Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques (Mathématiques et Applications) (French Edition)

´ MATHEMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection : G. Allaire et M. Bena¨ım 65 ´ MATH EMATIQUES & APPLICAT...

Author: Mourad Choulli

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´ MATHEMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection : G. Allaire et M. Bena¨ım

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´ MATH EMATIQUES & APPLICATIONS Comit´e de Lecture 2008–2011/Editorial Board 2008–2011 RE´ MI A BGRALL INRIAet Math´ematiques, Univ. Bordeaux 1, FR [email protected] G R E´ GOIRE A LLAIRE ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau, FR [email protected] MICHEL BENA¨I M Math´ematiques, Univ. de Neuchˆatel, CH [email protected]

L AURENT MICLO Analyse, Topologie et Proba., Univ. Provence, FR [email protected]

OLIVIER CATONI Proba. et Mod. Al´eatoires, Univ. Paris 6, FR [email protected] T HIERRY COLIN Math´ematiques, Univ. Bordeaux 1, FR [email protected] MARIE-CHRISTINE COSTA CEDRIC, CNAM informatique, Paris, FR [email protected] JACQUES D EMONGEOT TIMC, IMAG, Univ. Grenoble I, FR [email protected] N ICOLE E L K AROUI ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau, FR [email protected]

P HILIPPE ROBERT INRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, FR [email protected]

J OSSELIN G ARNIER Proba. et Mod. Al´eatoires, Univ. Paris 6 et 7, FR [email protected] S T E´ PHANE G AUBERT INRIA, Saclay, ˆIles-de-France, Orsay et ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau, FR [email protected] CLAUDE L E BRIS CERMICS, ENPC et INRIA Marne la Vall´ee, FR [email protected] CLAUDE L OBRY INRA, INRIA, Sophia-Antipolis et Analyse Syst`emes et Biom´etrie Montpellier, FR [email protected]

VAL E´ RIE P ERRIER Mod.. et Calcul, ENSIMAG, Grenoble, FR [email protected] BERNARD P RUM Statist. et G´enome, CNRS, INRA, Univ. Evry, FR [email protected]

P IERRE ROUCHON ´ Automatique et Syst`emes, Ecole Mines, Paris, FR [email protected] A NNICK S ARTENAER Math´ematiques, Univ. Namur, BE [email protected] ¨ E RIC S ONNENDR UCKER IRMA, Strasbourg, FR [email protected] S YLVAIN S ORIN Combinat. et Optimisation, Univ. Paris 6, FR [email protected] A LAIN T ROUV E´ CMLA, ENS Cachan, FR [email protected] J EAN P HILIPPE V IAL Management Studies, Univ. Geneva, CH [email protected] CE´ DRIC V ILLANI UMPA, ENS Lyon, FR [email protected] E NRIQUE Z UAZUA Matem´aticas, Univ. Aut´onoma Madrid, ES [email protected]

Directeurs de la collection :

G. ALLAIRE et M. BENA¨I M Instructions aux auteurs : Les textes ou projets peuvent eˆ tre soumis directement a` l’un des membres du comit´e de lecture avec ´ copie a` G. A LLAIRE OU M. BENA¨I M. Les manuscrits devront eˆ tre remis a` l’Editeur sous format LATEX2e (cf. ftp://ftp.springer.de/pub/tex/latex/svmonot1/).

Mourad Choulli

Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques

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Mourad Choulli Université Paul Verlaine-Metz Ile du Saulcy 57045 Metz cedex France [email protected]

ISSN 1154-483X ISBN 978-3-642-02459-7 e-ISBN 978-3-642-02460-3 DOI 10.1007/978-3-642-02460-3 Springer Dordrecht Heidelberg London New York Library of Congress Control Number: 2009929714 Mathematics Subject Classification (2000); 46E30, 46E35, 42B25, 35B45, 35B65, 35B50, 35J20, 35K65, 35J70, 35K55, 82D10, 35R30, 35J25, 35K20 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Maquette de couverture: SPi Publisher Services Imprimé sur papier non acide Springer est membre du groupe Springer Science+BusinessMedia (www.springer.com)

A Sophie, Florent et Pierre

Avant-propos

Cet ouvrage est consacr´e `a une introduction aux probl`emes inverses elliptiques et paraboliques. L’analyse math´ematique des probl`emes inverses a connu un essor consid´erable ces derni`eres d´ecennies par l’int´erˆet port´e tant par les math´ematiciens purs que par les math´ematiciens appliqu´es `a ces probl`emes. Notre objectif est de pr´esenter quelques m´ethodes r´ecentes pour ´etablir des r´esultats d’unicit´e et de stabilit´e. Notons que la stabilit´e est fondamentale pour la mise en place de m´ethodes num´eriques. En eﬀet, la plupart des probl`emes inverses sont mal pos´es au sens de Hadamard. Nous traiterons quelques probl`emes inverses elliptiques, qui sont devenus maintenant classiques : conductivit´e inverse, d´etection de corrosion ou de ﬁssures et probl`emes spectraux inverses. Parmi les probl`emes inverses paraboliques que nous consid´ererons ﬁgure le probl`eme classique de retrouver une distribution initiale de la chaleur et la localisation de sources (de chaleur ou de pollution par exemple). Nous nous int´eresserons aussi `a l’identiﬁcation de coeﬃcients ou de nonlin´earit´es. Nous adressons cet ouvrage `a tous ceux qui souhaitent s’int´eresser `a l’analyse math´ematique des probl`emes inverses.

Metz, mai 2009

Mourad Choulli

Introduction

Les probl`emes inverses, parfois appel´es probl`emes d’identiﬁabilit´e, se rencontrent dans diverses disciplines et sont d’origines vari´ees. Expliquons d’abord sur un exemple simple ce que peut ˆetre un probl`eme inverse. Nous consid´erons une barre de fer rectangulaire que nous faisons chauﬀer `a l’une de ces extr´emit´es. La diﬀusion de la chaleur `a l’int´erieur de la barre est mod´elis´ee par un probl`eme aux limites pour une ´equation de la chaleur. Le probl`eme est alors le suivant : pouvons-nous d´eterminer le coeﬃcient de diﬀusion en mesurant la temp´erature de la barre `a l’autre extr´emit´e ? Combien de mesures sont-elles n´ecessaires pour s’assurer que nous d´eterminons le coeﬃcient de diﬀusion de mani`ere unique ? Dans la pratique, nous souhaitons calculer ce coeﬃcient. Pour ce faire, nous commen¸cons par remplacer le mod`ele continue par un mod`ele discret. Une diﬃcult´e peut alors apparaˆıtre a` ce moment l`a, puisque l’unicit´e du coeﬃcient de diﬀusion `a partir des mesures n’a aucune raison de subsister pour le mod`ele discret. Ceci est ´etroitement li´e au probl`eme de stabilit´e. C’est-`a-dire comment pouvons nous contrˆoler les perturbations sur le coeﬃcient de diﬀusion (dues au fait de remplacer le mod`ele continue par un mod`ele discret et aux erreurs de calculs) par les erreurs que faisons sur les mesures ? Nous donnons une formulation math´ematique de ce probl`eme. La barre de fer est repr´esent´ee par un domaine Ω de R2 ou R3 . Un mod`ele possible pour la diﬀusion de la chaleur a` l’int´erieur de Ω est le probl`eme aux limites suivant ⎧ ∂t u − div(a(x)∇u) = 0, dans Ω × (0, T ), ⎪ ⎪ ⎨ u = 0, dans Ω × {0}, u = f, sur Γ1 × (0, T ), ⎪ ⎪ ⎩ ∂ν u = 0, sur Γ2 × (0, T ), o` u f repr´esente la source de chaleur sur la partie Γ1 du bord de Ω, Γ2 est le reste du bord et a(x) est le coeﬃcient du diﬀusion, suppos´e constant en fonction du temps. Pouvons-nous alors d´eterminer le coeﬃcient a(x) `a partir des mesures

X

0 Introduction

u = g,

M × (0, T ),

M ´etant une partie de Γ2 ? Pour ce probl`eme, nous examinons d’abord l’unicit´e, ce qui correspond `a l’injectivit´e de l’application qui a` a associe g. Nous nous int´eressons ensuite a la stabilit´e. Plus pr´ecis´ement, nous souhaitons ´etablir une estimation de la ` forme d1 (a1 , a2 ) ≤ ω(d2 (g1 , g2 )),

pour d1 (a1 , a2 ) voisin de z´ero,

o` u ω est une fonction croissante, d´eﬁnie sur ]0, +∞[ et telle que ω(s) tend vers 0 quand s converge vers 0. Par d1 et d2 , nous d´esignons des distances d´eﬁnies respectivement sur l’ensemble des coeﬃcients et l’ensemble des mesures. Notons que, dˆ u `a l’eﬀet r´egularisant des ´equations elliptiques et paraboliques, le module de continuit´e ω, ici et dans la quasi-totalit´e des autres cas, est un logarithme ou une puissance de celui-ci. Il existe des exemples o` u il a ´et´e d´emontr´e que c’est optimal. D’o` u la notion de probl`eme mal-pos´e au sens de Hadamard. Pour cette raison, si nous souhaitons calculer a `a partir de g, en minimisant par exemple une fonctionnelle de la forme J(a) = u − g2L2 (M×(0,T )) , nous devons utiliser une m´ethode de r´egularisation, de type de Tikhonov par exemple. Concernant les mesures, il y a plusieurs possibilit´es. Nous pouvons par exemple remplacer ce qui pr´ec`ede par u(·, ti ) = gi ,

sur M, 1 ≤ i ≤ N,

avec ti , 1 ≤ i ≤ N , des points de (0, T ). Nous pouvons aussi faire varier f . Nous nous donnons un ensemble J ﬁni ou inﬁni. Pour chaque fj , j ∈ J, nous avons une mesure gj . Dans ce cas le probl`eme inverse consiste en la d´etermination de a ` a partir de l’application Λ : fj → gj . Dans l’exemple que nous venons d’´evoquer, il s’agissait d’un probl`eme inverse dans lequel nous essayons de d´eterminer un coeﬃcient. Il existe aussi d’autres types de probl`emes inverses, par exemple les probl`emes inverses g´eom´etriques. Citons un exemple faisant partie d’une large gamme de probl`eme de contrˆ ole non destructif. Nous consid´erons le probl`eme d’identiﬁer et de localiser la corrosion a` l’int´erieur d’un pipeline. Ces contrˆoles sont tr`es important par exemple en industrie p´etroli`ere car ils permettent de pr´evenir des d´egradations qui peuvent d´eboucher sur des incendies diﬃciles `a maˆıtriser. Deux types d’inspection des pipelines sont possibles. Nous pouvons par exemple envoyer un courant ´electrique sur la partie ext´erieure du

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XI

pipeline et mesurer ensuite le potentiel r´esultant sur cette mˆeme partie. En g´en´eral, le potentiel est solution d’un probl`eme aux limites pour l’´equation ` partir des mesures, nous essayons de localiser la corrosion de Laplace. A et de d´eterminer son ´etendue. Les mod`eles math´ematiques existant dans la litt´erature sont en dimension deux, ce qui correspond dans l’exemple pr´esent a une section du pipeline. Le probl`eme aux limites est pos´e sur un domaine ` dont une partie de sa fronti`ere int´erieure est inconnue (ce qui mod´elise la partie corrod´ee). Dans l’autre m´ethode d’inspection, nous proc´edons par imagerie thermique. Le probl`eme aux limites est similaire, sauf que l’´equation de Laplace est remplac´ee par l’´equation de la chaleur. Pour l’un ou l’autre des mod`eles, le probl`eme inverse consiste `a d´eterminer la partie inconnue du bord du domaine `a partir de mesures fronti`eres. L`a aussi, les questions centrales sont l’unicit´e et la stabilit´e. C’est-`a-dire, est-ce que les mesures dont nous disposons sont suﬃsantes pour d´eterminer de mani`ere unique la partie inconnue du bord du domaine ? Quelle distance choisissons-nous pour quantiﬁer les perturbations du bord inconnu ? Peut-on contrˆ oler ces perturbations par les erreurs ´eventuelles sur les mesures ? La formulation de ce probl`eme inverse est relativement simple. La section du pipeline est repr´esent´ee par un domaine Ω de R2 , dont la fronti`ere ext´erieure est not´ee Γ1 et la fronti`ere int´erieure Γ2 . La partie corrod´ee de Γ2 , inconnue, est not´ee γ. Si f est le courant ´electrique que nous appliquons sur Γ1 (en fait f est support´ee sur une partie de Γ1 ) alors le potentiel ´electrique a l’int´erieur de la section du pipeline est solution du probl`eme aux limites ` ⎧ ⎨ Δu = 0, dans Ω, ∂ν u = f, sur Γ1 , ⎩ ∂ν u = 0, sur Γ2 . Nous consid´erons le probl`eme de d´eterminer γ `a partir de mesures sur une partie M de Γ1 : u = g, sur M. Pour la stabilit´e, il est usuel pour ce type de probl`eme de munir l’ensemble des parties inconnues γ du bord par la distance de Hausdorﬀ dH . Dans ce cas, nous avons des r´esultats de stabilit´e de type dH (γ1 , γ2 ) ≤ ω(d(g1 , g2 )),

pour dH (γ1 , γ2 ) assez petit,

pour une certaine distance d sur l’ensemble des mesures. Citons aussi un autre probl`eme inverse g´eom´etrique tr`es important. Il s’agit du probl`eme de d´etection de mines antipersonnel. D’une mani`ere g´en´erale, nous essayons de d´etecter un objet, ayant une conductivit´e diﬀ´erente du milieu qui l’entoure, par des mesures ´electriques. Le proc´ed´e est similaire a celui de la d´etection de la corrosion. Il consiste `a appliquer un courant ` ´electrique sur la partie ext´erieure du milieu qui entoure l’objet recherch´e et mesurer ensuite le potentiel r´esultant sur cette mˆeme partie. Dans l’exemple

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pr´esent, le potentiel est solution d’une ´equation elliptique sous forme divergentielle. Nous utilisons alors les mesures pour trouver la forme de l’objet et sa conductivit´e. Si D d´esigne l’objet inconnu que nous souhaitons d´etecter et si Ω est le milieu qui l’entoure, alors le potentiel `a l’int´erieur de Ω est solution du probl`eme aux limites div[(a(x)χΩ\D + b(x)χD )∇u] = 0, dans Ω, ∂ν u = f, sur ∂Ω. Ici, χΩ\D , χD sont les fonctions caract´eristiques respectives de Ω \ D et D ; a(x) et b(x) sont les coeﬃcients de conductivit´e respectifs de Ω \ D et D. Nous nous int´eressons alors a` la d´etermination de D et b `a partir des mesures, o` u M est une partie du bord de Ω, u = g,

sur M.

Pour la stabilit´e, nous pouvons envisager, l`a encore, le cas o` u l’ensemble des sous-domaines inconnus est muni de la distance de Hausdorﬀ. Il existe bien d’autres probl`emes inverses g´eom´etriques. Par exemple, les probl`emes de d´etection de ﬁssures ou de cavit´es, pour ne citer que ces deux l` a. Un point qu’il est important de remarquer d`es `a pr´esent. Les exemples de probl`emes inverses que nous venons de voir sont non lin´eaires. En fait, hormis quelques cas particuliers, c’est le cas de tous les probl`emes inverses, au moins ceux qui sont les plus int´eressants `a ´etudier. Il y a une classe de probl`emes inverses de nature diﬀ´erente de ceux que nous avons pr´esent´e plus haut. Il s’agit des probl`emes spectraux inverses. Le plus fameux d’entre eux concerne le probl`eme de savoir si nous pouvons deviner la forme d’un tambour seulement en entendant les fr´equences des vibrations qu’il peut produire : “can we hear the shape of a drum ?” Un autre probl`eme spectral inverse consiste `a se demander s’il est possible de d´eterminer la m´etrique d’une vari´et´e riemanienne sans bord `a partir du spectre de l’op´erateur de Laplace-Beltrami sur celle-ci. Nous citons aussi le probl`eme classique concernant la reconstruction d’un op´erateur de Schr¨ odinger Aq = −Δ + q, q ´etant un potentiel, a` partir de certaines de ces donn´ees spectrales. Ce probl`eme en dimension un a ´et´e ´etudi´e de mani`ere intensive `a partir de 1920, surtout par l’´ecole russe (nous pouvons citer les monographies de B. M. Levitan [Le] et V. A. Marchenko [March]). Sur le mˆeme sujet, le livre de J. P¨ oschel et E. Trubowitz [PT] est une exellente r´ef´erence. Par contre, en dimension sup´erieure les progr`es sont plus r´ecents. Dans cet ouvrage nous pr´esentons une s´election de probl`emes inverses ellip` travers cette s´election, nous mettons en ´evidence un tiques et paraboliques. A large ´eventail de techniques d’analyse math´ematique pour les ´equations aux

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d´eriv´ees partielles, utilis´ees pour ´etablir des r´esultats d’unicit´e et de stabilit´e. Toutefois, le contenu reste purement introductif et loin de couvrir toutes les techniques possibles. Nous n’avons pas non plus chercher a` inclure les r´esultats les plus r´ecents, nous avons pr´ef´er´e plutˆot pr´esenter de mani`ere assez d´etaill´ee quelques r´esultats, qui sont maintenant devenus, pour la plupart, classiques. Cet ouvrage se compose de trois chapitres. Le premier rassemble l’essentiel des r´esultats concernant les espaces fonctionnels et les r´esultats d’existence et de r´egularit´e pour les ´equations elliptiques et paraboliques dont nous aurons besoin tout au long du reste de l’ouvrage. Les ´enonc´es des r´esultats qui ne seront utilis´es que ponctuellement seront rappel´es au moment appropri´e dans les deux autres chapitres. Le but de ce premier chapitre et de donner des d´eﬁnitions et des ´enonc´es pr´ecis des th´eor`emes que nous utiliserons dans la suite, aﬁn d’´eviter des renvois permanents `a d’autres ouvrages. Le second chapitre sera consacr´e aux probl`emes inverses elliptiques. Nous d´ebutons par une construction de solutions “optique g´eom´etrique”. Nous avons gard´e l’appellation “optique g´eom´etrique”, qui est celle utilis´ee dans la litt´erature. Pour nous ¸ca sera tout simplement des solutions particuli`eres et, pour la clart´e de l’expos´e, nous ne donnerons pas le lien avec l’optique g´eom´etrique. Le lecteur int´eress´e pourra se faire une id´ee de l’ “optique g´eom´etrique” en se r´ef´erant par exemple a` Taylor [Ta]. Ces solutions “optique g´eom´etrique” sont alors utilis´ees pour d´emontrer la densit´e des produits de solutions des ´equations de Schr¨ odinger. Le r´esultat de densit´e permet de d´eduire d’une fa¸con assez simple que nous pouvons d´eterminer de mani`ere unique le potentiel dans une ´equation de Schr¨odinger a` partir de l’op´erateur dit de Dirichlet-Neumann (DN en abr´eg´e) (ou Steklov-Poincar´e). Un r´esultat de stabilit´e pour ce probl`eme inverse se d´emontre aussi en utilisant les solutions “optique g´eom´etrique”. Tout ceci fait partie du premier paragraphe, qui contient en plus deux autres m´ethodes de construction des solutions “optique g´eom´etrique”. L’une que nous pouvons qualiﬁer de directe et l’autre est fond´ee sur une in´egalit´e de Carleman globale. Les in´egalit´es de Carleman sont, selon les points de vues, des in´egalit´es d’´energie ou des estimations a priori dans des ` notre connaissance, les in´egalit´es de Carlemen gloespaces Lp avec poids. A bales sont tr`es r´ecentes et ont ´et´e introduites la premi`ere fois par Fursikov et Imanuvilov pour ´etudier la contrˆ olabilit´e de certaines ´equations d’´evolution. Par contre, les in´egalit´es de Carleman locales sont, elles, beaucoup plus anciennes. Elles ont ´et´e invent´ees pour d´emontrer des r´esultats de prolongement unique. Le second paragraphe du second chapitre est d´edi´e `a un probl`eme spectral inverse. Nous ´etudions une g´en´eralisation au cas multidimensionnel d’un r´esultat en dimension un assez ancien, dˆ u a` Borg et Lenvinson. Sans ˆetre vraiment tr`es pr´ecis, il s’agit du probl`eme de savoir si nous pouvons reconstruire un op´erateur de Schr¨ odinger-Dirichlet (ou Schr¨ odinger-Neumann) sur un domaine born´e, `a partir de ses valeurs propres et les traces de ses fonctions propres (ceci n’est pas en fait tout a` fait correct puisque, contrairement

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a` la dimension un, les valeurs propres sont multiples). Pour l’unicit´e, nous nous ramenons au probl`eme de d´eterminer un potentiel dans un op´erateur de Schr¨ odinger a` partir d’une famille d’op´erateurs DN. Nous montrons aussi un r´esultat de stabilit´e, en ramenant celui-ci `a un probl`eme de stabilit´e pour un probl`eme inverse pour l’´equation des ondes, dont la d´emontration est fond´ee sur l’utilisation de solutions particuli`eres, dites “beam solutions” pour l’´equation des ondes avec potentiel et les propri´et´es de la transform´ee rayon X. Le r´esultat de stabilit´e que nous avons trouv´e dans la litt´erature faisait intervenir de mani`ere explicite uniquement un nombre ﬁni de valeurs propres et les traces des fonctions propres correspondantes, l’autre partie est contenue dans un reste. Un tel ´enonc´e n’est pas tr`es int´eressant puisqu’en derni`ere partie de ce paragraphe nous montrons qu’en fait la version multidimensionnelle du th´eor`eme de Borg-Levinson est encore vraie en se donnant uniquement les valeurs propres et les traces des fonctions propres `a partir de n’importe quel rang (c’est-`a-dire les propri´et´es asymptotiques des valeurs propres et les traces des fonctions propres sont suﬃsantes pour reconstuire l’op´erateur consid´er´e). La version que nous donnons fait intervenir la totalit´e des valeurs propres et les traces des fonctions propres. Il suﬃsait en fait d’utiliser des topologies ad´equates qui, d’ailleurs, apparaˆıssent naturellement. Pour ´etablir l’extension de la version multidimensionnelle du th´eor`eme de Borg-Levinson, nous avons utilis´e la m´ethode dite “born approximation” provenant des techniques de “scattering” inverse. Dans le troisi`eme paragraphe du chapitre 2, nous construisons des solutions singuli`eres locales pour des op´erateurs elliptiques sous forme divergentielle. Ses solutions ont des singularit´es de type une puissance de l’inverse de la distance ` a un point donn´e, ce qui est assez naturel pour des ´equations elliptiques. A ` quoi serviront ces solutions singuli`eres ? Pour r´epondre a` cette question, nous remarquons que l’id´ee de d´epart est tr`es simple. Pour ´etudier le probl`eme de conductivit´e inverse, nous commen¸cons par appliquer la formule de Green aux diﬀ´erences de solutions de deux probl`emes, chacun avec une conductivit´e diﬀ´erente. Apr`es quelques “manipulations” ´el´ementaires, nous d´ebouchons sur une relation d’othogonalit´e. Dans celle-ci, nous notons que si nous avions des solutions ayant une certaine singularit´e, alors nous pourrions tirer de cette relation d’orthogonalit´e des r´esultats d’unicit´e et de stabilit´e de la conductivit´e ` la ﬁn de au bord. D’ailleurs, c’est ce que nous faisons dans ce paragraphe. A celui-ci, nous donnons aussi une alternative aux solutions singuli`eres. Elle consiste `a exhiber des fonctions test particuli`eres qui ont, en quelque sorte, un comportement locale proche d’une version int´egr´ee du comportement des solutions singuli`eres au voisinage de la singularit´e. Pour le probl`eme de la d´etection de la corrosion, sous certaines conditions, nous pouvons nous ramener `a un probl`eme inverse pour un coeﬃcient fronti`ere. Dans le quatri`eme paragraphe du chapitre 2, nous d´emontrons quelques r´esultats de stabilit´e logarithmique pour ce probl`eme, `a partir d’une seule mesure r´epartie sur une partie du bord. Dans le cas d’un domaine

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rectangulaire ou une couronne, les r´esultats se d´emontrent tr`es simplement “`a la main” par une analyse de Fourier. Le r´esultat que nous d´emontrons dans le cas d’un domaine r´egulier quelconque est, quant a` lui, fond´e sur une in´egalit´e de Carleman. Le cinqui`eme paragraphe du chapitre 2 est consacr´e `a deux probl`emes inverses g´eom´etriques, l’un concernant un probl`eme de conductivit´e inverse et l’autre provient de l’´etude de la r´esistance du contact entre le m´etal et le semi-conducteur dans un mat´eriau semi-conducteur. En nous fondant sur des techniques de d´erivation par rapport au domaine, emprunt´ees `a l’optimisation de formes, nous d´emontrons des r´esultats de stabilit´e lipschitzienne pour ces deux probl`emes dans le cas o` u l’ensemble des sous-domaines inconnus est donn´e par une famille `a un param`etre. Dans le sixi`eme et dernier paragraphe du chapitre 2, nous ´etudions un probl`eme inverse pour la d´etection de ﬁssures dans le cas d’une ´equation elliptique sous forme divergentielle. Nous utilisons des outils “sophistiqu´es” fond´es sur l’analyse complexe dans le plan (g´en´eralisation de la fonction conjugu´ee, transformation quasi-conforme, point critiques g´eom´etiques, . . . etc), notamment le comportement des solutions au voisinage des points critiques g´eom´etriques, pour ´etablir un r´esultat de stabilit´e logarithmique pour le probl`eme de d´eterminer des ﬁssures r´eguli`eres `a partir d’une mesure fronti`ere. Dans le cas de ﬁssures irr´eguli`eres, en utilisant la notion de point conductif et des r´esultats de convergence “par rapport au domaine” de solutions de probl`emes elliptiques pos´es sur des domaines non r´eguliers, nous montrons un r´esultat d’unicit´e dans le cas o` u l’op´erateur elliptique est r´eduit au laplacien. Le chapitre trois est, quant `a lui, consacr´e aux probl`emes inverses paraboliques. Nous commen¸cons dans un premier paragraphe par d´emontrer un r´esultat d’existence pour un probl`eme consistant en la d´etermination du coeﬃcient du plus bas degr´e dans une ´equation parabolique lin´eaire a` partir de la mesure au temps ﬁnal. Nous d´emontrons ensuite un r´esultat d’unicit´e pour la d´etermination du terme non lin´eaire dans une ´equation parabolique semi-lin´eaire `a partir d’une mesure fronti`ere. Pour ´etablir ces deux r´esultats, nous avons utilis´es des arguments fond´es essentiellement sur le principe du maximum. Le second paragraphe de ce troisi`eme chapitre est d´edi´e `a des probl`emes inverses paraboliques dont nous montrons la stabilit´e par des m´ethodes utilisant des in´egalit´es de Carleman globales. Ces in´egalit´es se montrent directement, tout simplement en utilisant des int´egrations par parties et quelques “manipulations”, pas trop “sophistiqu´ees”. Un point d´elicat que nous n’avons pas trait´e ici est la preuve de l’existence de la fonction poids que nous utilisons, qui doit poss´eder certaines propri´et´es particuli`eres. Dans le troisi`eme paragraphe du chapitre trois, nous ´etudions un probl`eme inverse dans lequel nous essayons de d´eterminer une source singuli`ere apparaˆıssant dans une ´equation parabolique a` partir d’une mesure fronti`ere.

XVI

0 Introduction

Nous montrons des r´esultats l’unicit´e par une m´ethode directe utilisant l’unicit´e du prolongement, des solutions particuli`eres de l’´equation de Helmholtz et le th´eor`eme de M¨ untz. Nous consid´erons le probl`eme de d´eterminer la condition initiale dans une ´equation parabolique au paragraphe quatre du chapitre trois. Grˆ ace `a la transformation de Reznitskaya, nous nous ramenons a` un probl`eme inverse pour l’´equation des ondes pour lequel nous avons un r´esultat de stabilit´e lipschitzienne. De retour au probl`eme de d´epart, nous remarquons qu’une r´e´ecriture de la transformation de Reznitskaya dans de nouvelles variables permet de ramener celle-ci `a une transform´ee de Laplace, ce qui permet d’exhiber une norme pour la mesure fronti`ere, construite sur celle d’un espace de BergmanSelberg. Pour cette norme, le r´esultat de stabilit´e est lipschitzien. Le paragraphe cinq du chapitre trois est consacr´e `a la d´etermination du terme de plus bas degr´e dans une ´equation parabolique a` partir de la trace, en un temps donn´e, de l’op´erateur DN parabolique. Le d´eveloppement de la solution de notre ´equation parabolique dans la base des fonctions propres de l’op´erateur de Schr¨ odinger associ´e `a notre ´equation permet, grˆ ace `a un lemme alg´ebrique, de se ramener `a l’unicit´e d’une s´erie de Dirichlet. Dans ce cas notre probl`eme original devient alors ´equivalent a` un probl`eme spectral inverse, dont nous avons montr´e l’unicit´e par la version multidimensionnelle du th´eor`eme de Borg-Levinson. Au paragraphe six du chapitre trois, nous construisons avec les mˆeme outils qu’au premier paragraphe du chapitre 2 des solutions “optique g´eom´etrique”. En suivant les grandes lignes du premier paragraphe du chapitre deux, nous d´emontrons des r´esultats d’unicit´e et de stabilit´e pour le probl`eme qui consiste a d´eterminer le terme de plus bas degr´e `a partir d’un op´erateur DN. ` Dans le septi`eme et dernier paragraphe du chapitre trois, nous reprenons le probl`eme du premier paragraphe concernant la d´etermination du terme non lin´eaire dans une ´equation parabolique semi-lin´eaire a` partir d’une mesure fronti`ere. Nous montrons un r´esultat de stabilit´e pour celui-ci. Nous ´ecrivons la diﬀ´erence de deux solutions, chacune correspondante a` une non lin´earit´e, en terme de la solution fondamentale de l’´equation de la chaleur pour des conditions au bord de Neumann. Le point important dans notre d´emonstration r´eside dans une minoration de cette solution fondamentale. Cette minoration r´esulte en fait, par un principe de comparaison, d’un r´esultat int´eressant en lui mˆeme, qui concerne l’´etablissement d’une minoration gaussienne pour le noyau de la chaleur associ´e au laplacien-Neumann sur un domaine r´egulier.

Table des mati` eres

1

Rappels et compl´ ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Espaces Lp et espaces de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Espaces Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Espaces Lp (a, b; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Les espaces de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Ouverts r´eguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Quelques ´el´ements de la th´eorie des distributions . . . . . . . . . . . . 1.2.1 D´eﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Les espaces H s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Les espaces W m,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Les espaces H k (a, b; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Quelques formules d’int´egration par parties . . . . . . . . . . . 1.3.5 Espaces de type HΔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 In´egalit´es de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 D´erivation tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Equations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 R´egularit´e elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Probl`eme de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Principe du maximum pour les solutions classiques . . . . 1.4.4 Principe du maximum et in´egalit´e de Harnack pour les solutions variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Unicit´e du prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Fonctions harmoniques sph´eriques et fonctions de Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Equations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 R´egularit´e parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 2 3 4 5 5 6 7 9 9 11 13 14 14 15 16 17 17 19 20 21 22 23 24 24 28

XVIII Table des mati`eres

1.5.3 Unicit´e du prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.4 Un petit aper¸cu de la th´eorie des semi-groupes . . . . . . . . 30 2

Probl` emes inverses elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1 D´etermination d’un potentiel dans l’´equation de Schr¨odinger : construction de solutions “optique g´eom´etrique” . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Solutions “optique g´eom´etrique” et densit´e des produits de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 D´etermination du potentiel a` partir de l’op´erateur DN . 42 2.1.3 D´etermination du potentiel a` partir d’un op´erateur DN partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1.4 Une m´ethode directe de construction de solutions “optique g´eom´etrique” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.5 Construction de solutions “optique g´eom´etrique” a` l’aide d’une in´egalit´e de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 Un probl`eme spectral inverse : un th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.1 Unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.2 Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.3 Retour sur la stabilit´e du probl`eme hyperbolique . . . . . . 74 2.2.4 Une extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3 D´etermination de la conductivit´e `a la fronti`ere : une m´ethode de solutions singuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.3.1 Construction de solutions singuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.3.2 Stabilit´e dans le d´etermination de la conductivit´e `a la fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.3.3 Une alternative aux solutions singuli`eres . . . . . . . . . . . . . . 97 2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.4.1 Cas o` u le domaine est une couronne : une m´ethode de d´ecomposition en s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.4.2 Cas d’un domaine rectangulaire : m´ethode fond´ee sur la transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.4.3 Cas d’un domaine quelconque r´egulier : une m´ethode d’in´egalit´e de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.5 Stabilit´e pour deux probl`emes inverses g´eom´etriques : m´ethode utilisant la d´erivation par rapport au domaine . . . . . . 124 2.5.1 Identiﬁcation d’un sous-domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.5.2 Un probl`eme de conductivit´e inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.6 D´etection de ﬁssures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.6.1 Applications quasi-conformes, fonctions courant et points critiques g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.6.2 Stabilit´e de la d´etermination d’une ﬁssure r´eguli`ere . . . . 142 2.6.3 Points conductifs et points de capacit´e . . . . . . . . . . . . . . . 152 2.6.4 Unicit´e de la d´etermination de ﬁssures irr´eguli`eres . . . . . 153

Table des mati`eres

3

XIX

Probl` emes inverses paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.1 Identiﬁcation d’un coeﬃcient ou d’une nonlin´earit´e : m´ethodes fond´ees sur le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . 159 3.1.1 Identiﬁcation d’un coeﬃcient : existence . . . . . . . . . . . . . . 159 3.1.2 Unicit´e de la d´etermination d’un terme nonlin´eaire . . . . 161 3.2 D´etermination d’un coeﬃcient ou d’une source : m´ethode d’in´egalit´es de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.2.1 In´egalit´e de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.2.2 In´egalit´e d’observabilit´e pour l’´equation de la chaleur . . 169 3.2.3 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme source . . . . . . . 170 3.2.4 Stabilit´e de la d´etermination d’un coeﬃcient . . . . . . . . . . 174 3.3 D´etermination d’une source singuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.4 Stabilit´e de la d´etermination d’une distribution initiale de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 3.5 Une cons´equence de la version n-dimensionnelle du th´eor`eme de Borg-Levinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.6 D´etermination d’un coeﬃcient d´ependant du temps : m´ethode fond´ee sur les solutions “optique g´eom´etrique” . . . . . . 192 3.6.1 Solutions “optique g´eom´etrique” et densit´e des produits de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.6.2 Un r´esultat d’unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.6.3 Un r´esultat de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire . . . . . . . . . 203 3.7.1 Minoration gaussienne pour la solution fondamentale . . 204 3.7.2 D´emonstration des Th´eor`emes 3.33 et 3.34 . . . . . . . . . . . . 211

Litt´ erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Notations

∂i u

d´eriv´ee partielle de u par rapport a` la variable xi

2 ∂ij u

d´eriv´ee partielle seconde de u par rapport aux variables xi et xj

∇u = (∂1 u, . . . , ∂n u) gradient de u divP = ni=1 ∂i Pi divergence de P = (P1 , . . . , Pn ) J P = (∂i Pj ) matrice jacobienne de P = (P1 , . . . , Pn ) n Δu = i=1 ∂ii2 u laplacien de u 2 u) Hu = (∂ij

∇τ u divτ P Δτ u

matrice hessienne de u

gradient tangentiel de u divergence tangentiel de P l’op´erateur de Laplace-Beltrami appliqu´e `a u

∂ u = ∂1α1 . . . ∂nαn u α

ν

pour α = (α1 , . . . αn ) ∈ Nn

vecteur normale unitaire sortant

∂ν u

d´eriv´ee de u dans la direction de ν n |α| = i=1 αi si α = (α1 , . . . αn ) ∈ Nn |E|

mesure de Lebesgue de l’ensemble E n ξ · η = i=1 ξi ηi si ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Cn et η = (η1 , . . . , ηn ) ∈ Cn n 1 |ξ| = ( i=1 |ξi |2 ) 2 si ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Cn ξ α = ξ1α1 . . . ξnαn

si ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Cn et α = (α1 , . . . αn ) ∈ Nn

α! = α1 ! . . . αn !

si α = (α1 , . . . αn ) ∈ Nn

· X

norme de l’espace de Banach X

·, · X ,X crochet de dualit´e entre l’espace de Banach X et son dual X

1 Rappels et compl´ ements

Dans ce premier chapitre nous regroupons les propri´et´es principales des espaces fonctionnels que nous utiliserons et quelques r´esultats classiques (surtout de r´egularit´e) concernant les ´equations elliptiques et paraboliques. Nous donnons aussi un aper¸cu concis sur les distributions et la th´eorie des semigroupes.

1.1 Espaces Lp et espaces de H¨ older 1.1.1 Espaces Lp (Ω) Soit Ω un ouvert de Rn . Nous rappelons que L1 (Ω) d´esigne l’espace (des classes d’´equivalences) de fonctions int´egrables au sens de Lebesgue. C’est-`adire, comme nous le faisons habituellement, nous confondons deux fonctions qui co¨ıncident presque partout (p.p. en abr´eg´e). Pour f ∈ L1 (Ω), nous notons

f L1 (Ω) =

|f (x)|dx. Ω

Lorsqu’il n’y aura aucune confusion, nous ´ecrirons

Ω

|f | au lieu de

Ω

|f (x)|dx.

Nous rappelons aussi que L (Ω), 1 ≤ p < ∞, est l’espace p

Lp (Ω) = {f : Ω → R; f mesurable et |f |p ∈ L1 (Ω)}, et que L∞ (Ω) = {f : Ω → R; f mesurable et il existe C > 0 telle que |f | ≤ C p.p. sur Ω}. Avec les notations f Lp(Ω)

1 = ( |f |p ) p , si 1 ≤ p < ∞, Ω

M. Choulli, Une Introduction aux Probl` emes Invereses Elliptiques et Paraboliques, Math´ ematiques et Applications 65. DOI: 10.1007/978-3-642-02460-3 1, c Springer -Verlag Berlin Heidelberg 2009

2

1 Rappels et compl´ements

et f L∞ (Ω) = inf{C; |f | ≤ C p.p. sur Ω}, il est bien connu que Lp (Ω) est un espace de Banach pour la norme · p , pour tout p, 1 ≤ p ≤ ∞. Pour 1 < p < ∞, nous notons p l’exposant conjugu´e de p, c’est-`a-dire 1 1 + = 1, p p et pour p = 1, nous posons p = ∞. Th´ eor` eme 1.1. (In´egalit´e de H¨ older) Soit 1 ≤ p ≤ ∞. Si f ∈ Lp (Ω) et p 1 g ∈ L (Ω) alors f g ∈ L (Ω) et f gL1(Ω) ≤ f Lp(Ω) gLp (Ω) . Lorsque Ω est born´e, si f ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, alors, pour 1 ≤ q ≤ p, l’in´egalit´e de H¨older nous donne 1 1 |f |q ≤ ( |f |qr |) r ( 1) r , Ω

Ω

Ω

o` u r = pq . Nous en d´eduisons le Corollaire 1.2. Si Ω est born´e et si 1 ≤ q ≤ p, alors Lp (Ω) ⊂ Lq (Ω) et 1

1

f Lq (Ω) ≤ |Ω| q − p f Lp(Ω) . Les preuves des r´esultats de ce sous-paragraphe se trouvent dans n’importe quel ouvrage traitant de l’int´egration au sens de Lebesgue (voir par exemple P. Malliavin [Mal] ou W. Rudin [Ru]). 1.1.2 Espaces Lp (a, b; X) Nous donnons une br`eve introduction de l’int´egrabilit´e au sens de Bochner des fonctions, d´eﬁnies sur un intervalle, a` valeurs vectorielles. Pour une ´etude compl`ete et d´etaill´ee, nous renvoyons le lecteur `a J. Diestel et J. J. Uhl Jr. [DU]. Soient X un espace de Banach et −∞ < a < b < +∞. Une fonction f : [a, b] → X est dite simple s’il existe E1 , . . . , Em des ensembles mesurables de [a, b] et x1 , . . . , xm ∈ X tels que f (t) =

m

i=1

χEi (t)xi .

1.1 Espaces Lp et espaces de H¨ older

3

Nous dirons que f : [a, b] → X est mesurable s’il existe une suite de fonctions simples (fk ), fk : [a, b] → X, telle que fk → f p.p. sur [a, b]. Une fonction f : [a, b] → X mesurable est dite int´egrable (au sens de Bochner) s’il existe une suite de fonctions simples (fk ), fk : [a, b] → X, telle que

b

f − fk X = 0.

lim k

Dans ce cas,

b a

a

f (t)dt est d´eﬁni par

b

f (t)dt = lim k

a

o` u

b a

b

fk (t)dt, a

fk (t)dt est d´eﬁni de mani`ere naturelle.

Th´ eor` eme 1.3. (Bochner) f : [a, b] → X mesurable est int´egrable si et seulement si f X ∈ L1 (a, b). Pour 1 ≤ p ≤ ∞, nous posons Lp (a, b; X) = {f : [a, b] → X int´egrable telle que f X ∈ Lp (a, b)}. Comme dans le cas scalaire, nous ne faisons pas la distinction entre deux fonctions ´egales presque partout. Muni de la norme f Lp(a,b;X) =

a

b

f pX

p1

si p < ∞

et f L∞(a,b;X) = inf{C; f (t)X ≤ C p.p. sur [a, b]} si p = ∞, Lp (a, b; X) est un espace de Banach. 1.1.3 Les espaces de H¨ older Soit Ω un ouvert born´e de Rn . Pour 0 < α < 1, nous dirons que f ∈ C 0 (Ω) est h¨olderienne d’exposant α si [f ]α = sup{ Nous notons alors

|f (x) − f (y)| ; x, y ∈ Ω, x = y} < ∞. |x − y|α

4

1 Rappels et compl´ements

C α (Ω) = {f ∈ C 0 (Ω); [f ]α < ∞}, que nous munissons de la norme f C α (Ω) = f C 0 (Ω) + [f ]α . Plus g´en´eralement, pour tout k ≥ 0 entier, nous d´eﬁnissons l’espace C k,α (Ω) par C k,α (Ω) = {f ∈ C k (Ω); ∂ β f ∈ C α (Ω), β ∈ Nn , |β| = k}. Cet espace, muni de la norme

f C k,α (Ω) =

∂ β f C 0 (Ω) +

β∈Nn , |β|≤k

[∂ β f ]α ,

β∈Nn , |β|=k

est un Banach. α

Si T > 0 est un r´eel donn´e et Q = Ω × (0, T ), C α, 2 (Q) d´esignera l’espace des fonctions f ∈ C 0 (Q) telles que [f ]α, α2 = sup{

|f (x, t) − f (y, s)| α ; (x, t), (y, s) ∈ Q, (x, t) = (y, s)} < ∞, [|x − y|2 + |t − s|] 2

et pour k ≥ 0 entier, nous posons α

α

C 2k+α,k+ 2 (Q)={f ∈C 2k,k (Q); ∂ β ∂tγ f ∈ C α, 2 (Q), (β, γ)∈ Nn ×N, |β|+2γ= 2k}. α

C 2k+α,k+ 2 (Q) est un espace de Banach lorsque nous le munissons de la norme

f C α, α2 (Q) = ∂xβ ∂tγ f C 0 (Q) (β,γ)∈Nn ×N, |β|+2γ≤2k

+

(β,γ)∈Nn ×N,

[∂xβ ∂tγ f ]α, α2 .

|β|+2γ=2k

Une ´etude approfondie des espaces C α (Ω) est faite dans le D. Gilbarg α et N. S. Trudinger [GT], et celle des espaces C 2k+α,k+ 2 (Q) dans le O. A. Ladyzhenskaja, V. A. Solonnikov et N. N. Ural’tzeva [LSU]. 1.1.4 Ouverts r´ eguliers Soit Ω un ouvert born´e de Rn de fronti`ere Γ . Nous dirons que Ω est de classe C ∞ si Γ est une vari´et´e ind´eﬁniment diﬀ´erentiable de dimension (n−1), Ω ´etant localement d’un seul cˆ ot´e de Γ . En d’autres termes, Ω est une vari´et´e a bord de classe C ∞ , de bord Γ . Nous introduisons les notations ` Q = {y = (y , yn ) ∈ Rn−1 × R; |y | < 1, −1 < yn < 1}, Q+ = {y = (y , yn ) ∈ Q; yn > 0}, Q0 = {y = (y , yn ) ∈ Q; yn = 0}.

1.2 Quelques ´el´ements de la th´eorie des distributions

5

Notons que, d’apr`es la d´eﬁnition, si Ω est de classe C ∞ alors nous pouvons trouver O1 , . . . Ok une famille ﬁnie d’ouverts born´es de Rn recouvrant Γ , telle que, pour chaque j, il existe ϕj un C ∞ -diﬀ´eomorphisme de Oj sur Q v´eriﬁant ϕj (Oj ∩ Ω) = Q+ et ϕj (Oj ∩ Γ ) = Q0 . De plus, si Oj ∩ Oi = ∅, il existe un hom´eomorphisme Hij de ϕi (Oi ∩ Oj ) sur ϕj (Oi ∩ Oj ), de classe C ∞ et a` jacobien positif, tel que ϕj = Hij ◦ ϕi sur Oi ∩ Oj . Si dans la d´eﬁnition ci-dessus nous rempla¸cons ϕj est un C ∞ -diﬀ´eomorphisme de Oj sur Q par ϕj est une bijection de Oj sur Q telle que ϕj et ϕ−1 j sont lipschitziennes, pour tout j, alors Ω sera dit un ouvert lipschitzien. En modiﬁant la r´egularit´e des fonctions ϕj , nous devinons ais´ement comment d´eﬁnir d’autres types de r´egularit´e de l’ouvert Ω : C k , C k,α , k entier et 0 < α < 1, etc.

1.2 Quelques ´ el´ ements de la th´ eorie des distributions 1.2.1 D´ eﬁnitions Soit Ω un ouvert de Rn . Pour K ⊂ Ω compact, nous posons DK (Ω) = {ϕ ∈ C ∞ (Ω); supp(ϕ) ⊂ K}. DK (Ω) est un espace de Fr´echet quand il est muni de la topologie d´eﬁnie par la famille de semi-normes pK,m (ϕ) =

sup |α|≤m, x∈K

|∂ α ϕ(x)|.

Soit D(Ω) = ∪DK (Ω), la r´eunion ´etant sur la collection de tous les compacts K de Ω. Nous notons que D(Ω) n’est rien d’autres que l’espace des fonctions de C ∞ (Ω) qui sont a` support compact. Mˆeme si nous ne l’utiliserons pas, la topologie habituelle sur D(Ω) est celle qui en fait une limite inductive des espaces de Fr´echet DK (Ω). Un r´esultat tr`es important dans les applications est le Th´ eor` eme 1.4. D(Ω) est dense dans Lp (Ω). Nous consid´erons maintenant D (Ω), le dual topologique de D(Ω). C’esta-dire l’espace des formes lin´eaires continues sur D(Ω). ` Voici un crit`ere simple qui permet de v´eriﬁer si une forme lin´eaire sur D(Ω) est continue.

6

1 Rappels et compl´ements

Proposition 1.5. Une forme lin´eaire u sur D(Ω) est dans D (Ω) si et seulement si, pour tout K ⊂ Ω compact, il existe une constante positive C et un entier positif k tels que |u(ϕ)| ≤ C

sup |α|≤k, x∈K

|∂ α ϕ(x)|, ϕ ∈ DK (Ω).

Si u ∈ D (Ω), nous d´eﬁnissons ∂ α u, α ∈ Nn , par ∂ α u(ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ) ϕ ∈ D(Ω). Vu la proposition pr´ec´edente, il est clair que ∂ α u ∈ D (Ω). Soit ω un sous-ouvert de Ω. La restriction de u ∈ D (Ω) `a ω, not´ee u|ω , est l’´el´ement de D (ω) donn´e par ˜ ϕ ∈ D(ω), u|ω (ϕ) = u(ϕ), o` u ϕ˜ est le prolongement de ϕ par 0 sur Ω\ω. Ceci nous permet de d´eﬁnir le support de u ∈ D (Ω), not´e supp(u), comme ´etant le compl´ementaire du plus grand ouvert sur lequel u est nulle. Le plus souvent C ∞ (Ω) est not´e E(Ω). Nous rappelons que E(Ω) est un espace de Fr´echet lorsque nous le munissons de la topologie d´eﬁnie par la famille de semi-normes ϕm,K =

sup |α|≤m, x∈K

|∂ α ϕ(x)|,

o` u m parcourt N et K parcourt une famille d´enombrable de compacts croissants dont la r´eunion est ´egale a` Ω. Nous pouvons montrer que E (Ω), le dual topologique de E(Ω), s’identiﬁe au sous-espace des distributions de E (Rn ) qui sont a` support compact dans Ω. Terminons ce sous-paragraphe par remarquer que l’espace D(Ω) permet de d´eﬁnir des espaces locaux : si X(Ω) est un Banach de fonctions d´eﬁnies sur Ω, nous posons Xloc (Ω) = {f ; ϕf ∈ X(Ω), ϕ ∈ D(Ω)}. 1.2.2 Produit de convolution Pour k ≥ 0 entier, l’espace des fonctions de C k (Rn ) `a support compact est not´e Cck (Rn ). Le produit de convolution d’une fonction f ∈ Cc0 (Rn ) et g ∈ L1loc (Rn ) est donn´e par f (x − y)g(y)dy. (f ∗ g)(x) = Rn

Un r´esultat classique concernant l’eﬀet r´egularisant du produit de convolution est

1.2 Quelques ´el´ements de la th´eorie des distributions

7

Th´ eor` eme 1.6. Soient f ∈ Cck (Rn ) et g ∈ L1loc (Rn ). Alors f ∗ g ∈ C k (Rn ) et ∂ α (f ∗ g) = ∂ α f ∗ g, α ∈ Nn , |α| ≤ k. Si de plus g ∈ C l (Rn ), alors f ∗ g ∈ C k+l (Rn ) et ∂ α+β (f ∗ g) = ∂ α f ∗ ∂ β g, α, β ∈ Nn , |α| ≤ k et |β| ≤ l. Une extension naturelle du produit de convolution de deux fonctions est le produit de convolution entre une distribution et une fonction. Cette extension consiste `a d´eﬁnir u ∗ ϕ, u ∈ D (Rn ) et ϕ ∈ D(Rn ), de la mani`ere suivante : (u ∗ ϕ)(x) = u(ϕ(x − ·)). Nous montrons que u ∗ ϕ ∈ C ∞ (Rn ) et ∂ α (u ∗ ϕ) = ∂ α u ∗ ϕ = u ∗ ∂ α ϕ, α ∈ Nn . Si de plus u ∈ E (Rn ), alors u ∗ ϕ ∈ D(Rn ). Ceci sugg`ere la possibilit´e de d´eﬁnir le produit de convolution entre deux distributions dont l’une est `a support compact par (u ∗ v) ∗ ϕ = u ∗ (v ∗ ϕ), ϕ ∈ D(Rn ). En eﬀet, cette relation d´eﬁnie bien un unique ´el´ement u ∗ v de D (Rn ) comme le montre le Th´ eor` eme 1.7. Soient u ∈ D (Rn ) et v ∈ E (Rn ). Alors il existe un unique ´el´ement de D (Rn ), not´e u ∗ v tel que (u ∗ v) ∗ ϕ = u ∗ (v ∗ ϕ), ϕ ∈ D(Rn ). 1.2.3 Transform´ ee de Fourier Nous rappelons que la transform´ee de Fourier d’une fonction f ∈ L1 (Rn ) est donn´ee par F f (ξ) = e−ix·ξ f (x)dx, ξ ∈ Rn . Rn

a d´ecroissance rapide a` l’inﬁni. C’estSoit S(R ) l’espace des fonctions C ∞ ` a-dire ` n

S(Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn );

lim

|x|→+∞

xα ∂ β ϕ(x) = 0, α, β ∈ Nn }.

La topologie de S(Rn ) peut-ˆetre d´eﬁnie par la suite d´enombrable de seminormes dαβ (ϕ) = sup |xα ∂ β ϕ(x)|, α, β ∈ Nn x∈Rn

8

1 Rappels et compl´ements

qui en fait un espace m´etrisable complet. Si

aαβ = 1 α, β∈Nn

alors la m´etrique d(ϕ, ψ) =

aαβ

α, β∈Nn

dαβ (ϕ − ψ) 1 + dαβ (ϕ − ψ)

induit sur S(Rn ) une topologie ´equivalente a` celle d´eﬁnie par la famille de semi-normes (dαβ ). Dans le reste de ce paragraphe, nous utiliserons l’op´erateur de d´erivation Dj = −i∂j . L’espace S(Rn ) est bien adapt´e pour la transform´ee de Fourier. En eﬀet, nous avons le Th´ eor` eme 1.8. L’op´erateur ϕ → F ϕ est un isomorphisme de S(Rn ) sur n S(R ) qui v´eriﬁe F (Dj ϕ) = ξj F ϕ et F (xj ϕ) = −Dj F ϕ et nous avons la formule d’inversion F 2 ϕ = (2π)n ϕ, ˇ o` u ϕ(·) ˇ = ϕ(−·). D’autre part, il n’est pas diﬃcile de montrer la Proposition 1.9. Soient ϕ, ψ ∈ S(Rn ). Alors F ϕψ = ϕF ψ, Rn

Rn

ϕψ = (2π)−n

Rn

Rn

F ϕF ψ,

F (ϕ ∗ ψ) = F ϕF ψ, F (ϕψ) = (2π)−n F ϕ ∗ F ψ. Puisque ϕ → F ϕ est un isomorphisme sur S(Rn ), nous pouvons donc l’´etendre a` S (Rn ). Si u ∈ S (Rn ), nous d´eﬁnissons F u comme ´etant l’unique ´el´ement de S (Rn ) qui v´eriﬁe F u(ϕ) = u(F ϕ), ϕ ∈ S(Rn ).

1.3 Espaces de Sobolev

9

Nous d´eﬁnissons aussi u ˇ ∈ S (Rn ) comme l’unique ´el´ement de S (Rn ) tel que u ˇ(ϕ) = u(ϕ), ˇ ϕ ∈ S(Rn ). Le r´esultat que nous ´enon¸cons d´ecoule du Th´eor`eme 1.6. Th´ eor` eme 1.10. La transform´ee de Fourier est un isomorphisme sur S (Rn ) muni de sa topologie pr´e-faible. De plus, nous avons la formule d’inversion F 2 u = (2π)n u ˇ, u ∈ S (Rn ). Comme cons´equence des Th´eor`emes 1.6 et 1.7, nous avons Th´ eor` eme 1.11. f ∈ S(Rn ) → F f ∈ S(Rn ) se prolonge en un isomorphisme 2 sur L (Rn ). De plus, nous avons la formule de Parseval : f g = (2π)−n F f F g, f, g ∈ L2 (Rn ). Rn

Rn

Comme dans S(Rn ), la transform´ee de Fourier sur S (Rn ) transforme le produit de convolution en produit de fonctions et inversement. Plus pr´ecis´ement, nous avons le Th´ eor` eme 1.12. (a) Si u ∈ E (Rn ) et v ∈ S (Rn ) alors u ∗ v ∈ S (Rn ) et F (u ∗ v) = F uF v. (b) Si ϕ ∈ D(Rn ) et u ∈ S (Rn ) alors F (ϕu) = (2π)−n F ϕ ∗ F u Nous remarquons que si u ∈ E (Rn ) alors F u peut-ˆetre d´eﬁnie par Fu(ξ) = u(e ) et que F u s’´etend en une fonction enti`ere sur Cn . En particulier, F δ = 1, δ ´etant la masse de Dirac en 0. Ceci et les formules du th´eor`eme pr´ec´edent permettent d’´etablir ix·ξ

F(Dj u) = ξj F u et F (xj u) = −Dj F u, u ∈ S (Rn ). Pour faire ce paragraphe, nous nous sommes bas´e sur L. H¨ormander [Hor1] (voir aussi L. Schwartz [Sc1] pour une ´etude compl`ete et d´etaill´ee de la th´eorie des distributions).

1.3 Espaces de Sobolev 1.3.1 Les espaces H s Pour s ∈ R, nous posons

10

1 Rappels et compl´ements

H s (Rn ) = {u ∈ S (Rn ); (1 + |ξ|2 ) 2 F u ∈ L2 (Rn )}. s

Nous pouvons v´eriﬁer que H s (Rn ) est un espace de Hilbert lorsqu’il est muni du produit scalaire s n (u, v)H (R ) = (1 + |ξ|2 )s F u(ξ)F v(ξ)dξ. Rn

Les principales propri´et´es des espaces H s (Rn ) sont collect´ees dans le ument dans H t (Rn ) si s ≥ t. Th´ eor` eme 1.13. (i) H s (Rn ) s’injecte continˆ (ii) D(Rn ) est dense dans H s (Rn ), pour tout s. (iii) H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) ´etant identiﬁ´e avec son dual, nous avons, pour tout s > 0, (H s (Rn )) co¨ıncide alg´ebriquement et topologiquement avec H −s (Rn ). Nous d´eﬁnissons maintenant les espaces H s (Γ ). Pour simpliﬁer l’expos´e, nous supposons que Γ est la fronti`ere d’un ouvert born´e Ω de classe C ∞ . D’o` u, il existe O1 , . . . Ok une famille ﬁnie d’ouverts born´es de Rn recouvrant Γ telle que, pour chaque j, il existe ϕj un C ∞ -diﬀ´eomorphisme de Oj sur Q v´eriﬁant ϕj (Oj ∩ Ω) = Q+ et ϕj (Oj ∩ Γ ) = Q0 , a-dire o` u Q, Q+ et Q0 sont comme dans le sous-paragraphe 1.1.4. C’est-` Q = {y = (y , yn ) ∈ Rn−1 × R; |y | < 1, −1 < yn < 1}, Q+ = {y = (y , yn ) ∈ Q; yn > 0}, Q0 = {y = (y , yn ) ∈ Q; yn = 0}. Soit (αj ) ∈ D(Γ ) une partition de l’unit´e subordonn´ee au recouvrement (Oj ). αj = 1 sur C’est-`a-dire, pour chaque j, αj ∈ D(Γ ), supp(αj ) ⊂ Oj ∩ Γ et Γ. Tout ´el´ement f ∈ L1 (Γ ) se d´ecompose alors de la mani`ere suivante f=

k

αj f.

j=1

Nous posons ϕ∗j (αj f )(y ) = (αj f )(ϕ−1 j (y , 0)), si |y | < 1.

αj ´etant a` support compact dans Oj ∩ Γ , ϕ∗j (αj f ) est `a support compact dans {y ∈ Rn−1 ; |y | < 1}. Nous consid´erons donc ϕ∗j (αj f ) comme d´eﬁnie sur Rn−1 . L’application lin´eaire f → ϕ∗j (αj f ) est continue de D(Γ ) dans D(Rn−1 ) et se prolonge en une application lin´eaire continue de D (Γ ) dans D (Rn−1 ).

1.3 Espaces de Sobolev

11

Pour s ∈ R, nous d´eﬁnissons H s (Γ ) par H s (Γ ) = {u ∈ D (Γ ); ϕ∗j (αj u) ∈ H s (Rn−1 ), j = 1, . . . , k}. Cette d´eﬁnition est ind´ependante du choix du syst`eme de cartes locales (Oj , ϕj ) et de la partition de l’unit´e (αi ). Pour chaque syst`eme (Oj , ϕj , αj ), k

1 uH s (Γ ) = ( ϕ∗j (αj u)2H s (Rn−1 ) ) 2 j=1

est une norme hilbertienne sur H s (Γ ). Les diﬀ´erentes normes, obtenues en faisant varier le syst`eme (Oj , ϕj , αj ), sont toutes ´equivalentes. Dans le th´eor`eme qui suit, nous rassemblons les propri´et´es principales des espaces H s (Γ ). ument dans H t (Γ ) si s ≥ t. Th´ eor` eme 1.14. (i) H s (Γ ) s’injecte continˆ (ii) D(Γ ) est dense dans H s (Γ ) si s ≥ 0. (iii) En identiﬁant H 0 (Γ ) = L2 (Γ ) avec son dual, nous avons (H s (Γ )) = H −s (Γ ) si s ≥ 0. Nous renvoyons `a J. L. Lions et E. Magenes [LM] pour un expos´e complet sur les espaces H s , y compris les espaces H s (Ω). 1.3.2 Les espaces W m,p Soit Ω un ouvert de Rn de fronti`ere Γ . Partant du fait que L1loc (Ω) s’injecte dans D (Ω), nous d´eﬁnissons, pour m ∈ N et 1 ≤ p ≤ ∞, l’espace W m,p (Ω) par W m,p (Ω) = {f ∈ Lp (Ω); ∂ α f ∈ Lp (Ω) α ∈ Nn , |α| ≤ m}, o` u ∂ α f est sous-entendu au sens D (Ω). W m,p (Ω), quand nous le munissons de sa norme naturelle

f W m,p (Ω) = ∂ α f Lp(Ω) ,

(1.1)

|α|≤m

est un espace de Banach. Dans le cas p = 2, comme nous le faisons d’habitude, nous posons W m,2 (Ω) = H m (Ω). Ce dernier est alors un espace de Hilbert pour le produit scalaire

12

1 Rappels et compl´ements

(f, g)H m (Ω) =

∂ α f ∂ α g.

Ω

|α|≤m

Notons que la norme associ´ee `a ce produit scalaire est ´equivalente a` celle donn´ee par (1.1). Nous ´enon¸cons deux th´eor`emes classiques d’injections. Th´ eor` eme 1.15. Si Ω un ouvert born´e de Rn et si W01,p (Ω) est la fermeture de D(Ω) dans W 1,p (Ω), alors np

(i) W01,p (Ω) s’injecte continˆ ument dans L n−p (Ω) pour p < n, et dans C 0 (Ω) pour p > n. (ii) Il existe une constante positive C = C(n, p) telle que pour tout u ∈ W01,p (Ω) u

np

L n−p (Ω)

≤ C∇uLp (Ω)n , si p < n, 1

1

sup |u| ≤ C|Ω| n − p ∇uLp(Ω)n , si p > n. Ω

Th´ eor` eme 1.16. Soit Ω un domaine born´e de Rn de classe C 0,1 . ∗

ument dans Lp (Ω), p∗ = (i) Si mp < n alors W m,p (Ω) s’injecte continˆ et l’injection de W m,p (Ω) dans Lq (Ω) est compacte pour tout q < p∗ .

np n−mp ,

ument (ii) Si 0 ≤ k < m − np < k + 1, k entier, alors W m,p (Ω) s’injecte continˆ n k,α m,p k,β dans C (Ω), α = m − p − k, et l’injection de W (Ω) dans C (Ω) est compacte pour tout β < α. Nous rappelons aussi le th´eor`eme de trace : Th´ eor` eme 1.17. Nous supposons que Ω est born´e et de classe C k , k ≥ 1. Alors l’application u → (u, ∂ν u, . . . , ∂νk−1 u) de D(Ω) → (D(Γ ))k se prolonge en une application, encore not´ee u → (u, ∂ν u, . . . , ∂νk−1 u),

k−1 1 lin´eaire continue de H k (Ω) → j=0 H k−j− 2 (Γ ). Cette application est surjective et il existe un rel`evement lin´eaire continu R : g = (g0 , . . . , gk−1 ) ∈

k−1

1

H k−j− 2 (Γ ) → Rg ∈ H k (Ω)

j=0

tel que ∂νj Rg = gj , 0 ≤ j ≤ k − 1. Et nous terminons ce paragraphe par le

1.3 Espaces de Sobolev

13

Th´ eor` eme 1.18. Soit Ω un ouvert quelconque. Si u ∈ H 1 (Ω) alors u+ = sup(u, 0), u− = sup(−u, 0), |u| = u+ + u− ∈ H 1 (Ω), et

∇u+ = χ[u>0] ∇u, ∇u− = χ[u<0] ∇u.

Les d´emonstrations des Th´eor`emes 1.15, 1.16 et 1.18 peuvent ˆetre consult´ees dans D. Gilbarg et N. S. Trudinger [GT]. En ce qui concerne le Th´eor`eme 1.17, nous renvoyons a` J. L. Lions et E. Magenes [LM]. 1.3.3 Les espaces H k (a, b; X) Soit X un espace de Banach et −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Nous appelons distribution vectorielle sur (a, b) toute application lin´eaire continue sur D(a, b) dans X. C’est-`a dire D (a, b; X) = L(D(a, b), X). Soient u ∈ D (a, b; X) et k ≥ 0 entier. L’application ϕ → (−1)k u(ϕ(k) ), ϕ ∈ D(a, b), d´eﬁnie alors une distribution que nous notons u(k) . Pour k ≥ 1 entier, nous d´eﬁnissons H k (a, b; X) comme suit H k (a, b; X) = {u ∈ L2 (a, b; X); u(j) ∈ L2 (a, b; X), j = 1, . . . , k}. Clairement, H k (a, b; X) est un espace de Hilbert pour la norme k

1 u(j) 2L2 (a,b;X) ) 2 . uH k (a,b;X) = ( j=0

Soient V et H deux espaces de Hilbert tels que V est dense dans H et V s’injecte continˆ ument dans H. Nous consid´erons alors l’espace W (a, b; V, V ) = {u ∈ L2 (a, b; V ) u ∈ L2 (a, b; V )}. Une propri´et´e de r´egularit´e des ´el´ements de W (a, b; V, V ) est donn´ee par le Th´ eor` eme 1.19. Soient a, b ∈ R. Alors tout ´el´ement de W (a, b; V, V ) est presque partout ´egal ` a une fonction continue de [a, b] dans H. De plus, ument dans C([a, b]; H). W (a, b; V, V ) s’injecte continˆ Pour compl´eter les r´esultats de ce sous-paragraphe, nous invitons le lecteur a consulter J. L. Lions et E. Magenes [LM]. `

14

1 Rappels et compl´ements

1.3.4 Quelques formules d’int´ egration par parties Soit Ω un ouvert born´e de classe C 1 , de fronti`ere Γ . Une premi`ere formule classique d’int´egration par parties est ∂i uv = − u∂i v + uvνi , u, v ∈ H 1 (Ω). (1.2) Ω

Ω

Γ

De cette formule se d´eduisent ais´ement les suivantes : Δuv = − ∇u · ∇v + ∂ν uv, u ∈ H 2 (Ω) et v ∈ H 1 (Ω), Ω

Ω

(1.3)

Γ

(Δuv − uΔv) =

(∂ν uv − u∂ν v), u, v ∈ H 2 (Ω)

(1.4)

et, si Q = Ω × (0, T ), Σ = Γ × (0, T ), (Δ − ∂t )uv − u(Δ + ∂t )v = (∂ν uv − u∂ν v) Q Q Σ − [u(·, T )v(·, T ) − u(·, 0)v(·, 0)]

(1.5)

Ω

Γ

Ω

pour u, v ∈ L2 (0, T ; H 2 (Ω)) ∩ H 1 (0, T ; L2(Ω)). 1.3.5 Espaces de type HΔ Soit Ω un ouvert born´e de Rn , de fronti`ere Γ . Nous d´eﬁnissons l’espace HΔ (Ω) comme suit HΔ (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω); Δu ∈ L2 (Ω)}. Muni de la norme 1

uHΔ (Ω) = (uH 1 (Ω) + ΔuL2 (Ω) ) 2 HΔ (Ω) est un espace de Hilbert. L’int´erˆet de cet espace r´eside dans le Th´ eor` eme 1.20. Nous supposons que Ω est de classe C 1 . (1) (Th´eor`eme de trace) L’application ∂ν : C 1 (Ω) → C(Γ ) : u → ∂ν u|Γ se prolonge en une application continue, encore not´ee ∂ν , de HΔ (Ω) dans 1 H − 2 (Γ ). (2) (Formule d’int´egration par parties) Pour tous u ∈ HΔ (Ω) et v ∈ H 1 (Ω), Δuv = − Ω

∇u · ∇v + ∂ν u, v Ω

1

1

H − 2 (Γ ),H 2 (Γ )

.

1.3 Espaces de Sobolev

15

Il est utile dans l’´etude du probl`eme de conductivit´e de pouvoir disposer d’un th´eor`eme de trace pour un espace un peu plus g´en´eral que HΔ (Ω). Pour a ∈ W 1,∞ (Ω), consid´erons l’espace Ha (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω); div(a∇u) ∈ L2 (Ω)}, qui est un Hilbert pour la norme uHa (Ω) = uH 1 (Ω) + div(a∇u)L2 (Ω) . Pour cet espace nous avons le th´eor`eme de trace suivant Th´ eor` eme 1.21. (Th´eor`eme de trace) L’application u → a∂ν u|Γ 1

d´eﬁnit un op´erateur born´e de Ha (Ω) dans H − 2 (Γ ). Le lecteur trouvera une d´emonstration du dernier th´eor`eme dans [Ka2]. 1.3.6 In´ egalit´ es de Poincar´ e Soient ξ ∈ Rn , |ξ| = 1, a, b ∈ R et d = b − a. Nous posons Πd (ξ) = {x ∈ Rn ; a < x · ξ < b} et nous dirons que Πd (ξ) est une bande d’´epaisseur d dans la direction ξ. Une premi`ere in´egalit´e de Poincar´e est donn´ee par la Proposition 1.22. Soit Ω un ouvert de Rn tel qu’il existe une bande Πd (ξ) avec Ω ⊂ Πd (ξ). Alors u2L2 (Ω) ≤

d2 |∇u|2L2 (Ω) , u ∈ H01 (Ω). 2

Dans le cas d’un domaine born´e, nous avons l’in´egalit´e de Poincar´e suivante : Proposition 1.23. Soient Ω un domaine born´e de Rn et λ1 (Ω) la premi`ere valeur propre du laplacien-Dirichlet. Alors u2L2 (Ω) ≤

1 |∇u|2L2 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω). λ1 (Ω)

Il existe d’autres in´egalit´es de Poincar´e, notamment pour des sous-espaces de H 1 (Ω) autres que H01 (Ω) (voir par exemple R. Dautray et J. L. Lions [DL] pour plus de d´etails).

16

1 Rappels et compl´ements

1.3.7 D´ erivation tangentielle Soit Ω un ouvert born´e de classe C 1 , de fronti`ere Γ . Si f ∈ C 1 (Γ ), nous d´eﬁnissons son gradient tangentiel, not´e ∇τ , par ∇τ f = ∇f˜ − ∂ν f˜ν,

(1.6)

o` u f˜ est un prolongement de f dans un voisinage de Γ . Si P ∈ C 1 (Γ, Rn ) et si P˜ est un prolongement de P dans un voisinage de Γ , la divergence tangentielle de P est donn´ee par divτ (P ) = div(P˜ ) − P˜ ν · ν,

(1.7)

avec P˜ = (∂j P˜i ). Bien ´evidemment, les formules (1.6) et (1.7) ne d´ependent pas des prolongements choisis. Lorsque Ω est de classe C 2 , nous pouvons d´eﬁnir l’op´erateur de LaplaceBeltrami, not´e Δτ , sur Γ en posant Δτ u = divτ (∇τ u), u ∈ C 2 (Γ ). Nous disposons du r´esultat classique suivant : Th´ eor` eme 1.24. Nous supposons que Ω est de classe C 2 . (1) Si u ∈ C 2 (Ω) ou u ∈ H 3 (Ω) alors Δu = Δτ u + H∂ν u + ∂ν22 u,

(1.8)

2 o` u H est la courbure moyenne et ∂ν22 u = Huν · ν, avec Hu = (∂ij u).

(2) Pour u ∈ H 2 (Ω) et v ∈ H 3 (Ω), nous avons ∇τ u∇τ v = − uΔτ v. Γ

(3) Pour W ∈ C 1 (Γ )n et u ∈ H 2 (Ω), nous avons udivτ W = − ∇u · W + (Hu + ∂ν u)W · ν. Γ

(1.9)

Γ

Γ

Γ

(Voir A. Henrot et M. Pierre [HP] pour une d´emonstration.)

(1.10)

1.4 Equations elliptiques

17

1.4 Equations elliptiques 1.4.1 R´ egularit´ e elliptique Ω ´etant un domaine born´e de Rn de fronti`ere Γ , nous consid´erons l’op´erateur diﬀ´erentiel E donn´e par

2 Eu = aij (x)∂ij u+ bi (x)∂i u + c(x)u, i,j

i

o` u aij , bi et c sont des fonctions mesurables sur Ω. Nous supposons que E est uniform´ement elliptique. C’est-` a-dire qu’il existe λ > 0 un r´eel tel que a(x)ξ · ξ ≥ λ|ξ|2 p.p. x ∈ Ω et ξ ∈ Rn ,

(1.11)

avec a(x) = (aij (x)). Pour les probl`emes aux limites elliptiques, nous disposons de r´esultats de r´egularit´e h¨olderienne. Plus pr´ecis´ement, nous avons le Th´ eor` eme 1.25. Sous les hypoth`eses suivantes : (a) Ω est de classe C 2,α , (b) aij , bi , c ∈ C α (Ω), f ∈ C α (Ω) et g ∈ C 2,α (Γ ) (resp. g ∈ C 1,α (Γ )), (c) c ≤ 0, (d) q ∈ C 1,α (Γ ), le probl`eme aux limites Eu = f, dans Ω, u = g, (resp. ∂ν u + qu = g), sur Γ,

(1.12)

admet une unique solution u ∈ C 2,α (Ω). De plus, il existe une constante C > 0, ne d´ependant que des normes des coeﬃcients de E dans C α (Ω), Ω, α et λ (d´ependant aussi de la norme de q dans C 1,α dans le second cas), telle que uC 2,α (Ω) ≤ C(f C α (Ω) + gC 2,α (Γ ) ) (resp. uC 2,α (Ω) ≤ C(f C α (Ω) + gC 1,α (Γ ) )). Si q ∈ L∞ (Ω), nous d´esignons par Aq l’op´erateur Aq = −Δ + q ayant pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Nous utiliserons au prochain chapitre a` plusieurs reprises le

18

1 Rappels et compl´ements

Th´ eor` eme 1.26. Nous supposons que Ω est de classe C 2 . Soit q ∈ L∞ (Ω) telle que 0 n’est pas dans le spectre de Aq . Alors, pour tout couple (F, f ) ∈ 3 L2 (Ω) × H 2 (Γ ), le probl`eme aux limites non homog`ene −Δu + qu = F, dans Ω, u = f, sur Γ, admet une unique solution u ∈ H 2 (Ω). De plus, nous avons l’estimation uH 2 (Ω) ≤ C(F L2 (Ω) + f

3

H 2 (Γ )

),

o` u la constante C d´epend uniquement de Ω et q. Un autre r´esultat, pour l’op´erateur div(a∇·), que nous aurons l’occasion d’utiliser au chapitre 2, est le suivant : Th´ eor` eme 1.27. Soit a ∈ L∞ (Ω) telle que a ≥ a0 > 0 p.p. dans Ω, suppos´e 1 lipschitzien. Alors pour tout ϕ ∈ H 2 (Γ ), il existe un unique u ∈ H 1 (Ω) solution du probl`eme aux limites div(a∇u) = 0, dans Ω, u = ϕ, sur Γ. Ce r´esultat est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme de Stampacchia. De plus la solution est caract´eris´ee par a|∇u|2 dx = min{ a|∇v|2 dx; v ∈ Kϕ }, Ω

Ω

o` u Kϕ est le convexe ferm´e Kϕ = {v ∈ H 1 (Ω); v|Γ = ϕ}. Avec plus de r´egularit´e sur Ω et les coeﬃcients de E, il est possible de d´emontrer que les solutions de (1.12) sont de classe H 2+k . Dans le cas du laplacien nous avons le Th´ eor` eme 1.28. Soit k ≥ 0 un entier et nous supposons que Ω est de classe 3 C 2+k . Si f ∈ H k (Ω) et g ∈ H k+ 2 (Γ ) alors le probl`eme aux limites −Δu = f, dans Ω, u = g, sur Γ, admet une unique solution u ∈ H 2+k (Ω). Pour une ´etude d´etaill´ee et syst´ematique des ´equations elliptiques, nous renvoyons le lecteur `a D. Gilbarg et N. S. Trudinger [GT], J.-L. Lions et E. Magenes [LM], O. A. Ladyzhenskaja et N. N. Ural’tzeva [LU] (voir aussi R. Dautray et J.-L. Lions [DL], L. C. Evans [Ev], M. Renardy et R. C. Rogers [RR]).

1.4 Equations elliptiques

19

1.4.2 Probl` eme de transmission Soient Ω un domaine de Rn , de fronti`ere Γ et ω un ouvert, ω ⊂ Ω, que nous supposons lipschitzien. Soit E un op´erateur du second ordre de la forme

Eu = ∂j (aij ∂i u), i,j

avec a = (aij ) ∈ L∞ (Ω)n×n v´eriﬁant la condition d’ellipticit´e a(x)ξ · ξ ≥ λ|ξ|2 p.p. x ∈ Ω et ξ ∈ Rn , pour une certaine constante λ > 0. Grˆ ace au th´eor`eme de Lax-Milgram, il est ais´e de d´emontrer que, pour tout f ∈ L2 (Ω), le probl`eme aux limites Eu = f, dans Ω, (1.13) u = 0, sur Γ, admet une unique solution variationnelle. C’est-` a-dire, il existe un unique u ∈ H01 (Ω) tel que a∇v · ∇u = f v, v ∈ H01 (Ω). Ω

Ω

Si les aij sont continues sur ω et Ω\ω, (1.13) se d´ecouple en deux probl`emes, l’un sur ω, et l’autre sur Ω\ω ; la solution de chacun des deux probl`emes ´etant li´ee `a l’autre par des relations dites de transmission. Avant de donner un ´enonc´e pr´ecis, nous introduisons quelques notations. Nous posons

∂νE u = aij cos(ν, xi )∂j u i,j

et si w est une fonction d´eﬁnie sur Ω, nous notons wi = w|ω , we = w|Ω\ω . Nous consid´erons aussi les op´erateurs

E iu = ∂j (aikl ∂i u), E e u = ∂j (aekl ∂i u). k,l

k,l

Th´ eor` eme 1.29. Nous supposons que, pour tout k, l, aikl ∈ C(ω) et aeij ∈ C(Ω\ω). Alors les deux assertions suivantes sont ´equivalentes : (i) u ∈ H01 (Ω) est la solution variationnelle du probl`eme aux limites (1.13). (ii) (ui , ue ) ∈ H 1 (ω) × H 1 (Ω\ω) est la solution du probl`eme de transmission

20

1 Rappels et compl´ements

⎧ i i E u = f i, ⎪ ⎪ ⎪ e e e ⎪ ⎪ ⎨E u = f , ui = ue , ⎪ ⎪ ⎪ ∂ν i ui + ∂νEe ue = 0, ⎪ ⎪ ⎩ eE u = 0,

dans D (ω), dans D (Ω\ω), 1 au sens H 2 (∂ω) 1

2 au sens (H00 ) (∂ω), 1 2 au sens H (Γ ),

1

2 o` u H00 (∂ω) = {v ∈ H 1/2 (∂ω); il existe w ∈ H01 (Ω), w|∂ω = v}.

Nous renvoyons `a R. Dautray et J. L. Lions [DL] pour une d´emonstration de ce th´eor`eme. Concernant la r´egularit´e h¨olderienne, d’apr`es un r´esultat ´enonc´e dans O. A. Ladyzhenskaja et N. N. Ural’tzeva [LU], nous avons le Th´ eor` eme 1.30. Soit 0 < α < 1 et on suppose que ω et Ω\ω sont de classe C 2,α . Si f ∈ C α (Ω) et si, pour tout i, j, aij ∈ C 1,α (ω) ∩ C 1,α (Ω\ω), alors u, la solution de (1.13), est dans C 2,α (ω) ∩ C 2,α (Ω\ω). 1.4.3 Principe du maximum pour les solutions classiques Tout au long de ce sous-paragraphe Ω d´esigne un domaine born´e de Rn , de fronti`ere Γ . Soit E un op´erateur aux d´eriv´ees partielles de la forme

2 Eu = aij (x)∂ij u+ bi (x)∂i u + c(x)u, i,j

i

o` u les fonctions aij , bi et c sont suppos´ees continues sur Ω, et la matrice (aij (x)) est sym´etrique d´eﬁnie positive pour tout x ∈ Ω. En d’autres termes, E est un op´erateur elliptique du second ordre. Th´ eor` eme 1.31. (Principe du maximum faible) Nous supposons que c ≡ 0. Soit u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) telle que Eu ≥ 0 (resp. Eu ≤ 0) dans Ω. Alors max u = max u (resp. min u = min u). Ω

Γ

Ω

Γ

Corollaire 1.32. (Principe de comparaison) Nous supposons que c ≤ 0. Soient u, v ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) telles que Eu ≤ Ev dans Ω et u ≥ v sur Γ . Alors u ≥ v. Th´ eor` eme 1.33. (Principe du maximum fort) Soit u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) telle que Eu ≥ 0. Nous supposons que l’une des conditions suivantes est satisfaite : (i) c = 0, (ii) c ≤ 0 et max u ≥ 0, (iii) max u = 0, et que u est non constante. Alors u ne peut pas atteindre son maximum en un point de Ω.

1.4 Equations elliptiques

21

Lemme 1.34. (Hopf) Nous supposons que Ω est de classe C 2 . Soit u ∈ C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω) telle que Eu ≥ 0. S’il existe un x0 ∈ Γ tel que u(x0 ) > u(x) pour tout x ∈ Ω, et si l’une des trois conditions suivantes est v´eriﬁ´ee : (i) c = 0, (ii) c ≤ 0 et u(x0 ) ≥ 0, (iii) u(x0 ) = 0, alors ∂ν u(x0 ) > 0. La preuve des r´esultats ´enonc´es dans ce sous-paragraphe se trouvent dans la plupart des ouvrages traitant des ´equations elliptiques (voir par exemple, D. Gilbarg et N. S. Trudinger [GT], M. Protter et H. Weinberger [PW] ou M. Renardy et R. C. Rogers [RR]). 1.4.4 Principe du maximum et in´ egalit´ e de Harnack pour les solutions variationnelles Soit Ω un ouvert born´e de Rn de fronti`ere Γ . Soit E un op´erateur diﬀ´erentiel d’ordre deux sous forme divergentielle. C’est-`a-dire

Eu = − Di ( aij Dj u + ci u) + di Di u + du. i

j

i

Nous supposons que E est strictement elliptique : il existe une constante positive λ telle que

aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2 p.p. x ∈ Ω, ξ ∈ Rn , i,j

et que les coeﬃcients de E sont born´ees. Nous associons `a E l’op´erateur diﬀ´erentiel bilin´eaire

aij Dj uDi v + (ci uDi v + di Di uv) + duv. E(u, v) = i,j

i

Pour f ∈ D (Ω), nous consid´erons l’´equation Eu = f, dans Ω. 1,1 Nous dirons que u ∈ Wloc (Ω) est une solution faible de (1.14) si E(u, v) = f, v , v ∈ D(Ω). Ω

Aussi, si u ∈ H 1 (Ω), nous dirons que u ≤ 0 sur Γ si u+ ∈ H01 (Ω).

(1.14)

22

1 Rappels et compl´ements

Si u, v ∈ H 1 (Ω), u ≤ v sur Γ signiﬁe bien ´evidemment que u − v ≤ 0 sur Γ , au sens mentionn´e ci-dessus. Nous d´eﬁnissons, pour u ∈ H 1 (Ω), supΓ u comme suit sup u = inf{k ∈ R; u ≤ k sur Γ }. Γ

Th´ eor` eme 1.35. (Principe du maximum) Sous l’hypoth`ese d + Di ci ≥ 0 dans D (Ω), si u ∈ H 1 (Ω) est une solution faible de Eu = 0 dans Ω alors sup u ≤ sup u+ . Ω

Γ

Th´ eor` eme 1.36. (In´egalit´e de Harnack) Nous supposons que Ω est connexe. 1 Soit u ∈ Hloc (Ω) une solution faible positive de Eu = 0 dans Ω. Alors pour tout compact K de Ω, nous avons sup u ≤ C inf u, K

K

o` u C est une constante positive qui ne d´epend que des normes dans L∞ (Ω) des coeﬃcients de λ−1 E, n et dist(K, Γ ). Le lecteur trouvera dans D. Gilbarg et N. S. Trudinger [GT] une preuve des deux derniers th´eor`emes. 1.4.5 Unicit´ e du prolongement Soient Ω un ouvert born´e de Rn , de fronti`ere Γ , et E un op´erateur aux d´eriv´ees partielles de la forme

2 Eu = aij (x)∂ij u+ bi (x)∂i u + c(x)u, i,j

i

o` u les fonctions aij sont de classe C 1 sur Ω, bi et c sont suppos´ees mesurables et born´ees sur Ω, et la matrice (aij (x)) est sym´etrique d´eﬁnie positive pour tout x ∈ Ω. Th´ eor` eme 1.37. Nous supposons que Ω est connexe. Soit u ∈ H 2 (Ω) tel que Eu = 0. Soit ω un sous-ouvert de Ω. Si u = 0 sur ω alors u est identiquement nulle. Corollaire 1.38. Nous supposons que Ω est un ouvert connexe de classe C 2 . Soit γ un sous-ouvert de Γ . Soit u ∈ H 2 (Ω) tel que Eu = 0 et u = ∂ν u = 0 sur γ. Alors u est identiquement nulle. Nous renvoyons le lecteur `a J. C. Saut et B. Scheurer [SS1] pour une d´emonstration du th´eor`eme ci-dessus et son corollaire.

1.4 Equations elliptiques

23

1.4.6 Fonctions harmoniques sph´ eriques et fonctions de Gegenbauer Nous rappelons que le laplacien (ou l’op´erateur de Laplace-Beltrami) sur la sph`ere est la trace Δτ du laplacien sur la sph`ere : Δτ u(ξ) = Δx u(

x )|x=ξ . |x|

Pour une fonction u de classe C 2 sur un ouvert de Rn \ {0}, nous avons la formule du laplacien en coordonn´ees polaires dans Rn (Δu)(rξ) =

1 1 ∂r (rn−1 ∂r )u(rξ) + 2 Δτ (rξ). rn−1 r

Consid´erons le syst`eme de coordonn´ees sph´eriques ⎧ ξ1 = r sin θn−1 . . . sin θ2 sin θ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ξ2 = r sin θn−1 . . . sin θ2 cos θ1 .. . ⎪ ⎪ ⎪ = r sin θn−1 cos θn−2 ξ ⎪ ⎪ ⎩ n−1 ξn = r cos θn−1 . Pour ξ = ξ(r, θ1 , . . . , θn−1 ) ∈ rS n−1 , l’expression de Δτ dans le syst`eme de coordonn´es sph´eriques est la suivante : Δτ u(ξ) = [ sinn−21 θn−1 ∂n−1 sinn−2 θn−1 ∂n−1 + 1 ∂ sinn−3 θn−2 ∂n−1 + . . . sin2 θn−1 sinn−3 θn−2 n−1 1 . . . + sin2 θn−1 ... sin2 θ2 ∂12 ]u(ξ), avec ∂i =

∂ ∂θi ,

i = 1, . . . , n − 1.

Pour k ∈ N, nous consid´erons l’´equation Δτ Y = −k(k + n − 2)Y, sur S n−1 .

(1.15)

Proposition 1.39. (i) Pour tout k ∈ N, l’ensemble Ykn des fonctions Y solutions de (1.15) est un espace vectoriel de dimension ﬁnie. Pr´ecis´ement, nous avons dimY01 = 1, dimY1n = n, dimYk2 = 2,

dimYk3 = 2k + 1,

dimYk4 = (k + 1)2 ,

k ≥ 1,

et d’une mani`ere plus g´en´erale dimYkn =

n

dimYln−1 .

l=0

a deux orthogonaux dans L2 (S n−1 ) et (ii) Les espaces Yk = Ykn sont deux ` 2 n−1 ) est la somme hilbertienne des sous-espaces Yk . L (S

24

1 Rappels et compl´ements

Nous appelons les ´el´ements de Ykn les fonctions harmoniques sph´eriques d’ordre k de Rn . Nous d´eﬁnissons le polynˆ ome de Gegenbauer Ckp , k ∈ N et p ≥ 0, par la formule suivante Ckp (t) =

0≤l≤[ k 2]

(−1)l (2t)k−2l Γ (p + k − l) , l!(k − 2l)!Γ (p)

o` u [x] est la partie enti`ere de x et Γ est la fonction eul´erienne usuelle. Nous avons C0p (t) = 1, C1p (t) = 2pt et C2p (t) = 2p(p + 1)(t2 −

1 ), 2p + 2

C3p (t) =

4 3 p(p + 1)(p + 2)(t3 − t). 3 2p + 3

Il est d´emontr´e que Ckp est solution de l’´equation diﬀ´erentielle (1 − t2 )

d2 d P − (2p + 1)t P + k(2p + k))P = 0. dt2 dt

(1.16)

En utilisant cette ´equation diﬀ´erentielle et l’expression de Δτ dans le syst`eme des coordonn´ees sph´eriques, nous d´emontrons que n−2

Y (x) = Y (x1 , . . . , xn ) = Ck 2 (

xn ), avec r = |x|, r

est une fonction harmonique sph´erique et que H = rk Y est harmonique sur Rn \ {0}. Le lecteur int´eress´e, par les d´etails des r´esultats de ce sous-paragraphe, pourra consulter N. J. Vilenkin [Vi].

1.5 Equations paraboliques 1.5.1 R´ egularit´ e parabolique Soient Ω un domaine born´e de Rn , de fronti`ere Γ , T > 0 un r´eel et Q = Ω × (0, T ). Nous dirons qu’un op´erateur P de la forme

2 Pu = aij (x, t)∂ij u+ bi (x, t)∂i u + c(x, t)u − ∂t u, i,j

i

o` u aij , bi et c sont des fonctions mesurables sur Q, est uniform´ement parabolique s’il existe λ > 0 un r´eel tel que a(x, t)ξ · ξ ≥ λ|ξ|2 p.p. (x, t) ∈ Q et ξ ∈ Rn , avec a(x, t) = (aij (x, t)).

1.5 Equations paraboliques

25

Soient Σ = Γ × (0, T ), Σ0 = Ω × {0} et

2 aij (x, 0)∂ij v+ bi (x, 0)∂i v + c(x, 0)v. P0 v = i,j

i

Comme dans le cas elliptique, nous avons le r´esultat de r´egularit´e h¨olderienne Th´ eor` eme 1.40. Sous les hypoth`eses suivantes : (a) Ω est de classe C 2,α , α

α

α

(b) aij , bi , c ∈ C α, 2 (Q), u0 ∈ C 2,α (Ω), f ∈ C α, 2 (Q) et g ∈ C 2+α,1+ 2 (Σ), (c) P0 u0 −∂t g(·, 0) = f (·, 0) et g(·, 0) = u0 sur Γ (conditions de compatibilit´e), le probl`eme aux limites

⎧ ⎨ P u = f, dans Q, u = u0 , dans Σ0 , ⎩ u = g, sur Σ, α

admet une unique solution u ∈ C 2+α,1+ 2 (Q). De plus, il existe une constante α C > 0, ne d´ependant que des normes des coeﬃcients de P dans C α, 2 (Q), Ω, α et λ, telle que uC 2+α,1+ α2 (Q) ≤ C(f C α, α2 (Q) + gC 2+α,1+ α2 (Σ) + u0 C 2,α (Ω) ). Avant de donner les premiers r´esultats d’existence et de r´egularit´e des solutions faibles, nous nous pla¸cons d’abord dans un cadre abstrait. Soit H un espace de Hilbert muni d’un produit scalaire (·, ·), et notons | · | la norme associ´ee `a ce produit scalaire. Soit V un autre espace de Hilbert, de norme · , dense dans H et qui s’injecte continˆ ument dans H. En identiﬁant H ` a son dual, nous avons V ⊂ H ⊂ V . Pour T > 0, nous nous donnons, pour presque tout t ∈ [0, T ], une forme bilin´eaire a(t, u, v) : V × V → R v´eriﬁant (a) t → a(t, u, v) est mesurable, pour tout (u, v) ∈ V × V . (b) |a(t, u, v)| ≤ M uv, p.p. t ∈ [0, T ] et pour tout (u, v) ∈ V × V . (c) a(t, u, u) ≥ αu2 − C|u|2 , p.p. t ∈ [0, T ] et pour tout u ∈ V , o` u α > 0, M > 0 et C sont des constantes. Th´ eor` eme 1.41. (J.-L. Lions) Pour tout f ∈ L2 (0, T ; V ) et pour tout u0 ∈ H, il existe un unique u tel que u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ C([0, T ]; H), u ∈ L2 (0, T ; V ) et

u (t), v V ,V + a(t, u(t), v) = f (t), v V ,V , p.p. t ∈ [0, T ], v ∈ V, u(0) = u0 .

(1.17)

26

1 Rappels et compl´ements

Soient aij , bi et c ∈ L∞ (Q). Si a(x, t) = (aij (x, t)), nous supposons qu’il existe λ > 0 tel que a(x, t)ξ · ξ ≥ λ|ξ|2 , p.p. (x, t) ∈ Q, ξ ∈ Rn . Nous appliquons le th´eor`eme ci-dessus `a H = L2 (Ω), V = H01 (Ω) et

a(t, u, v) = aij (x, t)∂i u∂j v + bi (x, t)∂i uv + c(x, t)uv, Ω

i,j

i

Ω

Ω

pour avoir : pour tout f ∈ L2 (0, T ; H −1(Ω)) et pour tout u0 ∈ L2 (Ω), il existe un unique u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)) avec u ∈ L2 (0, T ; H −1(Ω)) v´eriﬁant (1.17). Nous appelerons u la solution faible du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − i,j ∂j (aij ∂i u) + i bi ∂i u + cu = f, dans Q, (1.18) sur Σ0 , u = u0 , ⎩ u = 0, sur Σ. Nous notons que u v´eriﬁe la premi`ere ´equation de (1.18) dans D (Q), la seconde est satisfaite dans L2 (Ω). Quant a` la troisi`eme ´equation de (1.18), elle est contenue dans le fait que u ∈ L2 (0, T ; H01(Ω)). Nous consid´erons maintenant l’espace H 2,1 (Q) donn´e par H 2,1 (Q) = L2 (0, T, H 2 (Ω)) ∩ H 1 (0, T, L2 (Ω)). Aﬁn d’´enoncer un th´eor`eme de trace pour cet espace, nous notons, pour r et s deux r´eels positifs, H r,s (Σ) = L2 (0, T, H r (Γ )) ∩ H s (0, T, L2(Γ )). 3 3

Th´ eor` eme 1.42. Soient u ∈ H 2,1 (Q) et v ∈ H 2 , 4 (Σ). Alors 3 3

1 1

(i) (u, ∂ν u)|Γ ∈ H 2 , 4 (Σ) × H 2 , 4 (Σ). 1

(ii) v(·, 0) ∈ H 2 (Γ ). (iii) u(·, 0) ∈ H 1 (Ω) and u(·, 0)|Γ = u|Γ (·, 0). (iv) Les deux op´erateurs 3 3

1 1

u ∈ H 2,1 (Q) → (u|Σ , ∂n u|Σ , u(·, 0)) ∈ H 2 , 4 (Σ) × H 2 , 4 (Σ) × H 1 (Ω) 3 3

1

v ∈ H 2 , 4 (Σ) → v(·, 0) ∈ H 2 (Γ ), sont born´es. (v) L’op´erateur 3 3

τ : u ∈ H 2,1 (Q) → F0 = {(u0 , g) ∈ H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ); u0 |Γ = g(·, 0)} u → (u(·, 0), u|Σ ) (born´e) est surjectif.

1.5 Equations paraboliques

27

On note que nous pouvons, d’une mani`ere tout a` fait standard, d´emontrer que (u0 , g)∗ = inf{uH 2,1 (Q) ; τ u = (u0 , g)}, (u0 , g) ∈ F0 , d´eﬁnie une norme ´equivalente a` la norme suivante (u0 , g) = u0 H 1 (Ω) + g

3 3

H 2 , 4 (Σ)

.

Nous donnons maintenant un r´esultat de r´egularit´e H 2,1 pour un probl`eme parabolique non homog`ene. Pour cela nous avons besoin de faire un certain nombre d’hypoth`eses. h1) aij ∈ L∞ (Q), 1 ≤ i, j ≤ k, et il existe deux constantes positives λ et Λ telles que λ|ξ|2 ≤ (aij (x, t))ξ · ξ ≤ Λ|ξ|2 , p.p (x, t) ∈ Q, ∀ξ ∈ Rn . h2) ∂k aij ∈ L∞ (0, T ; Ln (Ω)), ∂t aij L∞ (0, T ; Ln/2(Ω)), 1 ≤ i, j, k ≤ n, bi ∈ L∞ (0, T ; Ln(Ω)), 1 ≤ i ≤ n et c ∈ L∞ (0, T ; Ln/2(Ω)). h3) Il existe : R+ → R+ d´ecroissante avec limσ0 (σ) = 0 telle que χA ∂k aij (·, t)Ln (Ω) + χA ∂t aij (·, t)Ln/2 (Ω) + χA bi (·, t)Ln (Ω) +χA c(·, t)Ln/2 (Ω) ≤ (σ), pour tous 1 ≤ i, j, k ≤ n, pour presque tout t ∈ (0, T ) et pour tout ensemble mesurable A tel que |A| ≤ σ. Nous notons

2 Eu = aij (x, t)∂ij u+ bi (x, t)∂i u + c(x, t)u. i,j

i

Th´ eor` eme 1.43. Soient u0 ∈ H01 (Ω), g u0 |Γ = g(·, 0). Si Ω est de classe C 2 et satisfaites, alors le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Eu = f, u = u0 , ⎩ u = g,

3 3

∈ H 2 , 4 (Σ) et f ∈ L2 (Q) tels que si les hypoth`eses pr´ec´edentes sont dans Q, dans Σ0 , sur Σ,

admet une unique solution u ∈ H 2,1 (Q). De plus (i) Pour (u0 , g) = (0, 0), il existe une constante positive C, d´eﬁnie par une fonction croissante de T , qui ne d´epend que de Ω, λ, Λ et (σ) telle que uH 2,1 (Q) ≤ Cf L2 (Q) . (ii) Si en plus aij , bi , 1 ≤ i, j ≤ n, et c sont dans L∞ (Q) alors si M ≥ max(aij L∞ (Q) + bi L∞ (Q) ) + cL∞ (Q) , i,j

28

1 Rappels et compl´ements

il existe une constante positive C, d´eﬁnie par une fonction croissante de T , qui ne d´epend que de M , Ω, λ, Λ et (σ) telle que uH 2,1 (Q) ≤ C f L2(Q) + u0 H 1 (Ω) + g 32 , 34 ). H

(Σ)

Pour d´emontrer le Th´eor`eme 1.43, nous utilisons d’abord le Th´eor`eme 1.42 (v) pour nous ramener a` une condition initiale et une condition au bord nulles et nous appliquons ensuite le Th´eor`eme II de [Ar] et les remarques qui le suivent (voir aussi [MPS]). Nous citons aussi un autre r´esultat de r´egularit´e que nous aurons l’occasion d’utiliser au chapitre 3. Th´ eor` eme 1.44. Nous supposons que Ω est de classe C 2 . Si f ∈ Lp (Q), 1 < p < ∞, alors le probl`eme aux limites ∂t u − Δu = f, dans Q, u = 0, sur Σ ∪ Σ0 , admet une unique solution u ∈ Lp (Q) telle que 2 u ∈ Lp (Q), 1 ≤ i, j ≤ n. ∂t u, ∂i u, ∂ij

De plus ∂t uLp(Q) +

∂i uLp(Q) +

i

2 ∂ij uLp(Q) ≤ Cf Lp (Q) ,

i,j

o` u C est une constante ind´ependante de f . Ce th´eor`eme s’´etend au cas d’une condition initiale dans l’espace de Sobolev W 2−2/p,p (Ω) et une condition au bord dans l’espace de Sobolev-Besov W 2−1/p,1−1/2p (Σ). Nous revoyons `a [LSU] pour la d´eﬁnition pr´ecise de ces espaces et les ´enonc´es de la r´egularit´e Lp dans un cadre g´en´eral. Pour une ´etude d´etaill´ee des ´equations paraboliques, nous r´ef´erons `a O. A. Ladyzhenskaja, V. A. Solonnikov et N. N. Ural’tzeva [LSU], A. Friedman [Frie] et G. M. Lieberman [Lie]. 1.5.2 Principe du maximum Nous ´enon¸cons les principes du maximum faible et fort pour les op´erateurs paraboliques. Ω ´etant un domaine born´e de Rn de fronti`ere Γ , nous posons D = Ω × (0, T ],

Q = Ω × (0, T )

et Σp = (Γ × [0, T ]) ∪ (Ω × {0}) (la fronti`ere parabolique de Q). P d´esigne un op´erateur aux d´eriv´ees partielles de la forme

1.5 Equations paraboliques

Pu =

2 aij (x, t)∂ij u+

i,j

29

bi (x, t)∂i u + c(x, t)u − ∂t u,

i

o` u les fonctions aij , bi et c sont suppos´ees continues sur Q, et la matrice (aij (x, t)) est sym´etrique d´eﬁnie positive pour tout (x, t) ∈ D. Th´ eor` eme 1.45. (Principe du maximum faible) Nous supposons que c ≡ 0. Soit u ∈ C(D) ∩ C 2,1 (D) telle que P u ≥ 0 (resp. P u ≤ 0) dans D. Alors max u = max u (resp. min u = min u). D

Σp

D

Σp

Corollaire 1.46. Nous supposons c ≤ 0. Soit u ∈ C(D) ∩ C 2,1 (D) tel que P u ≥ 0 (resp. P u ≤ 0) dans D. Alors max u = max u+ (resp. min u = min u− ). D

Σp

D

Σp

En particulier, si P u = 0 dans D alors max |u| = max |u|. D

Σp

Th´ eor` eme 1.47. (Principe du maximum fort) Soit u ∈ C(D) ∩ C 2,1 (D) telle que P u ≥ 0 dans D et nous posons M = maxD u. Nous supposons que l’une des trois conditions suivantes est satisfaite : (i) c = 0, (ii) c ≤ 0 et M ≥ 0, (iii) M = 0 et que u = M en (x0 , t0 ) ∈ D. Alors u = M sur Ω × [0, t0 ]. Proposition 1.48. Nous faisons l’hypoth`ese que Ω est de classe C 2 . Soit u ∈ C 1 (D) ∩ C 2 (D) satisfaisant P u ≥ 0 dans D et nous notons M = max u. En outre, nous supposons qu’il existe (x0 , t0 ) ∈ Γ ×(0, T ] tel que u(x0 , t0 ) = M et u < M sur Q ; et que l’une des trois conditions suivantes est v´eriﬁ´ee : (i) c = 0, (ii) c ≤ 0 et M ≥ 0, (iii) M = 0. Alors ∂ν u(x0 , t0 ) > 0. La preuve des diﬀ´erents r´esultats, que nous avons ´enonc´e dans ce sousparagraphe, se trouvent dans les ouvrages classiques traitant des ´equations paraboliques (voir par exemple A. Friedman [Frie], M. Protter et H. Weinberger [PW] ou M. Renardy et R. C. Rogers [RR]).

30

1 Rappels et compl´ements

1.5.3 Unicit´ e du prolongement Nous introduisons d’abord une d´eﬁnition. Soient O un ouvert de Rn × R et ω un sous-ouvert de O. Nous d´eﬁnissons l’ouvert ω 1 comme ´etant l’ensemble des points (x, t) ∈ O pour lesquels il existe (x1 , t) ∈ ω tel que le segment joignant (x, t) a` (x1 , t) est contenu dans O. Et par induction sur k nous d´eﬁnissons une suite (ω k ) de sous-ouverts de O par : ω k+1 = (ω k )1 , k ≥ 1. L’ouvert donn´e par ωhc = ∪k≥1 ω k est appel´e la composante horizontale de ω dans O. Nous remarquons que si ω est connexe alors ωhc l’est aussi. Soient Ω un ouvert de Rn , de fronti`ere Γ , Q = Ω ×(0, T ) et P un op´erateur parabolique de la forme

2 Pu = aij (x, t)∂ij u+ bi (x, t)∂i u + c(x, t)u − ∂t u, i,j

i

o` u les fonctions aij sont de classe C 1 sur Q, bi et c sont suppos´ees mesurables et born´ees sur Q, et la matrice (aij (x, t)) est sym´etrique d´eﬁnie positive pour tout (x, t) ∈ Q. Th´ eor` eme 1.49. Soit u ∈ H 2,1 (Q) tel que P u = 0 et u = 0 dans un sous ouvert connexe U de Q. Soit ω l’ouvert connexe maximal contenant U sur lequel u = 0. Alors ω = ωhc . Nous supposons que Ω est connexe et de classe C 2 et soit γ une partie ouverte et non vide de Γ . Corollaire 1.50. Soit u ∈ H 2,1 (Ω × (t1 , t2 )) tel que P u = 0 et u = ∂ν u = 0 sur γ × (t1 , t2 ). Alors u = 0 dans Ω × (t1 , t2 ). Le lecteur trouvera une preuve du dernier th´eor`eme et son corollaire dans J. C. Saut et B. Scheurer [SS2], par exemple. 1.5.4 Un petit aper¸ cu de la th´ eorie des semi-groupes Soit X un espace de Banach. Une famille (T (t))t≥0 de L(X) est dite un semi-groupe fortement continu ou C0 -semi-groupe si elle satisfait aux propri´et´es suivantes : (s1) T (s + t) = T (t)T (s), t, s ≥ 0, (s2) T (0) = I, (s3) Pour tout x ∈ X, t ∈ [0, +∞) → T (t)x ∈ X est continue.

1.5 Equations paraboliques

31

Soit (T (t))t≥0 un C0 -semi-groupe de L(X) ; nous consid´erons l’op´erateur A : X → X d´eﬁnie par la formule Ax = lim

h0

T (h)x − x . h

En g´en´eral A est un op´erateur non born´e, et son domaine est donn´e par T (h)x − x existe}. h0 h

D(A) = {x ∈ X; lim

` premi`ere vue, D(A) peut ˆetre r´eduit a` {0}. En fait, ce n’est jamais le cas A puisque nous pouvons d´emontrer que D(A) est dense dans X. L’op´erateur A est appel´e le g´en´erateur inﬁnit´esimal du semi-groupe (T (t))t≥0 . Nous d´eﬁnissons l’ensemble r´esolvant ρ(A), d’un op´erateur non born´e A : X → X, comme ´etant l’ensemble des λ ∈ C tels que λI − A est un isomorphisme sur X. Pour λ ∈ ρ(A), nous posons Rλ (A) = (λI − A)−1 . Une question int´eressante que nous pouvons nous poser est de savoir quand est-ce qu’un op´erateur non born´e, a` domaine dense, est le g´en´erateur inﬁnit´esimal d’un C0 -semi-groupe. La r´eponse `a cette question est donn´ee par le th´eor`eme de Hille-Yosida suivant : Th´ eor` eme 1.51. Soit A : X → X un op´erateur non born´e ` a domaine D(A) = {x ∈ X; Ax ∈ X} dense dans X. Alors A est le g´en´erateur d’un C0 -semi-groupe (T (t))t≥0 v´eriﬁant T (t)X ≤ M eωt , avec M ≥ 1 et ω ∈ R deux constantes, si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites : (i) A est ferm´e. (ii) Si λ ∈ R et λ > ω alors λ ∈ ρ(A) et Rλ (A)n X ≤

M , n ∈ N. (λ − ω)n

Dans ce qui suit, nous noterons etA le C0 -semi-groupe dont le g´er´erateur inﬁnit´esimal est A. Nous consid´erons maintenant les semi-groupes analytiques. Un C0 -semigroupe etA est analytique s’il v´eriﬁe les deux conditions suivantes : (a1) il existe θ ∈ (0, π2 ) telle que etA s’etend en une famille d’op´erateurs born´es pour tout t ∈ Sθ = {0} ∪ {z ∈ C; |arg(z)| < θ} et les conditions (s1) et (s3) sont satisfaites pour tout t ∈ Sθ . (a2) t ∈ Sθ \ {0} → etA ∈ L(X) est analytique. Comme dans le th´eor`eme de Hille-Yosida, nous avons une caract´erisation des g´en´erateurs de semi-groupes analytiques en terme de leur r´esolvante :

32

1 Rappels et compl´ements

Th´ eor` eme 1.52. Soit A : X → X un op´erateur non born´e a ` domaine dense. Alors A est le g´en´erateur d’un semi-groupe analytique si et seulement s’il existe ω ∈ R telle que Σω = {λ ∈ C; λ > ω} ⊂ ρ(A) et, de plus, il existe une constante C pour laquelle Rλ (A)L(X) ≤

C λ ∈ Σω . |λ − ω|

(1.19)

Dans ce cas, ρ(A) ⊃ Sω,δ = {λ ∈ C; |arg(λ − ω)| < π2 + δ} pour un certain δ > 0 et l’estimation (1.19) est encore valable pour λ ∈ Sω,δ . De plus le semi-groupe etA est repr´esent´e par 1 eλt Rλ (A)dλ, etA = 2iπ Σ

a ei( 2 +δ ) ∞ contenu dans o` u Σ est n’importe quel chemin de e−i( 2 +δ ) ∞ ` Sω,δ , δ < δ. π

π

Soit A le g´en´erateur inﬁnit´esimal d’un semi-groupe analytique tel que son spectre σ(A) = C \ ρ(A) est contenu dans le demi-plan {λ ∈ C; (λ) < −δ}, δ > 0. Nous d´eﬁnissons sin(πα) +∞ −α (−A)−α = λ (λI − A)−1 dλ, 0 < α < 1, π 0 et pour β positif non entier (−A)−β = (−A)−[β] Aβ−[β] . En fait, nous pouvons d´eﬁnir directement (−A)−α , pour tout α > 0, par une int´egrale de contour (voir par exemple A. Pazy [Pa] pour de plus amples d´etails). Plus tard, nous utiliserons le fait que, pour tout α > 0, l’op´erateur (−A)α etA , t > 0, est born´e et (−A)α etA X ≤ Mα t−α e−δt ,

(1.20)

o` u Mα est une constante positive. Pour tout α > 0, (−A)−α est un isomorphisme sur X. Son inverse, not´e naturellement (−A)α , est un op´erateur (non born´e) ferm´e et `a domaine dense D((−A)α ) = R((−A)−α ). Nous donnons un r´esultat de r´egularit´e pour un probl`eme de Cauchy pour le g´en´erateur d’un semi-groupe analytique. Th´ eor` eme 1.53. Soient A le g´en´erateur d’un semi-groupe analytique etA dans X et 0 < α ≤ 1. Si x ∈ X et f ∈ C 0,α ([0, T ]; X), alors le probl`eme de Cauchy u (t) = Au(t) + f (t), 0 < t ≤ T, u(0) = x,

1.5 Equations paraboliques

33

admet une unique solution u ∈ C([0, T ]; X) ∩ C 1,α (]0, T ]; X) avec Au ∈ C 0,α (]0, T ]; X). Dans le cas x = 0, nous avons la r´egularit´e suivante pour u : u ∈ C 1 ([0, T ]; X) ∩ C 1,α (]0, T ]; X). Pour q ∈ L∞ (Ω), positive et non identiquement nulle, nous d´esignons par A l’op´erateur Au = Δu + q(x)u, avec D(A) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω), ou bien Au = Δu + q(x)u avec D(A) = {u ∈ H 2 (Ω); ∂ν u = 0 sur Γ }. Dans ce cas, il est bien connu que −A est le g´en´erateur d’un semi-groupe analytique et σ(A) ⊂ {λ ∈ C; (λ) > 0}, et donc les puissances fractionnaires de (−A)α de A sont bien d´eﬁnies, pour α ∈ R. Le lecteur trouvera une ´etude d´etaill´ee de la th´eorie des semi-groupes, par exemple dans J. A. Goldstein [Go] ou A. Pazy [Pa].

2 Probl` emes inverses elliptiques

2.1 D´ etermination d’un potentiel dans l’´ equation de Schr¨ odinger : construction de solutions “optique g´ eom´ etrique” Nous consid´erons le probl`eme inverse qui consiste `a d´eterminer q ∈ L∞ (Ω), Ω ´etant un domaine r´egulier de Rn , a` partir de l’op´erateur Dirichlet-Neumann (ou Steklov-Poincar´e) Λq donn´e par : Λq : ϕ → ∂ν u, o` u u est la solution de (−Δ + q)u = 0 dans Ω et u = ϕ sur Γ . Le point cl´e dans la preuve de l’unicit´e pour ce probl`eme inverse est la densit´e de produits de solutions. Pr´ecisons ce que nous entendons par densit´e de produits de solutions. Nous prouvons que u l’espace vectoriel engendr´e par les produits u1 u2 est dense dans L1 (Ω), o` uj , j = 1, 2, d´ecrit l’ensemble des solutions H 2 de (−Δ + qj )uj = 0 dans Ω, qj ∈ L∞ (Ω). Ce dernier r´esultat repose essentiellement sur la construction de solutions “optique g´eom´etrique” pour l’´equation (−Δ+qj )uj = 0. C’est-`a-dire des solutions de la forme uj = e−ix·ξ (1 + wj ), avec ξ ∈ Cn v´eriﬁant ξ · ξ = 0 et wi tend, en norme L2 , vers 0 quand |ξ| tend vers ∞. En d’autres termes, des solutions qui sont des perturbations des exponentielles harmoniques e−ix·ξ . Comme autre application des solutions “optique g´eom´etrique”, nous donnons et d´emontrons un r´esultat de stabilit´e logarithmique pour le probl`eme inverse q → Λq . 2.1.1 Solutions “optique g´ eom´ etrique” et densit´ e des produits de solutions Nous commen¸cons par introduire quelques notations sp´eciﬁques `a ce paragraphe. Nous notons Dj = −i∂j et, pour α = (α1 . . . , αn ) ∈ Nn , Dα = D1α1 . . . Dnαn . Dans ce qui suit, P (D) d´esigne un op´erateur diﬀ´erentiel lin´eaire `a coeﬃcients constants. C’est-` a-dire M. Choulli, Une Introduction aux Probl` emes Invereses Elliptiques et Paraboliqu es, Math´ ematiques et Applications 65. DOI: 10.1007/978-3-642-02460-3 2, c Springer -Verlag Berlin Heidelberg 2009

36

2 Probl`emes inverses elliptiques

P (D) =

aα D α ,

|α|≤m

o` u m ≥ 0 est un entier et aα ∈ C, pour chaque α. Nous associons `a P (D) son symbole P (ξ) :

P (ξ) = aα ξ α , ξ = (ξ1 , . . . ξn ) ∈ Cn . |α|≤m

Nous utiliserons aussi la fonction

1 |Dβ P (ξ)|2 ) 2 . P˜ (ξ) = ( β

Si ξ, η ∈ R et γ ∈ N , nous avons comme cons´equence de la formule de Taylor,

(iξ)β . Dγ P (ξ + η) = Dγ+β P (η) β! n

n

β

Nous d´eduisons de cette derni`ere identit´e qu’il existe une constante positive C, d´ependant uniquement de n et m (le degr´e de P ), telle que P˜ (ξ + η) ≤ (1 + C|ξ|)m , ξ, η ∈ Rn . P˜ (η)

(2.1)

Pour 1 ≤ p ≤ ∞, nous introduisons l’espace Bp,P˜ = {u ∈ S (Rn ); P˜ F u ∈ Lp (Rn )}, que nous munissons de sa norme naturelle : up,P˜ = P˜ F uLp(Rn ) . Rappelons que F d´esigne la transform´ee de Fourier. Notons loc Bp, = {u ∈ S (Rn ); ϕu ∈ Bp,P˜ , ∀ϕ ∈ D(Rn )} P˜

et si O est un ouvert de Rn , nous posons Bp,P˜ (O) = {u = v|O ; v ∈ Bp,P˜ }. Nous utiliserons un peu plus loin le Lemme 2.1. Soient u ∈ B∞,P˜ et v ∈ D(Rn ). Alors uv ∈ B∞,P˜ et uv∞,P˜ ≤ Cu∞,P˜ , o` u C est une constante qui d´epend uniquement de v, n et m (le degr´e de P ).

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

37

Preuve. D’apr`es le Th´eor`eme 1.12, F (uv) = (2π)−n F u ∗ F v. D’o` u P˜ (ξ)F (uv)(ξ) = (2π)−n P˜ (ξ)F (u)(ξ − η)F (v)(η)dη. Cette identit´e, combin´ee avec (2.1), implique |P˜ (ξ)F (uv)(ξ)| ≤ (2π)−n sup |P˜ (τ )F (u)(τ )|

(1 + C|η|)m |F(v)(η)|dη,

τ

o` u la constante C d´epend uniquement de n et m.

Nous ´enon¸cons un r´esultat concernant l’existence d’une solution fondamentale d’un op´erateur diﬀ´erentiel lin´eaire `a coeﬃcients constants. Nous rappelons que F ∈ D (Rn ) est une solution fondamentale de l’op´erateur P (D) si P (D)F = δ, o` u δ est la mesure de Dirac en 0. Nous avons, d’apr`es le Th´eor`eme 10.2.1 de [Hor2] et sa preuve, le loc v´eriﬁant Th´ eor` eme 2.2. P (D) poss`ede une solution fondamentale F ∈ B∞, P˜

∈ B∞,P˜ et il existe une constante positive C, qui d´epend uniquement de n et m, telle que F ˜ ≤ C. (2.2) cosh |x| ∞,P F cosh |x|

Ce th´eor`eme est le point cl´e pour d´emontrer le r´esultat suivant : Th´ eor` eme 2.3. Soit X un ouvert born´e de Rn . Alors il existe E ∈ L(L2 (X)) poss´edant les propri´et´es suivantes : (i) P (D)Ef = f pour tout f ∈ L2 (X), (ii) pour tout op´erateur diﬀ´erentiel lin´eaire Q(D) ` a coeﬃcients constants tel |Q(ξ)| est born´e sur Rn , Q(D)E d´eﬁnit un op´erateur born´e sur L2 (X) et que P˜ (ξ) Q(D)EL(L2 (X)) ≤ C sup

ξ∈Rn

|Q(ξ)| , P˜ (ξ)

o` u C est une constante positive d´ependant uniquement de n, m et X. Preuve. Pour f ∈ L2 (X), nous notons f0 son extension par 0 en dehors de X. loc Soit F ∈ B∞, une solution fondamentale de P (D) ayant la r´egularit´e du P˜ Th´eor`eme 2.2. Nous d´eﬁnissons alors l’op´erateur E comme suit

E : f ∈ L2 (X) → (F ∗ f0 )|X . La propri´et´e (i) r´esulte tout simplement de

38

2 Probl`emes inverses elliptiques

P (D)(F ∗ f0 ) = P (D)F ∗ f0 = δ ∗ f0 = f0 . Nous ﬁxons maintenant ϕ ∈ D(Rn ) telle que ϕ = 1 dans un voisinage de la fermeture de X − X = {x − y; x, y ∈ X}. Nous v´eriﬁons ais´ement que [(ϕF ) ∗ f0 ]|X = [F ∗ f ]|X et donc Q(D)Ef L2 (X) ≤ Q(D)(ϕF ) ∗ f0 L2 (Rn ) = F [Q(D)(ϕF ) ∗ f0 ]L2 (Rn ) . Or F[Q(D)(ϕF ) ∗ f0 ] = Q(ξ)F (ϕF )F f0 . Par suite, Q(D)Ef L2 (X) ≤ Q(ξ)F (ϕF )L∞ (Rn ) f L2 (X) .

(2.3)

Nous utilisons alors l’identit´e Q(ξ)F (ϕF ) =

F Q(ξ) ˜ ], P (ξ)F [(ϕ cosh |x|) ˜ cosh |x| P (ξ)

le Lemme 2.1 et le fait que F satisfait `a (2.2) pour d´eduire Q(ξ)F (ϕF )L∞ (Rn ) ≤ C sup

ξ∈Rn

|Q(ξ)| . P˜ (ξ)

Ceci et (2.3) entrainent alors (ii).

Nous introduisons maintenant la notion d’op´erateur elliptique. On dit que P (D) est elliptique si

aα ξ α = 0 pour tout 0 = ξ ∈ Rn . |α|=m

Nous disposons du r´esultat de r´egularit´e Th´ eor` eme 2.4. Soit X un ouvert born´e de Rn et nous supposons que P (D) est elliptique. Si u ∈ D (X) est telle que P (D)u ∈ L2 (X), alors u ∈ B2,P˜ (X). Ce r´esultat est un cas particulier du Th´eor`eme 11.1.8 de [Hor2]. Ci-dessous, Pa (D), a ∈ (Cn \ Rn ) ∪ {0}, d´esigne l’op´erateur diﬀ´erentiel

Pa (D) = −Δ − ia · ∇ = Dj2 + aj Dj Comme Pa (ξ) = |ξ|2 + a · ξ, Pa (D) est donc elliptique. Rappelons que si Ω est un ouvert born´e de Rn de classe C 2 , alors (voir par exemple J.-L. Lions et E. Magenes [LM]) H 2 (Ω) = {u = v|Ω ; v ∈ H 2 (Rn )}. En notant que P˜a (ξ) ≥ C(1 + |ξ|2 ), C ´etant une constante ind´ependante de ξ, nous obtenons comme cons´equence du Th´eor`eme 2.4 le

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

39

Corollaire 2.5. Si Ω est de classe C 2 et si u ∈ L2 (Ω) v´eriﬁe Pa (D)u ∈ L2 (Ω), alors u ∈ H 2 (Ω). Pour q ∈ L∞ (X), nous posons Sq = {u ∈ H 2 (X), −Δu + qu = 0 dans X}. Comme nous l’avons dit plus haut, le r´esultat de densit´e des produits de solutions, que nous ´enon¸cons un peu plus loin, est fond´e sur la construction de solutions “optique g´eom´etrique” de l’´equation (−Δ + q)u = 0. C’est l’objet de la proposition suivante : Proposition 2.6. Soient X un ouvert born´e de Rn , q ∈ L∞ (X) et M > 0 tels que qL∞ (X) ≤ M . Alors nous pouvons trouver une constante positive C, ne d´ependant que de M , pour laquelle : pour tout ξ ∈ Cn tel que ξ · ξ = 0 et |ξ| > C, il existe wξ ∈ H 2 (X) v´eriﬁant wξ L2 (X) ≤ et

C |ξ| − C

(2.4)

uξ = e−iξ·x (1 + wξ ) ∈ Sq .

Preuve. Clairement, en prolongeant q par 0 en dehors de X, il suﬃt d’´etablir le r´esultat pour Ω ⊃ X de classe C 2 (nous pouvons par exemple prendre pour Ω une boule) et prendre ensuite des restrictions `a X. Notons d’abord que wξ doit ˆetre une solution de l’´equation −Δw + 2iξ · ∇w = −q(1 + w) dans Ω.

(2.5)

Nous posons Pξ (η) = −2ξ · η + η · η. D’apr`es le Th´eor`eme 2.3, il existe Eξ ∈ L(L2 (Ω)) tel que (2iξ · ∇ − Δ)Eξ f = f, pour tout f ∈ L2 (Ω) et 1 P˜ξ (η) K 1 ≤ , ≤ K sup |ξ| η∈Rn |∇Pξ (η)|

Eξ L(L2 (Ω)) ≤ K sup

η∈Rn

o` u la constante K ne d´epend que de n et Ω. Nous consid´erons l’application

(2.6)

40

2 Probl`emes inverses elliptiques

Fξ : L2 (Ω) → L2 (Ω) f → Eξ [−q(1 + f )]. Nous avons KqL∞ (Ω) f − gL2 (Ω) , f, g ∈ L2 (Ω), |ξ|

Fξ f − Fξ gL2 (Ω) ≤

par (2.6). Par suite, Fξ poss`ede un unique point ﬁxe wξ ∈ L2 (Ω) d`es que |ξ| > C = KM . Comme Pξ (D)wξ = −q(1 + wξ ) ∈ L2 (Ω), wξ est dans H 2 (Ω) par le Corollaire 2.5. Pour ﬁnir, nous utilisons wξ L2 (Ω) ≤ Fξ wξ − Fξ 0L2 (Ω) + Fξ 0L2 (Ω) C (wξ L2 (Ω) + 1). ≤ |ξ| Nous utilisons maintenant ce dernier r´esultat pour ´etablir le Th´ eor` eme 2.7. Soit X un ouvert born´e de Rn , n ≥ 3. Si q1 , q2 ∈ L∞ (X) alors F = vect{uv, u ∈ Sq1 , v ∈ Sq2 } est dense dans L1 (X). Nous aurons besoin du Lemme 2.8. Si n ≥ 3, alors pour tout k ∈ Rn et pour tout R > 0, il existe ξ1 , ξ2 ∈ Cn tels que |ξj | ≥ R,

ξj · ξj = 0,

ξ1 + ξ2 = k, j = 1, 2.

(2.7)

Preuve. Soient k1 , k2 ∈ Rn non nuls, orthogonaux a` k et orthogonaux entre eux (notons que ceci n’est possible que si n ≥ 3) tels que |k2 |2 = Nous posons

|k|2 + |k1 |2 . 4

ξ1 = ( k2 + k1 ) + ik2 , ξ2 = ( k2 − k1 ) − ik2 .

(2.8)

Nous v´eriﬁons ais´ement que ξ1 et ξ2 ont les propri´et´es requises d`es que |k2 | est assez grand. Preuve du Th´ eor` eme 2.7. Nous raisonnons par l’absurde. Si F n’´etait pas dense dans L1 (X) alors, par le th´eor`eme de s´eparation de Hahn-Banach (voir

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

41

par exemple H. Br´ezis [Bre] ou L. Schwartz [Sc2]), il existerait f ∈ L∞ (X) non identiquement nulle telle que f gdx = 0, g ∈ F. (2.9) X

Fixons k ∈ Rn , k = 0. D’apr`es le Lemme 2.8, pour R assez grand il existe ξ1 , ξ2 ∈ Cn tels que |ξj | ≥ R,

ξj · ξj = 0,

ξ1 + ξ2 = k, j = 1, 2.

Nous appliquons alors la Proposition 2.6 pour avoir l’existence de wξj ∈ H 2 (X), j = 1, 2, telle que wξj L2 (X) ≤

C , R−C

o` u la constante C est ind´ependante de R, et uj = e−iξj ·x (1 + wξj ) ∈ Sqj . Comme u1 u2 ∈ F , (2.9) implique e−ik·x f dx + zdx = 0, X

(2.10)

X

avec z = e−ik·x (wξ1 + wξ2 + wξ1 wξ2 )f . Or wξj converge vers zero dans L2 (X) quand R tend vers +∞. Par suite, nous passons `a la limite dans (2.10) pour avoir e−ik·x f dx = 0, k ∈ Rn . X

C’est-`a-dire que F f = 0 et donc f = 0, ce qui aboutit a` une contradiction. Nous ´enon¸cons aussi un autre r´esultat de densit´e qui nous sera bien utile pour r´esoudre un probl`eme spectral inverse au paragraphe 2.2. Pour q, q1 , q2 ∈ L∞ (X) et λ, μ ∈ R, nous notons Sq (λ) = {u ∈ H 2 (X); (−Δ + q − λ)u = 0 dans X} et F (q1 , q2 , μ) = vect ∪λ≤−μ Sq1 (λ)Sq2 (λ). Th´ eor` eme 2.9. Soit X un ouvert born´e de Rn , avec n ≥ 2. Soient M > 0, q1 , q2 ∈ L∞ (X) telles que q1 L∞ (X) , q2 L∞ (X) ≤ M . Alors il existe λ0 > 0 qui d´epend uniquement de M et Ω tel que F (q1 , q2 , λ0 ) est dense dans L1 (X). Pour montrer ce th´eor`eme, nous proc´edons de la mˆeme mani`ere que dans la preuve du Th´eor`eme 2.7 ; sauf qu’`a la place de la proposition 2.6 et du Lemme 2.8 nous utilisons la

42

2 Probl`emes inverses elliptiques

Proposition 2.10. Soient M > 0 et q ∈ L∞ (X) telles que qL∞ ≤ M . Alors il existe λ0 > 0, qui d´epend uniquement de M et Ω pour lequel : pour tout λ ≤ −λ0 et pour tout ξ ∈ Cn v´eriﬁant ξ · ξ = λ, il existe wλ,ξ ∈ H 2 (X) telle que C wλ,ξ L2 (Ω) ≤ |λ| u la constante C est ind´ependante de λ et u = e−iξ·x (1 + wλ,ξ ) ∈ Sq (λ), o` et ξ. et le fait que si λ < 0, k ∈ Rn et k1 est orthogonal a` k, avec |k1 |2 = alors ξ1 et ξ2 donn´es par ξ1 =

|k|2 4

+|λ|

k + ik1 et ξ2 = ξ1 2

v´eriﬁent ξ1 · ξ1 = ξ2 · ξ2 = λ et ξ1 + ξ2 = k. Pour la construction des solutions “optique g´eom´etrique” nous nous sommes largement inspir´e de V. Isakov [Isa1]. Dans ce mˆeme article, l’auteur exhibe aussi des solutions “optique g´eom´etrique” pour les op´erateurs (∂t − Δ) + q et (∂tt − Δ) + q, et d’autres. Nous donnons au sous-paragraphe 2.1.4 une construction plus directe qui est due a` P. H¨ahner [Ha]. Nous verrons aussi au sous-paragraphe 2.1.5 une autre fa¸con de construire les solutions “optique g´eom´etrique”, qui sont nulles sur une partie de la fronti`ere. Elle est fond´ee sur une in´egalit´e de Carleman. Signalons aussi que les deux articles de J. Sylvester et G. Uhlmann [SU1], [SU2] contiennent une construction de solutions “optique g´eom´etrique” sur l’espace tout entier, dans des espaces de Sobolev appropri´es. 2.1.2 D´ etermination du potentiel ` a partir de l’op´ erateur DN Soit Ω un domaine born´e de Rn de classe C 2 et de fronti`ere Γ . Si q ∈ L∞ (Ω), nous d´esignons par Aq l’op´erateur Aq = −Δ + q ayant pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). D’apr`es le Th´eor`eme 1.26, si q ∈ L∞ (Ω) est telle que 0 n’est pas une valeur 3 propre de l’op´erateur Aq et si ϕ ∈ H 2 (Γ ), alors le probl`eme aux limites non homog`ene (−Δ + q)u = 0, dans Ω, (2.11) u|Γ = ϕ, admet une unique, solution uq,ϕ ∈ H 2 (Ω) et il existe une constante C, ind´ependante de ϕ, telle que uq,ϕ H 2 (Ω) ≤ Cϕ Il en r´esulte que l’op´erateur

3

H 2 (Γ )

.

(2.12)

2.1 solutions “optique g´eom´etrique” 3

43

1

Λq : ϕ ∈ H 2 (Γ ) → ∂ν uq,ϕ ∈ H 2 (Γ ) est born´e. Le premier r´esultat que nous nous proposons de d´emontrer est le Th´ eor` eme 2.11. Pour i = 1, 2, soit qi ∈ L∞ (Ω) telle que 0 n’est pas valeur propre de Aqi . Si n ≥ 3 alors Λq1 = Λq2 ⇒ q1 = q2 . 3

Preuve. Nous faisons l’hypoth`ese que Λq1 = Λq2 . Soient ϕ ∈ H 2 (Γ ) et v ∈ Sq1 (Sq1 est d´eﬁni au sous-paragraphe pr´ec´edent). Nous montrons sans peine que u = uq1 ,ϕ − uq2 ,ϕ satisfait `a (−Δ + q1 )u = (q2 − q1 )uq2 ,ϕ , dans Ω, (2.13) u|Γ = ∂ν u|Γ = 0. Nous appliquons la formule de Green `a u et v pour avoir 3 (q2 − q1 )uq2 ,ϕ vdx = 0, ϕ ∈ H 2 (Γ ), v ∈ Sq1 . Ω 3

u Or {uq2 ,ϕ ; ϕ ∈ H 2 (Γ )} = Sq2 . D’o` (q2 − q1 )gdx = 0, g ∈ F, Ω

o` u F = {uv; u ∈ Sq1 , v ∈ Sq2 }. Il s’ensuit que q1 = q2 car F est dense dans L1 (Ω) par le Th´eor`eme 2.7. Pour a ∈ W 2,∞ (Ω), a ≥ a0 > 0, nous consid´erons le probl`eme aux limites non homog`ene div(a∇w) = 0, dans Ω, (2.14) w|Γ = ϕ. 1

Notons que si w est une solution H 2 de (2.14) alors v = a 2 w est une solution H 2 de 1 1 (−Δ + a− 2 Δa 2 )v = 0, dans Ω, (2.15) 1 v|Γ = a 2 ϕ, et r´eciproquement. Il en r´esulte que (2.14) admet une unique solution wa,ϕ ∈ H 2 (Ω) et que l’op´erateur 3

1

Σa : ϕ ∈ H 2 (Γ ) → ∂ν wa,ϕ ∈ H 2 (Γ ) est born´e. Dans ce qui suit, nous notons l’ensemble des b ∈ W 2,∞ (Ω) qui v´eriﬁent b ≥ b0 , pour un certain b0 > 0, par W+2,∞ (Ω) et, pour a ∈ W+2,∞ (Ω), nous

44

2 Probl`emes inverses elliptiques 1

1

3

posons qa = a− 2 Δa 2 . Aussi, nous d´esignerons par vqa ,ϕ , ϕ ∈ H 2 (Γ ), la solution H 2 du probl`eme aux limites (−Δ + qa )v = 0, dans Ω, v|Γ = ϕ. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, nous avons 1

∂ν w

1

a,a− 2 ϕ

C’est-`a-dire,

1

= ϕ∂ν a− 2 + a− 2 ∂ν vqa ,ϕ .

1

1

1

Σa (a− 2 ϕ) = ϕ∂ν a− 2 + a− 2 Λqa ϕ.

(2.16)

Comme cons´equence du Th´eor`eme 2.11, nous avons le Corollaire 2.12. Soient a1 , a2 ∈ W+2,∞ (Ω) telles que a1 = a2 , ∇a1 = ∇a2 , sur Γ,

(2.17)

et Σa1 = Σa2 . Alors a1 = a2 . Preuve. Nous avons Λqa1 = Λqa2 par (2.16) et donc qa1 = qa2 par le Th´eor`eme 2.11. C’est-` a-dire, 1 1 −1 −1 (2.18) a1 2 Δa12 = a2 2 Δa22 . 1

1

Nous posons y = a12 − a22 . Nous d´eduisons de (2.18) 1

1

Δy = Δa12 − Δa22 1

−1

1

1

= a12 a2 2 Δa12 − Δa22 1

1

− 12

= a12 Δa22 (a2 Mais −1 a2 2

−

−1 a1 2

1

=

−1

− a1 2 ).

1 1 2

1

1 2

1 2

(a2 + τ [a1 − a2 ])2

0

1

dτ (a12 − a22 ).

En utilisant (2.17), nous concluons que y v´eriﬁe Δy + cy = 0, dans Ω, y = ∂ν y = 0, sur Γ, o` u 1 2

1 2

c = −a1 Δa2

0

1

1 1 2

1

1

(a2 + τ [a12 − a22 ])2

dτ.

Il s’ensuit que y = 0 par le Corollaire 1.38 (unicit´e du prolongement). Par suite, a1 = a2 . L’hypoth`ese (2.17) dans le corollaire 2.12 n’est pas vraiment n´ecessaire. En eﬀet, nous avons

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

45

Th´ eor` eme 2.13. Soient a1 , a2 ∈ W+2,∞ (Ω) telles que a1 − a2 ∈ C 1 (Ω). Si Σa1 = Σa2 alors a1 = a2 et ∇a1 = ∇a2 sur Γ. Ce th´eor`eme sera d´emontr´e au sous-paragraphe 2.3.3. Nous terminons ce paragraphe par un r´esultat de stabilit´e conditionnelle pour le probl`eme inverse qui consiste `a d´eterminer q `a partir de Λq . Th´ eor` eme 2.14. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) v´eriﬁant q1 − q2 ∈ H01 (Ω) et q1 L∞ (Ω) , q2 L∞ (Ω) , q1 − q2 H 1 (Ω) ≤ M. Alors il existe deux constantes positives C, D qui ne d´ependent que de M , n et Ω telles que q1 − q2 L2 (Ω) ≤ C ln

D Λq1 − Λq2

2 − n+2

si Λq1 − Λq2 est assez petit, o` u Λq1 − Λq2 est la norme de Λq1 − Λq2 dans 3 1 2 2 L(H (Γ ), H (Γ )). Avant de donner le preuve de ce th´eor`eme, nous montrons d’abord un lemme. Lemme 2.15. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) v´eriﬁant q1 L∞ (Ω) , q2 L∞ (Ω) ≤ M. Alors il existe r0 > 0 tel que pour tout k ∈ Rn et pour tout r ≥ r0 , nous pouvons trouver u1 ∈ Sq1 et u2 ∈ Sq2 poss´edant les propri´et´es suivantes : (i) pour j = 1, 2, uj = e−iξj ·x (1 + wξj ), avec ξj ∈ Cn , ξj ·ξj = 0 et ξ1 + ξ2 = k, (ii) wξj L2 (Ω) ≤

C |k|+r ,

(iii) uj H 2 (Ω) ≤ Ceδ(r+|k|) , o` u les constantes C et δ ne d´ependent que de M et Ω. Preuve. Rappelons que Pξ (η) = η · η − 2ξ · η. En utilisant l’estimation

P˜ξ2 ≥ |Pξ |2 + |Dj2 Pξ |2 , j

nous arrivons ais´ement `a montrer 2, si, |η| ≤ 4|ξ|, P˜ξ (η) ≥ |η|2 si |η| > 4|ξ|. 2 ,

46

2 Probl`emes inverses elliptiques

Pour 1 ≤ k, l ≤ n, on note Qk (η) = ηk et Qk,l (η) = ηk ηl , η = (η1 , . . . , ηn ) ∈ Rn . Si |ξ| ≥ 1, un calcul simple nous donne sup η∈Rn

|Qk (η)| , P˜ξ (η)

sup η∈Rn

|Qk,l (η)| ≤ 8|ξ|. P˜ξ (η)

(2.19)

1 (|k| + r), Soient k ∈ Rn et ξ1 , ξ2 donn´es par (2.8). Puisque |(ξj )| ≥ 4√ 2 −iξj ·x d’apr`es la Proposition 2.6, il existe uj = e (1 + wj ) ∈ Sqj pourvu que r ≥ r0 , pour un certain r0 ind´ependant de ξj . De plus,

wj L2 (Ω) ≤

C . |k| + r

Or, d’apr`es la preuve de la Proposition 2.6, wj = Eξj (−qj (1 + wj )) ∈ H 2 (Ω). Ceci, (2.19) et le Th´eor`eme 2.3 (ii) entrainent alors wi H 2 (Ω) ≤ C(|k| + r). Il en r´esulte imm´ediatement l’estimation uj H 2 (Ω) ≤ Ceδ(|k|+r) .

Preuve du Th´ eor` eme 2.14. Dans cette d´emonstration C, C , C0 et C1 sont des constantes g´en´eriques. Soit uj ∈ Sqj , j = 1, 2, comme dans le lemme ci-dessus. Nous appliquons alors la formule de Green `a uq2 ,u1|Γ − u1 et u2 pour avoir (q2 − q1 )u1 u2 = [Λq2 − Λq1 ](u1|Γ )u2 . Ω

Γ

Nous en d´eduisons −ik·x (q2 − q1 )e = − (q2 − q1 )e−ik·x (w1 + w2 + w1 w2 ) Ω Ω + [Λq2 − Λq1 ](u1|Γ )u2 . Γ

Si q d´esigne l’extension par 0, en dehors de Ω, de q2 − q1 , nous obtenons |ˆ q (k)| ≤ C(

1 + Λq1 − Λq2 e2δ(|k|+r) ), |k| + r

par les estimations donn´ees au Lemme 2.15. Pour simpliﬁer les notations, nous posons γ = Λq1 − Λq2 et ρ = |k| + r. L’in´egalit´e pr´ec´edente s’´ecrit alors

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

47

1 |ˆ q (k)| ≤ C( + γeCρ ). ρ Si |k| ≤ α, pour ρ0 = r0 + α, le minimum sur [ρ0 , +∞) de la fonction est atteint pour ρ∗ tel que −

1 ρ

+ γeCρ

1 + CγeCρ∗ = 0. ρ2∗

1 −Cρ∗ . Notons que la condition ρ∗ ≥ ρ0 est satisfaite si C’est-`a-dire γ = Cρ 2 e ∗ 1 −Cρ est d´ecroissante. Par suite, si γ γ est assez petit car la fonction ρ → Cρ 2e est assez petit, nous avons

|ˆ q (k)| ≤ C( Or

1 Cγ

1 C C C C + 2 ) ≤ (1 + ) = , si |k| ≤ α. ρ∗ ρ∗ ρ∗ ρ0 ρ∗

= ρ2∗ eCρ∗ ≤ 2e(C+1)ρ∗ et donc C0 1 = γ1 . ≤ ρ∗ ln( C11 γ )

Il en r´esulte que |ˆ q (k)| ≤ Cγ1 , si |k| ≤ α.

D’o` u

|k|≤α

|ˆ q (k)|2 ≤ Cαn γ12 .

(2.20)

D’autre part, comme q ∈ H 1 (Rn ), q2H 1 (Rn ) 1 M2 2 |ˆ q (k)| ≤ 2 |k|2 |ˆ q (k)|2 ≤ ≤ . α |k|>α α2 α2 |k|>α

(2.21)

(2.20) et (2.21) impliquent q2L2 (Rn ) = ˆ q 2L2 (Rn ) ≤ Cαn γ12 +

M2 , pour tout α ≥ 0. α2

Le minimum sur [0, +∞) de la fonction α → Cαn γ12 + tel que 2M 2 γ12 − 3 = 0. nCαn−1 ∗ α∗ 2

M2 α2

est atteint en α∗

1

2M n+2 et donc C’est-`a-dire, α∗ = ( nCγ 2) 1

4

q2L2 (Rn ) ≤ Cγ1n+2 . Pour faire ce sous-paragraphe, nous avons adapt´e les diﬀ´erents r´esultats existant dans la litt´erature. Sp´ecialement, G. Alessandrini [Al1], [Al2], V. Isakov [Isa3], J. Sylvester et G. Uhlmann [SU1], [SU2].

48

2 Probl`emes inverses elliptiques

2.1.3 D´ etermination du potentiel ` a partir d’un op´ erateur DN partiel Soit Ω un domaine born´e de Rn de classe C 2 et de fronti`ere Γ . Soit γ un 3 ferm´e de Γ d’int´erieur non vide. Introduisons Hγ2 (Γ ), le sous-espace ferm´e de 3 H 2 (Γ ), donn´e par 3

3

Hγ2 (Γ ) = {ϕ ∈ H 2 (Γ ); ϕ = 0 sur Γ \ γ}. Rappelons qu’au sous-paragraphe 2.1.2 nous avons not´e Aq , q ∈ L∞ (Ω), l’op´erateur Aq = −Δ + q ayant pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). D’autre part, nous avons vu que si 0 n’est pas dans le spectre de Aq alors 3

1

Λq : ϕ ∈ H 2 (Γ ) → ∂ν uq,ϕ ∈ H 2 (Γ ) d´eﬁnit un op´erateur born´e, o` u uq,ϕ ∈ H 2 (Ω) est la solution du probl`eme aux limites (−Δ + q)u = 0, dans Ω, u|Γ = ϕ. Nous en d´eduisons que l’op´erateur 3

1 Λ˜q : ϕ ∈ Hγ2 (Γ ) → ∂ν uq,ϕ|γ ∈ H 2 (γ)

est aussi born´e. Th´ eor` eme 2.16. Nous supposons que n ≥ 3. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) telles que Γ ∩ supp(q1 − q2 ) = ∅. Alors Λ˜q1 = Λ˜q2 implique q1 = q2 . La d´emonstration de ce th´eor`eme utilise le lemme suivant dans lequel, pour q ∈ L∞ (Ω), nous notons Sq = {u ∈ H 2 (Ω), −Δu + qu = 0 dans Ω}. Lemme 2.17. Soit ω un ouvert de Rn tel que ω ⊂ Ω et Ω \ ω est connexe. Alors S˜q donn´e par S˜q = {u ∈ Sq ; u = 0 sur Γ \ γ} est dense dans Sq , pour la norme de L2 (ω). Preuve. Nous raisonnons par l’absurde. Nous supposons donc qu’il existe v ∈ Sq tel que uv = 0, ∀u ∈ S˜q . (2.22) ω

Soit G = G(x, y) la fonction de Green pour −Δ + q avec une condition de Dirichlet sur le bord. C’est-` a-dire, G(·, y) est la solution du probl`eme aux limites

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

49

(−Δ + q)G(·, y) = δy , dans Ω, G(·, y) = 0, sur Γ.

Si u ∈ S˜q alors une int´egration par parties nous donne u(x) = ∂νy G(x, y)u(y)dσ(y), x ∈ Ω. γ 3

Donc, pour ϕ = u|Γ ∈ Hγ2 (Γ ), nous avons u(x) = ∂νy G(x, y)ϕ(y)dσ(y), x ∈ Ω.

(2.23)

γ 3

Inversement, si u est donn´ee par (2.23) pour un certain ϕ ∈ Hγ2 (Γ ) alors u satisfait a` (−Δ + q)u = 0 dans Ω. D’autre part, nous v´eriﬁons ais´ement, comme ci-dessus, que u ˜ ∈ H 2 (Ω), la solution du probl`eme aux limites (−Δ + q)˜ u = 0, dans Ω, u ˜|Γ = ϕ, est donn´ee par ∂νy G(x, y)ϕ(y)dσ(y), x ∈ Ω.

u˜(x) =

(2.24)

γ

Par suite, u = u˜. En particulier, u = 0 sur Γ \ γ. Nous en d´eduisons que tout 3 ´el´ement de S˜q est donn´e par la formule (2.23) pour un certain ϕ ∈ Hγ2 (Γ ). Par cons´equence, vu (2.22), v(y)∂νy G(x, y)dσ(y) = 0, x ∈ γ. ω

Nous d´eﬁnissons

G(x, y)v(y)dy, x ∈ Ω.

w(x) = ω

Clairement, w ∈ H 2 (Ω), w = ∂ν w = 0 sur γ et v dans ω (−Δ + q)w = v = 0 dans Ω \ ω. Il s’ensuit, d’apr`es le Corollaire 1.38 (unicit´e du prolongement), que w = v dans Ω \ ω, ce qui entraine que w = ∂ν w = 0 sur ∂ω. Mais (−Δ + q)w = v dans ω. Nous multiplions cette ´equation par v et nous faisons une int´egration par parties pour avoir ω v 2 = 0. Donc v = 0 dans ω. Or (−Δ + q)v = 0 dans Ω. Par suite v = 0 par le Th´eor`eme 1.37 (unicit´e du prolongement). Ceci donne la contradiction recherch´ee et termine la preuve.

50

2 Probl`emes inverses elliptiques

Preuve du Th´ eor` eme 2.16. Nous proc´edons de mani`ere similaire `a la preuve du Th´eor`eme 2.11. Pour i = 1, 2, soit ui ∈ S˜qi . D’apr`es la formule de Green, nous avons (q1 − q2 )u1 u2 dx = (∂ν u1 u2 − u1 ∂ν u2 )dσ. (2.25) Ω

γ

Soit v1 ∈ H 2 (Ω) la solution du probl`eme aux limites (−Δ + q1 )v1 = 0, dans Ω, v1|Γ = u2|Γ . Comme Λ˜q1 = Λ˜q2 , nous avons alors ∂ν v1 = ∂ν u2 sur γ. D’autre part, de nouveau par la formule de Green, nous obtenons 0= (q1 − q1 )u1 v1 dx = (∂ν u1 v1 − u1 ∂ν v1 )dσ. Ω

(2.26)

(2.27)

γ

Nous combinons (2.25), (2.26), (2.27) et nous utilisons v1|Γ = u2|Γ pour conclure (q1 − q2 )u1 u2 dx = 0, ui ∈ S˜qi i = 1, 2. ω

Il s’ensuit que (q1 − q2 )u1 u2 dx = 0, ui ∈ Sqi i = 1, 2, ω

par le Lemme 2.17. Nous terminons alors la preuve comme celle du Th´eor`eme 2.11. C’est-` a-dire en utilisant le fait que F = vect{u1 u2 ; ui ∈ Sqi , i = 1, 2} est dense dans L1 (Ω). L` a encore le Th´eor`eme 2.16 s’applique au probl`eme de conductivit´e inverse. Plus pr´ecis´ement, nous consid´erons la d´etermination du coeﬃcient de conductivit´e `a partir d’un op´erateur Dirichlet-Neumann partiel. Nous reprenons les notations de la ﬁn du paragraphe 2.1.2. Pour a ∈ W 2,∞ (Ω), a ≥ a0 > 0, nous consid´erons le probl`eme aux limites non homog`ene div(a∇w) = 0, dans Ω, 3 (2.28) w|Γ = ϕ ∈ Hγ2 (Γ ). Nous avons vu plus haut que ce probl`eme admet une unique solution wa,ϕ ∈ ˜ a par H 2 (Ω). Nous d´eﬁnissons alors l’op´erateur Dirichlet-Neumann partiel Σ 3

˜a : ϕ ∈ Hγ2 (Γ ) → ∂ν wa,ϕ|γ ∈ H 12 (γ). Σ De fa¸con similaire qu’auparavant, nous montrons sans peine

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

˜a (a− 12 ϕ) = ϕ∂ν a− 12 + a− 12 Λ˜qa ϕ, Σ 1

51

(2.29)

1

o` u qa = a− 2 Δa 2 . Pour i = 1, 2, soit ai ∈ W 2,∞ (Ω), ai ≥ a0 > 0, et nous supposons que ˜ a2 et a1 = a2 dans un voisinage de Γ . De la derni`ere identit´e nous ˜ Σa1 = Σ u, q1 = q2 par le Th´eor`eme d´eduisons Λ˜q1 = Λ˜q2 , avec qi = qai , i = 1, 2. D’o` 2.16, ce qui implique, comme au paragraphe 2.1.2, que a1 = a2 . En r´esum´e, nous venons de d´emontrer Th´ eor` eme 2.18. Soient a1 , a2 ∈ W 2,∞ (Ω), ai ≥ a0 > 0, i = 1, 2, telles que ˜ a1 = Σ ˜ a2 implique a1 = a2 . a1 = a2 dans un voisinage de Γ . Alors Σ Les r´esultats de ce paragraphe proviennent essentiellement de H. Ammari et G. Uhlmann [AU]. 2.1.4 Une m´ ethode directe de construction de solutions “optique g´ eom´ etrique” Nous introduisons d’abord quelques d´eﬁnitions. Dans ce qui suit, (e1 , . . . , en ) d´esigne la base canonique de Rn . Notons le cube (−R, R)n par Q et posons Z0 = {α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn ; Observons que

αj R α1 R 1 − ∈ Z et ∈ Z si j ≥ 2}. π 2 π

π π e1 + Zn 2R R si α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Z0 . Z0 =

et donc |α1 | ≥

π 2R

1 (Rn ) est dite Q-p´eriodique si Nous rappelons qu’une fonction u ∈ Hloc

u(· + 2Rej ) = u(·), 1 ≤ j ≤ n. Remarquons qu’une fonction Q-p´eriodique est enti`erement d´etermin´ee par ses 1 (Rn ) des fonctions Q-p´eriodiques sera valeurs dans Q. Le sous-espace de Hloc 1 1 1 not´e Hper (Q). Clairement, Hper (Q) est un sous-espace ferm´e de Hloc (Rn ). 2 Nous d´eﬁnissons aussi Hper (Q) par 2 1 1 (Q) = {u ∈ Hper (Q); ∂j u ∈ Hper (Q), 1 ≤ j ≤ n}. Hper

Nous introduisons aussi les fonctions Z0 -quasi-p´eriodiques. Une fonction iπx1 1 u ∈ Hloc (Rn ) est dite Z0 -quasi-p´eriodique si la fonction x → e− 2R u(x) est 1 Q-p´eriodique. L’ensemble des fonctions, de Hloc (Rn ), Z0 -quasi-p´eriodiques, 1 1 not´e HZ0 (Q), est un sous-espace ferm´e de H (Q). De la mˆeme mani`ere, nous 2 d´eﬁnissons HZ2 0 (Q) comme ´etant l’espace des fonctions de Hloc (Q) qui sont Z0 -quasi-p´eriodiques. Nous v´eriﬁons sans peine que

52

2 Probl`emes inverses elliptiques

HZ1 0 (Q) = e

iπx1 2R

1 Hper (Q) et HZ2 0 (Q) = e

iπx1 2R

2 Hper (Q).

Pour α ∈ Z0 , nous posons ϕα (x) = (2R)− 2 eiα·x . n

(2.30)

Nous v´eriﬁons ais´ement que ϕα est Z0 -quasi-p´eriodique, (ϕα )α∈Z0 est une base hilbertienne de L2 (Q) et ∇ϕα = iαϕα ,

Δϕα = −|α|2 ϕα .

Nous donnons maintenant quelques propri´et´es des fonctions Q-p´eriodiques. 1 Soient u, v ∈ C 1 (Q) ∩ Hper (Q). En remarquant que σ → νj (σ) est antip´eriodique sur ∂Q, 1 ≤ j ≤ n, nous avons uvνj dσ = 0, 1 ≤ j ≤ n ∂Q

et par suite,

∇uvdx = −

u∇vdx.

Q

Q

2 (Q), σ → ∇u(σ) · ν(σ) ´etant anti-p´eriodique, Aussi, pour u, v ∈ C 2 (Q) ∩ Hper nous avons ∂ν uvdσ = 0, u∂ν vdσ = 0. ∂Q

∂Q

D’o` u

Δuvdx =

Q

uΔvdx. Q

Nous nous donnons u, v ∈ C 2 (Q) deux fonctions Z0 -quasi-p´eriodiques. Donc ϕ et ψ, donn´ees par ϕ(x) = e−

iπx1 2R

u(x),

ψ(x) = e−

iπx1 2R

v(x)

sont Q-p´eriodiques et ∇u = e

iπx1 2R

∇ϕ +

iπ iπx1 e 2R ϕe1 , 2R

∇v = e

iπx1 2R

∇ψ +

iπ iπx1 e 2R ψe1 . 2R

Des derni`eres formules, nous d´eduisons iπ (∂ν uv − u∂ν v)dσ = (∂ν ϕψ − ϕ∂ν ψ)dσ + ϕψe1 · νdσ = 0. R ∂Q ∂Q ∂Q De cette identit´e, nous tirons ∇uvdx = − u∇vdx Q

Q

(2.31)

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

et

53

Δuvdx =

Q

uΔvdx.

(2.32)

Q

Un argument classique de densit´e permet d’´etendre (2.31) (resp. (2.32)) a` u, v ∈ HZ1 0 (Q) (resp. u, v ∈ HZ2 0 (Q)). Proposition 2.19. Soient s ∈ R, s = 0, ξ ∈ Rn tel que ξ·e1 = 0 et posons ζ = iξ + se1 . Alors, pour tout f ∈ L2 (Q), il existe un unique ψ ∈ HZ1 0 (Q) ∩ H 2 (Q) tel que −Δψ − 2ζ · ∇ψ = f, dans Q. (2.33) De plus ψL2 (Q) ≤

R f L2 (Q) . π|s|

Preuve. Comme (ϕα )α∈Z0 est une base hilbertienne de L2 (Q), (2.33) est ´equivalente a` −Δψ − 2ζ · ∇ψ, ϕα = f, ϕα , pour tout α ∈ Z0 , o` u ·, · d´esigne le produit scalaire usuel sur L2 (Q). Des formules (2.31) et (2.32), nous d´eduisons −Δψ − 2ζ · ∇ψ, ϕα = (α · α − 2iζ · α)ψ, ϕα , pour tout α ∈ Z0 . Comme |α · α − 2iζ · α| ≥ |(α · α − 2iζ)| = |2sα1 | ≥

|s|π , R

(2.34)

nous concluons ψ, ϕα =

f, ϕα , pour tout α ∈ Z0 . α · α − 2iζ · α

Nous avons donc ψ=

α∈Z0

f, ϕα ϕα α · α − 2iζ · α

et, par (2.34), ψL2 (Q) =

α∈Z0

R2 |f, ϕα |2 ≤ f L2 (Q) . |α · α − 2iζ · α|2 |s|2 π 2

Pour terminer, nous notons que ψ ∈ H 2 (Q) r´esulte tout simplement des r´esultats de r´egularit´e elliptique.

54

2 Probl`emes inverses elliptiques

Corollaire 2.20. Soit ζ = iξ + η, avec ξ, η ∈ Rn v´eriﬁant ξ · η = 0 et η = 0. Si X est un ouvert born´e de Rn , alors il existe un op´erateur born´e Eζ : L2 (X) → H 2 (X) tel que ψ = Eζ (f ) ∈ H 2 (X) est solution de −Δψ − 2ζ · ∇ψ = f.

(2.35)

De plus Eζ L(L2 (X),H 2 (X)) ≤

C , |η|

o` u C est une constante, ind´ependante de ξ et η. Preuve. Sans perte de g´en´eralit´e, nous supposons que 0 ∈ X. Fixons alors un R > 0 tel que pour toute rotation S de Rn autour de l’origine, S(X) ⊂ Q = (−R, R)n . Nous nous donnons η ∈ Rn , η = 0, nous posons s = |η| et nous consid´erons S une rotation autour de l’origine telle que Se1 = ηs . Pour f ∈ L2 (X), nous notons son prolongement, sur Rn tout entier, par 0 en dehors de X par f0 . 1 1 (Rn ) alors v(x) = u(Sx) ∈ Hloc (Rn ) et v´eriﬁe Si u ∈ Hloc

ζ0 · ∇v(x) = (Sζ0 ) · (∇u)(Sx),

Δv(x) = Δu(x),

o` u ζ0 = iS ∗ ξ + S ∗ η. Donc pour trouver une solution de (2.35), il suﬃt de r´esoudre v ∈ H 2 (Q) ∩ HZ1 0 (Q),

−Δv − 2ζ0 · ∇v = g,

o` u g(x) = f0 (Sx). D’apr`es la Proposition 2.19, ce dernier probl`eme admet une unique solution telle que vL2 (Q) ≤

C gL2(Q) . s

Il suﬃt de poser Eζ (f ) = (v ◦ S ∗ )|X , qui poss`ede bien les propri´et´es requises. Proposition 2.21. Soit ζ = iξ + η, avec ξ, η ∈ Rn v´eriﬁant ξ · η = 0 et η = 0. Si X est un ouvert born´e de Rn et q ∈ L∞ (X), qL∞ (X) ≤ M , avec M une constante positive donn´ee, alors nous trouvons une constante K > 0, qui ne d´epend que de M , pour laquelle pour tous |η| ≥ K et f ∈ L2 (X), il existe ψ ∈ H 2 (X) v´eriﬁant −Δψ − 2ζ · ∇ψ + qψ = f (2.36) et ψL2 (X) ≤

C f L2 (X) , |η|

o` u C est une constante, ind´ependante de ξ et η et f .

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

55

Preuve. Notons que l’´equation (2.36) est ´equivalente a` −Δψ − 2ζ · ∇ψ = −qψ + f. Si Eζ est l’op´erateur du Corollaire 2.20, nous sommes donc ramen´es `a r´esoudre ψ = Fζ (ψ) = Eζ (f ) − Eζ (qψ). Nous avons Eζ ≤

C |η| .

(2.37)

Donc si |η| ≥ 2CM alors

1 ψ1 − ψ2 L2 (X) , 2 pour tous ψ1 , ψ2 ∈ L2 (X). Donc, Fζ ´etant une contraction stricte sur L2 (X), (2.37) admet une unique solution ψ ∈ L2 (X), et comme Eζ envoie L2 (X) dans H 2 (X), ψ ∈ H 2 (X). Finalement, Fζ (ψ1 ) − Fζ (ψ2 )L2 (X) = Eζ (qψ1 ) − Eζ (qψ2 )L2 (X) ≤

ψL2 (X) ≤ D’o` u, puisque

CM |η|

C CM f L2(X) + ψL2 (X) . |η| |η|

≤ 12 , ψL2 (X) ≤

2C f L2(X) , |η|

ce qui termine la preuve. Les r´esultats de ce sous-paragraphe sont dus `a [Ha]. 2.1.5 Construction de solutions “optique g´ eom´ etrique” ` a l’aide d’une in´ egalit´ e de Carleman

Soit Ω un domaine born´e de Rn , de fronti`ere Γ . Mˆeme si ce n’est pas toujours n´ecessaire, nous supposerons que Ω est de classe C 2 . Pour ξ ∈ S n−1 = {η ∈ Rn ; |η| = 1}, nous introduisons les ensembles Γ± (ξ) = {x ∈ Γ ; ±ν(x) · ξ > 0}. Dans tout ce sous-paragraphe, les fonctions que nous consid´ererons seront a valeurs complexes. ` Nous commen¸cons par d´emontrer la Proposition 2.22. Pour tout λ > 0 et pour tout u ∈ C 2 (Ω), u = 0 sur Γ , 4λ2 −2λ(x·ξ) 2 e |u| dx + 2λ e−2λ(x·ξ) (ξ · ν)|∂ν u|2 dσ m2 Ω Γ+ (ξ) e−2λ(x·ξ) |Δu|2 dx ≤ Ω − 2λ e−2λ(x·ξ) (ξ · ν)|∂ν u|2 dσ, (2.38) Γ− (ξ)

o` u m = sup{|x|; x ∈ Ω}.

56

2 Probl`emes inverses elliptiques

Preuve. Soient λ > 0, u ∈ C 2 (Ω) u = 0 sur Γ et v = e−λ(x·ξ) u. Si L = e−λ(x·ξ) Δeλ(x·ξ) = Δ + 2λξ · ∇ + λ2 , alors |e−λ(x·ξ) Δu|2 = |Lv|2 .

(2.39)

Nous ´ecrivons L = L+ + L− , avec L+ = Δ + λ2 et L− = 2λξ · ∇. Donc |Lv|2 = |L+ v|2 + |L− v|2 + 2(L+ vL− v). Nous utilisons la formule 2(ξ · v∇v) = ξ · ∇(|v|2 ) pour avoir 2 (ξ · v∇v)dx = ξ · ∇(|v|2 )dx = (ξ · ν)|v|2 dσ = 0, Ω

Ω

car v = 0 sur Γ . D’autre part, pour 1 ≤ i, j ≤ n, 2 2 (∂ii v∂j vξj )dx = −2 (∂i v∂ij vξj )dx + 2 2 Ω

(2.40)

Γ

Ω

(∂i v∂j vξj )νi dσ

∂Ω

2 et donc, puisque 2(∂i v∂ij v) = ∂j (|∂i v|2 ),

(div(|∇v|2 ξ)dx + 4λ (∂ν v∇v · ξ)dσ Γ Ω |∇v|2 (ξ · ν)dσ + 4λ (∂ν v∇v · ξ)dσ. = −2λ

(Δv(ξ · ∇v))dx = −2λ

4λ Ω

Γ

Γ

Or v = 0 sur Γ . Donc son gradient tangentiel est nul sur Γ . D’o` u, ∇v = ∂ν vν et par cons´equence Δv(ξ · ∇v)dx = 2λ |∂ν v|2 (ξ · ν)dσ 4λ Ω Γ = 2λ (e−2λ(x·ξ) |∂ν u|2 (ξ · ν))dσ. (2.41) Γ

(2.40) et (2.41) impliquent 2 (L+ vL− v)dx = 4λ (Δv(ξ · ∇v))dx + 4λ3 (ξ · v∇v) Ω Ω Ω = +2λ e−2λ(x·ξ) |∂ν u|2 (ξ · ν)dσ. (2.42) Γ

Maintenant, d’apr`es la Proposition 1.22, nous avons 4λ2 4λ2 |L− v|2 dx = 4λ2 |∇v|2 dx ≥ 2 |v|2 dx = 2 e−2λ(x·ξ) |u|2 dx. m m Ω Ω Ω Ω (2.43) Vu (2.42) et (2.43), nous obtenons

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

e−2λ(x·ξ) |Δu|2 dx =

57

|Lv|2 dx

|L− v|2 + 2 (L+ vL− v)dx Ω Ω 4λ2 e−2λ(x·ξ) |u|2 dx + 2λ e−2λ(x·ξ) |∂ν u|2 (ξ · ν)dσ, ≥ 2 m Ω Γ

Ω

Ω

≥

ce qui entraine (2.38). Comme cons´equence de cette proposition, nous avons le

Corollaire 2.23. (In´egalit´e de Carleman) Soient q ∈ L∞ (Ω) et M ≥ qL∞ . Alors il existe deux constantes positives λ0 et C, qui ne d´ependent que de Ω et M , telles que : pour tout λ ≥ λ0 et pour tout u ∈ C 2 (Ω), u = 0 sur Γ , 2 −2λ(x·ξ) 2 e |u| dx + λ e−2λ(x·ξ) (ξ · ν)|∂ν u|2 dσ Cλ Ω Γ+ (ξ) e−2λ(x·ξ) |(Δ − q)u|2 dx ≤ Ω −λ e−2λ(x·ξ) (ξ · ν)|∂ν u|2 dσ. (2.44) Γ− (ξ)

Preuve. Pour u ∈ C 2 (Ω), u = 0 sur Γ , nous avons |Δu|2 ≤ 2|(Δ − q)u|2 + 2q2L∞ |u|2 ≤ 2|(Δ − q)u|2 + 2M 2 |u|2 . Vu la Proposition 2.22, il suﬃt de choisir λ0 telle que 0 < poser 2C =

4 m2

−

4 m2

2M 2 . λ20

−

2M 2 λ20

et de

Nous ﬁxons ξ ∈ S n−1 jusqu’` a la ﬁn de la preuve du Lemme 2.24 et soit q ∈ L∞ (Ω). Pour λ ∈ R, nous munissons L2 (Ω) du produit scalaire ´equivalent (·, ·)λ donn´e par (f, g)λ = e2λ(x·ξ) f (x)g(x)dx. Ω

La norme associ´ee `a ce produit scalaire sera not´ee · λ . Quand L2 (Ω) est muni du produit scalaire (·, ·)λ , nous le noterons L2λ (Ω). Clairement, le dual de L2λ (Ω) s’identiﬁe a` L2−λ (Ω). Plus pr´ecis´ement, pour tout ϕ ∈ L2λ (Ω) , il existe un unique g ∈ L2−λ (Ω) telle que ϕ(f ) = (g, f )0 pour tout f ∈ L2λ (Ω). Soit X = {w ∈ C 2 (Ω); w|Γ = 0 et ∂ν w|Γ+ (ξ) = 0}. Nous consid´erons alors Y le sous-espace de L2λ (Ω) donn´e par Y = (−Δ + q)X .

58

2 Probl`emes inverses elliptiques

Lemme 2.24. Il existe deux constantes positives λ0 et K, qui ne d´ependent que de Ω et M , M ≥ qL∞ (Ω) , telles que pour tout λ ≥ λ0 et pour tout f ∈ L2 (Ω), il existe v ∈ HΔ (Ω) v´eriﬁant (−Δ + q)v = f, dans Ω, v|Γ− (ξ) = 0, et v−λ ≤

K f −λ . λ

Preuve. Soient λ0 et C (qui d´ependent uniquement de Ω et M ) les deux constantes du Corollaire 2.23. L’in´egalit´e de Carleman (2.44), avec −ξ `a la a la place q, nous donne place de ξ et q ` Cλ2 w2λ ≤ (−Δ + q)w2λ ,

(2.45)

pour tout λ ≥ λ0 et pour tout w ∈ X . Notons que, pour ´etablir (2.45), nous avons utilis´e Γ− (ξ) = Γ+ (−ξ). Nous d´eﬁnissons sur Y la forme anti-lin´eaire l comme suit l : Y → C : l((−Δ + q)w) = (f, w)0 , w ∈ X . Nous remarquons que l, donn´ee comme ci-dessus, est bien d´eﬁnie. En eﬀet, si w1 , w2 ∈ X sont telles que (−Δ + q)w1 = (−Δ + q)w2 alors w1 = w2 par (2.45). De plus, (2.45) nous fournit aussi |l((−Δ + q)w)| ≤ f −λ wλ ≤

f −λ √ (−Δ + q)wλ , ∀w ∈ X . λ C

C’est-`a-dire,

f −λ √ hλ , h ∈ Y. (2.46) λ C En d’autres termes, l est continue sur Y. Nous invoquons alors le th´eor`eme de prolongement de Hahn-Banach (voir [Sc2] par exemple) pour conclure que l se prolonge en une forme anti-lin´eaire continue, encore not´ee l, sur L2λ (Ω). D’o` u, il existe un unique v ∈ L2−λ (Ω) tel que |l(h)| ≤

v−λ = l,

(2.47)

l ´etant la norme de l comme ´el´ement de L2λ (Ω) , et l(w) = (v, w)0 , w ∈ L2λ (Ω). En particulier, (f, w)0 = (v, (−Δ + q)w)0 , w ∈ X . De plus (2.46) et (2.47) impliquent

(2.48)

2.1 solutions “optique g´eom´etrique”

59

1 v−λ ≤ √ f −λ . λ C Comme D(Ω) ⊂ X , nous d´eduisons, de fa¸con standard, de (2.48) que (−Δ + q)v = f, dans D (Ω), et par suite v ∈ HΔ (Ω). Nous utilisons ensuite la formule d’int´egration par parties du Th´eor`eme 1.20 et (2.48) pour d´eduire v∂ν w = 0, pour tout w ∈ X , Γ

et donc v = 0 sur Γ− (ξ). Nous utilisons maintenant ce lemme pour d´emontrer la

Proposition 2.25. Soient q ∈ L∞ (Ω) et M ≥ qL∞ (Ω) . Nous pouvons alors trouver deux constantes positives λ0 et C, ne d´ependant que de M et Ω, telles que : pour tout λ ≥ λ0 et pour tout ρ = λ(ξ + iη), avec ξ, η ∈ S n−1 , ξ · η = 0, il existe u ∈ HΔ (Ω) telle que (−Δ + q)u = 0 dans Ω et u = eρ·x (1 + w), o` u w ∈ HΔ (Ω) v´eriﬁe C . λ Preuve. Soient λ0 , K comme dans le Lemme 2.24 et soit λ ≥ λ0 . Il existe alors v ∈ HΔ (Ω) telle que (−Δ + q)v = −qeρ·x , dans Ω, v|Γ− (ξ) = 0, w|Γ− (ξ) = 0 et wL2 (Ω) ≤

et

K qeρ·x −λ . λ = eρ·x (1 + w), nous v´eriﬁons sans diﬃcult´e que

v−λ ≤ Si w = e−ρ·x v et u = v + eρ·x

1

w

L2 (Ω)

= e

−ρ·x

v

L2 (Ω)

1

K K|Ω| 2 K|Ω| 2 M qL∞ ≤ , = v−λ ≤ qeρ·x −λ ≤ λ λ λ

(−Δ + q)u = 0 dans Ω et w|Γ− (ξ) = 0.

Les r´esultats de ce paragraphe correspondent `a une partie de l’article de A. L. Bukhgeim et G. Uhlmann [BU]. Dans ce mˆeme article, les auteurs utilisent les solutions “optique g´eom´etrique”, donn´ees par la Proposition 2.25, pour d´emontrer l’unicit´e de q dans −Δ + q, a` partir d’un op´erateur DirichletNeumann partiel. C’est un r´esultat qui g´en´eralise le Th´eor`eme 2.6. Le lecteur int´eress´e pourra consulter l’article original pour les ´enonc´es pr´ecis et les d´emonstrations (voir aussi le Probl`eme 5).

60

2 Probl`emes inverses elliptiques

2.2 Un probl` eme spectral inverse : un th´ eor` eme de Borg-Levinson multidimensionnel 2.2.1 Unicit´ e Dans ce sous-paragraphe Ω est un domaine born´e de Rn de classe C 2 . Nous notons sa fronti`ere par Γ . Comme au paragraphe pr´ec´edent, Aq , q ∈ L∞ (Ω), est l’op´erateur −Δ + q ayant pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Nous rappelons que le spectre de Aq est constitu´e de valeurs propres, compt´ees avec leur multiplicit´e, −∞ < λ1,q ≤ λ2,q ≤ . . . ≤ λk,q → +∞, et que Aq poss`ede une base de fonctions propres (ϕk,q ). Nous verrons plus loin 1 que, pour chaque k, ϕk,q ∈ H 2 (Ω) et donc ∂ν ϕk,q ∈ H 2 (Γ ). Notre objectif ici est de d´emontrer le Th´ eor` eme 2.26. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) et (ϕk,q1 ) une base de fonctions propres de Aq1 . Nous supposons que, pour tout k, λk,q1 = λk,q2 et qu’il existe (ϕk,q2 ) une base de fonctions propres de Aq2 telle que ∂ν ϕk,q1 = ∂ν ϕk,q2 pour chaque k. Alors q1 = q2 . Nous montrons d’abord quelques r´esultats pr´eliminaires. Dans la suite, pour q ∈ L∞ (Ω), σ(Aq ) et ρ(Aq ) d´esignent respectivement le spectre et l’ensemble r´esolvant de Aq , c’est-`a-dire, σ(Aq ) = {λk,q , k ≥ 1} et ρ(Aq ) = C\σ(Aq ). 3

D’apr`es le Th´eor`eme 1.26, si λ ∈ ρ(Aq ) et si f ∈ H 2 (Γ ) alors il existe un unique uq,f (λ) solution du probl`eme aux limites −Δu + qu − λu = 0, dans Ω, u = f, sur Γ, et l’op´erateur Λq (λ) : f → ∂ν uq,f (λ) 3 2

1

est born´e de H (Γ ) dans H 2 (Γ ). Soient maintenant q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) et λ ∈ R tels que λ < 0 et |λ| ≥ 2M , o` u M ≥ max(q1 L∞ , q2 L∞ ). Nous posons u = uq1 ,f (λ) − uq2 ,f (λ). Alors il est ais´e de voir que u est la solution du probl`eme aux, limites −Δu + q1 u − λu = (q2 − q1 )uq2 ,f (λ), dans Ω, u = 0, sur Γ.

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

Par une application de la formule de Green, nous obtenons |∇u|2 + (q1 − λ)u2 = (q2 − q1 )uq2 ,f (λ)u. Ω

D’o` u

Ω

61

(2.49)

Ω

|λ| uL2 (Ω) ≤ q1 − q2 L∞ (Ω) uq2 ,f (λ)L2 (Ω) 2

et donc uL2(Ω) ≤

4M uq2 ,f (λ)L2 (Ω) . |λ|

(2.50)

u v0 et v1 sont les solutions D’autre part, nous avons uq2 ,f (λ) = v0 + v1 , o` respectives des probl`emes aux limites −Δv = 0, dans Ω, v = f, sur Γ, et

−Δv + q2 v − λv = (λ − q2 )v0 , dans Ω, v = 0, sur Γ.

Comme pr´ec´edemment, nous avons l’estimation v1 L2 (Ω) ≤

4q2 − λL∞ (Ω) v0 L2 (Ω) ≤ 8v0 L2 (Ω) . |λ|

Or, d’apr`es le Th´eor`eme 1.26, v0 L2 (Ω) ≤ Cf 32 , o` u C d´epend uniqueH (Γ ) ment de Ω. Il en r´esulte que uq2 ,f (λ)L2 (Ω) ≤ Cf

3

H 2 (Γ )

.

(2.51)

Cette estimation, en combinaison avec (2.50), entraine uL2(Ω) ≤

C f 32 . H (Γ ) |λ|

(2.52)

Une nouvelle application de l’estimation du Th´eor`eme 1.26 conduit a` uH 2 (Ω) ≤ C(|λ|uL2 (Ω) + q2 − q1 L∞ (Ω) uq2 ,f (λ)L2 (Ω) ). Ceci, (2.51) et (2.52) impliquent uH 2 (Ω) ≤ Cf

3

H 2 (Γ )

,

(2.53)

o` u la constante C ne d´epend que de Ω et M . Nous faisons alors appel a` l’in´egalit´e d’interpolation

62

2 Probl`emes inverses elliptiques 1− s

s

2 2 uH s (Ω) ≤ CuL2 (Ω) uH 2 (Ω) , 0 ≤ s ≤ 2,

pour conclure que uH s (Ω) ≤

C 3 , 0 ≤ s ≤ 2, s f H 2 (Γ ) |λ|1− 2

o` u C est une constante qui d´epend uniquement de Ω, M et s. Nous en d´eduisons que, pour 0 ≤ t ≤ 12 , ∂ν uH t (Γ ) ≤

C |λ|

1−2t 4

f

3

H 2 (Γ )

, 3

car l’op´erateur de trace w → ∂ν w|Γ est born´e de H t+ 2 (Ω) dans H t (Γ ). Par 3 suite, · t d´esignant la norme dans L(H 2 (Γ ), H t (Γ )), Λq1 (λ) − Λq2 (λ)t ≤

C |λ|

1−2t 4

.

En particulier, nous avons le Lemme 2.27. Pour 0 ≤ t < 12 , lim Λq1 (λ) − Λq2 (λ)t = 0.

λ→−∞

Les espaces H s (Ω), 0 ≤ s ∈ R, se construisent `a partir des espaces H (Ω), m entier positif, par interpolation. Pour 0 < s < 1 et m ≥ 0 entier, H m+s (Ω) constitue un espace interm´ediaire entre H m (Ω) et H m+1 (Ω). Le lecteur int´eress´e pourra consulter J.-L. Lions et E. Magenes [LM] pour avoir plus de d´etails sur la construction des espaces H s (Ω), ainsi que les th´eor`emes de traces pour ces espaces. m

Nous ´enon¸cons maintenant un second lemme. Lemme 2.28. Soit q ∈ L∞ (Ω). Alors pour tout entier m > 3 f ∈ H 2 (Γ ) et pour tout λ ∈ ρ(Aq )

n 2,

pour tout

dm 1 Λ (λ)f = −m! f, ∂ν ϕk,q ∂ν ϕk,q , q dλm (λk,q − λ)m+1 k≥1

o` u f, ∂ν ϕk,q =

f ∂ν ϕk,q dσ. Γ

Preuve. Pour λ ∈ ρ(Aq ), nous posons Rq (λ) = (Aq − λ)−1 . D’apr`es la Proposition 2.30 ci-dessous, Rq (λ)h =

k≥1

1 (h, ϕk,q )ϕk,q , h ∈ L2 (Ω), λk,q − λ

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

63

(·, ·) d´esignant le produit scalaire dans L2 (Ω) et λ ∈ ρ(Aq ) → Rq (λ) ∈ L(L2 (Ω), H 2 (Ω)) est holomorphe. 3

Soient f ∈ H 2 (Γ ) et F la solution du probl`eme aux limites −Δu = 0, dans Ω, u = f, sur Γ. Nous v´eriﬁons facilement que uq,f (λ) = F − Rq (λ)[(q − λ)F ] et donc λ ∈ ρ(Aq ) → uq,f (λ) est holomorphe. D’autre part, il est ais´e de voir dm que u(m) = dλ m uq,f (λ), m ≥ 1, est la solution de −Δu + qu − λu = mu(m−1) , dans Ω, u = 0, sur Γ. C’est-`a -dire, u(m) = mRq (λ)um−1 = . . . = m!Rq (λ)m u0 , ou encore u(m) = m!Rq (λ)m {F − Rq (λ)[(q − λ)F ]}.

(2.54)

A l’aide de la formule de Green et de l’identit´e (q − λ)ϕk,q = (λk,q − λ)ϕk,q + Δϕk,q , nous obtenons ((q − λ)F, ϕk,q ) = (λk,q − λ)(F, ϕk,q ) + f, ∂ν ϕk,q . Il s’ensuit que Rq (λ)m+1 [(q − λ)F ] =

k≥1

1 ((q − λ)F, ϕk,q )ϕk,q (λk,q − λ)m+1

= Rq (λ)m F +

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q ϕk,q . (λk,q − λ)m+1

Nous admettons pour le moment que la s´erie ci-dessus est convergente dans H 2 (Ω) pour m > n2 . (2.54) entraine alors u(m) (λ) = −m!

k≥1

(λk,q

1 f, ∂ν ϕk,q ϕk,q . − λ)m+1

Par suite,

1 dm Λq (λ)f = ∂ν u(m) (λ) = −m! f, ∂ν ϕk,q ∂ν ϕk,q . m dλ (λk,q − λ)m+1 k≥1

64

2 Probl`emes inverses elliptiques

Pour compl´eter la preuve, il nous reste `a montrer la convergence dans 1 H 2 (Ω) de la s´erie de terme g´en´eral (λk,q −λ) m+1 f, ∂ν ϕk,q ϕk,q . Nous rappelons d’abord que si (μk ) est la suite des valeurs propres de A0 (i.e. Aq avec q = 0), alors il existe deux constantes positives C1 et C2 , qui d´ependent uniquement de Ω, telles que 2 2 (2.55) C1 k n ≤ μk ≤ C2 k n . (Le lecteur trouvera une d´emonstration de ces estimations dans O. Kavian [Ka1].) D’autre part, nous montrons facilement, `a l’aide de la formule du min-max (voir par exemple R. Dautray et J.-L. Lions [DL]) pour les valeurs propres, que μk ≤ λk,q + qL∞ (Ω) ≤ μk + 2qL∞ (Ω) . Ceci, combin´e avec le fait ϕk,q H 2 (Ω) ≤ C|λk,q |ϕk,q L2 (Ω) = C|λk,q | (voir le Th´eor`eme 1.26), conduit a`

1 1 f, ∂ν ϕk,q ϕk,q H 2 ∼ 2m quand k → +∞. (λk,q − λ)m+1 k n

Ce qui ach`eve la d´emonstration. 3 2

Preuve du Th´ eor` eme 2.26. Soit f ∈ H (Γ ). D’apr`es le lemme 2.28, il existe λ0 > 0 tel que n dm [Λq1 (λ)f − Λq2 (λ)f ] = 0 pour tous m > , et λ ≤ −λ0 , dλm 2 et donc Λq1 (λ)f − Λq2 (λ)f est un polynˆ ome en λ. D’o` u Λq1 (λ)f − Λq2 (λ)f = 0 pour tout λ ≤ −λ0 par le Lemme 2.27. Pour conclure, nous utilisons le th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 2.29. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω). Nous supposons qu’il existe λ0 > 0 tel que Λq1 (λ) = Λq2 (λ) pour tout λ ≤ −λ0 . Alors q1 = q2 . La d´emonstration de ce th´eor`eme est quasi-similaire `a celle du Th´eor`eme 2.11 sauf qu’il faut utiliser le Th´eor`eme 2.9 `a la place du Th´eor`eme 2.7. Nous terminons ce paragraphe par la preuve du r´esultat que nous avons utilis´e pour d´emontrer le Lemme 2.28. Proposition 2.30. i) Pour tout λ ∈ ρ(Aq ) et pour tout h ∈ L2 (Ω), Rq (λ)h =

k≥1

1 (h, ϕk,q )ϕk,q . λk,q − λ

ii) Soit λ ∈ ρ(Aq ). Alors il existe deux constantes δ > 0 et C > 0 pour lesquelles

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

65

Rq (λ + μ) − Rq (λ) − μRq (λ)2 L(L2 (Ω),H 2 (Ω)) ≤ C|μ|2 , ∀μ ∈ C, |μ| ≤ δ. (2.56) En particulier, λ ∈ ρ(Aq ) → Rq (λ) ∈ L(L2 (Ω), H 2 (Ω)) est holomorphe. Preuve. i) Nous ﬁxons λ ∈ ρ(Aq ) et h ∈ L2 (Ω). Pour 1 ≤ k < l, nous avons (−Δ + q − λ)

l

i=k

1 (h, ϕi,q )ϕi,q = (h, ϕi,q )ϕi,q . λi,q − λ l

i=k

Ceci et le Th´eor`eme 1.26 nous permettent de conclure qu’il existe une constante C > 0 (qui d´epend de q et λ) telle que

l

i=k

l l

1 1 (h, ϕi,q )ϕi,q H 2 (Ω) ≤ C (h, ϕi,q )ϕi,q L2 (Ω) = C( (h, ϕi,q )2 ) 2 . λi,q −λ i=k

i=k

Or la s´erie de terme g´en´eral (h, ϕi,q )2 converge vers h2L2 (Ω) et donc la s´erie de terme g´en´eral λi,q1−λ (h, ϕi,q )ϕi,q converge vers sa somme dans H 2 (Ω), qui est aussi un ´el´ement de H01 (Ω). Nous utilisons maintenant le fait que (−Δ + q − λ)[Rq (λ)h −

i≤k

1 (h, ϕi,q )ϕi,q ] = h − (h, ϕi,q )ϕi,q , λi,q − λ i≤k

et de nouveau le Th´eor`eme 1.26 pour d´eduire que Rq (λ)h −

i≤k

1 (h, ϕi,q )ϕi,q H 2 (Ω) ≤ Ch − (h, ϕi,q )ϕi,q L2 (Ω) . λi,q − λ i≤k

Le r´esultat s’ensuit alors puisque le membre de droite dans l’in´egalit´e ci-dessus converge vers 0 quand k tend vers +∞. ii) Soit λ ∈ ρ(Aq ). Ce dernier ´etant ouvert, il existe donc δ > 0 tel que λ + μ ∈ ρ(Aq ) pour tout μ ∈ C, |μ| ≤ δ. Comme u = Rq (λ + μ)h, h ∈ L2 (Ω) et |μ| ≤ δ, v´eriﬁe (−Δ + q − λ)u = μu + h, nous avons alors Rq (λ + μ) = μRq (λ)Rq (λ + μ) + Rq (λ). D’o` u, Rq (λ + μ) − Rq (λ) − μRq (λ)2 = μRq (λ)[Rq (λ + μ) − Rq (λ)]. Nous utilisons encore une fois le Th´eor`eme 1.26 (appliqu´e `a u = Rq (λ)[Rq (λ + μ) − Rq (λ)]h) pour conclure que

66

2 Probl`emes inverses elliptiques

[Rq (λ + μ) − Rq (λ) − μRq (λ)2 ]hH 2 (Ω) ≤ C|μ|[Rq (λ + μ) − Rq (λ)]hL2 (Ω) , (2.57) o` u C est une constante ind´ependante de μ. D’autre part, pour h ∈ L2 (Ω), [Rq (λ + μ) − Rq (λ)]h = μ

(λk,q

k≥1

1 (h, ϕk,q )ϕk,q − λ − μ)(λk,q − λ)

et donc [Rq (λ + μ) − Rq (λ)]hL2 (Ω) ≤ KhL2(Ω) ,

(2.58)

1 (λk,q −λ−μ)(λk,q −λ)

uniform´ement en k avec K > 0 une constante qui majore et μ. Nous combinons (2.57) et (2.58) pour avoir (2.56). Le Th´eor`eme 2.26 a ´et´e d´emontr´e ind´ependamment par A. Nachman, J. Sylvester, G. Uhlmann [NSU] et R. G. Novikov [No]. La d´emonstration, de ce th´eor`eme, que nous donnons ici suit les grandes lignes de celle propos´ee dans [NSU]. Nous verrons au sous-paragraphe 2.2.4 un r´esultat dˆ u a` H. Isozaki [Iso] qui dit que la conclusion du Th´eor`eme 2.26 reste valable seulement avec λk,q1 = λk,q2 et ∂ν ϕk,q1 = ∂ν ϕk,q2 ` a partir d’un certain rang. 2.2.2 Stabilit´ e Les notations sont celles du paragraphe pr´ec´edent. Soient 0 ≤ q ∈ L∞ (Ω), (λk,q ) la suite des valeurs propres de l’op´erateur Aq et (ϕk,q ) une base oru, rappelons le, Aq est l’op´erateur thonormale de fonctions propres pour Aq o` −Δ + q avec pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Dans ce qui suit C est une constante g´en´erique ne d´ependant que de Ω et q. Puisque ϕk,q est solution du probl`eme aux limites (−Δ + q)ϕ = λn,q ϕ, dans Ω, ϕ|Γ = 0, alors, d’apr`es le Th´eor`eme 1.26, elle v´eriﬁe ϕk,q H 2 (Ω) ≤ Cλk,q ϕk,q L2 (Ω) = Cλk,q et donc ∂ν ϕk,q

1

H 2 (Γ )

≤ Cλk,q .

2

Mais λk,q ≤ Ck n (voir (2.55)). D’o` u ∂ν ϕk,q Nous en d´eduisons que la suite (k − 1

2

1

H 2 (Γ )

2m n

≤ Ck n .

∂ν ϕk,q

1

H 2 (Γ )

(2.59) ) ∈ l1 d`es que m >

n 2

+ 1.

Ici, nous avons not´e par l , comme nous le faisons habituellement, l’espace

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

67

de Banach des suites num´eriques dont les s´eries associ´ees sont absolument convergentes. Il est muni de sa norme naturelle. Nous ﬁxons n2 + 1 < ζ ≤ n + 1 et soit w = (wk ) la suite donn´ee par 2ζ wk = k − n pour chaque k ≥ 1. Nous consid´erons alors l’espace de Banach 1

1

l1 (H 2 (Γ ), w) = {g = (gk ); gk ∈ H 2 (Γ ), k ≥ 1, et (wk gk que nous munissons de sa norme naturelle

g 1 12 = wk gk 1 l (H (Γ ),w)

k≥1

1

l (H 2 (Γ ),w)

1

H 2 (Γ )

) ∈ l1 }

.

D’autre part, si μ = (μk ) d´esigne la suite des valeurs propres de A0 , c’est`-dire les valeurs propres du laplacien avec une condition Dirichlet au bord a alors, d’apr`es une cons´equence de la formule du min-max, |λk,q − μk | ≤ qL∞ (Ω) k ≥ 1. Il en r´esulte que la suite λq = (λk,q ) appartient a` l’espace aﬃne ˜l∞ = μ + l∞ , l∞ ´etant l’espace de Banach des suites num´eriques born´ees. Nous munissons ˜l∞ de la distance d∞ (λ1 , λ2 ) = (λ1 − μ) − (λ2 − μ)l∞ = λ1 − λ2 l∞ , ˜∞

pour λi ∈ l , i = 1, 2. Nous sommes en mesure d’´enoncer maintenant le r´esultat de stabilit´e que nous allons d´emontrer dans ce sous-paragraphe. Th´ eor` eme 2.31. Soit, pour i = 1, 2, qi ∈ L∞ (Ω). Nous ﬁxons 0 < α < 1 et soit M une constante telle que M ≥ qi C α (Ω) , i = 1, 2. Il existe alors une contante positive C qui ne d´epend que de M et α telle que q1 − q2 L∞ (Ω) ≤ C(d∞ (λq1 , λq2 ) + ∂ν ϕq1 − ∂ν ϕq2 1

1

l (H 2 (Γ ),w)

)β ,

2α min(α, 1 )

4 2 )( (2α+n)(2n+5)(n+α+ avec ∂ν ϕqi = (∂ν ϕk,qi ), i = 1, 2, et β = (1− (1−2t)+n+4 15 ). ) 2

Avant de donner la preuve de ce th´eor`eme, nous d´emontrons un certain nombre de r´esultats interm´ediaires. Nous commen¸cons d’abord par une extension du lemme 2.6. Dans ce qui suit, nous ﬁxons 0 ≤ t ≤ 12 . Lemme 2.32. Soit l un entier positif donn´e. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) v´eriﬁant 0 ≤ q1 , q2 ≤ M , pour une certaine constante positive M . Alors il existe C, une constante qui ne d´epend que de Ω et M , telle que

dj C [Λq1 (λ) − Λq2 (λ)]t ≤ 1−2t , λ ≤ 0 et 0 ≤ j ≤ l, j j+ dλ 4 |λ|

o` u, comme dans le dernier sous-paragraphe, · t d´esigne la norme de 3 L(H 2 (Γ ), H t (Γ )).

68

2 Probl`emes inverses elliptiques 3

Preuve. Nous nous donnons f ∈ H 2 (Γ ). Pour i = 1, 2 et λ ∈ ρ(Aq1 )∩ρ(Aq2 ), soit uqi ,f (λ) comme dans le sous-paragraphe pr´ec´edent. C’est-`a-dire uqi ,f (λ) est la solution du probl`eme aux limites −Δu + qi u − λu = 0, dans Ω, u = f, sur Γ. u(λ) = uq1 ,f (λ) − uq2 ,f (λ) est alors la solution du probl`eme aux limites −Δu + q1 u − λu = (q2 − q1 )uq2 ,f (λ), dans Ω, u = 0, sur Γ. Comme dans la preuve du Lemme 2.27, nous montrons u(λ)L2 (Ω) ≤

M uq2 ,f (λ)L2 (Ω) |λ|

(2.60)

et uq2 ,f (λ)L2 (Ω) ≤ Cf Donc u(λ)L2 (Ω) ≤

3

H 2 (Γ )

.

C f 32 . H (Γ ) |λ|

(2.61)

(2.62)

Pour simpliﬁer les notations, nous posons u2 (λ) = uq2 ,f (λ). Nous pouvons v´eriﬁer que u2 (λ) est solution du probl`eme aux limites −Δu2 + q2 u2 − λu2 = u2 , dans Ω, u2 = 0, sur Γ. En utilisant les arguments ayant servis pour ´etablir (2.60) et (2.61), nous montrons M u2 (λ)L2 (Ω) ≤ u2 L2 (Ω) . |λ| Ceci et (2.61) impliquent u2 (λ)L2 (Ω) ≤

C f 32 . H (Γ ) |λ|

Puisque u (λ) est solution du probl`eme aux limites −Δu + q1 u − λu = u(λ) + (q2 − q1 )u2 (λ), dans Ω, u = 0, sur Γ, elle v´eriﬁe alors u (λ)L2 (Ω) ≤

M u(λ) + (q2 − q1 )u2 (λ)L2 (Ω) . |λ|

Cette derni`ere, in´egalit´e (2.62) et (2.63) entrainent

(2.63)

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

u (λ)L2 (Ω) ≤

M C u(λ) + (q2 − q1 )u2 (λ)L2 (Ω) ≤ f 32 . H (Γ ) |λ| |λ|2

69

(2.64)

Nous avons aussi, d’apr`es l’estimation H 2 du Th´eor`eme 1.26, u (λ)H 2 (Ω) ≤ C(|λ|u (λ)L2 (Ω) + u(λ)L2 (Ω) + u2 (λ)L2 (Ω) ) Nous en d´eduisons u (λ)H 2 (Ω) ≤

C f 32 , H (Γ ) |λ|

(2.65)

qui r´esulte de (2.62), (2.63) et (2.64). Les in´egalit´es (2.64), (2.65) et l’in´egalit´e d’interpolation 1− s

s

2 2 2 wH wH s (Ω) ≤ CwL2 (Ω) 2 (Ω) , 0 ≤ s ≤ 2, w ∈ H (Ω),

nous permettent de conclure u(λ)H s (Ω) ≤

C 3 , 0 ≤ s ≤ 2. s f H 2 (Γ ) |λ|2− 2

De ceci, nous tirons ∂ν u (λ)H t (Γ ) ≤ Donc

C 1−2t |λ|1+ 4

f

3

H 2 (Γ )

.

d C [Λq (λ) − Λq2 (λ)]t ≤ 1−2t . 1+ dλ 1 4 |λ|

Nous venons donc de montrer le r´esultat pour l = 0 et l = 1. Le cas g´en´eral s’obtient tout simplement par induction sur l. Posons F (λ) = Λq1 (λ) − Λq2 (λ). La formule de Taylor avec reste int´egral nous donne, pour 1 ≤ j ≤ n, F

(j)

(0) =

n

(−λ)p−j p=j

(p − j)!

F

(p)

0

(λ) + λ

(−τ )n−j (n+1) F (τ )dτ. (n − j)!

Nous admettons pour le moment le Lemme 2.33. F (n+1) (λ)t ≤ δ,

(2.66)

o` u δ = C(d∞ (λq1 , λq2 ) + ∂ν ϕq1 − ∂ν ϕq2 1

1

l (H 2 (Γ ),w)

).

70

2 Probl`emes inverses elliptiques

Vu le Lemme 2.32, nous d´eduisons de cette estimation F (j) (0)t ≤ C(|λ|−j− et donc

F (j) (0)t ≤ C(|λ|−

1−2t 4

1−2t 4

+ |λ|n−j+1 δ)

+ |λ|n+1 δ), si |λ| ≥ 1.

En particulier, F (j) (0)t ≤ C min(ρ− ρ≥1

o` u θ =1−

1−2t 4

+ ρn+1 δ) = Cδ θ ,

(2.67)

4 (1−2t)+n+4 .

Notons Q = Ω × (0, T ) et Σ = Γ × (0, T ). Le point important dans la preuve du Th´eor`eme 2.31 consiste d’abord a` ´etablir un r´esultat de stabilit´e pour un probl`eme inverse hyperbolique. Nous consid´erons alors le probl`eme ⎧ 2 ⎨ (∂t − Δ + q)u = 0, dans Q, u(·, 0) = ∂t u(·, 0) = 0, (2.68) ⎩ u|Σ = f. Soit Ξ = {h ∈ H 1 (0, T ; H 3/2 (Γ )) ∩ H 2 (0, T ; L2(Γ )); h(·, 0) = ∂t h(·, 0) = 0}. D’apr`es le Th´eor`eme 3.1 de [LM], Vol II, et sa preuve nous d´eduisons que, pour chaque f ∈ Ξ, le probl`eme aux limites ⎧ dans Q, ⎨ ∂t u0 − Δu0 = 0, u0 (·, 0) = ∂t u0 (·, 0) = 0, dans Ω, ⎩ 0 u |Σ = f, admet une unique solution u0f ∈ L2 (0, T ; H 2 (Ω)) ∩ H 2 (0, T ; L2 (Ω)) et u0f L2 (0,T ;H 2 (Ω))∩H 2 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C0 f H 1 (0,T ;H 3/2 (Γ ))∩H 2 (0,T ;L2 (Γ )) , pour une certaine constante positive C0 . Maintenant pour q ∈ L∞ (Ω) et f ∈ Ξ, nous consid´erons le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u1 − Δu1 + qu1 = qu0 , dans Q, dans Ω, u1 (·, 0) = ∂t u1 (·, 0) = 0, ⎩ 1 u |Σ = 0. Puisque qu0 ∈ H 1 (0, T ; L2 (Ω)), ce probl`eme admet une unique solution u1q,f ∈ L2 (0, T ; H 2(Ω)) ∩ H 2 (0, T ; L2(Ω)) et u1q,f L2 (0,T ;H 2 (Ω))∩H 2 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C1 qu0 H 1 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C1 f H 1 (0,T ;H 3/2 (Γ ))∩H 2 (0,T ;L2 (Γ )) ,

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

71

o` u C1 et C1 sont deux constantes positives. Ceci r´esulte tout simplement d’un th´eor`eme de J.-L. Lions (voir [LM]). Nous en d´eduisons que le probl`eme aux limites (2.68) admet une unique solution uq,f = u0f + u1q,f ∈ L2 (0, T ; H 2 (Ω)) ∩ H 2 (0, T ; L2 (Ω)) et l’op´erateur Dirichlet-Neumann hyperbolique d´eﬁni par 1

Hq : f ∈ Ξ → ∂ν uq,f ∈ L2 (0, T ; H 2 (Γ )) est born´e. Nous nous int´eressons au probl`eme inverse qui consiste `a la d´etermination de q ` a partir de Hq . Nous n’allons pas consid´erer directement Hq comme 1 op´erateur born´e de Ξ dans L2 (0, T ; H 2 (Γ )) mais nous utiliserons seulement sa restriction, encore not´ee Hq , au sous-espace de Ξ donn´e par 3

Ξ0 = {g ∈ H 2(n+2) ((0, T ); H 2 (Γ )); ∂tj g(·, 0) = 0, 0 ≤ j ≤ 2n + 3}. Pour q1 , q2 , dans L∞ (Ω), nous noterons Hq1 − Hq2 t la norme de de Hq1 − Hq2 , consid´er´e comme op´erateur born´e de Ξ0 , muni de la norme de 3 H 2(n+2) ((0, T ); H 2 (Γ )), a` valeurs L2 (0, T ; H t (Γ )). Nous avons le Th´ eor` eme 2.34. Soit, pour i = 1, 2, qi ∈ L∞ (Ω). Nous ﬁxons 0 < α < 1 et soit M > 0 une constante telle que M ≥ qi C α (Ω) . Soit T = diam(Ω) + 3. Alors il existe une contante positive C, qui ne d´epend que de M et α, telle que q1 − q2 L∞ (Ω) ≤ CHq1 − Hq2 κt , o` u κ=

2α min(α, 12 ) . (2α+n)(2n+5)(n+α+ 15 2 )

La d´emonstration de ce th´eor`eme fera l’objet principal du prochain sousparagraphe. Preuve du Th´ eor` eme 2.31. Comme pr´ec´edemment, nous posons δ = d∞ (λq1 , λq2 ) + ∂ν ϕq1 − ∂ν ϕq2 1

1

l (H 2 (Γ ),w)

.

Dans un premier temps, nous montrons Hq1 − Hq2 t ≤ Cδ θ , avec θ comme ci-dessus. C’est-`a-dire θ = 1 − utiliserons le

4 (1−2t)+n+4 .

(2.69) Pour cela, nous

Lemme 2.35. Soit f ∈ Ξ0 . Alors Hq f =

n+1

[

j=0

dj Λq (λ)]|λ=0 (−∂t2 f ) + Rq f, dλj

(2.70)

72

2 Probl`emes inverses elliptiques

avec Rq f =

1

∂ ϕ n+ 52 ν q,k k≥1 λq,k

t

sin

λq,k (t − s)ds−∂s2(n+2) f (·, s), ∂ν ϕq,k .

0

De fa¸con similaire a` la preuve du Lemme 2.27, nous montrons Rq1 − Rq2 t ≤ Cδ. Ceci, l’identit´e (2.70) et l’estimation (2.67) impliquent Hq1 − Hq2 t ≤ C(δ + δ θ ). Par suite, Hq1 − Hq2 t ≤ Cδ θ , pour δ assez petit. Nous combinons cette derni`ere estimation avec le Th´eor`eme 2.34 pour avoir q1 − q2 L∞ (Ω) ≤ Cδ β , 2α min(α, 12 ) 4 (1−2t)+n+4 )( (2α+n)(2n+3)(n+α+ 12 ) ).

o` u β = θκ = (1 −

D’o` u le r´esultat.

Il nous reste `a montrer les Lemmes 2.33 et 2.35. Preuve du Lemme 2.33. D’apr`es le Lemme 2.28, nous avons F (n+1) (λ) = −n! +n!

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 (λk,q1 − λ)n+2

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q2 ∂ν ϕk,q2 . (λk,q2 − λ)n+2

Nous d´ecomposons F (n+1) (λ) en trois termes F (n+1) (λ) = I1 + I2 + I3 , avec I1 = −n! I2 = −n! I3 = −n!

k≥1

1 1 − ]f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 , (λk,q1 − λ)n+2 (λk,q2 − λ)n+2

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q1 − ∂ν ϕk,q2 ∂ν ϕk,q1 , (λk,q2 − λ)n+2

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q2 [∂ν ϕk,q1 − ∂ν ϕk,q2 ]. (λk,q2 − λ)n+2

[

Pour I1 , nous avons I1 Mais

1

H 2 (Γ )

≤ n!f L2 (Γ ) |

(λk,q1

1 1 − |∂ν ϕk,q2 2 1 . n+2 H 2 (Γ ) − λ) (λk,q2 − λ)n+2

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

|

73

1 1 1 1 − | ≤ max( n+3 , n+3 )|λk,q1 − λk,q2 | (λk,q1 − λ)n+2 (λk,q2 − λ)n+2 λk,q1 λk,q2 ≤

C k

2(n+3) n

|λk,q1 − λk,q2 |,

o` u nous avons utilis´e (2.55) dans la derni`ere in´egalit´e. Par suite, comme (voir (2.59)) 2 ∂ν ϕk,q2 12 ≤ Ck n , H (Γ )

I1

1 2

H (Γ )

≤ Cf L2 (Γ ) d∞ (λq1 , λq2 )

k≥1

1 k

2(n+2) n

.

(2.71)

Nous proc´edons de fa¸con identique pour d´emontrer I2

1

H 2 (Γ )

+ I3

1

H 2 (Γ )

≤ Cf L2(Ω) ≤ Cf L2(Ω) ≤ Cf L2(Ω)

1

∂ν ϕk,q2 λn+1 k≥1 k,q2

1 2(n+1) n

k≥1

k

k≥1

kn

1 2ζ

− ∂ν ϕk,q2

1

H 2 (Γ )

∂ν ϕk,q2 − ∂ν ϕk,q2

∂ν ϕk,q2 − ∂ν ϕk,q2

1

1

H 2 (Γ )

H 2 (Γ )

.

D’o` u, I2

+ I3

≤ Cf L2 (Ω) ∂ν ϕq1 − ∂ν ϕq2 1

.

(2.72)

Le r´esultat est alors une cons´equence imm´ediate de (2.71) et (2.72).

1

H 2 (Γ )

1

H 2 (Γ )

1

l (H 2 (Γ ),w)

Preuve du Lemme 2.35. Nous ﬁxons q, f et, pour simpliﬁer les notations, nous utiliserons simplement u ` a la place de uq,f . Nous d´ecomposons u sous la forme suivante : n+1

uk + r, (2.73) u= k=0 k

o` u les u et r v´eriﬁent

et

(−Δ + q)u0 = 0, dans Q, u0 = f, sur Σ,

(−Δ + q)uk = −∂t2 uk−1 , dans Q, uk = 0, sur Σ, pour 1 ≤ k ≤ n + 1, ⎧ ⎨ (−∂t2 − Δ + q)r = −∂t2 un+1 , dans Q, r(·, 0) = ∂t r(·, 0) = 0, ⎩ r = f, sur Σ.

74

2 Probl`emes inverses elliptiques

Nous pouvons d´emontrer sans trop de diﬃcult´es que ∂ν uk = (

∂ k ) Λq (λ)[−∂t2 f ] ∂λ |λ=0

(2.74)

et r=

1 n+ 52

∂ν ϕq,k

λq,k

k≥1

t

sin

λq,k (t − s)ds−∂s2(n+2) f (·, s), ∂ν ϕq,k . (2.75)

0

(2.70) r´esulte alors de (2.73), (2.74) et (2.75). 2.2.3 Retour sur la stabilit´ e du probl` eme hyperbolique Rappelons les notations : Q = Ω × (0, T ) et Σ = Γ × (0, T ).

Dans ce sous-paragraphe nous d´emontrons le Th´eor`eme 2.34. La preuve n´ecessite quelques r´esultats pr´eliminaires. Nous commen¸cons par le Lemme 2.36. Pour fi ∈ Ξ0 et ui = uqi ,fi , i = 1, 2, nous avons (q1 − q2 )u1 u2 = f1 (Hq1 − Hq2 )(f2 ). Q

(2.76)

Σ

Preuve. Puisque les ui sont les solutions variationnelles de (2.68) pour q = qi et f = fi , nous avons (−∂t u1 ∂t u2 + ∇u1 · ∇u2 + q1 u1 u2 ) = f2 Hq1 (f1 ) (2.77) Q

et

Σ

(−∂t u1 ∂t u2 + ∇u1 · ∇u2 + q2 u1 u2 ) =

Q

f1 Hq2 (f2 ).

(2.78)

Σ

Nous soustrayons, membre `a membre, (2.77) de (2.78) pour avoir (q1 − q2 )u1 u2 = f2 Hq1 (f1 ) − f1 Hq2 (f2 ). Q

(2.79)

Σ

Comme Hqi est auto-adjoint (cons´equence imm´ediate de la formulation variationnnelle de (2.68)), (2.79) entraine (2.76). Dans un second lemme nous montrons l’existence de solutions particuli`eres de l’´equation (−∂t2 + Δ + q)u = 0, (2.80) avec q ∈ L∞ (Ω).

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

75

Lemme 2.37. Soient χ ∈ C0∞ (Rn ), ω ∈ S n−1 et ρ > 0. Alors (2.80) admet une solution de la forme uq,± = χ(x + tω)e±iρ(x·ω+t) + wq,± ,

(2.81)

o` u wq,± ∈ C([0, T ], H01 (Ω)) v´eriﬁe ∂t wq,± ∈ C([0, T ], L2 (Ω)), wq,± = 0 sur Σ et wq,± (·, 0) = ∂t wq,± (·, 0) = 0. De plus, il existe une constante positive, qui ne d´epend que de Ω, T et M ≥ qL∞ (Ω) , telle que wq,± L2 (Q) ≤

C χ ˜ H 3 (Rn+1 ) , ρ

(2.82)

avec χ(x, ˜ t) = χ(x + tω). Preuve. Dans cette d´emonstration, pour simpliﬁer les notations, nous utilisons u± (resp w± ) au lieu de uq,± (resp. wq,± ). Nous montrons l’existence de u+ . Celle de u− se d´emontre de la mˆeme mani`ere. Nous commen¸cons d’abord par noter que w+ doit ˆetre la solution de l’´equation ⎧ ⎨ (−∂t2 − Δ + q)w = −e±iρ(x·ω+t) (∂t2 − Δ + q)χ(x + tω), dans Q, w(·, 0) = ∂t w(·, 0) = 0, ⎩ w = 0, sur Σ. L’existence de w+ , dans l’espace appropri´e, est assur´ee par les r´esultats classiques concernant la r´esolution des ´equations hyperboliques (voir par exemple J.-L. Lions et E. Magenes [LM]). t Nous posons maintenant W+ (x, t) = 0 w+ (x, s)ds et θ = −(−∂t2 − Δ + q)χ(x + tω). Il n’est pas diﬃcile de v´eriﬁer que W+ est solution de l’´equation ⎧ t ⎨ (−∂t2 − Δ + q)W = 0 eiρ(x·ω+s) θ(x, s)ds, dans Q, W (·, 0) = ∂t W (·, 0) = 0, ⎩ W = 0, sur Σ. Nous appliquons l’in´egalit´e d’´energie classique (voir par exemple J.-L. Lions et E. Magenes [LM]) `a W+ pour conclure t eiρ(x·ω+s) θ(x, s)dsL2 (Q) . (2.83) w+ L2 (Q) = ∂t W+ L2 (Q) ≤ C 0

Mais t eiρ(x·ω+s) θ(x, s)ds = 0

1 iρ

t

∂s eiρ(x·ω+s) θ(x, s)ds 0

1 1 t iρ(x·ω+s) e ∂s θ(x, s)ds + eiρ(x·ω+t) θ(x, t) iρ 0 iρ 1 − eiρx·ω θ(x, 0). iρ

=−

76

2 Probl`emes inverses elliptiques

Cette identit´e et (2.83) impliquent w± L2 (Q) ≤

C χ ˜ H 3 (Rn+1 ) . ρ C0∞ (Rn ),

Preuve du Th´ e or` eme 2.34. Soit ϕ ∈ a` support dans la boule unit´e, telle que Rn ϕ2 = 1. Soient 0 < ≤ 1 et x0 ∈ Rn tel que 1 < dist(x0 , Ω) < 2. Nous posons alors χ(x) = − 2 ϕ( n

x − x0 ).

Notons que le choix de x0 et β implique que le support de χ(x+tω), consid´er´ee comme fonction des variables (x, t), n’intersecte ni Ω × {0}, ni Ω × {T }. Par cons´equence les solutions uqi ,± de (2.81) donn´ees par le Lemme 2.37, i = 1, 2, correspondantes au χ d´eﬁni ci-dessus, v´eriﬁent uqi ,± (·, 0) = ∂t uqi ,± (·, 0) = 0. Nous posons u1 = uq1 ,+ , w1 = wq1 ,+ , u2 = uq2 ,− , w2 = wq2 ,− . Nous appliquons alors le Lemme 2.36 avec u1 et u2 pour obtenir 2 (q1 − q2 )χ (x + tω) = − (q1 − q2 )(χ− w1 + χ+ w2 + w1 w2 ) Q Q + u1 (Hq1 − Hq2 )(u2 ), Σ

o` u χ± = χ(x + tω)e

±i(x·ω+t)

. Par suite, C | (q1 − q2 )χ2 (x + tω)| ≤ −3 ρ Q

+u1 L2 (Σ) Hq1 − Hq2 t u2

3

H 2n+4 (0,T ;H 2 (Γ ))

,

(2.84)

par (2.82), o` u nous avons utilis´e le fait que χ ˜ H 3 (Rn+1 ) ≤ K−3 , pour une certaine constante K ne d´ependant que de ϕ. Pour poursuivre la preuve, nous admettons pour le moment le lemme suivant : Lemme 2.38. Pour tous 0 < ≤ 1 et ρ ≥ 1, nous avons u1 L2 (Σ) ≤ C−1 et u2

3

H 2n+4 (0,T ;H 2 (Γ ))

≤ C−(2n+6) ρ2n+4 ,

o` u C est une constante qui ne d´epend que de T , Ω et ϕ.

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

77

Les estimations de ce lemme et (2.84) impliquent, avec q = q1 − q2 que nous prolongeons par 0 en dehors de Ω, x + tω − x0 1 )dx ≤ C−(2n+7) ( + ρ2n+4 Hq1 − Hq2 t ). (2.85) q(x)−n ϕ2 ( ρ n R Dans cette in´egalit´e le membre de gauche fait apparaˆıtre la compos´ee de deux transform´ees appliqu´ee `a q. C’est ce que nous allons expliciter maintenant. Nous d´eﬁnissons la transform´ee r´egularisante de param`etre par y−x R f (x) = )dy, f ∈ L1 (Rn ). f (y)ϕ2 ( n R La transform´ee rayon-X, qui envoie les fonctions de Rn sur les fonctions d´eﬁnies sur L, l’espace des droites orient´ees de Rn (usuellement, L est identiﬁ´e a T S n−1 , l’espace tangent `a S n−1 ), est donn´ee par ` Xf (l) = f = f (x0 + tω)dt, l

R

o` u x0 est un point quelconque de la droite l et ω est le vecteur unitaire tangent ` l. Notons que Xf (l) ne d´epend pas du choix de x0 . Avec ces nouvelles a notations, (2.85) se r´e´ecrit sous la forme 1 |XR q(l)| ≤ C−(2n+7) ( + ρ2n+4 Hq1 − Hq2 t ), ρ

(2.86)

pour toute droite l qui passe par un point x0 qui v´eriﬁe 1 < dist(x0 , Ω) < 2. Mais toute droite qui intersecte Ω1 = {x; dist(x, Ω) ≤ 1} passe aussi par un x0 tel que 1 < dist(x0 , Ω) < 2, et, puisque R q est `a support dans Ω1 , XR (l) = 0 pour toute droite l qui n’intersecte pas Ω1 . Nous en d´eduisons que (2.86) est valable pour toute droite l. Il s’ensuit 1 XRqL2 (T S n−1 ) ≤ C−(2n+7) ( + ρ2n+4 Hq1 − Hq2 t ). ρ Cette estimation et le lemme (voir [LN] pour la preuve) Lemme 2.39. f

1

H − 2 (Rn )

≤ CXf L2(T S n−1 ) .

entrainent R q

1

H − 2 (Rn )

1 ≤ C−(2n+5) ( + ρ2n+2 Hq1 − Hq2 t ). ρ

D’autre part, nous avons par interpolation 1

R qL2 (Rn ) ≤ CR q 2 − 1 H

2

1

(Rn )

R q 2

1

H 2 (Rn )

.

(2.87)

78

2 Probl`emes inverses elliptiques

Comme

1

R q 2

1

1

H 2 (Rn )

≤ C− 2 ,

(cette estimation se d´emontre facilement en revenant `a la d´eﬁnition de R ), nous d´eduisons 1 1 R qL2 (Rn ) ≤ C− 2 R q 2 − 1 n . H

2

(R )

Cette estimation, combin´ee avec (2.87), nous donne 1 1 R qL2 (Rn ) ≤ C−(2n+7+ 2 ) ( + ρ2n+4 Hq1 − Hq2 t ). ρ

(2.88)

Pour tirer de cette derni`ere une estimation pour qL2 (Rn ) , nous utiliserons le lemme suivant : Lemme 2.40. Soient 0 < < 1 et f ∈ C α (Rn ), f nulle en dehors de Ω. Alors il existe une constante positive C = C(Ω) telle que f − R f L2 (Rn ) ≤ Cα˜ f C α(Rn ) , avec α ˜ = min(α, 12 ). Preuve. Si dist(x, ∂Ω) > , nous avons alors x−y )[f (x) − f (y)]dy| |f (x) − R f (x)| = | −n ϕ2 ( |y−x|< ≤ sup

x =x

Si dist(x, ∂Ω) ≤ , D’o` u

|f (x ) − f (x ) α . |x − x |α

(2.89)

|f (x) − R f (x)| ≤ 2f L∞(Rn ) .

dist(x,Γ )≤

|f (x) − R f (x)|2 dx ≤ Cf 2L∞ (Rn ) .

(2.90)

Le r´esultat s’ensuit alors des estimations (2.89) et (2.90). Vu le dernier lemme, (2.88) implique 1 1 qL2 (Rn ) ≤ C[−(2n+7+ 2 ) ( + ρ2n+4 Hq1 − Hq2 t ) + α˜ ]. ρ 1 − 2n+5

Dans cette estimation, nous choisissons ρ = Hq1 − Hq2 t

pour avoir

1

1

qL2 (Rn ) ≤ C(−(2n+7+ 2 ) Hq1 − Hq2 t2n+5 + α˜ ). 1 ˜ (2n+5)(2n+7+ 1 +α) 2

Ensuite, en prenant = Hq1 − Hq2 t

, nous concluons

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel α ˜

1

˜ qL2 (Rn ) ≤ CHq1 − Hq2 t ) (2n+5)(2n+5+ 2 +α) .

79

(2.91)

Finalement, par interpolation qL∞ (Ω) ≤ Cq1−μ qμL2 (Ω) C α (Ω) ≤ CqμL2 (Ω) , o` uμ=

2α 2α+n .

Cette derni`ere in´egalit´e et (2.91) impliquent alors 2αα ˜ ˜ (2α+n)(2n+5)(2n+7+ 1 +α) 2

qL2 (Rn ) ≤ CHq1 − Hq2 t

.

Preuve du Lemme 2.38. Nous montrons l’estimation pour u2 . Celle pour u1 se d´emontre de mani`ere similaire. Nous posons ψ(x, t) = χ(x+tω). Puisque u2 = ψeiρ(x·ω+t) sur Σ, il suﬃt de d’´etablir l’estimation ψ

3

H 2n+4 (0,T ;H 2 (Γ ))

Par d´eﬁnition, on a

≤ C−(2n+6) .

x + tω − x0 ). x + tω − x0 2 ) dx. = −n ϕ( n R

ψ = − 2 ϕ( n

D’o` u ψ(·, t)2L2 (Rn )

Le simple changement de variable y =

x+tω−x0

donne

ψ(·, t)L2 (Rn ) = ϕL2 (Rn ) , et puisque ∂i ψ(x, t) = − 2 −1 ∂i ϕ( n

x + tω − x0 ),

2 2 ∂ij ψ(x, t) = − 2 −2 ∂ij ϕ( n

x + tω − x0 ),

nous concluons ψ(·, t)|Γ

3

H 2 (Γ )

≤ Cψ(·, t)H 2 (Ω) ≤ C−2 ϕH 2 (Rn ) .

D’autre part, pour k = 1, . . . 2n + 4, on obtient par un calcul simple n

∂tk ψ(x, t) = − 2 −k n

i1 ,...,ik =1

∂ik1 ...ik ϕ(

x + tω − x0 )ωi1 . . . ωik .

En proc´edant comme pour ψ, nous d´eduisons de cette derni`ere identit´e ∂tk ψ(·, t)|Γ

3

H 2 (Γ )

≤ C−(k+2) ϕH 2+k (Rn ) ,

ce qui entraine ais´ement l’estimation recherch´ee.

Pour faire ce sous-paragraphe et celui qui le pr´ec`ede, nous nous sommes largement inspir´e de l’article de G. Alessandrini et J. Sylvester [AS].

80

2 Probl`emes inverses elliptiques

2.2.4 Une extension Nous proposons une extension du Th´eor`eme 2.26. Plus pr´ecis´ement, nous d´emontrons que le potentiel q = q(x) est d´etermin´e par les propri´et´es asymptotiques des valeurs propres et des d´eriv´ees normales des fonctions propres de l’op´erateur −Δ + q avec une condition de Dirichlet au bord. Dans ce sous-paragraphe, nous supposons que Ω est un domaine born´e de Rn de classe C 2 et de fronti`ere Γ . Nous utilisons les mˆemes notations qu’au sous-paragraphe 2.2.2. C’est`-dire, Aq , q ∈ L∞ (Ω), d´esigne l’op´erateur −Δ + q avec comme domaine a D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). La suite des valeurs propres, compt´ees avec leur multiciplicit´e, est not´ee (λn,q ). Ce sous-paragraphe est consacr´e `a la preuve du Th´ eor` eme 2.41. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) et (ϕk,q1 ) une base de fonctions propres de Aq1 . Nous ﬁxons N ≥ 1 et nous supposons que, pour tout k ≥ N , λk,q1 = λk,q2 et qu’il existe (ϕk,q2 ) une base de fonctions propres de Aq2 telle que ∂ν ϕk,q1 = ∂ν ϕk,q2 pour chaque k ≥ N. Alors q1 = q2 . Dans tout le reste de ce sous-paragraphe, les fonctions que nous consid´ererons seront a` valeurs complexes. Les produits scalaires usuels sur L2 (Ω) et L2 (Γ ) sont not´es repectivement par (f, g) = f gdx et f, g = f gdσ. Ω

Γ

Au paragraphe pr´ec´edent, nous avons d´eﬁni, pour λ ∈ ρ(Aq ), 3

1

Λq (λ) : H 2 (Γ ) → H 2 (Γ ) : f → ∂ν uq,f (λ), o` u uq,f ∈ H 2 (Ω) est l’unique solution du probl`eme aux limites −Δu + qu − λu = 0, dans Ω, u = f, sur Γ. √

Si λ ∈ C \ (−∞, 0] et ω ∈ S n−1 , nous posons ϕλ,ω (x) = ei d´eﬁnissons aussi la fonction Sq (λ, θ, ω) par

λω·x

. Nous

Sq (λ, θ, ω) = Λq (λ)ϕλ,ω , ϕλ,−θ , λ ∈ ρ(Aq ) \ (−∞, 0] et θ, ω ∈ S n−1 . Dans la preuve du Th´eor`eme 2.41 nous utiliserons le

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

81

Lemme 2.42. Pour λ ∈ ρ(Aq ) \ (−∞, 0] et θ, ω ∈ S n−1 , √ λ 2 Sq (λ, θ, ω) = − |θ − ω| e−i λ(θ−ω)·xdx 2 Ω √ −i λ(θ−ω)·x e q(x)dx − (R(q (λ)qϕλ,ω , qϕλ,−θ ), + Ω

avec Rq (λ) = (Aq − λ)−1 . Preuve. Nous introduisons la fonction ψ(x, λ, ω) = ϕλ,ω (x) − Rq (λ)(qϕλ,ω )(x). Nous v´eriﬁons sans peine que ψ(·, λ, ω) est la solution du probl`eme aux limites −Δψ + qψ = λψ, dans Ω, sur Γ. ψ = ϕλ,ω , Nous d´eduisons de la d´eﬁnition de Sq (λ, θ, ω) que Sq (λ, θ, ω) = ϕλ,−θ ∂ν ψ(x, λ, ω)dσ. Γ

D’autre part, la formule de Green appliqu´ee `a ψ(·, λ, ω) et ϕλ,−θ nous donne √ √ Sq (λ, θ, ω) = −i λ θ · νe−i λ(θ−ω)·x dσ Γ √ −i λ(θ−ω)·x e q(x)dx − (Rq (λ)qϕλ,ω , qϕλ,−θ ). (2.92) + Ω √

Nous appliquons ensuite la formule de Green a` e−i λ(θ−ω)·x et la fonction √ √ −i λθ·x i λω·x et e pour avoir les deux identit´es constante ´egale a` 1, puis a` e suivantes : √ √ √ −λ|θ − ω|2 e−i λ(θ−ω)·x = −i λ (θ − ω) · νe−i λ(θ−ω)·x, Ω Γ √ √ 0 = −i λ (θ + ω) · νe−i λ(θ−ω)·x. Γ

En additionnant membre a` membre ces deux identit´es, nous obtenons √ √ √ λ −i λ θ · νe−i λ(θ−ω)·x = − = |θ − ω|2 e−i λ(θ−ω)·x . (2.93) 2 Γ Ω L’identit´e recherch´ee s’obtient en reportant (2.93) dans (2.92).

Nous rappelons la m´ethode “Born approximation” utilis´ee dans le proc´ed´e de reconstruction dans la th´eorie de scattering inverse. Soit 0 = ξ ∈ Rn

82

2 Probl`emes inverses elliptiques

arbitrairement ﬁx´e et choisissons η ∈ S n−1 orthogonal a` ξ. A ´etant un grand param`etre, nous d´eﬁnissons ⎧ |ξ|2 ξ ⎪ ⎨ θA = cA η + 2A , cA = 1 − 4A 2, ξ ωA = cA η − 2A , ⎪√ ⎩ tA = A + i. Nous v´eriﬁons sans diﬃcult´e ⎧ θA , ωA ∈ S n−1 , ⎪ ⎪ ⎨√ tA (θA − ωA ) → ξ quand A → +∞, quand A → +∞, t ⎪ A → +∞√ ⎪ ⎩ √ tA θA , tA ωA sont born´ees quand A → +∞.

(2.94)

Si nous utilisons (2.94) et le Lemme 2.42 alors nous pouvons facilement montrer le Th´ eor` eme 2.43. lim Sq (tA , θA , ωA ) = −

A→+∞

|ξ|2 2

e−ix·ξ +

Ω

e−ix·ξ q(x).

Ω

Notons que le dernier th´eor`eme nous permet d’aﬃrmer que q est d´etermin´ee de mani`ere unique a` partir de Sq . Nous aurons besoin d’´etendre Λq , q ∈ L∞ (Ω), en un op´erateur born´e de H 1 (Γ ) a` valeurs dans L2 (Γ ). C’est le cas si q ∈ C ∞ (Ω). En eﬀet, c’est une cons´equence imm´ediate des Th´eor`emes 7.3 et 7.4 de [LM], Vol I. Nous montrons maintenant que c’est aussi vrai quand q est seulement dans L∞ (Ω). D’abord, pour f ∈ H 1 (Γ ), d’apr`es le Th´eor`eme 7.4 de [LM], Vol I, le probl`eme aux limites Δu0 = 0, dans Ω, u0 |Γ = f, admet une unique solution u0f ∈ H 3/2 (Ω) et il existe une constante positive C0 , ind´ependante de f , telle que u0 H 3/2 (Ω) ≤ C0 f H 1 (Γ ) . Pour q ∈ L∞ (Ω) et λ ∈ ρ(Aq ), notons u1q,f ∈ D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) la solution du probl`eme aux limites Δu1 + (q − λ)u1 = (λ − q)u0 , dans Ω, u0 |Γ = 0. Nous avons u1q,f H 2 (Ω) ≤ C1 (λ − q)u0 L2 (Ω) ≤ C2 f H 1 (Γ ) ,

2.2 Th´eor`eme de Borg-Levinson multidimensionnel

83

avec C1 et C2 deux constantes positives, d´ependant de q et λ. Il en r´esulte que uq,f = u0f + u1q,f ∈ H 3/2 (Ω) et il existe une constante C3 , qui d´epend de q et λ, pour laquelle uq,f H 3/2 (Ω) ≤ C3 f H 1 (Γ ) . Par suite, Λq (f )L2 (Γ ) = ∂ν uq,f L2 (Γ ) ≤ Cuq,f H 3/2 (Ω) ≤ C f H 1 (Γ ) , avec C et C deux constantes qui d´ependent de q et λ. Un autre r´esultat que nous utiliserons dans la d´emonstration du Th´eor`eme 2.41 est le lemme suivant. Lemme 2.44. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 2.41, il existe une constante positive C telle que Λq1 (λ) − Λq2 (λ)L(H 1 (Γ ),L2 (Γ )) ≤

C , |λ| assez grand. |λ|

Preuve. Comme dans le Lemme 2.28, pour tout entier m > f ∈ H 1 (Γ ), nous avons

n 2

et pour tout

dm 1 dm Λq1 (λ)f − m Λq2 (λ)f = −m! f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 m dλ dλ (λk,q1 − λ)m+1 N

k=1

+m!

N

k=1

= −m!

(λk,q2

1 f, ∂ν ϕk,q2 ∂ν ϕk,q2 − λ)m+1

(λk,q1

1 f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 . − λ)m+1

N

k=1

En int´egrant m fois cette identit´e, nous concluons Λq1 (λ)f − Λq2 (λ)f = − −

N

1

k=1

(λk,q1 − λ)

N

1

k=1

(λk,q2 − λ)

f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 f, ∂ν ϕk,q2 ∂ν ϕk,q2 +

m−1

λk Lk ,

k=0

u le r´esultat car Lk = 0, pour o` u Lk ∈ L(H 1 (Γ ), L2 (Γ )), pour chaque k. D’o` tout k, par le Lemme 2.27. Preuve du Th´ eor` eme 2.41. Soit 0 = ξ ∈ et (tA , θA ,√ωA ) comme dans la m´ethode “Born approximation”. Puisque |ϕ√tA ,ωA | = e tA ωA et |ϕ√tA ,θA | = √ e tA θA , nous d´eduisons de (2.94) que ϕ√tA ,ωA et ϕ√tA ,θA sont born´ees quand A tend vers +∞. D’apr`es le Lemme 2.44 on a

84

2 Probl`emes inverses elliptiques

Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )L(H 1 (Γ ),L2 (Γ )) ≤

C , pour A assez grand. |tA |

D’o` u [Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )]ϕ√tA ,ωA , ϕ√tA ,−θA Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )L(H 1 (Γ ),L2 (Γ )) ϕ√tA ,ωA H 1 (Γ ) ϕ√tA ,−θA L2 (Γ ) . Mais il existe des constantes Ki , i = 1, 2, 3, ind´ependantes de A, telles que ϕ√tA ,ωA H 1 (Γ ) ≤ K1 ϕ√tA ,ωA

3

H 2 (Ω) 1 4

3

4 ≤ K2 ϕ√tA ,ωA L2 (Ω) ϕ√tA ,ωA H 2 (Ω) 3

≤ K3 |tA | 4 . 3

La premi`ere in´egalit´e s’obtient par la continuit´e de l’op´erateur w ∈ H 2 (Ω) → w|Γ ∈ H 1 (Γ ), la seconde par interpolation ; quant a` la troisi`eme, elle s’obtient par un calcul explicite. Par cons´equence, [Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )]ϕ√t ,ω , ϕ√t ,−θ ≤ C|tA |− 14 , A A A A ce qui implique lim [Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )]ϕ√tA ,ωA , ϕ√tA ,−θA = 0.

A→+∞

Nous utilisons alors la d´eﬁnition de Sqi , i = 1, 2, pour conclure lim [Sq1 (tA , θA , ωA ) − Sq2 (tA , θA , ωA )] = 0.

A→+∞

D’autre part, nous d´eduisons du Th´eor`eme 2.43 e−ix·ξ (q1 (x) − q2 (x)). lim [Sq1 (tA , θA , ωA ) − Sq2 (tA , θA , ωA )] = A→+∞

D’o` u

Ω

e−ix·ξ (q1 (x) − q2 (x)) = 0.

Ω

En d’autres termes, ξ ´etant arbitraire, la transform´ee de Fourier de q1 − q2 est nulle et par suite q1 = q2 . Le r´esultat principal de ce paragraphe est dˆ u a` H. Isosaki [Iso].

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

85

2.3 D´ etermination de la conductivit´ e` a la fronti` ere : une m´ ethode de solutions singuli` eres 2.3.1 Construction de solutions singuli` eres R > 0 ´etant ﬁx´e, nous consid´erons sur BR = B(0, R) l’op´erateur elliptique L d´eﬁnie par

Lu = ∂i (aij (x)∂j u). i,j

Nous supposons que, pour chaque x ∈ BR , la matrice (aij (x)) est sym´etrique, aij ∈ W 1,p (BR ), i, j = 1, . . . , n, avec p > n ; et il existe deux constantes positives λ et M telles que

λ−1 |ξ|2 ≤ aij ξi ξj ≤ λ|ξ|2 , x ∈ BR , ξ ∈ Rn (2.95) ij

et aij W 1,p (BR ) ≤ M, i, j = 1, . . . , n.

(2.96)

Dans ce sous-paragraphe, nous nous proposons de d´emontrer le Th´ eor` eme 2.45. Pour tout m ∈ N et toute fonction harmonique sph´erique de 2,p (BR \ degr´e m, normalis´ee par Sm W 2,∞ (S n−1 ) = (m+n)−2 , il existe u ∈ Wloc {0}) solution de (2.97) Lu = 0, dans BR \ {0} qui est de la forme ⎧ x ⎨ ln |x|S0 ( |x| ) + w(x), u(x) =

⎩

si n = 2, m = 0, (2.98)

x ) + w(x), sinon, |x|2−n−m Sm ( |x|

2,p o` u w ∈ Wloc (BR \ {0}) v´eriﬁe

|w(x)| + |∇w(x)| ≤ C|x|2−n−m+β dans BR \ {0}, et

p1

|Hw|p r<|x|<2r

o` u β =1−

n p

≤ Cr−n−m+β+ p , 0 < r < n

R , 2

(2.99)

(2.100)

et C une constante qui ne d´epend que de n, p, R, λ et M .

2 Ici et dans toute la suite Hw = (∂ij w) est la matrice hessienne de w. Avant de donner la preuve de ce th´eor`eme, nous d´emontrons trois lemmes pr´eliminaires. Aussi, pour des raisons de clart´e de l’expos´e, nous nous limiterons au cas n ≥ 3. Le cas n = 2 se traite de la mˆeme mani`ere, moyennant quelques modiﬁcations mineures.

86

2 Probl`emes inverses elliptiques

2,p Lemme 2.46. Soit u ∈ Wloc (BR \{0}), p > n, telle qu’il existe un r´eel positif s pour lequel |u(x)| ≤ |x|2−s , x ∈ BR \ {0}, (2.101)

(

1

|Lu|p ) p ≤ Ar p −s , 0 < r < n

r<|x|<2r

R . 2

(2.102)

Alors |∇u(x)| ≤ C|x|1−s dans BR \ {0}, (

1

|Hu|p ) p ≤ Cr p −s , 0 < r < n

r<|x|<2r

(2.103) R , 4

(2.104)

o` u C est une constante qui d´epend seulement de A, n, p, λ et M . Preuve. C’est une cons´equence des estimations de Schauder int´erieures, desquelles nous d´eduisons p1 1 n p |Hu|p dx) p + r1+ p sup |∇u| ≤ C ( r <|x|<4r |Lu| dx r<|x|<2r

2

r<|x|<2r

+r

−2

r 2 <|x|<4r

1 |u|p dx p .

Pour les d´etails, nous renvoyons `a L. Nirenberg [Ni] et D. Gilbarg, N. S. Trudinger [GT]. Lemme 2.47. Soit f ∈ Lploc (BR \ {0}) v´eriﬁant 1 n R |f |p ) p ≤ Ar p −s , 0 < r < , ( 2 r<|x|<2r

(2.105)

2,p avec 2 < s < n < p. Alors il existe u ∈ Wloc (BR \ {0}) solution de

Lu = 0, dans BR \ {0},

(2.106)

|u(x)| ≤ C|x|2−s , ∀x ∈ BR \ {0}.

(2.107)

telle que Ici, C est une constante qui ne d´epend que de A, s, p, R, λ et M . Preuve. Nous supposons dans un premier temps que f ∈ L∞ (BR ). Si G est la fonction de Green associ´ee `a l’op´erateur L sur BR , alors la fonction u donn´ee par u(x) = G(x, y)f (y)dy (2.108) BR 2,p Wloc (BR )

est dans et v´eriﬁe (2.106). Pour montrer que u v´eriﬁe aussi (2.107), nous faisons appel `a l’estimation (voir C. Miranda [Mi]) G(x, y) ≤ C|x − y|2−n pour x = y,

(2.109)

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

87

avec C une constante qui ne d´epend que de n et λ. Nous avons alors |u(x)| ≤ C(I1 + I2 ),

avec I1 =

|y|<

|x − y|2−n |f (y)|dy

|x| 2

et I2 =

|x| 2 <|y|
|x − y|2−n |f (y)|dy.

Dans le reste de cette d´emonstration nous utiliserons l’estimation suivante, dont la preuve sera donn´ee un peu plus loin. t |y| |f (y)|dy ≤ K |y|t−s dy, (2.110) r<|y|<2r

r<|y|<2r

pour tout t ∈ R, o` u K est une constante qui ne d´epend que de t, s, n et A. Pour I1 , si |y| <

|x| 2 ,

nous avons alors |x − y| ≥ I1 ≤ C|x|2−n |y|< |x| |f (y)|dy

|x| 2 .

D’o` u

2

≤ C|x|

2−n

≤ C|x|2−n

j≥1 2−j−1 <|y|<2−j |x| |f (y)|dy

|y|<

|x| 2

(2.111)

|y|−s dy = C|x|2−s .

Notons que la derni`ere int´egrale n’est convergente que si n > s. Pour I2 , nous prolongeons d’abord f par 0 en dehors de BR . Nous gardons la notation f pour ce prolongement. Dans ce cas (2.105) est encore valable pour r ≥ R2 . Il s’ensuit I2 ≤ |x| <|y|<2|x| |x − y|2−n |f (y)|dy 2

+ ≤

j≥1 2j |x|<|y|<2j+1 |x| |x

|x| 2 <|y|<2|x|

+

|x − y|(2−n)q |dy

j≥1 2j |x|<|y|<2j+1 |x| |x

− y|2−n |f (y)|dy 1q 1 ( |x| <|y|<2|x| |f (y)|p dy) p 2

− y|2−n |f (y)|dy.

Cette estimation, (2.105) et (2.108) impliquent I2 ≤ A|x| p −s n

+C

|x| 2 <|y|<2|x|

|y|>2|x| |y|

|x − y|(2−n)q |dy

2−n−s

1q (2.112)

≤ C|x|

2−s

,

88

2 Probl`emes inverses elliptiques

o` u nous avons utilis´e

1q

|x − y|

(2−n)q

|x| 2 <|y|<2|x|

≤

dy

1q |z|

(2−n)q

|z|<3|x|

dz

n

≤ C|x| q +2−n

n

= C|x|2− p . (2.107) se d´eduit alors de (2.111) et (2.112). Nous allons maintenant nous aﬀranchir de l’hypoth`ese suppl´ementaire f ∈ L∞ (BR ). Pour cela, pour chaque entier positif N , nous introduisons la fonction fN donn´ee par ⎧ N, si f > N ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ fN = f, si |f | < N ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −N si f < −N. Clairement, pour chaque N , |fN | ≤ N et donc fN ∈ L∞ (BR ). D’autre part, puisque |fN | ≤ |f |, pour tout N et que fN converge presque partout vers f , nous concluons par le th´eor`eme de convergence domin´ee que fN converge dans Lploc (BR \ {0}) et que, pour chaque N , fN v´eriﬁe (2.105) avec la mˆeme constante A et s. Soit uN la fonction donn´ee par la formule (2.108) pour f = fN . Pour chaque N , uN est solution de LuN = fN dans BR et v´eriﬁe (2.107) avec une constante C ind´ependante de N . Il s’ensuit, comme cons´equence des estimations de Schauder Lp (voir D. Gilbarg et N. S. Trudinger [GT] par 2,p exemple), que (uN ) est born´ee dans Wloc (BR \ {0}). Elle admet donc une 2,p sous-suite qui converge faiblement vers u ∈ Wloc (BR \ {0}). Nous pouvons facilement v´eriﬁer que u satisfait `a (2.106) et (2.107). Pour terminer la preuve, il reste `a montrer (2.110). Par l’in´egalit´e de H¨older p nous avons, o` u q = p−1 est l’exposant conjugu´e de p, r<|y|<2r

|y|t |f (y)|dy ≤

r<|y|<2r

≤ Ar

n p −s

|y|qt dy

1q r<|y|<2r

|y| dy qt

r<|y|<2r

|f (y)|p dy

p1

(2.113) |y| dy . r<|y|<2r

− p1

qt

Nous supposons que t ≥ 0. Alors qt (q−1)t+s |y|t−s dy r<|y|<2r |y| dy = r<|y|<2r |y| ≤ (2r)(q−1)t+s

|y|t−s dy. r<|y|<2r

D’autre part, un calcul ´el´ementaire nous donne − p1 |y|qt dy r<|y|<2r

(2.114)

qt

≤ Cr− p − p , n

(2.115)

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

89

pour une certaine constante C qui ne d´epend que de n et p. (2.110) r´esulte alors imm´ediatement de (2.113), (2.114) et (2.115). Le cas t < 0 se traˆıte de fa¸con tout a` fait similaire au cas t ≥ 0.

Lemme 2.48. On suppose n ≥ 3. Soit s > n un r´eel non entier et supposons 2,p que f v´eriﬁe (2.105) avec p > n. Alors il existe u ∈ Wloc (BR \ {0}) qui v´eriﬁe Δu = f dans BR \ {0} et (2.108), o` u la constante C ne d´epend que de A, s, n, p et R. Preuve. Soit Γ (x − y) = −cn |x − y|2−n la solution fondamentale du laplacien n−2

omes de Gegenbauer d´eﬁnis au sur Rn . Si les Cj 2 , j ≥ 0, sont les polynˆ sous-paragraphe 1.4.6, nous posons, pour m = [s] − n, Γ˜ (x, y) = Γ (x − y) + cn

m

j=0

n−2 y x |y|j · ). Cj 2 ( j+n−2 |x| |x| |y|

n−2

Vu que les polynˆ omes Cj 2 sont solutions de l’´equation diﬀ´erentielle (1.17), nous pouvons facilement d´emontrer que ΔΓ˜ (·, y) = δy dans Rn \ {0}.

(2.116)

Comme nous l’avons fait au lemme pr´ec´edent, un proc´ed´e de troncature nous permet de nous ramener au cas f ∈ L∞ (BR ). Soit u(x) = Γ˜ (x, y)f (y)dy. BR

Dans ce qui suit, nous utiliserons l’estimation suivante, v´eriﬁ´ee par les n−2 2

polynˆ omes Cj

: n−2 2

|Cj

(t)| ≤ Kj n−3 , 0 ≤ t ≤ 1,

(2.117)

o` u K est une constante qui ne d´epend que de n (voir A. Erdelay et al. [Er], L. Caﬀarelli et A. Friedmann [CF] pour plus de d´etails). Nous avons 2−n |f (y)|dy Br Γ (x − y)f (y)dy ≤ cn |x| <|y|
+

|y|<

≤ cn I2 +

|x| 2

|Γ (x − y)||f (y)|dy

|y|<

|x| 2

(2.118)

|Γ (x − y)||f (y)|dy,

o` u I2 est le mˆeme que celui du lemme pr´ec´edent. Or, nous savons (voir L. Bers [Ber] ou M. Marcus [Marcu]) que, pour |y| < |x|,

90

2 Probl`emes inverses elliptiques

Γ (x, y) = −cn

j≥0

n−2 y x |y|j · ). Cj 2 ( j+n−2 |x| |x| |y|

(2.119)

De (2.117), (2.118) et (2.119), nous d´eduisons ais´ement l’estimation |u(x)| ≤ C(I2 + I3 + I4 ), avec I3 et I4 donn´es par I3 = I4 =

m j=0

j n−3

j≥m+1

|x| 2 <|y|
j n−3

|y|j |x|j+n−2 |f (y)|dy

|y|j |x|j+n−2 |f (y)|dy |y|< |x| 2

Comme nous l’avons fait dans le lemme pr´ec´edent, nous prolongeons f par 0 en dehors de BR et nous utilisons (2.110) pour avoir I3 ≤ C ≤C I4 ≤ C ≤C

m j=0

m j=0

j n−3

j n−3 |x|2−n−j

j≥m+1

m j=0

|y|j−s k≥0 2k−1 |x|<|y|<2k |x| |x|j+n−2 dy

j n−3

|x| 2 <|y|

k≥0

j n−3 |x|2−n−j

|y|j−s dy ≤ C|x|2−s ,

|x|2−n−j

|y|< |x| 2

2−k−1 |x|<|y|<2−k |x|

|y|j−s dy

|y|j−s ≤ C|x|2−s .

Preuve du Th´ eor` eme 2.45. Nous posons Ψ (x) = |x|2−n−m Sm (

x ), x ∈ BR \ {0}. |x|

2,p (BR \ {0}) satisfaisant (2.99), (2.100) et Nous cherchons alors w ∈ Wloc

Lw = −LΨ dans BR \ {0}. Comme ΔΨ = 0 dans BR \ {0}, nous avons

2 (δij − aij )∂ij Ψ− ∂i aij ∂j Ψ. −LΨ = i,j

i,j

Apr`es un calcul fastidieux, mais simple, nous aboutissons `a l’estimation |LΨ | ≤ C|x|1− p −n−m , x ∈ BR \ {0}, n

o` u C est une constante positive, d´ependant uniquement de M , n, p et R (rappelons que nous avons normalis´e Sm par Sm W 2,∞ (S n−1 ) = (n + m)−2 ). De la derni`ere estimation, nous d´eduisons sans peine

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

(

|LΨ |p ) ≤ Cr1−m−n , 0 < r < r<|x|<2r

R . 2

91

(2.120)

Fixons 0 < α < β = 1 − np et posons N = [ m α ] + 1. Soit w0 la solution de Δw0 = f donn´ee par le lemme 2.46 quand f = −LΨ et par induction sur j, j = 1, . . . , N − 1, nous notons wj la solution de Δwj = f , pour f = (Δ − L)wj−1 . D’apr`es (2.120) et le Lemme 2.48 nous d´eduisons, pour s = m + n − β, |w0 (x)| ≤ C|x|2−s , |∇w0 (x)| ≤ C|x|1−s , 1 n ( r<|x|<2r |Hw0 |p ) p ≤ Cr p −s . De ces estimations, nous tirons 1 n |(Δ − L)w0 |p ) p ≤ Cr p −s+α , ( r<|x|<2r

qui, combin´ee avec le Lemme 2.47, implique |w1 (x)| ≤ C|x|2−s+α , |∇w1 (x)| ≤ C|x|1−s+α ,

p r<|x|<2r |Hw1 |

p1

≤ Cr p −s+α . n

En continuant comme ceci, nous arrivons `a |wj (x)| ≤ C|x|2−s+jα , |∇wj (x)| ≤ C|x|1−s+jα , 1 n ( r<|x|<2r |Hwj |p ) p ≤ Cr p −s+jα , pour j = 1, . . . N − 1. Maintenant puisque s − (N − 1)α < n − β + α < n (noter que N α > m), nous pouvons appliquer de nouveau le Lemme 2.47 pour conclure qu’il existe wN solution de LwN = f , quand f = (Δ − L)wN −1 , qui v´eriﬁe |wN (x)| ≤ C|x|2−s+(N −1)α . Nous posons

92

2 Probl`emes inverses elliptiques

w=

N

wj .

j=0

Alors Lw =

N −1

=

N −1

j=0

j=0

et |w(x) ≤ C

Lwj + LwN Δwj −

N

N −1 j=0

(Δ − L)wj + LwN = −LΨ

|x|2−s+jα ≤ C|x|2−s = C|x|2−n−m+β .

j=0

Les estimations de |∇w| et Hw s’obtiennent tout simplement en appliquant le Lemme 2.46. 2.3.2 Stabilit´ e dans le d´ etermination de la conductivit´ e` a la fronti` ere Pour 0 < a0 ≤ a ∈ L∞ (Ω), o` u a0 est une certaine constante, et 1 ϕ ∈ H 2 (Γ ), nous notons wa,ϕ ∈ H 1 (Ω) l’unique solution variationnelle du probl`eme aux limites div(a∇w) = 0 dans Ω w|Γ = ϕ. Rappelons que, d’apr`es les Th´eor`emes 1.21 et 1.27 1

1

Σa : H 2 (Γ ) → H − 2 (Γ ) : ϕ → a∂ν ua,ϕ d´eﬁni un op´erateur born´e. Notre objectif dans ce sous-paragraphe est de d´emontrer le Th´ eor` eme 2.49. Soient a, b ∈ W 1,p (Ω), avec p > n, telles qu’il existe deux constantes λ ≥ 1 et M0 > 0 pour lesquelles λ−1 ≤ a, b ≤ λ.

(2.121)

aW 1,p (Ω) , bW 1,p (Ω) ≤ M0 .

(2.122)

Alors il existe une constante positive C0 = C0 (n, p, Ω, λ, M0 ) telle que p

a − bL∞ (Γ ) ≤ C0 Σa − Σb n

−1 1

1

L(H − 2 (Γ ),H 2 (Γ ))

.

(2.123)

Si de plus a, b ∈ C 1,α (Ω), pour un certain α, 0 < α < 1, et aC 1,α (Ω) , bC 1,α(Ω) ≤ M1 ,

(2.124)

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

93

o` u M1 est une constante positive, alors ∂ν a − ∂ν bL∞ (Γ ) ≤ C1 Σa − Σb

p (n −1) α−1 2+α 1

1

L(H − 2 (Γ ),H 2 (Γ ))

,

(2.125)

avec C1 = C1 (α, n, p, Ω, λ, M1 ). Nous donnons une d´emonstration de ce th´eor`eme qui repose de fa¸con essentielle sur les solutions singuli`eres construites au sous-paragraphe pr´ec´edent. Avant de donner la preuve, nous montrons un lemme qui pr´ecisera com` cette ﬁn, nous introduisons ment nous utiliserons ces solutions singuli`eres. A quelques notations. Nous ﬁxons x0 ∈ Γ et posons xσ = x0 + σν(x0 ). Clairement, il existe deux constantes positives C et σ0 , qui ne dependent que de Ω, telles que Cσ ≤ dist(xσ , Γ ) ≤ σ, 0 ≤ σ ≤ σ0 . Fixons R > 2diam(Ω). Nous pouvons alors prolonger a et b `a BR (xσ ) de telle sorte que nous ayons ˜ −1 ≤ a, b ≤ λ, ˜ dans BR (xσ ) λ et ˜ 0, aW 1,p (BR (xσ )) , bW 1,p (BR (xσ )) ≤ M ˜ et M ˜ 0 d´ependant uniquement de λ, M0 , Ω et R. avec λ Lemme 2.50. Supposons que a, b v´eriﬁent (2.121) et (2.122). Pour tout m ∈ N, il existe des solutions u, v ∈ W 2,p (Ω) de div(a∇u) = div(b∇v) = 0, dans Ω,

(2.126)

|∇u(x)|, |∇v(x)| ≤ C|x − xσ |1−n−m , x ∈ Ω,

(2.127)

∇u · ∇v ≥ |x − x0 |2(1−n−m) , x ∈ Ω ∩ Br0 (xσ ),

(2.128)

qui v´eriﬁent

et o` u C et r0 sont des constantes qui ne d´ependent que de λ, M , n, p et Ω. Preuve. Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer que xσ = 0. D’apr`es le Th´eor`eme 2.45, il suﬃt de trouver une fonction harmonique sph´erique Sm telle que x |∇(|x|2−n−m Sm ( ))|2 ≥ 2|x|2(1−n−m) . (2.129) |x| Ceci est ´evident quand n = 2 (en dimension deux, les fonctions harmoniques sph´eriques sont de la forme cos(kθ) ou bien sin(kθ), k ∈ Z ). Pour n ≥ 3, n−2

x n nous choisissons Sm ( |x| ) = ACm2 ( x|x| ), A ´etant une constante non nulle et

94

2 Probl`emes inverses elliptiques

n−2

Cm2 sont les polynˆ omes de Gegenbauer donn´es au sous-paragraphe 1.4.6. Pour t = x|x|n , nous avons n−2

x ))|2 = A2 |x|2(1−n−m) ((2 − n − m)2 (Cm2 (t))2 |∇(|x|2−n−m Sm ( |x| n−2

d +( dt Cm2 (t))2 ). n−2

(2.129) r´esulte alors du fait que Cm2 (t) et

n−2

d 2 dt Cm

(t) ne peuvent pas ˆetre n−2

nulles simultan´ement. Pour monter ce fait, notons d’abord Cm2 (±1) = 0 et n−2

que Cm2 (t) est solution de l’´equation diﬀ´erentielle (t2 − 1)f + (n − 1)tf − m(m + n − 2)f = 0. Donc, d’apr`es l’unicit´e des solutions de cette ´equation diﬀ´erentielle pour la condition initiale (f (t), f (t)), |t| < 1.

n−2

d 2 dt Cm

n−2

(t) = 0 si Cm2 (t) = 0, pour tout

Preuve du Th´ eor` eme 2.49. Nous montrons d’abord (2.123). Soit x0 ∈ Γ tel que |(a − b)(x0 )| = a − bL∞ (Γ ) . Quitte a` intervertir les rˆoles de a et b, nous supposons que (a − b)(x0 ) > 0. Nous avons alors a − bL∞ (Γ ) = (a − b)(x0 ) ≤ (a − b)(x) + C|x − x0 |β , avec β = 1 −

n . p

En proc´edant de mani`ere similaire `a ce que nous avons fait `a plusieurs reprises, nous montrons l’identit´e 1 (a − b)∇u · ∇vdx = (Σa − Σb )u, v , (2.130) −1 2 2 L(H

Ω

(Γ ),H (Γ ))

pour u, v v´eriﬁant (2.126). Choisissons u, v comme dans le Lemme 2.50. Pour 0 < σ ≤ min( r20 , σ0 ), nous avons d’apr`es (2.127) et (2.128), |x − xσ |2(1−n−m) dx a − bL∞ (Γ ) B2σ (xσ )∩Ω

≤C

|a − b||x − xσ |2(1−n−m) dx

Ω\B2σ (xσ )

(2.131)

|x − x0 |β |x − xσ |2(1−n−m) dx

+ B2σ (xσ )∩Ω

+Σa − Σb

1 L(H − 2

1 2

(Γ ),H (Γ ))

u

1 2

H (Γ )

v

1 2

H (Γ )

.

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

95

Quitte `a remplacer u (resp. v) par u (resp. v) plus une constante, nous supposons udx = vdx = 0. Ω

Ω

Ceci, l’in´egalit´e de Poincar´e et le th´eor`eme de trace impliquent u2 1 ≤C |∇u|2 dx. H 2 (Γ )

Ω

Mais d’apr`es (2.127), |∇u|2 dx ≤ C |x−xσ |2(1−n−m) dx ≤ C Ω

Ω

|x−xσ |2(1−n−m) dx

BR (xσ )\Bσ (xσ )

≤ Cσ 1−n−2m . Le mˆeme argument vaut aussi pour v. Nous obtenons alors u

1

H 2 (Γ )

, v

1

H 2 (Γ )

≤ Cσ 1−n−2m .

(2.132)

D’autre part, B2σ (xσ ) ∩ Ω contient un cone C. En utilisant les coordonn´ees polaires, nous d´eduisons qu’il existe Λ une partie de S n−1 de mesure non nulle et ind´ependante de σ telle que σ n−1 |C| = dx = r dr dω = Cσ n , C

Λ

0

et puisque |x − xσ | ≤ 2σ, x ∈ C, nous concluons |x − xσ |2(1−n−m) ≥ Cσ 2−n−2m .

(2.133)

B2σ (xσ )∩Ω

Nous pouvons aussi v´eriﬁer sans diﬃcult´es que |x − x0 |β |x − xσ |2(1−n−m) ≤ Cσ 2−n−2m+β

(2.134)

B2σ (xσ )∩Ω

et

|a − b||x − xσ |2(1−n−m) ≤ Cσ 2−n−2m .

(2.135)

Ω\B2σ (xσ )

Une combinaison de (2.131) - (2.135) implique a − bL∞ (Γ ) ≤ C(σ −1 Σa − Σb ≤ C(σ −1 Σa − Σb Si Σa − Σb Σb

p n

1

1

1

L(H − 2 (Γ ),H 2 (Γ )) 1

L(H − 2 (Γ ),H 2 (Γ ))

1

1

+ σ −2+n+2m + σ β )

1

1

+ σ β ).

L(H − 2 (Γ ),H 2 (Γ )) L(H − 2 (Γ ),H 2 (Γ ))

est assez petit, nous pouvons choisir σ = Σa −

, ce qui donne imm´ediatement (2.123).

96

2 Probl`emes inverses elliptiques

Nous proc´edons maintenant `a la preuve de (2.125). Soit x0 ∈ Γ tel que ∂ν a(x0 ) − ∂ν b(x0 ) = ∂ν a − ∂ν bL∞ (Γ ) . Notons Ωσ0 = {x ∈ Ω; dist(x, Γ ) < σ0 }. Alors, il n’est pas diﬃcile de v´eriﬁer que tout x ∈ Ω σ0 peut ˆetre repr´esent´e sous la forme x = y − sν(y), pour un certain y ∈ Γ et 0 ≤ s ≤ σ0 . Nous avons aussi Cs ≤ dist(x, Γ ) ≤ s et |y − x0 | ≤ C|x − x0 |. D’apr`es le th´eor`eme des acrroissements ﬁnis, il existe t ∈ (0, 1) tel que |(a−b)(x)−(a−b)(y)−s∂ν (a−b)(x0 )| = |s∂ν (a−b)(y−tsν(y))−∂ν (a−b)(x0 )|. D’o` u, |(a − b)(x) − (a − b)(y) − s∂ν (a − b)(x0 )| ≤ Cs|y − x0 |α ≤ Cs|x − x0 |α , o` u nous avons utilis´e (2.124). Il en r´esulte s∂ν a − ∂ν bL∞ (Γ ) ≤ |(a − b)(x)| + a − bL∞ (Γ ) + Cs|x − x0 |α .

(2.136)

Comme pr´ec´edemment, pour u et v des solutions donn´ees par le Lemme 2.50 et σ ≤ 12 min(σ0 , r0 ), nous avons, vu (2.130), σ∂ν a − ∂ν bL∞ (Γ ) |x − xσ |2(1−n−m) dist(x, Γ ) B2σ (xσ )∩Ω

≤ C(

|a − b||x − xσ |2(1−n−m) Ω\B2σ (xσ )

dist(x, Γ )|x − x0 |α |x − xσ |2(1−n−m)

+ B2σ (xσ )∩Ω

+ B2σ (xσ )∩Ω

+Σa − Σb

|x − xσ |2(1−n−m) dist(x, Γ )a − bL∞ (Γ ) 1

1

L(H − 2 (Γ ),H 2 (Γ ))

u

1

H 2 (Γ )

v

1

H 2 (Γ )

).

Puisque Cσ ≤ dist(x, Γ ) ≤ σ, de la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment, nous tirons de cette estimation p −1 ∂ν a − ∂ν bL∞ (Γ ) ≤ Cσ −1 σ α + Σa − Σb n − 1 σ −2 , 1 L(H

2

(Γ ),H 2 (Γ ))

o` u nous avons utilis´e (2.123) pour estimer a − bL∞ (Γ ) . Le choix de σ = Σa − Σb

p 1 (n −1) α+2 1

1

L(H − 2 (Γ ),H 2 (Γ ))

permet d’obtenir l’estimation recherch´ee.

Pour faire ce sous-paragraphe, nous nous sommes largement inspir´e de l’article de G. Alessandrini [Al4].

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

97

2.3.3 Une alternative aux solutions singuli` eres Nous reprenons les d´eﬁnitions et notations du sous-paragraphe 2.3.2. Pour 1 0 < a0 ≤ a ∈ L∞ (Ω), o` u a0 est une certaine constante, et ϕ ∈ H 2 (Γ ), nous 1 notons wa,ϕ ∈ H (Ω) l’unique solution variationnelle du probl`eme aux limites div(a∇w) = 0, dans Ω, (2.137) w|Γ = ϕ. Rappelons que l’op´erateur born´e Σa , que nous avons construit plus haut, est donn´e par 1 1 Σa : H 2 (Γ ) → H − 2 (Γ ) : ϕ → a∂ν wa,ϕ . Les solutions singuli`eres permettent de montrer (voir [Al4] pour plus de d´etails) que si a1 , a2 ∈ C 1 (Ω) sont telles que Σa1 = Σa2 alors a1 = a2 et ∇a1 = ∇a2 sur Γ. Bien entendu, ce r´esultat, combin´e avec ceux du paragraphe 2.1, permet de d´eduire que a1 = a2 dans Ω. Dans ce sous-paragraphe, nous donnons une alternative aux solutions singuli`eres. Elle consiste `a construire des solutions particuli`eres du probl`eme aux limites (2.137). Nous d´ebutons par le Lemme 2.51. Supposons que Ω est de classe C 1,1 et soit σ0 ∈ Γ . Alors il 3 existe (ψm ) une suite de H 2 (Γ ) ∩ C 1,1 (Γ ) et deux constantes C1 et C2 telles que (a) supp(ψm+1 ) ⊂ supp(ψm ) et ∩m≥1 supp(ψm ) = {σ0 }, (b) ψm C1

(c) m

1

H 2 (Γ )

1+2s 2

= 1,

≤ ψm H −s (Γ ) ≤

C1 m

1+2s 2

pour −1 ≤ s ≤ 1.

Preuve. Tout au long de cette d´emonstration, les Ci d´esignent des constantes g´en´eriques. Pla¸cons-nous d’abord dans le cas Γ ⊂ Rn−1 × {0} et σ0 = 0. Soit alors f∗ ∈ Cc∞ (R) telle que supp(f∗ ) ⊂ [−1, 1] et

1

−1

f∗ (t)dt = 1.

Pour x = (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 et m ≥ 1 entier, nous d´eﬁnissons fm (x ) =

n−1 i=1

f∗ (mxi ).

98

2 Probl`emes inverses elliptiques

1 1 n−1 Nous avons supp(fm ) ⊂ [− m , m] et, puisque fm (x ) = f1 (mx ),

fˆm (ξ ) =

1

ξ fˆ1 ( ). n−1 m m

Par suite, pour s ≥ 0, fm H −s (Rn−1 ) = =

(1 + |ξ |2 )−s |fˆm (ξ )|2 dξ 1 (1 + m2 |ξ |2 )−s |fˆ1 (ξ )|2 dξ . n−1

Rn−1

m

(2.138)

Rn−1

De (1 + m2 θ2 )−1 ≥ m−2 (1 + θ2 )−1 , pour θ > 0, nous tirons C3 (1 + m2 |ξ |2 )−s |fˆ1 (ξ )|2 dξ ≥ 2s . m n−1 R

(2.139)

u, fˆ1 ´etant anaD’autre part, comme f∗ est de moyenne nulle, fˆ(0) = 0. D’o` −1 ˆ n−1 ). Nous obtenons lytique (car f1 est `a support compact), |ξ| f1 (ξ) ∈ S(R alors, en utilisant l’in´egalit´e (1 + m2 θ2 )−1 ≤ (θm)−2 pour θ > 0, Rn−1

(1 + m2 |ξ |2 )−s |fˆ1 (ξ )|2 dξ ≤

1 m2s

Rn−1

C4 |fˆ1 (ξ )|2 dξ = 2s |ξ |2s m

(2.140)

si 0 ≤ s ≤ 1. Une combinaison de (2.138), (2.139) et (2.140) nous donne, pour 0 ≤ s ≤ 1, C5 (s)m−

n−1 2 −s

≤ fm H −s (Rn−1 ) ≤ C6 (s)m−

n−1 2 −s

.

(2.141)

De la mˆeme mani`ere, nous pouvons d´emontrer que nous avons une in´egalit´e similaire `a (2.141) dans le cas s ≥ 0. C’est-` a-dire C7 (s)m−

n−1 2 +s

≤ fm H s (Rn−1 ) ≤ C8 (s)m−

n−1 2 +s

.

(2.142)

Il r´esulte de (2.141) et (2.142) que, pour tout s ≥ −1, C9 (s)m−

n−1 2 +s

≤ fm H s (Rn−1 ) ≤ C10 (s)m−

n−1 2 +s

et donc ψm , d´eﬁnie par ψm (x ) =

fm (x ) , fm 12 n−1 H (R

)

satisfait `a, pour −1 ≤ s ≤ 1, C11 (s)m−

1−2s 2

≤ fm H s (Rn−1 ) ≤ C12 (s)m−

1−2s 2

.

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

99

Le cas g´en´eral se ram`ene au cas pr´ec´edent en utilisant les cartes locales. Vu la r´egularit´e C 1,1 de Ω, nous pouvons v´eriﬁer que la nouvelle suite (ψm ) que 3 nous obtenons est dans C 1,1 (Γ ) ∩ H 2 (Γ ) et elle satisfait aux conditions (a) (c). Dans ce qui suit σ0 est un point quelconque de Γ et, pour simpliﬁer les notations, nous posons um = wa,ψm . Lemme 2.52. Supposons que Ω est de classe C 1,1 et que a ∈ W 1,∞ (BR (σ0 )∩ Ω). Alors il existe une constante positive C et m0 un entier positif pour lesquels C um H 1 (Ω\BR (σ0 )) ≤ , pour tout m ≥ m0 . (2.143) m Preuve. Choisissons d’abord m0 assez large de telle sorte que le support de ψm soit contenu dans B R (σ0 ) ∩ Γ pour tout m ≥ m0 . Soit ζ ∈ Cc∞ (Rn ) une 8 fonction de troncature telle que 0 ≤ ζ ≤ 1, ζ = 1 dans Ω \ BR (σ0 ) et ζ = 0 dans B R (σ0 ). 2

Soient ω = Ω \ B R (σ0 ) et vm = ζum . Nous avons 4

−div(avm ) = −a∇ζ · ∇um − div(aum ∇ζ). Nous multiplions chaque membre de cette ´equation par vm = ζum et nous faisons ensuite une int´egration par parties sur ω pour avoir, en notant que vm = 0 sur ∂ω, 2 a|∇vn | dx = − a∇ζ · ∇um dx + aum ∇ζ · ∇(ζum )dx ω ω ω = au2m |∇ζ|2 dx. ω

Comme vm = um sur Ω \ BR (σ0 ) ⊂ ω, nous d´eduisons de la derni`ere identit´e |∇um |2 dx ≤ C u2m |∇ζ|2 dx. (2.144) Ω\BR (σ0 )

Ω

Nous estimons maintenant le membre de droite de la derni`ere in´egalit´e en fonction de ψm − 21 . Soit w ∈ H01 (Ω) la solution de H

(Γ )

−div(a∇w) = um |∇ζ|2 dans Ω,

w = 0 sur Γ.

(2.145)

Puisque a ∈ W 1,∞ (BR (σ0 ) ∩ Ω), d’apr`es les r´esultats de r´egularit´e locale pour les ´equations elliptiques, w ∈ H 2 (BR (σ0 ) ∩ Ω) (voir par exemple D. Gilbarg 1 et N. S. Trudinger [GT]). Par suite ∂ν w ∈ H 2 (BR (σ0 ) ∩ Γ ). De plus a∂ν w

1

H 2 (BR (σ0 )∩Γ )

≤ CwH 2 (BR (σ0 )∩Ω) ≤ C um |∇ζ|2 L2 (Ω) .

(2.146)

100

2 Probl`emes inverses elliptiques

Nous multiplions maintenant (2.145) par um et nous faisons une int´egration par parties pour obtenir u2m |∇ζ|2 dx = a∇w · ∇um dx − a∂ν wψm dσ Ω Ω Γ =− a∂ν wψm dσ, Γ

o` u nous avons utilis´e

a∇w · ∇um dx = 0, Ω

qui r´esulte du fait que um est solution de (2.137), avec ϕ = ψm , et w ∈ H01 (Ω). Nous avons alors u2m |∇ζ|2 dx ≤ Ca∂ν w Ω

1

H 2 (BR (σ0 )∩Γ )

ψm

1

H − 2 (Γ )

,

ce qui, combin´e avec (2.146) et l’in´egalit´e |∇ζ|2 ≤ lC|∇ζ|l, entraine um |∇ζ|L2 (Ω) ≤ Cum |∇ζ|2 L2 (Ω) ψm ≤ C um |∇ζ|L2 (Ω) ψm

1

H − 2 (Γ ) 1

H − 2 (Γ )

.

Vu l’estimation du Lemme 2.51 (c) pour ψm et (2.144), nous obtenons um L2 (Ω\BR (σ0 )) ≤

C si m ≥ m0 . m

Mais d’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e, um L2 (Ω\BR (σ0 )) ≤ C|∇um |L2 (Ω\BR (σ0 )) , car um = 0 sur Γ ∩ BR (σ0 ), ce qui ach`eve la preuve. Lemme 2.53. Sous les hypoth`eses et les notations du Lemme 2.52, il existe un entier m1 ≥ m0 et une constante C = C(R) tels que |∇um |2 dx ≥ C, m ≥ m1 . BR (σ)∩Ω

Preuve. Nous avons um 2

1

Γ H 2 (Γ )

≤ C(|∇um |L2 (Ω) + um L2 (Γ ) ), Γ

tout simplement car w → ∇wL2 (Ω) + w L2 (Γ ) d´eﬁnit une norme ´equivΓ

alente a` la norme originale sur H 1 (Ω). Mais, d’apr`es le Lemme 2.51, C um 2L2 (Γ ) = ψm 2L2 (Γ ) ≤ Γ Γ m

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

et 1 = um 2

1

Γ H 2 (Γ )

= ψm

1

Γ H 2 (Γ )

1 = um 2

1

Γ H 2 (Γ )

101

. Par cons´equence,

≤ C|∇um |L2 (Ω) +

C . m

Ceci et le dernier lemme impliquent 1 1 |∇um |2 dx + 2 + ). 1 ≤ C( m m BR (σ0 )∩Ω D’o` u le r´esultat pour m ≥ m1 , m1 ≥ m0 assez grand.

Nous avons utilis´e plus haut l’ensemble W+1,∞ (Ω). Rappelons qu’il est d´eﬁni par W+1,∞ (Ω) = {a ∈ W 1,∞ (Ω); a ≥ a0 p.p. pour une certaine constante a0 > 0}. Nous utilisons les deux lemmes pr´ec´edents pour d´emontrer le Th´ eor` eme 2.54. Supposons que Ω est de classe C 1,1 et soient a1 , a2 ∈ 1,∞ W+ (Ω) telles que Σa1 = Σa2 . Alors a1 = a2 sur Γ . Preuve. Nous raisonnons par l’absurde. Nous faisons alors l’hypoth`ese qu’il existe σ0 ∈ Γ tel que a1 (σ0 ) = a2 (σ0 ). Sans perte de g´en´eralit´e, nous supposons, par exemple, que a1 (σ0 ) > a2 (σ0 ). D’o` u, il existe R et δ deux constantes > 0 telles que (2.147) a1 (x) ≥ a2 (x) + δ, x ∈ BR (σ0 ) ∩ Ω. En notant ujm = uaj ,ψm , j = 1, 2 et B = BR (σ0 ) ∩ Ω, nous avons 1 2 Qa1 (ψm ) = a1 |∇um | ≥ a1 |∇u1m |2 Ω

B

et donc, vu (2.147), Qa1 (ψm ) ≥

a2 |∇u1m |2 + δ

B

a1 |∇u1m |2 . B

En utilisant la minoration du Lemme 2.53, nous d´eduisons qu’il existe un entier positif m1 pour lequel a2 |∇u1m |2 + C0 δ, si m ≥ m1 . Qa1 (ψm ) ≥ B

Cette estimation, combin´ee avec celle du Lemme 2.52, entraine C a2 |∇u1m |2 − 2 + C0 δ, si m ≥ m1 . Qa1 (ψm ) ≥ m Ω D’autre part, nous savons que si

(2.148)

102

2 Probl`emes inverses elliptiques

Kψm = ψm + H01 (Ω) = {w ∈ H 1 (Ω); w = ψm sur Γ }, alors

a2 |∇u1m |2 Ω

≥ min

w∈Kψm

a2 |∇w| =

a2 |∇u2m |2 = Qa2 (ψm ).

2

Ω

Ω

Cette derni`ere in´egalit´e et (2.148) impliquent Qa1 (ψm ) ≥ Qa2 (ψm ) −

C + C0 δ, si m ≥ m1 . m2

(2.149)

Par cons´equence, il existe m2 ≥ m1 tel que Qa1 (ψm ) ≥ Qa2 (ψm ) +

C0 δ , si m ≥ m2 . 2

(2.150)

Mais Σa1 = Σa2 entraine, en particulier, Qa1 (ψm ) = Qa2 (ψm ) pour chaque m (noter que pour a = ai , il n’est pas diﬃcile de montrer Qa (ϕ) = Σa ϕ, ϕ si 1 u la contradiction. ϕ ∈ H 2 (Γ )). D’o` Une cons´equence imm´ediate du dernier th´eor`eme est un r´esultat de stabilit´e lipschitzienne : Corollaire 2.55. Soient M > 0 et λ > 0 deux constantes. Alors il existe une constante C = C(M, λ) telle que : pour tous a1 , a2 ∈ W 1,∞ (Ω) v´eriﬁant λ ≤ aj et aj W 1,∞ (Ω) ≤ M,

(2.151)

nous avons a1 − a2 L∞ (Γ ) ≤ CΣa1 − Σa2

1

1

L(H 2 (Γ ),H − 2 (Γ ))

.

Preuve. Soient a1 , a2 ∈ W 1,∞ (Ω) v´eriﬁant (2.151) et telles que a1 − a2 ≡ 0 sur Γ . Si 0 < 2β = a1 − a2 L∞ (Γ ) , alors il existe B = BR (σ0 ) ∩ Ω pour laquelle |a1 (x) − a2 (x)| ≥ δ, x ∈ B, par exemple, a1 (x) − a2 (x) ≥ δ, x ∈ B, Au cours de la preuve du Th´eor`eme 2.54, nous avons utilis´e des estimations a priori H 2 pour ´etablir (2.150) sans pr´eciser la d´ependance des donn´ees de la constante C0 . Il est d´emontr´e (voir D. Gilbarg and N. S. Trudinger [GT] pour les d´etails) que la constante C0 ne d´epend que de λ et M . Rappelons que, toujours d’apr`es (2.150), δC0 ≤ Qa1 (ψm ) − Qa2 (ψm ) = (Σa1 − Σa2 )(ψm ), ψm , 2 pour m assez grand et donc, puisque ψm

1

H 2 (Γ )

= 1,

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

103

δC0 1 1 ≤ Σa1 − Σa2 . L(H 2 (Γ ),H − 2 (Γ )) 2 D’o` u le r´esultat avec C =

4 C0 .

La preuve de Σa1 = Σa2 implique ∇a1 = ∇a2 sur Σ se fait aussi par un raisonnement par l’absurde. D’abord le lemme pr´ec´edent nous dit que si Σa1 = Σa2 alors a1 = a2 sur Γ et donc ∂τ a1 = ∂τ a2 sur Γ . Donc supposer que ∇a1 = ∇a2 sur Γ revient `a supposer que ∂ν a1 = ∂ν a2 , par exemple ∂ν a1 > ∂ν a2 en un point de Γ . Par cons´equence, il existe δ > 0 et B = BR (σ0 ) ∩ Ω tels que a1 (x) ≥ a2 (x) + δdist(x, Γ ), x ∈ B. (2.152) Dans ces conditions, le Lemme 2.53 ne suﬃra pas pour faire un raisonnement par l’absurde. Nous le rempla¸cerons par le lemme suivant qui est plus pr´ecis : Lemme 2.56. Sous les hypoth`eses et les notations du Lemme 2.53, il existe C une constante > 0 et un entier m1 ≥ m0 , qui d´ependent de R, telles que C dist(x, Γ )|∇um |2 dx ≥ , pour tout m ≥ m1 . (2.153) m BR (σ0 )∩Ω Preuve. Soit ϕ1 ∈ H01 (Ω) ∩ W 1,∞ (Ω) la premi`ere fonction propre de l’op´erateur Au = −div(a∇u), avec une condition de Dirichlet sur le bord, qui v´eriﬁe ϕ2 dx = 1.

ϕ > 0 dans Ω, Ω

D’apr`es le lemme de Hopf (Lemme 1.34), nous d´eduisons −∂ν ϕ1 ≥ c0 > 0, sur BR (σ0 ) ∩ Ω, (2.154) c1 dist(x, Γ ) ≤ ϕ1 ≤ c2 dist(x, Γ ), sur BR (σ0 ) ∩ Ω, o` u les constantes cj , j = 1, 2, 3, d´ependent de R. Nous supposons que m ≥ m0 est suﬃsamment grand de telle sorte que supp(ψm ) ⊂ BR (σ0 ) ∩ Ω. Comme ϕ1 ∈ H01 (Ω) ∩ W 1,∞ (Ω), um ϕ1 ∈ H01 (Ω). Nous multiplions alors (2.137), avec ϕ = ψm , par ϕ1 um et nous int´egrons ensuite sur Ω pour obtenir div(a∇um )ϕ1 um dx = 0. Ω

Cette identit´e implique, apr`es une int´egrations par parties, a|∇um |2 dx + aum ∇um · ∇ϕ1 dx = 0. Ω

Or

Ω

(2.155)

104

2 Probl`emes inverses elliptiques

aum ∇um · ∇ϕ1 dx =

a∇

Ω

Ω

u2m · ∇ϕ1 dx. 2

Une nouvelle int´egration par parties entraine λ1 1 aum ∇um · ∇ϕ1 dx = u2m ϕ1 + ψm a∂ν ϕ1 . 2 Ω 2 Γ Ω Nous utilisons cette identit´e dans (2.155) pour conclure λ1 1 a|∇um |2 dx = − u2m ϕ1 dσ − ψm a∂ν ϕ1 dσ. 2 Ω 2 Γ Ω D’apr`es (2.154), nous avons C − ψm a∂ν ϕ1 ≥ c0 aψm dσ ≥ , m Γ Γ

(2.156)

(2.157)

o` u la derni`ere in´egalit´e r´esulte du Lemme 2.51 ((c)avec s = 0). Soit w ∈ H01 (Ω) la solution de −div(a∇w) = um ϕ1 dans Ω,

w = 0 sur Γ.

(2.158)

Comme dans les commentaires apr`es la preuve du Th´eor`eme 2.11, on montre que wH 2 (Ω) ≤ Cum ϕ1 L2 (Ω) , 1

et par suite, en utilisant le fait que ϕ1 ≤ cϕ12 , a∂ν w

1

1

H 2 (Γ )

≤ Cum ϕ12 L2 (Ω) .

(2.159)

Nous multiplions maintenant (2.158) par um et nous faisons une int´egration par parties pour d´eduire 2 um ϕ1 dx = − ψm a∂ν wdσ, Ω

puisque Donc

Ω

Γ

∇um ·∇w = 0 (noter que um est solution de (2.137), avec ϕ = ψm ). u2m ϕ1 dx ≤ ψm − 21 a∂ν w 12 . H

Ω

Mais ψm

1

H − 2 (Γ )

≤

(Γ )

H (Γ )

par le Lemme 2.51 ((c) avec s = − 21 ). D’o` u

C m

u2m ϕ1 dx ≤ Ω

Cette in´egalit´e et (2.159) impliquent

C a∂ν w 12 . H (Γ ) m

2.3 M´ethode de solutions singuli`eres

u2m ϕ1 dx ≤ Ω

C . m2

105

(2.160)

Finalement, une combinaison de (2.156), (2.157) et (2.160) nous fournit C ϕ1 |∇um |2 dx ≥ . m Ω Le r´esultat s’ensuit par (2.154) en notant que supp(ψm ) ⊂ BR (σ0 ) ∩ Ω.

1 Th´ eor` eme 2.57. Soient a1 , a2 ∈ L∞ + (Ω)∩C (Ω) telles que Σa1 = Σa2 . Alors

a1 = a2 et ∇a1 = ∇a2 sur Γ. Preuve. Nous raisonnons par l’absurde. Nous supposons donc que a1 = a2 (cons´equence du Th´eor`eme 2.54) et ∇a1 = ∇a2 sur Γ , ce qui entraine (voir plus haut) qu’il existe B = BR (σ0 ) ∩ Ω et δ > 0 pour lesquelles (2.152) est v´eriﬁ´ee. C’est-`a-dire a1 (x) ≥ a2 (x) + δdist(x, Γ ), x ∈ B. Comme pr´ec´edemment, posons ujm = uaj ,ψm , j = 1, 2 et soit ϕ1 ∈ H01 (Ω) ∩ W 1,∞ (Ω) la premi`ere fonction propre de l’op´erateur Au = −div(a∇u), avec une condition de Dirichlet sur le bord, qui v´eriﬁe ϕ > 0 dans Ω et Ω ϕ2 dx = 1. Nous appliquons d’abord le Lemme 2.56 pour obtenir, avec m ≥ m1 , 1 2 a1 |∇um | dx ≥ a1 |∇u1m |2 dx Ω B a2 |∇u1m |2 dx + δ dist(x, Γ )|∇u1m |2 dx ≥ B B δc0 1 2 . ≥ a2 |∇um | dx + m B Il en r´esulte

a1 |∇u1m |2 dx ≥ Ω

a2 |∇u1m |2 dx − Ω

c1 δc0 , + 2 m m

pourvu que m ≥ m1 . Mais a2 |∇u1m |2 dx ≥ Qa2 (ψm ). Ω

D’o` u, il existe m2 ≥ m1 un entier pour lequel, pour tout m ≥ m2 , δc0 δc0 ≥ Qa2 (ψm ) + , Qa1 (ψm ) = a1 |∇u1m |2 dx ≥ a2 |∇u1m |2 dx + 2m 2m Ω Ω ce qui contredit le fait que Σa1 = Σa2 implique Qa1 = Qa2 . Nous avons pr´epar´e ce sous-paragraphe `a partir de O. Kavian [Ka2].

106

2 Probl`emes inverses elliptiques

2.4 D´ etermination d’un coeﬃcient fronti` ere 2.4.1 Cas o` u le domaine est une couronne : une m´ ethode de d´ ecomposition en s´ erie de Fourier Soit Ω = {(x, y) ∈ R2 ; r1 < r = x2 + y 2 < r2 }, de fronti`ere Γ et notons Γi = {(x, y) ∈ R2 ; r = ri }, i = 1, 2. Donc Γ = Γ1 ∪ Γ2 . Nous consid´erons alors le probl`eme aux limites ⎧ dans Ω ⎨ Δu = 0 sur Γ2 ∂ν u = f (2.161) ⎩ ∂ν u + qu = 0 sur Γ1 . Fixons α ∈ (0, 1) et f ∈ C 1,α (Γ2 ). Alors pour toute fonction q ∈ C 1,α (Γ1 ) positive et non identiquement ´egale a` z´ero, le probl`eme aux limites (2.161) admet une unique solution u = uq ∈ C 2,α (Ω) (voir Th´eor`eme 1.25). Notre objectif dans ce sous-paragraphe est d’´etablir le Th´ eor` eme 2.58. Soit M > 0 une constante donn´ee. Nous supposons que les conditions ci-dessous sont satisfaites : ` z´ero, (i) f ∈ C 1,α (Γ2 ) est non identiquement ´egale a ` z´ero, (ii) qi ∈ C 1,α (Γ1 ), i = 1, 2 est positive et non identiquement ´egale a (iii) qi C 1,α (Γ1 ) ≤ M , i = 1, 2. Soient ui = uqi , i = 1, 2, et K un compact de {x ∈ Γ1 ; u2 (x) = 0}. Alors il existe des constantes positives , A et B qui ne d´ependent que de M , K, r1 et r2 telles que A , q1 − q2 L2 (K) ≤ ln u1 −u2B 2 L (Γ2 )

si q2 − q1 C 1,α (Γ1 ) ≤ . Nous allons voir que ce th´eor`eme s’obtient comme cons´equence d’un r´esultat de stabilit´e pour un probl`eme de Cauchy pour le laplacien en coordonn´ees polaires. Rappelons `a cette ﬁn que le laplacien en coordonn´ees ˜ est donn´e par polaires (r, θ), not´e Δ, ˜ = ∂ 22 + 1 ∂r + 1 ∂ 22 . Δ r r r2 θ u 0 < r1 < r2 , et Posons D =]r1 , r2 [×]0, 2π[, o` Cp2 (D) = {v = w|D ; w ∈ C 2 ([r1 , r2 ] × R), et w est 2π − p´eriodique en θ}. La formule de Green suivante nous sera bien utile dans la suite :

2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere

r2

r1

2π

˜ Δvwrdrdθ =

r2

r1

0

2π

[r∂r vw − rv∂r w]|r=r2 dθ

0

− 0

˜ v Δwrdrdθ

0 2π

+

107

2π

[r∂r vw − rv∂r w]|r=r1 dθ,

(2.162)

pour v, w ∈ Cp2 (D). Nous avons le r´esultat de stabilit´e logarithmique Th´ eor` eme 2.59. Soit M > 0 une constante donn´ee. Alors il existe des constantes positives , A et B, d´ependant uniquement de M , r1 et r2 , telles ˜ = 0, que : pour tout v ∈ Cp2 (D) v´eriﬁant Δv v(r1 , ·)2H 1 (0,2π) + ∂r v(r1 , ·)2H 1 (0,2π) ≤ M,

(2.163)

et v(r2 , ·)2L2 (0,2π) + ∂r v(r2 , ·)2L2 (0,2π) ≤ , nous avons 12 v(r1 , ·)2L2 (0,2π) +∂r v(r1 , ·)2L2 (0,2π) A

≤ ln

.

B (v(r2 ,·)2 2

L (0,2π)

+∂r v(r2 ,·)2 2

L (0,2π)

1

)2

˜ = 0. Nous posons Preuve. Soit v ∈ Cp2 (D) satisfaisant Δv 2π 2π 1 1 αk = v(r1 , θ)e−ikθ dθ, βk = ∂r v(r1 , θ)e−ikθ dθ 2π 0 2π 0 2π 2π 1 1 v(r2 , θ)e−ikθ dθ, bk = ∂r v(r2 , θ)e−ikθ dθ. ak = 2π 0 2π 0 ˜ ± = 0 dans D, une application de la Soit v± = r±k e−ikθ , k ∈ Z. Puisque Δv formule de Green (2.162), avec v et w = v± , nous donne r1k+1 βk − kr1k αk = r2k+1 bk − kr2k ak , k ∈ Z, r1−k+1 βk + kr1−k αk = r2−k+1 bk − kr2−k ak , k ∈ Z. Ces deux identit´es impliquent 1 −k−1 k+1 [r r2 bk − kr1−k−1 r2k ak + r1k−1 r2−k+1 bk − kr1k−1 r2−k ak ], k ∈ Z 2 1 1 k −k+1 [r r αk = bk − kr1k r2−k ak + r1−k r2k+1 bk + kr1−k r2k ak ], k ∈ Z, k = 0. 2k 1 2 βk =

Par suite, il existe une constante positive C = C(r1 , r2 ) telle que

108

2 Probl`emes inverses elliptiques

|αk | ≤ C|k|ρk (|ak | + |bk |), k ∈ Z, k = 0.

(2.164)

|βk | ≤ C|k|ρk (|ak | + |bk |), k ∈ Z,

(2.165)

et o` u nous avons pos´e ρ =

r1−1 r2 .

Pour simpliﬁer les notations, nous posons δ = v(r2 , ·)2L2 (0,2π) + ∂r v(r2 , ·)2L2 (0,2π) =

(|ak |2 + |bk |2 ).

k∈Z

Comme

k∈Z

k 2 (|αk |2 +|βk |2 ) ≤ M par (2.163), il n’est pas diﬃcile de v´eriﬁer

∂r v(r1 , ·)2L2 (0,2π) =

|βk |2 ≤

|βk |2 +

|k|≤N

k∈Z

M , N2

(2.166)

pour tout entier positif N . De (2.165) et (2.166) nous d´eduisons ∂r v(r1 , ·)2L2 (0,2π) ≤ c0 ec0 N δ +

M , N2

(2.167)

pour tout entier positif N , o` u c0 = c0 (r1 , r2 ) est une certaine constante positive. De fa¸con similaire, (2.164) entraine

|αk |2 ≤ c0 ec0 N δ +

k∈Z, k =0

M . N2

(2.168)

Soit maintenant w la solution du probl`eme aux limites ˜ = 0, dans Ω, Δw r1 ∂r w(r1 , ·) = r2 ∂r w(r2 , ·) = 1. Une nouvelle application de la formule de Green (2.162) nous permet de conclure 2π 2π 2π v(r1 , θ)dθ = v(r2 , θ)dθ − r2 ∂r v(r2 , θ)w(r2 , θ)dθ 0

0

0

2π

r1 ∂r v(r1 , θ)w(r1 , θ)dθ.

+ 0

C’est-`a-dire, 1 α0 = a0 − 2π

0

2π

1 r2 ∂r v(r2 , θ)w(r2 , θ)dθ + 2π

2π

r1 ∂r v(r1 , θ)w(r1 , θ)dθ. 0

2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere

109

Par cons´equence, |α0 |2 ≤ 3 |a0 |2 + c (∂r v(r2 , ·)2L2 (0,2π) + ∂r v(r1 , ·)2L2 (0,2π) ) , pour une certaine constante positive c = c (r1 , r2 ). Cette estimation, combin´ee avec (2.166) et (2.168), donne v(r1 , ·)2L2 (0,2π) + ∂r v(r1 , ·)2L2 (0,2π) ≤ cecN δ +

d , N2

pour tout entier positif N , avec c = c(r1 , r2 ) et d = d(M, r1 , r2 ) deux constantes positives. Par suite, d cecN δ + 2 . v(r1 , ·)2L2 (0,2π) + ∂r v(r1 , ·)2L2 (0,2π) ≤ min N ∈N, N =0 N De cette estimation nous d´eduisons, comme nous l’avons fait `a plusieurs reprises, A 1 , (v(r1 , ·)2L2 (0,2π) + ∂r v(r1 , ·)2L2 (0,2π) ) 2 ≤ ln( Bδ ) pourvu que δ soit assez petit. Ici A = A(M, r1 , r2 ) et B = B(M, r1 , r2 ) sont deux constantes positives. Avant de donner la preuve du Th´eor`eme 2.58, nous transposons d’abord le r´esultat du dernier th´eor`eme au laplacien en coordonn´ees cart´esiennes, dans la couronne Ω. Notons que si u = u(x, y) ∈ C 2 (Ω) est telle que Δu = 0 dans Ω alors v = v(r, θ) ∈ Cp2 (D) donn´ee par v(r, θ) = u(x, y), o` u (x, y) = ˜ (r cos θ, r sin θ), satisfait a` Δv = 0 dans D et ∂r v(r, θ) = ∂ν u(x, y), pour r = r1 , r2 . Comme cons´equence imm´ediate du Th´eor`eme 2.59, nous avons Corollaire 2.60. Soit M > 0 une constante donn´ee. Alors il existe trois constantes positives , A et B, qui ne d´ependent que de M , r1 et r2 , telles que pour tout u ∈ C 2 (Ω) v´eriﬁant Δu = 0 dans Ω, uC 2 (Ω) ≤ M et u2L2 (Γ2 ) + ∂ν u2L2 (Γ2 ) ≤ , nous avons 1

A

(u2L2(Γ1 ) + ∂ν u2L2 (Γ1 ) ) 2 ≤ ln

.

B (u2 2

L (Γ2 )

+∂ν u2 2

L (Γ2 )

1

)2

Preuve du Th´ eor` eme 2.58. Remarquons d’abord que u = u1 − u2 est la solution du probl`eme aux limites ⎧ dans Ω, ⎨ Δu = 0, ∂ν u = 0, sur Γ2 , ⎩ ∂ν u + q1 u = (q2 − q1 )u2 sur Γ1 .

110

2 Probl`emes inverses elliptiques

D’apr`es les estimations h¨olderiennes du Th´eor`eme 1.25, il existe une constante C = C(M, Ω) pour laquelle u2 C 2,α (Ω) ≤ Cf C 1,α (Γ2 ) et uC 2,α(Ω) ≤ C(q2 − q1 )u2 C 1,α (Γ1 ) . Du dernier corollaire, nous d´eduisons qu’il existe des constantes positives A , B et (d´ependant uniquement de M , r1 et r2 ) telles que 1

(u2L2 (Γ1 ) + ∂ν u2L2 (Γ1 ) ) 2 ≤

ln

A B uL2 (Γ

. 2)

a condition que q2 − q1 C 1,α (Γ1 ) ≤ . Mais ` q2 − q1 =

1 (∂ν u + q1 u) sur Γ˜ , u2

o` u Γ˜ = {x ∈ Γ1 ; u2 (x) = 0}. Par suite, q1 − q2 L2 (K) ≤

ln

A B uL2 (Γ

, 2)

pour tout compact K de Γ˜ , avec A et B deux constantes positives qui ne d´ependent que de K, M , r1 et r2 . 2.4.2 Cas d’un domaine rectangulaire : m´ ethode fond´ ee sur la transform´ ee de Fourier Dans ce sous-paragraphe nous ´etablissons un r´esultat de stabilit´e logarithmique dans le cas Ω = (0, 1) × (0, 1). Posons Γ1 = (0, 1) × {0}; Γ2 = {1} × (0, 1); Γ3 = (0, 1) × {1}; Γ4 = {0} × (0, 1). Nous limiterons notre dans ´etude aux coeﬃcients q support´es dans Γ1 et au cas o` u f est `a support dans Γ3 . Avec ces conditions, (2.161) devient ⎧ Δu = 0, dans Ω, ⎪ ⎪ ⎨ −∂y u + q(x)u = 0, sur Γ1 , (2.169) sur Γ3 , ⎪ ⎪ ∂y u = f, ⎩ sur Γ2 ∪ Γ4 . ∂x u = 0, Nous travaillerons avec des coeﬃcients q dans l’ensemble Q = {q ∈ C 3 [0, 1]; q ≥ 0, q = 0, supp(q) ⊂ (0, 1)}. Comme cas particulier du Th´eor`eme 2.2 de G. Inglese [In], nous avons Th´ eor` eme 2.61. Soient q ∈ Q, f ∈ C 3 [0, 1] avec supp(f ) ⊂ (0, 1). Alors (2.169) admet une unique solution u ∈ C 2 (Ω).

2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere

111

Le r´esultat principal de ce sous-paragraphe est le Th´ eor` eme 2.62. Soient qm , qM ∈ Q, f ∈ C 3 [0, 1] avec supp(f ) ⊂ (0, 1), et M > 0. Supposons que f est positive et non identiquement ´egale a ` z´ero. Alors il existe une constante positive A, d´ependant seulement de qm , qM , M et f , et deux constantes positives B, , d´ependant uniquement de qm , M et f telles que, pour tous q1 , q2 ∈ Q v´eriﬁant (i) q1 W 1,∞ (Γ1 ) , q2 W 1,∞ (Γ1 ) ≤ M , (ii) qm ≤ q1 , q2 ≤ qM , (iii) q1 − q2 L∞ (Γ1 ) ≤ , nous avons q1 − q2 L2 (Γ1 ) ≤

A

ln

(u1 −u2 )|Γ \Γ1 L1 (Γ \Γ

1

B ) +|(u1 −u2 )(0,0)|+|(u1 −u2 )(1,0)|

,

o` u ui est la solution de (2.169) correspondante a ` q = qi , i = 1, 2. Nous d´emontrons au pr´ealable un certain nombre de r´esultats pr´eliminaires. Nous commen¸cons par une version du lemme de Hopf dans un coin. Soient P1 = (0, 0), P2 = (1, 0), P3 = (1, 1), P4 = (0, 1). Lemme 2.63. Soit u ∈ C 2 (Ω) telle que ∂x u = 0 sur Γ4 , Δu ≥ 0 et il existe une boule B de centre P1 pour laquelle u(P1 ) > u(P ) pour tout P ∈ (Ω ∪ Γ4 ) ∩ B. Alors ∂y u(P1 ) < 0. Preuve. Nous d´eﬁnissons la fonction v sur Ω = (−1, 1) × (0, 1) comme suit : v est paire par rapport a` la premi`ere variable et est ´egale a` u dans Ω. Il n’est pas diﬃcile de voir que v ∈ C 2 (Ω ), Δv ≥ 0 et v(P1 ) > v(P ) pour tout P ∈ Ω ∩ B. D’o` u, d’apr`es le Lemme 1.34 (lemme de Hopf), ∂ν v(P1 ) = −∂y v(P1 ) = −∂y u(P1 ) > 0. Remarque (i) La condition Δu ≥ 0 peut ˆetre remplac´ee par Lu ≥ 0, pour un op´erateur elliptique appropri´e L. (ii) Comme les autres coins de Ω jouent le mˆeme rˆole que P1 , nous avons un r´esultat similaire pour P2 , P3 et P4 . Proposition 2.64. Soient a, g ∈ C[0, 1] deux fonctions positives a = 0 et supp(a), supp(g) ⊂ (0, 1). Soient u ∈ C 2 (Ω) satisfaisant ⎧ dans Ω, ⎪ ⎪ Δu = 0, ⎨ −∂y u + a(x)u ≥ 0, sur Γ1 , sur Γ3 , ∂y u = g, ⎪ ⎪ ⎩ ∂x u = 0, sur Γ2 ∪ Γ4 . Si g est non identiquement ´egale a ` z´ero alors u > 0 dans Ω. En particulier, u ≥ 0.

112

2 Probl`emes inverses elliptiques

Preuve. Notons d’abord que, d’apr`es le Th´eor`eme 1.33 (principe du maximum fort), u ne peut pas atteindre son minimum en un point de Ω. Par le Lemme 1.34 (lemme de Hopf) et le dernier lemme, u atteint son minimum en un point P de Γ1 . De nouveau, nous obtenons par le Lemme 1.34 (lemme de Hopf ) 0 < −∂ν u(P ) = ∂y u(P ) ≤ a(P )u(P ). Nous d´eduisons de cette proposition le principe de comparaison suivant : Corollaire 2.65. Soit ui la solution du probl`eme aux limites (2.167) correspondant ` a q = qi , i = 1, 2. Alors q1 ≤ q2 implique u1 ≥ u2 . Preuve. Clairement, u = u1 − u2 est la solution du probl`eme aux limites ⎧ Δu = 0, dans Ω, ⎪ ⎪ ⎨ −∂y u + q1 (x)u = (q2 (x) − q1 (x))u2 , sur Γ1 , sur Γ3 , ∂y u = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂x u = 0, sur Γ2 ∪ Γ4 . Nous appliquons deux fois la proposition pr´ec´edente. Une premi`ere fois pour conclure que u2 ≥ 0 et une seconde fois pour d´eduire que u ≥ 0. Nous montrons maintenant des estimations a priori pour les solutions du probl`eme aux limites (2.169). Proposition 2.66. Soient qm ∈ Q, f ∈ C 3 [0, 1], avec supp(f ) ⊂ (0, 1) et M > 0. Alors il existe une constante positive C, ne d´ependant que de qm , M et f telle que si q ∈ Q satisfait ` a qm ≤ q et q L∞ ≤ M alors u(·, 0)H 2 (0,1) , ∂y u(·, 0)H 1 (0,1) ≤ C, o` u u est la solution de (2.169). Preuve. Dans cette preuve C et les Ci sont des constantes g´en´eriques qui ne d´ependent que de qm , M et f . Dans un premier temps, nous montrons u(·, 0)H 1 (0,1) ≤ C. D’apr`es la formule de Green, nous avons 1 2 |∇u| = − ∂y u(·, 0)u(·, 0) + Ω

0

=−

1

qu(·, 0)2 +

0

(2.170)

1

∂y u(·, 1)u(·, 1)

0 1

f u(·, 1). 0

D’o` u,

|∇u|2 +

Ω

et donc

0

1

qu(·, 0)2 = 0

1

f u(·, 1) ≤ f L2(0,1) u(·, 1)L2 (0,1)

2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere

|∇u|2 +

Ω

1

113

qm u(·, 0)2 ≤ f L2 (0,1) u(·, 1)L2 (0,1) .

0

Puisque l’op´erateur de trace v ∈ H 1 (Ω) → v(·, 1) ∈ L2 (0, 1) est born´e et que v ∈ H 1 (Ω) → ( |∇v|2 + Ω

1

1

qm v(·, 0)2 ) 2

0

d´eﬁnit une norme ´equivalente sur H 1 (Ω), nous obtenons uH 1 (Ω) ≤ C0 , Or l’op´erateur de trace v ∈ H 1 (Ω) → v(·, 0) ∈ L2 (0, 1) est born´e. Par suite, u(·, 0)L2 (0,1) ≤ C1 .

(2.171)

D’autre part, nous observons que w = ∂x u est la solution du probl`eme aux limites ⎧ Δw = 0, dans Ω, ⎪ ⎪ ⎨ −∂y w + q(x)w = −q (x)u, sur Γ1 , ∂y w = f , sur Γ3 , ⎪ ⎪ ⎩ w = 0, sur Γ2 ∪ Γ4 . Une nouvelle fois, une application de la formule de Green nous donne

|∇w| + 2

Ω

0

1

qw(·, 0) = − 2

1

1

q u(·, 0)w(·, 0) + 0

f w(·, 1).

0

Les mˆemes argument que pr´ec´edemment nous permettent de conclure ∇wL2 (Ω) ≤ C2 (q L∞ (0,1) u(·, 0)L2 (0,1) + f L2 (0,1) ). Comme v ∈ H 1 (Ω) → ∇vL2 (Ω) d´eﬁnit une norme ´equivalente sur H = {v ∈ H 1 (Ω); v = 0 on Γ2 ∪ Γ4 }, nous d´eduisons ∂x u(·, 0)L2 (0,1) = w(·, 0)L2 (0,1) (2.172) ≤ C3 (q L∞ (0,1) u(·, 0)L2 (0,1) + f L2 (0,1) ). Nous combinons alors (2.171) et (2.172) pour avoir (2.170). Pour montrer l’estimation H 2 pour u(·, 0), nous introduisons la fonction z = ∂x22 u, qui est, par une simple v´eriﬁcation, la solution du probl`eme aux limites ⎧ Δz = 0, dans Ω, ⎪ ⎪ ⎨ −∂y z + qz = −2q ∂x u − q u, sur Γ1 , sur Γ3 , ⎪ ∂y z = f , ⎪ ⎩ z = 0, sur Γ2 ∪ Γ4 .

114

2 Probl`emes inverses elliptiques

La formule de Green nous donne 1 1 1 1 |∇z|2 + qz 2 (·, 0)=−2 q ∂x u(·, 0)z(·, 0)− q u(·, 0)z(·, 0)+ f z(·, 1). Ω

0

0

0

0

D’o` u,

|∇z|2 + Ω

1

qm z 2 (·, 0) ≤ C4 (z(·, 0)L2(0,1) + z(·, 1)L2(0,1) ).

0

1 1 Or la norme [ Ω |∇z|2 + 0 qm z 2 (·, 0)] 2 est ´equivalente a` zH 1 (Ω) et l’op´erateur de trace w ∈ H 1 (Ω) → (w(·, 0), w(·, 1)) ∈ L2 (0, 1) × L2 (0, 1) est born´e. Par cons´equence, zH 1 (Ω) ≤ C5 . Ceci et la continuit´e de l’op´erateur de trace w ∈ H 1 (Ω) → w(·, 0) ∈ L2 (0, 1) impliquent ∂x22 u(·, 0)L2 (0,1) = z(·, 0)L2(0,1) ≤ C6 . La derni`ere estimation, combin´ee avec (2.170), donne, u(·, 0)H 2 (0,1) ≤ C7 .

(2.173)

Il nous reste `a estimer la norme H 1 de v = ∂y u. Comme ci-dessus, nous commen¸cons par noter que v est la solution du probl`eme aux limites ⎧ Δv = 0, dans Ω, ⎪ ⎪ ⎨ v = qu, sur Γ1 , sur Γ3 , ⎪ v = f, ⎪ ⎩ ∂x v = 0, sur Γ2 ∪ Γ4 . u v0 et v1 sont les solutions Nous d´ecomposons v sous la forme v = v0 + v1 , o` respectives des probl`emes aux limites ⎧ Δv0 = 0, dans Ω, ⎪ ⎪ ⎨ v0 = qu, sur Γ1 , sur Γ3 , ⎪ v0 = 0, ⎪ ⎩ ∂x v0 = 0, sur Γ2 ∪ Γ4 , et

⎧ Δv1 = 0, ⎪ ⎪ ⎨ v1 = 0, v ⎪ 1 = f, ⎪ ⎩ ∂x v1 = 0,

dans Ω, sur Γ1 , sur Γ3 , sur Γ2 ∪ Γ4 .

Toujours d’apr`es la formule de Green 2 |∇v0 | = − Ω

0

1

qu(·, 0)∂y v0 (·, 0)

2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere

115

et donc |∇v0 |2 ≤ qu(·, 0) Ω

1

H 2 (0,1)

∂y v0 (·, 0)

1

H − 2 (0,1)

≤ C8 qW 1,∞ (0,1) u(·, 0)H 1 (0,1) ∂y v0 (·, 0)

1

H − 2 (0,1)

.

D’autre part, nous savons que l’op´erateur de trace 1

w ∈ {ψ ∈ H 1 (Ω); Δψ ∈ L2 (Ω)} → ∂y w(·, 0) ∈ H − 2 (0, 1) est born´e. Par suite, |∇v0 |2 ≤ C9 qW 1,∞ (0,1) u(·, 0)H 1 (0,1) v0 H 1 (Ω) . Ω

Mais ∇wL2 (Ω) est ´equivalente a` wH 1 (Ω) sur {w ∈ H 1 (Ω); w(·, 1) = 0}. Par cons´equence, v0 H 1 (Ω) ≤ C10 qW 1,∞ (0,1) u(·, 0)H 1 (0,1) . De la mˆeme mani`ere, nous avons aussi v1 H 1 (Ω) ≤ C11 f H 1 (0,1) . Il s’ensuit vH 1 (Ω) ≤ C12 (f H 1 (0,1) + qW 1,∞ (0,1) u(·, 0)H 1 (0,1) ) et par suite, v(·, 0)L2 (0,1) ≤ C13 (f H 1 (0,1) + qW 1,∞ (0,1) u(·, 0)H 1 (0,1) ),

(2.174)

en utilisant la continuit´e de l’op´erateur de trace w ∈ H 1 (Ω) → w(·, 0) ∈ L2 (0, 1). Nous terminons par estimer ∂x v(·, 0)L2 (0,1) . Nous r´ep´etons les mˆemes arguments que ci-dessus. Nous commen¸cons par noter que w = ∂x v est la solution du probl`eme aux limites ⎧ Δw = 0, dans Ω, ⎪ ⎪ ⎨ w = q u + q∂x u, sur Γ1 , w = f , sur Γ3 , ⎪ ⎪ ⎩ w = 0, sur Γ2 ∪ Γ4 . En proc´edant comme nous l’avons fait `a plusieurs reprises dans cette preuve, nous obtenons w(·, 0)L2 (0,1) ≤ C14 (f H 1 (0,1) + q W 1,∞ u(·, 0)H 1 (0,1) + qW 1,∞ ∂x u(·, 0)H 1 (0,1) ). (2.175) D’une combinaison de (2.174) et (2.175), nous tirons ∂x u(·, 0)H 1 (0,1) ≤ C15 .

116

2 Probl`emes inverses elliptiques

Preuve du Th´ eor` eme 2.62. Rappelons d’abord que u = u1 − u2 est la solution du probl`eme aux limites ⎧ Δu = 0, dans Ω, ⎪ ⎪ ⎨ −∂y u + q1 (x)u = (q2 (x) − q1 (x))u2 , sur Γ1 , sur Γ3 , ∂y u = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂x u = 0, sur Γ2 ∪ Γ4 . Nous introduisons les fonctions harmoniques suivantes v± (ξ)(x, y) = e−ixξ±ξy , ξ ∈ R et nous posons

1

u(x, 0)e

f (ξ) =

−ixξ

dx,

g(ξ) =

0

1

∂y u(x, 0)e−ixξ dx.

0

Nous appliquons alors la formule de Green avec u et v± (ξ) pour avoir −g(ξ) + ξf (ξ) = u∂ν v+ (ξ)dx Γ \Γ1 u∂ν v− (ξ)dx. −g(ξ) − ξf (ξ) = Γ \Γ1

Ces deux identit´es nous fournissent 1 u(∂ν v+ (ξ) − ∂ν v− (ξ))dx f (ξ) = 2ξ Γ \Γ1 et

1 g(ξ) = 2

Γ \Γ1

u(∂ν v+ (ξ) + ∂ν v− (ξ))dx.

Comme |v± (ξ)| ≤ e|ξ| et |∂ν v± (ξ)| ≤ |ξ|e|ξ| , nous d´eduisons les estimations |f (ξ)| ≤ e|ξ| uL1(Γ \Γ1 ) ,

(2.176)

|g(ξ)| ≤ e2|ξ| uL1(Γ \Γ1 ) .

(2.177)

et Pour poursuivre la preuve, nous faisons appel `a un lemme. Si w ∈ L2 (0, 1), Ew ∈ L2 (R) d´esignera son extension par 0 en dehors de (0, 1). Lemme 2.67. Pour tout ρ > 0 et v ∈ H 1 (0, 1), nous avons vL2 (0,1) ≤ a

|FEv(ξ)| dξ + (ρ + 1)(|v(0)| + |v(1)|) + 2

|ξ|≤ρ

2

v2H 1 (0,1) ρ2

,

o` u a est un nombre r´eel et, rappelons le, F d´esigne la transform´ee de Fourier.

2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere

117

La preuve de ce lemme sera donn´ee plus loin. Notons u0 = u(·, 0). Alors (2.176) se met sous la forme |FEu0 (ξ)| ≤ u|Γ \Γ1 L1 (Γ \Γ1 ) e|ξ| .

(2.178)

D’autre part, il r´esulte de la Proposition 2.66 qu’il existe C0 , qui d´epend seulement de qm , f et M , telle que u0 H 1 (0,1) ≤ C0 .

(2.179)

Vu le dernier lemme, une combinaison de (2.178) et (2.179) implique 1 a C2 F Eu0 2L2 (R) ≤ 2γ 2 ρe2ρ + (ρ + 1)γ 2 + 20 , u0 2L2 (0,1) = 2π 2π ρ pour tout ρ > 0, o` u a est comme dans le Lemme 2.67 et γ = u|Γ \Γ1 L1 (Γ \Γ1 ) + |u(0, 0)| + |u(1, 0)|. La derni`ere in´egalit´e entraine u0 2L2 (0,1) ≤

a C2 min γ 2 e5ρ + 20 . 2π ρ>0 ρ

Comme nous l’avons d´ej`a fait, cette in´egalit´e nous permet d’´etablir u(·, 0)L2 (0,1) ≤

A0 , ln Bγ0

Ici et dans ce qui suit les Ai et Bi sont des constantes qui ne d´ependent que de qm , M et f . De fa¸con tout a` fait similaire, nous montrons, grˆ ace `a (2.177), l’estimation ∂y u(·, 0)L2 (0,1) ≤

A1 , ln Bγ1

Donc u(·, 0)L2 (0,1) + ∂y u(·, 0)L2 (0,1) ≤

A2 , ln Bγ2

(2.180)

Maintenant, puisque (voir le probl`eme aux limites v´eriﬁ´e par u) (q1 − q2 )u2 (·, 0) = −∂y u(·, .) + q1 u(·, 0). nous concluons (q1 − q2 )u2 (·, 0)L2 (0,1) ≤

A3 . ln Bγ3

(2.181)

118

2 Probl`emes inverses elliptiques

Mais comme q2 ≤ qM , nous avons u2 ≥ uM > 0 dans Ω, d’apr`es la Proposition 2.64 et son corollaire, o` u uM est la solution de (2.169) quand q = qM . Par suite, 1 [(q1 − q2 )u2 (·, 0)]L2 (0,1) u2 1 ≤ L∞ (Ω) (q1 − q2 )u2 (·, 0)L2 (0,1) . uM

q1 − q2 L2 (0,1) =

(2.182)

L’in´egalit´e recherch´ee s’obtient comme cons´equence de (2.181) et (2.182). Preuve du Lemme 2.67. Soit ϕ ∈ Cc1 (0, 1) et ξ ∈ R. Une simple int´egration par parties nous donne ξF Eϕ(ξ) = −iF Eϕ (ξ). Par suite, ξF EϕL2 (R) = F Eϕ L2 (R) =

√ √ 2πϕ L2 (0,1) ≤ 2πϕH 1 (0,1) .

Pour ρ > 0, nous avons alors |FEϕ|2 (ξ)dξ + |FEϕ|2 (ξ)dξ F Eϕ2L2 (R) = |ξ|≤ρ |ξ|>ρ 1 2 |FEϕ| (ξ)dξ + 2 ξ 2 |FEϕ|2 (ξ)dξ ≤ ρ |ξ|>ρ |ξ|≤ρ 1 |FEϕ|2 (ξ)dξ + 2 ξF Eϕ2L2 (R) ≤ ρ |ξ|≤ρ 2π ≤ |FEϕ|2 (ξ)dξ + 2 ϕH 1 (0,1) . ρ |ξ|≤ρ Comme Cc1 (0, 1) est dense dans H01 (0, 1), nous d´eduisons 2π |FEu|2 (ξ)dξ + 2 uH 1 (0,1) , F Eu2L2(R) ≤ ρ |ξ|≤ρ

(2.183)

pour tout u ∈ H01 (0, 1). Maintenant si v ∈ H 1 (0, 1), u = v − [(1 − x)v(0) + xv(1)] est dans H01 (0, 1). Nous v´eriﬁons sans peine que

et

1 vL2 (0,1) ≤ uL2(0,1) + √ (|v(0)| + |v(1)|), 3

(2.184)

1 |FEu(ξ)|2 ≤ 2|FEv(ξ)|2 + (|v(0)| + |v(1)|)2 2

(2.185)

4 (2.186) uH 1 (0,1) ≤ (1 + √ )vH 1 (0,1) . 3 L’estimation que nous voulons montrer r´esulte alors de (2.183) - (2.186).

2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere

119

2.4.3 Cas d’un domaine quelconque r´ egulier : une m´ ethode d’in´ egalit´ e de Carleman Soit Ω un domaine born´e de R2 de fronti`ere Γ . Mˆeme si ce n’est pas toujours n´ecessaire, nous supposons que Ω est classe C 2,α pour un certain α, 0 < α < 1. Nous consid´erons le probl`eme aux limites ⎧ dans Ω, ⎨ Δu = 0, (2.187) sur Γ \ Γ0 , ∂ν u = f, ⎩ ∂ν u + qu = 0, sur Γ0 , avec Γ0 une partie de Γ . R´e´ecrivons (2.187) sous la forme Δu = 0, dans Ω, ∂ν u + qu = f, sur Γ,

(2.188)

et rappelons que sous les hypoth`eses suivantes : (H1)

q ∈ C 1,α (Γ ), q ≥ 0 et non identiquement ´egale a` z´ero,

(H2)

f ∈ C 1,α (Γ ),

le probl`eme aux limites (2.188) admet une unique solution u = uq ∈ C 2,α (Ω) (voir Th´eor`eme 1.25). Le r´esultat de stabilit´e que nous nous proposons de d´emontrer est le suivant : Th´ eor` eme 2.68. Soient Γ0 un ferm´e de Γ d’int´erieur non vide tel que Γ \ Γ0 = ∅ et M > 0. Pour i = 1, 2, soit qi v´eriﬁant (H1), supp(qi ) ⊂ Γ0 et a (H2) et est non identiquement qi C 1,α (Γ ) ≤ M . Supposons que f satisfait ` nulle. Soient K un compact de {x ∈ Γ0 ; u1 = 0} et γ un ouvert non vide de Γ \Γ0 . Alors il existe des constantes positives , A et B telles que q1 − q2 L2 (K) ≤

ln

A B g1 −g2 L2 (γ)

u gi = uqi |γ . si q1 − q2 C 1,α (Γ ) ≤ , o` Remarque. Notons que le dernier r´esultat g´en´eralise le Th´eor`eme 2.58. Comme pr´ec´edemment, la preuve de ce th´eor`eme repose sur un r´esultat de stabilit´e pour un probl`eme de Cauchy. En eﬀet, puisque ∂ν u1 + q1 u1 = ∂ν u2 + q2 u2 sur Γ0 , nous avons

120

2 Probl`emes inverses elliptiques

(q1 − q2 )u1 = q2 (u2 − u1 ) + ∂ν (u2 − u1 ) sur Γ0 .

(2.189)

Soit K un compact de {x ∈ Γ0 ; u1 = 0}. En utilisant le fait que |q2 | ≤ M sur Γ0 et (2.189), nous concluons q1 − q2 L2 (K) ≤ C(u2 − u1 L2 (Γ0 ) + ∂ν (u2 − u1 )L2 (Γ0 ) ), pour une certaine constante positive C. Supposons que nous puissions d´emontrer 12 [u2 + |∇u|2 ]dσ ≤ Γ0

ln

,

B

(

A

γ

(2.190)

1

[u2 +|∇u|2 ]dσ) 2

o` u u = u1 − u2 et A, B sont deux constantes. Alors A

q1 − q2 L2 (K) ≤ ln

(

.

B

γ

1

[u2 +|∇u|2 ]dσ) 2

Mais ∂ν u = 0 sur γ. D’o` u, A

q1 − q2 L2 (K) ≤ ln

(

.

B

γ

1

[(g1 −g2 )2 +|∂τ (g1 −g2 )|2 ]dσ) 2

D’apr`es l’estimations h¨olderienne du Th´eor`eme 1.25, uC 2 (Ω) ≤ C0 , o` u C0 est une constante qui d´epend seulement de Ω, M et f . D’autre part, nous d´eduisons des in´egalit´es d’interpolation classique (voir par exemple R. A. Adams [Ad]) 1

1

2 ∂τ (g1 − g2 )L2 (γ) ≤ g1 − g2 H 1 (γ) ≤ C1 g1 − g2 L2 2 (γ) g1 − g2 H 2 (γ) 1

≤ C2 g1 − g2 L2 2 (γ) u1 − u2 C 2 (Ω) et donc

1

∂τ (g1 − g2 )L2 (γ) ≤ Cg1 − g2 L2 2 (γ) , avec C une constante qui d´epend uniquement de Ω, M et f . Par suite, q1 − q2 L2 (K) ≤

ln

A B g1 −g2 L2 (γ)

.

Le reste de ce sous-paragraphe sera consacr´e a` la preuve de l’estimation (2.190) pour un op´erateur un peu plus g´en´eral que le laplacien. Plus pr´ecis´ement, nous consid´erons l’op´erateur P u = −Δu + b1 ∂1 u + b2 ∂2 u + cu, o` u b1 , b2 et c sont des fonctions de L∞ (Ω).

2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere

121

Th´ eor` eme 2.69. Soient Γ0 une partie ferm´e de Γ d’int´erieur non vide telle que Γ \Γ0 est non vide, γ ⊂ Γ \Γ0 un ouvert non vide et M > 0. Alors il existe des constantes positives , A et B (d´ependant de M et des normes L∞ des coeﬃcients de P ) telles que 12 A , (2.191) [u2 + |∇u|2 ]dσ ≤ Γ0

ln

(

B

1

[u2 +|∇u|2 ]dσ) 2 γ

1 pour tout u ∈ C 2 (Ω) v´eriﬁant P u = 0, uC 2(Ω) ≤ M et ( γ [u2 + |∇u|2 ]dσ) 2 ≤ . Puisque

[u + |∇u| ]dσ ≤ 2

2

Γ0

Γ0 ∪(Γ \γ)

[u2 + |∇u|2 ]dσ,

nous pouvons nous ramener au cas γ = Γ \Γ0 . C’est ce que nous ferons dans ce qui suit. Nous aurons besoin des deux lemmes qui suivent dans la preuve du dernier th´eor`eme. Lemme 2.70. (A. L. Bukhgeim [Buk]) Soit ψ une fonction arbitraire de C 2 (Ω). Nous avons alors l’in´egalit´e de Carleman suivante (Δψu2 + (Δψ − 1)|∇u|2 )eψ Ω ≤ |Δu|2 eψ dx + ∂ν ψ(u2 + |∇u|2 ) + 2|∂τ |∇u|2 |]eψ dσ, Ω

Γ

pour tout u ∈ C 2 (Ω). Lemme 2.71. Il existe ψ0 ∈ C 2 (Ω), non identiquement ´egale ` a z´ero, ayant les propri´et´es suivantes Δψ0 = 0 dans Ω,

ψ0 = 0 sur Γ0 ,

∂ν ψ0 < 0 sur Γ0 ,

ψ0 ≥ 0 sur γ.

Preuve. Soit χ ∈ C 2,α (Γ ) telle que χ = 0 sur Γ0 ,

χ ≥ 0 sur γ,

et χ non identiquement ´egale a` z´ero sur γ. Puisque Ω est de classe C 2,α , le probl`eme aux limites Δψ0 = 0, dans Ω, ψ0 = χ, sur Γ, poss`ede une unique solution ψ0 ∈ C 2,α (Ω) (voir Th´eor`eme 1.25). Notons que ψ0 est non constante car χ est non identiquement ´egale a` z´ero. Il en r´esulte

122

2 Probl`emes inverses elliptiques

que ψ0 > 0 dans Ω par le Th´eor`eme 1.33 (principe du maximum fort). Mais ψ0 est identiquement nulle sur Γ0 . Nous pouvons alors appliquer le Lemme 1.34 (lemme de Hopf) pour conclure que ∂ν ψ0 < 0 sur Γ0 . Donc, ψ0 poss`ede bien les propri´et´es requises. Preuve du Th´ eor` eme 2.69. Elle est fond´ee sur l’in´egalit´e de Carleman du Lemme 2.70 pour un choix appropri´e de la fonction poids ψ. Soit ψ0 ∈ C 2 (Ω), non identiquement nulle, telle que Δψ0 = 0 dans Ω,

ψ0 = 0 sur Γ0 ,

∂ν ψ0 < 0 sur Γ0 ,

ψ0 ≥ 0 sur γ.

Une telle fonction existe, d’apr`es le Lemme 2.71. Soit λ un r´eel positif a` notre disposition. Notons par ψ1 ∈ C 2 (Ω) l’unique solution du probl`eme aux limites Δψ1 = λ dans Ω ψ1 = 0 sur Γ. Soient s > 0 et u ∈ C 2 (Ω) v´eriﬁant P u = 0 . Nous appliquons alors l’estimation du Lemme 2.70, avec ψ = ψ1 + sψ0 , pour avoir (λu2 + (λ − 1)|∇u|2 )eψ dx Ω 2 ψ ≤ |Δu| e dx + [∂ν ψ(u2 + |∇u|2 ) Ω

Γ

+ 2|∂τ |∇u|2 |]eψ dσ.

(2.192)

D’autre part, |Δu|2 eψ dx ≤ 4 (P u)2 eψ dx + 4 max(b1 2L∞ (Ω) , b2 2L∞ (Ω) ) |∇u|2 dx Ω Ω Ω 2 + 4cL∞(Ω) u2 dx Ω 2 2 ≤ 4 max(b1 L∞ (Ω) , b2 L∞ (Ω) ) |∇u|2 dx Ω + 4c2L∞(Ω) u2 dx. (2.193) Ω

Fixons λ telle que λ ≥ 4 max(b1 2L∞ (Ω) , b2 2L∞ (Ω) ) + 1 et λ ≥ 4c2L∞ (Ω) . Alors (2.192) et (2.193) impliquent 0≤ ∂ν ψ(u2 + |∇u|2 ) + 2|∂τ |∇u|2 | eψ dσ. (2.194) Γ

Supposons que u satisfait en plus `a uC 2 (Ω) ≤ M , pour une certaine constante M > 0. Puisque ψ0 = 0 sur Γ0 et θ = minΓ0 |∂ν ψ0 | > 0, nous d´eduisons de (2.194)

2.4 D´etermination d’un coeﬃcient fronti`ere

0≤−

sθ 2

(u2 + |∇u|2 )dσ + 4M 2 + sK, Γ0

o` u

123

(u + |∇u| )e dσ + 2M 2

K = C0

2

|∇u|eψ dσ,

ψ

γ

γ

avec C0 une constante d´ependant de Γ0 . D’o` u 1 sθ (u2 + |∇u|2 )dσ ≤ C1 ( + K), 2 Γ0 s pour une certaine constante positive C1 qui d´epend de M et Γ0 . Soit δ = γ (u2 + |∇u|2 )dσ. Un calcul ´el´ementaire nous donne √ √ K ≤ C2 eks (δ + δ) ≤ C2 eks δ si δ ≤ 1. Ici C2 est une constante positive d´ependant de Γ0 , M et des normes L∞ des coeﬃcients de P et k est une constante qui d´epend de Γ . Par suite, √ 1 (u2 + |∇u|2 )dσ ≤ C3 min( + eks δ), s≥1 s Γ0 o` u C3 est une constante positive d´ependant de Γ0 , M et des normes L∞ des coeﬃcients de P . Nous v´eriﬁons ais´ement que le minimum est atteint en s∗ tel √ e−ks∗ δ= . ks2∗ −ks

Puisque s → e s est d´ecroissante, s∗ ≥ 1 si δ est assez petit. Il s’ensuit 1 1 1 1 (u2 + |∇u|2 )dσ ≤ C1 ( + 2 ) ≤ C1 (1 + ) . (2.195) s ks k s∗ ∗ Γ0 ∗ Or

C’est-`a-dire

1 √ = ks2∗ eks∗ ≤ 2ke(k+1)ks∗ . δ k+1 1 . ≤ s∗ ln( 2k1√δ )

(2.196)

L’estimation recherch´ee s’obtient par une combinaison de (2.195) et (2.196). Pour faire ce paragraphe, nous nous sommes bas´e sur les articles de J. Cheng, M. Choulli et J. Lin [CCL], J. Cheng, M. Choulli et X. Yang [CCY], M. Choulli [Ch4]. Il existe d’autres r´esultats de stabilit´e obtenus grˆ ace `a des m´ethodes fond´ees sur des techniques de l’analyse complexe ; voir a` ce sujet les articles de G. Alessandrini, L. Del Piero et L. Rondi [ADR], S. Chaabane, I. Fellah, M. Jaoua et J. Leblond [CFJL].

124

2 Probl`emes inverses elliptiques

2.5 Stabilit´ e pour deux probl` emes inverses g´ eom´ etriques : m´ ethode utilisant la d´ erivation par rapport au domaine Avant tout, nous donnons les d´eﬁnitions et les principaux r´esultats concernant la d´erivation par rapport au domaine, que nous utiliserons dans ce paragraphe. Notons C 1,b l’ensemble des fonctions W : Rn → Rn telles que W et ses d´eriv´ees partielles d’ordre 1 sont continues et born´ees et soit Ω un ouvert born´e de Rn , de fronti`ere Γ , que nous supposons de classe C 2 (pour simpliﬁer). Nous ﬁxons V ∈ C 1,b et f ∈ L2 (Rn ). Pour Ωt = (I + tV )Ω, si ut ∈ H 1 (Ωt ) est la solution variationnelle d’un probl`eme aux limites pos´e sur Ωt , nous notons ut ◦ (I + tV ) − u0 − ∇u0 · V u(Ω)(V ˙ ) = lim t→0 t Th´ eor` eme 2.72. (1) (conditions aux limites de Dirichlet) Soit u ∈ H 2 (Ω) la solution du probl`eme aux limites Δu = f, dans Ω, u = 0, sur Γ. ˙ ) ∈ HΔ (Ω) et est la solution de Alors u(Ω)(V ˙ ) existe dans H 1 (Ω), u(Ω)(V Δu˙ = 0, dans Ω, u˙ = −(V · ν)∂ν u, sur Γ. (2) (conditions aux limites de Neumann) Nous supposons que Ω f = 0. Soit u ∈ H 2 (Ω) une solution du probl`eme aux limites Δu = f, dans Ω, ∂ν u = 0, sur Γ. Alors u(Ω)(V ˙ ) existe dans H 1 (Ω), u(Ω)(V ˙ ) ∈ HΔ (Ω) et est la solution de Δu˙ = 0, dans Ω, ∂ν u˙ = −(V · ν)∂ν22 u + ∇τ u · ∇τ (V · ν), sur Γ. (3) (conditions aux limites mixtes) Nous supposons que Γ = γ1 ∪ γ2 , avec γ1 et γ2 ferm´es et disjoints. Soit u ∈ H 2 (Ω) la solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ Δu = f, dans Ω, ∂ν u = 0, sur γ1 , ⎩ u = 0, sur γ2 . Alors u(Ω)(V ˙ ) existe dans H 1 (Ω), u(Ω)(V ˙ ) ∈ HΔ (Ω) et est la solution de ⎧ dans Ω, ⎨ Δu˙ = 0, ∂ν u˙ = −(V · ν)∂ν22 u + ∇τ u · ∇τ (V · ν), sur γ1 , ⎩ u˙ = −(V · ν)∂ν u, sur γ2 .

2.5 d´erivation par rapport au domaine

125

Nous ´enon¸cons enﬁn un lemme qui nous sera bien utile dans la suite. Lemme 2.73. Si f ∈ L2 (Rn ) (resp. H 1 (Rn )) alors [f ◦ (I + tV ) − f ]|Ω = ∇f · V dans H −1 (Ω) (resp. L2 (Ω)). t→0 t lim

Pour une d´emonstration du Th´eor`eme 2.72 et du Lemme 2.73, nous renvoyons `a A. Henrot et M. Pierre [HP]. 2.5.1 Identiﬁcation d’un sous-domaine Dans un mat´eriau semi-conducteur, pour tester la r´esistance du contact entre le m´etal et le semi-conducteur, nous sommes amen´e `a ´etudier le probl`eme aux limites −Δu + χD u = 0, dans Ω, (2.197) u = f, sur Γ, o` u D est un sous-domaine de Ω, D ⊂ Ω et χD est la fonction caract´eristique de D. Dans (2.197) la quantit´e importante est D. En dimension deux, elle repr´esente l’interface entre le m´etal et le semi-conducteur. Nous revoyons le lecteur int´eress´e `a W. H. Loh, S. E. Swirhun, T. A. Schereyer, R. M. Swanson et K. C. Saraswat [LS] pour plus de d´etails. Dans ce paragraphe, nous nous int´eressons au probl`eme d’identiﬁer D `a partir des mesures fronti`eres ∂ν u = g sur γ, γ ⊂ Γ. Dans tout ce sous-paragraphe, nous supposons que D est de classe C 1 3 et f ∈ H 2 (Γ ). Sous ces hypoth`eses, nous d´eduisons du Th´eor`eme 1.26 que (2.197) admet une unique solution u(D) ∈ H 2 (Ω). De plus, u(D) est continue dans Ω (c’est la r´egularit´e int´erieure ; voir D. Gilbarg et N.S. Trudinger [GT] a ce sujet). ` Nous ﬁxons Ω0 , un ouvert born´e de Rn tel que Ω0 ⊂ Ω et nous consid´erons le sous-espace ferm´e de C 1,b donn´e par X = {V ∈ C 1,b ; supp(V ) ⊂ Ω 0 }. Soit Y le sous-espace quotient Y = X/F , avec F = {V ∈ X; V · ν = 0 sur ∂D}. Y sera muni de sa norme (quotient) naturelle, not´ee · Y .

126

2 Probl`emes inverses elliptiques

Nous nous donnons alors U un voisinage ouvert de 0 dans Y pour lequel DV = (I + V )D est inclu dans un compact de Ω, pour tout V ∈ U, et nous introduisons l’application 1

θ : V ∈ U → ∂ν u(DV )|γ ∈ H − 2 (γ). Ici u(DV ) ∈ H 2 (Ω) est la solution du probl`eme (2.197) dans lequel nous prenons DV ` a la place de D. Notre objectif dans ce sous-paragraphe est de d´emontrer le Th´ eor` eme 2.74. Soit γ une partie ferm´ee de Γ , d’int´erieur non vide, et nous supposons que f est positive ou nulle et non constante. Alors θ est Gˆ ateauxdiﬀ´erentiable en V = 0 et Ker(θ (0)) = {0}. Comme cons´equence imm´ediate de ce th´eor`eme, nous avons Corollaire 2.75. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 2.74, si V ∈ X est tel que V · ν = 0 sur ∂D alors il existe deux constantes positives = (V ) et C = C(V ) telles que ∂ν u(DtV ) − ∂ν u(D)

1

H − 2 (Γ )

≥ C|t|,

pour tout t, |t| ≤ . Remarque. Puisque |t| ≥ K|DtV ΔD|, o` u K = K(V ) est une constante positive, l’estimation dans dernier corollaire entraine |DtV ΔD| ≤ ∂ν u(DtV ) − ∂ν u(D)

1

H − 2 (Γ )

, |t| ≤ .

Preuve du Th´ eor` eme 2.74. Nous donnons la d´emonstration en deux ´etapes. Premi` ere ´ etape. Nous montrons la Gˆ ateaux-diﬀ´erentiabilit´e de θ en V = 0. ` V ∈ Y nous associons μ(D)(V ) ∈ H −1 (Ω) donn´e par A (V · ν)u(D)v, v ∈ H01 (Ω). μ(D)(V ), v H −1 (Ω),H01 (Ω) = − ∂D

Proposition 2.76. θ est Gˆ ateaux-diﬀ´erentiable en V = 0 et θ (0)(V ) = ˙ )|γ , o` u u(D)(V ˙ ) ∈ H01 (Ω) est la solution du probl`eme aux limites ∂ν u(D)(V −Δu˙ + χD u˙ = μ(D)(V ), dans Ω, (2.198) u˙ = 0, sur Γ. Preuve. Fixons V ∈ X et notons V = (∂xj Vi ),

J(t) = d´et(I + tV ),

M (t) = (I + tV )−1 .

Soit I un intervalle autour de l’origine pour lequel M (t) est bien d´eﬁnie et J(t) ≥ 0 pour tout t ∈ I.

2.5 d´erivation par rapport au domaine

127

Nous nous donnons F0 ∈ H 2 (Ω) telle que F0|Γ = f , ψ ∈ D(Rn ) v´eriﬁant ψ = 1 dans un voisinage de Γ et supp(ψ) ⊂ Rn \ Ω0 . Nous posons, pour simpliﬁer les notations ut = u(DtV ). Si F = ψF0 , vt = ut − F et G = −ΔF . Il est alors ais´e de montrer que vt est la solution du probl`eme aux limites −Δv + χDtV v = G, dans Ω, v = 0, sur Γ. Donc vt est l’unique solution du probl`eme variationnel ∇vt · ∇wdy + χDtV vt wdy = Gwdy, w ∈ H01 (Ω). Ω

Ω

Ω

Le changement de variable y = (I + tV )x permet de d´eduire que v(t) = vt ◦ (I + tV ) est la solution du probl`eme variationnel M (t)∇v(t) · M (t)∇wJ(t)dx + χDtV v(t)wJ(t)dx Ω Ω = G(t)wJ(t)dx w ∈ H01 (Ω), Ω

o` u G(t) = G ◦ (I + tV ). En s’inspirant de la preuve du Th´eor`eme 2.72, nous montrons que l’application t → v(t) ∈ H01 (Ω) est d´erivable en t = 0, et v(t) − v(0) t→0 t

v (0)(V ) = lim

est la solution du probl`eme variationnel ∇v (0)(V ) · ∇wdx + χD v (0)(V )wdx + A(V )∇v(0) · ∇wdx Ω Ω Ω + χD v(0)wdivV dx = div(GV ), w , w ∈ H01 (Ω), Ω

avec

A(V ) = V + (V )t − divV.

Par suite, − Δv (0) + χD v (0) − div(A∇v(0)) + χD v(0)divV = div(GV ) dans H −1 (Ω).

(2.199)

D’autre part, il n’est pas diﬃcile de voir que dans H −1 (Ω), − div(A∇v(0)) + χD v(0)divV = −χD ∇v(0) · V − v(0)∇χD · V + div(GV ) + Δ(∇v(0) · V ). (2.200) (2.199) et (2.200) impliquent

128

2 Probl`emes inverses elliptiques

− Δ(v (0) − ∇v(0) · V ) + χD (v (0) − ∇v(0) · V ) = v(0)∇χD · V dans H −1 (Ω).

(2.201)

Mais, v(0)∇χD · V, w H −1 (Ω),H01 (Ω) = − χD div(v(0)wV )dx = − div(v(0)wV )dx D Ω =− v(0)w(V · ν)dσ, w ∈ H01 (Ω). ∂D

C’est-`a-dire v(0)∇χD ·V = μ(D)(V ). Si v(D)(V ˙ ) = v (0)(V )− ∇v(0)·V , nous d´eduisons de (2.201) que v(D)(V ˙ ) satisfait −Δv(D)(V ˙ ) + χD v(0)(V ˙ ) = μ(D)(V ) dans H −1 (Ω) et comme V est nul dans un voisinage de Γ , v(D)(V ˙ ) ∈ H01 (Ω). Nous posons ut ◦ (I + tV ) − u(0) − ∇u(0) · V. t→0 t

u(D)(V ˙ ) = lim

Par le Lemme 2.73, nous savons que lim

t→0

F ◦ (I + tV ) − F − ∇F · V = 0 dans H −1 (Ω), t

et puisque ut = vt + F , nous concluons que u(D)(V ˙ ) = v(D)(V ˙ ). En d’autres termes, u(D)(V ˙ ) est la solution de (2.198). Maintenant, comme Δut = 0 dans ω = Ω\Ω 0 , pour tout t ∈ I, u(D)(V ˙ ) u, existe aussi dans HΔ (ω). Or ut = ut ◦ (I + tV ) et ∇ut · V = 0 dans ω. D’o` l’application t ∈ I → ut ∈ HΔ (ω) est d´erivable en t = 0 et sa d´eriv´ee en ce point est ´egale a` u(D)(V ˙ )|ω . Ceci et la continuit´e de l’op´erateur de trace 1

w ∈ HΔ (ω) → ∂ν w|γ ∈ H − 2 (γ) (voir le Th´eor`eme 1.20) nous montrent que θ a une d´eriv´ee directionnelle θ (D)(V ), dans la direction V , en 0 et θ (0)(V ) = ∂ν u(D)(V ˙ )|γ . Pour terminer la preuve, il nous reste `a v´eriﬁer que l’application 1

V ∈ Y → θ (0)(V ) ∈ H − 2 (γ) d´eﬁnit un op´erateur born´e. Nous utilisons d’abord le fait que Δu(D)(V ˙ ) = 0 dans ω, V ∈ X, pour avoir

2.5 d´erivation par rapport au domaine

θ (0)(V )

1

H − 2 (γ)

= ∂ν u(D)(V ˙ )|γ

1

H − 2 (γ)

129

≤ Cu(D)(V ˙ )H 1 (ω)

≤ Cu(D)(V ˙ )H 1 (Ω) ,

(2.202)

pour une certaine constante positive C. D’autre part, nous d´eduisons de la formulation variationnelle de (2.198) l’estimation u(D)(V ˙ )H 1 (Ω) ≤ C0 μ(D)(V ) ≤ C1 V · νL∞ (∂D) , o` u C0 = C0 (Ω) et C1 = C1 (Ω, D) sont deux constantes positives. En particulier, u(D)(V ˙ )H 1 (Ω) ≤ C1 (V + W ) · νL∞ (∂D) , W ∈ F . D’o` u u(D)(V ˙ )H 1 (Ω) ≤ C2 V Y , avec C2 = C2 (Ω, D) une constante positive. Cette in´egalit´e, combin´ee avec (2.202), nous donne θ (0)(V )

1

H − 2 (γ)

≤ C3 V Y ,

pour une certaine constante C3 = C3 (Ω, D). Seconde ´ etape. Nous montrons que Ker(θ (0)) = {0}. Nous d´emontrons d’abord deux lemmes. Lemme 2.77. Nous supposons que f est comme dans le Th´eor`eme 2.74. C’est-` a-dire que f positive ou nulle et non constante. Alors u = u0 > 0 sur ∂D. Preuve. Nous raisonnons par l’absurde. Nous supposons donc qu’il existe x0 ∈ ∂D tel que u(x0 ) = 0. D’apr`es le Th´eor`eme 1.35 (principe du maximum pour les solutions faibles), u est positive ou nulle. Nous pouvons donc appliquer le Th´eor`eme 1.36 (in´egalit´e de Harnack). Nous obtenons sup u ≤ C inf u, B(x0 )

B(x0 )

pour au moins une boule B(x0 ), o` u C est une constante qui d´epend de B(x0 ). Donc u est nulle dans B(x0 ) car inf B(x0 ) u = u(x0 ) = 0. Par suite, u est nulle dans tout Ω par le Th´eor`eme 1.37 (unicit´e du prolongement). Mais ceci contredit le fait que f = u|Γ est non constante. Lemme 2.78. Si θ (0)(V ) = 0 alors μ(D)(V ) = 0.

130

2 Probl`emes inverses elliptiques

Preuve. D’apr`es la Proposition 2.76, θ (0)(V ) = 0 signiﬁe ∂ν u(D)(V ˙ )|γ = 0. Donc u˙ e = u(D)(V ˙ )|Ω\D est telle que ⎧ ⎨ −Δu˙ e = 0, dans Ω\D, u˙ = 0, sur Γ, ⎩ e ∂ν u˙ e = 0, sur γ, o` u nous avons utilis´e le fait que μ(D)(V ) est `a support dans ∂D. Il en r´esulte que u˙ e = 0 dans Ω\D par le corollaire 1.38 (unicit´e du prolongement). Comme ˙ )|D est la solution du probl`eme u(V ˙ ) ∈ H01 (Ω), nous concluons que u˙ i = u(V aux limites −Δu˙ i + u˙ i = 0, dans D, (2.203) sur ∂D. u˙ i = 0, Il s’ensuit que u˙ i = 0 dans D par l’unicit´e de la solution de (2.203) et donc u (V ) = 0 dans Ω. Par cons´equence μ(D)(V ) = 0. Pour compl´eter la preuve de Ker(θ (0)) = {0}, nous aﬃrmons que θ (0)(V ) = 0 si V ∈ F . Car sinon θ (0)(V ) = 0 entrainerait μ(D)(V ) = 0 par le Lemme 2.78, ou de mani`ere ´equivalente que (V · ν)u = 0 sur ∂D. Or u(0) > 0 sur ∂D par le Lemme 2.77. Donc V · ν = 0 sur ∂D. Mais ceci est en contradiction avec le fait que V ∈ F . La preuve du Th´eor`eme 2.74 est donc compl`ete.

Le r´esultat de ce paragraphe provient de M. Choulli [Ch2]. Signalons qu’il n’existe que tr`es peu de r´esultats d’unicit´e concernant le probl`eme que nous ` notre connaissance, les seuls r´esultats sont ceux d´emontr´e avons ´etudi´e ici. A dans le Probl`eme 1 pour un D de g´eom´etrie quelconque, et ceux de K. Sungwhan [Sung], K. Sungwhan et M. Yamamoto [SuY] pour des D ayant une g´eom´etrie particuli`ere. 2.5.2 Un probl` eme de conductivit´ e inverse Comme ci-dessus, D est un sous-domaine de Ω tel que D ⊂ Ω. Nous consid´erons le probl`eme aux limites div((1 + χD )∇u) = 0, dans Ω, (2.204) u = f, sur Γ. Rappelons ici que χD d´esigne la fonction caract´eristique de D. Le probl`eme de conductivit´e inverse consiste `a d´eterminer D `a partir des mesures ∂ν u = g, sur γ ⊂ Γ. Ce probl`eme d’identiﬁcation mod´elise par exemple la d´etection d’un objet, ayant une conductivit´e diﬀ´erente du milieu qui l’entoure, `a partir de mesures fronti`eres.

2.5 d´erivation par rapport au domaine

131

Dans ce sous-paragraphe nous supposons que Ω et D sont de classe C 2,α pour un certain α, 0 < α < 1, et que f ∈ C 2,α (Γ ). Sous ces hypoth`eses, nous savons par le Th´eor`eme 1.30 que (2.204) admet une unique solution u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 2,α (D) ∩ C 2,α (Ω\D). ˜ ⊂ Ω. Nous ﬁxons V ∈ C 1,b tel que ˜ un ouvert de Rn tel que Ω Soit Ω ˜ supp(V ) ⊂ Ω et nous choisissons I un intervalle autour de l’origine pour lequel Dt = (I + tV )D ⊂ Ω0 , pour tout t ∈ I, pour un certain ouvert Ω0 , Ω0 ⊂ Ω. Nous notons alors ut la solution de (2.204) quand nous rempla¸cons D par Dt . Pour simpliﬁer les notations, nous posons u = u0 . Nous d´emontrons dans ce sous-paragraphe le Th´ eor` eme 2.79. Soit γ une partie ferm´ee de Γ d’int´erieur non vide. Nous supposons a) f est non constante, b) Σ+ et Σ− sont non vides, avec Σ± = {x ∈ ∂D; ±V (x) · ν(x) > 0}, c) il existe δ un ouvert de Σ+ tel que dist(δ, Σ+ \δ ∪ Σ − ) > 01 . Alors il existe deux constantes positives et C (d´ependant de V ) telles que (∂ν ut − ∂ν u)|γ

1

H − 2 (γ)

≥ C|t|, |t| ≤ .

En particulier, (∂ν ut − ∂ν u)|γ

1

H − 2 (γ)

≥ C|DtV ΔD|, |t| ≤ .

Avant de donner la preuve de ce th´eor`eme, nous montrons d’abord des r´esultats pr´eliminaires. Nous commen¸cons par le Th´ eor` eme 2.80. Soit γ une partie ferm´ee de Γ d’int´erieur non vide. L’application 1 ΦV : t ∈ I → ∂ν ut |γ ∈ H − 2 (γ) u u˙ est alors d´erivable en t = 0 et ΦV (0) = ∂ν u˙ |γ , o` solution du probl`eme de transmission ⎧ Δu˙ i = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Δu˙ e = 0, u˙ i − u˙ e = (V · ν)∂ν ui , ⎪ ⎪ 2∂ u˙ − ∂ν u˙ e = (V · ν)Δτ ui + ∇τ ui · ∇τ (V · ν), ⎪ ⎪ ⎩ ν i u˙ e = 0, 1

∈ H01 (Ω) est l’unique dans D, dans Ω\D, sur ∂D, sur ∂D, sur Γ.

Noter que nous pouvons aussi consid´erer γ comme partie de Σ− .

(2.205)

132

2 Probl`emes inverses elliptiques

Preuve. Nous donnons la d´emonstration en trois ´etapes. Nous rappelons les notations V = (∂xj Vi ),

J(t) = det(I + tV ),

M (t) = (I + tV )−1 .

R´eduisant I si n´ecessaire, nous pouvons toujours supposer que M (t) est bien d´eﬁnie et que J(t) ≥ 0 pour tout t ∈ I. Premi` ere ´ etape. Soient F0 ∈ C 2,α (Ω) telle que F0|Γ = f et θ ∈ D(Rn ) v´eriﬁant θ = 1 dans un voisinage de Γ et supp(θ) ⊂ Rn \Ω0 . Nous posons F = θF0 , vt = ut − F et g = −ΔF. Alors il est ais´e de v´eriﬁer que vt est la solution du probl`eme aux limites div((1 + χDt )∇v) = g, dans Ω, v = 0, sur Γ. Lemme 2.81. Soit v(t) = vt ◦ (I + tV ). Alors v(t) − v(0) t→0 t

v = lim

existe dans H01 (Ω) et c’est l’unique solution du probl`eme variationnel (1+χD )∇v ·∇w=div((1+χD )A∇v+div(gV ), w H −1 (Ω),H01 (Ω) , w ∈H01 (Ω), Ω

o` u v = v(0) et

A = V + (V )t − div(V ).

Preuve. Clairement, vt est la solution du probl`eme variationnel (1 + χDt )∇vt · ∇wdy = gwdy, w ∈ H01 (Ω). Ω

Ω

Nous faisons le changement de variable y = (I + tV )x pour aboutir a` (1 + χD )M (t)∇v(t) · M (t)∇wJ(t) = g(t)wJ(t), w ∈ H01 (Ω), Ω

Ω

o` u g(t) = g ◦ (I + tV ). En proc´edant comme pour le laplacien, nous pouvons montrer que v = limt→0 v(t)−v existe dans H01 (Ω) et que c’est l’unique t solution du probl`eme variationnel (1+χD )∇v ·∇w= div((1+χD )A∇v+div(gV ), w H −1 (Ω),H01 (Ω) , w∈ H01 (Ω). Ω

2.5 d´erivation par rapport au domaine

133

Si v˙ = v − ∇v · V , nous utilisons −div((1 + χD )∇v ) = div((1 + χD )A∇v) + div(gV ), dans D (Ω), pour conclure que v˙ v´eriﬁe ⎧ ⎨ Δv˙ i = 0, dans D, Δv˙ = 0, dans Ω\D, ⎩ e v˙ e = 0, sur Γ.

(2.206)

Ici et dans ce qui suit, si w est une fonction d´eﬁnie sur Ω alors wi = w|D et we = w|Ω\D . Seconde ´ etape. Nous ´etablissons les conditions de transmission satisfaites par v. ˙ Lemme 2.82. v˙ i − v˙ e = (V · ν)∂ν vi , dans D. 2∂ν v˙ i − ∂ν v˙ e = (V · ν)Δτ vi + ∇τ vi · ∇τ (V · ν), dans D.

(2.207) (2.208)

Preuve de (2.207). Soit ψ ∈ H 2 (Ω) telle que ψ|∂D = vi and ψ|∂Ω = 0. En notant que vi = ve sur ∂D, nous montrons sans peine que wi = vi − ψ et we = ve − ψ sont les solutions respectives des probl`emes aux limites −Δwi = fi , dans D, wi = 0, sur ∂D, et

−Δwe = fe , dans Ω\D, sur ∂(Ω\D), wi = 0,

avec

g + Δψ, fe = g + Δψ. 2 D’apr`es le Th´eor`eme 2.72, nous concluons que w˙ i et w˙ e sont les solutions respectives des probl`emes aux limites −Δw˙ i = 0, dans D, w˙ i = −(V · ν)∂ν wi , sur ∂D, fi =

et

⎧ dans Ω\D, ⎨ −Δw˙ e = 0, w˙ e = −(V · ν)∂ν we , sur ∂D, ⎩ sur Γ. w˙ e = 0,

Or ψ˙ = 0 par le Lemme 2.73. Ceci, le fait que 2∂ν vi = ∂ν ve sur ∂D et les conditions aux limites v´eriﬁ´ees par w˙ i et w˙ e entrainent alors (2.207).

134

2 Probl`emes inverses elliptiques

Preuve de (2.208). Nous nous donnons ρ ∈ H 2 (Ω) v´eriﬁant ∂ν ρ|∂D = 2∂ν vi|∂D = ∂ν ve|∂D et ρ|Γ = 0. Si

1 (g + Δρ) et he = g + Δρ, 2 alors un calcul simple nous montre que yi = vi − ρ2 et ye = ve − ρ sont les solutions respectives des probl`emes aux limites −Δyi = hi , dans D, ∂ν yi = 0, sur ∂D, hi =

et

⎧ ⎨ −Δye = he , dans Ω\D, ∂ y = 0, sur ∂D, ⎩ ν e sur Γ. ye = 0,

Il r´esulte du Th´eor`eme 2.72 que y˙ i et y˙ e v´eriﬁent dans D, −Δy˙ i = 0, ∂ν y˙ i = −(V · ν)∂ν22 yi + ∇τ yi · ∇τ (V · ν), sur ∂D, et

⎧ dans Ω\D, ⎨ −Δy˙ e = 0, ∂ν y˙ e = −(V · ν)∂ν22 ye + ∇τ ye · ∇τ (V · ν), sur ∂D, ⎩ sur Γ. y˙ e = 0,

Comme ρ˙ = 0 (par le Lemme 2.73), nous d´eduisons des conditions aux limites pour y˙ i et y˙ e que 2∂ν v˙ i − ∂ν v˙ e = −2(V · ν)∂ν22 vi + (V · ν)∂ν22 ve + 2∇τ vi · ∇τ (V · ν) (2.209) − ∇τ ve · ∇τ (V · ν), sur ∂D. Mais ⎧ 2 g ⎪ ⎪ 2∂2 ν 2 vi = Δvi − Δτ vi − H∂ν vi = − 2 − Δτ vi − H∂ν vi , ⎨ ∂ν 2 ve = −g − Δτ ve − H∂ν ve , Δ ⎪ τ vi = Δτ ve , ⎪ ⎩ ∇τ vi = ∇τ ve ,

sur ∂D, sur ∂D, sur ∂D, sur ∂D.

(2.208) d´ecoule alors d’une combinaison de (2.209) et (2.210).

(2.210)

Troisi` eme ´ etape. De (2.206) et du lemme pr´ec´edent nous d´eduisons que v˙ est la solution du probl`eme de transmission

2.5 d´erivation par rapport au domaine

⎧ Δv˙ i = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Δv˙ e = 0, v˙ i − v˙ e = (V · ν)∂ν vi , ⎪ ⎪ 2∂ v˙ − ∂ν v˙ e = (V · ν)Δτ vi + ∇τ vi · ∇τ (V · ν), ⎪ ⎪ ⎩ ν i v˙ e = 0,

135

dans D, dans Ω\D, sur ∂D, sur ∂D, sur Γ.

Comme u = v + F , supp(F ) ⊂ Rn \Ω0 et F˙ = 0, u˙ est solution du probl`eme de transmission ⎧ Δu˙ i = 0, dans D, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dans Ω\D, ⎨ Δu˙ e = 0, sur ∂D, u˙ i − u˙ e = ∂ν ui (V · ν), ⎪ ⎪ 2∂ u˙ − ∂ν u˙ e = (V · ν)Δτ ui + ∇τ ui · ∇τ (V · ν), sur ∂D, ⎪ ⎪ ⎩ ν i u˙ e = 0, sur Γ. Lemme 2.83. Soit ΦV comme dans le Th´eor`eme 2.80. Alors lim

t→0

ΦV (t) − ΦV (0) 1 = ∂ν u˙ |γ dans H − 2 (γ). t

Preuve. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, nous savons d´ej`a que limt→0 u(t)−u existe t u(t)−u 1 dans H (Ω) et que u˙ = limt→0 t − ∇u · V est la solution du probl`eme u de transmission (2.205). Mais dans Ω\Ω0 , V = 0 et u(t) = ut . D’o` 1 limt→0 ut −u = u ˙ dans H (Ω\Ω ). Or Δu = 0 dans Ω\Ω . Par suite, 0 t 0 t = u˙ dans HΔ (Ω\Ω0 ). Le r´esultat s’ensuit alors en utilisant la limt→0 ut −u t 1 continuit´e de l’op´erateur de trace w ∈ HΔ (Ω\Ω0 ) → ∂ν w|γ ∈ H − 2 (γ) (voir le Th´eor`eme 1.20). Nous venons donc d’achever la d´emonstration du Th´eor`eme 2.80.

Nous montrons maintenant le Lemme 2.84. ΦV (0) = 0 implique (V · ν)∇ue · ∇w = 0, pour tout w ∈ H 2 (D) telle que Δw = 0 dans D. ∂D

Preuve. Si ΦV (0) = ∂ν u˙ e|γ = 0 alors u˙ e = 0 dans Ω\D par le Corollaire 1.38 (unicit´e du prolongement). Mais u˙ est la solution du probl`eme de transmission (2.205). Donc u˙ i est solution du probl`eme surd´etermin´e ⎧ dans D, ⎨ Δu˙ i = 0, sur ∂D, u˙ i = (V · ν)∂ν ui , ⎩ 2∂ν u˙ i = (V · ν)Δτ ui + ∇τ ui · ∇τ (V · ν), sur ∂D. Soit w ∈ H 2 (D) telle que Δw = 0 dans D. Une application de la formule de Green nous donne

136

2 Probl`emes inverses elliptiques

0=

(V · ν)∂ν w∂ν ui dσ

Δwu˙ i dx = D

∂D

−

1 2

[(V · ν)Δτ ui dσ + ∇τ (V · ν) · ∇τ ui ]wdσ (2.211) . ∂D

Or d’apr`es la formule d’int´egration par parties du Th´eor`eme 1.24, nous avons (V · ν)wΔτ ui dσ = − ∇τ ui · ∇τ (w(V · ν))dσ. ∂D

∂D

D’o` u,

(V · ν)wΔτ ui dσ +

∂D

w∇τ ui · ∇τ (V · ν)dσ =

∂D

(V · ν)∂ν w∂ν ui dσ. ∂D

(2.212) Vu (2.211) et (2.212), nous obtenons 1 (V · ν)∂ν w∂ν ui dσ + (V · ν)∇τ w∇τ ui dσ = 0. 2 ∂D ∂D Le r´esultat s’ensuit en utilisant 2∂ν ui = ∂ν ue et ∇τ ui = ∇τ ue sur ∂D.

Preuve du Th´ eor` eme 2.79. D’apr`es le th´eor`eme des accroissements ﬁnis, il suﬃt de d´emontrer que ΦV (0) ne s’annule pas. Nous raisonnons par l’absurde. Nous supposons alors que ΦV (0) = 0. Dans la preuve du lemme pr´ec´edent nous avons vu que ceci entraine u˙ e = 0 dans Ω\D et que u˙ i est solution du probl`eme surd´etermin´e ⎧ dans D, ⎨ Δu˙ i = 0, u˙ i = (V · ν)∂ν ui , sur ∂D, ⎩ 2∂ν u˙ i = (V · ν)Δτ ui + ∇τ ui · ∇τ (V · ν), sur ∂D. D’autre part, de l’hypoth`ese c) nous d´eduisons que Σ0 = {x ∈ ∂D; V (x)·ν(x) = 0} est d’int´erieur non vide. Comme u˙ i = ∂ν u˙ i = 0 sur Σ0 , u˙ i = 0 dans D par le Corollaire 1.38 (unicit´e du prolongement). Par suite, ∂ν ue = 2∂ν ui = 0 sur ∂D\Σ0 . Nous utilisons encore une fois l’hypoth`ese c) pour conclure qu’il existe O un ouvert born´e de Rn tel que δ ⊂ O et O ∩ (Σ+ \δ ∪ Σ − ) = ∅. Soit ϕ ∈ D(Rn ) telle que supp(ϕ) ⊂ O et ϕ = 1 dans un voisinage de δ. Soit w ∈ C 2,α (D) la solution du probl`eme aux limites Δw = 0, dans D, w = ϕue , sur ∂D. Une application du lemme 2.84 nous donne

2.5 d´erivation par rapport au domaine

(V · ν)∇τ w · ∇τ ue dσ +

0= ∂D\δ

Or

137

|V · ν||∇τ ue |2 dσ. δ

(V · ν)∇τ w · ∇τ ue dσ = ∂D\δ

(Σ+ ∪Σ− )\δ

(V · ν)∇τ w · ∇τ ue dσ = 0,

u car w = 0 sur (Σ+ ∪ Σ− )\δ. D’o` |V · ν||∇τ ue |2 dσ = 0. δ

C’est-`a-dire ∇τ ue = 0 sur δ. Mais nous savons d´ej`a que ∂ν ue = 0 sur ∂D\Σ0 . Par cons´equent, ∇ue = 0 sur δ et ue est constante sur δ. Donc ue est constante dans Ω\D par le Corollaire 1.38 (unicit´e du prolement). Or ue = f sur Γ et donc f est constante. Mais ceci est en contradiction avec l’hypoth`ese a). Nous avons utilis´e M. Choulli [Ch3] pour pr´eparer ce sous-paragraphe. Le Th´eor`eme 2.79 g´en´eralise les r´esultas ant´erieurs de H. Bellout et A. Friedman [BF], A. Friedman et B. Gustafsson [FG]. Pour le cas parabolique, voir H. Bellout [Bel].

138

2 Probl`emes inverses elliptiques

2.6 D´ etection de ﬁssures 2.6.1 Applications quasi-conformes, fonctions courant et points critiques g´ eom´ etriques Soient Ω un domaine du plan et f : Ω → f (Ω) un diﬀ´eomorphisme. Pour z = x + iy, s’il n’y a pas de confusion, nous identiﬁerons f (z) et f (x, y). Il n’est pas diﬃcile de v´eriﬁer que Jf (z), le jacobien de f en z0 , est donn´e par Jf (z) = |∂z f (z)|2 − |∂z f (z)|2 , z ∈ Ω. Comme Jf (z) ne s’annule jamais sur Ω, nous pouvons d´eﬁnir la distorsion de f en z par |∂z f (z)|2 + |∂z f (z)|2 Df (z) = . |∂z f (z)|2 − |∂z f (z)|2 Nous d´eﬁnissons aussi la dilatation complexe de f en z comme suit μf (z) =

∂z f (z) . ∂z f (z)

Nous avons alors la relation Df =

1 + |μf | . 1 − |μf |

Nous dirons que f est quasi-conforme si Df est born´ee sur Ω. f est dite k-quasi-conforme si Df ≤ k. Clairement, f est 1-quasi-confome si et seulement si elle est conforme. Il est possible d’´etendre la notion d’application quasi-conforme. Nous dirons que f : Ω → Ω un hom´emorphisme qui pr´eserve l’orientation est k1 quasi-conforme si f ∈ Hloc (Ω) et si Df ≤ k p.p. sur Ω. 1 (Ω) qui satisfait `a Df ≤ k p.p. sur Ω Notons qu’une application f ∈ Hloc est dite k-quasi-r´eguli`ere.

Nous supposons maintenant que Ω est born´e et simplement connexe. Soit A = (aij ) une matrice 2 × 2 sym´etrique, a` coeﬃcients dans L∞ (Ω) v´eriﬁant, pour un certain λ ∈ (0, 1],

λ|ξ|2 ≤ aij ξi ξj ≤ λ−1 |ξ|2 , ξ ∈ Rn , z ∈ Ω. (2.213) 1≤i,j≤2

Nous consid´erons l’´equation div(A∇u) = 0, dans Ω. Soit u ∈ H 1 (Ω) une solution de (2.214) et posons

(2.214)

2.6 D´etection de ﬁssures

139

ω = −(a12 ∂x u + a22 ∂y u)dx + (a11 ∂x u + a12 ∂y u)dy. Nous v´eriﬁons ais´ement que ω est une forme diﬀ´erentielle exacte. D’o` u, il existe v ∈ H 1 (Ω) telle que dv = ω. La fonction v s’appelle la fonction courant associ´ee `a u, et la relation dv = ω se met sous la forme 0 −1 ∇v = A∇u, p.p. dans Ω. (2.215) 1 0 Notons que v est unique a` une constante additive pr`es et que c’est une solution faible de l’´equation div(B∇v) = 0, dans Ω, (2.216) o` u B = (d´etA)−1 At . Soit f = u + iv. Alors l’´equation (2.215) devient ∂z f = μ∂z f + ν∂z f , p.p. sur Ω,

(2.217)

avec μ=

1 − a11 a22 + a212 a22 − a11 − 2ia12 et ν = . a11 a22 + a11 + a22 − a212 + 1 a11 a22 + a11 + a22 − a212 + 1

Apr`es un calcul fastidieux mais ´el´ementaire, nous arrivons `a montrer |μ| + |ν| ≤ k < 1,

(2.218)

o` u k est une constante qui ne d´epend que de λ. Nous r´esumons ceci dans la proposition suivante Proposition 2.85. (i) Soit u ∈ H 1 (Ω) une solution de (2.214). Alors il existe, a ` une constante additive pr`es, une unique fonction v ∈ H 1 (Ω) solution de (2.216). De plus f = u + iv est solution de (2.217), o` u μ et ν sont deux fonctions mesurables et born´ees qui v´eriﬁent (2.218). (ii) D’autre part, si f = u + iv, f ∈ H 1 (Ω) v´eriﬁe (2.217) avec μ et ν satisfaisant (2.218), alors il existe une matrice, 2 × 2, A telle que u est une solution variationnelle de div(A∇u) = 0 dans Ω et A v´eriﬁe (2.213), o` u λ d´epend uniquement de k. Dans (ii), la matrice A est explicitement donn´ee par |1−μ|2 −|ν|2 2 (ν−μ) A=

|1+ν|2 −|μ|2 |1+ν|2 −|μ|2 −2 (ν+μ) |1+μ|2 −|ν|2 |1+ν|2 −|μ|2 |1+ν|2 −|μ|2

.

(2.219)

Notons que si u est une fonction harmonique (c-`a-d A = I), v n’est rien d’autre que la conjugu´ee harmonique de u. Dans ce cas μ = ν = 0 et, par suite, ∂z f = 0 dans Ω, par (2.215). En d’autres termes, f v´eriﬁe les conditions de Cauchy dans Ω. Elle est donc holomorphe dans Ω. Dans le cas g´en´eral, nous v´eriﬁons sans peine que, grˆace `a (2.217), f est quasi-r´eguli`ere. Un th´eor`eme de repr´esentation de L. Bers et L. Nirenberg [BN] nous dit alors que, modulo un changement de variable quasi-conforme, f est holomorphe :

140

2 Probl`emes inverses elliptiques

Th´ eor` eme 2.86. Soit D un sous domaine simplement connexe de la boule unit´e B. Si f ∈ H 1 (Ω) v´eriﬁe (2.217) avec μ et ν satisfaisant (2.218). Alors il existe χ : B → B une application quasi-conforme et F holomorphe sur χ(D) telles que f = F ◦ χ. De plus, χ et χ−1 sont holderiennes : |χ(x) − χ(y)|, |χ−1 (x) − χ−1 (y)| ≤ C|x − y|α , x, y ∈ B,

(2.220)

o` u C et α, 0 < α < 1, sont deux constantes qui ne d´ependent que de k. Le dernier th´eor`eme permet d´eﬁnir la notion de point critique g´eom´etrique. Un point z ∈ Ω est un point critique g´eom´etrique de u si χ(z) est un point critique (au sens usuel) de h = F . Si z est un point critique g´eom´etrique de u, nous d´eﬁnissons l’indice g´eom´etrique de ∇u par 1 I(z, ∇u) = − lim d(arg(∇h)), 2π r→0 ∂Br (χ(z)) o` u arg(∇h) d´esigne l’angle entre le vecteur ∇h et une direction ﬁx´ee. Pour le probl`eme de d´etection de ﬁssures, nous aurons besoin d’un r´esultat d’existence d’une fonction courant dans le domaine Ω \ σ, o` u σ est une courbe simple lipschitzienne. Notons que Ω \ σ n’est plus simplement connexe. Il est doublement connexe. Nous consid´erons le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ div(A∇u) = 0, dans Ω \ σ, A∇u · ν = 0, de chaque cˆot´e de σ, (2.221) ⎩ A∇u · ν = ψ, sur Γ. Th´ eme 2.87. Soit u ∈ H 1 (Ω) une solution de (2.221) avec ψ ∈ L2 (Γ ), eor` ψdx = 0. Alors il existe, a ` une constante additive pr`es, une unique fonction Γ courant v ∈ H 1 (Ω) associ´ee ` a u. De plus v est une solution variationnelle du probl`eme aux limites ⎧ div(B∇v) = 0, dans Ω \ σ, ⎪ ⎪ ⎨ v = constante, sur σ, (2.222) v = Ψ, sur Γ, ⎪ ⎪ ⎩ B∇v · ν = 0, Γ avec B = (d´etA)−1 At et Ψ est une primitive de ψ, consid´er´ee comme fonction de l’abscisse curviligne. Le reste de ce paragraphe est d´edi´e `a des estimations pour la solution de (2.217) et (2.218). Dans ce qui suit, Ω redevient un ouvert born´e de Rn . A cette ﬁn nous introduisons une notion g´en´eralisant celle des fonctions surharmonique. A ´etant comme ci-dessus, nous notons LA l’op´erateur LA u = −div(A∇u).

2.6 D´etection de ﬁssures

141

D´ eﬁnition 2.88. Une fonction u : Ω → R ∪ {+∞} est dite LA -sur-harmonique si (i) u est semi-continue inf´erieurement, (ii) u ≡ +∞ dans toute composante connexe de Ω, (iii) pour tout ouvert D, D ⊂ Ω, et toute v ∈ C 1 (D) telle que LA v = 0 au sens variationnel, si u ≥ v sur ∂D alors u ≥ v dans D. u sera dite LA -sous-harmonique dans Ω si −u LA -sur-harmonique dans Ω. Si E est une partie de Γ , nous d´esignons par UE l’ensemble de toute les fonctions u, LA -sur-harmonique dans Ω, telles que u ≥ 0 et lim inf x→y u(x) ≥ χE (y), o` u χE est la fonction caract´eristique de E. D´ eﬁnition 2.89. Nous d´eﬁnissons la mesure LA -harmonique de E par rapport ` a Ω comme ´etant la solution de Perron sup´erieure par rapport a ` χE , c’est-` a-dire ω(z) = ω(z, D, LA ; z) = inf{u(z); u ∈ UE }, z ∈ Ω. Lemme 2.90. Soit f ∈ H 1 (Ω) v´eriﬁant (2.217) avec μ et ν satisfaisant (2.218). Alors il existe une matrice, 2 × 2, A˜ ` a coeﬃcients dans L∞ (Ω) qui v´eriﬁent (2.213), avec λ d´ependant uniquement de k, telle que φ = log |f | est LA˜ -sur-harmonique. Preuve. En un point z ∈ Ω o` u f (z) = 0, nous pouvons d´eﬁnir, dans un voisinage de z, ψ = log f , o` u log est une d´etermination quelconque du logarithme. Dans ce voisinage ψ v´eriﬁe l’´equation ∂z ψ = μ∂z ψ + ν˜∂z ψ, ν | ≤ k < 1. Soit A˜ la matrice donn´ee par (2.219) o` u ν˜ = ν ff et donc |μ| + |˜ avec ν˜ ` a la place de ν. D’apr`es la Proposition 2.85, φ = ln |f | = log f v´eriﬁe localement ˜ div(A∇φ) = 0, (2.223) au sens variationnel. Notons que nous pouvons d´eﬁnir φ = ln |f | globalement comme une fonction 1 ˜ o` ˜ = {z ∈ Ω; f (z) = 0}. A ` l’aide d’une partition de l’unit´e, de Hloc (Ω), uΩ nous pouvons ais´ement d´emontrer que φ v´eriﬁe, au sens variationnel, (2.223) ˜ dans Ω. Nous savons que {z ∈ Ω; f (z) = 0} est constitu´e de points isol´es et φ(z) converge vers −∞ quand z tend vers un ´el´ement de cet ensemble. En utilisant ce fait et le principe du maximum, nous arrivons `a montrer de mani`ere assez simple que φ est LA˜ -sur-harmonique. Th´ eor` eme 2.91. Soient E une partie de Ω et f ∈ H 1 (Ω) une solution de (2.217), avec ν et μ v´eriﬁant (2.216). Si M = sup |f | et, pour > 0,

142

2 Probl`emes inverses elliptiques

lim sup |f (x)| ≤ , y ∈ E,

(2.224)

|f (z)| ≤ M 1−ω(z) ω(z) , z ∈ Ω,

(2.225)

x→y

alors ` Ω et A˜ o` u ω = ω(E, Ω, LA˜ ) est la mesure LA˜ -harmonique de E par rapport a est comme dans le Lemme 2.90. Preuve. Sans perte de g´en´eralit´e, nous supposons 0 < < M . D’apr`es le dernier lemme, φ = ln |f | est LA˜ -sur-harmonique. D’autre part, il n’est diﬃcile M de voir que ϕ = lnφ−ln u ω(z) ≤ ϕ(z) et, par −ln M est dans l’ensemble UE . D’o` suite, φ(z) ≤ (ln )ω(z) + ln M (1 − ω(z)), z ∈ Ω,

ce qui entraine le r´esultat recherch´e. 2.6.2 Stabilit´ e de la d´ etermination d’une ﬁssure r´ eguli` ere

Nous introduisons d’abord les hypoth`eses dont nous aurons besoin pour ´enoncer le r´esultat de stabilit´e que nous nous proposons de d´emontrer dans ce sous-paragraphe. (H1) Ω est un domaine born´e, de fronti`ere Γ , simplement connexe tel qu’il existe trois constantes L, δ et M pour lesquelles : (i) pour tout z ∈ Γ , Γ ∩ B(z, δ) est un graphe lipschitzien de norme M ; (ii) |Γ | ≤ L. (H2) Une ﬁssure σ dans Ω sera une courbe simple telle que : (i) la longueur de σ est inf´erieure ou ´egale a` L ; (ii) dist(σ, Γ ) ≥ δ ; (iii) Si V1 et V2 sont les deux extr´emit´es de σ, alors, pour i = 1, 2, σ ∩ B(Vi , δ) est un demi-graphe Lipschitz de norme M ; en outre pour tout z ∈ σ \ [B(V1 , 2δ ) ∪ B(V2 , 2δ )], σ ∩ B(z, δ2 ) est un graphe lipschitzien de norme M . Les constantes L, δ et M sont les mˆemes qu’en (H1). Nous d´ecomposons Γ en trois arcs simples γ0 , γ1 et γ2 , dont les intersections, deux `a deux, des int´erieurs sont vides. Soit N > 0 et ﬁxons trois fonctions η0 , η1 et η2 dans L2 (Γ ) telles que pour j = 0, 1, 2, ηj ≥ 0, supp(ηj ) ⊂ γj , ηj = 1, ηj L2 (Γ ) ≤ N. Γ

Nous posons ψ1 = η0 − η1 , ψ2 = η0 − η2 . Nous avons donc

(2.226)

Γ

ψj = 0, ψj L2 (Γ ) ≤ 2N, j = 1, 2.

(2.227)

2.6 D´etection de ﬁssures

143

Pour j = 1, 2, Ψj d´esignera la primitive de ψj par rapport a` la variable curviligne (Γ est orient´ee dans le sens direct). Bien entendu, Ψ1 et Ψ2 ne sont d´eﬁnies qu’` a une constante additive pr`es. D´esignons par dΓ la distance sur Γ . En utilisant (H1), nous montrons ais´ement qu’il existe M1 = M1 (L, δ, M ) telle que, pour z0 , z1 ∈ Γ , dΓ (z0 , z1 ) ≤ M1 |z0 − z1 |, Il en r´esulte que Ψj , j = 1, 2, v´eriﬁe 1

1

|Ψj (z0 ) − Ψj (z1 )| ≤ 2N dΓ (z0 , z1 ) 2 ≤ N1 |z0 − z1 | 2 ,

(2.228)

1

u N1 = 2N M12 . pour z0 , z1 ∈ Γ , o` Soit A = (aij ) une matrice 2 × 2 sym´etrique, a` coeﬃcients dans L∞ (Ω) v´eriﬁant, pour un certain λ ∈ (0, 1],

λ|ξ|2 ≤ aij ξi ξj ≤ λ−1 |ξ|2 , ξ ∈ Rn , z ∈ Ω. 1≤i,j≤2

Pour i = 1, 2, nous notons ui ∈ H 1 (Ω \ σ) (resp. ui ∈ H 1 (Ω \ σ )) la solution variationnelle du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ div(A∇u) = 0, dans Ω \ σ, A∇u · ν = 0, de chaque cˆot´e de σ, (2.229) ⎩ A∇u · ν = ψ, sur Γ, quand ψ = ψi (resp. et σ = σ ), ψi donn´ee par (2.226). Rappelons que la distance de Hausdorﬀ entre σ et σ est donn´ee par dH (σ, σ ) = max{ sup dist(x, σ), sup dist(x, σ )}. x∈σ

x∈σ

Nous ´enon¸cons maintenant le r´esultat que nous d´emontrons dans ce sousparagraphe. Th´ eor` eme 2.92. Soit Σ ⊂ Γ un arc simple de longueur au moins ´egale a ` δ. Sous les hypoth`eses (H1) et (H2), si > 0 est tel que max ui − ui L∞ (Σ) ≤

(2.230)

dH (σ, σ ) ≤ ω(),

(2.231)

i=1,2

alors

o` u ω() est une fonction positive sur (0, +∞) v´eriﬁant ω() ≤ K(ln | ln |)−α , 0 < <

1 . e

Ici K et α sont deux contantes positives d´ependant uniquement des donn´ees.

144

2 Probl`emes inverses elliptiques

Dans le reste de ce paragraphe, les notations et les hypoth`eses sont celles du dernier th´eor`eme. Soient a et b deux r´eels tels que a2 + b2 = 1. Nous posons u = au1 + bu2 ,

v = av1 + bv2 ,

(2.232)

ψ = aψ1 + bψ1 ,

Ψ = aΨ1 + bΨ2 .

(2.233)

Nous v´eriﬁons sans peine que u est la solution faible de (2.229) et que v est sa fonction courant. De la mˆeme mani`ere, en rempla¸cant σ par σ , nous d´eﬁnissons u et v . Notons qu’il est plausible de s’attendre `a ce que v soit continue a` travers σ, grˆace au fait que v v´eriﬁe une condition de Cauchy sur σ. Par contre, u n’a aucune raison d’ˆetre continue `a travers σ. Aﬁn de distinguer les limites de part et d’autre de σ, nous consid´erons σ comme une courbe ferm´ee d´eg´en´er´ee : soit σ ˜ la courbe abstraite simple obtenue en recollant deux a` deux les extremi´es ˜ la sous-vari´et´e compact obtenue par un recolde deux copies de σ. Notons Ω ˜ ˜ 2 et d˜ la distance g´eod´esique3 sur Ω. lement “appropri´e” de Ω \ σ et σ Dans ce qui suit C d´esigne une constante ou une fonction g´en´erique qui ne d´epend que des donn´ees. Un r´esultat important dans la preuve du Th´eor`eme 2.92 est donn´e par la Proposition 2.93. Soient u, v donn´ees par (2.232), (2.233) et f = u + iv. Alors a) v est h¨ olderienne : |v(z1 ) − v(z2 )| ≤ C|z1 − z2 |β , z1 , z2 ∈ Ω.

(2.234)

b) u v´eriﬁe l’estimation ˜ 1 , z2 )β , z1 , z2 ∈ Ω. ˜ |u(z1 ) − u(z2 )| ≤ C d(z

(2.235)

c) f est quasi-conforme sur Ω \ σ. Nous utilisons le (dont la preuve est donn´ee dans [Ro2]) Lemme 2.94. Sous les hypoth`eses et les notations de la Proposition 2.93, nous avons la repr´esentation f = F ◦ χ,

(2.236)

o` u χ : Ω \ σ → D est une application quasi-conforme satisfaisant 2

3

Ω ´etant des deux cˆ ot´es de σ, les points de σ ˜ sont identiﬁ´es aux limites de suites d’un cˆ ot´e de Ω qui convergent vers un point de σ, ` a l’exception des extr´emit´es. Ce proc´ed´e permet donc de compactiﬁer Ω \ σ. ˜ y) est l’inﬁmum des longueurs de tous les chemins dans Ω ˜ joiC’est-` a-dire, d(x, gnant x ` a y.

2.6 D´etection de ﬁssures

145

˜ y))α , x, y ∈ Ω \ σ |χ(x) − χ(y)| ≤ C(d(x,

(2.237)

|χ−1 (x) − χ−1 (y)| ≤ C|x − y|α , x, y ∈ D,

(2.238)

D = B2 (0) \ B1 (0) et F = U + iV est holomorphe dans D. La constante α v´eriﬁe 0 < α < 1 et d´epend seulement des donn´ees. Preuve de la Proposition 2.93. a) Si χ et F sont comme dans le dernier lemme V = v ◦ χ−1 = F est alors la solution variationnelle du probl`eme aux limites, ⎧ dans B2 \ B 1 , ⎪ ΔV = 0, ⎪ ⎨ V = constante, sur, ∂B1 , (2.239) sur, ∂B2 , V = Ψ ◦ χ−1 , ⎪ ⎪ ⎩ ∂B2 ∇V · ν = 0. Les conditions aux bords dans le probl`eme aux limites (2.239) sont les traces de fonctions de H 1 (B2 \ B 1 ). Elles sont donc h¨olderiennes et par suite, d’apr`es les r´esultats de r´egularit´e elliptique (voir par exemple D. Gilbarg et N.S. Trudinger [GT]), V satisfait une estimation h¨olderienne sur B2 \ B1 , avec des constantes d´ependantes uniquement des donn´ees. Ceci et (2.238) prouvent (2.234). b) Puisque U est la conjugu´ee de −V , une utilisation locale du th´eor`eme de Privaloﬀ (voir l’´enonc´e ci-dessous) montre que U est h¨olderienne dans D. Mais u = U ◦ χ. D’o` u (2.235) est une cons´equence de (2.237). Th´ eor` eme 2.95. (Privaloﬀ) Soit h = λ + iν une fonction holomorphe dans |z| < 1. Si λ est continue dans |z| ≤ 1 et v´eriﬁe |λ(z1 ) − λ(z2 )| ≤ K|z1 − z2 |α , |z1 | = |z2 | = 1, pour une certaine constante K, alors |h(z1 ) − h(z2 )| ≤ CK|z1 − z2 |α , |z1 |, |z2 | ≤ 1. Ici C est une constante qui ne d´epend que de α. Le lecteur trouvera une d´emonstration de ce th´eor`eme dans [BJS]. c) La preuve repose sur deux lemmes. Lemme 2.96. u et v n’ont pas de points critiques g´eom´etriques dans Ω \ σ et ont exactement deux points critiques g´eom´etriques distincts, d’indice 1, sur σ ˜. La preuve est assez technique et fait r´ef´erence `a divers r´esultats interm´ediaires. Nous renvoyons le lecteur `a A. Alessandrini et L. Rondi [AR] et ses r´eferences pour de plus amples d´etails. Soient m = minΓ Ψ , M = maxΓ Ψ et c = v|σ . Notons que, d’apr`es le principe du maximum, m < c < M .

146

2 Probl`emes inverses elliptiques

Lemme 2.97. Pour tout t ∈ (m, M ), t = c, la ligne de niveau {z ∈ Ω \ σ; v(z) = t} est compos´ee d’une courbe simple γt joignant les deux composantes connexes de {z ∈ Γ ; Ψ (t) = t}. La ligne de niveau {z ∈ Ω \ σ; v(z) = c} est compos´ee de deux courbes simples γc1 et γc2 , chacune joignant σ ` a l’une des deux composantes connexes ˜ sont les {z ∈ Γ ; Ψ (t) = c}. De plus les deux extremit´es de γc1 et γc2 dans σ deux points critiques, distincts, de v sur σ ˜. Preuve. v ´etant continue (voir Proposition 2.93 a)), un simple argument de connexit´e permet de d´eduire que, pour tout t ∈ (m, M ), les extremit´es de {z ∈ Ω \ σ; v(z) = t} dans Γ ∪ σ ˜ appartiennent a` {z ∈ Γ ; Ψ (t) = t} si t = c, et a` {z ∈ Γ ; Ψ (t) = t} ∪ σ ˜ si t = c. Soient t = c et z0 ∈ Ω \ σ tel que v(z0 ) = t. Par le Lemme 2.96, v n’a pas de points critiques g´eom´etriques dans Ω \ σ. Par suite, d’apr`es le principe du maximum, la composante connexe γt de {z ∈ Ω \σ; v(z) = t} contenant z0 est une courbe simple ayant des extr´emit´es dans Γ . De nouveau, le principe du maximum permet de conclure que v = t en dehors de γt . Les mˆemes arguments s’appliquent pour le cas t = c. Nous trouvons qu’il existe deux courbes simples a l’une des deux composantes connexes γc1 et γc2 dans Ω \σ, chacune joignant σ ` de {z ∈ Γ ; Φ(t) = c}. Ces deux courbes d´econnectent Ω \ σ et, par le principe du maximum, elles constituent une partition de {z ∈ Ω \ σ; v(z) = c}. Pour terminer, nous notons que les extremit´es de {z ∈ Ω \ σ; v(z) = c} dans σ ˜ sont exactement les deux points critiques de v sur σ ˜. Pour montrer c), il nous suﬃt de v´eriﬁer que f est une bijection de Ω \ σ sur f (Ω \ σ). Nous utilisons les notations pr´ec´edentes. Soient σ ˜1 et σ ˜2 les deux courbes simples qui forment σ ˜ \ {P1 , P2 }, o` u P1 et P2 sont les deux points critiques de u sur σ ˜ . En utilisant le fait que u n’a pas de points critiques g´eom´etriques dans Ω \ σ, nous d´eduisons que u est strictement croissante le ˜i , i = 1, 2. De mˆeme pour t ∈ (m, M ), t = c, u est long des courbes γc1 ∪ γc2 ∪ σ strictement croissante le long de γt . Par suite, pour tout ζ = s + it ∈ f (Ω \ σ), il existe un unique z ∈ Ω \ σ tel que u(z) = t et v(z) = s. Nous normalisons maintenant v et v de telle sorte qu’elles aient la mˆeme valeur Ψ sur Γ . Nous introduisons Φ : Ω \ (σ ∪ σ ) → C : Φ = W + iZ = u − u + i(v − v ). √ Par hypoth`ese Z est identiquement nulle et |W | ≤ 2 sur Σ. D’autre part, de a) et b) de la Proposition 2.93, nous d´eduisons que Φ est born´ee : |Φ| ≤ C, z ∈ Ω \ (σ ∪ σ ). De plus Z est h¨olderienne sur Ω. Par cons´equence, Φ satisfait au probl`eme de Cauchy ⎧ ⎨ ∂z Φ =√μ∂z Φ + ν∂z Φ, dans Ω \ (σ ∪ σ ), sur Σ, |Φ| ≤ 2, ⎩ Φ = 0, sur Γ,

2.6 D´etection de ﬁssures

147

o` u |μ| + |ν| ≤ k < 1. Proposition 2.98. Z v´eriﬁe l’estimation |Z(z)| ≤ η(), z ∈ Ω,

(2.240)

o` u η est une fonction positive, d´eﬁnie sur (0, +∞), qui satisfait a ` η() ≤ C(ln | ln |)−γ , 0 < <

1 , e

(2.241)

o` u γ est une constante positive qui ne d´epend que des donn´ees. Nous donnons les grandes lignes de la preuve de cette proposition un peu plus loin. Nous obtenons le Th´eor`eme 2.92 comme cons´equence de la derni`ere proposition et de celle que nous ´enon¸cons maintenant. Proposition 2.99. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 2.92, a ` l’exception de (2.230), pour un choix appropri´e des constantes a et b, l’estimation max vi − vi L∞ (Ω) ≤ η

i=1,2

entraine

dH (σ, σ ) ≤ Cη κ ,

avec κ une constante positive ne d´ependant que des donn´ees. Preuve. D’apr`es le Lemme 2.94, nous avons f = F ◦ χ, o` u F = U + iV est une fonction holomorphe dans D = B2 \ B1 . Notons Dd = B2−d \ B1+d , d > 0. Nous utilisons le Lemme 2.100. Nous avons l’estimation |F (z)| ≥ C(d)|z − ζ1 ||z − ζ2 |, pour tout z ∈ Dd ,

(2.242)

o` u ζ1 et ζ2 sont les images par χ est deux points critiques de u. Preuve. F ´etant h¨ olderienne dans D4 , |F | ≤ C dans D. D’apr`es (2.228), il existe d1 assez petit pour lequel 4

En fait c’est une extension de F , encore not´ee F , qui est h¨ olderienne. Cette extension est donn´ee par 1 F (z) = f ( ) + 2ic, z ∈ B1 \ B 1 , 2 z c = v|σ = V |∂B1 .

148

2 Probl`emes inverses elliptiques

1 osc∂Dd V ≥ √ , pour tout 0 < d ≤ d1 . 2 2

(2.243)

Nous utilisons les int´egrales de Cauchy qui expiment F en fonction de F et le fait que |F | ≤ C dans D pour conclure |F | ≤

C pour tout z ∈ D d . 2 d

(2.244)

| . φ est alors harmonique dans D et donc, Posons φ = ln |z−ζ|F 1 ||z−ζ2 | d’apr`es le Th´eor`eme 1.36 (in´egalit´e de Harnack) appliqu´ee `a M − φ, avec M = supD d φ, nous d´eduisons 2

sup(M − φ) ≤ c inf (M − φ), Dd

Dd

o` u c d´epend seulement de R et d. D’o` u inf φ ≥ M − c(M − sup φ). Dd

(2.245)

Dd

Nous avons osc∂Dd V ≤ C maxDd |F | et donc 1 √ ≤ C max |F | ≤ C max eφ ≤ CemaxDd φ Dd Dd 2 2 par (2.243). Ceci entraine alors max φ ≥ C, pour tout 0 < d ≤ d1 . Dd

Par suite, M ≥ C, pour tout 0 < d ≤ d1 .

(2.246)

D’autre part, comme |z − ζi | ≥ d si z ∈ Dd , nous d´eduisons de (2.244) 1 φ(z) ≤ C ln( ), z ∈ Dd et 0 < d ≤ d1 . d Par cons´equence, 1 M − sup φ = sup φ − sup φ ≤ C ln( ), 0 < d ≤ d1 . d Dd Dd Dd

(2.247)

2

Finalement, (2.245), (2.246) et (2.247) nous donnent inf φ ≥ C(d). Dd

D’o` u le r´esultat.

Maintenant, quitte a` intervertir les rˆoles de σ et σ , nous pouvons toujours supposer qu’il existe z0 ∈ σ \ σ tel que p = dist(z0 , σ) = dH (σ, σ ) > 0. Par hypoth`ese, il existe une constante C0 , ne d´ependant que des donn´ees, telle que

2.6 D´etection de ﬁssures

149

B Cp (z0 ) ⊂ Ω δ \ σ, 0

et, pour tout r ≤

p 2C0 ,

2

il existe z1 ∈ σ tel que |z1 − z0 | = r.

Si α1 est la constante de H¨older de χ−1 , alors nous montrons facilement 1 que, pour tout w ∈ χ(B Cp (z0 )), dist(w, ∂BR ) ≥ C1 δ α1 . De mˆeme, en utilisant 0 le fait que χ et χ−1 sont h¨olderiennes, nous trouvons qu’il existe des constantes E0 , E1 , α2 et α3 telles que BE0 pα2 (z0 ) ⊂ B 2Cp (z0 ) et χ(BE0 pα2 (z0 )) est conte0 nue dans une boule B centr´ee en χ(z0 ) telle que pour tout w ∈ B, nous avons dist(w, ∂B1 ) ≥ E1 pα3 . Soit z1 ∈ σ ∩ ∂BE0 pα2 (z0 ), nous avons |f (z0 ) − f (z1 )| = |F (χ0 (z0 )) − F (χ0 (z1 ))|. Comme |χ(z0 ) − χ(z1 )| ≥ E2 pα , nous avons d’apr`es le dernier lemme |F (χ0 (z0 )) − F (χ0 (z1 ))| ≥ C2 pα5 .

(2.248)

Nous choisissons a et b telles que au1 (z0 ) + bu2 (z0 ) = au1 (z1 ) + bu2 (z1 ). C’est-`a-dire u(z0 ) = u(z1 ).

(2.249)

Par (2.248), f v´eriﬁe l’estimation C2 pα5 ≤ |f (z0 ) − f (z1 )|,

(2.250)

et, par (2.249), |f (z0 ) − f (z1 )| = |v(z0 ) − v(z1 )|. Comme z0 , z1 ∈ σ , v (z0 ) = v (z1 ). Par suite, |f (z0 ) − f (z1 )| ≤ 2η. (2.251) D’une combinaison de (2.250) et (2.251) nous tirons β

p = dH (σ, σ ) ≤ C3 η 5 , ce qui ach`eve la d´emonstration.

Preuve de la Proposition 2.98. (les grandes lignes) Nous introduisons dans un premier temps la notion de h-tube. Si z0 ∈ Σ, soit l la bissectrice d’un secteur angulaire S, de sommet z0 et dont l’angle d’ouverture d´epend de M seulement. Des hypoth`eses faites sur Γ , nous d´eduisons que dist(z, Γ ) ≥ ˜ < 1 est une constante qui ne d´epend que de ˜ |z − z0 |, pour tout z ∈ l, o` uM M M. Soit γ une courbe r´eguli`ere, contenue dans Ω \ (σ ∪ σ ), d’extr´emit´e z0 ∈ σ telle que γ co¨ıncide avec l pour une longueur au moins ´egale a` h. Donc les ˜ h. Pour une points de γ \ l sont a` une distance de Γ sup´erieur ou ´egale a` M

150

2 Probl`emes inverses elliptiques

telle courbe, nous lui associons un h-tube, not´ee γh , comme ´etant l’ensemble des points z ∈ Ω tels que dist(z, γ) < h. Un point est dit h-accessible s’il appartient `a la fermeture d’un h-tube contenu dans Ω \ (σ ∪ σ ). L’ensemble des points h-accessibles est not´e Gh . Nous appliquons le Th´eor`eme 2.91 pour l’int´erieur des domaines γh pour avoir, avec ω = ω(Σ ∩ ∂γh , γh , LA ), √ |Φ(z)| ≤ C 1−ω(z) ( 2)ω(z) , z ∈ γh et donc

ω(z) ) , z ∈ γh . C Un point technique important, qui est essentiellement fond´e sur l’in´egalit´e de Harnack, consiste `a trouver une minoration de ω (voir la preuve du lemme 3.7 de [Al1]). Plus pr´ecis´ement, nous obtenons : si h0 > 0, il existe D, qui ne d´epend que des donn´ees et de h0 , telle que pour tout 0 < h ≤ h0 , |Z(z)| ≤ C(

|Z(z)| ≤ C0 (

exp(− D2 ) h ) , z ∈ Gh . C

(2.252)

Nous allons ´etendre cette estimation a` Ω. Si β est la constante de H¨older de v et v , nous posons D η(h) = hβ + ( )exp(− h2 ) . (2.253) C Notons c = v|σ et c = v|σ et ﬁxons 0 < h < h0 = L4 . Supposons dans un premier temps que Gh = G, o` u G est la composante connexe de Ω \ (σ ∪ σ ) contenant Γ . Alors, il existe (d’apr`es le Lemme 3.6 de [Al1]) w ∈ Gh ∩ σ et w ∈ Gh ∩ σ tels que |w − w | ≤ 2h. Nous avons

|c − c | = |v(w) − v (w )| ≤ |v(w) − v(w )| + |Z(w )|. Ceci et (2.252) impliquent |c − c | ≤ Cη(h).

(2.254)

Soit Qh = Ω \ Gh . Comme v − c v´eriﬁe la mˆeme ´equation que v sur Qh \ σ, le principe du maximum nous donne maxQh |v − c | ≤ maxσ |v − c | + max∂Qh |v − c | ≤ |c − c | + max∂Qh |v − c |. Notons que ∂Qh ⊂ ∂Gh et que pour tout z ∈ ∂Qh , soit dist(z, σ) ≤ h, ou bien dist(z, σ ) ≤ h (car sinon z serait un point de l’int´erieur de Gh ). Dans chacun des cas, nous avons |v(z) − c | ≤ C(h0 )hβ + |c − c |, pour tout z ∈ ∂Qh . Nous en d´eduisons

2.6 D´etection de ﬁssures

151

max |v − c | ≤ C(h0 )hβ + 2|c − c |. Qh

De mani`ere similaire, nous avons aussi max |v − c| ≤ C(h0 )hβ + 2|c − c |. Qh

Par cons´equence

max |Z| ≤ 2C(h0 )hβ + 5|c − c |. Qh

Cette estimation et (2.254) entrainent max |Z| ≤ Cη(h).

(2.255)

Ω

Cette estimation est encore valable quand Gh = G. En eﬀet, si Q = Ω \ G est vide, alors (2.255) est une cons´equence imm´ediate de (2.252). Sinon, Q est non vide et dans ce cas ∂Q est compos´e d’arcs dans σ et σ . Puisque σ et σ sont simples, il existe au moins z0 ∈ σ ∩ σ ∩ ∂Q. De la mˆeme mani`ere que nous l’avons fait plus haut avec v et v , nous montrons |c − c | ≤ Cη(h). De mˆeme, comme ci-dessus, nous d´eduisons de cette estimation max |v − c|, max |v − c | ≤ Cη(h).

∂Q∩σ

∂Q∩σ

En utilisant le fait que v − c (resp. v − c ) v´eriﬁe la mˆeme ´equation que v (resp. v) sur Q \ σ (resp. Q \ σ), le principe du maximum et (2.255), nous trouvons maxΩ |Z| ≤ maxG |Z| + maxQ |Z| ≤ maxG |Z| + maxQ |v − c| + maxQ |v − c | + |c − c | ≤ Cη(h). Pour terminer nous allons minimiser dans η(h) dans (2.255) par rapport a` h. Nous posons 2D 12 h() = . ln ln C Si est assez petit, 0 < < 1 , h() ≤ h0 . Nous obtenons, en faisant h = h() dans (2.255), max |Z| ≤ C1 Ω

ln ln

β C 12 C − 2 . + exp − ln

Or le second terme du membre de droite est d’ordre plus elev´e quand → 0. D’o` u

152

2 Probl`emes inverses elliptiques β C − 2 max |Z| ≤ C2 ln ln , Ω

ce qui termine la preuve.

Ce sous-paragraphe est pr´epar´e `a partir de [AR]. Le lecteur trouvera une g´en´eralisation aux cas d’un nombre ﬁni de ﬁssures dans la th`ese de L. Rondi [Ro1]. Le module de continuit´e, qui est de type log-log, dans le Th´eor`eme 2.92 n’est pas optimal dans le cas d’une ﬁssure qui a une r´egularit´e meilleure que Lipschitz. L. Rondi a ´etabli dans [Ro2] un r´esultat de stabilit´e avec un module de continuit´e de type log, pour une ﬁssure (ou un nombre ﬁni de ﬁssures) de classe C 1,α . 2.6.3 Points conductifs et points de capacit´ e Soit Ω un ouvert born´e de Rn . Comme dans [BB], pour F ⊂ Ω, nous d´eﬁnissons 1 Hcond,F (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω); il existe > 0, ∇u = 0 p.p. dans F ∩ Ω}

H 1 (Ω)

,

o` u, pour > 0, F = ∪x∈F B (x). Soit U un ouvert de Ω. Nous dirons que x ∈ ∂U est conductif pour U si 1 pour tout r > 0 et pour toute fonction ϕ ∈ C(U ) ∩ Hcond,∂U∩B (Ω) r (x) lim inf

y∈∂U,y→x

|ϕ(y) − ϕ(x)| = 0. |y − x|

Lemme 2.101. Soient K un compact de Ω tel que Ω \ K est connexe. Alors pour tout x ∈ ∂(Ω \ K), pour lequel il existe un continuum de diam`etre positif Ux tel que x ∈ Ux ⊂ K, est un point conductif pour Ω \ K. Ce lemme nous dit qu’en particulier, si K est un continuum de diam`etre positif alors tout point de ∂(Ω \ K) est conductif. Aussi, si K est un compact ayant un nombre ﬁni de composantes connexes, alors Ω \ K est conductif quasi-partout en les points de sa fronti`ere (`a l’exeption de ces points isol´es). Nous donnons l’exemple d’un point non conductif quand Ω = [−2, 2] × [−2, 2]. Si 1 1 × 0, , K = {(0, 0)} ∪ ∪n≥1 n n alors (0, 0) n’est pas un point conductif pour Ω \ K (voir [BB] pour une preuve). Rappelons que la capacit´e d’un ensemble E ⊂ R2 est donn´ee par |∇ϕ|2 + |u|2 ; ϕ ∈ UE }, cap(E) = inf{ R2

2.6 D´etection de ﬁssures

153

o` u UE est l’ensemble de toutes les fonctions ϕ ∈ D(R2 ), ϕ ≥ 1 dans un voisinge de E. Soit K un compact de Ω. Un point x ∈ K est un point de capacit´e pour K si pour tout r > 0, cap(Br (x) ∩ K) > 0. Nous avons Lemme 2.102. K ∗ , l’ensemble des points de capcit´es d’un compact K, est compact et cap(K \ K ∗ ) = 0. Il existe des points conductifs qui ne sont pas contenus dans un continuum de capacit´e positive. En voici un exemple : soient Ω = [−2, 2] × [−2, 2] et K = {(0, 0)} ∪

1 , ∪n≥1 {bn } × 0, n

1 o` u, bn = k≥n k2 (k+1) emontrer (voir [BB] pour les d´etails) 2 . Nous pouvons d´ que (0, 0) est un point conductif de Ω \ K qui n’est pas contenu dans un continuum de K de capacit´e positive. 2.6.4 Unicit´ e de la d´ etermination de ﬁssures irr´ eguli` eres Soit Ω un ouvert born´e de R2 . Nous posons L1,2 (Ω) = {ϕ ∈ L2 (Ω); ∇ϕ ∈ L2 (Ω)2 } et nous introduisons la relation d’´equivalence |∇(ϕ − φ)|2 dx = 0. ϕRφ si Ω

Nous d´eﬁnissons l’espace de Deny-Lions L1,2 (Ω) = L1,2 (Ω)/R. C’est un espace de Hilbert pour le produit scalaire ∇ϕ · ∇φdx. (ϕ, φ) = Ω

Si Ω est un ouvert de fronti`ere lipschitzienne, L1,2 (Ω) = H 1 (Ω). Mais il peut arriver, pour un Ω non r´egulier, que H 1 (Ω) soit inclus strictement dans L1,2 (Ω). Pour K ⊂ Ω compact, nous consid´erons le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ Δu = 0, dans Ω \ K, ∂ν u = 0, sur ∂K, ⎩ ∂ν u = ψ, sur Γ = ∂Ω, o` u ψ ∈ L2 (Γ ) v´eriﬁe Ω ψ = 0.

(2.256)

154

2 Probl`emes inverses elliptiques

De mani`ere tout a` fait standard (formulation variationnelle et application du th´eor`eme de Lax-Milgram), il n’est diﬃcile de d´emontrer que (2.257) admet une unique solution uψ,K ∈ L1,2 (Ω \ K), qui est solution du probl`eme de minimisation 2 |∇ϕ| dx − ϕψ . min 1,2 ϕ∈L

(Ω\K)

Ω

Γ

D’apr`es une version un peu plus g´en´eral du Th´eor`eme 2.87 (voir [BrV] ou [ADiV]), uψ,K admet une fonction courant associ´ee. Ceci et la Proposition 2.103. ∇uψ,K χΩ\K → ∇uψ,K χΩ\K dans L2 (Ω)2 quand → 0. impliquent que uψ,K admet une fonction courant associ´ee (qui est en l’occurrence une conjugu´ee harmonique), que nous notons vΨ,K (une d´emontration de la Proposition 2.103 est donn´ee dans [BB]), avec Ψ une primitive de ψ, consid´er´ee comme fonction de l’abscisse curviligne. Nous laissons au lecteur le soin de v´eriﬁer que vΨ,K est solution du probl`eme de minimisation min{ |∇ϕ|2 ; ϕ ∈ Hcond,K (Ω), ϕ = Ψ sur Γ }. Ω

Nous ´enon¸cons maintenant le r´esultat principal de ce sous-paragraphe. Nous supposons que ψ1 et ψ2 sont comme dans le sous-paragraphe 2.6.2 : nous d´ecomposons Γ en trois arcs simples γ0 , γ1 et γ2 , dont les intersections, deux `a deux, des int´erieurs sont vides. Fixons trois fonctions η0 , η1 et η2 dans L2 (Γ ) telles que, pour j = 0, 1, 2, ηj ≥ 0, supp(ηj ) ⊂ γj et posons ψ1 = η0 − η1 , ψ2 = η0 − η2 . Nous avons donc

ψj = 0, j = 1, 2. ∂Ω

Pour j = 1, 2, Ψj d´esignera une primitive de ψj par rapport a` la variable curviligne (noter que Ψ1 et Ψ2 ne sont d´eﬁnies qu’` a une constante additive pr`es). Dans ce qui suit, pour simpliﬁer les notations, nous posons ˜i = uψi ,K˜ , vi = vΨi ,K et v˜i = vΨi ,K˜ i = 1, 2. ui = uψi ,K , u ˜ deux compacts de Ω tels que Ω \K et Ω \ K ˜ Th´ eor` eme 2.104. Soient K et K sont connexes. Supposons que uψi ,K = uψi ,K˜ sur Γ , j = 1, 2 et que Ω \ K, ˜ sont conductifs q.p. sur leur fronti`ere. Alors K = K ˜ q.p.. Ω\K

2.6 D´etection de ﬁssures

155

Preuve. Nous raisonnons par l’absurde. Plus pr´ecis´ement, nous montons que ˜ alors il existe deux r´eels α et β, avec α2 + β 2 = 1, tels que f = si K = K α(u1 + iv1 ) + β(u2 + iv2 ) admet un point critique g´eom´etrique dans Ω \ K. Mais vu les hypoth`eses faites sur les ψi , ceci est en contradiction avec le fait que f n’a pas de points critiques dans Ω \ K 5 . ˜ telle que ∂G ⊃ ∂Ω. D’apr`es Soit G la composante connexe de Ω \ (K ∪ K) le Corollaine 1.38 (l’unicit´e du prolongement), uj = u ˜j , j = 1, 2 sur G. ˜ Maintenant, la diﬃcult´e est de propager l’information de G `a Ω \ (K ∪ K). ˜ par exemple Ω \ K ⊂ Ω \ K. ˜ Il existe alors Supposons que Ω \ K = Ω \ K, ˜ ˜ x ∈ Ω \ K tel que x ∈ Ω \ K, c’est-`a-dire x ∈ K et x ∈ Ω \ K. Comme Ω \ K est connexe et Γ est r´egulier, il existe une courbe γ : [0, 1] → Ω \ K telle que u γ(0) = x, γ((0, 1)) ⊂ Ω et γ(1) ∈ Γ . Soit x0 = γ(t0 ), o` ˜ t0 = sup{t ∈ [0, 1]; γ(t) ∈ K}. ˜ ∩ ∂G. Puisque x0 ∈ K, il existe Br (x0 ) telle que Br (x0 ) ∩ Clairement x0 ∈ ∂ K K = ∅. Pour poursuivre la preuve, nous avons besoin du Lemme 2.105. Pour tout δ > 0, G a un point conductif sur ∂G ∩ ∂Bδ (x0 ). Nous donnons la preuve de ce lemme apr`es celle du Th´eor`eme 2.104. Soit x∗ ∈ ∂G ∩ Br (x0 ) un point conductif donn´e par le dernier lemme. Quitte `a faire une translation par une constante, nous pouvons supposer que 1 v1 | + |˜ v2 | appartient a` Hcond, uj (x0 ) = vj (x0 ) = 0, j = 1, 2. La fonction |˜ ˜ (Ω) K et est ´egale a` |v1 |+|v2 | dans Ω. Cette derni`ere ´etant continue dans un voisinage de x∗ , nous pouvons appliquer la propri´et´e de conductivit´e de |v1 | + |v2 | en x∗ . Il existe donc (xn ) une suite de points de ∂G qui converge vers x∗ et lim

|v1 (xn )| + |v2 (xn )| = 0. |xn − x∗ |

lim

vj (xn ) = 0, j = 1, 2. |xn − x∗ |

n→+∞

Par suite, n→+∞

(2.257)

Pour chaque n, nous choisissons αn et βn telles que α2n + βn2 = 1 et αn u1 (xn ) + βn u2 (xn ) = 0. 5

(2.258)

La d´emonstration de ce fait est comme suit : on montre d’abord que f n’a pas de points critiques sur Ω \ K . Ensuite un r´esultat de continuit´e des points critiques (Proposition 2.6 de [AM2]) permet d’aﬃrmer que f n’a pas de points critiques dans Ω \ K.

156

2 Probl`emes inverses elliptiques

En extrayant si n´ecessaire une sous-suite, nous supposons que αn et βn convergent respectivement vers α∗ et β ∗ . Posons fn = αn (u1 + iv1 ) + βn (u2 + iv2 ) et

f ∗ = α∗ (u1 + iv1 ) + β ∗ (u2 + iv2 ).

De (2.257) et (2.258), nous tirons fn (xn ) − fn (x∗ ) = 0, j = 1, 2. n→+∞ |xn − x∗ | lim

Il en r´esulte limn→+∞

f ∗ (xn )−f ∗ (x∗ ) |xn −x∗ |

= limn→+∞

fn (xn )−fn (x∗ ) |xn −x∗ |

1 (x = − limn→+∞ (αn − α∗ ) u1 (x|xnn)+iv −x∗ | 2 (x − limn→+∞ (βn − β ∗ ) u2 (x|xnn)+iv −x∗ |

∗

)

∗

)

= 0,

o` u nous avons utilis´e lim (αn − α∗ )

n→+∞

∗ u1 (xn ) + iv1 (x∗ ) ∗ u2 (xn ) + iv2 (x ) = lim =0 (β − β ) n n→+∞ |xn − x∗ | |xn − x∗ |

car uj + ivj , j = 1, 2, est holomorphe dans un voisinage de x∗ (noter que (uj + ivj )(x0 ) = 0, j = 1, 2). En d’autres termes, f ∗ admet en x∗ un point critique g´eom´etrique, ce qui termine la preuve. Preuve du Lemme 2.105. Pour > 0, soit V un ouvert polygonal tel que ˜ 2 ⊂ V ⊂ K ˜ . K Soit U la composante connexe de V contenant x0 . Choisissons alors une suite (n ) convergeant vers 0 telle que n+1 < 2n . Donc Un+1 ⊂ Un . Nous consid´erons s´epar´ement les cas (a) diam(U ) → 0 et (b) diam(U ) → η > 0. Pour le cas (a), nous avons Un ⊂ B r2 pour n assez grand. Soit An la composante connexe de Ω \ U n telle que Γ ⊂ ∂An , et Pn = ∂An \ Γ . Pn est donc une courbe de Jordan polygonale qui s´epare Ω en deux r´egions. Notons ˜ car Pn ∩ K = ∅ (Pn ⊂ B r (x0 )) et Pn ∩ K ˜ = ∅ que Pn ⊂ Ω \ (K ∪ K) 2 ˜ = n ). Comme Pn intersecte γ et que γ est dans (Pn ⊂ ∂Un et d(∂Un , K) 2 G, la connexit´e de G implique que Pn est enti`erement dans G. Par suite, pour ρ assez petit, nous avons ˜ ∩ Bρ (x0 ) G ∩ Bρ (x0 ) = (Ω \ K)

2.6 D´etection de ﬁssures

157

et ˜ ∩ Bρ (x0 ). ∂G ∩ Bρ (x0 ) = ∂(Ω \ K) Si x0 est lui mˆeme un point conductif, la preuve est termin´ee. Sinon, x0 ´etant un point de capacit´e pour ∂G (voir [Bu]) et puisque l’ensemble des points de ∂G qui ne sont pas conductifs est de capacit´e z´ero par hypoth`ese, ∂G∩Bρ (x0 ) ˜ contient un point conductif (noter que, localement, ∂G co¨ıncide avec ∂(Ω\K)). u C est un Pour le cas (b), puisque diam(U ) → η > 0, ∩n Un = C, o` ˜ et diam(C) = η. Pour 0 < ρ < η , nous avons continuum tel que x0 ∈ C ⊂ K 2 alors C ∩ ∂Bρ (x0 ) = ∅. Soit de nouveau An la composante connexe de Ω \ U n telle que ∂Ω ⊂ ∂An , et Pn = ∂An \ ∂Ω. Donc Pn est une courbe de jordan ˜ = ∅. Soit zn = γ(tn ), avec polygonale v´eriﬁant Pn ∩ K tn = min{t ∈ [0, 1]; γ(t) ∈ Pn }. La suite (zn ) est bien d´eﬁnie et converge vers x0 . ˜ = ∅ et Comme l’int´erieur de Pn contient le continuum C, que Pn ∩ K que (Pn ∩ Bρ (x0 )) ∩ K = ∅, il existe Fn , une composante connexe de Pn , passant par zn , contenue dans G et qui coupe ∂Bρ (x0 ) au moins en deux points. Au sens de la distance de Hausdorﬀ, Fn converge vers un continuum F qui contient x0 et est contenue dans la fronti`ere de G. D’apr`es le Lemme 2.101, x0 est un point conductif pour G.

3 Probl` emes inverses paraboliques

3.1 Identiﬁcation d’un coeﬃcient ou d’une nonlin´ earit´ e: m´ ethodes fond´ ees sur le principe du maximum 3.1.1 Identiﬁcation d’un coeﬃcient : existence Nous consid´erons le probl`eme inverse qui consiste `a d´eterminer le coeﬃcient de plus bas degr´e, d’une ´equation parabolique, `a partir de la donn´ee ﬁnale. Soit Ω un domaine born´e de Rn de classe C 2,α , 0 < α < 1, et de fronti`ere Γ . Notons Q = Ω × (0, T ),

Σ0 = Ω × {0},

Σ = Γ × [0, T ],

o` u T > 0 est un r´eel donn´e. α

α

Nous nous donnons g ∈ C 2+α,1+ 2 (Σ) telle que ∂t g ∈ C 2+α,1+ 2 (Σ), g(·, T ) > 0 et g(., 0) = ∂t g(., 0) = ∂t2 g(·, 0) = 0, Nous introduisons le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu + q(x)u = 0, u = 0, ⎩ u = g,

∂t g ≥ 0.

dans Q, sur Σ0 , sur Σ.

(3.1)

(3.2)

D’apr`es le Th´eor`eme 1.40, nous savons que si q ∈ C α (Ω) alors le probl`eme α aux limites (3.2) a une unique solution u = u(q) ∈ C 2+α,1+ 2 (Q). D’autre part, comme ∂t u(q) est la solution de (3.2) avec ∂t g `a la place de g, ∂t u(q) est α aussi dans C 2+α,1+ 2 (Q), de nouveau par le Th´eor`eme 1.40. Soit ΣT = Γ × {T }. Dans ce sous-paragraphe nous montrons le M. Choulli, Une Introduction aux Probl` emes Invereses Elliptiques et Paraboliques, Math´ ematiques et Applications 65. DOI: 10.1007/978-3-642-02460-3 3, c Springer -Verlag Berlin Heidelberg 2009

160

3 Probl`emes inverses paraboliques

Th´ eor` eme 3.1. Soit h ∈ C 2+α (Ω) une fonction telle que h > 0 dans Ω,

h = g sur ΣT ,

−Δh + ∂t u(0)(., T ) ≤ 0.

Alors il existe q ∈ C α (Ω) pour lequel u(q)(., T ) = h. Preuve. Nous d´eﬁnissons deux suites (q k ) et (uk ) comme suit q 0 = 0,

uk = u(q k−1 ),

qk =

Δh − ∂t uk (., T ) , k ≥ 1. h

Soit v k = uk+1 − uk , k ≥ 0. Nous v´eriﬁons sans peine que v k est la solution du probl`eme aux limites ∂t v − Δv + q k v = (q k−1 − q k )uk , dans Q, v = 0, sur Σ0 ∪ Σ. Par le Corollaire 1.46 (principe du maximum), uk ≥ 0 et ∂t uk ≥ 0. Toujours d’apr`es le Corollaire 1.46 (principe du maximum), nous utilisons le fait que q 0 − q 1 = −q 1 ≤ 0 pour d´eduire que v 0 ≤ 0 et ∂t v 0 ≤ 0. Il s’ensuit que q 1 − q 2 ≤ 0. Nous r´ep´etons cet argument pour conclure, par r´ecurrence sur n, que les suites (uk ), (∂t uk ) sont d´ecroissantes et que la suite (q k ) est croissante. Il s’ensuit que les suites (uk ), (∂t uk ) et (q k ) sont born´ees dans L∞ (Q). α

Soit G ∈ C 2+α,1+ 2 (Q) la solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t G − ΔG = 0, dans Q, G = 0, sur Σ0 , ⎩ G = g, sur Σ. Alors il est facile de voir que uk = G + wk , o` u wk est la solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t w − Δw = −q k−1 uk , dans Q, w = 0, sur Σ0 , ⎩ w = 0, sur Σ. n Nous posons p = 1−α . Comme les suites (q k−1 uk ) et (q k−1 ∂t uk ) sont p born´ees dans L (Q), les suites (wk ) et (∂t wk ) sont born´ees dans W 2,p (Q) (voir le Th´eor`eme 1.44). Donc la suite (uk ) est aussi born´ee dans W 2,p (Q). ument dans C 1,α (Q) (voir le Notre choix de p fait que W 2,p (Q) s’injecte continˆ k Th`eor`eme 1.16). Nous en d´eduisons que (u ) reste born´ee dans C 1,α (Q). En particulier, (∂t uk ) est born´ee dans C α (Q) et donc (q k ) est born´ee dans C α (Ω). α Ceci et le Th´eor`eme 1.40 impliquent que (uk ) est born´ee dans C 2+α,1+ 2 (Q). α 0 2+α,1+ α 2,1 2 (Q) !→ C D’autre part, les injections C (Ω) !→ C (Ω) et C (Q) ´etant compactes1 , les suites (q k ) et (uk ) ´etant monotones, 1

Ceci se d´emontre facilement en utilisant le th´eor`eme de compacit´e d’Ascoli.

3.1 M´ethodes fond´ees sur le principe du maximum

q k → q dans C α (Ω),

161

α

uk → u dans C 2+α,1+ 2 (Q).

Par passage `a la limite dans (3.2), nous trouvons que u = u(q), et par suite qk =

Δh − ∂t u(., T ) Δh − ∂t uk (., T ) → h h Δh − ∂t u(q)(., T ) = q. = h

(3.3)

Nous utilisons ensuite le fait que ∂t u(q)(., T ) = Δu(q)(., T ) − qu(q)(., T ) et la derni`ere ´equation de (3.3) pour d´eduire que y = u(q)(., T ) − h satisfait `a −Δy + qy = 0 dans Ω. Mais y = 0 sur Γ (r´esulte de la condition de compatibilit´e h = g sur ΣT ) et 0 n’est pas une valeur propre de −Δ + q avec une condition de Dirichlet sur le bord (notons que q est positive). D’o` u y est identiquement nulle. C’est-` a-dire u(q)(., T ) = h. Le Th´eor`eme 3.1 est dˆ u a` V. Isakov [Isa1]. 3.1.2 Unicit´ e de la d´ etermination d’un terme nonlin´ eaire Nous ´etudions le probl`eme inverse dans lequel nous essayons de d´eterminer un terme nonlin´eaire, dans une ´equation parabolique, `a partir d’une donn´ee fronti`ere. Dans ce sous-paragraphe, Ω est un domaine de Rn de classe C 1 au moins et de fronti`ere Γ . Soit T > 0 est un r´eel donn´e et posons D = Ω × (0, T ],

Σ0 = Ω × {0} Σ = Γ × [0, T ].

Soit ϕ ∈ C(Γ × [0, T ]) positive, non identiquement nulle et v´eriﬁant ϕ(·, 0) = 0. Pour 0 ≤ f ∈ C(R), nous notons par uf ∈ C(D) ∩ C 2,1 (D) la solution, quand elle existe, de l’´equation ⎧ ⎨ Δu − ∂t u = f (u), dans D, u = 0, sur Σ0 , ⎩ u = ϕ, sur Σ. Nous nous proposons de d´emontrer le r´esultat suivant : Th´ eor` eme 3.2. Nous posons M = max ϕ Σ

et nous supposons que 0 ≤ f, g ∈ C 1 (R) sont telles que f (0) = g(0) = 0 et uf , ug existent. Si f − g ne change de signe qu’un nombre ﬁni de fois sur [0, M ] et si ∂ν uf = ∂ν ug sur Σ alors f = g sur [0, M ].

162

3 Probl`emes inverses paraboliques

Nous montrons d’abord un lemme. Lemme 3.3. Soit 0 ≤ f ∈ C 1 (R) telle que f (0) = 0 et uf existe. Alors (i) 0 ≤ uf , (ii) Pour tout t > 0, maxΩ×[0,t] uf = maxΓ ×[0,t] ϕ, (iii) Pour tout 0 < m ≤ M , il existe Tm , 0 < Tm ≤ T tel que uf (Ω×[0, Tm ]) = [0, m]. Preuve. (i) Nous ´ecrivons Δuf − ∂t uf = f (uf ) sous la forme Δuf − ∂t uf + cuf = 0, o` u

c(x, t) = −

1

f (τ uf (x, t))dτ.

0

Soit λ une constante r´eelle telle que λ + c ≤ 0. Alors v = eλt uf v´eriﬁe Δv − ∂t v + (λ + c)v = 0 dans Q. Nous appliquons le Corollaire 1.46 (principe du maximum) pour avoir min v = min v. D

Σ∪Σ0

Il s’ensuit uf ≥ 0. (ii) Comme Δuf − ∂t uf = f (uf ) ≥ 0 sur Ω × [0, t], nous avons max uf = max ϕ, Ω×[0,t]

Γ ×[0,t]

par le principe du maximum faible. (iii) Soit 0 < m ≤ M . Puisque t → maxΓ ×[0,t] ϕ est continue, il existe Tm tel que maxΓ ×[0,Tm ] ϕ = m. Or uf (Ω × [0, Tm ]) est un intervalle contenant 0. D’o` u uf (Ω × [0, Tm ]) = [0, m] par (ii). Preuve du Th´ eor` eme 3.2. Soient 0 ≤ f, g ∈ C 1 (R) telles que f (0) = g(0) = 0, uf , ug existent, f − g ne change de signe qu’un nombre ﬁni de fois sur [0, M ] et ∂ν uf = ∂ν ug sur Σ. Faisons alors l’hypoth`ese que f − g = 0 sur [0, M ]. Il existe alors 0 < m ≤ M tel que h = f − g a un signe constant sur [0, m] et h non identiquement nulle sur [0, m]. Quitte a` intervertir les rˆoles de f et g, nous supposons que h est positive sur [0, m]. Notons u = uf − ug . Nous v´eriﬁons ais´ement que u est solution de l’´equation Δu − ∂t u + cu = F, dans D, u = 0, sur Σ ∪ Σ0 ,

3.2 m´ethode d’in´egalit´es de Carleman

163

o` u F (x, t) = h(ug (x, t)) et 1 c(x, t) = − f (ug (x, t) + τ [uf (x, t) − ug (x, t)])dτ. 0

Comme u = 0 sur Σ ∪ Σ0 , nous pouvons toujours supposer que c ≤ 0 (pour λ une constante telle que λ + c ≤ 0, v = eλt u v´eriﬁe une ´equation similaire `a celle satisfaite par u, ce qui permet de se ramener au cas c ≤ 0 et max u ≥ 0). D’apr`es le lemme pr´ec´edent, il existe 0 < Tm ≤ T tel que ug (Ω ×[0, Tm ]) = [0, m]. Par suite, F est positive et non identiquement ´egale a` 0 sur Ω × [0, Tm]. En particulier, u est non constante sur Ω × [0, Tm ]. Notons

T ∗ = sup{T0 ∈ [0, Tm ]; u ≡ 0 sur Ω × [0, T0 ]}. ∗

Clairement, T < Tm puisque u est non constante sur Ω × [0, Tm ] et par continuit´e de u, u = 0 sur Ω × [0, T ∗]. Nous aﬃrmons que u ne peut pas atteindre son maximum, ´egal a` M ∗ , sur Ω × [T ∗ , Tm ] en un point de Ω×]T ∗ , Tm ]. En eﬀet, s’il existait (x0 , t0 ) ∈ Ω×]T ∗ , Tm ] tel que u(x0 , t0 ) = M ∗ , nous aurions u constante sur Ω × [T ∗ , t0 ] par le Th´eor`eme 1.47 (principe du maximum fort). Donc u serait nulle sur Ω × [T ∗ , t0 ] puisque u(·, T ∗ ) = 0. Mais ceci contredit la d´eﬁnition de T ∗ . Nous en d´eduisons que u < 0 sur Ω×]T ∗ , Tm ]. Or u = 0 sur Σ ∪ Σ0 . Donc u atteint son maximum sur Ω ×[T ∗ , Tm ] en tout point de Γ ×]T ∗, Tm ]. Par suite, ∂ν u > 0 sur Γ ×]T ∗ , Tm ] par la Proposition 1.48. Ceci est en contradiction avec l’hypoth`ese de d´epart, `a savoir ∂ν u = 0 sur Σ. Le r´esultat de ce paragraphe provient de M. Choulli et A. Zeghal [CZ] (voir aussi P. DuChateau et W. Rundell [DR], A. Lorenzi [Lo] et N. V. Muzylev [Mu] pour des r´esultats voisins). Des r´esultats r´ecents concernant la stabilit´e pour le probl`eme inverse que nous venons d’´etudier, ont ´et´e ´etablis par M. Choulli et M. Yamamoto [CY2], M. Choulli, E. Ouhabaz et M. Yamamoto [COY]. Nous exposerons les r´esultats de stabilit´e de [COY] au paragraphe 3.7. Des arguments similaires `a ceux que nous avons d´evelopp´e ici permettent d’obtenir un r´esultat d’unicit´e pour un probl`eme inverse qui consiste `a la determination d’une nonlin´earit´e fronti`ere dans une ´equation parabolique (voir M. Choulli [Ch4]).

3.2 D´ etermination d’un coeﬃcient ou d’une source : m´ ethode d’in´ egalit´ es de Carleman 3.2.1 In´ egalit´ e de Carleman Dans ce sous-paragraphe, Ω est un ouvert born´e de Rn de classe C 4 et de fronti`ere Γ 2 . Pour T > 0 donn´e, nous posons 2

Notre hypoth`ese Ω de classe C 4 n’est pas optimale. En fait la r´egularit´e C 2 suﬃt (voir [Fe] par exemple).

164

3 Probl`emes inverses paraboliques

Q = Ω × (0, T ),

Σ = Γ × (0, T ).

Soient g, P0 et P d´eﬁnies comme ci-dessous : g(t) =

1 , t(T − t)

P0 u = ∂t u − Δu,

P u = P0 u + A · ∇u + bu,

avec A ∈ L∞ (Ω)n et b ∈ L∞ (Ω). Soit γ une partie ferm´ee de Γ , d’int´erieur non vide. Nous supposons qu’il existe une fonction ψ ∈ C 4 (Rn ) v´eriﬁant (i) ψ(x) > 0 dans Ω, (ii) il existe α > 0 tel que |∇ψ(x)| ≥ α, pour tout x ∈ Ω, (iii) ∂ν ψ ≤ 0 sur Γ \γ. Pour la preuve de l’existence d’une telle fonction, nous renvoyons a` [FI] (voir aussi [CIK]). Nous introduisons alors la fonction ϕ = ϕ(x, t) = g(t)(eρψ(x) − e2ρψ∞ ), ρ > 0.

(3.4)

Nous ´enon¸cons le r´esultat que nous nous proposons de d´emontrer. Th´ eor` eme 3.4. Il existe trois constantes positives C, ρ et λ0 , qui d´ependent de α, Ω, γ, T , AL∞ (Ω)n et bL∞ (Ω) , telles que e2λϕ (λg)−1 (Δu)2 + (λg)−1 (∂t u)2 + (λg)|∇u|2 + (λg)3 u2 dxdt Q e2λϕ (P u)2 dxdt + e2λϕ (λg)(∂ν u)2 dσdt , ≤C Q

γ×(0,T )

pour λ ≥ λ0 et u ∈ C 2,1 (Q), u = 0 sur Σ. Preuve. Vu l’in´egalit´e 1 2λϕ 2 2λϕ 2 e (P u) ≥ e (P0 u) − K( e2λϕ [|∇u|2 + u2 ], 2 Q Q Q o` u K est une constante qui d´epend de AL∞ (Ω)n et bL∞ (Ω) , et puisque (λg)p − K ≥

(λg)p p = 1, 3, 2

pour λ assez grand, il suﬃt de d´emontrer le th´eor`eme avec P0 `a la place de P. Dans toute la d´emonstration, les Ci d´esignent des constantes g´en´eriques qui ne d´ependent que de Ω, α, γ et T .

3.2 m´ethode d’in´egalit´es de Carleman

165

Soit u ∈ C 2,1 (Q), u = 0 sur Σ. Si v = eλϕ u alors e2λϕ (P0 u)2 = [eλϕ P0 e−λϕ v]2 . Ceci sugg`ere d’introduire l’op´erateur Lλ = eλϕ P0 e−λϕ . Nous v´eriﬁons sans peine que Lλ = ∂t − Δ + 2λ∇ϕ · ∇ + λΔϕ − λ∂t ϕ − λ2 |∇ϕ|2 et que les parties auto-adjointe et anti-adjointe de Lλ sont respectivement 2 2 L+ λ = −Δ − λ∂t ϕ − λ |∇ϕ| ,

L− λ = ∂t + 2λ∇ϕ · ∇ + λΔϕ.

En utilisant le fait que v = 0 sur ∂Q et en faisant des int´egrations par parties, nous trouvons, apr`es des calculs longs mais simples, − L+ vL vdxdt = 2λ H(ϕ)∇v · ∇vdxdt − λ ∂ν ϕ(∂ν v)2 dσdt λ λ Q Q Σ + λ3 (∇(|∇ϕ|2 ) · ∇ϕ)v 2 dxdt Q ∂t (|∇ϕ|2 )v 2 dxdt + λ2 Q (3.5) + λ [∂t2 ϕ − Δ2 ϕ]v 2 dxdt. Q

Nous rappelons ici que H(ϕ) d´esigne la matrice hessienne de ϕ. Vu les propri´et´es de ψ, il est ais´e de v´eriﬁer qu’il existe une constante positive ρ0 , ne d´ependant que de ψ, telle que ∇(|∇ϕ|2 ) · ∇ϕ ≥ C0 ρ|∇ϕ|3 , ρ ≥ ρ0 , H(ϕ)ξ · ξ ≥ −C1 |∇ϕ||ξ|2 , ξ ∈ Rn . Ces deux estimations, combin´ees avec (3.5), entrainent + − 2 Lλ vLλ vdxdt ≥ −2λC1 |∇ϕ||∇v| dxdt − λ ∂ν ϕ(∂ν v)2 dσdt Q Q Σ 3 |∇ϕ|3 v 2 dxdt + R0 , + C0 λ ρ Q

avec 2

2

R0 = λ

[∂t2 ϕ − Δ2 ϕ]v 2 .

2

∂t (|∇ϕ| )v + λ Q

Or ∂ν ϕ ≤ 0 sur (Γ \γ) × (0, T ). D’o` u

Q

166

3 Probl`emes inverses paraboliques

Q

− L+ λ vLλ v

|∂ν ϕ|(∂ν v) ≥ −2λC1

|∇ϕ||∇v|2

2

+λ γ×(0,T )

Q

|∇ϕ|3 v 2 + R0 .

3

+ C0 λ ρ

(3.6)

Q

• Nous appliquons l’in´egalit´e convexit´e ´el´ementaire (X + Y + Z)2 ≤ 3X 2 + a 3Y 2 + 3Z 2 ` 2 2 Δv = L+ λ v − λ |∇ϕ| v − λ∂t ϕv pour avoir 2 4 4 2 2 2 2 (Δv)2 ≤ 3(L+ λ v) + 3λ |∇ϕ| v + 3λ (∂t ϕ) v .

Par suite, (λ|∇ϕ|)−1 (Δv)2 ≤

3 (L+ v)2 + 3λ3 |∇ϕ|3 v 2 + 3λ|∇ϕ|−1 (∂t ϕ)2 v 2 αλ λ

et donc 3 + 2 −1 2 3 (λ|∇ϕ|) (Δv) dxdt ≤ (Lλ v) dxdt + 3λ |∇ϕ|3 v 2 dxdt + R1 . αλ Q Q Q (3.7) Ici R1 = 3λ|∇ϕ|−1 (∂t ϕ)2 v 2 dxdt. Q

• Deux int´egrations par parties successives nous fournissent √ ρ √ √ λ ρλ |∇ϕ||∇v|2 dxdt = − ρλ |∇ϕ|vΔvdxdt + Δ(|∇ϕ|)v 2 dxdt. 2 Q Q Q Mais 1 3 √ √ ρλ|∇ϕ|vΔv = [(λ|∇ϕ|)− 2 Δv][ ρ(λ|∇ϕ|) 2 v] ρ 1 ≤ (λ|∇ϕ|)−1 (Δv)2 + (λ|∇ϕ|)3 v 2 . 2 2

Donc 1 ρ √ ρλ|∇ϕ||∇v|2 dxdt ≤ (λ|∇ϕ|)−1 (Δv)2 dxdt + (λ|∇ϕ|)3 v 2 dxdt 2 Q 2 Q Q √ ρ λ Δ(|∇ϕ|)v 2 dxdt. (3.8) + 2 Q (3.7) et (3.8) impliquent 1 √ ρλ|∇ϕ||∇v|2 dxdt + (λ|∇ϕ|)−1 (Δv)2 dxdt 2 Q Q 3 2 (L+ v) dxdt + 3 (λ|∇ϕ|)3 v 2 dxdt ≤ αλ Q λ Q ρ 3 2 (λ|∇ϕ|) v dxdt + R2 , + 2 Q

3.2 m´ethode d’in´egalit´es de Carleman

√

o` u R2 = R1 +

ρλ 2

167

Δ(|∇ϕ|)v 2 . Q

Si nous supposons que ρ ≥ 6, nous obtenons alors 1 3 √ ρλ|∇ϕ||∇v|2 dxdt + (λ|∇ϕ|)−1 (Δv)2 dxdt ≤ (L+ v)2 dxdt 2 Q αλ Q λ Q (3.9) + ρ (λ|∇ϕ|)3 v 2 dxdt + R2 . Q

De (3.6) et (3.9) nous tirons 2 2λ 3 + − 2 (L+ v) dxdt + L vL vdxdt + |∂ν ϕ|(∂ν v)2 dσdt αλ Q λ C0 Q λ λ C0 γ×(0,T ) 4C1 λ √ ) |∇ϕ||∇v|2 dxdt + ρ (λ|∇ϕ|)3 v 2 dxdt ≥ ( ρλ − C0 Q Q 1 −1 2 (λ|∇ϕ|) (Δv) dxdt + R3 , + 2 Q avec R3 =

2R0 − R2 . C0

Nous d´eduisons que pour ρ ﬁx´e arbitrairement grand, 3 2 2λ + − 2 (L+ v) dxdt + L vL vdxdt + |∂ν ϕ|(∂ν v)2 dσdt αλ Q λ C0 Q λ λ C0 γ×(0,T ) 2 |∇ϕ||∇v| dxdt + ρ (λ|∇ϕ|)3 v 2 dxdt ≥ C2 λ Q Q 1 −1 (λ|∇ϕ|) (Δv)2 dxdt + R3 . (3.10) + 2 Q • De l’identit´e ∂t v = L− eduisons λ v − 2λ∇ϕ · ∇v − λΔϕv, nous d´ (λ|∇ϕ|)−1 (∂t v)2 ≤

3 3λ 2 2 (L− (Δϕ)2 v 2 . λ v) + 12λ|∇ϕ||∇v| + λα α

D’o` u 3 2 (λ|∇ϕ|)−1 (∂t v)2 dxdt ≤ (L− v) dxdt + 12λ |∇ϕ||∇v|2 dxdt + R4 , λα Q λ Q Q (3.11) o` u 3λ R4 = (Δϕ)2 v 2 dxdt. α Q • Il r´esulte des in´egalit´es (3.10) et (3.11)

168

3 λα

3 Probl`emes inverses paraboliques

Q

2 (L+ λ v) dxdt

C2 2 − 2 + (L v) dxdt + L+ vL− vdxdt 8λα Q λ C0 Q λ λ 2λ + |∂ν ϕ|(∂ν v)2 dσdt C0 γ×(0,T ) 1 C2 −1 2 (λ|∇ϕ|) (∂t v) dxdt + (λ|∇ϕ|−1 (Δv)2 dxdt ≥ 24 Q 2 Q C2 λ 3 2 + ρ (λ|∇ϕ|) v dxdt + |∇ϕ||∇v|2 dxdt + R5 , 2 Q Q

avec R5 = R3 −

C2 R4 . 24

Par suite, pour λ assez grand, 1 − 2 − 2 [ (L+ v) dxdt + (L v) dxdt + 2 L+ λ λ vLλ vdxdt] C0 Q λ Q Q 2λ + |∂ν ϕ|(∂ν v)2 dσdt C0 γ×(0,T ) 1 C2 −1 2 (λ|∇ϕ|) (∂t v) dxdt + (λ|∇ϕ|)−1 (Δv)2 dxdt ≥ 24 Q 2 Q C2 λ 3 2 + ρ (λ|∇ϕ|) v dxdt + |∇ϕ||∇v|2 dxdt + R5 . 2 Q Q (3.12) • Nous montrons facilement |Δ2 ϕ|, |Δ(|∇ϕ|)|, |∂t (|∇ϕ|2 )|, |∇ϕ|−1 (∂t ϕ)2 , |∂t2 ϕ| ≤ C3 |∇ϕ|3 et (Δϕ)2 ≤ C3 ρ|∇ϕ|3 . Il en r´esulte, pour λ assez grand,

|R5 | ≤ C4 ρλ2

|∇ϕ|3 v 2 dxdt. Q

Ceci et (3.12) impliquent qu’il existe deux constantes positives λ0 et ρ0 telles que 1 − 2 − 2 [ (L+ v) dxdt + (L v) dxdt + 2 L+ λ λ vLλ vdxdt] C0 Q λ Q Q 2λ + |∂ν ϕ|(∂ν v)2 dσdt C0 γ×(0,T ) 1 C2 (λ|∇ϕ|)−1 (∂t v)2 dxdt + (λ|∇ϕ|)−1 (Δv)2 dxdt ≥ 24 Q 2 Q C2 λ ρ + |∇ϕ||∇v|2 dxdt + (λ|∇ϕ|)3 v 2 dxdt, 2 Q 2 Q

3.2 m´ethode d’in´egalit´es de Carleman

169

si λ ≥ λ0 et ρ ≥ ρ0 . Nous ﬁxons alors ρ = ρ0 et nous utilisons |∇ϕ|i ≥ C5 g i , i = −1, 1, 3. pour d´eduire

(Lλ v)2 dxdt + Q

(λg)(∂ν v)2 dσdt γ×(0,T )

≥ C6 [ (λg)−1 (∂t v)2 dxdt + (λg)−1 (Δv)2 dxdt Q Q (λg)3 v 2 dxdt + (λg)|∇v|2 dxdt], + Q

Q

si λ ≥ λ0 . L’in´egalit´e pour u s’ensuit facilement en utilisant v = eλϕ u, e2λϕ |∇u|2 ≤ 2|∇v|2 + 2λ2 |∇ϕ|2 v 2 et e2λϕ (P0 u)2 = (Lλ v)2 .

3.2.2 In´ egalit´ e d’observabilit´ e pour l’´ equation de la chaleur Nous consid´erons le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t y − Δy = f, dans Q, y(·, 0) = y0 , ⎩ y = 0, sur Σ.

(3.13)

Des diﬀ´erents r´esultats de r´egularit´e pour l’´equation de la chaleur (voir le Th´eor`eme 1.41, les commentaires qui le suivent et les Th´eor`emes 1.43 et 1.44), nous d´eduisons Si y0 ∈ H01 (Ω) et si f ∈ L2 (Q) alors (3.13) admet une unique solution y ∈ H 2,1 (Q) ∩ C([0, T ]; H01 (Ω)). En outre, il existe une constante C, qui d´epend uniquement de Ω et T , telle que y(t)H01 (Ω) ≤ C(y0 H01 (Ω) + f L2(Q) ), t ∈ [0, T ].

(3.14)

Notons aussi que l’in´egalit´e de Carleman du Th´eor`eme 3.4 reste bien ´evidemment valable pour les fonctions de H 2,1 (Q) admettant une trace nulle sur Σ. Nous d´emontrons la

170

3 Probl`emes inverses paraboliques

Proposition 3.5. Soit γ une partie ferm´ee de Γ d’int´erieur non vide. Il existe une constante C, qui d´epend uniquement de Ω et T , telle que si u0 ∈ H01 (Ω) et si u ∈ H 2,1 (Q) ∩ C([0, T ]; H01 (Ω)) est la solution de ⎧ ⎨ ∂t u − Δu = 0, dans Q, u(·, 0) = u0 , ⎩ u = 0, sur Σ, alors u(T )H01 (Ω) ≤ C∂ν uL2 (Σγ ) ,

(3.15)

o` u Σγ = γ × (0, T ). Preuve. Nous appliquons d’abord le Th´eor`eme 3.4 `a u pour avoir l’estimation uL2 (Ω×( T , 3T )) ≤ C0 ∂ν uL2 (Σγ ) , 4

(3.16)

4

o` u C0 est une constante qui ne d´epend que de Ω, T et γ. Nous nous donnons ensuite ψ ∈ C ∞ [0, T ] telle que 0 ≤ ψ ≤ 1, ψ = 0 sur [0, T4 ] et ψ = 1 sur [ 3T eriﬁons sans peine que v = ψu est la 4 , T ]. Nous v´ solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t v − Δv = ψ u, dans Q, v(·, 0) = 0, ⎩ v = 0, sur Σ. Nous appliquons l’estimation (3.14) pour avoir v(T )H01 (Ω) ≤ C1 ψ uL2 (Q) , pour une certaine constante C1 , d´ependant uniquement de Ω et T . Or ψ est nulle en dehors de [ T4 , 3T u 4 ]. D’o` u(T )H01 (Ω) = v(T )H01 (Ω) ≤ C1 ψ L∞ (0,T ) uL2(Ω×( T , 3T )) . 4

4

Nous d´eduisons alors (3.15) en combinant (3.16) et (3.17).

(3.17)

3.2.3 Stabilit´ e de la d´ etermination d’un terme source Soit λ1 < λ2 ≤ . . . ≤ λn la suite des valeurs propres de l’op´erateur A = −Δ avec D(A) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω), compt´ees avec leur multiplicit´e. Notons alors par (ϕn ) une base de L2 (Ω) form´ee de fonctions propres telle que ϕn est associ´ee `a λn . Pour f ∈ L2 (Ω), uf ∈ H 2,1 (Q) d´esignera la solution du probl`eme ∂t u − Δu = f (x), dans Q, u = 0, sur Σ0 ∪ Σ.

3.2 m´ethode d’in´egalit´es de Carleman

171

Nous commen¸cons par remarquer que v = ∂t uf est solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t v − Δv = 0, dans Q, v = f, sur Σ0 , ⎩ v = 0, sur Σ. Nous v´eriﬁons ais´ement que v est donn´ee par la formule

e−λk t (f, ϕk )L2 (Ω) ϕk , v(·, t) = k≥1

o` u (·, ·)L2 (Ω) est le produit scalaire usuel sur L2 (Ω). Nous en d´eduisons (v(·, t), ϕk )L2 (Ω) = e−λk t (f, ϕk )L2 (Ω) , t ≥ 0, et donc (f, ϕk )L2 (Ω) = (v(·, 0), ϕk )L2 (Ω) = eλk T (v(·, T ), ϕk )L2 (Ω) . Cette derni`ere identit´e implique |(f, ϕk )L2 (Ω) | ≤ eλk T |(v(·, T ), ϕk )L2 (Ω) |.

(3.18)

Rappelons que l’espace H0β (Ω) est donn´e par H0β (Ω) = {h ∈ H β (Ω), h = 0 sur Γ } si β > Fixons

1 4

1 . 2

< α < 34 . D’apr`es [Fu], nous savons

H02α (Ω) = D(Aα ) = {h ∈ L2 (Ω);

2 λ2α k (ϕk , h)L2 (Ω) < ∞}

k≥1

et |h|H02α (Ω) = (

1

2 2 λ2α k (ϕk , h)L2 (Ω) )

k≥1

d´eﬁnit une norme ´equivalente sur H02α (Ω). Faisons l’hypoth`ese f ∈ B(M ) = {h ∈ H02α (Ω); |h|H02α (Ω) ≤ M }, avec M > 0 une constante. Soient λ ≥ λ1 et N = N (λ) l’entier qui v´eriﬁe λN ≤ λ < λN +1 . Alors

172

3 Probl`emes inverses paraboliques

f 2L2 (Ω) =

(f, ϕk )2L2 (Ω)

k≥1

=

(f, ϕk )2L2 +

k≤N

≤

≤

k≤N

(f, ϕk )2L2 (Ω)

k>N

(f, ϕk )2L2 (Ω) +

k≤N

1 2α λk (f, ϕk )2L2 (Ω) λ2α k>N

M2 (f, ϕk )2L2 (Ω) + 2α . λ

Nous combinons cette estimation avec (3.18) pour conclure f 2L2(Ω) ≤ e2λT

(v(·, T ), ϕk )2L2 +

k≤N

≤ e2λT v(·, T )2L2 (Ω) +

M2 λ2α

M2 . λ2α

(3.19)

Mais d’apr`es la Proposition 3.5, si γ est une partie de Γ d’int´erieur non vide et si Σγ = γ × (0, T ) alors v(·, T )H01 (Ω) ≤ C∂ν vL2 (Σγ ) .

(3.20)

Les in´egalit´es (3.19) and (3.20) entrainent alors M2 λ2α M2 ≤ e2λT C 2 ∂t ∂ν uf 2L2 (Σγ ) + 2α λ

f 2L2(Ω) ≤ e2λT C 2 ∂ν v2L2 (Σγ ) +

≤ e2λT C 2 ∂ν uf 2H 1 (0,T ;L2 (γ)) + C’est-`a-dire f 2L2 (Ω) ≤ min (C 2 e2T λ δ 2 + λ≥λ1

M2 . λ2α

M2 ), λ2α

(3.21)

o` u δ = ∂ν uf H 1 (0,T ;L2 (γ)) . 2

Notons que la fonction λ → C 2 e2T λ δ 2 + λM2α atteint son minimum en λ∗ tel que M2 (3.22) 2T C 2 e2T λ∗ δ 2 − 2α 2α+1 = 0. λ∗ Par suite, e(2α+1+2T )λ∗ ≥ λ∗ 2α+1 e2T λ∗ = et donc

αM 2 T C 2δ2

3.2 m´ethode d’in´egalit´es de Carleman

λ∗ ≥

αM 2 1 ln( ). 2α + 1 + 2T T C 2δ2

173

(3.23)

Supposons que δ est suﬃsamment petit de telle sorte que λ∗ ≥ max(λ1 , 1). Alors (3.21) et (3.22) impliquent f 2L2(Ω) ≤

αM 2 M2 αM 2 1 + M 2 ) 2α . 2α+1 + 2α ≤ ( T T λ∗ λ∗ λ∗

(3.24)

Vu (3.23) et (3.24), nous venons donc de d´emontrer le th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 3.6. Soit γ une partie ferm´ee de Γ d’int´erieur non vide. Alors il existe trois constantes , A et B, qui ne d´ependent que de Ω, T , M et γ, telles que A α , f L2 (Ω) ≤ ln ∂ν uf 1B 2 H (0,T ;L (γ))

pour f ∈ B(M ), f L2 (Ω) ≤ . Remaque. Le r´esultat que nous venons d’´enoncer s’´etend au cas o` u le terme source est de la forme σ(t)f (x), avec σ ∈ C 1 [0, T ] v´eriﬁant σ(0) = 0. Comme pr´ec´edemment nous notons uf la solution du probl`eme aux limites ∂t u − Δu = σ(t)f (x), dans Q, u = 0, sur Σ0 ∪ Σ. A l’aide de la formule de Duhamel, nous v´eriﬁons sans peine que t σ(t − s)v(x, s)ds, uf (x, t) = 0

o` u v est la solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t v − Δv = 0, dans Q, v(·, 0) = f, ⎩ v = 0, sur Σ = 0. Nous d´eﬁnissons l’op´erateur K : L2 (0, T ) → H 1 (0, T ) par

t

σ(t − s)p(s)ds, 0 < t < T.

(Kp)(t) = 0

et nous posons Y0 = {q ∈ H 1 (0, T ), q(0) = 0}. Nous laissons alors au lecteur le soin de v´eriﬁer que K d´eﬁnit un isomorphisme de L2 (0, T ) sur Y0 . De plus, comme t ∂t uf (x, t) = σ(0)v(x, t) + σ (t − s)v(x, s)ds, 0 < t < T, p.p. x ∈ Ω, 0

174

3 Probl`emes inverses paraboliques

nous avons

t

τ (t, s)∂t uf (x, s)ds, 0 < t < T, p.p. x ∈ Ω,

v(x, t) = 0

o` u τ est une fonction continue sur [0, T ]2 . Nous tirons de cette derni`ere identit´e ∂ν vL2 (Σγ ) ≤ K∂ν uf H 1 (0,T ;L2 (γ)) ,

(3.25)

pour une certaine constante positive K d´ependant de σ, avec γ et Σγ comme dans le Th´eor`eme 3.6. D’autre part, d’apr`es l’in´egalit´e juste avant (3.21), nous avons f 2L2 (Ω) ≤ e2λT C 2 ∂ν v2L2 (Σγ ) +

M2 . λ2α

(3.26)

Les in´egalit´es (3.25) et (3.26) impliquent f 2L2 (Ω) ≤ e2λT C 2 ∂ν uf H 1 (0,T ;L2 (γ)) +

M2 . λ2α

De celle-ci, nous d´eduisons une estimation similaire `a (3.21), qui conduit a` la conclusion du Th´eor`eme 3.6 lorsque f (x) est remplac´ee par σ(t)f (x). Ce sous-paragraphe a ´et´e ´elabor´e `a partir de M. Choulli et M. Yamamoto [CY2]. Le Th´eor`eme 3.6 est une g´en´eralisation de r´esultats ant´erieurs de M. Yamamoto [Ya1] et [Ya2] obtenus dans le cas γ = Γ . 3.2.4 Stabilit´ e de la d´ etermination d’un coeﬃcient Pour i = 0, 1, nous notons par ui la solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t ui − Δui + qi (x)ui = 0, dans Q, ui (·, 0) = ai , (3.27) ⎩ ui = g, sur Σ. Quand qi , ai et g sont assez r´eguli`eres et v´eriﬁent certaines conditions de compatibilit´e, nous savons que (3.27) admet une solution classique ui ∈ C 2,1 (Q) telle que ∂t ui ∈ C 2,1 (Q) (voir Th´eor`eme 1.40). D’autre part, d’apr`es le Th´eor`eme 1.47 (principe du maximum fort), ai > 0 et g > 0 entrainent ui > 0. Dans le reste de ce sous-paragraphe, nous supposons que qi , ai et g sont choisies de telle sorte que ui , ∂t ui ∈ C 2,1 (Q) et que u0 > 0. Comme au dernier sous-paragraphe, γ est une partie ferm´e de Γ , d’int´erieur non vide, et Σγ = γ × (0, T ). Nous d´emontrons le

3.2 m´ethode d’in´egalit´es de Carleman

175

Th´ eor` eme 3.7. Soit 0<θ≤ T2 . Soit δ > 0 tel que δ ≥ max(q0 L∞ (Ω) , q1 L∞ (Ω) ). Alors il existe une constante positive C, d´ependant de u0 , θ et δ, telle que q1 − q0 L2 (Ω) ≤ C(∂ν (u1 − u0 )H 1 ((0,T ),L2 (γ)) + (u1 − u0 )(·, θ)H 2 (Ω) ). Quitte `a remplacer T par 2θ, nous pouvons toujours supposer que θ =

T 2

.

Dans ce qui suit ϕ est la fonction d´eﬁnie par (4.3). Pour d´emontrer le Th´eor`eme 3.8, nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme 3.8. Soit A ∈ L∞ (Ω)n . Alors il existe une constante positive C, qui d´epend de A et T , telle que t e2λϕ (A · ∇ u(·, s)ds)2 ≤ C e2λϕ |∇u|2 , T 2

Q

Q

pour u ∈ L2 (0, T ; H 1(Ω)). Preuve. Par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, nous avons t t 2λϕ 2 2λϕ e |A · ∇ u(·, s)ds| ≤ C e | |∇u(·, s)|2 ds|, T 2

Q

(3.28)

T 2

Q

pour une certaine constante C. Nous posons f = |∇u|2 et r(t, s) = e2λ(ϕ(x,t)−ϕ(x,s)) . Puisque ϕ < 0 et ∂s ϕ(x, s) =

−T − 2s ϕ(x, s), s(T − s)

nous v´eriﬁons ais´ement que sgn∂s r(t, s) = −sgn( T2 − s). Par suite, T 2 T ] ; s ≥ t} ∪ {(t, s) ∈ [ , T ]2 ; s ≤ t}. 2 2

r(t, s) ≤ r(t, t) = 1 sur {(t, s) ∈ [0, Comme

e2λϕ |

Q

t T 2

T 2

f (x, s)ds| =

T 2

dxdt Ω

0

T

t

e2λϕ(x,s) r(t, s)f (x, s)ds,

dxdt

+ Ω

T 2

e2λϕ(x,s) r(t, s)f (x, s)ds

t

T 2

nous concluons que

e2λϕ |

Q

t T 2

f (x, s)ds| ≤ T

e2λϕ f. Q

176

3 Probl`emes inverses paraboliques

D’o` u le r´esultat par (3.28).

Preuve du Th´ eor` eme 3.8. Les diﬀ´erentes constantes qui apparaissent dans cette preuve peuvent d´ependre de u0 , θ et δ. Nous posons u = u1 − u0 et q = q0 − q1 . Alors il n’est pas diﬃcile de montrer que u v´eriﬁe ∂t u − Δu + q1 (x)u = qu0 , dans Q, u = 0, sur Σ. Nous ´ecrivons u sous la forme u = u0 v. Apr`es un calcul ´el´ementaire, nous trouvons que v satisfait `a ∂t v − Δv + B · ∇v − qv = q, dans Q, v = 0, sur Σ, o` u B = −2

∇u0 . Il s’ensuit que w = ∂t v v´eriﬁe u0 ∂t w − Δw + B · ∇w + qw = −∂t B · ∇v, dans Q, w = 0, sur Σ.

En utilisant le Lemme 3.8, nous obtenons t T e2λϕ (∂t B · ∇v)2 dxdt = e2λϕ (∂t B · ∇ w(·, s)ds + ∂t B·∇v(·, ))2 dxdt T 2 Q Q 2 t e2λϕ (∂t B · ∇ w(·, s)ds)2 dxdt ≤2 Q

T 2

T e2λϕ (∂t B · ∇v(·, ))2 dxdt 2 Q T e2λϕ |∇v(·, )|2 dxdt], ≤ M [ e2λϕ |∇w|2 dxdt + 2 Q Q +2

o` u M est une certaine constante positive. Ayant cette in´egalit´e en vue, une application du Th´eor`eme 3.4 fournit l’existence de deux constantes λ et C telles que e2λϕ (λg)−1 (Δw)2 + (λg)−1 (∂t w)2 + (λg)|∇w|2 + (λg)3 w2 dxdt Q T 2 2λϕ e2λϕ (λg)(∂ν w)2 )dσdt. ≤ C( e |∇v(·, )| dxdt + 2 Q Σγ Nous en d´eduisons T [(Δw)2 + (∂t w)2 + |∇w|2 + w2 ]dxdt ≤ K( |∇v(·, )|2 dxdt 2 Q0 Q (∂ν w)2 )dσdt, (3.29) + Σγ

3.3 D´etermination d’une source singuli`ere

177

o` u Q0 = Ω × ( T4 , 3T 4 ) et K est une certaine constante positive. Mais q = ∂t v − Δv + B · ∇v − qv, c’est-`a-dire t T w(·, s)ds + (∂t − Δ + B · ∇ − q)v(·, ). q = (∂t − Δ + B · ∇ − q) T 2 2 D’o` u, en posant P u = ∂t u − Δu + B · ∇u − qu, t 2 2 T 2 2 q dx = q dxdt = [P w(·, s)ds + P v(·, )]2 dxdt T T T 2 Ω Q0 Q0 2 t T 4 [(P w(·, s)ds)2 + (P v(·, ))2 ]dxdt ≤ T T Q0 2 2 T [(Δw)2 + (∂t w)2 + |∇w|2 + w2 ]dxdt + v(·, )2H 2 (Ω) , ≤ L( 2 Q0 o` u L est une constante positive. Cette derni`ere estimation et (3.29) donnent T 2 (∂ν w)2 dσdt + v(·, )2H 2 (Ω) ), qL2 (Ω) ≤ C( 2 Σγ pour une certaine constante positive C. La conclusion s’ensuit en utilisant le fait que ∂ν w = −

u(·, T2 ) ∂t u0 ∂ν ∂t u0 1 T ) = . ∂ u − u − ∂ ∂ u, et v(·, ν t ν u20 u20 u0 2 u0 (·, T2 )

3.3 D´ etermination d’une source singuli` ere Soient Ω un domaine born´e r´egulier de Rn , n = 2, 3, (nous pouvons le supposer C ∞ pour simpliﬁer) de fonti`ere Γ et γ une partie ferm´e de Γ d’int´erieur non vide. T > 0 ´etant ﬁx´e, nous posons Q = Ω × (0, T ),

Σ = Γ × (0, T ),

Σγ = γ × (0, T ).

Nous consid´erons dans un premier temps la d´etermination d’une source singuli`ere de la forme m

f= λi (t)δai , ai ∈ Ω, (3.30) i=1

a partir de la mesure fronti`ere ∂ν u|Σγ , o` ` u u est la solution du probl`eme aux limites

178

3 Probl`emes inverses paraboliques

⎧ ⎨ ∂t u − Δu = f, dans Q, u(·, 0) = 0, dans Ω, ⎩ u = 0, sur Σ.

(3.31)

Nous savons (voir J.-L. Lions et E. Magenes [LM] par exemple) que, sous l’hypoth`ese λi ∈ L2 (0, T ), le probl`eme aux limites (3.31) admet une unique solution u = uf ∈ L2 (Q) telle que Δuf , ∂t uf ∈ L2 (0, T ; H −2(Ω)) (noter que f ∈ L2 (0, T ; H −2(Ω)) car n ≤ 3). Par suite, u ∈ C([0, T ]; H −1 (Ω)) par les r´esultats classiques d’interpolation (voir J.-L. Lions et E. Magenes [LM]). En ˜ = Ω ˜ × (0, T ), avec Ω ˜ = fait, nous avons un peu plus de r´egularit´e sur Q Ω \ (∪i ai )), comme le montre le lemme suivant ˜ Lemme 3.9. uf ∈ H 2,1 (Q). Preuve. uf ´etant lin´eaire en f , il nous suﬃt de consid´erer le cas f = λδa . Soient H est la fonction de Heaviside (c-`a-d la fonction caract´eristique de (0, +∞)) et H(t) w(x, t) = n (4π) 2

0

t

|x−a|

e 4(t−s) n λ(s)ds = (Hλ) ∗(t) (t − s) 2

H

e

|x−a| 4t n

t2

.

Clairement, w est de classe C ∞ sur (Rn \ {a}) × [0, +∞[ et est la solution du probl`eme aux limites ∂t w − Δw = f, dans Rn × (0, +∞), w(·, 0) = 0, dans Rn . Il s’ensuit que v = uf − w est la solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t v − Δv = 0, dans Q, v(·, 0) = 0, dans Ω, ⎩ v = −w|Σ , sur Σ. 3 3

Maintenant, puisque w|Σ est au moins dans H 2 , 4 (Σ) et w(·, 0) = 0 sur Γ , nous d´eduisons du Th´eor`eme 1.43 que v est au moins dans H 2,1 (Q). D’o` u, 2,1 ˜ uf ∈ H (Q). L’unicit´e du probl`eme inverse, mentionn´e ci-dessus, est une cons´equence de la propri´et´e de l’unicit´e de prolongement. i i i Proposition 3.10. Pour i = 1, 2, soit fi = m k=1 λk δaik , λk non identiquement nulle pour chaque k. Alors ∂ν uf1 = ∂ν uf2 sur Σγ implique m1 = m2 = m, λ1k = λ2k et a1k = a2k . Preuve. Puisque probl`eme inverse est lin´eaire par rapport a` f , il nous suﬃt ˜ de montrer que uf = 0 sur Σγ implique f = 0. Comme uf ∈ H 2,1 (Q), ˜ (∂t − Δ)u = 0 dans Q et uf = ∂ν uf = 0 sur Σγ , nous d´eduisons du Corollaire

3.3 D´etermination d’une source singuli`ere

179

˜ Mais comme uf ∈ L2 (Q), 1.50 (unicit´e du prolongement) que uf = 0 dans Q. nous concluons que uf est identiquement nulle, et donc f l’est aussi. Le reste de ce paragraphe est consacr´e `a l’identiﬁcation d’une source de la forme m

λk (t)χBk (x), F (x, t) = i=1

o` u Bk est la boule de centre ak et de rayon > 0, et χBk est la fonction caract´eristique de Bk . Puisque F ∈ L2 (Q), le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu = F, dans Q, u(·, 0) = 0, dans Ω, ⎩ u = 0, sur Σ.

(3.32)

admet une unique solution uF ∈ H 2,1 (Q) (voir le Th´eor`eme 1.43). Nous montrons d’abord un r´esultat d’unicit´e du prolongement pour l’´equation (3.32). Lemme 3.11. Nous supposons que, pour chaque k, λk (t) = 0, pour tout t ≥ T ∗ , avec 0 < T ∗ < T . Soit u ∈ H 2,1 (Q) telle que ⎧ m ⎨ ∂t u − Δu = F = i=1 λk (t)χBk (x), dans Q, u(·, 0) = 0, ⎩ u = ∂ν u = 0, sur Σγ . Alors u est identiquement nulle. ˜ = (Ω\∪k Bk )×(0, T ). Nous d´eduisons Preuve. Comme ∂t u−Δu = 0 sur Q ˜ par le Corollaire 1.50 (unicit´e du prolongement). D’autre que u = 0 sur Q part, puisque ∂t u − Δu = 0 dans Ω × (T ∗ , T ), nous avons aussi u(·, T ) = 0 par l’in´egalit´e d’observabilit´e (3.15). Pour k, j ∈ N, nous consid´erons la fonction vk,j = e−νj (T −t) wk,j (x), o` u νj est un r´eel positif et wk,j une solution de l’´equation de Helmholtz νj wk,j + Δwk,j = 0, dans Ω.

(3.33)

Une application de la formule de Green nous donne T m

˜ i (t)e−νj t dt = 0, wk,j (x)dx λ i=1

Bi

0

˜ k (t) = λ(T − t). D’autre part, d’apr`es le th´eor`eme de la moyenne pour avec λ l’´equation de Helmholtz, nous avons

180

3 Probl`emes inverses paraboliques

wk,j (x)dx = |Bi |wk,j (ai ) Bi

√ sin( νj ) . √ νj

Il en r´esulte m

|Bk |wk,j (ai )

k=1

√ sin( νj ) T ˜i (t)e−νj t dt = 0. λ √ νj 0

Nous admettons pour le moment que nous pouvons choisir les wk,j telles que la matrice (wk,j (ai ))1≤k,i≤m soit inversible pour chaque j. Dans ce cas la derni`ere identit´e implique √ sin( νj ) T ˜i (t)e−νj t dt = 0. (3.34) λ √ νj 0 √ Nous choisissons alors νj de telle sorte que sin( νj ) = 0 et

1 = +∞. νj

(3.35)

j≥0

De (3.34) nous d´eduisons d’abord T −νj t ˜ dt = 0. λ(t)e 0

Ensuite, par (3.35) et le th´eor`eme de M¨ untz (voir par exemple [Sc4]), nous ˜ = 0 et donc λ = 0 aussi. concluons que λ Nous compl´etons la preuve par la construction de wk,j telles que la matrice Bj = (wk,j (ai ))1≤k,i≤m soit inversible pour chaque j. Fixons j et soient bk des points situ´es dans le compl´ementaire de Ω. Consid´erons alors l’´equation νj wk,j + Δwk,j = δbk , dans Rn . Il est bien connu que wk,j est explicitement donn´ee par ⎧ i√νj |x−bk | ⎪ si n = 3 ⎨ e 4π|x−bk | , wk,j (x) = ⎪ ⎩ 1 (1) √ 4i H0 ( νj |x − bk |), si n = 2, (1)

o` u H0

est la fonction de Hankel.

Nous aﬃrmons qu’il existe un choix de bk , distincts, qui assure l’inversibilit´e de la matrice Bj . En eﬀet, si tel n’´etait pas le cas nous aurions Ψ (b1 , . . . , bm ) = d´et(Bj ) = 0, (b1 , . . . , bm ) ∈ (Rn \ Ω)m .

(3.36)

Fixons b2 , . . . , bm , Ψ (b1 , . . . , bm ) d´eﬁnie alors une fonction Φ(b1 ). Clairement, Φ admet une extension analytique, encore not´ee Φ, dans le domaine Rn \ ∪i {ai }. (3.36) entraine

3.3 D´etermination d’une source singuli`ere

Φ(b1 ) = 0, b1 ∈ Rn \ ∪i {ai }.

181

(3.37)

Mais, si nous passons a` la limite quand b1 tend vers a1 nous constatons que tous les termes dans Φ(b1 ) tendent vers une valeur ﬁnie, sauf (Bj )1,1 , qui lui converge, en module, vers l’inﬁni, ce qui contredit (3.37). Ce lemme va nous permettre de d´emontrer un r´esultat d’unicit´e pour le probl`eme inverse qui consiste `a la d´etermination d’une source F de la forme F (x, t) =

m

λk (t)χBk (x),

i=1

a partir de la mesure ∂ν uF |Σγ . ` Proposition 3.12. Pour i = 1, 2, soit Fi (x, t) =

mi i=1

(i)

λk (t)χB (i) (x) telle k

que pour chaque k, λk (t) ≥ 0 et λk (t) = 0 pour t ≥ T ∗ , pour un certain T ∗ v´eriﬁant 0 < T ∗ < T . Supposons que ∂ν uF1 = ∂ν uF2 sur Σγ . Alors m1 = (1) (2) (1) (2) (i) m2 = m, λk = λk et ak = ak , 1 ≤ k ≤ m, o` u ak est le centre de la (i) boule Bk . (i)

(i)

Preuve. Notons d’abord que u = uF1 − uF2 v´eriﬁe ⎧ mi (1) mi (2) ⎪ ⎪ ∂t u − Δu = i=1 λk (t)χBk(1) (x) − i=1 λk (t)χBk(2) (x), dans Q, ⎨ u(·, 0) = 0, (3.38) ⎪ sur Σ, ⎪ u = 0, ⎩ ∂ν u = 0, sur Σγ . Comme nous l’avons fait dans la preuve pr´ec´edente, la derni`ere ´equation de (3.38) entraine, grˆ ace `a l’in´egalit´e d’observabilit´e (3.15), que u(·, T ) = 0. (2)

(1)

Supposons qu’il existe ak = aj . Nous multiplions alors la premi`ere ´equation de (3.38) par le polynˆ ome harmonique suivant w(x) =

m2

(2)

(x1 + ix2 − aj )

m1

(1)

(x1 + x2 − aj ),

j=1

j=1,j =k

si n = 2, et w(x) =

m2

(2)

(x1 + ix2 − Qj )

m1

(1)

(x1 + x2 − Qj ),

j=1

j=1,j =k

si n = 3, o` u le plan (x1 , x2 ) est choisi de mani`ere `a ce que les projections (i) (Qj )j des (aij )j restent distincts. Une simple application de la formule de Green nous donne alors T (2) (2) λk (t)dt = 0, w(ak ) 0

182

3 Probl`emes inverses paraboliques (2)

(i)

et par suite, λk = 0. Mais ceci contredit le fait que nous avons suppos´e les λk (1) toutes non identiquement nulles. Nous concluons que {ak , k = 1, . . . m1 } = (2) {ak , k = 1, . . . m2 }. Donc, apr`es avoir eventuellement changer l’ordre, m1 = (1) (2) m2 = m et ak = ak , k = 1, . . . m. Il en r´esulte que u satisfait `a, o` u λk = (1) (2) λk − λk , ⎧ ∂t u − Δu = m ⎪ i=1 λk (t)χBk(1) (x), dans Q, ⎪ ⎨ u(·, 0) = 0, ⎪ u = 0, sur Σ, ⎪ ⎩ ∂ν u = 0, sur Σγ . Nous appliquons alors le dernier lemme pour d´eduire que λk = 0 pour chaque k, ce qui termine la d´emonstration. Ce sous-paragraphe est pr´epar´e `a partir de l’article de A. El Badia et T. Ha-Duong [EH].

3.4 D´etermination d’une distribution initiale de la chaleur

183

3.4 Stabilit´ e de la d´ etermination d’une distribution initiale de la chaleur Soit Ω un domaine born´e de classe C 2 de Rn , n = 2, 3, et de fronti`ere Γ . Nous consid´erons l’´equation de la chaleur ⎧ ⎨ (∂t − Δ)u = 0, dans Ω × (0, +∞), u = 0, sur Γ × (0, +∞), (3.39) ⎩ u(·, 0) = f. Pour tout f ∈ L2 (Ω), (3.39) admet une unique solution (forte) u = u(f ) ∈ C([0, +∞); L2 (Ω)) ∩ C 1 ((0, ∞); L2 (Ω)) telle que Δu ∈ C((0, +∞); L2 (Ω)) et u(·, t)|Γ = 0 pour t > 0 (voir le Th´eor`eme 1.53). Dans ce paragraphe, nous nous int´eressons `a la stabilit´e du probl`eme qui consiste `a d´eterminer f ` a partir de ∂ν u(f )|Γ ×(0,+∞) . Notons que l’unicit´e pour ce probl`eme inverse (lin´eaire) est une cons´equence imm´ediate du la propri´et´e de l’unicit´e du prolongement pour l’op´erateur ∂t − Δ. En eﬀet, si ∂ν u(f )|Γ ×(0,+∞) = 0 alors u(f ) est identiquement nulle par le Corollaire 1.50 (unicit´e du prolongement) et donc f = u(·, 0) est aussi identiquement nulle. A cause de l’eﬀet r´egularisant, ce probl`eme est mal pos´e. Il ne faut pas donc s’attendre `a une stabilit´e de type Lipschitz pour les normes naturelles du probl`eme. Notre objectif dans ce paragraphe est d’´etablir un r´esultat de stabilit´e lipschitzienne avec une norme L2 pour f et une norme pour ∂ν u(f )|Γ ×(0,+∞) construite `a partir d’une norme sur un espace de BergmanSelberg. A cette ﬁn, nous rappelons que, pour μ > 12 , l’espace de Bergmanu P + = {z = p + iq; p > 0}, est l’espace des fonctions Selberg Hμ (P + ), o` + analytiques f : P → C avec une norme ﬁnie 12 1 f Hμ (P + ) = |f (z)|2 (2p)2μ−2 dpdq . Γ (2ν + 1)π P+ Proposition 3.13. [Sa] Pour f ∈ Hμ (P + ), nous avons f Hμ (P + ) =

k≥0

1 k!Γ (k + 2μ + 1)

+∞

|∂pk (pf (p))|2 p2k+2μ−1 dp

12

. (3.40)

0

Inversement, toute f de classe C ∞ sur {p; p > 0} ayant la quantit´e de droite dans (3.40) ﬁnie admet une extension analytique, encore not´ee f , sur P + qui appartient ` a Hμ (P + ) et v´eriﬁe limp→+∞ f (p) = 0.

184

3 Probl`emes inverses paraboliques

Par abus de langage, nous noterons encore f ∈ Hμ (P + ) quand f v´eriﬁe les hypoth`eses de la seconde partie de la proposition. En d’autres termes, nous confondons f , qui est d´eﬁnie sur (0, +∞), avec son extension analytique sur P +. Si γ est une partie ouverte de Γ , nous consid´erons Bμ (γ×(0, +∞)), l’espace de Banach des fonctions g : γ × (0, +∞) → C mesurables telles que 3

p ∈ (0, +∞) → p 2 g(x, et gBμ (γ×(0,+∞)) =

γ

3

1 ) ∈ Hμ (P + ), p.p. x ∈ γ 4p

p 2 g(x,

12 1 )Hμ (P + ) dσ(x) < ∞. 4p

Le r´esultat de stabilit´e que nous allons d´emontrer dans ce paragraphe est le suivant : Th´ eor` eme 3.14. Fixons x0 ∈ Rn et μ ∈ (1, 54 ) arbitraires et posons γ = {x ∈ Γ ; (x − x0 ) · ν(x) > 0}. Alors il existe une constante positive C, ne d´ependant que de Ω, x0 et μ, telle que C −1 f L2 (Ω) ≤ ∂ν u(f )Bμ (γ×(0,+∞)) ≤ Cf H 2 (Ω) , f ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Notons tout de suite que γ est exatement la partie “minimale” du bord qui permet d’avoir une in´egalit´e d’observabilit´e pour l’´equation des ondes. Celle-ci intervient de mani`ere essentielle dans notre preuve. De mani`ere pr´ecise, grˆ ace a la transformation de Reznitskaya, nous avons ` +∞ η2 1 u(f )(x, t) = √ ηe− 4t w(f )(x, η)dη, (x, t) ∈ Ω × (0, +∞), (3.41) 2 πt3 0 o` u w(f ) est la solution de l’´equation des ondes ⎧ 2 dans Ω × (0, +∞), ⎨ (∂t − Δ)w = 0, w = 0, sur Γ (0, +∞), ⎩ w(·, 0) = 0, ∂t w(·, 0) = f.

(3.42)

Rappelons que d’apr`es les r´esultats classiques de r´egularit´e de l’´equation des ondes (voir par exemple V. Komornik [Ko] ou J.-L. Lions et E. Magenes [LM]), si f ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) alors (3.42) admet une unique solution w(f ) ∈ C([0, +∞); H 3 (Ω) ∩ H01 (Ω)) ∩ C 1 ([0, +∞); H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω)) ∩C 2 ([0, +∞; H01 (Ω)) et w(f )(·, t)H 3 (Ω) , ∂t w(f )(·, t)H 2 (Ω) ≤ f H 2 (Ω) .

(3.43)

Dans tout le reste de ce paragraphe nous ﬁxons arbitrairement f ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Les quantit´es μ, x0 et γ sont comme le Th´eor`eme 3.14. C sera une constante g´en´erique, ne d´ependant que de Ω, μ et x0 .

3.4 D´etermination d’une distribution initiale de la chaleur

Lemme 3.15. +∞ γ

0

Preuve. Soit

185

(∂ν w(f )(x, t))2 t3−4μ dσ(x)dt ≤ Cf 2H 2 (Ω) .

W (t) = γ

(∂ν w(f )(x, t))2 dσ(x) = ∂ν w(·, t)2L2 (Γ ) , t > 0.

Par (3.43) et la continuit´e de la trace v ∈ H 2 (Ω) → ∂ν v|γ ∈ L2 (γ), nous avons W ∈ C([0, +∞); L2 (γ)), (3.44) W (t) ≤ Cf 2H 2 (Ω)

et

W (t) = 2

∂ν w(f )(x, t)∂t ∂ν w(f )(x, t)dσ(x). γ

Cette identit´e et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz impliquent |W (t)| ≤ 2∂ν w(f )(·, t)L2 (γ) ∂t ∂ν w(f )(·, t)L2 (γ) . Nous utilisons de nouveau la continuit´e de la trace v ∈ H 2 (Ω) → ∂ν v|γ ∈ L2 (γ) pour avoir |W (t)| ≤ Cf 2H 2 (Ω) , t > 0. Comme W (0) = 0, le th´eor`eme des accroissements ﬁnis entraine alors W (t) ≤ t sup |W (s)| ≤ Ctf 2H 2 (Ω) .

(3.45)

0≤s≤t

Il s’ensuit +∞ 0

W (t)t3−4μ dt =

1 0

W (t)t3−4μ dt +

≤ Cf 2H 2 (Ω) ≤ Cf 2H 2 (Ω)

1 0

+∞ 1

W (t)t3−4μ dt

t4−4μ dt +

1 5−4μ

+

1 4μ−4

+∞ 1

t3−4μ dt

≤ Cf 2H 2 (Ω) , o` u nous avons utilis´e (3.44) et (3.45).

Comme nous l’avons dit plus haut, nous utiliserons une in´egalit´e d’observabilit´e pour l’´equation des ondes : Proposition 3.16. (L. F. Ho [Ho], V. Komornik [Ko] ou J. L. Lions [Lio] ) Sous l’hypoth`ese T > 2 sup |x − x0 |, x∈Ω

f L2(Ω) ≤ C∂ν w(f )L2 (Γ ×(0,T )) .

(3.46)

186

3 Probl`emes inverses paraboliques

Preuve du Th´ eor` eme 3.14. Puisque n ≤ 3, H 3 (Ω) s’injecte continˆ ument 1 dans C (Ω). Par suite (3.43) implique |∂ν w(f )(x, t)| ≤ Cf H 2 (Ω) , (x, t) ∈ γ × (0, +∞). ∞ Nous pouvons donc intervertir dans (3.41) 0 . . . dη et ∂ν , ce qui nous donne √ 2 πt3 ∂ν u(f )(x, t) =

+∞

η2

ηe− 4t ∂ν w(f )(x, η)dη, (x, t) ∈ γ × (0, +∞).

0

Nous prenons t = p1 et nous faisons le changement de variable s = η 2 dans le membre de droite pour obtenir √ +∞ 1 π 1 )= e−sp ∂ν w(f )(x, t), (x, t) ∈ γ × (0, +∞). (3.47) 3 ∂ν u(f )(x, 2 p2 4p 0 Rappelons que la transform´ee de Laplace d’une fonction g ∈ L1loc (0, +∞), not´ee Lg, est donn´ee par : +∞ Lg(p) = e−sp g(s)ds, p > 0. 0

Nous pouvons alors r´e´ecrire (3.47) sous la forme √ 1 π 1 ∂ν u(f )(x, ) = v(x, p) = (Lψ(x, ·))(p), (x, p) ∈ γ × (0, +∞). (3.48) 2 p 32 4p o` u nous avons pos´e ψ(·, s) = ∂ν w(f )(·,

√

s), s > 0.

D’apr`es une in´egalit´e isom´etrique pour la transform´ee de Laplace (voir D.-W. Byun et S. Saitoh [BS]) +∞ ψ(x, t)2 t1−2μ dt = w(x, ·)Hμ (P + ) , x ∈ γ, (3.49) 0

d`es que l’un des deux membres de cette in´egalit´e est ﬁni. C’est le cas du membre de droite car +∞ +∞ ψ(x, t)2 t1−2μ dt = 2 [∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt 0

0

et

+∞

[∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt < ∞, p.p. x ∈ γ par le Lemme 3.15.

0

Nous concluons alors

3.5 Une cons´equence du th´eor`eme de Borg-Levinson

+∞

1 w(x, ·)Hμ (P + ) , p.p. x ∈ γ, 2

[∂ν w(f )(x, t)]2 s3−4μ ds =

0

ce qui est ´equivaut `a +∞ [∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt = γ 0

187

3

1 p 2 ∂ν u(f )(x, 4p )2Hμ (P + ) dσ(x) (3.50) = π8 ∂ν u(f )2Bμ (γ×(0,+∞)) . π 8

Γ

Cette identit´e combin´ee avec l’in´egalit´e du Lemme 3.15 implique ∂ν u(f )Bμ (γ×(0,+∞)) ≤ Cf H 2 (Ω) .

(3.51)

D’autre part, Si T < 2 supx∈Ω |x − x0 | alors, d’apr`es la Proposition 3.16, f L2(Ω) ≤ C∂ν w(f )L2 (Γ ×(0,T )) .

(3.52)

Mais T γ

0

[∂ν w(f )(x, t)]2 dt ≤ T 4μ−3 ≤ T 4μ−3

T γ

0

[∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt

+∞ γ

0

(3.53) [∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt.

Nous utilisons maintenant (3.52) et (3.53) pour avoir f L2 (Ω) ≤ C∂ν u(f )Bμ (γ×(0,+∞)) .

(3.54)

La preuve est donc compl`ete puisque (3.51) et (3.54) constituent les deux in´egalit´es que nous voulions d´emontrer. Le Th´eor`eme 3.14 est dˆ u a` S. Saitoh et M. Yamamoto [SaY].

3.5 Une cons´ equence de la version n-dimensionnelle du th´ eor` eme de Borg-Levinson Soit Ω un domaine born´e de Rn de classe C 1,1 et de fronti`ere Γ . Nous consid´erons le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu + q(x)u = 0, dans Q = Ω × (0, T ), u = f, sur Σ = Γ × (0, T ), (3.55) ⎩ u(·, 0) = 0. 3

Si f ∈ C 1,α ([0, T ]; H 2 (Γ )), avec 0 < α ≤ 1 donn´e, et si R est l’op´erateur de rel`evement donn´e dans le Th´eor`eme 1.17, alors nous v´eriﬁons sans peine que v(·, t) = Rf (t) est dans C 1,α ([0, T ]; H 2 (Ω)). Par suite, w = u − v est la solution du probl`eme aux limites suivant

188

3 Probl`emes inverses paraboliques

⎧ ⎨ ∂t w − Δw + q(x)w = F = −(∂t v − Δv + q(x)v), dans Q, w = 0, sur Σ, ⎩ w(·, 0) = 0.

(3.56)

Nous avons F = F1 + F2 , avec F1 = −∂t v ∈ C 0,α ([0, T ]; H 2(Ω)), F2 = Δv − q(x)v ∈ C 1,α ([0, T ]; L2 (Ω)). Donc, d’apr`es le Th´eor`eme 1.53, (3.56) admet une unique solution w ∈ C 1 ([0, T ]; L2(Ω)) telle que Δw ∈ C([0, T ]; L2(Ω)) (et donc u ∈ C([0, T ]; H 2 (Ω)) d’apr`es la r´egularit´e et les estimations `a priori H 2 pour les probl`emes elliptiques). Il en r´esulte que (3.55) admet une unique solution u = uq,f ∈ C 1 ([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ C([0, T ]; H 2 (Ω)) et l’op´erateur 3

1

Υq : C 1,α ([0, T ]; H 2 (Γ )) → H 2 (Γ ) : f → ∂ν uq,f (·, t0 ) est born´e, o` u 0 < t0 < T est donn´e. Dans ce paragraphe, nous d´emontrons Th´ eor` eme 3.17. L’application q ∈ L∞ (Ω) → Υq est injective. Nous aurons besoin de quelques r´esultats pr´eliminaires. Pour q ∈ L∞ (Ω), nous notons par (λn,q ) la suite des valeurs propres, compt´ees avec leur multiplicit´e, de l’op´erateur Aq = −Δ + q avec D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Soit (ϕn,q ) une base de fonctions propres, ϕn,q associ´ee `a λn,q . Si 0 < δ < t0 , nous posons 3

X0 = {f ∈ C 1,α ([0, T ]; H 2 (Γ )); f (t, ·) = 0 pour t ∈ [t0 − δ, t0 ]}. Lemme 3.18. i) Soit

∂ν ϕk,q (σ)∂ν ϕk,q (σ )e−λn,q t , (σ, σ , t) ∈ Γ × Γ × (0, T ]. Ψq (σ, σ , t) = k≥1 1

1

Alors la s´erie Ψ (·, ·, t) converge dans H 2 (Γ ) × H 2 (Γ ), uniform´ement sur tout compact de (0, T ]. ii) Pour tout f ∈ X0 , Υq (f )(σ) = − 0

t0 −δ

Ψq (σ, σ , t0 − τ )f (σ , τ )dσ dτ.

Γ

Preuve. i) Nous avons vu au sous-paragraphe 2.2.1 que ∂ν ϕk,q

1

H 2 (Γ )

≤ Cλk,q ,

o` u C = C(Ω, q) est une constante. Par suite, si I est un compact de (0, T ] et = min I alors

1 Ψq (·, ·, t) 12 ≤C λ2k,q e−λk,q , t ∈ I. 2 H (Γ )×H (Γ )

k≥1

3.5 Une cons´equence du th´eor`eme de Borg-Levinson

189

D’o` u le r´esultat puisque la derni`ere s´erie converge.3 ii) Nous d´ecomposons uq,f , f ∈ X0 dans la base (ϕn,q ) :

ρk (t)ϕk,q . uq,f (t) = k≥1

Comme ρk (t) =

uq,f (·, t)ϕk,q dx, uq,f (·, t)ϕk,q dx = (−Δ + q)ϕk,q uq,f (·, t)dx. λk,q ρk (t) = λk,q Ω

Ω

Ω

Une simple application de la formule de Green nous permet de conclure que ρk est la solution de l’´equation diﬀ´erentielle ρ (t) + λk,q ρ(t) = − ∂ν ϕk,q (σ )f (t, σ )dσ Γ

qui v´eriﬁe ρ(0) = 0. A l’aide de la formule de Duhamel, nous obtenons t ρk (t) = − ∂ν ϕk,q (σ )e−λk,q (t−τ ) f (σ , τ )dσ dτ. Γ

0

Il en r´esulte

t0 −δ

uq,f (x, t0 ) = 0

avec Φq (x, σ , t) =

Φq (x, σ , τ )f (σ , τ )dσ dτ,

Γ

ϕk,q (x)∂ν ϕk,q (σ )e−λk,q t , (x, σ , t) ∈ Ω × Γ × (0, T ].

k≥1

Clairement, le mˆeme argument que ci-dessus montre que Φq (·, ·, t) converge 1 dans H 2 (Ω) × H 2 (Γ ) uniform´ement sur tout compact de (0, T ]. Le r´esultat s’ensuit alors en notant que ∂ν(σ) Φq = Ψq . Dans la suite, nous aurons besoin de distinguer les valeurs propres de Aq . Pour cela, nous continuerons de noter par (λn,q ) la suite des valeurs propres distinctes de Aq . Nous noterons par (ϕin,q )1≤i≤mn,q une base du sous-espace u mn,q est la multiplicit´e de λn,q . propre associ´ee `a λn,q , o` m

Lemme 3.19. Pour chaque k, ∂ν ϕk, q 1 , . . . , ∂ν ϕn,qk,q sont lin´eairement ind´ependants dans L2 (Γ ). Preuve. Soient c1 , . . . , cmk,q des r´eels tels que

mk,q

ci ∂ν ϕik,q = 0 sur Γ.

i=1 3

Noter que λk,q ∼ k

2 n

par (2.55).

190

3 Probl`emes inverses paraboliques

Posons ϕ =

mk,q i=1

ci ϕik,q . Nous v´eriﬁons que ϕ est telle que

−Δϕ + (q(x) − λn,q )ϕ = 0, dans Ω, ϕ = ∂ν ϕ = 0, sur Γ.

Par suite, ϕ est identiquement nulle par le Corollaire 1.50 (unicit´e du prolongement). C’est-`a-dire mk,q

ci ϕik,q = 0, dans Ω. i=1 m ϕ1k,q , . . . , ϕk,qk,q

Mais . . . = cmk,q = 0.

sont lin´eairement ind´ependants dans L2 (Ω). D’o` u c1 =

Avant de d´ebuter la preuve du Th´eor`eme 3.17, nous ´enon¸cons un lemme alg´ebrique et un lemme sur d’unicit´e pour les s´eries de Dirichlet vectorielles. Lemme 3.20. Soient l, m deux entiers positifs non nuls, X un ensemble non vide, fi : X → R, 1 ≤ i ≤ l, et gj : X → R, 1 ≤ j ≤ m, des fonctions non identiquement nulles telles que l

fi (x)fi (y) =

i=1

m

gj (x)gj (y), x, y ∈ X,

(3.57)

j=1

et f1 , . . . fl (resp. g1 , . . . , gm ) sont lin´eairement ind´ependantes. Alors l = m et, notant F (x) = (f1 (x), . . . , fm (x))t , G(x) = (g1 (x), . . . gm (x))t , il existe M une matrice m × m orthogonale telle que F (x) = M G(x), pour tout x ∈ X. Nous donnons le preuve de ce lemme un peu plus loin. Lemme 3.21. Soit X un Banach. Sous les hypoth`eses suivantes : i) Pour chaque k ≥ 1, xk , yk ∈ X, xk = 0 et yk = 0. ii) (λk )k≥1 et (μk )k≥1 sont deux suites positives strictement croissantes qui convergent vers +∞. iiI) Il existe σ > 0 telle que k≥1 e−λk t xk X et k≥1 e−μk t yk X convergent pour t > σ. Si

k≥1

e−λk t xk =

k≥1

Alors λk = μk et xk = yk , pour k ≥ 1.

e−μk t yk , t > σ.

3.5 Une cons´equence du th´eor`eme de Borg-Levinson

191

Preuve. Elle r´esulte tout simplement de l’unicit´e des s´ eries de Dirichlet sca laires (voir D. V. Widder [Wi]) appliqu´ee aux s´eries k≥1 e−λk t x , xk et −μk t x , xk , t > σ, avec x ∈ X arbitraire. k≥1 e Preuve du Th´ eor` eme 3.17. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω). D’apr`es le Lemme 3.18, Υq1 = Υq2 entraine

t0 −δ

Ψq1 (σ, σ , t0 −τ )f (σ , τ )dσ dτ = −

Γ

0

t0 −δ

Ψq2 (σ, σ , t0 −τ )f (σ , τ )dσ dτ,

Γ

0

u, pour i = 1, 2, pour f ∈ X0 , o` k,q i

m

l l ∂ν ϕk,qi (σ)∂ν ϕk,qi (σ ) e−λk,qi t ,(σ, σ , t) ∈ Γ ×Γ ×(0, T ]. Ψqi (σ, σ , t) = k≥1

l=1

Il en r´esulte Ψq1 = Ψq2 et donc, d’apr`es l’unicit´e des s´eries de Dirichlet vectorielles (Lemme 3.21), nous concluons λk,q1 = λk,q2 , k ≥ 1

(3.58)

et mk,q1

∂ν ϕlk,q1 (σ)∂ν ϕlk,q1 (σ )

l=1

mk,q2

=

∂ν ϕlk,q2 (σ)∂ν ϕlk,q2 (σ ), (σ, σ ) ∈ Γ ×Γ, k ≥ 1.

l=1

(3.59) Puisque, par le Lemme 3.19, les ∂ν ϕlk,qi , 1 ≤ l ≤ mk,qi sont lin´eairement ind´ependantes, nous pouvons appliquer le lemme alg´ebrique, ´enonc´e ci-dessus, pour conclure que mk,q1 = mk,q2 = m et il existe une matrice m × m orthogonale M telle que (3.60) F1 (σ) = M F2 (σ), σ ∈ Γ, t eﬁnissons avec Fi = (∂ν ϕ1k,qi , . . . , ∂ν ϕm k,qi ) , i = 1, 2. D´ 1 m t , . . . , ψk,q )t = M −1 (ϕ1k,q2 , . . . , ϕm (ψk,q k,q2 ) . 2 2 1 m (ψk,q , . . . , ψk,q ) d´eﬁnie alors une nouvelle base de l’espace propre associ´e `a 2 2 λk,q2 . En eﬀet,

Ω

r s ψk,q ψk,q = 2 2

=

m α=1

m α=1

m

t β=1 Mrα Msβ

m

Ω

β ϕα k,q2 ϕk,q2

β=1 Mαr Msβ δα,β

=

m α=1

m β=1

t Mαr Msα

= (M M t )sr = δsr . car, M ´etant orthogonale, M M t = I. (3.60) s’´ecrit maintenant sous la forme l ∂ν ϕlk,q1 = ∂ν ψk,q , 1 ≤ l ≤ m = m(k), k ≥ 1. 2

(3.61)

192

3 Probl`emes inverses paraboliques

Vu le Th´eor`eme 2.12, (3.58) et (3.61) entrainent q1 = q2 , ce qui termine la preuve du th´eor`eme. Preuve du Lemme 3.20. Soit V (resp. W ) l’espace vectoriel engendr´e par {f1 , . . . , fl } (resp. {g1 , . . . , gm }). f1 ´etant non identiquement nulle, il existe x1 ∈ X tel que f (x1 ) = 0 et, comme f1 , f2 sont lin´eairement ind´ependantes, il existe x2 ∈ X pour lequel f1 (x1 ) f2 (x1 ) d´et = 0. f1 (x2 ) f2 (x2 ) Par induction, nous montrons qu’il existe x1 , . . . xl des points de X tels que la matrice l × l ⎛ ⎞ f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fl (x1 ) ⎜ f1 (x2 ) f2 (x2 ) . . . fl (x2 ) ⎟ ⎜ ⎟ P =⎜ . .. ⎟ .. .. ⎝ .. . ⎠ . . f1 (xl ) f2 (xl ) . . . fl (xl ) soit inversible. En prenant x = xj dans (3.57), nous trouvons P F (y) = QG(y), y ∈ X, o` u Q est la matrice l × m donn´ee par ⎞ ⎛ g1 (x1 ) g2 (x1 ) . . . gm (x1 ) ⎜ g1 (x2 ) g2 (x2 ) . . . gm (x2 ) ⎟ ⎟ ⎜ Q=⎜ . ⎟. .. .. .. ⎠ ⎝ .. . . . g1 (xl ) g2 (xl ) . . . gm (xl ) C’est-`a-dire, nous avons F (y) = M G(y), pour tout y ∈ X, avec M = P −1 Q. Il r´esulte que V ⊆ W . De la mˆeme mani`ere, puisque F et G sont interchangeables, nous montrons que nous avons aussi W ⊆ V . Par suite, i = m car {f1 , . . . , fl } (resp. {g1 , . . . , gm }) sont lin´eairement ind´ependantes. Il reste a` montrer que M est une matrice orthogonale. De (3.57), nous tirons (M t M − I)G(x) · G(y) = 0, x, y ∈ X. D’o` u M t M = I car {g1 , . . . , gm } sont lin´eairement ind´ependantes.

Ce paragraphe a ´et´e pr´epar´e `a partir de l’article de B. Canuto et O. Kavian [CK1].

3.6 D´ etermination d’un coeﬃcient d´ ependant du temps : m´ ethode fond´ ee sur les solutions “optique g´ eom´ etrique” Les preuves de certains r´esultats que nous donnons ici sont similaires `a celles du paragraphe 2.1. Cependant, pour le confort du lecteur et aﬁn d’avoir une lecture ind´ependante de celle du paragraphe 2.1, nous d´etaillerons toutes les d´emonstations. Dans ce paragraphe, nous supposons n ≥ 2.

3.6 M´ethode de solutions “optique g´eom´etrique”

193

3.6.1 Solutions “optique g´ eom´ etrique” et densit´ e des produits de solutions Nous utiliserons les mˆemes notations qu’au paragraphe 2.1 du Chapitre 2 : Dj = −i∂j et, pour α = (α1 . . . , αn ) ∈ Nn , Dα = D1α1 . . . Dnαn . Nous consid´erons l’op´erateur diﬀ´erentiel lin´eaire `a coeﬃcients constants

P (D) = aα D α , |α|≤m

o` u m et un entier et aα ∈ C. Si k1 , . . . kn sont des entiers positifs, on pose αi |α : k| = ki . Si (ki )1≤i≤n est telle que

P (D) = aα D α , |α:k|≤1

nous notons

P ◦ (D) =

aα D α .

|α:k|=1

Nous dirons que P (D) est semi-elliptique si P ◦ (ξ) = 0 pour tout 0 = ξ ∈ Rn . Soit Pa± = ±∂t − ia · ∇x − Δx , o` u a ∈ Cn . Le symbole de Pa± est alors donn´e par Pa± (ξ, τ ) = ±iτ + a · ξ + ξ · ξ, (τ, ξ) ∈ Rn × R. Clairement (Pa± )◦ (ξ, τ ) = ±iτ + ξ · ξ et donc Pa± est semi-elliptique. Nous rappelons que P˜ est d´eﬁni par

1 P˜ (ξ) = ( |Dα P (ξ)|2 ) 2 . α

Th´ eor` eme 3.22. [Hor2] Soit X un ouvert born´e de Rn+1 et supposons que P (D) est semi-elliptique. Soit u ∈ D (X) v´eriﬁant P (D)u ∈ L2 (X). Alors il existe v ∈ S telle que P˜ (ξ)F v ∈ L2 (Rn+1 ) et u = v|X . Si Pa± est comme ci-dessus, alors 1

[P˜a± (ξ, τ )]2 ≥ M [1 + |ξ|2 + (1 + τ 2 ) 2 ], pour une certaine constante M . Rappelons d’autre part que l’espace H 2,1 (Rnx × Rt ) peut ˆetre d´eﬁni par 1

H 2,1 (Rnx × Rt ) = {u; [1 + |ξ|2 + (1 + |τ |2 ) 2 ]F u ∈ L2 (Rnx × Rt )}. Si Q = Ω × (0, T ), o` u Ω est un domaine de classe C 2 de Rn , il est d´emontr´e dans J.-L. Lions et E. Magenes [LM] que H 2,1 (Q) = {u|Q ; u ∈ H 2,1 (Rnx × Rt )}. Comme cons´equence du dernier th´eor`eme, nous avons

194

3 Probl`emes inverses paraboliques

Corollaire 3.23. Si u ∈ L2 (Q) v´eriﬁe Pa± u ∈ L2 (Q), alors u ∈ H 2,1 (Q). Dans toute la suite X d´esignera un ouvert born´e de Rn+1 , n ≥ 2. Pour q ∈ L∞ (X) nous posons Sq± = {u ∈ H 2,1 (X); ±ut − Δu + qu = 0 dans X}. Proposition 3.24. Soit q ∈ L∞ (X), qL∞ (X) ≤ M . Alors il existe une constante C, qui ne d´epend que de Q, n et M pour laquelle : pour tout (ξ, τ ) ∈ Cn × C tel que ∓iτ + ξ · ξ = 0 et |ξ| > C, il existe wξ± ∈ H 2,1 (X) v´eriﬁant wξ± L2 (X) ≤ et

C |ξ| − C

(3.62)

u± = e−i(ξ·x+τ t) (1 + wξ± ) ∈ Sq± .

Preuve. Soient Ω un un ouvert born´e de Rn de classe C 2 et T > 0 tels que X ⊂ Q = Ω × (0, T ). Clairement, il nous suﬃt de d´emontrer la proposition avec Q ` a la place de X. Notons d’abord que wξ± doit satisfaire a` l’´equation ±wt + 2iξ · ∇w − Δw = −q(1 + w) dans Q.

(3.63)

Soit Pξ± (η, μ) = ∓iμ+2ξ·η+η·η. Par le Th´eor`eme 2.3, il existe Eξ± ∈ B(L2 (Q)) tel que (±∂t + 2iξ · ∇ + Δ)Eξ± f = f, pour f ∈ L2 (Q), et Eξ± L(L2 (Q)) ≤ K ≤K

sup (η,μ)∈Rn ×R

1 P˜ξ± (η, μ)

1

sup

± (η,μ)∈Rn ×R |∇η Pξ (η, μ)|

≤

K , |ξ|

o` u la constante K ne d´epend que de n et Q. Nous introduisons l’application Fξ± : L2 (Q) → L2 (Q) f → Eξ± [−q(1 + f )]. Nous avons KqL∞ (Q) f − gL2 (Q) |ξ| KM f − gL2 (Q) , f, g ∈ L2 (Q), ≤ |ξ|

Fξ± f − Fξ± L2 (Q) ≤

(3.64)

3.6 M´ethode de solutions “optique g´eom´etrique”

195

par (3.64). Par suite, Fξ± poss`ede un unique point ﬁxe wξ± ∈ L2 (Q) d`es que |Im(ξ)| > C = KM . Comme Pξ± (D)wξ± = −q(1 + wξ± ) ∈ L2 (Q), wξ± est dans H 2,1 (Q) par le Corollaire 3.23. Nous compl´etons la preuve en remarquant que wξ± L2 (Q) ≤ Fξ± wξ± − Fξ± 0L2 (Q) + Fξ± 0L2 (Q) ≤

C (wξ± L2 (Q) + 1), |ξ|

ce qui donne (3.62).

Comme cons´equence de l’existence de solutions “optique g´eom´etrique”, nous avons Th´ eor` eme 3.25. Soient p, q ∈ L∞ (X). Alors F = vect{uv, u ∈ Sp+ , v ∈ Sq− } est dense dans L1 (X). Nous utliserons le Lemme 3.26. Soit (k, l) ∈ Rn × R, k = 0. Nous pouvons trouver une constante positive R0 telle que si R ≥ R0 alors il existe (ξ± , τ± ) ∈ Cn × C v´eriﬁant |ξ± | ≥ R,

∓iτ± + ξ± · ξ± = 0,

(ξ+ , τ+ ) + (ξ− , τ− ) = (k, l).

Preuve. Soit 0 = k ⊥ ∈ Rn un vecteur orthogonal `a k. Posons ⎧ k lk ⊥ ⊥ ⎪ ⎨ ξ− = 2 + k + i( 2|k| + k ) 2 2 τ− = 2l + 2|k ⊥ |2 + i l −|k| 4 ⎪ ⎩ (ξ , τ ) = −(ξ , τ ) + (k, l). + + − −

(3.65)

(3.66)

Nous v´eriﬁons sans peine que (ξ± , τ± ), donn´e par (3.66), v´eriﬁent la seconde et la troisi`eme in´egalit´es de (3.65). La premi`ere condition de (3.65) est aussi satisfaite si nous choisissons |k ⊥ | assez grand. Preuve du Th´ eor` eme 3.25. Nous raisonnons par l’absurde. Si F n’´etait pas dense dans L1 (X) alors il existerait, par le th´eor`eme de s´eparation de Hahn-Banach, f ∈ L∞ (X) non identiquement nulle telle que f gdxdt = 0 pour g ∈ F. (3.67) X

Fixons (k, l) ∈ Rn × R, k = 0 arbitraire. D’apr`es le Lemme 3.26, pour R assez large, il existe (ξ± , τ± ) ∈ Cn × C tel que |ξ± | ≥ R,

∓iτ± + ξ± · ξ± = 0,

(ξ+ , τ+ ) + (ξ− , τ− ) = (k, l).

196

3 Probl`emes inverses paraboliques

Nous appliquons alors la Proposition 3.24 pour d´eduire qu’il existe wξ± ∈ H 2,1 (Q) v´eriﬁant C , wξ± L2 (Q) ≤ R−C pour une certaine constante positive C, ind´ependante de R, et telle que u+ = e−i(ξ+ ·x+τ+t) (1 + wξ+ ) ∈ Sp+ , et

u− = e−i(ξ− ·x+τ− t) (1 + wξ− ) ∈ Sq− .

Puisque u+ u− ∈ F , (3.67) implique e−i(k·x+lt) f + z = 0, X

(3.68)

X

avec z = e−i(k·x+lt) (wξ+ + wξ− + wξ+ wξ− )f . Mais wξ± tend vers z´ero dans L2 (X) quand R tend vers +∞. Nous passons donc `a la limite dans (3.68), quand R tend vers +∞, pour conclure e−i(k·x+lt) f = 0 Q

et donc F f = 0 (F f ´etant la transform´ee de Fourier de f ). Par suite, f est identiquement nulle. D’o` u la contradiction. 3.6.2 Un r´ esultat d’unicit´ e Soient Ω un domaine born´e de Rn de classe C 2 et de fronti`ere Γ , Q = Ω × (0, T ), Σ0 = Ω × {0} et Σ = Γ × (0, T ). Nous introduisons l’espace 3 3 ,4

0H 2

3 3

(Σ) = {ψ ∈ H 2 , 4 (Σ); ψ(·, 0) = 0 sur Γ }. 3 3

Rappelons (voir le Th´eor`eme 1.43) que si q ∈ L∞ (Q), ϕ ∈ 0 H 2 , 4 (Σ) le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu + qu = 0, dans Q, u = 0, sur Σ0 , (3.69) ⎩ u = ϕ, sur Σ, admet une unique solution uq,ϕ dans H 2,1 (Q) telle que uq,ϕ H 2,1 (Q) ≤ Cϕ

3 3

H 2 , 4 (Σ)

,

pour une certaine constante positive C ind´ependante de ϕ.

(3.70)

3.6 M´ethode de solutions “optique g´eom´etrique”

197

Soit Γ un ferm´e d’int´erieur non vide de Γ et notons Σ = Γ × (0, T ). La continuit´e de l’op´erateur de trace 1 1

w ∈ H 2,1 (Q) → ∂ν w|Σ ∈ H 2 , 4 (Σ ) et (3.70) nous permettent alors d’aﬃrmer que l’op´erateur 3 3

1 1

Λq : 0 H 2 , 4 (Σ) → H 2 , 4 (Σ ) ϕ → ∂ν uq,ϕ|Σ est born´e. Nous nous proposons de d´emontrer le r´esultat d’unicit´e suivant, o` u D0 = 3 3 {ϕ ∈ 0 H 2 , 4 (Σ), ϕ = 0 en dehors de Σ }, Th´ eor` eme 3.27. L’application q ∈ L∞ (Q) → Λq|D0 est injective. Pour q ∈ L∞ (Q), notons Sq0 = {u, u = uq,ϕ pour un certain ϕ ∈ D0 }, SqT = {v, v(., t) = u(., T − t) pour un certain u ∈ Sq0 }. Le Th´eor`eme 3.27 r´esultera du r´esultat de densit´e suivant Proposition 3.28. Soient p, q ∈ L∞ (Q). Alors Fp,q = vect{uv, u ∈ Sp0 , v ∈ SqT } est dense dans L1 (Q). Le preuve de cette proposition utilise le Lemme 3.29. Soient q ∈ L∞ (Q), ω ⊂ Q un ouvert tel que ω ⊂ Q et f ∈ L2 (ω). Si f udxdt = 0, u ∈ Sq0 (resp. SqT )4

(3.71)

f udxdt = 0, u ∈ Sq+ (resp. Sq− ),

(3.72)

Q

alors

Q

o` u Sq± = {u ∈ H 2,1 (Q), ±ut − Δu + qu = 0 dans Q}. Preuve. Soit w ∈ H 2,1 (Q) l’unique solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ −∂t w − Δw + qw = f, dans Q, w = 0, sur ΣT , ⎩ w = 0, sur Σ. 4

Nous identiﬁons f avec sont prolongement par 0 en dehors de ω.

198

3 Probl`emes inverses paraboliques

Nous appliquons la formule de Green a` w et u = uq,ϕ , avec ϕ ∈ D0 , pour avoir f udxdt + ϕ∂ν wdσdt. 0= Q

Σ

Par suite, (3.71) implique ϕ∂ν wdσdt ϕ ∈ D0 .

0= Σ

Il en r´esulte ∂ν w|Σ = 0. Soit T0 tel que Q0 = Ω × (0, T0 ) ⊂ Q \ ω. Puisque −∂t w − Δw + qw = 0 dans Q0 , w = 0 dans Q0 par le Corollaire 1.50 (unicit´e du prolongement). En particulier, w = 0 sur Σ0 . Par cons´equence, (3.72) se d´eduit facilement d’une nouvelle application de la formule de Green, appliqu´ee a w et u ∈ Sq+ . Pour terminer, nous notons que le mˆeme argument est valable ` si nous rempla¸cons Sq0 et Sq+ par SqT et Sq− . Preuve de la Proposition 3.28. Il suﬃt de d´emontrer que Fp,q est dense dans L1 (ω) pour tout ouvert ω, ω ⊂ Q. Si Fp,q n’´etait pas dense dans L1 (ω) pour un certain ω, ω ⊂ Q, alors, d’apr`es le th´eor`eme de s´eparation de HahnBanach (voir par exemple L. Schwartz [Sc2]), il existerait f ∈ L∞ (ω) non identiquement nulle telle que f zdxdt = 0, z ∈ Fp,q . ω

Ceci et le Lemme 3.29 entraineraient f zdxdt = 0, z ∈ vect{uv, u ∈ Sp+ , v ∈ Sq− }. ω

u f Mais ce dernier espace est dense dans L1 (ω) par le Th´eor`eme 3.25. D’o` serait identiquement nulle, ce qui aboutirait a` une contradiction. Le Th´eor`eme 3.27 est une cons´equence de cette derni`ere proposition et du Lemme 3.30. Soient p, q ∈ L∞ (Q). Si Λp|D0 = Λq|D0 alors (p − q)zdxdt = 0, z ∈ Fp,q .

(3.73)

Q

Preuve. Soient u1 = up,ϕ , u2 = uq,ϕ et w = u2 − u1 , o` u ϕ est un ´el´ement arbitraire de D0 . Un simple calcul nous montre que w v´eriﬁe ⎧ ⎨ ∂t w − Δw + qw = (p − q)u1 , dans Q, w = 0, sur Σ0 ∪ Σ, ⎩ ∂ν w|Σ = 0. Notons que la deri`ere identit´e r´esulte de ∂ν u1|Σ = ∂ν u2|Σ qui est une cons´equence de Λp|D0 = Λq |D0 . (3.73) peut se d´emontrer maintenant ais´ement en appliquant la formule de Green `a v ∈ SqT et w.

3.6 M´ethode de solutions “optique g´eom´etrique”

199

3.6.3 Un r´ esultat de stabilit´ e Comme au sous-paragraphe pr´ec´edent, Ω est un domaine born´e de Rn de classe C 2 et de fronti`ere Γ , Q = Ω × (0, T ), Σ0 = Ω × {0} et Σ = Γ × (0, T ). 3 3

Consid´erons X = {(u0 , g) ∈ H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ); u0|Γ = g(·, 0)}, qui est un 3 3 sous-espace ferm´e de H 1 (Ω)×H 2 , 4 (Σ) par le Th´eor`eme 1.42. Nous munissons X de sa norme naturelle f X = u0 H 1 (Ω) + g

3 3

H 2 , 4 (Σ)

, pour f = (u0 , g) ∈ X ,

qui en fait un espace de Banach. Rappelons (voir le Th´eor`eme 1.43) que si q ∈ L∞ (Q) et f = (u0 , g) ∈ X alors le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu + qu = 0, dans Q, u = u0 , sur Σ0 , ⎩ u = g, sur Σ, admet une unique solution u = u(q, f ) ∈ H 2,1 (Q) et u(q, f )H 2,1 (Q) ≤ Cf X , pour une certaine constante C d´ependant de M , M ≥ qL∞ (Q) . En notant que u(q, f )(·, T − ·) est aussi dans H 2,1 (Q), la derni`ere estimation et la continuit´e de l’op´erateur de trace 1 1

w ∈ H 2,1 (Q) → (w|ΣT , ∂ν w) ∈ H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ), avec ΣT = Ω × {T }, nous permettent de conclure u(q, f )|ΣT H 1 (Ω) + ∂ν u(q, f )|Σ

1 1

H 2 , 4 (Σ)

≤ Cf X ,

(3.74)

o` u C = C(M ) est une constante positive. En d’autres termes, l’op´erateur lin´eaire 1 1

Λq = (Λ1q , Λ2q ) : X → H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ) f → (u(q, f )|ΣT , ∂ν u(q, f )|Σ ) est born´e. De plus, vu (3.74), l’application q → Λq envoie les born´es de L∞ (Q) 1 1 sur les born´es de L(X ; H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ)). Notre objectif dans ce paragraphe est de d´emontrer le

200

3 Probl`emes inverses paraboliques

Th´ eor` eme 3.31. Pour i = 1, 2 soit qi ∈ L∞ (Q) telles que q1 − q2 ∈ H01 (Q) et qi H 1 (Q) , qi L∞ (Q) ≤ M. Alors

q1 − q2 L2 (Q)

1 ≤ C log δΛq1 − Λq2

1 − n+3

,

si Λq1 − Λq2 est suﬃsamment petit, o` u C et δ sont deux constantes positives d´ependantes de M , et Λq1 − Λq2 d´esigne la norme de Λq1 − Λq2 dans 1 1 L(X ; H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ)). Preuve. Posons Sq±i = {u ∈ H 2,1 (Q);

±ut − Δu + qi u = 0

dans Q}.

Soient u+ ∈ Sq+1 , f = (u0 , g) = (u+ |Σ0 , u+ |Σ ) et notons par v + la solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu + q2 u = 0, dans Q, u = u0 , sur Σ0 , ⎩ u = g, sur Σ. Nous appliquons alors la formule de Green `a w = u+ − v + et v − ∈ Sq−2 pour avoir + − − − (q2 −q1 )u v dxdt = (wt −Δw+q2 w)v dxdt = wv dx− ∂n wv − dσ. Q

Q

ΣT

Σ

Mais w|ΣT = u+ |ΣT − v + |ΣT = Λ1q1 (f ) − Λ1q2 (f ) et ∂ν w|Σ = Λ2q1 (f ) − Λ2q2 (f ). D’o` u (q2 −q1 )u+ v − dxdt = [Λ1q1 (f )−Λ1q2 (f )]v − dx− [Λ2q1 (f )−Λ2q2 (f )]v − dσ. Q

ΣT

Σ

(3.75) Pour poursuivre la preuve, nous utiliserons le lemme suivant, dont la preuve sera donn´ee un peu plus loin, Lemme 3.32. Pour i = 1, 2, soit qi ∈ L∞ (Q), qi L∞ (Q) ≤ M . Alors il existe r0 > 0 pour lequel : pour tous ζ ∈ Rn+1 et r ≥ r0 , nous trouvons u+ ∈ Sq+1 et v − ∈ Sq−2 qui v´eriﬁent (i) u+ = e−iζ+ ·(x,t) (1 + wζ+ ), v − = e−iζ− ·(x,t) (1 + wζ− ), avec ζ+ , ζ− ∈ Cn+1 et ζ+ + ζ− = ζ. (ii) wζ+ L2 (Q) , wζ− L2 (Q) ≤

C r. 2

(iii) u+ H 2,1 (Q) , v − H 2,1 (Q) ≤ Ceδ(r+|ζ| ) . Les constantes C et δ ne d´ependent que de M et Q.

3.6 M´ethode de solutions “optique g´eom´etrique”

201

Soit r0 comme dans le lemme ci-dessus. Soient ζ ∈ Rn+1 , r ≥ r0 et u+ , v − satisfaisant a` (i)-(iii) du Lemme 3.32. Alors (3.75) implique (q2 − q1 )e−iζ·(x,t) dxdt = − (q2 − q1 )(wζ+ + wζ− + wζ+ wζ− )dxdt + Q Q 1 1 − [Λq1 (f ) − Λq2 (f )]v dx − [Λ2q1 (f ) − Λ2q2 (f )]v − dσ, (3.76) + ΣT

o` u f = (u

+

Σ

+

|ΣT , u |Σ ).

Soit q ´egale a` q1 − q2 , prolong´ee par 0 en dehors de Q. F q ´etant la transform´ee de Fourier de q, de (3.76) nous d´eduisons C + Λ1q1 (f ) − Λ1q2 (f )H 1 (Ω) v − H 1 (Ω) r + Λ2q1 (f ) − Λ2q2 (f ) 12 , 14 v− 32 , 34 ,

|Fq(ζ)| ≤

H

(Σ)

H

(Σ)

o` u nous avons suppos´e que r0 ≥ 1. Nous utilisons v − |ΣT H 1 (Ω) + v − |Σ ≤ cv − H 2,1 (Q)

f X ≤ cu+ H 2,1 (Q) ,

(pour une certaine constante c) et le Lemme 3.32 (iii) pour conclure 1 δ(r+|ζ|2 ) + Λq1 − Λq2 e , |Fq(ζ)| ≤ C r pour r ≥ r0 , o` u les constantes C et δ sont ind´ependantes de r et ζ. 1

1 log γ1 ] 2 (γ est suppos´e suﬃsamment Posons γ = Λq1 − Λq2 et ρ0 = [ 2δ petit). De la derni`ere in´egalit´e nous tirons 1 1 + γ 2 eδr , si r ≥ r0 et |ζ| ≤ ρ0 . (3.77) |Fq(ζ)| ≤ C r 1

Supposons que δγ 2 ≤ e 1 2

−δr0 2 r0

−δr1 2 r1

. Alors, comme e

−δr r2

est d´ecroissante, il existe

. Par cons´equent, (3.77) implique r1 ≥ r0 tel que δγ = e 1 1 1 1 + 2 ≤C 1+ , si |ζ| ≤ ρ0 . |Fq(ζ)| ≤ C r1 δr1 δ r1 Or e(

√ 2+δ)r1

≥ r12 eδr1 =

1

1

δγ 2

(3.78)

. Ceci et (3.78) donnent

|Fq(ζ)| ≤ C[log

1 −1 ] , δ2 γ

si |ζ| ≤ ρ0 . 1

(3.79)

D’autre part, puisque q ∈ H 1 (Rn+1 ), (1 + |ζ|2 ) 2 F q ∈ L2 (Rn+1 ) et donc

202

3 Probl`emes inverses paraboliques

|ζ|≥ρ

F q(ζ)2 ≤

1 ρ2

|ζ|≥ρ

|ζ|2 F q(ζ)2 ≤

1 4M 2 1 (Rn+1 ) ≤ q . H ρ2 ρ2

En tenant compte de (3.79), nous obtenons l’estimation q2L2 (Rn+1 ) = F q2L2 (Rn+1 ) ≤ C(ρn+1 [log

1 δ2γ

]−1 +

1 ), ρ2

(3.80)

pour ρ ≤ ρ0 . Maintenant la fonction ρn+1 [log δ21γ ]−1 + ρ1 =

1 ρ2

atteint son minimum en

1 1 n+3 2 log 2 . n+1 δ γ 1

1

2 1 Nous avons ρ1 ≤ ρ0 si [ n+1 log δ21γ ] n+3 ≤ [ 2δ log γ1 ] 2 . Bien entendu cette estimation est vraie d`es que γ est suﬃsamment petit. Nous prenons alors ρ = ρ1 dans (3.80) pour avoir 2 1 − n+3 , q2L2 (Rn+1 ) ≤ C log 2 δ γ

ce qui termine la preuve.

Preuve du Lemme 3.32. D’apr`es la Proposition 3.24, il existe r0 , qui d´epend de M , tel que pour tout (ξ, τ ) ∈ Cn × C v´eriﬁant ∓iτ + ξ · ξ = 0 et |ξ| ≥ r0 correspond wξ ∈ H 2,1 (Q) avec les propri´et´es wξ L2 (Q) ≤

C |ξ|

et

u = e−i(ξ,τ )·(x,t)(1 + wξ ) ∈ Sq± ,

(3.81)

avec q = q1 ou q2 . u Pξ± et Eξ± sont les mˆemes que dans la Soient P = Pξ± et E = Eξ± , o` preuve de la Proposition 3.24. Il n’est diﬃcile de voir que |η|2 (1+|ξ|2 )P˜ (η,μ)

|η| , |μ| P˜ (η,μ) P˜ (η,μ)

et

sont born´ees. Ceci, le Th´eor`eme 2.3 (ii) et le fait que wξ = E(−q(1 + wξ )) entrainent wξ H 2,1 (Q) ≤ C(1 + |ξ|2 ). Donc

uH 2,1 (Q) ≤ C(|τ | + |ξ| + |ξ|2 )eδ(| ξ|+| τ | ).

(3.82)

Si ζ = (k, l) ∈ R × R, soient ζ+ = (ξ+ , τ+ ) et ζ− = (ξ− , τ− ) comme dans (3.66). La conclusion r´esulte alors ais´ement de (3.81) et (3.82) en prenant r = |k ⊥ | dans (3.66). n

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

203

3.7 Stabilit´ e de la d´ etermination d’un terme semilin´ eaire Dans ce paragraphe, nous ´etablissons un r´esultat de stabilit´e pour le probl`eme que nous avons ´etudi´e au sous-paragraphe 3.1.2 et pour lequel nous avons d´emontr´e un r´esultat d’unicit´e. Soit Ω un domaine born´e de Rn , de fronti`ere Γ , et notons Q = Ω × [0, T ], Σ0 = Ω × {0}, et Σ = Γ × [0, T ]. Mˆeme si ce n’est pas toujours n´ecessaire, nous supposons, pour simpliﬁer, que Ω est de classe C ∞ . Nous consid´erons le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ Δu − ∂t u = f (u), dans Q, u = 0, dans Σ0 , ⎩ u = ϕ, sur Σ.

(3.83)

α

Nous supposons que ϕ ∈ C 2+α,1+ 2 (Σ) pour un certain α, 0 < α < 1, et v´eriﬁe ϕ ≥ 0, ϕ(·, 0) = 0, ϕ ≡ 0. Posons M = max ϕ. Σ

Nous pouvons montrer (voir par exemple O. A. Ladyzhenskaja, V. A. Solonnikov and N. N. Ural’tzeva [LSU]) que si f ∈ C 1 (R) est positive, croissante et f (0) = 0 alors le probl`eme aux limites (3.83) admet une unique soluα tion u = uf ∈ C 2+α,1+ 2 (Q). Notons alors par F l’ensemble des fonctions f ∈ C 1 (R) satisfaisant f (0) = 0, f ≥ 0 et pour lesquelles le probl`eme aux α limites (3.83) admet une unique solution uf ∈ C 2+α,1+ 2 (Q). Nous noterons la constante de Lipschitz d’une fonction h, d´eﬁnie sur [0, M ], par L(h). C’est-`a-dire L(h) = inf{C ∈ R+ ; |h(t) − h(s)| ≤ C|t − s|, t, s ∈ [0, M ]}. Soit

F0 = {h ∈ F ; h est lipschitzienne sur [0, M ]}

et, pour R > 0, notons FR = {h ∈ F0 ; hC 1 [0,M] + L(h ) ≤ R}. Soit K une constante donn´ee et posons D = {z ∈ C; z > 0, |z| < K}. De mani`ere usuelle A(D) d´esigne l’espace des fonctions analytiques sur D. Si R > 0, nous d´eﬁnissons l’ensemble F˜R = {h ∈ F0 ; h = H|R+ pour un certain H ∈ A(D) ∩ C(D),

HC 1[0,M] + L(H ) + HC(D) ≤ R}.

Nous nous proposons dans ce paragraphe de d´emontrer les deux th´eor`emes suivants :

204

3 Probl`emes inverses paraboliques

Th´ eor` eme 3.33. Fixons N ≥ 1 un entier et R > 0 une constante. Il existe deux constantes positives C et δ telles que si f , g ∈ FR , f − g change de signe au plus N fois sur [0, M ] et f − gC 1 [0,M] ≤ δ, alors 1

N

f − gL∞ (0,M) ≤ C∂ν uf − ∂ν ug L(n+2) ∞ (Σ) . Th´ eor` eme 3.34. Fixons 0 < m ≤ M tel que 2m < K et R > 0 une constante. Alors pour tout ∈ (0, 13 ), il existe deux constantes positives C et δ > 0 telles que f − gL∞ (0,M) ≤ C ∂ν uf − ∂ν ug θL∞ (Σ) , pour f , g ∈ F˜R , f − g a un signe constant sur [0, m] et f − gC 1 [0,M] ≤ δ. Ici √ 1 1 1 θ = ( − )exp( 3π( − k)), n+2 3 2 o` u k est le plus petit entier tel que km ≥ M . La preuve du Th´eor`eme 3.33 utilise une minoration gaussienne de la solution fondamentale d’un op´erateur parabolique de la forme P u = Δu − ∂t u + c(x, t)u. Ces minorations ´etant int´eressantes en elles mˆemes, nous les d´emontrerons au prochain sous-paragraphe. Un second sous-paragraphe sera, quant a` lui, consacr´e `a la preuve des Th´eor`emes 3.33 et 3.34. 3.7.1 Minoration gaussienne pour la solution fondamentale Le point cl´e consiste `a ´etablir une minoration gaussienne pour le noyau de la chaleur associ´e au laplacien Neumann. Rappelons que le laplacien Neumann sur Ω, not´e ΔN , est (moins) l’op´erateur associ´e `a la forme bilin´eaire a(u, v) = ∇u · ∇vdx, D(a) = H 1 (Ω). Ω

Il est bien connu que ΔN est le g´en´erateur dans L2 (Ω) d’un semi-groupe analytique (etΔN )t≥0 . De plus, il existe 0 ≤ p(t, x, y) ∈ C ∞ ((0, +∞) × Rn × Rn ), appel´ee noyau de la chaleur de ΔN , telle que tΔN e f (x) = p(t, x, y)f (y)dy, p.p. x ∈ Ω, (3.84) Ω

pour f ∈ L2 (Ω). Nous utiliserons la majoration gaussienne suivante : pour tout > 0,

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

p(t, x, y) ≤ C et t− 2 e−c n

|x−y|2 t

, t > 0.

205

(3.85)

o` u c et C sont deux constantes positives, avec C d´ependant de . (Le lecteur trouvera une d´emonstration de cette in´egalit´e dans E. B. Davies [Da] ou E. Ouhabaz [Ou].) Proposition 3.35. Il existe une constante positive C telle que p(t, x, x), ≥ Ct− 2 , t > 0 et x ∈ Ω. n

(3.86)

Preuve. Fixons x ∈√Ω. Nous consid´erons s´epar´ement les √ cas (a) 0 < t ≤ 1 et (b) t ≥ 1. Soit B(x, t) la boule de centre x et de rayon t. Pour le cas (a), nous avons d’apr`es la majoration gaussienne (3.85),

√ Ω\B(x,α t)

p(t, x, y)dy ≤

√ Ω\B(x,α t)

n

|x−y|2 t

dy

2

≤ Cee− 2 α c

Cet t− 2 e−c

n c √ t− 2 e − 2 Ω\B(x,α t)

|x−y|2 t

dy

2

≤ C e− 2 α , c

pour certaines constantes postives C et C . Donc, il existe α0 > 0, ind´ependante de t et x, pour laquelle 1 (3.87) √ p(t, x, y)dy ≤ 2 , pour tout α ≥ α0 . Ω\B(x,α t) La propri´et´e de semi-groupe e(t+s)ΔN = etΔN esΔN et la propri´et´e de sym´etrie p(t, x, y) = p(t, y, x) impliquent t p( , x, y)2 dy. p(t, x, x) = 2 Ω Par suite, p(t, x, x) ≥ ≥

√ B(x,α0 t)∩Ω

p( 2t , x, y)2 dy

1√ √ ( |B(x,α0 t)∩Ω| B(x,α0 t)∩Ω

≥ Ct− 2 (1 − n

√ Ω\B(x,α0 t)

p( 2t , x, y)dy)2 ,

o` u C est une constante positive. D’o` u p(t, x, x) ≥ en utilisant (3.87).

p( 2t , x, y)dy)2

C −n t 2, 4

206

3 Probl`emes inverses paraboliques

Examinons maintenant le cas (b) t ≥ 1. De la propri´et´e etΔN 1 = 1 nous tirons 1 = Ω p( 2t , x, y)dy. Ceci et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz entrainent t t 2 1 = ( p( , x, y)dy) ≤ |Ω| p( , x, y)2 dy = |Ω|p(t, x, x). 2 2 Ω Ω Comme t ≥ 1, nous avons p(t, x, x) ≥

1 −n t 2, |Ω|

ce qui termine la preuve.

Proposition 3.36. Etant donn´ee T > 0. Alors il existe deux constantes positives δ > 0 et c > 0 telles que √ n p(t, x, y) ≥ ct− 2 , 0 < t ≤ T, x, y ∈ Ω, |x − y| ≤ δ t. (3.88) Preuve. Nous distiguerons deux cas : (i) n est impair et (ii) n est pair. Dans cette d´emonstration C d´esigne une constante g´en´erique. (i) Supposons que n = 2p + 1 et notons k = p + 1. D’apr`es les th´eor`emes classiques de r´egularit´e elliptiques (voir par exemple J.-L. Lions and E. Magenes [LM]) nous d´eduisons que l’op´erateur (1 − ΔN ) est un isomorphisme de H k (Ω) sur H k−2 (Ω). Aussi, puisque k− n2 = 12 nous concluons que H k (Ω) s’in1 k jecte continˆ ument dans C 2 (Ω). Or p(t, ·, y) ∈ D((1 − ΔN ) 2 ) pour tout t > 0 k k (ici D((1 − ΔN ) 2 ) est le domaine de la puissance fractionnaire (1 − ΔN ) 2 de l’op´erateur 1 − ΔN ). Ainsi, 1

|p(t, x, y) − p(t, x , y)| ≤ [p(t, ·, y)] 12 |x − x | 2 1

≤ C|x − x | 2 p(t, ·, y)H k (Ω) 1

(3.89)

≤ C|x − x | 2 (1 − ΔN ) 2 p(t, ·, y)L2 (Ω) , x, x , y ∈ Ω, o` u [u] 12 =

sup x,y∈Ω, x =y

k

|u(x) − u(y)| 1

|x − y| 2

.

La troisi`eme in´egalit´e de (3.89) est une cons´equence d’un r´esultat de D. Fujiwara [Fu]. Notons p˜ le noyau de la chaleur associ´e `a l’op´erateur −1 + ΔN . De (3.85), avec = 1, et (3.89) nous d´eduisons p˜(t, x, y) = e−t p(t, x, y) ≤ Ct− 2 , t > 0, n

(3.90)

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

207

et 1

|˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x | 2 (1 − ΔN ) 2 p˜(t, ·, y)L2 (Ω) , x, x , y ∈ Ω. (3.91) Comme et(−1+ΔN ) est un semi-groupe holomorphe born´e sur L2 (Ω) et que le spectre de 1 − ΔN est inclu dans [1, +∞[, nous avons (voir la formule (1.21)) k

(1 − ΔN ) 2 e 2 (−1+ΔN ) L2 (Ω) ≤ Ct− 2 e− 2 , t > 0. k

t

k

t

t

u, (3.91) implique De plus p˜(t, ·, y) = e 2 (−1+ΔN ) p˜( 2t , ·, y). D’o` t 1 k t p( , ·, y)L2 (Ω) , x, x , y ∈ Ω. |˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x | 2 t− 2 e− 2 ˜ 2 (3.92) Puisque 1 1 t t t p( , ·, y)L2 1 (Ω) ˜ p( , ·, y)L2 ∞ (Ω) ˜ p( , ·, y)L2 (Ω) ≤ ˜ 2 2 2 − 2t et Ω p˜(t, x, y)dx = e , nous d´eduisons de (3.90) t n t ˜ p( , ·, y)L2 (Ω) ≤ Ct− 4 e− 4 . 2 Une combinaison de cette estimation et (3.92) nous donne 1

1

3t

|˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x | 2 t− 2 − 4 e− 4 , t > 0, o` u nous avons utilis´e − k2 −

n 4

n

= − n2 − ( k2 − n4 ) = − n2 − 14 . Par suite, 1

1

|p(t, x, y) − p(t, x , y)| ≤ C|x − x | 2 t− 2 − 4 , 0 < t ≤ T. n

(3.93)

L’estimation (3.88) r´esulte alors de (3.86), (3.93) et de l’in´egalit´e suivante p(t, x, y) ≥ p(t, x, x) − |p(t, x, y) − p(t, x, x)|. (ii) Soit n = 2p, s = p + 1 + , avec 0 < < 1 donn´e. Comme s − n2 > 1, ument dans C 1 (Ω) (voir R. A. Adams [Ad] ou J.-L. H s (Ω) s’injecte continˆ Lions et E. Magenes [LM]). D’autre part, d’apr`es le Lemme 6.35 de D. Gilbarg ument dans C 0,1− (Ω) et et N. S. Trudinger [GT], C 1 (Ω) s’injecte continˆ uC 0,1−(Ω) ≤ KuC 1(Ω) , u ∈ C 1 (Ω),

(3.94)

o` u la constante K est ind´ependante de . Comme nous l’avons fait dans le cas pr´ec´edent, en utilisant le fait que (−1 + ΔN ) d´eﬁnie un isomorphime de H s (Ω) sur H s−2 (Ω) (voir par exemple J.-L. Lions et E. Magenes [LM]), nous avons |˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x |1− (1 − ΔN ) 2 p˜(t, ·, y)L2 (Ω) , s

pour x, x , y ∈ Ω.

(3.95)

208

3 Probl`emes inverses paraboliques

De nouveau l’holomorphie de et(−1+ΔN ) sur L2 (Ω) nous donne (−1 + ΔN ) 2 e 2 (−1+ΔN ) ≤ CM ()t− 2 e− 2 , t > 0. s

t

s

t

(3.96)

Ici la constante M () est explicitement donn´ee par M () =

Mm Γ (m − 2s )

+∞

rm− 2 −1 (1 + r)−m , s

(3.97)

0

o` u m est un entier satisfaisant `a m − 1 < 2s < m et Mm est une certaine constante d´ependante de m (voir M. Renardy and R. C. Rogers [RR] par exemple). De la mˆeme mani`ere qu’en (i), Nous d´eduisons de (3.95) et (3.96) |˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ CM ()|x − x |1− t− 2 − n

1+ 2

3t

e− 4 , t > 0.

(3.98)

Quand 0, 2s converge vers un α ∈ [m − 1, m[ (α = m − 1 si p est impair) et, par (3.97), M (0) = lim0 M () < ∞. Nous passons a` la limite, quand 0, dans (3.98) pour avoir 1

3t

|˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x |t− 2 − 2 e− 4 , t > 0. n

Le reste de la preuve est identique a` celui de (i).

(3.99)

Th´ eor` eme 3.37. Nous avons l’estimation p(t, x, y) ≥ Ct− 2 e−C n

|x−y|2 t

, x, y ∈ Ω, 0 < t ≤ T,

(3.100)

pour une certaine constante positive C. Preuve. Fixons x, y ∈ Ω et 0 < t ≤ T . Comme Ω is connexe, il existe un chemin γ : [0, 1] → Ω joignant x ` a y, avec γ constante par morceaux. Pour tout entier positif k et yi = γ( ki ), i = 0, 1, . . . k, il n’est pas diﬃcile de d´emontrer qu’il existe une constante c ≥ 1, ind´ependante de k, telle que |yi − yi−1 | ≤

c |x − y|, i = 0, . . . , k − 1. k

1

(3.101)

1

Si 2c|x − y| ≤ δt 2 (et donc |x − y| ≤ δt 2 ), (3.100) r´esulte imm´ediatement de 1 la Proposition 3.36. Nous supposons alors que 2c|x − y| > δt 2 . Notons par m ≥ 2 le petit entier satisfaisant 2c

|x − y| m

1 2

1

≤ δt 2 , 1

t 2 ) . o` u c est comme dans (3.101). Soient xi = γ( mi ), i = 0, 1, . . . m et r = 14 δ( m Nous utilisons la propri´et´e de semi-groupe et la positivit´e de p pour conclure

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

209

t t t , x, z1 )p( , z1 , z2 ) . . . p( , zm−1 , y)dz1 . . . dzm−1 m m m Ω Ω (3.102) t t t ... p( , x, z1 )p( , z1 , z2 ) . . . p( , zm−1 , y)dz1 . . . dzm−1 . ≥ m m m B(x1 ,r) B(xm−1 ,r)

p(t, x, y) =

...

p(

Si z0 = x et zm = y, alors |zi −zi−1 | ≤ |xi −xi−1 |+2r ≤ c

|x−y| |x−y| +2r ≤ c +2r ≤ 4r, i = 0, . . . , m−1. 1 m m2

C’est-`a-dire

t 1 ) 2 , i = 0, . . . , m − 1. m Une application de la Proposition 3.36 nous fournit, o` u ωn est la mesure de la boule unit´e de Rn , nm t ... cm ( )− 2 dz1 . . . dzm−1 p(t, x, y) ≥ m B(x1 ,r) B(xm−1 ,r) |zi − zi−1 | ≤ δ(

≥ ωnm−1 rn(m−1) cm (

nm t − nm t n(m−1) t ) 2 = ωnm−1 ( ) 2 cm ( )− 2 m m m

≥ C C m t− 2 , n

avec C et C deux constantes positives. Il existe donc deux constantes positives b et C telles que (3.103) p(t, x, y) ≥ C e−bm . De la d´eﬁnition de m nous d´eduisons m−1≤(

2c 2 |x − y|2 ) . δ t

Cette derni`ere in´egalit´e et (3.103) donnent (3.100).

Remarque. (i) Il existe une minoration plus pr´ecise dans le cas d’un domaine convexe Ω . Nous pouvons d´emontrer que le noyau de la chaleur pour le laplacien Neumann pour un domaine convexe est minor´ee par le noyau de la chaleur du laplacien dans l’espace tout entier. C’est-` a-dire p(t, x, y) ≥ (4πt)−n/2 e−|x−y|

2

/4t

.

En fait cette estimation caract´erise mˆeme la convexit´e du domaine Ω. Nous renvoyons le lecteur int´eress´e `a I. Chavel [Cha] et ses r´eferences pour de plus amples d´etails. (ii) La constante qui apparaˆıt dans le dernier th´eor`eme d´epend bien ´evidemment de T . Nous choisissons T = 1 et nous it´erons la minoration

210

3 Probl`emes inverses paraboliques

du Th´eor`eme 3.14 pour d´eduire (avec l’aide de la propri´et´e de semi-groupe (etΔN /k )k = etΔN t > 0) p(t, x, y) ≥ Ct− 2 e−ωt e−C n

|x−y|2 t

, x, y ∈ Ω, t > 0,

o` u C et ω sont des constantes positives. Notons que nous ne savons pas, pour un domaine r´egulier quelconque, si dans la derni`ere estimation est encore valable avec ω = 0. Dans le reste de ce sous-paragraphe nous d´eduisons des r´esultats pr´ec´edents une minoration gaussienne pour la solution fondamentale associ´ee au probl`eme aux limites, o` u s ∈ (s0 , t0 ) est arbitrairement ﬁx´e, ⎧ ⎨ ∂t u(x, t) = Δu(x, t) + c(x, t)u(x, t), dans (s, t0 ) × Ω, limts u(t, x) = u0 (x), sur Ω, (3.104) ⎩ ∂ν u(x, t) = 0, sur (s, t0 ) × Γ. Les fonctions u0 et c sont continues respectivement dans Ω et [s, t0 ] × Ω. Soit U (x, t; y, s) une fonction continue dans la r´egion : s0 < s < t < t0 , x ∈ Ω, y ∈ Ω. Alors U est appel´ee solution fondamentale du probl`eme aux limites (3.104) si pour tout u0 ∈ C(Ω), la fonction u(x, t) d´eﬁnie par u(x, t) = U (x, t; y, s)u0 (y)dy Ω

est solution de (3.104). Nous renvoyons `a S. Itˆ o [It] pour l’existence et l’unicit´e de la solution fondamentale. D’apr`es le Th´eor`eme 11.1 de S. Itˆo [It] (principe de comparaison pour la solution fondamentale), nous avons U (x, t; y, s) ≥ V (x, t; y, s), o` u V est la solution fondamentale de (3.104) quand c est remplac´ee par −λ = − max |c|. D’autre part, un calcul simple nous donne V (x, t; y, s) = e−λ(t−s) p(t− s, x, y). Donc comme cons´equence du Th´eor`eme 3.37, nous avons le Corollaire 3.38. U satisfait ` a l’estimation U (x, t; y, s) ≥ Ce−λ(t−s) (t − s)− 2 e−C n

pour une certaine constante positive C.

|x−y|2 t−s

, x, y ∈ Ω, s0 < s < t < t0 , (3.105)

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

211

Notons que nous avons aussi U (x, t; y, s) ≤ W (x, t; y, s),

(3.106)

avec W la solution fondamentale de (3.104) quand c est remplac´ee par λ = max |c|. Comme ci-dessus, cette in´egalit´e r´esulte du Th´eor`eme 11.1 de S. Itˆo [It]. Les in´egalit´es (3.85) et (3.106) nous permettent alors de conclure U (x, t; y, s) ≤ Ceη(t−s) (t − s)− 2 e−C n

|x−y|2 t−s

, x, y ∈ Ω, s0 < s < t < t0 , (3.107)

o` u η et C sont des constantes positives. 3.7.2 D´ emonstration des Th´ eor` emes 3.33 et 3.34 Nous montrons d’abord deux lemmes. Lemme 3.39. Soit U (x, t; y, s) la solution fondamentale du probl`eme aux limites (3.104) et T > 0. Alors il existe une constante C = C(T, n, Ω, max |c|) telle que t0 1 U (x0 , t; y, s)dyds ≥ C, (3.108) lim inf n+1 r→0 r t0 −r B(x0 ,r)∩Ω pour x0 ∈ Γ et 0 < t0 < t ≤ T . Preuve. Soient x0 ∈ Γ et 0 < t0 < t ≤ T . D’apr`es (3.105), nous avons

t0

t0 −r B(x0 ,r)∩Ω

U (x0 , t; y, s)dyds ≥ C

t0

(t−s)− 2 e−C n

|x0 −y|2 t−s

dyds,

t0 −r B(x0 ,r)∩Ω

(3.109) pour une certaine constante positive C. x ) ∈ (0, +∞) × S, o` u S et la sph`ere Soit Ψ : x ∈ Rn \ {0} → (r, ω) = (|x|, |x| n unit´e de R . Comme Ω est r´egulier (en particulier Ω `a la propri´et´e du cˆone int´erieur en x0 ) il existe γ ⊂ S, d’int´erieur non vide, telle que

Ψ (B(x0 , r) ∩ Ω) ⊃ (0, r) × γ, pour tout r > 0 suﬃsamment petit. Par suite, nous d´eduisons de (3.109)

t0

t0 −r

U (x0 , t; y, s)dyds ≥ K

B(x0 ,r)∩Ω

t0

r

ds t0 −r

u2

(t − s)− 2 e−C t−s un−1 du, n

0

o` u K est une constante, qui ne d´epend que de T , n, λ et |γ|. Mais s → (t−s)− 2 est d´ecroissante. D’o` u

n

(t − s)− 2 ≥ (t − t0 + r)− 2 ≥ (T + r)− 2 , s ∈ (t0 − r, t0 ), n

n

n

212

3 Probl`emes inverses paraboliques

et donc t0 t0 −r

U (x0 , t; y, s)dyds ≥ Kr(T + r)− 2

n

r

u2

e−C t−t0 un−1 du.

0

B(x0 ,r)∩Ω

Par la r`egle de l’Hˆ opital.

1 r→0 rn

r

lim

u2

e−C t−t0 un−1 du =

0

1 . n

Par cons´equence lim inf r→0

1 rn+1

t0

t0 −r

KT − 2 , n n

U (x0 , t; y, s)dyds ≥ B(x0 ,r)∩Ω

(3.110)

ce qui termine la preuve du lemme.

Lemme 3.40. (i) Il existe une constante positive C (qui d´epend de R > 0) telle que uf 1+α, 1+α ≤ C, f ∈ FR . 2 C

(Ω×[0,T ])

(ii) Il existe une constante C telle que uf − ug C 2+α,1+ α2 (Ω×[0,T ]) ≤ C L(f − g), f, g ∈ FR . Preuve. Pour (i), l’estimation h¨olderienne du Th´eor`eme 4.1, p. 191 de A. 1+α Friedman [Frie] nous permet d’aﬃrmer que si u ∈ C 1+α, 2 (Q) est solution de l’´equation de la chaleur, o` u h ∈ C(Q), ⎧ ⎨ Δu − ∂t u = h, dans Q, u = 0, sur Σ0 , ⎩ u = 0, sur Σ, alors u

C 1+α,

1+α 2

(Q)

≤ chC(Q) ,

(3.111) α

o` u la constante c ne d´epend pas de h. Soit Φ ∈ C 2+α,1+ 2 (Q) la solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ΔΦ − ∂t Φ = 0, dans Q, Φ = 0, dans Σ0 , ⎩ Φ = ϕ, sur Σ. Soit v = uf − Φ. Il est ais´e de voir que v est ⎧ ⎨ Δv − ∂t v = f (uf ), u = 0, ⎩ u = 0,

solution du probl`eme aux limites dans Q, dans Σ0 , sur Σ.

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

213

Il r´esulte de (3.111) v

C 1+α,

1+α 2

(Q)

≤ cf (uf )C(Q) ≤ cR.

(3.112)

D’apr`es l’estimation h¨ olderienne du Th´eor`eme 1.40, ΦC 2+α,1+ α2 (Q) ≤ c ϕC 2+α,1+ α2 (Σ) ,

(3.113)

pour une certaine constante positive c . α

Comme C 2+α,1+ 2 (Q) s’injecte continˆ ument dans C 1+α, d´eduisons de (3.112) et (3.113) u

C 1+α,

1+α 2

(Q)

1+α 2

(Q), nous

≤ cR + c ϕC 2+α,1+ α2 (Σ) = C,

o` u c est une constante positive. Nous avons donc montr´e (i). Nous d´emontrons maintenant (ii). Soient f , g ∈ FR et u = uf − ug . Alors u est la solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u = Δu + cu + [g(ug ) − f (ug )], dans Q, u = 0, dans Σ0 , ⎩ u = 0, sur Σ, avec

c(x, t) = −

1

f (ug (x, t) + τ [uf (x, t) − ug (x, t)])dτ.

0

Nous avons cC α, α2 (Q) ≤ L(f )(uf C α, α2 (Q) + ug C α, α2 (Q) ). Nous obtenons, en utilisant (i), cC α, α2 (Q) ≤ 2RC = λ. Une nouvelle fois l’estimation h¨ olderienne du Th´eor`eme 1.40 nous permet de conclure qu’il existe une constante positive C qui d´epend de λ et non de f et g telle que uC 2+α,1+ α2 (Q) ≤ C g(ug ) − f (ug )C α, α2 (Q) . Or g(ug ) − f (ug )C α, α2 (Q) ≤ L(f − g)ug C α, α2 (Q) ≤ CL(f − g). Noter que nous avons utilis´e (i) pour ´etablir la seconde in´egalit´e. Les deux derni`eres estimations impliquent

214

3 Probl`emes inverses paraboliques

uC 2+α,1+ α2 (Q) = uf − ug C 2+α,1+ α2 (Q) ≤ C CRL(f − g) = C L(f − g).

D’o` u le r´esultat. Preuve du Th´ eor` eme 3.33. Nous la donnons en deux ´etapes. Etape 1. Soit m = sup{r ∈ (0, M ]; f − g a un signe constant sur [0, r]}. Dans un premier temps, nous d´emontrons l’estimation 1

A = max |f − g| ≤ ∂ν uf − ∂ν ug Ln+2 ∞ (Σ) . [0,m]

(3.114)

Si A = 0 alors il n’ y a rien a` montrer. Nous supposons donc que A > 0. Par le Lemme 3.3, il existe Tm ∈ (0, T ] telle que ug (Ω × [0, Tm ]) = ug (Γ × [0, Tm ]) = [0, m]. Soit η ∈ [0, m] pour laquelle |(f − g)(η)| = A. Comme (f − g)(0) = (f − g)(m) = 0, nous d´eduisons que 0 < η < m. Soit Tη ≤ Tm telle que ug (Ω × [0, Tη ]) = ug (Γ × [0, Tη ]) = [0, η]. Nous avons Tη < Tm . Car sinon ug (Ω × [0, Tm ]) = ug (Γ × [0, Tm ]) = [0, η], ce qui est impossible puisque η < m. Nous choisissons alors (x0 , t0 ) ∈ Γ × (0, Tm ) tel que ug (x0 , t0 ) = η. Soit u = uf − ug . Comme nous l’avons vu dans solution du probl`eme aux limites ⎧ ⎨ ∂t u = Δu + cu + [g(ug ) − f (ug )], u = 0, ⎩ u = 0, o` u

1

c(x, t) = −

le lemme pr´ec´edent, u est dans Q, dans Σ0 , sur Σ,

f (ug (x, t) + τ [uf (x, t) − ug (x, t)])dτ.

0

Rempla¸cant, si n´ecessaire, u par −u, nous pouvons toujours supposer que g − f ≥ 0 sur [0, m]. D’apr`es le Th´eor`eme 9.1 de S. Itˆo [It], nous pouvons exprimer u en fonction de U , la solution fondamentale associ´ee au probl`eme de Neumann pour l’op´erateur P u = ∂t u − Δu − c(x, t)u. Pr´ecis´ement, nous avons t u(x, t) = U (x, t; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds Ω

0

t U (x, t; y, s)[∂ν uf − ∂ν ug ]dσ(y)ds,

+ 0

Γ

pour x ∈ Ω et t ∈ [0, T ]. Comme u = 0 sur Γ × [0, T ], nous concluons

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

215

t U (x, t; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds Ω

0

t U (x, t; y, s)[∂ν uf − ∂ν ug ]dσ(y)ds,

= 0

(3.115)

Γ

si (x, t) ∈ Γ × [0, T ]. D’autre part, η = |ϕ(x0 , t0 )| = |ϕ(x0 , t0 ) − ϕ(x0 , 0)| = |∂t ϕ(x0 , θt0 )|t0 , pour un certain θ, 0 < θ < 1. Par suite, η ≤ Ct0 , o` u, ici et jusqu’`a la ﬁn de la preuve, C est une constante g´en´erique. De la mˆeme mani`ere, comme (f − g)(0) = 0, A = max |f − g| = |(f − g)(η)| ≤ Cη. [0,m]

Donc A ≤ Ct0 .

(3.116)

Posons d = ∂ν uf − ∂ν ug L∞ (Σ) . 1 n+2

1

, alors (3.116) implique (3.114). Nous supposons donc que d n+2 < Si t0 ≤ d t0 . Pour un d suﬃsamment petit (d’apr`es (ii) du Lemme 3.40, d est petit si f − gC 1 [0,M] l’est), nous avons

t0

t0

1 −d n+2

n+1

B(x0

1 ,d n+2

U (x0 , Tm ; y, s)dyds ≥ Cd n+2 , )∩Ω 1

1

par le Lemme 3.39. D’autre part, si (y, s) ∈ B(x0 , d n+2 ) × (t0 − d n+2 , t0 ), |f (ug (y, s)) − g(ug (y, s))| ≥ |f (ug (x0 , t0 )) − g(ug (x0 , t0 ))| −L(f − g)|ug (y, s) − ug (x0 , t0 )| = A − L(f − g)|ug (y, s) − ug (x0 , t0 )| ≥ A − L(f − g)C(|y − x0 | + |s − t0 |) 1

≥ A − Cd n+2 ,

(3.117)

216

3 Probl`emes inverses paraboliques

o` u nous avons utilis´e (i) du Lemme 3.40 dans la seconde in´egalit´e. D’o` u Tm U (x, Tm ; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds 0

Ω

≥

t0 1

U (x0 , Tm ; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds

1

t0 −d n+2

B(x0 ,d n+2 )∩Ω

n+1

1

≥ Cd n+2 (A − Cd n+2 ).

(3.118)

Nous avons d’apr`es la preuve du Th´eor`eme 1 de S. Itˆo [It] |

Tm

0

U (x0 , Tm ; y, s)[∂ν uf − ∂ν ug ]dσ(y)ds| ≤ Cd.

(3.119)

Γ

Mais d’apr`es (3.115), Tm 0

U (x0 , Tm ; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds

Ω

Tm

U (x0 , Tm ; y, s)[∂ν uf − ∂ν ug ]dσ(y)ds.

= 0

Γ

Nous concluons donc que (3.114) r´esulte de (3.118) et (3.119). Etape 2. Soit m ˜ = sup{r ∈ (m, M ]; f − g a un signe constant sur [m, r]}. Nous allons d´emontrer 1

A˜ = max |f − g| ≤ Cd (n+2)2 . [m,m] ˜

(3.120)

o` u d est comme pr´ec´edemment. C’est-` a-dire d = ∂ν uf − ∂ν ug L∞ (Σ) . Notons encore une fois que si A˜ = 0 alors il n’y a rien a` montrer. Nous pouvons donc supposer que A˜ > 0. Une nouvelle application du Lemme 3.3 nous permet d’aﬃrmer qu’il existe Tm ˜ Si η˜ est tel que(f − g)(˜ η ) = A˜ alors, ˜ pour lequel ug (Ω × [0, Tm ˜ ]) = [0, m]. comme dans l’´etape pr´ec´edente, nous pouvons choisir (x1 , t1 ) ∈ Γ × (Tm , Tm ˜) satisfaisant ug (x1 , t1 ) = η˜. Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer que g − f ≥ 0 sur [0, m] et f − g ≥ 0 sur [m, m]. ˜ Puisque (f − g)(m) = (f − g)(m) ˜ = 0, une simple application du th´eor`eme des accroissements ﬁnis nous donne A˜ = (f − g)(˜ η ) − (f − g)(m) ≤ C(˜ η − m),

(3.121)

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

217

et A˜ = (f − g)(˜ η ) − (f − g)(m) ˜ ≤ C(m ˜ − η˜).

(3.122)

Notons K = C(R) la constante dans l’estimation du Lemme 3.40 (i). Soit ν ∈ (0, 1) `a notre dispostion ; nous consid´erons deux cas ν

d n+2 ≤ min(

˜ − η˜ Tm η˜ − m m , , ), 2K 2K 2

(3.123)

et

˜ − η˜ Tm η˜ − m m , , ). (3.124) 2K 2K 2 Dans le cas (3.124), nous obtenons imm´ediatement de (3.121) et (3.122) ν

d n+2 ≥ min(

ν A˜ ≤ Cd n+2 ,

ou

ν −1 n+2 d . A˜ ≤ 2R ≤ 4RTm

Le choix de ν =

1 n+2

conduit alors a` (3.120).

Consid´erons maintenant le cas (3.123). Nous posons Q1 = {(y, s) ∈ Ω × [0, Tm ˜ ]; 0 ≤ ug (y, s) ≤ m}, ˜ Q2 = {(y, s) ∈ Ω × [0, Tm ˜ ]; m ≤ ug (y, s) ≤ m}, et, pour x ∈ Γ , J1 (x) = −

U (x, Tm ˜ ; y, s)[g(ug (y, s)) − f (ug (y, s))]dyds Q1 Tm ˜

0

U (x, Tm ˜ ; y, s)[∂ν uf (y, s) − ∂ν ug (y, s)]dσ(y)ds, Γ

U (x, Tm ˜ ; y, s)[f (ug (u, s)) − g(ug (y, s))]dyds.

J2 (x) = Q2

Nous d´eduisons de (3.115) J1 (x) = J2 (x), x ∈ Γ.

(3.125)

Soit ν

ν

B1 = {y ∈ Ω; |y − x1 | < d n+2 } × {s ∈ (0, Tm ˜ ]; t1 − d n+2 < s < t1 }. Par (3.123) et Tm < t1 < Tm ˜ , nous avons ν

ν

t1 − d n+2 > Tm − d n+2 > Tm −

Tm Tm = . 2 2

De plus, pour tout (y, s) ∈ B1 , nous obtenons par le Lemme 3.40 (i)

218

3 Probl`emes inverses paraboliques

|ug (y, s) − η˜| = |ug (y, s) − ug (x1 , t1 )| ≤ ug C 1 (Q) (|y − x1 | + |s − t1 |) ν

≤ 2Kd n+2 ≤ min(˜ η − m, m ˜ − η˜) et donc m ≤ ug (y, s) ≤ m, ˜ (y, s) ∈ B1 .

(3.126)

Par le Lemme 3.39 et (3.126), nous avons U (x, Tm J2 (x) ≥ ˜ , y, s)[f (ug (y, s)) − g(ug (y, s)]dyds B1 ≥ min [f (ug (y, s)) − g(ug (y, s)] U (x, Tm ˜ , y, s)dyds (y,s)∈B1

≥ Cd

B1

ν(n+1) n+2

min [f (ug (y, s)) − g(ug (y, s))].

(y,s)∈B1

D’autre part, de fa¸con identique a` (3.117), nous montrons ν f (ug (y, s)) − g(ug (y, s)) ≥ A˜ − Cd n+2 , (y, s) ∈ B1 .

D’o` u J2 (x) ≥ Cd

ν(n+1) n+2

ν

(A˜ − Cd n+2 ), (y, s) ∈ B1 .

(3.127)

Nous estimons maintenant J1 (x). Par (3.114) et la d´eﬁnition de Q1 , |J1 (x)| ≤ Cd

1 n+2

Tm ˜

U (x, Tm ˜ ; y, s)dyds

0

Tm ˜

U (x, Tm ˜ ; y, s)|∂ν uf (y, s) − ∂ν ug (y, s)|dσ(y)ds

+ 0

Ω

Γ

1

≤ Cd n+2 + Cd.

(3.128)

Ici le premier terme est estim´e par le Th´eor`eme 8.3 du Chapitre 2 de S. Itˆ o [It] ; tandis que le second terme est estim´e de la mˆeme mani`ere que (3.119). L’identit´e (3.125) et les estimations (3.127), (3.128) impliquent ν 1 A˜ − Cd n+2 ≤ Cd n+2 −

ν(n+1) n+2

+ Cd1−

1 − ν(n+1) Le choix optimal de ν est r´ealis´e quand n+2 n+2 = 1 a ν = n+2 . Pour ce choix de ν, nous avons donc `

ν(n+1) n+2

ν n+2

.

(3.129)

, ce qui correspond

1

1 A˜ ≤ Cd n+2 + Cd (n+2)2 .

Nous poursuivons alors cet argument pour compl´eter la preuve du th´eor`eme.

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

219

Preuve du Th´ eor` eme 3.34. Soient f , g ∈ F˜R telles que f − g a un signe constant sur [0, m]. Soit k le plus petit entier qui v´eriﬁe km ≥ M . Comme l’image de la fonction r → kr est ´egale a` [0, km] M , nous pouvons trouver p tel que kp = M . Rappelons que D, d´eﬁni au d´ebut du paragraphe, est donn´e par D = {z ∈ C; z > 0, |z| < K}, o` u K est une constante positive. Nous utiliserons la proposition suivante, dont nous donnerons la preuve un peu plus loin, Proposition 3.41. Soient 0 < ≤ 1 et C > 1 deux constantes. Soit h ∈ C(D) analytique dans D. Supposons que |h| ≤ C sur D et |h| ≤ sur [0, p]. Alors pour tout μ tel que 1 √ 1 0 < μ < e 3π( 2 −k) , 3 Nous avons |h| ≤ C 1−μ μ sur [0, M ]. Nous continuons la preuve du Th´eor`eme 3.34. Comme f − g a un signe constant sur [0, p], nous d´eduisons de la premi`ere ´etape du Th´eor`eme 3.33 1

|f − g| ≤ ∂ν uf − ∂ν ug Ln+2 ∞ (Σ) sur [0, p]. Vu cette estimation, la Proposition 3.41 entraine μ

|f − g| ≤ (2R)1−μ ∂ν uf − ∂ν ug Ln+2 ∞ (Σ) sur [0, M ], pour 0 < μ < 13 e

√ 3π( 12 −k)

, ce qui termine la preuve.

Preuve de la Proposition 3.41. Fixons L > 0 arbitraire tel que L > 2p et L ≥ M √ . Soit 0 < δ < γ < p − δ; posons A = (γ − δ, 0), B = (γ + δ, 0) et P = (γ, 3δ). Nous appliquons le th´eor`eme de Lindel¨of (´enonc´e ci-dessous) `a f dans le triangle ΔABP pour avoir, en notant que ≤ C, δ 2 1 |f (γ + i √ )| ≤ C 3 3 , 3 p si 0 < δ < γ < p − δ. Posons O = (0, 0), P1 = (p, 0), P2 = ( p2 , 2√ ) et 3 p p P3 = ( 2 , − 2√3 ). En faisant varier (γ, δ) tel que 0 < δ < γ < p − δ, nous obtenons 2 1 |f (z)| ≤ C 3 3 , z ∈ ΔOP1 P2 .

Nous faisons un raisonnement similaire dans le cas z < 0 pour avoir 2 1 ˆ = ΔOP1 P2 ∪ ΔOP1 P3 . |f (z)| ≤ C 3 3 , z ∈ D

(3.130)

220

3 Probl`emes inverses paraboliques

Ici et dans ce qui suit, nous identiﬁons z = x+iy, x, y ∈ R avec z = (x, y) ∈ R2 . Nous consid´erons le cercle C de centre (L, 0) passant par les points P2 et u P3 . C’est-`a -dire C = {(x, y) ∈ R2 ; (x − L)2 + y 2 = r2 }, o` & p2 − 3pL + 3L2 . r = r(L) = 3 La coordonn´ee x du point d’intersection de C avec la demi-droite OP2 est 3L−p et l’hypoth`ese 2p < L imlique 3L−p > p2 . Donc l’arc inf´erieur P2 P3 est 2 2 ˆ Par suite, (3.130) nous donne inclu dans D. 2

1

|f (z)| ≤ C 3 3 , z ∈ l’arc inf´erieur P2 P3 de C.

(3.131)

Introduisons maintenant le secteur ' απ απ ( S = z ∈ C; 0 < |z − L| < r, − < arg(z − L) < . 2 2 o` u απ eels et la droite passant par les points P0 et 2 est l’angle entre l’axe des r´ P2 , avec P0 = (L, 0). Donc 2 p √ √ α = arctan π 2 3L − 3p 2

1

Comme < C et K > p2 , |f | ≤ C sur l’adh´erence du secteur S, et C 3 3 < C. Nous pouvons donc appliquer, apr`es une rotation d’angle π, le th´eor`eme de Carleman, ´enonc´e ci-dessous. Nous obtenons |f | ≤ C 1−( sur p2 ≤ x ≤ L. D’o` u, pour et C ≥ 1,

p 2 1

|f | ≤ C 1− 3 (

1 L−x α r )

2

1

(C 3 3 )(

1 L−x α r )

,

≤ x ≤ M , en notant que L − x ≥ L − M , ≤ 1 L−M r

1

)α

1

3(

L−M r

1

)α

,

p ≤ x ≤ M. 2

(3.132)

Comme < C 1−θ θ pour < C, 0 < θ < 1 et |f | ≤ sur [0, p], l’in´egalit´e (3.132) s’´etend a` [0, M ] tout entier. En utilisant 1 √ 1 M 1 L−M 1 ( ) α = e 3π( 2 − p ) L→+∞ 3 r 3 lim

(cette limite se calcule ais´ement grˆ ace `a la r`egle de l’Hˆ opital), l’in´egalit´e recherch´ee s’obtient en passant `a la limite, quand L → +∞, dans (3.132). Pour terminer, voici les ´enonc´es des deux lemmes que nous avons utilis´e dans la derni`ere preuve :

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

221

Lemme 3.42. (Carleman) Soit f une fonction analytique dans le secteur D = {z = (r, θ); 0 < r < R, −

απ απ <θ< }, 2 2

o` u 0 < α < 2, continue sur D. Pour < C, nous supposons |f (z)| < , z = (R, θ), − et |f (z)| < C, z = (r, ±

απ απ <θ< 2 2

απ ), 0 ≤ r ≤ R. 2

Alors, pour z = (x, 0), 1

1

|f (x)| ≤ C 1−(x/R) α (x/R) α . Lemme 3.43. (Lindel¨ of ) Soit f une fonction analytique dans un polygone r´egulier D ` a n cˆ ot´es. Nous supposons que |f (z)| < C sur (n − 1) cˆ ot´es et que |f (z)| < sur le cˆ ot´e restant. Alors au centre z0 de D, |f (z0 )| < C (n−1)/n 1/n . Le lecteur trouvera une preuve de ces deux lemmes dans J. R. Cannon [Can].

Quelques probl` emes

Probl` eme 1 Soient Ω, D1 , D2 trois domaines born´es de Rn de classe C 2 , avec D1 , 3 D2 ⊂ Ω, et notons la fronti`ere de Ω par Γ . Soit ϕ ∈ H 2 (Γ ). Pour i = 1, 2, on note ui ∈ H 2 (Ω) la solution du probl`eme aux limites −Δu + χDi u = 0, dans Ω, u = ϕ, sur Γ, o` u χDi est la fonction caract´eristique de Di . Nous faisons les hypoth`eses suivantes : (i) Ω0 = Ω\D1 ∪ D2 , D0 = D1 ∩ D2 sont connexes et S = ∂Ω0 ∩ ∂D0 est d’int´erieur non vide, (ii) il existe γ une partie ouverte non vide de Γ telle que ∂ν u1 = ∂ν u2 sur γ. 1. Montrer que u1 = u2 sur Ω0 , puis que u1 = u2 sur D0 . 2. a) Nous supposons que ω = D2 \D1 = ∅. V´eriﬁer que u = u2 − u1 ∈ H02 (ω) et Δu = u2 dans ω. Montrer ensuite que u satisfait `a −Δ2 u + Δu = 0 dans ω. b) En d´eduire que u ≡ 0 dans ω, puis que ω = ∅. 3. Conclure que D1 = D2 .

224

3 Probl`emes inverses paraboliques

Probl` eme 2 Dans ce probl`eme Ω est un domaine born´e de Rn de classe C 2 et Γ = ∂Ω. I. Soient q, f deux fonctions positives de C(Γ ) pour lesquelles Δu = 0, dans Ω, ∂ν u + qu = f, sur Γ,

(4.1)

admet une unique solution u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). 1. Montrer que si u est non constante alors u > 0 dans Ω. 2. Montrer que si f ≡ 0 alors u est constante. Conclure ensuite que u ≡ 0 dans le cas o` u q ≡ 0. 3. Sous quelles conditions a-t-on u ≥ 0 ? 4. Pour i = 1, 2, soit 0 ≤ qi ∈ C(Γ ) et nous supposons que (4.1), avec q = qi , admet une unique solution ui ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). En outre, nous supposons que soit q1 ≡ 0 ou bien f ≡ 0. D´emontrer alors que q1 ≤ q2 implique u1 ≥ u2 . II. Soit 0 ≤ q ∈ C(Γ ) telle que q ≡ 0. 1. Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que |∇v|2 dx + qv 2 dσ ≥ C, v ∈ H 1 (Ω) ∩ BL2 (Ω) , Ω

Γ

o` u BL2 (Ω) est la boule unit´e de L2 (Ω) (raisonner par l’absurde). En d´eduire que 2 vq = |∇v| dx + qv 2 dσ Ω

Γ

1

est une norme ´equivalente sur H (Ω). 1

1

1

2. Montrer que pour tout f ∈ H − 2 (Γ ) (H − 2 (Γ ) ´etant le dual de H 2 (Γ )), il existe un unique u ∈ H 1 (Ω) solution du probl`eme variationnel ∇u · ∇vdx + quvdσ = f, v 12 , v ∈ H 1 (Ω). −1 2 Ω

Γ

H (Γ ),H

(Γ )

3. V´eriﬁer que Δu = 0 dans D (Ω) et 1

∂ν u + qu = f dans H − 2 (Γ ). 4. Montrer qu’il existe une constante positive M qui d´epend uniquement de Ω et q telle que uH 1 (Ω) ≤ M f − 21 . H

(Γ )

III. Dans cette partie Γ = Γ 1 ∪ Γ 2 , o` u Γ1 et Γ2 sont deux ouverts non vides de Γ .

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

225

Soit f ∈ C(Γ ) telle que supp(f ) ⊂ Γ2 et, pour i = 1, 2, soit qi ∈ C(Γ ) avec supp(qi ) ⊂ Γ1 . Nous supposons que (4.1), avec q = qi , admet une unique solution ui ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). Nous faisons aussi l’hypoth`ese suivante : u1 = u2 sur Γ2 . V´eriﬁer que u = u1 − u2 satisfait `a Δu = 0 dans Ω

et u = ∂ν u = 0 sur Γ2 .

En d´eduire que u ≡ 0 et puis que (q1 − q2 )u2 = 0 sur Γ1 . Conclure ensuite que q1 = q2 .

Probl` eme 3 Soit Ω un domaine born´e de Rn de classe C 2 et de fronti`ere Γ . Nous supposons qu’il poss`ede la propri´et´e suivante : il existe une fonction non constante ρ ∈ C 2 (Ω) telle que Δρ ≥ 0 dans Ω et ρ = 1 sur Γ . Pour T > 0 ﬁx´e, nous posons Q = Ω × [0, T ],

Σ0 = Ω × {0},

ΣT = Ω × {T },

Σ = Γ × [0, T ].

I. 1. V´eriﬁer que δ = min ∂ν ρ > 0 et que ρ < 1 dans Ω. En d´eduire que, pour Γ

tout λ > 0, il existe θλ ∈ C 2 (Ω) qui satisfait aux propri´et´es suivantes : θλ ≥ 1 dans Ω,

θλ = 1 sur Γ,

−∂ν θλ ≥ λ sur Γ.

2. Soient ψ ∈ C(Ω), p, ϕ ∈ C(Σ). Soit u ∈ C 2,1 (Q) une solution de l’´equation ⎧ ⎨ (Δ − ∂t )u = 0, dans Q, u = ψ, sur Σ0 , ⎩ (∂ν + p)u = ϕ, sur Σ. Soient λ > 0 et μ deux r´eels et v = eμt θλ u. Montrer que v est solution d’une ´equation de la forme ⎧ ⎨ (Δ + B · ∇ + c − ∂t )v = 0, dans Q, v = θλ ψ, sur Σ0 , ⎩ (∂ν + r)v = eμt ϕ, sur Σ, et que l’on peut choisir λ et μ de telle sorte que c ≤ 0 et r ≥ 0. 3. Nous supposons que ψ ou ϕ est non identiquement nulle, ψ ≤ 0, ϕ ≤ 0 et que ψ s’annule au moins en un point de Ω. Montrer alors que u < 0 dans Ω × (0, T ].

226

3 Probl`emes inverses paraboliques

Nous faisons maintenant l’hypoth`ese suivante : il existe P et Φ0 deux sousespaces de C(Σ) tels que i) Φ0 est dense dans L2 (Σ), ii) Si p ∈ P alors (x, t) → p(x, T − t) ∈ P , iii) Pour tout p ∈ P et pour tout ϕ ∈ Φ0 , pϕ ∈ Φ0 , iv) pour tout α ∈ C ∞ (Σ) et pour tout ϕ ∈ Φ0 , αϕ ∈ Φ0 , v) pour tout p ∈ P et pour tout ϕ ∈ Φ0 , il existe un unique u ∈ C 2,1 (Q) solution de l’´equation ⎧ ⎨ (Δ − ∂t )u = 0, dans Q, (4.2) u = 0, sur Σ0 , ⎩ (∂ν + p)u = ϕ, sur Σ, tel que u|Σ ∈ Φ0 . Remarque : Noter que la condition v), ci-dessus, implique que toute fonction ϕ ∈ Φ0 doit n´ecessairement satisfaire a ` ϕ(·, 0) = 0. Nous posons ΦT = {f ; f (x, t) = ϕ(x, T − t), ϕ ∈ Φ0 }. II. 1. V´eriﬁer que pour tout p ∈ P et pour tout f ∈ ΦT , l’´equation ⎧ ⎨ (Δ + ∂t )w = 0, dans Q, w = 0, sur ΣT , ⎩ (∂ν + p)w = f, sur Σ,

(4.3)

admet une unique solution w ∈ C 2,1 (Q). 2. On ﬁxe p ∈ P et, pour ϕ ∈ Φ0 , on note uϕ la solution de (4.2). Soit g ∈ ΦT telle que guϕ dσdt = 0, ϕ ∈ Φ0 . Σ

Appliquer la formule de Green a` uϕ et w, la solution de (4.3) avec f = g, pour conclure que wϕdσdt = 0, ϕ ∈ Φ0 . Σ

En d´eduire que g est identiquement nulle. III. Nous nous donnons p1 , p2 ∈ P , Γ un ouvert non vide de Γ et nous posons Σ = Γ × [0, T ]. Soit 0 ≤ β ∈ ΦT non identiquement nulle, supp(β) ⊂ Γ × [0, T ), et soit z ∈ C 2,1 (Q) l’unique solution de l’´equation ⎧ ⎨ (Δ + ∂t )z = 0, dans Q, z = 0, sur ΣT , ⎩ (∂ν + p1 )z = β, sur Σ.

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

227

1. Montrer que z > 0 sur Ω × [0, T ). Pour ϕ ∈ Φ0 , on note uiϕ la solution de (4.2) avec p = pi , i = 1, 2. Nous faisons alors l’hypoth`ese suivante : u1ϕ = u2ϕ sur Σ , ϕ ∈ Φ0 . ´ 2. Ecrire l’´equation satisfaite par uϕ = u1ϕ − u2ϕ . Appliquer ensuite la formule de Green `a uϕ et z pour d´eduire (p2 − p1 )zu2ϕ ϕ ∈ Φ0 . 0= Σ

3. Conclure que p1 = p2 . Le lecteur pourra utiliser [Ch3] pour construire un corrig´e de ce probl`eme.

Probl` eme 4 Dans ce probl`eme Ω est un domaine born´e de R3 de classe C ∞ (pour simpliﬁer), de fronti`ere Γ . ∞ I. 1. Montrer que si q ∈ L∞ + (Ω) = {p ∈ L (Ω); p ≥ 0 p.p.} est non identi2 quement nulle et f ∈ L (Ω), alors il existe un unique u = uq (f ) ∈ H01 (Ω) tel que ∇u · ∇vdx + quvdx = f vdx, v ∈ H01 (Ω). Ω

Ω

Ω

C’est-`a-dire que uq (f ) est l’unique solution variationnelle du probl`eme aux limites −Δu + qu = f, dans Ω, u = 0, sur Γ. ` q ∈ L∞ erateur (born´e) A + (Ω), nous associons l’op´ 1

Πq : L2 (Ω) → H − 2 (Γ ) : f → ∂ν uq (f ). 2. Soient q1 , q2 ∈ L∞ + (Ω) tels que Πq1 = Πq2 . En appliquant une formule d’int´egration par parties appropri´ee `a u = uq1 (f ) − uq2 (f ) et v ∈ H 2 (Ω) v´eriﬁant (−Δ + q1 )v = 0 dans Ω, montrer que (q1 − q2 )uq2 (f )vdx = 0, Ω

pour tout f ∈ L2 (Ω). En d´eduire que q1 = q2 . II. On consid`ere le probl`eme aux limites −Δu = F (u) + f, dans Ω, u = 0, sur Γ,

(4.4)

228

3 Probl`emes inverses paraboliques

o` u F : R → R est une fonction continue d´ecroissante v´eriﬁant : il existe a > 0, b > 0 tels que |F (s)| ≤ a + b|s|, pour tout s ∈ R. Soit f ∈ L2 (Ω). Nous dirons que u ∈ H01 (Ω) est une solution variationnelle de (4.4) si ∇u · ∇vdx = F (u)vdx + f vdx, v ∈ H01 (Ω). Ω

Ω

Ω

1. Montrer que si u ∈ H01 (Ω) est une solution variationnelle de (4.4) alors il existe une constante C, qui ne d´epend que de Ω, F (0) et f L2 , telle que ∇uL2 ≤ C. (Utiliser le fait que s(F (s) − F (0)) ≤ 0 pour tout s.) 2. Montrer que (4.4) admet au plus une solution variationnelle. Nous introduisons l’application T : L2 (Ω) × [0, 1] → L2 (Ω) : (w, λ) → T (w, λ) = u, o` u u est la solution faible de −Δu = λ(F (w) + f ), dans Ω, u = 0, sur Γ. 3. V´eriﬁer que T est compacte. Montrer ensuite, en utilisant le th´eor`eme du point ﬁxe ´enonc´e ci-dessous, que T (·, 1) admet un point ﬁxe. (Notons qu’un point ﬁxe de T (·, 1) est une solution variationnelle de (4.4).) Th´ eor` eme 4.44. (Leray-Schauder) Soient X un espace de Banach et T : X ×[0, 1] → X une application compacte (c’est-` a-dire T est continue et envoie les parties born´ees de X ×[0, 1] dans les parties relativement compactes de X). Si T (·, 0) = 0 et si {x ∈ X; x = T (x, λ), pour un certain λ} est born´e, alors T (·, 1) admet un point ﬁxe. III. Pour F satisfaisant les hypoth`eses de la seconde partie et f ∈ L2 (Ω), on note par uF (f ) la solution variationnelle de (4.4). Soit SF l’application d´eﬁnie par SF : L2 (Ω) → H01 (Ω) ∩ HΔ (Ω) : f → uF (f ). 1. Montrer que SF est lipschitzienne. Dans la suite de cette partie nous supposons que F est d´ecroissante, d´erivable, et que sa d´eriv´ee F est lipschitzienne et born´ee. (En particulier F v´eriﬁe les hypoth`eses de la seconde partie.) 2. Montrer que SF est Fr´echet-diﬀ´erentiable et, pour f , g ∈ L2 (Ω), SF (f )(g) = v, o` u v est la solution variationnelle du probl`eme aux limites −Δv − F (uF (f ))v = g, dans Ω, v = 0, sur Γ.

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

229

(Pour f , g ∈ L2 (Ω) et z = uF (f + g) − uF (f ) − v, ´etablir d’abord que |∇z|2 ≤ z[F (uF (f + g)) − F (uF (f )) − F (uF (f ))(uF (f + g) − uF (f ))]. Ω

Ω

Utiliser ensuite le th´eor`eme des accroissements ﬁnis et le fait que H 1 (Ω) s’injecte continˆ ument dans L4 (Ω).) IV. Nous notons par F l’ensemble des fonctions F ∈ C 1 (R) telles que F est d´ecroissante, F (0) = 0, et F est lipschitzienne et born´ee ; et nous rappelons que si F ∈ F et w ∈ H01 (Ω) alors F (w) ∈ H01 (Ω) et ∇F (w) = F (w)∇w (en fait la condition F lipschitzienne n’est pas n´ecessaire ici). ` F ∈ F , nous associons l’op´erateur (lipschitzien) A 1

ΛF : L2 (Ω) → H − 2 (Γ ) : f → ∂ν uF (f ). Soient F1 , F2 ∈ F telles que ΛF1 = ΛF2 . 1. Montrer que F1 (uF1 (f )) = F2 (uF2 (f )), f ∈ L2 (Ω). 2. Montrer que pour tout f ∈ L2 (Ω), ∇uF3−i (f ) · ∇Fi (uFi (f ))dx = Fi (uFi (f ))F3−i (uF3−i (f ))dx Ω Ω f Fi (uFi (f ))dx, i = 1, 2. + Ω

En d´eduire que f F1 (uF1 (f )) = f F2 (uF2 (f )), pour tout f ∈ L2 (Ω). Ω

Ω

En d´erivant cette derni`ere identit´e par rapport a` f , conclure que F1 = F2 sur {s = uF1 (f )(x); x ∈ Ω, f ∈ L2 (Ω)}.

Probl` eme 5 Soient Ω un domaine born´e de Rn , n ≥ 3, de classe C 2 et Γ = ∂Ω. Pour ξ ∈ S n−1 = {η ∈ Rn ; |η| = 1} et ≥ 0, nous posons Γ± = {x ∈ Γ ; ±ν(x) · ξ > ±}. Pour i = 1, 2, nous nous donnons qi ∈ L∞ (Ω) telle que 0 n’est pas une valeur propre de l’operateur −Δ + qi ayant pour domaine H01 (Ω) ∩ HΔ (Ω).

230

3 Probl`emes inverses paraboliques

Soit hΔ (Γ ) = {ψ = u|Γ ; u ∈ HΔ (Ω)}. Pour ϕ ∈ hΔ (Γ ), nous notons ui (ϕ) ∈ HΔ (Ω) la solution du probl`eme aux limites (−Δ + qi )u = 0, dans Ω, u = ϕ, sur Γ. Nous ﬁxons ξ ∈ S n−1 , k ∈ Rn et soit l ∈ S n−1 tel que k · l = ξ · l = 0 (noter que ceci est possible car n ≥ 3). Si λ0 et C sont comme dans le Corollaire 2.23, nous posons k−l k+l , ρ2 = λ ξ − i , avec λ ≥ λ0 , ρ1 = −λ ξ + i 2 2 et nous faisons l’hypoth`ese suivante : ∂ν u1 (ϕ) = ∂ν u2 (ϕ) sur Γ− (ξ) pour tout ϕ ∈ hΔ (Γ ), o` u > 0 donn´e. Soit w2 ∈ HΔ (Ω) une solution de (−Δ + q2 )u2 = 0 dans Ω de la forme w2 = ex·ρ2 (1 + ψ2 ), o` u ψ2 ∈ HΔ (Ω) v´eriﬁe ψ2 |Γ−0 (ξ) = 0 et ψL2 (Ω) ≤

C . λ

(Une telle solution existe d’apr`es la Proposition 2.25.) Si w1 = u1 (w2|Γ ), nous posons u = w1 − w2 . 1. Montrer que u ∈ H 2 (Ω) et v´eriﬁe ⎧ ⎨ (−Δ + q1 )u = qu2 , dans Ω, u = 0, sur Γ, ⎩ sur Γ− , ∂ν u = 0, o` u q = q2 − q1 . Soit v ∈ HΔ (Ω) telle que v est une solution de (−Δ + q1 )v = 0 dans Ω de la forme v = ex·ρ1 (1 + ψ1 ), avec ψ1 ∈ HΔ (Ω) v´eriﬁant ψ1 |Γ+0 (ξ) = 0 et ψ1 L2 (Ω) ≤

C . λ

(L`a aussi, l’existence de v est assur´ee par la Proposition 2.25, avec −ξ `a la place de ξ.)

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

2. D´emontrer que

231

qu2 vdx =

∂ν uvdσ.

(4.5)

(ξ) Γ+

Ω

´ 3. Etablir l’estimation 2 | ∂ν uv| dσ ≤ |Γ+ (ξ)| (ξ) Γ+

(ξ) Γ+

e−2λx·ξ |∂ν u|2 dσ,

puis utiliser le Corollaire 2.23 pour d´eduire K e−2λx·ξ |∂ν u|2 dσ ≤ , λ Γ+ (ξ)

(4.6)

pour λ assez grand, o` u K est une constante ind´ependante de λ. 4. Utiliser (4.5) et (4.6) pour conclure qˆ(k) = e−ix·k q(x)dx = 0. Ω

5. V´eriﬁer que si 0 < < alors il existe V un voisinage de ξ dans S n−1 pour lequel

∂ν u1 (ϕ) = ∂ν u2 (ϕ) sur Γ− (η), pour tous η ∈ V et ϕ ∈ hΔ (Γ ). En d´eduire que qˆ = 0 puis que q = q2 − q1 = 0. (Rappelons que la transform´ee de Fourier d’une distribution a` support compact s’´etend en une fonction enti`ere sur Cn , voir par exemple [Sc1].) Nous renvoyons `a [BU] pour un corrig´e de ce probl`eme.

Probl` eme 6 Soient Ω un domaine born´e lipschitzien de Rn de fronti`ere Γ et A l’ensemble des a ∈ L∞ (Ω) telles que a ≥ α > 0 p.p. sur Ω, o` u α est une constante. 1 Pour a ∈ A et ϕ ∈ H 2 (Γ ), nous notons par ua,ϕ ∈ H 1 (Ω) l’unique solution du probl`eme aux limites −div(a∇u) = 0 dans Ω,

u = ϕ sur Γ.

Rappelons que ua,ϕ est caract´eris´e par Ja (ua,ϕ ) = min Ja (v), v∈Kϕ

o` u

a|∇v|2 dx et Kϕ = {v ∈ H 1 (Ω); v = ϕ sur Γ }.

Ja (v) = Ω

232

3 Probl`emes inverses paraboliques

Nous introduisons la forme quadratique a|∇ua,ϕ |2 dx

Qa (ϕ) = Ja (ua,ϕ ) = Ω

et l’application 1

T : (a, ϕ) ∈ A × H 2 (Γ ) → T (a, ϕ) = ua,ϕ . I. Fixons a0 ∈ A et notons par B l’op´erateur born´e qui envoie H −1 (Ω) dans H01 (Ω) qui est donn´e par : B(f ) = wf , o` u wf est l’unique solution variationnelle dans H01 (Ω) de l’´equation −div(a∇w) = f dans Ω. ` b ∈ L∞ (Ω) nous associons l’op´erateur Ab : A Ab : H01 (Ω) → H −1 (Ω) : w → −div(b∇w). 1. V´eriﬁer que Ab est born´e et Ab L(H01 (Ω),H −1 (Ω)) ≤ bL∞ (Ω) , quand H01 (Ω) est muni de la norme w → |∇w|L2 (Ω) . 2. D´emontrer qu’il existe η > 0 tel que, si bL∞ (Ω) ≤ η, alors T (a0 + b, ϕ0 ) − T (a0 , ϕ0 ) = −(I + BAb )−1 BAb T (a0 , ϕ0 ). En d´eduire que T est analytique. u q est la II. 1. V´eriﬁer a ∈ A → Φ(a) = Qa est analytique et Φ (a0 )(b) = q, o` forme quadratique 1 b(x)|∇ua0 ,ϕ |2 dx, ϕ ∈ H − 2 (Γ ). q(ϕ) = Ω

2. On suppose que a0 est une constante positive. D´emontrer que si Φ (a0 ) = 0 alors b(x)∇u1 · ∇u2 dx = 0, u1 , u2 ∈ H(Ω), Ω

) o` u H(Ω) = {v ∈ H 1 (Ω); Δv = 0 dans Ω} qui est l’orthogonal dans H 1 (Ω) * de H01 (Ω) . En d´eduire, par un choix appropri´e, de fonctions exponentielles de H(Ω) que b = 0. C’est-`a-dire que Φ(a0 ) est injective. Pour le corrig´e de ce probl`eme, le lecteur pourra consulter [Ka2].

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

233

Probl` eme 7 Soient Ω un domaine born´e lipschitzien de Rn de fronti`ere Γ et A l’ensemble des a ∈ L∞ (Ω) telles que a ≥ α > 0 p.p. sur Ω, o` u α est une constante. Pour a ∈ A, nous d´esignons par (λa,k ) et (ϕa,k ) respectivement la suite des valeurs propres, compt´ees avec leur multiplicit´e, et une base de fonctions propres, ϕk associ´ee `a λk , de l’op´erateur Aa u = −div(a∇u),

D(Aa ) = {u ∈ H01 (Ω); div(a∇u) ∈ L2 (Ω)}.

Rappelons (voir le Th´eor`eme 1.21) que pour w ∈ {u ∈ H 1 (Ω); div(a∇u) ∈ 1 L (Ω)}, a∂ν w est bien d´eﬁni comme ´el´ement de H − 2 (Γ ) et 2

a∂ν w

1

H − 2 (Γ )

≤ C(∇wL2 (Ω) + div(a∇w)L2 (Ω) ),

(4.7)

avec C = C(Ω, a) une constante positive. 1

I. Soit a ∈ A et, pour λ ≥ 0 et ϕ ∈ H 2 (Γ ), notons uλ,ϕ ∈ H01 (Ω) l’unique solution variationnelle de div(a∇u) + λu = 0 dans Ω,

u = ϕ sur Γ.

(4.8)

Dans la suite, pour simpliﬁer les notations, nous utiliserons simplement a la place de, λa,k , ϕa,k et uλ,ϕ . λk , ϕk et uλ ` 1. D´emontrer uλ 2L2 (Ω) =

k≥1

α2k 1 , avec αk = −a∂ν ϕk , ϕ − 12 . H (Γ ),H 2 (Γ ) (λk + λ)2

En d´eduire lim uλ 2L2 (Ω) = 0.

(4.9)

λ→+∞

2. D´emontrer lim |∇uλ |2L2 (Ω) = 0. ) * Faire un raisonnement par l’absurde.

(4.10)

λ→+∞

3. Soient 0 < < diam(Ω), Ω = {x ∈ Ω; dist(x, Γ ) < } et η ∈ C ∞ (Ω) v´eriﬁant 0 ≤ η ≤ 1, η = 0 dans Ω 2 , ´ Etablir

η = 1 dans Ω \ Ω ,

aη |∇uλ | dx + 2 2

0= Ω

|∇η| ≤ −1 .

aηuλ ∇uλ · ∇ηdx +

2

Ω

η 2 u2λ dx. Ω

234

)

3 Probl`emes inverses paraboliques

* Mutiplier (4.8) par η 2 uλ , puis faire une int´egration par parties. En d´eduire η∇uλ L2 (Ω) ≤ Cuλ L2 (Ω) ,

(4.11)

o` u C = C(a, ) est une constante positive. Nous avons donc en particulier lim ∇uλ 2L2 (Ω\Ω ) = 0,

λ→+∞

comme cons´equence de (4.9) et (4.11). 4. Soient σ0 ∈ Γ , D un voisinage de σ0 dans Ω et γ un voisinage de σ0 dans Γ tel que γ ⊂ (D ∩ Γ ). Dans cette question, nous supposons que ϕ est telle que supp(ϕ) ⊂ γ. En proc´edant comme dans 2, d´emontrer lim ∇uλ 2L2 (Ω\D) = 0.

λ→+∞

(4.12)

` a ∈ A, nous associons l’op´erateur II. A 1

1

Λa,λ : H 2 (Γ ) → H − 2 (Γ ) : ϕ → a∂ν ua,λ . Noter que par (4.7), l’op´erateur Λa,λ est born´e. Dans ce qui suit, nous supposons que a1 , a2 ∈ A ∩ C 1 (Ω) sont telles que λ1,k = λ2,k ,

a1 ∂ν ϕ1,k = a2 ∂ν ϕ2,k ,

pour chaque k,

(4.13)

o` u, pour simpliﬁer les notations, nous avons pos´e λj,k = λaj ,k et ϕj,k = ϕaj ,k , j = 1, 2. 1. En s’inspirant de la preuve du Th´eor`eme 2.26, d´emontrer, o` u nous avons pos´e Λj,λ = Λaj ,λ , j = 1, 2, Λ1,λ = Λ2,λ , λ ≥ 0. 2. a) V´eriﬁer que pour tout λ ≥ 0, u1,λ L2 (Ω) = u2,λ L2 (Ω) . ´ en utilisant le fait b) Soit K = {w ∈ H 1 (Ω); w = ϕ sur Γ }. Etablir, ) * a2 |∇u2,λ |2 dx + λ u2λ dx = min a2 |∇w|2 dx + λw2 dx , Ω

Ω

w∈K

Ω

a2 (|∇u1,λ |2 − |∇u2,λ |2 )dx ≥ 0. Ω

3. Nous supposons qu’il existe σ0 ∈ Γ tel que a1 (σ0 ) > a2 (σ0 ). Alors il existe D un voisinage de σ0 dans Ω et une constante positive C tels que a1 ≥ a2 + C dans D.

3.7 Stabilit´e de la d´etermination d’un terme semilin´eaire

235

Soit γ un voisinage de σ0 dans Γ tel que γ ⊂ (D ∩ Γ ) et ﬁxons ϕ telle que supp(ϕ) ⊂ γ. a) D´emontrer l’identit´e (a1 − a2 )|∇u1,λ |2 dx + a2 (|∇u1,λ |2 − |∇u2,λ |2 )dx = 0. Ω

Ω

)

1 , faire une in´egration par En partant de Λ1,λ ϕ − Λ2,λ ϕ, ϕ − 12 H (Γ ),H 2 (Γ ) * parties. En d´eduire (a1 − a2 )|∇u1,λ |2 dx ≤ 0. (4.14)

Ω

b) Montrer que

(a1 − a2 )|∇u1,λ |2 dx = +∞.

lim

)

λ→+∞

D

(4.15)

* Utiliser (4.10) et (4.12). En notant que (4.15) contredit (4.14), on conclut que a1 = a2 sur Γ. Un corrig´e de ce probl`eme est disponible dans [Ka2].

Quelques probl` emes ouverts

Nous donnons une s´election de probl`emes inverses elliptiques et paraboliques ouverts. Nous nous sommes limit´es `a quelques probl`emes parmi les plus signiﬁcatifs. Bien ´evidemment, il y en a tant d’autres. Soient Ω un ouvert born´e et r´egulier de Rn , de fronti`ere Γ , Q = Ω × (0, T ) et Σ = Γ × (0, T ). Nous consid´erons le probl`eme aux limites ⎧ ⎨ Δu + p(x)u − ∂t u = 0, dans Q, u(·, 0) = a, (5.1) ⎩ u = g, sur Σ Un premier probl`eme inverse classique dans ce cas consiste `a d´eterminer p = p(x) a` partir de la donn´ee ﬁnale u(·, T ). Si p est connu dans un sousdomaine ω de Ω, nous avons unicit´e et stabilit´e [CY3] pour ce probl`eme. De mˆeme si nous rempla¸cons dans (5.1), l’op´erateur Δ par sΔ, s > 0 ´etant le param`etre de diﬀusion, alors le probl`eme est g´en´eriquement, par rapport a` s, bien pos´e. Plus pr´ecis´ement, nous avons unicit´e et d´ependance continue, sauf peut ˆetre pour un ensemble au plus d´enombrable de param`etres s [CY4]. En dehors de ces deux cas le probl`eme, en toute g´en´eralit´e, reste ouvert. Le second probl`eme qui reste ouvert aussi concerne la d´etermination p = p(x) `a partir de la donn´ee fronti`ere ∂ν u sur Σ ou sur une partie de celle-ci. Revenons au probl`eme de conductivit´e inverse, pour lequel nous avons d´emontr´e un r´esultat de stabilit´e pour une famille a` un param`etre (voir 2.5.2). De nouveau Ω un ouvert born´e et r´egulier de Rn . Nous consid´erons le probl`eme aux limites div((1 + χD )∇u)) = 0, dans Ω, (5.2) u = f, sur Γ. Le probl`eme inverse que nous avions consid´er´e au sous-paragraphe 2.5.2 consistait `a d´eterminer D ` a partir de la mesure fronti`ere ∂ν u sur γ, γ ´etant une

238

3 Probl`emes inverses paraboliques

partie de Γ . Pour ce probl`eme, nous savons (voir par exemple [Isa3] pour une d´emonstration) qu’il y a unicit´e si D est un polyh`edre convexe ou si une partie du bord de D est suppos´e connue (d’ailleurs nous retrouvons cette condition dans l’´enonc´e du Th´eor`eme 2.79). En dehors de ces cas, le probl`eme, en toute g´en´eralit´e, reste ouvert. Nous avons le mˆeme probl`eme ouvert pour le probl`eme inverse que nous avons ´etudi´e au sous-paragraphe 2.5.1. Il s’agissait, dans un mat´eriau semiconducteur, de tester la r´esistance du contact entre le m´etal et le semiconducteur. Nous introduisons le probl`eme aux limites −Δu + χD u = 0, dans Ω, (5.3) u = f, sur Γ. Pouvons-nous alors d´eterminer de fa¸con unique D `a partir de la mesure fronti`ere ∂ν u sur γ, γ ´etant une partie de Γ . Nous avons d´emontr´e dans le Probl`eme 1 que nous avons unicit´e si une partie du bord de D est connue. Nous avons aussi unicit´e dans le cas o` u D est un polygone convexe (voir [SuY]). Comme pour le probl`eme de la conductivit´e inverse, hormis ces deux cas, le probl`eme en toute g´en´eralit´e reste ouvert. Le probl`eme de d´eterminer le potentiel dans une ´equation de Schr¨odinger ` partir d’un op´erateur DN partiel reste ouvert malgr´e les progr`es r´ecents. a Le dernier r´esultat en date, dont nous nous donnons pas les d´etails ici, est ´ dˆ u a` C. E. Kenig, J. Sj¨ ostrand et G. Uhlmann [KSU]. Enon¸ cons le probl`eme en toute g´en´eralit´e. Soit encore une fois Ω un ouvert born´e et r´egulier de Rn , de fronti`ere Γ , et notons Γ0 et Γ1 deux parties ferm´es de Γ , d’int´erieurs ` q ∈ L∞ (Ω) telle que 0 n’est pas valeur propre de l’op´erateur non vides. A Aq = −Δ + q ayant pour domaine H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω), nous associons l’op´erateur de DN partiel Λ˜q : f ∈ {h ∈ H 1/2 (Γ ), supp(h) ⊂ Γ0 } → ∂ν u|Γ1 , o` u u est la solution du probl`eme aux limites −Δu + qu = 0, dans Ω, u = f, sur Γ.

(5.4)

Le probl`eme inverse (ouvert) consiste alors `a d´eterminer q `a partir de Λ˜q .

Litt´ erature

[Ad] R. A. Adams, Sobolev spaces, Academic Press, London, 1975. [Al1] G. Alessandrini, An identiﬁcation problem for an elliptic equation in two variables, Ann. Mat. Pura Appl. 145 (1986), 265–296. [Al2] G. Alessandrini, Critical points of solutions of elliptic equations in two variables, Ann. Scuola Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 14 (1987), 229–256. [Al3] G. Alessandrini, Stable determination of conductivity by boundary measurements, Appl. Anal. 27 (1988), 153–172. [Al4] G. Alessandrini, Singular solutions of elliptic equations and the determination of conductivity by boundary measurements, J. Diﬀ. Equat. 84 (1990), 252–272. [Al5] G. Alessandrini, Stable determination of a crack from boundary measurements, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 123 (1993), 497–516. [Al6] G. Alessandrini, Stability for the crack determination problem, in Inverse Problems in Mathematical Physics, L. P¨ av¨ arinta and E. Somersalo, eds., SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 1993, 1–8. [Al7] G. Alessandrini, Examples of instability in inverse boundary value problems, Inverse Problems 13 (1997), 887–897. [ABV] G. Alessandrini, E. Beretta and S. Vessella, Determining linear cracks by boundary measurements – Lipschitz stability, SIAM J. Control Optim. 27 (1996), 361–375. [ADR] G. Alessandrini, L. Del Piero and L. Rondi, Stable determination of corrosion by a single electrostatic boundary measurement, Inverse Problems, 19 (2003), 973–984. [ADiB] G. Alessandrini and E. Di Benedetto, Determining 2-dimensional cracks in 3-dimensional bodies : uniqueness and stability, Indiana Univ. Math. J. 46 (1997), 1–82. [ADiV] G. Alessandrini and A. Diaz Velenzuela, Unique determination of multiple cracks by two measurements, SIAM J. Control Optim. (1996), 913–921. [AM1] G. Alessandrini and R. Magnanini, The index of isolated critical points and solutions of elliptic equations in the plane, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 19 (1992), 567–589.

240

Litt´erature

[AM2] G. Alessandrini and R. Magnanini, Elliptic equations in divergence form, geometric critical points of solutions and the Stekloﬀ eigenfunctions, SIAM J. Math. Anal. 25 (1994), 1259–1268. [AR] G. Alessandrini and L. Rondi, Stable determination of a crack in a planar inhomogeneous conductor, SIAM J. Math. Anal. 30 (2) (1998), 326–340. [AS] G. Alessandrini and J. Sylvester, Stability for multidimensional inverse spectral problem, Commun. PDE 15 (5) (1990), 711–736. [AU] H. Ammari and G. Uhlmann, Reconstuction from partial Cauchy data for the Schr¨ odinger equation, Indiana University Math J., 53 (2004), 169–184. [Ar] O. Arena, Ulteriori contributi allo studio del problema di Cauchy-Dirichlet per le equazioni paraboliche, Le Matematiche 24 (1969), 92–103. [BB] Z. Belhachmi and D. Bucur, Stability and uniqueness for the crack identiﬁcation problem, SIAM J. Control Optim. 46 (1) (2007), 253–273. [Bel] H. Bellout, Stability result for the inverse transmissivity problem, J. Math. Anal. Appl. 168 (1) (1992), 13–27. [BF] H. Bellout and A. Friedman, Identiﬁcation problems in potential theory, Arch. Rat. Mech. Anal. 101 (2) (1988), 143–160. [Ber] L. Bers, Local behavior of solutions of general linear elliptic equations. Commun. Pure Appl. Math. 8 (1955), 473–496. [BJS] L. Bers. F. John and M. Schechter, Partial diﬀerential equations, Interscience, New York, London, Sydney, 1964. [BN] L. Bers and L. Nirenberg, On a representation theorem for linear elliptic systems with discontinuous coeﬃcients and its applications, in Convergno Internazionale sulle Equazioni Lineari alle Derivate Parziali, Trieste 1954, 111–140, Edizioni Cremonese, Roma, 1955. [Bre] H. Br´ezis, Analyse fonctionnelle, th´eorie et applications, 2`eme tirage, Masson, Paris, 1987. [BrV] K. Bryan and M. Vogelius, A uniqueness result concerning the identiﬁcation of a collection of cracks from ﬁnitely many boundary measurements, SIAM J. Math. Anal. 23 (1992), 950–958. [Bu] D. Bucur, Characterization for the Kuratowski limits of a sequence of Sobolev spaces, J. Diﬀ. Equat. 19 (1999), 16–19. [BuV] D. Bucur and N. Varchon, A duality approach for the boundary variation of Neumann problems, SIAM J. Math. Anal. 34 (2002), 460–477. [Buk] A. L. Bukhgeim, Extension of solutions of elliptic equations from discrete set, J. Inverse Ill-Posed Prob. 1 (1993), 17–32. [BU] A. Bukhgeim and G. Uhlmann, Recovering a potential from partial Cauchy data, Commun. PDE 27 (3–4) (2002), 653–668. [BS] D.-W. Byun and S. Saitoh, A real inversion formula for the Laplace transform, Zeischrift f¨ ur Analysis und ihre Anwendungen 12 (1993), 597–603. [CF] L. Caﬀarelli and A. Friedman, Partial regularity of the zero-set of solutions of linear and superlinear elliptic equations, J. Diﬀ. Equat. 60 (1985), 420–433. [Cal] A. P. Calder` on, On an inverse boundary value problem, Seminar on Numerical Analysis and its Applications to Continuum Physics (Rio de Janeiro, 1980), pp. 65–73, Soc. Brasil. Mat., Rio de Janeiro, 1980.

Litt´erature

241

[Can] J. R. Cannon, The one dimensional heat equation, Addison-Wesley, 1984. [CK1] B. Canuto and O. Kavian, Determining coeﬃcients in a class of heat equations via boundary measurements, SIAM J. Math. Anal. 32 (2001), 963–986. [CK2] B. Canuto and O. Kavian, Determining two coeﬃcients in elliptic operators via boundary spectral data : a uniqueness result, Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat. (8) 7 (2004), 207–230. [CFJL] S. Chaabane, I. Fellah, M. Jaoua and J. Leblond, Logarithmic stability estimates for a robin coeﬃcient in two-dimensional Laplace inverse problems, Inverse Problems 20, (2004), 47–59. [CIK] D. Chae, O. Yu Imanuvilov and S. M. Kim, Exact controllability for semilinear parabolic equations with Neumann boundary conditions, J. Dynam. Control Systems 2 (4) (1996), 449–483. [Cha] I. Chavel, Heat diﬀusion in insulated convex domains, J. London Math. Soc. (2) 34 (3) (1986) 473–478. [CCL] J. Cheng, M. Choulli and J. Lin, Stable determination of a boundary coeﬃcient in an elliptic equation, M3AS 18 (1) (2008) 107–123. [CCY] J. Cheng, M. Choulli and X. Yang, An iterative BEM for the inverse problem of detecting corrosion in a pipe, Numer. Math. J. Chinese Univ. 14 (3) (2005) 252–266. [Ch1] M. Choulli, On the determination of an inhomogeneity in an elliptic equation, Appl. Anal. 85 (6–7) (2006), 693–699. [Ch2] M. Choulli, Local stability estimate for an inverse conductivity problem, Inverse Problems, 19 (2003), 895–907. [Ch3] M. Choulli, On the determination of an unknown boundary function in a parabolic equation, Inverse Problems 15 (1999), 659–667. [Ch4] M. Choulli, An inverse problem in corrosion detection : stability estimates, J. Inverse Ill-Posed Probl. 12 (4) (2004), 349–367. [CIY] M. Choulli, O. Yu. Imanuvilov and M. Yamamoto, Stability in an inverse parabolic problem with single measurement, pr´epublication. [COY] M. Choulli, El Maati Ouhabaz and M. Yamamoto, Stable determination of a semilinear term in a parabolic equation, Commun. Pure Appl. Anal. 5 (3) (2006), 447–462. [CY1] M. Choulli and M. Yamamoto, Stable identiﬁcation of a semilinear term in a parabolic equation, pr´epublication LMAM 2004–01. [CY2] M. Choulli and M. Yamamoto, Some stability estimates in determining sources and coeﬃcients, J. Inverse Ill-Posed Probl. 14 (4) (2006), 355–373. [CY3] M. Choulli and M. Yamamoto, Uniqueness and stability in determining the heat radiative coeﬃcient, the initial temperature and a boundary coeﬃcient in a parabolic equation, Nonlinear Anal. TMA 69 (11) (2008), 3983–3998. [CY4] M. Choulli and M. Yamamoto, Generic well-posedness of an inverse parabolic problem - H¨ older space approach, Inverse Problems 12 (1996), 195–205. [CZ] M. Choulli et A. Zeghal, Un r´esultat d’unicit´e pour un probl`eme inverse semilin´eaire, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 315, S´erie I (1992), 1051–1053.

242

Litt´erature

[DEP] G. Dal Maso, F. Ebobisse and M. Ponsinglione, A stability result for nonlinear Neumann problems under boundary variations, J. Math. Pures Appl. 82 (2003), 503–532. [DL] R. Dautray et J. L. Lions, Analyse math´ematique et calcul num´erique, Tomes I, II et III, Masson, Paris, 1984 et 1985. [Da] E. B. Davies, Heat kernels and spectral theory, Cambridge Tracts in Math. 92, Cambridge University Press, London 1989. [DU] J. Diestel and J. J. Uhl Jr., Vector measures, American Math. Soc., Providence, RI, 1977. [DR] P. DuChateau and W. Rundell, Unicity in an inverse problem for an unknown reaction-diﬀusion equation, J. Diﬀ. Equat. 59 (2) (1985), 155–164. [EH] A. El Badia and T. Ha-Duong, On an inverse source problem for the heat equation. Application to pollution detection problem, J. Inverse Ill-Posed Probl. 10 (6) (2002), 585–599. [Er] A. Erdely et al., Higher transcendal functions, Vol. I, McGraw-Hill, New York, 1953. [Ev] L. C. Evans, Partial diﬀerential equations, American Math. Soc., Providence, RI, 1998. [Fe]

E. Fern´ andez-Cara, Null controllability of the semilinear heat equation, ESAIM, Cont. Optim. Calcu. Var. 2 (1997), 87–103.

[Frie] A. Friedman, Partial diﬀerential equations of parabolic type, Prentice-Hall, Englewood Cliﬀs, N. J., 1964. [FG] A. Friedman and B. Gustafsson, Identiﬁcation of conductivity coeﬃcient in an elliptic equation, SIAM J. Math. Anal. 18 (3) (1987), 777–787. [FV] A. Friedman and M. Vogelius, Determining cracks by boundary measurements, Indiana Univ. Math. J. 38 (1989), 527–556. [Fu] D. Fujiwara, Concrete characterization of the domains of fractional powers of some elliptic diﬀerential operators of the second order, Proc. Japan Acad. 43 (1967) 82–86. [FI]

A. V. Fursikov and O. Yu. Imanuvilov, Controllability of evolution equations, Lecture Notes Series, Seoul National Univ., 1996.

[GT] D. Gilbarg and N.S. Trudinger, Elliptic partial diﬀerential equations of second order, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1983. [Go] J. A. Goldstein, Semigroups of linear operators and applications, Oxford University Press, New York, 1985. [Jo]

F. John, Partial diﬀerential equations, 4th ed., Springer-Verlag, New-York, 1982.

[Ha] P. H¨ ahner, A periodic Faddeev-type operator, J. Diﬀ. Equat. 128 (1996) 300– 308. [HKM] J. Heinonen, T. Kilpel¨ ainen and O. Martio, Nonlinear Potential theory of degenerate elliptic equations, Clarendon Press, Oxford, New York, Tokyo, 1993. [HP] A. Henrot et M. Pierre, Variation et optimisation de formes, Math´ematiques et Applications, vol. 48, Springer-Verlag, Berlin, 2005.

Litt´erature

243

[Ho] L. F. Ho, Observabilit´e fronti`ere de l’´equation des ondes, C. R. Acad. Sci Paris, S´erie I 302 (1986), 443–446. [Hor1] L. H¨ ormander, The analysis of linear partial diﬀerential operator I, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1990. [Hor2] L. H¨ ormander, The analysis of linear partial diﬀerential operator II, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1990. [In]

G. Inglese, An inverse problem in corrosion detection, Inverse Problems 13 (1997), 977–994.

[Isa1] V. Isakov, Completness of products of solutions and some inverse problems for PDE, J. Diﬀ. Equat. 92 (1991), 305–316. [Isa2] V. Isakov, Parabolic problems with ﬁnal overdetermination, Commun. Pure Appl. Math. 54 (1991), 185–209. [Isa3] V. Isakov, Inverse problems for partial diﬀerential equations, Springer-Verlag, New-York, 1998. [IS]

V. Isakov and Z. Sun, Stability estimates for hyperbolic inverse problems with local boundary data, Inverse Problems, 8 (1992), 193–206.

[Iso] H. Isozaki, Some remarks on the multi-dimensional Borg-Levinson theorem, J. Math. Kyoto Univ. 31 (3) (1991), 743–753. [It]

S. Itˆ o, Diﬀusion equations, AMS, Providence, 1992.

[Ka1] O. Kavian, Introduction ` a la th´eorie des points critiques et applications aux probl`emes elliptiques, Springer-Verlag, Paris, 1993. [Ka2] O. Kavian, Lectures on parameter identiﬁcation. Three courses on partial differential equations, 125–162, IRMA Lect. Math. Theor. Phys., 4, de Gruyter, Berlin, 2003. [KSU] C. E. Kenig, J. Sj¨ ostrand and G. Uhlmann, The Calder` on problem with partial data, Ann. of Math. 165 (2) (2007), 567–591. [KS] H. Kim and J. K. Seo, Unique determination of a ﬁnite number of collection of cracks from two boundary measurements, SIAM J. Math. Anal. 27 (1996), 1336–1340. [Ko] V. Komornik, Exact controllability and stabilization – the multiplier method, Masson , Paris, 1994. [Kr] N. V. Krylov, Lectures on elliptic and parabolic equations, American Math. Soc., Providence, RI, 1996. [LU] O. A. Ladyzhenskaja and N. N. Ural’tzeva, Linear and quasilinear elliptic equations, Nauka, Moscow, 1964 in Russian ; English translation : Academic Press, New York, 1968 ; 2nd Russian ed. 1973. [LSU] O. A. Ladyzhenskaja, V. A. Solonnikov and N. N. Ural’tzeva, Linear and quasilinear equations of parabolic type, Nauka, Moscow, 1967 in Russian ; English translation : American Math. Soc., Rovidence, RI, 1968. [Le] B. M. Levitan, Inverse Sturm-Liouville problems. Translated from the Russian by O. Eﬁmov. VSP, Zeist, 1987. [Lie] G. M. Lieberman, Second order parabolic diﬀerential equations, World Scientiﬁc, Singapore, 1996.

244

Litt´erature

[Lio] J. -L. Lions, Contrˆ olabilit´e exacte, perturbations et stabilisation de syst`emes distribu´es, Vol 1, Masson , Paris, 1988. [LM] J.- L. Lions and E. Magenes, Probl`emes aux limites non homog`enes et applications, Vol. I et II, Dunod, Paris, 1968. [LS] W. H. Loh, S. E. Swirhun, T. A. Schereyer, R. M. Swanson and K. C. Saraswat, Modelling and measurement of contact resistances, IEEE Trans. Electron. Devices 34 (1987), 512–524. [Lo] A. Lorenzi, An inverse problem for a semilinear parabolic equation, Ann. Mat. Pura Appl. 131 (4) (1982), 145–166. [LN] A. K. Louis and F. Natterer, Mathematical problems of computerized tomography, Proc. IEEE, 71 (1983), 379–390. [Mal] P. Malliavin, Int´egration et probabilit´es, analyse de Fourier et analyse specrale, Masson, Paris, 1982. [Marcu] M. Marcus, Local behaviour of singular solutions of elliptic equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 19 (1965), 519–561. [March] V. A. Marchenko, Sturm-Liouville operators and applications. Translated from the Russian by A. Iacob. Operator Theory : Advances and Applications, 22. Birkh¨ auser Verlag, Basel, 1986. [MPS] A. Maugeri, D. K. Palagachev and L. G. Softova, Elliptic and parabolic equations with discontinuous coeﬃcients, Wiley-VCH, Berlin, 2000. [Mi] C. Miranda, Partial diﬀerential equations of elliptic type, 2nd rev. ed., Springer-Verlag, Berlin, 1970. [Mu] N. V. Muzylev, uniqueness theorems for some converse problems of conduction, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 20 (2) (1980), 120–134. [NSU] A. Nachman, J. Sylvester and G. Uhlmann, An n-dimensional Borg-Levinson theorem, Commun. Math. Physics 115 (1988), 595–605. [Ni]

L. Nirenberg, Estimates and existence of solutions of elliptic equations, Commun. Pure Appl. Math. 9 (1956), 509–530.

[No] R. G. Novikov, Multidimensional inverse spectral problems for the equation −Δψ + (v(x) − Eu(x))ψ = 0, Functional Analysis and its Applications 22 (4) (1988), 263–272. [Ou] E. M. Ouhabaz, Analysis of heat equations on domains, London Math. Soc. Monographs, vol. 31, Princeton University Press, 2004. [Pa] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial diﬀerential equations, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1976. [PT] J. P¨ oschel and E. Trubowitz, Inverse spectral theory, Pure and Applied Mathematics, 130. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1987. [PW] M. Protter and H. Weinberger, Maximum principles in diﬀerential equations, Prentice-Hall, Englewood Cliﬀs, N. J., 1968. [RS] Rakesh and W. Symes, Uniqueness for an inverse problem for the wave equation, Commun. PDE, 13 (1), (1988), 87–96. [RR] M. Renardy and R. C. Rogers, An introduction to partial diﬀerential equations, Springer-Verlag, New York, 1993.

Litt´erature

245

[Ro1] L. Rondi, Stabilt` a per il problema inverso dei crack in un corpo non omogeno, Thesis Universit` a degli Studi di Trieste, 1996. [Ro2] L. Rondi, Optimal stability estimates for the determination of defects by electrostatic measurements, Inverse Problems 15 (1999), 1193–1212. [Ru] W. Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed, McGraw-Hill, New York, 1987. [Sa]

S. Saitoh, Representations of the norms in Bergman-Selberg spaces on strips and half planes, Complex Variables 19 (1992), 231–241.

[SaY] S. Saitoh and M. Yamamoto, Stability of Lipschitz type in determination of initial heat distribution, J. Inequal. and Appl. 1 (1), (1997), 73–83. [SS1] J. C. Saut and B. Scheurer, Sur l’unicit´e du probl`eme de Cauchy et le prolongement unique pour des ´equations elliptiques ` a coeﬃcients non localement born´es, J. Diﬀ. Equat. 43 (1982), 28–43. [SS2] J. C. Saut and B. Scheurer, Unique continuation for some evolution equations, J. Diﬀ. Equat. 66 (1987), 118–139. [Sc1] L. Schwartz, Th´eorie des distributions, nouvelle ´edition, Hermann, Paris 1984. [Sc2] L. Schwartz, Analyse, topologie g´en´erale et analyse fonctionnelle, 2`eme ´edition, Hermann, Paris, 1980. [Sc3] L. Schwartz, Analyse math´ematique, cours I et II, Hermann, Paris, 1967. ´ [Sc4] L. Schwartz, Etudes des sommes d’exponentielles, Hermann, Paris, 1959. [Sun] Z. Sun, On continuous dependance for an inverse initial boundary value problem for the wave equation, J. Math. Anal. Appl. 150 (1990), 188–204. [Sung] K. Sungwhan, Recovery of an unknown support of a source term in an elliptic equation, Inverse Problems 20 (2) (2004), 565–574. [SuY] K. Sungwhan and M. Yamamoto, Uniqueness in identiﬁcation of the support of a source term in an elliptic equation. SIAM J. Math. Anal. 35 (1) (2003), 148–159. [SU1] J. Sylvester and G. Uhlmann, A uniqueness theorem for an inverse boundary value problem in electrical prospection, Commun. Pure Appl. Math. 39 (1986), 91–112. [SU2] J. Sylvester and G. Uhlmann, A global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem, Ann. of Math. 125 (1987), 153–169. [SU3] J. Sylvester and G. Uhlmann, Inverse boundary value problems at the boundary - continuous dependence, Commun. Pure Appl. Math 41 (1988), 197–221. [Ta] M. E. Taylor, Pseudodiﬀerential operators, Princeton Mathematical Series, 34, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1981. [Uh] G. Uhlmann, Developments in inverse problems since Calder` on’s foundational paper, Harmonic analysis and partial diﬀerential equations (Chicago, IL, 1996), 295–345, Chicago Lectures in Math., Univ. Chicago Press, Chicago, IL, 1999. [Vi]

N. J. Vilenkin, Fonctions sp´eciales en th´eorie de la repr´esentation des groupes, Dunod, Paris, 1969.

[Wi] D. V. Widder, An introduction to transform theory, Academic Press, New York, 1971.

246

Litt´erature

[Ya1] M. Yamamoto Conditional stability in determination of force terms of heat equations in a rectangle, Mathematical and Computer Modelling 18 (1993), 79–88. [Ya2] M. Yamamoto, Conditional stability in the determination of densities of heat sources in a bounded domain,”Estimation and Control of Distributed Parameter Systems” eds ; W. Desch, F. Kappel and K. Kunisch, Birkh¨ auser Verlag, Basel, 1994, 359–370.

Index

h-tube, 149 Anti-p´eriodique, 52 Application compacte, 228 Base hilbertienne, 53 Cartes locales, 11, 99 Composante connexe, 141, 155, 156 horizontale, 30 Conditions de compatibilit´e, 25, 161 de transmission, 19, 133 Coordonn´ees sph´eriques, 23 Courbure moyenne, 16 D´eriv´ee directionnelle, 128 Dilatation complexe, 138 Distance de Hausdorﬀ, 143, 157 Distorsion, 138 Distribution vectorielle, 13 Divergence tangentielle, 16 Domaine simplement connexe, 138, 140 Dual topologique, 6 Ensemble r´esolvant, 31 Equation de Helmholtz, 179 de Schr¨ odinger, 238 Espace de Bergman-Selberg, 183 de Deny-Lions, 153 des droites orient´ees, 77

m´etrisable complet, 8 tangent, 77 Espaces locaux, 6 Estimations de Schauder Lp , 88 de Schauder int´erieures, 86 h¨ olderiennes, 110 Exponentielle harmonique, 35 Exposant conjugu´e, 2 Fonction LA -sous-harmonique, 141 LA -sur-harmonique, 141 Q-p´eriodique, 51 Z0 -quasi-p´eriodique, 51 caract´eristique, 125, 130, 223 conforme, 138 courant, 139, 140, 154 de Green, 48, 86 de Heaviside, 178 harmonique, 116 harmonique conjugu´ee, 139, 154 harmonique sph´erique, 24, 93 int´egrable au sens de Bochner, 3 int´egrable au sens de Lebesgue, 1 mesurable, 3 quasi-conforme, 138, 139, 144 quasi-r´eguli`ere, 138, 139 simple, 2 Fonctions propres, 60, 170, 188, 233 Forme anti-lin´eaire, 58 diﬀ´erentielle exacte, 139

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Index

Formule de Green, 43, 46, 50, 63, 81, 106–108, 113, 114, 116, 135, 198, 226 de Taylor, 69 du min-max, 64 Fr´echet-diﬀ´erentiable, 228 Fronti`ere parabolique, 28 G´en´erateur inﬁnit´esimal, 31 Gˆ ateaux-diﬀ´erentiable, 126 Gradient tangentiel, 16 In´egalit´e d’´energie, 75 d’interpolation, 61, 120 d’observabilit´e, 179, 184, 185 de Carleman, 57, 121, 122, 169 de H¨ older, 2, 88 de Harnack, 22, 129, 148, 150 de Poincar´e, 95, 100 Int´egrales de Cauchy, 148 Interpolation, 62, 77, 84 Laplacien en coordonn´ees polaires, 106 Lemme de Hopf, 21, 103, 111, 112, 122 de Hopf dans un coin, 111 Limite inductive d’espaces de Fr´echet, 5 M´ethode “Born approximation”, 81 Majoration gaussienne, 204 Matrice orthogonale, 190, 191 Mesure de Dirac, 37 Minoration gaussienne, 204 Noyau de la chaleur, 204 Op´erateur de Laplace-Beltrami, 16, 23 de rel`evement, 187 de Steklov-Poincar´e, 35 de trace, 113–115, 135, 199 diﬀ´erentiel lin´eaire ` a coeﬃcients constants, 35, 193 Dirichlet-Neumann, 35 elliptique, 38, 111 semi-elliptique, 193 sous forme divergentielle, 21 uniform´ement elliptique, 17 uniform´ement parabolique, 24

Point h-accessible, 150 conductif, 152, 155, 157 critique g´eom´etrique, 140, 145, 146 de capacit´e, 153 Polygone convexe, 238 Polynˆ ome de Gegenbauer, 24, 89, 94 Principe de comparaison, 20, 210 du maximum, 22, 129, 141, 145, 146, 160, 162 du maximum faible, 20, 29 du maximum fort, 20, 29, 122, 174 Probl`eme de Cauchy, 32, 106, 119, 146 de conductivit´e inverse, 50 de transmission, 19, 131, 134, 135 Produit de convolution, 6 Propri´et´e du cˆ one int´erieur, 211 Puissance fractionnaire, 33 R´egularit´e elliptique, 206 h¨ olderienne, 17, 20, 25 int´erieure, 125 locale, 99 R`egle de l’Hˆ opital, 212 Rel`evement lin´eaire continu, 12 S´eries de Dirichlet vectorielles, 190 Scattering inverse, 81 Semi-groupe analytique, 31, 204 Solution de Perron sup´erieure, 141 fondamentale, 37, 89, 204, 210, 211, 214 variationnelle, 19 Suite d´enombrable de semi-normes, 7 Th´eor`eme de Bochner, 3 de Carleman, 220, 221 de compacit´e d’Ascoli, 160 de convergence domin´ee, 88 de Hille-Yosida , 31 de J.-L. Lions, 25 de la moyenne, 179 de Lax-Milgram, 19, 154 de Leray-Schauder, 228 de Lindel¨ of, 219, 221

Index de de de de

M¨ untz, 180 Privaloﬀ, 145 prolongement de Hahn-Banach, 58 repr´esentation de Bers-Nirenberg, 139 de s´eparation de Hahn-Banach, 40, 198 de Stampacchia, 18 de trace, 12, 14, 15, 95 des acrroissements ﬁnis, 96 Topologie pr´e-faible, 9

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Transform´ee de Laplace, 186 de Reznitskaya, 184 r´egularisante, 77 rayon-X, 77 Unicit´e du prolongement, 44, 49, 129, 130, 136, 137, 155, 178, 179, 183 Valeurs propres, 60, 170, 188, 189, 233 Vari´et´e ` a bord, 4 Vari´et´e ind´eﬁniment diﬀ´erentiable, 4

D´ej`a parus dans la mˆeme collection 1. T. Cazenave, A. Haraux : Introduction aux probl` emes d’´ evolution semi-lin´ eaires. 1990 2. P. Joly : Mise en œuvre de la m´ ethode des ´ el´ ements finis. 1990 3/4. E. Godlewski, P.-A. Raviart : Hyperbolic systems of conservation laws. 1991 5/6. Ph. Destuynder : Mod´ elisation m´ ecanique des milieux continus. 1991 7. J. C. Nedelec : Notions sur les techniques d’´ el´ ements finis. 1992 8. G. Robin : Algorithmique et cryptographie. 1992 9. D. Lamberton, B. Lapeyre : Introduction au calcul stochastique appliqu´ e. 1992 emes aux limites ellip10. C. Bernardi, Y. Maday : Approximations spectrales de probl` tiques. 1992 11. V. Genon-Catalot, D. Picard : El´ ements de statistique asymptotique. 1993 12. P. Dehornoy : Complexit´ e et d´ ecidabilit´ e. 1993 13. O. Kavian : Introduction ` a la th´ eorie des points critiques. 1994 ´ 14. A. Bossavit : Electromagn´ etisme, en vue de la mod´ elisation. 1994 15. R. Kh. Zeytounian : Mod´ elisation asymptotique en m´ ecanique des fluides Newtoniens. 1994 16. D. Bouche, F. Molinet : M´ ethodes asymptotiques en ´electromagn´ etisme. 1994 17. G. Barles : Solutions de viscosit´ e des ´ equations de Hamilton-Jacobi. 1994 18. Q. S. Nguyen : Stabilit´ e des structures ´ elastiques. 1995 19. F. Robert : Les syst` emes dynamiques discrets. 1995 20. O. Papini, J. Wolfmann : Alg` ebre discr` ete et codes correcteurs. 1995 21. D. Collombier : Plans d’exp´ erience factoriels. 1996 22. G. Gagneux, M. Madaune-Tort : Analyse math´ ematique de mod` eles non lin´ eaires de l’ing´ enierie p´ etroli` ere. 1996 23. M. Duflo : Algorithmes stochastiques. 1996 24. P. Destuynder, M. Salaun : Mathematical Analysis of Thin Plate Models. 1996 25. P. Rougee : M´ ecanique des grandes transformations. 1997 ¨ rmander : Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations. 1997 26. L. Ho ´chal, C. Sagastiza ´ bal : Optimisation 27. J. F. Bonnans, J. C. Gilbert, C. Lemare num´ erique. 1997 28. C. Cocozza-Thivent : Processus stochastiques et fiabilit´ e des syst` emes. 1997 ´ Pardoux, R. Sentis : M´ ethodes de Monte-Carlo pour les ´ equations 29. B. Lapeyre, E. de transport et de diffusion. 1998 30. P. Sagaut : Introduction ` a la simulation des grandes ´echelles pour les ´ ecoulements de fluide incompressible. 1998 31. E. Rio : Th´ eorie asymptotique des processus al´ eatoires faiblement d´ ependants. 1999 32. J. Moreau, P.-A. Doudin, P. Cazes (Eds.) : L’analyse des correspondances et les techniques connexes. 1999 33. B. Chalmond : El´ ements de mod´ elisation pour l’analyse d’images. 1999 34. J. Istas : Introduction aux mod´ elisations math´ ematiques pour les sciences du vivant. 2000 35. P. Robert : R´ eseaux et files d’attente : m´ ethodes probabilistes. 2000 36. A. Ern, J.-L. Guermond : El´ ements finis : th´ eorie, applications, mise en œuvre. 2001 37. S. Sorin : A First Course on Zero-Sum Repeated Games. 2002

38. J. F. Maurras : Programmation lin´ eaire, complexit´ e. 2002 39. B. Ycart : Mod` eles et algorithmes Markoviens. 2002 40. B. Bonnard, M. Chyba : Singular Trajectories and their Role in Control Theory. 2003 41. A. Tsybakov : Introdution ` a l’estimation non-param´ etrique. 2003 42. J. Abdeljaoued, H. Lombardi : M´ ethodes matricielles – Introduction ` a la complexit´ e alg´ ebrique. 2004 43. U. Boscain, B. Piccoli : Optimal Syntheses for Control Systems on 2-D Manifolds. 2004 44. L. Younes : Invariance, d´ eformations et reconnaissance de formes. 2004 45. C. Bernardi, Y. Maday, F. Rapetti : Discr´ etisations variationnelles de probl` emes aux limites elliptiques. 2004 46. J.-P. Franc ¸ oise : Oscillations en biologie : Analyse qualitative et mod` eles. 2005 47. C. Le Bris : Syst` emes multi-´ echelles : Mod´ elisation et simulation. 2005 48. A. Henrot, M. Pierre : Variation et optimisation de formes : Une analyse g´ eometric. 2005 ´garay-Fesquet : Hi´ 49. B. Bide erarchie de mod` eles en optique quantique : De MaxwellBloch ` a Schr¨ odinger non-lin´ eaire. 2005 ´ ger, E. Zuazua : Wave Propagation, Observation and Control in 1 − d Flexible 50. R. Da Multi-Structures. 2005 ´lat : M´ 51. B. Bonnard, L. Faubourg, E. Tre ecanique c´ eleste et contrˆ ole des v´ ehicules spatiaux. 2005 52. F. Boyer, P. Fabrie : El´ ements d’analyse pour l’´ etude de quelques mod` eles d’´ ecoulements de fluides visqueux incompressibles. 2005 `s, C. L. Bris, Y. Maday : M´ 53. E. Cance ethodes math´ ematiques en chimie quantique. Une introduction. 2006 54. J-P. Dedieu : Points fixes, zeros et la methode de Newton. 2006 55. P. Lopez, A. S. Nouri : Th´ eorie ´ el´ ementaire et pratique de la commande par les r´ egimes glissants. 2006 56. J. Cousteix, J. Mauss : Analyse asympotitque et couche limite. 2006 57. J.-F. Delmas, B. Jourdain : Mod` eles al´ eatoires. 2006 58. G. Allaire : Conception optimale de structures. 2007 59. M. Elkadi, B. Mourrain : Introduction ` a la r´ esolution des syst` emes polynomiaux. 2007 60. N. Caspard, B. Leclerc, B. Monjardet : Ensembles ordonn´ es finis : concepts, r´ esultats et usages. 2007 61. H. Pham : Optimisation et contrˆ ole stochastique appliqu´ es ` a la finance. 2007 62. H. Ammari : An Introduction to Mathematics of Emerging Biomedical Imaging. 2008 63. C. Gaetan, X. Guyon : Mod´ elisation et statistique spatiales. 2008 64. Rakotoson, J.-M. : R´ earrangement Relatif. 2008 65. M. Choulli : Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques. 2009

Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques (Mathématiques et Applications) (French Edition)

Introduction a la theorie des points critiques: et applications aux problemes elliptiques (Mathematiques et Applications) (French Edition)

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Régression: Théorie et applications (Statistique et probabilités appliquées) (French Edition)

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