Technische Mechanik. Statik.. Lehrbuch mit Praxisbeispielen, Klausuraufgaben und Lesungen

Hans Albert Richard I Manuela Sander Technische Mechanik. Statik Hans Albert Richard I Manuela Sander Technische ...

Author: Richard H.A. | Sander M.

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Hans Albert Richard

I Manuela Sander

Technische Mechanik. Statik

Hans Albert Richard

I Manuela Sander

Technische Mechanik. Statik Lehrbuch mit Praxisbeispielen, Klausuraufgaben und L6sungen 3., Oberarbeitete und erweiterte Auflage Mit 249 Abbildungen STUDIUM

VIEWEG+ TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober abrufbar.

1. Auflage 2005 2., verbesserte und erweiterte Auflage 2008 3., Oberarbeitete und erweiterte Auflage 2010 Aile Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Thomas Zipsner Ilmke Zander Der Vieweg +Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fOr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dOrften. Umschlaggestaltung: KOnkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1036-6

v

Vorwort Viele Publikationen, die naturwissenschaftliche und technische Inhalte beschreiben, beginnen mit einer umfassenden Beschreibung der Grundlagen durch Fonneln und Texte. Dies macht es vielen Lemenden schwer, frUhzeitig die Gesarntzusarnrnenhange zu erkennen. Das vorliegende Lehr- und Ubungsbuch "Technische Mechanik - Statik" mit anwendungsnahen Beispielen geht daher einen etwas anderen Weg. Unter dem Motto "Lasst Bilder und Skizzen sprechen" werden zuniichst in einem Anfangskapitel Fragestellungen und Probleme der Statik dargestellt und fonnuliert Dies soll die Motivation, sich mit dem Inhalt des Buches auseinander zu setzen, erhbhen und es dem Leser von Anfang an ennoglichen, auch notwendige Details in einern Gesarntzusarnrnenhang zu sehen. Erst nach diesern Anfangskapitel werden dann aIle

wesentlichen Grundlagen und ihre Anwendungen dargestellt Diese Vorgehensweise hat sich in zahlreichen Lehrveranstaltungen, welche von den Autoren an

der Universitat Paderbom fill Ingenieursstudenten der Facher Maschinenbau, Wirtschaftsingenieurwesen, Elektrotechnik und Studierende angrenzender Gebiete, wie Technomathematik und Ingenieurinfonnatik, gehalten werden, bewahr!. Sie fUhrt zu einer hohen Aufmerksamkeit von Beginn an und einer aktiven Mitwirkung der Studierenden in Vorlesungen und Ubungen. 1m Wesentlichen beschaftigt sich dieses Buch mit dem Gleichgewicht von Bau- und Maschinenteilen, tragenden Stnikturen und deren Idealisierungen als starre Karper Betrachtet werden das Krafte- und Momentengleichgewicht sowie die Ennittlung von Auflager- und SchnittgrbJJen ebener und raurnlicher, ein- und rnehrteiliger Tragwerke. Weiterhin wird die Berechnung von Schwerpurikten behandelt Untersucht werden auch die Kraftwirkungen und die Reibung zwischen Korpern. Das Buch wendet sich an Studierende cler Ingenieurwissenschaften und angrenzender Gebiete

an Universitaten und Fachhochschulen. Es ist aber auch als Ratgeber fill in der Praxis tatige Ingenieure gedacht welche die Gelegenheit nutzen wollen, die wichtigen Grundlagen der Mechanik im Hinblick auf ihre derzeitigen Tatigkeiten in der Forschung, Produktentwicklung, Konstruktion und Berechnung aufzufrischen Die Statik stellt den ersten Teil eines entstehenden dreihandigen Lehrbuches der Technischen Mechanik dar Weitere Themenfelder wie Festigkeitslehre und Dynamik (Kinematik und Kinetik) sollen in Killze folgen. Die Technische Mechanik ist nicht allein durch das Lesen eines Buches erlembar Notwendig sind das selbstandige Bearbeiten und Lasen von Fragestellungen. Dieses Buch soll daher auch als Arbeitsanleitung verstanden werden. Die zahlreichen Beispiele kbnnen und sollen vom Leser nachvollzogen werden. Durch *** gekennzeichnete Beispiele behandeln prufungsrelevante Inhalte. Des Weiteren wird dem Lemenden anhand von fonnulierten Klausuraufgaben die Maglichkeit gegeben, vallig selbstandig Fragestellungen und Probleme der Statik zu lasen und somit den eigenen Kenntnisstand zu uberprufen. In diesem Sinne wUnschen wir Ihnen viel Freude beim Erlemen und beim Anwenden der Technischen Mechanik.

Vorwort zur 3. Auflage

VI

Herzlich gedankt sei an dieser Stelle Frau cand.-Ing. Melanie Stephan fUr das Zeichnen der Bilder und das Dbertragen der Texte und Fonneln in das Manuskript Weiterhin gilt unser Dank dem Vieweg Verlag fUr die gewahrte Unterstutzung und insbesondere Herm Thomas Zipsner fUr das Lektorat und die wertvollen Anregungen Paderbom, Juli 2005

Hans Albert Richard und Manuela Sander

Vorwort zur 3. Auflage Die auJ3erst positive Resonanz auf die erste und zweite Auflage hat uns dazu bewogen, das

Grundkonzept des Lehrbuchs Technische Mechanik. Statik konsequent fortzusetzen. Wir sind dankbar fUr die Hinweise, die dazu fUhrten, dass einige kleinere Fehler beseitigt werden konnten. Aufgrund von Vorschlagen wurden einzelne Kapitel und insbesondere der Aufgabenteil in Kapitel 11 emeut erweitert. Danken mbchten wird den derzeitigen und ehemaligen Mitarbeitem der Fachgruppe Angewandte Mechanik der Universitat Paderbom sowie den Mitarbeitem des Lehrstuhls fUr Strukturmechanik der Universitat Rostock fUr die Anregungen zu Prufungsaufgaben. Dem Vieweg+Teubner Verlag und insbesondere Herm Thomas Zipsner gilt unser Dank fUr die gewahrte Unterstutzung und die konstruktiven Diskussionen.

Dem Leser wUnschen wir viel Erfolg beim Erlemen und Anwenden der Technischen Mechanik Paderbom und Rostock, Februar 2010

Hans Albert Richard und Manuela Sander

VII

Inhaltsverzeichnis 1

Fragestellungen der Statik

2

Krafte und ihre Wirkungen

2.1 2.2 2.3

2.4

2.5

3

33

3.1

33 34 35 36 39

Moment einer Kraft 3.1.1 Vektordarstellung des Momentes 3.1.2 Berechnung des Momentes mit den Kraftkomponenten Moment einer ebenen Kraftegruppe Moment eines Kraftepaares

Liisen von Fragestellungen der ebenen Statik

4.1 4.2 4.3 4.4 5

5

5 8 10 11 11 12 13 15 15 22 23 25 28 28 31

Momente und ihre Wirkungen

3.2 3.3 4

AuJJere Krafte, wirkende Lasten Reaktionskrafte und innere Krafte Krafte am starren Karper 2.3.1 Linienfluchtigkeitsaxiom 2.3.2 Gleichgewichtsaxiom 2.3.3 Wechselwirkungsgesetz 2.3.4 Axiom vom Krafteparallelogramm Zentrale ebene Kraftegruppe 2.4.1 Ermittlung der Resultierenden 2.4.2 Zerlegung einer Kraft in verschiedene Richtungen 2.4.3 Gleichgewicht dreier Krafte 2.4.4 Gleichgewichtsbedingungen fUr zenlrale Kraftegruppe Beliebige ebene Kraftegruppe 2.5.1 Ermittlung der resultierenden Kraft einer ebenen Kraftegruppe 2.5.2 Zerlegung einer Kraft nach mehreren Richtungen

1

Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik Der Freischnitt: Krafte werden sichtbar Lasungen fUr Probleme in Natur und Technik Standsicherheit

42 42 45 49 55

Einteilige ebene Tragwerke

58

5.1

58 58 58 59 59 60 60 61

Einzelkomponenten ebener Tragwerke 5.1.1 Seil 5.1.2 Stab 5.1.3 Balken 5.1.4 Bogentrager 5.1.5 Rahnien 5.1.6 Gelenktrager 5.1.7 Scheibe

VIII

Inhaltsverzeichnis 5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

6

61 Lagerungsarten 5.2.1 Verschiebbares Lager 61 5.2.2 Festes Lager 62 63 5.2.3 Einspannung 5.2.4 Ubersicht, alternative Darstellungen 63 Lagerungen fill ebene Tragwerke 64 65 5.3.1 Freiheitsgrade. stabile Lagerung und statische Bestimmtheit 5.3.2 Tragwerke mit einem Festlager und einem Loslager 65 5.3.3 Eingespannter Balken 66 5.3.4 Tragwerk mit zwei Festlagern 66 5.3.5 Tragwerke mit drei Lagerungen 66 5.3.6 Balken mit Einspannung und Festlager 67 67 5.3.7 Beispiele fill nichtstabile Lagerungen Rechnerische Ennittlung der Auflagerreaktionen von einteiligen Tragwerken 67 5.4.1 Freischnitt des Tragwerkes 68 5.4.2 Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen 68 5.4.3 Balken mit Fest- und Loslager 69 5.4.4 Eingespannter Balken 69 5.4.5 Rahmen 71 Zeichnerische Ennittlung der Auflagerreaktionen 73 5.5.1 Vertikal belasteter Balken 73 5.5.2 Balken mit nichtparallelen Kraften 73 Innere Krafte und Momente ebener Tragwerke 75 5.6.1 Nonnalkraft. Querkraft und Biegemoment 75 5.6.2 Schnittkraftgruppe 76 76 5.6.3 Nonnalkraft im Seil 77 5.6.4 Nonnalkraft im Stab 79 5.6.5 Nonnalkraft. Querkraft und Biegemoment im Balken 88 5.6.6 Nonnalkraft. Querkraft und Biegemoment beim Rahmen 5.6.7 Nonnalkraft. Querkraft und Biegemoment beim Bogentrager 91 Tragwerke mit kontinuierlich verteilter Belastung 95 5.7.1 Einbereichsprobleme mit beliebig verteilter Streckenlast 96 98 5.7.2 Balken mit konstanter Streckenlast 5.7.3 Balken mit Dreieckslast 101 5.7.4 Zusammenhang zwischen Belastungs- und SchnittgroJJen beim Balken .. 105 5.7.5 Mehrbereichsprobleme 106

Mehrteilige ebene Tragwerke

115

6.1

116 116 117 118 122 125 129 131

6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Tragwerke mit Gelenken 6.1.1 Freiheitsgrade. stabile Lagerung und statische Bestimmtheit 6.1.2 Lagerungen fill mehrteilige ebene Tragwerke Ennittlung der Auflagerreaktionen und der Gelenkkrafte Nonnalkraft-, Querkraft- und Biegemomentenverlaufe in den Tragwerksteilen Balken mit Gelenken (GERBER-Trager) Dreigelenkbogen Rahmentragwerke mit Gelenken

IX

Inhaltsverzeichnis

7

Ebene Fachwerke

134

7.1 7.2 7.3

135 136 137 137 138 143 146 149

7.4 8

Riiumliche Statik starrer Korper

152

8.1

152 153 154 155

8.2 8.3

9

statische Bestimmtheit Ennittlung der Auflagerkrafte von ebenen Fachwerken Ennittlung der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk 7.3.1 Nullstabe 7.3.2 RlTTERsches Schnittverfaliren 7.3.3 Knatenpunktverfaliren 7.3.4 CREMONA-Plan Ennittlung der Stabkrafte beim nichteinfachen Fachwerk Stabilita~

Krafte und Mamente im Raum 8.1.1 Einzelkraft und ihre Kampanenten 8.1.2 Resultierende einer zentralen raumlichen Kraftegruppe 8. 1.3 Mom ent einer Kraft 8.1.4 Resultierende Kraft und resultierendes Moment einer beliebigen raumlichen Kraftegruppe Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik Raumliche Tragwerke 8.3.1 Lagerungsarten fUr raumliche Tragwerke 8.3.2 Freiheitsgrade, stabile Lagerung und statische Bestimmtheit 8.3.3 Ennittlung der Auflagerreaktianen 8.3.4 Ennittlung der SchnittgraJJen raumlicher Tragwerke

Schwerpunkt 9.1 Schwerpunkt eines Karpers 9.1.1 Ortsvektor des Schwerpunktes 9.1.2 Kaordinaten des Schwerpunktes 9.1.3 Massenmittelpunkt 9.1.4 Valumenmittelpunkt 9.1.5 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt und Valumenmittelpunkt von zusarnrnengesetzten Korpem

9.2

10

9.1.6 Schwerpunkte einfacher hamagener Karper Schwerpunkt einer Flache 9.2.1 Ortsvektor des Flachenschwerpunktes 9.2.2 Kaordinaten des Flachenschwerpunktes 9.2.3 Flachenschwerpunkte fUr zusammengesetzte Flachen 9.2.4 Berechnung des Flachenschwerpunktes einzelner Flachen 9.2.5 Schwerpunktskaordinaten einfacher Flachen 9.2.6 Statisches Moment einer Flache

156 158 160 160 163 164 166 171 171 172 174 174 175 175

177 180 180 180 181 181 182 182

fu~q

185

10.1 Grundlagen der Festkarperreibung 10.2 Haftreibung 10.2.1 Karper auf schiefer Ebene 10.2.2 Reibungssektor, Reibungskegel 10.2.3 Leiter an einer Wand

185 186 187 189 190

X

11

Inhaltsverzeichnis 10.3 Gleitreibung lOA Seilhaftung und Seilreibung 10.4.1 Seilhaftung 104.2 Seilreibung

193 197 197 199

Klausuraufgaben

200

11.1 Aufgabenstellungen 11.2 Ergebnisse

200 207

Anhang

Al A2

A3 A4

215 GroJJen, Dimensionen und Einheiten der Mechanik Grundlagen der Vektorrechnung A2.1 Allgemeine Definitionen A2.2 Addition von Vektoren A2.3 Komponentendarstellung eines Vektors A2A Skalarprodukt zweier Vektoren A2.5 Vektorprodukt zweier Vektoren Genauigkeit der Zahlemechnung WeiterfUhrende Themen der Technischen Mechanik

Sachwortverzeichnis

,

215 215 216 216 217 218 219 220 220 221

1

1 Fragestellungen der Statik Die Technische Mechanik beschaftigt sich mit cler Lehre von den Kraften sowie den Bewegoogen, Spannungen ood Verforrmmgen, welche diese bei Korpem, Bauteilen, Maschinen sowie anderen natorlichen oder tedlllischen Strukturen hervonufen. Die Statik ist ein wichtiges Teilgebiet cler Technischen Mechanik ood beinhaltet die Lehre von den Kraften ood die Lehre valli Gleichgewicht. Betrachtet werden im Allgemeinen tragende Strukturen, die sich in Ruhe befinden und aufgnmd ihrer Fooktioo auch in Ruhe verbleiben mOssen. Die Gnmdlagen cler Statik dienen clem Ingenieur im Wesentlichen dam, •

sich einen Uberblick tiber die wirkenden Krille zu verschaffen,

•

die resultierende Wirkung dieser Krfifte m errnitteln,

•

die Wirkung von Kraften auf die Teilstrukturen zu bestimmen,

•

die in den Teilstrukhiren wirkenden inneren Krfifte ood Momente m errnitteln,

•

die Standsicherheit von Maschinen, Fahrzeugen ood Anlagen m OberpIiifen,

•

die Krafte an den Aufstands- oder Lagerpunkten zu bestimmen,

•

Schwerpunkte von K6rpem ood Flachen m errnitteln sowie

•

Haft- ood Gleitreiboogssituationen in Natur ood Teclmik m verstehen.

Bevor die Gnmdlagen ood Methoden der Statik im Einzelnen beschrieben werden, sollen die Aufgaben des Ingenieurs im Folgenden anhand von Fragestelloogen der Statik erlautert werden. Fragestellung 1-1 beschilligt sich mit einer Eisenbahnbrucke, Bild 1-1. Sie besteht aus einer Fachwerkstahlkonstruktion ood ist an den Stellen A ood B gelagert. Von Interesse ist hierbei unter anderem das Gesamtgewicht ood der Gesamtschwerpookt der Brucke sowie die Belastoog der Brucke bei einer ZUgOberfahrt. Aus dem Eigengewicht ood der Betriebsbelastoog sollen darm die Krafte in den Auflagerpookten ood die Krille in den Fachwerksteilen (z. B. in den Stab en) errnittelt werden.

BUd 1-1 Eisenbahnbmcke als FachweIkskonstmktion

2

1 Fragestelloogen der Statik

Bei Fragestelloog 1-2 soli ein Schaufelbagger, cler eine Last F anhebt, Bild 1-2, mit den Methoden der Statik ootersucht werden. Von grol3er Bedeutung ist dabei auch das Eigengewicht des Baggers, das als resultierende Kraft G im Korperschwerpunkt S angreift.

•• • F BUd 1-2

~B

/

Schaufelbagger im Betrieb

In diesem Zusammenhang ergeben sich viele Fragen, die mit den Methoden cler Statik gelost werden k6nnen: a)

Wie groll sind die Krfifte in den AufstandspunktenA und B?

b)

Wie grol3 darf die Last F maximal sein, damit eine ausreichende Standsicherheit des Baggers gewahrleistet ist?

c)

Welche Krille mOssen die Hydraulikzylinder bei Betriebslast aufbringen?

Daruber hinaus ist fUr die Entwickloog bzw. Konstruktioo noch von Bedeutoog, welche Krafte und Momente auf die weiteren Teilsysteme des Baggers wirken bzw. wie diese Belastoogen im Inneren der Systeme Obertragen werden.

-1-

-- -- -- -- -- -- -- --

I- - - - -I

BUd 1-3 Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs

Bei Fragestelloog 1-3 soli die Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs untersucht werden, Bild 1-3. Hierflir wurden bereits die Krafte F j = F 2 = F aus dem Wagenaufbau flir den Lastfall Geradeausfahrt errnittelt. Es bleiben u.a. noch die Fragen, wie grol3 in diesem Fall die Radaufstandskrafte sowie die Biegemomente ood die Querkrafte in der Radsatzwelle sind. Biegemomente ood Querkrafte sind ooter anderem bei der festigkeitsgerechten Auslegung dieser Radsatzwelle von groller Bedeutoog. Bei der Verkehrsampel, Fragestellung 1-4, interessiert ooter anderem, wie grol3 die Krafte und das Einsparmmoment im Ampelfoodament sind, wenn die drei Ampeln je ein Gewicht von

1 Fragestellungen der Statik

3

100 N haben. FOr die Auslegung des Ampelmastes sind daruber hinaus die wirkenden Norrnalund Querkrafte sowie die Biegemomente wiehtig.

o o o BUd 1-4

A

Vetkehrsampel

Fragestellung 1-5 besehaftigt sieh mit einem allUigliehen Problem. Eine Dame (Masse m = 60 kg, Gewieht G= 600N) steht aufnur einem FuI3, Bild 1-5. Vnter diesen Voraussetzoogen sollen mit den Methoden der Statik die Aufstandskrafte in den Punkten A ood B ood die FHiehenpressung ooter dem Sehuhabsatz bestimmt werden, werm dieser eine AufstandsfHiehe von 0,5 em 2 hat.

/

BUd 1-5

FuB einer Dame beim Einbeinstand

Eine Leiter ist an eine Wand angelelmt, Fragestelloog 1-6. Bine Person mit erhebliehem K6rpergewieht klettert die Leiter hinauf, Bild 1-6. Vnter Ben1eksiehtigung der Reiboogsverhaltnisse an Wand und Boden ist m errnitteln, ob die Person die Leiter sieher hinaufklettem kann. Interessant ist aueh die Frage, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang das K6rpergewieht hat. Fragestelloog 1-7 besehaftigt sieh mit dem Gewieht ood dem Sehwerpookt einer Aufnahmevorriehhmg fUr Proben in einer PrOfmasehine, Bild 1-7. Bei der Vorriehtoog mit einer Nut und mehreren Bohrungen handelt es sieh lUll ein Frasteil aus dem Werkstoff Stahl, da hierrnit hohe Krafte Obertragen werden sollen. Die Diehte des Stahls betragt p= 7,85 kgfdm 3. Gesueht ist neben dem Gesamtgewieht G, der Sehwerpookt S mit den Koordinaten xs, Ys und Zs. Gibt es

4

1 Fragestelloogen der Statik

bei dieser Aufnahmevorrichhmg einen Unterschied zwischen Schwerpunkt, Massenmittelpookt und Volumenmittelpookt?

BUd 1-6

/

Person klettert cine Leiter hinauf

Diese und viele andere Fragestellungen lassen sich mit den Methoden der Statik lasen. Dieses Eingangskapitel soli das Interesse wecken, sich mit dem weiteren Inhalt des Buches auseinander zu setzen und auch notwendige Details in einem Gesamtmsammenhang m sehen. Die Verrnittlung der Grundlagen der Statik wird stets begleitet durch zahlreiche anwendoogsnahe, aber auch abstrakte Beispiele. Ausgewfihlte Klausuraufgaben sollen eine selbsUindige UberpIiifung des bereits gelemten Stoffes errnaglichen und Sicherheit beim Umgang mit ingenieurtedlllischen Fragestelloogen liefem.

o 0 x

BUd 1-7

Aufnahmevonichtung fur Proben in ciner pIiifmaschine

Das nfichste Kapitel wird sich mit Kraften und ihren Wirkoogen beschaftigen. Krfifte kann man aber leider nicht sehen. FOr eine erfolgreiche Anwendung der Methoden der Statik, mOssen Krfifte ood ihre Wirkungslinien gedanklich sichtbar gemacht werden. Welche Verfahren dam geeignet sind, wird in den nfichsten Kapiteln verdeutlicht.

5

2 Krafte und ihre Wirkungen Krafte treten uberall auf - in derNatur, in der Technik, im Verkehr, im Sport, usw. Ein Gelreidehalm wiegt sich im Wind, ebenso wie ein Femsehturm. Bei Bewegungen sind im Allgemeinen Krafte im Spiel. Das vielfach notwendige Verharren von Karpern in Rube wird ebenfalls durch Krafte garantiert Auch die Lasung der im Kapitel I dargestellten Fragestellungen erfordert eine intensive Beschaftigung mit der physikalischen GraJJe "Kraft". Es gibt zahlreiche Maglichkeiten Krafte einzuteilen. Krafte kannen z. B. auftreten als •

auJJere Krafte (wirkende Lasten),

•

Reaktionskrafte bzw. Auflagerkrafte,

•

innere Krafte.

Die Unterscheidung der Krafte ist fill das Lasen praktischer Fragestellungen der Statik von groJJer Wichtigkeit Zunachst gilt es herauszufinden, welche Krafte bei der gegebenen Problemstellung uberhaupt wirksarn sind. Die wirkenden Krafte oder Lasten bezeichnet man als auJ3ere Krafte. Diese auJJeren Krafte rufen dann Lagerkrafte, Bodemeaktionskrafte, Gelenkkrafte und Krafte, die zwischen Korpern oder Teilstrukturen wirken, hervor. Diese werden in cler Statik Zllsarnmenfassend Reaktions- oder Auflagerkrafte genannt Die auJ3eren Krafte, das heiJ3t die wirkenden Lasten, verursachen aber auch innere Krafte in Strukturen und Bauteilen. Die inneren Krafte gilt es zu ennitteln, urn Inforrnationen tiber die Belastbarkeit einer Struktur oder einer Teilstruktur zu erhalten. Dem Konstrukteur dienen sie unter anderern dazu, Bauteile sicher zu dirnensionieren.

2.1

AnDere Krafte, wirkende Lasten

AuJJere Krafte treten bei bewegten und ruhenden Karpem auf Eine stets wirkende Kraft ist die Gewichtskraft Diese wird im Allgemeinen mit dem Fonnelzeichen G bezeichnet. Die Gewichtskraft errechnet sich aus cler Masse m des Korpers und cler Fall- oder Schwerebeschleunigung g mit der Fonnel (2.1), greift im Schwerpurikt des Karpers an und ist stets zum Erdmittelpurikt gerichtet, Bild 2-1. Die Gewichtskraft hat, wie jede andere Kraft, die physikalische Grundeinheit Newton, abgekillzt N GraJJen, Dimensionen und Einheiten der Mechanik sind in Anhang Al zusammengestellt Bewegungen und insbesondere Bewegungsanderungen erfolgen unter dem Einfluss von Kraf-

ten. Bei Bewegungen Ireten neben der Gewichtskraft im Allgemeinen zusatzlich noch Beschleunigungs- oder Verzagerungskrafte auf

6

2 Krafte und ihre Wirkoogen

Die Beschleooigoogskraft F B errechnet sich aus cler Masse m ood cler Beschleunigung a nach clem Gnmdgesetz der Mechanik: (2.2). Die Kraftrichhmg etltspricht cler Richtoog der Beschleooigung, Bild 2-1.

BUd 2-1

G"/lrg

Gewichtskraft G lllld Beschlelllligungskraft FE beim Auto

Bei Kreisbewegungen wirkt stets eine Fliehkraft. Sie errechnet sich aus cler Masse m des K6rpers auf cler Kreisbalm, clem Radius r cler Kreisbalm und cler Winkelgeschwindigkeit (J) mit der Forme! FF

=m·r

o

(2.3).

0J2

Die Fliehkraft wiIkt bei cler Kreisbewegoog stets in radialer Richhmg.

,. BUd 2-2

Fliehkraft FF bei der Kreisbewegung ciner Massem

Gewichtskraft, Beschleunigoogskraft ood Fliehkraft sind Massenkrafte, werden aber auch Voltunenkrafte genannt, wobei sich die Masse m aus clem Volumen V ood cler Dichte p des Materials errechnet:

m=V·p

(2.4).

Massenkrafte wirken tiber das Volumen verteilt, werden jedoch idealisiert als im Schwerpookt des K6rpers angreifende Krafte dargestellt, Bild 2-1 und Bild 2-2. Neben den Massen- bzw. Volumenkraften kommen als aul3ere Krafte auch Flachenkrafte vor. Hierm zahlen z. B. der Luftwiderstand beim Auto oder die Windbelastung von BIiicken und Gebauden, die Schneelasten auf Dachem, der Wasserdruck auf die Staumauer eines Stausees und die Seitenwindkraft beim LKW, siehe auch Bild 2-3.

2.1 Aufiere Krafte, wirkende Lasten

7

BUd 2-3

P

Seitenwind bei einem LKW als FHichenkraft

Die Flachenlastf-kraft wird in der Statik mitp bezeidlllet ood kann z. B. aus einer Kraft F ood der Bezugsflache A mit der Beziehoog F

p~-

~~

A

errechnet werden. Die Einheit der Flachenlast ist damit z. B. N/m2 oder N/mm2, siehe Anhang A!.

Neben VollUllen- ood Flachenlasten venvendet man in der Mechanik noch zwei wichtige Idealisienmgen: •

die Linienkraft und

•

die Punktkraft oder Einzelkraft.

Die Linienlast q ist als Kraft pro Lange definiert und errechnet sich z. B. nach der Gleichoog F

q=I

(2.6),

wobei F die Kraft ood I die Lange darstellt. Die Einheit ist z. B. N/m oder N/mm. Beispiele fUr die Linienk.raft oder Streckenlast sind das Eigengewicht eines Balkens oder einer Rohrleitoog, das ober die Lange verteilt wirkt, siehe Bild 2-4. Auch die von einem Balken aufgenommene Flachenlast eines Deckenabschnitts eines Gebaudes oder eines Daches kann als Linien- oder Streckenlast angesehen werden.

q BUd 2-4 Gewicht eines Rohrleitungsteilstiickes als Strecken1ast

Der Begriff Einzelkraft wird venvendet, wenn L B. eine KraftObertragoog zwischen zwei Korpem auf kleiner, nahem pooktf6rrniger Ben1hrungsflache erfolgt oder wenn Massenkrafte und Flachenlasten idealisiert als Einzelkrafte betrachtet werden, die im Schwerpunkt der Massen oder der Flachen angreifen. Die Einheit der Einzelkraft Fist z. B. N oder kN. Diese Ideali-

8

2 Krafte und ihre Wirkoogen

sienmg errnoglicht den leichten Zugang mr Technischen Mechanik, insbesondere mr Statik, und erlaubt z. B. die L6soog aller Fragestellungen in Kapitel 1.

Die Einzelkraft stellt einen Vektor dar. Zur L6soog cler Fragestellungen cler Statik k6nnen somit die GesetzrnaJ3igkeiten cler Vektorrechnung herangezogen werden, siehe Anhang A2. Die Einzelkraft ist im Allgemeinen gekermzeichnet durch GroBe, Richhmg ood Angriffspookt.

AngrifTspunkt

~

~\\V. k ,..

~ Kriiftcm(l13stab

lr ungs lmc

BUd 2-5 Zeiclmerische Darstellung einer Einzelkraft

Zeiclmerisch wird die Einzelkraft als Pfeil (gerichtete Strecke, Vektor) dargestellt, Bild 2-5.

Der Vektorcharakter wird durch den Pfeil aber clem Buchstaben der physikalischen GroBe deutlich: F F =

IFI

kermzeichnet Gr6l3e und Richtung cler Einzelkraft, kermzeichnet den Betrag, das heiBt die GroBe der Einzelkraft.

FOr die zeiehnerisehe Darstellung ist die Einflihnmg eines Krillemal3stabs wiehtig. Das heillt, die dargestellte Lange der Kraft entsprieht einer bestimmten Gr6l3e der Kraft. Zum Beispiel kann der Lange von 1 em eine Kraft von ION entspreehen. In anderen Fallen karm der Kraftemal3stab 1 em ~ 100 kN sirmvoll sein. Bei der Losoog teelmiseher Fragestelloogen (siehe aueh Kapitel 1) wird haufig auf den Vektorpfeil ober dem Fonnelzeiehen verziehtet. Dies gesehieht in der Regel darm, werm die Kraftriehtoog eindeutig bekarmt ist (siehe aueh Bild 2-1 und Bild 2-2). Der Kraftpfeil gibt in diesem Fall die Riehhmg der Kraft an, die GroBe wird dureh den Betrag bestimmt. Aile in diesem Abselmitt besehriebenen Krille kormen als aul3ere Krille oder wirkende Lasten bezeielmet werden. Sie mfen im Allgemeinen Reaktionskrille an Aufstandsflaehen oder Auflagem hervor und haben irmere Krille in Tragstrukturen und Masehinen mr Folge.

2.2

Reaktionskrafte ond innere Krafte

Reaktionskrille sind z. B. die dureh auBere Krille oder wirkende Lasten hervorgerufenen StOtzkrille oder Lagerreaktionen. Irmere Krafte werden ebenfalls dureh die aul3eren Krafte verursaeht. Die Zusammenhange zwischen aul3eren Kraften, Reaktionskrillen ood irmeren Kraften sollen am Beispiel einer Lampe, die an einer Deeke aufgehangt ist, verdeutlieht werden.

2.2 Reaktionskrafte ood irmere Krafte

a)

9

0)

b)

d)

Schnur

s Lampcn-

korpcr, M(lsscm

G=m·g

G

BUd 2-6 Verdeutliehllllg voo auBerer Kraft, Reaktionskraft und innerer Kraft bei einer Lampe

a) b) e) d)

Darstellllllg als Gesamtsystem = mg als auBere Kraft Dureh gedankliehes Ulsen des Seils vam Haken wird die Reaktiooskraft R siehtbar Dureh gedankliehes Aufselmeiden des Seils wird die Seilkraft S als innere Kraft eIfahrbar

1m SehwerptUlkt der Lampe wirlct die Gewiehtskraft G

In Bild 2-6a wird als Gesamtsystem ein Lampenkorper, der Ober eine Schnur mit einem Haken an der Decke befestigt ist, betrachtet. Die Masse des Lampenkorpers ist m, die Schnurrnasse ist im Vergleich mr Masse des Lampenkorpers vemachlassigbar. 1m Schwerpookt des Lampenk6rpers wirkt die Gewichtskraft G = m·g als auI3ere Kraft, Bild 2-6b. Die Hakenkraft R, Bild 2-6c, stellt die Reaktionskraft dar. Sie wird erst sichtbar durch das gedankliche Losen des Seils vom Befestigungshaken. Dieses Vorgehen nermt man in der Mechanik. "Freisclmeiden". Dies bedeutet, das Teilsystem "Lampenkorper mit Sclmur" wird gedanklich vom Teilsystem "Haken und Decke" gelost. Die von dem Haken auf das Seil wirkende Kraft wird als Reaktionskraft R eingezeichnet Mit den Methoden der Statik karm darm die Reaktionskraft errnittelt werden. Sie wirkt der Gewichtskraft entgegen, ist in diesem Fall aber betragsmiil3ig genauso grol3 wie die Gewichtskraft, also R = G. Natorlich muss auch die Schnur eine Kraft Obertragen. Auch diese ist mnachst nicht zu erkennen. Sie wird erst durch das gedankliche Aufschneiden der Schnur als irmere Kraft oder Sclmur- bzw. Seilkraft S erfahrbar, Bild 2-6d. Urn die Sclmur auch nach dem Aufschneiden straff zu halten, muss jeweils am oberen ood am unteren Sclmurende eine betragsmaBig gleich grol3e Sclmurkraft S wirken. Diese irmere Kraft S ist in dem betrachteten Fall betragsmaBig ebenso groB wie die Gewichtskraft, d. h. S = G. Dies wird durch Betrachtung des ooteren Teilsystems in Bild 2-6d deutlich. Reaktionskrafte sind flir die Auslegoog von Lagerstellen wichtig. Die Kenntnis von irmeren Kraften ist von Bedeutoog fUr die Dimensionienmg von Bauteilen ood Strukturen. Daher zahlt die Fnnittloog von Reaktionskraften und irmeren Kriiften in Strukhiren und Bauteilen m den wichtigsten Aufgaben der Statik.

10

2 KraUe und ihre Wirkoogen

2.3

Krafte am starren Korper

Aile Karper in Natur ood Technik sind verfonnbar. Die Verfonnungen von technischen Strukturen, die durch die Einwirkoog von Krillen entstehen, sind im Allgemeinen jedoch klein gegenOber den Abmessoogen dieser Konstruktionen. Die Lasung von Fragestelloogen der Statik kann sehr vereinfacht werden, wenn man die Verfonnungen vemachlassigt, das heil3t die Strukruren als starr betrachtet. ,)

• • • G

A

Wirkungslinic dcr Autlagcrkraft bei Lager A

b)

i

/

Wirkungslinie der Gcwiclllskraft

Wirkungslinic dcr Auflagerkraft bci Lager B

!

1 I

FA

StaTTer Korpcr

als Modell dcr Briiekc

BUd 2-7 a) Reale Brtickenstmktur mit cler Gewichtskraft im Schwerpunkt der Brticke

b) Idealisienmg der Brticke als starrer Korper mit den wiIkenden Kraften und ilrren \Virlrungslinien

Bei einem starren Karper k6nnen die Krille beliebig auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Sie sind damit, anders als beim verfonnbaren Karper, nicht an ihren Angriffspunkt gebooden. Diese wichtige Idealisierung in der Statik ist somit eine wesentliche Hilfe bei der Lasoog auch komplizierter Fragestelloogen. Die Betrachrung der Kraftwirkungen am starren K6rper nennt man auch Theorie 1. Ordnung. Dies bedeutet, L B. fUr die Errnittloog der Auflagerreaktionen der EisenbahnbIiicke, Fragestellung 1-1, kann diese als stalTer K6rper betrachtet werden. Beim starren Karper komrnt es auch nicht auf die Fachwerkstruktur an. Lediglich die Krille und ihre Wirkungslinien sind fUr die Bestimrnung der Auflagerreaktionen von Bedeurung, Bild 2-7. Die Vemachlassigung der Verfonnungen ist irn Allgemeinen ohne Bedeutung.

2.3 Krille am starren Karper

11

Sie flihrt nur bei StIUkturen, die sich stark verfonnen, wie z. B. Bauteilen aus weichem GlUllmi, zu Fehlem. Die Idealisienmg realer Strukhiren als starre K6rper erlaubt die Anwendoog der nachfolgenden Axiome der Statik. Axiome sind Gnmdtatsachen, die durch die Etfahnmg besUitigt werden.

2.3.1 LinienDiichtigkeitsaxiom Das Linienf10chtigkeitsaxiom lautet: "Der AngrifftpWlkt einer Kraji kmm aujder KrqftwirkWlgslinie beliebig verschoben werden, ofme doss sil:h an der Wirkung aujden starren Korper etwas tindert " Das Axiom wird durch Bild 2-8 verdeutlicht. Die Kraft karm im Punkt A, im Pookt B oder an einem anderen Pookt der Wirkoogslinie angreifen, die Wirkoog auf den starren K6rper ist stets dieselbe. bcliebigcr, _ starrer Korper

/(

.1 Wlrkungs-

.

B /

A

Wirkungslinie

lillie

BUd 2-8 Axiom von cler Unienfliichtigkeit cler Kraftvektoren

1m Gegensatz ZlUll starren Karper ist beim verforrrilaren K6rper die Lage des Kraftangriffspunkts wesentlich, da die Verfonnoogen des K6rpers ooter anderem vom Kraftangriffspunkt abhangen. Die Tatsache, dass man beim starren Karper die Kraft auf ihrer Wirkoogslinie beliebig verschieben darf, bedeutet aber nicht, dass man die Kraft beliebig in der Ebene verschieben karm. Eine Parallelverschiebung mm Beispiel, andert die Wirkoog auf den Karper wesentlich.

2.3.2 Gieichgewichtsaxiom Dieses Axiom lautet: "Zwei Kr4fte sind im Gleichge»icht, wenn sie • aujderselben Wirkungslinie liegen, • entgegengesetzt geril:htet und • gleil:hgrojJsind" Dies wird in Bild 2-9 verdeutlicht.

_

BUd 2-9 Zwei Kriifte im Gleichgewicht

j';-", ~ W;rkungslin;c

12

2 Krfifte und ihre Wirkoogen

Die Krafteaddition ergibt (siehe auch A2): (2.7). Gleichgewicht bedeutet somit, class keine resultierende Kraft wirkt Die VektorslUllme ergibt einen Nullvektor. Zwei Krille, die sich im Gleichgewicht befmden, bilden eine Gleichgewichtsgruppe. Ein ruhender Karper bleibt auch bei Einwirkung einer Gleichgewichtsgruppe in Ruhe.

2.3.3 Wechselwirkungsgesetz Dieses Axiom Hisst sich wie folgt forrnulieren:

"Die Kr4fte, die zwei Korper mWinander ausilben, sind gleich grojJ, entgegengesetzt gerichtet und liegen aujderselben Wirktmgslinie. " Dies bedeutet auch: "Die Wirkung ist stets der Gegenwirlamg gleich" oder

,,(Xtio = re(Xtio".

Da dieses Gesetz fUr das VersUindnis cler Technischen Mechanik insgesamt, aber auch der Statik von besonderer Wichtigkeit ist, soli es anhand von Beispielen noch weiter erlautert werden. Ein Stein, der mr Erde fallt, wird von der Erde angezogen. Auf den Stein wirkt die Gewichtskraft Os. Der Stein zieht aber in gleicher Weise auch die Erde an, Bild 2-10. Die Kraft P s wirkt auf derselben Wirkoogslinie, ist gleich grol3 wie Os, aber entgegengesetzt gerichtet

Erdc

BUd 2-10 Fallender Stein als Beispiel ffir das Wechselwirlnmgsgesetz

Die Hand, die gegen eine Wand druckt, etfalut von der Wand eine gleich grolle Gegenkraft, Bild 2-11. Die Kraftwirkungen werden erst deutlich, werm man die beiden K6rper gedanklich trermt Das heillt, die K6rper mOssen gedanklich "freigeschnitten" werden. Darm sind die Kraftwirkoogen auf jeden Karper zu betrachten: die Kraft, welche die Hand auf die Mauer ausObt und ebenso die Reaktionskraft, die von der Mauer auf die Hand wirkt. Die Gegenkraft Pw liegt auf derselben Wirkoogslinie wie t!.ie Hant!.kraft PH, ist betragsmal3ig ebenso grol3: Pw = PH, aber entgegengesetzt gerichtet: Pw = -PH.

2.3 Krille am starren Karper

13

Damit sind beide Krille auch im Gleichgewicht (siehe Gleichgewichtsaxiom). WirkungsIinie

Wand

/

b) .,Freischnitt"

/

BUd 2-11 a) Hand drilckt gegen eine Wand

b) "Freisclmitt" macht die wiIkenden Kriifte sichtbar.

Actio = Reactio wird auch bei der Lagenmg der EisenbahnbIiicke in Bild 1-1 und in Bild 2-7 deutlich. Betrachtet man einmal das Auflager B im Freischnitt, so erkermt man, dass das Lager der BIiicke eine Kraft F B auf das Betonteil ausObt, lUllgekehrt wirkt die Kraft F B aber auch als Lagerreaktionskraft F B auf die BIiicke, Bild 2-12. Aktions- ood Reaktionskraft liegen auf derselben Wirkoogslinie, sind aber entgegengesetzt gerichtet.

V o

Wirkwngslinic von Aklionswnd Rcaktionskrafi

0

BUd 2-12

Aktioos- und Reaktiooskraft im Lager B der Eisenbalmbrucke

2.3.4 Axiom vom Krafteparallelogramm Dieses Axiom Hisst sich wie folgt forrnulieren:

"Zwei Krtifle, die am selhen AngrijftpWlkt angreifen, setzen sil:h zu einer Krqft zusammen, deren GrojJe und Richtung sich als Diagonale des von heiden Krtiflen aujgespannten Parallelogramms ergibt. " Dieses Axiom beschreibt.das Superpositionspr~nzip der_Kraftwirkungen, Bild 2-13. Das heil3t, die re-3iultierC1!.de Kraft R ersetzt die Krille F j OOd]12. Ebenso werden die Teilwirkungen von F j und F2 durch die resultierende Wirkoog von R ersetzt

14

2 Krafte und ihre Wirkoogen Wirkungslinic der Kraft

r.r '),.." Wirkungslinic deT Rcsuhicrcnden

~F~~:J.R:"'__~//~/"

~:'~

-/'''' ./

/

/

/

/

/

/

/

/

J

//

Wirkungslinic

"" / ' deT Kraft ;;; BUd 2-13 Ennittlung der Rcsultierenden zweier Kriifte mit clem Kriifteparallelogramm

FOr die Zusammensetzoog zweier Krille m einer Resultierenden k6nnen auch die Gesetzmal3igkeiten cler Vektoraddition herangezogen werden (siehe Anhang A2). Rechnerisch ergibt sich samit:

- -

-

F j +Fz =R

(2.8).

Bild 2-14 zeigt die zeiclmerische Darstellung cler Addition der Kriifte

F1 und Fz .

R BUd 2-14 Grafische Darstelltmg der Vektoraddition: Aus stimmt.

Pi

lllld F2 wird die Rcsultierende R be-

Die Anwendung des Axioms vom Krafteparallelogramm soli an einem einfachen Beispiel verdeutlicht werden, bei clem zwei Kriifte an einem starren Karper angreifen. Durch die Richtoogen der Krille sind die jeweiligen Wirkoogslinien ood der Sclmittpunkt A vorgegeben, Bild 2-15a. Zur Errnittlung der Resultierenden R verschiebt man die Krille F1 und F2 auf ihren Wirlamgslinien, so dass die Krille im Sclmittpunkt A der Wirkoogslinien angreifen (Linienflochtigkeitsaxiom), Bild 2-15b. Die Resultierende ood ihre Wirkungslinie ergibt sich dann aus dem Krilleparallelogramm (Axiom vom Krafteparallelogramm).

2.4 Zentrale ebene Krillegruppe

15 Wirkungslinic

von~~

b)

':

Wirkungslinie von

I

F; '>._.

.-

I

- "--

Wirkungslinic von

F;

''-/---'lr-o.---'

..~Wirkungslinic vonF]

-: R

~

I

Ff

'''-Wirkungslinic dcr Rcsulticrcndcn

BUd 2-15 Zwci Krafte, die an cinem starren Korper angreifen, kOIlllen m ciner Resultierenden msam-

mengefasst werden. a) Krafte Illld F2 mit dem SChnittpIlllkt A ihrer \Virlrungslinien b) EnnittlIlllg der Resultierenden R mit dem Kriifteparallelogramm

i;

2.4

Zentrale ehene Kraftegruppe

Ztun leichteren VersUindnis wird mnachst die ebene Statik betrachtet ood dementsprechend die Wirkung von ebenen Kraftesystemen auf starre K6rper sowie auf Bauteile und Strukturen untersucht. Von einer zentralen ebenen Krillegruppe spricht man, werm die Krille in einer Ebene liegen und sich aile Kraftwirkungslinien in einem Pookt schneiden. Wichtige Aufgaben der Statik sind dann die Errnittloog der Resultierenden einer Krillegruppe, die Zerlegoog einer Kraft nach verschiedenen Richtungen und die Betrachtoog des Gleichgewichts dieser Krillegruppe.

2.4.1 Ermittlung der Resultierenden Zwei Krille mit gemeinsarnem Angriffspookt lassen sich mit dem Axiom vom Krafteparallelogramrn, siehe Kapitel 2.3.4, m einer Resultierenden msamrnenfassen. Raben mehrere Krafte - oder sogar beliebig viele Krille - einen gemeinsarnen Angriffspookt, das heil3t, die Wirkungslinien aller Krille schneiden sich in diesem Punkt, so lassen auch diese sich m einer Resultierenden msamrnenfassen. Dam bestehen mehrere Moglichkeiten: •

Zeichnerische Fnnittloog der Resultierenden mit dem Krafteparallelogramrn,

•

Zeichnerische Fnnittloog der Resultierenden im Krilleplan und

•

Reclmerische Errnittloog der Resultierenden.

Auch wenn mehrere Krille wirken, karm das Axiom vom Krilleparallelogramrn mr Anwendoog komrnen. In diesem Fall werden schrittweise Teilresultierende errnittelt, so lange bis ~ie Gesarntresultierende feststeht. Bild 2-16a zeigt eine zentrale Krillegruppe mit den Krillen F j , F2 und F3 , die an einer Konstruktion, hier idealisiert als starrer K6rper dargestellt, angreifen.

16

2 Krafte und ihre Wirkoogen Wirkungslinic

ryan

Ft

-, /

0)

Wirkungslinic

von';;;:

slarrcr/''>'-/---><'

Wirkungslinic

,,/von ~

Korpcr

"

b)

,,

/

, ,,

,,

, ,,

,,

, ,,

,,

Wirkungslinic dcr Rcsulticrclldcn

\-

0)

SlarrCT

Karper

BUd 2-16 Zeiclmerische Ermitthmg der Resultierenden ciner zentralen ebenen Kraftgmppe mittels

Kriifteparallelogramm

_ _ _ a) Zentrale Kriiftegmppe mit den Kriiften Pi, F2 und F3 b) Schrittweises ~sammensetzen nach clem Kriifteparallel:>gra:nm _ c) Resultierende R ersetzt die Wirlnmg cler Einzelkrafte Pi., F2 und F3

..

..

Zunachst wird_mit den Kraften F j und F z ein Krafteparallelogramm geb!.-ldet ood so die Teilresultierende R 1,2 errnittelt. Diese Teilresultierende ergibt mit der Kraft F 3 ein weiteres Krafteparallelogramm mit clem die q-esamtresuitierende R bestimmt werden karm, Bild 2-16£. Von cler Gesamtresultierenden R ist clarm Gr613e, Richhmg ood Wirkoogslinie bekarmt. R

2.4 Zentrale ebene Kraftegruppe

17

ersetzt somit die Kraftwirktmgen von F1 , F2 und aueh bei mehr als 3 Kraften angewendet werden. Lagcplan:

F3 ,

Bild 2-16e. Dieses Verfahren kann

Kraftcplan:

,)

b)

BUd 2-17 Zeiehnerisehe Ermittlung der Resultierenden ciner zentralen ebenen Kriiftegruppe im Kriifte-

r"" a) Zentrale Kriiftegruppe im Lageplan

_ b) Aneinanderreihung der Kriifte im Krafteplan ergibt die Resultierende R

Die Resultierende einer zentralen Kraftegruppe karm zeielmeriseh aueh in einem so genarmten Krafteplan errnittelt werden. Die zentrale Kraftegruppe mit ihren Wirkungslinien wird mnaehst in einem Lageplan dargestellt, Bild 2-17a. Der Lageplan gibt die geometrisehen Zusammenhange ood die Lage der Krafte zueinander maBstablieh wieder. Als Langenmal3stab (LM) kann z. B. 1 em ~ 1 m venvendet werden. Dies bedeutet, 1 em in der Zeielmoog entsprieht 1 m in der Realitat. Dbertragt man nun die Krafte F1 , F2 und F3 in einen Krafteplan, fUr den vorher ein bestimmter Kraftemal3stab (KM) festgelegt wurde, so lasst sieh lUlIllittelbar die Resultierende R errnitteln, Bild 2-17b. Detailliert ergibt sieh folgendes Verfahren: Zooaehst Obertragt 1T!.an F1 naeh ~613e und Riehtung aus dem Lageplan in den K!:.afteplan. An die Pfeilspitze von F1 tragt man F2 naeh Gr6l3e und Riehtung an, dann folgen F3 ood eventuell noch weitere Krafte. Die Verbindungslinie vorn Apfangspookt von F1 mr Pfeilspitze, der mletzt eingetragenen Kraft, ergibt die Resultierende R naeh GroBe und Riehtoog. Die Riehtoog von _R karm nun in den Lageplan zUIiiek Obertragen werden, so ist aueh die Wirkungslinie von R bekannt. Zeiehneriseh, aber aueh reehneriseh bedeutet dies, die Vektorsumme einer ebenen Kraftegruppe ergibt die resultierende Kraft R, Bild 2-1 7b: ___

_

F1 +F2 +F3 + .. +Fn

n __

=

L..:.F; =R

(2.9).

i=1

Die analytisehe Errnittlung der Resultierenden lasst sieh anhand von Bild 2-18 veransehaulichen. Dam werden ooter VeIWendoog eines x-y-Koordinatensystems aile Krafte in Kompoood wie folgt darstelnenten zerlegt. Jede Kraft lasst sieh dann mit den Basisvektoren len (siehe aueh: Gnmdlagen der Vektorreelmoog im Anhang A2):

ex

ey

(2.10).

18

2 Krafte und ihre Wirkoogen )'

I I

lI

~_~

I

Ry

,)

b)

~

I

fi y

F3

G

_ __

I

"

Fix

x F 2x

F"

R, BUd 2-18 Rechnerische Ennittlung der Resultierenden

a) Zentrale Kriiftegmppe im Lageplan b) Zerlegung cler Kriifte in Komponenten im Krafteplan

FOr die Kraftkomponenten gilt mit clem Winkel ai gegen die positive x-Achse: Fix =

Pi· cosai

(2.11), (2.12).

Die KompOl1etlten cler Resultierenden ergeben sich clarm aus cler jeweiligen Summe cler Kraftkomponenten in x- undy-Richtoog:

"

R x = LFix =

" cosai LFi·

i=l

i=l

"

" .sinai L..:.Fi

R y = LFiy = i=l

(2.13),

(2.14).

i=l

FOr das in Bild 2-18 dargestellte Beispiel bedeutet dies: R x = F 1x +F2:i; +F3x

(2.13),

Ry

(2.14).

= Fly

+Fzy +(-F3y )

Der Betrag der Resultierenden karm nun aus den Komponenten Rx ood Ry errnittelt werden: (2.15), die Richtoog cler Resultierenden ergibt sich mit aR = arctan (

~: J

(2.16).

2.4 Zentrale ebene Kraftegruppe Mit den Basisvektoren

ex

und

19

ey ergibt sieh die Resultierende wie falgt: (2.17).

Beispiel 2-1 Das in Bild 2-1 dargestellte Auto besitzt eine Masse m ~ 1000 kg, die Sehwerebesehleunigung betragt g ~ 9,81 mis' und die Fahrbesehleunigung a ~ 2,5 m/s'. Gesueht ist die resultierende Kraft R naeh GroJJe und Riehtung, die bei besehleunigter Bewegung auf das Fahrzeug einwirkt. Lasung:

a) Ermittlung der wirkenden Krafte m G = m· g = 1000kg9,81~ = 9810N

FB = m· a = 1000 kg . 2,5

m

2s = 2500N

b) Zeiehnerisehe Bestimmung der Resultierenden naeh dem Krafteparallelagramm 2000 N 1----1

Als KraftemaJJstab (KM) wird 1 em '" 2000 N gewahlt:

R und a konnen im Krafteparallelagramm abgelesen werden. 1m Rahmen der Zeiehengenauigkeit ergibt sieh:

R = IOI00N j3 = 76° G

e) Bereehnung der Resultierenden R

=~FB2

+G 2

=~(98IONj2 + (25OONj2

G

9810N

FB

2500N

j3 = aretan- = aretan--- = 75,7°

=10123N

20

2 Krafte und ihre Wirkungen

Beispiel 2-2 Ein Funkmast wird durch mehrere Drahtseile gehalten. Je vier dieser Drahtseile sind mittels einer Halterung im Boden verankert Wie graJJ ist die resultierende Kraft der Seile 1 bis 4 und in welche Richtung zeigt sie?

geg.: S,

~

S4

~

a~

10 kN, S2 ~ 15 kN, S3 ~ 20 kN, 25 kN 30°, j3 ~ 20°, Y ~ 15°, 5 ~ 10°

Lasung:

a) Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden mittels Krafteparallelogramm DUTch schrittweises Zusarnrnensetzen cler Krafte nach dem Krafteparallelogramm erhalt man:

R

= 67,5kN

F 82

81

~ ~1,2

//

{

I lOkN I

2.4 Zenlrale ebene Kraftegruppe

21

b) Zeichnerische Lasung mittels Krafteplan Lageplan:

Krafteplan: Wirktmgslinien clef Kriifte

10 kN

x

/ ' ",;~

/ "

/1

y

R = 67,5kN e=60°

x

c) Rechnerische Lasung

-

-

-

-

-

=Slx

·ex

+Sly

·ey

R=Sj +S2 +S3 +S4 = (SjX + S2x +S3x

·ex +S2y ·ey +S3x ·ex +S3y ·ey +S4x ·ex +S4y ·ey + S4x ). ex + (Sjy +S2y + S3y + S4y J.ey = R x .ex + R y .ey +S2x

Rx

Ry

R x =Sj ·cosa+S2 .cos(a+ fJ)+S3 .cos(a+ fJ+r)+S4 .cos(a+ fJ+r+S) = IOkN· cos30° + 15kN· cos 50° + 20kN· cos 65° + 25kN· cos 75° = 33,22kN R y = Sj ·sina +S2 . sin(a + fJ)+S3 .sin(a + fJ + r)+ S4 .sin(a + fJ + r + S) = IOkN· sin 30° + 15kN· sin 50° + 20kN· sin 65° + 25kN· sin 75° = 58,46kN

R = 33,22kN· ex R = IRI =

+ 58,76kN· ey

~(33,22kNj2

R y 58,76kN lane = - = R x 33,22kN

+ (58,76kNj2 = 67,51kN 1,77 => e = 60,52°

22

2 Krafte und ihre Wirkoogen

2.4.2 Zerlegung einer Kraft in verschiedene Richtungen Bei vieleo Aufgaben cler Statik ist es erforderlich, eine gegebene Kraft in statisch gleichwertige Krafte nach verschiedenen Richtoogen zu zerlegen. Bei einer zentralen Kraftegruppe ist eine Zerlegoog nach zwei Richtoogen eindeutig moglich, werm die Wirkungslinie cler Zll zerlegenden Kraft durch den Schnittpookt cler heiden gegebenen Wirkungslinien geht. a)

Lagcplan:

Kriificplan:

b)

KM

r------<

,

/

WLZ staTTer ;

/

WLI

-

,

Karper

F

0)

-

/

F2

-

WL 2

FI

..

/ fi - - -- - -,'- - -~--~-

WLZ

"

staTTer

K6rpcr

BUd 2-19 Zerlegung einer Kraft nach zwei nichtparallel~ Richttmgen a) Lageplan mit der m zerlegenden Kraft F lllld den heiden gegebenen \Virlrungslinien \VL j

und \VL:J

-

b) Zerlegung einer Kraft F im Krafteplan in die Kriifte

Pi.- lllld F-2 in die durch die Wir-

kungslinien ~1 un~ \VL.l vorgegebenen Richtungen c) Die Kr~e Pi lllld F2 iiben auf den starren Karper oder die lllltersuchte Struktur cine, der Kraft F gleichwertige WiIXllllg aus.

Die Zerlegoog der Kraft F nach zwei nichtparallelen Richtoogen ist in Bild 2-19 dargestellt. Die Zerlegoog erfolgt im Krafteplan in die Richhmgen der gegebenen Wirkungslinien WL j und_WL 2. E'!tsprechend dem gewahlten Kraftemal3stab (KM) lassen sich die Betrage der Krafte F j ood F z aus dem Krafteplan ablesen. Ebenso sind die Richhmgen der Krafte eindeutig bestimrnt. Eine Zerlegoog einer Kraft nach drei oder mehr Richtoogen einer zentralen Kraftegruppe ist mit den Methoden der Statik nicht eindeutig moglich. Sie erfordert weitere Uberlegungen und wird daher erst in einem anderen Teilgebiet der Mechanik, der Festigkeitslehre, betrachtet

2.4 Zentrale ebene Kraftegruppe

23

Beispiel 2-3 1m Bereich des Lagers B der Fachwerk-Eisenbalmbrucke (Bild 1-1 und Bild 2-12) ist die Lagerkraft FB auf die FachwerksUibe 10 und 11 m verteilen. Lasoog: Lageplan:

Krafteplan: \Virlnmgslinie ..( der Stabkraft 11

,

10

T-------

o

,

•

\Virlnmgslinie der Stabkraft 10

Da SUibe nur Krafte in Stabrichhmg Obertragen karmen, sind die Wirkoogslinien der Stabkrafte vorgegeben. Die Zerlegoog der Auflagerkraft F B in die Stabkrafte 8 10 ood 8 11 erfolgt darm im Krafteplan.

2.4.3 Gleichgewicht dreier Krafte

"Drei Krtijie einer zentralen Kr4ftegruppe sind im Gleichgewicht, wenn •

sie in einer Ebene liegen,

•

ihre Wirklmgslinien sich in einem Punkt schneiden und

•

das Krti.ftedreiecksirhschliej3t." Lngcplall:

Kriiftcplall:

starrer Korpcr

., b)

BUd 2-20 a) Lageplan mit den Kriiften Fj, F2 und schneiden b) GescWossenes Kriiftedreieck

F3,

deren \Virlrungslinien sich in einem Pookt

24

2 Krafte und ihre Wirkungen

Bei einem geschlossenen Kraftedreieck endet die Kraft

P3

am Anfang von

Pj , Bild 2-20. Das

heillt, es existiert keine Resultierende. Rechnerisch ergibt sich:

(2.18). Wenn die Resultierende aller Krafte, die auf einen Karper oder eine Struktur einwirken, null

ist, verbleibt ein ruhender Karper in Rube, das heiJJt im Gleichgewicht Dies ist eine wichtige Voraussetzung fUr alle nichtbewegten Tragstrukturen. Die Statik ist im wesentlichen die Leme vom Gleichgewicht

Beispiel 2-4 Der gezeichnete Trager, der_bei A auf einer Rolle und bei B auf dem Mauef\Verk aufgelagert ist, wird durch eine Kraft F belastet Das Tragergewicht kann gegenuber F vemachlassigt werden. Man bestirnrne die Auflagerreaktionen bei A und B.

A'-r.--------,I7777~B /

Lasung:

Lageplan:

Krafteplan: Sclmittpunkt aller

V

Wirktmgslinien

C .-

'\', '-

\

"

"

\

Wirkungslinie clef Auflagerkraft B

"-/

Riclitung der

Wirkungslinie

~

von Auflager A ~.

Riclitung der

A

Wirkungslinie von Auflager B

/

~ Wirkungslinie clef Auflagerkraft A

a) Ennittlung aller Wirkungslinien im Lageplan Die Wirkungslinie von Fist durch den Kraftvektor gegeben. Die Rolle bei A kann keine horizontalen Krafte ubertragen, somit verlauft die Wirkungslinie vertikal. Beide Wirkungslinien schneiden sich im Punkt C. Urn Gleichgewicht fUr den Trager zu sichem, muss die Wirkungslinie der Auflagerkraft bei B durch den Schnittpunkt C gehen (Gleichgewicht dreier Krafte).

25

2.4 Zentrale ebene Kraftegruppe b) Fnnittloog der Auflagerkrafte im Krafteplan

Zunachst zeichnet man die Kraft F in einem geeigneten Kraftemal3stab in den Krafteplan. Durch Ubemagung der Richtoogen der Wirkoogslinien der Auflagerkrafte in den Krafteplan erhalt man ein geschlossenes Kraftdreieck und somit die Krafte FA ood FB nach Gr6l3e und Richhmg. c) Freisclmitt des Tragers mit auI3erer Kraft ood Reaktionskraften Die Auflagerkrafte karm man darm wieder in den Lageplan Obemagen ood erhalt somit den komplett freigeschnittenen Trager, der sich bei Einwirkung aller Krafte im Gleichgewicht befindet.

Auch bei der Lasung dieses Problems ist darauf zu achten, dass im Lageplan aile Langen entsprechend einem Uingenmal3stab (LM:) eingezeichnet werden ood im Krafteplan aile Krafte einem Kraftemal3stab (KM) unterliegen.

2.4.4 Gleichgewichtsbedingungen fiir zentrale Kraftegruppe Bei einer zentralen Kraftegruppe mit drei oder auch mit mehr Kraften liegt Gleichgewicht vor, wenn die Summe aller Krafte keine Resultierende ergibt, das heil3t gleich null ist. Zeiclmerisch liegt dann ein geschlossenes Krafteck vor, Bild 2-21. Lal;cplan:

BUd 2-21 Gleichgewicht fur zentrale Kriiftegmppe

Krtiftcplan:

26

2 Krafte und ihre Wirkungen

Rechnerisch bedeutet dies:

-

-

-

Fl +F2 +F3 + .. =0

(2.19)

oder allgemein (2.20). Summiert wird dabei liber alle n Krafte. Betrachtet man die Komponenten der Krafte, so gelten die Komponentengleichungen: FIx +F2x +F3x + .. =0

(2.21),

=0

(2.22),

Fly +F2y +F3y + ..

oder allgemein (2.23),

l'

(2.24).

Diese Formeln bezeichnet man als Gleichgewichtsbedingungen fUr eine zentrale ebene Kraftegruppe. Gleichgewicht hegt somit vor, werm die Summe aller Krafte in x-Richtung und die Summe aller Krafte in y-Richtung jeweils null ist Als AbkUrzung fUr 'iF" ~ 0 wird haufig ein horizontaler Pfeil ---7 und fUr 'iF,y ~ 0 ein vertikaler Pfeil l' verwendet Dies ist deshalb sirmvall, weil bei der Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen die Richtung der Krafte zu beachten ist Die Pfeilrichtung karm darm als positive Richtung angesehen werden. FUr Bild 2-21 gilt 4

L:Fix i=l

=0

4

und L:Fiy

=0

oder

i=l

(2.25),

l'

(2.26).

FUr den Fall, dass an dem Ring in Bild 2-21 mit den Kraften Fl , F2 , F3 und F4 gezogen wird, hegt darm Gleichgewicht vor, werm die Gleichungen 2.25 und 2.26 erfUllt sind.

2.4 Zentrale ebene Kraftegruppe

27

Beispiel 2-5 F

An einern Kranhaken wird eine Last F = G uber 2 Seile angehaben. Wie graJJ mussen die Seilkrafte Sj und S2 sein, dam it Gleichgewicht herrscht?

geg. F

~

G

~

2500 N, a

~

30°, {3 ~ 40°

Lasung:

a) Zeichnerisch mit Lage- und Krafteplan Lageplan:

Krafteplan:

"

,I

'J: "I"

,

500 N f-----1

;' ! "

I~'" , , WLs :

I

II

I ,

I '

Durch Ausmessen falgt:

S, S2

~ ~

1750 N, 1312,5 N

II

b) Rechnerisch mit Gleichgewichtsbedingungen

(I)

l'

F-S1·casa-S2 ·cas{3=O

(2)

aus (I) und (2) falgt:

F -S2· smjJ. casa-S2 ·casjJ = 0 sma S2 =F·

sin jJ cos a sma

-~--+cos

jJ

=>

=2500N·~~c----c=---

S = 1330 2N· sin 40° = 1710 IN 1 , . 300 ' sm

sin 40° . cos 30° 400 +cos sin 30°

1330,2N

28

2.5

2 Krafte und ihre Wirkoogen

Beliehige ehene Kraftegruppe

Bei einer beliebigen Kraftegruppe greifen die Krafte verteilt an, d. h. nicht aile Wirkoogslinien der Krafte sclmeiden sich in einem Punkt Von einer ebenen Kraftegruppe spricht man, werm aile Krafte, die auf einen K6rper oder eine Struktur einwirken, sich in einer Ebene befinden. Bei den in Kapitel 1 fonnulierten Fragestellungen liegen jeweils beliebige ebene Kraftegruppen vor. Dies wird besonders deutlich bei Bild 1-2 bis Bild 1-5 sow~ bei Bild 2-7, wo die Kraftwirkoogslinien parallelliegen. Neben einer resultierenden Kraft R karm bei einer beliebigen Kraftegruppe auch ein resultierendes Moment M R (siehe Kapitel 3.2) aufueten.

2.5.1 Ermittlung der resultierenden Kraft einer ebenen Kraftegruppe FOr die Fnnittloog der resultierenden Kraft existieren verschiedene zeichnerische Methoden. Die Methode des schrittweisen Zusammensetzens nach dem Krafteparallelogramm karm auch hier Anwendoogen finden, werm nicht aile Krafte parallel sind ood die Wirkungslinien mm Schnitt gebracht werden kormen. Dieses Vorgehen ist in Bild 2-22 gezeigt. Durch AnwenduI!S des LinienflOchtigkeitsaxioms sowie des ~xioms vom Krafteparallelogramm fUr die Krafte F j und Fz erhalt man die Teilresultierende R j z. Wahlt man nun die gleiche Vorgehensweise fUr Rj z ood F3 , so erhalt man die Gesamtres~ltierende R nach Grol3e, Richtoog und Lage. Die Lage wird dabei durch die Wirkungslinie definiert.

1,1

--tI------~-F; ,,

,,

,

Wirk.,!ingslinic von R

R bclicbigcr starrcr Korpcr BUd

~.z

2-22 Ennittlung der Resultierenden einer ebenen Kriiftegmppe durch scluittweises Zusanunensetzen nach dem Krafteparallelogramm

Die Gesamtresultierende R kann auch durch Krafteaddition im Kriifteplan errnittelt werden. Dam zeiclmet man aile wJrkenden Krafte in den Krafteplan. Die Verbindungsstrecke zwischen dem Anfangspunkt von F j und der mletzt eingezeiclmeten Kraft ergibt die Resultierende nach Gr6l3e ood Richtung, Bild 2-23. Die Lage der Resultierenden ergibt sich bei diesem Verfahren aber nichl.

29

2.5 Beliebige ebene Kraftegruppe Kriificplan:

Lagcplan:

R

F, --'--.1._ .. L

I

.. _ .. _ .. ':' . I

BUd 2-23 Ermitthmg cler Resultierenden durch Kriifteadditioo im Kriifteplan

Ein sehr allgemeingOltiges grafisches Verfahren - das Seileckverfahren - erlaubt dagegen die Bestimmung von Gr6l3e, RiChtllllg lllld Wirkungslinie der Resultierenden einer beliebigen Kraftegruppe. Lagcp[:IO:

Kriificp[an: Wirkungslinic \..--dcr Rcsulticrcndcn

IV,

0

3

,

III

\

I 2 II

BUd 2-24 Ermitthmg der Resultierenden einer beliebigen ebenen Kriiftegruppe mit dem Seileck-

veIfahren

Dabei ergibt sich folgendes Vorgehen: Zllllachst zeiclmet man die Krafte mit ihren Wirkungslinien in den Lageplan. Darm Obertragt l1!an die Krafte in den Krafteplan lllld errnittelt die Gr6l3e lllld die Richtllllg der Resultierenden R. Urn die Lage der Resultierenden im Lageplan m erhalten, ist nllll das Seileckverfahren erforderlich. Dazu bestimmt man im Krafteplan einen Pol P, dessen Lage beliebig ist, lllld verbindet Anfangs- lllld Endpllllkte der Krafte mit dem Pol durch so genannte Polstrahlen. Die Richhmgen der Polstrahlen ObeItragt man darm in den Lageplan und zwar so, dass Seilstrahl 0 und Seilstrahl 1 sich auf der Wirkungslinie der Kraft .F1 schneiden (pllllkt I). Diese Zuordnung im Lageplan entspricht der Zuordnllllg im Krafteplan, wo die Kraft .Pi und die Polstrahlen 0 lllld 1 ein geschlossenes Kraftedreieck bilden. Der Seilstrahl 1 sclmeidet darm die WiIkllllgslinie

30

2 Krafte und ihre Wirkungen

von F2 . Durch den Schnittpunkt II muss dann auch der Seilstrahl 2 verlaufen, usw. Zuletzt erhalt man einen Schnittpunkt der Seilstrahlen 0 und 3, der in Bild 2-24 mit rv bezeichnet ist Dieser Schnittpunkt stellt einen Punkt der Wirkungslinie der Resultierenden R dar Die Richtung der Resultierenden ist durch R selbst (siehe Krafteplan) bestimmt Das Verfahr~n h~iJJt Seile~k, weil sich ein zunachst lose hangendes Seil bei Belastung durch die Krafte Fj, F2 und F3 in Fonn der Seilstrahlen (siehe Lageplan) spannen wUrde. Das Seileckverfahren funktioniert in gleicher Weise auch fUr parallele Krafte. In diesem Fall wUrde allerdings der Pol P auJJerhalb des Kraftecks liegen (siehe Beispiel 2-6). Die rechnerische Ennittlung der GroJJe und der Richtung der Resultierenden erfolgt wie in 2.4.1 beschrieben. Die Lage der Resultierenden kann rechnerisch aber erst nach der EinfUhrung des Momentenbegriffs (siehe Kapitel3) ennittelt werden.

Beispiel 2-6 Ein Balken ist durch vier vertikal wirkende Krafte, F j ~ 1,5 kN, F 2 ~ 2,5 kN, F 3 ~ 2 kN und ~ 1,5 kN, belastet Man bestimme die GroJJe und die Wirkungslinie der Resultierenden R

F4

Lasung:

Lageplan:

Krafteplan:

0

1,5 m

F2

R

2

P

3

F3

3 4

4

F4

R x

Mittels des Seileckverfahrens lasst sich die GroJJe und die Lage der Resultierenden ermitteln:

R

= 7,5kN und

x

= 4,2m

Amnerkung: Da alle Krafte vertikal wirken, kann auf den Vektorpfeil tiber F verzichtet werden.

2.5 Beliebige ebene Kraftegruppe

31

2.5.2 Zerlegung einer Kraft nach mehreren Richtungen Die Zerlegung einer Kraft naeh zwei niehtparallelen Riehtungen ist nur moglieh, werm die m zerlegende Kraft dureh den Sdlllittpookt der beiden gegebenen Wirkoogslinien geht (siehe 2.4.2, zentrale Kraftegruppe). Die Zerlegung einer Kraft naeh zwei parallelen Riehtoogen kann naeh dem Seileekverfahren vorgenommen werden. Lageplan:

Kriifkplan:

Wirkungslinie dcr

Kruf\ I

Wirkungs........... Iinic dcr

~r:---+-----i'

Kruf\ 2 1',

F

o F

,

--

p

1',

I

.1!'---

--

III

111, 0

'I BUd 2-25 Zerlegung einer Kraft naeh zwei parallel en Riehttmgen mit clem Seileekverfahren

Zooaehst wird das Seileekverfahren in der bekannten Weise (Absehnitt 2.5.1) angewandt. Man sueht einen Pol im Krafteplan ood Obertragt die Polstrahlen 0 und 1 in den Lageplan, so dass sieh die Seilstrahlen 0 ood 1 auf der Wirkoogslinie der m zerlegenden Kraft F sehneiden. Verbindet man noo die Sehnittpunkte der Seilstrahlen mit den gegebenen Wirkoogslinien, hier gekennzeiehnet mit II ood III, dann erhalt man im Lageplan eine so genannte Sehlusslinie s. Ubertragt man die Riehhmg von s in den Krafteplan, erhalt man die gesuehten Krafte F j ood F,. Die Zerlegung einer Kraft in drei niehtparallele Teilkrafte ist moglieh, wenn sieh die Wirkoogslinien nieht in einem Pookt sehneiden. Dann kann ein grafisehes Verfahren naeh CULMANN mr Anwendoog komnen. Dabei ergibt sieh folgendes Vorgehen (siehe Bild 2-26): Zooaehst wird die zu zerlegende Kraft F mit einer der drei vorgegebenen Wirkoogslinien mm Sehnitt gebraeht. Dann verbindet man diesen Sehnittpookt (z. B. Pookt I) mit dem Sehnittpunkt der beiden anderen Wirkoogslinien (z. B. Punkt II) mr CULMANNsehen Gerade C. 1m Krafteplan erfolgt die Kraftezerlegoog nun sehrittweise. Zooaehst wird die Kraft F in die Kraft F1 und die CULMANNsehe Kraft C aufgeteilt: Dies gesehieht entspre~.hend den Wirkoogslinien im Pookt I im Lageplan. Darm wird die CULMANNsehe Kraft C in die Krafte F2 und F3 aufgeteilt, deren Wirkoogslinien sieh im Lageplan im Pookt II sehneiden.

2 Krafte und ihre Wirkoogen

32 Lageplan:

Krafteplan:

WLI

~

- -I

-1-- ,

II

I

I

c

I II

--

/\

.... -

I~

~

__..!.F_-::::7'

/ /

/

WL} , BUd 2-26 Zerlegung einer Kraft nach drei nichtparallelen Richtungen mit clem CULMANN-Venahren

Eine Zerlegoog einer Kraft nach mehr als drei Richtoogen ist mit den Methoden cler Statik unmoglich.

•••

Beispiel 2-7

/ Ein Hinweisschild mit einem Gewicht Gist, wie nebenstehend gezeichnet, an einer Hausmauer befestigt. Bestimmen Sie zeidlllerisch die Krille in den SUiben 1, 2 und 3.

geg.:G=3kN,a G

Zeiclmerische LOsoog: Da die SUibe, mit denen das Schild an cler Mauer befestigt ist, our Zug- oder Druckkrfifte in Stabrichtung aufnehmen karmen, ist die Lage der Wirkoogslinien eindeutig definiert.

Lageplan:

Krafteplan:

"

-

~,~ __--,F3'-_-;1f'---

c

I

Durch Ausmessen falgt: F l = 2,3 kN, F 2 = 4,3 kN, F 3 = 5,25 kN

33

3 Momente und ihre Wirkungen Neben cler physikalischen Gr6l3e "Kraft" spielt die physikalische Grol3e "Moment" in cler Statik, aber auch in der gesamten Mechanik eine bedeutende Rolle. So kann fUr eine beliebige Kraftegruppe nicht nur eine resultierende Kraft, sondem auch ein resultierendes Moment ermittelt werden. Ein Karper ist our im Gleichgewicht, werm die resultierende Kraft ood das

resultierende Moment null ist. Gleichgewicht erfordert somit

R = 0 und MR = O.

FOr die

Lasung der in Kapitel 1 beschriebenen Fragestelloogen genOgt die alleinige Betrachtoog cler Krille nicht Es mOssen auch die auftretenden Momente ben1cksichtigt werden. Deshalb ist es wichtig, sich mit Momenten ood ihren Wirkoogen Zll beschaftigen. Momente k6nnen auftreten als

3.1

•

aul3ere Momente bzw. Lasteo,

•

Reaktioosmomente in Auflagem oder

•

irmere Momente,

L

B. in Balken und sonstigen Tragstrukhiren.

Moment einer Kraft

Betrachtet man einen beliebigen starren K6rper, auf den eine Kraft P einwirkt, so ruft die Kraft bemglich des Bemgs- oder Drehpunktes, der auI3erhalb der Wirkungslinie liegt, ein Moment

M=P·j

(3.1)

hervor. jist dabei der Hebelarrn, d. h. der senkrechte Abstand des Bezugs- oder Drehpunkts (L B. A) von der Wirkoogslinie der Kraft, Bild 3-1a. Das Moment oder DrehmomentM ersetzt somit die Drehwirkoog der Kraft bezuglich des gewahlten Bemgspunktes, siehe Bild 3-1b. bcliebiger starrer Korper

A, I

,j

" --~----~. F

bj

BUd 3-1 Moment einer Kraft

a) Die Kraft FwiIkt im Abstandl vom Drehpunkt A des starren KOCpers b) Das MomentM = Fl ersetzt die Drehwirktmg der Kraft Fbeziiglich des Drehpunktes A

Ein Moment Mwird in der ebenen Statik im Allgemeinen als gekn1mrnter Pfeil (Drehpfeil) dargestellt. & besitzt die Dimension Kraft mal Lange. Haufig wird die Einheit Nm veIWendet.

34

3 Momente und ihre Wirkoogen

3.1.1 Vektordarstellung des Momentes Das Moment einer Kraft stellt einen Vektor dar. Es errechnet sich aus dem Ortsvektor der wirkenden Kraft F mit dem Vektorprodukt

M=rxF

r und (3.2).

Der Momentenvektor M steht somit senk.recht auf der von r und F aufgesparmten Ellene und wird im Allgemeinen als Doppe!pfeil dargestellt Die Flache des Parallelogramms entspricht dem Betrag von M, Bild 3-2a. Der Betrag des Momentes (~ dem Betrag des Vektorproduktes, siehe auch A2.5) ergibt sich mit der Forme! (3.3). Aus der Draufsicht in Bild 3-2b erkermt man, dass der Ausdruck r· sin rp dem mvor definierten Hebe!arm l entspricht. D. h. die allgemein gebrauchliche Definition "A1Oment = Krqft mal Hebelarm"

gilt auch hier, siehe auch Gleichung (3.1).

X;

a)

o

b)

,, ,, ,. , i::L ____ 'I'__""'_.---~ VJ F

-

BUd

3-2 Definition des MOOlentenvektocs a) Riiumliche Darstelhmg: Der Momentenvektor M steht senkrecht auf der von r lllld F gebildeten Belastungsebene _ b) Ebene Darstellung (Draufsicht): Der Momentenvektor M wird als Drehpfeil dargestellt

-

-

Der 1:!0mentenvektor M, der stets senkrecht auf der Ebene_von r und F steht, bildet mit r und Fein Rechtssystem. D. h. bei Drehoog von nach F erhalt man einen positiven Mo-

r

3.1 Moment einer Kraft

35

mentenvektor. Eine Drehung von F naeh f hat einen negativen Momentenvektor zur Folge. Die Reihenfolge der Vektorrnultiplikation ist also nieht vertausehbar. Es gilt (3.4), siehe aueh A2.5.

3.1.2 Berechnung des Momentes mit den Kraftkomponenten Bei vielen Problemen der Statik wird das Moment einer Kraft mit den Kraftkomponenten ermittelt Dies soli mit Bild 3-3 verdeutlieht werden. x)

b)

F .---:;-

!'

Y

I I

/'

:y

F

a

,, ,, ,,

~

F,

",

0

Y

~/O-FY·X-FX.Y

,

0

x

/

./

..

:,,-

°0

J',~

""

beziiglieh des Koordinatenurspnmgs 0 a) Kraftkompooenten F x und Fy mit den Hebelarmeny lllldx b) Moment M o als Summe der Momente der Kraftkomponenten

BUd 3-3 Moment einer Kraft

Die Komponenten von

F, Bild 3-3a, erreelmen sieh mit den Gleiehoogen

Px=P·eosa

(3.5)

Py =P·sina

(3.6).

Der Hebelarrn der Kraft P bezuglieh des Koordinatenurspnmgs ergibt sieh aus geometrisehen Zusamrnenhangen: l=x·sina-y·eosa

(3.7).

Der Betrag des Momentenvektors von F bezOglieh 0 erreelmet sieh ooter Ben1eksiehtigung eines Linksdrehsinns (mathematiseh positiver Drehsinn) m

'0:

Mo=P.I=P.(x.sina-y.eosa)

(3.8).

Mit den Gleiehungen fUr die Kraftkomponenten P x und Py , Gleiehoogen (3.5) und (3.6), erhfilt man das Moment

36

3 Momente und ihre Wirkoogen (3.9),

Mo=Fy.x-Fx·Y

Bild 3-3b. Der Term F y . x stellt dabei das linksdrehende Moment der Kraftkomponente F y und cler Term -Fx .Y das rechtsdrehende Moment der Kraftkomponente F x bemglich des Koordinatenursprungs dar. Man erkennt, class cler Drehsinn cler Teilmomente stets beachtet werden muss. 1st M o in Gleichoog (3.9) negativ, so ist das Moment entgegengesetzt cler angenommenen Drehrichtoog gerichtet. Allgemein gilt:

"Dos Moment einer Krqft errechnet sil:h aus der Summe der Ahmente der KrqftkomJXmenten "

Kraftcbcnc (x-y-Ebcnc)

BUd 3-4 MOOlentenvektor zeigt bei einem ebenen Kriiftesystem s1:ets senkrecht zur Ebene, er hat in einem kartesischen Koordinatensystem (Kriifte in x-y-Richttmg) nur cine Komponente M,

rx

r

Da cler Momentenvektor M = F stets senkrecht auf der Ebene von ood F steht, besitzt bei einem ebenen Kraftesystem cler Momentenvektor our eine Komponente. Liegen die Krafte in der x-y-Ebene, so zeigt der Momentenvektor in die z-Richhmg, Bild 3-4. Der Momentenvektor besitzt daher nur die z-Komponente M = M z ood lasst sich mit dem Basisvektor z wie folgt schreiben:

e

(3.10). 1st der Betrag M z des Momentes negativ, so zeigt der Momentenvektor in negative zRichtoog, d. h. entgegengesetzt von z .

e

In der ebenen Statik wird im Allgemeinen auf den Vektorpfeil ood die Indizierung verzichtet und das Moment als Bogenpfeil (siehe Bild 3-3b) gezeichnet, da das Moment stets senkrecht zur Kraftebene gerichtet ist.

3.2

Moment einer ehenen Kraftegruppe

Die resultierende Wirkung einer allgemeinen ebenen Kraftegruppe kann durch eine resultierende Kraft R (siehe Kapitel 2.5.1) ood ein resultierendes Moment MR (siehe Bild 3-5) dargestellt werden. Dabei ist die Summe der Momente der einzelnen Krafte einer ebenen Kraftegruppe gleich dem Moment der Resultierenden dieser Kraftegruppe (Momentensatz). Das Moment M o bemglich de~ K~ordinaten.!;JfsP!:llilgs 0, Bild 3-5, kaEO errnittelt werden durch die Summe der Momente M j (Fj ) und M z (Fz ) der Einzelkrafte F j ood Fz :

3.2 Moment einer ebenen Kraftegruppe

37 (3.11).

Der Momentenvektor Mo hat bei einer ebenen Kraftegruppe wiedenun nur eine Komponente, die auf der Kraftebene senkrecht steht (siehe auch Bild 3-4). Da bei VetWendoog eines kartesischen Koordinatensystems, bei dem die Krafte in der x-y-Ehene wirken, der Momentenvektor somit in z-Richtoog zeigt, verzichtet man im Allgemeinen auf den VektOIpfeil tiber M o ood schreibt den Betrag des Momentes an einen Drehpfeil in der x-y-Ebene. oj

bJ

y

y

Ry

F,y F,y

\",0

y

0

X

I I I I

~R=MO

,

fix F,x

I-

,, ,

x

0

,,,R ,, ,, ,, ,,

.,

-------

--------

-

f--------

Rx Y

x

-I

BUd 3-5 Moment oder resultierendes Moment ciner ebenen Kriiftegmppe

a) b)

Pi

und F2 beziiglich des Koocdinatenurspnmgs 0 Moment der Resultierenden R beziiglich Punkt 0

if0: Moment von

MR =M 0 :

Bei dem ingenieurrnal3igen Vorgehen wird in de.!: Regel nur die Wirkung der Kraftkomponenten betrachtet. Dam zerlegt man die Krafte F j in ihre Komponenten Fix ood Fi y , mit Fix = Fi· cosa und Fi y = Fi· sina, siehe L B. Bild 3-3 ood Bild 3-5a. Der Betrag des Momentes bezOglich 0 beredlllet sich dann ooter Beachtoog des mathematisch positiven Drehsinns wie folgt

'0:

M o = ~ol

= Fly·x -Flx · y+Fzy·x

-Fzx · Y

(3.12),

wobei die Kraftegruppe in Bild 3-5a mgrunde gelegt wird. Der Drehpfeil tiber derNull bei der Momentenbedingung nach Gleichung (3.12) deutet die gewahlte Drehrichtoog an. Der Betrag des resultierenden Momentes kann auch mit der resultierenden Kraft oder mit den Komponenten R x und R y der Resultierenden errnittelt werden, siehe Bild 3-5b, ~

0: MR=Mo=Ry.x-Rx·y

(3.13).

M R ood M o sind dabei gleich grol3, soweit derselbe Bezugspunkt gewahlt wird. Bei der Bestimrnoog des resultierenden Momentes einer beliebigen ebenen Kraftegruppe geht der Ingenieur im Allgemeinen wie folgt vor: Zunachst legt man den Bezugspookt, fUr den das Moment m bestimrnen ist, fest. Gleichzeitig gibt man eine Drehrichtoog vor, auf die aile Teilmomente und das resultierende Moment bezogen werden. Aus den Teihnomenten der einzel-

38

3 Momente und ihre Wirkoogen

nen Krille wird clarm ooter Beachtung cler Drehrichtungen (d. h. cler Vorzeichen der Momente) das resultierende Moment bestimmt. Erhalt man einen negativen Betrag des resultierenden Moments, so bedeutet dies, class das Moment etltgegen cler angenommenen Drehrichtoog wirkt. Anstatt z. B. in die positive z-Richtoog, zeigt clarm der Momentenvektor in die negative Richtoog.

b

bJ Aq="A======:::J oj

BUd 3-6 Bestimmung der wiIkenden MOOlente fur verschiedene Bemgspunkte einer ebenen Kriifte-

gmppe a) Ein auf reibllllgsfreier Ebene liegender K6rper ist cilrch die Kriifte Fj und F2 belastet b) Das Moment M A urn den Bemgspunkt A ergibt sich aus den Teilmomenten cler Kriifte F l ood F 2 c) ME: Moment urn den Bemgspunkt B

Das resultierende Moment ist valli Bemgspookt abhangig. FOr einen anderen Bemgspookt andert sich im Allgemeinen cler Betrag des Momentes und unter UmsUinden auch das Vorzeichen und damit die Richtoog. Dies wird in Bild 3-6 verdeutlicht, wo ein K6rper durch zwei Krille Jii und F z belastet ist. Das Moment urn den Drehpookt A wird linksdrehend positiv angenommen. Somit ergibt sich

'"A:

MA=Fj·a-Fz·b

(3.14).

Das Moment ist positiv fUr F j . a > Fz . b ood negativ fUr Jii . a < Fz . b. Das Moment urn B wird z. B. rechtsdrehend positiv angenommen. Es erredlllet sich mit (3.15). Die Kraft F 2 obt kein Moment bezOglich Drehpunkt B aus, da der Hebelarrn null ist. Nach Gleichung (3.15) ist.MB positiv fUr Fj>Ound b>a. FOr F j =1000N, F 2 =200N, a=O,5m und b = 1 m ergeben sich M A = 300 Nm ood.MB = 500Nm. M A und .MB sind damit entgegengesetzt gerichtet und haben ooterschiedliche Betrage.

39

3.3 Moment eines Krillepaares Beispiel 3-1 b Fj

Ein Werkstiick wird durch die Krille F l , F 2, F 3, F4 ood F s an den Bohnmgen A, B und C belastet.

Fz

B'

A

~ F3

Man bestimme die Momente der Krille bemglich der Punkte A, B ood C. geg.:

Fs

C

F l =F2 =F3 = lOOON,

F4 =Fs =1500N, a=100mm,b=200mm

/

'4 L6soog: a) Moment der Krille bemglich des Pooktes A

'"A:

M A =Fz ·b-Fs ·a=50Nm b) Moment der Krafte bemglich des Punktes B

'13:

M B =-Fj ·b-Fs ·a+F4 ·b=-50Nm c) Moment der Krille bemglich des Punktes C r-

C: Me =Fz ·b-F3 ·a=100Nm

3.3

Moment eines Kraftepaares

"Als Krqjtepaar bezeiclmet man zwei gleichgrojJe, entgegengesetzt gerichtete Krqjte auf per raile/en Wirlamgslinien. " In Bild 3-7a ist ein Kraftepaar dargestellt, das auf einen starren K6rper einwirkt.

F

b) BUd 3-7 a) Kraftepaar, welches auf einen starren K6rper einwirlct b) Moment M als resultierende \Virlrung des Kriiftepaares

40

3 Momente und ihre Wirkoogen

Die Wirkoog des Kraftepaares wird durch sein Moment bestimmt:

M=P·j

(3.16).

Eine resultierende Kraft tritt beim Kraftepaar nicht auf. Das Moment M eines Kraftepaares ist unabhangig valli Bemgspookt. D. h. ein Kraftepaar darf auf seiner Wirkoogsebene beliebig verschoben werden, oime class sich die Wirkung auf den starren K6rper andert.

BUd 3-8 Das Moment cines Kriiftepaares ist fur beliebige Bezugspunkte gleich groB: M = F·I

Dies karm mit Bild 3-8 verdeutlicht werden. FOr den Bemgspunkt A ergibt sich das Moment

"A':

M A =-P.a+P.(a+i)=-P.a+P.a+P.I=P.I=M

(3.17).

FOr Bemgspookt B gilt:

'8:

M B =P.(I+b)-P.b=P.I+P.b-P.b=P.I=M

(3.18).

Dies bedeutet, das Moment ist ooabhangig vom Bemgspookt. FOr jede Lage des Kraftepaares auf cler Wirkungsebene, ist der Betrag des Momentes M = F .j.

" ,j

b)

b

BUd 3-9 Beispiele fur Kriiftepaare

a) Ein Schraubendreher erzeugt bei einer Schlitzschraube beim Anziehen ein rechtsdrehendes Kriiftepaar lllld somit ein rechtsdrehendes Moment Ms = Fs·a b) Beim Offnen eines Ventils wiIkt am Ventilrad ein linksdrehendes Kraftepaar und somit ein linksdrehendes Moment My = Fy·b Ein Kraftepaar, das auf einen nicht fest gelagerten oder drehbar gelagerten K6rper wirkt, versetzt diesen in Drehung. Fntsprechend der Wirkung des Kraftepaares entsteht dabei eine Rechts- oder eine Linksdrehoog, siehe die Beispiele irn Bild 3-9.

3.3 Moment eines Kraftepaares

41

Wirken an einem Karper mehrere Kraftepaare, so kannen diese unter Beachtung des Drehsinns

algebraisch addiert werden. Man kann dann alle wirkenden Kraftepaare durch ein resultierendes Moment M R ersetzen:

(3.19).

Der Karper befindet sich im Gleichgewicht, d. h. er dreht sich nicht, wenn die Summe der Momente der Kraftepaare bzw. das resultierende MomentMR den Wert Null hat: (3.20).

Dies bedeutet auch, ein Kraftepaar kann nur durch ein entgegengesetzt drehendes, gleich groJJes Kraftepaar oder durch ein gleich groJJes Gegenmoment ins Gleichgewicht gesetzt werden.

Beispiel 3-2 An einer Kreisscheibe greifen zwei Kraftepaare an. Man bestirnme

a) das auf die Scheibe wirkende resultierende MomentMR ,

b) die GraJJe von F 2 , dam it das resultierende MomentMR verschwindet.

geg.: F" F 2 , a, b Lasung:

a) Resultierendes Moment der Kraftepaare

Y'

M R =F2 ·2b-Fj ·2a = 2F2 ·b-2Fj ·a

b) GraJJe vonF2 , damitMR

~

0

42

4 Losen von Fragestellungen der ebenen Statik In Kapitell werden Fragestelloogen cler Statik forrnuliert, die es durch Anwendoog cler hisher beschriebenen Grundlagen ood mit den noch m forrnulierenden Gleichgewichtsbedingoogen zu Jasen gilt. Ein Karper oder eine Struktur ist im Gleichgewicht, werm keine resultierende Kraft und kein resultierendes Moment vorhanden ist. D. h. die Summen aller wirkenden Krafte und Momente mOssen Null sein. Mit diesen Uberlegungen lassen sich die notwendigen Gleichgewichtsbedingoogen forrnulieren.

4.1

Gleichgewichtsbedingungen der ehenen Statik

Eine Strukhir oder ein Bauteil, hier idealisiert als starrer K6rper, kann durch Krille (Einzelkrafte, zentrale oder beliebige ebene Kraftegruppen), Momente ood Kraftepaare belastet sein. Diese Belastoogsgr6l3en versuchen den starren Karper m verschieben und m verdrehen. In der Ebene besitzt ein oogeboodener, starrer K6rper drei gnmdlegende Maglichkeiten der

Bewegoog:

Zwei Translationen und eine Rotation D. h. ein Karper kann durch die wirkenden Krille sowohl in x- als auch in y-Richtoog verschoben ood durch die wirkenden Momente in Rotation (Drehoog lUll q?) versetzt werden, Bild 4-1. 0)

-

b)

F2

0, F,

-\\F.

-F4

YL x

~

BUd 4-1 a) Kriifte, Moment lllld Kriiftepaar am starren KOrper b) Drei gnmcD.egende Moglichkeiten der Bewegung eines starren KOrpers in der Ebene: Verschiebung in X-RiChtllllg, Verschiebung iny-Richttmg lllld Drehung urn den Winkel

rp

Gleichgewicht liegt vor, d. h. Be,,:egoog wird verhindert, wenn keine resultierende Kraft R und kein resultierendes Moment M R auf den Karper wirken. Ein in Ruhe befrndlicher K6rper bleibt in Rube, werm

R=O

(4.1)

und gleichzeitig (4.2)

4.1 Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik

43

ist. Mit den Kornponenten cler resultierenden Kraft und cler Kornponente des resultierenden Momentes gilt auch

R x =0

(4.3),

R y =0

(4.4),

MR=MRz=O

(4.5).

Daraus ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik in Komponentenschreibweise:

(4.6),

Fj y + F2y + F3y +

=0

(4.7),

M(FJl+M(F2 l+

+M j + ... =0

(4.8).

Diese lassen sich in allgerneiner Form wie [algt schreiben:

L:Fjx =0

(4.9),

L:Fjy =0

(4.10),

L:Mj=O

(4.11).

In Worten kannen die Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik wie folgt zusammengefasst werden:

"Gleichgewicht herrscht, wenn •

die Summe aller Krafte in x-Richtung gleich null,

•

die Summe aller Krafte in y-Richtung gleich null und

•

die Summe aller Momente bezaglich eines beliebigen Drehpunktes gleich null

sind"

Ein starrer Karper bzw. eine Struktur befindet sich nur dann im Gleichgewicht, wenn alle Gleichgewichtsbedingungen gleichzeitig erfUllt sind. Bei der Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen ist auf das Vorzeichen, d. h. auf die Richtung der Krafte und Momente genau zu achten. Eine in x-Richtung zeigende Kraft ist positiv einzusetzen und eine entgegengesetzte Kraft negativ. Ein linksdrehendes Moment erhalt irn Allgerneinen ein positives Vorzeichen, ein rechtsdrehendes Moment ein negatives Vorzeichen.

Die in den Gleichungen (4.9), (4.10) und (4.11) fonnulierten Gleichgewichtsbedin~ungen kannen durch Symbole wle folgt ersetzt werden: 'iF" ~ 0 durch ---7, 'iF,y ~ 0 durch ·1· und 'iM, ~ 0 durch F'. Der horizontale Pfeil bedeute~ dass die Summe aller Krafte in x-Richtung zu beachten ist Er stehl dam it fUr Gleichung (4.9). Der vertikale Pfeil betrachtet das Gleichgewicht in y-Richtung und ersetzt Gleichung (4.10). Der gelaiimmte Pfeil symbolisiert die Momentengleichgewichtsbedingung in Gleichung (4.11). Die Verwendung dieser Symbole hat noch den Vorteil, dass die Pfeilrichtung die positive Richtung der Krafte und Momente anzeigt Der Drehpfeil wird haufig auch in folgender Fonn verwendet 'A. Der Buchstabe unter dem Pfeil zeigt dabei den Drehpurikt an, auf den alle Momente bezogen werden

44

4 Lasen van Fragestellungen der ebenen Statik

FUr die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen sind nach zwei wichtige Hinweise zu beachten: •

"Bei der Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen mussen nur die auj3eren Krafte und Momente, d h. die wirkenden Lasten und die Lagerreaktionen berucksichtigt werden. Innere Krafte bleiben dagegen unberucksichtigt.

•

Die Momentengleichgewichtsbedingung ist unabhangig yom Bezugspunkt. Dieser kann also frei gewahlt werden. Allerdings sind aile Momente auf den gewahlten Bezugspunkt zu beziehen. "

Mit den drei Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik kann man drei unbekannte statische GraBen bestirnrnen. Zurn Beispiel kbnnen die Reaktionskrafte eines in bestirnrnter Weise

gelagerten stanen Karpers mit den Gleichgewichtsbedingungen ennittelt werden. Grundsatzlich unterscheidet man •

statisch bestirnrnte Problerne und

•

statisch unbestimrnte Problerne.

Bei den statisch bestimmten Problem en reichen die drei Gleichgewichtsbedingungen zur Lasung der Fragestellung aus. Bei statisch unbestimmten Problem en existieren hingegen mehr Unbekannte als Gleichgewichtsbedingungen. Eine Lasung ist daher mit den Methaden der Statik nicht maglich. Die Festigkeitslehre, ein weiteres wichtiges Teilgebiet der Technischen Mechanik, stellt hierfUr allerdings Lasungsmaglichkeiten bereit.

Beispiel 4-1

00 s

G

b

Ein Trager mit Aufbau ist in einer Fabrikhalle auf Schienen zwischengelagert. Das Gesarnt-

gewicht betragt G. Man bestimme mit den Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik die Schienemeaktionskrafte und die zwischen Trager und Schienen ubertragenen Linien- oder Streckenlasten qA und qB. geg.: G, a, b, c

45

4.2 Der Freischnitt: Krafte werden sichtbar

Lasung: a) Freischnitt

,

I,

I,

I

I,

,

I

I,

,

A

B G

FA a

b

FB

Freigeschnittener Trager mit der Gewichtskraft G und den Reaktionskraften FA und F B , die von der Schiene auf den Trager einwirken (Lagerreaktionen). b) Bestimmung der Auflagerreaktionen mit den Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik

=0

(I)

---7

L:Fix

l'

L:Fiy=O=FA+FB-G

(2) (3)

G·a G·b Aus (2) ergibt sich: FA = G-FB = G - - - = - a +b a +b c) Ermittlung der Streckenlasten, die zwischen Trager und Schiene ubertragen werden Bei einer Tragerbreite von c betragen die Linienlasten (siehe KapiteI2.1): FA

qA=-

c

d) Fill G

F

A

~

4.2

c

2500 N, a

~

1,5 m, b

=2500N.lm=1000N 1,5m+lm lOGON

qA

FB qB=-

= 200mm

5~ mm

~

I m und c

~

200 mm ergibt sich

F =2500N.I,5m B

1500N

qB

1500N

1,5m+lm

= 200mm

7,5~ mm

Der Freischnitt: Krafte werden sichtbar

Krafte und Momente sind unsichtbar. Wir kbnnen die Wirkungen jedoch spillen oder durch Beobachtung erfahren. Jeder Mensch muss Gewichtskrafte uberwinden, z. B. beirn Tragen von Lasten. Auch das eigene Kbrpergewicht belastet taglich unsere FillJe und unsere Gelenke. Der Autofahrer verspUrt Beschleunigungs- und Verzbgerungskrafte und insbesondere auch Fliehkrafte. Eine Hausdecke ist belastet mit allerhand Gewichtskraften. Natilllich ist auch das Eigengewicht der Decke im

46

4 L6sen von Fragestellungen cler ebenen Statik

Allgemeinen nicht vemachHissigbar. Bei Maschinen ood Anlagen wirken zahlreiche Krafte und Momente. Neben clem Eigengewicht und den Betriebsbelastoogen wirken auch Momente, z. B. Antriebsmomente ood Biegemomente. Die wirkenden Krille kormen bei der Montage der Maschine ganzlich anders sein als bei clem Betrieb der Maschine. Wie in Kapitel 2 bereits ausgeflihrt, ooterscheidet man aul3ere Krille bzw. Lasten, ReaktiOl1sbzw. Auflagerkrafte ood Auflagerrnomente sowie innere Krfifte ood Momente. Dam kommen z. B. noch Zwischenreaktionskrafte in Gelenken. Es ist Aufgabe des Ingenieurs, aile diese Krafte und Momente m errnitteln. Dam muss er die Krfifte gedanklich sichtbar oder fUr ilm erfahrbar machen. Die Anwendung des Freisclmittprinzips nach LAGRANGE ist dabei das wichtigste Hilfsmittel. Syslcmgrcnzc GCS3111ISYSlcm

___ 1_

b)

I

\

, ,-----'==-----,

I

\ I

I

Last

I

I

\

/

,)

';;A't----1------tFn BUd 4-2 "Freischnitt" eines Hafenkrans

a) Prinzipskizze des Krans b) Freisclmitt des Gesamtsystems mit den wiIkenden Kriiften c) Idealisienmg der Gesamtstruktur als stalTer KOrper

FOr die ErrnittlUflg von Auflagerreaktionen wird der gesamte K6rper von den Aufstandsstellen gedanklich gelast An diesem "freigeschnittenen" Karper werden dann aile auf ihn einwirken-

47

4.2 Der Freischnitt: Krille werden sichtbar

den Krille und Momente eingezeichnet Das so genarmte Freikorperbild erlaubt mm, mit den bereits beschriebenen Grundlagen der Statik, die Krille in den Aufstandsstellen m errnitteln. Obwohl das gedankliche Freischneiden bereits an verschiedenen Stellen dieses Buches angesprochen wurde, so z. B. in Kapitel 2.2ood Kapitel 2.3 mit den Bildem 2-6, 2-7, 2-10, 2-11, sowie im Beispiel 2-4, soli dieses wichtige Prinzip der Statik an dieser Stelle nochmals erHiutert werden. Beispielhaft soli dies an einem sich im Einsatz befindlichen Hafenkran geschehen. Bild 4-2a zeigt einen Hafenkran, der eine Last anhebt. Zur Errnittloog der Lagerreaktionskrille wird noo der gesamte Kran von den Aufstandsstellen gedanklich gelost. In dieses freigesdlllittene Gesamtsystem werden dann die wirkenden Krille eingezeichnet, Bild 4-2b. Als auI3ere Kraft wirkt beim langsamen Anheben der Last die Kraft F in vertikaler Richtoog 1. An den Aufstandsstellen wilken die Lagerreaktionskrafte FA und F B ebenfalls in vertikaler Richtoog. Da in der Statik aile realen Strukturen als starre K6rper angesehen werden, spielt die tatsachliche Kranstruktur fUr die Fnnittloog der Lagerkrafte keine Rolle. Es kommt daher lediglich auf die Krille ood ihre Wirkoogslinien an, Bild 4-2c. Ztun Beispiel durch Anwendoog der Gleichgewichtsbedingoogen lassen sich jetzt die Auflagerreaktionen errnitteln, wobei man die Idealisienmg der Gesamtstruktur als starrer Korper stets vor Augen haben sollte. ,)

S

0) Systcmgrcllzc Lastkorb

Systclllgrcnzc Rahmcnstruktur

V-

/

I

_--_J_

\

\

\ /

I r \

b)

\

/ r - - - - . l.-0--'------, -

r,

s

r r

S

r

I

r

\

/

F BUd 4-3 Teilsysteme des Hafenkrans

a) Teilsystem Lastkorb mit den witkenden Kriiften Sund F b) Idealisiemng des Systems Lastkorb als stalTer K6rper c) Teilsystem Ralunenstruktur

Da das Gesamtsystem Hafenkran aus mehreren Teilsystemen besteht, muss der Ingenieur auch die Kraftwirkungen zwischen diesen Teilsystemen kennen. Diese werden wiedenun sichtbar durch gedankliches Trermen, "Freischneiden", dieser Systeme. So kann L B. das Teilsystem

1Bei dieser Betrachtung wird das Eigengewicht des Krans vemacWassigt.

48

4 L6sen von Fragestellungen cler ebenen Statik

Lastkorb ooabhangig von dem Teilsystem Rahmenstruktur des Krans betrachtet werden, Bild 4-3. Auf den Lastkorb wirkt clarm die Kraft Fund die Seilkraft S ein, Bild 4-3a. Diese sind, nach clem Wechselwirkungsgesetz, Kapitel 2.3.3, gleich groB, entgegengesetzt gerichtet und liegen auf derselben Wirkungslinie. Idealisiert karm das Teilsystem Lastkorb wieder als starrer Karper betrachtet werden, Bild 4-3b. Ebenfalls nach dem Wechselwirkungsgesetz wirkt nun auf das Teilsystem Rahmenstruktur die Seilkraft Sin entgegengesetzter Richtung, wie auf den Lastkorb, Bild 4-3c. Will man nun die irmeren Krafte und Momente in cler Rahmenstruktur kermen lemen, so ben6tigt man gedachte Sdlllitte des Rahmens. Dies erfordert die Anwendung des Sdlllittprinzips nach EULERJLAGRANGE, Bild 4-4. Die irmeren Krille]V" ood QI sowie das irmere Moment Mi in der vertikalen Rahmenstrukhir erhfilt man dureh einen gedaehten Sdlllitt I. 1m Sehnitt werden die inneren Krille und Momente eingezeiehnet Diese lassen sieh dann dureh Anwendoog der Gleiehgewiehtsbedingungen, Kapitel 4.1, fUr das System mit der Systemgrenze I errnitteln. In der horizontalen Rahmenstruktur vetfahrt man analog. Ein gedaehter Sehnitt II maeht die Sehnittgr6l3en ]V"I, QII und Mil siehtbar. Betraehtet man nun das Gleiehgewieht fUr das System mit der Systemgrenze II, so erhfilt man mit den Gleiehgewiehtsbedingoogen die gesuehten inneren Krille und Momente.

,

I gcdachlcr

b)

0)

----.. Schnill II

I~\'

+~I

I I

Qtt

/

I , I

I I

I

,

I

Syslcmgrcnzc J ......... bci Sehnill in / vcrtiklller I R"llIm;lIslruklur

I

I

/

\ '~

\ A

/

I Syslcmgrcnzc I[ ' .............. bel Schniu in horizonla1cr Rahmcnslnlklur

BUd 4-4 Sehnittprinzip naeh EULERiLAGRANGE zur Ennittlung der inneren Kriifte lllld MOOlente in

der Rahmenstruktur a) Gedaehter Sehnitt in der vertikalen Rahmenstruktur zur Ennittlllllg der illlleren Kriifte 1i] lllld Q sowie des illlleren Momentes M] b) Gedaehter Sclmitt in hocizontaler Rahmenstruktur

Die Errnittlung der inneren Krille und Momente ist insbesondere bei Tragwerken und Masehinen von groBer Bedeutoog. Die Kermtnis dieser GraBen erlaubt dem Ingenieur eine siehere Auslegoog von Konstruktionen jeglieher Art.. Wegen der groBen praktisehen Bedeutung wird die Errnittlung der irmeren Krille ood Momente in den Kapiteln 5 bis 8 ausflihrlieh behandelt

4.3 Losungen fill Probleme in Natur und Technik

4.3

49

Losungen fUr Probleme in Natur und Technik

Mit den bisher erarbeiteten Grundlagen lassen sich Fragestellungen aus Natur und Technik Ibsen, die sich als ebene Problerne cler Statik idealisieren lassen.

Hierzu zahlen z. B. •

die Ennittlung der resultierenden Wirkung von Kraften und Momenten auf Bauteile und Strukturen,

•

die Bestimmung der Kraftwirkungen auf Teilstrukturen,

•

die Berechnung der Krafte an den Aufstands- und Lagerstellen,

•

die Ennittlung cler inneren Krafte und Mornente in Strukturen sowie

•

die Uberprufung der Standsicherheit von Fahrzeugen, Maschinen und Anlagen.

In den bisher dargestellten Beispielen wurden bereits Losungswege und Losungen fill Problemstellungen aus der Praxis aufgezeig~ siehe unter anderem die Beispiele in den Kapiteln 2 und 4. Anhand von weiteren Problemen aus Natur und Technik soll die Thematik vertieft und erweitert werden.

Beispiel 4-2 Eine Walze mit dem Gewicht G soll liber eine Stufe mit der Hohe h gezogen werden. Man ennittle die GroJJe der mindestens erforderlichen Zugkraft F, abhangig vom Winkel a, sowie die Kraft K an der Kante der Stufe nach GroBe und Richtung. geg.: G ~ 1500 N, r ~ 500 mm, h a = 25°

~

1/3r,

Lasung: FUr die Lasung rnechanischer Fragestellungen ist zunachst ein Freischnitt zu erstellen. _.-~-~-

,I

-----~------~

I

I

\

I

I

I

\

J

\

N

-----

/

/'

'\

,i~~j -. ---------_/

Als Bedingung fill das Anheben der Walze muss gelten: N

=0

50

4 Lasen von Fragestellungen der ebenen Statik

a) Zeichnerische Lasung FUr drei Krafte im Gleichgewicht (siehe Kapitel 2.4.3) ergibt sich falgender Lage- und Krafteplan: Lageplan:

Krafteplan:

'-I

750N

I

G

.... "

WL'G

Durch Abmessen im Krafteplan erhalt man: F = 1220N und K = 1490N b) Rechnerische Lasung

N

FUr die rechnerische Ermittlung der Krafte ist zunachst der Winkel f3 zu bestimmen:

r-h

. jJ = - r - => SIn

.( 3J

(hJ

jJ =arcsm . 1---; =arcsm 1- 1 =41,8°

FUr das Gleichgewicht gilt Z Pi = fUr das Abheben gelten muss.

0, d. h. P + G+ K + if = 0, wabei if = a als Kriterium

In Kamponentendarstellung erhalt man falgende Gleichungen: ---7 :

F ·casa-K ·casjJ= 0

1':

F·sina-G+K sinjJ=O

K=F

cosa cos jJ

(I) (2)

aus (I) und (2) falgl

F·sina-G+F

cosa sinjJ=O casjJ

dam it gilt fUr K: K

G .casa=14790N sina+casa·tanjJ casjJ ,

F

G

sina+ cosa· tanp

1216,3N

4.3 Losungen fUr Probleme in Natur und Technik

51

Beispiel 4-3

Ein Bauarbeiter schiebt eine mit Schutt gefUllte Schubkarre mit einer Gesarntrnasse m eine Rampe hoch. Ennitteln Sie zeichnerisch die Handkraft H des Bauarbeiters und die Kraft K auf das Rad nach Betrag und Richtung. geg.: m

~

50 kg, a

~

15°

Lasung:

Die Gewichtskraft der gefUllten Schubkarre ergibt sich zu: G =m· g

m

= 50kg ·9,81- = 490,5N S2

Zeichnerische Lasung

FUr drei Krafte im Gleichgewicht (siehe Kapitel 2.4.3) ergibt sich folgender Lage- und Krafteplan: Lageplan:

Krafteplan: 1 200 N I

"i

\

WL K

Durch Ausmessen folgt: H

~

130 N, K

~

450 N

Beispiel 4-4

Eine Person mit einern Gewicht G

fUhrt Liegestutzen durch.

/

Al---",a---I

B b

Bestirnrnen Sie rechnerisch die Krafte A und B, die an den Handen bzw. an den FuJJspitzen wirken.

52

4 Lasen van Fragestellungen der ebenen Statik

Lasung:

Die Lasung ergibt sich durch Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen:

1:::

B·b-G·a=O

l'

A+B-G=O

=>

B=G

a b

(I) (2)

aus (I) und (2) falgl

A+G CI_G=O b

=>

A=G(I-~J

Beispiel 4-5 Freischnitt:

G

Eine Dame stehl auf nur einem FuJJ (Fragestellung 1-5, Bild 1-5). Enuitteln Sie die Aufstandskrafte in den Punkten A und B sawie die Flachenkraft unter dem Schuhabsatz. geg.:

G~600N,a~150mm,b~30mm,

Schuhabsatzilache A ~ 50 mm 2

Urn die entsprechenden Aufstandskrafte mittels der Gleichgewichtsbedingungen enuitteln zu kbnnen, ist ein Freischnitt zu erstellen. a

Lasung:

FB

a

=G·--=500N a +b

GemaJJ Gleichung (2.5) ergibt sich die Flachenkraft unter dem Schuhabsatz wie falgl

p=FB A

=10~ mm 2

•••

Beispiel 4-6

Urn die Beweglichkeit eines Patienten mit HuftprothesenachclerOperation weiter zu gewahrleisten, sall er physiatherapeutisch behandelt werden. Vorab muss nun geklart werden, ab bei einer Dbung mit ausgestrecktem Bein die Krafte an der Huftprothese nicht schadlich sind.

geg.:

G

~

aM

=

300 N, /s 15°

~

600 mm, /m

~

50 mm, h

~

70 mm, /1

~

30 mm, /2

~

200 mm, OS

~

10C,

4.3 Losungen fill Probleme in Natur und Technik

53

H tiftprothese

Muskel

---- - -Knie

Lasung:

a) Berechnung der Krafte im Huftgelenk und im Muskel eines liegenden Palienlen

-- -- -_co_=__-, G

FM

=G.~=3600N 1m

H x =FM ·cosaM = 3477,3N

l' :

H y - F M . sin aM - G =

a =>

H y =FM ·sinaM +G=1231,7N

b) Krafte auf die Prolliese

H j , Hz undR sind die Reaktionskrafte an der Prolliese. Aus den Kornponenten H x und H y ergibt sich eine resultierende Kraft H zu:

H

=~Hx2 +H/

= 3689,ON

Sie wirkt unter einern Winkel azUf Beinachse:

H lana = -y

Hx

=>

a = 19,5°

54

4 Lbsen von Fragestellungen der ebenen Statik

R-H.cos(a+as)=O

=>

R=H.cos(a+as)=321O,6N

N 2 '/2 +H .h.cos(a+as)-H·h .sin(a+as)=O

=>

N 2 =H '[/j.sin(a+as)-h.cos(a+as)]=-851,2N /2

Nj-N2-H.sin(a+as)=O

,j.

=>

Nj = N2 + H . sin(a + as) = 965,7N

Zur Vereinfachung wurde das Koordinatensystem entsprechend der Krafterichtungen gedreht.

Beispiel 4-7 FUr die Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs (Fragestellung 1-3, Bild 1-3) sollen fUr den Lastfall der Geradeausfahrt die Radaufstandskrafte bestimmt werden. geg.: F j

~

F2

~

F, a, b

Freischnitt.

-t-

"-

,..J

Fj

- - I-

A

1-----------------

-

r'-

F2

-- -

B

b

b

a

Bei der Geradeausfahrt eines Zuges werden idealerweise lediglich Krafte in vertikaler Richtung ubertragen. Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich zu:

'B

F(a+b)-Aa-Fb=O

t

A+B-2·F=O

aus (I) und (2) folgt.

=>

A

F· (a+b-b) a

F

(I) (2)

F+B-2·F=O

=>

B~F

Wegen cler graBen Bedeutung von Tragwerken irn Bereich cler Technik werden diese in eige-

nen Kapiteln urufassend behandelt. •

Kapitel5:

Einteilige ebene Tragwerke

•

Kapitel6:

Mehrteilige ebene Tragwerke

•

Kapitel7:

Ebene Fachwerke

Dart werden neben den auJ3eren Kraften und den Auflagerreaktionen insbesondere auch die

inneren Krafte und Momente betrachtet.

4.4 Standsicherheit

4.4

55

Standsicherheit

Bei Strukhiren, deren Auflagerungen nur Druckkrafte aufnehmen karmen, besteht die Gefahr des Umkippens. Sicherer Stand ist nur gewahrleistet, d. h. das Umkippen wird verhindert, werm lUll die magliche Kippkante das Kippmoment A&iw kleiner ist als das Standmoment M starrl. Es muss also gewahrleistet sein, dass (4.12)

MKipp <MStand

ad" M.

_ MSland

Klpp -

(4.13),

SK

wobei Sk die Kippsicherheit darstellt. Bei praktischen Problemen sollte die Kippsicherheit mindestens 1,3 bis 1,6 betragen. FOr die in Bild 4-5 dargestellte Struktur ergibt sich bezuglich der Kippkante B das Kippmom",t MKipp

(4.14)

=Fj·e+Fz·d+Mj

und ein Standmoment MStand =

CIt

·c

+ Oz· (a+b+c)

(4.15).

Die Kippsicherheit betragt nach Gleichoog (4.13) somit SK = MStand = MKipp

CIt

·c + Oz· (a+b+c) Fj·e+Fz ·d+Mj

b

"

(4.16).

,

"

FI

F2

~ G, A

,

~ G, ,8 ,

Kippkamc B

BUd 4-5 Ermitthmg des Kiwmomentes, des Standmomentes und der Standsicherheit ffir die dargestellte StIUktur beziiglich der Kippkante B

Wirken auf ein Bauteil nur Krille und keine Momente, so ist Standsicherheit gegeben, werm die Wirkoogslinie der Resultierenden des wirkenden Krillesystems irmerhalb der maglichen Kippkanten verlauft.

56

4 L6sen von Fragestellungen cler ebenen Statik Wirkungslinic vonR ...\.

BUd 4-6 Standsicherheit bei K6rpem, die cilrch ein ebenes Kriiftesystem belastet sind

(A, B: mogliche Kiwkanten)

Bei Bild 4-6 verHiuft die Wirkoogslinie cler aus den Krfiften Fund G gebildeten Resultierenden R innerhalb cler Kippkanten A ood B. Somit steht cler Karper sieher auf der schiefen Ebene. Dies ware auch cler Fall, wenn our die Gewichtskraft G wirken wOrde, d. h. fUr F= O.

Beispiel 4-8

Gz

Die nebenstehend skizzierte Montageplattforrn hat ein Eigengewicht G j ood kann ein Montagegewicht O 2 tragen. Man bestimme das Gegenwicht 0 3, so class ein Umkippen verhindert wird. geg.: G j =1500N,G 2 =2000N,a=2m, b = 0,5 m, C = 0,5 m, Kippsicherheit SK=2

B

b

,

L6soog: Das Umkippen cler Montageplattfonn lUll die Kippkante B muss verhindert werden. MKipp,B =

MSland SK

O . C = ~G~l~·b~+_G~3~(~a_+~b) 2

SK

G - GZ"C·SK -Gl"b =500N 3 a+b

4.4 Standsicherheit

57

Beispiel 4-9

[lJ -

1m Zusammenhang mit Fragestellung 1-2, Bild 1-2, ergeben sich die Fragen hinsichtlich a) der Krafte in den Aufstandspunkten A und B sowie

G

b) der maximalen Kraft F, damit ausreichende Standsicherheit gewahrleistet ist A

B

geg.:

/

G, F, a, b, C, SK

Lasung:

a) Ermittlung der Aufstandskrafte Freischnitt

[lJ

,-'---G

FB

FA

Anstelle einer Gleichgewichtsbedingung iny-Richtung und einer Momentenbedingung kbnnen auch zwei Momentengleichgewichte aufgestellt werden:

"A

=>

F·a-G·b+FB .(b+c)=O

FB =_1_ (Gb-Fa) b +c FA

b) Bestirnrnung cler rnaxirnalen Kraft F Baggers gewahrleistet ist

=

= _1_. [Gc +F· (a +b + c)] b +c

Fmax , darn it eine ausreichende Standsicherheit des

FUr den Bagger ergibt sich bezuglich der Kippkante A das Kippmoment MKipp und ein Standinoment MStand

= G·b.

Urn Standsicherheit zu gewahrleisten, muss gelten: M Kipp

=

MStand SK

=>

Fmax·a

=

G·b SK

=>

G·b

Fmax = - SK ·a

= F· a

58

5 Einteilige ebene Tragwerke Viele Bauteile, Maschinen und Tragstrukturen lassen sich als ebene Tragwerke idealisieren

und so mit den Methoden der ebenen Statik behandem. Dazu mussen die Tragwerke gar nieht eben sein, lediglich die Krafte und Mornente bzw. die Kraftwirkungslinien rnussen in einer

Ebene liegen. Kornplexe Tragstrukturen oder 1.1aschinen sind irn Allgerneinen aus Einzelkornponenten zusarnrnengesetzt, die rniteinander verbunden sind, urn so eine Gesarntstruktur zu bilden. Hier kann man zurn Beispiel an den Tragrahmen eines Autos, an das innere Traggerust eines Flug-

zeugs oder ganz einfaeh an eine Bruekenstruktur denken Die Eisenbahnbrueke in Bild 1-1 ist rnechanisch gesehen aus Staben aufgebaut, die dUTch Knotenbleche rniteinander zu einern

Faehwerk verbunden sind. Die Radsatzwelle in Bild 1-3 kann dagegen als Balken betraehtet werden, wahrend die Grundstruktur der Montageplattfonn, Bild 1-4, aus einer Rahmenkonstruktion besteht Stabe, Balken und Rahmen sind somit Einzelkomponenten von Tragwerken. Diese und andere sollen irn Folgenden urnfassend beschrieben werden.

5.1

Einzelkomponenten ebener Tragwerke

Einzelbauteile oder Einzelkornponenten ebener Konstruktionen sind zurn Beispiel Seile, Stabe,

Balken, Bogentrager oder Rahmen. Bei derartigen Gebilden sind die Langenabmessungen deutlieh groJJer als die Quersehnittsabmessungen. Es ist sinnvoll, diese Einzelkomponenten von Strukturen zunachst aus statischer Sicht zu klassifizieren.

5.1.1 Seil Ein Seil ist dehnstarr, aber biegesehlaff und kann nur Zugkrafte in Seilriehtung aufnehmen, Bild 5-1. Es ist daher das einfaehste Konstruktionselement. II!

F

F

BUd 5-1 Seil: nUT Zugkrafte in Seilrichtung iibertragbar

Die Sehnur einer Lampe, Bild 2-6, ist im Sinne der Meehanik ein Seil. Bei Beispiel 2-2 ist der Funkmast dureh insgesamt 8 Seile abgespannt. Lasten werden am Kranhaken mit Seilen befestigt, siehe Beispiel 2-5. Ein nieht mehr funktionsfahiges Auto wird zurn Beispiel mit einem Seil abgesehleppt.

5.1.2 Stab Ein Stab hat eine gewisse Biegesteifigkeit. Er kann daher Zug- und Druekkrafte in Stabriehtung aufnehmen, Bild 5-2. Die Quersehnittsabmessungen beim Stab sind allerdings sehr klein gegenuber der Stablange.

59

5.1 Einzelkompooenten ebenerTragwerke ,)

..

b) F

F

F

.1

BUd 5-2 stab: Zug- oder Druckkrafte in stabrichttmg iibertragbar

I"

F

ZlUll Beispiel ist ein Faehwerk, Bild 1-1, aus SUiben aufgebaut, die Ober Knotenpookte (idealenveise Ober Gelenke) miteinander verbunden sind. SUibe finden aueh in Beispiel 2-7 Verwendung, urn ein Schild an einer Hauswand zu befestigen.

5.1.3 Balken Ein Balken hat eine deutlieh grol3ere Biegesteifigkeit als ein Stab. Er kann daher nieht nur Krille in Balkenriehtung, sondem aueh Krille quer zu seiner Aehse aufnehrnen ood sogar Momente Obertragen, Bild 5-3. Neben Einzelkrillen kormen ZlUll Beispiel aueh Streekenlasten auf den Balken wirken. Aueh beim Balken sind die Quersdlllittsabmessoogen klein gegenOber der BalkenHinge.

BUd 5-3 Balken: kann auch Querkrafte und Momente aufnehmen

Der Balken ist ein sehr wiehtiges Einzelbauteil, das hohe Stabilitat in eine KOI1struktiOl1 bringt. In diesem Bueh komrnen Balken bereits in einigen Abbildoogen ood Beispielen VOf. Die Radsatzwelle eines Sehienenfahrzeugs, Bild 1-3, stellt - aus Sieht der Meehanik - einen Balken dar (siehe aueh Beispiel 4-7). Die Leiter, Bild 1-6, die Rohrleihmg, Bild 2-4, ood die Trager in den Beispielen 2-4 ood 4-1 sind, meehaniseh gesehen, ebenfalls Balken. Wegen ihrer grol3en Bedeutung werden Balken im Kapitel 5.4 und Kapitel 5.6.4 sehr ausflihrlieh behandelt.

5.1.4 Bogentrager Ein Bogentrager ist ein Balken mit gektiimrnter Aehse. PI kann ebenso wie ein Balken Normal- ood Querkrille ood aber aueh Momente Obertragen. Konstruktiv bedingt komrnt ein Bogentrager in versehiedenen Tragstrukturen vor. F

BUd 5-4 Bogentrager: Balken mit gekrtimmter Achse

60

5 Einteilige ebene Tragwerke

5.1.5 Rahmen Ein Rahmen besteht aus mehreren Balken, die biegesteif miteinander verlnmden sind. Die Verbindung karm ZUlli Beispiel durch Verschweil3ung oder Verschraubung erfolgen. Ein Rahmen Obertragt ebenso wie ein Balken ood ein Bogentrager Norrnal- ood Querkrafte sowie Biegemomente. Ein Rahmen ist ein sehr stabiles Koostruktionselement.

F

BUd 5-5 Rahmen: Kombination biegesteif miteinander verbundener Balken

Die Mootageplattforrn in Bild 1-4 besteht im Wesentlichen aus einer Rahmenstruktur. Ein weiteres praktisches Beispiel fUr einen Rahmen stellt die Tragstruktur des Hafenkrans in den Bildem 4-2 bis 4-4 dar. Die Traggen1ste von Persooenkraftwagen ood Flugzeugen sind aus Sieht der Mechanik Rahmenstrukturen.

5.1.6 Gelenktrager Beim Gelenktrager werden Einzelkomponenten durch ein Gelenk zu einem Gesamttragwerk miteinander verbooden. Gelenke k6nnen zwar Krille, aber keine Momente Obertragen. Bild 5-6 zeigt die Einzelkomponente Rahmen in Verbindung mit der Einzelkomponente Bogentrager. Es handelt sich also urn ein mehrteiliges ebenes Tragwerk. Derartige Tragstrukturen werden spater in Kapitel 6 behandelt. Gclcnk

BUd 5-6

Gelenktrager: Einzelkompooenten sind durch Gelenke m einem GesamttragweIk miteinander verbllllden

5.2 Lagenmgsarten

61

5.1.7 Scheibe Ein weiteres ebenes Einzeltragwerk stellt eine Scheibe dar. Es ist ein ausgedelmtes ebenes Gebilde, bei dem aile Belastungen in der Scheibenebene wirken.

BUd 5-7 Scheibe: in cler Scheibenebene belastet

Scheiben, Platten ood Schalen werden als Flachentragwerke bezeichnet, allerdings liegt nur bei der Scheibe ein ebener Belastoogsmstand VOf. Platten ood Schalen ooterliegen ratunlicher Belastung.

5.2

Lagerungsarten

Samtliche Auflagerungen, StOtzoogen ood FOhnmgen von Tragwerken lassen sich auf drei Grundfalle mIiickflihren: •

verschiebbares Lager (Loslager),

•

festes Lager (Festlager) ood

•

Einspannoog.

Diese Lagenmgsarten werden im Folgenden dargestellt.

5.2.1 Verschiebbares Lager Das verschiebbare Lager wird auch Loslager oder verschiebbares StOtzgelenk genannt, Bild 5-8a. Das Tragwerk wird ober ein Gelenk mit dem Lagerstuhl verbunden. Dieser lasst sich nur parallel zur Unterlage bzw. zur Lagetflihnmg verschieben. Eine Bewegung senkrecht mr Lagetflihnmg ist nicht maglich. Die ober ein Loslager Obertragene Kraft wirkt daher stets senkrecht zur FOhnmgsebene. Dabei wirkt auf den starren K6rper (das Tragwerk) die Lagerreaktionskraft A, Bild 5-8b. Auf die Unterlage bzw. die Lagetfuhrung dIiickt, entsprechend dem Wechselwirkoogsgesetz, eine gleich grol3e Gegenkraft. Eine Lagenmg schrankt die Bewegoogsmaglichkeiten eines Tragwerkes bzw. eines starren Karpers ein. 1st ein starrer Karper nicht gelagert, hat er in der Ebene drei Maglichkeiten der Bewegung: Er karm mm Beispiel in x-Richtoog ood in y-Richtoog verschoben werden ood er karm sich tun den Winkel If verdrehen, Bild 4-1. Die Bewegungsmaglichkeiten nennt man Freiheitsgrade. Somit hat ein nicht gelagerter starrer Karper bei ebener Bewegoog insgesamt drei Freiheitsgrade, d. h. die Anzahl der Freiheitsgrade istj= 3. Durch ein Loslager (verschiebbares Lager) wird eine Verschiebung, z. B. iny-Richhmg, unterbooden. Damit kann ein Karper, der durch ein Loslager gelagert ist, nur noch eine Bewegung in x-Richhmg und eine Drehoog urn den Gelenkpunkt des Lagers ausflihren. Es verbleiben dem starren Karper also nur noch zwei Freiheitsgrade:j= 2.

62

5 Einteilige ebene Tragwerke oj

Tragwcrk. idcalisicrt als ~ Slurrer Korpcr

GclCnk~

!'L

Lagcrstuhl

/

. , ~........ vcrschlcbharcs

Lagcrfiihrung

Lager

,

BUd 5-8 Verschiebbares Lager oder Loslager a) Lagenmg des TragweIkes b) Freisclmitt des Lagers mit Aktions- lllld ReaktiooskraftA c) Rollenlager als [Kaktisches Beispiel fur ein verschiebbares Lager

Das verschiebbare Lager hat damit eine Auflagerbindoog. Man spricht clarm von einem statisch einwertigen Lager. Die Auflagerbindoogen werden im Allgemeinen mit a bezeichnet. Somit gilt fUr verschiebbare Lager: a = 1. Bild 5-8c zeigt ein Rollenlager, wie es z. B. bei Brucken ein verschiebbares Lager.

ZlUll

Einsatz kommt, als Beispiel flir

5.2.2 Festes Lager Das feste Lager wird auch Festlager oder festes Stutzgelenk genarmt. Uber ein Gelenk ist cler staITe Karper mit clem Lagerstuhl verbooden, cler auf einer Unterlage befestigt ist, Bild 5-9a. Ein derartiges Lager Hisst sich nicht mehr verschieben, d. h. weder eine Verschieboog in 3Richtoog noch eine Verschieboog in y-Richtoog ist maglich. Die Richhmg der Lagerkraft A, Bild 5-9b, ist von den auf den starren Karper einwirkenden Kraften ood Momenten abhangig. D. h. im Allgemeinen besitzt die Lagerreaktionskraft eine Komponente in x-Richtoog, Ax, und eine Komponente in y-Richtoog,Ay, Bild 5-9c. bj

oj

T11lgwerk, idcalisiert als starrcr Korper Gelcnk

YL

Lagcrstuhl is! fest mit Unlcrlagc verbullden

x BUd

5-9 Festes Lager oder Festlager a) Lagerllllg des Tragwetks _ b) Freisclmitt mit Lagerreaktionskraft A c) Freisclmitt mit den KomponentenAx lllldAy der Lagerreaktionskraft

Ax

Ay

63

5.2 Lagenmgsarten

Ein Festlager hat zwei Auflagerbindoogen, a= 2, ood ist somit statiseh zweiwertig. Dementspreehend karm sieh ein K5rper, der dureh ein festes Lager gehalten wird, nur noeh urn den Gelenkpookt des Lagers verdrehen. Ihm verbleibt also noch ein Freiheitsgrad der Bewegung: f~

1.

5.2.3 Einspannung Die Lagerungsart Einsparmoog liegt vor, wenn ein Tragwerk eingeklemmt, eingemauert, eingesehweil3t oder fest versehraubt mit einer Wand, einem Boden oder einem anderen stabilen Tragwerksteil ist. Ein eingespannter starrer Karper kann sieh nieht mehr bewegen. D. h. er Hisst sieh nieht mehr versehieben ood nieht mehr verdrehen.

,j

~ ~?;"k

b)

Emspannung

BUd 5-10 Lagenmgsart Einspamumg a) TragweIk ist eingespaIlllt, eingeklemmt oder eingesehweiBt b) Freisehnitt des Lagers mit den Lagerreaktionskraften Ax Illld A y Illld clem Lagereaktioosmoment oder Einspannmoment ME

Das Lager besitzt drei Auflagerbindungen und ist darnit statiseh dreiwertig. Darnit besitzt der eingespannte starre K5rper keine Freiheitsgrade mehr; es giltj= o. Als Lagerreaktionen ergeben sieh die KrafteA x oodA y sowie das Einsparmmornent.ME. 5.2.4 Ubersicht, alternative Darstellungen Eine Zusamrnenstelloog der Lagerungsarten mit den in der Statik verwendeten, vereinfaehten Symbolen, ihren Lagerreaktionen, den Auflagerbindoogen und den verbleibenden Freiheitsgraden zeigt Bild 5-11. Dort sind aueh alternative Darstelloogen der Lagenmgsarten angegeben. So stellt die Abstutzung eines starren Karpers mit einer Pendelstotze (Stab) eine statiseh einwertige Lagerung dar. Die gezeigte Abstutmng mit zwei Pendelstotzen entsprieht einer zweiwertigen Lagenmg und sornit einem Festlager. Die Lagerung mit drei Pendelstutzen ist einer dreiwertigen Lagerung ood sornit einer Einspannung gleiehwertig. Diese Lagerung WUfde mm Beispiel bei der Befestigung eines Hinweissehildes in Beispiel 2-7 venvendet

64

5 Einteilige ehene Tragwerke Lagenmgsart

Lagerreaktionen

a

f

F

1

2

Loslagcr

A

"""

Alternative Darstelloog

r-Pcndclsllllzc:

~

Starrcr K6rpcr is! iibcr

~ cincn Slab mil dcrn LagerSilz vcrbundcn

-F

2

f1F

3

A Einspannung

•

(

A,

Fcsllagcr

ME

1

/\

Lagcrung mit

/'/////// 2 Pcndclstulzcn

0

/'\

Lagcrung mit 3 PcndclSt(LlzCll. die nicht parallel /'/////////. vcr[3ufcn und dcrcn Wirkungslinicn 5ich nich! in einern Punkt schneidcn

BUd 5-11 Zusammenstelltmg cler Lagerungsarten

a:

f

AnzaW cler Auflagerbinchmgen, statische Wertigkeit AnzaW cler Freiheitsgrade

5.3 Lagerungen fiir ebene Tragwerke Tragwerke k6nnen ihre Fooktioo our ertlillen, werm sie stabil gelagert sind. Sie dOrreo sich also bei den moglichen Belastungen nicht bewegen, d. h. nicht verschieben oder verdrehen. NatOrlich k6nnen sich reale Tragwerke auch verforrnen. Diese Verforrmmgen sind aber im Allgemeinen sehr klein gegenOber den Tragwerksabmessoogen. In der Statik werden aile Tragwerke als starre, nicht verforrnbare Karper idealisiert, siehe Kapitel 2.3. Beim starren Karper sind die Verforrnoogen nicht nur klein, sondem Oberhaupt nicht existent. Bei falscher Lagenmg kann sich ein stalTer Karper aber bewegen. Diese so genarmten Starrk6rperbewegoogen mOssen durch geschickte Lagenmg oobedingt ausgeschlossen werden. D. h. ein Tragwerk ist nur darm fooktionstOchtig, werm es keine Starrk6rperfreiheitsgrade besitzt.

65

5.3 Lagenmgen fUr ebene Tragwerke

5.3.1 Freiheitsgrade, stabile Lagerong ond statische Bestimmtheit Ein nieht gelagerter K6rper karm sieh frei bewegen. In einer Ebene hat der starre Karper somit drei Magliehkeiten der Bewegung, namlieh zwei Translationen ood eine Rotation. D. h. die Anzahl der Freiheitsgrade istj= 3, da keine Auflagerbindungen bestehen: ages = O. Ganz allgemein karm man damit festhalten, dass die Summe der Freiheitsgrade den Wert drei nieht obersehreitet. Somit erhalt man bei einem gelagerten Karper die Anzahl der Freiheitsgrade mit der Beziehung (5.1). In Gleiehung (5.1) stellt ages die Summe der Auflagerreaktionen eines gelagerten Karpers dar. Ergibt siehj > 0, so kann sieh das Tragwerk noeh bewegen. Es ist damit statiseh oobrauehbar, insbesondere bei allgemeiner Belashmg des Tragwerks. FOr j= 0 sind in der Regel keine Starrkarperbewegoogen des Bauteils mehr maglieh und es liegt eine statiseh bestimmte und stabile Lagemng vor. Eine Ausnahme ist in Kapitel 5.3.7, Bild 5-17b, gezeigt j= 0 ist somit eine notwendige, aber nieht immer hinreiehende Bedingung fur statisehe Bestimmtheit und Stabilitiit. Bei statiseh bestimmten Tragwerken karmen die insgesamt wiIkenden drei Auflagerreaktionen mit den Methoden der Statik, d. h. mit den drei Gleiehgewiehtsbedingungen der ebenen Statik (siehe KapiteI4.1), bestimmt werden. 1st naeh Gleiehung (5.1) die Anzahl der Freiheitsgradej< 0, so ist das Tragwerk ebenfalls stabil gelagert. Es liegtjetzt allerdings eine statiseh oobestimmte Lagen.mg vor. Die Auflagerreaktionen kannen nieht mehr mit den Methoden der Statik allein bestimmt werden. Dies bedeutet, die drei Gleiehgewiehtsbedingungen reiehen nieht aus, urn vier ood mehr Lagerreaktionen m errnitteln. Es mOssen zusatzlieh noeh die VerfoITlloogen der Tragstrukturen beIiieksiehtigt werden. Daher werden statiseh unbestimmte Probleme im Rahmen der Festigkeitslehre behandelt

5.3.2 Tragwerke mit einem Festlager ond einem Loslager Tragwerke, die dureh ein Festlager ood ein Loslager gesiehert sind, besitzen insgesamt drei Auflagerbindoogen: Gges=3. Entspreehend Gleiehoog (5.1) istj=O. Das Tragwerk ist somit stabil ood statiseh bestimmt gelagert. Die Gleiehgewiehtsbedingungen der ebenen Statik. reichen aus, urn die Auflagerreaktionen m bereehnen. 0)

b)

(1:2

(/=1

(/;;2 7777

BUd 5-U lfagweIke mit einem Festlager lllld einem Loslager a) Beliebiges lfagweIk, idealisiert als stalTer Karper, zweifaeh gelagert b) Zweifaeh gelagerter Rahmen

5 Einteilige ebene Tragwerke

66

5.3.3 Eingespannter Balken Ein Tragwerk, ZlUll Beispiel ein Balken oder Trager, mit einer Einsparuumg besitzt insgesamt drei Auflagerbindoogen: Q'l"S = 3. Somit ist das Tragwerk statisch bestimmt ood stabil gelagert.

BUd 5-13

t/-3

lfagweIk mit einer Einspamumg

5.3.4 Tragwerk mitzwei Festlagern Ein Tragwerk, das mit zwei Festlagem gesichert ist, besitzt insgesamt vier Auflagerbindoogen. Mit Gleichoog (5.1) ergibt sich j=3-a gf!:3=3-4=-1.

D. h. das Tragwerk ist stabil, aber statisch oobestimmt gelagert. Der Grad der statischen Unbestimmtheit istj= -1, es handelt sich somit lUll ein einfach statisch oobestimmtes Problem.

(/=2

0=2

BUd 5-14 TragweIk mit zwei Festlagem

Die ZOOl cler Auflagerreaktiooetl ist gr6l3er als die ZOOl cler Gleichgewichtsbedingungen. Mit den Methoden cler Statik karm dieses Problem daher nicht gelost werden.

5.3.5 Tragwerke mit drei Lagerungen Bei dem dargestellten Tragwerk, Bild 5-15, kann es sich lUll eine BIiicke oder einen Durchlauftrager einer Deckenkonstruktion handeln. Bei Gges = 4 ergibt sichf= -1. Es handelt sich urn ein einfach statisch oobestimmtes Problem.

,,~2 ~S;;::,==,,=~=,=:zs::;;:::==,,=~=,:::;;JiS. 7777/

BUd 5-15 Lagenmgen einer Brticke

7777/

5.4 Reehnerisehe Fnnittloog der Auflagerreaktionen von einteiligen Tragwerken

67

5.3.6 Balken mit Einspannung und Festlager Bei dem in Bild 5-16 gezeigten Balken mit Einspannung ood Festlager liegen fUnf Auflagerbindungen ood damit flinf Auflagerreaktionen vor. Somit handelt es sieh lUll ein zweifaeh statiseh oobestimmtes Problem.

BUd 5-16 Zweifaeh statiseh llllbestimmt gelagerter Balken

5.3.7 Beispiele fiir nichtstabile Lagerungen Der Balken mit zwei Loslagem ist nieht stabil gelagert, er besitzt eine horizontale Bewegoogsmogliehkeit ood ist damit fUr beliebige Belastungen oobrauehbar.

SO

,)

a=1

(/"'1 ;>777;

b)

u=1

SO

;>777;

1/=1

:zs: ;>777;

is.

a gcs "'2 f~1

;>777;

(/=1

is.

;>777;

"gcs= 3 f"" 0, aber Systcm iSl horizontal vcrsehicbbar

BUd 5-17 Niehtstabile Lagemngen a) Balken mit zwei Loslagem b) Balken mit drei Loslagem

Dies gilt aueh fUr den Balken mit drei Loslagem, der sieh horizontal versehieben lasst. An diesem Fall erkennt man, dass die Bedingoogj= 0 notwendig, aber nieht immer hinreiehend ist. D. h. der Ingenieur soUte stets seinen physikalisehen Saehverstand einsetzen.

5.4

Rechnerische Ermittlung der Auflagerreaktionen von einteiligen Tragwerken

Eine wiehtige Gnmdaufgabe der Statik ist die Fnnittloog der Auflagerreaktionen von Tragwerken. Die Kenntnis der Reaktionskrille ood, falls vorhanden, des Reaktionsmomentes ist fUr die Auslegoog der Lager selbst, aber aueh fUr die Dimensionienmg der Tragwerke von Bedeutoog. So hangen die in Bauteilen und Strukturen Obertragenen irmeren Krille ood Momente mal3geblieh von den gewahlten Lagenmgen ood somit von den Lagerkrillen oodloder den Lagerrnomenten abo Vnter Auflagerreaktionen versteht der Ingenieur die vom Auflager auf das Bauteil ausgeObten Krille ood Momente.

68

5 Einteilige ebene Tragwerke

5.4.1 Freischnitt des Tragwerkes Auflagerreaktionen werden cler Betrachtoog mganglich, werm man das Bauteil gedanklich von den Auflagem lost In diesem Freisclmitt werden darm neben den auI3eren Kraften die Auflagerreaktiooetl eingezeiclmet ood wie aul3ere Krille ood Momente behandelt. Diese Vorgehensweise wird in Bild 5-18 erHiutert. FOr den zweifach gelagerten Balken mit Einzelkraft F, Bild 5-18a, ist der Freischnitt in Bild 5-18b dargestellt. Das Festlager (links) kann dabei die Kraftkompooenten Ax und A y aufnehmen, wahrend das Laslager (rechts) nur eine vertikale Kraft B = By Obertragen kann. b)

Frcischnitt: f

P·coso.

"

B

dJ

oj

A

)M

A,

Frcischllill:

ME

F

)M

Ay

BUd 5-18 Freigesclmittene Balken fur verschiedene Lagenmgen und Belasmngen a) Balken mit Fest- lllld Loslager und Einzelkraftbelasttmg b) Freisclmitt des zweifach gelagerten Balkens mit den LagerreaktiooskriiftenAz, A y lllld B c) Eingespallllter Balken, belastet durch Einzelkraft Fund EinzelmomentM d) Freisclmitt des eingespallllten Balkens mit den LagerreaktiooenAx, A y undME

Der eingespannte Balken, Bild 5-1&, ist mit einer Einzelkraft Fund einem Biegemoment M belastet Bild 5-18d zeigt den entsprechenden Freischnitt mit den LagerreaktionskraftenAx und A y ood dem Lagerrnoment.ME.

5.4.2 Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen Die Lagerreaktionen lassen sich noo mit den Gleichgewichtsbedingoogen der ebenen Statik, Kapitel 4.1, errnitteln. Das Tragwerk befindet sich nur dann im Gleichgewicht, d. h. es ist stabil gelagert, werm aile drei Gleichgewichtsbedingoogen erflillt sind. D. h. die Summen aller Kriifte in x-Richtoog ood in y-Richhmg und die Summe aller Momente urn einen beliebigen Punkt, am zweckmaJ3igsten lUll einen Lagerpunkt, mOssen Null sein. Es muss also gelten LF'ix = 0 ( ---+ ), LF'iy = 0 (t ) und mm Beispiel LMA = 0 (A).

5.4 Rechnerische Ennittlung der Auflagerreaktianen von einteiligen Tragwerken

69

5.4.3 Balken mit Fest- und Loslager FUr den in Bild 5-18a dargestellten Balken sallen die Auflagerkrafte mittels der Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik ermittelt werden. Das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen erfalgt unter Betrachtung aller in dem Freischnitt eingetragenen Krafte. Bild 5-18b. Die Gleichgewichtsbedingung in x- Richtung ergibt unter Beachtung der Kraftrichtungen: ---7:

Ax -F'casa=O

(5.2).

Gleichgewicht iny-Richtung erhalt man fUr:

1':

A y +B-F'sina=O

(5.3).

Die Mamentenbedingung urn den Lagerpunkt A ergibt unter Beachtung der Drehrichtungen cler Mornente: (5.4). Aus Gleichung (5.4) erhalt man die Auflagerkraft im rechten Lager: F·a·sina B=----c--

(5.5).

Z

Gleichung (5.2) liefert die AuflagerkraftA,: (5.6).

Ax =F·cosa

Mit Gleichung (5.3) und Gleichung (5.5) erhalt man die vertikale Auflagerkraft A y im linken Lager:

· a· - F. SIn Ay -

(I aJ- F.(Z-a).sina - - Z

-~---c;'---

Z

(5.7).

Damit sind alle gesuchten Auflagerkrafte bestimmt Bei der Berechnung der Auflagerreaktianen kann anstatt der Gleichgewichtsbedingung IFiy ~ O. Gleichung (5.3). auch eine zweite Mamentenbedingung verwendet werden. FUr den Lagerpunkt B wUrde diese wie falgt lauten:

8':

AyZ-F(Z-a)sina=O

(5.8).

Hieraus ergibt sich wiederum die in Gleichung (5.7) dargestellte Fannel fUr die Auflagerkraft Gleichung (5.3) kann in diesem Fall Zill Kantralle der Ergebnisse fUr A y und B verwendet werden.

5.4.4 Eingespannter Balken FUr den in Bild 5-18c dargestellten Balken sallen die Auflagerreaktianen ennittelt werden. Beim Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen werden alle in dem Freischnitt eingetragenen Krafte und Mamente beriicksichtigt: ---7:

Ax

=0

(5.9). (5.10).

70

5 Einteilige ebene Tragwerke

'A

(5.11).

ME-F·a-M=O

Aus diesen Gleichgewichtsbedingungen erhalt man: A y =F

Ax =0

und damit alle gesuchten Lagerreaktionen.

Beispiel 5-1 Eine Welle ist wie skizziert gelagert und durch die Krafte F, und F 2 sowie durch die Gewichtskraft G belastet:

--i-, A

~

a) Zeichnen Sie fUr diese Welle das mechanische Ersatzmodell. b) Bestimmen Sie die Auflagerkrafte in den Lagerpunkten A und B.

G

a

b c

geg.: F,

~

a

~

c~

I

1 kN, F 2 ~ 0,5 kN, G ~ 2 kN, 240 mm, b ~ 360 mm, 640 mm, I ~ 800 mm,

a~30c

Lasung:

a) Mechanisches Ersatzmodell:

F~

1m Lager A werden die Bewegungen sowohl in x- als auch in y-Richtung unterbunden, d. h. es handelt sich urn ein Festlager. Das Lager B ist als Loslager anzusetzen, da noch eine Bewegung in x-Richtung mbglich ist:

x

b) Auflagerkrafte in den Lagerpunkten A und B Freischnitt: Ax

F~

5.4 Rechnerische Fnnittloog der Auflagerreaktionen von einteiligen Tragwerken

=>

t:

B

71

1 I

=-. (Fj. cosa· a+G·b+ Fz .c)= 1,56kN

Ay-Fj.cosa-G-Fz+B=O

=>

A y =Fj·cosa+G+Fz -B=I,81kN

5.4.5 Rahmen FOr den in Bild 5-19 dargestellten Rahmen sollen die Auflagerreaktionen errnittelt werden. Dazu werden die moglichen Lagerreaktionskrafte in den Freischnitt eingezeiclmet. Gleichgewicht bzw. stabile Lagenmg liegt vor, werm folgende Gleichgewichtsbedingoogen erflillt sind: (5.12),

'A:

B·a-Fj·c-Fz·b=O

(5.13). (5.14).

Zur Kontrolle karm noch die Beziehoog

t:

(5.15)

Ay+B-Fz=O

venvendet werden. b) Frcischnill:

F,

b

")

F2

F,

,

Bfi;; d At.

+

"

B Ay

BUd 5-19 Zweifach gelagerter Rahmen

a) Rahmen mit Los- lllld Festlager b) Freischnitt des Rahmens mit den LagetkriiftenAx,A y lllld B

Die gesuchten Auflagerreaktionen erhfilt man oomittelbar aus den Gleichungen (5.12) bis (5.14).

72

5 Einteilige ebene Tragwerke

Beispiel 5-2 b

An einern Krankenhausbett ist wie skizziert ein Rahmen ZUlli Festhalten der Patienten befestigt

a) Zeichnen Sie fUr den Rahmen das mechanische Ersatzmodell. b) Bestimmen Sie die Auflagerkrafte in den Lagerpunkten A und B.

a

geg.:

F~

600N, a

~

300 mm, b ~ 500 mm

Lasung:

a) Mechanisches Ersatzmodell:

Das Lager A ist als Festlager ausgepragt, wahrend das Lager B einem Loslager mit Freiheitsgrad iny-Richtung entspricht

x

b) Auflagerkrafte in den Lagerpunkten A und B Freischnitt F

B

Ax

A y =F=600N

B':

F·b-A x ·a=O

---+:

Ax + B = 0

b Ax =F·-=IOOON a

B=-A x =-IOOON

5.5 Zeidlllerische Errnittlung der Auflagerreaktionen

5.5

73

Zeichnerische Ermittlung der Auflagerreaktionen

1st eine Tragstruktur durch Einzelkrafte belastet, so lassen sich die Auflagerreaktionen mit dem Seileckverfahren, siehe auch Kapitel2.5.2, bestimmen.

5.5.1 Vertikal belasteter Balken a) Lagcplan

A

---i----i'--_L . . ---- i o

,

I

, ,

,

I

I 3 2

BUd 5-20 Ermitthmg der Auflagerreaktionen bei einem Balken, der mit vertikalen Kraften belastet ist,

mittels des SeileckveIfahrens a) Lagep1an mit Seileck lllld ScWussiinie s b) Krafteplan mit den Auflagerlcriiften FA und FE

Das Seileckverfahren kommt in der bereits bekannten Art mr Anwendung. 1m Krafteplan werden die wirkenden Krafte, z. B. Fj, F 2 und F 3, entsprechend Bild 5-20, im Krafternal3stab eingezeichnet ood der gewahlte Pol P mit Anfangs- ood Endpookten der Krafte durch Polstrahlen verbooden. Die Polstrahlen 0-3 im Bild 5-2Ob werden dann als Seilstrahlen (parallel m den Polstrahlen) in den Lageplan Obertragen, so dass sich die Seilstrahlen 0 ood 1 auf der Wirkungslinie von F l , 1 und 2 auf der Wirkungslinie von F 2 sowie 2 ood 3 auf der Wirkoogslinie von F 3 schneiden, Bild 5-20a. Diese Schnittpookte im Lageplan reprasentieren die entsprechenden Kraftecke irn Krafteplan. Verbindet man noo den Schnittpunkt von Seilstrahl 0 mit der Wirkungslinie der Auflagerkraft FA mit dem Schnittpunkt von Seilstrahl 3 mit der Wirkungslinie der Auflagerkraft F B , so emalt man die Schlusslinie s. Die Richhmg der Schlusslinie, Obertragen in den Krafteplan, ergibt die Krafte FA ood FB . Da aile Lasten, z. B. F l , ... , F 3, vertikal ausgerichtet sind, wirken auch die Auflagerreaktionskrafte FA ood F B vertikal, aber entgegengesetzt von F l , F 2 und F 3. Die angreifenden Krafte und die Lagerreaktionskrafte bilden ein geschlossenes Krafteck, da sich der Balken im Gleichgewicht befmdet 5.5.2 Balken mit nichtparallelen Kraften Bei einern beliebig mit Einzelkraften belasteten Balken ist lediglich die Wirkoogslinie der Kraft im Loslager bekannt. In diesem Fall muss das Seileck im Gelenkpookt des Festlagers begonnen werden, da dieser einen Pookt der Wirkungslinie von FA darstellt Wendet man das Seileckverfahren in der bekannten Weise an, Bild 5-21, so erhalt man aus dem Krafteplan die

74

5 Einteilige ebene Tragwerke

Auflagerkrafte FA ood F B nach GroBe ood Richtoog. 1m Krafteplan liegt F B zwischen Polstrahl 2 ood cler Schlusslinie s, da sich im Lageplan 2 ood s auf cler Wirkungslinie von FB schneiden. FA ergibt sich nach Grol3e ood Richtoog durch Schliel3en des Kraftecks zwischen S ood o. b) Kriillcplan

a) Lagcplun

p

I'

BUd 5-21 Ennittlung der Auflagerreaktionen beim Balken mit nichtparallelen Kriiften mittels Seileck-

vetfahren a) Lageplan mit Seileck lllld ScWusslinie; cia die Richttmg cler Auflagetkraft FA lllld damit die \Virktmg von FA nicht bekannt ist, wird das Seileck im Lagerpllllkt A begOIllletl b) Kriifteplan mit den PolstraWen und den mittels Seileckvetfahren ennittelten Auflagerlcriiften FA lllld FE

Das Seileckverfahren karm in gleicher Weise auch bei anderen einteiligen Tragwerken, wie Rahmen oder Bogentragem angewendet werden.

Beispiel 5-3 FOr die in Beispiel 5-1 dargestellte Welle sallen nun zeiclmerisch miuels des Seileckverfahrens die Auflagerkrafte bestimmt werden. Zeiclmerische Lasung: Lageplan:

Krafteplan: 200mm

f------j

o A

o

G

3 B

Durch Ausmessen falgt:A = 1,9 kN, B = 1,6 kN

5.6 Irmere Krille und Momente ebener Tragwerke

5.6

75

IDDere Krafte oDd MomeDte eheDer Tragwerke

Ein Tragwerk muss so konstruiert ood dimensioniert sein, dass seine Tragfahigkeit fUr aile auftretenden Belastungen gewahrleistet ist. Dies bedeutet, die mlassige Beanspruchungsgrenze des Materials darfnicht Oberschritten werden. Urn dies nachweisen m konnen, mOssen die im Bauteil wirkenden irmeren Krille ood Momente errnittelt werden. Es ist also herausmfinden, wie die aufieren Krille durch das Bauteil hindurchgeleitet werden. Die Errnittlung der resultierenden irmeren Krafte und des resultierenden irmeren Momentes geschieht mit dem Sdmittprinzip von EULERfLAGRANGE. Dabei wird das Tragwerk an den interessierenden Stellen gedanklich aufgeschnitten (siehe z. B. Bild 4-4). An diesen Schnittstellen werden die moglichen inneren Krafte ood das innere Moment angenommen ood eingezeichnet. Durch Gleichgewichtsbetrachtoogen am freigeschnittenen Tragwerksteil kormen dann die inneren Krafte ood das irmere Moment errnittelt werden. Die resultierenden irmeren Krille ood das resultierende irmere Moment nennt man msammenfassend auch Schnittgrol3en.

5.6.1 Normalkraft, Querkraft uDd BiegemomeDt b)

vcnciltc inncrc "---'oX Kriiflc: Spannungcn

BUd

5-22 Schnittprinzip von EULER/LAGRANGE zur Ennittltmg 00 SchnittgroBen N, QundM a) TragweIk 000 starrer Kocper mit den wiIkenden Kraften (auBeren Kraften lllld Lagerreaktionskriiften) und dem gedachten Schnitt b) UblicheIWeise im TragweIk auftretende verteilte iImere Krafte (Spammngen) c) Die SchnittgroBen N, Q lllldMveIkorpem die resultierende \Virlrung der inneren Kriifte

1m Inneren eines Bauteils treten bei Belastung verteilte innere Krille auf, so genannte Spannoogen, Bild 5-22b. Die Schnittgrol3en •

Norrnalkraft.N,

•

Querkraft Q und

•

Biegemoment M

76

5 Einteilige ebene Tragwerke

verk6rpem die resultierende Wirkung cler irmeren Krille, Bild 5-22c. Sie werden cler Betrachtung zuganglich, werm man den starren Karper bzw. das Tragwerk an cler interessierenden Stelle gedanklich aufschneidet. Die Norrnalkraft Nwirkt dabei stets normal, d. h. senkrecht, mr SdlllittfHiche. Die Querkraft Q ist stets tangential mr SchnittfHiche gerichtet. Das Sclmittmoment bzw. innere Biegemoment Mbezieht sich auf den Schwerpookt cler SclmittfHiche. Die Schnittgrol3en sind in cler in Bild 5-22c dargestellten Weise positiv definiert. Die Errnittloog von N, Q ood M eIfolgt am freigesdlllittenen Tragwerksteil mit den Gleichgewichtsbedingungen cler ebenen Statik, Kapitel 4.1. Mit I:.F;x = 0 ( ---+ ) emfilt man die Norrnalkraft N, mit LF;y= 0 (1) ergibt sich die Querkraft Q, mit LM; = 0 ('I) bemglich des Schwerpooktes cler SchnittfHiche Hisst sich das BiegemomentMberechnen. Die drei unbekarmten Schnittgr6l3en k6nnen also mit den drei Gleichgewichtsbedingoogen der ebenen Statik errnittelt werden. Damit ist die Berechnung der Sdlllittgr6l3en ein statisch bestimmtes Problem.

5.6.2 Schnittkraftgruppe NatOrlich gilt auch fUr irmere Krille das WechselwiIkoogsgesetz, Kapitel 2.3.3. Demnach sind Norrnalkraft, Querkraft und Biegemoment am linken ood am rechten Schnittufer oder am linken ood am rechten freigeschnittenen Tragwerksteil gleich groll, jedoch entgegengesetzt gerichtet, Bild 5-23. Irmere Krille haben somit keine Wirkung nach aul3en. D. h. bei Fragen des Gleichgewichts des Tragwerks oder des idealisierten starren Korpers und bei der Errnittloog der Lagerreaktionen mOssen die inneren Krfifte nicht berucksichtigt werden.

BUd 5-23 SchnittgroBen am linken lllld am rechten Schnittufer sind im Gleichgewicht

Tragwerke sind bekanntlich aus verschiedenen Einzelkomponenten aufgebaut Die Fnnittloog der Schnittgr6l3en in diesen Gnmdbausteinen von Konstruktionen wird im Folgenden vorgestellt.

5.6.3 Normalkraftim Seil Ein Seil kann nur Zugkrille in Seilrichtoog aufnehmen. Die irmere Kraft im Seil ist damit eine Normalkraft. Sie wirkt normal (senkrecht) mm Seilquerschnitt und wird mit N oder mit S (Seilkraft) bezeichnet. Die Schnur der Lampe, Bild 2-6, karm als Seil aufgefasst werden. FOr den ooteren freigeschnittenen Teil der Lampe (siehe Bild 2-6d und Bild 5-24) kann die Seilkraft mit der Gleichgewichtsbedingoog I:.Fiy = 0 errnittelt werden: (5.16). Daraus ergibt sich:

S = G.

5.6 Irmere Krafte und Momente ebener Tragwerke

77

s

YL

G

BUd 5-24

Ennittlllllg der Seilkraft S am freigesclmittenen Teil cler Lampe

Die Errnittloog der Seilkrafte bei mehreren Seilen bzw. mehreren Kraften erfolgt in ahnlicher Weise. Beispiel 2-5 zeigt die Errnittlung der Seilkrafte fUr zwei Seile, die eine Last tragen.

5.6.4 Normalkraft im Stab Ein Stab Obertragt Zug- oder Druckkrafte in Stabrichtoog, Bild 5-25a. Die innere Kraft im Stab ist darnit eine Norrnalkraft.

..

b)

F

F gcdachtcr Schnin

c)

•

F

N

I~x.1-

N(:c)

F CT-TTT"T-nrrn x BUd 5-25 Nonnalkraft im stab

a) Zugstab mit gedachtem Schnitt b) Freigeschnittener stabteil mit Schnittkraft N c) Normalkraftver1aufiiber der StabHinge

FOr das freigesclmittene Stabteil, Bild 5-25b, erhalt man mit der Gleichgewichtsbedingung LF;x=O:

---+: N-F=O

(5.17)

und somit N=F.

Die Stabkraft ist in diesem Fall Ober die gesarnte StabHinge konstant. Das positive Vorzeichen zeigt an, dass es sich bei NlUll eine innere Zugkraft handelt. WOrde der Stab auf Druck beansprucht, ergabe sich Nnegativ. Da die Nonnalkraft Ober die gesarnte StabHinge stetig ist, Bild 5-25c, spricht man auch von einem Einbereichsproblem. Ein Mehrbereichsproblem ist dagegen in Bild 5-26 dargestellt.

78

5 Einteilige ebene Tragwerke b) Bereich I: 0 < x <

K$)-.::..A~~

(

•

_.1.

1___x---,",,---'

b

.1

F1

I

(I

N(x)

~Bereich 11: (/ < x < (a+b)

c)

N(.r) 3F

2F

•

A

x BUd 5-26 Stab mit zwei auBeren Kriiften als Beispiel fur ein Zweibereichsproblem

a) Zugstab mit den gedachten Schnitten I und II b) Freigeschnittene stabteile zur Ennittlllllg der N onnalkriifte in den Bereichen I und II c) Nonnalkraftverlaufiiber die StabHinge

Da zwei Krille F l und F 2 wirken, liegt ein Zweibereichsproblem vor, Bild 5-26 a und b. Die Kraft F 2 bringt eine Unstetigkeit im Norrnalkraftverlauf(siehe auch Bild 5-26c). Daher mOssen bei cler Bereduumg cler Norrnalkraft zwei Bereiche betrachtet werden bzw. sind zwei gedachte Schnitte I ood II erforderlich. In diesen Teilbereichen ist die Norrnalkraft darm stetig.

1m Allgemeinen bestimmt man zunachst die Auflagerreaktion. Bei diesem Stab ergibt sich mit

---+: A-Fj-Fz =A-F-2F=0

(5.18)

die horizontale Auflagerkraft A = 3F . Die NonnalkraftN(x) mussjetzt getrennt in den Bereichen I + II errnittelt werden. FOr Bereich I erhfilt man mit

---+: N(x)-Fj =0

(5.19)

die Norrnalkraft N(x)=Fj =F

(5.20).

Bei Bereich II liefert die Gleichgewichtsbedingoog

---+: N(x)-Fj-Fz=O

(5.21)

Daraus ergibt sich N(x) = F j + F z = 3F

(5.22).

5.6 Innere Krafte und Momente ebener Tragwerke

79

Trag! man die Nonnalkraftverlaufe liber der Stabkoordinate x auf, so erhalt man das in Bild 5-26c gezeigte Nonnalkraftdiagramm. Der Nonnalkraftverlauf wird im Ingenieurbereich haufig auch N onnalkraftflache genannt Aus Bild 5-26c erkennt man, dass die Nonnalkraft im Bereich I mit N(x) im Bereich II mit N(x) ~ 3F der AuflagerkraftA entspricht

~

F der Kraft F, und

5.6.5 Normalkraft, Querkraft und Biegemoment im Balken Ein Balken muss bei allgemeiner Belastung im Inneren eine Nonnalkraft N, eine Querkraft Q und ein BiegemomentMlibertragen. Raben diese SchnittgrbJJen liber die gesamte Balkenlange einen stetigen Verlauf, spricht man von einern Einbereichsproblern. Ein Mehrbereichsproblern

hegt vor, wenn die Verlaufe N(x), Q(x) oder M(x), mitx als Balkenkoordinate, nicht stetig sind. Dies ist z. B. cler Fall, wenn irn Mittenbereich des Balkens Einzelkrafte oder Einzehnornente

wirken.

5.6.5.1

Einbereichsproblem

Fill den in Bild 5-27a dargestellten eingespannten Balken sollen die Auflagerreaktionen A" A y und M A und die SchnittgrbJJenverlaufe N(x), Q(x) und M(x) ennittelt werden. Mit den Gleichgewichtsbedingungen fill den gesamten Balken, siehe Freischnitt in Bild 5-27b, (5.23), (5.24), (5.25), ergeben sich die Auflagerreaktionen

Ax

= Fx ,

Ay

= Fy

und M

A

= F y ./ .

Die SchnittgrbJJen werden am freigeschnittenen Balkenteil, Bild 5-27c, ebenfalls mit den Gleichgewichtsbedingungen ennittelt Mit ---+: N(x) - F x

=0

(5.26)

erhaltman

N(x) =Fx

(5.27).

Die Gleichgewichtsbetrachtung

.j..

Q(x)+Fy =0

(5.28)

hefert

Q(x) =-Fy

(5.29).

5 Einteilige ebene Tragwerke

80 ,)

======:~

b)

1'11==. d) N(r)

1',

f-r-rrT"""TT""!"T1

•

QM x

Fx - F·coso.

,

F - F·sina

-Fy f-l-LL.L.LLL-Ll...L.J

x

BUd 5-27 Ennittlung der Auflagerreaktionen lllld cler SchnittgrOBen beim Balken

a) EingespaIlllter Balken mit Einzeikraftbelastllllg b) Freisclmitt des gesamten Balkens zur Ennittltmg der Auflagerreaktiooen c) Freigeschnittener Balkenteil mr Ermittlung der SchnittgrOBen N(x), Q(x) lllldM(x) d) SclmittkraftverHiufe bzw. SchnittkraftfHichen

Die Momentenbedingung urn den Schnittpookt I ergibt

"I:

M(x)+Fy·x=O

(5.30)

und somit

M(x)=-Fy ·x

(5.31).

Stellt man die Gleichungen (5.27), (5.29) ood (5.31) grafisch dar, so erhfilt man die Schnittkraftverlaufe bzw. die SclmittkraftfHichen in Bild 5-27d. Man erkermt, class die Nonnalkraft und die Querkraft tiber die gesamte BalkenHinge konstant verlaufen, das Biegemoment nimmt allerdings mit der x-Koordinate betragsmaJ3ig m und erreicht fUr x = I den Betrag des Einspannmomentes M A . Ein positives Vorzeichen bei der Norrnalkraft bedeutet, dass die Nonnalkraft, genau wie in Bild 5-27c angenommen, als Zugkraft wirkt. Die negativen Vorzeichen bei Q(x) und M(x) bedeuten, dass diese Sdlllittgr6l3en entgegengesetzt, wie in Bild 5-27c angenommen, wirken. Ein Vergleich von Gleichung (5.31) ood Gleichoog (5.29) zeigt zudem, dass die Querkraft Q(x), mathematisch gesehen, die erste Ableitoog des Momentes M(x) darstellt.

5.6 Innere Krafte und Momente ebener Tragwerke

5.6.5.2

81

Mehrbereichsproblem

Bei dem in Bild 5-28a gezeigten Balken handelt es sich urn ein Dreibereichsproblem, da die Krafte F, und F 2 jeweils eine Unstetigkeit im Querkraft- und Momentenverlauf bewirken. Bevar die Berechnung der Schnittkraftverlaufe beginnen kann, mussen jedoch die Auflagerkrafte A und B ennittelt werden Diese ergeben sich mit den Gleichgewichtsbedingungen fUr den freigeschnittenen gesamten Balken, Bild 5-28b, zu

A= Fj (Z-a)+F2 (Z-b) Z

(5.32)

B= Fj ·a+F2 ·b Z

(5.33).

Da nur vertikale Krafte wirken, existiert irn Festlager bei A keine horizontale Kornponente.

Die Ennittlung der SchnittgrbJJen muss nun bereichsweise erfolgen FUr den Bereich I, Bild 5-28c, ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen (5.34), (5.35) und sornit

(5.36) und M] =kx

(5.37).

FUr Bereich II, Bild 5-28d, erhalt man

J..

Qn -A+Fj =0

(5.38), (5.39)

und sornit

(540) und

(541). 1m Bereich III, Bild 5-28e, ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen

J..

Qm - A + F j + F 2 = 0

(542), (543)

5 Einteilige ehene Tragwerke

82 0) I

At;>;

I:

a

Fil

II

r;!

b) III

2B

.1 b

J

.1

B

A

c) Bereich [: 0 <.I" < (/

Q

QM A

•

F,

I I I I I F2

!~

x

d) Bereichlka<x
B

g)

A

M(.r:)

M max

I

.I"

I'

" .1

x

•

c) Bereich Ill: h < x < I

A

BUd 5-28 SclmittgroBen bei einem Balken mit mehreren Einzelkriiften

a) b) c) d) e) f) g)

Balken, zweifach gelagert mit zwei Einzelkraften Freisclmitt des gesamten Balkens SchnittgrOBen im Bereich I SchnittgrOBen im Bereich II SchnittgrOBen im Bereich III Querluaftverlauf oder Querkraftdiagramm uber die BalkenHinge Momentenverlauf, Momentendiagramm oder MomentenfHiche fur den Balken

5.6 Irmere Krafte und Momente ebener Tragwerke

83

und die Schnittkrafte

Qrrr =A-Fj -Fz

(5.44),

M m = A- x - F j . (x -

a)- F z . (x -b)

(5.45).

Prinzipiell ist es auch moglich, die Sdlllittgr6l3en durch Betrachtoog des rechten Schnithifers, beispielsweise fUr Bereich III, zu bestimmen (siehe auch die folgenden Beispiele). Die Schnittkraftverlaufe fUr den gesamten Balken sind in Bild 5-28fund in Bild 5-28g dargestellt. Man eIkennt, dass das Moment dart maximal ist, wo die Querkraft einen Nulldurchgang hat.

5.6.5.3

Grafische Ermittlung der Biegemomentenflache mit dem Seileckveifahren

FOr den durch vertikale Einzelkrafte belasteten Balken liefert das Seileckverfahren unmittelbar die Momentenf1ache. Die Anwendoog des Seileckverfahrens erfolgt wie in Kapitel 2.5.2 bzw. 5.5.1 beschrieben. Die Flache zwischen den Seilstrahlen ood der Schlusslinie stellt die normierte Momentenflache M* (x) dar, Bild 5-29a. Den Momentenverlauf M(x) erhalt man darm mit M* (x) ood dem Polabstand H: M(x)~H·M

•(x)

(5.46),

wobei H in der Krafteinheit des Krafteplans, Bild 5-29b, und M* (x) in der Langeneinheit des Lageplans einmsetzen ist. a) Lagcplan

b) Kriiftcplan

ILMI

'"

fj

F, B

A

Hi'

p

2 --~ F)

M'h) I

M~13X

0

F,

, I

o

IKMI

3

3 N

2

BUd 5-29 Ermitthmg des Biegemomentenverlaufs mit dem SeileckveIfahren

a) Lageplan mit belastetem Balken lllld konstmiertem Seileck mit MomentenhOhe M*(x) b) Krafteplan mit PoistraWen lllld Polabstand H

Das maxirnale BiegemomentMmm: tritt an der Stelle von

M:

ax auf.

5 Einteilige ebene Tragwerke

84

•••

Beispiel 5-4

FUr die Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs (Fragestellung 1-3) sollen fUr den Lastfall Geradeausfahrt die Querkrafte und Biegemomente bestimmt werden.

r'-

,.J

Fj

- r-- r-

----------------

.-

--

-+

L.;:; c'~

1;:\ ~p

b

F2

b

a

Freischnitt des mechanischen Modells:

\

\

\

\

\

A A = B = Fj

= F2 = F

B (siehe Lasung zu Beispiel 4-7)

Lasung:

O<x
Bereich I:

x

Bereich II:

b < x < a+b A-F-Qn =0

=>

Mn-k(x-b)+F x=O b

=> x

Mn=-F·b

Qn =A-F=O

5.6 Innere Krafte und Momente ebener Tragwerke Bereich III:

a+b<x
O<x'
85

(Verwendung des rechten Schnittufers)

l'

QIII-F=O

III:

MIll +F·x'=O

,.

MIII(x'=b)

=>

QIII =F

=>

= -F·b

MIll =-F x' MIll (x'= 0)

=0

Querkraft- und Biegemomentenverlauf F

Q(x)

x

x

•••

Beispiel 5-5

FRx

a

b

c

a

Die Welle eines Kornpressors mit einer Riernenscheibe, einern N ocken und einern Laufrad ist, wie gezeichnet, bei A und B gelagert. Aus den Riemenkraften ergeben sich eine Axialkraft F Ja und eine Radialkraft FRy. Durch den Nocken wird die Welle radial mit FN und durch die Unwucht des Laufrades mit einer Kraft F u belastet Bestirnrnen Sie a) die Auflagerkrafte A und B sowie b) die SchnittgroJJen enllang der gesamten Welle. c) Skizzieren Sie die SchnittgroJJenverlaufe unter Angabe der charakteristischen Werte.

86

5 Einteilige ebene Tragwerke

geg.: F Ja

~

5 kN,FRy~ 20 kN,FN

~

1 kN, Fu ~ 5 kN, a ~ 400 mm, b

~

250mm, c ~ 300 mm

Lasung:

a) Auflagerkrafte in den Lagerpunkten A und B

Ax

Freischnitt des

F Rx

fE:l!:jk=A:y::::3'EFR~y~l==:::j;:F:N=:::;fk=B====+t::F:::Ju

mechanischen Modells:

=>

---+:

Ax -FRx =0

A::

FRy ·a + Fw (a +b)- B· (a +b + c)+ Fu . (2a +b +c)= 0

=>

B=

Ax =FRx =5kN

1 .[FRy .a+Fw (a+b)+Fu .(2a+b+c)]=16,2kN a+b+c

b) SchnittgrbBen entlang der Welle Die Welle ist in 4 Bereiche einzuteilen. Vor dem Lagerpunkt A und hinter dem Laufrad treten keine SchnittgrbBen auf Bereich I:

O<x
l' :

A y - Qr

"I:

Mr -A y 'x=O

~~Nr lAy I

Bereich II:

Qr

x

= 0 => Qr = A y = 9,8 kN

Mr =Ay'x

Mr(x=O)=O M r (x=a)=A y .a=3916Nm

~

"l1 a <x < a+b

F

a

=>

.1

fLN,

II+)~

Ry

Q

II

x

=>

NIl =FRx -Ax =0

5.6 Innere Krafte und Momente ebener Tragwerke

11

MIl - A y . x + FRy· (x - a) = 0 MIl (x =

=>

87

MII(x) =A y ·x- FRy· (x-a)

a) = A y .a = 3916Nm

MIl (x = a +b)= A y · (a +b)- FRy ·b = 1363,2Nm

a+b < x < a+b+c (Verwendung des rechten Schnittufers)

Bereich III:

~ MIII

N

QIII

l=::::;~====t::::J

III

x

III

B

•

1':

QIII +B-Fu =0

<---:

HIlI

ill

MIII-B (a+b+c-x)+Fu·(2a+b+c-x)=0

QIII =Fu -B=-11,2kN

=0

MIll (x = a +b )=B. c- Fu . (a +c)= 1363,2Nm MIll (x = a +b +c)=-Fu . a =-2000Nm

a+b+c < x < 2·a+b+c (Verwendung des rechten Schnittufers)

Bereich IV:

l'

QIV-FU=O

Di

M 1V +Fu .(2a+b+c-x)=0

=> x

•

=>

Qlv=Fu=5kN

M1V(x)=-Fu .(2a+b+c-x)

M1V(x = a +b + c)= -Fu ·a = -2000Nm

rnr-_

MIV(X = 2a +b +c)= 0

c) SchnittgroJJenverlaufe N(x)

-

- - - - - - - - - - -.... X

S kN

Q(x)

r-nTT"",...rn, 5 kN x

u...u...l....l..llllWJJ -11,2 kN

5 Einteilige ebene Tragwerke

88

M(x)

3915Nm

+

x -2000 Nm

5.6.6 Normalkraft, Querkraft ond Biegemoment beim Rahmen Ein Rahmen ist aus biegesteifmiteinander verboodenen Balken msammengesetzt. Daher werden die Schnittgr6l3en in gleicher Weise wie beim Balken errnittelt. Allerdings stellt auch eine Rahmenecke eine Unstetigkeit dar. Es liegt somit stets ein Mehrbereichsproblem vor. Bei clem Rahmen in Bild 5-30 handelt es sich, bedingt durch die Rahmenecke, reichsproblem. 0)

F

lUll

ein Zweibe-

1----""--------1

II

b

c) Bereich II: 0 < x

11 b

II

Q ..

-

"~A1

+.,

Nil

BUd 5-30 Ennittlung der SclmittgrOBen beim Rahmen a) Rahmen mit Einzelkraftbelasmng Food den AufiagerreaktiooenA undMA b) SchnittgrOBen im Bereich I c) SchnittgrOBen im Bereich II

II

89

5.6 Irmere Krafte und Momente ebener Tragwerke FOr den Bereich I lauten die Gleichgewichtsbedingungen:

(5.47),

---+: Nr=O

(5.48), ~

I:

(5.49).

Mr+P·xr =0

Daraus folgen die Gleichoogen fUr die Sclmittgrol3en

N r =0

(5.50),

Qr

~-F

(5.51),

M r =-p·xr

(5.52).

1m Bereich II gilt fUr das Gleichgewicht ~:

Nrr+P=O

(5.53),

t-:

Qn=O

(5.54),

'II:

Mrr+P·a=O

(5.55).

Daraus erhfilt man die Schnittgr6l3en

N rr =-P

(5.56),

Qn=O

(5.57),

Mrr=-P·a

(5.58).

DieN-, Q- und MVerlfiufe sind in Bild 5-31 dargestellt

'J

-F

N

Q

BUd 5-31 Verlauffiir die SchnittgroBen im Rahmen

a) N ormalkraft N b) Querlcraft Q

c) BiegemOOlentM

M

90

5 Einteilige ebene Tragwerke

Die Nonnalkraft tritt nur im Bereich II auf, eine Querkraft wirkt nur im Bereich I. Das Biegemoment steigt im Bereich I betragsmalJig linear an und ist im Bereich II konstant An der biegesteifen Rahmenecke wird das Moment komplett ubertragen. Es ist somit kurz vor und kurz nach der Rahmenecke gleich gralJ.

•••

Beispiel 5-6 b a

Ein StralJenschild mit dem Gewicht Gist uber zwei Klemmen am Rahmen befestigt Das Eigengewicht des Rahmens soll vemachlassigt werden.

a

I

I

I

I

Man ennittle: a) die Auflagerkrafte in den Punkten A und B,

h

b) die SchnittgrblJen entlang des gesamten Rahmens. geg.: G ~ 2500 N, h

~

4 m, b

~

6 m, a

~

1,5 m

Lasung: XII ..

Freischnitt

II

III

IV

r;:::::t= ~G -~

G

2

2

\

V

Ay

Aufgrund der symmetrischen Aufhangung des Schilds wirkt jeweils an den Klemmen G/2.

B

a) Auflagerkrafte in A und B

Ax=O,

G

B=2=1250N,

G A y = G- B = - = 1250N 2

=> ---+:

QI=O

"I

MI=O

G

NI =-A y =--=-1250N 2

5.6 Innere Krafte und Momente ebener Tragwerke Bereich II:

91

0 < X2 < a

---+ : NIl =0 G A y =QII =-=1250N 2

'll:

MIl - A y . X2 M II (X2

Bereich III:

= 0 =>

=0)=0

MIl

= A y . X2

M II (X2 =a)=1875Nm

a < X2 < b-a

---+ : NIII = 0 G

QIII +--A y =0 2

=>

MIll

G

= A y 'X2 - - . (X2 2

-a)= 0

MIII(X2 =a)=1875Nm M III (X2 =b-a)=1875Nm

Aufgrund der Symmetrie des Rahmens und der Belastung sind die Ergebnisse fill die Bereiche IV und V identisch mit denen aus Bereich II bzw. I.

5.6.7 Normalkraft, Querkraft und Biegemoment beim Bogentrager Ein Bogentrager kann als schwach geknjmmter Balken angesehen werden. Daher ergibt sich auch die gleiche Vorgehensweise wie beim geraden Balken. Anstatt einer Langenkoordinate ist aber rneist eine Winkelkoordinate sinnvoll. Beim fest eingespannten Viertelkreisbogen und der Belastung mit einer Einzelkraft F am Bogenende. Bild 5-32, hegt ein Einbereichsproblem VOL Fill die Bestimmung der SchmttgroJJen wird sinnvoller Weise eine Winkelkoordinate

'.;:

,,:

Q +F ,cos

(5.60).

92

5 Einteilige ebene Tragwerke a)

b)

Fsintp

F

,. A --------"*'1'"

MA~F"'~

A=F

BUd 5-32 Ennittlung der SclmittgrOBen beim Bogentrager

a) Bogentrager mit Einzelkraftbelasttmg Food AuflagerreaktionenA lllldMA b) SchnittgrOBen N, Q und Mbeim Bogentrager mit cler Winkelkoocdinate rp lllld den Kamponenten F sinrplllld F cosrp der Kraft Fin Richtung von Hund Q

Die Momentenbedingung bezieht sich auf den Sdlllittpookt I:

'I:

M+P·r·sinq?=O

(5.61).

Aus den Gleichgewichtsbedingoogen erhiilt man die Sdlllittgr6l3enverHiufe

,)

N(rp) = -F· sinrp

(5.62),

Q(rp)=-p·cosrp

(5.63),

M=-P·r·smrp

(5.64). b)

oj

-F

30'

""-

QM BUd 5-33 V erlauf der SclmittgrOBen im Bogentrager

a) NonnalkraftN(tpJ b) Querl;:raft Q(qJj c) BiegemomentM(tpJ

.L----l ,F,'

5.6 Innere Krafte und Momente ebener Tragwerke

93

Diese sind in Bild 5-33 grafisch dargestellt Die Normalkraft H(
•••

Beispiel 5-7

I'

2a

'I

o81======18 0

Bestirnrnen Sie fUr die skizzierte Ampelan-

lage (Fragestellung 1-4, Bild 1-4) a) die Auflagerreaktionen in A und b) die SchnittgrbJJen enllang des Ampelrnastes.

geg.: Ampelgewicht F

2a

~

Lasung:

a) Auflagerreaktionen III

Freischnitt II

F

F

F

=0

---7:

Ax

l'

Ay-F-F-F=O

P::

MA +F·Q +F ·3·Q

=>

=0

A y =3'F=300N

=>

MA

= -4·F·Q = -400Nm

100 N,

Q

~

1m

94

5 Einleilige ebene Tragwerke

b) SchnittgrbBen enllang des Ampelmasles (Dreibereichsproblem) Bereich I: 0 < Xl < 2a

I:

N]+Ay=O

---+:

Q]=O

'I:

M] -MA =0

=>N]=-A y =-300N

=>

M] =MA =-400Nm

Ay

Bereich II:

0° <

NIl - F· cos

=>

NIl (
NII(
':.:

F

QII+F·sin
=>

QII(
QII (

'll

NII(
QII (

MIl + F· a· (1- cos
=> MIl =-2.F.a.(I+cos
Ay

Bereich III:

MIl (

0 < X2 < 2a f- :

Nm = 0

1

Qm-F=O

ill

Mm+ F · X2=0 Mm(X2 =0)=0

=> =>

Qm = F = lOON Mm =-F·X2

Mm(X2 = 2a)=-200Nm

95

5.7 Tragwerke mit kootinuierlich verteilter Belastung

,

f-L.LJ.'"'-J...LLL.J..J100 N

b""- zoo N-Verlauf

N

Q-Verlauf

-300N

-2ooN

M-Verlauf

5.7

Tragwerke mit kontinuierlich verteilter Belastung

Die auI3ere Belastoog der bisher betrachteten Tragwerke setzte sich Obenviegend aus Einzelkraften ood Einzehnomenten msammen. In Natur ood Technik treten aber auch Flachen- und Linienlasten auf (siehe Kapitel 2.1).

BUd 5-34 M6g1iche kootinuierliche Belasmngen (Streckenlasten) eines Balkens

a) Koostante Streckenlast b) linear ansteigende streckenlast: Dreieckslast c) Beliebig verteilte Strecken1ast

Zu den Flachenlasten zahlen z. B. Windlasten und Sdllleelasten, aber auch Verkehrs- und Deckenbelastoogen bei Gebauden. Eine weitergehende Idealisiemng der ebenen Statik. stellt

5 Einteilige ebene Tragwerke

96

die Linien- oder Streckenlast dar. Hierzu zahlt z. B. das Eigengewicht eines Balkens oder einer Rohrleitoog. Eine Streckenlast karm aber auch eine auf ebene Probleme reduzierte FHichenbelastoog sein. So kann beispielsweise die von einem Balken aufgenommene Deckenbelashmg eines Gebaudes als Streckenlast angesehen werden. Die Linien- oder Streckenlast q ist als Kraft pro Lange definiert; die Einheit ist z. B. N/m oder N/mm. Beispiele fUr Streckenlasten sind in Bild 5-34 dargestellt. Neben cler konstanten Streckenlast hat auch die linear ansteigende Streckenlast ood die beliebig verteilte Streckenlast praktische Bedeutoog. Zunachst soli ein Balken mit beliebiger Streckenlast betrachtet werden. Die so erhaltenen L6soogen fur die Auflagerreaktiooetl ood die Schnittgr6l3en beinhalten die konstante Streckenlast und die linear ansteigende Streckenlast als SondeIfalle.

5.7.1 Einbereichsprobleme mit beliebig verteilter Streckenlast Ein Einbereichsproblem liegt vor, werm eine kontinuierliche Streckenlast ober die gesamte BalkenHinge wirkt ood durch eine stetige Fooktion q(x) beschrieben werden karm. In diesem Fall sind auch die Querkraft Q(x) und das BiegemomentM(x) stetig ober den gesamten Balken verteilt.

5.7.1.1

Berechnung der Auflagerkriifte beim Balken

FOr den in Bild 5-35a dargestellten Balken mit kontinuierlich verteilter Belastoog q(x) sind zooachst die Auflagerkrafte FA und F B zu bestimmen. Dam wird fUr einen infinitesimalen Balkenabsclmitt dx eine Ersatzkraft dFbestimmt. Diese erreclmet sich mit q(x) wie folgt (5.65). Die aus der Streckenlast resultierende Gesamtbelashmg des Balkens emalt man darm durch Integration ober die BalkenHinge: I

F~ fq(x)
(5.66).

x=o dF

q(r)

=

(/(.r)·(b:

b)

mf A

I~:

_01_:'(

-----,-x

FA

FB x

ILt

BUd 5-35 Bereclnumg der Anflagerreaktionen bei einem Balken mit kontinuierlich verteilter Belastllllg

a) Balken mit strecken1ast q(x) b) Freisclmitt des Balkens mit den Anflagetkriiften FA nnd FB

Die Fnnittloog der Auflagerkrafte erfolgt mit den Gleichgewichtsbedingoogen der ebenen Statik. FOr LF;y= 0 emalt man

5.7 Tragwerke mit kontinuierlich verteilter Belastung

t:

97

I

FA+FB-F=FA+FB - Iq(x)dx=O

(5.67).

=0

Die Momentenbedingoog fUr den Lageipookt B ergibt:

B'l

I

FA·I- fq(xHI-x)d>~O

(5.68).

=0

Hierin stellt der Integralausdruck das resultierende Moment der Streckenlast q(x) bemglich des Drehpunktes B ood q(x)-(l-x)dx das Moment von dFlUll B dar. Aus Gleichoog (5.68) erhfilt man die Auflagerkraft

FA

1

I

~l fq(xHI-x)d>

(5.69)

x=o

und aus (5.67) ood (5.69) oder aus einer Momentengleichoog lUll 'A erhfilt man

1 I FB =j Iq(x).xdx

(5.70).

=0

5.7.1.2

Berechnung der SchnittgrojJen beim Balken

Die Bereclmung der Sclmittgrol3en erfolgt fUr das freigeschnittene Balkenteil, Bild 5-36, mit den Gleichgewichtsbedingoogen der ebenen Statik. Da nur vertikale Krille wirken, ist keine Norrnalkraft im Balken vorhanden. Es ist zweckmaJ3ig eine neue Koordinate, z. B. als Integrationsvariable einmflihren, weil die Schnittgrol3en in Abhangigkeit von der Balkenkoordinate x bestimmt werden sollen. Mit q(qJ ergibt sich darm fUr den Balkenabsclmitt dq die Ersatzkraft

q,

(5.71). dQ q(
m· ,

II

r BUd 5-36

dE

Freigeschnittenes Balkenteil mit den SchnittgroBen Q(x) undM(x)

x

Die Gleichgewichtsbedingoogen lauten dementsprechend: {=x

."

Q(x)-FA +

fq(,,)d<;~O {=o

(5.72),

98

5 Einteilige ebene Tragwerke

q=x

'I.

M(x)-FAX+

f q (SO) dSO (x-SO)=O

(5.73).

q=o

Mit Gleichung (5.72) berechnen sich die Querkraft x

Q(x)=FA -

f q(SO)dSO

(5.74)

q=o

und mit Gleichung (5.73) das Biegemoment

f q(S')(x-SO)dSO x

M(x)=FAx-

(5.75)

q=o im Balken.

5.7.2 Balken mit konstanter Streckenlast Ein zweifach gelagerter Balken ist mit einer konstanten Streckenlast q belastet. Bild 5-37a. Zu ennitteln sind die Auflagerkrafte bei A und B sowie die SchnittgrbJJen Q(x) und M (x) im Balken. Dies kann auf zwei Wegen geschehen:

•

mit der Integrationsmethode (mathematische Methode) und

•

cler ingenieurtechnischen Methode.

5.7.2.1

Ermittlung der Auflagerreaktionen und der Schnittgroj3en mit der lntegrationsmethode

Die Integrationsmethode geht davon aus. dass die Streckenlast q(x) = q = konst lediglich einen Sonderfall der beliebig verteilten Streckenlast darstellt Daher kbnnen die Gleichungen (5.69) und (5.70) zur Ennittlung der Auflagerreaktionen FA und F B herangezogen werden. Durch Integration ergibt sich (5.76) und

'L~ ='l.i I

2

2

(5.77).

5.7 Tragwerke mit kootinuierlich verteilter Belastung 0)

99

AgnnnnaB""" (/ =

I..,

konst.

I

.1

0) Q(x)

!!.2 2

x

_!l..i 2

BUd 5-37 Ermitthmg der Auflagerreaktionen und SchnittgroBen beim Balken mit konstanter Strecken-

last a) Belasteter Balken b) Freischnitt mit den Auflagerreaktionen FA und FB c) Querlcraft- undMomentendiagranune

Die Fnnittloog der Schnittgrol3en Q(x) und M(x) erfolgt mit den Gleichoogen (5.74) und (5.75) flirq(~ = q:

(5.78),

(5.79).

Die VerHiufe der Schnittkrafte Q(x) ood M(x) sind in Bild 5-37c dargestellt. Man erkermt, dass das Biegemoment an der Stelle maximal ist, wo die Querkraft einen Nulldurchgang hat (in diesem Beispiel beix = i/2).

100

5 Einteilige ebene Tragwerke

5.7.2.2

Ermittlung der Auflagerreaktionen und der SchnittgrojJen mit der ingenieurtechnischen Methode

Zur Fnnittloog der Auflagerreaktionen bei einem Balken mit Streckenlast genOgt die Kermtnis der resultierenden Gesamtlast, deren Wirkoogslinie durch den Schwerpunkt der Belastungsflache verlauft. b)

Fq - (I"'

BUd

5-38 Ennittlung der Auflagetkriifte bei einem Balken mit konstanter streckenlast mit der ingenieurteclmischen Methode a) Belasteter Balken mit q(x) = q = konst. b) Freigesclmittener Balken mit F q =ql als Resultierende der strecken1ast, die im Schwerpunkt der BelastungsfHiche, d. h. bei x = 1/2 angreift

Bei konstanter Streckenlast q(x) = q = konst, Bild 5-38a, ergibt sich eine resultierende Gesamtlast F q = q/, die dem "Flacheninhalt" der Belastoogsflache entspricht und die bei x = L2 am Balken angreift, Bild 5-38b. Mit den Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik erhalt man noo

(5.80),

'A::

/ / F B ./-Fq ·-=FB ·/-q·/·-=O

2

2

(5.81)

und damit die Auflagerkrafte

q./

FA=FB = 2

(5.82).

,j

BUd

5-39 Ennittlung der SchnittgroBen bei einem Balken mit konstanter Streckenlast mit der ingenieurtechnischen Methode a) Freigesclmittener Balkenteil der Uinge x mit den SchnittgroBen Q(x) lllldM(x) b) Resultierende Kraft Fqx = qx ersetzt die Streckenlast q(x) = q im Balkenabsclmitt x und wirlct im Schwerpunkt der BelastllllgsfHiche, d h. bei x/2

101

5.7 Tragwerke mit kootinuierlich verteilter Belastung

Auch fUr die Fnnittloog der Sclmittgr6l3en im Balken gibt es eine ingenieurrnaJ3ige Alternative mr Integrationsmethode. Die Streckenlast q(x) = q = konst, Bild 5-39a, wird durch die resultierende Kraft F qx = q·x ersetzt, die im Schwerpunkt der BelastoogsfHiche des Balkenabsclmitts wirkt, Bild 5-39b. Mit den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich bemglich der SclmittfHiche

.t:

Q(x)-FA+Fqx=Q(x)-FA+q·x=O

"1':

M(x)-FA · x+ F qx

(5.83),

.!..-= M(x)-FA · x+q· x.!..- = 0 2

2

(5.84).

Daraus erhalt man die Schnittgr6l3en

Q(x)=FA

-q.x=q{~-xJ 2

x q ( j·x-x M(x)=FA·x-q·-=-· 2 2

(5.85),

2)

(5.86).

Die Schnittkraftverlaufe sind bereits im Bild 5-37c dargestellt. Diese ingenieurtechnische Methode ist insbesondere bei Mehrbereichsproblemen mit mehreren Einzellasten ood mehreren Streckenlasten von Vorteil.

5.7.3 Balken mit Dreieckslast Auch bei linear ansteigender Streckenlast oder Dreieckslast, Bild 5-40a, kormen die Auflagerreaktiooen und die Sclmittgr6l3en nach der ingenieurtechnischen Methode errnittelt werden. Die Streckenlast q(x) lasst sich mit der Beziehoog

x q(x)=qo·I

(5.87)

beschreiben. FOr die Bestimmoog der Auflagerreaktionen genOgt die Kenntnis der resultierenden Gesamtlast F q , Bild 5-40b. b)

BUd 5-40 Ermitthmg der Auflagerluiifte bei einem Balken mit linear ansteigencler strecken1ast mit der

ingenieurteclmischen Methode a) Belasteter Balken mit q(x) = qow b) Freigeschnittener Balken mit resultierender Kraft fHiche wiIkt

F~

die im Schwerpunkt cler Belastllllgs-

102

5 Einteilige ebene Tragwerke

Die Gr6l3e von F q entspricht dabei der BelastungsfHiche. Bei einer Dreieckslast ergibt sich damit

1 Fq=-·qo·j 2

(5.88).

Die Wirkoogslinie der Frsatzkraft F q verHiuft durch den Schwerpookt der BelastungsfHiche, d. h. bei x = 2//3 (siehe Kapitel 9.2.4). Mit den Gleichgewichtsbedingungen erhalt man

"A':

2 FB·j-Fq.-.j=O 3

(5.89), (5.90),

und daraus die Auflagerreaktionen

qo·j 2 FB =-.Fq = - 3 3

(5.91),

(5.92).

BUd 5-41 Ennittlung der SclmittgroBen bei einem Balken mit linear ansteigender streckenlast a) Freigesclmittenes Balkenteil der Lange x

b) Die resultierende Kraft F,¥- ersetzt die Streckenlast im Balkenabschnittx

FOr die Errnittlung der Sclmittgrol3en im Balken wird die Streckenlast q(x), Bild 5-41a, durch die Ersatzkraft F

_q(x)·x qx 2

(5.93)

ersetzt, die im Schwerpookt der Dreiecksbelashmgsflache des Balkenabsclmitts wirkt, Bild 5-41b. Mit den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich bezOglich des Schnittpooktes I

q~)·x

+:

Q(x)-FA+Fqx=Q(x)-FA+-2-~O

(5.94),

"I:

x q(x)·x X M(x)-FA .x+Fqx ·-=M(x)-FA ·x+--·-= 0 3 2 3

(5.95).

5.7 Tragwerke mit kootinuierlich verteilter Belastung

103

Daraus erhalt man die Schnittgr6l3en (5.96),

M(X)~FA'X-q(X)'X: ~q;{/.x-xn

(5.97).

Die Querkraft- ood Momentenverlaufe sind in Bild 5-42 dargestellt. Man erkermt, dass das Biegemoment an der Stelle ein Maximtun besitzt, an der die Querkraft Q(x) einen Nulldurchgang hat. Das maximale Biegemoment

J3.q./2

(5.98)

M max = '..:~c-c 27

tritt an der Stelle x = II

J3

oder x = 0,58·1 auf.

Q(.1:)

x

BUd 5-42 SchnittgroBenverHiufe bei einem Balken mit linear ansteigender Streckenlast

Vergleicht man die Beziehungen (5.97), (5.96) und (5.87), so erkennt man, dass die Querkraft Q(x) die Ableihmg des Momentes nach x

Q(x) ~ dM(x) dY.

(5.99)

und die Streckenlast q(x) den negativen Betrag der Ableitoog der Querkraft nach x

q(x) ~ _ dQ(x) dY.

(5.100)

darstellt.

Beispiel 5-8 Ein Stahltrager ist durch eine quadratische Streckenlast q(x) belastet. Bestimrnen Sie: a) die Auflagerkrafte in A ood B sowie b) den Querkraft- ood Biegemomentenverlauf. geg.:

q(x) =a· x 2 +b·x +c, a= -0,16 kN/m', b = 0,8 kN/m2 , c = 1 kN/m, 1= 5 m

•••

104

5 Einteilige ebene Tragwerke

Freischnitt:

A

B

Lasung:

a) Auflagerkrafte in A und B

Ax =0

~:

GemaJJ Gleichung (5.69) ergibt sich fUr A y :

I(a·x

1 A y =z'

I

2

+b.x+cH/-x)dx

x=o

=y[ a / x 3 _~x4 + b / x2 _%x 3 +c 3 2 3

c 2

x--

2

=~+~+~=417kN 12

6

2

'

GemaJJ Gleichung (5.70) ergibt sich fUr B: 1

1

2

Sl

B=Zx=d a . x +b.x+c),xdx=Z· 3

=a./ +b./ 4 3

2

[a4' x 4 +3' b x 3 c x 2]1 +'2' 0

+~=417kN 2

'

b) Berechnung der Querkraft- und Biegemomentenverteilung GemaJJ Gleichung (5.74) ergibt sich fUr Q(x)

Q(x)=A y

2 a·/ 3 b·/ 2 c·/ [a.1;3 b.t;2 ]X (a I; +bl;+c)dl;=--+--+-- --+--+c·1; q=o 12 6 2 3 2 0

x

I

a·/ 3 b·/ 2 c·/ a·x 3 b·x 2 =--+--+--------c·x 12 6 2 3 2 3 2 Q(x=O)= a·/ + b·/ +~=417kN 12 6 2 ' 14 1 2 1 Q(x=/)=-- a·/ --·b·/ -_·c·/=-417kN 4 3 2 '

5.7 Tragwerke mit kootinuierlich verteilter Belastung

105

Gema/3 Gleichoog (5.75) ergibt sich fur M(x):

M(x) ~ Ay . x -

f(a· '" +b· q+cHx - q)d<; x

,~

a.x

~Ay ·x- [-3-·

a 4 b·x 2 b 3 q3 -4· q +2· q -,.q +c.x· q- C · q2]X0 2

~[al~3 +bt +'21}x_al~4 J;3

_,;2

I M(x = -) = 5729,2Nm = M max 2 c) Querkraft- und Biegemomentenverlauf ax)

M(X)

5729,2 Nm

4,17 kN

x

x

-4,17 kN

5.7.4 Zusammenhang zwischen Belastungs- und Schnittgro6en beim Balken Durch die Betrachtoog des Gleichgewichts an einem infmitesimalen Balkenelement eines kOl1tinuierlich belasteten geraden Balkens, Bild 5-43a, lassen sich zwei wichtige Di:lferentialgleichoogen fUr die QueIkraft ood das Biegemoment gewinnen. Am Balkenelement der Lange dx greifen neben der Streckenbelashmg q(x) die Schnittgrol3en Q(x) ood M(x) am linken Sclmithifer ood die Schnittgrol3en Q(x)+dQ und M(x)+dMam rechten Sclmittufer an, Bild 5-43b. ,) qr-f)

b)

: q(.T)I/X • 1(.T)

QM

t

•

I

x

dx

,

~ )MM+'IM Q(x)+dQ

BUd 5-43 AuBere Kriifte lllld SchnittgrOBen an einem Balkenelement

a) Kontinuierlich belasteter Balken b) Infinitesimales Balkenelement mit iiuBerer Belasmng lllld SclmittgrOBen

Die Sclmittgrol3en am rechten Sclmittufer unterscheiden sich somit von den Schnittgrol3en am linken Sclmittufer lediglich lUll die differentiell kleinen Betriige dQ und dM Mit der Ersatzkraft q(x)dx fUr die Streckenlast q(x) erhiilt man fUr das infinitesimale Balkenelement die Gleichgewichtsbedingungen

106

5 Einteihge ebene Tragwerke

Q(x) - q(x)dx - (Q(x) + dQ)

=a

dx - M(x)- q(x) dx-- (Q(x) + dQ)dx + M(x) + dM 2

(5.101)

=a

(5.102).

Aus Gleichung (5.101) erhalt man

-q(x)dx - dQ

=a

und somit die Differentialgleichung

I;

= -q(x) I

(5.103).

Mit Gleichung (5.102) und den Naherungen

q(x) dx 2

2

~ a und

dQdx

~

a

als vemachlassigbar kleinen GraJJen (klein von hoherer Ordnung) ergibt sich

-Q(x)dx + dM

=a

und damit die Differentialgleichung

I~ =Q(X)I

(5.104).

Beide Differentialgleichungen erster Ordnung, (5.103) und (5.104), beschreiben das Balkengleichgewicht Durch Differentiation von Gleichung (5.104) erhalt man eine aquivalente Differentialgleichung zweiter Ordnung

d 2M -2-=-q(x) dx

(5.105).

Durch Integration dieser Differentialgleichungen lassen sich ebenfalls die SchnittgraJJen Q(x) und M (x) im Balken ermitteln.

5,7,5 Mehrbereichsprobleme Wirkt bei einem Balken die Streckenlast nicht tiber die gesamte Balkenlange oder ist ein Balken oder ein Rahmen mit mehreren Streckenlasten belastet, so hegt jeweils ein Mehrbereichsproblem VOf, Bild 5-44. FUr die Behandlung derartiger Probleme bietet sich die ingenieurtechnische Methode an (siehe auch 5.7.2.2).

5.7 Tragwerke mit kootinuierlich verteilter Belastung

107

fJIll'""" gm'" All'"""

,)

b)

£

",

0)

d)

"6

BUd 5-44 Beispiele fur Mehrbereichsprobleme bei Balken lllld Rahmen

a) b) c) d)

5.7.5.1

Balken, abschnittsweise mit streckenlast beansprucht Balken mit Rechtecks- lllld Dreieckslast Eingespannter Rahmen mit llllterschiecD.ichen Streckenlasten Rahmen mit konstanter Streckenlast

Berechnung der Auflagerkrafte

Bei clem in Bild 5-45a gezeigten Beispiel wirkt auf den Balkenabsdlllitt cler Lange a die Streckenlast ql und auf einem Absclmitt der Lange c die Streckenlast q2 ein. FOr die Errnittlung cler Auflagerkrafte FA ood FB reicht es mm, mit den resultierenden Kriiften F q1 und F q2 als Ersatzkraften fUr die Streckenlasten qj ood q2 m arbeiten, Bild S-4Sh. ,)

A

~' LJ"

~

1.

a

..

b

III

..

c

b)

f>q·, q2

2

"",,"

.. I

BUd 5-45 Ermitthmg cler Auflagerreaktionen lllld der SchnittgroBen beim Balken mit Streckenlasten

a) Balken mit den Streckenlasten ql lllld q2 b) Freischnitt des Balkens mit den Ersatzkriiften F q1 lllld Fq2 fur die Streckenlasten ql lllld q2

Mit den Gleichgewichtsbedingoogen

8':

FA" (a+b+c)-Fq1

{~+b+C J-FqZ "%= 0

(5.106),

'A':

FB "(a+b+c)-Fq1

"~-FqZ" (a+b+~J = 0

(5.107)

108

5 Einteilige ebene Tragwerke

erhfilt man die Auflagerkrafte

FA =

ql.a{~+b+cJ+q2

c:

(5.108),

--~~---;~~-~~

a+b+c

(5.109).

5.7.5.2

Berechnung der SchnittgrojJen

Bei clem betrachteten Balken handelt es sich lUll ein Dreibereichsproblem. Eine Bereichseinteilung ist bereits in Bild 5-45a vorgenommen. ,)

" II

DMIIM

b)

f;il= ql"O II

DMIIM QIlM

QII(l")

x BUd 5-46 Ennittlung der SclmittgrOBen im Bereich II des Balkens a) Schnitt im Balkenbereich II mit den SchnittgroBen (lI(x) undMn(x) b) Balkenabschnitt mit Ersatzstreckenlast F q1 = qjQ

Die Sclmittgrol3en im Bereich II, siehe Bild 5-46, erhfilt man mit den Gleichgewichtsbedingoogen (5.110),

(5.111) und cler Ersatzstreckenlast F q1 = qj"a (5.112), (5.113). FOr die Errnittlung der Sclmittgrol3en in den Obrigen Bereichen ergibt sich die gleiche Vorgehensweise.

5.7 Tragwerke mit kontinuierlich verteilter Belastung

109

•••

Beispiel 5-9

1m Winter ist das skizzierte Stadiondach durch eine Schneelast qo belastet. Bestirnrnen Sie a) die Auflagerreaktionen in A und

h

b) fill die gesamte Tragwerkskonstruktion die SchnittgrbJJen unter Angabe der charakteristischen Werte.

A

geg.:

qQ, a, b, h

'1:::

MA

1-.b---,=----a- : 1

I. Lasung:

a) Auflagerreaktionen

III

II

-qOb(a-%]=o

=> M

A

=qob(a-%]

b) Verlauf der SchnittgrbJJen Bereich I:

a < XI < h

M]. _iN]

~Q] I

"I

M]+MA=O M] =-MF-qob(a-%]

110

5 Einteilige ebene Tragwerke

Bereich II: 0 <xu < a f-:

Nn=O

Qn - qo .xn = 0 Qn(xn = 0)= 0

=>

Qn = % . xn

Qn(xn = a)= %. a

2

2

XII XII Mn+qo·--=O => Mn=-qo·_-

2

Bereich III: 0 <XIII < b-a --7:

Nm

2

=0

J. : Qm + % . xm = 0 =>

Qm = -% . xm

Qm(xm = 0) = 0 Qm(xm = b - a) = -qo (b - a) M

m

+%·Xm

2

2

0

Mm

Mm(xm = 0)= 0

•••

Beispiel 5-10

A//;: I : I

I •

x

•

- - - - . e - - - -• .

I b

:,

Ein Kleintransporter mit einer Gesarntrnasse mT steht auf einer Brucke. Die Brucke mit einern Eigengewicht GB ist in A und B wie skizziert gelager\.

5.7 Tragwerke mit kontinuierlich verteilter Belastung

III

Bestirnrnen Sie unter Berucksichtigung des Eigengewichts GB cler Brucke sowie des Gewichts des Kleintransporters

a) die Auflagerkrafte in A und B sowie b) die Querkraft- und Biegemomentenverteilung enllang der Brucke. GB ~ 500kN, mT~ 4,6t,g~ 9,81 m/s 2,a ~ 5 m, b ~ 20m, l~ 3,5 m

geg.:

Lasung: Freischnitt: G T /2

GT /2

~ Bx

Ay

q

B

By

Das Eigengewicht wird als Streckenlast angenornrnen. Es ergibt sich aus:

G

kN

%=~=25b m Die Masse mT des Kleintransporters ist auf zwei Achsen verteilt, d. h. GT

G Achse = 2

mT·g = - 2 - = 22,6kN

a) Auflagerkrafte in A und B I A y =- [GT b B x =0

(b -a-~J+qB ._b:] = 279,9kN

By = ~ +GT -A y = 265,2kN

b) Querkraft- und Biegemomentenverteilung Bereich 1:

0<x
Qj=Ay-%·x Qj(x=0)=279,9kN X

Qj(x=a)=154,9kN

2

M j =A y ·x-qB·2 Mj(x=O)=O

Mj(x=a)=1087,OkNm

112

5 Einteilige ebene Tragwerke

Bereich II: a <x < a+/

J.

G T /2

Ay

QII (x

GT

2

-%'x

= a) = 132,3kN

QII (x

= a + /) = 44,8kN

G

11

MIl =A y .x----"-.(x-a)-qB

2

QII

qB

x

I

I ~)I1

QII =Ay -

~

MIl (x

= a) = 1087,OkNm

MIl (x

= a + /) = 1397,OkNm

x2

2

Bereich III: 0 <x'
l' :

Qm = qB . x' - By

Qm(x'= 0) = -265,2kN Qm (x'=b - a -I) = 22,3kN

Mm(x' = 0)= 0 Mm(x' = b - a -I) = 1397,OkNm SchnittgrbJJenverHiufe: Q(x)

279,9 kN 154,9 kN

M(x)

1397,0 kNm

44,8kN 22,3 kN a

b

a+l

x

b

x

-265,2 kN

Beispiel 5-11 Auf einem Bucherregal stehen unterschiedlich schwere Bucher. Bestimrnen Sie:

a) die Auflagerkrafte in A und B sowie b) die SchnittgrbJJenverlaufe Q undM zwischen den Auflagern A und B.

•••

5.7 Tragwerke mit kontinuierlich verteilter Belastung a b a I"·-"-----·1... •-----"----·1.. •-----"--·1

113 Die Gewichte der Bucher kbnnen idealisiert als drei konstante Streckenlasten Ql, q2 und q3 angenornmen werden.

q, q2 q3

geg.: A

B

a b

~f.o.>---------_.~

~ ~

1200 N/m, 1000 N/m, 1600 N/m,

~200mm,

~250mm,

l~

•

x

~

450 mm

Lasung:

Freischnitt: q

qj

3

q2, Das Lager A kann als Festlager und das Lager B als Loslager angenornrnen werden.

f\

I

Ax Ay

Ii

III

B

a) Auflagerkrafte in A und B Ax=O

---7:

~: B=Hq2bH+%J+q3aH+b+~J]=445N 1':

A y = qj ·a+q2·b +q3 'a-B=365N

b) SchnittgrbJJenverlaufe zwischen den Auflagern A und B Bereich I:

a/2 < x < a

J.

qj

QI =Ay -qj'x QI (x

I

QI

Ay x

~)MI

•

'I'

MI

= 0) = 365 N

=Ay(X-~J-qj

M{X=~J=-6Nm

QI(x=a)=125N x2 2 MI (x

= a) = 12,5Nm

114

5 Einteilige ebene Tragwerke

Bereich II: a <x < a+b

QII =A y -qj -a-q2 -(x-a) QII(x=a)=125N QII(X = a +b) = -125N

q2

MIl =A y

(x-~J-qja(x-~J (x-a?

Ay

-q2-~~

2

x

MIl (x =

a) = 12,5Nm

MIl (x =

a +b) = 12,5Nm

Bereich III: a/2 < x' < a Qm '\

Qm(x'=~J=-285N Qm(x'=a)=-125N ,...,.

III:

III

(

Mm(x')=B- x'-~ -q3

J

x,2 2

Mm(x'=~J=-8Nm

B

.. An der Stelle x

= q3 -x'-B

x'

Mm(x'= a) = 12,5Nm ~

0,325 mist Q(x)

MIl (x = 0,325) = 20,3Nm _

~

°

und somitMrr(x} maximal. Der Wert ergibt sich zu

115

6 Mehrteilige ebene Tragwerke Komplexe Tragstrukturen sind im Allgemeinen aus EinzelkompOl1etlten zllsammengesetzt. Diese sind miteinander verbunden, urn so eine Gesamtstrukhir zu bilden. Die Verbindoog cler EinzelkompOl1etlten karm aufunterschiedliche Arten geschehen. Beim Rahmen sind z. B. mehrere Balken biegesteif miteinander verbunden, wobei die Verbindoogsstelle Norrnalkrafte, Querkrafte ood auch Biegemomente Obertragen karm. Durch die feste Verbindung zwischen den Einzelkomponenten wird ein Rahmen auch als einteiliges Tragwerk betrachtet (siehe u. a. die Kapitel 5.4.5 ood 5.6.6). Gesamttragwerke k6nnen aber auch aus mehreren Einzeltragwerke bestehen, die durch Gelenke miteinander verillmden sind. Ein Gelenk karm eine beliebige Kraft, d. h. zwei Kraftkomponenten, Obertragen. Eine MomentenObertragung ist bei einem reibungsfreien Gelenk jedoch nicht moglich. Beispiele fUr mehrteilige ebene Tragwerke mit Gelenken sind in Bild 6-1 gezeigt. In diesen Beispielen sind SUibe, Balken, Rahmen oder Bogentrfiger mit Gelenken verbooden. F

I-;::==~==:;;L Gc1cnk

Gclcnk

b)

F

d)

0)

/' Gclcnk

Gclcnk

\

"lIm?,""'x l~ ,

=

=

BUd 6-1 Beispiele fur mehrteilige ebene TragweIke mit Gelenken

a) b) c) d)

Grundshuktur eines Hafenkrans: Rahmen lllld Pendelstiitze sind fiber ein Gelenk verbllllden Gelenkbogen Mehrteiliges TragweIk mit zwei Gelenken Balken mit Gelenk (GERBER-nager)

Ein Tragwerk, das ausschliel3lich aus Stfiben aufgebaut ist, die durch Gelenke miteinander verbunden sind, nennt man Fachwerk. Fachwerke sind wichtige ood sehr stabile Tragstrukturen, die sehr leicht bauen. Sie werden in Kapitel 7 gesondert behandelt.

116

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

6.1

Tragwerke mit Gelenken

Mehrteilige ebene Tragwerke mit Gelenken, wie sie in Bild 6-1 dargestellt sind, sollen mm eingehender ootersueht werden. Es wurde bereits envalmt, dass ein Gelenk, Bild 6-2a, nur Gelenkkrafte ood keine Momente Obertragen karm. oj

'L~

bJ

Gy

Gy

x

BUd 6-2 Gelenk als Verbindllllgselement zwischen Einzeltragwetken a) Gelenk als Schamiergelenk b) Freiselmitt des Gelenkes mit den Gelenkkriiften Gx lllld Gy

Die Gelenkkrafte werden siehtbar dureh gedankliehes Aufsehneiden im Gelenk, Bild 6-2b. In einem x-y-Koordinatensystem treten dann die Kraftkomponenten Ox und Oyauf. Entspreehend dem Weehselwirkoogsgesetz (siehe Kapitel 2.3.3) wirken die Gelenkkrafte auf beide Tragwerksteile. Sie sind betragsmaJ3ig gleieh grol3, aber am jeweiligen Tragwerksteil entgegengesetzt geriehtet. An Tragwerken mit Gelenken greifen somit folgende Kriifte ood Momente an: •

AuBere Lasten (Kratte, Momente, Streekenlasten),

•

Auflagerreaktionen (Auflagerkrafte, Auflagerrnomente),

•

Zwisehenreaktionen (Gelenkkrafte).

Die Errnittlung der Auflager- ood Zwisehenreaktionen von Tragwerken mit Gelenken ist eine wiehtige Aufgabe der Statik. Sind die Auflager- ood Zwisehenreaktionen bereelmet, so k6nnen aueh die inneren Krafte und Momente, also die Sehnittgrol3en, fUr die einzelnen TragwerksteiIe errnittelt werden.

6.1.1 Freiheitsgrade, stabile LageroDg oDd statische Bestimmtheit Tragwerke kormen ihre Fooktion nur ertlillen, werm sie stabil gelagert sind. Insbesondere bei Gelenktragwerken ist eine sorgfaltige Lagerung, eine gUnstige Anordnoog der Gelenke ood die UberpIiifung der Stabilitat von grol3er Bedeutoog. Eine Stank6rperbewegoog des Gesamttragwerks und aller Einzeltragwerke ist sieher ausmsehliel3en. D. h. das Tragwerk darf keine Bewegoogsfreiheitsgrade besitzen. Ein freies, nieht gelagertes Einzeltragwerk hat in der Ebene drei Freiheitsgrade. Es karm sieh z. B. in x- und y-Riehhmg bewegen ood urn einen Winkel qJverdrehen (siehe aueh Bild 4.1b). Eine Anzahl von n freien (nieht gelagerten ood nieht verboodenen) Tragwerken hat somit 3n Freiheitsgrade. Bei realen Tragwerken wird die Anzahl der mogliehen Freiheitsgrade lUll die Anzahl a~s der Auflagerbindoogen (Auflagerreaktionen) ood die Anzahl Zges der Zwisehenreaktionen (Gelenkkrafte) reduziert. Ein System von n geboodenen K6rpem hat somit

If

-3n-(a ges +Zges)1

(6.1)

117

6.1 Tragwerke mit Gelenken Freiheitsgrade.

Ein Loslager hat bekanntlieh eine Auflagerbindung: a = 1, ein Festlager zwei Auflagerbindungen: a= 2 und eine Einsparuumg drei Auflagerbindungen: a= 3 (siehe aueh Kapitel 5.2 ood Kapitel 5.3). Ein Gelenk ist statiseh zweiwertig. Entspreehend den Gelenkkraften Ox und Oy hat ein Gelenk somit zwei Zwisehenreaktionen: z= 2. FOr j= 0 ist das mehrteilige Tragwerk statiseh bestimmt ood stabil gelagert. In diesem Fall k6nnen die Auflagerreaktionen ood die Gelenkkrafte mit den Methoden der Statik, d. h. mit den Gleiehgewiehtsbedingungen der ebenen Statik, errnittelt werden. FOr j< 0 ist das Tragwerk ebenfalls stabil gelagert. Es liegt darm allerdings eine statiseh unbestimmte Lagenmg VOf. Die Struktur ist als Tragwerk venvendbar, allerdings lassen sieh die Auflagerreaktionen ood die Gelenkkrafte nieht allein mit den Methoden der Statik las en. Ergibt siehj> 0, so besitzt das Tragwerk Starrkarperfreiheitsgrade. Es kann sieh bewegen, ist somit instabilood als statisehes Tragwerk unbrauehbar.

6.1.2 Lagerungen fUr mehrteilige ebene Tragwerke Bild 6-3 zeigt ein mehrteiliges Tragwerk, bei dem zwei starre Karper dureh ein Gelenk miteinander verbunden sind. Das GesamttragweIk ist dureh zwei Festlager gelagert. ,j

YL,

A

bj

A, By BUd

6-3 Stabilitat, statisehe Bestimmtheit, Auflagerluiifte lllld Gelenkkriifte bei einem GelenktragweIk a) Zwei staITe Kocper sind mit einem Gelenk verbunden b) Freiselmitt der Tragwerksteile mit den Auflagerlcraften Ax> Ay> Ex lllld By sowie den Gelenkkriiften Gx lllld Gy

Mit n = 2, ages = 4 oodzges = 2 ergeben sieh naeh Gleiehoog (6.1) j = 3·2 - (4 + 2) = 6 - 6 = 0 Freiheitsgrade. Damit ist das Tragwerk statiseh bestimmt und stabil gelagert

118

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

Dies gilt auch fUr die Tragwerke in Bild 6-la und Bild 6-lb. Hier ist ebenfalls n ~ 2, a,,, ~ 4 und z,,, ~ 2 und somitf~ o. Das Tragwerk in Bild 6-lc ist durch ein Festlager und eine Einspannung gelagert; die drei Tragwerksteile sind durch zwei Gelenke miteinander verbunden. Mit n ~ 3, a,,, ~ 5, z,,, ~ 4 erhalt man nach Gleichung (6.1) f = 3·3 - (5 + 4) = O. Damit ist auch dieses Tragwerk statisch bestimmt und stabil gelagert. FUr den Balken mit einem Gelenk sowie einem Fest- und zwei Loslagern, Bild 6-ld, gilt n ~ 2, a,,, ~ 4, z,,, ~ 2 und somit f = 3·2 - (4 + 2) = 0 . Es zeigt sich, dass auch dieser Trager statisch bestimmt und stabil gelagert ist

6.2

Ermittlung der Auflagerreaktionen und der Gelenkkrlifte

FUr den Fall, dass ein mehrteiliges ebenes Tragwerk, dessen Einzelkomponenten mit Gelenken verbunden sind, statisch bestimmt und stabil gelagert ist, lassen sich die Auflagerreaktionen und die Gelenkkrafte mit den Gleichgewichtsbedingungen der ehenen Statik bestimmen. Dabei geht man von cler Tatsache aus, class das Gesarntsystern nur irn Gleichgewicht sein kann,

wenn jedes Teilsystem fUr sich im Gleichgewicht ist Die Ermittlung der Auflager- und Zwischemeaktionen erfolgt dabei z. B. durch Aufschneiden in den Gelenken und durch Gleichgewichtsbetrachtung fUr jedes Einzeltragwerk Es ist aber auch mbglich, zunachst die drei Gleichgewichtsbedingungen fUr das Gesamttragwerk aufzustellen und dann die Einzeltragwerke zu behandeln. Grundsatzlich mussen fUr die Einzeltragwerke auch Momentengleichgewichtsbedingungen urn die Gelenkpurikte aufgestellt werden. Diese Mornentenbedingungen sind u.a. fUr die Bestirnrnung cler Auflagerreaktionen notwendig. Die Ermittlung der Auflagerreaktionen und der Gelenkkrafte soll an einem dreiteiligen Tragwerk verdeutlicht werden, Bild 6-4. Das durch eine Kraft F belastete Gesamttragwerk ist mit zwei Festlagern und einem Loslager gesichert, Bild 6-4a. Die Tragwerksteile sind durch zwei Gelenke rniteinander verbunden. 11it n = 3, ages = 5 und Zgcs = 4 erhalt man nach Gleichung (6.I)f~ o. Dies bedeutet das Tragwerk ist statisch bestimmt und stabil gelagert. Die Freischnitte aller Tragwerksteile, Bild 6-4b, erhalt man durch gedankliches Aufschneiden in den Gelenken. Dabei kann die Richtung der Gelenkkrafte beliebig angenommen werden Zu beachten ist jedoch das Wechselwirkungsgesetz, nach dem die Gelenkkrafte auf die benachbarten Tragwerksteile entgegengesetzt wirken. Die Gleichgewichtsbedingungen sind nun auf jedes Tragwerksteil anzuwenden.

FUr Teil I gilt

,,-. OJ:

(6.2),

Ax ·a=O

1::: Gtx· a = 0

=>

Gtx = 0

(6.3),

(6.4).

A, BUd 6-4 Ermittlung cler Auflager- lllld Gelenkkriifte ffir ein mehrteiliges TragweIk

a) lfagwetk mit den Auflagem bei A, B lllld C lllld den Gelenken G j lllld G2 b) Freischnitt aller TragweIksteile cilrch gedankliches Aufschneiden in den Gelenken mit den m ermittelnden AuflageIkriiften Ax> AT' Ex> By lllld C sowie den m bestimmenden Gelenk-

kriiften G1x> Gjv,> G 2x> G 2y

Die Gleichgewichtsbedingoogen fUr Tragwerksteil 2 lauten ~

OJ: ~

G.,"

G ZY · 2h-P·sina·b=O

=>

°2Y

G1y ·2h-P.sina.b=O

=>

°1 Y

F

=-.

2

F

=-.

2

sina

(6.5),

sina

(6.6),

120

6 Mehrteilige ebene Tragwerke (6.7).

Mit Gleichung (6.4) und Gleichung (6.6) ergibt sich zudem

F

.

A =-·sma y 2

(6.8)

und mit den Gleichungen (6.3) und (6.7) falgt G 2x

= F ·cosa

(6.9).

FUr Tragwerksteil 3 gelten die Gleicligewichtsbedingungen ---+: Ex +G 2x

=0

(6.10), (6.11),

"8:

C ·c-G 2x . d

=0

(6.12).

Aus den Gleichungen (6.10) und (6.9) falgt

Ex = -G 2x = -F· cosa

(6.13).

Die Gleichungen (6.11), (6.9) und (6.5) fUlrren zu

(1.

d d B =G 2 -G 2x ·-=F· -sma--·cosa y y c 2 c

J

(6.14).

Mit den Gleichungen (6.12) und (6.9) erhalt man d c

d c

C=G 2x ·-=F·-·casa

(6.15).

Damit sind die fUnf Auflagerreaktianen und die vier Gelenkkrafte bestimmt Wichtig fUr die Lasung waren u. a. die Gelenkbedingungen, d. h. die Gleichgewichtsbedingungen urn die Gelenkpunkte G, und G2 .

Beispiel 6-1

•••

Die gezeichnete HebebUlme wird mit einer Kraft F im Punkt Hunter dem Winkel a belastet Die beiden Balken sind in den Punkten A und C drehbar und in den Punkten B und D verschiebbar gelagert In den Punkten E und list ein hydraulischer Zylinder befestigt, mit dem die Hahe der BUlme geandert werden kann. Zu berechnen sind

a) die Lagerkrafte bei A, B, C und D sawie b) die Zugkraft Z am hydraulischen Zylinder und die Gelenkkraft G geg.: F,

G,

a

6.2 Ennittlung der Auflagerreaktionen und der Gelenkkrafte

121

a a

2a

Lasung:

a) Lagerkrafte in A, B, C und D Teilsystem 1

Ax =F· cosa

Teilsystem 2

---+ :

F

=>

'2'.

Cx=F·cosa

-D·4a-F·cosa·4a +F ·sina·3a=O

=>

1': D

3 D =-F· cosa+-F· sma 4

C y +D-F ·sina=O

1 =F ·cosa+-F ·sma 4

122

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

b) Zugkraft Z am hydraulischen Zylinder und die Gelenkkraft G

G':

Z . a - Ax . 2a - A y . 2a - D . 2a = 0

=>

1':

Z = 2F ·sina

G y +D-A y

~O

1

G =F·cosa--F·sma y 2

---+ :

=>

D

6.3

G x + Ax + Z

=0

G x =F ·cosa-2F sma

Normalkraft-, Querkraft- und BiegemomentenverHiufe in den Tragwerksteilen

Die Berechnung der SchnittgrbJJen N(x), Q(x) undM(x) in mehrteiligen Tragwerken erfalgt in gleicher Weise wie bei einteiligen Tragwerken. Durch gedachte Schnitte in den Tragwerksteilen werden die SchnittgrbJJen sichtbar und berechenbar. Dabei ist jedes Tragwerksteil als Einbereichs- ader, falls gegeben, als Mehrbereichsproblem zu behandeln. Bei Teil 1 in Bild 6-4 handelt es sich urn ein Einbereichsproblem. Die SchnittgrbJJen ergeben sich fUr den freigeschnittenen Tragwerksteil, Bild 6-5a, mit den Gleichgewichtsbedingungen (6.16), (6.17), (6.18). Samit erhalt man als einzige SchnittgrbJJe F N I =-A =--·sma

(6.19).

2

y

Bei Tragwerksteil 2 liegt ein Zweibereichsproblem var. FUr Bereich II, Bild 6-5b, lauten die Gleichgewichtsbedingungen --+: NIl

J.:

=0

QIl-Gly=O

(6.20), F

QII =Gl y =-·sma 2

(6.21).

6.3 Nonnalkraft-, Querkraft- und BiegemomentenverHiufe in den Tragwerksteilen F M u = G 1y · Xu =-. XII· sina 2

M u -G1y ·Xu =0

123

(6.22).

b)

oj

BUd 6-5

Bestinnmmg der SchnittgrOBen fur die lfagwerksteile 1 lllld 2 des mehrteiligen TragweIks in Bild6-4 a) SchnittgroBen im Bereich I (lfagwetkstei11) b) SchnittgroBen im Bereich II (TragwerksteiI2) c) SchnittgroBen im Bereich III (TragweIksteiI2)

FOr den Bereich III (Tragwerksteil 2), Bild 6-5c, gilt

=>

---+: Nm+P·cosa=O

Nm=-P·cosa

(6.23),

F Qm=--·sina 2

1:

Qm+p·sina-Gly=O

'ill:

Mm+P.(xm-b).sina-G1y·xm=0

(6.24), (6.25).

=> Mm=p·(b-xm).sina 2

Damit sind aile Sclmittgrol3en fUr die Tragwerksteile 1 und 2 bekarmt Diese Vorgehensweise gilt fUr aile mehrteiligen Tragwerke, bei denen die Tragwerksteile durch Gelenke verbunden sind.

•••

Beispiel 6-2 b ,

d F

D

, A

I.

,I~

[

.1: ~I. g

.1

,B

124

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

Auf die Vorderachse eines PKW wirkt die Achslast F. Die Rader sind jeweils gelenkig tiber zwei Lenker am Rahmen befestigt 1m Fall des linken Rades sind dies die Lenker CD und EK. Zwischen dem unteren Lenker und dem Rahmen ist ein StoJJdampfer angebracht Bestimrnen Sie: a) die Radaufstandskrafte in A und B, b) die Gelenkkrafte in den Gelenken C, D, E und K sowie die KraftFs, die der StoJJdampfer auf den unteren Lenker ausubt. geg.:

8 kN, a ~ 280 mm, b ~ ISO mm, C ~ 20 mm, 250 mm, g ~ 300 mm, I ~ 800 mm

F~ f~

d~

350 mm, e ~ 140 mm,

Lasung: a) Radaufstandskrafte in A und B Freischnitt

F

B

A

F B=-=4kN 2

=>

F·I-B·21=0

=>

A+B-F=O

A=F-B=4kN

b) Gelenkkrafte in den Punkten C, D, E und K sowie die Kraft F s, die der StoJJdampfer auf den unteren Lenker ausubt

/"----------- ........" " System.2

\

(Rad rrn t Aufhiingung)

I I I I I

I I I

\

\

Ex / \, A

E

, ..... _---

y

~~

I I

/,,/

"

\

ex

Dx

\

\

,-----------------/ ----------/~ ---....

I I I \ \

.....

,\ :J fc:) I

I I

Dx

I

I

I

I I I I

Dy

\

/~-----------------

/ System 1 (Lenker CD)

"

System 3 (Lenker EK)

I I I I

Ey

-"" \

FS

I I I

I

I \

Ex ,

............... _

Kx

Ky

------- --------

/ .".../

I I

I I

6.4 Balken mit Gelenken (GERBER-Trager)

125

System I: cD ·.

C y ·d=O

I:

Dy+Cy=O

=>

(I)

=>

(2) (3)

System 2:

F E y =D y -A=-2=-4kN D x =A Z,=2,lkN a Ex =-Dx =-2,lkN Mit Gleichung (3) folgt: C x = D x = 2,lkN System 3:

f+g g

F s = -E y . _ - = 7,3kN

I:

Ky-Ey-Fs=O

=>

K y =E y +Fs =3,3kN K x = Ex = -2,lkN

6.4

Balken mit Gelenken (GERBER-Trager)

Bei langen Tragem werden in der Praxis miller Randlagem im Allgemeinen auch noch Zwischenlager verwendet: Dann liegt aber ein statisch unbestimmtes Problem VOL Durch die gezielte EinfUhrung von Gelenken erhalt man einen so genannten GERBER-Trager und dam it ein statisch bestimmtes System. Die zusatzlichen Lager fUhren zu einer geringeren Durchbiegung des Systems und einer geringeren Querkraftbelastung. Durch die Gelenke, die bekanntlich keine Mornente ubertragen kbnnen, werden zudern die Biegernornente im Balken reduziert. Bild 6-6a zeigt einen Balken, der dreifach gelagert ist und ein Gelenk G besitzt: Mit n ~ 2, a,,, ~ 4 und z,,, ~ 2 ergibt sich nach Gleichung (6.1) f~ O. Damit handelt es sich urn ein statisch bestimmtes und stabiles System. Die Ennittlung der Auflager- und Gelenkkrafte erfolgt mit den Gleichgewichtsbedingungen. FUr Tragwerksteil 2, Bild 6-6c, ergibt sich somit

<--- : G x =0

'G:

C (e+ d)-Fe = 0

C'

Gy(e+d)-Fd=O

(6.26),

=>

=>

C=F

e

e+d

Gy=F

d e+d

(6.27),

(6.28).

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

126 oj G

()

" b)

Gy

Tcilsyslcm 1

Gy

8

A

F

c) Tcilsyslcm 2

c

BUd 6-6 Ennittltmg der Auflager- und Gelenkkriifte im GERBER-lrager

a) Gesamtsystem mit einem Festlager und zwei Loslagem und einem Gelenk b) Freisclmitt des Teilsystems 1 c) Freisclmitt des Teilsystems 2

Die Gleichgewichtsbedingungen fUr Tragwerksteil 1, Bild 6-6b, liefem

"A':

B=G . a+b =F. (a+b).d Y a a.(c+d)

B.a-Gy.(a+b)=O

(629),

(630).

A-a-Gy.b=O

Damit sind die Auflagerkrafte ood die Gelenkkrafte errnittelt. oj

F G

A b) Q(x)

A

c) M(x)

c

B

II f'j II

B

F

x

c

BUd 6- 7 SchnittgrOBen beim GERBER-

lrager a) AuBere Kraft Food Auflagetkriifte am Balken b) QueIkraftdiagramm (Querkraftverlauf) c) Momentendiagramm (MOOlentenverl auf)

6.4 Balken mit Gelenken (GERBER-Trager)

127

Die Bestimmung der SchnittgrbJJen erfalgt wie in Kapitel 6.3 beschrieben fUr die beiden Teilsysteme. Die sich ergebenden Querkraft- und Mamentenverlaufe sind in Bild 6-7 dargestellt

•••

Beispiel 6-3

Ein Gelenktrager ist wie skizziert gelagert und dUTch ein Moment M sowie eine konstante Streckenlast qo belastet

Bestirnrnen Sie a) die Auflager- und Gelenkkrafte, b) den Querkraft- und Mamentenverlauf im gesamten Trager geg.: M, qo, a Lasung:

q0UID...s

a) Auflager- und Gelenkkrafte

n~ System 1

System 2

System 1:

<---:

Gx

=0

System 2: ---7:

G x -Cx =0

M -B ·2a +G y ·3a=0

C x =Gx =0

=>

M 3 M 3 B=-+-GY =-+-·qo·a 2a2 2a4

1 M C y =Gy-B=--qo ·a-4 2a

128

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

b) Querkraft- und Momentenverlauf Bereich I: 0 < XI < a (System 1)

Bereich II:

~ x

0 < Xrr < a (System 2) QII =-G

y

MIl

II~)

~Q II

Bereich III:

MIl (xII =0)=0

0 < Xm < 2a (System 2, Verwendung des rechten Schnittufers)

I:

Qm+Cy=O

=>

.....,.

III:

1 M Qm =-Cy =-qo ·a+4 2a

Mm-M-Cy·xm=O

=>

M m =M +C y ,xm

Mm(xm =O)=M Mm(xm

= 2a) = -qo

a2

2

a =-%.-

2

6.5 Dreigelenkbogen

129

Q(x)

1

M

rnTTrnTTl "4 go . a + z:;-

"

go .2

x

-go M(x)

go

2

"'8 x

" -go

2

6.5 Dreigelenkbogen Einen Bogentrager mit einem Zwischengelenk nermt man auch Dreigelenkbogen. Man zahlt in diesem Fall neben dem Zwischengelenk Gauch noch die Gelenke in den beiden Festlagem A und B mit, Bild 6-8. oj

a

A

b)

B

Tragwcrkslcil 1

Tragwcrkslcil2

G, F

Bx

BUd 6-8 Dreigelenkbogen

a) Dreigelenkbogen mit dem Zwischengelenk G lllld den Auflagergelenken A lllld B b) Freischnitt der Tragwetksteile 1 lllld 2

Der gezeigte Dreigelenkbogen ist statisch bestimmt und stabil gelagert. Mit n = 2, 2 ergibt sich mit Gleichoog (6.1)j= o.

Gges =

4 ood

Zges =

Die Fnnittloog der Auflagerkrafte ood der Gelenkkrafte erfolgt mit den Gleichgewichtsbedingoogen fUr die Tragwetksteile 1 und 2.

130

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

FOr Teill erhiilt man (6.31),

---+: Ax +F-G x =0

(632),

'G:

(6.33).

Ax .a-Ay ·a+F a.(l-sinq?)=O

FOr Teil 2 gilt (634), ~

B:

Ox .a-Gy ·a=O

(6.35), (6.36).

Mit diesen sechs Gleichgewichtsbedingoogen lassen sich die sechs unbekannten Kriifte errnit-

t,1n

Ax FOr

=-F.(l-~Sinq;J,

F

A y =--·sinq; 2

ood

F

Ex =B y =G x =G y =-·sinq;. 2

rp= 45° ergeben sich A

~

~{1- ,[2]. F 4'

und

FOr einen Dreigelenkbogen, bei clem eine Kraft F auf nur einen Tragwerksteil wirkt, ist auch eine einfache grafische Errnittloog cler Auflagerreaktionen ood cler Gelenkreaktiooen moglich, Bild 6-9. a) Lagcplan

F

b) Kriiftcplan fUr das GesalllUJ
2

c) Krafl.cplan fUrTmgwcrkslci12 A

B

BUd 6-9 Grafische Ennittlung der Auflagerlcriifte und der Gelenkkriifte beim Dreigelenkbogen

a) Lageplan mit den Kraftwirlrungslinien b) Kriifteplan fur das GesamttragweIk mit den AuflagerlcraftenA lllld B c) Kriifteplan fur das lfagweIkstei12

6.6 Rahmentragwerke mit Gelenken

131

Da auf den rechten Tragwerksteil keine auJJere Kraft einwirkt, verlauft die Wirkungslinie WLB der Auflagerkraft B durch den Gelenkpunkt G. Das muss deshalb so sein, weil das Gelenk bekanntlich kein Moment ubertragen kann. Die Kraft F, die Auflagerkraft A und die Auflagerkraft B sind nur dann im Gleichgewich~ wenn die Wirkungslinie WL A der AuflagerkraftA durch den Schnittpunkt C der Wirkungslinien von F und B verlauft (siehe Kapitel 2.4.3: Gleichgewicht dreier Krafte). Dbertragt man nun die Richtung der Wirkungslinien in den Krafteplan, so erhalt man die Auflagerkrafte A und B mch GroJJe und Richtung, Bild 6-9b. Aus dem Krafteplan fUr das Tragwerksteil 2 ergibt sich auch die GroJJe und Richtung der Gelenkkraft G. Entsprechend dem Wechselwirkungsgesetz wirkt G in entgegen gesetzter Richtung auf den Tragwerksteil 1.

6.6

Rahmentragwerke mit Gelenken

Auch bei Tragwerksrahmen werden z. T. Gelenke eingesetzt (siehe z. B. Bild 6-1a). Diese Rahmenkonstruktionen mit Gelenken werden mit denselben Methoden behandelt, wie sie in den Kapiteln 6.2 und 6.3 beschrieben sind. Bei Dreigelenkrahmen, bei denen nur ein Rahmenteil belastet is~ kann unter bestimmten Voraussetzungen auch das in Kapitel 6.5 beschriebene grafische Verfahren eingesetzt werden. Voraussetzung is~ dass die Wirkungslinie der Auflagerkraft des unbelasteten Teils nicht parallel zur Wirkungslinie der auJJeren Kraft verlauft

•••

Beispiel 6-4 F

FUr den skizzierten Rahmen errnittle man: a) die Auflager- und Gelenkkrafte,

h

b) die SchnittgrbJ3enverlaufe. geg.: F, a, h

A

3a

~

Lasung:

------ -

a) Auflager- und Gelenkkriifte Freischnitte F

Gesamtsystem I I I

I

I

I

//

By

\

/

'\ f

f I I ~ I' I \

Gy

System 1:

\ Ax \

..... ,

I

Gx \ I

[

Bx Ay

I

I

/

/

....... _----....

'..... ..... _.... Ay ,,/

----

I

I

I

I

I

I

/.;"- G y

............ , \

F

'

I

Gx

I

I I

I

\

I

I

\ System 2 \

\

\

\

\

, I I I

Ex '\

' ,....B y.. . .' .......

---

I

I

I

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

132 Gleichgewichtsbedingungen fUr das Gesamtsystem:

h 3 B =-F--=--F y 2a 2

(I)

3

A y =-B y =-F 2 ---+:

Ax + Ex - F

(2)

=0

(3)

System 1:

G':

all Ax =AYh =3 Ay =2 F

A y -a - Ax -h = 0

(4)

1

G x =Ax =-F 2 G =-A y

aus (3) und (4) falgl

y

(5)

=-~F 2

(6)

1 B x =F-A x =-F 2

b) SchnittgrbJJen Bereich I: 0 < XI < h

Bereich II:

--+ : QI +A x =0

=>

1 QI =-Ax =-2 F

l'

NI + Ay = 0

=>

N I =-A =--F

"I

M

I

3

=>

+Ax -xI =0

2

y

M

I

=-A x -XI

0 < Xrr < 2a

--+ : N n +Ax =0

=>

1 N n =-Ax =-2 F

l'

A y -Qn =0

=>

Qn =A y =-F

"ll:

Mn-Ay-xn+Ax-h=O

=>

Mn

3

2

= A y -xn - Ax -h = 0 3

Mn(xn =O)=-A x -h=--F-a 2

6.6 Rahmentragwerke mit Gelenken

Bereich III:

133

0 < Xm < h (Verwendung des anderen Schnittufers)

j;!

Mm Qm

III

Xilll

---7 :

Qm +E x =0

=>

1 Qm =-E x =--F 2

l'

Nm+Ey=O

=>

3 N m =-E =-F y 2

"

M m - Ex . xm = 0

III:

Bx Mm(xm =0)=0

By 3/2 .p -l/2·P

I I (-) I I

=>

M m = Ex . xm

3 Mm(xm =h)=-F·a 2

$

I-I--
~

t; I'='

-

L...

-

I-I--

N-Verlauf

Q-Verlauf

M-Verlauf

134

7 Ebene Fachwerke Ein Fachwerk ist ein mehrteiliges Tragwerk, das aus SUiben aufgebaut ist Die SUibe sind durch Gelenke miteinander verbunden, die als Knoten bezeidlllet werden. Die Knoten sind als reibungsfreie Gelenke ausgeflihrt ood kormetl somit nur eine Kraft, d. h. zwei Kraftkomponenten, aber kein Moment Obertragen. Beim idealen Fachwerk greifen die aul3eren Krille our in den Knotenpunkten an, Bild 7-1. Somit sind die Stiibe, wie gnmdsatzlich uhlich (siehe Kapitel 5.1.2), nur durch Zug- oder Druckkriifte in Stabrichtung beansprucht. KnOlcnpunkl

"

IV

4

====;====~V 6

77?

BUd 7-1 Aufbau cines einfachen Fachwetkes mit fiinfKnoten lllld sieben Stiiben

Man ooterscheidet •

einfache Fachwerke ood

•

nichteinfache Fachwerke.

Ein einfaches Fachwerk ist ausschliel3lich aus Dreiecken aufgebaut. Beim einfachen Fachwerk kommen auch zweisUibige Knoten vor, siehe z. B. Knoten I ood V, Bild 7-1. Nichteinfache Fachwerke bestehen nicht nur aus dreieckigen Feldem, sondem z. B. auch aus Vierecken oder FOnfecken. In jeden Knoten mOnden beim nichteinfachen Fachwerk mindestens drei Stiibe, Bild 7-2. F,

BUd 7-2

Aufbau eines nichteinfachen Fachwerks mit sieben Knoten lllld elf Staben

7.1 StabiliHit, statische Bestimmtheit

7.1

135

Stabilitlit, statische Bestimmtheit

Die Gelenke beim Fachwerk nermt man Knoten oder Knotenpunkte. Die Anzahl der Knoten wird mit k bezeichnet Bei dem einfachen Fachwerk in Bild 7-1 betragt die Knotenzahl k ~ 5. Die Anzahl der Stabe wird mit s bezeichnet Bei dem in Bild 7-1 gezeigten Beispiel ist s ~ 7. Das Fachwerk ist durch ein Festlager und ein Loslager statisch bestimmt gelagert. Es existieren sornit ages = 3 Auflagerbindungen. Ein als Tragstruktur einsetzbares Fachwerk muss stabil gelagert sein und zudem auch ohne Lagerung eine innere Stabilitat besitzen. Voraussetzung daffu, class die Auflagerreaktionen

und die Stabkrafte mit den Methoden der Statik bestimmt werden kbrmen, ist die statisch bestirnrnte Lagerung und die innere statische Bestimrntheit des Fachwerks. Hierzu lassen sich folgende Uberlegungen anstellen: • Ein freier, ungebundener Punkt hat in der Ebene zwei Freiheitsgrade, z. B. Bewegungsfreiheitsgrade in x- und y-Richtung. • k freie Punkte (Knotenpunkte) haben in der Ebene 2k Freiheitsgrade.

Sind die Punkte durch Stabe verbunden und ist das Fachwerk aufgelagert, so ergeben sich die Freiheitsgrade nach der Formel 1/=2k-(Gges +s)1

(7.1),

wobei berucksichtigt is!. dass der Stab ein statisch einwertiges Gebilde darstellt Fiir I~ 0 ist das Fachwerk statisch bestimmt und stabil gelagert Es ist somit als Tragwerk geeignet Fiir 1 < 0 ist das Fachwerk ebenfalls stabiL Es ist darm aber entweder statisch unbestirnrnt gelagert oder es liegt wegen zu vieler Stabe eine innere statische Unbestirnrntheit var. In diesem Fall reichen die Methoden der Statik nicht aus, urn das Fachwerk zu berechnen. Ergibt sich mit Gleichung (71) I> 0, karm sich das Fachwerk bewegen und ist damit als Tragw erk unbrauchbar Bei dem in Bild 7-1 dargestellten Fachwerk liegt Stabilitat und statische Bestimmtheit vor Mit k ~ 5, s ~ 7 und G,,, ~ 3 ergibt sich mit Gleichung (7.1)

1=25-(3+7)=0 Auch das nichteinfache Fachwerk in Bild 7-2 ist statisch bestimmt und stabil und somit als Tragwerk brauchbar Nach Gleichung (71) ergibt sich mit k ~ 7, s ~ 11 und G,,, ~ 3

1=27-(3+11)=0 Bei einem Fachwerk muss also eine statisch bestimmte Lagerung (siehe auch Kapitel 5.3.1 beim einteiligen Tragwerk und Kapitel 6.1.1 beim mehrteiligen Tragwerk) und zusatzlich innere statische Bestirnrntheit gewahrleistet sein. Bei vorliegender statisch bestirnrnter Lagerung ergibt sich die innere statische Bestirnrntheit bei einer Stabzahl von

(7.2). Mit dieser Formel lasst sich die erforderliche Anzahl der Stabe eines Fachwerks berechnen. Liegt eine hohere Stabzahl vor, ist das Fachwerk zwar stabil, aber irmerlich statisch unbestirnrnt. Bei einer niedrigeren Stabzahl ist das Fachwerk statisch unbrauchbar.

136

7.2

7 Ellene Fachwerke

Ermittlung der Auflagerkrafte von ehenen Fachwerken

Liegt eine statisch bestimmte Lagerung vor, so karmen die Auflagerkrafte mit den Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik, Kapitel 4.1, 5.4 ood 6.2, errnittelt werden. Dabei karm das FachweIk im Allgemeinen als einteiliges oder in speziellen Fallen als mehrteiliges Gesamttragwerk angesehen werden. 0)

b)

FI'= 2F

Fr= F

"

A

I.

4

"

A,

IV 777B

.1

Ay 0)

t

IF F

iJ Ay

B

BUd 7-3 Ennittltmg der Auflagerlcriifte beim ebenen Fachwerk

a) statisch bestimmt gelagertes lllld stabiles Fachwerk mit vier Knoten lllld fiinf Staben b) Freigeschnittenes FachweIk mit den auBeren Kraften F j = 2Flllld F2 = F sowie den AuflagerlcriiftenA"A y und B c) Betrachtllllg des Fachwetkes als stalTer KOrper mit den WiIkllllgslinien der auBeren Krafte lllld der Auflagetkriifte

FOr die Errnittlung der Auflagerreaktionen beim Fachwerk ist wie bei allen Tragwerken mnachst ein Freischnitt, d. h. das gedankliche Lasen des Fachwerkes von den Auflagem ood das Einzeichnen der Lagerreaktionskrafte, natig (siehe Bild 7-3a und Bild 7-3b). FOr die Fnnittlung der Auflagerkrafte wird das Fachwerk, wie aile bereits behandelten Tragwerke, als stalTer Karper betrachtet, Bild 7-3c. Die Gleichgewichtsbedingoogen fUr das in Bild 7-3 gezeigte Fachwerk lauten:

7.3 Errnittloog der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk

137

Ax-Fz=Ax-F=O

(7.3),

B:

A y .a-Fj .a+Fz ·a=A y .a-2F.a+F.a=O

(7.4),

"A':

B·a-Fz ·a=B·a-F·a=O

(7.5).

f-: ~

Mit den Gleichoogen (7.3), (7.4) und (7.5) ergeben sich die Auflagerkrafte Ax =F, A y =F ood B=F. Sind die aul3eren Krafte ood die Auflagerkrafte bekannt, so kormen die irmeren Krafte, die Stabkrafte des Fachwerks, errnittelt werden.

7.3

Ermittlung der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk

FOr die ingenieurtechnische Auslegung eines Fachwerkes ood die Auswahl der erforderlichen Stabquersdlllitte ist die Kermtnis der Stabkrafte von Bedeutung. Obwohl das Gesamtfachwerk im Allgemeinen grol3e Krafte ood Momente Obertragen kann, wirkt im einzelnen Fachwerkstab lediglich eine Zug- oder Druckkraft in Stabrichtung. FOr die Errnittlung der Stabkrafte eines Fachwerkes stehen sowohl rechnerische als auch zeichnerische Methoden zur Vertligoog. Diese werden im Folgenden vorgestellt.

7.3.1 NullsHibe Neben belasteten Stab en konnen in einem Fachwerk auch oobelastete Stabe, so genarmte Nullstabe, vorkommen. Diese sind dennoch von Bedeuhmg, da sie im Allgemeinen der Stabilitiit des Fachwerkes dienen. Nur in Einzelfallen kann auf die Nullstabe verzichtet werden. Diese Nullstabe lassen sich im Allgemeinen mit einfachen Regeln erkennen:

Regel 1: Bei einem zweisttibigen unbelasteten Knoten sind heide Sttibe NulLsttibe, BUd 7-4a Regel 2: 1st ein zweisttibiger Moten in die RichtWlg eines Stabs belaste~ so ist der andere Stab NulLstab, BUd 7-4b. Regel 3: Ein NuILstab trilt bei einem dreisttibigen unbelasteten Knoten auf werm die heiden (OJderen Sttibe in dieselhe RichtWlg zeigen, BUd 7-4c. 0)

b)

,)

BUd 7-4 Regeln fur Nullstabe

a) Zweistabiger unbelasteter Knoten: beide stabe (1 lllld 2) sind Nu11stabe b) Zweistabiger belasteter Knoten, bei clem die Kraft in Richttmg eines stabs wiIkt: anderer Stab (1) ist Nullstab c) Dreistabiger llllbelasteter Knoten mit zwei staben, die in dieselbe Richtung zeigen (Stabe 1 lllld 2): dritter Stab (3) ist Nu11stab

7 Ellene Fachwerke

138

Diese Regeln fUr NullsUibe entspringen Gleichgewichtsbetrachtoogen an den betrachteten Knoten, siehe auchKapitel7.3.3. Bei dem in Bild 7-5 dargestellten Fachwerk kommen insgesamt vierNullsUibe vor. Bei Knoten I handelt es sich lUll einen oobelasteten zweisUibigen Knoten (siehe Regel!, Bild 7-4a). Somit sind Stab 1 und Stab 2 NullsUibe. FOr die Obertragung der vorliegenden Krille F j und F 2 werden beide SUibe nicht benotigt. Sollten die SUibe auch nicht aus anderen Gn1nden erforderlich sein, kormetl sie weggelassen werden.

2

V

6

F2

9

II A

~==c==J!===o===~ 4

IV

8

VI 777 B

BUd 7-5 Aufsuchen von Nullstiiben beim FachweIk

Bei Knoten V liegt ein zweisUibiger Knoten vor, bei clem die angreifende Kraft in Richtoog von Stab 6 wirkt. In diesem Fall ist Stab 9 ein Nullstab (siehe Regel 2, Bild 7-4b). Er Obertragt zwar keine Kraft, client aber cler StabiliUit des Fachwerks, da er Stab 6 in Position halt. Auf Stab 9 kann also nicht verzichtet werden. Bei Knoten IV liegt ein dreistabiger unbelasteter Knoten vor, bei dem die Stabe 4 ood 8 in dieselbe Richtung zeigen. Derrmach ist Stab 5 ein Nullstab (siehe Regel 3, Bild 7-4c). Obwohl Stab 5 keine Kraft Obertragt, ist er fUr die Stabilitat des Fachwerks dringend erforderlich (siehe auchKapitel7.1). Mit diesen Regeln fUr Nullstabe k6nnen, falls Nullstabe vorliegen, bereits erste Stabkrafte bestimmt werden. Die Obrigen Stabkrafte kormen mit reclmerischen oder zeichnerischen Methoden errnittelt werden.

7.3.2 RITTERsches Schnittverfahren Bei diesem Verfahren erfolgt die Errnittlung der Stabkrafte durch Gleichgewichtsbetrachtoogen an einzelnen Fachwerksteilen. Dam werden, ahnlich wie bei dem Schnittprinzip nach EULER-LAGRANGE, gedachte Sclmitte durch das Fachwerk gelegt und das Fachwerk so in jeweils zwei Teile zerlegt. Die Schnitte mOssen jeweils durch 3 Stabe gehen, die sich nicht in einem Knoten treffen. Die Sclmittgr6l3en (irmeren Krafte) sind beim Fachwerk darm die m bestimmenden Stabkrafte. Sie wirken jeweils in Stabrichhmg und werden als Zugkrafte angenommen. Sollte sich bei der Errnittloog der Stabkraft ein negatives Vorzeichen ergeben, so handelt es sich lUll einen Druckstab. Die Errnittlung der Stabkrafte mit dem RITTERschen Schnittverfahren soli nun an dem in Bild 7-3 dargestellten Fachwerk verdeutlicht werden.

7.3 Errnittloog der Stabkrafte beirn einfachen Fachwerk

5,

139

2

~

Fl""F

5

53

~..!.Jf===~~IV

Ax=F

4

5,

Ay=F

'SI

,

IV

t.F

BUd 7-6 Ermittlung der Stabkriifte mit clem RfTIERschen Sclmittvetfalrren

a) Freigeschnittenes FachweIk nach Bild 7-3 mit den iiuBeren Kriiften F j = 2F lllld F2 = F sowie den bereits ennittelten Auflagerlcriiften Ax = F, Ay = Fund B = F sowie den RTflERschen Schnitten RSI und RS2 b) :Mit RITfER-Sclmitt RSl freigesclmittenes FachweIksteil mit den als Zugkriifte angenommenen Stabkriiften q, ~ und S4 c) Rechter Teilbereich des Fachwerks, der durch RSI entstanden ist, mit den entgegengesetzt wirkenden stabkriiften q, ~ und S4 d) :Mit RfTIER-Schnitt RS2 freigesclmittenes FachweIksteil mit den Stabkriiften Sj, ~ und S5

FOr dieses FachweIk wurden die Auflagerkrafte bereits in Kapitel 7.2 bestimmt AuBere Krafte und Auflagerkrafte sind in Bild 7-6a eingezeidlllet. Mit dem RITTER-Schnitt RSI durch die drei Stabe 2, 3 und 4 konnen darm die Stabkrafte 8 2, 8 3 und 54 errnittelt werden. Dam werden diese als Zugkrafte in Bild 7-6b angenommen. Mit den Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik lassen sich die gesuchten Stabkrafte errnitteln. Sinnvoll ist es, rnoglichst Mornentenbedingoogen urn die Knotenpookte einzusetzen, urn so die Anzahl der Unbekannten je Gleichoog m reduzieren. Die Mornentenbedingoog lUll den Knoten IV liefert:

140

7 Ebene Fachwerke

(7.6). Die Unbekannten 8 3 und 8 4 kornrnen in dieser Gleichung nicht VOf, da sie keine Mornente urn Punkt IV ausuben. Somit kann die Stabkraft S2 umnittelbar aus Gleichung (7.6) ennittelt werden:

Die Momentenbedingung urn Knoten II liefert

"II:

S4 ·a-A x ·a=O

(7.7).

Daraus ergibt sich

S4=A x =F. Mit der dritten Gleichgewichtsbedingung

J. :

S 3 . cos 45° + F j

-

Ay

=0

(7.8)

erhalt man die Stabkraft

-2F+F cos 45°

-1,4IF.

Die Stabkrafte S2, S3 und S4 hatten auch durch die Betrachtung des rechten Teilbereichs des Fachwerks, Bild 7-6c, ennittelt werden kbnnen. Mit dem RlTTER-Schnitt RS2, Bild 7-6d, lassen sich die Stabkrafte S, und S, bestimmen. Die Momentenbedingung urn Knoten IV liefert

"IV:

Sj ·a+A y ·a=O

=> Sj =-A y =-F

(7.9).

Die Momentenbedingung urn Punkt II fUhrt zu

"II:

Ss ·a+B·a-A x ·a=O =>

Ss =Ax -B=F-F=O

(7.10).

Die Stabkraft S, ist somit null. Dies erkennt man auch mit den Regeln fill Nullstabe (siehe insbesondere Bild 7-4b). Die Stabe 2 und 4 sind Zugstabe, wahrend die Stabe 1 und 3 Druckstabe sind. Die Einteilung der Stabe in Zug- und Druckstabe ist fill die Dimensionierung der Stabe von Bedeutung (siehe Teil: Festigkeitslehre) Der RlTTER-Schnitt kann auch durch mehr als drei Stabkrafte gehen, wenn einzelne Stabkrafte schon bekannt sind. Damit die Stabkrafte mit den drei Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik ermittelt werden kbnnen, dillfen in diesem Schnitt aber nicht mehr als drei unbekannte Stabkrafte wirken.

7.3 Ennittlung der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk

141

•••

Beispiel 7-1 A

III

I

a

4

IV 8 VII 12 IX 16 X 20

3

B

XII 2a

2a

2a

2a

2a

2a

2a

a

Eine Dachunterkonstruktion, die auf zwei Betonpfeilem C und D gelagert ist, tragt das Dach einer Fabrikhalle. Als anteilige Dachlast kann eine konstante Streckenlast qo angenornrnen werden. Bestirnrnen Sie:

a) die Auflagerkrafte A, B, C und D und b) die Stabkrafte in den Staben I-II mit Hilfe des RlTTERschen Schnittverfahrens. geg.:

qo

~

7000 N/m, a ~ I m

Lasung:

a) Auflagerkrafte A, B, C und D Freischnitt Dach

~,o Ax

A

B y

B·12a-qo ·14a·6a =0 A y -qo ·14a+B=0

=> B=qo·14a.6a

49kN

12a

=>

A y =qo ·14a-B=49kN

Freischnitt Dachunterkonstruktion

Ay

B

Cy

D

142

C':

7 Ebene Fachwerke

B . lOa - D . 8a - A y . 2a = 0

=>

D=~

8

(IOB-2A y )=49kN

C y =A y +B -D = 49kN b) Stabkrafte in den Staben 1 - 11 mit Hilfe des RITTERschen Schnittverfahrens

Iv·

Ay

4

IV 8

88 89 6

V 10

810 '2a-C y '2a+A Y '4a=0

=>

J.:

8 10 = C y - 2A y = -49kN

89'sin45°+Ay-Cy=0 =>

8 9 =0

810

Cy

=>

8 8 = -810 = 49kN

Ay

II

6

VIO

l'

8 7 +C y -A y =0

--7 :

8 4 +810 =0

=>

=>

8 7 =0

84 = -810 = 49kN

810

Cy

Ay

IT'

81

81 . 2a - A y . 2a = 0

=>

l'

8 3 +C y -A y =0

--7 :

8 1 +8 6 =0

86 Cy

8 1 =A y = 49kN

IT'

=>

=>

8 3 =0

86 = -81 = -49kN

8 4 . 2a +85 ·sin45°· 2a-A y ' 2a = 0

Ay

=> 8 5 =_._1_ (A y -84 )=0 sm45°

84 85 83

J.

8 2 . cos 45° +A y +8 3 +85 ·cos45° = 0

=> _ -A y -83 -85 ·cos45° 82 cos 45°

-69,3kN

143

7.3 Errnittloog der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk

7.3.3 Knotenpunktverfahren Dieses Verfahren geht davon aus, dass sich das gesamte Fachwerk im Gleichgewicht befindet, wenn fUr jeden Knoten Gleichgewicht nachgewiesen werden kann. Dam werden aile Fachwerkknoten gedanklich freigeschnitten. An den SUiben, die in einen Knoten einmOnden, werden dann die Stabkrafte als Zugkrafte eingetragen. Mit den Gleichgewichtsbedingoogen fUr die zentrale Kraftegruppe (die Wirkungslinien aller Krafte schneiden sich im Knotenpookt, siehe auch Kapitel 2.4.4), namlich mit LF';x = 0 ( ---+ ) und mit LF';y= 0 (t) lassen sich dann die Stabkrafte ennitteln. Sinnvoll ist es an einem zweistabigen Knoten m beginnen, da dart die beiden unbekarmten Stabkrafte mit den zwei Gleichgewichtsbedingungen sofort errnittelt werden kormen. ,j

b) Knotcn I:

FJ=2F 2

II

III fi=F

5,

5

54

Ax'"'F

Ay=F

B=F d) Knotcn [I:

c) Knolcn JII:

5,

Ay=F

IV

4

Ax·F

FI''' 2F

III F2=F

52

II

53

5, 5,

BUd 7-7 Ermittlung der Stabkriifte mit clem KnotenpunktveIfahren a) Freigeschnittenes Fachwetk nach Bild 7-3, bei dem zur Ennittlung der Stabkrafte die Knoten nacheinander freigesclmitten werden b) Freisclmitt fur Knoten I mit den als Zugkriifte angenonunenen stabkriiften Sj lllld S4 c) Freigeschnittener Knoten III mit den Stabkraften S2 lllld S5 d) Freisclmitt fur Knoten II mit den Stabkraften Sj, q und [h Auch das Knotenpooktverfahren soli an dem Fachwerk in Bild 7-3a verdeutlicht werden. Somit ist ein oomittelbarer Vergleich der hier vorgestellten Methoden zur Fnnittlung der Stabkrafte moglich.

144

7 Ebene Fachwerke

Die auJJeren Krafte und die Auflagerreaktionen des Fachwerks sind in Bild 7-7a eingetragen. Dart ist auch angedeutet, wie die Knoten freigeschnitten werden sollen. Die Gleichgewichtsbedingungen fill den freigeschnittenen Knoten I, Bild 7-7b, fUhren zu (7.11) und (7.12). Aus Gleichung (7.11) erhalt man S4 =A x =F

und mit Gleichung (7.12) ergibt sich Sj =-A y =-F.

Fill den Knoten III, Bild 7-7c, liefert die Gleichgewichtsbedingung 'iF" f-:

~

0

S2-F2=O => S2=F2 =F

(7.13).

Die Gleichgewichtsbedingung iny-Richtung liefert

J.

Ss

=0

(7.14).

Mit den Gleichgewichtsbedingungen fill Knoten III, Gleichung (7.13) und (7.14), lasst sich auch die Nullstabregel 2, Bild 7-4b, erklaren. Bei Knoten III handelt es sich urn einen zweistabigen Knoten, bei dem die Kraft F 2 in Richtung von Stab 2 wirkt Wahrend Stab 2 die Kraft F 2 aufnimmt, ist der andere Stab, hier Stab 5, Nullstab, d. h. S, ~ o. Mit der Gleichgewichtsbetrachtung am Knoten II, Bild 7-7d, kann auch die Stabkraft S3 ermittelt werden: (7.15). Somit sind alle Stabkrafte des Fachwerks bestimmt Wenn man Krafteplane fill die einzelnen Knoten zeichnet erkennt man auJJerdem, dass die Kraftecke fill alle Knoten geschlossen sind. Das Knotenpunktverfahren funktioniert immer, da jeder Knoten fill sich im Gleichgewicht sein muss. Es eignet sich auch in besonderer Weise fUr die cornputertechnische Behandlung.

Beispiel 7-2

•••

Eine Eisenbahnbriicke, bestehend aus einer Fachwerkskonstruktion, ist in A und B gelagert (Fragestellung I-I). Die Krafte, die sich aus einer Zuguberfahrt ergeben, greifen idealisiert an den Knoten III und Van. Bestimrnen Sie

a) die Auflagerkrafte in A und B sowie b) die Stabkrafte des Fachwerks mit Hilfe des Knotenpunktverfahrens. geg.: F, a

7.3 Ennittlung der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk al2

.-+

a

145 a

AI~I:===4=== ;JlIV~===8=== VI

al2

Lasung:

a) Auflagerkrafte in A und B

II

IV

4

VI

8

Ax

=-;~ =====~~====~¥======~VII B

=0

---7:

Ax

~:

F . a + F . 2a - B . 3a = 0

l' :

A y - 2F + B

b) Stabkrafte

=>

=0

:J

l'

A y +Sj·sin45°=O =>

Sj =-_F_=_fiF sin 45°

---7 :

Sj·cos45°+S 2 ~O =>

S2 =-Sj ·cos45°=F

J.

Sj ·cos45°+S 3 ·cos45°=O

---7 :

S4 +S3 ·sin45°-Sj ·sin45°=O

82

2

Ay

II

45°

4

45°

84

=>

S3 =-Sj =fiF

=> S4 =Sj·sin45°-S3 ·sin45°=-2F

146

7 Ebene Fachwerke

---+:

S6 +Ss ·sin45°-S 3 ·sin45°-S 2 =0

=>

---+:

S6 =S3 ·sin45°-Ss 'sin45°+S 2 =2F

Ss +S7 ·sin45°-S s 'sin45°-S4 =0

=>

Ss =Ss 'sin45°-S 7 'sin45°+S4 =-2F

Aus Symmetriegrlinden gilt:

7.3.4 CREMONA-Plan Die Stabkrafte eines Fachwerks lassen sich auch zeichnerisch, z. B. mit dem CREMONA-Plan, ennitteln. Bei diesern wichtigsten grafischen Verfahren arbeitet man, wie bei vielen anderen zeichnerischen Verfahren, mit einern Lageplan und einern Krafteplan. Dabei wird irn Lageplan eine Feldeinteilung in auJ3ere und innere Polygone vorgenornrnen, die es erlaubt, die Kraftecke

fUr alle Knoten im Krafteplan systematisch aneinander zu reihen. Alle Stabkrafte kbnnen dann aus dem Krafteplan ermittelt werden. Ob Zug- oder Druckbelastung in den Staben vorliegt, ergibt sich aus der Darstellung der Stabkrafte im Lageplan. Auch dieses Verfahren soll wegen der Vergleichbarkeit an dem in Bild 7-3a gezeigten Fachwerk durchgefUhrt werden. Zunachst wird im Lageplan das freigeschnittene Fachwerk mit den auJJeren Kraften F l ~ 2F und F 2 ~ F sowie den Auflagerkraften A, ~ F, A y ~ F und B ~ F dargestellt, Bild 7-8a. Danach kann cler Krafteplan gezeichnet werden. Beginnend mit F1 werden unter Beachtung eines Rechtsdrehsinns im Lageplan alle Krafte im Krafteplan aneinandergereiht, Bild 7-8b. Der sich ergebende geschlossene Krafteplan zeigt, dass sich das Fachwerk im Gleichgewicht befindet: Nun erfolgt die Einteilung der Felder des Fachwerks in auJJere und innere Polygone, Bild 7-8c. AuJJere Polygone sind nach auJJen offene Felder zwischen den Kraften. Die inneren Felder beim Fachwerk CGebiete zwischen den Staben) bezeichnet man als innere Polygone. FUr die Ubertragung dieser Feldbezeichnungen in den Krafteplan bedarf es folgender Uberlegungen. Durchlauft man im Lageplan die auJJeren Felder mit einem Rechtsdrehsinn, so muss man von Feld Ca) nach Feld (b) die Kraft F l uberschreiten. F l liegt somit im Lage- und im Krafteplan zwischen Ca) und Cb), wobei ein Feld im Lageplan zu einem Punkt im Krafteplan wird. Ca) bezeichnet nun im Krafteplan den Anfangspunkt und (b) den Endpunkt der Kraft F l , Bild 7-8d. F 2 liegt im Lageplan und im Krafteplan zwischen Cb) und Cc), usw.

7.3 Errnittloog cler Stabkrafte beim einfachen Fachwerk a) Lagcplan

147

b) Kriiftcplan

~

Ax'" F

Ay"'F F]=2F

P 4

A x= F

(bl

FI \.

"

FrF

B-F

Ay"'F

01

BaF

Rechlsdrehsinn

dl (a)

A,

(01

2

Ay

("

(0

FI (b)

l:\ 4

F,

(d)

B (g)

(01

Zug (+)

Druck (-)

BUd 7-8 Ermittlung der Stabkriifte mit dem CREMONA-Verfahren

a) b) c) d)

Freigeschnittenes Fachwerk nach Bild 7 -3 im Lageplan Kriifteplan mit allen am FachweIk angreifenden iiuBeren Kriiften lllld LageIkriiften Feldeinteilllllg im Lageplan in iiuBere Po1ygone ((a) bis (e» lllld illllere Polygone ((f), (g» Ubertragung der Feldbezeiclmllllgen in den Kriifteplan: Feld im Lageplan ergibt Pllllkt im Kriifteplan e) Festlegllllg der Vorzeichen der stabkriifte im Lageplan f) Darstellllllg der Zug- lllld Druckstiibe beim FachweIk

148

7 Ebene Fachwerke

Hat man die Bezeichnungen fill alle auJJeren Polygone in den Krafteplan ubertragen, so gilt es noch die inneren Polygone ira Krafteplan zu finden. Da z. B. Polygon (I) im Lageplan, Bild 7-8c, durch eine vertikale Linie (Stab 1) von (a) und durch eine horizontale Linie (Stab 4) von (d) abgegrenzt ist, erhalt man durch eine vertikale Linie an (a) und eine horizontale Linie an (d) einen Schnittpurikt (I) im Krafteplan, Bild 7-8d, usw. Die Zuordnung der Stabkrafte ira Krafteplan erfolgt mit der folgenden Uberlegung. Stab 1 hegt im Lageplan zwischen den Feldern (a) und (I). Folghch ergibt sich die Stabkraft S, ira Krafteplan zwischen (a) und (I), S2 hegt dann zwischen (b) und (g), S3 zwischen (I) und (g), usw. Die Stabkrafte lassen sich nun im Krafteplan ablesen, Bild 7-8d. Fill die Ennittlung der Vorzeichen der Stabkrafte, Bild 7-8e, gilt das Nachfolgende: Dberquert man fill jeden Knoten die Stabe in einem Rechtsdrehsinn, Bild 7-8e, so wandert man bei Knoten I von (a) nach (I) uber Stab 1. Die Wanderungsrichtung von (a) - (I) im Krafteplan wird mit einem Pfeil im Lageplan festgehalten, usw. Wird auf diese Weise jeder Knoten betrachtet, erhalt man das in Bild 7-8e gezeigte Bild. Mit den Definitionen der Zug- und Druckstabe nach Bild 7-8f erkennt man, dass die Stabe 1 und 3 Druckstabe und die Stabe 2 und 4 Zugstabe sind. Da im Krafteplan die Purikte (c) und (g) zusammenfallen, ist Stab 5 ein Nullstab.

•••

Beispiel 7-3

-----'--.....·1··----"---... a

B

a

VI

~

Bestimrnen Sie fUr den skizzierten und mit einer Kraft F belasteten Wandkran

a/2

a F

a) rechnerisch die Auflagerkrafte in A und B, b) die Stabkrafte mit Hilfe des CREMONAPlans.

a

geg.:

a

~

2 m, F

~

25 kN

a/2

Lasung:

a) Auflagerkrafte in A und B

'1\': ---7:

B·2a+F·2a=O Ax +B=O

=>

Freischnitt:

=>

B

B=-F=-25kN

F

Ax =-B=25kN

Ax und a

A

= arctan -----..£ = 45°

Ay

Ay

7.4 Ennittlung der Stabkrafte beim nichteinfachen Fachwerk

149

b) Ennittlung der Stabkrafte mit Hilfe des CREMONA-Plans Lageplan:

Krafteplan: (d), (e)

B

7

F

(h), (1)

F

1m

t----I

10kN

t----I

(c)

Durch Abmessen folgt:

7.4

Sl = 25kN

S4 =25kN

S7 = -18,6kN

SlQ=50kN

S2 =-56kN

Ss = -18,6kN

Ss =50kN

Sll =-56kN

S3 =OkN

S6 =-47,5kN

S9 =OkN

Ermittlung der Stabkrlifte beim nichteinfachen Fachwerk

Die Ennittlung der Stabkrafte beim nichteinfachen Fachwerk ist u. U erheblich aufwandiger als beirn einfachen Fachwerk. Dies hat insbesondere darn it zu tun, class je Knoten rnindestens drei Stabe vorliegen und somit mindestens drei unbekannte Stabkrafte zu ennitteln sind. Dies bedeutet beispielsweise, dass beim Knotenpunktverfahren je Knoten mehr Unbekannte als Gleichgewichtsbedingungen vorkommen. Die Gleichgewichtsbetrachtungen an einem Knoten fUhren also noch zu keinern Ergebnis. Erst die Untersuchung rnehrerer Knoten und im Extrern-

fall aller Knoten liefert gemlgend Gleichungen, urn die unbekannten Stabkrafte ennitteln zu kbnnen. Anwendbar ist auJJerdem das RlTTERsche Schnittverfahren. Aber auch hier reicht u. U ein Schnitt nicht aus, urn die ersten Stabkrafte ennitteln zu kbnnen Ein CREMONA-Plan Hisst sich erst zeichnen, wenn rnindestens eine Stabkraft bekannt ist. Es kann daher auch zielfUhrend sein, rnehrere Verfahren in Korn bination einzusetzen. Zum

Beispiel kann die kombinierte Anwendung des Knotenpunktverfahrens und des RlTTERschen Schnittverfahrens sinnvoll sein.

Das in Bild 7-9a dargestellte nichteinfache Fachwerk besteht aus II Staben und 7 Knoten. Es ist statisch bestimmt gelagert und durch die Krafte F, und F 2 belastet: Mit k ~ 7, s ~ II und G,,, ~ 3 ergibt sich mit Gleichung (7.I)f~ o. Es handelt sich urn ein stabiles, statisch bestimmtes Fachwerk

7 Ebene Fachwerke

150

,j

b)

...F2'= F

" 10 2a

A,

.SI

Ay

oj

d)

51

II

«

B

0)

5,

4

5, IV

4

II

•

5,

A,

It

A,

II

.SI

Ay BUd 7-9 Ennittltmg der Stabkrafte beim nichteinfachen FachweIk

a) statisch bestimmt gelagertes lllld stabiles nichteinfaches FachweIk b) Freigeschnittenes Fachwerk mit den auBeren Lasten Fj lllld F2 lllld den AuflageIkriiften Ax,

AyundB c) Freisclmitt fur Knoten I mit den Stabkriiften Sj, S;. und S11 d) Freigesclmittener Knoten II mit den Stabkraften Sj, fh lllld S4 e) RITTER-Sclmitt chirch die Stabe 4, 5 lllld 11

Die Auflagerkrafte, Bild 7-9b, lassen sich mit den Gleichgewichtsbedingoogen errnitteln: ---+: Ax - F z = 0 ~

Ax = F z = F

B:

A y .4a-Fj "2a-Fz "3a=O

'A:

B·4a-Fj "2a+Fz "3a=O

=>

=>

(7.16) Fj 2

3 4

5 4

A =-+-Fz =-F y

Fj

3

1

2

4

4

B~---F2=--F

(7.17)

(7.18).

Zur Errnittloog der Stabkrafte karm das Knotenpooktverfahren angewendet werden. FOr Knoten I, Bild 7-9c, ergeben sich die Gleichgewichtsbedingoogen

7.4 Ennittlung der Stabkrafte beim niehteinfaehen Faehwerk

lSI (7.19),

I:

Sj+S2·eosa+Ay=0

(7.20).

FUr Knoten II, Bild 7-9d, gilt ---+: S4+ S 3· sin jJ=0

(7.21), (7.22).

Bisher stehen erst vier Gleiehungen, (7.19)-(7.22), flinfunbekannten Stabkraften, S, bis S4 und 8 11 , gegenuber. Es ist also noch die Betrachtung weiterer Knoten erforderlich, urn eine fUr die Ennittlung der Stabkrafte ausreiehende Zahl von Gleiehungen zur VerfUgung zu haben. Beim RITTERsehen Sehnittverfahren ist z. B. ein erster RITTER-Sehnit!, RSI, dureh die Stabe 4, 5 und II sinnvoll, Bild 7-ge. Die Momentenbedingung urn Punkt IV liefert dann (7.23). Daraus lasst sieh unmittelbar die Stabkraft

2 2 5 F Sl1 =-A +-A =-F+-·-F=-x 3 y 3 4 6

(7.24)

ennitteln. Mit weiteren Gleieligewiehtsbetraehtungen und weiteren Sehnitten erhalt man dann die ubrigen Stabkrafte. Dass eine Kombinalion von RITTER-Sehnittverfahren und Knotenpunktverfahren Vorteile bringen kann, erkennt man safar!, wenn man die Stabkraft Sl1 aus Gleiehung (7.24) in Gleichung (7.19) einsetzt. Hierdureh ergibt sieh unmittelbar S2 und dann aus Gleiehung (7.20) aueh S,.

152

8 Raumliche Statik stalTer Korper Von raumlicher Statik spricht man, werm Krille ood Momente nicht in einer Ebene wilken. Eine Kraft F im Raum hat darm nicht our zwei KompOl1etlten, wie in cler Ebene, soodem drei Kompooenten (z. B. F x, F y ood FJ. 1m Gegensatz mr ebenen Statik, bei der das Moment lediglich in der x-y-Ebene wirkt, bzw. der Momentenvektor our eine KOflllOl1ente in z-Richhmg besitzt, hat cler Momentenvektor im RalUll drei Komponenten (z. B. Afx, My und MJ. Die Axiome der Statik, siehe Kapitel 2.3, gelten im Raum in gleicher Weise wie in cler ebenen Statik. Allerdings andem sich beim starren Karper im RalUll die Uberlegoogen zur StabiliUit und zur statischen Bestimmtheit, die Gleichgewichtsbedingungen, die Lagenmgsarten und Lagerreaktiooetl sowie die Sclmittgr6l3en. Die Tatsache, class die ebene Statik bereits behandelt wurde, erleichtert den Zugang mr ratunlichen Statik, da die wichtigen Gnmdprinzipien der Mechanik auch hier Anwendoog fmden.

y

/f

y

F,

F,

,

,

, x

x

F)

x

BUd 8-1 Beispiele fur ebene und raumliche Statik

a) Balken mit Kraft F 1 inx-y-Ebene als Beispiel fur ebene Statik b) Balken mit schrag wirkender Kraft F2 als Beispiel ffir raumliche statik c) Ra1unen mit sclrrag wirkender Kraft F3 als Beispiel fur raumliche Statik

Eine Unterscheidoog von ebener und ratunlicher Statik ist in Bild 8-1 gezeigt. Bei dem Balken in Bild 8-la with die Kraft F j in der x-y-Ebene. Es liegt somit ein ebenes Balkenproblem vor. Bild 8-lb zeigt einen Balken, bei dem die Kraft F 2 schrag in der y-z-Ebene angreift. Es handelt sich dabei urn ein Problem der raumlichen Statik., da der Balken tun zwei Achsen gebogen wird. Der Rahmen mit in beliebiger Richtung schrag wirkender Kraft F 3, Bild 8-lc, stellt ein Problem der Ratunstatik dar. Neben Nonnalkraften ood jeweils zwei Querkraften wirken in den Querschnitten der Struktur auch zwei Biegemomente und mdem im hinteren Abschnitt noch ein Torsionsmoment.

8.1

Krafte uDd MomeDte im Raum

Bevor die Gleichgewichtsbedingoogen der raumlichen Statik sowie die Lagerungsarten, die statische Bestimmtheit ood die Schnittgrol3en von raumlichen Tragwerken vorgestellt werden, soli zooachst auf die Krafte und Momente ood ihre Wirkungen im Raum eingegangen werden. Betrachtet werden daher mnachst die Einzelkraft ood ihre Komponenten im Raum, die Resul-

8.1 Krafte ood Momente im Ratun

153

tierende einer zentralen Kraftegruppe, das Moment einer Kraft ood die resultierende Kraft sowie das resultierende Moment einer beliebigen ratunlichen Kraftegruppe.

8.1.1 Einzelkraft ond ihre Komponenten Eine Einzelkraft hat im Raum drei Komponenten. Vnter Zugrundelegoog eines kartesischen Koordinatensystems sind dies die Komponenten F x, F y und F z. Der Vektor der Einzelkraft lasst sich darm mit den Basisvektoren ex' ey ood ez mathematisch wie folgt beschreiben: (8.1).

"1

/

I

------------7. / I

l

-+

/ / ,,,r•y /

L - - - .... ------F-

I ' I l I I

I I I I

ey 0. -+

I

/

/

ell

I I

I I

I I I

I

I

I I

-+

FZ I

/

/

I I

1F.~I.r

--- ----.. ----:...~ I / I // Iv /

BUd 8-2

Einzelkraft F lllld ihre KOOlpooenten F" F y und F~ im Raum ex, e y , e z : Basisvektoren in kartesischen Koordinaten Winkel von F m den Koora, j3, y: dinatenachsenx,Y undz

- - -

Der Betrag des Kraftvektors ergibt sich darm mit F=

IFI =~Fx

2

+F/ +Fz 2

(8. 2).

Geometrisch stellt sich der Betrag des Vektors als Diagonale des aufgesparmten Quaders dar. Mit den Raumwinkeln a; J3 ood r zwischen Fund den Koordinatenachsen lassen sich die Kraftkomponenten wie folgt schreiben: F x = F· cosa

(8.3),

F y = F· cos J3

(8.4),

Fz=F·cosr

(8.5).

Setzt man diese Komponentengleichoog in Beziehoog (8.2) ein, so erkennt man, dass die Raumwinkel nicht ooabhangig voneinander sind. Es gilt: cos 2 a+cos 2 J3+cos 2 r=1

(8.6).

154

8 Ratunliche Statik starrer K6rper

8.1.2 Resultierende einer zentralen raumlichen Kraftegruppe Eine zentrale ratunliche Kraftegruppe liegt vor, wpm sich die Wirkoogslinien aller Krfifte in einem Ratunpookt sdllleiden. Die Resultierende R dieser Kraftegruppe ergibt sich darm aus der Vektorsumme cler wirkenden Krafte:

- - -

-

R=Fj +Fz +F3 +

- = L..:.F; "-

(8.7).

+Fn

i=l

In Komponenten erhiilt man R x = F 1x +F2:i; +F3x

+

+Fnx =

" LFix

(8.8),

i=l

R y = Fly +Fzy +F3y +

+Fny =

" y LFi

(8.9),

i=l

R z =F1z +F2z +F3z +

" +Fnz = LFjz

(810).

i=l

'J

b)

y

,, , ,,,R y

y

I

R

I

',

/

,/R-r,

X

-----------~------y

BUd 8-3 Ennittltmg der Resultierenden einer zentralen raumlich':l Kr~egmp~

a) Zentrale raumliche Kriiftegrnppe mit den Kriiften F j , F2 und F3 sowie den jeweiligen Komponenten F!x, F1J:: Fj ,> usw. b) Resultierende Kraft R der zentralen Kriiftegmppe mit den Komponenten Rx> Ry lllld R, sowie den Raumwinkeln Q\I., f3R lllld Jk

Mit den Basisvektoren ex' auch wie folgt darstellen:

ey

ood

ez

ood den Komponenten Hisst sich die Resultierende (8.11)

oder (8.12). Der Betrag der Resultierenden ergibt sich mit der Formel

R

=

IRI =~Rx 2 +R/ +Rz 2

(8.13),

8.1 Krille ood Momente im RalUll die Raumwinkel

QR,

155

J3R ood )R lassen sich mit den Beziehungen

R~

cosaR = - ,

und

R

R,

cosrR

=-

R

berechnen.

8.1.3 Moment einer Kraft Das M£iTIent Kraft F:

if

r ood

einer Kraft im RalUll erredlllet sich als Vektorprodukt von Ortsvektor

(8.14).

r

Der Momentenvektor if steht dabei senkrecht auf dem von ood F aufgespannten Parallelogramm, wobei dessen Flache dem Betrag von ~ entspricht (siehe Bild 8-4 und Kapitel 3.1.1).

b)

)'

y~-------"

// :

/ :M, , / ,I

'

(----t---

" /

// I

I : I : "

x

I I I I I

IMz / 1/' I /

7' Y

l!;;

I

: I I

_

,

I

ex I

M

I I I

x -+-------J;--~ •• I / I // I / I /

x

~/-------~ BUd 8-4 Moment einer Kraft im Raum

a) Momentenvektor steht senkrecht auf der von b) Komponenten Mx>MyundM, des Momentes

r und F aufgespannten Ebene

Bei beliebiger Lage der Kraft im RalUll hat der Momentenvektor irn kartesischen Koordinatensystem die drei Komponenten M", My ood AIz. Mit diesen Komponenten ood den Basisvektoren ex' ey und ez lasst sich der Momentenvektor wie folgt beschreiben: (8.15). FOr den Betrag des Momentes gilt dann

M=lifl=~Mx2+M/+M/

(8.16).

Das ingenieurrnaJ3ige Vorgehen bei RalUllstatikproblemen besteht u. a. darin, die Komponenten M", My ood M z aus den Komponenten der wirkenden Kraft m errnitteln. Beispielsweise fUr die in Bild 8-5 dargestellte Situation mit den Kraftkomponenten F x, F y und F z und den Koordi-

156

8 Ratunliche Statik starrer K6rper

oaten des Kraftangriffspunktes x, y ood z gilt es, die Komponenten AIx, A1y oodMz des Momentes M zu errechnen. )'

Fy'f-------...,

//

f--r---_ I

r iL.':l'

I)' I

I

I ,

-+" F // II

....... I

I

....."Fx

J/

/

x

,/ /:

,-

~~--~------"

BUd 8-5

Ermitthmg cler Komponenten M" My lllldM, eines Momentes if mit den Komponenten Fx>FyundF,derKraft

X

F

Die Kraftkomponenten F y und F z bewirken dabei ein Moment lUll die x-Achse. F z liefert dabei ein rechtsdrehendes (positives) Moment lUll die x-Achse mit clem Betrag Fz ' Y und zeigt dabei in Richtung cler positiven x-Achse bzw. in Richhmg des auf cler Koordinatenachse eingezeichoeten Momentes M".. F y flihrt m einem linksdrehenden (negativen) Moment urn die x-Achse mit clem Betrag -Fy'z . FOr die KomponenteMx des Momentes M ergibt sich somit (8.17). Die Obrigen Komponenten erhfilt man auf gleiche Weise: (8.18), (8.19). Man erkennt, dass bezOglich der y-Achse nur die Kraftkomponenten F x ood Fz ein MomentAfy besitzen, wahrend Fy und F x ein Moment bezOglich der z-Achse hervonufen.

8.1.4 Resultierende Kraft und resultierendes Moment einer beliebigen raumlichen Kraftegruppe FOr eine beliebige ratunliche Kraftegruppe, Bild 8-6a, lasst sich die resultierende Kraft R, Bild 8-6b, durch Vektoraddition der Einzelkrafte errnitteln:

" R=F; +F2 +F3 + +Fn =LFI

(8.20).

i=l

Die KomponentenR x, R y ood Rz errechnen sich mit den Forrneln

Rx=L.Fix

(8. 21),

=L.Fiy

(8.22),

RZ=LFiz

(8.23).

Ry

157

8.1 Krille ood Momente im RalUll

Das resultierende Moment M R bemglich des Koordinatenurspnmgs, Bild 8-6b, errechnet sich aus den Momenten der Krille bzw. aus dem Moment der Resultierenden bemglich desselben Bezugspunktes:

MR

=Yj XF

1 +r2

XF2 +r3 XF3 + +~ XFn

=:i: ~ XFJ= :i:M = xl? i

i=l

rR

(8.24).

i=l

Aus Gleichoog (8.24) ergibt sich der Momentensatz:

"Die Swnme der A10mente der Kra.fte eines rtiumlichen Krqftesystems ist gleich dem Moment der Resultierenden dieses Krqftesystemsfiir denselben Bezugspunkt " Das resultierende Moment ist von der Wahl des Bemgspunktes abhangig. y

,j

- ,7 -

bj

F,

Y

MR

'2

-"

-,.

x

R x

R

"-)

,

BUd 8-6 Ermittlung der resultierenden Kraft und des resultierenden Momentes einer beliebigen raumli-

chen Kriiftegmppe a) Kraftegrnppe mit mehreren Kriiften b) Resultierende Kraft lllld resultierendes Moment

R

MR

der Kriiftegmppe

In Anlelmoog an Bild 8-5 ood die Gleichoogen (8.17) - (8.19) lassen sich auch die Komponenten~, ~y ood Mfa. bemglich der Bemgsachsen x, y und z bestimrnen:

MP.:i;

=

L" (Fiz· Yi -Fiy .zJ

(8.25),

" L(Fix ·zi -Fiz .xJ

(8.26),

i=l

M Ry

=

i=l

MRz =

L" (Fiy ·xi -Fix .yJ i=l

(8.27).

158

8 Raumliche Statik starrer Karper

Beispiel 8-1 y

x

a

z

An dem gezeichneten Quader greifen die Krafte F l , F 2 , F) und F 4 an. Man bestimme die von diesen Kraften hervorgerufenen Momente beziiglich der X-, y- und zAchse.

geg.: Fj,F2 ,F),F4 , a,b,

C

Lasung: Die Mornente werdenjeweils in positive Achsrichtung positiv angenornrnen:

M x =Fj·b +F2 ·c-F4 ·b

8.2

Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik

Bei raumlichen Kraftesystemen liegt Gleichgewicht vor,

Bewegung von Karpern und

Strukturen wird verhindert, wenn keine resultierende Kraft R und kein resultierendes Moment

111 R

wirkt FUr das Gleichgewicht des Systems muss also gelten:

R=O

(8.28)

und gleichzeitig (8.29). Mit den Kornponenten cler resultierenden Kraft und den Kornponenten des resultierenden Mo-

mentes gilt auch

R x =0

(8.30),

R y =0

(8.31),

R z =0

(8.32),

M Rx =0

(8.33),

MRy=O

(8.34),

MRz =0

(8.35).

8.2 Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik

159

Daraus erhalt man die Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik in Komponentenschreibweise, wie sie irn Ingenieurbereich Anwendung finden: L:F;x=O

-4

(8.36),

L:Fiy =0

yt

(8.37),

L:F;z=O

Jt'z

(8.38),

L:M ix =0

~

(8.39),

L:Miy=O

yf

(840),

L:M iz =0

/z

(841).

In Worten lauten die Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik: "Gleichgewicht herrscht, wenn •

die Summe aller Krafte in x-Richtung gleich null,

•

die Summe aller Krafte in y-Richtung gleich null,

•

die Summe aller Krafte in z-Richtung gleich null,

•

die Summe aller Momente um die x-Achse gleich null,

•

die Summe aller Momente um die y-Achse gleich null und

•

die Summe aller Momente um die z-Achse gleich null

sind"

In cler Raurnstatik existieren also insgesarnt sechs Gleichgewichtsbedingungen. Diese rnussen gleichzeitig erfUllt sein, dam it ein Gebilde als brauchbare raumliche Tragstruktur angesehen werden kann. In diesen sechs Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik sind die drei Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik (siehe Kapitel 4.1) enthalten. Diese werden durch die Gleichungen (8.36), (8.37) und (841) reprasentiert

Bei der Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen der Raumstatik ist ebenso wie bei der ebenen Statik auf das Vorzeichen, d. h. auf die Richtung der Krafte und Momente genau zu achten. Daher kbnnen auch hier die bei den Gleichgewichtsbedingungen (Gleichungen (8.36) bis (841)) dargestellten Symbole verwendet werden, welche die positive Richtung der Krafte und Momente beschreiben. FUr IF" ~ 0 gilt dann -4 und LM" ~ 0 kann z. B. durch ~ ersetzt werden. Die Momentenbedingungen werden dabei durch Doppelpfeile dargestellt, welche die positive Drehrichtung charakterisieren. Wegen der Eindeutigkeit der Richtungen, insbesondere bei der z. T. verwendeten perspektivischen Darstellung der raumlichen Strukturen, werden die Pfeile und die Drehpfeile mit der Koordinatenbezeichnung versehen. Mit den Gleichgewichtsbedingungen der Raumstatik kann man sechs unbekannte statische GraBen bestirnrnen. Hierzu zahlen z. B. die Reaktionskrafte und/oder Reaktionsrnornente eines in bestimmter Weise gelagerten Kbrpers. Auch lassen sich die im allgemeinen Belastungsfall auftretenden sechs SchnittgrbJJen der Raumstatik mit den Gleichgewichtsbedingungen bestirnrnen.

160

8.3

8 Ratunliche Statik statTer K6rper

Raumliche Tragwerke

Bei raumlichen Tragwerken k6nnen die angreifenden aul3eren Krafte ood die dadurch hervorgerufenen Auflagerreaktionen beliebig im Raum wirken. Ein einfaches Beispiel fUr ein Raumstatikproblem ist in Bild 8-1b gezeigt. Die schrag angreifende Kraft P 2 bewirkt z. B. Auflagerkrafte und Auflagerrnomente in y- ood z-Richtung. Zudem versucht sie den Balken urn die yund die z-Achse zu verbiegen, was entsprechende Querkrafte ood Schnittmomente zur Folge hat. Bei dem in Bild 8-1c dargestellten Rahmen treten im Lager (Einsparmoog) insgesamt sechs Lagerreaktionen aufund im hinteren Teil des Rahmens wirken insgesamt sechs Schnittgr6l3en. Diese zunachst oobekannten statischen Gr6l3en lassen sich mit den Methoden der Ratunstatik errnitteln.

8.3.1 Lagerungsarten fUr raumliche Tragwerke Bei der raumlichen Statik haben die Lagerungsarten z. T. eine andere Bedeuhmg als in der ebenen Statik. Deshalb sollen im Folgenden die wesentlichen Lagerungsarten der Raumstatik beschrieben werden.

8.3.1.1

Pestlager

Bei einem Festlager wird ein Tragwerk tiber einen Lagerstuhl mit der Unterlage fest verbooden. Dies bedeutet, weder eine Verschieboog in x-Richtoog, noch eine Verschiebung in.1':Richtoog, noch eine Verschieboog in z-Richtoog ist m6glich, Bild 8-7a. Die Lagerkraft A nimmtje nach Belastoog der Struktur eine bestimmte Richtoog im Ratun ein. Sie hat damit die Komponenten Ax, A y ood A z, Bild 8-7b. Ein Festlager hat bei der ratunlichen Statik somit drei Auflagerbindungen, a= 3, ood ist somit statisch dreiwertig. Ein Tragwerk, das durch ein Festlager gehalten wird, kann nicht mehr verschoben werden. Allerdings verbleiben noch drei Drehfreiheitsgrade im Lagergelenk. ,)

riiUl111iches Tmgwerk. idealisiert als Slarrer

b)

K6rpcr

(/:)

Lagersluhl isl fesl mit Unlerlagc verbunden BUd 8-7 Festlager der Raumstatik

a) Lagenmg des lfagwCIkes chirch ein Festlager _ b) Freisclmitt mit den KomponentenA"A yundA, der Lagerreaktionskraft A

8.3 Ratunliche Tragwerke

8.3.1.2

161

Einfach verschiebbares Lager

Bei einem einfach verschiebbaren Lager wird das Tragwerk tiber ein Gelenk mit dem Lagerstool verbooden. Der LagerstOOI wird z. B. mit Rollen so geflihrt, dass eine Bewegoog in einer Richhmg, L B. in x-Richhmg, maglich ist, Bild 8-8a. r.iumlichcs Tragwcrk, idealisien als starrer Korpcr

b)

(/-2

cinfach versehiebbarcs Lager (Verschicbung in x-Richlung) BUd 8-8 Einfach verschiebbares Lager

a) Lagerung eines lfagwetkes mit einem einfach verschiebbaren Lager b) Freischnitt mit den LagerreaktionokriiftenA yundA,

In diesem Fall wirken die LagerreaktionskrafteA y undA z. Das Lager hat somit zwei Auflagerbindungen, a = 2, und ist statisch zweiwertig. Durch ein einfach verschiebbares Lager werden zwei Freiheitsgrade (z. B. Bewegungen in y- ood z-Richtoog) ooterdn1ckt Ein so gelagerter starrer Karper besitzt somit noch vier Freiheitsgrade der Bewegung.

8.3.1.3

Zweifarh verschiebbares Lager

Bei einem zweifach verschiebbaren Lager wird der Lagershihl auf der Unterlage so geflihrt, dass Bewegungen in der Ebene der Lagertlihrung, z. B. in x- und z-Richtoog, maglich sind, Bild 8-9a. b) (/=1

zweifach verschiebbarcs Lager (Verschiebung in x- und z-Richlung moglieh. z. B. Kugellagcrung) BUd 8-9 Zweifach verschiebbares Lager

a) Lagerung des raumlichen TragweIkes b) Freischnitt mit LagerreaktionskraftAy

162

8 Ratunliche Statik starrer K6rper

In diesem Fall wirkt lediglich die LagerreaktionskraftAy- Das Lager hat eine Auflagerbindung,

a= 1, ood ist somit statisch einwertig. Es wird also lediglich die Bewegoog in y-Richhmg unterdIiickt. Ein so gelagerter stalTer Karper besitzt noch flinfFreiheitsgrade cler Bewegung. 8.3.1.4

Einspannung

Eine Einspannung liegt vor, wenn ein Tragwerk fest verbooden ist mit einer Wand, clem Boden oder einem anderen stabilen Tragwerksteil. Das Lager Hisst weder eine Verschiebung noch eine Verdrehung des Tragwerkes Zll, Bild 8-10.

bJ

'J Tragwcrk

/

o

A,

)/ BUd 8-10 Lagenmgsart Einspanmmg a) lfagweIk ist eingespannt, eingeklemmt 000 eingeschweiBt b) Freisclmitt des Lagers mit den Lagerreaktionokriiften Ax> A y lllldA, lllld den LagerreaktionsmomentenMAx,MAy lllldMk:

1m allgemeinen Fall nimmt das Lager drei Lagerreaktionskrafte (Ax, A y ood AJ und drei Lagerrnomente (MAx, MAy und MAJ auf, Bild 8-lOb. Das Lager besitzt sechs Auflagerbindoogen und ist damit statisch sechswertig. Ein mit einer Einsparmung gelagertes Tragwerk besitzt keine Freiheitsgrade mehr, d. h. es giltj= o. Das Tragwerk ist somit statisch bestimmt und stabil gelagert.

8.3.1.5

Ubersicht

Eine Zusammenstellung der wesentlichen Lagerungsarten der raumlichen Statik ist in Bild 8-11 gezeigt. Neben den Lagerreaktionskraften undloder Momenten sind auch die Anzahl der Auflagerbindungen ood der Freiheitsgrade angegeben, die dem starren K6rper, der durch ein entsprechendes Lager gestOtzt ist, noch verbleiben (siehe auch Kapitel 8.3.2).

8.3 Ratunliehe Tragwerke

163

Lagenmgsart

Lagerreaktionen

a

f

Fcstlagcr

A7(A,

3

3

2

4

1

5

6

0

A Einrach vcrschiebbarcs Lager

"

Zwcirach vcrschiebbarcs Lager

~

. A,

A,~

r--7t:,11) f

MAx

Einspannung

~

Ax

MAy

BUd 8-11 Zusammenste!hmg von Lagerungsarten cler raumlichen statik a: Anzah! der Auflagerbincimgen, statische Wertigkeit f" Anzah! der verb!eibenden Freiheitsgrade eines starren K6rpers

8.3.2 Freiheitsgrade, stabile Lagerong ond statische Bestimmtheit Ein starrer, nieht gelagerter Karper, der sieh im Raum frei bewegen karill, besitzt insgesamt seehs Freiheitsgrade. Er kann in die X-, y- lllld z-Riehtung versehoben werden und er kann sieh urn die X-, y- lllld z-Aehse drehen. Die Bewegungsmagliehkeiten bestehen also im allgemeinen Fall aus drei Translationen, den Versehiebllllgen u x, u y lllld Uz, lllld drei Rotationen, den Drehllllgen ~ rpy, qt, Bild 8-12. 1st der Karper ge!agert, so ist er nieht mehr frei beweglieh. D. h. die Bewegungsmagliehkeiten werden dureh die Lagenmg des Karpers reduziert. In diesem Fall lassen sieh die Freiheitsgrade mit der Forme! (8.42) erreehnen. afl'S stellt darin die Sumrne der Auflagerbindungen eines ge!agerten Karpers dar. Die Auflagerbindungen a der Lagenmgsarten fUr raumliehe Tragwerke kannen Kapite! 8.3.1 entnomrnen werden.

164

8 Ratunliche Statik starrer K6rper

FOr j= 0 sind keine Starrkorperbewegoogen des Tragwerkes mehr moglich. Es ist damit statisch bestimmt und stabil gelagert Die insgesamt wirkenden sechs Auflagerreaktiooetl k6nnen mit den Methoden cler Statik, d. h. mit den sechs Gleichgewichtsbedingungen cler raumlichen Statik (siehe Kapitel 8.2), errnittelt werden. )'

.y

.,

"y

",

",

BUd 8-U

x

Bewegungsfreiheitsgrade eines starren K6rpers im Raum: 3 lfanslationen (Verschiebungen u" u y und u,) 3 Rotationen (Drehllllgen ¢lx. fA, 1fI:)

Bei den in den Bildem 8-1b ood 8-1c gezeigten Tragwerken der raumlichen Statik liegenjeweils Einsparuumgen mit Gges = a= 6 vor. Daher sind diese Tragwerke statisch bestimmt ood stabil gelagert: j = 6- 6 = O. Aber auch bei den nachfolgend beschriebenen Beispielen 8-2 und 8-3 liegen statisch bestimmte Lagerungen vor.

8.3.3 Ermittlung der Auflagerreaktionen Die reclmerische Bestimmung der Auflagerreaktionen von Raumtragwerken soli am Beispiel des eingesparmten Rahmens, Bild 8-13a, verdeutlicht werden. Der Rahmen liegt in einer x-zEbene ood ist am Rahmenende durch eine schrag in einer y-z-Ebene liegende Kraft Fbelastet ,j

bj

b

;:;;; #=-----------a

BUd 8-13 Ennittlung der Auflagerreaktiooen bei Problemen der Raumstatik a) EingespaIlllter Rahmen, der in der x-z-Ebene liegt Illld chirch die Einzelkraft Fin einer y-zEbene belastet ist b) Freisclmitt des Rahmens mit den LagerreaktionenA"A y undA, sowie MA:.f., MAy undMAz;

8.3 Riiumliche Tragwerke

165

1m Lager (Einsparmung) kbrmen bei einem allgemeinen Belastungsfall die Auflagerkrafte A" A y und A, sowie die Auflagermomente M A" MAy und M A, wirken, Bild 8-13b. Diese Lagerreaktionen erhalt man durch konsequente Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen der Riiumstatik:

4:

(8.43),

Ax =0

yt

Ay-F ·sina=O

=> A y =F ·sina

(8.44),

0

A z +F ·cosa=O

=> Az =-F ·cosa

(8.45),

-4,.:

MAY.+F ·sma· a=O

=>

MAY. =-F· a·sma

(8.46),

yf

MAy-F ·cosa b=O

=>

MAy=F·b ·cosa

(8.47),

.4

MAz-F ·sina·b=O

=>

MAz=F·b ·sma

(8.48).

Damit sind alle Auflagerreaktionen dieses Systems (siehe Bild 8-13b) bestimmt Weitere Anwendungen sind in den Beispielen 8-2 und 8-3 gezeigt

•••

Beispiel 8-2

/

/

/

/

Der nebenstehend skizzierte Couchtisch ist durch zwei Krafte F j und F 2 belastet Man bestirnrne

Jt---~-------

I

I

L I 31 a--Y4 1

a) die Auflagerreaktionen in A, B und C

I

SOWle

B

b) die Stabkrafte in den Staben 1 - 6. geg.: F j , F 2 , a, b, a; jJ

a

Lasung:

Freischnitt

y - - ..... - - - - - - -

I

I

I

I

x

c

166

8 Raumliche Statik starrer Kbrper

a) Auflagerreaktionen A, B und C

h:

Fe . a - F 2 . a = 0

=> _Fj-Fe F A2

b) Stabkrafte in den Staben 1 - 6

4:

S2· sina =0

yt

A

=>

Sj +FA +S2 ·cosa=O

S2 =0

=>

Sj =-FA

F2 -Fj 2

B

(I) (2)

c

aus (I) und (2) [algI

8.3.4 Ermittlung der Schnittgriillen raumlicher Tragwerke Bedingt durch die Belastung und/oder die Geometrie kbnnen bei raumlichen Tragwerken insgesamt sechs SchnittgrbJJen auftreten. Es sind odie N onnalkraft N, odie Querkraft Q ~ Qy, odie Querkraft Q" •

das Moment (Torsionsrnornent)Mx ,

o

das Moment (Biegemoment) My und

o

das Moment (Biegemoment) M

~ M,.

8.3 Ratunliche Tragwerke

167

...... M

BUd 8-14 SchnittgrOBen der raumlichen Statik am linken lllld am rechten Schnittufer einer Tragstruktur

N. Normalkraft, Q = Qi Querlcraft, G: Querkraft in z-Richtung Mx : Moment urn diex-Achse,My: Moment urn diey-Achse, M=Mx : Moment urn diez-Achse

Die inneren KrafteNood Q = Qy sowie das innere MomentM= M z sind bereits aus der ebenen Statik bekannt. 1m ratunlichen Fall komrnen noch die Querkraft Qz und die Momente M x ood A1y hinzu. Das MomentM". wirkt mm Beispiel bei einem Balken als Torsionsmoment, wahrend A1y ein weiteres Biegemoment darstellt. b)

tMAY ;:;?/

Schnill im Bereich I

j/r - -- -- -- -- ---. :/ /

MAx

••

A,

Ay

I

N

Mx

••

BUd 8-15 Ermittlllllg der SchnittgrOBen beim eingespannten Rahmen

a) b)

Lage der Schnitte bei clem vorliegenden Zweibereichs]Xobiem Freischnitt des abgesclmittenen linken Ralunenteils mit den SchnittgrOBen N, Qy> G, M" MyundMx

Die Errnittloog dieser Sdlllittgr6l3en erfolgt nach dem Freischnitt mit den sechs Gleichgewichtsbedingoogen der Ratunstatik. Dies soli am Beispiel des eingespannten Rahmens, Bild 8-13a, verdeutlicht werden. Es handelt sich hierbei tun ein Zweibereichsproblem, da die Rahmenecke eine Unstetigkeitsstelle im Schnittgrol3enverlauf darstellt, Bild 8-15a. 1m Bereich I wirken dann die folgenden Schnittgr6l3en, siehe Bild 8-15b:

..:4:

N+A x =0

mit Ax =0

(8.49),

168

8 Raurnliche Statik starrer Kbrper

Y.j.

Qy -A y =0

=>

Qy -A -F·sina y-

(8.50),

.cz:

Qz +Az

=0

=>

Qz =-Az =F'cosa

(8.51),

4:

M x +MA:x =0

y! ..4

=>

(8.52),

M x =-MA:x =F'a sma

My-MAy-A z 'x=O

=>

My

=M Ay +Az 'x=F .(b-x).cosa

(8.53),

Mz+MAz-A y 'x=O

=>

Mz

= -M Az + Ay ·x = -F· (b -x).sina

(8.54).

Beim Aufstellen der Momentengleichungen ist darauf zu achten, dass alle Momente urn die jeweiligen Achsen der Schnittflache berechnet werden. In gleicher Weise kbnnen auch die SchnittgrblJen in Bereich II ennittelt werden. Eine Anwendung zur SchnittgrblJenbestimmung ist in Beispiel 8-3 gezeigt.

•••

Beispiel 8-3 a

FUr das nebenstehende Rohrleitungssystem, das durch die Krafte F l und F 2 belastet ist, bestimme man

a

c=

a) die Auflagerreaktionen in A, B und C sowie b) die SchnittgrblJen enllang des Rohrsystem s. geg.: F l , F 2 , a, b

Lasung: y

Freischnitt:

x

z

a) Auflagerreaktionen in den Lagerungen A, B und C

4:

-By·b=O

yl

-Az·a+Cz 'a+F2 ·b =0

Zj{'

Ay·a-Cy·a=O

4:

Ax +F2 = 0

=>

=>

By =0

=>

(I) (2)

A y =Cy

Ax =-F2

(3) (4)

8.3 Riiumliche Tragwerke

169 (5)

Zl':

(6)

A =C =Fj y y 2

aus (I), (3) und (5) [algI aus (2) und (6) [algI

b) SchnittgrbJJen enllang des Rahrsystems Bereich 1:

0<

XI

'7 Ax N

Qy

Ay

M •• x

..i

Y,/..

Qy -A y =0

=>

4:

Qz -Az =0

=>

4: Mx=O Y,j: My+A -x] z

F,

Q =A =~ y y 2

=0

My

x]

My(x] =0)=0

,;4

M z -A y -x] =0 Mz(x] = 0)= 0

Bereich II: 0 < Xrr < a

~: N=O

tM ..M

y

Cz

Qy

x

~

Qy+Cy=O

=>

Fj Qy =-Cy = - 2

zl':

Qz +Cz =0

=>

Qz =-Cz =F2 - 2a

xII

b

~: M x =0

l

II

•

yi

My+C z -xII = 0

=>

My (XII = 0)= 0

My(XII =a)=F2 2

Cy I

ZjI': M z -Cy -xII =0 Mz(XII = 0)= 0

My =-Cz -xII b

=>

M z = Cy -xII

Mz(XII =a)=Fj-~ 2

170

8 Raumliche Statik starrer Karper

Bereich III: 0 <xm
'9':

N=O

Y,1.

Q y -By =0

"7:

M x =0

~:

Mz-By·xm=O My -F2 ,xm =0 My(xm =0)=0

=>

M y =F2 ,xm

My(xm =b)=F2 ·b

Beispiel 8-4 Ein Fahrradfahrer tritt mit der KraftF in die Pedale. Man bestimme fUr diesen Fall die Auflagerreaktionen im Trellager. geg.: F, a, b,

F b

==

C

Kurbelarrn

Lasung:

Freischnitt:

Auflagerreaktionen:

4:

Ax=O

..4:

MAz-F.(a+c)=O

=>

MAz =F.(a+c)

Pedale

171

9 Schwerpunkt In cler Mechanik ooterscheidet man verschiedene Arten von Schwerpunkten. Hierm zahlen cler Schwe'lJUnkt eines Korpers bzw. cler Massen- oder cler VollUllenmittelpunkt sowie cler Schwerpookt einer Flache. Wesentliche Definitionen ood Berechmmgsfonneln fur die Schwerpunkte von tedlllischen Produkten ood die Schwellmnktskoordinaten haufig venvendeter QuerschnittsfHi.chen ood Quersdlllittsprofile von Tragstrukturen sallen im Folgenden angegeben werden.

9.1

Schwerpunkt eines Korpers

Auf aile K6rper in Natur ood Teclmik wirkt die Gewichtskraft. Dies bedeutet, jeder K6rper, aber auch jeder Teilbereich des K6rpers, unterliegt cler Schwerkraft. FOr jeden Teilkorper i ergibt sich somit das Teilgewicht (9.1). Dabei ist mi die Teilmasse und g die Fall- oder Schwerebeschleunigung. Diese hat auf cler Erde im Mittel den Wert 9,81 mlg 2. Das Teilgewicht G; sowie aile anderen Teilgewichte wirken ZlUll Erdmittelpunkt hin, d. h. in vertikaler Richhmg. Dies bedeutet bei einem Karper oder einer Struktur wirken die Gewichtskrafte aller Teilbereiche oder Einzelkomponenten parallel. Das Gesamtgewicht G des K6rpers ergibt sich aus der Summe aller Teilgewichte (9.2). Diese resultierende Gewichtskraft greift im Schwerpookt des K6rpers an. Sie ist ebenfalls vertikal gerichtet ood kann im SiIllle der Raumstatik (siehe Kapitel 8 und insbesondere Kapitel 8.1.4) als resultierende Kraft einer aus parallelen Kraften bestehenden Kraftegruppe angesehen werden. Tcilbcrcich 2

Tcilbcrcich 1

y

S'tG, S )'1 1

f'

G)

I I

Tcilbercich 3

: jS] IG) I

G

BUd 9-1 Schwerpunkt cines K6rpers ~,

G.

Ch, Ch:

Tcilgewichte des KOrpers mit den 8chwerpunkten 8 1, S:llllld 8J der Tcilbereiche 1,2und3 Gesamtgewicht des K6rpers grcift im KOrperschwerpunkt 8 mit den Schwerpllllktskoordinaten xs, Ys lllldzs an

9 Schwerpunkt

172

Da die Gewichtskraft G die resultierende Wirkung des Gesamtkarpers darstellt, muss fill den Schwerpunkt das resultierende Moment M R verschwinden. D. h. fill die Schwerpunktsachsen rnussen die Kornponenten des resultierenden Mornentes gleich null sein: MRx = 0, M Ry = 0 und MRz~O.

Die Lage des Schwerpunktes ergibt sich mit dem Momentensatz der Mechanik (siehe Kapitel 8.1.4). Demnach ist die Summe der Momente der Teilgewichte gleich dem Moment des Gesamtgewichts bezuglich eines beliebigen Bezugspunktes. Dies soll an dem starren Karper in Bild 9-1 verdeutlicht werden. Die Teilgewichte G j , G2 , G3 sowie das Gesamtgewicht G wirken in vertikaler Richtung und somit entgegengesetzt der positiven y-Achse. Mit Gleichung (8.22) oder mit Gleichung (9.2) erhalt man dann das Gesamtgewicht Gals Summe der Teilgewichte: (9.3). Die Schwerpunktskoordinaten xs, Ys und Zs des Gesamtschwerpunktes S lassen sich nach dem Momentensatz (siehe Kapitel 8.1.4) ennitteln. Bemglich der z-Achse gilt dann: G . Xs

= Gj

.

Xj

+ G 2 . X2 + G 3 . X3

(9.4).

Daraus erhalt man die Schwerpunktskoordinate Xs

=

Gj

·Xj

+G 2

·x2

G

+G3

·x3

(9.5)

bzw. mit Gleichung (9.3) (9.6). Durch Betrachtung der Momente bemglich der x- und der z-Achse, Bild 9-1, folgen Ys

=

Zs

=

Gj

. Yj

+ G 2 . Y2 + G 3

. Y3

(9.7)

G

und Gj

. Zj

+ G2

. z2

+ G3

. z3

(9.8).

G

Fill beliebig viele Teilinassen gelten die Gleichungen (9.32), (9.33) und (9.34).

9.1.1 Ortsvektor des Schwerpunktes In allgemeiner Fonn hisst sich das Gesamtgewicht G eines Karpers, Bild 9-2, durch Integration uber alle Teilgewichte dG ennitteln:

0: = f dO: Da die Gewichtsvektoren vertikal wirken, lassen sie sich auch mit dem Basisvektor ben:

(9.9).

ey

schrei-

(9.10)

173

9.1 Schwerpunkt eines K6rpers lind

(9.11). Dementsprechend genOgt es lediglich die Betrfige m betrachten. Es gilt somit auch (9.12).

y

BUd 9-2

.,

Der Ortsvektor samtgewichts

it

Ennittltmg des Ortsvektors des Schwerpunktes bzw. der Schwerpunktskoordinaten T : Ortsvektor eines Masseteilchens dm mit clem Gewichtsanteil dG T.§ : Ortsvektor des K6rperschwerpunktes G: Vektoc des Gesamtgewichts

des SChwerpllllktes, Bild 9-2, ergibt sich, indem man das Moment des Ge-

rs xO der Summe der Momente der Teilgewichte

JrxdG bezOglich des Koordinatenursprungs gleichsetzt:

rsxG= JrxdG

(9.13).

Mit den Gieichllllgen (9.10) lllld (9.11) erhfilt man

(is G)x(-ey)~ ~F

dG ~(-ey)

und somit

it ·0= Jr.dO

(9.14)

und daraus den Ortsvektor des Schwerpunktes (9.15).

174

9 Schwerpunkt

9.1.2 Koordinaten des Schwerpunktes Die Koordinaten des Schwerpunktes erhalt man z. B. durch Momentenbetrachtungen urn die y- und z-Achse, Bild 9-2, oder als Komponentengleichungen der Beziehung (9.15): Xs

f xdG

= "--:cG

X-,

(9.16),

(9.17),

Zs

=

fZdG G

(9.18).

9.1.3 Massenmittelpunkt Das Gesamtgewicht G errechnet sich aus der Masse m des Kbrpers und der Fall- oder Schwerebeschleunigung g: (9.19). Gleiches gilt fUr die Teilmasse dm: (9.20). Setzt man die Gleichungen (9.19) und (9.20) in Gleichung (9.15) ein, so erhalt man den Ortsvektor rs des Massenmittelpunktes: _

frdm

rs=--m

wobei fUr m

=

(9.21),

f dm gilt

Die Koordinaten des Massenmittelpunktes lassen sich nach den Beziehungen

f xdm

Xs

="---

ys

=

m

f ydm m

f

zdm Zs = - - m

(9.22),

(9.23),

(9.24)

ermitteln. FUr ein homogenes Schwerefeld, d. h. fUr g ~ konst, fallen Massenmittelpunkt und Schwerpunkt zusammen. Der Massenmittelpunkt ist damit dem Schwerpunkt gleichzusetzen.

9.1 Sehwerpunkt eines Karpers

175

9.1.4 Volumenmittelpunkt FUr homogene Karper ist die Diehte konstant Die Masse kann dann mit dem Volumen Vund mit der Diehte p erreehnet werden: (9.25).

dm=dVp

(9.26).

Der Ortsvektor des Volumemnittelpunktes ergibt sieh naeh Gleiehung (9.21) mit der Beziehung _

rs

frdV =~::-:V-

wobei fUr V

=f

(9.27).

dV gilt

Die Koordinaten des Volumemnittelpunktes erreehnen sieh mit Xs

=

Ys

fXdV V

f ydV V

fZdV Zs = - - V

(9.28).

(9.29).

(9.30).

1st die Diehte p im gesamten Volumen konstant. so fallen Volumemnittelpunkt. Massemnittelpunkt und Sehwerpunkt zusammen.

9.1.5 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt und Volumenmittelpunkt von zusammengesetzten Kiirpern Teehnisehe Gebilde lassen sieh haufig in Teilkarper einteilen. fUr die der Sehwerpunkt bekannt ist In diesem Fall kann der Gesamtsehwerpunkt aus den Teilgewiehten und Ortsvektoren bzw. den Sehwerpunktskoordinaten der Teilgewiehte ermittelt werden. Die Integrale. z. B. in den Gleiehungen (9.15). (9.16). (9.17) und (9.18). gehen dann in Summenzeiehen tiber GemaJJ Bild 9-3 gilt dann _ 'S =

LGi·Yi L:Gj

(9.31)

mit G= L:Gj . FUr die Koordinaten des Gesamtsehwerpunktes gilt (9.32).

9 Schwerpookt

176

(9.33),

(9.34).

Diese Gleichoogen stellen u. a. Verallgemeinerungen der Gleichungen (9.6), (9.1) und (9.8) d",.

r"-----r'5, I

G,

G, G

15 ,

tc;

BUd 9-3 Schwerpunktsberechnung cines aus Teilk6rpern msammengesetzten Kocpers

Gj, 0;., ... , G,: Tl' _ ,Ti:

Gewichte der Teilkorper OItsvektocen der Teilk6rperschwerpllllkte

G: TS:

Gesamtgewicht OItsvektor des Gesamtschwerpllllktes

Der Ortsvektor des Massenmittelpunktes erredlllet sich mit mit m= Lmi

(9.35).

Die Koordinaten des Massenmittelpooktes erhfilt man mit den Beziehungen (9.36),

(9.37),

(9.38).

FOr den Voltunenmittelpookt gilt:

177

9.1 Schwerpunkt eines K6rpers

mit

V=L:fi.

(9.39)

Die Koordinaten errechnen sich mit den Beziehungen

(9.40),

(9.41),

(9.42).

9.1.6 Schwerpunkte einfacher homogener Korper Schwerpunkte einiger einfacher homogener Karper sind in Bild 9-4 dargestellt. Grundsatzlich sind Symmetrieachsen auch Schwerpooktsachsen.

,.

Quader

Keil

, ,

,

".

L ,,

"

b

Xs = 2

Ys

Zylinder

__

,

,

h

" Zs

=-

2

,

X

,

=-

2

,.,4-----''''--_,/ b

Xs = 2

_ h.(b+d) Ys - 2.(2b+d)

Halbkugel J'

,

S

"

,

.... --1

Xs =zs =0

--

y

,

d

y

,}---Ys

h

=-

2

X

Xs =zs =0

BUd 9-4 Schwerpunkte einfacher homogener K6rper

3 8

Ys =-r

Zs

"

x

,

=-

2

178

9 Schwerpunkt

•••

Beispiel 9-1 y

FUr das skizzierte raumliche Werkstuck bestirnrne man die Lage des Gesarntschwer-

punktes.

x

geg.: a

Lasung:

Da die Dichte p konstant ist, entspricht der Volumenmittelpunkt dem Schwerpunkt Die Ermittlung der Schwerpunktskoordinaten erfolgt labellarisch. Dazu wird das Werkstuck in drei Teilkbrper (I), (2) und (3) eingeteilt XSi

a 2

(I)

-

(2)

-

(3)

a 2

3

-a 2

L

YSi

ZSi

V;

a 2

a

2a 3

-

3 -a 3

-a 2 a 2

-

2

a 2

-

tr

-a

XSi·

3

4

a3

Vi

a4

tr 8 3 -a

-a

Vi

YSi·

ZSi·

a4

3tr

4

-a

2a 4

3tr

4

-a

8

1 4

-a 2

2

4

8

1 4

4

Vi

-a 2

(3+ :} a 3 (%+Ha (%+ 3:} a (% +3:J ·a 4

4

4

!-..,....._-." p,;~I"-r

- ( " II I I X -t'"~

_J~.v

Beispiel 9-2 FUr die Aufnahmevorrichtung einer Probe ist der Volumenmittelpunkt zu ennitteln. geg.: a

•••

9.1 Schwerpunkt eines Karpers

179

y

I

,

I I

1_-1-

a

I

a Sa

o o

f---

-

I, I

a

a

z

a

I

---1---

a

®

I --- f-

1--

x

:

I

1_-1--_1

f-

,

02a

I

y

ral,

,

x

3a

z

Lasung:

Der Karper und die Bohrungen werden in insgesamt sechs Teilgebiete eingeteilt Die Volumen cler Bohrungen erhalten ein negatives Vorzeichen. y

y

IL

I I (6) I I_____ J

1 1

(6)

____ J

(S)

~)-.I (2)

i

·--;1

(S)

(1)

(3)

-

®

(4) ---

z

x

V;

XSi·

Vi

ZSi·

Vi

YSi

ZSi

(1)

a,Sa

I,Sa

I,Sa

9a

(2)

a,Sa

I,Sa

I,Sa

tr 3 --a

(3)

2,Sa

I,Sa

I,Sa

9a

(4)

2,Sa

I,Sa

I,Sa

tr 3 --a

-a,62Snu 4

-a,37Snu 4

-a,37Snu 4

(5)

I,Sa

4a

I,Sa

18a 3

27a 4

72a 4

27a 4

(6)

I,Sa

4,Sa

I,Sa

_nu 3

-ISnu 4

- 4 Snu 4

-ISnu 4

(36-I,Str)a 3

(S4-2,2SJr)a 4

(99 - S,2SJr)a 4

(S4- 2,2SJr)a 4

L

3

4

3

4

YSi·

Vi

XSi

4,Sa 4

13,Sa 4

13,Sa 4

- a,12Snu 4

-a,37Snu 4

-a,37Snu 4

22,Sa

4

2,6a

13,Sa

4

13,Sa

I,Sa

4

1

180

9.2

9 Schwerpookt

Schwerpunkt einer FHiche

FHichenschwerpunkte werden in der Mechanik haufig benatigt. So ist z. B. bei der Biegebelastung von Balken ood Rahmen der Flachenschwerpookt der Querschnittsflache von Bedeutung. Auch greift die Schwerkraft bei dOnnwandigen, flachenhaften Gebilden quasi im Flachenschwerpunkt an. Daruber hinaus kommt es beispie!sweise bei der Berechnung der Auflagerreaktionen ood der inneren Krafte ood Momente bei kontinuierlich be!asteten Balken auf den Schwerpookt der Be!ashmgsflache an. Gnmdsatzlich kann eine Flache als extrem dOnne Scheibe eines Karpers angesehen werden. Somit lasst sich der Flachenschwerpunkt oomitte!bar aus dem Voltunenmittelpookt herleiten.

9.2.1 Ortsvektor des Flachenschwerpunktes FOr einen dOIlllwandigen Karper mit der Flache A und der konstanten Dicke h, Bild 9-5, erredlllet sich das Voltunen Vmit der Forme! (9.43).

V =A-h y

BUd 9-5

x

Herleittmg des FHichenschwerptUlktes anhand einer diiIlllwandigen Scheibe eines K6rpers

FOr das Teilvolumen dV gilt dann (9.44). Somit erhalt man mit der Beziehung fUr den Volumenmitte!pookt, Gleichung (9.27),

f'hdA kh

die Berechnungsforme! fUr den Ortsvektor des Flachenschwerpunktes von ebenen Flachen:

_ ffdA

rs

=---

A

mit A= Jd4

(9.45).

9.2.2 Koordinaten des Flachenschwerpunktes Mit den Fonneln (9.43) ood (9.44) erhalt man aus den Gleichungen (9.28) und (9.29) die Koordinatenxs undys des Flachenschwerpunktes:

181

9.2 Schwerpookt einer Flache

I xM

Xs = - - A

(9.46),

IyM

Ys=--A

(9.47).

9.2.3 Flachenschwerpunkte fUr Zllsammengesetzte Flachen Kennt man die Flacheninhalte ood die Schwerpooktskoordinaten der Teilflachen, so lassen sich die Schwerpunktskoordinaten der Gesamtflache, Bild 9-6, wie folgt bereclmen: (9.48),

(9.49).

y

,

Ai A2

5, x, - _-.1_

xs

,, , ,IY,

• Sj

--TS .S2 I I

I')'S I

BUd 9-6

Schwerpunktberechnung einer aus TeilfHichen msammengesetzten Flache A I ,A2, ,..4;: Teilflachen XI,YI, ,x;,y;: Koordinaten der Schwerpllllkte der Teilflachen A=LA;: Gesamtflache Schwerpunktskoordinaten xs,Ys: der Gesamtflache

Die GesamtflacheA karm durch Aufsummieren der TeilflachenA; errnittelt werden: (9.50).

9.2.4 Berechnung des Flachenschwerpunktes einzelner Flachen Die Schwerpunktskoordinaten einzelner Flachen kormen mit den Forrneln (9.46) und (9.47), Kapitel 9.2.2, bereclmet werden. FOr eine rechtwinklige Dreiecksflache nach Bild 9-7a ergibt sich folgender Rechengang: Mit dem Strahlensatz erhalt man nach Bild 9-7b y(x) x

=

~

b

und somit die Geradengleichoog h

y(x)=-·x b

(9.51).

182

9 Schwerpookt b)

0) )'

y(t)

dA

)'

dA

. / d)'

h

)'

x

h

x

h-x

x

BUd 9-7 Schwerpunktsberechnung fur ein rechtwinkliges Dreieck

a) Dreieck mit cler Breite b lllld der Heme h b) Dreieck mit den x-y-Koordinaten und der TeilfHiche M= y (x) dx fur die Bereclmung der Schwerpunktskoordinate Xs c) Dreieck mit TeilfHiche d4 = (b - x )dy fur die Bereclmung der SChWerpllllktskoordinate Ys

Mit

h dA= y(x)· dx =-. x· dx b

lind

erhfilt man mit Gleichoog (9.46)

!b bh

fxd'! Xs =-A-=

fxy(x)m A

=

x

2

(9.52).

b·h 2

FOr Ys, Gleichoog (9.47), erhfilt man mit d4 = (b - x). dy und x = (hi h)· y , Bild 9-7c,

fyd'!

fy(b-x)
Ys = - A - ~ ~--CAC--

h 3

(9.53).

Der Schwerpunkt liegt im Schnittpookt der Seitenhalbierenden.

9.2.5 Schwerpunktskoordinaten einfacher Flachen Die Schwerpunktskoordinaten einiger einfacher FHichen sind in Bild 9-8 msammengestellt. Gnmdsatzlich gilt: Symmetrieachsen sind Schwerpunktsachsen. Bei Doppelsymmetrie liegt der Schwerpookt im Schnittpookt der Symmetrieachsen.

9.2.6 Statisches Moment einer Flache Die bei der Berechnoog des Schwerpooktes einer FHiche auftretenden Integrale (siehe Gleichungen (9.45), (9.46) und (9.47)) nermt man FHichenmomente 1. Ordnung oder statische Momente. Mit Gleichoog (9.45) folgt somit das statische Moment (9.54).

183

9.2 Schwerpookt einer Flache y

I-t---r--r I "SI"

Rcchtcck X

s

b

=-

2

/,

h

i

Ys = 2

x

b y

TrnpCl

",

1/

2 2 x _b -c +d.(b+2c)

3(b+c)

S -

_ h"(b+2')

Ys - 3(b+c)

oS x

h

2 Xs =-b 3

h

Ys = 3

,

A---,

1/\" b

Schicfwinkligcs Drcicck

b+c xs=-3

h

Ys = 3 x

Kreis

Y

Xs =Ys =0

S

Y

x

Halbkrcis

Xs = 0 (Symmetrieachse) Ys x BUd 9-8 Schwerpunkte einfacher FHichen

4

=-1

3"

184

9 Schwerpunkt

Aus Gleichung (9.45) geht auch hervor, dass das statische Moment beziiglich des Schwerpunktes (rs = 0) null is! Mit Gleichung (9.47) erhalt man das statische Moment beziiglich der x-Achse Sx

f

= y. d4

(9.55)

A

und mit Gleichung (9.46) das statische Moment bezuglich der y-Achse (9.56).

Sy=fx.d4 A

Die statischen Momente spielen neben der Schwerpunktsberechnung auch in der Festigkeitslehre eine Rolle. Dart haben auch die FHichemnomente 2. Ordnung, die FHichentragheitsmomente, eine groJ3e Bedeutung.

•••

Beispiel 9-3 t

h

FUr den skizzierten Querschnitt, bestehend aus einern scharf-

kantigen T-Stahl und einem U-Profil, bestimme man die Lage des Flachenschwerpunkts.

h

geg.:

h

~

40 mm, b

~

40 mm, t ~ 5 mm

y

tl

t

x

b

Lasung:

Einteilung der Profile in vier Teilflachen, (3) ist dabei die Flache h· b ·A i

YSi ·A i

[mm']

[mm']

[mm']

62,5

175

3500

10937,5

20

42,5

200

4000

8500

(3)

20

20

1600

32000

32000

(4)

22,5

20

-1050

-23625

-21000

925

15875

30437,5

XSi

YSi

Ai

[mm]

[mm]

(I)

20

(2)

v(l) ,(2) (3) y

1-----I

(4)

L...

_

L

x

17,2mm

32,9mm

XSi

185

10 Reibung Reibungserscheinungen spielen in cler gesarnten Technik sowie im taglichen Leben eine wichtige Rolle. Ohne Reibung ist z. B. keine kontrollierte Fortbewegung maglich. Beim Gehen

erlaubt uns die Haftreibung zwischen Schuhsohle und StraJJe die Fortbewegung. Sinkt die Haftreibung, z. B. bei Glatteis, so ist die kontrollierte Gehbewegung gefahrdet, man kann ausgleilen. Auch eine Autofahrt ist ohne Haftreibung nicht maglich. Dies bedeutet, dass zwischen dem Autoreifen und der StraJJe eine Haftreibungskraft wirkt, die eine Fahrt erst zulasst Auch bei Kurvenfahrten hat die Reibung eine herausragende Bedeutung. 1st die Haftreibung zu gering, beginnt das Fahrzeug zu gleiten und wird z. B. aus der Kurve getragen. Letzteres wird besonders bei Autorennen deutlich. AIle Brernsvorgange mit rnechanischen Brernsen basieren auf Reibungsvorgangen. Dabei

werden z. B. Rader oder rotierende Scheiben durch Reibung abgebremst D. h. eine der Bewegung entgegengerichtete Gleitreibungskraft sorgt fUr die Bremsverzagerung. Reibung ist in vielen Bereichen in Natur und Technik eine Notwendigkeit Reibung kann aber auch ungiinstige Wirkungen haben. So vennindert Reibung in Motoren, in Getrieben und in Wellenlagem die Leistung der Maschinen und fuhrt zu erhbhtem VerschleiJJ. Urn diese negativen Erscheinungen zu verrnindem, wird die Reibung bzw. die cler Bewegung entgegenwirken-

de Gleitreibungskraft unter Umstanden durch Schmiermittel herabgesetzt. Bei der Beruhrung von zwei festen Karpem kann also Haftreibung oder Gleitreibung vorliegen. Die Haftkrafte und die Gleitreibungskrafle wirken in den Beruhrflachen.

10.1 Grundlagen der Festkorperreibung Die Grundlagen fUr die zuvor beschriebenen Reibungserscheinungen sollen anhand eines einfachen Kbrpers, cler sich auf einer rauen Unterlage befindet, verdeutlicht werden.

Liegt der Karper, Bild IO-Ia, ruhig auf der Unterlage, so wirkt als auJJere Kraft die Gewichtskraft G. In der Beruhrflache zwischen Karper und Unterlage tritt demzufolge lediglich eine Nonnalkraft N auf, Bild 10-1 b. Diese wirkt, wie der Name schon sagt, nonnal (senkrecht) zur Beruhrflache und entsprechend dem Wechselwirkungsgesetz (siehe Kapitel 2.3.3) sowohl auf den Karper als auch auf die Beruhrflache. Beim Freischmtt des ruhenden Karpers, Bild IO-Ib, ist die von der Unlerlage auf den Karper ausgeuble Nonnalkraft N eingezeichnet Diese ist mit der Gewichtskraft G im Gleichgewicht:

1'.

N-G=O

N=G

(10.1).

Der Betrag der Nonnalkraft entspricht dem Betrag der Gewichtskraft, Gleichung (10.1). Da tangential zur Beruhrflache keine Krafte wirken, ist der Karper insgesamt im Gleichgewicht, er befindet sich in Ruhe, d. h. er bewegt sich nicht Auch wenn eine horizontale auJJere Kraft F auf den Karper wirkt, Bild IO-Ic, bleibt der Karper bis zu einer Grenzkraft in Ruhe. In diesem Fall wird infolge der Oberflachemauigkeiten zwischen Karper und Unterlage eine tangentiale Kraft R H ubertragen, welche die Bewegung

186

10 Reibung

verhindert Die so genannte Haftreiboogskraft RH tritt stets in solcher GrOl3e ood Richtoog auf, class Gleichgewicht herrscht. Es handelt sich also, wie z. B. bei einem Auflager, lUll eine Reaktionskraft. ,)

d)

,)

b)

BcwcgungsriChlung ----..

~ R~ tN F

N

•

H R

tN

-. (I

BUd 10-1 K6rper auf ciner rauen Unterlage a) Karper der Masse m liegt auf der Unterlage b) Freisclmitt des mhenden Karpers mit der Gewichtskraft G und der N onnalkraft N

c) ObwoW eine horizontale Kraft FwiIkt, befindet sich cler Karper in Rube. Neben der Gewichtskraft G und der N onnalkraft Nwirlct noch die Haftreibllllgskraft RH d) Die horizontal wiIkende Kraft F versetzt den Karper in Bewegung. Nllll wirkt die Gleitreibungskraft Ro cler Bewegung entgegen

Mit den Gleichgewichtsbedingungen erhfilt man fUr diese Sihiation (Bild IO-Ie):

N=G

(10.2), (10.3).

Die Haftreibungskraft R H (L T. auch Haftkraft oder Hafumgskraft genarmt) ist somit genausa grol3 wie die tangential mr BerOhrlHiche wirkende Kraft F. Da Gleichgewicht in x- ood yRichtoog herrscht, bleibt der Karper in Ruhe. Wirkt eine gral3ere horizontale Kraft F oder liegt eine verrninderte Reiboog zwischen K6rper und Unterlage vor, bewegt sich der K6rper in Richhmg von F, Bild lO-ld. Der Karper befindet sich also nicht mehr im Gleichgewicht. Es entsteht eine beschleooigte Bewegung mit der Beschleooigoog a. Infolge der OberlHichenrauigkeit wirkt darm eine horizontale Kraft R G, welche die Bewegung erschwert Diese Gleitreiboogskraft wirkt stets entgegengesetzt mr Bewegoogsrichhmg. Sie ist somit eine Widerstandskraft, die von den Werkstoffpaanmgen und der OberlHichenbeschaffenheit abhangt. Bei dem in Bild lO-ld dargestellten Bewegungsvorgang ist F > R G. Gnmdsatzlich ist somit zwischen Haftreibung (Haftoog) und Gleitreiboog m unterscheiden.

10,2 Haftreibung Wie zu Begirm dieses Kapitels beschrieben, ist Haftreibung von grol3er Bedeuhmg fUr zahlreiche Vorgange in Natur ood Technik. Ein Karper haftet aber nicht oobegrenzt auf einer Unterlage oder einem anderen K6rper. Es existiert fUr aile Kontaktpaarungen eine Grenzhafumgsoder eine Grenzhaftreibungssihiation.

187

10.2 Haftreibung

Haftreiboog ood damit eine Gleichgewichtssituation (siehe KapitellO.1) liegt nur solange vor, bis die HaftreibungskraftRH die GrenzhaftoogskraftR Hmax erreicht, d. h. solange (lOA)

ist. Die Grenzhaftoogskraft R HllllX ist der Nonnalkraft N und dem Haftreibungskoeffizienten f1H proportional. Es gilt das so genarmte COULO:MBsche Gesetz (10.5). Der Haftreibungskoeffizient f1H hfulgt von der Werkstoffpaanmg der in Kontakt befindlichen Karper ood von der ObeIiHichenrauigkeit der sich ben1hrenden Flachen abo Werte fUr f1H sind in Bild 10-2 angegeben.

~;:r I'H

~ of

H

R

tN

RH=F R Hmax = fiH ·N

Kontaktpaamng

/lH

Stahl auf Stabl

0,2... 0,3

Holz aufHolz

0,5

Autoreifen aufStralle Stahl aufEis

0,7.. 0,9 0,03

Ski aufSdlllee

0,1...0,3

BUd 10-2 Haftreibung und Haftreibungskoeffizienten

Aus den Gleichungen (10.4) ood (10.5) ergibt sich somit die Haftbedingoog

IR

H <;

Il H

NI

(10.6).

1st diese eIilillt, bleibt der K6rper in Rube. 10.2.1

Korper auf schiefer Ebene

Die Gegebenheiten bei der Haftreibung k6nnen auch bei einem Karper, der sich auf einer schiefen Ebene befindet, studiert werden. Auf den Karper wirkt neben der Gewichtskraft G noch eine parallel zur Ebene wirkende Kraft F, Bild 10-3a. Von Interesse ist nun, wie groll bei einem gegebenen Haftreibungskoeffizienten f1H = 0,2 und einem Anstiegswinkel der Ebene von a= 20° die Kraft F einerseits mindestens sein muss ood andererseits maximal sein darf, damit der K6rper in Rube bleibt.

188

10 Reibung oj

b)

BUd 10-3 K6rper auf schiefer Ebene in Ruhelage a) Eine Kraft F, die ein Abgleiten des Karpers verhindem soli, wirkt neben der Gewichts!crili G b) Freisclmitt des K6rpers fur den Fall, class eine Abwfutsbewegllllg gerade vermieden wird c) Freischnitt des Kocpers fur die Grenzsituation, bei cler eine Aufwiirtsbewegung des K6r-

pefS gerade fioch verhindert werden kann

Bild lO-3b zeigt den Freisdlllitt des Korpers fUr den Grenzfall, class cler Karper sich gerade noch nicht abwfuts bewegt. In diesem Fall verhindem F= F rrin ood die Hafueibungskraft R H ein Abwartsgleiten. Die Hafueiboogskraft, als Reaktionskraft, wirkt darm tangential zur Ellene schrag nach oben, wahrend die tangentiale Komponente G· sinades Gewichts, die so genarmte Hangabtriebskraft, schrag nach ooten wirkt. Mit den Gleichgewichtsbedingungen fUr den K5rper, Bild 1O-3b, emalt man darm F rrin : ,...:J:

F min -G· sina+R H = 0

N-G·cosa=O

(10.7), N= G· cosa

(10.8).

1m Fall cler Grenzhaftung ist nach Gleichung (10.5) R H =RHmax =f.1H ·G·cosa

(10.9).

Setzt man die Gleichungen (10.8) und (10.9) in Gleichung (10.7) ein, so erhfilt man

Fmin = G· (sina - fiR . cosa)

(10.10).

FOr a= 20° ood f.1rl = 0,2 ergibt sich darm F rrin = 0,15G. FOr eine gr6l3ere Kraft F muss mm noch das Aufwartsgleiten ausgeschlossen werden. In diesem Fall wirktR H entgegen einer moglichen Aufwartsbewegoog, Bild lO-3c. Mit den Gleichgewichtsbedingoogen ,...:J:

Fmax-O·sina-RH=O

'\:

N-G·cosa=O

(10.11), (10.12)

und Gleichoog (10.9) erhfilt man die maximale Kraft F=Frmx , bei welcher cler Karper gerade noch in Ruhe bleibt:

F max =O.(sina+/lH .cosa)

(10.13).

FOr a= 20° ood f1H = 0,2 gilt F rmx = 0,530. Somit bleibt der Karper fUr 0,150:::; F::;; 0,530 in Ruhe, d. h. im Gleichgewicht.

10.2 Haftreibung

189

10.2.2 Reibungssektor, Reibungskegel Befindet sich ein beliebig belasteter Karper, der auf einer Unterlage liegt, in Rube, so wirkt im Kontaktbereich eine Norrnalkraft Nund die Hafueiboogskraft RH (siehe Bild IO-lc). Beide Krafte msammen bilden somit eine Widerstandskraft F w, Bild 10-4a. Der Winkel P zwischen beiden Kraften erredlllet sich bei dieser Hafueiboogssituation, RH < R Hrmx , mit der Formel (10.14).

----:==1 ": P

~

I

N

_I Fw

BUd 10-4 Definition von Haftreibungswinkel pund Grenzhaftungswinkell1J a) Haftreibungssituation mit RH < R Hm ", und Haftreibllllgswinkel p b) Grenzhaftllllg mit RH = R Hmu lllld clem Grenzhafttmgswinkell1J

FOr den Fall der Grenzhaftung, Bild 1O-4b, wirkt in der Ben1hrlHiche zwischen Karper ood Unterlage die N ormalkraft ood die Grenzhafumgskraft R Hrmx , siehe Gleichung (10.5). FOr diesen Grenzfall, Bild 10-4b, errechnet sich der Grenzhaftoogswinkel A1 mit der Beziehung R

fiH·N

tan PH = -Hmax - - ~ - - - = fiH

N

(10.15).

N

PH lasst sich somit unrnittelbar mit dem Hafueiboogskoeffizienten errnitteln. 0)

b)

"I

K011laklllachc

Kontaktlliiche

Rcibungskcgcl

Rcibungsscklor BUd 10-5 Veranschaulichllllg von Reibungssektor lllld Reibungskegel

a) Reibllllgssektor mit clem Grenzhafttmgswinkell1J b) Reibungskegel mit clem Offnllllgswinkel211J, geeignet ffir raumliche Kraftwirkung

190

10 Reibung

Tragt man nun den Grenzhafhmgswinkel PH nach heiden Seiten mr FHichermorrnalen n der KontaktfHiche auf, so erhfilt man einen Reiboogssektor oder Reibungskeil, Bild IO-Sa. Liegt die Widerstandskraft Fw innerhalb dieses Sektors, d. h. p< PH und R H < R Hrmx , so liegt Haftung vor und cler Karper bleibt in Ruhe. Bei raumlicher Kraftwirkoog fmdet ein Reibungskegel Anwendung, Bild lO-5b. Es handelt sich lUll einen Rotationskegel mit dem Offmmgswinkel 2/1-1. Liegt die aus Nood RH gebildete Widerstandskraft F w innerlmlb des Reibungskegels, so befindet sich cler betrachtete Karper in Ruhe.

10.2.3 Leiter an einer Wand Bemgnehmend aufFragestellung 1-6, Bild 1-6, in Kapitell soli hier die Leiter an cler Wand, auf die eine Person aufsteigt, behandelt werden, Bild 10-6a. Vorausgesetzt wird, class cler raue Boden einen graBen Haftreiboogskoeffizienten besitzt, an der sehr glatten Wand aber Reiboogsfreiheit vorliegt. ,)

b)

Rcibungs. frcihcit an C---r1\\ der Wand

" B

(J.

/ Rcibung am Boden (Ha tlrcibungskoeffizicnl/lH)

B

R m

I I

"

I .t .-

N

S

BUd 10-6 Leiter an einer Wand a) Person steigt Leiter hoch b) Freisclmitt der Leiter mit clem Gewicht G cler Persoo, den N ormalkraften HA und HB sowie cler Haftreibungskraft R HB

Dernentsprechend wirkt also lediglich am Boden eine Hafueiboogskraft R HB . In den FreiSdlllitt, Bild 1O-6b, sind ebenso die Gewichtskraft G der Person als iiul3ere Kraft ood die in den Kontaktbereichen wirkenden Norrnalkrafte N A (an der Wand) und NB (am Boden) eingetragen. Gefragt ist noo, bis m welcher Hooe y die Person steigen darf, ohne dass die Leiter abgleitet. Mit den Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik, Kapitel4.1, erhiilt man (10.16),

t:

NB-G=O

(10.17),

10.2 Haftreibung

191

(10.18). Mit der Bedingoog fUr die Grenzhaftoog (10.19) nnd x~-y trnw

erhfilt man mit den Gleichungen (10.18), (10.16) ood (10.17)

y

N A ·h·tana

~ ~---:c;-

G

f.1H

·G·h·tana

~--;o---= f.1H . h·

G

tan a

(10.20).

ad" y h

-

= f.1H·

tan a

(10.21).

Man erkermt, dass die Losoog fur y I h lediglich von dem Anstellwinkel ader Leiter und dem Haftreiboogskoeffizienten f1H zwischen Boden und Leiter abhfulgt. Das Gewicht der Person spielt keine Rolle. FOr a= 60° und f1H = 0,4 ergibt sich fUr y I h = 0,69. Die Person karm damit die Leiter nur bis zu einer Hohe von 690/0 der Leiterh6he h besteigen, oime abzugleiten. Steht die Leiter steiler, a= 70°, so erhfilt man fUr y I h = 1,09. Jetzt lfisst sich die Leiter problemlos besteigen. oj

b)

Rcibung / an dcr Wnnd.JI HA

A

c)

Wirkungslinic von C '-...;

B /

B

Rcibung am Bodcn.)IHB BUd 10-7 Grafische LOSllllg des Problems "Leiter an einer Wand"

a) Darstellllllg der Situatioo b) Freischnitt der Leiter c) L6sllllg des Problems mittels der Reibllllgssektoren an Boden lllld Wand.

192

10 Reibung

Die Behandlung des Problems "Person steigt Leiter hinauf' ist ebenso moglich, wenn am Boden und an der Wand Haftreibung vorliegt Dann ist auch eine grafische Losung mittels der Reibungssektoren moglich. Dies soll fUr den Anstellwinkel der Leiter von a~ 60° und die Reibungskoeffizienten JLHA ~ JLHB ~ JLH ~ 0,4 an Wand und Boden verdeutlicht werden. Mit Gleichung (10.15) erhalt man

= arctanJLH = arctan 0,4 = 21,8°

PH

und somit einen Offnungswinkel der Reibungssektoren von 2fJH ~ 43,6°. Diese Reibungssektoren werden nun an den Benmrstellen von Wand und Boden eingezeichnet DurchHiuft die Wirkungslinie der Gewichtskraft G das schraffierte Gebiet, in dem sich die Reibungskeile uberdecken, so steht die Person sicher auf cler Leiter. Ein Abgleiten cler Leiter ist dann ausgeschlossen.

•••

Beispiel 10-1

Ein Hubschrauber muss auf einer Schwirnrn-

-

a

:t::..:

htA~

insel notlanden. Wegen Seitenwinds landet cler Pilot auJ3ennittig, was zu einer Neigung der Schwimminsel urn einen Winkel afiihrt.

'""I G

L

a) Wie groJJ darf die Neigung a maximal sein, darn it cler Hubschrauber nicht seit-

SH B

.-II

b

lich ins Wasser rutscht?

b) Wie groJJ darf die Hohe h des Schwerpunkts maximal sein, damit der Hubschrauber fUr den Fall a~o;,,~ nicht seitlich ins Wasser kippt? geg.: G ~ 45 kN, b

~

2,50 m, JLH

~

0,8

Lasung:

Freischnitt

a) Maximale Neigung

o;,,~

Gleichgewichtsbedingungen:

FUr die Grenzsituation kurz vor dem Rutschen gilt:

(3)

aus (I) und (3) folgt JLH ·Nj +JLH ·N2 -G sinamax =0

(4)

10.3 Gleitreiboog

193

aus (2) ood (4) folgt: -G·sinamax +f.1H ·G·cosamax =0

=>

sin a max = tan a max = f.1H cosamax

=>

a'max = arctanf.1H = 38, 7°

b) HOhe h des Schwerpunkts, so dass kein Kippen auftritt FOr den Grenzfall gilt:

b Nj·b-G·cosa·-+G·sina·h.max =0 2 /, "m~

=cosamax·b 2' smamax

b c:c--'--- = 1,56 m 2tanamax

10.3 Gleitreibung Gleitreibung tritt auf, werm zwei Karper sich relativ meinander bewegen oder ein Karper auf einer Unterlage verschoben wird. In diesem Fall erschwert die Gleitreibungskraft R G, Bild 10-ld, die Bewegung und wirkt als Widerstandskraft stets entgegengesetzt mr Bewegoogsrichhmg. Der Betrag der Gleitreiboogskraft ist abhangig von der zwischen den K6rpem wirkenden NorrnalkraftNund dem Gleitreibungskoeffizienten fiG: (10.22). R G ist prinzipiellooabhangig von der Geschwindigkeit der Bewegoog ood der GraBe der Kon-

taktf1ache.

~g,,"g'd'h,""g G

J~ /'G

•

G H

tN

F

--

---a

Kontaktpaanmg

R G :::;F R G = f.1G ·N

Stahl auf Stahl

i1G 0,1...0,2

Holz aufHolz

0.3

Autoreifen aufStraBe Stahl aufEis Ski auf Schnee BUd 10-8 Gleitreibllllg lllld Gleitreibungokoeffizienten

0,6.. 0,7 0,015 0,05 ... 0,2

194

10 Reibung

Bei der vektoriellen Beschreibung der Gleitreibungskraft wird deutlich, dass R G stets entgegengesetzt der Bewegung bzw. entgegengesetzt der Geschwindigkeit wirkt:

V stellt hierbei den Geschwindigkeitsvektor und IVI = v den Betrag der Geschwindigkeit dar. Werte fUr den Gleitreibungskoeffizienten f1G sind in Bild 10-8 angegeben. Bei Bewegoogen mit Gleitreiboog treten haufig Beschleunigungen oder Verzagenmgen auf. Da Karper, die derartigen Bewegoogen unterliegen, sich nicht im Gleichgewicht befinden, kannen derartige Vorgange i. Allg. nicht mit den Methoden der Statik beschrieben werden. Daher werden diese Themen Obenviegend im dritten Teil der Buchreihe, d. h. in der Dynamik, behandelt. In der Statik. kannen aber quasistatische Probleme betrachtet werden, wie z. B. der Zusammenhang zwischen Bremskraft und Bremsmoment einer mechanischen Bremse. Dies soli anhand der Backenbremse in Bild 10-9 gezeigt werden. ,)

a

A

h

b)

F

A,

c

F A

Ay

HG

N

0)

N

RG

f'iP) -~w

BUd 10-9 Gleitreibungsvocgange bei einer Backenbremse a) Backenbremse mit Bremskraft Fund erzeugtem BremsmomentMB b) Freisclmitt des Bremshebels mit cler von der Bremstrommel auf den Hebel ausgeiibten Nonnalkraft Hood der Gleitreibungskraft Ro c) Freisclmitt cler Bremstrommel mit N, Ro ood clem Bremsmoment M B = Ro . T, das entgegen der Tronunelbewegung wiIkt

Die Bremstromrnel, die sich in einer Rechtsdrehung befmdet, hier dargestellt durch die Winkelgeschwindigkeit m, wird durch ein entgegengesetzt drehendes Bremsmoment MB abgebremst. MB wird erzeugt durch eine Bremskraft P, die am Fnde des Bremshebels wirkt. Gesucht ist noo der Zusamrnenhang zwischen P ood MB fUr die vorgegebene Geometrie und die Tatsache, dass im Kontaktbereich der Bremse der Gleitreiboogskoeffizient f1G wirkt Das Bremsmoment erreclmet sich in diesem Fall nach der Beziehung (10.24) aus der Gleitreiboogskraft R G ood dem Radius r der Bremstromrnel. Mit der Momentenbedingung lUll A erhalt man fUr den Bremshebel

10.3 Gleitreibung

P:.

195 (10.25)

F.(a+b)-N a-R G 'c=O

und daraus

F=N.a+RG·c a +b

(10.26).

Mit den Gleichungen (10.22), (10.24) und (10.26) ergibt sich die gesuchte Abhangigkeit zwischen der Brem skraft F und dem Bremsm am ent M B •

=MB

F

r

.

a + JiG . C JiG (a+b)

(1027).

Man erkennt, class dieser Zusarnrnenhang insbesondere durch den Gleitreibungskoeffizienten

f.lo und die Abrnessungsverhaltnisse bestimrnt wird. Eine bessere Brernswirkung wfude sich z. B. fUr C ~ 0 ergeben. Diese Verbesserung lieJJe sich durch eine leichte Kanstruktiansanderung erreichen.

•••

Beispiel 10-2 FH

Seitenansicht

Das skizzierte Fahrradbremssystem befindet sich im Bremszustand. Die eingeleitete HandkraftFH wird durch Seile liber RaUen reibungsfrei gefUhrt. Bestirnrnen Sie die Handkraft FR , die notwendig ist, urn das BrernsrnornentMB zu erreichen.

geg.• M B a~

750Nm, f.lo 45°, jJ~ 70°

~

~

0,7, a

~

70 mm, b

~

30 mm,

C ~

45 mm,

d~

40 mm,

r~

300mm,

Lasung:

System 1.

1::.

(I)

196

10 Reibung

Freischnitt: I

f

\

~./

I

".-------------.....,

1

\

~

I i , I

l' 1 ~

d1"(---.. \"

Fj

System 2 }

F2

r------~~~--------,./-/

, System 1 I F I

\....

F2

- .........

l/

A

F 4

---- ......... " F .... " - - - - - - - /

.

' ....., ... ,

3"

/

/

\

Y

.............

System 3 )

I F3 \

/Systern 4 \

/'j

-------1/'

....

",,""

FIJI

H

,,/ ././ /

....

//

---....

............ '\. System 5 ~ /

..... F4

/ IF

\ FN \ ( N L':~~""I-_, ./,

\

\

,,/"

\ B

'....

....,

I

----i \"

I ,//

I \

........

" \

N

...., \

N

System 6 (Draufsicht)

----------

) .../

/

/

//

cJ

'-r< :BtTTfB.:~~; 11 /

/

I

..../

I I

System 2: F j = F 2 ' da reibungsfreie Umlenkralle

(2)

System 3: F 4 ·sina-F3 'sina=O

---7 :

=>

(3)

F 2 -F3 ·casa-F4 'casa=O aus (I) bis (4) falgt:

(4)

Q

-·FH -2F3 ·casa= 0 b

(5)

System 4: F3

d·sinfJ _ ·FN - (c+d).casy

(6)

System 6: M

B

=2FB ·r

(7)

aus (5) bis (8) falgt: mit

r

a+ fJ -

900~

(8)

und

b·d casa·sinfJ M .Q. r. (c +d). easy'

FH = JiG 25 0 falgt:

FH

= 528,lN

B

(9)

10.4 Seilhafumg und Seilreiboog

197

10.4 SeilhaftuDg uDd SeilreibuDg Reiboog tritt auch auf, werm ein Seil z. B. urn eine Rolle gelegt ist ood die Seilkrafte an den beiden Enden des Seils ooterschiedliche Betrage aufweisen. Von Hafueiboog bzw. Seilhaftung spricht man, werm keine Relativbewegoog zwischen Seilood Rolle stattfindet. Gleitet das Seil jedoch ober die Rolle, so liegt eine spezieller Fall der Gleitreibung, hier Seilreiboog genarmt, VOC.

10.4.1 Seilhaftung Da bei der Seilhaftoog keine Relativbewegung zwischen Seil ood Rolle (Kreis scheibe) existiert, liegt ein Gleichgewichtsmstand vor. Infolge der Differenz zwischen den Seilkraften 8 2 und 8j, Bild 10-lOa, wird zwischen Seil und kreisforrniger Rolle eine Reiboogskraft R H obertragen, die sich fUr 8 2 > 8 1 wie folgt ergibt: (10.28). Dies bedeutet, die tatsachlich aufuetende Reiboogskraft R H entspricht der Differenz zwischen 8 2 ood 8 1. Diese KraftObertragung ist aber nur moglich bis m einer Grenzhaftungskraft RHrmx. Da die Grenzhaftungskraft neben dem Haftreibungskoeffizienten f1H noch von dem Umschlingoogswinkel a des Seils abhangig ist, Bild 10-1 Oa, soli zooachst eine Betrachtoog an einem differentiell kleinen Seilelement angestellt werden, Bild 10-1 Ob. 0)

b)

"

~~ tdRHI S+lIS

5,

\I

,

\

5

dN/ 1---1 \ dIP I I

r, , '

I II

I ,' I"

I

BUd 10-10 Untersuchllllg cler Haftreibung zwischen einem Seil und einer Rolle a) Seil undRoile mit den Seilkriiften q > SI lllld clem Umschlingungswinkel a b) Freisclmitt eines differentiell kleinen Seilelements mit den Seilkriiften S lllld S+ dS, der differentiell kleinen N onnalkraft dN sowie der differentiell kleinen Haftreibungokraft dRH

Mit den Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik, Kapitel4.1, folgt:

d'l' 2

d'l' 2

(8+dS)· cos--8· cos--dR H = 0

(10.29),

(10.30). Da fUr infinitesimal kleine Winkel drp

198

10 Reibung d
. d
d
.

cos-=I, s m - = - und dS·d
= dR H

(10.31)

und (10.32). Fill den Fall der Grenzhaftung gilt: dR H

= dR Hmax = JLH

(10.33).

. dN

Somit erhalt man mit den Gleichungen (10.31), (10.32) und (10.33) fill diesen Grenzfall (10.34) und durch Trennung der Variablen die Differentialgleichung (10.35). Diese wird durch Integration der linken und rechten Seite unter Beachtung der Integrationsgrenzen gelost:

(10.36). Durch die Integration erhalt man

und daraus

und somit die maximale Seilkraft S2 Rolle vorliegt:

~ S2m~,

bei der gerade noch Haftung zwischen Seil und

IS2max = Sj .el'wal

(10.37).

Gleichung (10.37) wird EULER-EYTELWEINsche Fonnel genannt: Die GrenzhaftungskraftRHmmc Hisst sich mit den Gleichungen (10.28) und (10.37) erreclinen: RHmax =S2max -Sj =Sj·el'H·a -Sj =Sj.(el'H·a

-I)

(10.38).

Haftung, d. h. keine Relativbewegung zwischen Seil und Rolle liegt vor, wenn R H ~RHmax

(10.39)

10.4 Seilhafumg und Seilreiboog

199

bzw.

(10.40) ist. Dieser Zusammenhang wird bei einem Schiff deutlich, bei dem im Hafen das Halteseil viennal urn einen Poller gelegt wird, Bild 10-11. Bei einem Haftreiboogskoefflzienten von f1H = 0,2 zwischen Seil und Poller stellt sich die Frage, welche Schi:lfskraft 8 s maximal auf das Seil wirken kann, werm ein Matrose das Seil am anderen Fnde mit einer Kraft PM von 200 N halt.

BUd 10-11 Schiff im Hafen wird cilrch ein Sci! gehalten

Mit Gleichung (10.31) kann diese Frage oomittelbar beantwortet werden, wenn man 8 2rrax = 8 s, 8 1 = PM ood a= 4 ·21f= 81fin Bogenrnal3 einsetzt: 8 s = PM . ePH"a = PM . eO,2.8iT = 152,4PM = 30480N. Die maximale Schiffskraft kann somit 152,4 mal so grol3 sein, wie die Handkraft des Matrosen, oIme dass das Seil gleitet D. h. mit 200N Handkraft karm der Matrose mehr als 30 kN Schiffskraft kontrollieren.

10.4.2 Seilreibung Seilreibung tritt auf, werm eine Relativbewegung zwischen Seil und Walze oder zwischen Seil und einem Pfosten stattfindet. Dies ist z. B. der Fall, wenn das Seiltun einen Pfosten oder eine feststehende Scheibe gleitet oder eine rotierende Walze durch ein Seil bzw. einen Riemen abgebremst wird. In diesem Fall gilt die EULER-EYTELWEINsche Gleichoog in der abgewandelten Form

182 =81 · e PG -a1

(10.41),

wobei 8 2 > 8 1 und fiG der Gleitreibungskoefflzient ist Umgekehrt lasst sich 8 1 mit der Formel 8 = 8 . e -PG-a 1 2

berechnen.

(10.42)

200

11 Klausuraufgaben Die Technische Mechanik ist nicht allein durch das Lesen eines Buches erlembar. Die folgen-

den Aufgaben sallen deshalb den Leser dam etmuntem, selbstsUindig Fragestelloogen ood Probleme der Statik m Jasen und sich so auf anstehende Klausuren vormbereiten. Zur Kontrolle cler eigenen Rechnungen sind die Ergebnisse in Kapitel 11.2 aufgeflihrt. Neben diesen Klausuraufgaben stellen auch die mit *** gekermzeichneten Beispiele der vorangegangenen Kapitel klausurrelevante Fragestellungen dar.

11.1 Aufgabenstellungen Aufgabe 1 F

d

Ein Papierhefter ist, wie skizziert, aufgebaut. Bestimmen Sie fUr den Fall, dass am Hebel eine Kraft F eingeleitet wird, die Heftkraft F H im Pookt H, sowie die Gelenkkrfifte in C ood D.

c·

geg.:

I:

.1

F=2ooN,I=300mm,a=200mm, b=20mm,c=50mm,d=150mm, a=30°

.1

Aufgabe 2 Eine Lokomotive mit den gegebenen Achslasten F j bis F s wird auf einer Drehscheibe so aufgestellt, class die resultierende Last auf dem Drehzapfen cler Scheibe in der Mitte ruht. Errnitteln Sie zeiclmerisch den Abstand x

zwischen Zapfenmitte ood hinterer Achse. geg.:

F j = 150 kN, F 2 = 100 kN, F 3 = 100 kN, F 4 = 70kN, F s = 50 kN, a= 2,3 m, b = 2,7 m, c = 2,0 m, d= 1,5 m

x

..

11.1 Aufgabenstelloogen

201

Aufgabe 3

[],

30

4b

a2a

C

b

Il

_[)o _

2b E

G

"

@

b

H

A

0

b

d

F M K b

,

Die Bewegung der dargestellten Baggerschaufel wird durch die drei Zylinder BE, CD und III gesteuert Das Gewicht der mit Schutt geflillten Schaufel ist durch eine Ersatzkraft F in Punkt M gegeben. Die Zylinder und die Bauteile des Auslegers werden als starr ood masselos angenommen. Beredlllen Sie die notwendigen Krafte in den Zylindem, damit die Schaufel in der dargestellten Lage verbleibt. geg.: F= 10kN, a = 0,1 m,b = 0,25m, c = D,4m, d= 1,5 m

Aufgabe 4 Die dargestellte Tragkonstruktion ist durch die Kraft F ood die Streckenlast q belastet Man bestimme a) die Auflagerkrafte bei A ood B ood b) dieSchnittgr6l3enflirO<x
202

11 Klausuraufgaben

Aufgabe 5 Variantc 2

VarianlC J

A

F

-W~.~

--"b

kL-

--.l ..

F

F

_~2~a4-~

---L",---

....2~a,-

FOr zwei SpUIWeiten soli die Achse eines Traktors untersucht werden. Variante 1 zeigt die Achse des Traktors mit den valli Hersteller montierten Radem. Urn die SpUIWeite m vergr6Bern, montiert ein Landwirt die Rader mit cler Innenseite nach auI3en (Variante 2). Bestimmen Sie fUr beide Varianten

a) die Lagerkrafte in A ood B sowie b) die Sclmittgr6l3en entlang cler Achse.

geg.: F, a, b

Aufgabe 6 Ein Autokran hebt eine Last mit clem Gewicht GL . FOr die Berecluumgen wird das Gewicht OK des Fahrzeugs im Schwerpookt S angenommen, cler Kranausleger kann als masselos betrachtet werden. Wahrend des Hebevorgangs sind die Vorderrader blockiert.

x

E

,I

Bestimmen Sie:

a) fUr das Gesamtfahrzeug die Auflagerreaktiooetl an den Rfidem in den Punkten A und B sowie die Gelenkkrfifte in den Fookten C und D, b) die Sclmittgrol3en N, Q und M im Tragarrn zwischen E ood C entlang der gegebenen Koordinate x sowie c) die maximale Lange des Tragarrns drmx , so dass der Autokran nicht umkippt geg.:

Q=20kN,(k=100kN,a=3m, b=6m,c=5m,d=15m, a=j3=30°

"

b

11.1 Aufgabenstelloogen

203

Aufgabe 7 a

I"

Ein Kran hebt eine Last der Masse m und ist durch eine Windlast q belastet. Die Kranstrukhir besteht aus einem Rahmen ood einer PendelstOtze, die ober das Gelenk G miteinander verbooden sind.

·1

r--,-------..,-J·G

Man bestimme

'" q

a) die Gewichtskraft F G der Masse m,

,

b) die Auflagerkrafte bei A ood B sowie die Gelenkkraft G, c) die Norrnalkraft-, Querkraft- ood Biegemomentenverlaufe im Rahmen ood in der Pendelstotze.

B

.1

b

geg.: m, q, a, b, c, h

Aufgabe 8

" B A

"'" F

FOr den skizzierten Bogentrager bestimmen Sie a) die Auflagerkrafte und b) die Schnittgrol3en entlang des Tragers.

Aufgabe 9 Bestimmen Sie die Masse m und die Lage des Schwerpunkts fUr das dargestellte homogene Verbindoogsstock unter Verwendoog des gegebenen Koordinatensystems. geg.: p=7,8kgfdm3,alleAngabeninmm

y

204

11 Klausuraufgaben

Aufgabe 10 y

'"

4"

I-f-)al 6"

'"

1+ ),;

2(1 )

's

"

4"

S·

I-f-)al

~

FOr das dargestellte Stanzblech bestimme man die Koordinaten Xs und Ys des Flachenschwerpunkts.

"

'"

4,

geg.: a x

.fS

Aufgabe 11

"

Der skizzierte Kran ist in A mit einem Festlager und in B mit einem Laslager gelagert. Das Ausgleichsgewicht 0 1 ist mit clem Seil S tiber die UmlenkrolIe C am Fookt III angeschlossen. Belastet wird die Krankoostruktion durch die Nutzlast O 2. Zu errnitteln sind:

a) redlllerisch die Auflagerreaktiooetl inA undB, b) die Krfifte in den SUiben 1 bis 7 mit Angabe von Zug- und Druckstiiben.

geg.:

0 1 = 2G, O 2 = G, a

Aufgabe 12 Der dargestellte Strommast ist durch die Krafte F belastet Bestimmen Sie fUr den linken Arm des Mastes die Stabkrafte in den SUiben 1 bis 10. geg.: F, a

l,5a

F

11.1 Aufgabenstelloogen

205

Aufgabe 13 Das skizzierte Modell einer Trommelbremse besteht aus zwei Bremsbacken (mit BremsbeHigen I ood II), die in den Fookten A und B fest gelagert sind. Durch den Zylinder (III) wird eine Bremskraft F eingeleitet. Die Bremstrommel ist in Punkt D drehbar gelagert. Zwischen Bremsbelag ood Bremstrommel wirkt der Reibkoeffizient fiG.

~Chrichtung

I'G

I'G

'a 'a

Man beredllle unter Ben1cksichtigoog der Trommeldrehrichtoog die Gr6l3e des erzeugten Bremsmomentes.MB. geg.: a=50mm,fiG=O,6,F=2kN

Aufgabe 14 Das Notbremssystem eines Aufmgs kann auf das im Bild dargestellte mechanische Modell reduziert werden. 1m N otfall wird der Aufmg durch zwei Rollen, die sich in den seitlichen, keilforrnigen Spalten verklemmen, gehalten.

/

FOr die wirkende Kraft F bestimmen Sie a) die Kontaktkrafte zwischen den Wanden und den Rollen sowie zwischen den Rollen und dem Keil unter der Voraussetzoog, dass kein Rutschen an den Kontaktstellen eintritt, sowie F

b) den dam mindestens erforderlichen Haftkoeffizienten. geg.:

Aufgabe 15 Ein in A drehbar gelagerter Stab der Masse rns stOtzt sich an einem Brett der Masse rnB abo Die andere Seite des Brettes befindet sich im Kontakt mit einer glatten Wand.

F=5kN,r=20mm, a=10°

\

a A't>-"------'

206

11 Klausuraufgaben

Voter cler Annahme der Hafhmg zwischen Stab ood Brett bestimme man

a) die Kratte, die auf den Stab und das Brett wirken b) die Lagerreaktionen bei A c) die Gr6l3e des Haftreibungskoeffizienten fiH, damit die Armahme der Hafumg zwischen Stab ood Brett mtriffi.

geg.: ms, mB, g, I, a= 30°

Aufgabe 16

,

,

FOr ein Strangpressprofil mit cler gezeidllleten QuersdlllittsfHiche ood cler Lange I bestimme man

a) die Masse des Profils fUr den W erkstoff Aluminitun b) die Lage des Flachenschwerpunktes des Profilquersclmitts (Koordinaten y* ood z*) geg.: a=5mm,I=4m, PAl = 2,85 kg/dm 3

Aufgabe 17 Das skizzierte Rohrsystem ist bei A eingesparmt ood bei B durch eine Kraft F belastet. Man bestimme a) die Lagerreaktionen in cler Einsparmstelle

,,A~ )'

,

,.

-.

Bereich 1

/

Bereich II

b

/

,

b) die Sclmittgr6l3en im Bereich lund Bereich II

F

geg.: F, a, b, c, d d

B

11.2 Ergebnisse

207

11.2 Ergebnisse Aufgabe 1 F Tcilsystcm I

Heftkraft F H sowie die Gelenkkrille in C und D

Tcilsyslcm 2

F H =476,ON, F ex = -259,8 N, Fey = -26,0 N, F Dx = 259,8N, F Dy = -250N, F E =519,6N

Aufgabe 2 Zeidlllerische L6soog mittels des SeileckveIfahrens Lagcplan

Kriilleplan

~

0

F, 4

3

0:

2

F,

,

F)

3

p

4 F,

5 :-.___ Wirkungslinie dcr ~_~X'--_~ •.I1 Rcsullicrcndcn

5

Fj

Die Wirkungslinie der Resultierenden ergibt sich mit dem Schnittpunkt der Seilstrahlen 0 ood 5. Damit kann x ausgemessen werden: x = 3,5 m

Aufgabe 3 FrcischnillC dcr Baggcrschaufcl

\ A,

Gy F

Krille in den Zylindem: F BE = -52,5 kN, FeD = 3,92 kN, FHI = -6,34 kN

208

11 Klausuraufgaben

Aufgabe 4

.F

Frcischnitt

a) Auflager- und Gelenkkrafte

Ax=F, A y = 5/6-qa+ 1I3".F, B = 1I6·qa - 1I3·P

Ay

B

b) Sdlllittgr6l3enftirO<x
Bereich II:

a<x
NII(x) = -F, Qn(x) = -lI6-q·a + 1I3·P Mj](x) = -lI6-q·a-x + 1I3·P·x + qd/2, Mi](x=a)=qd/3 + 1I3·P"a, Mi](x=b)=P"a

Aufgabe 5 a) Freischnitt Variantc 2

VarianlC 1

B

Lagerkrafte: Variante 1: A = -F, B = -F;

Variante 2: A = -F, B =-F

b) Sdlllittgr6l3en Variante 1: Bereich I: 0 < x < a Nj=O, QI=F, Mj(x) = p·(x - a) Mj(x=O)=-Fa Mj(x=a)=O

Bereich II: a < x < a + b Nn=O QII=O Mj(x) = 0

Bereich III: a + b < x < 2a + b

.NiII = 0

Qm=-F Min=-p"(x-a-b) Min(x=a+b)=O Min(x = 2a+ b) = -Fa

11.2 Ergebnisse

209

Sclmittgrol3en Variante 2: Bereich II: a<x < a+ b ]V"j = 0 Qn=O Mjj(x) = 2Pa

Bereich I: 0 < x < a ]V" = 0, Qj=P, Mj(x)=P·(x-a) Mj(x=O)=Pa Mj(x=a)=2Fa

Bereich III: a + b < x < 2a + b ]V"n = 0 Qm=-P MiII=P·(x-3a-b) MiII(x=a+b)=2P·a MiII(X = 2a + b) = P·a

Aufgabe 6 Freisehnill des Auslegers

Freisehnitt des AUlokrans E

C, Cy

(;)

Ay

N(x)

B

a) Auflager- und Gelenkkrafte Ax = O,A y = 93,3 kN, B = 26,7 kN, Cx = -52,0 kN, Cy = -70 kN, D= 103,9 kN b) Sclmittgrol3en im Tragarrn Bereich I: O<x«d-c) ]V,,(x) = -10 kN, Qj(x) = -17,3 kN, Mj(x) = 17,3 kN· x, Mj(x = 0) = 0, Mj(x = d - c) = -173,2 kNm c) Maximale Lange des Tragarrns:

Bereich II: (d-c)<x
drmx = 24,2 m

Aufgabe 7 a) Gewichtskraft P G =m·g b) AuflagerkrafteA und B sowie Gelenkkraft G

=F.G(I-~J-q·h2 x'y b2h

A =-q·h A

2 undB =G =q.h +F.G a YY2h b

11 Klausuraufgaben

210 Freischnitt

IV

Ay

By

c) Sdlllittgr6l3en Bereich I: 0 < XI < h

Bereich II: 0 < XII < a NII=O

Nr = -Ay Q,

Qn =A y

~qfh-xv

Mj = qhx( - D,Sqx/ QI (XI = 0) = q·h

Mil = Gy-(b -xIJ-FG-(a-xIJ Mil (XII = 0) =0,5 qk Mil (XII = h) = (o,Sqlf + FG"a)-(b-a)lb

QI(x]=h)=O (XI = 0) = 0 2 (XI = h) = O,5qh

Mj Mj

Bereich III: .NIII = 0

a<xn
_1Ib-(O,5qh 2 + FG"a) Min Gy-(b - XIV Min (XII = a) = (0, 5qlt +FG"a)-(b-a)lb

Qm

= =

Min (XII

Bereich IV: Stab karm keine Querkrafte und Momente Obertragen => Qw = 0, A1]v = 0

Niv =D,Sq"fllb+FG"a/b

= b) = 0

Aufgabe 8 a) Freischnitt ood Auflagerkrafte

z

", ,

"\

By

\

z

F b) Sdlllittgr6l3en Bereich I: 0 < rp< 1800 Nj(rp) = -O,SF- cosrp, QI( rp) = O,5P· sinqJ; Mj(f/!J = 0, SF·afl - cos f/!J

A y = O,5F

By = -O,5F

11.2 Ergebnisse

211

Randwerte: N{'I'~O)~-0,5F

N,( 'I' ~ 90")

~

0

1VJ(rp= 1800)=0,SF

90")

~

0, SF,

Q'('I'~ 180") ~

Q'('I'~

0) ~ 0,

Q'('I'~

M,('I'~

0) ~ 0,

Mj(rp= 90°) = 0, SF"a,

0,

Mj(rp= 180°) =F-a

Bereich II: 0 < rp' < 180° 1VJ](rp') = O,SF-cosrp', QII(rp') = -O,SF"sinrp', Mj{rpj = O,SF"a"(1- cosrpj Randwerte: 1VJ](rp' = 90°) = 0,

1VJ](rp' = 0) = O,SF,

Q,,('I"

~

0) ~ 0,

Mj](rp' = 0) = 0,

1VJ](rp' = 180°) = -O,SF,

Qn( rp' = 90°) = -0, SF,

Qn(rp' = 180°) = 0,

Mj](rp' = 90°) = O,SF-a,

Mj]( rp' = 180°) = F"a

Aufgabe 9 Masse und Lage des Schwerpunkts

m =Vp= 0,43 kg, Xs = S2,1 mm,ys = 20,2 mm,zs = 27,9 mm

Aufgabe 10 Koordinaten des FHichenschwerpookts

L:A;'x, L:A, L:A;' y, Ys ~ L:A; Xs =

127,64a 33,64a

3

3,79a

2

3

88,93a = 2 64a 33,64a 2 '

Aufgabe 11 Freisclmitt a) Auflagerkrafte A x = O,Ay = O,B = 30 G

b) Stabkriifte 8] = 1,470 (Zug) 8 2 = -0,S20 (Druck) 8 3 = -30 (Druck) 54 = 0 (Nullstab) 8 5 = 20 (Zug) So ~ 1,410 (Zug) !h = -30 (Druck)

Ay

B

11 Klausuraufgaben

212

Aufgabe 12 Stabkrafte 8 6 = -2F (Druck) 87 = O,5F (Zug) 8 8 = 3, 73F (Zug) 8 9 = -O,47F (Druck) 8 10 = -3F (Druck)

8 1 = 2,24F (Zug) 8 2 = -2F (Druck) 8 3 =F(Zug) 8 4 = 3,35F (Zug) 8 5 = -1,12F (Druck)

Aufgabe 13 Bremsmoment

M B =60·P

a·l

I

s

4+fiG

+ /

--4 flo

j=1871,lNm

Aufgabe 14 a) Kontaktkrafte Freischnitt

F

N j =N2 = 28,58 kN, R j = 2,5 kN, R 2 = 2,5 kN

b) Haftkoeffizient ~Herf ~

0,0875

Aufgabe 15 a) Krille auf Stab und Brett Ns=Nw, RH=(h=rnB"g

11.2 Ergebnisse

213

b) die Lagerreaktionen bei A

Ax =Ns =(~s +mB J.

g. cota

Ay=(mS+mB)·g c) Haftreibungskoeffizient

RH Ns

f1H=-~

mB·tana ms -+m B 2

Freischnitt Slab:

Breit:

R" B

N.<

I·sin(~

a

A., A

I12·casu

Ay

·cosa

Aufgabe 16 a) Gewicht des Profils

m

=

Vp=AIp=6,27kg

b) Lage des FHichenschwerpooktes

Y *=LAj·yi

L:A,

=

3 63a 22a 2

=

286a=143mrn ' ,

3 z*=LAj·zi =4&1 = 21&1=109mrn 22a 2 ' ,

L:A,

Wand:

214

11 Klausuraufgaben

Aufgabe 17 a) Lagerreaktionen in cler Einsparmstelle _

MM.

).

A)t

A

, Ax=F Ay=O

y

Az=O MAx=O MAy =

poc

MAz=-P-b F

d

b) die Sclmittgrol3en im Bereich I

-

x,

..... , - ..... }/AlA>t ~y tAl,

MAx

A, Ay

A

N

Az

Q,

Q.

AI,

N= -Ax=-F Qy=-Ay=O

Qz=-Az=O Mz.=-MAx=O

A1y=-MAy =-p c o

Mz. =-MAz=P·b

c) die Sclmittgr6l3en im Bereich II N=-Ay=O Qy=Ax=F Qz=-Az=O

Mz. = -MAy = -Fe

'Y

A1y=O

A1z

= -MAx -Ax'XII

=F-(b-XIU

215

Anhang

Al

GroBen, Dimensionen und Einheiten der Mechanik

GrundgroJ3en

Dirnensionen

Gnmdeinheiten

Lange

[I]

m (Meter)

Zeit

[I]

, (Sekunde)

Masse

[m]

kg (Kilograrnm)

Abgeleitete GraBen Volurnen

Dirnensionen

[1']

[mil']

Dichte

Einheiten

m3 kg I dm3

Geschwindigkeit

[II I]

ml,

Beschleunigung

[1/ 1]

ill

KraftF=m· a

[m·1/ 1", F]

I

52

kg· m I ,2

Linienkraft

[F II]

N/m

Flachenkraft

[F I 1']

N I rn

MornentM=F .J

[F' I]

Nm

Arbeit W~F' s

[F' I]

Nm

LeistungP=F ·sl t

[F·I/ I]

'"

I N (Newton)

2

Nm I, '" I W (Watt)

Neben diesen haufig benutzten Einheiten konnen auch Vielfache oder Teile der Einheiten benutzt werden. Der Betrag einer physikalischen GroJJe ist durch die MaJJzahl und die Einheit gekennzeichnet, z. B. 3 m, 5 mis, 2 m/s2 , 20 Nader auch 3 mm, 10 km, 100 kN.

A2

Grundlagen der Vektorrechnung

In der Mechanik sind viele GroJJen Vektoren: der Ortsvektor, die Geschwindigkei~ die Beschleunigung, die Kraft, das Moment Ein Vektor stellt eine gerichtete GroJJe dar. Seine Darstellung erfalgt mit einem Pfeil, Bild A2-1. Vektoren werden z. Be durch einen Buchstaben mit dariiber gesetztem Pfeil gekennzeichnet Beispielsweise stellt F, Bild A2-1 a, GroJJe und Richtung, F nur die GroJJe der Kraft dar. Die Lange des Kraftpfeils ist ein MaJJ fUr die GroJJe (den Betrag) der Kraft Ahnliches gilt fUr die Geschwindigkeit v, Bild A2-1 b, und die Beschleunigung Ii, Bild A2-lc. Das MamentM wird im Allgemeinen als Dappelpfeil dargestellt, urn die Drehwirkung deutlich zu machen.

Anhang

216

,)

b)

oj

d)

BUd A2-I Vektoren in der Mechanik

a) b) c) d)

Kraftvektoc Geschwindigkeitsvektor Beschieunigllllgsvektor Momentenvektor (mit D~elpfeil)

Man erkermt schon an diesen wenigen Beispielen, class die Vektorreduumg ein wichtiges Hilfsmittel cler Mechanik darstellt.

A2.1 Allgemeine Definitionen

11

Der Vektor A ist nach Grol3e ood Richtoog definiert, besitzt einen Betrag = A und lasst sich mit clem Einheitsvektor (Einsvektor) (mit dem Betrag ~I = e = 1) wie fOlgt schreiben:

e

(A2.1),

wermeA

II Aoo - d eA=-lst. A. A

Zwei Vektoren sind gleich, werm

A=B

(A2.2),

d. h., wenn Betrag, Richtung ood Richtoogssinn Obereinstimmen. Bei entgegengesetztem Richtungssirm gilt A=-B

(A2.3).

Parallele Vektoren ooterscheiden sich durch einen skalaren Faktor (A2.4) oder

B=,1,·A

(A2.5).

A2.2 Addition von Vektoren

-

-

Durch Addition _zweier Vektor~ A ood B erhfilt man einen Vektor C;::, werm man an den Endpookt von A den Vektor B antragt und vom Anfangspookt von A bis mm Endpookt von B den Vektor C einzeiclmet, Bild A2-2. Somitgilt

- - -

A+B=C

wobei die Reihenfolge der Addition auch vertauschbar ist:

(A2.6),

A2 Grundlagen der Vektorrechnung

217

- - - - A+B=B+A=C

,, ,,,'A "":.+ --...JI B

(A2.7).

BUd A2-2

Addition zweier Vektoren

FOr die Addition mehrerer Vektoren gilt analog

- - - A+B+C=D

(A2.8),

wobei die Addition auch schrittweise ood in beliebiger Reihenfolge erfolgen karm:

(4+B)+C ~A+(B+C)

(A2.9).

BUd A2-3

Addition clreier Vektoren

Jede Vektorgleichoog ersetzt in der Ebene zwei skalare Gleichungen ood irn RalUll drei skalare Gleichoogen. A2.3 Komponentendarstellung eines Vektors

FOr die Komponentendarstelloog eines Vektors in der Ebene karm ein kartesisches Koordinaood herangezogen werden, Bild tensystern mit den Basisvektoren (Einheitsvektoren) A2-4.

ex

ey

y

Ay

BUd A2-4

ey

L-iI'O,.---'------+-"x

Komponentendarstellung eines Vektors in der Ebene ex ,e y : Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems

Ax oodAy sind darm skalare Kornponenten des Vektors oder Projektionen auf diex-y-Achsen:

Ax

=A-cosa

(A2.10),

Anhang

218 A y = A· sina

(A2.11).

Der Vektor A lasst sich mit den Komponenten wie folgt schreiben: (A2.12). Der Betrag von A ist

I;I_A-~A n- x 2+ Ay 2 cler Winkel

(A2.13),

a errechnet sich mit

A tan a = ----.L

(A2.14).

A~

Bei cler Addition von zwei Vektoren A ood jj erhfilt man den Vektor (A2.6), auch durch die Addition der skalaren Kompooenten:

C,

siehe Gleichung (A2.15), (A2.16),

mit (A2.17). Man erkermt, class in der Ellene jeder Vektorgleichoog zwei skalare Gleichoogen in den Kompooenten entsprechen.

A2.4 Skalarprodukt zweier Vektoren Das Skalarprodukt zweier Vektoren

A und

jj ist wie folgt definiert:

A-B=A-B·cosr

(A2.18).

Wie man erkermt, ergibt sich eine ZOOl, d. h. eine skalare GroBe.

A

FOr den Fall, class

BUd A2-5

r= 0° betragt, gilt

r= 90° (beide Vektoren stehen senkrecht aufeinander) A-B=O.

-

r:

A-B=A-B und fUr

-

Skalarprodukt cler Vektoren A lllld B \Vinkel zwischen den Vektoren

(A2.19)

219

A2 Grundlagen der Vektorreehnung FOr das Quadrat des Vektors gilt naeh Gleiehoog (A2.19)

A2 =A.A=A 2

(A2.20).

Die Komponentendarstellung des Skalarprodukts ergibt in der Ellene (A2.21) und im RalUll (A2.22). A2.5 Vektorprodukt zweier Vektoren

-

-

Das Vektorprodukt zweier Vektoren A ood B ist wie folgt definiert: C = AxB

-

-

-

(A2.23).

Es liefert einen Vektor C , der senkreeht auf der Ebene von A und B steht, wobei A, B ood C ein Reehtssystem bilden (vgl. Bild A2-6).

BUd A2-6

Vektocprocilkt zweier Vektoren

Der Betrag des Vektorprodukts erreehnet sieh wie folgt:

C=IAx~=A-B.sinr

lei

(A2.24).

C= entsprieht der Flaehe des von den Vektoren A und B aufgesparmten Parallelogramrns. FOr 0° ist C = 0 ood fUr 90° ist C = A . B.

r=

r=

Eine Vertausehung der Vektoren A und B ist beim Vektorprodukt nieht moglieh. Vielmehr gilt AxB = -BxA

(A2.25).

Die Komponentendarstellung des Vektorprodukts lasst sieh in Form einer Deterrninante sehreiben:

AxB

I~~

=~:

(A2.26).

220

Anhang

Liegen die Vektoren torprodukt

A ood B in einer Ebene, z. B. der x-y-Ebene, so ergibt sich fUr das Vek(A2.27).

A3

Genauigkeit der Zahlenrechnung

In diesem Buch werden die Gnmdlagen der Statik anhand von zahlreichen Anwendoogsbeispielen verdeutlicht. Die Ergebnisse der Reclmoogen werden i. AUg. als Forrneln angegeben. Sobald in den Fonneln fUr die entsprechenden Gr6l3en Zahlenwerte eingesetzt werden, karm es zu kleineren Abweichungen bei den Ergebnissen kommen. Diese Abweichoogen entstehen z. B., wenn Zwischenergebnisse genmdet werden. Das Endergebnis hangt dann davon ab, ob mit diesen genmdeten Zahlenwerten weitergerechnet wird oder ob bei der weiteren Reclmoog die genauen Zahlenwerte venvendet werden. Die Abweichungen sind aber i. AUg. klein ood fUr die ingenieurteclmische Anwendoog olme Bedeutoog.

A4

Weiterfiihrende Themen der Technischen Mechanik

In diesem Band werden die Gnmdlagen der Statik ausflihrlich beschrieben. Gleichzeitig wird gezeigt, wie sich mit diesem Fachwissen Probleme der Ingenieurpraxis lasen lassen.

Statik TM r BUd

Dynamik TM III

A4-1 Einteihmg der Technischen Mechanik

Die Statik betrachtet als Idealisienmg den starren Karper und steUt den ersten Teil der Technischen Mechanik dar. Ein weiterer Teil der Mechanik beschaftigt sich mit der Statik verfonnbarer Karper, d. h. der Elastostatik und der Festigkeitslehre. Die entsprechenden Grundlagen werden im Teil II dieser Buchreihe beschrieben. Die Dynamik als Bewegungslehre ood als Lehre von den Beziehoogen zwischen den Bewegoogen ood den Kraften findet in Teil III dieser Reihe ihren Niederschlag.

221

Sachwortverzeichnis A Achslast 124 actio

=

reactio 12

Aktionskraft 13 Angriffspunkt einer Kraft 8, 11, 13, 156 Arbeit 215 Auflagerbindung 62, 117, 135, 160, 163 Auflagerkraft 5, 46, 86, 97, 107, 136, 165 Auflagennoment 46, 165 Auflagerreaktionen 46, 62, 67,73,79,98,116,118, 164 - , rechnerische Ermittlung 67, 164 - , zeichnerische Ennittlung

73 Aufstandskraft 3, 57 auJJere Kraft 5 auJJeres Moment 33 Axiome der Mechanik - , Gleichgewichtsaxiom 11 - , Krafteparallelogramm 13,28 - , Linienfluchtigkeitsaxiom 11,14,28 - , Wechselwirkungsgesetz 12, 48, 185

B Balken 30, 59, 69, 73, 101 - ,Auflagerkrafte 69 - ,Biegemoment 79 - , N onnalkraft 79 - , Querkraft 79 - mit Gelenken 125 Balkengleichgewicht 106 Balkenkoordinate 79 Basisvektor 17,36, 153 Beispiel - ,Achse 123, 202

- ,Ampel 93 - ,Aufnahmevorrichtung 178 - ,Auto 19 - ,Autokran 202 - ,Bagger 57, 201 - ,Balken 30 - ,Baukran 204 - ,Bogentrager 203 - ,Brucke 110 - ,Bucherregal 112 - ,Dachkonstruktion 141 - ,Damenschuh 52 - ,Eisenbahnbrucke 10, 23, 144 - ,Fahrradbremssystem 195 - ,Fahrradpedale 170 - ,Funkrnast 20 - ,Gelenktrager 127 - ,Hafenkran 203 - ,HebebUhne 120 - ,Hubschrauber 192 - ,Huftprothese 52 - ,Kranhaken 27 - ,Krankenhausbett 72 - ,Kreisscheibe 41 - ,Lampe 8, 77 - ,Leiter 190 - ,Liegestutze 51 - ,Lokomotive 200 - ,Montageplattfonn 56 - ,Notbremssystem 205 - ,Papierhefter 200 - ,Querschnittsprofil 184 - ,Radsatzwelle 54, 84 - ,Rahmen 131 - ,Reibung 205 - ,Rohrleitung 168 - ,Rohrsystem 206 - , Schild 32, 90 - ,Schubkarre 51 - ,Stadiondach 109 - , Stanzblech 204

- , Strangpressprofil 206 - , Strommast 204 - , Tisch 165 - , Trager 24,44, 103 - , Traktor 202 - , Trommelbremse 205 - , Verbindungsstuck 203 - , Walze 49 - ,Wandkran 148 - , Welle 70,74,85 - , Werkstuck 39, 178 Beschleunigung 6, 215 Beschleunigungskraft 6 Bewegungsfreiheitsgrad 116 Bewegungsmbglichkeit 61, 163 Bezugsachse 157 Bezugspunkt 33, 44, 157 Biegemoment 75, 79, 88, 98, 152, 166 Biegemomentenflache 83 - , grafische Ennittlung 83 - , rechnerische Ennittlung 79 Bogentrager 59, 91 Bremse 194 Bremsmoment 194

C COULOMBsches Gesetz 187 CREMONA-Plan 146 CULMANN-Verfahren 31

D Dichte 215 Differentialgleichung 106 Dimension 215 Drehpunkt 33 Drehsinn 35, 146 Dreieckslast 101

222 Dreigelenkbogen 129 Druckstab 138, 147 Dynamik 220

E Ebene Statik 15,42 ebene Tragwerke 75 Eigengewicht 7, III Einbereichsproblem 77, 79, 96 einfaches Fachwerk 134 Einheiten 215 Einheitsvektor 216 Einspannmoment 63, 162 Einspannung 63 einteilige Tragwerke 58 Einzelkomponente 58 Einzelkraft 7, 153 Einzeltragwerk lIS Ersatzkraft 96, 97 EULER-EYTELWEINsche Fonnel 198

F Fachwerk 10, 134 - , Anzahl Knoten 135 - , Anzahl Stabe 135 - ,Auflagerbindungen 135 - ,CREMONA-Plan 146 - ,einfaches 134 - , Ennittlung Auflagerkrafte 136 - , Ennittlung Stabkrafte 137 - ,Freischnitt 139 - , Knotenpunktverfahren 143 - ,nichteinfaches 134, 149 - , RITTERsches Schnittverfahren 138 Fahrbeschleunigung 19 Fallbeschleunigung 5, 171 Festigkeitslehre 220 Festkarperreibung 185 Festlager 62, 160 Flachenkraft 6, 52, 215 Flachenlast 7, 95

Sachwortverzeichnis

Flachenschwerpunkt 180 - ,Koordinaten 180 - ,Ortsvektor 180 - , rechtwinkliges Dreieck 181 - einfacher Flachen 182 - Zllsarnrnengesetzter Flachen 181 Fliehkraft 6 Fragestellungen der Statik Freiheitsgrad 61,64,65, 116, 135, 163 Freischneiden 9, 47 Freischnitt 9, 12,45,68, 116, 117, 139, 167 - nach LAGRANGE 46 - Tragwerk 68

G Gelenk 60,61, lIS, 134 Gelenkbedingung 120 Gelenkkrafte 116, 118 Gelenktrager 60, 127 Gelenktragwerk 116 Genauigkeit 220 GERBER-Trager 125 Gesamttragwerk lIS Geschwindigkeit 215 Gewicht 5 Gewichtskraft 5,171,185 Gewichtsvektor 172 Gleichgewicht 11,42, 158 - dreier Krafte 23 Gleichgewichtsaxiom II Gleichgewichtsbedingungen 42,68,118,158 - ,Hinweise 44 - der ebenen Statik 42 - der raumlichen Statik 158 - fill zentrale Kraftegruppe 25 - in Komponenten 43, 159 Gleitreibung 193 Gleitreibungskoeffizient 193 Gleitreibungskraft 186, 193 Grenzhaftung 186

Grenzhaftungskraft 187, 198 Grenzhaftungswinkel 189 Grundgesetz der Mechanik 6

H Haftbedingung 187 Haftkraft 186 Haftreibung 186 Haftreibungskoeffizient 187 Haftreibungskraft 186, 189 Hangabtriebskraft 188 Hebelann 33

I Ideales Fachwerk 134 Idealisierung 7, II - ,Einzelkraft 7 - , starrer Karper II, 47, 152 - , Streckenlast 7 ingenieurtechnische

Methode 100, 106 innere Kraft 5, 8, 48, 75, 167 inneres Moment 33, 48, 75, 167 Integrationsrnethode - ,Auflagerkraft 96, 98 - , SchnittgraJJen 97, 99 Integrationsvariable 97

K Kartesische Koordinaten

17,36, 153,217 Kippkante 55 Kippmoment 55 Kippsicherheit 55 Klausuraufgaben - ,Aufgabenstellungen 200 - ,Ergebnisse 207 Knoten 134 Knotenpunkt 134 Knotenpunktverfahren 143 Kornponenten

223

Sachwortverzeichnis

- ,Kraft 18,153,155 - ,Moment 155 - , Schreibweise 43, 159 - , Vektor 217 konstante Streckenlast 98 Koordinaten

- ,FHichenschwerpunkt 180 - ,Gesamtschwerpunkt 175 - ,Massemnittelpunkt 174 - , Schwerpunkt 174 - , Stabkoordinate 79 - , Volumemnittelpunkt 175 - , Winkelkoordinate 91 Kraft 5,215 - ,Angriffspunkt 8, 11, 13, 156 - ,Auflagerkraft 5, 46 - ,auJJere 5 - ,Beschleunigungskraft 6 - ,Betrag 8, 153 - ,Einzelkraft 7 - ,Flachenkraft 6,215 - ,Fliehkraft 6 - ,Gewicht 5 - ,GraJJe 8 - , innere 5,8,48,75, 167 - ,Komponenten 18, 153, 155 - ,Linienkraft 7,215 - ,Massenkraft 6 - , Punktkraft 7 - ,Reaktionskraft 5, 8, 13 - ,resultierende 13, 17 - ,Richtung 8 - , Vektor 8 - , Volumenkraft 6 - ,Zerlegung 22, 31 - im Raum 152 Kraft und ihre Wirkung 5 Krafteaddition 12, 28 Krafteck 25, 146 Kraftedreieck 23 Kraftegleichgewicht 43 Kraftegruppe - , beliebige ebene 28 - , beliebige raumliche 156 - ,zentrale 15 KraftemaJJstab 8, 17

Kraftepaar 39 Krafteparallelogramm 13, 16,28 Krafteplan 17, 28 Kraftkomponenten 18 Kraftvektor 8

L Lageplan 17, 28 Lager - , einfach verschiebbares

-

161 ,Einspannung 63, 162 ,Festlager 62, 160 ,Loslager 61 ,Rollenlager 62

- , zweifach verschiebbares

161 Lagerkraft 62 Lagerreaktion 8,64, 163 Lagerung 64, 117 - ,raumliche Statik 162 - ,stabile 65, 163 - einteiliger Tragwerke 61 - mehrteiliger Tragwerke 117 - raurnlicher Tragwerke

160 Lagerungsart 61,63, 160, 162 Lange 215 LangemnaJJstab 17 Last 5 - ,Einzellast 7 - ,Flachenlast 7, 95 - ,Linienlast 7 - , Streckenlast 7, 45, 95 Leistung 215

Massemnittelpunkt 174 - , Ortsvektor 174 - Zllsammengesetzter

Karper 175 mechanisches Modell 84, 86 Mehrbereichsproblem 77, 81,88,94, 106, 167 mehrteilige Tragwerke 115 - ,SchnittgraJJen 122 Moment 33, 166, 215 - ,Auflagennoment 46 - ,auJJeres 33 - ,Berechnung 35 - ,Betrag 34, 155 - ,Bezugspunkt 33 - ,Biegemoment 75 - ,Drehpunkt 33 - ,Drehsinn 35 - ,inneres 33,48,75, 167 - ,Kippmoment 55 - ,Komponenten 155 - ,resultierendes 36

-

, Standmoment 55 , Vektor 34 einer Kraft 33, 155 einer Kraftegruppe 36 einer Streckenlast 97

- eines Kraftepaares 39

- im Raum 152 - um eine Achse 156 Momentenbedingung 80, 118, 139 Momentendiagramm 82, 99 Momentengleichgewicht 43 Momentensatz 36, 157, 172 Momentenvektor 155 Momentenverlauf 82

Linienfluchtigkeitsaxiom

11,14,28 Linienkraft 7,215 Linienlast 7 Loslager 61 Luftwiderstand 6

M Masse 5,215 Massenkraft 6

N Newton 5,215 nichteinfaches Fachwerk 134, 149 Normalkraft 75, 79, 88, 166,185,189,193 Nonnalkraftdiagramm 79 Nullstab 137

224

p Parallelogramm 13 Pendelstutze 63 Pol 29 Polstrahl 29 Polygone 146 Punktkraft 7

Q

Querkraft 75, 79, 88, 98, 166 Querkraftdiagramm 82, 99 Querkraftverlauf 82

R Rahmen 60, 71, 88, 164 - ,Biegemoment 88 - ,Nonnalkraft 88 - ,Querkraft 88 - mit Gelenken 131 raumliche Kraftegruppe 156 raumliche Statik 152 raumliche Tragwerke 160 Raumstatik 155 Raumtragwerk 164 Raumwinkel 155 Reaktionskraft 5, 8, 13 Reaktionsrnornent 33

Rechengenauigkeit 220 Rechtsdrehsinn 146 Reibung 185 Reibungskegel 189 Reibungskeil 190 Reibungssektor 189 Resultierende 13 - ,Betrag 18,154 - ,Ennittlung 15,28 - ,Raumwinkel 155 - ,Richtung 18 - im Raum 154 resultierende Kraft 13, 17, 156 resultierendes Moment 33,

42, 156 RlTTERsches Schnittverfahren 138

Sachwortverzeichnis

Rollenlager 62 Rotation 42, 164

S Scheibe 61 schiefe Ebene 56, 187 Schlusslinie 31, 73 SchnittgraJJen 75, 86, 97, 108, 122, 166 - ,Balken 79 - , konstante Streckenlast 98 - ,Rahmen 88 - , Seil 76 - , Stab 77 - , Zusarnrnenhang mit BelastungsgraJJen 105 - Bogentrager 92 - ebener Tragwerke 75 - raurnlicher Tragwerke 166 SchnittgraJJenverlaufe 79, 87, 103 Schnittkrafte 75 Schnittkraftgruppe 76 Schnittprinzip nach EULER! LAGRANGE 48, 75 Schnittufer 76, 83, 85, 105 Schwerebeschleunigung 5 Schwerpunkt 5,171 - ,Ortsvektor 172 - einer Belastungsflache 100 - einer Flache 180 - eines Karpers 171 - einfach hornogener Karper 177 - Zllsarnrnengesetzter Karper 175 Schwerpunktsachse 172, 177,182 Schwerpunktskoordinate 172 Seil 58, 76 Seileckverfahren 29, 73, 83 Seilhaftung 197 Seilkraft 9 Seilreibung 197, 199

Seilstrahl 29 Skalarprodukt 218 Stab 58, 77, 134 stabile Lagerung 116, 163 Stabilitat 65, 135 Stabkraft 137, 149 Standmoment 55 Standsicherheit 55 starrer Karper 10,61, 152 Starrkarperbewegung 64, 116, 164 statisch bestimmt 44, 65 statisch unbestimmt 44, 65 statische Bestimmtheit 65, 116, 135, 163 statisches Moment 182 Streckenlast 7, 45, 95 - ,Auflagerkraft 97 - , beliebig verteilte 95 - ,Biegemoment 98 - ,Dreieckslast 95 - ,konstante 98 - , Mehrbereichsproblem 106 - ,Querkraft 98 - , SchnittgrbJ3en 97 Stutzgelenk 61 Stutzkraft 8 Superpositionsprinzip 13 Symmetrie 91,146,182 Symmetrieachse 177, 182 Systemgrenze 46, 48

T Teilsystem 9,47 Theorie 1. Ordnung 10 Torsionsmoment 152, 166 Trager 44, 103 Tragstruktur 115 Tragwerk 75, 95 - ,Auflagerreaktionen 67 - ,einteiliges 58 - ,Freischnitt 68 - , innere Krafte 75 - ,Lagerungen 64 - ,mehrteiliges 115 - ,Momente 75

225

Sachwortverzeichnis

- ,raumliches 160 - mit Gelenken 116 Translation 42, 164

Volumenkraft 6 Volumenmittelpunkt 175 - , Ortsvektor 175 - Zllsammgesetzter Karper

U Umlaufsinn 146 Umschlingungswinkel 197

V Vektor 215 - ,Komponenten 217 - ,Richtung 215 Vektoraddition 216 Vektorprodukt 34, 155,219 Vektorrechnung 8, 215 verschiebbares Lager 61 Volumen 215

175

- einer Kraft 5 - eines Momentes 33

Wirkung und Gegenwirkung 12 Wirkungslinie 10

W

Z

Wechselwirkungsgesetz 12, 48, 116, 185 Welle 70,74, 85 Widerstandskraft 186, 189, 193 Winkelgeschwindigkeit 6 Winkelkoordinate 91 wirkende Last 5 Wirkung

Zahlemechnung 220 Zeit 215 zentrale Kraftegruppe 15 Zerlegung einer Kraft 22, 31 Zugstab 138, 147

- , resultierende Wirkung

13

Zusammensetzung von

Kraften 14 Zweibereichsproblem 78 Zwischemeaktionen 116

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