Einführung in die Mechanik und Symmetrie: Eine grundlegende Darstellung klassischer mechanischer Systeme

(1.17)

1.1 Lagrangescher und Hamiltonscher Formalismus

5

definiert (fur 6H/ 6cp2, ... ,6H/ 67fm entsprechend). Mit der Poissonklammer konnen die Gleichungen (1.13) und (1.15) in die folgende Form gebracht werden: (1.18) P = {F,H}, wobei die Klammern im jeweiligen Fall durch

{F,G} =

~ (fJF fJG

8

fJq' fJPi

_ fJF fJG) fJPi fJq'

(1.19)

und (1.20) erklart werden. Jedem Konfigurationsraum Q mit den Koordination (ql, ... , qn) ist ein Phasenraum T*Q mit den Koordinaten (ql, ... , qn,Pl,'" ,Pn) zugeordnet, den man das Kotangentialbiindel von Q nennt. Die kanonische Klammer (1.19) ist auf diesem Raum insofern koordinatenfrei definiert, als daB der Wert von {F, G} nicht von der Koordinatenwahl abhangt. Da die Poissonklammer der Beziehung {F, G} = -{ G, F} genugt und somit insbesondere {H, H} = 0 ist, folgt if = 0 aus (1.18). Das heiBt: Die Energie bleibt erhalten. Dies ist der elemcntarste vieler tiefsinniger und schaner Erhaltungssatze der Mechanik. Auch im Hamiltonformalismus gibt es ein Variationsprinzip. 1m Lagrangeformalismus betrachten wir Kurven im Konfigurationsraum, im Hamiltonformalismus aber Kurven im Impulsphasenraum. Dieses Variationsprinzip lautet (1.21) mit Pi6qi = 0 in den Endpunkten. Seine Giiltigkeit haben wir schon gezeigt. Wie in den Standardtexten, z.B. Whittaker [1927]' Goldstein [1980], Arnold [1989], Thirring [1978] und Abraham und Marsden [1978] beschrieben, liegt dieser Formalismus den Untersuchungen vieler wichtiger teilchendynamischer und feldtheoretischer Systeme zugrunde. Die symplektische Geometrie und die Poissongeometrie sind die geometrischen Strukturen, auf denen der Formalismus aufgebaut ist. Wie diese Strukturen durch Legendretransformation mit den Euler-Lagrange-Gleichungen und den Variationsprinzipien verbunden sind, ist ein sehr wichtiger Punkt. Es ist auch ziemlich gut verstanden, wie man die im unendlichdimensionalen Fall auftretenden funktionalanalytischen Schwierigkeiten prazise behandeln kann, siehe z.B. Chernoff und Marsden [1974] und Marsden und Hughes [1983].

6

1. Einfiihrung und Uberblick

Ubungen Ubung 1.1.1. Durch eine direkte Berechnung zeige man, daB die klassische Poissonklammer die Jacobiidentitat erfUllt, also daB fUr Funktionen Fund K von 2n Variablen (ql, q2, ... , qn,Pl,P2, ... ,Pn) und mit

{L, {F, K}} + {K, {L, F}} + {F, {K, L}} = 0 erfullt ist.

1.2 Der starre K6rper Es war schon im 19. Jahrhundert bekannt, daB gewisse mechanische Systeme in dem in §1.1 kurz dargestellten, ublichen Formalismus nicht behandelt werden konnen. Clebsch [1857,1859] fand heraus, daB es z.B. notwendig ist, bestimmte nichtphysikalische Potentiale einzufUhren, urn eine Hamiltonsche Beschreibung von Flussigkeiten zu erhalten. 1 Wir werden Flussigkeiten spater in §1.4 diskutieren. Die Eulerschen Gleichungen. Wie wir in Kap. 15 genauer sehen werden, lauten die Eulerschen Gleichungen fur die Rotationsdynamik eines starren Korpers, der sich urn seinen Schwerpunkt dreht,

1dJr = (I2 - h)[22[23, hD2 = (13 - h)[23[21, h D3 = (h - 12)[21[22,

(1.22)

wobei n = ([21, [22, [23) der korpereigene Winkelgeschwindigkeitsvektor ist (die Winkelgeschwindigkeit des starren Korpers von einem korpereigenen Koordinatensystem aus betrachtet) und II, h, h von der Korperform und seiner Massenverteilung abhangige Konstanten, die Haupttragheitsmomente des starren Korpers sind. Sind die Gleichungen (1.22) in irgend einem Sinne Lagrangesche oder Hamiltonsche Gleichungen? Wegen der ungeradzahligen Anzahl von Gleichungen, konnen sie offensichtlich nicht wie in (1.13) auf die kanonische Hamiltonsche Form gebracht werden. Eine klassische Methode, urn die Lagrange- oder Hamiltonstruktur der Gleichungen des starren Korpers zu erkennen, ist, die Korperorientierung
e,

1

e,

Fur einen geometrischen Zugang zu Clebschpotentialen und weitere Verweise siehe Marsden und Weinstein [1983], Marsden, Ratiu und Weinstein [1984a, 1984b], Cendra und Marsden [1987] und Cendra, 1bort und Marsden [1987].

1.2 Der starre Ki:irper

7

tatsiiehlieh eine Euler-Lagrangesche (oder kanonische Hamiltonsche) Form erhalten. Fur dieses Verfahren benotigt man allerdings seehs Gleiehungen, wahrend man viele Fragen leichter untersuchen kann, wenn man die drei Gleiehungen (1.22) benutzt. Lagrangeform. Urn zu erkennen, inwiefem die Gleichungen (1.22) Lagrangesch sind, fuhrt man die Lagrangefunktion

(1.23) ein, die, wie Wir m Kap. 15 genauer sehen werden, die kinetische Energie (Rotationsenergie) des starren Korpers angibt. FaBt man ID = (hDI , I 2 D2 , hD3) als einen Vektor auf, so kann man (1.22) in der Form

aL _ aL dtan - an

~

x

n

(1.24)

schreiben. Diese Gleichungen erscheinen so bei Lagrange [1788, Volume 2, p. 212] und werden von Poincare [1901b] auf beliebige Liealgebren verallgemeinert. Wir werden diese allgemeinen Euler-Poincare-Gleichungen in Kap. 13 diskutieren. Anstelle von (1.24) konnen wir auch ein zu den EulerLagrange-Gleichungen analoges, direkt von D abhangiges Variationsprinzip angeben. Die Gleichung (1.24) ist namlich zu

oi

b

Ldt = 0

(1.25)

aquivalent, wobei die Variationen von D nur von der Form

on =..t+ n

xE

(1.26)

sein konnen. Dabei ist E eine Kurve im]R3, die in den Endpunkten verschwindet. Dies kann in derselben Weise bewiesen werden, wie wir gezeigt haben, daB das Variationsprinzip (1.1) zu den Euler-Lagrange-Gleichungen (1.4) aquivalent ist, vgl. dazu auch Ubung 1.2.2. Wir werden spater in Kap. 13 sehen, wie wir dies aus dem "primitiveren" Variationsprinzip (1.1) herleiten konnen. Hamiltonform. Wenn wir anstelle von Variationsprinzipien Poissonklammem zugrunde legen und die Forderung fallen lassen, daB diese in der Standardform (1.19) sein sollen, bekommen die Gleichungen des starren Korpers ebenfalls eine einfache und schone Hamiltonstruktur. Urn diese anzugeben, fiihren wir die Drehimpulse

(1.27) ein. Damit erhalten die Eulerschen Gleichungen die Gestalt

8

1. Einftihrung und Uberblick

(1.28)

bzw.

iI = II x n.

(1.29)

Wir fUhren die Poissonklammer des starren Korpers fUr Funktionen in Abhangigkeit der II

{F,G}(II) = -II· (VF x VG)

(1.30)

und die Hamiltonfunktion

H=

~

2

(IIr

h

+ II'§ + II?') h

h

(1.31)

ein. Es liiBt sich zeigen (Ubung 1.2.3.), daB die Eulerschen Gleichungen (1.28) zu P = {F,H} (1.32) iiquivalent sind. 2 U nabhiingig von der Hamiltonfunktion bleibt der Gesamtdrehimpuls fur jede Gleichung der Form (1.32) erhalten, denn aus 1

2

C(II) = 2(II1 folgt VC(II)

=

+ II22 + II32 )

II, und somit ist d 1 2 2 2 -d -(III +II2 +II3)

t2

= {C,H}(II) = -II· (VC x VH) = -II· (II x VH) = O.

(1.33) (1.34) (1.35)

Die gleiche Rechnung zeigt, daB fUr jede Funktion F die Beziehung {C, F} = Solche Funktionen, die mit jeder Funktion Poisson-kommutieren nennt man Casimirfunktionen. Wie wir spiiter sehen werden, sind sie fur Stabilitiitsuntersuchungen von besonderer Bedeutung. 3

o gilt. 2

3

Dieses einfache Resultat ist in impliziter Form in vielen Arbeiten enthalten, z.B. bei Arnold [1966a,1969j, und wird ftir den starren K6rper in dieser Form explizit in Sudarshan und Mukunda [1974] angegeben. (Frtihere Versionen findet man bei Pauli [1953], Martin [1959] und Nambu [1973].) Die Variationsform (1.25) andererseits scheinen wir zumindest in impliziter Form Poincare [1901b] und Hamel [1904] zu verdanken. Sie wurde in expliziter Form von Newcomb [1962] und Bretherton [1970] fUr Fltissigkeiten und fUr den allgemeinen Fall von Marsden und Scheurle [1993a, 1993b] formuliert. H. B. G. Casimir war ein Student von P. Ehrenfest und schrieb eine brillante Doktorarbeit zur Quantenmechanik des starren K6rpers, ein Problem, dem man

1.2 Der starre Karper

9

Ubungen. Ubung 1.2.1. Zeige durch direktes Nachrechnen, daB die Poissonklammer fUr den starren K6rper die Jacobiidentitat erfUllt. Das heiBt, wenn Fund G Funktionen von (Il1,II2,II3) sind und wir

{F,K}(ll) = -ll· (\IF x \lK) definieren, die Gleichung {L, {F, K}} + {K, {L, F}} + {F, {K, L}} = 0 erfUllt ist.

Ubung 1.2.2. Zeige direkt, daB die Eulerschen Gleichungen des starren K6rpers fur Variationen der Form on = iJ + n x E, wobei E in den Endpunkten verschwindent, zu

J

o

Ldt = 0

aquivalent sind.

Ubung 1.2.3. Prufe durch direktes Nachrechnen, daB die Eulerschen Gleichungen fUr den starren K6rper zu den Gleichungen

!F = {F,H} aquivalent sind, wobei {,} die Poissonklammer und H die Hamiltonfunktion fur den starren K6rper ist.

Ubung 1.2.4. 1. Zeige, daB die Drehgruppe SO(3) mit der Poincaresphiire, d.h. mit dem Einheitskreisbiindel der 2-Sphi:ire im ffi.3, also mit der Menge der Einheitstangentenvektoren an der 2-Sphare im ffi.3 identifiziert werden kann.

2. Zeige unter Verwendung der bekannten elementargeometrischen Tatsache, daB jedes (stetige) Vektorfeld auf 52 irgendwo verschwindet, daB SO(3) nicht als 52 x 51 geschrieben werden kann. sich selbst heutzutage noch nicht in wtinschenswertem Umfang an genom men hat. Ehrenfest seiber schrieb seine Doktorarbeit urn 1900 bei Boltzmann tiber Variationsprinzipien in der Hydrodynamik und war einer der ersten, die Fltissigkeiten im wesentlichen von diesem Standpunkt aus anstatt mit der Clebschdarstellung untersuchten. Merkwtirdigerweise verwandte Ehrenfest das Hertzsche Prinzip der kleinsten Krtimmung anstelle des elementareren Hamiltonschen Prinzips. Dies ist ein Ausgangspunkt fUr viele wichtige Ideen in diesem Buch.

10

1. Einfiihrung und Uberblick

1.3 Lie-Poisson-Klammern, Poissonmannigfaltigkeiten und Impulsabbildungen Das Variationsprinzip und die Poissonklammer flir den starren Karper sind Speziaifalle allgemeiner, jeder Liealgebra 9 zugeordneter Konstruktionen. Eine Liealgebra ist ein Vektorraum mit einer bilinearen, schiefsymmetrischen Klammer [~, 1]], die die Jacobiidentitiit, also fur aIle~, 1], ( E 9 die Gleichung [[~, 1]], (]

+

[[(,~], 1]]

+ [[1], (],~] = 0

(1.36)

erflillt. Zum Beispiel ist die der Drehgruppe zugeordnete Liealgebra 9 der 1R 3 , wobei die Klammer [~, 1]] = ~ x 1], also das gewahnliche Kreuzprodukt flir Vektoren ist.

Die Euler-Poincare-Gleichungen. prinzips auf 9 ersetzt man

Ml =

iJ + n

xE

Zur Konstruktion eines Variations-

durch

t5~ = i7 + [1],~].

Die daraus resultierenden allgemeinen Gleichungen auf g, die wir genauer in Kap. 13 untersuchen werden, sind die Euler-Poincare-Gleichungen. Diese Gleichungen gelten sowohl flir endlichdimensionale, als auch flir unendlichdimensionale Liealgebren. Urn sie flir den endlichdimensionalen Fall anzugeben, verwenden wir die folgende Notation: Wir wahlen eine Basis e1, ... , er von 9 (also ist dim 9 = r) und definieren die Strukturkonstanten C~b durch die Gleichung r

lea, eb] =

L C~bed,

(1.37)

d=l

wobei a und b von 1 bis r laufen. Wenn ~ ein Element der Liealgebra ist, sind ~a seine Koordinaten bzgl. der Basis. Es gilt ~ = 2:::=1 ~aea. 1st e 1 , ... , er die zugehOrige Dualbasis, so sind die Komponenten des Differentials der Lagrangefunktion L die partiellen Ableitungen f)L/f)~a. Damit lauten die EulerPoincare-G leichungen

~ C b f)L a ~ adf)~b~'

(1.38)

a,b=l

bzw. koordinatenfrei geschrieben

wobei ad~ : 9 -7 9 die lineare Abbildung 1] f-7 [~, 1]] und ad~ : g* -7 g* die zugehOrige duale Abbildung ist. Fur L : 1R3 -7 IR erhalten die Euler-PoincareGleichungen z.B. die Form

1.3 Lie-Poisson-Klammern, Mannigfaltigkeiten und Impulsabbildungen

11

und verallgemeinern die Eulerschen Gleichungen fur die Bewegung des starren Korpers. Wie schon erwahnt, wurden diese Gleichungen von Lagrange [1788, Volume 2, equation A, p. 212] fUr eine recht allgemeine Klasse von Lagrangefunktionen L angegeben, Poincare [19mb] hingegen hat sie auf beliebige Liealgebren verallgemeinert. Die Verallgemeinerung des Variationsprinzips des starren Korpers besagt, daB fUr alle Variationen der Form J~ = i] + [~, 1]] mit einer Kurve 1] in g, die in den Endpunkten verschwindet, die Euler-Poincare-Gleichungen zu

15

J

Ldt = 0

(1.39)

aquivalent sind. Die Lie-Poisson-Gleichungen. Wir konnen die Lie-Poisson-Klammer fur den starren Korper auch folgendermaBen verallgemeinern: Seien F, G auf dem Dualraum g* definiert. 1m folgenden bezeichnen wir die Elemente von g* mit f-t. Sei die Funktionalableitung von F nach f-t dasjenige eindeutige Elemente JF/Jf-t von g, das fUr alle Jf-t E g* durch (1.40) definiert ist, wobei (,) die Paarung von g* mit gist. Diese Definition (1.40) ist zu der in (1.17) gegebenen Definition von JF/J1p aquivalent, sofern g und g* geeignete Raume von Feldern sind. Die (±)-Lie-Poisson-Klammern seien durch (1.41) definiert. Mit der oben eingefuhrten Koordinatenschreibweise bekommt die (±)-Lie-Poisson-Klammer die Gestalt (1.42)

f-ta ea . Poissonmannigfaltigkeiten. Die Lie-Poisson-Klammern und die kanonischen Klammern aus dem letzten Abschnitt haben vier einfache aber grundlegende Eigenschaften: mit f-t

=

PKI PK2 PK3 PK4

{F, G} ist in Fund G reell bilinear. {F,G} = -{G,F}, {{F,G},H} + {{H,F},G} + {{G,H},F} = 0, {FG,H} = F{G,H} + {F,H}G,

Schiefsymmetrie. Jacobiidentitat. Leibnizregel.

12

1. Einfiihrung und Uberblick

Eine Mannigfaltigkeit (d.h. eine n-dimensionale "glatte Flache") P zusammen mit einer den Eigenschaften PBI-PB4 genugenden Klammeroperation auf F(P), dem Raum der glatten Funktionen auf P, nennt man eine Poissonmannigfaltigkeit. Insbesondere ist g* eine Poissonmannigfaltigkeit. In Kapitel 10 werden wir das allgemeine Konzept der Poissonmannigfaltigkeiten untersuchen. Wahlen wir z.B. 9 = ~3 mit dem Kreuzprodukt [x, yJ = x x y als Klammer und identifizieren uber das Skalarprodukt im ~3 (so daB (II, x) = II . x das ubliche Skalarprodukt ist) g* mit g, dann wird die (- )-Lie-Poisson-Klammer zur Klammer des starren Korpers.

Hamiltonsche Vektorfelder. Auf einer zu jeder Funktion H assoziierten Poissonmannigfaltigkeit (P, {- , .}) gibt es ein mit X H bezeichnetes Vektorfeld, das die Eigenschaft hat, fur jede glatte Funktion F : P ---+ ~ die Gleichung (dF,X H) = dF· X H = {F,H} zu erfUllen, wobei dF das Differential von Fund dF· X H die Ableitung von Fin Richtung von X H ist. Wir sprechen davon, daB das Vektorfeld X H durch die Funktion H erzeugt wird, oder daB X H das zu H assoziierte Hamiltonsche Vektorfeld ist. Wir definieren auch das assoziierte dynamische System, dessen Punkte z im Phasenraum sich zeitlich nach der Differentialgleichung (1.43) entwickeln. Diese Definition ist mit den Gleichungen in Poissonklammerschreibweise (1.18) konsistent. H kann als die Energie des Systems interpretiert werden, aber die Definition (1.43) ist fUr jede Funktion sinnvoll. X H ist fur kanonische Systeme mit der durch (1.19) erklarten Poissonklammer durch die Formel (1.44) gegeben, wahrend fUr die durch (1.30) gegebene Klammer im ~3 des starren Kopers folgende Beziehung gilt:

XH(II) = II x \7 H(II). Die durch lauten

P = {F, H}

(1.45)

bestimmten, allgemeinen Lie-Poisson-Gleichungen

oder intrinsisch (1.46)

1.3 Lie-Poisson-Klammern, Mannigfaltigkeiten und Impulsabbildungen

13

Reduktion. Die Klammern des starren Korpers haben eine wichtige, auch auf allgemeinere Liealgebren ubertragbare Eigenschaft, namlich, daB sich die Lie-Poisson-Klammern aus den kanonischen Klammern auf dem Kotangentialbiindel (Phasenraum) T*G ergeben, das zu einer Liegruppe G mit zugehoriger Liealgebra 9 assoziiert ist. (Die allgemeine Theorie der Liegruppen wird in Kap. 9 behandelt.) Insbesondere basiert die durch III

1 sm 1 ----:----e [(pcp - P'Ij! cos e) cos'lji - Po sin e sin 'Iji], sm

= ----:----e [(Pip - P'Ij! cos e) sin'lji + Po sin e cos 'Iji],

II2 =

(1.47)

II3 = P'Ij! definierte Zuordnung

(1.48) auf einem allgemeinen Verfahren. Diese Abbildung uberfuhrt die kanonische Klammer in den Variablen (e,i.p,'Iji) und ihren konjugierten Impulsen (po, P
{F, K}( _){Lie-Poisson} = {F, Khanonisch

(1.49)

zu zeigen. Wir nennen die durch (1.47) definierte Abbildung eine kanonische Abbildung oder Poissonabbildung und sagen, daB die (- )-Lie-PoissonKlammer durch Reduktion aus der kanonischen Klammer gewonnen wurde. Fur einen frei urn seinen 8chwerpunkt rotierenden Korper entspricht G der (eigentlichen) Drehgruppe 80(3), und die Eulerschen Winkel und ihre konjugierten Impulse sind Koordinaten von T*G. Nach einem in der Mechanik ublichen Verfahren wird T*G als zugrundeliegender Phasenraum gewahlt: 80(3) wird als Konfigurationsraum gewahlt, da jedes Element A E 80(3) die Lage des starren Korpers relativ zu einer Referenzkonfiguration angibt, das heiBt, die Rotation A bildet die Referenzkonfiguration auf die augenblickliche Lage abo 1m Lagrangeformalismus bildet man den Geschwindigkeitsphasenraum TSO(3) mit den Koordinaten (e,i.p,'Iji,e,cp,?j;). Die Hamiltonsche Beschreibung bekommt man wie in §1.1, indem man die Legendretransformation benutzt, die TG auf T*G abbildet. Der Ubergang von T* G zum Raum der II (dem korpereigenen Drehimpulsraum) ist durch Linkstranslation der Gruppe bestimmt. Diese Abbildung ist ein Beispiel fUr eine Impulsabbildung, d.h. fUr eine Abbildung, deren Komponenten die zu einer Symmetriegruppe zugehorigen aus dem Noethertheorem folgenden ErhaltungsgroBen sind. DaB die Abbildung (1.47) eine Poissonabbildung bzw. eine kanonische Abbildung ist (siehe (1.49)), ist, wie in §12.6

14

1. Einfiihrung und Uberblick

bewiesen, eine generelle Eigenschaft de, Impulsabbildung. Urn raumliche Koordinaten zu erhalten, wiirde man Rechtstranslation und die (+ )-Klammer benutzen. Dies wird gemacht, urn die Standarddarstellung der Hydrodynamik zu bekommen. Impulsabbildungen und koadjungierte Orbits. Aus den allgemeinen Gleichungen fUr den starren Korper iI = II x \7 H folgt

d

2

dt IIIIII =

o.

Mit anderen Worten: Lie-Poisson-Systeme im ]R3 sind drehimpulscrhaltend, das heiBt, sie lassen die Spharen im II-Raum invariant. Die Verallgemeinerung dieser zu beliebigen Liealgebren assoziierten Objekte sind die koadjungierten Orbits. Koadjungierte Orbits sind Untermannigfaltigkeiten von g* mit der Eigenschaft, daB sie jedes Lie-Poisson-System P = {F, H} invariant laBt. Wir werden auch sehen, wie diese Raume auf ihre Weise Poissonmannigfaltigkeiten sind und in welcher Beziehung sie zu der Rechtsinvarianz (+) oder Linksinvarianz (-) des auf T*G betrachteten Systems und zu den zugehorigen erhaltenen NoethergroBen stehen. Wir definieren eine Impulsabbildung auf einer allgemeinen Poisson mannigfaltigkeit (P, {. , .}) folgendermaBen: Wir nehmen an, daB eine Liegruppe G mit Liealgebra 9 durch kanonische Transformationen auf P wirkt. Wie wir spater iiberpriifen werden (siehe Kap. 9), ist die infinitesimale Methode die Wirkung zu spezifizieren, die, daB man zu jedem Liealgebrenelement ~ E 9 ein Vektorfeld ~p auf P assoziiert. Eine Impulsabbilung ist eine Abbildung J : P --+ g* mit der Eigenschaft, daB die Funktion (J,~) (die Paarung von g* -wertigen Funktionen J mit ~) fUr aIle ~ E 9 das Vektorfeld ~p erzeugt, also ist X(J,I;)

= ~p.

Wie wir spater sehen werden, verallgemeinert diese Definition die gewohnliche Vorstellung von Impuls und Drehimpuls. Anhand des starren Korpers sehen wir, daB diese Ideen von viel groBerem Interesse sind. Eine wichtige Tatsache hinsichtlich Impulsabbildungen ist die, daB, wenn die Hamiltonfunktion H unter der Wirkung der Gruppe G invariant ist, dann die vektorwertige Funktion J fUr die Dynamik des zu H assoziierten Hamiltonschen Vektorfeldes XH eine Konstante der Bewegung ist. Ein hinsichtlich der Impulsabbildungen wichtiger Begriff ist die infinitesimale Aquivarianz bzw. der Begriff der klassischen Vertauschungsrelationen, die besagen, daB fUr aIle Liealgebrenelemente ~ und T/ {(J,~),

(J,T/)} = (J,

[~,T/])

(1.50)

gilt. Beziehungen dieser Art sind flir den Drehimpuls wohlbekannt und konnen mit Hilfe der Liealgebra der Drehgruppe direkt iiberpriift werden.

1.3 Lie-Poisson-Klammern, Mannigfaltigkeiten und Impulsabbildungen

15

Spater, in Kap. 12, werden wir sehen, daB die Beziehung (1.50) fur eine groBe und wichtige Klasse von Impulsabbildungen, die durch bestimmbare Formeln gegeben sind, giiltig ist. Bemerkenswerterweise wird gerade die Beziehung (1.50) ben6tigt, urn zu zeigen, daB J f eine Poissonabbildung ist. Auf diesem Wege erhalt man eine intellektuell befriedigende Verallgemeinerung der Tatsache, daB die durch die Gleichungen (1.47) definierte Abbildung eine Poissonabbildung ist, also die Gleichung (1.49) gilt.

Geschichtliches. Die Lie-Poisson-Klammer wurde von Sophus Lie (Lie [1890, Band. II, S. 237]) entdeckt. Lies Klammer und seine zugehOrige Arbeit wurden bis zu ihrer Wiederbelebung durch die Arbeit von Kirillov, Kostant und Souriau (und anderen) Mitte der sechziger Jahre kaum beachtet. Zwischenzeitlich wurde von Pauli und Martin urn 1950 bemerkt, daB die Gleichungen des starren K6rpers mit der zugeh6rigen Klammer Hamiltonsch sind. Sie waren sich der zugrundeliegenden Lietheorie jedoch offensichtlich nicht bewuBt. Von Poincare [1901b] wurden die Eulerschen Gleichungen auf beliebige Liealgebren 9 verallgemeinert (und von Hamel [1904] weitervcrwendet), bis vor kurzem jedoch noch ohne viel Bezug zur Lieschen Arbeit. Die symplektische Struktur auf koadjungierten Orbits hat ebenfalls eine komplizierte Geschichte und geht auch auf Lie [1890, Kap. 20] zuruck. Die generelle Idee einer Poissonmannigfaltigkeit geht ebenfalls auf Lie zuruck. Die vier Eigenschaften, die eine Poissonmannigfaltigkeit definieren, wurden von vie len Autoren, z.B. Dirac [1964, S. 10], gesondert untersucht. Der Begriff der "Poissonmannigfaltigkeit" wurde von Lichnerowicz [1977] gepragt. Wir werden in §1O.3 weitere historische Informationen zu Poissonmannigfaltigkeiten geben. Der Begriff "Impulsabbildung", im Franz6sischen "application moment", bzw. im Englischen "momentum map" stammt ebenfalls aus den Arbeiten von Lie. 4 Uber das schon Erwahnte hinaus ergaben sich fUr die Impulsabbildungen erstaunlich viele Anwendungen, z.B. werden sie zur Untersuchung des L6sungsraumes einer relativistischen Feldtheorie (siehe Arms, Marsden und Moncrief [1982]) und zur Untersuchung von Singularitaten in der algebraischen Geometrie (siehe Atiyah [1983] und Kirwan [1984]) vcrwandt. Sie treten auch in interessanter Weise mehrfach in der konvexen Analysis auf, wie z.B. beim Satz von Schur-Horn (Schur [1923]' Horn [1954]) und dessen Verallgemeinerungen (Kostant [1973]), sowie in der Theorie der integrablen Systerne (Bloch, Brockett und Ratiu [1990, 1992] und Bloch, Flaschka und Ratiu [1990, 1993]). Es stellte sich heraus, daB das Bild der Impulsabbildung bemerkenswerte Konvexitatseigenschaften besitzt, siehe Atiyah [1982], Guillemin und Sternberg [1982, 1984]' Kirwan [1984]' Delzant [1988] und Lu und Ratiu [1991]. 4

Wir werden ein paar geschichtliche Beitrage zu Impulsabbildungen in §1l.2 geben.

l. Einftihrung und Uberblick

16

Ubungen Ubung 1.3.1. Ein linearer Operator D auf dem Raum der glatten Funktionen auf dem JRn wird Derivation genannt, wenn er die Leibnizregel D(FC) = (DF)C + F(DC) erfiillt. Aus der Theorie del' Mannigfaltigkciten (siehe Kap. 4) verwende man die Tatsache, daB die Darstellung von DF in lokalen Koordinaten fUr gewisse glatte Funktionen a 1 , ... , an die folgende Form hat: n . DF (DF)(x) = a'(x) Dxi (x).

z= i=l

1. Verwende die eben genannt Beziehung, um zu beweisen, daB fiir jede bilineare Operation { ,} auf F(JR n ), die fUr jedes ihrer Argumente eine Derivation ist, die folgende Gleichung gilt:

{F,C} =

z= n

i,j=l

. . DF DC {x"xl}-D· -D.. x' Xl

2. Zeige, daB die Jacobiidentitiit fiir jede Operation { , } auf F(JRn) (siehe oben) genau dann erfiillt ist, wenn sie fiir die Koordinatenfunktionen erfiillt ist. Ubung 1.3.2. Sei fUr eine feste Funktion

{F, K} f

=

\7 f

f : JR3

. (\7 F

---+ JR

x \7 K).

1. Zeige, daB dies eine Poissonklammer ist.

2. Suche die Klammer aus dem obigen Aufgabenteil in Nambu [1973]. Ubung 1.3.3. Uberpriife durch direktes Nachrechnen, daB (1.47) eine Poissonabbildung definiert. Ubung 1.3.4. Zeige, daB eine Klammer, die die Leibnizregel erfiillt, auch der Gleichung

F{K,L} - {FK,L}

= {F,K}L - {F,KL}

geniigt.

1.4 Der schwere Kreisel Ein wei teres interessantes Beispiel eines bzgl. einer Lie-Poisson-Klammer Hamiltonschen Systems liefem die Bewegungsgleichungen fUr einen starren Karper mit fest em Aufpunkt in einem Gravitationsfeld, vgl. Abb. 1.4.1. Die zugrundeliegende Liealgebra besteht aus der Algebra der infinitesimalen Euklidischen Bewegungen im JR3. (Da der Karper einen festen Aufpunkt

1.4 Der schwere Kreisel

17

M = Gesamtmasse

g = SchwereSchwerpunkt

besch\eunigung Q

= Koerpereigene Winke\geschwindigkeit

l = Abstand vom Aufpunkt

zum Schwerpunkt

Aufpunkt

Abb. 1.1. Der schwere Kreisel.

hat , treten diese nicht als Euklidische Bewegungen des Korpers auf.) Wie wir spater sehen werden, gibt es einen direkten Bezug zu der Poissonstruktur kompressibler Fliissigkeiten. Als Phasenraum verwenden wir zunachst wieder T*SO(3) mit den Eulerschen Winkeln und ihren konjugierten Impulsen als Koordinaten. Mit diesen Variablen haben die Gleichungen kanonische Hamiltonsche Form. Die Anwesenheit der Gravitation verursacht eine Symmetriebrechung. Damit ist das System nicht mehr SO(3)-invariant und kann somit nicht vollstandig durch Funktionen des karpereigenen Drehimpulses II beschrieben werden. Man hat auch die vom Karper aus betrachtete "Gravitationsrichtung" r zu beriicksichtigen. Sie wird durch r = A - I k definiert, wobei k aufwarts zeigt und A ein die momentane Korperlage beschreibendes Element von SO(3) ist. Die Bewegungsgleichungen lauten

(1.51 )

und

r=r x il,

(1.52)

18

1. Einfiihrung und Uberblick

wobei M die Korpermasse, 9 die Schwerebeschleunigung, X der Einheitsvektor vom fest en Aufpunkt in Richtung des Korperschwerpunktes und Z die Lange dieser Strecke ist (siehe Abb. 1.1). Die Liealgebra der Euklidischen Gruppe lautet .sc(3) = IR3 x IR3 mit [(~,

u),

(1],

v)] =

(~x 1],~

xv

-1]

x u)

(1.53)

als Lieklammer. Den Dualraum identifizieren wir mit Paaren (II, r). Die zugehOrige (-)Lie-Poisson-Klammer, die Klammer des schweren Kreisels lautet

{F,G}(II,r) = -II· ("VrrF x "VrrG) - r· ("VrrF x "VrG - "VrrG x "VrF). Man kann zeigen, daB diese Gleichungen fur II und

r

(1.54)

zu

F = {F,H}

(1.55)

aquivalent sind, wobei die Hamiltonfunktion des schweren Kreisels

H(II, r)

2 JI2 JI2 ) + MgZr· X = -1 (JI _1 + _2 + _3 2 h 12 h

(1.56)

durch die Gesamtenergie des Korpers gegeben ist (Sudarshan und Mukunda [1974]). Die Liealgebra der Euklidischen Gruppe hat eine Struktur, die ein Spezialfall des sogenannten semidirekten Produktes ist. Hier ist es ein Produkt der Gruppe der Rotationen mit der Translationsgruppe. Es stellt sich heraus, daB semidirekte Produkte in recht allgemeinen Situationen auftreten, wenn die Symmetrie in T*G gebrochen ist. Die allgemeine Theorie der semidirekten Produkte wurde von Sudarshan und Mukunda [1974]' Ratiu [1980, 1981, 1982]' Guillemin und Sternberg [1982]' Marsden, Weinstein, Ratiu, Schmid und Spencer [1983], Marsden, Ratiu und Weinstein [1984a, 1984b] und Holm und Kupershmidt [1983] entwickelt. In Holm, Marsden und Ratiu [1998a] wird der Lagrangesche Zugang zu diesen und verwandten Problemen dargestellt. Ubungen Ubung 1.4.1. Zeige fUr die Hamiltonfunktion und die Klammer des schweren Kreisels die Aquivalenz von F = {F, H} zu den Gleichungen des schweren Kreisels. Ubung 1.4.2. Leite die Euler-Poincare-Gleichungen auf .sc(3) her. Zeige, daB die Euler-Poincare-Gleichungen unter Annahme von 1

2

L(fl, r) = "2(hfl1

2 + 12fl22 + 13 [23) -

MgZr· X

nicht den Gleichungen des schweren Kreisels entsprechen.

1.5 Inkompressible Fltissigkeiten

19

1.5 Inkompressible Fliissigkeiten Arnold [1966a, 1969] zeigte, daB man die Eulerschen Gleichungen fUr inkompressible Flussigkeiten in eine Lagrange- und eine Hamiltondarstellung bringen kann, die der fur den starren K6rper ahnelt. Seine Herangehensweise 5 ist reizvoll, da die Theorie so entwickelt wird, wie Lagrange und Hamilton es getan hatten: Man geht von einem Konfigurationsraum Q aus, bildet eine Lagrangefunktion L auf dem Geschwindigkeitsphasenraum TQ und eine Hamiltonfunktion H auf dem Impulsphasenraum T*Q, wie in §1.1 skizziert. Unmittelbar daraus folgen Variationsprinzipien etc. Fur ideale Flussigkeiten ist Diffyo1U?) die Gruppe der volumenerhaltenden Transformationen des Flussigkeitsbehalters (ein Gebiet [2 in 1R2 oder 1R3 oder im allgemeinen eine m6glicherweise berandete Riemannsche Mannigfaltigkeit). Die Gruppenmultiplikation in Gist eine Verknupfung.

Kinematik einer Fliissigkeit. Wir wahlen aus ahnlichen Grunden wie beim starren K6rper G = Diffyo1 ([2) als Konfigurationsraum, denn jedes rp aus Gist eine Abbildung von [2 nach [2, die einen Bezugspunkt X E [2 auf einen gegenwartigen Punkt x = rp(X) E [2 abbildet. Wenn wir rp kennen, wissen wir, wohin sich jedes Flussigkeitsteilchen bewegt und kennen somit die Fliissigkeitskonfiguration. Urn Unstetigkeiten, Kavitation und Flussigkeitsvermengungen auszuschlieBen, fordern wir, daB rp ein Diffeomorphismus ist und wegen der Annahme der Inkompressibilitat, daB rp volumenerhaltend ist. Die Bewegung einer Fliissigkeit entspricht einer Familie von zeitabhangigen Elementen von G, die wir als x = rp(X, t) schreiben. Wir definieren durch

V(X, t) =

arp~~, t) ,

das materielle Geschwindigkeitsfeld und durch v(x, t) = V(X, t) das riiumliche Geschwindigkeitsfeld, wobei x und X durch x = rp(X, t) miteinander in Beziehung stehen. Vernachlassigen wir "t" und schreiben 0 anstatt V, dann gilt . 1 v=rporp-

d.. h

Vt=

V -1 torpt

(1.57)

mit 'Pt(x) = rp(X, t), vergleiche Abb. 1.2. Wir k6nnen (1.57) als eine Abbildung yom Raum der (rp,0) (materielle oder Lagrangesche Beschreibung) in den Raum der v (raumliche oder Eulersche Beschreibung) auffassen. Wie beim starren K6rper uberfuhrt man mit der Ubergangsabbildung von der materiellen zur Eulerschen Beschreibung (1.57) die kanonische Klammer in die Lie-Poisson-Klammer. Eines unserer Ziele ist, diese Reduktion zu verstehen. Wenn wir rp durch rpOT) ersetzen, 5

Der Zugang von Arnold ist mit dem, was urn 1904 in Ehrenfests Doktorarbeit erschien, konsistent, siehe Klein [1970]. Ehrenfest begriindete seine Grundsatze auf den verfeinerten Kriimmungsprinzipien von GauE und Hertz.

20

1. Einfiihrung und Uberblick

Trajektorie eines Fluessigkeitsteilchens

Abb. 1.2. Die Bahn und Geschwindigkeit eines Fliissigkeitsteilchens

wobei TJ E Diffvo1(D) fest (zeitunabhangig) ist, dann ist cp 0 cp-1 unabhiingig von TJ. Dies spiegelt die Rechtsinvarianz der Eulerschen Beschreibung wieder (v ist unter der rechtsseitigen Komposition von cp mit TJ invariant). Dies nennt man auch die Teilchenumbenennungssymmetrie der Hydrodynamik. Die Raume TG und T*G reprasentieren die Lagrangesche (materielle) Beschreibung, und wir erhalten mit der Rechtstranslation und der (+ )-LiePoisson-Klammer die Eulersche (raumliche) Beschreibung. Unter anderem wollen wir spater den Grund fur den Wechsel von rechts und links beim Ubergang yom starren Karper zu Flussigkeiten verstehen. Dynamik einer Fliissigkeit. Die Eulerschen Gleichungen fUr eine sich in einem Gebiet D bewegende ideale, inkompressible und homogene Flussigkeit lauten

av + (v· \i')v = -\i'p at

(1.58)

. ~ ( . av i . awi ) [v, w]£ = ~ wJ ax) - vJ ax)

(1.59)

-

mit der Zwangsbedingung div v = 0 und der Randbedingung, daB v tangential zum Rand aD ist. Durch die Bedingung der Divergenzfreiheit (Volumenerhaltung) div v = 0 wird implizit der Druck p festgelegt. (fur allgemeine Informationen zu der Herleitung der Eulerschen Gleichungen siehe Chorin und Marsden [1993].) Die assoziierte Liealgebra gist der Raum aller divergenzfreien, zum Rand tangentialen Vektorfelder. Diese Liealgebra ist mit der durch

J=1

gegebenen negativen Jacobi-Lieklammer fUr Vektorfelder ausgestattet. (Der Index L an [. , .] zeigt an, daB es sich urn die Klammer der durch linksinvarianten Fortsetzung definierte Liealgebra auf 9 handelt. In der allgemein ublichen Konvention fUr die Jacobi-Lieklammer fur Vektorfelder, die auch wir verwenden, benutzt man das entgegengesetzte Vorzeichen.) Wir identifizieren 9 und g* uber die Paarung

1.5 Inkomprcssible Fliissigkeiten

(v, w) = Hamiltonsche Struktur.

In v·

W

d3 x.

21

(1.60)

Wir fiihren durch

r

3 {F,C}(v) = in V· [OF ov' OC] OV L d x

(1.61)

eine (+ )-Lie-Poisson-Klammer fur Funktionen von v, genannt Klammer der idealen FlUssigkeii, ein, wobei of/ Ov durch lim ~[F(v E~OC

+ cOY) -

F(v)] =

r (ov. ~F) d x

in

3

uV

(1.62)

definiert ist. Wir konnen mit der Energiefunktion, die der kinetischen Energie entsprechen solI, (1.63) zeigen, daB die Eulerschen Gleichungen (1.58) fur aIle Funktionen F auf 9 zu den Poissonklammergleichungen

P=

{F,H}

(1.64)

aquivalent sind. Urn dies einzusehen, ist es praktisch, eine Orthogonalzerlegung w = IP'w + \lp eines Vektorfeldes w in einen divergenzfreien Anteil IP'w in 9 und in einen Gradienten durchzufuhren. Die Eulerschen Gleichungen konnen folgendermaBen geschrieben werden:

av + lP'(v· \lv) = O. at

(1.65)

Man kann die Hamiltonsche Struktur in Abhangigkeit von der Wirbclstarke als elementare dynamische Variable ausdrucken und zeigen, daB die Erhaltung der koadjungierten Orbits zum Thomsonschen Wirbelsatz fiihrt. Marsden und Weinstein [1983] zeigen, daB sich die durch ClebschpotentiaIe ausgedruckte Hamiltonsche Struktur auf naturliche Weise in diesen LiePoisson-Kontext einfiigt und Kirchhoffs Hamiltonsche Beschreibung der Dynamik von Wirbelpunkten, Wirbelfaden und -flachen aus der oben beschriebenen Hamiltonstruktur hergeleitet werden kann.

Lagrangestruktur. Der allgemeine Rahmen der Euler-Poincare- und LiePoisson-Gleichungen laBt weitere Einsichten zu. Zum Beispiel zeigt diese allgemeine Theorie, daB man die Eulerschen Gleichungen aus dem fUr aIle Variationen Ov der Form

Ov = u + [v, U]L

(manchmal Lin-Zwangsbedingungen genannt) zu geltenden "Variationsprinzip"

22

1. Einfiihrung und Uberblick

Jib 1nr !llvl12 d3 x = 0, 2 a

herleiten kann. Dabei ist u ein (die infinitesimale Teilchenverschiebung darstellendes) an den zeitlichen Endpunkten verschwindendes Vektorfeld. 6 Je nachdem, ob man in der materiellen Darstellung (das heiBt auf T*G) oder in der Eulerschen Darstellung (das heiBt auf g*) arbeitet, treten fUr Beweise von Existenz- und Eindeutigkeitssatzen, Satzen zum Grenzfall der verschwindenden Viskositat und zur Konvergenz numerischer Algorithmen wichtige funktionalanalytische Besonderheiten auf (siehe Ebin und Marsden [1970], Marsden, Ebin und Fischer [1972] und Chorin, Hughes, Marsden und McCracken [1978]). AbschlieBend bemerken wir noch, daB im FaIle des zweidimensionalen Flusses fUr jede (glatte) Funktion 'P : IR --+ IR durch

C(w) =

L

'P(w(x)) d2 x

(1.66)

eine Schar von Casimirfunktionen gegeben ist, wobei wk = 'V x v die Wirbelstiirke ist. 1m Fall des dreidimensionalen Flusses ist (1.66) keine Casimirfunktion. Ubungen Ubung 1.5.1. Zeige, daB sich jedes divergenzfreie Vektorfeld X auf dem IR3 global als die Rotation eines anderen Vektorfeldes und lokal in der Form

X='Vfx'Vg schreiben laBt, wobei fund g reellwertige Funktionen auf dem IR3 sind. Nehme an, daB diese sogenannte Clebsch-Monge-Darstellung auch global gilt. Die Flussigkeitsteilchen bewegen sich entlang Trajektorien, die der Gleichung x = X(x) genugen. Zeige, daB sich diese Trajektorien durch ein Hamiltonsches System mit einer Klammer wie in Ubung 1.3.2 beschreiben lassen.

1.6 Das Maxwell-Vlasov-System Fur die in den bisherigen Kapiteln beschriebenen Techniken ist auch die Plasmaphysik ein schOnes Anwendungsgebiet. Wir werden in diesem Kapitel kurz darauf eingehen. In der Zeit von 1970 bis 1980 konnte man die Entwicklung nichtkanonischer Hamiltonstrukturen fur die Korteweg-degeneriert 6

Wie zuvor erwahnt, geht dieses (genaugenommen d'Alembertsche) Variationsprinzip auf Newcomb [1962] zurilck, siehe auch Bretherton [1970]. 1m Fall allgemeiner Liealgebren gehen die Untersuchungen auf Marsden und Scheurle [1993b] zurilck, siehe auch Cendra und Marsden [1987].

1.6 Das Maxwell-Vlasov-System

23

Vries-Gleichung (KdV) (ausgehend von Gardner, Kruskal, Miura und anderen, siehe Gardner [1971]) und andere Solitonengleichungen miterleben. Dabei entstand schnell ein Bezug zu den Versuchen, die Integrabilitat von Hamiltonschen Systemen zu verstehen, und zur Entwicklung eines algebraischcn Zugangs, siehe z.B. Gelfand und Dorfman [1979], Manin [1979] und die dortigen Verweise. In jungerer Zeit vereinigten sich diese Zugange wieder, siehe dazu Reyman und Semenov-Tian-Shansky [1990], Moser und Veselov [1991]. Modelle yom KdV-Typ werden fUr gewohnlich aus allgemeineren Flussigkeitsmodellen abgeleitet oder stellen eine Naherung fur diese dar, und man muB zugebcn, daB noch nicht ganz verstanden wurde, warum sie vollstandig integrabel sind. Geschichtliches. Einige der grundlegenden Arbeiten zu Poisson klammerstrukturen fUr Systeme aus Fliissigkeiten oder Plasmen waren Dashen und Sharp [1968], Goldin [1971]' Iwiinski und Turski [1976], Dzyaloshinskii und Volovick [1980], Morrison und Greene [1980] und Morrison [1980]. Man begann in Sudarshan und Mukunda [1974]' Guillemin und Sternberg [1982] und Ratiu [1980, 1982] eine allgemeine Theorie der Lie-Poisson-Strukturen fUr spezielle Arten von Liealgebren, sogenannte semidirekte Produkte, zu entwickeln. Man bemerkte schnell, daB dies fur die Klammern bei den kompressiblen Flussen von Bedeutung ist (siehe z.B. Marsden [1982]' Marsden, Weinstein, Ratiu, Schmid und Spencer [1983], Holm und Kupershmidt [1983] und Marsden, Ratiu und Weinstein [1984a, 1984b]), vergleiche §1.7. Herleitung der Poissonstrukturen. Es wird ein vernunftiges Verfahren zur systematischen Herleitung der Poissonklammern benotigt, allein schon weil die direkte Uberprufung der Jacobiidentitat uneffizient und zeitraubend sein kann. Wir haben hier die Herleitung der Maxwell-Vlasov-Klammer durch Marsden und Weinstein [1982] skizziert. Die Methode ahnelt der von Arnold, es wird namlich eine Reduktion durchgefUhrt, die mit (i) kanonischen Klammern in der materiellen Darstellung fur Plasmen und (ii) einer Potentialdarstellung fUr das elektromagnetische Feld beginnt. Dann bestimmt man die Symmetriegruppe und fUhrt in ahnlicher Weise, wie wir es fUr Lie-Poisson-Systeme beschrieben haben, nach dieser Gruppe eine Reduktion durch. Die physikalisch korrekte materielle Bcschreibung fUr Plasmen ist etwas komplizierter. Eine umfassende Darstellung findet man in Cendra, Holm, Hoyle und Marsden [1998]. Analog werden viele andere Klammern hergeleitet wie z.B. die Klammer fUr geladenen Flussigkeiten durch Spencer und Kaufman [1982]. Eine weitere, Clebschpotentiale verwendende Methode wurde von Holm und Kuperschmidt in einer Reihe von Veroffentlichungen entwickelt (z.B. Holm und Kupershmidt [1983]) und auf einige interessante Systeme, einschlieBlich Suprafluiditat

24

l. Einftihrung und Uberblick

und Supraleitung, angewandt. Sie machten auch darauf aufmerksam, daB semidirekte Produkte fur die MHD-Klammer von Morrison und Greene [1980] geeignet sind. Das Maxwell-Vlasov-System. Die Maxwell-Vlasov-Gleichungen fur ein nichtkollidierendes Plasma sind die Grundgleichungen der Plasmaphysik. 7 Die elementaren dynamischen Variablen im Euklidischen Raum sind

j(x, v, t) : Die Teilchenzahldichte des Plasmas pro Phasenraumvolumen d3 xd 3 v,

E(x, t) : das elektrische Feld, B(x, t) : das Magnetfeld. Die Gleichungen fUr ein kollisionsfreies, aus einer Sorte von Teilchen mit Masse m und Ladung e bestehendes Plasma lauten

(E + ~v x B) .OVoj 0,

oj + v. oj + ~ ot ox m

=

C

loB - - = -rotE C

ot

'

10E

1.

- - = rotB - -Jf, C

ot

C

divE=Pf, divB=O.

(1.67)

Der durch j definierte Strom ist durch

und die Ladungsdichte durch Pf

=e

J

j (x, v, t) d3 V

gegeben. oj/ox und oj / OV sind die Gradienten von j bzgl. x und v und C ist die Lichtgeschwindigkeit. Aus der Lorentzkraft und den ublichen Annahmen zum Transportvorgang ergeben sich die Evolutionsgleichungen fur f. Es verbleiben die gewohnlichen Maxwellgleichungen mit der durch das Plasma erzeugten Ladungsdichte Pf und dem Strom jf. Zwei Grenzwertbetrachtungen sind uns bei der Diskussion behilflich. Setzen wir erstens voraus, daB das Plasma statisch ist, das heiBt, daB j auf v = 0 eingeschrankt und t-unabhangig ist, so nehmen die Maxwellschen Gleichungen die folgende Form an: 7

Siehe z.B. Clemmow und Dougherty [1959], van Kampen und Felderhof [1967], Krall und Trivelpiece [1973], Davidson [1972]' Ichimaru [1973] und Chen [1974].

1.6 Das Maxwell-Vlasov-System

1 aB c 1 aE

-- =

-rotE

-- =

rotB

at

c

at

divE

25

'

'

= P und divB = O.

(1.68)

Lassen wir zweitens c ---+ 00 streben, gehen wir yom elektrodynamischen zum elektrostatischen Fall tiber und erhalten die Poisson- Vlasov- Gleichungen (1.69) mit -\l2'Pt = Pt. Der Name "Poisson-Vlasov" scheint in diesem Zusammenhang vollig angemessen zu sein. Diese Gleichung entspricht formal der frtiheren Gleichung der Himmelsmechanik (Jeans [1919]). Henon [1982] schlug vor, sie "kollisionsfreie Boltzmanngleichung" zu nennen.

Die Maxwellschen Gleichungen. Der Einfachheit halber set zen wir m = e = c = 1. Wir wahlen den Raum A der Vektorpotentiale A auf dem ffi.3 als den zugrundeliegenden Konfigurationsraum (ftir die Yang-MillsGleichungen wird er zum Raum der Zusammenhange auf einem Hauptfaserbundel uber dem Raum verallgemeinert). Den zugehorigen Phasenraum identifiziert man mit der Menge der Paare (A, Y), wobei Yauch ein Vektorfeld im ffi.3 ist. Auf T* A wird die kanonische Poissonklammer

{F, G} =

J( 8A 8Y - 8Y 8A 8F8G

8F8G)

3

dx

(1. 70)

verwandt. Das elektrische Feld ist E = - Y und das Magnetfeld B = rot A. Es ist bekannt, daB mit der Hamiltonfunktion (1. 71) die Hamiltonschen kanonischen Feldgleichungen (1.15) die Gleichungen fur aEj8t und 8Aj8t liefern, die die Maxwellschen Gleichungen fur das Vakuum mit einschlieBen. Alternativ kann man von T A und der Lagrangefunktion (1. 72) ausgehend die Euler-Lagrange-Gleichungen und Variationsprinzipien verwenden. Man mochte die Gleichung div E = p mit einbeziehen und entsprechend gleich die Feldstarken E und B anstelle von E und A benutzen. Dazu fiihren wir als Eichgruppe 9 die additive Gruppe der reellwertigen Funktionen 7j; : ffi.3 ---+ ffi. ein. Jedes 7j; E 9 transformiert das Feld nach der Regel

(A, E)

f---t

(A + \l7j;, E).

(1. 73)

26

1. Einfiihrung und Uberblick

Jede Transformation dieser Art liiBt die Hamiltonfunktion H invariant und ist eine kanonische Transformation, das heiBt, liiBt Poissonklammern intakt. In dieser Situation, wie auch in der obigen, wird es eine zugehorige ErhaltungsgroBe oder Impulsabbildung in dem Sinne von §1.3 geben. Wie dort erwiihnt, werden einige einfache allgemeine Formeln zur Bestimmung von Impulsabbildungen in Kap. 12 detailliert untersucht werden. Fur die Wirkung (1.73) von 9 auf T* A ist

J(A, Y) = divE

(1.74)

die assoziierte Impulsabbildung, wir wiederholen also, daB div E nach den Maxwellschen Gleichungen erhalten bleibt (Unter Verwendung der Gleichung div rot = 0 erkennt man dies unmittelbar). Wir sehen also, daB wir die Gleichung div E = p mit einbeziehen konnen, indem wir unsere Aufmerksamkeit auf die Menge J -1 (p) beschriinken. Die Theorie der Red uktion ist ein allgemeiner ProzeB, bei dem man die Dimension des Phasenraumes durch Verwerten von ErhaltungsgroBen und Symmetriegruppen reduziert. 1m vorliegenden Fall ist der mit Maxp identifizierte reduzierte Raum J-1(p)/9 der Raum der E und B, die divE = p und divB = 0 erfiillen. Der Raum Maxp wird folgendermaBen mit einer Poissonstruktur ausgestattet: Wenn Fund K Funktionen auf Maxp sind, substituieren wir E = - Y und B = \7 x A, urn Fund K als Funktionale von (A, Y) auszudrucken. Dann bestimmen wir die kanonischen Klammern auf T* A und formulieren das Ergebnis durch E und B. Fuhren wir dies unter Zuhilfenahme der Kettenregel aus, erhalten wir {F, K} =

J(

oF oK oK OF) 3 oE . rot oB - oE . rot oB d x,

(1. 75)

wobei of/ oE und of/ oB Vektorfelder sind. of/ oB ist divergenzjrei. Diese Vektorfelder sind in folgender Weise definiert, z.B. 1 + EoE, B) - F(E, B)] = lim -[F(E

0--+0 E

J

£of . oE d3 x.

uE

(1. 76)

Diese Klammer macht aus Maxp eine Poissonmannigfaltigkeit und aus der Abbildung (A, Y) r--+ (- Y, \7xA) eine Poissonabbildung. Die Klammer (1.75) wurde (auf einem anderen Weg) von Pauli [1933] und Born und Infeld [1935] entdeckt. Wir nennen (1.75) die Pauli-Born-Infeld-Klammer oder die Maxwell-Poisson-Klammer fUr die Maxwellschen Gleichungen. Mit der durch (1.71) gegebenen, als Funktion von E und B aufgefassten Energie H entsprechen die Hamiltonschen Gleichungen in Klammerform P = {F, H} auf Maxp dem vollen Satz der Maxwellschen Gleichungen (mit iiuBerer Ladungsdichte p). Die Poisson-Vlasov-Gleichungen. Die Veroffentlichungen Iwiinski und Turski [1976] und Morrison [1980] zeigten, daB die Poisson-Vlasov-Gleichungen ein Hamiltonsches System bilden mit

1.6 Das Maxwell-Vlasov-System

27

und der Poisson- Vlasov-Klammer { F, C}

=

Jf { f' JC}f JF J J

xv

3

3

d x d v,

(1. 78)

wobei { , }xv die kanonische Klammer auf dem Gcschwindigkeitsphasenraum ist. Wie in Gibbons [1981] und Marsden und Weinstein [1982] festgestellt wurde, ist dies die (+ )-Lie-Poisson-Klammer mit der assoziierten Liealgebra 9 der Funktionen auf dem Geschwindigkeitsphaseraum und mit der kanonischen Poissonklammer als Lieklammer. Nach der allgemeinen Theorie erhiilt man diese Lie-Poisson-Struktur durch Reduktion aus den kanonischen Klammern auf dem Kotangentialbundel der 9 zugrundeliegenden Gruppe so, wie auch im Falle des starren K6rpers und der inkompressiblen Flussigkeiten. Diesmal ist die Gruppe C = Difhan die Gruppe der kanonischen Transformationen des Geschwindigkeitsphasenraumes. Die Poisson-Vlasov-Gleichungen k6nnen genausogut in kanonischer Form auf T*C dargestcllt werden. Dies hiingt mit der auf Low [1958], Katz [1961] und Lundgren [1963] zuruckgehenden Lagrangeschen und Hamiltonschen Beschreibung von Plasmen zusammen. Foiglich kann man von der Teilchenbeschreibung mit kanonischen Klammern ausgehen und durch Reduktion diese Klammern herleiten. Fur eine genaue Darstellung siehe Cendra, Holm, Hoyle und Marsden [1998]. Es gibt andere, Analoga zu Clebschpotentialen verwendende, Hamiltonsche Formulierungen, siehe z.B. Su [1961]' Zakharov [1971] und Gibbons, Holm und Kupershmidt [1982]. Von den Poisson-Vlasov-Klammern zu den Klammern fUr kompressible Fliissigkeiten. Bevor wir zu den Maxwell-Vlasov-Gleichungen ubergehen, m6chten wir noch auf eine bemerkenswerte Verbindung zwischen der Poisson-Vlasov-Klammer (1.78) und der Klammer fUr den kompressiblen FluB aufmerksam machen. Die Eulerschen Gleichungen fUr den kompressiblen FluB in einem Gebiet D im ]R.3 lauten p

und

(~: + (v . V)v)

= - Vp

~ + div(pv) = 0

(1. 79)

(1.80)

mit der Randbedingung: v ist tangential zu aD. Hier ist der durch cine F'unktion der inneren Energie pro Masseneinheit festgelegte Druck p durch p = p2 w'(p) gegeben, wobei w = w(p) die erwiihnte Beziehung ist. (In der gegenwiirtigen Diskussion lassen wir die Entropie unberucksichtigt, sie ist leicht mit einzubeziehen.) Die Hamiltonfunktion fur kompressible FlUssigkeiten lautet

28

1. Einflihrung und Uberblick (l.81 )

Die zugehorige Poissonklammer kann mit unseren elementaren Variablen der Impulsdichte M = pv und der Dichte p sehr einfach dargestellt werden. Die Klammer filr kompressible Fliissigkeiten lautet

{F,G} (l.82) Beachte die strukturellen A.hnlichkeiten von der Poissonklammer (l.82) flir den kompressiblen FluB und (l.54). Beim kompressiblen FluB ist es die Dichte, die eine vollstandige Diff(fl)-Invarianz verhindert. Die Hamiltonfunktion ist nur unter dichteerhaltenden Diffeomorphismen invariant. Es kann gezeigt werden, daB der (M, p)-Raum der Dualraum zu einer Liealgebra mit semidirektem Produkt ist und es kann auch gezeigt werden, daB die vorangegangene Klammer zu der (+)- Lie-Poisson-Klammer assoziiert ist (siehe Marsden, Weinstein, Ratiu, Schmid und Spencer [1983], Holm und Kupershmidt [1983] und Marsden, Ratiu und Weinstein [1984a, 1984b]). Die Beziehung zur Poisson-Klammer bekommt man folgendermaBen: Definiere durch

M(x) =

in

vf(x, v)d 3 v

und

p(x) =

in

f(x, v) d3 v

(l.83)

die Abbildung f H (M, p), die Zeitvariable vernachlassigend. Bemerkenswerter Weise ist diese Plasma-Fllissigkeits-Abbildung eine Poissonabbildung, die aus der Poisson-Vlasov-Klammer (l.78) die Klammer (l.82) flir kompressible Fltissigkeiten macht. Diese Abbildung ist eine Impulsabbildung (Marsden, Weinstein, Ratiu, Schmid und Spencer [1983]). Die Poisson-Vlasov-Hamiltonfunktion ist unter der assoziierten Gruppenwirkung nicht invariant. Die Maxwell-Vlasov-Klammer. Von Iwifnski und Turski [1976] und Morrison [1980] wurde eine Klammer flir die Maxwell-Vlasov-Gleichungen angegeben. Marsden und Weinstein [1982] benutzten systematische Verfahren einschlieBlich der Reduktion und der Impulsabbildungen, urn die von der kanonischen Klammer ausgehende Klammer herzuleiten (und zu korrigieren). Das Verfahren beginnt mit der materiellen Beschreibung8 des Plasmas als das Kotangentialblindel der Gruppe Diff kan der kanonischen Transformationen des (x, p )-Raumes und des Raumes T* A flir die Maxwellschen Gleichungen. Dies konnen wir damit rechtfertigen, daB die Bewegung eines geladenen 8

Wie von Cendra, Holm, Hoyle und Marsden [1998] gezeigt, ist die korrekte physikalische Beschreibung der materiellen Darstellung eines Plasmas etwas komplizierter als Difhan. Das Ergebnis ist jedoch dasselbe.

1.6 Das Maxwell-Vlasov-System

29

Teilchens in einem fest gewahlten (aber moglicherweise zeitabhangigen) elektromagnetischen Feld aufgrund der Lorentzkraft eine (zeitabhangige) kanonische Transformation definiert. Wir bilden auf T*Difhan x T* A die Summe der beiden kanonischen Klammern und fiihren dann die Reduktion durch. Zuerst reduzieren wir mit Difhan, die durch Rechtstranslation auf T* Difhan' aber nicht auf T* A wirkt. Damit erhalten wir Dichten flmp(X, p, t) auf dem Orts-Impuls-Raum und den fi.ir die Maxwellschen Gleichungen verwandten Raum T* A. Auf dies em Raum erhalten wir die (+ )-Lie-Poisson-Klammer plus die kanonische Klammer auf T* A. Da p durch p = v + A mit v und A in Beziehung steht, lassen wir die Eichgruppe 9 des Elektromagnetismus durch

(flmp(X, p, t), A(x, t), Y(x, t)) r-+ (flmp(X, P + V
(1.84)

auf diesen Raum wirken. Man bestimmt die hierzu assoziierte Impulsabbildung zu (1.85)

Dies entspricht div E - PI, wenn wir f(x, v, t) = flmp(X, P - A, t) setzen. Dieser verkleinerte Raum J- 1 (O)jQ kann mit dem Raum MV der divE = PI und div B = 0 erfiillenden Tripel (f, E, B) identifiziert werden. Die Klammer auf MV bestimmt man nach der gleichen Methode wie bei den Maxwellschen Gleichungen. Diese Berechnungen liefern die folgende MaxwellVlasov-Klammer:

{F,K}(f,E,B)

=

Jf {r5F 15K} r5F + J( + J(r5F . f ( +J 151'11

xv

3

3

d xd v

15K 15K r5F) 3 3 r5E . rot bB - bE . rot bB d x d v r5f 15K _ 15K . r5f r5F) d3x d3v r5E r5v 15 r5E r5v 15 f

fB·

8 r5F 8 15K) 3 3 8v 15 f x 8v 11 d x d v.

(1.86)

Mit der Maxwell- Vlasov-Hamiltonfunkiion

J +~J

H(f, E, B) =

~

IIvl1 2f(x, v, t) d 3x d 3v

(1IE(x, t) 112

+ IIB(x, t) 112) d3 x,

(1.87)

nehmen die Maxwell-Vlasov-Gleichungen die Hamiltonform

P=

{F,H}

auf der Poissonmannigfaltigkeit MV an.

(1.88)

30

1. Einftihrung und Uberblick

Ubungen Ubung 1.6.1. Zeige, daB man die Maxwellschen Gleichungen aus der Maxwell-Poisson-Klammer erhalt. Ubung 1.6.2. Zeige, daB die Abbildung (1.73) in dem in §1.3 angegebenen Sinne die Impulsabbildung J(A, Y) = divE hat.

1. 7 Nichtlineare Stabilitat Man kann dem Wort "Stabilitat" verschiedene Bedeutungen geben. Intuitiv versteht man unter Stabilitat, daB kleine Storungen mit der Zeit nicht anwachsen. Wir mochten diesen Begriff genauer fassen, denn verschiedene Interpretationen des Wortes Stabilitat konnen zu unterschiedlichen Stabilitatskriterien fiihren. Beispiele, wie das spharische Doppelpendel und die stratifizierte Scherstromung, die manchmal als Modelle fiir ozeanische Phanomene dienen, zeigen, daB man unterschiedliche Kriterien erhalt, je nachdem, ob man lineare oder nichtlineare Modelle verwendet (siehe Marsden und Scheurle [1993a] und Abarbanel, Holm, Marsden und Ratiu [1986]).

Geschichtliches. Die Geschichte der Stabililtatstheorie in der Mechanik ist sehr komplex, fuBt aber sicherlich auf den Arbeiten von Riemann [1860, 1861], Routh [1877], Thomson und Tait [1879], Poincare [1885, 1892] und Ljapunov [1892, 1897]. Seit dies en friihen Arbeiten ist die Fulle an Literatur zu gewaltig geworden, urn auch nur einen groben Uberblick zu geben. Einen Leitfaden zu der umfangreichen sowjetischen Literatur kann man in Mikhailov und Parton [1990] £lnden. Die Grundlage fur die weiter unten besprochene Methode zur Untersuchung der nichtlinearen Stabilitat wurde urspriinglich von Arnold [1965b, 1966b] entwickelt dann auf den FluB zweidimensionaler idealer Flussigkeiten angewandt, womit die Pionierarbeit von Rayleigh [1880] substanziell erweitert wurde. Verwandte Methoden kann man auch in der Literatur zur Plasmaphysik £lnden, besonders bei Newcomb [1958], Fowler [1963] und Rosenbluth [1964]. Diese Arbeiten lieferten keine allgemeine Methode oder entscheidende Konvexitatsabschatzungen, die man benotigt, urn die Nichtlinearitat der Probleme zu handhaben. Wir wollen vielleicht auch andere Stabilitatsresultate betrachten, wie z.B. die Stabilitat von Solitonen in der Korteweg-de VriesGleichung (KdV) (Benjamin [1972] und Bona [1975]), was auch ein Resultat der von Arnold vel'wandten Methode ist. Ein entscheidendel' Bestandteil del' Methode ist die Tatsache, daB die Grundgleichungen der nichtdissipativen Fliissigkeits- und Plasmadynamik Hamiltonsch sind. Wir werden weiter unten erklal'en, wie die in den vorherigen Abschnitten diskutiel'ten Hamiltonstrukturen bei Stabilitatsuntersuchung verwandt werden.

1.7 Nichtlineare Stabilitiit

31

Dynamik und Stabilitat. Stabilitat ist ein dynamisches Konzept. Urn dies zu erklaren, werden wir einige Begriffe aus der Theorie der dynamischen Systeme verwenden (siehe z.B. Hirsch und Smale [1974] und Guckenheimer und Holmes [1983]). Die Gesetze der Dynamik werden ublicherweise als Bewegungsgleichungen dargestelIt, die wir in der abstrakten Form

u = X(u)

(1.89)

schreiben. Hierbei ist U eine Zustandsvariable des zu untersuchenden Systems, X ist eine fur das System spezifische Funktion von U und u = du/ dt, wobei t die Zeit ist. Die Menge aller moglichen Werte von u bildet den Zustands- oder Phasenraum P. Gewohnlich fassen wir X als Vektorfeld auf P auf. Fur ein klassisches mechanisches System ist u oftmals das 2n- Tupel (ql, ... , qn, PI, ... ,Pn) der Orte und Impulse, und fur Flussigkeiten ist u ein Geschwindigkeitsfeld im physikalischen Raum. Mit der Zeit andert sich der Zustand des Systems, er folgt einer Kurve u(t) in P. Wir nehmen an, daB die Trajektorie u(t) mit festgelegter Anfangsbedingung Uo = u(O) eindeutig bestimmt ist. Ein Gleichgewichtszustand ist ein Zustand U e mit X (u e ) = O. Die eindeutige, bei U e startende Trajektorie ist U e selbst, d.h., U e entwickelt sich nicht mit der Zeit. Formulierungen in der Sprache der dynamischen Systeme waren insbesondere in den letzten Jahrzehnten fur die physikalischen und biologischen Fachgebiete auBerordentlich hilfreich. Die Untersuchung von Systemen, die durch einen Poincare-Andronov-Hopf-Bifurkation genannten Mechanismus spontane Oszillationen erzeugen, kann z.B. hilfreich sein (siehe z.B. Marsden und McCracken [1976], Carr [1981] und Chow und Hale [1982]). In jungerer Zeit loste die chaotische Dynamik ein Wiederaufleben des Interesses an dynamischen Systemen aus. Chaotische Dynamik tritt dann auf, wenn dynamische Systeme Trajektorien besitzen, die so komplex sind, daB sie in gewissem Sinne als zufallig erscheinen. Einige glauben, daB die Theorie der Turbulenzen in einem zukunftigen Entwicklungsstadium aus solchen Begriffen bestehen wird. Obwohl die Chaostheorie im folgenden nicht ohne Bedeutung ist, interessiert sie uns nicht direkt. Insbesondere bemerken wir, daB nach der untenstehenden Definition von Stabilitat das Vorhandensein von Stabilitat Chaos nicht ausschlieBt. Mit anderen Worten: Trajektorien in der Nahe eines stabilen Punktes konnen immer noch sehr komplex sein. Stabilitat verhindert lediglich eine groBe Entfernung vom Gleichgewicht. Urn Stabilitat zu definieren, wahlen wir eine "Metrik" d fur ein AbstandsmaB auf P. Fur zwei Punkte UI und U2 in P ist d eine positive Zahl d(UI' U2), die Distanz von UI zu U2. 1m VerI auf einer Stabilitatsuntersuchung muB man fur ein gegebenes Problem eine Metrik anpassen oder konstruieren. In diesem Zusammenhang spricht man davon, daB ein Gleichgewichtszustand U e stabil ist, wenn Trajektorien, die in der Nahe von U e starten, fUr aIle t :::: 0 in der Nahe von U e bleiben. Genau gesprochen, zu jeder gegebenen Zahl E > 0

32

1. EinfUhrung und Uberblick

gibt es ein 8 > 0, so daB, wenn d(uo, u e ) < 8 ist, d(u(t), u e ) < E fUr alle t > 0 folgt. In der Abbildung 1.3 werden Beispiele fUr stabile und instabile Gleichgewichtszustiinde dynamischer Systeme mit der Ebene als Zustandsraum dargestellt.

(a)

(b)

(c)

(d)

Abb. 1.3. Der Gleichgewichtspunkt in (a) ist instabil, da die Trajektorie u(t)

nicht in der Nahe von U e bleibt. Entsprechend ist (b) instabil, da sich die meisten Trajektorien (schlieBlich) von U e wegbewegen. Die Gleichgewichtszustande in (c) und (d) sind stabil, weil aile Trajektorien nahe U e in der Nahe von U e bleiben.

Fllissigkeiten konnen bzgl. eines AbstandsmaBes stabil und gleichzeitig bzgl. eines anderen instabil sein. Diese scheinbare Pathologie spiegelt in Wirklichkeit wichtige physikalische Vorgiinge wieder, siehe Wan und Pulvirente [1984]. StabiliUit des starren Korpers. Ein die Definition der Stabilitiit veranschaulichendes Beispiel ist die Bewegung eines freien starren Korpers. Dieses System kann durch ein mit einem Gummiband zugehaltenes, in die Luft geworfenes Buch simuliert werden. Urn seine klirzeste oder liingste Achse rotiert es stabil, Rotationen urn die mittlere Achse sind jedoch instabil (Abb. 1.4). Eine mogliche Wahl eines AbstandsmaBes, das in diesem Beispiel die Stabilitiit angibt, ist eine Metrik auf dem korpereigenen Drehimpulsraum. Wir werden auf dieses Beispiel bei der Untersuchung der Stabilitiit des starren Korpers in Kap. 15 detailierter eingehen. Linearisierte und Spektralstabilitat. Es gibt zwei andere Wege, Stabilitiit zu behandeln. Zuerst kann man die Gleichung (1.89) linearisieren. Bezeichnen 15u eine Variation in u und X'(u e ) die Linearisierung von X bei U e (im Falle endlich vieler Freiheitsgrade ist dies die Matrix der partiellen Ableitungen), dann beschreiben die linearisierten Gleichungen die zeitliche Entwicklung "infinitesimaler" Storungen von U e :

~(15u) = X'(u e ) ·ou. dt

(1.90)

Gleichung (1.89) beschreibt hingegen die nichtlineare Entwicklung endliU e bei ou = 0 im obigen Sinne

cher Storungen Llu = u - u e . Wir sagen, daB

1.7 Nichtlineare Stabilitat

·· .. ·. ··· ... ·

:t

·· .. · . ··· .. .

··· ... . . ··· ... ·. ··· ... ·· ..

: t :'

·· .. ··· ... ·.

(b)

(a)

:t

33

·· .. ··· .. . ·.

(c)

Abb. 1.4. Wenn man ein Buch hochwirft, kann man es stabil urn die kurzeste Achse (a) oder urn die langste (b) rotieren lassen. Urn die mittlere Achse (c) rotiert es aber instabil.

linearstabil ist. Intuitiv versteht man darunter, dai3 es keine infinitesimalen Starungen gibt, die mit der Zeit anwachsen. Wenn (ou)o eine Eigenfunktion von X' (u e ) ist, das heii3t, falls fur eine komplexe Zahl A (1.91 ) gilt, dann lautet die zugeharige Lasung von (1.90) mit der Anfangsbedingung

(ou)o (1.92) Die rechte Seite dieser Gleichung wachst, wenn A einen positiven Realteil hat. Dies fiihrt uns zum dritten Begriff der Stabilitat: Wir sprechen davon, daB (1.89) oder (1.90) spektralstabil sind, wenn die Eigenwerte (genauer gesagt, Spektralpunkte) aIle nichtpositive Realteile haben. 1m Endlichdimensionalen und unter geeigneten technischen Bedingungen auch im Unendlichdimensionalen, gelten die folgenden Implikationen: Stabilitat

=}

Spektralstabilitat,

Linearstabilitat

=}

Spektralstabilitat.

Falls aIle Eigenwerte in der linken Halbebene liegen, garantiert ein klassisches Ergebnis von Ljapunov Stabilitat. (Vergleiche z.B. im endlichdimensionalen Fall Hirsch und Smale [1974] oder Abraham, Marsden und Ratiu [1988] im unendlichdimensionalen Fall.) In vielen betrachteten Systemen ist die Reibung jedoch sehr gering, diese werden wie konservative Systeme behandelt. Bei solchen Systemen mussen die Eigenwerte bzgl. Reflexionen an der Realund Imaginarachse symmetrisch verteilt sein. (Wir werden dies weiter unten im Text beweisen.) Daraus folgt, dai3 man fur Spektralstabilitat exakt auf

34

1. EinfUhrung und Uberblick

der Imaginarachse liegende Eigenwerte haben muB. Somit ist der Satz von Ljapunov in dieser Version im Hamiltonfall nicht hilfreich. A us der Spektmlstabilitiit mufl nicht die Stabilitiit folgen. Instabilitaten k6nnen (auch in Hamiltonschen Systemen) z.B. durch Resonanz erzeugt werden. Urn also allgemeine Stabilitatsresultate zu erhalten, muB man die linearisierte Theorie durch andere Techniken erweitern oder ersetzen. Soleh eine Technik geben wir weiter unten an. Wir geben jetzt ein Beispiel fiir ein im Ursprung spektralstabiles aber instabiles System an. Betrachte in Polarkoordinaten (r, B) die durch (1.93) gegebene Entwicklung von u = (r, B). In (x, y)-Koordinaten hat das System die Form x(x 2 + y2)(1 _ x 2 _ y2) _ y, iJ = y(x 2 + y2)(1 - x 2 - y2) + x.

i; =

Es ist schon bekannt, daB die Eigenwerte des linearisierten Systems im Ursprung ±A sind, d.h., der Ursprung ist spektralstabil. Das in Abb. 1.5 dargestellte Phasenportrat zeigt, daB der Ursprung instabil ist. (Urn dem System einen attraktiven periodischen Orbit zu geben, fiigen wir einen Faktor 1 - r2 hinzu. Dies dient bloB der Erweiterung des Beispiels und dazu, zu zeigen, wie ein stabiler periodischer Orbit auf die von einem instabilen Gleichgewichtszustand ausgehenden Orbits anziehend wirken kann.) Dies ist kein konservatives System. Hieran anschlieBend geben wir zwei Beispiele Hamiltonscher Systeme mit ahnlichen Eigenschaften.

Abb. 1.5. Das Phasenportrat fUr

Resonanzbeispiel.

r = r3(1 - r2), iJ = 1

Das lineare System im 1R2 mit Hamiltonfunktion

1.7 Nichtlineare Stabilitat

35

hat Null als doppelten Eigenwert und ist somit spektralstabil. Andererseits ist q(t) = (qO + po)t + qo und p(t) = -(qO + Po)t + Po die Lasung des Systems zu der Anfangsbedinung (qo,Po), womit die Nahe zu (qo,Po) fur jede Umgebung des Ursprungs bedeutungslos ist. Demzufolge mufJ aus Spektralstabilitiit nicht einmal Linearstabilitiit folgen. Ein noch einfacheres Beispiel fur dasselbe Phanomen ist durch die Hamiltonfunktion H(q,p) = p2/2 des freien Teilchen gegeben. Das lineare System mit Hamiltonfunktion

liefert ein weiteres, hOherdimensionales Beispiel mit Resonanz im allgemeine Lasung zur Anfangsbedingung (qr, ... ,p~) ist durch

qI(t) q2(t) q3 (t) q4(t)

]R8.

Die

= q~cost+qgsint, = -q~ sin t + qg cos t, = qg cos t + q~ sin t, = -qg sin t + q~ cos t

und PI (t) = -

o

~ t sin t +

o P2 (t) = - q; (t cos t

i

0

(t cos t - sin t) 0

+ sin t) - q; t sin t - p~ sin t + pg cos t,

o 0 P3 (t) = q; t sin t - ~ (t cos t o

+ p~ cos t + pg sin t,

P4 (t) = q; (t cos t - sin t)

+ sin t) + pg cos t + p~ sin t, 0

+ ~ t sin t -

pg sin t + p~ cos t

gegeben. Man sieht, daB Pi(t), unabhangig von der Nahe der Anfangsbedingungen (qr, ... ,p~) zum Ursprung, jede Umgebung des Ursprungs verlaBt. Also ist das System linear instabil. Andererseits sind aile Eigenwerte dieses linearen Systems ±i, beide vierfache Eigenwerte. Also ist dieses lineare System spektralstabil. Das Beispiel von Cherry [1959,1968]. Dieses Beispiel ist ein Hamiltonsches System, das spektral- und linearstabil aber nichtlinear instabil ist. Betrachte die durch

(1.94) gegebene Hamiltonfunktion auf dem ]R4. Dieses System hat im Ursprung einen linearstabilen Gleichgewichtszustand, da das linearisierte System aus

36

1. Einfiihrung und Uberblick

zwei ungekoppelten Oszillatoren mit den Variablen (Oq2,OP2) und (oqI,Opd besteht, bzw. Frequenzen im Verhaltnis 2: 1 hat (die Eigenwerte sind ±i und ±2i, also tritt der ResonanzfaIl ein). Eine (durch eine Konstante T parametrisierte) Losungsschar fUr die Hamiltonschen Gleichungen (1.94) ist durch . j;)cos(t - T)

qI = -y2 PI

t-T

j;)sin(t - T)

= y2

t-T

,

,

q2 = P2 =

cos2(t - T)

t

-T

' (1.95)

sin2(t-T)

--t---'---T--'-

gegeben. Die Losungen (1.95) werden in endlicher Zeit unendlich groB. Beginnen wir zur Zeit t = 0 in einem Abstand V3/T vom Ursprung, so finden wir, indem wir T groB werden lassen, Losungen, die zwar beliebig nahe am Ursprung starten, jedoch in endlicher Zeit gegen Unendlich gehen, also ist der Ursprung nichtlinear instabil. Trotz der obigen, die linear en und nichtlinearen Theorien verbindende Situation, brachte man groBe Muhen auf, urn Methoden zur Untersuchung der Spektralstabilitat zu entwickeln. Liegen Instabilitiiten vor, liefem Spektralabschatzungen wichtige Informationen zu den Wachstumsraten. Spektralstabilitat liefert notwendige, aber nicht hinreichende Kriterien fur Stabilitat. Mit anderen Worten: Bei nichtlinearen Problemen kann Spektmlinstabilitiit Instabilitiit vorhersagen, aber nicht Stabilitiit. Dies ist ein grundlegendes Resultat von Ljapunov, siehe z.E. Abraham, Marsden und Ratiu [1988]. 1m Gegensatz dazu beabsichtigen wir als nachstes, hinreichende Bedingungen fur Stabilititiit anzugeben.

Casimirfunktionen. Neben der Energie gibt es weitere, Gruppensymmetrien zugeordnete ErhaltungsgroBen, wie z.B. den Impuls und den Drehimpuls. Einige sind der Gruppe, die den Ubergangen von den materieIlen zu den raumlichen oder Korperkoordinaten zugrundeliegt, zugeordnet. Diese werden Casimirfunktionen genannt. Solch eine mit C bezeichnete GroBe ist durch ihre Eigenschaft, daB sie mit jeder Funktion Poisson-kommutiert, d.h., (1.96) {C,F} = 0 fUr aIle Funktionen F auf dem Phasenraum P gilt, definiert. Wir werden solche Funktionen und ihre Beziehung zu den Impulsabbildungen in Kap. 10 und 11 untersuchen. 1st z.B. rp eine beliebige Funktion einer Variablen, dann ist die GroBe

(1.97) eine Casimirfunktion bzgl. der Klammer des starren Korpers, wie mit der Kettenregel zu uberpriifen ist. Ebenso ist

C(w) =

in

rp(w) dxdy

(1.98)

1.7 Nichtlineare Stabilitat

37

eine Casimirfunktion bzgl. der Klammer einer zweidimensionalen idealen Flussigkeit. (Bei dieser Rechnung werden Randterme, die bei partieller Integration entstehen, vernachlassigt. Zur Behandlung dieser Randterme siehe Lewis, Marsden, Montgomery und Ratiu [1986].) Da 6 = {G, H} = 0 ist, bleiben Casimirfunktionen unter einer zur Hamiltonfunktion H gehOrenden Dynamik erhalten. Die Erhaltung von (1.97) entspricht der Erhaltung des Gesamtdrehimpulses des starren Korpers, wahrend die Erhaltung von (1.98) dem Thomsonschen Wirbelsatz fur die Eulerschen Gleichungen entspricht. Es resultieren unendlich viele verschiedene Konstanten der Bewegung, die miteinander Poisson-kommutieren. Es gilt also {Gl , G2 } = 0, woraus jedoch nicht die Integrabilitat der Gleichungen folgt. Das Lagrange-Dirichlet-Kriterium. Fur Hamiltonsche Systeme in kanonischer Form ist ein Gleichgewichtspunkt (qe,Pe) ein Punkt, in dem die partiellen Ableitungen von H verschwinden, also ein kritischer Punkt von H. Wenn die (2n x 2n)-Matrix 82 H der zweiten partiellen Ableitungen, ausgewertet in (qe, Pe)' positiv oder negativ definit ist (also alle Eigenwerte von 82 H(qe,Pe) das gleiche Vorzeichen haben), dann ist (qe,Pe) stabil. Dies folgt aus der Energieerhaltung und aus Berechnungen, die besagen, daB die NiveaufHichen von H in der Nahe von (qe,Pe) naherungsweise Ellipsoide sind. Wie zuvor erwahnt, folgt hieraus die Spektralstabilitat. Die umgekehrte SchluBfolgerung ist nicht moglich. Die grundlegendsten allgemeinen Stabilitatskriterien fUr Gleichgewichtszustande von Hamiltonschen Systemen sind das KAM-Theorem (KAM steht fUr Kolmogorov, Arnold und Moser), das die Stabilitat von periodischen Losungen fur Systeme mit zwei Freiheitsgraden liefert, und der Lagrange-Dirichlet-Satz. Wenden wir nun z.B. den Lagrange-Dirichlet-Satz auf ein klassisches mechanisches System mit einer Hamiltonfunktion der Form "kinetische plus potentielle Energie" an. 1st (qe,Pe) ein Gleichgewichtspunkt, dann ist Pe Null. Die Matrix 152 H der in (qe,Pe) ausgewerteten partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von H ist eine Blockmatrix in Diagonalform, wobei einer der Blocke der positiv definiten quadratischen Form der kinetischen Energie entspricht. 1st 82 H definit, dann also garantiert positiv definit. Dies wiederum ist genau dann der Fall, wenn 82 V in qe positiv definit ist, wobei V die potentielle Energie des Systems ist. Ein mechanisches System, dessen Lagrangefunktion von der Form "kinetische minus potentielle Energie" ist, besitzt in (qe, 0) einen stabilen Gleichgewichtspunkt, wenn die Matrix 82 V(qe) der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung des Potentials V in qe positiv definit (oder allgemeiner qe ein echtes lokales Minimum von V) ist. Wenn 82 V in qe negativ definit ist, so ist qe ein instabiler Gleichgewichtspunkt. Die zweite Aussage versteht man in folgender Weise: Das linearisierte Hamiltonsche System in (qe,O) ist wieder ein Hamiltonsches System mit einer Hamiltonfunktion der Form "kinetische minus potentielle Energie", wobei die potentielle Energie durch die quadratische Form 82 V(qe) gegeben ist. Aus einem Standardsatz der linearen Algebra, der besagt, daB man zwei quadra-

38

1. Einfiihrung und Uberblick

tische Formen, von denen eine positiv definit ist, gleichzeitig diagonalisieren kann, schlieBen wir, daB sich das linearisierte Hamiltonsche System in eine Familie von Hamiltonschen Systemen der Form

d k 1 -(8q ) = -8Pk dt mk entkoppeln laBt, wobei l/mk > 0 die Eigenwerte der positiv definiten quadratischen Form der kinetischen Energie in den Variablen 8pj und Ck die Eigenwerte von 82 V(qe) sind. Also ergeben sich die Eigenwerte des lineari-Ck/mk. Wenn es also ein negatives Ck gibt, dann hat sierten Systems zu das linearisierte System zumindest einen positiven Eigenwert, und somit ist (qe, 0) spektral instabil, also auch linear und nichtlinear instabil. Verallgemeinerte Betrachtungen findet man bei Oh [1987], Grillakis, Shatah und Strauss [1987], Chern [1997] und mithilfe der dortigen Literaturverzeichnisse.

±J

Die Energie-Casimir-Methode. Die Energie-Casismir-Methode ist eine Verallgemeinerung der klassischen Lagrange-Dirichlet-Methode. Sei auf einer Poissonmannigfaltigkeit P der Gleichgewichtspunkt U e zu der Differentialgleichung it = X H (u) gegeben, so folgen die nachstehenden Schritte. Urn einen (XH(Ze) = 0 geniigenden) Gleichgewichtszustand auf Stabilitat zu iiberpriifen fiihre man folgende Schritte durch: 1. Finde eine feste Funktion C (C wird typischerweise eine Casismirfunktion plus eine andere ErhaltungsgrofJe sein), deren erste Variation verschwindet: 8(H + C)(ze) = o. 2. Bestimme die zweite Variation

3. 1st 82(H

+ C)(ze) (entweder positiv oder negativ) definit, dann wird Ze formalstabil genannt.

Wir erwahnen im Zusammenhang mit Schritt 3, daB eine Gleichgewichtslasung nicht unbedingt ein kritischer Punkt von H sein muB. 1m allgemeinen gilt 8H(ze) -I o. Ein starrer Karper, der sich urn eine seiner Haupttragheitsachsen dreht, ist ein Beispiel dafUr. In diesem Fall wiirde man bei einem Punkt, der lediglich ein kritischer Punkt von H ist, die Winkelgeschwindigkeit Null haben, ein kritischer Punkt von H + C entspricht jedoch einer (nichttrivialen) stationaren Rotation urn eine der Haupttragheitsachsen. Das fiir das Lagrange-Dirichlet-Testverfahren verwendete Argument funktioniert formal auch im Unendlichdimensionalen. Ungliicklicherweise gibt es fUr Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden (wie Fliissigkeiten und Plasmen) eine ernsthafte technische Schwierigkeit. Das zuvor benutzte rechentechnische Argument bereitet Probleme. Man kannte denken, daB dies nur

1.7 Nichtlineare Stabilitat

39

technische Probleme sind und wir lediglich sorgfaJtiger mit den Argumenten bei der Berechnung umzugehen haben. Tatsachlich gibt es einen weitverbreiteten Glauben an das "Energiekriterium" (siehe dazu z.B. die Diskussionen und Literaturhinweise in Marsden und Hughes [1983, Kap. 6] und PotierFerry [1982]). Ball und Marsden [1984] zeigten die Signifikanz dieser Schwierigkeit anhand eines Beispiels aus der Elastizitatstheorie: Sie erzeugten einen kritischen Punkt von H, bei dem 82 H positiv definit ist, der aber kein lokales Minimum von H ist. Andererseits zeigte Potier-Ferry [1982]' daB asymptotische Stabilitat wiedergewonnen werden kann, wenn man eine geeignete Reibung hinzufiigt. Schritt 3 zu modifizieren und das Konvexitatsargument von Arnold [1966b] zu verwenden, stellt eine andere Methode dar, diese Schwierigkeit zu iiberwinden.

Modifizierter Schritt 3. (a) Sei Llu = u -

Ue

Sei P ein linearer Raum.

eine endliche Variation im Phasenraum.

(b) Finde quadratische Funktionen Ql und Q2 mit

und

(c) Fordere Ql(Llu) + Q2(Llu) > 0 fur alle Llu (d) Fuhre die Norm

IILlul1

i= O.

mit

IILlul1 2 = Ql(Llu) + Q2(Llu) ein. Dann ist I[Llu[[ ein MafJ fur den Abstand von u wahlen d(u, u e ) = [[Llull.

ZU

u e , d.h., wir

(e) Fordere und fur

[C(u e + Llu) - C(ue)1 :S G2 [[Llull"

ex, G l , C 2 > 0 und IILlul1

hinreichend klein.

Diese Bedingungen garantieren die Stabilitat von U e und liefern ein AbstandsmaB, bzgl. dem Stabilitat definiert wird. Kernstiick des Beweises ist schlicht die Beobachtung, daB wir

erhalten, falls wir die Ungleichungen unter (b) addieren und die Tatsache ausnutzen, daB sich 8H( u e ) . Llu und 8C( u e ) . Llu mit Schritt 1 zu Null addieren. H und G sind aber zeitunabhangig, also gilt

40

1. Einfiihrung und Uberblick

Verwende nun die Unglcichungen aus (e), urn

zu erhalten. Diese Naherung begrenzt das zeitliche Wachstum endlicher Storungen, ausgedriickt durch anfangliche Storungen, was gerade fiir Stabilitat benotigt wird. Einen Uberblick, weitere Verweise und zahlreiche Beispiele zu dieser Methode findet man bei Holm, Marsden, Ratiu und Weinstein [1985]. Es gibt einige Situationen (wie z.B. die Stabilitat eines Stabes), in denen die obigen Techniken nicht verwandt werden konnen, und das im wesentlichen deswegen, weil es vorkommen kann, daB selbst fiir den 1. Schritt nicht geniigend Casimirfunktionen zur Verfiigung stehen. Aus diesem Grund hat man ein etwas abgewandeltes (aber hoherentwickelteres) Verfahren entwickelt: Die "Energie-1mpuls-Methode". Die Grundidee bei dieser Methode ist, die Verwendung von Casimirfunktionen zu vermeiden, indem man die Methode vor einer Reduktion anwendet. Die Energie-1mpuls-Methode wurde von Simo, Posbergh und Marsden [1990, 1991] und Simo, Lewis und Marsden [1991] in ciner Folge von Veroffentlichungen entwickelt. Eine Diskussion und erganzende Verweise folgen weiter unten in dies em Abschnitt. Gyroskopische Systeme. Die Unterschiede zwischen "Stabilitat laut Energiemethoden", also Energetik und "Spektralstabilitat" werden unter Beriicksichtigung von Reibung besonders interessant. Mithilfe der klassischen Arbeiten von Kelvin und Chetaev kann man, falls 02 H indefinit ist und sich das Spektrum somit auf der imaginaren Achse befindet, zeigen, daB das System unter der Beriicksichtigung von Reibung notwendigerweise linear instabil wird. Also wird zumindest ein Eigenwertpaar der linearisierten Gleichungen in der rechten Halbebene liegen. Dieses Phanomen wird durch Reibung induzierte Instabilitiit genannt. Dieses Resultat und damit zusammenhangende Entwicklungen werden von Bloch, Krishnaprasad, Marsden und Ratiu [1991, 1994,1996] gezeigt. Betrachte z.B. das line are gyroskopische System (1.99) Mq + Sq + Vq = 0,

wobei q E ]Rn, Meine positiv definite, symmetrische (n x n)-Matrix, S alternierend und V symmetrisch ist. Dieses System ist Hamiltonsch (Ubung 1.7.2). Hat V negative Eigenwerte, dann ist (1.99) formal instabil. Beziiglich S kann das System aber spektralstabil sein. 1st R positiv definit, symmetrisch und ist E > 0 klein, dann ist das System mit Reibung

Mq + Sq + ERq + Vq = 0 linear instabil. Ubung 1. 7.4 zeigt ein konkretes Beispiel.

(1.100)

1. 7 Nichtlineare Stabilitat

41

Uberblick fiber die Energie-Impuls-Methode. Die Energie-ImpulsMethode ist eine fur Lie-Poisson-Systeme auf Dualraumen von Liealgebren, insbesondere fur Systeme von dynamischen Flussigkeiten entwickelte Erweiterung der Arnold- (oder Energie-Casimir-)Methode zur Untersuchung der Stabilitat von relativen Gleichgewichtszustanden. AuBerdem werden mit dieser Methode die auf Routh, Ljapunov und in jungerer Zeit auf das Werk von Smale zuruckgehenden, elementaren Techniken zur Untersuchung von Stabilitatszustanden erweitert und verfeinert. FUr diese Erweiterungen gibt es drei Motivationen. Erstens kann man mit der Energie-Impuls-Methode Lie-Poisson-Systeme behandeln, fUr die nicht genugend Casimirfunktionen vorhanden sind, wie z.B. den dreidimensionalen idealen FluB und bestimmte Probleme aus der Elastizitatstheorie. Wegen auftretender Wirbelstreckung sind dreidimensionale Gleichgewichtszustande fUr ideale Flusse im allgemeinen formal instabil. Dies zeigen Abarbanel und Holm [1987] mithilfe einer Methode, die wir ruckblickend als die Energie-Impuls-Methode bezeichnen k6nnen. Die von Chern und Marsden [1990] untersuchten, in der Theorie der Flussigkeiten vorkommenden ABC-Fltisse und in der Plasmaphysik auftretenden Mehrfachbuckelsituationen (siehe z.B. Holm, Marsden, Ratiu und Weinstein [1985] und Morrison [1987]) motivieren ebenfalls, Lie-Poisson-Systeme zu verwenden. Eine zweite Motivation: Man m6chte diese Methode auch auf Systeme, die nicht notwendigerweise Lie-Poisson-Systeme sind, anwenden und weiterhin von der wirkungsvollen Idee der reduzierten Raume Gebrauch machen, so wie in der ursprunglichen Arnoldmethode. Beispiele wie der starre K6rper mit vibrierender Antenne (Sreenath, Oh, Krishnaprasad und Marsden [1988], Oh, Sreenath, Krishnaprasad und Marsden [1989], Krishnaprasad und Marsden [1987]) und gekoppelte starre K6rper (Patrick [1989]) motivierten eine derartige Erweiterung der Theorie. Schliefilich bekommt man auch prazisere Stabilitatsaussagen in der Materialdarstellung und einen Zusammenhang mit den geometrischen Phasen. Die Idee der Energie-Impuls-Methode. Die Energie-Impuls-Methode wird bei symmetrischen mechanischen Systemen mit Konfigurationsraum Q und Phasenraum T*Q und einer durch die Standardimpulsabbildung J : T*Q -+ g* wirkenden Symmetriegruppe G eingesetzt, wobei g* die Liealgebra von Gist. Naturlich erhalt man fur Q = G den Lie-Poisson-Fall. Leitgedanke der Energie-Impuls-Methode ist, das Problem zuerst auf dem nichtreduzierten Raum zu formulieren. Hierbei sind die zu einem Liealgebrenelement ~ assoziierten relativen Gleichgewichtszustande kritische Punkte der erganzten Hamiltonfunktion He := H - (J,~). Die Idee ist jetzt, die zweite Variation von He in einem relativen Gleichgewichtspunkt Ze mit einem von der Zwangsbedingung J = J.le abhangigen Impulswert J.le auf dem transversalen Raum zur Wirkung von G/-te zu bilden, wobei G/-te die Untergruppe von Gist, die J.le fest lafit. Beachte, da:B Casimirfunktionen zur Ausfuhrung der

42

1. Einftihrung und Uberblick

Rechnungen nicht notwendig sind, obwohl die erganzte Hamiltonfunktion die Rolle von H + C in der Arnoldmethode einnimmt. Uberraschenderweise kann die zweite Variation von H~ im relativen Gleichgewichtszustand mithilfe von Aufspaltungen, die auf dem mechanischen Zusammenhang beruhen, auf Blockdiagonalform gebracht werden, wobei gleichzeitig die symplektische Struktur eine einfache Blockstruktur erhalt, und die linearisierten Gleichungen somit eine nutzliche kanonische Form bekommen. Sogar fur den Lie-Poisson-Fall erhalt man so Situationen, in denen man deutlich einfachere zweite Variationen hat. Diese Blockdiagonalstruktur verleiht der Methode ihre rechentechnische Starke. Die allgemeine Theorie, dieses Verfahren durchzufuhren, wurde von Simo, Posbergh und Marsden [1990, 1991] und Simo, Lewis und Marsden [1991] entwickelt. Eine Darstellung der Methode kann, zusammen mit erganzenden Literaturhinweisen, in Marsden [1992] gefunden werden. Man ist daran interessiert, diese auf den singularen Fall auszuweiten, der Gegenstand laufender Arbeit ist, siehe Ortega und Ratiu [1997, 1998] und die dortigen Verweise. Die Energie-Impuls-Methode kann auch fUr Lagrangesysteme nutzlich formuliert werden, womit die Berechnungen in vielen Fallen sehr bequem werden. Die zugehOrige allgemeine Theorie wurde in Lewis [1992] und Wang und Krishnaprasad [1992] entwickelt. Dieser Lagrangesche Kontext steht in enger Verbindung zur allgemeinen Theorie der Lagrangereduktion. Dabei reduziert man eher Variationsprinzipien als symplektische oder Poissonstrukturen und falls man das Tangentialbundel einer Liegruppe reduziert, so fuhrt dies eher zu den Euler-Poincare-Gleichungen als zu den Lie-Poisson-Gleichungen. Wirksamkeit in konkreten Fallen. Die Energie-Impuls-Methode hat ihre Wirksamkeit fur eine Reihe von Beispielen gezeigt. Lewis und Simo [1990] konnten z.B. die Stabilitat von pseudostarren Korpern behandeln, was bis zu dieser Zeit als analytisch kaum moglich gehalten wurde. Die Energie-Impuls-Methode kann manchmal in einem Kontext verwandt werden, in dem der reduzierte Raum singular ist, oder nichtgenerischen Punkten im Daulraum der Liealgebra entspricht. Fur singulare Punkte wird dies in Lewis, Ratiu, Simo und Marsden [1992] durchgefuhrt, die den schweren Kreisel sehr genau untersuchen. Entsprechende AusfUhrungen zum Lie-PoissonKontext fUr kompakte Gruppen in nichtgenerischen Punkten im Dualraum der Liealgebra findet man in Patrick [1992,1995]. Wichtig ist das sich der Stabilisator G J1, mit JL andert und dies fUr den RekonstruktionsprozeJ3 und zum Verstandnis der Hannay-Berry-Phase im Zusammenhang mit der Reduktion wichtig ist (siehe Marsden, Montgomery und Ratiu [1990] und dortige Literaturhinweise). Vergleiche Leonard und Marsden [1997] bzgl. nichtkompakter Gruppen und einer Anwendung auf die Dynamik starrer Korper in Flussigkeiten (Unterwasserfahrzeuge). Weiterfiihrende Arbeiten auf dies em Gebiet bzgl. der singlaren Reduktionen stehen weiterhin aus. Der Satz von Benjamin-Bona zur Stabilitat von Solitonen der KdVGleichung kann als Spezialfall der Energie-Impuls-Methode aufgefaJ3t wer-

1. 7 Nichtlineare Stabilitat

43

den, vergleiche Maddocks und Sachs [1993] und z.B. Oh [1987] und Grillakis, Shatah und Strauss [1987]. Auch im Kontext der partiellen Differentialgleichungen lassen sich viele Verweise hierzu finden. Hamiltonsche Bifurkationen. Die Energie-Impuls-Methode wurde auch im Zusammenhang mit Problemen bzgl. der Hamiltonschen Bifurkation angewandt. Wir werden einige einfache Beispiele hierzu in §1.8 angeben. Einen solchen Kontext bilden freie Randwertprobleme wie aus der Arbeit von Lewis, Marsden, Montgomery und Ratiu [1986]. Diese verallgemeinern eine von Zakharov gefundene Hamiltonsche Struktur fur dynamische freie Randwertprobleme (Oberflachenwellen, Flussigkeitstropfen, usw.). Zusammen mit der Methode von Arnold wird dies zur Untersuchung der Bifurkationen solcher Probleme in Lewis, Marsden und Ratiu [1987], Lewis [1989,1992]' Kruse, Marsden und Scheurle [1993] und anderer dort zitierter Literatur verwandt. Die Umkehrung der Energie-Impuls-Methode. Die erwahnte Blockstruktur ermoglichte es, eine gewisse Umkehrung der Energie-Impuls-Methode zu beweisen. 1st die zweite Variation indefinit, dann ist das System instabil. Da es viele Systeme gibt, die zwar formal instabil sind (z.B. das schon erwahnte gyroskopische System, ein konkretes Beispiel dafur wird in Ubung 1.7.4 gegeben), deren Linearisierungen aber Eigenwerte auf der imaginaren Achse haben, darf man naturlich nicht davon ausgehen, dies wortwortlich durchfuhren zu konnen. Wegen der "Arnolddiffusion" sind wahrscheinlich die meisten davon instabil. Dies analytisch zu beweisen, ist allerdings sehr schwierig. Stattdessen zeigt man, daB das System durch Hinzunahme einer Reibungskraft instabil wird. Die Idee der durch Reibung induzierten Instabilitiit geht bis ins 19. Jahrhundert auf Thomson und Tait zuruck. Bloch, Krishnaprasad, Marsden und Ratiu [1994,1996] zeigten im Zusammenhang mit der EnergieImpuls-Methode, daB die Indefinitheit der zweiten Variation bei Hinzunahme einer geeigneten Reibung ausreicht, urn ein linear instabiles Problem zu erhalten. Fur die Bewegung der Eigenwerte gibt es (auf Krein zuruckgehende) Formeln, die bei Kirk, Marsden und Silber [1996] zur Untersuchung nichtHamiltonscher St6rungen von Hamiltonschen Normalformen verwandt werden. Bei O'Reilly, Malhotra und Namamchchivaya [1996] findet man interessante Analogien hierzu fur reversible Systeme. Eine Erweiterung auf nichtholonome Systeme. Es ist teilweise moglich, die Energie-Impuls-Methode auf nichtholonome Systeme zu ubertragen. Basierend auf den Arbeiten von Arnold [1988], Bates und Sniatycki [1993] und Bloch, Krishnaprasad, Marsden und Murray [1996] zu nichtholonomen Systemen, dem Beispiel des Routhproblems in Zenkov [1995] und der umfangreichen russischen Literatur zu diesem Thema zeigten Zenkov, Bloch und Marsden [1998], daB es eine Verallgemeinerung dieser Methode gibt. Sie ist auf auf eine Vielzahl interessanter Beispiele anwendbar, z.B. auf die rollende Scheibe, das Kickboard und auch den keltischen Wackelstein.

44

1. EinfUhrung und Uberblick

Ubungen Ubung 1.7.1. Arbeite das von Cherry gegebene Beispiel des Hamiltonschen Systems im ]R4 aus, dessen Energiefunktion durch (1.94) gegeben ist. Zeige explizit, daB der Ursprung ein linear- und spektralstabiler, aber nichtlinear instabiler Gleichgewichtszustand ist. Man weise dazu nach, daB (1.95) fUr alle T > 0 eine Lasung ist, die beliebig nahe am Ursprung starten kann und filr t --t T gegen unendlich strebt. Ubung 1.7.2. Zeige, daB (1.99) mit p = Mq, 1

H(q,P)=2 P · M

-1

1

P+2 q · Vq

und

Hamiltonsch ist.

Ubung 1. 7.3. Man zeige, daB das charakteristische Polynom filr das line are System (1.99) (bis auf einen Faktor)

p(.-\) = det[.-\2 M + .-\S + V] und dies tatsachlich ein Polynom vom Grade n in .-\2 ist.

Ubung 1.7.4. Betrachte das folgende System mit zwei Freiheitsgraden:

x - gy + ,X + ax = 0, jj

+ gx + by + f3y = O.

(1) Schreibe es in der Form (1.100).

(2) Zeige fUr I = b = 0 : a) Das System ist filr a, f3 b) filr

> 0 spektralstabil,

af3 < 0 spektral instabil und

c) filr a, f3 < 0 formal instabil (d.h., die Energiefunktion, die eine quadratische Funktion ist, ist indefinit) und: i. 1st D := (g2 + a + (3)2 - 4af3 < 0, dann gibt es sowohl in der rechten, als auch in linken Halbebene zwei Nullstellen. Das System ist spektral instabil. ii. 1st D = 0 und g2 + a + f3 :::: 0, dann ist das System spektral stabil. 1st aber g2 + a + f3 < 0, dann ist es spektral instabil.

1.8 Bifurkation HI.

45

°

1st D > und g2 + 0: + (3 ~ 0, dann ist das System spektral stabil. 1st aber g2 + 0: + (3 < 0, dann ist es spektral instabil.

(3) Fur Polynome p().,) = ).,4 + Pl).,3 + P2).,2 + P3)., + P4 besagt das RouthHurwitz-Kriterium (vgl. Gantmacher [1959, Band 2]), daB die Anzahl der Nullstellen von p in der rechten Halbebene der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Folge { I ,PI" PIP2 - P3 PI

P3PIP2 - P~ - P4PI } , P4 PIP2 - P3

entspricht. Verwende das Kriterium fur 0: < 0, (3 < 0, g2 + 0: + (3 > 0, > und c5 > 0, urn zu zeigen, daB das System spektral instabil ist.

I

°

1.8 Bifurkation Wenn die Energie-Impuls- oder die Energie-Casismir-Methode auf eine Instabilitat schlieBen liiBt, konnen Techniken aus der Theorie der Bifurkationen verwandt werden, urn die sich ergebende Dynamik, wie z.B. Mehrfachgleichgewichte und periodische Orbits zu analysieren. Eine Kugel in einem rotierenden Reifen. Man betrachte z.B. ein Teilchen, das sich reibungsfrei in einem rotierenden Reifen bewegt (siehe Abb. 1.6). Wir werden in §2.8 die zugehOrigen Bewegungsgleichungen herleiten und die Phasenportiits dieses Systems untersuchen. Man entdeckt, daB eine Hamiltonsche Heugabelbifurkation auftritt, womit zwei neue Losungen erzeugt werden, und, wenn w den Wert g/ R uberschreitet, das stabile Gleichgewicht bei () = 0 instabil wird. Diese Losungen sind in der vertikalen Achse symmetrisch, was die ursprungliche Z2-Symmetrie des mechanischen Systems aus Abb. 1.6 widerspiegelt. Man kann die Symmetrie brechen, z.B. indem man die Rotationsachse leicht aus dem Zentrum ruckt. Diesen interessanten Punkt werden wir in §2.8 diskutieren.

J

Ein rotierender Fliissigkeitstropfen. Das System besteht aus den zweidimensionalen Eulerschen Gleichungen fur eine ideale Flussigkeit mit frei beweglichem Rand. Ein starr rotierender rotationssymmetrischer Tropfen stellt eine GleichgewichtslOsung dar, fur die man mithilfe der EnergieCasismir-Methode Stabilitiit nachweisen kann, sofern (1.101)

ist. In dieser Formel ist D die Winkelgeschwindigkeit des rotationssymmetrischen Tropfens, R sein Radius und T die konstante Oberfliichenspannung. Wenn D zunimmt und (1.101) verletzt wird, wird die rotationssymmetrische

46

1. Einfiihrung und Uberblick

z

g = Schwerebe-

schleunigung

Abb. 1.6. Ein Teilchen, das sich in einem mit def Winkelgeschwindigkeit w rotierenden Reifen bewegt.

Lasung instabil und durch elliptische Lasungen mit einer 22 x 2 2-Symmetrie abgelOst. Die Bifurkation ist sogar bzgl. der Winkelgeschwindigkeit Q unterkritisch (d.h., die neuen Lasungen treten schon unterhalb des kritischen Wertes von Q auf) und bzgl. des Drehimpulses iiberkritisch (die neuen Lasungen treten oberhalb des kritischen Wertes auf). Dies wird in Lewis, Marsden und Ratiu [1987] und Lewis [1989] bewiesen, wo auch andere Literaturhinweise angegeben werden (siehe Abb. 1.7).

Zunehmender Drehimpuls

..

kreisrunde stabile Loesung

gleichmaessig rotierende elliptische Loesung

Abb. 1.7. Ein rotationssymmetrischer Fliissigkeitstropfen, der seine Stabilitat und seine Symmetrie verliert.

1.8 Bifurkation

47

Die Bewegung der Eigenwerte der linearisierten Gleichungen fur die Kugel im Reifen ist in der Abb. 1.8(a) dargestellt. Die Bewegung der Eigenwerte fur den rotierenden Flussigkeitstropfen ist die gleiche: Die Symmetrie des Problems zwingt die Eigenwerte auf der imaginaren Achse zu bleiben. Typischerweise trennen sich die Eigenwerte wie in Abb. 1.8(b), wenn diese Symmetrie nicht da ist. Dies sind Beispiele einer allgemeinen Theorie der Bewegung solcher Eigenwerte. Man findet sie bei Golubitsky und Stewart [1987], Dellnitz, Melbourne und Marsden [1992]' Knobloch, Mahalov und Marsden [1994] und Kirk, Marsden und Silber [1996]. y

y

x

x

(a) mit Symmetrie

(b) ohne Symmetrie

Abb. 1.8. Die Bewegung von Eigenwerten bei einer Bifurkation der Gleichgewichtszustande.

Weitere Beispiele. Der schwere Kreisel, ein starrer Karper mit einem fest en Punkt, der sich im Gravitationsfeld bewegt, ist ein weiteres Beispiel. Beim Ubergang vom schnellen zum langsamen Kreisel £alIt w unter den kritischen Wert (1.102) die Stabilitat geht verloren und eine Resonanzbifurkation tritt auf. Die Abbildung 1.9 zeigt das Verhalten der Eigenwerte der im Gleichgewicht linearisierten Gleichungen beim Auftreten der Bifurkation. Eine ausgiebige Untersuchung der Bifurkationen und der Stabilitat bei der Dynamik eines schweren Kreisels findet man bei Lewis, Ratiu, Simo und Marsden [1992]. Ein Verhalten dieser Art wird manchmal eine Hamiltonsche Krein-Hopf-Bifurkation oder gyroskopische Instabilitiit genannt (siehe van der Meer [1985, 1990]). Dabei tritt ein komplexeres dynamisches Verhalten mit periodischer und chaotischer Bewegung auf (siehe Holmes und

48

1. Einftihrung und Uberblick

y

y

schnell-langsam Uebergang

j

-- --

x

x

j

-- --

Abb. 1.9. Die Bewegung der Eigenwerte bei der Hamiltonschen Hopfbifurkation.

Marsden [1983]). In einigen Systemen mit Symmetrie k6nnen die Eigenwerte sowohl durchgehen, als auch sich trennen, wie von Dellnitz, Melbourne und Marsden [1992] und auch in der dort aufgefuhrten Literatur gezeigt wird. Anspruchsvollere Beispiele, wie z.B. die Dynamik zweier gekoppelter starrer dreidimensionaler K6rper, bedurfen einer systematischen Entwicklung der zugrundeliegenden und von Golubitsky und Schaeffer [1985] und Golubitsky, Stewart und Schaeffer [1988] geschaffenen Theorie. Damit wurde z.B. in Duistermaat [1983], Lewis, Marsden und Ratiu [1987], Lewis [1989], Patrick [1989], Meyer und Hall [1992]' Broer, Chow, Kim und Vegter [1993] und Golubitsky, Marsden, Stewart und Dellnitz [1994] begonnen. Die Bifurkationen, die beim sphiixischen Doppelpendel auftreten (dazu gehOrt auch eine Hamiltonsche Krein-Hopf-Bifurkation) werden in Dellnitz, Marsden, Melbourne und Scheurle [1992] und Marsden und Scheurle [1993a] behandelt. Ubungen Ubung 1.8.1. Untersuche die Bifurkationen (Veranderungen im Phasenportrat) der Gleichung X+ f-lX + X2 = 0

beim Durchgang von tiellen Energie.

f-l

durch Null mithilfe der zweiten Ableitung der pot en-

Ubung 1.8.2. Wiederhole die -obung 1.8.1 fUr die Funktion

x + f-lX + x3 = 0 beim Durchgang von

f-l

durch Null.

1.9 Die Poincare-Melnikov-Methode

49

1.9 Die Poincare-Melnikov-Methode Das Pendel unter auBerer Krafteinwirkung. Urn mit einem einfachen Beispiel zu beginnen, betrachte man die Gleichung eines Pendels unter einer auBeren Krafteinwirkung:

¢

+ sin¢ = EcosWt.

(1.103)

wist hier die konstante Winkelgeschwindigkeit der periodisch wirkenden auBeren Kraft und E ein kleiner Parameter. Systeme dieser Art treten in vielen interessanten Situationen auf. Zum Beispiel weisen ein ebenes Doppelpendel und auch anderes "steuerbares Spielzeug" ein chaotisches Verhalten auf, das dem dieser Gleichungen entspricht, siehe dazu Burov [1986] und Shinbrot, Grebogi, Wisdom und Yorke [1992]. Fur E = 0 entspricht das Phasenportrat von (1.103) dem eines einfachen Pendels (wie spater auch in Abb. 2.2a dargestellt). Fur ein kleines, aber nichtverschwindendes E besitzt (1.103) keine analytischen Integrale der Bewegung. Es treten sich transversal schneidende stabile und instabile Mannigfaltigkeiten (Separatrizen) auf, d.h., die Poincareabbildung Pta: ]R2 -7 ]R2, diejenige Abbildung, die Losungen, beginnend zur Zeit to, urn eine Periode T = 27r/w verschiebt, besitzt transversale homokline Punkte. Diese Art dynamischen Verhaltens schlieBt nicht nur analytische Integrale aus, was uns dazu bewegt von" Chaos" zu sprechen, sondern hat noch verschiedene weitere Auswirkungen zur Folge. Zum Beispiel hat (1.103) unendlich viele periodische Losungen von beliebiger Periodenlange. Mit dem Schattenlemma laBt sich zeigen, daB zu jeder biinfiniten Folge von Nullen und Einsen (man nehme z.B. die Binardarstellungen von 7r fUr die links- und die von e fur die rechtsinfinite Folge) eine Losung von (1.103) existiert, die wiederholt die Ebene ¢ = 0 (die Konfiguration, in der das Pen del senkrecht nach unten hangt) durchdringt mit ¢ > 0 fur Nullen und ¢ < 0 fUr Einsen. Intuitiv sieht man die Bewegung des Pendels in der Nahe seines ungestorten homoklien Orbits, dem Orbit, der eine Umdrehung nach unendlicher Zeit vollfuhrt hat, als den Ursprung des Chaos an. In der Nahe seines Hohepunktes (wo ¢ = ±7r ist) konnen kleine aus dem Storterm herruhrende AnstoBe das Pen del in einer vorubergehend komplexen Weise zur linken oder rechten Seite fallen lassen. Die notigen Informationen aus der Theorie der dynamischen Systeme, die man benotigt, urn obige Aussagen zu rechtfertigen, findet man in Smale [1967], Moser [1973], Guckenheimer und Holmes [1983] und Wiggins [1988, 1990]. Poincare, Birkhoff, Kolmogorov, Melnikov, Arnold, Smale und Moser waren neben anderen bei der Entwicklung der allgemeinen Theorie von besonderer Bedeutung. Die Idee der sich transversal schneidenden Separatrizen stammt aus Poincares beruhmter Arbeit zum Drei-Korper-Problem (Poincare [1890]). Sein Ziel, das er aus Grunden, die wir spater angeben werden, nicht ganz erreichte, war, die Nichtintegrabilitat des eingeschrankten DreiKorper-Problems und die Divergenz verschiedener Reihenentwicklungen, die

50

1. Einfiihrung und Uberblick

bis dahin verwandt wurden, nachzuweisen. (In seiner Arbeit begann er mit der Theorie der asymptotischen Entwicklungen und der dynamischen Systeme.) Weitere Information zu Poincares Arbeit kann man Diacu und Holmes [1996] entnehmen. Obwohl Poincare alle wesentlichen Hilfsmittel zur Verfiigung standen, urn die Nichtintegrabilitat von Gleichungen wie z.B. (1.103) zu beweisen (unter "Nichtintegrabilitat" verstehen wir hier, daB keine analytischen Integrale existieren), galt sein Interesse den komplizierteren Problemen und er arbeitete die einfache und element are Theorie nicht sehr weit aus. Wichtige Beitrage kamen von Melnikov [1963] und Arnold [1964]. Diese fiihrten zu einem einfachen Algorithmus, mit dem gezeigt werden kann, daB (1.103) nicht integrabel ist. Die Poincare-Melnikov-Methode wurde dann von Chirikov [1979], Holmes [1980b] und Chow, Hale und Mallet-Paret [1980] wieder aufgegriffen. Verallgemeinerungen und zusatzliche Literaturhinweise findet man bei Guckenheimer und Holmes [1983] und Wiggins [1988, 1990].

Die Poincare-Melnikov-Methode. genderma£en vor:

Nach dieser Methode geht man fol-

(i) Die zu untersuchenden dynamischen Gleichungen schreibe man in der Form (1.104) wobei x E ~2, Xo ein Hamiltonsches Vektorfeld mit der Energie Ho und Xl periodisch mit der Periode T und Hamiltonsch bzgl. einer Tperiodischen Funktion HI ist. Xo besitze einen homoklinen Orbit x(t), der fur t ---+ ±oo gegen einen hyperbolischen Sattelpunkt Xo strebt. (ii) Berechne die durch

M(to) =

I:

{Ho,HI}(X(t-to),t)dt

(1.105)

definierte Poincare-Melnikov-Funktion. Dabei ist {,} die Poissonklammer. Hat M (to) als eine Funktion von to einfache N ullstellen, so besitzt (1.104) fiir ein hinreichend kleines E homoklines Chaos im Sinne von sich transversal schneidenden Separatrizen (im Sinne der oben erwahnten Poincareabbildungen). Dieses Resultat werden wir in §2.11 beweisen. Man wendet es folgendermaBen auf (1.103) an: Sei x = (cp,¢) und damit

Die homoklinen Orbits fiir

E

= 0 sind dann durch

1.9 Die Poincare-Melnikov-Methode

x(t)

=

[~(t)] ¢(t)

51

= [±2tan- 1 (Sinht)]

±2 sech t

gegeben (siehe Ubung 1.9.1) und es gilt . H o(¢, ¢)

1

'2

.

= 2¢ - cos¢ und H l (¢, ¢, t) = ¢coswt.

(1.106)

Also gelangt man mit (1.105) zu

M(to) =

J

=-

= =f

(aHo aHl aHo aHl) _ a¢ a¢ - a¢ a¢ (x(t - to), t) dt

1: 1: CXJ

-CXJ

¢( t - to) cos wt dt [2 sech(t - to) coswt] dt.

Mithilfe einer Variablensubstitution und der Tatsache, daB sech eine gerade und sin eine ungerade Funktion ist, erhalten wir

M(to) = =f2

(1:

sechtcoswtdt) cos(wto)·

Das Integral wird mittels Residuen berechnet (siehe Ubung 1.9.2):

M(to) = =f27fsech (7f;) cos(wto).

(1.107)

Diese Funktion hat offensichtlich einfache Nullstellen. Also tritt bei dieser Gleichung fUr ein hinreichend kleines E Chaos auf. Ubungen Ubung 1.9.1. Man weise auf direktem Wege nach, daB die homoklinen Orbits der einfachen Pendelgleichung ¢+sin ¢ = 0 durch ¢( t) = ±2 tan -1 (sinh t) gegeben werden. Ubung 1.9.2. Man berechne das Integral J~CXJ sech t cos wt dt, urn damit folgendermaBen (1.107) zu beweisen: Schreibe secht = 2j(e t +e- t ) und beachte auch, daB

J(z) =

eiwz eZ

+ e- iwz +C

Z

in der komplexen Ebene bei z = 7fij2 einen einfachen Pol hat. Werte dort das Residuum aus und wende den Satz von Cauchy an. 9 9

Man behelfe sich mit einem Buch zur Funktionentheorie wie z.B. Marsden und Hoffman, Basic Complex Analysis, Third Edition, Freeman, 1998.

52

1. Einfiihrung und -oberblick

1.10 Resonanzen, geometrische Phasen und die Kontrolltheorie Wie die Arbeit von Smale [1970] zeigt, spielt die Topologie in der klassischen Mechanik eine wichtige Rolle. Die Smalesche Arbeit beschaftigt sich mit der Morsetheorie, die er auf ErhaltungsgroBen wie z.B. die Energie-ImpulsAbbildung anwendet. In diesem Abschnitt besprechen wir andere Wege, auf denen die Geometrie und die Topologie Einzug in die mechanischen Probleme finden. Die Eins-zu-eins-Resonanz. Betrachtet man Systeme mit Resonanzen, dann stoBt man haufig auf Hamiltonfunktionen der Form H

1

.A

= 2(qi + pi) + 2(q~ + p~) + Terme hOherer Ordnung.

(1.108)

Die quadratischen Terme beschreiben zwei Oszillatoren, die fur .A = 1 die gleiche Frequenz haben. Daher spricht man von einer Eins-zu-eins-Resonanz. Urn die Dynamik von H zu untersuchen, ist es wichtig, eine gute geometrische Darstellung fur den kritischen Fall (1.109) zu verwenden. Das Energieniveau zu konstantem Ho ist die 3-Sphare 53 Indem wir Zl = ql + iPl und Z2 = q2 + iP2

c

]R4.

wahlen, konnen wir uns Ho als eine Funktion auf der komplexen Ebene ([2 vorstellen. Dann ist Ho = (iZii2+iz2i2)/2, also ist Ho linksinvariant unter der Wirkung von SU(2), der Gruppe der komplexen unitaren (2 x 2)-Matrizen mit Determinante eins. Die zugehorigen ErhaltungsgroBen lauten Wi = 2(qiq2 + P1P2), W 2 = 2(q2Pl - qiP2),

W3 =

qi + pi - q~ -

(1.110) p~

und stellen die Komponenten einer Impulsabbildung

J : ]R4 -+

(1.111)

]R3

dar. Mit der schon bewiesenen Beziehung 4H5 daB J eingeschrankt auf 53 eine Abbildung

= Wf +

wi + wi zeigt man, (1.112)

liefert. Die Fasern j-i(X) sind Kreise und die aus der Dynamik von Ho entstehenden Trajektorien bewegen sich entlang dieser Kreise. Die Abbildung j

1.10 Resonanzen, geometrische Phasen und die Kontrolltheorie

53

ist die Hopffaserung, die S3 als ein topologisch nichttriviales Kreisbiindel iiber S2 beschreibt. Die Bedeutung der Hopffaserung in der Mechanik war schon Reeb [1949] bekannt. Man kann auch zeigen, daB die Dynamik eines Systems der Form (1.108), dessen Hamiltonfunktionen fast Ho ist, in guter Naherung auf eine Dynamik in S2 reduziert werden kann. Diese Dynamik ist Lie-Poissonsch und S2 ist ein koadjungierter Orbit in .50(3)*, so daB die Evolution der eines starren K6rpers entspricht, lediglich mit einer anderen Hamiltonfunktion. Wie man die Hopffaserung bei der Eins-zu-eins-Resonanz mithilfe eines Computers untersucht, erfahrt man in Kocak, Bisshopp, Banchoff und Laidlaw [1986]. Die Hopffaserung in der Mechanik starrer Korper. Fiihrt man im FaIle eines starren K6rpers eine Reduktion durch, so untersucht man den reduzierten Raum J-l(f-l)/G I1 = J- 1 (f-l)/sl, der in diesem Fall die 2-Sphare ist. Wie wir in Kap. 15 sehen werden, entspricht J-l(f-l) topologisch der Rotationsgruppe SO(3), die wiederum nichts anderes als S3/':£2 ist. Also ist die Reduktionsabbildung eine Abbildung von SO(3) nach S2. 1st k der Einheitsvektor in Richtung der z-Achse, dann erhalt man soleh eine Abbildung, indem man die Orthogonalmatrix A auf den durch Ak gegebenen Vektor auf der Sphare abbildet. Diese projektive Abbildung ist tatsachlich die Einschrankung einer Impulsabbildung und bei der Komposition mit der Abbildung von S3 ~ SU(2) nach SO(3) wiederum die Hopffaserung. Die Hopffaserung tritt nicht nur aus diesem Grund bei der Eins-zueins-Resonanz auf. Sie tritt auch beim starren Korper in natiirlicher Weise als eine Reduktionsabbildung von der materiellen ZUT korpeTeigenen Darstellung auf! Die geometrischen Phasen. Die Geschichte dieses Konzepts ist komplex. Sie wird bei Berry [1990] diskutiert und geht hinsichtlich Untersuchungen zu polarisiertem Licht bis auf Bortolotti im Jahre 1926 und auf Vladimirskii und Rytov im Jahre 1938 und bzgl. der Atomphysik bis auf Kato im Jahre 1950 und Longuet-Higgins und anderen im Jahre 1958 zuriick. Zusatzliche geschichtliche Bemerkungen zu Phasen in der Mechanik starrer K6rper werden weiter unten gemacht. Wir beginnen mit dem klassischen Beispiel des Foucaultschen Pendels. Es liefert eine interessante Phasenverschiebung (eine Verschiebung der Schwingebene des Pendels), wenn das ganze System einer zyklischen Entwicklung unterliegt (das Pendel wird aufgrund der Erdrotation auf einer Kreisbahn bewegt). Diese Phasenverschiebung ist geometrischer Natur: Wenn man ein orthonormales Dreibein entlang desselben Breitengrades parallel transportiert, so hat es nach einer Umdrehung die gleiche Phasenverschiebung wie das Foucaultsche Pendel. Die geometrische Bedeutung dieser Phasenverschiebung LlB = 27r cos CY (dabei ist CY die Kobreite) ist in Abb. 1.10 dargestellt. In der Geometrie wird die Rotation eines n-Beines, die dieses nach durchlaufen eines geschlossenen Pfades bis zum urspriinglichen Punkt vollfiihrt hat,

54

1. Einftihrung und Uberblick

aufschneiden und au rollen

entiang Breitengrad parallel transportiertes Bezugs ystem Abb. 1.10. Die geometrische Interpretation der Phasenverschiebung beim Foucault.schen Pendel.

Holonomie (oder Anholonomie) genannt. Dies ist ein vereinheitlichendes mathematisches Konzept, das vielen geometrischen Phasen in Systemen zugrunde liegt, wie z.B. in der Faseroptik, bei den Magnet-Resonanz-Bildern, der amoboiden Fortbewegung, der Molekulardynamik und den Mikromotoren: Diese Anwendungen sind ein Grund fur das moment an groBe Interesse an diesem Thema. Eine wichtige Veroffentlichung zu den geometrischen Phasen in der Quantenmechanik stammt von Kato [1950]. Es waren Berry [1984, 1985], Simon [1983], Hannay [1985] und Berry und Hannay [1988], die verstanden, daB die Holonomie der entscheidende Punkt bei der geometrischen Vereinheitlichung ist. Andererseits zeigten Golin, Knauf und Marmi [1989], Montgomery [1988] und Marsden, Montgomery und Ratiu [1989, 1990], daB auch die Mittelung uber Zusammenhange und die Reduktion eines symmetrischen mechanischen Systems von Bedeutung sind und dies sowohl klassisch als auch quantenmechanisch. Aharonov und Anandan [1987] zeigten, daB die geometrische Phase einer geschlossenen Bahn im projektiven komplexen Hilbertraum, die in der Quantenmechanik auftritt, dem Exponential der symplektischen Flache einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit entspricht, deren Rand die gegebene Bahn ist. Die gesuchte symplektische Form auf dem projektiven Raum wird in naturlicher Weise von der ublichen symplektischen Form auf dem komplexen Hilbertraum -1m (- , .) induziert. DaB diese Formel die Holonomie. einer geschlossenen Bahn bzgl. eines Sl-Zusammenhanges auf der Einheitskugel des komplexen Hilbertraumes und ein Spezialfall der Holonomieformel fur Hauptfaserbundel mit einer abelschen Strukturgruppe ist, zeigten Marsden, Montgomery und Ratiu [1990].

1.10 Resonanzen, geometrische Phasen und die Kontrollthcorie

55

Die Dynamik einer geometrischen Phase. Geometrische Phasen treten in von Parametern abhangigen Familien von integrablen Systemen auf. Betrachte ein integrables System mit den Wirkungs-Winkel-Variablen

Die Hamiltonfunktion H(h, h, ... , In; m) sei von einem Parameter m E M abhangig. Das heiBt, daB wir eine Hamiltonfunktion haben, die von den Winkelvariablen unabhangig ist und wir den Konfigurationsraum mit dem nTorus Tn identifizieren konnen. Sei c eine geschlossenen Bahn durch den Punkt ma in M. Wahrend die Parameter die Bahn c durchlaufen und sich das System langsam andert, wollen wir die Winkelvariablen in dem Torus tiber ma vergleichen. Da sich die Dynamik in der Faser andert, wenn wir uns entlang c bewegen, wird es, selbst wenn sich die Wirkungen nur urn einen geringftigigen Betrag andern, eine Verschiebung in den Winkelvariablen zu den Frequenzen wi = fJH/fJI i des integrablen Systems geben. Dazu definiert man die dynamische Phase

e

Wir gehen davon aus, daB die Bahn in einer Umgebung liegt, in der die tiblichen Wirkungsvariablen definiert sind. Nach einem ganzen Umlauf auf c befinden wir uns wieder auf dem gleichen Torus. Daher macht der Vergleich der Winkel Sinn. Die tatsachliche Verschiebung in den Winkelvariablen wahrend des Umlaufs ist die dynamische Phase plus einem Korrekturterm, der die geometrische Phase genannt wird. Eines der wichtigsten Ergebnisse ist, daB diese geometrische Phase die Holonomie eines geeignet konstruierten Zusammenhanges (des Hannay-Berry-Zusammenhanges) auf dem Torusbtindel tiber Mist, das mit den Wirkungs-Winkel-Variablen konstruiert wird. Die zugehorigen Winkelverschiebungen wurden von Hannay [1985] berechnet und werden die Hannaywinkel genannt. Also ist die tatsachliche Phasenverschiebung lJ.e = dynamische Phasen + Hannaywinkel. Der Hannay-Berry-Zusammenhang fUr klassische Systeme wird in Golin, Knauf und Marmi [1989] und Montgomery [1988] mithilfe von Impulsabbildungen und Mittelung geometrisch konstruiert. Weinstein [1990] prazisiert die geometrischen Strukturen, die eine Definition der Hannaywinkel fUr eine Schleife im Raum der Lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten ermoglichen, und das sogar fUr nichtintegrable Systeme. Man sieht dann, daB die Berryphase eine "Stammfunktion" ftir die Hannaywinkel ist. In Woodhouse [1992] wird ein Uberblick tiber diese Arbeit gegeben. Gekoppelte starre Korper bilden eine weitere Klasse von Beispielen, in denen die geometrischen Phasen auf natiirlicher Weise vorkommen. Der dreidimensionale starre Karper wird unten diskutiert. Ftir mehrere gekoppelte

56

1. Einfiihrung und Uberblick

starre Koper kann die Dynamik ziemlich komplex werden. Zum Beispiel ist bekannt, daB selbst fUr drei gekoppelte Korper in der Ebene, trotz Vorhandenseins stabiler relativer Gleichgewichtszustande, die Dynamik chaotisch ist, siehe Oh, Sreenath, Krishnaprasad und Marsden [1989]. Phanomene im Zusammenhang mit der geometrischen Phase, die in Beispielen dieser Art auftreten, sind recht interessant, wie z.B. auch in einigen Arbeiten von Shapere und Wilczek [1987, 1989] zur Dynamik in Mikroorganismen. (Vergleiche z.B. Montgomery [1984, 1990] und dortige Literaturverweise.) Bei diesem Problem kann man durch Beeinflussung der internen oder Formvariablen Phasenverschiebungen in den externen oder Gruppenvariablen erhalten. Diese Wahl der Variablen steht mit den Variablen in den reduzierten und den unreduzierten Phasenraumen in Verbindung. In diesem Kontext lassen sich interessante Fragen zur optimalen Steuerung formulieren, wie z.B. "Wenn sich eine fallende Katze wahrend des Fluges umdreht (wobei ihr Drehimpuls zu jedem Zeitpunkt Null ist), dreht sie sich dann z.B. hinsichtlich des Energieverbrauchs optimal?" Darauf gibt es interessante Antworten, die mit der Dynamik von Yang-Mills-Teilchen in Verbindung stehen, die sich in dem zum Problem gehOrigen Eichfeld bewegen. Vergleiche Montgomery [1984, 1990] und die dortigen Literaturhinweise. Wir geben zwei einfache Beispiele fur geometrische Phasen von verbundenen starren Korpern an. Zusatzliche Informationen findet man bei Marsden, Montgomery und Ratiu [1990]. Man betrachte zunachst drei gleichfOrmige mithilfe von Scharnieren (oder mit Stiften) gekoppelte Stangen (oder flache starre Korper), die sich frei umeinander drehen konnen. Wir gehen davon aus, daB sich die Stangen frei in der Ebene bewegen konnen, ohne Einwirkung auBerer Krafte, der Gesamtdrehimpuls Null ist und die Winkel an den Gelenken z.B. durch Motoren in den Verbindungsstucken beeinfluBt werden konnen. In der Abb. 1.11 ist dargestellt, wie sich das ganze Konstrukt urn einen Winkel 7r drehen laBt, indem jede Stange eine Drehung urn 27r vollfiihrt. Wir gehen hier davon aus, daB die Tragheitsmomente der beiden auBeren Stangen (urn eine Achse durch ihre Schwerpunkte und senkrecht zur Buchseite) jeweils die Halfte des Tragheitsmomentes der mittleren Stange betragen. Die Aussage wird bewiesen, indem man die Gleichung zum verschwindenden Gesamtdrehimpuls untersucht (siehe z.B. Sreenath, Oh, Krishnaprasad und Marsden [1988] und Oh, Sreenath, Krishnaprasad und Marsden [1989]). Allgemeine Gleichungen fur die Rekonstruktionsphase, die auf diese Art von Problem anwendbar sind findet man in Krishnaprasad [1989]. Die Dynamik von Gelenkverbindungen stellt ein zweites Beispiel dar. Solche Beispiele findet man neben Bemerkungen zum Zusammenhang mit der Theorie der 3-Mannigfaltigkeit von Thurston in Krishnaprasad [1989] und Yang und Krishnaprasad [1990]. Hier betrachtet man eine Kette aus Staben, z.B. vier uber Scharniere verbundene Stabe wie in Abb. 1.12. Das System kann ohne auBere Krafte oder Drehmomente rotieren. Es wirken jedoch Drehmomente in den Verbindungsstucken. Dreht man die kleine "Kurbel", so dreht

1.10 Resonanzen, geometrische Phasen und die Kontrolltheorie

v---v

57

Abb. 1.11. Eine Veranderung der Winkel in den Verbindungsstellen kann zu einer Rotation des gesamten Systems fuhren.

Gesamtphasenrotation der Anordnung

Abb. 1.12. Das Benutzen der Kurbcl kann insgesamt zu einer Phasenverschiebung fUhren.

sich die gesamte Konstruktion, selbst wenn der Gesamtdrehimpuls wie im vorherigen Beispiel Null bleibt. Einen Uberblick dartiber, wie geometrische Phasen zur Untersuchung der Bewegung von Robotern verwandt werden, findet man in Marsden und Ostrowski [1998]. (Diese Arbeit findet man im Internet auf der Seite http://www . cds. cal tech. edu;-marsden.)

In der Dynamik starrer Korper auftretende Phasen.

Wie wir in Kap. 15 sehen werden, ist die Bewegung eines starren Korpers bzgl. einer linksinvarianten Riemannschen Metrik (dem Tragheitstensor) auf der Rotationsgruppe SO(3) geodatisch. Der zugehOrige Phasenraum ist P = T*SO(3) und die Impulsabbildung J : P -+ ]R3 zur Linkswirkung der SO(3) ist die Rechtstranslation in das neutrale Element. Wir identifizieren 50(3)* mit 50(3) tiber das gewohnliche innere Produkt und den ]R3 mit 50(3) tiber die Abbildung v r-+ V, wobei v(w) = v x w und x das gewohnliche Kreuzprodukt ist. Punkte in 50(3)* werden als die Linksreduktion von T*SO(3) durch

58

1. Einfiihrung und Uberblick

G = 80(3) angesehen und sind die Drehimpulse aus 8icht des korpereigenen Bezugssystems. Die reduzierten Raume PI' = J-l(f-l)/GI' werden durch ihre symplektische Form wI' = -dS/IIf-l11 mit 8pharen im]R3 vom Euklidischem Radius Ilf-lil identifiziert. Dabei ist dS die gewi::ihnliche Flachenform auf einer 8phare vom Radius Ilf-lil und GI' besteht aus Rotationen urn die f-l-Achse. Man erhalt die Trajektorien der reduzierten Dynamik durch einen 8chnitt einer Familie homothetischer Ellipsoide (der Energieellipsoide) mit den Drehimpulsspharen. Alle bis auf vier reduzierte Trajektorien sind periodisch. Diese vier Trajektorien sind die wohlbekannten homoklinen Trajektorien. Wir werden sie in §15.8 genau bestimmen. Es sei eine reduzierte Trajektorie II(t) mit Periode T auf PI' gegeben. Um welchen Winkel hat sich der starre Korper nach der Zeit T im Raum gedreht? Der raumliche Drehimpuls ist 71' = f-l = gIl und derjenige Wert von J, der eine Erhaltungsgri::iBe ist. Hier ist g E 80(3) die Lage und II der Drehimpuls des starren Ki::irpers. 1st II(O) = II(T), dann gilt

f-l = g(O)II(O) = g(T)II(T) und somit g(T)-lf-l = g(O)-lf-l, bzw. g(T)g(O)-lf-l = f-l. Also ist g(T)g(O)-l eine Rotation urn die f-l-Achse. Wir mi::ichten den Winkel dieser Rotation angeben. Urn diesen Winkel zu bestimmen, wahlen wir c(t) als die zugehi::irige Trajektorie in J- 1 (f-l) C P. Man identifiziere mittels der Linkstrivialisierung T*80(3) mit 80(3) x ]R3, so daB c(t) mit (g(t), II(t)) identifiziert wird. Da sich die reduzierte Trajektorie II(t) nach der Zeit Tin sich schlieBt, erhalten wir erneut, daB c(T) = gc(O) fUr ein geeignetes g E GI' gilt. In der vorangegangenen Notation ist g = g(T)g(O)-l. Also ki::innen wir g=

exp[(LlOK]

(1.113)

schreiben, wobei mit ( = f-l/llf-lll die Liealgebra 91' von GI' tiber a( H a, a E ]R mit ]R identifiziert wird. 8ei D eine der zwei Kugelkappen von S2, die von der reduzierten Trajektorie umspannt wird, A der zugelii::irige orientierte feste Winkel, also gelte IAI = (Flache von D)/IIf-l11 2 , und sei HI' die Energie der reduzierten Trajektorie, siehe Abb. 1.13. Alle Normen stammen aus der Euklidischen Metrik des ]R3. Montgomery [1991a] und Marsden, Montgomery und Ratiu [1990] zeigen, daB modulo 211' die Phasenformel filr den siarren

Korper (1.114) gilt.

1.10 Resonanzen, geometrische Phasen und die Kontrolltheorie

/ dynamische Phase

59

wirkliche Trajektorie - Horizontallift

geometrische Phase /~+-===--~

D

:____ -4.- - - - - -_

reduzierte Trajektorie

," .....:

Abb. 1.13. Die geometrische Interpretation der Phasenformel fUr den starren Karper.

Weiteres zur Geschichte.

Die Geschichte der Phasenformel fur den starren Karper ist ziemlich interessant und scheint unabhangig von den anderen oben beschriebencn Entwicklungen gewesen zu sein. 10 Die Formel findet ihren Ursprung in der Arbeit von MacCullagh im Jahre 1840 und Thomson und Tait [1867, §§123, 126]. (Zhuravlev [1996] und O'Reilly [1997] bieten eine Diskussion und licfern erganzende Bemerkungen.) Ein Spezialfall der Formel (1.114) wird in Ishlinskii [1952] gegeben, vgl. auch Ishlinskii [1963].11 Die erwahnte Formel beschreibt lediglich einen Spezialfall, in dem nur die geometrische Phase auftritt. Zum Beispiel kann man bei gewissen Prazessionsbewegungen bis zu einer gewissen Ordnung bei der Mittelung die dynamische Phase ignorieren und es bleibt lediglich die geometrische Phase zu betrachten. Ishlinskii fand aber nur Spezialfalle dieses Ergebnisses. Er erkannte den Zusammenhang mit dem geometrischen Konzept des Paralleltransportes. Eine Formel wie die obige wurde von Goodman und Robinson [1958] im Zusam10 11

Wir danken V. Arnold fUr seine Hilfe zu dies en Bemerkungen. Auf Seite 195 eines spateren Buches zur Mechanik von Ishlinskii [1976] schreibt der Autor "Die Formel wurde im Jahre 1943 vom Autor entdeckt und in Ishlinskii [1952] veraffentlicht".

60

1. Einfiihrung und Uberblick

menhang mit dem gyroskopischen Drift gefunden. Ihr Beweis basiert auf dem Satz von GauE-Bonnet. Ein anderer interessanter Zugang zu Formeln dieser Art, der auch auf Mittelung und starren Winkel beruht, ist in Goldreich und Toomre [1969J gegeben, wo diese Formel auf das spannende Problem der Polwanderung angewandt wird (siehe auch Poincare [1910J!). Der Spezialfall der obigen Formel fur einen symmetrischen freien starren Karper wurde von Hannay [1985J und Anandan [1988, Gleichung (20)J formuliert. Der Beweis der allgemeinen Formel, der auf der Theorie der Zusammenhange und der mithilfe der Krummung ausgedruckten Formel fUr die Holonomie beruht, wurde von Montgomery [1991aJ und Marsden, Montgomery und Ratiu [1990J gegeben. Den Zugang mittels des Satzes von GauE-Bonnet und seinen Bezug zu der Poinsotkonstruktion zusammen mit erganzenden Resultaten findet man in Levi [1993J und Anwendung auf allgemeine Resonanzprobleme (wie z.B. die Drei-Wellen-Wechselwirkung) und nichtlineare Optik in Alber, Luther, Marsden und Robbins [1998J. Fur den schweren und den Lagrangeschen Kreisel (ein symmetrischer schwerer Kreisel) gaben Marsden, Montgomery und Ratiu [1990J ein Analogon zur Phasenformel fUr den starren Karper an. Zusammenhange mit Wirbelfadenkonfigurationen werden in Fukumoto und Miyajima [1996J und Fukumoto [1997J gezeigt.

Satelliten mit Rotoren und Unterwasserfahrzeuge. Ein weiteres Beispiel, in dem man auf naturliche Weise zu geometrischen Phasen gelangt, ist der starre Karper mit einem oder mehreren internen Rotoren. Dieses System wird in Abb. 1.14 illustriert. Um die Lage dieses Systems zu bestim-

starrer Behaelter

Abb. 1.14. Der starre Karper mit internen Rotoren.

men, benatigen wir: Ein Element der Gruppe der starren Bewegungen des ~3 zur Festlegung des Schwerpunktes und der Stellung des Behalters, sowie

1.10 Resonanzen, geometrische Phasen und die Kontrolltheorie

61

jeweils einen Winkel (ein Element aus 51) zur Positionierung der Rotoren. Demnach ist der Konfigurationsraum Q = SE(3) X 51 X 51 X 51. Die Bewegungsgleichungen dieses Systems stellen eine Erweiterung der Eulerschen Bewegungsgleichungen eines sich frei drehenden Rotors dar. Ahnlich, wie man von einem rotierenden Rad in Bewegung versetzt werden kann, das man auf einem drehbaren Stuhl sitzend vor sich halt, so konnen die drehenden Rotoren die Dynamik des starren Behalters beeinflussen. In diesem Beispiel kann man die Gleichgewichtszustande und ihre Stabilitat fast so wie fUr den starren Korper untersuchen. Man mochte die Drehung bzw. die Rotoren derart beeinflussen konnen, daB man die Korperlage so steuern kann, wie es eine fallen de Katze mithilfe ihrer Glieder schafft. Zum Beispiel kann man versuchen, eine Beziehung zwischen der Dynamik der Rotoren und der des starren Korpers mithilfe des Riickkopplungsgesetzes zu beschreiben, das die Eigenschaft hat, daB der Gesamtdrehimpuls des Systems weiterhin erhalten bleibt und die Bewegungsgleichungen vollstandig mit der Variable des freien starren Korpers beschrieben werden konnen. (Eine fallende Katze hat den Drehimpuls Null, obwohl sie sich umdrehen kann!) In einigen Fallen sind die resultierenden Gleichungen auf der invariant en Impulssphare wieder Hamiltonsch. Verwendet man diese Tatsache, so laBt sich die geometrische Phase des Problems berechnen, womit man die Phasenformel fUr den freien starren Korper verallgemeinert. (Details findet man in Bloch, Krishnaprasad, Marsden und Sanchez de Alvarez [1992] und Bloch, Leonard und Marsden [1997, 1998].) Diese Art der Untersuchung findet bei der Herstellung und Theorie von Geraten, mit denen man die Ausrichtung von Objekten kontrollieren kann, ihre Anwendung. Ein anderes Beispiel, das einige Merkmale von Satelliten und dem schweren Kreisel vereinigt, ist das UnterwasserJahrzeug. Dieses fallt in den Bereich der Dynamik starrer Korper in Fliissigkeiten und ist ein Thema, das bis auf Kirchhoff am Ende des 19. Jahrhunderts zurlickgeht. Wir verweisen auf Leonard und Marsden [1997] und Holmes, Jenkins und Leonard [1998], wo moderne Beitrage und viele Literaturhinweise zu £lnden sind. Verschiedene Zusammenhange. Es gibt viele Beispiele aus der Kontinuumsmechanik, auf die man die Techniken der geometrischen Mechanik anwenden kann. Einige davon sind Probleme des freien Randes (Lewis, Marsden, Montgomery und Ratiu [1986], Montgomery, Marsden und Ratiu [1984]' Mazer und Ratiu [1989]), Raumschiffe mit beweglichen Zusatzgeraten (Krishnaprasad und Marsden [1987]), die Elastizitatstheorie (Holm und Kupershmidt [1983]' Kupershmidt und Ratiu [1983]' Marsden, Ratiu und Weinstein [1984a, 1984b], Simo, Marsden und Krishnaprasad [1988]) und die reduzierte MHD (Morrison und Hazeltine [1984] und Marsden und Morrison [1984]). Wir wollen diese Theorien sowohl aus der raumlichen (Eulerschen) als auch der korpereigenen (mitgefUhrten) Sicht als Reduktionen der kanonischen materielle Darstellung auffassen.

62

1. EinfUhrung und Uberblick

Ein geometrisch-analytischer Zugang zur Mechanik ist in einer ganzen Reihe anderer Gebiete von Nutzen. Wir erwiihnen hier nur ein paar. • Integrable Systeme (Moser [1980], Perelomov [1990], Adams, Hamad und Previato [1988], Fomenko und Trofimov [1989], Fomenko [1988a, 1988b], Reyman und Semenov-Tian-Shansky [1990J und Moser und Veselov [1991]). • Anwendungen integrabler Systeme auf die numerische Analysis (wie z.B. der QR-Algorithmus und Sortieralgorithmen), siehe Deift und Li [1989J und Bloch, Brockett und Ratiu [1990, 1992J. • Numerische Integration (Sanz-Serna und Calvo [1994]' Marsden, Patrick und Shadwick [1996], Wendlandt und Marsden [1997]' Marsden, Patrick und Shkoller [1998]). • Hamiltonsches Chaos (Arnold [1964], Ziglin [1980a, 1980b, 1981]' Holmes und Marsden [1981, 1982a, 1982b, 1983J, Wiggins [1988]). • Mittelung (Cushman und Rod [1982]' Iwai [1982, 1985], Ercolani, Forest, McLaughlin und Montgomery [1987]). • Hamiltonsche Bifurkationen (van der Meer [1985], Golubitsky und Schaeffer [1985], Golubitsky und Stewart [1987], Golubitsky, Stewart und Schaeffer [1988], Lewis, Marsden und Ratiu [1987], Lewis, Ratiu, Simo und Marsden [1992]' Montaldi, Roberts und Stewart [1988]' Golubitsky, Marsden, Stewart und Dellnitz [1994]). • Algebraische Geometrie (Atiyah [1982, 1983], Kirwan [1984, 1985 1998]). • Himmelsmechanik (Deprit [1983]' Meyer und Hall [1992]). • Wirbeldynamik (Ziglin [1980b], Koiller, Soares und Melo Neto [1985]' Wan und Pulvirente [1984], Wan [1986, 1988a, 1988b, 1988c], Kirwan [1988], Szeri und Holmes [1988], Newton [1994], Pekarsky und Marsden [1998]). • Solitonen (Flaschka, Newell und Ratiu [1983a, 1983b], Newell [1985], KovaCic und Wiggins [1992]' Alber und Marsden [1992]). • Multisymplektische Geometrie, partielle Differentialgleichungen und nichtlineare Wellen (Gotay, Isenberg und Marsden [1997J, Bridges [1994, 1997], Marsden und Shkoller [1997]und Marsden, Patrick und Shkoller [1998]). • Relativitiitstheorie und Yang-Mills-Theorie (Fischer und Marsden [1972, 1979], Arms [1981], Arms, Marsden und Moncrief [1981, 1982]). • Variationsprinzipien fUr Fltissigkeiten, die die Clebschvariablen und die "LinZwangsbedingungen" verwenden (Seliger und Whitham [1968], Cendra und Marsden [1987]' Cendra, Ibort und Marsden [1987]' Holm, Marsden und Ratiu [1998a]). • Kontrolltheorie, Stabilisierung und die Dynamik von Satelliten und Unterwasserfahrzeugen (Krishnaprasad [1985], van der Schaft und Crouch [1987]' Aeyels und Szafranski [1988], Bloch, Krishnaprasad, Marsden und Sanchez de Alvarez [1992]' Wang, Krishnaprasad und Maddocks [1991]' Leonard [1997], Leonard und Marsden [1997]), Bloch, Leonard und Marsden [1998J und Holmes, Jenkins und Leonard [1998]). • Nichtholonome Systeme (Naimark und Fufaev [1972]' Koiller [1992]' Bates und Sniatycki [1993], Bloch, Krishnaprasad, Marsden und Murray [1996], Koon und Marsden [1997a, 1997b, 1998], Zenkov, Bloch und Marsden [1998]).

1.10 Resonanzen, geometrische Phasen und die Kontrolltheorie

63

Die Reduktionstheorie fur dynamische Systeme mit Symmetrien ist eine naturliche historische Fortsetzung der Arbeit von Liouville (zu vollstandig integrablen Systemen) und Jacobi (zum Drehimpuls) zur Reduzierung der Dimension des Phasenraums beim Vorhandensein von Integralen der Bewegung. Dies ist eng mit der Arbeit zu den Impulsabbildungen verwandt und ihre Vorlaufer erscheinen schon bei Jacobi [1866], Lie [1890], Cartan [1922] und Whittaker [1927]. Sie wurde spater bei Kirillov [1962]' Arnold [1966a], Kostant [1970], Souriau [1970], Smale [1970], Nekhoroshev [1977], Meyer [1973] und Marsden und Weinstein [1974] entwickelt. Siehe auch Guillemin und Sternberg [1984] und Marsden und Ratiu [1986] fur den Poissonfall und Sjamaar und Lerman [1991]' die eine grundlegende Arbeit zum singularen symplektischen Fall ist.

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Raumen

Die Hamiltonsche Mechanik wird gewohnlich auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit oder einer Poissonmannigfaltigkeit formuliert. In den nachsten Kapiteln konzentrieren wir uns auf den Fall symplektischer Mannigfaltigkeiten, wahrend wir in Kap. 10 auf Poissonmannigfaltigkeiten eingehen werden. Auf symplektischen Mannigfaltigkeiten hat man die symplektische 2-Form I: dqi 1\ dPi bzw. ihre unendlichdimensionalen Analoga und auf Poissonmannigfaltigkeiten ist die Poissonklammer die grundlegende Struktur. Urn das Verstandnis einiger Punkte zu erleichtern, beginnen wir dieses Kapitel mit der Theorie linearer Raume, in deren Fall die symplektische Form eine schiefsymmetrische Bilinearform ist, die man mit Methoden aus der lineren Algebra untersuchen kann. Diese lineare Betrachtungsweise ist schon fUr einige interessante Beispiele relevant, wie z.B. die Wellengleichung oder die Schrodingergleichung. In Kapitel 4 werden wir zu Mannigfaltigkeiten ubergehen und in Kap. 5 und 6 symplektische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. In Kap. 7 und 8 untersuchen wir die Grundlagen der Lagrangeschen Mechanik, die in erster Linie auf Variationsprinzipien und nicht auf symplektischen oder Poissonstrukturen beruht. Es konnte gezeigt werden, daB dieser offensichtlich vollig andere Zugang unter geeigneten Annahmen zum Hamiltonschen Zugang aquivalent ist.

2.1 Einfiihrung Urn die EinfUhrung der symplektischen Geometrie in die Mechanik zu motivieren, wiederholen wir kurz aus §1.1 den klassichen Ubergang von dem zweiten Newtonschen Axiom zu den Lagrangeschen und Hamiltonschen Gleichungen. Fur ein Teilchen, das sich im dreidimensionalen Euklidischen Raum 1R3 bewegt und unter dem EinfluB der potentiellen Energie V( q) steht, gilt nach dem zweiten Newtonschen Axiom

F=ma

(2.1)

mit q E 1R3, der Kraft F(q) = -\7V(q), der Masse des Teilchens m und der Beschleunigung a = d2 q/dt 2 (vorausgesetzt, daB wir in einem als ausJ. E. Marsden et al., Einführung in die Mechanik und Symmetrie © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

66

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Raumen

gezeichnet angesehenen Koordinatensystem, genannt Inertialsystem starten).! Wie in den meisten Btichern zur Vektoranalysis gezeigt, wird die potentielle Energie tiber den Begriff der Arbeit und unter der Annahme, daB das Kraftfeld konservativ ist, eingeftihrt. Die kinetische Energie

wird tiber die Leistungs- oder Arbeitsratengleichung

dK =m (.q,q") = ill

(.q, F)

eingeftihrt, wobei ( ,) das innere Produkt auf dem Die Lagrangefunktion ist durch

]R3

ist.

(2.2) definiert, und man tiberprtift direkt, daB das zweite Newtonsche Axiom zu den Euler-Lagrange-Gleichungen d aL aL ----=0 dt a(ji aqi

(2.3)

aquivalent ist. Die Gleichungen (2.3) sind Differentialgleichungen zweiter Ordnung in qi und wert ftir allgemeine L gesondert untersucht zu werden, da sie, wie spater genauer gezeigt wird, die Gleichungen fUr stationare Werte des Wirkungsintegrals

(2.4) sind. Diese Variationsprinzipien sind tiberall in der Mechanik von grundlegender Bedeutung, in der Teilchenmechanik wie auch in der Feldtheorie. Man kann leicht nachweisen, daB dE / dt = 0 gilt mit der Gesamtenergie E

=

~mllql12 + V(q).

Lagrange und Hamilton stellten fest, daB es Sinn macht, den Impuls Pi = mqi einzufUhren und E als eine von Pi und qi abhangige Funktion

H(q,p) = 1

11~!2

+ V(q)

(2.5)

Newton und die spater auf dem Gebiet der Mechanik Arbeitenden sahen dieses Inertialsystem als "fest bzgl. des Sternenhimmels" an. Obwohl dies hinsichtlich der mathematischen oder physikalischen Bedeutung ernsthafte Fragen aufwirft, ist dies ein guter Ausgangspunkt. Tiefere Einsichten gewinnt man in Kap. 8 und in Lehrveranstaltungen zur allgemeinen Relativitatstheorie.

2.1 Einfiihrung

67

zu formulieren. Damit ist das zweite Newtonsche Axiom zu den kanonischen

Hamiltonschen Gleichungen .i

8H

q =-8 ' Pi

. Pi

8H

= - 8qi

(2.6)

aquivalent, die ein System erster Ordnung im (q, p)-Raum, dem sogenannten Phasenraum bilden. Die Matrixschreibweise. Urn die Hamiltonschen Gleichungen besser verstehen zu konnen, wiederholen wir einige Matrixschreibweisen (fur weitere Details siehe Abraham, Marsden und Ratiu [1988, Abschnitt 5.1]). Sei E ein reeller Vektorraum und E* der zugehorige Dualraum. Sei e1, ... , en eine Basis von E und e1 , ... ,en eine Basis von E*, also die zugehorige Dualbasis, d.h., ei wird durch

(ei,ej)

:=

ei(ej)

=

5}

definiert, was 1 fUr i = j und 0 fUr i i- jist. Vektoren vEE schreibt man in der Form v = viei (Summation uber i) und Kovektoren cx E E* als cx = cxiei . Die Komponenten von v und cx sind vi und CXi. 1st A : E -+ F eine line are Transformation und Aji die zugehorige, durch

(2.7) definierte Matrix zur Basis e1, ... ,en von E und /t, ... ,fm von F. Also sind A(ed, ... , A(e n ) die Spalten der Matrix von A. Der obere Index ist der Reihenindex und der untere der Spaltenindex. Fur andere lineare Transformationen stellen wir die Indizes an die entsprechenden Stellen. 1st z.B. A : E* -+ F eine lineare Transformation, dessen Matrix A ij die Beziehung A(e j ) = Aij fi erfullt, dann ist [A(cx)]i = Ai j CXj . 1st B : E x F -+ IR eine Bilinearform, also linear in beiden Eingangen, dann ist ihre Matrix Bij durch

(2.8) definiert. Die lineare Abbildung 2 BO : E -+ F* definieren wir durch

BO(v)(w)

=

B(v, w)

und stellen fest, daB BO(ed = Bijfj gilt. Da BO(ei) die i-te Spalte der Matrix ist, welche die line are Abbildung BO reprasentiert, folgt, daB die Matrix von BO in den Basen e1, ... ,en, f1, ... ,fn die Transponierte von Bij ist, also

(2.9) gilt. 2

Man spricht auch vom "musikalischen Isomorphismus" (Anm. des Ubersetzers).

68

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

Sei Z der (q,p)-Vektorraum und schreibe z = (q,p). Bezeichne die Koordinaten qj,Pj gemeinsam durch zI, 1= 1, ... ,2n. Ein Grund, die Notation z zu verwenden, ist, daB die Hamiltonschen Gleichungen, wenn man z als eine komplexe Variable z = q + ip, auffaBt, zu den folgenden Hamiltonschen Gleichungen in komplexer Schreibweise aquivalent sind (siehe Ubung 2.2.1):

z = _2i oH o-Z mit 0/02:= (%q

(2.10)

+ iO/op)/2.

Symplektische und Poissonstrukturen. Wir konnen die Hamiltonschen Gleichungen (2.6) folgendermaBen betrachten: Fasse die Abbildung

dH(z)

=

OH) ( OH oqi' 0Pi

f--t

(OH OH) OPi' - oqi

=:

XH(z),

(2.11)

die das sogenannte Hamiltonsche Vektorfeld X H in Abhangigkeit des Differentials von H bestimmt, als Komposition der linearen Abbildung R: Z* -+ Z

mit dem Differential dH(z) von H auf. Die Matrix von R lautet (2.12)

wobei wir fur die spezielle Matrix (2.12), die manchmal symplektische Matrix genannt wird, ] schreiben. Hierbei ist 0 die (n x n)-Nullmatrix und 1 die (n x n)-Einheitsmatrix. Somit ist

XH(z) = R· dH(z),

(2.13)

oder falls wir die Komponenten von X H mit Xl, I = 1, ... , 2n bezeichnen, gilt

Xl = R IJ oH also X H = ]'VH, (2.14) ozJ' wobei 'V H der Gradient von H, also der Zeilenvektor dH ist, aber als Spaltenvektor aufgefaBt. Sei B(a, (3) = (a, R((3)) eine zu R assoziierte Bilinearform, wobei (,) die kanonische Paarung zwischen Z* und Z darstellt. Man bezeichnet entweder die Bilinearform B oder ihre zugehOrige lineare Abbildung R als Poissonstruktur. Die klassische Poissonklammer ist (ubereinstimmend mit unserer Definition in Kap. 1) durch

{F, G} = B(dF, dG) = dF· ]'VG. definiert.

(2.15)

2.1 Einfiihrung

69

Die symplektische Struktur [l ist die zu R- 1 : Z --+ Z* assoziierte Bilinearform, d.h., [l(v,w) = (R-1(v),w), oder dazu aquivalent, [lb = R- 1. Die Matrix von [l ist Jf, und zwar im Sinne von (2.16)

Urn die Notation zu vereinfachen, werden wir manchmal folgende Schreibweisen verwenden: [l [lb

[lti B

fUr fur fur fur

die die die die

symplektische Form assoziierte lin. Abb. Inverse ([lb)-l = R Poissonform

ZxZ--+~

Z --+ Z* Z* --+ Z Z* x Z* --+

~

mit mit mit mit

der der der der

Matrix Matrix Matrix Matrix

Jf, JfT, Jf, Jf .

Die Hamiltonschen Gleichungen kann man auch so schreiben: (2.17)

Multipliziert man beide Seiten mit [lb, so erhalt man (2.18)

Mit der symplektischen Form formuliert, lautet (2.18)

[l(XH(Z), v) = dH(z) . v

(2.19)

fur alle z, v E Z. Probleme, wie z.B. die Dynamik starrer Karper, die Quantenmechanik als Hamiltonsches System und die Bewegung eines Teilchens in einem rotierenden Bezugssystem bedurfen einer Verallgemeinerung dieser Konzepte. Wir werden dies in spateren Kapiteln behandeln und uns zu gegebener Zeit sowohl mit symplektischen, als auch mit Poissonstrukturen befassen. Ubungen Ubung 2.1.1. Zeige unter Verwendung der Schreibweise z Hamiltonschen Gleichungen zu

z=

= q + ip, daB die

_2i oH

02

aquivalent sind. Liefere als Teil der Antwort eine plausible Definition fur die rechte Seite (oder ziehe ein Buch zur Funktionentheorie zu Rate). Ubung 2.1.2. Formuliere den harmonischen Oszillator mx+kx = 0 mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen als ein Hamiltonsches System und schlieBlich in komplexer Form (2.10). Ubung 2.1.3. Wiederhole Ubung 2.1.2 fur den nichtlinearen Oszillator mx+

kx + ax 3 =

o.

70

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

2.2 Symplektische Formen auf Vektordiumen Sei Zein reeller, evtl. unendlichdimensionaler Banachraum und sei [l : Z x Z -t lR eine stetige Bilinearform auf Z. Die Form [l heiBt nichtausgeartet (oder schwach nichtausgeartet) , falls aus [l( Zl, Z2) = 0 fUr aIle Z2 E Z folgt, daB Zl = 0 ist. Wie in §2.1 ist die induzierte, stetige und lineare Abbildung [lP : Z -t Z* durch (2.20)

definiert. Die Nichtausgeartetheit von [l ist zur 1njektivitat von [lP, d.h., zu der Bedingung "aus [lP(z) = 0 folgt Z = 0" aquivalent. Man nennt die Form [l stark nichtausgeartet, falls [lP ein 1somorphismus, also sowohl surjektiv, als auch injektiv ist. Unter der Voraussetzung, daB Zein Banachraum und [lP injektiv und surjektiv ist, besagt der Satz von der offenen Abbildung, daB ihre Inverse stetig ist. Bei den meisten in diesem Buch diskutierten unendlichdimensionalen Beispielen wird [l nur (schwach) nichtausgeartet sein. Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Raumen gleicher Dimension ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist. 1st Z endlichdimensional, so sind schwach nichtausgeartet und stark nichtausgeartet gleichbedeutend. Die Matrixelemente von [l bzgl. einer Basis {eI} sind durch

definiert. Wird die Basis des Dualraumes Z* zu {e[} mit {e J } bezeichnet, zI eI und ist also (e J , eI) = 6f und verwenden wir die Schreibweise z w = wI eI, dann gilt [l(z,w)

= zI[lIJW J

(Summation tiber lund J).

Da die Matrix von [lP bzgl. der Basen {eI} und {e J } gleich der Transponierten der Matrix von [l bzgl. {q} ist, d.h., ([lP)JI = [lIJ, ist Nichtausgeartetheit zu det[[lIJ] =I=- 0 aquivalent. 1st insbesondere [l schiefsymmetrisch und nichtausgeartet, so hat Z eine gerade Dimension, denn die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix mit ein ungeradzahligen Anzahl von Spalten (oder Reihen) ist Null. Definition 2.2.1. Eine symplektische Form [l auf einem VektorT'aum Z ist eine nichtausgeartete schiefsymmetrische Bilinearform auf Z. Das Paar (Z, [l) wird symplektischer Vektorraum genannt. 1st [l stark nichtausgeartet, wird (Z, [l) stark symplektischer Vektorraum genannt. Beispiele Wir entwickeln jetzt einige element are Beispiele fUr symplektische Formen.

2.2 Symplektische Formen auf Vektorraumen

71

Beispiel 2.2.1 (Kanonische Formen). Sei W ein Vektorraum und gelte Z = W x W*. Definiere durch (2.21) mit WI, W2 E W und a1, a2 E W* die kanonische symplektische Form fl auf Z. Seien allgemeiner W und W' zwei zueinander duale Vektorraume, d.h., es gebe eine schwach nichtausgeartete Paarung (,) : W' x W --+ IR, dann ist

(2.22) auf W x W' eine schwach symplektische Form. Beispiel 2.2.2 (Der Funktionenraum). Sei F(IR3) der Raum der glatten Funktionen 'P : IR3 --+ IR und Den e (IR3) der Raum der glatten Dichtefunktionen auf dem IR3 mit kompaktem Trager. Wir schreiben eine Dichtefunktion 7r E Dene (IR3) als eine Funktion 7r' E F(IR3) mit kompaktem Trager multipliziert mit dem Volumenelement d3 x auf dem IR3 als 7r = 7r'd 3 x. Die Raume Fund Dene sind iiber die Paarung ('P,7r) = J 'P7r' d3 x dual zueinander. Daher erhalten wir aus (2.22) die symplektische Form fl auf dem Vektorraum Z = F(IR 3) x Denc (IR 3 ): fl(('PI,7rI), ('P2,7r2)) =

r 'P1 7r2 - J~3r 'P2 7r1.

J~3

(2.23)

Wir wahlen Dichten mit kompaktem Trager, so daB die Integrale in diesen Formeln konvergieren. In gleicher Weise kann man andere Raume benutzen. Beispiel 2.2.3 (Die endlichdimensionale kanonische Form). Sei W ein n-dimensionaler Vektorraum. Sei {ed eine Basis von W und {e i } die Dualbasis von W*. Mit Z = W x W* und der Definition von fl : Z x Z --+ IR wie in (2.21) bestimmt man die Matrix von fl zur Basis

zu

]=

[~1 ~] ,

(2.24)

wobei 1 die (n x n)-Einheitsmatrix und 0 die entsprechende Nullmatrix ist. Beispiel 2.2.4 (Die zu einem Raum mit innerem Produkt assoziierte symplektische Form). 1st (W, (,)) ein reeller Raum mit einem inneren Produkt, so ist W zu sich dual. Also erhalten wir aus (2.22) eine symplektische Form auf Z = W x W: (2.25)

72

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

Sei als ein Spezialfall von (2.25) W Produkt

= ]R3 mit dem gewohnlichen inneren 3

(q,v) =q·v= Lqiv i . i=1

Dann ist die zugehOrige symplektische Form auf dem ]R6 durch (2.26)

mit ql, q2, VI, V2 E ]R3 gegeben. Vorausgesetzt, daB]R3 mit (]R3)* identifiziert wird, stimmt dies fur W = ]R3 mit [2, wie in Beispiel 2.2.3 definiert, uberein. Bringt man [2 mittels elementarer linearer Algebra in kanonische Form folgt daraus: 1st (Z, [2) ein p-dimensionaler symplektischer Vektorraum, so ist p geradzahlig. Ferner ist Z als Vektorraum isomorph zu einem der Standardbeispiele, niimlich W x W*, und es gibt eine Basis von W, in der.]" die Matrix von [2 ist. Solch eine Basis wird kanonisch genannt, wie auch die zugehorigen Koordinaten. Siehe Ubung 2.2.3. Beispiel 2.2.5 (Symplektische Form auf clem en). Schreibe die Elemente des komplexen n-dimensionalen Raumes en als n- Thpel komplexer Zahlen z = (Zl' ... ,zn). Das hermitesche innere Produkt ist n

(z, w)

=

L z/Wj j=l

n

=

L(XjUj j=1

n

+ YjVj) + i L(UjYj -

VjXj),

j=1

Beispiel 2.2.6 (Quantenmechanische symplektische Form). Wir besprechen jetzt die in der Quantenmechanik auftretenden, interessanten symplektischen Vektorraume, wozu wir weitere Erklarungen in Kap. 3 geben. Wir erinnern daran, daB ein hermitesches inneres Produkt (,) : H x H -+ e auf einem komplexen Hilbertraum H im erst en Argument linear und im zweiten antilinear ist und daB mit '1/h, 'ljJ2 E H die Zahl ('ljJ1, 'ljJ2) zu ('ljJ2, 'ljJ1) komplex konjugiert ist. Setze mit dem Planckschen Wirkungsquantum n. Man kann nachprufen, daB [2 eine stark symplektische Form auf H ist. Es gibt eine andere, durch das obige Beispiel 2.2.4 motivierte Auffassung der symplektischen Form. Sei H die Komplexifizierung eines reellen Hilbertraumes H, dann wird der komplexe Hilbertraum H mit H x H identifiziert und das hermitesche innere Produkt ist durch

2.3 Kanonische Transformationen bzw. symplektische Abbildungen

73

gegeben. Der Imaginarteil dieser Form stimmt mit dem von (2.25) i.i.berein. Es gibt noch eine weitere Betrachtungsweise, die mit der Interpretation der Eigenschaft einer Wellenfunktion '¢ und ihrer komplex konjugierten 7j; als zueinander komplex konjugierte Variablen zu tun hat. Wir betrachten namlich die Einbettung von 1{ mittels '¢ f-7 (i,¢, '¢) in 1{ x 1{*. Dann laBt sich nachweisen, daB die Einschrankung des Produktes von fi mit der kanonischen symplektischen Form (2.25) auf 1{ x 1{*, namlich

mit fl i.i.bereinstimmt. Ubungen Ubung 2.2.1. Zeige, daB die Formel der symplektischen Form fUr J1t2n als Matrix

]=[01] -10

mit der Definition der symplektischen Form als kanonische Form auf dem J1t 2n, aufgefaBt als Produkt J1tn x (JItn)*, i.i.bereinstimmt. Ubung 2.2.2. Sei (Z, fl) ein endlichdimensionaler Vektorraum und V c Z ein linearer Unterraum. Nehme an, daB V symplektisch ist, d.h., die Einschrankung von fl auf V x V nichtausgeartet ist. Es gelte

VD

= {z

EZ

I fl(z, v) = 0 fUr alle v E V}.

Zeige, daB VD symplektisch ist und Z

=V

EEl VD gilt.

Ubung 2.2.3. Finde folgendermaBen eine kanonische Basis fUr eine symplektische Form fl auf Z. Sei el E Z, el "I o. Bestimme e2 E Z mit fl(el' e2) "I o. Wahle e2 so, daB fl(el' e2) = 1 ist. Sei V der Spann von el und e2. Wende Ubung 2.2.2 an und wiederhole diese Konstruktion auf VD. Ubung 2.2.4. Sei (Z, fl) ein endlichdimensionaler Vektorraum und V c Z ein Unterraum. Definiere VD wie in Ubung 2.2.2. Zeige, daB Z/V D und V* zueinander isomorphe Vektorraume sind.

2.3 Kanonische Transformationen bzw. symplektische Abbildungen Urn die Definition von symplektischen Abbildungen (synonym zu kanonische Transformationen) zu motivieren, beginnen wir mit den Hamiltonschen Gleichungen

74

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen {JH

.i

q

(2.27)

=~,

UPi

und einer Transformation i.{J : Z -+ Z vom Phasenraum auf sich selbst. Schreibe (q,p) = i.{J(q,p), d.h.

Z = i.{J(z).

(2.28)

Wir setzen voraus, daB z(t) (q(t),p(t)) die Hamiltonschen Gleichungen, also (2.29) i(t) = XH(Z(t)) = n" dH(z(t)) erfUllt, wobei n" : Z* -+ Z die lineare Abbildung mit der Matrix]" ist, deren Eintdige wir mit B JK bezeichnen. Nach der Kettenregel erfiillt i = i.{J(z) :J _ {Ji.{JI .J _. AI .J Z - {JzJz -. JZ

(2.30)

(mit Summation iiber J). Durch Einsetzen von (2.29) in (2.30) und unter Verwendung der Koordinatenschreibweise und Kettenregel erhalten wir :..1

z

= AI

J

BJK {JH {JzK

= AI

J

BJK AL {JH K OiL'

(2.31 )

Somit sind die Gleichungen (2.31) genau dann Hamiltonsch, wenn (2.32) gilt, in Matrixschreibweise (2.33) Als Komposition linearer Abbildungen geschrieben lautet (2.32) A

0

n"

0

AT

= n" ,

(2.34)

n"

da die Matrix von in kanonischen Koordinaten ]" entspricht (siehe §2.1). Eine Transformation, die (2.32) erfiillt, wird kanonische Transformation, symplektische Transformation oder Poissontransformation genannt. 3 Bildet man die Determinanten von beiden Seiten von (2.33), zeigt man det A = ±1 (wir werden in Kap. 9 sehen, daB det A = 1 die einzige Moglichkeit ist) und insbesondere, daB A invertierbar ist. Invertiert man beide Seiten von (2.34), so erhalt man (AT)-I 3

0

nb 0

A-I

= nb,

In Kapitel 10, wo sich Poissonstrukturen von symplektischen Strukturen unterscheiden k6nnen, werden wir sehen, daB sich (2.34) auf den Poissonkontext verallgemeinern liiBtt.

2.3 Kanonische 'fransformationen bzw. symplektische Abbildungen

75

d.h.

(2.35) und dies entspricht in Matrixschreibweise

(2.36) denn die Matrix von ftb lautet in kanonischen Koordinaten ] (siehe §2.1). Beachte, daB (2.33) und (2.36) aquivalent sind (eine Gleichung ist die Inverse der anderen). Mit Bilinearformen formuliert lautet (2.35)

(2.37) wobei D'P die Ableitung von 'P (im Endlichdimensionalen die Jacobimatrix) ist. lndem wir uns an (2.37) orientieren, geben wir jetzt die allgemeine Bedingung dafiir, daB eine Abbildung symplektisch ist.

Definition 2.3.1. Seien (Z, ft) und (Y, E) symplektische Vektorraume. Eine glatte Abbildung f : Z -+ Y wird symplektisch oder kanonisch genannt, wenn sie die symplektische Form erhalt, d.h., wenn

(2.38) fur aUe z, Zl, Z2 E Z gilt. Als nachstes fiihren wir einige Notationen ein, die uns helfen werden, (2.38) in kompakter und effizienter Weise zu formulieren.

Pullbackschreibweise Wir fUhren eine fUr diese Art von Transformationen praktische Notation ein.

'P* f

Pullback einer Funktion: 'P* f = f

'P*g

Pushforward einer Funktion: 'P*g = go 'P- 1.

'P*X

Pushforward eines Vektorfeldes X durch 'P:

0

'P.

('P*X)('P(Z)) = D'P(z) . X(z); in Komponentenschreibweise I 8'P 1 J ('P*X) = 8z JX .

= ('P-1)*y

'P*Y

Pullback eines Vektorfeldes Y durch 'P: 'P*Y

'P* ft

Pullback einer Bilinearform ft auf Z ergibt .eine vom Punkt z E Z abhangige Bilinearform 'P* ft:

76

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

in Komponentenschreibweise

cp*E

Push/orward einer Bilinear/orm E durch cp entspricht dem Pullback durch die Inverse: cp*E = (cp-l)*E.

Mit dieser Pullbackschreibweise wird (2.38) zu (1* E)z = Oz oder in Kurzschreibweise f* E = 0. Die symplektische Gruppe. Falls (Z, 0) ein endlichdimensionaler symplektischer Vektorraum ist, kann man leicht zeigen, daB die Menge aller linearen symplektischen Abbildungen T : Z --+ Z unter Komposition eine Gruppe bildet. Sie wird symplektische Gruppe genannt und mit Sp(Z, 0) bezeichnet. Wir haben gesehen, daB eine Matrix in einer kanonischen Basis genau dann symplektisch ist, wenn (2.39) ist, wobei AT die Transponierte von A ist. Flir Z = W x W* und einer kanonischen Basis zeigt man cabung 2.3.2), falls A die Matrix (2.40)

hat, daB (2.39) zu jeder der beiden folgenden Bedingungen aquivalent ist:

(1) AqqA~p und AppA~q sind symmetrisch und AqqA~p - AqpA~q = I, (2) A~qAqq und A~pApp sind symmetrisch und A~qApp - A~qApq = 1. 1m Unendlichdimensionalen ist Sp(Z,O) laut Definition die Menge der Elemente von GL( Z) (die Gruppe der invertierbaren, beschrankten linearen Operatoren von Z nach Z), die 0 fest lassen. Das symplektische orthogonale Komplemente. Es sei (Z,O) ein (schwach) symplektischer Raum und E und F seien Unterraume von Z. Wir definieren das symplektisch orthogonale Komplement von E durch

ED = {z E Z I O(z, e) = 0 flir alle e E E}. Wir liberlassen es dem Leser, nachzuprlifen, daB (i) ED abgeschlossen ist, (ii) mit E (iii) ED

cF

auch FD C ED ist,

n FD = (E + F)D

gilt,

2.3 Kanonische Transformationen bzw. symplektische Abbildungen

77

(iv) falls Z endlichdimensional ist, dim E + dim En = dim Z gilt (urn dies zu zeigen, verwende man die Gleichung En = ker(i* 0 DD), wobei i : E -+ Z die Inklusion und i* : Z* -+ E* ihre surjektive Dualabbildung i*(a) = a 0 i ist. Oder man verwende Ubung 2.2.4), (v) wenn Z endlichdimensional ist, E nn = E gilt (falls E abgeschlossen ist, gilt dies auch im Unendlichdimensionalen) und (vi) falls E und F abgeschlossen sind, (E zum Beweis (iii) und (v)).

n F)n = En + F n

ist (verwende

Ubungen Ubung 2.3.1. Zeige, daB die Transformation cp : ]R2n -+ ]R2n in dem Sinne symplektisch ist, daB ihre Ableitungsmatrix A = Dcp(z) die Bedingung AT]"A =]" genau dann erfiillt, wenn fiir aIle Zl, Z2 E ]R2n die Bedingung

erfiillt ist. Ubung 2.3.2. Sei Z = W x W* und A : Z -+ Z eine lineare Transformation. Schreibe die Matrix von A unter Verwendung kanonischer Koordinaten als

A = [Aqq Aqp] . Apq App Zeige, daB die Bedingung "A ist symplektisch" zu beiden folgenden Bedingungen aquivalent ist: (i) AqqA~p und AppA~q sind symmetrisch und AqqA~p - AqpA~q = 1, (ii) AJqAqq und A;pApp sind symmetrisch und A;qApp - AJqApq = 1. Ubung 2.3.3. Sei f eine gegebene Funktion von q = (q1, q2, ... , qn). Definiere durch cp(q,p) = (q,p + df(q)) die Abbildung cp : ]R2n -+ ]R2n. Zeige, daB cp eine kanonische (symplektische) Transformation ist. Ubung 2.3.4.

(a) Sei A E GL(n,]R) eine invertierbare lineare Transformation. Zeige, daB die Abbildung cp : ]R2n -+ ]R2n mit (q, p) r-+ (Aq, (A -1 f p) eine kanonische Transformation ist. (b) Zeige unter der Voraussetzung, daB Reine Rotation im ]R3 ist, daB die Abbildung (q, p) r-+ (Rq, Rp) eine kanonische Transformation ist. Ubung 2.3.5. Sei (Z, D) ein endlichdimensionaler symplektischer Vektorraum. Ein Unterraum E C Z wird isotrop, koisotrop bzw. Lagrangesch genannt, falls E C En, En C E bzw. E = En ist. Beachte, daB E genau dann Lagrangesch ist, wenn E sowohl isotrop, als auch koisotrop ist. Zeige:

78

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischcn Riiumen

(a) Ein isotroper (koisotroper) Unterraum E ist genau dann Lagrangesch, wenn dim E = dim En ist. In diesem Fall gilt notwendigerweise 2dimE = dimZ. (b) Jeder isotrope (koisotrope) Unterraum ist in einem Lagrangeschen Unterraum enthalten, bzw. enthaJt einen solchen. (c) Ein isotroper (koisotroper) Unterraum ist genau dann Lagrangesch, wenn er ein maximal isotroper (minimal koisotroper) Unterraum ist.

2.4 Die allgemeinen Hamiltonschen Gleichungen Die konkrete Form der Hamiltonschen Gleichungen, der wir bereits begegnet sind, ist ein Spezialfall einer Konstruktion auf symplektischen Raumen. Hier diskutieren wir diese Formulierung fur Systeme mit linearem Phasenraum. In spateren Abschnitten werden wir sie auf symplektischen Mannigfaltigkeiten als Phasenraume verallgemeinern und in Kap. 10 sogar auf Mannigfaltigkeiten, auf denen nur eine Poissonklammer gegeben ist. AIle diese Verallgemeinerungen werden wichtig fur die Untersuchungen konkreter Beispiele sein. Definition 2.4.1. Sei (Z, st) ein symplektischer Vektorraum. Ein Vektorfeld X : Z -+ Z wird Hamiltonsch genannt, wenn fur alle z E Z und eine stetig differenzierbare Funktion H : Z -+ ~

stP(X(z)) = dH(z)

(2.41)

gilt. Dabei ist dH(z) = DH(z) eine alternative Schreibweise fur die Ableitung von H. Existiert solch ein H, so schreiben wir X = X H und nennen Heine Hamiltonfunktion oder Energiefunktion fur das Vektorfeld X. In einer Reihe wichtiger Beispiele, insbesondere unendlichdimensionaler, muB H nicht auf ganz Z definiert sein. In §3.3 werden wir kurz auf einige der verwendeten Techniken eingehen. 1st Z endlichdimensional, dann folgt aus der Nichtausgeartetheit von st, daB stP : Z -+ Z* ein Isomorphismus ist, womit garantiert ist, daB zu jeder gegebenen Funktion H ein Hamiltonsches Vektorfeld X H existiert. 1st Z unendlichdimensional und st lediglich schwach nichtausgeartet, so k6nnen wir nicht voraussetzen, daB zu einem gegebenen H das Vektorfeld X H existiert. Da st P bijektiv ist, impliziert Existenz Eindeutigkeit. Die Menge der Hamiltonschen Vektorfelder auf Z wird mit XHam(Z) oder einfach mit XHam bezeichnet. Somit ist X H E XHam das durch die Bedingung

st(XH(Z), Jz) = dH(z) . Jz bestimmte Vektorfeld.

fur aIle z, Jz E Z

(2.42)

2.4 Die allgemeinen Hamiltonschen Gleichungen

79

1st X ein Vektorfeld, so solI das innere Produkt ixS? (auch mit X --.J S? bezeichnet) der an einem Punkt z E Z auf folgende Weise gegebene Dualvektor (auch I-Form genannt) sein:

(ixS?)z

(ixS?)z(v):= s?(X(z),v)

E Z*;

fur alIe v E Z. Damit kann die Bedingung (2.41) oder (2.42) in folgender Weise geschrieben werden:

ixS? = dH bzw.

X

--.J

S? = dH.

(2.43)

Urn H durch X H und S? auszudrucken, integrieren wir die Gleichung

dH(tz) . z = S?(XH(tZ), z) von t = 0 bis t = 1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und 1ntegralrechnung ist

H(z) - H(O) =

=

dH(tz) r Jor ~dt = Jo dH(tz)· zdt 1

11

1

S?(XH(tz), z) dt.

(2.44)

Wir abstrahieren nun von den gemachten Untersuchungen, durch die wir zu (2.33) kamen. Proposition 2.4.1. Seien (Z, S?) und (Y, S) symplektische Vektorriiume und f : Z -+ Y ein Difjeomorphismus, dann ist f genau dann eine symplektische Transformation, wenn fur alle Hamiltonschen Vektorfelder XH auf Y die Gleichung f*XHoj = X H gilt, d.h.,

(2.45) Beweis. Fur v E Z gilt

S?(XHoj(z), v) = d(H 0 f)(z) . v = dH(f(z))··· Df(z) . v = S(XH(f(z)), Df(z) . v). 1st

(2.46)

f symplektisch, so gilt S(Df(z) . XHo/(z), Df(z) . v) = S?(XHo/(Z), v)

und somit gilt (2.45) wegen der Nichtausgeartetheit von S und der Tatsache, daB D f (z) . vein beliebiges Element aus Y ist (weil f ein Diffeomorphismus und somit Df(z) ein 1somorphismus ist). Gilt andererseits (2.45), so folgt aus (2.46)

S(Df(z) . XHoj(z), Df(z) . v) = S?(Xlloj(Z), v) fur jedes v E Z und jede C 1-Abbildung H : Y -+ R Xlloj(z) entspricht fUr eine geeignete Hamiltonfunktion H, namlich (Hof)(z) = S?(w,z), einem beliebigen Element w E Z. Also ist f symplektisch. •

80

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

Definition 2.4.2. Die Hamiltonschen Gleichungen fur H werden dureh das System der dureh X H definierten Differentialgleiehungen gegeben. Zu einer K urve c : lR --+ Z sind dies die Gleiehungen (2.47)

Die klassischen Hamiltonschen G leichungen. Wir bringen die abstrakte Form (2.47) jetzt mit der klassischen Form der Hamiltonschen Glcichungen in Beziehung. 1m folgenden soll ein n- Thpel (ql, ... , qn) einfach durch (qi) bezeichnet werden. Proposition 2.4.2. Sei (Z, D) ein 2n-dimensionaler symplektiseher Vektorraum und (qi, Pi) = (ql, . .. , qn, PI , ... , Pn) die kanonisehen K oordinaten, bzgl. derer D die Matrix]" hat. In diesen Koordinaten ist dann X H : Z --+ Z durch (2.48) gegeben. Also lauten die Hamiltonschen Gleichungen in kanonisehen Koordinaten dqi 8H dPi (2.49) dt 8Pi' dt Allgemeiner gilt: 1st Z = V X V', ("') : V x V' --+ lR eine schwaeh nichtausgeartete Paarung und D((el,ad, (e2,a2)) = (a2,el) - (al,e2), so gilt (2.50) wobei bHlba E V und bHlbe E V' die fur (3 E V' dureh D2H(e,a)· (3 = \(3,

~~)

(2.51 )

und entspreehend fur bHI be definierten partiellen Funktionalableitungen sind. Dabei ist vorausgesetzt, dafJ die Funktionalableitungen in (2.50) existieren.

Beweis. 1st (f, (3) E V

D

X

V', dann gilt

((~,- bb~) ,(f,(3)) = ((3, ~~) + (bb~,J) = D2H(e, a) . (3 + DIH(e, a) . f = (dH(e, a), (f, (3)) .

•

2.5 Wann sind Gleichungen Hamiltonsch?

81

Proposition 2.4.3 (Energieerhaltung). Sei c(t) eine Integralkurve von

X H, dann ist H (c( t)) bzgl. t konstant. Wird der FlufJ von X H durch 'fit bezeichnet, ist also 'fit(z) die Losung von (2.47) mit den Anfangsbedingungen z E Z, so ist H 0 'fit = H. Beweis. Mit der Kettenregel gilt

d d dtH(c(t)) = dH(c(t)). dtc(t) =

=

[2

[2

( XH(C(t)), dtc(t) d)

(XH(c(t)), XH(C(t))) = 0,

wobei die letzte Gleichung aus der Schiefsymmetrie von [2 folgt.

•

Ubungen Ubung 2.4.1. Die schiefsymmetrische Bilinearform [2 auf dem ~2n besitze die Matrix

wobei B = [Bij] eine schiefsymmetrische n x n Matrix und 1 die Einheitsmatrix ist. (a) Zeige, daB [2 nichtausgeartet und somit eine symplektische Form auf dem ~2n ist. (b) Zeige, daB die Hamiltonschen Gleichungen bzgl. [2 in den Standardkoordinaten dPi 8H 8H -----B·dt 8qi tJ 8pj lauten.

2.5 Wann sind Gleichungen Hamiltonsch? Nachdem wir gesehen haben, wie man zu gegebenem H die Hamiltonschen Gleichungen auf (Z, [2) herleiten kann, ist es naheliegend, die umgekehrte Betrachtung durchzufUhren: Wann ist ein gegebener Satz von Gleichungen

dz dt = X(z),

(2.52)

wobei X : Z --+ Zein gegebenes Vektorfeld ist, fUr ein geegnetes H Hamiltonsch? 1st X linear, so wird diese Frage durch folgende Proposition beantwortet.

82

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

Proposition 2.5.1. Das Vektorfeld A: Z -+ Z sei linear. Dann ist A genau

dann Hamiltonsch, wenn A schiefsymmetrisch bzgl. D ist, d.h. wenn

fur aile Zl, Z2 E Z gilt. Zudem konnen wir H(z) = ~D(Az, z) verwenden. Beweis. Differenzieren wir die das Vektorfeld definierende Beziehung

D(XH(z), v) = dH(z) . v

(2.53)

nach z in Richtung von u und verwenden die Bilinearitat von D, so erhalten wir D(DXH(z)· u,v) = D 2H(z)(v,u). (2.54) Hieraus und wegen der Symmetrien der zweiten partiellen Ableitungen folgt

D(DXH(z)· u,v) = D2H(z)(u,v) = D(DXH(z)· v,u) = -D(u, DXH(z) . v).

(2.55)

Gilt A = X H fUr ein H, so ist DXH(Z) = A und (2.55) wird zu D(Au, v) = -D(u,Av). Folglich ist A schiefsymmetrisch bzgl. D. Sei umgekehrt A schiefsymmetrisch bzgl. D. Wir set zen H(z) = ~D(Az, z) und erwarten, daB dann A = X H gilt. 1

dH(z) . u = "2D(Au, z)

1

+ "2D(Az, u)

1

1

= -"2 D(u,Az) + "2 D(Az,u) 1

1

= "2D(Az, u) + "2D(Az, u) = D(Az, u).

•

In kanonischen Koordinaten, in denen D die Matrix JJ hat, ist die DSchiefsymmetrie von A aquivalent zur Symmetrie der Matrix JJA, d.h., JJA + ATJJ = O. Der Vektorraum aller linearen Transformationen von Z, die diese Bedingung erfiillen, wird mit .sp(Z, D) bezeichnet und seine Elemente nennt man die infinitesimalen symplektischen Transformationen. In kanonischen Koordinaten ist nachzuweisen, falls Z = W x W* ist und A die Matrix (2.56) hat, daB A genau dann infinitesimal symplektisch ist, wenn Aqp und Apq symmetrisch sind und A~q + App = 0 ist (siehe Ubung 2.5.1). 1m komplexen linearen Fall verwenden wir das Beispiel 2.2.6 aus §2.2 (2h multipliziert mit dem negativen Imaginarteil eines hermiteschen inneren Produktes ( ,) als symplektische Form), urn folgendes zu erhalten:

2.5 Wann sind Gleichungen Hamiltonsch?

83

Korollar 2.5.1. Sei H ein komplexer Hilbertraum mit dem hermiteschen inneren Produkt (,) und sei S2('l/JI,'I/J2) = -2lilm('l/Jl,'l/J2)' Sei A : H -t H ein komplexer linearer Operator, dann existiert ein H : H -t lR, so daft genau dann A = X H gilt, wenn iA symmetrisch ist bzw. die Gleichung (2.57)

erfullt. In diesem Fall konnen wir H als H('l/J) = li (iA'l/J, 'l/J) wahlen. Wir setzen Hop = iliA, so daft die Hamiltonsche Gleichung .J; = A'l/J in die Schrodingergleichung 4 (2.58)

ubergeht. Beweis. Der Operator A ist genau dann schiefsymmtrisch bzgl. S2, wenn die Bedingung fur alle 'l/Jl, 'l/J2 E H erfullt ist. Ersetzen wir 'l/Jl durch i'l/Jl und verwenden die Beziehung Im(iz) = Re(z), so ist diese Bedingung zu Re (A'l/Jl, 'l/J2) -Re('l/Jl,A'l/J2) aquivalent. Da (2.59)

und (2.60)

ist, erkennen wir die Aquivalenz von S2-Schiefsymmetrie von A mit der Bedingung, daB iA symmetrisch ist. Schlie£lich gilt

!t (iA'l/J, 'l/J) = !tRei (A'l/J, 'l/J) = -!tIm (A'l/J, 'l/J) = und das Korollar folgt aus Propsition 2.5.1.

1

2f2 (A'l/J, 'l/J),

•

Fur nichtlineare Differentialgleichungen ist das Analogon zur Proposition 2.5.1 die folgende

Proposition 2.5.2. Sei X : Z -t Zein (glattes) Vektorfeld auf einem symplektischen Vektorraum (Z, S2). Es existiert genau dann ein H : Z -t lR mit X = X H , wenn DX(z) fur alle Vektorraumelemente S2-schiefsymmetrisch ist. 4

Genau genommen wird die Giiltigkeit der Gleichung (2.57) nur flir den Definit ions bereich des Operators A verlangt, der nicht ganz H sein muB. Der Einfachheit halber vernachlassigen wir dies. Dieses Beispiel wird in §2.6 und in §3.2 fortgeflihrt.

84

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Raumen

Beweis. Den "genau dann"-Teil des Beweises sahen wir im Beweis von Proposition 2.5.1. 1st umgekehrt DX(z) .o-schiefsymmetrisch, so definieren wir 5

H(z) = und behaupten X =

11

.o(X(tz), z) dt + Konstante

(2.61 )

x H . Es gilt namlich

dH(z) . v =

=

11 11

= .0 = .0

[.o(DX(tz) . tv, z) + .o(X(tz), v)] dt [.o(tDX(tz) . z, v) + .o(X(tz), v)] dt

(1 [tDX(tz) . z + X(tz)] dt, v) (1 :t [tX(tz)] dt, v) = .o(X(z), v). 1

1

•

Eine interessante Charakterisierung der Hamiltonschen Vektorfelder verwendet die Cayleytransformation. Sei (Z,.o) ein symplektischer Vektorraum und A : Z --+ Z eine lineare Transformation, fUr die 1 - A invertierbar ist. Dann ist A genau dann Hamiltonsch, wenn die zugehOrige Cayley transformierte C = (1 + A)(1 - A)~l symplektisch ist. Vergleiche Ubung 2.5.2. Anwendungen findet man in Laub und Meyer [1974], Paneitz [1981]' Feng [1986] und Austin und Krishnaprasad [1993]. Die Cayleytransformation ist fUr einige Hamiltonsche numerische Algorithmen niitzlich, wie man in dem letzten Literaturhinweis und bei Marsden [1992] sehen kann. Ubungen Ubung 2.5.1. Sei Z = W x W* und verwende eine kanonische Basis, urn die Matrix der linearen Abbildung A : Z --+ Z in der Form

zu schreiben. Zeige, daB A genau dann infinitesimal symplektisch ist, also JfA + ATJf = 0 gilt, wenn Aqp und Apq symmetrisch sind und A~q + App = 0 ist. 5

Man kann in Voraussicht auf die Differentialformen aus Kap. 4 zeigen, daB (2.61) fUr H durch den Beweis des Lemmas von Poincare angewandt auf die I-Form ixn reproduziert wird. n-Schiefsymmetrie von DX(z) ist aquivalent zu d(ixn) = o.

2.6 Hamiltonsche Fltisse

85

Ubung 2.5.2. Sei (Z, Q) ein symplektischer Vektorraum. Sei A : Z -+ Z eine lineare Abbildung, fUr die (I - A) invertierbar ist. Zeige, daB A genau dann Hamiltonsch ist, wenn die zugehorige Cayleytransformierte

(I + A)(I - A)-l symplektisch ist. Gebe ein Beispiel eines linearen Hamiltonschen Vektorfeldes an, fur das (I - A) nicht invertierbar ist. Ubung 2.5.3. Sei (Z, Q) ein endlichdimensionaler symplektischer Vektorraum und tp : Z -+ Z eine lineare symplektische Abbildung mit det tp = 1 (wie im Text erwahnt und spater gezeigt wird, ist diese Annahme eigentlich uberflussig). Beweise, daB unter der Annahme, daB A ein Eigenwert der Vielfachheit kist, auch 1/ A ein Eigenwert der Vielfachheit kist. Beweise dies mit dem charakteristischen Polynom von tp. Ubung 2.5.4. Betrachte einen endlichdimensionalen symplektischen Vektorraum (Z, Q), und sei A : Z -+ Zein Hamiltonsches Vektorfeld.

(a) Zeige, daB der als die Menge { Z E

Z I A k Z = 0 fur eine natiirliche Zahl k 2: 1 }

definierte verallgemeinerte Kern von A ein symplektischer Unterraum ist. (b) 1m allgemeinen ist der eigentliche Kern ker A kein symplektischer Unterraum von (Z, Q). Gebe ein Gegenbeispiel an.

2.6 Hamiltonsche Fliisse In dies em Unterabschnitt werden die Flusse Hamiltonscher Vektorfelder noch ein wenig diskutiert. 1m nachsten Unterabschnitt wird die abstrakte Definition der Poissonklammer und ihr Zusammenhang mit den klassischen Definitionen gegeben, und es wird gezeigt, wie sie zur Beschreibung der Dynamik verwandt werden kann. Spater werden Poissonklammern eine zunehmend wichtigere Rolle spielen. Sei X H ein Hamiltonsches Vektorfeld auf einem symplektischen Vektorraum (Z, Q) mit der Hamiltonfunktion H : Z -+ R Der Fluj3 von XH ist die Schar der Abbildungen tpt : Z -+ Z, die (2.62)

fur jedes z E Z und reelles t und tpo(z) = z erfullen. Hier und irn folgenden sollen alle Aussagen bzgl. der Abbildung tpt : Z -+ Z nur fur solche z und t gelten, fur die tpt (z) gernaB der Theorie der Differentialgleichungen definiert ist.

86

2. Hamiltonsche Systeme in lineafen symplektischen Riiumen

Lineare Fliisse. Betrachten wir zuerst den Fall eines (beschrankten) linearen Vektorfeldes A. Der FluB von A kann dann als
~ (
D ( :t
!


= D(A
Nichtlineare Fliisse. Resultat.

Fur nichtlineare Flusse gibt es ein entsprechendes

Proposition 2.6.2. Der FlufJ
~ [D
. v = DX(
Mit dieser Gleichung erhalten wir d

dt D(D
+ D(D
2.7 Poissonklammern

87

Beispiel: Die Schrodingergleichung Sei 1-l ein komplexer Hilbertraum. Eine komplexe lineare Abbildung U : 1-l -+ 1-l wird unitiire genannt, wenn sie das hermitesche innere Produkt erhalt. Proposition 2.6.3. Sei A : 1-l -+ 1-l eine komplexe lineare Abbildung auf einem komplexen Hilbertraum 1-l. Der FlufJ CPt von A ist genau dann kanonisch, also besteht aus kanonischen Transformationen bzgl. der in Beispiel {2.2.6} aus §2.2 definierten symplektischen Form D, wenn CPt unitar ist. Beweis. Laut Definition ist

also

fur 'l/h, 'l/J2 E 1-l. Somit ist CPt genau dann kanonisch, wenn 1m (CPt'l/Jl, CPt'l/J2) = 1m ('l/Jl, 'l/J2) gilt. Mit ('l/Jl, 'l/J2) = -1m (i'l/Jl' 'l/J2)+i 1m ('l/Jl, 'l/J2) ist dies wiederum wegen der komplexen Linearitat von CPt aquivalent zur Unitaritat. • Dies zeigt, daB der FluB der Schrodingergleichung ~ = A'l/J kanonisch und unitar ist und somit die Wahrscheinlichkeitsamplitude jeder Wellenfunktion erhalt, die eine Lasung ist. Es gilt also

wobei CPt der FluB von A ist. Wir werden spater auch sehen wie diese Normerhaltung aus einem durch Symmetrie begrundeten Erhaltungsgesetz resultiert.

2.7 Poissonklammern Definition 2.7.1. Es seien ein symplektischer Vektorraum (Z, D) und zwei Funktionen F, G : Z -+ lR gegeben. Die Poissonklammer {F, G} : Z -+ lR von Fund Gist dann durch

{F, G}(z) = D(XF(z), Xc(z))

(2.63)

definiert. Mit der Definition eines Hamiltonschen Vektorfeldes erhalten wir die aquivalenten Ausdrucke

{F, G}(z) = dF(z) . Xc(z) = -dG(z) . XF(Z).

(2.64)

Fur die Ableitung von F in Richtung von Xc schreiben wir in (2.64)

£xoF = dF· Xc·

88

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Raumen

Die Schreibweise mithilfe der Lieableitung. Die Lieableitung £ x f von f entlang X ist die Richtungsableitung von f in Richtung von X, in Koordinaten ist sie durch

= df . X

(Summation tiber 1) gegeben. Funktionen F, C mit {F, C} = 0 stehen in Involution oder Poissonkommutieren.

Beispiele Wir kommen nun zu einigen Beispielen fUr Poissonklammern.

Beispiel 2.7.1 (Kanonische Klammer). Sei Z 2n-dimensional. Dann gilt in kanonischen Koordinaten (qI, ... ,qn, PI, ... ,Pn) 8F 8F { F, C} = [8Pi' - 8qi ].]" 8F8C

8Pi 8C _ 8C

r

8F8C

1

8q' (Summation tiber i).

(2.65)

Daraus ergeben sich die kanonischen Vertauschungsrelationen (2.66) Mit der Poissonstruktur, also der Bilinearform B aus §2.1, bekommt die Poissonklammer die Gestalt {F,C} = B(dF,dG).

(2.67)

Beispiel 2.7.2 (Der Funktionenraum). Sei (Z, D) wie in Beispiel 2.2.2 aus §2.2 definiert. Die Funktionen F, C : Z -+ lK seien gegeben. Mit Gleichung (2.50) und obiger Gleichung (2.63) erhalten wir

(2.68) Dieses Beispiel wird im niichsten Kapitel gebraucht werden, wenn wir die klassische Feldtheorie behandeln.

2.7 Poissonklammern

89

Die Jacobi-Lieklammer. Die Jacobi-Lieklammer [X, Y] zweier Vektorfelder X und Y auf einem Vektorraum Z ist durch die Forderung, daB

df . [X, Y] = d( df . Y) . X - d( df . X) . Y fiir alle reellwertigen Funktionen formuliert lautet dies

f

gelten solI, definiert. Mit der Lieableitung

Es HiBt sich zeigen, daB diese Bedingung in der Sprache der Vektoranalysis

[X, Y] = (X. \7)Y - (Y . \7)X und in Koordinatenschreibweise

lautet. Proposition 2.7.1. Es bezeichne [,] die Jacobi-Lieklammer fur Vektorfelder und seien F, G E F(Z). Dann gilt

X{P,C} = -[Xp, Xc].

(2.69)

Beweis. Wir berechnen wie folgt

D(X{p,c}(Z), u) = d{F, G}(z) . u = d(D(Xp(z), Xc(z))) . u = D(DXp(z) . u, Xc(z)) + D(Xp(z), DXc(z) . u) = D(DXp(z) . Xc(z), u) - D(DXc(z) . Xp(z), u) = D(DXp(z) . Xc(z) - DXc(z) . Xp(z), u) = D( -[Xp, Xc](z), u). Da D schwach nichtausgeartet ist, folgt die Behauptung.

•

Die Jacobiidentitat. Wir sind nun in der Lage, die Jacobiidentitiit in einem ziemlich allgemeinen Kontext zu beweisen.

Proposition 2.7.2. Sei (Z, D) ein symplektischer Vektorraum. Dann wird F(Z) mit der Poissonklammer {,} : F(Z) x F(Z) -7 F(Z) zu einer Liealgebra. Das heijJt, dajJ diese reell bilinear und schiefsymmetrisch ist und die J acobiidentitat

{F, {G,H}} erfullt.

+ {G, {H,F}} + {H, {F,G}} = 0

90

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

Beweis. Beachte fur den Beweis der Jacobiidentitat, daB fUr die Funktionen F, G, H : Z -+ lR

= -£xp{G,H} = £xp£xoH, {G, {H,F}} = -£xo{H,F} = -£xo£xpH {F, {G,H}}

und {H, {F, G}}

= £x{p,O}H

gilt, also ist {F, {G,H}}

+ {G, {H,F}} + {H, {F,G}} = £x{p,O}H + £[xp,xo]H.

Das Ergebnis folgt dann mit (2.69).

•

Anhand von Proposition 2.7.1 erkennen wir, daB die Jacobi-Lieklammer zweier Hamiltonscher Vektorfelder wiederum Hamiltonsch ist. Also erhalten wir das folgende KoroIlar.

Korollar 2.7.1. Die Menge der Hamiltonschen Vektorfelder XHam(Z) bildet eine Unterliealgebra von X(Z).

Als nachstes charakterisieren wir symplektische Abbildungen mithilfe der Poissonklammern. Proposition 2.7.3. Sei cP : Z -+ Zein Diffeomorphismus. Dann ist die Abbildung cP genau dann symplektisch, wenn sie die Poissonklammer erhiilt, also (2.70) fur alle F, G : Z -+ lR gilt.

Beweis. Wir verwenden die aus der Kettenregel folgende Beziehung

Damit folgt und {cp*F,cp*G}

= £xoo
Demnach erhalt cp genau dann die Poissonklammer, wenn cp* Xc = Xco

= {F, H}

0

CPt.

(2.71)

2.8 Ein Tei1chen in einem rotierenden Reifen

91

Beweis. Mit der Kettenregel und der Definition von Xp erhalt man d

dt[(F 0
= D(Xp(
{F 0
•

Korollar 2.7.2. Seien F, G : Z -+ R Fist also genau dann entlang der Losungskurven von Xc konstant, wenn G entlang der Losungskurven von Xp konstant ist und dies ist genau dann der Fall, wenn {F, G} = 0 ist.

Proposition 2.7.5. Seien A, B : Z -+ Z lineare Hamiltonsche Vektorfelder mit zugehOrigen Energiefunktionen

Mit

[A, B] = A 0 B - BoA

als Kommutator von Operatoren gilt (2.72) Beweis. Per Definition ist X HA

= A, also auch

{HA' HB}(z)

= D(Az, Bz).

Da A und B D-schiefsymmetrisch sind, folgt 1

1

{HA' HB}(z) = "2D(ABz, z) - "2D(BAz, z) 1

= "2D([A, B]z, z) = H[A,BJ(Z).

(2.73)

•

2.8 Ein Teilchen in einem rotierenden Reifen In diesem Unterabschnitt unterbrechen wir die abstrakte Theorie, urn ein Beispiel in "herkommlicher Weise" zu untersuchen. Dieses und andere Beispiele dienen zudem sehr gut dazu, die Theorie, die wir entwickeln, zu illustrieren.

92

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

Herleitung der Gleichungen. Betrachten wir ein Teilchen, dessen Bewegung auf einen Kreisreifen eingeschrankt ist, z.B. eine in einem Hula-HoopReifen gleitende Perle. Das Teilchen habe die Masse m und unterliege sowohl Gravitations- und Reibungskraften, als auch Zwangskraften, die es auf dem Reifen halten. Der Reifen seIber rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w urn eine vertikale Achse, wie in Abb. 2.1 dargestellt.

z

x

Abb. 2.1. Ein Teilchen, das sich in einem mit der Winkelgeschwindigkeit w rot ierenden Reifen bewegt.

Der Ort des Teilchens im Raum ist, wie in Abb. 2.1 gezeigt, durch die Winkel () und rp bestimmt. Wir k6nnen rp = wt wahlen, womit der Ort des Teilchens durch () allein bestimmt wird. Das orthogonale Dreibein entlang der Koordinatenrichtungen ee, ecp und e r sei wie gezeigt gegeben. Die auf das Teilchen wirkenden Krafte sind: (i) Die Reibung, die proportional zur Relativgeschwindigkeit des Teilchens hinsichtlich des Reifens ist: -vReee , wobei v ~ 0 eine Konstante ist. 6 (ii) Die Gravitation: -mgk. 6

Dies ist ein "Reibungsgesetz", das eher der Reibung einer ziihen Fltissigkeit als einer Gleitreibung entspricht, bei der v das Verhiiltnis von Tangential- zu Normalkraft ist. Fur jede wirkliche experimentelle Anordnung (z.B. in der rollende Sphiiren auftreten) ist eine realistische Modellierung der Reibung keine triviale Aufgabe, siehe z.B. Lewis und Murray [1995].

2.8 Ein Teilchen in einem rotierenden Reifen (iii) Die Zwangskriifte in den Richtungen Reifen halten.

er

und

e
93

die das Teilchen in dem

Die Bewegungsgleichungen werden aus dem zweiten Newtonschen Axiom F = ma hergeleitet. Urn diese zu erhalten, mussen wir die Beschleunigung a bestimmen, womit hier die Beschleunigung bzgl. des im Raum fest en Bezugssystems xyz gemeint ist und nicht Bezuglich dieses xyzKoordinatensystems gilt

e.

x = RsinBcos ip, y = R sin Bsin ip, z = -RcosB. Berechnet man die zweiten Ableitungen mit ip erhiilt man

x = -w 2x - iPx + (RcosBcosip)e -

(2.74)

= wt und der Kettenregel, so 2RwiJ cos Bsin ip,

ii = _w 2y - iJ2 y + (RcosBsinip)e + 2RwiJ cos Bcos ip, Z = -ziJ2 + (R sin B)e.

(2.75)

Sind i, j, k Einheitsvektoren entlang der Achsen x, y und z, so gilt die entsprechende, leicht zu verifizierende Beziehung eli

= (cos Bcos ip) i + (cos Bsin ip)j + sin Bk.

Betrachte nun die Vektorgleichung F schon beschriebenen Kriifte und a

(2.76)

= ma, wobei F die Summe der drei

= xi + jjj + ik

(2.77)

ist. Die Komponenten e

eli

= -vRiJ - mgsinB,

(2.79)

wiihrend sich mit (2.75), (2.76) und (2.77) fUr die rechte Seite von (2.78) folgendes ergibt ma·

eli

= m{ X cos Bcos ip + ii cos Bsin ip + zsin B} = m{cosB cos ip[-w 2x - iJ2x + (RcosBcosip)e - 2RwiJ cos Bsin ip]

+ cos Bsin ip[_w 2y - iJ2 y + (R cos Bsin ip)e + 2RwiJ cos Bcos ip] + sinB[-ziJ 2 + (RsinB)e]).

94

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

Mit (2.74) vereinfacht sich dies zu ma· eo = mR{ jj - w2 sin () cos ()}.

(2.80)

Vergleichen wir (2.78), (2.79) und (2.80) so erhalten wir ..

2.

g.

/J.

() = w sm () cos () - - () - - sm ()

(2.81)

R

m

als unsere endgiiltige Bewegungsgleichung. Dazu mehrere Bemerkungen in folgender Reihenfolge: (i) 1st w =

/J

= 0, dann reduziert sich (2.81) zur Pendelgleichung Rjj + gsin() = O.

(2.82)

Unser System kann tatsachlich auch als ein rotierendes Pendel angesehen werden. (ii) Fur /J = 0 ist (2.81) Hamiltonsch. Dies ist mit den Variablen q p = mR2 e, der kanonischen Klammerstruktur

{F K} = of oK _ oK of , oq op oq op

= (),

(2.83)

und der Hamiltonfunktion H =

p2 --2 -

2mR

mgRcos () -

mR2w2 2

sin 2 ()

(2.84)

schon bewiesen. Die Herleitung iiber die Euler-Lagrange-Gleichungen. Wir verwenden nun die Lagrangesche Mechanik, um (2.81) herzuleiten. In Abb. 2.1 ist die Geschwindigkeit v = Reeo + (wRsin())e
v = -mgRcos().

(2.86)

Also ist die Lagrangefunktion durch 1 . L = T - V = 2mR2()2

+

mR 2 w2

2

gegeben und die Euler-Lagrange-Gleichungen

sin 2 () + mgRcos ()

(2.87)

2.8 Ein Teilchen in einem rotierenden Reifen

d aL dt

95

aL

ae

ae

(siehe §1.1 oder §2.1) bekommen die Gestalt mR 2 8 = mR 2 w2 sinOcosO - mgRsinO,

die dieselben Gleichungen sind, die wir per Hand aus (2.81) flir v = 0 erhalten haben. Die Legendretransformation liefert p = mR 2 eund die Hamiltonfunktion (2.84). Beachte, daB diese Hamiltonfunktion nicht die Summe von kinetischer und potentieller Energie des Teilchens ist. Hatte man dies postuliert, ergaben die Hamiltonschen Gleichungen inkorrekte Gleichungen. Dies hat mit tieferen Kovarianzeigenschaften der Lagrangegleichungen gegeniiber den Hamiltonschen Gleichungen zu tun. Gleichgewichtszustande. Die GleichgewichtslOsungen sind Losungen, die = 8 = 0 erflillen. Dies in (2.81) eingesetzt ergibt

e

Rw 2 sin 0 cos 0

= 9 sin O.

(2.88)

GewiB entsprechen e = 0 und 0 = 7r Losungen von (2.88), bei denen sich das Teilchen im untersten oder obersten Punkt des Reifens befindet. 1st 0 =f. 0 oder 7r, so wird (2.88) zu Rw 2 cose = g, (2.89) was flir gj(Rw 2 ) < 1 zwei Losungen besitzt. Der Wert (2.90)

wird kritische Rotationsrate genannt. Beachte, daB We die Frequenz der linearisierten Oszillationen des einfachen Pendels ist, d.h., flir die Gleichung

Flir W < We existieren nur zwei Losungen 0 = 0, Losungen existieren 0= 0,

7r,

±cos- 1

7r,

wah rend flir

(R~2)'

W

> We vier (2.91 )

Wir sprechen davon, daB eine Bifurkation (oder, urn genau zu sein, eine Hamiltonsche Heugabelbifurkation) auftritt, wenn W den Wert We liberschreitet. Dies konnen wir mit computersimulierten Losungen von (2.81) graphisch darstellen. Setze x = 0, y = und schreibe (2.81) in der Form

e

x =y, if = ~ (a. cos x - 1) sin x - (3y mit

(2.92)

96

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

8

0:

= 1.5, (3 = 0.1

Abb. 2.2. Phasenportriits eines Balles in einem rotierenden Reifen.

0:

= Rw 2 1g und (3 = vim.

Wahlen wir zu Illustrationszwecken 9 = R, dann zeigt die Abb. 2.2 ausgezeichnete Orbits in den Phasenportrats zu (2.92) fUr verschiedene 0:, (3. Dieses System ist mit v = 0, also (3 = 0, in dem Sinne symmetrisch, daB die durch 8 f--1- -8 und Bf--1- -B gegebenen 2 2 - Wirkung das Phasenportrat invariant laBt. Wird diese 2 2 Symmetrie gebrochen, z.B. indem man die Rotationsachse ein wenig aus dem Zentrum rtickt, so wird, wie in Abb. 2.3 zu sehen, eine Seite bevorzugt.

Abb. 2.3. Ein Ball in einem nicht zentralsymmetrisch rotierenden Reifen.

2.8 Ein Teilchen in einem rotierenden Reifen

97

Die Vedinderung des Phasenportrats fUr v = 0 zeigt Abb. 2.4.

Abb. 2.4. Phasenportrats fUr einen Ball in einem mit zunehmender Winkelgeschwindigkeit nicht zentralsymmetrisch rotierenden Reifen.

e

In der Nahe von = 0 wechselt die Potentialfunktion von der symmetrischen Bifurkation in Abb. 2.5(a) zur unsymmetrischen in Abb. 2.5(b). Dies ist als Spitzenkatastrophe bekannt, vgl. Golubitsky und Schaeffer [1985] und Arnold [1968, 1984] fur weitere Informationen.

V-V-w-w V-v-v-V/ (a) £ = 0

(b)

E

>0

Abb. 2.5. Die Entwicklung des Potentials fUr den Ball im (a) zentrierten und (b) nichtzentrierten Reifen bei anwachsender Winkelgeschwindigkeit.

Die Gleichung (2.81) stelle man sich so vor, daB der Reifen kleinen, periodischen Impulsen w = Wo + pcos(ryt) ausgesetzt ist. Mit der Melnikovmethode, die in der EinfUhrung und im folgenden Abschnitt beschrieben wird, kann wohl gezeigt werden (dies ist aber furchtbar aufwendig), daB das resultierende zeitperiodische System ein chaotisches Verhalten vom Hufeisentyp zeigt, wenn E und v klein sind (wobei E die Unwucht des Reifens miBt), aber p/v einen kritischen Wert uberschreitet. Siehe Ubung 2.8.3 und §2.8.

98

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

Ubungen Ubung 2.8.1. Leite die Bewegungsgleichungen fur ein Teilchen in einem Reifen her, der urn eine Achse, die sich im Abstand E vom Zentrum befindet, rotiert. Was kann man uber die als Funktionen von E und w aufgefaBten Gleichgewichtszustande sagen? Ubung 2.8.2. Leite die Formel aus Ubung 1.9.1 fUr den homoklinen Orbit (?er Orbit, der fur t -+ ±oo gegen den Sattelpunkt strebt) eines Pendels 'lj; + sin 'lj; = 0 her. Fuhre dies unter Verwendung der Energieerhaltung durch und bestimme den Wert der Energie des homoklinen Orbits durch Aufiosen nach ~ und anschlieBendem Integrieren. Ubung 2.8.3. Anhand der Methode aus der vorherigen Ubung leite man eine Integralformel fUr den homoklinen Orbit eines reibungslosen Teilchens in einem rotierenden Reifen her. Ubung 2.8.4. Bestimme aIle Gleichgewichtszustande der Duffinggleichung

x - (3x + ax 3 = 0, wobei a und (3 positive Konstanten sind, und untersuche ihre Stabilitat. Leite eine Formel fUr die zwei homoklinen Orbits her.

Ubung 2.8.5. Bestimme die Bewegungsgleichungen und Bifurkationen fur eine Kugel in einem schwach rotierenden Reifen, diesmal aber fUr einen Reifen, der nicht zu einer Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gezwungen ist, sondern so frei rotieren kann, daB sein Drehimpuls fJ, erhalten bleibt. Ubung 2.8.6. Betrachte das in Abb. 2.6 gezeigte Pendel. Es ist ein ebenes Pendel, des sen Aufhangepunkt sich an einem vertikalen Schaft wie gezeigt mit Winkelgeschwindigkeit w im Kreis dreht. Die Schwingebene des Pendels ist orthogonal zum Radialarm der Lange R. Vernachlassige Reibungseffekte. (i) Finde mithilfe der Notationen aus der Abbildung die Bewegungsgleichungen des Pendels. (ii) Zeige mit w als Parameter, daB bei Erhohung der Winkelgeschwindigkeit des Schafts eine uberkritische Heugabelbifurkation der Gleichgewichtszustande auftritt.

2.9 Die Poincare-Melnikov-Methode Wir wissen aus der EinfUhrung, daB man bei der einfachsten Version der Poincare-Melnikov-Methode dynamische Gleichungen betrachtet, die ein ebenes Hamiltonsches System

2.9 Die Poincare-Melnikov-Methode

99

= Pendellaenge m = Masse des Pendelkoerpers I

g = Schwerebeschleunigung

g

R = Kreisradius

w = Winkelgeschw. des Schafts

e = Auslenkung aus der Vertikalen

Abb. 2.6. Ein rotierendes Pendel. i = Xo(z)

(2.93)

staren. Man erhiiJt Gleichungen der Form (2.94)

wobei E ein kleiner Parameter ist, Z E ]R2, Xo ein Hamiltonsches Vektorfeld mit der Energie Ho und Xl periodisch mit Periode T und Hamiltonsch mit der Energie HI ist, einer T-periodischen Funktion. Wir nehmen an, daB Xo einen homoklinen Orbit z(t) hat, d.h., soleh einen Orbit, daB z(t) -+ Zo fur t -+ ±oo ein hyperbolischer Sattelpunkt ist. Die Poincare-Melnikov-Funktion sei durch

M(to) =

L:

(2.95)

{Ho, Hd(z(t - to), t) dt

definiert, wobei { , } die Poissonklammer bezeichnet. Zur Visualisierung der Dynamik von (2.94) stehen uns zwei praktische ]R2 -+]R2 ein, Methoden zur Verfugung. Fuhre die Poincareabbildung die die T-Zeitabbildung zu (2.94) ist, beginnend zur Zeit s. Der Punkt Zo und der homomkline Orbit sind fUr E = 0 unter der Abbildung Po, die von s unabhangig ist, invariant. Der hyperbolische Sattelpunkt Zo bleibt wie auch eine nahe gelegene Familie von Sattelpunkten z€ fur kleine und positive E erhalten, und wir interessieren uns dafUr, ob sich die stabilen und instabitransversal len Mannigfaltigkeiten des Punktes z€ unter der Abbildung schneiden oder nicht (gilt dies fur ein s, so gilt es fur alle s). In diesem Fall sprechen wir davon, daB (2.94) fur E > 0 Hufeisen hat. Die zweite Methode (2.94) zu untersuchen ist, sich unmittelbar das aufgehangene System auf dem]R2 x Sl anzusehen, wobei Sl der Kreis ist. Damit wird (2.94) zum autonomen erweiterten System

P: :

P:

i = Xo(z)

e= 1.

+ EX1 (z, B), (2.96)

100

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

So betrachtet wird emit der Zeit identifiziert und die Kurve

I'o(t)

= (zo, t)

ist ein periodischer Orbit fur (2.96). Dieser Orbit hat mit WO'(ro) und WO'(ro) bezeichnete stabile und instabile Mannigfaltigkeiten, die als die Mengen der Punkte definiert sind, die fur t --+ 00 bzw. t --+ -00 exponentiell gegen 1'0 streben. (Siehe Abraham, Marsden und Ratiu [1988], Guckenheimer und Holmes [1983] oder Wiggins [1988, 1990, 1992] fur weitere Details.) In diesem Beispiel stimmen sie uberein:

Fur E > 0 geht der (hyperbolische) geschlossene Orbit 1'0 in einen nahegelegenen (hyperbolischen) geschlossenen Orbit uber, der die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten W:(r,) und W;-'(r,) hat. Schneiden sich W:(r,) und W;-'(r,) transversal, so sprechen wir wieder davon, daB (2.94) Hufeisen hat. Es wurde schon gezeigt, daB diese beiden Definitionen fur das Auftreten von Hufeisen aquivalent sind. Satz 2.9.1 (Poincare-Melnikov). Die Poincare-Melnikov-Funktion sei durch (2.95) definiert. M(to) habe als eine T-periodische Funktion von to einfache Nullstellen. Dann hat die Gleichung (2.94) fur ein hinreichend kleines E Hufeisen, d.h., es tritt homoklines Chaos im Sinne von sich schneidenden Separatrizen auf. Beweis (Idee). In der erweiterten Situation verwenden wir die Energiefunktion Ho urn, die Bewegung von W:(r') bei variierendem E in z(O) zur Zeit to darzustellen. Beachte, daB Punkte aus z(t) regulare Punkte fUr Ho sind, da Ho auf z( t) konstant und z(O) kein Fixpunkt ist. Dies bedeutet, daB das Differential von Ho in z(O) nicht verschwindet. Foiglich liefern die Werte von Ho ein geeignetes MaB fur den Abstand yom homoklinen Orbit. Falls (z:(t, to), t) die Kurve auf W:(r,), also eine Integralkurve des erweiterten Systems ist und der Bedingung z:(t o, to) genugt, dies ist die St6rung von

Wo(ro) n {die Ebene t = to} in Normalrichtung zum homoklinen Orbit, dann miBt Ho(z:(to, to» den Abstand in Normalrichtung.

Aus der Theorie der invariant en Mannigfaltigkeiten ist bekannt, daB z:(t, to) fur t --+ +00 exponentiell gegen I,(t) konvergiert, einen periodischen

2.9 Die Poincare-Melnikov-Methode

101

Orbit des gestorten Systems. Beachte, daB wenn man auf der rechten Seite der erst en Gleichung oben z:(t, to) durch IE(t) ersetzt, das Ergebnis Null wird. Da das Konvergenzverhalten exponentiell ist, folgert man, daB das Integral von einem groBen t- Wert an bis unendlich von der GroBenordung E ist. Fur den endlichen Teil des Integrals verwenden wir die Tatsache, daB z:(t, to) in einer E- Umgebung von z( t - to) liegt (gleichmaf3ig fur t -+ +(0) und daB {Ho,Ho} = 0 ist. Damit folgt

{Ho, Ho + EHd(z:(t, to), t) = E{Ho, HI}(Z(t - to), t) + O(E2). Verwenden wir dies fur ein groBes aber endliches Intervall [to, tIl und das exponentielle Konvergenzverhalten fur das restliche Intervall [h, (0), dann sehen wir, daB aus (2.97)

(2.98) wird, wobei der Fehler fur T + -+

00

gleichmaf3ig klein ist. Entsprechend ist

(2.99) Wir benutzen wieder die Tatsache, daB fur T + -+ +00 der exponentiell schnelle GrenzprozeB z: (T+, to) -+ IE (T+) zu einem periodischen Orbit des gestorten Systems fUhrt. Da der Orbit homoklin ist, kann derselbe periodische Orbit fur negative Zeit en verwandt werden. Deshalb konnen wir T + und L so wahlen, daB HO(Z:(T+, to)) - HO(Z~(L, to)) -+ 0 fUr T+ -+ 00 und L -+ T+ -+ 00 und T_ -+ -00 Ho(z~(to,

-00

gilt. Mit (2.98) und (2.99) erhalten wir fUr

i:

to)) - Ho(z:(to, to)) =

E

{Ho,Hl}(Z(t-to),t)dt + O(E2).

(2.100)

Das Integral in diesem Ausdruck konvergiert, da sich die Kurve z(t - to) fUr t -+ ±oo exponentiell dem Sattelpunkt nahert und das Differential von

Ho

in dies em Punkt verschwindet. Foiglich £aUt der Integrand fur t gegen plus oder minus Unendlich exponentiell schnell abo Da die Energie ein "gutes" MaB fUr den Abstand zwischen den Punkten z~(to, to)) und z:(t o, to)) ist, folgt, daB sich z~(to, to) und z:(to, to) in der Nahe des Punktes z(O) zur Zeit to transversal schneiden, falls M(t o) zur Zeit to eine einfache Nullstelle hat.

•

102

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

1st in (2.94) nur Xo Hamiltonsch, so gilt derselbe SchluB, wenn man (2.95) durch

M(to) = [ : (Xo x Xd(z(t - to), t) dt

(2.101)

ersetzt, wobei Xo x Xl das (skalare) Kreuzprodukt fur ebene Vektorfelder ist. Xo muB nicht einmal Hamiltonsch sein, wenn ein Faktor fur die Drehung des Phasenvolumens hinzugefugt wird.

Beispiel 2.9.1. Die Gleichung (2.101) kann auf die gedampfte Duffinggleichung mit auBerer Kraft ii - /3u

+ au3 = E(--y cos wt - chi)

(2.102)

angewandt werden. Die homoklinen Orbits sind hier durch

u(t) =

±yf2ff --;-sech( /fJt)

(2.103)

gegeben (vgl. Ubung 2.8.4) und (2.101) wird nach einer Residuenberechnung zu 7rW ) 4c5j33/2 (2.104) M(to) = "(7rW -sech . I7.i sin(wto) - - - , a 2y /3 3a

if (

womit man einfache Nullstellen und folglich Chaos yom Hufeisentyp erhalt, falls "( 2,;2/33/2 ( 7rW ) (2.105) £" > r;::, cosh I7.i u 3wya 2y/3 gilt und

E

klein genug ist.

Beispiel 2.9.2. Ein weiteres interessantes Beispiel, das auf Montgomery [1985] zuruckgeht, betrifft die Leggettgleichungen fur superfiuides 3He. Wir werden uns der Einfachheit halber auf die sogenannte A-Phase beschranken (hinsichtlich weiterer Ergebnisse sei auf Montgomerys Veroffentlichung verwiesen). Die Gleichungen lauten

(XSl2) .

. = --1 - - sm28 2 "(2

S

und

iJ =

(~)

S -

E ( "( B

sin wt

+ ~ r sin 28) .

(2.106)

Hierbei ist s der Spin, 8 ein Winkel (der den "Ordnungsparameter" beschreibt) und ",(, x, ... sind physikalische Konstanten. Die homoklinen Orbits fur E = 0 sind durch und s±

Sle±2f?t

= ±2 1 ±2f?t +e

(2.107)

2.9 Die Poincare-Melnikov-Methode

103

gegeben. Man bestimmt die Poincare-Melnikov-Funktion zu

7rxwB M±(to) = =f--sech ~

(W7r) t=) coswt 2Jt

2 X -2[lr, 31

(2.108)

so daB (2.106) Chaos vom Hufeisentyp aufweist, falls 16 [l (7rW) -1B > --cosh -

r

gilt und

E

37r w

(2.109)

2[l

klein ist.

Hinsichtlich der Literaturhinweise und Informationen zu hoherdimensionalen Versionen der Methode und Anwendungen sei auf Wiggins [1988] verwiesen. Wir werden kurz auf einige Aspekte hierzu eingehen. Es gibt sogar eine Version der Poincare-Melnikov-Methode (von Holmes und Marsden [1981]), die auf partielle Differentialgleichungen anwendbar ist. Grundsatzlich verwendet man weiterhin die Formel (2.101), wobei Xo x Xl durch die symplektische Paarung zwischen Xo und Xl ersetzt wird. Neben den iiblichen technisch-analytischen Problemen mit partiellen Differentialgleichungen treten zwei neue Schwierigkeiten auf. Erstens gibt es ein Problem mit dem Auftreten von Resonanzen. Dieses Problem kann mithilfe VOn Dampfung behandelt werden. Zweitens scheint sich das Problem nicht auf zwei Dimensionen reduzieren zu lassen: Der Hufeisentyp bezieht aIle Moden mit ein. Die hoheren Moden scheinen bei physikalischen Biegungsprozessen im folgend diskutierten Stabmodell relevant zu sein. Beispiel 2.9.3. Ein Modell partieller Differentialgleichungen fiir einen Stab, der gekriimmt wird, lautet

w+ Will + rw' -

K,

(11[w'

]2

dZ) w" = E(f coswt -

ISw),

(2.110)

wobei w(z, t), 0 :::: z :::: 1 die Biegung des Stabes beschreibt,

,= IJ/IJz

= IJ/IJt,

ist und r, K" ••• physikalische Konstanten sind. Fiir diesen Fall erhalt man unter den Bedingungen (i) 7r 2 <

r

< 4p3

(ii) j 2 7r 2 (P7r 2

-

(die erste Mode ist gekriimmt),

r) -=f. w2 , j = 2,3, ...

... ) -f > 7r(r - 7r 2 ) (III IS 2wfo (iv) IS> 0

cosh (

w

2v!r - w2

)

(Resonanzbedingung) , (transverale Nullst. fiir M(t o)),

und mit kleinem E, daB (2.110) Chaos vom Hufeisentyp aufweist. Experimente (vgl. Moon [1987]) mit Staben, die gekriimmt wurden, wiesen chaotisches Verhalten nach und motivierten zur Untersuchung VOn (2.110).

104

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

Diese Art Ergebnis kann ebenfalls zur Untersuchung von Chaos in einer van der Waals-Flussigkeit (Slemrod und Marsden [1985]) und fur Solitonengleichungen dienlich sein (vgl. Birnir [1986], Ercolani, Forest und McLaughlin [1990] und Birnir und Grauer [1994]). In der erzwungenen sinGordon-Gleichung z.B. treten chaotische Drifts zwischen Breathers und KinkAntikink-Paaren auf und in der Benjamin-Ono-Gleichung kommen chaotische Drifts zwischen Losungen mit unterschiedlichen Anzahlen von Polen vor. Mehrere Freiheitsgrade. Fur Hamiltonsche Systeme mit zwei Freiheitsgraden zeigen Holmes und Marsden [1982a], wie die Melnikovmethode verwandt werden kann, urn die Existenz von Hufeisenchaos auf Energieflachen in fast integrablen Systemen zu beweisen. Die Klasse der untersuchten Systeme hat eine Hamiltonfunktion der Form

H(q,p, 0, I) = F(q, p) + G(I)

+ EHI (q,p, O,I) + O( E2),

(2.111)

wobei (0, I) Wirkungswinkelkoordinaten fUr den Oszillator G sind. Wir gehen davon aus, daB G(O) = 0 und G' > 0 ist, F einen homoklinen Orbit

x(t) = (q(t),p(t)) und das Integral

M(to) =

1:

{F,Hddt

(2.112)

entlang (x(t - to), nt, I) einfache Nullstellen hat. Dann hat (2.111) Hufeisenchaos auf Energieflachen nahe der zu dem homoklinen Orbit und kleinem I gehi:irenden Energieflache. Das Chaos yom Hufeisentyp wird mithilfe einer mit dem Oszillator G gekoppelten Poincareabbildung untersucht. In der Veroffentlichung von Holmes und Marsden [1982a] werden auch die Effekte einer positiven und negativen Dampfung untersucht. Diese Ergebnisse sind mit Systemen verwandt, die durch eine Zwangsbedingung auf cinem Freiheitsgrad eingeschrankt sind, denn man kann ein Hamiltonsches System mit zwei Freiheitsgraden oftmals zu einem System mit einem Freiheitsgrad und einer auBeren Kraft reduzieren. Bei einigen Systemen, fur die sich die Variablen nicht trennen lassen wie in (2.111), z.B. bei einem fast symmetrischen schweren Kreisel, hat man die Symmetrie des Systems auszunutzen, wodurch die Situation urn einiges verkompliziert wird. Die allgemeine Theorie hierzu wird in Holmes und Marsden [1983] dargestellt und verwandt, urn die Existenz von Hufeisenchaos fur den beinahe symmetrischen schweren Kreisel zu zeigen, vgl. auch einige nahverwandte Ergebnisse von Ziglin [1980a]. Diese Theorie wurde von Ziglin [1980b] und Koiller [1985] zur Untsuchung der Wirbeldynamik verwandt, z.B. urn die Nichtintegrabilitat des eingeschrankten Vier-Wirbel-Problems zu beweisen. Koiller, Soares und Melo Neto [1985] wenden dies auf die Dynamik in der allgemeinen Relativitatstheorie an, indem sie die Existenz von Hufeisenchaos in Bianchi-IX-Modellen

2.9 Die Poincare-Melnikov-Methode

105

zeigen. Anwendungen auf die Dynamik gekoppelter starrer Korper findet man bei Oh, Sreenath, Krishnaprasad und Marsden [1989]. Arnold [1964] erweiterte die Poincan§-Melnikov-Theorie auf Systeme mit mehreren Freiheitsgraden. In diesem Fall beruhen die transversalen homoklinen Mannigfaltigkeiten auf KAM-Tori und lassen chaotische Drifts von einem Torus auf einen anderen zu. Dieser Drift, manchmal Arnolddiffusion genannt, ist ein vieluntersuchtes Thema auf dem Gebiet der Hamiltonschen Systeme, seine theoretischen Grundlagen werden jedoch weiterhin intensiv untersucht. Anstelle einer einzelnen Melnikovfunktion hat man im mehrdimensionalen Fall einen durch

M=

J':o {Ho, HI} dt) ( f'Ooo{~l.,.Hl}dt

(2.113)

J~oo {In, HI} dt

gegebenen MelnikovvektoT, wobei ir, ... , In Integrale fiir das ungestOrte (vollstandig integrable) System sind und M von to und von den zu ir, ... , In konjugierten Winkelvariablen abhangt. Man verlangt, daB M transversale Nullstellen im Sinne der Vektorrechnung hat. Dieses Resultat lieferte Arnold fiir Systeme mit auBeren Kraften und wurde von Holmes und Marsden [1982b, 1983] auf den autonomen Fall erweitert, vgl. auch Robinson [1988]. Diese Resultate sind auf Systeme wie z.B. ein mit mehreren Oszillatoren gekoppeltes Pendel und Probleme mit mehreren Wirbeln anwendbar. Es wurde auch von Salam, Marsden und Varaiya [1983], basierend auf dem von Kopell und Washburn [1982] untersuchten Fall von Hufeisenchaos, in Leistungssystemen verwandt. Siehe auch Salam und Sastry [1985]. Es gab eine Anzahl anderer Forschungsrichtungen zu diesen Techniken. Zum Beispiel entwickelte Gruendler [1985] eine mehrdimensionale Version, die auf das spharische Pendel anwendbar ist und Greenspan und Holmes [1983] zeigte, wie die Melnikovmethode benutzt werden kann, urn subharmonische Bifurkationen zu untersuchen. Fiir weitere Informationen sei auf Wiggins [1988] verwiesen. Poincare und exponentiell kleine Terme. In seiner beriihmten Abhandlung zum Drei-Korper-Problem fiihrte Poincare [1890] den Mechanismus der transversalen Schnitte von Separatrizen ein, der sowohl die Integrabilitat des Gleichungssystems fUr das Drei-Korper-Problem als auch die Konvergenz der zugehOrigen Reihenentwicklungen fiir die Losungen verhindert. Diese Idee wurde von Birkhoff und Smale mittels der Hufeisenkonstruktion entwickelt, urn die resultierende chaotische Dynamik zu beschreiben. Fiir den von Poincare untersuchten Bereich des Phasenraums wurde jedoch nie bewiesen (auBer in einem allgemeinen Sinne, der in konkreten Fallen nicht einfach zu interpretieren ist), daB die Gleichungen tatsachlich nichtintegrabel sind. Poincare seIber fiihrte die Schwierigkeit auf das Vorhandensein von exponentiell kleinen Termen bei der Separatrixaufspaltung zuriick. Eine entscheidende Komponente des MaBes der Trennung wird durch die folgende Formel von Poincare

106

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Riiumen

[1890, S. 223] gegeben: -87ri

J=

exp

(~)

+exp (- ~)

,

die in J.l exponentiell klein ist. Poincare war sich der Schwierigkeiten, die aus diesem exponentiell kleinen Verhalten resultieren, bewuBt. Auf Seite 224 seines Artikels schreibt er: "En d'autres termes, si on regarde J.l comme un infiniment petit du premier ordre, la distance BB', sans etre nulle, est un infiniment petit d'ordre infini. C'est ainsi que la fonction e-1/1" est un infiniment petit d'ordre infini sans etre nulle ... Dans l'example particulier que nous avons traite plus haut, la distance BB' est du meme ordre de grandeur que l'integral J, c'est it dire que exp( -7r / y'2f:i)." Dies ist eine erstzunehmende Schwierigkeit, die auftritt, wenn die Melnikovmethode in der Nahe eines elliptischen Fixpunktes eines Hamiltonschen Systems oder bei Bifurkationsproblemen, aus denen homokline Orbits resultieren, eingesetzt wird. Diese Schwierigkeit ist mit den von Poincare beschriebenen verwandt. Nahe elliptischer Punkte sieht man homokline Orbits in Normalform, und nach zeitlicher Reskalierung fiihrt dies zu einer schnell oszillierenden Storung, die durch die folgende Variation der Pendelgleichung modelliert wird:

¢ + sin ¢ = Ecos ( ~t)

.

(2.114)

Berechnet man formal M(to), so erhalt man

7rW) cos (wto) M(to, E) = ±27rsech ( ~ -E- .

(2.115)

Wahrend es hier einfache Nullstellen gibt, ist der Beweis des Satzes von Poincare-Melnikov nicht mehr giiltig, da M(to, E) nun von der Ordnung exp( -7r / (2E)) ist und die Fehleruntersuchung aus dem Beweis nur Fehler von der Ordnung E2 liefert. In der Tat kann keine Entwicklung in Potenzen von E exponentiell kleine Terme wie exp(-7r/(2E)) entdecken. Holmes, Marsden und Scheurle [1988] und Delshams und Seara [1991] zeigen, daB (2.114) Chaos besitzt, das in geeignetem Sinne exponentiell klein in E ist. Die Idee ist, stabile und instabile Mannigfaltigkeiten in eine Reihe vom Perrontype zu entwickeln, deren Terme von der Ordnung Ek exp( -7r /(2E)) sind. Dazu ist die Erweiterung des Systems auf komplexe Zeit von ausschlaggebender Bedeutung. Da solche Resultate fur (2.114) bewiesen werden konnen, kann man hoffen, zu Poincares Werk von 1890 zuruckzukehren und seine unvollstandig gebliebenen Argumente zu vervollstandigen. Die Existenz dieser exponentiell kleinen Erscheinungen ist ein Grund, warum das Problem der Arnolddiffusion sowohl schwer als auch delikat ist. Urn zu verdeutlichen, wie exponentiell kleine Erscheinungen Bifurkationsprobleme beeinflussen, betrachte man das Problem einer Hamiltonschen Sattelknotenbifurkation

2.9 Die Poincare-Melnikov-Methode

x + fLx + X2 = 0

107 (2.116)

mit zusatzlichen Termen hoherer Ordnung und auBerer Kraft:

x + fLX + X2 + T.h.O. = t5f(t).

(2.117)

Das Phasenportrat von (2.116) wird in Abb. 2.7 dargestellt.

x

x

Abb. 2.7. Phasenportrats von

x + J-lX + X2 = o.

Das System (2.116) ist mit H(x

,

1

1

1

:i;) = _:i;2 + -lIx 2 + _x 3 2 2~ 3

(2.118)

Hamiltonsch. Betrachten wir zunachst das System ohne Terme hoherer Ordnung: (2.119) Um es zu untersuchen, vergroBern wir die Singularitat, indem wir reskalieren. Es gelte (2.120) x(t) = ),~(T), wobei ), =

IfLl

und T = tvl). ist. Mit I = d/dT erhalten wir

(2.121) Die exponentiell kleinen Abschatzungen von Holmes, Marsden und Scheurle [1988] sind auf (2.121) anwendbar. Man erhalt exponentiell kleine obere und

108

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Raumen

untere Abschatzungen in gewissen algebraischen Sektoren der (8, p,)-Ebene, die von der Art von f abhangen. Die Abschatzungen fur die Trennung sind von der Form C(8/f-L2)exp(-7r/~). Betrachte nun

x + f-Lx + X2 + x3 = 8f(t).

(2.122)

Mit 8 = 0 existieren drei Gleichgewichtspunkte bei :i:; = 0 und

x = 0, -r und - -f-L r mit r=

(2.123)

1 + yT=4/J:

(2.124)

2

was fUr f-L ~ 0 ungefahr 1 ist. Das Phasenportrat von (2.122) mit 8 = 0 und = -1/2 wird in Abb. 2.8 gezeigt. Geht f-L durch 0, so unterliegt die kleine Schleife in Abb. 2.8 der gleichen Bifurkation wie in Abb. 2.7, wahrend sich die groBe Schleife nur leicht andert. f-L

x

Abb. 2.8.

x-

~x

+ x2 + x3 =

O.

Wir reskalieren wieder, urn f-L

< 0, (2.125)

zu erhalten. Beachte, daB fur 8 = 0 das Phasenportrat f-L-abhangig ist. Der homokline Orbit, der die kleine Schleife fur f-L < 0 umlauft, ist explizit in Abhangigkeit von ~ durch

2.9 Die Poincare-Melnikov-Methode

109

gegeben, was p,-abhangig ist. Ein interessantes technisches Detail ist, daB wir ohne den kubischen Term p,-unabhangige Doppelpole bei t = ±i1f+log2-log 3 in der komplexen T-Ebene erhalten, wahrend (2.126) ein Paar einfacher Pole besitzt, die diese Doppelpole zu Paaren von einfachen Polen bei T

= ±i1f + log

(~ ± i ~)

(2.127)

spalten, wobei wieder A = 1p,1 ist. (Der Realteil ist nicht von besonderer Bedeutung, wie z.B. log 2 - log 3 im FaIle eines fehlenden kubischen Terms. Dieser kann durch eine Verschiebung des Anfangswertes ~(O) entfernt werden.) Fiigt man einen quartischen Term x4 hinzu, trennen sich die Paare einfacher NuIlstellen in vier Verzweigungspunkte auf, usw. Folglich scheint, wahrend bei der Diskussion der Terme hoherer Ordnung die interessante p,Abhangigkeit auffaIlt, der grundlegende Exponentialanteil der Abschatzungen, namlich (2.128)

weiterhin zu gelten.

3. Eine Einfiihrung in unendlichdimensionale Systeme

Ublicherweise wahlt man in der klassischen Feldtheorie einen unendlichdimensionalen Vektorraum von Funktionen oder Tensorfeldern auf dem Raum oder der Raumzeit als Konfigurationsraum. Die Elemente eines solchen Vektorraums heii3en Felder. Wir betrachten hier die in §2.1 diskutierten unendlichdimensionalen Hamiltonschen Systeme in bezug auf die klassische Lagrangesche und Hamiltonsche Feldtheorie und werden dann Beispiele anfuhren. Die klassische Feldtheorie ist ein weites Themengebiet, von dem hier vieles nicht behandelt wird. Wir werden nur einige wenige Themen behandeln, die grundlegend fur den weiteren Text sind. Zusatzliche Information und Literaturhinweise findet man auch in den Kapiteln 6 und 7.

3.1 Lagrangesche und Hamiltonsche Gleichungen der Feldtheorie Wie fur endlichdimensionale Systeme kann man mit einer Lagrangefunktion und einem Variationsprinzip beginnen und mittels der Legendretransformation zur Hamiltonfunktion ubergehen. Zumindest formal ubertragen sich aIle Konstruktionen, die wir im endlichdimensionalen Fall gemacht haben, auf den unendlichdimensionalen Fall. Wahlen wir z.B. Q = F(~3), den Raum der Felder

(3.1) Dies ist im ublichen Sinne zu den Euler-Lagrange-Gleichungen d 6L dt 6tp

aquivalent. Hier ist

6L 6

1f= -

J. E. Marsden et al., Einführung in die Mechanik und Symmetrie © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

(3.2)

(3.3)

112

3. Eine Einfiihrung in unendlichdimensionale Systeme

der konjugierte Impuls, den wir wie in Kap. 2 als eine Dichte auf dem R. 3 auffassen. Die zugehorige Hamiltonfunktion ist gemiiJ3 unserer allgemeinen Theorie

H(cp, n) =

J

mp - L(cp, ~).

(3.4)

Wir wissen auch, daB die Hamiltonfunktion die kanonischen Hamiltonschen Gleichungen erzeugen sollte. Dies wird jetzt gezeigt. Proposition 3.1.1. Sei Z = F(R. 3 ) x Den(R.3 ) mit D wie in Beispiel (2.2.2) aus §2.2 definiert, dann ist das zu einer gegebenen Energiefunktion H : Z -t R. gehOrige H amiltonsche Vektorfeld X H : Z -t Z durch

(3.5) gegeben. Die Hamiltonschen Gleichungen auf Z lauten

acp at

oH On'

an at

(3.6)

Bemerkungen 1. Die Symbole Fund Den stehen fur Funktionenraume, die im Raum aller Funktionen und Dichten enthalten und so gewahlt sind, daB sie den funktionalanalytischen Anspruchen des speziellen Problems gerecht werden. In der Praxis bedeutet dies oftmals, daB neb en anderen Bedingungen geeignete Bedingungen im Unendlichen gefordert werden, urn partiell integrieren zu konnen. 2. Die Bewegungsgleichungen fur eine Kurve z(t) = (cp(t),n(t)), die in der Form D(dz/dt, Sz) = dH(z(t)) . Sz fur alle Sz E Z mit kompaktem Trager geschrieben sind, nennt man die schwache Form der Bewegungsgleichungen. Diese konnen auch noch giiltig sein, wenn nicht genugend Glattheit oder Abfall im Unendlichen vorhanden ist, urn die eigentliche Gleichung dz/dt = XH(Z) zu rechtfertigen. Diese Situtation kann z.B. auftreten, wenn man Schockwellen betrachtet.

Beweis (von Proposition 3.1.1). Urn die partiellen Funktionalableitungen herzuleiten, verwenden wir die naturliche Paarung

und wobei wir n = n'd3 x EDen schreiben. Wir erinnern daran, daB SH/Scp eine Dichte ist und dann sei

X = (SH _ SH) Sn' Scp .

(3.8)

3.2 Beispiele: Die Hamiltonschen Gleichungen

113

Wir haben zu zeigen, daB folgendes gilt: D (X (ip, n), (0 ip, on)) = dH (ip, n) . (Oip, on). Und tatsiichlich ist

D(X(ip, n), (Oip, on)) = D (

=

(~~, - ~!) ,(Oip, on))

J~~

= \

(on)'d 3 x +

J

Oip

(~!)' d x 3

~~ ,on) + \ Oip, ~!)

= D7rH(ip, n) . On + DrpH(ip, n) ·Oip = dH(ip,n)· (oip,on).

• 3.2 Beispiele: Die Hamiltonschen Gleichungen Beispiel 3.2.1 (Die Wellengleichung). Betrachte wie oben Z = F(JR. 3 ) x Den(JR.3). Bezeichne ip die Konfigurationsvariable, d.h. die erste Komponente im Phasenraum F(JR. 3 ) x Den(JR.3), und interpretiere ip als ein Ma£ fUr die Auslenkung eines homogenen elastischen Mediums aus dem Gleichgewicht. Mit n' = p dip / dt, wobei p die Massendichte ist, lii£t sich die kinetische Energie in der Form T

=~

2

J~ p

[n']2 d 3x

schreiben. Fiir kleine Abweichungen ip geht man von einer linearen Riickstellkraft aus, wie z.B. von der durch die potentielle Energie

mit einer Elastizitiitskonstanten k gegebenen. Da wir ein homogenes Medium betrachten, sind p und k Konstanten. Wir wiihlen Einheiten fiir die sie 1 sind. Nichtlineare Effekte k6nnen in naiver Weise modelliert werden, indem man einen nichtlinearen Term U(ip) zum Potential hinzufiigt. Fiir ein elastisches Medium soUte man eigentlich bestehende Beziehungen, die auf Prinzipien der Kontinuumsmechanik basieren, verwenden, vgl. Marsden und Hughes [1983]. In einem einfachen Modell ist die Hamiltonfunktion H : Z -+ JR. die Gesamtenergie

(3.9) Mit der Definition der Funktionalableitung erhalten wir

114

3. Eine EinfUhrung in unendlichdimensionale Systeme

JH J1f

=

,

(3.10)

1f ,

Deshalb lauten die Bewegungsgleichung

81f' = \7 2 8t c.p

_

U'( ) c.p,

(3.11)

oder als Gleichung zweiter Ordnung

(3.12) Die Starung U wird nach den verschiedenen physikalischen Anwendungen ausgewiihlt. 1st U' = 0, so erhalten wir dielineare Wellengleichung mit normierter Phasengeschwindigkeit. Eine andere Wahl, U(c.p) = (1/2)m 2c.p2+>.c.p4, tritt in der Quantentheorie der selbstwechselwirkenden Mesonen auf. Der Parameter m beschreibt die Masse des Meson und c.p4 bestimmt den nichtlinearen Anteil der Wechselwirkung. 1st >. = 0, so erhalten wir die Klein-

Gordon-Gleichung (3.13) Technische Erganzungen. Eine geeignete Wahl des Funktionenraumes fur die Wellengleichung ist Z = H I (JR3) x Lbcn(JR3 ), wobei HI (JR3) die HI_ Funktionen auf dem JR3 bezeichnet, also Funktionen, die zusammen mit ihren Ableitungen quadratintegrabel sind, und Lben(JR3 ) den Raum der Dichten 1f = 1f' d 3 x, wobei die Funktion 1f' auf dem JR'.3 quadratintegrabel ist. Beachte, daB das Hamiltonsche Vektorfeld

nur auf dem dichten Unterraum H2(JR'.3) x H6en(JR 3 ) von Z definiert ist. Dies tritt bei der Untersuchung von Hamiltonschen partiellen Differentialgleichungen hiiufig auf. In §3.3 kommen wir hierauf zuruck. In dem vorigen Beispiel war n durch die kanonische Form gegeben, mit der Konsequenz, daB die Bewegungsgleichungen die Standardform (3.5) hatten. Zudem war die Hamiltonfunktion durch die Energie des betrachteten Systems gegeben. Wir werden nun Beispiele anfuhren, fur die diese Aussagen uminterpretiert werden mussen, die aber dennoch in die von uns entwickelte allgemeine Theorie passen. Beispiel 3.2.2 (Die Schrodingergleichung). Sei 1i ein komplexer Hilbertraum, z.B. der Raum der komplexwertigen Funktionen 7/J auf dem JR3 mit dem hermiteschen inneren Produkt

3.2 Beispiele: Die Hamiltonschen Gleichungen

115

wobei der Querstrich die komplexe Konjugation bedeutet. Fur einen selbstadjungierten komplexlinearen Operator Hop: 1i -+ 1i lautet die Schrodingergleichung

in ~~ = Hop1/; mit dem Planckschen Wirkungsquantum

n.

(3.14)

Definiere

i

A = --nHop, womit die Schrodingergleichung die Gestalt

a1/; = A1/;

at

(3.15)

bekommt. Die symplektische Form auf 1i ist durch Q(1/;1 , 1/;2) = -2n· 1m (1/;1, 1/;2) gegeben. Die Selbstadjungiertheit von Hop ist eine starkere Bedingung als die Symmetrie und maBgeblich fur den Nachweis der Korrektheit des Anfangswertproblems fur (3.14). Eine Darstellung findet man z.B. in Abraham, Marsden und Ratiu [1988]. Historisch war es Kato [1950], der die Selbstadjungiertheit fUr wichtige Probleme wie z.B. das Wasserstoffatom betrachtete. Wir wissen seit §2.5, daB A, weil Hop symmetrisch ist, Hamiltonsch ist. Die Hamiltonfunktion lautet

H(1/;) = n (iA1/;, 1/;) = (Hop1/;,1/;).

(3.16)

Dies ist der Erwartungswert von Hop bei 1/;, definiert durch (Hop) (1/;)

=

(Hop 1/;, 1/;). Beispiel 3.2.3 (Die Korteweg-de Vries (KdV) Gleichung). Man bezeichne mit Z den Untervektorraum F(~), der aus denjenigen Funktionen u besteht, fur die lu(x)1 fur x -+ ±oo hinreichend schnell abfallt, damit die von uns verwendeten Integrale definiert sind und partielles Integrieren moglich ist. Die Poissonklammern fUr die KdV-Gleichung sind, wie wir spater sehen werden, recht einfach und wurden noch vor der symplektischen Struktur entdeckt (vgl. Gardner [1971] und Zakharov [1971, 1974]). Urn mit unserer Darstellung konsistent zu bleiben, beginnen wir mit der etwas komplizierteren symplektischen Struktur. Betrachte die Paarung von Z mit sich mittels des inneren Produktes des L2. Die symplektische Struktur der KdV-Gleichung Q sei durch (3.17) definiert, wobei

u eine Stammfunktion von u ist, also ist (3.18)

116

3. Eine Einftihrung in unendlichdimensionale Systeme

In §8.5 werden wir eine M6glichkeit kennenlernen, diese Form zu konstruieren. Die Form fl ist offensichtlich schiefsymmetrisch. Falls Ul = av / ax fur ein v E Z ist, so gilt

(3.19) 1st also u1 (x)

= av (x ) / ax, dann kann fl in der Form

geschrieben werden. Urn nachzuweisen, daB fl schwach nichtausgeartet ist, uberprUfen wir, daB fur v =1= 0 ein w existiert, so daB fl( w, v) =1= 0 ist. 1st v =1= 0 und sei w = av / ax, so ist tatsachlich w =1= 0, da v(x) -t 0 fur Ixl -t 00. Also folgt mit (3.20)

fl(w, v) = fl

(~~,v)

=

1:

(v(x))2dx

=1=

O.

Angenommen H : Z -t lR sei eine gegebene Hamiltonfunktion. Wir behaupten, daB das zugeh6rige Hamiltonsche Vektorfeld X H durch

XH(U) = -a ax

(8H) 8u

(3.21 )

gegeben ist. In der Tat ist mit (3.20)

fl(XH(V), w) =

1 8H 00

-00

Tv(x)w(x) dx = dH(v) . w.

(3.22)

Aus (3.21) folgt die Form der zugeh6rigen Hamiltonschen Gleichungen: (3.23)

3.2 Beispiele: Die Hamiltonschen Gleichungen

117

In (3.23) und folgend bezeichnen die unteren Indizes Ableitungen nach den Indexvariablen. Betrachte als Spezialfall die Funktion H1(u)

Dann ist

11

= --

6

[) oH1

--- =

00

u 3 dx.

-00

-uU x

[)x Ou und somit wird (3.23) zur eindimensionalen Transportgleichung Ut

+ UU x = O.

(3.24)

Als nachstes sei (3.25)

dann wird (3.23) zu Ut

+ 6uu x + U xxx = O.

(3.26)

Dies ist die Korteweg-de Vries (KdV) Gleichung. Sie beschreibt Flachwasserwellen. Fur eine kurze Darstellung ihres beruhmten vollstandigen Satzes von Integralen sei auf Abraham und Marsden [1978], §6.5 und hinsichtlich weiterer Informationen auf Newell [1985] verwiesen. Die ersten Integrale sind in Ubung 3.3.1 gegeben. Auf dieses Beispiel werden wir von Zeit zu Zeit zuruckkommen, nun wollen wir aber sich fortpflanzende Wellen als Lasungen der KdV-Gleichung finden.

Sich fortpflanzende Wellen. Bei der Suche nach sich fortpflanzenden Wellen als Lasung von (3.26), also bei der Suche nach einer Funktion u(x, t) = <.p(x - ct) fur eine Konstante c> 0 und eine positive Funktion <.p, sehen wir, daB u genau dann die KdV-Gleichung erfullt, wenn 'P folgendes erfullt: C<.p' - 6<.p<.p' - <.pili

= O.

(3.27)

Einmaliges Integrieren ergibt c<.p - 3<.p2 - <.pI!

= C,

(3.28)

wobei C eine Konstante ist. Diese Gleichung ist in den kanonischen Variablen (<.p, <.p') Hamiltonsch mit der Hamiltonfunktion

h( <.p, <.p') =

~ (<.p')2

_

~<.p2 + <.p3 + C<.p.

(3.29)

Aus der Energieerhaltung h( <.p, <.p') = D folgt <.p'

oder mit s = x - ct

= ± J C<.p2

- 2<.p3 - 2C<.p

+ 2D,

(3.30)

118

3. Eine EinfUhrung in unendlichdimensionale Systeme

s=±J

drp . 2rp3 - 2Crp + 2D

J Crp2 -

Wir suchen Lasungen, die zusammen mit ihren Ableitungen bei schwinden. Dann liefem (3.28) und (3.30) C = D = 0, somit ist s= ±J

drp

vicrp2 -

2rp3

1 1og =±-

Vc

(3.31 )

±oo

Ivc - 2rp - Vc I+ K V 2rp + Vc

ver-

(3.32)

C -

fur eine Konstante K, die unten bestimmt wird. Fur C = D = 0 bekommt die Hamiltonfunktion (3.29) die Gestalt (3.33)

damit sind die zwei durch oh/orp = 0 und oh/orp' = 0 gegebenen Gleichgewichtspunkte (0,0) und (c/3, 0). Die Matrix des linearisierten Hamiltonschen Systems in diesen Gleichgewichtspunkten ist

was zeigt, daB (0,0) ein Sattel und (c/3,0) spektralstabil ist. Das Kriterium der zweiten Variation der potentiellen Energie (vgl. §1.1O) -crp2/2 + rp3 bei (c/3,0) zeigt, daB dieses Gleichgewicht stabil ist. 1st (rp(s),rp'(s)) ein homokliner Orbit, der in (0,0) beginnt und dort endet, so ist der Wert der Hamiltonfunktion (3.33) darauf also H(O,O) = O. Aus (3.33) folgt, daB (c/2, 0) ein Punkt auf dies em homoklinen Orbit ist und folglich wird er durch (3.31) mit C = D = 0 beschrieben. Wahlt man rp(O) = c/2, rp'(O) = 0 als Anfangsbedingung fur diesen Orbit in s = 0, so resultiert aus (3.32) K = 0 und damit ~-Vcl =e±YCs. VC - 2rp +

I

Vc

Da nach Annahme rp 2: 0 ist, ist der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen negativ, also ist ~ = _e±YCs VC - 2rp +

- Vc Vc

und dessen Lasung ist 2ce±YCs

c

rp(s) = (1 + e±ycs)2 Dies ergibt die SolitonenlOsung

u(x, t) =

~sech2 [

f

(x - ct)] .

3.2 Beispiele: Die Hamiltonschen Gleichungen

119

Beispiel 3.2.4 (Die sin-Gordon-Gleichung). Fur Funktionen u(x, t) mit reellen Variablen x und t lautet die sin-Gordon-Gleichung Utt = U xx + sin u. Die Gleichung (3.12) zeigt, daB sie mit der Impulsdichte 1f = Ut dx (und der assoziierten Funktion 1f' = Ut),

(3.34) und der in der Wellengleichung verwendeten kanonischen Klammerstruktur Hamiltonsch ist. Auch diese Gleichung hat einen vollstandigen Satz von Integralen, vgl. wieder Newell [1985].

Beispiel 3.2.5 (Die abstrakte Wellengleichung). Sei H ein reeller Hilbertraum und B : H --+ H ein linearer Operator. Verwende auf H x H die durch (2.25) gegebene symplektische Struktur D. Es laBt sich folgendes nachWelsen: (i)

A=

[_OB~]

ist genau dann schiefsymmetrisch bzgl. D, wenn

Bein

symmetrischer Operator auf H ist, und (ii) ist B symmetrisch, so ist die Hamiltonfunktion fUr A H(x,y)

1

= 2(lly112 + (Bx,x).

(3.35)

Die Bewegungsgleichung (2.50) liefert die abstrakte Wellengleichung

x+Bx = 0. Beispiel 3.2.6 (Die lineare Elastodynamik). Betrachte die Gleichungen pUtt

= div(c· \7u),

also i _ a [ijklauk] pUtt - axj c axl

(3.36)

auf dem ~3, wobei peine positive Funktion und c ein Tensorfeld vierter Ordnung (der Elastizitiitstensor) auf dem ~3 mit den Symmetrien cijkl = cklij = cjikl ist. Auf F(~3; ~3) x F(~3; ~3) (oder genauer auf Hl(~3; ~3)

X L2(~3; ~3)

mit geeignetem Abfallverhalten im Unendlichen) definieren wir

D((u, iI), (v,

v»

= ( p(v· u - iI· v) d3 x. Jrrt 3

(3.37)

120

3. Eine EinfUhrung in unendlichdimensionale Systeme

Die Form fl ist die kanonische symplektische Form (2.22) fur Felder u und ihre konjugierten Impulse 7r = pu. Betrachte auf dem Raum der Funktionen u : jR3 -+ jR3 das p-gewichtete innere Produkt des L2 (3.38) Dann ist der Operator Bu = -(I/p)div(c· Vu) hinsichtlich dieses inneren Produktes symmetrisch und damit ist nach dem obigen Beispiel (3.2.5) der Operator A(u, u) = (u, (1/ p) div(c· Vu)) fl-schiefsymmetrisch. Es wurde gezeigt, daB die Gleichungen (3.2.6) der linearen Elastodynamik hinsichtlich der durch (3.37) gegebenen Form fl und mit Energie (3.39) Hamiltonsch sind, wobei eij

=

~2 (88U" + 88Ul ) Xl X"

.

Ubungen Ubung 3.2.1. (a) Sei cP : jRn+l -+ R Zeige direkt, daB die sin-Gordon-Gleichung

fur eine geeignete Lagrangefunktion der Euler-Lagrange-Gleichung entspricht. (b) Sei cP : jRn+l -+ C Schreibe die nichtlineare Schrodingergleichung

.8cp

Z 8t

2

2

+ V cp + ,Bcplcpl = 0

als ein Hamiltonsches System.

Ubung 3.2.2. Finde eine "Solitonenlosung" fur die sin-Gordon-Gleichung

in einer Raumdimension.

3.3 Beispiele: Poissonklammern und ErhaltungsgroBen

121

Ubung 3.2.3. Betrachte die komplexe nichtlineare Schradingergleichung in einer Raumdimension:

(a) Zeige, daB die Funktion 'ljJ : lR --+ C, die die Lasung einer sich fortpflanzenden Welle cp(x, t) = 'ljJ(x - ct) mit c> 0 definiert, die komplexe Differentialgleichung zweiter Ordnung erfullt, die zu dem Hamiltonschen System im ]R4 bzgl. der nichtkanonischen symplektischen Form, deren Matrix durch

oc0 01 10] -c -1 0 00 o -100

r

gegeben ist, aquivalent ist, vgl. Ubung 2.4.l. (b) U ntersuche die G leichgewichtspunkte des resultierenden Hamiltonschen Systems im ]R4 und bestimme das Stabilitatsverhalten des linearisierten Systems. (c) Sei 'ljJ(s) = eics / 2 a(s) fur eine reelle Funktion a(s). Bestimme eine Gleichung zweiter Ordnung fUr a(s). Zeige, daB die entstehende Gleichung Hamiltonsch ist und fur f3 < 0 heterokline Orbits hat. Finde diese. (d) Finde "Solitonenlasungen" fUr die komplexe nichtlineare Schradingergleichung.

3.3 Beispiele: Poissonklammern und ErhaltungsgroBen Es ist nutzlich, einige grundlegende Tatsachen zum Drehimpuls der Teilchen im ]R3 zu wiederholen, bevor wir mit Beispielen zu unendlichdimensionalen Systemen fortfahren. (Analog dazu soUte sich der Leser um eine Diskussion zum 1mpuls bemuhen.) Betrachte ein Teilchen, das sich unter dem EinfluB eines Potentials V im ]R3 bewegt. Sei die Ortskoordinate mit q bezeichnet, so daB das zweite Newtonsche Axiom

mq = -\lV(q) lautet. Sei p

= mq der 1mpuls und J = q x p der Drehimpuls. Dann ist

!J

=

q x p + q x i> =

-q x \lV(q).

1st V radialsymmetrisch, dann ist es nur ein Funktion von es ist

Ilqll. Angenommen

122

wobei

3. Eine Einfiihrung in unendlichdimensionale Systeme

f eine glatte Funktion ist (ausgenommen q = 0, falls notig). Dann ist

und somit q x \7V (q) = 0. Foiglich ist in diesem Fall dJ / dt = 0, also ist J eine ErhaltungsgroBe. Alternativ kann man mit H(q,p) =

1

2mllpl12 + V(q)

°

direkt nachweisen, daB {H, Jz} = ist fUr l = 1,2,3 und J = (h, J2 , J3 ). Dies zeigt auch, daB jede Komponente Jz unter der von H bestimmten Hamiltonschen Dynamik erhalten bleibt. Weitere Einsichten gewinnt man, indem man die Komponenten von J genauer betrachtet. Betrachte z.B. die skalare Funktion F(q, p)

= J(q, p) . wk,

wobei w eine Konstante und k = (0,0,1) ist. Wir erhalten

Das Hamiltonsche Vektorfeld von Fist

Xp(q,p) =

=

oF of of of of OF) ( ~'~'~'--;::;--f'-~'-~ UPI UP2 UP3 uq uq uq (_wq2, wql, 0, -WP2, WPI,

0).

Beachte, daB X p gerade das zugehOrige Vektorfeld zum FluB in der (ql, q2)_ und (PI,P2)-Ebene ist, der aus Rotationen um den Ursprung mit Winkelgeschwindigkeit w besteht. Allgemeiner hat das Hamiltonsche Vektorfeld, das mit einer durch Jw := J . W definierten skalaren Funktion assoziiert ist, wobei w ein Vektor im ]R3 ist, einen FluB, der aus Rotationen um die Achse w besteht. Wie wir in Kap. 11 und 12 sehen werden, ist dies der Ausgangspunkt, um den Zusammenhang zwischen Erhalungssatzen und Symmetrien allgemeiner zu verstehen. Noch eine weitere Beziehung ist bemerkenswert. Fur zwei Vektoren WI und W2 gilt namlich Dies ist, wie wir spater sehen werden, ein wichtiger Zusammenhang zwischen der Poissonklammerstruktur und der Struktur der Liealgebra der Drehgruppe. Beispiel 3.3.1 (Die Schrodingerklammer). In Beispiel 3.2.2 aus §3.2 sahen wir, daB fur einen selbstadjungierten, komplex linearen Operator Hop auf einem Hilbertraum H der Operator A = Hop/(ifi,) Hamiltonsch und die

3.3 Beispiele: Poissonklammern und ErhaltungsgroBen

123

zugehOrige Energiefunktion HA der Erwartungswert (Hop) von Hop ist. Seien Hop und Kop zwei solche Operatoren und wenden wir den Zusammenhang (2.72) zwischen Poissonklammer und Kommutator an oder fuhren eine direkte Berechnung durch, so erhalten wir (3.40)

Mit anderen Worten: Der Erwartungswert des Kommutators ist die Poissonklammer der Erwartungswerte. Resultate dieser Art fuhren zu Aussagen wie "Kommutatoren in der Quantenmechanik sind nicht nur analog zu Poissonklammern, sie sind Poissonklammern." Man kann sogar soweit gehen, zu sagen: Die Quantenmechanik ist ein SpezialJall der klassischen Mechanik, nicht aber die Quantenmechanik richtig und die klassische Mechanik Jalsch. " Wahlen wir Kop'ljJ = 'ljJ, den Identitatsoperator, so ist die zugehOrige Hamiltonfunktion p('ljJ) = 11'ljJ112 und mit (3.40) sehen wir, daB p fUr jede Wahl von Hop eine ErhaltungsgroBe ist, eine Tatsache, die fur die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik von zentraler Bedeutung ist. Spater werden wir erkennen, daB p die zu der Phasensymmetrie 'ljJ H ei8 'ljJ zugehOrige ErhaltungsgroBe ist. Allgemeiner gilt: Sind Fund G zwei Funktionen auf 1i mit of/ o'ljJ = \.7 F, den Gradienten von F bzgl. des reellen inneren Produktes Re (,) auf H, so ist (3.41) und

1

{F, G} = - 2n 1m (\.7 F, \.7G) . Beachte, daB (3.41), (3.42) und Imz ben:

(3.42)

= -Re(iz) wie erwartet folgendes erge-

1 dF . Xc = Re (\.7 F, Xc) = 2n Re (\.7 F, -i\.7G) =

1

.

2nRe (z\.7F, \.7G) 1

= - 2nlm (\.7 F, \.7G) = {F,G}. Beispiel 3.3.2 (Die KdV-Klammer). Mit der Definition der Klammer (2.63), der symplektischen Struktur und der Formel fUr das Hamiltonsche Vektorfeld aus dem Beispiel 3.2.3 aus §3.2 findet man fur Funktionen F, G von u, deren Funktionalableitungen bei ±oo verschwinden, {F, G} =

J

OO

-00

of a 5u ax

(OG) 5u dx.

(3.43)

124

3. Eine EinfUhrung in unendlichdimensionale Systeme

Beispiel 3.3.3 (Der Impuls und der Drehimpuls fiir die Wellengleichung). Die in dem Beispiel 3.2.1 aus §3.2 diskutierte Wellengleichung im ]R.3 hat die Hamiltonfunktion

H(cp,Jr) =

r [~(Jr')2 + ~IIVcpI12 + U(cp)] d x.

JWl.3

2

(3.44)

3

2

Definiere den Impuls in x-Richtung durch

( ) J,

Px cp,Jr = Aus (3.45) folgt 8Px /8Jr ten wir aus (3.10)

{H,Px}(cp,Jr) =

= =

acp 3 Jr ax d x.

(3.45)

= acp/ax und 8Px /8cp = (-aJr' lax) d3 x, also erhal-

r

JWl.3

(8Px 8H _ 8H 8Px ) 8Jr 8cp 8Jr 8cp

13 [~~ (13 ~~ !

V2 cp + U' (cp )) + Jr' ~~] d3 X

[_V 2cp

+

(U(cp) +

= 0,

~(Jr')2)]

d3 x (3.46)

unter der Annahme, daB die Felder und U im Unendlichen hinreichend schnell verschwinden. (Der erste Term verschwindet, weil er bei partieller Integration das Vorzeichen wechselt.) Foiglich ist Px eine ErhaltungsgroBe. Die Erhaltung von P x steht im Zusammenhang mit der Invarianz von Hunter Translation in x-Richtung. Tiefere Einsichten in diesen Zusammenhang werden spater gewahrt. Naturlich gelten ahnliche Erhaltungssatze fur die y- und z-Richtung. Die Drehimpulse J = (Jx, J y , Jz) sind ebenfalls ErhaltungsgroBen. Hierbei ist z.B. (3.47) Dies wird in analoger Weise gezeigt (fur geeignete Funktionenraume, in denen diese Operationen erklart werden konnen, vgl. Chernoff und Marsden [1974]). Beispiel 3.3.4 (Impuls und Drehimpuls: Die Schrodingergleichung).

Der Impuls. Betrachte das Beispiel 3.2.2 aus §3.2. Wir nehmen an, daB H der Raum der komplexwertigen L2-Funktionen auf dem ]R.3 ist und daB der selbstadjungierte line are Operator Hop: H -+ H mit infinitesimalen Translationen des Arguments vertauscht, die durch einen fest en Vektor ~ E ]R.3 beschrieben werden, d.h., daB Hop(D'lj;O . ~) = D(Hop'lj;O) . ~ fUr jedes 'lj; gilt, des sen Ableitung in H ist. Mit (3.40) zeigt man, daB

P~ ('lj;) = \ ~ D'lj; . ~, 'lj; )

(3.48)

3.3 Beispiele: Poissonklammern und ErhaltungsgroBen

125

mit (Hop) Poisson-kommutiert. 1st ( der Einheitsvektor entlang der x-Achse, so lautet die zugehOrige ErhaltungsgroBe

Drehimpuls. Wir nehmen an, daB Hop: H -+ H mit infinitesimalen Rotationen vertauscht, die durch eine feste (3 x 3)-Matrix w beschrieben werden, d.h., Hop(D'IjJ(x) . wx) = D((Hop'IjJ) (x)) . wx (3.49) flir jedes 'IjJ, des sen Ableitung in H ist, wobei Hop auf der linken Seite als auf die Funktion x f--t D'IjJ(x) . wx wirkend verstanden wird. Dann Poissonkommutiert die Drehimpulsfunktion

J(w) : x

f--t

(iD'IjJ(x) . w(x)jn, 'IjJ(x))

(3.50)

mit H, ist also eine ErhaltungsgroBe. Wahlen wir w = (0,0,1), d.h,

w=

[0 -1 0] 1 0 0 000

,

dann korrespondiert dies zu einer infinitesimalen Rotation urn die z-Achse. Der Drehimpuls urn die xl-Achse ist explizit durch

gegeben, wobei (j, k, l) eine zyklische Permutation von (1,2,3) ist. Beispiel 3.3.5 (Impuls und Drehimpuls in der linearen Elastodynamik). Betrachte wieder die Gleichungen der linearen Elastodynamik, vgl. Beispiel 3.2.6 aus §3.2. Beachte, daB die Hamiltonfunktion invariant unter Translationen ist, falls der Elastizitatstensor c homogen (unabhangig von (x, y, z)) ist. Der zugehOrige erhaltene 1mpuls in x-Richtung ist

Px =

1 . -aaU JR(3

pu·

x

d3

(3.51)

x.

Entsprechend ist die Hamiltonfunktion invariant unter Rotationen, falls c isotrop ist, d.h., 1nvarianz unter Rotationen ist aquivalent dazu, daB c von der Gestalt C ijkl

=

J.L( Oik ojl

+ oilojk) + )"Oij Okl

ist, wobei J.L und ).. Konstanten sind (siehe Marsden und Hughes [1983, Abschnitt 4.3] flir den Beweis). Der erhaltene Drehimpuls urn die z-Achse ist J =

1 . (auay au) ax pu·

JR(3

x- - y-

d3 x.

126

3. Eine Einfiihrung in unendlichdimensionale Systeme

In Kapitel 11 werden wir eine tiefere Einsicht in die Bedeutung und die Konstruktionsweise dieser ErhaltungsgroBen gewinnen. Beispiel 3.3.6 (Einige technische Einzelheiten zu unendlichdimensionalen Systemen). 1m allgemeinen ist das Hamiltonsche Vektorfeld X H , sofern die symplektische Form auf dem Banachraum Z nicht stark ist, nicht auf ganz Z, sondern nur auf einem dichten Teilraum definiert. Zum Beispiel ist im Falle einer Wellengleichung 2cp / 2 = \7 2cp - U' (cp), HI (JR 3) X L2(JR3 ) eine mogliche Wahl eines Phasenraumes. X H ist aber nur auf dem dichten Teilraum H2(JR 3) x HI (JR3) definiert. Es kann auch passieren, daB nicht einmal die Hamiltonfunktion H auf ganz Z definiert ist. 1st z.E. Hop = \7 2 + V fur die Schrodingergleichung auf L2(JR3), so kann Heinen Definitionsbereich haben, der H2(JR 3) enthiilt und dem Definitionsbereich des Hamiltonschen Vektorfeldes iHop entspricht. 1st V singular, so muB der Definitionsbereich nicht genau H2(JR 3) sein. Als eine quadratische Form ist H moglicherweise auf HI (JR3) fortsetzbar. Details findet man in Reed und Simon [1974, Band 2] oder Kato [1984]. Das Problem der Existenz und sogar der Eindeutigkeit von Losungen kann recht heikel sein. 1m Falle linearer Systeme verwendet man fur die Schrodinger- und Wellengleichungen den Satz von Stone und fur allgemeinere lineare Systeme den Satz von Hille-Yosida. Fur die Theorie und Beispiele verweisen wir auf Marsden und Hughes [1983, Kap. 6]. 1m Falle nichtlinearer Hamiltonscher Systeme sind die Satze von Segal [1962]' Kato [1975] und Hughes, Kato und Marsden [1977] relevant. Fur unendlichdimensionale, nichtlineare Hamiltonsche Systeme benotigt man technische Differenzierbarkeitsbedingungen fur ihre Flusse CPt, urn zu garantieren, daB jede Abbildung CPt symplektisch ist, vgl. Chernoff und Marsden [1974] und insbesondere Marsden und Hughes [1983, Kap. 6]. Diese technischen Einzelheiten werden in vielen interessanten Beispielen benotigt.

a at

Ubungen Ubung 3.3.1. Zeige {Fi' Fj } = 0 fur i, j = 0, 1,2,3, wobei die Poissonklammer die KdV-Klammer ist und die Integrale Fo(u)

=

FI(U) =

I: I: (

udx,

00

/

-00

F2(U) =

sind.

1 -u2 dx, 2

_u 3 +

~(ux)2) dx

(die KdV-Hamiltonfunktion),

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

Als Vorbereitung auf spatere Kapitel ist es notwendig, etwas uber die Theorie der Mannigfaltigkeiten zu lemen. Wir erinnem hier an einige grundlegende Tatsachen, beginnend mit dem endlichdimensionalen Fall. (Fur eine umfangreiche Darstellung siehe Abraham, Marsden und Ratiu [1988]). Es ist an dieser Stelle noch nicht notwendig, den gesamten Stoff zu bewaltigen, sondem es genugt, sich einen allgemeinen Uberblick zu verschaffen und bei der Weiterentwicklung der Mechanik wiederholt darauf zuruckzugreifen.

4.1 Mannigfaltigkeiten Zuerst beabsichtigen wir, den Begriff der Mannigfaltigkeit zu definieren. Mannigfaltigkeiten sind grob formuliert abstrakte Flachen, die lokal wie lineare Raume aussehen. Wir gehen zunachst davon aus, daB die linearen Raume dem ]Rn mit einer fest en naturlichen Zahl n entsprechen, die die Dimenision der Mannigfaltigkeit sein wird.

Karten.

Zu einer Menge Mist eine Karte auf Meine Teilmenge U von M zusammen mit einer bijektiven Abbildung cp : U --+ cp(U) C ]Rn. Gewi:ihnlich geben wir cp(m) durch (Xl, ... , xn) an und bezeichnen die xi als Koordinaten des Punktes m E U eM. Die Karten (U, cp) und (U', cp') mit U n U' -=I=- 0 werden vertraglich genannt, falls cp(U n U') und cp' (U' n U) offene Teilmengen des ]Rn sind und die Abbildungen

cp' 0 cp-Ilcp(U n U') : cp(U n U') ----+ cp' (U und

n U')

cp 0 (cp,)-llcp'(U n U') : cp'(U n U') ----+ cp(U n U')

glatt sind. Hier bezeichnet cp' 0 cp-1Icp(U n U') die Einschrankung der Abbildung cp' 0 cp-l auf die Menge cp(U n U'). Siehe Abbildung 4.l. Wir nennen Meine differenzierbare n-Mannigfaltigkeit, falls folgendes gilt:

Ml. Die Menge M wird durch eine Menge von Karten iiberdeckt, d.h., jeder Punkte wird in zumindest einer Karte dargestellt. J. E. Marsden et al., Einführung in die Mechanik und Symmetrie © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

128

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

x" M

, - -__
Xl


v

Xl

Abb. 4.1. Uberlappende Karten auf einer Mannigfaltigkeit.

M2. M hat einen Atlas, d.h., M kann als eine Vereinigung von vertriiglichen K arten ausgedrilckt werden. 1st eine Karte mit einem gegebenen Atlas vertraglich, so kann sie zu dem Atlas hinzugenommen werden, urn einen neuen, groBeren Atlas zu erhalten. Man mochte solche Karten zulassen, durch die ein gegebener Atlas vergroBert wird und dann eine dif/erenzierbare StTuktUT als einen maximalen Atlas definieren. Wir werden von jetzt an differenzierbare Strukturen voraussetzen und widerstehen der Versuchung, an dieser Stelle allzu formal zu werden. Ein einfaches Beispiel wird verdeutlichen, woran wir denken. Angenommen, man faBt den dreidimensionalen Euklidischen Raum ]K3 mit der IdentWit als Kartenabbildung als eine Mannigfaltigkeit auf. Wir wollen natiirlich auch andere Karten, wie z.B. solche, die durch spharische Koordinaten definiert werden, zulassen. Indem wir alle Karten zulassen, deren Koordinatenwechsel mit den Euklidischen Koordinaten glatt sind, erhalten wir einen maximalen Atlas. Eine Umgebung eines Punktcs m in einer Mannigfaltigkeit Mist als das inverse Bild einer Umgebung des Punktes
4.1 Mannigfaltigkeiten CI(O) = C2(O) = m

und

(tp

0

CI)'(O) =

(tp

0

129

C2)'(O)

gilt. Der Strich bezeichnet hier die Differentiation von Kurven im Euklidischen Raum. Es ist leicht nachzuweisen, daB diese Definition kartenunabhangig ist und eine Aquivalenzklasse definiert. Ein Tangentialvektor v zu einer Mannigfaltigkeit M im Punkt m E Mist eine Aquivalenzklasse von Kurven durch m. Es gibt einen Satz, der besagt, daB die Menge der Tangentialvektoren zu M in m einen Vektorraum bildet. Dieser wird mit TmM bezeichnet und Tangentialraum von M in m E M genannt. Zu einer Kurve c(t) bezeichnen wir mit c'(s) den Tangentialvektor in c(s), der durch die Aquivalenzklasse von t r--+ c(s + t) in t = 0 definiert ist. Wir sind so vorgegangen, daB wir uns Tangentialvektoren an eine Mannigfaltigkeit intuitiv als Tangentialvektoren an Kurven in M vorstellen konnen. Sei tp : U c M --+ ]Rn eine Karte fUr die Mannigfaltigkeit M, so daB wir assoziierte Koordinaten (Xl, ... , xn) fUr Punkte in U erhalten. Sei vein Tangentialvektor von M in m, d.h. v E TmM, und c eine Kurve, die ein Reprasentant der Aquivalenzklasse v ist. Die Komponenten von v sind die durch die Ableitungen der Komponenten der Kurve tp 0 c im Euklidischen Raum Vi

= '!!"-(tp 0 dt

c)il

t=O

mit i = 1, ... ,n definierten Zahlen vI, ... , v n . Aus der Definition folgt, daB die Komponenten von der Wahl der Reprasentantenkurve unabhangig sind. Sie hangen aber selbstverstandlich von der Kartenwahl abo Tangentialbiindel. Das Tangentialbundel von M wird mit T M bezeichnet und ist die disjunkte Vereinigung der Tangentialraume an M in den Punkten m EM, also mEM

Demnach ist ein Punkt von TM ein Vektor v, der in einem Punkt m E M zu M tangential ist. 1st Meine n-Mannigfaltigkeit, dann ist TM eine 2n-Mannigfaltigkeit. Urn eine differenzierbare Struktur auf T M zu definieren, mtissen wir lokale Koordinaten auf T M konstruieren. Seien dazu Xl, ... ,xn lokale Koordinaten auf M und vI, ... , v n die Komponenten eines Tangentialvektors in dies em Koordinatensystem. Dann sind die 2n Zahlen Xl, ... , x n , VI, ... ,vn lokale Koordinaten auf TM. Dies ist die grundlegende Idee, urn zu beweisen, daB TM wirklich eine 2n-Mannigfaltigkeit ist. Die naturliche Projektion ist die Abbildung TM : TM --+ M, die einen Tangentialvektor v auf den Punkt m E M, an dem der Vektor v angeheftet ist (d.h., v E TmM), abbildet. Das inverse Bild TJ:/(m) eines Punktes m E Munter der nattirlichen Projektion TM ist der Tangentialraum TmM. Dieser Raum wird die Faser des Tangentialbtindels tiber dem Punkt m E M genannt.

130

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

Differenzierbare Abbildungen und die Kettenregel. Sei f : M --+ N eine Abbildung von einer Mannigfaltigkeit Min eine Mannigfaltigkeit N. Wir nennen f ditferenzierbar (bzw. von der Klasse Ck), wenn die Abbildung f in lokalen Koordinaten auf M und N durch differenzierbare (bzw. C k _) Funktionen dargestellt ist. Mit "dargestellt" meinen wir hier einfach, daB sowohl auf M, als auch auf N Karten gewahlt werden, so daB f bei einer geeigneten Einschrankung in diesen Koordinaten zu einer Abbildung zwischen Euklidischen Raumen wird. Man hat naturlich nachzuweisen, daB dieser Begriff der Glattheit von der Kartenwahl unabhangig ist - dies folgt aus der Kettenregel. Die Ableitung einer differenzierbaren Abbildung f : M --+ N in einem Punkt m E Mist durch die lineare Abbildung

definiert, die in folgender Weise konstruiert wird. Wahle fUr v E TmM eine Kurve e : ]-E, E[ --+ M mit e(O) = m und zugehOrigem Geschwindigkeitsvektor del dt It=o = v. Dann ist Tmf . v der Geschwindigkeitsvektor der Kurve foe: ] - E, E[--+ N fur t = 0, d.h., Tmf· v

= dd f(e(t))1 t

. t=O

Der Vektor Tmf· v hangt nicht von der Kurve e, sondern nur vom Vekor v ab, wie mit der Kettenregel gezeigt werden kann. 1st f : M --+ N von der Klasse Ck, so ist Tf : TM --+ TN eine Abbildung von der Klasse Ck-I. Beachte, daB del dt t=O

= T oe·1

gilt. Falls f : M --+ N und g : N --+ P differenzierbare Abbildungen (oder von der Klasse Ck) sind, dann ist g 0 f : M --+ P differenzierbar (oder von der Klasse Ck) und es gilt die Kettenregel: T(gof) =TgoTf.

Diffeomorphismen. Eine differenzierbare (oder Ck-)Abbildung f : M --+ N wird ein Ditfeomorphismus genannt, wenn sie bijektiv und ihre Inverse ebenfalls differenzierbar (oder von der Klasse Ck) ist. 1st Tmf : TmM --+ Tf(m)N ein Isomorphismus, so besagt der Satz von der Umkehrabbildung, daB f ein lokaler Ditfeomorphismus urn m E Mist, d.h., es gibt offene Umgebungen U urn m in M und V von f(m) in N, so daB flU: U --+ Vein Diffeomorphismus ist. Die Menge aller Diffeomorphismen f : M --+ M bildet eine Gruppe bzgl. der Komposition und mit der Kettenregel folgt T(f-I) = (Tf)-I.

4.1 Mannigfaltigkeiten

131

Untermannigfaltigkeiten und Submersionen. Eine Untermannigfaltigkeit von Mist eine Teilmenge ScM mit der Eigenschaft, daB es fUr jedes s E Seine Karte (U, rp) in M gibt mit der Untermannigfaltigkeitseigenschaft UM.

rp: U ---+ IRk

X

IRn-k und rp(U

n S) = rp(U) n (IRk

x {O}).

Die Zahl k wird die Dimension del' Untermannigfaltigkeit S genannt. Diese Bezeichnung ist mit der Definition der Dimension fUr allgemeine Mannigfaltigkeiten konsistent, da S selbeI' eine Mannigfaltigkeit ist und aIle ihre Karten von del' Form (U n S, rpl (U n S)) sind, fur aIle Karten (U, rp) von M mit der Untermannigfaltigkeitseigenschaft. Beachte, daB jede offene Teilmenge von Meine Mannigfaltigkeit ist und daB eine Untermannigfaltigkeit notwendigerweise lokal abgeschlossen ist, d.h., jeder Punkt s E S hat eine offene Umgebung U von s in M, so daB un Sin U abgeschlossen ist. Es gibt praktische Methoden Untermannigfaltigkeiten mittels glatter Abbildungen zu konstruieren. 1st f : M ---+ N eine glatte Abbildung, so ist ein Punkt m E M ein reguliirer Punkt, falls T mf surjektiv ist, andernfalls ist m ein kritischer Punkt von f. 1st C c M die Menge del' kritischcn Punkte von f, dann ist f(C) C N die Menge del' kritischen Werte von fund N\f (C) die Menge del' reguliiren Werte von f.1 1st f : M ---+ N eine glatte Abbildung und n ein reguHirer Wert von f, so ist nach dem Satz vom reguliiren Wert f-l(n) eine glatte Untermannigfaltigkeit von M del' Dimension dim M - dim N und

Del' lokale Surjektivitiitssatz besagt, daB Tmf : TmM ---+ Tf(m)N genau dann surjektiv ist, wenn es Karten rp : U C M ---+ U' um m E M und 'ljJ : V C N ---+ V' um f(m) E N gibt, so daB rp in den Produktraum ffi.dim M -dim N X ffi.dim N abbildet. Das zugehorige Bild von U' hat die Form eines kartesischen Produktes U' = U" X V'. Der Punkt m wird durch rp(m) = (0,0) auf den Ursprung abgebildet, ebenso f(m), denn 'ljJ(f(m)) = O. Und die lokale Darstellung von fist eine Projektion:

('ljJ

0

f

0

rp-l)(X,y) = x.

Insbesondere ist flU: U ---+ V surjektiv. Falls Tmf fUr aIle m E M surjektiv ist, wird f eine Submersion genannt. Es folgt, daB Submersionen offene Abbildungen sind (die Bilder offener Mengen sind offen). Immersionen und Einbettungen. Eine Ck-Abbildung f : M ---+ N wird eine Immersion genannt, wenn Tmf fur aIle m E M injektiv ist. Der lIst f : M -+ N eine Ck-Abbildung mit k ~ 1 und hat M die Eigensehaft, daB jede offene Uberdeekung eine abzahlbare Teiliiberdeekung besitzt, dann ist naeh dem Satz von Sard, sofern k > max(O, dim M - dim N) ist, die Menge der regularen Werte von f residual und somit dieht in N.

132

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

lokale Injektivitiitssatz besagt, daB Tmf genau dann injektiv ist, wenn es Karten rp : U c M --+ U' fUr mE M und 'IjJ : V c N --+ V' fUr f(m) EN gibt, so daB V' das kartesische Produkt V' = U' x V" C ~dim M X ~dim N -dim Mist. Sowohl m als auch f(m) werden auf die Null abgebildet, d.h., rp(m) = 0 und 'IjJ(f(m)) = (0,0), und die lokale Darstellung von f entspricht der Inklusion

('ljJofOrp-l)(X) = (x,D). Insbesondere ist flU: U --+ V injektiv. Nach dem Immersionssatz ist Tmf genau dann injektiv, wenn es eine Umgebung U von m in M gibt, so daB f(U) eine Untermannigfaltigkeit von N und flU: U --+ f(U) ein Diffeomorphismus ist. Es soUte erwahnt werden, daB dieser Satz nicht besagt, daB f(M) eine Untermannigfaltigkeit von N ist. Zum Beispiel braucht f nicht injektiv zu sein und in f(M) konnen folglich Selbstdurchdringungen auftreten. Selbst wenn f eine injektive Immersion ist, muB das Bild f(M) keine Untermannigfaltigkeit von N sein. Ein Beispiel wird in Abb. 4.2 gezeigt.

f

y

~ [

]

1t/4

1t

x

71t/4

r = cos 28 Abb. 4.2. Eine injektive Immersion.

Die hier dargestellte Abbildung (explizit gegeben durch f :]1f / 4, 71f / 4 [ --+ () t-+ (sin () cos 2(), cos () cos 2())) ist eine injektive Immersion, jedoch stimmt die yom ~2 auf sein Bild induzierte Topologie nicht mit der gewohnlichen Topologie des offenen Intervalls iiberein: Jede Umgebung des Ursprungs in der Relativtopologie besteht im Definitionsintervall aus einer Vereinigung eines offenen Intervalls urn 1f mit zwei offenen Teilintervallen ]1f / 4, 1f / 4 + E[, ]71f/4 - E, 71f/4[. Folglich ist das Bild von f keine Untermannigfaltigkeit des ~2, aber eine injektiv immersierte Untermannigfaltigkeit. Eine Immersion f : M --+ N, also ein Homoomorphismus auf f(M), mit der von N induzierten Relativtopologie wird eine Einbettung genannt. In diesem Fall ist f(M) eine Untermannigfaltigkeit von N und f : M --+ f(M) ein Diffeomorphismus. 1st z.B. f : M --+ N eine injektive Immersion und M kompakt, dann ist f eine Einbettung. Demnach ist also das in der vorherigen ~2;

4.1 Mannigfaltigkeiten

133

Abbildung gegebene Beispiel ein Beispiel fur eine injektive Immersion, die keine Einbettung ist (und naturlich ist M nicht kompakt). Ein anderes Beispiel einer injektiven Immersion, die keine Einbettung ist, stellt der line are FluB auf dem Torus 1I'2 = ]R2 I'd} mit irrationaler Neigung dar: f(t) = (t, at) (mod ;Z;2). Es gibt einen Unterschied zwischen dieser injektiven Immersion und dem obigen Beispiel der "Acht". In gewisser Weise verhalt sich das zweite Beispiel besser. Es ist mit einer gewissen "Gleichma£igkeit" keine Einbettung. Eine injektive Immersion f : M --t N wird regular genannt, falls sie die folgende Eigenschaft besitzt: 1st g : L --t Meine beliebige Abbildung von der Mannigfaltigkeit L in die Mannigfaltigkeit M, so ist g genau dann von der Klasse ck, wenn fog: L --t N von der Klasse C k , fur aIle k 2: 1, ist. Es ist leicht einzusehen, daB aIle Einbettungen diese Eigenschaft haben, daB dies jedoch vom vorherigen Beispiel ebenfalls erfullt wird, ohne eine Einbettung zu sein, und daB das Beispiel der "Acht" (s. Abb. 4.2) dies nicht erfUIlt. Varadarajan [1974] nennt solche Abbildungen quasi-regulare Einbettungen. Sie treten weiter unten im Satz von Frobenius und bei der Untersuchung von Unterliegruppen auf.

Vektorfelder und Fliisse. Ein Vektorfeld X auf einer Mannigfaltigkeit Mist eine Abbildung X : M --t TM, die dem Punkt m E Meinen Vektor X(m) bei m zuordnet, d.h., TMoX ist die Identitat. Der reelle Vektorraum der Vektorfelder auf M wird mit X(M) bezeichnet. Eine Integralkurve von X mit der Anfangsbedingung mo bei t = 0 ist eine (differenzierbare) Abbildung c : la, b[ --t M, wobei la, b[ ein offenes Intervall urn 0, c(O) = mo und c' (t)

= X (c( t ) )

fUr aIle tEla, b[ ist. Bei formaler Darstellung geben wir den Definitionsbereich gewohnlich nicht an, obwohl dieser technisch von Bedeutung ist. Der Fluj1 von X ist die Menge von Abbildungen if!t : M --t M, fur die t f---c> if!t(m) die Integralkurve von X mit der Anfangsbedingung mist. Existenz- und Eindeutigkeitssatze aus der Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen stellen sicher, daB if! , wo definiert, glatt in m und t ist, wenn X dies ist. Aus der Eindeutigkeit erhalten wir die Fluj1eigenschaft

und zusammen mit den Anfangsbedingungen folgt, daB if!o die Identitat ist. Die FluBeigenschaft verallgemeinert den Fall, in dem M = Vein linearer Raum, X(m) = Am fur einen (beschrankten) linearen Operator A und

if!t(m) = etAm ist, auf den nichtlinearen Fall. Ein zeitabhangiges Vektorfeld ist eine Abbildung X : M x ]R --t T M, so daB X(m, t) E TmM fUr jedes m E M und t E ]R gilt. Eine Integralkurve

134

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

von X ist eine Kurve c(t) in M, fUr die c'(t) ist der FluB die Menge der Abbildungen

= X(c(t), t) gilt. In diesem Fall


fur die t M
0


1st X zeitunabhangig, stehen die zwei FluBbegriffe uber
=

t

au ;x~-l)

Vi

i=l

gegeben, wobei

= { a~l ' ... , a~n } ,

so daB v = via/ax i ist. Ersetzen wir jeden Vektorraum TmM durch seinen Dualraum T:;'M, so erhalten wir eine neue 2n-Mannigfaltigkeit, die das Kotangentialbiindel genannt und mit T* M bezeichnet wird. Die Dualbasis zu a / axi wird mit dx i bezeichnet. Folglich erhalten wir bzgl. einer Wahl lokaler Koordinaten die element are Formel af i df(x) = -a.dx x' fUr jede glatte Funktion f : M --+ R

4.2 Differentialformcn

135

Ubungen Ubung 4.1.1. Zeige, daB die 2-Sphare 52 C lR3 eine 2-Mannigfaltigkeit ist. Ubung 4.1.2. Zeige, daB wenn Achse urn den Winkel t rotiert, auf 52 ist.

52 -+ 52 Punkte auf 52 urn eine feste der FluB eines bestimmten Vektorfeldes

ipt : ipt

Ubung 4.1.3. Sei f : 52 -+ lR durch f(x, y, z) = z definiert. Berechne df fUr spharische Koordinaten (e, ip).

4.2 Differentialformen Als nachstes betrachten wir einige grundlegende Definitionen, Eigenschaften und Operationen auf Differentialformen. Beweise werden nicht angegeben (siehe Abraham, Marsden und Ratiu [1988] und dortige Literaturhinweise). Die den Differentialformen zugrundeliegende Idee ist, die elementaren Operationen der Vektoranalysis div, grad und rot und die Integralsiitze von Green, GaufJ und Stokes auf Mannigfaltigkeiten von beliebiger Dimension zu verallgemeinern.

Grundlegende Definitionen. Wir trafen schon auf 1-Formen, ein Ausdruck, der in zweifacher Weise verwendet wird - sie sind entweder Elemente eines speziellen Kotangentialraumes T:"M oder, analog zu einem Vektorfeld, eine Zuordnung von einem Kotangentialvektor aus T:"M zu jedem m E M. Ein elementares Beispiel einer I-Form stellt das Differential einer reellwertigen Funktion dar. Eine 2-Form fl auf einer Mannigfaltigkeit Mist eine Funktion, die jedem Punkt m E Meine schiefsymmetrische Bilinearform fl(m) : TmM x TmM -+ lR auf dem Tangentialraum TmM an M in m zuordnet. Allgemein ist eine k-Form a (manchmal eine Differentialform vom Grad k genannt) auf einer Mannigfaltigkeit Meine Funktion, die jedem Punkt m E Meine schiefsymmetrische k-lineare Abbildung a(m) : TmM x ... x TmM (k Faktoren) -+ lR auf dem Tangentialraum TmM an Min m zuordnet. Ohne die Annahme der Schiefsymmetrie wurde a ein (0, k)- Tensor genannt werden. Eine Abbildung a : V x ... x V (mit k Faktoren) -+ lR ist k-linear, wenn sie in jedem ihrer Faktoren linear ist, d.h.,

fUr alle j mit 1 ::; j ::; k. Eine k-lineare Abbildung a : V x ... x V -+ lR ist schiefsymmetrisch oder alternierend, wenn sie beim Vertauschen zweier Argumente immer das Vorzeichen wechselt, d.h., fUr alle VI, ... , Vk E V gilt

136

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

Seien

Xl, ... ,X n

Koordinaten auf M,

die zugehOrige Basis fur TmM und {e l , ... , en} = {dXI, ... , dxn} die Dualbasis fur T;"M. Dann konnen wir eine 2-Form in jedem m E M als

und allgemeiner eine k- Form als

schreiben mit Summation uber i l

gegeben und

Vi

, ... ,

ik. Dabei sind die Koeffizienten durch

= via /ax j mit Summation uber

j.

Tensor- und Dachprodukte. Fur einen (0, k)-Tensor 0; und einen (0, l)Tensor (3 auf einer Mannigfaltigkeit Mist ihr Tensorprodukt 0; ® (3 der fur jeden Punkt m E M durch (0;

® (3)m(VI, ... , Vk+l)

=

o;m(Vl, ... , Vk)(3m(Vk+l,

... , Vk+l)

(4.1)

definierte (0, k + l)- Tensor auf M. 1st t ein (O,p)-Tensor, dann definiert man den auft wirkenden Alternierungs operator A durch

wobei sgn( 7r) das Vorzeichen der Permutation sgn( 7r)

=

1 fur {+ -1 fUr

7r 7r

7r

gerade ungerade

(4.3)

und Sp die Gruppe aller Permutationen der Menge {I, 2, ... ,p} ist. Der Operator A schiefsymmetrisiert daher p-lineare Abbildungen. 1st 0; eine k- Form und (3 eine l- Form auf M, so ist ihr Dachprodukt 0; 1\ (3 die durch 2 2

Der Faktor in (4.4) entspricht der Konvention von Abraham und Marsden [1978], Abraham, Marsden und Ratiu [1988] und Spivak [1976] aber nicht der von Arnold [1989], Guillemin und Pollack [1974] oder Kobayashi und Nomizu [1963]. Es ist die Konvention von Bourbaki [1971].

4.2 Differentialformen

00/\(3 =

(k + l)! k! l! A(oo ® (3)

137

(4.4)

definierte (k + l)-Form auf M. Sind z.B. a und (3 I-Formen, so ist

falls jedoch a eine 2-Form und (3 eine I-Form ist, so gilt

Wir geben die folgende Proposition ohne Beweis an:

Proposition 4.2.1. Das Dachprodukt hat die folgenden Eigenschaften

(i) 00/\(3 ist assoziativ : 00/\ ((3/\ ,) = (a /\ (3) /\ ,. (ii) 00/\(3 ist bilinear in a, (3 :

(aOOl + bOO2) /\ (3 = a(OOl /\ (3) + b(002 /\ (3), 00/\ (C(31

+ d(32) = c(oo /\ (31) + d(oo /\ (32).

(iii) 00/\(3 ist antikommutativ : 00/\(3 und (3 eine l- Form ist.

= (_I)kl(3/\oo, wobei a eine k-Form

Mit der Dualbasis dx i kann jede k-Form lokal als

geschrieben werden, wobei tiber aIle i j mit il

< ... < ik summiert wird.

Pullback und Pushforward. Sei t.p : M -+ N eine Coo-Abbildung von der Mannigfaltigkeit M in die Mannigfaltigkeit N und a eine k- Form auf N, dann ist der Pullback t.p*oo von a durch t.p die auf M gegebene k-Form

1st t.p ein Diffeomorphismus, dann ist der ( t.p -1) * definiert.

Pushforward t.p* durch t.p* =

Es folgt eine weitere grundlegende Eigenschaft.

Proposition 4.2.2. Der Pullback eines Dachproduktes ist das Dachprodukt der Pullbacks: t.p* (a /\ (3) = t.p* 00/\ t.p* (3. (4.6)

138

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

Innere Produkte und auBere Ableitungen. Sei a eine k-Form auf einer Mannigfaltigkeit M und X ein Vektorfeld. Das innere Produkt ixoo wird durch

(4.7) definiert (und manchmal auch die Kontraktion von a mit X genannt, in der "Hakenschreibweise" X --.J a). Proposition 4.2.3. Sei a eine k-Form und (3 eine l-Form auf einer Mannigfaltigkeit M. Dann ist

ix(oo i\ (3) = (ixoo)

i\ (3

+ (-I)koo i\ (ix(3).

(4.8)

In der "Hakenschreibweise" lautet diese Proposition

Die iiuftere Ableitung doo einer k-Form a auf einer Mannigfaltigkeit Mist die durch folgende Proposition bestimmte (k + I)-Form auf M: Proposition 4.2.4. Es gibt eine eindeutige Abbildung d von den k-Formen auf M in die (k + 1)-Formen auf M mit

(i) 1st a eine O-Form (k = 0), d.h., 00= f

E

F(M), dann ist df eine durch

das Differential von f gegebene I-Form.

(ii) doo ist linear in a, d.h., fur alle reellen Zahlen

Cl

und

C2

ist

(iii) doo genugt der Produktregel, d.h.,

wobei a eine k-Form und (3 eine l-Form ist.

(iv) d 2 = 0, d.h., d(doo) = 0 fur jede k-Form oo. (v) d ist ein lokaler Operator, d.h., doo(m) hiingt nur von a eingeschriinkt auf eine beliebige offene Umgebung von m abo 1st U offen in M, so gilt

d(ooIU) = (doo)IU. 1st a eine in Koordinaten gegebene k-Form 00=00''l,l···'l,k . dxil i\ ... i\

dX ik

(Summation tiber i 1 < ... < ik),

so lautet die Koordinatenschreibweise ftir die auBere Ableitung

(4.9)

4.2 Differentialformen

139

wobei wieder uber alle j und i 1 < ... < ik summiert wird. Die Formel (4.9) kann als Definition der auBeren Ableitung verwandt werden, sofern man zeigt, daB (4.9) die oben beschriebenen Eigenschaften hat und von der Koordinatenwahl unabhangig ist. Als nachstes kommt eine nutzliche Proposition, die im wesentlichen auf der Kettenregel beruht: Proposition 4.2.5. Die aufJere Ableitung vertauscht mit dem Pullback, d.h.,

d('P*a) = 'P*(da), wobei a eine k-Form auf einer Mannigfaltigkeit N und 'P glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten ist.

(4.10) M

--t

N eine

Eine k-Form a nennt man geschlossen, falls da = 0 ist und exakt, falls es eine (k - I)-Form f3 mit a = df3 gibt. Nach Proposition 4.2.4(iv) ist jede exakte Form geschlossen. Ubung 4.4.2 liefert ein Beispiel fur eine geschlossene nichtexakte I-Form. Proposition 4.2.6 (Poincarelemma). Eine geschlossene Form ist lokal exakt, d.h., ist da = 0, dann gibt es fur jeden Punkt eine Umgebung auf der a = df3 gilt.

Siehe Ubung 4.2.5 fUr den Beweis. Die Definition und die Eigenschaften der vektorwertigen Formen sind unmittelbare Erweiterungen von den Definitionen und Eigenschaften der gewohnlichen Formen auf Vektorraumen und Mannigfaltigkeiten. Man kann sich eine vektorwertige Form als eine Anordnung von gewohnlichen Formen vorstellen (vgl.Abraham, Marsden und Ratiu [1988]). Vektoranalysis. Die folgende Tabelle "Vektoranalysis und Differentialformen" listet die Zusammenhange von Formen mit gewohnlichen Operationen aus der Vektoranalysis auf. Wir gehen jetzt auf einige Punkte aus der Tabelle naher ein. Beachte bzgl. Punkt 4

was aquivalent zu \7 f = (df)rt ist. Der Hodgeoperator auf dem]R3 bildet k-Formen auf (3 - k)-Formen ab und ist durch die Linearitat und den Eigenschaften unter Punkt 2 eindeutig bestimmt. (Dieser Operator kann auf allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten definiert werden, vgl. Abraham, Marsden und Ratiu [1988].) 1st unter Punkt 5 F = Flel +F2e2+F3e3, also FD = FI dx+F2 dy+F3 dz, dann ist

140

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

Es folgt mit Punkt 2

F O = Fl dx + F2 dy + F3 dz. Dann ist *(F0) = Fl dy /\ dz

d(*(F°))

+ F2(-dx /\ dz) + F3 dx /\ dy

und somit gilt

dF1 /\ dy /\ dz - dF2 /\ dx /\ dz + dF3 /\ dx /\ dy OFl OF1) ( OF1 ox dx + oy dy + oz dz /\ dy /\ dz OF2 - ( ox dx

+(

OF3

ox dx

OF2

+ oy dy +

+

OF3

oy dy

o~

ox dx /\ dy /\ dz

OF2 ( OF1 ox + oy

OF2)

az

OF3)

+ OZ

+

dz

/\ dx /\ dz /\ dx /\ dy

o~

oy dx /\ dy /\ dz

OF3)

+ OZ

dz

dx /\ dy /\ dz

o~

+ OZ .

dx /\ dy /\ dz

= (dlV F) dx /\ dy /\ dz.

4.2 Differentialformen

Folglich ist *(d(*(pb)))

141

= div p = \7. P.

Vektoranalysis und Differentialformen (i) Sharp und Flat (in den Standardkoordinaten im ]R3) (a) vi> = v 1 dx+v 2 dy+v 3 dz ist die zu dem Vektor v = v 1e1 +v2e2+v3e3 wgehOrige I-Form. (b)

= a1 e1 + a2e2 + a3e3 ist der zu der I-Form a a3 dz zugehOrige Vektor. (lO"

=

a1 dx + a2 dy +

(ii) Hodgeoperator

(a) *1 = dx 1\ dy 1\ dz. (b) *dx = dy 1\ dz, *dy = -dx 1\ dz, *dz = dx 1\ dy, *(dy 1\ dz)

=

dx, *(dx 1\ dz)

=

-dy, *(dx 1\ dy)

= dz.

(c) *(dx 1\ dy 1\ dz) = l. (iii) Kreuz- und Skalarprodukt

(a) v x w = Hv b1\ wb)l~.

(b) (v· w)dx 1\ dy 1\ dz =

vb 1\

*(W O).

(iv) Gradient

\7f = gradf = (df)~.

(v) Rotation

\7 x P = rotP = Hdp b)]".

(vi) Divergenz

\7 . P

= div P = *d( *p b).

Ubungen Ubung 4.2.1. Sei cp : ]R3 --+ ]R2 durch cp(x, y, z) = (x Berechne fUr

a

1\

+ z, xy)

(3, cp*a, cp*(3 und cp*a 1\ cp*(3.

Ubung 4.2.2. Berechne fUr a

und da und ixa.

= y2 dx 1\ dz + sin(xy) dx 1\ dy +

eX dy 1\ dz E {l2(]R3)

gegeben.

142

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

Ubung 4.2.3. (a) Es sei /\ k (JRn) der Vektorraum aller schiefsymmetrischen k-linearen Abbildungen auf dem JR n . Zeige, daB dieser Raum die Dimension n! / (k! (nk)!) hat, indem gezeigt wird, daB eine Basis durch {ei1 /\ ... /\ eik I i1 < ... < ik} gegeben ist, wobei {el, ... , en} eine Basis des JRn und {el, ... , en} die zugehOrige Dualbasis ist, d.h., ei (ej) = oj. (b) Zeige unter der Voraussetzung, daB JL E /\ n(JR n ) ungleich Null ist, daB die Abbildung v E JRn M ivJL E /\ n-1(JRn) ein Isomorphismus ist. (c) Zeige unter den Voraussetzungen, daB Meine glatte n- Mannigfaltigkeit und JL E [In(M) immer ungleich Null ist (in diesem Fall ist es eine Volumenform), daB die Abbildung X E X(M) M iXJL E [In-1(M) ein Isomorphismus ist. Ubung 4.2.4. Sei a = ai dx i eine geschlossene I-Form in einer Kugel urn den Ursprung des JRn. Zeige, daB fur

a

= df ist.

Ubung 4.2.5. (a) Sei U eine offene Kugel urn den Ursprung des JRn und a E [lk(U) eine geschlossene Form. Zeige a = d,6 fur

mit einer Summation uber i1 < ... < ik-1. Hier ist

mit j1 < ... < jk und a schiefsymmetrisch in seinen unteren Indizes. (b) Leite aus (a) das Poincarelemma her. Ubung 4.2.6 (Konstruktion eines Homotopieoperators fiir eine Retraktion). Sei Meine glatte Mannigfaltigkeit und N c Meine glatte Untermannigfaltigkeit. Eine Familie von glatten Abbildungen rt : M ---+ M, t E [0,1] wird eine Retraktion von M auf N genannt, wenn rtlN die Identitat auf N fur aIle t E [0,1]' r1 die Identitat auf M, rt ein Diffeomorphismus von M mit rt(M) fur aIle t#-O und ro(M) = N ist. Sei X t das durch rt, t#-O erzeugte zeitabhangige Vektorfeld. Zeige, daB der durch

4.3 Die Lieableitung

H

143

= l\r;ix,a) dt

definierte Operator H : flk (M) -+ flk-l (M) die Beziehung

a - (r~a)

= dHa + Hda

erfullt. (a) Leite das relative Poincarelemma aus dieser Formel her: 1st a E flk(M) geschlossen und alN = 0, dann gibt es eine Umgebung U von N, so daB alU = dP fur ein (3 E flk-l(U) und (3IN = 0 ist. (Hinweis: Verwende die Existenz einer Tubenumgebung von N in M.) (b) Leite das globale Poincarelemma fUr kontrahierbare Mannigfaltigkeiten her: 1st M kontrahierbar, d.h., es gibt eine Retraktion von M auf einen Punkt, und ist a E flk(M) geschlossen, dann ist a exakt.

4.3 Die Lieableitung Der Satz tiber die Lieableitung. Die dynamische Definition der Lieableitung ist die folgende: Sei a eine k-Form und sei X ein Vektorfeld mit dem FluB CPt. Die Lieableitung von a entlang X ist durch

(4.11) gegeben. Diese Definition fuhrt zusammen mit den Eigenschaften des Pullbacks zum folgenden Satz 4.3.1 (tiber die Lieableitung). (4.12)

Diese Formel gilt auch in dem Sinne fUr zeitabhiingige Vektorfelder, daB

ist und in dem Ausdruck £ xa wird das Vektorfeld X zum Zeitpunkt t ausgewertet. 1st f eine reellwertige Funktion auf einer Mannigfaltigkeit M und X ein Vektorfeld auf M, dann ist die Lieableitung von f entlang X die Richtungsableitung (4.13) £xf = X[J] := df· X. 1st M endlichdimensional, dann ist

144

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen i

af

£xf=x-a·· x"

(4.14)

Deshalb schreibt man oftmals

·a

X=X"-a.. x" 1st Y ein Vektorfeld auf der Mannigfaltigkeit N und

dd

I

t t=O


(4.17)

wobei
. ayj axj . . (£xY)J = X"-. - Y"-. = (X· V')Yl - (y. V')XJ

ax"

ax"

(4.18)

und im allgemeinen, wenn wir X, Y mit ihren lokalen Reprasentanten identifizieren

4.3 Die Lieableitung

[X, Y] = DY . X - DX . Y.

145

(4.19)

Die Formel fur [X, Y] = £ X Y merkt man sich am besten, indem man [ Xi ~ yj~] axi ' a x j

= Xi ayj ~ _ yj axi ~ axi ax j

ax j axi

schreibt. Algebraische Definition der Lieableitung. Mit dem algebraischen Zugang zur Lieableitung von Formen und Tensoren geht es folgendermaf3en weiter. Man erweitert die Definition der Lieableitung von Funktionen und Vektorfeldern auf Different ialformen , indem man fordert, daf3 die Lieableitung eine Derivation ist, z.B. Fur 1-Formen 0: schreiben wir £x(o:, Y) = (£xo:, Y)

+ (0:, £x Y ) ,

(4.20)

wobei X, Y Vektorfelder sind und (0:, Y) = o:(Y). Allgemeiner ist k

£x(0:(Y1 , ... , Yk )) = (£xO:)(Yl, ... , Yk) +

L 0:(Y

1 , ... ,

£x Yi, ... ,Yk),

i=l

(4.21 )

wobei X, Y1 , ... , Yk Vektorfelder sind und 0: eine k-Form ist. Proposition 4.3.1. Die dynamische und die algebraische Definition der Lieableitung einer Differentialform sind aquivalent. Cartans magische Formel. Durch den folgenden Satz wird eine sehr wichtige Formel fUr die Lieableitung gegeben. Satz 4.3.2. Fur ein Vektorfeld X und eine k-Form 0: auf einer Mannigfaltigkeit M gilt (4.22) £ xO: = dixo: + ixdo:, oder in "Hakenschreibweise"

£xo: = d(X ..J 0:) + X..J do:. Der Beweis ist lang aber direkt. Eine andere Eigenschaft der Lieableitung ist die folgende: 1st cp : M -+ N ein Diffeomorphismus, dann ist cp* £yf3 = £
fur Y E X(N) und f3 E flk(M). Sind allgemeiner X E X(M) und Y E X(N) ~-verwandt, gilt also fur eine glatte Abbildung ~ : M -+ N die Beziehung T~ oX = Yo~, so ist £x~*f3 = ~* £yf3 fur alle f3 E flk(N). Es gibt eine Reihe nutzlicher Beziehungen, die die Lieableitung, die auf3ere Ableitung und das innere Produkt, auf das wir am Ende dieses Kapitels eingehen, in Verbindung setzen. 1st z.B. 8 eine I-Form und sind X und Y Vektorfelder, dann liefert die Beziehung 6 in der Tabelle am Ende von §4.4 folgende nutzliche Gleichung d8(X, Y) = X[8(Y)] - Y[8(X)] - 8([X, YD.

( 4.23)

146

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

Volumenformen und Divergenz. Eine n-Mannigfaltigkeit M nennt man orientierbar, wenn es eine nirgends verschwindete n- Form JL auf ihr gibt. JL nennt man eine Volumenform und stellt eine Basis von [2n(M) uber F(M) dar. Man sagt, daB zwei Volumenformen JLI und JL2 auf M dieselbe Orientierung definieren, falls es ein f E F(M) mit f > 0 gibt, so daB JL2 = f JLI gilt. Zusammenhangende orientierbare Mannigfaltigkeiten lassen genau zwei Orientierungen zu. Man nennt eine Basis {VI, ... , V n } von TmM bzgl. der Volumenform JL auf M positiv orientiert, falls JL(m)(vI, ... , v n ) > o ist. Beachte, daB die Volumenformen, die dieselbe Orientierung definieren, einen konvexen Kegel in [2n(M) bilden, d.h., ist a > 0 und JL eine Volumenform, so ist aJL wieder eine Volumenform, und falls t E [0,1] ist und JLI, JL2 zwei Volumenformen sind, die dieselbe Orientierung definieren, so ist tJLI + (1-t)JL2 ebenfalls eine Volumenform, die dieselbe Orientierung definiert wie JLl oder JL2. Die erste Eigenschaft ist offensichtlich. Urn die zweite zu zeigen, sei m E M und {VI, ... , V n } eine positiv orientierte Basis von T mM bzgl. der durch JLI oder aquivalent (laut Hypothese) durch JL2 definierten Orientierung. Dann gilt JLl(m)(vl,.'" v n ) > 0 und JL2(m)(vI, .. " v n ) > 0, so daB ihre Konvexkombination wiederum strikt positiv ist. 1st JL E [2n(M) eine Volumenform, dann gibt es, da £XJL E [2n(M) ist, eine Funktion, die Divergenz von X bzgl. JL genannt und mit div fL(X) oder einfach mit div(X) bezeichnet wird, fur die (4.24)

gilt. Aus dem dynamischen Zugang zu Lieableitungen folgt, daB genau dann divfL(X) = 0 ist, wenn FtJk = Jk gilt, wobei Ft der FluB von X ist. Diese Bedingung besagt, daB F t volumenerhaltend ist. 1st tp : M -+ M, dann gibt es wegen tp* JL E [2n(M) eine Funktion, die wir die Jacobideterminante von tp nennen und mit JfL(tp) oder einfach J(tp) bezeichnen, so daB (4.25)

ist. Folglich ist tp genau dann volumenerhaltend, wenn JfL( tp) = 1 ist. Aus dem Satz fiber die Umkehrabbildung folgt, daft tp genau dann ein lokaler Diffeomorphismus ist, wenn JfL(tp) i- 0 auf M gilt. Der Satz von Frobenius. Wir wollen auch als grundlegendes Resultat den Satz von Frobenius erwahnen. 1st E c TM ein Untervektorbundel, so nennen wir es involutiv, falls fUr zwei beliebige Vektorfelder auf X, Y auf M mit Werten in E die Jacobi-Lieklammer [X, Y] ebenfalls ein Vektorfeld mit Werten in E ist. Man sagt, das Unterbundel E sei integrabel, wenn es fur jeden Punkt m E Meine m enthaltende lokale Untermannigfaltigkeit von M gibt, so daB ihr Tangentialbundel E die Einschrankung auf diese Untermannigfaltigkeit ist. 1st E integrabel, so konnen die lokalen Integralmannigfaltigkeiten fortgesetzt werden, urn durch jeden Punkt m E M eine zusammenhangende maximale Integralmannigfaltigkeit zu bekommen,

4.4 Der Satz von Stokes

147

die eindeutig und eine regular immersierte Untermannigfaltigkeit von Mist. Die Menge aller maximaler Integralmannigfaltigkeiten durch aIle Punkte von M bildet eine sogenannte Bliitterung. Der Satz von Frobenius besagt, daB die Involutivitiit von E iiquivalent zur Integmbilitiit von E ist. Ubungen Ubung 4.3.1. Seien Meine n-Mannigfaltigkeit, tL E [In(M) eine Volumenform, X, Y E X(M) und f, 9 : M ---+ ~ glatte Funktionen, so daB fur aIle m die Bedingung f(m) i- 0 gilt. Beweise die folgenden Beziehungen:

(a) div!/L(X)

= div/L(X) +X[f]lf

(b) div/L(gX)

= gdiv/L(X) + X[g] und

(c) div/L([X, Y])

= X[div/L(Y)]- Y[div/L(X)],

Ubung 4.3.2. Zeige, daB die partielle Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung f(x, 0) = g(x) die Lasung f(x, t) = g(Ft(x)) hat, wobei Ft der FluB des Vektorfeldes (Xl, ... , xn) im ~n ist, der fUr aIle t definiert sei. Zeige, daB die Lasung eindeutig ist. Verallgemeinere diese Ubung zu der Gleichung

of =X[f]

ot

fUr ein Vektorfeld X auf einer Mannigfaltigkeit M. Ubung 4.3.3. Zeige, daB auch M x N orientierbar ist, wenn M und N orientierbare Mannigfaltigkeiten sind.

4.4 Der Satz von Stokes Die der Definition des Integrals einer n-Form f.L auf einer orientierten nMannigfaltigkeit M zugrundeliegende Idee ist, anhand der Karten eine Uberdeckung zu wahlen und die gewahnlichen Integrale von f(xl, ... , xn) dx 1 " ' dxn zu summieren, wobei

eine lokale Darstellung von tL ist und man darauf zu achten hat, Schnitte der Kartengebiete nicht doppelt zu zahlen. Die Formel fUr den Koordinatenwechsel stellt sicher, daB das durch JM tL bezeichnete Ergebnis wohldefiniert ist.

148

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

Hat man eine berandete orientierte Mannigfaltigkeit, dann hat der Rand

8M eine vertragliche Orientierung. Dies fuhrt zu einer Verallgemeinerung der Beziehung zwischen der Orientierung einer Flache und ihres Randes aus dem klassischen Satz von Stokes fur den 1R3. Satz 4.4.1 (von Stokes). Sei Meine kompakte, orientierte k-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand 8M. Sei a eine glatte (k -I)-Form auf M. Dann ist da = a. (4.26)

r

JM

r

JaM

Es folgen spezielle FaIle des Satzes von Stokes. Die Integralsatze der Analysis. Der Satz von Stokes verallgemeinert und verbindet die klassischen Satze der Analysis: (a) Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechung.

lb

(b) Der Satz von Green.

f'(x) dx = f(b) - f(a).

(4.27)

Fur ein Gebiet f? C 1R2 gilt

(4.28) (c) Der Satz von GauB.

Fur ein Gebiet f? C 1R3 gilt

JJIn

div F dV =

(d) Der klassische Satz von Stokes.

11 {( s

=

JIs

-8R - -8Q) dy /\ dz 8y 8z

Jfan

n

(4.29)

F . dA.

Fur eine Flache S

c

1R3 gilt

+ (8F - - -8R) dz /\ dx 8z

8x

+ (8 Q _ 8F) dx /\ dY } 8x 8y

n·rotFdA=

las Fdx+Qdy+Rdz,

(4.30)

wobei F = (F, Q, R) ist. Beachte, daB das Poincarelemma die Satze der Vektoranalysis im 1R3 verallgemeinert, indem man sagt, aus rot F = 0 folge F = V fund aus div F = 0 folge F = V x G. Zur Erinnerung: Die Aussage des Poincarelemmas war, daB eine geschlossene Differentialform a lokal exakt ist, d.h., ist da = 0, dann gilt lokal a = d/3 fur ein geeignetes /3. Fur kontrahierbare Mannigfaltigkeiten gilt diese Aussage global.

4.4 Der Satz von Stokes

149

Kohomologie. DaB geschlossene Formen nicht global exakt sein mussen, fUhrt zur Untersuchung einer sehr wichtigen Invarianten von M, der de Rham-Kohomologie. Die k-te de Rham-Kohomologiegruppe Hk(M) ist durch Hk(M) '= ker (d : f2k(M) --+ f2k+l(M)) . im (d : f2k-l(M) --+ f2k(M)) definiert. Der Satz von de Rham besagt, daB diese abelschen Gruppen zu den sogenannten singularen Kohomologiegruppen, die mithilfe von Simplizes in der algebraischen Topologie definiert werden und nur von der topologischen Struktur von M und nicht von ihrer differenzierbaren Struktur abhangen, isomorph sind. Den Isomorphismus erhalt man durch Integration. Die Integration laBt sich auf den Quotientenraum ubertragen, wie der Satz von Stokes sicher stellt. Ein nutzlicher Spezialfall dieses Satzes ist folgender: 1st M eine orientierbare, kompakte, randlose n-Mannigfaltigkeit, dann gilt iM f.l = 0 genau dann, wenn die n-Form f.l exakt ist. Diese Aussage ist zu Hn(M) = IR aquivalent, falls M kompakt und orientierbar ist. Variablensubstitution. Ein weiteres grundlegendes Resultat der Integrationstheorie ist die Formel fUr die globale Variablensubstitution. Satz 4.4.2 (Variablensubstitution). Seien M und N orientierte n-Mannigfaltigkeiten und sei

1M
[[X, Yl, Z]

+ [[Z, X], Y] + [[Y, Zl, X]

=

o.

Lokal gilt

[X, Y] = DY . X - DX . Y = (X· \7)Y - (Y . V)X und auf Funktionen angewandt

[X, Y][fl = X[Y[fll- Y[X[J]]. 2. Fur Diffeomorphismen

150

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

3. Die Formen auf einer Mannigfaltigkeit bilden eine reelle assoziative Algebra mit 1\ als Multiplikation. Zudem gilt a 1\ (3 = (-1 )kl (31\ a fur kund l-Formen a und (3. 4. Fur Abbildung

5. d ist eine reelle lineare Abbildung auf Formen, dda = 0 und es gilt

fur eine k-Form a. 6. Fur eine k-Form a und ein Vektorfeld X o, ... , X k ist k

t, ... ,Xk)]

(da)(Xo, ... ,Xk ) = 2:)-1) iXda (Xo, ... , ..

+

L

i=O

(-1)i+ja([Xi,Xj],XO, ... ,Xi, ... ,Xj, ... ,Xk),

05,i<j5,k

wobei Xi bedeutet, daB Xi ausgelassen wurde. Lokal gilt k

da(x)(vo, ... , Vk) =

L( -1)iDa(x) . Vi(VO, ... , Vi,··., Vk). i=O

7. Fur eine Abbildung

= d
8. Poincare lemma. 1st da = 0, dann ist die k-Form a lokal exakt, d.h., fur jeden Punkt gibt es eine Umgebung U auf der a = d(3 ist. Diese Aussage gilt fur kontrahierbare Mannigfaltigkeiten global und allgemein, falls Hk(M) = 0 ist. 9. ixa ist reell bilinear in X und a und fur h : M --+ lR gilt

Ebenso gilt ixixa

= 0 und

ix(a 1\ (3)

= ixa 1\ (3 + (-1)ka 1\ ix(3

fur eine k-Form a. 10. Fur einen Diffeomorphismus

d.h.,


4.4 Der Satz von Stokes

f :M

1st

-+ N eine Abbildung und ist Y f-verwandt zu X, d.h., Tf oX = Yo f,

dann ist

. f* a = f*'Iya,

X

d.h.,

IX

-.J (f*a)

= j*(Y -.J a) .

11. i x a ist reell bilinear in X und a und es gilt ix(a 1\ (3)

= ixa 1\ (3 + a

1\ ix(3.

12. Cartans magische Formel: ixa = dixa

+ ixda = d(X -.J a) + X

-.J

da.

13. Fur einen Diffeomorphismus cp ist

1st

f :M

-+ N eine Abbildung und ist Y f-verwandt zu X, so gilt i y j*a

14.

(ixa)(X 1 , ... , X k)

= j* ixa.

= X[a(Xl"'" X k)] k

- L a(X

1 , ... ,

[X, Xi], ... , Xk)'

i=O

Lokal gilt

(£xa)(X) . (VI"'" Vk)

= (Dax ' X(X))(VI,"" Vk) k

+

L ax(VI,"" i=O

15. Es gelten die folgenden Beziehungen:

a) ijxa=fixa+dfl\ixa b) i[x,y]a = ixiya - iyixa

c) i[x,y]a = ixiya - iyixa d) ixda = dixa

e) ixixa = ixixa f) ix(a

1\ (3)

= ixa 1\ (3 + a

1\ ix(3.

DXx . Vi,···, Vk)'

151

152

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen

16. 1st Meine endlichdimensionale Mannigfaltigkeit, X = X l Oj8x l und

mit i1

< ... < ik,

dann gelten die folgenden Formeln:

do:

Ubungen Ubung 4.4.1. Sei [l ein geschlossenes, berandetes Gebiet im ]R.2. Verwende den Satz von Green, urn zu zeigen, daB die FHiche von [l mit dem Kurvenintegral

~ 2

r

Jan

(xdy - ydx)

iibereinstimmt. Ubung 4.4.2. Betrachte die I-Form 0:=

xdy - ydx

auf dem ]R.2\{(O, O)}. (a) Zeige, daB diese Form geschlossen ist. (b) Berechnen i* 0: mit dem Winkel () als Variable auf 81, wobei i : 8 1 -+ ]R.2 die Standardeinbettung ist. (c) Zeige, daB

0:

nicht exakt ist.

Ubung 4.4.3 (Der magnetische Monopol). Sei B = grjr 3 ein Vektorfeld im dreidimensionalen Euklidischen Raum ohne den Ursprung, wobei r = Ilrll ist. Zeige, daB B nicht als die Rotation eines Vektorfeldes geschrieben werden kann.

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

Wir sind nun in der Lage, die Hamiltonsche Mechanik im Rahmen der Differentialgeometrie darzustellen. Zuerst gehen wir zu nichtlinearen Phasenraumen uber und untersuchen dann Hamiltonsche Systeme in dies em Kontext.

5.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten Definition 5.1.1. Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist ein Paar (P, D), wobei Peine Mannigfaltigkeit und D eine geschlossene, (schwach) nichtausgeartete 2-Form auf P ist. 1st D stark nichtausgeartet, sprechen wir von einer stark symplektischen Mannigfaltigkeit. DaB die 2-Form D stark nichtausgeartet ist, bedeutet wie im linearen Fall, daB die Bilinearform Dz : TzP x TzP -+ lE. fur alle z E P nichtausgeartet ist, also einen Isomorphismus

definiert. Fur eine (schwach) symplektische Form ist die induzierte Abbildung DO : X(P) -+ X*(P) zwischen den Vektorfeldern und den 1-Formen injektiv, aber im allgemeinen nicht surjektiv. Damit die induzierte Poissonklammer die Jacobiidentitat erfullt und der FluB des Hamiltonschen Vektorfeldes aus kanonischen Transformationen besteht, wird, wie wir spater sehen werden, gefordert, daB D geschlossen, also dD = 0 ist, wobei d die auBere Ableitung ist. In Koordinaten zI auf P wird im endlichdimensionalen Fall fur D = DIJ dz I A dz J (mit Summation uber alle I < J) aus dD = 0 die Bedingung

aDIJ

az K

+

aDKI

az J

aDJK _ 0

+~- .

(5.1)

Beispiele Beispiel 5.1.1 (Symplektische Vektodiume). 1st (Z, D) ein symplektischer Vektorraum, so ist (Z, D) auch eine symplektische Mannigfaltigkeit. Die Bedingung dD = 0 ist automatisch erfullt, da D eine konstante Form ist (D(z) ist also unabhangig von z E Z). J. E. Marsden et al., Einführung in die Mechanik und Symmetrie © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

154

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

Beispiel 5.1.2. Der Zylinder 8 1 x lR mit den Koordinaten (e,p) ist eme symplektische Mannigfaltigkeit mit fl = de 1\ dp. Beispiel 5.1.3. Der Torus ']['2 mit periodischen Koordinaten (e, cp) ist eine symplektische Mannigfaltigkeit mit fl = de 1\ dcp. Beispiel 5.1.4. Die 2-Sphiire 8 2 vom Radius r ist symplektisch mit dem ublichen Flachenelement fl = r2 sin e de I\dcp auf der Sphare als symplektische Form fl. Wir werden in Kap. 6 zeigen, daB das Kotangentialbundel T*Q zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit Q eine naturliche symplektische Struktur hat. 1st Q der K onfigurationsraum eines mechanischen Systems, so wird T* Q der Impulsphasenraum genannt. Dieses wichtige Beispiel veraIlgemeinert die in Kap. 2 untersuchten linearen Beispiele mit Phasenraumen der Gestalt WxW*. Der Satz von Darboux. Das nachste Resultat besagt, daB im Prinzip jede stark symplektische Mannigfaltigkeit in geeigneten Koordinaten ein symplektischer Vektorraum ist. (1m Gegensatz dazu ist ein entsprechendes Resultat fur eine Riemannsche Mannigfaltigkeit nicht wahr, solange ihre Krummung nicht verschindet, d.h., sie nicht flach ist.) Satz 5.1.1 (von Darboux). Sei (P, fl) eine stark symplektische Mannigfaltigkeit. Dann gibt es in einer Umgebung eines jed en Punktes z E Peine lokale Karte, in der fl konstant ist. Beweis. Wir konnen von P = E und z = 0 E E ausgehen, wobei E ein Banachraum ist. Sei fl1 die konstante Form fl(O) und sei fl' = fl1 - fl und flt = fl + tfl' fur 0 :S t :S 1. Fur aIle t ist die Bilinearform flt(O) = fl(O) nichtausgeartet. Foiglich existiert aufgrund der Offenheit der Menge aIler Isomorphismen von E nach E* und Kompaktheit von [0,1] eine Umgebung von 0, auf der fl t fur aIle 0 :S t :S 1 stark nichtausgeartet ist. Wir konnen annehmen, daB diese Umgebung eine Kugel ist. Mit dem Poincan§lemma folgt fl' = da fUr eine I-Form a. Ersetzen wir a durch a - a(O), so konnen wir a(O) = 0 annehmen. Wir definieren ein zeitabhangiges Vektorfeld X t durch

ix,flt = -a. Dies ist moglich, da flt stark nichtausgeartet ist. Weil a(O) = 0 ist, erhalten wir Xt(O) = 0 und somit folgt aus dem lokalen Existenzsatz aus der Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen, daB es eine Kugel gibt, in der die Integralkurven von X t zumindest fur eine Zeitspanne der Dauer eins definiert sind. Diesen Satz findet man in Abraham, Marsden und Ratiu [1988, Abschnitt 4.1] ausformuliert. Sei Ft der FluB von Xt, der bei der Identitat Fo beginnt. Mit der Formel fUr die Lieableitung von zeitabhiingigen Vektorfeldern ist

5.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten

:t

(Ft fl t ) = Ft(£xJ2t)

+ Ft

:t

155

fl t

= Ftdi xt fl t + Ft fl' = Ft(d( -a) +

fll)

= O.

Folglich gilt Fi fll = Fo flo = fl, also liefert FI eine Karte, die konstante Form fll transformiert.

fl

in die •

Dieser Beweis stammt von Moser [1965]. Wie von Weinstein [1971] bemerkt wurde, kann dieser Beweis fur stark symplektische Mannigfaltigkeiten auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinert werden. Leider sind viel interessante unendlichdimensionale symplektische Mannigfaltigkeiten nicht stark symplektisch. Die zum Satz von Darboux analoge Aussage fUr schwach symplektische Formen ist nicht giiltig. Vergleiche z.B. Ubung 5.1.3 und fur Bedingungen, unter denen die Aussage giiltig ist, Marsden [1981],Olver [1988], Bambusi [1998] und dort angegebene Literatur. Hinsichtlich eines aquivarianten Satzes von Darboux und Literaturhinweisen sei auf Dellnitz und Melbourne [1993] und die Diskussion in Kap. 9 verwiesen. Korollar 5.1.1. 1st (P, fl) eine endlichdimensionale symplektische Mannigfaltigkeit, dann ist die Dimension von P gemdzahlig und in einer Umgebung von z E P gibt es lokale Koordinaten (ql, ... , qn,pl, ... ,Pn) (mit dim P = 2n) mit n

fl =

L dqi /\ dpi·

(5.2)

i=l

Dies folgt aus dem Satz von Darboux und der kanonischen Form fur lineare symplektische Formen. Wie fur Vektorraume werden Koordinaten, in denen fl die obige Form annimmt, kanonische Koordinaten genannt. Korollar 5.1.2. 1st (P, D) eine 2n-dimensionale symplektische Mannigfal-

tigkeit, dann wird P durch die Liouvillesche Volumenform, die als A

=

( _1)n(n-I)/2

n!

fl/\ ... /\ fl

(n Faktoren)

(5.3)

definiert ist, orientiert. In den kanonischen K oordinaten (ql, ... , qn, PI, ... , Pn) hat A die Gestalt

(5.4) Falls (P, fl) eine 2n-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit ist, dann ist also (P, A) eine Volumenmannigfaltigkeit (d.h. eine Mannigfaltigkeit mit einem Volumenelement). Das zu A assoziierte MaE wird das Liouvillemafi genannt. Der Faktor (_I)n(n-I)/2 In! wurde gewahlt, damit A in kanonischen Koordinaten von der Form (5.4) ist.

156

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

Ubungen Ubung 5.1.1. Zeige, wie man (explizit) kanonische Koordinaten fur die symplektische Form fl = f fJ auf 8 2 konstruiert, wobei fJ das ubliche FUichenelement und f : 8 2 -+ lR eine positive Funktion ist. Ubung 5.1.2 (Moser [1965]). Seien fJo und fJI zwei Volumenelemente (nirgends verschwindende n-Formen) auf der kompakten, unberandeten nMannigfaltigkeit M, die auf M dieselbe Orientierung definieren. Sei ferner M fJo = M fJI· Zeige, daB es einen Diffeomorphismus 'P : M -+ M mit 'P* fJI = fJo gibt.

J

J

Ubung 5.1.3. (Bedarf ein wenig Funktionalanalysis.) Zeige, daB der Satz von Darboux fur die nachstehend beschriebene schwach symplektische Form nicht gilt. Sei H ein reeller Hilbertraum und 8 : H -+ H ein kompakter, selbstadjungierter und positiver Operator, dessen Bild in H dicht, aber nicht identisch mit H ist. Sei Ax = 8 + IIxl1 2 lund gx(e, f)

=

(Axe,

I).

Sei fl die mit 9 assoziierte schwach symplektische Form auf H x H. Zeige, daB es keine Karte urn (0,0) E H x H gibt, auf der fl konstant ist. Ubung 5.1.4. Verwende die Methode aus dem Beweis des Satzes von Darboux, urn folgendes zu zeigen: Angenommen flo und fll sind zwei symplektische Formen auf der kompakten Mannigfaltigkeit P und [flo], [fll ] sind ihre Kohomologieklassen bzw. in H 2 (P; lR). Falls die Form r2t := (1-t)r2 0 +r21 fur alle t E [0,1] nichtausgeartet ist, gibt es einen Diffeomorphismus 'P : P ---7 P mit 'P* fll = flo· Ubung 5.1.5. Beweise den folgenden relativen Satz von Darboux: Sei 8 eine Untermannigfaltigkeit von P und angenommen, daB flo und fll zwei stark symplektische Formen auf P mit flol8 = fl l 18 sind, dann gibt es eine offene Umgebung V von 8 in P und einen Diffeomorphismus 'P : V ---7 'P(V) c P mit 'P18 = Id auf 8 und 'P* fll = flo. (Hinweis: Siehe Ubung 4.2.6.)

5.2 Symplektische Transformationen Definition 5.2.1. Seien (PI, flt) und (P2 , fl 2) symplektische Mannigfaltigkeiten. Eine Coo -Abbildung 'P : PI -+ P2 wird symplektisch oder kanonisch genannt, falls

(5.5) ist.

5.2 Symplektische Transformationen

Wir erinnern daran, daB DI

157

=
fur alle z E PI und alle v, w E TzPI gilt, wobei D lz fur DI ausgewertet im Punkt z steht und Tz

Die letzte Aussage resultiert aus dem Satz uber die Umkehrabbildung: 1st

tierbar. Es ist klar, daB die Menge der kanonischen Diffeomorphismen von Peine Untergruppe von Diff(P), der Gruppe aller Diffeomorphismen von P, bildet. Diese mit Diffkan(P) bezeichnete Gruppe spielt bei der Untersuchung der Dynamik von Plasmen eine Schlusselrolle. Sind DI und D2 exakt, ist z.B. DI = -d8 1 und D2 = -d82, dann ist (5.5) zu

(5.6) aquivalent. Sei M C PI eine orientierte 2-Mannigfaltigkeit mit dem Rand 8M. Gilt (5.6), so erhalten wir

d.h., (5.7) Proposition 5.2.2. Die Abbildung

Die Umkehrung wird bewiesen, indem man M als eine kleine Scheibe in PI wahlt und ausnutzt, daB eine 2-Form Null sein muB, wenn ihr Integral uber jede kleine Scheibe verschwindet. Die letzterwahnte Aussage zeigt man mithilfe eines Widerspruchsbeweises. Man konstruiert eine 2-Form auf einer 2-Scheibe, deren Koeffizient eine Buckelfunktion ist. Die Gleichung (5.7) ist ein Beispiel fur eine Integralinvariante. Weitere Informationen bieten Arnold [1989] und Abraham und Marsden [1978].

158

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

Ubungen Ubung 5.2.1. Sei zp : lR:,2n ---+ lR:,2n eine Abbildung von der Form zp(q,p) = (q,p + a(q)). Verwende die kanonische I-Form, urn zu bestimmen, wann zp symplektisch ist. Ubung 5.2.2. Sei

']['6

der 6- Torus mit der symplektischen Form

Sei zp : ']['6 ---+ ']['6 symplektisch und M C ']['6 eine kompakte, orientierte 4Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, daB dann

r zp*(D/\ 8) = JaM r D/\ 8,

JaM gilt, wobei 8

= 81 d8 2 + 83 d8 4 + 85 d86 ist.

Ubung 5.2.3. Zeige, daB jede kanonische Abbildung zwischen endlichdimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeiten eine Immersion ist.

5.3 Komplexe Strukturen und Kahlermannigfaltigkeiten In diesem Abschnitt wird die Beziehung zwischen komplexer und symplektischer Geometrie ein wenig weiterentwickelt. Er kann beim erst en Lesen ausgelassen werden.

Komplexe Strukturen. Wir beginnen mit der Betrachtung von Vektorraumen. Dnter einer komplexen Struktur auf einem reellen Vektorraum Z verstehen wir eine lineare Abbildung ] : Z ---+ Z mit ]2 = - Id. Indem wir iz = ](z) setzen, verleihen wir Z die Struktur eines komplexen Vektorraumes. Man beachte, daB fur einen endlichdimensionalen Vektorraum Z aus der Bedingung an ] die Beziehung (deU)2 = (-1 )dirn Z folgt. Also ist dimZ geradzahlig, da det] E lR:, ist. Die komplexe Dimension von Z ist die Halfte der reellen. 1st umgekehrt Zein komplexer Vektorraum, dann ist er auch ein reeller Vektorraum, wenn die Skalarmultiplikation auf die reellen Zahlen eingeschrankt wird. In diesem Fall ist ]z = iz die komplexe Struktur auf Z. Da die Vektoren iz und z linear unabhangig sind, ist wie zuvor die reelle Dimension von z das Doppelte der komplexen Dimension. Wir sahen schon, daB der Imaginarteil eines komplexen inneren Produktes eine symplektische Form ist. 1st umgekehrt 1-l ein reeller Hilbertraum und D eine schiefsymmetrische, schwach nichtausgeartete Bilinearform auf1-l, dann gibt es eine komplexe Struktur] auf 1-l und ein reelles inneres Produkt s, so dajJ (5.8) s(z,w) = -D(]z,w) ist. Der Ausdruck

5.3 Komplexe Strukturen und KKhlermannigfaltigkeiten

h(z,w) = s(z,w) - iD(z,w)

159

(5.9)

definiert ein hermitesches inneres Produkt, und h oder s sind genau dann vollstandig auf H, wenn D stark nichtausgeartet ist. (Den Beweis findet man in Abraham und Marsden [1978, S. 173].) Sind von (s,], D) zwei Strukturen gegeben, dann existiert zumindest eine dritte Struktur, so daB (5.8) erfiillt ist. Identifizieren wir <en mit ]R2n und verwenden wir z = (Zl, ... , zn) = (Xl + iYI,···, Xn + iYn) = ((Xl, yd,···, (xn, Yn)), dann ist

-Im((zl, ... ,Zn),(z~, ... ,z~)) = -Im(zlz~ +···+znz~)

= -(X~Yl -

XIY~

+ ... + x~Yn -

xnY~)·

Also kann die kanonische symplektische Form auf dem ]R2n so geschrieben werden: D(z,z') = -1m (z,z/) = Re (iz, z/) (5.10) Dies steht wegen (5.8) mit der Konvention im Einklang, daB] : ]R2n -+ ]R2n einer Multiplikation mit i entspricht. Eine fast komplexe Struktur ] auf einer Mannigfaltigkeit Mist ein glatter Tangentialbiindelisomorphismus] : TM -+ TM, der die Identitat auf M iiberdeckt und fiir den]z = ](z) : TzM -+ TzM fiir jeden Punkt z E M eine komplexe Struktur auf dem Vektorraum TzM ist. Eine Mannigfaltigkeit mit einer fast komplexen Struktur wird eine fast komplexe Mannigfaltigkeit genannt. Eine Mannigfaltigkeit M wird komplexe Mannigfaltigkeit genannt, falls sie einen Atlas {(Uo" 'Pa)} zulaBt, dessen Karten 'Pa : Ua C M -+ E auf einen komplexen Banachraum E abbilden und deren Kartenwechsel 'P(3 0 'P~l : 'Pa(U"" n U(3) -+ i.p(3(U"" n U(3) holomorphe Abbildungen sind. Die komplexe Struktur auf E (Multiplikation mit i) induziert iiber die Kartenabbildung 'Pa auf jedem Kartengebiet Ua eine fast komplexe Struktur. Da die Kartenwechsel biholomorphe Diffeomorphismen sind, stimmen die durch 'Pa und 'P(3 induzierten fast komplexen Strukturen auf Ua n U(3 iiberein. Dies zeigt, daB eine komplexe Mannigfaltigkeit auch fast komplex ist. Die Umkehrung ist nicht wahr. 1st Meine fast komplexe Mannigfaltigkeit, so ist TzM mit der Struktur eines komplexen Vektorraumes ausgestattet. Eine hermitesche Metrik auf Mist eine glatte Zuordnung eines (moglicherweise schwach) komplexen inneren Produktes auf TzM zu jedem z E M. Wie fiir Vektorraume definiert der Imaginarteil der hermiteschen Metrik eine nichtausgeartete (reelle) 2-Form auf M. Der Realteil einer hermiteschen Metrik ist eine Riemannsche Metrik auf M. 1st das komplexe innere Produkt auf jedem Tangentialraum stark nichtausgeartet, so ist die Metrik stark. In diesem Fall sind sowohl der Realals auch der Imaginarteil der hermiteschen Metrik stark nichtausgeartet iiber R

160

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

Kahlermannigfaltigkeiten. Eine fast komplexe Mannigfaltigkeit M mit einer hermiteschen Mctrik ( , ) wird Kiihlermannigfaltigkeit genannt, falls Meine komplexe Mannigfaltigkeit und die 2-Form -1m ( , ) eine geschlossene 2-Form auf Mist. Es gibt eine oftmals nutzliche aquivalente Definition: Eine Kahlermannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik 9 und einer fast komplexen Struktur ]", so daB]" z fur aIle z E M g-schiefsymmetrisch und ]" bzgl. der kovarianten Ableitung zu 9 konstant ist. (Man benotigt etwas Kenntnis der Riemannschen Geometrie, urn diese Definition zu verstehen - sie wird im folgenden nicht benotigt.) Die wichtige und spater verwandte Tatsache ist: Jede Kahlermannigfaltigkeit ist mit der nachfolgend definierten Form auch symplektisch:

(5.11) In dieser zweiten Definition der Kahlermannigfaltigkeiten folgt die Bedingung dD = 0 daraus, daB]" bzgl. der kovarianten Ableitung konstant ist. Eine starke Kiihlermannigfaltigkeit ist eine Kahlermannigfaltigkeit mit einem starken hermiteschen inneren Produkt. Projektive Raume. Jeder komplexe Hilbertraum H ist eine starke Kahlermannigfaltigkeit. Als ein Beispiel flir eine interessantere Kahlermannigfaltigkeit werden wir den projektiven Raum IP'H eines komplexen Hilbertraumes H betrachten. Insbesondere erhalten wir den n-dimensionalen komplexen projektiven Raum IClP'n, wenn wir diese Konstruktion auf ICn anwenden. In Beispiel 2.2.6 aus §2.3 sahen wir, daB H bzgl. der quantenmechanischen symplektischen Form

ein symplektischer Vektorraum ist, wobei (, ) das hermitesche innere Produkt auf H, n die Planckkonstante und 7jJl, 7jJ2 E H sind. Man erinnere sich daran, daB IP'H der Raum der komplexen Geraden durch den Ursprung von H ist. Wir bezeichnen mit 7r : H\ {O} -+ IP'H die kanonische Projektion, die einen Vektor 7jJ E H\{O} auf die von ihm aufgespannte komplexe Gerade abbildet, die mit [7jJ] bezeichnet wird, wenn man einen Punkt in IP'H meint und mit 1C7jJ bezeichnet wird, wenn man sie als einen Unterraum von H interpretiert. Der Raum IP'H ist eine komplexe Mannigfaltigkeit, 7r ist eine glatte Abbildung und der Tangentialraum T[,p]IP'H ist isomorph zu H/IC7jJ. Folglich ist die Abbildung 7r eine surjektive Submersion. (Submersionen sind in Kap. 4 diskutiert worden, vgl. auch Abraham, Marsden und Ratiu [1988, Kap. 3].) Da der Kern von T,p7r : H -+ T[,p]IP'H 1C7jJ entspricht, ist die Abbildung T,p7rI(IC7jJ).l ein komplexer linearer Isomorphismus von (1C7jJ).l nach T,pIP'H, der yom gewahlten Reprasentanten 7jJ aus [7jJ] abhangt.

5.3 Komplexe Strukturen und Kahlermannigfaltigkeiten

161

1st U : H --+ H ein unitarer Operator, d.h., ist U invertierbar und gilt

fur aIle 'lj;1, 'lj;2 E H, dann definiert [U]['lj;] := [U'lj;] einen biholomorphen Diffeomorphismus auf lPH. Proposition 5.3.1.

(i) 1st ['lj;]

E lPH, 11'lj;11

= 1 und
E (C'lj;)J.,

so erkliirt die Formel (5.12)

ein wohldefiniertes stark hermitesches inneres Produkt auf T[,p] lPH , d.h., die linke Seite ist nicht von der Wahl von 'lj; aus ['lj;] abhiingig. Die Abhiingigkeit von ['lj;] ist glatt und somit definiert (5.12) auf lPH eine hermitesche Metrik, die man die Fubini-Study-Metrik nennt. Diese Metrik ist fur alle unitiiren Operatoren [U] auf H invariant unter der Wirkung der Abbildungen U. (ii) Fur ['lj;] E lPH, 11'lj;11 = 1 und
g[,p] (T,p1f(
(5.13)

eine stark Riemannsche Metrik auflPH, die unter allen Transformationen [U] invariant ist. (iii) Fur ['lj;] E lPH, 11'lj;11 = 1 und
D[,p] (T,p1f(
(5.14)

eine stark symplektische Form auf lPH, die unter allen Transformationen [U] invariant ist. Beweis. Wir beweisen zuerst (i).1 Ist >. E C\{O}, so ist 1f(>'('lj;

1f('lj; + t
+ t
erhalten wir (T)..,p1f)(>'.'lj; I = 11'lj;11 = 1, daB 1>'1 = 1 ist. Damit ist wegen (5.12)

((T)..,p1f)(>'''''1 2 (
= 21/, (
Es gibt eine konzeptionell einsichtigere aber kompliziertere Herangehensweise an diesem ProzeE, der die allgemeine Reduktionstheorie verwendet. In dem hier gegebenen Beweis wird direkt argumentiert.

162

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

Dies zeigt, daB die Definition (5.12) des hermiteschen inneren Produktes von dem zu dessen Definition ausgewahlten normierten Reprasentanten 'Ij; E ['Ij;] unabhangig ist. Dieses hermitesche innere Produkt ist stark, da es mit dem inneren Produkt auf dem komplexen Hilbertraum (C'Ij;)-L tibereinstimmt. Eine direkte Berechnung (siehe Ubung 5.3.3) zeigt, daB die hermitesche Metrik ftir beliebige 'Ij; E 1-l\ {O} und 'PI, 'P2 E 1-l durch

gegeben ist. Da die rechte Seite von 'Ij; E 1-l\ {O} glatt abhangt und sich diese Formel auf JlD1-l tibertragt, hangt auch (5.12) glatt von ['Ij;] abo 1st U eine unitare Abbildung auf 1-l und [U] die auf JlD1-l induzierte Abbildung, gilt

T[,p][U]·T,p1r('P)=T[,p][U]· !['Ij;+t'P]lt=o = :t[U]['Ij;+t'P]lt=o = dd [U('Ij;+t'P)]1 t

Da 11U'Ij;11

=

11'Ij;11

=

1 und (U'Pj, U'Ij;)

=

t=o

= Tu,p7r(U'P).

0 ist, erhalten wir dann mit (5.12)

(T[,p] [U] . T,p7r( 'PI), T[,p] [U] . T,p7r( 'P2)) = (TU,p7r(U 'PI), TU,p7r(U 'P2)) = (U'PI, U'P2) = ('PI, 'P2) = (T,p7r('Pd, T,p7r('P2)) ' womit die Invarianz der hermiteschen Metrik unter der Wirkung der Transformation [U] bewiesen ist. Teil (ii) ist als Realteil der hermiteschen Metrik (5.12) ofl"ensichtlich. SchlieBlich beweisen wir (iii). Aus der Invarianz der Metrik folgt, daB die Form D ebenfalls unter der Wirkung der unitaren Abbildung invariant ist, d.h., [U]* D = D. Also gilt auch [U]*dD = dD. Betrachte nun die unit are Abbildung Uo auf 1-l, die durch die Beziehungen Uo'lj; = 'Ij; und Uo = -Id auf (C'Ij;)-L definiert ist. Dann folgt aus [Uo]*D = D fUr 'Pl,'P2,'P3 E (C'Ij;)-L

dD(['Ij;]) (T,p7r( 'Pd, T,p7r( 'P2), T,p7r( 'P3))

= dD(['Ij;]) (T[,p] [Uo]· T,p7r('Pd, T[,p] [Uo]· T,p7r('P2) , T[,p] [Uo]· T,p7r('P3))' Es ist jedoch

Dies impliziert aufgrund der Trilinearitat von dD, daB dD = 0 ist. Da die symplektische Form D auf T[,p]JlD1-l, eingeschrankt auf den Hilbertraum (C'Ij;)-L, die zugehorige quantenmechanische symplektische Form ergibt, ist sie stark nichtausgeartet. •

5.3 Komplexe Strukturen und Kahlermannigfaltigkeiten

163

Die obigen Resultate zeigen, daB lPH eine unendlichdimensionale Kahlermannigfaltigkeit ist auf der die unitare Gruppe U(H) durch Isometrien wirkt. Dies kann auf GraBmannmannigfaltigkeiten von endlich- (oder unendlich-) dimensionalen Unterraumen von H und daruber hinaus sogar auf Fahnenmannigfaltigkeiten verallgemeinert werden (vgl. Besse [1987] und Pressley und Segal [1986]).

Ubungen Ubung 5.3.1. Zeige, daB auf en die Beziehung w = ~Im (z, w) ist.

n = -d8 gilt, wobei 8(z) .

Ubung 5.3.2. Sei Peine Mannigfaltigkeit, die sowohl symplektisch mit der symplektischen Form n, als auch Riemannsch mit der Metrik gist. (a) Zeige, daB Peine fast komplexe Struktur ] besitzt, so daB genau dann n(u,v) = g(]u,v) gilt, wenn fUr alle F E F(P)

n(VF,v) = -g(XF,v) ist. (b) Zeige mit der Hypothese aus (a), daB ein Hamiltonsches Vektorfeld X H genau dann lokal ein Gradient ist, wenn £\1Hn = 0 gilt.

Ubung 5.3.3. Zeige, daB fur alle Vektoren rpl, rp2 E H und 1/J f.=. 0 die FubiniStudy-Metrik in der Form

(T,p7r(rpd, T,p7r(rp2))

=

nll1/JII- 2((rpl, rp2) -111/J11- 2 (rpl, 1/J) (1/J, rp2))

2

geschrieben werden kann. SchlieBe daraus, daB die Riemannsche Metrik und die symplektischen Formen durch

2n

2

g[,p](T,p7r(rpd,T,p7r(rp2)) = 111/J11 4Re ((rpl,rp2) 111/J11 - (rpl,1/J) (1/J,rp2)) und

2n

2

n[,p](T,p7r(rpd,T,p7r(rp2)) = -111/J11 4Im ((rpl,rp2) 111/J11 - (rpl,1/J) (1/J,rp2)) gegeben sind.

Ubung 5.3.4. Beweise direkt und ohne die Invarianz unter den Abbildungen [U] zu verwenden, daB auf lPH die Gleichung dn = 0 gilt. U ist ein unitarer Operator auf 1-l. Ubung 5.3.5. Zeige fur den Karte des elPn durch

e

n

+l , daB die Form

n

in einer projektiven

n = (1 + IzI2)-I(dO" - (1 + IzI 2)-10";\ 0') wobei dlzl 2 = 0" + 0' (ausfuhrlich 0" = L7~11 Zidzi) 7r*

bestimmt ist, und 7r : en\{O} -+ elPn die Projektion ist. Zeige damit dn = O. Beachte auch die Ahnlichkeit dieser Formel mit der entsprechenden aus Ubung 5.3.3.

164

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

5.4 Hamiltonsche Systeme Mit der uns nun zur Verfiigung stehenden Geometrie der symplektischen Mannigfaltigkeiten konnen wir die Dynamik Hamiltonscher Systeme untersuchen. Definition 5.4.1. Sei (P, .0) eine symplektische Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld X auf P wird Hamiltonsch genannt, falls es eine Funktion H : P -t lR gibt, so dafJ (5.16) ix.o = dH, also fur alle v E TzP .oz(X(z) , v)

= dH(z) . v

gilt. In diesem Fall schreiben wir X H fur X. Die Menge aller Hamiltonscher Vektorfelder auf P wird mit XHam(P) bezeichnet. Die Hamiltonschen Gleichungen sind die Evolutionsgleichungen

1m Endlichdimensionalen lauten die Hamiltonschen Gleichungen in kanonischen Koordinaten dqi dt

8H 8Pi '

dpi dt

8H - 8qi .

Vektorfelder und Fliisse. Ein Vektorfeld X wird lokal Hamiltonsch genannt, falls ix.o geschlossen ist. Dies ist aquivalent zu £x.o = 0, wobei wegen £x.o = ixd.o + dix.o = dix.o £x.o die Lieableitung von .0 entlang X ist. Falls X lokal Hamiltonsch ist, folgt aus dem Poincarelemma, daB es lokal eine Funktion H gibt, so daB ix.o = dH ist, also lokal X = X H gilt, womit die Terminologie konsistent ist. Aus Kap. 2 wissen wir, daB dix.o = 0 dazu aquivalent ist, daB DX(z) .0schiefsymmetrisch ist. Demnach ist die Definition eines lokal Hamiltonschen Vektorfeldes eine koordinatenfreie Verallgemeinerung dessen, was wir im Falle der Vektorraume taten. Der FluB
=
gilt. Somit haben wir folgendes gezeigt: Proposition 5.4.1. Der FlufJ
5.4 Hamiltonsche Systeme

165

Ein konstantes Vektorfeld auf dem Torus ']['2 ist ein Beispiel fUr ein lokal Hamiltonsches Vektorfeld, das nicht Hamiltonsch ist. (Siehe Ubung 5.4.1.) Mit dem Rektifizierungssatz (vgl. z.B. Abraham, Marsden und Ratiu [1988, Abschnitt 4.1]) kann man leicht zeigen, daB jedes Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit geradzahliger Dimension in der Nahe von Punkten, wo es nicht verschwindet, bzgl. einer symplektischen Form lokal Hamiltonsch ist. Es ist jedoch nicht so einfach, ein aIlgemeines Kriterium dieser Art zu finden, das global gilt und auch singulare Punkte berucksichtigt. Energieerhaltung. der Kettenregel

1st X H Hamiltonsch mit dem FluB CPt, dann folgt mit

(5.17) denn n ist schiefsymmetrisch. Also ist H gendes bewiesen:

0

CPt konstant in t. Wir haben fol-

Proposition 5.4.2 (Energieerhaltung). 1st CPt der Fluft von X H auf der symplektischen M annigfaltigkeit P, dann gilt H 0 CPt = H (wo definiert). Die Transformation von Hamiltonschen Systemen. der Vektorraume kommen wir zu den folgenden Resultaten:

Wie im FaIle

Proposition 5.4.3. Ein Diffeomorphismus cP : PI ---+ P 2 zweier symplektischer Mannigfaltigkeiten ist genau dann symplektisch, wenn er

(5.18) fur alle Funktionen H : U ---+ ~ (so daft X H definiert ist) erfullt, wobei U eine offene Teilmenge von P2 ist.

Beweis. Die Gleichung (5.18) besagt, daB fur aIle z E P

also

XH(cp(Z)) = Tzcp· XHocp(z)

gilt. Mit anderen Worten: Es gilt

fur aIle v E TzP. 1st cP symplektisch, so wird daraus

dH(cp(z)) . [Tzcp· v] = d(H 0 cp)(z) . v. Dies folgt mit der Kettenregel. Folglich gilt (5.18), wenn cp symplektisch ist. Die Umkehrung wird genauso gezeigt. •

166

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

Die im unendlichdimensionalen Fall auftretenden technischen Schwierigkeiten, die wir fiir Vektorraume diskutiert haben, treten auch im gegenwertigen Kontext auf. Zum Beispiel ist zu gegebenem H nicht a priori garantiert, daB X H existiert: Fiir gewohnlich gehen wir davon aus und zeigen es in Beispielen. Man kann auch Vektorfelder X H mit dichten Definitionsbereichen anstatt iiberall definierte Vektorfelder untersuchen. Diese technischen Betrachtungen sind wichtig, haben aber auf viele Themen des Buches keinen EinfluB. Der Einfachheit halber werden wir iiberall definierte Vektorfelder betrachten und verweisen den Leser fUr den allgemeinen Fall auf Chernoff und Marsden [1974] und Marsden und Hughes [1983]. Wir werden unsere Aufmerksamkeit ebenfalls stillschweigend auf Funktionen beschranken, die Hamiltonsche Vektorfelder besitzen. Selbstverstandlich verschwinden diese technischen Probleme im endlichdimensionalen Fall. Ubungen Ubung 5.4.1. Sei X ein nichtverschwindendes Vektorfeld mit konstanter Steigung auf dem 2- Torus. Zeige, daB X lokal aber nicht global Hamiltonsch ist. Ubung 5.4.2. Zeige, daB der Kommutator zweier lokal Hamiltonscher Vektorfelder auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (P, D) global Hamiltonsch ist. Ubung 5.4.3. Betrachte die durch

+ ipZ2 + iz1(aizli2 + biz2i2), = -iW2Z2 + iqZl + iz2(cizli2 + diz2i 2)

Zl = -iWIZl

Z2

gegebenen Gleichungen auf dem (C2. Zeige, daB dieses System genau dann Hamiltonsch ist, wenn p = q und b = c ist mit

Ubung 5.4.4. Sei (P, D) eine symplektische Mannigfaltigkeit und 'P : S ----t Peine Immersion. Die Immersion 'P wird koisotrop genannt, wenn Ts'P(TsS) fiir alle s E S ein koisotroper Unterraum von T
fiir alle s E S ist (vgl. Ubung 2.3.5). Sei nun (P, D) eine stark symplektische Mannigfaltigkeit. Zeige, daB 'P : S --7 P genau dann eine koisotrope Immersion darstell t, wenn fiir alle s E S, alle offenen Umge bungen U von 'P (s) in P und alle glatten Funktionen H : U --7 lR, fiir die Hi'P(S) n U konstant ist, XH('P(s)) E Ts'P(TsS) gilt.

5.5 Poissonklammern auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

167

5.5 Poissonklammern auf symplektischen Mannigfaltigkeiten Wie im Fane der Vektorraume definieren wir die Poissonklammer zweier Funktionen F, G : P --t lR durch

{F, G}(z) = D(XF(Z), Xc(z)).

(5.19)

Aus der Proposition 5.4.3 erhalten wir das folgende Resultat (vgl. den Beweis von Proposition 2.7.3). Proposition 5.5.1. Ein Diffeomorphismus cP : PI symplektisch, wenn {F, G} 0 cP = {F 0 cP, G 0 cp}

--t

P 2 ist genau dann

(5.20)

fur alle Funktionen F, G E F(U) gilt, wobei U eine beliebige offene Teilmenge von P2 ist.

Mit dieser Proposition und der Proposition 5.4.2 erhalt man die folgende Proposition 5.5.2. 1st CPt der FlujJ eines Hamiltonschen Vektorfeldes XH (oder eines lokal H amiltonschen Vektorfeldes) , so gilt

fur alle F, G E F(P) (oder eingeschriinkt auf eine offene Menge, falls der FlujJ nicht uberall definiert ist).

Korollar 5.5.1. Es gilt die folgende Regel fur Ableitungen:

(5.21 ) wobei wir die Notation XH[Fj von XH verwenden.

= £xHF fur die Ableitung von Fin Richtung

Beweis. Differenziere die Beziehung

in t = 0 nach t, wobei CPt der FluB von X H ist. Aus der linken Seite resultiert offensichlich die linke Seite von (5.21). Urn die rechte Seite auszuwerten, beachte man zunachst

D~ [:tlt=o X
dd

t

I

d(cp;F)(z)

t=O

= (dXH[F])(z) = n~(XXH[Fl(z)).

168

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

Folglich ist

Also gilt

dd I {'P;F,'P;G} = dd I DAX
•

Liealgebren und die J acobiidentitat. Die obige Entwicklung wird fur das Verstandnis der Poissonklammern wichtig sein.

Proposition 5.5.3. Die Funktionen F(P) bilden unter der Poissonklammer eine Liealgebra. Beweis. Da {F, G} offensichtlich reell bilinear und schiefsymmetrisch ist, bleibt bloB die Jacobiidentitat nachzuweisen. Aus

{F, G} = iXFD(XG) = dF(XG) = XG[F] folgt

{{F,G},H} = XH[{F,G}]

und somit laut Korollar 5.5.1

{{F,G},H} = {XH[F],G} + {F,XH[G]}

= {{F, H}, G} + {F, {G, H}}.

Dies aber ist die Jacobiidentitat.

(5.23)

•

Die Herleitung gibt uns zusatzliche Information: Die Jacobiidentitiit ist lediglich der infinitesimale Ausdruck dafur, dafJ 'Pt kanonisch ist. Falls D eine nichtausgeartete 2-Form mit der durch (5.19) definierten Poissonklammer ist, kann man in gleicher Weise zeigen, dafJ die Poissonklammer genau dann die Jacobiidentitiit erfullt, wenn D geschlossen ist (siehe Ubung 5.5.1). Der in diesem Beweis hergeleitete Zusammenhang zwischen der Poissonklammer und der Lieableitung

{F,G} = XG[F] = -Xp[G] wird fUr uns nutzlich sein.

(5.24)

5.5 Poissonklammern auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

169

Proposition 5.5.4. Die Menge der Hamiltonschen Vektorfelder XHam(P) ist eine Unterliealgebra von X(P), denn es gilt [XF' Xc]

= -X{F,C}.

(5.25)

Beweis. Die Vektorfelder als Derivationen aufgefaBt und mit der Jacobiidentitiit folgt [XF' Xc][H]

= XFXc[H]- XcXF[H] = XF[{H, G}]- Xc[{H, F}] = {{H,G},F} - {{H,F},G} = -{H, {F, G}} = -X{F,C} [H].

Proposition 5.5.5. Es gilt d dt (F

0

'Pt)

=

{F

0

'Pt, H}

=

{F, H}

0

'Pt,

• (5.26)

wobei 'Pt der FlufJ von X H und F E F(P) ist.

Beweis. Mit (5.24) und der Kettenregel ist

d

dt (F

0

'Pt)(z) = dF( 'Pt(z)) . XH( 'Pt(z)) = {F, H}( 'Pt(z)).

Da 'Pt symplektisch ist, wird aus letzterem {F

0

'Pt, H

0

'Pt}( Z ) .

Dies ist wegen der Energieerhaltung {F0'Pt,H}(z). Damit ist (5.26) gezeigt . Gleichungen in Poissonklammerschreibweise. oftmals kompakter in der Form

P = {F, H}

•

Die Gleichung (5.26),

(5.27)

geschrieben, wird die Bewegungsgleichung in Poissonklammerschreibweise genannt. In Kapitel 1 haben wir die Bedeutung der Formulierung (5.27) erkliirt. Korollar 5.5.2. F E F(P) ist genau dann eine ErhaltungsgrofJe fur X H , wenn {F, H} = 0 ist. Proposition 5.5.6. Seien f, 9 und {f, g} bzgl. des LiouvillemafJes A E [22n(p) auf einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit (P, [2) integrabel. Dann ist

170

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

Beweis. Da £xJl = 0 ist, folgt £xgA = 0, so daB div(f Xg) = Xg[fl {j, g} gilt. Deshalb gilt nach dem Satz von Stokes

r {f,g}A= }pr div(fXg)A= }pr £fXgA= }pr difXgA= }aP r fixgA,

}p

wobei die zweite Gleichheit aus der Schiefsymmetrie der Poissonklammer folgt. •

Korollar 5.5.3. Seien f, g, h E F(P) Funktionen mit kompaktem Trager oder schnell genug abfallend, so dajJ sie und ihre Poissonklammem bzgl. des LiouvillemajJes auf einer 2n-dimcnsionalen symplektischen Mannigfaltigkeit (P, Q) noch L2-integmbeZ sind. Zumindest eine der Funktionen fund g verschwinde auf 8P, falls 8P i= 0 ist. Dann ist das innere Produkt auf L2 biinvariant auf der Liealgebm (F(P), { ,}). Es gilt also

l

j{g,h}A

Beweis. Aus {hf,g} = h{f,g} 0=

l

{hf,g}A

=

l

{j,g}hA.

+ j{h,g} erhalten wir =

l

h{f,g}A +

l

f{h,g}A.

Wegen Proposition 5.5.6 verschwindet das Integral von {hf,g} tiber P, da f oder g auf 8P verschwindet. Damit folgt das Korollar. •

Ubungen Ubung 5.5.1. Sci Q eine nichtausgeartete 2-Form auf einer Mannigfaltigkeit P. Verwende die Definitionen aus dem symplektischen Kontext, urn Hamiltonsche Vektorfelder und die Poissonklammer zu bilden. Zeige, daB die Jacobiidentitiit genau dann gilt, wenn die 2-Form Q geschlossen ist. Ubung 5.5.2. Sci Peine kompakte, randlose symplektische Mannigfaltigkeit. Zeige, daB der Raum der Funktionen Fo(P) = {f E F(P) I fA = o} eine zu der Liealgebra der Hamiltonschen Vektorfelder auf P isomorphe Unterliealgebra von (F(P), { , }) ist.

Jp

Ubung 5.5.3. Verwende die komplexe Schreibweise zj = qj + ipj und zeige, daB die symplektische Form auf in der Form

en .

Q

=~

n

2: dz k=l

und die Poissonklammer in der Form

geschrieben werden kann.

k

1\ dz k

5.5 Poissonklammern auf symplektischen Mannigfaltigkeiten

171

Ubung 5.5.4. Sei J : ((:2 --+ lR durch

definiert. Zeige, daB

{H, J} = 0

gilt mit H aus Ubung 5.4.3. Ubung 5.5.5. Sei (P, n) eine 2n-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit. Zeige, daB fur eine geeignete Konstante "( die Poissonklammer durch {F, G}nn ="(dF 1\ dG 1\ nn-l

definiert werden kann. Ubung 5.5.6. Sei rp : S --+ Peine koisotrope Immersion (vgl. Ubung 5.4.4). Seien F, H : P --+ lR glatte Funktionen, so daB d( rp* F) (s) und (rp* H) (s) fur alle s E S auf (Ts¢)-l([Tsrp(TsS)]D('P(s))) verschwinden. Zeige, daB rp*{F, H} nur von rp* Fund rp* H abhangt.

6. Kotangentialbiindel

In vielen mechanischen Problemen ist der Phasenraum das Kotangentialbiindel T*Q eines Konfigurationsraumes Q. Es gibt eine natiirliche symplektische Struktur auf T*Q, die in verschiedenen aquivalenten Weisen beschrieben werden kann. Sei Q zunachst n-dimensional und wahle lokale Koordinaten (ql, ... , qn) auf Q. Da (dql, ... , dqn) eine Basis von T;Q ist, k6nnen wir jedes 0: E T;Q als 0: = Pi dqi schreiben. Dieses Vorgehen definiert induzierte lokale Koordinaten (ql, ... ,qn,Pl" .. ,Pn) auf T*Q. Definiere die kanonische symplektische Form auf T*Q durch

f2 = dqi II dPi' Dadurch wird eine offensichtlich geschlossene 2-Form f2 definiert, fiir die zudem gezeigt werden kann, daB sie von der Koordinatenwahl (ql, ... , qn) unabhangig ist. Man beachte, daB f2 dariiber hinaus lokal konstant ist, denn die Koeffizienten in der Basis dqi II dPi, diese sind eins, hangen nicht von den Koordinaten (ql, ... , qn, PI, ... , Pn) der Phasenraumpunkte abo In diesem Abschnitt zeigen wir, wie man f2 in koordinatenfreier Weise konstruiert und untersuchen dann diese kanonische symplektische Struktur ausfiihrlich.

6.1 Der lineare Fall Um eine koordinatenunabhangige Definition von f2 zu motivieren, betrachten wir den Fall, in dem Q ein Vektorraum Wist (der unendlichdimensional sein kann), so daB T*Q = W x W* gilt. Wir haben schon die kanonische 2-Form aufW x W*

f2(w,a)((u,,6),(v,'"()) = ('"Y,u) - (,6, v)

(6.1)

beschrieben, wobei (w,o:) E W x W* der FuBpunkt ist, u,v E W und ,6,,"( E W* sind. Die kanonische 2-Form wird mithilfe der kanonischen I-Form

B(w,a)(u,,6) = (o:,u)

(6.2)

konstruiert. Die nachste Proposition zeigt, daB die kanonische 2-Form (6.1) exakt ist: (6.3) f2 = -dB. Wir untersuchen die Formeln zuerst in Koordinaten. J. E. Marsden et al., Einführung in die Mechanik und Symmetrie © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

174

6. Kotangentialbiindel

Proposition 6.1.1. 1m Endlichdimensionalen kann die durch (6.1) definierte symplektische Form D in K oordinaten ql, ... , qn auf W und zugehOrigen dualen K oordinaten PI, ... , Pn auf W* in der Form D = dqi /\ dPi geschrieben werden. Die assoziierte kanonische I-Form ist durch 8 = Pi dqi gegeben und es gilt (6.3). Beweis. Sind (ql, ... , qn,Pl,'" ,Pn) Koordinaten aufT*W, dann bezeichnet

;;,0 , ;;,0 , ... , ;;,0 ) (a01'"'' q uqn UPI uPn die induzierte Basis fUr T(w,a) (T*W) und (dql, ... , dqn, dPl,"" dpn) die dazu duale Basis von T(:',a) (T*W). Schreibe

. 0 0 ) (u, (3) = ( uJ oqj' (3j OPj und genauso fur (v, 1'). Damit ist

(dqi /\ dPi)(w,a) ((u, (3), (v, 1')) = (dqi ® dPi - dPi ® dqi)((u,(3), (v, 1'))

= dqi(U,(3)dpi(V,I') - dpi(U,(3)dqi(v,l') = Uil'i - (3iV i . Also gilt D(w,a) (( u, (3), (v, 1'))

= 1'(u) - (3( v) = l'iUi - (3iV i , und folglich ist

Dann ist auch und

8(w,a)(u,(3) = a(u) = aiu i .

Durch einen Vergleich erhalten wir 8 = Pi dqi. Deshalb gilt

•

Urn (6.3) fur den unendlichdimensionalen Fall zu zeigen, zeige man mithilfe von (6.2), der zweiten Gleichung unter Punkt 6 aus der Tabelle am Ende von §4.4 und der Gleichung D8(w,a)' (u,(3) = ((3, .), daB

d8(w,a)((Ul,(31),(U2,(32)) = [D8(w,a)' (Ul,(31)]' (U2,(32) - [D8(w,a)' (U2,(32)]' (u1,(3d = ((31, U2) - ((32, U1)

6.2 Der nichtlineare Fall

175

Um 8 eine koordinatenfreie Interpretation zu verleihen, beweisen wir die Beziehung (6.4) 8(w,a)· (u,(3) = \a,T(w,a) 7rW(u, (3)) , wobei 7rw : W X W* -+ W die Projektion ist. Tatsachlich stimmt (6.4) mit (6.2) uberein, denn T(w,a)7rW : W x W* -+ Wist die Projektion auf den erst en Faktor.

Ubungen Ubung 6.1.1 (Jacobi-Haretu-Koordinaten). Betrachte den Drei-Teilchen-Konfigurationsraum Q = ~3 X ~3 X ~3 mit den durch rl, r2, und r3 bezeichneten Elementen. Nenne die konjugierten Impulse PI, P2, P3 und versehe den Phasenraum T*Q mit der kanonischen symplektischen Struktur D. Es gelte j = PI +P2 +P3 und seien ferner r = r2 - rl und s = r3 - ~(rl +r2). Zeige, daB der Pullback der Form D auf die Niveauflache von j die Gestalt D = dr A d7r + ds A dC! hat, wobei die Variablen 7r und C! durch 7r = ~ (P2 - pd und C! = P3 definiert sind.

6.2 Der nichtlineare FalI Definition 6.2.1. Sei Q eine Mannigfaltigkeit. Wir definieren D = -d8, wobei 8 die analog zu (6.4) definierte I-Form aufT*Q ist, niimlich 8(3(v)

= ((3, T7rQ

. v),

(6.5)

wobei (3 E T*Q, v E T(3(T*Q), 7rQ : T*Q -+ Q die Projektion und T7rQ : T(T*Q) -+ TQ die Tangentialabbildung von 7rQ ist.

Die Berechnungen in Proposition 6.1.1 zeigen, daB (T*Q, D = -d8) eine symplektische Mannigfaltigkeit ist. In lokalen Koordinaten ist mit (w, a) E U x W*, wobei U offen in W und (u,(3),(v,,) E W x W* ist, die 2-Form D = -d8 durch D(w,a)«u, (3), (v,,))

= ,(u) - (3(v)

(6.6)

gegeben. Die Aussage des Satzes von Darboux und seines Korollars k6nnen so verstanden werden, daB jede (stark) symplektische Mannigfaltigkeit in geeigneten Koordinaten lokal wie W x W* aussieht.

Hamiltonsche Vektorfelder. Fur eine Funktion H : T*Q -+ ~ ist Das Hamiltonsche Vektorfeld X H zu einer Funktion H : T*Q -+ ~ auf dem Kotangentialbundel T*Q ist in kanonischen Kotangentialbundelkarten U x W* mit U offen in W durch

(6.7)

176

6. Kotangentialbundel

gegeben. Setzt man XH(w,a)

=

(w,a,v,l') fur alle (u,f3) E W x W*, so ist

dH(w,a) . (u, f3)

=

DwH(w,a) . u

=(

+ DaH(w,a) . f3

:~, u) + (f3, ~~) .

(6.8)

Dies entspricht nach Definition und (6.6)

(6.9) Vergleicht man (6.8) und (6.9), erhiiJt man (6.7). 1m Endlichdimensionalen gleicht (6.7) der vertrauten rechten Seite der Hamiltonschen Gleichungen.

Poissonklammern. Die Formel (6.7) und die Definition der Poissonklammer zeigen, daB in kanonischen Kotangentialbundelkarten {f,g}(w, a)

/5f 59 )

= \5w' 5a

/5g 5 f )

- \5w' 5a

(6.10)

gilt, woraus im Endlichdimensionalen i

{f,g}(q ,Pi)

8f89) = ~(8f89 ~ fii~ - ~fii i=l

q

P.

P. q

(6.11)

wird.

Die Pullbackcharakterisierung. Eine weitere, manchmal nutzliche Charakterisierung der kanonischen I-Form ist die durch die folgende Proposition gegebene. Proposition 6.2.1. 8 ist diejenige eindeutige I-Form auf T* Q fur die a*8 =a

(6.12)

fur alle lokalen I-Formen a auf Q gilt, wobei a auf der linken Seite als eine Abbildung von (einer offen en Teilmenge von) Q nach T* Q angesehen wird.

Beweis. 1st im Endlichdimensionalen a = ai (qj) dqi und 8 = Pi dqi, dann berechnen wir a*8, indem wir Pi = ai(qj) in 8 substituieren. Dies liefert wieder a, also gilt a*8 = a. Allgemeiner Argument man so: 1st 8 die kanonische I-Form auf T*Q und v E TqQ, dann ist (a*8)q' v=8 a (q)' Tqa(v) = (a(q),Ta(q)7rQ(Tqa(v))) = (a(q), Tq(7rQ 0 a)(v)) = a(q) . v, 0 a der Identitiit auf Q entspricht. Urn die Umkehrung zu zeigen, sei 8 eine I-Form auf T*Q, die (6.12) erfullt. Wir werden zeigen, daB sie die kanonische I-Form (6.5) sein muB. 1m

da

7rQ

6.2 Der nichtlineare Fall

177

Endlichdimensionalen geht das direkt: 1st 8 = Ai dqi + Bi dPi fUr Funktionen Ai,B i von (qj,Pj), dann ist

Dies entspricht genau dann a = ai dqi, wenn A· J

0

a

aai + (B". 0 a) . =a. aqJ J

ist. Da dies fUr aIle aj mit konstanten 001, ... ,an gelten mu£, folgt Ajoa also ist Aj = Pj. Daher lautet die resultierende Gleichung

=

aj,

·· Je . d es ai· W"hlt ') , fur a man ai (q1 , ... , qn) = qoi + (i q - qoi) Pi0 (k' eme SummatlOn so ist 0 = (Bj 0 a)(q6, . .. , qo)p~ fur aIle (q~,p~). Deshalb ist Bj = 0 und • folglich 8 = Pi dqi. 1 Ubungen Ubung 6.2.1. Sei N eine Untermannigfaltigkeit von M und bezeichne die kanonischen I-Formen auf den Kotangentialbundeln 1fN : T* N -+ N und 1fM : T* M -+ M durch 8 N und 8 M . Sei 1f : (T* M)IN -+ T* N die durch 1f(an ) = anlTnN definierte Projektion, wobei n E N und an E T~M ist. Zeige, daB 1f*8N = i*8 M gilt, wobei i : (T* M)IN -+ T* M die 1nklusion ist. Ubung 6.2.2. Sei Gleichung

f : Q -+ 8(X)

1

~ und X E X(T*Q). Zeige die Gultigkeit der 0

df = X[f

0

1fQJ

0

df.

1m Unendlichdimensionalen lauft der Beweis etwas anders. Wir werden zeigen, daB falls (6.12) gilt, G lokal durch (6.4) gegeben wird und somit die kanonische I-Form ist. 1st U cEder Kartenbereich im Banachraum E, der Q modelliert, so ist fiir aIle vEE (a*G)u . (u, v) = G(u, a(u)) . (v, Da(u) . v), wobei a lokal durch u f--+ (u, a(u)) fUr a : U -+ E* gegeben ist. Also ist (6.12) aquivalent zu G(u,a(u))' (v,Da(u)· v) = (a(u),v). Dies wiirde (6.4) implizieren und somit auch, daB G die kanonische I-Form ist, wenn wir zeigen konnen, daB es fUr die beschriebenen 'Y, (j E E*, u E U und vEE eine Abbildung a : U -+ E* mit a(u) = 'Y und Da(u) . v = (j gibt. Diese Abbildung wird wie folgt konstruiert: Fiir v = 0 wahle man a(u), urn die Gleichheit mit 'Y fiir aIle u zu erhalten. Fiir v i= 0 findet man nach dem Satz von Hahn-Banach ein

= ((3, T(f 0 7rQ 0 T* J) . v) = ((3, T7rs . v) = B S (3 . v, da f 0 7rQ 0 T* f = trs ist. Sei umgekehrt
(
0


(6.14)

fur alle (3 E T* S und v E T(3(T* S). Da

Beweis. Da FtQ fasererhaltend ist, verlauft VQ tangential zu den Fasern und somit ist T7rQ 0 VQ = o. Daraus folgt mit (6.5) die Gleichung (BQ' VQ) = O. Zum Beweis der zweiten Formel beachte man 7rQ 0 FtQ = 7rQ. Sei a E T;Q, v E Ta(T*Q) und Ba die Bezeichnung fur BQ ausgewertet in a, dann gilt

((FtQ)*8)a . v = 8 FtQ (a) . T FtQ (v)

= (FtQ(a), (T7rQ 0 TFtQ)(v) ) = (e t a,T(7rQoFtQ)(v)) = et (a,T7rQ(v)) = etBa· v, also ist

(FtQ)*B Q = etBQ.

Bilden wir die Ableitung nach t bei t = 0, so erhalten wir die zweite Formel. SchlieBlich folgt aus den beiden Formeln

•

180

6. Kotangentialbtindel

Wir setzen jetzt den Beweis von Proposition (6.15) fort. Beachte, daB mit (6.15)

i'P*vQDs = i'P*vQcp*DQ = cp*(ivQDQ) = -cp*8Q = -8 s = iVsDs gilt. Da Ds schwach nichtausgeartet ist, folgt somit die Beziehung cp*VQ = Vs. Also vertauscht cp mit den Flussen FtQ und FtS , d.h., fUr jedes (3 E T* S gilt cp(e t (3) = et cp((3). Ui£t man in dieser Gleichung t -+ -00 streben, folgt daraus (cp 0 7rs)((3) = (7rQ ocp)((3), denn fur t -+ -00 strebt et (3 -+ 7rs((3) und et cp((3) -+ (7rQ 0 cp)((3). Also ist

= cp 0 7rs oder 10 7rQ = 7rs 0 cp-1. Schlie£lich zeigen wir T* 1 = cp. Fur (3 E T* S und v E T(3 (T* S) fUhrt 7rQ

0 cp

(6.14) auf

(T* 1((3), T(7rQ 0 cp)(v)) = ((3, T(f 0 7rQ 0 cp)(v)) = ((3, T7rs(v)) = (8s)(3· v = (cp*8Q)(3 . v = (8Q)'P((3) . T(3cp(v) = (cp((3), T(3(7rQ 0 cp)(v)). Dies zeigt T* 1 = cp, denn der Wertebereich von T(3(7rQ Tangentialraum von Q an (7rQ 0 cp)((3).

0

cp) ist der gesamte •

1m Endlichdimensionalen, also in Koordinatenschreibweise, kann der erste Teil dieser Proposition folgendermaBen nachvollzogen werden. Schreibe (sl, ... , sn) = 1(q1, ... , qn) und definiere Pj

=

osi oqj ri,

(6.16)

wobei (q1, ... , qn, P1, ... , Pn) Kotangentialbtindelkoordinaten auf T*Q und (s\ ... , sn, r1, ... , r n) auf T* S sind. Da 1 ein Diffeomorphismus ist, bestimmt er die qi in Abhangigkeit der sj, qi = qi (Sl , ... , sn), also sind qi und Pj Funktionen von (s\ ... , sn, r1, ... , rn). Die Abbildung T* 1 ist durch (sl, ... ,Sn,r1, ... ,rn ) r+ (q\ ... ,qn,P1, ... ,Pn)

(6.17)

gegeben. Mit der Kettenregel und (6.16) folgt, daB (6.17) die kanonische 1Form erhiilt: ri ds

Falls

i

osi

= ri oqk

dq

k

= Pk dq

k

.

(6.18)

1 und 9 Diffeomorphismen von Q sind, ist T* (f 0 g) = T* 9 0 T* 1,

(6.19)

d.h., die Kotangentiallifte vertauschen die Kompositionsfolge. Es ist hilfreich, sich T* 1 als die adjungierte Matrix von T 1 vorzustellen, denn in Koordinaten entspricht die Matrix von T* 1 der transponierten Matrix der Ableitung von f.

6.4 Lifts von Wirkungen

181

Ubungen Ubung 6.3.1. Die Lorentzgruppe C ist die Gruppe der invertierbaren linearen Transformationen des ~4 in sieh, die die quadratische Form x 2 + y2 + Z2 - c2 t 2 erhalten, wobei c eine Konstante ist, die Liehtgeschwindigkeit. Beschreibe alle Elemente dieser Gruppe. Ao bezeichne eine dieser Transformationen. Bilde C mit A f-7 AoA auf sich selbst abo Bestimme den Kotangentiallift dieser Abbildung. Ubung 6.3.2. Wir haben gezeigt, daB eine Transformation von T*Q genau dann der Kotangentiallift eines Diffeomorphismus des Konfigurationsraumes ist, wenn diese die kanonische I-Form erhalt. Finde dieses Resultat im Buch von Whittaker.

6.4 Lifts von Wirkungen Eine Linkswirkung einer Gruppe G auf eine Mannigfaltigkeit M ordnet jedem Gruppenelement g E G einen Diffeomorphismus cI> 9 von M zu, so daB cI>gh = cI>g 0 cI>h ist. Folglich ist die Menge der cI>g eine Gruppe von Transformationen von M. Ersetzen wir die Bedingung cI>gh = cI>g 0 cI>h durch I}/gh = I}/h 0 I}/g, so sprechen wir von einer Rechtswirkung. Wir schreiben oftmals cI>g(m) = g. m und I}/g(m) = m· g fUr m E M.

Definition 6.4.1. Sei cI> eine Wirkung einer Gruppe G auf eine Mannigfaltigkeit Q. Der Rechtslift cI>* der Wirkung cI> auf der symplektischen Mannigfaltigkeit T* Q ist die durch die Regel (6.20)

definierte Rechtswirkung, wobei 9 E G, 0: E T;Q und T*cI>g der Kotangentiallijt des Diffeomorphismus cI>g : Q -+ Q ist. Mit (6.19) sehen wir (6.21) also ist cI>* eine Rechtswirkung. Eine Linkswirkung cI>*, die auch der Linkslift von cI> genannt wird, erhalt man, indem man (6.22) setzt. Wegen Proposition 6.3.2 sind in jedem der beiden Falle die gelifteten Wirkungen kanonische Transformationen. Nach dem Studium der Liegruppen in Kap. 9 werden wir auf die Gruppenwirkungen zuriickkommen.

182

6. Kotangentialbundel

Beispiele Beispiel 6.4.1. Fur ein System von N Teilchen im JR3 wahlen wir Q = JR3N als Konfigurationsraum. Fur einen N - Tupel von Vektoren schreiben wir (%) und numerieren mit j = 1, ... , N. Entsprechend werden die Elemente des Impulsphasenraums P = T*JR3N ~ JR6N ~ JR3N X JR3N mit (%, pj) bezeichnet. Die additive Gruppe der Translationen G = JR3 wirke auf Q gemaB (6.23)

Jeder der N Ortsvektoren qj wird durch denselben Vektor x verschoben. Liften wir den Diffeomorphismus Ij)x : Q -+ Q, so erhalten wir eine Wirkung Ij)* von G auf P. Wir behaupten, daB (6.24)

ist. Urn (6.24) zu zeigen, beobachte man, daB Tlj)x : TQ -+ TQ durch (6.25)

erklart ist. Also ist (qi, pj) r+ (qi - x, pj) die zugehi:irige duale Abbildung. Beispiel 6.4.2. Betrachte die Wirkung von GL(n,JR), der Gruppe der invertierbaren (n x n)-Matrizen, oder genauer, der Gruppe der invertierbaren linearen Transformationen des JRn in sich, die auf dem JRn durch (6.26)

gegeben sind. Die Gruppe der induzierten kanonischen Transformationen von T*JRn in sich ist durch (6.27)

gegeben, wie schon gezeigt. Beachte, daB dies auf dieselbe Transformation von q und p fuhrt, falls A orthogonal ist.

Ubungen Ubung 6.4.1. Es wirke die multiplikative Gruppe JR\{O} durch Ij).\(q) auf den JR n . Bestimme den Kotangentiallift dieser Wirkung.

= )..q

6.5 Erzeugendenfunktionen Betrachte einen symplektischen Diffeomorphismus 'P : T*Ql -+ T*Q2' der durch die Funktionen

6.5 Erzeugendenfunktionen

183 (6.28)

beschrieben wird, wobei (qi,pi) und (sj,rj) Kotangentialkoordinaten auf T*Ql und T*Q2 sind. Es gebe also eine Abbildung (6.29) deren Bild der Graph von tp ist. Sei 8 1 die kanonische I-Form auf T*Ql und 8 2 die auf T*Q2' Per Definition ist (6.30) Dies hat angesichts (6.28) zur Folge, daB (6.31) also r*(8 l - 8 2 ) geschlossen ist. Diese Bedingung gilt, falls r*(8 l exakt ist, namlich

-

8 2)

(6.32) fUr eine Funktion S(q, s) gilt. In Koordinatenschreibweise lautet (6.32)

. . as . as . Pi dq' - ri ds' = -a. dq' + -a. ds'. q' s' Dies entspricht

as Pi = aqi'

as ri = - as i .

(6.33)

(6.34)

Man nennt Seine ErzeugendenJunktion fUr die kanonische 'Ifansformation. Mit Erzeugendenfunktionen dieser Art kann man, selbst wenn man die identische Abbildung betrachtet, auf Singularitaten stoBen! Siehe Ubung 6.5.I. Andere Voraussetzungen als (6.28) fiihren zu anderen SchluBfolgerungen als (6.34). Punkttransformationen werden im folgenden Sinne erzeugt. 1st S(qi,rj) = sj(q)rj, so ist

. as s'=ari

as und Pi = aqi'

(6.35)

(Hier schreibt man Pi dqi + Si dri = dS.) 1m allgemeinen betrachtet man einen Diffeomorphismus tp : PI --t P2 von einer symplektischen Mannigfaltigkeit (PI, Dr) zu einer anderen (P2 , D2 ) und bezeichnet den Graphen von tp mit

Sei i

184

6. Kotangentialbiindel

°

ist, wenn i~D = ist. Da 7r1 0 i

und somit gilt genau dann i~D = 0, wenn cp symplektisch ist, denn (7rIlr(cp))* ist injektiv. In diesem Fall nennt man r(cp) eine isotrope Untermannigfaltigkeit von PI x P2 (ausgestattet mit der symplektischen Form D). Da die Dimension von r( cp) halb so groB wie die von PI x P2 ist, ist sie maximal isotrop, bzw. eine Lagrangemannigfaltigkeit. Wir nehmen nun an, daB man eine Form wiihlt, so daB D = -de ist. Dann ist i~D = -di~e = 0, also gibt es auf r( cp) lokal eine Funktion S: r(cp) -+ JR, so daB i*e (6.36)

e

gilt. Dies definiert die Erzeugendenfunktion der kanonischen Transformation cpo Da r( cp) diffeomorph zu PI und auch zu P2 ist, konnen wir S als eine Funktion auf PI oder P2 ansehen. 1st PI = T*Ql und P2 = T*Q2' so konnen wir uns S genausogut (zumindest lokal) als auf QI x Q2 definiert vorstellen. Auf diese Weise reduziert sich die allgemeine Konstruktionsweise der Erzeugendenfunktionen auf den Fall wie in den obigen Gleichungen (6.34) und (6.35). Mit anderen Wahlen fur Q kann sich der Leser andere Erzeugendenfunktionen generieren und Formen, wie z.B. aus Goldstein [1980] oder Whittaker [1927]' reproduzieren. Unser Zugang basiert auf Sniatycki und Tulczyjew [1971]. Erzeugendenfunktionen sind in der Hamilton-J acobi-Theorie, fur die Beziehung der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik (wo S die Rolle der quantenmechanischen Phase spielt) und in numerischen Integrationsverfahren fur Hamiltonsche Systeme von besonderer Bedeutung. Wir werden einige dieser Aspekte spater betrachten.

Ubungen Ubung 6.5.1. Zeige, daB

eine kanonische Transformation erzeugt, die fur t

= Odie Identitat ist.

Ubung 6.5.2 (Ein symplektischer Integrator erster Ordnung). Sei H gegeben und Zeige, daB Seine kanonische Transformation erzeugt, die eine Naherung erster Ordnung an den FluB von XH fur kleine t darstellt.

6.6 Fasertranslationen und magnetische Terme

185

6.6 Fasertranslationen und magnetische Terme Impulsshifte. Wir sahen schon, wie man mit Kotangentialliften kanonische Transformationen konstruiert. Fasertranslationen zu verwenden, ist eine zweite Moglichkeit. Lemma 6.6.1 (zum Impulsshift). Sei A eine I-Form auf Q und tA : T*Q -+ T*Q durch OOq f--+ OOq + A(q) definiert, wobei OOq E T;Q ist. Sei 8 die kanonische I-Form aufT*Q. Dann ist

(6.37) wobei

7rQ :

T*Q -+ Q die Projektion ist. Folglich gilt

(6.38) wobei n = -d8 die kanonische symplektische Form ist. Also ist tA genau dann eine kanonische Transformation, wenn dA = 0 ist.

Beweis. Wir beweisen dies mit einer Berechnung im Endlichdimensionalen in Koordinaten. Der Leser wird gebeten, sich als Ubungsaufgabe urn die koordinatenfreie und unendlichdimensionale Version dieses Beweises zu bemiihen. In Koordinaten ist tA die Abbildung

(6.39) Also ist (6.40)

Dies ist die Koordinatenschreibweise fiir 8 iibrigen Behauptungen.

+ 7rQA.

Daraus folgen sofort die •

Insbesondere ist eine Fasertranslation durch das Differential einer Funktion A = df eine kanonische Transformation. Wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, induziert f eine Erzeugendenfunktion (siehe Ubung 6.6.2). Die zwei grundlegenden Klassen von kanonischen Transformationen, namlich Lifte und Fasertranslationen, spielen in der Mechanik eine wichtige Rolle. Magnetische Terme. Eine sich von der kanonischen Form unterscheidende symplektische Form auf T*Q wird in folgender Weise erhalten. Sei B eine geschlossene 2-Form auf Q. Dann ist n - 7rQB eine geschlossene 2-Form auf T*Q, wobei n die kanonische 2-Form ist. Urn einzusehen, daB n - 7rQB (schwach) nichtausgeartet ist, verwende man die Tatsache, daB diese Form in einer lokalen Karte am Punkt (w, 00) durch ((u, ,6), (v, 'Y))

gegeben ist.

f--+

h, u) -

(,6, v) - B(w)(u, v)

(6.41 )

186

6. Kotangentialbiindel

Proposition 6.6.1.

(i) Sei

die kanonische 2-Form auf T*Q und 7rQ : T*Q -+ Q die Projektion. 1st Beine geschlossene 2-Form auf Q, dann ist [2

[2B

=

[2 -

7r'QB

(6.42)

eine (schwach) symplektische Form auf T* Q.

(ii) Seien B und B' geschlossene 2-Formen auf Q und angenommen, daft B - B' = dA ist. Dann ist die Abbildung tA (die Fasertranslation durch A) ein symplektischer Diffeomorphismus von (T*Q, [2B) mit (T*Q, [2BI).

Beweis. Teil (i) folgt aus einem ahnlichen Argument wie im Lemma zum Impulsshift. Fur (ii) verwendet man die Formel (6.38) urn

=

[2 -

zu erhalten, so daB wegen

7rQ

t~ [2

7r'QdA = 0

t~([2 -

tA

[2 -

7r'QB + 7r'QB'

(6.43)

= 7rQ

7r'QB') =

[2 -

7r'QB

•

ist.

Symplektische Formen vom Typ [2B treten im Reduktionsproze£ au£.2 1m nachsten Abschnitt erklaren wir, warum der zusatzliche Term 7r'QB ein magnetischer Term genannt wird. Ubungen Ubung 6.6.1. Liefere den koordinatenfreien Beweis von Proposition 6.6.l. Ubung 6.6.2. Sei A = df. Zeige mit einer Rechnung in Koordinaten, daB S(qi,ri) = Tiqi - f(qi) eine Erzeugendenfunktion fur tA ist.

6.7 Ein Teilchen im Magnetfeld Sei Beine geschlossene 2-Form auf dem ffi.3 und sei B = Bxi + Byj + Bzk das zugehOrige divergenzfreie Vektorfeld, d.h., es gilt iB(dx /\ dy /\ dz) = B, 2

Magnetische Terme tauchen im sogenannten Satz zur Kotangentialbilndelreduktion auf, vgl. Smale [1970], Abraham und Marsden [1978], Kummer [1981]' NiH [1983], Montgomery, Marsden und Ratiu [1984], Cozzi und Thacker [1987] und Marsden [1992].

6.7 Ein Teilchen im Magnetfeld

bzw.

B = Bx dy /\ dz - By dx /\ dz

187

+ B z dx /\ dy.

Denkt man bei B an ein Magnetfeld, so sind die Bewegungsgleichungen fur ein Teilchen der Ladung e und Masse m durch die Lorentzkrajt dv dt

m-

mit v =

e

= -vxB

(6.44)

c

(x, y, i) bestimmt. Betrachte die symplektische Form e c

DB = m(dx /\ dx + dy /\ dy + dz /\ di) - -B,

(6.45)

also (6.42) auf dem IR3 x IR3, was hier der (x, v)-Raum ist. Als Hamiltonfunktion verwende man die kinetische Energie (6.46) Mit der Notation XH(u,v,w) = (u,v,w,it,iJ,w) ist die Bedingung (6.47) gleichbedeutend mit

m(xdx + ydy

+ idi) = m( U dx - it dx + v dy - iJ dy + w di - w dz) e - - [Bxv dz - Bxw dy - Byu dz c

und dies entspricht u

=

+ Byw dx + Bzu dy - Bzv dx]

x, v = y und w = i .

mu

zusammen mit den Gleichungen

e

= -(Bzv - Byw), c

.

e

mv = -(Bxw - Bzu), c mw

= '!:..(Byu - Bxv),

mx..

= -e(B· zy - B·) yZ,

my

e -(Bxi - Bzx), c

c

also c

=

(6.48)

e

mz = -(Byx - BxY). c

Dies stimmt aber mit (6.44) uberein. Somit sind die Bewegungsgleichungen fur ein Teilchen in einem Magnetfeld Hamiltonsch mit einer der kinetischen Energie entsprechenden Energie und einer symplektischen Form DB.

188

6. Kotangentialbiindel

1st B = dA, also B = \7 x A mit A P = A, so kann man wegen des Lemmas zum Impulsshift die Abbildung tA : (x, v) f-7 (x, p) mit p = mv + eAjc verwenden, um den Pullback DB der kanonischen Form zu erhalten. Demnach sind die Gleichungen (6.44) auch Hamiltonsch bzgl. der kanonischen Klammer auf dem (x, p )- Raum mit der Hamiltonfunktion HA

1

e

2

= -llp-All· 2m c

(6.49)

Bemerkungen (i) Nicht jedes Magnetfeld kann im Euklidischen Raum als B = \7 x A geschrieben werden. Zum Beispiel kann das Feld eines magnetischen Monopols der Starke 9 =f=. 0, niimlich r

B(r) = 9 Il r 113'

(6.50)

nicht in dieser Weise geschrieben werden, da der FluB von B durch die Einheitssphiire 47rg ist, der Satz von Stokes angewandt auf die 2Sphiire aber Null ergeben wurde, vgl. Ubung 4.4.3. Demzufolge konnte man denken, daB die Hamiltonsche Formulierung, die nur B (also DB und H) einbezieht, vorzuziehen ist. Es besteht aber die Moglichkeit zum magnetische Potential A zuruckzukehren, indem man es als einen Zusammenhang auf einem nichttrivialen Biindel uber ]R3 \ {O} auffaBt. (Dieses Bundel uber der Sphare 8 2 ist die H opffaserung 8 3 --+ 8 2 .) Eine lesbare Darstellung einiger Aspekte hierzu findet man in Yang [1985]. (ii) Untersucht man die Bewegung eines Teilchens in einem Yang-Mills-Feld, so entdeckt man eine schone Verallgemeinerung dieser Konstruktion und verwandte Ideen, die sich der Theorie der Hauptfaserbundel bedienen, vgl. Sternberg [1977], Weinstein [1978a] und Montgomery [1984]. (iii) In Kapitel 8 studieren wir Zentrifugal- und Corioliskrafte und werden einige hierzu analoge Strukturen kennenlernen.

Ubungen Ubung 6.7.1. Zeige, daB sich ein Teilchen in einem konstanten Magnetfeld auf einer Helix bewegt. Ubung 6.7.2. Uberprufe "per Hand", daB ~mllvl12 fur ein Teilchen in einem Magnetfeld eine ErhaltungsgroBe ist. Ubung 6.7.3. Uberprufe "per Hand", daB die Hamiltonschen Gleichungen fur HA die aus der Lorentzkraft resultierenden Gleichungen 6.7.1 sind.

7. Lagrangesche Mechanik

Unser bisheriger Zugang betont die Hamiltonsche Sichtweise. Es gibt jedoch eine hiervon unabhangige Betrachtungsweise, die der Lagrangeschen Mechanik. Diese ist aufVariationsprinzipien begriindet. Die Lagrangesche Mechanik ist wichtig, da sie eine alternative Sichtweise darstellt, fiir manche Berechnungen besser geeignet ist und die kovariante Formulierung relativistischer Theorien mit ihrer Hilfe leicht umgesetzt werden kann. lronischerweise entdeckte gerade Hamilton [1834] die der Lagrangeschen Mechanik zugrundeliegenden Variationsstrukturen.

7.1 Das Hamiltonsche Prinzip der stationaren Wirkung Ein GroBteil der Mechanik ist auf Variationsprinzipien begriindbar. Die Formulierung mithilfe der Variationsprinzipien ist die kovarianteste, was auch fUr relativistische Systeme niitzlich ist. 1m nachsten Kapitel werden wir die Niitzlichkeit der Lagrangeschen Methode bei der Untersuchung rotierender Bezugssysteme erkennen. Sie wird auch fUr die Hamilton-Jacobi-Theorie wichtig sein. Betrachte eine Konfigurationsmannigfaltigkeit Q, den Geschwindigkeitsphasenraum TQ und eine Lagrangefunktion L : TQ ---t JR. Grob gesprochen besagt das Hamiltonsche Prinzip der stationaren Wirkung,

daB

(7.1) ist, wobei iiber die Wege qi(t) in Q mit festen Endpunkten variiert wird. (Wir werden diesen Vorgang in §8.1 etwas sorgfaltiger untersuchen.) Bildet man die Variation von (7.1), so liefert die Kettenregel fUr die linke Seite

(7.2) Integrieren wir den zweiten Term partiell und verwenden die Randbedingungen 8qi = 0 in den Endpunkten des betrachteten Zeitintervalls, so erhalten wir J. E. Marsden et al., Einführung in die Mechanik und Symmetrie © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

190

7. Lagrangesche Mechanik

J[Z~ - ~ (Z~ )]

Oqi dt = O.

(7.3)

SolI dies fur alle Variationen oqi(t) gelten, so ist

8L _ !i 8L = 8q' dt 8it

o.

(7.4)

Dies sind die Euler-Lagrange-Gleichungen. Wir set zen Pi = 8 L / 8(/, nehmen an, daB die Transformation (qi, qj) r-+ (qi, Pj) invertierbar ist und definieren die Hamiltonfunktion durch

(7.5)

H(qi,Pj)=piqi-L(qi,qi). Man beachte

8H UPi Dies gilt, denn wegen der Kettenregel und (7.5) ist .i

q

=~.

8H .i 8qj 8L 8qj .i - = q +Pj---.·-=q· 8Pi 8Pi 8qJ 8Pi Ebenso ist

. 8H Pi = - 8qi

wegen (7.4) und

8H 8qj -

8qi '8qj

8L 8qj

8L 8qi 8qi 8qj -

8L 8qj .

--p._--------

Mit anderen Worten: Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind zu den Hamiltonschen Gleichungen aquivalent. Folglich ist es vernunftig, die Geometrie der Euler-Lagrange-Gleichungen mittels der kanonischen Form auf T*Q, die mit Pi = 8L/8qi auf TQ zuruckgezogen ist, darzustellen. Dies wird im nachsten Abschnitt geschehen und ist ein Standardzugang zur Geometrie der Euler-Lagrange-Gleichungen. Eine andere Moglichkeit besteht darin, das Variationsprinzip selbst zu verwenden. Der Leser wird bemerken, daB die kanonische I-Form Pidqi in Gestalt der Randterme auftritt, wenn wir die Variationen bilden. Dies kann als Grundlage dienen, urn die kanonische I-Form in die Lagrangesche Mechanik einzufuhren. Wir werden dies en Zugang in Kap. 8 entwickeln. Siehe auch Ubung 7.2.2. Ubungen Ubung 7.1.1. Zeige, daB die Euler-Lagrange-Gleichungen auch zu den Hamiltonschen Gleichungen aquivalent sind, wenn L zeitabhangig ist. Ubung 7.1.2. Zeige, daB man auf die Energieerhaltungsgleichung stoBt, wenn man beim Hamiltonschen Prinzip Variationen bzgl. Reparametrisierungen der gegebenen Kurve q(t) wahlt.

7.2 Die Legendretransformation

191

7.2 Die Legendretransformation Faserableitungen. Sei L : TQ -t lR eine Lagrangefunktion. Man definiert die sogenannte Faserableitung lFL : TQ -t T*Q durch

lFL(v) . w =

:s 18=0

L(v + sw)

(7.6)

mit v, w E TqQ. Somit ist IF L( v) . w die Ableitung von L bei v entlang der Faser TqQ in Richtung w. lFL ist fasererhaltend, d.h., sie bildet die Faser TqQ auf die Faser T;Q abo In einer lokalen Karte U x E fur TQ, wobei U offen im Modellraum E fur Q ist, wird die Faserableitung durch die Gleichung

lFL(u, e)

=

(u, D2L(u, e))

(7.7)

bestimmt, wobei D2L die partielle Ableitung von L nach ihrem zweiten Argument ist. Fur endlichdimensionale Mannigfaltigkeiten, wobei mit (qi) die Koordinaten auf Q und mit (qi, qi) die auf TQ induzierten Koordinaten bezeichnet werden, ist die Faserableitung der Ausdruck

lFL( qi ,q.i) = (i OL) ' q, oqi also ist IF L durch

oL

Pi = oqi

(7.8)

(7.9)

gegeben. Die assoziierte Energiefunktion ist durch E(v) = lFL(v)·v-L(v) definiert. In vielen Beispielen resultiert die physikalische Bedeutung der Impulsvariablen aus der Beziehung (7.9). Wir nennen lFL die Legendretransformation. Lagrangesche Formen. Es bezeichne [! die kanonische symplektische Form auf T*Q. Mit lFL erhalten wir die I-Form fh und eine geschlossene 2-Form [!L auf TQ, indem wir

fh = (IFL ) * 8

und

[!L

= (IFL ) * [!

(7.10)

setzen. Wir nennen 8L die Lagrangesche I-Form und [!L die Lagrangesche 2-Form. Da d mit dem Pullback vertauscht, erhalten wir [!L = -d8 L . Mit den lokalen Ausdrucken fur 8 und [! fiihrt eine direkte Berechnung des Pullbacks auf die folgende lokale Formel fur 8 L und [!L: 1st E der Modellraum fur Q, U das Bild einer Karte von Q in E und U x E das zugehOrige Bild der induzierten Karte auf TQ, dann gilt fur (u, e) E U x E und Tangentialvektoren (el' e2), (h, h) in E x E

T(u,e)lFL· (el' e2) = (u, D2L(u, e), el, D l (D 2L(u, e)) . el

+ D2(D2L(u, e)) . e2)

(7.11)

192

7. Lagrangesche Mechanik

Somit ist mit dem lokalen Ausdruck fUr 8 und der Definition des Pullback (7.12) Entsprechend kommt man auf

[h(u, e) . ((el' e2), (11, h)) = D 1 (D 2L(u, e) . el) ·11 - Dl(D2L(u, e) . 11) . el +D2D2L(u, e) . el· 12 - D 2D 2L(u,e)· 11· e2,

(7.13)

wobei Dl und D2 die partiellen Ableitungen nach dem erst en und zweiten Argument bezeichnen. 1m Endlichdimensionalen fiihren die Formeln (7.11) und (7.12) oder ein direkter Pullback von Pidqi und dqi /\ dPi auf [)L

.

8£ = -.dq"

[)q"

und

[h =

[)2 L . . [)2 L . . ~dq" /\ dql + ~dq" /\ dql

uq" uql

uq" uql

(7.14)

(7.15)

(mit einer Summation iiber alle i, j). Dies entspricht einer schiefsymmetrischen (2n x 2n)-Matrix

(7.16)

wobei A die Schiefsymmetrisierung von [)2 L/([)qi [)qj) ist. Aus diesen Ausdriicken folgt, daB fh genau dann (schwach) nichtausgeartet ist, wenn die quadratische Form D 2 D 2 L(u, e) (schwach) nichtausgeartet ist. In diesem Fall sagen wir, daB L eine reguUire oder nichtausgeartete Lagrangefunktion ist. Der Satz iiber implizite Funktionen zeigt, daB die Faserableitung genau dann lokal invertierbar ist, wenn L regular ist. Ubungen Ubung 7.2.1. Sei

Bestimme 8£, [h und die zugehi::irige Hamiltonfunktion. Ubung 7.2.2. Man definiert fiir v E TqQ den vertikalen Lift v l E Tv(TQ) als den Tangentialvektor an die Kurve v + tv in t = O. Zeige, daB 8£ durch

7.3 Die Euler-Lagrange-Gleichungen wJ

193

fh =v l JdL

definiert werden kann, wobei w E Tv(TQ) und w J fh Produkt ist. Zeige auch, daB die Energie

E(v) = vI

J

= iwEh das innere

dL - L(v)

ist. Ubung 7.2.3 (Die abstrakte Legendretransformation). Sei Vein Vektorbundel uber einer Mannigfaltigkeit S und sei L : V --+ R Fur v E V bezeichne oL * W = - Ev

ov

die Faserableitung. Gehe davon aus, daB die Abbildung v Diffeomorphismus ist und sei H : V* --+ JR. durch

M w

ein lokaler

H(w) = (w, v) - L(v) definiert. Man zeige, daB dann

oH ow

V=-

gilt.

7.3 Die Euler-Lagrange-Gleichungen Hyperregulare Lagrangefunktionen. Gegeben sei eine Lagrangefunktion L. Die Wirkung von List die Abbildung A : TQ --+ JR., die durch A(v) = lFL(v) . v definiert ist, und E = A - List die Energie von L, wie schon oben definiert. In Karten wird dies so formuliert:

A(u, e) = D2L(u, e) . e, E(u, e) = D 2L(u, e) . e - L(u, e),

(7.17) (7.18)

und im Endlichdimensionalen lauten (7.17) und (7.18) dann ·i oL ·i i .i) A ( q ,q = q oqi = Piq ,

.. E(q" q')

=

·oL .. q' oqi - L(q" q')

(7.19) =

. .. Piq' - L(q" q').

(7.20)

1st L eine Lagrangefunktion, fur die IF L : TQ --+ T* Q ein Diffeomorphismus ist, so nennen wir L eine hyperreguliire Lagrangefunktion. In diesem Fall set zen wir H = Eo (lFL)-l. Dann sind X H und X E lFL-verwandt, da lFL nach Konstruktion symplektisch ist. Folglich induzieren hyperreguHire Lagrangefunktionen auf TQ Hamiltonsche Systeme auf T*Q. Umgekehrt liiBt sich zeigen, daB hyperreguliire Hamiltonfunktionen auf T*Q aus Lagrangefunktionen auf TQ resultieren (vgl. §7.4 fur Definitionen und Details).

194

7. Lagrangesche Mechanik

Die Lagrangeschen Vektorfelder. Allgemeiner wird ein Vektorfeld Z auf TQ ein Lagrangesches Vektorfeld oder ein Lagrangesches System fur L genannt, falls die Lagrangebedingung [h(v)(Z(v), w)

= dE(v) . w

(7.21)

fur aIle v E TqQ und w E Tv(TQ) gilt. Ware L regular, so daB [h eine (schwach) symplektische Form ist, so gabe es zumindest ein Z, das das Hamiltonsche Vektorfeld von E bzgl. der (schwach) symplektischen Form [h ware. In diesem Fall wissen wir, daB E auf dem FluB von Z erhalten bleibt. Dasselbe Resultat trifft sogar noch zu, falls L regular ist: Proposition 7.3.1. Sei Zein Lagrangesches Vektorfeld fur Lund sei v(t) E TQ eine Integralkurve von Z. Dann ist E(v(t» konstant (in t). Beweis. Mit der Kettenregel und aufgrund der Schiefsymmetrie von

d

[h folgt

.

dtE(v(t» = dE(v(t))· v(t) = dE(v(t))· Z(v(t»

= Sh(v(t))(Z(v(t))), Z(v(t)) = o.

(7.22)

•

Wir nehmen fUr gewohnlich an, daB [h nichtausgeartet ist. Der ausgeartete Fall tritt aber in der Diracschen Theorie der Zwangsbedingungen auf (vgl. Dirac [1950, 1964], Kunzle [1969], Hanson, Regge und Teitelboim [1976], Gotay, Nester und Hinds [1979], dortige Literaturhinweise und §8.5). Gleichungen zweiter Ordnung. Das Vektorfeld Z hat oftmals eine bestimmte Eigenschaft, namlich, daB Z eine Gleichung zweiter Ordung ist. Definition 7.3.1. Ein Vektorfeld V aufTQ wird Gleichung zweiter Ordnung genannt, falls TTQ 0 V die Identitiit ist, wobei TQ : TQ -+ Q die kanonische Projektion ist. 1st c( t) eine Integralkurve von V, so wird (TQ 0 c) (t) die Losungskurve von c(t) genannt.

Man kann leicht einsehen, daB die Bedingung dafUr, daB V von zweiter Ordnung ist, zu der folgenden aquivalent ist: Fur jede Karte U x E auf TQ konnen wir V(u, e) = ((u, e), (e, V2 (u, e))) als eine Abbildung V2 : U x E -+ E darstellen. Foiglich ist die Dynamik durch it = e und e = V2 (u, e) bestimmt, also durch u = V2 (u, it), eine Gleichung zweiter Ordung im gewohnlichen Sinne. Diese lokale Berechnung zeigt auch, daB die Losungskurve durch eine gegebene Anfangsbedingung in TQ in eindeutiger Weise eine Integralkurve von V bestimmt.

7.3 Die Euler-Lagrange-Gleichungen

195

Die Euler-Lagrange-Gleichungen. Aus der Sicht der Lagrangeschen Vektorfelder ist das Hauptresultat fUr die Euler-Lagrange-Gleichungen der folgende Satz 7.3.1. Sei Zein Lagrangesches System Fir Lund auch eine Gleichung zweiter Ordung, dann erfullt eine Integralkurve (u( t), v( t)) E U x Evon Z in einer Karte U x E die Euler-Lagrange-Gleichungen duet) _ () dt - v t ,

d dtD2L(U(t),v(t)). w

= D1L(u(t),v(t)). w

(7.23)

fur alle wEE. 1m Endlichdimensionalen lav,ten die Euler-Lagrange-Gleichungen dqi

di

.i

=q,

! (Z~ ) = Z~,

i

=

1, ... , n.

(7.24)

1st L reguliir, d.h., ist fh (schwach) nichtausgeartet, so ist Z automatisch von zwciter Ordnung, und falls [h stark nichtausgeartet ist, gilt d 2u dv dt 2 = dt

=

[D2D2L(u, v)]

-1

(D1L(u, v) - D1D2L(u, v) . v),

(7.25)

oder im Endlichdimensionalen

.

"J -

q -

82 L 'J.) G']" (8L 8qi - 8qj 8 it q ,

i,j=l, ... ,n,

(7.26)

wobei [Gij] die Inverse der Matrix (8 2 Lj8qi 8rjj) ist. Also sind u(t) und qi(t) genau dann Losungskurven des Lagrangeschen Vektorfeldes Z, wenn sie die Euler- Lagrange-Gleichungen erfullen.

Beweis. Aus der Definition der Energie E ruhrt der lokale Ausdruck DE(u,e)'(e1,e2)

=

D1(D2L(u,e)·e),c1+D2(D2L(u,e)·e)·e2

- DIL(u, e) . e1

(7.27)

her (der Term D 2L(u,e) . e2 wurde weggelassen). In lokaler Schreibweise ist Z(u, e)

=

(u, e, Y1(u, e), Y 2(u, e)).

Mit der Formel (7.13) fur [h wird die Bedingung (7.21) an Z zu D 1D 2L(u, e) . Y 1(u, e)) . e1 - D1(D2L(u, e) . ed . Y1(u, e) +D 2D 2L(u, e) . Y1 (u, e) . e2 - D2D2L(u, e) . e1 . Y 2(u, e)

= Dl (D 2 L(u, e) . e) . el - D1L(u, e) . el + D2D2L(u, e) . e· e2. (7.28)

196

7. Lagrangesche Mechanik

Falls [h eine schwach symplektische Form ist, so ist D2D2L( u, e) folglich schwach nichtausgeartet, weshalb wir Y1(u, e) = e fur el = 0 erhalten, d.h., Z ist eine Gleichung zweiter Ordung. 1njedem Fall wird die Bedingung (7.28), falls Z von zweiter Ordnung ist, zu

fUr aIle el E E. 1st (u(t), v(t)) eine 1ntegralkurve von Z, dann ist it = v und U = Y2 (u,v) (wobei die Punkte Zeitableitungen bezeichnen), also wird aus

(7.29)

nach der Kettenregel. Die letzte Aussage folgt mit der Kettenregel auf der linken Seite der Lagrangegleichung und der Regularitat von L, urn nach v also ijj aufzulosen .

•

Ubungen Ubung 7.3.1. Fuhre ein explizites Beispiel einer nichtregularen Lagrangefunktion L an, die ein Lagrangesches System Z von zweiter Ordnung hat. Ubung 7.3.2. Zeige durch eine direkte Berechnung, daB die Gultigkeit des Ausdrucks (7.24) koordinatenunabhangig ist, also daB die Form der EulerLagrange-Gleichungen nicht von der Koordinatenwahl abhangt.

7.4 HyperreguHire Lagrange- und Hamiltonfunktionen Oben sagten wir, daB eine glatte Lagrangefunktion L : TQ -r lR hyperreguliir ist, wenn lFL : TQ -r T*Q ein Diffeomorphismus ist. Aus (7.13) oder (7.16) folgt, daB die symmetrische Bilinearform D2D2L(u,e) stark nichtausgeartet ist. Wie zuvor sollen 7fQ : T*Q -r Q und TQ : TQ -r Q die kanonischen Projektionen bezeichnen.

Proposition 7.4.1. Sei L eine hyperreguliire Lagrangefunktion aufTQ und H = Eo (lFL)-l E F(T*Q), wobei E die Energie von List. Dann sind das Lagrangesche Vektorfeld Z aufTQ und das Hamiltonsche Vektorfeld X H auf T* Q IF L-verwandt, also ist (lFL) *X H

=

Z.

Daruber hinaus gilt fur Integralkurven c(t) von Z und d(t) von X H mit lFL(c(O)) = d(O)

7.4 HyperreguHire Lagrange- und Hamiltonfunktionen

lFL(c(t))

=

d(t)

und (TQ

0

c)(t) =

(7rQ

0

197

d)(t).

Die Kurve (TQOC)(t) wird die Fundamentallosungskurve von c(t) genannt, und entsprechend ist (7rQ 0 d)(t) die Losungskurve von d(t). Beweis. Fur v E TQ und

W

E

Tv (TQ) ist

D(lFL(v)) (TvlFL(Z(v)), TvlFL(w)) = ((lFL)* D)(v)(Z(v), w) = Ddv)(Z(v), w) = dE(v)· w = d(H 0 lFL)(v) . w = dH(lFL(v)) . TvlFL(w) = D(lFL(v))(XH(lFL(v)) , TvlFL(w)), so daB, da D schwach nichtausgeartet und TvlF L ein Isomorphismus ist,

folgt. Somit ist TlFL 0 Z = X H 0 lFL, also Z = (lFL) * X H. Bezeichnet 'Pt den FluB von Z und 'ljJt den von X H, so ist die Beziehung Z = (lFL) * X H aquivalent zu lFL 0 'Pt = 'ljJt 0 lFL. Fur c(t) = 'Pt(v) ist also

lFL(c(t)) = 'ljJt(lFL(v)) eine Integralkurve von X H, die bei t = 0 durch lFL(v) = lFL(c(O)) lauft, woraus wegen der Eindeutigkeit der Integralkurven von glatten Vektorfeldern 'ljJt (IF L( v)) = d( t) resultiert. SchlieBlich gelangen wir wegen TQ = 7rQ 0 IF L auf

(TQ 0 c)(t) =

(7rQ

0

lFL 0 c)(t) =

(7rQ

0

d)(t).

(7.31)

•

Die Wirkung. Wir behaupten, daB die Wirkung A von L mit dem Lagrangeschen Vektorfeld Z von L durch

A(v) = (Eh(v), Z(v)) ,

v

E

TQ

(7.32)

verwandt ist. Wir beweisen diese Formel unter der Annahme, daB Z eine Gleichung zweiter Ordung ist, sogar falls L nicht regular ist. Es gilt

(fh(v), Z(v)) = (((lFL)*8)(v), Z(v)) = (8(lFL(v)), TvlFL(Z(v))) = (lFL(v) , T7rQ . TvlFL(Z(v))) = (lFL(v) , Tv(7rQ 0 lFL)(Z(v))) = (lFL(v) , TvTdZ(v))) = (lFL(v) , v) = A(v)

198

7. Lagrangesche Mechanik

laut Definition einer Gleichung zweiter Ordung und der Definition der Wirkung. 1st L hyperregular und H = Eo (lFL)-l, so ist (7.33)

In der Tat gilt wegen (7.32), den Eigenschaften des Pushforward und der vorigen Proposition

1st H : T*Q --+ lR eine glatte Hamiltonfunktion, so wird die durch G = (8,XH ) gegebene Funktion G : T*Q --+ lR die Wirkung von H genannt. Also besagt (7.33), daB der Pushforward der Wirkung A von L der Wirkung G von H = Eo (lFL)-l entspricht. Eine Hamiltonfunktion H wird

HyperreguHi.re Hamiltonfunktionen. hyperregliir genannt, falls die durch lFH(a) . (3

=

! 18=0

H(a

+ s(3)

(7.34)

definierte Funktion lFH : T*Q --+ TQ fUr a, (3 E T;Q ein Diffeomorphismus ist. Wir mussen hier voraussetzen, daB entweder der Modellraum Evon Q reflexiv ist, so daB T;*Q = TqQ fur aIle q E Q gilt, oder, was vernunftiger ist, daB lFH(a) in TqQ C T;*Q liegt. Wie im FaIle der Lagrangefunktionen impliziert die Hyperregularitat von H, daB D2D2H (u, a) stark nichtausgeartet ist und daB die Kurve s f--7 00+ s(3 aus (7.34) durch eine beliebige glatte Kurve a(s) in T;Q ersetzt werden kann, so daB

00(0) = a

und

at (0)

= (3

gilt. Proposition 7.4.2.

(i) Sei H

E

F(T*Q) eine hyperreguliire Hamiltonfunktion und definiere

E=H

0

(lFH)-l,

A = Go (lFH)-l

und

L

=A- E

E

F(TQ),

dann ist L eine hyperreguliire Lagrangefunktion und es gilt die Gleichung

IF L = IF H- 1 . Daruber hinaus ist A die Wirkung von Lund E die Energie von L.

(ii) Sei L E F(TQ) eine hyperreguliire Lagrangefunktion und definiere

dann ist Heine hyperreguliire H amiltonfunktion und IF H

= (IF L ) -1.

7.4 Hyperreguliire Lagrange- und Hamiltonfunktionen

199

Beweis. (i) Lokal gilt G(u, a) = (a,D 2H(u,a)), so daB

A(u, D2H(u, a)) = (A 0 IFH)(u, a) = G(u, a) = (a, D2H(u, a)) ist, und deshalb gilt

(L 0 IFH)(u, a) = L(u, D2H(u, a)) = (a, D2H(u, a)) - H(u, a). Sei e = D2(D2H(u, a)) . (3 und e(s) = D 2H(u, a + s(3) eine Kurve, die bei s = 0 durch e(O) = D2H(u, a) geht und deren Ableitung bei s = 0 mit e'(O) = D 2(D 2H(u,a))· (3 = e iibereinstimmt. Dann gilt

((IF L 0 IF H)( u, a), e) = (IFL(u, D2H(u, a)), e)

= : =

1

t 8=0

:t

L(u, e(s)) = dd

18=0 [(a

1

t 8=0

L(u, D2H(u, a + s(3))

+ s(3, D2H(u, a + s(3))

- H(u, a

+ s(3)]

= (a, D2(D2H(u, a)) . (3) = (a, e). Da D2D2H(u,a) stark nichtausgeartet ist, folgt daraus, daB e E E beliebig ist und folglich IF LoIF H der Identitat entspricht. Da IF H ein Diffeomorphismus ist, gilt IFL = (IFH)-l und somit ist L hyperregular. Man beachte, daB mit IFH- 1 = IF Lund der Definition von G die Beziehung

folgt. Damit und mit (7.33) erkennt man, daB A die Wirkung von List. Deshalb ist E = A - L die Energie von L. (ii) Da wir H = Eo (IFL)-l definieren, gilt lokal

(H 0 IFL)(u, e) = H(u, D2L(u, e)) = A(u, e) - L(u, e) = D2L(u, e) . e - L(u, e) und wir verfahren wie zuvor. Sei

wobei fEE und a(s) = D 2L(u,e+ sf) ist, dann gilt

a(O) = D2L(u,e) und daraus folgt

und

a'(O) = a

200

7. Lagrangesche Mechanik

(0:, (lFH 0 lFL)(u, e)) = (o:,lFH(u, D2L(u, e)))

=

! 18=0 H(u, o:(s))

=

!18=0 H(u,D2L(u,e + sf))

= :s 18=0 [(D2L(u, e + sf), e + sf) - L(u, e + sf)]

= (D 2 (D 2 L(u, e)) . f, e) = (0:, e). Weil D2D2L stark nichtausgeartet ist, zeigt dies, daJ3 IF H 0 IF L der Identitat entspricht. Da lFL ein Diffeomorphismus ist, folgt, daJ3lFH = (lFL)-1 gilt und H hyperregular ist. • Jetzt fassen wir die Hauptresultate zusammen.

Satz 7.4.1. Aufgrund der obigen Untersuchungen korrespondieren hyperreguliire Lagrangefunktionen L E F(TQ) und hyperreguliire Hamiltonfunktionen H E F(T*Q) in bijektiver Weise. Das folgende Diagramm ist kommutativ:

T(T*Q)

TlFH

====~.

::;=.

TlFL

T(TQ)

Beweis. Sei L eine hyperregulare Lagrangefunktion und H die zugehOrige hyperregulare Hamiltonfunktion, dann gilt nach Proposition 7.4.1 und 7.4.2

H =E

0

(IF L ) -1

= (A - L) 0 (IF L ) -1 = G - L 0 IF H.

Mithilfe von H konstruieren wir eine Lagrangefunktion L' durch

L' = Go (lFH)-1 - H 0 (lFH)-l = Go (lFH)-1 - (G - L 0 lFH)

0

(lFH)-l = L.

7.4 Hyperregulare Lagrange- und Hamiltonfunktionen

201

1st umgekehrt Heine gegebene hyperregulare Hamiltonfunktion, so ist die zugehOrige Lagrangefunktion L hyperregular und durch

L = G 0 (IF H) -1

-

H

0

(IF H) -1 = A - H 0 IF L

gegeben. Folglich ist die durch L induzierte zugehOrige hyperregulare Hamiltonfunktion

H' = Eo (lFL)-l = (A - L) 0 (lFL)-l = A 0 (lFL)-l - (A - H 0 lFL) 0 (lFL)-l = H. Die Kornrnutativitat der zwei Diagrarnrne ist nun eine direkte Folgerung aus dern Obigen und den Propositionen 7.4.1 und 7.4.2. •

Der U mgebungssatz fiir regula.re Lagrangefunktionen. Wir beweisen nun einen wichtigen Satz ftir regulare Lagrangefunktionen, der eine Aussage tiber die Struktur von Lasungen in der Nahe einer gegebenen Lasung rnacht. Definition 7.4.1. Sei q(t) eine gegebene Losung der Euler-Lagmnge-Gleichungen mit tl ~ t ~ t2. Sei elI = q (tl) und q2 = q (t2). Wir sagen, daft q(t) eine nichtkonjugierte Losung ist, falls es eine Umgebung U der K urve q(t) und Umgebungen Ul C U von ql und U2 C U von q2 gibt, so daft fur alle ql E Ul und q2 E U2 und tl nahe tl, t2 nahe t2, eine eindeutige Losung q(t), h ~ t ~ t2, der Euler-Lagrange-Gleichungen gibt, die die folgenden Bedingungen erfullt: q (td = ql, q (t2) = q2 und q(t) E U. Vergleiche Abb. 7.1.

Abb. 7.1. Der Umgebungssatz.

Urn Bedingungen zu bestirnrnen, die garantieren, daB eine Lasung nichtkonjugiert ist, werden wir die folgenden Beobachtungen verwenden. Sei VI = q(h)

202

7. Lagrangesche Mechanik

und V2 = q(t2)' Sei Ft der FluB der Euler-Lagrange-Gleichungen auf TQ. Wegen der Konstruktion von Ft(q,v) gilt Ft2 (lh,VI) = (q2,V2). Als nachstes versuchen wir den Satz uber implizite Funktionen auf die FluBabbildung anzuwenden. Wir wollen

nach VI aufiasen, wobei wir qI, tI, t2 als Parameter ansehen. Dazu bilden wir die Linearisierung

Wir benatigen, daB WI f-t W2 invertierbar ist. Die rechte Seite dieser Gleichung motiviert, die Kurve

(7.35) zu konstruieren, die die Lasung der linearisierten Gleichung, bzw. der Gleichung der erst en Variation der durch Ft(qI, vd erfiillten Euler-LagrangeGleichungen ist. Wir wollen nun diejenigen Gleichungen in Koordinaten ermitteln, die W(t) := T v1 'ffQFt (qI,VI)' WI als Lasung haben. Wir beginnen mit einer Lasung q(t) der Euler-LagrangeGleichungen

~ 8~ _ 8~ =0. dt 8il'

8q'

Zu der Kurve mit den Anfangsbedingungen € f-t (qI, VI + €wd erhalten wir zugehOrige Lasungen (qe(t), qe(t)), deren Ableitung nach € wir mit (u(t), iL(t)) bezeichnet haben. Leiten wir die Euler-Lagrange-Gleichungen nach € ab, so erhalten wir d ( 82 L

dt

.

8qi8qi' iLJ

82 L

+ 8qi8qi

.)

. uJ

-

82 L . 82 L . 8qi8qi . uJ - 8qi8qi . uJ = O.

(7.36)

Dies ist eine Gleichung zweiter Ordung fur ui . Ausgewertet entlang q(t) wird sie die Jacobigleichung entlang q(t) genannt und von q(tI) bis q(t2) und mit den Anfangsbedingungen

definiert sie die gewunschte lineare Abbildung WI

f-t

W2, namlich W2 = iL(t2)'

Satz 7.4.2. Sei L eine regulare Lagmngefunktion. lst die lineare Abbildung

WI

f-t

W2 ein lsomorphismus, so ist q(t) nichtkonjugiert.

7.4 Hyperregulare Lagrange- und Hamiltonfunktionen

203

Beweis. Dies folgt direkt aus dem Satz iiber implizite Funktionen. Unter der Voraussetzung, daB WI 1-7 W2 invertierbar ist, gibt es Umgebungen U1 von "iiI, U2 von q2 und Umgebungen von II und I2, sowie eine glatte Funktion VI = VI (h, t2, ql, q2), die auf dem Produkt dieser vier Umgebungen definiert ist, so daB (7.37)

erfiillt ist. Dann ist

eine Lasung der Euler-Lagrange-Gleichung mit den Anfangsbedingungen (ql, Vl(t1, t2, ql, q2))

bei t = h·

Wegen (7.37) gilt dariiber hinaus q(t2) = q2. Die Tatsache, daB VI nahe 'ih ist, heiBt, daB die gefundene Geodate in einer Umgebung der Kurve q(t) liegt. • Dies liefert die Umgebung U. Sind sich ql und q2 nahe und unterscheidet sich t2 nicht sehr von tl, dann gilt wegen der Stetigkeit, daB u(t) iiber [tl' t2J naherungsweise konstant ist, also gilt

Folglich ist die Abbildung WI so erhalten wir dann das

1-7 W2

unter diesen Umstanden invertierbar und

Korollar 7.4.1. Sei L : TQ x lR -+ lR eine gegebene reguliire C 2-Lagrangefunktion und sei Vq E TQ und tl E lR, dann ist die Losung der EulerLagrange-Gleichungen mit der Anfangsbedingung Vq bei t = tl fur ein hinreichend kleines Zeitintervall [tl' t2J nichtkonjugiert.

Der Begriff "nichtkonjugiert" stammt aus den Untersuchungen von Geodaten, die im nachsten Abschnitt behandelt werden. Ubungen Ubung 7.4.1. Gebe die Lagrangefunktion und die Bewegungsgleichungen fUr ein spharisches Pendel mit 8 2 als Konfigurationsraum an. Schreibe die Gleichungen mithilfe der Legendretransformation in der Hamiltonschen Form. Finde das zum Drehimpuls urn die Achse der Schwerkraft gehOrende Erhaltungsgesetz und zwar "zu FuB". Ubung 7.4.2. Sei L(q, q) = ~m(q)q2 - V(q) auf TlR, wobei m(q) > 0 und V(q) glatt sind. Zeige, daB zwei beliebige Punkte ql, q2 E lR durch eine Lasung

der Euler-Lagrange-Gleichungen verbunden werden kannen. (Hinweis: Betrachte die Energiegleichung.)

204

7. Lagrangesche Mechanik

7.5 Geodaten Sei Q eine schwach pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Metrik ausgewertet in q E Q wahlweise mit (-, .), mit g(q) oder mit gq bezeichnet werde. Betrachte auf TQ die durch die kinetische Energie der Metrik gegebene Lagrangefunktion 1

L(v) = 2(v, v)q

(7.38)

bzw. im Endlichdimensionalen

(7.39) Die Faserableitung VOn L fur v, W E TqQ ist durch

lFL(v)· W = (v,w)

(7.40)

gegeben bzw. im Endlichdimensionalen durch

lFL(v)· W = 9ijV iW j ,

d.h.,

Pi = gi)¢.j.

(7.41 )

Aus dieser Gleichung erkennen wir, daB in jeder Karte U fur Q

gilt, wobei ( ,)q das VOn der Karte induzierte innere Produkt auf E ist. Folglich ist L automatisch schwach reguliir. Man bemerke, daB die Wirkung durch A = 2L gegeben und deshalb E = List. Das Lagrangesche Vektorfeld Z wird in diesem Fall mit S : TQ --+ T2Q bezeichnet und Chrisioffelabbildung oder geodiiiischer Spray der Metrik ( ,)q genannt. Folglich ist Seine Gleichung zweiter Ordnung und hat daher in einer Karte fUr Q eine lokale Darstellung der Form

S(q, v) = ((q, v), (v, ,(q, v))).

(7.42)

Urn die Abbildung , : U x E --+ E aus den Lagrangegleichungen zu bestimmen, bemerke man, daB 1

DIL(q, v) . W = 2Dq(v, v)q . W

und

D2L(q, v) . W = (v, w)q

(7.43)

gilt, so daB die Euler-Lagrange-Gleichungen (7.23) die Gestalt

q = v, d -d ((v, w)q) t

1

= -Dq(v, v)q . W 2

(7.44) (7.45)

bekommen. Wird W konstant gehalten und die linke Seite VOn (7.45) ausgeschrieben, so erhalten wir

7.5 Geodaten

Unter Beriicksichtigung von

q= v

205

erhalten wir

(7.47) Daher ist , : U x E -+ E durch die folgende Gleichung definiert:

(7.48)

,(q, v) ist eine quadratische Form in v. Falls Q endlichdimensional ist, definieren wir die Christoffelsymbole rjk' indem wir (7.49) set zen und rjk = r~j fordern. Mit dieser Notation ist die Relation (7.48) aquivalent zu . . k 1 1 agk . k 1 ag'l' 1 k -g' r" vJv w = -_J-vJ v W - _J-vJ w v "l Jk 2 aql aqk .

(7.50)

Unter Beriicksichtigung der Symmetrie von rjk ergibt dies

(7.51 ) Da die Metrik (,) im Unendlichdimensionalen nur schwach nichtausgeartet ist, garantiert (7.48) die Eindeutigkeit von " nicht jedoch ihre Existenz. Sie existiert genau dann, wenn das Lagrangesche Vektorfeld S existiert. Die Projektionen der Integralkurven von S auf Q werden Geodaten der Metrik g genannt. GemaB (7.42) hat ihre grundlegende Bestimmungsgleichung die lokale Darstellung ij

= ,(q, q),

(7.52)

die im Endlichdimensionalen

(7.53) lautet mit i, j, k = 1, ... , n, wobei wie gewohnlich iiber j und k summiert wird. Man beachte, daB die Definition von, in beiden Fallen, im Endlichdimensionalen sowie im Unendlichdimensionalen Sinn macht, wohingegen die Christoffelsymbole rjk genaugenommen nur fiir endlichdimensionale Mannigfaltigkeiten definiert sind. Schreibt man g koordinatenfrei, so kann man Geodaten zu schwach Riemannschen (und pseudo-Riemannschen) Metriken auf unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten behandeln.

206

7. Lagrangesche Mechanik

Legen wir die Lagrangesche Sichtweise zugrunde, dann erkennen wir, daB die rjk als geometrische Objekte auf T(TQ) operieren, denn sie beinhalten die Information der letzten Komponente des Lagrangeschen Vektorfeldes Z. Schreibt man die Transformationseigenschaften von Z auf T(TQ) in naturlichen Karten, dann ergibt sich die klassische Transformationsregel fur die rjk:

(7.54) wobei (qI, ... , qn), (qI, ... , qn) zwei verschiedene Koordinatensysteme auf einer offenen Menge in Q sind. Wir uberlassen diese Rechnung dem Leser. Der Lagrangesche Standpunkt fiihrt in natiirlicher Weise zu invariant en Mannigfaltigkeiten fiir den geodatischen FluB. Sei z.B. Fur jedes reeIle e > 0

L

e

=

{v

E

TQlllvl1 = e}

das Pseudospharenbundel auf TQ vom Radius y'e. Dann ist Le eine glatte Untermannigfaltigkeit von TQ und invariant unter dem geodatischen FluB. Tatsachlich folgt die Invarianz unter dem geodatischen FluB, d.h. unter dem FluB von Z, aus der Energieerhaltung, wenn wir zeigen, daB Le eine glatte Untermannigfaltigkeit ist. Um zu zeigen, daB Le eine glatte Untermannigfaltigkeit ist, beweisen wir, daB e > 0 ein regularer Wert von List. Dies geschieht lokal durch (7.43):

=

+ D2L(u, v) . W2 "2Du(v,v)u. WI + (V,W2)u

=

(V,W2)u,

DL(u, v) . (WI, W2) = DIL(u, v) . WI 1

(7.55)

da (v, v) = 2e also konstant ist. Weil die Pseudometrik (,) schwach nichtausgeartet ist, zeigt dies, daB DL( u, v) : E x E -+ 1R. eine surjektive lineare Abbildung und e somit ein reguHirer Wert von List. Konvexe U mgebungen und konjugierte Punkte. Wir haben im letzten Abschnitt bewiesen, daB kurze Kurvenbogen von Losungen der EulerLagrange-Gleichungen nichtkonjugiert sind. 1m SpezialfaIl der Geodaten ist eine starkere Aussage moglich, wenn man die Tatsache ausnutzt, daB fur a > 0 mit q(t) auch q(at) eine Losung ist, was aus der quadratischen Eigenschaft von (7.53) folgt. Also kann man Losungen einfach "reskalieren", indem man den Wert der Anfangsgeschwindigkeit andert. Man stellt fest, daB es lokalkonvexe Umgebungen gibt, d.h., Umgebungen U, so daB es fur aIle qI, q2 E U eine (bis auf Skalierung) eindeutige Geodate gibt, die qi und q2 verbindet und in U liegt. In der Riemannschen Geometrie gibt es ein weiteres wichtiges Resultat: Den Satz von Hopf-Rinow, der besagt, daB je zwei Punkte (in derselben Zusammenhangskomponente) durch eine Geodate verbunden werden konnen.

7.5 Geodaten

207

Folgt man einer Geodaten von einem gegebenen Punkt aus, so gibt es einen erst en Punkt, ab dem nahegelegene Geodaten nicht mehr eindeutig sind. Diese hei£en konjugierte Punkte. Sie sind die N ullstellen der schon diskutierten Jacobi-Gleichung. Zum Beispiel sind auf den GroBkreisen einer Sphare gegenuberliegende Punkte konjugiert. Unter gewissen Umstanden kann man das Euler-Lagrange-Problem auf eines fur Geodaten "reduzieren": Siehe dazu die Diskussion der Jacobi-Metrik in §7.7. Kovariante Ableitungen. Wir beziehen nun die obige Methode, Geodaten anhand von Lagrangesystemen zu untersuchen, auf die ublichen Methoden aus der Differentialgeometrie. Definiere die kovariante Ableitung \7:X(Q) xX(Q)-+X(Q),

(X,Y)r+\7xY

lokal durch (\7xY)(u)

= -}'(u)(X(u), Y(u)) + DY(u)· X(u),

(7.56)

wobei X, Y die lokalen Reprasentanten von X und Y sind und }'( u) : Ex E -+ E die durch die Polarisierung von }'(u, v) definierte symmetrische Bilinearform bezeichnet, die eine quadratische Form in v ist. In lokalen Koordinaten geschrieben lautet die letzte Gleichung (7.57) Es ist direkt nachzuprufen, daB diese Definition kartenunabhangig ist und daB \7 die folgenden Bedingungen erfullt: (i) \7 ist IK-bilinear, (ii) fur

f : Q -+ lR gilt \7fxY

= f\7xY und \7xfY = f\7xY +X[j]Y und

(iii) fur Vektorfelder X und Y gilt (\7xY - \7yX)(u) = DY(u)· X(u) - DX(u). Y(u)

= [X, Y](u).

(7.58)

Tatsachlich charakterisieren diese drei Eigenschaften kovariante Ableitungsoperatoren. Die durch (7.51) bestimmte kovariante Ableitung wird LeviCivita-Ableitung genannt 1 . Wenn c(t) eine Kurve in Q und X E X(Q) ist, dann definiert man die kovariante Ableitung von X entlang c durch 1

Der Begriff Levi-Civita-Zusammenhang ist ebenfalls gebrauchlich (Anm. des Ubersetzers) .

208

7. Lagrangesche Mechanik

DX Dt = \luX,

(7.59)

wobei u ein bei c(t) mit c(t) ubereinstimmendes Vektorfeld ist. Dies ist moglich, weil laut (7.56) oder (7.57) \l x Y nur von den Wert en von X in einem Punkt abhangt. Explizit gilt in einer lokalen Karte

DX d Dt (c(t)) = -l'c(t)(u(c(t)),X(c(t))) + dtX(c(t)),

(7.60)

was zeigt, daB DX/ Dt nur von c(t) abhangt und nicht davon, wie c(t) zu einem Vektorfeld erweitert wurde. 1m Endlichdimensionalen gilt

. k d· ( DX)i. Dt = r;k(C(t))C' (t)X (c(t)) + dtX'(c(t)).

(7.61 )

Das Vektorfeld X wird entlang c autoparallel oder parallel transportiert genannt, falls DX/ Dt = 0 gilt. Somit ist c genau dann autoparallel entlang c, wenn c(t) -I'(t)(c(t), c(t)) = 0, also c(t) eine Geodate ist. 1m Endlichdimensionalen bedeutet dies c··i

+ rijkc-;.7·k C

-

0•

Ubungen Ubung 7.5.1. Betrachte die Lagrangefunktion

L€(x, y, z, x, y, z) =

~(X2 + y2 + Z2) 2

21 [1 - (x 2 + y2 f

+ z2)]2

fur ein Teilchen im ~3. Sei I'€(t) die Kurve im ~3, die man durch Losen der Euler-Lagrange-Gleichungen fur L€ erhalt, wobei die Anfangsbedingungen Xo, Vo = 'Y€(O) seien. Zeige, daB lim I'€( t)

€-+o

ein GroBkreis auf der Sphare S2 ist, wenn Xo normiert und Xo . Vo

=

0 ist.

Ubung 7.5.2. Schreibe die Geodatengleichungen ausgedruckt durch qi und Pi und uberprufe, ob die Hamiltonschen Gleichungen erfullt sind.

7.6 Das Kaluza-Klein-Verfahren fiir geladene Teilchen In §6.7 untersuchten wir die Bewegung eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld als Hamiltonsches System. Hier zeigen wir, daB diese Beschreibung Teil eines groBeren und in gewissem Sinne einfacheren Systems, des

7.6 Das Kaluza-Klein-Verfahren fUr geladene Teilchen

209

Kaluza-Klein-Systems ist. 2 Die physikalische Motivation ist die folgende: Da die Ladung eine fundament ale ErhaltungsgroBe ist, wollen wir eine neue zyklische Variable einfuhren, deren konjugierter Impuls die Ladung ist. 3 Fur ein geladenes Teilchen ist das resultierende System tatsachlich in geodatischer Bewegung! In §6.7 zeigten wir, daB zu einem gegebenen Magnetfeld B = V' x A im ~3 die Hamiltonfunktion bezuglich der kanonischen Variablen (q, p) folgendermaBen lautet: (7.62) Zuerst bemerken wir, daB wir (7.62) mittels einer Legendretransformation erhalten konnen, indem wir

L(q,q)

= ~mllql12 + ~A. q

(7.63)

wahlen. Tatsachlich ergibt sich in diesem Fall

8L . eA. p= -. =mq+q 8q c

(7.64)

und

H(q,p) = p.

q-

L(q,q)

= (mq+~A) .q-~mllqI12_~A.q c

2

1 . 2 = 2m 1 II p = 2mllqll

c

e 112 ~A

(7.65)

Somit liefem die Euler-Lagrange-Gleichungen fUr (7.63) wieder die Gleichungen fur ein Teilchen im Magnetfeld. 4 Der Konfigurationsraum sei (7.66) mit den Variablen (q, 8). Definiere eine I-Form A = AP auf dem ~3 und betrachte die folgende als Zusammenhangsform bezeichnete 1-Form auf

QK: 2

3

4

Nachdem der Leser die Reduktionstheorie erlernt hat (siehe Abraham und Marsden [1978] oder Marsden [1992]) ist er in der Lage, diese Konstruktion von einem anderen Gesichtspunkt aus zu betrachten, hier jedoch wird alles auf direktem Wege konstruiert. Dieser ProzeB ist ebensogut auf andere Situationen anwendbar. Zum Beispiel kann man in der Hydrodynamik eine konjugierte Variable zur Massendichte oder Entropie, die ebenfalls ErhaltungsgroBen sind, einfUhren, siehe dazu Marsden, Ratiu und Weinstein [1984a, 1984b]. Wenn auch ein elektrisches Feld E = -\lip vorhanden ist, subtrahiert man einfach eip von Lund behandelt eip wie im nachsten Abschnitt wie eine potentielle Energie.

210

7. Lagrangesche Mechanik

w = A+dB. Definiere die Kaluza-Klein-Lagrangefunktion durch LK(q, q, e, 0)

(7.67)

=

~mllql12 + ~ II \W, (q, q, e, 0)) 112

=

~mllql12 + ~(A. q + 0)2.

(7.68)

Die zugehOrigen Impulse lauten

p = mq + (A . q + O)A und p=

(7.69)

A.q+O.

(7.70)

Da LK quadratisch und positiv definit in q und 0 ist, sind die Euler-LagrangeGleichungen die Geodatengleichungen auf]R3 x S1 fur die Metrik, die LK als kinetische Energie hat. Und weil p zeitunabhangig ist, wie aus den EulerLagrange-Gleichungen fur (e,O) ersichtlich, konnen wir die Ladung e definieren, indem wir e p= (7.71) c setzen. Dann stimmt (7.69) mit (7.64) uberein. Die zugehOrige Hamiltonfunktion auf T*QK, versehen mit der kanonischen symplektischen Form, lautet

Hdq,p,e,p) =

1

2

1

2

2mllp - pAil +"2 P

.

(7.72)

Mit (7.71) unterscheidet sich (7.72) von (7.62) nur durch die Konstante p2/2. Diese Konstruktionen konnen auf den Fall eines Teilchens in einem YangMills-Feld verallgemeinert werden, wo w zum Zusammenhang des YangMills-Feldes wird und die zugehOrige Kriimmung die Feldstarke miBt, welche im Falle eines elektromagnetischen Feldes zu der Beziehung B = V' x A fuhrt. Die Moglichkeit, die Wechselwirkung entweder in die Hamiltonfunktion oder mithilfe eines Impulsshifts in die symplektische Struktur aufzunehmen, fuhrt zu weiteren Verallgemeinerungen. Fur zusatzliche Literaturhinweise und Einzelheiten verweisen wir auf Wong [1970], Sternberg [1977], Weinstein [1978a] und Montgomery [1984]. AbschlieBend wollen wir noch bemerken, daB der relativistische Kontext der naturlichste ist, urn das vollstandige elektromagnetische Feld einzufiigen. Die Konstruktion, die wir fur das Magnetfeld angegeben haben, wird in diesem Zusammenhang sowohl die elektrischen als auch die magnetischen Effekte einschlieBen. Siehe Misner, Thorne und Wheeler [1973] fur zusatzliche Informationen.

Ubungen Ubung 7.6.1. Der Schwingkorper eines spharischen Pendels trage dIe Ladung e, habe die Masse m und bewege sich unter dem EinfluB eines Magnetfeldes B und eines konstanten Gravitationsfeldes mit der Schwerebeschleunigung g. Stelle die Lagrangefunktion, die Euler-Lagrange-Gleichungen und

7.7 Bewegung in einem Potentialfeld

211

das Variationsprinzip fur dieses System auf. Transformiere das System auf Hamiltonsche Form. Finde eine ErhaltungsgroBe unter der Bedingung, daB B symmetrisch bezuglich der Gravitationsachse ist.

7.7 Bewegung in einem Potentialfeld Wir verallgemeinern nun die geodatische Bewegung, indem wir Potentiale V : Q -+ IR berucksichtigen. Wir erinnern daran, daB der Gradient von V das Vektorfeld grad V = V'V ist, das fur aIle v E TqQ durch die Gleichung (grad V(q), v)q = dV(q) . v

(7.73)

definiert ist. 1m Endlichdimensionalen wird diese Definition zu

.

··oV

(grad V)' = g'J~.

(7.74)

uqJ

Betrachte die (schwach regulare) Lagrangefunktion L(v) = ~ (v,V)q - V(q). Eine zu §7.5 ahnliche Berechnung zeigt, daB die Euler-Lagrange-Gleichungen ij

= 'Y(q, q) - grad V(q)

(7.75)

lauten oder im Endlichdimensionalen

OV q··i + r ijkq·j·k q + 9il oql -- 0 .

(7.76)

Die Wirkung von List durch

A(v) = (v, v)q

(7.77)

gegeben, die Energie also durch 1

E(v) = A(v) - L(v) = 2(v, v)q

+ V(q).

(7.78)

Schreiben wir (7.75) als

q = v,

V = 'Y(q,v) - grad V(q),

(7.79)

so erhalten wir also die Hamiltonschen Gleichungen mit der Hamiltonfunktion E bezuglich der symplektischen Form [h. Invariante Form. Es gibt mehrere Moglichkeiten, die Gleichungen (7.79) in invarianter Form zu schreiben. Die vielleicht einfachste ist, die Sprache der kovarianten Ableitungen aus dem letzten Abschnitt zu benutzen und

Dc Dt

=

-V'V

(7.80)

212

7. Lagrangesche Mechanik

zu schreiben, oder, was vielleicht besser ist, b Dc = -dV 9 Dt '

(7.81 )

wobei l : TQ ---+ T*Q die zur Riemannschen Metrik zugehOrige Abbildung ist. Diese letzte Gleichung ist die geometrische Form von rna = F. Eine andere Methode benutzt die folgende Terminologie:

Definition 7.7.1. Seien v, w E TqQ. Der vertikale Lift von w bezuglich v ist durch ver(w, v) = dd

t

I

(v

+ tw)

E Tv(TQ)

t=O

definiert. Der Horizontalanteil eines Vektors U E Tv(TQ) ist TqTQ(U) E TqQ. Ein Vektorfeld wird vertikal genannt, falls sein Horizontalanteil verschwindet.

In Karten besagt diese Definition, daB wenn v = (u, e), w = (u, I) und

U

= ((u, e), (el' e2)) ist,

ver(w, v) = ((u, e), (0, I))

und

TvTQ(U)

= (u, el)

gilt, weshalb U genau dann vertikal ist, wenn el = 0 gilt. Damit folgt: Jeder vertikale Vektor U E Tv(TQ) ist der vertikale Lift eines Vektors w bezuglich v {wobei w in einer natUrlichen lokalen Karte durch (u, e2) gegeben ist). Bezeichnet S den geodatischen Spray einer Metrik \,) auf TQ, so besagen die Gleichungen (7.79), daB das Lagrangesche Vektorfeld Z zu L(v) = (~)\v, v)q - V(q) mit v E TqQ durch

gegeben ist, d.h.,

Z = S - ver(\i'V)

(7.82)

Z(v) = S(v) - ver((\i'V)(q), v).

(7.83)

Bemerkungen. 1m allgemeinen gibt es keinen kanonischen Weg, den Vertikalanteil eines Vektors U E Tv(TQ) ohne eine zusatzliche Struktur zu ermitteln. Eine solehe Struktur ist ein Zusammenhang. 1st Q pseudoRiemannsch, dann kann soleh eine Projektion auf die folgende Art und Weise konstruiert werden: Nehme an, daB in natiirlichen Karten U = (( u, e), (el' e2)) gilt. Definiere wobei ,( u) die zu der quadratischen Form ,( u, e) in e gehOrige symmetrische Bilinearform ist. Wir schlieBen mit verschiedenen Bemerkungen, die die Bewegung in einem Potentialfeld mit der geodatischen Bewegung verbinden. Wir beschranken uns der Einfachheit halber auf den endlichdimensionalen Fall.

7.7 Bewegung in einem Potentialfeld

213

Definition 7.7.2. Sei 9 = (,) eine pseudo-Riemannsche Metrik auf Q und V : Q -+ lR nach oben beschriinkt. Falls fur alle q E Q die Ungleichung e > V(q) erfullt ist, definiert man die Jacobimetrikg e durchg e = (e- V)g, so dafJ ge(v,w) = (e - V(q))(v,w)

fur alle v, w E TqQ gilt. Satz 7.7.1. Sei Q endlichdimensional. Die Losungskurven der Lagrangefunktion L( v) = ~ (v, v) - V(q) mit Energie e sind bis auf Umparametrisierung dieselben wie die Geodiiten der Jacobimetrik mit Energie 1. Der Beweis basiert auf der folgenden Proposition, die auch fUr sich genommen interessant ist:

Proposition 7.7.1. Sei (P, D) eine (endlichdimensionale) symplektische Mannigfaltigkeit und seien H,K E F(P). Es gelte E = H-1(h) = K-1(k) fur reguliire Werte h, k E lR von H und K. Dann stimmen die Losungskurven von XH und X K auf der invarianten Untermannigfaltigkeit Evon X H und X K bis auf Umparametrisierung uberein. Beweis. Aus der Beziehung D(XH(Z), v)

= dH(z) . v erkennen wir, daB

das symplektische orthogonale Komplement von TzE ist. Da

ist (s. §2.3) und TzE die Kodimension eins hat, hat auch (TzE)f2 die Dimension eins. Folglich sind die vom NuIlvektor verschiedenen Vektoren XH(z) und XK(Z) an jedem Punkt Z E E ein Vielfaches voneinander. Es existiert also eine glatte, nirgends verschwindende Funktion .\ : E -+ lR mit der die Gleichung XH(z) = .\(Z)XK(Z) fUr aIle Z E E erfullt ist. Sei c(t) die Losungskurve von X K mit der Anfangsbedingung c(O) = Zo E E. Die Funktion

i.pf--t

1

dt o (.\ 0 c)(t) 'P

ist eine glatte monotone Funktion und besitzt deshalb eine Inverse t Fur d( t) = (c 0 i.p) (t) ist d(O) = Zo und es gilt

f--t

i.p(t).

d'(t) = i.p'(t)c'(i.p(t)) = t,ti.p) XK(C(i.p(t))) = (.\ 0 c) (i.p)Xk (d(t))

= .\(d(t))XK(d(t)) = XH(d(t)), also erhiilt man die Losungskurve von X H durch Zo durch Umparametrisierung der Losungskurve von X K durch Zoo •

214

7. Lagrangesche Mechanik

Beweis (von Satz 7.7.1). Sei H die Hamiltonfunktion zu L, es gelte also

H(q,p) =

1

211pW + V(q),

und sei HE die Hamiltonfunktion zur Jacobimetrik:

Der Faktor (e - V(q))-l tritt auf, da die inverse Metrik fUr die Impulse verwandt wird. Naturlich bestimmt H = e dieselbe Menge wie HE = I, also folgt das Ergebnis aus Proposition 7.7.1, falls wir zeigen konnen, daB e ein regularer Wert von H und 1 ein regularer Wert von HE ist. Man beachte, daB p -=f. 0 gilt fur (q,p) E H-l(e), denn fUr aIle q E Q ist e > V(q). Deshalb ist FH(q, P) -=f. 0 fur aIle (q,p) E H-l(e) und somit folgt dH(q,p) -=f. 0, was bedeutet, daB e ein regularer Wert von H ist. Und wegen

zeigt dies auch, daB

und folglich daB 1 ein regularer Wert von He ist.

•

7.8 Das Lagrange-d' Alembertsche Prinzip In diesem Abschnitt untersuchen wir eine Verallgemeinerung der Lagrangegleichungen fur mechanische Systeme mit auBeren Kraften. Eine spezielle Klasse solcher Krafte sind die dissipativen Krafte, die am Ende dieses Abschnitts untersucht werden. Kraftfelder. Sei L : TQ --+ lR eine Lagrangefunktion, Z das zu L gehOrige Lagrangesche Vektorfeld, das eine Gleichung zweiter Ordnung sei, und TQ : TQ --+ Q bezeichne die kanonische Projektion. Ein Vektorfeld Y auf TQ wurde fur TTQ 0 Y = 0 vertikal genannt. Solch ein Vektorfeld Y definiert durch Kontraktion mit [h eine I-Form L\Y auf TQ: L\Y

= -iySh = Y -.J fh.

Proposition 7.8.1. Wenn Y vertikal ist, so ist L\Y eine horizontale 1Form, es ist also L\ Y (U) = 0 fur jedes vertikale Vektorfeld U auf TQ. 1st umgekehrt eine horizon tale I-Form L\ auf TQ gegeben und L regular, so ist das durch L\ = -iySh definierte Vektorfeld Y vertikal.

7.8 Das Lagrange-d'Alembertsche Prinzip

215

Beweis. Die Aussage folgt durch direktes Ausrechnen in lokalen Koordinaten. Wir verwenden einerseits, daB ein Vektorfeld Y (u, e) = (Yi (u, e), Y 2 (u, e)) genau dann vertikal ist, wenn die erste Komponente Y l verschwindet, und andererseits die fruher hergeleitete Formel fur fh:

fh(u, e)((Yl' Y2 ), (Ul, U2 )) = Dl(D2L(u,e)· Y l )· Ul - Dl(D2L(u, e) . Ud· Y l +D2D2L(u, e) . Yi . U2 - D2D2L(u, e) . Ul Dies zeigt, daB (iySh)(U)

= 0 fUr

,12·

(7.84)

aIle vertikalen U zu

aquivalent ist. Falls Y vertikal ist, so ist dies sicher richtig. 1st umgekehrt L regular und die letzte Gleichung erfullt, so ist Y l = 0 also Y vertikal. • Proposition 7.8.2. Jede fasererhaltende Abbildung F : TQ ---t T*Q uber der Jdentitiit induziert eine horizontale I-Form P auf TQ durch (7.85) wobei v E TQ und Vv E Tv(TQ) ist. Umgekehrt definiert die Gleichung (7.85) fur jede horizontale I-Form Peine fasererhaltende Abbildung F uber der Jdentitiit. Ein solches F wird Kraftfeld genannt und demzufolge wird im reguliiren Fall jedes vertikale Vektorfeld Y durch ein K mftfeld induziert. Beweis. Zu einem gegebenen F definiert die Gleichung (7.85) eine I-Form P auf TQ. Wenn Vv vertikal ist, verschwindet die rechte Seite von (7.85), also ist Peine horizontale I-Form. Seien umgekehrt eine I-Form P auf TQ und auch v, W E TqQ gegeben, dann sei Vv E Tv(TQ) mit TvTQ(Vv) = w. Definiere nun F durch die Gleichung (7.85). Also ist (F(v),w) = p(v) . Vv ' Da P horizontal ist, ist F wohldefiniert und die Darstellung in einer Karte zeigt, daB F stetig ist. • Wir werden nun L1Y als die I-Form der auBeren Kraft, die auf ein mechanisches System mit Lagrangefunktion L wirkt, behandeln und die Bewegungsgleichungen aufstellen. Zunachst wiederholen wir die Das Lagrange-d' Alembertsche Prinzip. Definition von Vershik und Faddeev [1981] und Wang und Krishnaprasad [1992]. Definition 7.8.1. Die zu einer Lagmngefunktion Lund einem gegebenen Vektorfeld zweiter Ordnung X (den Bewegungsgleichungen) gehorige Lagrangesche Kraft ist die durch

(h(X)

=

ixfh - dE

(7.86)

216

7. Lagrangesche Mechanik

definierte horizon tale I-Form auf TQ. ZU einer gegebenen I-Form w (mit 1Form der iiuflerern Kraft bezeichnet) besagt das dem Vektorfeld zweiter Ordnung X auf TQ zugeordnete lokale Lagrange-d'Alembertsche Prinzip, dajJ (h(X)+w=O (7.87) ist.

Man pruft leicht nach, daB dX) horizontal ist. Das folgende Variationsprinzip ist hierzu aquivalent:

Definition 7.8.2. Zu einer gegebenen Lagmngefunktion Lund einem wie in Proposition 7.8.2 definierten Kmftfeld F lautet das Lagrange-d'Alembertsche Integralprinzip fur eine Kurve q(t) in Q:

01b

L(q(t), q(t))dt +

ib F(q(t), q(t)) . Oq dt = 0,

(7.88)

wobei die Variation zu einer gegebenen (in den Endpunkten verschwindenden) Variation oq wie gewohnlich durch

(7.89)

gegeben ist.

Die zwei Formen des Lagrange-d'Alembertschen Prinzips sind tatsachlich aquivalent. Dies wird aus der Tatsache folgen, daB beide in lokalen Koordinaten die Euler-Lagrange-Gleichungen mit auBerer Kraft ergeben (vorausgesetzt, daB Zein Vektorfeld zweiter Ordnung ist); dazu die folgende

Proposition 7.8.3. Sei w die dem vertikalen Vektorfeld Y zugeordnete 1Form der aujJeren Kmft. Es gelte also w = Ll Y = -iyfh, dann erfullt X = Y + Z das lokale Lagmnge-d'Alembertsche Prinzip. 1st umgekehrt L zusatzlich regular, so ist X = Y + Z das einzige Vektorfeld zweiter Ordnung, das das lokale Lagmnge-d 'Alembertsche Prinzip erfullt. Beweis. Der erste Teil ist eine einfache Umformung von L(X) + w = 0. Fur die Umkehrung wissen wir schon, daB X eine Lasung ist, und aus der Regularitat folgt dann auch die Eindeutigkeit. • Urn die zu X wir von w = Ll Y

= Z + Y gehOrende Differentialgleichung herzuleiten, gehen = -iyfh aus und bemerken, daB in Koordinaten Y(q, v) =

7.8 Das Lagrange-d'Alembertsche Prinzip

217

(0, Y2 (q,v)) gilt, da Y vertikal und somit Y1 = 0 ist. Aus der lokalen Formel fur

fh

erhalten wir

w(q, v) . (u, w) = D 2D 2L(q, v) . Y2(q, v) . u.

(7.90)

Mit X(q,v) = (v,X 2(q,v)) ergibt sich


+ DIL(q, v)) . u.

(7.91)

Daher wird aus dem lokalen Lagrange-d'Alembertschen Prinzip (-Dl (D2L(q, v)·) . v - D 2D 2L(q, v) . X 2(q, v)

+ DIL(q, v) + D2D2L(q, v) . Y2(q, v)) = o.

Setzen wir v = dq/dt und X 2(q,v) zusammen mit der Kettenregel

(7.92)

= dv/dt, so ergibt die letzte Beziehung

d

dt D2L(q, v) - DIL(q, v) = D2D2L(q, v) . Y2(q, v),

(7.93)

bzw. im Endlichdimensionalen

(7.94) Die Kraftform .1Y ist somit durch

(7.95) gegeben, und das zugehorige Kraftfeld ist F Y --

(iq, 8ii8ijj 8 2

yj( q, k q.k)) .

(7.96)

Also nimmt die Bedingung an die Integralkurven die Form der Euler-LagrangeGleichungen mit auBeren Kraften an:

!£ (8L) dt 8iji

_ 8L = F Y k .k 8qi "( q ,q ).

(7.97)

Da auch das Lagrange-d'Alembertsche Integralprinzip diese Gleichungen liefert, sind die beiden Prinzipien aquivalent. Von nun an wollen wir beide nur noch als Lagrange-d'Alembertsches Prinzip bezeichnen. Wir fassen die bisher gewonnenen Ergebnisse in folgendem Satz zusammen:

Satz 7.8.1. Sind eine regulare Lagmngefunktion Lund ein Kmftfeld F gegeben, so sind fur eine Kurve q(t) in Q die folgenden Aussagen aquivalent:

218

7. Lagrangesche Mechanik

(a) q(t} erfullt das lokale Lagrange-d'Alembertsche Prinzip.

(b) q(t} erfullt das Lagrange-d 'Alembertsche Integralprinzip.

(c) q(t} ist die Losungskurve der Gleichung zweiter Ordnung Z + Y, wobei Y das vertikale Vektorfeld auf TQ ist, das das Kraftfeld F uber (7.96) induziert, und Z das Lagrangesche Vektorfeld zu L. Das Lagrange-d' Alembertsche Prinzip spielt eine entscheidende Rolle in der nichtholonomen Mechanik, wie z.B. bei mechanischen Systemen mit Zwangsbedingungen bei Rollbewegung. Siehe z.B. Bloch, Krishnaprasad, Marsden und Murray [1996] und die dortigen Verweise.

Dissipative Krafte. Es bezeichne E die durch L gegebene Energie, d.h., E = A - L, wobei A(v) = (lFL(v) , v) die Wirkung von List. Definition 7.8.3. Ein vertikales Vektorfeld Y auf TQ heifJt schwach dissipativ, wenn (dE, Y) :::; 0 in allen Punkten von TQ gilt. 1st die Ungleichung aufJerhalb des Nullschnittes von TQ streng, so heifJt Y dissipativ. Ein dissipatives Lagrangesches System auf TQ ist ein Vektorfeld Z + Y, wobei Zein Lagrangesches Vektorfeld und Y dissipativ ist. Korollar 7.8.1. Ein vertikales Vektorfeld Y aufTQ ist genau dann dissipativ, wenn das von ihm induzierte K raftfeld F Y die Bedingung (F Y (v), v) < 0 fur alle nichtverschwindenden v E TQ erfullt (:::; 0 im schwach dissipativen Fall). Beweis. Sei Y ein vertikales Vektorfeld. Nach Proposition 7.8.1 induziert Y eine horizontale 1-Form Ll Y = -i y 5h auf TQ und nach Proposition 7.8.2 induziert LlY wiederum ein mit TvTQ(Vv) = w und Vv E Tv(TQ) durch (7.98) gegebenes Kraftfeld F Y . Bezeichnet Z das durch L definierte Lagrangesche System, so erhalten wir

(dE· Y)(v)

= (izfh(Y)(v) = [h(Z, Y)(v) = -fh(v)(Y(v), Z(v)) = (FY (v), TvTq(Z(v))) = (FY(v),v),

da Z eine Gleichung zweiter Ordnung ist. Foiglich ist genau dann dE· Y wenn (FY(v),v) < 0 fUr alle v E TQ gilt.

< 0, •

Definition 7.8.4. Zu einem gegebenen dissipativen Vektorfeld Y auf TQ sei F Y : TQ --+ T*Q das induzierte Kraftfeld. Gibt es eine Funktion R : TQ --+ ~, so dafJ F Y die Faserableitung von - R ist, so heifJt R Rayleighsche Dissipationsfunktion.

7.9 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung

219

Wegen der Dissipativitat von Y ist in diesem Fall D 2 R(q, v) > O. Wenn R linear in der Faservariablen ist, nimmt daher die Rayleighsche Dissipationsfunktion die klassische Form (R(q)v, v) an, wobei R : TQ --+ T*Q eine Biindelabbildung iiber der Identitat ist, die eine symmetrische, positiv definite Form auf jeder Faser von TQ definiert. 1st schlieBlich das Kraftfeld durch eine Rayleighsche Dissipationsfunktion R gegeben, so wird aus den Euler-Lagrange-Gleichungen mit auBerer Kraft

! (Z~ ) - Z~ = - z; .

(7.99)

Indem wir das Korollar 7.8.1 mit der Tatsache verbinden, daB das Differential von E entlang Z Null ist, sehen wir, daB unter dem FluB der Euler-LagrangeGleichungen mit Rayleighscher Reibungskraft folgendes gilt: d

dtE(q, v)

= F(v) . v = -lFR(q, v) . v < O.

(7.100)

Ubungen Ubung 7.8.1. Wie lautet die Leistungs- oder Arbeitsratengleichung (siehe §2.1) fUr ein System mit auBeren Kraften auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit? Ubung 7.8.2. Formuliere die Gleichungen fiir eine Kugel in einem rot ierenden Reifen mit Reibung in der Sprache dieses Abschnitts (siehe §2.8). Berechne die Rayleighsche Dissipationsfunktion. Ubung 7.8.3. Betrachte eine Riemannsche Mannigfaltigkeit Q und eine Potentialfunktion V : Q --+ R K bezeichne die kinetische Energie und es gelte w = -dV. Zeige, daB das Lagrange-d'Alembertsche Prinzip fiir K unter Beriicksichtigung der aui3eren Krafte, die durch die I-Form w gegeben sind, die gleiche Dynamik wie die iibliche Lagrangefunktion von der Form "kinetische minus potentielle Energie" liefert.

7.9 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung In §6.5 haben wir die Erzeugendenfunktionen von kanonischen Transformationen untersucht. Hier stellen wir eine Verbindung zu dem FluB eines Hamiltonschen Systems mittels der Hamilton-Jacobi-Gleichung her. In diesem Abschnitt nahern wir uns der Hamilton-Jacobi-Theorie vom Standpunkt des erweiterten Phasenraumes. 1m nachsten Kapitel werfen wir einen Blick auf die Hamilton-Jacobi-Theorie als Variationsproblem, wie sie urspriinglich von Jacobi [1866] entwickelt wurde. Insbesondere werden wir in diesem Abschnitt zeigen, daB grob gesprochen, das Integral der Lagrangefunktion entlang der Losungskurven der Euler-Lagrange-Gleichungen als Funktion der Endpunkte die Hamilton-Jacobi-Gleichung erfiillt.

220

7. Lagrangesche Mechanik

Kanonische Transformationen und Erzeugendenfunktionen. Wir betrachten eine symplektische Mannigfaltigkeit P und bilden den erweiterten Phasenraum P x R Fur unsere Zwecke werden wir in diesem Abschnitt folgende Definition verwenden: Eine zeitabhiingige kanonische Transformation ist ein Diffeomorphismus

p:PxJR-+PxJR der Form

p(Z, t) = (Pt(z), t),

wobei Pt : P -+ P fur aIle t E JR ein symplektischer Diffeomorphismus ist. In diesem Abschnitt werden wir uns auf den Fall des Kotangentialbundels beschranken, man nehme also an, daB P = T*Q fur einen gegebenen Konfigurationsraum Q gilt. Fur jedes feste t sei St : Q x Q -+ JR die Erzeugendenfunktion einer zeitabhangigen symplektischen Abbildung, wie in §6.5 beschrieben. Folglich erhalten wir eine Abbildung S : Q x Q x JR -+ JR, definiert durch S(ql, q2, t) = St(ql, q2). Wie in §6.5 beschrieben, muB im allgemeinen davon ausgegangen werden, daB Erzeugendenfunktionen nur lokal definiert sind, und tatsachlich ist die globale Theorie der Erzeugendenfunktionen und die dazugehOrige globale Hamilton-Jacobi-Theorie komplizierter. Wir werden am Ende dieses Abschnitts (optional) eine kurze Einfuhrung in diese allgemeine Theorie geben. Siehe auch Abraham, Marsden [1978, Abschnitt 5.3] fur weitere Informationen und Verweise. Da unser Ziel im erst en Teil dieses Abschnitts eine einfiihrende Darstellung der Theorie ist, werden wir viele der Rechnungen in Koordinaten durchfuhren. Man erinnere sieh, daB in lokalen Koordinaten die Bedingungen an eine Erzeugendenfunktion wie folgt lauten: Wenn eine Transformation 7./J eine lokale Darstellung 7./J: (qi,Pi, t) r-+ (rj,Pi, t) und eine Umkehrabbildung

¢ : (ii, Pi, t) r-+ (qi, Pi, t) besitzt und wenn S(qi, rj, t) eine Erzeugendenfunktion fur 7./J ist, so gelten die Beziehungen

as

Pi = - aiji

und Pi

as

= aqi·

(7.101)

Aus (7.101) folgt

.

. as . as .

Pi dq" = Pi dij"

+ -a . dq" + a-· dij" q" q"

. as + dS at '

= P- dq-c1, - "

(7.102)

wobei dS das Differential von S in Form einer Funktion auf Q x Q x JR ist:

7.9 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung

dS

.

as

as

.

221

as

= -a .dq' + a-· d1j' + -a dt. qt q' t

Sei K : T*Q x lR -+ lR eine beliebige Funktion. Aus (7.102) erhalten wir die grundlegende Beziehung Pi dqi - K(qi,Pi' t)dt

= Pi dqi - K(qi,pi' t)dt + dS(qi, qi, t),

wobei K(qi,Pi, t) = K(qi,Pi, t)

(7.103)

+ as(qi, qi, t)jat ist. Definieren wir

fh = Pi dqi - Kdt,

(7.104)

so ist (7.103) aquivalent zu 8K

= 'ljJ*8R + 'ljJ*dS,

(7.105)

wobei 'ljJ : T*Q x lR -+ Q x Q x lR die Abbildung (qi,pi' t)

H

(qi, qi(qj ,Pj, t), t)

ist. Bilden wir von (7.103) (oder (7.105)) die auBere Ableitung, so folgt dqi

1\

dPi

+ dK 1\ dt = dqi 1\ dPi + dK 1\ dt.

(7.106)

Dies kann in der Form DK = 'ljJ* DR

(7.107)

geschrieben werden mit DK = -d8K = dqi 1\ dPi + dK 1\ dt. Wie in Ubung 6.2.3 gezeigt wurde, ist bei einer gegebenen zeitabhangigen Funktion K und dem zugehOrigen zeitabhangigen Vektorfeld X K auf T*Q das Vektorfeld XK = (XK' 1) auf T*Q x lR durch die Gleichung iXKDK = 0 (unter allen Vektorfeldern mit einer 1 in der zweiten Komponente) eindeutig bestimmt. Aus der Ietzten Beziehung erhalten wir zusammen mit (7.107)

0= 'ljJ*(ixKD K ) = i1f;.(x K)'ljJ*D K = i1f;.(XK)Di? Da 'ljJ in der zweiten Komponentc die Identitat ist, d.h., die Zeit erhaIt, hat das Vektorfeld 'l/J* (X K ) eine 1 in der zweiten Komponente und daher resultiert aufgrund der Eindeutigkeit solcher Vektorfelder die Gleichung (7.108)

Die Hamilton-Jacobi-Gleichung. Die benatigten GraBen sind die Hamiltonfunktion H und eine Erzeugendenfunktion S wie oben. Definition 7.9.1. Sind eine zeitabhiingige Hamiltonfunktion H und eine Transformation 'l/J mit Erzeugendenfunktion S wie oben gegeben, so sagen wir, dafJ die Hamilton-Jacobi-Gleichung erfiillt ist, wenn I n as as) H ( q , ... , q 'aql"'" aqn ' t

as ( i coi ) + at q ,q ,t = 0

(7.109)

gilt, wobei die aSjaqi in (qi, qi, t) ausgewertet und die qi als Konstanten aufgefajJt werden.

222

7. Lagrangesche Mechanik

Die Hamilton-Jacobi-Gleichung kann als eine nichtlineare partielle Differentialgleichung fUr die Funktion S beziiglich der Variablen (ql, ... , qn, t) in Abhangigkeit von den Parametern (fl, ... , if') angesehen werden.

Definition 7.9.2. Wir sagen, dafJ eine Abbildung 7/J ein Vektorfeld den Gleichgewichtszustand transformiert, falls

X

in

(7.110) gilt.

Transformiert 7/J das Vektorfeld X in den Gleichgewichtszustand, so sind die Integralkurven von X zu den Anfangsbedingungen (qb,p?, to) durch (7.111) gegeben, da die Integralkurven des konstanten Vektorfeldes (0,1) einfach Geraden in t-Richtung im Bildraum sind und das Vektorfeld dadurch "integriert" wurde. Beachte, daB (Pt der FluB des Vektorfeldes im iiblichen Sinne ist, wenn wir mit rjJ die Umkehrabbildung von 7/J bezeichnen. Satz 7.9.1 (Hamilton-Jacobi).

(i) Erfullt S zu einer gegebenen zeitabhiingigen Hamiltonfunktion H die Hamilton-Jacobi-Gleichung und erzeugt Seine zeitabhiingige kanonische Transformation 7/J, so wird XH durch 7/J in den Gleichgewichtszustand transformiert. Demzufolge ist die Losung der Hamiltonschen Gleichungen zu H wie oben beschrieben durch 7/J mittels (7.111) gegeben.

(ii) 1st umgekehrt 7/J eine zeitabhiingige kanonische Transformation mit Erzeugendenfunktion 5, die XH in den Gleichgewichtszustand transformiert, so gibt es eine Funktion S, die sich von S nur um eine Funktion von t unterscheidet, ebenfalls 7/J erzeugt und die Hamilton-JacobiGleichung zu H erfullt. Beweis. Urn (i) zu beweisen, nehme man an, daB S die Hamilton-JacobiGleichung erfiillt. Wie oben erklart, bedeutet dies, daB II = 0 ist. Aus (7.108) erhalten wir Damit ist die erste Aussage bewiesen. Urn die Umkehrung (ii) zu beweisen, nehme man an, daB

gilt und somit wieder mit (7.108)

7.9 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung

223

folgt, was bedeutet, daB H beziiglich der Variablen (qi,Pi) eine Konstante ist (ihr Hamiltonsches Vektorfeld ist zu jedem Zeitpunkt Null) und somit H = f (t) nur eine Funktion der Zeit sein kann. Wir kannen dann statt S die f(s)ds verwenden. Diese unterscheidet Funktion S = S - F mit F(t) = sich von S nur durch eine Funktion der Zeit und erzeugt ebenfalls dieselbe Abbildung 7/J. Aus

t

o = H - f (t) = H + as/at und as/ aqi H erfiillt.

dF / dt

= H + as/at

= as / aqi ersehen wir, daB S die Hamilton-J acobi-Gleichung zu •

Bemerkungen

1. 1m allgemeinen erzeugt die Funktion S bei anwachsender Zeit Singularitiiten oder Kaustiken, so daB sie mit Vorsicht zu verwenden ist. Dieser ProzeB ist in der geometrischen Optik und fUr die Quantisierung fundamental. Zudem muB man darauf achten, in welchem Sinne S bei t = 0 die Identiti:it erzeugt, falls sie singuHires Verhalten in t aufweisen kann. 2. Es gibt einen weiteren Zusammenhang zwischen der Lagrangeschen und Hamiltonschen Sichtweise der Hamilton-Jacobi-Theorie. Definiere S fUr t nahe eines festen Zeitpunktes to durch das Wirkungsintegral

S(qi, fi, t)

=

r

Jto

L(qi(s), (/(s) , s) ds,

wobei qi(s) die Lasung der Euler-Lagrange-Gleichung ist, die 7/ zur Zeit to und qi zur Zeit t gleicht. Wir werden in §8.2 zeigen, daB S die HamiltonJacobi-Gleichung erfiillt. Vergleiche fUr weitere Informationen Arnold [1989, Abschnitt 4.6] und Abraham und Marsden [1978, Abschnitt 5.2]. 3. 1st H zeitabhangig und erfiillt W die zeitabhangige Hamilton-JacobiGleichung

H

(q\. OW) aqi = E,

so erfiillt S(qi,r/,t) W(qi,qi) - tE die zeitabhangige Hamilton-JacobiGleichung, wie leicht zu zeigen ist. Benutzt man diese Bemerkung, so ist es wichtig, sich zu erinnern, daB E nicht wirklich "konstant", aber gleich H(q, 15) ist, der Energie ausgewertet bei (q,15), was evtl. die Anfangsbedingungen sein werden. Wir betonen, daB man die t-Zeitabbildung eher mit S, als mit W zu bilden hat. 4. Die Hamilton-Jacobi-Gleichung ist bei der Untersuchung des in den Internetergi:inzungen zu Kap. 7 beschriebenen Zusammenhanges zwischen klassischer und Quantenmechanik von zentraler Bedeutung.

224

7. Lagrangesche Mechanik

5. Die Wirkungsfunktion S ist im Beweis des Satzes von LiouvilleArnold, der die Existenz von Wirkungs- und Winkelkoordinaten fur vollstandig integrable Systeme garantiert, von ausschlaggebender Bedeutung, siehe Arnold [1989] und Abraham und Marsden [1978] fUr Details. 6. Die Hamilton-Jacobi-Theorie spielt eine wichtige Rolle bei der Entwicklung von numerischen Integratoren, die die symplektische Struktur erhalten (siehe de Vogelaere [1956], Channell [1983], Feng [1986], Channell und Scovel [1990], Ge und Marsden [1988], Marsden [1992] und Wendlandt und Marsden [1997]). 7. Die Methode der Trennung der Variablen. Es ist manchmal maglich, die Hamilton-Jacobi-Gleichung mittels der oftmals als Trennung der Variablen bezeichneten Methode zu vereinfachen oder sogar zu lasen. Nehmen wir an, daB die Koordinate ql und der Term as/ aql in der HamiltonJacobi-Gleichung gemeinsam in einem Ausdruck f(ql, as/aql) vorkommen, der q2, ... , qn, t nicht beinhaltet. Dies bedeutet, daB wir H fUr glatte Funktionen fund fI in der Form

schreiben kannen. Dann sucht man eine Lasung der Hamilton-Jacobi-Gleichung von der Form i -i t) = S lq,q ( 1 -1) + S-( q, 2 ... ,q,q, n -2 ... ,q-n) S( q,q,

und bemerkt: Falls SI eine Lasung von

fUr eine beliebige Funktion c(7i) und Seine Lasung von - (

H

-1

2

n as

as )

C (q ), q , ... , q , aq2 ' ... , aqn

as + at =0

ist, daB S die ursprungliche Hamilton-Jacobi-Gleichung last. So wird also eine der Variablen eliminiert, und man versucht, diese Prozedur zu wiederholen. Eine sehr ahliche Situation tritt auf, wenn H zeitunabhangig ist und man eine Lasung der Form

sucht. Die resultierende Gleichung fur SI hat die Lasung SI(t) = -Et und die verbleibende Gleichung fUr Wist die zeitabhangige Hamilton-JacobiGleichung wie in Bemerkung 3. 1st ql eine zyklische Variable, hangt also H nicht ausdrucklich von ql ab, dann kannen wir f(ql,pd = PI und entsprechend SI (ql) = C(ql )ql wahlen.

7.9 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung

225

Gibt es k zyklische Variablen q1, q2, ... ,qk, so suchen wir eine Lasung der Hamilton-Jacobi-Gleichung von der Form

S(qi, 'ii, t) =

L Cj(qj)qj + S(qk+l, ... , qn, qk+l, ... , qn, t), k

j=l

wobei Pi = Ci(qi), i = 1, ... , k die konjugierten Impulse zu den zyklischen Variablen sind.

Die Geometrie der Hamilton-Jacobi-Theorie (optional). Wir beschreiben nun kurz und informell einige weitere geometrische Aspekte der Hamilton-Jacobi-Gleichung (7.109). Fur alle x = (qi, t) E Q := Q x lR ist dS(x) ein Element des Kotangentialbtindels T*Q. 1m Augenblick vernachlassigen wir die Abhangigkeit von S von qi, da sie nicht unmittelbar von Bedeutung ist. Wenn x Q durchlauft, ist die Menge {dS(x) I x E Q} eine Untermannigfaltigkeit von T*Q, die in Koordinatenschreibweise durch Pj = as/aqj und P = as/at gegeben ist. Hier sind die zu qi konjugierten Variablen mit Pi und die zu t konjugierten mit P bezeichnet. Wir werden ~i = Pi fUr i = 1,2, ... ,n und ~n+1 = P schreiben. Wir nennen diese Untermannigfaltigkeit das Bild oder den Gmphen von dS (beide Begriffe passen, abhangig davon, ob man sich dS als Abbildung oder als einen Bundelschnitt vorstellt) und verwenden die Bezeichnung graphdS C T*Q. Wegen n+1 n+1 as n+1 a2s '\' dx j 1\ d~· = '\' dx j 1\ d - = '\' dx j 1\ dx k . =0 ~ J ~ ax' ~ axJaxk j=l j=l J j,k=l verschwindet die kanonische symplektische Form von T*Q auf graph dS. Zudem ist die Dimension von graph dS halb so groB, wie die der symplektischen Mannigfaltigkeit T*Q. Solch eine Untermannigfaltikeit wird Lagrangesch genannt, wie wir schon im Zusammenhang mit den Erzeugendenfunktionen (§6.5) erwahnten. Hier ist von Bedeutung, daB die Projektion von graph dS auf Q ein Diffeomorphismus ist und dartiber hinaus sogar die Umkehrung gilt: 1st A C T*Q eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit von T*Q, so daB die Projcktion auf Q in der Umgebung eines Punktes ), E A ein Diffeomorphismus ist, so gilt in einer Umgebung von), und fur eine Funktion tp die Beziehung A = graphdtp. Urn dies zu zeigen, beachte man, daB A (urn ),) eine Untermannigfaltigkeit von der Form (xj,Pj(x)) ist, weil die Projektion ein Diffeomorphismus ist. Damit A Lagrangesch ist, muB auf A

n+1

L dx j 1\ d~j = 0 j=l

sein. Es muB also n+1

L dx j 1\ dpj(x) = 0, j=l

bzw.

226

7. Lagrangesche Mechanik

gelten. Folglich gibt es ein cp, so daB Pj = fJcp / fJxj ist, was A = graph dcp entspricht. Die SchluBfolgerung aus dies en Bemerkungen ist, daB Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten von T*Q naturliche Verallgemeinerungen von Graphen von Differentialen von Funktionen auf Q sind. Beachte, daB Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten sogar dann definiert sind, wenn die Projektion auf Qkein Diffeomorphismus ist. Vergleiche fur weitere Informationen zu Lagrangemannigfaltigkeiten und Erzeugendenfunktionen Abraham und Marsden [1978], Weinstein [1977] und Guillemin und Sternberg [1977]. Aus der Sichtweise der Lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten ist der Graph des Differentials einer Losung der Hamilton-lacobi-Gleichung eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit von T*Q, die in der durch die Gleichung fI := p+H(qi,pi, t) = 0 definierten Flache fIo C T*Q enthalten ist. Wie oben ist p = ~n+1 der zu t konjugierte Impuls. Diese Sichtweise gestattet es, Lasungen mit einzubeziehen, die im gewahnlichen Kontext singular sind. Das ist nicht der einzige Vorteil: Wir erlangen auch eine tiefere Einsicht in die Aussage des Satzes von Hamilton-Jacobi 7.9.1. Der Tangentialraum zu fIo hat eine urn eins kleinere Dimension als die symplektischen Mannigfaltigkeit T*Q und ist durch die Menge der Vektoren X gegeben, fUr die (dp+dH)(X) = 0 gilt. Befindet sich ein Vektor Y in dem symplektischen orthogonalen Komplement von T(x,e) (fIo) , gilt also n+1

2:)dx j ;\ d~j)(X, Y)

=0

j=l

fur aIle X

E

T(x,e) (Ho), so ist Y ein Vielfaches des Vektorfeldes

fJ fJH fJ X-=----+XH H fJt fJt fJp im Punkt (x, ~). Daruber hinaus sind die Integralkurven von X H' projiziert auf (qi,Pi)' die Lasungen der Hamiltonschen Gleichungen fur H. Die wichtigste Beobachtung bzgl. des Zusammenhangs zwischen den Hamiltonschen Gleichungen und der Hamilton-Jacobi-Gleichung ist, daB das Vektorfeld X H' welches offensichtlich tangential zu Ho ist, auch zu jeder in Ho enthaltenen Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit tangential ist (wovon man durch eine einfachen Rechnung uberzeugen kann, siehe Ubung 7.9.3). Dies ist aquivalent zu der Aussage, daB eine Lasung der Hamiltonschen Gleichungen fUr fI entweder vollstandig auBerhalb einer in fIo enthaltenen Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit liegt oder ganz in ihr enthalten ist. Dies ermaglich, eine Lasung der Hamilton-Jacobi-Gleichung zu konstruieren, die bei einer Anfangsbedingung t = to startet. Dazu benutze man eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit Ao von T*Q und bette sie in T*Q bei t = to mittels

7.9 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung

227

ein. Das Ergebnis ist eine isotrope Untermannigfaltigkeit Ao C T*Q, also eine Untermannigfaltigkeit, auf der die kanonische Form verschwindet. Nun nehme man alle Integralkurven von Xii zu den Anfangsbedingungen in Ao. Die Menge dieser Kurven spannt ein Mannigfaltigkeit A auf, deren Dimension urn eins groBer ist als die von Ao. Man erhiiJt sie, indem man Ao entlang Xii fiieBen laBt, d.h., A = UtAt, wobei At = 1>t(Ao) und 1>t der FluB von Xii ist. Da Xii tangential zu fIo und Ao C fIo ist, erhalten wir At C fIo und deshalb ist A C fIo. Da der FluB 1>t von Xii eine kanonische Abbildung ist, laBt er die symplektische Form von T*Q invariant und bildet deshalb eine isotrope Untermannigfaltigkeit in eine isotrope ab, insbesondere ist At eine isotrope Untermannigfaltigkeit von T*Q. Der Tangentialraum von A an ein oX E At ist und des durch Xii erzeugten die direkte Summe des Tangentialraums von Unterraums. Da der erste Unterraum in T)..Ho enthalten ist und der zweite symplektisch orthogonal zu T)..fIo ist, erkennen wir, daB auch A eine isotrope Untermannigfaltigkeit von T*Q ist. Ihre Dimension ist aber halb so groB wie die von T*Q und deshalb ist A eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit, die in fIo enthalten ist, d.h., sie ist eine Losung der Hamilton-Jacobi-Gleichung mit der Anfangsbedingung Ao bei t = to. Mit obiger Sichtweise fallt es leicht, die Singularitaten einer Losung der Hamilton-Jacobi-Gleichung zu verstehen. Sie gehoren zu denjenigen Punkten der Lagrangemannigfaltigkeit, die eine Losung sind, fiir die die Projektion auf Q aber kein lokaler Diffeomorphismus ist. Diese Singularitaten konnen schon in der Anfangsbedingung auftreten (d.h., Ao kann evtl. nicht lokal diffeomorph auf Q projiziert werden), oder sie konnen zu einem spateren Zeitpunkt wegen einer Faltung der Untermannigfaltigkeiten At bei variierendem t auftreten. Die Projektion eines solchen singularen Punktes auf Q nennt man eine Kaustik der Losung. Kaustiken sind von grundlegender Bedeutung in der geometrischen Optik und der semiklassischen Naherung der Quantenmechanik. Fiir weitere Informationen verweisen wir auf Abraham und Marsden [1978, Abschnitt 5.3] und Guillemin und Sternberg [1984].

:it

Ubungen Ubung 7.9.1. Lose die Hamilton-Jacobi-Gleichung fiir den harmonischen Oszillator. Uberpriife fiir diesen direkt die Giiltigkeit des Satzes von HamiltonJacobi (der die Losung der Hamilton-J acobi-Gleichung und den FluB des Hamilton-Jacobi-Vektorfeldes in Zusammenhang bringt). Ubung 7.9.2. Seien W(q, q) und H(q,p)

p2

= 2m

+ V(q)

gegeben, wobei q,p E lR ist. Zeige durch eine direkte Berechnung, daB fiir

polO

228

7. Lagrangesche Mechanik

1 2m

2

-(Wq) +V=E ist und genau dann q = p/m ist, wenn (q, Wq(q, q)) die Hamiltonschen Gleichungen mit der Energie E erfullt. Ubung 7.9.3. Sei (V, Q) ein symplektischer Vektorraum und W linearer Unterraum. Wir wissen aus §2.4, daB W!7

= {v

E V I Q(v, w)

c

Vein

= 0 fUr aIle wE W}

das symplektische orthogonale Komplement von Wist. Ein Unterraum LeV wird Lagrangesch genannt, falls L = L!7 gilt. Zeige, daB fur einen Lagrangeschen Unterrraum LeW die Inklusion W!7 C L gilt. Ubung 7.9.4. Lose die Hamilton-Jacobi-Gleichung fUr ein Zentralkraftfeld. Uberpriife die Giiltigkeit des Satzes von Hamilton-Jacobi auf direkte Weise.

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

In dies em Kapitel werden zwei verwandte Themen behandelt: Lagrangesche (und Hamiltonsche) Systeme mit Zwangsbedingungen und rotierende Systeme. Systeme mit Zwangsbedingungen werden durch das Beispiel eines Teilchens illustriert, daB gezwungen wird, sich auf einer Sphare zu bewegen. Solche Zwangsbedingungen, die Bedingungen an die Konfigumtionsvariablen stellen, werden "holonom" genannt. 1 Bei rotierenden Systemen muB man zwischen Systemen, die aus einem rotierenden Koordinatensystem heraus betrachtet werden (passiv rotierende Systeme) und rotierenden Systemen (aktiv rotierende Systeme - wie z.B. ein Foucaultsches Pendel und Wettersysteme, die sich mit der Erde drehen) unterscheiden. Wir beginnen mit einer detaillierteren Betrachtung der Variationsprinzipien und wenden uns dann einer Version des Satzes uber die Lagrangeschen Multiplikatoren zu, die fur unsere Untersuchungen der Zwangsbedingungen nutzlich sein wird.

8.1 Riickkehr zu den Variationsprinzipien In dies em Abschnitt gehen wir naher auf Variationsprinzipien ein. Technische Schwierigkeiten, die aus unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten result ieren, hindern uns daran, alles aus dieser Sichtweise zu prasentieren. Hinsichtlich dieser verweisen wir z.B. auf Smale [1964], Palais [1968] und Klingenberg [1978]. Die klassische geometrische Theorie ohne den unendlichdimensionalen Fall findet der Leser z.B. in Bolza [1973]'Whittaker [1927]' Gelfand und Fomin [1963] oder Hermann [1968]. Das Hamiltonsche Prinzip. Wir beginnen, indem wir den Raum der Wege, die zwei Punkte miteinander verbinden, einfuhren. Definition 8.1.1. Sei Q eine Mannigfaltigkeit und L : TQ ---+ IR. eine regulare Lagmngefunktion. Wahle zwei feste Punkte ql und q2 in Q und ein Intervall [a, b], dann definiert man den Wegeraum von ql nach q2 durch 1

In diesem Band werden wir keine "nichtholonomen" Zwangsbedingungen wie z.B. Zwangsbedingungen bei Rollbewegungen diskutieren. In Bloch, Krishnaprasad, Marsden und Murray [1996], Koon und Marsden [1997b] und Zenkov, Bloch und Marsden [1998] werden nichtholonomes Systeme diskutiert und weitere Literaturhinweise gegeben.

J. E. Marsden et al., Einführung in die Mechanik und Symmetrie © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

230

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

fl(qI' q2, [a, b]) = {c : [a, b] --t Q

I C ist eine C 2

Kurve, c(a) = qI, c(b) = q2}

(8.1)

und die Abbildung 6 : fl(qI' q2, [a, b]) --t lR durch 6(c) =

lb

L(c(t), c(t)) dt.

Wir werden nicht zeigen, daB fl(qI' Q2, [a, b]) eine glatte, unendlichdimensionale Mannigfaltigkeit ist. Dies ist ein Spezialfall eines allgemeinen Ergebnisses aus dem Gebiet der Mannigfaltigkeiten von Abbildungen, worin gezeigt wird, daB Raume von Abbildungen von einer Mannigfaltigkeit auf eine andere glatte, unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten sind. Akzeptieren wir dies, so konnen wir die folgende Proposition leicht beweisen:

Der Tangentialmum Tcfl(qI' Q2, [a, b]) von fl(QI' Q2, [a, b]) an einem Punkt, also eine Kurve c E fl(QI' Q2, [a, b]), ist die Menge der C 2-Abbildungen v : [a, b] --t TQ fur die TQ 0 v = c und v(a) = v(b) = 0 ist, wobei TQ : TQ --t Q die kanonische Projektion bezeichnet.

Proposition 8.1.1.

Beweis. Der Tangentialraum an eine Mannigfaltigkeit besteht aus den Tangentialvektoren an glatte Kurven in der Mannigfaltigkeit. Der Tangentialvektor an eine Kurve CA E fl(QI' Q2, [a, b]) mit Co = c ist v

=

d~ CAl

.

A=O cA(t) ist fur jedes feste t eine Kurve durch co(t) = c(t). Folglich ist

(8.2)

~ CA(t)IA=O ein Tangentialvektor an Q bei c(t). Somit ist v(t) E Tc(t)Q, d.h., TQ 0 v = c. Die Einschrankungen cA(a) = QI und cA(b) = Q2 fuhren auf v(a) = 0 und v(b) = 0, sonst aber ist v eine beliebige C 2 -Funktion. • Man nennt v eine infinitesimale Variation der Kurve c mit fest en Endpunkten und wir verwenden die Schreibweise v = 6c, siehe Abb. 8.1. Nun konnen wir ein Hauptresultat aus der Variationsrechnung in einer auf Hamilton [1834] zuruckgehende Form angeben und den Beweis skizzieren. Satz 8.1.1 (Das Hamiltonsche Variationsprinzip). Sei L eine Lagmngefunktion auf TQ. Eine Kurve Co : [a, b] --t Q, die QI = co(a) mit Q2 = co(b) verbindet, erfullt genau dann die Euler-Lagmnge-Gleichungen

! (~~)

=

~~,

(8.3)

wenn Co ein kritischer Punkt der Funktion 6 : fl(QI' Q2, [a, b]) --t lR ist, also d6(co) = 0 gilt. 1st L reguliir, so sind be ide Bedingungen dazu aQuivalent, dafJ Co eine Losungskurve von X E ist.

8.1 Riickkehr zu den Variationsprinzipien

231

Abb. 8.1. Die Variation 8q(t) einer Kurve q(t) ist ein Feld tangentialer Vektoren an die Konfigurationsmannigfaltigkeit entlang dieser Kurve.

Wie in §7.1 bezeichnen wir mit d6(co)

= 0 die Bedingung

Sib L(co(t),co(t))dt=O,

(8.4)

d.h., das Integral ist stationar, wenn es nach c, aufgefaBt als unabhangige Variable, differenziert wird. Beweis. Wir untersuchen d6(c) . v wie in §7.1. Schreibe v wie in (8.2) als Tangentialvektor an die Kurve c.\ in D(ql, q2, [a, b]). Mithilfe der Kettenregel erhalten wir

Differenzieren wir (8.5) unter dem Integralzeichen und verwenden lokale Koordinaten,2 so erhalten wir

d6(c)·v=

8L.) j (8L. 8 + 81/ dt. b

a

qi V "

i;"

(8.6)

Da van beiden Enden verschwindet, kann der zweite Term aus (8.6) partiell integriert werden. Dies fiihrt auf

d6(c). v =

jb (8L _!i 8~) Vi dt. 8q" dt 8q" a

d6(c) = 0 bedeutet nun, daB d6(c)· v = 0 fur aIle v

E TcD(ql' q2, [a,

(8.7)

b]) gilt,

dies wiederum gilt genau dann, wenn 2

Liegt die Kurve co(t) nicht vollstandig in einem Kartengebiet, so zerlegen wir die Kurve c(t) in eine endliche Anzahl von Stiicken, die alle vollstandig in einer Karte liegt, und wenden dann das untenstehende Argument an.

232

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

%~ - ! (%~) = 0 ist, denn der Integrand ist stetig und v belie big mit Ausnahme von v den Enden. (Die letzte Behauptung wurde im Satz 7.3.1 bewiesen.)

(8.8)

= 0 an •

Dem Leser steht es offen, sich zu vergewissern, daB das Hamiltonsche Prinzip so gut wie unverandert auf zeitabhangige Lagrangefunktionen iibertragen werden kann. Diese Bemerkung werden wir unten ausnutzen.

Das Prinzip der stationaren Wirkung. Als nachstes diskutieren wir Variationsprinzipien, wobei die Energie konstant bleiben solI. Das Intervall [a, b] werden wir aber variabellassen. Definition 8.1.2. Sei L eine regulare Lagrangefunktion und be eine regulare Energiefiache fur die Energie Evon L, d.h., e ist ein regularer Wert von E und es gilt be = E-l(e). Seien ql, q2 E Q und sei [a, b] ein gegebenes Intervall. Mit D(Ql,Q2, [a, b], e) bezeichnen wir die Menge der Paare (r,c), wobei r : [a, b] --+ lR. eine C 2-Abbildung mit i > 0, c : [r(a), r(b)] --+ Q eine C 2 - K urve mit

und

E (c(r(t)), c(r(t))) = e

fur alle t E [a, b]

ist. lndem man wie in Proposition 8.1.1 argumentiert, zeigt man durch die Berechnung der Ableitungen der Kurven (r>., c>.) in D(Ql, q2, [a, b], e), daB der Tangentialraum an D(Ql,q2, [a,b],e) bei (r,c) aus dem Raum der Paare von C 2-Abbildungen 0: :

[a, b] --+ lR. und v: [r(a), r(b)] --+ TQ

mit v(t) E Tc(t)Q,

c(r(a))o:(a) + v(r(a)) = 0, c(r(b))o:(b) + v(r(b)) = 0

(8.9)

und

dE[c(r(t)), c(r(t))]· [c(r(t))o:(t) + v(r(t)), c(r(t))a(t) + v(r(t))] = 0 (8.10) besteht.

Satz 8.1.2 (Das Prinzip der stationaren Wirkung). Sei co(t) eine Losung der Euler-Lagrange-Gleichungen und Ql = co(a) und Q2 = co(b). Sei e die Energie von co(t) und ein regularer Wert von E. Definiere die Abbildung A: D(Ql' Q2, [a, b], e) --+ lR. durch

S.l Riickkehr zu den Variationsprinzipien

A(T, c) =

j

233

T(b)

T(a)

(8.11)

A(c(t), c(t)) dt,

wobei A die Wirkung von List. Dann ist dA(Id, co)

= 0,

(8.12)

wobei Id die Identitiit ist. 1st umgekehrt (Id, co) ein kritischer Punkt von A und hat Co die Energie e, die ein reguliirer Wert von E ist, dann ist Co eine Losung der Euler-Lagrange- Gleichungen. In Koordinaten lautet (8.11)

A(T, c) =

j

T(b) T(a)

8L. 8 ./l dt =

jT(b)

q

T(a)

.

(8.13)

Pi dq"

was das Integral einer kanonischen I-Form entlang einer Kurve "( = (c, c) ist. Als Wegintegral einer I-Form ist A(T, c) von der Parametrisierung T unabhangig. Also kann man sich A als auf dem Raum der (unparametrisierten) Kurven, die ql und q2 verbinden, definiert vorstellen.

Beweis. Hat die Kurve c die Energie e, so ist

Differenziert man A mithilfe der Methode aus dem Satz 8.1.1 nach erhalt man

T

und c,

dA(Id,co)· (a,v)

= a(b) [L(co(b), co(b)) + e] - a(a) [L(co(a), co(a)) + e]

+

lb (Z~

(co(t), co(t))vi(t) +

Z~ (co(t), co(t))iJi(t)) dt.

(8.14)

Durch partielle Integration ergibt sich dann dA(Id, co) . (a, v)

8L. ]b = [a(t) [L(co(t), co(t)) + e] + 8ii (co(t), co(t))v"(t) a

r

b . d 8L .) i + Ja (8L 8qi (co(t), co(t)) - dt 8qJco(t), co(t)) v (t) dt.

(8.15)

Mit den Randbedingungen v = -ca aus der Beschreibung des Tangentialraums T(Id,co)D(ql, q2, [a, b], e) und der Energieeinschrankung (8Lj8qi)c i L = e heben sich die Randterme weg und es bleibt

234

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

dA(Id, co) . (a, v)

=

I (8L b

a

d8L) v dt.

8qi - dt 8qi

i

(8.16)

Dabei ist V frei wahlbar. Man beachte, daB das Vorhandensein von a in der linearisierten Energieeinschrankung bedeutet, daB die Variationen vi auf den offenen Mengen, wo c of. 0 ist, nicht eingeschrankt sind. Daraus folgt die Behauptung. • 1st L = K - V, wobei K die kinetische Energie einer Riemannschen Metrik ist, dann besagt der Satz 8.1.2, daB eine Kurve Co genau dann eine Lasung der Euler-Lagrange-Gleichungen ist, wenn (8.17)

gilt, wobei 6e eine Variation bezeichnet, bei der die Energie und die Endpunkte festgehalten werden, wo die Parametrisierung sich aber andern kann. Dies steht symbolisch fur die in Satz 8.1.2 prazisierte Aussage. Mit K :::: 0 zeigt eine Berechnung der Euler-Lagrange-Gleichungen CObung 8.1.3), daB (8.17) (8.18)

entspricht, d.h., die Bogenlange wird extremal (bei konstanter Energie). Dies ist das Prinzip der "kleinsten Wirkung" in der Form von Jacobi und stellt das Verbindungsglied zwischen der Mechanik und der geometrischen Optik dar, was eine der ursprunglichen Motivationen von Hamilton war. Insbesondere werden Geodaten durch ihre extremale Bogenlange charakterisiert. Mit der Jacobimetrik (vgl. §7.7) gelangt man zu einem weiteren Variationsprinzip.3 Der Phasenraum fUr das Variationsprinzip. Die obigen Variationsprinzipien fur Lagrangesche Systeme fuhren bis zu einem gewissen Grad auf Hamiltonsche Systeme. Satz 8.1.3 (Das Hamiltonsche Prinzip im Phasenraum). Betrachte die Hamiltonfunktion H auf einem gegebenen Kotangentialbundel T*Q. Eine Kurve (qi(t),Pi(t)) in T*Q erfullt genau dann die Hamiltonschen Gleichungen, wenn 6

l

b

[p/./- H(qi,pi)] dt

=0

(8.19)

fur Variationen uber K urven (qi (t), Pi (t)) im Phasenraum gilt, wobei die qi dqi / dt und die qi in den Endpunkten fest sind. 3

=

Von GauE, Hertz, Gibbs und Appell stammen andere interessante Variationsprinzipien. Einen modernen Zugang und weitere Literaturhinweise findet man bei Lewis [1996].

8.1 Riickkehr zu den Variationsprinzipien

235

Beweis. Mit einer Berechnung wie in (8.6) kommt man auf

b[

81 PiQi - H(qi,Pi)Jdt = a

lb [(8PiW +Pi(8qi) a

~~8qi - ~H 8Pi ] dt. q PI

(8.20) Da die qi(t) in den beiden Enden fest sind, ist dort Pi8qi = 0 und folglich kann der zweite Term von (8.20) partiell integriert werden, urn (8.21) zu erhalten. Dieser Ausdruck verschwindet genau dann fiir alle 8Pi, 8qi, wenn die Hamiltonschen Gleichungen erfiillt sind. • Das Hamiltonsche Prinzip im Phasenraum (8.19) auf einer exakten symplektischen Mannigfaltigkeit (P, Jl = -d8) lautet (8.22) wiederum mit geeigneten Randbedingungen. Entsprechend lautet das Prinzip der kleinsten Wirkung unter der Bedingung, daB H konstant ist,

8

I

T

(b)

T(a)

8=0.

(8.23)

Bei Cendra und Marsden [1987], Cendra, Ibort und Marsden [1987], Marsden und Scheurle [1993a, 1993bJ und Holm, Marsden und Ratiu [1998aJ wird gezeigt, wie man auf bestimmten symplektischen Mannigfaltigkeiten, wenn n nicht exakt ist, und sogar auf einigen Poissonmannigfaltigkeiten, die man durch einen Reduktionsproze£ erhiilt, Variationsprinzipien konstruieren kann. Das Variationsprinzip fiir die Euler-Poincare-Gleichungen, das in der Einleitung beschrieben wurde und auf das wir wieder in Kap. 13 sto£en werden, ist ein besonderer Fall dieses Variationsprinzips. Die I-Form 8 H := 8-Hdt in (8.22), aufgefa£t als eine I-Form auf Px~, stellt ein Beispiel einer K ontaktforrn dar und spielt eine besondere Rolle in der zeitabhiingigen und relativistischen Mechanik. Sei

und man beachte, daB das Vektorfeld X H durch die Aussage charakterisiert ist, daB seine Suspension XH = (XH' 1), ein Vektorfeld auf P x ~, im Kern von JlH liegt:

236

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

Ubungen Ubung 8.1.1. Zeige, daB fur das Hamiltonsche Prinzip die festen Randbedingungen q(a) und q(b) zu p(b) . oq(b) = p(a) . oq(a) abgeandert werden konnen. Wie lautet die entsprechende Aussage fur das Hamiltonsche Prinzip im Phasenraum? Ubung 8.1.2. Zeige, daB die Gleichungen fur ein Teilchen im Magnetfeld B und einem Potential V in folgender Form geschrieben werden konnen:

o

J

(K - V) dt = -

~

J

oq . (v x B) dt.

Ubung 8.1.3. Zeige explizit die Aquivalenz von

und

8.2 Die Geometrie der Variationsprinzipien In Kapitel 7 haben wir die" Geometrie" der Lagrangeschen Systeme auf TQ hergeleitet, indem wir sie von der Geometrie der Hamiltonschen Mechanik auf T* Q zuruckgezogen haben. Wir zeigen nun, wie die gesamte elementare Geometrie Lagmngescher Systeme direkt aus dem H amiltonschen Prinzip hergeleitet werden kann. Die nachstehende Ausfuhrung basiert auf der Arbeit von Marsden, Patrick und Shkoller [1998]. Ein kurzer Riickblick. Wir erinnern daran, daB wir das Wirkungsfunktional 6 auf C 2 -Kurven q(t), a :s; t :s; b zu einer gegebenen Lagrangefunktion L : TQ -+ lR (in Koordinaten) durch

6(q(·)) ==

l

a

b

L ( qi(t), dd~i (t) ) dt

(8.24)

konstruieren. Das Hamiltonsche Prinzip (Satz 8.1.1) sucht nach den Kurven q(t), fur die das Funktional 6 unter Variationen von qi(t) mit festen Endpunkten zu fest en Zeitpunkten stationar ist. Die Berechnung ergab

d6(q(.)) . rSq(.) = lb oqi (8L a 8q'

_!i 8~) dt + 8~oqilb. dt 8q'

8q'

a

(8.25)

Da oq(a) = oq(b) = 0 ist, verschwindet der letzte Term in (8.25), so daB die Bedingung, daB q(t) fur 6 stationar ist, auf die Euler-Lagrange-Gleichungen

8.2 Die Geometrie cler Variationsprinzipien

8L _ ~ 8L = 0 8q' dt 8it

237 (8.26)

fuhrt. Wir haben L regular genannt, falls die Matrix [8 2 Lj8qi 8qj] uberall nichtsinguHir ist und gesehen, daB die Euler-Lagrange-Gleichungen in diesem FaIle gewohnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung fur die gesuchten Kurven sind. Da die Wirkung (8.24) von der Koordinatenwahl unabhangig ist, sind die Euler-Lagrange-Gleichungen ebenfalls koordinatenunabhangig. Folglich konnen die Euler-Lagrange-Gleichungen koordinatenfrei in der Sprache der Differentialgeometrie formuliert werden. auf dem Man erinnere sich auch daran, daB die kanonische I-Form 2n-dimensionalen Kotangentialbundel T*Q von Q durch

e

definiert ist, wobei G: q E T;Q, wO:q E TO:qT*Q und 'IrQ : T*Q -t Q die Projektion ist. Die Lagrangefunktion L definiert eine fasererhaltende Bundelabbildung lFL : TQ -t T*Q, die Legendretransformation, durch die Faserableitung:

lFL(v q )

• Wq

=

:E IE=o L(v

q

+ EW q ).

(8.27)

Ublicherweise definiert man die Lagrangesche I-Form auf TQ durch den Pullback und die Lagrangesche 2-Form durch fh = -deL. Dann suchen wir ein Vektorfeld X E (das Lagrangesche Vektorfeld) aufTQ, fur das XE..J fh = dE ist, wobei man die Energie E durch

definiert. 1st IF L ein lokaler Diffeomorphismus, was aquivalent dazu ist, daB L regular ist, dann existiert XE, ist eindeutig und die Integralkurven 16sen die Euler-Lagrange-Gleichungen. Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind Gleichungen zweiter Ordung aufTQ. Zudem ist der FluB F t von X E symplektisch, d.h., erhalt fh : Ft fh = fh. Diese Ergebnisse wurden mithilfe der Differentialformen und der Lieableitung in den letzten drei Kapiteln bewiesen. Anwendungen des Variationsprinzips. Nicht nur, urn traditionsbewuBt zu sein, arbeitet man auf der "Lagrangeschen Seite", oftmals sprechen auch handfeste Vorteile dafur, den Lagrangeschen Formalismus zu verwenden. Es lassen sich viele Beispiele anfuhren, insbesondere die Theorie der Lagrangereduktion (hier kann man die Euler-Poincare-Gleichungen anfiihren) stellt eines dar. Andere Beispiele sind der von Wald [1993] gegebene direkte Variationszugang zu Fragen der Dynamik schwarzer Locher und die Entwicklung der

238

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

Variationsasymptotik (vgl. Holm [1996], Holm, Marsden und Ratiu [1998b] und die dortigen Literaturhinweise). Bei solchen Untersuchungen steht das Variationsprinzip im Mittelpunkt des Interesses. Man beginnt mit der Entwicklung, indem man die Endpunktbedingungen 6q(a) = 6q(b) = 0 aus (8.25) entfernt, aber das Zeitintervall fest liiJ3t. Die Gleichung (8.25) wird dann zu d6(q(·)) . 6q(·)

j

=

a

b 6q'.

(OL - . - -dOL) - . ' dt oq' dt oq'

b

+ -oL.. 6q''I . oq'

a

(8.28)

Die linke Seite wirkt nun aber auf allgemeinere 6q und entsprechend muE der letzte Term auf der rechten Seite nicht mehr verschwinden. Dieser letzte Term in (8.28) ist eine line are Paarung der Funktion oLjoqi, einer Funktion von qi und qi, mit dem Tangentialvektor 6qi. Demnach kann man ihn als eine I-Form aufTQ auffassen, namlich als die Lagrangesche I-Form (OLjoqi)dqi.

Satz 8.2.1. Sei L ein Ck-Lagrangefunktion mit k ;::: 2, dann existieren eine eindeutige C k- 2-Abbildung DELL: Q -+ T*Q, die auf der Untermannigfaltigkeit zweiter Ordnung

. {ddt2q2 (0) E T(TQ)

Q:=

q ist eine C 2-Kurve in Q }

von T(TQ) definiert ist, und eine eindeutige C k- 1 -l-Form 8 L auf TQ, so dafJ fur alle 2 - Variationen qE (t) (in einem festen t- Intervall) von q( t), wobei qo(t) = q(t) ist,

c

d6(q(.)) . 6q(·) =

j

ab

q DELL (d2q) dt 2 . 6qdt + 8 L (ddt ) .lq Iba

(8.29)

gilt. Dabei ist

Die so definierte I-Form wird Lagrangesche I-Form genannt.

Die Eindeutigkeit und die lokale Existenz folgen aus der Berechnung (8.25). Die Koordinatenunabhangigkeit der Wirkung impliziert die globale Existenz von DEL und der I-Form fh. Verwendet man das Variationsprinzip, so ist also die Lagrangesche 1Form fh der "Randteil" der Funktionalableitung von der Wirkung, wenn der Rand variiert wird. Die symplektische Form entspricht der negativen aufJere Ableitung von fh, d.h., [h == -d8 L .

8.2 Die Geometrie der Variationsprinzipien

239

Lagrangesche Fliisse sind symplektisch. DaB die Losungen der EulerLagrange-Gleichungen auf eine symplektische Abbildung fuhren, war eine von Lagranges wichtigsten Entdeckungen. Es war eine seltsame Verdrehung der Geschichte, daB er ohne den Apparat der Differentialformen, dem Hamiltonformalismus oder dem Hamiltonschen Prinzip zu diesem Ergebnis gelangte. 1st L regular, so liefert das Variationsprinzip koordinatenunabhangige gewohnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Wir bezeichnen das so erhaltene Vektorfeld auf TQ zeitweilig mit X und dessen FluB mit Ft. Betrachte nun die Einschrankung von 6 auf den Unterraum CL der Losungen des Variationsprinzips. Der Raum CL kann mit den Anfangsbedingungen fur den FluB identifiziert werden. Wir ordnen Vq E TQ die 1ntegralkurve s H Fs (vq), s E [0, tj zu. Der Wert von 6 auf der Losungskurve q(s) = 7rQ(Fs(vq)) wird mit 6 t bezeichnet, also ist (8.30) Dies wird ebenfalls die Wirkung genannt. Wir betrachten 6 t als eine reellwertige Funktion auf TQ. Wegen (8.30) ist d6t!dt = L(Ft(vq)). Aus der grundlegenden Gleichung (8.29) wird

d6 t (vq)· WVq = th(Ft(v q)). :EIE=oFt(Vq + EWVq ) - fh(v q)· WVq ' wobei E H Vq + EWvq symbolisch eine Kurve bei Vq in TQ mit Ableitung WVq darstellt. Man beachte, daB der erste Term auf der rechten Seite von (8.29) verschwindet, da wir 6 auf Losungen eingeschrankt haben. Der zweite Term wird zu dem erwahnten, indem man verwendet, daB 6 t nun als eine Funktion auf TQ aufgefaBt wird. Also bekommen wir die Gleichung (8.31 )

Bildet man die auBere Ableitung von (8.31), so gelangt man zu der grundlegenden Erkenntnis, daB der FluB von X symplektisch ist:

also ist Ft fh = [h. Unter Verwendung des Variationsprinzips haben wir also gezeigt, daft eine symplektische Evolution des Systems der Gleichung d 2 = 0 entspricht, wenn man diese fur die auf den Losungsraum des Variationsprinzips einschriinkte Wirkung explizit ausschreibt. Mit der Gleichung (8.31) erhalt man auch differentialgeometrische Gleichungen fur X. Denn bildet man die Zeitableitung von (8.31), so erhalt man dL = £x8c. Damit ist

X J [h = -X J d8L = -£x8 L + d(X J 8 L ) = d(X J 8 L wobei wir E = X J 8 L Weise X = X E .

-

-

L) = dE,

L definieren. Also erhalten wir auf ganz naturliche

240

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

Die Hamilton-Jacobi-Gleichung. Als nachstes leiten wir die HamiltonJacobi-Gleichung aus Variationsprinzipien her. Fur eine zeitabhiingige Lagrangefunktion L zeigte Jacobi [1866]' daB das durch

definierte Wirkungsintegral die Hamilton-Jacobi-Gleichung erftillt, wobei qi(s) die Lasung der Euler-Lagrange-Gleichung zu den Anfangsbedingungen qi(tO) = qi und qi(t) = qi ist. Jacobis Argument setzt mehrere Annahmen voraus: List regular und das Zeitintervall It - to I wird als klein angesehen, so daB nach dem Satz tiber konvexe Umgebungen 8 eine wohldefinierte Funktion der Endpunkte ist. Solange die Lasung q(t) nahe einer nichtkonjugierten Lasung ist, darf It - tol groB sein.

Satz 8.2.2 (Hamilton-Jacobi). Unter den obigen Annahmen erfullt die Funktion 8(q, q, t) die Hamilton-Jacobi-Gleichung

Beweis. In dieser Gleichung wird q festgehalten. Sei vein implizit durch

(8.32) definierter Tangentialvektor in q, wobei Ft : TQ -+ TQ der FluB der EulerLagrange-Gleichungen wie im Satz 7.4.2 ist. Identifiziert man wie zuvor den Lasungsraum CL der Euler-Lagrange-Gleichungen mit der Menge der Anfangsbedingungen also TQ, so erhalten wir

(8.33) als eine reellwertige Funktion auf TQ. Somit ergibt die Gleichung (8.33) mit der Kettenregel und unseren vorherigen Berechnungen fUr St (siehe (8.31))

(8.34) wobei av / at bestimmt wird, indem man q und q fest halt und nur t variiert. Man beachte, daB in (8.34) q und q auf beiden Seiten der Gleichung festgehalten werden; a8/ at ist eine partie lie und keine totale Zeitableitung. Leitet man die definierende Bedingung (8.32) implizit nach tab, so erhalt man av T1fQ . XE(Ft(v)) + T1fQ . TFt · at = o.

8.2 Die Geometrie der Variationsprinzipien

Weil XE(u) eine Gleichung zweiter Ordnung ist, gilt T7rQ . XE(U) somit

OV

241

= U und

.

T7rQ ·TFt · - =-q ot mit (q,q) = Ft(v) E TqQ. Also gilt ) (ov) (Ft*CI 0 L ot

oL ·i = oqi q.

Und weil sich der Basispunkt von v von t unabhangig ist, T7rQ' (ov/ot) gilt 8dov/ot) = O. Folglich wird (8.34) zu oS ot

.

= 0,

oL.

= L(q, q, t) - oq q = -H(q,p, t),

wobei wie ublich p = oL/oq ist. Es bleibt nur oS / oq = p zu zeigen. Dazu leiten wir (8.32) implizit nach q ab und erhalten so T7rQ . TFt(v) . (Tqv· u) = u. (8.35) Dann folgt aus (8.33) und (8.31) TqS(q, q, t) . u

= d6 t (v) . (Tqv· u) = (Ft8d (Tqv· u) - 8dTqv· u).

Wie in (8.34) verschwindet der letzte Ausdruck, da der Basispunkt q von v fest ist. Fur p = lFL(Ft(v)) erhalten wir aus der Definition von 8 L und des Pullbacks mit (8.35)

•

DaB oS/oq = p ist, folgt auch aus der Definition von S und der elementaren Formel (8.28). So wie wir p = oS/oq gezeigt haben, k6nnen wir auch oS / oq = -p herleiten. Mit anderen Worten: S ist die Erzeugendenfunktion fur die kanonische Transformation (q,p) r-+ (q,p). Geschichtliches zu den Euler-Lagrange-Gleichungen. In den £01genden Abschnitten machen wir ein paar historischen Bemerkungen zu den Euler-Lagrange-Gleichungen. 4 Naturlich befaJ3t sich ein GroJ3teil des Textes mit Lagrange. Der Abschnitt V in Lagrange Mecanique Analytique [1788] 4

Viele dieser interessanten historischen Einzelheiten erfuhren wir von Hans Duistermaat, dem wir sehr dankbar sind. Urn weitere interessante historische Informationen zu erhalten, kann man auch einige Standardtexte von Whittaker [1927]' Wintner [1941] und Lanczos [1949] zu Rate ziehen.

242

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

beinhaltet die Bewegungsgleichungen in der Euler-Lagrange-Form (8.3). Lagrange schreibt Z = T - V fUr das, was wir heute die Lagrangefunktion nennen. In dem Abschnitt davor kommt Lagrange zu diesen Gleichungen, indem er nach einem koordinateninvarianten Ausdruck fiir Masse mal Beschleunigung sucht. Sein SchluB ist, daB sie (in Kurzschreibweise) durch (d/ dt) (aT / av) - aT/ aq gegeben sind, was sich unter beliebigen Substitutionen von Ortsvariablen wie eine I-Form transformiert. Lagrange sah nicht, daB die Bewegungsgleichungen zu dem Variationsprinzip 6

J

Ldt = 0

aquivalent sind. Dies wurde nur wenige Jahrzehnte spater von Hamilton [1834] bemerkt. Das Sonderbare daran ist, daB Lagrange die allgemeine Form der Differentialgleichungen fiir Variationprobleme kannte, und tatsachlich kommentiert er Eulers Beweis hierzu. Seine friihe Arbeit dazu im Jahre 1759 wurde von Euler sehr bewundert. Er wandte es sofort an, urn das Prinzip der kleinsten Wirkung von Maupertuis aus den Newtonschen Bewegungsgleichungen abzuleiten. Dieses Prinzip, daB offenbar aus der friihen Arbeit von Leibniz herriihrt, ist insofern ein unnatiirliches Prinzip, als daB nur iiber Kurven konstanter Energie variiert wird. Es ist wieder das Hamiltonsche Prinzip, das man im zeitabhangigen Fall, also wenn H nicht erhalten bleibt, anwenden und dahingehend verallgemeinern kann, daB auch gewisse auBere Krafte beriicksichtigt werden konnen. In der Mecanique Analytique geht diese Diskussion der Untersuchung der Bewegungsgleichungen in allgemeinen Koordinaten voraus. Die Gleichungen sind daher fUr den Fall formuliert, wo die kinetische Energie von der Form 2:i miv; mit positiven Konstanten mi ist. Auch Wintner [1941] ist dariiber verbliifft, daB das kompliziertere Prinzip von Maupertuis dem Hamiltonschen Prinzip vorausgeht. Eine mogliche Erklarung ist die: Lagrange hat L nicht als eine physikalisch relevante GroBe, sondern lediglich als eine Funktion angesehen, mit der man die Bewegungsgleichungen bequem in einer koordinatenunabhangigen Darstellung schreiben kann. Dazu beitragen kann auch der zeitliche Abstand zwischen seiner Arbeit zur Variationsrechnung und der Mechanique Analytique (1788,1808) - er hat vielleicht nicht an die Variationsrechnung gedacht, als er sich die Frage der koordinateninvarianten Schreibweise der Bewegungsgleichungen stellte. Das Kapitel V beginnt mit der Diskussion der Tatsache, daB die Position und Geschwindigkeit zur Zeit t von der Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit abhangen, die frei wahlbar sind. Dies konnen wir (indem wir der Einfachheit halber keine Indizes an die Koordinaten schreiben) so formulieren: q = q(t, qo, vo), v = v(t, qo, vo) und in der modernen Terminologie wiirden wir von dem FluB im x = (q, v)-Raum sprechen. Beim Lesen der Arbeit von Lagrange hat man das Problem, daB er die Variablen, von denen die GroBen abhangen, nicht explizit hinschreibt. Er fiihrt dann jeweils eine infinitesimale Variation der Anfangsbedingungen durch und betrachtet

8.2 Die Geometrie der Variationsprinzipien

243

anschlieBend die zugehOrigen Variationen von Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t. In unserer Notation heiBt das: t5x = (8xj8xo)(t, xo)t5xo. Wir wiirden sagen, er betrachtet die Tangentialabbildung des Flusses auf dem Tangentialbiindel von X = TQ. Jetzt kommt das erste interessante Ergebnis. Er fiihrt zwei Variationen durch, t5x und Llx, und gibt eine Bilinearform w(t5x, Llx) an, die wir als den Pullback der kanonischen symplektischen Form auf dem Kotangentialbiindel von Q mittels der Faserableitung IF L identifizieren. Was er dann zeigt, ist, daB dieses symplektische Produkt eine Funktion ist, die nicht von t abhiingt, was nichts anderes als die Invarianz der symplektischen Form w unter dem FlufJ in TQ ist. Es ist auffallend, daB Lagrange die Invarianz der symplektischen Form auf TQ und nicht auf T*Q erhiilt, wie bei uns im Text, wo diese aus dem Hamiltonschen Prinzip hergeleitet wird. Lagrange betrachtet die Bewegungsgleichungen nicht mithilfe der Transformation IF L im Kotangentialbiindel. Wiederum ist es Hamilton, der bemerkt, daB diese die kanonische Hamiltonsche Form haben. 1m Riickblick erscheint es riitselhaft, denn spater im Kapitel V weist Lagrange sehr ausdriicklich darauf hin, daB es niitzlich ist, mithilfe der Koordinatentransformation lFL zu den (q,p)-Koordinaten iiberzugehen, und er schreibt sogar ein System gewohnlicher Differentialgleichungen in Hamiltonscher Form, aber mit einer sonderbaren Funktion -fl anstelle der Gesamtenergie H. Lagrange verwendet den Buchstaben H zur Bezeichnung eines konstanten Energiewertes, offensichlich in Anlehnung an Huygens. Er verstand auch die Impulserhaltung als eine Folge der Translationssymmetrie. In dem Abschnitt, wo er diese Betrachtungen anstellt, behandelt er den Fall eines gestorten Systems, fiir das er anstatt V(q) das Potential V(q) - fl(q) verwendet. Die kinetische Energie bleibt dabei unverandert. Auf dieses Storungsproblem wendet er sein beriihmte Methode der Variation der Konstanten an, die hier in einem wahrhaft nichtlinearen Kontext vorgestellt wird! In unserer Notation formuliert heil3t das, er erhalt t >-+ x(t, xo) als eine Losung des ungestorten Systems und untersucht dann die Differentialgleichungen fiir xo(t), fiir die t >-+ x(t, xo(t)) eine Losung des gestorten Systems ist. Falls V das Vektorfeld des ungestorten und V + W das des gestorten Systems ist, erhalten wir also

In Worten: xo(t) ist eine Losung des zeitabhiingigen Systems, des sen Vektorfeld durch den Pullback von W mit dem FluB von V zur Zeit t gegeben ist. In dem Fall, den Lagrange betrachtet, ist die dqjdt-Komponente der Storung Null und die dpjdt-Komponente entspricht 8flj8q. Also hat sie eine Hamiltonsche Form. Hier werden keine Legendretransformationen eingesetzt (die Lagrange anscheinend nicht kennt). Er wuBte allerdings schon, daB der FluB des ungestorten Systems die symplektische Form erhiilt, und er zeigt, daB der Pullback seines W unter solchen Transformationen ein Vektorfeld in Hamiltonscher Form ist. Dies ist sogar ein zeitabhangiges Vektorfeld, definiert

244

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

durch die Funktion

G(t, qO,Po) = -rl(q(t, qo,Po)). Eventuell verwirrend ist jedoch die Tatsache, daB er die Bezeichnung -rl verwendet und man dann, wenn er Ausdrucke wie drl / dp verwendet, zunachst meint, daB diese Null sein muBten, denn rl sollte ja nur von q abhangen. Lagrange meint vermutlich

dqo dt

oG opo'

dpo

dt

In den meisten klassischen Lehrbuchern zur Mechanik, z.B. in Routh [1877, 1884], wird zu Recht darauf aufmerksam gemacht, daB Lagrange die Invarianz der symplektischen Form in (q, v)-Koordinaten (anstelle der in (q,p)-Koordinaten) verwendet. Weniger Aufmerksamkeit wird gewohnlich der Gleichung der Variation der Konstanten in Hamiltonscher Form geschenkt. Es muB aber allgemein bekannt gewesen sein, daB Lagrange diese hergeleitet hat, siehe z.B. Weinstein [1981]. Wir sollten anmerken, wie komplex die Frage nach der Linearisierung der Euler-Lagrange- und Hamiltonschen Gleichungen und wie diffizil die Untersuchung der resultierenden mechanischen Struktur ist (siehe z.B. Marsden, Ratiu und Raugel [1991]). AnschlieBend fuhrt Lagrange die Poissonklammem fur beliebige Funktionen ein und erklart, daB man mit ihnen leicht die Zeitableitung beliebiger Funktionen von beliebigen Variablen entlang Losungen eines Systems in Hamiltonscher Form formuliern kann. Er sagt auch, daB xo(t) fUr hinreichend kleines rl in nullter Ordnung konstant ist, und erhalt die Naherung nachster Ordnung durch Integration nach t. Hier finden sich bei Lagrange die erst en Ansatz der sogenannten Mittelungsmethode. Als Lagrange (im Jahre 1808) die Invarianz der symplektischen Form, die Gleichungen der Variation der Konstanten in Hamiltonscher Form und die Poissonklammern entdeckte, war er schon 73 Jahre alt. Es ist ziemlich wahrscheinlich, daB Lagrange derzeit Poisson an seinen Ideen bzgl. der Klammern teilhaben lieB. Jedenfalls ist klar, daB Lagrange fUr die Entwicklung der symplektischen Darstellung der Mechanik von uberraschend groBer Bedeutung war. Ubungen Ubung 8.2.1. Ausgehend yom Phasenraum des Hamiltonschen Prinzips leite man die Hamilton-Jacobi-Gleichung her.

8.3 Systeme mit Zwangsbedingungen Wir beginnen diesen Abschnitt mit dem Satz uber die Lagrangeschen Multiplikatoren, urn dann damit Systeme mit Zwangsbedingungen untersuchen zu konnen.

8.3 Systeme mit Zwangsbedingungen

245

Der Satz iiber die Lagrangeschen Multiplikatoren. Wir geben den Satz und eine Beweisskizze an, werden aber in technischen Fragen nicht voIlkommen prazise sein (z.B. hinsichtlich der Interpretation der Dualraume). Fur Details verweisen wir auf Abraham, Marsden und Ratiu [1988]. Betrachte zunachst Funktionen, die auf linearen Raumen definiert sind. V und A seien Banachraume und 'P : V -t A sei eine glatte Abbildung. 0 sei ein regularer Wert von 'P, so daB e :=
h(x,>..) = h(x) - (>"''P(x))

(8.36)

definiert.

Satz 8.3.1 (iiber die Lagrangeschen Multiplikatoren fUr lineare Raume). Die folgenden Bedingungen an Xo E e sind aquivalent:

(i) Xo ist ein kritischer Punkt von hie und (ii) es existiert ein >"0 E A*, fur das (xo, >"0) ein kritischer Punkt von h ist.

Beweis (Skizze). Wegen

Dh(xo, >"0) . (x, >..) = Dh(xo) . x - (>"0, D'P(xo) . x) - (>.., "0) . (x, >..) = 0 fur aIle x E V und >.. E A* zu Dh(xo) . x = (>"0, D'P(xo) . x) (8.37) aquivalent. Der Tangentialraum an e in Xo ist ker D'P(xo), also folgt aus (8.37), daB hie in Xo einen kritischen Punkt hat. Hat umgekehrt hie einen kritischen Punkt in Xo, dann gilt fur aIle x, die D'P(xo) . x = 0 erfiiIlen, Dh(xo) . x = O. Nach dem Satz uber implizite Funktionen gibt es einen glatten Koordinatenwechsel, der e rektifiziert. Gemeint ist, daB wir unter Verwendung dieses Satzes folgendes annehmen konnen: V = W EBA, Xo = 0, e entspricht (in einer Umgebung von 0) W und 'P ist (in einer Umgebung des Ursprungs) die Projektion auf A. Mit diesen Vereinfachungen besagt die Bedingung (i), daB die erste partielle Ableitung von h verschwindet. Wahle nun >"0 als ein Element aus A* gleich D2h(xo). Dann gilt offensichtlich (8.37). • Wie wir aus der Analysis wissen, lassen sich mit dem Satz uber die Lagrangeschen Multiplikatoren Extremwerte mit Nebenbedingungen gut untersuchen. Er fuhrt uns auch zu einem praktischen Test mit dem wir entscheiden konnen, ob unter dies en Nebenbedingungen Maxima und Minima auftreten. Urn z.B. zu prufen, ob ein Minimum vorliegt, sei a > 0 konstant und (xo, >"0) ein kritischer Punkt von h und betrachte dann die Funktion

(8.38)

246

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme

die bei (xo, AO) ebenfalls einen kritischen Punkt besitzt. Hat ha bei (xo, AO) ein Minimum, so hat offensichtlich hie ein Minimum bei Xo. Diese Beobachtung ist niitzlich, denn man kann den Test mit der zweiten Ableitung fiir Systeme ohne Zwangsbedingungen auf ha anwenden, was auf die Theorie der Hessematrix mit Randbedingungen fUhrt. (Eine element are Diskussion findet man in Marsden und Tromba [1996, S. 220ff].) Zudem kann man bemerken, daB der Satz iiber die Lagrangeschen Multiplikatoren auf den Fall, wo V eine Mannigfaltigkeit aber h weiterhin reellwertig ist, verallgemeinert werden kann. Damit werden wir uns nun beschiiftigen. Sei Meine Mannigfaltigkeit und N c Meine Untermannigfaltigkeit, ferner sei 7r : E -+ M ein Vektorbiindel iiber M,