 : IP = 20, 8° Bra�g-B edingung: . n . .X n . 100 n = 3 : 2 = 32, 1° cp3 2 dsmcp = n · .X, also smcp = -- = 564 2d n = 4 : IP4 = 45 , 2 ° n = 5 : cps = 62, 4° Für n ;:::: 6 müsste sincp > 1 sein, was nicht möglich ist! Man erhält also fünf GlanzwinkeL ·
·
·
6.3
Der Fotoeffekt
6.3. 1 Lichtquanten und Planck'sches Wirkungsquantum Versuch: In einer evakuierten Fotozelle (Abb. 6.14) befindet sich ein Anodenring
und an der Wand eine Kathodenschicht aus einem bestimmten Material (z. B. Cäsium). Bestrahlt man die Kathode mit Licht, so stellt sich zwischen ihr und der Anode eine besti mmte Spannung ein, wobei die Kathode positiv geladen ist.
Ucht
u Anodenring
Abb. 6.14
Erklärung: Licht hat Energie und schlägt Elektronen aus der Kathode. Diese fliegen zum Teil zur Anode und laden den Ring negativ auf, während die Kathode durch die fehlenden Elektronen positiv geladen wird. Es baut sich eine Spannung auf, die es weiteren Elektronen schwerer macht, zum Ri ng zu gelangen, weil sie gegen diese Spannung Arbeit verrichten müssen. Ist die Endspannung U erreicht, können keine neuen Elektronen zum Ring gelangen, weil die kinetische Energie Em� der sch nellsten Kathodenelektronen gerade nicht mehr ausreicht - dann gilt:
334
Atomphysik und Quantenphysik
I E�;: = U . e I (F6.3)
Durch Messung von U kann man damit die maximale kinetische Energie �� bestimmen, die das Licht den Elektronen verlei ht. Man macht dabei zwei über
raschende Feststellungen:
1) Steigert man die Helligkeit (Intensität) des Lichts, so wird U und damit E�� nicht verändert. 2) Ändert man dagegen die Frequenz des Lichts (z. B. blau statt grün), so ändern sich U und E�� . Bei ei nem Messversuch mit einer Cs-Kathode wird nun für verschiedene Frequen zen des eingestrahlten Lichts (verschiedene Lichtsorten) die Spannung U und damit die maximale kin. Energie (in eV) gemessen. Trägt man (Abb. 6.15) die Messpunkte in ein E��/f-Diagramm ein, so erkennt man, dass sie alle auf ei ner Geraden Liegen (Linke Gerade) . Offenbar gilt der Zusammenhang
I �� = h . f - EA I (F6.4)
Dabei ist - EA der "y-Achsenabsch nitt" der Gerade und h ist ihre Steigung. Die Gerade schneidet die f-Achse bei fg renz· E Kin = U·e lni!X
Cs
1 eV Na
fgra-tZ{
O,S eV
1 014
E"
-1 eV
I
Abb. 6.15
Deutung:
-2 eV I
I
I
I
I
I
I
I
I I
4·1 014
I
I I
I
I I
I
I I
I
I I
I
I I
I
I I
I
I I
I
I I
I
I I
I
I I
I I
I I
I I
u
I I
I I
I
I
I
I
f (Hz)
1. EA stellt eine Energie dar - die so genannte Ablöseenergie, die nötig ist, um überhaupt Elektronen aus der Kathode herauszuschlagen. Beim unedlen Metall Cs
335
Der Fotoeffekt
beträgt EA ca 1,94 eV; je edler das Metalt ist, aus dem die Kathode besteht, desto "schwerer" gibt es ELektronen ab, desto größer ist EA (vergleiche die Na- bzw. Li-Gerade in Abb. 6.15). 2. Die Umformung von (F6.4) h · f = Ef:l� + E Legt nahe, dass h · f die Ener gieportion ist, die das Licht der Frequenzfan ein Elektron abgibt - ein TeiL von h f wird verbraucht, um das ELektron herauszulösen, den Rest erhält das ELektron im besten Falt als kinetische Energie (Die ELektronen, die nicht �� haben, haben einen Teil ihrer kinetischen Energie bereits im Gitter verloren) . EA bzw. E = h fg renz kann nur für h f E bzw. f fg renz ein 3. Wegen h = fg renz ELektron abgelöst werden; fg renz hängt wie EA vom Kathodenmaterial ab und ist umso größer, je edler das Metall ist (für Cs erhält man fg renz � 4, 7 1014 Hz). 4. Abbildung 6.15 zeigt, dass alle Geraden parallel sind, d. h. die gleiche Steigung haben. ALso ist h eine universelle Naturkonstante, das Planck'sche Wirkungsquantum:
A
A
·
·
·
>
A
>
·
h=
A - 15 -3 4 (F6.5) fg renz_ = 4, 136 10 eVs = 6 , 63 10 Js E
_
·
·
5. Einstein zog den Schluss, dass das Licht Energie nur in Form von festen unteilbaren Portionen h f enthält und abgibt - diese Portionen heißen Licht quanten oder Photonen. Dies widerspricht der klassischen Physik, nach der die Natur ·
keine Sprünge macht und Energie stetig umgesetzt wird.
6. Die Lichtquanten (Energieportionen) liegen durch die Frequenz f, d. h. die Lichtart fest. Ändert man die Helligkeit (Intensität) des Lichts, so vermehrt man nur die Zahl der Photonen, ändert aber deren Größe nicht. 6.3.2 Fotostrom 1) Betreibt man die Fotozelle ohne äußere Spannung, so stellt sich die Spannung � hf EA U = Elci = - ein, falls f fg renz ist, ansonsten ist U = 0; es fließt kein e e Fotoelektronenstrom I. >
2) Schaltet man eine äußere Spannungsquelle an die Zelle an, so zwi ngt man der Fotozelle deren Spannung Ua auf. Ist Ua als Gegenspannung gepolt wie in Ab bildung 6.16 a, d. h. der Minuspol der Quelle Liegt am Anodenring, so kom mt es darauf an, ob Ua größer oder kleiner als die sich ohne Quelle einstellende hf - EA = _ �max ist. Span nung e e > hf - E A Für U a gibt es keinen Fotostrom, da kein aus der Kathode geschlagenes e hf - E �ax m gelangen die FotoelekElektron Ua überwinden kann. Für Ua < =_ e e tronen, deren kinetische Energie Ekin Ua · e ist, zum Anodenring; also misst man einen Fotostrom I, der umso stärker ist, je klei ner Ua ist.
A
>
336
Atomphysik und Quantenphysik
Ucht
I
/
'
I
\ \
+
Abb. 6.16a
Steigert man bei festem Ua die Lichtintensität, so gibt es mehr Fotoelektronen; also wächst I. Steigert man bei festem Ua die Frequenz f, so erhalten die Elektronen mehr Energie; also können mehr Elektronen Ua überwinden, d. h. I wächst. Ucht
I
/
'
I
\ \
+
Abb. 6.16b
3) Legt man U a nicht als Gegenspannung an (Abb. 6.16 b ), so erhält man eine I/Ua -Kurve wie bei der Glühdiodenröhre (Abb. 5.47), wobei der Sättigungsstrom von der Belichtungsi ntensität abhängt - siehe Abbildung 6.17. Aufgabe: Bei einem Fotoeffekt-Experiment (ohne Gegenspan nung) baut sich die Fotospannung U = 3,7 V auf. Welche maximale kinetische Energie (in eV und J) und Geschwindigkeit erhalten die Fotoelektronen? Welchen Wert hat für EA = eV die Frequenz des eingestrahlten Lichts? Ab welcher Frequenz ist die Fotospannung gleich 0? Lösung: U . e = E�� = 3, 7 eV = 3, 7 · 1, 6 · 10- 19 CV = 5, 92 . 10-19 J;
2
über E�k ax = m
2
1
-
mv 2max folgt vmax =
J2 2
·
Ell'!ax m
� = .
· 5 92 · 10-19 Nm 9, 1 . 10-31 kg
' -=-==.,----
Ell'!ax + EA m2 m - = L. 14 · 106 - . Wegen h f = �� + E A ist f = km \ 1, 3 · 1012 -skg2. kg s h ·
337
Einige Aussagen der Speziellen Relativitätstheorie, Comptoneffekt
5 , 7 eV 1 .. " fA 14 . - 1, 38 · 10 5 Hz. Fur f ....... fg renz = - - 4, 84 10 Hz 1st 15 h 4, 136 · 10- eVs U = O. _
_
·
Sättigung
------'-- &hwache Belichtung
1
e-
hf - E"
Abb. 6.17
6.4
Einige Aussagen der Speziellen Relativitäts theorie, Comptoneffekt
6.4. 1 Massenzunahme und relativistische Energie Nach dem Newton'schen Grundgesetz F = m · a kann man Körper durch konstante Krafteinwirkung konstant beschleunigen und so theoretisch auf beliebig hohe Geschwindigkeiten bringen. In der Praxis stellt man bei Versuchen mit Elektronen in Beschleunigern fest, dass deren Geschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit zwar asymptomatisch annähert, aber nie erreicht. Gleichzeitig nimmt die Masse dieser Elektronen stark zu. In seiner Speziellen Relativitätstheorie, die von einer kritischen Reflexion über Längen- und Zeitmessung ausgeht, stellt Einstein fest, dass Geschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit physikalisch nicht möglich sind und er gibt auch an, wie die Masse eines Körpers mit seiner Geschwindigkeit zunimmt - diese Beziehung soll hier ohne Herleitung aufgeführt werden: m (v) =
g mo
=
mo v m1t. �� = (F6.6) c )1 - /32 -
Dabei ist m0 die Masse des Körpers, wen n er in Ruhe ist (Ruhemasse), v seine Geschwindigkeit, c die Lichtgeschwindigkeit und ,ß kein Winkel, sondern der Bruchteil, den v von der Lichtgeschwindigkeit ausmacht. Beispiel: Ein Kilogrammstück hat die Ruhemasse m0 = 1 kg 10 3 m/s m ß km Bei v = 3600 = 1000 ist = = � 10 - 5 und h s 3 108 mjs 3 ·
·
338 m=
Atomphysik und Quantenphysik
J1 - � 10 -10 1 kg
�
.
2 , 999
m. 1, 000 000 000 006 kg � m 0; bet. v = 2, 999 · 108 - 1st s
1 kg 1 kg � � 38,. 73 k g � 39 m 0. 3 \h - ,82 J6, 666 · 10-4 Das Beispiel zeigt, dass man im Alltag die relativistische Massenzunahme durch aus vernachlässigen kann, nicht aber bei riesigen Geschwi ndig keiten.
,.lJ IJ
__
und m
---r====�
__
(
Massenzunahme (gegenüber der Ruhemasse) :
.6.m
=
m - m0 =
mo - m 0 = m0 J1 - ß2
·
1 -1 J1 - ,8 2
)
=
J1 - fJ2 1 -----F m0 ======" J1 ,ß2 ·
-
Erweiterung mit 1 + J1 - ,ß2 Liefert: 1 - J1 1 + J1 - ,B2 1 ( 1 /�2) .6.m = · mo = mo --;.==�7---;.==�;\ J1 - .ß2 1 + J1 J1 - �'J2 1 + J1 - /�2 ,ß2 = mo J1 - /�2 1 + J1 - ß2 y2 J.12 = � mo · , also Wenn ß klein, d. h. v � c ist, gilt: .6.m � m o · 1 · ( 1 + 1) 2 c2 1 .6.m · c2 � - m o v2 = Ekin
(
(
1'12) ( (
)
l�)
)
(
_
·
_
)
0
2
Einstein erklärte diese Beziehung allgemein (auch für großes v) für gültig:
I E in
=
IE
m · c2 (F6.8)
k
I
.6.m · c2 = mc2 - m 0c2 bzw. m · c2 = m0 c2 + �in (F6.7)
m0c2 hat die Dimension einer Energie - für ein Kilogrammstück ergibt sich m0c2 m 2 1 = 9 . 10 6 J, d. h. der riesige Wert von 90 Milliarden Mega= 1 kg . 3 . 108 s Joule! Einstein bezeichnete m0c2 als Ruheenergie des Körpers; dann ist gemäß (F6.7) m . c2 die Gesamtenergie des bewegten Körpers und man erhält die berühmte und allgemein bekannte Formel für die relativistische Energie: =
(
)
1
Außerdem hat jeder Körper noch den relativistischen Impuls
I
.
p= m .v=
I
m , · v (F6.9) J1 - ß2 .
Bemerkungen:
[
I
1. Eine Rechnung zeigt: E2 - � = p2 c 2 (F6.10) •
339
Einige Aussagen der Speziellen Relativitätstheorie, Comptoneffekt
1 - ( 1 - J82) m2 (Nachweis·• E2 - E 02 m 2 c4 - m 02 c4 c4 . 0J(j2 - c4 m 20 c4 m20 . 11 - 1)2 2 .; c! . m o . c2 . _ = = c 2 . p2 ) 1 - ß2 c2 2. Die riesige Ruheenergie scheint nicht nutzbar zu sein - bei Kernreaktionen versucht man sie zu nutzen, wie das folgende Beispiel zeigt, bei dem aus Proton und Neutron ein Deuteriumkern wird: � n + i p � i d Genaue Massebilanz: m�eutron = 1,0087 u; m� oton = 1,0073 u; mgeuteriu m = 2,0136 u; m� + m� = 2,0160 u Zwischen der Ruhemasse des Deuteriums und der Summe der Ruhemassen von Proton und Neutron besteht also der Massendefekt .6.m = 0, 0024 u: m � + m� = mg + .6.m Die Energiebilanz der Umsetzung lautet dann: mD0 . c2 + .6.m . c2 =
=
=
•
r
·
....__...."
Pr oton und lleutron nahezu i n Ruhe - Summe der Ruheenergien
Ruheenergie des Deuteriums
"-v---"
kinetische Energie des Deuteriums
Die kinetische Energie beträgt 2,25 MeV bei einem Teilchen ! Ü ber den Massen defekt lässt sich hier Ruheenergie in kinetische Energie umwandeln. 6.4.2 Photonenmasse, Photonenimpuls b) In der Optik wurde im Wettstreit zwischen Newtons Teilchen- und Huygens' Wellenmodell das Erstere verworfen; nach Einsteins Deutung des Fotoeffekts hat das Licht aber doch einen Teilchencharakter: Photonen kann man als "Licht teilchenu mit Geschwindigkeit c und Energie h · f auffassen. Sie haben keine Ruhemasse - man kann ihnen aber eine relativistische Masse m zuordnen: m · c2
=
E = h · f, also
h · f (F6.11) c2
m Photon = -
Außerdem kann man den Photonen einen Impuls zuordnen: h·f h·f h h·f. c P Photon m . V m . c .A · f .>. c2 c =
=
= -
Photonenimpuls:
h Pphoton = m · C = ":\ (F6.12)
= - = - = -
340
Atomphysik und Quantenphysik
Beispiel: Licht von 400 nm Wellenlänge hat den Impuls
h 6. 63 · 10-34 Nms -27 Ns = 1, 66 · 10-27 kg m und die Masse P= = = 1 , 66 10 _ s � 4 . 10 7 m 7 p 1 , 66 ' 10-2 kg � � 5, 5 . 10 -3 6 kg . m =c = 3 . 108 ms Bemerkung: Für Photonen gilt p . c = m . c2 = E (F6.13) (Spezialfall von ·
·
I
(F6.10) für Teilchen mit m o = 0,
Eo =
I
0)
6.4.3 Comptoneffekt Der zunächst etwas "akademisch abstrakt" anmutende Photonenim puls erhält seine experimentelle Rechtfertigung beim Comptoneffekt. Compton strahlte "Röntgenquanten'' auf Graphitatome. Bestimmte Elektronen sitzen dort quasi frei (Ablösearbeit vernachlässigbar) . Er stellte fest: Trifft ein Quant der Wellen länge >. auf ei n ruhendes Elektron, so "verschwindet" das Quant; dafür wird das Elektron mit der Geschwindigkeit Ve unter dem Winkel a (gegenüber der Einstrahl richtung) nach unten gestoßen und gleichzeitig wird ein Röntgenquant der Wellenlänge X unter dem Wi nkel ß nach oben gestreut. Man kann dieses Experiment als schiefen Stoß deuten, bei dem Energie- und Impulserhaltung gelten (Abb. 6.18) . vor dem Stoß
;%0oOJ'vCV'v'\A/'o0v" P
nach dem Stoß
'' -
)ro •
e-
�rl'l
''
'
-
plr-'� = p
'
',,
Abb. 6.18
Impulserhaltung:
p = p�� = ��h = Pe + p'
.-1
l
__________------. Mithilfe des Kosinussatzes folgt: p; = p2 + Pf2 _ 2 p p , - cos,6 ( F6.14)
Hierbei sind Pe , p, p' der Impuls des Elektrons nach dem Stoß, der des "Rönt genphotons" vor dem Stoß und der des Quants nach dem Stoß. Außerdem gilt der Energiesatz mit E0 bzw. E als relativistischer Elektronenenergie vor bzw. nach dem Stoß und den Energien E.x bzw. Ex der Röntgenquanten:
I Eo + E.x = E + EN I (F6.15)
Aus (F6.14) folgt durch Multiplikation mit c2: p; . c2 = (p . c)2 +(p' · c) 2 -2 (pc) · (p' · c) · cos/3
341
Einige Aussagen der Speziellen Relativitätstheorie, Comptoneffekt
Wegen (F6.10) ist p� · c2 = E'! - � und wegen (F6.13) ist p · c = E>., p' · c = E.v - also: E2 - � = Ei + Ei, - 2 E>.EN · cos (F6.14')
ßl
I
Aus (F6.15) folgt E = E0 + E>. - Ex und nach Quadrieren:
I e = � + Ei + Ei, + 2 Eo E>. - 2 EoE>.' - 2 E>.E>.' I (F6.15')
Einsetzen von (F6.15') in ( F6.14') liefert nach kurzer Rech nung: E>. Eo - E 0 · EN = E>. E >.' · (1 - cos ,ß) Dividiert man durch Eo E>. E>.', so folgt � - � = � (1 - cos ,ß) und weiter E>.' E>. Eo 1 1 1 = (1 cos , ß ) . p ' · c p · c m� · c2 Ü ber ( F6.12) ergibt sich schließlich nach Multiplikation mit c h: ·
·
·
.
I
t:.>. = >.' - >. =
� . {1 - cos ß) I (F6.16)
·
.6.A ist die Vergrößerung der Wellenlänge des unter ,B gestreuten Quants bezüglich
des ursprünglichen Röntgenquants. Compton konnte die Formel (F6.16) experi mentell bestätigen, indem er unter allen möglichen Winkeln ß die Wellenlänge N des gestreuten "Röntgenlichts" bestimmte. Dies bestätigt den Sinn der relativis
tischen Masse und des Impulses für Photonen: Energie- und Impulserhaltungssatz sind so erfüllt!
Ac ist die Wellenlänge eines Photons, das die gleiche Masse wie ein ruhendes Elektron hat - also ist � = p = m . c = m� . c h oder Ac = = 2: 4 pm m · Bemerkung: Die Comptomvellenlänge
A(
0
-
e C Damit lässt sich die Camptonformel (F6.16) umschreiben:
1 .6.A = A' - A = Ac · (1 - cos ,ß) J ( F6.17)
Aufgabe: Bei einem Comptonexperiment ist A = �
90° und ß = 180° !
4
Ac man bestimme N für /3 "'
Lösung:
90° : .Ö.A = Ac · (1 - cos 90° ) = Ac = A' - A, also A' = A + .Ö.A = Ac + � 4 = -47 Ac; 11 180°: .6.A = Ac · ( 1 + 1 ) = 2 Ac, also X = - Ac 4
Ac
342
Atomphysik und Quantenphysik
6.5
Materiewellen
6.5. 1
Wellencharakter von Elektronen
Bei der Bestrahlung eines Kristallpulvers mit Röntgenstrahlen nach der Debye Scherrer-Methode erhält man auf der Fotoplatte hinter der Probe schwarze Ringe siehe Abbildung 6.12; nach der Bragg-Bedingung gilt 2 d sin � = n · ..>.. ( F6.2) Entsprechende Ringe erhält man auch, wen n man mit Röntgenstrahlen ei ne Silberfolie - bestehend aus vielen dicht beieinander Liegenden Kleinstkristallen beschießt. 1927 beschossen Davisson und Germer eine solche Silberfolie mit Elektronen und konnten erstaunlicherweise die entsprechende Ringstruktur auf der Foto platte erkennen - offensichtlich hatten die Elektronen Wellencharakter! ! Rekapitulation: In der fortgeschrittenen Optik wurde erfolgreich das Wellenmo dell für Licht benutzt, nach Einsteins Deutung des Fotoeffekts erhielt das Licht auch Teilchencharakter. In den Formeln (F6.11) und (F6.12) treten sowohl Wellengrößen (f, ..>.. ) als auch Teilchenbegriffe (m, p) auf - man beschreibt Licht je nachdem sowohl als Teilchen wie auch als Welle und nützt beide Modelle vorteilhaft aus. Elektronen schienen bisher klar Teilchen zu sein mit Masse und Impuls; das Experiment von DavissonjGermer - Leicht erklärbar im Si nne von Bragg durch Interferenz von Wellen - Legt nahe, Elektronen hier als Wellen zu betrachten ! Der Physiker de Broglie postulierte 1924, dass alle materiellen Teilchen (Elek tronen, Protonen, Masseteilchen usw.) auch Wellencharakter haben und sprach von Materiewellen. Um ihnen eine Wellenlänge zuzuordnen, benutzte er (F6.12) in umgekehrter Weise - danach haben die ,,Teilchen" mit dem Impuls p die Wellenlänge
1-' ��
( F6.18)
Bemerkungen:
1. Beim DavissonjGermer-Versuch kan n man ausgehend vom Elektronenimpuls p gemäß (F6.18) .X berechnen und alternativ aus dem Ringbild über 2 � und 'P gemäß (F6.2) ..>.. bestimmen - es zeigte sich, dass beide Werte übereinstimmen ! 2. Sowohl Licht als auch Materieteilchen werden ab jetzt sowohl durch Teilchen als auch durch Wellen beschrieben - man spricht vom Teilchen-Welle-Dualismus der Quantenobjekte.
6.5.2 Bedeutung der Welle bei Materieteilchen Will man den DavissonjGermer-Versuch nur mit Teilchen beschreiben, muss man sich von dem Gedanken verabschieden, dass sich alle Elektronen exakt gleich verhalten . Vielmehr haben gar nicht alle Elektronen genau dieselbe Geschwi ndig keit, sondern es gibt einen wahrscheinlichsten Geschwindigkeitswert und gewisse Abweichungen davon. Auch treffen nicht alle Elektronen an exakt der gleichen Stelle am Kristallpulver bzw. hinterher am Schirm auf, sondern mit unterschied Lich großen Wahrscheinlichkeiten an verschiedenen Stellen. Während bei Seil-
343
�\ateriewellen
wellen s (x, t) die Längs- oder QuerausLenkung des SeiLs am Ort x zur Zeit t angibt und bei eLektromagnetischen Wellen B(x, t) bzw. E(x, t) das magnetische bzw. eLektrische FeLd, ist die Welle 1,b(x: t) der Materiewellen in diesem Sinne eine Wahrscheintichkeitswelle: ßxl·�b(x, t) l 2 beschreibt die WahrscheinLichkeit, zur Zeit t i n der Um gebung der Breite & um die SteLLe x ein TeiLchen (ELektron) zu finden (j'l,b (x, t) l weit Wahrscheintichkeiten nicht negativ werden kön nen) . U m die WahrscheinLichkeitswelle ·tf;(x: t) für die jeweiLige physikaLische Situa tion zu finden, muss man - ähnLich wie bei mechanischen Schwingungsvorgängen oder bei m Schwingkreis eine DifferenziaLgLeichung Lösen. Im Falle der Wahrschein Lichkeitswelle heißt diese Schrödingergleichung - sie wird später besprochen. 6.5.3 Frequenz und Wellengeschwindigkeit bei Materiewellen h·f h Aus ). = foLgt ). · f = - , aLso cwelle = DUelle = Erei lchen p p p p Während bei Photonen der Fall kLar war, weiß man nicht genau, was Ereilchen bei MaterieteiLchen sein soll - E = mc2? �in = mc2 - m 0c2? �in = � mov2? 2 m� = c m� 2 = Erei lchen = mc hätte cwelle = -- -- · c > c zur FoLge, was sicher m·v � P keinen Sinn macht! >1 1) Ereilchen = Ekin = 1 m ov2 ist zuLässig für v � c, dann ist p = m ov und 2 1 2 - mo v 1 1 2 Vreilchen (nichtretativistisch) (F6.19 a) cwelle = --- = - v, a Lso Ollelle = 2 2 m0 v �------� mo 2 2) Erei lchen = mc - m 0c2 (reLativistisch) Liefert mit p = mv und m = J1 - /12 ..2 mc2 - m0c2 m - m0 c2 mo c2 . 1 = = = 1 . = 1 = V 1 ,{ J2 Cwelle cmv m v m v v -
--
____:. ...:. :... .::....; .
-
-
.
Cwelle
V
=
1+
R v2 1 - -2 c
(
)
(
)
•
< Vreilchen (reLativistisch) (F6.19 b)
� �
Die retativische Formet Liefert im Falle ---,} 0 gerade das nichtretativische Er gebnis Cwelle = � Vreilchen und im Grenzf ll � ---,} 1 Liefert sie Cwelle = Vrei lchen = c 2 c (siehe Photonen) . ALso kann man stets auf ( F6.19 b) und für v � c auf die einfachere Formet (F6.19 a) zurückgreifen und die Frequenz "f'Ma terieweUe der Materiewelle über Cwelle b erec h nen. "f'�laterieweUe = T
344
Atomphysik und Quantenphysik
6.5.4 Elektronen am Doppelspalt Schickt man Licht durch einen Doppelspalt, so erhält man durch Beugung der Licht wellen auf dem Schirm Helligkeitsmaxima und -minima und eine Intensitätsvertei lung entsprechend dem obersten Bild von Abbildung 4.44. Führt man den Versuch mit Elektronen durch, so erhält man die entsprechende Intensitätsverteilung für das Auftreffen der Elektronen am Schirm. Dies bestätigt den Wellencharakter der Elek tronen - vom Teilchenbild her würde man vermuten, dass die Elektronen den rechten oder linken Spalt nehmen und deshalb am Schirm zwei Maxima auftreten ! 6.5.5 Elektronen am Einzelspalt Schießt man Elektronen auf einen Einzelspalt, so erkennt man am Schirm die Intensitätsverteilung von Abbildung 6.19. Intensität 1. Minimum
1 . Minimum
Py�---:
I
-
Schirm I
I I
I I I I I
Px
111 111 111 Elektronen
Abb. 6.19 1.
Erklärung: Elektronen haben Wellencharakter und die Verteilung entspricht der
von Licht (Abb. 4.42 b ) ; die ersten Minima liegen bei
345
�\ateriewellen
Je nach Auftreffpunkt bzw. Auftreffwinkel am Schirm schwankt also auch Px· Da die meisten Teilchen zwischen dem Maximum und dem 1. Minimum auftreffen, kann man als Impulsunschärfe (Betrag) setzen: .6.px = p · sin : nach ( F6.18)) --
Heisenbergsche Unschärferelation:
Ort und Impuls von Quantenobjekten sind in x-Richtung (auch in y- bzw. z-Richtung) nur mit den "Genauigkeiten" .6.x bzw. .6.px angebbar, wobei gilt: .6.x · .6.px � h (auch .6.y · .6.py � h , .6.z · .6.pz � h) (F6.20) Aufgaben: 1) Bei einem Debye-Scherrer-Verfahren mit Elektronen (Elektronenbeu
gungsröhre) werden diese von der Beschleunigungsspannung U = 4 kV beschleunigt und dann auf ein Kristallpulver gestrahlt; auf einem ebenen Schirm in Abstand 15 cm von der Probe beobachtet man einen Ring mit Radius 2,5 cm, der zum Glanzwinkel l. Ordnung einer Netzebenenschar mit Abstand d gehört. Man berechne d! Lösung: Geschwindigkeit der Elektronen: � m ev 2 = e · U, d. h. 2 m eU 2 1, 6 . lo -19 4 · 103 CV 14 m2 = 3. 75 · 10 7 14 1 · 10 = =. V= ' 1 s 9, 1 · 10 -3 kg s2 me m Impuls: p = m · v = 9.. 1 · 10-3 1 kg · 3 . 75 · 107 = 3 . 413 · 10- 23 Ns s h 6, 63 · 10-3 4 Js Wellenlänge: .X = - = = 1 ' 94 · 10- 11 m p 3 , 413 · 10- 23 Ns Da der Winkel zwischen Ei nschussrichtung und Kreisrand dem doppelten 2 5 cm � Braggwinkel entspricht, ist tan (2 cp1 ) = ' = ' d. h. 2
�
.
•
-
·
-
2) Wie groß ist die Impulsunschärfe, wenn die Ortsunschärfe 0,1 nm bzw. 1 m beträgt? - h Lösung: .6.px · .6.x � h, d. h . .6.px � ; .6.x m - 6 ' 63 · 10-3 4 Js = 6 , 63 · 10- 24 kg -; Erster Fall: .6.px = 0 1 10- m s 3 Zweiter Fall: .6.p x = 6, 63 · 10- 4 Ns Setzt man .6.px = m · .6.vx, so wäre im Falle eines Elektrons die Geschwindigkeits.6.px m , also .6.vx = 7, 3 · 10 6 - im ersten Fall und .6.vx unschärfe .6.vx = 1 3 s m 9 , 1 . 1o- kg 4 = 7, 3 · 10- -s i m zweiten Fall.
346
6.6
Atomphysik und Quantenphysik
Entwicklung des Atommodells, Erklärung der Balmerserie
6. 6. 1 Bohrsehe Postulate In Kap.5.4.2 wurde das Thomson'sche Rosinenkuchenmodell erwähnt, welches nach dem Rutherford'schen Beschussversuch nicht mehr haltbar war und durch das Rutherfordmodell ersetzt wurde. Bei diesem wird ei n positiver kleiner Kern von noch viel kleineren negativen Elektronen umschwirrt - die für die Kreisbe wegung erforderliche Zentri petalkraft Liefert die Anziehung der Elektronen durch den Kern (Abb. 6.20).
Abb. 6.20
Problem: Betrachtet man ein kreisendes Elektron von seiner Bahnebene aus, so
schwingt es hin und her wie in einem Dipol - es müsste daher ständig eine elektromagnetische Welle abstrah len, an Energie verlieren und schließlich in den Kern stürzen ! Um dieses Problem z u "beseitigen ", stellt Bohr eine Art "Polizeiverordnung für Elektronen// auf, seine Postulate:
1. Elektronen dürfen (anders als Planeten) nur auf ganz bestimmten Bahnen kreisen. 2. Elektronen dürfen auf diesen Kreisbahnen um den Kern nicht strahlen. 3. Wenn Elektronen von einer zulässigen Bahn zu einer anderen springen, die weiter innen und somit energetisch tiefer Liegt, so strahlen sie mit der frei werdenden Energie E ein Lichtquant der Frequenz f mit E = h f ab. ·
6. 6.2 Halbklassische Berechnung des Wasserstoffspektrums 1 . Um die nach dem ersten Postulat zugelassenen Bahnen der Elektronen zu finden, kann man in etwas naiver Form annehmen, dass die "Elektronenwelle/} sich gemäß Abbildung 6.21 um die Kreisbahn des Elektrons schlängelt und sich im Sinne einer stehenden Welle schließen muss. Also muss die Länge der Kreisbahn ein Vielfaches von .X sein: 2 nr = n · .X mit n = 1, 2, . . . (I) .
347
Entwicklung des Atommodells, Erklärung der Balmerserie
Kern
Abb. 6.21
Dies kann man (mit F6.18) umformen zu 2 1rr = n · � bzw. r p = n · �- Mit der Abkürzung h = � erhält man also als ,,Zulassungsb edingung/1 für B � en nach 2 11 Bohr: r · p = n · h mit n 1/ 2/ . . . (I') (Bohr kam durch die künstliche Forderung, dass der sogenannte " Drehimpuls r p'/ ein Vielfaches von h sein müsse, auf (I')). 2. Umformung von (I') liefert: r · m v = n · h (I") mv2 durch die Da die Kreisbewegung erfordert, dass die Zentripetalkraft Fz = r e-e Coulombanziehungskraft (F5.26) Fe = des Kernprotons auf das Elektron 4 11 .so · r2 e2 m · v2 aufgebracht wird, gilt: = (II) r 4 11 .so · r2 Aus den Forderungen (I") und (II) lassen sich die Radien der zugelassenen Elektronenkreisbahnen ermitteln ! n·h n•h 2 � Setzt man aus (I") v = - (I"') ei n in (II), so folgt: m · - = r·m 4 1r .so · r r m 2 . 411 c und daraus rn = h 2 o . n 2 = a . n 2 mit n 1, 2, 3, . . . ( F6.21) me
;
·
""
·
·
--
( )
·
---
""
(F6.21) liefert die möglichen Bahnradien - der kleinste ist der Bohrsehe Radius a . a = h2 · 411 · .so � 5 , 3 · 10- 11 m, d. h. r "" a und r "" 4 a, r "" 9 a usw. m1t 1 3 2 m · e2 3. Ein Elektron auf einer solchen Kreisbahn hat zweierlei Arten von Energien - zum e2 einen die kinetische Energie E�in = � m · v� "" (nach (II) !) "" � · rn · 4 1r .so r 2 2 2 1 e2 =- · , zum anderen die potenzielle Energie E�ot im Potenzial 2 4 1r .So rn e = U00 (rn )11des Protons (siehe F5.30)). Es erfordert nämlich �(rn ) = 4 .So rn " 2 die Arbeit "W00 (rn)" "" e · "U00 (rn )11 = e , um das Elektron von der 4 .So r n Kreisbahn mit Radius rn (um das Proton) nach "Unendlich'/ zu bringen. Es hat e2 also auf dieser Kreisbahn die potenzielle Energie - "W00(rn ) 11= , wenn 4 1r c o rn
1r
1r
Atomphysik und Quantenphysik
348
man das "Nullniveau" der potenziellen Energie (vergleiche Kap. 1.13) ins " Un endliche�� Legt. Gesamte Energie: 1 e2 e2 1 e2 e2 1 P' = En = E n.k + "-pot · -2, also --- - - 2 4 so rn 2 4 so rn 4 1r so rn 8 so · a n m
-
Gesamtenergie:
1r
1r
---
1r
1 En = -(RH · h) · 2 für n = 1, 2, 3, . . . mit der Konstante RH · h n e2 me 4 - 8 s · a - c;2 · 8 h 2 = 13, 6 eV und der Rydberg-Konstante 0 0 me 4 RH = 2 3 = 3 , 3 · 1015 Hz (F6.22) 8 "'.:- o h 1 1 E1 = -13.. 6 eV; E2 = E1 = -3 , 4 eV; E3 = E1 = -1, 5 eV; 4 9 1 � = - E1 = -0, 85 eV 16 Die Energieniveaus mit n = 1, 2, 3 usw. heißen nach Bohr K-, L-, M-Schale usw.
1r
-
-
6. 6.3 Strahlungsserien In Abbildung 6.22 si nd die Energieniveaus des Wasserstoffatoms (nicht maßstab getreu) gezeichnet. Gehen ("springen/1) Elektronen von einem höheren zu einem tieferen Energieniveau, so strahlen sie die Energiedifferenz in Form von Licht1 quanten ab - es wird die Energie hf = En - Em bzw. die Frequenz f = (En - Em) · h ausgestrahlt. Man fasst die Strahlung in Serien zusammen (Abb. 6.22). E (eV )
0
I
��
-1 ,5
'--y---J
-3,4
t t t
'--y---J Paschen (IR)
n=4 n=3 n=2
Balmer (teilweise sichtbar)
-1 3,6
Abb. 6.22
'--y---J
Lyman (UV)
n=1
Der eindimensionale Potenzialtopf - Quantengesetze des eingesperrten Elektrons
349
(1 - n12) mit n > 1 (F6. 23 a ( 12) m1t. n > 2 (F6.23 b) 1 fn = - (En - E2 ) = RH -1 - -
n �
Lyman-Serie
1 ):
(zum tiefsten Niveau, f = (En - E 1 ) = RH d. h . m =
Balmer-Serie
" (zum zwe1"tti· efsten Nweau ):
n
Paschen-Serie: f =
4
h
n
�h (En - E3 ) = RH (�9 - n12) mit n > 3
( F6.23 c)
·
Während bei der Lyman-Serie UV-Licht und bei der Paschen-Serie IR-Licht ent steht, si nd die "Linien " der Balmerserie teilweise sichtbar; im Versuch kan n man sie nachweisen und ihre Frequenzen bestimmen - sie stimmen mit den theo retischen Werten von ( F6.23 b) perfekt überein! Die Bohrsehe Rechnung liefert also eine gute Erklärung des Wasserstoffspek trums; bei Atomen mit mehr als einem Elektron versagt sie aber - auch wen n man Ellipsen anstelle von Kreisen zulässt. Die Postulate erscheinen künstlich und haben einen gewaltigen prinzipiellen Nachteil: Eine feste Bahn widerspricht der Unschäiferelation!!
Ei ne widerspruchsfreie Rechnung muss daher quantenmechanisch von der Schrödingergleichung ausgehen. Das Problem ist zwar kompliziert, aber lösbar nach langer Rech nung erhält man für das Wasserstoffatom dieselben Energie niveaus wie in ( F6.22) und daher die richtigen Frequenzen der Balmerserie, aber auf korrekte Weise.
6.7
Der eindimensionale Potenzialtopf Quantengesetze des eingesperrten Elektrons
Im Metall gibt es freie Elektronen, die sich im gesamten Bereich des Metalls beliebig bewegen, aber diesen nicht verlassen dürfen. Zur theoretischen Beschrei bung dieses Sachverhalts kann das Modell eines Elektrons dienen, das in einem Kasten mit unendlich hohen Wänden eingesperrt ist; wesentliche Aussagen liefert schon das eindimensionale Kastenmodell (Kasten länge l). Natürlich kann man das Problem mit der Schrödingergleichung angehen; man kann die Elektronenwelle aber auch anschaulicher finden, indem man sich vorstellt, dass dem "rasenden" Elektron auf der Strecke mit der Länge l eine Elektronenwelle entspricht, die dauernd an den festen Wänden des Kastens reflektiert wird, sodass sich eine stehende Welle ausbildet. Mögliche Wellenlängen: � · n = l, also ,\ = � (n = 1, 2, . . . 2 n Mögliche Impulse dazu: p = ' also Pn = � · n (n = 1, 2, . . . ) /\ 2l Kinetische Energie des Elektrons (wegen v « c darf man nichtrelativisch rechnen): (m e · .n . = = E kin = 2 me . n = 2 2 me 2 me 4 me
n 1
V2 1
� Vn)2 1 . P2n
)
1 h 22 2 l
350
Atomphysik und Quantenphysik
Da das Teilchen im Kasten frei beweglich ist, gibt es keine potenzielle Energie! Ergebnis:
Ein eingesperrtes Elektron im eindimensionalen Potenzialtopf kann nur ganz bestimmte, durch die Quantenzahl n festgelegte Energiewerte annehmen: · n 2 mit n = 1, 2, 3, . . . ( F6.24) En = � 8 me l2 Abbildung 6.23 zeigt die drei tiefsten Energieniveaus. Der Grund dafür, dass nur bestimmte Energieniveaus möglich sind, liegt darin, dass nur bestimmte stehende Wellen mit Knoten an den Wänden (1.,b = 0 dort) zugelassen sind. Bereits i m tiefsten Energiezustand ( n = 1 ) besitzt das Elektron Energie, die Nullpunktsenergie h2 El = 8 me l2 '
--
v E3 v
E
/ /
/
v
v
/ /
/
�
/
/
/
Abb. 6.23
v
�v
/
/ / / / .
/ / / / /
v
v v
(: )
Abbildung 6.24 zeigt oben die Wellenfunktionen 1.,b1 und 1.,&2 der beiden tiefsten 2 x . Energiezustände - offenbar ist ·ljl1 (x) = A1 · si n x , '/f.'2 (x) = A 2 · sin Da es sich um stationäre (dauerhafte) Zustände handelt, hängen 1.&1 und 'lh nicht von t ab! Das untere Bild von Abbildung 6.24 zeigt I.Y;1 (x) l 2 ) l·if·2 (x)l2 , l �.b3 (x) l2 - l ·lb. (x) l 2 ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte, d. h . l·lJ12(x)l · 6.x gibt an, mit wel cher Wahrscheinlichkeit sich das Elektron im Intervall der Breite .6.x um x aufhält! Da die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Teilchen, sich irgendwo zwischen x = 0 und x = l aufzuhalten, ja für jeden Zustand gerade 1 ist, muss gelten:
(1 )
{.fo t i�Pn(x)l2 dx = 1 Mit 1.,bn(x) = An · si n c� x) folgt (Hilfsformel sin 2x = � (1 - cos(2x))): l l 1l 2 1 = fo 1 A i ·S in 2 c X) dx = fo 1Ai · � { 1 - cos ( �11" X) } · dx l . . 2 1 1 [ . 2 n1r l L x · -] = IAnl 2 · - · l bzw. I Anl 2 = - und Also l =f2IAnl 2 ·-2 · x - sln () L 2 nu 2 L I Anl = V T 0
Der eindimensionale Potenzialtopf - Quantengesetze des eingesperrten Elektrons
351
Damit lauten die "auf 1 normierten " Wellenfunktionen für das Problem · sin 7r x t/Jn (x) = l Im unteren Bild von 6.24 sind jeweils die Stellen mit maximaler Aufenthaltswahr scheinlichkeit der Elektronen durch Tönung hervorgehoben.
\�
Abb. 6.24
C )
0 +------.--_.
Das Modell des eindimensionalen Potenzialtopfes ist anwendbar bei Metallen, n-Halbleitern und Farbstoffmolekülen. Aufgabe: Ein Farbstoffmolekül bestehe in seiner Grundstruktur aus einer Kette von acht C-Atomen; statt der Doppelbindungen in Abbildung 6.25 stelle man sich vor, dass acht Elektronen sich längs dieser Kette nahezu frei bewegen können. Im Modell kann man annehmen, dass sie einen linearen Potenzialtopf der Länge l = 1,13 nm (entspricht etwa der Kettenlänge) bevölkern . H I
H I
H I
H I
H I
H I
H I
H I
@-c = c - c = c - c = c - c = c-® Abb. 6.25
'. Rest
Rest/
1) Man berechne die möglichen Energien dieser Elektronen! 2) Angenommen, die vier tiefsten Energieniveaus dieses Topfes (E1 bis. E4 seien jeweils mit 2 Elektronen gefüllt, sodass alle 8 Elektronen untergebracht sind. Durch eingestrahltes Licht werde ein Elektron von E4 auf E 5 angehoben - welche Wellenlänge des weißen Lichts wird absorbiert? Was beobachtet man kurz danach?
352
Atomphysik und Quantenphysik
h2 n 2 = E1 · n 2 mit 8 me . L2 (6 63 · 10 -3 4 Js) 2 0 = 4, 733 · 10-2 J = 0 , 296 eV und n = E1 = 8 9 : 1 10 -3 1 kg · (1:. 13 · 10-9 m ) 2 1, 2, 3, . . .
Lösung: 1) En =
·
'
·
·
2) Die Energie der absorbierten Lichtquanten entspricht der Differenzenergie Es - E4 : h · f = E s - E 4 = E 1 · ( 52 - 42 ) 0, 296 eV · 9 3 108 mJs _6 14 Hz, >.. � : 6 10 43 f. O 47 10 m , s 1 1 4 4 ' 136 10-l eV s f 6 ) 43 . 10 s = 470 nm _
_
.
_
_
.
_
·
Kurz danach geht das Elektron von Es nach � zurück und sendet dabei ein Photon der Wellenlänge 470 nm aus! Licht von 470 nm Wellenlänge ist blauviolett - im durchgehenden Licht fehlen solche Photonen, sodass das Licht die Komplemen tärfarbe, nämlich Gelborange hat. Schaut man die Farbstofflösung von der Seite an, so sieht man das gestreute Licht und zugleich die emittierten Blauviolettanteile - die Mischfarbe wirkt grünlich!
6.8
Der Franck-Hertz-Versuch, Umkehrung der Na Linie
6.8. 1 Franck-Hertz-Versuch Bei einer Röhrentriode wird zwischen Gitter und Anode die Spannung Uv = 2 V gelegt (Minuspol an der Anode) und der Stromverlauf IA in Abhängigkeit der Spannung Ub zwischen Kathode und Gitter gemessen (Abb. 6.26). Den prinzipiel len Verlauf zeigt Abbildung 6.27 (vergleiche Kap. 5.16.3) . Glühelektroo011
Abb. 6.26
Beim Franck-Hertz-Versuch wird die Röhre mit heißem Hg-Dampf gefüllt - dann sieht der IA/Ub- Verlauf vollkommen anders aus (Abb. 6.28): IA schwankt beim Anwachsen der Spannung Ub in regelmäßigen Abständen.
353
Der Franck-Hertz-Versuch, Umkehrung der Na-linie
I
I I
'i ;
' ,
0
Abb. 6.27
I I I I
5
Erklärung: Beim Hg-Atom beträgt die Energiedifferenz zwischen dem äußersten
besetzten und dem nächsten unbesetzten Energieniveau der Elektronen gerade 4,9 eV. I
I
4
I I I
ein unelastischer stoB
1 zwei
I
I I
unelastische stöBe
drei un
e!astische Stöße
Abb. 6.28
Beträgt Ub mehr als 4,9 V, so erhalten die Glühelektronen bis zum Gitter mehr als 4,9 eV an kinetischer Energie. Stoßen sie dann mit Hg-Atomen zusammen, so können sie 4,9 eV an das Hg-Atom abgeben, welches in einen angeregten Zustand übergeht - sein Außenelektron hüpft auf die unbesetzte Schale! Bei diesem Unelastischen Stoß verlieren die Glühelektronen 4,9 eV an Energie - sie erreichen wegen der "Bremsspannung" Uv = 2 V zum Teil die Anode nicht. 1. Für Ub < 4,9 V können die Glühelektronen zwar mit Hg-Atomen zusammen stoßen, aber keine Energie an diese abgeben (elastische Stöße) - denn weniger als 4,9 eV sind für die Hg-Atome "uni nteressant" . 2. Für 4,9 V < Ub < 9,8 V haben die Elektronen bis zum Gitter genügend Energie für einen unelastischen Stoß erhalten. Je größer Ub, desto mehr bleibt ihnen nach dem Stoß an Energie übrig, desto mehr Elektronen kommen zur Anode; anderer seits si nd für großes Ub schon weit vor dem Gitter Unelastische Stöße möglich (damit mehr Stöße) . Für Ub � 6 V ist ein Minimum der Kurve erreicht! 3. Für 9,8 V < Ub < 14,7 V erhalten die Elektronen bis zum Gitter zwischen 9,8 eV und 14,7 eV an Energie - genug, um zwei unelastische Stöße zu machen und jeweils 4,9 eV an Hg-Atome abzugeben . Danach kom mt wieder der Abfall der lA-Kurve.
354
Atomphysik und Quantenphysik
Bemerkung: Die angeregten Hg-Atome verlieren ihre Anregungsenergie bald danach wieder, indem die Elektronen ins alte Energieniveau zurückhüpfen, und die Energie in Form von Photonen (unsichtbares UV-Licht) abgeben.
6.8.2 Umkehrung der Na-Linie Man strahlt weißes Licht durch einen luftleeren Glaskasten, der mit heißem Na-Dampf gefüllt ist und zerlegt das durchgehende Licht mit einem Prisma in farbige Bestandteile (Abb. 6.29) . Im kontinuierlichen Spektrum auf dem Schirm zeigt sich eine schwarze Linie bei ). = 590 nm; diese Wellenlänge entspricht genau der des gelben Lichts, das erhitztes Natrium aussendet - dieses Licht entsteht übrigens vorne am Glaskasten ! Weißes Ucht
Abb. 6.29
Glaskasten mit Na-Dampf
Erklärung: Die Energiedifferenz zwischen dem äußersten besetzten und dem ersten nicht besetzten Elektronenniveau beträgt beim Natrium 2,1 eV - dies entspricht einem Lichtquant mit E = h · f0 = 2,1 eV und ).0 = 590 nm. Durch Bestrahlung mit weißem Licht, welches alle verschiedenfarbigen Bestandteile enthält, werden den Na-Atomen im Kasten verschiedenste Energieportionen h · f "angeboten" - sie "picken " sich die Quanten mit h · fo heraus (Gelblicht) und mit dieser Energie geht ihr Außenelektron in den höheren Energiezustand über. Am Schirm hinten fehlen dann diese Lichtanteile, was die schwarze "Absorptions linie" bei 590 nm erklärt. Vorne am Glaskasten dagegen wird wieder Licht mit 590 nm abgestrahlt (Gelblicht), wenn die Elektronen der N a-Atome zum alten Ener gieniveau zurückkehren . Resonanzfluoreszenz: Bestrahlt man den Kasten mit monochromatischem Licht von ). = 590 nm, so strahlen die Na-Atome ebensolches wieder verzögert ab (nachdem sie es vorher absorbiert haben) .
6.8.3 Fraunhofersche Linien Beim Versuch von Kap.6.8.2 stellt man im durchgehenden Licht eine schwarze Linie bei 590 nm fest - Licht dieser Wellenlänge wurde vom Na-Dampf im Kasten absorbiert, da seine Energie der Anregungsenergie E 2 - E1 der Na-Atome ent spricht! Im Spektrum des Sonnenlichts gibt es viele solche schwarzen Absorptions linien - die Fraunhofer-Linien. Verschiedene Gase der Sonnenatmosphäre absor bieren aus dem weißen Licht nämlich die jeweils passenden Photonen. Daraus kann man schließen, welche Elemente in der Gashülle der Sonne (und entspre chend der Fixsterne) vorkommen!
355
Röntgenstrahlung
6.9
Röntgenstrahlung
6. 9. 1 Bremsstrahlung und charakteristische Röntgenstrahlung In einer Röntgenröhre werden ELektronen durch ei ne hohe Anodenspannung stark beschleunigt und treffen so auf eine Metaltanode (z. B. aus Wolfram oder Rhodium usw.) . Dabei entsteht Röntgenstrahlung unterschiedlicher Frequenz (Abb. 6.30) . Röntgenstrahlen Kathode
.
UH
.
Anode
...
���
. ..
- +
Abb. 6.30
Im Diagramm von Abbildung 6.31 ist dargesteLLt, mit welcher Intensität die verschiedenen Frequenzen der Röntgenstrahlung anteilsmäßig auftreten. Die Kwve ganz rechts gilt für eine Rhodiumanode (KernLadungszahL Z = 45) bei einer Anodenspannung U A = 40 000 V. Intensität Charakteristische Röntgenstrahlung K 'Y des Rhcdiums
KJl
Kontinuierliche Bremsstrahlung
Abb. 6.3 1
0
9,7· 1 018
f (Hz)
Neben einigen Spitzen (Kn-, K13 -, K.,. - Linie) , deren Höhe und Lage für das Anoden materiaL, also hier Rhodium charakteristisch sind, entsteht zugleich kon tinuierliche Röntgenstrahlung (Bremsstrahlung) jeder Frequenz bis zur MaximaL frequenz fmax = 9,7 10 18 Hz. Die anderen Kurven ergeben sich bei ei ner Rh-Anode für (von rechts nach Links) UA = 30 00 V, U A = 20 000 V, U A = 10 000 V. ·
Atomphysik und Quantenphysik
356
6. 9.2 Deutung der kontinuierlichen Röntgenstrahlung Sie entsteht, wen n schnelle Elektronen nahe an den Rhodiumkernen vorbeiflie gen, abgelenkt werden, eine elektromagnetische Welle abstrahlen und abge bremst werden. Die Energie, die sie verlieren, wird in Form von Röntgenquanten abgegeben (Abb. 6.32). .A
E1
Abb. 6.32
Röntgenquant
+Z·e
Ankommende Elektronen haben die Energie E 1 = e UAr hinterher haben sie die Energie E 2; die Differenzenergie erhält das Röntgenquant: h f = Et - E2 = e UA - E2 Je nachdem wie viel an Energie die Elektronen behalten (0 E2 E 1 = U A e), A ist 0 h · f e · UA, sodass f kontinuierlich alle möglichen Werte bis fmax = e · U h .. A fc erhält man das annimmt. Uber = ·
·
·
<
<
<
·
<
Gesetz von DuanejHunt für die Grenzfrequenz/Grenzwellenlänge der Bremsstrahlung:
e · UA fmax = h (F6 . 25 a, b, c) Emax = e · UA C h·C A min = = e . UA fmax --
--
-
Bemerkungen: 1 . Für UA = 40 000 V erhält man fmax =
40 ooo 4 136 · 10
_:5 eVs = 9, 7 .
v
·
1 018 Hz (unab-
hängig vom Material Rhodium) h 2. Durch Messung von fmax bzw. Amin kann man - messen! e 3. Der tatsächliche Mechanismus bei der Entstehung der Bremsstrahlung ist recht kompliziert - die obigen Ü berlegungen bilanzieren nur die Energie. Neben der Energieerhaltung gilt auch die Impulserhaltung. 6. 9.3 Deutung der charakteristischen Röntgenstrahlung
Das ankommende schnelle Elektron Nr. 1 schlägt (Abb. 6.33) ein zweites Elektron aus der innersten Schale, der K-Schale, sodass dort ein Loch entsteht. Ein drittes Elektron einer energetisch höheren Schale (L-, M-, N- . . . ) fällt in dieses Loch; die
357
Röntgenstrahlung
Differenzenergie EL - EK ( oder E�1 - EK ) wird in Form eines Röntgenquants der Frequenz f mit h · f = EL - EK abgegeben. • • •
Abb. 6.33
Die K-Serie entsteht, wenn ein Elektron aus der K-Schale herausgeschlagen wurde und das Loch dort durch ein Elektron aus der L-, M-, N-. . . Schale aufgefüllt wird: Kn-, �3- , �-Linie . . . (Abb. 6.34) . Die L-Serie ergibt sich, wenn das Loch in der L-Schale entstand. Oftmals folgt auf die Kn-Linie, die dann ein Loch in der L-Schale zur Folge hat, die L-Serie. Moseley untersuchte die Frequenz fka: der l
E
Kß Ka Abb. 6.34
K.f
I
I
� !
�
L-Serie
'
...._,_____,
K-Serie
tt
�
M-Serie
0
(n =5) N (n=4)
M (n =3) L (n=2)
K (n=1 )
Erklärung: Wenn ein Elektron aus der K-Schale geschlagen ist, so verbleibt dort
noch ei n zweites Elektron ( siehe Kap. 6 .10 ) . Dieses verbleibende ( negativ ge ladene ) Elektron schirmt die Kern ladung + Z e einfach ab; ein Elektron, das sich zwischen K- und L-Schale befindet, spürt also das elektrische Feld und Potenzial einer effektiven Kernladung + Zeff · e = + (Z - 1) · e. Wie in der Rechnung von Kap. 6.6.2 ( oder auch mithilfe der Schrödingergleichung ) kan n man aus e (Zeff · e) · Fe = e (Zeff r2e) ( Coulombanziehungskraft) und
·
358
Atomphysik und Quantenphysik
niveaus für ei n Elektron ermitteln, das im Begriffe ist, von L nach K zu wech 1 seln; man erhält entsprechend zu (F6.22) dann E K = - (Z 1) 2 ·h · RH · 2 und 1 1 EL = (Z 1/·h · RH · 2 . Damit ist die Energie der Ka-Linie E = h · fK� = EL - EK 2 2 und fK� = (Z - 1 ) 2 ·RH · Daraus folgt (F6.26) = (Z - 1) · h RH - 2 + 1 mit als Moseley-Konstante. Für andere Linien ist eine solche Erklärung nicht möglich, da die Kernabschirmung wesentlich komplizierter wird. Aufgabe: 1) Eine Röntgenröhre wird mit 180 kV betrieben - wie groß ist die maximale Frequenz der Bremsstrahlung? 2) Mit der Röntgenstrahlung maximaler Frequenz aus 1 wird in der Bleiabschri mung ei n Fotoeffekt-Experiment durchgeführt, bei der Elektronen aus der K-Scha le (EA = 88 keV) geschlagen werden - welche maximale kinetische Energie erhalten die schnellsten Fotoelektronen und welche Geschwindigkeit! (relativis -
-
( ; \)
-
�
·
·
�·
tisch!)
3) Das Loch in der K-Schale des Bleis werde durch Elektronen aus der L-Schale aufgefüllt. Welche Wellenlänge hat die entstehende K0-Linie? 4) Bei einer anderen K0-Linie sei die Wellenlänge 6,18 · 10-11 m; nötig sei eine Anodenspannung von 25 kV, um sie zu erzeugen! Welches Anodenmaterial Liegt vor (Z = ?)? Welche Energie wäre nötig, um ein Elektron aus der L-Schale zu schlagen, d. h. die L-Serie zu erzeugen? Lösung: f,
1, 8 · 10 eV = 4 ' 35 . 1019 Hz · max = e ·hUA = 4 136 · 10-15 eVs 2) h · fmax = �� + EA; also E�� = h fmax - EA 1)
5
'
)
·
E �� = 1, 8 · 10 5 eV - 88 10 3 eV = 92 keV (vergleiche F6.4). Nach (F6.7)/(F6.8) ist die relativistische Energie der schnellsten Elektronen Emax = Eo + E��' also m max = 92 keV + 1 Er.ax m max . c2 mmax Emax 1" = = 1 + -= --, d. h. -Eo m 0 · c2 m0 m0 Eo me · c2 max 92 · 103 · 1: 6 · 10-19 J mmo + 1 = 1. 1795 = = 2 · mo m o 9 1 · 10 -3 1 kg · (3 · 108 !!!) 2 y'1 - ßmax s a 2 x m 1 v . Daraus: ßmax = - = 0, 53 d. h. 1 - '8�ax = 1, 1795 c Schnellste Elektronen: Vmax = 0, 53 · c � 1, 6 · 10 8 mjs 3) VfK� = (Z - 1) · \ R H · �, also fK� = (82 - 1) 2 · � · 3, 3 · 101 5 Hz c 4 = 1 624 · 1019 Hz · .X = - = 1 85 · 10- 11 m = 18 5 pm fK� ·
:
)
( I
/
)
1
·
l
l
Quantenmechanische Behandlung physikalischer Probleme - Schrödingergleichung
�
4) f"" = = 4, 85 · 10 18 Hz; Z - 1 =
Material: Rhodium
j� � f
o
4
359
= 44, 3, d. h . Z = 45, 3 "" 45
-->
Aufzuwendende Energie für Loch in K-Schale: - EK = 25 keV; EKo: = h · fKo: = Et. - fK = 20,06 keV; Für die L-Serie braucht man - EL = - EK - EKo: = 4,94 keV
6.10 Quantenmechanische Behandlung physika lischer Probleme mit der Schrödingergleichung 6. 1 0. 1 Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödingergleichung
(
�
1r)
Nach (F1.55) beschreibt die Funktion s(x, t) = s · sin wt - 2 die Aus Lenkung einer mechanischen Querwelle zur Zeit t am Ort x. s(x, t) hängt von den Variablen x und t ab; Leitet man zweimal nach x ab, so erhält man die & s (x , t) 2 1r 2 " x . . LLe 2. Able1tung " , wah partie 2 · = · sm 1r -s · wt � " 02 x T rend die zweimalige Ableitung nach t durch die " partielle 2 . Ableitungu ? fJ2 s(x, t) x = -s · s1n wt - � · 2 1r · w- gegeben 1st. fJ2 t . . {j s(x, t) {j s(x, t) 1 1 4 1r2 Dam1t 1st = = = : 2 2 ()2 x fJ2 t ).2 . (2 1rf) (>. . f) c2 ' d. h. die Wellenfunktion s (x, t) erfüllt die partielle Differenzialgleichung {j s(x, t) 2_ 82 s(x, t) =0 ()2 x c2 ()2 t Ebenso gibt es für die Wellenfunktion w(x, y, z, t) der Wahrscheinlichkeitswelle materieller Teilchen eine partielle Differenzialgleichung, die zeitabhängige Schrö dingergleichung (sie geht auf den Physiker Schrödinger zurück):
[. (
"
" [· (
)]
. .
)]
·
( )
•
_
·�xo
8
{
}
'l.b(x, y, z, t) 8t (F6.27) 1'12 {j 82 82 = - '2'n'l Tx + '"'fJ2Y + BG w(x, y, z, t) + V(x , Y: z , t) . w(x , y, z , t) 111
.... ....=. .:.....; ___:_ ...:. ....:... • _
Hierbei ist 1'1 = � , i ist die imaginäre Zahleneinheit mit i 2 -1, m ist die Masse 21r des von w (x, y, z, t) beschriebenen Teilchens und V (x, y, z, t) seine potenzielle Energie (bewegt sich z. B. ei n Elektron im Coulombfeld des Wasserstoffkerns, so -e2 -e2 ist sei ne potenzielle Energie V = - siehe =
1r
360
Atomphysik und Quantenphysik z
e
Abb. 6.35
Bei zeitunabhängigen Problemen hängt (siehe Wasserstoffproblem oder eindimen sionaler Potenzialtopf) V nicht von der Zeit ab ( ein zeitabhängiges Problem wäre z. B. die Bewegung eines Elektrons im zeitlich veränderlichen elektrischen oder magnetischen Feld ) ; beschränkt man sich zudem auf eindimensionale Probleme, so vereinfacht sich ( F6.27): fJ w(x, t) h 2 . 82 w(x, t) + V(x) . w(x, t) {F6.28) = 1. h f) t 2 m [)2 X - · e-1. fiE\ (F6.28) lässt sich mit dem Ansatz w(x, t) = w(x) f) w(x, t) E E .E . - (X) vere1n1 h Und {)(j W (x, t) = e-1fi. t (j = W (X) ·e-1'fit · fJ W d. h. 2X f} t - ·e-1.E'fit = h2 · e-1.E"fit fJ2 W(x) + V(x) ·e-1'fi. Et w(x) fache n: E · w(x) 2m 82 x Durch Division mit e-i �t ergibt sich die zeitunabhängige eindimensionale Schrö -
( ) •
-
- -
dingergleichung:
h2 fJ W(x) - = E w(x) - 2iti + V(x) · w(x) (F6.29) ffl-x ·
:�
x) = W"(x) eine gewöhnliche Ableitung; weil auch die Konstante E Hier ist fJ2 auftritt, spricht man von einer Eigenwertgleichung: Man untersucht, für welche Werte von E Lösungen möglich sind und wie diese Lösungen W(x) aussehen ! Um die Bedeutung der Summanden in (F6.29) zu erkennen, sei naiverweise für w(x, t) die Querwellenfunktion s (x, t) = s . sin 2 in den ersten Summanden von (F6.28) rechts eingesetzt: h2 fJ2 h2 4 � h2 p2 · W (X, t) - fJZ W (X, t) = · ):2 · ( -S (X, t)) = t ) = · W ( X, 2m 2m 2 m ).2 2m X = mv2 w(x, t) = Eki n · w(x, t) ; also beschreibt der 1. Summand auf der rechten Seite in (F6.28), d. h. der erste Summand in ( F6.29) links die kinetische Energie des Teilchens, der zweite Summand V(x) · W(x) die potenzielle Energie. Danach hat E auf der rechten Seite von ( F6.29) die Bedeutung einer Energie - der Gesamtenergie des Teilchens!
(wt - } . 1l')
�
•
361
Quantenmechanische Behandlung physikalischer Probleme - Schrödingergleichung
6. 1 0.2 Teilchen im eindimensionalen Potenzialtopf
-
Die Lösung des Problems " Teilchen im eindimensionalen Potenzialtopf der Länge l" 1'12 erfordert die Lösung der Schrödingergleichung w"(x) = E . w(x) für 2m 0 :::; x s; L (im Topf ist V = 0); außerhalb des Topfes ist \)f (x) = 0 und aus Stetig keitsgründen muss \)f(o) = \)f(L) = 0 sein. E·2 m Die Lösung von w" (x) + 2 w (x) = 0 ist aber vom Schwingungsproblem der h Mechanik (GL. {F1.43 a, b, c)) bekannt: w(x) = A sin(kx) + B cos(kx) mit
-
-
·
·
k=
� V�
-
(
)
Wegen der Bedingungen \)f(o) = 0 und \)f(L) = 0 kommen nur Lösungen \)fn (x) n 1r n 1r = An · si n(k nx) mit kn = -- infrage; dann ist also W n (x) = An · si n -- x und L L 1'12 2 2 1r2 2 h h n · En = - · k2 = 2 · n2 = 4 1r · 2 m L2 8 ml2 2m Diese Lösungen wurden in 6.7 ohne Schrödingergleichung über stehende Wellen gewonnen ! n
-- --
6. 1 0.3 Das Wasserstoffproblem Das Wasserstoffp roblem ist ein kompliziertes dreidi mensionales Problem. e2 e2 = 1. Wegen der potenziellen Energie V ( r) = , 4 1r co r 4 1r c0 Jx2 + y2 + z?die in kartesischen Koordinaten recht kompliziert ist, geht man von x, y, z zu räumlichen Polarkoordinaten r, 1? ,
z-Achse
y-Achse
Abb. 6.36
X-Achse
Atomphysik und Quantenphysik
362 Tab. 6.1: Bezeichnung der Elektronensorten
Schalennummer Sortenzahl Bezeichnung der Elektronensorten 1s 1 n = 1 ( K-Schale, "erste Schale") 4 2 S, 2 Pxr 2 Py, 2 Pz n = 2 ( L-Schale, "zweite Schale") 3 s, 3 Px, 3 py, 3 Pz und 5 Sorten n = 3 ( M-Schale, "dritte Schale") 9 3 d-Elektronen Allgemein gibt es auf Energiestufe ("Schale") Nr n genau n2 Elektronensorten.
Jede Elektronensorte kann durch 2 Elektronen besetzt sein, die sich als "kleine Kreisel" in ihrem Drall (Spin ) unterscheiden; d. h. eine abgeschlossene K-Schale enthält 2 Elektronen, die abgeschlossene L-Schale 8 Elektronen, die abgeschlos sene n-te Schale 2 n2 Elektronen. 2. Mithilfe der Wellenfunktionen kann man die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, mit der sich ei n Elektron im Abstand r vom Kern aufhält; genauer ist W ( r) · /:j. r die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einer Kugelschale um den Kern mit Radius r und Schalendicke fj.r zu treffen . Abbildung 6.37 zeigt die Wahrscheinlichkeits dichte W ( r) für das 1 s-, 2 s-, 2 p-Elektron; dabei ist a der Bohr'sehe Radius (siehe Kap. 6.6 ) . W (r)
2p � ' /
Abb. 6.37
a
2s '
'
'
'
'
'
'
'
....
4a
Man erkennt zum Beispiel, dass sich ein 1 s-Elektron bevorzugt im Abstand r = a vom Kern aufhält - aber nicht ausschließlich ! Das Modell einer festen Kreisbahn Lässt sich also nicht halten - eher handelt es sich um eine "Kugelschale" mit "verschmiertem " ( unscharfem ) Radius. Das 2 p-Elektron hält sich bevorzugt im Abstand r = 4 a, das 2 s-Elektron bei r � 6 a ( aber auch teilweise bei r = a) auf! 3 . Während sich s-Elektronen in allen Raumrichtungen mit gleicher Wahrschein Lichkeit aufhalten, findet man P x-Elektronen bevorzugt in Richtung der x-Achse, Py- bzw. P x-Elektronen vor allem in Richtung der y- bzw. z-Achse. Diese Richtungs verteilung kann durch Pfeildiagramme ( Abb. 6.38) verdeutlichen:
Quantenmechanische Behandlung physikalischer Probleme - Schrödingergleichung z
z
y
Abb. 6.38
363
y
s-Eiektron
Die Länge des Pfeils in irgendeine Richtung ist ein Maß für die Aufenthaltswahr scheinlichkeit des Elektrons in dieser Raumrichtung! Diese Diagramme ergeben sich ebenfalls aus den Wellenfunktionen - für s-Elektronen erhält man Kugeln, für p-Elektronen " Hanteln" . 6. 1 0.4 Der harmonische Oszillator - "Teilchen, das an einer Feder hängt" Ein typisches Problem der Molekülphysik ist das der Schwingung im Molekül. Im CO-Molekül beispielsweise stoßen sich die positiven Atomkerne von 0 und C ab, ebenso die negativen Elektronenhüllen, während jeder Kern die Elektronenhülle des anderen anzieht. Insgesamt ergibt sich so ein Gleichgewichtsabstand der beiden Kerne im Molekül. Bei kleinerem Abstand überwiegt die Abstoßung, bei größerem die Anziehung, sodass auch eine Schwingung um diesen Abstand erfolgen kann. Im Modell kann man sich zwei Massen m 1 und m 2 mit einer Feder verbunden denken, deren Länge im ungedeh nten Zustand dem Gleichgewichts abstand der Moleküle entspricht. Die beiden Massen seien nun um x1 bzw. x2 aus dem Gleichgewichtszustand ausgelent (Abb. 6.39); dann ist die Feder um s = x1 x2 verlängert. Das Newton'sche Grundgesetz liefert: 1. F1 = - D · s = - D(x1 - x2) = m 1 x 1 (I); F2 = D · s = D(x1 - x2 ) = m2 · x2 (II) bzw. - m 2 D(x1 - x2 ) = m 1 m2 .X1 (I'), m1 D(x1 - x2 ) = m 1 · m 2 · .X2 (II') Gle:chgE::wichtslage
Abb. 6.39
364
Atomphysik und Quantenphysik
Subtrahiert man (II') von (I'), so folgt: D(x 1 - x 2) (- m 2 - m 1 ) = m1 m2 (x1 - x 2 ) D (mt + m2 ) .s=s bzw. m1 m2 m m Setzt man m = 1 2 als " Ersatzmasse", so gilt im obigen Beispiel für m 1 = mo m1 + m2 48 = 16 u und m 2 = mc = 12 u speziell m = u � 6, 9 u; 7 ·
·
Ei nsetzen von m liefert
I
S
+
�.s
o
-
I(
F6.30)
Das schwingende Molekül verhält sich wie ein Teilchen der Masse m, das an einer Feder mit Konstante D hängt!
2. Jetzt sei zur Zeit t = 0 das Molekül in Ruhe, aber der C-O-Abstand gegenüber dem Gleichgewichtsabstand um s0 vergrößert. Wird das Molekül dann "aus der Ruhe Losgelassen", so ist die klassische Lösung der Differentialgleichung (F6.30)
\!Pm·
s(t) = S:J cos wt mit w = Da der Gesamtimpuls gleich 0 bleibt (keine äußeren Kräfte - siehe Kap. 1.14), gilt m 1 x1 + m 2 Xz = 0 und Xt - Xz = s, woraus man x1 und x2 durch s ausdrücken und zeigen kann, dass Ekin(t) = m · s2 (t) = ! mv2 (t) mit v(t) = s(t) = -Vo sin(wt) mit Vo = So w 2 2 gilt. Damit ist E9es(t) = Ds2 (t) + ! mv 2 (t) = Ds� cos2 wt + ! ms� w2 sin2 wt 2 2 2 2 2 2 = Ds� (cos (wt) + sin (wt) = Ds� ·
�
�
�
·
�
�
=1
-je nach Auslenkung s0 kann die zeitlich konstante Gesamtenergie also jeden Wert annehmen.
3. Quantenmechanische Lösung: Hängt das Teilchen mit der Masse m an der Feder mit Konstante D, so ist die potenzielle Energie durch die Spannenergie der Feder gegeben: V(x) = Dx2 . Damit Lautet die Schrödingergleichung (F6.29) mit (ein2 fachheitshalber) w statt W":
1
-
-� w" (x) + � Dx2 w(x) = E w(x) (F6.31) 2m 2 ·
·
·
=
A1 e -kx2 - Einsetzen Liefert mit � (x) = A1 · e- kx\ -2 kx) und ( Produktregel der Differenzialrechnung !) w� (x) = At e-kx2 (-2 kx) 2 +At e- kx2 (-2 k) :
Eine Lösung von (F6.31} ist W1 (x)
2
(1
·
)
1'1 A e -kx2 [4 k2 x2 - 2 k] + - Dx2 - E · A e-kx2 -1 2m 1 2 ·
=0
�'� 2 k E) h2 + o) X2 + (m - =0
Quantenmechanische Behandlung physikalischer Probleme - Schrödingergleichung
. . . d urc h At . e- kx2 DlVISlOn
(
-4 k2 m
" fert: 21 =I= 0 lJe
365
4 k2 h 2 = D und Diese Gleich ung kann nur dann für alle x erfüllt sein, wenn gilt: m 1'1 2 k E =m D Dm m 2 mw Setzt man uJ = - bzw. D = m ui, so folgt: k2 = -2 = - , also lkl = 2h 2h 4h h2 k m und E = m Für k 0 würde 1 Wt (x) l 2 = 1 At l 2 ·e-2 kx2 -4 oo für x ± oo gelten, was unsinnig wäre: I w1 (x) 1 2 beschreibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, das m sich klassisch zwischen +xo und -xo aufhält! Also muss k 0 und damit k = w 2h h2 · m w 1 und E = = h w gelten. Die Konstante A1 erhält man aus der Bedin2h m 2 gung, dass die Gesamtaufenthaltswahrscheinlichkeit 1 ist, zu A 1 = /ffiW (ohne V -;t1 Beweis) . m Ergebnis: W1 (x) = A1 . e-kx2 mit k = w, A1 = � ist Lösung von (F6.31) mit 2h V� (F6.32). Abbildung 6.40 a zeigt die Kurve von \jf1 (x) (Glocken kurve).
( �
<
-4
>
.
4
�
Abb. 6.40a
4
� ;. 0
�
X
Ähnlich prüft man nach, dass eine weitere Lösung W2 (x von (F6.31) gegeben ist mw m w 2 mw �.- zu durch W 2 (x) = A2 · xe- kxz m1t k = -, A2 = - · \ II 1r h 2h (F6.33) (Abbildung 6.40 b zeigt den Verlauf der Kurve von \jf2 (x)).
�
•
X
Abb. 6.40b
Weitere Energieeigenwerte sind
366
Atomphysik und Quantenphysik
Der quantenmechanische Oszjflator kann nur bestimmte Energien annehmen - ein entscheidender Unterschied zum klassischen Oszillator!
Bemerkungen: 1. Normalerweise ist
hw, der Abstand zwischen den Energiestufen sehr klein dann sitzen die Energiezustände sehr dicht! h nisch die 2. Wegen hw = 2 · 2 1lf = hf kan n also das Molekül quantenm Schwingungsenerg � n � hf, � hf, . . . annehmen; dabei ist f = .2_ E. = fosz die 2 2 T� m 2 Frequenz der Schwingung.
"Jr
Strahlt man " Licht" mit dieser Frequenz ein (normalerweise im IR-Bereich), d. h. fuch t "' fosz, S O gilt: Elicht "' h · fuch t "' h · fosz "' E2 - E1 Als Folge absorbiert das Molekül dann ein Lichtquant und geht von Zustand E1 in den Zustand 6 über.
Später geht es in den Grundzustand zurück und sendet ein Lichtquant mit E2 - E1 = h · fosz = h · fLicht aus! Aufgaben: 1) Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte IW1 (x) l 2 des Grund zustands ist für x = 0 am größten - wo ist sie halb so groß? Wo hält sich der Oszillator im Zustand W2 bevorzugt auf? 2) Sei ein makroskopischer Oszillator mit m "' 100 g, D = 10 � betrachtet, der um m X o "' 1 0 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen wird. Man berechne seine Gesamtenergie klassisch ! Jetzt behandle man den Oszillator quantenmechanisch und berechne E1 , und .6.E = E2 - E1 = En - En -1 ! Wie viele Zustände kann er annehmen, deren Energie kleiner oder gleich dem klassischen Gesamtenergiewert ist? 3) Bei einer Molekülschwingung erfolgt der Übergang von E1 nach E2 bei Ein strahlung von IR-Licht mit .\ = 6, 39 Jl. m . Man berechne E 2 - E1, die Frequenz des Oszillators und die "atomare Federhärte" D für m "' 8 u; D gibt Aufschluss über die Bindungsverhältnisse im Molekül! 2 Lösung : 1 ) lw 1 (x) l 2 = jA1 e-kx z l = 1 � 1 2 e-2 � ; x ::o 0: l \lf1 (x) l 2 = IA1 I 2; soll sein: z I W1 (x) l 2 = � IA1 I 2 , d. h. e-2 kx = �; dann muss -2 kx2 = Ln � = -ln 2 gelten, 2 2 n2 n2 · h , d. h. x = ± \ d. h. lxl = \ hier halbe Aufenthaltswahrscheinlichmw 2k keit im Zustand W 1 l\lt2 (x) l 2 = IA 2! 2 ·x2 · e - 2 � soll maximal sein Ableitung liefert: 2x e-2 � + x2 · e- 2 � (-4 kx) = 0, d. h . 2 x e- 2 kx2 (1 - 2 kx2 ) = 0; h h dies liefert x2 = .2._ = _ bevorzugter Ort im Zustand '!f2 : x = ± \ 2 k m·w mw
/
/
�
---4
_
·
---4
/
Quantenmechanische Behandlung physikalischer Probleme - Schrödingergleichung
2) w
1 2
N
1 2
O N = 10 Hz - also ßE = h � = .�
Ektassisch
367
= - DXQ2 = - · 10 - · (0 . 1 m) 2 = 5 · 10-2 J
m
·
=\
w
1 2 1r
1 s
= - · 6, 63 · 10 -3 4 Js · 10 -
m m · 0 . 1 kg = 1 ) 05 · 10 -33 J, E1 = � = ßE 2 2 Energiezustände: En = h n 1 Soll sein: En :::; �Lassisch , d. h. 1 : 05 · 10-33 J · n - ::::; 5 10 - 2 J, also 1 5 · 10- 2 n --< 2 1 05 . 10 -33 5 Damit n - -- · 1031 + � � 4. 76 1031 n kann also die Zahlen 1, 2, . . . 2 1, 05 4, 76 . 1031 annehmen Es gibt etwa 4, 76 · 1cP1 solche Zustände! ("Quasikontin uierlich ") 3 · 108 mjs = 4. 69 10 13 Hz; 3) fucht = -c = .X 6, 39 · 10- 6 m E2 - E 1 = fucht · h = 1, 94 · 10-1 eV = 3, 1 · 10-20 J
u.. { �)
.
---�
= fucht; w = 2 11
·
fosz
=
·
-4
·
·
fosz
( 2)
·
·� - also
N
D = w2 · m = (2 11 · 4, 69 · 10 13 Hz) 2 ·8 · 1 , 66 · 10 -27 kg = 1153, 2 m
368
Anhang I: Physikalische Konstanten
Anhan g I: Physikalische Ko nstanten Gravitationskonstante Molvolumen idealer Gase bei NB (Normbedingungen)
"I
= 6 , 670 · 10 -11
m3 kg · S2
V0 = 22, 414 l
Physikalischer Normdruck
J mol · K Po = 1013, 23 mbar
Physikalische Normtemperatur
T0 = 273: 15 K
Boltzman n-Konstante
ks = 1, 381 · 10 -23
Gaskonstante
R = 8, 314
Avogadro-Konstante = Loschmidt-Zahl N A = 6 , 02 · 1023 (Teilchenzahl je Mol) Vakuumlichtgeschwindigkeit Elektrische Feldkonstante Magnetische Feldkonstante Planck'sches Wirkungsquantum
J K
m c = 2, 998 . 10s s F .So = 8, 854 · 10- 12 m 6 Tm Jl·O = 1, 257 · 10 A 4 h = 6: 626 · 10-3 Js = 4, 136 · 10 - 15 eVs
Elektronenmasse
e = 1, 602 · 10-19 C e"fltm e = 1 ' 759 · 101 1 c kg 1 u = 1, 661 . 10 -27 kg me = 9, 110 · 10 -31 kg
Neutronenmasse
m n = 1, 675 · 10 - 27 kg = 1, 0087 u
Protonenmasse
mp = 1 , 673 · 10 - 27 kg = 1, 0073 u
Elementarladung Spezifische Elektronenladung Atomare Masseneinheit
-
Anhang II: Literatur
Anhan g 11: Literatur
Schulbücher: (Auswahl) Dorn-Bader, Physik (Mittelstufe, Oberstufe), Schrödel-Verlag Gross-Berhag, Physik (Mittelstufe, Oberstufe), Klett-Verlag Höfling, Physik (Mittelstufe, Oberstufe), Dümmler-Verlag Kuhn, Physik (Mittelstufe, Oberstufe), Westermann-Verlag Physik für Gymnasien (Mittelstufe, Oberstufe), Cornelsen-Verlag
Weiterführende Literatur: Gerthsen, Physik, Springer-Verlag Kittel, Einführung in die Festkörperphysik, Oldenburg-Verlag Madelung, Halbleiterphysik, Springer-Verlag Schpolski, Atomphysik 1 und 2, VEB Wagner, Elemente der Theoretischen Physik, rororo
369
Stichwortverzeichnis
370
Stichwortverzeichnis
A
Abbildungsmaßstab 153 Ablenkungswinkel 160 Absorptionslinie 354 Abwurfgeschwindigkeit 15 Achse, optische 164 Adhäsion 115 Adiabate 132 adiabatische Zustandsänderungen 131 Aggregatzustände 120 Alarmanlage 236 altgemeines Gasgesetz 126, 128
Auftrieb 61 f. Auftriebskraft 61 f. Augapfel, Länge 170 Auge 169 -, Akkom modation 169 -,Aufbau 169 -, Veränderung der Brennweite 169 Augenfehler 170 f. Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen 87 Ausdehnung von Körpern 108, 115 Ausschaltvorgang der Spute 287 Außenleiterpol 201 Autobatterie 213 Avogadro-Konstante 368 Avogadro-Zahl 127 B
Balmer-Serie 348 f. Bandgenerator 204 bar 56 Beschleunigungsarbeit 24 Beschleunigungsgesetz 13 ß-Strahlung 326 Beugung des Lichts 184 ff. Bewegung, geradlinige gleichförmige 6 -, gleichmäßig beschleunigte 7 Bewegungsenergie 28, 117 Bild, virtuelles 158, 167 Bildentstehung 166 Bildschirm 225 Bildweite 153, 166, 167 Bimetallsicherung 202 Bimetallthermometer 111 Bohr'sche Postulate 346 Bohr'scher Radius 347 Boltzmann-Konstante 130, 368 Boyte-Marioette'sches Gesetz 66, 126 Bragg'sche Reflexionsbedingung 330 Braun'sche Röhre 224 Brechung, Ablenkungswinkel 160 -, Brechungswinket 160
371
Stichwortverzeichnis
-, Einfallswinkel 160 -, Grenzwinkel 160 Brechung des Lichts nach Huygens 177 Brechung des Lichts nach Newton 176 Brechungsdiagramm 160 Brechungsgesetz 160 Brechungswinkel 160 Brechzahl 161 Bremskraft 19 Bremsspur 19 Bremsstrahlung 355, 356 Bremsverzögerung 19 Bremsvorgang 19 Bremsweg 19 Bremszeit 19 Brennebene 165 Brennpunkt 165 Brennstrahlen 165 f. Brennweite 165, 166, 167 Brewster'sches Gesetz 193 Brewster-Pyramide 193 Brewsterwinkel 193 Brille mit Sammellinse 170, 171 - mit Zerstreuungslinse 170 Brown 'sche Bewegung 116 ß-Strahlung 326 c
Carnot-Maschine 133, 135 Carnotprozess 131 Celsiusskala 109, 113, 125 Comptoneffekt 340 Camptonformel 341 Corioliskraft 55 Coulomb 203, 204 Coulombanziehungskraft 347, 357 Coulomb-Gesetz 257 Curiepunkt 195 D
Davisson 342 de Broglie 342 Debye-Scherrer-Methode zur Kristalluntersuchung 332 Deklinationswinkel 198
Deuterium 325 Dezi meterwellen 324 Diaprojektor 168 Dichte 2 Dichte der Luft 12 Dichte von Eis und Wasser 111 f. Dielektrikum 248 Dielektrizitätszahl 248 Differentialgleichung der harmonischen Schwingbewegung 68 Diffusion 116 Diode/ UA-IA-Kennlinien 231 Diode als Gleichrichter 232 Dioden-Brückenschaltung als Gleichrichter 238 f. Dioptrie 171 Dipole, magnetische 194 Dispersion des Lichts nach H uygens 177 Dispersion des Lichts nach Newton 176 Doppler-Effekt 145 ff. -,SchaLLmauer 148 -, WeLLenfronten 146 Drehfrequenz 43 Drehfrequenzregler 46 Drehimpuls 347 Drehkristallmethode zur KristaLLuntersuchung 331 Drehspulamperemeter 210 Drehspulmessgerät 215 Drehstrom, Erzeugung 312 Drehstromgenerator 311 -, Außenleiterphasen 311 -, Mittelpunktsleiter 311 Drehstrommotor 312 Dreifinger-Regel der Linken Hand 228 Druck 56 -, hydrostatischer 58 ff. DuanejHunt'sches Gesetz 356 dünne Schichten, Interferenz 181 ff. Durchschnittsbeschleunigung 9 Durchschnittsgeschwindigkeit 9 Dynamo, Induktionsspannung 290 E
Echo 140
372 Echolot 140 Edison 205 Edisonröhre 205 Eigeninduktivität 286 -, Einheit 286 Eigenleitung 234 eindimensionale Wellen 85 Einfallswinkel 160 Einschaltvorgang der Spule 287 Einstein 337, 338 Eis, Dichte 111 elektrische Feldkonstante 247, 368 elektrische Feldkraft 243, 267 elektrische Feldlinien 241 f. elektrische Feldstärke 244 elektrische Influenz 208 elektrische Ladung 203 elektrische Pole 198 elektrische Stromstärke, Definition 203 f. -, Einheit 204 elektrischer Strom, magnetische Wirkung 200 -, Wirkung 200 f. elektrisches Feld 241 ff. elektrisches Ri ngfeld 315 f. Elektrizität, Gefahr für Menschen 215 Elektrizitätswerk 207 Elektrolyse 200, 209 elektromagnetische Wellen 3 13 ff., 326 - -, Ausbreitung 315 - -, Entstehung 316 - -, Lichteigenschaften 318 ff. - -, Wärmestrahlung 136 - -, Wärmetransport 125 elektromagnetisches Spektrum 324 Elektromotor 226 f. Elektron, Aufenthaltswahrschei n lichkeit 351, 363 -, Aufenthaltswahrscheinlich keitsdichte 350 -, Elementarladung 270 -, Energieniveaus 350 -, Gesamtwahrscheinlichkeit 350 -, Ladung206 -, -, spezifische 368
Stichwortverzeichnis -, Nullpunktsenergie 350 -, Wahrscheinlichkeitsdichte 362 Elektronen 206, 325 -, Energieniveaus 348, 353 -, Richtungsverteilung 362 f. -, Wellencharakter 342 Elektronenkreisbahnen 347 Elektronenladung 206 -, spezifische 368 Elektronenmasse 271, 368 Elektronensorten, Bezeichnung 362 -, Wellenfunktionen 361 Elektronenstrahl, Ablenkung 225 Elektronenstrom 207 Elektronenvolt 268 Elektroschweißen 310 Elektroskop 205 Elementarladung 206, 368 Elementarladung eines Elektrons 270 Elementarmagnete 194 Emitter 239 Energie 28 ff., 117 -, innere 119, 130 ff. -, -, von Körpern 115 f. -, kinetische 28, 30, 130 -, relativistische 338 Energiedichte, magnetische 289 -, räumliche 256 Energieerhaltungssatz 131 - der Mechanik 30 Energieformen 28 Energieniveaus der Elektronen 348 Energieumwandlungen 29 ff. Entmagnetisieren 195 Entropie 134 Epizykeltheorie 48 Erde 48, 49 -, Halbschatten 155 -, Kernschatten 155 -, Kreisbewegung 52 -, Magnetfeld 197 -, Magnetismus 194 Erdmasse 52 Erdschluss 202 Erdung 201 Ersatzwiderstand bei Reihen schaltung 220
373
Stichwortverzeichnis
Erstarrungspunkt 120 Erstarrungswärme, spezifische 121 Erster Hauptsatz der Wärmelehre 131 Erwärmen, Ausdehnung von Körpern 108 -, Längenausdehnung 110 F
Fadenpendel 72 ff. Fahrenheitskala 109 Fahrraddynamo 229 FaLL, freier 14 -, -, Luftwiderstand 14 Farad 248 Faraday 280 Faradaybecher 205 Faraday-Effekt 321 Faradaykäfig 205 Farbfernsehen 225 Farbfilter 172, 17 5 Farbverschmierungen 187 Fata Morgana 163 Feder 5, 67 -, Rückstellkraft 71 Federhärte 5 Federkonstante 5, 67 Federschwingung, vertikale 70 Feld, elektrisches 241 ff. Feldkonstante, elektrische 247, 368 -, magnetische 265, 368 Feldkraft 278 -, elektrische 243, 267 FeldLinien, elektrische 241 f. -, magnetische 196 Feldstärke, elektrische 244 Fernsehröhre 224 feste Körper, Aufbau 114 -, Gitterstruktur 114 -, Inkompressibilität 115 Feuerwarnanlage 236 Fixsterne 48 Fläche 56 Flächeninhalt 1 Flächenladungsdichte 247 Flächensatz 50 Flaschenzug 22 Fliehkraft 40, 54
Flugzeug, Ü berschaLL-KegeL 148 Flussdichte, magnetische, Definition 262 -, -, ei ner Spule 264f. -, -, Ei nheit 262 Flüssigkeit, verdrängte 62 -, Volumenausdeh nung 111 Flüssigkeiten, Aufbau 114 -, Inkompressibilität 115 -, Stempeldruck 56 -, Stromleitung 209 Flüssigkeitsthermometer 109 Fotoapparat 171 f. -, Belichtungszeit 171 -, Bildweite 171 -, Blendendurchmesser 172 -, BLendenzahL 172 -, EntfernungseinsteLLung 171 -, Gegenstandsweite 171 -, Objektivbrennweite 172 -, Schärfentiefe 171 f. Foto-Diode als Gleichrichter 239 Fotoeffekt, innerer 235 Fotostrom 335 f. Fotowiderstand 235 Foucault-Pendel 55 Franck-Hertz-Versuch 352 Fraun hofersche Linien 354 freier FaLL 14 -, Luftwiderstand 14 Fremdatome in HalbleiterkristaLL 236 Frequenz 138, 290 -, Einheit 290 Funkenüberschlag 287 Fusionsreaktor 329 G
Galilei 49 y-Strahlung 323 f., 326 Gas, Druck und Geschwindigkeit 128 -, Temperatur und Geschwindigkeit 128, 130 -, Volumenausdeh nung 112 f. Gasdichte 65 Gase, Aufbau 114 -, ideale, Molvolumen 368 -, Statik 64
Stichwortverzeichnis
374 -,Stempeldruck 56 Gasgesetz 125 ff. -, allgemeines 126, 128 Gaskonstante 128, 368 Gastheorie, kinetische 128ff. Gay-Lussac'sches Gesetz 113, 125 f. Gefrierpunkt des Wasser 109 Gegenkraft 5, 6, 38 Gegenstandsweite 153, 166 f. Geiger-Müller-Zählrohr 327 Geigerzähler 327 Generator 230 -,Induktionsspannung 290 Generatorprinzip 229 geozentrisches Weltsystem 48 Germanium 234 Germer 342 Gesamtwiderstand bei Parallel schaltung 222 Gesamtwiderstand bei Reihenschaltung 220 Geschwindigkeit 6 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm 7 Gesetz von Duane/Hunt 356 Gewicht, spezifisches 59 Gewichtskraft 4 Gitter- und Spaltinterferenz, ÜberLagerung 191 Gitterkonstante 187 -, bei Kristallen 330 - - -, Berechnung 331 Gitterspannung 233 Gitterspektrum, Farbfolge 189 Gitterstruktur fester Körper 1 14 Glanzwinkel 330, 331 Glasstab, Lichtleitung 163 Gleichrichter, Diode 232 -, Dioden-Brückenschaltung 238 f. -, Foto-Diode 239 -, Halbleiterdiode 237 ff. Gleichstrom 201 Gleichstromelektromotor 227 Gleitreibungskraft 11 Gleitreibungszahl 11 Glimmlämpchen 201 glühelektrischer Effekt 206 Goldene Regel der Mechanik 24
Grad Celsi us 109, 113, 125 Grad Fahrenheit 109 Grad Kelvin 113, 125 Gravitation 48 ff. Gravitationsgesetz 51 Gravitationskonstante 51, 368 Grenzwinkel 160, 162, 163 Größenfaktoren 252 Grundgrößen, Messung 1 Grundton 96 y-Strahlung 323 f., 326 Guericke 64 H
Haftreibungskraft 11 Haftreibungszahl 11 Halbleiter, dotierte 236 -, Elektronenleitung 236 -, Leitfähigkeit 236 -, Lichtabhängigkeit 235 -, Löcherleitung 236 - mit Fremdatomen 236 -, n-Leitung 236 -, p-Leitung 236 -, Prinzip 234 -, Stromfluss 234 -, Temperaturabhängigkeit 235 -, undotierte 234 ff. -, Widerstand 235 Halbleiterdiode als Gleichrichter, Durchlasspolung 237 ff. - - -, Sperrpolung 237 -, Sperrschicht 237 -,Symbol 238 Halbschatten 154 Hall-Effekt 267 Hallsonde 268 Hallspannung 268 Hangabtrieb 12 Hangabtriebskraft 4 Hebebühne, hydrau�sche 57 Heisenbergsche Unschärferelation 345 Heißleiter 235 Heizspan nung 224 Heizwert 118 Hektopascal 56 heliozentrisches Weltsystem 49
375
Stichwortverzeichnis
Helium kerne 326 Helm holtz-Spulenpaar 270 Henry 286 Hertz 138, 290 Hertz'scher Dipol 313 Hieron von Syrakus 62 Him melsbewegungen 48 ff. Hitzedrahtamperemeter 210 Hochspannungstransformator 309 Hochstromtransformator 310 Höhenstrahlung, kosmische 272 Hooke'sches Gesetz 5 Hörbereich 138 H orizontalschwi ngung, harmonische 80 -, mechanische 70 Hubarbeit 23 Huygens'sches Wellenmodell des Lichts 177 Hydraulik, Arbeitserleichterung 58 -, Druckkolben 57 -, Presskolben 57 hydrostatischer Druck 58 ff. hydrostatisches Paradoxon 60 I
ideale Gase, Molvolumen 368 Impuls, relativistischer 338 Impulsänderung 38, 129 Impulserhaltungssatz 33 Impulsunschärfe 345 Indium 236 Induktionsgesetz 281 Induktionsspannung 229 f., 280 f., 286 f. -, Dynamo 290 -, Generator 290 induktiver Widerstand 294 - -, Einheit 294 Inertialsystem 54 Influenz, elektrische 208 -, magnetische 195 Infrarot 324 Infrarotlicht 323 Inklinationswinkel 198 Inkompressibilität von Flüssigkeit und Festkörper 115
in nere Energie 119, 130ff. - - von Körpern 115 f. Interferenz an dünnen Schichten 181 ff. - des Lichts 179 ff. -, geometrischer Gangunterschied 182 -, optischer Gangunterschied 182 -, Phasen-Sprung 182 Interferenznachweis nach Wien er 179 f. Interferenzversuch von Fresnel 180 f. Ionen 207, 209 Isolator 199, 205, 216 -, inneres Feld 250 Isotherme 131, 132 Isotope 325 J
Joule 23, 117 K
Kältemischung 112 Kältepumpe 135 Kanalstrahlen 277 kapazitiver Widerstand 295 f. Kathode 200, 224 Kathodenstrahlen 277 Kelvin 109 Kelvinskala 113, 125 Kepler'sche Gesetze 49 f. Kernfusion 329 Kernladung 207 Kernladungszahl 325 Kernreaktion 328 -, Umwandlung von Ruheenergie in kinetische Energie 339 Kernreaktor 329 Kernschatten 154 Kernschattenbereich 154 Kernspaltung 329 Kernverschmelzung 329 Kerr-Effekt 321 Kettenreaktion 329 Kilo 252 Kilowattstunden 211 kinetische Energie 28, 30, 130 kinetische Gastheorie 128 ff.
Stichwortverzeichnis
376 Kippspan nung 225 Kirchhoffsches Gesetz, erstes 219, 221 Klangfarbe 96 Klingel 201 -, Schaltkreis 199 Klystron 318 Knallgaszelle 211 Knickspiegel 180 Kohäsion 115 Kohäsionskräfte 114, 121 Kohlebürsten 226 Kollektor 239 Kommutatorhalbringe 226 Kompass 198 Komplementärfarben 174 Kompressorkühlschrank 124 Kondensationspunkt 120 Kondensationswärme 122 -, spezifische 122 Kondensator 124 -, Einheit der Kapazität 248 -, geladener -, -, Energie 255 -, Kapazität 248 -, -, bei Dielektrikum 248 - mit Dielektrikum und Luftschlitz 254 f. Kondensatoren -, Gesamtkapazität bei Parallel schaltung 253 -, - bei Rei henschaltung 253 -, Gesamtladung bei Parallelschaltung 252 -, Gesamtspannung bei Reihenschaltung 253 -, Parallelschaltung 252 -, Reihenschaltung 253 -, Teilspannung bei Parallelschaltung 252 Konduktorkugel 203 -, Aufladung 208 Konstanten, physikalische 368 Kopernikus 49 Körper, feste, Aufbau 114 -, -, Gitterstruktur 114 Körperfarben 175 Korpuskelmodell des Lichts 176
Kraft 2, 5, 6, 38, 56 -, dynamische Definition 13 -, Größe 2 -, magnetische 197 -, Richtung 2 -, statische Defi nition 13 -, Wirkung 2 Kräfteaddition 4 Kräftegleichgewicht 10 Kraftstoß 38 Kraftweg 22 Kraftwerk 229 Kreisbeschleuniger 273 Kreisbewegung 40 ff. -,Arbeit 45 - der Erde 52 -, Drehfrequenz 42 -, horizontale 45 -, Umlaufdauer 42 -, vertikale 44, 45 -, Winkelgeschwindigkeit 43 Kreisfrequenz 43 Kristalle, Berechnung der Gitterkonstanten 331 -, Gitterkonstante 330 -, Netzebenen 330 -, Reflexion von Röntgenstrahlung 330 ff. Kristallgitter 330 Kristalluntersuchung, Debye-ScherrerMethode 332 -, Drehkristallmethode 331 -, Pulvermethode 332 K-Schale 348 Kugel, geladene -, -, Kapazität 259 Kühlschrank 124 Kurzschluss 202 Kurzsichtigkeit 170 Kurzwellen 318, 324 L
Ladung 217 - des Elektrons 206 -, elektrische 203 Ladungsdichteverteilung 314 Ladungseinheit, Definition 203
377
Stichwortverzeichnis
Ladungsmenge 203 Ladungsnachweis 205 Ladungsverteilung, kugelsymmetrische 257 -, -, Kraft 258 -, -, Radialfeldstärke 258 -, -, Spannung 258 Lageenergie 28, 29, 30 Länge 1 Längenausdeh nung von Körpern bei Erwärmen 110 Längswelle 85 -, eindimensionale 99 -, sinusförmige, Reflexion 102 -, Reflexion 101 Langwellen 318, 324 Lastweg 22 Laue 323 Leistung 27, 217 -, elektrische 217 Leiter 199, 205 Leiterschleife 228 Leitungsband 235 Leitungselektronen 207 Lenz'sche Regel 282 Lesebrille 171 Licht 200 -, Absorption 175 -, Ausbreitung 152 -, Beugung 184 ff. -, - am Gitter 187 ff. -, - am Hindernis 184 -, - am Spalt 184 -, - an der Kante 185 -, Brechung nach Huygens 177 -, -, nach Newton 176 -, Dispersion nach H uygens 177 -, - nach Newton 176 -, Energie 152 -, farbiges -, -, Brechung 172 -, Farbspektrum 172 -, Geschwindigkeit 152 -, - im Vakuum 368 -, Huygens'sches Wellenmodell 177 -, Interferenz 179 ff. -, Korpuskelmodell 176
-, Newton'sches Teilchenmodell 176 -, Polarisation 192 -, Querwelle 192 -, Reflexion 152, 156 f., 175 -, - nach Huygens 177 -, - nach Newton 176 -,sichtbares 324 -, Übergang zwischen optischen Medien 160 -, weißes 172 Lichtbrechung 159 ff. Lichtgeschwindigkeit, astronomische Messung 177 f. -, Messung mit Drehspiegelmethode 179 -, Messung mit Zahnradmethode 178 - nach Huygens 177 - nach Newton 176 Lichtjahr 152 Lichtleitung im Glasstab 163 Lichtquanten 335, 346 Lichtquelle 152 -, punktförmige 152 Lichtschranke 235 Lichtstrahlen 152 Linienspektren 173 Linse, Brechkraft 171 Linsengleichung 167 Lissajou-Figuren 83 Lochkamera 153 Lochsirene 139 Longitudinalwellen 85 Lorentzkraft 225, 228, 262, 267, 278 Loschmidt-Zahl 127, 368 L-Schale 348 Luftdichte 12 Luftdruck 59, 64 Luftschlieren 162 Luftwiderstand 12 f., 14 Lupe 168 Lyman-Serie 348 f. -, UV-Licht 349 M
Magdeburgische Halbkugeln 64 Magnetfeld 196 f. - der Erde 197
Stichwortverzeichnis
378 -, Energie 288 f. magnetische Dipole 194 - Feldkonstante 265, 368 - Feldlinien 196 - Flussdichte, Definition 262 -- einer Spule 264 f. - -, Einheit 262 -, Influenz 195 -, Kraft 197 -, Pole 194 magnetischer Fluss 280 magnetisches Ri ngfeld 315 f. Magnetisieren 195 Magnetismus, Definition 194 Manometer 59 Maschinen, einfache 20 ff. Masse 1, 2, 4 Massendefekt 339 Masseneinheit, atomare 127, 368 Massenspektrometer 273 Massenzunahme, relativistische 338 materi alab hängige Permeabilitätszahl 265 Materiewellen 342 ff. -, Frequenz 343 -, Wellengeschwindigkeit 343 Maxwell 315 mechanische Arbeit 116f., 131 Mega 252 Meißner-Schaltung 306 f. Meniskus des Wassers 115 Mensch, elektrischer Widerstand 215 Messung, Lichtgeschwindigkeit 177 - von Grundgrößen 1 Metalle, Strom leitung 207 Mikro 252 Mikrowellen 318, 324 Mikrowellensender 318 Milli 252 Millikanversuch 270 Mischungstemperatur 119 Mittelpunktstrahlen 165 f. Mittelwellen 318, 324 Molekül, Abstoßung 363 -, Anziehung 363 -, Gleichgewichtsabstand 363, 364 -, Schwingung 363
Moleküle 1 14 Molvolumen idealer Gase 368 Momentanbeschleunigung 9 Momentangeschwindigkeit 9 Mond 48 -, Halbschatten 156 -, Kernschatten 156 Mondfinsternis 155 Mondphasen 154 f. Moseley-Gesetz 357 Moseley-Konstante 358 M-Schale 348 N
Nachhall 140 Nano 252 Nebelkammer 327 Nebenregenbogen 173 Netzebenen bei Kristallen 330 Neumond 155 Neutronen 325 Neutronenmasse 368 Newton 2, 4, 50 Newton'sches Grundgesetz 13 Newton'sches Teilchenmodell des Lichts 176 Nichtleiter 199 Niederspannungstransformator 309 Nordlicht 272 Nordpol 194 Normalkraft 4, 12 Normdruck, physikalischer 368 Normtemperatur, physikalische 368 Nukleonen 325 Nukleonenzahl 325 Nullleiterpol 201 0
Oberschwingungen 142, 143 Obertöne 96 Ohm 214, 294 Ohm'sches Gesetz 214 f. Öldruckbremse 57 optische Achse 164 optisches Bild 152 f. Orientierungspolarisation 249 Ortsfaktor 4
379
Stichwortverzeichnis
Ortsunschärfe 344 Oszillator, harmonischer 363 -, quantenmechanischer 366 Oszillograph 138, 225 Otto Hahn 329 p
Parallelschaltung, Gesamtwiderstand 222 Pascal 56 Paschen-Serie 348 f. -, IR-Licht 349 Pendel, ballistisches 34 Perpetuum Mobile 1 . Art 134 Perpetuum Mobile 2. Art 134 Permeabilitätszahl, materialabhängige 265 Pfeife, Tonentstehung 143 Phase 201, 290 Phasenverschiebung 69 Photonen 335, 354 -, Impuls 339 -, relativistische Masse 339 physikalische Konstanten 368 physikalische Normtemperatur 368 physikalische Stromrichtung 207 physikalischer Normdruck 368 Piko 252 Planck'sches Wirkungsquantum 335, 368 Planeten 48, 49 -, Umlaufgeschwindigkeit 50 Planetenbewegung 50 Poisson-Fleck 184 Polarisation des Lichts 192 - durch Brechung 192 - durch optische Spalte 192 - durch Reflexion 192 Polarisationsfolien 192 Polarisationsladung 250 Polarisator 192 Pole, Abstoßung 194 -, Anziehung 194 -, elektrische 198 -, magnetische 194 Potenzial, elektrisches 214 -, -, Definition 214
Potenzialtopf, eindimensionaler 349 ff., 361 Potenziometerschaltung 221 Presse, hydraulische 57 Prisma, Ablenkwinkel 163 -, Einfallswi nkel 163 -, Keilwinkel 163 -, Strahlengang 163 f. -, totalreflektierendes 164 Prismenspektrum, Farbfolge 189 Protonen 325 Protonenmasse 368 Ptolemäus 48, 50 Pulvermethode zur Kristalluntersuchung 332 Punktladung 257 Q
Quant 340 Querwelle, sinusförmige 88 ff. R
Radarüberwachung 318 Radfahrer, Schräglage 47 radioaktive Strahlung 325 radioaktiver Zerfall, Halbwertszeit 328 - -, Zerfallsfaktor 328 Radioaktivität 325 -, <X-Strahlung 326 -, ß-Strahlung 326 -, y-Strahlung 326 -, Nachweis 326ff. Radiowellen 318 Raketengleichung 39 Reflexion des Licht nach Huygens 177 - des Lichts nach Newton 176 -, Einfallswi nkel 157 -, Reflexionswinkel 157 Reflexionsgesetz 156 Regenbogen 173 Reibung 11 f. Reibungsarbeit 24 Reibungselektrizität 209 Reihenschaltung -,Anwendungen 220 f. -, Ersatzwiderstand 220 -, Gesamtwiderstand 220
380 relativistische Energie 338 - Massenzunahme 338 relativistischer Impuls 338 Relativitätstheorie 337 Resonanzen 143 Resonanzfall 77, 299 Resonanzfluoreszenz 354 Resonanzfrequenz 299 f. Resonanzkatastrophe 77, 78 Resonanzkurve 78 Resonanzlängen 143 Resonanzrohr 143 Richtung 2 Ringfeld, elektrisches 315 f. Röhrendiode 231 Röhrentriode 233 Rolle, feste 20 -, Lose 21 Röntgenquant 356, 357 Röntgenröhre 323, 355 Röntgenstrahlen 323, 324 -, K-Serie 357 -, L-Serie 357 Röntgenstrahlung 355 ff. -, Berechnung der Wellenlänge 331 -, charakteristische 355 f. -, kontinuierliche 355 f. Rotationsenergie 130 Rückstellkraft 67, 68 Rückstoß 39 Rutherford 206 Rutherford'sches Atom modell 206, 325 Rydberg-Konstante 348 s
Sägezahnspannung 225 Saite, Schwingung 96 ff. -, Eigenschwingung 96 -, Grundschwingung 96 -, Oberschwingung 96 Sammellinse 169 -,Strahlengang 164 ff. Satellit 52 -, geostationärer 53 Schall, Ausbreitung 140 -, Geschwindigkeit 140, 143
Stichwortverzeichnis -, - in Luft 142 -, Längswelle 141 -, Reflexion 140 -,stehende Welle 141 -, Wahrnehmung 140 Schalldämmung 140 Schallerreger, Schwingbewegung 138 Schallfrequenz 142 Schallmauer, Durchbruch 148 Schalter 199 Schatten 154 ff., 184 Schiebewiderstand 216 Schiefe Ebene 4, 23 Schlagschatten 154 Schmelzdrahtsicherung 202 Schmelzpunkt 120, 123 Schmelzpunkterniedrigung 123 Schmelzwärme 120 f. -,spezifische 121 Schnelle 87 Schräglage 47 Schreibstimmgabel 138 Schrödingergleichung 343, 349, 359 ff. -, zeitabhängige 359 -, zeitunabhängige 360 Schubkraft 39 Schweben 63 Schwebung 84 Schweredruck 58 Schwerpunktabstand 51 Schwimmen 63 Schwingbewegung 67 -, harmonische -, -, Differentialgleichung 68 -, vertikale 79 Schwingkreis 302 -, Aufhebung der Dämpfung 306 f. -, gedämpfter 306 -, geschlossener 304 -, Rückkopplung 307 -, ungedäm pfter 303 ff. Schwingung 138 -,Aufschaukeln 77 -,Auslenkung des Tei lchens 90 -, ei ndi mensionale Ü berlagerung 83 -, erzwungene 76ff., 307 f.
Stichwortverzeichnis -, gedämpfte 75 f. -, harmonische 69 -, Phasenunterschiede 90 -, Phasenverschiebung 78f. -, räumliche Dämpfung 91 -, Reibungsverluste 75 -, Ü berlagerung 79 ff. -, - von Horizontal- und Vertikalbewegung 80 ff. -, ungedämpfte 76 -, Zwangsfrequenz 77 Schwingungsamplitude 69 Schwingungsdauer 68 Schwi ngungsenergie 130 Schwingungsfrequenz 68, 69 Seil 20 Selbstinduktion 285 -, induzierte Spannung 286 Sicherung, magnetische 202 Sicherungen 202 Siebkette 297 f., 301 Siedepunkt 120, 123 - des Wassers 109 Siedepunkterniedrigung 123 Silizium 234 Sinken 63 Sonne 48, 49 -, Abplattung 162 Sonnenfinsternis, partielle 155 -,totale 155 Sonnenmasse 52 Spalt 91 Spalt- und Gitterinterferenz, Ü berLagerung 191 Spannarbeit 24, 25 Spannenergie 28 Span nung 217 -, Einheit 212 -, elektrische 211 ff. -, -, Definition 211 f. -, Induktion 229 f., 278 ff. -, - durch Magnetfeldänderung 231 -, Messung 215, 224 -, Zeigerdiagramm 296 Span nungsenergie 30 Span nungsmessung 215, 224 Span nungsteilerschaltung 221
381 Spektralanalyse 173 Spektralfarben 172 -, Addition 174 -, Subtraktion 175 Spektrum, elektromagnetisches 324 Sperrkreis 301 f. Spezielle Relativitätstheorie 337 spezifische Elektronenladung 368 - Wärmekapazität 118 spezifischer Widerstand 215 - -, Temperaturabhängigkeit 216 spezifisches Gewicht 59 Spiegelbild 15 7 ff. Spin 362 Spule 226 -, Ausschalten 287 -, Ei nschalten 287 -, magnetische Flussdichte 264 f. -, Pole 200 Stange 20 Stefan-Boltzmann 136 Sternort, Hebung 162 Stimmgabelschwingung 84 Stoffmenge 127 Stoß, elastischer 32 -, gerader elastischer 35 f. -, schiefer 37 -, unelastischer 32, 34 Stoßversuch 32 Strahl, achsenparalleler 166 Strahlen, Strahlungsintensität 136 Strahlenbelastung 328 Strahlenschutz 328 Strahlung, radioaktive 325 Strahlungsenergie 136 Strahlungsgürtel 272 Strahlungsserien 348 Strom, elektrischer, magnetische Wirkung 200 -, -, Wirkung 200 f. -, Wärmewirkung 208 Stromfluss 198 Stromkreis 198 Stromleitung in Flüssigkeiten 209 - in Metallen 207 Stromquellen, Hintereinanderschaltung 213
Stichwortverzeichnis
382 -, Parallelschaltung 213 -, Reihenschaltung 213 Stromrichtung, konventionelle 201 -, physikalische 207 -,technische 201 Stromstärke 217 -, elektrische -, -, Definition 203 f. -, -, Einheit 204 -, Messung 210, 223 Strömungswiderstand 12 f. Stromverlauf -, Mittelwert 211 -, Zeigerdiagramm 296 Sublimation 120 Südpol 194 T
Tachometer 283 Tauchsieder 222 technische Strom richtung 201 Teilchenbeschleuniger 273 ff. Teilchenbewegung 114 ff. Teilchendichte 129, 266 Teilchen-Welle-Dualismus der Quantenobjekte 342 Temperatur 108 -, Messung 108 Temperaturunterschied 109 Tesla 262 Thermometer 108 Thomasgleichung 305 Thomson 206 Ton, Höhe 138 -, Lautstärke 138 Tonentstehung 139 - in Pfeife 143 Totalreflexion 162 f. Trägheitskraft 53 ff. Trägheitssatz 10 Transformator 309 f. Transistor als Verstärker 240 -, Emitter 239 -, Kollektor 239 -, Schaltsymbol 239 Transistor-Kennlinie 240 Translationsenergie 130
Transversalstörungen, Reflexion 87 f. Transversalwellen 85 Triode, U üiA-Kennlinie 233 Triode als Verstärker 233 Tritium 325 Trommelfell 140 u
U A-IA-Kennlinie, Diode 231 -, Triode 233 Ü berdruck 57 Ultrakurzwellen 318, 324 Ultraviolett 324 Ultraviolettlicht 323 Umkehrprisma 164 Uran 329 U-Rohr-Manometer 65 U-Rohr-Schwingung 72 V
Vakuumlichtgeschwindigkeit 368 Valenzband 234 Vektoren 3 Vektorgrößen 2 verbundene Gefäße 60 Verdampfer 124 Verdampfungswärme 121 f., 124 -, spezifische 122 Verdunstung 123 Verdunstungskälte 123 Vergrößerung 153 Verkleinerung 153 Verschiebungspolarisation 249 Verstärker, Transistor 240 -, Triode 233 virtuelles Bild 158, 167 Vollmond 155 Volt 212 Volumen 1, 2 Volumenausdehnung, Gas 112f. -, Flüssigkeiten 111 Vorwiderstand 220 w
Wärme 117, 131, 132, 200 -, Definition 117 Wärmekapazität, spezifische 118, 218
Stichwortverzeichnis Wärmekonvektion 125 Wärmelehre, erster Hauptsatz 131 -, zweiter Hauptsatz 134 -, - -, Formulierung nach Planck 134 -, - -, quantitative Formulierung 134 -, - -, statistische Formulierung 134 Wärmeleistung 118 Wärmeleitung 125 Wärmemaschine 133 -, Funktion 135 -, Wirkungsgrad 133, 135 Wärmemenge 118 Wärmestrahlung 125, 323 -, Absorption 125 -, elektromagnetische Wellen 136 -, Reflexion 125 Wärmetransport durch elektromagnetische Wellen 125 Wasser, Anomalie 111 -, Dichte 111, 112 -, Gefrierpunkt 109 -, Meniskus 115 -, Siedepunkt 109 Wasserdruck 59 Wasserstoffbombe 329 Wasserwellen 103 -, Interferenz 103 -, Reflexion 105 f. Watt 27 Wechse�pannung 230 -, Effektivwert 291 f. -, Periode 290 -, si nusförmige 290 Wechselstrom 201, 209 -, Effektivwert 291 f. Weg-Zeit-Diagramm 7 Wehneltzylinder 224 Weitsichtigkeit 170 Wellen, Ausbreitungsgeschwindigkeit 87 -, Bäuche 95 -, Brechung 105, 106 -, dauerhaft stehende 95 -, eindimensionale 85 -, elektromagnetische 326 -, -, Ausbreitung 315 -, -, Entstehung 316
383 -, -, Lichteigenschaften 318 ff. -, gegenphasige Ü berlagerung 93 -, gleichphasige Ü berlagerung 92 -, Grundschwingung 95 -, Knoten 95 -, nichtpolarisierte 91 -, Oberschwingung 95 -, Polarisationsebene 91 -, polarisierte 91 -, Schnellebäuche 95 -, Schwebungen 93 -, stehende 94ff. -, Überdruckstörung 99, 102 -, Ü berlagerung 92 ff. -, - mit ihrer Reflexion 94 ff. -, Unterdruckstörung 99, 102 -, Verdünnungsstörung 99 Wellenfelder, zweidimensionale 103 -, -, punktförmiger Erreger 103 Wellenlänge 90 -, Berechnung 331 Wellenträger, Eigenschwingungen 95 Weltsystem, geozentrisches 48 -, heHozentrisches 49 Wichte 59 Widerstand, elektrischer 214 -, -, Ei nheit 214 -,induktiver 294 -, -, Einheit 294 -, kapazitiver 295 f. -, spezifischer 215 -, -, Temperaturabhängigkeit 216 Widerstände -, Paralle�chaltung 218 f., 221 ff. -, Reihenschaltung 218 ff. -, Spannung bei Reihenschaltung 220 -, Spannungen bei Parallel schaltung 221 -, Stromstärke bei Reihen schaltung 219 -, Stromstärken bei Parallel schaltung 221 -, Tei�tromstärken bei Parallel schaltung 222 Widerstandsbeiwert 12 Wien'scher Verschiebungssatz 136
Stichwortverzeichnis
384 Wien'scher Geschwindigkeitsfilter 273 Winde, Abweichungen 55 Wirbelstrombremse 282 Wirbelströme 282 Wurf, schiefer 17 -, senkrechter 18 -, Steighöhe 18 -, Steigzeit 18 -, waagerechter 15 Wurfhöhe 18
z
Zeit 1 Zentimeterwetten 318 Zentrifugalkraft 54 ZentripetaLbeschLeunigung 40 ff. Zentripetalkraft 40 ff., 50, 54, 347 ZweikanaLosziLLograph 301 Zweiter Hauptsatz der Wärmetehre s. Wärmelehre, zweiter Hauptsatz 134 Zyklotron 274