Theoretische Mechanik

Theoretische Mechanik von Herbert R. Petry und Bernard Christiaan Metsch

Oldenbourg Verlag München Wien

Zu den Autoren: PD Dr. Bernard Christiaan Metsch und Prof. Dr. Herbert R. Petry forschen und lehren am Helmholtz-Institut für Strahlen- und Kernphysik der Universität Bonn.

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Inhaltsverzeichnis 1

Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

1

1.1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Die Konstanten der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 1.3.1 1.3.2

Das K EPLER-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Geometrische Konstruktion der Bahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Der zeitliche Verlauf der Bahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3

G ALILEI-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G ALILEI-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Struktur der G ALILEI-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inertialsysteme und G ALILEI-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Beschleunigte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6

Kräfte, die auf makroskopische Körper wirken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

Lösung der Bewegungsgleichungen

2.1

Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2

Die Hauptsätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3

Lineare Differentialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4

Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5

Ionenkäfige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

Das H AMILTONsche Prinzip

3.1

Arbeit, Potential, L AGRANGE-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2

Das H AMILTONsche Prinzip der kleinsten Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3

Mathematische Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4

Symmetrietransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5

Generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6

Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

15 15 18 18

39

63

VI

Inhaltsverzeichnis

3.6.1 3.6.2

Der starre Körper: Zwangsbedingung und L AGRANGE-Funktion . . . . . . . . . . . . . . 83 Der starre Körper: Bewegungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.7

Zyklische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.8

Wechsel des Zeitparameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.9

Der schwere Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.10

Beliebige Kurvenparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.11

Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.12

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4

Die H AMILTONsche Mechanik

4.1

Die H AMILTONschen Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.2 4.2.1 4.2.2

Die JACOBIsche Lösungsmethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 JACOBI-Methode: Allgemeiner Separationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Abschließende Bemerkungen zur JACOBI-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.3 4.3.1 4.3.2

Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Algebraische Eigenschaften von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Pull-Back und das P OINCARÉ-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.4

Die kanonische Zweiform im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.5

Kanonische Transformationen,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.6

Erweiterter Phasenraum, Bewegungskonstanten und JACOBI-Gleichungen . . . . . 153

4.7

L IE-Klammern und P OISSON-Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.8

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A

Lösungen der Übungsaufgaben

A.1

Aufgaben zum Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A.2

Aufgaben zum Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

A.3

Aufgaben zum Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A.4

Aufgaben zum Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

127

167

Literaturverzeichnis

243

Verzeichnis der Aufgaben

245

Index

247

Vorwort Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen und Übungen entstanden, die wir mehrfach an der Universität Bonn gehalten haben. Der Weg von den N EWTONschen zu den H AMILTONschen Gleichungen wird von geometrischen Aussagen über Bewegungsformen begleitet. Ganz zu Anfang basieren diese Aussagen auf der E UKLIDischen Geometrie des dreidimensionalen Raums allein; zum Schluß steht die Geometrie des Phasenraums, bestimmt durch die kanonische Zweiform, im Vordergrund. Besonderen Wert haben wir dabei auf die Betonung des Zusammenhangs zwischen Bewegungskonstanten und Symmetrietransformationen gelegt, dem man in ähnlicher Form in allen Gebieten der Physik immer wieder begegnet. Beim Korrekturlesen vor der Drucklegung haben Paul Büttiker, Akaki Rusetsky, Lukas Platter und Andreas Wirzba geholfen. Wir danken auch Peter Engels, Carlo Ewerz, Norbert LütkeEmtrup, Jens Nitschkowski, Christian Weichmann und Ludger Wirtz für ihre Hilfe beim Aufspüren von Fehlern, sowie Michael Beyer und Anne Kaiser für ihre Mitarbeit beim Erstellen früherer Fassungen des Manuskripts. Bonn

Herbert-R. Petry, Bernard Metsch

1

Die Grundlagen der Klassischen Mechanik: Konzepte und einfache Beispiele

1.1

Einleitung

Das Ziel der Mechanik ist die Vorhersage der Bewegung materieller Körper. Dies wird möglich, wenn folgende Hypothesen erfüllt sind oder (in abgeschwächter Form) zumindest mit ausreichender Genauigkeit zutreffen: Hypothese 1 Alle materiellen Körper sind als Massenpunkte oder allgemeiner als eine Familie von n Massenpunkten xi darstellbar. Dabei ist xi ein Vektor in einem dreidimensionalen E UKLIDischen Vektorraum (kurz mit R3 bezeichnet), und die Vorhersage der Bewegung besteht in der Berechnung der Bahnkurven xi (t) dieser Massenpunkte, wobei die Zeit t ein für alle Punkte gleicher, universeller Parameter ist. Hypothese 2 Die Bahnkurven xi (t) genügen den N EWTONschen Gleichungen: ¨i (t) = Ki (x1 (t), . . . , xn (t), x˙ 1 (t), . . . , x˙ n (t), t), mi x

(i = 1, . . . , n). (1.1)

Hierbei stellt Ki (x1 , . . . , xn , v1 , . . . , vn , t) eine vektorwertige Funktion der Vektoren xi und der Geschwindigkeiten vi = x˙ i (t) dar und wird die Kraft genannt, die auf den Massenpunkt i wirkt. Die Masse mi des i-ten Teilchens ist ein charakteristischer materieller Parameter und x ¨i (t) bezeichnet die zweite Ableitung oder Beschleunigung der Kurve xi (t). Wir verlangen, daß xi (t), x˙ i (t) und x ¨i (t) stetig sind. Mathematisch stellt (1.1) ein Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung dar, von dem wir (unter Voraussetzung geeigneter Differenzierbarkeitseigenschaften der Funktionen Ki ) später zeigen werden, daß eine eindeutig bestimmte Lösung bei Vorgabe der Anfangswerte xi (t0 ) sowie x˙ i (t0 ) zu einer festen Zeit t0 existiert. Dieses Resultat wird kurz zusammengefaßt in der Aussage:

2

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

Anfangslagen und Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen die Bahnkurven eines Systems von n Massenpunkten.

Diese Aussage garantiert die Vorhersagekraft unserer beiden Hypothesen in rein mathematischer Form. Von der physikalischen Seite her muß dazu eine von den Gleichungen selbst unabhängige Bestimmung der Massen mi sowie der Kräfte Ki als Funktion der Variablen xj , vj und t vorausgegangen sein, entweder durch eine direkte Messung oder durch eine zusätzliche theoretische Überlegung. Hierauf hat schon N EWTON selbst hingewiesen, als er unsere Hypothesen in seinen drei Axiomen formulierte (N EWTON (1687)): Axiom 1 Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern.

Axiom 2 Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

Axiom 3 Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. Axiom 1 und 2 sind in unserer zweiten Hypothese vereinigt und in die entsprechende mathematische Form der Gleichung (1.1) gebracht. Setzt man dort Ki = 0, so folgt sofort durch Integration xi (t) = x0 + v0 · t ( x0 , v0 ∈ R3 ) als allgemeine Lösung, also ein Zustand der Ruhe (v0 = 0) oder der gleichförmigen Bewegung, mit v0 als konstante Geschwindigkeit. Im allgemeinen Fall (Ki = 0) ist nach (1.1) die Änderung der Bewegung, d.h. die Beschleunigung x ¨i , proportional zum Vektor Ki , d.h. das Axiom 2 gilt. Das dritte Axiom macht eine Aussage über Kräfte, von der wir heute wissen, daß sie so nicht allgemein gilt, insbesondere dann nicht, wenn geschwindigkeitsabhängige Kräfte wirken. N EWTON studierte zu seiner Zeit vor allem die Gravitationskraft; hierzu sind im 19. Jahrhundert die elektromagnetischen Kräfte und im 20. Jahrhundert die bei subatomaren Distanzen wirksamen starken und schwachen Kräfte getreten. Letztere können überhaupt nicht mehr sinnvoll im Rahmen der N EWTONschen Gleichungen behandelt werden. Der Grund liegt darin, daß Ort und Geschwindigkeit nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit vermessen werden können. Die klassische Mechanik muß in diesem Fall durch die Quantenmechanik ersetzt werden. Für die langreichweitigen elektromagnetischen und gravitiven Kräfte gibt es dagegen eine befriedigende physikalische Herleitung der fundamentalen Kräfte zwischen Massenpunkten, und zwar:

1.2 Die Konstanten der Bewegung

3

1. Die M AXWELLsche Theorie (Elektrodynamik) für die elektromagnetischen Kräfte, 2. die E INSTEINsche Allgemeine Relativitätstheorie für die Gravitation. In beiden Theorien tritt die Lichtgeschwindigkeit c als charakteristischer Parameter auf. Es ergibt sich für den (wegen der Größe von c in der täglichen Erfahrung stets realisierten) Fall, daß die Geschwindigkeiten der Massenpunkte klein sind, in sehr guter Näherung folgendes Kraftgesetz für n wechselwirkende Teilchen:  (xi − xj )fij (|xi − xj |), (i = 1, . . . , n), (1.2) Ki = j(i=j)

mit fij =

1 4πε0 qi qj . x j |3

−Gmi mj + |xi −

G bezeichnet die Gravitationskonstante und qi die elektrische Ladung des i-ten Teilchens. ε0 (die Dielektrizitätskonstante des Vakuums) ist ein Parameter, der das Maßsystem der Elektrodynamik, in dem Ladungen gemessen werden, kennzeichnet. Aus Kräften der Form (1.2) kann man sich fast alle Kräfte zwischen makroskopischen Körpern durch Überlagerung entstanden denken. Bevor wir auf das Problem dieser Überlagerung eingehen, lohnt es sich, gerade wegen ihres fundamentalen Charakters, die Wirkung dieser Kräfte in ihrer reinen Form näher zu studieren.

1.2

Das n-Teilchen-Problem mit C OULOMB- und Gravitationskräften: Die Konstanten der Bewegung1

Wir betrachten ein System von n Massenpunkten, das den N EWTONschen Gleichungen ¨ i = Ki , mi x mit den Kräften Ki =



(i = 1, . . . , n)

(1.3)

(xi − xj )fij

j(j=i)

genügt, wobei fij =

κij |xi − xj |3

1 Die Resultate dieses Abschnitts hängen wesentlich von den Eigenschaften des dreidimensionalen E UKLID ischen Raumes ab, d.h. von der Tatsache, daß wir für je zwei Vektoren u und v ein Skalarprodukt u, v besitzen, welches überdies jedem Vektor v ∈ R3 eine Länge |v| zuweist. Zur Wiederholung dieser geometrischen Grundbegriffe seien die Aufgaben 1.1–1.3 empfohlen.

4

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

und κij = −Gmi mj +

1 qi qj 4πε0

ist. Der Term proportional zu den Massen ist der gravitive, der Term proportional zu den Ladungen der elektrostatische oder C OULOMB-Anteil der Kraft. Wir haben uns ferner bei der Niederschrift der Gleichung der Kurzfassungen xi , x˙ i , x ¨i statt xi (t), x˙ i (t), x ¨i (t) bedient, um die folgenden Rechnungen transparenter zu halten. Zunächst folgt aus (1.3) durch Summation   mi x ¨i = (xi − xj )fij . i

i=j

Weil (xi − xj ) fij bei Vertauschen der Indizes das Vorzeichen wechselt, muß die rechte Seite dieser Gleichung verschwinden. Also gilt:  mi x ¨i = 0, i

d.h. d  mi x˙ i = 0. dt i

(1.4)

Bilden wir analog mit Hilfe des Vektorproduktes    mi [xi , x ¨i ] = [xi , (xi − xj )] fij = − [xi , xj ] fij , i

i=j

i=j

so folgt mit dem gleichen Argument wie zuvor das Verschwinden der rechten Seite, also  mi [xi , x ¨i ] = 0, i

d.h. d  mi [xi , x˙ i ] = 0. dt i

(1.5)

Zum Schluß bilden wir mit Hilfe des Skalarproduktes   1 mi x˙ i , x ¨i  = x˙ i , (xi − xj ) fij = (x˙ i − x˙ j ), (xi − xj ) fij . 2 i i=j

i=j

Andererseits folgt aus der Definition von fij : κij (x˙ i − x˙ j ), (xi − xj ) fij = (x˙ i − x˙ j ), (xi − xj ) |xi − xj |3   d κij = − . dt |xi − xj |

1.2 Die Konstanten der Bewegung

5

Wegen d |x˙ i |2 = 2 x˙ i , x ¨i  dt können wir deshalb folgern: d 1 1 d κij mi |x˙ i |2 = − dt i 2 2 dt |xi − xj | i=j

oder hierzu äquivalent: ⎛ ⎞  κij d ⎝ 1 ⎠ = 0. mi |x˙ i |2 + dt 2 |x − x | i j i i<j

(1.6)

Wir führen jetzt folgende nützlichen Größen ein und bezeichnen sie jeweils mit Namen, die in Klammern folgen: pi = mi x˙ i

(Impuls des i-ten Teilchens) ,

li = mi [xi , x˙ i ]

(Drehimpuls des i-ten Teilchens) ,

Ti = 21 mi |x˙ i | Vij = P = L=

R=

(x −x )

mi x˙ i

(Gesamtimpuls) ,

i

mi [xi , x˙ i ]

(Gesamtdrehimpuls) ,

i

i 1 M

(Potential der Zweikörperkraft Kij = κij |xii −xjj |3 ) ,

i



M=

(kinetische Energie des i-ten Teilchens) ,

κij |xi −xj |



H=

2

Ti +



mi

i

mi x i

i<j

Vij (Gesamtenergie) , (Gesamtmasse) , (Schwerpunkt des n-Teilchensystems) .

Aus Gleichung (1.4) folgt sofort P = P0 = const., d.h. P ist ein Vektor, der sich während des zeitlichen Verlaufs der Bewegung nicht ändert. Offenbar setzt sich dieser Vektor additiv aus den Impulsen der einzelnen Massenpunkte zusammen. Wegen  d  mi x˙ i = P0 = P = mi x i dt i i

6

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

gilt außerdem, aufgrund der Definition des Schwerpunktes R: R=

P0 t + R0 , M

wobei R0 wieder ein zeitlich konstanter Vektor ist. Für den Gesamtdrehimpuls L finden wir nach (1.5) L = L0 = const. wieder einen zeitlich konstanten Vektor L0 , der sich additiv aus den Drehimpulsen der einzelnen Massenpunkte zusammensetzt, und zum Schluß ergibt (1.6): H = E = const., d.h. die Gesamtenergie, bestehend aus der kinetischen Energie T = i Ti und der sog. potentiellen Energie V = i<j Vij der Teilchenpaare, ist ebenfalls zeitunabhängig. Unsere Ergebnisse können kompakt in einer Tabelle von Erhaltungssätzen zusammengefaßt werden: Satz 1.1 Erhaltungssätze Impulssatz: Schwerpunktsatz: Drehimpulssatz: Energiesatz:

P (t) = P0 R(t) − PM(t) t = R0 L(t) = L0 H(t) = E

(P0 ∈ R3 , (R0 ∈ R3 , (L0 ∈ R3 , (E ∈ R ,

P0 R0 L0 E

const.) const.) const.) const.)

Der Name Erhaltungssatz erklärt sich aus der Tatsache, daß die an sich zeitabhängig durch die Bahnkurven xi (t) definierten Größen Impuls, Drehimpuls usw. während der Bewegung aufgrund der Bewegungsgleichungen selbst ihre Werte nicht ändern; sie bleiben erhalten. Diese Werte werden bereits durch Anfangslagen und Geschwindigkeiten zur Anfangszeit der Bewegung fixiert. Für ein System von Massenpunkten spricht man überdies allgemein von einem Integral der Bewegung oder einer Bewegungskonstante oder auch einer Erhaltungsgröße f , wenn eine Funktion f (x1 , . . . , xn , v1 , . . . , vn , t) die Eigenschaft besitzt, aufgrund der Bewegungsgleichungen für jede erlaubte Bewegung die Beziehung f (x1 (t), . . . , xn (t), x˙ 1 (t), . . . , x˙ n (t), t) = f0 = const. zu erfüllen. Genau in diesem Sinne ist jede Komponente der Vektoren P , L, R − tP/M sowie H eine Erhaltungsgröße; insgesamt haben wir also für unser spezielles n-Teilchensystem 10 Erhaltungsgrößen gefunden. Damit kein Mißverständnis aufkommt, ist vielleicht folgende Bemerkung angebracht: Nicht für jedes n-Teilchensystem sind Impuls, Drehimpuls usw. erhalten; ein anderes Kraftgesetz kann diese Eigenschaft sofort zerstören. Ein wichtiges Ziel der Mechanik besteht genau darin,

1.3 Das K EPLER-Problem

7

Erhaltungsgrößen zu speziellen Kraftgesetzen aufzuspüren. Ohne großen Aufwand kann man dies zunächst in unserem Fall durch folgende Verallgemeinerung leicht tun: Wir ersetzen fij durch eine allgemeine Funktion fij (r) des Zweiteilchenabstands r = |xi − xj | sowie Vij durch eine Stammfunktion von −r · fij (r), wobei wir nur die Forderung fji = fij stellen. Dann bleiben unsere Erhaltungssätze weiter gültig (siehe Aufgabe 1.4). Aus den Erhaltungsgrößen P , L, und H werden noch gerne der erhaltene sog. innere Drehimpuls L = L − [R, P ] sowie die innere Energie H = H −

1 |P |2 2M

 abgeleitet. Der Grund besteht darin, daß [R, P ] = M R, R˙ exakt wie ein Einteilchendrehimpuls für ein fiktives Teilchen der Masse M mit Bahnkurve R(t) aussieht und in dieser Form den Beitrag der Bewegung des Schwerpunktes zum Gesamtdrehimpuls liefert, was analog für ˙ 2 /2 als Beitrag zur Gesamtenergie gilt. Durch Einführung des inneren |P |2 /(2M ) = M |R| Drehimpulses bzw. der inneren Energie werden diese Beiträge der Schwerpunktsbewegung, die ja komplett bekannt ist, aus den Erhaltungsgrößen eliminiert, ohne ein grundsätzlich neues Integral der Bewegung einzuführen. Ein solches werden wir hingegen im nächsten Abschnitt kennenlernen.

1.3

Das K EPLER-Problem

1.3.1

Geometrische Konstruktion der Bahn

Wir bleiben bei unserem Beispiel mit C OULOMB- und Gravitationskraft, betrachten aber nur ein Zweiteilchensystem. Die N EWTONschen Gleichungen lauten jetzt, voll ausgeschrieben: m1 x ¨1 = κ(x1 − x2 )/|x1 − x2 |3 , ¨2 = κ(x2 − x1 )/|x1 − x2 |3 , m2 x

(1.7)

wobei κ = −Gm1 m2 +

1 q1 q2 . 4πε0

Das Gleichungssystem (1.7) definiert das sog. Zweiteilchen-K EPLER-Problem. Es ist physikalisch realisiert durch die Bewegung zweier Himmelskörper oder von zwei entgegengesetzt geladenen Teilchen (κ < 0) sowie bei der Streuung von zwei Teilchen mit gleicher Ladung (κ > 0). Wir wissen bereits von den Erhaltungssätzen, daß R(t) =

1 P (m1 x1 (t) + m2 x2 (t)) = R0 + t, M M

(M = m1 + m2 )

8

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

sowie L = m1 [x1 , x˙ 1 ] + m2 [x2 , x˙ 2 ] = L0 , mit konstanten Vektoren R0 , P0 , L0 ∈ R3 gilt. Mit y = x1 − x 2 findet man leicht die Beziehungen m2 , M m1 x2 = R − y , M x1 = R + y

(1.8)

¨=0 woraus durch Einsetzen in (1.7) wegen R μ¨ y=κ

y , |y|3

(1.9)

mit μ = m1 m2 /M folgt. Gleichung (1.9) sieht wie die Gleichung für ein einziges Teilchen mit der Bahnkurve y und der Masse μ im Kraftfeld κy/|y|3 aus und definiert das sog. reduzierte K EPLER-Problem; μ heißt die reduzierte Masse. Für den inneren Drehimpuls L des vorausgegangenen Abschnitts findet man nach kurzer Rechnung: ˙ . L = μ [y, y]

(1.10)

Er ist aufgrund der Erhaltungssätze konstant. Wir differenzieren nun den Vektor 1 y [y, ˙ L ] + κ |y|

(1.11)

d 1 d y B = [¨ y , L ] + dt κ dt |y|

(1.12)

B= nach der Zeit:

wegen

d  dt L

= 0. Allgemein gilt weiter für jede Kurve y: d y y˙ y, y ˙ [y, [y, y]] ˙ = − =− . 3 3 dt |y| |y| |y| |y|

Setzt man dies zusammen mit dem Ausdruck für y nach (1.9) in (1.12) ein, so folgt 1 [y, L ] [y, [y, y]] d ˙ B= − , dt μ |y|3 |y|3

1.3 Das K EPLER-Problem

9

woraus wegen (1.10) sofort d B=0 dt

(1.13)

folgt. Wir haben also in unserem Problem eine vektorwertige Erhaltungsgröße entdeckt. Leider waren wir nicht die ersten, weshalb B der RUNGE -L ENZ-Vektor genannt wird. B setzt sich nach (1.11) aus zwei Anteilen zusammen, die beide senkrecht auf L stehen. Folglich gilt B, L  = 0.

(1.14)

Ferner finden wir für das Skalarprodukt B, y: B, y =

1 y, [y, ˙ L ] + |y|. κ

˙ L ] folgt Nach zyklischem Vertauschen der Argumente y, y, ˙ L in y, [y, B, y =

1  1 2 L , [y, y] ˙ + |y| = |L | + |y|. κ μκ

(1.15)

Mit (1.14) und (1.15) kann nun der geometrische Ort der Kurve y komplett bestimmt werden, falls L = 0, was jetzt vorausgesetzt wird. Wegen y, L  = 0 liegt die Kurve in einer Ebene E senkrecht zu L ; wegen (1.14) liegt auch B in E, und wegen (1.15) gilt in E mit r = |y| und ϕ = ∠(B, y): r(ϕ) =

|L |2 1 . μκ |B| cos ϕ − 1

(1.16)

Die Gleichung (1.16) stellt einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten dar. Folgende Fälle müssen unterschieden werden: 1. κ > 0: Da nach Definition r > 0, muß |B| cos ϕ > 1 gelten, was nur für |B| > 1 möglich ist. Die Gleichung (1.16) beschreibt in diesem Fall eine Hyperbel. 2. κ < 0: a. |B| = 0: Es folgt nach (1.16): r = const.; die Bahnkurve ist somit ein Kreis. b. 0 < |B| < 1: Die Bahnkurve ist eine Ellipse. c. |B| = 1: Die Bahnkurve ist eine Parabel. d. |B| > 1: Die Bahnkurve ist wieder eine Hyperbel. Für den Fall |B| = 1 kann (1.16) äquivalent umgeformt werden zu |y − cB| − sign(|B|2 − 1)|y| = −sign(|B|2 − 1) · c ,

(1.17)

10

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

wobei c=

2|L |2 μκ(|B|2 − 1)

und sign(|B|2 − 1) das Vorzeichen von (|B|2 − 1) bezeichnet. Hieraus lassen sich leichter die Brennpunkte der Ellipsen und Hyperbeln erkennen. Ein Brennpunkt P1 liegt immer im Koordinatenursprung, der andere im Punkt P2 = c · B. Falls κ das Vorzeichen wechselt, wechselt auch P2 das Vorzeichen.

1.3.2

Der zeitliche Verlauf der Bahn

Wir kennen also den geometrischen Ort der Kurve y(t) vollständig. Zu bestimmen ist noch ihr zeitlicher Verlauf. Es soll weiter L = 0 gelten, und wir setzen B , |B| [L , e1 ] e2 = , |L | e1 =

falls |B| = 0; falls |B| = 0, sei e1 ⊥L , |e1 | = 1 und ansonsten beliebig. In beiden Fällen gilt dann [e1 , e2 ] = L /|L | und wir können für y schreiben: y = (cos ϕ e1 + sin ϕ e2 ) r(ϕ),

(1.18)

wobei r(ϕ) sich aus (1.16) ergibt. Wir wissen ˙ = const. L = μ [y, y]

(1.19)

Andererseits ist nach (1.18)

d [y, y] ˙ = y, y ϕ˙ dϕ

(1.20)

und d d y(ϕ) = (− sin ϕ e1 + cos ϕ e2 )r(ϕ) + (cos ϕ e1 + sin ϕ e2 ) r(ϕ), dϕ dϕ woraus für (1.20) die Beziehung [y, y] ˙ = r2 (ϕ) ϕ˙ [e1 , e2 ] = r2 (ϕ) ϕ˙

L |L |

und mit (1.19) die Gleichung r2 (ϕ) ϕ˙ =

|L | μ

(1.21)

1.3 Das K EPLER-Problem

11

folgt. Die letzte Beziehung läßt sich wieder geometrisch deuten: Das Integral 1 2

I=



t2

r2 (ϕ(t)) ϕ(t) ˙ dt

t1

stellt genau die vom Vektor y(t) überstrichene Fläche dar. Offenbar ist nach (1.21) I = |L |(t2 − t1 )/(2μ), d.h. in gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen (Flächensatz).

r(t2)

ϕ(t2)

I

r(t1)

ϕ(t1)

Abb. 1.1: Zum Flächensatz

Analytisch kommen wir weiter, wenn wir (1.16) in (1.21) einsetzen. Wir erhalten sofort ϕ˙ =α (|B| cos ϕ − 1)2

(1.22)

mit α=

μκ2 . |L |3

Nur für |B| = 0, d.h. die Kreisbewegung, ergibt sich ein einfaches Resultat: ϕ = αt + ϕ0 , wobei ϕ0 den Anfangswert des Winkels zur Zeit t = 0 bezeichnet. Für |B| = 0 wähle man zunächst eine Stammfunktion F von (|B| cos ϕ − 1)−2 , d.h.  dϕ F (ϕ) = . (|B| cos ϕ − 1)2 Dann gilt ϕ(t) ˙ d (F (ϕ(t)) − αt) = − α = 0, dt (|B| cos ϕ(t) − 1)2

12

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

woraus F (ϕ(t)) = αt + F (ϕ0 ) folgt. ϕ0 ist wieder der Anfangswert des Winkels ϕ zur Zeit t = 0. Mit der Umkehrfunktion F −1 von F läßt sich jetzt ϕ(t) und damit auch y(t) im Prinzip bestimmen: ϕ(t) = F −1 (αt + F (ϕ0 )).

(1.23)

Die Funktion F (ϕ) ist jedoch bereits so kompliziert, daß eine explizite Angabe der Umkehrfunktion nicht möglich ist: 

|B| sin ϕ 2 F (ϕ) = + arctan 2 |B| − 1 |B| cos ϕ − 1 1 − |B|2

1

  1 − |B|2 tan ϕ2 |B| − 1

für |B| < 1,     |B|2 − 1 tan ϕ + |B| − 1  1 |B| sin ϕ 1   2 F (ϕ) = + ln    |B|2 − 1 |B| cos ϕ − 1 |B|2 − 1  |B|2 − 1 tan ϕ2 − |B| + 1  für |B| > 1,   ϕ 1   dϕ 1 3 ϕ F (ϕ) = = − cot + cot (1 − cos ϕ)2 2 2 3 2

für

|B| = 1.

Diese Formeln sind hier auch nur zitiert, um das K EPLER-Problem soweit zu diskutieren, wie es analytisch möglich ist. Nicht besprochen wurde bisher der Fall L = 0. Aus (1.11) folgt nun aber y/|y| = B, d.h. mit r = |y| gilt y = B · r und nach (1.9) μ¨ r=

κ , r2

woraus d μ 2 κ r˙ + =0 dt 2 r oder μ 2 κ r˙ + = E = const. 2 r abgeleitet wird. Dies führt auf die Gleichung   2 κ r˙ = ± E− , μ r die analog zur Bestimmung von ϕ(t) gelöst wird (siehe Gleichung (1.22)). Zunächst wird eine 1 Stammfunktion f von (E − κ/r)− 2 bestimmt, mit der  2 f (r(t)) = ± t + f (r0 ) μ

1.3 Das K EPLER-Problem

13

gilt. r0 ist der Anfangswert von r(t) zur Zeit t = 0. r als Funktion von t ergibt sich dann mit Hilfe der Umkehrfunktion f −1 :    2 −1 ± r(t) = f t + f (r0 ) . μ Die Kurve y(t) wäre somit für alle möglichen Fälle, auch in ihrem zeitlichen Verlauf, komplett bestimmt. Wir müssen jedoch beachten, daß wir von einem Zweiteilchenproblem ausgegangen sind, uns also für die Bahnkurven von zwei Teilchen interessieren. Nach Gleichung (1.8) gilt: P t+ M P x2 (t) = R(0) + t− M x1 (t) = R(0) +

m2 y(t) , M m1 y(t) . M

Wir betrachten zunächst eine Gesamtbewegung mit R(0) = P = 0 und bemerken, daß der allgemeine Fall hieraus durch eine zeitlich gleichförmige Verschiebung um den Vektor R(0) + P M t erfolgt. Es ist also m2 y(t) , M m1 x2 (t) = − y(t) . M x1 (t) = +

e2 m1 m2

e1

Abb. 1.2: K EPLER-Bewegung für E < 0, κ < 0, m2 /m1 ≈ 3/2; gestrichelte Linie: die Lösung y für die Relativbewegung; durchgezogene Linien: die Bahnkurven x1 und x2 .

Falls eine Ellipsenbewegung y(t) vorliegt, bilden die beiden Massenpunkte ein gebundenes System (Abb. 1.2). Beide Bahnkurven x1 (t) und x2 (t) liegen wieder auf Ellipsen, wobei für gleiche Massen die beiden Ellipsen durch eine Raumspiegelung auseinander hervorgehen und für m1 /m2  1 die beiden Ellipsen ineinander geschachtelt sind (Abb 1.3). Für m1 /m2 → 0, d.h. für unendlich große Masse m2 schrumpft die Bahnkurve x2 (t) auf einen Punkt zusammen. Analoges findet sich für die Hyperbelbewegungen, so daß in diesem Fall beide Teilchen sich zunächst (aus dem Unendlichen kommend) einander bis auf einen minimalen Abstand nähern,

14

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

e2

m1

m2

e1

Abb. 1.3: K EPLER-Bewegung für E < 0, κ < 0, m2 /m1 ≈ 9/1; gestrichelte Linie: die Lösung y für die Relativbewegung; durchgezogene Linien: die Bahnkurven x1 und x2 .

e2 m1 e1

m2

Abb. 1.4: K EPLER-Bewegung für E > 0, κ < 0, m2 /m1 ≈ 3/2; gestrichelte Linie: die Lösung y für die Relativbewegung; durchgezogene Linien: die Bahnkurven x1 und x2 ; gepunktete Linien: die Asymptoten.

um dann wieder auseinanderzufliegen (Abb 1.4, 1.5). Bemerkenswert ist in beiden Fällen die Tatsache, daß die Symmetrieachse der Bewegung, d.h. die Verbindung zwischen den Brennpunkten der Hyperbeln und Ellipsen, durch den konstanten Vektor B bestimmt ist, der sich zeitlich nicht ändert. Zusammen mit den ebenfalls konstanten Vektoren L und [L , B] bildet er ein Achsenkreuz, das starr seine Lage im Raum beibehält. Das gilt offenbar auch für die P allgemeine Lösung mit Schwerpunktsbewegungen R(t) = R(0) + t M . Wir werden sogleich auf diese merkwürdige Eigenschaft zurückkommen, schließen diesen Abschnitt aber zunächst mit einer Bemerkung über die Bewegungskonstante B ab: Es läßt sich zeigen (siehe Gleichung (1.11)), daß |B|2 = 1 +

2 H  |L |2 μκ2

gilt, wobei H  die innere Energie ist: H =

μ 2 κ |y| ˙ + . 2 |y|

1.4 G ALILEI-Invarianz

15

e2 m1 e1

m2

Abb. 1.5: K EPLER-Bewegung für E > 0, κ > 0, m2 /m1 ≈ 3/2; gestrichelte Linie: die Lösung y für die Relativbewegung; durchgezogene Linien: die Bahnkurven x1 und x2 ; gepunktete Linien: die Asymptoten.

Somit haben wir mit den drei Komponenten der vektoriellen Bewegungskonstante eigentlich nur eine einzige neue Bewegungskonstante gewonnen, diese hat aber erst unsere rein geometrische Konstruktion der Bahnkurve ermöglicht!

1.4

G ALILEI-Invarianz

1.4.1

G ALILEI-Transformationen

Die beiden Bahnkurven x1 (t) und x2 (t) lassen sich nach den Ergebnissen der beiden letzten Abschnitte für den generischen Fall L = 0, B  = 0 wie folgt schreiben: P t+ M P x2 (t) = R(0) + t− M x1 (t) = R(0) +

m2 (e1 cos ϕ(t) + e2 sin ϕ(t)) r(ϕ(t)) , M m1 (e1 cos ϕ(t) + e2 sin ϕ(t)) r(ϕ(t)) . M

(1.24)

R(0), P/M sind konstante Vektoren, ebenso wie e1 und e2 : B , |B| [L , e1 ] e2 = . |L | e1 =

Zusammen mit e3 = L /|L | bilden die Vektoren ei sogar eine Orthonormalbasis, die natürlich von den Vektoren L und B abhängt und sich zeitlich nicht ändert. Die Werte der Vektoren ei können überdies durch die Anfangswerte von y(0) = x1 (0) − x2 (0) sowie durch

16

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

y(0) ˙ = x˙ 1 (0) − x˙ 2 (0) direkt bestimmt werden, wenn man die zeitliche Konstanz von L und B berücksichtigt und L und B aufgrund der Formeln ˙ , L = μ [y, y]  [y, ˙ L] y B = + κ |y| zur Zeit t = 0 berechnet. Wir schreiben die beiden Bahnkurven jetzt zunächst nur in etwas anderer Form. Dazu sei {ai } eine feste, von L und B unabhängige Orthonormalbasis und O ∈ SO(3) eine eindeutig bestimmte Drehung, welche {ai } in {ei } überführt, d.h. Oai = ei

(i = 1, 2, 3).

P Mit ϕt (R0 , M , O) : R3 → R3 bezeichnen wir die Abbildung (mit R0 = R(0))

ϕt (R0 ,

P P , O)(h) = Oh + R0 + t M M

für alle h ∈ R3 ,

woraus nach Gleichung (1.24) sofort folgt: xi (t) = ϕt (R0 ,

P , O)(x0i (t)), M

(i = 1, 2)

(1.25)

mit m2 (a1 cos ϕ(t) + a2 sin ϕ(t)) · r(ϕ(t)) , M m1 x02 (t) = − (a1 cos ϕ(t) + a2 sin ϕ(t)) · r(ϕ(t)) . M x01 (t) = +

x01 (t) und x02 (t) stellen selbst wieder Lösungen des Zweiteilchenproblems dar, die durch Anfangswerte von L und B definiert sind, für die e1 = a1 und e2 = a2 gilt. Tatsächlich haben wir genau eine solche Lösung im letzten Abschnitt repräsentativ für das Gesamtproblem diskutiert. Jetzt sehen wir, daß die Kenntnis der speziellen Lösungen x0i (t) überhaupt genügt, um alle Lösungen zu beschreiben: Wir erhalten die Gesamtheit durch Anwendung der Abbildung P P ϕt (R0 , M , O) nach Gleichung (1.25) für beliebige Werte von R0 , M und O. Noch mehr erkennen wir, wenn wir allgemein die Abbildungen ϕt (a, b, A): R3 → R3 mit ϕt (a, b, A)(h) = Ah + a + bt

für alle h ∈ R3

für beliebige a, b ∈ R3 , A ∈ SO(3) betrachten. Es gilt nämlich: ϕt (a , b , A ) ◦ ϕt (a, b, A)(h) = = = =

ϕt (a , b , A)(Ah + a + bt) A Ah + A (a + bt) + a + b t A Ah + (A a + a ) + (A b + b )t ϕt (A a + a , A b + b , A A)(h),

1.4 G ALILEI-Invarianz

17

d.h. ϕt (a , b , A ) ◦ ϕt (a, b, A) = ϕt (A a + a , A b + b , A A).

(1.26)

Aus der letzten Gleichung folgt: Die Abbildungen ϕt (a, b, A) bilden eine Gruppe, die spezielle G ALILEI-Gruppe, wobei ϕt (0, 0, 1I) das Einselement und ϕt (a, b, A)−1 = ϕt (−A−1 a, −A−1 b, A−1 ) das Inverse von ϕt (a, b, A) darstellt. Lassen wir ϕt (a, b, A) auf unsere Lösungen xi (t) wirken, so erhalten wir wegen der Multiplikationsformel (1.26) aus Gleichung (1.25) wegen ϕt (a, b, A) ◦ ϕt (R0 ,

P P P , O) = ϕt (AR0 + a, A + b, AO) = ϕt (R , , O ) M M M

offenbar wiederum eine Lösung mit veränderten Werten für R0 , P  und O anstatt R0 , P und O. Die spezielle G ALILEI-Gruppe operiert also auf den Lösungen unseres Zweiteilchenproblems, indem sie Lösungskurven wieder in Lösungskurven überführt. Die letzte Eigenschaft läßt sich allgemein für ein n-Teilchensystem mit zentralen Zweikörperkräften zeigen; es gelte für ein solches System  ¨i = (xi − xj )fij (|xi − xj |) , (i = 1, . . . , n) . (1.27) mi x j(j=i)

Wir setzen yi (t) = ϕt (a, b, A)(xi (t)) = Axi (t) + a + bt und finden y¨i =

d2 (Axi (t) + a + bt), dt2

d.h. y¨i = A¨ xi . Wegen yi − yj = A(xi − xj ) und damit (wegen A ∈ SO(3)) |yi − yj | = |xi − xj | folgt: (yi − yj )fij (|yi − yj |) = A(xi − xj )fij (|xi − xj |). Hieraus ergibt sich nach (1.27):   mi y¨i = A(xi − xj )fij (|xi − xj |) = (yi − yj )fij (|yi − yj |). i=j

i=j

Also ist mit den Lösungskurven xi (t) auch durch yi (t), i = 1, . . . , n ein System von Lösungskurven gegeben. Insbesondere gilt für den kräftefreien Fall (Ki = 0): G ALILEI-Transformationen führen gleichförmige Bewegungen in gleichförmige Bewegungen über.

18

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

1.4.2

Die Struktur der G ALILEI-Gruppe

Durch Spezialisierung erhalten wir aus der allgemeinen Transformation ϕt (a, b, A) spezielle Untergruppen von G ALILEI-Transformationen (x ∈ R3 ). x x

→

→

ϕt (a, 0, 1I)(x) ϕt (0, b, 1I)(x)

= =

x+a x + bt

x

→

ϕt (0, 0, A)(x)

=

Ax

(Raumtranslation) , (Geschwindigkeitstransformation (engl.: „Boost“) ) , (Raumdrehung) .

Sie können noch um die sog. Zeittranslation t → t + h0 , (h0 ∈ R) vermehrt werden, die ebenfalls die Gleichungen (1.27) invariant lassen, d.h. mit xi (t) ist auch yi (t) = xi (t + h0 ) (i = 1, . . . , n) ein System von Lösungskurven der Gleichungen (1.27). Faßt man die Zeittranslationen mit den speziellen G ALILEI-Transformationen zusammen, erhält man wiederum eine Gruppe, die volle G ALILEI-Gruppe. Sie stellt eine Transformation von Raum und Zeit dar, was man besser sieht, wenn man x und t zu einem Raum-Zeitpunkt zusammenfaßt; dann gilt für unsere Transformation allgemein: (x, t) → (ϕt (x), t + h0 ) = (Ax + a + bt, t + h0 ). Noch mehr über die Struktur der G ALILEI-Gruppe findet man in Aufgabe 1.6, insbesondere über die Darstellung als Matrixgruppe und die einparametrigen Untergruppen. Hervorgehoben sei hier nur ein besonders wichtiges Resultat, das die Drehungen betrifft: Für festes ω ∈ R3 definiert A(ω)x = [ω, x] einen linearen Isomorphismus A in die Menge der schiefadjungierten linearen Transformationen des R3 und Oω (τ ) = exp [A(ω) · τ ] ,

τ ∈R

eine einparametrige Schar von Drehungen mit der Drehachse ω ˆ = ω/|ω| und dem Drehwinkel ϕ = |ω| · τ . Weiter läßt sich jede Drehung in der Form O = exp(A(ω)) schreiben. Die Zahl der reellen Parameter, mit der die G ALILEI-Gruppe beschrieben wird, ist also zehn: Jeweils drei für Raumtranslationen, Boosts und Drehungen sowie einer für die Zeittranslationen.

1.4.3

Inertialsysteme und G ALILEI-Transformationen

Ein Inertialsystem besteht, ganz anschaulich, aus einem gleichförmig bewegten Beobachter am Ort y(t) = a+bt (a, b ∈ R3 ), der die Koordinaten aller Vektoren x ∈ R3 mit Hilfe eines starren, mitgeführten Achsenkreuzes (e1 , e2 , e3 ) bestimmt (siehe Abb.1.6). Der Beobachter erhält also für x die (zeitabhängigen) Koordinaten y α (x) = eα , (x − a − bt) ,

α = 1, 2, 3.

Bezüglich der Standardbasis a1 , a2 , a3 von R3 gilt eα = Aaα , α = 1, 2, 3, mit einer eindeutig bestimmten Drehung A ∈ SO(3), also   y α (x) = Aaα , (x − a − bt) = aα , A−1 (x − a − bt) , d.h.

  y α (x) = aα , ϕt (a, b, A)−1 (x) .

(1.28)

1.4 G ALILEI-Invarianz

y

x a3

e1 a + bt

19

e3

e2

a2 a1 Abb. 1.6: Zu Inertialsystemen

Mathematisch bedeutet damit ein Inertialsystem nichts anderes als die Einführung spezieller Koordinaten, die nach Gleichung (1.28) durch eine G ALILEI-Transformation erzeugt werden. Fassen wir diese Koordinaten zu einem neuen Vektor y = (y 1 , y 2 , y 3 ) zusammen, so gilt offenbar: y = ϕt (a, b, A)−1 (x). Wegen der Invarianz der N EWTONschen Gleichungen, die wir im vorletzten Abschnitt gezeigt haben, folgt hieraus: Die N EWTONschen Gleichungen haben in den Koordinaten aller möglichen Inertialsysteme die gleiche Form.

Zunächst erscheint dieses Resultat so trivial, daß seine Erwähnung, insbesondere in hervorgehobener Form, kaum gerechtfertigt erscheint. Tatsächlich ist es aber von großer Bedeutung für die Bewegungsgleichungen selbst, wenn wir bedenken (was bisher nicht geschah!), daß die Bahnkurven und Kräfte selbstverständlich gemessene oder zu vermessende Größen sind. Eine solche Messung geschieht immer von einem Beobachtungspunkt mit festem Achsenkreuz aus, der sich im allgemeinen bewegt, auch wenn es dem Beobachter selbst so gar nicht bewußt ist. Dies gilt für jedes Laboratorium auf der Erde, das sich ja mit der Erde dreht, mit der Erde um die Sonne kreist, ja sogar als Teil der Milchstraße an der gesamten Expansion des Kosmos teilnimmt. Für Meßzeiten, die klein genug sind, ist eine solche Bewegung in guter Näherung gleichförmig und unser Laboratorium ein Inertialsystem; Gleiches würde auch für ein Laboratorium auf dem Mond oder in einem Satelliten gelten:

20

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

Die N EWTONschen Gleichungen haben in den Koordinaten dieser Inertialsysteme die gleiche Form und damit auch die gleichen physikalischen Konsequenzen. Es ist daher unerheblich, welches Inertialsystem konkret benutzt wird, da wir mit Hilfe einer G ALILEI-Transformation von einem Inertialsystem auf das andere leicht umrechnen können.2

Die Definition von Inertialsystemen zu Anfang dieses Abschnitts durch einen gleichförmig bewegten Beobachter mit festem Achsenkreuz und Zeitskala (wenn wir jetzt auch noch die von ihm durchgeführten Zeitmessungen betrachten), kann aufgrund unserer bisherigen Ergebnisse noch etwas mehr vertieft werden. Betrachten wir das Zweiteilchen-K EPLER-Problem für den Fall zweier gebundener Teilchen (Ellipsenbewegung), so sehen wir aus Gleichung (1.24), daß jede Lösung selbst ein natürliches Inertialsystem definiert; dieses ist gegeben durch die gleichförmige Bewegung des Schwerpunktes sowie das durch L und B definierte Achsenkreuz. Wir P können überdies in Gleichung (1.25) die G ALILEI-Transformation ϕt (R0 , M , O) durch EinP führung von Koordinaten y nach (1.28) mit a = R0 , b = M und A = O eliminieren. Man sagt: Man betrachtet die Lösung im Schwerpunktsystem, weil die transformierte Lösung so aussieht, als würde der Schwerpunkt ruhen. Aufgrund des Schwerpunktsatzes existiert eine solche Transformation für beliebige Lösungen von Massenpunktsystemen, die den Gleichungen (1.27) genügen; dabei wird aber die Drehung O nicht eindeutig festgelegt, weil i.a. keine ausgezeichneten Achsen wie im K EPLERproblem existieren. Die Besonderheit des Zweiteilchen-K EPLERproblems besteht darin, daß ein solches Achsenkreuz eindeutig für jede Bewegung fixiert wird. Offenbar ist das eine Folge der speziellen dynamischen Gleichungen. 3 Wir sehen also, daß dynamische Systeme von Massenpunkten die sehr bemerkenswerte Eigenschaft besitzen, natürliche Inertialsysteme „aus sich heraus“ zu definieren. Das ZweiteilchenK EPLERproblem bildet hierfür tatsächlich das prominenteste Beispiel.

1.5

Gleichförmig rotierte und gleichförmig beschleunigte Bezugssysteme

Wir betrachten jetzt einen Beobachter, der die Koordinaten der Raumvektoren x mit Hilfe eines gleichförmig rotierenden Achsenkreuzes eα (t), (α = 1, 2, 3) bestimmt. Er mißt also für x die Koordinaten y α = eα (t), x , 2 Auf diese Weise verschwindet auch ein Problem, auf das wir bei der Formulierung der N EWTON schen Gleichungen (mit Absicht!) noch nicht hingewiesen haben, als wir axiomatisch festlegten: Massenpunkte werden durch Kurven in einem dreidimensionalen E UKLIDischen Raum beschrieben. Das Problem besteht darin, wie dieser Raum absolut definiert ist: Welcher Koordinatenursprung und welches Achsenkreuz beschreibt seine Koordinaten aufgrund welcher Messung? Die Antwort hierauf ist: Jedes Inertialsystem kann gleichberechtigt hierfür benutzt werden; ein ausgezeichnetes Inertialsystem gibt es in Wahrheit nicht. Zu denken gibt freilich, daß wir oben konkrete Inertialsysteme mit der Einschränkung „bei kleiner Dauer der Messung kann die Bewegung des Laboratoriums als gleichförmig betrachtet werden“ bedacht haben. Ganz abgeschlossen wird die Diskussion hierüber wohl also nicht sein, und tatsächlich, sie wird im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie, das ist die Theorie der Gravitation, auf neuer Grundlage wiederaufgenommen werden. 3 Analoges gilt auch für die Wahl der Zeitskala; offenbar bildet die Umlaufzeit der Ellipsenbewegung eine natürliche, vom System selbst erzeugte Maßeinheit für die Zeitmessung.

1.5 Beschleunigte Bezugssysteme

21

wobei eα (t) = exp(A(ω)t)eα

(1.29)

gilt und ω ∈ R3 die konstante Drehachse mit |ω| der konstanten Winkelgeschwindigkeit bezeichnet, die vermöge unseres Standardisomorphismus aus Abschnitt 1.4.2 in die schiefadjungierte Transformation A(ω) überführt wird: A(ω)x = [ω, x]

für alle x ∈ R3 .

(1.30)

Es gilt also y α = eα , exp(−A(ω)t)x oder, falls wir die Koordinaten y wieder zu einem Vektor zusammenfassen: y = exp(−A(ω)t)x.

(1.31)

Hieraus folgt für jede Kurve x(t) y˙ = −A(ω) exp(−A(ω)t)x + exp(−A(ω)t)x˙ = − [ω, y] + exp(−A(ω)t)x˙ und m¨ y = −2m [ω, y] ˙ − m [ω, [ω, y]] + exp(−A(ω)t)m¨ x. Wirkt auf den Massenpunkt x die Kraft K, so folgt aus den N EWTONschen Gleichungen: m¨ y = −2m [ω, y] ˙ − m [ω, [ω, y]] + K  (y),

(1.32)

wobei K  (y) = exp(−A(ω)t)K(exp(A(ω)t)y). In den Koordinaten y α erscheinen neben dieser real wirkenden Kraft K  also Zusatzterme für die Beschreibung der Bewegung, die selbst wieder wie Kräfte aussehen, aber erst durch die Verwendung eines rotierenden Beobachtungssystems erzeugt werden. Der erste Term heißt C ORIOLIS-, der zweite Zentrifugalkraft. Beide bilden ein Beispiel für sog. Scheinkräfte, die immer dann in den N EWTONschen Gleichungen auftreten, wenn die Koordinaten eines Beobachtungssystems benutzt werden, das kein Inertialsystem ist. Die Wirkung dieser Scheinkräfte läßt sich offenbar durch eine Koordinatentransformation eliminieren, die die Achsendrehung rückgängig macht. Ein besonders bekanntes Beispiel für ein rotierendes Bezugssystem ist durch jeden an der Erdoberfläche fixierten Beobachter realisiert, der die Drehung der Erde mit vollzieht, siehe Abb.1.7. Für ihn haben die Bewegungsgleichungen eines Massenpunktes die Form (1.32), wobei ω jetzt die Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung darstellt. Wirkt auf den Massenpunkt z.B. nur die Schwerkraft der Erde, so ist ⎛ ⎞ 0 K = ⎝ 0 ⎠ −mg

22

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

ω

e3(t) e2(t) e1(t)

Abb. 1.7: Mitrotierendes Koordinatensystem.

in den gewählten Koordinaten, wobei g die Erdbeschleunigung bezeichnet. Nur die C ORIOLISkraft ist für diesen Fall numerisch bedeutsam; sie bewirkt auf der nördlichen Halbkugel eine scheinbare Ostabweichung des freien Falls unseres Massenpunktes, die durch Transformation auf ein Inertialsystem (z.B. das Achsenkreuz zur Zeit t = 0) wieder verschwindet, siehe auch Aufgabe 1.10. Physikalisch bedeutsamer als die gleichförmig rotierenden Bezugssysteme ist der Fall eines Bezugssystems, bei dem sich der Beobachter auf einer Bahn h(t) = 21 bt2 mit der konstanten Beschleunigung b ∈ R3 bewegt. Für ihn haben alle Vektoren x die Koordinaten    1 2 α y (x) = eα , x − bt α = 1, 2, 3 2 oder, zusammengefaßt zu einem Vektor, 1 y = x − bt2 . 2

(1.33)

Wir wollen diese Koordinaten einmal für die Beschreibung eines Systems von n Massenpunkten verwenden, bei dem die Kräfte wieder eine Form wie in Gleichung (1.27) haben (also zentrale Zweikörperkräfte sind), und zusätzlich auf jedes Teilchen die konstante Gravitationskraft −mi g, g ∈ R3 wirkt. In den Koordinaten y lauten wegen xi − xj = yi − yj und y¨i = x ¨i − b die N EWTONschen Gleichungen jetzt  (yi − yj )fij (|yi − yj |) − mi g (i = 1, . . . , n). (1.34) mi y¨i = −mi b + i=j

Falls b = −g gewählt wird, so verschwindet die konstante Gravitationskraft vollständig in der neuen Koordinatenbeschreibung. Die Bahnkurven yi folgen dann der inneren Kraft. Realisiert

1.6 Kräfte, die auf makroskopische Körper wirken

23

wird dieses Beobachtungssystem z.B. in einem frei fallenden Laboratorium, aber auch in einem Satelliten, der um die Erde kreist, weil in beiden Situationen der Beobachter die Gravitationsbeschleunigung durch die Erde mitvollzieht. Der Grund für die mögliche Elimination der Gravitation findet sich in der Form der Gravitationskraft: Sie ist strikt proportional zur Masse mi selbst. Logisch wäre auch eine andere Proportionalitätskonstante, sagen wir λi denkbar. In diesem Fall wäre in (1.34) mi g durch λi g zu ersetzen, und es würde i.a. wegen der Verschiedenheit der Massen mi kein Wert von b existieren, für den die Gravitationskraft eliminiert werden könnte. Will man zwischen mi und λi einen Unterschied machen, so spricht man von mi als der trägen und von λi als der schweren Masse. Ihre Gleichheit ist ein rein experimentelles Resultat, das allerdings später in der Theorie der Gravitationskräfte entscheidend verwendet wird.

1.6

Kräfte, die auf makroskopische Körper wirken

Bisher haben wir uns in unseren Überlegungen fast ausschließlich auf Systeme von Massenpunkten beschränkt, zwischen denen zentrale Zweikörperkräfte wirken. In den Anwendungen der Mechanik spielen aber auch ganz andere Kräfte eine große Rolle. In dem einleitenden Abschnitt wurde angedeutet, daß diese Kräfte durch Überlagerung von Fundamentalkräften erzeugt werden, wobei C OULOMB- und Gravitationskräfte besonders hervorgehoben wurden. Wir wollen jetzt kurz skizzieren, wie man sich eine solche Überlagerung vorzustellen hat, obwohl eine endgültige Klärung des Sachverhaltes im Rahmen der Mechanik selbst nicht möglich ist. Dazu unterteilen wir ein n-Teilchensystem mit zentralen Zweikörperkräften in zwei Subsysteme I1 und I2 , die z.B. die Teilchen 1 bis k bzw. k + 1 bis n enthalten und betrachten die Schwerpunkte R1 und R2 von I1 und I2 , d.h. die Vektoren: Rk =

 mi x i  , mit Mk = mi , Mk

i∈Ik

(k = 1, 2).

i∈Ik

Es gilt für den Gesamtschwerpunkt R: R=

M1 R 1 + M 2 R 2 , M

wobei M = M1 + M2 die Gesamtmasse ist. Aufgrund des Schwerpunktsatzes folgt sofort: ¨ 1 = −M2 R ¨2. M1 R Diese Gleichung hat z.B. für die Bahnkurve des Schwerpunktes R1 die Form der N EWTON¨ 2 als wirkende Kraft. Allerdings ist K1 nicht allein von R1 schen Gleichung mit K1 = −M2 R und R˙ 1 abhängig, sondern explizit gegeben durch  K1 = (xi − xj )fij (|xi − xj |), i∈I1 ,j∈I2

24

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

was leicht aus Gleichung (1.27) abgeleitet wird. Wir sehen aber, daß sowohl R1 als auch K1 durch eine Mittelung über die Teilchen in I1 und I2 entsteht. Für den Fall sehr vieler Teilchen, die räumlich benachbart bleiben, zeigt die Erfahrung, daß eine solche Mittelung statistischen Gesetzen gehorcht; die speziellen Eigenschaften der Bahnkurven xi spielen dabei keine Rolle mehr für die Kraft K1 , die nur noch abhängt vom Mittelwert der Kurven xi , den man mit R1 identifiziert. Die Beschreibung des Systems I1 reduziert sich dann auf die Angabe der Bahnkurve dieses Schwerpunktes. Nach der statistischen Mittelung braucht die Form der Kraft als Funktion von R1 und ggf. auch von R˙ 1 und der Zeit nicht mehr die geringste Ähnlichkeit mit den ursprünglichen Zweikörperkräften zu besitzen. Sie verliert i.a. auch die manifesten Invarianzeigenschaften bei G ALI LEI -Transformationen, weil die genannte Mittelung, z.B. in einem festen Raum-Zeit-Gebiet, erfolgt. Diese kurze Diskussion der Kräfte zwischen makroskopischen Körpern kann und soll nicht befriedigen. Wir treten deshalb die Flucht nach vorn an: Solange sich die Mechanik vor allem den Studien der Bewegungsgesetze widmet, kann sie auf eine nähere Begründung der jeweils benutzten Kraftgesetze verzichten (wenigstens für eine gewisse Zeit).

1.7 Aufgaben

1.7

25

Aufgaben

Aufgabe 1.1:

Multilineare Funktionen in einem n-dimensionalen Vektorraum V

wk : V ×V ×· · ·×V → R heißt multilineare Funktion der Stufe k, falls    k-mal

wk (h1 , . . . , hk ) linear in jedem Argument hi ist. (a) Zeige: Falls eμ (μ = 1, . . . , n) eine Basis von V ist, so ist wk eindeutig durch die Funktionswerte wk (eμ1 , . . . , eμk ) bestimmt. Die skalare Multiplikation und die Addition werden definiert durch: (λwk )(h1 , . . . , hk ) := λ · wk (h1 , . . . , hk ), (wk + wk )(h1 , . . . , hk ) := wk (h1 , . . . , hk ) + wk (h1 , . . . , hk ) für alle λ ∈ R und alle multilinearen Funktionen wk und wk der Stufe k. (b) Überprüfe, daß die multilinearen Funktionen der Stufe k einen reellen Vektorraum Vk der Dimension nk bilden. Bezeichne die Permutationen der Zahlen (1, . . . , k) mit σ (1 → σ(1), 2 → σ(2), . . .) und das Signum dieser Permutation mit ε(σ). Eine multilineare Funktion wk heißt schief (oder antisymmetrisch) bzw. k-Form, falls wk (hσ(1) , . . . , hσ(k) ) = ε(σ)wk (h1 , . . . , hk ). Ebenso heißt eine multilineare Funktion wk symmetrisch, falls wk (hσ(1) , . . . , hσ(k) ) = wk (h1 , . . . , hk ). (c.1) Zeige: Die symmetrischen und die schiefen multilinearen Funktionen bilden jeweils Untervektorräume Sk bzw. Ak von Vk . (c.2) Bestimme die Dimension von Sk bzw. Ak . Eine symmetrische multilineare Funktion g zweiter Stufe auf V mit g(x, x) > 0 für alle x ∈ V \ {x = 0} heißt E UKLIDische Metrik in V . Wir schreiben auch g(x, y) = x, y und nennen x, y das Skalarprodukt von x und y . Die Länge oder Norm wird durch  |x| = x, x erklärt. Entsprechend heißt |x − y| der Abstand von x und y in V . (d.1) Zeige, daß | x, y | ≤ |x||y|. Setze cos ϕ = x, y /(|x||y|), ϕ heißt Winkel zwischen x und y. (d.2) Zeige, daß |x − y| =

 |x|2 + |y|2 − 2|x||y| cos ϕ .

26

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik Wähle eine Orthonormalbasis {ei }, i = 1, . . . , n in V : x = xi ei :=

n 

x i ei ,

xi ∈ R.

i=1 i

x heißt Koordinate von x bezüglich ei . (d.3) Berechne |x| und cos ϕ als Funktion der Koordinaten. Als Spezialfall von (c) sollte man gefunden haben, daß die Dimension des Vektorraumes aller schiefen multilinearen Funktionen n-ter Stufe gleich 1 ist. (e.1) Falls wn = 0, dann gilt: wn (h1 , . . . , hn ) = 0 ⇔ {h1 , . . . , hn } sind linear abhängig. (e.2) Zeige: Falls A : V → V eine lineare Abbildung ist, so gibt es genau eine Zahl det(A) mit det(A)wn (h1 , . . . , hn ) = wn (Ah1 , Ah2 , . . . , Ahn )

(1.35)

für alle schiefen multilinearen Funktionen wn = 0. det(A) heißt die Determinante von A. (e.3) Zeige: (i) det(AB) = det(A)det(B); (ii) det(A) = 0 ⇔ A ist umkehrbar. (f) Bezeichne mit tr [A] die Spur von A. Zeige, daß tr [A]wn (h1 , . . . , hn ) = wn (Ah1 , h2 , . . . , hn ) + wn (h1 , Ah2 , . . . , hn ) + · · · +wn (h1 , h2 , . . . , Ahn ) .

(1.36)

Sei g eine E UKLIDische Metrik in V mit Orthonormalbasis (e1 , . . . , en ), d.h. g(ei , ej ) = ei , ej  = δij . Fixiere eine schiefe Multilinearfunktion Δ n-ter Stufe (die Volumenform) durch Δ(e1 , . . . , en ) = 1. Setze Aij = ei , Aej  (Matrixelement von A bezüglich {ei }). (g) Berechne det(A) als Funktion der Aij . Sei At die zu A adjungierte Abbildung, d.h. g(x, At y) = g(Ax, y) für alle x, y ∈ V . Bemerkung: Falls At = A so heißt die Abbildung selbstadjungiert.

(h.1) Zeige: det(At ) = det(A) sowie (h.2) Δ(e1 , . . . , en ) = ±Δ(e1 , . . . , en ) für jede andere Orthonormalbasis (e1 , . . . , en ).

1.7 Aufgaben Aufgabe 1.2:

27 Der 3-dimensionale Vektorraum

Sei V ein reeller Vektorraum der Dimension 3, g die Metrik und Δ die Volumenform. Seien w, x, y, z ∈ V . (a) Zeige: Es gibt einen eindeutig bestimmten Vektor [x, y] ∈ V mit z, [x, y] = Δ(z, x, y) für alle z ∈ V . [x, y] heißt das Vektorprodukt von x und y. (b) Zeige folgende Eigenschaften: (1) [x, y] = 0 ⇔ x, y sind linear abhängig. (2) [x, z], y = − z, [x, y] . (c) Fixiere nun die Orthonormalbasis {ei } i = 1, 2, 3 mit Δ(e1 , e2 , e3 ) = 1 und berechne die Koordinaten von [x, y] als Funktion der Koordinaten von x und y. Eine schiefadjungierte lineare Abbildung A ist definiert durch x, Ay = − Ax, y = − y, Ax . (d.1) Zeige, daß der Raum A dieser Abbildungen A 3-dimensional ist. (d.2) Zeige: Die Abbildung A : V → A | x → A(x) mit A(x)y = [x, y] für alle y ∈ V definiert einen linearen Isomorphismus. (e) Beweise die sog. JACOBI-Identität: [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0 . Hinweis: Zeige mit dem Isomorphismus aus (d) zuerst, daß für w ∈ V : Δ(A(w)x, y, z) + Δ(x, A(w)y, z) + Δ(x, y, A(w)z) = tr [A(w)]Δ(x, y, z) = 0 . (f) Zeige jetzt folgende Eigenschaften: (1) A(x)A(y) − A(y)A(x) = A([x, y]), d.h. A(x)A(y)z − A(y)A(x)z = A([x, y])z für alle z; (2) [x, [y, z]] = y x, z − z x, y ; (3) [w, z], [x, y] = w, x z, y − w, y z, x ; (4) | [x, y] |2 = |x|2 |y|2 sin2 ϕ, wobei ϕ der Winkel zwischen x und y ist.

28

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik Differenzieren von multilinearen Funktionen

Aufgabe 1.3:

Sei w : V1 × . . . × Vn → W (Vi ,W reelle Vektorräume) eine multilineare Funktion, d.h. für yi ∈ Vi gilt w(y1 , . . . , yn ) → W ist linear in jedem Argument. (Beachte: Gegenüber der Aufgabe 1.1 sind die Vektorräume Vi nicht gleich und der Wert von w(y1 , . . . , yn ) liegt in einem Vektorraum W ). Seien fi : I → Vi , i = 1, . . . , n (I offenes Intervall in R) differenzierbare Abbildungen. Sei f : I → W definiert durch f (t) = w(f1 (t), . . . , fn (t)). Dann gilt in I: d f˙(t) := f (t) = w(f˙1 (t), f2 (t), . . . , fn (t)) + w(f1 (t), f˙2 (t), . . . , fn (t)) dt . . . + w(f1 (t), f2 (t), . . . , f˙n (t)) . Sei V jetzt ein 3-dimensionaler, E UKLIDischer, reeller Vektorraum mit Volumenform Δ und Metrik g(., .) = ., .. x(t) sei eine zweimal stetig differenzierbare Kurve in V . Zeige: (a) (c)

d ˙ x ˙ = 2 x, ˙ x ¨ dt x, x,x ˙ d |x| = , dt |x|

,

(b) (d)

d ˙ = [x, x ¨] , dt [x, x] [x,[x,x]] ˙ d x = − dt |x| |x|3 .

Eine sehr nützliche Anwendung ist durch folgende Formel gegeben: Sei V jetzt ein ndimensionaler, reeller Vektorraum mit Volumenform Δ , A : V → V und B := exp [A] . (e) Zeige: det(B) = exp (tr [A]) .

(1.37)

Hinweis: Erkläre durch A(τ ) = τ A eine 1-parametrige Schar von Abbildungen und zeige, daß det(B(τ )) der Differentialgleichung d det(B(τ )) = tr [A] det(B(τ )) dτ genügt.

Aufgabe 1.4:

Impuls-, Drehimpuls- und Energieerhaltung

Wir betrachten ein System von n Massenpunkten {x1 , . . . , xn } mit inneren Kräften Fij der Form Fij = (xi − xj )fij (|xi − xj |) und äußeren Kräften Ki0 (xi ). D.h. die Kraft auf Teilchen i hat die Form  Fij . Ki = Ki0 + j(j=i)

1.7 Aufgaben

29

Sei fij (r) = fji (r) einmal stetig differenzierbar. Zeige jeweils den verallgemeinerten Impuls-, Drehimpuls- und Energiesatz: (a) (b)

(c)

 d  mi x˙ i = Ki0 ; dt i i  ! d  xi , Ki0 ; mi [xi , x˙ i ] = dt i i ⎛ ⎞    d ⎝ 1 x˙ i , Ki0 , mi |x˙ i |2 + Vij (|xi − xj |)⎠ = dt 2 i i<j i

wobei Vij (r) = −r fij (r) . Untersuche den Spezialfall Ki0 (xi ) = K =const.

Aufgabe 1.5:

Das K EPLER-Problem I

Gegeben sei ein Zweiteilchensystem mit ¨1 = κ m1 x

x1 − x2 , |x1 − x2 |3

m2 x ¨2 = κ

x2 − x1 . |x1 − x2 |3

(a) Zeige, daß H  := H −

P2 μ 2 κ = |y| ˙ + , 2M 2 |y|

L := L − [R, P ] = μ [y, y] ˙ ,

wobei P := m1 x˙ 1 + m2 x˙ 2 der Gesamtimpuls, M = m1 + m2 die Gesamtmasse, y := x1 − x2 der Relativvektor, R := (m1 x1 + m2 x2 )/M der Schwerpunktsvektor und μ = m1 m2 /M die reduzierte Masse ist. (b) Zeige, daß sich die Relativbewegung in einer Ebene abspielt. (c) Der RUNGE -L ENZ-Vektor sei gegeben durch B=

1 y [y, ˙ L ] + . κ |y|

Wiederhole den Beweis der Behauptung, daß B eine Konstante der Bewegung ist. (d) Zeige, daß folgende zwei Relationen zwischen den Bewegungskonstanten B, L und H  gelten: |B|2 = 1 + B, L  = 0 .

2H  |L |2 , μκ2

30

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik (e) Seien B = 0, L = 0. Wähle ein „problemorientiertes“ Koordinatensystem, indem zunächst drei orthogonale Einheitsvektoren e1 =

B , |B|

e2 =

[L , B] , |L ||B|

e3 =

L |L |

eingeführt werden, die vermöge y=

3 

y α eα oder y α = eα , y

α=1

die Koordinaten y α von y definieren. Stelle die Bewegung in den Koordinaten y α dar. Diskutiere die Bahnkurve qualitativ (Skizze!) für die Fälle (a) κ > 0; (b) κ < 0. Unterscheide dabei zwischen |B| = 1, |B| < 1 und |B| > 1. (f) Sei L = 0. Zeige, daß hieraus folgt (mit r := |y|): y˙ = r˙ y0 , wobei y0 konstant mit |y0 | = 1. Zeige, daß μ¨ r = κ/r2 und μ2 r˙ 2 = E − κr , wobei E eine Konstante ist. Diskutiere den Bewegungsablauf, in dem t als Funktion von r bestimmt wird. Hinweise: Benutze dabei folgende unbestimmte Integrale: Für a > 0:   x 1 2 dx = ax + bx ax + b a √  √ b − √ ln ax + ax + b ; a a Für a < 0:

 

x 1 2 dx = ax + bx ax + b a b + √ arctan a −a



ax + b − ax

 .

1.7 Aufgaben Aufgabe 1.6:

31 Die K EPLERschen Gesetze

In Aufgabe 1.5 wurde nachgerechnet, daß beim K EPLER-Problem die Bahnkurven der gebundenen Bewegung Ellipsen sind. Dies ist die Aussage des 1. K EPLERschen Gesetzes. Das zweite K EPLERsche Gesetz von 1609 ist der in Abschnitt 1.3.2 hergeleitete Flächensatz. In ebenen Polarkoordinaten, siehe Gleichung 1.22, gilt: ϕ˙ μκ2 = α = , (|B| cos ϕ − 1)2 |L |3 woraus F (ϕ(t)) = αt + F (ϕ(0)), mit F eine Stammfunktion von (|B| cos ϕ − 1)−2 , folgt. Für κ < 0, |B| < 1 gilt:    1 − |B|2 tan ϕ2 1 |B| sin ϕ 2 F (ϕ) = + arctan . |B|2 − 1 |B| cos ϕ − 1 |B| − 1 1 − |B|2 Zeige, daß daraus folgt: a3 −κ = , 2 T 4π 2 μ wobei a die große Halbachse der Ellipse und T die Umlaufzeit ist. Vernachlässige die Planetenmasse gegenüber der Sonnenmasse und verifiziere das 3. K EPLERsche Gesetz (1625): Das Verhältnis der Kuben der großen Halbachsen zu den Quadraten der Umlaufzeiten ist für alle Planeten eines Sonnensystems gleich.

Hinweis: Überprüfe zuerst, daß a=

Aufgabe 1.7:

1 |L |2 (r(ϕ = 0) + r(ϕ = π)) = . 2 μκ(|B|2 − 1)

Die Drehgruppe und G ALILEI-Gruppe

Sei V ein 3-dimensionaler E UKLIDischer Vektorraum mit Skalarprodukt ., . und normierter Volumenform Δ. In Aufgabe 1.2 wurde gezeigt: Es gibt zu jedem Vektor ω ∈ V eine eindeutig bestimmte, schiefadjungierte Abbildung A(ω) : R3 → R3 mit A(ω)x = [ω, x] für alle x ∈ V. Sei τ ∈ R und ω = 0. Zeige: (a) Es gilt: exp(A(ω)τ )x = x für alle x mit x = λω, λ ∈ R.

32

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik (b) Es gilt: exp(A(ω)τ )x = cos(|ω|τ )x + sin(|ω|τ ) [ω, x] /|ω| für alle x mit x, ω = 0. Sei jetzt ω fest und setze Oω (τ ) = exp(A(ω)τ ). (c) Zeige, daß Oω (τ1 )Oω (τ2 ) = Oω (τ1 + τ2 ) und Oω (0) = I, d.h. die Abbildung τ → Oω (τ ) definiert eine sog. 1-parametrige Untergruppe von SO(3). (d) Setze τ = 1. Zeige, daß für alle x ∈ V gilt: Oω x = ω0 , x ω0 + sin |ω| [ω0 , x] − cos |ω| [ω0 , [ω0 , x]] , wobei Oω := Oω (τ )|τ =1 ; ω0 = ω/|ω| heißt die Drehachse und |ω| der Drehwinkel der Drehung Oω . G ALILEI-Transformation: In Absatz 1.4.1 wurden die folgenden zeitabhängigen Transformationen ϕt (a, b, O) : R3 → R3 definiert: ϕt (a, b, O)x = Ox + a + bt für alle x ∈ R3 , wobei a, b ∈ R3 , O ∈ SO(3) . Wir fügen die sog. Zeittranslation hinzu: t → t˜ = t + a4 für alle t ∈ R, wobei a4 ∈ R . Setzen wir x ˜ = ϕt (a, b, O)x, so gilt also in den Standardkoordinaten: x ˜α =

3 

Oαβ xβ + aα + bα t ,

β=1

t˜ = t + a4 . ˜α für α = 1, 2, 3, y 4 = t, y˜4 = t˜, y 5 = y˜5 = 1. Wir definieren: y α = xα , y˜α = x (e) Zeige, daß in den Standardkoordinaten die Beziehung y˜μ = B μν y ν := ⎛

O11 ⎜ O21 ⎜ B = ⎜ O31 ⎝ 0 0

5 

B μν y ν gilt , (μ = 1, . . . , 5), wobei

ν=1

O12 O22 O32 0 0

O13 O23 O33 0 0

b1 b2 b3 1 0

⎞ a1 2 a ⎟ ⎟ a3 ⎟ . 4⎠ a 1

(f) Beweise, daß die Matrizen dieser Form eine Gruppe G bilden.

1.7 Aufgaben

33

Wir setzen jetzt ⎛

A(ω)11 A(ω)12 A(ω)13 ⎜ A(ω)21 A(ω)22 A(ω)23 ⎜ J = ⎜ A(ω)31 A(ω)32 A(ω)33 ⎝ 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟. 0⎠ 0

Nach Teilaufgabe (c) bilden die Abbildungen ⎛ Oω (τ )11 Oω (τ )12 Oω (τ )13 ⎜ Oω (τ )21 Oω (τ )22 Oω (τ )23 ⎜ g(τ ) = exp(J(ω)τ ) = ⎜ Oω (τ )31 Oω (τ )32 Oω (τ )33 ⎝ 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎠ 1

für festes ω eine 1-parametrige Untergruppe von G. Im folgenden diskutieren wir weitere 1-parametrige Untergruppen von G: (g) Setze ⎛

0 ⎜0 ⎜ K(v) = ⎜ 0 ⎝0 0

⎛ ⎞ 0 0 0⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ 0 ⎟ und P (a, a4 ) = ⎜ 0 ⎝0 0⎠ 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

v1 v2 v3 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

τ v1 τ v2 τ v3 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

⎞ a1 2 a ⎟ ⎟ a3 ⎟ . a4 ⎠ 0

Zeige: ⎛

1 ⎜0 ⎜ eK(v)τ = ⎜ 0 ⎝0 0

⎛ ⎞ 1 0 0 0⎟ ⎜ 4 ⎜ ⎟ 0 ⎟ und eP (a,a )τ = ⎜ 0 ⎝0 ⎠ 0 1 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

⎞ τ a1 τ a2 ⎟ ⎟ τ a3 ⎟ . 4⎠ τa 1

(h) Zeige, daß für festes v und a durch g(τ ) = exp(K(v)τ ) und g(τ ) = exp(P (a, a4 )τ ) jeweils eine 1-parametrige Untergruppe definiert wird. Die Größen K(v), P (a, a4 ), J(ω) heißen Generatoren von G.

Aufgabe 1.8:

Der harmonische Oszillator

Ein Teilchen der Masse m bewege sich unter Einfluß eines harmonischen Potentials V (x) = 1 2 2 3 2 mω |x| , ω ∈ R, x ∈ R . (a) Wie lautet die Bewegungsgleichung?

34

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

(b) Zeige, daß der Drehimpuls L erhalten ist. Die lineare Abbildung T : R3 → R3 sei für alle h ∈ R3 definiert durch: % 1 $ T h := m ω 2 x(t) x(t), h + x(t) ˙ x(t), ˙ h , 2 wobei x(t) eine Lösung der Bewegungsgleichung ist. (c) Zeige, daß der Tensor T erhalten ist, d.h.

d dt T

= 0.

(d) Zeige, daß T t = T . (e) Zeige, daß T L = 0. (f) Zeige, daß 1 m(ω 2 |x|2 + |x| ˙ 2) , 2 und interpretiere das Resultat. tr[T ] =

(g) Zeige, daß x, T x = tr T |x|2 −

|L|2 . 2m

(h) Zeige, daß es eine Drehung O gibt, so daß ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 ε1 0 0 T = O ⎝ 0 ε2 0 ⎠ O−1 , O L = ⎝ 0 ⎠ , |L| 0 0 0 die Vektoren Ox und Ox˙ in der 1 − 2-Ebene liegen und daß gilt: |L|2 . 2m Interpretiere das Resultat geometrisch. ε2 (x1 )2 + ε1 (x2 )2 =

(i) Zeige, daß gilt: 1 tr[T 2 ] = (tr[T ])2 − ω 2 |L|2 , 2 und zeige, wie man die Eigenwerte ε1 , ε2 von T aus der erhaltenen Energie und dem Drehimpuls gewinnt. (j) Zeige: T x = tr[T ] x +

1 [L, x] ˙ . 2

(k) Zeige, daß die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung geschrieben werden kann als x(t) = exp (tB)x(0), mit B = −2 wobei A(h) = [h, x] für alle h ∈ R3 .

A(L) (T − tr[T ]1I) , |L|2

1.7 Aufgaben

35 Bewegung in einem magnetischen Monopolfeld

Aufgabe 1.9:

In der Nähe der Pole sei das Magnetfeld näherungsweise durch ein magnetisches Monopolfeld der Form B ∝ |x|x 3 beschrieben. Die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens der Masse m in diesem Feld ist dann aufgrund der L ORENTZ-Kraft durch mx ¨=μ

[x, x] ˙ |x|3

gegeben. Zur Zeit t = 0 sei die Position und die Geschwindigkeit durch x0 bzw. v0 gegeben, wobei [x0 , v0 ] = 0 . (a) Zeige, daß

d ˙2 dt |x|

= 0 und

d2 2 dt2 |x|

= 2|v0 |2 .

(b) Zeige, daß  2 x0 , v0  | [x0 , v0 ] |2 |x(t)|2 = |v0 |2 t + + . 2 |v0 | |v0 |2 (c) Zeige, daß m [x, x] ˙ +μ

x =: J = const. |x|

(d) Berechne x(t), J und schließe daraus, daß x auf einem Kegel liegt. (e) Zeige, daß



d x 1 x = J, . dt |x| m|x|2 |x|

(f) Zeige: x(t) = |x(t)| exp [f (t)A(J)]

x0 , |x0 |

wobei A(h)k = [h, k] , für alle h, k ∈ R3 . Berechne f (t) . (g) Skizziere die Bahnkurve und diskutiere den Bewegungsablauf.

Aufgabe 1.10:

C ORIOLIS-Kraft

Ein Teilchen fällt auf der nördlichen Halbkugel, bei der geographischen Breite β, ohne Anfangsgeschwindigkeit (bzgl. der Erde) aus der Höhe h. In dieser Aufgabe soll die Abweichung vom senkrechten Fall in Größe und Richtung unter Berücksichtigung der Erdrotation (um die Achse e3 mit Winkelgeschwindigkeit ω ≈ 7,3 · 10−5 s−1 ) bestimmt werden. Die Bewegungsgleichung für ein Teilchen der Masse m unter Einfluß einer Kraft K(x) (K(x) ∈ R3 , x ∈ R3 ) in einem Inertialsystem mit Standardbasis (e1 , e2 , e3 ) lautet m¨ x = K(x) .

36

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik

ω h e3 a e1

e3(t) m e2(t)

β e1(t) e2

Abb. 1.8: Die Koordinatensysteme

(a) Zeige, daß in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ωe3 rotierenden Koordinatensystem mit Standardbasis (e1 (t), e2 (t), e3 (t)) (siehe Skizze), die Bewegungsgleichung durch  2 m¨ y = −2mA(ωOβ−1 e3 )y˙ − m A(ωOβ−1 e3 ) (y + Re3 ) + Oβ−1 Oω (t)−1 K (Oω (t)Oβ (y + Re3 )) gegeben ist, wobei für das gekippte und gedrehte Achsenkreuz eα (t) = Oω (t)Oβ eα gilt und somit die Koordinaten in diesem Bezugsystem durch y α = eα (t), (x − a(t)) (α = 1, 2, 3), mit a(t) = Oω (t)Oβ Re3 , R = |a(t)| gegeben sind, was man auch als y = Oβ−1 Oω−1 (t)x − Re3 schreiben kann. Hierbei ist $ % Oω (t)v = exp(A(ωe3 )t)v, Oβ v = exp A((β − π2 )e2 ) v und A(v)w = [v, w] für alle w ∈ R3 . R bezeichnet den Erdradius. Hinweis: $ % Benutze: O−1 A(v)O = A O−1 v , für O ∈ SO(3) und v ∈ R3 . In Erdnähe sei die Kraft näherungsweise gegeben durch K(x) = −m g · x/|x|, wobei g die Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche (R = |a(t)| ≈ 6370 km) ist. (b) Begründe unter der Annahme, daß |y|  R gilt und das Schwerefeld in Erdnähe näherungsweise homogen ist, die Bewegungsgleichungen y¨1 = 2ω sin β y˙ 2 + ω 2 R sin β cos β , y¨2 = −2ω sin β y˙ 1 + 2ω cos β y˙ 3 , y¨3 = 2ω cos β y˙ 2 − g + ω 2 R cos2β .

(1.38) (1.39)

1.7 Aufgaben

37

(c) Zeige durch einmalige Zeitintegration der Gleichungen (1.38, 1.39) mit den Anfangsbedingungen y 1 (0) = y 2 (0) = 0, y 3 (0) = h, y˙ 1 (0) = y˙ 2 (0) = y˙ 3 (0) = 0, daß y˙ 1 = 2ω sin β y 2 + ω 2 Rt sin β cos β , y˙ 2 = −2ω sin β y 1 + 2ω cos β (h − y 3 ) gilt und somit $ % y¨3 = −g − 4ω 2 cos β y 1 sin β + (y 3 − h) cos β .

(1.40)

(d) Löse die Differentialgleichung (1.40) näherungsweise, indem der Term proportional zu ω 2 auf der rechten Seite gegenüber dem ersten Term vernachlässigt wird (Begründung?), und zeige, daß dann y 2 (t) =

1 ω cos β g  t3 3

folgt, wobei g  = g − ω 2 R ≈ 9,8 m s−2 die effektive Erdbeschleunigung unter Berücksichtigung der Zentrifugalkraft ist. (e) Zeige jetzt, daß &

2 y (h) ≈ hω cos β 3 2

2h g

gilt, und berechne die Ostabweichung auf unserer Breite (β ≈ 50o ) für einen Fall aus der Höhe h = 125 m.

2

Lösung der Bewegungsgleichungen: Differentialgleichungssysteme

2.1

Mathematische Vorbereitungen: Differenzierbare Funktionen von mehreren Variablen

Sei U ⊂ Rn offen, f : U → R. Die partielle Ableitung von f nach der Koordinate xα im Punkt x ist wie folgt erklärt (x = (x1 , . . . , xn )): ∂f 1 f (x1 , . . . , xα + h, . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xα , . . . , xn ) n (x , . . . , x ) := lim . h→0 ∂xα h Falls die partielle Ableitung nach xα für alle x ∈ U existiert, kann eine neue Funktion ∂α f : U → R durch ∂α f (x) =

∂f 1 (x , . . . , xn ) ∂xα

für alle x ∈ U

erklärt werden. ∂α f heißt partielle Ableitung von f nach xα . Ferner heißt f partiell differenzierbar von 1. Ordnung, falls ∂α f für alle α = 1, . . . , n existiert und stetig ist. Die Funktionen mit diesen Eigenschaften bilden einen Vektorraum, der mit C 1 (U, R) bezeichnet wird. Die Definition von ∂α f erlaubt die induktive Definition der partiellen Ableitungen k-ter Ordnung: ∂α1 . . . ∂αk f . Falls diese Funktionen existieren und für alle α1 , . . . , αk stetig sind, heißt f partiell differenzierbar von k-ter Ordnung. Die Funktionen f bilden wieder einen Vektorraum, der mit C k (U, R) bezeichnet wird. Für k ≥ 2 gilt: Die partiellen Ableitungen kommutieren, d.h. ∂α1 . . . ∂αk f = ∂ασ(1) . . . ∂ασ(k) f für alle σ ∈ Sk (Sk = {Permutationen von k Elementen}). Da man häufig die Koordinate, nach der partiell differenziert wird, deutlich machen möchte, k f wird für ∂α1 . . . ∂αk f auch das Symbol ∂xα1∂...∂x αk verwendet. Im folgenden wird k ≥ 2 vorausgesetzt. Eine Abbildung f : U → Rm , f (x) = (f 1 (x), . . . , f m (x)) heißt partiell differenzierbar von k-ter Ordnung, falls f β (x) ∈ C k (U, R) für alle β = 1, . . . , m. Die Abbildungen f bilden auch einen Vektorraum, der mit C k (U, Rm ) bezeichnet wird. Wir schreiben jetzt: f ∈ C k (U, Rm ). Sei f ∈ C k (U, Rm ), g ∈ C k (W, Rs ) und f (U ) ⊂ W ⊂ Rm . Sei g(y) = (g 1 (y), . . . , g s (y)), y ∈ W, h(x) := (g ◦ f )(x), x ∈ U, h(x) = (h1 (x), . . . , hs (x)).

40

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

Dann gilt: h ∈ C k (U, Rs ) und ∂α hβ (x) =

Aufgabe 2.1:

m  ∂hβ ∂g β ∂f γ (x) = (f (x)) · α (x) α γ ∂x ∂y ∂x γ=1

(Kettenregel) .

Differenzierbare Funktionen von mehreren Variablen

Sei f ∈ C k (U, Rm ), U ⊂ Rn . (a) Zeige: Für alle v ∈ Rn und x ∈ U existiert (Dv f )(x) :=

d dt f (x

+ tv)|t=0 .

(b) Zeige: (Dv f )(x) ist linear in v . Dv f heißt Richtungsableitung von f nach v. Setze jetzt Df (x)(v) := (Dv f )(x). (c) Zeige: Für festes x ist Df (x) eine lineare Abbildung Df (x) : Rn → Rm . Diese Abbildung heißt JACOBI-Matrix von f . Sei nun y(t) eine differenzierbare Kurve in Rn . (d) Zeige:

d dt f (y(t))

= Df (y(t))(y(t)). ˙

Sei h = g ◦ f (wie in der Vorbemerkung). (e) Zeige: Dh(x)(v) = (Dg(f (x)) ◦ Df (x)) (v). Sei jetzt f : Rn → R. (f) Zeige, daß Df (x) für festes x eine lineare Funktion auf Rn ist. Sei g(x, y) = x, y eine E UKLIDische Metrik auf Rn . (g) Zeige: Es gibt ein eindeutig bestimmtes Vektorfeld ∇f auf Rn mit v, ∇f (x) = Df (x)(v) für alle x, v ∈ Rn . ∇f heißt Gradient von f bezüglich der Metrik ., .. (h) Berechne die Komponenten (Koordinaten) von ∇f (x) bezüglich der Standardbasis. d Zeige: dt f (x(t)) = x, ˙ ∇f (x(t)).

2.2 Die Hauptsätze

2.2

41

Die Hauptsätze

Im ersten Abschnitt über die Grundlagen der klassischen Mechanik wurde schon darauf hingewiesen, daß die N EWTONschen Gleichungen ihre Vorhersagekraft aus einem mathematischen Theorem gewinnen, das in der Aussage: „Anfangslagen und Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen die Bewegung von n Massenpunkten eindeutig“ zusammengefaßt wurde. Diese Aussage wollen wir nun präziser fassen und betrachten dazu wieder die N EWTONschen Gleichungen für n Massenpunkte: ¨i = Ki (x1 , . . . , xn , x˙ 1 , . . . , x˙ n , t) mi x

(i = 1, . . . , n),

(2.1)

wobei die Kraft Ki (x1 , . . . , xn , v1 , . . . , vn , t) für jedes i eine vorgegebene Funktion von 2n Vektoren xi , vi ∈ R3 und der Zeit t ist. Wir führen zunächst eine kompaktere Notation ein, indem wir die Vektoren xi ,vi und Ki jeweils zu einem Vektor in einem 3n-dimensionalen Vektorraum V = R3n zusammenfassen: x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R3n , v = (v1 , . . . , vn ) ∈ R3n , K = (K1 , . . . , Kn ) ∈ R3n . Außerdem definieren wir die Massenmatrix m durch die Gleichung mx = (m1 x1 , . . . , mn xn ) und schreiben damit (2.1) in der Form m¨ x = K(x, x, ˙ t).

(2.2)

Gleichung (2.2) ist ein Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung für die Kurve x(t) im Raum V ; wir führen es in ein äquivalentes System erster Ordnung über: x˙ = v , mv˙ = K(x, v, t) .

(2.3)

Fassen wir nun x und v wieder zu einem Vektor y = (x, v) ∈ T (V ) = R6n zusammen, so schreibt sich das Gleichungssystem (2.3): ˜ y˙ = K(y, t),

(2.4)

wobei ˜ K(y, t) = (v, m−1 K(x, v, t)) ist. Der Vektor y(t) kann jetzt als Kurve in T (V ) aufgefaßt werden. Den Vektorraum V bezeichnen wir als den Raum der Ortslagen oder besser noch den Raum der Freiheitsgrade des Massenpunktsystems; T (V ) nennen wir den Tangentialraum von V .

42

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

˜ : T (V ) × R → T (V ) wird auch zeitabhängiges Vektorfeld genannt. Die Die Funktion K Menge dieser Funktionen mit der Zusatzeigenschaft, partielle Ableitungen beliebig hoher Ordnung zu besitzen, wird mit C ∞ (T (V ) × R, T (V )) bezeichnet und bildet einen Vektorraum (mit unendlicher Dimension). Es gelten nun die folgenden mathematischen Sätze, die wir aus der reinen Mathematik als Grundlage ohne Beweis entnehmen: Hauptsatz 2.1 ˜ ∈ C ∞ (T (V ) × R, T (V )). Für alle t0 ∈ R , y0 ∈ T (V ) gibt es ein offenes Intervall Sei K I mit t0 ∈ I, so daß in I eine eindeutig bestimmte, zweimal stetig differenzierbare Lösung y(t) des Differentialgleichungssystems ˜ y˙ = K(y, t) mit y(t0 ) = y0 existiert. y0 heißt Anfangswert von y(t) bei einer Zeit t = t0 . Um die Abhängigkeit vom Anfangswert deutlich zu machen, bezeichnen wir die obige Lösung auch mit y(t, y0 ). Hauptsatz 2.2 Es gelte für alle Lösungen nach Hauptsatz 2.1 zusätzlich: lim |y(t, y0 )| = ∞ ⇔ |T | = ∞.

t→T

Dann wird durch die Gleichung Ft (y0 ) = y(t, y0 ) für alle t ∈ R eine Schar von umkehrbaren Abbildungen Ft : T (V ) → T (V ) definiert. Als Funktion von t und y0 besitzt Ft (y0 ) partielle Ableitungen beliebig hoher Ordnung. Ft wird der Fluß des Differentialgleichungssystems genannt. Er hängt zusätzlich von der Wahl von t0 ab. Da wir in der Folge meistens t0 = 0 als Anfangszeit benutzen, wollen wir diese Abhängigkeit in der Notation jedoch unterdrücken. F hat eine einfache geometrische Interpretation: Man erhält den Funktionswert Ft (y0 ), indem man eine Bahnkurve, die zur Zeit t0 bei y0 beginnt, bis zum Zeitpunkt t verfolgt. y0 = (x0 , v0 ) faßt genau die Anfangslagen und Anfangsgeschwindigkeiten unserer Massenpunkte zusammen; Endlagen und Endgeschwindigkeiten zur

2.2 Die Hauptsätze

43

y(t, y0) y0

Ft

Abb. 2.1: Fluß eines Differentialgleichungssystems

Zeit t sind dann eindeutig durch Ft bestimmt, d.h. die Bahnkurven können nach den Hauptsätzen für alle Zeiten t eindeutig vorhergesagt werden. Die Bedingung limt→T |y(t, y0 )| = ∞ ⇔ |T | = ∞ schließt den Fall aus, daß eine Bahnkurve bereits nach endlicher Zeit ins Unendliche läuft, und garantiert, daß Ft für alle Zeiten unabhängig von y0 existiert. Dies muß von Fall zu Fall überprüft werden. Der Hauptsatz 2.1 bleibt davon ˜ ∈ C ∞ (W ×R, T (V )) mit W = T (V )−Ω. Ω ist unberührt; er bleibt auch weiter gültig, falls K ˜ dabei eine Menge, auf der die Kräfte, die K definieren, singulär werden. Ein Beispiel hierfür taucht bereits im K EPLERproblem auf: Die Kraft K = κ(x1 − x2 )/|x1 − x2 | ist für x1 = x2 singulär, ansonsten aber eine C ∞ -Funktion. Für mehrere Teilchen hat die Singularitätenmenge Ω oft eine komplizierte topologische Struktur; trotzdem existieren in T (V ) − Ω eindeutig bestimmte Lösungen bei vorgegebenem Anfangswert. Diese Lösungen lassen sich aber meist nur für endliche Zeitintervalle angeben, nämlich so lange, bis die Bahnkurve in die Singularitätenmenge Ω hineinläuft. Man muß für diesen Fall den Fluß Ft nur für endliche Zeitintervalle betrachten, was technisch sehr unbequem ist. Man kann sich aber durch einen Trick helfen, indem man die Kraft in der Nähe der Singularitäten so glättet, daß überall eine C ∞ -Funktion entsteht. Für die überwiegende Menge der Bahnkurven, nämlich all jene, die die Singularitäten nie treffen, ist eine solche Änderung ohne Bedeutung. Im Beispiel des K EPLERproblems trifft dies für alle Kurven zu, bei denen die zwei Teilchen stets einen Abstand > d haben, wobei d beliebig klein gewählt werden kann. Alle Bewegungen mit innerem Drehimpuls L = 0 haben diese Eigenschaft. Die Ausnahmefälle erscheinen für L = 0 und sind in Kapitel 1 und in der Aufgabe 1.5 separat besprochen worden. ˜ annehmen, daß sie in der DifferenzierbarIn der Folge werden wir von allen Vektorfeldern K ∞ keitsklasse C liegen. Wir werden dies auch von jetzt an für alle übrigen Funktionen tun, die wir in den Vorlesungen benutzen. Wir ersparen uns damit lediglich Schreibarbeit; wesentliche physikalische Aussagen bleiben hiervon unberührt.

44

2.3

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

Lineare Differentialgleichungssysteme

˜ Ein Spezialfall von (2.4) entsteht, wenn K(y, t) die Form ˜ K(y, t) = A(t)y + B(t)

(2.5)

hat, wobei A(t) : T (V ) → T (V ) eine lineare Abbildung und B(t) einen Vektor von T (V ) darstellen. Die Lösung des Anfangswertproblems y(t) ˙ = A(t)y + B(t),

y(t0 ) = y0

erhält man auf folgende Weise: Zunächst löst man ˙ Z(t) = A(t)Z(t)

(2.6)

für eine lineare Abbildung Z(t) : T (V ) → T (V ) mit Anfangswert Z(t0 ) = I. Hauptsatz 2.1 garantiert diese Lösung für alle Zeiten t. Z(t) ist überdies umkehrbar und man verifiziert leicht: Satz 2.1

y(t) = Z(t)y0 löst das lineare, homogene Differentialgleichungssystem y(t) ˙ = A(t)y(t) mit dem Anfangswert y(t0 ) = y0 .

Satz 2.2 

t

y(t) = Z(t)y0 + Z(t)

dτ Z(τ )−1 B(τ )

t0

löst das lineare, inhomogene Differentialgleichungssystem y˙ = A(t)y + B(t) mit dem Anfangswert y(t0 ) = y0 .

2.3 Lineare Differentialgleichungssysteme

45

Beweis: Zum Beweis wird der Ansatz für y(t) differenziert und Gleichung (2.6) benutzt: 

t

˙ ˙ y(t) ˙ = Z(t)y 0 + Z(t)

dτ Z(τ )−1 B(τ ) + Z(t)

t0



t

= A(t)Z(t)y0 + A(t)Z(t)

d dt



t

dτ Z(τ )−1 B(τ )

t0

dτ Z(τ )−1 B(τ ) + Z(t)Z(t)−1 B(t)

t0

= A(t)y(t) + B(t). 

Weiter gilt y(t0 ) = y0 .

Nach Hauptsatz 2.2 sind die in Satz 2.1 und 2.2 angegebenen Lösungen eindeutig bestimmt. Die Flüsse Ft (y0 ) sind gegeben durch Ft (y0 ) = Z(t)y0 für das lineare, homogene Differentialgleichungssystem und durch 

t

Ft (y0 ) = Z(t)y0 + Z(t)

dτ Z(τ )−1 B(τ )

t0

für das lineare, inhomogene Differentialgleichungssystem. Ein bedeutender Spezialfall, der mit rein algebraischen Mitteln vollständig berechnet werden kann, ergibt sich für A = const. In diesem Fall können wir o.B.d.A. t0 = 0 setzen. Für Z(t) ergibt sich nach (2.6) sofort Z(t) = exp(At) aufgrund der bekannten Eigenschaften der Exponentialreihe. Also ist y(t) = exp(At)y0 .

(2.7)

Lösung von y˙ = Ay mit Anfangswert y(0) = y0 , und ist  y(t) = exp(At)y0 + exp(At)

t

dτ exp(−Aτ )B(τ ).

(2.8)

0

Lösung von y˙ = Ay + B mit Anfangswert y(0) = y0 . Wir wollen jetzt explizit den Ausdruck exp(At)y0 berechnen. Dazu fassen wir y als komplexen Vektor und A als komplex lineare Transformation auf und erinnern an den Satz über die J ORDANsche Normalform einer beliebigen komplex linearen Transformation A : Cm → Cm :

46

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

Satz 2.3 (J ORDAN) Sei det(A − λI) =

'

(s − λ)r(s)

s∈E

das charakteristische Polynom von A, wobei E die Menge der Eigenwerte von A bezeichnet, s die Menge der Eigenwerte durchläuft und r(s) die algebraische Vielfachheit von s angibt. Es gilt: (1) Cm = ⊕s∈E V (s); V (s) = Kern(A − s)r(s) . (2) In V (s) gibt es n(s) Vektoren eμ (s) mit (A − s)t(μ,s)+1 eμ (s) = 0; die Vektoren (A − s)ν eμ (s) ,

(ν = 0, . . . , t(μ, s))

bilden zusammen eine Basis von V (s). (3) Falls A reell ist, kann eμ (s) = eμ (s) gewählt werden.

Nach (1) bilden also die Vektoren

(A − s)ν eμ (s);

(s ∈ E,

μ = 1, . . . , n(s),

ν = 0, . . . , t(μ, s))

eine Basis von Cm (von uns J ORDAN-Basis genannt), die leider mit drei Indizes s (für den Eigenwert) sowie μ und ν durchindiziert werden muß. Bezüglich dieser Basis hat A J ORDANsche Normalform, d.h. in der Matrix von A bezüglich dieser Basis stehen auf der Hauptdiagonale die Eigenwerte und auf der Nebendiagonale die Werte 1 oder 0. Da die Vektoren (A − s)ν eμ (s) eine Basis bilden, gilt:

y0 =

 t(μ,s)   n(s) s∈E μ=1 ν=0

y0 (s, μ, ν)(A − s)ν eμ (s).

2.3 Lineare Differentialgleichungssysteme

47

Lemma 2.1 Für y(t) = exp(At)y0 gilt: y(t) =

 n(s)  t(μ,s) 

y(s, μ, κ, t)(A − s)κ eμ (s)

s∈E μ=1 κ=0

mit y(s, μ, κ, t) =

κ 

tκ−ν st e y0 (s, μ, ν). (κ − ν)! ν=0

Beweis:

exp(At)y0 =

 t(μ,s)   n(s)

y0 (s, μ, ν) exp(At)(A − s)ν eμ (s)

(2.9)

s∈E μ=1 ν=0

=

 t(μ,s)   n(s)

y0 (s, μ, ν) exp(st) exp((A − s)t)(A − s)ν eμ (s).

s∈E μ=1 ν=0

Andererseits gilt, wenn die Exponentialreihe entwickelt und Punkt (2) des Satzes 2.3 über die J ORDANsche Normalform beachtet wird: exp((A − s)t)(A − s) eμ (s) = ν

t(μ,s)−ν λ  λ=0

t (A − s)λ+ν eμ (s). λ!

Wird dies in Gleichung (2.9) eingesetzt, ergibt sich exp(At)y0 =

 t(μ,s)  t(μ,s)−ν   n(s) s∈E μ=1 ν=0

=



y0 (s, μ, ν) exp(st)

λ=0

n(s) t(μ,s) κ   

y0 (s, μ, ν)est

s∈E μ=1 κ=0 ν=0

tλ (A − s)λ+ν eμ (s) λ!

tκ−ν (A − s)κ eμ (s). (κ − ν)! 

Falls wir in Gleichung (2.8) den Zusatzterm  t dτ exp(−Aτ )B(τ ) C(t) = exp(At) 0

48

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

berechnen wollen, so beachten wir:  t C(t) = dτ exp(A(t − τ ))B(τ ) 0

und schließen hieraus: C(t) kann nach Lemma 2.1 wie folgt berechnet werden: (a) Ersetze y0 durch B(τ ). (b) Ersetze t durch t − τ und integriere über τ . Nach der J ORDAN-Basis entwickelt, gilt für B(τ ): B(τ ) =

 n(s)  t(μ,s) 

B(s, μ, ν, τ )(A − s)ν eμ (s).

s∈E μ=1 ν=0

B(s, μ, ν, τ ) ist also in Lemma 2.1 an die Stelle von y(s, μ, ν, t) zu setzen, t durch t − τ zu ersetzen und über τ zu integrieren. Es folgt also: C(t) =

 t(μ,s)   n(s)

C(s, μ, κ, t)(A − s)κ eμ (s),

s∈E μ=1 κ=0

wobei C(s, μ, κ, t) =

κ 

1 (κ − ν)! ν=0



t 0

dτ (t − τ )κ−ν es(t−τ ) B(s, μ, ν, τ ).

Wir fassen diese Ergebnisse in Satz 2.4 zusammen: Satz 2.4 Die Lösung des Differentialgleichungssystems y(t) ˙ = Ay(t) + B(t) mit dem Anfangswert y(0) = y0 hat für eine konstante lineare Abbildung A die Form y(t) = y1 (t) + C(t). Es gilt: (1) y1 (t) = exp(At)y ; entwickelt nach der J ORDAN-Basis von A hat y1 (t) die Form: y1 (t) =

  t(μ,s)  n(s)

y(s, μ, κ, t)(A − s)κ eμ (s)

s∈E μ=1 κ=0

mit y(s, μ, κ, t) =

κ  ν=0

y0 (s, μ, ν)

tκ−ν st e . (κ − ν)!

2.3 Lineare Differentialgleichungssysteme

49

(2) 

t

C(t) = 0

=

dτ exp((t − τ )A)B(τ )

 t(μ,s)   n(s)

C(s, μ, κ, t)(A − s)κ eμ (s)

s∈E μ=1 κ=0

mit C(s, μ, κ, t) =

κ 

1 (κ − ν)! ν=0



t 0

dτ (t − τ )κ−ν es(t−τ ) B(s, μ, ν, τ ).

Die Koeffizienten y0 (s, μ, ν) bzw. B(s, μ, ν, τ ) ergeben sich durch Entwicklung von y0 bzw. B(τ ) nach der J ORDAN-Basis (A − s)ν eμ (s): y0 =

 t(μ,s)   n(s)

y0 (s, μ, ν)(A − s)ν eμ (s)

s∈E μ=1 ν=0

B(τ ) =

 n(s)  t(μ,s) 

B(s, μ, ν, τ )(A − s)ν eμ (s).

s∈E μ=1 ν=0

Abschließend berechnen wir noch den Sonderfall, daß B(t) eine einfache periodische Funktion der Zeit ist: B(t) = B0 eiωt + B0 e−iωt mit B0 =

 t(μ,s)   n(s)

B0 (s, μ, ν)(A − s)ν eμ (s).

s∈E μ=1 ν=0

Für diesen Fall folgt aus Satz 2.4: C(t) = C0 (t) + C0 (t)

(2.10)

mit C0 (t) =

 t(μ,s)   n(s) s∈E μ=1 κ=0

C0 (s, μ, κ, t)(A − s)κ eμ (s),

(2.11)

50

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

und κ 

1 C0 (s, μ, κ, t) = (κ − ν)! ν=0



t 0

dτ (t − τ )κ−ν es(t−τ )+iωτ B0 (s, μ, ν).

Das Integral kann einfach ausgewertet werden: κ−ν zt

1 d e −1 iωt C0 (s, μ, κ, t) = e B0 (s, μ, ν). (κ − ν)! dz κ−ν z z=s−iω ν=0 κ 

(2.12)

Satz 2.4 erlaubt zunächst die möglichen Bewegungsformen eines dynamischen Systems, das durch ein homogenes Differentialgleichungssystem mit konstanter Matrix A beschrieben wird, ganz allgemein zu diskutieren. y(t) = y1 (t) wird bestimmt durch die Koeffizienten y(s, μ, κ, t) =

κ 

y0 (s, μ, ν)

ν=0

tκ−ν st e . (κ − ν)!

Die Zeitabhängigkeit dieser Koeffizienten wird dominiert durch est , falls s = 0. In diesem Fall wachsen die Koeffizienten exponentiell oder sie klingen exponentiell ab, je nachdem ob s > 0 oder s < 0 gilt. Gilt s = 0, so kann immer noch polynomiales Wachstum vorliegen, und zwar genau dann, wenn die Zahl der Eigenvektoren zum Eigenwert s kleiner ist als die algebraische Vielfachheit von s. Genau dann wenn A diagonalisierbar ist, tritt dieser Fall nicht auf; ist zusätzlich s = 0, d.h. s ist imaginär, sind die Bewegungen des Systems periodisch. Wird das System durch eine zusätzliche zeitabhängige Kraft B(t) beeinflußt, so tritt neben der allgemeinen Lösung des homogenen Systems in den Bahnkurven der Zusatzterm C(t) additiv auf, der durch eine einfache Integration entsteht. Wir betrachten den zuletzt diskutierten Fall einer periodischen Störung etwas näher: Nach Formel (2.12) wird C(t) durch die Koeffizienten C0 (s, μ, κ, t) =

κ−ν zt

1 d e −1 B0 (s, μ, ν)eiωt (κ − ν)! dz κ−ν z z=s−iω ν=0 κ 

bestimmt. Falls s > 0, wachsen auch diese Koeffizienten exponentiell. Falls s < 0, so dominiert die periodische Funktion e−iωt das zeitliche Verhalten. Ist s < 0 für alle Eigenwerte s, so verschwindet auch die homogene Lösung für große Zeiten t; das ganze System schwingt periodisch mit der Frequenz ω, d.h. für große Zeiten gilt: y(t) ≈ C(t), und die Koeffizienten C0 (s, μ, κ, t) erfüllen C0 (s, μ, κ, t) =

κ  ν=0

 B0 (s, μ, ν)eiωt

−1 s − iω

κ−ν+1 .

(2.13)

Dieser Koeffizient wird für ω = s maximal; falls ω variabel ist, beobachtet man somit ein Anwachsen von C0 (s, μ, κ, t), wenn man sich mit ω dem Wert s nähert, und ein Abklingen,

2.4 Anwendungen

51

wenn man sich von diesem Wert entfernt. Man spricht in diesem Fall vom Resonanzverhalten der Amplitude C0 (s, μ, κ, t). Falls s = 0 gilt, finden wir statt (2.13) für s = iω: C0 (s, μ, κ, t) =

κ  ν=0

B0 (s, μ, ν)eiωt

tκ−ν+1 . (κ − ν + 1)!

(2.14)

Dieser Fall wird als Resonanzkatastrophe bezeichnet: Die periodische Bewegung des Systems mit Kraft B(t) wächst plötzlich polynomial an.

2.4

Anwendungen (Lösung durch Ansatz, Nachbarkurven einer Sollbahn, Stabilität von Gleichgewichtslagen)

Die Bedeutung der beiden Hauptsätze für die Mechanik besteht, wie schon mehrfach betont wurde, vor allem darin, daß sie nach Vorgabe von Anfangslagen und Anfangsgeschwindigkeiten eine vollständige Vorhersage der Bewegung eines dynamischen Systems aufgrund der N EWTONschen Gleichungen erlauben. Für die konkrete Berechnung der Lösung geben diese Sätze keine Vorschrift an. Ein allgemein gültiges Lösungsverfahren im Sinne einer Vorschrift, die die Lösung als analytische Formel angibt, existiert auch nicht. Die beiden Hauptsätze können jedoch partiell zur Begründung einer vielfach verwendeten Lösungstechnik herangezogen werden, die man als „Lösung durch Ansatz“ bezeichnet. Zur Illustration starten wir wieder mit den N EWTONschen Gleichungen für eine Kurve x(t) in V m¨ x = K(x, x, ˙ t) mit einem speziellen Kraftgesetz K = K(x, v, t) und nehmen an, daß eine Lösung x = x(t, α1 , . . . , αk ) erraten wurde, die von k Parametern αi abhängt. Für den Prozeß des Erratens gibt es natürlich kein allgemein gültiges Rezept; gelingt es aber nun zu zeigen, daß x erstens die N EWTONschen Gleichungen erfüllt und zweitens die Parameter α1 , . . . , αk stets so gewählt werden können, daß für t = t0 , x(t0 , α1 , . . . , αk ) und x(t ˙ 0 , α1 , . . . , αk ) beliebige Anfangswerte annehmen, so ist nach den Hauptsätzen x(t, α1 , . . . , αk ) tatsächlich die gesuchte allgemeine Lösung. Dies gilt, weil nach den Hauptsätzen diese Lösung durch die Anfangswerte eindeutig bestimmt ist. (Einige Beispiele für Lösungen, die durch Ansatz bestimmt werden, finden sich in den Aufgaben 2.3 und 2.4). Falls die Kraft die Form m−1 K = A1 (t)x + A2 (t)v + A3 (t) hat, wobei A1 (t) und A2 (t) lineare Transformationen von V und A3 (t) ein Vektor in V ist, läßt sich die allgemeine Lösung in geschlossener Form als Funktion der Anfangswerte angeben. Das zu den N EWTONschen Gleichungen äquivalente Gleichungssystem für y(t) = (x(t), x(t)) ˙ ∈ T (V ) lautet in diesem Fall: ˜ y) y˙ = K(t, mit ˜ y) = (v, A1 (t)x + A2 (t)v + A3 (t)) , K(t,

(2.15)

52

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

d.h. es gilt: ˜ y) = A(t)y + B(t), K(t,

(2.16)

wenn wir (beachte y = (x, v)!) definieren: A(t)(x, v) = (v, A1 (t)x + A2 (t)v) , B(t) = (0, A3 (t)) , d.h. es gilt in Blockmatrixform:   0 1I , A(t) = A1 (t) A2 (t)

 B(t) =

0 A3 (t)

 .

Die Gleichung (2.15) stellt also ein linear inhomogenes Gleichungssystem dar, und wir können zu diesem Fall die allgemeine Lösung nach den Sätzen 1 und 2 bestimmen. Sie ist für A3 (t) = 0 eine lineare Funktion der Anfangswerte y0 = (x(t0 ), x(t ˙ 0 )) bzw. eine linear inhomogene Funktion, falls A3 (t) = 0 ist. Ein konkretes physikalisches Beispiel werden wir im nächsten Abschnitt kennenlernen. Zunächst möchten wir jedoch auch die grundsätzliche Bedeutung der linearen Differentialgleichungssysteme im Zusammenhang mit Näherungslösungen diskutieren. Häufig ist man nicht so sehr an der Kenntnis der allgemeinen Lösung eines konkreten physikalischen Problems interessiert, sondern nur an der Beschreibung von Bahnkurven, deren Anfangswerte in einem bestimmten Bereich liegen, der physikalisch vorgegeben ist. In einem Teilchenbeschleuniger werden z.B. geladene Teilchen an einem festen Ort x = x0 + Δx0 mit Geschwindigkeiten v = v0 + Δv0 injiziert. Δx0 und Δv0 stellen durch den Beschleuniger vorgegebene Abweichungen von den Sollwerten x0 und v0 dar. Die N EWTONschen Gleichungen lauten allgemein m¨ x = K(x, v, t) oder als Differentialgleichungssystem 1. Ordnung (y = (x, v)) geschrieben: ˜ y˙ = K(y, t)

(2.17)

mit ˜ K(y, t) = (v, m−1 K(x, v, t)), wobei K jetzt durch die elektromagnetischen Felder des Beschleunigers vorgegeben ist. Wir setzen nun y(t) = y0 (t) + Δy(t) und bezeichnen mit y0 (t) die sog. Sollbahn mit den Anfangswerten y0 = (x0 , v0 ). Zwei Probleme sind für das praktische Funktionieren des Beschleunigers von Interesse, nämlich erstens die Form der Sollbahn y0 (t) = (x0 (t), x˙ 0 (t)), die die Geometrie des Beschleunigers bestimmt, und zweitens die Abweichungen Δy(t) = (Δx(t), Δv(t)) als Funktion von Δx0 und Δv0 . Die Form der Sollbahn erhalten wir durch Bestimmung einer einzigen Bahnkurve, nämlich derjenigen mit den Anfangswerten x0 und v0 . Die Abweichungen Δx(t) können wir näherungsweise bestimmen, wenn wir annehmen, daß Δx(t) während der ˜ linear approximieren: Bewegung beschränkt bleibt; in diesem Fall dürfen wir K ˜ 0 (t), t)Δy(t) . ˜ ˜ 0 (t), t) + DK(y K(y, t) = K(y

(2.18)

2.5 Ionenkäfige

53

˜ 0 (t), t) ist die JACOBI-Matrix von K, ˜ ausgewertet auf der Sollbahnkurve. Nach (2.17) DK(y gilt also in dieser linearen Näherung: ˜ 0 (t), t) + DK(y ˜ 0 (t), t)Δy(t). y(t) ˙ = y˙ 0 (t) + Δy(t) ˙ = K(y Da y0 (t) selbst Lösung von (2.17) ist, folgt ˜ 0 (t), t)Δy(t), Δy(t) ˙ = DK(y

(2.19)

d.h. die Abweichungen von der Sollbahn werden in linearisierter Näherung durch ein lineares Differentialgleichungssystem beschrieben und sind demzufolge lineare Funktionen der Abweichungen der Anfangswerte Δx0 und Δv0 zur Zeit t = 0. Die Vereinfachungen, die durch die linearisierte Näherung entstehen, sind offenkundig: Man hat erstens nur die Sollbahn allein zu ˜ 0 (t), t), ausgewertet auf der Sollbahn, die bestimmen und dann mit der JACOBI-Matrix DK(y Lösungen des linearen Systems (2.19), die eine viel einfachere Struktur haben als die Lösungen des ursprünglichen Problems. Insbesondere läßt sich so eine erste Antwort auf die Frage geben, ob sich geringfügige Abweichungen Δx0 und Δv0 von den Anfangswerten x0 und v0 große Abweichungen nach endlicher Zeit ergeben oder ob, wie für einen geordneten Beschleunigerbetrieb natürlich unbedingt erwünscht, diese Abweichungen kontrollierbar klein bleiben. Das oben geschilderte Verfahren ist offenkundig nicht auf Teilchenbeschleuniger beschränkt, sondern kann auf ein allgemeines dynamisches System von n Massenpunkten angewandt werden. Die Formeln (2.18) und (2.19) bleiben dann mit geändertem Vektorfeld K weiter gültig. ˜ keine explizite Funktion der Zeit ist und Interessant ist in diesem Fall die Situation, daß K y(t) = y0 = (x0 , 0) gilt, d.h. die Massenpunkte verändern ihre Lage mit der Zeit nicht. Man ˜ 0 ) eine zeitlich konstante bezeichnet x0 als Gleichgewichtspunkt. Offenbar stellt dann DK(y lineare Transformation A dar, und die Lösungen von (2.19) können nach Satz 2.4 bestimmt werden. Die möglichen Bewegungen Δy(t) um die Gleichgewichtslage y0 = (x0 , 0) ergeben sich nun direkt aus der allgemeinen Diskussion von Abschnitt 2.3; sie werden durch die Eigen˜ 0 )) bestimmt. Die Gleichgewichtslage wird werte s von A (d.h. von der JACOBI-Matrix DK(y nun stabil genannt, falls keine Lösung Δy(t) mit polynomialem oder exponentiellem Wachstum existiert. Falls A einen Eigenwert mit positivem Realteil besitzt, ist diese Bedingung nicht erfüllbar. Man kann dann durch eine beliebig kleine Änderung der Anfangswerte eine exponentiell wachsende Lösung erzeugen. Falls alle Eigenwerte rein imaginär sind, ist prinzipiell auch polynomiales Wachstum möglich. Stabilität ist in diesem Fall nur dann gegeben, wenn A diagonalisierbar ist.

2.5

Ionenkäfige

Lineare Differentialgleichungssysteme spielen, wie im letzten Abschnitt betont wurde, eine ausgezeichnete Rolle, wenn ein kompliziertes mechanisches Problem näherungsweise gelöst und die Stabilität von Bahnen in der Nähe einer Sollbahn untersucht werden. Bei hochdimensionalen Systemen ist man auch hier letztlich auf numerische Rechnungen angewiesen. Im Unterschied hierzu gibt uns das Problem der sog. Ionenkäfige von vornherein ein lineares Differentialgleichungssystem vor, das noch weitgehend analytisch gelöst werden kann. Es handelt sich darum, geladene Teilchen (mit der Ladung q und mit der Masse m) in einer Kombination von elektrischen Quadrupol- und magnetischen Dipolfeldern einzufangen und zu speichern. Dieses

54

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

Problem ist von grundsätzlicher Bedeutung selbst für ganz aktuelle Fragen der Elementarteilchenphysik, weil ein solcher elektromagnetischer Käfig die einzigartige Möglichkeit bietet, die elementaren Eigenschaften von geladenen Teilchen im Labor zu studieren. Die Bewegungsgleichungen des geladenen Teilchens in einem solchen Ionenkäfig lauten: m¨ x = q(Qx +

1 [x, ˙ B]) , c

wobei c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Das Quadrupolfeld Qx wird durch eine lineare, selbstadjungierte Abbildung Q : R3 → R3 mit tr Q = 0 beschrieben, das Magnetfeld durch einen Vektor B. Falls Q und B periodische Funktionen der Zeit sind (man spricht dann von einem elektromagnetischen Wechselfeld), erhält man eine PAUL-Falle; falls Q und B konstant gewählt werden, liegt eine P ENNING-Falle vor. Wir wollen hier nur die P ENNING-Falle besprechen und betrachten zunächst zwei Spezialfälle: Fall a: Q = 0, B = 0: Dann lautet die Bewegungsgleichung: m¨ x = qQx. Dieser Spezialfall kann ohne die allgemeine Lösungstheorie direkt behandelt werden. Weil Q selbstadjungiert ist, kann Q durch eine Drehung diagonalisiert werden; wir können also ein kartesisches Koordinatensystem (x1 , x2 , x3 ) finden, in dem Qαβ = εα δ αβ gilt. Die εα sind die Eigenwerte von Q. Die Bewegungsgleichung ist dann äquivalent zu x ¨α =

q εα x α m

(α = 1, 2, 3) .

q Sei m εα > 0, (α = 1, 2). Wegen tr Q = 0 gilt dann Ansatz

xα (t) = cosh(ωα t) xα 0 + sinh(ωα t) x3 (t) = cos(ω3 t) x30 + sin(ω3 t)

q m ε3

v0α ωα

< 0. Wir verifizieren leicht, daß der

(α = 1, 2) ,

v03 , ω3

q mit (ωα )2 = | m εα | diese Differentialgleichungen mit den Anfangsbedingungen xα (0) = xα 0 α α und x˙ (0) = v0 erfüllt. Die Koordinate x3 (t) wird also eine periodische Funktion der Zeit; q die anderen Koordinaten wachsen dagegen exponentiell an. Falls wir m εα < 0 für α = 1, 2 q fordern, so gilt m ε3 > 0 wegen tr Q = 0. In diesem Fall sind in unserem Lösungsansatz jeweils cosh und sinh durch cos bzw. sin zu ersetzen:

v0α ; (α = 1, 2) ωα v3 x3 (t) = cosh(ω3 t) x30 + sinh(ω3 t) 0 . ω3

xα (t) = cos(ωα t) xα 0 + sin(ωα t)

2.5 Ionenkäfige

55

Jetzt gilt, daß x3 (t) exponentiell wächst. Wegen tr Q = 0 liegt für beliebiges Q einer der betrachteten Fälle stets vor. Für alle reinen Quadrupolfelder wächst also mindestens eine Teilchenkoordinate stets exponentiell. Ein Quadrupolfeld allein kann also niemals ein geladenes Teilchen einfangen. Fall b: Q = 0, B = 0: Die Bewegungsgleichung lautet jetzt: m¨ x=

q [x, ˙ B] . c

Wir wählen nun ein Koordinatensystem, so daß B 3 = |B|, B α = 0, (α = 1, 2), gilt. Es folgt mit der Zyklotronfrequenz ω = q|B|/mc: x ¨1 = ω x˙ 2 ,

x ¨2 = −ω x˙ 1 ,

x ¨3 = 0 ,

d.h. x3 (t) = x30 + v03 t und x˙ 1 = ωx2 + a ,

x˙ 2 = −ωx1 + b ,

(a, b ∈ R) .

Hieraus leitet man durch Differenzieren der ersten Gleichung nach Substitition von x˙ 2 durch −ωx1 + b ab:     d2 b b 1 2 1 x − = −ω x − , dt2 ω ω woraus b x (t) − = cos(ωt) ω 1

  b v1 1 x0 − + sin(ωt) 0 ω ω

folgt. (x1 (0) = x10 und x˙ 1 (0) = v01 sind die Anfangswerte). Somit gilt für x2 :   1 b v1 a x2 (t) = (x˙ 1 − a) = − sin(ωt) x10 − + cos(ωt) 0 − . ω ω ω ω a und b sind jetzt durch die Anfangswerte von x2 (t) zu bestimmen: x2 (0) = x20 = 2

x˙ (0) =

v02

v01 − a , ω

= −ω

x10

b − ω

 ,

d.h. a = v01 − ωx20 ,

b = v02 + ωx10 .

56

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

Wir erhalten damit das Endergebnis v02 v2 v1 − cos(ωt) 0 + sin(ωt) 0 , ω ω ω 1 1 2 v v v x2 (t) = x20 − 0 + cos(ωt) 0 + sin(ωt) 0 , ω ω ω 3 3 3 x (t) = x0 + v0 t . x1 (t) = x10 +

In der (1 − 2)-Ebene stellt dies eine Drehung dar; diese wird durch eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung der dritten Koordinatenachse überlagert. Insgesamt ergibt sich eine Spirale.



¿





¾



½

Abb. 2.2: Bewegung in einem homogenen Magnetfeld

Ein Magnetfeld B allein kann ein Teilchen also auch nicht einfangen; es besteht immer die Möglichkeit, in Richtung des Magnetfeldes selbst zu entwischen. Fall c: Q = 0, B = 0: Jetzt betrachten wir den allgemeinen Fall Q = 0, B = 0 mit   1 m¨ x = q Qx + [x, ˙ B] , c den wir in ein lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung für y = (x, v) überführen: y˙ = C y. C ist in Blockmatrixschreibweise durch   0 1I C= q q m Q − mc A(B) gegeben. A(B) ist die schiefadjungierte lineare Transformation (vergl. Aufgabe 1.2): A(B)h = [B, h] für alle h ∈ R3 .

2.5 Ionenkäfige

57

Die Eigenwerte und Eigenvektoren e(s) von C bestimmen die Bewegungsformen unseres Systems. Wir schreiben e(s) = (a(s), b(s)), mit a(s), b(s) ∈ R3 und finden sofort als Eigenwertgleichung: b(s) = sa(s), q q Qa(s) − A(B)b(s) = sb(s). m mc Hieraus folgt q  q Q−s A(B) − s2 I a(s) = 0, m mc d.h. es muß zunächst die Bedingung q  q det Q−s A(B) − s2 I = 0 m mc für die Eigenwerte s erfüllt sein. Diese Determinante läßt sich mit einiger Mühe berechnen; es ergibt sich   q2 1 q2 q3 q3 2 2 s6 + 2 2 |B|2 s4 − tr Q + B, QB s − det Q = 0. m c 2 m2 m3 c 2 m3 Zunächst erhalten wir also eine reelle Gleichung dritter Ordnung für s2 ! Eine solche Gleichung hat entweder drei reelle Lösungen oder eine reelle √ Lösung und zwei zueinander komplex konjugierte Lösungen λi . Es gilt für s selbst: s = ± λi ; beide Vorzeichen sind erlaubt. Falls also nicht alle λi die Bedingung λi < 0 erfüllen, so gibt es stets einen Eigenwert s mit s > 0 bzw. s = 0. Nach Abschnitt 2.3 führt dies zu einer reichlich unbeschränkten Bewegung. Damit also unser Ionenkäfig nur beschränkte Bewegungen der geladenen Teilchen erlaubt, also eine echte Falle darstellt, dürfen in der letzten Gleichung nur negative Lösungen λi = s2 auftreten, d.h. alle Eigenwerte s sind selbst rein imaginär. Es muß dann gelten: 3 ' $ i=1

% q2 s2 − λi = s6 + 2 2 |B|2 s4 − m c



 1 q2 q3 q3 2 tr Q + B, QB s2 − 3 det Q, 2 3 2 2m m c m

woraus folgt: q2 |B|2 , m2 c 2 1 q2 q3 λ 1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 = − tr Q2 − 3 2 B, QB , 2 2m m c q3 −λ1 λ2 λ3 = − 3 det Q. m −(λ1 + λ2 + λ3 ) =

Damit λi < 0 gilt, müssen die rechten Seiten dieser Gleichungen > 0 sein. Das ist eine notwendige Bedingung an Q und B. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen erhält man

58

2 Lösung der Bewegungsgleichungen

vollständig, wenn man die Wurzeln λi als Funktion von Q und B nach den C ARDANischen Formeln bestimmt. Für das Design einer P ENNING-Falle kann man umgekehrt vorgehen: Man gibt die negativen Zahlen λi vor und bestimmt Q und B aus den letzten Gleichungen. Diese Gleichungen schränken die Form von Q und B lediglich ein und legen diese Größen noch nicht vollständig fest. Es gibt also einen erlaubten Variationsbereich der Quadrupol- und Magnetfelder, in dem die P ENNING-Falle immer noch stabil arbeitet. Aus den negativen Wurzeln λi kann man die Eigenwerte  s = sk = ±i |λk |, k = 1, 2, 3 gewinnen und damit auch die Eigenvektoren von A bestimmen. Nach Abschnitt (2.3) erhält man damit die komplette Beschreibung aller Teilchenbahnen. Analytisch gelingt dies allerdings nur in einem Spezialfall (vgl. Aufgabe 2.4).

2.6 Aufgaben

2.6

59

Aufgaben Lösungen von Differentialgleichungssystemen

Aufgabe 2.2:

Sei V reeller Vektorraum und Z(t) : V → V eine (einparametrige) Schar von linearen Abbildungen, die in einem offenen Intervall I, das die Null enthält, stetig differenzierbar ˙ von t abhängen. Es gelte die Differentialgleichung Z(t) = A(t)Z(t) mit Z(0) = 1I und A(t) : V → V linear. (a) Benutze das Resultat der Aufgabe 1.3(e) , um zu zeigen, daß 

t

dτ tr A(τ ) .

det Z(t) = exp 0

(b) Zeige: Das Differentialgleichungssystem y(t) ˙ = A(t)y(t) mit dem Anfangswert y(0) = y0 besitzt genau die Lösung: y(t) = Z(t)y0 . Hinweis: Zeige zuerst, daß Z(t) invertierbar ist und d Z(t)−1 = −Z(t)−1 A(t). dt Benutze dieses Resultat, um zu zeigen, daß y(t) eindeutig ist.

Lösung von Differentialgleichungssystemen (DGS) durch Ansatz

Aufgabe 2.3: 3

Sei V = R mit üblicher Metrik, Volumenform und Standardbasis. Seien B, D, Q lineare Abbildungen von V nach V und ω ∈ V . Gegeben sei das DGS für eine Kurve x(t) in V : x ¨ = Qx + Dx˙ + [ω, x] ˙ ˙ = v0 mit den Anfangsbedingungen x(0) = x0 , x(0) (a) Zeige, daß für folgende Spezialfälle das obige DGS durch die angegebenen Lösungsansätze befriedigt wird: (i) Sei D = 0, ω = 0, Qαβ = (λα )2 δ αβ , λα ∈ R: Ansatz:

xα (t) = cosh(λα t)xα 0 +

1 sinh(λα t)v0α . λα

60

2 Lösung der Bewegungsgleichungen (ii) Der harmonische Oszillator: Sei D = 0, ω = 0, Qαβ = −(ω α )2 δ αβ , ω α ∈ R: Ansatz:

xα (t) = cos(ω α t)xα 0 +

1 sin(ω α t)v0α . ωα

(iii) Sei D = 0, ω = 0, Q = −B 2 (also Q negativ definit), B t = B: Ansatz: x(t) = cos(Bt)x0 + sin(Bt)B −1 v0 . (iv) Bewegung mit Reibungskraft: Q = 0, ω = 0, Dαβ = −dα δ αβ , dα ∈ R: Ansatz: xα (t) = xα 0 +

1 (1 − exp(−dα t)) v0α . dα

(v) Bewegung in einem homogenen Magnetfeld unter Einfluß der L ORENTZkraft: Q = 0, D = 0, ω = −q · B/m (q, m Ladung und Masse eines Teilchens im Magnetfeld B) Ansatz: x(t) = (1 − exp(A(ω)t))

[ω, v0 ] ω, v0  + ωt + x0 , |ω|2 |ω|2

wobei A(ω)v = [ω, v] für alle v ∈ V . (b) Zeige, daß das DGS x ¨ = Qx + Dx˙ + [ω, x] ˙ gelöst werden kann durch den Ansatz: x(t) = F (t)g(t),

F :V →V;

g(t) eine Kurve in V ;

wobei  F (t) = exp

 1 (D + A(ω))t 2

und g(t) dem DGS   (D + A(ω))2 g¨ = F −1 QF + g 4 genügt.

Aufgabe 2.4:

Bewegung eines Massenpunktes in elektromagnetischen Feldern

Betrachtet wird die Bahn x(t) eines Massenpunktes (Masse m, Ladung q > 0) in einem statischen elektromagnetischen Feld (E(x), B(x)). Bestimme x(t) mit x(0) = x0 , x(0) ˙ = v0 für die Bewegungsgleichung: m¨ x = qE(x) −

q [B(x), x] ˙ c

2.6 Aufgaben

61

(a) innerhalb einer homogen negativ geladenen Kugel mit Radius R, wobei E(x) = x −E0 R , B = 0 (E0 ∈ R+ ). Für welche Anfangsbedingungen ist dies eine Kreisbewegung? (b) In einem homogenen Magnetfeld E = 0, B(x) = B0 . Diskutiere den Bewegungsablauf. (c) In einem sog. P ENNINGkäfig1 , mit einem elektrischen Quadrupolfeld E = ER0 (x1 , x2 , −2x3 ) und einem Magnetfeld B = (0, 0, B0 ). Diskutiere die Bedin0 gung, für die die Bewegung beschränkt ist, in Abhängigkeit der Parameter ωc = qB mc qE (der sog. Zyklotronfrequenz) und ω02 = mR0 .

Lösung mit J ORDANscher Normalform

Aufgabe 2.5:

Wir betrachten die eindimensionale Bewegung eines Massenpunktes x(t) ∈ R. Dieser kann verschiedenen Kräften unterworfen sein, die vom Weg x und der Geschwindigkeit x˙ abhängen oder auch unabhängig von beiden sind. Eine einfache lineare Wegabhängigkeit wird z.B. durch die Rückstellkraft einer Feder gegeben. Durch Reibungseffekte wird im einfachsten Fall eine linear von der Geschwindigkeit abhängige Kraft induziert. Zusätzlich wirke eine zeitabhängige Störung k(t). Die Bewegung kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: m¨ x = −mω02 x − 2mDx˙ + k(t) ,

ω0 , D > 0 .

Nach der Vorschrift der Vorlesung führen wir diese Gleichung in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung über, mit     0 x y= K = k(t) . v m (a) Zeige:  y˙ = Ay + K mit A =

0 1 −ω02 −2D

 .

Nach der allgemeinen Lösungstheorie (siehe Absatz 2.3) gilt (o.B.d.A. t =0):  t  dt eA(t−t ) K(t ), y(t) = eAt y0 + 0

wobei y0 = y(0) der Anfangswert der Bewegung ist, d.h.   x0 , x0 Anfangspunkt, v0 Anfangsgeschwindigkeit . y0 = v0 (b) Fasse A als komplexe Transformation auf. 1 siehe

z.B. W. PAUL: „Elektromagnetische Käfige für geladene und neutrale Teilchen“, Phys. Bl. 46 (1990) 227 .

62

2 Lösung der Bewegungsgleichungen (1) Bestimme die Eigenwerte λi (i = 1, 2).   1 , (i = 1, 2) Eigenvektor von A ist. (2) Sei λ1 = λ2 . Zeige, daß ei = λi (3) Sei λ1= λ 2 = λ. Zeige,   daß A bezüglich der Vektoren 1 0 e1 = , e2 = J ORDANsche Normalform hat, d.h. zeige, daß λ 1 (A − λ)e1 = 0 und (A − λ)e2 = e1 . Hinweis: Aeα =



 β β β A α eβ ; zeige A α =

λ 1 0 λ

 für obige Basis.

(c) Bezüglich dieser Basen gilt:   cα (y0 )eα und K(t) = K α (t)eα . y0 = α

α

Berechne jeweils cα (y0 ) und K α (t). (d) Benutze (c) zur Berechnung folgender Ausdrücke bezüglich der obigen Basen: (1) exp(At)y0 ; (t (2) 0 exp A(t − t )K(t ) dt ; (3) Bestimme y(t). (e) Diskutiere die Bewegung für Fälle ω0 > D, ω0 = D, ω0 < D, d.h. bestimme, für welche Fälle die Bewegung beschränkt bleibt. Untersuche: (1) k(t) = 0; (2) k(t) = α cos ωt, α, ω ∈ R . Zeige, daß im Fall (2) für große positive Zeiten gilt: x(t) = A cos (ωt − δ) . Bestimme A und δ als Funktion von α, ω0 und ω .

3

Das H AMILTONsche Prinzip

3.1

Arbeit, Potential, L AGRANGE-Funktion

Wir betrachten ein n-Teilchensystem, das durch die N EWTONschen Gleichungen m¨ x = K(x, t), (x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R3n und m die Massenmatrix) mit einer nur von Ort und Zeit abhängigen Kraft bestimmt ist. Wir wählen zu einer festen Zeit t eine Kurve y(τ ), τ ∈ [a, b] und ordnen y das Integral  b K(y(τ ), t), y(τ ˙ ) dτ (3.1) A(y, t) = a

zu. A heißt die von der Kraft K entlang der Kurve y verrichtete Arbeit. Unter dem Integral steht das Skalarprodukt der Vektoren K(y(τ ), t) ∈ V und y(τ ˙ ) = dτd y(τ ) ∈ V , das wir noch definieren müssen: Für beliebige Vektoren v, w ∈ V , v = (v1 , . . . , vn ), w = (w1 , . . . , wn ), vi , wi ∈ R3 gilt  vi , wi  . (3.2) v, w = i

Falls die Kraft K die Eigenschaft besitzt: A(y, t) = A(˜ y , t)

(3.3)

für alle Kurven y, y˜ mit y(a) = y˜(a), y(b) = y˜(b) (d.h. die Arbeit ist wegunabhängig), so läßt sich eine eindeutige Funktion U : V × R → R durch die Formel U (x, t) = −A(y, t)

(3.4)

erklären, wobei y(τ ) irgendeine Kurve mit y(a) = y0 (y0 fest) und y(b) = x, (x variabel) ist. Wegen (3.3) hängt U nicht von der speziellen Wahl der Kurve y(τ ) ab. Aus (3.1) folgt ferner: K = −∇U. U heißt das Potential der Kraft K. Ein spezielles Beispiel für ein Potential ist uns bereits bei der Diskussion der n-Teilchensysteme mit  K = (K1 , . . . , Kn ), Ki = (xi − xj )fij (|xi − xj |) (3.5) i=j

64

3 Das H AMILTONsche Prinzip

begegnet. In diesem Fall gilt nämlich K = −∇U , mit U=



Vij (|xi − xj |),

i<j

wobei Vij (r) eine Stammfunktion von −rfij (r) ist. Ein anderes Beispiel ist die Quadrupolkraft des letzten Abschnitts: K = qQx. Für diese Kraft lautet das Potential: q U (x) = − x, Qx . 2 Für das n-Teilchensystem mit den Kräften (3.5) galt der Energiesatz: 1  mi |x˙ i |2 + Vij (|xi − xj |) = E = const., 2 i i<j d.h. in unserer neuen kompakten Schreibweise gilt: 1 x, ˙ mx ˙ + U (x) = E = const. 2 Wir betrachten jetzt eine andere Kombination von kinetischer Energie und Potentialfunktion, die sog. L AGRANGE-Funktion L(x, v, t): 1 v, mv − U (x, t) 2 und ordnen jeder Kurve y(t) die reelle Zahl (abhängig von t1 und t2 )  t2 S(y) = L(y(t), y(t), ˙ t) dt L(x, v, t) =

(3.6)

t1

zu; wir schreiben hierfür kürzer:  t2 S(y) = L(y, y, ˙ t) dt . t1

Hierbei ist y(t) nicht notwendigerweise eine Lösungskurve der N EWTONschen Gleichungen! S heißt das zu L gehörige Wirkungsfunktional oder kurz die Wirkung. Sei C die Menge aller Kurven mit y(t1 ) = x1 ,

y(t2 ) = x2 ,

(x1 , x2 ∈ V feste Vektoren)

und sei x(t) die tatsächliche Bahnkurve des n-Teilchensystems mit x(t1 ) = x1 , x(t2 ) = x2 . Wir wollen nun im nächsten Abschnitt die folgende Aussage beweisen: Unter allen Kurven y(t) ∈ C stellt x(t) ein Extremum von S(y) dar und die Bewegungsgleichungen selbst folgen aus dieser Extremaleigenschaft.

3.2 Das H AMILTONsche Prinzip der kleinsten Wirkung

3.2

65

Das H AMILTONsche Prinzip der kleinsten Wirkung

Wir wollen zunächst präzisieren, was unter dem Begriff „Extremum von S“ genau zu verstehen ist. Dazu sei L (x, v, t) zunächst eine beliebige reelle Funktion auf T (V ) × R und 

S (y) =



t2

L (y, y, ˙ t) dt für alle y ∈ C.

t1

Sei δx(t) eine Kurve mit δx(t) = 0 in einer offenen Umgebung von t1 und von t2 und sei C0 die Menge aller dieser Kurven. Setze yα (t) = x(t) + αδx(t). Definition 3.1 x heißt Extremum von S  oder Extremalkurve zur L AGRANGE-Funktion L , falls  d   S (yα ) = 0 für alle δx ∈ C0 . dα α=0

(3.7)

Gleichung (3.7) ist genau die notwendige Bedingung, die man für ein Extremum einer Funktion von α an der Stelle α = 0 zu fordern hat. Für α = 0 ist aber yα (t) = x(t). Falls δx in C0 variiert, wird wegen yα (t) = x(t) + αδx(t) die Gesamtheit der Kurven in C ausgeschöpft. Damit ist genau präzisiert, was unter einer Extremalkurve von S  zu verstehen ist. Wir haben mit Absicht die Form der Funktion L noch nicht auf die spezielle Gestalt (3.6) eingeschränkt, weil wir später auch allgemeinere L AGRANGE-Funktionen als die des letzten Abschnitts benutzen werden. Wir bleiben bei dieser allgemeinen Form und beweisen jetzt: Satz 3.1 Die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen: x ist Extremalkurve zur L AGRANGE-Funktion L ⇔ x d v  ˙ t) =∇ L (x, x, ˙ t), ∇ L (x, x, dt v

(3.8)

x

In (3.8) sind ∇ L (x, x, ˙ t) und ∇ L (x, x, ˙ t) Vektoren mit den Komponenten ∂L ∂L (x, x, ˙ t) bzw. (x, x, ˙ t), α ∂vi ∂xα i d.h. ausgeschrieben lautet (3.8): d ∂L ∂L (x(t), x(t), ˙ t) = (x(t), x(t), ˙ t) α dt ∂vi ∂xα i

(i = 1, . . . , n; α = 1, 2, 3) .

66

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Beweis:  t2 d  d S (yα ) = L (yα , y˙ α , t) dt dα dα t1     t2  x v d d = yα , ∇ L (yα , y˙ α , t) + y˙ α , ∇ L (yα , y˙ α , t) dt dα dα t1   t2    x d v  δx, ∇ L (yα , y˙ α , t) − = ∇ L (yα , y˙ α , t) dt t1  * v d ) + δx, ∇ L (yα , y˙ α , t) dt dt d (wegen dα yα (t) = δx(t)). Den zweiten Term können wir sofort integrieren und er halten wegen δx = 0 in einer Umgebung von t1 und t2 keinen Beitrag zu dS dα (yα ). Setzen wir ferner α = 0 und beachten yα (t)|α=0 = x(t), so folgt also:    t2  x dS  d v   (yα ) δx(t), ∇ L (x(t), x(t), = ˙ t) − ˙ t) dt, ∇ L (x(t), x(t), dα dt α=0 t1

wobei wir hier die Zeitabhängigkeit unter dem Integral voll ausgeschrieben haben. Die rechte Seite verschwindet für alle δx(t) dann und nur dann, wenn x d v  ˙ t) =∇ L (x, x, ˙ t) . ∇ L (x, x, dt

 Wir wollen jetzt zeigen, daß die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen für L (x, v, t) = L(x, v) =

1 v, mv − U (x) 2 v

mit den N EWTONschen Gleichungen übereinstimmen: Wir finden sofort: ∇ L(x, v, t) = mv , x

∇ L(x, v, t) = −∇U (x) und somit v

x

˙ = mx˙ und ∇ L(x, x) ˙ = −∇U (x), ∇ L(x, x) d.h. die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zur L AGRANGE-Funktion L lauten: d mx˙ = −∇U (x) dt und sind daher mit den N EWTONschen Gleichungen identisch. Die Behauptung am Schluß des letzten Abschnitts ist damit bewiesen: Die Bahnkurven unseres n-Teilchensystems sind Extremalkurven der Wirkung S und die Bewegungsgleichungen folgen aus dieser Extremaleigenschaft.

3.3 Mathematische Konsequenzen

67

Die Herleitung der Bewegungsgleichungen aus der Bedingung, daß die Wirkung einer L A GRANGE -Funktion für die Bahnkurven eines dynamischen Systems extremal werden soll, heißt H AMILTONsches Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung.

Zunächst haben wir damit nichts Neues gewonnen und nur die Bewegungsgleichungen als E U LER-L AGRANGE -Gleichungen von L redefiniert. In den nächsten Abschnitten werden wir nun zeigen, daß dieses Prinzip die Lösung einer Vielzahl von Problemen der Mechanik entscheidend vereinfacht.

3.3

Mathematische Konsequenzen des H AMILTONschen Prinzips

Wir benötigen zunächst eine Reihe von rein mathematischen Sätzen: Lemma 3.1 Seien L (x, v, t) und L (x, v, t) reelle Funktionen auf T (V ) × R; W eine reelle Funktion auf V × R. Es gelte für alle Kurven y(t): ˙ t) = L (y(t), y(t), ˙ t) + L (y(t), y(t),

d W (y(t), t). dt

Behauptung: Dann stimmen die Extremalkurven von L und L überein. Beweis: 



t2

S (y) = 

L (y, y, ˙ t) dt

t1

t2

=



L (y, y, ˙ t) +

t1

 d t W (y, t) dt = S  (y) + [W (y(t), t)]t21 dt

für alle Kurven y(t). Speziell für yα (t) = x(t) + αδx(t) gilt also: d  d  S (yα ) = S (yα ), dα dα da δx(t) in einer Umgebung von t1 und t2 verschwindet. Also folgt: dS  (yα )  =0  dα α=0

⇔

dS  (yα )  = 0,  dα α=0

d.h. die Extremalkurven von S  und S  stimmen überein.



68

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Bemerkung:  Die Abbildung L → L = L + dW dt heißt Eichtransformation von L . Der Zusatzterm dW dt hat nach Lemma 3.1 keinen Einfluß auf die Extremalkurven.

Lemma 3.2 Seien Ω offen in R3n , T (Ω) = Ω × R3n , L (q, vq , t) reelle Funktion auf T (Ω) × R, L reelle Funktion auf T (V ) × R und W reelle Funktion auf V × R. Sei ϕt : Ω → Ω ⊂ V eine zeitabhängige Familie von Diffeomorphismen. Für alle Kurven q(t) in Ω gelte ˙ t) = L (y, y, ˙ t) + L (q, q,

d W (y, t), dt

wobei y(t) durch y(t) = ϕt (q(t)) definiert ist. Behauptung: Dann ist q(t) genau dann Extremalkurve von L , wenn y(t) = ϕt (q(t)) Extremalkurve von L ist. Beweis: Völlig analog zum Beweis von Lemma 3.1 zeigt man für alle Kurven qα (t) = q(t) + αδq(t):   d  d  S (qα )α=0 = S (yα )α=0 für yα (t) = ϕt (qα (t)), dα dα wobei S  und S  wieder die zu L bzw. L gehörenden Wirkungsfunktionale bezeichnen. q(x) ist also genau dann Extremalkurve von L , wenn y(t) = ϕt (q(t)) Extremalkurve von L ist. 

Bemerkung: Offensichtlich gilt Lemma 3.2 auch unter der Voraussetzung L (q, q, ˙ t) = L (y, y, ˙ t) +

d  W (q, t) dt

mit einer reellen Funktion W  auf Ω × R. Weder der Zusatz Zusatz dtd W  (q, t) beeinflussen die Extremalkurven.

d dt W (y, t)

noch der

Den Raum T (Ω) = Ω × R3n , auf dem L definiert ist, wollen wir wieder den Tangentialraum von Ω nennen, so wie wir es mit T (V ) = V × R3n getan haben. Die Koordinaten (q 1 , . . . , q 3n ) von q werden als generalisierte Koordinaten bezeichnet, die Koordinaten (vq1 , . . . , vq3n ) von vq als generalisierte Geschwindigkeiten.

3.3 Mathematische Konsequenzen

69

Satz 3.2 Sei ϕt : V → V eine Familie von zeitabhängigen Diffeomorphismen, L (x, v, t) reelle Funktion auf T (V ) × R, W reelle Funktion auf V × R. Für alle Kurven x(t) gelte: ˙ t) = L (x, x, ˙ t) + L (y, y,

d W (x, t) dt

mit

y(t) = ϕt (x(t))

und wir nennen ϕt eine Symmetrietransformation von L . Behauptung: Falls x(t) Extremalkurve ist, so gilt dies auch für y(t). Beweis: Der Beweis folgt unmittelbar aus Lemma 3.1 und 3.2, wenn L = L gesetzt wird. 

Satz 3.3 (N OETHER-Theorem) Sei ϕtα eine Diffeomorphismenschar, die zusätzlich noch von dem reellen Parameter α abhängt mit ϕtα=0 = I. Es gelte, analog zu Satz 3.2, ˙ t) + L (yα , y˙ α , t) = L (x, x,

d Wα (x, t) dt

mit

yα (t) = ϕtα (x(t))

und einer Schar Wα von reellwertigen Funktionen auf V × R für alle Kurven x(t) . Behauptung: Falls x(t) Extremalkurve von L ist, gilt:     v d d   yα (t) , ∇ L (x(t), x(t), ˙ t) − Wα (x(t), t) = const.. dα dα α=0 α=0

Beweis: Wir differenzieren (3.9) nach α: d  d d d d L (yα , y˙ α , t) = Wα (x, t) = Wα (x, t). dα dα dt dt dα Nun gilt: d  L (yα , y˙ α , t) dα     x v d d   = yα , ∇ L (yα , y˙ α , t) + y˙ α , ∇ L (yα , y˙ α , t) dα dα    x d d v   = yα , ∇ L (yα , y˙ α , t) − ∇ L (yα , y˙ α , t) dα dt   v d d + yα , ∇ L (yα , y˙ α , t) . dt dα

(3.9)

70

3 Das H AMILTONsche Prinzip Für α = 0 ist yα = x(t). Da x(t) Extremalkurve sein soll, gelten die E ULERL AGRANGE-Gleichungen, und der erste Term verschwindet deshalb für α = 0. Also ist      v d  d d d d     L (yα , y˙ α , t) = yα  , ∇ L (x, x, ˙ t) = Wα (x, t) . dα dt dα dt dα α=0 α=0 α=0 

Die einparametrige Schar von Abbildungen ϕtα : V → V mit yα (t) = ϕtα (x(t)) und ˙ t) + L (yα , y˙ α , t) = L (x, x,

d Wα (x, t) dt

nennen wir eine einparametrige Schar von Symmetrietransformationen von L . Falls Wα = 0 und zusätzlich ϕtα ◦ ϕtβ = ϕtα+β gilt, sprechen wir von einer einparametrigen Invarianzgruppe von L .

Lemma 3.3 Falls

∂L ∂t (x, v, t)

)

= 0, so gilt für jede Extremalkurve x(t) von L :

* v  ˙ − L (x(t), x(t)) ˙ = const. x(t), ˙ ∇ L (x(t), x(t))

Beweis: 

   Wegen ∂L ∂t (x, v, t) = 0 ist L nicht explizit zeitabhängig: L = L (x, v). Die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen für x(t) liefern:   ) * x d v  x, ˙ ˙ = x, ˙ ∇ L (x, x) ˙ . ∇ L (x, x) dt * ) v ˙ , so Addiert man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Term x ¨, ∇ L (x, x) folgt für die linke Seite   ) * * v d v  d ) v  x, ˙ (x, x) ˙ + x ¨, ∇ L (x, x) ˙ = L x, ˙ ∇ L (x, x) ˙ ∇ dt dt

und für die rechte Seite ) x * ) v * d x, ˙ ∇ L (x, x) ˙ + x ¨, ∇ L (x, x) ˙ = L (x, x) ˙ . dt

3.4 Symmetrietransformationen

71

Also gilt: * d ) v  d x, ˙ ∇ L (x, x) ˙ = L (x, x) ˙ . dt dt 

3.4

Physikalische Konsequenzen des H AMILTONschen Prinzips: Symmetrietransformationen

Wir wollen uns zunächst mit Anwendungen der Sätze 1 und 2 sowie von Lemma 3.3 beschäftigen. Dazu betrachten wir die Standard-L AGRANGE-Funktion: L(x, v) =

1 v, mv − U (x) 2

für ein n-Teilchensystem mit Potential  Vij (|xi − xj |). U (x) = i=j

Wir haben im ersten Kapitel bereits gezeigt, daß für ein solches System Impuls, Schwerpunkt, Drehimpuls und Energie Integrale der Bewegung darstellen und daß die G ALILEI-Transformationen auf den Bahnkurven operieren: Sie transformieren jede Bahnkurve wieder in eine erlaubte Bahnkurve. Mit Hilfe der Sätze 3.2,3.3 und Lemma 3.3 werden wir nun zeigen, daß diese beiden Phänomene nicht unabhängig voneinander existieren, sondern einander bedingen. Dazu seien h, a, b ∈ R3 , O ∈ SO(3) und hierdurch eine G ALILEI-Transformation ϕ˜t (h) = Oh + a + bt wie in Kapitel 1 erklärt. Wir definieren ϕt : V → V durch ϕt (x) = (ϕ˜t (x1 ), . . . , ϕ˜t (xn )) = (Ox1 + a + bt, . . . , Oxn + a + bt). Es gilt d t ϕ (x(t)) = (Ox˙ 1 + b, . . . , Ox˙ n + b) dt und  t  ϕ˜ (xi ) − ϕ˜t (xj ) = |xi − xj |, d.h. Vij (|ϕ˜t (xi ) − ϕ˜t (xj )|) = Vij (|xi − xj |).

(3.10)

72

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Für die Kurve y(t) = ϕt (x(t)) folgt somit: L(y, y, ˙ t) =

 1 M 2 x, ˙ mx ˙ − U (x) + mi b, Ox˙ i  + |b| 2 2 i

= L(x, x) ˙ +

d W (x, t) dt

mit   M 2 W (x, t) = M O−1 b, R(t) + |b| t. 2 R ist dabei der Schwerpunkt und M die Gesamtmasse des n-Teilchensystems wie in Kapitel 1. Jede G ALILEI-Transformation definiert also eine Symmetrietransformation von L. Die Voraussetzungen von Satz 3.2 sind erfüllt, und wir schließen (da wir wissen, daß die N EWTONschen Gleichungen mit den E ULER-L AGRANGE-Gleichungen übereinstimmen): Jede Bahnkurve des n-Teilchensystems wird durch eine G ALILEI-Transformation in eine andere Bahnkurve überführt.

In Gleichung (3.10) ersetzen wir jetzt a, b und O durch αa, αb und exp(αA(ω)), wobei (mit ω ∈ R3 ) A(ω) die zugehörige antisymmetrisch lineare Abbildung nach Abschnitt 1.4.1 bezeichnet. Wir erhalten damit eine von α abhängige Schar von Transformationen ϕtα von V mit ϕtα=0 = I. Nach obiger Rechnung gilt für yα (t) = (ϕ˜tα (x1 (t)), . . . , ϕ˜tα (xn (t))): L(yα , y˙ α , t) = L(x, x, ˙ t) +

d Wα (x, t) dt

mit Wα (x, t) = M α exp (−αA(ω)) b, R +

M 2 2 α |b| t. 2

Die Voraussetzungen des N OETHER-Theorems (Satz 3.3) sind also erfüllt. Zu berechnen sind:  d  Wα (x, t) = M b, R(t) , dα α=0  d  yα (t) = (A(ω)x1 (t) + a + bt, . . . , A(ω)xn (t) + a + bt) dα α=0 = ([ω, x1 (t)] + a + bt, . . . , [ω, xn (t)] + a + bt) , sowie v

˙ = mx, ˙ ∇ L(x, x)

3.4 Symmetrietransformationen

73

und es gilt nach Satz 3.3: 

   v d d   const. = yα (t) , ∇ L(x, x) ˙ − Wα (x(t), t) dα dα α=0 α=0  = mi (ω, [xi (t), x˙ i (t)] + a, x˙ i (t) + t b, x˙ i (t)) − b, M R(t) i

= ω, L(t) + a, P (t) + b, P (t)t − M R(t) , wobei L und P nach Kapitel 1 den Gesamtdrehimpuls bzw. den Gesamtimpuls des Systems bezeichnen. Wir können nun ω, a und b völlig beliebig wählen. Es folgt also als Konsequenz des N OETHERschen Theorems: L(t), P (t) und R(t) −

1 M P (t)t

sind Integrale der Bewegung.

Wählen wir für ω, a oder b jeweils einen Basisvektor eμ , (μ = 1, 2, 3) der Standardbasis des R3 , so erhalten wir für ϕ˜tα eine einparametrige Untergruppe der G ALILEI-Gruppe und als zugehörige Erhaltungsgröße die Komponenten Lμ , P μ oder R(0)μ = (R(t)−tP/M )μ des Drehimpulses, Impulses oder des Schwerpunktes. Für die volle G ALILEI-Gruppe sind noch die Zeittranslationen als einparametrige Untergruppe zu betrachten. Diese lassen L invariant, da L keine explizite Funktion der Zeit ist. Es gilt somit ∂L ∂t = 0 und aus Lemma 3.3 folgt: ) v * 1 x, ˙ ∇ L(x, x) ˙ − L(x, x) ˙ = x, ˙ mx ˙ + U (x) = const. 2 Auf der rechten Seite erscheint die Gesamtenergie, die auf Grund von Lemma 3.3 erhalten ist1 . Man kann jetzt unsere Betrachtungen der G ALILEI-Gruppe kurz wie folgt zusammenfassen: G ALILEI-Transformationen sind Symmetrietransformationen der L AGRANGE-Funktion L, und deshalb transformieren sie die Bahnkurven unseres Systems von Massenpunkten wieder in erlaubte Bahnkurven. Daß G ALILEI-Transformationen Symmetrietransformationen von L sind, ist gleichfalls die tiefere Ursache der Erhaltung von Gesamtdrehimpuls, Gesamtimpuls, Schwerpunkt und Energie. Das N OETHER-Theorem verspricht nun allerdings noch mehr, nämlich, daß für jede einparametrige Schar von Symmetrietransformationen einer vorgegebenen L AGRANGE-Funktion L eine solche Erhaltungsgröße vorliegt. Sollten wir uns überdies einmal dazu entschließen, andere Raum-Zeit-Transformationsgruppen als die G ALILEI-Gruppe zuzulassen, so gibt uns dieses Theorem die Möglichkeit, die entsprechenden Erhaltungsgrößen direkt zu berechnen. 1 Im Sinne des letzten Abschnitts definiert ϕt für b = e und a = ω = 0 eine einparametrige Schar von Symmeμ α trietransformationen und für die anderen Fälle jeweils eine einparametrige Invarianzgruppe von L. Häufig wird in der Literatur nur der letzte Fall diskutiert und auch Satz 3.3 nur für Invarianzgruppen allein formuliert. Eine einheitliche Behandlung der G ALILEI-Gruppe, wie wir sie hier vorlegen, ist damit natürlich ausgeschlossen.

74

3.5

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Generalisierte Koordinaten

Wir wollen jetzt die Konsequenzen von Lemma 3.2 näher diskutieren und beginnen mit der Frage, was die Bedingung ˙ t) = L (y, y, ˙ t) + L (q, q,

d W (y, t) dt

(3.11)

für die Funktionen L , L und W selbst bedeutet. Erinnern wir uns: Gleichung (3.11) soll für jede Kurve q(t) gelten und y(t) ist durch eine zeitabhängige Schar von Diffeomorphismen ϕt : Ω → Ω , (Ω ⊂ R3n , Ω ⊂ V ) aus q(t) entstanden: y(t) = ϕt (q(t)). ˙ + Also ist y(t) ˙ = Dϕt (q(t))(q(t))

∂ t ∂t ϕ (q(t)),

und (3.11) lautet, voll ausgeschrieben:

  ∂ϕt ˙ t) = L ϕt (q(t)), Dϕt (q(t))(q(t)) ˙ + L (q(t), q(t), (q(t)), t ∂t    t ∂ϕ ∂W t + Dϕt (q(t))(q(t)) ˙ + (q(t)) , ∇W (ϕt (q(t)), t) + (ϕ (q(t)), t). ∂t ∂t (3.12) Damit diese Identität für alle Kurven q(t) gilt, muß zu jedem Zeitpunkt t Gleichung (3.11) für beliebige Paare (q(t), q(t)) ˙ = (q, vq ) ∈ T (Ω) gelten; also folgern wir, daß für die Funktionen L : T (Ω) × R → R, L : T (V ) × R → R und W : V × R → R die Identität 

 ∂ϕt L (q, vq , t) = L ϕ (q), Dϕ (q)(vq ) + (q), t ∂t    ∂ϕt ∂W t t t + Dϕ (q)(vq ) + (q) , ∇W (ϕ (q), t) + (ϕ (q), t) ∂t ∂t 



t

t

(3.13)

bestehen muß. Um dieses Ergebnis transparenter zu machen, definieren wir die Abbildung ϕˆt : T (Ω) → T (V ) durch   ∂ϕt t t t ϕˆ (q, vq ) = ϕ (q), Dϕ (q)(vq ) + (q) . (3.14) ∂t Die Abbildung ϕˆt „erinnert“ sich aufgrund ihrer Definition noch daran, daß sie ursprünglich durch die Transformation von Kurven entstanden ist. ˜ v, t) ein: Ferner führen wir die neue Funktion L(x, ˜ v, t) = L (x, v, t) + v, ∇W (x, t) + ∂W (x, t). L(x, ∂t Gleichung (3.13) ist dann, wie man direkt durch Einsetzen zeigt, äquivalent zu $ % L (q, vq , t) = L˜ ϕˆt (q, vq ), t ,

(3.15)

3.5 Generalisierte Koordinaten

75

d.h. L entsteht aus der Funktion L˜ durch Ersetzen des Paares (x, v) (von Ortslagen und Geschwindigkeiten) durch die Bilder ϕˆt (q, vq ) (von generalisierten Koordinaten q und generalisierten Geschwindigkeiten vq ). Vorgegeben war zunächst nur die Abbildung ϕt : Ω → V ; diese induziert, wie man sagt, kanonisch die Abbildung ϕˆt : T (Ω) → T (V ) zwischen den Tangentialräumen. Jetzt wird auch der Ursprung der Bezeichnung „Tangentialraum“ deutlich: (q, vq ) und (x, v) sind stets deutbar als ein Kurvenpunkt mitsamt seiner Kurventangente. Die Eigenschaft einer Abbildung ϕt , Symmetrietransformation von L zu sein, (vergleiche Satz 3.2) läßt sich jetzt sehr bequem mit Hilfe von ϕˆt ausdrücken:

ϕt ist genau dann Symmetrietransformation von L , wenn L (ϕˆt (x, v), t) = L (x, v, t) + v, ∇W (x, t) +

∂ W (x, t) . ∂t

Für Satz 3.3 (N OETHER-Theorem) gilt analog:

ϕtα ist genau dann Symmetrietransformation von L , wenn L (ϕˆtα (x, v), t) = L (x, v, t) + v, ∇Wα (x, t) +

∂ Wα (x, t) . ∂t

Entscheidend ist nun jedoch die Aussage von Lemma 3.2, daß q(t) genau dann Extremalkurve von L ist, wenn dies für ϕt (q(t)) von L gilt. Um Extremalkurve zu sein, müssen aber für q(t) die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen gelten und zwar mit der L AGRANGE-Funktion L (q, vq ). (Wir haben diese Gleichung zwar nur für eine Funktion L (x, v, t) bewiesen, aber bei der Ableitung niemals benutzt, daß die kartesischen Koordinaten irgendwie ausgezeichnet sind). Es gilt also auch mit q = (q 1 , . . . , q 3n ) und vq = (vq1 , . . . , vq3n ): d ∂L ∂L (q, q, ˙ t) = (q, q, ˙ t). dt ∂vqα ∂q α

(3.16)

Gleichung (3.15) gibt nun die Vorschrift an, wie L mit Hilfe von ϕˆt aus L und W berechnet wird. Aus den Extremalkurven q(t), die die Gleichung (3.16) lösen, kann man die Extremalkurven x(t) von L (x, v, t) nach Lemma 3.2 zurückgewinnen: x(t) = ϕt (q(t)). Wir fassen diese Ergebnisse in folgendem Schema noch einmal zusammen:

76

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Schema (generalisierte Koordinaten): (q, vq ) L (x, v, t) (vorgegebene L AGRANGE-Funktion, definiert auf T (V ) × R) x(t) = ϕt (q(t)) (Bahnkurve in V )  d ∂L ∂L (q, q, ˙ t) = (q, q, ˙ t), α = 1, . . . , 3n (Bestimmungsgleichung für q(t)) dt ∂vqα ∂q α ˜ ϕˆt (q, vq ), t) L (q, vq , t) = L( (Vorschrift zur Berechnung von L ) ∂ L˜ = L (x, v, t) + v, ∇W (x, t) + W (x, t) ∂t  ∂ t t t t ϕˆ (q, vq ) = ϕ (q), Dϕ (q)(vq ) + ϕ (q) . ∂t

Beispiel 3.1 — Polarkoordinaten in R3 Wir wollen dieses Schema zunächst einmal am einfachen Beispiel demonstrieren. Sei (x, v ∈ R3 ): m L (x, v) = |v|2 − U (x) 2 die L AGRANGE-Funktion für ein Teilchen der Masse m. Die Bewegungsgleichungen sind gegeben durch m¨ x = −∇U (x(t)). Wir setzen in unserem Schema jetzt q 1 = r, q 2 = θ, q 3 = φ, wobei r, θ und φ Polarkoordinaten in R3 sind. Es ist jetzt zweckmäßig, vq = (vq1 , vq2 , vq3 ) = (vr , vθ , vφ ) zu schreiben. Mit W = 0 und ⎛ ⎞ r sin θ cos φ ϕt (q) = x(r, θ, φ) = ⎝ r sin θ sin φ ⎠ r cos θ liefert unser Schema: L (q, vq ) = L (x(r, θ, φ), Dx(r, θ, φ)(vr , vθ , vφ )) . Für die JACOBI-Matrix Dx(r, θ, φ) mit den Spaltenvektoren

Dx(r, θ, φ) =

∂x ∂x ∂x ∂r ∂θ ∂φ

⎛

∂x ∂x ∂x ∂r , ∂θ , ∂φ

(3.17) finden wir



⎞ sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ ⎠ (3.18) = ⎝ sin θ sin φ cos θ −r sin θ 0

3.5 Generalisierte Koordinaten

77

und hieraus Dx(r, θ, φ)(vr , vθ , vφ ) = ∂x ∂x ∂r , ∂θ

∂x ∂x ∂x vr + vθ + vφ . ∂r ∂θ ∂φ ∂x ∂φ

von Dx orthogonal (aber nicht nor-

m m 2 |Dx(r, θ, φ)(vr , vθ , vφ )| = 2 2

        ∂x 2 2  ∂x 2 2  ∂x 2 2  v + v + v .  ∂r  r  ∂θ  θ  ∂φ  φ

Nun sind die Spaltenvektoren miert), d.h.

und

Man findet nach (3.18) leicht:  2  2  ∂x   ∂x    = 1,   = r2 ,  ∂r   ∂θ 

 2  ∂x    = r2 sin2 θ.  ∂φ 

Die Anwendung von Gleichung (3.15) liefert für L die Formel L (r, θ, φ, vr , vθ , vφ ) =

$ %% m$ 2 ˜ (r, θ, φ) , v + r2 vθ2 + sin2 θvφ2 − U 2 r

wobei ˜ (r, θ, φ) = U (x(r, θ, φ)). U Die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen für L können hieraus abgeleitet werden. Wir benutzen   ˜ 2 ∂L ∂L ∂U 2 2 = mv , = mr v + sin θ v r θ φ − ∂r , ∂vr ∂r ∂L ∂vθ ∂L ∂vφ

= mr2 vθ , = mr2 sin2 θ vφ ,

∂L ∂θ ∂L ∂φ

= mr2 cos θ sin θ vθ2 − ˜ U = − ∂∂φ .

˜ ∂U ∂θ ,

Wir haben diese Größen an der Stelle ˙ ˙ ˙ θ(t), φ(t)) (r, θ, φ, vr , vθ , vφ ) = (r(t), θ(t), φ(t), r(t), auszuwerten und in die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen einzusetzen: Es folgt nach unserem Schema:   ∂U ˜ d (mr) ˙ = mr θ˙2 + sin2 θ φ˙ 2 − dt ∂r ˜ d  2 ˙ ∂ U mr θ = mr2 cos θ sin θ φ˙ 2 − dt ∂θ ˜ d  2 2 ˙ ∂U mr sin θ φ = − . dt ∂φ ˜ = U (r) ist eine Wir machen jetzt die zusätzliche Annahme U (x) = U (|x|), d.h. U ˜ ˜ ∂U ∂U Funktion von r allein und somit ∂θ = ∂φ = 0. Aus der zweiten Gleichung folgt,

78

3 Das H AMILTONsche Prinzip daß eine spezielle Lösung mit θ = π2 existieren muß. Diese spezielle Bewegung findet in einer Ebene statt. Die dritte Gleichung liefert dann: mr2 φ˙ = l = const.

(3.19)

Wir setzen dies in die erste Gleichung ein, die wir noch mit r˙ multiplizieren. Es folgt mr¨ ˙r = oder d dt



r˙ 2 ∂U l − r˙ mr3 ∂r

m 2 l2 r˙ + + U (r) 2 2mr2

 = 0,

d.h. m 2 l2 r˙ + + U (r) = E = const. 2 2mr2 Dies kann äquivalent umgeformt werden zu:  r˙ 2 + =± . 2 m E − l − U (r) 2mr 2

Hierzu benutzen wir ein nun schon bekanntes Verfahren: Wir bestimmen eine Stammfunktion   F (r) =

l2 E− − U (r) 2mr2

− 21 dr

und finden nach der letzten Gleichung  F (r(t)) = ±

2 m

 21 t + F (r(0)).

Mit der Umkehrfunktion F −1 gilt also für unsere spezielle Lösung   1  2 2 −1 ± r(t) = F t + F (r(0)) . m Die allgemeine Lösung können wir mit Hilfe von Satz 3.2 und 3.3 bestimmen. L ist invariant unter Drehungen und damit bleibt nach Satz 3.3 der Drehimpuls L erhalten. Die Bewegung verläuft in der Ebene senkrecht zu L. Für unsere spezielle Lösung steht also L senkrecht auf der Ebene θ = π2 . Gleichzeitig können wir nach unseren alten Rechnungen zum K EPLER-Problem |L| mit der Konstante l in Gleichung (3.19) identifizieren; diese Gleichung stellt genau den dort definierten

3.6 Zwangsbedingungen

79

Flächensatz dar: Bei der Bewegung überstreicht der Bahnvektor in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Nach Satz 3.2 können wir die Bewegung in der Ebene θ = π2 durch eine Drehung in eine beliebige andere Ebene E transformieren. Der Drehimpuls transformiert sich mit und steht dann senkrecht zu E, ohne seinen Betrag zu ändern. Auf diese Weise wird aus unserer speziellen Lösung die allgemeine Lösung erzeugt. Unser Beispiel demonstriert bereits exemplarisch, wie sich die Konstruktion der Bewegung eines dynamischen Systems bei geschickter Wahl der generalisierten Koordinaten vereinfacht. Etwas komplizierter ist die Situation für ein Zweiteilchensystem mit Potential V (|x1 − x2 |). In diesem Fall erweisen sich die Koordinaten R1 , R2 , R3 des Schwerpunktes und die Polarkoordinaten r,θ, φ von y = x1 − x2 als besonders geeignet (vgl. Aufgabe 3.7). In beiden Fällen tritt der allgemeinste Fall, bei dem die L AGRANGE-Funktion L durch einen additiven Zusatz der Form v, ∇W + ∂W ∂t abgeändert wird, noch nicht auf. Ein praktisch wichtiger Fall hierfür wird in Aufgabe 3.11 diskutiert, wo die Nachbarkurven einer gegebenen festen Lösung (Sollbahn) der Bewegungsgleichungen in linearer Näherung untersucht werden. Dieses Beispiel zeigt, daß die L AGRANGE-Funktion für die Abweichungen von der Sollbahn sich beträchtlich vereinfacht, wenn ein solcher Term von vornherein subtrahiert wird. Die Bewegungsgleichungen selbst werden durch einen solchen Zusatz nach Lemma 3.1 nicht beeinflußt; man kann dies auch explizit nachkontrollieren, indem man zeigt, daß sich die Beiträge von W in den E ULER-L AGRANGE-Gleichungen wegheben. Von daher gesehen erscheint die Modifikation von L um den Term v, ∇W  + ∂W ∂t , in unserem Schema „Generalisierte Koordinaten“, zunächst als ein gewisser Luxus. Für beide praktischen Probleme erspart man sich jedoch eine Menge Rechenarbeit bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen, wenn man den Term in der L AGRANGE-Funktion so berücksichtigt, wie wir es in unserem Schema angegeben haben. (Siehe auch Aufgabe 3.9).

3.6

Zwangsbedingungen

Wir betrachten jetzt eine L AGRANGE-Funktion L (q, vq , t) von generalisierten Koordinaten q, die aus der L AGRANGE-Funktion L mit Hilfe der Abbildung ϕt errechnet wurde. Die Lösungen der E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zu L bestimmen die zeitliche Entwicklung unseres dynamischen Systems; wir denken uns aber jetzt die Werte der letzten k Koordinaten q α während der Bewegung festgehalten: q α = cα = const.

α = 3n − k + 1, . . . , 3n

(3.20)

und setzen demzufolge auch die entsprechenden Geschwindigkeiten gleich Null: vα = 0

α = 3n − k + 1, . . . , 3n.

(3.21)

Man nennt die Gleichungen (3.20) und (3.21) Zwangsbedingungen. Physikalisch soll die konkrete Realisierung eines solchen Problems durch sog. Zwangskräfte erfolgen, die sonst keinen Einfluß auf die zeitliche Entwicklung der restlichen Koordinaten q 1 , . . . , q 3n−k haben. Das H AMILTONsche Prinzip gestattet nun, die Bewegungsgleichungen dieses durch Zwangskräfte eingeschränkten Systems direkt abzuleiten, ohne die Zwangskräfte explizit zu kennen. Dazu ist

80

3 Das H AMILTONsche Prinzip

die L AGRANGE-Funktion L nur für solche Werte von q und vq zu betrachten, für die (3.20) und (3.21) gilt. Setzen wir q¯ = (q 1 , . . . , q 3n−k ),

vq¯ = (vq1¯, . . . , vq3n−k ), ¯

(3.22)

so erhalten wir damit eine neue L AGRANGE-Funktion Lz (¯ q , vq¯, t) = L (q 1 , . . . , q 3n−k , c3n−k+1 , . . . , c3n , vq1 , . . . , vq3n−k , 0, . . . , 0, t).

(3.23)

Da die Zwangskräfte die zeitliche Entwicklung der Koordinaten q¯ nicht beeinflussen sollen, ist die Bewegung des Systems durch das H AMILTONsche Prinzip mit Lz als L AGRANGE-Funktion bestimmt. Die Bewegungsgleichungen erhält man also als E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zu Lz . d ∂Lz ∂Lz (¯ q , q¯˙, t) = (¯ q , q¯˙, t). α dt ∂vq¯ ∂ q¯α

(3.24)

Es lohnt sich, Lz etwas näher zu untersuchen. Setzen wir die Definition von L explizit in (3.23) ein, so folgt: Lz (¯ q , vq¯, t) = $ $ % % ˜ L ϕˆt q 1 , . . . , q 3n−k , c3n−k+1 , . . . , c3n , vq1 , . . . , vq3n−k , 0, . . . , 0 , t . (3.25) Setzen wir jetzt $ % ϕtz (¯ q ) = ϕt q 1 , . . . , q 3n−k , c3n−k+1 , . . . , c3n und

 q , vq¯) ϕˆtz (¯

=

q )(vq¯) ϕtz (¯ q ), Dϕtz (¯

 ∂ϕtz + (¯ q) , ∂t

so folgt zunächst q , vq¯) = ϕˆt (q 1 , . . . , q 3n−k , c3n−k+1 , . . . , c3n , vq1 , . . . , vq3n−k , 0, . . . , 0) ϕˆtz (¯ und hieraus wegen (3.25): $ % q , vq¯, t) = L˜ ϕˆtz (¯ q , vq¯), t . Lz (¯

(3.26)

Die Abbildung ϕtz : Ωz ⊂ R3n−k → V induziert also eine Abbildung ϕˆtz : T (Ωz ) → T (V ) des Tangentialraums T (Ωz ) = Ωz × R3n−k , genau wie ϕt die Abbildung ϕˆt : T (Ω) → T (V ) induziert. (Der Zusammenhang zwischen ϕtz und ϕˆtz bzw. ϕt und ϕˆt wird durch die gleiche Formel (3.14) beschrieben!)

3.6 Zwangsbedingungen

81

Dieses Ergebnis stellt zusammen mit Gleichung (3.24) in der Tat eine entscheidende weitere Vereinfachung dar: Bei der Berechnung des Systems mit Zwangsbedingungen muß man die komplette Abbildung ϕt nicht einmal als Funktion aller Koordinaten (q 1 , . . . , q 3n ) kennen, sondern es genügt schon die Kenntnis von ϕtz allein, um die neue L AGRANGE-Funktion Lz aus der vorgegebenen L AGRANGE-Funktion L zu berechnen. Die Berechnung von Lz erfolgt wegen Gleichung (3.26) exakt nach unserem Schema „Generalisierte Koordinaten“; dort ist lediglich ϕt durch ϕtz zu ersetzen. Der Unterschied zwischen beiden Abbildungen ist der folgende: ϕt war als eine zeitabhängige Schar von Diffeomorphismen ϕt : Ω ⊂ R3n → Ω ⊂ V erklärt. ϕtz ist kein solcher Diffeomorphismus mehr, sondern lediglich eine injektive (nicht umkehrbare) Abbildung von Ωz nach V . Wir fassen diese Ergebnisse in folgendem Schema zusammen:

Generalisierte Koordinaten und L AGRANGE-Funktion eines Systems mit Zwangsbedingungen Die Bewegung eines Systems von n Massenpunkten sei durch die E ULER-L AGRANGEGleichungen mit der L AGRANGE-Funktion L bestimmt. Eine Zwangsbedingung wird durch eine zeitabhängige Schar ϕtz von injektiven Abbildungen ϕtz : Ωz ⊂ R3n−k → V beschrieben. Die L AGRANGE-Funktion Lz des Systems mit Zwangsbedingungen ist durch $ % Lz (¯ q , vq¯, t) = L˜ ϕˆtz (¯ q , vq¯), t mit ˜ v, t) = L (x, v, t) + v, ∇W (x, t) + ∂W (x, t) L(x, ∂t und

 ϕˆtz (¯ q , vq¯)

=

ϕtz (¯ q ), Dϕtz (¯ q )(vq¯)

∂ϕtz + (q) ∂t



gegeben. Die Bewegung des Systems mit Zwangsbedingungen wird durch die E ULER-L AGRANGEGleichungen zur L AGRANGE-Funktion Lz bestimmt.

Geometrisch stellt ϕtz eine Abbildung dar, die eine feste offene Menge Ωz zeitabhängig in eine Hyperfläche (gleicher Dimension) von V abbildet. Die Zwangsbedingungen sind vollständig durch die Abbildung ϕtz allein beschrieben und besagen offensichtlich, daß die Bewegung des Systems auf diese Hyperfläche eingeschränkt ist. Wir wollen dies an zwei einfachen Beispielen illustrieren:

82

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Beispiel 3.2 — Teilchen im Schwerefeld Ein Teilchen bewege sich auf einer vorgeschriebenen geometrischen Bahn x(s) im Schwerefeld der Erde: Seine L AGRANGE-Funktion lautet ohne Zwangsbedingung m L = |v|2 − mg x3 ; 2 die potentielle Energie hängt also nur von der x3 -Koordinate ab. Wir schreiben die Zwangsbedingung in der Form ϕtz (s) = x(s);

ϕtz : R → R3 ,

wobei s jetzt die Bogenlänge der Kurve x(s) sein soll. (ϕtz ist jetzt zeitunabhängig). Damit folgt d x(s) vs ) ds und (mit W = 0) nach unserem Schema:  2  m  d Lz (s, vs ) = x(s) vs2 − mg x3 (s).  2 ds d  Für die Bogenlänge s ist  ds x(s) = 1, d.h. ϕˆtz (s, vs ) = (x(s),

m 2 v − mg x3 (s). 2 s (Anwendung: Siehe Aufgabe 3.12). Lz (s, vs ) =

Beispiel 3.3 — Kugelpendel Wir definieren für die gleiche L AGRANGE-Funktion die Zwangsbedingungen: ⎛ ⎞ sin θ cos φ ϕtz (θ, φ) = x(θ, φ) = R ⎝ sin θ sin φ ⎠ , cos θ wobei R = const. und (θ, φ) Polarkoordinaten sind. Die Bewegung ist also auf eine Kugel von Radius R eingeschränkt. Es folgt jetzt:   ∂x ∂x vθ + ϕˆtz (θ, φ, vθ , vφ ) = x(θ, φ), vφ . ∂θ ∂φ ∂x ∂θ

und

∂x ∂φ

wurden in Abschnitt (3.5) berechnet; hieraus ergibt sich $ % Lz (θ, φ, vθ , vφ ) = L˜ ϕˆtz (θ, φ, vθ , vφ ) % m 2$ 2 = R vθ + sin2 θ vφ2 − mgR cos θ. 2

(Anwendung: Siehe Aufgaben 3.8 und 3.9).

3.6 Zwangsbedingungen

3.6.1

83

Der starre Körper: Zwangsbedingung und L AGRANGE-Funktion

Ein weiteres Beispiel für ein System mit Zwangsbedingungen ist der starre Körper. Man betrachtet dabei ein System von n Massenpunkten, dessen Bewegungsgleichungen durch die L A GRANGE -Funktion L(x, v, t) =

1 v, mv − U (x) 2

(3.27)

bestimmt ist und unterwirft es Zwangsbedingungen der Form xi = R + Ox0i ,

i = 1, . . . , n,

(3.28)

mit O ∈ SO(3) und R ∈ R3 variabel sowie x0i ∈ R3 fest. Außerdem soll R hat damit die Bedeutung des Schwerpunktes.

i

x0i mi = 0 gelten;

Gleichung (3.28) besagt, daß das System als Ganzes eine Translation (R) und eine Rotation (O) ausführen kann, wegen x0i = const. jedoch keine Relativbewegung der Massenpunkte gegeneinander stattfindet. Wir wollen durch Gleichung (3.28) eine Abbildung ϕz definieren, die unsere Zwangsbedingungen wie im letzten Abschnitt beschreibt. Dazu parametrisieren wir die Drehungen durch Koordinaten q = (q1 , q2 , q3 ) ∈ Ωz ⊂ R3 ; ein Beispiel für eine solche Parametrisierung sind die drei Komponenten des Drehvektors (vgl. Aufgabe 1.6); eine Alternative hierzu sind die E U LERschen Winkel. Wir brauchen uns hier jetzt noch nicht festzulegen und definieren zunächst: ϕi (R, q) = R + O(q)x0i ;

i = 1, . . . , n

(3.29)

und erhalten mit ϕz (R, q) = (ϕ1 (R, q), . . . , ϕn (R, q)) die Zwangsbedingung in Form einer injektiven (zeitunabhängigen) Abbildung ϕz . Die L A GRANGE -Funktion L des Systems mit Zwangsbedingungen berechnen wir nun nach dem Schema des letzten Abschnitts: Es gilt Dϕz (R, q)(vR , vq ) = (Dϕ1 (R, q)(vR , vq ), . . . , Dϕn (R, q)(vR , vq )) .

(3.30)

Für die JACOBI-Matrizen Dϕi (R, q), (i = 1, . . . , n) finden wir: Dϕi (R, q)(vR , vq ) =

3   ∂ϕi (R, q) α=1

= vR +

∂Rα

α vR

∂ϕi (R, q) α + vq ∂q α



3 3   ∂O α 0 v x = v + O Bα vqα x0i , R α q i ∂q α=1 α=0

(3.31)

wobei Bα durch die Gleichung Bα = O−1

∂O ∂q α

(3.32)

84

3 Das H AMILTONsche Prinzip

definiert ist. An dieser Stelle müssen wir eine längere Diskussion der (q-abhängigen) linearen Abbildungen Bα einschieben: Zunächst gilt für die transponierten Abbildungen:  Bαt =

O−1

∂O ∂q α

t

 =

∂Ot ∂q α



(O−1 )t =



∂O−1 ∂q α

 O

(3.33)

wegen Ot = O−1 . Hieraus folgt: Bαt =

% ∂ $ −1 ∂O O · O − O−1 · α = −Bα . ∂q α ∂q

(3.34)

Bα ist also schiefadjungiert, und es gibt einen eindeutig bestimmten (q-abhängigen) Vektor ωα mit Bα = A(ωα ).

(3.35)

Mit A wird wieder der Standardisomorphismus des R3 auf die Menge der schiefadjungierten, linearen Abbildungen des R3 bezeichnet. Wir differenzieren (3.34) noch einmal nach q β :  A

∂ωα ∂q β



∂ −1 ∂O ∂2O ∂O−1 ∂O O = O−1 β α + β α ∂q ∂q ∂q ∂q ∂q β ∂q α     ∂2O ∂O−1 −1 ∂O = O−1 α β + O O ∂q ∂q ∂q β ∂q α ∂2O = O−1 α β − Bβ · Bα . ∂q ∂q =

Hieraus folgt:  A

∂ωα ∂ωβ − α ∂q β ∂q

 = Bα Bβ − Bβ Bα = A ([ωα , ωβ ])

(3.36)

auf Grund von (3.35) und der Eigenschaft des Standardisomorphismus (vergl. Aufgabe 1.2): A(h)A(k) − A(k)A(h) = A([h, k]) für alle h, k ∈ R3 . Wir schließen hieraus: ∂ωα ∂ωβ − α = [ωα , ωβ ] . ∂q β ∂q

(3.37)

Wir bemerken noch: Die Abbildungen Bα und damit auch die Vektoren ωα sind linear unabhängig, weil die qα Koordinaten der Drehgruppe sein sollen. Diese Zwischenrechnung ergibt nach Gleichung (3.31): Dϕi (R, q)(vR , vq ) = vR + OA(ωvq )x0i ,

(3.38)

3.6 Zwangsbedingungen

85

mit ωv q =

3 

ωα vqα .

(3.39)

α=1

Jetzt sind wir in der Lage, Lz (R, q, vR , vq ) = L (ϕˆz (R, q, vR , vq )) auszurechnen. Wegen (3.27) und (3.38) finden wir  mi   vR + OA(ωv )x0i 2 − U (ϕz (R, q)) q 2 i  mi  ! vR + O ωv , x0i 2 − U (ϕz (R, q)) = q 2 i  mi  mi  ! 2  ωv , x0i 2 − U (ϕz (R, q)) = |vR | + q 2 2 i i

Lz (R, q, vR , vq ) =

! (wegen A(ωvq )x0i = ωvq , x0i und i mi x0i = 0). Die letzte Gleichung wird noch einmal umgeformt und ergibt für L die Gestalt Lz =

 M 1 |vR |2 + ωvq , Θωvq − U (ϕz (R, q)) 2 2

mit dem Trägheitstensor Θ: R3 → R3 definiert durch:  !! mi x0i , x0i , h , für alle h ∈ R3 . Θh = −

(3.40)

i

Es ist nun sinnvoll, auch noch den Potentialterm U (ϕz (R, q)) zu vereinfachen und als Funktion von R allein zu betrachten. Dies gilt in guter Näherung, falls |x0i | klein gegen R, oder sogar exakt, falls z.B.  U= mi gx3i i

das Potential der Teilchen im Schwerefeld der Erde darstellt. Wegen i mi x0i = 0 folgt in der Tat U = U (R) = M gR3 . In beiden Fällen erhalten wir für die L AGRANGE-Funktion Lz des starren Körpers das Resultat  M 1 |vR |2 − U (R) + ωvq , Θωvq . 2 2 Für die Diskussion der Bewegung des starren Körpers sind die Eigenschaften des Trägheitstensors Θ entscheidend. Für alle h, k ∈ R3 gilt:

Lz (R, q, vR , vq ) =

h, Θk = −



 !! mi h, x0i , x0i , k

i

= −

 i

mi



!!  x0i , x0i , h , k = Θh, k ,

86

3 Das H AMILTONsche Prinzip

d.h. Θ ist eine selbstadjungierte Abbildung des R3 . Ferner ist   ! ! h, Θh = mi x0i , h , x0i , h ≥ 0.

(3.41)

i

Befinden sich die x0i in allgemeiner Lage (notwendig hierfür ist n > 3), was wir in der Folge voraussetzen wollen, so ist also nach (3.41) h, Θh ≥ 0 und h, Θh = 0 genau dann, wenn h = 0 gilt. Θ ist also durch eine Drehung diagonalisierbar und hat positive Eigenwerte Iα .Werden die zugehörige Eigenvektoren mit eα bezeichnet, so bilden diese offenbar ein Orthonormalsystem und es gilt: Θeα = Iα eα .

(3.42)

Man spricht von den eα auch als den Hauptträgheitsachsen des starren Körpers und von den Iα als den Hauptträgheitsmomenten des starren Körpers.

3.6.2

Der starre Körper: Bewegungsformen

Die Bewegungsgleichungen erhalten wir als E ULER-L AGRANGE-Gleichungen von Lz : d ∂Lz ∂Lz ˙ q) ˙ q) (R, q, R, ˙ = (R, q, R, ˙ α dt ∂vR ∂Rα

(3.43)

d ∂Lz ∂Lz ˙ q) ˙ q). (R, q, R, ˙ = (R, q, R, ˙ α dt ∂vq ∂q α

(3.44)

Gleichung (3.43) führt sofort auf ¨ = −∇U (R). MR

(3.45)

Der starre Körper führt also eine Translationsbewegung aus, bei dem der Schwerpunkt einer Bahnkurve folgt, deren Bewegungsgleichung genau wie die Gleichung eines einzigen Teilchens mit der Gesamtmasse M aussieht. Gleichung (3.44) lautet ausgeschrieben:  3   d ∂ β ωα , Θωq˙  = ω q ˙ , Θω β q˙ , dt ∂q α

(α = 1, 2, 3)

(3.46)

β=1

mit ωq˙ =

  d ωα q˙α = A−1 O−1 O . dt α=1 3 

(3.47)

Die zeitliche Differentiation wird ausgeführt und alle Terme auf einer Seite versammelt:       d ∂ωα β ∂ωβ β 0 = ωα , Θωq˙ + q ˙ − , Θω q ˙ q˙ dt ∂q β ∂q α β   d = ωα , Θωq˙ + [ωα , ωq˙ ], Θωq˙  (3.48) dt

3.6 Zwangsbedingungen

87

wegen (3.37). Es folgt:    d ωα , Θωq˙ + [ωq˙ , Θωq˙ ] =0 dt

(α = 1, 2, 3).

Wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren ωα folgen die sog. E ULERschen Gleichungen d Θωq˙ + [ωq˙ , Θωq˙ ] = 0, dt

(3.49)

die noch durch die aus (3.47) folgende Gleichung d O = OA (ωq˙ ) dt

(3.50)

ergänzt werden. Man erhält aus den E ULERschen Gleichungen leicht eine skalare und eine vektorielle Erhaltungsgröße: Offenbar gilt:   d 1 d ωq˙ , Θωq˙  = ωq˙ , Θωq˙ = 0, dt 2 dt d.h. 1 ωq˙ , Θωq˙  = T = const. 2 1 2

ωq˙ , Θωq˙  trat bereits in der L AGRANGE-Funktion Lz auf und wurde aus der inneren kinetischen Energie des n-Teilchensystems errechnet. Wir bezeichnen T deshalb als innere kinetische Energie des starren Körpers. Die vektorielle Erhaltungsgröße finden wir wie folgt: Gleichung (3.49) hat die äquivalente Form:   d d d 0 = Θωq˙ + A(ωq˙ )Θωq˙ = Θωq˙ + O−1 O Θωq˙ , dt dt dt d.h. d OΘωq˙ = 0. dt Es folgt also: OΘωq˙ = L = const. Wegen L = OΘωq˙ = −O = O

 i





mi x0i , x0i , ωq˙

i

mi x0i , O−1

!!



d d Ox0i = mi Ox0i , Ox0i dt dt i

stellt L offenbar den inneren Drehimpuls des starren Körpers dar.

88

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Die Bewegung des starren Körpers ist durch die Translation R(t) und die Drehung O(t) vollständig bestimmt. Die einzelnen Massenpunkte xi folgen den Bahnkurven xi = R(t) + O(t)x0i . Wir wollen jetzt O(t) für eine Reihe von Spezialfällen berechnen. Fall a: I1 = I2 = I3 = I : Es gilt also Θ = I · 1I und nach (3.49) folgt somit: d ωq˙ = 0, dt d.h. ωq˙ = ωq˙ (t = 0) = ω0 = const. Gleichung (3.50) lautet jetzt: d O = OA(ω0 ); dt d.h. O = O0 exp (A(ω0 )t) . Die konstante Drehung O0 können wir o.B.d.A. gleich 1I setzen; der Körper führt also eine gleichförmige Rotation um die Achse ω0 mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit |ω0 | aus. ω0 ist allein durch die Anfangsgeschwindigkeit der Drehung bestimmt. Fall b: I1 = I2 = I3 : Wir schreiben mit den Hauptträgheitsachsen eμ : ωq˙ = ω 1 e1 + ω 2 e2 + ω 3 e3 und finden nach (3.49) das Gleichungssystem d 1 ω + ω 2 ω 3 (I3 − I2 ) = 0 dt d I3 ω 3 + ω 1 ω 2 (I2 − I1 ) = 0 dt d I2 ω 2 + ω 3 ω 1 (I1 − I3 ) = 0. dt I1

(3.51)

Wegen I1 = I2 liefert die mittlere Gleichung sofort ω 3 (t) = ω 3 (0) = ω03 = const. Die beiden anderen Gleichungen ergeben d 1 ω + αω 2 = 0 dt

(3.52)

d 2 ω − αω 1 = 0 , dt

(3.53)

3.6 Zwangsbedingungen

89

mit α=

I 3 − I1 3 ω0 . I1

Differenziert man (3.52) noch einmal und eliminiert anschließend so folgt

(3.54) d 2 dt ω

mit Hilfe von (3.53),

d2 1 ω + (α)2 ω 1 = 0, dt2 d.h. ω 1 = a cos(αt) + b sin(αt). Man verifiziert leicht a = ω 1 (0) = ω01 und b = −ω 2 (0) = −ω02 auf Grund von (3.52). Diese Gleichung bestimmt jetzt auch ω 2 . Unser Endergebnis lautet also ω 1 (t) = ω01 cos(αt) − ω02 sin(αt) ω 2 (t) = ω01 sin(αt) + ω02 cos(αt). Insgesamt ergibt dies für ωq˙ : ωq˙ = ω03 e3 + cos(αt)(ω01 e1 + ω02 e2 ) + sin(αt)(−ω02 e1 + ω01 e2 )

! = ω03 e3 + cos(αt)(ω01 e1 + ω02 e2 ) + sin(αt) e3 , (ω01 e1 + ω02 e2 ) .

Dieses Ergebnis erlaubt die Schreibweise, siehe Aufgabe 1.7(d): ωq˙ = exp (αtA(e3 )) ω0

(3.55)

mit ω0 = ω01 e1 + ω02 e2 + ω03 e3 . Für O(t) gilt somit nach (3.50) und (3.55) d O(t) = O(t)A (exp(αtA(e3 ))ω0 ) . dt

(3.56)

Man kann jetzt noch eine weitere Eigenschaft von A verwenden: Für alle h, k ∈ R3 gilt A(h)k = [h, k], aber auch mit einer beliebigen Drehung B A(Bh)Bk = [Bh, Bk] = B [h, k] = BA(h)k. Es folgt A(Bh)B = BA(h), d.h. A(Bh) = BA(h)B −1 . Für (3.56) bedeutet dies d O(t) = O(t) exp (αtA(e3 )) A(ω0 ) exp (−αtA(e3 )) , dt

(3.57)

90

3 Das H AMILTONsche Prinzip

woraus für O (t) = O(t) exp (αtA(e3 )) die Gleichung d  O (t) = O (t)A(ω0 + αe3 ) dt

(3.58)

folgt. Somit gilt O (t) = O0 exp (tA(ω0 + αe3 )) und wir erhalten als Endresultat für O(t): O(t) = O0 exp (tA(ω0 + αe3 )) exp (−αtA(e3 )) . Die gesuchte Drehung O(t) besteht also aus zwei Drehungen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und fester Achse, die hintereinander geschaltet sind. Die erste Drehung erfolgt um die Symmetrieachse e3 des starren Körpers, die zweite Drehung um eine freie wählbare Achse ω0 + αe3 , die durch die Anfangsgeschwindigkeit der Drehung bestimmt ist. (Auf diese Weise scheint der Körper zu taumeln. Man kann dieses Phänomen sofort sehen, wenn man einen zylinderförmigen Körper in die Luft wirft.) Fall c: I1 > I2 > I3 : In diesem Fall benutzen wir die Erhaltungssätze |L |2 = Θωq˙ , Θωq˙  = const.,

(3.59)

2T = ωq˙ , Θωq˙  = const. 1

2

(3.60) 3

Ausgeschrieben lauten diese für ω , ω und ω : (I1 )2 (ω 1 )2 + (I2 )2 (ω 2 )2 + (I3 )2 (ω 3 )2 = |L |2 ,

(3.61)

I1 (ω 1 )2 + I2 (ω 2 )2 + I3 (ω 3 )2 = 2T.

(3.62)

Multipliziert man (3.62) mit I3 und subtrahiert die entstehende Gleichung von Gleichung (3.61), so folgt: I1 (I1 − I3 )(ω 1 )2 + I2 (I2 − I3 )(ω 2 )2 = |L |2 − 2T I3 .

(3.63)

I1 (I1 − I2 )(ω 1 )2 + I3 (I3 − I2 )(ω 3 )2 = |L |2 − 2T I2 .

(3.64)

Analog folgt:

Hieraus ergibt sich (ω 2 )2 = β1 − β2 (ω 1 )2 (ω 3 )2 = β3 − β4 (ω 1 )2 mit Koeffizienten β1 , β2 , β3 und β4 , die aus (3.63) und (3.64) direkt gewonnen werden können. Setzt man dies in die Gleichung (3.51) für dtd ω 1 ein, so folgt I1

%$ %% 1 $$ d 1 ω = (I2 − I3 ) β1 − β2 (ω 1 )2 β3 − β4 (ω 1 )2 2 . dt

(3.65)

3.6 Zwangsbedingungen

91

Man kann diese Gleichung im Prinzip wieder mit einem von uns bereits mehrfach erprobten Verfahren lösen: Zunächst bestimmt man eine Stammfunktion F (x) von %$ %%− 21 $$ β1 − β2 (x)2 β3 − β4 (x)2 . Es gilt dann d dt d.h.



$

%

I 2 − I3 F ω (t) − t I1 1

 = 0,

% I 2 − I3 $ $ % F ω 1 (t) = t + F ω 1 (0) I1

und es folgt ω 1 (t) = F −1



 $ % I2 − I 3 t + F ω 1 (0) . I1

Damit sind aber auch ω 2 , ω 3 und folglich ωq˙ bekannt. O(t) läßt sich ferner mit Hilfe von ωq˙ durch eine einfache Integration bestimmen. Leider gibt es hierfür keine analytische Formel mehr. Abschließend sollen noch einige Bemerkungen zum sog. körperfesten Koordinatensystem des starren Körpers nachgetragen werden, die an sich nichts zur Ableitung seiner Bewegungsformen beitragen. Dieses körperfeste Koordinatensystem ist durch ein rotierendes Achsenkreuz (O(t)e1 , O(t)e2 , O(t)e3 ) erklärt, das die Drehung des starren Körpers mitvollzieht. Nach Abschnitt 1.4.3 haben alle Vektoren h bezüglich dieses Achsenkreuzes die Gestalt: hk = O−1 (t)h

(k steht für körperfest).

(3.66)

Die letzte Gleichung erlaubt eine ansprechende Interpretation speziell für ωq˙ . Es gilt zunächst: ! ˙ 0i = R˙ + OO ˙ −1 Ox0i = R˙ + ω, Ox0i x˙ i = R˙ + Ox mit ˙ −1 . A(ω) = OO ω(t) ist somit die momentane Winkelgeschwindigkeit von xi . Sie hängt mit ωq˙ wie folgt zusammen: ˙ −1 = OA(ωq˙ )O−1 = A(Oωq˙ ), ˙ −1 = O(O−1 O)O A(ω) = OO d.h.: ωq˙ = O−1 ω.

(3.67)

Nach (3.66) ist ωq˙ somit die Winkelgeschwindigkeit im körperfesten System. Entsprechend ist Lk = Θωq˙ der innere Drehimpuls im körperfesten System. Die „konstante“ innere Energie E erlaubt jetzt mehrere äquivalente Schreibweisen:  1 1 1 1 E = ωq˙ , Θωq˙  = ωq˙ , Lk  = ω, OΘO−1 ω = ω, L  . 2 2 2 2 Insbesondere folgt hieraus die interessante Tatsache, daß das Skalarprodukt zwischen ω(t) und dem konstanten Vektor L ebenfalls konstant ist.

92

3 Das H AMILTONsche Prinzip

3.7

Separable L AGRANGE-Funktionen und zyklische Koordinaten

Wir betrachten ein dynamisches System (mit oder ohne Zwangsbedingungen), dessen Bewegungen durch die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zur L AGRANGE-Funktion L(q, v, t) beschrieben wird. Mit q = (q 1 , . . . , q m ) seien generalisierte Koordinaten bezeichnet, die ggf. schon die Zwangsbedingungen wie in Abschnitt 3.5 berücksichtigen; die Unterscheidung zwischen q und q¯ (sowie zwischen L, L und L ) lassen wir deshalb von jetzt an fallen. Definition 3.2 Die Koordinate q α heißt zyklisch, falls ∂L (q, vq , t) = 0. ∂q α

Für eine zyklische Koordinate gilt aufgrund der E ULER-L AGRANGE-Gleichungen: d ∂L ∂L (q, vq , t) = α (q, vq , t) = 0, α dt ∂vq ∂q d.h. ∂L (q, vq , t) = const. ∂vqα Zu jeder zyklischen Koordinate gehört also ein Integral der Bewegung.

Beispiel 3.4 — Teilchen im Zentralpotential Für L(r, Θ, φ, vr , vΘ , vφ ) =

% 1$ 2 v + r2 (vr2 + sin2 Θ vφ2 ) − V (r). 2 r

(Teilchen im kugelsymmetrischen Kraftfeld) ist φ zyklisch, d.h. ∂L = mr2 sin2 Θ φ˙ = const. ∂vφ (Drehimpulserhaltung)

3.7 Zyklische Koordinaten

93

Im Idealfall sind alle Koordinaten zyklisch: L = L(q, ˙ t). In diesem Fall gilt: ∂L (q, ˙ t) = cα , α = 1, . . . , m . ∂vqα Falls

∂L ˙ t) ∂vqα (q,

nach q˙ aufgelöst wird:

q˙α (t) = f α (t, c), so folgt sofort: 

t

q α (t) = q α (0) +

dt f α (t , c).

0

Die Konstanten cα berechnet man aus den Anfangswerten: q˙α (0) = f α (0, c). Ein System, das durch zyklische Koordinaten allein beschrieben werden kann, heißt integrabel.

Definition 3.3 L heißt separabel, falls L(q, vq , t) = L1 (q1 , vq1 , t) + L2 (q2 , vq2 , t) mit q = (q1 , q2 ) und vq = (vq1 , vq2 ); d.h. die Vektoren q1 = (q 1 , . . . , q k ) und q2 = (q k+1 , . . . , q n ) sollen die ersten k- bzw. die letzten (n − k)-Koordinaten von q zusammenfassen.

Beispiel 3.5 — Zweiteilchensystem mit kugelsymmetrischer Wechselwirkung

L=

M μ |vR |2 + |vy |2 − V (|y|). 2 2

Es gilt offenbar: L = L 1 + L2 mit L1 =

M |vR |2 , 2

L2 =

μ |vy |2 − V (|y|). 2

94

3 Das H AMILTONsche Prinzip

L heißt vollständig separabel, falls L=

m 

Lα (q α , vqα , t).

α=1

In diesem Idealfall sind nur eindimensionale Probleme zu lösen: d ∂Lα α α ∂Lα α α (q , q˙ , t) = (q , q˙ , t); α dt ∂vq ∂q α Falls zusätzlich Lemma 3.3: q˙α

∂Lα ∂t

α = 1, . . . , m.

= 0 gilt, gelingt die Lösung immer mit Hilfe des Erhaltungssatzes nach

∂Lα α α (q , q˙ , t) − Lα (q α , q˙α , t) = cα , ∂vqα

der nach q˙α aufgelöst eine Gleichung der Form q˙α =1 f α (q α , cα ) ergibt. Für eine Stammfunktion F α (x) von (f α (x, cα ))−1 gilt also: d (F α (q α (t)) − t) = 0, dt d.h. F α (q α (t)) = t + Fα (q α (0)) oder, wenn (F α )

−1

die Umkehrfunktion von Fα bezeichnet:

q α (t) = (F α )

−1

(t + F α (q α (0))) .

Die Konstante cα muß jetzt wieder durch den Anfangswert q˙α (0) bestimmt werden. Separabilität der L AGRANGE-Funktion und die Eigenschaft der Koordinaten, zyklisch zu sein, sind die allgemeinen Bedingungen, die optimal angepaßte generalisierte Koordinaten eines mechanischen Systems auszeichnen.

3.8

Eine Variante des H AMILTONschen Prinzips: Wechsel des Zeitparameters

Wir betrachten wieder eine allgemeine L AGRANGE-Funktion L(q, vq , t) sowie das zugehörige Wirkungsfunktional  t2 L(q, q, ˙ t) dt S= t1

3.8 Wechsel des Zeitparameters

95

für die Kurve q(t) = (q 1 (t), . . . , q m (t)). Wir nehmen an, daß die Koordinatenfunktion q m (t) im Integranden nach t aufgelöst werden kann, d.h. t = t(q m ) wird eine Funktion von q m . Ebenso werden q und q˙ Funktion von q m . Wir setzen t = dqdm t(q m ) und finden zunächst: q =

d q = q˙ t . dq m

(Beachte q m  = 1!). Für S bedeutet dies:  S=

q m (t2 ) q m (t1 )

L(q, q  /t , t) t dq m ,

(3.68)

d.h. die Integration über t kann durch eine Integration über q m ersetzt werden. S kann als Wirkungsfunktional der Variablen q¯ = (q 1 , . . . , q m−1 , t) sowie der Geschwindigvq1 , . . . , v¯qm−1 , v¯t ) geschrieben werden, mit einer neuen keiten vq¯ = (¯ L AGRANGE-Funktion:   L (¯ q , vq¯, q m ) = v¯t L(q, vq , t) . m−1 1 vq =(¯ vq /¯ vt ,...,¯ vq

/¯ vt ,1/¯ vt )

Dann gilt nämlich 

q m (t2 ) q m (t1 )







L (¯ q , q¯ , q) dq

m

q m (t2 )

= q m (t1 )

L(q, q  /t , t) t dq m = S.

Die Eigenschaft einer Kurve, Extremum von S zu sein, hängt hiervon nicht ab; also müssen auch für L die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen gelten: d ∂L ∂L  m (¯ q , q ¯ , q ) = (¯ q , q¯ , q m ), dq m ∂¯ vqα ∂ q¯α

α = 1, . . . , m.

(3.69)

Differenziert wird hier allerdings nach q m , und man erhält als Lösung die ersten (m − 1)Koordinaten von q sowie die Zeit t als Funktionen von q m . Es findet also ein Wechsel in der Kurvenparametrisierung statt: q m ersetzt t. Besonders nützlich ist dieser Wechsel der Kurvenparametrisierung, wenn L keine Funktion der Zeit ist und die Koordinaten q 1 , . . . , q m−1 zyklisch sind. In diesem Fall gilt also L = L(q m , vq ) und damit ist   . (3.70) L = v¯t L(q m , vq ) m−1 vq =(¯ vq1 /¯ vt ,...,¯ vq

/¯ vt ,1/¯ vt )

Also ist L zyklisch in allen Koordinaten q¯ und damit nach den Ergebnissen des letzten Abschnitts integrabel.

96

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Beispiel 3.6 — Bewegung eines geladenen Teilchens im konstanten Magnetfeld. O.B.d.A sei nur die z-Komponente von B von Null verschieden. Die L AGRANGEFunktion lautet: m q L = |v|2 + |B|vy x. 2 c Wir ersetzen t durch x als Kurvenparameter und finden nach Formel (3.70) mit q¯ = (y, z, t) und vq¯ = (¯ vy , v¯z , v¯t ): $ % q m 2 L = v¯y + v¯z2 + 1 + |B|¯ vy x. 2¯ vt c Alle Koordinaten sind zyklisch. Es gilt also: ∂L    m q (y , z , t , x) =  y  + |B|x = αm = const., ∂¯ vy t c  ∂L    m (y , z , t , x) =  z  = βm = const., ∂¯ vz t   ∂L    m  2 γ2m 2 (y , z , t , x) = −  2 y  + z  + 1 = − = const. ∂¯ vt 2 2t Hieraus folgt mit ω = t

−2

q|B| mc

+ (ωx − α)2 + β 2 = γ 2 ,

d.h. γ 2 > β 2 und %− 1 $ t = γ 2 − β 2 − (ωx − α)2 2 . Also gilt: t=

  1 1 arcsin (ωx − α)(γ 2 − β 2 )− 2 + const. ω

x=

 1  2 γ − β 2 sin(ωt + φ0 ) + α . ω

oder

Ferner gilt: %− 1 $ y  = −(ωx − α)t = −(ωx − α) γ 2 − β 2 − (ωx − α)2 2 , d.h. 1 ω 1 = ω

y =

$

 %1 γ 2 − β 2 − (ωx − α)2 2 + δ   γ 2 − β 2 cos(ωt + φ0 ) + δ ,

mit konstantem δ ∈ R. Zum Schluß folgt noch aus z = βt + z0 ,

z t

= β, daß

z0 = const.

gelten muß. Wir finden also die Spiralbewegung wieder, die wir im Abschnitt 2.5 abgeleitet hatten.

3.9 Der schwere Kreisel

3.9

97

Der schwere Kreisel

Im Abschnitt 3.6.1 haben wir die L AGRANGE-Funktion eines starren Körpers im konstanten Schwerefeld gefunden: L=

 M 1 |vR |2 − M g ez , R + ωvq , Θωvq . 2 2

L wurde mittels der Zwangsbedingungen xi = R + Ox0i ,

(i = 1, . . . , n),

x0i = const.

für die Massenpunkte xi , aus denen der starre Körper besteht, hergeleitet. R bezeichnet den Schwerpunkt, und O ist eine Drehung, die von drei Parametern q 1 , q 2 , q 3 abhängt, die wir zunächst nicht näher spezifiziert haben. Der Trägheitstensor Θ wird durch die für alle h ∈ R3 gültige Gleichung  !! mi x0i , x0i , h Θh = − i

definiert, und es gilt ferner: 3 !  ∂O ω vq , h = O−1 α h vqα . ∂q α=1

Wir halten jetzt unseren starren Körper am Punkt x1 = 0 fest, d.h. für den Schwerpunktsvektor gilt in diesem Koordinatensystem R = −Ox01 = Oa,

(a = const.).

In einer solchen Situation nennt man unseren starren Körper einen schweren Kreisel. Der Schwerpunkt R wird also einer Zwangsbedingung ϕz unterworfen: R = ϕz (q 1 , q 2 , q 3 ) = O(q 1 , q 2 , q 3 )a

(3.71)

und es gilt: Dϕz (q)(vq ) =

 α

OO−1

! ∂O a vqα = O ωvq , a . α ∂q

Die L AGRANGE-Funktion L , die diese neue Zwangsbedingung berücksichtigt, erhalten wir nach 3.6 aus L durch Ersetzen von R durch Oa und vR durch Dϕz (q)(vq ). Es ergibt sich sofort: !2  M  1 ωvq , a  − M g ez , Oa + ωvq , Θωvq 2 2  1 ¯ v − M g ez , Oa = ωvq , Θω q 2

L =

(3.72)

98

3 Das H AMILTONsche Prinzip

mit ¯ = Θh − M [a, [a, h]] . Θh Falls der starre Körper symmetrisch ist, d.h. falls Θ die Hauptträgheitsmomente I1 = I2 = α, I3 = β besitzt, und falls der Stützpunkt auf der Symmetrieachse liegt, d.h. falls a ein Eigenvektor von Θ mit Eigenwert β ist, so zeigt man, indem man h in die Orthonormalbasis der Eigenvektoren (e1 , e2 , e3 ) von Θ entwickelt, leicht: ¯ = μh + νe3 e3 , h , Θh wobei gilt: μ = α + M |a|2 ,

ν = β − α − M |a|2 ,

e3 =

a . |a|

Unter der vereinfachenden Annahme des symmetrischen Kreisels folgt somit für L : L =

2 μ  2 ν  ω vq + e3 , ωvq − M g|a| ez , Oe3  . 2 2

(3.73)

Diese L AGRANGE-Funktion wollen wir jetzt explizit berechnen, indem wir zur Parametrisierung von O E ULERsche Winkel benutzen (siehe auch die Übung 3.14). Wir schreiben dazu O als Produkt von vier Drehungen O = O1 O3 O2 O0 ,

(3.74)

wobei O0 = const. lediglich dazu dient, die Bedingung O0 e3 = ez zu erfüllen; die E ULERschen Winkel q i parametrisieren die Drehungen Oi : O1 = exp(q 1 A(ez )),

O3 = exp(q 3 A(ex )),

O2 = exp(q 2 A(ez )).

(3.75)

Die Vektoren ex , ey , ez bezeichnen wie üblich ein (raumfestes) Achsenkreuz. Hieraus folgt sofort ez , Oe3  = cos(q 3 ).   Zu berechnen sind noch |ωvq |2 und e3 , ωvq . Zunächst findet man O−1

∂O h = [ωα , h] , ∂q α

wobei, wie man mit der allgemein gültigen Formel O−1 A(ω)O = A(O−1 ω) und (3.74,3.75) leicht nachrechnet, ω1 = O0−1 O2−1 O3−1 ez ,

ω2 = O0−1 ez ,

woraus |ωα | = 1,

ω1 , ω2  = cos(q 3 )

ω3 = O0−1 O2−1 ex ,

3.9 Der schwere Kreisel

99

sowie ω3 , ω1  = ω2 , ω3  = 0 3 folgt. Hieraus ergibt sich mit ωvq = α=1 vqα ωα : |ωvq |2 =

3 

ωα , ωβ  vqα vqβ =

(vqα )2 + 2 cos(q 3 )vq1 vq2 ,

α=1

α,β=1

sowie

3 

  e3 , ωvq = vq2 + vq1 cos (q 3 ) .

Für L findet man hieraus die folgende Form: ⎡ ⎤ 2  1 L = ⎣ gαβ vqα vqβ + μ(vq3 )2 ⎦ − κ cos(q 3 ), 2

(3.76)

α,β=1

mit κ = M g|a| und g11 = ν cos2 (q 3 ) + μ,

g22 = μ + ν,

g12 = g21 = (μ + ν) cos(q 3 ).

(3.77)

L hängt explizit nur von q 3 ab. Nach Abschnitt 3.8 bietet sich daher eine Beschreibung der Bahnkurven mit Hilfe des Kurvenparameters q 3 an. Wir wählen somit als Variable q¯ = (q 1 , q 2 , t) und berechnen L¯ (¯ q , vq¯) nach der Vorschrift des Abschnitts 3.8:   L¯ (¯ q , vq¯) = v¯t L (q, vq ) vq =(¯ vq1 /¯ vt ,¯ vq2 /¯ vt ,1/¯ vt ) ⎛ ⎞ 2 1 ⎝  = gαβ v¯α v¯β + μ⎠ − κ cos(q 3 )¯ vt . (3.78) 2¯ vt α,β=1

In der neuen Parametrisierung sind alle Koordinaten zyklisch, d.h. 2 ∂ L¯ 1 β  (¯ q , q ¯ ) = gαβ q  = hα = const., α = 1, 2 α  ∂¯ vq t β=1 ⎞ ⎛ 2  ∂ L¯ 1 α β (¯ q , q¯ ) = −  2 ⎝ gαβ q  q  + μ⎠ − κ cos(q 3 ) = −E = const. ∂¯ vt 2t α,β=1

(3.79) Mit q  und t werden wie im Abschnitt 3.8 die Ableitungen nach q 3 bezeichnet. Die formale Lösung dieser Gleichung erhält man jetzt wie folgt: Mit der Bezeichnung g αβ für die zu gαβ inverse Matrix gilt: q  = t α

2  β=1

g αβ hβ ,

(α = 1, 2) .

100

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Einsetzen dieses Ausdrucks in (3.79) liefert dann E − κ cos(q 3 ) −

2 1  αβ 1 μ g hα hβ =  2 . 2 2t α,β=1

In der letzten Zeile muß die linke Seite als Funktion von q 3 stets größer Null sein. Diese Forderung schränkt den Bereich, in dem die Variable q 3 variiert, i.a. auf ein endliches Intervall ein. In diesem Intervall gilt also in der Form von unbestimmten Integralen:  3

t(q ) = ± α



3

q (q ) =

μ 2

dq 3

 dq 2 

3



1 E − κ cos(q ) − g αβ hα hβ 2 3

g αβ hβ t (q 3 ) + const.

− 21 + const., (3.80)

β=1

Die Bahnkurven unseres schweren Kreisels sind jetzt vollständig bestimmt. Wir wollen versuchen, die Bewegung kurz zu veranschaulichen, und betrachten die Drehung O1 O3 O2 O0 : O0 dreht die Symmetrieachse in die raumfeste Richtung ez ; O2 versetzt den ganzen Körper in eine Drehung um diese Achse; O3 dreht diese Achse um eine hierzu senkrechte Richtung, der Körper verbeugt sich (Nutation); O1 dreht gleichzeitig den Körper um die Achse ez , die Symmetrieachse wird damit während der Verbeugung noch einmal um ihre ursprüngliche Richtung bewegt (Präzession). Falls die Variation von q 3 wie oben erwähnt auf ein endliches Intervall beschränkt ist, muß die Nutation periodisch verlaufen; der schwere Kreisel nickt nur ein wenig. Ansonsten entartet die Verbeugung in ständiges Überschlagen aus. Reminiszenzen an frühe Kindheitstage seien hier ausdrücklich empfohlen.

3.10

Ein Extremalprinzip für beliebige Kurvenparameter

Wir haben in Abschnitt 3.8 die Bahnkurven eines dynamischen Systems als Funktion einer speziellen Koordinate, die die Zeit ersetzte, betrachtet und hierfür eine L AGRANGE-Funktion hergeleitet. Diese Koordinate hatte eine je nach Problem verschiedene Bedeutung, wie die beiden Beispiele zeigten. Hierauf muß man nicht unbedingt bestehen, ja man kann die Parametrisierung der Bahnkurven vollständig frei wählen; der Preis besteht darin, daß man die Zeit und eine ihr zugeordnete eigene Geschwindigkeit als eigenständige Variablen einführen muß. Der Einfachheit halber wollen wir dies am Beispiel eines einzigen Teilchens illustrieren, dessen Dynamik durch die L AGRANGE-Funktion L(x, v, t) bestimmt sei. Die Wirkung S ist damit  S=

t2

L(x(t), x(t), ˙ t) dt.

t1

Wir setzen t = x0 (τ )/c, wobei c eine Konstante mit der Dimension einer Geschwindigkeit ist  und x0 (τ ) eine beliebige Funktion eines reellen Parameters τ mit der Ableitung x0 (τ ) = 0

3.10 Beliebige Kurvenparameter

101

bezeichnet. In der Praxis ist c meist die Lichtgeschwindigkeit. Es gilt zunächst t =



x0 (τ ) c

x˙ =

und

x c, x0 

(3.81)

woraus (falls ti = x0 (τi )/c für i = 1, 2)    τ2  x (τ ) x0 (τ ) x0 (τ ) L x(τ ), 0  c, S= dτ c c x (τ ) τ1

(3.82)

durch eine elementare Transformation des Integrals folgt. Wir fassen jetzt x und x0 zu einem Vektor x = (x0 , x1 , x2 , x3 ) ∈ R4 zusammen und führen einen entsprechenden Geschwindigkeitsvektor v = (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) ∈ R4 ein. In der L AGRANGE-Funktion L ersetzen wir jetzt t durch x0 /c und v i durch cv i /v 0 und multiplizieren mit v 0 /c. Wir erhalten eine Funktion   1 v 2 v 3 x0 v 0  1 2 3 v L (x, v) = L x , x , x , c 0 , c 0 , c 0 , (3.83) v v v c c der vektoriellen Variablen x und v, für die, wie ein direkter Vergleich mit der Formel (3.82) für S sofort zeigt, die Gleichung  τ2 S= L (x(τ ), x (τ )) dτ (3.84) τ1

gilt. Die Extremalkurven von S sind also durch die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen mit L als L AGRANGE-Funktion bestimmt, d.h. es gilt für die Bahnkurven d ∂L ∂L  (x(τ ), x (τ )) = (x(τ ), x (τ )) , dτ ∂v μ ∂xμ

(μ = 0, . . . , 3).

(3.85)

Von Bedeutung ist dieses Resultat nur, wenn physikalische Gründe dazu zwingen, Raum und Zeit in gleicher Weise zu behandeln. Diese Situation tritt tatsächlich in der Elektrodynamik auf. Für große Geschwindigkeiten ist dort die sogenannte relativistische L AGRANGE-Funktion  1 |v|2 2 q L(x, v, t) = −mc 1 − 2 + A(x, t), v − qΦ(x, t) c c 2

(3.86)

zu verwenden, wobei die vektorwertige Funktion A(x, t) das Vektorpotential und die Funktion Φ(x, t) das skalare Potential des elektromagnetischen Feldes bezeichnen; c ist die Lichtgeschwindigkeit. Wir wollen jetzt L wie in (3.83) berechnen. Das Resultat erhält eine besonders einfache Form, wenn wir ein Skalarprodukt ., . in R4 erklären, h, k = h0 k 0 −

3 

hi k i ,

(3.87)

i=1

und A und Φ zu einem Vektorfeld im R4 zusammenfassen: A = (A0 , A1 , A1 , A3 ),

A0 = Φ

102

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Wir finden dann für L : 1

L (x, v) = −mc v, v 2 − sowie

 S=

τ2 τ1

q A, v c

 1 q − mc x , x  2 + A, x  dτ. c

(3.88)

(3.89)

Falls A = 0 gilt, wird ein freies Teilchen beschrieben; in diesem Fall ist L invariant unter den Transformationen x → Λx + a,

v → Λv,

wobei a ∈ R4 und Λ eine Isometrie des R4 bezüglich des oben definierten Skalarproduktes ., . ist. Durch den Vektor a wird eine Raum-Zeit-Translation erzeugt. Λ kann eine gewöhnliche Drehung des dreidimensionalen Raums sein; erlaubt ist aber z.B. auch (α ∈ R): (Λh)0 = cosh(α)h0 + sinh(α)h1 , (Λh)1 = sinh(α)h0 + cosh(α)h1 , (i = 2, 3) . (Λh)i = hi überraschenderweise liegt keine Invarianz bezüglich der gewöhnlichen G ALILEI-Boosts vor. Diese werden vielmehr durch die letztgenannten neuen Transformationen ersetzt, die explizit Raum und Zeit mischen. Die Isometrien des R4 bilden insgesamt eine Gruppe, die sog. L O RENTZ-Gruppe. Nimmt man die Raum-Zeit-Translation hinzu, so erhält man die sog. P OIN CARÉ-Gruppe. Sie wird, wie die volle G ALILEI -Gruppe, durch 10 reelle Parameter beschrieben (vergl. Übung 3.16). Die L AGRANGE-Funktion (3.88) beschreibt noch nicht die zusätzliche Wechselwirkung unseres Teilchens mit dem Gravitationsfeld. Würde man schlicht ein N EWTONsches Gravitationspotential hinzuaddieren, so erhielte man ein nur für kleine Geschwindigkeiten gültiges Resultat. Die korrekte Lösung dieses Problems wurde von E INSTEIN durch folgende, verblüffend einfache Modifikation von (3.88) erreicht (siehe auch Übung 3.15): Zunächst wird die konstante Raum-Zeit-Metrik in R4 ortsabhängig modifiziert, indem man folgende Ersetzung vornimmt: h, k → g(x)(h, k) =

3 

gμν (x)hμ kν

(3.90)

μ,ν=0

für alle Vektoren h, k ∈ R4 . Entsprechend schreibt man: 1 q L = −mc (g(x)(v, v)) 2 − g(x)(A(x), v) . c

(3.91)

Diese Ersetzung kann offenbar geometrisch so gedeutet werden, daß Längen- und Zeitmessungen nicht universell definiert sind, sondern von der Position des Beobachters abhängen. Ein

3.11 Nebenbedingungen

103

einfaches Beispiel soll uns eine solche Situation illustrieren: Ein Käfer, der über eine unregelmäßig beheizte Platte kriecht, sei mit einem temperaturempfindlichen Längenmaßstab ausgestattet. Er wird für ein und dieselbe Kurve unterschiedliche Längen messen, je nachdem, wie die Temperatur auf seinem Weg variiert. E INSTEIN postuliert nun, daß diese Situation für alle Beobachter in der Raum-Zeit im übertragenen Sinn ebenfalls zutrifft, nämlich daß die Wirkung der Gravitation genau einer Verzerrung der Längen- und Winkelmaßstäbe entspricht (Allgemeine Relativitätstheorie). Entscheidend ergänzt wurde diese Vorstellung von ihm durch Angabe einer Feldgleichung, die die Metrik g(x) in Beziehung zum Energieinhalt der Raum-Zeit setzt.

3.11

Noch eine Variante des H AMILTONschen Prinzips: Nebenbedingungen

Wir kehren jetzt zum H AMILTONschen Prinzip in seiner ursprünglichen Formulierung zurück und betrachten die L AGRANGE-Funktion L (x, v, λ1 , . . . , λr , t) = L(x, v, t) +

r 

λi ϕi (x, t)

(x, v ∈ Rm , λi ∈ R),

i=1

(3.92) wobei ϕi , (i = 1, . . . , r) eine reellwertige Funktion ist, die wir eine Nebenbedingung nennen wollen. L weist die Besonderheit auf, daß keine Abhängigkeit von den zu λi gehörenden Geschwindigkeiten auftritt, d.h. ∂L = 0. ∂vλi

(3.93)

Bei einer Gesamtvariation der vollen Wirkung von L , die auch die Variation der Parameter λi einschließt, gelten natürlich wieder die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen: d ∂L ∂L (x(t), x(t), ˙ λ (t), . . . , λ (t), t) = (x(t), x(t), ˙ λ1 (t), . . . , λr (t), t) 1 r dt ∂v i ∂xi (i = 1, . . . , m)   d ∂L ∂L (x(t), x(t), ˙ λ1 (t), . . . , λr (t), t) = (x(t), x(t), ˙ λ1 (t), . . . , λr (t), t) dt ∂vλi ∂λi (i = 1, . . . , r), die wir hier lediglich nach den Variablen x und λ getrennt aufgeschrieben haben. Die ersten Gleichungen liefern in kompakter Notation wegen (3.92):  x x d v λi ∇ ϕi (x, t). ˙ t)− ∇ L(x, x, ˙ t) = ∇ L(x, x, dt i=1 r

(3.94)

104

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Die rechte Seite wird konventionell als Zwangskraft bezeichnet, die durch die Nebenbedingungen erzeugt wird. Die weiteren Gleichungen ergeben wegen (3.93): ϕi (x, t) = 0

(i = 1, . . . , r) .

(3.95)

Wir nehmen jetzt an, daß durch die letzten Gleichungen eine (zeitlich veränderliche) Hyperfläche im Rm definiert wird, d.h. W = {x ∈ Rm , ϕi (x, t) = 0,

i = 1, . . . , r}

ist offen, und es gibt eine offene Teilmenge Wz ∈ Rk und eine injektive C ∞ -Abbildung: ϕtz : Wz → Rm mit ϕtz (Wz ) = W. Die Punkte in Wz bezeichnen wir mit q = (q 1 , . . . , q k ) und bemerken: (a) Wegen ϕi (ϕtz (q), t) = 0 gilt für die Vektoren $ % ∂ϕtz (q) und ∇ϕi ϕtz (q), t α ∂q aufgrund der Kettenregel  t  $ t % ∂ϕz ϕ (q), ∇ϕ (q), t = 0. i z ∂q α

(3.96)

Gleichzeitig spannen die Vektoren den gesamten Rm auf. (b) Für jede Lösungskurve von (3.94) und (3.95) gilt x(t) = ϕtz (q(t)); wegen der Injektivität von ϕtz ist q(t) eine eindeutig bestimmte Kurve in Wz . (c) Wegen (3.96) steht für eine solche Kurve jeder Summand der rechten Seite von Gleichung (3.94) orthogonal auf den Vektoren ∂ϕtz (q(t)) , ∂q α d.h. für x(t) = ϕtz (q(t)) gilt  t      x ∂ϕz d v d d (q(t)), L x(t), L x(t), x(t), t − x(t), t = 0, ∇ ∇ ∂q α dt dt dt (α = 1, . . . , k) . (3.97) Gleichung (3.94) kann also nach den Parametern λi aufgelöst werden, wobei die Eindeutigkeit der Lösung nicht garantiert ist und auch nicht von uns verlangt wird. Die Gleichungen (3.97) für die Kurve q(t) in Wz sind also die eigentlichen Bestimmungsgleichungen für unsere Bahnkurven. Wir betrachten jetzt die L AGRANGE-Funktion Lz (q, vq , t), die nach Abschnitt 3.6 mit Hilfe von ϕˆtz aus L gewonnen wird: Lz (q, vq , t) = L(ϕˆtz (q, vq ), t).

3.11 Nebenbedingungen

105

Es ist eine leichte Übung, mit Hilfe der Kettenregel die Identität 

     x ∂ϕtz d v d d (q(t)), ∇ L x(t), x(t), t − ∇ L x(t), x(t), t ∂q α dt dt dt d ∂Lz ∂Lz = (q(t), q(t), ˙ t) − α (q(t), q(t), ˙ t) dt ∂vqα ∂q

zu zeigen. (3.97) ist also E ULER-L AGRANGE-Gleichung zu Lz und Lz ist exakt die L AGRAN GE -Funktion zur Zwangsbedingung ϕtz , wie sie in Abschnitt 3.6 von uns formuliert wurde. Wir haben also in diesem Abschnitt eine alternative Formulierung von Zwangsbedingungen in einem Variationsprinzip gefunden, das zunächst mit Hilfe von zusätzlichen Variablen λi (den sog. L AGRANGE-Multiplikatoren) arbeitet; diese Variablen können auf rein algebraischem Wege aus den E ULER-L AGRANGE-Gleichungen bestimmt werden. Die eigentlich relevanten Bewegungsgleichungen ergeben sich danach wie in Abschnitt 3.6.

106

3 Das H AMILTONsche Prinzip

3.12

Aufgaben

Aufgabe 3.1:

Potentiale und Kräfte

Sei Y ∈ C ∞ (Rn , Rn ) ein Vektorfeld. Falls Y = −∇U , U ∈ C ∞ (Rn , R), so heißt U Potential von Y . (a) Zeige: Notwendig und hinreichend für die Existenz eines Potentials ist für alle u, v ∈ Rn die Bedingung: Dv Y, u − Du Y, v = 0. (b) Zeige: Für Y = −∇U hängt das Integral 

t 0

dt Y (x(t )), x(t )

nicht von der speziellen Kurve ab, die x(t) mit x(0) verbindet. (c) Sei U Potential von Y , x0 Gleichgewichtspunkt der Bewegungsgleichung m¨ x = Y (x) , d.h. Y (x0 ) = 0 . Zeige: Die Bewegungen um den Gleichgewichtspunkt bleiben in linearer Näherung genau dann stabil, wenn die Matrix mit den Elementen   ∂2  U (x)   ∂xα ∂xβ

x=x0

positiv definit ist. (d) Zeige: Die Kraft K(x) = [h, x] (h, x ∈ R3 ) besitzt kein Potential. (e) Die Komponente der Kraft K in Richtung μ0 sei gegeben durch Kμ0 =

3 

cμ0 μ1 ···μn xμ1 · · · xμn .

μ1 ...μn

Zeige: K besitzt genau dann ein Potential, wenn cμ0 μ1 ...μn symmetrisch in allen Indizes μ0 . . . μn ist.

3.12 Aufgaben

F (x)

107

m

αx

Abb. 3.1: Periodische Kraft

Aufgabe 3.2:

Periodische Kräfte und Gleichgewichtslagen für eindimensionale Bewegungen

Gegeben sei eine periodisch von Ort x abhängende Kraft F (x), wie sie z.B. in einem Festkörper vorkommen kann, F (x) = λ sin(αx),

λ, α > 0.

Dabei ist λ ein Maß für die Stärke der Kraft und α z.B. in einem Festkörper ein Maß für den Abstand der Kraftzentren. (a) Stelle die eindimensionale Bewegungsgleichung für ein Teilchen der Masse m unter dem Einfluß der Kraft F (x) auf. (b) Bestimme das zu F (x) gehörende Potential V (x) und die Gleichgewichtspunkte xs , d.h die Punkte xs mit F (xs ) = 0. Bestimme die Punkte stabilen bzw. instabilen Gleichgewichts. Hinweis: Siehe Übung 3.1c. (c) Linearisiere die Differentialgleichung in der Nähe der Gleichgewichtspunkte durch den Ansatz x = xs + zund  führe diese auf ein System von Differentialgleichungen z erster Ordnung in y = zurück. v ˙ = v0 (d) Bestimme die Lösungen y(t) mit den Anfangsbedingungen z(0) = z0 , z(0) und untersuche die Stabilität der Bahnen. Gegeben sei jetzt ein Zweiteilchensystem mit (zur Vereinfachung) gleichen Massen m, zwischen denen zusätzlich eine Kraft G12 = κ (x1 − x2 ),

G21 = κ (x2 − x1 ),

κ<0

wirke. Dabei ist κ ein Maß für die Stärke der Kraft. Ohne diese zusätzliche Kraft (d.h. für κ = 0) folgen für die einzelnen Teilchen die gleichen stabilen Lagen, wie in Teilaufgaben (a–d) berechnet. Schaltet man jedoch die Kraft zwischen den Teilchen ein (κ < 0 ist eine anziehende Kraft), so existieren bis auf Verschiebungen um ein Vielfaches von 2π/α nur noch endlich viele, verschieden stabile Lösungen. Das soll im folgenden untersucht werden.

108

3 Das H AMILTONsche Prinzip (e) Zeige, daß die eindimensionale Bewegungsgleichung für das Teilchensystem unter dem Einfluß der Kräfte F , G12 und G21 gegeben ist durch: m¨ x1 = κ (x1 − x2 ) + λ sin(αx1 ) , m¨ x2 = −κ (x1 − x2 ) + λ sin(αx2 ) . (f) Finde die Gleichgewichtspunkte x1s , x2s ; zeige, daß folgende Gleichungen gelten (n ∈ Z): αλ sin(αx1s ) = 2κ (nπ − αx1s ) , αx2s = 2nπ − αx1s ; (Fall A) αλ sin(αx1s ) = κ (2n + 1)π , αx2s = (2n + 1)π + αx1s . (Fall B) (g) Linearisiere die Differentialgleichung in der Nähe der Gleichgewichtspunkte und führe diese auf ein System von 4 Differentialgleichungen erster Ordnung zurück. (h) Zeige, daß dieses System von Differentialgleichungen für die Fälle A (mit Index „+“) bzw. B (mit Index „−“) beschrieben werden kann durch: y(t) ˙ = A± y(t), wobei

⎛ ⎞ z1 (t) ⎜ ⎜ z (t) ⎟ y(t) = ⎝ 2 ⎠ und A± = ⎜ ⎝ v1 (t) v2 (t) ⎛

κ m

0 0 + αλ cos(αx 1s ) m κ −m

κ m

0 0 κ −m αλ ± m cos(αx1s )

1 0 0 0

⎞ 0 1⎟ ⎟. 0⎠ 0

(i) Bestimme die Eigenwerte von A± . Zeige, daß stabile Lösungen für alle Anfangsbedingungen nur für den Fall A existieren können mit cos(αx1s ) < 0. Setze in diesem Fall αx1s = ξ + 2kπ (warum?), π2 ≤ ξ < 3π 2 , k ∈ Z und zeige graphisch, daß die Stabilitätsbedingungen nur von endlich vielen Lösungen ξi (n, k) erfüllt werden. Drücke x1s und x2s mit Hilfe der ξi (n, k) aus. (j) Es seien die Kraftkonstanten so gewählt, daß λ = −κ (4π/α). Bestimme in diesem Fall graphisch die Anzahl der stabilen Punkte und skizziere deren Lage.

Aufgabe 3.3:

Zylinderkoordinaten, sphärische Polarkoordinaten

Sei V offen in R3 , x ∈ R3 . Sei f : V → R3 definiert durch xα = f α (q), q = (q 1 , q 2 , q 3 ), α = 1, 2, 3. Wir untersuchen die folgenden Spezialfälle: (a) Seien q 1 = ρ, q 2 = φ, q 3 = z „Zylinderkoordinaten“ von x mit 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ φ < 2π, −∞ < z < ∞ und f gegeben durch: f 1 = ρ cos φ,

f 2 = ρ sin φ,

(i) Bestimme die JACOBI-Matrix Df (ρ, φ, z).

f 3 = z.

3.12 Aufgaben

109

(ii) Berechne die Metrik g(ρ, φ, z), definiert durch g(ρ, φ, z)(vq , vq ) = Df (ρ, φ, z)(vq ), Df (ρ, φ, z)(vq ) . (b) Seien q 1 = r, q 2 = φ, q 3 = θ die „sphärischen Polarkoordinaten“ von x mit 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ < π und f gegeben durch: f 1 = r sin θ cos φ

f 2 = r sin θ sin φ ,

f 3 = r cos θ .

(i) Bestimme die JACOBI-Matrix Df (ρ, φ, θ). (ii) Berechne die Metrik g(ρ, φ, θ). (c) Berechne die Geschwindigkeit x, ˙ die kinetische Energie T = m ˙ 2 und den Drehim2x puls L = m [x, x] ˙ in Zylinder- und sphärischen Polarkoordinaten.

Aufgabe 3.4:

Relativistische freie Bewegung

Die L AGRANGE-Funktion für die relativistische, kräftefreie Bewegung eines Teilchens der Masse m lautet: &  2 |v| 2 L(x, v) = −mc 1 − , c wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. (a) Bestimme die Bewegungsgleichung. (b) Löse die Bewegungsgleichung. Welche Werte kann die Geschwindigkeit v annehmen?

Aufgabe 3.5:

Bewegung in einem elektromagnetischen Feld

Die L AGRANGE-Funktion für die Bewegung eines Teilchens der Masse m und Ladung q in einem elektromagnetischen Feld mit dem skalaren Potential φ(x, t) und dem Vektorpotential A(x, t) lautet für kleine Geschwindigkeiten: L(x, v, t) =

1 q mv 2 − qΦ(x, t) + v, A(x, t) . 2 c

(a) Bestimme die Bewegungsgleichung. (b) Zeige, daß unter einer sog. Eichtransformation A(x, t) → A (x, t) = A(x, t) + ∇Λ(x, t) 1 ∂Λ φ(x, t) → Φ (x, t) = Φ(x, t) − (x, t) c ∂t

110

3 Das H AMILTONsche Prinzip gilt 1 q mv 2 − qΦ (x, t) + v, A (x, t) 2 c   q ∂Λ = L(x, v, t) + + v, ∇Λ(x, t) . c ∂t

L (x, v, t) =

(c) Schließe hieraus: Die Extremalkurven von L und L sind gleich, d.h. die Bahnkurven x(t) in den Potentialen (φ, A) und (φ , A ) sind gleich.

Aufgabe 3.6:

Bewegung in einem gekrümmten Raum

Die L AGRANGE-Funktion für die Bewegung eines Teilchens der Masse m sei gegeben durch L(x, v) =

1 mgαβ (x) v α v β 2

mit gαβ (x) = δαβ  1+

1  2 2 . |x| R

Bestimme die Bewegung.

Aufgabe 3.7:

Das K EPLER-Problem II

Wir untersuchen das Zweiteilchensystem mit Massen m1 und m2 mit Hilfe der E ULERL AGRANGE-Gleichungen. Die L AGRANGE-Funktion ist gegeben durch L=

1 v, mv − U (x) 2

mit x := (x1 , x2 ), v := (v1 , v2 ) und v, mv := m1 |v1 |2 + m2 |v2 |2

U (x) := V (|x1 − x2 |).

1 2 3 , vR , vR , vr , vθ , vφ ), und sei x(q) Sei x = x(q) mit q = (R1 , R2 , R3 , r, θ, φ) und v = (vR gegeben durch   m2 m1 x(q) = (x1 (q), x2 (q)) = R + y(r, θ, φ), R − y(r, θ, φ) M M

mit y(r, θ, φ) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ).

3.12 Aufgaben

111

(a) Stelle die L AGRANGE-Funktion für die Koordinaten (q, vq ) auf. (b) Bestimme die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen. (c) Bestimme eine spezielle Lösung der E ULER-L AGRANGE-Gleichungen für den Fall θ = π2 , θ˙ = 0, R = R˙ = 0. (d) Was folgt aus der G ALILEI-Invarianz der L AGRANGE-Funktion für die allgemeine Lösung? Hinweis: Benutze dazu die Sätze aus Kapitel 3.

Das sphärische Pendel

Aufgabe 3.8:

Gegeben sei ein sphärisches Pendel, das im Koordinatenursprung aufgehängt sei und dem Einfluß der Schwerkraft unterliege. Die L AGRANGE-Funktion ohne Zwangsbedingung ist gegeben durch L=

1 mv 2 − mgx3 . 2

e3 θ

e2

φ e1

ϑ

m −mg

Abb. 3.2: Sphärisches Pendel

(a) Schreibe die L AGRANGE-Funktion in sphärischen Polarkoordinaten und führe die Zwangsbedingung r = l = const. ein. (b) Bestimme die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen. (c) Bestimme die Ruhelage des Pendels. Löse und diskutiere die möglichen Bahnen des um die Ruhelage linearisierten Problems.

112

3 Das H AMILTONsche Prinzip (d) Bestimme die aus (c) folgenden Konstanten der Bewegung. (e) Löse die vollen E ULER-L AGRANGE-Gleichungen mit Hilfe der Bewegungskonstanten. (f) Bestimme graphisch die Umkehrpunkte der Bewegung.

Aufgabe 3.9:

Das F OUCAULT-Pendel

Die L AGRANGE-Funktion für die Bewegung eines Teilchens der Masse m unter Einfluß eines Potentials U (x) in einem Inertialsystem mit Standardbasis (e1 , e2 , e3 ) lautet: L(x, v) =

1 mv 2 − U (x). 2

(a) Zeige, daß die L AGRANGE-Funktion in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω ∈ R3 rotierenden Koordinatensystem mit Standardbasis (e1 (t), e2 (t), e3 (t)) mit eα (t) = Oω (t)eα , gegeben ist durch L (z, vz ) =

1 1 mv 2 + m ω, [z, vz ] + m| [ω, z] |2 − U (Oω (t)z), 2 z 2

wobei z = Oω (t)−1 x, d.h. z α = eα (t), x und Oω (t)h = exp(A(ω)t)h, A(ω)h = [ω, h] für alle h ∈ R3 . (b) Überprüfe, daß die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen für L zu folgender Bewegungsgleichung im rotierenden Koordinatensystem führen: m¨ z = −2m [ω, z] ˙ − m [ω, [ω, z]] + Oω (t)−1 F (Oω (t)z), wobei F (x) = −(∇U )(x). Betrachtet wird jetzt die Bewegung eines (mathematischen) Pendels (Masse m, Länge ) auf der geographischen Breite β, unter Berücksichtigung der Erdrotation mit Winkelgeschwindigkeit ωE ≈ 7.3 · 10−5 s−1 . 2 (c) Zeige, daß bei Vernachlässigung von Termen der Ordnung ωE , die L AGRANGE3 Funktion nach Teilaufgabe (a) mit U (Oω (t)z) = mgz , unter Berücksichtigung der Zwangsbedingung r =  gegeben ist durch:

L(θ, φ, vθ , vφ ) = m2

1 $

vθ2 + sin2 θ vφ2

%

2 −ωE cos β (1 − cos θ) (sin φ vφ − sin θ cos φ vφ )  g +ωE sin β sin2 θ vφ − (1 − cos θ) , 

wobei g die Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche ist und (r, θ, φ) (siehe Figur) die Polarkoordinaten von z sind.

3.12 Aufgaben

113

ω θ

e3(t)

e2(t)  m φ β e1(t)

Abb. 3.3: F OUCAULT-Pendel

Im folgenden beschränken wir uns auf den Fall kleiner Auslenkungen. (d) Zeige, daß die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung θ2 wie folgt lauten:  g θ¨ = φ˙ 2 + 2ωE sin β φ˙ − θ  φ˙ = −ωE sin β. (e) Gib die allgemeine Lösung zu den Bewegungsgleichungen aus (d) an und diskutiere ˙ = 0, φ(0) = 0, den Bewegungsablauf. (Wähle z.B. als Anfangswerte θ(0) = θ0 , θ(0) ˙ φ(0) = 0).

Aufgabe 3.10:

Trägheitstensor

Der Trägheitstensor eines starren Körpers ist definiert durch:       mi h , x0i , x0i , h , mit mi x0i = 0 . h , Θh = − i

i

(a) Zeige: h , Θh =

 i

   

 mi h , h x0i , x0i − h , x0i h, x0i .

114

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Für den Fall kontinuierlicher Massenbelegung    mi → dm → d3x ρ(x) i

gilt h , Θh = mit





d3x ρ(x) (h , h x, x − h , x h, x) ,

d3x x ρ(x) = 0.

Im folgenden sollen die Trägheitstensoren von Körpern homogener Massenbelegung, d.h. ρ(x) = ρ0 für das ganze Volumen, berechnet werden.Wähle dabei geeignete Koordinaten und den Ursprung des Koordinatensystem so, daß gilt d3x xρ(x) = 0.  3 1 Bestimme jeweils das Volumen V der Körper, den Schwerpunkt R0 = M d x xρ(x), mit  3 M = d x ρ(x) die Gesamtmasse, und berechne die Komponenten Θi j := ei , θej  des Trägheitstensors in einem geeigneten Koordinatensystem, in dem R0 = 0 gilt für die folgenden Fälle: (b) ein Quader mit Kantenlängen 2a, 2b, 2c. (c) ein Zylinder mit Höhe H und Durchmesser 2R. (d) ein Kinderkreisel (Kegel) mit Höhe H und Durchmesser der Grundfläche von 2R. (e) eine Kugel mit Radius R. Hinweise: In Zylinderkoordinaten gilt: d3x = r dr dφ dz In Kugelkoordinaten gilt: d3x = r2 dr dφ du = r2 sin θ dr dφ dθ mit u = cos θ.

Aufgabe 3.11:

Starrer Körper im Schwerefeld

Für einen starren Körper, bestehend aus n Massenpunkten xi gelten die Zwangsbedingungen: xi = R + O x0i , 0 wobei R(t) der Schwerpunkt des starren n Körpers, O(t) ∈ SO(3) eine Drehung und xi ∈ R3 konstante Vektoren sind, wofür i=1 mi x0i = 0 gilt. Wir unterwerfen den starren Körper einer weiteren Zwangsbedingung, indem wir den Schwerpunkt auf einer Kurve R(s) festhalten und gleichzeitig der Drehung O die Zwangsbedingung O(s) = exp [s A(ω0 )] d 2 vorschreiben. s ist die Bogenlänge, d.h.  ds R(s) = 1 und ω0 ∈ R3 ein fester Vektor.

3.12 Aufgaben

115

(a) Zeige, daß diese Zwangsbedingungen für einen Zylinder, der auf einer Ebene abrollt, gelten. (b) Zeige, daß die zu diesen Zwangsbedingungen gehörende L AGRANGE-Funktion die Form 1 Lz (s, vs ) = (M + ω0 , Θω0 ) vs2 − M g e3 , R(s) 2 besitzt, wobei M die Gesamtmasse und Θ der Trägheitstensor ist und die Schwerkraft in der 3-Richtung zeigt. (c) Berechne die Bewegung, falls e3 , R(s) = −α s + β . Überprüfe, ob diese Abhängigkeit R(s) für einen Zylinder, der auf einer schiefen Ebene abrollt, zutrifft. Gegeben sei jetzt ein idealer Hohlzylinder, mit ΘZ = 0, in dessen Innern ein beliebiger starrer Körper angebracht werden kann, so daß die Symmetrieachse des Zylinders durch den Schwerpunkt des Körpers geht. Die Orientierung des Körpers um den Schwerpunkt kann beliebig variiert werden. (d) Diskutiere qualitativ, wie man den Trägheitstensor des starren Körpers aus der Abrollbewegung des Zylinders auf der schiefen Ebene vermessen kann.

Aufgabe 3.12:

Teilchen im Beschleuniger

In dieser Aufgabe wollen wir die Bewegung eines geladenen Teilchens (Ladung q, Masse m) in einem elektromagnetischen Feld in der sogenannten linearen Näherung studieren. Wir werden auf diese Weise einen ersten Eindruck davon gewinnen, wie z.B. ein Teilchenbeschleuniger funktioniert. Gegeben sei eine L AGRANGE-Funktion L(x, v, t) und eine Bahnkurve (die Sollbahn) x0 (t), die eine Lösung der E ULER-L AGRANGE-Gleichungen ist: x  d v  ∇ L (x0 , x˙ 0 , t) = ∇ L (x0 , x˙ 0 , t). dt

116

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Wir betrachten kleine Abweichungen y und w von der Sollbahn x = x0 (t) + y

v = x˙ 0 (t) + w

und wollen (y(t), w(t)) als Funktion der Zeit in linearer Näherung bestimmen. Dazu wird L(x, v, t) um die Kurve (x0 (t), x˙ 0 (t)) bis zur zweiten Ordnung entwickelt: L (x, v, t) = L(x0 , x˙ 0 , t) +

)

* ) v * x y, ∇ L(x0 , x˙ 0 , t) + w, ∇ L(x0 , x˙ 0 , t)

+ L(2) (y, w, t) mit L

(2)

1 (y, w, t) = 2 μ,ν



∂2L ∂2L μ ν (x , x ˙ , t)y y + 2 (x0 , x˙ 0 , t)y μ wν 0 0 ∂xμ ∂xν ∂xμ ∂v ν  ∂2L + (x0 , x˙ 0 , t)wμ wν . ∂v μ ∂v ν

Setze ϕt (y) = x0 (t) + y. Zeige: (a)   ∂ϕt   ϕˆt (y, w) := ϕt (y), Dϕt (y)w + (y) = x0 (t) + y, x˙ 0 (t) + w . ∂t (b) ˜ ϕ(y, ˆ w), t) L(2) (y, w, t) = L( mit ˜ v, t) = L (x, v, t) − v, ∇W (x, t) − ∂ W (x, t) L(x, ∂t und )

v

*

W = (x − x0 ), ∇ L(x0 , x˙ 0 , t) +



t 0

dt L(x0 (t ), x˙ 0 (t ), t ).

Hinweis: Beachte, daß x0 (t) die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zu L erfüllt. Die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zu L(2) (y, w, t) bestimmen die Abweichungen y(t) von der Sollbahn. Setze jetzt L(x, v, t) =

m 2 q |v| + v, A(x, t) , 2 c

wobei A(x, t) ein Vektorfeld ist.

3.12 Aufgaben

117

(c) Zeige, daß damit L(2) (y, w, t) gegeben ist durch L

(2)

 2  m 2 1q  ∂ A (y, w, t) = |w| + (x0 , t), x˙ 0 y μ y ν 2 2 c μ,ν ∂xμ ∂xν   q  ∂A + (x0 , t), w y μ . c μ ∂xμ

F RENETsche Formeln Gegeben sei eine geschlossene Kurve x(s), x(L) = x(0), wobei s die Bogenlänge ist. Daher d gilt für die Tangente x (s) := ds x(s): |x (s)| = 1. Weiterhin sei überall x (s) = 0. Wir definieren jetzt: die Krümmung κ(s) = |x (s)| , den Normalenvektor n(s) = x (s)/κ(s) , den Binormalenvektor b(s) = [x (s), n(s)] . (d) Zeige, daß x (s), x (s) = 0 und schließe hieraus: Die Vektoren x (s), n(s), b(s) bilden für alle s ein Orthonormalsystem. (e) Zeige: Es gibt eine eindeutig bestimmte Funktion τ (s) (die Torsion), so daß die F RE NETschen Formeln gelten: b (s) = τ (s) n(s), n (s) = −κ(s) x (s) − τ (s) b(s). Die Vektoren x (s), n(s) und b(s) können zur Parametrisierung von Nachbarkurven x(s, α, β, γ) von x(s) verwendet werden: x(s, α, β, γ) = x(s + α) + βn(s) + γb(s) ≈ x(s) + αx (s) + βn(s) + γb(s). In der Anwendung ist s(t) eine Funktion der Zeit und die Parameter α, β, γ müssen als Funktionen der Zeit durch die Bewegungsgleichungen bestimmt werden. Im folgenden verwenden wir für y die F RENETschen Koordinaten y = αx0 (s(t)) + βn(s(t)) + γb(s(t)) = ψ t (α, β, γ). (f) Zeige, daß ψˆt (α, β, γ, vα , vβ , vγ ) := $

% ∂ψ t (α, β, γ) ∂t $ % = αx0 + βn + γb , (vα − βκs)x ˙ 0 + (vβ + (ακ + γτ )s)n ˙ + (vγ − βτ s)b ˙ .

ψ t (α, β, γ) , Dψ t (α, β, γ)(vα , vβ , vγ ) +

118

3 Das H AMILTONsche Prinzip (g) Berechne die L AGRANGE-Funktion ˜ β, γ, vα , vβ , vγ , t) = L(2) (ψˆt (α, β, γ, vα , vβ , vγ ), t). L(α, (h) Welche Bedingungen müssen die Gradienten des Vektorfeldes A(x, t) erfüllen, damit die Terme linear in (vα , vβ , vγ ) verschwinden? Wie sieht in diesem Fall L aus? (i) Leite unter der Voraussetzung (h) die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen her und zeige, daß diese zu einem linearen Differentialgleichungssystem mit zeitabhängigen Koeffizienten führen.

Analytisch kommt man zunächst ohne Zusatzannahmen nicht viel weiter. Falls die Krümmung κ(s) und die Torsion τ (s) schnell veränderliche periodische Funktionen der Bahnparameter s sind, kann man die Koeffizienten durch zeitliche Mittelwerte ersetzen. (j) Unter welcher Bedingung arbeitet der Beschleuniger dann in der hier betrachteten linearen Näherung stabil? (k) Ist ein Zyklotron (konstantes B-Feld, z.B. in e3 -Richtung, Sollbahn ist eine Kreisbahn senkrecht zu B mit konstanter Krümmung und ohne Torsion) in obigem Sinne ein stabiler Beschleuniger?

Aufgabe 3.13:

Das Brachistochronenproblem

Es soll eine Rutsche gebaut werden, die von einem vorgegebenen oberen Punkt A zu einem vorgegebenen unteren Punkt B führen soll. Damit möglichst viele Kinder rutschen können, soll die Bahn in kürzester Zeit durchlaufen werden. Welche Form muß die Rutsche, bei Vernachlässigung der Reibung, haben?

e3

A

C(s) B e1

Abb. 3.4: Das Brachistochronenproblem

Als Zwangsbedingung geben wir eine beliebige Kurve C(s) = (x1 (s), x3 (s)) von A nach B vor, die den geometrischen Ort der Rutsche beschreibt. Dabei ist s die Bogenlänge, d.h.

3.12 Aufgaben 

119 

(x1 (s))2 + (x3 (s))2 = 1. Die L AGRANGE-Funktion für diese Zwangsbedingung lautet nach Beispiel 3.2: L(s, vs ) =

m 2 v − mgx3 (s). 2 s

(a) Leite die Bewegungsgleichungen her und zeige: 1 √ 2g



s 0

dσ  = t(s), ε − x3 (σ)

ε=

E . mg

Dabei ist t(s) also die Zeit, die ein Körper benötigt, um bei fester Kurve von A nach (x1 (s), x3 (s)) zu gelangen. (b) Zeige jetzt, daß allgemein gilt ds = dx1

&

dx3 dx1

2 + 1.

(c) Schließe aus (b), daß gilt 1 √ 2g



& xB

dx xA

1

$ dx3 %2 1 + dx 1 = T, ε − x3 (x1 )

wobei T die Zeit ist, um von A nach B zu gelangen. Um die optimale Form der Kurve zu bestimmen, für die T ein Minimum ist, fassen wir T als Wirkungsfunktional von z(x) auf und betrachten die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zur L AGRANGE-Funktion  1 1 + wz2 ˜ wz ) = √ L(z, . ε−z 2g (d) Leite die entsprechenden E ULER-L AGRANGE-Gleichungen her und bestimme damit die Bahnkurven. Hinweis: Verwende dabei eine Substitution vom Typ c2 (ε − x3 ) = sin2 u, wobei c eine Konstante ist. (e) Bestimme (x(u), z(u)) für die Anfangsbedingungen (x1 , x3 )A = (0, h) und (v 1 , v 3 )A = (0, 0).

120

3 Das H AMILTONsche Prinzip Die E ULERschen Winkel

Aufgabe 3.14:

Sei O eine speziell orthogonale Matrix mit Spaltenvektoren e1 , e2 und e3 , d.h. ! O = e1 e2 e3 . Es gilt also: ei , ek  = δik sowie Δ(e1 , e2 , e3 ) = 1 ,

(3.98)

wobei Δ die Volumenform ist. e3 kann durch Polarkoordinaten parametrisiert werden: ⎛ ⎞ sin β sin α e3 = ⎝ − sin β cos α ⎠ mit α ∈ [0, 2π), β ∈ [0, π) cos β (a) Zeige: Die Vektoren e1 und e2 ⎛

⎛ ⎞ ⎞ cos α − cos β sin α e1 = ⎝ sin α ⎠ , e2 = ⎝ cos β cos α ⎠ 0 sin β erfüllen e3 , e1  = e3 , e2  = 0, |e1 | = |e2 | = 1 und e1 , e2  = 0 sowie Δ(e1 , e2 , e3 ) = 1 . Ferner gilt: ⎛ ⎞⎛ ⎞ cos α − sin α 0 1 0 0 ! e1 e2 e3 = ⎝ sin α cos α 0 ⎠ ⎝ 0 cos β − sin β ⎠ . 0 0 1 0 sin β cos β (b) Zeige: Jedes Paar von Vektoren e1 , e2 , das (3.98) genügt, muß die Form e1 = cos γe1 + sin γe2 , e2 = − sin γe1 + cos γe2 mit γ ∈ [0, 2π) haben. Es gilt ferner: !

e1 e2 e3 = e1 e2 e3

!

⎛

⎞ cos γ − sin γ 0 ⎝ sin γ cos γ 0 ⎠ . 0 0 1

(c) Zeige: Aus (a) und (b) folgt O = Oα Oβ Oγ mit ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cos α − sin α 0 1 0 0 cos γ − sin γ 0 Oα = ⎝ sin α cos α 0 ⎠ , Oβ = ⎝ 0 cos β − sin β ⎠ , Oγ = ⎝ sin γ cos γ 0 ⎠ , 0 0 1 0 sin β cos β 0 0 1 d.h. O kann durch 3 Winkel α, β, γ eindeutig parametrisiert werden.

3.12 Aufgaben

121

(d) Zeige: Falls O0 konstant ist, so ist eine eindeutige Parametrisierung auch durch O = Oα Oβ Oγ O0 gegeben. Berechne O−1

∂ O, ∂α

O−1

∂ O, ∂β

O−1

∂ O ∂γ

sowie die eindeutig bestimmten Vektoren ωi , A(ω1 ) = O−1

∂ O, ∂α

A(ω2 ) = O−1

∂ O, ∂β

A(ω3 ) = O−1

∂ O ∂γ

und die Skalarprodukte ωi , ωk .

Aufgabe 3.15:

Das K EPLER-Problem in der Allgemeinen Relativitätstheorie

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird gezeigt: Die Bewegung eines Probekörpers der Masse m im Feld einer schweren, ruhenden Masse M wird durch die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zur L AGRANGE-Funktion  L(x, v) = −mc

2

2 2GM 2GM x, v |v|2 1− 2 − 2 − 2 2 2 c |x| (c |x| − 2GM )|x| c c

 21

bestimmt. (c ist die Lichtgeschwindigkeit und G die Gravitationskonstante). L ist nur für |x| > rS = 2GM/c2 definiert. (rS heißt S CHWARZSCHILD-Radius). Die Bewegung kann zunächst nur für |x| > rS bestimmt werden. (Für |x| < rS fällt der Probekörper in ein schwarzes Loch). (a) Zeige: Falls x(t) eine Lösung der Bewegungsgleichungen ist, so ist auch Ox(t) für jede Drehung O ∈ SO(3) eine Lösung der Bewegungsgleichungen. (b) Zeige: Falls L/c2 in eine Potenzreihe in der Variablen α = c−2 entwickelt wird, so gilt:   L m 2 GM m = −m + α |v| + + O(α2 ). c2 2 |x| Interpretiere dieses Resultat. Wir führen jetzt Polarkoordinaten ein: ⎛ ⎞ r sin θ cos φ x = ψ(r, θ, φ) = ⎝ r sin θ sin φ ⎠ . r cos θ

122

3 Das H AMILTONsche Prinzip (c) Zeige, daß die L AGRANGE-Funktion   ˆ θ, φ, vr , vθ , vφ ) L (r, θ, ψ, vr , vθ , vφ ) = L φ(r, gegeben ist durch  

L (r, θ, φ, vr , vθ , vφ ) = −mc

2

rS v2 1− − 2$ r r c 1−

 21

% r2 $ 2 2 2 % rS − 2 vθ + sin θ vφ c r

.

(d) Berechne die zu L zugehörigen E ULER-L AGRANGE-Gleichungen sowie     ∂L ∂L ∂L  H = r˙ + θ˙ + φ˙ − L  .  ∂vr ∂vθ ∂vφ ˙ ˙ r,θ,φ,r, ˙ θ,φ

Begründe, daß H = const. (e) Zeige, daß die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen eine spezielle Lösung mit θ = const. = π 2 besitzen und daß für diese Lösung gilt: r2 φ˙ = const. = a 1 − rrS und 1 r˙ 2 − $ 1 − rrS c2 1 −

% − rS 3 r

a2 = const. = b. c2 r 2

Schließe aus (a): Die allgemeine Bewegung wird aus dieser speziellen Lösung durch eine Drehung erzeugt. (f) Fasse r als Funktion von φ auf und zeige, daß mit r := r =± r2



c2 (1 − b) bc2 rS 1 rS + 2 − 2+ 3 a2 a r r r

dr dφ

die Gleichung

 21

gilt. (g) Vernachlässige zunächst den Term proportional zu r−3 unter der Wurzel. Wie sieht r als Funktion von φ aus? Vergleiche dieses Resultat mit der bekannten Lösung r(φ) des K EPLER-Problems und schließe, daß die volle Lösung der letzten Gleichung keinen konstanten RUNGE-L ENZ-Vektor mehr erlaubt. (Phänomen der Periheldrehung!).

3.12 Aufgaben Aufgabe 3.16:

123 Die L ORENTZ-Transformationen

Wir versehen den R4 mit einem Skalarprodukt ., .: h, k :=

3 

εμ h μ k μ ,

μ=0

wobei

⎛

⎞ ⎛ 0⎞ h0 k ⎜ h1 ⎟ ⎜ k1 ⎟ h = ⎝ 2 ⎠,k = ⎝ 2 ⎠; h k h3 k3

ε0 = 1,

εi = −1

(i = 1, 2, 3).

., . heißt M INKOWSKI-Metrik. Definition 3.4 h heißt lichtartig, h heißt zeitartig, h heißt raumartig,

falls h, h = 0 und h = 0, falls h, h > 0, falls h, h < 0 .

Für die Standardbasis eμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 ⎜0⎟ ⎜1⎟ e0 = ⎝ ⎠ , e1 = ⎝ ⎠ , 0 0 0 0

⎛ ⎞ 0 ⎜0⎟ e2 = ⎝ ⎠ , 1 0

⎛ ⎞ 0 ⎜0⎟ e3 = ⎝ ⎠ 0 1

gilt also e0 ei

ist zeitartig, ist raumartig (i = 1, 2, 3).

Im R4 ist eine Determinantenfunktion Δ(x1 , x2 , x3 , x4 ) eindeutig durch die Bedingung Δ(e0 , e1 , e2 , e3 ) = 1 festgelegt. Die L ORENTZ-Gruppe L ist die Gruppe aller linearen Transformationen Λ : R4 → R4 mit Λh, Λk = h, k . (a) Zeige: Falls Λe0 = e0 , so gilt: ⎛ ⎞ 10 0 0 ⎜0 ⎟ k Λ=⎝ P , 0 O ⎠ 0 wobei P k die Raumspiegelung bezeichnet, k = 1, 2 und O ∈ SO(3) eine Drehung ist.

124

3 Das H AMILTONsche Prinzip

Wir wollen in der Folge O mit der entsprechenden Transformation in R4 (s.o.) identifizieren. (b) Zeige: Durch (Λ(α)h)0 (Λ(α)h)1 (Λ(α)h)2 (Λ(α)h)3

= = = =

cosh(α) h0 + sinh(α) h1 sinh(α) h0 + cosh(α) h1 h2 h3

wird eine L ORENTZ-Transformation Λ(α), (α ∈ R) erklärt. (c) Zeige, daß mit v/c sinh(α) =  , 1 − (v/c)2

1 cosh(α) =  , 1 − (v/c)2

und h0 = x0 = ct, hi = xi für c−1 → 0 die L ORENTZ-Transformation Λ(α) in eine G ALILEI-Transformation übergeht. Sei Λ eine L ORENTZ-Transformation und p ein 4-Vektor mit ⎛

⎞ p0 ⎜ p1 ⎟ Λe0 = p = ⎝ 2 ⎠ p p3 und sei O eine Drehung mit ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ p |p| ⎝ p2 ⎠ = sign(p0 ) O ⎝ 0 ⎠ , 0 p3 wobei |p| =

+ 3

2

i=1

(pi ) . Setze α = arsinh(|p|).

(d) Zeige: p = sign(p0 ) O Λ(α) e0 . (e) Zeige: Es gibt zwei Drehungen O1 und O2 , so daß Λ = sign(p0 ) O1 Λ(α) O2 P k , mit k = 1 für det(Λ) = −1 und k = 2 für det(Λ) = 1.

3.12 Aufgaben

125

Durch −P wird die Zeitspiegelung und durch −1I die Raumzeitspiegelung erklärt. Diejenigen Elemente Λ, die keine Spiegelungen enthalten, bilden eine Untergruppe L+ von L, die Gruppe der eigentlich orthochronen L ORENTZ-Transformationen. Die Generatoren von L+ : Sei A : R4 → R4 linear und schief bezüglich ·, ·, d.h. für alle h, k ∈ R4 gilt: h, Ak = − Ah, k . ˆ die Menge dieser linearen, schiefen Transformationen. Setze Sei L ωμν h = eμ eν , h − eν eμ , h ,

μ < ν.

Weiterhin wird der Kommutator von A und B definiert durch ˆ [A, B]− := AB − BA für alle A, B ∈ L. ˆ ist ein 6-dimensionaler Vektorraum mit Basis ωμν . (f) Zeige: L ωμν heißen die Generatoren von L+ . ˆ für A, B ∈ L. ˆ (g) Zeige [A, B]− ∈ L (h) Berechne die Kommutatoren [ωμν , ωκλ ]− . (i) Zeige: Λ(τ ) = exp(τ A) ∈ L+ . (j) Berechne exp(τ ωμν )x für beliebiges x.

Aufgabe 3.17:

Relativistische Bewegung eines Teilchens in einem elektromagnetischen Feld

Für ein geladenes Teilchen der Masse m und Ladung q werden die Bewegungsgleichungen in einem elektromagnetischen Feld durch die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zur L A GRANGE -Funktion 1 q L(x, v) = −mc v, v 2 − A(x), v c bestimmt. A(x) ∈ R4 ist das sog. Vektorpotential der elektromagnetischen Felder. Für ein ˆ (Für konstantes elektromagnetisches Feld kann A(x) = − 21 F x gesetzt werden mit F ∈ L. die Notation siehe Aufgabe 3.16). (a) Leite für dieses konstante elektromagnetische Feld die Bewegungsgleichungen her. Setze x(τ ) = x(s(τ )) mit d s(τ ) = dτ



d d x(τ ), x(τ ) dτ dτ

 21 .

126

3 Das H AMILTONsche Prinzip (b) Zeige, daß gilt x , x  = 1, wobei x =

d ds x(s).

(c) Zeige, daß die Bewegungsgleichungen aus a) zu d2 d x= Gx ds2 ds q ˆ führen, wobei G = − mc 2 F ∈ L.

(d) Zeige, daß die Lösung zu dieser Differentialgleichung wie folgt geschrieben werden kann:  s dσ exp ((s − σ)G) x (0). x(s) = x(0) + 0

(e) Skizziere die vollständige Berechnung von x(s) für folgende Fälle: (i) Ein konstantes Feld mit ⎛

F μν

0 ⎜E :⎝ 0 0

E 0 0 0

0 0 0 B

⎞ 0 0 ⎟ . −B ⎠ 0

Hinweis: Zerlege F nach den Generatoren ωμν von L+ . (ii) Ein konstantes Feld mit ⎛

F μν

0 ⎜B :⎝ 0 0

B 0 B 0

0 −B 0 0

⎞ 0 0⎟ . 0⎠ 0

(Man kann zeigen, daß der allgemeine Fall eines konstanten Feldes durch geeignete L O RENTZ -Transformationen auf die Fälle (e.i) und (e.ii) zurückzuführen ist.)

4

H AMILTONsche Mechanik

4.1

Die H AMILTONschen Gleichungen

In Abschnitt 2.2 wurden die N EWTONschen Gleichungen in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung überführt. Dies soll nun für die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen zur L AGRANGEFunktion L(q, vq , t) der Variablen q = (q 1 , . . . , q m ) und Geschwindigkeiten v = (vq1 , . . . , vqm ) in einer Weise durchgeführt werden, die das System möglichst symmetrisch macht. Zunächst definieren wir neue Variablen (die sog. kanonischen Impulse) pμ =

∂L (q, vq , t), ∂vqμ

(μ = 1, . . . , m),

(4.1)

wobei wir von L verlangen, daß für festes q und t die Gleichungen (4.1) nach vq aufgelöst werden können. Weiter definieren wir die H AMILTON-Funktion H(q, p, t) durch: H(q, p, t) =

m 

pμ vqμ (q, p, t) − L (q, vq (q, p, t), t) .

(4.2)

μ=1

H besitzt die folgenden Eigenschaften, die durch elementare Anwendung der Kettenregel bewiesen werden: ∂H = vqκ , ∂pκ

∂H ∂L = − κ, ∂q κ ∂q

(κ = 1, . . . , m).

(4.3)

Für eine Extremalkurve q(t), die den E ULER-L AGRANGE-Gleichungen genügt, ist pμ (t) =

∂L (q(t), q(t), ˙ t) ∂vqμ

und damit gelten wegen (4.3) die H AMILTONschen Gleichungen: p˙κ = −

∂H (q, p, t), ∂q κ

q˙κ =

∂H (q, p, t), ∂pκ

(κ = 1, . . . , m).

(4.4)

Wir fassen dieses in der Tat in q und p hochsymmetrische Resultat, das offenbar eine äquivalente Umformung der E ULER-L AGRANGE-Gleichungen darstellt, noch einmal in kompakter, leicht merkbarer Form zusammen:

128

4 Die H AMILTONsche Mechanik

H AMILTONsche Gleichungen vq

H = p, vq  − L

p =∇ L,

(4.5) q

p

p˙ = − ∇ H,

q˙ =∇ H.

Das Gleichungssystem wird allein durch die sog. H AMILTONsche Funktion H bestimmt. Wir berechnen sie für zwei wichtige Beispiele:

Beispiel 4.1 — n Massenpunkte Unsere Standard-L AGRANGE-Funktion für n Massenpunkte xi lautet: L(x, v) =

1 v, mv − U (x), 2

(x = (x1 , . . . , xn ) und m ist die Massenmatrix). Also gilt: v

p =∇ L = mv. Somit folgt: v = m−1 p und H(x, p) =

 1 p, m−1 p + U (x). 2

Für ein einziges Teilchen gilt speziell H(x, p) =

|p|2 + U (x). 2m

Beispiel 4.2 — Geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld Die L AGRANGE-Funktion für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld mit Vektorpotential A und skalarem Potential Φ lautet (in relativistischer Form):  |v|2 q 2 L(x, v) = −mc 1 − 2 + A(x), v − qΦ(x). c c

4.2 Die JACOBIsche Lösungsmethode

129

Also ist v mv q p =∇ L = + + A. 2 c 1 − |v| c2

Es folgt: 

 2 q   H(x, p) = c m2 c2 + p − A(x) + qΦ(x). c Für kleine Geschwindigkeiten gilt: L ≈ −mc2 +

m 2 q |v| + A, v − qΦ, 2 c

q p = mv + A, c 1  q 2 2 H = mc + p − A + qΦ. 2m c

Beachte, daß hier nicht die Beziehung p = mv gilt!

4.2

Die JACOBIsche Lösungsmethode

Wir wollen zunächst eine spezielle Lösungsmethode für die H AMILTONschen Gleichungen angeben, die auf JACOBI zurückgeht. Später werden wir eine elegante Herleitung dieser Methode mit differentialgeometrischen Mitteln nachliefern. Zunächst gehen wir aber vergleichsweise anspruchslos vor und machen eine weitere Variablentransformation: pμ =

∂W (q, Q, t), ∂q μ

(4.6)

die p als q-Gradienten einer Funktion von q und Q sowie der Zeit t ausdrückt. Die Existenz von W wird später durch das Lösen der sich ergebenden Differentialgleichung für W gesichert. Damit die Auflösbarkeit nach der Variablen Q garantiert ist, müssen wir det

∂2W = 0 ∂Qν ∂q μ

(4.7)

fordern. Es gilt zunächst p˙ μ =

 κ

∂2 ∂2 κ W q ˙ + W Q˙ κ ∂q κ ∂q μ ∂Qκ ∂q μ

 +

∂2 W. ∂t∂q μ

Werden jetzt die H AMILTONschen Gleichungen für q˙κ und p˙ μ benutzt, so folgt hieraus:  κ

 ∂2 ∂2 ∂H ∂H ∂2 ˙κ = − W Q W − − W. ∂Qκ ∂q μ ∂q κ ∂q μ ∂pκ ∂q μ ∂q μ ∂t κ

130

4 Die H AMILTONsche Mechanik q

Die rechte Seite ist entgegengesetzt gleich dem Gradienten ∇ der Funktion  ∂W  q K(q, Q, t) = H q, ∇ W (q, Q, t), t + (q, Q, t) . ∂t

(4.8)

Es gilt also:  κ

∂2 ∂K W Q˙ κ = − μ . ∂Qκ ∂q μ ∂q

(4.9)

Ferner gilt wieder aufgrund der H AMILTONschen Gleichungen 

q˙μ

μ

 ∂2 ∂2 ∂H W = W . κ ∂q μ ∂Qκ ∂q μ ∂Q ∂p μ μ

Wir addieren auf beiden Seiten den Ausdruck  μ

∂2 ∂Qμ ∂Qκ

W Q˙ μ +

∂2 W ∂Qκ ∂t

und erhalten  d ∂W ∂K ∂2 = + W Q˙ μ . μ ∂Qκ dt ∂Qκ ∂Qκ ∂Q μ

(4.10)

Die JACOBIsche Methode besteht nun darin, die Funktion W so zu bestimmen, daß K ≡ 0 gilt. 2 In diesem Fall liefert wegen det ∂Q∂κ ∂qμ W = 0 die Gleichung (4.9) sofort Q = const. und (4.10) ergibt ∂W (q, Q, t) = −Pκ = const. ∂Qκ

(4.11)

Die Lösungskurve q(t) wird also aus (4.11) durch rein algebraisches Auflösen des Q-Gradienten von W nach der Variablen q gewonnen. Die ganze Schwierigkeit der Integration der Bewegungsgleichungen ist auf die Lösung der Gleichung K = 0, d.h. ausgeschrieben auf die Lösung von q

H(q, ∇ W, t) +

∂W =0 ∂t

verschoben. Dies ist eine partielle Differentialgleichung für W , die überdies keine explizite Abhängigkeit von Q enthält. Diese Abhängigkeit tritt erst parametrisch in der Lösung auf, wie wir gleich sehen werden. Zunächst fassen wir aber unser Ergebnis noch einmal kompakt zusammen:

4.2 Die JACOBIsche Lösungsmethode

131

H AMILTON -JACOBI-Gleichung Die Lösungen der H AMILTONschen Gleichungen können mit Hilfe einer Funktion W gewonnen werden, die der JACOBI-Gleichung q

H(q, ∇ W, t) +

∂W =0 ∂t

(4.12) 2

W genügt, explizit von q,t und parametrisch von Q abhängt sowie der Bedingung det ∂q∂μ ∂Q κ = 0 genügt. Eine solche Lösung wird vollständig genannt. Die Lösungskurve q(t) erhält man aus Q

∇ W (q(t), Q, t) = −P

(Q, P = const. ∈ Rm ).

(4.13)

Wir wollen dieses Verfahren zunächst an einigen Beispielen illustrieren und wählen hierfür 1 Einteilchenprobleme mit der H AMILTON-Funktion H = 2m |p|2 + U (x).

Beispiel 4.3 — Die freie Bewegung (U (x) = 0) Die JACOBI-Gleichung lautet für W (x, Q, t) 1 x ∂W | ∇ W |2 + = 0. 2m ∂t Wir versuchen den Ansatz W = Q, x − Et,

(Q ∈ R3 , E ∈ R),

der sofort 1 1 |Q|2 − E = 0, d.h. E = |Q|2 2m 2m ergibt. Die Bewegung ist durch Q

−P =∇ W (x, Q, t) = x(t) −

Q t, m

(Q, P = const. ∈ R3 )

bestimmt. Wir finden also in der Tat die wohlbekannte freie Bewegung.

132

4 Die H AMILTONsche Mechanik

Beispiel 4.4 — Der harmonische Oszillator (U (x) = 21 mω 2 |x|2 ). Die JACOBI-Gleichung lautet jetzt: 1 x 1 ∂W | ∇ W |2 + mω 2 |x|2 + =0 2m 2 ∂t oder ausgeschrieben    2 3  1 ∂W 1 ∂W 2 i 2 + mω (x ) + = 0. i 2m ∂x 2 ∂t i=1 Der Ansatz 3 

W =

Wi (xi ) − Et

i=1

liefert ∂W ∂Wi i (x) = (x ), i ∂x ∂xi

∂W = −E ∂t

und damit 3 



i=1

1 2m



2

∂Wi i (x ) ∂xi

1 + mω 2 (xi )2 2

 = E.

Falls jeder Summand der linken Seite konstant ist, läßt sich diese Gleichung offenbar lösen. Wir setzen  2 1 ∂Wi 1 m + mω 2 (xi )2 = ω 2 (Qi )2 2m ∂xi 2 2 und E=

3  1 i=1

2

mω 2 (Qi )2

und finden für W  ∂Wi = mω (Qi )2 − (xi )2 i ∂x mit der Lösung mω W = 2



 x (Qi )2 − (xi )2 + (Qi )2 arcsin i



xi Qi

 .

4.2 Die JACOBIsche Lösungsmethode

133

Die Bewegung ergibt sich aus ∂W −Pi = = mωQi arcsin ∂Qi



xi Qi



− mω 2 Qi t.

Aufgelöst nach xi folgt  xi (t) = Qi sin ωt −

Pi mωQi

 ,

d.h. wir finden die einfache periodische Zeitabhängigkeit, die uns für dieses Problem schon einmal begegnet ist, wieder.

4.2.1

JACOBI-Methode: Allgemeiner Separationsansatz

Die beiden einfachen Beispiele des letzten Abschnitts weisen folgende Gemeinsamkeit auf: W hat in beiden Fällen die Gestalt W =

3 

Wi (xi ) − Et.

i=1

Wir wollen jetzt eine Verallgemeinerung dieses Ansatzes an einem weiteren Beispiel demonstrieren:

Beispiel 4.5 — Das Zweizentren-C OULOMB-Problem (U (x) = a/|x+ | + b/|x− |; a, b ∈ R) ⎞ x1 x± = ⎝ x 2 ⎠ , x3 ± σ ⎛

σ ∈ R \ {0}.

In diesem Fall versuchen wir es mit dem Ansatz W =

3 

Wi (q i (x)) − Et,

i=1

wobei die Funktionen 1 (|x+ | + |x− |) , 2σ 1 q 2 (x) = (|x+ | − |x− |) , 2σ  2 x 3 q (x) = arctan , x1 q 1 (x) =

134

4 Die H AMILTONsche Mechanik die sog. elliptischen Koordinatenfunktionen darstellen. Es gilt zunächst   1 x+ x− + , 2σ |x+ | |x− |   1 x+ x− ∇q 2 = − , 2σ |x+ | |x− | ⎛ ⎞ −x2 1 ⎝ x1 ⎠ . ∇q 3 = 1 2 (x ) + (x2 )2 0

∇q 1 =

Hieraus ergibt sich, ausgedrückt in den Koordinaten q:  i  ∇q , ∇q k = 0, (i = k); (q 1 )2 − 1 , σ 2 ((q 1 )2 − (q 2 )2 ) 1 − (q 2 )2 |∇q 2 |2 = 2 1 2 , σ ((q ) − (q 2 )2 )   1 1 1 |∇q 3 |2 = 2 1 2 + ; σ ((q ) − (q 2 )2 ) (q 1 )2 − 1 1 − (q 2 )2 |∇q 1 |2 =

(b + a)q 1 + (b − a)q 2 . σ ((q 1 )2 − (q 2 )2 )

U (x(q)) =

Die JACOBI-Gleichung lautet: 1 ∂W |∇W |2 + U (x) + = 0. 2m ∂t Beachtet man die Formel |∇W |2 =

3  

∇q i , ∇q k

i,k=1

 ∂W ∂W , ∂q i ∂q k

so führt unser Ansatz für W auf die Gleichung:   2 1 ∂W1 1 2 ((q ) − 1) 2mσ 2 ((q 1 )2 − (q 2 )2 ) ∂q 1  2   2  ∂W2 1 1 ∂W3 2 2 +(1 − (q ) ) + + ∂q 2 (q 1 )2 − 1 1 − (q 2 )2 ∂q 3 ! 1 + (b + a)q 1 + (b − a)q 2 − E = 0. σ ((q 1 )2 − (q 2 )2 )

4.2 Die JACOBIsche Lösungsmethode

135

In dieser Gleichung taucht q 3 nicht explizit auf, weshalb der Ansatz W3 (q 3 ) = q 3 Q3 ,

(Q3 = const.)

naheliegt. Hiermit folgt aus der letzten Gleichung    2 1 ∂W1 (Q3 )2 a+b 1 1 2 ((q ) − 1) + 1 2 + q − E (q 1 )2 2mσ 2 ∂q 1 (q ) − 1 σ    2 1 ∂W2 (Q3 )2 2 2 = ((q ) − 1) + 2 2 2mσ 2 ∂q 2 (q ) − 1 +

a−b 2 q − E (q 2 )2 . σ

Die beiden Seiten dieser Gleichung hängen von verschiedenen Variablen ab und müssen deshalb gleich einer Konstanten A sein. Hieraus folgt durch Auflösen nach ∂Wi ∂q i und einmaliger Integration

 i

Wi (q ) =

dq

i

21 2mσ 2 (A + E(q i )2 − αi q i ) (Q3 )2 − (q i )2 − 1 ((q i )2 − 1)2 a+b a−b (α1 = , α2 = ). σ σ

Wir haben also eine Lösung der JACOBI-Gleichung gefunden, die von drei Parametern Q1 = A, Q2 = E und Q3 abhängt, und können jetzt wie im letzten Abschnitt die Bewegungen bestimmen. 3 Der sog. Separationsansatz W = i=1 Wi (q i ) − Et beschreibt in der Tat die für die Praxis wichtigste Lösungsmethode. Er führt natürlich nur in Spezialfällen zum Erfolg, nämlich dann, wenn wir für ein Problem geeignete Koordinaten finden und wie im obigen Beispiel tatsächlich i Gleichungen für die Ableitungen ∂W ∂q i allein herleiten können. Ein allgemeines Kriterium für eine solche Situation läßt sich leider nicht angeben. Für die physikalische Anwendung ist die Methode jedoch deshalb wichtig, weil für hinreichend viele dynamische Systeme die Bewegung tatsächlich nach der JACOBI-Methode berechnet werden kann. Für unser Zweizentrenproblem stellt dies sogar den einfachsten Lösungsweg dar. Wir bemerken, daß überdies noch eine besondere Vereinfachung eintritt, wenn für den Separationsansatz in der JACOBI-Gleichung keine explizite Abhängigkeit von den Koordinaten q i auftritt (in unserem Beispiel ist dies die Koordinate q 3 ). q i heißt in diesem Fall zyklische Koordinate, und es genügt für W offenbar der lineare Ansatz Wi (q i ) = Qi q i , um die gesamte q i -Abhängigkeit aus der JACOBI-Gleichung zu eliminieren. Wir illustrieren das Separationsverfahren abschließend noch einmal für den Fall eines sphärischsymmetrischen Potentials.

136

4 Die H AMILTONsche Mechanik

Beispiel 4.6 — Kugelsymmetrisches Potential (U (x) = U (|x|)) Jetzt berechnen wir allerdings erst die H AMILTON-Funktion in Polarkoordinaten. Ausgangspunkt ist die L AGRANGE-Funktion L=

$ %% m$ 2 v + r2 vθ2 + sin2 θ vφ2 − U (r), 2 r

woraus pθ = mr2 vθ ,

pr = mvr , sowie 1 H= 2m



p2r

pφ = mr2 sin2 θ vφ

1 1 + 2 p2θ + 2 2 p2φ r r sin θ

 + U (r)

nach den allgemeinen Formeln für H folgt. Der Separationsansatz W = W1 (r) + W2 (θ) + W3 (φ) − Et für die JACOBI-Gleichung liefert jetzt  2  2  2  1 ∂W1 1 ∂W2 1 ∂W3 + 2 + 2 2 + U (r) = E. 2m ∂r r ∂θ ∂φ r sin θ Offenbar ist φ zyklisch, und wir können W3 = Q3 φ ansetzen. Hieraus folgt:   2  2 ∂W1 ∂W2 (Q3 )2 2 r + 2m(U (r) − E) = − − . ∂r ∂θ sin2 θ Wieder hängen beide Seiten von verschiedenen Variablen r und θ ab, müssen also gleich einer Konstanten A sein. Es gilt somit:  

∂W2 ∂θ ∂W1 ∂r

2 = −A − 2

(Q3 )2 , sin2 θ

= 2m (E − U (r)) +

A . r2

Wir können W2 und W1 als unbestimmte Integrale, die von den Parametern Q1 = E, Q2 = A und Q3 abhängen, explizit ausdrücken und erhalten so eine vollständige Lösung der JACOBI-Gleichung. Der Unterschied zu Beispiel (4.5) besteht darin, daß wir zuerst die H AMILTON-Funktion in Polarkoordinaten ausgerechnet und dann erst die JACOBI-Gleichung aufgestellt haben. In Beispiel (4.5) sind wir von der JACOBI-Gleichung in kartesischen Koordinaten ausgegangen und

4.2 Die JACOBIsche Lösungsmethode

137

haben dann (mit Hilfe des Lösungsansatzes) die Gleichung in den angepaßten Koordinaten q i berechnet. Hätten wir auch im letzten Beispiel den zuletzt benutzten Weg eingeschlagen, so wären wir in der Tat zum gleichen Endresultat gelangt. Allgemein gilt, daß die Einführung geeigneter Koordinaten entweder direkt in der JACOBI-Gleichung oder über die Berechnung der H AMILTON-Funktion in den neuen Koordinaten erfolgen kann und daß beide Wege zu identischen Resultaten führen. Der Beweis dieser Behauptung ergibt sich leicht durch explizites Nachrechnen.

4.2.2

Abschließende Bemerkungen zur JACOBI-Methode

Wir fassen jetzt zusammen, was wir anhand unserer Beispiele über die Lösung der H AMILTONschen Bewegungsgleichungen mit Hilfe der JACOBI-Methode gelernt haben: Falls es gelingt, eine vollständige Lösung der partiellen Differentialgleichung q

H(q, ∇ W, t) +

∂W =0 ∂t

zu finden, so ergeben sich die Bahnkurven aus der Gleichung Q

∇ W (q, Q, t) = −P für konstante Werte von Q und P auf rein algebraischem Wege. Die Angabe einer vollständigen Lösung für W gelingt in der Praxis meist nur, wenn die JACOBI-Gleichung einen Separationsansatz erlaubt: W =

m 

Wμ (q μ ) − Et,

μ=1

wobei für eine zyklische Koordinate der lineare Ansatz Wμ (q μ ) = Qμ q μ hinreicht. (Zur Erinnerung: q μ heißt zyklisch, falls H nicht explizit von q μ abhängt). Falls ein solcher Separationsansatz nicht gefunden werden kann, ist die Konstruktion der Lösung W i.a. genauso schwierig wie die Integration der ursprünglichen Bewegungsgleichung für alle Anfangswerte. In der Tat läßt sich W sehr einfach aus den Bahnkurven herleiten: Dazu beachten wir die Identität   ∂W ∂W L(q, q, ˙ t) = pμ q˙μ − H(q, p, t) = q˙μ + . μ ∂q ∂t μ μ Beachten wir jetzt, daß für eine Lösungskurve q(t) Q = const. gilt, so folgt also L(q, q, ˙ t) = und damit

 S(q) =

t2

t1

d W dt

dt L(q, q, ˙ t) = W (t2 ) − W (t1 ).

138

4 Die H AMILTONsche Mechanik

Der Wert von W für konstantes Q ergibt sich somit direkt aus der Wirkung S ausgewertet auf den Bahnkurven. Aus diesem Grunde wird W in der Literatur oft direkt mit S identifiziert und Wirkungsfunktion genannt. Hierbei ist eine gewisse Vorsicht angebracht, da S zunächst und vor allem ein Funktional auf beliebigen Kurven darstellt, die keinesfalls Lösungskurven sein müssen. Die Wirkungsfunktion spielt nicht nur in der Mechanik eine Rolle, sondern auch in der Quantenmechanik. Wir wollen dies hier nur kurz für ein Teilchen im Potential U (x) erläutern. Quantenmechanisch wird dieses Teilchen durch eine Wellenfunktion Ψ(x, t) beschrieben, deren Betragsquadrat die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte am Ort x zur Zeit t angibt. Ψ(x, t) genügt der S CHRÖDINGER-Gleichung   ∂ 1 2 i Ψ(x, t) = −   + U (x) Ψ(x, t). (4.14) ∂t 2m  bezeichnet den L APLACE-Operator und  die P LANCKsche Konstante. Im Limes  → 0 hat Ψ nun die Gestalt Ψ ≈ exp(iW/), wobei W eine Lösung der JACOBIGleichung ist. Die Wirkungsfunktion spielt deshalb in der Quantenmechanik immer dann noch eine ausgezeichnete Rolle, wenn die P LANCKsche Konstante als klein betrachtet werden darf (quasiklassische Näherung), obwohl die Grundlagen der N EWTONschen Mechanik vollständig aufgegeben wurden.

4.3

Differentialformen

Wir wollen uns jetzt schrittweise dem Ziel nähern, die Bewegungsformen, die uns in der H A MILTON schen Mechanik begegnen, geometrisch zu klassifizieren. Es wird sich herausstellen, daß der Fluß dieser Bewegungen dadurch ausgezeichnet ist, daß er eine kanonisch vorgegebene Differentialform invariant läßt. Zunächst müssen wir aber den Leser bitten, sich in den nächsten Abschnitten mit den wesentlichen Eigenschaften von Differentialformen vertraut zu machen, die wir in der Folge benutzen werden.

4.3.1 Aufgabe 4.1:

Algebraische Eigenschaften von Differentialformen Eigenschaften von Differentialformen

I. Schiefe multilineare Funktionen Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Die Abbildung w : V × V × · · · × V → R heißt    k-mal

schiefe multilineare Funktion der Stufe k, falls w(h1 , . . . , hk ) in jedem Argument hi (i = 1, . . . , k) linear ist und für jede Permutation σ ∈ Sk (Sk ist die Menge der Permutationen von k Elementen) gilt: w(hσ(1) , . . . , hσ(k) ) = ε(σ)w(h1 , . . . , hk ) , wobei ε(σ) das Signum der Permutation ist.

4.3 Differentialformen

139

In Aufgabe 1.1 wurde $ %gezeigt: Die Menge dieser Funktionen w bildet einen Vektorraum Ak der Dimension nk . Für w ∈ Ak und w ∈ Ak ist das ∧-Produkt (engl.: „Wedgeproduct“) wie folgt erklärt: w ∧ w ∈ Ak+k und (w ∧ w )(h1 , . . . , hk+k ) =



σ∈Sk+k

ε(σ) w(hσ(1) , . . . , hσ(k) )w (hσ(k+1) , . . . , hσ(k+k ) ). k!k  !

Wir setzen zusätzlich A0 = R und definieren λ ∧ w = λw für λ ∈ A0 . (a) Zeige: 

(i) w ∧ w = (−1)k·k w ∧ w; (ii) w ∧ (w ∧ w ) = (w ∧ w ) ∧ w ; (iii) Falls eμ∗ (μ = 1, . . . , n) eine Basis des Dualraumes V ∗ von V (d.h. V ∗ ist der Vektorraum der linearen Abbildungen: V → R) ist, so ist eμ∗ 1 ∧ · · · ∧ eμ∗ k ,

(μ1 < μ2 · · · < μk )

eine Basis von Ak . II. Differentialformen Sei U ⊂ V offen; ω : U → Ak sei C ∞ -Funktion mit Werten in Ak ; ω heißt Differentialform k-ter Stufe auf U , oder auch kurz k-Form. Für x ∈ U ist also ω(x) ∈ Ak . (b) Zeige: Falls ω1 und ω2 Differentialformen k-ter Stufe auf U sind und λ ∈ C ∞ (U, R), so wird durch (ω1 + ω2 )(x) = ω1 (x) + ω2 (x) , (λω1 )(x) = λ(x)ω1 (x) jeweils wieder eine Differentialform k-ter Stufe ω1 + ω2 bzw. λω1 auf U erklärt. Insbesondere gilt: Die Differentialformen k-ter Stufe bilden einen Vektorraum Ak (U ). (c) Sei ω ∈ Ak (U ), ω  ∈ Ak (U ). Zeige: Die Gleichung (ω ∧ ω  )(x) = ω(x) ∧ ω  (x) definiert eine Differentialform ω ∧ ω  ∈ Ak+k (U ), und es gilt (ω  ∈ Ak (U )) ω ∧ (ω  ∧ ω  ) = (ω ∧ ω  ) ∧ ω  . (d) Sei ω ∈ Ak (U ), h ∈ U und Dh ω die Richtungsableitung von ω nach h. Zeige: Durch die Gleichung dω(x)(h1 , . . . , hk+1 ) =

 ε(σ) $ % % $ Dhσ(1) ω (x) hσ(2) , . . . , hσ(k+1) k!

σ∈Sk+1

140

4 Die H AMILTONsche Mechanik wird eine Differentialform dω (k + 1)-ter Stufe auf U erklärt; die Abbildung d : Ak (U ) → Ak+1 (U ) ist linear, und es gilt (ω  ∈ Ak (U )): d(ω ∧ ω  ) = dω ∧ ω  + (−1)k ω ∧ dω  , d2 ω = 0 . d heißt äußere Ableitung. (e) Zeige: Für λ ∈ C ∞ (U, R) wird durch h ∈ U,

dλ(x)(h) = (Dh λ)(x),

eine Differentialform 1. Stufe erklärt, und es gilt mit ω ∈ Ak (U ): d(λω) = dλ ∧ ω + λdω, d2 λ = 0 . ∗ (f) Sei {eμ } Basis von V und {eμ∗ } die zu {e μ } duale Basis von V , d.h. es gilt eκ∗ (eμ ) = δμκ , sowie für alle x ∈ V : x = μ xμ eμ mit xμ = eμ∗ (x). Zeige:

(i) dxμ = eμ∗ ; (ii) Für ω ∈ Ak (U ) gilt: Es gibt eindeutig bestimmte Funktionen ωμ1 ...μk ∈ C ∞ (U, R) mit ωμσ(1) ...μσ(k) = ε(σ)ωμ1 ...μk , so daß gilt 

ω=

ωμ1 ...μk dxμ1 ∧ · · · ∧ dxμk ;

1≤μ1 <···<μk ≤n

(iii) 

dω =

d (ωμ1 ...μk ) ∧ dxμ1 ∧ · · · ∧ dxμk ;

1≤μ1 <···<μk ≤n

(iv) (dλ)μ =

∂ λ mit λ ∈ C ∞ (U, R) ; ∂xμ

(v) (dω)μ1 ...μk+1 =

∂ ∂ ωμ ...μ − ωμ μ ...μ ∂xμ1 2 k+1 ∂xμ2 1 3 k+1 ∂ + ωμ μ μ ...μ − ··· ∂xμ3 1 2 4 k+1 ∂ + (−1)k+1 μk+1 ωμ1 ...μk . ∂x

4.3 Differentialformen

141

(g) Falls X Vektorfeld auf U ist, d.h. X ∈ C ∞ (U, V ), so wird mit ω ∈ Ak (U ), hi ∈ V für k ≥ 2 durch (i(X)ω) (x) (h1 , . . . , hk−1 ) = ω(x)(X(x), h1 , . . . , hk−1 ) eine Differentialform (k − 1)-ter Stufe erklärt. Falls ω ∈ A1 (U ), so ist (i(X)ω) (x) := ω(x)(X(x)) eine Funktion. Den Operator i(X) werden wir Einsetzungsoperator nennen. Zeige: Falls ω Differentialform k-ter Stufe und ω  Differentialform k  -ter Stufe sind, dann gilt: i(X)(ω ∧ ω  ) = (i(X)ω) ∧ ω  + (−1)k ω ∧ (i(X)ω  ). (h) Wir setzen jetzt: θ(X)ω = i(X)dω + di(X)ω . Der Operator θ(X) := i(X)d + di(X) heißt L IE-Ableitung nach X. Zeige: θ(X)(ω ∧ ω  ) = (θ(X)ω) ∧ ω  + ω ∧ θ(X)ω  . Zeige: Falls λ eine Funktion ist, so gilt: θ(X)λω = (i(X)dλ) ∧ ω + λθ(X)ω . Beachte, daß die L IE-Ableitung θ(X) der gewöhnlichen Produktregel genügt!

4.3.2

Pull-Back und das P OINCARÉ-Lemma

Neben den rein algebraischen Eigenschaften wird für Differentialformen noch ein Transformationsgesetz definiert. Sei λ : U → R, λ ∈ C ∞ ; falls f : U  → U eine differenzierbare Abbildung der offenen Menge U  eines n-dimensionalen Vektorraums ist, so setzen wir für x ∈ U : f ∗ λ(x) = λ(f (x));

(4.15)

f ∗ λ ist damit eine C ∞ -Funktion auf U  , ja es gilt offenbar, daß durch f ∗ eine lineare Abbildung von C ∞ (U, R) nach C ∞ (U  , R) erklärt wird mit f ∗ (λ1 · λ2 ) = f ∗ (λ1 ) · f ∗ (λ2 ). f ∗ λ heißt engl.: „Pull-Back“ von λ bezüglich f . Diese Abbildung läßt sich leicht wie folgt auf Differentialformen erweitern: Sei ω ∈ Ak (U ), wir setzen: (f ∗ ω)(x)(h1 , . . . , hk ) = ω(f (x))(Df (x)h1 , . . . , Df (x)hk ) ,

(4.16)

142

4 Die H AMILTONsche Mechanik

wobei Df (x) : V → V die JACOBI-Matrix ist, mit dem Resultat, daß f ∗ jetzt eine lineare Abbildung von Ak (U ) nach Ak (U  ) wird. f ∗ besitzt die leicht nachprüfbaren Eigenschaften f ∗ (λ · ω) = f ∗ λ · f ∗ ω

(4.17)

f ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = f ∗ ω1 ∧ f ∗ ω2 .

(4.18)

sowie

Für die differenzierbaren Abbildungen f und g gilt ferner: (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ .

(4.19)

Falls speziell g = f −1 , so folgt (f −1 )∗ = (f ∗ )−1 . Speziell für ω = dλ gilt nach (4.16): f ∗ dλ(x)(h) = dλ (f (x)) (Df (x)h) . Aufgrund der Definition von dλ und der Kettenregel gilt daher $ % f ∗ dλ(x)(h) = DDf (x)h λ (f (x)) = df ∗ λ(x)(h), d.h. für alle Funktionen λ folgt df ∗ λ = f ∗ dλ . Allgemein gilt nun (vergl. Aufgabe 4.1.f.ii):  (f ∗ ωμ1 ...μk ) f ∗ dxμ1 ∧ · · · ∧ f ∗ dxμk . f ∗ω = 1≤μ1 <···<μk ≤n

Wegen f ∗ dxμ = df ∗ xμ und d2 = 0 folgt damit  df ∗ ωμ1 ...μk ∧ f ∗ dxμ1 ∧ · · · ∧ f ∗ dxμk . df ∗ ω = 1≤μ1 <···<μk ≤n

Jetzt benutzen wir df ∗ ωμ1 ...μk = f ∗ dωμ1 ...μk und finden  df ∗ ω = f ∗ dωμ1 ...μk ∧ f ∗ dxμ1 ∧ · · · ∧ f ∗ dxμk , 1≤μ1 <···<μk ≤n

d.h. df ∗ ω = f ∗ dω .

(4.20)

Die äußere Ableitung besitzt also die bemerkenswerte Eigenschaft, mit der Transformation f ∗ zu kommutieren.

4.3 Differentialformen

143

Wir betrachten jetzt eine Schar von Diffeomorphismen fτ : U → U . Die Formel Yτ (x) =

∂fτ $ −1 % fτ (x) ∂τ

(4.21)

ordnet fτ eine Schar von Vektorfeldern zu, für die wir folgende Identität beweisen wollen: fτ∗ −1

∂ ∗ f ωk = θ(Yτ )ωk . ∂τ τ

(4.22)

Beweis: Für eine Funktion λ finden wir zunächst fτ∗ −1

 ∂ ∗ ∂  fτ λ(x) = λ (fτ (y))  . ∂τ ∂τ y=fτ−1 (x)

Die Kettenregel und die Definition von dλ liefern zusammen fτ∗ −1

∂ ∗ f λ(x) = i(Yτ ) dλ(x). ∂τ τ

Wenden wir die äußere Ableitung d auf die linke Seite an, so kommutiert d mit ∂ fτ∗ −1 , ∂τ und fτ∗ . Also folgt sofort fτ∗ −1

∂ ∗ f dλ = di(Yτ ) dλ . ∂τ τ

Wegen d2 λ = 0 dürfen wir aber auch schreiben: fτ∗ −1

∂ ∗ f dλ = θ(Yτ ) dλ . ∂τ τ

Für eine beliebige Differentialform ωk gilt deshalb: fτ∗ −1

∂ ∗ f ωk ∂τ τ 



 ∂ ∗ = f ωμ ...μ dxμ1 ∧ · · · ∧ dxμk ∂τ τ 1 k 1≤μ1 <···<μk ≤n   ∂ +ωμ1 ...μk fτ∗ −1 fτ∗ dxμ1 ∧ dxμ2 ∧ · · · ∧ dxμk + · · · ∂τ   μ1 ∗ −1 ∂ ∗ μk +ωμ1 ...μk dx ∧ · · · ∧ fτ f dx ∂τ τ   = (i(Yτ )dωμ1 ...μk ) dxμ1 ∧ · · · ∧ dxμk

fτ∗ −1

1≤μ1 <···<μk ≤n

+ωμ1 ...μk θ(Yτ )dxμ1 ∧ dxμ2 ∧ · · · ∧ dxμk + · · ·  +ωμ1 ...μk dxμ1 ∧ · · · ∧ θ(Yτ )dxμk .

144

4 Die H AMILTONsche Mechanik Das Ergebnis von Aufgabe 4.1.h liefert hierfür das Endresultat fτ∗ −1

∂ ∗ f ωk = θ(Yτ )ωk . ∂τ τ 

Die Mühe dieses Beweises wird sich weiter unten noch lohnen. Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer ersten Anwendung. Lemma 4.1 Lemma (P OINCARÉ): Sei ωk ∈ Ak (Rm ); es gelte dωk = 0. Dann gibt es ein ωk−1 ∈ Ak−1 (Rm ) mit ωk = dωk−1 . Falls k = 1, so ist ωk−1 eine Funktion. Beweis: Die Abbildung fτ (x) = x0 + τ (x − x0 ),

(x0 ∈ Rm fest)

definiert für alle τ > 0 einen Diffeomorphismus fτ : Rm → Rm . Es gelten ferner die Formeln

Yτ = τ

−1

fτ−1 (x) = x0 + τ −1 (x − x0 ), (x − x0 ), fτ∗ ωk (x) = ωk (x0 + τ (x − x0 )) τ k .

Wir setzen

 ωk−1 (x) =

1 0

(fτ∗ i(Yτ )ωk ) (x) dτ.

Dann gilt  dωk−1 (x) =

1



0



0

1

= = 0

1

(dfτ∗ i(Yτ )ωk )(x) dτ (fτ∗ di(Yτ )ωk )(x) dτ (fτ∗ θ(Yτ )ωk )(x) dτ

4.4 Die kanonische Zweiform im Phasenraum

145

wegen fτ∗ d = dfτ∗ und dωk = 0. Benutzen wir jetzt θ(Yτ )ωk = fτ∗ −1

∂ ∗ f ωk , ∂τ τ

so folgt 1

dωk−1 (x) = [fτ∗ ωk (x)]0 = ωk (x) . 

Bemerkungen: (1) Das P OINCARÉ-Lemma läßt sich mit gleicher Methode für den Fall ωk ∈ Ak (U ) mit U offen und fτ (U ) ⊂ U für alle τ ∈ [0, 1] beweisen. (U wird in diesem Fall ein sternförmiges Gebiet genannt). (2) Explizit ausgeschrieben gilt für ωk−1 (x), (k > 1): ωk−1 (x)(h1 , . . . , hk−1 ) =



1 0

ωk (x0 + τ (x − x0 ))(x − x0 , h1 , . . . , hk−1 )τ k−1 dτ.

Für eine 1-Form ω1 findet man die Funktion  1 λ(x) = ω1 (x0 + τ (x − x0 ))(x − x0 ) dτ. 0

(3) ωk−1 ist keineswegs eindeutig bestimmt. Für k > 1 kann zu ωk−1 stets ein Term der Form dωk−2 (ωk−2 ∈ Ak−2 (U )) hinzuaddiert werden. Für k = 2 ist ωk−2 eine Funktion. Für k = 1 kann zu der Funktion λ stets noch eine Konstante hinzuaddiert werden. (4) Eine k-Form heißt geschlossen, falls dωk = 0 und exakt, falls es ein ωk−1 gibt mit ωk = dωk−1 . Das P OINCARÉ-Lemma besagt also, daß jede geschlossene k-Form im Rm (in sternförmigen Gebieten) exakt ist.

4.4

Die kanonische Zweiform im Phasenraum

In Abschnitt 4.1 hatten wir die Bewegungsgleichungen in H AMILTONscher Form hergeleitet: q˙ =

p

∇ H(q, p, t) , q

p˙ = − ∇ H(q, p, t) .

146

4 Die H AMILTONsche Mechanik

Sie gelten für eine Kurve (q(t), p(t)) im Phasenraum P , der ein sternförmiges Gebiet in einem Vektorraum sein soll. Wir führen jetzt die kanonische 2-Form ω durch die Formel ω=

3N 

dpμ ∧ dq μ

(4.23)

μ=1

ein und bezeichnen Punkte im Phasenraum P durch x = (q, p). ω ist geschlossen und, wegen ω = dα mit  pμ dq μ , α= μ

auch exakt. ω(x) ist überdies an jedem Punkt x nicht ausgeartet, d.h. gilt für festes h ω(x)(h, k) = 0 für alle k, so ist h = 0. Letzteres impliziert: Durch die Gleichung i(YH )ω = −dH

(4.24)

wird auf P ein eindeutig bestimmtes Vektorfeld definiert, das zusätzlich von der Zeit abhängen kann, falls H zeitabhängig ist. Nach den Regeln des letzten Abschnitts ergibt sich überdies explizit für YH die Formel p  q YH = ∇ H, − ∇ H . (4.25) Beweis: Wir schreiben



YH =

 q p YH , YH ,

 q μ  p  q p bzw. YH besitzen wobei die Vektoren YH und YH die Komponenten YH μ

sollen; es gilt deshalb  μ

i(YH )dq =

q

μ

YH 

i(YH )dpμ =

p

,  ,

YH μ

sowie i(YH )ω =

m 

((i(YH )dpμ ) dq μ − (i(YH )dq μ ) dpμ )

μ=1

=

 m 

μ=1

p





q

dq − YH μ

YH μ



μ dpμ

.

4.4 Die kanonische Zweiform im Phasenraum

147

Der Vergleich mit −dH = −

 m   ∂H μ ∂H dq + dp μ ∂q μ ∂pμ μ=1

liefert dann die Behauptung (4.25).



Die H AMILTONschen Gleichungen für die Kurve x(t) = (q(t), p(t)) können somit in der Form

H AMILTONsche Gleichungen x˙ = YH (x) , (4.26) i(YH )ω = −dH

äquivalent umgeschrieben werden. Sei jetzt Ft der Fluß von YH , d.h. x(t) = Ft (x0 ) ist Lösungskurve der H AMILTONschen Gleichungen mit dem Anfangswert x0 . Es gilt also die Identität YH (Ft (x0 )) = x˙ =

∂Ft (x0 ) ∂t

und wir erkennen die wichtige Gleichung YH (x) =

$ % ∂ Ft Ft−1 (x) . ∂t

Aus i(YH )ω = −dH folgt wegen d2 = 0 und dω = 0 θ (YH ) ω = 0 sowie wegen (4.22) und (4.27) d ∗ F ω = 0. dt t Ft∗ ω ist also zeitunabhängig, und da F0 die identische Abbildung ist, schließen wir Ft∗ ω = ω. Die kanonische Zweiform bleibt also unter dem Fluß der Bewegungen invariant.

(4.27)

148

4 Die H AMILTONsche Mechanik

Ist umgekehrt Ft eine Schar von Diffeomorphismen mit Ft∗ ω = ω und mit dem zugeordneten Vektorfeld Yt (x) =

∂Ft $ −1 % Ft (x) , ∂t

(4.28)

so behaupten wir jetzt, daß es eine Funktion H gibt mit i(Yt )ω = −dH. Beweis: Nach Gl.(4.22) gilt: 0 = Ft∗ −1

∂ ∗ F ω = θ(Yt )ω = di(Yt )ω, ∂t t

wegen dω = 0. i(Yt )ω ist also eine geschlossene 1-Form und nach dem P OINCARÉ-Lemma exakt, d.h. es gibt eine Funktion H mit i(Yt )ω = −dH. 

Ft kann also als Fluß von Bewegungen, die den H AMILTONschen Gleichungen (mit einer geeigneten H AMILTON-Funktion) genügen, gedeutet werden. Wir sind somit jetzt in der Lage, Bewegungsformen, die durch die H AMILTONschen Gleichungen beschrieben werden, eindeutig zu charakterisieren: Bewegungsformen, die durch die H AMILTONschen Gleichungen beschrieben werden, bestehen aus genau denjenigen Bewegungen, deren Fluß die kanonische 2-Form invariant läßt.

Die verschiedenen Bewegungen mit diesen Eigenschaften unterscheiden sich lediglich durch verschiedene konkrete H AMILTON-Funktionen.

4.5

Kanonische Transformationen, Invarianz des Phasenraumvolumens und Bewegungskonstanten

Ein Diffeomorphismus f : P → P unseres Phasenraums heißt kanonische Transformation, falls f ∗ω = ω

4.5 Kanonische Transformationen,. . .

149

gilt. Ist fτ eine Schar von kanonischen Transformationen, so gilt nach Abschnitt 4.4: Das Vektorfeld ∂fτ $ −1 % Yτ (x) = fτ (x) ∂τ erfüllt di(Yτ )ω = 0, und damit gilt nach dem P OINCARÉ-Lemma i(Yτ )ω = −dλτ für eine geeignete Schar von Funktionen λτ . Ist umgekehrt eine solche Schar von Funktionen vorgegeben, so wird nach obiger Gleichung eine Schar von Vektorfeldern Yτ definiert, deren Fluß fτ eine Schar von kanonischen Transformationen darstellt. Wir wollen jetzt eine wichtige Konsequenz der Invarianz von ω unter einer kanonischen Transformation untersuchen. Dazu sei P zunächst 2-dimensional und dementsprechend ω = dp ∧ dq. Für zwei Vektoren h = (hq , hp ), k = (kq , kp ) gilt also ω(h, k) = hp kq − hq kp , d.h. ω ist eine Determinantenfunktion auf R2 . Aus f ∗ ω = ω folgt: ω(Df (q, p)h, Df (q, p)k) = f ∗ ω(h, k) = ω(h, k). Da ω Determinantenfunktion auf R2 ist, folgt ω(Df (q, p)h, Df (q, p)k) = det(Df (q, p)) ω(h, k), d.h. es muß gelten: det(Df (q, p)) = 1. Das Volumen (der Flächeninhalt) einer Fläche V ⊂ P ist gegeben durch formiert sich unter allgemeinen Abbildungen f wie folgt:   dp dq = | det(Df (q, p))| dp dq , f (V )

( V

dp dq und trans-

V

wobei f (V ) das Bild der Fläche V unter der Abbildung f bezeichnet. Die Abbildung f mit f ∗ ω = ω hat wie oben gezeigt die Eigenschaft, daß det(Df (q, p)) = 1, und damit folgt die Identität   dp dq = dp dq. f (V )

V

Wir finden damit, daß das Volumen der transformierten Fläche f (V ) gleich dem Volumen von V selbst ist. In einem zweidimensionalen Phasenraum gilt also speziell für den Fluß Ft von Bewegungen, die den H AMILTONschen Gleichungen genügen:

150

4 Die H AMILTONsche Mechanik

Das Volumen von Ft (V ) ändert sich nicht mit der Zeit und ist stets gleich dem Volumen von V selbst. Ist P 2m-dimensional, so ist Ω=ω · · ∧ ω  ∧ · m-mal

eine (nichttriviale) Determinantenfunktion auf R2m , und man schließt jetzt aus f ∗ ω = ω: f ∗ Ω = f ∗ (ω ∧ · · · ∧ ω) = f ∗ ω ∧ · · · ∧ f ∗ ω = ω ∧ · · · ∧ ω = Ω. Hieraus folgt genau wie im 2-dimensionalen Fall det(Df (x)) = 1. Allgemein gilt jetzt das Transformationsgesetz für 2m-dimensionale Volumina   dp1 · · · dpm dq 1 · · · dq m = | det(Df (x))| dp1 · · · dpm dq 1 · · · dq m , f (V )

V

woraus wegen det(Df (x)) = 1 jetzt allgemein folgt: Eine kanonische Transformation läßt die Volumenwerte von Teilgebieten des Phasenraums ungeändert.

Speziell für H AMILTONsche Bewegungen gilt wieder (Satz von L IOUVILLE): Satz 4.1

L IOUVILLE

Volumina im Phasenraum ändern ihren Wert unter dem Fluß Ft mit der Zeit nicht. Wir betrachten jetzt eine Schar von zeitabhängigen Funktionen λt auf P und ordnen λt für jedes feste t das Vektorfeld Y (t) mit i(Y (t))ω = −dλt sowie die einparametrige Schar Gτ (t) von Diffeomorphismen zu, die sich als Fluß von Y (t) ergeben. x(τ ) = Gτ (t)(x) erfüllt also die Differentialgleichung d x(τ ) = Y (t)(x(τ )) dτ mit x(0) = x als Anfangswert, und es gilt Y (t)(x) =

$ % d Gτ (t) Gτ (t)−1 (x) . dτ

4.5 Kanonische Transformationen,. . .

151

Sei nun Ft der Fluß der Bewegungen eines H AMILTONschen Problems, und sei für alle t λt = Ft∗ −1 λ0 . Wir wollen jetzt die Aussage Gτ (t) ◦ Ft = Ft ◦ Gτ (0), die offensichtlich für t = 0 richtig ist, für alle τ und t beweisen. Diese Aussage ist äquivalent zu Gτ (t) = Ft ◦ Gτ (0) ◦ Ft−1 = Gτ (t). Wir bemerken zunächst, daß Gτ (t) = Gτ (t) genau dann stimmt, falls für das Vektorfeld Y τ (t)(x) =

$ % ∂ Gτ (t) Gτ (t)−1 (x) ∂τ

Y τ (t) = Y (t) gilt; Gτ (t) und Gτ (t) sind nämlich genau die Flüsse dieser beiden Vektorfelder und durch die Vektorfelder selbst eindeutig bestimmt. Für Y τ (t)(x) ergibt sich nach der Kettenregel: $ %$ $ %% Y τ (t)(x) = DFt Ft−1 (x) Y (0) Ft−1 (x) und damit für alle Vektoren k $ % ω(Ft (x)) Y τ (Ft (x)), DFt (x)(k) = ω(Ft (x)) (DFt (x)(Y (0)(x)), DFt (x)(k)) = (Ft∗ ω) (x) (Y (0)(x), k) . Beachten wir jetzt Ft∗ ω = ω, so läßt sich dieses Resultat in der Form $ % Ft∗ i Y τ (t) ω = i(Y (0))ω schreiben. Nun gilt i(Y (t))ω = −dλt und λt = Ft∗ −1 λ0 nach Voraussetzung für alle t. Wir finden also i(Y τ (t))ω = −Ft∗ −1 dλ0 = −dFt∗ −1 λ0 = −dλt = i(Y (t))ω, woraus in der Tat Y τ (t) = Y (t) folgt. Die Funktionenschar λt wollen wir die Erzeugende der kanonischen Transformationen Gτ (t) nennen. Wir können unser Resultat damit so formulieren: Falls die Gleichung λt = Ft∗ −1 λ0

(4.29)

für die Erzeugende von Gτ (t) gilt, so folgt für den Fluß Ft : Gτ (t) ◦ Ft = Ft ◦ Gτ (0).

(4.30)

152

4 Die H AMILTONsche Mechanik

Gleichung (4.29) ist äquivalent zu Ft∗ λt = λ0 oder ausgeschrieben λt (Ft (q, p)) = λ0 (q, p), d.h. λt , ausgewertet auf dem Argument Ft (q, p), ergibt den gleichen Wert wie λ0 , ausgewertet auf (q, p). Nun ist Ft der Fluß der Bewegung eines H AMILTONschen Problems. Wir schließen daraus: λt , ausgewertet am Endpunkt einer Bahnkurve zur Zeit t, ergibt den gleichen Wert wie λ0 , ausgewertet am Anfangspunkt. Eine solche Funktion wollen wir eine Bewegungskonstante nennen.

Die Gleichung (4.30) besagt analog: Gτ (t), angewandt auf den Endpunkt (zur Zeit t) einer Bahnkurve, die durch den Anfangspunkt (q, p) bestimmt ist, ist gleich dem Endpunkt (zur Zeit t) einer Bahnkurve, die in Gτ (0)(q, p) startet. Insbesondere ist Gτ (t) ◦ Ft (q, p) wieder eine Bahnkurve, die den H AMILTONschen Gleichungen genügt! Die kanonischen Transformationen Gτ (t) transformieren also Bahnkurven wieder in Bahnkurven. Beispiele für solche Transformationen sind uns bereits beim Studium des Prinzips der kleinsten Wirkung in der Form von Symmetrietransformationen begegnet. Wir konnten dort zeigen, daß einparametrige Scharen von Symmetrietransformationen der L AGRANGE-Funktion Bahnkurven in Bahnkurven transformieren und über das N OETHER-Theorem auf Funktionen von Ort, Zeit und Geschwindigkeit führen, die genau in dem oben geschilderten Sinne Bewegungskonstanten sind. Jetzt haben wir offenbar eine gewisse Umkehrung dieses Sachverhalts bewiesen: Eine Bewegungskonstante erzeugt stets eine solche Transformation der Bahnkurven in Form einer Schar von kanonischen Transformationen. Falls die Bewegungskonstante nicht explizit von der Zeit abhängt, d.h. λt = λ, vereinfachen sich unsere Formeln wie folgt: Damit λ Bewegungskonstante ist, muß Ft∗ λ = λ gelten, d.h. λ ist vollständig invariant unter dem zeitlichen Fluß der Bewegungen. Weiter ist Gτ (t) = Gτ offensichtlich nicht von der Zeit abhängig, und damit gilt die vereinfachte Beziehung Gτ ◦ Ft = Ft ◦ Gτ , die offenbar folgendes aussagt: Wird der Endpunkt (zur Zeit t) der Bahnkurve mit Anfangspunkt x der Abbildung Gτ unterworfen, so ist das Resultat gleich dem Endpunkt (zur Zeit t) der Bahnkurve mit Anfangspunkt Gτ (x). Die Transformation von Anfangspunkt und Endpunkt ist also mit Hilfe der gleichen zeitunabhängigen Transformation durchgeführt.

4.6 Erweiterter Phasenraum, Bewegungskonstanten und JACOBI-Gleichungen

153

Abschließend wollen wir uns noch der Aufgabe zuwenden, ein einfaches Kriterium für Bewegungskonstanten zu finden. Sei Ft wieder der Fluß der Bewegungen eines H AMILTONschen Problems mit der H AMILTON-Funktion H, die explizit von der Zeit abhängen darf. Das Vektorfeld ∂Ft $ −1 % Yt (x) = Ft (x) ∂t erfüllt also i(Yt )ω = −dH. Sei λt eine zeitabhängige Schar von Funktionen. Wir berechnen:   d ∗ d ∂λt ∂Ft Ft λt (x) = λt (Ft (x)) = (Ft (x)) + i (x) dλt (Ft (x)) dt dt ∂t ∂t nach der Kettenregel. Hieraus folgt Ft∗ −1

d ∗ ∂λt Ft λt (x) = (x) + i(Yt )dλt (x). dt ∂t

Ft∗ λt = λ0 gilt genau dann, falls

d ∗ dt Ft λt

= 0, also genau dann, falls

∂λt (x) + i(Yt )dλt (x) = 0. (4.31) ∂t Der Fluß Ft tritt in dieser Gleichung glücklicherweise nicht mehr auf, sondern nur das Vektorfeld Yt , das wegen i(Yt )ω = −dH vollständig aus der (zeitabhängigen) H AMILTON-Funktion berechnet werden kann. Wir haben früher bereits p  q Yt = ∇ H, − ∇ H gefunden, weshalb (4.31) explizit auch in der Form   ∂λt  ∂H ∂λt ∂H ∂λt + − μ =0 ∂t ∂pμ ∂q μ ∂q ∂pμ μ

(4.32)

geschrieben werden kann. Die Lösungen λt dieser Gleichung ergeben damit alle Bewegungskonstanten.

4.6

Erweiterter Phasenraum, Bewegungskonstanten und JACOBI-Gleichungen

Wir führen den um die Zeit erweiterten Phasenraum V = R × P mit den Elementen (t, x), x ∈ P und der Zeit t ein und erklären in V die Zweiform Ω = ω − dH ∧ dt .

154

4 Die H AMILTONsche Mechanik

H ist eine H AMILTONsche Funktion mit H AMILTONschem Vektorfeld Y und Fluß Ft . Wir betrachten das Vektorfeld Y0 = (1, Y ) . Es gilt     ∂H 0 i Y Ω = i(Y )ω − + i(Y )dH dt + dH . ∂t Nun ist i(Y )dH = −ω(Y, Y ) = 0 , ∂H i(Y )ω = −dH + dt ∂t und somit

  i Y0 Ω = 0 .

Wir stellen uns nun die Aufgabe, unabhängige Funktionen Qμ und Pμ auf V zu finden, so daß Ω in der Form  Ω= dPμ ∧ dQμ μ

geschrieben werden kann. Es muß gelten:    d (pμ dq μ − Pμ dQμ ) − Hdt = 0 , μ

also nach dem P OINCARÉ-Lemma:    μ μ (pμ dq − Pμ dQ ) − Hdt = dW

(4.33)

μ

für eine gewisse Funktion W . W kann als Funktion der Variablen Qμ und q μ sowie der Zeit t betrachtet werden, weshalb    ∂W ∂W ∂W μ μ dW = dq + + dQ dt μ μ ∂q ∂Q ∂t μ gilt. Setzen wir dies in die Gleichung (4.33) ein, so folgt:         ∂W ∂W ∂W μ μ pμ − μ dq − Pμ + dQ − H + dt = 0 . ∂q ∂Qμ ∂t μ Alle Differentiale sind linear unabhängig, das heißt pμ =

∂W , ∂q μ

Pμ = −

∂W , ∂Qμ

∂W + H = 0. ∂t

4.7 L IE-Klammern und P OISSON-Klammern

155

Dies sind exakt die JACOBI-Gleichungen aus Abschnitt 4.2 .   Wir betrachten jetzt die Gleichung i Y0 Ω = 0 . Hieraus folgt:   0 = i Y0 dPμ ∧ dQμ μ

 2     1   i Y0 dPμ ∧ dQμ − dPμ ∧ i Y0 dQμ . = μ

Aus der linearen Unabhängigkeit der Differentiale schließen wir jetzt:   ∂Pμ i Y0 dPμ = + i(Y )dPμ = 0 , ∂t   μ ∂Q i Y0 dQμ = + i(Y )dQμ = 0 . ∂t Gleichung (4.31) klärt uns sofort über die Bedeutung dieser Gleichungen auf: Die Funktionen Pμ und Qμ sind ausnahmslos Konstanten der Bewegung, d.h. die Funktionen Ft∗ Pμ und Ft∗ Qμ sind unabhängig von der Zeit. Setzen wir deshalb in den JACOBI-Gleichungen pμ (t) = Ft∗ pμ , Pμ (t) = Ft∗ Pμ = const.

q μ (t) = Ft∗ q μ , Qμ (t) = Ft∗ Qμ = const.,

so gelingt die explizite Konstruktion der Lösungskurven wie im Abschnitt 4.2 besprochen.

4.7

L IE-Klammern und P OISSON-Klammern

Wir haben in den vorausgegangenen Abschnitten festgestellt, daß eine einparametrige Schar Fτ von Diffeomorphismen vermöge der Formel Y (x) =

$ % ∂ Fτ Fτ−1 (x) ∂τ

ein Vektorfeld Y kanonisch definiert und daß umgekehrt durch ein solches Vektorfeld eine Schar von Diffeomorphismen als Fluß von Y erzeugt wird. Für jede Funktion f gilt ferner Fτ∗ −1

∂ ∗ F f = i(Y )df = DY f, ∂τ τ

wobei DY f wie gewohnt die Richtungsableitung von f nach Y bezeichnet. Die Abbildung f → DY f stellt also in linearer Näherung die Abweichung der Funktion Fτ∗+Δτ f von der Funktion Fτ∗ f dar, weshalb man Y gelegentlich auch als infinitesimalen Diffeomorphismus bezeichnet.

156

4 Die H AMILTONsche Mechanik

Für zwei Vektorfelder Y1 , Y2 ist die L IE-Klammer durch [Y1 , Y2 ] = DY1 Y2 − DY2 Y1

(4.34)

erklärt. Man überzeugt sich mehr oder weniger leicht von der Gültigkeit der folgenden Formeln: [Y1 , Y2 ] = − [Y2 , Y1 ] , D[Y1 ,Y2 ] f = (DY1 ◦ DY2 − DY2 ◦ DY1 ) f . Zusätzlich gilt die nützliche Beziehung i ([Y1 , Y2 ]) = θ(Y1 )i(Y2 ) − i(Y2 )θ(Y1 ) . Beweis: Der Beweis hierfür sei nur kurz skizziert: Man beweist diese Identität leicht für 1-Formen. Setzt man nun A = θ(Y1 )i(Y2 ) − i(Y2 )θ(Y1 ), so berechnet man für k- und l-Formen ωk und ωl zunächst A(ωk ∧ ωl ) = (Aωk ) ∧ ωl + (−1)k ωk ∧ (Aωl ). Wir nehmen an, daß die Identität A = i ([Y1 , Y2 ]) für alle l ≤ m bewiesen ist. Für eine (l + 1)-Form gilt  ωμ ∧ dxμ ωl+1 = μ

mit geeigneten l-Formen ωμ . Also gilt   Aωl+1 = ωμ ∧ Adxμ . Aωμ ∧ dxμ + (−1)l μ

μ

Für die 1-Formen dxμ gilt Adxμ = i ([Y1 , Y2 ]) dxμ , und für Aωμ gilt die analoge Identität aufgrund der Induktionsannahme. Somit folgt Aωl+1 =



(i ([Y1 , Y2 ]) ωμ ) ∧ dxμ

μ

+(−1)l

 μ

= i ([Y1 , Y2 ])

ωμ ∧ i ([Y1 , Y2 ]) dxμ



ωμ ∧ dxμ = i ([Y1 , Y2 ]) ωl+1 .

μ

Damit ist die Identität vollständig durch Induktion gezeigt.



4.7 L IE-Klammern und P OISSON-Klammern

157

Außerdem gilt die JACOBI-Identität: [Y1 , [Y2 , Y3 ]] + [Y3 , [Y1 , Y2 ]] + [Y2 , [Y3 , Y1 ]] = 0. Allgemein heißt ein Vektorraum mit einem schiefen Produkt [·, ·], das der JACOBI-Identität genügt, eine L IE-Algebra. Der Raum der Vektorfelder auf unserem Phasenraum stellt also eine L IE-Algebra dar. Wir erhalten eine zweite L IE-Algebra F , indem wir für je zwei Funktionen ϕ1 , ϕ2 auf P die sog. P OISSON-Klammer {ϕ1 , ϕ2 } erklären; dazu ordnen wir jeder Funktion ϕ zunächst das Vektorfeld Yϕ zu, das eindeutig durch die Relation i(Yϕ )ω = −dϕ bestimmt ist. Die Definition der P OISSON-Klammer lautet dann: {ϕ1 , ϕ2 }(x) = ω(Yϕ1 (x), Yϕ2 (x)).

(4.35)

Je zwei Funktionen wird also die neue Funktion {ϕ1 , ϕ2 } auf P zugeordnet. In Koordinaten (p, q) lautet sie explizit:    ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂ϕ2 ∂ϕ1 {ϕ1 , ϕ2 } = − ∂pμ ∂q μ ∂pμ ∂q μ μ und man sieht sofort: {ϕ1 , ϕ2 } = i(Yϕ2 )i(Yϕ1 )ω = −i(Yϕ2 )dϕ1 = −DYϕ2 ϕ1 = DYϕ1 ϕ2 . Wir wollen jetzt die folgenden beiden Gleichungen beweisen: Lemma 4.2

[Yϕ1 , Yϕ2 ] = Y{ϕ1 ,ϕ2 } ,

(4.36)

{ϕ1 , {ϕ2 , ϕ3 }} + {ϕ3 , {ϕ1 , ϕ2 }} + {ϕ2 , {ϕ3 , ϕ1 }} = 0 .

(4.37)

Beweis: Die erste Formel folgt aus: i ([Yϕ1 , Yϕ2 ]) ω = (θ(Yϕ1 )i(Yϕ2 ) − i(Yϕ2 )θ(Yϕ1 )) ω. Zunächst gilt wegen dω = 0: θ(Yϕ1 )ω = i(Yϕ1 )dω + di(Yϕ1 )ω = di(Yϕ1 )ω = −d2 ϕ1 = 0 und definitionsgemäß i ([Yϕ1 , Yϕ2 ]) ω = i(Yϕ1 )di(Yϕ2 )ω + di(Yϕ1 )i(Yϕ2 )ω;

158

4 Die H AMILTONsche Mechanik beachten wir jetzt di(Yϕ2 )ω = −d2 ϕ2 = 0, so folgt sofort aus der Definition von {ϕ1 , ϕ2 } i ([Yϕ1 , Yϕ2 ]) ω = −d{ϕ1 , ϕ2 }, d.h. es gilt in der Tat [Yϕ1 , Yϕ2 ] = Y{ϕ1 ,ϕ2 } . Für die zweite Formel wird die allgemeine Identität 3dω(Y1 , Y2 , Y3 ) = DY1 ω(Y2 , Y3 ) + DY3 ω(Y1 , Y2 ) + DY2 ω(Y3 , Y1 ) − ω([Y1 , Y2 ], Y3 ) − ω([Y3 , Y1 ], Y2 ) − ω([Y2 , Y3 ], Y1 ) benutzt, die für beliebige 2-Formen und beliebige Vektorfelder hergeleitet werden kann. Wir setzen hierin Yi = Yϕi und benutzen [Yϕi , Yϕk ] = Y{ϕi ,ϕk } sowie DYϕi ω(Yϕk , Yϕl ) = DYϕi {ϕk , ϕl } = {ϕi , {ϕk , ϕl }} zur Herleitung von dω(Yϕ1 , Yϕ2 , Yϕ3 ) = 2 [{ϕ1 , {ϕ2 , ϕ3 }} + {ϕ3 , {ϕ1 , ϕ2 }} + {ϕ2 , {ϕ3 , ϕ1 }}] . Wegen dω = 0 folgt damit die zweite Gleichung unseres Lemmas.



Das Lemma impliziert somit folgende Aussage: Durch die P OISSON-Klammer erhält der Vektorraum F der Funktionen auf P in der Tat die Struktur einer L IE-Algebra; die Abbildung ϕ → Yϕ erklärt einen L IE-Algebrahomomorphismus, d.h. L IE-Produkte auf F werden in L IE-Produkte im Raum der Vektorfelder überführt. Leider müssen wir es bei dieser sehr knappen Darstellung der Eigenschaften der P OISSONKlammer bewenden lassen; auf die interessanten Anwendungen in Störungsrechnungen zum H AMILTONschen Bewegungsproblem einzugehen, bleibt hier kein Platz mehr. Kurz erwähnt werden soll aber noch eine besondere Beziehung zur Quantenmechanik: In der Quantenmechanik wird der Funktion ϕ auf dem Phasenraum ein H ERMITEscher Operator Aϕ in einem H ILBERT-Raum zugeordnet, so daß die folgende Relation für je zwei Funktionen ϕ1 und ϕ2 gilt: Aϕ1 · Aϕ2 − Aϕ2 · Aϕ1 = i A{ϕ1 ,ϕ2 }

( P LANCKsche Konstante).

Eine solche Zuordnung existiert tatsächlich nur für eine gewisse Klasse von Funktionen und ist keineswegs frei von Widersprüchen, obwohl dieser Vorgang kanonische Quantisierung genannt wird.

4.8 Aufgaben

4.8

159

Aufgaben

Aufgabe 4.2: feld

H AMILTON-JACOBI-Gleichung für ein Teilchen in einem homogenen Magnet-

Die L AGRANGEfunktion eines geladenen Teilchens der Masse m und Ladung q in einem homogenen Magnetfeld B parallel zur e3 -Richtung ist gegeben durch: L(x, v) =

1 m|v|2 + mωx1 v 2 , 2

ω=

qB . mc v

(a) Bestimme die Komponenten des kanonischen Impulses p :=∇ L. (b) Bestimme die H AMILTON-Funktion H(x, p). (c) Leite die H AMILTON-JACOBI-Gleichung her. (d) Löse die H AMILTON-JACOBI-Gleichung mit dem Ansatz W = Q2 x2 + Q3 x3 + f (x1 ) − Et und berechne die Bahnkurven.

Aufgabe 4.3:

Klassischer S TARK-Effekt

Die L AGRANGE-Funktion für die Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem (zeitlich) konstanten elektrischen Feld, das die Überlagerung eines C OULOMB-Feldes und eines homogenen Feldes in der e3 -Richtung ist, ist gegeben durch: L(x, v) =

1 κ m|v|2 − + λx3 . 2 |x|

(a) Zeige, daß die L AGRANGE-Funktion in den parabolischen Koordinaten (ξ, η, φ), definiert durch xi = f i (ξ, η, φ) mit  ξη cos φ  2 f (ξ, η, φ) = ξη sin φ 1 f 3 (ξ, η, φ) = (ξ − η), 2 f 1 (ξ, η, φ) =

gegeben ist durch: L (ξ, η, φ, vξ , vη , vφ ) =   vξ2 vη2 1 1 1 2κ m(ξ + η) + + mξηvφ2 − + λ(ξ − η). 8 ξ η 2 ξ+η 2

160

4 Die H AMILTONsche Mechanik (b) Zeige, daß die H AMILTON-Funktion gegeben ist durch H(ξ, η, φ, pξ , pη , pφ ) = $ 2 % 2 1 2 2κ 1 ξpξ + ηp2η + p + − λ(ξ − η), m(x + η) 2mξ φ ξ + η 2 wobei pξ =

∂L ∂vξ ,

pη =

∂L ∂vη

und pφ =

∂L ∂vφ

die kanonischen Impulse sind.

(c) Bestimme jetzt in den parabolischen Koordinaten die H AMILTON-JACOBIsche Differentialgleichung für W (ξ, η, φ, t). (d) Zeige, daß mit Hilfe des Separationsansatzes W (ξ, η, φ, t) = W1 (ξ) + W2 (η) + W3 (φ) − αt die H AMILTON-JACOBI-Gleichung gelöst wird durch   mλ mα γ − κm β 2 W (ξ, η, φ, α, β, γ, t) = F , , ,− ;ξ 4 2 2 4   mλ mα −γ − κm β 2 +F − , , ,− ;η + β φ − αt, 4 2 2 4 wobei  F (a, b, c, d; x) =

&

x

dy

ay + b +

c d + 2 y y

und α, β, γ ∈ R Konstanten sind. (e) Interpretiere die Konstanten α und β und skizziere, wie man aus W die Bahnkurven gewinnt.

Aufgabe 4.4:

Das K EPLER-Problem III

In der Aufgabe 4.3 wurde gezeigt, daß die H AMILTON-JACOBI-Gleichung für die Bewegung eines Teilchens in einem elektrischen Feld, beschrieben durch das Potential κ V = − λx3 , |x| in parabolischen Koordinaten gelöst wird durch  ξ  2mατ 2 + 2(γ − κm)τ − β 2 + mλτ 3 W (ξ, η, φ, α, β, γ, t) = dτ 2τ  η  2 2mατ − 2(γ + κm)τ − β 2 − mλτ 3 dτ + 2τ +βφ − αt, wobei α als die erhaltende Energie und β als die erhaltende 3-Komponente des Drehimpulses gedeutet wurden. Zur Deutung von γ dienen folgende Rechenschritte:

4.8 Aufgaben

161

(a) Berechne die 3-Komponente des RUNGE-L ENZ-Vektors B in parabolischen Koordinaten. (b) Zeige, daß gilt: 1 γ = −mκB 3 − mλξη. 2 Für das reine C OULOMB-Problem (λ = 0) ist die Konstante −γ/(mκ) zu deuten als der für dieses Problem erhaltene RUNGE-L ENZ-Vektor.

Aufgabe 4.5:

Zentralkraftproblem

Sei H(p, x) =

|p|2 + V (|x|) 2m

die H AMILTON-Funktion eines Teilchens im zentralsymmetrischen Potential V . $ -JACOBI-Gleichung durch x = (x1 , x2 , x3 ), (a) Zeige, daß die H AMILTON % Q = (Q1 , Q2 , Q3 ) W (x, Q, t) = f (|x|, Q1 , Q3 ) + Q3 arccos



x3 cos Q2 + x2 sin Q2 |x|



− Q1 t

gelöst wird, wobei 1

3

f (r, Q , Q ) = ±



&

r

dξ

2m(Q1 − V (ξ)) −

(Q3 )2 ξ2

bezeichnet. (b) Zeige, daß wegen (a) die Bewegung in einer Ebene stattfindet, und skizziere, wie man die Bahnkurven erhält.

Aufgabe 4.6:

Das nichtrelativistische C OULOMBproblem

Ein Teilchen der Masse m bewege sich unter Einfluß eines attraktiven C OULOMBpotentials V (x) = −

κ , |x|

κ > 0.

(a) Gebe die L AGRANGEfunktion L in kartesischen Koordinaten an. (b) Berechne L in Polarkoordinaten (r, θ, φ).

162

4 Die H AMILTONsche Mechanik (c) Berechne die kanonischen Impulse pr , pθ und pφ und leite die H AMILTONfunktion in Polarkoordinaten her. (d) Löse die zugehörige H AMILTON -JACOBI-Gleichung mit dem Separationsansatz W = −Et + f1 (r) + f2 (θ) + f3 (φ) , mit E ∈ R konstant. Begründe, daß f3 (φ) = a φ mit a ∈ R konstant und zeige, daß 

 21 a2 , sin2 θ  1  r  κ b 2 dr 2m E +  −  2 f1 (r) = , r r



θ

f2 (θ) =

dθ

b−

mit b ∈ R konstant, b > 0. (e) Setze Q3 = a, Q2 = b, Q1 = E < 0 und wähle W (r, θ, φ, Q1 , Q2 , Q3 ) wie in (d). Leite die Bewegungsgleichungen her. Setze jetzt Q3 = a = 0, leite eine Beziehung zwischen r und θ her und diskutiere die Bahnkurven. Hinweis: 

Aufgabe 4.7:

1 dx √ = 2 x ax + bx + c 3 √ 2 2 +2c+bx − √1c log 2 acx +bcx+c c>0 x bx+2c √1 arcsin √ c < 0, b2 − 4ac > 0 . −c x b2 −4ac

Das relativistische C OULOMBproblem

Die H AMILTONfunktion für die relativistische Bewegung eines Teilchens der Masse m unter Einfluß eines attraktiven C OULOMBpotentials lautet in Polarkoordinaten  1 1 2 κ H(r, θ, φ, pr , pθ , pφ ) = c p2r + 2 (p2θ + p ) + m2 c2 − , r r sin2 θ φ wobei κ > 0 und c die Lichtgeschwindigkeit ist. (a) Löse die zugehörige H AMILTON -JACOBI-Gleichung wie in Aufgabe 4.6(d). (b) Bestimme die Bahnkurve (d.h. einen Zusammenhang zwischen r und θ) wie in Aufgabe 4.6(e) für den Fall 0 < E < mc2 und Q3 = a = 0. (c) Welchen charakteristischen Unterschied in dem Bewegungsablauf gibt es, verglichen zur Aufgabe 4.6, falls Q2 = b < κ2 ist?

4.8 Aufgaben

163 Bewegung in einem zeitabhängigen elektromagnetischen Feld

Aufgabe 4.8:

Die H AMILTON-Funktion für die relativistische Bewegung eines Teilchens der Masse m und der Ladung q in einem elektromagnetischen Feld beschrieben durch ein Potential Φ(x, t) und ein Vektorpotential A(x, t) lautet allgemein:  2 1  q 2 H(x, p, t) = qΦ(x, t) + mc 1 + 2 2 p − A(x, t) . m c c Eine elektromagnetische Welle in der 1-Richtung sei jetzt beschrieben durch: Φ = 0, A1 = A2 = 0, A2 (x1 , x2 , x3 , t) = f (x1 − ct), wobei f (ξ) : R → R . (a) Stelle die H AMILTON -JACOBI-Gleichung auf. (b) Zeige, daß die H AMILTON -JACOBI-Gleichung gelöst wird durch den Ansatz: W (x1 , x2 , x3 , t) = Q1 (x1 + ct) + Q2 x2 + Q3 x3 + g(x1 − ct) , wobei Q1 , Q2 , Q3 ∈ R und g : R → R, und leite eine Bestimmungsgleichung für die Funktion g her. (c) Wie lauten die Bestimmungsgleichungen für die Bahnkurve? (d) Wähle als Anfangsbedingung: x(t = 0) = 0, x(t ˙ = 0) = 0 und zeige, daß dann Q1 = 21 mc, Q2 = qc f (0) und Q3 = 0 gilt. Hinweis: Differenziere die Gleichungen aus (c) nach der Zeit. (e) Für einen elektromagnetischen Puls gelte speziell: 4 0 ξ ≥ 0, f (ξ) = a ξ ≤ T < 0. Berechne für diesen Fall die Geschwindigkeit des Teilchens für t → ∞ . Kanonische Transformationen und H AMILTONsche Vektorfelder

Aufgabe 4.9: i

Es seien x , pi , i = 1, 2, 3 kartesische Koordinaten im Phasenraum P eines Teilchens, ω=

3 

dpi ∧ dxi

i=1

die kanonische 2-Form; Cki sei eine beliebige, umkehrbare Matrix. (a) Zeige: Durch xi → F i (x) =

3 

Cki xk

k=1

pi → Fi (p) =

3  k=1

(C −1 )ki pk

164

4 Die H AMILTONsche Mechanik wird eine lineare Transformation F : P → P des Phasenraumes erklärt, die F ∗ ω = ω erfüllt. (b) Wir setzen in (a) Cki = [exp(Bτ )]ik und erhalten eine Schar von linearen Abbildungen $ ∂von %P$. Berechne %die Komponenten (Y 1 , Y 2 , Y 3 , Y1 , Y2 , Y3 ) des Vektorfeldes Y = ∂τ F Ft−1 (x, p) . (c) Zeige i(Y )ω = −df ,

3 

mit f (x, p) =

Bik pk xi .

i,k=1

Für eine Schar von Drehungen gilt B = A(˜ ω ) (˜ ω Drehvektor). Berechne f als Funktion von x, p und ω ˜. (d) Sei Fτ jetzt durch (Fτ )i (x) = xi + τ ci (Fτ )i (p) = pi

(ci = const.)

erklärt. Wiederhole (a)–(c) für diese Transformationenschar. (e) Setze jetzt y = (q, p) und betrachte eine beliebige lineare Transformation B : P → P sowie F = exp(τ B). Zeige zuerst: Yτ (y) =

$ % ∂ Fτ Fτ−1 (y) = By . ∂τ

Welche Bedingung muß B erfüllen, damit F ∗ ω = ω für alle τ ∈ R gilt? Hinweis: Benutze: θ(Yτ )ω = 0 . Zeige: i(By)ω = −dfB ,

Aufgabe 4.10:

mit fB =

1 ω(y, By) . 2

Elektrodynamik

Wie im Abschnitt 3.10 besprochen, ist es in der Elektrodynamik bequem, Raum- und Zeitkoordinaten zu einem Vektor in R4 zusammenzufassen: x = (x0 , x1 , x2 , x3 ) mit x0 = ct. Das elektrische Feld E(x) und das magnetische Feld B(x) mit den Komponenten E i (x, t) bzw. B i (x, t) (i = 1, 2, 3) fassen wir jetzt zu einer Differentialform 2. Stufe in R4 zusammen: F = E 1 dx0 ∧ dx1 + E 2 dx0 ∧ dx2 + E 3 dx0 ∧ dx3 − B 1 dx2 ∧ dx3 − B 2 dx3 ∧ dx1 − B 3 dx1 ∧ dx2 .

4.8 Aufgaben

165

(a) Berechne dF und zeige:  (rot E)1 +  − (rot E)2 +  − (rot E)3 +

dF = −

 ∂ 1 dx0 ∧ dx2 ∧ dx3 B ∂x0  ∂ 2 dx0 ∧ dx3 ∧ dx1 B ∂x0  ∂ 3 B dx0 ∧ dx1 ∧ dx2 ∂x0

− (div B) dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 , sowie 4 dF = 0 ⇔ wobei div B(x) :=

rot E +

∂ ∂x0 B

=0 div B = 0

5 ,

3

∂ i i=1 ∂xi B (x) .

(b) Das elektromagnetische Feld erfüllt stets die obigen Gleichungen, die man auch die homogene M AXWELL-Gleichungen nennt. Zeige: Es gibt eine Differentialform 1. Stufe: A=

3 

Aμ dxμ

μ=0

mit F = dA. Berechne E und B bei gegebenem A. Bemerkung: Zwischen den Vektorpotentialen Aμ aus Abschnitt 3.10 und den Komponenten Aμ der obigen 1-Form besteht der Zusammenhang: Aμ =

3 

ημν Aν ,

(ημν M INKOWSKI-Metrik) ,

ν=0

mit η00 = 1 , η0i = ηi0 = 0 , ηij = −δij , i = 1, 2, 3 . (c) Zeige: Falls A = A + dΛ, (Λ eine Funktion auf R4 ), so gilt ebenfalls: F = dA .

A

Lösungen der Übungsaufgaben

Verabredung: Wir werden ab jetzt bei Rechnungen mit Vektorkomponenten im n-dimensionalen Vektorraum die E INSTEINsche Summenkonvention benutzen: Ai Bi :=

n 

Ai Bi .

i=1

A.1 A.1.1:

Aufgaben zum Kapitel 1 Multilineare Funktionen in einem n-dimensionalen Vektorraum V

(a) Für hi = ci μ eμ gilt: wk (h1 , . . . , hk ) = wk (c1 μ1 eμ1 , . . . , ck μk eμk ) = c1 μ1 · · · ck μk wk (eμ1 , . . . , eμk ) ,

(μi = 1, . . . n) .

(b) Für die Addition wk = wk + wk gilt: (i) Assoziativität und Kommutativität folgen aus der Assoziativität und Kommutativität in R ; (ii) Nullvektor wird definiert durch: 0k (h1 , . . . , hk ) := 0, ∀hi ∈ V ⇒ wk + 0k = 0k + wk = wk ; (iii) Das Inverse wird definiert durch: (−wk )(h1 , . . . , hk ) := (−1) · wk (h1 , . . . , hk ) , ∀hi ∈ V ⇒ wk + (−w)k = 0k ; Für die skalare Multiplikation gilt: (i)

(λμwk )(h1 , . . . , hk ) = λ · (μwk )(h1 , . . . , hk ) = (λ μ) · wk (h1 , . . . , hk ) = (μλwk )(h1 , . . . , hk ) ;

(ii)

((λ + μ)wk ) (h1 , . . . , hk ) = (λ + μ) · wk (h1 , . . . , hk ) = λ · wk (h1 , . . . , hk ) + μ · wk (h1 , . . . , hk ) = ((μ + λ)wk ) (h1 , . . . , hk ) ;

168

Lösungen der Übungsaufgaben (λ(wk + wk )) (h1 , . . . , hk ) = λ · wk (h1 , . . . , hk ) + λ · wk (h1 , . . . , hk ) = (λwk )(h1 , . . . , hk ) + (λwk )(h1 , . . . , hk ) ; (iii)

(1 wk ) (h1 , . . . , hk ) := 1 · wk (h1 , . . . , hk ) .

Mit λ ∈ R erhält man so einen linearen Vektorraum. Als Basis dient: eμ1 ···μk mit eμ1 ···μk (eν1 , . . . , eνk ) = δνμ11 δνμ22 · · · δνμkk , d.h. wir erhalten nk Basiselemente. (c1) Weil die skalare Multiplikation und Addition aus (b) mit den Permutationen kommutieren, sind Sk und Ak selber Untervektorräume. (c2) Die Basiselemente von Ak , bzw. Sk sind gegeben durch: eˆμ1 ···μk = σ∈S k ε(σ)eμσ(1) ···μσ(k) (μ1 < μ2 < · · · < μk ) , bzw. eˆμ1 ···μk = σ∈S k eμσ(1) ···μσ(k) (μ1 ≤ μ2 ≤ · · · ≤ μk ) , der Permutation σ von k Elementen. Es folgt also: dim(Ak ) = % ε(σ) das Signum$n+k−1 % $mit n und dim(S . ) = k k k   2 2 (d1) |y x, x − x x, y| = |x|2 |x|2 |y|2 − x, y ≥ 0 ⇒ | x, y | ≤ |x||y| . (d2)

  (x − y), (x − y) = |x|2 − 2 x, y + |y|2  = |x|2 + |y|2 − 2|x||y| cos φ .

|(x − y)| =

(d3) Orthonormalbasis: ei , ej  = δij ⇒ |ei | = 1 ; mit x = xi ei und y = y j ej folgt:   n $ %2 x, x = xi ei , xj ej = xi xj ei , ej  = xi xj δij = i=1 xi ; cos φ =

q P n

(

j=1

Pn

i=1

(xj )2

xi y i Pn

)(

k=1 (y

k )2

)

.

(e.1) wn (h1 , h2 , . . . , hn ) = 0 für irgendeine Basis {h1 , . . . , hn } impliziert wn (h 1 , h 2 , . . . , h n ) = 0 für jede Basis, d.h. wn =0, was im Wiederspruch zu der Voraussetzung wn = 0 steht. Also gilt: {h1 , . . . , hn } sind linear unabhängig. n Umgekehrt: Sei der Satz {h1 , . . . , hn } linear abhängig; setze o.B.d.A. h1 = i=2 ci hi . Dann folgt: n n wn ( i=2 ci hi , h2 , . . . , hn ) = i=2 ci wn (hi , h2 , . . . , hn ) = 0, weil wegen der Antisymmetrie jeder Term in der Summe gleich Null ist. (e.2) Durch wA (h1 , . . . , hn ) := wn (Ah1 , . . . , Ahn ) wird eine neue schiefe n-Form erklärt. Wegen dimAn = 1 gilt: wA = λ wn . Wir setzen λ = det(A) . (e.3) Dann gilt: det(AB)wn (h1 , . . . , hn ) = wn (ABh1 , . . . , ABhn ) = det(A)wn (Bh1 , . . . , Bhn ) = det(A)det(B)wn (h1 , . . . , hn ) .

Aufgaben zum Kapitel 1

169

d.h. det(AB) = det(A)det(B) . Falls A umkehrbar ist, also A−1 existiert, dann gilt: wn (h1 , . . . , hn ) = wn (AA−1 h1 , . . . , AA−1 hn ) $ % = det(A)det A−1 wn (h1 , . . . , hn ) $ % ⇒ det(A) = 0 , det A−1 = 0 . Umgekehrt: Falls A nicht umkehrbar, so ist für eine Basis {h1 , . . . , hn } mit wn (h1 , . . . , hn ) = 0 der Satz {Ah1 , . . . , Ahn } linear abhängig, d.h. det(A)wn (h1 , . . . , hn ) = wn (Ah1 , . . . , Ahn ) = 0 . Also gilt: det(A) = 0 . (f) Wegen der Linearität reicht es dies für eine Basis mit Aei = Ak i ek und wk (e1 , . . . , en ) = 1 zu zeigen : wn (Ae1 , e2 , . . . , en ) + wn (e1 , Ae2 , . . . , en ) + · · · + wn (e1 , e2 , . . . , Aen ) n = i1 =1 Ai1 1 wn (ei1 , e2 , . . . , en ) + ni2 =1 Ai2 1 wn (e1 , ei2 , . . . , en ) +       ··· + ···

n in =1

=δi1 1

in

A

1

wn (e1 , e2 , . . . , ein ) =   

n i=1

=δi2 2

i

A i = tr A .

=δin n

(g)

det(A) = det(A) Δ (e1 , e2 , . . . , en ) = Δ(Ae1 , Ae2 , . . . , Aen )    =1

= Ai1 1 Ai2 2 · · · Ain n Δ (ei1 , ei2 , . . . , ein ) = σ∈Sn ε(σ)Aσ(1) 1 Aσ(2) 2 · · · Aσ(n) n , 1  σ(1)  σ(2)  σ(n)  = n! σ (1) A σ (2) · · · A σ (n) , σ∈Sn σ  ∈Sn ε(σ)ε(σ )A wobei ε(σ) wiederum das Signum der Permutation σ von n Elemente ist. i

(h) Mit At k = Ak i folgt mit dem letzten Schritt aus (g) auch unmittelbar: det(At ) = det(A) . Für zwei Basen, die verbunden sind durch eine orthogonale Transformation O, mit Ot = O−1 gilt mit (e.3): % $ 2 det(O)det O−1 = 1 = det(O)det(Ot ) = (det(O)) ⇒ det(O) = ±1 . A.1.2:

Der 3-dimensionale Vektorraum

(a) Sei h, F (x, y) = Δ(h, x, y) , ∀h ∈ V und auch h, G(x, y) = Δ(h, x, y) , ∀h ∈ V . Dann folgt: h, (F − G) = 0 , ∀h ∈ V , d.h. F = G. Dementsprechend ist F (x, y) = [x, y] eindeutig. (b1)

[x, y] = 0 ⇒ Δ(x, y, z) = 0 , ∀z ∈ V ⇒ {x, y, z} linear abhängig ∀z ⇒ {x, y} linear abhängig . Die Umkehrung ist trivial.

170

Lösungen der Übungsaufgaben (b2) [x, z], y = y, [x, z] = Δ(y, x, z) = −Δ(z, x, y) = − z, [x, y] . (c)

i

[x, y] := ei , [x, y] = Δ(ei , x, y) = Δ(ei , xj ej , y k ek ) = xj y k Δ(ei , ej , ek ) = εijk xj y k , wobei ε123 = 1 , εσ(1)σ(2)σ(3) = ε(σ) und εijk = 0 sonst gilt.

(d1) Die Abbildungen Eik mit Eik (x) = ei ek , x − ek ei , x den eine Basis von A ⇒ dim A = 3 .

(1 ≤ i < k ≤ 3) bil-

(d2) A(x)y := [x, y] . Weil A(x) = 0 ⇔ x = 0 gilt: Kern(A) = 0 . Mit dim A = 3 folgt dann, daß A ein Isomorphismus ist. Die Linearität folgt aus der Linearität von Δ . (e) Der Ausdruck [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] ist schief in allen Argumente, dementsprechend gilt: Es gibt ein h ∈ R3 mit [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = h Δ(x, y, z) . Für jedes h gilt: h, [x, [y, z]] + h, [z, [x, y]] + h, [y, [z, x]] = − A(x)h, [y, z] − h, [A(x)y, z] − h, [y, A(x)z] = −Δ(A(x)h, y, z) − Δ(h, A(x)y, z) − Δ(h, y, A(x)z) = − tr A(x) Δ(h, y, z) = 0 , weil der Ausdruck antisymmetrisch in allen vier Argumenten (oder weil A schief, und somit tr A(x) = 0) ist. Also folgt: |h|2 = 0 und somit h = 0, d.h. [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0 . (f1)

A ([x, y]) z = [[x, y], z] = − [[z, x], y] − [[y, z], x] = [A(z)x, y] − [A(y)z, x] = −A(y)A(x)z + A(x)A(y)z , ∀z ∈ V ⇒ A ([x, y]) = A(x)A(y) − A(y)A(x) = [A(x), A(y)]− .

(f2) Sei v = [x, [y, z]] . Aus v, [y, z] = 0 folgt v = α y+β z . Die Eigenschaft v, x = 0 führt zu α x, y + β x, z = 0 . Mit α = x, z λ findet man hieraus: β = − x, y λ und somit v = λ (x, z y − x, y z) . Die Proportionalitätskonstante λ, die wegen der Linearität unabhängig von x, y, z ist, bestimmt man via [e2 , e3 ] = e1 , [e3 , e1 ] = e2 ⇒ [e3 , [e2 , e3 ]] = e2 = λ e2 zu λ = 1 . (f3)

[w, z], [x, y] = [[x, y], z], w = [z, [x, y]], w = x z, y, w − y z, x, w = x, w z, y − y, w z, x .

Aufgaben zum Kapitel 1 2

2

|[x, y]| = [x, y], [x, y] = |x|2 |y|2 − x, y $ % = |x|2 |y|2 1 − cos 2 φ = |x|2 |y|2 sin 2 φ .

(f4)

A.1.3:

171

Differenzieren von multilinearen Funktionen

(a)

d dt

x, ˙ x ˙ = ¨ x, x ˙ + x, ˙ x ¨ = 2 x, ˙ x ¨ .

(b)

d dt

[x, x] ˙ = [x, ˙ x] ˙ + [x, x ¨] = [x, x ¨] .    =0

 (c) dtd |x| = dtd x, x = (d)

d x dt |x|

=

x˙ |x|

−

1 2

x d |x|2 dt |x|

√1

d x,x dt

=

x˙ |x|

−

x, x =

˙ x x,x |x|2 |x|

x,x ˙ |x|

=

.

x,xx−x, ˙ xx ˙ |x|3

x]] ˙ = − [x,[x, |x|3 .

(e) Es gilt: dτd B(τ ) = dτd exp [τ A] = A B(τ ) = B(τ ) A . Einsetzen der Definition der Determinante (Gleichung (1.35)) und Formel (1.36) für die Spur liefert: d dτ

det(B(τ ))Δ (h1 , . . . , hn ) =

d dτ

Δ (B(τ )h1 , . . . , B(τ )hn )

= Δ (A B(τ )h1 , B(τ )h2 , . . . , B(τ )hn ) +Δ (B(τ )h1 , A B(τ )h2 , . . . , B(τ )hn ) + · · · + Δ (B(τ )h1 , B(τ )h2 , . . . , A B(τ )hn ) = det(B(τ )){Δ (Ah1 , h2 , . . . , hn ) + Δ (h1 , Ah2 , . . . , hn ) + · · · + Δ (h1 , h2 , . . . , Ahn )} = det(B(τ )) tr (A) Δ (h1 , h2 , . . . , hn ) , woraus dτd det(B(τ )) = det(B(τ )) tr (A) folgt. Diese Differentialgleichung hat die Lösung: det(B(τ )) = C eτ tr(A) . Wegen B(0) = 1I folgt sofort: C = 1 . Setze jetzt τ = 1 . Dann folgt: det(B) = etr(A) .

A.1.4: (a)

Impuls-, Drehimpuls- und Energieerhaltung d dt

i

mi x˙i =



¨i i mi x

= i j=i (xi − xj )fij (|xi − xj |) + i Ki0 = i Ki0 , weil für gij = −gji : i j=i gij = i<j gij + i>j gij = i<j gij − j
172

Lösungen der Übungsaufgaben (b)

(c)

d dt

i

mi [xi , x˙i ] =

¨i ] i mi [xi , x ! = i j=i [xi , (xi − xj )] fij (|xi − xj |) + i xi , Ki0 ! = − i j=i [xi , xj ] fij (|xi − xj |) + i xi , Ki0 ! = i xi , Ki0 ,

wie bei (a).  d dt

= =

=

=



 V (|x − x |) ij i j i<j (x −x ),(x˙ −x˙ ) ¨i  + i<j Vij (|xi − xj |) i |xji −xji| j i mi x˙i , x 0 i j=i x˙i (xi − xj )fij (|xi − xj |) + i x˙i Ki − i<j fij (|xi − xj |) (xi − xj ), (x˙i − x˙j ) i<j x˙i (xi − xj )fij (|xi − xj |) + i<j x˙j (xj − xi )fij (|xi − xj |) 0 + i x˙i Ki − i<j fij (|xi − xj |) (xi − xj ), (x˙i − x˙j ) 0 i x˙i Ki . 1 ˙ i |2 i 2 mi | x

+



Für ein konstantes Kraftfeld haben diese Gleichungen folgende Interpretation: Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses ist gleich die Gesamtkraft, die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich das Gesamtdrehmoment, bzw. die zeitliche Änderung der Energie ist die vom Kraftfeld zugeführte Leistung.

A.1.5:

Das K EPLER-Problem I

(a) N EWTONsche Bewegungsgleichungen: −x2 m1 x¨1 = F1 (x1 , x2 ) = κ |xx11−x 3 2| −x1 m2 x¨2 = F2 (x1 , x2 ) = κ |xx12−x 3 2| x1

x2

wobei F1 (x1 , x2 ) = − ∇ V (x1 , x2 ) , F2 (x1 , x2 ) = − ∇ V (x1 , x2 ) mit dem Potenκ tial: V (x1 , x2 ) = |x1 −x . 2| Mit⎛den Relativ- und Schwerpunktvektoren ⎞ ⎛ ⎞ 2 M R := m1 x1 + m2 x2 x1 = R + m y M ⎠ ⎝ ⎠ ⇒⎝ , 1 y := x1 − x2 x2 = R − m M y 1 m2 wobei M = m1 + m2 die Gesamtmasse, μ = mM die reduzierte Masse ist, findet man für die Gesamtenergie H: κ H = T + V = 21 m1 |x˙1 |2 + 21 m2 |x˙2 |2 + |x1 −x = 2|  ) *  2 m m1 m ˙ 2 + 2 2 R, ˙ y˙ + 22 |y| = 2 |R| ˙2 + M  ) * M 2  κ 2 ˙ 2 − 2 m1 R, ˙ y˙ + m12 |y| + m22 |R| + |y| ˙ M M

=

1 ˙ 2 2 M |R|

+ 21 μ|y| ˙2+

κ |y|

=

|P |2 2M

+ H .

|p1 |2 2m1

+

|p2 |2 2m2

+

κ |x1 −x2 |

Aufgaben zum Kapitel 1

173

Für den Gesamtdrehimpulsvektor gilt: L = [x1 , p1 ] + [x2 , p2 ]

$

$  %  %  2 ˙ + m2 y˙ + m2 R − m1 y , R˙ − = m1 R + m y , R M M

 M

 = M R, R˙ + μ [y, y] ˙ = M R, R˙ + L . Die Bewegungsgleichungen lauten in den neuen Koordinaten: ¨ + m1 m2 y¨ = m1 R κ y3 ,

m1 M y˙



|y|

M

¨ − m2 m1 y¨ = − κ y 3 . m2 R M |y| ¨ = 0 , mit der allgemeinen Lösung R(t) = R0 + woraus: R gleichung für die Relativbewegung μ¨ y = κ |y|y 3 folgen.

P Mt

und die Bewegungs-

 κy ˙ y] ˙ +μ [y, y¨] = μ y, μ|y| (b) L ist eine Bewegungskonstante: L˙  = μ [y, = 0. 3    =0

Wegen y, L  = y, ˙ L  = 0 liegen Ortsvektor und Geschwindigkeitsvektor für alle Zeiten in einer Ebene ⊥ L . (c) Siehe die Rechnung vor Gleichung 1.13 . (d) Die Länge von B folgt aus: |B|2 = B, B = =

˙  ],y  [y,L 1 ˙ L ], [y, ˙ L ] + 1 + 2 κ1 κ2 [y, |y|  1 2 2  2 ˙ |L | + 1 + κ|y| [y, y], ˙ L κ2 |y|    1





= μ L ,L  2 κ = κ12 |L |2 |y| ˙2+ +1 = μκ2 2 |L |2 H  + 1 . μ |y|   



2 =μ H

Weil B sich aus zwei Anteilen zusammensetzt, die beide senkrecht auf L stehen, folgt sofort: B, L  = 0 . (e) Man braucht die folgende Skalarprodukte: y, B = = 



1 ˙ L ] + κ y, [y, 1  2 | + |y| ; μκ |L  2 2 2

L , L  = μ

|y| =

|y| |y| ˙ − y, y ˙

2

1 κ

L , [y, y] ˙ + |y| (i)

 ;

 ⇒ y, y ˙ = − μ12 |L |2 + |y|2 |y| ˙ 2 = − μ12 |L |2 + |y|2 μ2 H  − 2





y, [L , B] = B, [y, L ] = = Hieraus folgt:

1 κ

1 κ 



κ |y|

 ;

(ii)



[y, ˙ L ], [y, L ]

(y, ˙ y L , L  − y, ˙ L  y, L ) =

1 κ

y, y ˙ |L |2 .

(iii)

174

Lösungen der Übungsaufgaben y 1 = e1 , y = y 2 = e2 , y = y 3 = e3 , y = 2

)

B |B| , y

 )

1 2

* =



[L ,B ] |L ||B  | , y

L |L | , y

|L |2 μκ|B|



=

*

+

|y| |B|

;



y,y|L ˙ | κ|B|

.

= 0. |L |2 μκ findet  2  4 | |B| 1 2 |L μκ y + μ|L2 κ|2 ,

2 2

Mit |y| = (y ) + (y ) und |y| = |B|y 1 − (y 1 )2 + (y 2 )2 = |B|2 (y 1 )2 − oder  2 | |B| 1 (y 2 )2 + (1 − |B|2 )(y 1 )2 + 2|Lκμ y =

|L |4 κ 2 μ2

.

(i) (|B| = 1): Dann folgt, wegen L = 0: H  = 0 , und  2

 4

| 1 |L | (y 2 )2 + 2|L κμ y = κ2 μ2 , oder  2 | κμ 2 2 y 1 = |L 2κμ − 2|L |2 (y )



¾

¼



¾









¼

¾



½ 





¾

¼







¾









Abb. A.1: K EPLERbewegung für |B| = 1 .

(Parabel, siehe Abb. A.1) (ii) (|B| < 1): Dann folgt, H  < 0 , κ < 0 , und  2 |L |2 |B| (y 2 )2 y 1 + κμ(1−|B| + (1−|B| 2) 2) = oder 2 2 (y 1 −c)2 + (yb2) = 1 a2 (Ellipse, siehe Abb. A.2) mit

|L |2 κ2 μ2 (1−|B|2 )2

man:

Aufgaben zum Kapitel 1

175



¾









½

Abb. A.2: K EPLERbewegung für |B| < 1 .

2c = a= b=

2|L |2 |B| |κ|μ(1−|B|2 ) |L |2 |κ|μ(1−|B|2 ) |L |2 |κ|μ

√

1−|B|2

(Brennpunktsabstand), (lange Halbachse), (kurze Halbachse),

b2 + c2 = a2 ; (iii) (|B| > 1): Dann folgt, H  > 0 , κ beliebig, und  2 |L |2 |B| (y 2 )2 y 1 − κμ(|B| − (|B| 2 −1) 2 −1) = oder 2 2 (y 1 −c)2 − (yb2) = 1 a2 (Hyperbel, siehe Abb. A.3) mit 

¾









½

Abb. A.3: K EPLERbewegung für |B| > 1 .

|L |2 κ2 μ2 (|B|2 −1)2

176

Lösungen der Übungsaufgaben 2c = a = b =

2|L |2 |B| |κ|μ(|B|2 −1) |L |2 |κ|μ(|B|2 −1) |L |2 |κ|μ

√

|B|2 −1

(Brennpunktsabstand), (kurze Halbachse), (lange Halbachse),

a2 + b2 = c 2 . y (f) L = 0 ⇒ B = |y| ⇒ |B| = 1 ⇒ y = |y|B ⇒ y˙ = B Sei r = |y| ⇒ y˙ = r˙ y0 , mit y0 = B . Bewegungsgleichung:

d dt |y| .

μ¨ y = κ |y|y 3 ⇒ μ¨ r= H =

κ r2 . μ 2 2 r˙ =

1 2 2 μr˙

r˙ = ⇒ ⇒ t2 − t1 =

+ κr ⇒ H  − κr = E − κr > 0 ⇒ E > κr , ∀r ≥ 0 .  2κ 1 ± 2E μ − μ r  r2 t ± r1 dρ q 2 1 κ = t12 dτ = t2 − t1 E− ( ) μ ρ  ρ r t2 − t1 = ± r12 dρ 2E ρ− 2κ μ μ   μ 2E 2 2κ 2E ± μ ρ − μ ρ + ⎧

   μ 2E 2E 2κ ⎪ ln ρ + ρ − (für E > 0) ρ=r2 ⎨ − 2κ μ 2E μ μ μ   2E 2κ μ μ ρ− μ ⎪ ⎩ + 2κ (für E < 0) ρ=r1 2E μ −2E arctan − ρ μ

Es gibt die folgende Fallunterscheidungen: κ E > 0;κ > 0 : r > E es existiert ein minimaler Abstand ; E > 0;κ < 0 :  κ  alle Abstände sind möglich; E < 0 ; κ < 0 : r <  E  es existiert ein maximaler Abstand, siehe auch Abbildung A.4 .

A.1.6:

Die K EPLERschen Gesetze

Für die lange Halbachse gilt: 2a = r(0) + r(π) , mit r(φ) = |L |2 − μκ(1−|B| 2)

|L |2 1 μκ |B| cos φ−1

a= , (N.B. κ < 0) .   Wähle t = 0 : φ(0) = 0, F (0) = 0 ; t = T2 : φ T2 = π, F (π) = − Mit    F φ T2 − F (φ (0)) = α T2 folgt:  3

| T = −2π |L μκ2

1

3

(1−|B|2 ) 2

was mit dem Ausdruck für a auf a3 κ T 2 = − 4π 2 μ

π

, d.h.

3

(1−|B|2 ) 2

.

Aufgaben zum Kapitel 1

177



 







¼







¼

¼

¬



¬

¼





¬

¬



 

¼

 

¼ 

¼

¼



Abb. A.4: Zeitliche Änderung des Radius für Bahnen mit L = 0 im K EPLERproblem.

führt. Mit κ = Gm1 m2 und μ = 3

a T2

A.1.7:

=

G(m1 +m2 ) 4π 2

≈

Gm1 4π 2

m1 m2 m1 +m2

findet man: falls m1  m2 .

= const. ,

Drehgruppe und G ALILEI-Gruppe Für die wiederholte Anwendung von A(ω) gilt: k

(A(ω)) x = (A(ω))

k−2

2

k−2

(A(ω)) x = (A(ω)) 7 k−2 6 = (A(ω)) ω, x ω − |ω|2 x ⎧ ⎪ für k = 0 , ⎪ ⎪x ⎪ ⎪ ⎨ [ω, x] für k = 1 , = 2 ⎪ ⎪ ω, x ω − |ω| x für k = 2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ k−2 −|ω|2 (A(ω)) x für k > 2 , weil A(ω)ω = 0 . 0

[ω, [ω, x]]

k

(a) Falls x = λω: (A(ω)) x = 1I x = x und (A(ω)) x = 0 für k ≥ 1 . Dann folgt: ∞ 1 k exp [A(ω)τ ]x = k=0 k! (A(ω)τ ) x = x . 0

1

(b) Falls x, ω = 0: (A(ω)) x = x ,(A(ω)) x = [ω, x] k k−2 x für k ≥ 2 . Dann folgt: und (A(ω)) x = −|ω|2 (A(ω)) ∞ τ k k exp [A(ω)τ ]x = k=0 k! (A(ω)) x %j %j ∞ τ 2j $ ∞ τ 2j+1 $ = j=0 (2j)! −|ω 2 | x + j=0 (2j+1)! −|ω|2 [ω, x] 1 = cos (|ω|τ ) x + sin (|ω|τ ) |ω| [ω, x] .

178

Lösungen der Übungsaufgaben (c)

Oω (τ1 )Oω (τ2 ) = exp [A(ω)τ1 ] exp [A(ω)τ2 ] = exp [A(ω)(τ1 + τ2 )] = Oω (τ1 + τ2 ) und Oω (0) = exp [A(ω)0] = 1I .

(d) Mit (a) und (b) 3 folgt:  < ω, x ω, x Oω x = Oω ω+ x− ω |ω 2 | |ω|2       x x⊥  

 ω,x 1 = ω,x |ω|2 ω + cos |ω| x − |ω|2 ω + sin |ω| |ω| ω, x − Also gilt: Oω x =

ω0 , x ω0   

−

ω,x |ω|2 ω

 .

cos (|ω|) [ω0 , [ω0 , x]] + sin (|ω|) [ω0 , x]   

Projektion des

Drehung der Komponenten in der

Vektors auf

Ebene senkrecht zur Drehachse um den Winkel|ω|

.

der Drehachse ist invariant Die Länge des Vektors x ändert sich nicht: 2

2

Oω x, Oω x = ω0 , x + sin 2 |ω| |[ω0 , x]| + cos 2 |ω| |[ω0 , [ω0 , x]]| 2 1 2 2 = ω0 , x + sin 2 |ω| |x|2 − ω0 , x 2 1 2 + cos 2 |ω| |x|2 − ω0 , x = |x|2 .

2

Hieraus folgt: Oωt = Oω−1 . Außerdem gilt mit Gleichung (1.37): det(Oω ) = det(exp [A(ω)]) = exp [tr (A(ω))] = e0 = 1 , weil A schief ist. Damit ist bewiesen: Oω ∈ SO(3) . (e) Die⎛Matrixmultiplikation führt auf das⎞gewünschte : ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛Resultat 3 1 β 1 1 1 1 1 1 1 1 1 O x + b t + a x ˜ O 1 O 2 O 3 b a x β ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ β=1 ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎜x 2 β 2 2⎟ 2 2 2⎟ ⎜ 2 2 2 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ O ˜ O O b a 2 3 ⎟⎜ x ⎟ ⎜ β=1 O β x + b t + a ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎜ 3 β 3 3⎟ 3⎟ ⎜ 3 3 3 3 3 ⎟⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎜x ⎜ ˜ ⎟ = ⎜ O 1 O 2 O 3 b a ⎟⎜ x ⎟ = ⎜ β=1 O β x + b t + a ⎟ . ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ t˜ ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ t + a4 0 0 1 a4 ⎟ ⎠ ⎠⎝ t ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ˜ 1 1 1 0 0 0 0 1 (f) Wir schreiben: ⎞ ⎛ O b a ⎟ ⎜ 4⎟ B=⎜ ⎝0 1 a ⎠. 0 0 1 Dann ist die Verknüpfung die Matrixmultiplikation:

Aufgaben zum Kapitel 1 ⎛

O b a

⎞⎛

179 O  b a 

⎞

⎛

OO Ob + b Oa + a4 b + a

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 a4 ⎟ ⎜ 0 1 a 4 ⎟ = ⎜ 0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 0 0 1 0 0 1 0 



3



4

a  + a4

1 0 4

⎞ ⎟ ⎟, ⎠

1 3

4

mit OO ∈ SO(3) , Ob + b ∈ R , Oa + a b + a ∈ R und a + a ∈ R . Die Inverse und das Einheitselement sind gegeben durch: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ O−1 −O−1 b −O−1 (−a4 b + a) 1I 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ , bzw. 1I = ⎜ 0 1 0 ⎟ . B −1 = ⎜ 1 −a4 ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 1 0 01 Die Assoziativität folgt aus der Assoziativität der Matrixmultiplikation. 2

(g) Es gilt (K(v)) = 0 , und somit: exp [K(v)τ ]y = (1I + τ K(v)) y , d.h. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x 0 τv 0 x 1I τ v 0 x x + τ vt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ t ⎟ + ⎜0 0 0⎟⎜ t ⎟ = ⎜ 0 1 0⎟⎜ t ⎟ = ⎜ ⎟. t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 2

Es gilt auch: (P (a)) = 0 , und somit: exp [P (a)τ ]y = (1I + τ P (a)) y , d.h. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 τa 1I 0 τ a x + τa x x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ t ⎟ + ⎜ 0 0 τ a 4 ⎟ ⎜ t ⎟ = ⎜ 0 1 τ a4 ⎟ ⎜ t ⎟ = ⎜ t + τ a 4 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 00 0 0 0 1 1 (h) Vergleiche mit (c).

A.1.8:

Der harmonische Oszillator

(a) Aus V (x) = 21 mω 2 |x|2 folgt F (x) = −∇V (x) = −mω 2 x und die N EWTONsche Bewegungsgleichung lautet: m¨ x = −mω 2 x , d.h. x ¨ = −ω 2 x . (b) Aus L = m [x, x] ˙ folgt: L˙ = m [x, ˙ x] ˙ + m [x, x ¨] = −mω 2 [x, x] = 0 . $ % (c) Aus: T h = 21 m ω 2 x(t) x(t), h + x(t) ˙ x(t), ˙ h folgt, wegen der Bewegungsgleichung: $ 2 % d 1 ˙ x, h + ω 2 x x, ˙ h + x ¨ x, ˙ h + x˙ ¨ x, h dt T h = 2 m ω x $ % = 21 m ω 2 x˙ x, h + ω 2 x x, ˙ h − ω 2 x x, ˙ h − ω 2 x˙ x, h = 0 , für alle konstanten h ∈ R3 , d.h. T˙ = 0 . (d) Es gilt:

$ % h, T t k = k, T h = 21 ω 2 k, x x, h + k, x ˙ x, ˙ h $ % = 21 ω 2 h, x x, k + h, x ˙ x, ˙ k = h, T k , für alle h, k ∈ R3 , d.h. T t = T .

180

Lösungen der Übungsaufgaben ⎛

(e)

⎞

T L = 21 m2 ⎝ω 2 x x, [x, x] ˙ +x˙ x, ˙ [x, x] ˙ ⎠ = 0.       =0

=0

(f) Sei ei , i = 1, 2, 3 die Standardbasis von R3 , dann gilt: 3 3 $ % 1 1 2 i 2 tr[T ] = ei , T ei  = ˙ i )2 2 mω (x ) + 2 m(x i=1

i=1

= 21 m|x| ˙ 2 + 21 m|x|2 = E . E = const. ist die erhaltene Gesamtenergie. (g) Mit |L|2 = m2 [x, x], ˙ [x, x] ˙ = m2 |x|2 |x| ˙ 2 − m2 | x, x ˙ |2 folgt: % $ x, T x = 21 m ω 2 |x|4 + | x, x ˙ |2 $ % 2 |L|2 2 = 21 ω 2 |x|2 + |x| ˙ 2 |x|2 − |L| 2m = tr[T ]|x| − 2m . (h) Aus (d) folgt, daß T symmetrisch ist; T ist reell, d.h. T ist diagonalisierbar mit einer orthogonalen Matrix und die Eigenwerte sind reell. Außerdem folgt aus (e) daß L Eigenvektor zu T ist mit Eigenwert 0 , d.h. T hat die Matrixgestalt: ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 0 ε1 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ OL = ⎜ T = O−1 ⎜ ⎝ 0 ⎠, ⎝ 0 ε2 0 ⎠ O , |L| 0 0 0 wobei O eine orthogonale Matrix ist. x(t) ⊥ L und x(t) ˙ ⊥ L impliziert Ox(t) ⊥ O L und Ox(t) ˙ ⊥ O L , d.h. Ox und Ox˙ liegen in der 1-2-Ebene, oder x3 = 0 . % $ 2 Dann folgt aus (g): (x1 )2 ε1 + (x2 )2 ε2 = (ε1 + ε2 ) (x1 )2 + (x2 )2 − |L| 2m , d.h. (x1 )2 a22

+

(x2 )2 a21

= 1,

mit ai = √ |L|

2m|εi |

.

Dies ist eine Ellipsengleichung, wobei a1 , a2 die Längen der Halbachsen sind . Die Bewegung erfolgt also auf einer Ellipse in einer Ebene. (i) Es gilt:

$ % tr[T 2 ] = T ei , T ei  = 41 m2 ω 2 |x|4 + 2ω 2 | x, x ˙ |2 + |x| ˙4 % $ ˙ 2 + |x| ˙4 (tr[T ])2 = ω 2 |x|4 + 2ω 2 |x|2 |x| $ % d.h. tr[T 2 ] − (tr[T ])2 = 21 mω 2 ω 2 | x, x ˙ |2 − ω 2 |x|2 |x| ˙ 2 = − 21 ω 2 |L|2 . 2 Hieraus folgt: ε21 + ε22 = (ε1 + ε2 ) − 21 ω 2 |L|2 , d.h. ε1 ε2 = 41 ω 2 |L|2 . Mit E = tr[T ] = ε1 + ε2+ folgt dann: $ 1 %2 $ 1 %2 1 ε1 = 2 E ± − 2 ω|L| , 2E +$ % $ %2 2 1 ε2 = E − ε1 = 21 E ∓ − 21 ω|L| , 2E

(j) Aus

$ % T x = 21 m ω 2 |x|2 x + x˙ x, ˙ x und [L, x] ˙ = m [[x, x], ˙ x] ˙ = mx˙ x, x ˙ − m|x| ˙ 2x

Aufgaben zum Kapitel 1

181

folgt: T x = 21 mω 2 |x|2 x +

1 2

[L, x] ˙ + 21 m|x| ˙ 2 x = x tr[T ] +

1 2

[L, x] ˙ .

(k) Aus (j) folgt: [L, [L, x]] ˙ = −|L|2 x˙ = 2A(L) (T − tr[T ]1I) x , d.h. x˙ = − 2A(L) |L|2 (T − tr[T ]1I) x , mit der allgemeinen Lösung (siehe auch Aufgabe 2.3(a.iv)): x(t) = exp [t B]x(0) , wobei B = −2 A(L) |L|2 (T − tr[T ]1I) , wie man auch leicht durch Einsetzen überprüft. Die Anfangsgeschwindigkeit x(0) ˙ bestimmt, zusammen mit der Anfangslage x(0), dabei den Erhaltungsgrößen E, |L| und T .

A.1.9: (a)

Bewegung in einem magnetischen Monopolfeld d ˙2 dt |x| 2 d 2 dt2 |x|

= 2 x, ˙ x ¨ =

2μ m|x|3

x, ˙ [x, x] ˙ = 0.

= x, x ˙ = 2 x, ˙ x ˙ + 2 x, x ¨ = 2|x| ˙ 2 = 2|v0 |2 , wobei im dritten Schritt wiederum auf Grund der Bewegungsgleichung x, x ¨ = 0 gilt, und im letzten Schritt benutzt wird, daß |x(t)| ˙ nicht von der Zeit abhängt. d 2 dt

2

d 2 (b) Aus dt = 2|v0 |2 folgt: |x(t)|2 = |v0 |2 t2 + α t + β , wobei β = |x(0)|2 und 2 |x(t)| d 2 aus dt |x(t)| = 2 x(t), x(t) ˙ = 2|v0 |2 t + α folgt α = 2 x0 , v0  . Also gilt:

|x(t)|2 = |v0 |2 t2 + 2 x0 , v0  t + |x0 |2  2 2 0 = |v0 |2 t + x|v00,v|20  − x|v0 ,v + |x0 |2 2 0|  2 2 0 ]| = |v0 |2 t + x|v00,v|20  + |[x|v0 ,v . 2 0| x]] ˙ x (c) Mit dtd |x| = − [x,[x, |x|3 , siehe Aufgabe 1.3(d), und 1.3(b), folgt mit der Bewegungsgleichung:

d dt

[x, x] ˙ = [x, x ¨] , siehe Aufgabe

x]] ˙ = m [x, x ¨] − μ [x,[x, = 0, |x|3 also gilt J = const.

d dt J

x,J μ (d) x, J = μ|x| , d.h. cos α = |x||J| = |J| = const. , wobei α der Winkel zwischen x(t) und dem konstanten Vektor J ist. Die Bewegung läuft also auf einem Kegelmantel ab.

(e) Mit [x, J] = m [x, [x, x]] ˙ folgt aus d x dt |x|

1 = − m|x| 3 [x, J] =

1 m|x|2

x]] ˙ d x = − [x,[x, sofort: |x|3

dt |x|  x J, |x| .

x(t) (f) Für den Einheitsvektor y(t) := |x(t)| gilt, nach (e) die Differentialgleichung: y˙ = 1 B(t) A(J) y , wobei B(t) = m |x(t)|2 , mit, siehe (b),

182

Lösungen der Übungsaufgaben 2

|x(t)| =

|[x0 ,v0 ]|2 |v0 |2

4

|v0 |2 |[x0 ,v0 ]|

t+

x0 ,v0  |[x0 ,v0 ]|

2

5 +1 .

Diese Differentialgleichung wird für die Anfangsbedingung y0 = |xx00 | gelöst von y(t) = exp [f (t)A(J)]y0 , wobei f  (t) = B(t) , mit f (0) = 0 . Dementsprechend gilt: (t 1 f (t) = 0 dτ m|x(τ )|2 4 5−1 2 (t |v0 |2 |v0 |2 x0 ,v0  = m|[x0 ,v0 ]|2 0 dτ +1 |[x0 ,v0 ]| τ + |[x0 ,v0 ]| 1    2 2 x0 ,v0  x0 ,v0  = m|[x10 ,v0 ]| arctan |[x|v00,v| 0 ]| t + |[x − arctan . |[x0 ,v0 ]| 0 ,v0 ]|

Abb. A.5: Bewegungsablauf in einem magnetischen Monopolfeld

(g) In Teilaufgabe (d) wurde schon gefunden, daß die Bewegung auf einem Kreiskegel2 x0 ,v0  mantel abläuft. Mit σ(t) = |[x|v00,v| 0 ]| t + |[x als Kurvenparameter findet man für 0 ,v0 ]| den Abstand zum Ursprung r(σ) = |x(σ)| und den Drehwinkel φ(σ) = |J|f (σ) für die zeitabhängige Drehung um die feste J-Achse: % 2 $ 2 |J0 | 0 ]| (r(σ)) = |[x|v0 ,v σ 2 + 1 , φ(σ) = m[x [arctan σ − arctan σ0 ] , 2 0| 0 ,v0 ] wobei σ0 = σ(0) = |[x0 ,v0 ]| |v0 |

x0 ,v0  |[x0 ,v0 ]|

. Der minimale Abstand zum Ursprung ist also d =

. Wenn man den Kegel um die Kegelspitze als Ursprung auf einer Ebene ab√ rollt entspricht r(σ) = d σ 2 + 1 der Parametrisierung einer Gerade in dieser Ebene im Abstand d zum Ursprung. Siehe auch Abbildung A.5 .

Aufgaben zum Kapitel 1 A.1.10:

183

C ORIOLIS-Kraft

(a) Aus y α = eα (t), (x − a(t)) , mit a(t) = Oω (t)O)β Re 3 und eα (t) = Oω (t)O β eα * folgt: y α = Oω (t)Oβ eα , (x − Oω (t)Oβ Re3 ) = eα , Oβ−1 Oω−1 (t)x − Re3

,

y(t) = Oβ−1 Oω−1 (t)x(t) − Re3 . Dies ergibt: y(t) ˙ = Oβ−1 O˙ ω−1 (t) x(t) + Oβ−1 Oω−1 (t)x(t) ˙ , und mit −1 −1 ˙ Oω (t) = −A(ωe3 )Oω (t) folgt:

(∗)

bzw.

y˙ = −Oβ−1 A(ωe3 )Oω−1 (t)x(t) + Oβ−1 Oω−1 (t)x(t) ˙ . Aus (∗) folgt: Oω−1 (t)x(t) = Oβ (y(t) + Re3 ) , d.h.

(∗∗)

˙ y˙ = −Oβ−1 A(ωe3 )Oβ (y(t) + Re3 ) + Oβ−1 Oω−1 (t)x(t) und ˙ − Oβ−1 A(ωe3 )Oω−1 (t)x(t) ˙ + Oβ−1 Oω−1 (t)¨ x(t) . y¨(t) = −Oβ−1 A(ωe3 )Oβ y(t) −1 ˙ = Oβ y(t) ˙ + A(ωe3 )Oβ (y(t) + Re3 ) , d.h. Aus (∗∗) folgt: Oω (t)x(t) 2

˙ − Oβ−1 (A(ωe3 )) Oβ (y(t) + Re3 ) m¨ y (t) = −2mOβ−1 A(ωe3 )Oβ y(t) +Oβ−1 Oω−1 (t)K (Oω (t)Oβ (y(t) + Re3 )) . Nun gilt,   x, O−1 A(v)Oy = Ox, A(v)Oy = Ox, [v, Oy] = Δ(Ox, v, Oy) $ %  !  $ %  = det(O) Δ x, O−1 v, y = x, O −1 v, y = x, A O −1 v y , 3 Es %folgt also: für alle x, y, v ∈ R $ .−1 −1 O A(v)O = A O v und damit    2  ˙ − A Oβ−1 ωe3 y¨(t) = −2A Oβ−1 ωe3 y(t) (y(t) + R e3 ) 1 +m Oβ−1 Oω−1 (t)K (Oω (t)Oβ (y(t) + R e3 )) . O (t)O (y+Re )

3 β x (b) Mit K(x) = −mg |x| = −mg ω |y+Re folgt: 3| 2     −1 −1 3) ˙ − A Oβ ωe3 (y(t) + R e3 ) − g (y+Re y¨(t) = −2A Oβ ωe3 y(t) |y+Re3 | .   Die Matrizen zu Oβ−1 und A Oβ−1 ωe3 besitzen in der Standardbasis die Gestalt: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ sin β 0 − cos β 0 −ω sin β 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 ⎜ 0 ⎟ 0 ω cos β ⎟ ⎝ ⎠ , bzw. ⎝ ω sin β ⎠. cos β 0 sin β 0 −ω cos β 0 Einsetzen in der obigen Bewegungsgleichung führt dann auf: 1

y y¨1 = 2ω sin β y˙ 2 + ω 2 sin2 βy 1 + ω 2 sin β cos β(y 3 + R) − g |y+R e3 | , 2

y y¨2 = −2ω sin β y˙ 1 − 2ω cos β y˙ 3 + ω 2 y 2 − g |y+R e3 | ,

3

y +R y¨3 = 2ω cos β y˙ 2 + ω 2 sin β cos βy 1 + ω 2 cos2 β(y 3 + R) − g |y+R e3 | . Für |y|  R gilt dann:

184

Lösungen der Übungsaufgaben y¨1 = 2ω sin β y˙ 2 + ω 2 sin β cos βR , y¨2 = −2ω sin β y˙ 1 − 2ω cos β y˙ 3 , y¨3 = 2ω cos β y˙ 2 + ω 2 cos2 βR − g .    −g 

(c) Die Zeitintegration der ersten beiden Gleichungen ergibt: y˙ 1 = 2ω sin β y 2 + ω 2 sin β cos β R t + c1 , y˙ 2 = −2ω sin β y 1 − 2ω cos β y 3 + c2 . Mit den gegebenen Anfangsbedingungen folgt:c1 = 0 und c2 = 2ω cos β h , d.h. y˙2 = −2ω sin β y 1 − 2ω cos β (y 3 − h) . Wenn wir dieses Resultat in der dritten Gleichung einsetzen, so folgt: $ % y¨3 = −g  − 4ω 2 cos β sin β y 1 + cos β (y 3 − h) . (d) Wegen 4ω 2 y 3 ≈ 4 · 50 · 10−10 · 102 m s−2 ≈ 2 · 10−6 m s−2  10m s−2 , gilt in guter Näherung: y¨3 = −g  , d.h. y 3 (t) = h − 21 g  t2 . Aus y¨1 = −4ω 2 sin 2 β y 1 + 2ω 2 sin β cos β g  t2 + ω 2 sin β cos βR          2·10−8 m s−2

2,5·10−6 m s−2

≈3,5·10−2 m s−2

folgt mit den gegebenen Anfangsbedingungen näherungsweise: y˙ 1 ≈ ω 2 sin β cos β R t und y 1 ≈ 21 ω 2 sin β cos β R t2 , und auch: $ % y˙ 2 = ω cos β g − ω 2 R t2 ,    g 

d.h. y 2 = 31 ω g  cos β t3 . + (e) Für die Fallzeit gilt näherungsweise t = 

2h g

, d.h. y 2 (h) ≈



2 3 h ω cos β

+

2h g 

≈

0,024m , wobei wir g ≈ g benutzt haben. 2 β cos β Übrigens folgt aus y 1 (h) ≈ ω h R sin ≈ 0,21m , daß die Südabweichung, d.h. g der Effekt der Zentrifugalkraft, viel größer ist!

A.2 A.2.1:

Aufgaben zum Kapitel 2 Differenzierbare Funktionen von mehreren Variablen

(a) Sei: y(t) = x + v t . Dann gilt nach der Kettenregel: n ∂f β n dy γ d β γ=1 ∂y γ (y(t)) dt (t) = γ=1 dt f (y(t)) = % n $ = γ=1 ∂γ f β (x + t v) v γ . wobei

∂f β ∂y γ

∂f β ∂y γ

(x + v t) v γ

(y(t)) für hinreichend kleine t existiert, weil f ∈ C k (U, Rm ) . Es gilt also:

Aufgaben zum Kapitel 2

185

n n ∂f d γ (Dv f ) (x) = dt f (x + v t)|t=0 = γ=1 ∂y = γ=1 (∂γ f ) (x) v γ , γ (x) v oder etwas kompakter (mit Summenkonvention) (Dv f ) (x) = (∂γ f ) (x) v γ . (b)

(Dλv f ) (x) = (∂γ f ) (x) λv γ = λ (Dv f ) (x) . (Dv+w f ) (x) = (∂γ f ) (x) (v γ + wγ ) = (Dv f ) (x) + (Dw f ) (x) .

(c) Folgt direkt aus (b); Urbildmenge: Rn , Bildmenge: Rm . % $ d β β (d) (y(t)) y˙ γ (t) ⇒ dt f (y(t)) = ∂γ f $ % d Df (y(t)) (y(t)) ˙ := Dy(t) ˙ f (y(t)) = dt f (y(t)) .  (e) Es gilt: Dh (x) (v) = (Dv h) (x) = dtd h(x + t v)t=0 . Die Kettenregel ergibt: % $ d β β (x + t v) v γ dt h (x + t v) = ∂γ h % $ = ∂μ g β (f (x + t v)) (∂γ f μ ) (x + t v) v γ , ⇒  % $ d hβ (x + t v) = ∂μ g β (f (x)) (∂γ f μ ) (x) v γ . dt

t=0

Anderseits: ((Dg (f (x))) ◦ (Df (x))) (v) = (Dg) ((Dv f ) (x)) = Nun gilt

d dt g (f (x)

 + t ((Dv f ) (x)))t=0 .

 (f (x) + t ((Dv f ) (x)))t=0  % $ μ = ∂μ g β (f (x) + t (Dv f ) (x)) dtd (f μ (x) + t (Dv f ) (x))t=0 % % $ $ μ = ∂μ g β (f (x)) (Dv f ) (x) = ∂μ g β (f (x)) (∂γ f μ ) (x) v γ d β dt g

= dtd hβ (x + t v) und folglich gilt: Dh(x)(v) = (Dg(f (x)) ◦ Df (x)) (v) . (f) Wie (c) mit m = 1 . (g) Dies folgt direkt aus den R IESZschen Darstellungssatz. (h)

eα , (∇f )(x) = Df (x)(eα ) = (Deα f ) (x) = = x, ˙ (∇f ) (x(t)) =

A.2.2:

∂f ∂xα (x) = (∂α f ) (x) ; x˙ α eα , (∇f ) (x(t)) =

d dt f

 (x + t eα )t=0

x˙ α (∂α f ) (x(t)) =

d dt f

(x(t)) .

Lösungen von Differentialgleichungssystemen

˙ (a) Mit Z(0) die Differentialgleichung Z(t) = A(t)Z(t) die Lösung Z(t) = 

( = 1I besitzt t exp 0 dτ A(τ ) , wie man durch einsetzten leicht überprüft. Mit Gleichung (1.37)

186

Lösungen der Übungsaufgaben findet man dann sofort:

( 

(  t t det(Z(t)) = exp tr 0 dτ A(τ ) = exp 0 dτ tr (A(τ )) . (b) Wegen (a) ist det(Z(t)) > 0 für alle t und somit ist Z(t) immer invertierbar. Es gilt: $ % −1 ˙ 0 = d 1I = d Z(t)Z −1 (t) = Z(t)Z (t) + Z(t)Z˙ −1 (t) dt

dt

= A(t)Z(t)Z −1 (t) + Z(t)Z˙ −1 (t) = A(t) + Z(t)Z˙ −1 (t) ⇒ Z˙ −1 (t) = −Z −1 (t)A(t) . Durch Einsetzen überprüft man leicht, daß y(t) = Z(t)y0 der Differentialgleichung y(t) ˙ = A(t)y(t) genügt, denn: ˙ y(t) ˙ = Z(t)y 0 = A(t)Z(t)y0 = A(t)y(t) . Die Lösung ist eindeutig, denn: sei y˜(t) = Z(t)y0 eine zweite Lösung; dann folgt wegen der Invertierbarkeit von Z(t) für all t sofort: y˜(t) = Z(t)y0 = Z(t)Z −1 (t)y(t) = y(t) .

A.2.3:

Lösung von Differentialgleichungssystemen (DGS) durch Ansatz

(a.i) Die Differentialgleichungen lauten explizit: 2

x ¨α (t) = (λα ) xα (t)

(α = 1, . . . , dim(V )) . Ansatz: α α 1 α xα (t) = xα 0 cosh(λ t) + v0 λα sinh(λ t) α α α α ⇒ x˙ α (t) = xα 0 λ sinh(λ t) + v0 cosh(λ t) 2

α α α α α ⇒x ¨α (t) = xα 0 (λ ) cosh(λ t) + v0 λ sinh(λ t) 6 7 2 α α 1 α α 2 α = (λα ) xα 0 cosh(λ t) + v0 λα sinh(λ t) = (λ ) x (t) α α α ˙ = v0 . Anfangswerte: x (0) = x0 , x(0)

(a.ii) Die Differentialgleichungen lauten explizit: 2

x ¨α (t) = − (ω α ) xα (t)

(α = 1, . . . , dim(V )) . Ansatz: α α 1 α xα (t) = xα 0 cos(ω t) + v0 ω α sin(ω t) α α α α ⇒ x˙ α (t) = −xα 0 ω sin(ω t) + v0 cos(ω t) 2

α α α α α ⇒x ¨α (t) = −xα 0 (ω ) cos(ω t) − v0 ω sin(ω t) 6 7 2 α α 1 α α 2 α = − (ω α ) xα 0 cos(ω t) + v0 ω α sin(ω t) = − (ω ) x (t) ˙ = v0α . Anfangswerte: xα (0) = xα 0 , x(0)

(a.iii) Das Differentialgleichungssystem lautet : x ¨(t) = −B 2 x .

Aufgaben zum Kapitel 2

187

Ansatz: x(t) = x0 cos(Bt) + v0 B −1 sin(Bt) ⇒ x(t) ˙ = −Bx0 sin(Bt) + v0 cos(Bt) ⇒x ¨(t) = −B 2 x0 cos(Bt) − Bv0 sin(Bt) 6 7 = −B 2 x0 cos(Bt) + v0 B −1 sin(Bt) = −B 2 x(t) ˙ = v0 . Anfangswerte: x(0) = x0 , x(0) (a.iv) Die Differentialgleichungen lauten explizit: x ¨α (t) = −dα x˙ α Ansatz: xα (t) = xα 0 +

1 dα

(1 − exp (−dα t)) v0α

⇒ x˙ α (t) = exp (−dα t)v0α ⇒x ¨α (t) = −dα exp (−dα t)v0α = −dα x˙ α (t) ˙ = v0α . Anfangswerte: xα (0) = xα 0 , x(0) (a.v) Das Differentialgleichungssystem lautet :

 x ¨(t) =

qB ˙ m ,x

= [ω, x] ˙ = A(ω)x˙ .

Ansatz: ω,v0  0] x(t) = (1 − exp [A(ω)t]) [ω,v |ω|2 + ωt |ω|2 + x0 ω,v0  0] ⇒ x(t) ˙ = −A(ω) exp [A(ω)t] [ω,v |ω|2 + ω |ω|2 0 ]] 0 = − exp [A(ω)t] [ω,[ω,v + ω ω,v |ω|2 |ω|2 2

−v0 |ω| 0 = − exp [A(ω)t] ωω,v0|ω| + ω ω,v 2 |ω|2 [ω,(ωω,v0 −v0 |ω|2 )] ⇒x ¨(t) = − exp [A(ω)t] = exp [A(ω)t] [ω, v0 ] . |ω|2 Außerdem gilt:

A(ω)x(t) ˙ = [ω, x(t)] ˙

  −v0 |ω|2 ω,v0  = ω, − exp [A(ω)t] ωω,v0|ω| + ω 2 |ω|2 = exp [A(ω)t] [ω, v0 ] . Also folgt in der Tat: x ¨(t) = A(ω)x(t) ˙ −v0 |ω|2 0 ˙ = − ωω,v0|ω| Anfangswerte: x(0) = x0 , x(0) + ω ω,v 2 |ω|2 = v0 . (b) Das Differentialgleichungssystem lautet : x ¨(t) = Q x + D x˙ + [ω, x] ˙ = Q x + (D + A(ω)) x˙ = Q x + P x˙ . Ansatz: x(t) = F (t)g(t) ⇒ x(t) ˙ = F˙ (t)g(t) + F (t)g(t) ˙ ⇒x ¨(t) = F¨ (t)g(t) + 2F˙ (t)g(t) ˙ + F (t)¨ g (t)

188

Lösungen der Übungsaufgaben Einsetzen in das DGS liefert: F¨ (t)g(t) + 2F˙ (t)g(t) ˙ + F (t)¨ g (t) = Q F (t)g(t) + P F˙ (t)g(t) + P F (t)g(t) ˙     ⇒ F¨ (t) − P F˙ (t) − Q F (t) g(t) + 2F˙ (t) − P F (t) g(t) ˙ + F (t)¨ g (t) = 0 . Setzt man! jetzt 2F˙ (t) − P F (t) = 0 so hat diese Gleichung die Lösung: F (t) = exp 21 P t . Es gilt det(F ) = 0 , d.h. F −1 (t) existiert für alle t . Es folgt: F˙ (t) = 1 1 2 ¨ 2 P F (t) und F (t) = 4 P F (t) . Einsetzen liefert dann das DGS für g: $1 2 % 1 2 ¨(t) = 0 4 P F (t) − 2 P F (t) − Q F (t) g(t) + F (t) g $1 2 % ⇒ − 4 P F (t) + Q F (t) g(t) + F (t) g¨(t) = 0 $ % ⇒ g¨(t) = 41 F −1 (t)P 2 F (t) + F −1 (t)QF (t) g(t) $ % ⇒ g¨(t) = 41 P 2 + F −1 (t)QF (t) g(t)   ⇒ g¨(t) = 41 (D + A(ω))2 + F −1 (t)QF (t) g(t) .

Bewegung eines Massenpunktes in elektromagnetischen Feldern $ % Die Bewegungsgleichung lautet allgemein: m¨ x = q E(x) − 1c [B(x), x] ˙ .

A.2.4:

$ E % q x (a) B = 0 , E = −E0 R . Die DG: x ¨= m − R0 x = −ω02 x , + 0 mit ω0 = qE mR , (qE0 > 0) , hat nach Aufgabe 2.2(a.ii) die allgemeine Lösung: x(t) = x0 cos (ω0 t) + v0 ω10 sin (ω0 t) . Eine Kreisbewegung liegt vor, falls |x(t)|2 = const. Wegen 2

|x(t)|2 = |x0 |2 cos 2 (ω0 t) + |vω02| sin 2 (ω0 t) + 2 ω10 x0 , v0  sin (ω0 t) cos (ω0 t) 0 führt dies auf die Bedingungen: x0 , v0  = 0 und |v0 | = ±ω|x0 | . q (b) E = 0 , B(x) = B0 . Die DG: x ¨ = − mc [B0 , x] ˙ = − [ωc , x] ˙ = A(−ωc )x˙ , mit q ωc = mc B , wobei |ωc | die Zyklotronfrequenz ist, hat nach Aufgabe 2.2(a.v) die allgemeine Lösung:

x(t) = x0 − (1 − exp [A(−ωc )t]) [ω|ωcc,v|20 ] + ωc t ω|ωcc,v|20  . Mit dem Resultat der Aufgabe 1.7(b): exp [−A(ωc )t] [ωc , v0 ] = cos (|ωc |t) [ωc , v0 ] erhält man: x(t) = x0 − −

− sin (|ωc |t) |ω1c | [ωc , [ωc , v0 ]] , 1 1 |ωc |2 [ωc , v0 ] + |ωc |2 cos (|ωc |t) [ωc , v0 ] 1 |t) ωc , v0  ωc + |ω1c | sin (|ωc |t) v0 + ωc t ω|ωcc,v|20  |ω|3 sin (|ωc

 ωc v0 t + |ω1c | sin (|ωc |t)v0⊥ + (cos (|ωc |t) − 1) |ω , v 0⊥ c|

= x0 + , ) * ωc ωc wobei v0 := |ωc | , v0 |ωc | und v0⊥ := v0 − v0 . Dies stellt eine Spiralbewe-

Aufgaben zum Kapitel 2

189

| gung auf einem Zylinder mit einem Radius |v|ω0⊥ und mit einer Achse durch x0 + c|

 ωc 1 |ωc | |ωc | , v0⊥ mit der Richtung von ωc dar.

(c) Die DG lautet: x ¨ = Q x + A x˙ , wobei Q und A durch die Matrizen ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2 ω0 0 0 ωc 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎟ Q=⎜ A=⎜ ⎝ 0 ω0 0 ⎠ , ⎝ −ωc 0 0 ⎠ , 0 0 −2ω02 0 0 0 qE0 2 0 mit ωc = qB mc und ω0 = mR gegeben sind. Nach Aufgabe ! 2.3(b) ist die Lösung 1 durch x(t) = F (t)g(t) gegeben , wobei F (t) = exp At und g(t) der Differenti2 $ % algleichung g¨ = Q + 41 A2 g genügen soll, wobei man hier QA = AQ und somit F −1 QF = Q benutzt. Es gilt: ⎛ ⎞ ω02 − 41 ωc2 0 0 ⎜ ⎟ Q + 41 A2 = ⎜ 0 ω02 − 41 ωc2 0 ⎟ ⎝ ⎠. 0 0 −2ω02 Damit die Bewegung beschränkt bleibt, + muß diese Matrix negativ definit sein, d.h. es

muß gelten: ωc2 > 4ω02 oder B0 > 2c lautet nach Aufgabe 2.4(a.ii): g 1 (t) = cos (ωt)a1 + g 2 (t) = cos (ωt)a2 +

1 ω 1 ω 1 ω ˜

mE0 qR

. Die allgemeine Lösung der DG für g(t)

sin (ωt)b1 sin (ωt)b2

g 3 (t) = cos (˜ ω t)a3 + sin (˜ ω t)b3 , +  ωc2 2 wobei ω := ˜ := 2ω02 . 4 − ω0 und ω F (t) stellt eine gleichförmige Drehung um die 3-Achse dar und somit gilt: x1 (t) =

1 2

(cos (ω− t) + cos (ω+ t)) x10 +

1 + 2ω 1 + 2ω

x2 (t) =

1 2

(sin (ω− t) + sin (ω+ t)) x20 % (− sin (ω− t) + sin (ω+ t)) v01 − ω2c x20 $ % (cos (ω− t) − cos (ω+ t)) v02 + ω2c x10

(cos (ω− t) + cos (ω+ t)) x20 −

1 + 2ω 1 − 2ω

1 2

$

1 2

(sin (ω− t) + sin (ω+ t)) x10 % (− sin (ω− t) + sin (ω+ t)) v02 + ω2c x10 $ % (cos (ω− t) − cos (ω+ t)) v01 + ω2c x20 $

ω t)x30 + ω˜1 sin (˜ x3 (t) = cos (˜ ω t)v03 , + √ ωc2 wobei ω ˜ = 2ω0 und ω± = ω2c ± ω = ω2c ± 4 − ω0 die Frequenzen der Normalmoden sind. Diese folgen natürlich auch (wobei man die Bewegungsgleichung in der Form y˙ = P y schreibt) aus der Gleichung: det(P − λ1I) = 0 , wobei P : R6 → R6 gegeben⎛ ist durch ⎞ P =⎝

0 1I Q A

⎠.

190

Lösungen der Übungsaufgaben Dies führt auf die Gleichung:  $ 2 % $ 2 %2 2ω0 + λ2 ω0 − λ2 + λ2 ωc2 = 0 ,   +  ωc2 ωc 2 2 mit den 6 Lösungen: λ = ±i 2ω0 und λ = ±i 2 ± . 4 − ω0

A.2.5:

Lösung mit J ORDANscher Normalform

(a) Die Bewegungsgleichung in der⎞ Form: ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ x˙

0

1

⎛

x

⎠⎝ ⎠ + ⎝ y˙ = ⎝ ⎠ = ⎝ v v˙ −ω02 −2D

⎞

0 k(t) m

⎠ = Ay + K

ergibt sofort x˙ = v und somit x ¨ = v˙ = −ω02 x − 2D x˙ +

k(t) m

.

(b) Die Eigenwerte von A folgen aus det(A − λ1I) = 0 ⇒ λ2 + 2Dλ + ω02 = 0 , mit den Lösungen: λ± = −D ± Δ für D > ω0 ; λ+ = λ− = λ = −D für D = ω0 ; λ± = −D ± iΔ für D < ω0 ,  wobei Δ := |ω02 − D2 | . Für D = ω0 gilt: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ λi λi 1 1 ⎠ = ⎝ ⎠ = λi ⎝ ⎠ , A⎝ ⎠ = ⎝ 2 2 λi λi −ω0 − 2Dλi λi ⎛ ⎞ 1 d.h. Aei = λi ei , mit ei = ⎝ ⎠ . λi Falls ⎛ D =⎞ω0 gilt: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ λ 1 1 λ ⎠ = ⎝ ⎠ = λ⎝ ⎠ , A⎝ ⎠ = ⎝ 2 2 λ λ λ −ω0 − 2Dλ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ 1 0 1 0 ⎠. ⎠ = −D ⎝ ⎠ + ⎝ A⎝ ⎠ = ⎝ −D 1 −2D 1 d.h. Ae1 ⎛ = λ⎞ e1 , und ⎛ Ae2⎞= e1 + λe ⎞ ⎛2 mit 1 1 0 ⎠ , e2 = ⎝ ⎠ . e1 = ⎝ ⎠ = ⎝ −D λ 1 Dementsprechend besitzt A die Form:

⎛

A=⎝

⎞ λ 1 0 λ

⎠.

Aufgaben zum Kapitel 2

191

(c) D = ω0 : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 +v0 c1 = −λλ21x−λ 1 1 x0 , 2 ⎝ ⎠ = c1 ⎝ ⎠ + c2 ⎝ ⎠ ⇒ . λ1 x0 −v0 2 v0 λ1 λ2 c = λ1 −λ2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ 0 K 2 (t) = −K 1 (t) 1 1 ⎝ ⎠ = K 1 (t) ⎝ ⎠ + K 2 (t) ⎝ ⎠ ⇒ . k(t) 1 K 1 (t) = k(t) λ1 λ2 m m λ1 −λ2 D= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ω0 :⎞ 1 0 c1 = x0 , ⎠ = c1 ⎝ ⎠ + c 2 ⎝ ⎠ ⇒ . λ 1 c2 = v0 − λx0 v0 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ 0 1 0 K 1 (t) = 0 ⎝ ⎠ = K 1 (t) ⎝ ⎠ + K 2 (t) ⎝ ⎠ ⇒ . k(t) K 2 (t) = k(t) λ 1 m m

⎝

x0

(d) D = ω0 :

% $ exp [At]y0 = exp [At] c1 e1 + c2 e2 = c1 exp (λ1 t) + c2 exp (λ2 t) ; (1) % $ exp [A(t − t )]K(t ) = exp [A(t − t )] K 1 (t )e1 + K 2 (t )e2 = K 1 (t ) exp (λ1 (t − t )) + K 2 (t ) exp (λ2 (t − t )) ;

1

y(t) =

1 λ1 −λ2 (−λ2 x0 + v0 ) exp (λ1 t)e1 + (λ1 x0 − v0 ) exp (λ2 t)e2 2 (t ( t  k(t )  )   + 0 dt k(t m exp (λ1 (t − t ))e1 − 0 dt m exp (λ2 (t − t ))e2 .

(2)

(3)

D = ω0 : Es gilt:

exp [At]e1 = exp (λt)e1 . Ae2 = e1 + λe2 ⇒ A2 e2 = Ae1 + λAe2 = 2λe1 + λ2 e2 ⇒ An e2 = nλn−1 e1 + λn e2

Hieraus folgt: exp [At]e2 =

∞

1 n n n=0 n! t A e2

= exp (λt)e2 +

∞

1 n−1 n t e1 n=1 (n−1)! λ

= exp (λt)e2 + t exp (λt)e1 = exp (λt) (e2 + te1 ) . % $ exp [At]y0 = exp (λt) (c1 + tc2 )e1 + c2 e2 ; 





exp [A(t − t )]K(t ) = exp [A(t − t

 ) )] k(t m e2



) = exp (λ(t − t )) (e2 + (t − t )e1 ) k(t m ;

y(t) = exp (λt) {(x0 + (v0 − λx0 )t) e1 + (v0 − λx0 )e2 } (t  )   + 0 dt k(t m exp (λ(t − t )) (e2 + (t − t )e1 ) .

(1)

(2)

(3)

192

Lösungen der Übungsaufgaben (e) Man braucht die beiden Integrale: (t  dt cos (ωt ) exp (λ(t − t )) 0 (t  dt cos (ωt ) exp (λ(t − t ))(t − t ) 0 $ % 1 = (λ2 +ω λ2 + ω 2 cos (ωt) 2 2) 6$ % + ω 2 − λ2 D > ω0 : 4 x(t) =

1 2Δ

= =

ω sin (ωt)−λ cos (ωt)+λ exp (λt) λ2 +ω 2 (t  d   dλ 0 dt cos (ωt ) exp (λ(t − t ))

− 2λω sin (ωt) $ %7 % + λt ω 2 + λ2 exp (λt) .

(v0 + (D + Δ)x0 ) e(−D+Δ)t

5

(−D−Δ)t

+ (−v0 + (−D + Δ)x0 ) e 1 $ !% α 1 (−D+Δ)t +m (−D+Δ)2 +ω 2 ω sin (ωt) − (−D + Δ) cos (ωt) − e $ !% 2 1 − (−D−Δ) ω sin (ωt) − (−D − Δ) cos (ωt) − e(−D−Δ)t 2 +ω 2 1  1 α D−Δ (−D+Δ)t = 2Δ v0 + (D + Δ)x0 − m (D−Δ)2 +ω 2 e   2 α D+Δ (−D−Δ)t − v0 + (D − Δ)x0 − m e 2 2 (D+Δ) +ω ! α 1 + m (Δ2 −D2 +ω2 )2 +4ω2 D2 2Dω sin (ωt) − (Δ2 + ω 2 − D2 ) cos (ωt) 1  1 −Dt α D−Δ Δt = 2Δ v0 + (D + Δ)x0 − m e (D−Δ)2 +ω 2 e   2 α D+Δ −Δt − v0 + (D − Δ)x0 − m (D+Δ)2 +ω 2 e 1 (D 2 −Δ2 −ω 2 )2 −4ω 2 D 2

α √ +m





cos (ωt − δ(ω)) ,

(∗)

2Dω wobei δ(ω) = arctan D2 −Δ die Phasenverschiebung der Schwingung gegen2 −ω 2 über der äußeren Kraft ist. Der letzte Term beschreibt die Schwingung für große t, α √ 1 mit der Amplitude A(ω) = m (siehe auch Abb.A.6); die erste 2 2 2 2 2 2 (D −Δ −ω ) −4ω D

beide Termeden Einschwingvorgang. N.B. Δ := D2 − ω02 < D . D < ω0 : Dies folgt direkt1aus  (∗) mit der Ersetzung Δ → iΔ und ergibt:  1 Δ

x(t) = e−Dt

2

2

2

α D +Δ +ω v0 + Dx0 − m D (D−Δ+ω sin (Δt) 2 )2 +4D 2 ω 2   2 α ω 2 −Δ2 −d2 − x0 + m (D−Δ+ω2 )2 +4D2 ω2 cos (Δt)

1 (D 2 +Δ2 −ω 2 )2 −4ω 2 D 2

α √ +m

wobei δ(ω) = arctan D = ω0 :



2Dω D 2 +Δ2 −ω 2



cos (ωt − δ(ω)) ,

.

x(t) = e−Δt [x0 + (v0 + Dx0 )t] 1 α 1 +m (D2 − ω 2 ) cos (ωt) + 2Dω sin (ωt) 2 2 2 (D +ω ) 2 ! + (ω 2 − D2 ) − D(D2 + ω 2 )t e−Dt

(∗∗)

Aufgaben zum Kapitel 3

193

´

µ

 ´

µ

¾ ¼



 

 ¼

½

¾

¿





¼

Abb. A.6: Amplitude und Phasenverschiebung eines getriebenen harmonischen Oszillators für D < ω0 .

1 = e−Dt x0 + (v0 + Dx0 )t +

2 2 2 2 α ω −D −D(D +ω )t m (D 2 +ω 2 )2

2

α 1 +m 2 cos (ωt − δ(ω)) , D 2 +ω   wobei δ(ω) = arctan D2Dω . Dies folgt natürlich auch aus (∗) oder (∗∗) indem 2 −ω 2 man den Limes Δ → 0 durchführt.

A.3

A.3.1:

Aufgaben zum Kapitel 3

Potentiale und Kräfte

(a) Es gilt: Dv f (x) = folgt direkt:

d dt f (x

 + tv)t=0 = v, (∇f )(x) . Falls Y (x) = − (∇U ) (x), so

Dv Y, u − Du Y, v = −Dv ∇U , u + Du ∇U , v = − v, ∇ {∇U , u} + u, ∇ {∇U , v} = {− v, ∇ u, ∇ + u, ∇ v, ∇} U = 0 , für u, v ∈ Rn fest. (1 Umgekehrt: Setze: U (x) = − 0 dτ Y (xτ ), x . Dann folgt:

194

Lösungen der Übungsaufgaben − h, (∇U )(x) = = =

= =

(1 0

(1

dτ Dh Y (xτ ), x dτ

0 (1 dτ 0

(1

6

d dt

Y (τ (x + th)), (x + th)

! t=0

[Y (τ (x + th), h]t=0 + [(x + th), (Dh Y ) (τ (x + th)) τ ]t=0

0

dτ {Y (τ x), h + τ x, (Dh Y ) (τ x)}

0

dτ {Y (τ x), h + τ h, (Dx Y ) (τ x)}

(1 (1

7

= 0 dτ dτd {τ Y (τ x), h} = Y (x), h , ∀h ∈ Rn , wobei man in der vorletzte Zeile Dv Y, u = Du Y, v benutzt. Somit hat man unter dieser Voraussetzung die Existenz von U (x) mit Y (x) = − (∇U ) (x) bewiesen. (b)

(t 0

dτ Y (x(τ )), x(τ ˙ ) = −

(t 0

(t

dτ (∇U )(x(τ )), x(τ ˙ )

= − 0 dτ dτd (U (x(τ ))) = U (x(t)) − U (x(0)) . Dieses Resultat ist nur abhängig von den Werten des Potentials am Anfangs– und Endpunkt und somit unabhängig vom Weg x(τ ) . (c) Für Gleichgewichtspunkte x0 gilt: Y (x0 ) = 0 . Für kleine Auslenkungen y aus der Gleichgewichtlage gilt die TAYLOR-Entwicklung: $ % Y (x0 + y) = Y (x0 ) + y, ∇Y (x0 ) + O y 2 und in der Standardbasis von Rn lautet die Bewegungsgleichung, ausgeschrieben für die Komponenten y α (t) = eα , y(t), näherungsweise: m¨ y α (t) = −y β (t) (∂α ∂β U ) (x0 ) ,   y oder, indem man z = schreibt: v ⎞ ⎛ 0 1I ⎠ , wobei B αβ := (∂α ∂β U ) (x0 ) . z˙ = A z , mit A = ⎝ −1 −m B 0 und m die Massenmatrix ist. Damit die Bewegungen um die Gleichgewichtslage beschränkt bleiben, darf kein Eigenwert von A einen nichtverschwindenden Realteil   a besitzen. Seien jetzt s die Eigenwerte von A mit den Eigenvektoren e(s) = , b mit a, b ∈ Rn . Dann führt die Eigenwertgleichung auf % $ ⇒ −m−1 (B) − s2 a = 0 . b = s a ; −m−1 (B)a = s b m−1 (B) ist eine Matrix = mit positiven Eigenwerten ωi , i = 1, . . . , n . Die Eigenwerte n von A folgen dann aus: i=1 (−ωi − s2 ) = 0 , d.h. alle Eigenwerte von A sind rein imaginär. Die Bewegungen um die Gleichgewichtslage sind somit alle beschränkt. (d) Anwendung des Kriteriums der Teilaufgabe (a) liefert: Dv [h, x], u − Du [h, x], v = v, ∇ [h, x], u − u, ∇ [h, x], v = [∇, [h, x]], [v, u] . Dies verschwindet nur für alle u, v falls [∇, [h, x]] = 0 . Jetzt gilt aber (n = 3):

Aufgaben zum Kapitel 3

195

[∇, [h, x]] = h ∇, x − h, ∇ x = 3h − h = 2h = 0 . Somit ist das Kriterium nicht erfüllt und existiert kein Potential. (e) Die Koeffizienten sind schon symmetrisch in μ1 · · · μn , denn sonst würde die Summe verschwinden. Berechne jetzt: v, ∇ K, u = αβ uα v β ∂β Kα =: uα v β ∂β Kα = uα v β ∂β cαμ1 μ2 ···μn xμ1 xμ2 · · · xμn $ = uα cαμ1 μ2 ···μn v μ1 xμ2 · · · xμn + xμ1 v μ2 · · · xμn + · · · % · · · + x μ1 x μ2 · · · v μ n = uα v β (cαβμ2 ···μn + cαμ2 βμ3 ···μn + · · · + cαμ2 ···μn β ) xμ2 · · · xμn und u, ∇ K, v = v α uβ ∂β Kα = v α uβ ∂β cαμ1 μ2 ···μn xμ1 xμ2 · · · xμn $ = v α cαμ1 μ2 ···μn uμ1 xμ2 · · · xμn + xμ1 uμ2 · · · xμn + · · · % · · · + x μ 1 x μ2 · · · u μn = uα v β (cβαμ2 ···μn + cβμ2 αμ3 ···μn + · · · + cβμ2 ···μn α ) xμ2 · · · xμn Die beide Ausdrücke sind offensichtlich gleich falls cμ0 μ1 ···μn symmetrisch in allen Indizes ist und folglich existiert nach Teilaufgabe (a) ein Potential. 3 λ0 λ1 Umgekehrt: Sei U (x) = · · · xλn ein Potential, wobei λ0 λ1 ...λn dλ0 λ1 ...λn x x die Koeffizienten d symmetrisch in allen Indizes sind. Dann ist Kα (x) = −∂α U (x) = dαλ1 ···λn xλ1 · · · xλn + dλ0 αλ2 ···λn xλ0 xλ2 · · · xλn + · · · · · · + dλ0 ···λn−1 α xλ0 · · · xλn−1 = (dαλ1 ···λn + dλ1 α···λn + · · · + dλ1 ···λn α ) xλ1 · · · xλn = cαλ1 ···λn xλ1 · · · xλn , wobei c symmetrisch in allen Indizes ist.

A.3.2: (a)

Periodische Kräfte, Gleichgewichtslagen m¨ x = λ sin (αx) .

(b) V (x) = αλ cos (αx), denn: F (x) = −V  (x) = λ sin (αx) . Gleichgewichtspunkte xs : F (xs ) = 0 ⇒ sin (αxs ) = 0 ⇒ α xs = nπ, n ∈ Z . Dann gilt: ⎧ ⎨ αλ > 0 , für n = 2k + 1 (stabil) ; k ∈ Z. V  (xs ) = −αλ cos (αxs ) = ⎩ −αλ < 0 , für n = 2k (labil) ,

196

Lösungen der Übungsaufgaben (c) Mit x = xs + z gilt für kleine z die Entwicklung: sin (α(xs + z)) = sin (αxs ) + cos (αxs ) z + O(z 2 ) = (−1)n z + O(z 2 ) und die Bewegungsgleichung lautet näherungsweise: λ m¨ z = λ (−1)n z ⇔ z¨ = (−1)n m z. Mit ⎛ ⎞ z y=⎝ ⎠ v gilt dann: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

0 1 z˙ z ⎠⎝ ⎠ = Ay. y˙ = ⎝ ⎠ = ⎝ n λ (−1) m 0 v˙ v (d) Für die Schwingung um die stabilen (n = 2k + 1) bzw. labilen (n = 2k) Gleichgewichstpunkte gilt: z¨ = −ω 2 z , bzw. z¨ = ω 2 z , λ wobei ω 2 = m ist. Diese Differentialgleichungen besitzen, siehe 2.5, die Lösungen: z(t) = z0 cos (ωt) + vω0 sin (ωt) , bzw. z(t) = z0 cosh (ωt) + vω0 sinh (ωt) . Nur die erste Bewegungsform bleibt für alle Zeiten bei kleinen Anfangswerten beschränkt auf einer Umgebung des Gleichgewichtpunktes. (e) Folgt unmittelbar aus: x2 = F2 = −G12 + F (x2 ) . m¨ x1 = F1 = G12 + F (x1 ) , m¨ (f) Gleichgewichtspunkte: F1 = F2 = 0⎫⇒ sin (αx1s ) = − sin (αx2s ) ⇒ αx2s = −αx1s + 2nπ (A) ⎬ n ∈ Z. αx2s = αx1s + (2n + 1)π (B) ⎭ (A):

$ κ x1s + x1s −

(B):

κ (2n+1)π − λ sin (αx1s ) = 0 ⇒ sin (αx1s ) = α

2nπ α

%

2κ + λ sin (αx1s ) = 0 ⇒ sin (αx1s ) = − αλ (αx1s − nπ) , 2κ αλ

$

n+

1 2

%

π.

(g) Linearisierung mit xi = xis + zi , i = 1, 2 liefert: m¨ z1 = κ(z1 − z2 ) + λα cos (αx1s ) z1 , m¨ z2 = κ(z2 − z1 ) + λα cos (αx2s ) z2 , mit (A): cos (αx2s ) = cos (−αx1s + 2nπ) = cos (αx1s ) und (B): cos (αx2s ) = cos (αx1s + (2n + 1)π) = − cos (αx1s ) . (h) Setze y 1 = z1 , y 2 = z2 , y 3 = z˙1 , y 4 = z˙2 . Die Bewegungsgleichung wird dann:

Aufgaben zum Kapitel 3 ⎛

y˙ 1

⎞

197

⎛

⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y˙ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟=⎜ ⎜ y˙ 3 ⎟ ⎜ κ + ⎝ ⎠ ⎝m y˙ 4 oder kurz: y˙ = A± y .

αλ m

0

0

0

0 κ −m

cos (αx1s )

κ −m

κ m

±

αλ m

10

⎞⎛

y1

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ 0 1⎟ ⎟⎜y ⎟ ⎟⎜ ⎟ , ⎜ 3⎟ 0 0⎟ ⎠⎝y ⎠

cos (αx1s ) 0 0

y4

(i) Die Eigenwerte folgen aus: det((A± − ω1I)) = 0, was mit den Abkürzungen a = und b = αλ cos (αx1s ) auf die Gleichung $ 2m %$ % −ω + a + b −ω 2 + a ± b − a2 = 0 führt. Die Lösungen sind dann gegeben durch:

κ m

(A) (−ω 2 + (a + b))2 = a2 ⇒ ω 2 = b , ω 2 = 2a + b ; √ (B) (−ω 2 + a)2 − b2 = a2 ⇒ ω 2 = a ± a2 + b2 . Nur im Fall (A) kann die Matrix A negativ definit sein, vorausgesetzt, daß b < 0 ist; dann ist, wegen κ < 0, auch 2a + b < 0 . Die Bedingung αλ m cos (αx1s ) < 0 ist erfüllt für αx1s = ξ + 2kπ , wobei π2 < ξ < 3π und k ∈ Z . In Aufgabe (f) wurde schon 2 2κ gefunden: sin (αx1s ) = − αλ (αx1s − nπ) . Ein stabiles Gleichgewicht liegt also nur vor, falls sin (ξ) = Λ(ξ + (2k − n)π) für π2 < ξ < 3π (*) 2 , 2κ gilt, wobei Λ = − αλ . Schnittpunkte ξi (n, k), siehe auch die Abbildung A.7, gibt es

























































Abb. A.7: Graphische Lösung der Gleichung (∗) für λ =

für

1 2

−

1 Λπ

< n − 2k <

3 2

+

αx1s = ξi (n, k) + 2kπ ,

1 Λπ

1 2π

.

. Dann gilt: αx2s = −ξi (n, k) + 2(n − k)π .

1 (j) Für Λ = 2π gibt es 5 Schnittpunkte, siehe obige Abbildung, mit n = 2k − 1, 2k, 2k + 1, 2k + 2, 2k + 3 , und für die Gleichgewichtspunkte findet man (Modulo 2π) die Wertepaare:

198

Lösungen der Übungsaufgaben (αx1s , αx2s ) = (ξ1 , −ξ1 − 2π), (ξ2 , −ξ2 ), (ξ3 , −ξ3 + 2π), (ξ4 , −ξ4 + 4π) und (ξ5 , −ξ5 + 6π) . Die Gleichgewichtslagen sind in Abbildung A.8 durch Pfeilen dargestellt. Î



Ü













Abb. A.8: Gleichgewichtslagen für Λ =

A.3.3:

1 2π

.

Zylinderkoordinaten, sphärische Polarkoordinaten

JACOBI-Matrix: Df (x) : R3 → R3 |Df (x)(v) = Dv f (x) =

d dλ f (x

 + λv)λ=0 .

(a.i) xα = f α (ρ, φ, z) , mit f 1 (ρ, φ, z) = ρ cos φ , f 2 (ρ, φ, z) = ρ sin φ , f 3 (ρ, φ, z) = z . Noch einmal explizit:

⎞   ⎜ ⎟  d ⎜ ⎟ Df (ρ, φ, z)(vρ , vφ , vz ) = dλ ⎝ (ρ + λ vρ ) sin (φ + λ vφ ) ⎠   z + λ vz λ=0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ cos φ vρ − ρ sin φ vφ cos φ −ρ sin φ 0 vρ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎝ sin φ vρ + ρ cos φ vφ ⎠ = ⎝ sin φ ρ cos φ 0 ⎠ ⎝ vφ ⎠ . vz vz 0 0 1

(a.ii)

⎛

(ρ + λ vρ ) cos (φ + λ vφ )

Df (ρ, φ, z)(vρ , vφ , vz ), Df (ρ, φ, z)(vρ , vφ , vz ) = cos 2 φvρ2 − 2ρ vρ vφ sin φ cos φ + ρ2 sin 2 φ vφ2 + sin 2 φvρ2 + 2ρ vρ vφ sin φ cos φ + ρ2 cos 2 φ vφ2 + vz2 = vρ2 + ρ2 vφ2 + vz2

Aufgaben zum Kapitel 3 $

vρ v φ v z

199 %⎛

1 0 0

⎞⎛

vρ

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ρ2 0 ⎟ ⎜ vφ ⎟ = vq , g(ρ, φ, z)vq  = g(ρ, φ, z)(vq , vq ) . ⎠⎝ ⎠ ⎝ 0 0 1 vz Es gilt: g(q) = Df (q)t Df (q) . =

(b.i) xα = f α (r, θ, φ) , mit f 1 (r, θ, φ) = r sin θ cos φ , f 2 (r, θ, φ) = r sin θ sin φ , f 3 (r, θ, φ) = r cos θ .

⎛

sin θ cos φ vr + r cos θ cos φ vθ − r sin θ sin φ vφ

⎞

⎜ ⎟ ⎟ Df (r, θ, φ)(vr , vθ , vφ ) = ⎜ ⎝ sin θ sin φ vr + r cos θ sin φ vθ − r sin θ cos φ vφ ⎠ cos θ vr − r sin θ vθ ⎛ ⎞⎛ ⎞ sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φ vr ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎝ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ ⎠ ⎝ vθ ⎠ . vφ cos θ −r sin θ 0 (b.ii) ⎛ g(r, θ, φ) = Df (r, θ, φ)t Df (r, θ, φ) = ⎞⎛ ⎞ sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φ ⎝ r cos θ cos φ r cos θ sin φ −r sin θ ⎠⎝ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ ⎠ −r⎛sin θ sin φ r sin⎞ θ cos φ 0 cos θ −r sin θ 0 1 0 0 ⎠. 0 = ⎝ 0 r2 2 2 0 0 r sin θ (c) Die Geschwindigkeit folgt aus: x˙ = Df (q)(q) ˙ . Dann ist T =m ˙ Df (q)(q) ˙ =m ˙ q) ˙ 2 Df (q)(q), 2 g(q)(q, und L = m [f (q), Df (q)(q)] ˙ = mA(f (q))Df (q) ˙ . – Zylinderkoordinaten: Komponenten der Geschwindigkeit: x˙ 1 = cos φ ρ˙ − ρ sin φ φ˙ , x˙ 2 = sin φ ρ˙ + ρ cos φ φ˙ , x˙ 3 = z˙ . Kinetische Energie:  1 2 T = 21 m r˙ 2 + r2 θ˙2 + φ˙ 2 sin 2 θ . Komponenten des Drehimpulses:

200

Lösungen der Übungsaufgaben 1 2 L1 = m (ρz˙ − z ρ) ˙ sin φ − zρφ˙ cos φ , 1 2 L2 = m − (ρz˙ − z ρ) ˙ cos φ − zρφ˙ sin φ , L3 = mρ2 φ˙ . – Sphärische Polarkoordinaten: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ x˙ 1 sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φ r˙ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ x˙ 2 ⎟ = ⎜ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ ⎟ ⎜ θ˙ ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ x˙ 3 cos θ −r sin θ 0 φ˙ KinetischeEnergie :  1 2 . T = 21 m r˙ 2 + r2 θ˙2 + φ˙ 2 sin 2 θ In der Standardbasis gilt für die Matrixelemente von A(x) : Ai j (x) = ei , A(x)ej  = ei , [x, ej ] = −εijk xk . Einsetzen in L = mA(x)x˙ ergibt: ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ L1 0 −r cos θ r sin θ sin φ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ L2 ⎟ = m ⎜ r cos θ 0 −r sin θ cos φ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ L3 −r sin θ cos φ r sin θ cos φ 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞ sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φ r˙ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ · ⎝ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ ⎠ ⎝ θ˙ ⎟ ⎠ cos θ −r sin θ 0 φ˙ ⎞⎛ ⎞ ⎛ r˙ 0 −r2 sin φ −r2 sin θ cos θ cos φ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ⎜ = m ⎝ 0 r cos φ −r sin θ cos θ sin φ ⎠ ⎝ θ˙ ⎟ ⎠. 2 2 0 0 r sin θ φ˙   oder: L1 = −mr2 θ˙ sin φ + φ˙ sin θ cos θ cos φ ,   L2 = mr2 θ˙ cos φ − φ˙ sin θ cos θ sin φ , L3 =

A.3.4:

mr2 φ˙ sin 2 θ .

Relativistische freie Bewegung 

(a) Für L(x, v) = −mc

2

1−



|v| c

2

gilt:

die E ULER -L AGRANGE-Gleichung:

∂L ∂v α

=

α

q mv |v| 2 1−( c )

d q mx˙ 2 dt |x| ˙ 1−( c )

= 0.

und

∂L ∂xα

= 0 . Somit folgt

Aufgaben zum Kapitel 3 (b) Es folgt unmittelbar: 2 2

201 q mx˙ 2 |x| ˙ 1−( c )

= b , mit b = const. ∈ R3 . Auflösen nach |x| ˙ ergibt:

c 2 3 |x| ˙ 2 = m2|b| ˙ < c , d.h. die c2 +|b|2 < c , für alle b ∈ R . Deswegen gilt: 0 ≤ |x| Lichtgeschwindigkeit ist eine Grenzgeschwindigkeit.

A.3.5:

Bewegung in einem elektromagnetischen Feld LA,Φ (x, v, t) = 21 mv 2 − qφ(x, t) +

(a) Für gilt: ∂L ∂xα ∂L ∂v α

q c

v, A(x, t)

= −q∂α Φ + qc v β ∂α Aβ und

= mv α + qc Aα . Die E ULER -L AGRANGE-Gleichung lautet somit: m¨ xα + qc ∂β Aα x˙ β +

q ∂ α c ∂t A α

= −q∂α Φ + qc x˙ β ∂α Aβ

⇒ m¨ x = −q∂α Φ − oder koordinatenfrei: m¨ x(t) = −q (∇Φ) (x, t) − qc ∂A ∂t (x, t) − $ % 1 = q E(x, t) + c [x, ˙ B(x, t)] . LA ,Φ (x, v, t) =

(b)

1 2 2 mv

q c

− qΦ (x, t) +

= LA,Φ (x, v, t) + ⇒ LA ,Φ (x, x, ˙ t) = LA,Φ (x, x, ˙ t) +

q c q c

q ∂Aα c ∂t

+

q c

$

% ∂α Aβ − ∂β Aα x˙ β

[x, ˙ rot A(x, t)]

q c

v, A (x, t)

q ∂Λ ∂t (x, t) + c v, ∇Λ(x, t) d dt (Λ(x, t)) .

;

(c) Damit sind mit W (x, t) = qc Λ(x, t) die Voraussetzungen von Lemma 3.1 erfüllt und somit die Bahnkurven in den Potentialen (φ, A) und (φ , A ) gleich.

A.3.6:

Bewegung in einem gekrümmten Raum

Wir definieren einen” Vektor y ∈ R4 durch: “ |x| 2 1−( R ) ” y0 = “ |x| 2 1+( R ) yi =

2xi R |x| 1+ R

“

” . 2 ( ) Dann gilt |y|2 = 1 und 2

L = 21 m R4 |y| ˙ 2. In den Variablen y wird die Bewegung somit durch die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf der dreidimensionalen Einheitskugel realisiert. Diese ist bekanntlich Segment eines Großkreises.

202

Lösungen der Übungsaufgaben

A.3.7:

Das K EPLER-Problem II

(a) Die JACOBI-Matrix für den Übergang x = φt (R, y) von Einteilchenkoordinaten x1 , x2 ∈ R3 zu den und Relativkoordinaten R, y ∈ R3 lautet: ⎛ Schwerpunkts⎞ Dφ(R, y) = ⎝

1I 1I

m2 M 1I ⎠ 1 −m M 1I

,

wobei 1I die identische Abbildung R3 → R3 bezeichnet. Für die kinetische Energie gilt in den neuen Koordinaten: 1 2

Dφ(R, y)(vR , vy ), m Dφ(R, y)(vR , vy ) = ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ $ %⎛ m2 v 1 I 1 I v m 1 I 1 I 0 1 I v R y M ⎝ ⎠⎝ 1 ⎠⎝ ⎠⎝ R ⎠ = 21 m2 m1 m1 1 I − 0 m 1 I 1 I 1 I − 1 I vy M M M ⎞ 2 ⎞⎛ $ %⎛ vR vy M 1I 0 v ⎝ ⎠ ⎝ R ⎠ = M |vR |2 + μ |vy |2 , = 21 2 2 m1 m2 0 vy M 1I 1 m2 wobei M = m1 + m2 die Gesamtmasse und μ = mM die reduzierte Masse ist. Die L AGRANGE-Funktion lautet jetzt: M μ L(R, y, vR , vy ) = |vR |2 + |vy |2 − V (|y|) . 2   2  

T =

LR (R,vR )

Ly (y,vy )

Den Übergang zu sphärischen Polarkoordinaten entnehme man der Aufgabe 3.3 und es folgt:    L(R, r, θ, φ, vR , vr , vθ , vφ ) = 3

M 2 2 |vR |

+

μ 2

vr2 + r2 vθ2 + vφ2 sin 2 θ

− V (r) ,

wobei R, vR ∈ R . (b) Die E ULER -L AGRANGE-Gleichungen lauten: (i) (ii) (iii) (iv)

d ˙ dt M R

¨ = 0, = MR  d 2 ˙ 2 μr θ = 0, φ sin dt   d 2˙ 2 ˙2 dt μr θ = μr sin θ cos θ φ ,   d r = μr θ˙2 + φ˙ 2 sin 2 θ − V  (r) . dt μr˙ = μ¨ 

P (c) Die allgemeine Lösung zu (i) lautet: R(t) = R0 + M t wobei P = const. ∈ R3 der Gesamtimpuls ist. Eine spezielle Lösung ist natürlich R(t) = 0 . Mit sin π2 = 1 folgt aus (ii): μr2 φ˙ = l = const. und wegen cos π2 = 0 und θ˙ = 0 ist (iii) trivial erfüllt. Mit φ˙ = μr 2 folgt aus (iv) nach Multiplikation mit r: ˙ 2

l μ¨ rr˙ − μr ˙ + V  (r)r˙ = 0 3r oder   μ 2 d l2 r ˙ + + V (r) = 0, 2 dt 2 2μr woraus

Aufgaben zum Kapitel 3 μ 2 2 r˙

203

2

l + 2μr 2 + V (r) = E = const. , mit E die konstante Gesamtenergie der Relativbewegung, folgt. Sei jetzt F (r) eine  − 21 (r)) l2 Stammfunktion von 2(E−V − . Dann ist: 2 2 μ μ r

r(t) = F −1 (±t + F (r(0))) . (d) Wie in Beispiel 3.1 diskutiert, ist Ly invariant unter Drehungen und nach Satz 3.3 der Drehimpuls L erhalten. Die Relativbewegung verläuft in einer Ebene senkrecht zu L. Nach Satz 3.2 kann man die spezielle Lösung in der Ebene mit θ = π2 durch eine Drehung O ∈ SO(3) in einer beliebige andere Ebene Transformieren: y  (t) = O y(t). Für LR ist eine beliebige G ALILEI-Transformation φt (R) = O R + a + bt, mit O ∈ SO(3) und a, b ∈ R3 , eine Symmetrietransformation und nach Satz 3.2 ist R(t) = a + bt die allgemeine Lösung für die Schwerpunktbewegung.

A.3.8:

Das sphärische Pendel

(a) Für ein Teilchen der Masse mim Schwerefeld gilt:

 2 2 2 2 2 2 L(r, θ, φ, vr , vθ , vφ ) = m v + r v + r v sin θ − mgr cos θ . r θ φ 2 Im Beispiel 3.3 wurde die L AGRANGE-Funktion mit der Zwangsbedingung r =  = const. schon berechnet:   2 Lz (θ, φ, vθ , vφ ) = m vθ2 + sin2 θ vφ2 − mg cos θ . 2 Mit ϑ = π − θ findet man:   2 Lz (ϑ, φ, vϑ , vφ ) = m vϑ2 + sin2 ϑ vφ2 + mg cos ϑ . 2

(b) Berechne: ∂L 2 2 ∂ϑ = m sin ϑ cos ϑ vφ − mg sin ϑ ,

∂L ∂vϑ ∂L ∂vφ

= m2 vϑ ,

, = m2 sin 2 ϑ vφ . Die E ULER -L AGRANGE -Gleichungen lauten dann:    d d m2 ϑ˙ = m2 φ˙ 2 sin ϑ cos ϑ − mg sin ϑ , m2 φ˙ sin 2 ϑ = 0 . ∂L ∂φ

=0

dt

dt

(c) Die erste Gleichung ergibt: ϑ¨ − φ˙ 2 sin ϑ cos ϑ + g sin ϑ = 0 . 

Für die Gleichgewichtspunkte (ϑ˙ = 0 , φ˙ = 0) folgt dann: φ = 0 und sin ϑ = 0, d.h. ϑ = 0 oder ϑ = π. Nur dem ersten Wert entspricht ein stabiles Gleichgewicht, das ist die Ruhelage. Für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage folgen die linearisierten Gleichungen: ˙ ϑ˙ = 0 , φϑ ϑ¨ − φ˙ 2 ϑ + g ϑ = 0 . 

˙ = 0 oder ϑ˙ = 0 . Im ersten Fall ergibt die zweiAus der ersten Gleichung folgt: φϑ g ¨ te Gleichung: ϑ +  ϑ = 0 mit der allgemeinen Lösung: θ(t) = θ0 (t) cos (ωt) +

204

Lösungen der Übungsaufgaben  sin (ωt) mit ω = g und φ(t) = φ0 , was einer harmonischen Schwingung in ei ner Ebene entspricht. Im zweiten Fall folgt: φ˙ 2 = g mit der Lösung: φ(t) = φ0 ± g t und ϑ = ϑ0 , was eine Kreisbewegung darstellt. vϑ0 ω

(d) Aus der zweiten Gleichung bei (b) folgt sofort, daß die dritte Komponente des Drehimpulses: L3 = m2 φ˙ sin 2 ϑ eine Bewegungskonstante ist. Einsetzen in die erste Gleichung aus (c) ergibt: 3 2 ) g ϑ¨ − m2(L 4 sin3 ϑ cos ϑ +  sin ϑ = 0   3 2 3 2 ) ˙ + g sin ϑϑ˙ = d 1 ϑ˙ 2 + 2(L4 ) 2 − g cos ϑ = 0 ⇒ ϑ˙ ϑ¨ − m2(L cos ϑ ϑ 4 3  2m  sin ϑ    sin ϑ 3 2  dt 2 (L ) g 2 1 ˙2 ⇒ m 2 ϑ + 2m2 4 sin2 ϑ −  cos ϑ = E = const. wobei E die erhaltene Energie ist. (e) Die Differentialgleichung für ϑ lautet dann: + 3 )2 2g 2E ˙ ϑ = ± m2 +  cos ϑ − m2(L 4 sin2 ϑ √ Mit der Substitution: u = cos ϑ , u˙ = − 1 − u2 ϑ˙ , (0 ≤ ϑ ≤ π) wird dies: +$ % (L3 )2 2g 2E 2 u˙ = ∓ m2 +  u (1 − u ) − m2 4 =: f (u) . Sei F jetzt eine Stammfunktion von f −1 , dann ist die Lösung formal gegeben durch: u(t) = F −1 (t + F (u0 )). Leider entspricht F selbst für L3 = 0 schon ein ellipti%−1 $ ist, dann folgt sches Integral. Falls G(u) eine Stammfunktion von f (u)(1 − u2 ) L3 φ(t) = φ(0) + m (G(u(t)) − G(u(0))) . 2 (f) Die Umkehrpunkte u ¯ folgen u) = 0 , d.h. aus  aus der  Gleichung f (¯ (L3 )2 2m2 mg

E = g(u) := mg + u (1 − u2 ) . Man kann sie, wie in Abb. A.9 dargestellt, graphisch ermitteln. Die möglichen Werte

 











½



¾

¿

´

¾

 µ

¾

¾























Abb. A.9: Graphische Ermittlung der Umkehrpunkte eines Kugelpendels.





Aufgaben zum Kapitel 3

205

von u = cos ϑ sind dementsprechend auf u ¯1 < u < u ¯2 beschränkt.

A.3.9:

Das F OUCAULT-Pendel

(a) Mit der Bezeichnung aus Abschnitt 3.5 gilt: x(t) = ϕt (z(t)) = Oω (t)(z(t)) und  ϕˆt (z, vz ) = Oω (t)(z), DOω (t)(z)(vz ) + α

∂Oω (t) ∂t (z)

 .

∂Oω (t) ∂t (z)

α (Oω ) β

Mit ∂x = (t) und = A(ω)Oω (t)z = Oω (t) [ω, z] ( wegen ∂z β Oω (t) = exp [A(ω)t] ) folgt für die L AGRANGE-Funktion in den Koordinaten z, vz : L (z, vz ) = L (ϕˆt (z, vz )) = =

1 2 m {Oω (t)vz + Oω (t) [ω, z]}, {Oω (t)vz + Oω (t) [ω, z]} 1 1 2 2 2 mvz + m ω, [z, vz ] + 2 m| [ω, z] | − U (Oω (t)z) .

− U (Oω (t)z)

(b) Die E ULER -L AGRANGE-Gleichungen lauten:

z  m dtd {z˙ + [ω, z]} = −m [ω, z] ˙ − m [ω, [ω, z]] − ∇ U (Oω (t)z) , wobei ω, [z, vz ] = vz , [ω, z] = − z, [ω, vz ] und [ω, z], [ω, z] = − z, [ω, [ω, z]] benutzt wurde.  z α Jetzt gilt: F α (x) = ∂x∂α U (x) = F α (Oω (t)x) , woraus − ∇ U (Oω (t)z) = $ −1 %α γ ∂xγ ∂ γ γ − ∂z Oω (t) γ F (x) folgt, weil O orthogonal α ∂xγ U (x) = Oω (t) α F (x) = ist. Somit lautet die Bewegungsgleichung: m¨ z = −2m [ω, z] ˙ − m [ω, [ω, z]] + Oω−1 (t)F (Oω (t)z) .

(c) Mit den in der Abbildung 3.3 angedeuteten Koordinaten gilt ω = ωE (− cos β e1 (t) + sin β e3 (t)) und   z˙ 1 =  θ˙ cos θ cos φ − φ˙ sin θ sin φ , z 1 =  sin θ cos φ ,   z 2 =  sin θ sin φ , z˙ 2 =  θ˙ cos θ sin φ + φ˙ sin θ cos φ , z 3 =  (1 − cos θ) , z˙ 3 = θ˙ sin θ , woraus   |z| ˙ 2 = 2 θ˙2 + φ˙ 2 sin 2 θ und

  ω, [z, z] ˙ = ωE 2 φ˙ sin β sin 2 θ − cos β(1 − cos θ) θ˙ sin φ − φ˙ sin θ cos φ folgt. Dementsprechend gilt

für  die L AGRANGE  -Funktion: L(θ, φ, vθ , vφ ) = m2

1 2

vθ2 + sin2 θ vφ2

−ωE cos β (1 − cos θ) (sin φ vθ − sin θ cos φ vφ )  +ωE sin β sin2 θ vφ − g (1 − cos θ) .

206

Lösungen der Übungsaufgaben 2 Weil ωE ≈ 10−8 s−2 und ω02 := der Tat vernachlässigbar.

(d) Mit ∂L ∂θ

=

g 

2 ≈ 0.25 s−2 für  = 40 m sind die Terme ∝ ωE in

1 $ sin 2θ vφ2 − mg sin θ − mωE 2 cos β sin θ sin φ vθ 2 % − sin θ cos φ vφ − cos β(1 − cos θ) cos θ cos φ vφ − sin β sin 2θ vφ 1 2 2 m

= m2 θ vφ2 − mgθ − mωE 2 (cos β sin φ θ vθ − 2 sin β θ vφ ) + O(θ2 ) , = m2 vθ − mωE 2 cos β(1 − cos θ) sin φ  d ∂L  ⇒ dt ∂vθ  vθ =θ˙   2¨ = m θ − mωE 2 cos β sin θ sin φ θ˙ + (1 − cos θ) cos φ φ˙

∂L ∂vθ

= m2 θ¨ − mωE 2 cos β sin φ θ θ˙ + O(θ2 ) , findet man  die E ULER -L AGRANGE  -Gleichung: θ¨ = φ˙ 2 + 2ωE sin β φ˙ − g θ + O(θ2 ) 

und mit ∂L ∂φ

= −mωE 2 cos β(1 − cos θ)(cos φ vφ + sin θ sin φ vφ ) = 0 + O(θ2 ) ,

∂L ∂vφ

$ % = m2 sin 2 θ vφ + mωE 2 cos β(1 − cos θ) sin θ cos φ + sin β sin2 θ  ∂L  ⇒ dtd ∂v  φ v =φ ˙ φ 1  2 = m sin 2θ θ˙φ˙ + m2 sin 2 θ φ¨ + mωE 2 cos β sin 2 θ cos φ θ˙  2 +(1 − cos θ) cos θ cos φ θ˙ − (1 − cos θ) sin θ sin φ φ˙ + sin β sin 2θ θ˙

= 2m2 θ θ˙ φ˙ + 2mωE 2 sin β θ θ˙ + O(θ2 ) , die E ULER -L AGRANGE-Gleichung: φ˙ + ωE sin β = 0 + O(θ2 ) . (e) Die zweite Gleichung hat die allgemeine Lösung: φ(t) = φ0 − ωE t sin β , d.h. die Pendelebene dreht sich (auf der nördliche Halbkugel in der Richtung N → O → S → W) mit der Winkelgeschwindigkeit β . Einsetzen in die erste Differentialglei$ ωE sin % 2 ˙ chung ergibt, mit φ0 = 0: θ¨ = g + ωE sin 2 β θ , mit der Lösung (für θ(0) = 0): g g 2 2 2 2 ¯ t , wobei ω ¯ =  + ωE sin β ≈  = ω0 . Mit den Anfangsbedingunθ(t) = θ0 cos ω ˙ ˙ = 0, φ(0) = 0,φ(0) = 0 findet man also: gen θ(0) = θ0 , θ(0) z 1 (t) ≈ θ0 cos (¯ ω t) cos (ω  t) , z 2 (t) ≈ −θ0 cos (¯ ω t) sin (ω  t) , z 3 (t) ≈  , 2

¯ 2 = ω02 + ω  . Mit g ≈ 10 m s−2 ,  = 40 m ist die Periode wobei ω  = ωE sin β , ω T ≈ 12 s und der Phasenvorschub pro Periode: φ(T ) ≈ 7.10−5 ·12 ≈ 10−3 ≈ 0.06◦ . Der Bewegungsablauf ist, stark übertrieben, in der Abbildung A.10 dargestellt.

Aufgaben zum Kapitel 3



´

207



µ

¾

¿



¼

¾



´



µ

½

¾



Abb. A.10: Drehung der Schwingungsebene beim F OUCAULT-Pendel.

A.3.10: (a)

Trägheitstensor  !! mi h , x0i , x0i , h  $  %   = − i mi h , x0i , h x0i − x0i , x0i h $  %  = i mi |x0i |2 h , h − h , x0i h, x0i . Analog gilt für eine kontinuierliche Massenbelegung: ( h , Θh = d3x ρ(x) (h , h x, x − h , x h, x) , h , Θh = −



i



¿

¾



¾

¾







¾



½

Abb. A.11: Quader

(b) Volumen: V = 8abc ; Schreibe: x1 = x, x2 = y, x3 = z . Komponenten des Schwerpunktvektors: ( 2a ( 2b ( 2c ρ0 1 0V R1 = M dx 0 dy 0 dz xρ0 = M 2a2 2b 2c = a ρM = a. 0 2 3 Analog folgt: R = b , R = c . Wenn man den Koordinatenursprung nach R verschiebt, gilt natürlich R0 = 0 . Komponenten des Trägheitstensors:

208

Lösungen der Übungsaufgaben % $ (b (c (a Θ11 = e1 , Θe1  = ρ0 −a dx −b dy −c dz e1 , e1  (x2 + y 2 + z 2 ) − x2 % $ $ (b (c (a % = ρ0 −a dx −b dy −c dz y 2 + z 2 = ρ0 2a 32 b3 2c + 2b 32 c3 = 31 ρ0 V (b2 + c2 ) = 31 M (b2 + c2 ) . Analog folgt: Θ22 = 31 M (a2 + c2 ) , Θ33 = 31 M (a2 + b2 ) . $ (b (c (a % Θ12 = e1 , Θe2  = ρ0 −a dx −b dy −c dz e1 , e2 (x2 + y 2 + z 2 ) − x y    =0 (b (c (a = −ρ0 −a dx −b dy −c dz (x.y) = 0 . und analog: Θ13 = Θ23 = 0 . Dementsprechend sind e1 , e2 , e3 die Hauptträgheitsachsen. 

¿

¾





¾



½

¾

Abb. A.12: Zylinder

(c) Schreibe: x1 = r cos φ , x2 = r sin φ , x3 = z . Komponenten des Schwerpunktvektors: ( 2π (H ( 2π ρ0 R ρ0 R01 = M dr r 0 dφ −2H dz r cos φ = 3M R3 H sin φ|0 = 0 . 0 2

Analog folgt: R02 = 0 , R03 = 0 . Volumen: ( 2π (H (R V = 0 dr r 0 dφ −2H dz = 2π 21 R2 H = π R2 H . 2 Komponenten des Trägheitstensors: $ % ( (H ( R 2π Θ11 = ρ0 0 dr r 0 dφ −2H dz (r2 + z 2 ) − r2 cos 2 φ (H 2 $ ( R ( 2π % = ρ0 0 dr 0 dφ −2H dz 21 r3 + r z 2 ) − 21 r3 cos 2φ 2 $ % 1 = ρ0 81 R4 2π H + 21 R2 2π 12 H3 $ % 1 = 41 M R2 + 12 M H 2 = 41 M R2 + 31 H 2 , $ % ( 2π (H (R Θ22 = ρ0 0 dr r 0 dφ −2H dz (r2 + z 2 ) − r2 sin 2 φ (H 2 $ ( R ( 2π % = ρ0 0 dr 0 dφ −2H dz 21 r3 + r z 2 ) + 21 r3 cos 2φ 2

Θ3 3

= Θ1 1 , % $ ( 2π (H (R = ρ0 0 dr r 0 dφ −2H dz (r2 + z 2 ) − z 2 2

= ρ0 41 R4 2π H = 21 M R2 .

Aufgaben zum Kapitel 3

209

( 2π (H (R $ % Θ12 = ρ0 0 dr r 0 dφ −2H dz −r2 sin φ cos φ ( 2π (H 2 $ (R % = 0 dr r 0 dφ −2H dz − 21 r2 sin 2φ = 0 ,

und analog: Θ13 = Θ23 = 0 .

2



¿







¾



½

Abb. A.13: Kegel

(d) Volumen: ( H ( 2π ( Rz (H R2 2 V = 0 dz 0 dφ 0H dr r = 2π 0 dz 21 H = 31 π H R2 . 2z Komponenten des Schwerpunktvektors: R1 = R2 = 0 , ( Rz ( H ( 2π ( H 1 R2 3 1 0 R3 = M dz 0 dφ 0H dr r z ρ0 = 2πρ dz 2 H 2 z = 43 H . M 0 0 Wenn man den Koordinatenursprung nach R verschiebt, gilt wiederum R0 = 0 . Komponenten des Trägheitstensors: ( 1H ( 2π ( R (z+ 43 H ) $ % Θ11 = ρ0 −4 3 H dz 0 dφ 0H dr r (r2 + z 2 ) − r2 cos 2 φ 4   $ ( R z (H ( 2π %2 = ρ0 0 dz  0 dφ 0H dr r r2 + z  − 43 H − r2 cos 2 φ  $ % (H $ % 2 $ R  %2  R  4 = 2π ρ0 0 dz  81 H z + 21 z  − 43 H Hz  4  2 2 R 1 R 3 R 9 5 5 4 2 3 = 2π ρ0 81 H + 10 H − H + R H 4H 2 H 16 H 96 $1 4 % $ % 1 3 = 2π ρ0 40 R H + 160 R2 H 3 = 20 M R2 + 41 H 2 , Θ2 2 = Θ 1 1 , ( 1H ( 2π ( R (z+ 43 H ) Θ33 = ρ0 −4 3 H dz 0 dφ 0H dr r r2   R  $ %2 (H ( H4  ( 2π z = ρ0 0 dz 0 dφ 0 dr r (r2 + z  − 43 H − r2 cos 2 φ $ R %4 1  4 (H 1 R4 3 5 = 2π ρ0 0 dz  H = 10 π ρ0 H = 10 M R2 , 4H 4z Θ1 2 = Θ2 3 = Θ1 3 = 0 . (e) Volumen: V = 34 πR3 ; Koordinatenursprung im Mittelpunkt. Komponenten des Trägheitstensors:

210

Lösungen der Übungsaufgaben Θ1 2 = Θ1 3 = Θ2 3 = 0 , Θ1 1 = Θ2 2 = Θ3 3 $ % ( 2π (R (π = ρ0 0 dθ sin θ 0 dφ 0 dr r2 r2 − r2 cos 2 θ (1 8 = 2π ρ0 51 R5 −1 du (1 − u2 ) = 15 πρ0 R5 = 52 M R2 .

A.3.11:

Starrer Körper im Schwerefeld

(a) Für einen rollenden Zylinder mit Radius R ist ω0 parallel zur Berührungslinie oder zur Symmetrieachse. Somit ist die Richtung von ω0 konstant. Für Rollen ohne Schlupf gilt die Beziehung s = R φ + s0 zwischen dem zurückgelegten Weg s und dem −1 Drehwinkel φ , d.h. |ω0 |(s) = dφ = const. , Also ist ω = const. ∈ R3 . ds = R (b) Wir wiederholen kurz die Herleitung vom Abschnitt 3.6.1: Die Zwangsbedingungen lauten: ϕi (s) = R(s) + O(s)x0i und die JACOBI-Matrizen sind gegeben durch: 7 6  0 i Dϕi (s)(vs ) = ∂ϕ ∂s vs = R (s) + O(s)A(ω0 )xi vs ,i = 1, . . . , n . Einsetzen in die L AGRANGE-Funktion L(x, v) = 21 v, m v − U (x) liefert: n 1  2 1 2  0  Lz (s, vs ) = 2 mi vs R (s) + O(s)A(ω0 )xi (s) i=1 2  −mi g e3 , R(s) + O(s)x0i 1 n !  !2   1 2  2 0 = +  ω0 , x0i  2 mi vs |R (s)| + 2 R (s), O(s) ω0 , xi i=1 2  −mi g e3 , R(s) + O(s)x0i n = 21 M vs2 + 21 vs2 mi [ω0 , xi ], [ω0 , xi ] − M g e3 , R(s) i1

=

1 2 2 M vs

−

1 2 2 vs

n i1

 !! − M g e3 , R(s) mi ω0 , x0i , x0i , ω0

1 2 2 vs

= {M + ω0 , Θω0 } − M g e3 , R(s) , wobei wir die Definition des Trägheitstensors, i mi x0i = 0 und die Eigenschaft d 2 benutzt haben, daß für die Bogenlänge s : |R (s)|2 =  ds R(s) = 1 gilt. Wenn wir die 3-Richtung parallel zum Schwerefeld legen, so gilt: U (R(s)) = M g e3 , R(s) = M gR3 (s) . (c) Die 3-Komponente liegt genau auf einer Gerade, was der Situation eines auf einer z Ebene abrollenden Zylinders entspricht. Mit R3 (s) = −α s + β folgt: ∂L ∂s = M gα , ∂L ∂vs = (M + ω0 , Θω0 ) vs . Wir erhalten die E ULER -L AGRANGE -Gleichung: gα s¨ = 1+ 1 ω . 0 ,Θω0  M Die Lösung lautet:

Aufgaben zum Kapitel 3

211

s = s0 + v0 t +

gα 1 t2 1 2 1+ M ω0 ,Θω0 

, mit s0 = s(0) und v0 = s(0) ˙ als Anfangslage bzw. Anfangsgeschwindigkeit. (d) Der Trägheitstensor des Zylinders wird als verschwindend klein angenommen und die Abrollzeit wird nur durch die Masse und den Trägheitstensors des Körpers im Innern bestimmt. Wenn wir zur Zeit t = 0, v0 = 0 wählen, so ist nach (d) die nach der Zeit Δt zurückgelegte Strecke Δs = s − s0 gegeben durch: $ % 1 2 1+ M ω0 , Θω0  Δs = gα 2 (Δt) , d.h.   (Δt)2 ω0 , Θω0  = M gα 2 Δs − 1 . Sei jetzt o.B.d.A. |ω0 | = 1 . Wenn wir jetzt mittels einer festen Drehung O0 die Orientierung des Körpers ändern, d.h. x ¯0i = O0 x0i so gilt: 3      7  6 ω0 , Θω0 = ω0 , ω0  O0 x0i , O0 x0i − ω0 , O0 x0i ω0 , O0 x0i i=1 3 6

    7 O0−1 ω0 , O0−1 ω0 x0i , x0i − O0−1 ω0 , x0i O0−1 ω0 , x0i  i=1 = O0−1 ω0 , ΘO0−1 ω0 . −1 Indem wir mittels solcher festen Drehungen drei orthonormalen Vektoren ni = O0i ω0 erzeugen, können wir aus der Messungen der entsprechenden zurückgelegten Strecken Δs und der Laufzeiten Δt jeweils die Matrixelemente: =

n1 , Θn1  , n2 , Θn2  , n3 , Θn3  , 21 (n1 + n2 ), Θ(n1 + n2 ) , 1 2

(n1 + n3 ), Θ(n1 + n3 ) , 21 (n2 + n3 ), Θ(n2 + n3 ) , und somit durch Linearkombination Θij = ni , Θnj  bestimmen. Hauptträgheitsmomente und Hauptträgheitsachsen folgen dann durch Diagonalisierung der Matrix Θ .

A.3.12:

Teilchen im Beschleuniger

(a) Für ϕt (y) = x0 (t) + y gilt: Dϕt (y) = 1I und

∂ t ∂t ϕ (y)

= x˙ 0 . Somit ist

ϕˆt (y, w) = (x0 (t) + y, x˙ 0 (t) + w) . (b) Für v  * ( ) t W (x, t) = (x − x0 (t)), ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) + 0 dτ L(x0 (τ ), x0 (τ ), τ ) gilt:   v

(∇W )(x, t) = ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) ) v  * ∂ ˙ 0 (t), ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) ∂t W (x, t) , = − x ) v  * + (x − x0 (t)), dtd ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) + L(x0 (t), x˙ 0 (t), t) und es folgt, mit

v = x˙ 0 (t) + w , x − x0 (t) = y und

212

Lösungen der Übungsaufgaben d dt

v  x  ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) = ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) :

∂ L (x, v, t) − v, ∇W (x, t) − ∂t W (x, t) ) v  *  = L (x, v, t) − (x˙ 0 (t) + w), ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) ) v  * + x˙ 0 (t), ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) * ) x  − y, ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) − L(x0 (t), x˙ 0 (t), t) ) v  * = L (x, v, t) − w, ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) * ) x  − y, ∇ L (x0 (t), x˙ 0 (t), t) − L(x0 (t), x˙ 0 (t), t)

= L(2) (y, w, t) . 2 (c) Für L(x, v, t) = m 2 |v| + q ν ∂L ν ∂v ν = mv + c A ,   q ∂L ∂A ∂xν = c ∂xν , v ,

q c

v, A(x, t) gilt: ∂2L ∂v μ ∂v ν = mδμν ,

∂2L ∂xμ ∂v ν (2)

=

q ∂Aν c ∂xμ , (2)

∂2L ∂xμ ∂xν

=

q c

)

∂2A ∂xν ∂xν , v

* .

Einsetzen in der Formel ) 2 für L liefert: * L (y, w, t) ν  q 1 ∂ A ν μ μ ν = 2 μ,ν c ∂xν ∂xν (x0 , t), x˙ 0 y μ y ν + 2 qc ∂A ∂xμ (x0 , t)w y + mδμν w w *  ∂A  μ ) ∂2A q 1q 2 μ ν = m |w| + (x , t), x ˙ 0 0 y y + c μν ∂xν ∂xν μ ∂xμ (x0 , t), w y . 2 2c (d) Aus x (s), x (s) = 1 folgt direkt:

d ds

x (s), x (s) = 2 x (s), x (s) = 0 und 

2

(s)| dementsprechend n(s) ⊥ x (s) . Mit n(s), n(s) = |x (κ(s))2 = 1 ist n(s) auch Einheitsvektor. b(s) ⊥ n(s) und b(s) ⊥ x (s) folgen direkt aus der Definition von b(s). Weiterhin gilt: b(s), b(s) = [x (s), n(s)], [x (s), n(s)] = x (s), x (s) n(s), n(s)− x (s), n(s) n(s), x (s) = 1 .

(e) Aus |b(s)| = 1 folgt, wie in (c): b (s) ⊥ b(s). Wegen b (s)=[x (s), n(s)] + [x (s), n (s)] gilt auch: b (s) ⊥ x (s). Es folgt also: b (s)=b (s), n(s) n(s)=τ (s)n(s) , mit τ (s)=b (s), n(s) als Torsion oder Windung. Aus |n(s)|=1 folgt: n (s) ⊥ n(s). Aus n(s), x (s)=0 folgt: n (s), x (s)=− n(s), x (s)=−κ(s) und aus n(s), b(s)=0 folgt: n (s), b(s)=− n(s), b (s)=−τ (s) . Dementsprechend gilt: n (s)=−κ(s)x (s) − τ (s)b(s) . (f) Für ψ t (α, β, γ) = αx0 (s(t)) + βn(s(t)) + γb(s(t)) gilt: ∂ψ t ∂α

t

t

∂ψ = x0 , ∂ψ ∂β = n , ∂γ = b ,

und

∂ψ t ∂t

= (αx0 + βn + γb ) s˙ = (ακn + β(−κx0 − τ b) + γτ n) s˙ ,

woraus ψˆt (α, β, γ, vα , vβ , vγ ) $ % = αx0 + βn + γb , (vα − βκs)x ˙ 0 + (vβ + (ακ + γτ )s)n ˙ + (vγ − βτ s)b ˙ folgt.

Aufgaben zum Kapitel 3

213

(g) Einsetzen von ψˆt in L(2) liefert: ˜ β, γ, vα , vβ , vγ , t) L(α,  $ 2 2 % 2 2 2 2 = m β (κ + τ 2 ) + (ακ + γτ )2 2 vα + vβ + vγ + s˙  −2s˙ (βκvα − (ακ + γτ )vβ + βτ vγ ) ) 2 * A  + 21 qc s˙ μ,ν {αx0 + βn + γb}μ {αx0 + βn + γb}ν ∂x∂μ ∂x ν (x0 , t), x0 μ + qc μ {αx0 + βn + γb}  ∂A  ˙ 0 + (vβ + (ακ + γτ )s)n ˙ + (vγ − βτ s)b} ˙ ∂xμ (x0 , t), {(vα − βκs)x (h) Damit die Terme linear in den Geschwindigkeiten verschwinden, soll für die Gradienten von A gelten  (mit Summenkonvention):    ∂A   μ  ∂A q μ ∂A   x0  ∂x = 0, , x = mκs˙ , bμ  ∂x μ μ , x0 0 c n  ∂xμ , x0    = 0, μ ∂A q μ ∂A μ ∂A x0  ∂x , n = −mκ s ˙ , n , n = 0 , b , n μ c   ∂xμ   ∂xμ  = −mτ s˙ , μ ∂A q μ ∂A μ ∂A x0 ∂x , b = 0 , n , b = mτ s ˙ , b = 0. μ c ∂xμ ∂xμ , b Die L AGRANGE-Funktion wird dann: ˜ β, γ, vα , vβ , vγ , t) L(α, $ % $ % = m vα2 + vβ2 + vγ2 − s˙ 2 β 2 (κ2 + τ 2 ) + (ακ + γτ )2 2       P μ ν |w|2 μ,ν K(x0 ,t)μν y y  2  q  ∂ A μ ν  + s˙ {αx0 + βn + γb} {αx0 + βn + γb} (x , t), x 0 0 mc μ,ν ∂xμ ∂xν    P μ,ν

D(x0 ,t)μν y μ y ν

mit den Vektoren y und w, deren Komponenten durch y 1 = α, y 2 = β, y 3 = γ, bzw. w1 = vα , w2 = vβ , w3 = vγ gegeben sind. (i) Indem man y, w wiederum zu einem Vektor z ∈ R6 zusammenfaßt, können die E ULER -L AGRANGE-Gleichungen als eine lineares Gleichungssystem mit zeitabhängigen Koeffizienten ⎞ M (x0 , t)z, wobei M in Matrixform als ⎛ geschrieben werden: z˙ = 0

1I

⎠ −K(x0 , t) + D(x0 .t) 0 geschrieben werden kann. Die Matrizen K und D sind symmetrisch. Die Matrixelemente von K lauten explizit: ⎛ ⎞ 0 κτ κ2 ⎜ ⎟ 2 2 ⎟ K(x0 , t) = s˙ 2 ⎜ ⎝ 0 κ +τ 0 ⎠ κτ 0 τ2 M (x0 , t) = ⎝

(j) Lineare Stabilität ist gegeben, falls die Realteile der Eigenwerte von ( ¯ (x0 ) = 1 t M (x0 (t), t) verschwinden. Dies entspricht genau der Bedingung, M T 0 ¯ 0 ) − D(x ¯ 0 ) positiv definit ist, wobei die Eigenwerte λ von M ¯ aus K(x $daß die Matrix % 2 ¯ ¯ K − D u = −λ u folgen.

214

Lösungen der Übungsaufgaben (k) Für ein konstantes B-Feld ist ein geeignetes Vektorpotential durch A(x) = 21 [B, x] 2 A gegeben, wofür natürlich ∂x∂μ ∂x ν = 0 und somit D = 0 gilt. Für konstante Krümmung und verschwindende Torsion der Sollbahn gilt für die Matrix K, mit s˙ = Rω , κ = R1 : ⎞ ⎛ ω2 0 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ K=⎜ ⎝ 0 ω 0⎠ , 0 0 0 qB wobei ω = mc die Zyklotronfrequenz ist. Diese Matrix besitzt leider einen verschwindenden Eigenwert und ist somit nicht positiv definit. In diesem Sinne ist ein Zyklotron mit einem homogenen Magnetfeld nicht stabil. Dies ist auch aus der Lösung der linearisierten Bewegungsgleichungen ersichtlich: Falls man die Kreisbahn durch x10 (t) = R cos (ωt) , x20 (t) = R sin (ωt), x30 (t) = 0 parametrisiert, lauten die Bewegungsgleichungen: α ¨ = −ω 2 α , β¨ = −ω 2 β , γ¨ = 0 .

mit den Lösungen: α(t) = α0 cos (ωt + φα ) , β(t) = β0 cos (ωt + φβ ) , γ(t) = γ0 + u0 t ; ein Teilchen kann parallel zum Magnetfeld entweichen. In der Praxis wird dieses Übel durch Feldgradienten behoben.

A.3.13:

Das Brachistochronenproblem ∂L ∂L ∂x3 ∂vs = mvs , ∂s = −mg ∂s und die E ULER -L AGRANGE -Gleichung lautet: ∂x3 (s) d m 2 3 dt s˙ = −g ∂s . Weil L nicht explizit von der Zeit abhängt gilt: 2 s˙ + mgx (s) = √  E = const. , d.h. s˙ = 2g ε − x3 (s) ,

(a) Es gilt:

E mit ε = mg und (s 1 t(s) = 2g 0 dσ √

1 ε−x3 (σ)

 (b) Es gilt:

dx1 ds

2

 +

dx3 ds

.

2

 =1=

dx1 ds

2 

 1+

dx3 dx1

2 

(c) Einsetzen der Ergebnisse (a) und (b) ergibt:  aus “ ”2 d x3 ( 1+ xB dx1 1 1 T = √2g xA dx ε−x3 (x1 ) . ˜ wz ) = (d) Für L(z, ˜ ∂L ∂z

√1 2g

= − 21 √12g

+

1+wz2 ε−z

1 (1+wz2 ) 2 3 (ε−z) 2

,

gilt: ˜ ∂L ∂wz

=

wz √1 2g (ε−z) 21 (1+w2 ) 21 z

Weil L˜ nicht explizit vonx1 abhängt,  gilt nach Lemma 3.3: ˜  dx3 ∂ L 3 dx3 ˜ − L x , = −c = const.  1 1 dx

∂wz

3

dx wz = dx 1

dx

⇒

ds dx1

=

+ $ dx3 %2 1 + dx . 1

Aufgaben zum Kapitel 3

215

d.h. 1 (ε−x3 ) 2

1

„

1+

“

dx3 dx1

⇒1+



”2 « 21 dx3 dx1 2

2

= =

√ 2gc 1

2gc2 (ε−x3 ) 2

3

⇔

dx3 dx1

=±

+

2gc2 (x3 −ε)+1 2gc2 (ε−x3 )

.

Die Substitution sin u = 2gc (ε − x ) führt auf die Differentialgleichung: $1 % du d 1 2 2 sin 2 u dx 1 = ∓gc ⇒ dx1 2 u − 4 sin (2u) = ∓gc , mit der Lösung: 1 4

(w − sin w) = ∓gc2 x1 + d , wobei d ∈ R und w = 2u . Mit den angegebenen Anfangsbedingungen folgt: ε = h und 1 1 3 x1 (u) = ∓ 4gc 2 (2u − sin (2u)) , x (u) = h − 4gc2 (1 − cos (2u)) , was die Parameterdarstellung einer Zykloide oder Rollkurve durch (0, h) entspricht. u) = l und x3B = y 3 (¯ u) = 0 fixiert, so Falls man jetzt noch xB z.B. durch x1B = x1 (¯ kann man aus dieser Bedingung u ¯ und die Integrationskonstante c festlegen. Leider führt dies auf eine tranzendente Gleichung, die man nicht analytisch nach u ¯ auflösen u ¯ kann. Die Laufzeit ist dann durch T = gc gegeben.

A.3.14: (a)

Die E ULERschen Winkel e3 , e1  = sin β sin α cos α − sin β cos α sin α = 0 , e3 , e2  = − sin β sin α cos β sin α − sin β cos α cos β cos α + cos β sin β = 0 , e1 , e1  = cos 2 α + sin 2 α = 1 , e2 , e2  = cos 2 β sin 2 α + cos 2 β cos 2 α + sin 2 β = 1 , e1 , e2  = − cos α cos β sin α + sin α cos β cos α = 0 . Ferner gilt: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cos α − sin α 0 1 0 0 cos α − cos β sin α sin β sin α ⎝ sin α cos α 0 ⎠ ⎝ 0 cos β − sin β ⎠ = ⎝ sin α cos β cos α − sin β cos α ⎠ 0 0 1 0 sin β cos β 0 sin β cos β = Oα Oβ = [e1 |e2 |e3 ] , woraus auch gleich Δ(e1 , e2 , e3 ) = 1 folgt.

(b) Da e1 und e2 senkrecht zu e3 sind, gilt allgemein: e1 = cos γe1 + sin γe2 und e2 = cos γ  e1 + sin γ  e2 . Weil außerdem e1 , e2  = 0 und Δ(e1 , e2 , e3 ) sein soll folgt: e1 = cos γe1 + sin γe2 und e2 = − sin γe1 + cos γe2 , woraus natürlich auch gleich ⎞ ⎛ cos γ − sin γ 0



⎜ ⎟ ⎟ e1 e2 e3 = e1 e2 e3 ⎜ ⎝ sin γ cos γ 0 ⎠ 0 0 1 folgt.

216

Lösungen der Übungsaufgaben (c) Aus (a) und (b) folgt unmittelbar: ⎛ ⎞⎛ ⎞ cos α − cos β sin α sin β sin α cos γ − sin γ 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ Oα O β O γ = ⎜ ⎝ sin α cos β cos α − sin β cos α ⎠ ⎝ sin γ cos γ 0 ⎠ = 0 sin β cos β 0 0 1 ⎞ ⎛ cos α cos γ − sin α cos β sin γ − cos α sin γ − sin α cos β cos γ sin α sin β ⎟ ⎜ ⎜ sin α cos γ + cos α cos β sin γ − sin α sin γ + cos α cos β cos γ − cos α sin β ⎟ . ⎠ ⎝ sin β sin γ sin β cos γ cos β

˜ −1 ∈ SO(3) , d.h. OO ˜ −1 = (d) Sei jetzt O0 ∈ SO(3) eine feste Drehung, dann gilt: OO 0 0 ˜ = Oα Oβ Oγ O0 . Schreibe jetzt wieder: O = O ˜ , d.h. O = Oα Oβ Oγ , oder O O α Oβ Oγ O0 . Es gilt: ∂ ∂ O−1 ∂α O = O0−1 Oγ−1 Oβ−1 Oα−1 ∂α Oα Oβ Oγ O0 , ∂ ∂ ∂ O−1 ∂β O = O0−1 Oγ−1 Oβ−1 Oα−1 Oα ∂β Oβ Oγ O0 = O0−1 Oγ−1 Oβ−1 ∂β Oβ Oγ O0 , ∂ ∂ ∂ O−1 ∂γ O = O0−1 Oγ−1 Oβ−1 Oα−1 Oα Oβ ∂γ Oγ O0 = O0−1 Oγ−1 ∂γ Oγ O0 . Nimm ai = O0 ei als Standardorthonormalbasis, dann gilt für die Matrixelemente von A(ωi ):     A(ωk )i j = ei , A(ωk )ej  = O0−1 ai , A(ωk )O0−1 aj = ai , O0 A(ωk )O0−1 aj . Berechne zunächst: ⎞ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎛ 0 −1 0 − sin α − cos α 0 cos α sin α 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ∂ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ Oα−1 ∂α Oα = ⎜ ⎝ − sin α cos α 0 ⎠ ⎝ cos α − sin α 0 ⎠ = ⎝ 1 0 0 ⎠ , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 0 0 0 00 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Oβ−1 ∂β Oβ = ⎜ ⎝ 0 cos β sin β ⎠ ⎝ 0 − sin β − cos β ⎠ = ⎝ 0 0 −1 ⎠ , 0 − sin β cos β 0 cos β − sin β 01 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎛ 0 −1 0 − sin γ − cos γ 0 cos γ sin γ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ∂ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ Oγ = ⎜ Oγ−1 ∂γ ⎝ − sin γ cos γ 0 ⎠ ⎝ cos γ − sin γ 0 ⎠ = ⎝ 1 0 0 ⎠ . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Dann folgt: ∂ Oγ−1 Oβ−1 Oα−1 ∂α Oα Oβ Oγ = ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ cos γ cos β sin γ sin β sin γ 0 −1 0 cos γ − sin γ 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ − sin γ cos β cos γ sin β cos γ ⎟⎜ 1 0 0 ⎟⎜ cos β sin γ cos β cos γ − sin β ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 0 − sin β cos β 0 0 0 sin β sin γ sin β cos γ cos β

⎛

Aufgaben zum Kapitel 3 ⎛

217 0

− cos β

cos β

0

sin β cos γ

⎞

⎛

sin β sin γ

⎞

⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − sin β sin γ ⎟ ⎠ d.h. ω1 = ⎝ sin β cos γ ⎠ ; − sin β cos γ sin β sin γ 0 cos β ⎞ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎛ cos γ − sin γ 0 0 0 0 cos γ sin γ 0 ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ∂ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ Oγ−1 Oβ−1 ∂β Oβ Oγ = ⎜ ⎝ − sin γ cos γ 0 ⎠ ⎝ 0 0 −1 ⎠ ⎝ sin γ cos γ 0 ⎠ 0 0 1 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 0 0 − sin γ cos γ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ = ⎝ 0 0 − cos γ ⎠ d.h. ω2 = ⎝ − sin γ ⎟ ⎠; sin γ cos γ 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 −1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 ∂ ⎟ ⎜ ⎟ Oγ ∂γ Oγ = ⎜ ⎝ 1 0 0 ⎠ d.h. ω3 = ⎝ 0 ⎠ . 0 0 0 1 ω1 , ω2 , ω3 sind allesamt Einheitsvektoren und es gilt: ⎜ = ⎜ ⎝

ω1 , ω2  = ω2 , ω3  = 0 , ω1 , ω3  = cos β .

A.3.15:

Das K EPLER-Problem in der Allgemeinen Relativitätstheorie

(a) Alle Drehungen O sind Symmetrietransformationen der gegebenen L AGRANGE-Funktion und somit ist nach Satz 3.2 Ox(t) eine Lösung der Bewegeungsgleichungen falls dies für x(t) gilt. (b)

1 c2 L(x, v)

 = −m 1 − α F (x, v)

mit 2GM x,v2 2GM 2 2 F (x, v) = 2GM |x| + (c2 |x|−2GM )|x|2 + |v| = |x| + |v| + O(α) , d.h.



2 L(x, v) = −mc2 1 − 21 α 2GM + O(α2 ) |x| + |v| m = −mc2 + 21 m|v|2 + GM |x| + O(α) . Bis auf die additive Konstante mc 2 (die Ruheenergie), die die E ULER -L AGRANGEGleichungen nicht beeinflußt, ist dies die L AGRANGE-Funktion für die nichtrelativistische Bewegung in einem Gravitationspotential (K EPLER-Problem).

(c) Mit |x| = r, |v|2 = vr2 + r2 vθ2 + r2 sin2 θ vφ2 , x, v = r vr , siehe Aufgabe 3.3 , folgt sofort: 



−1 vr2 r2  2 2 + sin2 θ v 2 L (r, θ, φ, vr , vθ , vφ ) = −mc 1 − rrs − 1 − rrs − v 2 2 θ φ c c

218

Lösungen der Übungsaufgaben (d) Mit ∂L ∂vr

=

m2 c4 2L

∂L ∂vθ

=

m2 c4 2L

 

$ r − 2v c2 1 − 2

− 2r c2 v θ

% rs −1 r

 ,

 ,

∂L ∂r

=

m 2 c4 2L

∂L ∂θ

=

m2 c4 2L



$ %−2 r v2 s r − 1 − rrs r c2   2 2 2 − 2r v , + sin θ v 2 θ c   φ 2 2 − 2r c2 sin θ cos θ vφ , rs r2

  2 4 2 ∂L 2 = m2Lc − 2r c2 sin θ vφ , ∂φ = 0 , folgt für die E ULER -L AGRANGE-Gleichungen:     $ % rs d rs −2 −2r˙ 1 (1) =  r s dt L r2 1 − 1 − r L (1− r )c2  2    d r ˙ 1 2 ˙2 , (2) θ = r sin θ cos θ φ   dt L L  2 2  d r sin θ ˙ (3) φ = 0, dt L ∂L ∂vφ

r˙ 2 c2



−

2r c2



θ˙2 + sin 2 θφ˙ 2

 ,

˙ φ) ˙ . ˙ θ, wobei natürlich L = L (r, θ, φ, r,  nicht explizit von der Zeit abhängt, folgt nach Lemma 3.3 sofort: Weil L * ) v    ˙ − L (x(t), x(t)) x(t), ˙ ˙ = H = const. . ∇ L (x(t), x(t)) (e) Eine spezielle Lösung von Gleichung (2) ist: θ = π2 , θ˙ = 0 . Einsetzen in der Gleichung für H ergibt:  $ %−1 2 −m2 c2 r˙ 2 1 − rrs − m2 c2 r2 φ˙ 2 − L  π = H L |θ= π . Mit  2 L 

θ= π 2

$ = m2 c 4 1 −

rs r

%

2

θ= 2



$ − m2 c2 r˙ 2 1 −

% rs −1 r

+ r2 φ˙ 2



folgt dann:

% 2 4 $ L |θ= π = − mHc 1 − rrs . 2 Wenn man dieses Resultat in Gleichung (3) einsetzt, so folgt: $ %−1 r2 φ˙ 1 − rs = a = const. r

Mit

L 2 |

θ= π

2 4 2 2 = b m c = const. (1− rrs ) ergibt sich dann: $ %−1 r˙ 2 $ %−3 1 − rrs − c2 1 − rrs −

a2 c2 r 2

= b.

(1− rs ) (f) Wenn man r˙ = r φ˙ = a r2r r , in der letzten Gleichung einsetzt, so folgt: $ %−1 a2 r2 $ %−1 2 1 − rrs − r4 c2 1 − rrs − ca2 r2 = b , oder   2 % $ % 2 $ a2 r = 1 − ca2 r2 1 − rrs − b 1 − rrs , c2 r2 d.h.  1 r r2

=±

c2 (1−b) a2

+

bc2 rs a2 r

−

1 r2

+

rs r3

2

.

Aufgaben zum Kapitel 3

219

1 r . Dann wird die Differentialgleichung aus (f):  = ∓ γ + βρ − ρ2 + rs ρ3 ,

(g) Setze: ρ = dρ dφ

2

2

mit β = ac 2 brs , γ = ac 2 (1 − b) . Für das nichtrelativistische K EPLER-Problem hatten wir den  Kegelschnitt ρ(φ) = A cos φ + B als Lösung der Differentialgleichung dρ = ∓ A2 − B 2 + 2Bρ − ρ2 gefunden, wobei A proportional zu der Länge des dφ konstanten RUNGE -L ENZ-Vektors ist. Offensichtlich verhindert der Term ∝ ρ3 eine Lösung dieser Art. Bemerkung: Man kann jedoch die sog. Periheldrehung näherungsweise wie folgt berechnen: Es seien ρ1 , ρ2 , ρ3 die 3 Wurzeln der Gleichung γ + βρ − ρ2 + rs ρ3 = rs (ρ − ρ1 )(ρ − ρ2 )(ρ − ρ3 ) = 0 , wobei, da rs klein ist, für zwei der Wurzeln (ρ1 und ρ2 ) γ + βρi − ρ2i ≈ 0 gilt, und diese somit näherungsweise den inversen Radius für Aphel bzw. Perihel darstellen. Wegen ρ1 + ρ2 + ρ3 = rs−1 gilt: rs ρ3 = 1 − rs (ρ1 + ρ2 ) . Die Entwicklung für kleine rs (ρ1 + ρ2 ) und rs ρ ergibt dann:  dρ dφ = ∓ rs (ρ − ρ1 )(ρ − ρ2 )(ρ − ρ3 )  $ %$ % ≈ ∓ (ρ − ρ1 )(ρ2 − ρ) 1 − 21 rs (ρ1 + ρ2 ) 1 − 21 rs ρ . d.h. %$ % − 21 $ dφ 1 + 21 rs (ρ1 + ρ2 ) 1 + 21 rs ρ . dρ ≈ ∓ ((ρ − ρ1 )(ρ2 − ρ)) Die Winkeldifferenz zwischen Perihel und Aphel ist dann gegeben durch $ %(ρ 1+ 21 rs ρ φ2 − φ1 ≈ ∓ 1 + 21 rs (ρ1 + ρ2 ) ρ12 dρ √ (ρ−ρ1 )(ρ2 −ρ)  $ %

= ± 1 + 21 rs (ρ1 + ρ2 ) 21 rs (ρ − ρ1 )(ρ2 − ρ)  ρ2 $ % 1 +ρ2 ) − 1 + 41 (ρ1 + ρ2 ) arcsin 2ρ−(ρ . ρ2 −ρ1 ρ1

und für die Winkeldifferenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Perihelia gilt dann: $ %$ % 2|φ2 − φ1 | ≈ 2 1 + 21 rs (ρ1 + ρ2 ) 1 + 41 rs (ρ1 + ρ2 ) π $ % ≈ 2π 1 + 43 rs (ρ1 + ρ2 ) . Somit ist der Winkelvorschub des Perihels pro Umlauf gegeben durch: Δφ ≈ 23 π rs (ρ1 + ρ2 ) . Numerisch findet man für die relativistische Periheldrehung des Merkur Δφ = 0, 104 pro Umlauf, oder 43 pro Jahrhundert, was sehr gut mit dem experimentellen Wert der Periheldrehung (den man aus den Beobachtungen nach Abzug der Störungen der anderen Planeten gewinnt) übereinstimmt.

A.3.16:

Die L ORENTZ-Transformationen

(a) Aus Λe0 = e0 folgt:

220

Lösungen der Übungsaufgaben Λ00 := e0 , Λe0  = e0 , e0  = 1 ,   Λ0i := e0 , Λei  = Λ−1 e0 , ei = 0 , Λi 0 := − ei , Λe0  = − e0 , ei  = 0 und⎛somit hat Λ⎞die Gestalt: 10 0 0 ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , mit R : R3 → R3 linear . ⎜0 R ⎟ ⎝ ⎠ 0     0 0 Sei jetzt h = ,k = , mit h, k ∈ R3 . Weil einerseits Λh, Λk = h k − R h, R k und anderseits, wegen der Definition der L ORENTZ-Transformation, Λh, Λk = h, k = − h, k gilt, folgt: R h, R k = h, k , d.h. R ∈ O(3) . Falls det(R) = +1 gilt: R = O ∈ SO(3) ; falls det(R) = −1 so folgt: R = −1I3 O mit O ∈ SO(3) , d.h. R = O (−1I3 )k , k = 1, 2 mit det(Λ) = (−1)k . Es folgt: ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 10 0 0 10 0 0 1 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜0 ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ k Λ=⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎟ P , mit P = ⎜ ⎜ 0 O(−1I3 )k ⎟ ⎜ 0 O ⎟ ⎜ 0 0 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 0 0 0 −1 0 0 P ist die Raumspiegelung, wofür P 2 = 1I4 gilt.

(b)

% $ Λ(α)h, Λ(α)k = cosh 2 α h0 k 0 + sinh (2α) h0 k 1 + h1 k 0 + sinh 2 α h1 k 1 % $ − sinh2 α h0 k 0 − sinh (2α) h0 k 1 + h1 k 0 − cosh 2 α h1 k 1 −h2 k 2 − h3 k 3 = h0 k 0 − h1 k 1 − h2 k 2 − h3 k 3 = h, k .

 3 v v = +O , cosh α = c c3 1−(v/c)2  2⎫ ⎧ ⎪ ⎪ x0 + vc x1 + O vc2 ⎪ t = ⎪ ⎪ ⎪  2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v 0 v ⎬ ⎪ ⎨ x 1 = 1 c x + x + O c2 ⇒ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x = x2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ x 3 = x3

(c) Mit sinh α = √ 0

(Λ(α)x) = 1

(Λ(α)x) = 2

(Λ(α)x) = 3

v/c

1 1−(v/c)2

√ 1 c

 = 1+O 0

v2 c2

(Λ(α)x) = t + O 1

1

2

2

 , folgt:

$1% c2

(Λ(α)x) = x + vt + O (Λ(α)x) = x 3

$1% c2

(Λ(α)x) = x3 (Λ(α)x) = Somit entspricht x → x = Λ(α)x für c−1 → 0 in der Tat eine G ALILEI-Transformation.

Aufgaben zum Kapitel 3

221

(d) Es gilt:

⎫ ⎛ ⎞  2 1 + |p|2 ⎪ 1 + |p| ⎪ ⎪ ⎜ ⎪ ⎟ ⎪ 1 ⎜ ⎬ ⎟ (Λ(α)e0 ) = sinh α = |p| |p| ⎜ ⎟ = ⇔ Λ(α)e ⎜ ⎟ 0 2 ⎜ ⎪ ⎟ ⎪ (Λ(α)e0 ) = 0 0 ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎭ 3 (Λ(α)e0 ) = 0 0 und somit: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞   sign(p0 ) 1 + |p|2 sign(p0 ) 1 + |p|2 ⎜ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ |p| ⎟ p1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 sign(p )OΛ(α)e0 = ⎜ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟. 2 ⎜ sign(p0 )O ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ p ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 3 0 p 0

(Λ(α)e0 ) = cosh α =

0

Wegen 1= e0 , e0  = Λe0 , Λe0  = p, p = (p0 )2 − |p|2 gilt: (Λe0 ) = p0 = sign(p0 ) 1 + |p|2 , womit die Behauptung bewiesen ist. (e) Mit B := sign(p0 )O1 Λ(α) ∈ L , folgt nach (d): Be0 = Λe0 , d.h. e0 = B −1 Λe0 . Weil B −1 Λ ∈ L folgt nach (a): B −1 Λ = O2 P k und somit Λ = sign(p0 ) O1 Λ(α) O2 P k , mit der Eigenschaft: $ %4 $ % det(Λ) = sign(p0 ) det(O1 ) det(Λ(α)) det(O2 ) det P k = (−1)k .                1

1

1

1

(−1)k

(f) Sei {eμ } die Standardbasis von R4 . Es gilt ημν := eμ , eν  = εμ δμν . Eine Basis für alle reellen linearen Transformationen des R4 ist gegeben durch: Eμν x = eμ eν , x . Es gilt: ωμν = Eμν − Eνμ . Diese lineare Transformationen bilden eine Basis der bezüglich ., . schiefadjungierten linearen Transformationen. Deshalb ist der Vektorraum dieser Transformationen 6-dimensional. ˜ (g) Bezeichnen wir für eine beliebige lineare Transformation A die Adjungierte mit A, so gilt: ˜ A˜ − A˜B ˜ = − [A, B] ,  AB − BA = B −

q.e.d. (h) [ωμν , ωκλ ]− erhält man aus [Eμν , Eκλ ]− durch Antisymmetrisieren in (μ, ν) und (κ, λ) . Man findet zunächst: [Eμν , Eκλ ]− = ηνκ Eμλ − ηλμ Eκν . Antisymmetrisieren ergibt: [ωμν , ωκλ ]− = ηνκ ωμλ − ηλμ ωκν + ηλν ωκμ − ημκ ωνλ . (i) Für Λ(τ ) = exp [τ A] gilt: Λ(0) = 1I4 und dτd Λ(τ ) = AΛ(τ ) . Setze: f (τ ) = Λ(τ )h, Λ(τ )k , für beliebige h, k ∈ R4 . Dann gilt:

222

Lösungen der Übungsaufgaben d dτ



f (τ ) =

d dτ

   Λ(τ )h, Λ(τ )k + Λ(τ )h, dτd Λ(τ )k

= AΛ(τ )h, Λ(τ )k + Λ(τ )h, AΛ(τ )k = − Λ(τ )h, AΛ(τ )k + Λ(τ )h, AΛ(τ )k = 0 , d.h. f (τ ) = f (0) , oder Λ(τ )h, Λ(τ )k = Λ(0)h, Λ(0)k = h, k , für alle h, k ∈ R4 . Damit ist Λ(τ ) eine L ORENTZ-Transformation. Wie schon in Aufgabe 3.1(d) bewiesen, gilt für eine beliebige Matrix B : det(exp [B]) = exp [tr B] . Es folgt also: det(Λ(τ )) = exp [τ tr A] = +1 , weil A schief ist und somit tr A = 0 . Also ist: Λ(τ ) ∈ L+ . (j) Es gilt: 2

(E0i − Ei0 ) = E00 − Eii =: P0i , (i = 1, 2, 3) . P0i ist der Projektor auf den durch e0 und ei aufgespannten Teilraum des R4 . Ferner gilt für 1 ≤ i < k ≤ 3: 2

(Eik − Eki ) = Eii + Ekk =: −Pik und Pik ist der Projektor auf den durch ei und ek aufgespannten Teilraum. Durch Potenzreihenentwicklung von exp [τ ωμν ] erhält man sofort: exp [τ ω0i ] = 1I − P0i + (cosh τ 1I + sinh τ ω0i ) P0i , bzw. exp [τ ωik ] = 1I − Pik + (cos τ 1I − sin τ ωik ) Pik .

A.3.17:

Relativistische Bewegung eines Teilchens in einem elektromagnetischen Feld

(a) Für gilt: ∂L ∂xμ

 L(x, v) = −mc v, v − = − 21 qc Fκμ v κ ,

∂L ∂v μ

1q 2c

 v, F x = −mc ηκλ v κ v λ −

= −mc √

ηκμ v κ

ηκλ v κ v λ

−

1q κ λ 2 c Fκλ v x

.

1q λ 2 c Fμλ x

und die E ULER -L AGRANGE-Gleichung lautet (siehe Gleichung (3.85)): −mc ημκ dτd mit x˙ μ (τ ) = μ

κ q x˙ ˙ x  ,x˙ 

d dτ

d q x˙ dτ x˙ ,x˙ 

−

1q ˙λ 2 c Fμλ x

= − 21 qc x˙ κ Fκμ ,

xμ (τ ), oder μ

q q μ κ ˙ , = − mc ˙ , = − mc 2 F κx 2 (F x)

wobei man ηκλ F λμ = Fκν , und Fμν = −Fνμ benutzt. v x q q Mit ∇ L = −mc √ v − 2c F v und ∇ L = 2c F v erhält man die Bewegungsgleiv , v  chung natürlich auch gleich in koordinatenfreier Form: ˙ q d q x ˙. = − mc 2Fx dτ x˙ ,x˙  d ds (b) Für dτd x = ds x dτ gilt: d  d  $ ds %2 d d , dτ x, dτ x = ds x, ds x dτ

Aufgaben zum Kapitel 3

223

woraus mit d  21 ds d , dτ = dτ x(τ ), dτ x(τ )  d d   gleich x , x  = ds x, ds x = 1 folgt.

(c) Aus (a) folgt:  $ q % x˙ d  = dτd − mc , 2Fx dτ ˙ x ˙ x,    d x ds d.h. q d2 d ds2 x = ds G x , mit G = − mc2 F .

(s (d) Für x(s) = x(0) + esG 0 dσ e−σG x (0) . gilt x|s=0 = x(0) , ( d sG s dσ e−σG x (0) + esG e−sG x (0) ds x = G e 0 (s = x (0) + GesG 0 dσ e−σG x (0) , d.h. x |s=0 = x (0) und ( d2 d 2 sG s dσ e−σG x (0) + G esG e−sG x (0) = G ds x. ds2 x = G e 0

(e.i) Es gilt: F = −Eω01 + Bω23 , siehe Aufgabe 3.16. Wegen [ω01 , ω23 ]− = 0 gilt außerdem: exp [−Eω01 + Bω23 ] = exp [−Eω01 ] exp [Bω23 ] , und die Lösung ist durch (s x(s) = x(0) + 0 dσ e(σ−s)Eω01 e(s−σ)Bω23 x (0) gegeben. Mit den Ergebnissen von Aufgabe 3.15 und (s (s (Es) dσ cosh (E(σ − s)) = sinhE(Es) , 0 dσ sinh (E(σ − s)) = 1−cosh , E 0 (s sin (Bs) ( s cos (Bs)−1 dσ cos (B(s − σ)) = B , 0 dσ sin (B(s − σ)) = , ergibt sich in B 0 Matrixform: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x0 (0) x0 (s) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x1 (0) ⎟ ⎜ x1 (s) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x2 (0) ⎟ ⎜ x2 (s) ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 3 x (0) x (s) ⎛ ⎞ ⎞⎛ sinh (Es) cosh (Es)−1 0 0 0 x (0) E E ⎜ cosh (Es)−1 ⎟ ⎟⎜ 1 sinh (Es) ⎜ ⎟ ⎜ x (0) ⎟ 0 0 ⎜ ⎟ ⎟⎜ E E + ⎜ ⎟. ⎟⎜ sin (Bs) cos (Bs)−1 ⎟ ⎜  2 ⎜ ⎟ 0 0 x (0) ⎝ ⎠ ⎠⎝ B B 3 1−cos (Bs) sin (Bs)  0 0 x (0) B B

224

Lösungen der Übungsaufgaben (e.ii) Für

⎛

0 B 0 0

⎞

⎛

B 2 0 −B 2 0

⎞

⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ B 0 −B 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ F μν : ⎜ ⎟ , gilt: (F 2 )μ ν : ⎜ ⎟ , und F 3 = 0 . ⎜ 0 B 0 0⎟ ⎜ B 2 0 −B 2 0 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 Dementsprechend gilt: ⎛ ⎞ 1 + 21 (s − σ)2 B 2 (s − σ)B − 21 (s − σ)2 B 2 0 ⎜ ⎟ ⎜ (s − σ)B 1 −(s − σ)B 0⎟ ⎜ ⎟ exp [(s − σ)F ] = ⎜ ⎟ ⎜ 1 (s − σ)2 B 2 (s − σ)B 1 − 1 (s − σ)2 B 2 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 0 0 0 1 und die Lösung lautet: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ 0 x0 (0) s + 61 B 2 s3 21 Bs2 − 61 B 2 s3 0 x0 (s) x (0) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ x1 (s) ⎟ ⎜ x1 (0) ⎟ ⎜ 1 Bs2 ⎟ ⎜  s − 21 Bs2 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ x (0) ⎟ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎜ ⎟⎜ 2 ⎟. ⎜ x2 (s) ⎟ ⎜ x2 (0) ⎟ ⎜ 1 B 2 s3 1 Bs2 s − 1 B 2 s3 0 ⎟ ⎜ x (0) ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 6 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 6 3 x3 (s) x3 (0) x (0) 0 0 0 s

A.4 A.4.1:

Aufgaben zum Kapitel 4 Eigenschaften von Differentialformen

I. Schiefe multilineare Funktionen (a.i)

(w ∧ w ) (h1 , . . . , hk , hk +1 , . . . , hk +k ) 

= (−1)kk (w ∧ w ) (hk +1 , . . . , hk +k , h1 , . . . , hk ) % $ % ε(σ) $     = (−1)kk k!k ! w hσ(k +1) , . . . , hσ(k +k) w hσ(1) , . . . , hσ(k ) σ∈Sk+k

= (−1)

kk

(w ∧ w)(h1 , . . . , hk , hk +1 , . . . , hk +k ) .

(a.ii) Sei m := k + k  + k  . (w ∧ (w ∧ w )) (h1 , . . . , hm ) % $ ε(σ) 1 = (k +k ε(σ  )  )! k!k !k ! w hσ(1) , . . . , hσ(k) · $ 

σ  ∈Sk +k

σ∈Sm

% $ % w hσ (σ(k+1)) , . . . , hσ (σ(k+k )) w hσ (σ(k+k +1)) , . . . , hσ (σ(m)) . Für jede Permutation σ  ist aber das Resultat der Summe über σ gleich, denn: Bei gegebener Permutation σ  gibt es genau ein σ  ∈ Sm mit der Eigenschaft: σ  (i) = σ(i) für 1 ≤ i ≤ k und σ  (σ  (i)) = σ(i) für k + 1 ≤ i ≤ m . Das Signum dieser Permutation ist offenbar ε(σ  ) = ε(σ  )ε(σ) und die zu (σ  , σ) = (1I, σ) und

Aufgaben zum Kapitel 4

225

(σ  , σ) = (σ  , σ  ) gehörigen Summanden sind gleich. Es gilt also: % $ ε(σ) (w ∧ (w ∧ w )) (h1 , . . . , hm ) = k!k !k ! w hσ(1) , . . . , hσ(k) · σ∈Sm $ % $ % w hσ(k+1) , . . . , hσ(k+k ) w hσ(k+k +1) , . . . , hσ(m) . Die rechte Seite der behaupteten Gleichung liefert mit demselben Argument denselben Ausdruck. (a.iii) Die zu der Basis e1 , . . . , en von V duale Basis e1∗ , . . . , en∗ von V ∗ ist definiert durch: eμ∗ (eν ) = δμν . Es gilt also: $ % $ % ε(σ)eμ∗ 1 eσ(ν1 ) · · · eμ∗ k eσ(νk ) eμ∗ 1 ∧ · · · ∧ eμ∗ k (eν1 , . . . , eνk ) = σ∈S ⎧ k ⎨ 0 für {μ , . . . , μ } = {ν , . . . , ν } 1 k 1 k = ⎩ ε(σ) sonst ,   μ1 · · · μ k wobei σ die Permutation ist. ν1 · · · νk Dieses System ist vollständig: Sei hi = hμi i eμi = eμ∗ i (hi )eμi . Dann gilt: % $ w(h1 , . . . , hk ) = ε(σ)w hσ(1) , . . . , hσ(k) % $ 1 = k! ε(σ)w hσ(1) , . . . , hσ(k) σ   1 1 k = k! ε(σ)w hμσ(1) eμ1 , . . . , hμσ(k) e μk σ 1 1 k = k! ε(σ)hμσ(1) · · · hμσ(k) w (eμ1 , . . . , eμk ) σ $ % $ % 1 = k! ε(σ)eμ∗ 1 hσ(1) · · · eμ∗ k hσ(k) w (eμ1 , . . . , eμk ) σ μ1 1 k! wμ1 ···μk e∗

= ∧ · · · ∧ eμ∗ k (h1 , . . . , hk ) , 1 wobei wμ1 ···μk = w (eμ1 , . . . , eμk ) . Es gilt also: w = k! wμ1 ···μk eμ∗ 1 ∧ · · · ∧ eμ∗ k . μσ(1) μ (k) ∧ · · · ∧ e∗ σ = ε(σ)eμ∗ 1 ∧ · · · ∧ eμ∗ k , und ebenso wμσ(1) ···μσ(k) = Nun ist e∗ % $ w eμσ(1) , . . . , eμσ(k) = ε(σ)w (eμ1 , . . . , eμk ) = ε(σ)wμ1 ···μk . Es folgt: 1 wμ1 ···μk eμ∗ 1 ∧ · · · ∧ eμ∗ k k! μi =μj

=

1 k!



μ1 <μ2 <···<μk σ∈Sk



=



μ1 <μ2 <···<μk

d.h. w=

μ

μ

wμσ(1) ···μσ(k) e∗ σ(1) ∧ · · · ∧ e∗ σ(k)

wμ1 ···μk eμ∗ 1 ∧ · · · ∧ eμ∗ k ,

μ1 <μ2 <···<μk

wμ1 ···μk eμ∗ 1 ∧ · · · ∧ eμ∗ k mit wμ1 ···μk = w (eμ1 , . . . , eμk ) .

Das System ist linear unabhängig, denn aus aμ1 ···μk eμ∗ 1 ∧ · · · ∧ eμ∗ k = 0 μ1 <μ2 <···<μk

folgt durch Einsetzen der Basis: aμ1 ···μk eμ∗ 1 ∧ · · · ∧ eμ∗ k (eν1 , . . . , eνk ) = ε(σ)aσ−1 (ν1 )···σ−1 (νk ) = 0 , μ1 <μ2 <···<μk

226

Lösungen der Übungsaufgaben 

μ1 · · · μk wobei σ wiederum die Permutation ν1 · · · νk Hieraus folgt sofort: aσ−1 (ν1 )···σ−1 (νk ) = 0 .

 ist.

II. Differentialformen (b) Die Additivität und Homogenität folgen direkt aus den Vektorraumeigenschaften der multilinearen Funktionen und der C ∞ -Funktionen. (c) Dies folgt direkt aus den Eigenschaften der multilinearen Funktionen und der C ∞ Funktionen. (d) Linearität folgt aus der Linearität der Richtungsableitung und der Differentialformen. Die Antisymmetrie ist durch die Konstruktion gegeben. Einsetzen der Definitionen des ∧-Produktes und der äußeren Ableitung ergibt, mit der Produktregel: =

(d (ω ∧ ω  )) (x) (h1 , . . . , hk+k +1 ) ε(σ)ε(σ  ) σ∈Sk+k +1 σ  ∈Sk+k

(k+k )!k!k !

1$

% % $ Dhσ(1) ω (x) hσ (σ(2)) , . . . , hσ (σ(k+1)) % $ ω  (x) hσ (σ(k+2)) , . . . , hσ (σ(k+k +1)) % $ + ω(x) hσ (σ(2)) , . . . , hσ (σ(k+1)) $ % $ %2 Dhσ(1) ω  (x) hσ (σ(k+2)) , . . . , hσ (σ(k+k +1)) .

Der Beitrag des Terms mit1σ  = 1I lautet: % $ % $ ε(σ) Dhσ(1) ω (x) hσ(2) , . . . , hσ(k+1) (k+k )!k!k ! σ∈Sk+k +1

% $ ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) % $ + ω(x) hσ(2) , . . . , hσ(k+1) % $ %2 $ , Dhσ(1) ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1)

und der Beitrag einer beliebigen σ  ∈ Sk+k kann mit σ ˜ (1) = σ(1) und σ ˜ (i) = σ  (σ(i)), i = 2, . . . , k + k 1+ 1 , ε(˜ σ ) = ε(σ  )ε(σ) geschrieben werden als: % $ % $ ε(˜ σ) Dhσ˜ (1) ω (x) hσ˜ (2) , . . . , hσ˜ (k+1) (k+k )!k!k ! σ ˜ ∈Sk+k +1

% $ ω  (x) hσ˜ (k+2) , . . . , hσ˜ (k+k +1) % $ + ω(x) hσ˜ (2) , . . . , hσ˜ (k+1) % $ %2 $ . Dhσ˜ (1) ω  (x) hσ˜ (k+2) , . . . , hσ˜ (k+k +1)

Somit tragen alle (k + k  )! Terme in der Summe über σ  gleich bei. Dementsprechend gilt:

Aufgaben zum Kapitel 4

227

ε(σ) (d (ω ∧ ω  )) (x) (h1 , . . . , hk+k +1 ) = k!k ! σ∈Sk+k +1 1$ % % % $ $ Dhσ(1) ω (x) hσ(2) , . . . , hσ(k+1) ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) %$ % $ %2 $ , + ω(x) hσ(2) , . . . , hσ(k+1) Dhσ(1) ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) Mit σ ˆ: σ ˆ (i) = σ(i + 1), i = 1, . . . , k , σ ˆ (k + 1) = σ(1), σ ˆ (i) = σ(i), i = k + σ ) = (−1)k ε(σ) wird der Beitrag des zweiten 2, . . . , k + k  + 1 , mit Signum ε(ˆ Terms in den geschweiften Klammern zu: ε(ˆ σ) (−1)k k!k ! σ ˆ ∈Sk+k +1

%$ % $ % ω(x) hσˆ (1) , . . . , hσˆ (k) Dhσˆ (k+1) ω  (x) hσˆ (k+2) , . . . , hσˆ (k+k +1) , und somit ergibt sich insgesamt: ε(σ) (d (ω ∧ ω  )) (x) (h1 , . . . , hk+k +1 ) = k!k ! σ∈Sk+k +1 1$ %  % % $ $ Dhσ(1) ω (x) hσ(1) , . . . , hσ(k+1) ω (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) %$ % $ %2 $ . + (−1)k ω(x) hσ(1) , . . . , hσ(k) Dhσ(k+1) ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) Dieses Resultat wird jetzt verglichen mit: $

=

(dω ∧ ω  ) (x) (h1 , . . . , hk+k +1 ) + (−1)k (ω ∧ dω  ) (x) (h1 , . . . , hk+k +1 ) ε(σ)ε(σ  ) σ∈Sk+k +1 σ  ∈Sk+1

1

(k+1)!k!k !

 % $ Dhσ(σ (1)) ω (x) hσ(σ (2)) , . . . , hσ(σ (k+1)) % $ ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) % $ +(−1)k ω(x) hσ(1) , . . . , hσ(k)   %2 $ Dhσ(σ (k+1)) ω  (x) hσ(σ (k+2)) , . . . , hσ(σ (k+k +1)) .

Der Beitrag des Terms mit σ  = 1I ist: ε(σ) σ∈Sk+k +1

1$

(k+1)!k!k !

% % % $ $ Dhσ(1) ω (x) hσ(2) , . . . , hσ(k+1) ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) %$ % $ %2 $ , (−1)k ω(x) hσ(1) , . . . , hσ(k) Dhσ(k+1) ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) und, mit σ ˆ (i) = σ(σ  (i)), i = 1, . . . , k + 1 , σ ˆ (i) = σ(i) , i = k + 2, . . . , k + k + 1 und σ ˜ (i) = σ(i), i = 1, . . . , k , σ ˜ (i) = σ(σ  (i)) , i = k + 1, . . . , k + k  + 1 wird der Beitrag des Terms mit σ  : ε(ˆ σ) σ ˆ ∈Sk+k +1

$

(k+1)!k!k !

% % $ $ Dhσˆ (1) ω (x) hσˆ (2) , . . . , hσˆ (k+1) ω  (x) hσˆ (k+2) , . . . , hσˆ (k+k +1) ε(˜ σ) + (−1)k (k+1)!k!k ! %

$

σ ˜ ∈Sk+k +1

ω(x) hσ˜ (1) , . . . , hσ˜ (k)

%$

% $ % Dhσ˜ (k+1) ω  (x) hσ˜ (k+2) , . . . , hσ˜ (k+k +1) .

228

Lösungen der Übungsaufgaben Alle (k + 1)! Terme tragen also gleich bei und insgesamt ergibt sich auch hier das Resultat: (dω ∧ ω  ) (x) (h1 , . . . , hk+k +1 ) + (−1)k (ω ∧ dω  ) (x) (h1 , . . . , hk+k +1 ) ε(σ) = k!k ! σ∈Sk+k +1 1 % $ % % $ $ Dhσ(1) ω (x) hσ(1) , . . . , hσ(k+1) ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) + %$ % $ %2 $ . (−1)k ω(x) hσ(1) , . . . , hσ(k) Dhσ(k+1) ω  (x) hσ(k+2) , . . . , hσ(k+k +1) Damit ist bewiesen: d (ω ∧ ω  ) = (dω ∧ ω  ) + (−1)k (ω ∧ dω  ) . ˆ die Permutation Weil ω C ∞ -Funktion ist, gilt: (Dh Dk ω) (x) = (Dk Dh ω) (x) . Ist σ mit Signum ε(ˆ σ ) = −ε(σ) , die zusätzlich zu σ die Elemente σ(1) und σ  (σ(2)) vertauscht, so findet man: (d (dω)) (x) (h1 , . . . , hk+2 )  $ % ε(σ)ε(σ )  = Dhσ (σ(2)) Dhσ(1) ω (x) hσ (σ(3)) , . . . , hσ (σ(k+2)) (k+1)!k! σ∈Sk+2 σ  ∈Sk+1  $ % ε(σ)ε(σ )  = D D ω (x) hσ (σ(3)) , . . . , hσ (σ(k+2)) h h  σ(1) σ (σ(2)) (k+1)!k!  σ∈Sk+2 σ ∈Sk+1  $ % ε(ˆσ)ε(σ )  = − D D ω (x) hσ (ˆσ(3)) , . . . , hσ (ˆσ(k+2)) , h h  σ ˆ (1) σ (ˆ σ (2)) (k+1)!k! σ ˆ ∈Sk+2 σ  ∈Sk+1

d.h. d2 ω = 0 .

(e) Es gilt mit der Definition des ∧-Produktes und mit der Produktregel: (d (λω)) (x) (h1 , . . . , hk+1 ) % % $ ε(σ) $ = Dhσ(1) (λω) (x) hσ(2) , . . . , hσk+1 k! σ∈Sk+1

=



σ∈Sk+1

ε(σ) k!

+λ

$

% % $ Dhσ(1) λ (x)ω hσ(2) , . . . , hσk+1

σ∈Sk+1

ε(σ) k!

$

% % $ Dhσ(1) ω (x) hσ(2) , . . . , hσk+1

= (dλ ∧ ω) (x) (h1 , . . . , hk+1 ) + λdω(x) (h1 , . . . , hk+1 ) . Weil λ C ∞ -Funktion ist, gilt: (d (dλ)) (x)(h, k) = = (f.i)

1 2 1 2

{(Dh dλ) (x)(k) − (Dk dλ) (x)(h)} {(Dh Dk λ) (x) − (Dk Dh λ) (x)} = 0 .

dxμ (x)(h) = (deμ∗ (x)) (h) = Dh (eμ∗ ) (x) =

d μ dt e∗ (x

 + th)t=0 = eμ∗ (h) .

(f.ii) Daß eμ∗ 1 ∧eμ∗ 2 ∧· · ·∧eμ∗ k und somit, nach (f.i) dxμ1 ∧dxμ2 ∧· · ·∧dxμk , für 1 ≤ μ1 < · · · < μk ≤ n eine Basis von Ak ist, wurde bereits in Teilaufgabe (a.iii) bewiesen; es ist lediglich w durch ω(x) zu ersetzen, d.h. ωμ1 ...μk (x) = ω(x) (eμ1 , . . . , eμk ) . (f.iii) Wegen d2 xμi = 0 folgt sofort aus Teilaufgabe (e), daß für

Aufgaben zum Kapitel 4

229

ω(x) =

1≤μ1 <···<μk ≤n



dω(x) =

1≤μ1 <···<μk ≤n

ωμ1 ···μk (x)dxμ1 ∧ · · · ∧ dxμk , d (ωμ1 ···μk ) (x) ∧ dxμ1 ∧ · · · ∧ dxμk

gilt.

(f.iv)

$ % (dλ)μ (x) = (dλ)(x)(eμ ) = Deμ λ (x) =

d dt λ(x

 + teμ )t=0 =

∂λ ∂xμ (x) .

(f.v) Mit dem Resultat von (a.iii) gilt für 1 ≤ μ1 < · · · < μk+1 ≤ n : % $ (dω)μ1 ···μk+1 (x) = (dω) (x) eμ1 , . . . , eμk+1 % $ (d (ων1 ···νk ) ∧ dxν1 ∧ · · · ∧ dxνk ) (x) eμ1 , . . . , eμk+1 = 1≤ν1 <···<νk ≤n



=



1≤ν1 <···<νk ≤n σ∈Sk+1

ε(σ) k!

% % $ $ d (ων1 ···νk ) eσ(μ1 ) (x) (dxν1 ∧ · · · ∧ dxνk ) (x) eσ(μ2 ) , . . . , eσ(μk+1 ) =

∂ ∂xμ1

ωμ2 μ3 ···μk+1 −

∂ ∂xμ2

ωμ1 μ3 ···μk+1 + · · · + (−1)k+1 ∂xμ∂k+1 ωμ1 μ2 ···μk .

(g) Es gilt für schiefe multilineare Funktionen w und w : (w ∧ w ) (h1 , . . . , hk+k ) % $ % ε(σ) $  = k!k ! w hσ(1) , . . . , hσ(k) w hσ(k+1) , . . . , hσ(k+k ) σ∈Sk+k



=

σ  ∈S

k+k −1

+ (−1)k σ  ∈S

k+k −1

%  $ ε(σ  )   (k−1)!k ! w h1 , hσ (2) , . . . , hσ (k) w

%  $ ε(σ  )   k!(k −1)! w hσ (2) , . . . , hσ (k+1) w

$

hσ (k+1) , . . . , hσ (k+k )

%

$

% h1 , hσ (k+2) , . . . , hσ (k+k ) ,

wobei man die Antisymmetrie der Differentialformen und die Tatsache benutzt, daß jede Permutation aus Sn als eine Transposition und eine Permutation aus Sn−1 geschrieben werden kann. Die Behauptung folgt dann mit den Ersetzungen w → ω(x) sowie h1 → X(x) .

(h)

θ(X) (ω ∧ ω  ) = i(X) d (ω ∧ ω  ) + d i(X) (ω ∧ ω  ) $ % = i(X) dω ∧ ω  + (−1)k ω ∧ dω  % $ +d i(X)ω ∧ ω  + (−1)k ω ∧ i(X)ω 

230

Lösungen der Übungsaufgaben = (i(X)dω) ∧ ω  + (−1)k+1 dω ∧ i(X)ω  +(−1)k i(X)ω ∧ dω  + ω ∧ i(X)dω  + (d i(X)ω) ∧ ω  + (−1)k−1 i(X)ω ∧ dω  +(−1)k dω ∧ i(X)ω  + ω ∧ d i(X)ω  = (i(X)dω + d i(X)ω) ∧ ω  + ω ∧ (i(X)dω  + d i(X)ω  ) = θ(X)ω ∧ ω  + ω ∧ θ(X)ω  . θ(X) (λω) = i(X)d (λω) + d i(X) (λω) = i(X) (dλ ∧ ω + λdω) + d (λi(X)ω) = i(X)dλ ∧ ω − dλ ∧ i(X)ω + i(X)λdω + dλ ∧ i(X)ω + λd i(X)ω = (i(X)dλ) ∧ ω + λ (i(X)dω + d i(X)ω) = (i(X)dλ) ∧ ω + λθ(X)ω .

A.4.2:

H AMILTON-JACOBI-Gleichung für ein Teilchen in einem homogenen Magnetfeld

(a) Für L(x, v) = 21 m|v|2 + mω x1 v 2 gilt: p1 =

∂L ∂v 1

= mv 1 ,

p2 =

∂L ∂v 2

= mv 2 + mω x1 ,

p3 =

∂L ∂v 3

= mv 3 .

1 1 1 (b) Aus (a) folgt: v 1 = m p1 , v 2 = m p2 − ω x 1 , v 3 = m p3 und dementsprechend gilt μ für die H AMILTON-Funktion H(x, p) = pμ v (x, p) − L(x, v(x, p)) :

H(x, p) =

=

1 1 1 2 2 1 2 m (p1 ) + m (p2 ) − ω x p2 + m (p3 ) 1 1 − 2m (p1 )2 − 2m (p2 )2 + ω p2 x1 − 21 mω 2 (x1 )2 $ % 1 −mω x1 m p2 − ω x 1 1 1 2 2 1 2 1 2m |p| + 2 m ω (x ) − ω x p2 .

−

1 2 2m (p3 )

(c) Mit p = AMILTON -JACOBI -Gleichung:

$∇W%2folgt$ die H % $ ∂W %2  1 $ % 1 ∂W ∂W 2 + + + 2 mω 2 (x1 )2 − ω x1 ∂W 2m ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x2 +

∂W ∂t

= 0.

(d) Wenn man den Ansatz W = Q2 x2 + Q3 x3 + f (x1 ) − Et , mit ∂W ∂W 2 3 = f  (x1 ) , ∂W ∂x2 = Q , ∂x3 = Q , ∂t = −E , in die H AMILTON -JACOBI-Gleichung einsetzt, so folgt: $  1 %2 $ 2 2 % 1 1 + 2m (Q ) + (Q3 )2 + 21 m ω 2 (x1 )2 − ω x1 Q2 − E = 0 , 2m f (x ) oder $  1 %2 1 $ 2 2 % 1 1 + 2 m ω 2 (x1 )2 − ω x1 Q2 = E − 2m (Q ) + (Q3 )2 , 2m f (x ) d.h.

∂W ∂x1

Aufgaben zum Kapitel 4 $

231

%2 $ + mω x1 − Q2 = (Q1 )2 , mit (Q1 )2 = 2mE − (Q3 )2 .    1 2 1 2 ) ) Für g(y) = (Q y 1 − y 2 + arcsin y gilt: g  (y) = (Q 1 − y2 , 2mω mω   1 2 und für f (x1 ) = ±g mω xQ1−Q folgt: +   1 2 2 df mω  mω x −Q = ±g = ± (Q1 )2 − (mω x1 − Q2 ) , dx1 Q1 Q1 d.h. f erfüllt (∗). Es folgt also: f  (x1 )

%2

(∗)

W (x1 , x2 , x3 , Q1 , Q2 , Q3 , t)   $ 1 2 % 1 2 1 = ±g mω xQ1−Q + Q2 x2 + Q3 x3 − 2m (Q ) + (Q3 )2 t . Mit

1     1 2 1 2 dg Q 2 + arcsin y − (Q ) 2 mω x −Q = y 1 − y 1 − y 1 2 dQ1 mω mω (Q1 )2 y= mω xQ1−Q   1 1 2 Q = mω arcsin mω xQ1−Q , und    dg Q1 mω x1 −Q2 = − 1 − 2 1 dQ mω Q folgt für die Bahnkurven:

  1 2 Q1 = ± mω arcsin mω xQ1−Q −   

(1)

−P1 = const. =

∂W ∂Q1

(2)

−P2 = const. =

∂W ∂Q2

Q = ∓ mω

(3)

−P3 = const. =

∂W ∂Q3

= x3 −

1

1−

Q3 m

mω x1 −Q2 Q1

2

Q1 m

t,

+ x2 ,

t.

Aus (1) folgt x1 als Funktion  der Zeit:  Q2 Q1 P1 1 x (t) = mω ± mω sin ω t − mω ; Q1 Gleichung (2) ergibt eine Kreisgleichung für x1 (t) und x2 (t):  2 $ %2 (Q1 )2 Q2 x1 (t) − mω + x2 (t) + P2 = (mω) 2 .

Aus (1) und (2) folgt natürlich auch x2 (t) explizit. Der dritten Gleichung (3) entspricht eine geradlinige, gleichförmige Bewegung in der e3 -Richtung: 3

x3 (t) = −P3 + Qm t . Insgesamt findet man also, wie in Aufgabe 2.5 eine Spiralbewegung auf einem Zylindermantel. Die Konstanten Pi , Qi haben somit folgende Bedeutung: – –

Q1 mω

entspricht der Amplitude der Schwingung in der e1 - und e2 -Richtung, bzw. dem Radius des Zylinders; Q2 mω 3

und P2 bestimmen die Lage der Zylindersymmetrieachse;

– Q ist die konstante 3-Komponente des Impulses; – P1 bestimmt die Phase der Schwingung in der e1 -Richtung und ist bestimmt durch die entsprechende Anfangslage x1 (0). – −P3 ist die 3. Komponente der Anfangslage x3 (0) .

232

Lösungen der Übungsaufgaben

A.4.3:

Klassischer S TARK-Effekt

(a) Die JACOBI-Matrix für die Transformation von kartesischen auf parabolischen Koordinaten lautet: + ⎛ + ⎞ √ η ξ 1 1 cos φ cos φ − ξη sin φ 2 ⎜ 2 +ξ ⎟ +η √ ⎜ ⎟ Df (ξ, η, φ) = ⎜ 21 ηξ sin φ 21 ηξ sin φ ξη cos φ ⎟ , ⎝ ⎠ 1 1 − 0 2 2 d.h. + ⎛ + ⎞ √ η ξ 1 1 cos φ v + cos φ v − ξη sin φ v ξ η φ 2 ⎜ 2 +ξ ⎟ +η √ ⎜1 η 1 Df (ξ, η, φ) (vξ , vη , vφ ) = ⎜ 2 ξ sin φ vξ + 2 ηξ sin φ vη + ξη cos φ vφ ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ 1 1 2 vξ − 2 vη und es folgt:   (Df )v, (Df )v =

1 4 (ξ

+ η)

vξ2 ξ

+

vη2 η

+ ξη vφ2 ,

x, x = 41 (ξ + η)2 , 1 2 d.h. |x| = ξ+η . Weiterhin gilt: x3 = 21 (ξ − η) Die L AGRANGE-Funktion lautet also:  2  v v2 L (ξ, η, φ, vξ , vη , vφ ) = 81 m(ξ + η) ξξ + ηη + 21 mξη vφ2 − (b) Die kanonische Impulse lauten:  vξ m pξ = ∂L ∂vξ = 4 (ξ + η) ξ ⇒ vξ = pη =

∂L ∂vη ∂L ∂vφ

=

m 4 (ξ

+ η)

vη η

⇒ vη =

4ξ pξ m(ξ+η) 4η pη m(ξ+η) pφ mξη .

2κ ξ+η

+ λ2 (ξ − η) .

, ,

pφ = = mξη vφ ⇒ vφ = Somit ergibt sich für die H AMILTON-Funktion: H (ξ, η, φ, pξ , pη , pφ ) = pξ vξ (ξ, η, pξ ) + pη vη (ξ, η, pη ) + pφ vφ (ξ, η, pφ ) −L (ξ, η, φ, vξ (ξ, η, pξ ), vη (ξ, η, pη ), vφ (ξ, η, pφ ))   4 1 = m(ξ+η) ξ p2ξ + η p2η + mξη p2φ   2 1 2κ − m(ξ+η) ξ p2ξ + η p2η − 2mξη p2φ + ξ+η − λ2 (ξ − η)   2 1 2κ = m(ξ+η) ξ p2ξ + η p2η + 2mξη p2φ + ξ+η − λ2 (ξ − η) . (c) Die H AMILTON -Gleichung für W (ξ, η, φ, t) lautet dann:  -JACOBI 2  2  2 2 ∂W ∂W 1 ∂W 2κ ξ + η + + ξ+η − λ2 (ξ − η) + m(ξ+η) ∂ξ ∂η 2mξη ∂φ

∂W ∂t

= 0.

(d) Mit dem Ansatz:  W(ξ, η, φ,t) =W 1 (ξ) + W2(η) + W3 (φ) − αt findet man: 2 2 2 dW1 dW3 2 1 2κ 2 + η dW + 2mξη + ξ+η − λ2 (ξ − η) − α = 0 . m(ξ+η) ξ dξ dη dφ Weil die Koordinate φ zyklisch ist, gilt: pφ = β ∈ R . Es folgt:

dW3 dφ

= const. , d.h. W3 (φ) = β φ , mit

Aufgaben zum Kapitel 4  ξ



dW1 dξ

233 2 2

+

β2 4ξ

+

κm 2

−

mλ 2 4 ξ

−

mα 2

ξ

2

mλ 2 mα 2 = −η dW − β4η − κm dη 2 − 4 η + 2 η. Damit die linke und rechte Seite für alle ξ und η gleich sind, muß  2 2 γ mλ 2 mα 1 ξ dW + β4ξ + κm dξ 2 − 4 ξ − 2 ξ = 2 , und  2 2 γ mλ 2 mα 2 η dW + β4η + κm dη 2 + 4 η − 2 η = −2 , mit γ = const. + ∈ R , d.h. dW1 dξ

=

dW2 dη

=

+

1 2 mα

+

γ−κm 2ξ

β2 4ξ 2

+ 41 mλ ξ ,

1 2 mα

−

γ+κm β2 − 4η 2 2η (x +

− 41 mλ η ,

Mit F (a, b, c, d; x) =

dy

−

ay + b +

c y

+

d y2

ergibt sich:

W (ξ, η, φ, α, β, γ, t) = β φ − α t     β2 β2 mα 1 mλ mα 1 +F mλ 4 , 2 , 2 (γ − κm), − 4 ; ξ + F − 4 , 2 , − 2 (γ + κm), − 4 ; η (e) Auf der   Bahnkurve ξ(t), η(t), φ(t) ist ˙ η (ξ, η, η)p ˙ =α=E ˙ φ (ξ, η, φ) H ξ, η, φ, pξ (ξ, η, ξ)p ∂W3 die erhaltene Energie und pφ = ∂W ∂φ = ∂φ = β die erhaltene 3-Komponente des Drehimpulses . Es gilt:

  β2 m ∂ mλ mα 1 −A = const. = ∂W = F , , (γ − κm), − ; ξ ∂α 2 ∂b 4 4 2 2  2 ∂ mλ mα 1 + ∂b F − 4 , 2 , − 2 (γ + κm), − β4 ; η − t ,

  β ∂ β2 mλ mα 1 −B = const. = ∂W = − F , , (γ − κm), − ; ξ ∂β 2 ∂d 4  4 2 2  2 ∂ mλ mα 1 + ∂d F − 4 , 2 , − 2 (γ + κm), − β4 ; η + φ ,

  β2 1 ∂ mλ mα 1 −C = const. = ∂W = F , , (γ − κm), − ; ξ ∂γ 2 ∂c 4 4 2 2  2 ∂ mλ mα 1 − ∂c F − 4 , 2 , − 2 (γ + κm), − β4 ; η . Aus der ersten und der dritten Gleichung gewinnt man ξ(t), η(t) und aus der zweiten und der dritten Gleichung ξ(φ), η(φ), d.h. die geometrische Bahnform, und natürlich auch φ(t) .

A.4.4:

Das K EPLER-Problem III

(a) Der RUNGE -L ENZ-Vektor ist definiert durch:  x 1 B = κ1 [x, ˙ L] + |x| = m ˙ 2 + |x| x− m ˙ x˙ . κ |x| κ x, x In parabolischen Koordinaten gilt:

234

Lösungen der Übungsaufgaben |x| ˙2 =

1 4 (ξ

|x|2 =

1 4

1 |x|

=

x, x ˙ =

+ η)

 ˙2 ξ ξ

+

η˙ 2 η



+ ξη φ˙ 2 ,

2

(ξ + η) ,

2 ξ+η , 1 d 1 2 ˙ ˙ , 2 dt |x| = 4 (ξ + η)(ξ + η) 1 ˙ 3 = 21 (ξ˙ − η) ˙ . 2 (ξ − η) und x

x3 = Für die 3. Komponente des RUNGE also:  -L ENZ-Vektors folgt  ξ˙2 η˙ 2 m m 2 1 3 2 ˙ B = (ξ + η) + + ξη φ + (ξ − η) 4κ

=

ξ

η

κ

ξ+η

m − 4κ (ξ + η)(ξ˙ + η) ˙ 21 (ξ˙ − η) ˙   ξ 2 η ˙2 m m + 2κ ξη(ξ 8κ (ξ + η) η η˙ − ξ ξ

2

− η)φ˙ 2 +

(b) Aus Aufgabe 4.3d folgt mit den Bezeichnungen pξ = 2 p2ξ + 2 p2η

mκ ξ mκ η

− 21 mλ ξ − mE + 1 2 mλ η

1 2 2ξ 2 pφ 1 2 2η 2 pφ

=

γ ξ

ξ−η ξ+η

∂W ∂ξ

(∗)

.

, α = E , β = pφ :

,

+ + − mE + = − γη . Man eliminiert E indem man die beide Gleichungen subtrahiert. Multiplikation mit 2ξη ξ+η ergibt:

$ 2 %  1 1 2γ = ξ+η 4ξη(p2ξ − p2η ) − 2mκ(ξ − η) − mλξη(ξ + η) − ξη ξ − η 2 p2φ . Auf der Bahnkurve gilt: ˙ = m , (ξ + η) ξ˙ , pη (ξ, η, η) ˙ = mξη φ˙ . pξ (ξ, η, ξ) ˙ = m , (ξ + η) η˙ , pφ (ξ, η, φ) 4

ξ

4

η

Wenn wir dies in obiger Gleichung einsetzen, so folgt:

 m2 (ξ+η) η ˙2 ξ 2 2γ = ξ − η˙ − mλξη − 2 ξ−η mκ − m2 ξη(ξ − η)φ˙ 2 , 4

ξ

η

ξ+η

d.h. mit (∗) gilt: γ γ = −mκ B 3 − 21 mλξη . Für λ = 0 folgt B 3 = − mκ = const. Dies ist die (neben E und L) zusätzliche Erhaltungsgröße beim C OULOMB-Problem. (Die anderen Kompo2 2 nenten von B sind wegen B, L = 0 und |B|2 = 1 + mκ 2 E|L| nicht unabhängig.)

A.4.5:

Zentralkraftproblem

(a) Mit p = ∇W folgt für die H AMILTON -JACOBI-Gleichung des Zentralkraftproblems 2 mit H(x, p) = |p| 2m + V (|x|): 1 2 2m |∇W |

+ V (|x|) +

∂W ∂t

= 0. Für  3  2 +x2 sin Q2 W (x, Q, t) = f (|x|, Q1 , Q3 ) + Q3 arccos x cos Q |x| − Q1 t gilt

∂W ∂t

= −Q1 und

Aufgaben zum Kapitel 4

235

x ∇W = f  (|x|) |x| −

3

r 1−

“

Q3 x3 cos Q2 +x2 cos Q2 |x|

−x2 (x3 cos Q2 +x2 sin Q2 ) |x|3



+

”2

sin Q2 |x|

−x3 (x3 cos Q2 +x2 sin Q2 ) |x|3

+ cos|x|Q 1 3

< −x (x cos Q2 +x2 sin Q2 ) + e1 . |x|3

+

e2

2

e3

Der Ausdruck in geschweiften Klammern steht senkrecht zu x und es folgt: 3 2

2

) |∇W |2 = (f  (|x|)) + (Q |x|2 . Aus der H AMILTON -JACOBI-Gleichung folgt dann: $ 1 % 3 2 2 ) (f  (|x|)) + (Q |x|2 = 2m Q − V (|x|) , oder + 3 2 f  (r) = ± 2m (Q1 − V (r)) − (Qr2) , d.h. (r + 3 2 f (r) = ± dξ 2m (Q1 − V (ξ)) − (Qξ2) . ∂W ∂Q2 = const. , d.h. 3 2 2 2 1 r −x sin Q +x cos Q − |x| “ 3 ” x cos Q2 +x2 sin Q2 2 1− |x|

(b) Es gilt:

=C,

wobei C ∈ R , |C| ≤ 1 eine Konstante ist. Hieraus folgt: %2 $ C 2 (x1 )2 + (C 2 − 1) x2 cos Q2 − x3 sin Q2 = 0 , oder √ $ % C x1 ± 1 − C 2 x2 cos Q2 − x3 sin Q2 = 0 , was eine Ebene definiert; die Bewegung findet also in einer Ebene statt. Wie in den ∂W ∂W vorigen Aufgaben folgen aus ∂Q 1 = const. und ∂Q3 = const. die Bahnkurven mit ihrer Zeitabhängigkeit.

A.4.6: (a)

Das nichtrelativistische C OULOMBproblem L(x, v) = 21 m|v|2 +

κ |x|

.

(b) Aus der Aufgabe 3.7 übernehmen  wir:  L(r, θ, φ, vr , vθ , vφ ) =

(c) Mit pr = pθ = pφ =

∂L ∂vr ∂L ∂vθ ∂L ∂vφ

m 2

vr2 + r2 vθ2 + vφ2 sin 2 θ

= mvr ⇒ vr = = mr2 v − θ ⇒ vθ = = mr2 sin 2 θ vφ ⇒ vφ =

pr m , pθ mr 2 , pφ mr 2 sin2 θ

,

 +

κ r

.

236

Lösungen der Übungsaufgaben ergibt sich: H (r, θ, φ, vr , vθ , vφ ) = pr vr (pr ) + pθ vθ (r, pθ ) + pφ vφ (r, θ, pφ ) −L (r, θ, φ, vr (pr ), vθ (r, pθ ), vφ (r, θ, pφ ))   p2φ p2 1 = 2m p2r + r2θ + r2 sin − κr 2θ (d) Mit dem Separationsansatz W = −Et +f1 (r) + f2 (θ) + f3 (φ) , folgt für die q H AMILTON -JACOBI-Gleichung H q, ∇ W + ∂W ∂t = 0:    2  2  2 df1 df3 1 1 2 + r12 df + r2 sin − κr − E = 0 . 2θ 2m dr dθ dφ 3 Weil die Koordinate φ zyklisch ist, folgt df dφ = const. ∈ R , d.h. f3 = a φ . Dann gilt:  2  2  2  2 df2 1 r2 df − 2m E r + κ r = −b = − − sina 2 θ , dr dθ mit b = const.  ∈ R, b > 0 ,d.h. 2 df1 df2 (r) = 2m E + κr − rb2 , b − sina 2 θ . dr dθ (θ) =

(e) Es gilt also: W (r, θ, φ, Q1 , Q2 , Q3 ) = −Q1 t + F (Q1 , Q2 ; r) + G(Q2 , Q3 ; θ) + Q3 φ , mit

  r 2 1 2 F (Q , Q ; r) = ds 2m Q1 + κs − Q , 2 s  θ 3 )2 G(Q2 , Q3 ; θ) = dτ Q2 − (Q sin2 τ . Die Bewegungsgleichungen r lauten dann: ∂W m −P1 = ∂Q ds q , (1) 1 = −t + Q2 2m(Q1 + κ s )− s2 r θ ∂W 1 −P2 = ∂Q ds 2s12 q + 21 dτ q 1 (Q3 )2 , (2) 2 = − Q2 2m(Q1 + κ − Q2 − sin2 τ ) 2 s s θ 3 ∂W qQ −P3 = ∂Q dτ . (3) 3 = φ − (Q3 )2 sin2 τ

3

Q2 −

sin2 τ

Für Q = a = 0 folgt aus (3): −P3 = φ = const. , d.h. die Bahn liegt in einer Ebene . Aus der Gleichung (2) folgt dann: r 1 −P2 = − ds √ + √1 2 θ , 1 2 2 2s

2mQ s +2mκ s−Q



d.h. P2 + √θ 2

Q2

= √1 2

Q2

arcsin

r

2

Q

mκ r−Q2 m2 κ2 +2mQ1 Q2

√

,

oder

    mκ − m2 κ2 + 2mQ1 Q2 sin 2 Q2 P2 + θ r = Q2 , was zur Ellipsengleichung r(θ) =

Q2 j q “ ”ff √ 2Q1 Q2 mκ 1− 1+ mκ2 cos θ+2 Q2 P2 − 21 π

,

 1 Q2 1 2 2 mit der Exzentrizität ε = 1 + 2Q mκ2 , äquivalent ist. Falls 2Q Q = −mκ entspricht dies einer Kreisbewegung.

Aufgaben zum Kapitel 4 A.4.7:

237

Das relativistische C OULOMBproblem

(a) Die H AMILTON -JACOBI-Gleichung lautet jetzt: 4  5 21  2  2 2 df1 df2 df3 1 1 2 2 c + + +m c − dr r2 dθ r 2 sin2 θ dφ

κ r

− E = 0.

woraus    2 2 2 a2 c 2 2 4 2 2 df2 1 c2 r2 df + m c r − (E r + κ) = −b = −c − sin 2θ , dr dθ mit b = const. ∈ R, b ≥ 0 folgt , d.h.  2    2   df1 df2 1 2Eκ κ2 −b 1 a2 c 2 2 2 4 = E + + , − m c = b − . 2 2 2 2 dr c r r dθ c sin θ Es gilt also: W (r, θ, φ, Q1 , Q2 , Q3 ) = −Q1 t + F (Q1 , Q2 ; r) + G(Q2 , Q3 ; θ) + Q3 φ , mit (r + 1 2 2 F (Q1 , Q2 ; r) = 1c ds (Q1 )2 − m2 c4 + 2Qs κ + κ −Q , s2 + ( 3 )2 2 θ (Q Q dτ G(Q2 , Q3 ; θ) = c2 − sin2 τ .

∂W Für Q3 = 0 folgt für die Bahnkurve aus −P2 = ∂Q 2 = const.: ( r 1 P2 + √θ 2 = 2c ds √ 1 2 2 4 12 1 2 2 s ((Q ) −m c ) s +2Q κ s+κ−Q ⎧ 2c Q 1 2 2 ⎪ Q κ r+κ −Q 1 1 ⎪ √ 2 2 arcsin √ 2 4 2 2 1 2 2 4 , ⎪ 2c ⎪ r m c κ +Q ((Q ) −m c ) Q −κ ⎪ ⎪ ⎪ $ % ⎪ 2 2 ⎪ ( für Q > κ und m2 c4 κ2 + Q2 (Q1 )2 − m2 c4 > 0) ; ⎪ ⎪ ⎨ 1 √ 1 · = − 2c 2 2 ⎪   √κ −Q ⎪ ⎪ ⎪ 2 (κ2 −Q2 )((Q1 )2 −m2 c4 )r 2 +2Q1 κ(κ2 −Q2 )r+(κ2 −Q2 )2 +2(κ2 −Q2 )+2Q1 κ r ⎪ ⎪ ln , ⎪ r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ( für Q2 < κ2 ) .

(c) Falls Q2 > κ2 , so gibt es wiederum Kegelschnitte als Lösungen. Insbesonders gibt es für die gebundene Bewegung wiederum eine Ellipse. Falls Q2 < κ2 so folgt: r exp (−f (θ)) − 2(κ2 − Q2 ) − 2Q1 κ r  = 2 (κ2 − Q2 ) ((Q1 )2 − m2 c4 ) r2 + 2Q1 κ(κ2 − Q2 )r + (κ2 − Q2 )2 ,    θ 2 2 √ mit f (θ) = 2c κ − Q P2 + , d.h. 2c (Q2 )

1 $ % 2 r r (exp (−2f (θ))) − 4Q1 κ exp (−f (θ)) + 4Q2 (Q1 )2 − m2 c4  2 % $ +4m2 c4 κ2 − 4 κ2 − Q2 exp (−f (θ)) = 0 , und es folgt: limθ→∞ r(θ) = 0 , was keine geschlossene Bahn darstellt, sondern sogar eine instabile Lösung ist.

238

Lösungen der Übungsaufgaben

A.4.8:

Bewegung in einem zeitabhängigen elektromagnetischen Feld x

(a) Mit p = ∇ W (x1 , x2 , x3 , t) lautet die H AMILTON -JACOBI-Gleichung: $ % $ ∂W % $ %  q ∂W 2 1 − ct) 2 + ∂W 2 + ∂W = 0 . mc2 1 + m21c2 + − f (x 1 2 3 ∂x ∂x c ∂x ∂t (b) Mit dem gegebenen Ansatz 

$ folgt aus (a): % $ %2 $ %2  2 1 2 4 m c 1 + m2 c2 Q1 + g  (x1 − ct) + Q2 − qc f (x1 − ct) + Q3 %2 $ = c Q1 − c g  (x1 − ct) , d.h.

$ %2 $ %2  1 g  (ξ) = 4Q m2 c2 + Q2 − qc f (ξ) + Q3 , 1 mit ξ = x1 − ct .

(c) Aus (b) folgt:

 $ 3 %2  %2  (ξ $ 2 q 1 2 2 g(ξ) = − 4Q m ξ + c + Q dy Q − , f (y) 1 c und es folgt für die Bahnkurve:  $ % $ %2  $ 1 % −P1 = x1 + ct + 4(Q11 )2 m2 c2 + Q3 x − ct %2  ( x1 −ct $ 2 q dy Q − c f (y) + , 1 $ % ( x −ct 1 −P2 = x2 − 2Q dy Q2 − qc f (y) , 1 % 3 $ Q −P3 = x3 − 2Q x1 − ct , 1 mit P1 , P2 , P3 ∈ R konstant.

(1) (2) (3)

(d) Indem man die Gleichungen aus (c) differenziert und die Anfangsbedingungen x(0) = x(0) ˙ = 0 einsetzt, so

folgt: $ % $ %2  2 c 0 = c − 4(Q1 )2 m2 c2 + Q3 + Q2 − qc f (0) , $ % q 0 = 2Qc 1 Q2 − c f (0) , 3

cQ 0 = 2Q 1 , d.h. Q3 = 0, Q2 = qc f (0) und somit Q1 = 21 mc .

(e) Aus Gleichung (1) folgt dann: $ %

0 = x˙ 1 (t) + c + m21c2 x˙ 1 (t) − c m2 c2 + 1

q2 c2

$

f (0) − f (x1 (t) − ct)

woraus mit limt→∞ f (x (t) − ct) = a  2 2  −1 q a q 2 a2 lim x˙ 1 (t) = m 2+ m c 2 c4 2 c4 t→∞ folgt. Ebenso folgt aus Gleichung (2): $ 1 %$ % 1 q 0 = x˙ 2 (t) − mc ˙ (t) − c f (0) − f (x1 (t) − ct) , c x und somit −1 $ qa %  q 2 a2 lim x˙ 2 (t) = 2 mc 2+ m c. 2 2 c4 t→∞

Zum Schluß folgt aus (3): x˙ 3 (t) = 0 .

%2 

,

Aufgaben zum Kapitel 4 A.4.9:

239

Kanonische Transformationen und H AMILTONsche Vektorfelder

(a) Sei h, k ⎛ ∈ P .⎞ Man schreibe ⎛ ⎞ kx hx h=⎝ ⎠, k=⎝ ⎠, hp kp F ∗ ist definiert durch: Es gilt: j

⎛ F =⎝

⎞ C

0

0 C −1

⎠.

F ∗ ω(h, k) = ω (DF (h), DF (k)) j

j

∂F i j i (DF (h)x ) = (Dhx F ) = ∂(h i (hx ) = C i (hx ) , x) $ % ∂F (DF (h)p )j = Dhp F j = ∂(hpj)i (hp )i = (C −1 )i j (hp )i . Mit der Definition der kanonischen Zweiform: ω(h, k) = dpi (h)dxi (k) − dpi (k)dxi (h) , wobei dpi (h) = (hp )i und dxi (k) = %j $ (kx )i , folgt, mit dpi (DF (h)) = (DF (h)p )i = C −1 i (hp )j und dxi (DF (k)) = i (DF (k)x ) = C i j (hx )j :

F ∗ ω(h, k) = ω (DF (h), DF (k)) = dpi (DF (h))dxi (DF (k)) − dpi (DF (k))dxi (DF (h)) $ %l %l $ = C −1 i (hp )l C i j (hx )j − C −1 i (kp )l C i j (kx )j = (hp )j (hx )j − (kp )j (kx )j % $ = dpj ∧ dxj (h, k) = ω(h, k) , für alle h, k ∈ P , d.h. F ∗ ω = ω . (b) Mit

exp [τ B]

0

0

exp [−τ B]

folgt: Y =

⎛

⎠=⎝

⎞ C

⎛

0

⎞ BC

0

⎠ , ∂ Fτ = ⎝ ⎠, ∂τ 0 C −1 0 −BC −1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −1 C exp [−τ B] 0 0 ⎠=⎝ ⎠, =⎝ 0 exp [τ B] 0 C

Fτ = ⎝ Fτ−1

⎞

⎛

$ ∂F % $ ∂τ

% −1

Fτ

⎛ =⎝

⎞⎛ BC

0

0 −BC −1

⎠⎝

C −1 0 0

C

⎞

⎛

⎠=⎝

⎞ B 0 0 −B

⎠

d.h. Y i = B i j xj und Yi = −B j i pj . (c)

df (x, p) = dpj B j i xi + pj B j i dxi ; $ % (i(Y )ω) (h) = ω(Y, h) = dpi ∧ dxi (Y, h) = dpi (Y )dxi (h) − dpi (h)dxi (Y ) = Yi dxi (h) − dpi (h)Y i % $ = −B j i pj dxi (h) − dpi (h)B i j xj ! = − dpj (h)B j i xi + pj B j i dxi (h) = −df (x, p)h , für alle h ∈ P , d.h. i(Y )ω = −df .

240

Lösungen der Übungsaufgaben j

j

Für B = A(˜ ω ) gilt: f (x, p) = pj B j i xi = pj (A(˜ ω )) i xi = pj ([˜ ω , x]) = p, [˜ ω , x] = ˜ ω , [x, p] = ˜ ω , L , wobei L = [x, p] der Drehimpuls ist.

(d) Für (Fτ )i (x) = xi + τ ci , (Fτ )i (p) = pi , gilt: DF = 1I und somit ist F ∗ ω = ω trivial erfüllt. Es gilt: % $ −1 %i $ Fτ (x) = xi − τ ci , Fτ−1 i (p) = pi und $ ∂ %i $∂ % (x) = ci , ∂τ F i (p) = 0 , und es folgt: Y i = ci , Yi = 0 . ∂τ F i(Y )ω(h) = Yi dxi (h) − dpi (h) Y i = −ci dpi (h) , für alle h ∈ P , d.h. i(Y )ω = −df , mit f (x, p) = ci pi = c, p .

∂ (e) Für Fτ = exp [τ B] gilt: Fτ−1 = exp [−τ B] und ∂τ Fτ = B F . Es folgt also: $∂ % −1 F F = B . τ τ ∂τ ∂ ∂ Wenn Fτ∗ ω = ω für alle τ , so gilt: ∂τ Fτ∗ ω = ∂τ ω = 0 , d.h. −1

∂ θ(Yτ )ω = (Fτ∗ ) ∂τ Fτ∗ ω = 0 . Für Fτ = exp [τ B] gilt: (DFτ )(h)(y) = Fτ h und somit:

(∗)

Fτ∗ ω(h, k) = ω ((DFτ )h, (DFτ )k) = ω(Fτ h, Fτ k) . Die Produktregel ergibt: ∂ ∗ ∂τ Fτ ω(h, k)

= ω(BFτ h, Fτ k) + ω(Fτ h, BFτ k) und mit $ % (Fτ∗ )−1 ω(h, k) = ω (Fτ )−1 h, (Fτ )−1 k folgt aus (∗) die Bedingung: ω(Bh, k) + ω(h, Bk) = 0 , oder ω(Bh, k) = −ω(h, Bk) , d.h. B soll schiefadjungiert bezüglich der kanonischen Zweiform ω sein. Für fB = 21 ω(y, By) gilt: dfB (h) = =

1 2 1 2 1 2

[ω(y, Bh) + ω(h, By)] [−ω(Bh, y) + ω(h, By)]

= [ω(h, By) + ω(h, By)] = ω(h, By) = −i(By)ω(h) , wobei man im ersten Schritt die Antisymmetrie von ω, im zweiten Schritt die Bedingung (∗), und im letzten Schritt die Definition i(By)ω(h) = ω(By, h) benutzt.

Aufgaben zum Kapitel 4 A.4.10: (a)

241

Elektrodynamik ∂E 1 2 ∂x2 dx 2 1 + ∂E ∂x1 dx 3 1 + ∂E ∂x1 dx 1 0 − ∂B ∂x0 dx 3 0 − ∂B ∂x0 dx 2 0 − ∂B ∂x0 dx 3 = − ∂B ∂x0 2 − − ∂B ∂x0 1 + − ∂B ∂x0 μ1 μ2

∂E 1 3 0 1 ∂x3 dx ∧ dx ∧ dx 2 3 0 2 ∧ dx0 ∧ dx2 + ∂E ∂x3 dx ∧ dx ∧ dx 3 2 0 3 ∧ dx0 ∧ dx3 + ∂E ∂x2 dx ∧ dx ∧ dx 1 1 2 3 ∧ dx2 ∧ dx3 − ∂B ∂x1 dx ∧ dx ∧ dx 3 3 1 2 ∧ dx1 ∧ dx2 − ∂B ∂x3 dx ∧ dx ∧ dx 2 2 3 1 ∧ dx3 ∧ dx1 − ∂B ∂x2 dx ∧ dx ∧ dx $ ∂E 2 1 %! − ∂x1 − ∂E dx0 ∧ dx1 ∧ dx2 ∂x2 $ 1 %! 0 ∂E 3 − ∂E dx ∧ dx1 ∧ dx3 ∂x3 − ∂x1 $ ∂E 3 2 %! − ∂x2 − ∂E dx0 ∧ dx2 ∧ dx3 − (div B) dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 . ∂x3 μ3 ∧ dx , 0 ≤ μ1 < μ2 < μ3 ≤ 3 eine Basis der Differentialformen

dF =

∧ dx0 ∧ dx1 +

Weil dx ∧ dx 3-ter Stufe in R4 ist, folgt aus dF = Fμ1 μ2 μ3 dxμ1 ∧ dxμ2 ∧ dxμ3 = 0 sofort Fμ1 μ2 μ3 = 0 , d.h. 1 ∂B c ∂t

0≤μ1 <μ2 <μ3 ≤3

+ rot E = 0 und div B = 0 .

(b) Wegen dF = 0 gilt nach dem P OINCARÉ-Lemma (4.1): Es gibt eine 1-Form A = Aμ dxμ mit F = dA . Mit: A = A0 dx0 + A1 dx1 + A2 dx2 + A3 dx3 findet man: 3 3 3 3 ∂A0 ∂Ai ∂Ai i 0 0 i dA = dxk ∧ dxi ∂xi dx ∧ dx + ∂x0 dx ∧ dx + ∂xk =

i=1 3 $

i=1

0 − ∂A ∂xi

+

∂Ai ∂x0

%

i=1 k=i=1

i=1 0

3 $ ∂A i

dx ∧ dx + i

k
∂xk

−

Es gilt also: 0

i

∂Ai ∂A ∂A 0 E i = − ∂A ∂xi + ∂x0 = − ∂xi − ∂x0 , oder ∂ E = − 1c ∂t A − ∇Φ , Φ(x, t) = A0 (x) und ∂ ∂ k B i = −εijk ∂x j Ak = εijk ∂xj A , oder B = rot A .

(c) Wegen d2 = 0 gilt auch: dA = dA + d2 Λ = dA = F .

∂Ak ∂xi

%

dxk ∧ dxi

Literaturverzeichnis Abraham, R., Marsden, J.E.: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, (1985). Arnold, V.I.: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, (1997). Fließbach, T.: Mechanik, Lehrbuch der Theoretischen Physik I, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, (1996). Greub, W.: Lineare Algebra, Springer-Verlag, Berlin, (1981). Ders.: Multilineare Algebra, Springer-Verlag, Berlin, (1978). Hildebrandt, S.: Analysis I, Springer-Verlag, Berlin, (2002). Ders.: Analysis II, Springer-Verlag, Berlin, (2003). Honerkamp, J., Römer, H.: Grundlagen der Klassischen Theoretischen Physik, 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin, (1989). Klingenberg, W.: Lineare Algebra und Geometrie, Springer-Verlag, Berlin, (1992). Kuypers, F.: Klassische Mechanik, Wiley-VCH, Berlin, (2003). Landau, L.D., Lifshitz, E.M.: Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band 1: Klassische Mechanik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, (1997). Scheck, F.: Theoretische Physik I: Mechanik, Springer-Verlag, Berlin, (2003). Thirring, W.: Lehrbuch der Mathematischen Physik, Springer-Verlag, Berlin, (1988).

Verzeichnis der Aufgaben 1.1

Multilineare Funktionen in einem n-dimensionalen Vektorraum V . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2

Der 3-dimensionale Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3

Differenzieren von multilinearen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4

Impuls-, Drehimpuls- und Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5

Das K EPLER-Problem I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6

Die K EPLERschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7

Die Drehgruppe und G ALILEI-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8

Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9

Bewegung in einem magnetischen Monopolfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10 C ORIOLIS-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1

Differenzierbare Funktionen von mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2

Lösungen von Differentialgleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3

Lösung von Differentialgleichungssystemen (DGS) durch Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4

Bewegung eines Massenpunktes in elektromagnetischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5

Lösung mit J ORDANscher Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1

Potentiale und Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.2

Periodische Kräfte und Gleichgewichtslagen für eindimensionale Bewegungen . . 107

3.3

Zylinderkoordinaten, sphärische Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.4

Relativistische freie Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.5

Bewegung in einem elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Verzeichnis der Aufgaben

246 3.6

Bewegung in einem gekrümmten Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.7

Das K EPLER-Problem II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.8

Das sphärische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.9

Das F OUCAULT-Pendel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.10 Trägheitstensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.11 Starrer Körper im Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.12 Teilchen im Beschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.13 Das Brachistochronenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.14 Die E ULERschen Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.15 Das K EPLER-Problem in der Allgemeinen Relativitätstheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.16 Die L ORENTZ-Transformationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.17 Relativistische Bewegung eines Teilchens in einem elektromagnetischen Feld . . . 125 4.1

Eigenschaften von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.2

H AMILTON-JACOBI-Gleichung für ein Teilchen in einem homogenen Magnetfeld159

4.3

Klassischer S TARK-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.4

Das K EPLER-Problem III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.5

Zentralkraftproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.6

Das nichtrelativistische C OULOMBproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.7

Das relativistische C OULOMBproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.8

Bewegung in einem zeitabhängigen elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.9

Kanonische Transformationen und H AMILTONsche Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.10 Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Index Abbildung adjungierte, 26 schiefadjungierte lineare, 27 selbstadjungierte, 26 Ableitung äußere, 140, 142 L IE-, 141 partielle, 39 Richtungs-, 40 Abstand, 25 adjungierte Abbildung, 26 äußere Ableitung, 140, 142 Allgemeine Relativitätstheorie, 3, 103, 121 antisymmetrische multilineare Funktion, 25 Arbeit, 63 Beschleuniger, 52, 115 Beschleunigung, 1 Bewegung Integral der, 6, 7, 73 Bewegungskonstante, 6, 148, 152, 153 Binormalenvektor, 117 Boost, 18 Brachistochrone, 118 C ORIOLIS-Kraft, 21, 35 C OULOMB-Problem, 161 Zweizentren-, 133 C OULOMB-Kraft, 3 Determinante, 26 Determinantenfunktion, 123, 149 Diffeomorphismus, 142 infinitesimaler, 155 Differentialform, 138, 139 Differentialgleichungssystem Fluß, 42 lineares, 44 lineares, homogenes, 44 lineares, inhomogenes, 44

Drehgruppe, 31 Drehimpuls, 5 innerer, 7 Drehimpulserhaltung, 28 Drehimpulssatz, 6 Drehungen, 31 Dualraum, 139 Eichtransformation, 68, 109 einparametrige Invarianzgruppe, 70, 73 einparametrige Schar von Symmetrietransformationen, 70, 73, 152 Einsetzungsoperator, 141 Elektrodynamik, 3, 164 elliptische Koordinaten, 134 Energie kinetische, 5, 6 potentielle, 6 Energieerhaltung, 28 Energiesatz, 6 Erhaltungsgröße, 6 Erhaltungssatz, 6 Erzeugende einer kanonischen Transformation, 151 E UKLIDische Metrik, 25, 40 E ULER-L AGRANGE-Gleichungen, 65 E ULERsche Winkel, 83, 119 exakte k-Form, 145 Extremalkurve, 65, 75 Extremalprinzip, 100 Falle, 53 PAUL-, 54 P ENNING-, 54, 61 Flächensatz, 11 Fluß der Bewegung, 148, 152 eines Differentialgleichungssystems, 42 F OUCAULT-Pendel, 112 Freiheitsgrad, 41

248 Freiheitsgrade Raum der, 41 F RENETsche Formeln, 117 F RENETsche Koordinaten, 117 Funktion antisymmetrische multilineare, 25 multilineare, 25 schiefe multilineare, 138 symmetrische multilineare, 25 G ALILEI-Gruppe, 18, 31 spezielle, 17 volle, 18 G ALILEI-Invarianz, 15 G ALILEI-Transformation, 15, 71, 72 Untergruppe einer, 18 generalisierte Geschwindigkeit, 68 generalisierte Koordinate, 68, 74, 75, 81, 94 Generator, 33, 125 Gesamtdrehimpuls, 5 Gesamtenergie, 5 Gesamtimpuls, 5 Gesamtmasse, 5, 72 geschlossene k-Form, 145 Geschwindigkeit, 1 generalisierte, 68 Geschwindigkeitstransformation, 18 Gleichgewicht, 51, 106, 107 Gradient, 40 Gruppe einparametrige Invarianz-, 70, 73 G ALILEI-, 17, 102 L ORENTZ-, 102, 123 P OINCARÉ-, 102 H AMILTON-Funktion, 128 H AMILTON-JACOBI-Gleichung, 159 H AMILTONsche Gleichungen, 127, 147 H AMILTONsche Vektorfelder, 163 H AMILTONsches Prinzip, 63, 66, 67, 94 Nebenbedingungen, 103 harmonischer Oszillator, 33, 60, 132 Hauptträgheitsachse, 86 Hauptträgheitsmoment, 86 homogene M AXWELL-Gleichungen, 165

Index Impuls, 5 kanonischer, 127 Impulserhaltung, 28 Impulssatz, 6 Inertialsystem, 18, 20 infinitesimaler Diffeomorphismus, 155 innerer Drehimpuls, 7 integrables System, 93 Integral der Bewegung, 6, 7, 73, 92 Invarianz G ALILEI-, 15 Invarianz des Phasenraumvolumens, 148 Invarianzgruppe einparametrige, 70, 73 Isomorphismus, 27 Standard-, 18

JACOBI-Gleichung, 130, 153 JACOBI-Identität, 27, 157 JACOBI-Matrix, 40, 76, 108, 109 JACOBI-Methode, 129, 130, 137 J ORDAN Satz von, 45 J ORDAN-Basis, 46, 48 J ORDANsche Normalform, 45–47, 61 k-Form, 25, 139 exakte, 145 geschlossene, 145 kanonische Quantisierung, 158 kanonische Transformation, 148, 150, 152, 163 erzeugende, 151 kanonische Zweiform, 145 kanonischer Impuls, 127 Kegelschnitt, 9 K EPLER-Problem, 7, 29, 110, 121, 160 Konstruktion der Bahn, 7 K EPLERsche Gesetze, 30 kinetische Energie, 5, 6 klassischer S TARK-Effekt, 159 Kommutator, 125 Koordinate generalisierte, 68, 74, 75, 81, 94 zyklische, 92, 94 Koordinaten, 26 elliptische, 134 F RENETsche, 117

Index Kugel-, 114 parabolische, 159, 160 Polar-, 76, 120, 136 sphärische Polar-, 108, 109 Zylinder-, 108, 114 Kraft, 1, 106 Kreisel schwerer, 97 Krümmung, 117 Kugelkoordinaten, 114 Kugelpendel, 82 Länge eines Vektors, 25 L AGRANGE-Funktion, 63, 64 des starren Körpers, 85 separable, 92 L AGRANGE-Multiplikator, 105 lichtartig, 123 L IE-Ableitung, 141 L IE-Algebra, 157 L IE-Klammer, 155 lineares Differentialgleichungssystem, 44 L IOUVILLEscher Satz, 150 L ORENTZ-Gruppe, 102, 123 L ORENTZ-Kraft, 35 L ORENTZ-Transformation, 123 eigentliche, orthochrone, 125 magnetisches Monopolfeld, 35 Masse, 1 reduzierte, 8 schwere, 23 träge, 23 Matrixelement, 26 M AXWELL-Gleichungen homogene, 165 Metrik E UKLIDische, 40 M INKOWSKI-, 123 M INKOWSKI-Metrik, 123, 165 Monopolfeld magnetisches, 35 multilineare Funktion, 25 antisymmetrische, 25 Differenzieren, 27 schiefe, 138

249 symmetrische, 25 Nebenbedingung, 103 N EWTON, 2 N EWTONsche Gleichungen, 1, 20–22, 51 N OETHER-Theorem, 69, 73 Norm eines Vektors, 25 Normalenvektor, 117 Normalform J ORDANsche, 45–47, 61 Nutation, 100 Oszillator harmonischer, 33, 60, 132 parabolische Koordinaten, 159, 160 partielle Ableitung, 39 PAUL-Falle, 54 Pendel F OUCAULT-, 112 Kugel-, 82 sphärisches-, 111 P ENNING-Falle, 54, 61 Periheldrehung, 122, 219 Phasenraum, 145, 146, 150, 153 P OINCARÉ-Gruppe, 102 P OINCARÉ-Lemma, 141, 144 P OISSON-Klammer, 155, 157 Polarkoordinaten, 9, 76, 120, 136 sphärische, 108, 109 Potential, 5, 63, 106 potentielle Energie, 6 Präzession, 100 Prinzip der kleinsten Wirkung, 66, 152 Produkt ∧-, 139 Pull-Back, 141 Quantenmechanik, 2, 138, 158 raumartig, 123 Raumdrehung, 18 Raumspiegelung, 123 Raumtranslation, 18 Raumzeitspiegelung, 125 reduzierte Masse, 8 Relativitätstheorie

250 Allgemeine, 3, 103, 121 Resonanz, 51 Resonanzkatastrophe, 51 Richtungsableitung, 40, 139 RUNGE -L ENZ-Vektor, 9, 29, 160 Satz von L IOUVILLE, 150 Scheinkraft, 21 schiefadjungierte lineare Abbildung, 27 schiefadjungierte lineare Transformation, 18 schiefe multilineare Funktion, 138 S CHRÖDINGER-Gleichung, 138 S CHWARZSCHILD-Radius, 121 schwere Masse, 23 schwerer Kreisel, 97 Schwerpunkt, 5, 72 Schwerpunktsatz, 6 selbstadjungierte Abbildung, 26 Separable L AGRANGE-Funktion, 92 separables System, 93, 94 Skalarprodukt, 25 Sollbahn, 51, 52, 79 spezielle G ALILEI-Gruppe, 17 sphärische Polarkoordinaten, 108, 109 sphärisches Pendel, 111 Spur, 26 S TARK-Effekt klassischer, 159 starrer Körper, 83, 86 L AGRANGE-Funktion, 85 Zwangsbedingung, 83 sternförmiges Gebiet, 145 Summenkonvention, 167 Symmetrietransformation, 71, 75, 152 einparametrige Schar von -en, 70, 73, 152 symmetrische multilineare Funktion, 25 System integrables, 93 separables, 93, 94 Tangentialraum, 41, 68 Torsion, 117 träge Masse, 23 Trägheitstensor, 85, 113 Transformation Eich-, 109

Index G ALILEI-, 15, 71, 72 kanonische, 148, 150, 152, 163 L ORENTZ-, 123 schiefadjungierte lineare, 18 Symmetrie-, 70, 71, 73, 75, 152 Untergruppe 1-parametrige, 32 einer G ALILEI-Transformation, 18 Vektor lichtartiger, 123 raumartiger, 123 zeitartiger, 123 Vektorfeld zeitabhängiges, 42 Vektorprodukt, 27 volle G ALILEI-Gruppe, 18, 102 Volumenform, 26 Wedge-product, 139 Winkel, 25 E ULERsche, 83, 119 Wirkung, 64 Prinzip der kleinsten, 66, 152 Wirkungsfunktion, 138 Wirkungsfunktional, 64, 94 zeitabhängiges Vektorfeld, 42 zeitartig, 123 Zeitspiegelung, 125 Zeittranslation, 18 Zentralkraftproblem, 161 Zentrifugalkraft, 21 Zwangsbedingung, 79, 81 für starre Körper, 83 Zwangskraft, 79, 104 Zweizentren-C OULOMB-Problem, 133 zyklische Koordinate, 92, 94 Zyklotronfrequenz, 55, 61 Zylinderkoordinaten, 108, 114