Entscheidungstheorie, 6. Auflage (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Springer-Lehrbuch

Helmut Laux

Entscheidungstheorie Sechste, durchgesehene Auflage Mit 95 Abbildungen

12

Professor Dr. Dr. h.c. Helmut Laux Johann Wolfgang Goethe-Universitåt Lehrstuhl fçr Organisation und Management Mertonstraûe 17 60054 Frankfurt am Main [email protected]

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet çber abrufbar.

ISBN 3-540-23576-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-43877-7 5. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschçtzt. Die dadurch begrçndeten Rechte, insbesondere die der Ûbersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfåltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfåltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulåssig. Sie ist grundsåtzlich vergçtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de ° Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982, 1991, 1995, 1998, 2003, 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wåren und daher von jedermann benutzt werden dçrften. Umschlaggestaltung: design & production GmbH, Heidelberg SPIN 11337843

42/3130-5 4 3 2 1 0 ± Gedruckt auf såurefreiem Papier

Vorwort zur sechsten Auflage Die sechste Auflage unterscheidet sich von der fünften, die 2003 erschienen ist, durch geringfügige Korrekturen und eine Aktualisierung der Literaturangaben. Frankfurt am Main, im Oktober 2004

Helmut Laux

Vorwort zur fünften Auflage Da die 1998 erschienene vierte Auflage vollständig überarbeitet worden ist, beschränken sich Änderungen bei der vorliegenden im v^esentlichen auf die Aktualisierung der Literatur. Frau Nicole Wettemann und Herrn Burkhard Eisele danke ich herzlich für die sorgfältige Erstellung des druckfertigen Manuskripts. Frankfurt am Main, im Juni 2002

Helmut Laux

Vorwort zur vierten Auflage Die vierte Auflage wurde vollständig überarbeitet. Dabei wurden umfangreiche Verbesserungen und Erweiterungen vor allem in den Kapiteln III, VI, VII und X vorgenommen. Neu in dieser Auflage sind die Kapitel XIII und XIV, die sich mit EntScheidungsprozessen in Gruppen befassen. Auch in der vierten Auflage stehen jene Teile der Entscheidungstheorie im Vordergrund, die für das Verständnis ökonomischer Erklärungs- bzw. Entscheidungsmodelle besondere Bedeutung haben. Die vorliegende "Entscheidungstheorie" wurde mit dem Buch "Risikoteilung, Anreiz und Kapitalmarkt" (LAUX 1998) abgestimmt (das ebenfalls im Springer-Verlag erschienen ist). In dieser Arbeit wird untersucht, unter welchen Bedingungen Anreizkompatibilität für den Fall besteht, daß sich zwei oder mehr (möglicherweise sehr viele) Personen die Erfolge (bzw. die finanziellen Überschüsse) der riskanten Maßnahmen und entsprechend auch das Erfolgsrisiko teilen. Bei gegebener Anreizkompatibilität führt die Maximierung des Erwartungsnutzens für irgend einen der Beteiligten (zum Beispiel für einen Gesellschafter eines Unternehmens) dazu, daß simultan auch der Erwartungsnutzen jedes anderen (Gesellschafters) maximiert wird. Die Theorie der Individualentscheidung hat dann unmittelbare Bedeutung auch für die Lösung von Entscheidungsproblemen, bei denen mehrere Personen an den

VI

Vorwort

Konsequenzen der Entscheidungen partizipieren. Es wird untersucht, inwieweit Kriterien der Marktwertmaximierung (zum Beispiel die Maximierung des Marktwertes der Aktien des investierenden Unternehmens) im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung stehen. Außerdem wird gezeigt, warum Zielkonflikte entstehen können und wie dann wenigstens für eine "homogene" Teilmenge aller Beteiligten optimal entschieden werden kann. Burkhard Eisele, Robert Gillenkirch, Heike Schenk-Mathes und Louis Velthuis verdanke ich viele wertvolle Verbesserungsvorschläge. Sylvia Brückner, Carsten Kraft, Matthias Mann, Marcus Oehlrich, Matthias Schabel und Jens Wiederstein haben das druckfertige Manuskript erstellt. Auch dafür danke ich herzlich.

Frankfurt am Main, im Oktober 1997

Helmut Laux

Vorwort zur dritten Auflage Mehrfacher Einsatzes des Buches in Lehrveranstaltungen zur Entscheidungstheorie haben mich in der Absicht bestärkt, auch bei der dritten Auflage die Grundkonzeption des Buches nicht zu verändern. Bewährt hat sich vor allem die enge Verbindung zwischen den Darstellungen der theoretischen Grundlagen und den Anwendungsbeispielen aus verschiedenen Bereichen der Betriebswirtschaftslehre. Die Ergänzungen beschränken sich auf eine Aktualisierung der Literaturangaben.

Frankfurt am Main, im Mai 1995

Helmut Laux

Vorwort zur zweiten Auflage Im Vordergrund des Buches stehen nach wie vor jene Konzepte der (präskriptiven) Entscheidungstheorie, die Eingang in die betriebswirtschaftliche Theorie gefunden haben. Die zweite Auflage unterscheidet sich von der ersten nur durch geringfügige Änderungen und Ergänzungen.

Frankfurt am Main, im März 1991

Helmut Laux

Vorwort zur ersten Auflage Entscheidungstheoretische Untersuchungen werden in der Absicht vorgenommen, beschreibende (deskriptive) oder vorschreibende (präskriptive) Aussagen zu gewinnen. Entsprechend wird, je nach dem im Vordergrund stehenden Erkenntnisziel, zwischen deskriptiver und präskriptiver (oder normativer) Entscheidungstheorie unterschieden. Die deskriptive Entscheidungstheorie will beschreiben, wie in der Realität Entscheidungen getroffen werden und erklären, warum sie gerade in dieser und nicht in anderer Weise zustande kommen. Die präskriptive (oder normative) Entscheidungstheorie will nicht die realen Entscheidungsprozesse beschreiben und erklären, sondern zeigen, wie Entscheidungen "rational" getroffen werden können. Sie will Ratschläge für die Lösung von Entscheidungsproblemen erteilen, also Antwort geben auf die Frage, was ein Entscheider in unterschiedlichen Entscheidungssituationen tun soll. Die Arbeit gibt in zwei Bänden einen Überblick über Probleme und Lösungsansätze der präskriptiven Entscheidungstheorie. Der vorliegende erste Band gibt eine Einführung in die (präskriptive) Entscheidungstheorie und behandelt dabei ausschließlich die Problematik der Individualentscheidung. Im Vordergrund stehen diejenigen Problemkreise der Entscheidungstheorie, die für die Konstruktion und Beurteilung von Entscheidungsmodellen (insbesondere im Bereich der Betriebswirtschaftslehre) von grundlegender Bedeutung sind. Im zweiten Band wird die Problemstellung erweitert und vertiefend diskutiert. Besondere Beachtung erfährt in diesem Zusammenhang die Entscheidungsfindung in Gruppen und das Problem der Delegation von Entscheidungsbefugnissen. Groß ist der Kreis jener, ohne deren Unterstützung und Rat das Buch in seiner jetzigen Fassung nicht zustande gekommen wäre. Zunächst möchte ich den Herren Wiprecht Brodersen, Günter Franke, Rudolf Gümbel und Bernd Rudolph für ihre wertvolle Kritik danken. Auch meine Mitarbeiter am Lehrstuhl für Organisationstheorie haben durch vielfältige Verbesserungsvorschläge erheblich zum Entstehen des Buches beigetragen. Vor allem danke ich den Herren Michael Horst, Hans-Paul Kaus, Felix Liermann, Michael Spielberger und Richard Winter. Fräulein Margarete Redler und Herr Wolfgang Weil haben die Zeichnungen angefertigt; Frau Luise Wagner hat mit großer Geduld die zahlreichen Fassungen des Manuskripts geschrieben. Auch hierfür danke ich herzlich.

Frankfurt am Main, im Januar 1982

Helmut Laux

Inhaltsverzeichnis Vorwort

V

Inhaltsverzeichnis Überblick

TEILA: I.

IX XXI

EINFUHRUNG

1

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

1

Zum Gegenstand der Entscheidungstheorie Ziele und Alternativen Ziele als Beurteilungsgrundlage von Handlungsaltemativen Charakteristik von Alternativen Interdependenzen zwischen Zielen und Alternativen Interdependenzen und Koordinationsbedarf Restriktionsverbund Erfolgsverbund Risikoverbund Bewertungsverbund Entscheidung als Prozeß Überblick Problemformulierung Präzisierung des Zielsystems Erforschung von Alternativen Auswahl einer Alternative Entscheidungen in der Realisationsphase Zur Problematik von Phasenschemata Entscheidungstheorie als Orientierungshilfe für die Lösung von Entscheidungsproblemen 5.1. Überblick 5.2. Deskriptive Entscheidungstheorie 5.3. Präskriptive Entscheidungstheorie 5.3.1. Konzepte für die Explikation individueller Ziel Systeme 5.3.2. Entscheidungsmodelle 5.3.3. Strukturempfehlungen für die Modellkonstruktion

1 3 3 4 5 6 6 6 7 8 8 8 9 9 10 11 11 12

IL

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

19

1. 2.

Problemstellung Die Basiselemente eines Entscheidungsmodells

19 19

1. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 5.

13 13 14 15 15 16 18

X

2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.3.5. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 4. 4.1. 4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.3. 4.4. 5. 5.1. 5.2. 5.2.1. 5.2.2. 5.3. 6. 6.1. 6.2. 7. 8. 8.1. 8.2. 8.2.1. 8.2.2. 8.2.3. 8.3.

Inhaltsverzeichnis

Überblick Das Entscheidungsfeld Handlungsaltemativen Ergebnisse Umweltzustände Die Zielfunktion Zielarten Zur Problematik der Ermittlung einer Zielfunktion Präferenzfunktion bezüglich der Alternativen versus Nutzenfunktion über die Ergebnisse Entscheidungsregel und Entscheidungsprinzip Die Maximierung des Präferenzwertes als Optimierungskriterium Die Bedeutung des Ordnungsaxioms und des Transitivitätsaxioms für die Formulierung einer konsistenten Zielfunktion Darstellung der Axiome Zur Bedeutung des Ordnungsaxioms Zur Bedeutung des Transitivitätsaxioms Das Grundmodell der Entscheidungstheorie Die Grundstruktur des Modells Zur Darstellung der Ergebnismatrix Allgemeine Ausführungen Beispiele Zur Darstellung der Zielfunktion Zur Bedeutung des Grundmodells der Entscheidungstheorie Graphische Entscheidungsmodelle Vorbemerkung Eine Zielgröße Eine Entscheidungsvariable Zwei Entscheidungsvariablen Zwei Zielgrößen Mathematische Entscheidungsmodelle (mathematische Programmierungsansätze) Die allgemeine Struktur Beispiel II.4 Zur Systematik von Entscheidungsmodellen Zur Bedeutung von Entscheidungsmodellen Entscheidung und Entscheidungsmodell Entscheidungsmodelle im Licht der Anspruchsanpassungstheorie Die Grundidee der Anspruchsanpassungstheorie: Satisfizierung statt Maximierung Meta-und Objektbereich eines Entscheidungsmodells Satisfizierung im Meta-Bereich und Maximierung im Objektbereich des Entscheidungsmodells Die Subjektivität von Entscheidungsmodellen

19 20 20 21 22 23 23 24 26 28 30 31 31 32 33 34 34 36 36 37 41 41 42 42 43 43 45 47 49 49 50 52 53 53 54 54 56 57 59

Inhaltsverzeichnis

XI

TEIL B: INDIVIDUALENTSCHEIDUNG BEI SICHERHEIT

63

III.

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

63

1. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.5.1. 2.5.2. 2.5.3. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. *3.5. 3.6. 3.7. 4.

Problemstellung Grundprobleme der Entscheidung bei zwei oder mehr Zielgrößen Die Zielgrößenmatrix Gründe für die Relevanz mehrerer Zielgrößen Zielneutralität, Zielkomplementarität und Zielkonflikt Vergleich von Ergebnissen und Ordnungsaxiom Entscheidung auf der Grundlage einer Zielgrößenmatrix Überblick Ermittlung der Präferenzordnung Altemativenwahl ohne vollständige Präferenzordnung Graphische Entscheidungsmodelle mit zwei Zielgrößen Zur Ermittlung von Indifferenzkurven Zum Verlauf von Indifferenzkurven Die Effizienzkurve Das Optimum Bezug zur MikroÖkonomik Entscheidung ohne Indifferenzkurven Zur didaktischen Bedeutung des Indifferenzkurven-Konzeptes Entscheidung bei mehr als zwei Zielgrößen: Das TransformationsKonzept Transformations-Bedingung Überblick über das Konzept Bestimmung von Z*2 (erster Transformationsschritt) Die Bestimmung von Z*3 (zweiter Transformationsschritt) Beurteilung Zielfunktionen für mathematische Entscheidungsmodelle mit zwei oder mehr Zielgrößen Nutzenmaximierung Grundgedanke Graphische Veranschaulichung des Nutzenkonzeptes Eigenschaften und Gestalt numerischer Nutzenfunktionen Probleme der empirischen Bestimmung numerischer Nutzenfunktionen Ersatzkriterien Zielunterdrückung Lexikographische Ordnung Effizienzkriterium Maximierung einer Zielgröße bei gegebenen Anspruchsniveaus für die anderen Zielgrößen Zielgewichtung

63 64 64 65 67 69 71 71 71 73 74 74 76 78 80 80 81 82

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 5. 5.1. 5.1.1. 5.1.2. 5.1.3. 5.1.4. 5.2. 5.2.1. 5.2.2. 5.2.3. 5.2.4. 5.2.5.

82 82 85 87 87 88 89 89 89 90 92 94 95 95 96 97 99 101

XII

Inhaltsverzeichnis

TEIL C:

INDIVIDUALENTSCHEIDUNG BEI UNSICHERHEIT IM ENGEREN SINNE

105

IV.

Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne

105

1. 2. 2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.4. 2.4.1. 2.4.2. 2.4.3. 2.5. 2.6. 2.6.1. 2.6.2. 2.6.3. 2.7. 3.

Problemstellung Klassische Entscheidungskriterien Vorbemerkung Die Maximin-Regel Eine Zielgröße Mehrere Zielgrößen Kritik der Maximin-Regel Die Maximax-Regel Eine Zielgröße Mehrere Zielgrößen Kritik der Maximax-Regel Das HURWICZ-Prinzip Eine Zielgröße Mehrere Zielgrößen Kritik des HURWICZ-Prinzips Die NIEHANS-SAVAGE-Regel Die LAPLACE-Regel Eine Zielgröße Mehrere Zielgrößen Kritik der LAPLACE-Regel Zusammenfassende Kritik der klassischen Entscheidungskriterien Zur praktischen Bedeutung des theoretischen Konstrukts der Unsicherheit i.e.S

105 106 106 107 107 107 107 108 108 109 109 110 110 111 112 112 115 115 115 116 116

TEIL D:

117

INDIVIDUALENTSCHEIDUNG BEI RISIKO UND GEGEBENEN WAHRSCHEINLICHKEITS VORSTELLUNGEN 121

V.

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

121

1. 2. 2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 3. 3.1.

Problemstellung Wahrscheinlichkeiten Formale Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff. Statistische Wahrscheinlichkeiten Subjektive Wahrscheinlichkeiten Statistische Grundlagen Vorbemerkung

121 121 121 123 123 124 125 130 130

Inhaltsverzeichnis

XIII

3.2. Zur Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeiten von Ereignissen 3.2.1. Die Wahrscheinlichkeit, daß eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen eintritt 3.2.2. Die Wahrscheinlichkeit, daß mehrere (sich einander nicht ausschließende) Ereignisse gemeinsam eintreten 3.3. Der Erwartungswert von Zufallsgrößen 3.4. Die Varianz von Zufallsgrößen 3.4.1. Die Varianz einer Zufallsgröße 3.4.2. Die Varianz einer gewichteten Summe von Zufallsgrößen 3.5. Die Standardabweichung einer Zufallsgröße 3.6. Korrelationskoeffizient und Kovarianz

130

VI.

Entscheidungskriterien bei Risiko

145

1. 2. 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 3. 3.1. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3.

Problemstellung Klassische Entscheidungskriterien Die|Li-Regel Darstellung Beurteilung für den Wiederholungsfall Beurteilung für den Einzelfall Das (|Li,a)-Prinzip Darstellung Beurteilung Das BERNOULLI-Prinzip Begriff und Inhalt Zur Bestimmung einer optimalen Handlungsaltemative Die Entscheidungsmatrix Zur Ermittlung einer Nutzenfunktion Beispiel Die Rationalität des BERNOULLI-Prinzips Das Axiomensystem von LUCE und RAIFFA Die Kompatibilität des BERNOULLI-Prinzips mit dem Axiomensystem Die Bedeutung der Axiome für die Anwendbarkeit des BERNOULLIPrinzips Zur Gestalt der Risikonutzenfunktion Entscheidung bei mehreren Zielgrößen Zwei Zielgrößen Mehr als zwei Zielgrößen Zum Konzept zustandsabhängiger Risikonutzenfunktionen Zur Kritik des BERNOULLI-Prinzips Zum Stetigkeitsprinzip Zum Reduktionsprinzip Zum Monotonieprinzip Zur Maximierung des Erwartungswertes des Nutzens Widerspruch zu tatsächlichem Verhalten

145 146 146 146 147 153 155 155 158 164 164 165 165 166 169 171 171 175

3.4. 3.5. 3.5.1. 3.5.2. 3.6. 3.7. 3.7.1. 3.7.2. 3.7.3. 3.7.4. 3.7.5.

130 131 134 135 135 136 143 144

180 180 184 184 188 190 194 194 196 196 197 197

XIV

Inhaltsverzeichnis

4. 5.

Das ARROW-PRATT-Maß für absolute Risikoaversion Klassische Entscheidungskriterien und Risikomaße im Licht des BERNOULLI-Prinzips 5.1. Überblick 5.2. Die)Li-Regel 5.3. Das ()Li,a)-Prinzip 5.3.1. Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße 5.3.2. Normalverteilte Zielgröße

VII. 1. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.4. 2.4.1. 2.4.2. 2.5. 2.6. 2.7. 2.7.1. 2.7.2. 2.8. 3. 4. 4.1. 4.2. 5. 5.1. 5.2. 6.

Sicherheitsäquivalent, Risikoabschlag und Wert einer stochastischen Zielgröße Problemstellung Sicherheitsäquivalent und Risikoabschlag Herleitung Sicherheitsäquivalent bei Risikoneutralität Sicherheitsäquivalent bei Risikoaversion Das Sicherheitsäquivalent ist kleiner als der Erwartungswert der Zielgröße Graphische Veranschaulichung Sicherheitsäquivalent bei Risikofreude Das Sicherheitsäquivalent ist größer als der Erwartungswert der Zielgröße Graphische Veranschaulichung Sicherheitsäquivalent und unstetige RNF Sicherheitsäquivalent und Biegung der RNF Spezialfälle Exponentielle RNF und Normalverteilung Quadratische RNF Risikoabschlag und ARROW-PRATT-Risikoaversionskoeffizient Sicherheitsäquivalent einer stochastischen Änderung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Der Wert einer stochastischen Änderung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Der Wert WK(Z^) aus Sicht eines potentiellen Käufers Der Wert WK(Z") aus Sicht eines potentiellen Verkäufers Wert und Sicherheitsäquivalent im Vergleich Allgemeine Zusammenhänge Wert und Sicherheitsäquivalent bei quadratischer RNF Zur Höhe des Wertes eines zusätzlichen (riskanten) Projekts bei alternativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über das Endvermögen in der Ausgangs Situation

199 200 200 200 202 202 209

215 215 216 216 217 218 218 218 220 220 221 221 222 225 225 225 227 229 231 231 234 235 235 236

238

Inhaltsverzeichnis

VIII. Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall 1. 2. 2.1. 2.2. 3. 3.1. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. *3.3. 4. 4.1. 4.2. 4.3. *4.4. 4.5. 4.5.1. 4.5.2. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9.

4.9.1. 4.9.2. 4.9.3. 5. IX. 1. 2. 2.1. 2.2. 3. 3.1.

XV

241

Problemstellung 241 Entscheidung auf der Basis des Grundmodells der Entscheidungstheorie.... 242 Zur Darstellung des Modells 242 Grenzen des Modells 244 Eigenschaften effizienter Alternativen und Bedeutung der Risiko Streuung 244 Bedeutung und Grundeigenschaften effizienter Alternativen 244 Zur Analyse effizienter ()i,a)-Kombinationen bei Risikoaversion 247 Zwei riskante Positionen, die miteinander konvex kombiniert werden können 247 Mehr als zwei riskante Positionen, die miteinander konvex kombiniert werden können 250 Variation des Niveaus von Basisprogrammen 251 Zur Bedeutung von Varianzen und Kovarianzen 255 Grundzüge der Portefeuille-Theorie 258 Annahmen und Symbole 258 Das Modell 260 Gleiche Struktur aller effizienten Portefeuilles 261 VergleichmitdenDarstellungenim Abschnitt 3.2 265 Analyse der Struktur effizienter Portefeuilles 268 Grundlegende Struktureigenschaften 268 Zur Literpretation von X 270 Eigenschaften des optimalen Portefeuilles 273 Renditebetrachtung 274 Vergleich mit dem Grundmodell der Entscheidungstheorie 276 Ermittlung eines optimalen Portefeuilles und Analyse der Eigenschaften dieses Portefeuilles unter expliziter Berücksichtigung der möglichen Zustände 277 Zur Ermittlung eines optimalen Portefeuilles 277 Vergleich mit dem Modell auf der Basis des ()j,,a)-Prinzips 279 Eigenschaften des optimalen Portefeuilles 279 Risikoanalyse und optimale Entscheidung bei Realinvestitionen 281 Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung Problemstellung Literdependenzen zwischen Maßnahmen zu verschiedenen Zeitpunkten und Prinzip der flexiblen Planung Interdependenzen und Koordinationsbedarf Koordination durch flexible Planung Präzisierung der Entscheidungssituation Annahmen

283 283 284 284 285 288 288

XVI

3.2. 4. 4.1. 4.2. 4.3. *5. 6. 6.1. 6.2. 6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. *6.3. 6.3.1. 6.3.2. 7. 7.1. 7.2.

Inhaltsverzeichnis

Bedeutung der flexiblen Planung Flexible Planung mit Hilfe von Entscheidungsbäumen Der Entscheidungsbaum Erstellung einer Ergebnismatrix Das "Roll-Back"-Verfahren Flexible Planung mit Hilfe der mathematischen Programmierung Ein Beispiel zur Erläuterung der beschriebenen Modelle der flexiblen Planung (Beispiel IX. 1) Die Entscheidungssituation Flexible Planung mit Hilfe des Entscheidungsbaumes Der Entscheidungsbaum Erstellung einer Ergebnismatrix "Roll-Back"-Verfahren Flexible Planung mit Hilfe der linearen Programmierung Symbole Das Modell Starre versus flexible Planung Vergleich Flexible Planung und Revision von Plänen

TEIL E: X. 1. 2. 3. 4. 4.1. 4.2. 4.3. *5.

DIE BILDUNG EWES WAHRSCHEINLICHKEITSURTEILS

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

Problemstellung Bedeutung der Quantifizierung von Wahrscheinlichkeitsvorstellungen Direkte Methoden Indirekte Methoden Grundlagen Die äquivalente Urne Bewertung von Wetten Zur Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten bei zustandsabhängigen Nutzenfunktionen 5.1. Die äquivalente Urne 5.1.1. Die Problematik des Konzepts bei zustandsabhängigen Nutzenfunktionen 5.1.2. Grenzen einer Modifikation des Konzepts 5.2. Bewertung von Wetten 6. Die Akzeptanz subjektiver Wahrscheinlichkeitswerte als Entscheidungsproblem 6.1. Die Problematik 6.2. Präzisierung der Entscheidungssituation 6.3. Allgemeine Bemerkungen

290 291 291 294 295 297 298 298 300 300 302 304 305 305 306 308 308 310

313 313 313 314 315 316 316 318 320 322 322 322 325 327 328 328 330 331

Inhaltsverzeichnis

XVII

6.4. Analyse für zwei Zustände 6.4.1. Zwei Alternativen *6.4.2.Mehr als zwei Alternativen

331 331 334

XI.

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

337

1. 2.

Problemstellung Revision von Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und Bewertung von Informationen Die Notwendigkeit der Präzisierung des Wahrscheinlichkeitsurteils über die Informationsergebnisse

337

2.1. 2.2.

2.2.1. 2.2.2. 3. 3.1. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 4.

Das Theorem von BAYES

Allgemeine Darstellung Beispiele Ermittlung und Höhe des Informationswertes bei Risikoneutralität Grundlagen Beispiele zur Bestimmung des Informationswertes Die Entscheidungssituation Der Wert einer vollkommenen Information (Beispiel XI.3) Der Wert einer unvollkommenen Information (Beispiel XI.4) Ein allgemeines Modell zur Ermittlung des Informationswertes Der Gewinnerwartungswert bei Entscheidung ohne Information Der Gewinnerwartungswert bei Entscheidung mit Information Der Informationswert Höhe des Informationswertes und Vorteilhaftigkeit der Informationsbeschaffung 4.1. Höhe des Informationswertes 4.2. Zur Vorteilhaftigkeit der Informationsbeschaffung *5. Ermittlung und Höhe des Informationswertes bei Nichtrisikoneutralität 5.1. Das Grundproblem der Bestimmung des Informationswertes 5.2. Die Beurteilung von Informationen bei gegebenen Informationskosten 5.3. Die Bestimmung des Informationswertes 5.4. Zur Höhe des Informationswertes 6. Zur Ermittlung eines "optimalen" Informationsstandes 6.1. Einstufiger Informationsprozeß 6.1.1. Das Konzept 6.1.2. Zur Bestimmung der (bedingten) Wahrscheinlichkeiten w(Ij|Ss) im Falle mehrerer Indikatoren 6.2. Mehrstufiger Informationsprozeß 6.3. Zur Notwendigkeit der Komplexitätsreduktion 7. Der Informationswert als subjektive Größe

338 338 340

340 342 345 345 346 346 347 348 353 353 354 355 356 356 359 361 361 364 365 366 367 367 367 369 369 370 370

XVIII

Inhaltsverzeichnis

XII. Die Konstruktion von EntscheidungsmodeUen als Entscheidungsproblem 1. 2. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 4. 4.1. 4.2.

Problemstellung Notwendigkeit und Grundformen der Vereinfachung Einstufiges Entscheidungsmodell Zur Modellstruktur Vernachlässigung von Alternativen Vereinfachung bei der Erfassung der Zustände Vorbemerkung Völlige Vernachlässigung von Zuständen Repräsentation mehrerer Zustände durch einen (mittleren) Zustand Vereinfachung bei der Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils Vereinfachung bei der Darstellung der Ergebnisse Vereinfachung bei der Bestimmung der Nutzenfunktion Zur Abschätzung der Konsequenzen von Vereinfachungsmaßnahmen Mehrstufiges Entscheidungsmodell Zur Modellstruktur Das betrachtete Grundkonzept: Vereinfachung durch Globalplanung zukünftiger Maßnahmen 4.3. Vereinfachung des Zustandsbaumes 4.3.1. Überblick 4.3.2. Vernachlässigung und Zusammenfassung von Umweltentwicklungen 4.3.3. Verkürzung des Planungszeitraumes 4.4. Vereinfachung bei der Erfassung der Aktionsmöglichkeiten 4.4.1. Überblick 4.4.2. Vernachlässigung von Aktionsmöglichkeiten 4.4.3. Vorgabe von Aktivitätsniveaus 4.4.4. Grobe Beschreibung zukünftiger Aktionsmöglichkeiten 5. Die Modellvereinfachung als (Vor-)Entscheidungsproblem 5.1. Die Problematik der Bestimmung eines optimalen Komplexionsgrades 5.2. Die Vorentscheidung als mehrstufiges Problem *5.3. Die Anspruchsanpassungstheorie als Konzept der Modellvereinfachung 5.3.1. Einwertige Ergebnisse 5.3.2. Ein Beispiel zur Bestimmung des Anspruchsniveaus 5.3.3. Mehrwertige Ergebnisse 6. Vereinfachung durch sukzessive Einengung und Präzisierung von Problemstellungen 6.1. Das Konzept 6.2. Beispiel 6.3. Vorauswahl auf der Basis von Erfolgsindikatoren 6.3.1. Das Konzept 6.3.2. Beispiel 7. Zur praktischen Bedeutung vereinfachter Entscheidungsmodelle

373 373 375 378 378 379 379 379 380 381 381 382 382 382 384 384 384 385 385 386 387 389 389 389 389 390 390 390 391 392 392 393 394 396 396 397 399 399 401 403

Inhaltsverzeichnis

TEIL F:

ENTSCHEIDUNG IN GRUPPEN

XIX

405

XIII. Elemente des Entscheidungsprozesses in Gruppen

405

1. 2. 3. 3.1. 3.2.

405 406 409 409

3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. 3.4. 4. 4.1. 4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4. 4.2.5. 4.2.6. 4.3. 4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.4. 5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.4.

Problemstellung Kommunikation und Abstimmung als Elemente des Gruppenprozesses Der Kommunikationsprozeß in der Gruppe Überblick Die individuellen Präferenzordnungen zu Beginn des Informationsprozesses Aktivitäten zur Beeinflussung individueller Präferenzordnungen im Informationsprozeß der Gruppe Überblick Beeinflussung der eigenen Präferenzordnung Beeinflussung der Präferenzordnungen anderer Mitglieder Das Ende des Informationsprozesses der Gruppe Die individuellen Präferenzordnungen am Ende des Informationsprozesses der Gruppe Die Abstimmung in der Gruppe Formelle und informelle Abstimmung Abstimmungsregeln Beispiele für Präferenzordnungsprofile Das Einstimmigkeitskriterium Das Kriterium des paarweisen Vergleichs (Mehrheitsregel) Das Single-Vote-Kriterium Das BORDA-Kriterium Die HARE-Regel Strategisches Verhalten bei der Abstimmung Definitionen Isoliertes strategisches Verhalten Bildung von Koalitionen Abstimmung über eine kollektive Präferenzordnung Zur Vorteilhaftigkeit eines Gremiums Das allgemeine Beurteilungsproblem Zur Beurteilung eines Gremiums bei isolierter Problemlösung Zur Beurteilung eines Gremiums bei gemeinsamer Problemlösung Einfluß der Gruppenbildung auf die Informationsmengen und Prognosefunktionen der Mitglieder Einfluß der Gruppenbildung auf die Ziele und die Motivation der Mitglieder Zur "ausgleichenden" Wirkung der Abstimmung Der Kostenaspekt

410 411 411 413 414 416 417 419 419 420 420 421 421 423 424 425 426 426 426 431 432 433 433 434 435 435 436 437 438

XX

Inhaltsverzeichnis

XIV. Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

439

1. 2. 2.1. 2.2. 2.3.

439 440 440 441

2.4. 3. 3.1. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.5. 3.3. 3.4.

Problemstellung Grundlagen Das Präferenzordnungsprofil Die kollektive Wahlfunktion als Aggregationsmechanismus Kollektive Wahlfunktionen mit beschränktem und unbeschränktem Definitionsbereich Ein Konzept zur Auswahl einer kollektiven Wahlfunktion PARETO-Regeln Die schwache PARETO-Regel Die strenge PARETO-Regel Darstellung Vergleich mit der schwachen PARETO-Regel Die strenge PARETO-Regel und das Problem der Bestimmung einer kollektiven Präferenzordnung Die strenge PARETO-Regel als Vorauswahl-Kriterium Exkurs: PARETO-Effizienz versus Effizienz von Alternativen bei einem einzelnen Entscheider Die strenge erweiterte PARETO-Regel Die Problematik der Auswahl einer kollektiven Wahlfunktion

4.

Das Unmöglichkeitstheorem von A R R O W

4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.2. 5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 6.

Die Anforderungen ARROWS an die kollektive Wahlfunktion Darstellung Interpretation Darstellung des Unmöglichkeitstheorems Klassische Abstimmungsregeln im Licht des Unmöglichkeitstheorems Single-Vote-Kriterium Mehrheitsregel (Kriterium des paarweisen Vergleichs) BORDA-Kriterium Exkurs: Eine diktatorische Entscheidungsregel Die Suche nach einem Ausweg aus dem Dilemma

6.1.

Modifizierung der Anforderungen A R R O W S

6.2.

Modifizierung der Problemstellung A R R O W S

6.3. *7.

Zur Problematik der Erfassung der Litensität individueller Präferenzen Exkurs: Bedingungen eines fairen Interessenausgleichs im Konflikt mit den Zielen einer die (Entscheidungs-) Gruppe einsetzenden Instanz Implikationen

8.

442 442 443 443 444 444 444 444 445 446 446 447 449

449 449 450 451 452 452 454 454 455 456 456 459

462 462 464

Literaturverzeichnis

467

Stichwortverzeichnis

479

Überblick: Zum Inhalt und Aufbau Diese Arbeit gibt einen Überblick über Probleme und Lösungsansätze der präskriptiven Entscheidungstheorie. Im Mittelpunkt stehen diejenigen Aussagen der Entscheidungstheorie, die für die Konstruktion von Entscheidungsmodellen von grundlegender Bedeutung sind.^) Die diskutierten Probleme und Lösungsansätze bilden den Kern der Entscheidungstheorie: Der Teil A gibt einen Überblick über Probleme praktischer Entscheidung einerseits und über Problemstellungen sowie Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie andererseits. Es wird der allgemeine Aufbau von Entscheidungsmodellen und deren Bedeutung für die Lösung praktischer Entscheidungsprobleme diskutiert. Dabei werden unterschiedliche Konzeptionen einander gegenübergestellt. In Teil B wird untersucht, wie Entscheidungsprobleme bei Sicherheit prinzipiell gelöst werden können. Bei Sicherheit kennt der Entscheider die Ergebnisse, die mit den erwogenen Handlungsalternativen verbunden sind. In Teil C werden Entscheidungskriterien für Situationen der Unsicherheit im engeren Sinne dargestellt und beurteilt. Unsicherheit i.e.S. liegt dann vor, wenn der Entscheider zwar angeben kann, welche unterschiedlichen Ergebnisse (bzw. Konsequenzen) bei den erwogenen Alternativen möglich sind, jedoch nicht in der Lage ist, diesen Konsequenzen Eintrittswahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Das theoretische Konstrukt der Unsicherheit i.e.S. hat keine große praktische Bedeutung. Reale Entscheidungssituationen sind grundsätzlich eher als Risikosituationen denn als Unsicherheitssituationen i.e.S. zu interpretieren. Risikosituationen sind dadurch gekennzeichnet, daß der Entscheider den denkbaren Ergebnissen der Alternativen bzw. den für diese Ergebnisse maßgeblichen "Umweltzuständen" Eintrittswahrscheinlichkeiten zuordnen kann. Im Vordergrund dieser Arbeit stehen Probleme der Entscheidung bei Risiko. Zunächst werden in Teil D einige wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Aussagen dargestellt, die als Grundlagen für die Analyse von Entscheidungsproblemen bei Risiko erforderlich sind. Danach werden die bekanntesten Entscheidungskriterien bei Risiko dargestellt und beurteilt; besonderer Raum wird dabei der Analyse des BERNOULLI-Prinzips gegeben.

^)

Spieltheoretische Aspekte bleiben unberücksichtigt. Die Spieltheorie befaßt sich mit Entscheidungssituationen, bei denen die Folgen der Handlungsaltemativen eines Entscheiders (auch) von den Aktionen eines oder mehrerer rationaler "Gegenspieler" (z.B. des Gegners beim Schach oder der Konkurrenten in einem Oligopolmarkt) abhängen. Vgl. zur Spieltheorie z.B. BiTZ (1981, S. 215-285); DAVIS (1972); GÜTH (1992); HOLLER/lLLiNG (1996); v. NEUMANN/MORGENSTERN (1967); WIESE (2001).

XXII

Überblick: Zum Inhalt und Aufbau

Bei Anwendung des BERNOULLI-Prinzips wird zunächst eine Nutzenfunktion ermittelt, die jedem möglichen Ergebnis einen (subjektiven) Nutzenwert zuordnet. Gewählt wird dann jene Alternative, mit der der Erwartungswert des Nutzens der möglichen Ergebnisse (kurz: der Erwartungsnutzen) maximiert wird. Es wird untersucht, unter welchen Bedingungen einfache ("klassische") Entscheidungskriterien im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip stehen. Darauf aufbauend werden der "Wert" und das "Sicherheitsäquivalent" einer (Änderung der) Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine einzelne Zielgröße (z.B. das Vermögen am Ende des Planungszeitraums) analysiert. Die Auswahl einer optimalen Alternative aus der Menge der erwogenen Alternativen stellt in Risikosituationen ein komplexes Problem dar. Die Entscheidungstheorie bemüht sich um die Entwicklung von Entscheidungsmodellen, die der Vorbereitung von Entscheidungen dienen können. Mehrere (ein- und mehrperiodige) Entscheidungsmodelle für Risikosituationen werden dargestellt und ihre unterschiedlichen Strukturen miteinander verglichen. Eines der Kernprobleme der Entscheidungsfindung bei Risiko ist die Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils über die Ergebnisse der erwogenen Maßnahmen (bzw. die entscheidungsrelevanten Umweltzustände, von denen die Ergebnisse abhängen). Damit befaßt sich der Teil E. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die denkbaren Ergebnisse der erwogenen Alternativen sind in den seltensten Fällen in Form "objektiver" Wahrscheinlichkeiten gegeben (wie etwa beim Roulette). Bei der gedanklichen Konstruktion von Risikosituationen muß in der Realität in aller Regel von dem Konzept ^'subjektiver" Wahrscheinlichkeiten ausgegangen werden. Es wird untersucht, wie diese Wahrscheinlichkeiten gemessen werden können. Das Wahrscheinlichkeitsurteil eines Entscheiders über die möglichen Ergebnisse der erwogenen Alternativen (bzw. die möglichen entscheidungsrelevanten Umweltzustände) ist im allgemeinen nicht unabänderlich. In der Regel kann der Entscheider durch "aktive" Beschaffung von Informationen auch selbst dazu beitragen, sein Wahrscheinlichkeitsurteil zu verbessern. Da die Informationsbeschaffung jedoch grundsätzlich Kosten in Form von Ausgaben und/oder durch Einsatz von Arbeit und Zeit des Entscheiders verursacht, stellt sich das Entscheidungsproblem, ob zusätzliche Informationen eingeholt werden sollen und, wenn ja, welche. Es wird untersucht, wie dieses Problem für einen "risikoneutralen" bzw. einen "risikoaversen" Entscheider gelöst werden kann. Im allgemeinen ist es nicht möglich, alle als relevant erscheinenden Aspekte eines Entscheidungsproblems "originalgetreu" in einem Entscheidungsmodell abzubilden. Die Konstruktion und Lösung eines solchen Modells würde einen zu hohen Planungsaufwand erfordern. Es besteht daher ein Zwang zur Modellvereinfachung. Möglichkeiten und Konsequenzen der Vereinfachung werden untersucht. Zugleich werden Grenzen der Anwendung des entscheidungstheoretischen Instrumentariums aufgezeigt, die

Überblick: Zum Inhalt und Aufbau

XXIII

im Hinblick auf die Lösung des (Entscheidungs-) Problems der Modellvereinfachung bestehen. Der Teil F befaßt sich mit Gruppenentscheidungen. Es werden die Elemente des Entscheidungsprozesses in Gruppen (Informationsprozeß und Abstimmung) dargestellt und die Grenzen eines "fairen Interessenausgleichs" in Gruppen diskutiert. Die Formeln, Abbildungen, Matrizen und Tabellen sind kapitelweise durchnumeriert (die römische Zahl kennzeichnet das Kapitel, die arabische die laufende Nummer). Die mit * gekennzeichneten Abschnitte stellen Erweiterungen und Vertiefungen dar, die bei der ersten Lektüre überschlagen werden können, ohne daß das Verständnis der nachfolgenden Darstellungen beeinträchtigt wird.

TEIL A: EINFUHRUNG

I.

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

1.

Zum Gegenstand der Entscheidungstheorie

Jeden Tag müssen wir - sei es allein oder als Mitglieder einer Gruppe (z.B. Familie, Freundeskreis, Arbeitsgruppe, Verein) - Entscheidungen treffen. Das Problem der Entscheidung ist für alle Individuen von existentieller Bedeutung. Immer wieder müssen wir Entscheidungen treffen, deren Folgen unsere Lebensbedingungen nachhaltig beeinflussen und die uns deshalb stark in Anspruch nehmen. Der Bau eines Hauses z.B. oder die Annahme einer neuen Arbeitsstelle bringen große Veränderungen mit sich und müssen daher sorgfältig überlegt werden. Die Formulierung und Lösung von Entscheidungsproblemen ist für verschiedene wissenschaftliche Disziplinen zu einem zentralen Thema geworden. Darüber hinaus hat sich als interdisziplinärer Forschungsschwerpunkt die Entscheidungstheorie entwickelt, die sich in systematischer Weise mit dem Entscheidungsverhalten von Individuen und Gruppen befaßt. Der Begriff "Entscheidung" wird im allgemeinen Sprachgebrauch vor allem dann angewendet, wenn ein Wahlproblem von besonderer Bedeutung vorliegt, von dessen Ausgang vieles abhängt. Im Gegensatz dazu wird im Rahmen der Entscheidungstheorie der Entscheidungsbegriff so weit gefaßt, daß er alle Wahlakte beinhaltet: Unter "Entscheidung" wird ganz allgemein die (mehr oder weniger bewußte) Auswahl einer von mehreren möglichen Handlungsaltemativen verstanden. Eine Entscheidung im Sinne der Entscheidungstheorie ist demnach beispielsweise nicht nur die Festlegung eines Investitionsprogramms durch die Unternehmensleitung, sondern auch der Entschluß einer Hausfrau, in einem bestimmten Geschäft und nicht in einem anderen einzukaufen. Entscheidungstheoretische Untersuchungen werden in der Absicht vorgenommen, beschreibende (deskriptive) oder vorschreibende (präskriptive) Aussagen zu gewinnen. Entsprechend wird, je nach dem im Vordergrund stehenden Forschungsziel zwischen deskriptiver und präskriptiver (oder normativer) Entscheidungstheorie unterschieden.

2

Kapitel I

Die deskriptive Entscheidungstheorie will beschreiben, wie in der Realität Entscheidungen getroffen werden, und erklären, warum sie gerade so und nicht anders zustande kommen. Ihr Ziel ist es, empirisch gehaltvolle Hypothesen über das Verhalten von Individuen und Gruppen im Entscheidungsprozeß zu finden, mit deren Hilfe bei Kenntnis der jeweiligen konkreten Entscheidungssituation Entscheidungen prognostiziert bzw. gesteuert werden können. Die präskriptive (oder normative) Entscheidungstheorie will nicht die tatsächlichen Entscheidungsprozesse beschreiben und erklären, sondern zeigen, wie Entscheidungen "rational" getroffen werden können. Sie will Ratschläge für die Lösung von Entscheidungsproblemen erteilen, also Antwort geben auf die Frage, was ein Entscheider in unterschiedlichen Entscheidungssituationen tun soll. Im Rahmen der präskriptiven Entscheidungstheorie (sie wird auch als Entscheidungslogik bezeichnet) wird vom konkreten Gehalt der jeweiligen Entscheidungssituation weitgehend abstrahiert. Es werden Grundprobleme der Auswahl aus mehreren einander ausschließenden Handlungsaltemativen untersucht, die in allen oder zumindest in zahlreichen Entscheidungssituationen entstehen. Dabei stehen Entscheidungen im Vordergrund, die zu treffen sind - im Hinblick auf mehrere zueinander in Konflikt stehende Ziele (wie etwa das der Maximierung des Einkommens einerseits und das der Minimierung der Arbeitszeit andererseits) und/oder - angesichts einer ungewissen Zukunft, einer Ungewißheit z.B. über das Wetter, das Verhalten eines Konkurrenten oder eines (anderen) Gegners. Auch in der Betriebswirtschaftslehre stehen Entscheidungen im Zentrum des wissenschaftlichen Interesses. Nach neuerer Auffassung wird die Betriebswirtschaftslehre überwiegend entscheidungsorientiert gesehen: "Ihre Aufgabe besteht darin, die in betriebswirtschaftlichen Organisationen tätigen Menschen bei ihren Entscheidungen sowie den Gesetzgeber bei der Konzipierung untemehmensrelevanter Gesetze beratend zu unterstützen" (BAMBERG/COENENBERG, 2002, S. 11). Die Betriebswirtschaftslehre wird daher häufig als spezielle (oder angewandte) Entscheidungstheorie bezeichnet. In dieser Arbeit werden zur Veranschaulichung von Problemstellungen und Lösungsansätzen der Entscheidungstheorie vor allem betriebswirtschaftliche Anwendungsbeispiele erörtert. Trotzdem wäre es verfehlt, dem Buch den Titel "Betriebswirtschaftliche" Entscheidungstheorie zu geben. Ein großer Teil der Darstellungen ist allgemeinerer Natur und geht über den Bereich der Betriebswirtschaftslehre hinaus. Im vorliegenden ersten Kapitel wird ein Überblick über Probleme praktischer Entscheidungen sowie über Problemstellungen und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie gegeben. Die Ausführungen, die noch recht allgemein sind, sollen es erleichtem, die spezielleren Darstellungen in den nachfolgenden Kapiteln zu verstehen und gedanklich einzuordnen. In die-

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

3

sen Kapiteln werden spezifische Problemstellungen der Entscheidungstheorie dargestellt und Ansätze zu ihrer Lösung beschrieben. Außerdem werden dort die Grundbegriffe der Entscheidungstheorie (z.B. die Begriffe "Handlungsaltemative", "Zielsystem", "Entscheidungsmodell", "Risikoeinstellung", "Zielgröße", "Bewertungsverbund") die im vorliegenden Kapitel bereits verwendet werden, genauer definiert und erklärt.

2. 2.1.

Ziele und Alternativen Ziele als Beurteilungsgrundlage von Handlungsalternativen

Die präskriptive Entscheidungstheorie will Antwort geben auf die Frage, was ein Entscheider in unterschiedlichen Entscheidungssituationen tun soll. In diese Aufgabenstellung ist ein Grundproblem eingeschlossen, das die "Edamer Katze" in "Alice im Wunderland" mit großer Klarheit erkannt hat: "Würdest du mir bitte sagen, wie ich von hier aus weitergehen soll?" fragte AHce die Edamer Katze. „Das hängt zum großen Teil davon ab, wohin du möchtest", sagte die Katze. „Ach, wohin ist mir eigentlich gleich -", sagte Alice. „Dann ist es auch egal, wie du weitergehst", sagte die Katze. „- solange ich nur irgendwohin komme", fügte Alice zur Erklärung hinzu. „Das kommst du bestimmt", sagte die Katze, „wenn du nur lange genug weiterläufst." Das konnte Alice freiUch nicht leugnen... . (LEWIS CAROLL, 1978,

S.

67).

Ebenso wie die Edamer Katze kann die Entscheidungstheorie nur dann Rat erteilen, wenn beim Entscheider gewisse Zielvorstellungen vorhanden sind, mit deren Hilfe die Konsequenzen der Handlungsaltemativen nach ihrer Wünschbarkeit beurteilt werden können. Die Entscheidungstheorie will einem Entscheider nicht dogmatisch vorschreiben, was er tun soll, sondern will ihm helfen, seine eigenen Zielvorstellungen in ein widerspruchsfreies "Zielsystem" zu überführen und dann eine Entscheidung zu treffen, die mit diesem Zielsystem im Einklang steht. Die Entscheidungstheorie nimmt im Gegensatz zur Ethik - keine Wertung der Zielvorstellungen des Entscheiders vor; sie nimmt sie als gegeben an, ohne sie beeinflussen zu wollen.

4

2.2.

Kapitel I

Charakteristik von Alternativen

Ein Entscheidungsproblem kann allgemein durch die Frage charakterisiert werden, welche Handlungsaltemative (oder auch kurz: welche Alternative) aus einer Menge mehrerer Alternativen gewählt werden soll. Dabei kann eine Alternative auch darin bestehen, daß nichts geschieht, daß also der Status quo aufrechterhalten wird. Ein Entscheidungsproblem liegt z.B. auch dann vor, wenn es darum geht, ob eine bestimmte Maßnahme durchgeführt werden soll oder nicht. In diesem Fall gibt es zwei Alternativen: Die eine Alternative besteht in der Durchführung der Maßnahme, die andere in ihrem Unterlassen. Ein Entscheidungsproblem kann aber immer nur dann vorliegen, wenn überhaupt eine Wahlmöglichkeit besteht, also mindestens zwei Alternativen gegeben sind. Darüber hinaus müssen sich mindestens zwei dieser Alternativen in der Weise unterscheiden, daß mit ihnen ein Ziel mehr oder weniger gut erreicht wird. Andernfalls ist zwar eine Wahlsituation gegeben, aber kein Entscheidungsproblem: Der Entscheider kann dann eine beliebige Alternative auswählen. Zur Lösung eines Entscheidungsproblems werden die Alternativen so definiert, daß sie sich gegenseitig ausschließen. Genau eine der Alternativen ist zu wählen. Welche Alternativen im Einzelfall relevant sind, hängt u.a. davon ab, vor welchem Entscheidungsproblem der Entscheider steht. Angenommen, er erwägt, einen "kurzen" Spaziergang zu machen (aus welchen Gründen auch immer kommt ein "langer" Spaziergang nicht in Frage). Die Alternativen könnten dann lauten: Verzicht auf Spaziergang; Spaziergang in der Stadt; Spaziergang im Park; Spaziergang im nahegelegenen Wald. Würde ein längerer Spaziergang nicht ausgeschlossen, so wären zusätzlich noch Alternativen zu erwägen, die sich aus mindestens zwei Teilaktionen zusammensetzen, z.B.: "Spaziergang durch Park und Stadt" und "Wanderung durch Park, Stadt und Wald." Häufig setzen sich die Alternativen aus sehr vielen Teilaktionen zusammen. Sind z.B. in einem Mehrproduktunternehmen die optimalen Produktionsmengen für die einzelnen Erzeugnisse zu bestimmen, so entspricht jeder Alternative ein Produktionsprogramm, das alle Erzeugnisse einschließt. Im Rahmen der Investitions- und Finanzplanung sind die Alternativen möglicherweise als Investitions- und Finanzierungsprogramme mit sehr vielen Einzelprojekten definiert. Der Entscheider kann natürlich nur Alternativen realisieren, die überhaupt durchführbar sind. Die Menge der möglichen Alternativen wird durch bestimmte Bedingungen (Nebenbedingungen oder Restriktionen) begrenzt, die aus Gegebenheiten resultieren, die der Entscheider im Rahmen des jeweiligen Entscheidungsproblems nicht beeinflussen kann bzw. will. Im oben skizzierten Beispiel besteht die Restriktion in der Zeitdauer des Spaziergangs. Zu den betriebswirtschaftlich bedeutsamen Restriktionen zählen z.B. technische Kapazitätsbeschränkungen, die im Rahmen des Ent-

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

5

Scheidungsproblems nicht beeinflußt werden sollen, einzuhaltende Rechtsvorschriften, der vorhandene Bestand an finanziellen Mitteln und die Konditionen, zu denen zusätzliches Kapital beschafft werden kann.

2.3.

Interdependenzen zwischen Zielen und Alternativen

Die von einem Entscheider in Betracht gezogenen Alternativen hängen u.a. davon ab, an welchen Zielen er sich orientiert. Ein Arbeitsloser, der eine Arbeitsstelle sucht, wird andere Maßnahmen ins Auge fassen als jemand, der eine Urlaubsreise plant. Welche Ziele für die Auswahl einer Alternative maßgeblich sind, hängt umgekehrt davon ab, welche Alternativen überhaupt zur Debatte stehen. Unterscheiden sich die einem arbeitssuchenden Entscheider vorliegenden Stellenangebote lediglich durch das Einkommen, wird er die Angebote nach dem Ziel der Einkommensmaximierung beurteilen. Unterscheiden sie sich lediglich durch die Länge der Arbeitszeit, wird er sich vielleicht am Ziel der Arbeitszeitminimierung orientieren. Wenn sich die Stellen sowohl durch das Einkommen als auch die Arbeitszeit unterscheiden, sind beide Ziele ("Einkommensmaximierung" und "Arbeitszeitminimierung") bei der Beurteilung der Alternativen zu berücksichtigen. Da nur in Ausnahmefällen eine Stelle angeboten wird, die hinsichtlich beider Ziele am besten abschneidet, verhalten sich diese Ziele im allgemeinen konfliktär in dem Sinne, daß in Bezug auf die beiden Ziele jeweils eine andere Alternative (ein anderes Stellenangebot) am besten ist. Um zu einer Entscheidung zu gelangen, muß dann der Entscheider die beiden Ziele "Maximierung des Einkommens" und "Minimierung der Arbeitszeit" in ein übergeordnetes "Zielsystem" überführen, in dem beide "Zielgrößen" (Einkommen und Freizeit) erfaßt werden und in dem explizit oder implizit zum Ausdruck kommt, welche Gewichte der Entscheider den Einzelzielen beimißt. Unterscheiden sich die Stellen außer in ihrem Einkommen und in der verbleibenden Freizeit noch durch andere Merkmale wie "Arbeitsklima" und "Aufstiegsmöglichkeiten", ist ein noch umfassenderes Zielsystem zu formulieren (Kapitel III). Wenn die Konsequenzen der Alternativen nicht mit Sicherheit bekannt sind, wenn also der Entscheider z.B. nicht genau weiß, welche Aufstiegsmöglichkeiten bestehen, dann ergeben sich zusätzliche Probleme bei der Formulierung eines adäquaten Zielsystems. Dieses muß dann auch die "Risikoeinstellung" des Entscheiders zum Ausdruck bringen (vgl. Kapitel IV, VI und VII).

6

3. 3.1.

Kapitel I

Interdependenzen und Koordinationsbedarf Restriktionsverbund

Bei der Entscheidungsfindung stellt sich generell das Problem, den Interdependenzen zwischen verschiedenen Teilen des gesamten Entscheidungsfeldes (z.B. zwischen den verschiedenen Bereichen des Unternehmens) Rechnung zu tragen. Interdependenzen lassen sich auf vier mögliche Verbundeffekte zurückführen: Restriktionsverbund, Erfolgsverbund, Risikoverbund und Bewertungsverbund. Restriktionsverbund zwischen zwei Entscheidungsbereichen liegt vor, wenn die Aktionsmöglichkeiten mindestens eines dieser Bereiche davon abhängen, welche Aktionen in dem anderen Bereich durchgeführt werden. Genauer: Der Variationsbereich (d.h. die Grenzen bzw. Restriktionen) für die Entscheidungsvariablen mindestens eines Bereichs hängen von den Ausprägungen der Entscheidungsvariablen im anderen Bereich ab. Die nachfolgenden Beispiele veranschaulichen solche Interdependenzen: - Welche Mengen der Absatzbereich von einem Produkt absetzen kann, hängt davon ab, wieviele Einheiten dieses Produktes der Fertigungsbereich herstellt. - Die maximale Produktionsmenge eines Fertigungsbereichs kann davon abhängen, wieviele Einheiten eines Zwischenproduktes von einem anderen Bereich bereitgestellt werden. - Gewisse Ressourcen (z.B. Maschinenstunden, Kapital, Rohstoffe) sind nur in begrenztem Umfang vorhanden (Problem der Rationierung). Wenn in einem Bereich Ressourcen verbraucht werden, stehen sie in dem anderen Bereich nicht (mehr) zur Verfügung: Dessen Handlungsspielraum wird dadurch eingeengt. Bei Restriktionsverbund entsteht folgendes Koordinationsproblem: Welche Aktionen in einem Bereich A durchgeführt werden können (welcher "Erfolgsbeitrag" erzielt werden kann), hängt davon ab, welche Aktionen im Bereich B durchgeführt werden. Bei der Planung der Aktionen für den Bereich B muß diesem Sachverhalt Rechnung getragen werden. Das kann im allgemeinen nur in der Weise geschehen, daß die Aktionen beider Bereiche gemeinsam betrachtet und aufeinander abgestimmt werden.

3.2.

Erfolgsverbund

Erfolgsverbund (allgemein: Ergebnisverbund) zwischen zwei Entscheidungsbereichen liegt vor, wenn zumindest für einen Bereich gilt: Wie weit der Gesamterfolg bei Durchführung bestimmter Aktionen in diesem Bereich steigt oder fällt (allgemein: wie sich das für beide Bereiche relevante Ergebnis ändert), hängt davon ab, welche Maßnahmen in dem anderen Be-

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

7

reich realisiert werden. Der Gesamterfolg setzt sich also nicht additiv aus den Erfolgen der Einzelmaßnahmen zusammen, sondern wird von der Gesamtheit der Aktionen in beiden Bereichen bestimmt. Im folgenden werden hierfür einige Beispiele gegeben: - Der durch Werbeanstrengungen in einem Produktbereich erzielte Beitrag zum (Gesamt-) Erfolg hängt davon ab, welche Werbemaßnahmen in anderen Produktbereichen durchgeführt werden. - Inwieweit der Erfolg des Unternehmens steigt oder sinkt, wenn in der Fertigung bestimmte Produktmengen hergestellt werden, hängt davon ab, ob und zu welchen Bedingungen es gelingt, diese Mengen am Markt abzusetzen. - Ist der Preis eines Produktionsfaktors eine steigende oder fallende Funktion der beschafften Menge, so ergibt sich ein Erfolgsverbund über die Kostenkomponente: Wie weit die Kosten des Unternehmens steigen, wenn in einem Bereich eine bestimmte Menge des betreffenden Faktors verbraucht wird, hängt dann davon ab, wieviele Einheiten dieses Faktors in anderen Bereichen eingesetzt werden. Auch bei Erfolgsverbund besteht Koordinationsbedarf: Wie weit der (Gesamt-) Erfolg steigt oder sinkt, wenn in einem Bereich bestimmte Aktionen durchgeführt werden, hängt von den Maßnahmen in den anderen Bereichen ab. Für einen einzelnen Bereich kann - isoliert gesehen - nicht beurteilt werden, welche Maßnahmen erfolgreich sind: Die Aktionen der verschiedenen Bereiche müssen aufeinander abgestimmt werden.

3.3.

Risikoverbund

Wenn im Fall sicherer Erwartungen zwischen zwei Bereichen weder ein Restriktionsverbund noch ein Erfolgsverbund besteht, dann ist eine Koordination der Bereichsentscheidungen nicht erforderlich. In Risikosituationen kann sich jedoch - sofern nicht gerade der Spezialfall der Risikoneutralität besteht - aufgrund eines Risikoverbundes die Notwendigkeit der Koordination ergeben. Risikoverbund liegt vor, wenn die Erfolge der verschiedenen Bereiche voneinander stochastisch abhängig sind. Wie weit die Varianz des Gesamterfolges (als Maßstab des Risikos) steigt bzw. sinkt, wenn in einem Bereich riskante Maßnahmen durchgeführt werden, hängt dann davon ab, welche riskanten Entscheidungen in anderen Bereichen getroffen werden und welche stochastischen Beziehungen zwischen den Erfolgen der verschiedenen Bereiche bestehen. Bei Risikoverbund entsteht ein analoger Koordinationsbedarf wie bei Erfolgsverbund (Kapitel V bis VIII).

8

3.4.

Kapitel I

Bewertungsverbund

Schließlich kann sich - auch wenn keine anderen Verbundeffekte vorliegen - die Notwendigkeit der Koordination aufgrund eines Bewertungsverbundes ergeben. Wie z.B. zusätzliche Risiken für einen Bereich zu bewerten sind, kann davon abhängen, welche riskanten Maßnahmen in anderen Bereichen durchgeführt werden (Kapitel VII und VIII sowie LAUX, 2003, Kapitel I). Es stellt sich das Problem, die Risiken verschiedener Bereiche aufeinander abzustimmen.

4, 4.1.

Entscheidung als Prozeß Überblick

Wie in Abschnitt 2.3 verdeutlicht wurde, bestehen zwischen den für Entscheidungsprobleme relevanten Zielen und Alternativen enge Interdependenzen. Zum einen hängt es von den Zielen ab, welche Alternativen der Entscheider in Betracht zieht. Zum anderen hängt es von den erwogenen Alternativen ab, inwieweit er sein Zielsystem präzisieren muß, um die Alternativen beurteilen zu können. In konkreten Entscheidungssituationen erfolgt die Alternativensuche und die Präzisierung des Zielsystems im Rahmen eines mehrstufigen (Entscheidungs-)Prozesses. Dieser Prozeß soll nun näher betrachtet werden. Wird mit dem Begriff "Entscheidung" nicht allein der Entschluß, sondern auch dessen Vorbereitung bezeichnet, so läßt sich eine Entscheidung als ein im Zeitablauf sich vollziehender Prozeß auffassen, der aus Vorentscheidungen und der Endentscheidung besteht. Der Entscheidungsprozeß entspricht in dieser weiten Auffassung einem Problemlösungsprozeß, wobei die möglichen Lösungen des (Entscheidungs-) Problems durch die erwogenen Alternativen repräsentiert werden und die tatsächliche Lösung durch die gewählte Alternative. Im Zuge eines Entscheidungsprozesses sind bestimmte Aufgaben zu lösen, für die in der Literatur eine gewisse Systematik entwickelt wurde: 1. Problemformulierung, 2. Präzisierung des Zielsystems, 3. Erforschung der möglichen Handlungsalternativen, 4. Auswahl einer Alternative 5. Entscheidungen in der Realisationsphase. Dieser Katalog wird im folgenden erläutert. Einer möglichen Fehlinterpretation soll von vornherein vorgebeugt werden: Der Katalog gibt einen Überblick über Aktivitäten im Rahmen eines Entscheidungsprozesses. Es ist jedoch in der Regel nicht sinnvoll, diese Aktivitäten isoliert voneinan-

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

9

der zu betrachten und sie starr in der dargestellten Reihenfolge durchzuführen.

4.2.

Problemformulierung

Ein Entscheidungsprozeß wird im allgemeinen dadurch angeregt, daß bestimmte S3miptome wahrgenommen werden, z.B. der Ausfall einer Maschine, eine Verringerung des Periodengewinns, eine Erhöhung der laufenden Kosten oder eine erwartete Vergrößerung der Zahl der Konkurrenten. Der Entscheider erkennt, daß sich eine bestimmte Situation unbefriedigend entwickelt und möglicherweise verbessert werden kann (oder daß vielleicht sogar die "Notwendigkeit" besteht, sie zu verbessern). Eine solche Erkenntnis kann routinemäßig zu einer (wenn auch nur vorläufigen) Problemformulierung führen. Wenn etwa in einem Betrieb eine Maschine ausfällt, kann sich unmittelbar das Entscheidungsproblem stellen, ob die Maschine repariert oder durch eine neue ersetzt werden soll. In anderen Fällen erfordert die Problemformulierung einen (langwierigen) kreativen Suchprozeß. So mag ein Unternehmer zunächst nur die vage Vermutung haben, daß es ihm durch "geeignete Maßnahmen" gelingen könnte, die Absatzchancen bestimmter Erzeugnisse seines Unternehmens zu verbessern. Für den Unternehmer stellt sich dann die Aufgabe, das Entscheidungsproblem konkret zu formulieren, etwa: "Verbesserung der Produktqualität" oder "Verstärkung der Werbebemühungen". Wie das zu lösende Entscheidungsproblem beschrieben werden soll, ist eine Frage der Zweckmäßigkeit. Die Problemformulierung stellt somit selbst ein Entscheidungsproblem dar. Es kann zweckmäßig sein, die zunächst gewählte Problemformulierung durch eine neue (etwas präzisere) zu ersetzen, um die nachfolgenden Aktivitäten des Entscheidungsprozesses zu vereinfachen oder in erfolgreichere Bahnen zu lenken. Um zu einer schärferen Problemformulierung zu gelangen, kann es insbesondere sinnvoll sein, weitere Informationen über die Besonderheiten der vorliegenden Situation zu beschaffen. So mag etwa die Feststellung, daß eine Maschine ausgefallen ist, für eine adäquate Problemformulierung noch unzureichend sein. Die Informationsbasis wird erweitert, wenn z.B. geklärt wird, wann die Maschine ausgefallen ist, wer die Maschine bedient hat, wie oft die Maschine schon früher ausgefallen war und was an der Maschine defekt ist.

4.3.

Präzisierung des Zielsystems

Eine rationale Entscheidung kann nur dann getroffen werden, wenn Zielvorstellungen existieren, mit deren Hilfe die Alternativen beurteilt bzw.

10

Kapitel I

"bewertet" werden können. Zwar wird häufig das zu lösende Entscheidungsproblem schon in Gestalt eines (Sach-)Zieles beschrieben, z.B.: Beseitigung eines Schadens; Besetzung einer Stelle; Durchführung einer Ersatzinvestition. Das Ziel besteht hier jeweils darin, einen bestimmten Endzustand zu erreichen. Dieser Endzustand ist jedoch noch sehr unscharf definiert. Die grobe Zielformulierung mag zunächst ausreichen, um den Entscheidungsprozeß (vor allem: die Alternativensuche) überhaupt in Gang zu setzen. Im Zuge des Entscheidungsprozesses muß jedoch das Zielsystem präzisiert werden. Die Präzisierung des Zielsystems dient dazu, der Erforschung der Handlungsaltemativen eine konkrete Richtung zu geben; außerdem liefert sie den Beurteilungsmaßstab für die abschließende Auswahl einer Alternative. Dabei hängt die Art und Weise, wie das Zielsystem präzisiert wird, u.a. von den jeweils gefundenen Alternativen und ihren (möglichen) Konsequenzen ab.

4.4.

Erforschung von Alternativen

(a) Ermittlung der Restriktionen für mögliche Alternativen: Die Problemanalyse erfordert auch, daß die Restriktionen oder Bedingungen herausgearbeitet werden, denen die Lösung (die zu realisierende Alternative) genügen muß. Restriktionen ergeben sich z.B. aus den für die Alternativen verfügbaren Finanzierungsmöglichkeiten oder den freien Produktionskapazitäten. Es ist nicht sinnvoll, Alternativen gegeneinander abzuwägen, die gar nicht realisiert werden können. Es ist auch nicht sinnvoll, Alternativen gegeneinander abzuwägen, die nicht realisiert werden sollen, da z.B. mit ihrer Realisation Rechtsvorschriften verletzt würden. Wenn von vornherein die kritischen Restriktionen offengelegt werden, kann der Entscheidungsprozeß vereinfacht und beschleunigt werden, da früher erkannt wird, ob die erwogenen Alternativen überhaupt relevant sind oder nicht. (b) Suche nach Alternativen: Grundsätzlich gibt es nicht nur eine einzige Möglichkeit, ein gegebenes Entscheidungsproblem zu lösen. Für den Entscheider stellt sich damit die Aufgabe, Alternativen zu finden bzw. zu erfinden. Welche (mehr oder weniger innovativen) Möglichkeiten dabei entdeckt werden, hängt vom Wissensstand und der Kreativität des Entscheiders ab (BRETZKE, 1980, S. 109f). Je größer der eigene Erfahrungsbereich des Entscheiders ist, desto mehr Alternativen (er-) kennt er (und desto besser ist er in der Lage, deren Folgen abzuschätzen). Oft bietet jedoch die eigene Erfahrung keine hinreichende Basis für das Erkennen von Alternativen. So hat etwa die Geschäftsleitung eines Unternehmens i.d.R. ständig Probleme zu lösen, die über ihre bisherigen Erfahrungen hinausgehen. Die erfolgreichen Problemlösungen der Vergangenheit sind nur in

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

11

Ausnahmefällen auch den gegenwärtigen Problemen angemessen. Neue Lösungswege müssen gefunden bzw. entdeckt werden. Daher erweist es sich oft als notwendig, bei der Suche von Alternativen über den eigenen Erfahrungsbereich hinauszugehen und zu prüfen, welche Ideen andere Personen haben. Durch diese Ergänzung eigener Erfahrungen kann die Anzahl der erwogenen Alternativen vom Entscheider vergrößert und/oder deren "Qualität" verbessert werden. Die Erfahrungen aus der Vergangenheit - seien es die eigenen Erfahrungen oder die anderer Personen - sind jedoch selten völlig ausreichend für die Suche von Alternativen. Angesichts sich ständig ändernder Problemstellungen erfordert sie stets auch Kreativität. Beides, Erfahrung und Kreativität, bilden die Grundlage für die Alternativensuche. Leider kann die Entscheidungstheorie bisher wenig konkrete Anregungen für eine solche Altemativensuche geben, (c) Prognose der Ergebnisse der Alternativen: Um eine rationale Entscheidung treffen zu können, muß der Entscheider die Konsequenzen (Ergebnisse) der erwogenen Alternativen abschätzen. Da Entscheidungen in der Realität praktisch immer bei unvollkommenem Informationsstand zu treffen sind, kann grundsätzlich keine sichere Prognose der Ergebnisse erfolgen. Der Entscheider kann sich allenfalls ein Wahrscheinlichkeitsurteil über mögliche Ergebnisse bilden. Dieses Wahrscheinlichkeitsurteil hängt vom Informationsstand des Entscheiders ab. Der Informationsstand ist jedoch nicht unabänderlich. Der Entscheider kann insbesondere auch selbst dazu beitragen, seinen Informationsstand zu verbessern (Kapitel XI). Wenn es etwa darum geht, die Folgen absatzpolitischer Maßnahmen abzuschätzen, können zur Verbesserung der Prognosebasis z.B. Informationen über das Verhalten von Konkurrenten und Nachfragern beschafft werden.

4.5.

Auswahl einer Alternative

In dieser für die Ausführungen im vorliegenden Buch "entscheidenden" Phase wird die im Hinblick auf die angestrebten Ziele beste (oder wenigstens eine "gute") Alternative ausgewählt. Die Gestaltung der Auswahlphase kann sich an verschiedenen Typen von Entscheidungsmodellen orientieren, deren Grundstrukturen in Kapitel II beschrieben werden.

4.6.

Entscheidungen in der Realisationsphase

In der Realisationsphase wird die gewählte Alternative realisiert. Auch im Zuge der Realisation sind ständig Entscheidungen zu treffen, denn bei der Auswahl einer Handlungsaltemative wird im allgemeinen noch nicht über

12

Kapitel I

alle Details entschieden. Detailentscheidungen werden später "vor Ort" unter Berücksichtigung der jeweiligen Gegebenheiten getroffen. Bei der Entscheidung für den Bau eines Hauses kann z.B. zunächst noch offen bleiben, wo die Steckdosen angebracht werden und welcher Bodenbelag gewählt wird; möglicherweise wird darüber erst nach Errichtung des Rohbaus entschieden, da sich erst dann ein genaues Bild von den Auswirkungen der einzelnen Maßnahmen machen läßt. Natürlich werden nicht nur bei der eigentlichen Auswahl der Handlungsalternative und bei deren Realisation Entscheidungen getroffen, sondern im Verlauf des gesamten EntScheidungsprozesses. So ist z.B. zu entscheiden über die Art der Problemformulierung, die Vorgehensweise bei der Alternativensuche und bei der Prognose ihrer Ergebnisse. Der Entscheidungsprozeß ist also ein Prozeß der Lösung zahlreicher Einzelentscheidungsprobleme.

4.7.

Zur Problematik von Phasenschemata

Der in Abschnitt 4.1 dargestellte Katalog bringt die Einzelaktivitäten im Rahmen eines Entscheidungsprozesses in eine gewisse Systematik, die die gedankliche Einordnung der Überlegungen in den nachfolgenden Kapiteln erleichtert. Der Katalog könnte den Eindruck erwecken, es sei stets sinnvoll, die einzelnen Aktivitäten bis hin zur Realisation als Teilphasen unabhängig voneinander und starr in der dargestellten Reihenfolge durchzuführen. Dies ist nicht der Fall.^) Zwischen den einzelnen "Phasen" bestehen enge Interdependenzen, so daß über die Maßnahmen einzelner Phasen nur dann sinnvoll entschieden werden kann, wenn zugleich Überlegungen hinsichtlich anderer Phasen angestellt werden. In der "Phase der Problemformulierung" müssen beispielsweise bereits Überlegungen der Such- und Realisationsphase in mehr oder weniger grober Weise vorweggenommen werden, weil sich z.B. die Problemformulierung erübrigt, wenn der Entscheider davon ausgeht, daß er ohnehin keine sinnvollen Alternativen zur Beseitigung (Lösung) des Problems durchsetzen kann. Im allgemeinen ist es auch nicht sinnvoll, die einzelnen Aktivitäten innerhalb der "Suchphase" (Präzisierung des Zielsystems, Ermittlung der Restriktionen, Zusammenstellung von Alternativen, Prognose der Folgen der Alternativen) unabhängig voneinander und starr in der beschriebenen Reihenfolge durchzuführen. So ist es z.B. zweckmäßig, schon bei der Zusammenstellung der Alternativen deren möglichen Folgen mehr oder weniger grob abzuschätzen, um im Rahmen einer Vorentscheidung offensichtlich

1)

Auch in der Realität laufen EntScheidungsprozesse nicht in dieser Weise ab. Vgl. (1968).

WITTE

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

13

nachteilige Alternativen auszusondern. Dadurch wird der Planungsaufwand verringert. Wenn umgekehrt bei der genaueren Prognose der Konsequenzen der erwogenen Alternativen deutlich wird, daß keine von ihnen befriedigend ist, kann es sinnvoll sein, auf den Punkt "Suche nach Alternativen" (oder gar auf die "Problemformulierung") zurückzukommen, um zusätzliche Lösungsmöglichkeiten zu entdecken. Auch die Präzisierung des Zielsystems ist keine in sich geschlossene Aktivität, die z.B. eindeutig der "Zusammenstellung von Alternativen" vorausgeht. Wie bereits erläutert wurde, erfolgt die Präzisierung im Verlauf der Suche nach Alternativen und der Prognose ihrer Ergebnisse.

5.

Entscheidungstheorie als Orientierungshilfe für die Lösung von Entscheidungsproblemen

5.1.

Überblick

Die Darstellung der Entscheidung als Prozeß bietet einen Orientierungsrahmen zur Beschreibung der Entscheidungshilfen, die die Entscheidungstheorie einem Entscheider geben kann. Die Entscheidungstheorie behandelt die Probleme der Entscheidungsfindung unter verschiedenen Fragestellungen und mit unterschiedlichen Forschungsansätzen. Abbildung LI systematisiert diese Ansätze. Forschungs Schwerpunkte der Entscheidungstheorie

deskriptive Theorie

Regeln für die Explikation individueller Zielsysteme

präskriptive Theorie

Entscheidungsmodelle

Strukturempfehlungen für die Modellkonstruktion

Abb. I.l: Überblick über Möglichkeiten der Entscheidungstheorie zur Erarbeitung von Entscheidungshilfen

14

Kapitell

Deskriptive Theorien sind Aussagesysteme, die im Rahmen empirischer Untersuchungen erarbeitet werden. Bei der empirischen Forschung geht es allgemein darum, die in der Realität bestehende Beziehung zwischen Variablen zu erkunden und zu erklären.^) Die jeweiligen Aussagesysteme, also die deskriptiven Theorien, sollen die Wirklichkeit beschreiben und erklären. Die empirische Forschung liefert Informationsgrundlagen für Entscheidungen. Sie erleichtert es, (u.a.) ein Urteil darüber zu fällen, - welche Alternativen in einer Entscheidungssituation realisierbar (zulässig) sind und - zu welchen Konsequenzen sie führen werden bzw. führen können. Präskriptive Theorien beschreiben nicht die Realität, sondern geben Verhaltensempfehlungen für alternative Entscheidungssituationen in der Realität. Präskriptive Theorien sind Aussagesysteme, die im Rahmen deduktiver Untersuchungen gewonnen werden. Die deduktive Forschung liefert Orientierungshilfen für die Verarbeitung von Informationen; zugleich entwickelt sie die theoretische Basis, aus der Problemstellungen für die empirische Forschung abgeleitet werden können. 5.2.

Deskriptive Entscheidungstheorie

Ziel der deskriptiven Entscheidungstheorie ist es, empirisch gehaltvolle Hypothesen über das Verhalten von Individuen und (Personen-) Gruppen im Entscheidungsprozeß zu formulieren, mit deren Hilfe bei Kenntnis der jeweiligen Ausgangssituation Entscheidungen prognostiziert werden können. Im Rahmen der deskriptiven Entscheidungstheorie wird u.a. eine Antwort auf folgende Fragen gesucht: In welcher Weise bilden sich Individuen Wahrscheinlichkeitsurteile über ungewisse Ereignisse? Wie vollzieht sich die Zielbildung und wie verändern sich die Ziele im Entscheidungsprozeß? Wie wirken sich Gruppenbildung und Gruppendiskussion auf die "Risikoeinstellung" der Mitglieder aus? Wie hängt die Bereitschaft eines Mitglieds, im Problemlösungsprozeß Beiträge zu leisten, von der Zahl und den Charaktereigenschaften der anderen Mitglieder ab? Wie hängt der Ablauf des Informationsbeschaffungs- und Informationsverarbeitungsprozesses von der zu lösenden Aufgabe und dem Führungsverhalten des Gruppenleiters ab?3) 2)

3)

So werden im Rahmen der empirischen Forschung z.B. folgende Fragestellungen untersucht: Wie hängt bei alternativen Produktionsverfahren der jeweilige Verbrauch des Faktors X von der Herstellungsmenge des Gutes Y ab? Welche Beziehung besteht in einer bestimmten Situation zwischen der Absatzmenge eines bestimmten Produkts und dessen Preis? Wie hängt die "Risikoeinstellung" eines Entscheidungsgremiums von der Anzahl und den Eigenschaften der Mitglieder ab? Zur deskriptiven Entscheidungstheorie vgl. z.B. EISENFÜHR/WEBER (2003), KATZ/ KAHN (1966), EDWARDS/TVERSKY (1967), WITTE (1968; 1971), CARTWRIGHT/ZAN-

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

15

Die deskriptive Entscheidungstheorie befaßt sich zwar primär nicht mit dem Problem, wie Entscheidungen "rational" getroffen werden können; sie versucht zu beschreiben und zu erklären, wie Individuen und Gruppen in der Realität tatsächlich entscheiden. Trotzdem werden auf diese Weise auch Informationen für "bessere" (oder "rationale") Entscheidungen geliefert, denn die Konsequenzen der von einem Entscheider erwogenen Handlungsalternativen können von den (tatsächlichen) Entscheidungen anderer Personen abhängen. Die deskriptive Entscheidungstheorie kann bessere Prognosen dieser Entscheidungen ermöglichen; sie kann somit dazu führen, daß der Entscheider eine (im Hinblick auf sein Zielsystem) bessere Entscheidung trifft. Die Ergebnisse der deskriptiven Entscheidungstheorie können darüber hinaus auch für die präskriptive Entscheidungstheorie von grundlegender Bedeutung sein. Wie erläutert wurde, will die präskriptive Entscheidungstheorie Empfehlungen für die Lösung von Entscheidungsproblemen geben. Derartige Empfehlungen sind jedoch nur dann hilfreich, wenn sie befolgt werden können. Die deskriptive Entscheidungstheorie kann erforschen, welche Anforderungen Entscheider überhaupt erfüllen können und welche nicht (oder erst nach gewissen Lernprozessen). Würde sich beispielsweise zeigen, daß jedermann außerstande ist, sogenannte "Indifferenzwahrscheinlichkeiten" zu fixieren, wäre die Empfehlung, in Risikosituationen nach dem "BERNOULLI-Prinzip" zu entscheiden, kaum sinnvoll (vgl. hierzu Kapitel VI, Abschnitt 3.2.2). 5.3.

Präskriptive Entscheidungstheorie

5,3,1. Konzepte für die Explikation individueller

Zielsysteme

Eine rationale Entscheidung kann nur dann getroffen werden, wenn Zielvorstellungen für die Beurteilung der Alternativen existieren. Demnach ist eines der Kernprobleme der präskriptiven Entscheidungstheorie, wie das Zielsystem eines Entscheiders (soweit es für die Lösung eines Entscheidungsproblems überhaupt relevant ist) erforscht werden kann. Die einfachste Möglichkeit besteht darin, den Entscheider ausdrücklich nach seinem Zielsystem zu befragen. Ist das Zielsystem bekannt, kann man unmittelbar zur Lösung des Entscheidungsproblems übergehen. In komplexeren Entscheidungssituationen wird der Entscheider jedoch möglicherweise keine präzise Antwort auf die Frage nach seinem Zielsystem geben können. Er benötigt dann Hilfestellungen, um sich zunächst einmal selbst darüber Klarheit zu verschaffen, was er eigentlich will (welches Ziel er anstrebt). DER (1968), KELLEY/THIBAUT (1969), HAMEL (1973; 1974), KEINEN (1971), KUPSCH (1973), WossiDLO (1975), SADER (1976), HAUSCHILDT (1977), WITTE/ THIMM (1977), LÜNBORG (1977), MANKE (1980), W E B E R / C A M E R E R (1987).

16

Kapitell

In einer solchen Situation könnte versucht werden, das Zielsystem des Entscheiders aus seinem bisherigen Verhalten abzuleiten. Dabei wird mehr oder weniger genau nachvollzogen, wie er in früheren realen Wahlsituationen entschieden hat, und versucht, aus seinen Entscheidungen einen Rückschluß auf sein Zielsystem zu ziehen. Dieses Vorgehen ist jedoch ebenfalls problematisch. Um aus den jeweiligen Entscheidungen einen verläßlichen Rückschluß auf die Zielvorstellungen des Entscheiders ziehen zu können, muß bekannt sein, welche Alternativen er jeweils erwogen und mit welchen Konsequenzen er bei den einzelnen Alternativen gerechnet hat. Diese Aspekte lassen sich aber später oft nur schwer rekonstruieren. Wichtiger ist jedoch folgender Einwand: Reale Entscheidungsprobleme sind im allgemeinen so komplex, daß nicht ohne weiteres davon ausgegangen werden kann, daß die früheren Wahlakte des Entscheiders im Einklang mit seinem Zielsystem standen. Wenn der Entscheider stets zieladäquate Entscheidungen treffen könnte, benötigte er keine Hilfestellungen seitens der Entscheidungstheorie. Außerdem können sich die Zielvorstellungen im Zeitablauf ändern. Die heutigen Zielvorstellungen können sich wesentlich von denjenigen unterscheiden, die für frühere Entscheidungen maßgeblich waren. Im Vordergrund der präskriptiven Entscheidungstheorie steht das folgende Konzept zur Erforschung des Zielsystems eines Entscheiders: Dem Entscheider werden relativ einfache - in aller Regel hypothetische - Entscheidungsprobleme vorgelegt, die dieser zu "lösen" hat (vgl. z.B. Kapitel III, Abschnitt 4, und Kapitel VI, Abschnitt 3.2). Dabei wird angenommen, daß der Entscheider in derart einfachen Wahlsituationen im Einklang mit seinem (zunächst noch verborgenen) Zielsystem entscheidet, so daß sein Zielsystem wenigstens bruchstückhaft zum Ausdruck gebracht wird. Aus seinen Entscheidungen in alternativen (hypothetischen) Entscheidungssituationen wird dann auf diejenigen Elemente des Zielsystems geschlossen, die für das eigentliche (und komplexere) Entscheidungsproblem relevant sind. Danach wird unter Einsatz der Logik und rechnerischer Hilfsmittel dieses Entscheidungsproblem gelöst (d.h. es wird diejenige Alternative bestimmt, die in bezug auf das explizierte Zielsystem optimal ist). Bei Anwendung dieses Konzepts stellt sich das Problem, solche hypothetischen Entscheidungsprobleme zu finden, die einerseits einfach überschaubar sind und andererseits eine Brücke zu den jeweiligen realen Entscheidungsproblemen bilden können: Der Entscheider soll mit der Durchführung der einfachen Wahlakte seine wirklichen Zielvorstellungen offenbaren, soweit sie für das eigentliche (komplexere) Entscheidungsproblem relevant sind. 5.3.2,

Entscheidungsmodelle

Zu den wichtigsten Entscheidungshilfen, die im Rahmen der deduktiven Forschung erarbeitet werden, zählen die Entscheidungsmodelle. "Als "Ent-

Probleme und Lösungskonzepte der Entscheidungstheorie

17

scheidungsmodell" bezeichnen wir im folgenden ganz allgemein das Ergebnis eines Versuches, die für wesentlich gehaltenen Elemente und Beziehungen einer als "Problem" empfundenen Handlungssituation in einer formalisierten Sprache so zu definieren, daß aus dem resultierenden Strukturkomplex die Problemlösung als logische Implikation abgeleitet werden kann" (BRETZKE, 1980, S. 8). Der prinzipielle Aufbau von Entscheidungsmodellen und deren Bedeutung für die Lösung von Entscheidungsproblemen wird in Kapitel II diskutiert. In den nachfolgenden Teilen der Arbeit wird gezeigt, wie derartige Modelle bei "Sicherheit" (Teil B), bei "Unsicherheit im engeren Sinne" (Teil C) und bei "Risiko" (Teil D und E) konstruiert werden können. Die im Rahmen der deduktiven Forschung entwickelten Entscheidungsmodelle beziehen sich im allgemeinen nicht auf konkrete, in räumlicher und zeitlicher Hinsicht genau spezifizierte Entscheidungssituationen (etwa auf die Situation des Unternehmens XY zum Zeitpunkt t). Vielmehr werden mit ihnen bestimmte Typen von Entscheidungssituationen bzw. Entscheidungsproblemen abgebildet (z.B. das allgemeine Problem der Bestimmung eines optimalen Produktionsprogramms) und entsprechende Lösungsverfahren zugeordnet. Die Modellstruktur ist dabei mit Hilfe allgemeiner Symbole dargestellt; die Parameter der Modelle werden nicht numerisch spezifiziert: Mit solchen allgemeinen Entscheidungsmodellen besteht die Möglichkeit, reale Entscheidungsprobleme des jeweiligen Typs so zu beschreiben bzw. zu strukturieren, daß sie anschließend mit Hilfe der Logik bzw. bestimmter Rechentechniken "gelöst" werden können. Im Gegensatz zu allgemeinen Entscheidungsmodellen, die im folgenden auch kurz A-Modelle genannt werden, beziehen sich konkrete Entscheidungsmodelle, im folgenden als K-Modelle bezeichnet, auf spezifische Entscheidungssituationen (vgl. hierzu BRETZKE, 1980, S. lOf). In K-Modellen sind die jeweiligen Modellparameter durch die betrachtete konkrete Entscheidungssituation festgelegt. Zur Lösung eines konkreten Entscheidungsproblems mit Hilfe von Entscheidungsmodellen ist also zunächst ein geeignetes A-Modell auszuwählen, dann anschließend das gewählte A-Modell in ein K-Modell zu überführen, das die konkret vorliegende Entscheidungssituation abbildet. Mit der Wahl eines bestimmten A-Modells wird der allgemeine Rahmen für die Modellkonstruktion festgelegt. Die Aufgabe der deduktiven Forschung kann vor allem darin gesehen werden, einen Vorrat unterschiedlicher A-Modelle zu entwickeln, deren Annahmen möglichst klar darzustellen und Hinweise auf den jeweils zweckmäßigsten Lösungsalgorithmus zu geben. Der Praktiker hat so die Möglichkeit, in einer konkreten Entscheidungssituation - unter Abwägung der jeweiligen Realitätstreue der Modellprämissen einerseits und der Infor-

18

Kapitell

mations- und Planungskosten andererseits - dasjenige Modell auszuwählen, das ihm als das beste erscheint. Nachdem ein K-Modell durch ein System von (im allgemeinen mathematischen) Symbolen beschrieben worden ist, stellt sich das Problem, eine optimale (oder wenigstens eine "gute") Lösung des Modells zu bestimmen. Die Lösung bringt zum Ausdruck, welche Handlungsaltemative (welches Aktionsprogramm) gewählt werden soll. Zur Ermittlung einer Lösung ist eine geeignete Rechentechnik erforderlich. Welche Rechentechnik jeweils geeignet ist, hängt von der formalen Struktur des Modells ab (so z.B. davon, ob alle Funktionen des Modells linear sind oder nicht). Die Entwicklung von Rechentechniken zur Lösung von Entscheidungsmodellen stellt einen eigenständigen Beitrag der Wissenschaft dar; sie erfolgt vor allem im Rahmen des "Operations Research". Die Entscheidungstheorie befaßt sich nicht mit der Entwicklung von Rechentechniken. Dies bedeutet jedoch nicht, daß die Entwicklung von Rechenverfahren keine entscheidungstheoretischen Implikationen hat. Der zweckmäßige Aufbau und die zweckmäßige Struktur eines K-Modells kann davon abhängen, welche Verfahren für die Lösung des Modells zur Verfügung stehen. Es ist nicht sinnvoll, ein K-Modell zu konstruieren, für das kein geeignetes Lösungsverfahren existiert. 5.5.5. Strukturempfehlungen

für die

Modellkonstruktion

Nach Auswahl eines bestimmten A-Modells stellt sich für den Entscheider das Problem, in welcher Weise er dieses Modell in ein K-Modell überführen soll. Die konkrete Ausgestaltung des gewählten Entscheidungsmodells wird somit selbst zum Entscheidungsproblem (Meta-Entscheidungsproblem). Auch für die Lösung dieses Entscheidungsproblems kann die Entscheidungstheorie dem Entscheider Orientierungshilfen geben, indem sie untersucht, nach welchen Regeln und Kriterien in alternativen Entscheidungssituationen die Modellkonstruktion erfolgen soll, um zu einer zielgerechten Entscheidung zu gelangen"*) (vgl. insbesondere Kapitel VIII, IX und XII).

Ergänzende und vertiefende BAMBERG/COENENBERG

Literatur:

(2002, S. 1-12);

BITZ

(1977);

BRETZKE

(1980);

DINKELBACH (1974); H A X (1974a, S. 11-18); KLEINDORFER/KUNREUTHER/ SCHOEMAKER (1993, S. 3-63); KLEIN/SCHOLL (2004); KREIKEBAUM (1997); LAUX/LIERMANN 4)

(2003);

SCANLAN

(1973, S.

113-136);VETSCHERA

Vgl. hierzu BiTZ (1977), GAITANIDES (1979), SCHNEEWEIß, C H . (1984).

(1995).

IL

1.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

Problemstellung

Die Entscheidungsprobleme, mit denen man täglich konfrontiert wird, mögen auf den ersten Blick äußerst heterogen erscheinen. So hat z.B. die Auswahl eines Mittagessens aus einer Speisekarte in materieller Hinsicht nur wenig mit der Entscheidung darüber zu tun, ob man eine neue Arbeitsstelle annehmen soll oder nicht. Dennoch gibt es eine allgemeine Struktur, auf die alle Entscheidungsprobleme zurückgeführt werden können. Entsprechend existiert auch eine gemeinsame Grundstruktur für Entscheidungsmodelle, auch wenn sich diese im Detail sehr unterscheiden mögen. Wie im folgenden deutlich wird, besteht jedes Entscheidungsmodell aus den Bausteinen "Handlungsaltemativen", "Ergebnisse", "Umweltzustände" (gegebenenfalls unter Berücksichtigung ihrer Eintrittswahrscheinlichkeiten) und "Zielfunktion" des Entscheiders. Zunächst wird gezeigt, wie diese Bausteine formal dargestellt werden können (Abschnitt 2). Danach wird untersucht, wie sie in alternativen Entscheidungsmodellen erfaßt werden und welche Möglichkeiten die jeweiligen Konzeptionen bieten, reale Entscheidungsprobleme operational abzubilden (Abschnitte 3-7). Abschließend wird erläutert, welche grundsätzliche Bedeutung Entscheidungsmodellen für die Lösung von Entscheidungsproblemen zukommt (Abschnitt 8). Im vorliegenden zweiten Kapitel geht es um den prinzipiellen Aufbau von Entscheidungsmodellen. In den nachfolgenden Kapiteln wird gezeigt, wie derartige Modelle bei Sicherheit, Unsicherheit i.e.S. und Risiko konstruiert werden können. Dabei wird ein Teil der folgenden Darstellungen präzisiert.

2. 2.1.

Die Basiselemente eines Entscheidungsmodells Überblick

Ein Entscheidungsmodell setzt sich zusammen aus - dem Entscheidungsfeld, d.h. den modellmäßig erfaßten "Handlungsalternativen", "Umweltzuständen" (gegebenenfalls unter Berücksichtigung ihrer Eintrittswahrscheinlichkeiten) sowie den jeweiligen "Ergebnissen", und - der "Zielfunktion" des Entscheiders.

20

Kapitel II

Die Abbildung II.l bringt die Bausteine (Basiselemente) eines Entscheidungsmodells in eine Systematik: 1) Basiselemente eines Entscheidungsmodells

Zielfunktion

Entscheidungsfeld

Handlungsalternativen

Ergebnisse

Umweltzustände

Abb. II.l: Die Basiselemente eines Entscheidungsmodells Die formale Darstellung dieser Basiselemente kann in sehr unterschiedlicher Weise geschehen. Es entstehen hierdurch Varianten von Entscheidungsmodellen, deren Auswahl als Entscheidungsgrundlage nach Zweckmäßigkeitsgesichtspunkten erfolgen muß. Zunächst sollen die Basiselemente und ihre Darstellungsweisen erläutert werden.

2.2.

Das Entscheidungsfeld

2.2.7.

Handlungsalternativen

Ein Entscheidungsproblem liegt nur dann vor, wenn mindestens zwei Alternativen gegeben sind; dementsprechend muß ein Entscheidungsmodell mindestens zwei Alternativen erfassen. Die Alternativen lassen sich grundsätzlich durch die Werte solcher Größen beschreiben, die der Entscheider (innerhalb bestimmter Grenzen) eigenständig variieren kann. Diese Größen werden als Entscheidungsvariablen (oder auch als Aktionsvariablen bzw. Aktionsparameter) bezeichnet. Wenn es im Rahmen eines Entscheidungs1)

Abbildung II.l zeigt, in welche Basiselemente ein Entscheidungsmodell (bzw. ein Entscheidungsfeld) zerlegt werden kann. Die Abbildung besagt nicht, die Zielfunktion, Handlungsaltemativen, Ergebnisse und Umweltzustände stünden isoliert nebeneinander. Zwischen den einzelnen Bausteinen bestehen enge Interdependenzen. So hängen z.B. die für die Konstruktion eines konkreten Entscheidungsmodells maßgeblichen "Ergebnisse" und „Umweltzustände" davon ab, welche Handlungsaltemativen im Kalkül erfaßt werden; die erwogenen Alternativen hängen ihrerseits von den Zielvorstellungen des Entscheiders ab, die durch die Zielfunktion ausgedrückt werden.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

21

Problems z.B. um die Festlegung der Produktionsmenge eines einzigen Produkts für eine Periode geht, gibt es nur eine Entscheidungsvariable, eben die Produktionsmenge. Jede Alternative wird dann durch eine bestimmte Anzahl von Produkteinheiten definiert. Die Alternativen setzen sich jedoch im allgemeinen aus mehreren (häufig sehr vielen) Einzelaktionen zusammen (z.B. können die Alternativen verschiedene Produktionsund Absatzprogramme oder verschiedene Investitions- und Finanzierungsprogramme bezeichnen). Es sind dann mehrere Entscheidungsvariablen relevant, so daß die Alternativen durch Tupel von Ausprägungen dieser Variablen (also durch Vektoren) charakterisiert sind: Ist z.B. das Produktionsprogramm für ein Mehrproduktuntemehmen zu bestimmen, entspricht jeder Alternative ein bestimmter Vektor über die Produktionsmengen der einzelnen Erzeugnisse. Die Menge der relevanten Alternativen wird im folgenden mit A bezeichnet, die einzelnen Alternativen mit Ai,A2,...; zur Kennzeichnung einer beliebigen Alternative aus der Altemativenmenge A wird das Symbol A^ verwendet. 2.2.2,

Ergebnisse

Damit die Alternativen beurteilt werden können, müssen die damit verbundenen Konsequenzen im Modell abgebildet werden. Eine Alternative hat jedoch im allgemeinen mehrere sehr verschiedenartige Konsequenzen, die nicht alle "originalgetreu" erfaßt werden können. Dies ist aber auch gar nicht notwendig. Für den Vergleich der zur Wahl stehenden Alternativen sind nur solche Größen als Konsequenzen relevant, deren Ausprägungen für die "Zufriedenheit" des Entscheiders von Bedeutung sind. Diese werden als Zielgrößen (oder auch als Zielvariablen) bezeichnet. Die Zielgrößen bringen zum Ausdruck, welchen Konsequenzen der Alternativen der Entscheider Bedeutung beimißt (etwa Gewinn, Einkommen, Marktanteil, Freizeit); andere Konsequenzen der Alternativen, denen keine Zielgrößen entsprechen, können im Modell vernachlässigt werden. Eine Wertekonstellation der Zielgrößen wird als "Ergebnis" bezeichnet: Orientiert sich der Entscheider nur an einer Zielgröße (z.B. am Gewinn), so entspricht jedem Ergebnis ein bestimmter Wert dieser Zielgröße. Orientiert er sich an mehr als einer Zielgröße (z.B. am Gewinn und aus Prestigegründen explizit auch am Umsatz), dann entspricht jedem Ergebnis eine bestimmte Wertekonstellation dieser Zielgrößen; die Ergebnisse sind dann Vektoren von Zielgrößenausprägungen. Die Zielgrößen müssen sich nicht auf ein und dieselbe Periode beziehen. Ergebnis kann z.B. auch ein Strom von Einkünften in einer Reihe von aufeinanderfolgenden Perioden sein.

22

Kapitel II

2.2.3. Um weltzustände Welches Ergebnis bei der Wahl einer bestimmten Alternative erzielt wird, hängt auch von Größen ab, die der Entscheider nicht beeinflussen kann (z.B. Zahl der Regentage, Angebotspreise der Lieferanten, Verkaufspreise der Konkurrenten, Nachfragemengen der Kunden). Die Größen, die die Ergebnisse der Alternativen beeinflussen, aber keine Entscheidungsvariablen des Entscheiders darstellen, werden als (entscheidungsrelevante) Daten bezeichnet. Ob bestimmte Parameter Daten oder Entscheidungsvariable sind, hängt (auch) von der jeweiligen Entscheidungssituation ab. Hat z.B. ein Unternehmer die Produktionsmenge eines Produkts für eine bestimmte Periode festzusetzen und besteht vollkommene Konkurrenz, so ist der zukünftige Absatzpreis Datum und keine Entscheidungsvariable. Hat das Unternehmen eine Monopolstellung, so ist der Absatzpreis Entscheidungsvariable und kein Datum; entscheidungsrelevantes Datum ist dann die Gestalt der Preis-Absatz-Funktion. Wird allerdings erwogen, durch Werbung die Preis-Absatz-Funktion zu beeinflussen, so ist auch die Preis-Absatz-Funktion kein Datum; Daten sind dann die Parameter der Werbewirkungs-Funktion. Der Entscheider kennt nur in Ausnahmefällen mit Sicherheit die Ausprägungen aller entscheidungsrelevanten Daten. So hegt etwa ein Investor, der ein Investitions- und Finanzierungsprogramm zu planen hat, mehrwertige Erwartungen über die zukünftigen Einzahlungsüberschüsse und Kapitalkosten (denn er kennt z.B. nicht genau die zukünftigen Absatzmöglichkeiten, die Entwicklung der Lohnkosten, die Geldpolitik der Bundesbank). Die einander ausschließenden Konstellationen von Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten werden als Umweltzustände (oder kurz als Zustände) bezeichnet. Existiert nur ein entscheidungsrelevantes Datum, so entspricht jedem möglichen Wert dieses Datums ein Zustand. Bei mindestens zwei Daten sind die Zustände durch Vektoren charakterisiert: Jeder möglichen Wertekonstellation der Daten entspricht dann ein bestimmter Zustand (vgl. hierzu Beispiel ILl in Abschnitt 4.2.2). Im Entscheidungsmodell müssen auch die möglichen Zustände berücksichtigt werden. Hierzu ist die (subjektive) Erwartungsstruktur des Entscheiders über die Zustände zu präzisieren. In dieser Arbeit werden Entscheidungsmodelle für folgende idealtypische Erwartungsstrukturen analysiert: Bei Sicherheit ist dem Entscheider bekannt, welcher Zustand der wahre ist (welche Ausprägungen also die entscheidungsrelevanten Daten annehmen werden). Entsprechend kennt er für jede Alternative auch das Ergebnis, das bei Wahl dieser Alternative erzielt wird (zumindest kann er es eindeutig bestimmen).

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

23

Bei Unsicherheit hält der Entscheider mindestens zwei Zustände für möglich, von denen genau einer eintreten wird. In der Literatur werden zwei Grenzfälle der Unsicherheit unterschieden, die auch in dieser Arbeit behandelt werden: - Unsicherheit i.e.S.: Bei Unsicherheit im engeren Sinne ist der Entscheider nicht in der Lage, sich ein Wahrscheinlichkeitsurteil über die möglichen Zustände zu bilden. Er kann lediglich angeben, welche Zustände überhaupt eintreten können, also eine positive Eintrittswahrscheinlichkeit aufweisen. Darüber hinaus kann er jedoch keine präziseren Angaben über die Wahrscheinlichkeiten machen. - Risiko: In einer Risikosituation kann der Entscheider den denkbaren Zuständen Eintrittswahrscheinlichkeiten zuordnen. Risikosituationen stehen im Vordergrund dieser Arbeit.

mögliche Erwartungsstrukturen

Abb. II.2: Mögliche Erwartungsstrukturen über die Zustände

2.3.

Die Zielfunktion

2.3,1,

Zielarten

Eine rationale Entscheidung kann nur dann getroffen werden, wenn Zielvorstellungen existieren, mit deren Hilfe die erwogenen Alternativen hinsichtlich ihrer Konsequenzen miteinander verglichen werden. Solche Zielvorstellungen müssen auch bei der Konstruktion eines Entscheidungsmodells in den Kalkül einbezogen werden. Zielvorstellungen bringen gewisse Wünsche (Ziele) zum Ausdruck.2) Ein Ziel ist dadurch gekennzeichnet,

2)

Vgl. hierzu DiNKELBACH, 1978, S. 51f.

24

Kapitel II

daß ein zukünftiger Zustand angestrebt wird, der sich im allgemeinen vom gegenwärtigen (Ausgangs-) Zustand unterscheidet und als Endzustand bezeichnet wird.^) Dieser Endzustand kann auf verschiedene Weisen definiert sein. Dies wird an einem Beispiel deutlich: Vier Urlauber beabsichtigen, mit dem Auto in genau zwei Tagen an einen bestimmten Urlaubsort zu fahren, der nicht an einem Tag erreicht werden kann. Bei der Diskussion um den Reiseverlauf des ersten Tages werden vier verschiedene Zielvorstellungen zum Ausdruck gebracht: (a) Der erste Urlauber hat die Absicht, genau 700 km zurückzulegen und dann in X-Stadt zu übernachten. (b) Der zweite Urlauber möchte am ersten Tag mindestens eine Strecke von 600 km zurücklegen. Alle Reisepläne, die diesem Anspruch genügen, schätzt er als gleichwertig ein. (c) Der dritte Urlauber hat das Ziel, am ersten Tag eine möglichst weite Strecke zurückzulegen. (d) Der vierte Urlauber schließlich hat sich zum Ziel gesetzt, am ersten Tag eine möglichst kurze Strecke zurückzulegen (weil er an diesem Tag noch einige Besorgungen machen und deshalb möglichst spät abreisen möchte). In den Fällen (a) und (b) wird der angestrebte Endzustand jeweils explizit genannt: Im Fall (a) besteht der angestrebte Endzustand darin, am ersten Tag genau 700 km zurückzulegen und in X-Stadt zu übernachten; dieser Endzustand wird verfehlt, wenn eine kürzere oder längere Strecke zurückgelegt wird. Im Fall (b) wird der erstrebte Endzustand dann erreicht, wenn am ersten Tag mindestens 600 km zurückgelegt werden. In den Fällen (c) und (d) wird der Endzustand nicht explizit, sondern implizit in der Weise beschrieben, daß er im Sinne des angestrebten Ziels (Maximierung bzw. Minimierung der am ersten Tag zurückgelegten Strekke) nicht mehr verbessert werden kann (der Endzustand ergibt sich also jeweils aus einer Extremierungsvorschrift). Wird die am ersten Tag zurückgelegte Strecke als Zielgröße bezeichnet, können die Zielvorstellungen der Urlauber wie folgt typisiert werden: (a) Anstreben eines genau fixierten Wertes für die Zielgröße (Fixierung), (b) Anstreben eines bestimmten Anspruchsniveaus für die Zielgröße (Satisfizierung), (c) Maximierung der Zielgröße, (d) Minimierung der Zielgröße. 2.3,2, Zur Problematik der Ermittlung einer Zielfunktion Die Zielvorstellungen eines Entscheiders werden bei der Konstruktion eines Entscheidungsmodells bzw. bei der Lösung eines Entscheidungspro3)

Vgl. u.a. BiTZ, 1977, S. 80f.; HAUSCHILDT, 1977, S. 13, DiNKELBACH, 1978, S. 52.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

25

blems durch die Formulierung einer Zielfunktion abgebildet, die eine Bewertung der Alternativen ermöglicht. Bei den in Abschnitt 2.3.1 dargestellten Zielvorstellungen ist die Formulierung einer Zielfunktion relativ einfach. So folgt z.B. aus dem Ziel (c) unmittelbar die Zielfunktion (11.1)

Z-^Max!

Dabei bezeichnet Z die am ersten Tag zurückgelegte Wegstrecke. Die Zielfunktion (II.l) besagt: Gesucht ist diejenige Alternative, die den Wert von Z maximiert. Aus dem Ziel (d) folgt unmittelbar die Zielfunktion (11.2)

Z->Min!

Die in Abschnitt 2.3.1 dargestellten Zielvorstellungen sind jedoch von sehr einfacher Struktur. Bei mehreren Zielgrößen und/oder mehrwertigen Erwartungen über die Ergebnisse der Alternativen erweist sich das Problem der Formulierung einer adäquaten Zielfunktion als wesentlich komplexer. Zur Lösung dieses Problems will und kann die präskriptive Entscheidungstheorie (die Entscheidungslogik) Hilfestellungen bieten. Generell wird unter einer Zielfunktion die formale Darstellung einer Entscheidungsregel verstanden. Eine Entscheidungsregel besteht aus - einer Präferenzfunktion O, die den einzelnen Alternativen A^ "Präferenzwerte" 0(Aa) eindeutig zuordnet, sowie - einem Optimierungskriterium, das zum Ausdruck bringt, welche Ausprägung für den Präferenzwert angestrebt wird. Der einer Alternative entsprechende Präferenzwert kann als Indikator für den Grad der Zielerreichung interpretiert werden, der bei Wahl dieser Alternative realisiert wird. Die "Zielrichtung" für den Präferenzwert kommt im Optimierungskriterium zum Ausdruck. Die Optimierungskriterien im Urlauberbeispiel lauten allgemein: (a) Anstreben einer genau fixierten Ausprägung für den Präferenzwert (Fixierung), (b) Anstreben einer Mindestausprägung für den Präferenzwert (Satisfizierung), (c) Maximierung des Präferenzwertes, (d) Minimierung des Präferenzwertes. In der Entscheidungslogik wird üblicherweise die Maximierung als Optimierungskriterium unterstellt. Auch in dieser Arbeit wird stets von der Maximierungsvorschrift ausgegangen. Dadurch wird jedoch die Allgemeinheit der Darstellungen nicht eingeschränkt. Wie in Abschnitt 2.3.5 gezeigt wird, kann die Präferenzfunktion immer so definiert werden, daß ihre Maximierung sinnvoll ist. Die Entscheidungsregel besagt dann, daß von zwei beliebigen Alternativen derjenigen mit dem höheren Präferenzwert der

26

Kapitel II

Vorzug zu geben ist; bei gleichen Präferenzwerten sind beide Alternativen gleichwertig (äquivalent). Demgemäß lautet die Zielfunktion generell: (IL3)

0(AJ->Max! a

In Worten: Gesucht ist dasjenige Element (bzw. diejenigen Elemente) A^ aus der Altemativenmenge A, das den Wert der Präferenzfunktion O maximiert. Die Ermittlung von Entscheidungsregeln^) ist eines der Kernprobleme der Entscheidungstheorie. Mit dieser Problematik befassen sich die Kapitel III, IV, VI und VII der vorliegenden Arbeit sowie der überwiegende Teil von LAUX (2003).

2.3.3. Präferenzfunktion bezüglich der Alternativen versus tion über die Ergebnisse

Nutzenfunk-

Die Entscheidungsregel soll es ermöglichen, die optimale Alternative bzw. die optimalen Alternativen (die dann untereinander gleichwertig sind) zu bestimmen und damit das Entscheidungsproblem zu lösen. Mit der Entscheidungsregel wird - bei gegebenen Vorstellungen über die Konsequenzen der Alternativen - die Bewertung einer Alternative A^ auf einen rein analytischen Vorgang reduziert: Mit Hilfe der entsprechenden Präferenzfunktion wird eben der Präferenzwert 0(Aa) berechnet. (Bei der Maximierung als Optimierungskriterium wird die Alternative mit dem höchsten Präferenzwert gewählt.) Die für eine bestimmte Entscheidungssituation relevante Präferenzfunktion O ist jedoch nicht von vornherein vorgegeben, sondern muß vom Entscheider selbst festgelegt werden. Die Wahl einer Entscheidungsregel ist also ihrerseits ein Entscheidungsproblem (ein "MetaEntscheidungsproblem"). Da die Alternativen nach ihren (möglichen) Ergebnissen beurteilt werden, ist es naheliegend, die Präferenzfunktion aus einer Bewertung der entsprechenden Ergebnisse herzuleiten. Dazu muß der Entscheider zunächst eine Bewertungsfunktion U für die Ergebnisse festlegen. Im Gegensatz zu der "Präferenzfunktion" O für die Alternativen wird die Bewertungsfunktion U für die Ergebnisse üblicherweise als Nutzenfunktion bezeichnet. Bei der Bestimmung einer Präferenzfunktion O aufgrund einer Nutzenbewertung der Ergebnisse stellen sich Probleme unterschiedlicher Komplexität, je nachdem, ob eine Entscheidungssituation bei Sicherheit, Unsicherheit i.e.S. oder Risiko vorliegt und ob sich der Entscheider an einer oder an mehreren Zielgrößen orientiert. 4)

Ist bereits entschieden, daß die Maximierung als Optimierungskriterium dienen soll, so beschränkt sich die Ermittlung einer Entscheidungsregel auf die Ermittlung einer Präferenzfunktion.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

27

Bei sicheren Erwartungen entspricht jeder Alternative jeweils genau ein Ergebnis. Eine Alternative wird einer anderen vorgezogen, wenn sie zu einem besseren Ergebnis führt als die andere. Wird die Nutzenfunktion U derart festgelegt, daß von zwei beliebigen Ergebnissen jenem ein höherer Nutzenwert zugeordnet wird, das der Entscheider vorzieht (während bei Indifferenz die Nutzenwerte gleich sind), folgt aus der Nutzenfunktion über die Ergebnisse unmittelbar eine Präferenzfunktion über die Alternativen. Der Präferenzwert einer Alternative kann dann nämlich gleich dem Nutzenwert des entsprechenden Ergebnisses gesetzt werden: (II.4)

0 ( A a ) = U(Ea).

Dabei bezeichnet E^ das Ergebnis der Alternative A^. Bei Sicherheit reduziert sich also das Problem der Bestimmung einer Präferenzfunktion auf das der Ermittlung einer Nutzenfunktion über die Ergebnisse. Dieses Problem ist seinerseits trivial, sofern nur eine Zielgröße Z existiert (deren Wert zu maximieren ist). Der Nutzenwert eines Ergebnisses kann dann gleich dem entsprechenden Zielgrößenwert gesetzt werden: U(Z) = Z und folglich 0(Aa) = Z,. Bei mehreren Zielgrößen erweist sich das Problem der Ermittlung einer Nutzenfunktion U als komplexer; in der Nutzenfunktion U müssen dann explizit oder implizit die "Gewichte" berücksichtigt werden, die der Entscheider den einzelnen Zielgrößen beimißt (vgl. hierzu Kapitel III). Da bei sicheren Erwartungen jeder Alternative genau ein Ergebnis entspricht, muß die Nutzenfunktion U nur die Bedingung erfüllen, daß der Vergleich zweier Nutzenwerte angibt, welches der jeweiligen Ergebnisse vorgezogen wird; es kann offen bleiben, mit welcher "Intensität" dies der Fall ist. Gewählt wird die Alternative mit dem besten Ergebnis, unabhängig davon, ob dieses Ergebnis "wesentlich" oder nur "geringfügig" besser ist als die Ergebnisse der anderen Alternativen. Bei Unsicherheit i.e.S. und bei Risiko entsprechen jedoch den Alternativen mehrere mögliche Ergebnisse. Es existiert dann im allgemeinen keine Alternative, die in jedem Fall zu einem besseren oder ebenso guten Ergebnis führt als alle anderen Alternativen: Wird irgendeine Alternative gewählt, besteht zum einen die Chance, daß ein besseres Ergebnis erzielt wird als bei Wähl einer anderen Alternative; zum anderen besteht aber auch die Gefahr, daß sich ein schlechteres Ergebnis einstellen wird. Bei der Entscheidung müssen derartige Chancen und Gefahren gegeneinander abgewogen werden. Eine Alternative wird einer zweiten vorgezogen, wenn die möglichen Vorteile der einen Alternative (im Vergleich zu denen der zweiten) stärker ins "Gewicht" fallen als die möglichen Nachteile. Es genügt daher nicht, wenn die Nutzenfunktion U lediglich zum Ausdruck bringt, welches von zwei beliebigen Ergebnissen

28

Kapitel II

vorgezogen wird oder daß Indifferenz besteht. Damit aus der Nutzenfunktion U eine Präferenzfunktion O bezüglich der Alternativen abgeleitet werden kann, muß die Nutzenfunktion stärkeren Anforderungen genügen: Sie muß die Intensität zum Ausdruck bringen, mit der ein Ergebnis einem anderen vorgezogen wird. In Kapitel VI, Abschnitt 3.2.2, wird gezeigt, wie dies geschehen kann. 2.3.4. Entscheidungsregel

und

Entscheidungsprinzip

Eine Entscheidungsregel (die entsprechende Präferenzfunktion und das entsprechende Optimierungskriterium für den Präferenzwert^) soll die Lösung eines Entscheidungsproblems ermöglichen. Im Gegensatz zu einer Entscheidungsregel führt ein Entscheidungsprinzip grundsätzlich nicht zu einer eindeutigen Lösung des Entscheidungsproblems. Ein Entscheidungsprinzip legt die Präferenzfunktion nicht eindeutig fest, sondern gibt lediglich Richtlinien für die Ermittlung der Präferenzfunktion und somit auch für die Gestalt der Entscheidungsregel. Ein Entscheidungsprinzip stellt bestimmte Anforderungen an die Präferenzfunktion und schränkt dadurch den Bereich zulässiger Präferenzfunktionen ein. Es gestattet aber, noch frei zwischen denjenigen Präferenzfunktionen zu wählen, die den gesetzten Anforderungen genügen. Je mehr Entscheidungsprinzipien befolgt werden, desto enger wird im allgemeinen der Entscheidungsspielraum im Hinblick auf die Wahl einer Präferenzfunktion. Im Grenzfall bleibt nur noch eine Präferenzfunktion übrig; dann bilden die betreffenden Entscheidungsprinzipien gemeinsam eine Entscheidungsregel. Für "Entscheidungsregel" und "Entscheidungsprinzip" wird der Oberbegriff "Entscheidungskriterium'' verwendet (je nach seinem Inhalt ist also ein Entscheidungskriterium eine Entscheidungsregel oder ein Entscheidungsprinzip): Entscheidungskriterium

Entscheidungsregel

Entscheidungsprinzip

Abb. II.3: "Entscheidungskriterium" als Oberbegriff für "Entscheidungsregel" und "Entscheidungsprinzip"

5)

Es sei daran erinnert, daß in dieser Arbeit die Maximierung als Optimierungskriterium zugrunde gelegt wird. Die Ermittlung einer Entscheidungsregel und die Ermittlung einer Präferenzfunktion sind dann identische Problemstellungen.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

29

Um die Grundbegriffe "Entscheidungsregel" und "Entscheidungsprinzip" näher zu präzisieren, sollen einige Überlegungen späterer Kapitel vorweggenommen werden. Dabei wird angenommen, der Entscheider orientiere sich nur an einer Zielgröße, Z, wobei er einen höheren Wert der Zielgröße einem niedrigeren vorzieht. Er hat mehrwertige Erwartungen darüber, welchen Wert diese Zielgröße bei Wahl der Alternative A^ (a=l,2,...,A) annehmen wird. Jeder Alternative entspricht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße. (Es liegt also eine Risikosituation vor.) Da nur eine Zielgröße relevant ist, würde bei sicheren Erwartungen unmittelbar die Entscheidungsregel "Maximierung der Zielgröße" folgen. Für Risikosituationen stellt jedoch die Norm "Maximierung der Zielgröße" keine Entscheidungsregel dar. Da mehrwertige Erwartungen darüber bestehen, welcher Zielgrößenwert bei Wahl einer Alternative erreicht wird, kann in der Regel im voraus gar nicht geprüft werden, welche Alternative zum maximalen Zielgrößenwert führt. Da jeder Alternative eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße entspricht, müssen zur Beschreibung einer Entscheidungsregel gewisse Kennzahlen ausgewählt werden, mit deren Hilfe die Wahrscheinlichkeitsverteilungen repräsentiert werden. Eine einfache Möglichkeit besteht darin, den mathematischen Erwartungswert JLI der Zielgröße als einzige Kennzahl zu verwenden. Eine Beurteilung der Alternativen ausschließlich nach dem Erwartungswert wird als [x-Prinzip bezeichnet. Nach diesem Prinzip entspricht der Alternative A^ (a=l,2,...,A) der folgende Präferenzwert: (II.5)

^ ( A a ) = Ha-

Dabei bezeichnet in^ den Erwartungswert der Zielgröße bei Wahl der Alternative A^. Alle Alternativen mit gleichem Erwartungswert der Zielgröße sind nach dem jj.-Prinzip als gleichwertig anzusehen, unabhängig davon, welche Unterschiede ansonsten zwischen den Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße bestehen. Das |j,-Prinzip macht zwar keine Aussage darüber, welche Ausprägung für den Erwartungswert anzustreben ist. Wird jedoch (wie in dieser Arbeit) davon ausgegangen, der Präferenzwert sei zu maximieren, führt die Orientierung am |LX-Prinzip unmittelbar zu einer Entscheidungsregel, der sogenannten jd-Regel. (In der Literatur werden daher die Begriffe jii-Prinzip und ji-Regel im gleichen Sinne verwendet.) Die |LX-Regel impliziert, der Entscheider sei "risikoneutral" (vgl. Kapitel VI, Abschnitte 2.1 und 2.2), d.h. es sei ihm gleichgültig, in welcher Weise die Zielgröße um ihren Erwartungswert streut. Die einfachste Möglichkeit, neben dem Erwartungswert der Zielgröße auch das "Risiko" zu erfassen, besteht in der Einbeziehung der Standardabweichung der Zielgröße (a). Eine Beurteilung der Alternativen nach den Kennzahlen |LI und a wird als (^,a)-

30

Kapitel II

Prinzip bezeichnet. Danach ist der Präferenzwert einer Alternative A^ allein von deren (|Li,a)-Konstellation abhängig: (II.6)


Das ()i,a)-Prinzip ist keine Entscheidungsregel, denn es macht keine Aussage über die Gestalt der Präferenzfunktion O, d.h. über die Höhe der Präferenzwerte, die den alternativen ()j,,a)-Konstellationen beizumessen sind. Je nach Festlegung dieser Funktion entstehen unterschiedliche Entscheidungsregeln. "Während es also nur ein (|Li,a)-Prinzip gibt, existiert eine Vielfah von (|Li,a)-Regeln" (BAMBERG/COENENBERG, 2002, S. 104). 2.3.5. Die Maximierung des Präferenzwertes als

Optimierungskriterium

Wie bereits erläutert wurde, wird in dieser Arbeit stets davon ausgegangen, der Präferenzwert 0 ( A J sei zu maximieren. Dadurch wird jedoch die Allgemeinheit der Darstellungen nicht eingeschränkt. Die Präferenzfunktion läßt sich stets in der Weise formulieren, daß ihre Maximierung sinnvoll ist. Zur Verdeutlichung wird vereinfachend davon ausgegangen, der Entscheider orientiere sich nur an der einen Zielgröße Z. Außerdem kenne er mit Sicherheit den Zielgrößenwert Z^, der bei Wahl einer Alternative A^ erreicht wird. (Zur Verallgemeinerung der folgenden Darstellungen vgl. DINKELBACH, 1980.)

Unabhängig davon, welchen Wert nun der Entscheider für seine Zielgröße anstrebt, kann die Präferenzfunktion als eine zu maximierende Funktion dargestellt werden: Strebt der Entscheider einen möglichst hohen Wert an, ergibt sich unmittelbar eine zu maximierende Präferenzfunktion, indem der Präferenzwert einer Alternative gleich dem entsprechenden Zielgrößenwert gesetzt wird: (11.7)

0(A,)-Za

Die Zielfunktion lautet: (11.8)

cD(Aa) = Z a ^ M a x ! a

Ist die Zielgröße zu minimieren, kann die Präferenzfunktion ebenfalls als eine zu maximierende Funktion dargestellt werden: Der Präferenzwert der Alternative A^ wird mit ihrem negativen Zielgrößenwert gleichgesetzt: (11.9)

cD(Aa) = - Z a .

Die Maximierung von O impliziert dann die Minimierung von Z. Die Zielfunktion lautet demnach: (ILIO)

cDj(Aa) = - Z a ^ M a x !

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

31

Im Fall der Fixierung will der Entscheider mit seiner Zielvariablen Z einem bestimmten Wert Z möglichst nahe kommen. Der Entscheider ist also bestrebt, die Abweichung zwischen Z und Z zu minimieren. Als Maß für die Abweichung kann z.B. der Ausdruck ( Z - Z)^ dienen. Dieser Ausdruck wird genau dann minimiert, wenn sein negativer Wert maximiert wird. Die Zielfunktion lautet somit: (ILll)

02(A,) = -(Za-Z)2->Max! a

Im Fall der Satisfizierung setzt der Entscheider ein bestimmtes Anspruchsniveau Z für seine Zielvariable fest. Erreicht er irgendeinen Zielgrößenwert Z > Z, ist er zufrieden; eine weitere Verbesserung des Zielgrößenwertes strebt er dann nicht mehr an. Umgekehrt will er mindestens die Untergrenze Z erreichen. Gelingt ihm dies nicht, so soll die Zielvariable Z dem Wert Z möglichst nahe kommen. Für den Fall der Satisfizierung kann die Zielfunktion wie folgt dargestellt werden: f Z . , falls Z . < Z (11.12) cD3(Aa) = U ( Z J - ^ M a x ! mitU(ZJ= ^ \ a [Z, lalls Z^ > Z. Nach dieser Zielfunktion erscheinen alle Alternativen, mit denen das Anspruchsniveau erreicht oder übertroffen wird, als gleichwertig, auch wenn ihnen unterschiedliche Werte der Zielgröße Z entsprechen.

3.

3.1.

Die Bedeutung des Ordnungsaxioms und des Transitivitätsaxioms für die Formulierung einer konsistenten Zielfunktion Darstellung der Axiome

Die Formulierung von Zielfunktionen stellt in realistischen Entscheidungssituationen ein komplexes Problem dar. Die (präskriptive) Entscheidungstheorie will und kann einen Beitrag zur Lösung dieses Problems leisten. Damit die Entscheidungstheorie einem Entscheider überhaupt helfen kann, rationale Entscheidungen zu treffen, muß er gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bildung von Präferenzvorstellungen über die Ergebnisse erfüllen. Üblicherweise wird im Rahmen der (normativen) Entscheidungstheorie von zwei zentralen Annahmen (oder Grundanforderungen) ausgegangen, die durch das Ordnungs- und das Transitivitätsaxiom ausgedrückt werden. Zur Darstellung der beiden Axiome werden folgende Symbole eingeführt: Ej >- Ej = Der Entscheider zieht das Ergebnis Ej dem Ergebnis Ej vor,

32

Kapitel II

Ej -- Ej = der Entscheider ist zwischen beiden Ergebnissen indifferent, Ei -< Ej = der Entscheider zieht das Ergebnis Ej vor. Das Ordnungsaxiom besagt: Der Entscheider kann für jedes beliebige Ergebnispaar Ej und Ej angeben, ob

oder

Ej ~ Ej

oder

Ej -< Ej

gilt. Der Entscheider soll also die Ergebnisse miteinander vergleichen können. Das Transitivitätsaxiom besagt: Die Präferenzen des Entscheiders bezüglich dreier beliebiger Ergebnisse Ej, Ej und Ej^ sind im folgenden Sinne konsistent: - Gilt Ej '^ Ej und Ej - E]^,dann gilt auch Ej - E]^. - Gilt Ej >- Ej und Ej >- E]^,dann gilt auch Ej :^ Ej^. - Gilt Ej >- Ej und Ej -- Ei^,dann gilt auch Ej :^ Ej^. Wenn z.B. jemand Bier besser findet als Wein und Wein wiederum Whisky vorzieht, muß er Bier auch gegenüber Whisky bevorzugen. Das Transitivitätsaxiom bezieht sich auf eine gegebene Entscheidungssituation (streng genommen auf einen Zeitpunkt), denn die Wertvorstellungen können sich im Zeitablauf ändern. Es stellt keinen Verstoß gegen das Transitivitätsaxiom dar, wenn ein Zwanzigjähriger das Präferenzurteil Turnen >-Fußballspielen :^ Lesen vertritt, mit 80 Jahren jedoch lieber liest als turnt.

3.2.

Zur Bedeutung des Ordnungsaxioms

Das Ordnungsaxiom besagt nicht, daß der Entscheider beliebig komplexe Ergebnisse unmittelbar miteinander vergleichen kann. Die normative Entscheidungstheorie bietet vielmehr Entscheidungshilfen für den Ergebnisvergleich, indem sie zeigt, wie der Vergleich komplexer Ergebnisse auf den (sukzessiven) Vergleich solcher Ergebnisse zurückgeführt werden kann, die möglichst geringe Anforderungen an die Bewertungsfähigkeit des Entscheiders stellen (solche Konzepte werden später noch dargestellt). Wenn dann aber der Entscheider immer noch nicht in der Lage ist, die Ergebnisse miteinander zu vergleichen (also das Ordnungsaxiom zu erfüllen), stößt die Entscheidungstheorie an ihre Grenzen. Sie will einem Entscheider nicht dogmatisch vorschreiben, was er tun soll, sondern will ihm helfen, rationale Entscheidungen zu treffen. Eine rationale Entscheidung setzt aber das Vorhandensein von Zielvorstellungen voraus, auf deren Grundlage die Wünschbarkeit bestimmter Handlungsfolgen beurteilt werden kann. Wenn

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

33

der Entscheider keine Vorstellungen darüber hat, was er eigentlich will, kann ihm die Entscheidungstheorie allein keine Entscheidungshilfe gewähren. Er benötigt dann zusätzlich eine Instanz, die ihm Zielvorstellungen (Wertvorstellungen) vermittelt. Im folgenden wird stets angenommen, das Ordnungsaxiom sei erfüllt.

3.3.

Zur Bedeutung des Transitivitätsaxioms

Auch das Transitivitätsaxiom ist im Rahmen der präskriptiven (bzw. normativen) Entscheidungstheorie von zentraler Bedeutung. Eine präskriptive Theorie, die zuläßt, daß der Entscheider gegen das Transitivitätsaxiom verstößt, könnte kaum akzeptable Empfehlungen für praktisches Handeln geben. Es kann gezeigt werden, daß eine Nichtbefolgung des Transitivitätsaxioms zu unvernünftigen Verhaltensweisen führt. So besteht z.B. die Möglichkeit, einen beharrlich gegen das Transitivitätsaxiom verstoßenden Entscheider beliebig auszubeuten. Besonders einprägsam wurde diese Möglichkeit von RAIFFA (1973, S. 99f.) verdeutlicht: Herr Meier möchte ein Haus erwerben. Er zieht die Objekte A, B und C in die engere Wahl. Nach reiflicher Überlegung kommt er zu folgendem (intransitivem) Präferenzurteil: A>-B,

B^C,

C)>-A.

"Es macht Spaß, mit Leuten wie Herrn Meier zu diskutieren, insbesondere, wenn sie sich hartnäckig weigern, ihre Meinung zu ändern. „Herr Meier, nehmen wir an, daß Sie gerade den Kaufvertrag für das Haus A unterschrieben haben und daß Ihnen der Makler nun C gegen ein kleines Handgeld anbietet. Wenn Ihnen Ihre Präferenzen etwas bedeuten, dann müssen Sie bereit sein, dieses Handgeld zu bezahlen, um Haus A gegen Haus C zu tauschen. Sie sind also jetzt Eigentümer von C. Als nächstes schlägt der Makler Ihnen vor, gegen ein kleines Handgeld B gegen C zu tauschen. Aufgrund Ihrer Präferenzen bezahlen Sie und erwerben B. Warum aber B behalten, wenn Sie A gegen ein kleines Handgeld bekommen können? Warum aber A behalten, wenn Sie C gegen ...? Sie wollen nicht? ... Das verstehe ich nicht, wo Sie C doch A vorziehen? ...Nun gut. Es handelt sich doch nur um ein kleines Handgeld ...Wollen Sie Ihre Meinung wirkUch nicht ändern?"" (RAIFFA, 1973, S. 100). Wenn Herr Meier sein Präferenzurteil nicht zu revidieren bereit ist, wird ihm schließlich das Geld fehlen, überhaupt ein Haus zu kaufen. Das Beispiel macht deutlich, welche Bedeutung dem Transitivitätsaxiom für rationale Entscheidungen zukommt. Wie empirische Untersuchungen gezeigt haben, ist das Transitivitätsaxiom in der Realität jedoch nicht immer erfüllt (SCHAUENBERG, 1978). Es kann vorkommen, daß für ein In-

34

Kapitel II

dividuum Ej-'Ej und Ej-'E]^ und gleichzeitig auch Ej y^\^ gilt.^) Ein solcher Verstoß gegen das Transitivitätsaxiom kann wie folgt erklärt werden (SCHNEEWEIß, 1966, S. 131): Indifferenz zwischen zwei Ergebnissen bedeutet zwar streng genommen, daß kein "Nutzenunterschied" besteht. In der Realität werden aber geringe Nutzenunterschiede nicht wahrgenommen, sofern sie innerhalb bestimmter "Fühlbarkeitsschwellen" liegen. Die Ergebnisse Ej und Ej bzw. E; und Ej^ können daher als äquivalent erscheinen, obwohl sie es bei genauer Nutzenwahmehmung gar nicht wären. Beim Vergleich von Ej und Ej^ ist der Nutzenunterschied jedoch schon so groß, daß die Fühlbarkeitsschwelle überschritten wird: Es gilt Ej :^ Ej^. Zur Verdeutlichung wird angenommen, einem Gast, der keinen Zucker im Kaffee mag, werden drei Tassen Kaffee zum Vergleich angeboten, die sich geringfügig durch ihren Zuckergehalt unterscheiden. In der ersten Tasse ist am wenigsten Zucker und in der dritten am meisten. Trotzdem könnte der Gast zwischen der ersten und der zweiten Tasse indifferent sein, weil er den (geringen) Unterschied im Zuckergehalt nicht wahrnimmt. Analog könnte Indifferenz auch bezüglich der zweiten und der dritten Tasse bestehen. Wenn nun der Gast eine Kostprobe bezüglich der ersten und der dritten Tasse macht, könnte er aber den Kaffee in der ersten Tasse vorziehen, weil er ihn (aufgrund des nun größeren Unterschiedes im Zuckergehalt) als weniger süß empfindet als den in der dritten. Die Beobachtung, daß das Transitivitätsaxiom in der Realität gelegentlich verletzt wird, spricht jedoch nicht gegen dieses Axiom als Baustein einer präskriptiven Entscheidungstheorie. Die präskriptive Entscheidungstheorie beschäftigt sich nicht primär mit der Frage, inwieweit in der Realität vernünftige Entscheidungen getroffen werden. Sie will rationales Verhalten erst ermöglichen und wäre überflüssig, wenn es bereits ausschließlich rationales Verhalten gäbe. Im folgenden wird stets davon ausgegangen, das Transitivitätsaxiom sei erfüllt bzw. der Entscheider akzeptiere das Transitivitätsaxiom.

4. 4.1.

Das Grundmodell der Entscheidungstheorie Die Grundstruktur des Modells

Bei der Konstruktion eines Entscheidungsmodells stellt sich das Problem, in welcher Weise die einzelnen Basiselemente des Modells dargestellt werden sollen. Ein sehr anschauliches Darstellungskonzept bietet das Grundmodell der Entscheidungstheorie (SCHNEEWEIß, 1966), dessen wesentliche 6)

MAY (1954) beobachtete in seinen Experimenten auch intransitive Präferenzrelationen der folgenden Art: Ej y Ej, Ej >-E]^,E]^>E-^

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

35

Bausteine die Zielfunktion (die Entscheidungsregel) und die Ergebnismatrix sind. Dabei dient die Ergebnismatrix zur Beschreibung des Entscheidungsfeldes. In der Vorspalte der Ergebnismatrix sind die erwogenen Alternativen (Ai,A2,...,A^) aufgeführt und in der Kopfzeile alle oder ein Teil der Umweltzustände, die im Urteil des Entscheiders möglich sind. Als Elemente der Ergebnismatrix werden die jeweiligen Ergebnisse dargestellt. Dabei bezeichnet Eas (a=l,2,...,A; s=l,2,...,S) jenes Ergebnis, das mit Sicherheit erzielt wird, wenn die Alternative A^ gewählt wird und der Zustand Sg eintritt. In Risikosituationen ist die Ergebnismatrix durch die Wahrscheinlichkeiten für die Zustände zu ergänzen. Wird die Wahrscheinlichkeit für den Zustand Sg (s=l,2,...,S) mit w(Ss) bezeichnet (w(Ss)>0), so erhält die Ergebnismatrix nach dieser Ergänzung die folgende Gestalt: w(S,)

W(S2)

Si

S2

Al

El,

E12

El,

^\s

A2

E21

E22

E2,

^25

Aa

Eal

Ea2

^as

E,s

AA

EAI

EA2

^Ks

EAS

w(Ss)

Matrix II. 1: Ergebnismatrix bei Risiko Sofern in der Ergebnismatrix alle (im Urteil des Entscheiders) möglichen Zustände berücksichtigt werden, muß gelten: w(Si) + w(S2) + ... + w(Ss) = 1. Mit dem Erstellen der Ergebnismatrix ist das Entscheidungsproblem noch nicht gelöst. Es ist ja noch offen, welche Alternative gewählt werden soll. Um eine Entscheidung treffen zu können, müssen die möglichen Ergebnisse gegeneinander abgewogen werden. Dies setzt die Existenz einer Zielfunktion (einer Entscheidungsregel) voraus. Erst wenn die Ergebnismatrix durch eine Zielfunktion ergänzt wird, entsteht ein vollständiges Entscheidungsmodell; es wird als Grundmodell der Entscheidungstheorie bezeichnet. Die Struktur der beiden Bausteine des Modells (Ergebnismatrix und Zielfunktion) soll nun näher betrachtet werden.

36

4.2.

Kapitel II

Zur Darstellung der Ergebnismatrix

4,2,1. Allgemeine

Äusführungen

Die in der Ergebnismatrix dargestellten Alternativen A I , A 2 V , A A schließen einander aus; nur eine von Ihnen kann gewählt werden. Der Entscheider kann natürlich immer nur solche Alternativen in seinen Entscheidungskalkül einbeziehen, die er nach mehr oder weniger kreativer Altemativensuche und/oder nach Beratung durch andere Personen überhaupt wahrnimmt. Objektiv wird es im allgemeinen noch weitere, ihm unbekannte Alternativen geben. Um den Planungsaufwand in akzeptablen Grenzen zu halten, wird der Entscheider seinen Handlungsspielraum andererseits oft bewußt einengen. In diesem Fall trifft er eine Vorauswahl, indem er bestimmte, als möglich erkannte Alternativen nicht in seinen Entscheidungskalkül (hier: die Ergebnismatrix) einbezieht.^) Vor allem können solche Alternativen vernachlässigt werden, bei denen von vornherein zu erwarten ist, daß sie den Zielvorstellungen des Entscheiders nicht genügen. Enthält die Ergebnismatrix alle Zustände, die aus der Sicht des Entscheiders eintreten können, muß sich im Urteil des Entscheiders genau einer der aufgeführten Zustände einstellen. Im allgemeinen sind jedoch sehr viele Zustände möglich. Gibt es z.B. 4 entscheidungsrelevante Daten, die unabhängig voneinander je drei Werte annehmen können, so sind bereits 3^ = 81 Zustände möglich. Bei der konkreten Darstellung einer Ergebnismatrix ergibt sich daher im allgemeinen die Notwendigkeit, die Anzahl der Zustände zu begrenzen. Es können z.B. bei der Beschreibung der Zustände weniger "wichtige" Daten völlig vernachlässigt werden und/oder jeweils mehrere mögliche Zustände zusammengefaßt und durch jeweils einen "mittleren" Zustand repräsentiert werden (vgl. hierzu Kapitel XII). Auch die Ermittlung und Darstellung der Ergebnisse E^s kann einen großen Planungs- und Rechenaufwand verursachen. Das gilt vor allem dann, wenn es mehrere Zielgrößen gibt. Es liegt dann nahe, die weniger "wichtigen" Zielgrößen zu vernachlässigen. In dieser Arbeit wird im allgemeinen davon ausgegangen, daß durch die gewählte Alternative und den eintretenden Umweltzustand der Wert der Zielgröße bzw. die Werte der Zielgrößen deterministisch bestimmt sind; jedem Ergebnis E^s entspricht also ein sicherer Zielgrößenwert bzw. (bei mehreren Zielgrößen) ein sicherer Zielgrößenvektor. Je nach Beschreibung der Alternativen und der Zustände ist es in der Realität aber auch möglich, daß die Ergebnisse E^s mehrwertig sind. Insbesondere kann jedem Ergebnis E^s eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße bzw. die Ziel7)

Eine derartige Vereinfachung ist bei der Konstruktion einer Ergebnismatrix immer dann geboten, wenn mindestens eine der Entscheidungsvariablen eine kontinuierHche Größe ist, also (innerhalb gewisser Grenzen) jeden beliebigen Wert annehmen kann. In diesem Fall geht die Zahl der möglichen Alternativen gegen unendlich.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

37

großen entsprechen. Bei der folgenden Ergebnismatrix ist eine Zielgröße relevant, wobei die Ergebnisse mehrwertig sind (die Eintrittswahrscheinlichkeit des jeweiligen Zielgrößenwertes ist in der Klammer angegeben):

A2

1/2 Sj

1/2 S2

80 (0,5); 30 (0,25); 10 (0,25)

100 (0,7); 80 (0,1); -50(0,2)

120 (0,6); 100 (0,2); - 4 0 (0,2)

80 (0,4); 60 (0,6)

Matrix II.2: Ergebnismatrix mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Ergebnisse Welchen Wert die Zielgröße bei Wahl der Alternative A^ (a=l,2) und Eintreten des Zustandes Sg (s=l,2) aufweist, zeigt sich hier erst dann, wenn die Realisation der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt ist. Den Ergebnissen E^s können z.B. dann Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße (bzw. die Zielgrößen) entsprechen, wenn die Zustände lediglich grob umrissen werden. Im allgemeinen kann zwar durch geeignete Umdefmition der Zustände erreicht werden, daß jeder Konstellation (Aa,Ss) genau ein sicherer Wert für die Zielgröße (bzw. - bei mehreren Zielgrößen - genau ein Zielgrößenvektor) entspricht. Eine solche Umdefinition führt aber dazu, daß die Zahl S der möglichen Zustände wächst; für die praktische Planung kann dies nachteilige Konsequenzen haben. Aus Vereinfachungsgründen können die den Ergebnissen E^s entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch je einen Wert (etwa den mittleren) dargestellt werden; in die weiteren Überlegungen gehen diese Werte als sichere Größen ein. (Dabei werden die Verteilungen und die Beträge, durch die sie repräsentiert werden, mehr oder weniger genau geschätzt.) Dieser Weg ist vor allem dann naheliegend, wenn die jeweiligen Streuungen der Ergebniswerte gering sind. In der Praxis wird man ohne solche Vereinfachungen kaum auskommen. 4,2,2,

Beispiele

Beispiel IL 1 Ein Entscheider will 1000 € in Wertpapieren anlegen mit dem Ziel, die Papiere nach einem Jahr wieder zu verkaufen, um eine Urlaubsreise zu finanzieren. Der nach einem Jahr erzielte Rückzahlungsbetrag setzt sich zusammen aus dem Verkaufserlös und den Zinsen oder Dividenden. Dem Entscheider sind die folgenden Anlagemöglichkeiten bekannt: 1. Kauf von Sparbriefen: Der Kaufpreise je Stück beträgt 100 €. Der Rückzahlungsbetrag in einem Jahr ist mit Sicherheit 108 € je Stück. 2. Kauf von Aktien der Gesellschaft ^.'Der heutige Aktienkurs beträgt 500 €. Nach einem Jahr erhält der Entscheider je Aktie die Einzahlung

38

Kapitell!

E^ (bestehend aus Verkaufserlös und Dividende), deren Höhe noch ungewiß ist. Im Urteil des Entscheiders ist E^ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 gleich 490 € oder 580 €: W(EA

= 490) = 0,5

W(EA = 5 8 0 ) = 0 , 5 .

3. Kauf von Aktien der Gesellschaft B: Der heutige Aktienkurs beträgt ebenfalls 500 €. Die Einzahlung Eg je Aktie (in einem Jahr) beträgt entweder 470 € oder 600 €; die betreffenden Eintrittswahrscheinlichkeiten sind 0,3 bzw. O,?:^) W ( E B = 470) = 0,3 W ( E B = 600) = 0,7. In der beschriebenen Situation sind die Entscheidungsvariablen die Stückzahlen der unterschiedlichen Wertpapiertypen im Portefeuille: Xp = Zahl der Sparbriefe, X^ = Zahl der Aktien der Gesellschaft A, Xß = Zahl der Aktien der Gesellschaft B. Der Entscheider kann unter den folgenden Alternativen (Wertpapierportefeuilles) wählen: Xp

XA

XB

Al

10

0

0

A2

5

1

0

A3

5

0

1

A4

0

1

1

A5

0

2

0

A6

0

0

2

Tabelle II. 1: Darstellung der Alternativen in Beispiel II.l Bei der Alternative (dem Portefeuille) A3 werden z.B. fünf festverzinsliche Papiere erworben, keine Aktie der Gesellschaft A und eine Aktie der Gesellschaft B. Da jedem Portefeuille dieselbe Anschaffungsauszahlung (von 1000 €) entspricht, müssen bei der Beschreibung der Ergebnisse nur die zukünftigen Einzahlungen berücksichtigt werden. Bei Realisation des Portefeuilles Al ist die Einzahlung mit Sicherheit gleich (10-108=) 1080. Bei den ande-

8)

Es wird hier angenommen, die Zufallsgrößen E^ und Eg seien voneinander stochastisch unabhängig. Zur Erfassung stochastischer Abhängigkeiten (mit Hilfe bedingter Eintrittswahrscheinlichkeiten) vgl. Kapitel V.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

39

ren Portefeuilles hängt die Einzahlung von jenen Beträgen (E^ und Eg) ab, die auf die einzelnen Aktien entfallen. Zur Erfassung dieses Sachverhalts werden die in Tabelle 11.2 aufgeführten Umweltzustände definiert: EA

Eß

Si

490

470

S2

490

600

S3

580

470

S4

580

600

Tabelle II.2: Darstellung der maßgeblichen Umweltzustände für Beispiel II.l Jedem Zustand entspricht also eine bestimmte Konstellation von Einzahlungen aus je einer Aktie der Gesellschaften A und B.^) Den einzelnen Zuständen sind die folgenden Eintritts Wahrscheinlichkeiten zugeordnet: w(Si) = W ( E A = 490) • W ( E B = 470) = 0,5 • 0,3 = 0,15 w(S2) = W ( E A = 490) • W(EB = 600) = 0,5 • 0,7 = 0,35 w(S3) = W ( E A = 580) • W ( E B = 470) = 0,5 • 0,3 = 0,15 w(S4) = W ( E A = 580) • W ( E B = 600) = 0,5 • 0,7 = 0,35. Somit hat die Ergebnismatrix die folgende Gestalt: 0,15

0,35

Si (490, 470)

S2 (490, 600)

0,15 S3 (580, 470)

0,35 S4 (580, 600)

Al

1080

1080

1080

1080

A2 A3

1030

1030

1120

1120

1010

1140

1010

1140

A4

960

1090

1050

1180

A5

980

980

1160

1160

A6

940

1200

940

1200

Matrix II.3: Ergebnismatrix für Beispiel II.l

9)

Da die Einzahlung aus einer Einheit des festverzinslichen Wertpapiers mit Sicherheit bekannt ist, muß sie bei der Beschreibung der Zustände nicht explizit berücksichtigt werden. Jedem Zustand würde dieselbe Einzahlung (von 108) entsprechen.

40

Kapitel II

Bei Wahl des Portefeuilles A2 (Xp=5, X A = 1 , Xß =0) und Eintreten des Zustandes S^ wird z.B. eine Einzahlung von (5-108 +1-490=) 1030 erzielt; tritt der Zustand S3 ein, ergibt sich eine Einzahlung von (5-108 + 1-580=) 1120. Welche Alternative für den Entscheider optimal ist, hängt von seiner Zielfunktion ab. Die simultane Planung des Wertpapierportefeuilles ist (im Vergleich zur isolierten Beurteilung der einzelnen Papiere) vor allem dann sinnvoll, wenn der Investor nicht risikoneutral ist. Entscheidungskriterien bei Nichtrisikoneutralität werden in den Kapiteln VI und VII dargestellt und beurteiU. Beispiel IL 2 Der Entscheider wohnt am Rande einer Bergkette und hat einen Termin in der Stadt auf der anderen Seite der Berge wahrzunehmen. Am Abend will er wieder zu Hause sein, da er Freunde eingeladen hat. Es gibt nur zwei Reisemöglichkeiten: entweder mit dem Zug oder dem eigenen Auto über einen Paß. Der Entscheider strebt eine möglichst kurze Fahrzeit an. Wenn der Paß frei ist, ist die Fahrzeit mit dem eigenen Wagen wesentlich niedriger als die mit dem Zug. Der Entscheider erwartet jedoch aufgrund des Wetterberichts, daß der Paß mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 auf der Rückfahrt verschneit sein wird. In diesem Fall dauert die Fahrt mit dem eigenen Wagen wesentlich länger als die mit dem Zug; er kommt dann zu spät nach Hause. Der Entscheider hat die zwei Alternativen A^ (mit dem Wagen fahren) und A2 (den Zug benutzen). Für die Entscheidung sind die beiden Zustände Si (der Paß ist nicht verschneit) und S2 (der Paß ist verschneit) relevant. Die Ergebnismatrix hat folgende Gestalt: 0,5 0,5 Sj S2 (der Paß ist nicht verschneit) (der Paß ist verschneit) A| (mit dem Wagen fahren)

kurze Fahrzeit

sehr lange Fahrzeit, verspätete Heimkehr

A2 (den Zug benutzen)

lange Fahrzeit

lange Fahrzeit

Matrix II.4: Ergebnismatrix für Beispiel II.2 In dieser Entscheidungssituation werden die Alternativen, Umweltzustände und Ergebnisse nicht durch Variablenausprägungen, sondern verbal beschrieben. Die Unsicherheit der Situation wird dabei aber nur grob erfaßt. Ob sich der Autofahrer verspätet und um welche Zeitspanne, hängt davon ab, um wieviel Uhr es zu schneien beginnt und in welcher Stärke es

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

41

schneit. Um diesem Sachverhalt Rechnung zu tragen, kann es sinnvoll sein, nicht nur die Zustände "es schneit nicht" und "es schneit" zu berücksichtigen, sondern stärker zu differenzieren und dabei die Zustände durch Daten zu kennzeichnen, die den Beginn und die Stärke des Schneefalls beschreiben. Gleichzeitig könnte abgeschätzt werden, um welche Zeit sich der Entscheider jeweils verspätet. Werden auch die jeweiligen Fahrzeiten durch Zeitangaben ausgedrückt, so entsprechen allen Ergebnissen Zahlenangaben. Entsprechend können auch die Handlungsalternativen durch Variablenwerte charakterisiert werden; in der beschriebenen Situation (mit nur zwei Handlungsaltemativen) entsteht daraus jedoch kein Vorteil.

4.3.

Zur Darstellung der Zielfunktion

Mit der Erstellung der Ergebnismatrix ist das Entscheidungsproblem noch nicht gelöst. Zur Auswahl einer Alternative muß der Entscheider die möglichen Ergebnisse gegeneinander abwägen. Oft kann er dies tun, ohne seine Zielfunktion formal darstellen zu müssen. Das Grundmodell der Entscheidungstheorie ist aber erst dann vollständig formuliert, wenn der Entscheider seine Zielvorstellungen explizit durch eine Zielfunktion zum Ausdruck gebracht hat, mit deren Hilfe für die erwogenen Alternativen Präferenzwerte bestimmt werden können. In den nächsten Kapiteln wird gezeigt, wie derartige Zielfunktionen für Entscheidungssituationen bei Sicherheit, Unsicherheit i.e.S. und Risiko ermittelt werden können.

4.4.

Zur Bedeutung des Grundmodells der Entscheidungstheorie

Da die zentralen Begriffe "Handlungsalternativen", "Umweltzustände" und "Ergebnisse" sehr allgemein definiert sind, stellt die Ergebnismatrix einen außerordentlich flexiblen Bezugsrahmen dar, der zur Strukturierung sehr unterschiedlicher Entscheidungsprobleme geeignet ist. Bei der konkreten Anwendung müssen allerdings die zentralen Grundbegriffe problemadäquat präzisiert werden: Es muß geklärt werden, welches die relevanten Alternativen sind, wie die Ergebnisse beschrieben werden sollen, von welchen Daten sie abhängen und welche Konstellationen von Ausprägungen für diese Daten möglich sind (und welche Eintrittswahrscheinlichkeiten diesen Konstellationen entsprechen). Das Formulieren einer Ergebnismatrix zwingt den Entscheider dazu, sich über Alternativen und deren mögliche Ergebnisse Klarheit zu verschaffen. Dies allein kann bereits zu einer Verbesserung der Entscheidung beitragen. Schon durch die Beschreibung von Alternativen und ihrer möglichen Konsequenzen kann Licht in ein undurchsichtiges Entschei-

42

Kapitel II

dungsproblem gebracht werden. "Die Erkenntnis, daß die Entscheidungsfindung auf den Vergleich von Alternativen führt, ist für sich betrachtet schon ein Vorteil. Die Erkenntnis, daß die Unsicherheiten, die die Situation beeinflussen, betrachtet werden müssen, veranlaßt viele, die Auswirkungen ihrer Entscheidungen sorgfältiger zu überlegen" (LINDLEY, 1974, S. 9). Die bisher betrachteten Beispiele könnten den Eindruck erwecken, die Alternativen und ihre möglichen Ergebnisse ließen sich stets in wenigen Zeilen und Spalten einer Ergebnismatrix darstellen. In der Realität geht indessen die Zahl der relevanten Alternativen oft in die Tausende. Auch die Zahl der möglichen Zustände ist bei komplexeren Entscheidungsproblemen sehr groß. Der mit der Erstellung einer Ergebnismatrix verbundene Planungsaufwand kann dann "von Hand" kaum bewältigt werden. Es besteht zwar die Möglichkeit, durch bewußte Vernachlässigung möglicher Alternativen und Zustände sowie durch eine mehr oder weniger grobe Beschreibung der relevanten Ergebnisse den Planungsaufwand in praktikablen Grenzen zu halten. Es besteht dann aber zugleich die Gefahr, daß eine "schlechte" Entscheidung getroffen wird. Im folgenden werden Modelltypen dargestellt, bei denen der Planungsaufwand wesentlich geringer sein kann als bei Anwendung des Grundmodells der Entscheidungstheorie. Obwohl dieses Grundmodell bei komplexeren Entscheidungsproblemen versagt, ist es auch für die Lösung derartiger Probleme von großer Bedeutung. Wie später noch deutlich wird, bietet die Ergebnismatrix einen einheitlichen Bezugsrahmen zur Darstellung und Analyse von entscheidungstheoretischen Grundproblemen, die sich in ganz unterschiedlichen Entscheidungssituationen ergeben können, und zwar auch dann, wenn die Entscheidung gar nicht auf der Basis einer Ergebnismatrix getroffen wird.

5. 5.1.

Graphische Entscheidungsmodelle Vorbemerkung

Im Prinzip lassen sich alle Entscheidungsprobleme (mit endlicher Zahl von Handlungsaltemativen und Zuständen) im Grundmodell der Entscheidungstheorie abbilden. Dennoch gibt es zwei weitere Modelltypen: - graphische Modelle und - mathematische Modelle (insbesondere mathematische Programmierungsansätze). Für Entscheidungsprobleme mit bestimmten Strukturen (etwa kontinuierliche Entscheidungsvariablen, sehr viele Alternativen) kann es zweckmäßig sein, auf diese Modelltypen zurückzugreifen. Graphische Entscheidungs-

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

43

modelle zeichnen sich vor allem durch ihre Anschaulichkeit aus. Andererseits können sie nur bei relativ einfachen Problemstrukturen Anwendung finden. Im vorliegenden Abschnitt wird mit Hilfe von Beispielen die Struktur graphischer Entscheidungsmodelle veranschaulicht. Dabei wird nur der Fall sicherer Erwartungen betrachtet.

5.2.

Eine Zielgröße

5.2.7. Eine

Entscheidungsvariable

Ein bekanntes Beispiel für graphische Entscheidungsmodelle mit einer Zielgröße und einer Entscheidungsvariable ist das Modell der Preisbildung im Monopol. Dabei geht es um die Bestimmung desjenigen Preises und derjenigen Produktionsmenge, die den Gewinn G als Differenz aus (Gesamt-) Erlös E und (Gesamt-)Kosten K maximieren. Die Zielfunktion lautet also: (11.13)

G = E-K->Max!

Die Nachfragemenge x sei eine linear fallende Funktion des Preises p:

Abb. II.4: Die Nachfragekurve des Monopolisten Der Gewinn wird unter der (notwendigen) Bedingung maximiert, daß eine Konstellation aus Preis und Produktionsmenge gewählt wird, die durch einen Punkt auf der Nachfragekurve charakterisiert wird. Punkte oberhalb der Nachfragekurve (wie z.B. Pj) repräsentieren Konstellationen, bei denen mehr produziert wird als zum jeweiligen Preis verkauft werden kann. Punkte unterhalb der Nachfragekurve (wie z.B. P2) kennzeichnen Konstellationen, bei denen die festgesetzte Produktionsmenge zu einem höheren

44

Kapitel II

Preis verkauft werden kann. Da der Preis so fixiert wird, daß die Nachfragemenge mit der Produktionsmenge übereinstimmt, kann auch die Produktionsmenge mit X bezeichnet werden. Wegen der eindeutigen Beziehung zwischen Preis und Produktionsmenge existiert im Grunde nur eine Entscheidungsvariable. Wird z.B. die gewinnmaximale Produktionsmenge bestimmt, ist zugleich (gemäß der Nachfragekurve) auch der Preis fixiert. Die gewinnmaximale Menge kann graphisch mit Hilfe der (Gesamt-) Erlös- und der (Gesamt-) Kostenkurve bestimmt werden (vgl. Abbildung II.5). Die Erlöskurve gibt an, welcher Erlös p • x bei alternativen Produktionsmengen X erzielt wird, sofern jeweils der Preis p entsprechend der Nachfragekurve fixiert wird. Die Kostenkurve bringt zum Ausdruck, wie die Kosten von der Produktionsmenge abhängen. Es wird im Beispiel davon ausgegangen, die Kosten seien bis zur Kapazitätsgrenze X (d.h. der maximal herstellbaren Menge) linear von der Produktionsmenge abhängig. Der Entscheidungsspielraum des Monopolisten ist charakterisiert durch das Intervall [ 0 , X ] als Wertebereich für die Entscheidungsvariable x (die Produktions- und Absatzmenge). Jeder Punkt auf dieser Strecke kennzeichnet eine (realisierbare) Handlungsalternative. Der senkrechte Abstand zwischen Erlöskurve und Kostenkurve stellt das jeweilige Ergebnis (den positiven oder negativen Gewinn) dar. Diese Ergebnisse müssen nicht explizit miteinander verglichen werden. Optimal ist jene Produktionsmenge x^p^, bei der eine Parallele zur Kostenkurve die Erlöskurve tangiert. E,K,pf

Kostenkurve

Erlöskurve Nachfragekurve

Abb. II.5: Zur Bestimmung der gewinnmaximalen Produktionsmenge

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

5.2.2. Zwei

45

Entscheidungsvariablen

Das folgende Beispiel ist typisch für ein Entscheidungsmodell mit zwei Entscheidungsvariablen. Beispiel 11.3 Ein Betrieb kann die Produkte 1 und 2 herstellen, für die mit Sicherheit die folgenden Daten gelten: Produkt Verkaufspreis (€) proportionale Kosten je Produkteinheit (€) Deckungsbeitrag je Produkteinheit (€)

1

2

30 21

36 30

9

6

Tabelle II.3: Verkaufspreise, proportionale Kosten und Deckungsbeiträge (Beispiel n.3) Es besteht also eine lineare Beziehung zwischen den Kosten und der Ausbringung. Außerdem ist der erzielte Preis unabhängig von der abgesetzten Menge. Die fixen Kosten betragen 400 €. Zielgröße sei der Gewinn G, der zu maximieren ist. Werden die Produktionsmengen der Produkte 1 und 2 mit xj und X2 bezeichnet, so lautet die Zielfunktion: (11.14)

G = 9-xi + 6 - X 2 - 4 0 0 ^ M a x !

Ferner wird angenommen, daß für die Produktion drei Anlagen benötigt werden, wobei die Bearbeitung der Produkte in beliebiger Reihenfolge vorgenommen werden kann. Die Beanspruchung dieser Anlagen geht aus der folgenden Tabelle hervor: Maschinenstunden je Einheit des Produkts Gesamtkapazität (in Maschinenstunden) 1 2 Anlage A

1

1

400

Anlage B

1

0,5

320

-

1

250

Anlage C

Tabelle II.4: Kapazitäten und Beanspruchung der Anlagen A bis C (Beispiel IL3) Hieraus ergeben sich die folgenden Nebenbedingungen:

46

Kapitel II

(11.15)

1-Xi + l

•X2<400

(Anlage A)

(11.16)

l-xi+0,5-X2<320

(Anlage B)

(11.17)

1

•X2<250

(Anlage C).

Da keine negativen Mengen hergestellt werden können, gelten zusätzlich dieNichtnegativitätsbedingungen: (11.18)

xi>0, X2>0.

Durch die Zielfunktion und die Nebenbedingungen (11.15) bis (11.18) ist bereits ein vollständiges mathematisches Entscheidungsmodell beschrieben. Dessen optimale Lösung kann mit Hilfe der linearen Programmierung (z.B. der Simplex-Methode) bestimmt werden. Das Optimum kann aber auch graphisch ermittelt werden. Jede zulässige Konstellation der Entscheidungsvariablen x^ und X2 kennzeichnet eine Alternative; sie ist repräsentiert durch das entsprechende Tupel (xi,X2) im (xi,X2)-Koordinatensystem. Zulässig sind nur diejenigen Tupel, die sämtlichen Nebenbedingungen genügen. Die als lineare Ungleichungen formulierten Nebenbedingungen spannen Halbräume auf, deren Durchschnitt die Menge aller zulässigen Alternativen charakterisiert. In Abbildung 11.6 sind die Nebenbedingungen (11.15) bis (11.18) bereits im Koordinatensystem eingezeichnet:

Isogewinnlinien

(11.18) (11.18)

(n.l6) (11.15)

Abb. II.6: Zur graphischen Ermittlung eines optimalen Produktionsprogramms

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

47

Die durch die Punkte B und C verlaufende Gerade ist der geometrische Ort aller (xi,X2)-Konstellationen, bei denen die Nebenbedingung (11.15) (die Kapazitätsbedingung für Anlage A) als Gleichung erfüllt ist. Alle Punkte unterhalb dieser Geraden charakterisieren (xi,X2)-Konstellationen, bei denen diese Nebenbedingung als Ungleichung ebenfalls erfüllt ist. In allen Punkten oberhalb dieser Geraden gilt 1-Xi + 1-X2>400; die Nebenbedingung (11.15) ist verletzt. In analoger Weise beschreiben die durch die Punkte A und B bzw. C und D verlaufenden Geraden die Nebenbedingung (11.17) bzw. (11.16). Unter Berücksichtigung der Nichtnegativitätsbedingungen (IL 18) folgt, daß die Menge der zulässigen Alternativen durch das Fünfeck OABCD abgebildet wird. Es stellt sich nun das Problem, das Optimum innerhalb dieses Bereiches zu bestimmen. Wird in die Zielfunktion (11.14) für G ein bestimmter Wert G eingesetzt, ergibt sich nach Umformung: m1o^ (11.19)

400+G X2= 6

9 --xi. 6

Diese Gerade ist der geometrische Ort für alle (xi,X2)-Konstellationen, denen der Gewinn G=G entspricht {Isogewinnlinie). Werden für G alternative Werte eingesetzt, ergibt sich eine Schar paralleler Isogewinnlinien mit der Steigung -3/2. Drei davon sind in Abbildung II.6 als gestrichelte Linien dargestellt. Der einer Isogewinnlinie entsprechende Gewinn ist um so höher, je weiter rechts oben sie im Koordinatensystem verläuft. Das Optimum liegt folglich dort, wo das Fünfeck OABCD durch die am weitesten rechts oben verlaufende Isogewinnlinie tangiert wird. Dies ist im Punkt C der Fall, dem folgende Lösung entspricht: xi=240, X2=160, G=2720. Bei dem hier beschriebenen (graphischen) Lösungsweg werden die Alternativen nicht explizit (wie in einer Ergebnismatrix) dargestellt. Es wird vielmehr ein Bereich abgesteckt, innerhalb dessen die zulässigen Alternativen (die zulässigen Lösungen des Entscheidungsproblems) liegen. Mit Hilfe von Isogewinnlinien wird zum Ausdruck gebracht, welche Alternativen (hier: (xi,X2)-Konstellationen) den gleichen Gewinn bieten. Zugleich wird damit bestimmt, welche der zulässigen Alternativen den maximalen Gewinn bietet.

5.3.

Zwei Zielgrößen

Orientiert sich der Entscheider an zwei Zielgrößen (Zj und Z2), so kann unter bestimmten Voraussetzungen die optimale Lösung in analoger Weise graphisch ermittelt werden wie bei einer Zielgröße und zwei Entschei-

48

Kapitel II

dungsvariablen. Die Darstellung erfolgt jetzt in einem Koordinatensystem, in dem nicht Entscheidungsvariablen, sondern Zielgrößen dargestellt werden:

Abb. II.7: Zur Ermittlung einer optimalen Lösung bei zwei Zielgrößen Das Fünfeck OABCD kennzeichnet den Bereich von (Zi,Z2)-Konstellationen, die mit den gegebenen Alternativen erreichbar sind. Die konvexen Kurven sind Indifferenzkurven, die die Präferenzvorstellungen des Entscheiders zum Ausdruck bringen. Eine Indifferenzkurve ist der geometrische Ort von (Zi,Z2)-Konstellationen, die im Urteil des Entscheiders gleichwertig sind. (Zur empirischen Bestimmung und zum Verlauf von Indifferenzkurven vgl. Kapitel III, Abschnitt 3.1.) Zieht der Entscheider c.p. einen höheren Wert der Zielgröße Z^ (z=l,2) einem niedrigeren vor, so repräsentiert eine Indifferenzkurve um so bessere (Z][,Z2)-Konstellationen, je weiter rechts oben sie im Koordinatensystem verläuft. Das Optimum liegt folglich dort, wo das Fünfeck durch die am weitesten rechts oben verlaufende Indifferenzkurve tangiert wird, also im Punkt T. Die Handlungsaltemativen und deren Zielgrößenkonstellationen werden wieder nicht explizit dargestellt. Vielmehr wird der Bereich jener (Z|,Z2)Konstellationen abgesteckt, die den gegebenen Alternativen entsprechen. Die Bestimmung der Grenzen dieses Bereiches kann jedoch erhebliche Schwierigkeiten bereiten. Nur bei relativ einfachen Entscheidungsproblemen können sie ebenfalls graphisch ermittelt werden.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

6.

49

Mathematische Entscheidungsmodelle (mathematische Programmierungsansätze)

6.1. Die allgemeine Struktur Die Bestimmung der optimalen Lösung eines Entscheidungsproblems auf der Grundlage einer graphischen Darstellung ist nur in besonderen Fällen möglich. Diese Methode versagt insbesondere dann, wenn mehr als zwei Zielgrößen zu beachten sind. Statt dessen kann zur Vorbereitung der Entscheidung ein mathematisches Entscheidungsmodell konstruiert werden, auf dessen Grundlage mit Hilfe bestimmter Rechentechniken eine optimale oder wenigstens eine "gute" Lösung bestimmt wird.^^) Derartige Modelle, die üblicherweise als mathematische Programmierungsmodelle bezeichnet werden, haben in Wissenschaft und Praxis große Bedeutung erlangt. Das gilt vor allem auch für den Bereich der Betriebswirtschaftslehre. ^0 Mit der Konstruktion von mathematischen Programmierungsmodellen für bestimmte Klassen von Entscheidungsproblemen (z.B. dem Problem der Bestimmung eines optimalen Produktionsprogramms, der optimalen Seriengröße oder eines optimalen Investitionsprogramms) befaßt sich die eigenständige Forschungsrichtung des "Operations Research" ("Unternehmensforschung"). Der weite Anwendungsbereich mathematischer Programmierungsmodelle resultiert daraus, daß bei fast jedem Entscheidungsproblem die Handlungsalternativen, Ergebnisse und Umweltzustände durch Variablen beschrieben werden können (nämlich die Entscheidungsvariablen, die Zielvariablen und die entscheidungsrelevanten Daten). In einem mathematischen Programmierungsmodell werden die erwogenen Alternativen nicht explizit abgebildet. Das Modell wird vielmehr durch Entscheidungsvariablen (Aktionsvariablen) definiert, deren zulässige Wertekonstellationen die Alternativen charakterisieren. Die zulässigen Wertebereiche für die Entscheidungsvariablen werden mit Hilfe von Nebenbedingungen im Modell abgesteckt. Außerdem wird im Modell erfaßt, wie die Ergebnisse von den Werten der Entscheidungsvariablen und den möglichen Zuständen abhängen. Schließlich werden die Zielvorstellungen des Entscheiders mit Hilfe einer Zielfunktion abgebildet (Abschnitt 2.3.2). Nachdem ein konkretes Entscheidungsmodell formuliert ist, stellt sich das Problem, diejenigen Werte der Entscheidungsvariablen zu bestimmen, die einerseits die formulierten Nebenbedingungen erfüllen und andererseits

10) Ein mathematisches Modell könnte auch dazu dienen, eine Ergebnismatrix zu erstellen, d.h. die möglichen Alternativen und ihre möghchen Ergebnisse zu beschreiben. Nachdem diese Matrix vorliegt, wird (mit Hilfe einer Entscheidungsregel) die zu realisierende Alternative ausgewählt. 11) Zur Anwendung mathematischer Programmierungsmodelle im betriebswirtschaftlichen Bereich vgl. z.B. HAX (1974, S. 17f.).

50

Kapitel II

die Zielfunktion maximieren. Ob dieses Problem gelöst werden kann, hängt von der Komplexität des Entscheidungsmodells bzw. von der Verfügbarkeit geeigneter Rechentechniken ab. Der Einsatz elektronischer Datenverarbeitungsanlagen ermöglicht es heute, die optimale Lösung zahlreicher Entscheidungsmodelle mit Hilfe von Methoden der mathematischen Programmierung numerisch zu bestimmen. Der Rechenprozeß bestimmt eine Alternative, die im Rahmen der im Modell abgebildeten Zusammenhänge optimal ist. Bei komplexen Entscheidungsmodellen stehen allerdings nicht immer geeignete Rechentechniken zur Verfügung, mit denen auf jeden Fall die Optimallösung gefunden werden kann. Es kann dann versucht werden, durch systematisches Probieren nach bestimmten Regeln eine "gute" Lösung zu finden (wobei der Anspruch, auf jeden Fall die optimale Lösung zu finden, aufgegeben wird). Systematische Suchverfahren zum Auffinden guter Lösungen werden als heuristische Verfahren bezeichnet (vgl. hierzu HAX, 1974, S. 93ff).

6.2.

Beispiel II.4

Im folgenden soll die Grundstruktur mathematischer Programmierungsmodelle mit Hilfe eines einfachen Beispiels verdeutlicht werden. ^2) D^S Modell beruht auf der Annahme, der Entscheider orientiere sich nur an einer Zielgröße, dem Gewinn, und er habe sichere Erwartungen. (Komplexere Entscheidungsmodelle mit mehrwertigen Erwartungen über die Umweltzustände werden später ausführlich dargestellt.) Ein Betrieb kann die Produkte 1, 2, 3 und 4 herstellen, für die folgende Daten gelten: Produkt 3

4

1

2

Verkaufspreis (€)

30

36

40

45

proportionale Kosten je Produkteinheit (€)

21

30

33

35

9

6

7

10

Deckungsbeitrag je Produkteinheit (€)

Tabelle II.5: Verkaufspreise, proportionale Kosten und Deckungsbeiträge (Beispiel n.4) Die fixen Kosten betragen € 400. Zielgröße ist annahmegemäß der Gewinn G, der zu maximieren ist. Werden die von den Produkten 1, 2, 3 und 4 her-

12) Dieses Beispiel stellt eine Erweiterung von Beispiel II.3 dar.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

51

gestellten Mengen mit x^, X2, X3 und X4 bezeichnet, so lautet die Zielfunktion: (11.20)

G = 9-xi + 6-X2 + 7-X3+10-X4-400

-> Max.

Außerdem wird angenommen, für die Produktion werden drei Anlagen mit begrenzten Kapazitäten benötigt, wobei wieder die Bearbeitung der Produkte in beliebiger Reihenfolge vorgenommen werden kann. Die Beanspruchung dieser Anlagen geht aus der folgenden Tabelle hervor: Maschinenstunden je Einheit des Produkts

Gesamtkapazität (in Maschinenstunden)

1

2

3

4

Anlage A

1

1

0,5

1,5

400

Anlage B

1

0,5

1,5

1

320

Anlage C

-

1

1

0,5

250

Tabelle II.6: Kapazitäten und Beanspruchung der Anlagen A bis C (Beispiel II.4) Somit gelten die folgenden Nebenbedingungen: (11.21)

1-xi + l

(11.22)

l-xi + 0,5-X2 + l,5-X3+l

(11.23)

•X2 + 0,5-X3+l,5-X4<400

(Anlage A)

•X4<320

(Anlage B)

1 •X2 + I •X3+0,5-X4<250

(Anlage C).

Außerdem gelten die Nichtnegativitätsbedingungen: (11.24)

xi > 0, X2 > 0, X3 > 0, X4 > 0.

Damit ist das Modell vollständig beschrieben. Die optimale Lösung kann mit Hilfe der linearen Programmierung (z.B. der Simplex-Methode) bestimmt werden. Bei der Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms mit Hilfe der linearen Programmierung wird nicht explizit überprüft, welche Handlungsalternativen (Produktionsprogramme) insgesamt realisierbar sind und welche Zielgrößenwerte (Gewinne) ihnen entsprechen. Die explizite Erstellung der entsprechenden Ergebnismatrix würde einen wesentlich größeren Planungsaufwand verursachen als die Formulierung und rechnerische Lösung des obigen Modells.

52

Kapitel II

7.

Zur Systematik von Entscheidungsmodellen

Die hier gewählte Systematik der Entscheidungsmodelle (Grundmodell der Entscheidungstheorie, graphische und mathematische Entscheidungsmodelle) ist eine Möglichkeit unter vielen. Es gibt zahlreiche andere Gesichtspunkte, nach denen eine Typisierung erfolgen kann: 1. Entscheidungsmodelle mit expliziter Erfassung versus Entscheidungsmodelle mit impliziter Erfassung der Alternativen: Im Grundmodell der Entscheidungstheorie werden die erwogenen Alternativen explizit dargestellt, in den graphischen und mathematischen Entscheidungsmodellen in impliziter Weise. 2. Entscheidungsmodelle mit einer Zielgröße versus Entscheidungsmodelle mit mehreren Zielgrößen: Obwohl in der Realität den Entscheidungen meist mehrfache Ziele zugrunde liegen, wird in den Zielfunktionen der meisten praktisch verwendeten Entscheidungsmodelle nur eine Zielgröße erfaßt. So beruhen die Entscheidungsmodelle der Betriebswirtschaftslehre häufig auf der Zielsetzung der Maximierung des Gewinns bzw. der Minimierung der Kosten. In Kapitel III wird untersucht, wie mehrere Zielgrößen im Entscheidungsmodell berücksichtigt werden können. 3. Einperiodige versus mehrperiodige Entscheidungsmodelle: Diese Unterscheidung ist vor allem unter dem Gesichtspunkt der Abstimmung der Aktionen für verschiedene Zeitpunkte von Bedeutung. Einperiodige Modelle dienen zur Auswahl einer Alternative für eine Periode, wobei die Einzelaktionen nicht in zeitlicher Hinsicht koordiniert werden (es bleibt also offen, wann diese Einzelmaßnahmen innerhalb der Periode realisiert werden). Oft wird auch von der Fiktion ausgegangen, die gewählte Alternative werde zu Beginn der Periode realisiert, während sich das Ergebnis am Ende der Periode einstellt. Mehrperiodige Modelle dienen dazu, die zeitlichen Interdependenzen zwischen gegenwärtigen und zukünftigen Aktionen zu berücksichtigen und die Maßnahmen verschiedener Zeitpunkte aufeinander abzustimmen. Dabei wird häufig von der Fiktion ausgegangen, die Aktionen würden nicht kontinuierlich im Zeitablauf, sondern zu diskreten Zeitpunkten t (t=l,2,...,T) realisiert. 4. Deterministische versus stochastische Entscheidungsmodelle: Deterministische Entscheidungsmodelle berücksichtigen von jedem entscheidungsrelevanten Datum jeweils nur eine Ausprägung. Derartige Modelle können sich daraus ergeben, daß die Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten mit Sicherheit bekannt sind, aber auch daraus, daß zwar mehrwertige Erwartungen über diese Ausprägungen bestehen, jedoch aus Gründen der Vereinfachung jeweils bestimmte Werte angenommen werden und damit so gerechnet wird, als seien sie (quasi) sicher.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

53

Stochastische Entscheidungsmodelle erfassen mehrwertige Erwartungen über die Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten, wobei diesen Ausprägungen Eintrittswahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Stochastische Entscheidungsmodelle beziehen sich also auf Risikosituationen. (Bei der Einteilung in deterministische und stochastische Entscheidungsmodelle wird die - praktisch kaum relevante - Unsicherheitssituation i.e.S. nicht berücksichtigt.)

8. 8.1.

Zur Bedeutung von Entscheidungsmodellen Entscheidung und Entscheidungsmodell

Da Entscheidungsmodelle immer nur wenige Eigenschaften der Realität abbilden können, sind sie stets eine vereinfachte Darstellung der Wirklichkeit (FRIEDMAN, 1953, S. 15). "Eine präzise Beschreibung (der Realität, H.L.) erscheint nicht nur unmöglich, sondern auch unzweckmäßig (siehe auch DINKELBACH, 1973), denn: - Eine realitätsgetreue Abbildung setzt empirisches Wissen voraus, das zum Teil gar nicht vorhanden ist. - Wegen des besseren Verständnisses sollte ein Modell übersichtlich sein. - Eine realitätsgetreue Abbildung führt zu relativ hohen Kosten der Modellformulierung und -lösung. Vermindert man den Grad der Realitätstreue bis zu einem gewissen (im allgemeinen nur grob schätzbaren) Niveau, so sinken die Kosten der Modellformulierung und -lösung vermutlich stärker als der Ertrag, der mit der Kenntnis der Modellösung verbunden ist" (FRANKE, 1977, S. 9). Aufgrund der Vereinfachung stellt die Lösung eines Entscheidungsmodells nicht notwendig die tatsächlich gewählte Alternative dar. Das Modell dient zunächst nur der Entscheidungsvorbereitung. Nachdem die Lösung vorliegt, ist eine Entscheidung darüber zu treffen, - ob die entsprechenden Pläne (das entsprechende Aktionsprogramm) in der vorliegenden Form realisiert oder - ob sie revidiert werden und, wenn ja, in welcher Weise. Dabei berücksichtigt der Entscheider auch solche Faktoren und Aspekte, die bisher im Modell nicht erfaßt worden sind, wobei er mehr oder weniger grob abschätzt, wie sich deren Vernachlässigung im Modell ausgewirkt haben könnte. Kommt er zu dem Ergebnis, daß die Lösung möglicherweise verbessert werden kann, so wird er entweder die Pläne ohne zusätzliche modellhafte Fundierung revidieren und dann die entsprechenden Maßnahmen durchführen oder aber das Entscheidungsmodell selbst revidieren (indem er z.B. im Kalkül zusätzliche Aktionsmöglichkeiten erfaßt und/oder die möglichen Folgen der erwogenen Maßnahmen präziser abbildet) und

54

Kapitel II

danach eine Lösung des revidierten Modells ermitteln. Nachdem die korrigierte Lösung vorliegt, trifft der Entscheider die endgültige Entscheidung (wobei er möglicherweise auch von dieser Modellösung abweicht) oder er revidiert abermals das Modell und bestimmt erneut eine Lösung. Das Modell wird dabei also schrittweise revidiert und der Planungsprozeß erst dann abgeschlossen, wenn eine Lösung (eine Alternative) gefunden ist, die intuitiv auch im Lichte bisher vernachlässigter Aspekte als "gut" erscheint. Auf die Bedeutung der Intuition bei der Anwendung von Entscheidungsmodellen hat auch HAX hingewiesen: "Beim Arbeiten mit Entscheidungsmodellen kann [...] auf Erfahrung und Intuition des Entscheidenden nicht verzichtet werden. Es gehen praktisch immer irgendwelche Größen in die Modellanalyse ein, die auf intuitiver Schätzung beruhen. Andererseits wird der Entscheidende auch das Ergebnis der Modellanalyse daraufhin überprüfen, ob es mit dem übereinstimmt, was er intuitiv für richtig hält. Ist dies nicht der Fall, so wird er die Ausgangsschätzungen überprüfen. Bei komplizierteren Modellen setzt diese Verfahrensweise eine leistungsfähige Rechenanlage voraus, die die geforderten Alternativrechnungen schnell durchführt. Die Entscheidung kommt so in einem Dialog zwischen Mensch und Maschine zustande, in dem der Mensch seine intuitiven Schätzungen im Lichte der Ergebnisse, zu denen sie führen, laufend revidieren kann. Der Vorzug dieser Verfahrensweise gegenüber einer rein intuitiven Entscheidung liegt zum einen darin, daß auf jeden Fall der vorhandene Bestand gesicherten Wissens korrekt verarbeitet wird, zum anderen darin, daß die Widerspruchsfreiheit zwischen intuitiven Schätzungen von Eingangsgrößen und dem intuitiven Urteil über Entscheidungen gewährleistet ist. Bei rein intuitivem Vorgehen würden derartige Widersprüche unerkannt bleiben. Je nach Art und Anwendungsgebiet des Entscheidungsmodells werden gesicherte Erkenntnisse einerseits und intuitive Urteile andererseits mit unterschiedlichem Gewicht in das Modell eingehen. Der Regelfall ist aber, daß das Entscheidungsmodell die Mitwirkung des selbständig urteilenden Menschen bei der Entscheidung nicht überflüssig macht, es vielmehr nur als Hilfsmittel zur Vorbereitung der Entscheidung dient" (HAX, 1974, S. 15f.).

8.2.

Entscheidungsmodelle im Licht der Anspruchsanpassungstheorie

8.2.1, Die Grundidee der Anspruchsanpassungstheorie: statt Maximierung

Satisfizierung

Die Bedeutung von Entscheidungsmodellen für die Entscheidungsfindung kann mit Hilfe der Anspruchsanpassungstheorie von SIMON (1957) verdeutlicht werden. Im Vordergrund dieser Theorie steht die Frage, welche

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

55

Art von Zielen im Entscheidungsprozeß verfolgt werden (bzw. verfolgt werden sollen). Zur Darstellung der Implikationen dieser Theorie für den Ablauf eines modellgestützten Entscheidungsprozesses wird hier davon ausgegangen, daß - der Entscheider im Entscheidungsmodell nur eine Zielgröße, Z, erfaßt, wobei er einen höheren Wert der Zielgröße einem niedrigeren Wert vorzieht, und daß - der einer Handlungsalternative entsprechende Zielgrößenwert eindeutig bestimmt werden kann. In dieser Situation ist es naheliegend, die Zielfunktion des Entscheidungsmodells als Maximierungsvorschrift hinsichtlich der Zielgröße zu formulieren. Dies ist das übliche Vorgehen. So berücksichtigen betriebswirtschaftliche Entscheidungsmodelle häufig nur die Zielgröße "Gewinn", wobei davon ausgegangen wird, der Gewinn sei zu maximieren. Gegen die Maximierungshypothese wird im Rahmen der Anspruchsanpassungstheorie eingewandt, daß die Entscheidungsfindung mit Zeitaufwand, Arbeitsleid und Kosten verbunden sei. Dies bewirke, daß die Suche nach einer Lösung des Entscheidungsproblems nicht so lange fortgesetzt wird, bis das Maximum der Zielgröße (z.B. das Maximum des Gewinns) erreicht ist. Vielmehr werde ein bestimmtes Anspruchsniveau - d.h. ein befriedigender Mindestwert für die Zielgröße - festgelegt und die Suche nach Lösungen schon dann als erfolgreich angesehen und eingestellt, wenn eine Lösung gefunden ist, bei der die Zielgröße dieses Anspruchsniveau überschreitet oder gerade erreicht: Es wird keine Maximierung, sondern eine ''Satisfizierung'' angestrebt. Die Anspruchsanpassungstheorie von SIMON besagt nicht, dem Entscheider sei es gleichgültig, wie weit die Zielgröße über seinem Anspruchsniveau liegt. Der Entscheider würde es durchaus begrüßen, wenn die Zielgröße (z.B. der Gewinn) nach Erreichen des Anspruchsniveaus weiter steigen würde, ohne daß zusätzliche Anstrengungen erforderlich sind. Wäre die Planungskapazität nicht begrenzt und würde die Entscheidungsfindung keinerlei Kosten (Anstrengungen) verursachen, so würde der Entscheider stets das Maximum seiner Zielgröße anstreben. Da aber diese Voraussetzung in der Realität nicht erfüllt ist, wird nur ein befriedigender Wert für die Zielgröße angestrebt (und der Entscheidungsprozeß beendet, wenn dieses Anspruchsniveau erreicht worden ist).^^) Das Anspruchsniveau wird vom Entscheider nach subjektivem Ermessen festgelegt. Es kann sich im Zeitablauf ändern. Wenn es sich als leicht 13) Dieses Satisfizierungskonzept unterscheidet sich von demjenigen, das der Zielfunktion (11.12) entspricht. Gemäß (11.12) sind alle Zielgrößenwerte, die nicht kleiner als das Anspruchsniveau sind, einander äquivalent. Das jetzt beschriebene Konzept geht davon aus, daß der Entscheider einen höheren Zielgrößenwert einem niedrigeren vorzieht. Um den Entscheidungsprozeß zu vereinfachen, strebt er jedoch nur ein Anspruchsniveau für die Zielgröße an.

56

Kapitel II

erweist, befriedigende Lösungen (Handlungsaltemativen) zu finden, steigt das Anspruchsniveau; erweist es sich als schwierig, wird das Anspruchsniveau gesenkt (SIMON, 1957, S. 253). Wie SIMON verdeutlicht hat (vgl. Kapitel XII, Abschnitt 5.3) kann die Festlegung des Anspruchsniveaus unter bestimmten Voraussetzungen ihrerseits mit Hilfe eines Entscheidungsmodells erfolgen. Bei Anwendung eines derartigen Modells würde allerdings die angestrebte Vereinfachung kaum erreicht werden. Eine Vereinfachung des Entscheidungsprozesses erfolgt grundsätzlich nur dann, wenn die Anspruchsniveaus nicht "theoretisch einwandfrei" ermittelt werden; der Entscheider muß sich mit mehr oder weniger groben Schätzungen zufrieden geben, wie SIMON (1957, S. 259) hervorhebt. Die Anspruchsanpassungstheorie läßt jedoch weitgehend offen, nach welchen Kriterien die Schätzung erfolgen soll. SIMON (1957, S. 253f.) gibt folgenden (zwar plausiblen, jedoch sehr allgemeinen) Hinweis: Das Anspruchsniveau zu einem bestimmten Zeitpunkt ist um so höher, je - niedriger die Kosten der Suche nach einer besseren Lösung (d.h. nach einer Lösung mit höherem Zielgrößenwert) und je - größer die Erfolgschancen dieser Suche sind. Ergebnisse empirischer Untersuchungen deuten darauf hin, daß die Anspruchsanpassungstheorie eher zur Erklärung der Entscheidungsprozesse in der Realität geeignet ist als die übliche Maximierungshypothese (HAUSCHILDT, 1973, 1977; HAMEL, 1973). Welche Konsequenzen ergeben sich daraus in normativer Hinsicht für die modellgestützte Entscheidungsfindung? Zur Beantwortung dieser Frage ist es zweckmäßig, Aktivitäten im ^^Meta-Bereich^^ und Aktivitäten im ^^ObjektbereicK^ des Entscheidungsmodells zu unterscheiden. 8.2,2. Meta- und Objektbereich eines

Entscheidungsmodells

Die Aktivitäten im Objektbereich eines Entscheidungsmodells erfolgen innerhalb eines konkreten K-Modells. Sie dienen dazu, diejenige Lösung zu bestimmen, die hinsichtlich der im Modell erfaßten Zielfunktion und der jeweiligen Nebenbedingungen optimal ist. Die Aktivitäten im Objektbereich des Modells bestehen aus logischen Deduktionen bzw. Rechenoperationen. Die Aktivitäten im Meta-Bereich des Entscheidungsmodells beziehen sich auf die Bestimmung der Basiselemente, die im Modell erfaßt werden sollen, auf die Konstruktion eines konkreten Entscheidungsmodells und auf die Beurteilung der Lösung (der Handlungsaltemative), die sich im Rahmen des Modells als "optimal" erweist. Die Aktivitäten im Meta-Bereich umfassen z.B. - die Suche von Handlungsaltemativen und die Klärung der Frage, nach welchen Zielgrößen sie beurteilt werden sollen, - die Konstruktion eines Entscheidungsmodells und

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

57

- die Überlegung, ob die mit Hilfe des Modells als "optimal" bestimmte Lösung (bzw. die entsprechende Handlungsaltemative) akzeptiert oder ob eine Planrevision erfolgen soll. Bei einer Planrevision werden möglicherweise weitere Handlungsaltemativen gesucht und das Entscheidungsmodell erweitert bzw. völlig neu formuliert. (Daran anschließend erfolgen wieder Aktivitäten im Objektbereich, wobei erneut eine Modellösung bestimmt wird.) Sowohl die Aktivitäten im Objektbereich als auch die im Meta-Bereich werden an bestimmten Zielvorstellungen ausgerichtet. (Dabei sind die Zielvorstellungen für den Objektbereich durch die Zielfunktion des Entscheidungsmodells repräsentiert.) Ein Zielkonzept, das für den einen Bereich sinnvoll ist, kann für den anderen problematisch sein. 8,2.3. Satisfizierung im Meta-Bereich und Maximierung im Objektbereich des Entscheidungsmodells Während die analytische Deduktion einer Optimallösung innerhalb eines gegebenen K-Modells einen relativ überschaubaren und aufgrund moderner Rechentechnik häufig vernachlässigbaren Aufwand verursacht, sind insbesondere die Aktivitäten im Meta-Bereich mit möglicherweise erheblichem Zeitaufwand, Arbeitsleid und Kosten verbunden, so daß es nicht sinnvoll ist, diese Aktivitäten ausschließlich am Ziel der Maximierung der im Entscheidungsmodell berücksichtigten Zielgröße Z auszurichten. Eine Orientierung am Konzept der Anspruchsanpassung erscheint in diesem Fall als sinnvoller: Der Entscheider strebt mit den Aktivitäten im Meta-Bereich ein Anspruchsniveau für die Zielgröße Z an. Seine Aktivitäten führen zunächst zu einem ersten konkreten Entscheidungsmodell. Liegt der Zielgrößenwert, der der optimalen Lösung dieses Modells entspricht, unter dem Anspruchsniveau, so wird z.B. nach weiteren Handlungsalternativen gesucht und das Modell um diese Alternativen erweitert. ^4) Wenn eine Modellösung gefunden ist, die dem Anspruchsniveau genügt, wird die Suche nach einer noch besseren Lösung eingestellt. 1^) 14) Jedoch kann die Feststellung, ob mit einer Lösung das Anspruchsniveau erreicht wird, bei mehrwertigen Erwartungen über die Ergebnisse der Alternativen (insbesondere bei mehrperiodigen Entscheidungsmodellen) Schwierigkeiten bereiten. Darauf wird auf in Kapitel XII, Abschnitt 5.3.3, näher eingegangen. 15) Zwar könnten die Aktivitäten im Meta-Bereich theoretisch mit Hilfe eines dem eigentlichen Entscheidungsmodell "übergeordneten" Modells - eines "Meta-Modells" - bestimmt werden, dessen Zielfunktion in der Maximierung eines Präferenzwertes besteht. Dieser Präferenzwert wäre zum einen abhängig von dem Zeitaufwand, dem ,Arbeitsleid" und den (sonstigen) Kosten, die mit den Aktivitäten im Meta-Bereich des eigentlichen Entscheidungsmodells verbunden sind, zum anderen von den entsprechenden "Chancen" einer Verbesserung des Wertes der Zielgröße Z, die im eigentlichen Modell erfaßt wird. Die Konstruktion eines Meta-Modells würde jedoch einen erheblichen Planungsaufwand verursachen. Abgesehen davon würde sich für das Meta-Modell wiederum ein Meta-

58

Kapitel II

Wenn der Entscheider mit den Aktivitäten im Meta-Bereich des Entscheidungsmodells ein Anspruchsniveau anstrebt, so folgt daraus nicht, daß die Idee der Maximierung von Z auch für die Operationen im Objektbereich aufgegeben werden muß. Da der Entscheider annahmegemäß einei^ höheren Wert seiner Zielgröße einem niedrigeren vorzieht, kann es geradezu irrational sein, bei der Formulierung eines Entscheidungsmodells die zu maximierende Zielfunktion durch eine Nebenbedingung zu ersetzen, die ein Anspruchsniveau zum Ausdruck bringt. Ist für ein bestimmtes Entscheidungsproblem ein (K-) Entscheidungsmodell konstruiert, das die Maximierung der Zielgröße Z zuläßt, so besteht zunächst kein Grund, auf die Ermittlung der im Rahmen des Modells optimalen Handlungsalternative zu verzichten und sich statt dessen mit einer befriedigenden Lösung abzufinden (vgl. hierzu HAX, 1974, S. 26). Eine Optimallösung ist einer befriedigenden Lösung immer dann vorzuziehen, wenn beide Lösungen mit dem gleichen Einsatz an Zeit und Kosten bestimmt werden können. "Für bestimmte Typen von Entscheidungsmodellen ist diese Voraussetzung erfüllt. Bei Modellen der linearen Programmierung z.B. kann man heute bei Verwendung elektronischer Rechenanlagen über Rechenprogramme verfügen, die Optimallösungen fast ebenso schnell liefern wie befriedigende Lösungen. Die Erkenntnis, daß das tatsächliche Verhalten der Betriebe mehr durch das Anstreben eines Anspruchsniveaus als durch Maximierungsstreben charakterisiert ist, macht also Optimierungsmodelle keineswegs überflüssig. Der Verzicht auf Optimierung im Rahmen des Modells muß aber dann in Betracht gezogen werden, wenn die Ermittlung des Optimums wegen der Komplexität des Modells und wegen des Fehlens geeigneter Lösungsverfahren nur mit großem Einsatz von Zeit und Kosten oder gar nicht möglich ist. In derartigen Fällen kann es erheblich leichter sein, befriedigende Lösungen zu finden. Die Bestimmung des Anspruchsniveaus für das Modell wird dabei in der Regel auf Erwägungen beruhen, die außerhalb des Modells liegen; allerdings ist zumindest theoretisch denkbar, für diese Entscheidung wieder ein besonderes Entscheidungsmodell zu konzipieren" (HAX, 1974,8.27). Im modellgestützten Entscheidungsprozeß kann es also durchaus sinnvoll sein, neben dem Konzept der Anspruchsanpassung auch das Prinzip der Maximierung zu verfolgen: Der Entscheider strebt bei seinen Aktionen im Meta-Bereich des Entscheidungsmodells ein Anspruchsniveau für die Zielgröße Z an, bei seinen (logischen bzw. rechnerischen) Operationen im Objektbereich des Modells AdiS jeweilige Maximum (d.h. diejenige Handlungsalternative, die unter den im Modell erfaßten Gegebenheiten optimal ist). Der Entscheider verhält sich also im Meta-Bereich als "Satisfizierer"

Bereich ergeben, innerhalb dessen die Aktivitäten nach der Idee der Anspruchsanpassung gesteuert werden müßten.

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

59

und im Objektbereich der Modellanalyse als "Maximierer". Das "Maximierungsmodell" ist dabei dem "Satisfizierungsmodell" untergeordnet. Die Ausführungen sollen am Beispiel der Ermittlung eines Produktionsund Absatzprogramms verdeutlicht werden. Der Entscheidungsprozeß könnte wie folgt ablaufen: Der Entscheider unternimmt zunächst Aktivitäten, um Produkte zu finden (bzw. zu erfinden), die er in sein Produktionsprogramm aufnehmen könnte. Dabei orientiert er sich am Konzept der Anspruchsanpassung, indem er ein bestimmtes Anspruchsniveau für den Gewinn anstrebt. Wenn der Entscheider glaubt, ein Produktions- und Absatzprogramm zusammenstellen zu können, das dem Anspruchsniveau genügt, so bricht er die Suche nach weiteren Produkten ab und formuliert ein Entscheidungsmodell. Dieses Modell dient dann dazu, mit den entdeckten Produkten - unter Berücksichtigung der Produktions- und Absatzrestriktionen - dasjenige Programm zusammenzustellen, das den maximalen Gewinn bietet. Wenn dieser Gewinn das Anspruchsniveau überschreitet oder gerade erreicht, wird das entsprechende Programm akzeptiert (und realisiert). Falls das Anspruchsniveau verfehlt wird, werden z.B. zusätzliche Produktionsmöglichkeiten (mit positiven Deckungsbeiträgen) gesucht und ein erweitertes Entscheidungsmodell konstruiert, mit dem dann das Gewinnmaximum für die neue Situation bestimmt wird. Dieser Gewinn wird wieder am Anspruchsniveau gemessen, usw. 16)

Das Anspruchsniveau ist nicht unwiderruflich vorgegeben. Erweist es sich als sehr schwierig oder gar als unmöglich, ein "befriedigendes" Produktions- und Absatzprogramm zu finden, dann wird das Anspruchsniveau gesenkt. Ist die Suche nach Produkten mit positiven Deckungsbeiträgen unerwartet erfolgreich, wird (in dieser Phase des Entscheidungsprozesses) das Anspruchsniveau erhöht. 8.3.

Die Subjektivität von Entscheidungsmodellen

Der Zweck eines Entscheidungsmodells kann nicht darin bestehen, ein "objektives Optimum" zu bestimmen. Ein solcher Anspruch kann nicht erfüllt werden. Entscheidungsmodelle stellen Instrumente dar, deren Anwendung zu einer Handlungsaltemative führen soll, die optimal oder doch wenigstens "gut" ist in bezug auf - die Zielvorstellungen des jeweiligen Entscheiders, auf - die von ihm wahrgenommenen Aktionsmöglichkeiten sowie auf - dessen (subjektive) Erwartungen über die Konsequenzen der erwogenen Maßnahmen. 16) Wird das Anspruchsniveau deshalb nicht erreicht, weil die Fertigung der erwogenen Produkte auf den vorhandenen Anlagen relativ hohe Kosten verursacht, so erwägt der Entscheider möglicherweise Neuinvestitionen. Es wird dann ein neuer Modelltyp relevant, für den die bisherigen Aussagen analog gelten.

60

Kapitel II

Personen mit anderen Zielen, einem anderen Kenntnisstand hinsichtlich der Alternativen und/oder einer anderen Erwartungsstruktur über die Konsequenzen der Alternativen mag eine ganz andere Entscheidung als optimal erscheinen. Die Konstruktion eines Entscheidungsmodells wird in mehrfacher Hinsicht durch subjektive Faktoren geprägt: 1. Zunächst einmal ist die Zielfunktion eines Entscheidungsmodells nicht objektiv vorgegeben, sondern durch die (subjektiven) Zielvorstellungen des jeweiligen Entscheiders bestimmt. Die Ziele können von Person zu Person verschieden sein. 2. Die Alternativen, die einem Entscheider in objektiver Hinsicht offen stehen, hängen weitgehend von seinen subjektiven Lebensumständen ab (etwa von seinen Fähigkeiten; von seiner Vermögenslage; von der Organisation, in der er arbeitet; von seiner Stellung innerhalb der Organisation). 3. Welche Alternativen ein Entscheider aus der Menge der ihm objektiv gegebenen Möglichkeiten tatsächlich wahrnimmt, wird darüber hinaus von weiteren subjektiven Faktoren bestimmt, z.B. seinem Einfallsreichtum, seinem Informationsstand sowie seiner Fähigkeit, aus Informationen Rückschlüsse auf (ihm) bisher unbekannte Alternativen zu ziehen. 4. Auch die Erwartungsstruktur über die maßgeblichen Zustände ist von subjektiven Faktoren abhängig, nämlich vom Informations stand des jeweiligen Entscheiders und der Art und Weise, wie er Informationen verarbeitet. Zwei Personen können verschiedene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen über bestimmte Zustände haben, weil sie unterschiedlich gut informiert sind oder weil sie aus denselben Informationen unterschiedliche (probabilistische) Rückschlüsse auf die Zustände ziehen. 5. Die von einem Entscheider wahrgenommenen Alternativen und deren möglichen Ergebnisse können immer nur in vereinfachter Form in einem Entscheidungsmodell abgebildet werden; das gleiche gilt grundsätzlich auch für die Zielvorstellungen des Entscheiders. Damit stellt sich das Entscheidungsproblem, in welcher Weise vereinfacht werden soll (Kapitel XII). Da es dem eigentlichen Entscheidungsproblem (d.h. der Wahl einer Handlungsaltemative) vorgelagert ist, wird es als Vorentscheidungsproblem bezeichnet. Welches konkrete Entscheidungsmodell zur Anwendung kommt, hängt davon ab, wie dieses Problem gelöst wird. Auch die Lösung des Vorentscheidungsproblems wird von subjektiven Faktoren bestimmt, z.B. von den Varianten der Vereinfachung, die der Entscheider (mehr oder weniger bewußt) gegeneinander abwägt, von der Erwartungsstruktur des Entscheiders über die jeweils möglichen Auswirkungen, von seiner Risikoeinstellung und von den ihm entstehenden Kosten der Formulierung und Lösung eines Entscheidungsmodells. Diese Kosten fallen in Form von Ausgaben (etwa für die Inanspruchnahme von Rechenkapazitäten) und/oder durch Einsatz von Arbeit und Zeit des Entscheiders (Opportunitätskosten) an. Je höher die dem Entscheider

Struktur und Bedeutung von Entscheidungsmodellen

61

entstehenden Kosten sind, desto stärker wird er im allgemeinen sein Entscheidungsmodell vereinfachen. Die Lösung eines Entscheidungsmodells kann natürlich immer nur zu derjenigen Alternative führen, die in Bezug auf jene Welt von Zielen, Alternativen usw. optimal ist, die im Modell dargestellt ist. hn Lichte anderer Modellkonstruktionen können sich andere Alternativen als optimal erweisen. Da die Modellkonstruktion und Modellösung nicht zur besten Alternative "schlechthin" führt, mag es naheliegen, Entscheidungsmodelle als Orientierungshilfe für die Entscheidungsvorbereitung pauschal abzulehnen. Wenn aber die "Entscheidung" nicht nach irgendeinem Zufallsexperiment getroffen oder das Verhalten anderer Personen (bzw. das eigene Verhalten in früheren Situationen) völlig ungeprüft nachgeahmt werden soll, ergibt sich stets die Notwendigkeit, Alternativen gegeneinander abzuwägen. Die damit verbundenen Überlegungen werden grundsätzlich nach bestimmten Denkmodellen geordnet, auch wenn das jeweilige Modell nicht explizit (aber imphzit doch im "Hinterkopf' des Entscheiders) angewendet wird. Da die Fähigkeiten des Menschen, komplexe Zusammenhänge zu durchschauen, begrenzt sind, ist bei impliziter Anwendung eines Entscheidungsmodells (das dann durch bestimmte "Gedanken" zum Ausdruck kommt) grundsätzlich eine stärkere Vereinfachung geboten als bei expliziter Anwendung, bei der das Entscheidungsmodell durch gewisse Zeichen und Symbole beschrieben wird, so daß die Lösung rechnerisch ermittelt werden kann. Das explizite Arbeiten mit Entscheidungsmodellen zwingt überdies den Entscheider dazu, sich mit den Beziehungen zwischen den verschiedenen Aspekten seines Entscheidungsproblems bewußt auseinanderzusetzen und dieses Problem als Einheit zu analysieren.

Ergänzende und vertiefende

Literatur:

BAMBERG/COENENBERG (2002, S. 13-42); BITZ (1977); DINKELBACH/KLEINE

(1996);

(1978, S. 13-42); H A X (1974a); (1974, S. 79-102); SCHNEEWEIß, C H . (1984); SCHNEEWEIß, H. (1966); SIEBEN/SCHILDBACH (1990); ZSCHOCKE (1995). DRUKARCZYK/MÜLLER-HAGEDORN

MENGES

TEIL B: INDIVIDUALENTSCHEIDUNG BEI SICHERHEIT

III.

1.

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien Problemstellung

In diesem Kapitel werden Entscheidungsprobleme untersucht, bei denen der Entscheider die Ausprägungen aller entscheidungsrelevanten Daten (und folglich auch den Zustand) mit Sicherheit kennt. Der Entscheider kann dann das Ergebnis vorhersehen, das bei Wahl einer Alternative A^ erzielt wird (zumindest kann er das Ergebnis eindeutig berechnen). In der Realität sind Entscheidungen zwar im allgemeinen bei unvollkommenem Informationsstand und mithin bei unsicheren Erwartungen über die Ergebnisse zu treffen. Dennoch haben Entscheidungsmodelle bei Sicherheit große theoretische und praktische Bedeutung. Wegen der großen Komplexität realer Entscheidungsprobleme besteht im allgemeinen ein Zwang zur Modellvereinfachung. Eine Möglichkeit der Vereinfachung besteht darin, nicht alle als möglich erachteten Ausprägungen für die entscheidungsrelevanten Daten im Modell zu berücksichtigen. Im einfachsten Fall werden für alle Daten feste Werte angenommen und dann wird so damit gerechnet, als seien sie sicher. Die Problematik dieses Vorgehens besteht darin, daß diejenigen Konsequenzen im Kalkül vernachlässigt werden, die sich bei anderen als den angenommenen Datenausprägungen ergeben. Die Vernachlässigung dieser Konsequenzen kann aber vor allem dann gerechtfertigt sein, wenn sie für alle erwogenen Alternativen ähnlich sind und/oder wenn eine äußerst geringe Wahrscheinlichkeit dafür besteht, daß die entscheidungsrelevanten Daten andere als die angenommenen Werte annehmen. Außerdem kann ein auf der Annahme sicherer Erwartungen beruhendes Modell zu einer Lösung führen, die immer noch besser ist als jene Alternative, die bei völligem Verzicht auf Modellanalyse gewählt würde. Die Annahme sicherer Erwartungen hat auch heuristische bzw. didaktische Bedeutung. Sie ermöglicht es, Entscheidungsprobleme und Lösungskonzeptionen in vereinfachter Form zu analysieren. Entscheidungsmodelle,

64

Kapitel III

die unter der Annahme sicherer Erwartungen konzipiert werden, können auch für die Lösung von Entscheidungsproblemen bei Unsicherheit nützlich sein, wenn bekannt ist, wie die Modelle für den Unsicherheitsfall erweitert werden können. Entscheidungsprobleme bei mehreren Zielgrößen stehen im Vordergrund dieses Kapitels, und zwar aus folgenden Gründen: - Sofern sich der Entscheider nur an einer Zielgröße orientiert, sind Wahlprobleme bei Sicherheit aus entscheidungstheoretischer Sicht einfach zu lösen (wenn auch die praktische Bestimmung einer optimalen Alternative erhebliche rechentechnische Probleme verursachen kann). - Der Fall einer Zielgröße ist wenig realistisch. In realen Entscheidungssituationen sind im allgemeinen die Alternativen unter Berücksichtigung mehrerer Zielgrößen zu beurteilen. In Abschnitt 2 werden Grundprobleme der Entscheidung bei zwei oder mehr Zielgrößen diskutiert. Darauf aufbauend wird in Abschnitt 3 gezeigt, wie mit und ohne Indifferenzkurven Entscheidungsprobleme bei zwei Zielgrößen analysiert werden können. Bei mehr als zwei Zielgrößen kann der Vergleich von Ergebnissen (von Zielgrößenvektoren) wesentlich schwieriger sein als bei zwei Zielgrößen. Wie in Abschnitt 4 gezeigt wird, kann (wenn die "Transformations-Bedingung" erfüllt ist) der Vergleich beliebiger Zielgrößenvektoren mit mehr als zwei Zielgrößen auf den sukzessiven Vergleich solcher Vektoren zurückgeführt werden, die sich nur bezüglich zweier Zielgrößen unterscheiden. Bei der Formulierung eines mathematischen Entscheidungsmodells stellt sich das Problem, die Präferenzvorstellungen des Entscheiders in einer Zielfunktion auszudrücken. In Abschnitt 5 werden zunächst die Grenzen der Ermittlung und formalen Darstellung einer (Nutzen-)Funktion gezeigt, die die Präferenz "exakt" widerspiegelt. Danach werden "Ersatzkriterien" diskutiert, die eine Vereinfachung ermöglichen.

2. 2.1.

Grundprobleme der Entscheidung bei zwei oder mehr Zielgrößen Die Zielgrößenmatrix

Hat der Entscheider sichere Erwartungen, so ordnet er jeder Alternative A^ genau ein Ergebnis E^ zu. Orientiert er sich an mehreren Zielgrößen, so ist das Ergebnis E^ charakterisiert durch den Vektor der entsprechenden Zielgrößenausprägungen. Die tabellarische Darstellung der (erwogenen) Alternativen A^ und ihrer (sicheren) Zielgrößenwerte wird als Zielgrößenmatrix bezeichnet. Sie hat äußerlich gewisse Ähnlichkeiten mit der Ergebnismatrix (und stellt auch für den Fall eines Zustandes eine spezielle Ergebnismatrix dar), ist aber

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

65

von grundlegend anderer Struktur. Die Zielgrößenmatrix hat allgemein die folgende Gestalt:

z,

Z2

...

z^

...

Zz

A,

Z,i

Z12

...

z„

-

Ziz

A2

Z21

Z22

Aa

Zal

Za2

AA

ZAI

ZA2

Z22

-

z^

ZAZ

Z2Z

-

ZaZ

ZAZ

Matrix III. 1: Zielgrößenmatrix (bei sicheren Erwartungen und Z Zielgrößen) Dabei bezeichnet Z^^ den Wert, den die Zielgröße Z^ (z=l,2,...,Z) bei Wahl der Alternative A^ (a=l,2,...,A) annimmt. Orientiert sich der Entscheider im Rahmen eines Entscheidungsproblems nur an einer Zielgröße Z, so enthält die Zielgrößenmatrix nur eine Ergebnisspalte (in der die jeweiligen Werte der Zielgröße Z aufgeführt sind). 2.2.

Gründe für die Relevanz mehrerer Zielgrößen

Die Beachtung mehrerer Zielgrößen bei der Lösung eines Entscheidungsproblems kann vor allem aus folgenden Gründen notwendig werden: - Der Entscheider orientiert sich von vornherein an mehreren Zielgrößen. So mag jemand, der eine Arbeitsstelle sucht, die Stellenangebote beurteilen nach den Kriterien Einkommen, Länge der Arbeitszeit, "Arbeitsklima" und "Umfang der eigenen Entscheidungskompetenzen". Der Leiter eines Unternehmens mag sich bei seinen Entscheidungen z.B. am Gewinn und (aus Prestigegründen explizit auch) am Umsatz orientieren. - Es ist möglich, daß zunächst zwar nur eine Zielgröße gegeben ist, die aber nicht operational gemessen werden kann, so daß ersatzweise ein Entscheidungsproblem mit mehreren Zielgrößen formuliert werden muß. Der Entscheider orientiere sich z.B. im Rahmen eines Entscheidungsproblems am Ziel der Maximierung des "Prestigeerfolges". Dieser Erfolg stellt ein theoretisches Konstrukt dar, das nicht unmittelbar empirisch beobachtet werden kann. Daher kann zunächst auch nicht angegeben werden, welche Prestigeerfolge den einzelnen Alternativen entsprechen. Der Entscheider muß erst klären, durch welche Größen er seinen

66

Kapitel III

subjektiven Prestigeerfolg zu messen wünscht. Zum Beispiel könnten folgende (Indikatoren) verwendet werden: Zj = Häufigkeit, mit der über ihn (den Entscheider) in der Presse berichtet wird, Z2 = Zahl der Ehrenämter, die ihm angetragen werden, Z3 = Zahl der Einladungen zu besonderen gesellschaftlichen Ereignissen, Z4 = relative Häufigkeit, mit der Andere den Einladungen des Entscheiders folgen. Die Ergebnisse der Alternativen werden dann durch die jeweiligen Ausprägungen der Maßgrößen Zj, Z2, Z3, Z4 charakterisiert, die als Zielgrößen interpretiert werden können. Bei der Auswahl einer Alternative stellt sich das Problem, Unterschiede in den Ausprägungen dieser Größen gegeneinander abzuwägen. Aus dem zunächst in vager Form beschriebenen Entscheidungsproblem mit einer Zielgröße (Maximierung des "Prestigeerfolges") ist ein Entscheidungsproblem mit vier Zielgrößen (Zj, Z2, Z3, Z4) geworden. - Es ist auch möglich, daß es zunächst nur eine übergeordnete Zielgröße gibt, die jedoch aus formalen Gründen durch mehrere Zielgrößen ersetzt wird, um die Formulierung eines einfachen Entscheidungsmodells zu ermöglichen. Diesen Sachverhalt beschreibt HAX für Entscheidungsmodelle in der Unternehmung: "Es kann... sein, daß es für den Betrieb zunächst nur ein übergeordnetes Ziel gibt, etwa Gewinnmaximierung, daß aber für den durch das Modell erfaßten Bereich die Berücksichtigung mehrerer Unterziele, deren Verfolgung dem übergeordneten Betriebsziel dienen soll, für notwendig erachtet wird. Zum Beispiel kann man einer Fertigungsabteilung die Beachtung der Zielgrößen "Auslastungsgrad der Anlagen", "Kapitalbindung in den Vorräten" und "Einhaltung der Liefertermine" vorgeben, weil diese Unterziele als besonders wichtig für die Gewinnmaximierung des Betriebes angesehen werden. Grundsätzlich ist es möglich, die Beziehungen zwischen derartigen Unterzielen und dem übergeordneten Betriebsziel auch wieder in einem Modell zu erfassen und damit das übergeordnete Ziel direkt in die Modellanalyse einzubeziehen. Häufig geschieht dies jedoch nicht, vor allem wegen der großen Komplexität der Problemstellung. Man hat dann für den vom Modell erfaßten Bereich vorgegebene Zielgrößen, die nur aufgrund von Überlegungen außerhalb der Modellanalyse als Unterziele aus einem Oberziel abgeleitet worden sind, für die Modellanalyse aber den Charakter selbständiger Zielgrößen haben" (HAX, 1974, S. 30).

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

2.3.

67

Zielneutralität, Zielkomplementarität und Zielkonflikt

Ob der Fall mehrerer Zielgrößen gegenüber dem Fall nur einer Zielgröße besondere entscheidungstheoretische Probleme aufwirft, hängt von den Beziehungen zwischen den Zielgrößen ab. Zwischen zwei Zielgrößen kann Neutralität, Komplementarität oder Konkurrenz (Zielkonflikt) bestehen. Zwei Zielgrößen stehen dann zueinander im Verhältnis der Neutralität, wenn die Maßnahmen zur Verbesserung der einen Zielgröße keinen Einfluß auf die Ausprägung der anderen Zielgröße haben. Komplementarität zwischen zwei Zielgrößen liegt dann vor, wenn die Maßnahmen zur Verbesserung der einen Zielgröße zugleich auch zu einem besseren Ergebnis hinsichtlich der anderen führen. Zwischen zwei Zielgrößen besteht Konkurrenz (Konflikt), wenn die Maßnahmen zur Verbesserung der einen Zielgröße die andere Zielgröße beeinträchtigen. Die Neutralität, die Komplementarität bzw. die Konkurrenz muß nicht den gesamten Wertebereich der Zielgrößen umfassen. Es ist möglich, daß sich zwei Zielgrößen in einem bestimmten Bereich neutral zueinander verhalten, während in einem anderen Bereich Komplementarität besteht und in einem dritten Bereich Konkurrenz. Diese Eigenschaft wird als partielle Neutralität, Komplementarität bzw. Konkurrenz bezeichnet. Wenn sich alle Zielgrößen (vollständig) neutral oder komplementär zueinander verhalten, ergeben sich bei der Lösung eines Entscheidungsproblems im Vergleich zum Fall nur einer Zielgröße keine besonderen Schwierigkeiten. Bei Zielneutralität haben defmitionsgemäß die Maßnahmen zur Verbesserung der Zielgröße Z^ (z=l,2,...,Z) keinen Einfluß auf die anderen Zielgrößen. In diesem Fall kann die Menge M der möglichen Einzelaktionen in elementefremde (disjunkte) Teilmengen Mj, M2,..-,M2; zerlegt werden (MiuM2U...uM2=M); dabei bezeichnet M^ (z=l,2,...,Z) die Menge jener Einzelaktionen, die einen Einfluß auf die Zielgröße Z^ haben. Die Entscheidung über die zu realisierenden Teilaktionen der Mengen Mj, M2v.jM2 kann dann getrennt erfolgen unter Berücksichtigung der jeweils relevanten Zielgröße. Bei Zielneutralität kann also das gesamte Entscheidungsproblem in unabhängige Teilprobleme mit jeweils einer Zielgröße zerlegt werden; der Fall der Zielneutralität dürfte aber in der Realität nur selten gegeben sein.^)

1)

Eine gewisse Annäherung an diesen Fall liegt vor, wenn ein Unternehmen aus zwei Zweigwerken in verschiedenen Kontinenten besteht, wobei für das eine Zweigwerk die Zielgröße "Umsatz" und für das andere die Zielgröße "Gewinn" gilt. Aufgrund der räumlichen Trennung kann allenfalls eine finanzwirtschaftliche Verbundenheit zwischen den Zweigwerken bestehen. Maßnahmen in dem einen Zweigwerk können den finanziellen Spielraum für Maßnahmen in dem anderen Zweigwerk einengen. Sieht man hiervon ab, so haben die Aktionen zur Erhöhung der einen Zielgröße keinen Einfluß auf die Ausprägung der anderen Zielgröße.

68

Kapitel III

Bei (vollständiger) Zielkomplementarität kann der Entscheider eine der Zielgrößen auswählen und sich allein an dieser Zielgröße orientieren. Eine Handlungsaltemative A^, die bezüglich dieser einen Zielgröße die beste ist, muß auch im Hinblick auf jede andere Zielgröße optimal sein. Auch der Fall der Zielkomplementarität dürfte wenig realistisch sein. Bei Zielkonflikt müssen Vorteile in bezug auf einzelne Zielgrößen durch Nachteile hinsichtlich anderer Zielgrößen "erkauft" werden. Beim Vorteilsvergleich von Alternativen (bzw. ihrer Ergebnisse) stellt sich dann das Problem, die Vor- und Nachteile hinsichtlich der verschiedenen Zielgrößen gegeneinander abzuwägen. In der Realität sind (zumindest partielle) Zielkonflikte der Regelfall. So sind z.B. Maßnahmen zur Erhöhung des Einkommens häufig mit zusätzlicher Arbeit verbunden, die als Belastung empfunden wird. Wer bei gegebenem Einkommen heute mehr Konsumgüter erwirbt, muß in Zukunft seine Konsumausgaben einschränken (weil er jetzt weniger sparen kann und/oder Kredit aufnehmen muß). Zielkonflikt besteht auch in der folgenden Entscheidungssituation (in Anlehnung an MAG, 1977, S. 25f.): Der Entscheider plane, einen PKW zu kaufen. Er hat 6 Wagentypen in die engere Wahl gezogen, die er nach folgenden Zielgrößen beurteilt: Zi = Leistung (PS), Z2=Höchstgeschwindigkeit VMax (km/h), Z3 = Größe des Kofferraumes (Itr.), Z4=Benzinverbrauch (Itr./lOO km), Z5=Anschaffungspreis (€), Z^^jährliche Belastung (z.B. Versicherung, Steuer u.a.) (€). Die Ausprägungen der einzelnen Zielgrößen sind in der folgenden Zielgrößenmatrix aufgelistet: Z4

Z2

Leistung

^Max

Größe des Kofferramns

Benzinver -brauch

Z5 Anschaffungspreis

Z6 jährliche Belastung

Wagentyp 1

60

145

320

7,0

10400

950

Wagentyp 2

65

145

390

7,0

14500

860

Wagentyp 3

55

140

250

6,0

13000

930

Wagentyp 4

80

175

850

9,0

19000

1000

Wagentyp 5 120

180

530

11,0

25000

1100

Wagentyp 6 110

185

460

9,5

18500

1120

Matrix III.2: Die Zielgrößenmatrix des Autokäufers

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

69

Bei den Zielgrößen Z^, Z2 und Z3 ziehe der Entscheider c.p. einen höheren Wert der Zielgröße einem niedrigeren vor; im Hinblick auf die Zielgrößen Z4, Z5 und Z5 verhält es sich umgekehrt. Es gibt keinen Wagentyp, der hinsichtlich aller Zielgrößen optimal ist. Je nach Zielgröße schneidet ein anderer Wagentyp am besten ab. Der Wagentyp 1 ist z.B. im Hinblick auf die Zielgröße Z5 (Anschaffungspreis) am besten. Andererseits ist seine Leistung gering und seine Höchstgeschwindigkeit relativ niedrig. Die Zielgrößenwerte Zj und Z2 können nur verbessert werden, indem ein Wagentyp mit höherem Anschaffungspreis gewählt wird.

2.4.

Vergleich von Ergebnissen und Ordnungsaxiom

Rationale Entscheidung setzt das Vorhandensein von Zielvorstellungen voraus, auf deren Grundlage die Wünschbarkeit der Konsequenzen von Handlungsalternativen beurteilt werden können. Der Entscheider muß prinzipiell in der Lage sein, die Ergebnisse miteinander zu vergleichen. Die Forderung nach der Vergleichbarkeit der Ergebnisse wird durch das Ordnungsaxiom ausgedrückt. Der konkrete Inhalt dieses Axioms hängt davon ab, ob sich der Entscheider an einer oder an mehreren Zielgrößen orientiert. Für den Fall genau einer Zielgröße fordert das Ordnungsaxiom: Der Entscheider kann angeben, ob er von zwei beliebigen Zielgrößenwerten den höheren oder den niedrigeren vorzieht oder ob er zwischen beiden Werten indifferent ist. Bei nur einer Zielgröße ist das Ordnungsaxiom in der Regel erfüllt. Ist z.B. nur die Zielgröße "Gewinn" relevant, entspricht jedem Ergebnis ein bestimmter Gewinnbetrag: Ein höherer Gewinn wird einem niedrigeren vorgezogen. Orientiert sich der Entscheider bei einem Entscheidungsproblem nur an der Zielgröße "Produktionskosten", entspricht jedem Ergebnis ein bestimmter Kostenbetrag: Niedrigere Kosten werden höheren vorgezogen. Im Fall mehrerer Zielgrößen ist eher zu erwarten, daß das Ordnungsaxiom in der Realität nicht erfüllt ist: Denn beim Vergleich der Zielgrößenvektoren muß der Entscheider die Unterschiede in den Werten der verschiedenen Zielgrößen gegeneinander abwägen. Für den Fall mehrerer Zielgrößen Z | , 2.2^"">^Z ( ^ - ^ ) verlangt das Ordnungsaxiom, daß der Entscheider hinsichtlich zweier beliebiger Vektoren von (konkreten) Zielgrößenwerten, Z*=(Z!,Z2,.--j2]2^ und Z**=(Z!*,Z2*,...,Zl*), angeben kann, ob er zwischen diesen indifferent ist bzw. welchen er vorzieht. Der Vergleich von Zielgrößenvektoren ist relativ einfach, wenn nur zwei Zielgrößen gegeben sind (Z=2). Das Ordnungsaxiom impliziert für diesen Fall: Der Entscheider kann angeben, um welchen Betrag sich der Wert der Zielgröße Z2 verändern muß, damit derjenige Vor- oder Nachteil

70

Kapitel III

kompensiert wird, der entsteht, wenn ausgehend von einer bestimmten Wertekonstellation der Zielgrößen Zj und Z2 die Zielgröße Z^ um einen Betrag A steigt oder sinkt. Voraussetzung ist dabei, daß überhaupt ein Z2-Wert existiert, bei dem die Änderung von Z^ kompensiert wird (also Indifferenz besteht zwischen der alten Wertekonstellation und der neuen). Diese Bedingung mag aber gar nicht erfüllt sein. Angenommen, der Präferenzwert sei eine monoton steigende Funktion von Zj und eine zunächst steigende und dann wieder fallende Funktion von Z2, wobei der "beste" Z2-Wert unabhängig von Z^ sei. In der Ausgangssituation weise Z2 bereits seine beste Ausprägung auf Wenn nun Z^ sinkt, ist es in keinem Fall möglich, diesen Nachteil durch eine Änderung von Z2 zu kompensieren; eine solche Änderung würde eine weitere Nutzeneinbuße bewirken. Ist der in der Ausgangssituation gegebene Z2-Wert niedriger (bzw. höher) als der beste, so kann der Nachteil einer Verringerung von Zj möglicherweise durch eine Erhöhung (bzw. Verringerung) von Z2 kompensiert werden. Je weniger jedoch in der Ausgangssituation der Wert von Z2 vom besten abweicht und je mehr Zj sinkt, desto eher ist zu vermuten, daß der betreffende Nachteil durch Erhöhung (bzw. Verringerung) von Z2 nicht kompensiert werden kann. Wenn der Entscheider bei jeder Zielgröße einen höheren Wert einem niedrigeren vorzieht, so kann ein Anstieg von Z^ nur durch eine Reduktion von Z2 kompensiert werden. Wenn nun aber Z2 keinen negativen Wert annehmen kann, sind die Kompensationsmöglichkeiten wiederum begrenzt. Der Anstieg von Z^ wird möglicherweise selbst dann nicht kompensiert, wenn Z2 auf null sinkt. Rein hypothetisch könnte eine Kompensation zwar bei einem negativen Z2-Wert erfolgen. Wenn aber Z2 in der Realität gar nicht negativ werden kann, dürfte der Entscheider kaum in der Lage sein anzugeben, mit welchem negativem Z2-Wert (zum Beispiel mit welchem negativen Volumen eines Kofferraums) ein Anstieg der Zielgröße Zj, (zum Beispiel die Höchstgeschwindigkeit) kompensiert wird. Vor allem bei mehr als zwei Zielgrößen stellt der Ergebnisvergleich ein komplexes Problem dar. Das Ordnungsaxiom verlangt jedoch vom Entscheider nicht, daß er Zielgrößenvektoren mit mehr als zwei Komponenten unmittelbar gegeneinander abwägen kann. Die Entscheidungstheorie kann gerade Hilfestellungen für den mittelbaren Vergleich von Ergebnissen anbieten. Wenn das Transitivitätsaxiom erfüllt ist, kann (unter einer bestimmten Bedingung) der Vergleich zweier beliebiger Zielgrößenvektoren mit mehr als zwei Komponenten auf den sukzessiven Vergleich von Vektoren zurückgeführt werden, die sich jeweils nur im Hinblick auf zwei Zielgrößen unterscheiden {Transformations-Konzept). Ein derartiger Vergleich stellt an den Entscheider im allgemeinen geringere Anforderungen als der unmittelbare Vergleich von Zielgrößenvektoren, die sich hinsichtlich aller Zielgrößen unterscheiden (vgl. Abschnitt 4).

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

2.5. 2.5.1.

71

Entscheidung auf der Grundlage einer Zielgrößenmatrix Überblick

Die Zielgrößenmatrix bietet die Möglichkeit, ein Entscheidungsproblem bei Sicherheit in sehr anschaulicher Weise darzustellen. (Jedoch setzt die praktische Konstruktion einer derartigen Matrix voraus, daß die Anzahl der erwogenen Alternativen klein ist.) Wenn eine Zielgrößenmatrix vorliegt, kann die Entscheidung auf folgende zwei Arten getroffen werden: 1. Der Entscheider bestimmt seine (vollständige) "Präferenzordnung'' bezüglich der Ergebnisse und wählt diejenige Alternative, deren Ergebnis in seiner Präferenzordnung den höchsten Rang einnimmt. 2. Der Entscheider prüft lediglich, welches Ergebnis am besten ist und realisiert dann die entsprechende Alternative. Er bestimmt also nur den "Spitzenreiter'' seiner Präferenzordnung. Welche Ränge die übrigen Ergebnisse (bzw. Handlungsaltemativen) in der Präferenzordnung im einzelnen einnehmen, bleibt offen. Das zuletzt beschriebene Vorgehen verursacht einen geringeren Aufwand als die vollständige Bestimmung einer Präferenzordnung. Für eine Entscheidung auf der Grundlage einer Zielgrößenmatrix genügt es im allgemeinen, das beste Ergebnis zu bestimmen; welches Ergebnis in der Präferenzordnung an zweiter oder dritter Stelle steht, kann unentschieden bleiben, da die entsprechenden Alternativen nicht gewählt werden.^) Zur Vereinfachung der folgenden Darstellungen wird der Vektor der Zielgrößenwerte i.d.R. durch E charakterisiert: E = (Zi,Z2,...,Z2). Sofern nur eine Zielgröße relevant ist, bezeichnet E den Wert dieser einen Zielgröße. (E ist dann ein Skalar.) 2.5.2. Ermittlung

der

Präferenzordnung

Eine Präferenzordnung der Ergebnisse ist eine vollständige und transitive Präferenzrelation bezüglich der Ergebnisse. Eine Präferenzrelation ist - vollständig, wenn sie für jedes Paar möglicher Ergebnisse E^ und Ej angibt, ob Ej :^ Ej , Ej-Ej oder Ej >- Ej gilt, sie ist - transitiv, wenn sie das Transitivitätsaxiom erfüllt. Die Präferenzordnung kann im Prinzip durch paarweise Vergleiche zwischen je zwei Ergebnissen ermittelt werden. Dabei muß nicht notwendig jedes Ergebnis mit jedem anderen Ergebnis explizit verglichen werden. 2)

Zur Bestimmung einer Nutzenfunktion für ein mathematisches Entscheidungsmodell muß allerdings die Präferenzordnung über die möglichen Ergebnisse bekannt sein (vgl. Abschnitt 5).

72

Kapitel III

Aufgrund der Transitivitätsbedingung werden im allgemeinen relativ wenig paarweise Vergleiche benötigt. Zur Ermittlung der Präferenzordnung werden aus der Menge der Ergebnisse zunächst zwei beliebige Ergebnisse, z.B. Ej und E2, ausgewählt. Der Entscheider muß nun feststellen, ob er zwischen beiden Ergebnissen indifferent ist und, wenn nicht, welches Ergebnis er vorzieht. (Dieser Ergebnisvergleich erfolgt entweder in unmittelbarer Weise oder mittelbar zum Beispiel nach dem in Abschnitt 4 dargestellten Transformations-Konzept.^)) Es gelte E i ^ E 2 . Beim zweiten paarweisen Vergleich wird (z.B.) das Ergebnis E3 dem Ergebnis Ej gegenübergestellt. Für den Fall E3>-Ei folgt nach dem Transitivitätsaxiom die Präferenzrelation E3>-Ei:^E2, während für den Fall E3'-Ei die Relation E3'-Ei)- E2 gilt. In beiden Fällen erübrigt sich folglich der explizite Vergleich der Ergebnisse E3 und E2. Dieser Vergleich ist nur dann notwendig, wenn E3-<Ei: Führt der Vergleich zu E3>-E2, folgt die Präferenzrelation Ei>-E3>-E2, während für den Fall E3~E2 (bzw. E3-<E2) E i : ^ E 3 - E 2 (bzw. E^ >-E2:^E3) gilt. In analoger Weise werden weitere Ergebnisse sukzessive (soweit notwendig) mit den bereits angeordneten Ergebnissen verglichen. Nachdem schließlich sämtliche Ergebnisse berücksichtigt worden sind, steht die Präferenzordnung fest. Der Präferenzordnung über die Ergebnisse entspricht eine Präferenzordnung über die Alternativen. Den ersten Rang in dieser Präferenzordnung nimmt jene Alternative ein, die das beste Ergebnis bietet. Auf der zweiten Position steht die Alternative mit dem zweitbesten Ergebnis, usw.; Alternativen, die zu gleichwertigen Ergebnissen führen, nehmen den gleichen Rang ein (sie sind äquivalent). Ist die Präferenzordnung über die Alternativen bestimmt, so ist das Entscheidungsproblem gelöst. Die Lösung wird durch den "Spitzenreiter" der Präferenzordnung repräsentiert; diese Alternative wird realisiert. Ist die Zahl der Alternativen groß, so erfordert die Bestimmung einer Präferenzordnung über alle Alternativen (bzw. über alle Ergebnisse) im allgemeinen einen großen Aufwand. Bei den meisten Entscheidungsproblemen genügt es aber, wenn bekannt ist, welche Alternative den ersten Rang in der Präferenzordnung einnimmt; welche Positionen die übrigen Alternativen einnehmen, kann offen bleiben, da sie nicht realisiert werden.^) 3) 4)

Orientiert sich der Entscheider nur an einer Zielgröße, so reduziert sich der paarweise Vergleich auf den Vergleich der jeweiHgen Werte dieser Zielgröße. Die Bestimmung einer (vollständigen) Präferenzordnung kann z.B. dann sinnvoll sein, wenn nicht sicher ist, ob die erwogenen "Alternativen" überhaupt durchgeführt werden können. Die vorherige Kenntnis der Präferenzordnung kann dann die Wahrnehmung der bestmöglichen Alternative erleichtem. Der Entscheider erwäge z.B., seinen Urlaub in einem Ferienbungalow zu verbringen. Nach Durchsicht eines Katalogs zieht er die Bungalows A,B,...,H in Betracht. Nach Abwägen der verschiedenen Aspekte kommt er zu dem Ergebnis, daß der Bungalow A in seiner Präferenzordnung den ersten Rang ein-

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

2.5.3. Alternativenwahl

ohne vollständige

73

Präferenzordnung

Wenn nur der "Spitzenreiter" der Präferenzordnung (also die beste Alternative) bestimmt wird, sind möglicherweise wesentlich weniger paarweise Vergleiche notwendig als bei Ermittlung einer Präferenzordnung. Zur Ermittlung der besten Alternative werden aus der Menge der Alternativen zunächst zwei ausgesucht, etwa A^ und A2 und deren Ergebnisse miteinander verglichen. Führt z.B. Aj zu einem besseren Ergebnis als A2, so gilt Ai:^A2 und die Alternative A2 kann nach dem Transitivitätsaxiom nicht Spitzenreiter der Präferenzordnung sein. A2 wird daher in die weiteren Überlegungen nicht mehr einbezogen.^) Aj wird nun A3 gegenübergestellt. Die Alternative, die bei diesem paarweisen Vergleich als besser eingestuft wird, wird der nächsten Alternative gegenübergestellt, usw.. Die Alternative, die schließlich beim letzten (also dem (A-l)-ten) Vergleich den Vorzug erhält, ist der Spitzenreiter der Präferenzordnung und wird realisiert. Daß diese Alternative auch besser sein muß als alle diejenigen, denen sie beim paarweisen Vergleich nicht explizit gegenübergestellt wurde, folgt aus dem Transitivitätsaxiom. Zwar verursacht das beschriebene Vorgehen in der Regel einen geringeren Aufwand als die vollständige Bestimmung einer Präferenzordnung. Trotzdem ist es ebenfalls kaum praktikabel, wenn die Anzahl der Alternativen groß ist. Nicht nur die Durchführung der paarweisen Vergleiche verursacht Aufwand. Damit diese Vergleiche überhaupt erfolgen können, müssen die Alternativen beschrieben und ihnen die jeweiligen Ergebnisse zugeordnet werden. Im folgenden wird u.a. untersucht, wie die beste oder doch wenigstens eine gute Alternative gefunden werden kann, ohne daß sämtliche Alternativen und ihre Ergebnisse explizit beschrieben werden müssen. Dabei steht das Problem im Vordergrund, wie die Zielvorstellungen des Entscheiders im Entscheidungsmodell abgebildet werden können. Der Einfachheit halber wird (wenn nichts anderes gesagt wird) stets angenommen, der Entscheider ziehe hinsichtlich jeder Zielgröße c.p. einen höheren Wert einem niedrigeren vor.

5)

nimmt. Er beabsichtigt, ihn bei einem Reisebüro zu buchen. Da dieser Bungalow aber möglicherweise schon vergeben ist, überlegt der Entscheider schon im voraus, welcher Bungalow in seiner Präferenzordnung den zweiten Rang einnimmt. Da möglicherweise auch dieser schon vergeben ist, überlegt er außerdem, welchen Bungalow er in diesem Fall wählen wird, usw. . Der Entscheider bildet sich also im voraus eine Präferenzordnung über die Bungalows A,B,...,H, um nicht im Reisebüro unter Zeitdruck entscheiden zu müssen. Sind die Ergebnisse der beiden Alternativen äquivalent, scheidet eine beliebige dieser Alternativen aus dem weiteren Vergleichsprozeß aus.

74

Kapitel III

3.

Graphische Entscheidungsmodelle mit zwei Zielgrößen

3.1.

Zur Ermittlung von Indifferenzkurven

Wenn sich der Entscheider an zwei Zielgrößen (Z^ und Z2) orientiert, können seine Präferenzvorstellungen mit Hilfe von Indifferenzkurven dargestellt werden. Eine Indifferenzkurve ist der geometrische Ort von Wertekombinationen hinsichtlich der Zielgrößen Z^ und Z2, denen gegenüber der Entscheider indifferent ist: Z2

Zi

Abb. III. 1: Indifferenzkurven Da annahmegemäß der Entscheider c.p. einen höheren Wert der Zielgröße Z2 (z = 1,2) einem niedrigeren vorzieht, repräsentiert eine Indifferenzkurve um so günstigere (Zi,Z2)-Konstellationen, je weiter rechts oben sie im Koordinatensystem verläuft. Jeder Punkt iZi^Zj) des durch die Koordinatenachsen aufgespannten Raumes liegt auf genau einer Indifferenzkurve. In der Abbildung III. 1 sind einige der Indifferenzkurven eingezeichnet. Die Steigung aller Indifferenzkurven ist negativ. Zur Verdeutlichung dient Abbildung III.2. Alle Punkte rechts oberhalb bzw. links unterhalb von Punkt P repräsentieren (Zi,Z2)-Konstellationen, bei denen beide Zielgrößen höhere bzw. niedrigere Werte aufweisen als in P. Die betreffenden Punkte können demnach nicht auf derselben Indifferenzkurve liegen wie P. So entspricht z.B. dem Punkt P' (bzw. P") eine bessere (bzw. schlechtere) (Zi,Z2)-Konstellation als dem Punkt P. Kurz: P' wird P vorgezogen und P wird P" vorgezogen. Auch die Punkte auf den (gestrichelten) Parallelen der Koordinatenachsen durch den Punkt P können nicht zu P indifferent sein: Diese Punkte unterscheiden sich von P nur in einer Zielgrößenausprägung.

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

75

Zu Punkt P indifferente Punkte können nur links oberhalb und rechts unterhalb von P liegen. Solche Punkte unterscheiden sich von P in beiden Komponenten, wobei dem Zuwachs der einen Komponente eine Verringerung der anderen Komponente entspricht. Dies gilt unabhängig von der Lage des Punktes P im (Zi,Z2)-Diagramm. Die Steigung aller Indifferenzkurven ist demnach negativ.

Z2(Pl)

Zi(P)

AZj

Zi(Pi)

Abb. III.2: Zur Steigung der Indifferenzkurven

Die durch den Punkt P in Abbildung III.2 verlaufende Indifferenzkurve kann ermittelt werden, indem sehr viele zu P indifferente Punkte bestimmt und miteinander verbunden werden.6) Die empirische Ermittlung indifferenter Punkte ist möglich, wenn das Ordnungsaxiom erfüllt ist. Zur Verdeutlichung wird mit Hilfe von Abbildung III.3 gezeigt, wie derjenige Punkt Pj bestimmt werden kann, der - dem Punkt P äquivalent ist und 6)

Um den Planungsaufwand zu verringern, kann es sinnvoll sein, nur wenige Punkte der einzelnen Indifferenzkurven explizit zu bestimmen und dann die jeweils äquivalenten Punkte miteinander zu verbinden. Darüber hinaus mag es naheliegen, auch in der Weise zu vereinfachen, daß zunächst nur einige wenige Indifferenzkurven bestimmt werden. Ist ein erster Überblick über die Gestalt der Indifferenzkurven gewonnen, werden weitere Indifferenzkurven in das Koordinatensystem eingezeichnet, ohne genau abzuwägen, welche (Zj,Z2)-Konstellationen jeweils äquivalent sind. Die so gewonnenen Indifferenzkurven werden im allgemeinen nicht exakt mit jenen übereinstimmen, die sich bei genauerem Vorgehen ergäben. Dem damit verbundenen Nachteil einer möglichen Fehlentscheidung steht der Vorteil eines geringeren Planungsaufwandes gegenüber.

76

Kapitel III

- den Abszissenwert Zi(Pi) = Zi(P) + AZi (AZi>0) aufweist. Hierzu ist der Ordinatenwert des Punktes P^ zu ermitteln. Ausgangspunkt der Befragung ist der Punkt P | ^ (der den gleichen Abszissenwert hat wie Pj und den gleichen Ordinatenwert wie P). Annahmegemäß zieht der Entscheider die (Zi,Z2)-Konstellation p | ^ dem Punkt P vor. Ausgehend von P | ^wird nun (bei gegebenen Wert für Zj) sukzessive der Wert für Z2 verringert und der Entscheider jeweils gefragt ob er den vorliegenden Punkt (z.B. P | \ P | \ P | 0 ebenfalls dem Punkt P vorzieht oder ob er indifferent ist. Wenn das Ordnungsaxiom erfüllt ist, kann der Entscheider derartige Fragen beantworten. Bei entsprechender Variation von Z2 wird schließlich der dem Punkt P indifferente Punkt Pj gefunden.

Z2(P) ly^'j

P ('

- ? P ,(1)

-9-

ip'

(2)

^(3)

AZn

*P

Z2(Pl)

(4)

-?P.

Zi(P)

AZi

Zi(Pi)

Abb. in.3: Zur Bestimmung indifferenter (Z![,Z2)-Konstellationen

3.2.

Zum Verlauf von Indifferenzkurven

Nach dem Transitivitätsaxiom dürfen sich Indifferenzkurven nicht schneiden. In Abbildung III.4 ist ein solcher unzulässiger Fall dargestellt: Die eingezeichneten Indifferenzkurven implizieren zugleich Vi^^2^ ^i^^z ^^^ Pj :^P3; die Präferenzvorstellungen sind intransitiv.

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien 7

77

A

0

Abb. III.4: Verstoß gegen das Transitivitätsaxiom Im allgemeinen verlaufen die Indifferenzkurven zum Ursprung streng konvex:

Abb. III.5: Streng konvexe Indifferenzkurve Streng konvexe Indifferenzkurven bringen den folgenden Sachverhalt zum Ausdruck: Steigt die Zielgröße Z^ sukzessive um einen bestimmten Betrag AZ^, so muß Z2 um immer kleinere Beträge fallen, damit wieder äquivalente (Zi,Z2)-Konstellationen entstehen. Mit anderen Worten: Je größer die Zielvariable Zj und je kleiner die Zielgröße Z2 ist, desto weniger Ein-

78

Kapitel III

heiten der Zielgröße Z2 ist der Entscheider aufzugeben bereit, um ein Ansteigen der Zielgröße Zj um den Betrag AZj zu "erkaufen". Zieht der Entscheidungsträger bei der Zielgröße Zj (z.B. Arbeitszeit) c.p. einen niedrigeren Wert einem höheren vor, während er bei der Zielgröße Z2 (z.B. Einkommen) einen höheren Wert einem niedrigeren vorzieht, so sind die Steigungen der Indifferenzkurven positiv. Einer Indifferenzkurve entspricht dann ein um so höherer Präferenzwert, je weiter links oben sie im Koordinatensystem verläuft. Bewegt man sich parallel zur Ordinate nach oben, gelangt man also zu Indifferenzkurven mit einem höheren Präferenzwert. Eine Bewegung parallel zur Abszisse nach rechts führt dagegen zu immer "ungünstigeren" Indifferenzkurven.

Abb. III.6: Konvexe (steigende) Indifferenzkurven Die hier dargestellten konvexen Indifferenzkurven implizieren die folgende Präferenzstruktur: Steigt die Zielgröße Zj sukzessive um einen Betrag AZ|, so muß Z2 um immer größere Beträge steigen, damit wieder äquivalente (Zi,Z2)-Konstellationen entstehen. Mit anderen Worten: Je größer die Zielvariable Zj ist, desto mehr Einheiten der Zielgröße Z2 müssen dem Entscheider geboten werden, um ein Ansteigen der Zielgröße Z^ um den Betrag AZj zu "erkaufen". 3.3.

Die Effizienzkurve

Bei gegebenen Indifferenzkurven kann die Entscheidung im Prinzip in der Weise getroffen werden, daß für jede Alternative das jeweilige Ergebnis

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

79

(Zi,Z2) bestimmt wird und die Ergebnisse im (Zi,Z2)-Diagramm dargestellt werden. Gewählt wird diejenige Alternative, deren Ergebnis (Z|,Z2) auf der Indifferenzkurve mit dem höchsten Präferenzwert liegt. In der Regel entsteht jedoch ein geringerer Planungsaufwand, wenn zunächst die Menge der effizienten Alternativen bestimmt und dann daraus die optimale Alternative ausgewählt wird. Bei der Darstellung dieses Konzepts wird wieder davon ausgegangen, daß der Entscheider von jedem Zielgrößenwert c.p. einen höheren Wert einem niedrigeren vorzieht. Eine Alternative ist in diesem Fall effizient, wenn keine andere Alternative existiert, die hinsichtlich einer der beiden Zielgrößen einen höheren Wert bietet und hinsichtlich der anderen Zielgröße keinen niedrigeren. Der geometrische Ort aller (Zi,Z2)-Konstellationen, die effizienten Alternativen entsprechen, wird als Effizienzkurve (oder als Transformationskurve) bezeichnet.

Abb. III.7: Zur Bestimmung einer optimalen Handlungsaltemative In Abbildung III.7 ist die Menge der möglichen (Zi,Z2)-Konstellationen durch das Sechseck OABCDE gekennzeichnet. (Auch die Punkte auf dem Rand kennzeichnen zulässige Lösungen.) In dieser Situation ist die Effizienzkurve gleich dem Streckenzug ABCDE: Alle (Zi,Z2)-Konstellationen, die rechts oberhalb dieser Kurve liegen, sind nicht realisierbar. Alle (Zi,Z2)Konstellationen links unterhalb dieser Kurve sind zwar realisierbar; sie entsprechen jedoch ineffizienten Alternativen. So kennzeichnet z.B. der Punkt P eine ineffiziente (Zi,Z2)-Konstellation: Alle anderen Punkte der schraffierten Fläche sind nach dem Effizienzkriterium dem Punkt P eindeutig überlegen.

80

3.4.

Kapitel III

Das Optimum

Nur eine effiziente Alternative kann optimal sein. Das bedeutet natürlich nicht, daß alle effizienten Alternativen gleichwertig sind. Ihnen entsprechen ja z.T. sehr unterschiedliche Werte für die beiden Zielgrößen. Mit der Bestimmung der Effizienzkurve (der Menge der effizienten Alternativen) ist daher das Entscheidungsproblem noch nicht gelöst. Es muß noch eine Auswahl aus der Menge der effizienten Alternativen getroffen werden. Hierzu wird geprüft, welcher Punkt der Effizienzkurve der Indifferenzkurve mit dem maximalen Präferenzwert liegt. Die entsprechende Alternative ist optimal und wird realisiert. In Abbildung III.7 wird das Optimum durch den Tangentialpunkt T determiniert.

*3.5. Bezug zur MikroÖkonomik Das beschriebene Indifferenzkurven-Konzept wird vor allem im Bereich der MikroÖkonomik angewendet. Es dient dort insbesondere zur Beschreibung und Erklärung des (rationalen) Verhaltens von Unternehmungen und privaten Haushalten. Ein typisches Anwendungsbeispiel ist die Bestimmung der optimalen Nachfragemengen eines Haushalts im Zwei-Güter-Fall. Dabei wird davon ausgegangen, daß der betrachtete Haushalt eine vollständige und transitive Präferenzordnung über die Konstellationen von Gütermengen hat, die durch ein System von Indifferenzkurven dargestellt werden kann:

Indififerenzkurven

Bilanzgerade

Abb. III.8: Zur Bestimmung der (optimalen) Nachfragemengen eines Haushalts

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

81

Xi (bzw. X2) bezeichnet die Menge des ersten (bzw. des zweiten) Gutes. (Da man keine negativen Gütermengen verbrauchen kann, gilt x^ > 0 und X2 > 0.) Der Haushalt kann nicht alle denkbaren Kombinationen von Gütermengen realisieren, da er die Güter kaufen muß und die für den Kauf verfügbaren Mittel begrenzt sind. Wird angenommen, daß der Haushalt weder Kredit aufnimmt noch spart, dann verfügt er über finanzielle Mittel in Höhe seines Einkommens. Hieraus ergibt sich die folgende Nebenbedingung: Pl'Xi + P 2 - X 2 < E

Dabei bezeichnet pj (bzw. P2) den Preis des ersten (bzw. des zweiten) Gutes und E das Einkommen. Die durch die Punkte A und B verlaufende Gerade in Abbildung IIL8 sie wird als Bilanz- oder Budgetgerade bezeichnet - ist der geometrische Ort aller (xi,X2)-Konstellationen, bei denen die obige Nebenbedingung als Gleichung erfüllt ist. Der Abszissenwert des Punktes A gibt an, wieviele Einheiten des Gutes 1 der Haushalt kaufen kann, wenn er sein ganzes Einkommen für dieses Gut ausgibt. Analog gibt der Ordinatenwert des Punktes B an, wieviele Einheiten des Gutes 2 höchstens gekauft werden können. Alle Punkte links unterhalb der Bilanzgeraden charakterisieren (x^^xj)Konstellationen, bei denen die obige Nebenbedingung ebenfalls erfüllt ist und zwar in Form der Ungleichung Pl'Xi + P2-X2<E . Diese Punkte bezeichnen ineffiziente Alternativen, bei denen jeweils ein Teil des Einkommens gewissermaßen "vernichtet" wird (denn annahmegemäß können nur die Güter 1 und 2 erworben werden, wobei Sparen ausgeschlossen ist).^) Die Budgetgerade entspricht mithin der Effizienzkurve im allgemeinen graphischen Modell. Der Punkt P, in dem diese Kurve von einer Indifferenzkurve tangiert wird, bezeichnet die optimalen Nachfragemengen des Haushalts: Vom Gut 1 (bzw. 2) kauft er x* (bzw. X2) Einheiten.

3.6.

Entscheidung ohne Indifferenzkurven

Die Ermittlung von Indifferenzkurven erfordert den paarweisen Vergleich von (Zi,Z2)-Konstellationen (vgl. Abschnitt 3.1). Auf dem Wege eines derartigen Vergleichs kann jedoch das Optimum auch ohne explizite Ermittlung von Indifferenzkurven bestimmt werden. Dabei werden in den Ver7)

Man könnte argumentieren, daß zusätzlich die Möglichkeit bestehe, Geld zu verschenken. Das Gut "Geldgeschenk" (das durch die betreffende Geldausgabe "erkauft" werden müßte) würde jedoch als drittes Gut den Zwei-Güter-Fall sprengen.

82

Kapitel III

gleich nur Ergebnisse auf der Effizienzkurve einbezogen. Möglicherweise werden dadurch weniger paarweise Vergleiche erforderlich als bei Entscheidung mit Hilfe von Indifferenzkurven. Das gilt insbesondere dann, wenn 1. die Effizienzkurve konkav oder hnear verläuft und 2. davon ausgegangen werden kann, daß die (nicht explizit ermittelten) Indifferenzkurven konvex sind. In diesem Fall gilt der folgende Satz (vgl. hierzu z.B. Abbildung III.7): Ausgehend von dem effizienten Punkt auf der Abszisse bzw. der Ordinate stellen die benachbarten Effizienzpunkte zunächst immer bessere (Zi,Z2)-Konstellationen dar, bis von einem bestimmten Punkt an, dem Optimum, die jeweils folgenden Effizienzpunkte ungünstigere (Zi,Z2)Konstellationen charakterisieren. Die paarweisen Vergleiche entlang der Effizienzkurve müssen also nur bis zu jenem Punkt fortgesetzt werden, von dem an die (Zi,Z2)-Konstellationen wieder schlechter werden. Dieser "Gipfelpunkt" einer Wanderung auf der Effizienzkurve repräsentiert das optimale Ergebnis.

3.7.

Zur didaktischen Bedeutung des IndifferenzkurvenKonzeptes

Die graphische Bestimmung einer optimalen Lösung mit Hilfe von Indifferenzkurven ist nur bei zwei Zielgrößen möglich. Dennoch ist das Indifferenzkurven-Konzept in didaktischer Hinsicht auch für Entscheidungssituationen mit mehr als zwei Zielgrößen von Bedeutung. Zwar werden dann andere Lösungsansätze notwendig; das Indifferenzkurven-Konzept eignet sich jedoch außerordentlich gut zur Veranschaulichung ihrer Grundidee und Problematik (vgl. hierzu vor allem auch Abschnitt 5).

4.

4.1.

Entscheidung bei mehr als zwei Zielgrößen: Das Transformations-Konzept Transformations-Bedingung

Bei mehr als zwei Zielgrößen ist der Vergleich von Zielgrößenvektoren grundsätzlich schwieriger als bei zwei Zielgrößen. Wie jedoch bereits in Abschnitt 2.4 angedeutet wurde, kann - unter einer bestimmten Bedingung - der Vergleich zweier beliebiger Zielgrößenvektoren mit mehr als zwei Komponenten auf den sukzessiven Vergleich von Vektoren zurückgeführt werden, die sich jeweils nur bezüglich zweier Zielgrößen unterscheiden {Transformations-Konzept). Die betreffende Bedingung lautet:

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

83

Transformations-Bedingung: In einer Entscheidungssituation wie in Matrix IIL3 existiert ein Wert Z*^^^ für die Zielgröße Z2+1, bei der der Entscheider indifferent ist zwischen den (hypothetischen) Alternativen Aj und A2; der Entscheider ist in der Lage den betreffenden Wert zu fixieren.^) Der betreffende Betrag wird als Indifferenzwert für Z2^z+i bezeichnet. Z]

Al

Xi

A2

X,

-

-

Zz-1

x,_i

Zz

Zz+1

Zz+2

Zlz

Zl,z+1

Xz+2

Z2z

Z2,z+1

Xz+2

••

Zz

Matrix III.3: (Hypothetische) Zielgrößenmatrix zur Bestimmung von Z 2 z+1 In dieser Matrix sind alle Zielgrößenwerte bis auf Z2 z+i bereits festgelegt. Dabei weisen die Zielgrößen Z^,..., Z^-i, Z2+2VJ 2^z ^ ^ beide Alternativen jeweils denselben Wert auf. Jedoch können sich Z^^ ^^^ ^2z unterscheiden.9) Die Bedingung, daß in jedem Fall ein Indifferenzwert für Z2Z+1 existiert und auch fixiert werden kann, impliziert, daß der Entscheider angeben kann, wie Z2 z+i steigen oder sinken muß, um den Vor- oder Nachteil bei Änderung einer der Zielgrößenwerte Z^^, Z2z bzw. Z^ ^+1 zu kompensieren. Wenn der Entscheider bei beiden Zielgrößen Z^ und Z^+i c.p. einen höheren Wert einem niedrigeren vorzieht, kann der Indifferenzwert für Z2 z+i wie folgt ermittelt werden: Zunächst wird Z2Z+1 gleich Zj ^+1 gesetzt, so daß der Entscheider im Fall Z^^ > Z2z (bzw. Z^^ < Z2z) den oberen (bzw. den unteren) Vektor in Matrix III.3 vorzieht; der obere (bzw. der untere) Zielgrößenvektor dominiert den anderen. Im Fall Z12 ^ 2^22 wird ausgehend von Z2Z+1 = Z^ ^+1 der Zielgrößenwert Z2Z+1 sukzessive erhöht und der Entscheider jeweils gefragt, ob er immer noch den oberen Vektor vorzieht. Der Entscheider muß dabei jeweils zwei Zielgrößenvektoren abwägen, die sich nur hinsichtlich der Zielgrößen Z^ und Z^+i unterscheiden. Der Vergleich dieser Vektoren ist grundsätzlich einfacher als der unmittelbare Vergleich von Vektoren, die sich für drei oder mehr (im Extremfall für alle) Zielgrößen unterscheiden. Derjenige Betrag für Z2Z+1, bei dem der Entscheider indifferent ist zwischen den Alternativen A^ und A2, ist der gesuchte Indifferenzwert Z^ ^_^j. 8) 9)

Wie die Darstellungen in Abschnitt 2.4 gezeigt haben, ist diese Bedingung nicht zwingend erfüllt. Für den Fall 2.^^7.2^ ist die Fixierung des Indifferenzwertes für Z22+1 trivial; für ihn gilt dann Z2^2+r2:i,z+i.

84

Kapitel III

Im Fall Z12 < Z2z wird ausgehend von Z2 z+i = ^i,z+l ^^^ Zielgrößenwert Z2 z+i sukzessive gesenkt, bis schließlich Indifferenz besteht. Analog kann der Indifferenzwert für Z2 z+i ermittelt werden, wenn der Entscheider bei mindestens einer der Zielgrößen Z^ und Z^+i c.p. einen niedrigeren Wert einem höheren vorzieht. Obwohl in der Ergebnismatrix III.3 die Zielgrößen Zi,...,Z2_i,Z2+i,...,Z2 jeweils denselben Wert aufweisen, dürfen sie bei der Bestimmung des Indifferenzwertes für Z2 z+i nicht übersehen werden. Ihre Ausprägungen haben im allgemeinen einen Einfluß auf denjenigen Vor- oder Nachteil, der mit einer Variation der Zielgröße Z^ bzw. Z^+i verbunden ist. So kann etwa der Vorteil einer Vergrößerung der Zielgröße "Dauer der Freizeit" bei hohem Einkommen größer sein als bei niedrigem. Der mit einer Vergrößerung der Zielgröße "gegenwärtiges Einkommen" verbundene Vorteil kann davon abhängen, ob die Zielgröße "zukünftiges Einkommen" hoch oder niedrig ist. Mithin hängt es (im allgemeinen) von den Werten der Zielgrößen Zi,...,Z2_i, Z^+iv'-j^z ^b, wie sich der Zielgrößenwert Z2^z+i ändern muß, damit derjenige Vor- oder Nachteil kompensiert wird, der aus einer Veränderung eines der Zielgrößenwerte Z^^, 2^22 und Z^ ^+1 resultiert. Das Transformations-Prinzip stellt an den Entscheider kaum höhere Anforderungen als die Konstruktion von Indifferenzkurven bei genau zwei Zielgrößen. Außerdem ist zu bedenken: wenn in einem Entscheidungskalkül nur zwei Zielgrößen explizit betrachtet werden, so bedeutet das nicht, daß sich der Entscheider letztlich nur an diesen beiden Zielgrößen orientiert. Die Vernachlässigung anderer Zielgrößen kann insbesondere daraus resultieren, daß die im Rahmen des Entscheidungsproblems erwogenen Alternativen keinen Einfluß auf die Ausprägungen dieser (anderen) Zielgrößen haben. Die betreffenden Zielgrößen können indessen für andere Entscheidungsprobleme relevant werden. Wenn ein Entscheidungskalkül explizit nur zwei Zielgrößen berücksichtigt, dürfen die anderen (potentiellen) Zielgrößen ebenso wenig vernachlässigt werden, wie die Zielgrößenwerte Zi,...,Z2_i,Z2+iv?Z2 bei der Fixierung des Indifferenzwertes für Z2 z+iWenn zum Beispiel im Rahmen eines Entscheidungsproblems nur die Zielgrößen "heutiges Einkommen" und "zukünftiges Einkommen" explizit berücksichtigt werden, sind die Ausprägungen anderer (potentieller) Zielgrößen (zum Beispiel Freizeit, Zahl der Kinder) immerhin implizit zu berücksichtigen, und zwar bei der Bewertung der relevanten Ergebnisse (der Kombinationen von Ausprägungen der explizit betrachteten Zielgrößen).

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

4.2.

85

Überblick über das Konzept

Zur Verdeutlichung des Transformations-Konzeptes wird davon ausgegangen, der Entscheider habe die folgenden Zielgrößenvektoren miteinander zu vergleichen: Zi

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

Al

80

50

40

10

20

30

A2

10

60

30

40

60

20

Matrix III.4: Zielgrößenmatrix

Zum Vergleich der beiden Alternativen in Matrix IIL4 wird der Zielgrößenvektor für Aj durch gedankliche Variation von je zwei "benachbarten" Zielgrößenwerten schrittweise in äquivalente Zielgrößenvektoren transformiert, bis schließlich die Ergebnismatrix III.7 entstanden ist. Der obere Zielgrößenvektor in dieser Matrix ist der Vektor für die Alternative A^ nach dem letzten (dem fünften) Transformationsschritt; der untere Vektor ist der (unveränderte) Zielgrößenvektor der Alternative A2. Die in der Matrix IIL7 aufgeführten Vektoren stimmen hinsichtlich der Zielgrößen Zi,Z2,.-.,^5 miteinander überein. Welcher Vektor besser ist, kann somit durch alleinigen Vergleich der Werte für die Zielgröße Z5 festgestellt werden. 10) Beim ersten Transformationsschritt wird die erste Komponente des Zielgrößenvektors von Aj (also Zii = 80) durch den Wert Z2i = 10 ersetzt (es gilt dann also Zii=Z2i = 10). Gleichzeitig wird die zweite Komponente des Zielgrößenvektors von A^ (also Z|2 = 50) derart durch den neuen Ziel*

1

größenwert Zi2 = 2^i2 ^^^etzt, daß der neue Zielgrößenvektor A^ dem alten Vektor Aj äquivalent ist. Die Zielgrößenmatrix hat nach dem ersten Transformationsschritt folgende Gestalt:

Al

ZI

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

10

Z*

40

10

20

30

10

60

30

40

60

20

Matrix III.5: Zielgrößenmatrix nach dem ersten Transformationsschritt 10) Natürlich stimmt der tatsächliche Zielgrößenvektor von Aj nach wie vor mit demjenigen überein, der in Matrix IIL4 dargestellt ist. Die Annäherung des Zielgrößenvektors der Alternative A| an den von A2 erfolgt hypothetisch, um den Altemativenvergleich zu erleichtem.

86

Kapitel III

Beim zweiten Transformationsschritt wird die zweite Komponente des Zielgrößenvektors von A p also Zi2= Zj2' durch 60 substituiert (sofern nicht ohnehin schon Zj'2==60 gilt). Gleichzeitig wird die dritte Komponente, Zi3 = 40, derart durch einen neuen Zielgrößenwert Z^^ ersetzt, daß der neue 2

1

Zielgrößenvektor A^ dem alten Vektor A^ äquivalent ist. Nach dem zweiten Transformationsschritt hat die Zielgrößenmatrix die folgende Gestalt:

A2

Z3

Z4

Z5

Z6

60

Z*

10

20

30

60

30

40

60

20

Zi

Z2

10 10

Matrix III.6: Zielgrößenmatrix nach dem zweiten Transformationsschritt In analoger Weise wird Schritt für Schritt der Zielgrößenvektor für die Alternative Aj in äquivalente Vektoren umgeformt, bis schließlich nach fünf Transformationsschritten die folgende Zielgrößenmatrix vorliegt:

A2

Zl

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

10

60

30

40

60

Z*

10

60

30

40

60

20

Matrix III.7: Zielgrößenmatrix nach Durchführung aller Transformationsschritte Da in dieser Zielgrößenmatrix die Zielgrößenwerte Z i , Z 2 v j ^ 5 bei beiden Vektoren jeweils gleich sind, ist für deren Beurteilung nur noch die Zielgröße Z5 relevant. Gilt Z\^ = 20 sind beide Vektoren gleichwertig. Im Fall Z\^ ^ 20 wird derjenige Vektor vorgezogen, der den besseren Wert für Z5 aufweist; wenn der Entscheider c.p. einen höheren Wert vorzieht, ist der Vektor mit dem höheren Wert der Zielgröße Z5 optimal. Da bei jedem Transformationsschritt des Zielgrößenvektors von Aj ein äquivalenter Vektor entsteht, folgt nach dem Transitivitätsaxiom A^--Ai und mithin auch: A l - A2, falls A ^ - ' A 2 , Aj :^ A2, falls A^ >-A2, Al -< A2, falls A^ -^ A2.

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

4.3.

87

Bestimmung von X\^ (erster Transformationsschritt)

Wie erläutert, wird beim ersten Transformationsschritt (also beim Übergang von der Zielgrößenmatrix IIL4 zur Matrix III.5) die erste Komponente des Zielgrößenvektors von Aj (Zii = 80) durch 10 ersetzt und die zweite Komponente (Zi2 = 50) durch den Platzhalter Zj2- Dabei wird Zj2 derart fixiert, daß der neue Vektor (A^ in Matrix III.5) dem alten Vektor (Aj in Matrix III.4) äquivalent ist. Da die Werte der Zielgrößen Z3,...,Z5 unverändert bleiben, kann Zj2 ^^f der Basis der folgenden (hypothetischen) Entscheidungssituation bestimmt werden (die Matrix III.5 hat dieselbe Struktur wie die Matrix III.3): Zi

Z2

Z3

Z4

Z5

^6

Al

80

50

40

10

20

30

Al

10

2^12

40

10

20

30

Matrix III.8: (Hypothetische) Zielgrößenmatrix zur Bestimmung von Zj2 Der obere Vektor entspricht dem tatsächlichen Zielgrößenvektor der Alternative Al, im unteren Vektor A^ ist die erste Komponente des Zielgrößenvektors von Aj (d.h. Zii = 80) durch 10 ersetzt worden und die zweite Komponente (d.h. Zi2 = 50) durch das Symbol Z12, wobei der Wert von Z12 zunächst noch offen ist. Der Entscheider hat nun nach subjektivem Ermessen denjenigen Wert für Z12 zu fixieren, bei dem er indifferent ist zwischen den Alternativen in Matrix III.8. Dieser Betrag wird mit Z.2 bezeichnet. Durch Einsetzen dieses Betrages in den Vektor A^ ergibt sich der Vektor AJ in Matrix III. 5.

4.4.

Bestimmung von Z13 (zweiter Transformationsschritt)

Wie erläutert wurde, wird beim zweiten Transformationsschritt (also beim Übergang von der Zielgrößenmatrix III. 5 auf die Matrix III.6) die zweite 1

*

Komponente des Zielgrößenvektors von A^ (also Z^r^ durch 60 ersetzt und die dritte Komponente (also Zi3 = 40) durch den neuen Platzhalter Z-.^.

88

Kapitel III

Dabei muß Z^^ betragsmäßig so fixiert werden, daß der neue Zielgrößen2

1

Vektor A^ (in Matrix IIL6) dem alten Vektor A. (in Matrix III.5) äquivalent ist. Da beim zweiten Transformationsschritt die Werte der Zielgrößen Zj, Z4, Z5, Z5 unverändert bleiben, kann Z^^ auf der Basis der folgenden (hypothetischen) Entscheidungssituation bestimmt werden (auch Matrix IIL9 hat die gleiche Struktur wie die Matrix IIL3):

Al

Zl 10 10

Zl

Z3

Z4

Z5

Z6

Zn

40

10

20

30

i

i

60

Zl3

10

20

30

Matrix III.9: (Hypothetische) Zielgrößenmatrix zur Bestimmung von Zj^ Der obere Zielgrößenvektor in Matrix IIL9 ist der Vektor der Handlungsaltemative A^ nach dem ersten Transformationsschritt. Die zweite Komponente dieses Vektors (also Z^2) ist beim unteren Vergleichsvektor durch 60 ersetzt worden und die dritte Komponente (also 40) durch das Symbol Z13, wobei die Höhe von Z13 zunächst noch unbestimmt ist. Der Entscheider muß nun denjenigen Wert für Z13 fixieren, bei dem er indifferent ist zwischen den beiden Vektoren in Matrix III.9. Dieser Betrag wird mit Z^^ bezeichnet. Durch Einsetzen von Z*^ in den Vektor Af ergibt sich der Vektor A^ in Matrix IIL6. Die bei den weiteren Transformationsschritten einzusetzenden Platzhalter Z. (z = 4,5,6) werden analog bestimmt.

4.5.

Beurteilung

Das Ordnungsaxiom setzt also nicht unbedingt voraus, der Entscheider könne beliebige Zielgrößenvektoren mit mehr als zwei Komponenten unmittelbar miteinander vergleichen. Das Ordnungsaxiom ist z.B. auch dann erfüllt, wenn der Entscheider den Vergleich nach dem TransformationsKonzept vornehmen kann. Nach diesem Konzept wird der Vergleich zweier beliebiger Zielgrößenvektoren auf den sukzessiven Vergleich zweier Vektoren zurückgeführt, die sich jeweils nur hinsichtlich zweier Zielgrößen unterscheiden.

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

89

Wie bereits erläutert wurde, setzt das Transformations-Konzept voraus, daß bei jedem Transformationsschritt die jeweilige Änderung des Wertes der Zielgröße Z^ (z=l,2,...Z-l) durch eine Änderung des Wertes der Zielgröße Z^+i kompensiert werden kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht zwingend erfüllt, wie die Darstellungen in Abschnitt 2.4 verdeutlicht haben. (Sie gelten analog für den Fall, daß mehr als zwei Zielgrößen relevant sind.) Ein Ausweg aus dieser Problematik kann sich möglicherweise dadurch ergeben, daß eine andere Anordnung der Zielgrößen gewählt wird (die Zielgrößen also in einer anderen Reihenfolge verändert werden). Die Variation der Anordnung der Zielgrößen bietet im übrigen auch eine Möglichkeit, die Präferenzvorstellungen des Entscheiders auf Konsistenz hin zu überprüfen. Bei der zunächst gewählten Anordnung führe z.B. das Transformations-Konzept zum Präferenzurteil Aj >- A2. Wenn bei veränderter Reihenfolge die erneute Anwendung des Transformations-Konzeptes zum Präferenzurteil A^-< A2 oder zur Indifferenzrelation A i ~ A 2 führt, wird eine Inkonsistenz in den Bewertungsakten des Entscheiders offenbar. Er sollte dann seine Präferenzvorstellungen überdenken (indem er z.B. einzelne Transformationsschritte erneut durchgeht und dabei die jeweiligen Zielgrößenwerte sorgfältiger gegeneinander abwägt).

5. 5.1. 5.1,1.

Zielfunktionen für mathematische Entscheidungsmodelle mit zwei oder mehr Zielgrößen Nutzenmaximierung Grundgedanke

Die Bestimmung der optimalen Lösung eines Entscheidungsproblems auf der Grundlage einer graphischen Darstellung ist nur in einfachen Fällen möglich. Diese Methode versagt insbesondere auch dann, wenn mehr als zwei Zielgrößen zu beachten sind. Dann können möglicherweise mathematische Entscheidungsmodelle weiterhelfen. Bei der Konstruktion eines mathematischen Entscheidungsmodells müssen in irgendeiner Weise die Zielvorstellungen des Entscheiders dargestellt werden. Dies geschieht durch die "Zielfunktion". Bei Sicherheit besteht das Problem der Bestimmung einer Zielfunktion in der Ermittlung einer Nutzenfunktion über die Ergebnisse. Die Bestimmung einer besten Alternative ist dann gleichbedeutend mit der Maximierung des Nutzens des Ergebnisses. Im folgenden Abschnitt geht es um die Anforderungen, die (bei Sicherheit) an eine numerische Nutzenfunktion U zu stellen sind und darum, wie Funktionen, die diesen Anforderungen genügen, ermittelt werden können. Zur Beantwortung dieser Fragen soll zunächst das Nutzenkonzept für

90

Kapitel III

den Fall zweier Zielgrößen (Z^ und Z2) mit Hilfe von Indifferenzkurven veranschaulicht werden. 5.1.2, Graphische Veranschaulichung des

Nutzenkonzeptes

Die Indifferenzkurven geben an, welche (Zi,Z2)-Konstellationen jeweils einander gleichwertig sind. Da sich die Indifferenzkurven nirgends schneiden, können sie eindeutig durchnumeriert werden (vgl. Abbildung IIL9). Dabei ist es zweckmäßig, die Ordnungszahlen nach der folgenden Konvention festzulegen: Von zwei beliebigen Indifferenzkurven erhält jene die höhere Ordnungszahl, die die günstigeren (Zi,Z2)-Konstellationen repräsentiert. Wenn eine Indifferenzkurve um so bessere (Zi,Z2)-Konstellationen repräsentiert, je weiter rechts oben sie im Koordinatensystem verläuft, wird die Zuordnung z.B. so wie in Abbildung III.9 vorgenommen. Wenn die Konvention, nach der die Zuordnung erfolgt, bekannt ist, wird aus einer Graphik wie in Abbildung IIL9 ersichtlich, in welcher Richtung sich "bessere" Indifferenzkurven ergeben. (Diese Richtung könnte auch durch einen "Pfeil" gekennzeichnet sein.)

Abb. III.9: Zuordnung von Zahlen (Nutzenwerten) zu Indifferenzkurven Aus einer solchen Zeichnung kann relativ leicht die Präferenzordnung über die möglichen Ergebnisse abgelesen werden, indem die Ordnungszahlen der jeweiligen Ergebnisse miteinander verglichen werden. Die beschriebene Zuordnung von Zahlen zu Indifferenzkurven (und damit zu den jeweiligen Ergebnissen) wird als Nutzenfunktion bezeichnet, die Zahlen selbst als Nutzenwerte.

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

91

Abb. III.IO: Zur Bestimmung von Nutzenwerten für Ergebnisse Für die Ergebnisse P,...,T in Abbildung III.IO gelten z.B. die folgenden Nutzenwerte: U(P) = 1; U(Q) = 2; U(R) = 3; U(S) = 3; U(T) = 4 . U(Q)>U(P) besagt, daß die dem Punkt Q entsprechende (Zi,Z2)-Konstellation jener vorgezogen wird, die dem Punkt P entspricht (kurz: Punkt Q wird Punkt P vorgezogen). Insgesamt gilt die Präferenzrelation P^Q-
92

Kapitel III

- mit einer positiven reellen Zahl multipliziert werden (bei Multiplikation mit 5 z.B. ergeben sich die Nutzenwerte 5, 10, 15, 20), - zu einer reellen Zahl addiert werden (bei Addition zu 10 ergeben sich z.B. die Nutzenwerte 11, 12, 13, 14), - quadriert werden (also: 1, 4, 9, 16). Die Nutzenfunktion ist also (bei sicheren Erwartungen) nur bis auf eine (streng) monoton wachsende Transformation festgelegt. Eine solche Nutzenfunktion wird als ordinal bezeichnet. 5.7.5. Eigenschaften und Gestalt numerischer

Nutzenfunktionen

Bei nur zwei Zielgrößen kann die Nutzenfunktion graphisch dargestellt werden, indem äquivalente (Zi,Z2)-Konstellationen durch Indifferenzkurven repräsentiert und diesen Kurven Nutzenwerte zugeordnet werden. Bei mehr als zwei Zielgrößen ist dieses anschauliche Vorgehen nicht mehr möglich. Die Nutzenfunktion kann dann allenfalls durch eine numerische Funktion \]{Zi,Z2,...,Z^ dargestellt werden, die jedem (Zi,Z2,...,Z2)Vektor (im Definitionsbereich der Nutzenfunktion) einen Nutzenwert U zuordnet. Dabei stellt sich das Problem, diese Nutzenfunktion so zu formulieren, daß die folgende Bedingung erfüllt ist. Bedingung ULI: Für zwei beliebige Ergebnisse E* = (ZpZ2,.--j2]^) und E** = (Z**,Z2*,...,Z^*) (im Definitionsbereich der Nutzenfunktion) gilt: [ E V E * * ] <=> [U(E*)>U(E**)]

[E*'-E**] <^ [U(E*)=:U(E**)] [E*-<E**] <=> [U(E*)
11) Die Bedingung III. 1 kann nur dann erfüllt sein, wenn das Transitivitätsaxiom erfüllt ist. Im Fall Ej>-E , Ej>-E|^ und Ej^^^Ej z.B. müßte gemäß Bedingung III. 1 die folgende Relation gelten U(Ei)>U(Ej), U(Ej)>U(Ei^) und U(Ej^)>U(E^). Diese Ungleichungen stehen jedoch im Widerspruch zueinander.

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

93

die gleiche Zahl entspricht, wenn sie aus Sicht des Entscheiders gleichwertig sind). Dabei ist es gleichgültig, um welchen Betrag diese Zahl höher ist. Die Nutzenfunktion U ist also auch bei mehr als zwei Zielgrößen nur bis auf eine (streng) monoton wachsende Transformation festgelegt (ordinale Nutzenfunktionen). Bei einer ordinalen Nutzenfunktion zeigt der Größenvergleich zweier Nutzenwerte nur, ob das eine Ergebnis gegenüber dem anderen vorgezogen wird oder nicht. Die Höhe der Differenz macht jedoch keine Aussage über die "Stärke" der Präferenz. Die ordinale Nutzenmessung ist für die Individualentscheidung bei Sicherheit ausreichend. Die Maximierung einer ordinalen Nutzenfunktion führt zur besten Alternative. Entsprechend lautet die Zielfunktion: (111.1)

U(Zi,Z2,...,Zz)->Max!

Bei "vollständiger Nutzenunabhängigkeit" kann die Zielfunktion (III.l) additiv dargestellt werden: (111.2)

U = U i ( Z i ) + U(Z2)+...+Uz(Zz) -^ Max!

Vollständige Nutzenunabhängigkeit ist dann gegeben, wenn die folgende Voraussetzung erfüllt ist: Wie weit der Nutzen U steigt bzw. sinkt, wenn die Zielgröße Z^ (z = 1,2,...,Z) um einen bestimmten Betrag steigt bzw. sinkt, ist unabhängig von den Ausprägungen aller anderen Zielgrößen. Im Spezialfall^^) U(Z2) = a2-Z2 m i t a 2 > 0 ( z = l,2,...,Z) gilt die Zielfunktion: (111.3)

U = ai • Zi + a2 • Z2+...+a2 • Z^ -> Max!

Dabei hat a^ (z = l,2,...,Z) die Dimension "Nutzeneinheit pro Einheit der Zielgröße Z^". Gemäß (III.3) ist der Nutzen U eine linear steigende Funktion der Zielgröße Z^ (z = l,2,...,Z) wobei das Steigungsmaß davon unabhängig ist, welche Ausprägungen die anderen Zielgrößen aufweisen. Im Fall zweier Zielgrößen (Z = 2) entsprechen der Zielfunktion (III.3) lineare Indifferenzkurven. Die Annahme der vollständigen Nutzenunabhängigkeit ist allerdings wirklichkeitsfremd. Im allgemeinen besteht zumindest zwischen einem Teil der Zielgrößen Nutzenabhängigkeit, d.h. die Bewertung der einen Zielgröße hängt von den Ausprägungen der anderen Zielgrößen ab.

12) Es wird davon ausgegangen, daß der Entscheider bei jeder Zielgröße einen höheren Wert einem niedrigeren vorzieht.

94

Kapitel III

5.1,4, Problem e der empirisch en Bestim mung numerisch er Nutzenfunktion en Die empirische Bestimmung einer "zielgerechten" numerischen Nutzenfunktion U setzt in aller Regel folgende Schritte voraus: Zunächst sind alle Wertekonstellationen für die Zielgrößen Zi,Z2,.--?^Z' ^i^ i^ ^^^ Definitionsbereich der Nutzenfunktion fallen, in eine Präferenzordnung zu bringen. 1^) (Das bedeutet freilich nicht, daß a priori die Alternativen bekannt sein müssen, die zu diesen Wertekonstellationen führen.) Danach muß die vorliegende Präferenzordnung durch eine numerische Funktion U(Zi,Z2,...,Z2) repräsentiert werden, die die Bedingung (III. 1) erfüllt. Bei der Bestimmung einer Präferenzordnung muß sich der Entscheider Klarheit über seine Präferenzen bezüglich der Ergebnisse verschaffen. Das Entscheidungsmodell selbst kann ihm diese Arbeit nicht abnehmen; es kann lediglich zum Auffinden der Alternative dienen, die im Licht gegebener Präferenzvorstellungen ein möglichst gutes Ergebnis bietet. Wenn das Ordnungsaxiom und das Transitivitätsaxiom erfüllt sind (von dieser Voraussetzung wird in dieser Arbeit immer ausgegangen), ist es zwar theoretisch möglich, eine exakte Präferenzordnung über die Ergebnisse zu ermitteln, sofern die Anzahl der Zielgrößenkonstellationen endlich ist. Der damit verbundene Planungsaufwand ist jedoch im allgemeinen sehr hoch, so daß sich der Entscheider häufig damit begnügen muß, sich ein mehr oder weniger grobes Bild über seine Präferenzen zu machen; dies gilt insbesondere auch dann, wenn die Zahl der möglichen Ergebnisse gegen unendlich geht. Selbst wenn eine Präferenzordnung über die Ergebnisse besteht, existiert möglicherweise keine numerische Nutzenfunktion. Die Existenz einer Präferenzordnung ist nur eine notwendige, jedoch keine hinreichende Voraussetzung für die Existenz einer numerischen Nutzenfunktion U, die die Bedingung ULI erfüllt. Zum Beispiel führt das Konzept der lexikographischen Ordnung (Abschnitt 5.2.2) zu einer vollständigen und transitiven Präferenzrelation über die Ergebnisse, die aber nicht durch eine numerische Nutzenfunktion U repräsentiert werden kann.^^) j j ^ folgenden wird angenommen, daß eine numerische Nutzenfunktion existiert, was jedoch 13) Bei der praktischen Planung muß die Nutzenfunktion U nicht über alle denkbaren Wertekonstellationen jRir die Zielvariablen Zj,Z2,.--,Z2 definiert werden. Vor allem solche Konstellationen, die bereits vor der Modellanalyse als suboptimal oder als nicht realisierbar erscheinen, können bei der Formulierung einer Nutzenfunktion vernachlässigt werden. Die Begrenzung des Definitionsbereichs der Nutzenfunktion U kann insbesondere in der Weise erfolgen, daß Ober- und Untergrenzen für die Zielgrößen Z|,Z2,...,Z2 abgesteckt werden und die Nutzenfunktion nur für die Zielgrößenkonstellationen innerhalb dieser Grenzen numerisch spezifiziert wird (LAUX, 1971a, S. 91 f.). 14) In FiSHBURN (1970a) wird untersucht, unter welchen Voraussetzungen Nutzenfunktionen existieren.

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

95

nicht bedeutet, daß diese Funktion von vornherein bekannt ist. Bei der Konstruktion eines Entscheidungsmodells stellt sich (auch) das Problem, das Funktionsgesetz der Nutzenfunktion praktisch zu bestimmen. Dabei ergeben sich im allgemeinen große Schwierigkeiten: Wie sollen z.B. die Indifferenzkurven in Abbildung III.9 durch eine numerische Nutzenfunktion U(Zi,Z2) dargestellt werden? Relativ einfach läßt sich eine Nutzenfunktion U im Spezialfall der (vollständigen) Nutzenunabhängigkeit bestimmen; im allgemeinen besteht jedoch zumindest zwischen einem Teil der Zielgrößen Nutzenabhängigkeit. Gerade die Erfassung von Nutzenabhängigkeiten verursacht äußerst schwierige Probleme bei der Formulierung von "exakten" Nutzenfunktionen. Hinzu kommt, daß die Nutzenfunktion in (III. 1) im allgemeinen nichtlinear ist. In diesem Fall kann auch die Ermittlung einer optimalen Lösung des Entscheidungsmodells Schwierigkeiten bereiten. Es stellt sich daher das Problem, nach Ersatzkriterien zu suchen, bei denen die Zielfunktion (III. 1) nur in vereinfachter Form bestimmt werden muß. Im folgenden werden verschiedene Lösungsansätze diskutiert; sie können auch dann angewendet werden, wenn nur zwei Zielgrößen zu beachten sind.

5.2.

Ersatzkriterien

5.2.1. Zielunterdrückung Bei "Zielunterdrückung" wird nur diejenige Zielgröße Z^* im Entscheidungsmodell berücksichtigt, der der Entscheider das größte Gewicht beimißt. Die Zielfunktion lautet: (IIL4)

Z * ^Max! z

Die übrigen Zielgrößen Z^ (z=l,2,...,Z2; z:?^z*) werden dabei völlig vernachlässigt. Die Vernachlässigung irgendeiner Zielgröße im Entscheidungsmodell ist dann sinnvoll, wenn sie für alle Alternativen jeweils denselben Wert aufweist. Eine Vernachlässigung aus Vereinfachungsgründen ist aber auch dann naheliegend, wenn der betreffende Zielgrößenwert zwar von Alternative zu Alternative verschieden ist, die Abweichungen jedoch gering sind. Es ist möglich, daß sich bei der Maximierung der "wichtigsten" Zielgröße (Z^*) keine eindeutige Lösung ergibt, weil mehrere Maxima dieser Zielgröße im Zulässigkeitsbereich existieren. Bei Zielunterdrückung bleiben auch in einem solchen Fall die anderen Zielgrößen unberücksichtigt. Aus der Menge der Alternativen mit dem maximalen Z^^-Wert wird eine beliebige Alternative ausgewählt.

96

Kapitel III

5.2.2, Lexikographische

Ordnung

Führt die Maximierung der "wichtigsten" Zielgröße Z^* zu keiner eindeutigen Lösung, dann liegt es nahe, zusätzlich die zweitwichtigste Zielgröße heranzuziehen. Dabei wird in einem zweiten Rechengang die zweitwichtigste Zielgröße maximiert unter der Nebenbedingung, daß die Zielgröße Z^* das im ersten Rechengang ermittelte Maximum nicht unterschreitet. Ergeben sich auch beim zweiten Rechengang wieder mehrere Maxima, ist mit der drittwichtigsten Zielgröße analog zu verfahren, bis schließlich eine eindeutige Lösung bestimmt worden ist. Die entsprechende Alternative wird realisiert. Beispiel ULI. Zur Veranschaulichung dieses Konzepts wird das durch Matrix IILIO charakterisierte Entscheidungsproblem betrachtet, wobei die Zielgröße Zj das größte Gewicht habe, Z2 das zweitgrößte, usw.:

z,

Z,

Al

15

|20

A2

11

18

10

18

A3

15

20

4

15

A4

10

30

8

14

A5

15

20

5

12

14,9

50

40

30

15

18

3

10

A7

Z3

k

Z4 13

Matrix III.IO: Zielgrößenmatrix (Beispiel ULI) Die Maximierung der Zielgröße Zj führt zu keiner eindeutigen Lösung des Entscheidungsproblems, da das Maximum von Zj mit mehreren Alternativen (nämlich A|, A3, A5 und A7) erreicht wird. Um eine Auswahl unter diesen Alternativen zu treffen, wird die (zweitwichtigste) Zielgröße Z2 maximiert (unter der Nebenbedingung Z^ = 15). Dies führt jedoch immer noch nicht zu einer eindeutigen Lösung, da sich wiederum mehrere Maxima ergeben (und zwar für die Alternativen A^, A3 und A5). Eine eindeutige Lösung ergibt sich erst, wenn zur Beurteilung die (drittwichtigste) Zielgröße Z3 herangezogen wird. Als optimal erweist sich die Alternative Aj. Die Zielgröße Z4 hat keinen Einfluß auf die Entscheidung. Die beschriebene Vorgehensweise "führt zur Ordnung der Alternativen nach der Rangfolge der verschiedenen Zielkriterien in entsprechender Weise wie eine alphabetische Anordnung von Worten in einem Lexikon; sie

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

97

wird deshalb auch als lexikographische Ordnung oder lexikographische Gesamtnutzenmessung bezeichnet" (BAMBERG/COENENBERG, 1996, S. 50f.). Das Konzept der lexikographischen Ordnung bietet einerseits den Vorzug, daß es relativ einfach anzuwenden ist. Andererseits kann es aber zu sehr problematischen Entscheidungen führen, wie das Beispiel ULI verdeutlicht: Die zu wählende Alternative Aj bietet im Hinblick auf die Zielgröße Zj nur ein geringfügig besseres Ergebnis als A5, hinsichtlich aller übrigen Zielgrößen schneidet Aj aber wesentlich schlechter ab als A5. Allgemein gilt: Einer Alternative A^ wird gegenüber einer Alternative A^' auch dann der Vorzug gegeben, wenn der Wert der wichtigsten Zielgröße bei Aa nur um einen marginalen Betrag höher ist als bei A^», während andererseits die Werte aller übrigen Zielgrößen bei A^« beliebig höher sind als bei A^. Es wird also impliziert, daß ein marginaler Vorteil in bezug auf die wichtigste Zielgröße nicht kompensiert werden kann, wie weit auch immer die Werte der anderen Zielgrößen bei der Alternative A^- über denen von A^ liegen mögen. Diese Implikation wäre gerechtfertigt, wenn die anderen Zielgrößen für den Entscheider völlig irrelevant wären. Die lexikographische Ordnung beruht aber gerade auf der Voraussetzung, daß es dem Entscheidungsträger nicht völlig gleichgültig ist, welche Werte die anderen Zielgrößen aufweisen. Diese werden (zumindest teilweise) berücksichtigt, wenn die zunächst betrachtete ("wichtigste") Zielgröße zu keiner eindeutigen Lösung führt. So problematisch die lexikographische Ordnung auch sein mag, sie ist (wenn von den höheren Planungskosten abgesehen wird) immer noch besser als das Konzept der Zielunterdrückung, bei dem ausschließlich die "wichtigste" Zielgröße berücksichtigt wird. 5,2,3,

Effizienzkriterium

Eine Alternative zum Konzept der Zielunterdrückung und der lexikographischen Ordnung stellt das folgende zweistufige Verfahren dar, bei dem zwar ebenfalls nicht die Zielfunktion (III. 1) explizit bestimmt werden muß, jedoch trotzdem alle Zielgrößen beachtet werden: - Zunächst wird die Menge der effizienten Lösungen (Alternativen) bestimmt. - Dann wird vom Entscheider eine der effizienten Alternativen ausgewählt. 15) Eine Lösung ist dann effizient, wenn sie zulässig ist (d.h. wenn sie eine realisierbare Alternative charakterisiert) und zugleich keine andere zulässige Lösung existiert, die bezüglich aller Zielgrößen mindestens ebenso hohe

15) Dieses Konzept wurde bereits in Abschnitt 3.3 für den Fall zweier Zielgrößen graphisch dargestellt.

98

Kapitel III

Werte und im Hinblick auf mindestens eine Zielgröße einen höheren Wert bietet.^^) (Im Beispiel der Abbildung IIL7 auf sind alle (Zi,Z2)-Konstellationen effizient, die auf dem Streckenzug ABCDE liegen.) Nur eine der effizienten Lösungen kann optimal sein. 17)

Mit der Bestimmung der Menge der effizienten Lösungen ist das Entscheidungsproblem noch nicht gelöst (sofern diese Menge mehrere Elemente enthält). Der Entscheider muß noch eine Auswahl aus den effizienten Lösungen treffen. 1^) Wie er dabei verfahren soll, läßt das Effizienzkriterium offen. Dennoch bietet es eine wichtige Entscheidungshilfe: Es erfolgt eine Vorauswahl, indem aus der Menge aller Lösungen nur noch die effizienten Lösungen aufgeführt werden; dadurch wird der Vergleich der Alternativen auf die effizienten Lösungen beschränkt. Damit der Entscheider die endgültige Entscheidung treffen kann, muß er angeben können, ob er von zwei beliebigen (effizienten) Vektoren von Zielgrößenwerten (Zj,Z2,.-,Z*) und (ZJ|'*,Z2*,...,Z**) den ersten oder den zweiten Vektor vorzieht oder ob er zwischen beiden indifferent ist. In dieser Hinsicht werden an den Entscheider dieselben Anforderungen gestellt wie bei expliziter Bestimmung einer Nutzenfunktion für die Zielfunktion (III. 1). Eine Nutzenfunktion muß jetzt aber nicht mehr numerisch dargestellt werden. Der beschriebene Lösungsansatz kann bei komplexeren Entscheidungsproblemen erhebliche Schwierigkeiten bereiten. Das gilt vor allem dann, wenn die Anzahl der effizienten Lösungen sehr groß ist. In diesem Fall ist zum einen die Bestimmung aller effizienten Alternativen im allgemeinen mit einem hohen Aufwand verbunden. Zum anderen ist auch die Auswahl einer Lösung aus der Menge der effizienten Lösungen ein komplexes Problem, da dann noch zahlreiche Ergebnisse gegeneinander abzuwägen sind. Es liegt daher nahe, in der Weise zu vereinfachen, daß nur einige der effizienten Lösungen ermittelt werden und dabei von vornherein versucht wird, möglichst "gute" Lösungen aufzuspüren. Im folgenden sollen Möglichkeiten hierfür dargestellt werden.

16) Annahmegemäß zieht der Entscheider c.p. einen höheren Wert der Zielgröße Z^ (z=l,2,...,Z) einem niedrigeren Wert vor. 17) In der Unternehmensforschung sind für lineare Entscheidungsmodelle mit mehreren Zielgrößen Lösungsmethoden entwickelt worden, die es grundsätzlich ermöglichen, alle effizienten Alternativen und die zugehörigen Zielgrößenwerte Z^ zu bestimmen (ISERMANN, 1979; 1979a). 18) Diese Auswahl kann ebenso erfolgen wie die Auswahl einer Alternative auf der Grundlage einer Zielgrößenmatrix (vgl. Abschnitt 2.5).

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

99

5.2.4. Maxim ierung ein er Zielgröße bei gegeben en An spru ch sn iveaus für die anderen Zielgrößen Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, eine Zielgröße Z^* zu maximieren unter den Nebenbedingungen, daß alle anderen Zielgrößen Z^ (z^^z*) befriedigende Werte (sogenannte Anspruchsniveaus) nicht unterschreiten: (IIL5)

Z^* -> Max!

(IIL6)

Z^ > %

(fiir alle z

G { 1 , 2 , . . . , Z } ; Z T^ Z*)

.

Dabei kennzeichnet Z,^ das Anspruchsniveau für die Zielgröße Z^. Bei diesem Konzept stellt sich das Grundproblem, welche der Zielgrößen maximiert werden soll und wie die Anspruchsniveaus für die anderen Zielgrößen festzulegen sind. "In der Auswahl der zu maximierenden Zielgröße liegt nicht notwendigerweise eine Wertung in dem Sinne, daß dieser Zielgröße besonderes Gewicht beigemessen wird. Für die relative Gewichtung der Ziele ist vielmehr wichtiger, in welcher Höhe die befriedigenden Werte angesetzt werden. Je größer das Gewicht ist, das einer Zielgröße beigemessen wird, desto höher wird der befriedigende Wert sein, den man dafür ansetzt. Andererseits ist das Gewicht der zu maximierenden Zielgröße um so höher, je weniger der Zulässigkeitsbereich durch Nebenbedingungen eingeschränkt wird, je niedriger also die befriedigenden Werte für die übrigen Zielgrößen sind" (HAX, 1974a, S. 33). Ob bei der Maximierung einer bestimmten Zielgröße eine mehr oder weniger "gute" Lösung erreicht wird, hängt davon ab, wie die Anspruchsniveaus für die übrigen Zielgrößen festgesetzt werden. Zur Verdeutlichung wird der Fall zweier Zielgrößen (Zj und Zj) betrachtet, wobei Z^ zu maximieren sei. Die Effizienzkurve in Abbildung IILll charakterisiert die Menge der effizienten Lösungen, die Indifferenzkurven bilden die Präferenzordnung des Entscheiders ab. Die optimale Lösung wird durch den Tangentialpunkt T repräsentiert. Diese Lösung wird bei Maximierung von Z^ nur dann erreicht, falls Z2 =250 gilt. 19) Im Fall Z2 = 350 z.B. führt die Maximierung von Zj zu jener Lösung, die dem Punkt Pj entspricht. Da P^ auf einer "ungünstigeren" Indifferenzkurve liegt als T, wird das Optimum verfehlt. Für Z2 = 80 ergibt sich eine noch schlechtere Lösung, nämlich diejenige, die dem Punkt P2 entspricht.

19) Bei dieser Lösung wird die Nebenbedingung Z2>Z2=250 als Gleichung erfüllt (Z2 =250). Eine weitere Vergrößerung von Z| ist nicht möglich, ohne die Bedingung Z2 > Z2 = 250 zu verletzen

Effizienzkurve

Abb. III.ll: Zur "Güte" der Lösung bei alternativen Anspruchsniveaus Z2 für die Zielgröße Z2 Auf der Grundlage einer Darstellung wie in Abbildung IIL11 kann leicht überprüft werden, wie sich das Anspruchsniveau auf die Güte der erzielten Lösung auswirkt. Wenn jedoch die Effizienzkurve und die Indifferenzkurven bereits bekannt sind, wird der diskutierte Lösungsansatz gar nicht benötigt. Bei komplexen Entscheidungsproblemen (vor allem bei mehr als zwei Zielgrößen) ist nur schwer zu durchschauen, wie die Anspruchsniveaus Z2 (z^z*) den maximalen Wert der Zielgröße Z^* beeinflussen. Je nach der Struktur der erwogenen Aktionsmöglichkeiten kann bei Erhöhung eines Anspruchsniveaus der maximale Z^nc-Wert sehr stark oder auch nur geringfügig sinken. Es kann daher sinnvoll sein, Alternativrechnungen für unterschiedliche Anspruchsniveaus hinsichtlich der Zielgrößen Z^CZ^T^Z*) durchzuführen. Dabei ist es naheliegend, einige oder alle Anspruchsniveaus zu senken (bzw. zu erhöhen), sofern beim ersten Rechengang eine Lösung erzielt wird, bei der das Maximum von Z^* unerwartet niedrig (bzw. unerwartet hoch) ist. Liegen die Ergebnisse der Altemativrechnungen vor, kann eine der Lösungen gewählt werden (wobei die Entscheidung vom Gewicht der einzelnen Zielgrößen abhängt).

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

101

5.2.5. Zielgewich tung Beim folgenden Lösungsweg wird die gewichtete Summe aller Zielgrößen maximiert. Die Zielfunktion lautet: Z

(IIL7)

S ^ z • 2^2 -> Max!

mit a^ > 0 (z = 1,2,...,Z).

z=l

Diese Zielfunktion hat zunächst den Vorzug, daß sie zu einer effizienten Lösung führt, wie immer auch die Gewichtungsfaktoren di^ (az>0) fixiert werden (DINKELBACH, 1969b, S. 159). Ebenso wie bei dem in Abschnitt 5.2.4. dargestellten Konzept erfolgt hier eine Gewichtung der Zielgrößen. Diese Gewichtung wird jetzt aber explizit vorgenommen und nicht implizit durch Vorgabe befriedigender Anspruchsniveaus (HAX, 1974, S. 34). Die Zielfunktion (IIL7) stimmt in formaler Hinsicht völlig mit der Zielfunktion (IIL3) überein. (IILS) folgte unmittelbar aus der sehr speziellen Nutzenfunktion U = a^ • Zi + a2- Z2+...+a2- Z^, bei der Nutzenunabhängigkeit besteht und der Nutzen U eine linear steigende Funktion der Zielgröße Z^ (z = 1,2,...,Z) ist. Die jetzigen Überlegungen beziehen sich dagegen auf eine komplexe Nutzenfunktion U(Zi,Z2v?Z2) (wobei vor allem auch Nutzenabhängigkeiten bestehen können). Die Zielfunktion (IIL?) beschreibt eine Möglichkeit, die Zielfunktion (ULI) in vereinfachter Form darzustellen. Bei Anwendung der Zielfunktion (IIL?) stellt sich das Problem, welche Gewichtungsfaktoren ai,a2,.--,a2 gewählt werden sollen. Zur Lösung dieses Problems muß der Entscheider Vorstellungen über die Implikationen der jeweiligen Gewichte entwickeln. Diese Vorstellungen können von den tatsächlichen Implikationen im konkreten Planungsmodell mehr oder weniger stark abweichen. Es ist möglich, daß die gewählten Zielgewichte a^ (z = 1,2,...,Z) zu einer Lösung (zu einer Alternative) führen, die vom Entscheider als völlig indiskutabel verworfen wird. Die Problematik der Bestimmung geeigneter Zielgewichte soll für den Fall zweier Zielgrößen (Zj und Z2) graphisch veranschaulicht werden: Im Fall der Abbildung III. 12 ist jene Lösung optimal, die dem Punkt P^ entspricht. Wann wird diese Lösung nach dem Konzept der Zielgewichtung erreicht? Im Fall zweier Zielgrößen lautet die Zielfunktion (III.7): (IILS)

U = ai- Z i + a 2 - Z 2 - ^ M a x !

mit a^ > 0 ( z = l,2).

102

Kapitel III

Abb. III.12: Zur "Güte" der Lösung bei alternativen Zielgewichten aj und 3.2 Wird für U ein bestimmter Wert U eingesetzt, ergibt sich nach Umformung: (III.9)

.iL ^2

Dies ist die Gleichung für eine Gerade im (Zi,Z2)-Diagramm, die angibt, welchen (Zi,Z2)-Konstellationen derselbe gewogene Durchschnitt U der Zielgrößen entspricht. Werden für U alternative Werte eingesetzt, ergibt sich eine Schar paralleler Geraden mit der Steigung -a^ / a 2 . Der einer Geraden entsprechende gewogene Durchschnitt U ist um so höher, je weiter rechts diese Gerade verläuft. Der gewogene Durchschnitt wird folghch dort maximiert, wo die Effizienzkurve (d.h. der Streckenzug PQ Pi P2 P3 ^4 ^^ Abbildung III. 12) durch jene Gerade tangiert wird, die am weitesten rechts liegt. Das Maximum des gewogenen Durchschnitts hängt von den Gewichtungsfaktoren a^ und a2 ab, die die Steigung ( - a i / a 2 ) der parallelen Geraden bestimmen. Werden diese Gewichtungsfaktoren z.B. derart fixiert, daß aj /a2 =1,18 gilt, ergibt sich bei Einsetzung alternativer Werte für U in Formel (III.9) eine Schar paralleler Geraden mit der Steigung -1,18, von denen sechs (als gestrichelte Linien) in Abbildung III. 12 dargestellt sind. Als Tangentialpunkt ergibt sich der Punkt P^, der bezüglich der gegebenen Indifferenz-

Entscheidungsmodelle und Entscheidungskriterien

103

kurven auch tatsächlich optimal ist; die Zielfunktion (III. 8) führt also im Falle a i / a 2 =1,18 zur (im Sinne der durch die Indifferenzkurven repräsentierten "wahren" Präferenzvorstellungen) optimalen Lösung. Diese Lösung wird mit der Zielfunktion (IIL8) immer dann erreicht, wenn l , 1 5 < a i / a 2 < 1,90.20) Dabei ist 1,15 (bzw. 1,90) der absolute Wert der Steigung der Strecke P1P2 (bzw. PoPi)- Für a i / a 2 > l , 9 0 oder a i / a 2 <1,15 führt die Zielfunktion (III. 8) zu einer Lösung, die im Licht der wahren Präferenzvorstellungen suboptimal ist: Für l , 1 0 < a i / a 2 <1,15 ergibt sich z.B. jene Lösung, die dem Punkt P2 entspricht. (P2 liegt a2 auf einer "schlechteren" Indifferenzkurve als Pj.) In Abbildung III. 12 wird die optimale Lösung durch einen Eckpunkt der Effizienzkurve repräsentiert. In diesem Fall existiert ein relativ weiter Spielraum für die Wahl geeigneter Zielgewichte a^ und a2. Wie gezeigt wurde, führt die Zielfunktion immer dann zum Optimum, wenn l , 1 5 < a i / a 2 <1,90 gilt. Problematischer ist die Situation in Abbildung III. 13:

Abb. III.13: Zur "Güte" der Lösung bei alternativen Zielgewichten aj und a2. In diesem Fall wird mit der Zielfunktion (III.8) die optimale Lösung (repräsentiert durch den Tangentialpunkt T) immer dann verfehlt, wenn für die 20) Bei 1,15 = a^ /a2 bzw. a^ /a2 = 1,90 kennzeichnet P^ eine der optimalen Lösungen (es existiert dann jeweils Mehrfachoptimalität).

104

Kapitellll

Zielgewichte die Relation a i / a 2 ^ 1 , 1 5 gilt. Für a i / a 2 > l , 1 5 (bzw. ai/a2 < 1,15) ergibt sich eine Lösung, die rechts (bzw. links) vom Optimum liegt. Für aj /a2 = 1,15 ist im Licht der Zielfunktion (IIL8) eine Menge von Lösungen optimal (sie werden durch die Punkte der Strecke P1P2 repräsentiert), unter denen sich auch die tatsächlich optimale Lösung befindet. Diese Lösung kann aber mit der Zielfunktion (IILS) allenfalls zufällig gefunden werden. Auf der Grundlage solcher Abbildungen wie ULI2 und ULI3 kann relativ einfach überprüft werden, wie sich die Wahl alternativer Gewichtungsfaktoren auf die Güte der erzielten Lösung(en) auswirkt. Wenn aber das Entscheidungsproblem schon so weit strukturiert ist, wird das Konzept der Zielgewichtung gar nicht mehr benötigt. Für komplexere Probleme ist die Bestimmung der Gewichtungsfaktoren problematisch. Der Entscheider kann sich jedoch wieder in der Weise behelfen, daß er Altemativrechnungen durchführt, um die Auswirkung unterschiedlicher Gewichtungsfaktoren überprüfen zu können. Diese Alternativrechnungen führen zu effizienten Lösungen. Der Entscheider kann dann eine dieser Lösungen auswählen (indem er die entsprechenden Konstellationen von Zielgrößenwerten im Licht seiner "wahren" Präferenzvorstellungen, die bei den alternativen Zielgewichtungen jeweils nur ungenau zum Ausdruck kommen, gegeneinander abwägt). Wie verdeutlicht wurde, besteht die grundlegende Problematik der in den Abschnitten 5.2.4 und 5.2.5 beschriebenen Lösungswege darin, daß eine Gewichtung der Zielgrößen vorzunehmen ist, wobei deren Auswirkungen nicht genau durchschaut werden können. Zur Vermeidung einer solchen Gewichtung bei der Modellanalyse bleibt nur der Ausweg, alle effizienten Lösungen zu bestimmen. Der Entscheider muß dann aus der Menge dieser Lösungen eine Auswahl treffen. Wie bereits erläutert wurde, verursacht jedoch die Bestimmung und Beschreibung der Menge aller effizienten Alternativen im allgemeinen einen sehr großen Aufwand. Der Entscheider wird in der Regel nur einen Teil der effizienten Lösungen bestimmen können. Hierzu liefern die beschriebenen Konzepte Anhaltspunkte.

Ergänzende und vertiefende

Literatur:

BAMBERG/COENENBERG (2002, S. 43-75); DINKELBACH (1962; 1969); DIN-

(1996, S. 1-61); EISENFÜHR/WEBER (2003); PANDEL (1972; 1979); FANDEL/GAL (1980); H A X (1974a, S. 21-35); KEINEN (1971); HETTICH (1979); ISERMANN (1979a); KEENEY/RAIFFA (1976); KRELLE (1968, S. 6-27 und 103-112); LAUX/FRANKE (1970); M A G (1977);

KELBACH/KLEINE

WEBER, M . (1983); ZELENY (1976); ZIONTS (1978).

TEIL C:

IV. 1.

INDIVIDUALENTSCHEIDUNG BEI UNSICHERHEIT IM ENGEREN SINNE

Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne Problemstellung

In der Realität bestehen grundsätzlich mehrwertige Erwartungen über die Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten. Zu welchem Ergebnis eine Alternative führt, läßt sich zum Zeitpunkt der Entscheidung nicht mit Sicherheit vorhersagen. Das tatsächliche Ergebnis hängt von dem (noch) unbekannten Umweltzustand ab. Existiert eine Alternative, die alle anderen Alternativen dominiert, so ergeben sich gegenüber dem Fall sicherer Erwartungen keine zusätzlichen Probleme. Eine Alternative dominiert dann eine andere, wenn sie im Vergleich zu dieser zweiten Alternative in keinem Zustand ein schlechteres Ergebnis, jedoch in mindestens einem Zustand ein besseres Ergebnis bietet. Nach dem Dominanzprinzip ist eine dominante Alternative den anderen Alternativen vorzuziehen. Bei der folgenden Ergebnismatrix dominiert Alternative Aj alle anderen Alternativen und wird daher (nach dem Dominanzprinzip) gewählt (dabei wird wieder vorausgesetzt, daß ein höherer Wert der Zielgröße einem niedrigerem vorgezogen wird). Si

S2

83

S4

Al

10000

20000

30000

45000

A2

9000

20000

30000

33000

A3

10000

3000

4000

45000

A4

7000

20000

25000

8000

!

Matrix IV. 1: Beispiel einer Ergebnismatrix mit einer dominanten Alternative Aber nur in Ausnahmefällen existiert eine Alternative, die alle anderen Alternativen dominiert. Verbleiben nach Ausscheiden der dominierten Alter-

106

Kapitell V

nativen noch mindestens zwei Alternativen, so führt das Dominanzprinzip zu keiner Entscheidung. Um eine Auswahl treffen zu können, müssen die Ergebnisse der verbleibenden Alternativen gegeneinander abgewogen werden. Hierzu hat die Entscheidungstheorie eine Reihe von Entscheidungskriterien entwickelt. In diesem Kapitel sollen Entscheidungskriterien für Unsicherheit im engeren Sinne diskutiert werden (Abschnitt 2). Unsicherheit i.e.S. liegt definitionsgemäß dann vor, wenn der Entscheider sich zwar ein Urteil darüber bilden kann, welche Zustände (Datenkonstellationen) eine positive Eintrittswahrscheinlichkeit haben, darüber hinaus die Wahrscheinlichkeiten aber nicht näher spezifizieren kann. Wie in Abschnitt 3 gezeigt wird, ist das theoretische Konstrukt der Unsicherheit i.e.S. kaum geeignet, praktische Entscheidungsprobleme zu beschreiben. Trotzdem werden im folgenden Abschnitt Entscheidungskriterien für Unsicherheit i.e.S. diskutiert. Die Analyse hat vor allem didaktische Bedeutung, indem sie das Verständnis der Darstellungen in nachfolgenden Kapiteln (Entscheidung bei Risiko) erleichtert. Zugleich bietet sie eine Grundlage für die Würdigung der Entscheidungskriterien bei Risiko. Damit die Darstellungen übersichtlich bleiben, sollen nur Entscheidungssituationen mit endlich vielen Zuständen und endlich vielen Alternativen betrachtet werden.

2.

Klassische Entscheidungskriterien

2.1. Vorbemerkung Zunächst werden klassische Entscheidungskriterien für Unsicherheitssituationen i.e.S. dargestellt, wobei jeweils zunächst vereinfachend angenommen wird, der Entscheider orientiere sich nur an einer Zielgröße (dem "Erfolg"). Danach wird das jeweilige Kriterium auf den Fall mehrerer Zielgrößen erweitert. Bei der Diskussion der Entscheidungskriterien wird durchgehend die folgende Ergebnismatrix zugrunde gelegt: S4

Zeilenminimum

Zeilenmaximum

3000

3000

20000

3060

3002

3002

3060

3000

3000

-100

-100

20003

3000

3000

3002

3000

20001

Si

S2

S3

Al

20000

15000

20000

A2

3003

3010

A3

20003

A4

20001

Matrix IV.2: Beispiel einer Ergebnismatrix

Entscheidung bei Unsicherheit i.e.S.

2.2.

107

Die Maximin-Regel

2,2.1, Eine Zielgröße Nach der Maximin-Regel ( W A L D , 1950) - die auch als Minimax-Regel bezeichnet wird - ist für die Beurteilung einer Alternative nur der Erfolg maßgeblich, der im ungünstigsten Fall erzielt wird (Mindesterfolg): (IV. 1)

0 ( A , ) = minZas, S

wobei Z^s den Erfolg der Alternative A^ (a=l,2,...,A) im Zustand Sg (s=l,2,...,S) bezeichnet. Gewählt wird die Alternative mit dem größten Mindesterfolg. Die Zielfunktion lautet also: (IV.2)

minZas->Max! s

a

Im Beispiel der Matrix IV.2 ist die Alternative A2 zu wählen, die das höchste Zeilenminimum aufweist. 2.2.2, Mehrere

Zielgrößen

Für den Fall mehrerer Zielgrößen entspricht jedem Ergebnis ein Zielgrößenvektor. Die Alternativen werden dann analog beurteilt wie im Fall nur einer Zielgröße: Von jeder Alternative wird nur das ungünstigste Ergebnis berücksichtigt; optimal ist jene Alternative, deren ungünstigstes Ergebnis im Vergleich mit den ungünstigsten Ergebnissen der anderen Alternativen am besten ist. 2.2.3. Kritik der

Maximin-Regel

Die Maximin-RQgQl stellt an den Entscheider im Prinzip keine höheren Anforderungen als ein Entscheidungsproblem bei Sicherheit. Bei Sicherheit muß der Entscheider - sofern er die Entscheidung auf der Grundlage einer Zielgrößenmatrix trifft - auf dem Wege des paarweisen Vergleichs feststellen, welches das beste Ergebnis ist. (Die betreffende Alternative wird realisiert.) Bei Anwendung der Maximin-Regel muß der Entscheider zunächst (ebenfalls durch paarweisen Vergleich) für jede Alternative feststellen, welches das jeweils schlechteste der möglichen Ergebnisse ist.^) Danach muß er (wiederum durch paarweisen Vergleich) prüfen, welches der

1)

Analog zum Fall sicherer Erwartungen kann der Entscheider bei komplexeren Ergebnissen den paarweisen Ergebnisvergleich nach dem Transformations-Prinzip vornehmen (sofern die Transformations-Bedingung erfüllt ist).

108

KapitellV

schlechtesten Ergebnisse der erwogenen Alternativen am besten ist. (Die entsprechende Alternative wird realisiert.) Der Einfachheit der Maximin-Regel steht jedoch ein schwerwiegender Nachteil gegenüber. Da von jeder Alternative immer nur das schlechteste Ergebnis berücksichtigt wird, impliziert die Maximin-Regel eine extrem pessimistische Einstellung. Die hiermit verbundene Problematik wird am Beispiel der Matrix IV.2 deutlich. Die hier zu wählende Alternative A2 bietet zwar im ungünstigsten Fall (Zustand S4) einen Erfolg, der um 2 Einheiten höher ist als der von Alternative Aj. Tritt jedoch einer der Zustände 81,82 und 83 ein, wird bei Aj ein wesentlich höherer Erfolg erzielt als bei A2. Es dürfte wenig sinnvoll sein, derartige Erfolgschancen generell zu vernachlässigen. In 8pielsituationen, in denen die Umweltzustände mögliche 8trategien rationaler Gegenspieler darstellen, kann es zwar wohlbegründet sein, nur mit dem schlechtesten Ergebnis zu rechnen.^) Bei "8pielen gegen die Natur", d.h. bei Entscheidung in einer neutralen Umwelt, deren Zustand unabhängig von den Aktionen des Entscheiders eintritt, ist jedoch der in der Maximin-Regel zum Ausdruck kommende extreme Pessimismus unbegründet (8cHNEEWEiß, 1967, 8. 23). Die Maximin-Regel wäre generell dann sinnvoll, wenn die Umwelt nicht als "neutral", sondern als "böswillig" angesehen werden müßte und nach der Realisation einer Alternative gerade jener Zustand 85 zu erwarten wäre, bei dem ein möglichst ungünstiges Ergebnis erzielt wird. Dann bestünde aber gar keine Unsicherheit: Jeder Alternative entspräche mit 8icherheit nur noch ein Ergebnis, und zwar das jeweils schlechteste. Vor allem für unternehmerische Entscheidungen dürfte die MaximinRegel kaum akzeptabel sein: Praktisch alle unternehmerischen Entscheidungen führen möglicherweise zu einem Verlust. Nach der Maximin-Regel ist es vorteilhaft, solche Aktivitäten zu unterlassen und die Mittel zu einem sicheren Zins (etwa als 8parguthaben) anzulegen. Wer nach der MaximinRegel handelt, "wird nicht Unternehmer, sondern Rentier" (HAX, 1974, 8. 56).

2.3.

Die Maximax-Regel

2.3.1. Eine Zielgröße Nach der Maxzmax-Regel ist für die Beurteilung einer Alternative nur der Erfolg maßgeblich, der im besten Fall erzielt wird:

2)

Für solche Spielsituationen wurde die Maximin-Regel gerade geschaffen. Später wurde sie von WALD (1950) auch für "Spiele gegen die Natur" vorgeschlagen, bei denen der Umweltzustand von den Maßnahmen des Entscheiders unabhängig ist.

Entscheidung bei Unsicherheit i.e.S.

(IV.3)

109

0 ( A J = maxZas. S

Gewählt wird die Alternative mit dem größten Maximalerfolg. Die Zielfunktion lautet also: (IV.4)

maxZas->Max! s

a

Im Beispiel der Matrix IV.2 wird die Alternative A3 gewählt, die das höchste Zeilenmaximum aufweist. 2.3.2. Meh rere Zielgrößen Für den Fall mehrerer Zielgrößen werden die Alternativen analog beurteilt wie im Fall nur einer Zielgröße: Von jeder Alternative wird jeweils nur das beste aller möglichen Ergebnisse berücksichtigt; optimal ist jene Alternative, deren bestes Ergebnis die besten Ergebnisse der anderen Alternativen übertrifft. 2,3.3. Kritik der Maximax-Regel Auch die Maximax-Regel stellt an den Entscheider im Prinzip keine höheren Anforderungen als ein Entscheidungsproblem bei Sicherheit. Die diesbezüglichen Ausführungen zur Maximin-Regel gelten analog auch für die Maximax-Regel. Da von jeder Alternative immer nur das beste aller möglichen Ergebnisse berücksichtigt wird, impliziert die Maximax-Regel eine extrem optimistische Einstellung, Die Problematik wird wieder am Beispiel der Matrix IV.2 deutlich: Die (nach der Maximax-Regel) zu wählende Alternative A3 bietet zwar im günstigsten Fall (Zustand Sj) einen Erfolg, der um 3 Einheiten höher ist als der von Aj. Tritt jedoch einer der Zustände S2, S3 und S4 ein, führt die Alternative A3 zu einem wesentlich niedrigeren Erfolg als A^. Es ist wenig sinnvoll, derartige Nachteile generell zu vernachlässigen. Die Maximax-Regel wäre sinnvoll, wenn die Umwelt mit Sicherheit denjenigen Zustand Sg annehmen würde, bei dem mit der gewählten Alternative ein möglichst günstiges Ergebnis erzielt wird. Dann bestünde aber keine Unsicherheit: Jeder Alternative entspräche nur noch ein Ergebnis und zwar das jeweils beste.

110

Kapitell V

2.4.

Das HuRWicz-Prinzip

2,4.1. Eine Zielgröße Das HuRWiCZ-Prinzip (HuRWiCZ, 1951) stellt einen Kompromiß zwischen der Maximax- und der Maximin-Regel dar: Für die Beurteilung einer Alternative ist der höchste und der niedrigste ihrer möglichen Erfolge maßgeblich. Aus diesen Erfolgen wird ein gewogener Durchschnitt gebildet, wobei der Maximalerfolg mit einem (vom Entscheider nach subjektivem Ermessen zu fixierenden) Parameter a (0 < a < 1), der Minimalerfolg mit dem Parameter 1-a gewichtet wird: (IV.5)

0(Aa) = a-maxZas+(l-a)-minZas . s

s

Gewählt wird die Alternative mit dem größten gewogenen Durchschnitt aus Maximal- und Minimalerfolg. Die Zielfunktion lautet also: (IV.6)

a-maxZas + (l-oc)-minZas ->Max! s

s

a

Das HURWicz-Prinzip ist ein Entscheidungsprinzip und keine Entscheidungsregel. Denn es macht keine Aussage über die Höhe des Parameters a; die genaue Gestalt der Präferenzfunktion O bleibt also offen. Je nach Fixierung dieses Parameters entsteht eine andere Entscheidungsregel (HURWICZ-Regel). Während es also nur ein HURWicz-Prinzip gibt, existiert eine Vielzahl von HURWICZ-Regeln. Für den Fall a = 3/4 z.B. entsprechen den Alternativen in Matrix IV.2 folgende Präferenzwerte: Al -> 3/4.20000 + 1/4. 3000 = 15750 A2 -> 3/4. 3060+ 1/4. 3002 = 3045,5 A3 -> 3/4.20003+ 1/4-(-100) = 14977,25 A4 -> 3/4.20001 + 1/4. 3000 = 15750,75 Als optimal erweist sich die Alternative A4. Der Parameter a ist vom Entscheider selbst festzulegen. Je optimistischer der Entscheider ist, desto höher ist der von ihm gewählte a-Wert und desto stärker fallen die bestmöglichen Ergebnisse ins Gewicht. Daher wird a als ''Optimismusparameter'' bezeichnet. Der Parameter a kann auf der Grundlage einer relativ einfachen hypothetischen Ergebnismatrix empirisch bestimmt werden (vgl. LUCE/RAIFFA, 1957, S. 283):

Entscheidung bei Unsicherheit i.e.S. Sj

S2

Al

1

0

A2

z

z

111

Matrix IV.3: Hypothetische Ergebnismatrix zur Bestimmung des Optimismusparameters a Der Entscheider muß angeben, bei welchem Erfolg Z er indifferent ist zwischen den Alternativen Aj und A2 in Matrix IV.3. Der betreffende Wert Z* determiniert den Parameterwert a (a=Z*). Beweis: Da für Z=Z* beide Alternativen in Matrix IV.3 äquivalent sind, muß Z* nach dem HURWICZ-Prinzip folgende Gleichung erfüllen: a-l + ( l - a ) - 0 = a-Z*+(l-a)-Z* . Hieraus folgt unmittelbar a=Z* (q.e.d.). Ist auf der Basis der hypothetischen Entscheidungssituation von Matrix IV.3 der Optimismusparameter a bestimmt worden, so kann er gemäß (IV.6) der Ermittlung einer optimalen Alternative im Rahmen des eigentlichen, komplexeren Entscheidungsproblems (mit mehr als zwei Alternativen und Zuständen) zugrunde gelegt werden.^) 2.4.2, Meh rere Zielgrößen Orientiert sich der Entscheider an mehreren Zielgrößen, so kann das HuRwicz-Prinzip nicht mehr auf der unmittelbaren Grundlage der Ergebnismatrix angewandt werden. Es kann dann wie folgt vorgegangen werden: Jedem möglichen Ergebnis der Alternative A^ (a=l,2,...,A) wird - ebenso wie bei Anwendung des BERNOULLI-Prinzips (Kapitel VI, Abschnitt 3) - ein kardinaler Nutzenwert zugeordnet. Sodann wird der jeweils maximale Nutzenwert mit a gewichtet und der minimale mit 1-a. Gewählt wird die Alternative mit der größten gewichteten Summe aus dem maximalen und dem minimalen Nutzenwert.

3)

Die Bestimmung des Parameters a steht in einer gewissen Analogie zur Ermittlung der Nutzenwerte nach dem BERNOULLI-Prinzip (vgl. Kapitel VI, Abschnitt 3.2.2). Diese Nutzenwerte werden auf der Grundlage h3^othetischer Entscheidungssituationen bestimmt, bei denen jeweils drei Ergebnisse gegeneinander abzuwägen sind. Mit Hilfe dieser Nutzenwerte wird dann die optimale Lösung des eigentlichen, komplexeren Entscheidungsproblems ermittelt.

112

Kapitell V

2.4.3. Kritik des HURWiCZ'Prinzips Die Maximin- und die Maximax-Regel stellen Grenzfälle des HURWICZPrinzips dar: Für a=0 entspricht dem HURWicz-Prinzip die MaximinRegel, für a = 1 entspricht ihm die Maximax-Regel. Auch das HuRWiczPrinzip ist problematisch, da von jeder Alternative nur zwei der möglichen Ergebnisse berücksichtigt werden. Die Problematik kann wieder am Beispiel der Matrix IV.2 verdeutlicht werden: Im Falle a=3/4 z.B. wird die Alternative A4 gewählt. Diese bietet im Zustand S^ (bzw. S4) gegenüber Aj einen zusätzlichen Erfolg von einer Einheit (bzw. von zwei Einheiten). Tritt jedoch einer der Zustände S2 und S3 ein, wird bei Wahl von A^ ein wesentlich höherer Erfolg erzielt als bei A4. Es erscheint wenig vernünftig, entsprechende Erfolgschancen generell zu vernachlässigen.

2.5.

Die NiEHANS-SAVAGE-Regel

Bei dieser Regel (vgl. NIEHANS, 1948, insb. S. 446-450, und SAVAGE, 1951) erfolgt die Beurteilung der Alternativen nicht auf der unmittelbaren Grundlage der Ergebnisse, sondern aufgrund entsprechender "Bedauernswerte". Dabei wird für den Fall einer einzigen Zielgröße (hier: den Erfolg) der Zielgrößenwert Z^^^ einer beUebigen Alternative A^* (a* € {1,2,...,A}) für den Zustand Sg (s = 1,2,...,S) durch folgenden Betrag (Bedauernswert) ersetzt: (IV.7)

Ba*s = maxZas - Z ^ H a

In Worten: Der Bedauernswert der Alternative A^* für den Zustand Sg ist gleich der Differenz aus dem in diesem Zustand maximal erreichbaren Erfolg und dem Erfolg der Alternative A^*. Es wird davon ausgegangen, daß der Entscheider einen möglichst niedrigen Bedauernswert anstrebt. Diejenige Alternative soll gewählt werden, bei der der maximale Bedauernswert am kleinsten ist. Bei der NlEHANSSAVAGE-Regel wird entsprechend der Präferenzwert der Alternative A^ wie folgt festgelegt: (IV.8)

0 ( A J = maxB,3 s

und die Auswahl gemäß der folgenden Zielfunktion getroffen: (IV.9)

maxBas^Min! s a

Hierfür kann man auch schreiben:

Entscheidung bei Unsicherheit i.e.S.

(IV. 10)

113

min(-Bas)-^Max!

Diese Zielfunktion entspricht der Maximin-Regel (vgl. hierzu (IV.2)). Der Ergebnismatrix IV.2 entspricht die folgende "Bedauernsmatrix": Si

S2

S3

S4

Al

3

0

0

2

3

A2

17000

11990

16940

0

17000

A3

0

12000

17000

3102

17000

A4

2

12000

17000

0

17000

Zeilenmaximum

1

Matrix IV.4: Ergebnismatrix mit Bedauernswerten (Bedauernsmatrix) Zu wählen ist hier die Alternative A | (die den kleinsten maximalen Bedauernswert aufweist). Wenn der Entscheider (wie in der vorliegenden Arbeit im allgemeinen angenommen wird) die Entscheidung "für sich selbst" trifft, ist es für ihn wenig sinnvoll, sich an Bedauernswerten zu orientieren. Der in einer Entscheidungssituation maximal erreichbare Zielgrößenwert ist erst ex post bekannt, nachdem ein Zustand eingetreten und der Erfolg der gewählten (und realisierten) Alternative feststeht. Auch wenn der Entscheider es ex post noch so sehr bedauert, wenn er nicht den maximalen Erfolg erzielt hat, ändert dies nichts an dem erzielten Ergebnis. Der Entscheidungsträger sollte sein Bedauern nicht in den Vordergrund seiner Überlegungen stellen, sondern es bewußt mit dem Argument unterdrücken, daß er zum Zeitpunkt seiner Entscheidung den Zustand noch nicht kannte und somit gezwungen war, mögliche Ergebnisse gegeneinander abzuwägen. Wenn jedoch der Entscheider die Entscheidung im Auftrag einer Instanz trifft, die ex post die Qualität der getroffenen Entscheidung an der Differenz zwischen dem maximal erreichbaren Erfolg und dem tatsächlich erzielten Ist-Erfolg mißt und eine um so höhere Belohnung gewährt (bzw. eine um so geringe Sanktion verhängt), je geringer diese Differenz ist, kann es für den Entscheider durchaus rational sein, sich an Bedauernswerten zu orientieren. Wenig sinnvoll ist es dagegen, von jeder Alternative nur den maximalen aller möglichen Bedauernswerte (die jeweils ungünstigsten Konsequenzen für den Entscheider) zu berücksichtigen. Wie in Abschnitt 2.2.3 erläutert wurde, impliziert dieses Vorgehen eine extrem pessimistische Einstellung. Zwar wird im Beispiel der Bedauernsmatrix IV.4 bei Orientierung an der Maximin-Regel eine plausible Entscheidung getroffen. Dies dürfte jedoch eher die Ausnahme sein. Wird z.B. in der Ergebnismatrix IV.2 der Erfolg

114

Kapitel IV

der Alternativen A2 für den Zustand S4 durch 20010 ersetzt, ergibt sich folgende Bedauemsmatrix: Si

1

S2

S3

S4

Zeilenmaximum

Al

3

0

0

17010

17010

A2

17000

11990

16940

0

17000

A3

0

12000

17000

20110

20110

A4

2

12000

17000

17008

17008

Matrix IV.5: Ergebnismatrix mit Bedauernswerten (Bedauemsmatrix) Nunmehr wird Alternative A2 gewählt. Ihre Bedauernswerte sind für die Zustände S^, S2 bzw. S3 (erheblich) höher als die von Aj. Es dürfte wenig sinnvoll sein, die entsprechenden Konsequenzen generell zu vernachlässigen. Die NiEHANS-SAVAGE-Regel ermöglicht es (wenn auch nur in sehr unvollkommener Weise), einem Aspekt Rechnung zu tragen, der für die Betriebswirtschaftslehre von grundlegender Bedeutung ist: In einer Delegationsbeziehung wird sich ein Entscheidungsträger grundsätzlich nicht primär an der Zielgröße der Instanz (hier: dem Erfolg) orientieren, sondern an den Konsequenzen, die sich für ihn selbst ergeben. Hierzu zählen vor allem auch Belohnungen bzw. Sanktionen der Instanz. Jedoch ist es nicht sinnvoll, die Belohnungen bzw. Sanktionen an Bedauernswerte zu binden. Sie sind als Maß für die Beurteilung der Qualität der Entscheidung ungeeignet, da die Entscheidung vor Kenntnis des Umweltzustandes zu treffen ist. Abgesehen davon, wird die delegierende Instanz im allgemeinen gar nicht in der Lage sein, den eingetretenen Zustand (ex post) zu überprüfen und abzuschätzen, welcher Erfolg in dem betreffenden Zustand maximal hätte erreicht werden können. In der Realität werden Belohnungen bzw. Sanktionen (etwa positive oder negative Prämien, Erweiterung oder Einengung der Entscheidungskompetenzen, Beförderung oder NichtVerlängerung des Anstellungsvertrages) in der Regel an erzielte (Zwischen-) Ergebnisse gebunden und nicht an Abweichungen von einem utopischen Maximum.

Entscheidung bei Unsicherheit i.e.S.

2.6.

115

Die LAPLACE-Regel

2,6.1. Eine Zielgröße Die Problematik der bisher dargestellten Entscheidungskriterien besteht u.a. darin, daß die Entscheidung nur von dem Ergebnis in jeweils einem oder in allenfalls zwei Zuständen (HURWICZ-Prinzip) abhängig gemacht wird. Es werden mögliche Ergebnisse vernachlässigt, also vorliegende Informationen nicht berücksichtigt. Die LAPLACE-Regel berücksichtigt dagegen alle möglichen Ergebnisse, wobei davon ausgegangen wird, daß alle Zustände gleichwahrscheinlich sind, also jeweils die Eintrittswahrscheinlichkeit 1/S haben. Die Unsicherheit i.e.S. wird so in eine Risikosituation transformiert. Die Entscheidung ist dementsprechend mit Hilfe eines Entscheidungskriteriums bei Risiko (vgl. Kapitel VI) zu treffen. Wird z.B. die |ui-Regel zugrunde gelegt, wonach der Erwartungswert der Zielgröße zu maximieren ist, entspricht der Alternative A^ (a=l,2,...,A) der folgende Präferenz wert:

(IV.ll)

0(AJ=I^-Zas. s=l ^

Die Zielfunktion lautet: (IV.12)

X^-Zas^Max! s=l ^

a

bzw4) (IV.13)

^.^Zas-^Max! ^ s=l a

Im Beispiel der Matrix IV.2 erhält jeder Zustand die Eintrittswahrscheinlichkeit 1/4; bei Maximierung des Erwartungswertes der Zielgröße wird die Alternative A^ gewählt. 2.6.2. Meh rere Zielgrößen Bei mehreren Zielgrößen kann die Entscheidung nach dem BERNOULLIPrinzip (Kapitel VI, Abschnitt 3) getroffen werden. Gewählt wird die Al4)

Da S eine deterministische Größe ist, wird iXs^i^as niaximiert, indem der Summenausdruck maximiert wird. Die Zielfunktion (IV.13) kann somit auch wie folgt geschrieben werden: J^^^^Z^s -^ Max!

116

Kapitell V

ternative mit dem höchsten Erwartungswert des Nutzens (wobei jedem möglichen Ergebnis die Eintrittswahrscheinlichkeit 1/S zugeordnet wird). 2,6.3. Kritik der

LAPLA

CE-Regel

Die LAPLACE-Regel stellt streng genommen keine Entscheidungsregel bei Unsicherheit i.e.S. dar, obwohl sie in der Literatur üblicherweise dazu gezählt wird; es handelt sich um ein Entscheidungskonzept bei Risiko, das zugleich eine Verhaltensanweisung dahingehend beinhaltet, wie die Wahrscheinlichkeiten für die Zustände festzulegen sind (und zwar jeweils in Höhe von 1/S). Die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit der Zustände wird dabei wie folgt begründet: Bei Unsicherheit i.e.S. besteht kein zureichender Grund für die Vermutung, daß irgendein Zustand mit höherer Wahrscheinlichkeit eintritt als ein anderer. Folglich sind nach dem (auf LAPLACE zurückgehenden) "Prinzip des unzureichenden Grundes" alle Zustände gleich wahrscheinlich. Die LAPLACE-Regel soll hier nicht näher diskutiert werden, da Probleme der Bestimmung der Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Zustände und Entscheidungskriterien bei Risiko noch eingehend untersucht werden. An dieser Stelle sei nur der folgende Aspekt hervorgehoben: Bei Entscheidung nach der LAPLACE-Regel stellt sich das Kernproblem, wie die Zustände definiert werden sollen. Diese sind im allgemeinen nicht von vornherein vorgegeben, sondern müssen bei der Lösung eines konkreten Entscheidungsproblems erst gegeneinander abgegrenzt werden. Je nachdem, wieviele Zustände im Kalkül berücksichtigt werden, ergeben sich andere Wahrscheinlichkeiten. Werden z.B. nur die Zustände "der Preis steigt nicht" und "der Preis steigt" unterschieden, so erhält der Zustand "der Preis steigt" die Eintrittswahrscheinlichkeit 1/2. Werden statt dessen drei Zustände definiert, nämlich "der Preis sinkt", "der Preis bleibt konstant" und "der Preis steigt", ergibt sich für den Zustand "der Preis steigt" nur noch eine Wahrscheinlichkeit von 1/3. Es ist in der Realität nicht immer eindeutig anzugeben, wie die Umweltzustände gegeneinander abzugrenzen sind.

2.7.

Zusammenfassende Kritik der klassischen Entscheidungskriterien

Die Maximin-Regel, die Maximax-Regel, das HURWICZ-Prinzip und die NiEHANS-SAVAGE-Regel sind einfach anzuwenden (sie stellen an den Entscheider relativ geringe Anforderungen). Dieser Vorteil wird jedoch dadurch erkauft, daß mögliche Ergebnisse der einzelnen Alternativen "unterdrückt" werden. Die genannten Entscheidungsregeln berücksichtigen von

Entscheidung bei Unsicherheit i.e.S.

117

jeder Alternative nur ein Ergebnis oder allenfalls zwei Ergebnisse. Von einem Abwägen der möglichen Ergebnisse kann nicht die Rede sein. Die LAPLACE-Regel berücksichtigt zwar alle möglichen Ergebnisse. Trotzdem ist auch sie problematisch. Sie ist im Grunde kein Entscheidungskriterium bei Unsicherheit i.e.S. Die Unsicherheitssituation wird in sehr rigider Weise in eine Risikosituation transformiert: Die LAPLACE-Regel unterstellt unabhängig von der jeweils gewählten Abgrenzung eine Gleichwahrscheinlichkeit aller Zustände. Die Höhe der Wahrscheinlichkeit, die einem einzelnen Zustand zugeordnet wird, wird somit durch die Abgrenzung der betrachteten Zustände bestimmt.

3.

Zur praktischen Bedeutung des theoretischen Konstrukts der Unsicherheit i.e.S.

Das theoretische Konstrukt der Unsicherheit i.e.S. hat nur geringe praktische Bedeutung. Reale Entscheidungssituationen lassen sich grundsätzlich besser durch Risikosituationen als durch Unsicherheitssituationen i.e.S. repräsentieren: 1. Zum einen verfügt der Entscheider in aller Regel aufgrund seiner allgemeinen Erfahrungen und/oder seiner speziellen Informationen bezüglich der zur Debatte stehenden Alternativen über gewisse Glaubwürdigkeitsvorstellungen hinsichtlich der Zustände, die durch (subjektive) Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden können (Kapitel V, Abschnitt 2.2.3, und Kapitel X). 2. Zum anderen kann selbst in den seltenen Fällen, in denen ein Entscheider keinerlei Informationen zur Prognose des Zustandes hat, ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsurteil über die Zustände gerechtfertigt sein: Wenn keinerlei Informationen darüber existieren, welches von mehreren sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen eintritt, besteht kein Grund anzunehmen, daß irgendeines dieser Ereignisse eher eintritt als ein anderes. Es erscheint dann sinnvoll, sich so zu verhalten, als ob jedes der Ereignisse dieselbe Eintrittswahrscheinlichkeit habe (Prinzip des unzureichenden Grundes). Zwei Beispiele mögen dies verdeutlichen. Beispiel IV. 1. Der Entscheider erhält das folgende Angebot: Er soll eine Aussage darüber machen, welcher der Berge X und Y höher ist (das Ereignis, daß beide Berge gleich hoch sind, sei ausgeschlossen); sofern er eine richtige Aussage macht (und nur dann), bekommt er 1000 €. Beide Berge sind dem Entscheider völlig unbekannt. Das Entscheidungsproblem des Entscheiders kann durch die folgende Ergebnismatrix charakterisiert werden:

118

Kapitel IV

Si

S2

Al

1000

0

A2

0

1000

Matrix IV.6: Ergebnismatrix (Beispiel IV. 1) Symbole: Al = Der Entscheider behauptet, X sei der höhere Berg. A2 = Er behauptet, Y sei höher. Si = Berg X ist höher als Berg Y. S2 = Berg Y ist höher als Berg X. Da beide Berge dem Entscheider völlig unbekannt sind, bleibt ihm kaum etwas anderes übrig als zu raten, d.h. eine beliebige der Alternativen A^ und A2 zu wählen. Der Entscheider verhält sich dann so, als ob beide Zustände gleichwahrscheinlich seien. Die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit kann hier kaum als unvernünftig zurückgewiesen werden. Eine andere Annahme wäre nicht sinnvoll zu begründen; der Entscheider hat keinen Grund, sich größere Gewinnchancen auszurechnen, wenn er auf den Berg X statt auf den Berg Y setzt (und umgekehrt). Es ist jedoch nicht in jedem Fall sinnvoll, nach dem Prinzip des unzureichenden Grundes allen möglichen Umweltzuständen dieselbe Eintrittswahrscheinlichkeit zuzuordnen, wie es z.B. nach der LAPLACE-Regel geschieht. Die Zustände können von Elementarereignissen abhängen, für die zwar ihrerseits nach dem Prinzip des unzureichenden Grundes die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit gerechtfertigt ist, aus der aber gerade folgt, daß die relevanten Zustände nicht gleichwahrscheinlich sind. Beispiel IV.2. Der Entscheider bekommt 1000 €, wenn er eine richtige Aussage darüber trifft, welcher der folgenden Zustände der wahre ist: Si

= Berg X ist höher als Berg Y.

52 = Berg Y ist höher als Berg X. 53 = Beide Berge sind gleich hoch. Dem Entscheider wird außerdem die Information gegeben, daß jeder Berg entweder 100, 200, 300 oder 400 m hoch ist. Der Entscheider weiß demnach, welche Höhenkonstellationen überhaupt möglich sind. Er erhält aber keinerlei Information darüber, welche dieser Höhenkonstellationen die wahre ist. Der Entscheider hat jetzt zusätzlich zu den Alternativen A^ und A2 von Beispiel IV. 1 noch die folgende Möglichkeit: A3 = Er behauptet, beide Berge seien gleich hoch. Das Entscheidungsproblem kann jetzt durch die folgende Ergebnismatrix repräsentiert werden:

Entscheidung bei Unsicherheit i. e. S.

Si

119

S3

S2

Al

1000

0

0

A2 A3

0

1000

0

0

0

1000

Matrix IV.7: Ergebnismatrix (Beispiel IV.2) Der Entscheider hat hinreichenden Grund dazu, nicht alle drei Zustände als gleichwahrscheinlich anzusehen; denn der Zustand S3 ("beide Berge sind gleich hoch") ist nur bei relativ wenigen Höhenkonstellationen gegeben. Zur Ermittlung der Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Zustände kann aber auf gleichwahrscheinliche Elementarereignisse zurückgegriffen werden, nämlich auf die 16 möglichen Höhenkonstellationen. Der Entscheider hat keinerlei Informationen, die es vernünftig erscheinen lassen, sich so zu verhalten, als ob eine beliebige dieser Konstellationen eine größere Chance habe, die wahre zu sein. Die möglichen Höhenkonstellationen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt (wobei die erste (bzw. zweite) Zahl die Höhe des Berges X (bzw. Y) bezeichnet):

100; 100

100;200

100;300

100;400

200;100

200; 200

200; 300

200; 400

300;100

300;200

300; 300

300; 400

400; 100

400;200

400; 300

400; 400

Tabelle IV.l: Die möglichen Höhenkonstellationen bezüglich der Berge X und Y (Beispiel IV.2) Bei den vier Konstellationen auf der Diagonalen sind jeweils beide Berge gleich hoch. Da insgesamt 16 Elementarereignisse (gleich-) möglich sind, folgt w(S3) = 4/16 = l/4. Bei den sechs Konstellationen auf der linken (bzw. der rechten) Seite der Diagonalen ist jeweils der Berg X höher als Y (bzw. Y höher als X). Demnach gilt w(Si)=w(S2) = 6/16 = 3/8. Die Chance, die 1000 € zu gewinnen, ist bei Wahl der Alternative Aj oder A2 größer als bei Alternative A3. Man mag einwenden: Daß der Entscheider keinerlei Informationen darüber hat, welche der in Tabelle IV.l aufgeführten Höhenkonstellationen die wahre ist, rechtfertigt nicht die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit, sondern nur den Verzicht auf Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils.

120

Kapitell V

Dieses Argument überzeugt nicht. Angenommen der Entscheider erhalte genau dann die 1000 €, wenn er die richtige Höhenkonstellation angibt. Was bleibt ihm dann anderes übrig als zu raten, also eine beliebige Höhenkonstellation zu nennen? Der Entscheider verhält sich dann so, als sei jede Höhenkonstellation gleichwahrscheinlich. Aus welchen Gründen sollte er einer anderen Verhaltensweise den Vorzug geben? Er hat keine Informationen, die dies rechtfertigen können. Wie das Beispiel IV.2 zeigt, ist es nicht ohne weiteres sinnvoll, nach dem Prinzip des unzureichenden Grundes den einzelnen Zuständen dieselbe Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Damit die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit der Zustände gerechtfertigt ist, müßten diese durch die 16 möglichen Höhenkonstellationen beschrieben werden. (Dies würde aber die Ergebnismatrix unnötig stark aufblähen.) In komplexeren Entscheidungssituationen kann zwar nicht immer eindeutig angegeben werden, wie die Zustände bzw. die zugrundeliegenden Elementarereignisse gegeneinander abzugrenzen sind, damit jeweils von der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit ausgegangen werden kann. Dies schränkt aber den Anwendungsbereich für stochastische Entscheidungsmodelle kaum ein. Im allgemeinen existieren gewisse Glaubwürdigkeitsvorstellungen, die als subjektive Wahrscheinlichkeiten formuliert werden können, so daß es weder notwendig noch sinnvoll ist, auf das Prinzip des unzureichenden Grundes zurückzugreifen.

Ergänzende und vertiefende

Literatur:

(2002, S. 126-143); BiTZ (1981, S. 61-85); BORCH (1969, S. 125-140); M A G (1977, S. 75-95; 1990, S. 87-107); MILNOR (1954).

BAMBERG/COENENBERG

TEIL D:

V.

1.

INDIVIDUALENTSCHEIDUNG BEI RISIKO UND GEGEBENEN WAHRSCHEINLICHKEITSVORSTELLUNGEN

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

Problemstellung

Reale Entscheidungssituationen lassen sich im allgemeinen als Risikosituationen identifizieren. Bei Risiko verfügt der Entscheider über ein Wahrscheinlichkeitsurteil bezüglich der denkbaren Zustände. Es ist sinnvoll, diese Wahrscheinlichkeitsvorstellungen beim Abwägen der Ergebnisse im Entscheidungskalkül zu erfassen. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung stellt dazu das Instrumentarium bereit. Entscheidungsmodelle, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen berücksichtigen, werden stochastische Modelle genannt. Ihnen wird in der neueren Literatur große Bedeutung beigemessen. Das vorliegende Kapitel hat zwei Schwerpunkte. Zunächst wird das Problem der Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils diskutiert (Abschnitt 2). Anschließend werden die statistischen Grundlagen dargestellt, auf denen nachfolgende Kapitel aufbauen (Abschnitt 3).

2. 2.1.

Wahrscheinlichkeiten!) Formale Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein zentraler Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das "Ereignis". Zur Definition dieses Begriffs muß von der Menge M von Elementarereignissen ausgegangen werden. Elementarereignisse sind die möglichen Ausprägungen des relevanten Umweltausschnitts; sie schließen sich gegenseitig aus. Bei einem Würfel sind die Elementarereignisse die möglichen Au1)

Vgl. zu diesem Abschnitt vor allem HAX (1974, S. 39-46).

122

Kapitel V

genzahlen 1,2,...,6; beim Roulette sind die Elementarereignisse die Zahlen 0,1,...,36, auf denen die Kugel liegen bleiben kann. Jede Teilmenge von M definiert ein bestimmtes Ereignis. Ist M={1,2,...,6} die Menge der Elementarereignisse beim Würfeln, so entspricht z.B. der Teilmenge {2,4,6} von M das Ereignis "die gewürfelte Augenzahl ist gerade". Die Teilmenge {1,2,3} definiert das Ereignis "die Augenzahl ist kleiner als 4". Das Ereignis "rot" beim Roulette ist definiert durch die Teilmenge {1,3,5,...,35} der Menge M={0,1,2,...,36} von Elementarereignissen. Auch die Menge M und die leere Menge sind Teilmengen von M. M wird als sicheres Ereignis bezeichnet, die leere Menge definiert das unmögliche Ereignis. Daß beim Roulette die Kugel auf eine der Zahlen von 0 bis 36 fällt, ist ein sicheres Ereignis; daß die Kugel auf keine dieser Zahlen fällt, ist ein unmögliches Ereignis. Ein Ereignis gilt als eingetreten, wenn eines jener Elementarereignisse eintritt, die Elemente der das Ereignis definierenden Teilmenge sind. Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen, die den Ereignissen derart zugeordnet sind, Ad& jedem Ereignis E eine bestimmte Zahl w(E) entspricht und folgende Bedingungen erfüllt sind (vgl. hierzu MENGES, 1968, S. 85-91): 1. Nichtnegativitätsbedingung Alle Wahrscheinlichkeiten sind nicht negativ: w(E)>0 füralleEcM . 2. Normierungsbedingungen a) Das sichere Ereignis M hat die Wahrscheinlichkeit 1: w(M) = l. b) Das unmögliche Ereignis 0 hat die Wahrscheinlichkeit 0: w(0) = 0 . 3. Additivitätsbedingung Die der Vereinigung zweier elementefremder (disjunkter) Teilmengen von M zugeordnete Wahrscheinlichkeit (d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eines von zwei einander ausschließenden Ereignissen eintritt) ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse: w ( E i u E 2 ) = w(Ei) + w(E2) f ü r a l l e E i c M , E 2 c M m i t E i n E 2 = 0 . In Worten. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß entweder das Ereignis E^ oder E2 eintritt, ist gleich der Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse. Auf diesen Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitszahlen beruht die mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie. Die in der Definition enthaltenen Bedingungen können auch in Form von Axiomen formuliert werden (wozu sie allerdings, und zwar vor allem die Additivitätsbedingung, noch gewisser Präzisierungen bedürfen). Aus den Axiomen können dann alle Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeleitet werden. Die Axiome beschreiben Eigenschaften für die Wahrscheinlichkeiten. Sie lassen jedoch offen, wie in der Realität Zahlen mit diesen Eigenschaften ermittelt werden können. Die Axiomatisierung löst also nicht das Pro-

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

123

blem, wie Wahrscheinlichkeitsurteile über Ereignisse (Umweltzustände) gebildet werden können. Bei allen Anwendungsproblemen, insbesondere auch bei der Konstruktion stochastischer Entscheidungsmodelle, muß zunächst geklärt werden, wie Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten realer Ereignisse hergeleitet und begründet werden können.

2.2.

Die Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils

2.2.1. Der klassische

Wahrscheinlichkeitsbegriff

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, die zugleich einen Vorschlag zur praktischen Messung von Wahrscheinlichkeiten enthält, geht auf JAKOB BERNOULLI und LAPLACE zurück. Dieses Konzept setzt voraus, daß das Ereignisfeld aus endlich vielen gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen besteht, die sich gegenseitig ausschließen. Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist die Anzahl der in der betreffenden Teilmenge enthaltenen Elementarereignisse ins Verhältnis zu setzen zur Gesamtzahl der möglichen Elementarereignisse. Besteht das Ereignis E z.B. darin, daß eines der Elementarereignisse Ei,E2v?Ejn ( m > l ) eintritt, und sind insgesamt die (einander ausschließenden) Elementarereignisse Ei,E2v?En (n>m) möglich, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E gleich m/n. Das Ereignis, bei einem einmaligen Wurf mit einem Würfel eine "Fünf oder eine "Sechs" zu erzielen, besteht aus zwei Elementarereignissen, während insgesamt sechs Elementarereignisse möglich sind; demnach ergibt sich für das betreffende Ereignis die Wahrscheinlichkeit 2/6=1/3. Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition setzt voraus, daß die Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, d.h. jeweils dieselbe Eintrittswahrscheinlichkeit aufweisen (es muß also bei dem Entscheider bereits ein a priori-Urteil über die Gleichwahrscheinlichkeit der Elementarereignisse zustande gekommen sein). Der Anwendungsbereich des klassischen Wahrscheinlichkeitskonzepts erstreckt sich vor allem auf den Bereich der Glücksspiele. Dort gelingt es häufig, Elementarereignisse zu definieren, die als gleichwahrscheinlich angesehen werden können. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit erklärt sich gerade daraus, daß sich die frühen Wahrscheinlichkeitstheoretiker vor allem mit Glücksspielen befaßt haben. Bei der Bestimmung der Eintrittswahrscheinlichkeiten der denkbaren Umweltzustände in ökonomischen Entscheidungssituationen wird es aber im allgemeinen nicht möglich sein, auf a priori gleichwahrscheinliche Elementarereignisse zurückzugreifen. Zum Beispiel führen im Urteil eines Entscheiders etwa bestimmte (sich gegenseitig ausschließende) Verhaltensweisen Ej, E2 und E3 eines Kunden zu dessen Zahlungsunfähigkeit, wäh-

124

Kapitel V

rend bei den Verhaltensweisen E4, E5, E5 und E7 die Zahlungsfähigkeit gesichert ist. Bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für die Zahlungsfähigkeit des Kunden kann nun grundsätzlich nicht davon ausgegangen werden, die betrachteten Verhaltensweisen seien gleichwahrscheinlich. Auch das "Prinzip des unzureichenden Grundes" versagt im allgemeinen in solchen Situationen. Nach diesem Prinzip sind Elementarereignisse (hier: die Verhaltensweisen E^ bis Ey) dann als gleichwahrscheinlich anzusehen, wenn kein hinreichender Grund dafür besteht, unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten anzunehmen. Aufgrund seiner allgemeinen Erfahrung und seiner speziellen Information über den Kunden wird der Entscheider in der Regel hinreichenden Grund haben, die Verhaltensweisen (die Elementarereignisse) El bis E7 nicht als gleichwahrscheinlich anzusehen. Es existieren im allgemeinen auch keine anderen Elementarereignisse, auf die zurückgegangen werden könnte und für die die Anwendung des Prinzips des unzureichenden Grundes akzeptabel wäre.

2,2,2. Statistische

Wahrscheinlichkeiten

Die statistische Wahrscheinlichkeit ist empirisch orientiert. Sie wird gemessen durch die relative Häufigkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis in einem Kollektiv von tatsächlichen Ereignissen beobachtet wurde. Wird z.B. ein Zufallsexperiment n-mal durchgeführt und dabei m-mal das Ereignis E beobachtet, so ergibt sich als statistische Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E der Wert m/n. Wenn etwa mit einem (gefälschten) Würfel 1000mal gewürfelt und dabei in 300 Fällen die Zahl "Sechs" erzielt wird, so erhält das Ereignis, mit diesem Würfel eine "Sechs" zu würfeln, die statistische Wahrscheinlichkeit 300/1000=0,3. Die relative Häufigkeit kann nur dann sinnvoll als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, wenn n "hinreichend" groß ist und außerdem das Experiment unter stets gleichen Bedingungen wiederholt wird. Diese Voraussetzung ist jedoch im wirtschaftlichen und sozialen Bereich nur selten erfüllt. Je größer die Anzahl n der Beobachtungen ist (und je größer damit der Zeitraum ist, in dem die Experimente durchgeführt werden), desto eher ist zu erwarten, daß sich der Ursachenkomplex des Zufallsexperiments geändert hat. Dann ist aber die relative Häufigkeit, die früheren Vorgängen entspricht, kein geeignetes Maß für die Eintrittswahrscheinlichkeit des zur Debatte stehenden zukünftigen Ereignisses. Außerdem sind in vielen Entscheidungssituationen Ereignisse relevant, die das erste Mal eintreten oder gar einmalig sind. Betrachtet man etwa "jene Klasse von Entscheidungen, die als die "eigentlich-unternehmerischen" anzusehen sind - nämlich Investitionen, Finanzdispositionen, Festlegung des Produktionsprogramms, Auswahl wichtiger Mitarbeiter, Verhandlungen aller Art mit Abnehmern, den Arbeitnehmervertretern, den Behörden und ähnliches -, so wird man in ihnen mehr oder weniger singulare Fälle erkennen müssen, die sich wohl nie

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

125

SO oft wiederholen, daß sie zahlenmäßig eine hinreichend große Basis darstellen, um daraus statistische Wahrscheinlichkeitsziffern ableiten zu können" (WITTMANN, 1975,

S.

60).

Beobachtete relative Häufigkeiten können nur in wenigen ökonomischen Entscheidungssituationen als Grundlage für die Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils dienen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Erzeugniseinheit fehlerhaft ist, könnte z.B. gemessen werden durch die Fehlerquote, die bei der Qualitätskontrolle in der Vergangenheit festgestellt worden ist. 2.2,3, Subjektive Wahrscheinlichkeiten 2.2.3.1. Das Konzept der subjektiven Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten nach dem klassischen Wahrscheinlichkeitskonzept und statistische Wahrscheinlichkeiten sind intersubjektiv überprüfbar. Sie werden daher als objektive Wahrscheinlichkeiten bezeichnet. Solche Wahrscheinlichkeiten sind in der Realität (insbesondere auch in ökonomischen Entscheidungssituationen) selten gegeben. Wären stochastische Entscheidungsmodelle nur für objektive Wahrscheinlichkeiten zugelassen, wäre deren Anwendung für die meisten praktisch relevanten Entscheidungsprobleme ausgeschlossen. Eine derartige Beschränkung des Anwendungsbereichs stochastischer Modelle ist jedoch unbegründet. In vielen Entscheidungssituationen bestehen über das Eintreten bestimmter ungewisser Ereignisse (die maßgeblichen Zustände) Glaubwürdigkeitsvorstellungen, auch wenn diesen Ereignissen keine objektiven Wahrscheinlichkeiten entsprechen. Wird z.B. in einer Unternehmung erwogen, ein neues Produkt auf dem Markt einzuführen, so stellt sich für den Leiter der Absatzabteilung das Problem, die Wahrscheinlichkeit dafür zu schätzen, daß die Produkteinführung "erfolgreich" verlaufen wird. Dies kann natürlich nicht in der Weise geschehen, daß ein Zufallsexperiment "Einführung des Produkts" 30-mal wiederholt wird. Grundsätzlich kann auch nicht davon ausgegangen werden, daß die bisherigen Erfahrungen mit anderen Produkten eine hinreichende Grundlage dafür bieten, die Erfolgswahrscheinlichkeit des erwogenen Produkts in Form einer relativen Häufigkeit zu fixieren. Schließlich kann die Erfolgswahrscheinlichkeit auch nicht in der Weise geschätzt werden, daß auf a priori gleichwahrscheinliche Elementarereignisse zurückgegriffen wird. Obwohl kein objektives Maß für die Erfolgswahrscheinlichkeit existiert, hat der Leiter der Absatzabteilung aufgrund seiner allgemeinen Erfahrung und seiner Kenntnis der Besonderheiten des neuen Produkts trotzdem gewisse Glaubwürdigkeitsvorstellungen über den möglichen Erfolg des neuen Produkts. Auch solche subjektiven Vorstellungen und Überzeugungen können in stochastischen Entscheidungsmodellen erfaßt werden, indem diese Glaubwürdigkeitsvorstellungen in subjektiven Wahrscheinlichkeiten quantifiziert werden.

126

Kapitel V

Auf persönlicher Erfahrung und Intuition beruhende Glaubwürdigkeitsvorstellungen über die entscheidungsrelevanten Ereignisse (Umweltzustände) sind in den meisten realen Entscheidungssituationen zu vermuten. Das Konzept der subjektiven Wahrscheinlichkeit dient dazu, diese Glaubwürdigkeitsvorstellungen in wohldefinierten numerischen Werten (eben den subjektiven Wahrscheinlichkeiten) auszudrücken, um auf diesem Wege die Erfahrung und die Intuition eines Entscheiders explizit im Entscheidungskalkül zu erfassen und zugleich die Anwendung stochastischer Entscheidungsmodelle zu ermöglichen. Subjektive Wahrscheinlichkeiten lassen sich grundsätzlich auf zwei Arten feststellen (messen). Zum einen kann der Entscheider direkt nach seinen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen gefragt werden (oder er kann sich selbst danach "fragen"). Zum anderen können (unter bestimmten Voraussetzungen) seine subjektiven Wahrscheinlichkeiten indirekt aus seinen Entscheidungen in bestimmten (realen oder hypothetischen) Entscheidungssituationen abgeleitet werden. Das erste Vorgehen wird als direkte Methode bezeichnet, das zweite als indirekte Methode. Die direkte Methode beruht auf Introspektion, die indirekte Methode ist verhaltensorientiert. (Beide Methoden werden in Kapitel X diskutiert.) Subjektive Wahrscheinlichkeiten sind definitionsgemäß nicht intersubjektiv überprüfbar. Es handelt sich um Größen, mit denen die personengebundenen Erwartungen hinsichtlich des Eintretens unsicherer Ereignisse in präziserer Weise ausgedrückt werden als bei rein verbaler Beschreibung. Ebenso wie subjektive Überzeugungen können auch subjektive Wahrscheinlichkeiten von Person zu Person verschieden sein. Die subjektiven Wahrscheinlichkeiten können sich zum einen unterscheiden, weil die betreffenden Personen unterschiedlich "gut" informiert sind, zum anderen, weil sie aus gleichen Informationen unterschiedliche probabilistische Rückschlüsse auf die ungewissen Ereignisse ziehen. 2.2.3.2. Zur Rechtfertigung subjektiver

Wahrscheinlichkeiten

Da subjektive Wahrscheinlichkeiten nicht objektiv überprüfbar sind, wird gelegentlich die Ansicht vertreten, sie seien als Basis für Entscheidungsmodelle ungeeignet. Doch welche Alternativen gibt es gegenüber dem Konzept der subjektiven Wahrscheinlichkeiten? Wenn wohlbegründete objektive Wahrscheinlichkeiten vorliegen, sind diese den subjektiven Wahrscheinlichkeiten eindeutig vorzuziehen. Es existieren aber in den meisten praktisch relevanten Entscheidungssituationen gar keine objektiven Wahrscheinlichkeiten. Der Verzicht auf subjektive Wahrscheinlichkeiten bedeutet dann den Verzicht auf Berücksichtigung von Wahrscheinlichkeiten im Entscheidungskalkül schlechthin. Diese Alternative ist noch problematischer als die Zugrundelegung subjektiver Wahrscheinlichkeiten, da dann der Entscheider keine Möglichkeit hat, seine allgemeinen Erfahrungen und

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

127

speziellen Informationen über die jeweiligen Handlungsaltemativen bei seiner Entscheidung zu berücksichtigen. Derartige Informationen sollten nicht generell vernachlässigt werden, auch dann nicht, wenn sie nur schwer zu quantifizieren sind. Es ist nicht sinnvoll, gegenüber dem Konzept subjektiver Wahrscheinlichkeiten generell solchen Methoden den Vorzug zu geben, die personenbezogene Informationen im Namen der wissenschaftlichen Objektivität unterdrücken. Die LAPLACE-Regel (Kapitel IV, Abschnitt 2.6) z.B. beinhaltet ein objektives Verfahren zur Festlegung der Eintrittswahrscheinlichkeiten. Daraus resultiert aber gerade ihre Problematik: Nach der LAPLACE-Regel ist jedem Umweltzustand dieselbe Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Bei gegebener Menge möglicher Zustände kann daher objektiv überprüft werden, ob die Wahrscheinlichkeiten (im Sinne der LAPLACE-Regel) "richtig" festgelegt wurden. Diese starre ZuOrdnungsvorschrift zwingt jeden Entscheider zu denselben Glaubwürdigkeitsziffem. Es besteht keine Möglichkeit, bei der Quantifizierung der Wahrscheinlichkeiten die eigenen Erfahrungen und speziellen Informationen über den Einzelfall zu berücksichtigen. Derartige von den Informationen und Erfahrungen abstrahierende Konzepte sind erheblich problematischer als das Konzept der subjektiven Wahrscheinlichkeiten. Für das Konzept der subjektiven Wahrscheinlichkeiten plädiert auch HAX: "ES liegt ... nahe, auch subjektive Glaubwürdigkeitsschätzungen zur Basis stochastischer Entscheidungsmodelle zu machen. ... Sehr umstritten ist allerdings, ob das Rechnen mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten eine sinnvolle Verfahrensweise ist, da es sich um rein subjektive Schätzungen handelt, die lediglich auf ihre logische Widerspruchsfreiheit hin überprüft werden können, deren intersubjektive Überprüfung im übrigen aber ex definitione ausgeschlossen ist. Entscheidungsmodelle, die auf nicht überprüfbaren subjektiven Meinungen über Wahrscheinlichkeiten beruhen, können, so wird argumentiert, auch keine Ergebnisse liefern, die mehr sind als der Ausfluß subjektiver Meinungen. Diesen Ergebnissen fehle aber dann die strenge Begründung, die gewöhnlich für die Modellanalyse in Anspruch genommen wird. Die auf subjektiven Wahrscheinlichkeiten beruhende Modellanalyse liefere folglich keine Ergebnisse, die einer auf rein subjektiver Intuition beruhenden Entscheidung überlegen wären (vgl. MENGES, 1969, S. 26f, 192). Mit dieser Argumentation wird die Verwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Lösung der meisten praktisch relevanten Entscheidungsprobleme ausgeschlossen. Der Ratschlag, man müsse sich eben bemühen, vor der Konstruktion des Modells eine intersubjektiv überprüfbare Basis für die Wahrscheinlichkeitsurteile zu gewinnen, ist wegen der Einmaligkeit der Bedingungskonstellation vieler Entscheidungssituationen praktisch nicht zu befolgen. Man steht also nicht vor der Wahl zwischen subjektiven Wahrscheinlichkeiten und aus beobachteten Häufigkeiten abgeleiteten

128

Kapitel V

Wahrscheinlichkeiten; zu wählen ist vielmehr nur, ob man subjektive Wahrscheinlichkeiten verwenden oder ganz auf stochastische Entscheidungsmodelle verzichten will. Tatsächlich gehen die Bedenken gegen die Verwendung subjektiver Urteile zu weit, wenn man derartigen Schätzungen die Eignung als Basis rationaler Entscheidungen völlig abspricht. Sehr viele praktische Entscheidungen werden auf der Basis subjektiver Glaubwürdigkeitsvorstellungen getroffen - man denke etwa an die Tätigkeit eines Kreditsachbearbeiters, der sich nach Prüfung der Information ein Urteil bildet und dann entweder eine positive oder negative Entscheidung trifft oder auch nur empfiehlt. Es geht bei der Frage der subjektiven Wahrscheinlichkeiten letztlich darum, ob man die Erfahrung und Intuition derartiger Personen als Informationsquelle nutzen oder wegen mangelnder intersubjektiver Überprüfbarkeit auf sie verzichten soll" (HAX, 1974, S. 44 f.). Es wird häufig das Argument vorgebracht, subjektive Wahrscheinlichkeiten seien deshalb als Basis für Entscheidungsmodelle ungeeignet, weil sie möglicherweise "falsch" bemessen wurden und mithin zu einer "Fehlentscheidung" führen. So mag das Wahrscheinlichkeitsurteil eines Entscheiders stark von dem Urteil abweichen, das sich eine wesentlich besser informierte Person bilden würde. Der Entscheider trifft dann möglicherweise tatsächlich eine Entscheidung, die sich im Lichte des besseren Informationsstandes als sehr nachteilig erweist. Vor einer derartigen Fehlentscheidung ist der Entscheider jedoch bei keiner Art der Entscheidungsfindung geschützt. Er verfügt eben nicht über den besseren Informationsstand der anderen Person. Die Tatsache, daß er keinen besseren Informationsstand hat, ist aber kein Grund, nicht wenigstens die ihm vorliegenden Informationen und seine Erfahrungen (durch subjektive Wahrscheinlichkeiten) im Entscheidungskalkül zu berücksichtigen. Wann hat ein Entscheider schon einen Informationsstand, der nicht "verbessert" werden könnte? Wer subjektive Wahrscheinlichkeiten mit dem Argument ablehnt, sie führten möglicherweise zu einer Entscheidung, die sich im Lichte eines besseren Informationsstandes als nachteilig erweist, sollte konsequenter Weise auch objektive Wahrscheinlichkeiten als Basis für Entscheidungskalküle in Frage stellen, denn das Argument trifft gleichermaßen auch diese Wahrscheinlichkeiten. Zur Verdeutlichung dient folgende Entscheidungssituation: Der Entscheider hat Gäste eingeladen, die ihm ein Geschenk in Form eines Glücksspiels machen wollen. Die Gäste haben vor Beginn der Feier mit einem (idealen) Würfel die Augenzahl 4 gewürfelt. Der Entscheider, dem die gewürfelte Augenzahl nicht mitgeteilt wird, darf zwischen zwei Geschenken wählen: A^: Er bekommt einen Geldbetrag in Höhe des 10-fachen der gewürfelten Augenzahl (in €). A2: Er erhält 200 €, wenn er die gewürfelte Augenzahl richtig errät; andernfalls bekommt er nichts.

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

129

Der Entscheider steht nun vor dem Problem, ob er die Alternative A^ oder A2 wählen und welche Augenzahl er bei Wahl von A2 nennen soll. Aus der Sicht des Entscheiders ist dies ein Entscheidungsproblem unter Risiko, bei dem die jeweiligen Gewinne und ihre Wahrscheinlichkeiten gegeneinander abzuwägen sind. Da der Entscheider keine Informationen über die bereits gewürfelte Augenzahl erhält, bleibt ihm nichts anderes übrig, als jeder möglichen Augenzahl die Wahrscheinlichkeit 1/6 zuzuordnen, also jeweils die objektive Wahrscheinlichkeit, mit der bei einem beliebigen Wurf eine bestimmte Augenzahl gewürfelt wird. Jedoch ist dieses Wahrscheinlichkeitsurteil aus der Sicht der Gäste "falsch", denn sie wissen, daß die Augenzahl 4 bereits gewürfelt worden ist. Trotzdem ist es für den Entscheider, der nicht über den Informationsstand der Gäste verfügt sinnvoll, jeder Augenzahl die objektive Wahrscheinlichkeit 1/6 zuzuordnen. Das Argument, diese Wahrscheinlichkeit sei deshalb keine geeignete Basis für die Überlegungen des Entscheiders, weil sie aus der Sicht der (genau informierten) Gäste als falsch erscheint, ist nicht überzeugend. Analog ist es nicht zulässig, subjektive Wahrscheinlichkeiten generell mit dem Einwand abzulehnen, daß sie von dem Wahrscheinlichkeitsurteil abweichen können, das einem besseren Informationsstand entspricht. 2.2.3.3. Subjektive Wahrscheinlichkeiten und ihre Revision Das Konzept der subjektiven Wahrscheinlichkeiten schließt im übrigen eine Verbesserung des Wahrscheinlichkeitsurteils nicht aus. Der Entscheider hat in der Regel die Möglichkeit, zusätzlich Informationen einzuholen und im Lichte der zusätzlichen Erkenntnisse sein (subjektives) Wahrscheinlichkeitsurteil zu revidieren. Die Beschaffung von Informationen ist aber im allgemeinen nicht kostenlos. Die Entscheidung darüber, ob bestimmte Informationen eingeholt werden sollen, erfordert daher ein Abwägen von Kosten und "Nutzen" bzw. "Wert" der Information (mit diesem Problemkreis befaßt sich ausführlich das Kapitel XI). Es kann durchaus vernünftig sein, gegebene Informationsmöglichkeiten wegen zu hoher Kosten nicht wahrzunehmen (und auf der Basis eines relativ "schlechten" Wahrscheinlichkeitsurteils eine der Handlungsaltemativen auszuwählen). Demgemäß kann es auch dann vernünftig sein, auf der Grundlage subjektiver Wahrscheinlichkeiten zu entscheiden, wenn die Möglichkeit besteht, sich ein objektives (z.B. auf beobachteten Häufigkeiten basierendes) Wahrscheinlichkeitsurteil zu bilden. Die zur Bestimmung der objektiven Wahrscheinlichkeiten notwendigen Informationsaktivitäten können eben Kosten verursachen, die höher sind als der durch die Information zu erwartende Nutzenzuwachs.

130

Kapitel V

3.

Statistische Grundlagen

3.1.

Vorbemerkung

Für die Analyse von Entscheidungsproblemen bei Risiko sind gewisse Grundkenntnisse der Statistik unentbehrlich. Die folgenden Darstellungen befassen sich zunächst mit der Bestimmung der Eintrittswahrscheinlichkeiten von Ereignissen, wobei angenommen wird, die Zahl der möglichen Ereignisse sei endlich. Anschließend werden die Begriffe "Erwartungswert", "Varianz" und "Standardabweichung" einer Zufallsgröße (Zufallsvariable) definiert und Sätze zur Berechnung dieser Parameter dargestellt; dabei werden nur diskrete Zufallsgrößen betrachtet (d.h. Zufallsgrößen mit einer endlichen Zahl möglicher Ausprägungen). Auf die Beweise der einzelnen Aussagen wird zum Teil verzichtet. Man findet sie in jedem Lehrbuch der Statistik. Die folgenden Ausführungen sind sehr elementar. Der in den Grundlagen der Statistik bewanderte Leser kann den Abschnitt 3 überschlagen.

3.2.

Zur Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeiten von Ereignissen

3,2.1. Die Wahrscheinlichkeit, daß eines von mehreren einander schließenden Ereignissen eintritt

aus-

Sind Ej und E2 zwei einander ausschließende Ereignisse, so ist nach der Additivitätsbedingung (Abschnitt 2.1) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Ej oder E2" gleich der Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten von E^ und E2: (V.l)

w ( E , u E 2 ) = w(E,) + w(E,) .

Aus der Additivitätsbedingung folgt unmittelbar der allgemeine Satz: Sind Ei,E2v,En (11^2) einander ausschließende Ereignisse, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Ej oder E2 ... oder Ej^" gleich der Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten der Ereignisse E^, E2vjEn(V.2)

w ( E i U E 2 U . . . u E n ) = w(Ei) + w(E2)+...+w(En) .

Beispiel V.l. Ein Entscheidungsproblem ist durch folgende Ergebnismatrix charakterisiert (wobei die Ergebnisse Gewinne bezeichnen):

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

0,2

0,3

0,1

0,15

Si

S2

S3

S4

S5

S6

Al

100

80

200

400

-60

-10

A2

80

90

150

500

-90

0

0,05

131

0,2

Matrix V.l: Ergebnismatrix Die Wahrscheinlichkeit, daß einer der Zustände S^, S2, Sg eintritt, ist: w ( S i u S 2 u S 6 ) = w(Si) + w(S2) + w(S6) = 0,2 + 0,3 + 0,2=:0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß die Alternative Aj zu einem Verlust führt? Bei Wahl der Alternative Aj entsteht genau dann ein Verlust, wenn sich einer der Zustände S5 und S5 einstellt. Folglich ist die Verlustwahrscheinlichkeit gleich 0,05 + 0,2 = 0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "die Alternative A^ führt zu einem höheren Gewinn als die Alternative A2"? Dieses Ereignis tritt genau dann ein, wenn sich der Zustand Sj oder S3 oder S5 einstellt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt mithin w(Si) + w(S3) + w(S5) = 0,2 + 0,l+0,05 = 0,35. 3.2.2. Die Wahrscheinlichkeit, daß mehrere (sich einander nicht ausschließende) Ereignisse gemeinsam eintreten 3.2.2.1. Unabhängige Ereignisse Bei der Konstruktion stochastischer Entscheidungsmodelle sind im allgemeinen auch Ereignisse zu berücksichtigen, die sich einander nicht ausschließen, sondern gemeinsam eintreten können. Wenn z.B. die Ergebnisse der erwogenen Alternativen von mehreren (entscheidungsrelevanten) Daten abhängen - und dies ist der Regelfall - so entspricht jedem möglichen Zustand eine bestimmte Konstellation von Ausprägungen dieser Daten; jeder Zustand ist dann dadurch bestimmt, daß gewisse Ereignisse (eben die jeweiligen Datenausprägungen) gemeinsam eintreten. Ereignisse werden als stochastisch unabhängig voneinander bezeichnet, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Ereignisse unabhängig davon ist, ob die anderen Ereignisse eintreten oder nicht. Unabhängigkeit der Ereignisse besteht vor allem bei einer wiederholten Teilnahme an einem Glücksspiel. Die Wahrscheinlichkeit, daß z.B. beim zweiten Wurf mit einem (idealen) Würfel die Augenzahl Z (Z = l,2,...,6) gewürfelt wird, beträgt 1/6, unabhängig von der Augenzahl beim ersten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit, daß beim n-ten Roulette-Spiel die Kugel auf die Zahl Z

132

Kapitel V

(Z=0,l,...,36) fällt, beträgt (bei einem idealen Roulette) 1/37, unabhängig vom Verhalten der Kugel bei den vorhergehenden Spielen. Sind die Ereignisse Ei,E2v,En unabhängig voneinander, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "E^ und E2 ... und E^" gleich dem Produkt der Eintrittswahrscheinlichkeiten der Ereignisse Ei,E2,.-.,En(V.3)

w ( E , n E 2 n . . . n E „ ) = w(E,)-w(E,>...-w(E„) .

Beispiel V.2. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mit einem (idealen) Würfel beim ersten Wurf die Augenzahl 1 und beim zweiten Wurf die Augenzahl 6 gewürfelt wird, beträgt 1/6-1/6 = 1/36. Die Wahrscheinlichkeit, daß bei dreimaligem Spiel mit einem (idealen) Roulette die Kugel zunächst zweimal auf die Zahl 10 und dann auf eine ungerade Zahl fällt, beträgt 1/37-1/37-18/37. 3.2.2.2. Abhängige

Ereignisse

Zwei Ereignisse werden als voneinander stochastisch abhängig bezeichnet, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit des einen Ereignisses davon abhängt, ob das andere Ereignis eintritt oder nicht (und umgekehrt). Vor allem bei ökonomischen Entscheidungsproblemen sind häufig Ereignisse relevant, zwischen denen stochastische Abhängigkeiten bestehen. So wird z.B. die Wahrscheinlichkeit, daß der Preis eines Produktes steigt bzw. sinkt, von der Preisentwicklung derjenigen Rohstoffe abhängen, die in dieses Produkt eingehen. Auch zwischen Aktienkursen bestehen häufig stochastische Abhängigkeiten. Stochastische Abhängigkeiten werden durch bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit w(Ej|Ej) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E^ unter der Voraussetzung, daß das Ereignis Ej eintritt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwei beliebige Ereignisse Ej und Ej gemeinsam eintreten, beträgt: (V.4)

w ( E i n E j ) = w(Ei|Ej)-w(Ej) bzw. w ( E j n E i ) = w(Ej|Ei)-w(Ei).

Die Wahrscheinlichkeit, daß zwei Ereignisse gemeinsam eintreten, ist also gleich dem Produkt der Eintrittswahrscheinlichkeit des einen Ereignisses unter der Bedingung, daß das andere Ereignis eintritt, und der (unbedingten) Wahrscheinlichkeit dieses anderen Ereignisses. Die Formel (V.4) läßt sich induktiv auf beliebig (jedoch endlich) viele Ereignisse ausdehnen: Für die Wahrscheinlichkeit, daß die Ereignisse Ei,E2v,En gemeinsam eintreten, gilt:

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

(V.5)

133

w ( E i n E 2 n E 3 n . . . n E n ) = w(Ei|E2 n E ß n ...nEn) •w(E2|E3 nE4 n ...nE^)... •w(En_i|En)-w(En).

Dabei bezeichnet z.B. w(Ei|E2 n E ß n ...nEj^) die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses Ej unter der Bedingung, daß die Ereignisse E2,E3,...,En eintreten. Für (V.5) kann man auch schreiben (es wird nur die Richtung der Betrachtungsweise geändert): (V.5a)

w ( E i n E 2 n E 3 n . . . n E n ) = w(Ei)-(E2|Ei).w(E3|EinE2) ...•w(En|EinE2n...nEn_i).

Beispiel V.3. In einer Urne sind 2 weiße, 5 schwarze und 3 rote (also insgesamt 10) Kugeln. Es werden drei zufällige Ziehungen vorgenommen, wobei eine aus der Urne gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zunächst eine weiße Kugel, dann eine schwarze und schließlich nochmals eine weiße Kugel zu ziehen? Mit der folgenden Bezeichnung der Ereignisse Ej = die erste Ziehung liefert eine weiße Kugel, E2 = die zweite Ziehung liefert eine schwarze Kugel, E3 = die dritte Ziehung liefert eine weiße Kugel, gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gemäß (V.5a): w ( E i n E 2 n E 3 ) = w(Ei).(E2|Ei)-w(E3|EinE2). Nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit gilt: w(Ei) = — ^ 10

-,

w(E^|Ei n E o ) =

w(E2|Ei) =

5 5 1 0 - 1 "" 9

2 - 1 1

Somit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit w(EinE9nEa) =

= —.

Die Formel (V.3) für den Fall unabhängiger Ereignisse ist ein Spezialfall von (V.5). Definitionsgemäß sind die Ereignisse Ei,E2v,En dann voneinander stochastisch unabhängig, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Ereignisse unabhängig davon ist, ob die anderen Ereignisse eintreten oder nicht. Für diesen Fall gilt:

134

Kapitel V

(V6)

w(Ei|E2nE3n...nEn) w(E2|E3nE4n...nEn)

= =

w(Ei) w(E2)

w(En-i|En)

=

w(En_i).

Mit (V.6) führt (V.5) unmittelbar zu (V.3).

3.3.

Der Erwartungswert von Zufallsgrößen

Es sei Z eine diskrete Zufallsgröße (Zufallsvariable), die die Werte Zi,Z2v,Z2 annehmen kann. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten dieser Ausprägungen werden mit w(Zi),w(Z2)v5w(Z2) bezeichnet. Der Erwartungswert (die mathematische Erwartung) E(Z) der Zufallsgröße Z ist definiert als Summe der möglichen mit ihren Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Werte. Es gilt: (V.7)

E(Z) = w(Z,)-Zi+w(Z2)-Z2+...+w(Z^)-Z^

= yw(z )-z . ^,

^ z^

z

z=l

Beispiel VA. Der Erwartungswert E(Z) der Augenzahl Z bei einem Wurf mit einem idealen Würfel berechnet sich zu E(Z) = - . l + - - 2 + - - 3 + - - 4 + - - 5 + - ' 6 = 3,5. 6 6 6 6 6 6 Aus der Definition des Erwartungswertes folgen unmittelbar einige Eigenschaften: 1. Für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen Z = x • Z + y (x und y sind sichere Größen) gilt: (V.8)

E(Z) = E(x • Z + y) = X • E(Z) + y.

Insbesondere gilt: (V.9)

E(y) = y; E(x-Z) = x-E(Z); E [ E ( Z ) - Z ] = E ( Z ) - E ( Z ) = 0.

Beispiel V.5. Dem Entscheider wird ein Spiel angeboten, bei dem er das 100-fache der Augenzahl gewinnt, die bei einem Wurf mit einem idealen Würfel erzielt wird; der geforderte Spieleinsatz beträgt 300 €. Der Erwartungswert des Gewinns G nach Abzug des Einsatzes P beträgt: E ( G - P ) = E(100-Z-300) = 100-E(Z)-300= 100-3,5-300= 50

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

135

2. Für den Erwartungswert einer gewichteten Summe von Zufallsgrößen^) Zi,Z2,...,ZNgilt: (V.IO)

E(XIZI+...+XNZN)

=

XIE(ZI)+...+XN-E(ZN)

N

= ZXn-E(Zn). n=l

Dabei sind die Gewichtungsfaktoren xi,X2,...,x^ sichere Größen. Beispiel V.6. Dem Entscheider wird ein Spiel angeboten, bei dem er mit einem idealen Würfel zweimal würfeln muß. Er gewinnt einen Betrag in Höhe des 100-fachen der Augenzahl Zj beim ersten Wurf zuzüglich des 10-fachen der Augenzahl Z2 beim zweiten Wurf. Der geforderte Spieleinsatz beträgt 400 €. Für den Erwartungswert des Gewinns G vor Spieleinsatz gilt: E(G) = E(100-Zi+10-Z2) = 100-E(Zi) + 10-E(Z2). Wegen E(Zi) = E(Z2) = 3,5 folgt E(G) = 100-3,5 + 10-3,5 = 385. Der Erwartungswert des Gewinns nach Abzug des Spieleinsatzes beträgt 385-400 = -15(€).

3.4.

Die Varianz von Zufallsgrößen

3.4.1. Die Varianz einer

Zufallsgröße

In vielen ökonomischen Modellen bei Risiko wird die Varianz (bzw. deren Wurzel, die Standardabweichung) der Zielgröße als Maßstab für das Risiko herangezogen (vgl. insbesondere die Kapitel VI, VII und VIII sowie LAUX, 2002). Die Varianz a^(Z) bzw. Var(Z) einer Zufallsgröße Z ist definiert als der Erwartungswert der quadratischen Abweichung der Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert: (V.ll)

Var(Z) = E[(Z-E(Z))2].

Wegen ( Z - E ( Z ) ) 2 > 0 ist die Varianz stets nichtnegativ. Beispiel V. 7. Für die Varianz Var(Z) der Augenzahl Z bei einem Wurf mit einem idealen Würfel gilt:

2)

Die Symbole ZpZ2,.--,Z2 charakterisieren verschiedene Zufallsvariablen, während Zj,Z2,.",Z2 die möglichen Werte einer einzigen Zufallsvariable Z bezeichnen.

136

Kapitel V

Var(Z) =

f (1-3,5)2 + f (2-3,5)^ + f (3-3,5)^ + -i-(4-3,5)2 + i-(5-3,5)2 + -^.(6-3,5)2 = 2,916.

Aus der Definition der Varianz folgen unmittelbar einige Eigenschaften: Für die Varianz einer Zufallsvariablen Y = x-Z + y (x und y sind sichere Größen) gilt: (V.12)

Var(Y) = Var(x-Z + y) = x^-VarCZ).

Beweis: Gemäß ( V . l l ) gilt: (V.lla)

Var(x.Z + y) = E|[(x-Z + y ) - E ( x - Z + y ) f | = E|[(x-Z)-E(x.Z)f

= x^ • E|[Z - E(Z)]^ I = ^^ • Var(Z). Insbesondere gilt: (V.13)

Var(y) = 0; Var(Z + y) = Var(Z).

Beispiel V.8. Bei dem in Beispiel V.5 dargestellten Spiel beträgt die Varianz des Gewinns nach Spieleinsatz: Var(G-P) = Var(l00-2-300) = 100^ • Var(Z) = 10000-2,916 = 2916,67 .

3.4,2. Die Varianz einer gewichteten Summe von Zufallsgrößen 3.4.2.1. Stochastisch unabhängige Zufallsgrößen Zufallsgrößen werden als (stochastisch) unabhängig bezeichnet, wenn für jede dieser Größen die Eintrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen davon unabhängig sind, welche Ausprägungen die anderen Zufallsgrößen annehmen. Für die Varianz einer gewichteten Summe stochastisch unabhängiger Zufallsgrößen Zi.Zi,.,^^ gilt: (V.14)

Var(xi-Zi+X2-Z2+...+XN-ZN) = xf • Var(Zi) + x^ • Var(Z2 )+...+xJ^ • Var(ZN ) =

Ix2-Var(ZJ. n=l

Danach gilt insbesondere für X| = 1, X2 = 1,..., X N = 1:

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

(V.15)

Var(Zi+Z2+...+ZN)

137

^

= Var(Zi) + Var(Z2)+...+Var(ZN) = SVar(Zn). n=l

Beispiel V.9. Bei dem in Beispiel V.6 dargestellten Spiel beträgt die Varianz des Gewinns vor Abzug des Spieleinsatzes: Var(G) = Var(100-Zi +10-Z2) = 100^ • Var(Zi) + 10^ • Var(Z2). Wegen Var(Zi) = Var(Z2) = 2,916 (vgl. Beispiel V.7) folgt: Var(G) = 10000-2,916+100-2,916 = 29166,67 + 291,67 = 29458,3. Da der Spieleinsatz eine deterministische Größe ist, beträgt die Varianz des Gewinns nach Spieleinsatz wegen (V.13) ebenfalls 29458,3. 3.4.2.2. Stochastisch abhängige

Zufallsgrößen

Zwei Zufallsgrößen werden als voneinander stochastisch abhängig bezeichnet, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeiten der möglichen Ausprägungen der einen Zufallsgröße davon abhängen, welchen Wert die andere annimmt (und umgekehrt). Vor allem bei ökonomischen Entscheidungsproblemen sind häufig Zufallsgrößen maßgeblich, zwischen denen stochastische Abhängigkeiten bestehen. Bei der Bestimmung der Varianz einer (gewichteten) Summe stochastisch abhängiger Zufallsvariablen gilt es, den betreffenden Abhängigkeiten Rechnung zu tragen. Dies geschieht mit Hilfe der sogenannten Kovarianzen. Die Kovarianz lLov{Z^\Z^) der Zufallsvariablen Z^ und Z^ ist wie folgt definiert: (V.16)

Kov(Z„;Z„) = E{[Z„-E(Z„)]-[Z„-E(Z„)]}.

Zur Ermittlung von Kov(Zn;Zj^) muß gemäß (V.16) für jede mögliche Wertekombination (Z^; Z^ der beiden Zufallsvariablen das jeweilige Produkt [Zjj-E(Zn)]-[Zjn-E(Zi„)] mit der Eintrittswahrscheinlichkeit für die betreffende Wertekombination gewichtet werden; die gewichteten Produkte werden addiert. Beispiel V.IO: Gegeben seien die in Tabelle V.l dargestellten möglichen Wertekonstellationen und die betreffenden Wahrscheinlichkeiten: Wahrscheinlichkeit Wertekonstellation

0,25

0,25

0,5

Zn - 8 0 ;

Z„ =100;

Z^ =60;

Zjn = 40

Zjn=200

2^^ = 40

Tabelle V.l: Mögliche Wertekonstellationen und ihre Wahrscheinlichkeiten

138

Kapitel V

Es gilt hier: E(Zn) = 75; E ( Z ^ = 80 und mithin: Kov(Zn;Zin)= 0,25-( 8 0 - 7 5 ) - ( 4 0 - 8 0 ) + 0,25-(100-75)-(200-80) + 0,5 •( 6 0 - 7 5 ) - ( 4 0 - 8 0 ) = 0,25 • (-200) + 0,25 • 3000 + 0,5 • 600 = 1000. Es ist unmittelbar einleuchtend, daß (V.17)

K o v ( Z „ ; Z „ ) = Kov(Z^;Z„), Kov(Z„;Z„) = Var(Z„),

Kov(Z„;Z„) = Var(Z^.

Die Kovarianz Kov(Zjj;Zj^) liegt bei gegebenen Erwartungswerten für Z^ und Zjn um so mehr über null, je stärker die Zufallsgröße Zj^ in die "gleiche Richtung tendiert" wie die Zufallsgröße Z^. Analog liegt Kov(Zn;Zjj5) um so mehr unter null, je stärker Z^ in "gegenläufiger Richtung tendiert" wie Z^. Sind die Zufallsgrößen Z^ und Zj^ voneinander stochastisch unabhängig, so ist ihre Kovarianz gleich null. Für die Varianz der Summe der Zufallsvariablen Zj und Z2 gilt: (V.18)

Var(Zi+Z2) = Var(Zi)+Kov(Zi;Z2)+Kov(Z2;Zi)+Var(Z2) = I V a r ( Z n ) + 2.Kov(Zi;Z2). n=l

Die Varianz der Summe der beiden Zufallsvariablen ist bei stochastischer Abhängigkeit nicht gleich der Summe der beiden Varianzen. Von Bedeutung ist auch die (mit zwei gewichtete) Kovarianz Kov(Zi;Z2). Für die Varianz der Summe Z^ + Z2...+ZN gilt, wenn abkürzend die Varianz Var(Zj^) mit Kj^ und die Kovarianz Kov(Zn;Zj„) mit Kj^^ dargestellt werden: (V.19)

Var(2:z„) =

Kii

+K12

+K13

n—1 n—i

+K14 +.. .+KiN

+ K21

+K22

+K23

+K24 +. ..+K2N

+ K31

+K32

+K33

+K34 +. ..+K3N

+ KNI

+KN2

+ KN3

+ KN4

+. •• + ^NN

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen N

139

N N

n=l

n=l m=l

N

N N

= EVar(ZJ+2: n=l

Z

Kov(Zn;Z^).

n=l m=l

Wegen ^unT^^mn kann man hierfür auch schreiben: N

(V.19a)

Var(XZn) = K^+2-Ki2+2.K13 + 2.K14+...+2.KIN n=l +

K22 + 2 • K23 + 2 • K24 + . . . + 2 • K2N +

K33 + 2 • K 3 4 + . . . + 2 • K3]s^ +

N n=l N

-

N

K44+...+2-K4]s^

N

n=l m=n+l N N

IVar(ZJ +2.S n=l

^

Kov(Zn;Z^).

n=l m=n+l

Die Zufallsgröße Zj bewirkt gemäß (V.19) bzw. (V.19a) eine Änderung der Varianz von N N N ^11+ Z K i n i + Z K m l = K i i + Z^-Kijnm=2 m=2 m=2 Allgemein: Eine Zufallsgröße Zj^ bewirkt eine Änderung der Varianz in Höhe von N N Knn+ Z K n m + Z ^ n m m=l m=l m?tn niTtn

= Var(Z„)+ E K o v ( Z n ; Z „ ) + m=l m^^n

lKov(Z„;Zn) m=l m?^n

= Var(Zn) + 2. X K o v ( Z n ; Z ^ ) . m=l

140

Kapitel V

Man erkennt: Insbesondere bei großem N können die Kovarianzen eine erheblich größere Bedeutung haben als die Varianz Var(Zj^). Die Varianz erscheint nur einmal, während es 2-(N-l) relevante Kovarianzen gibt. Sind die einzelnen Summanden mit den (sicheren) Faktoren xi,X2,...,x^ gewichtet, so gilt für N = 2: (V.20)

Var(xi-Zi+X2-Z2)

= Var(xi -Zi) +Var(x2 •Z2) + Kov(xi •Zi;x2 •Z2) + Kov(x2 •Z2;xi Z^) = x^ • Var(Zi) + x^ • Var(Z2) + 2 • Kov(xi • Z^; X2 • Z2). Wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird, gilt: Kov(xi •Zi;x2 •Z2) = xj •X2 •Kov(Zi;Z2). Somit folgt aus (V.20): (V.21)

Var(xi-Zi+X2-Z2) = Xj^-Var(Zi) + 2-xi-X2-Kov(Zi;Z2) + X2-Var(Z2).

Allgemein gilt für die Varianz der gewichteten Summe von Zufallsvariablen: (V.22)

Var(xi • Z^ + X2 • Z2+...+XN * Z ^ ) N ^ N N = Z x ^ - V a r ( Z n ) + E XKov(Xn-Zn;Xjn-Zjn) n=l n=l m=l N ^ N N = Zx^-Var(Zn) + 2-X n=l n=l m=n+l

T^n'^m-^M^n'^^m)-

Für den Anstieg der Varianz Var(...), die die Zufallsgröße Z^ bewirkt, können die 2-(N-l) Kovarianzen K^^ eine erheblich größere Bedeutung haben als die Varianz Var(Zj^) als einzelne Größe. Sind alle Zufallsgrößen voneinander stochastisch unabhängig, so sind alle Kovarianzen gleich 0; die Gleichung (V.22) reduziert sich dann auf (V.14) und die Gleichung (V.19) auf (V.15). Wird (V.22) nach x^ (n=l,2,...,N) differenziert, so ergibt sich der Betrag, um den sich die Varianz von xj • Z^ + X2 • Zj+.^.+x^ • Z^ ändert, wenn der Gewichtungsfaktor x^ um eine marginale Einheit erhöht wird {Grenzvarianz):

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

(V.23)

141

d V ^ ^ 2 x „ . V a r ( Z „ ) + 2. ^x^-KovCZ^jZ^) n

m=l N

= 2- 5]x„-Kov(Z„;Z„i), m=l

mit Kov(Z„; Zjj) = Var(Z„). Die Grenzvarianz kann (aufgrund negativer Kovarianzen) auch negativ sein. 3.4.2.3. Sätze über Kovarianzen Für die Kovarianz der Zufallsgrößen x^ • Z^ + y^ und x^ • Z^ + y^ gilt: (V.24)

Kov(x„-Z„ + y „ ; x „ - Z „ + y „ ) = E { [ x n - Z n + Yn - ECXn'Zn + Yn)] • [ ^ m - Z m + Ym " ^i^m'^m

+ Ym)]}

= E{[X„ • Zn - E(x„ • Zn)] • [xjn • Z „ - ECx^ • Z^j)]} = E{X„.[Z„-E(Z„)].X„.[Z^-E(Z„)]}

= x„ • Xm • E p n - E(Z„)] • [Z^ - E(Z„)]}. Hieraus folgt in Verbindung mit (V.16): (V.25)

Kov(x„ • Zn + y„; x^ • Z „ + y^) = x„ • x „ • Kov(Z„; Z^).

Ftir die Kovarianz der Zufallsgrößen x • Z + y und Z gilt: (V.26)

Kov(x • Z + y; Z) = E{[X • Z + y - E(X • Z + y)] • [Z - E(Z)]} = E{[X • Z - E(X • Z)] • [Z - E(Z)]} = E{X{Z-E(Z)]-[Z-E(Z)]}

= X • E | [ Z - E(Z)]^ I = X • Var(Z). Im Fall X > 0 (bzw. x < 0) ist die Kovarianz positiv (bzw. negativ). Für die Kovarianz zwischen der Zufallsgröße Z^ und der Summe Z1 + Z2 + ...+ Z„+...+ZNgilt: (V.27)

Kov(Z„;Zi+Z2+...+ZN) = Kov(Zn; ^ Z m ) rm=l

142

Kapitel V

= E{[Zn - E(Z j ] • [Zi + Z2 +.. .+ZN - E(Zi + Z2 +.. .+ZN )]} = E{[Z„ -E(Zn)]-[Zi -E(Zi) + Z2 -E(Z2)+...+ZN - E ( Z N ) ] } = E{[Z„ - E(Z„)]-[Zi - E(ZI)] + [Z„ - E(Zn)] {22 - E(Z2)] +...+[Z„-E(ZJ]-[ZN-E(ZN)]}

= E{[Z„-E(Z„)] .[Zi -E(Zi)]} + E{[Z„-E(Z„)] • [Z2 -E(Z2)]} +...+ E { [ Z „ - E ( Z „ ) ] - [ Z N - E ( Z N ) ] } .

In Verbindung mit (V.16) folgt hieraus:^) (V.28)

Kov(Z„; ^ Z ^ ) m=l

= EKov(Z„;Z„) + Kov(Z„;Z„)+ m=l

2:KOV(Z„;Z^) m=n+l

- V a r ( Z J + XKov(Zn;Z^). m=l

Für die Kovarianz zwischen der Zufallsgröße x^ • Z^ und der Summe Xi • Zi + X2 • Z2 +...+Xn • Zn +...+XN ' Z ^ gilt:

(V.29)

Kov(Xn.Zn;Sx^.Z^) m=l N

= Zxn-Xm-Kov(Zn;Z^) m=l N = Xn- 2:Xjn-Kov(Zn;Zjn) m=l 2 N ^ ^ = x^-Var(Zn) + Xn- X^m •Kov(Zn;Zjn). m=l Im Rahmen späterer Darstellungen sind folgende Zusammenhänge von besonderer Bedeutung:

3)

Es sei daran erinnert, daß Kov(Z„;Zj^) = Var(Zj^) gilt.

Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Grundlagen

143

Kov(Xn-Zn;Zjn) = Xn-Kov(Zn;Ziii), Kov(Z„;x^ Z ^ ) = x ^ •Kov(Z„;Z^), Kov(Xn -ZnSXm •Z^) = Xn -x^ -KovCZ^iZ^), N _ N _ . Kov(Zn; E Xm-Zm)= Zxm-Kov(Zn;Z^), m=l

m=l

Kov(Z„+Z^;Zo) = Kov(Zn;Zo) + Kov(Z^;Zo).

3.5.

Die Standardabweichung einer Zufallsgröße

Der Erwartungswert E(Z) einer Zufallsvariable Z hat dieselbe Dimension wie die Zufallsgröße selbst (z.B. €, GE, ME). Die Varianz Var(Z) hat als Dimension das Quadrat der Dimension der Zufallsgröße Z (z.B. €^, GE^, ME^). Um auch für die Messung der Streuung einer Zufallsgröße einen Parameter verfügbar zu haben, der die gleiche Dimension besitzt wie die Zufallsgröße ihrerseits, wurde in der Statistik die Standardabweichung eingeführt. Die Standardabweichung a(Z) bzw. Sta(Z) einer Zufallsgröße Z ist definiert als die positive Wurzel aus der Varianz Var(Z) der Zufallsgröße: (V.30)

Sta(Z) = |VVar(Z)|.

Für die Standardabweichung einer Zufallsvariablen Y = x • Z + y gilt gemäß (V.30) und (V. 12): (V.31)

Sta(Y) = Sta(x-Z + y) '^Var(x-Z + y)

= |Vx'-Var(Z)| = |x|-Sta(Z). Die Standardabweichung von x • Z + y ist somit gleich der mit dem Betrag von X gewichteten Standardabweichung von Z. Im Fall x ;^ 0 gilt |x| > 0 unabhängig davon, ob x > 0 oder x < 0 gilt; die Standardabweichung ist in beiden Fällen positiv. Die Standardabweichung einer gewichteten Summe von Zufallsvariablen kann bestimmt werden, indem (wie in Abschnitt 3.4.2) die Varianz dieser Summe berechnet und dann die positive Wurzel aus der Varianz gezogen wird.

144

Kapitel V

3.6.

Korrelationskoeffizient und Kovarianz

Zwischen der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizienten p(Zj^;Zjj^) der Zufallsgrößen Z^ und Z^ gilt die folgende Beziehung:

(V.32)

^ ^ Kov(Zn;Zjn) p(Zn;Z^) = ^^ ^^ "" m7 sta(Zn)-Sta(Z^)

bzw. (V.33)

Kov(Zn;Z^) = p ( Z n ; Z ^ ) - S t a ( Z J . S t a ( Z ^ ) .

Wegen Kov(Zn;Zj„) = Kov(Zjn;Zn) folgt unmittelbar aus (V.32):

Für die Zufallsgrößen x • Z + y und Z gilt gemäß (V.32): (V.34)

p(x.Z + y;Z) = - Kov(x.Z + y;Z) Sta(x-Z + y)-Sta(Z)

In Verbindung mit (V.26) und (V.31) folgt hieraus: r\r ^^\ (V.35)

f ^ . 7^ xVar(Z) X ^ ~ = -^-^ • p(x • Z + y;Z) = j - , |x|-Sta(Z)-Sta(Z) |x| Hieraus folgt: (V.36)

p(x.Z + y;Z):

f+l für x > 0 [-1 für x < 0

Aus (V.33) folgt in Verbindung mit (V.18) für die Varianz der Summe zweier Zufallsgrößen Z^ und J.^'. (V.37)

Var(Zi+Z2)=Var(Zi)+Var(Z2)+2.p(Zi;Z2)-Sta(Zi).Sta(Z2).

Bei gegebenen Werten für Sta(Zi) und Sta(Z2) ist Var(ZiH-Z2) eine linear steigende Funktion des Korrelationskoeffizienten p(Zi;Z2).

VI. 1.

Entscheidungskriterien bei Risiko Problemstellung

Wie in Kapitel IV deuthch wurde, ist die Auswahl einer optimalen Handlungsaltemative dann unproblematisch, wenn eine der Alternativen alle anderen dominiert. (Eine Alternative dominiert dann eine andere, wenn sie im Vergleich zu dieser zweiten Alternative in keinem (Umwelt-) Zustand ein schlechteres Ergebnis, jedoch in mindestens einem Zustand ein besseres Ergebnis bietet.) Li der Regel existiert jedoch keine Alternative, die alle anderen dominiert. Es wird ein Entscheidungskriterium benötigt, mit dessen Hilfe die möglichen Ergebnisse der Alternativen (unter Berücksichtigung ihrer Eintrittswahrscheinlichkeiten) gegeneinander abgewogen werden können, hn folgenden werden die prominentesten Entscheidungskriterien für Risikosituationen dargestellt und beurteilt: die |i-Regel, das (jLi,a)-Prinzip und das BERNOULLI-Prinzip. Während das BERNOULLI-Prinzip es gestattet, alle möglichen Zielgrößenwerte (allgemein: alle möglichen Ergebnisse) explizit zu berücksichtigen, erfaßt die |Li-Regel nur den Erwartungswert und das (|a,a)-Prinzip nur den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zielgröße. Wie gezeigt wird, ist die |Li-Regel bzw. das (|Li,a)-Prinzip nur in Spezialfällen mit dem BERNOULLI-Prinzip kompatibel, das seinerseits im Einklang mit plausiblen Axiomen rationalen Verhaltens steht. In Abschnitt 2 werden die ja-Regel und das (|a,a)-Prinzip ohne expliziten Bezug auf das BERNOULLI-Prinzip diskutiert. Es ist möglich, daß der Entscheider (zunächst) das BERNOULLI-Prinzip ablehnt und wissen möchte, welche "Stärken" und "Schwächen" die |Li-Regel und das (jj,,a)-Prinzip aufweisen. Es ist dann nicht sinnvoll, die Beurteilung auf der theoretischen Grundlage des BERNOULLI-Prinzips vorzunehmen. Wie gezeigt wird, lassen sich auch ohne expliziten Bezug auf das BERNOULLI-Prinzip Grundprobleme der jii-Regel und des (jj.,a)-Prinzips diskutieren. Die Kenntnis der Problematik kann ihrerseits die Bereitschaft erhöhen, das BERNOULLI-Prinzip zu akzeptieren und explizit (wenn auch nur in vereinfachter Form) anzuwenden. Abschnitt 3 befaßt sich mit dem BERNOULLI-Prinzip, nach dem im Rahmen eines Entscheidungsproblems diejenige Alternative optimal ist, mit der der Erwartungswert des Nutzens der möglichen Ergebnisse maximiert wird. Nach einer kurzen Charakteristik dieses Entscheidungs-Prinzips (Abschnitt 3.1) wird erläutert, wie nach diesem Prinzip eine optimale Alternative ermittelt werden kann (Abschnitt 3.2). Darauf aufbauend wird gezeigt, daß das BERNOULLIPrinzip im Einklang mit plausiblen Axiomen rationalen Handelns steht (Abschnitt 3.3). Nach der Darstellung einiger grundlegender Eigenschaften der Risikonutzenfunktion (Abschnitt 3.4) wird die Problematik der Entscheidung

146

Kapitel VI

bei mehreren Zielgrößen (Abschnitt 3.5) und das Konzept zustandsabhängiger Nutzenfunktionen (Abschnitt 3.6) erörtert. Schließlich werden kritische Einwände gegen das BERNOULLI-Prinzip diskutiert (Abschnitt 3.7). ]n Abschnitt 4 wird der ARROW-PRATT-Risikoaversionskoeffizient vorgestellt. In Abschnitt 5 schließlich wird untersucht, unter welchen Bedingungen die |j,Regel und das (|LX,a)-Prinzip im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip stehen. hn Vordergrund des vorliegenden Kapitels steht der Fall einer Zielgröße Z. Wenn hervorgehoben werden soll, daß Z eine Zufallsgröße ist, wird das Symbol Z verwendet. Konkrete Ausprägungen der Zielgröße werden stets ohne Tilde dargestellt.

2.

Klassische Entscheidungskriterien

2.1.

Die ji-Regel

2,1,L

Darstellung

Bei der einfachsten Entscheidungsregel fiir Risikosituationen mit einer Zielgröße dient der Erwartungswert der Zielgröße als Beurteilungsmaßstab. Optimal ist diejenige Alternative, die diesen Erwartungswert maximiert. Da der Erwartungswert einer Zufallsvariablen abkürzend auch mit |LI bezeichnet wird, heißt diese Entscheidungsregel ji-Regel, ja-Kjriterium oder auch |Li-Prinzip. Für den Präferenzwert einer Alternative A^ (a=l,2,...,A) gilt: (VLl)

0(A,) = Iw(S3)Z,3. s=l

Dabei bezeichnet Z^s den Wert der Zielgröße bei Wahl der Alternative A^ (a=l,2,...,A) und Eintreten des Zustandes Sg (s=l,2,...,S). Entsprechend lautet die Zielfunktion der )j,-Regel: (VL2)

Xw(S3).Z,3-^Max! s=l

a

Die jLi-Regel ist wohl die bekannteste Entscheidungsregel flir Risikosituationen. Da sie relativ einfach in stochastische Entscheidungsmodelle einbezogen werden kann, findet sie sehr häufig bei der Konstruktion und Analyse solcher Modelle Verwendung. Dies gilt vor allem auch für die Entscheidungsmodelle der Betriebswirtschaftslehre. Wie die |j.-Regel zu beurteilen ist, hängt von der Entscheidungssituation ab. Folgende idealtypische Entscheidungssituationen sollen analysiert werden, wobei davon ausgegangen wird, Zielgröße des Entscheiders sei der Erfolg.

Entscheidungskriterien bei Risiko

147

Wiederholungsfall. Aus der Menge von zwei oder mehr Alternativen ist eine Alternative auszuwählen. Die Entscheidung wird dann in gleicher oder ähnlicher Form sehr oft wiederholt, wobei die Erfolge der einzelnen Realisationen der gewählten Alternative voneinander stochastisch unabhängig sind. Beispielsweise wird ein bestimmtes Glücksspiel bei jeweils gleichem Einsatz mehrmals gespielt. "Wiederholung" einer Alternative heißt nicht unbedingt, daß die folgende Realisation erst dann beginnt, wenn die vorherige abgeschlossen ist. Die Alternative kann auch zur gleichen Zeit mehrfach durchgeführt werden: Eine Versicherungsgesellschaft z.B. hält zahlreiche Versicherungsverträge der gleichen Art in ihrem Bestand. Einzelfall. Die Alternativen des Entscheidungsproblems sind einmalig; die Möglichkeit der Wiederholung in gleicher oder ähnlicher Form ist nicht gegeben. Reale Entscheidungssituationen sind im allgemeinen zwischen beiden Idealtypen einzuordnen. 2,1.2. Beurteilung für den Wiederholungsfall 2.1.2.1. Die angebliche Beseitigung des Risikos durch das Gesetz der großen Zahlen Wie noch gezeigt wird, besteht die Schwäche der )Li-Regel insbesondere im Einzelfall darin, daß sie das Risiko 1) einer Entscheidung nicht adäquat berücksichtigt. Es wird nur der Erwartungswert der Zielgröße erfaßt, nicht aber die Art der Streuung der Zielgröße um ihren Erwartungswert. Häufig wird argumentiert, im Gegensatz zum Einzelfall brauche sich der Entscheider im Wiederholungsfall in der Tat nur am Erwartungswert zu orientieren. Diese These wird üblicherweise wie folgt begründet: Die Wiederholung einer Alternative bewirkt, daß eine Zufallsvariable X (z.B. der Erfolg) mehrmals (voneinander stochastisch unabhängig) reahsiert wird. Dabei erhält der Entscheider die Summe der jeweils eingetroffenen Erfolge (Gewinne bzw. Verluste). Bei großer Zahl von Wiederholungen sind nach dem Gesetz der großen Zahlen die relativen Häufigkeiten, mit denen die möglichen Ausprägungen der Variablen X eintreten, annähernd identisch mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten. Das Risiko ist damit ausgeschaltet. Nach dieser Argumentation wäre tatsächlich die Alternative (die dann häufig wiederholt wird) mit dem höchsten Erwartungswert der Zielgröße optimal. Die Argumentation ist jedoch problematisch. Wie im folgenden gezeigt wird, besteht nur dann eine gewisse Berechtigung flir die Behauptung, das Ri1)

Um einem möglichen Mißverständnis zu begegnen, sei daraufhingewiesen, daß das Wort "Risiko" in dieser Arbeit in zweierlei Bedeutung verwendet wird: zum einen als Erscheinungsform der Unsicherheit (bei der die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Umweltzustände bekannt sind), zum anderen zur Beschreibung der Tatsache, daß das Ergebnis einer Alternative nicht mit Sicherheit feststeht, sondern um einen Mittelwert streut.

148

Kapitel VI

siko werde durch das Gesetz der großen Zahlen ausgeschaltet, wenn sich der Entscheider am Durchschnittserfolg ']Q Realisation orientiert. In der Regel interessiert aber nicht der Durchschnittserfolg, sondern der Gesamterfolg (also die Summe der Gewinne bzw. Verluste) aus der wiederholten Realisation einer Alternative. Die Behauptung, durch das Gesetz der großen Zahlen werde das Risiko beseitigt, ist dann aber unzutreffend. 2.1.2.2. Orientierung am Durchschnitts erfolg a. Die Standardabweichung des Durchschnittserfolges geht mit steigender Zahl von Wiederholungen gegen null Wie hoch sind der Erwartungswert und die Standardabweichung des Durchschnittserfolges, wenn irgendeine Alternative n-mal realisiert wird? Es sei Z der Erfolg, der bei einer einzelnen Realisation der Alternative erzielt wird (Z ist eine Zufallsgröße), JLI sei der Erwartungswert von Z (|LI=E(Z)) und a die Standardabweichung von Z (a=a(Z)). Da annahmegemäß die Alternative in gleicher Form wiederholt wird, weist der (Einzel-) Erfolg \)Q\ jeder Realisation den Erwartungswert \i und die Standardabweichung a auf. Für den Erwartungswert und die Standardabweichung des Erfolges Z(m) (m=l,2,...,n) der m-ten Realisation der Alternative gilt also: |Li[z(m)l = \i\

Der Durchschnittserfolg TS^' bei n-mahger Reahsation ist definiert als (VL4)

Z(") = - • [ Z ( l ) + Z(2)+...+Z(n)].

Mithin gilt für den Erwartungswert des Durchschnittserfolges: (VL5)

E(Z(°)) = E(^-[Z(l) + Z(2)+...+Z(n)]) = - • ( E [ Z ( l ) + Z(2)+...+Z(n)]) n 1

.(^[Z(1)] + ^[Z(2)]+...+^[Z(n)]) n 1 •[|Ll +|Ll +.,.. + |Ll] n 1 •[n'\i] = \x. n

Entscheidungskriterien bei Risiko

149

Der Erwartungswert des Durchschnittserfolges bei n-maliger Realisation einer Alternative stimmt also überein mit ihrem Erfolgserwartungswert bei einmaliger Realisation. Wie groß ist die Standardabweichung des Durchschnittserfolges iS^^l Da die Einzelerfolge annahmegemäß voneinander stochastisch unabhängig sind, gilt für die Varianz des GesamtQxfoXgQS» (vgl. Kapitel V): (VL6)

a^[Z(l) + Z(2)+...+Z(n)] = a2[Z(l)] + a2[Z(2)]+...+a2[Z(n)] 2

= a = n-a .

2

+a

2

+...+a

Gemäß (VI.4) ist der Durchschnittserfolg iS^^ bei n-maliger Realisation das 1/n-fache des Gesamterfolges. Mithin ist die Varianz des Durchschnittserfolges das (l/n)2-fache der Varianz des Gesamterfolges: (VI.7)

a2(z(^)) = - V - n - a ^ = - - a ^ .

Folglich ergibt sich fiir die gesuchte Standardabweichung des Durchschnittserfolges: (VL8)

aCZ^"")) = - ^ . Vn Mit steigender Zahl von Wiederholungen (n) strebt also die Standardabweichung des Durchschnittserfolges iS^^ gegen null. Mit anderen Worten: Wenn die Zahl der Wiederholungen steigt, konzentriert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von TS^^ immer mehr um den Erwartungswert \x des Erfolges bei einmaliger Realisation. Dieses Phänomen läßt sich in anschaulicher Weise graphisch verdeutlichen. b. Graphische Veranschaulichung Die Dichtefunktion in Abbildung VI. 1 charakterisiere die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Erfolges Z bei einmahger Durchführung der Alternative (Z ist hier eine kontinuierliche Zufallsgröße mit dem Erwartungswert 11). Die Wahrscheinlichkeit, daß bei einmaliger Realisation der Alternative der Erfolg kleiner ist als 10,5, wird durch den Inhalt der schraffierten Fläche wiedergegeben (sie ist annähernd 1/3).

10 10,5 11 Abb. VI.l: Wahrscheinlichkeitsverteilung des Erfolges Z Bei zunehmender Zahl (n) von Wiederholungen verläuft die Verteilung des Durchschnittserfolges Z^^^ immer enger um | a = l l ; gleichzeitig sinkt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Z^^^ kleiner oder gleich 10,5 ist. Die Abbildung VI.2 verdeutlicht diese Tendenz: f(Z^"^)^

n=100

10 10,5 11 Abb. VI.2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Durchschnittserfolges Z^"^ bei unterschiedlicher Anzahl von Wiederholungen c. Zur Rechtfertigung der ju-Regel Die Tatsache, daß mit steigender Zahl von Wiederholungen einer Alternative die Standardabweichung des Durchschnittserfolges immer kleiner wird, gibt eine gewisse Berechtigung, davon zu sprechen, das Risiko werde durch das Gesetz der großen Zahlen ausgeschaltet. Bei hinreichend großer Zahl von Wiederholungen wird es vemachlässigbar gering, so daß es in der Tat naheliegt, sich ausschließlich am Erwartungswert des Durchschnittserfolges zu orientieren. Gemäß (VI.5) stimmt dieser Erwartungswert mit dem Erwar-

Entscheidungskriterien bei Risiko

151

tungswert |LI des Erfolges der gewählten Alternative überein. Bei großer Zahl von Wiederholungen ist es demnach sinnvoll, diejenige Alternative mit dem höchsten |Li-Wert zu realisieren (|Li-Regel). 2.1.2.3.

Orientierung am Gesamterfolg

a. Die Standardabweichung des Gesamterfolges ist eine monoton steigende Funktion der Anzahl der Wiederholungen Die Annahme, der Entscheider orientiere sich am Durchschnittserfolg, ist wenig realistisch, hn allgemeinen interessiert der Gesamterfolg, der bei n-maliger Realisation einer Alternative erzielt wird. Die Risikosituation hinsichtlich des Gesamterfolges bei zunehmender Zahl von Wiederholungen ist jedoch ganz anders zu beurteilen als die des Durchschnittserfolges. Aus (VI.6) folgt für die Standardabweichung des Gesamterfolges: (VL9)

a[Z(l) + Z(2)+...+Z(n)] = Vn-a^

/n -a.

Die Differentiation von(VI.9) nach n ergibt: (VI. 10)

aa[Z(l) + Z(2)+...+Z(n)] _

1

" 2-Vn

5n

•a>0.

(VI. 10) bezeichnet den Betrag, um den sich die Standardabweichung des Gesamterfolges verändert, wenn ausgehend von n Realisationen die betreffende Alternative ein weiteres Mal durchgeführt wird. Dieser Ausdruck sinkt zwar mit steigendem n, ist aber stets positiv. Mit wachsender Zahl von Wiederholungen nimmt also die Standardabweichung des Gesamterfolges zu, wenn auch mit sinkender Zuwachsrate. b. Zur Problematik der ju-Regel Die Argumentation, durch das Gesetz der großen Zahlen werde das Risiko ausgeschaltet, ist also bei Orientierung am Gesamterfolg sehr skeptisch zu beurteilen. Mit dieser Argumentation läßt sich die )j,-Regel nicht überzeugend begründen. Im folgenden soll ein anderer, jedoch ebenfalls problematischer Versuch dargestellt werden, die |j,-Regel für den Wiederholungsfall zu rechtfertigen (vgl. zu diesem Versuch BiTZ, 1981, S. 91ff). Wir betrachten folgende einfache Wahlsituation: 0,6

0,4

Sj

S2

Al

-10

50

|il=0,6.(-10)+0,4-50=14

A2

10

15

|i2=^0,6- 10+0,4-15=12

Matrix VI. 1: Ergebnismatrix

Erwartungswerte

152

Kapitel VI

Die Alternative A | hat einen höheren Erwartungswert als A2, fährt aber bei einmaliger Realisation immerhin mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 zu einem schlechteren Ergebnis als A2. Es gilt jedoch der folgende Satz: Mit steigender Anzahl von Wiederholungen wird die Wahrscheinlichkeit, daß mit A | ein höherer Gesamterfolg erzielt wird als mit A2 immer größer. Beweis. Bei n-maliger Realisation der Alternative A^ (bzw. A2) wird gemäß den Ausfiihrungen in Abschnitt 2.1.2.2.a ein Durchschnittserfolg Z^^^ (bzw. Z^^^) erzielt, dessen Erwartungswert 14 (bzw. 12) beträgt und dessen Standardabweichung mit wachsendem n immer kleiner wird. Mit anderen Worten: Wenn die Anzahl der Wiederholungen steigt, konzentriert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z^^^ (bzw. von Z^^^) immer mehr auf den Erwartungswert |Lii = 14 (bzw. |i2^12). Dadurch wird die Überschneidung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen von ZV^^ und ZL^^ - die im Einzelfall recht groß ist - mit wachsendem n immer kleiner; gleichzeitig wird die Wahrscheinlichkeit dafür immer größer, daß mit der Alternative Aj - die den höheren Erwartungswert des Erfolges aufweist - ein höherer Durchschnittserfolg erzielt wird. Da bei jeweils gleicher Anzahl von Wiederholungen (n) die Alternative mit dem höheren Durchschnittserfolg auch den höheren Gesamterfolg bietet, folgt: Je größer die Anzahl der Wiederholungen ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mit der Alternative mit dem höheren Erwartungswert jLi auch der höhere Gesamterfolg erzielt wird (q.e.d.). Ist die Anzahl der Wiederholungen genügend groß, ist es "praktisch sicher", daß die Alternative mit dem höheren |i-Wert das beste Gesamtergebnis bietet. Daraus wird nun gefolgert, die jn-Regel liefere einen sinnvollen Beurteilungsmaßstab, wenn die Wahl zwischen Aktionen zu treffen ist, die sehr oft wiederholt werden (BiTZ, 1981, S. 94). Auch diese Argumentation ist skeptisch zu beurteilen, wie das Beispiel der Ergebnismatrix VI. 1 zeigt. Zwar wird bei steigender Zahl von Wiederholungen die Wahrscheinlichkeit dafür immer größer, daß mit der Alternative A^ (die den höheren |ui-Wert bietet) ein höherer Gesamterfolg erzielt wird als mit A2. Es darf aber andererseits nicht übersehen werden: Auch bei noch so großer Zahl von Wiederholungen besteht die Gefahr, daß mit der Alternative Aj ein schlechteres Gesamtergebnis erzielt wird als mit A2. Dabei kann der Gesamterfolg bei Wahl von Aj um so weiter unter den Gesamterfolg bei Wahl von A2 fallen, je größer die Zahl von Wiederholungen ist, denn mit jeder weiteren Wiederholung kann bei Aj ein zusätzlicher Verlust von 10 entstehen, während A2 jeweils mindestens einen Erfolg von 10 bietet. Es ist nicht sinnvoll, die möglichen Folgen eines schlechteren Abschneidens bei der Wahl von Aj - die bei steigender Zahl von Wiederholungen ja immer gravierender werden können - generell mit dem Argument zu vernachlässigen, es sei ja "praktisch sicher", daß sie gar nicht eintreten. Die \i-

Entscheidungskriterien bei Risiko

153

Regel ist also (selbst im Wiederholungsfall) kein selbstverständliches Entscheidungskriterium. 2) 2,1.3. Beurteilung für den Einzelfall Li der Realität gibt es zwar Entscheidungssituationen, die durch den Wiederholungsfall hinreichend gut beschrieben werden können. Wesentlich häufiger sind jedoch Entscheidungsprobleme, die einmalig zu lösen sind, und daher nicht auf dem Wege einer "Durchschnittsbetrachtung" als Wahlproblem bei Sicherheit behandelt werden können. Gerade Wahlsituationen, von deren Ausgang viel abhängt, pflegen sich weder in gleicher noch in ähnlicher Form zu wiederholen. So stellen z.B. der Kauf eines Unternehmens, die Erweiterung der vorhandenen Kapazität, die Aufnahme neuer Produkte ins Fertigungsprogramm, die Durchführung eines größeren Werbefeldzuges Einzelmaßnahmen dar, deren "Chancen" und "Risiken" explizit gegeneinander abzuwägen sind und nicht auf dem Wege einer Durchschnittsbetrachtung "beseitigt" werden dürfen. Bei einmaligen Wahlakten ist die |Li-Regel als generelle Entscheidungsregel besonders problematisch. Zur Verdeutlichung sei folgende Entscheidungssituation betrachtet, wobei die Ergebnisse Gewinne darstellen: 0,2

0,3

0,1

0,4 S4

Erwartungswerte der Gewinne

S2

S3

Al

10000

-50000

30000

100000

30000

A2 A3

20000

20000

20000

20000

20000

70000

-40000

30000

20000

13000

Si

Matrix VI.2: Ergebnismatrix

Nach der |Li-Regel ist die Alternative A^ optimal, da sie den höchsten Gewinnerwartungswert aufweist. Für den Entscheider kann es jedoch überzeugende Gründe geben, diese Alternative abzulehnen und statt dessen A2 zu wählen. Er könnte diese Entscheidung z.B. mit dem Argument rechtfertigen, der bei Alternative A^ mögliche Verlust von 50000 habe den Konkurs seines Unternehmens oder andere schwerwiegende Nachteile zur Folge, der mögliche Gewinn von 100000 biete dagegen im Vergleich zum sicheren Gewinn von 20000 der Alternative A2 nur relativ geringe Vorteile. Die generelle Problematik der |Li-Regel besteht darin, daß sie vernachlässigt, welche subjektive "Bedeutung" die einzelnen Ergebnisse für den Entscheider 2)

Jedoch ist es nicht so, daß eine Anwendung immer unvernünftig ist. SAMUELSON (1963) und SCHNEEWEIß (1967; 1968a) haben Bedingungen aufgezeigt, unter denen die f^-Regel im Wiederholungsfall im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip steht.

154

Kapitel VI

haben. Nach dieser starren Entscheidungsregel muß jeder Entscheider in der gleichen Entscheidungssituation (und bei gleichem Wahrscheinlichkeitsurteil über die Zustände) dieselbe Entscheidung treffen. Es bleibt kein Raum für die Erfassung von Unterschieden in den subjektiven Wertschätzungen und Risikoeinstellungen der Individuen. Die Einfachheit der Regel wird erkauft durch die Vernachlässigung relevanter Aspekte. Daß die Maximierung des Gewinnerwartungswertes keine generell gültige Entscheidungsregel darstellt, wurde schon 1732 von DANIEL BEPINOULLI überzeugend nachgewiesen. Sein berühmtes Demonstrationsbeispiel ist das Petersburger Spiel. Bei diesem Gedankenexperiment wird einem Spieler die Möglichkeit geboten, eine Münze mit den Seiten "Zahl" und "Kopf so lange zu werfen, bis erstmals "Zahl" erscheint. Ist dies schon beim ersten Wurf der Fall, erhält er zwei Geldeinheiten (GE) ausbezahlt. Erscheint beim ersten Wurf "Kopf und "Zahl" erst beim zweiten, bekommt er 2^ GE. Wenn "Zahl" erstmals beim n-ten Wurf erscheint, beträgt die Auszahlung an den Spieler 2^ GE. Da bei jedem Wurf "Zahl" und "Kopf jeweils die Eintrittswahrscheinlichkeit 1/2 haben, kann die Erwartungsstruktur über die Auszahlung mit Hilfe des folgenden "Zustandsbaumes" dargestellt werden (wobei Z "Zahl" und K "Kopf bezeichnet): ad infinitum

^ 2

Abb. VI.3: Zustandsbaum für das Petersburger Spiel Die Wahrscheinhchkeit, daß schon beim ersten Wurf "Zahl" erscheint, ist 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, daß beim zweiten Wurf erstmals "Zahl" erscheint, ist 1/2-1/2=1/4 usw. (die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" erstmals beim n-ten Wurf ist (1/2)^). Da die einzelnen Spielergebnisse einander ausschheßen, beträgt der Erwartungswert der Auszahlung an den Spieler: E(Z) = 2-1/2 + 4-1/4 + 8-1/8+ ... = 1 + 1 + 1 + 1+ ... = oo.

Entscheidungskriterien bei Risiko

155

Jeder nach der ^-Regel handelnde Entscheider wäre bereit, sein gesamtes Vermögen einzusetzen, um an diesem Spiel teilnehmen zu können. Denn der Erwartungswert des Gewinns (Gewinn=Zahlung an den Spieler minus Einsatz des Spielers) ist bei jedem noch so großen endlichen Einsatz unendlich groß. Tatsächlich dürfte jedoch kaum jemand bereit sein, sein gesamtes Vermögen oder auch nur einen mäßig großen Teil davon bei diesem Spiel einzusetzen.^) Um die Problematik der ^i-Regel als allgemeingültige Verhaltensnorm aufzuzeigen, braucht freilich kein so extremes Beispiel wie das Petersburger Spiel herangezogen zu werden. Bereits die tägliche Erfahrung zeigt, daß nicht generell nach diesem Kriterium gehandelt wird. So nehmen z.B. viele Menschen an "unfairen" Glücksspielen teil, d.h. an Spielen, bei denen der Erwartungswert des Gewinns kleiner ist als der Einsatz. Umgekehrt schliessen viele Menschen Versicherungen ab, obwohl der Erwartungswert des Schadens kleiner ist als die Versicherungsprämie. Solche Beobachtungen zeigen jedoch zunächst nur, daß die jj,-Regel flir die Beschreibung und Erklärung der tatsächlichen Entscheidungen von Individuen nur eine geringe Bedeutung hat; sie sind fiir sich betrachtet noch kein hidiz dafür, daß die |a-Regel keine generell sinnvolle Verhaltensmaxime darstellt. Man könnte diese Beobachtungen ja auch als Beleg dafiir ansehen, daß in der Realität sehr häufig wwvemünftige Entscheidungen getroffen werden. Eine solche Argumentation kann jedoch kaum überzeugen. Wer auf ein Glas Bier verzichtet und dafür ein Los kauft, bei dem er (wenn auch mit geringer Wahrscheinlichkeit) 1,5 Millionen € gewinnen kann, handelt nicht notwendig unvernünftig, auch wenn der Erwartungswert des Gewinns kleiner ist als der Lospreis. Das gilt auch fiir denjenigen, der fiir eine Jahresprämie von 300 € sein Haus gegen Feuerschäden versichert, obwohl die Prämie höher ist als der Erwartungswert des Schadens. 2.2.

Das (|Li,a)-Prinzip

2,2.1.

Darstellung

Eine einfache Möglichkeit, neben dem Erwartungswert der Zielgröße auch das Risiko zu erfassen, besteht in der Einbeziehung der Standardabweichung der Zielgröße (a = a ( Z ) ) . Die Präferenzfunktion hat dann die Form (VI.11)

3)

0 ( Z ) = 0(|Li,a).

Zur Lösung des Petersburger Paradoxons ging DANIEL BERNOULLI davon aus, der Spieler orientiere sich am Erwartungswert des Nutzens des Gewinns und nicht am Erwartungswert des Gewinns. Dabei gab er der Nutzenfunktion die Form U(Z) = InZ, wobei Z den Gewinn und U (Z) den entsprechenden Nutzen bezeichnet. Bei dieser Nutzenfunktion dürfen höchstens 4 GE eingesetzt werden, damit die Teilnahme am Petersburger Spiel nicht nachteilig wird.

156

Kapitel VI

Dabei ist a ein Maß dafür, wie stark die möglichen Zielgrößenwerte um den Erwartungswert der Zielgröße streuen. Die Beurteilung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zielgröße nach den Parametern [i und a wird als ()LX,a)-Prinzip bezeichnet. Das (|LX,a)-Prinzip ist ein Entscheidungsprinzip, aber keine Entscheidungsregel, denn es macht keine Aussage über die Gestalt der Präferenzfunktion O. Es liegt erst dann eine Entscheidungsregel vor, wenn die Funktion O spezifiziert ist. Je nach Festlegung dieser Funktion entstehen unterschiedliche (jd,(j)-Regeln. Ein nach dem (|a,a)-Prinzip handelnder Entscheider wird als risikoscheu (bzw. als risikofreudig) bezeichnet, sofern er von zwei beliebigen Alternativen mit demselben Erwartungswert der Zielgröße jene mit der kleineren (bzw. der größeren) Standardabweichung der Zielgröße vorzieht. Bei Risikoaversion wird insbesondere ein sicherer Zielgrößenwert in Höhe ju einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem Erwartungswert [i vorgezogen; bei Risikofreude gilt die umgekehrte Präferenzrelation. Zur Interpretation: Li Risikosituationen besteht zum einen die Chance, daß die Zielgröße (z.B. der Gewinn oder das Einkommen) einen Wert annimmt, der höher ist als ihr Erwartungswert \i. Zum anderen besteht aber auch die Gefahr, daß die Zielgröße diesen Erwartungswert unterschreitet. Ein risikoscheuer Entscheider mißt der Gefahr einer negativen Abweichung vom Mittelwert ein größeres "Gewicht" bei als der Chance einer positiven Abweichung; bei gegebenem Erwartungswert strebt er eine möglichst kleine Streuung der Zielgröße an. Ein risikofreudiger Entscheider gewichtet die Chance einer positiven Abweichung höher als die Gefahr einer negativen.^) Li einem (|Li,a)-Diagramm können Lidifferenzkurven eingezeichnet werden, die angeben, welche (iJ,,a)-Kombinationen nach der vom Entscheider gewählten ()Li,a)-Regel äquivalent sind. Bei Risikoaversion ist die Steigung dieser Kurven positiv, bei Risikofreude negativ: Bei Risikoaversion (bzw. Risikofreude) liegen die (|Li,a)-Kombinationen bei festem \i und wachsendem a auf Lidifferenzkurven mit kleinerer (bzw. größerer) Präferenz. Während also eine Erhöhung der Streuung bei Risikoaversion als Nachteil empfunden wird, führt sie bei Risikofreude zu einem Vorteil. Ln Spezialfall der Risikoneutralität verlaufen die Lidifferenzkurven parallel zur a-Achse (vgl. Abbildung VL4a-c).

4)

Diese Interpretation ist noch recht vage. Eine fundierte Beurteilung und Interpretation des (|Li,a)-Prinzips kann in der Weise erfolgen, daß einfache Verhaltenspostulate herangezogen werden, die leichter beurteilt und eher akzeptiert werden können als das (ja,c7)Prinzip selbst. Auf solchen Verhaltenspostulaten beruht das BERNOULLI-Prinzip (Abschnitt 3.3), das als "übergeordnetes" Entscheidungsprinzip angesehen werden kann. In Abschnitt 5.3 wird das (|Li,a)-Prinzip im Licht des BERNOULLI-Prinzips diskutiert.

Entscheidungskriterien bei Risiko

Risikoneutralität

Risikoaversion

a)

b)

157

Risikofreude c) Abb. VI.4a-c: Die Indifferenzkurven im (|Li,a)-Diagramm in Abhängigkeit von der Risikoeinstellung Einer Indifferenzkurve entsprechen um so günstigere ()^,a)-Kombinationen, je weiter rechts sie im Koordinatensystem verläuft. Hierin kommt zum Ausdruck, daß der Entscheider (unabhängig von seiner Risikoeinstellung) bei gegebener Standardabweichung einen größeren Erwartungswert der Zielgröße einem kleineren vorzieht. Optimal ist diejenige Alternative, deren (ia,a)-Kombination auf der Indifferenzkurve liegt, die möglichst weit rechts im Koordinatensystem verläuft. (Im Beispiel der Abbildung VI.4b ist jene Alternative optimal, die dem Punkt P2 entspricht.)

158

Kapitel VI

2.2.2. Beurteilung 2.2.2.1. Der Vorteil der Einfachheit Das (|i,a)-Prinzip bietet eine relativ einfache Möglichkeit, neben dem Erwartungswert \i auch das Risiko zu berücksichtigen. Aufgrund seiner Einfachheit wird das (|a,,G-)-Prinzip häufig zur Analyse von Entscheidungsproblemen bei Risiko herangezogen. Vor allem in der Theorie der optimalen Wertpapiermischung (Portefeuille-Theorie) (Kapitel VIII) und der darauf aufbauenden Kapitalmarkttheorie (LAUX, 2003) wird es sehr oft zugrunde gelegt. Die Einfachheit des (ia,a)-Prinzips hat jedoch ihren Preis: Seine Anwendung kann zu problematischen Entscheidungen fuhren.^) Insbesondere steht es nicht im Einklang mit dem Dominanzprinzip. 2.2.2.2. Zum Konflikt zwischen (ju, a)-Prinzip und Dominanzprinzip a. Der Entscheider ist risikoscheu Die Unverträglichkeit von ()Li,a)-Prinzip und Dominanzprinzip läßt sich an einem einfachen Gedankenexperiment in Form eines einmaligen Glücksspiels verdeutlichen. (Ein anderer Beweis der Unverträglichkeit findet sich bei SCHNEEWEIß, 1968.) Dabei wird zunächst der Fall der Risikoaversion untersucht. Es wird davon ausgegangen, ein risikoscheuer Entscheider könne beliebig viele Lose erwerben, wobei ihm keinerlei Kosten entstehen. Ob die Lose gewinnen, bestimmt ein einmaliges Zufallsexperiment mit einem Glücksrad: Eine Scheibe mit einem blauen und einem roten Feld wird bei einem feststehenden Zeiger gedreht; wenn sie im blauen Feld zum Stillstand kommt, gewinnt der Entscheider pro Los 100 € (bei Y Losen bekommt er also 100-Y €). Bleibt die Scheibe bei "rot" stehen, geht er leer aus (er muß aber auch nichts zahlen). Die Gewinnwahrscheinlichkeit p ist gleich dem Verhältnis aus der Fläche des blauen Feldes und der Gesamtfläche der Scheibe. Durch Ändern der Farbaufteilung kann p ( 0 < p < l ) beliebig variiert werden. Je größer das blaue Feld, desto größer ist p. Je mehr Lose der Entscheider erwirbt, desto größer ist sein möglicher Gewinn, während er in keinem Fall etwas verlieren kann. Mithin dominiert irgendeine Loszahl Y > 0 jede kleinere Loszahl. Nach dem Dominanzprinzip sind möglichst viele Lose zu erwerben, wie hoch auch immer die Gewinnwahrscheinlichkeit p ( 0 < p < l ) ist. Zu einer anderen Beurteilung fuhrt jedoch das (|Li,a)-Prinzip.

5)

In Abschnitt 5.3 wird gezeigt, daß das (j^,a)-Prinzip nur in Spezialfällen im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip steht.

Entscheidungskriterien bei Risiko

159

Abb. VI.5: Glücksrad Zur Verdeutlichung wird vereinfachend angenommen, der Entscheider verfüge, sofern er kein Los erwirbt, über eine sichere Vermögensposition V*. Der Gewinn pro Los wird mit G bezeichnet. G ist eine Zufallsgröße, die entweder den Wert 100 aufweist (und zwar dann, wenn das Glücksrad bei "blau" stehen bleibt) oder den Wert null (wenn das Rad im roten Feld stehen bleibt). Der Erwartungswert des Gewinns pro Los beträgt (VL12)

|Li(G) = E(G) = p-100 + (l-p)-0 = p-100.

Die Standardabweichung des Gewinns pro Los beträgt (VI. 13)

a(G) = Vp-[100-E(G)f+a-P)-[0-E(G)f-

Hieraus folgt in Verbindung mit (VI. 12): (VI. 14)

a(G) = ^p-[l00-p-100f+(l-p)-[0-p-100f = ^10000-p-20000-p^+10000-p^ + 10000-p^-10000-p^

= VioooO'P-ioooo.p^ = 100.VP^. Erwirbt der Entscheider Y Lose, so erzielt er einen Gesamtgewinn von Y • G Geldeinheiten. Dessen Erwartungswert und Standardabweichung betragen: (VI.15)

|Li(Y-G) = Y-^(G) = Y.p-100.

(VL16)

a(Y-G) = Y-a(G) = Y-IOO-^P-P^-

Für den Quotienten aus (VI. 16) und (VI. 15) gilt:

160

Kapitel VI

(VI. 17)

a(Y-G)_Y40Q-^p-p^ |Li(Y.G)

_^fp'-

P-P

•1.

Y-p-100

Der Quotient aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert des Gesamtgewinns ist also unabhängig von der Anzahl der erworbenen Lose. Die den alternativen Y-Werten entsprechenden (|Li,a)-Kombinationen hinsichtlich der gesamten Vermögensposition des Entscheiders liegen demnach auf einem Fahrstrahl im (|a,a)-Diagramm, der im Punkt V* auf der Abszisse (dem sicheren Vermögen bei Verzicht auf Loserwerb) beginnt und gemäß (VI. 17) die Steigung

-1 aufweist. Dieser Fahrstrahl wird im folgenden als (|Li,a)-Strahl

bezeichnet. Geht p gegen 0 (bzw. gegen 1), so geht seine Steigung gegen oo (bzw. gegen null). Nun können, wie auch immer die Indifferenzkurven des risikoscheuen Entscheiders verlaufen, p-Werte fixiert werden (und zwar durch entsprechende Festlegung des blauen Gewinnfeldes), bei denen nach dem (|a,a)-Prinzip ein Verstoß gegen das Dominanzprinzip als vorteilhaft erscheint. Mit Hilfe der Abbildung VI.6 soll dies verdeutlicht werden:

V*

a. Lineare Indifferenzkurven

|i

b. Konkave Indifferenzkurven

Abb. VI.6: Zum Konflikt zwischen (iLi,a)-Prinzip und Dominanzprinzip bei Risikoaversion Verlaufen die Indifferenzkurven wie in Abbildung VI.6a linear, so erscheint nach dem (|Li,a)-Prinzip der Erwerb von Losen immer dann als nachteilig, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit p so niedrig fixiert wird, daß der ()i,a)Strahl eine größere Steigung aufweist als die Indifferenzkurven. Dabei scheint der Nachteil desto größer zu sein, je mehr Lose erworben werden. Bewegt man sich nämlich ausgehend vom Punkt V* entlang des (|Li,a)-Strahls, so gelangt man zu Indifferenzkurven, die immer weiter links von jener Indifferenzkurve

Entscheidungskriterien bei Risiko

161

liegen, die im Punkt V* ihren Ausgang nimmt (vgl. den (jj,,a)-Strahl in Abbildung VL6a). Bei den Lidifferenzkurven in Abbildung VL6b ergibt sich z.B. immer dann ein Konflikt zwischen dem (|a,a)-Prinzip und dem Dominanzprinzip, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit p derart fixiert wird, daß der (jLi,a)-Strahl eine der Lidifferenzkurven tangiert. Das ist z.B. bei dem (jLi,a)-Strahl V * A (bzw. V * B) der Fall. Als optimal erscheint nach dem (|a,a)-Prinzip diejenige Anzahl von Losen, die dem Tangentialpunkt T^ (bzw. T2) entspricht.^) Der Erwerb weiterer Lose erscheint nachteilig, da dies zu (jj,,a)-Kombinationen führt, die auf "ungünstigeren" Indifferenzkurven liegen als der Punkt T^. b. Der Entscheider ist risikofreudig Auch bei Risikofreude steht das (|j.,a)-Prinzip nicht im Einklang mit dem Dominanzprinzip. Zur Verdeutlichung wird in Abänderung des Spiels angenommen, der Entscheider müsse pro "Los" einen Betrag von 100 € an die Spielbank zahlen, sofern das Rad (das nun aus der Sicht der Spielbank ein "Glücksrad" ist) im blauen Feld zum Stillstand kommt. Bleibt es bei "rot" stehen, muß der Entscheider nichts bezahlen (er bekommt aber auch nichts). Für den Entscheider ist jetzt der Erwerb von Losen nachteilig. Je größer die Anzahl Y der von ihm übernommenen Lose ist, desto mehr muß er bezahlen, wenn das Rad bei "blau" stehen bleibt, während er andererseits nichts gewinnen kann. Das Dominanzprinzip verbietet in diesem Fall den Erwerb von Losen, hn Gegensatz hierzu kann nach dem (|Li,(T)-Prinzip der Erwerb von Losen vorteilhaft erscheinen. Analog zu den Darstellungen in Abschnitt 2.2.2.2.a kann gezeigt werden, daß die (|Li,a)-Kombinationen des Gesamtvermögens des Entscheiders, die alternativen Y-Werten entsprechen, wieder auf einem Fahrstrahl im (|u,a)-Diagramm liegen, der im Punkt V* auf der Abszisse beginnt. Die Steigung dieses Fahrstrahls ist jetzt negativ (je mehr Lose erworben werden, desto weiter sinkt der Erwartungswert des Vermögens unter den Betrag V*); der absolute Wert der Steigung ist um so größer, je kleiner die Verlustwahrscheinlichkeit p ist. Wie immer auch die Lidifferenzkurven verlaufen, es können p-Werte fixiert werden, bei denen nach dem ()j.,a)-Prinzip der Erwerb von Losen als vorteilhaft erscheint. Mit Hilfe der Abbildung VL7 soll dies verdeutlicht werden. Verlaufen die Lidifferenzkurven wie in Abbildung VI.7a linear, so erscheint nach dem (|a,a)-Prinzip der Erwerb von Losen immer dann als vorteilhaft, wenn die Verlustwahrscheinlichkeit p so niedrig fixiert wird, daß der (|Li,a)-

6)

Die betreffende Loszahl läßt sich errechnen, indem der Ordinatenwert des Punktes Tj (bzw. T2) durch die Standardabweichung des Gewinnes pro Los (d.h. durch 100 • -y p - p ) dividiert wird.

162

Kapitel VI

Strahl steiler verläuft als die Indifferenzkurven. Dabei scheint sich ein um so größerer Vorteil zu ergeben, je mehr Lose erworben werden. Bewegt man sich ausgehend vom Punkt V* entlang des (|Li,a)-Strahls, so kommt man nämlich zu immer "besseren" Lidifferenzkurven. Das Analoge gilt für die in Abbildung VI.7b dargestellten Indifferenzkurven und (^,a)-Strahlen. Bei dem in Abbildung VL7c dargestellten (|a,a)-Strahl z.B. erscheint nach dem (|i,a)-Prinzip diejenige Anzahl von Losen als optimal, die dem Tangentialpunkt T entspricht.

V*

li

a. Lineare Indifferenzkurven

V*

V*

ji

b. Konkave Indifferenzkurven

|Ll

c. Konvexe Indifferenzkurven Abb. VI.7a-c: Zum Konflikt zwischen (|i,a)-Prinzip und Dominanzprinzip bei Risikofreude c. Der Entscheider ist risikoneutral Bei Risikoneutralität verlaufen die Indifferenzkurven parallel zur Ordinate. Das (|Li,a)-Prinzip entspricht dann der |Li-Regel. Diese Regel verstößt nicht gegen das Dominanzprinzip, wie die Abbildung VI. 8 verdeutlicht.

Entscheidungskriterien bei Risiko

163

Abb. VI.8: Kein Konflikt zwischen jn-Regel und Dominanzprinzip Führen die Lose zu einem Gewinn, wenn das Rad im blauen Feld zum Stillstand kommt, so ist die Steigung des (ja,a)-Strahls bei jedem p-Wert (0
7)

In Kapitel VIII wird gezeigt, wie bei Befolgung einer (|a,a)-Regel die optimale Alternative bestimmt werden kann.

164

3. 3.1.

Kapitel VI

Das BERNOULLi-Prinzip Begriff und Inhalt

Bei den in Abschnitt 2 dargestellten (klassischen) Entscheidungskriterien hängt der Präferenzwert 0(A^) einer Alternative nicht von der gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße ab, sondern nur von einigen Verteilungsparametem: Nach der |j,-Regel werden alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit demselben Erwartungswert der Zielgröße als gleichwertig angesehen, auch wenn sich diese Verteilungen ansonsten noch so sehr voneinander unterscheiden. Nach dem (jLi,a)-Prinzip sind Verteilungen mit demselben Erwartungswert zwar nur dann gleichwertig, wenn auch ihre Standardabweichung übereinstimmt; jedoch können sich hinter derselben (|LI,CT)Konstellation immer noch sehr heterogene Wahrscheinlichkeitsverteilungen verbergen. Die "Verdichtung" der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zielgröße zu den genannten Parametern kann zu problematischen Entscheidungen fuhren, wie in Abschnitt 2.1 (für die |i-Regel) und in Abschnitt 2.2 (für das (|Li,a)-Prinzip) verdeutlicht wurde. Um solche Konsequenzen zu vermeiden, liegt es nahe, die möglichen Zielgrößenwerte (allgemein: die möglichen Ergebnisse) und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten explizit zu berücksichtigen. Wenn jedoch die Zahl der möglichen Ergebnisse (der möglichen Zustände) groß ist, kann es in diesem Fall extrem schwierig werden, eine Entscheidung zu treffen. Beim paarweisen Vergleich von Alternativen sind dann zahlreiche mögliche Ergebnisse gegeneinander abzuwägen. Ein natürliches Lösungskonzept besteht darin, das eigentliche (komplexe) Entscheidungsproblem in einfachere (hypothetische) Teilprobleme zu zerlegen. Ein derartiges Konzept stellt das BERNOULLIPrinzip dar. Dabei wird das eigentliche Entscheidungsproblem in solche Teilprobleme zerlegt, bei denen jeweils nur drei der möglichen Ergebnisse gegeneinander abzuwägen sind. Nur noch diese Probleme hat der Entscheider nach subjektivem Ermessen zu lösen. Darauf aufbauend wird mit Hilfe bestimmter Rechenoperationen die optimale Alternative des eigentlichen, komplexeren Entscheidungsproblems ermittelt. Eine Entscheidung nach dem BERNOULLi-Prinzip wird in zwei Schritten getroffen: - Auf der Grundlage relativ einfacher hypothetischer Entscheidungsprobleme wird eine Nutzenfunktion U bestimmt, die den Ergebnissen E^s reelle Nutzenwerte U(Eas) zuordnet. - Diejenige Alternative wird gewählt, deren Ergebnissen der höchste Nutzenerwartungswert entspricht. Bieten mehrere Alternativen einen maximalen Nutzenerwartungswert, so wird eine beliebige dieser Alternativen realisiert. Nach dem BERNOULLi-Prinzip ist der Präferenzwert der Alternative A^ (a=l,2,...,A) definiert als

Entscheidungskriterien bei Risiko

(VL18)

165

0 ( A , ) = Iw(S3).U(E,3), 8=1

SO daß die Zielfunktion lautet: (VL19)

2;w(S3).U(E,3)->Max! 8=1

a

Das Konzept geht auf den Vorschlag von DANIEL BERNOULLI zur Lösung des Petersburger Paradoxons zurück. BERNOULLIS Lösungsvorschlag wurde vor allem von V. NEUMANN/MORGENSTERN (1944) aufgegriffen und axiomatisch begründet. In seiner heutigen Form gilt das BERNOULLI-Prinzip unabhängig davon, wie die Ergebnisse E^g definiert werden. Es setzt im Gegensatz zu den in Abschnitt 2 dargestellten klassischen Entscheidungskriterien nicht voraus, der Entscheider orientiere sich nur an einer Zielgröße. Das BERNOULLI-Prinzip macht keine Aussage über die Gestalt der Nutzenfunktion; diese kann von Person zu Person verschieden sein. Demgemäß ist das BERNOULLI-Prinzip ein Entscheidungs/^rmzzp und keine Entscheidungsregel. Es wird erst dann zu einer Entscheidungsregel, wenn die Nutzenfunktion eindeutig fixiert ist. Das BERNOULLI-Prinzip gibt aber konkrete Anweisungen zur empirischen Bestimmung von Nutzenfunktionen. Dabei werden die Nutzenwerte der möglichen Ergebnisse derart fixiert, daß die Maximierung des Nutzenerwartungswertes für einen Entscheider sinnvoll ist, sofern er einige einfache Entscheidungspostulate (sogenannte ''Axiome rationalen Verhaltens'') akzeptiert, hn folgenden soll zunächst näher erläutert werden, wie nach dem BERNOULLI-Prinzip die optimale Alternative bestimmt werden kann. Danach wird gezeigt, daß das Konzept im Einklang mit plausiblen Axiomen rationalen Verhaltens steht. 3.2.

Zur Bestimmung einer optimalen Handlungsalternative

3.2.1. Die

Entscheidungsmatrix

Ist die Zahl der möglichen Alternativen und die der möglichen Zustände endlich, kann ein Entscheidungsproblem bei Risiko durch folgende Ergebnismatrix charakterisiert werden. (Das BERNOULLI-Prinzip setzt jedoch nicht voraus, die Entscheidung werde mit Hilfe einer Ergebnismatrix getroffen, vgl. die Kapitel VIII und DC.)

166

Kapitel VI w(Si)

W(S2)

w(Ss) Ss

s,

S2

Al

Ell

E,2

E,s

A2

E21

E22

E2S

AA

EM

EA2

E^S

Matrix VI.3: Ergebnismatrix

Zur Ermittlung der optimalen Alternative wird jedem Ergebnis E^s ein Nutzenwert U(Eas) zugeordnet. Dadurch entsteht eine sogenannte Entscheidungsmatrix\ w(Si)

W(S2)

Si

§2

Al

U(E,i)

U(E,2)

U(Eis)

I:S=IW(SS)-U(EI,)

A2

U(E2,)

U(E22)

U(E2s)

2:S=IW(SS)-U(E23)

AA

U(EA,)

U(EA2)

U(EAS)

w(Ss)

Nutzenerwartungswerte

|;W(S3)-U(EA3)

s=l

Matrix VI.4: Entscheidungsmatrix (mit den jeweiligen Nutzenerwartungswerten) Nachdem die Entscheidungsmatrix vorliegt, wird fiir jede Alternative der Erwartungswert der Nutzenwerte ihrer Ergebnisse berechnet und jene Alternative gewählt, bei der der Nutzenerwartungswert (der Erwartungsnutzen) am größten ist. 5.2.2, Zur Ermittlung einer Nutzenfunktion Die Ermittlung einer Nutzenfunktion stellt neben der Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils über die Zustände das Kernproblem der Entscheidung nach dem BERNOULLI-Prinzip dar. Die Nutzenfunktion kann z.B. auf folgende Weise (bzw. durch folgende BERNOULLI-Befragung) ermittelt werden:^) Aus 8)

Wie in Abschnitt 3.4 gezeigt wird, ist die Nutzenfunktion nur bis auf eine positiv lineare Transformation eindeutig bestimmt. Daher gibt es auch verschiedene Möglichkeiten, eine Nutzenfunktion empirisch zu ermitteln. Der hier beschriebene Weg ist besonders einfach und anschaulich.

Entscheidungskriterien bei Risiko

167

der Menge der möglichen Ergebnisse wird ein günstigstes Ergebnis E und ein ungünstigstes Ergebnis E ausgewählt, so daß alle anderen möglichen Ergebnisse E^s in der Präferenzordnung des Entscheiders zwischen E und E stehen (E ^ Eas ^ E). Dem Ergebnis E (und allen gleichwertigen Ergebnissen) wird der Nutzenwert 1 zugeordnet, dem Ergebnis E (sowie allen äquivalenten Ergebnissen) der Nutzenwert 0. Zur Ermittlung des Nutzenwertes U(Eas) eines Ergebnisses E^s (E :^ E^s ^ E ) wird dem Entscheider, wenn auch nur hypothetisch, die Wahl angeboten zwischen - dem sicheren Ergebnis E^s und - einer Lotterie, bei der das Ergebnisse E mit der Wahrscheinlichkeit w und das Ergebnis E mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-w eintritt. Der Entscheider muß angeben, bei welcher Wahrscheinlichkeit w* er indifferent ist zwischen dem (sicheren) Ergebnis E^s und der Lotterie (Lidifferenzwahrscheinlichkeit w*). Der Nutzenwert des Ergebnisses E^g wird gleich dieser Wahrscheinlichkeit gesetzt: U(E,3)=w*.

Zur Bestimmung des Nutzenwertes U(Eas) sind also folgende (hypothetische) Alternativen gegeneinander abzuwägen:

-O Eas

Alternative I (Ergebnis E^s mit Sicherheit)

Alternative II (Lotterie mitten möglichen Ergebnissen E und E)

Abb. VI.9: Hypothetischer Vergleich zur Bestimmung des Nutzenwertes U (E^g) Die Indifferenzwahrscheinlichkeit für das Ergebnis E^s (E :^ E^s ^ E ) ist größer als 0 und kleiner als 1: Im Fall w=0 zieht der Entscheider das Ergebnis E^s vor, da dann bei der "Lotterie" das schlechteste Ergebnis E mit Sicherheit eintritt. Umgekehrt zieht der Entscheider im Fall w=l die "Lotterie" vor. Bei der empirischen Ermittlung der Indifferenzwahrscheinlichkeit kann daher folgendes Verfahren angewendet werden: Zunächst wird w gleich null gesetzt, so daß der Entscheider das sichere Ergebnis E^s vorzieht. Nun wird w sukzessive erhöht und der Entscheider überlegt sich, ob er immer noch das sichere Ergebnis Eas der Lotterie vorzieht. Der Wert für w, bei dem der Entscheider das Ergeb-

168

Kapitel VI

nis E^s und die Lotterie als gleichwertig einstuft, ist die gesuchte Indifferenzwahrscheinlichkeit w* und demnach auch der gesuchte Nutzenwert U(Eas)Bei der Fixierung der Lidifferenzwahrscheinlichkeit finden die subjektiven Risiko- und Präferenzvorstellungen des Entscheiders ihren Niederschlag. Er muß überlegen, welche Vorteile (bzw. Nachteile) sich für ihn ergeben, wenn statt des Ergebnisses E^s das Ergebnis E (bzw. E) eintritt. Je kleiner die Vorteile (bzw. je größer die Nachteile) sind, wenn statt des Ergebnisses E^s das Ergebnis E (bzw. E) eintritt, desto größer ist die Lidifferenzwahrscheinlichkeit und demnach auch der Nutzenwert U(Eas). Gilt die Präferenzrelation E >- Ej >- E2 ^ E, so muß dem Ergebnis Ej eine höhere Indifferenzwahrscheinlichkeit und mithin auch ein höherer Nutzenwert entsprechen als dem Ergebnis E2. Zur Ermittlung der Indifferenzwahrscheinhchkeiten für die Ergebnisse Ei[ und E2 werden jeweils folgende Alternativen gegenübergestellt: E E|

ocC]]^

^ ^ ^ ^ E o

oo EET2

od^

Abb. VI.IO: Hypothetische Vergleiche zur Bestimmung der Nutzenwerte der Ergebnisse Ej und E2 Wegen E^ >• E2 erzielt der Entscheider beim ersten Vergleich (Abbildung VI. 10a) einen kleineren Vorteil (bzw. einen größeren Nachteil) als beim zweiten Vergleich (Abbildung VI. 10b), sofern statt des jeweils sicheren Ergebnisses sich das Ergebnis E (bzw. E) einstellt. Folglich muß beim ersten Vergleich die Indifferenzwahrscheinlichkeit w* höher sein als beim zweiten. Je günstiger das Ergebnis Ej im Vergleich zu dem Ergebnis E2 ist, um so weiter liegt U(Ei) über U(E2). Wird jedem möghchen Ergebnis E^s (E ^ E^s ^ E) der jeweihge Nutzenwert U(Eas) zugeordnet, so entsteht eine Nutzenfunktion U. Die Bestimmung einer Nutzenfunktion nach dem BERNOULLI-Prinzip stellt an den Entscheider keine wesentlich höheren Anforderungen als ein Entscheidungsproblem bei Sicherheit: Während bei Sicherheit jeweils einwertige Ergebnisse miteinander zu vergleichen sind, ist bei Anwendung des BERNOULLI-Prinzips jedes Ergebnis Eas (E:^Eas>^E) gegen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit zwei möglichen Ergebnissen (und zwar E und E) abzuwägen.^)

9)

Sind allerdings die Ergebnisse E^g nicht einwertig, sondern Wahrscheinliclikeitsverteilungen über die Zielgröße bzw. die Zielgrößen, kann die Ermittlung der Indifferenzwahr-

Entscheidungskriterien bei Risiko

169

Allerdings kann die Ermittlung einer Nutzenfunktion bei einer großen Zahl möglicher Ergebnisse einen erheblichen Aufwand verursachen. Es liegt dann nahe, zu vereinfachen. Das kann in der Weise geschehen, daß nur für einen Teil der Ergebnisse E^g der jeweilige Nutzenwert (in der beschriebenen Weise) explizit bestimmt, die übrigen Nutzenwerte jedoch nur durch Approximation fixiert werden. Zur Verdeutlichung wird davon ausgegangen, der Entscheider orientiere sich nur an einer Zielgröße Z, z.B. Gewinn, Umsatz oder Einkommen. Die Nutzenfunktion kann dann in anschaulicher Weise graphisch dargestellt werden. Der Graph einer Nutzenfunktion läßt sich vereinfachend ermitteln, indem nur für einige Z-Werte der jeweilige Nutzenwert explizit ermittelt und dann die jeweiligen Punkte miteinander verbunden werden: ^ö)

Z^(=E)

Z

Abb. V I . l l : Zur vereinfachten Bestimmung einer Nutzenfunktion

Für den speziellen Nutzenbegriff, der dem BERNOULLI-Prinzip zugrunde liegt, werden üblicherweise die Bezeichnungen BERNOULLI-Nutzen, V.NEUMANNMORGENSTERN-Nutzen, Erwartungsnutzen oder Risikonutzen verwendet. In dieser Arbeit soll der Terminus „Risikonutzen" übernommen und „Risikonutzenfunktion" durch RNF abgekürzt werden. 3.2.3. Beispiel Zur Veranschaulichung einer Entscheidung nach dem BERNOULLI-Prinzip wird nochmals das Beispiel von Matrix VL2 betrachtet. Wie ist zu entscheiden?

nicht als Wahrscheinlichkeitsverteilungen) definiert sind (vgl. hierzu LAUX, 1993, S. 327; 2003, Kapitell). 10) Die so gewonnene Nutzenfunktion wird die "wahre" Nutzenfunktion im allgemeinen um so besser approximieren, je größer die Anzahl der Z-Werte ist, für die der jeweilige Nutzenwert explizit bestimmt wird.

170

Kapitel VI

Zunächst sind den einzelnen Gewinnen Nutzenwerte zuzuordnen: Der Nutzen des Gewinns 100000 wird gleich 1, der des Gewinns -50000 gleich 0 gesetzt: U(100000)=l U(-50000) = 0. Zur Ermittlung des Nutzenwertes des Gewinns 20000 z.B. wird dem Entscheider (hypothetisch) die Wahl zwischen den folgenden Alternativen angeboten:

Alternative I (Gewinn von 20000 mit Sicherheit)

<

100000

-50000

Alternative II (Lotterie mit den möglichen Gewinnen 100000 und -50000)

Abb. VI.12: H3^otheti scher Vergleich zur Bestimmung des Nutzenwertes des Gewinns von 20000 Der Entscheider muß angeben, bei welcher Wahrscheinlichkeit w* er indifferent ist zwischen dem sicheren Gewinn und der Lotterie. Er muß dabei überlegen, welche Konsequenzen sich ergeben, wenn ausgehend von 20000 der Gewinn auf 100000 steigt bzw. auf -50000 sinkt. Kann er mit dem zusätzhchen Geldbetrag von (100000-20000=) 80000 besonders vorteilhafte Maßnahmen realisieren oder bestehen dafür nur Verwendungsmöglichkeiten, denen er einen geringen Wert beimißt? Führt ein Gewinn von -50000 zum Ruin des Unternehmens oder muß nur für kurze Zeit der Konsum geringfügig eingeschränkt werden? Je schwerwiegender die Konsequenzen sind, wenn der Gewinn von 20000 auf -50000 sinkt, und je geringer der Vorteil ist, wenn der Gewinn von 20000 auf 100000 steigt, desto größer ist die Indifferenzwahrscheinlichkeit w*. Der Entscheider sei indifferent zwischen den Alternativen in Abbildung VI. 12 bei w=0,7. Der Nutzenwert des Gewinns 20000 ist dann gleich 0,7 (U(20000) = 0,7). Analog werden die Nutzenwerte der übrigen Gewinne E (-50000 <E< 100000) ermittelt. Dies führe zur folgenden Entscheidungsmatrix:

Entscheidungskriterien bei Risiko

0,2

0,3

Si

S2

0,1 S3

0,4 S4

Al

0,6

0

0,75

1

0,2-0,6 + 0,30

A2

0,7

0,7

0,7

0,7

0,2-0,7 + 0,3-0,7 + 0,1-0,7 + 0,4-0,7 = 0,7

A3

0,9

0,2

0,75

0,7

0,2-0,9 + 0,3-0,2 + 0,1-0,75 + 0,4-0,7 - 0,595

171

Nutzenerwartungswerte + 0,1-0,75 + 0,4-1

= 0,595

Matrix VI.5: Entscheidungsmatrix (zur Ergebnismatrix VL2) Optimal ist die Alternative A2, da sie den höchsten Erwartungswert des Nutzens aufweist (nach der |a-Regel wird dagegen Aj gewählt, da deren Gewinnerwartungswert größer ist als der von A2; vgl. Matrix VL2).

3.3.

Die Rationalität des BERNOULLI-Prinzips

3.3.1. Das Axiomensystem von LuCE und

RAIFFA

Das BERNOULLI-Prinzip mag auf den ersten Blick recht willkürlich erscheinen. Es kann jedoch gezeigt werden, daß es im Einklang steht mit einfachen Verhaltenspostulaten, die leichter beurteilt und eher akzeptiert werden können als das BERNOULLI-Prinzip selbst. Diese Forderungen werden üblicherweise als "Nutzenaxiome" oder als "Axiome rationalen Verhaltens" bezeichnet. Der Begriff "Axiom" könnte den Eindruck erwecken, die entsprechenden Verhaltenspostulate seien unmittelbar evident und keiner Kritik zugänglich. Diesem Anspruch genügt jedoch allenfalls ein Teil der Axiome des BERNOULLI-Prinzips. Von den im folgenden dargestellten Axiomen kann vor allem die Allgemeingültigkeit des "Reduktionsprinzips" bezweifelt werden, das u.a. voraussetzt, daß weder Freude noch Abneigung am Spiel besteht. Insbesondere in Spielsituationen sind Aspekte wie Spielfreude und Spielabneigung entscheidungsrelevant. Von dieser Einschränkung abgesehen sind jedoch die Axiome des BERNOULLI-Prinzips sehr plausibel. Wer sie akzeptiert, sollte dem BERNOULLI-Prinzip folgen. Wer sie ablehnt, kann jedoch nicht ohne weiteres auch das BERNOULLI-Prinzip ablehnen. Denn es gibt bisher kein Altemativkonzept, das auf ebenso überzeugenden Axiomen beruht wie das BERNOULLIPrinzip. hl der Literatur wurden mehrere Axiomensysteme entwickelt, die das BERNOULLI-Prinzip imphzieren. Sie sind jedoch relativ ähnlich (vgl. SCHNEEWEIß, 1967, S.73; BAMBERG/COENENBERG, 2002, S. 99). hn folgenden wird das Axiomensystem von LUCE/RAIFFA (1957) dargestellt und anschließend gezeigt, daß das BERNOULLI-Prinzip daraus logisch deduziert werden kann. Das dargestellte Axiomensystem ist hinreichend, um das BERNOULLI-Prinzip zu fundieren; es existieren jedoch auch Systeme mit weniger Axiomen. Dafür ist das

172

Kapitel VI

dargestellte Axiomensystem besonders einfach und plausibel; das BERNOULLIPrinzip kann in sehr anschaulicher Weise aus den Axiomen abgeleitet werden. /. Axiom: Ordinales Prinzip Das ordinale Prinzip setzt sich zusammen aus dem Ordnungsaxiom und dem Transitivitätsaxiom. (a) Ordnungsaxiom. Der Entscheider kann die möglichen Ergebnisse in eine Rangordnung bringen, d.h. für zwei beliebige Ergebnisse Ej und Ej gilt: Ej >- Ej oder Ej -< Ej oder Ei ~ Ej. (b) Transitivitätsaxiom. Die Präferenzordnung über die Ergebnisse ist transitiv, d.h. aus Ej >- Ej und Ej y Ej^ folgt Ej :>- Ej^; das Entsprechende gilt für Lidifferenzrelationen. Das Ordnungs- und das Transitivitätsaxiom wurden bereits in Kapitel II, Abschnitt 3, für den Fall sicherer Erwartungen dargestellt (sie sind hier - wie in der Theorie der Entscheidung bei Risiko üblich - zu einem Axiom zusammengefaßt). In formaler Hinsicht ist das Ordnungsaxiom für den Risiko fall mit dem für den Sicherheitsfall identisch. Dasselbe gilt für das Transitivitätsaxiom. Hinsichtlich inhaltlicher Aspekte können jedoch Unterschiede bestehen: Während bei Sicherheit jedem Ergebnis stets genau ein Zielgrößenwert bzw. ein Zielgrößenvektor entspricht, können bei Risiko die zustandsabhängigen Ergebnisse als Wahrscheinlichkeitsverteilungen definiert sein. Dann besagt (z.B.) das Ordnungsaxiom für den Risikofall, daß der Entscheider Wahrscheinlichkeitsverteilungen miteinander vergleichen kann, während er im Sicherheitsfall nur einwertige Größen miteinander vergleichen muß. Aber auch bei Risiko können (durch differenzierendere Beschreibung der möglichen Zustände) die Ergebnisse so gegeneinander abgegrenzt werden, daß ihnen für jeden Zustand jeweils feste Zielgrößenwerte entsprechen (und das geschieht in der Regel in dieser Arbeit). In diesem Fall stimmt sowohl das Ordnungsaxiom als auch das Transitivitätsaxiom für den Risikofall vollständig mit den betreffenden Axiomen für den Sicherheitsfall überein. 2. Axiom'. Stetigkeitsprinzip Es sei [E;w;E] eine Lotterie, die das Ergebnis E mit der Wahrscheinhchkeit w und das Ergebnis E mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-w verspricht. Gilt E : ^ E : ^ E , so existiert ein w mit 0 < w < l , so daß E'-[E;w;E]. (Die Wahrscheinlichkeit w, bei der das sichere Ergebnis E der Lotterie gleichwertig ist, wird als Indifferenzwahrscheinlichkeit w* bezeichnet.) Der Entscheider ist zudem in der Lage, die betreffende Wahrscheinlichkeit zu fixieren.

Entscheidungskriterien bei Risiko

173

Wegen E :^ E :^ E ist es plausibel, daß die Lotterie [E ;w;E] gegenüber dem Ergebnis E vorgezogen wird, wenn w entsprechend nahe bei 1 liegt, bzw. daß das Ergebnis E vorgezogen wird, wenn w entsprechend klein ist. Nach dem Stetigkeitsaxiom existiert ein Punkt, bei dem der Entscheider zwischen der Lotterie und dem sicheren Ergebnis E indifferent ist, wenn ausgehend von 0 die Wahrscheinlichkeit w für das günstigste Ergebnis E sukzessive erhöht wird. Das Stetigkeitsaxiom fordert also bei steigender Wahrscheinlichkeit w einen stetigen Übergang von der Höherschätzung über die Gleichschätzung zur Minderschätzung des sicheren Ergebnisses E gegenüber der Lotterie [E;w;E]. Sprünge in der Wertschätzung des Entscheiders werden hiermit ausgeschlossen. Das Stetigkeitsaxiom besagt aber nicht - wie aufgrund seiner Bezeichnung vermutet werden könnte - die auf der Grundlage von Lidifferenzwahrscheinlichkeiten ermittelte Nutzenfunktion müsse stetig verlaufen. 3. Axiom: Substitutionsprinzip Wird in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Ergebnis E durch die äquivalente Lotterie [E;w*;E] substituiert, so ergibt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der ursprünglichen Verteilung gleichwertig ist. Zur Erläuterung dieses Axioms wird das durch Matrix VI.6 charakterisierte Entscheidungsproblem betrachtet, wobei die Ergebnisse Gewinne bezeichnen: 1 4

1 4

1 2

Si

S,

S3

Al

10000

2000

3000

A2

6000

8000

-1000

Matrix VI.6: Ergebnismatrix Der Entscheider sei z.B. indifferent zwischen einem sicheren Gewinn von 2000 und einer Lotterie, bei der er mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 einen Gewinn von 10000 und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 3/4 einen Gewinn von 1000 erzielt. Wird nun in der Gewinnmatrix VI.6 der Gewinn 2000 durch die Lotterie substituiert, ergibt sich nach dem Substitutionsprinzip für die Alternative Al eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Gewinn, die der alten Verteilung gleichwertig ist. Es gilt also:

174

Kapitel VI

10000 2000

rxj

3000

3000

Abb. VT.13: Nach dem Substitutionsprinzip indifferente Wahrscheinhchkeitsverteilungen Dem Substitutionsprinzip liegt die folgende Überlegung zugrunde. Ist der Entscheider zwischen einem Ergebnis E und einer Lotterie indifferent, erzielt er weder einen Vorteil noch einen Nachteil, wenn er dieses Ergebnis gegen die Lotterie tauscht. Der Entscheider muß sich nicht erst dann zum Tausch entschließen, wenn das Ergebnis E tatsächlich eingetreten ist. Er kann schon vorher die bedingte Entscheidung treffen, den Tausch vorzunehmen, falls das Ergebnis E tatsächlich eintritt. Auch in diesem Fall entsteht fiir ihn weder ein Nachteil noch ein Vorteil. 4. Axiom: Reduktionsprinzip Eine "zusammengesetzte" Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Ergebnisse ist äquivalent einer "einfachen" Wahrscheinlichkeitsverteilung, sofern jedes Ergebnis bei beiden Verteilungen jeweils dieselbe Eintrittswahrscheinlichkeit aufweist. Es gilt z.B.: 10000 r\j 3000

3000

Abb. VI.14: Nach dem Reduktionsprinzip indifferente Wahrscheinlichkeitsverteilungen Der linke Graph kennzeichnet folgende zusammengesetzte Wahrscheinlichkeitsverteilung: Mit der Wahrscheinhchkeit 1/4 (bzw. 1/2) wird ein Gewinn von 10000 (bzw. von 3000) erzielt, mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 wird ein Lotterielos gewonnen, das mit der Wahrscheinhchkeit 1/4 den Gewinn 10000 und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 3/4 den Gewinn -1000 bietet. Diese Verteilung ist nach dem Reduktionsprinzip jener Verteilung äquivalent, die durch den rechten Graph gekennzeichnet wird, da die Gewinne 10000, 3000, 1000 jeweils mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten erzielt werden.

Entscheidungskriterien bei Risiko

175

Worin besteht der Unterschied zwischen den beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen? Bei der rechten Verteilung erfährt der Entscheider unmittelbar, welchen Gewinn er erzielt, während es bei der linken Verteilung möglich ist, daß ihm zunächst nur eine Information zugeht, die Rückschlüsse auf den Gewinn zuläßt, indem ein Los gewonnen wird. Das Reduktionsprinzip impliziert u.a. das Fehlen von Freude bzw. Abneigung am Spiel. Es kommt nur auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnisse an, nicht darauf, wie die Verteilung zustande kommt (vgl. hierzu Abschnitt 3.7.2). 5. Axiom: Monotonieprinzip Die Wahrscheinlichkeitsverteilung [E;wi;E] wird der Wahrscheinlichkeitsverteilung [E;w2;E] vorgezogen, falls Wi>W2. Beide sind gleichwertig, wenn Wi=W2. Im Falle W2>wi wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung [E;w2;E] vorgezogen. Das Monotonieprinzip ist äußerst plausibel: Von zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen jeweils nur das günstigste Ergebnis E und das ungünstigste Ergebnis E eintreten können, ist jene vorzuziehen, bei der das günstigste Ergebnis die größere Eintrittswahrscheinlichkeit aufweist. 6. Axiom: Transitivitätsprinzip bezüglich der Handlungsaltemativen Die Präferenzordnung über die Alternativen ist transitiv. Für drei beliebige Alternativen Aj, Aj und A]^ gilt: Aus Aj >- Aj und Aj >- A]^ folgt Aj y A^. Das Entsprechende gilt für Indifferenzrelationen. Es ist zu beachten, daß dieses Axiom nicht besagt, der Entscheider sei von vornherein in der Lage, sämtliche Alternativen in eine Präferenzordnung zu bringen. Dann benötigte er das BERNOULLI-Prinzip als Entscheidungshilfe grundsätzlich gar nicht mehr. 3.3.2. Die Kompatibilität des BERNOULLI-Prinzips mit dem Axiomensystem Akzeptiert ein Entscheider die dargestellten Axiome, so sollte er auch dem BERNOULLI-Prinzip folgen, denn dieses Konzept steht logisch zwingend mit Ihnen im Einklang. Zum Beweis wird die Entscheidungssituation zugrundegelegt, die durch die Matrix VI.6 repräsentiert ist: 1/4 Si

1/4 S2

1/2 S3

Al

10000

2000

3000

A2

6000

8000

-1000

Matrix VI.6: Ergebnismatrix

176

Kapitel VI

Der Beweis kann analog auch für den Fall geführt werden, daß mehr als 2 Alternativen und mehr als 3 Zustände relevant sind und die Ergebnisse nicht (ausschließlich) durch Gewinne definiert werden. Zur Ermittlung der optimalen Alternative nach dem BERNOULLI-Prinzip werden den Gewinnen Nutzenwerte zugeordnet: Zur Normierung wird festgesetzt: U(10000)=l, U(-1000) = 0. Zur Ermittlung des Nutzenwertes des Gewinns 2000 wird dem Entscheider die Wahl angeboten zwischen dem sicheren Gewinn 2000 und der Lotterie [10000;w;-1000]. Der Nutzenwert U(2000) wird nun determiniert als diejenige Wahrscheinlichkeit w*, bei der der Entscheider indifferent ist zwischen dem sicheren Gewinn 2000 und der Lotterie. Analog werden die Nutzenwerte U(3000), U(6000) und U(8000) als Indifferenzwahrscheinlichkeiten fixiert. Der Ergebnismatrix VI.6 entspricht die folgende Entscheidungsmatrix: 1/4 Sj

1/4 S2

1/2 S3

Nutzenerwartungswerte

Al

U(10000)=l

U(2000)

U( 3000)

1/4-1 + l/4-U(2000) + l/2-U(3000)

A2

U(6000)

U(8000)

U(-1000)=0

l/4-U(6000) + l/4-U(8000) + 1/2-0

Matrix VI.7.: Entscheidungsmatrix Gewählt wird die Alternative mit dem höheren Erwartungswert des Nutzens. Sind beide Nutzenerwartungswerte gleich, so sind die Alternativen äquivalent (d.h. der Entscheider ist zwischen ihnen indifferent). Nach dem BERNOULLIPrinzip gilt also: Ai^A2,

falls-•1 + --U(2000) + - - U ( 3 0 0 0 ) > - • U(6000) + - • U(8000) + - • 0

(VI.20a) Ai-^A2,

falls-•1 + --U(2000) + - . U ( 3 0 0 0 ) < - • U(6000) + - • U(8000) + - • 0.

Es soll nun gezeigt werden, daß zwingend dieselbe Entscheidung getroffen wird, wenn schrittweise jeweils ein Axiom (des in Abschnitt 3.3.1 beschriebenen Axiomensystems) herangezogen wird. Graph a in Abbildung VI. 15 kennzeichnet die Alternative A^, Graph d die Alternative A2. 1. Im ersten Schritt wird das günstigste Ergebnis E und das ungünstigste E ausgewählt. Nach dem 1. Axiom {Ordinales Prinzip) ist der Entscheider

Entscheidungskriterien bei Risiko

177

hierzu in der Lage. Im vorliegenden Beispiel ist das Auswahlproblem freilich trivial. Zieht der Entscheider einen höheren Gewinn einem niedrigeren vor (und davon wird ausgegangen), so gilt E = 10000 und E =-1000. Im zweiten Schritt hat der Entscheider für jeden Gewinn unter 10000 und über -1000 anzugeben, bei welcher Wahrscheinlichkeit w ( 0 < w < l ) er jeweils indifferent ist zwischen diesem Gewinn und der Lotterie [10000;w;1000]. Nach dem 2. Axiom (Stetigkeitsprinzip) existieren diese Indifferenzwahrscheinlichkeiten (und können vom Entscheider fixiert werden). Sie werden mit U(2000), U(3000), U(6000) und U(8000) bezeichnet. Den Gewinnen 2000, 3000, 6000 und 8000 entsprechen demnach folgende äquivalente Lotterien: 2000 ~ [ 10000;U (2000);-1000] 3000-^[10000;U(3000);-1000] 6000~[10000;U(6000);-1000] 8000~[10000;U(8000);-1000]. Nun werden in den Graphen a und d in Abbildung VI. 15 die Gewinne 2000, 3000, 6000 und 8000 durch die äquivalenten Lotterien ersetzt. Nach dem 3. Axiom {Substitutionsprinzip) entstehen jeweils äquivalente Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die durch die Graphen b und e dargestellt sind. Im vierten Schritt werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ausmultipliziert. Nach dem 4. Axiom (Reduktionsprinzip) ergeben sich jeweils wieder äquivalente Verteilungen, die durch die Graphen c und f dargestellt werden. Die dem Graphen c (bzw. f) entsprechende Verteilung wird mit A^ (bzw. A2) bezeichnet. Bei den Verteilungen A^ und A2 sind nur noch die Gewinne 10000 und -1000 möghch. Bei Verteilung A^ entspricht dem Gewinn 10000 die Wahrscheinlichkeit l/4+l/4.U(2000)+l/2.U(3000), bei Verteilung A^ die Wahrscheinlichkeit l/4-U(6000)+l/4-U(8000). Nach dem 5. Axiom (Monotonieprinzip) wird jene der beiden Verteilungen vorgezogen, bei der der Gewinn 10000 die höhere Eintrittswahrscheinlichkeit aufweist; ist diese Wahrscheinlichkeit jeweils gleich groß, gilt A, ~A2: A? y Ao i ~ /'

falls - + - • U(2000) + - • U(3000) > - • U(6000) + - • U(8000) 4 4 2 4 4

At ^ A2, falls - + - • U(2000) + - • U(3000) < - • U(6000) + - • U(8000). 4 4 2 4 4

178

Kapitel VI

Abb. VI.15: Zur Bestimmung der optimalen Alternative bei expliziter Anwendung der sechs Axiome

Entscheidungskriterien bei Risiko

179

6. Nach dem 6. Axiom {Transitivitätsprinzip bezüglich der Handlungsalternativen) gilt: * Al ~ A * A2 ~ A2 und 1 Al >"A2, falls Aj >• A^ Al --A2, falls- + --U(2000) + --U(3000)> -•U(6000) + --U(8000) 4 4

(VL20b)

Al - - • U(6000) + - • U(8000) + - • 0 (VI.20C) Ai^A2,

falls--1+--U(2000)+--U(3000)< - • U(6000) + - • U(8000) + - • 0.

Dies ist aber gerade der Inhalt des BERNOULLI-Prinzips, denn (VI.20c) ist mit (VI.20a) identisch. (Die Symbole U(2000), U(3000), U(6000) und U(8000) repräsentieren jeweils dieselben Größen, nämlich die Indifferenzwahrscheinlichkeiten, die als die Nutzenwerte der betreffenden Ergebnisse bezeichnet werden.) Damit ist gezeigt, daß das BERNOULLI-Prinzip zu derselben Alternative führt wie der beschriebene Lösungsweg, bei dem schrittweise die einzelnen Axiome zugrundegelegt werden. Folglich steht das BERNOULLI-Prinzip im Einklang mit diesen Axiomen.

180

Kapitel VI

3.3.3. Die Bedeutung der Axiome für die Anwendbarkeit des BERNOULLIPrinzips Die Axiome können im Hinblick auf ihre Bedeutung für die Befolgung des BERNOULLI-Prinzips in zwei Gruppen eingeteilt werden: 1. Ordinales Prinzip und Stetigkeitsprinzip: Sind diese Axiome erfüllt, so kann nach dem BERNOULLI-Prinzip entschieden werden. 2. Substitutionsprinzip, Reduktionsprinzip, Monotonieprinzip und Transitivitätsprinzip hinsichtlich der Handlungsaltemativen: Sind diese Axiome erfüllt, ist es sinnvoll, nach dem BERNOULLI-Prinzip zu entscheiden. Das ordinale Prinzip setzt sich zusammen aus dem Transitivitätsaxiom und dem Ordnungsaxiom. Nur wenn das Transitivitätsaxiom (wonach die Präferenzordnung über die Ergebnisse transitiv ist) erfüllt ist,^^) existiert eine RNF. Diese kann bestimmt werden, wenn das Ordnungsaxiom und das Stetigkeitsaxiom erfüllt sind. (Der Entscheider kann dann aus der Menge der möglichen Ergebnisse ein bestes und ein schlechtestes Ergebnis auswählen und für die übrigen Ergebnisse Lidifferenzwahrscheinlichkeiten fixieren.) Sind die Axiome der zweiten Gruppe erfüllt, ist es sinnvoll, die Alternative mit dem maximalen Nutzenerwartungswert zu wählen. Diese Axiome stellen im Vergleich zum Ordnungsaxiom und Stetigkeitsprinzip keine zusätzlichen Anforderungen an die Beurteilungsfähigkeit des Entscheiders. Sie liefern die normative Basis für den Beweis, daß die Maximierung des Nutzenerwartungswertes sinnvoll ist. Sie sind gewissermaßen die Bausteine der Brükke, die von den einfachen hypothetischen Entscheidungsproblemen - auf deren Grundlage die Nutzenwerte fixiert werden - zur Lösung des eigentlichen, komplexeren Entscheidungsproblems führt. Wenn eine Person diese Axiome nicht akzeptiert, fehlt ihr gegenüber die Grundlage für eine rationale Begründung des BERNOULLI-Prinzips (es sei denn, es können andere, von der entsprechenden Person akzeptierte Axiome für einen Konsistenzbeweis zugrunde gelegt werden).

3.4.

Zur Gestalt der Risikonutzenfunktion

Li Abschnitt 3.2.2 wurde gezeigt, wie die RNF eines Entscheiders bestimmt werden kann: Nach dem beschriebenen Konzept wird - dem besten Ergebnis E der Nutzenwert 1 , dem schlechtesten Ergebnis E der Nutzenwert 0, - und den Ergebnissen E^s (E )>- E^s >• E) jeweils ein Nutzenwert in Höhe der j eweiligen Lidifferenzwahrscheinlichkeit zugeordnet.

11) Für die intransitive Präferenzrelation E^ >• E2 >• BT, >- Ej z.B. müßte die Größenrelation U(E2) > U(E2) > U(E3) > U(Ej) gelten; das ist aber logisch nicht möglich.

Entscheidungskriterien bei Risiko

181

Außer der so gewonnenen RNF U existieren unendlich viele andere RNF, die zu derselben Entscheidung fähren: Wird die RNF U positiv linear transformiert, d.h. durch eine Funktion U*=b-U+c (mit b > 0 und c beliebig) ersetzt, so ändert sich die Rangordnung über die Nutzenerwartungswerte nicht. Die Handlungsaltemative, die vor Transformation den höchsten Nutzenerwartungswert aufweist, hat auch danach den höchsten. Beweis. Bei der RNF U entspricht der Alternative A^ (a=l,2,...,A) folgender Erwartungswert des Nutzens: (VI.21)

0 ( A , ) = Zw(S3)-U(Eas). s=l

Bei Zugrundelegung der RNF U*=b'U+c errechnet sich der folgende Nutzenerwartungswert (Präferenzwert O*): (VI.22)

0 * ( A J = Iw(Ss)-U*(E,3) s=l

= Zw(S3).[b.U(E,3) + c]. s=l

Durch Umformung ergibt sich:

s (VI.22a)

s

0 * ( A J = b-2:w(Ss).U(E,3) + c . E w ( S 3 ) . s=l

s=l =1

S

Wegen S w ( S s ) = 1 folgt aus (VI.21) und (VI.22a): s=l

(VL23)

0 * ( A , ) = b . O ( A , ) + c(a=l,2,...,A)

Hieraus folgt wegen b>0: Entspricht einer Alternative bei der RNF U ein höherer (gleich hoher, niedriger) Nutzenerwartungswert (Präferenzwert O) als einer anderen Alternative, so gilt das auch für die RNF U*=b-U+c. Bei positiv linearer Transformation der RNF ändert sich folglich die Rangordnung über die Nutzenerwartungswerte der Alternativen nicht (q.e.d). Nach dem BERNOULLI-Prinzip ist also die RNF nur bis auf eine positiv lineare Transformation eindeutig bestimmt. Der Nullpunkt und die Skaleneinheit der RNF können beliebig fixiert werden. Eine Nutzenfunktion mit dieser Eigenschaft wird als kardinal bezeichnet. Bei der in Abschnitt 3.2.2 dargestellten BERNOULLI-Befragung erfolgt eine bestimmte Normierung der Nutzenfunktion. Der Nutzenwert für das beste Ergebnis der Ergebnismatrix wird gleich eins, der für das schlechteste gleich null gesetzt. Aufgrund dieser Normierung stimmt die Lidifferenzwahrscheinlichkeit

182

Kapitel VI

w* mit dem Nutzenwert des Ergebnisses E^s überein, das der Lotterie mit dem besten und dem schlechtesten Ergebnis gegenübergestellt wird:

^

=^

E.S

r\y

U(Eas) = w*.U(E) + ( l - w * ) . U ( E ) = w*-l

+(l-w*)-0

U(Eas) = w*. Durch die Festlegung der Nutzenwerte für E und E wird der Nullpunkt und die Skaleneinheit der RNF festgelegt. Auf Grund der Kardinalität der Nutzenfunktion können auch beliebige andere Nutzenwerte als 0 bzw. 1 für E und E gewählt werden (solange U(E)>U(E)). Der Nutzenwert eines Ergebnisses E^s ( E > - E a s ^ E ) stimmt dann allerdings nicht mehr mit der hidifferenzwahrscheinlichkeit überein, er kann aber problemlos berechnet werden. Für U(E)= 100 und U(E)= 10 gilt U(Eas) = w*-100 + ( l - w * ) - 1 0 = w*-90 + 10. Wegen 0<w*0 multipliziert werden, ohne daß die Entscheidung beeinflußt wird, hi Abbildung VI. 17 ist eine Schar von RNF dargestellt,

Entscheidungskriterien bei Risiko

183

die alle die gleiche Risikoeinstellung repräsentieren und zu derselben Entscheidung fuhren. U(Z) 4

U(Z) 4

Risikoaversion

Risikoneutralität U(Z)

U(Z)

Risikofreude Abb. VI.16: Der Verlauf unterschiedlicher RNF

U(Z)t

Abb. VI.17: RNF, die dieselbe Risikoeinstellung repräsentieren

184

Kapitel VI

Auf ein mögliches Mißverständnis wurde bereits hingewiesen: Das Stetigkeitsaxiom besagt nicht, die RNF U sei stetig. Sie kann durchaus eine Sprungstelle (oder auch mehrere Sprungstellen) aufweisen, wie die Abbildung VI. 19 verdeutlicht. ^ 2) Steigt die Zielgröße Z ausgehend von Z=Z* um einen marginalen Betrag, so steigt der Nutzen sprunghaft von U* auf U**; danach verläuft die RNF wieder stetig. Die Sprungstelle steht nicht im Widerspruch zum Stetigkeitsaxiom. Denn das Stetigkeitsaxiom besagt lediglich, daß jedem Zielgrößenwert Z(E < Z < E) jeweils genau ein Nutzenwert {eine Lidifferenzwahrscheinlichkeit) entspricht; bei der in Abbildung VI. 19 dargestellten RNF ist dies trotz der Sprungstelle der Fall.

Z2(=E) Z

Abb. VI.18: Unstetige RNF Das BERNOULLI-Prinzip schließt also Sprünge in der individuellen RNF nicht aus. Jedoch ist zu vermuten, daß unstetige RNF nur eine geringe praktische Relevanz haben. In realen Entscheidungssituationen ergeben sich im allgemeinen stetige RNF.

3.5.

Entscheidung bei mehreren Zielgrößen

3.5.1, Zwei Zielgrößen Orientiert sich der Entscheider an zwei Zielgrößen (Zj und Z2), so kann seine Präferenzordnung mit Hilfe von Indifferenzkurven dargestellt werden, vgl. Abbildung VI. 19. 12) Bezeichnet Z die Zielgröße "Einkommen", so könnten sich Sprünge in einer RNF z.B. daraus ergeben, daß die Verwendungsmöglichkeiten des Einkommens nicht beliebig teilbar sind.

Entscheidungskriterien bei Risiko

185

Eine Indifferenzkurve ist der geometrische Ort von (Zi[,Z2)-Konstellationen, denen gegenüber der Entscheider indifferent ist: Allen (Z2,Z2)-Konstellationen auf derselben Indifferenzkurve entspricht derselbe Nutzen. Die Indifferenzkurven können für den Risiko fall ebenso bestimmt werden wie bei sicheren Erwartungen über die Ergebnisse. Jedoch muß die Zuordnung von Nutzenwerten zu den einzelnen Indifferenzkurven im Risikofall härteren Anforderungen genügen: Während bei sicheren Erwartungen das ordinale Nutzenkonzept zugrundegelegt werden kann, sind in Risikosituationen kardinale Nutzenwerte fiir die Indifferenzkurven zu bestimmen. Z2 h

h

I3 I4 I5 l6

Abb. VI.19: Indifferenzkurven und Risikonutzen Es soll gezeigt werden, wie dies im einzelnen geschehen kann. Dabei wird angenommen, die möglichen Ergebnisse lägen in demjenigen Feld des (Zi,Z2)Diagramms, das durch die Indifferenzkurven I^ und I5 in Abbildung VI.19 begrenzt wird. Der Indifferenzkurve I^ kann dann der Nutzenwert null zugeordnet werden und der Indifferenzkurve I5 der Nutzenwert 1. Der Nutzenwert, der einer zwischen I^ und I5 verlaufenden Indifferenzkurve entspricht, ist gleich dem Nutzenwert einer behebigen (Zi,Z2)-Konstellation auf dieser Kurve. So entspricht z.B. der Indifferenzkurve I4 derselbe Nutzenwert wie dem Ergebnis E2 (vgl. Abbildung VI.19). Die Bestimmung des Nutzenwertes für die Indifferenzkurve I4 kann demnach z.B. auf der Grundlage der folgenden (hypothetischen) Wahlsituation erfolgen:

186

0

Kapitel VI

1

—o

^

E3

-0

E,

E^ ^^^"^^^-f^l3^

Alternative I

Alternative II

Abb. VI.20: Hypothetischer Vergleich zur Bestimmung des Nutzenwertes für die Indifferenzkurve I4 Bei der Alternative I wird mit Sicherheit das Ergebnis E2 erzielt (d.h. diejenige (Zi,Z2)-Konstellation, die dem Punkt E2 in Abbildung VI. 19 entspricht). Bei der Alternative I^ stellt sich - mit der Wahrscheinlichkeit w eines der besten Ergebnisse ein, und zwar E3, und - mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-w eines der schlechtesten Ergebnisse, El. Der Entscheider muß nun angeben, bei welchem Wert für w er indifferent ist zwischen den beiden Alternativen. Diese Indifferenzwahrscheinlichkeit ergibt den Nutzenwert fiir das Ergebnis E2 und mithin auch für alle anderen (Zi,Z2)Konstellationen auf der Indifferenzkurve I4. Der Vergleich der in Abbildung VI.20 dargestellten Alternativen stellt an das Differenzierungsvermögen des Entscheiders relativ hohe Anforderungen, da sich die Ergebnisse E^, E2 und E3 im Hinblick auf die Ausprägungen beider Zielgrößen unterscheiden. Die Bestimmung der Indifferenzwahrscheinlichkeit dürfte leichter fallen, wenn sich die erwogenen Ergebnisse nur hinsichtlich eines Zielgrößenwertes unterscheiden. Diesem Sachverhalt kann z.B. durch Zugrundelegung jener (Zi,Z2)-Konstellationen Rechnung getragen werden, die auf der gestrichelten Linie in Abbildung VI. 19 liegen. Zur Bestimmung des Nutzenwertes fiir die Indifferenzkurve I4 wird dann dem Entscheider die Wahl zwischen folgenden (hypothetischen) Alternativen angeboten:

-o E'2

Alternative III

Alternative IV

Abb. VI.21: Hypothetischer Vergleich zur Bestimmung des Nutzenwertes für die Indifferenzkurve I4 Da den Ergebnissen E'j, E'2 und E'3 jeweils derselbe Wert für die Zielgröße Zj entspricht, muß der Entscheider bei Fixierung der Indifferenzwahrscheinlich-

Entscheidungskriterien bei Risiko

187

keit w* nur abwägen zwischen den Differenzen im Hinblick auf den Wert der Zielgröße Z2. Die Indifferenzwahrscheinlichkeit sei gleich 0,9. Entsprechend wird der Indifferenzkurve I4 der Nutzenwert 0,9 zugeordnet. Analog werden die den Indifferenzkurven I2,13 und I5 entsprechenden Nutzenwerte bestimmt. Nachdem die Nutzenfunktion des Entscheiders durch ein System von Indifferenzkurven mit entsprechender kardinaler Nutzenordnung repräsentiert worden ist, kann die optimale Alternative in einfacher Weise ermittelt werden: Zunächst werden die möglichen (Zi,Z2)-Konstellationen (d.h. also die möglichen Ergebnisse) im Indifferenzkurvendiagramm dargestellt und die jeweiligen Nutzenwerte abgelesen. Sodann werden die Erwartungswerte der Nutzenwerte berechnet. Optimal ist die Alternative mit dem höchsten Erwartungswert des Nutzens. Beispiel VI.l. Das Entscheidungsproblem sei durch die folgende Ergebnismatrix charakterisiert, wobei die den Ergebnissen E^s entsprechenden (Zi,Z2)Konstellationen in Abbildung VL22 dargestellt sind: 0,2

0,3

0,5

Sl

S2

S3

A,

Ell

E12

E,3

A2

Ej,

E22

E23

A3

E31

E32

E33

Matrix VI.8: Ergebnismatrix (Beispiel VI.l) ^2 4

0

Zi

Abb. VI.22: Indifferenzkurven und Ergebnisse (Beispiel VI.l) Der Ergebnismatrix VI.9 entspricht die folgende Entscheidungsmatrix:

188

Kapitel VI

0,2

0,3

Si

S2

0,5 S3

Al

0

1

0,7

^2 A3

0,8

0,9

0,4

0,2-0,8 + 0,3-0,9+ 0,5-0,4 = 0,63

0

0,8

0,9

0,2-0

Nutzenerwartungswerte 0,2-0

+0,3-1 +0,5-0,7 = 0,65

+0,3-0,8+0,5-0,9 = 0,69

Matrix VI.9: Entscheidungsmatrix (Beispiel VI.l) Optimal ist somit die Alternative A3. 5.5.2. Mehr als zwei Zielgrößen Es soll nun untersucht werden, wie bei mehr als zwei Zielgrößen eine optimale Alternative auf der Basis einer Ergebnismatrix bestimmt werden kann. Um die Darstellung übersichtlich zu gestalten, wird als Beispiel die folgende Ergebnismatrix zugrundegelegt (die Anzahl der Zielgrößen ist vier):^^)

Al

0,5

0,4

0,1

Si

S2

S3

300; 15; 40; 10

200; 40; 10;

2

400;

0;

0; 10

3

400; 20; 60; - 5

0;100; 80;

0; 60; 15

100; 50; 50; 10

500; 100; 10; 10

A2

200; 60;

A3

300;

0;

0

Matrix VT. 10: Ergebnismatrix Das Kernproblem besteht nun darin, die Ergebnismatrix in eine Entscheidungsmatrix zu überfähren, d.h. die Ergebnisse durch Nutzenwerte zu substituieren. Wenn die Entscheidungsmatrix vorliegt, ist das Entscheidungsproblem praktisch gelöst. (Es müssen dann nur noch die Nutzenerwartungswerte der einzelnen Alternativen berechnet werden; optimal ist die Alternative mit dem maximalen Nutzenerwartungswert.) Nach der üblichen Darstellungsform des BERNOULLI-Prinzips sind die Nutzenwerte der Ergebnisse wie folgt zu bestimmen: Zunächst wird aus der Menge der möglichen Ergebnisse ein bestes (E) und ein schlechtestes Ergebnis (E) ausgewählt. Dem Ergebnis E wird der Nutzenwert 1 zugeordnet und dem Ergebnis E der Nutzenwert null. Die Nutzenwerte der Ergebnisse E^s (E >- Eas >^ E) werden in Höhe der jeweiligen Indifferenzwahrscheinlichkeit festgelegt. Gilt z.B. (vgl. Matrix VI.IO) 13) Für das Ergebnis En =(300;15;40;10) gilt z.B. 2^=300; Z2=15; Z3=40 und Z4=10.

Entscheidungskriterien bei Risiko

189

E = E33-(500;100;10;10)und E=:E23 = (

0;100;80; 0),

so wird z.B. zur Bestimmung des Nutzenwertes des Ergebnisses Ell = (300;15;40;10) dem Entscheider (wenn auch nur hypothetisch) die Wahl zwischen folgenden Alternativen angeboten: E=(500;100;10;10) 0

^

0 Eii=(300;15;40;10) E=(0;100;80;0)

Alternative I

Alternative II

Abb. VI.23: Hypothetischer Vergleich zur Bestimmung des Nutzenwertes des Ergebnisses Ell Der Nutzenwert des Ergebnisses E ^ wird gleich derjenigen Wahrscheinlichkeit w* gesetzt, bei der der Entscheider zwischen den Alternativen I und II indifferent ist. Analog werden die übrigen Nutzenwerte ermittelt. Das übliche Konzept der Bestimmung der Nutzenwerte stellt an den Entscheider relativ hohe Anforderungen, die er möglicherweise nicht erfüllen kann: Die Auswahl der Ergebnisse E und E setzt im Beispiel voraus, daß er Zielgrößenvektoren mit jeweils vier unterschiedlichen Komponenten paarweise miteinander vergleichen kann; die Ermittlung der Indifferenzwahrscheinlichkeiten der Ergebnisse E^s (E y E^g ^ © erfordert Bewertungsakte, die noch schwieriger sind. Es stellt sich daher das Problem, wie das Konzept der Nutzenmessung vereinfacht werden kann, so daß es geringere Anforderungen an das Differenzierungsvermögen des Entscheiders stellt. Eine Möglichkeit der Vereinfachung bietet das Transformations-Konzept (Kapitel III, Abschnitt 4). Dabei werden die Ergebnisse der Matrix VI. 10 schrittweise in jeweils äquivalente Ergebnisse transformiert, bis schließlich alle Ergebnisse hinsichtlich der Zielgrößen Zj, Z2 und Z3 übereinstimmen. Die Ergebnisvektoren unterscheiden sich dann allenfalls noch im Hinblick auf den Wert der Zielgröße Z4. Die Transformation führe im Beispiel zu der folgenden Ergebnismatrix:

190

Kapitel VI

0,5

0,4

0,1

Si

S2

S3

vm

Al

300; 15; 40; 10

300; 15; 40; 25

300; 15; 40;

A2

300; 15; 40; 30

300; 15; 40; 80

300; 15; 40; -10

A3

300; 15; 40; 20

300; 15; 40; 30

300; 15; 40; 100

Matrix VI.ll: Ergebnismatrix (nach paarweiser Transformation der Ergebnisse in Matrix VI. 10) Es ist nun unmittelbar ersichtlich, welches Ergebnis am besten bzw. am schlechtesten ist. Wenn der Entscheider c.p. einen höheren Wert der Zielgröße Z4 einem niedrigeren vorzieht, gilt: E=E33 = (300;15;40;100) E=E23 = (300;15;40;-10) und demnach U(300;15;40;100) = l u n d U(300;15;40;-10)=0. Bei der Ermittlung der Nutzenwerte der Ergebnisse E^s (E >- E^s ^ E) sind nur noch die Unterschiede bezüglich des Wertes der Zielgröße Z4 gegeneinander abzuwägen (bei jeweils gleichen Ausprägungen der übrigen Zielgrößen).

3.6.

Zum Konzept zustandsabhängiger Risikonutzenfunktionen

Die Zielfunktion des BERNOULLI-Prinzips (kurz: das BERNOULLI-Kriterium) lautet bei endlicher Zahl von Zuständen in ihrer allgemeinsten Form: (VL19)

Xw(Ss)-U(E,3)-^Max! s=l a

Dabei bezeichnet E^s das hinsichtlich seiner Charakteristik (noch) nicht festgelegte Ergebnis der Alternative A^ (a= 1,...,A) im Zustand Sg (s=1,...,S). Bei der Konstruktion von Entscheidungsmodellen wird oft angenommen, der Entscheider orientiere sich nur an einer Zielgröße Z (z.B. Einkommen, Gewinn, Umsatz oder Geldvermögen am Ende des Planungszeitraumes); dabei werden die Ergebnisse E^s durch die jeweilige Ausprägung dieser einen Zielgröße repräsentiert und das BERNOULLI-Kriterium in der folgenden Weise angewendet: (VL24)

i:w(Ss)-U(Z,3)^Max! s=l a

Entscheidungskriterien bei Risiko

191

Hierin bezeichnet Z^s den Wert, den die Zielgröße Z bei Wahl der Alternative Aa (a= 1,2,...,A) und Eintreten des Zustandes Sg (s= 1,2,...,S) aufweist. Das Kriterium (VI.24) stellt einen sehr restriktiven Spezialfall von (VI. 19) dar. Seine Anwendung ist offensichtlich dann problematisch, wenn sich der Entscheider nicht nur an einer, sondern an mehreren Zielgrößen orientiert. Das Kriterium kann sogar selbst dann wenig sinnvoll sein, wenn der Entscheider in der Tat nur eine Zielgröße verfolgt. Auch im Spezialfall einer einzigen Zielgröße ergeben sich Probleme vor allem aus dem Sachverhalt, daß im allgemeinen eine Zielgröße keinen "Wert an sich" besitzt. So resultiert z.B. der "Nutzen" des Einkommens vor allem aus dem "Nutzen" jener Güter und Dienstleistungen, die mit diesem Einkommen erworben werden können. Der "Nutzen" einer bestimmten Produktionskapazität ergibt sich aus den Gewinnen jener Produkte, die man mit dieser Kapazität herstellen kann, wobei der "Nutzen" dieser Gewinne wiederum abhängt vom "Nutzen" der Gewinnverwendungsmöglichkeiten. Der Nutzenwert einer Zielgröße resultiert also allgemein aus dem "Nutzen" der jeweils möghchen Folgemaßnahmen. Diese Folgemaßnahmen und/oder deren Konsequenzen können ihrerseits vom eintretenden Zustand abhängen. Folglich kann auch der Nutzenwert, der einer bestimmten Zielgrößenausprägung entspricht, zustandsabhängig sein. Diese Eigenschaft wird durch das Kriterium (VL24) nicht erfaßt, denn ihm liegt eine vom Zustand unabhängige Risikonutzenfunktion U(Z) zugrunde. Zur Verdeutlichung der Problematik des Kriteriums (VI.24) wird davon ausgegangen, der Planungszeitraum bestehe aus einer Periode. Der Beginn dieser Periode wird als Zeitpunkt 1 bezeichnet, das Ende als Zeitpunkt 2. Zielgröße des Entscheiders sei das Geldvermögen G, das ihm zum Zeitpunkt 2 zur Verfügung steht (Endvermögen). Die Höhe dieses Endvermögens hängt davon ab, welche Handlungsaltemative zum Zeitpunkt 1 gewählt wird und welcher Zustand eintritt. Wird das Endvermögen, das bei Wahl der Alternative A^ (a=l,2,...,A) und bei Eintreten des Zustandes Sg (s=l,2,...,S) erzielt wird, mit G^s bezeichnet, so erhält das zu analysierende Kriterium (VL24) die spezielle Form: S

(VI.25)

Xw(Ss)-U(Gas)->Max! s=l a

Das Kriterium (VL25) wird bei der Konstruktion betriebswirtschaftlicher Entscheidungsmodelle oft zugrundegelegt. Es ist jedoch dann problematisch, wenn die Verwendungsmöglichkeiten des Endvermögens und damit auch dessen "Wertschätzung" vom eintretenden Zustand abhängen. Zur Erläuterung dient ein einfaches Beispiel: Der Entscheider hat zum Zeitpunkt 1 die Wahl zwischen zwei Alternativen, wobei die folgende Endvermögensmatrix gegeben sei:

192

Kapitel VI

1/2

1/2

Si

S2

Al

400

200

A2

200

400

Matrix VI.12: Endvermögensbeträge für altemative (Aa,Ss)-Konstellationen In dieser Situation lautet das Kriterium (VL25): 2

(VL25a)

Xw(Ss)-U(Gas)-^Max! s=l a

Danach entspricht jeder Altemative in Matrix VI. 12 derselbe Erwartungsnutzen von 1 / 2 • U(200) +1 / 4 • U(400); beide Alternativen erscheinen als äquivalent. Der Entscheider muß aber keineswegs zwischen ihnen indifferent sein. Angenommen, er möchte zum Zeitpunkt 2 mit seinem Geldvermögen möglichst viele Einheiten eines bestimmten Konsumgutes (oder eines "Bündels" von Konsumgütem) erwerben. Der Preis einer Einheit des Konsumgutes sei 20 GE, wenn Zustand S^ eintritt, und 10 GE, wenn sich Zustand S2 einstellt. Die Substitution der Endvermögensbeträge in Matrix VI.12 durch die Zahl der Einheiten des Konsumgutes, die jeweils gekauft werden können, ergibt dann die folgende Matrix: 1/2

1/2

Si

S2

Al

20

20

A2

10

40

Matrix VI.13: Zahl der Einheiten des Konsumgutes für altemative (Aa,Ss)-Konstellationen Es wird jetzt deutlich, daß die Alternativen Aj und A2 keineswegs äquivalent sein müssen. Welche Altemative optimal ist, hängt von der Risikonutzenfunktion des Entscheiders bezüglich des betreffenden Konsumgutes ab. Bei linearer Nutzenfunktion maximiert er den Erwartungswert über die Einheiten des Konsumgutes. Optimal ist dann die Altemative A2 (mit dem Erwartungswert 1/210+1/2-40=25). Ist dagegen die Nutzenfunktion konkav (sinkt also der Grenznutzen, wenn die Zahl der Einheiten des Konsumgutes wächst), kann sich auch die Altemative Aj als optimal erweisen. Wie das Beispiel verdeutlicht, kann das Kriterium (VL25) versagen, falls die Verwendungsmöglichkeiten für das Endvermögen vom eintretenden Zu-

Entscheidungskriterien bei Risiko

193

stand abhängen. Dieser Zustandsabhängigkeit kann im Beispiel in einfacher Weise Rechnung getragen werden, indem das Endvermögen nicht in Geldeinheiten, sondern in Einheiten eines anderen Maßgutes, eben des betreffenden Konsumgutes, ausgedrückt wird. Gewählt wird dann jene Alternative, die den Erwartungswert des Nutzens des Maßgutes maximiert. Jn komplexeren Entscheidungssituationen versagt jedoch dieses Konzept: Will der Entscheider und dies ist der Regelfall - mit seinem Endvermögen verschiedene (Konsumund hivestitions-) Güter erwerben und ist außerdem die optimale Struktur dieses "Erwerbprogramms" von der Höhe des Endvermögens abhängig, so ist offen, welches Gut (welcher Warenkorb) als Numeraire dienen soll. Ein Ausweg aus diesem Dilemma könnte darin bestehen, alle Verwendungsmöglichkeiten für das Endvermögen explizit in das Entscheidungsmodell mit einzubeziehen (wobei das Kriterium (VL25) natürlich derart modifiziert werden müßte, daß es eine Bewertung der alternativen Verwendungsmöglichkeiten für das Endvermögen ermöglicht). Die explizite Erfassung sämtlicher Verwendungsmöglichkeiten für das Endvermögen ist aber im allgemeinen nicht möglich, da dieses Vorgehen einen zu großen Planungsaufsvand verursachen würde. Ein sinnvolleres Konzept besteht darin, der Zustandsabhängigkeit der zukünftigen Verwendungsmöglichkeiten fiir das Endvermögen implizit in zustandsabhängigen Risikonutzenfunktionen flir das Endvermögen Rechnung zu tragen (wobei dieses Vermögen in Geldeinheiten gemessen wird). Um hierbei im Vergleich zur expliziten Berücksichtigung der Verwendungsmöglichkeiten fiir das Endvermögen überhaupt einen Vorteil zu erzielen, können allerdings die Nutzenfunktionen nur im Zuge einer mehr oder weniger groben Schätzung ermittelt werden. Als Richtschnur benötigt man dafiir jedoch ein theoretisches Konzept zur "exakten" Bestimmung zustandsabhängiger Nutzenfunktionen. Li LAUX/SCHNEEWEiß (1972) und in LAUX (1993, S. 3-27) wird ein derartiges Konzept dargestellt.^^) Der Einfachheit halber wird im allgemeinen davon ausgegangen, die Risikonutzenfimktionen der einzelnen Zielgrößen (wie z.B. Gewinn, Einkommen oder Endvermögen) seien vom Zustand unabhängig. Sofern von dieser Annahme abgewichen wird, wird dies besonders hervorgehoben.

14) Es wird gezeigt, wie zustandsabhängige Nutzenfunktionen in unterschiedlichen Entscheidungssituationen ermittelt werden können und unter welchen Bedingungen die Nutzenfunktionen für alternative Zustände identisch sind. Das Konzept zustandsabhängiger Nutzenfunktionen hat für das Verständnis der Preisbildung auf Kapitalmärkten grundlegende Bedeutung (LAUX, 2003).

194

Kapitel VI

3.7.

Zur Kritik des BERNOULLI-Prinzips

3.7. i. Zum Stetigkeitsprinzip Der Anspruch des BERNOULLI-Prinzips als rationales Entscheidungskriterium fiir Risikosituationen ist nicht unumstritten. Vor allem in der deutschsprachigen betriebswirtschaftlichen Literatur wurde ein engagierter Meinungsstreit über das BERNOULLI-Prinzip ausgetragen. 1^) Dabei ging es im wesentlichen um das Problem, ob die BERNOULLI-Nutzenfunktion nur eine reine "Höhenpräferenz" oder auch eine "Risikopräferenz" widerspiegelt. Diese Diskussion soll hier nicht nachgezeichnet werden. Die Zerlegung der BERNOULLI-Nutzenwerte in eine "Höhenpräferenz" und eine "Risikopräferenz" ist weder erforderlich noch zweckmäßig (vgl. hierzu auch BAMBERG/COENENBERG, 2002, S. 109112). Die Nutzenwerte werden gemäß dem BERNOULLI-Prinzip derart ermittelt, daß die Maximierung des Nutzenerwartungswertes zu derselben Entscheidung fuhrt wie die explizite Anwendung von sehr plausiblen Axiomen rationalen Verhaltens. Sind diese Axiome erfiillt, so gilt (Abschnitt 3.3.3): Einerseits kann nach dem BERNOULLI-Prinzip entschieden werden. Andererseits ist es sinnvoll, danach zu entscheiden. Eine Zerlegung der Nutzenwerte erübrigt sich. Eine kritische Analyse von Axiomen des BERNOULLI-Prinzips und deren hnplikationen erscheint sinnvoller als der Versuch, die BERNOULLI-Nutzenfunktion "wesensgerecht" in irgendwelche Präferenzarten aufzuteilen. 1^) Gegenstand der Kritik ist u.a. das Stetigkeitsprinzip. Nach diesem Axiom existiert hinsichtlich dreier beliebiger Ergebnisse E, E^s, E (E :^ E^s >- E) eine Wahrscheinlichkeit w* (0<w*
15)

16)

= Tod.

Vgl. hierzu LEBER (1975); COENENBERG/KLEINE-DOEPKE (1975); JACOB/LEBER (1976a; 1976b; 1978); KRELLE (1976; 1978a; 1978b); BiTZ/ROGUSCH (1976); W I L HELM (1977); HIERONIMUS (1979); ÄLBRECHT (1982; 1983; 1984); SCHILDBACH/ EWERT (1983; 1984a); VETSCHERA (1984); BiTZ (1984); WILHELM (1985; 1986); SCHILDBACH (1989; 1992); SCHOTT (1990; 1993); KÜRSTEN (1992a; 1992b); DYCKHOFF(1993). Ein kritischer Vergleich neuerer Konzepte der Entscheidung bei Unsicherheit mit dem BERNOULLI-Prinzip wird in BAMBERG/TROST (1996) vorgenommen.

Entscheidungskriterien bei Risiko

195

Mit anderen Worten: Es wird bezweifelt, daß der Entscheider für die Chance, einen zusätzlichen Cent zu gewinnen, ein - wenn auch noch so kleines - Todesrisiko in Kauf zu nehmen bereit ist. Allgemein: Für die Chance eines "kleinen" Vorteils wird nicht die Gefahr eines "extremen" Nachteils in Kauf genommen, auch wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit dieses Nachteils noch so klein ist. Hinsichtlich dieser Zweifel hat FERSCHL sehr überzeugende Gegenargumente vorgebracht: "Hier kann man sich aber auf das tatsächliche Verhalten im Alltag berufen: Die Wahrscheinlichkeit, beim Gang um die Morgenzeitung von einem Meteoriten getroffen und getötet zu werden, ist zwar außergewöhnlich gering, eine astronomisch informierte Person wird aber zugeben müssen, daß sie nicht Null ist. Dennoch begeben sich auch Astronomen sehr häufig ins Freie und gehen somit ein abschätzbares Todesrisiko ein (anders KARL VALENTIN, der in einem Bergwerk wohnen möchte, um dem Meteoritentod zu entgehen)" (FERSCHL, 1975, S. 45). Selbst wenn im Einzelfall bei extrem ungünstigen Ergebnissen (wie z.B. Tod oder Konkurs des Unternehmens) das Stetigkeitsaxiom verletzt wäre, könnte das BERNOULLI-Prinzip Anwendung finden. Alle Alternativen, die mit positiver Wahrscheinlichkeit zu einem solchen Ergebnis führen, könnten im voraus ausgeschlossen werden; nach dem BERNOULLI-Prinzip würde dann die beste der verbleibenden Alternativen gewählt. Li jener ausweglosen Situation jedoch, in Aorjede Alternative möglicherweise zu diesem Ergebnis führt, würde das BERNOULLI-Prinzip versagen (wenn das Stetigkeitsprinzip nicht erfüllt wäre). Das zweite Argument gegen das Stetigkeitsaxiom bezieht sich auf einen anderen Sachverhalt. Mit dem ersten Argument wird bezweifelt, daß stets eine Indifferenzwahrscheinlichkeit w* existiert; es können vielmehr auch folgende Präferenzrelationen gelten: E ^ s - ^ [ E ; W ; E 1 , falls W = 1

Eas>-[E;w;E], falls w < l . Damit wird immerhin imphziert, daß der Entscheider für jedes w die jeweihge Lotterie mit dem sicheren Ergebnis E^g überhaupt vergleichen kann: hn Falle w = l zieht er die "Lotterie" vor, für jedes w < l das sichere Ergebnis E^s- Nach dem zweiten Argument ist der Entscheider gar nicht in der Lage, für jedes w ( 0 < w < l ) anzugeben, ob er jeweils das sichere Ergebnis oder die Lotterie vorzieht oder ob er zwischen beiden indifferent ist. Der Entscheider kann also deshalb keine hidifferenzwahrscheinlichkeit fixieren, weil er nicht fähig ist, die Ergebnisse E, E^s und E gegeneinander abzuwägen. Wenn aber der Entscheider noch nicht einmal hierzu in der Lage ist, wie soll er dann komplexe Entscheidungsprobleme (bei denen mehr als drei Ergebnisse gegeneinander abzuwägen sind) lösen? Kein anderes Entscheidungsprinzip ermöglicht es, Ent-

196

Kapitel VI

Scheidungsprobleme in solche Teilprobleme zu überfuhren, die einfacher zu lösen sind als die des BERNOULLI-Prinzips. 3.7.2. Zum

Reduktionsprinzip

Umstritten ist auch das Reduktionsaxiom. Es ist wohl unter allen Axiomen des Systems von LUCE/RAIFFA am meisten kritikwürdig. Es besagt, daß eine "zusammengesetzte" Wahrscheinlichkeitsverteilung gleichgeschätzt wird einer "einfachen", sofern für beide Verteilungen die Eintrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse jeweils gleich sind. Das Reduktionsaxiom impliziert u.a. das Fehlen von Spielfreude und Spielabneigung. Bei genereller Gültigkeit des Reduktionsaxioms würde kaum jemand "Mensch ärgere Dich nicht" spielen. Bei sechs ("gleich qualifizierten") Spielern z.B. beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit eines jeden Spielers 1/6. Warum sollen sie (bei Gültigkeit des Reduktionsaxioms) einen so großen Aufwand betreiben und den Sieger entsprechend den Spielregeln ermitteln? Jeder Spieler hat dieselbe Gewinnchance, wenn mit einem Würfel einmal gewürfelt wird. Bei der Augenzahl 6 ist Spieler A Sieger, bei der Augenzahl 5 Spieler B bei der Augenzahl 1 Spieler F. Dieses einfache Spiel ist allerdings ziemlich langweihg. Der Reiz des Spiels "Mensch ärgere Dich nicht" besteht u.a. gerade darin, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Ergebnisse (A gewinnt, B gewinnt . . .) komplexer ist. Zwar hat jeder Spieler in der Ausgangssituation dieselben Gewinnchancen, aber der Sieger steht nicht schon nach dem ersten Würfeln fest. Die Gewinnchancen ändern sich im Verlauf des Spiels ständig: Man fi-eut sich über die Verbesserung der eigenen Chancen und die jeweilige Verschlechterung der Chancen anderer Spieler. Außerhalb des Bereichs der Gesellschaftsspiele und der Glücksspiele wird das Reduktionsaxiom eher erfüllt sein. Li ökonomischen Entscheidungssituationen kann es gerade sinnvoll sein, Gefühle wie Freude und Abneigung am Spiel bei der Entscheidung nicht zu berücksichtigen, um die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Ergebnisse (z.B. Gewinn, Einkommen, Marktanteil) im Sinne des BERNOULLI-Prinzips rational beurteilen zu können. Für die Akzeptanz des BERNOULLI-Prinzips durch einen einzelnen Entscheider ist es im übrigen unerheblich, wie andere Personen das Reduktionsaxiom beurteilen. Jeder, der selbst das Reduktionsaxiom (und die anderen Axiome) für die vorliegende Entscheidungssituation akzeptieren kann, sollte dem BERNOULLI-Prinzip folgen.

3.7.3. Zum

Monotonieprinzip

Li der Literatur wurde versucht, Beispiele zu konstruieren, in denen gegen das Monotonieprinzip verstoßen wird. Bekannt ist das Bergsteigerbeispiel: Ein Bergsteiger zieht das Leben (L) dem Tod (T) vor. Besteigt er einen Berg, be-

Entscheidungskriterien bei Risiko

197

steht eine positive Wahrscheinlichkeit w, daß er abstürzt. Somit zieht er eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Tod und Leben dem sicheren Leben (keine Bergbesteigung) vor, es gilt für ihn [L;l-w;T])-L; diese Präferenzrelation steht im Widerspruch zum Monotonieprinzip. Eine solche Argumentation ist jedoch nicht stichhaltig. Es ist zu unterscheiden zwischen zwei Gestaltungsformen des Lebens, und zwar erfolgreicher Bergbesteigung (L^) einerseits und (möglicherweise langweiligem) Leben ohne Bergbesteigung (L2) andererseits. Für den Bergsteiger gilt die Präferenzrelation Lj >- L2 )^ T. Bei Bergbesteigung gilt nun [Li;l-w;T]:^L2, was nicht im Widerspruch zum Monotonieprinzip steht. 3.7.4. Zur Maximierung des Erwartungswertes des Nutzens Nach dem BERNOULLI-Prinzip ist der Erwartungswert des Nutzens der möglichen Ergebnisse zu maximieren. Gegen dieses Konzept wird gelegentlich eingewandt, die Maximierung des Erwartungswertes sei zwar im Wiederholungsfall sinnvoll, nicht jedoch im Einzelfall, fiir den gerade das BERNOULLI-Prinzip konzipiert ist (vgl. z.B. HEILIG, 1977). Bei diesem Argument werden die Maximierung des Erwartungswertes einer Zielgröße und die Maximierung des Nutzenerwartungswertes durcheinander gebracht (ganz abgesehen davon, daß die Maximierung des Erwartungswertes einer Zielgröße selbst im Wiederholungsfall keine selbstverständliche Entscheidungsregel darstellt, Abschnitt 2.1.2). Die Nutzenwerte der Ergebnisse werden doch gerade so bestimmt, daß die Maximierung des Nutzenerwartungswertes sinnvoll erscheint, sofern bestimmte Axiome akzeptiert werden. 3.7.5, Widerspruch zu tatsächlichem Verhalten Zuweilen wird das BERNOULLI-Prinzip mit dem Argument kritisiert, das tatsächliche Verhalten von Entscheiden! in der Realität stehe oft im Widerspruch zum BERNOULLI-Prinzip. Li dem Wahlexperiment von ALLAIS (1953) konnte gezeigt werden, daß sich die Versuchspersonen häufig gegensätzlich zum BERNOULLI-Prinzip verhielten. ALLAIS konstruierte folgendes Beispiel: Die Versuchspersonen hatten zunächst die Wahl zwischen den Angeboten A^ und A2: Aj: 1 Million Francs mit Sicherheit. A2: 5 Millionen Francs mit der Wahrscheinlichkeit 0,10 oder 1 Million Francs mit der Wahrscheinlichkeit 0,89 oder kein Gewinn mit der Wahrscheinlichkeit 0,01. Zahlreiche Versuchspersonen erklärten, daß sie A^ vorziehen würden. Viele dieser Personen haben bei der sich anschließenden zweiten Wahl zwischen den

198

Kapitel VI

Angeboten A3 und A4 das Angebot A4 vorgezogen. Dabei bestanden die Angebote A3 und A4 in folgenden Gewinnchancen: A3: 1 Million Francs mit der Wahrscheinlichkeit 0,11 oder kein Gewinn mit der (Gegen-) WahrscheinHchkeit 0,89. A4: 5 Millionen Francs mit der Wahrscheinhchkeit 0,10 oder kein Gewinn mit der (Gegen-) Wahrscheinhchkeit 0,9. Die festgestellten Präferenzrelationen Aj :^ A2 und A4 >- A3 sind mit dem BERNOULLI-Prinzip inkompatibel. Die Relation Aj >- A2 impliziert, daß der Nutzenwert von 1 (Million) höher ist als der Nutzenerwartungswert der möglichen Gewinne der Alternative A2: (VI.26)

U(l)>0,l-U(5) + 0,89-U(l) + 0,01-U(0).

Wegen A4 >• A3 müßte zugleich auch gelten: (VI.27)

0,l-U(5)+0,9-U(0)>0,ll-U(l) + 0,89-U(0).

Die Ungleichungen (VI.26) und (VI.27) sind jedoch unvereinbar, wie immer die Nutzenfunktion U auch aussehen mag. Die Addition beider Ungleichungen macht dies deutlich: (VI.28)

0,l-U(5)+U(l) + 0,9-U(0)>0,l-U(5)+U(l) + 0,9-U(0).

Personen, die A^ der Alternative A2 vorziehen, müssen bei einer Entscheidung nach dem BERNOULLI-Prinzip notwendig auch A3 der Alternative A4 vorziehen. Die Beobachtung, daß dies bei praktischen Wahlexperimenten nicht immer der Fall ist, zeigt aber zunächst nur, daß das BERNOULLI-Prinzip hinsichtlich seiner Eignung für die Prognose des Entscheidungsverhaltens in der Realität skeptisch zu beurteilen ist. Wie ist der Befund von ALLAIS unter normativem Aspekt zu beurteilen? Die Antwort auf diese Frage verdeutlicht L. SAVAGE, der, von ALLAIS befragt, seine Präferenzen ebenfalls in inkonsistenter Weise äußerte. "Auf die Inkompatibilität dieser Wahl mit den Axiomen des Erwartungsnutzens (des BERNOULLIPrinzips, H.L.) hingewiesen, erwiderte SAVAGE, er habe sich geirrt. Dieser Versuch und die Antwort SA VAGES zeigen deutlich die Rolle einer normativen Theorie des rationalen Verhaltens. In unübersichtlichen Entscheidungssituationen ist es durchaus möglich, daß tatsächliches Verhalten mit gewissen Postulaten des rationalen Handelns im Widerspruch steht. Im allgemeinen wird man dies aber nicht zum Anlaß nehmen, die Verhaltenspostulate aufzugeben, sondern den Begriff "Irrtum" einflihren. In der Logik ist die Situation durchaus analog. Auch in mäßig komplizierten Situationen kann man im täglichen Leben immer wieder Abweichungen von den Gesetzen der Logik finden. Es würde jedoch niemand einfallen, solche empirischen Befunde zum Anlaß zu nehmen, die betreffenden Gesetze der Logik ohne weiteres aufzugeben; vielmehr erfolgt die Aufforderung, man möge seine Gedanken noch einmal überprüfen.

Entscheidungskriterien bei Risiko

um den logischen hrtum ausfindig zu machen" hierzu auch SCHNEEWEIß, 1966, S. 79ff.).

4.

(FERSCHL,

199

1975, S. 51). (Vgl.

Das ARROW-PRATT-Maß für absolute Risikoaversion

Für die Analyse von Entscheidungsproblemen bei Risiko hat - wie in späteren Kapiteln dieser Arbeit und z. B. in LAUX (2003) immer wieder deutlich wird der folgende "Risikoaversionkoeffizient" große Bedeutung: (VI.29) ^

a(Z) = ^ \ ' ' U'(Z)

Dieser Koeffizient gilt als Maß für die lokale absolute Risikoaversion. ARROW und PRATT entwickelten unabhängig voneinander dieses nach ihnen benannte Maß (PRATT, 1964, S. 135f.).

Der Risikoaversionkoeffizient (VI.29) mag zunächst als wenig plausibel erscheinen. Es stellt sich die Frage, ob nicht zum Beispiel U' oder U" ein besseres Maß für die Risikoaversion sei. Wie in Abschnitt 3.4 gezeigt wurde, hat eine positiv lineare Transformation der Nutzenfunktion U keinen Einfluß auf die Präferenzordnung des Entscheiders. Sie sollte daher auch keinen Einfluß auf das Maß der Risikoaversion haben. Wird die Funktion U* = b • U + c abgeleitet ergibt sich jedoch: U*' = b - U '

und

U*" = b . U " .

Beide Ableitungen ändern sich somit bei (positiv) linearer Transformation der Nutzenfunktion. Sie sind somit isoliert gesehen als Maß für die Risikoaversion nicht geeignet (PRATT, 1964, S. 127). Wird dagegen der Quotient aus zweiter und erster Ableitung der RNF gebildet, ergibt sich ein Maß für die Risikoaversion, das von einer linearen Transformation unabhängig ist. Um den Risikoaversionskoeffizienten zu erhalten, muß der Quotient der Ableitung noch mit (-1) multipliziert werden. Wegen U'>0 und U"<0 ist der Risikoaversionskoeffizient bei Risikoaversion (U"<0) stets positiv und bei Risikovorliebe (U">0) stets negativ. Der Kehrwert des Risikoaversionkoeffizienten wird als "Risikotoleranz" bezeichnet. Auch dieser Quotient ist für spätere Analysen von Bedeutung.

200

Kapitel VI

5.

Klassische Entscheidungskriterien und Risikomaße im Licht des BERNOULLI-Prinzips

5.1.

Überblick

Die in den Abschnitten 2 und 3 dargestellten Entscheidungskriterien unterscheiden sich im wesentlichen durch die Präzision, mit der sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Ergebnisse erfassen: Während das BERNOULLIPrinzip (Abschnitt 3) es gestattet, alle möglichen Ergebnisse explizit zu berücksichtigen, erfassen die klassischen Entscheidungskriterien (Abschnitt 2) nur einige Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße: Die }i-Regel berücksichtigt nur den Erwartungswert |LI der Zielgröße. Alle Handlungsaltemativen mit demselben ^i-Wert werden als gleichwertig angesehen, auch wenn sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße ansonsten wesentlich unterscheiden. Das (|j.,a)-Prinzip berücksichtigt zusätzlich zum Erwartungswert der Zielgröße deren Standardabweichung (bzw. Varianz). Alternativen mit demselben jn-Wert sind dann und nur dann gleichwertig, wenn auch die Standardabweichung jeweils gleich ist. Mögliche Unterschiede hinsichtlich anderer Parameter sind irrelevant. Diese einfachen Entscheidungskriterien erfordern einen relativ niedrigen Aufwand im Hinblick auf die Bewertung von Alternativen. Es ist daher naheliegend, sie bei der Konstruktion von Entscheidungsmodellen zugrunde zu legen. Die Einfachheit dieser Kriterien resultiert jedoch daraus, daß sie Liformationen unterdrücken, indem sie nur wenige Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße erfassen. Es ist daher zu vermuten, daß diese Kriterien im Licht des BERNOULLI-Prinzips, das alle möglichen Ergebnisse explizit berücksichtigt (und das im Einklang mit plausiblen Axiomen rationalen Verhaltens steht), als problematisch erscheinen können. hn folgenden wird gezeigt, daß die (dargestellten) einfachen Entscheidungskriterien nur in Spezialfällen mit dem BERNOULLI-Prinzip kompatibel sind. Für das (iJ,,a)-Prinzip wird außerdem verdeutlicht, welche Gestalt die hidifferenzkurven in einem (|a,a)- bzw. (|a,a2)-Diagramm aufweisen, sofern das (|Li,a)Prinzip im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip steht.

5.2.

Die |Li-Regel

Die ja-Regel folgt dann aus dem BERNOULLI-Prinzip, wenn die RNF linear (der Entscheider also risikoneutral eingestellt) ist. Eine lineare RNF kann allgemein wie folgt dargestellt werden: (VI.30)

U(Z)=x-Z+y (mit x>0 und y behebig).

Entscheidungskriterien bei Risiko

201

Für den Erwartungswert des Nutzens der Zielgröße gilt bei dieser RNF: (VL31)

E[U(Z)]=Zw(ZJ.U(Z,)=Xw(Z,).(x-Z,+y). z=l

z=l

Dabei bezeichnet ^{Z^ die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zielgröße die Ausprägung Z^ (z=l,2,...,Z) annimmt. Aus (VL31) folgt: Z

(VL32)

7J

7J

2:w(ZJ.U(ZJ=x- I w ( Z , ) - Z , + y Zw(Z^). z=l

z=l

z=l

^ =1

Z

Wegen S wCZ^) =1 gilt für(VL32) auch: z=l

z (VL33)

z

i:w(Z,).U(Z,)=x.i:w(ZJ.Z,+y=x.E(Z)H-y. z=l

z=l =E(Z)

(VL33) läßt sich kurz wie folgt darstellen: (VL34)

E[U(Z)]=x-|Li+y.

Wegen x>0 ist der Erwartungswert des Nutzens der Zielgröße eine (linear) steigende Funktion des Erwartungswertes \i der Zielgröße. Bei linearer RNF wird somit der Erwartungswert des Nutzens maximiert, wenn |LI maximiert wird; die jj,-Regel steht im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip. Ist die RNF nicht linear, so ist der Nutzenerwartungswert keine monoton steigende Funktion von \i. Die |Li-Regel folgt dann nicht mehr zwingend aus dem BERNOULLIPrinzip. Aufgrund ihrer Einfachheit kann es trotzdem sinnvoll sein, die JLIRegel anzuwenden, auch wenn die RNF nicht durchgehend linear verläuft. Die Anwendung der ji-Regel ist vor allem dann gerechtfertigt, wenn in der vorliegenden Entscheidungssituation die ungewisse Zielgröße innerhalb eines bestimmten Litervalls liegt, für das die RNF hinreichend genau durch eine lineare Funktion approximiert werden kann. Eine lineare Approximation kann vor allem dann naheliegen, wenn die Zielvariable bei den erwogenen Alternativen nur wenig streut.

202

Kapitel VI

5.3.

Das (ji5a)-Priiizip

5.3.1. Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße 5.3.1.1. Quadratische RNF als notwendige und hinreichende Bedingung für die Kompatibilität von (jn, o)-Prinzip und BERNOULLI-Prinzip Falls beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße gegeben sein können, folgt das (^,a)-Prinzip dann und nur dann aus dem BERNOULLIPrinzip, wenn die RNF quadratisch ist, wenn sie also die folgende Gestalt hat: 17) (VL35)

U(Z)=b-Z-c-Z2.

Hier soll nur gezeigt werden, daß quadratische Nutzenfunktionen hinreichende Voraussetzung dafür sind, daß das (|Li,a)-Prinzip im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip steht: 18) Für den Erwartungswert der Zielgröße gilt:

(VL36)

^=Xw(ZJ.Z,. z=l

Die Varianz der Zielgröße, das Quadrat der Standardabweichung a, ist definiert als (VI.37)

a2=2:w(Z,)-(2,-^)2= Xw(ZJ-(z2-2-Z,-M+|a2) z=l

z=l

= 2:w(Z2)-z2- Xw(ZJ-Z^-2-^+ i:w(Z,)-^2. Z=l

Z=l

Z=l

=^

=1

Unter Berücksichtigung von (VL36) und wegen X z = i ^ ( ^ z ) ' ^ l 1^^^ ^^^^ ^^ (VL37) auch schreiben: (VL38)

a2=Xw(Z,)-z2-2.^2+^2^ 2:w(ZJ-z2-^2. z=l

z=l

Daraus folgt: 17) Analog zu (VI.30) kann die Nutzenfunktion auch wie folgt dargestellt werden: U(Z) = b • Z - c • Z^ + y (mit y beliebig). Zur Vereinfachung der Darstellung wird in dieser Arbeit stets y=0 gesetzt. 18) Zum Beweis, daß eine quadratische RNF auch notwendige Voraussetzung dafür ist, daß das (ia,a)-Prinzip und das BERNOULLI-Prinzip im Einklang miteinander stehen (sofern beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Z gegeben sein können), vgl. SCHNEEWEIß (1967, S. 113ff.).

Entscheidungskriterien bei Risiko

(VI.39)

203

a2 + n2 = | ; ^ ( z ^ ) . z 2 . z=l

Für den Erwartungswert des Nutzens der Zielgröße gilt bei der quadratischen RNF (VL35): (VI.40)

2:w(z,).u(z,) == Zw(ZJ-(b •Zz - c - Z ^ ) z=l

z=l

= b-i;w(Z,).Z z - -c-Zw(Z,). Z2

z

,z=l

=1^

2

2

Aus (VL40) folgt in Verbindung mit (VL36) und (VL39): Z

(VL41)

S w ( Z , ) . U ( Z J = b - ^ - c . ( a.2^ +. ^..2> ^). z=l

Der Erwartungswert des Nutzens ist also eine Funktion des Erwartungswertes jLi und der Standardabweichung a der Zielgröße. Der Nutzenerwartungswert wird genau dann maximiert, wenn die Alternative mit dem höchsten Präfe2

2

renzwert b - | j , - c - ( a +|LI ) gewählt wird. Mit diesen Überlegungen ist zweierlei gezeigt: 1. Bei quadratischen RNF ist der Erwartungswert des Nutzens nur vom Erwartungswert und der Standardabweichung (oder der Varianz) der Zielgröße abhängig. Das (|a,(T)-Prinzip, d.h. die Beurteilung der Alternativen ausschließlich nach den Kennzahlen |LI und a, steht somit bei quadratischer RNF im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip. Jedoch wird der Erwartungswert des Nutzens nicht bei einer beliebigen (|Li,a)-Regel maximiert. 2. Die einer (quadratischen) RNF entsprechende (|Li,a)-Regel wird durch die Parameter b und c dieser RNF bestimmt. Gemäß (VI.41) lautet die Präferenzfunktion der betreffenden (|Li,a)-Regel: (VI.42)

0(i^,a) = b-|Li-c-(a^+lLi^).

Die Maximierung dieser Präferenzfunktion ist äquivalent der Maximierung des Nutzenerwartungswertes. 5.3.1.2. Zur Gestalt einer quadratischen RNF Die Existenz einer quadratischen RNF (VI.3 5) ist (sofern beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße gegeben sein können) zugleich hinreichende und notwendige Voraussetzung dafür, daß das (jj,,a)-Prinzip im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip steht. Es stellt sich damit die Frage nach

204

Kapitel VI

der empirischen Relevanz quadratischer RNF. Wir wollen nur den Fall der Risikoaversion betrachten. Li diesem Fall ist b > 0 und c>0, wobei die RNF (VI.35) die folgende Gestalt hat: U(Z) unzulässiger Bereich

Abb. VI.24: Quadratische Risikonutzenfunktion (Risikoaversion) U(Z) steigt also mit wachsendem Z zunächst an und sinkt nach Erreichen eines Maximums wieder. (Das Maximum liegt dort, wo der Grenznutzen gleich null ist,d.h.beiZ=b/2c.l9)) Die Annahme, daß der Nutzen bei wachsendem Z wieder fällt, ist in der Regel wenig sinnvoll. Wenn der Entscheider durchgehend einen höheren Wert der Zielgröße einem niedrigeren vorzieht, ist der Nutzenwert eine streng monoton steigende Funktion von Z. Das (|i,a)-Prinzip kann jedoch im konkreten Anwendungsfall auch dann im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip stehen, wenn die RNF des Entscheiders nicht durchgehend quadratisch verläuft. Beide Prinzipien sind schon dann kompatibel, wenn die möglichen Zielgrößenwerte innerhalb eines Litervalls liegen, fiir das die RNF des Entscheiders (hinreichend genau) durch ein ansteigendes Parabelstück approximiert werden kann. Durch Wahl entsprechender Werte flir b und c kann die Steigung und die Krümmung des Parabelverlaufs stark variiert werden. Zur Verdeutlichung dient die Abbildung VL25.

19) Bei der Nutzenfunktion (VI.35) gilt: U'=b-2c-Z. Der Grenznutzen ist gleich null für b - 2c • Z =0. Hieraus folgt Z = ^ .

Entscheidungskriterien bei Risiko

205

Risiko-Nutzen-Funktion des Entscheiders U(Z)

Approximation durch eine quadratische ^"^^ Funktion

Abb. VI.25: Approximation einer RNF durch eine quadratische Funktion Kann die Zielgröße in der vorliegenden Entscheidungssituation in keinem Fall die Obergrenze Zj^^x überschreiten und existieren Parameter b und c, bei denen die quadratische Funktion (VI.35) die Risikonutzenfunktion des Entscheiders bis zum Punkt Zjy^ax hinreichend genau approximiert, so kann ein Entscheider, der im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip handeln möchte, die optimale Alternative nach einer (fa,a)-Regel bestimmen. Zwar impliziert die quadratische Nutzenfunktion, der Nutzenwert würde ab einem bestimmten Zielgrößenwert wieder sinken. Dies wirkt sich jedoch bei der Beurteilung der erwogenen Alternativen nicht aus, da keiner der möglichen Zielgrößenwerte im fallenden Bereich der quadratischen Nutzenfunktion liegt. 5.3.1.3. Zur Gestalt der Indifferenzkurven im (in, o^)-Diagramm bei quadratischer RNF (VL41) bringt zum Ausdruck, in welcher Weise bei gegebenen Parametern b und c der quadratischen RNF U(Z)=bZ-cZ2 der Nutzenerwartungswert der Zielgröße Z von deren Erwartungswert |LI und deren Varianz a^ abhängt. Alle Kombinationen von |LI und a^, denen derselbe Nutzenerwartungswert entspricht, sind einander äquivalent. Die äquivalenten Kombinationen von |LI und a^ können in einem (ji,a2)-Diagramm mit Flilfe

206

Kapitel VI

von Indifferenzkurven dargestellt werden. Man erhält die Gleichung einer solchen Indifferenzkurve, wenn man in (VL41) für den Nutzenerwartungswert einen bestimmten Wert U einsetzt und dann nach a^ auflöst. Dabei ergibt sich: /A.T..OX

2

(VL43)

a^ =

Ü

b

2

- Ü + b-jLi-c-|Li^

+ —-iii-iLi^ = ^—. c c c Für alternative Werte U erhält man eine Schar von Indifferenzkurven (Abbildung VL26). Die Steigungen der Indifferenzkurven ermitteln sich als die erste Ableitung von (VI.43) nach \i: (VL44)

da" d|Li

b. c

-2-|Ll.

Gemäß (VL44) sind die Steigungen der Indifferenzkurven für gegebenes |LI von a^ unabhängig: Allen Punkten mit demselben iiX-Wert entspricht jeweils derselbe Differentialquotient da^/dju. Die Indifferenzkurven verlaufen somit äquidistant zueinander; der senkrechte Abstand zwischen zwei Indifferenzkurven ist für jeden jj,-Wert gleich groß; verschiebt man eine Indifferenzkurve parallel nach oben bzw. nach unten, so gelangt man zu anderen Indifferenzkurven.

Abb. VI.26: Indifferenzkurven bei quadratischer RNF im (|Li,a^)-Diagranim Die Steigung einer beliebigen Indifferenzkurve ist jedoch eine linear fallende Funktion des Abszissenwertes \i. Für |LI=0 beträgt die Steigung — > 0. Gemäß

Entscheidungskriterien bei Risiko

207

(VI.44) ist die Steigung aller Lidifferenzkurven für denjenigen ja-Wert gleich null, für den (VI.45)

--2-|Li = 0 c

gilt. Hieraus folgt: ^ = ^ . 2c Der |Li-Wert, bei dem die Lidifferenzkurven ihr Maximum erreichen, stimmt also mit demjenigen Z-Wert überein, bei dem die entsprechende RNF ihr Maximum aufweist. Rechts vom Abszissenwert b/2c sind die Steigungen aller Lidifferenzkurven negativ (es liegt in diesem Bereich ein Verstoß gegen das Dominanzprinzip vor). Kann jedoch die Zielgröße in keinem Fall den Wert b/2c überschreiten, so ist der Bereich rechts vom Abszissenwert b/2c für die Entscheidungsfindung irrelevant. Ln Bereich links von diesem Abszissenwert ist der Erwartungsnutzen eine monoton steigende Funktion von |i und eine monoton fallende von a^. Allgemein entspricht einer Lidifferenzkurve ein um so höherer Nutzenerwartungswert, je weiter unten sie im Koordinatensystem verläuft. Eine Vergrößerung von b/2c führt zu einer Parallelverschiebung der Lidifferenzkurven nach rechts. Jedem |Li
5.3.1.4. Zur Gestalt von Indifferenzkurven im (ju, o)'Diagramm bei quadratischer RNF Aus (VL43) folgt: (VL47)

^ . . / - U + b-n-c-^^

Diese Gleichung beschreibt die Menge derjenigen ()Li,a)-Kombinationen, denen derselbe Nutzenerwartungswert U entspricht. Li graphischer Darstellung ist (VL47) ein Halbkreis, dessen Mittelpunkt auf der Abszisse liegt. Der Abszissenwert dieses Punktes ist gleich b/2c, also gleich dem Betrag, bei dem die entsprechende RNF (VL35) ihr Maximum aufweist. Werden alternative Werte für U eingesetzt, ergibt sich eine Schar konzentrischer Halbkreise, die zeigen, welchen Kombinationen von \i und a gemäß (VL47) jeweils derselbe Erwartungsnutzen entspricht (Abbildung VL27). Kann die Zielgröße in keinem Fall den Wert b/2c überschreiten, so ist für die Entscheidungsfindung nur noch derjenige Bereich der Lidifferenzkurven relevant,

208

Kapitel VI

der links vom Abszissenwert b/2c liegt. Li diesem Bereich ist der Erwartungsnutzen eine monoton steigende Funktion von |LI und eine monoton fallende Funktion von a. Allgemein entspricht einer Indifferenzkurve ein um so höherer Nutzenerwartungswert, je kleiner ihr Radius ist.

Abb. VI.27: Indifferenzkurven bei quadratischer RNHF im (jLi,a)-Diagramm 5.3.1.5. Quadratische Risikonutzenfunktion und ARROW-PRATTRisikoaversionkoeffizient Für die erste Ableitung der quadratischen Nutzenfunktion (VL35) gilt: (VI.48)

U'=b-2c-Z.

Für die zweite Ableitung gilt: (VI.49)

U"=-2c.

Mithin folgt aus (VI.29) für den Risikoaversionkoeffizienten a(Z): (VI.50)

a(Z) = -

U"(Z)_ U'(Z)

-2c _ b-2c-Z

2c

1 -^-Z

Bei quadratischer Risikonutzenfunktion ist der Risikoaversionkoeffizient eine monoton steigende Funktion von Z. Geht Z gegen b/2c, so geht a(Z) gegen unendlich; es besteht steigende absolute Risikoaversion. Der Kehrwert des Risikoaversionkoeffizienten, die Risikotoleranz, beträgt gemäß (VI.50): (VL51)

1 a(Z)

.=A_z. 2c

Ein Vergleich mit (VI.44) zeigt, daß die Steigung der Indifferenzkurven im (|a,a2)-Diagramm an der Stelle |LI mit der doppelten Risikotoleranz für Z=JLI übereinstimmt:

Entscheidungskriterien bei Risiko

da^ b (VL44a) - — dja

c

2^1 = — -

mit

a(fa) = -^^

a(|Li)

209

.

^ - ^

Je größer der Risikoaversionkoeffizient a(Z) für Z=fa, desto geringer sind somit die Indifferenzkurvensteigungen im ()j.,a^)-Diagramm für \i=Z. 5.3.2. Normalverteilte Zielgröße 5.3.2.1. Exponentielle RNF als h inreichende Bedingung für die Kompatibilität von (ju, o)-Prinzip und BERNOULLI-Prinzip Ist die RNF nicht quadratisch (und ist sie auch nicht hinreichend genau durch eine quadratische Funktion approximierbar), so muß das (|j.,a)-Prinzip dennoch nicht zwingend aufgegeben werden. Eine quadratische RNF ist zwar dann notwendige Voraussetzung für die Kompatibilität von (iJ,,a)-Prinzip und BERNOULLI-Prinzip, wenn beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Z gegeben sein können. Es existieren jedoch spezielle Klassen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen auch dann mit dem (|Li,a)-Prinzip gearbeitet werden kann, wenn die RNF nicht quadratisch ist. Zu ihnen gehört die Normalverteilung. Falls bei allen Handlungsaltemativen die Zielgröße normalverteilt ist, folgt das (|i,a)-Prinzip immer dann aus dem BERNOULLI-Prinzip, wenn die RNF konkav ist (RUDOLPH, 1979, S. 13ff). Dabei hängt die funktionale Beziehung zwischen dem Nutzenerwartungswert und den Parametern JLI und a von der Gestalt der RNF ab. Die Beziehung ist besonders einfach und anschaulich, wenn die RNF die folgende Gestalt hat (exponentielle RNF): (VI.52)

U(Z) =

K. = - e " ^ ' ^ (mit a>0).

Für den Nutzenerwartungswert einer normalverteilten Zielgröße Z gilt bei exponentieller RNF (zum Beweis vgl. FREUND, 1956, S. 255): (VL53)

E[U(Z)] =U(|^ - - • a^ ) (mit a>0).

In Worten: Der Nutzenerwartungswert der normalverteilten Zielgröße Z ist mit dem Nutzen eines sicheren Zielgrößenwertes von \x-^-^

identisch. Da-

bei stammt der Gewichtungsfaktor a aus der RNF (VL52). Gemäß (VI.53) ist ein sicherer Zielgrößenwert in Höhe von i a - - | - a der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße (mit dem Erwartungswert |LI und der Varianz a^) gleichwertig; der Entscheider ist indifferent zwischen der Wahrscheinlichkeitsverteilung und dem sicheren Zielgrößenwert. Dieser wird als Sicherheitsäquivalent fiir die Verteilung bezeichnet (vgl. hierzu die Darstel-

210

Kapitel VI

lungen in Kapitel VII). Wird das Sicherheitsäquivalent mit SÄ(Z) bezeichnet, so folgt: (VL54)

SÄ(Z) = |Li-

2

In Worten: Der sichere Zielgrößenwert, der der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße äquivalent ist, ist gleich der Differenz aus dem Erwartungswert und der mit a / 2 gewichteten Varianz der Zielgröße. 5.3.2.2. Zur Gestalt exponentieller RNF In der folgenden Abbildung VI. 28 wird eine RNF des Typs (VL52) dargestellt. Sie ist konkav und monoton steigend (sie nähert sich asymptotisch der Z-Achse). Der konkave Verlauf impliziert Risikoaversion. Die Risikoaversion kommt auch klar in (VI.54) zum Ausdruck: Wegen a>0 ist das Sicherheitsäquivalent eine linear fallende Funktion des Risikomaßes a^ (der Varianz der Zielgröße). Dabei ist das Sicherheitsäquivalent für jede ()a,a2)-Konstellation um so kleiner, je größer a ist. (Problematisch ist hierbei, daß der "Risikoabschlag" -| • a unabhängig von \i ist.)

Abb. VI.28: Exponentielle Risikonutzenfunktion 5.3.2.3. Zur Gestalt der Indifferenzkurven im (/u, o^)-Diagramm bei exponentieller RNF und normalverteilter Zielgröße In einem (|Li,a2)-Diagramm können wieder Indifferenzkurven dargestellt werden, die zeigen, gegenüber welchen (|Li,a2)-Kombinationen der Entscheider indifferent ist. Da allen (jLi,a^)-Kombinationen auf einer Indifferenzkurve dasselbe Sicherheitsäquivalent entspricht, kann die Gleichung einer Indifferenzkurve ermittelt werden, indem in (VI.54) für SÄ(Z) ein bestimmter Wert SÄ(Z)* eingesetzt und dann nach a^ aufgelöst wird:

Entscheidungskriterien bei Risiko

(VL55)

211

a^=--|Li--.SÄ(Z)*. a a

Für alternative Werte SÄ(Z)* ergibt sich eine Schar von Lidifferenzkurven als parallele Geraden mit der Steigung 2/a. Je größer a ist, um so niedriger ist die Steigung. Für a=4 ergeben sich z.B. folgende Indifferenzkurven:

Steigung = 1/2

Abb. VI.29: Indifferenzkurven bei exponentieller RNF und normal verteilter Zielgröße (mit a = 4) Der Abszissenwert einer Indifferenzkurve an der Stelle G^=0 bezeichnet das Sicherheitsäquivalent fiir alle (ia,a2)-Konstellationen auf dieser Indifferenzkurve. 5.3.2.4. Zur Gestalt der Indifferenzkurven im (ju, o)-Diagramm bei exponentieller RNF und normalverteilter Zielgröße Zieht man aus jedem Ordinatenwert a^ die Wurzel, erhält man die Indifferenzkurven im (|Li,a)-Diagramm. Alle Indifferenzkurven haben dieselbe Krümmung (bzw. fiir jedes a dieselbe Steigung); verschiebt man eine Indifferenzkurve nach links oder rechts, gelangt man zu anderen Indifferenzkurven.

212

Kapitel VI

Abb. VI.30: Indifferenzkurven bei exponentieller RNF und normal verteilter Zielgröße 5.3.2.5. Exponentielle Risikonutzenfunktion und Risikoaversionkoeffizient

ARROW-PRATT-

Für die erste Ableitung der Nutzenfunktion (VL52) gilt (VL56)

U'(Z)=a-e-aZ

und für die zvv^eite Ableitung: (VL57)

U"=-a2.e-aZ.

Somit folgt für den Risikoaversionkoeffizienten: (VL58)

a(Z) = -

U" U'

-ao2 -e^-aZ -aZ

• a.

a-e Der Risikoaversionkoeffizient stimmt also mit dem Exponenten der exponentiellen Risikonutzenfunktion überein; er ist von Z unabhängig (konstante absolute Risikoaversion).^^) Für die zugehörige Risikotoleranz gilt: (VL59)

1 a(Z)

1 a

20) Bei linearer Nutzenfunktion (also bei Risikoneutralität des Entscheiders) gilt U"=0 und mithin auch a(Z)=0. Somit ist auch bei linearer Nutzenfunktion der "Risikoaversionkoeffizient" von Z unabhängig. Ist die Risikonutzenfunktion weder exponentiell noch linear, ist der Risikoaversionkoeffizient von Z abhängig (PRATT, 1964, S. 127).

Entscheidungskriterien bei Risiko

213

Ein Vergleich mit (VI.5 5) zeigt, daß bei exponentieller RNF und Normalverteilung die Steigung der Indifferenzkurven im (|LX,a2)-Diagramm mit der doppelten (konstanten) Risikotoleranz übereinstimmt.

Ergänzende und vertiefende Literatur: (1953); BAMBERG/COENENBERG (2002, S. 76-125); BAMBERG/TROST (1996) BiTz (1981); BITZ/ROGUSCH (1976); COENENBERG/KLEINE-DOEPKE (1975); DYCKHOFF (1993); ENGELKAMP (1980); HAX (1974a, S. 36-69); KUPSCH (1973); LUCE/RAIFFA (1957, S. 12-38 und 275-326); MAG (1990); MARKOWITZ (1959, S. 205-242); RAIFFA (1973, S. 71-156 und 328-332); ALLAIS

ROMMELFANGER/EiCKEMEIER (2001); SCHNEEWEIß, H. (1967a); TVERSKY/

(1981; 1986); WEBER, M . (1987); (1977); WITTMANN (1959; 1975).

KAHNEMAN WILHELM

WEBER/CAMERER

(1987);

VII.

1.

Sicherheitsäquivalent, Risikoabschlag und Wert einer stochastischen Zielgröße Problemstellung

Für die Analyse riskanter Maßnahmen sind die theoretischen Konstrukte ''Sicherheitsäquivalenf und ''Werf von grundlegender Bedeutung. Das Sicherheitsäquivalent einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Zielgröße Z ist definiert als derjenige sichere Zielgrößenwert SÄ(Z), der dieser Verteilung gleichwertig ist. (Der Entscheider ist also indifferent zwischen der sicheren Ausprägung SÄ(Z) und der Wahrscheinlichkeitsverteilung.) Von zwei beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße ist jene vorzuziehen, der ein höheres Sicherheitsäquivalent entspricht. Bietet sich dem Entscheider die Möglichkeit, ein Wirtschaftsgut zu erwerben, das in Zukunft zu einer bestimmten Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine finanzielle Zielgröße - zum Beispiel Gewinn oder Endvermögen - führt, kann sich für ihn das Problem stellen, den Wert dieses Gutes zu ermitteln. Der Wert ist diejenige kritische Anschaffungsauszahlung, bei der der Kauf weder vorteilhaft noch nachteilig ist. Ist der vom potentiellen Verkäufer geforderte Preis niedriger bzw. höher als der Wert, so ist der Erwerb des Gutes (bzw. der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilung) für den Entscheider vorteilhaft bzw. nachteilig. Besitzt der Entscheider bereits ein Wirtschaftsgut, das in Zukunft zu einer stochastischen Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine finanzielle Zielgröße führt, und bietet sich dem Entscheider die Möglichkeit des Verkaufs, so kann sich ebenfalls ein Bewertungsproblem ergeben. Der Wert ist nun derjenige kritische Verkaufserlös, den der Entscheider mindestens erzielen muß, damit er durch den Verkauf keinen Nachteil erleidet. Ist der gebotene Preis höher bzw. niedriger als der Wert, so ist der Verkauf für den Entscheider vorteilhaft bzw. nachteilig. Im folgenden wird untersucht, wie das Sicherheitsäquivalent und der Wert ermittelt werden können und wie deren Höhe von der Gestalt der Wahrscheinlichkeitsverteilung und der Risikoeinstellung des Entscheiders abhängen. Dabei wird deutlich, daß nur in Ausnahmefällen Wert und Sicherheitsäquivalent miteinander übereinstimmen. Charakteristische Unterschiede bei quadratischer RNF werden dargestellt.

216

2.

Kapitel VII

Sicherheitsäquivalent und Risikoabschlag

2.1. Herleitung Das Sicherheitsäquivalent einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße hängt ab von - der Gestalt dieser Verteilung und - der Nutzenfunktion des Entscheiders. Im folgenden soll untersucht werden, welche Höhe das Sicherheitsäquivalent aufweist. Die Darstellungen verdeutlichen vor allem auch die Implikationen, die aus den Begriffen "Risikoneutralität", "Risikoaversion" und "Risikofreude" folgen. Nach dem BERNOULLI-Prinzip muß der Nutzenwert des Sicherheitsäquivalents mit dem Erwartungswert des Nutzens übereinstimmen, der der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße entspricht. Somit gilt für das Sicherheitsäquivalent: (VII.l)

U[SÄ(Z)]=E[U(Z)]= S w ( Z J . U ( Z , ) . z=l

Die Differenz zwischen dem Erwartungswert und dem Sicherheitsäquivalent wird als "Risikoabschlag" (RA(Z)) bezeichnet: (VII.2)

RA(Z) = E ( Z ) - S Ä ( Z ) .

Wie später gezeigt wird, ist bei streng konkaver RNF (bei Risikoaversion) des Entscheiders der Risikoabschlag/»o^zYzv. Der Risikoabschlag kann dann als die geforderte Risikoprämie interpretiert werden: Eine riskante Maßnahme kann im Vergleich zu einer sicheren Alternative nur dann (streng) vorteilhaft sein, wenn sie im Urteil des Entscheiders gegenüber der sicheren Alternative eine "Risikoprämie" bietet, die höher ist als der Risikoabschlag. (Stimmt die Risikoprämie mit dem Risikoabschlag überein, ist der Entscheider indifferent zwischen der riskanten und der sicheren Alternative.) Zur Erläuterung sei ein einfaches Beispiel betrachtet. Der risikoaverse Entscheider habe die Möglichkeit, ein riskantes Investitionsprojekt mit einer Nutzungsdauer von einer Periode durchzuführen. Das Projekt führt am Ende der Periode (dem Zeitpunkt 2) zu einem ungewissen Einzahlungsüberschuß von e2p mit dem Erwartungswert E(e2p). Die Anschaffungskosten zu Beginn der Periode (dem Zeitpunkt 1) betragen A i p > 0 . Wird das Projekt nicht durchgeführt, so wird der Betrag A^p auf dem Kapitalmarkt zu einem risikolosen Zinssatz r angelegt. Bei Durchführung des Projekts erzielt der Entscheider ein riskantes Endvermögen von e2p, im Fall der Unterlassung und Anlage zum Zinssatz r

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

217

ein sicheres Endvermögen von (1+r) • A^p. Wäre der Entscheider risikoneutral, so wäre das Projekt genau dann vorteilhaft, wenn E(e2p) > (l+r)-Aip gilt. Da er jedoch risikoavers ist, nimmt er bei der Bewertung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über e2p einen Risikoabschlag RA(e2p) vor. Die Vorteilhaftigkeitsbedingung lautet: E(e2p)-RA(e2p)>(l + r).Aip. Hierfür kann man schreiben: E ( e 2 p ) - ( l + r).Aip >RA(e2p).

Die Differenz auf der linken Seite dieser Ungleichung stellt die Risikoprämie RPp des Projekts dar. Sie gibt an, wie weit der Erwartungswert des Endvermögens (allgemein: der Zielgröße) steigt, wenn statt der sicheren Alternative die riskante gewählt wird. Die Risikoprämie ist gewissermaßen die "Belohnung" für die Übernahme des Risikos. Das riskante Projekt ist vorteilhaft, wenn es eine Risikoprämie bietet, die höher ist als der Risikoabschlag. ^)

2.2.

Sicherheitsäquivalent bei Risikoneutralität

Bei Risikoneutralität kann die RNF wie folgt dargestellt werden: U(Z) = Z. Entsprechend gilt für den Nutzenwert des Sicherheitsäquivalents: U[SÄ(Z)] = SÄ(Z). Einsetzen in (VII. 1) ergibt: (VII.3)

SÄ(Z) = E(Z).

Bei Risikoneutralität stimmt also das Sicherheitsäquivalent mit dem Erwartungswert der Zielgröße überein; der Risikoabschlag ist gleich null.

1)

Ist die Risikoprämie des Projekts negativ, so kann das Projekt nur dann vorteilhaft sein, wenn der Risikoabschlag ebenfalls negativ ist. Wie im folgenden gezeigt wird, ist das nur bei Risikofreude des Entscheiders der Fall.

218

Kapitel VII

2.3.

Sicherheitsäquivalent bei Risikoaversion

23,1.

Das Sicherheitsäquivalent Zielgröße

ist kleiner als der Erwartungswert

der

Bei Risikoaversion ist die RNF streng konkav. Für jede streng konkave RNF ist das Sicherheitsäquivalent kleiner als der Erwartungswert der Zielgröße: (VIL4)

SÄ(Z) < E(Z).

Beweis: Für eine streng konkave RNF gilt die Ungleichung (vgl. z.B. DE GROOT, 1970,

(VII.5)

S.

97):

U[Z|Z = E(Z)] > E[U(Z)].

Der Nutzenwert eines sicheren Zielgrößenwertes in Höhe von E(Z) ist somit größer als der Erwartungswert des Nutzens der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße. Folglich wird bei Risikoaversion ein sicherer Z-Wert in Höhe von E(Z) der Verteilung vorgezogen; der betreffende (sichere) Z-Wert kann kein Sicherheitsäquivalent sein. Da der Nutzen U(Z) mit steigendem Z steigt, wird auch jeder sichere Zielgrößenwert Z > E ( Z ) der Verteilung vorgezogen. Folglich ist das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z) kleiner als E(Z) (q.e.d.). Der Risikoabschlag ist somit positiv. Wie weit SÄ(Z) unter E(Z) liegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße und der RNF des Entscheiders ab. 2,3.2. Graphische

Veranschaulichung

Zur Erläuterung und Interpretation von (VIL4) wird angenommen, die Zielgröße Z könne nur die Werte Zj und Z2 (Z2>Zi) annehmen. Für den Erwartungswert der Zielgröße gilt dann: (VII.6)

E(Z)=w(Zi)-Zi+w(Z2)-Z2.

Wegen w(Zi) = l-w(Z2) gilt hierfür auch: (VII.7)

E(Z) = [ l - w ( Z 2 ) ] - Z i + w ( Z 2 ) - Z 2 .

Umformung der Gleichung ergibt: (VII.8)

E(Z) = Zi + w(Z2)-[Z2 - Z i ] .

Für den Erwartungswert des Nutzens der Zielgröße Z gilt analog: (VII.9)

E[U(Z)] = U(Zi) + w(Z2 ) • [U(Z2) - U(Zi)].

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

219

Der Nutzenwert des Sicherheitsäquivalents muß mit diesem Erwartungswert übereinstimmen: (VII.IO)

U[SÄ(Z)]=U(Zi) + w(Z2)-[U(Z2)-U(Zi)].

Welche Größenbeziehung besteht nun zwischen dem Sicherheitsäquivalent SÄ(Z) und dem Erwartungswert E(Z)? Gilt z.B. w(Zi) = l/3 und w(Z2) = 2/3, so folgt: (VIL8a)

E(Z) = Z i + | . [ Z 2 - Z i ]

und

(VII.9a) E[U(Z)] = U(Zi) + 1 • [U(Z2) - U(Zi)]. Der Punkt Pj in Abbildung VII. 1 teilt die Strecke Z1Z2 so, daß gilt: Z|Pi:ZiZ2 =2:3. Folglich ist der Abszissenwert des Punktes P^ gemäß (VII.8a) gleich E(Z). Die Senkrechte durch Pj schneidet die Strecke P2P3 im Punkt S2. Dessen Ordinatenwert ist gleich U(Zi) + 2 / 3 - [ U ( Z 2 ) - U ( Z | ) ] , also gemäß (VIL9a) gleich E[U(Z)] bzw. gemäß (VII.IO) gleich U[SÄ(Z)]. Der Ordinatenwert des Punktes S^ ist gleich dem Nutzenwert des sicheren Zielgrößenwertes in Höhe von E(Z). Somit ist die Bedingung (VII.5) erfüllt und das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z) ist kleiner als E(Z). SÄ(Z) ist gleich dem Abszissenwert des Punktes S3, dessen Ordinatenwert mit dem von S2 übereinstimmt; der Nutzenwert von SÄ(Z) ist gleich E[U(Z)]. Es gilt also: (VII. 11)

SÄ(Z)<E(Z).

Diese Größenrelation gilt bei streng konkaver Nutzenfunktion (also bei Risikoaversion) auch für jeden anderen Wert von w(Z2) (0<w(Z2)
220

Kapitel VII

U(Z) •

1

P3

\1(7 ^ ^\^2) U[E(Z)] •

s,^^::::::^:^^ \

E[U(Z)] •

§2

= U[SÄ(Z)]

\ U(Z,) -

|.[U(Z2)-U(Z,)]

^ll^ ]

> U(Z,)

Pl

7

Zj

SÄ(Z)

E(Z)

Z2

Z

|-(Z2-Zi) uivalent bei Risikoaversion A b b . V I I . l : : ZAXVCL Sicherheitsäq

2.4.

Sicherheitsäquivalent bei Risikofreude

2AA, Das Sicherheitsäquivalent ist größer als der Erwartungswert der Zielgröße Bei Risikofreude ist die RNF streng konvex. Vm jede streng konvexe RNF ist das Sicherheitsäquivalent größer als der Erwartungswert der Zielgröße: (VIL12) SÄ(Z)>E(Z). Beweis: Für jede streng konvexe RNF gilt die Ungleichung (vgl. z.B. DE GROOT, 1970, S. 97):

(VII. 13) U[Z|Z = E(Z)]<E[U(Z)]. Folglich wird bei Risikofreude die Wahrscheinlichkeitsverteilung einem sicheren Z-Wert in Höhe des Erwartungswertes E(Z) vorgezogen; das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z) ist größer als E(Z) (q.e.d.). Der Risikoabschlag ist nun negativ. Wie weit SÄ(Z) über E(Z) liegt, hängt wieder von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße Z und der RNF des Entscheiders ab.

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

2.4.2, Graphische

221

Veranschaulichung

Zur Erläuterung und Interpretation von (VIL12) wird Abbildung VII.2 betrachtet, wobei wieder angenommen wird, es gelte w(Z2) = 2/3. U(Z) I

U(Z2) E[U(Z)] :U[SÄ(Z)] U[E(Z)] |-[U(Z2)-U(Zj)]

U(ZO -

} U(Z^)

f

(Z2-Z1)

Abb. VH.2: Zum Sicherheitsäquivalent bei Risikofreude Die Horizontale durch den Punkt S2 schneidet jetzt die Nutzenkurve im Punkt S3. Dessen Abszissenwert stimmt mit dem Sicherheitsäquivalent SÄ(Z) überein. Es gilt also: (VIL12)

SÄ(Z)>E(Z).

Diese Größenrelation gilt bei streng konvexer RNF (bei Risikofreude) auch für jeden anderen Wert von w(Z2) (0<w(Z2)
2.5.

Sicherheitsäquivalent und unstetige RNF

Verläuft die RNF nicht stetig, so existiert möglicherweise kein Sicherheitsäquivalent. An der folgenden Abbildung wird dies deutlich:

222

Kapitel VII

U(Z) ' . p3

5t

/

E[U(Z)]

\

7 0

z•1

'* 2

^

!L_

z2

Z

Abb. VII.3: Fehlen eines Sicherheitsäquivalents bei einer unstetigen RNF Die Zielgröße Z nehme die Werte Z^ bzw. Z2 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 an. Der Erwartungswert des Nutzens der Zielgröße, E[U(Z)], ist dann gleich dem Ordinatenwert des Punktes S. (Dieser Punkt hat denselben Abszissenwert wie der Punkt P^, der die Strecke Z1Z2 halbiert.) Aufgrund der Unstetigkeit der RNF gibt es keinen Z-Wert, für den U(Z) = E[U(Z)] gilt: Für jedes Z>Z* ist U(Z)>E[U(Z)]; für jedes ZZ* der Verteilung vorgezogen. Die Überlegungen verdeutlichen, daß nicht notwendigerweise ein Sicherheitsäquivalent existiert, wenn die RNF eine Sprungstelle aufweist. Jedoch ist zu vermuten, daß die RNF nur in Ausnahmesituationen unstetig ist. Im folgenden wird stets von stetigen Nutzenfunktionen ausgegangen.

2.6.

Sicherheitsäquivalent und Biegung der RNF

Die Darstellungen in den Abschnitten 2.3 und 2.4 haben gezeigt, daß das Sicherheitsäquivalent bei Risikoaversion niedriger ist als der Erwartungswert der Zielgröße und bei Risikofreude höher. Wie die Abbildung VII.4 verdeutlicht, hängt die Differenz zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent (also der Risikoabschlag) von der Biegung der RNF ab. Zur Vereinheitlichung der Darstellungen wurden die Nutzenfunktionen so normiert, daß jeweils für Zj bzw. für Z2 derselbe Nutzenwert maßgeblich ist

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

223

und außerdem U(Zi) = 0 und U(Z2) = l gilt. Für den Erwartungswert des Nutzens der Zielgröße gilt dann für jede Nutzenfunktion U: E[U(Z)] = w(Zi).0 + w(Z2)-l = w(Z2). Das Sicherheitsäquivalent ist somit gleich demjenigen Z-Wert, dessen Nutzenwert mit w(Z2) übereinstimmt: U[SÄ(Z)]=w(Z2).

w(Z2)- 1

U(Z2) = 1

Abb. VII.4: Zur Analyse der Höhe des Sicherheitsäquivalents in Abhängigkeit von der Biegung der RNF Bei der linearen RNF3 stimmt das Sicherheitsäquivalent für jeden Wert von w(Z2) mit dem Erwartungswert der Zielgröße überein. Für diesen Erwartungswert gilt seinerseits: E(Z) = Z i + w ( Z 2 ) - ( Z 2 - Z i ) . Der Erwartungswert ist eine linear steigende Funktion von w(Z2). Für w(Z2) = 0,5 ergibt sich zum Beispiel ein Erwartungswert in Höhe des Abszissenwertes des Punktes P3. Bei der Nutzenfunktion RNFj ist für w(Z2) = 0,5 das Sicherheitsäquivalent gleich dem Abszissenwert des Punktes Pi,^) also nur um einen kleinen Betrag höher als der Zielgrößenwert Z|. Der Risikoabschlag ist gleich der Differenz der Abszissenwerte der Punkte P3 und P | . Bei der Nutzenfunktion RNF2 ist das Sicherheitsäquivalent für w(Z2) = 0,5 gleich dem Abszis-

2)

Diesem Sicherheitsäquivalent entspricht bei der RNF| ein Nutzenwert in Höhe des Erwartungsnutzens 0,5 • U(Zi) + 0,5 • U(Z2) - 0,5.

224

Kapitel VII

senwert des Punktes P2. Das Sicherheitsäquivalent ist bei der Nutzenfunktion RNF2 höher als bei RNFj. Bei der Nutzenfunktion RNF4 bzw. RNF5 ist das Sicherheitsäquivalent für w(Z2) = 0,5 gleich dem Abszissenwert des Punktes P4 bzw. P5. In beiden Fällen ist das Sicherheitsäquivalent höher als der Erwartungswert E(Z); der Risikoabschlag ist negativ. Dabei ist auf Grund der stärkeren Biegung das Sicherheitsäquivalent bei der Nutzenfunktion RNF5 höher als bei RNF4. Der alternativen Werten für w(Z2) (0<w(Z2)< 1) entsprechende positive bzw. negative Risikoabschlag ist betragsmäßig um so höher, je stärker die Risikonutzenfunktion konkav bzw. konvex gebogen ist. Je steiler die RNF in einem Bereich verläuft, desto geringer ist die durch eine Reduktion oder Erhöhung der Wahrscheinlichkeit w(Z2) ausgelöste Änderung des zugehörigen Sicherheitsäquivalentes. Bei der RNF^ ist diese Änderung im Bereich geringer Wahrscheinlichkeiten w(Z2) sehr klein, während im Bereich hoher Wahrscheinlichkeiten das Sicherheitsäquivalent um einen relativ großen Betrag steigt bzw. sinkt, wenn w(Z2) steigt bzw. sinkt. Bei der RNF2 ist für jeden w(Z2)-Wert, der größer ist als 0 und kleiner als 1, das Sicherheitsäquivalent größer als bei der RNFj. Wenn ausgehend von null w(Z2) sukzessive steigt, so steigt sowohl bei der RNFj[ als auch bei der RNF2 das Sicherheitsäquivalent zunächst in geringerem Maße als bei der RNF3. Die Steigungen der RNF^ und RNF2 nehmen jedoch mit wachsendem w(Z2) ab. Ab einem bestimmten Punkt sind sie sogar kleiner als die Steigung der RNF3. Für w(Z2) = l ist das Sicherheitsäquivalent jeweils gleich Z2. Analoge Überlegungen können für die Nutzenfunktionen RNF4 und RNF5 angestellt werden. Für jede streng konkave bzw. streng konvexe RNF ist der Betrag des Risikoabschlages (d.h. der waagerechte Abstand zwischen der Nutzenfunktion und der Geraden RNF3) eine zunächst steigende und dann wieder fallende Funktion der Wahrscheinlichkeit w(Z2). Abbildung VII.5 zeigt explizit, wie das Sicherheitsäquivalent für die in Abbildung VII.4 dargestellten Nutzenfunktionen von w(Z2) abhängt.

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

1

225

w(Z2)

Abb. VTI.S: Zur Abhängigkeit des Sicherheitsäquivalents SÄ(Z) von der Wahrscheinlichkeit w(Z2) für alternative Nutzenfunktionen Dabei wurde der Nutzenwert U(Z2)=1 als Abszissenwert 1 in Abbildung VIL5 abgetragen und die Abbildung VII.5 durch Drehung der Abbildung VIL4 hergeleitet (Spiegelung an der 45°-Achse).

2.7.

Spezialfälle

2,7.7. Exponentielle RNF und

Normalverteilung

Bei exponentieller RNF und Normalverteilung gilt für das Sicherheitsäquivalent der Zielgröße (vgl. Kapitel VI, Abschnitt 5.3.2.1): (VIL14)

SÄ(Z) = | L i - - . a ^ .

Das Sicherheitsäquivalent ist hier eine linear fallende Funktion von a bzw. von a^. Es ist unabhängig von \i. 2.7.2, Quadratische RNF Bei quadratischer RNF U ( Z ) = b Z - c - Z 2 (^j^^j beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße) verlaufen die Indifferenzkurven im ()Li,cj2)-Diagramm streng konkav und äquidistant zueinander. (Verschiebt man eine Indifferenzkurve parallel nach oben bzw. nach unten, so ergeben sich andere Indifferenzkurven.) Allen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

226

Kapitel VIT

Über die Zielgröße, deren (|Li,a2)-Konstellationen auf derselben Indifferenzkurve liegen, entspricht dasselbe Sicherheitsäquivalent. Es ist gleich dem Abszissenwert desjenigen Punktes auf der |LI-Achse, in dem die betreffende Indifferenzkurve beginnt (da in diesem Punkt a^ gleich null ist, kennzeichnet er einen sicheren Zielgrößenwert). Da bei Risikoaversion die Indifferenzkurven im (relevanten) Bereich |a0) kleiner als deren Erwartungswert. Es gilt stets: SÄ(Z)<E(Z) = |^. Zum Beispiel entspricht dem Punkt P2 in Abbildung VII.6 ein Sicherheitsäquivalent von null. Bei gegebenem Erwartungswert p.' ist das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z) um so kleiner, je größer die Varianz der Zielgröße ist. (Vgl. die den Punkten Pi, P2 und P3 in Abbildung VII.6 entsprechenden Sicherheitsäquivalente.) a2'

P3

P2

J SÄ(Z3) j

Pi

•

sÄ(Zi)

^'

i

H = E(Z)

SA(Z2) = 0

Abb. VII.6: Einfluß von a^ auf das Sicherheitsäquivalent bei quadratischer RKF

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

2.8.

227

Risikoabschlag und A R R O W - P R A T T Risikoaversionskoeffizient

PRATT (1964, S. 125f.) hat gezeigt, daß bei beliebiger (stetiger und differenzierbarer) Nutzenfunktion und geringer Varianz der Zielgröße Z der Risikoabschlag (die geforderte Mindestrisikoprämie) wie folgt approximiert werden kann: (VII. 15) R A ( Z ) « ^*^^^. a^ 2

(Risikoabschlag bei geringer Varianz a^ und beliebiger RNF)

Der Risikoabschlag ist somit von der Höhe des Risikoaversionskoeffizienten an der Stelle Z = |a abhängig. Ist die RNF weder linear noch exponentiell, so variiert der Risikoabschlag mit |LI. Bei linearer RNF gilt a(Z) = 0 für jedes Z und der Risikoabschlag ist stets gleich null. Bei exponentieller Nutzenfunktion gilt a(Z) = a > 0 für jedes Z, so daß gemäß (VII. 15) der Risikoabschlag positiv und unabhängig vom Erwartungswert der Verteilung ist. Ist die Zielgröße normalverteilt, so ist bei exponentieller RNF (VII. 15) unabhängig von der Höhe der Varianz als Gleichung erfüllt: /yjj Yß) Ti\(7\

-^. 2

2

(Risikoabschlag bei beliebiger Varianz a^, Normalverteilung und exponentieller RNF)

Beweis: Wie erläutert wurde, gilt bei Normalverteilung und exponentieller RNF für das Sicherheitsäquivalent: (VII. 14) SÄ(Z) = ^ - - - a ^ . =RA(Z)

Der Risikoabschlag erfüllt somit die Bedingung (VII. 16) (q.e.d.). Bei Normalverteilung und exponentieller RNF ist der Risikoabschlag RA(Z) eine linear steigende Funktion der Varianz. Dabei ist der Anstieg um so größer, je höher der Risikoaversionskoeffizient a ist. |LI hat dagegen keinen Einfluß auf RA(Z) (konstante absolute Risikoaversion bei exponentieller RNF). Der Risikoaversionskoeffizient hat für die Analyse des Risikoabschlages und des Sicherheitsäquivalents einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße auch dann Bedeutung, wenn die bisher zugrunde gelegten Annahmen (kleine Varianz und beliebige RNF bzw. beliebige Varianz, Normalverteilung und exponentielle RNF) aufgehoben werden. Dies zeigt z.B. das folgende von PRATT (1964) bewiesene Theorem für beliebige (stetige und differenzierbare) Nutzenfunktionen:

228

Kapitel VII

Ist für jeden möglichen Z-Wert der Risikoaversionskoeffizient eines Entscheiders X mindestens ebenso hoch wie der eines Entscheiders Y, so ist auch der Risikoabschlag des Entscheiders X mindestens ebenso hoch wie der des Entscheiders Y: (VIL17)

RAx(Z)>RAy(Z)

falls ax(Z)> ay(Z) für jedes mögliche Z.

Für den im Sinne des ARROW-PRATT-Maßes a(Z) risikoaverseren Entscheider ergibt sich ein kleineres Sicherheitsäquivalent. Haben beide Entscheider eine exponentielle RNF U(Z) = -e~^ , so ist das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z) für den Entscheider mit dem höheren Risikoaversionskoeffizienten a niedriger. Dieser Zusammenhang gilt zwar für jede beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung über Z. Jedoch läßt er sich besonders anschaulich für den Fall einer Normalverteilung erkennen: Hier ist gemäß (VII. 14) das Sicherheitsäquivalent eine linear fallende Funktion von a. Haben beide Entscheider eine quadratische RNF mit c > 0 (beide sind dann risikoavers), so ist gemäß (VI.50) (Kapitel VI, Abschnitt 5.3.1.5) derjenige risikoaverser im Sinne des ARROW-PRATT-Maßes, für den der Quotient b/2c kleiner ist;^) sein Risikoabschlag ist größer und sein Sicherheitsäquivalent kleiner. Zur Erläuterung wird Abbildung VII.7 betrachtet: o2i

IKy^^_

i

N

\ >

R

L

1 * /iKx

L_4 b

*^""-,

1

\\

\\

\\

\

1

•

RAv 2c,

2c.

RA, Abb. VII.7: Zur Abhängigkeit des Risikoabschlages RA bei quadratischer RNF von dem Quotienten b/2c 3)

Die folgenden Darstellungen beziehen sich auf Z-Werte, die für beide Entscheider kleiner sind als -^. Im Fall Z = ^ bzw. Z > ^ wäre der Grenznutzen gleich null bzw. negativ.

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

229

Hier wird davon ausgegangen, der Entscheider X sei risikoaverser als Y (bx/2Cx RAy, wenn die Kurve IK^ für a2 = 0 einen kleineren Abszissenwert hat als die Kurve DC . Diese Bedingung ist erfüllt. Beweis: Die Steigung der Indifferenzkurve IK^ im Punkt P (mit dem Abszissenwert jLx') beträgt gemäß (VI.44) (vgl. Kapitel VI, Abschnitt 5.3.1.3): Stgx(^') = ^ - 2 K i ' . Analog ergibt sich für die Indifferenzkurve IK : Stgy(^l')=-^-2^'. Cy

Wegen h^llCy^
3.

Sicherheitsäquivalent einer stochastischen Änderung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Im Rahmen der bisherigen Darstellungen wurde das Sicherheitsäquivalent der gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße betrachtet. Wenn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße bereits existiert und Maßnahmen zur Veränderung dieser Verteilung erwogen werden, kann es sich als zweckmäßig erweisen, das Sicherheitsäquivalent nicht auf die neue Verteilung als Ganzes zu beziehen, sondern nur auf den stochastischen Betrag, um den sich die bisherige Verteilung ändert. Bezeichnet Z

230

Kapitel VII

den bisherigen Zielgrößenwert und Z^ die potentielle Änderung der Zielgröße, so ist das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z^) von Z^ gleich derjenigen sicheren Änderung der Zielgröße Z, die der ungewissen Änderung Z^ gleichwertig ist. Werden mehrere Alternativen zur Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erwogen, so ist jene mit dem höchsten Sicherheitsäquivalent SÄ(Z") optimal. Ist allerdings das maximale Sicherheitsäquivalent negativ, so wird keine der Alternativen realisiert; es bleibt beim Status quo. Das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z^) muß nach dem BERNOULLI-Prinzip folgende Gleichung erfüllen: (VII. 18)

E(U[Z 4- SÄ(Z^ )])=E[U(Z + Z^)].

In Worten: Die sichere Änderung des Zielgrößenwertes Z um das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z^) einerseits und die Änderung des Zielgrößenwertes Z um den ungewissen Betrag Z^ andererseits führen zu demselben Nutzenerwartungswert. Verläuft die RNF linear (der Entscheider ist dann risikoneutral), so kann (VII. 18) wie folgt dargestellt werden: (VII.19)

E[Z + SÄ(Z^)]=E(Z + Z^).

Hieraus folgt unmittelbar: (VII.20)

SÄ(Z'')=E(Z + Z ' ' ) - E(Z)=E(Z''). =SÄ(Z+Z")

=SÄ(Z)

Bei Risikoneutralität ist also das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z^) gleich dem Sicherheitsäquivalent der neuen (Gesamt-)Verteilung abzüglich des Sicherheitsäquivalents der ursprünglichen Verteilung. Diese Differenz ist ihrerseits gleich dem Erwartungswert von Z^. Bei exponentieller RNF und normalverteilter Zielgröße folgt aus (VII. 18) für das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z^): (VII.21)

E[Z+SÄ(Z'')]-|-Var[Z+SÄ(Z'')]=E(Z+Z^)-|-Var(Z+Z'') . =SÄ[Z+SÄ(Z")]

Da SÄ(Z^) eine deterministische Größe ist, gilt: Var[Z + SÄ(Z'')] = Var(Z) und E[Z + SÄ(Z^)] = E(Z) + SÄ(Z^).

=SÄ(Z+Z")

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

231

Somit kann (VIL21) wie folgt dargestellt werden: (VIL22) SÄ(Z^) = E(Z + Z^)--.Var(Z + Z^)-[E(Z)--.Var(Z)] . =SÄ(Z+Z")

=SÄ(Z)

In Worten: Das Sicherheits äquivalent von Z^ ist gleich der Differenz aus dem Sicherheitsäquivalent der neuen Verteilung, SÄ(Z+Z^), und dem Sicherheitsäquivalent der Ausgangsverteilung, SÄ(Z). Für (VIL22) kann man schreiben:^) (VIL23) SÄ(Z^) = E(Z^) - - • [Var(Z + Z^) - Var(Z)] = E(Z^)---[Var(Z^) + 2.Kov(Z,Z^)]. Das Sicherheitsäquivalent ist somit gleich dem Erwartungswert von Z^ abzüglich der mit a/2 gewichteten Änderung der Varianz der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße. Ist die Risikonutzenfunktion weder linear noch exponentiell, so gilt grundsätzlich: SÄ(Z^) ^ SÄ(Z + Z^) - SÄ(Z). Dies läßt sich anschaulich für den Fall quadratischer Nutzenfunktionen verdeutlichen (Abschnitt 5).

4.

Der Wert einer stochastischen Änderung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

4.1. Der Wert WK(Z") aus Sicht eines potentiellen Käufers Bei den Darstellungen in den Abschnitten 2 und 3 blieb offen, wie Z^ zu interpretieren ist. Die Darstellungen gelten unabhängig davon, ob es sich um eine finanzielle Größe (etwa Gewinn, Endvermögen, Einkommen) handelt oder um eine nichtfmanzielle (zum Beispiel "Ansehen", gemessen durch einen geeigneten Indikator). Bei Entscheidungsproblemen mit tm^v finanziellen Zielgröße beschreibt die Zielkomponente Z^ häufig nur einen Teil der Konsequenzen der erwogenen Maßnahmen. Es kann sich dann das Problem stellen, für die übrigen Konsequenzen kritische Ausprägungen festzulegen, bei denen die erwoge4)

Es gilt: Var(Z + Z " ) = Var(Z) + 2-Kov(Z,Z") + Var(Z").

232

Kapitel VII

nen Maßnahmen gegenüber dem Status quo weder vorteilhaft noch nachteilig sind. Eine praktisch besonders wichtige Problemstellung dieser Art ist die Ermittlung des "Wertes" eines Unternehmens, einer Beteiligung, einer Versicherung oder eines anderen Wirtschaftsgutes aus Sicht eines potentiellen Käufers. Die riskante Zielkomponente Z^ enthält dann noch nicht die Anschaffungsauszahlung (etwa deshalb nicht, weil darüber mit dem potentiellen Verkäufer noch verhandelt werden muß). Gesucht ist dann diejenige Anschaffungsauszahlung, von der an der Erwerb nachteilig wird.^) Diese kritische Obergrenze wird als Wert des betreffenden Wirtschaftsgutes für den potentiellen Käufer bezeichnet. Bei einer Anschaffungsauszahlung in Höhe des Wertes ist der Kauf weder vorteilhaft noch nachteilig. Ist die Anschaffungsauszahlung niedriger (bzw. höher) als der Wert, so ist der Kauf vorteilhaft (bzw. nachteilig). Der einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung entsprechende Wert kann auch negativ sein; die Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung durch den stochastischen Term Z^ wird dann kompensiert, wenn der Entscheider eine Einzahlung in Höhe des Betrages des Wertes erzielt. Im folgenden wird untersucht, welche Höhe der Wert WK(Z^) aus Sicht eines potentiellen Käufers aufweist. Bezieht sich die finanzielle Zielkomponente Z^ auf einen zukünftigen Zeitpunkt und ist die Anschaffungsauszahlung zu Beginn des Betrachtungszeitraums zu leisten, so ergeben sich Zinsprobleme. Hiervon wird im folgenden vereinfachend abgesehen. Man kann sich vorstellen, daß die Anschaffungsauszahlung zu demjenigen Zeitpunkt fällig wird, auf den sich der stochastische Term Z" bezieht (also z.B. der entsprechende Gewinn bzw. Verlust realisiert wird). Wird der zugehörige Wert mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert, so ergibt sich der Wert für den Fall, daß die Anschaffungsauszahlung schon zu Beginn des Betrachtungszeitraums vorzunehmen ist. Der Wert WK(Z^) muß nach dem BERNOULLI-Prinzip folgende Gleichung erfüllen: (VII.24)

E[U(Z)]=E(U[Z + Z^ - WK(Z^)]).

In Worten: Nach Abzug eines sicheren Betrages in Höhe von WK(Z^) weist die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße denselben

5)

Im Fall der Versicherung kennzeichnet Z" die Zahlung der Versicherungsgesellschaft an den Entscheider und der Wert der Versicherung die kritische Prämie, von der an die Versicherung für den Entscheider nachteilig wird.

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

233

Nutzenerwartungswert auf wie die ursprüngliche Verteilung. (Ist WK(Z^) negativ, so wird der betreffende Betrag hinzuaddiert.) Ein Vergleich von (VII.24) mit (VII. 18) läßt den Unterschied zwischen dem Wert WK(Z^) und dem Sicherheitsäquivalent SÄ(Z^) erkennen: Das Sicherheitsäquivalent ist diejenige sichere Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z, die als Alternative zu der ungewissen Änderung Z^ denselben Nutzenerwartungswert erzeugt. Der Wert dagegen ist diejenige sichere Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z + Z^, die wieder zu dem Erwartungsnutzen E[U(Z)] in der Ausgangssituation (dem Status quo) zurückführt. Verläuft die Risikonutzenfunktion linear (ist also der Entscheider risikoneutral), so kann (VII.24) wie folgt dargestellt werden: (VII.25)

E(Z)=E[Z + Z ^ - W K ( Z ^ ) ]

bzw.: (VIL26)

E(Z) + WK(Z'') = E[Z + ll" \

Aus (VIL26) folgt: (VIL27)

WK(Z'') = E(Z'').

Eine riskante Maßnahme kann bewertet werden ohne Rücksicht darauf, welche riskanten Maßnahmen bisher schon durchgeführt werden; es gibt bei Risikoneutralität keinen Bewertungsverbund. Ein Vergleich von (VII.27) mit (VIL20) zeigt, daß bei Risikoneutralität WK(Z^)=SÄ(Z^)gilt. Bei normalverteilter Zielgröße und exponentieller RNF muß WK(Z^) gemäß (VII.24) folgende Gleichung erfüllen: (VII.28)

E ( Z ) — V a r ( Z ) = E[Z + Z^-WK(Z^)] --.Var[Z + Z^-WK(Z^)].

Da WK(Z^) eine deterministische Größe ist, gilt Var[Z + Z"" - WK(Z'')] = Var(Z + Z"") und E[Z + Z"" - WK(Z'')] = E(Z) + E(Z^) - WK(Z''). Somit kann (VII.28) wie folgt dargestellt werden:

234

Kapitel VII

(VIL29) WK(Z^) = E(Z^)--.Var(Z + Z^) + -.Var(Z) = E(Z^)-|.[Var(Z + Z^)-Var(Z)] = E(Z'')---[Var(Z^) + 2.Kov(Z,Z'')]. Ein Vergleich mit (VIL23) zeigt, daß auch bei exponentieller RNF und Normalverteilung WK(Z^) = SÄ(Z'') gilt.

4.2.

Der Wert WV(Z") aus Sicht eines potentiellen Verkäufers

Besitzt der Entscheider bereits ein Wirtschaftsgut, das zu einer stochastischen Änderung Z^ einer finanziellen Zielgröße Z^ führt, so ist (unter Vernachlässigung von Zinsproblemen) der Wert gleich derjenigen sicheren Einzahlung, die den Entgang der stochastischen Zielkomponente Z^ kompensiert. Der Wert des Wirtschaftsgutes aus Sicht des Entscheiders (als potentiellem Verkäufer) muß nach dem BERNOULLI-Prinzip folgende Bedingung erfüllen: i

(VIL30) E(U[Z + WV(Z^)])=E[U(Z + Z'')]. In Worten'. Der sichere Erlös in Höhe von WV(Z^) führt in Verbindung mit der verbleibenden stochastischen Zielkomponente Z zu einem Erwartungsnutzen, der ebenso hoch ist wie jener der Verteilung Z + Z^. Ein Vergleich von (VIL30) mit (VII. 18) zeigt, daß der Wert WV(Z'') mit demjenigen Sicherheitsäquivalent übereinstimmt, das dem Übergang von Z auf Z + Z^ entspricht. (Es ist zu beachten, daß sich hier der Wert und das Sicherheitsäquivalent nicht auf dieselbe Ausgangsverteilungen beziehen. Für WV(Z^) ist Z + Z^ relevant und für SÄ(Z^) die Ausgangsverteilung Z.) Die betragsmäßige Übereinstimmung beider Größen ist plausibel: Angenommen, ausgehend von der Zielkomponente Z werde dem Entscheider das Wirtschaftsgut mit der Zielkomponente Z^ geschenkt. Dabei steigt der Erwartungsnutzen des Entscheiders so, als ob ihm der sichere Betrag SÄ(Z^) geschenkt worden wäre. Wenn nun der Entscheider das Wirtschaftsgut zum Preis SÄ(Z^) verkauft, ist sein Erwartungsnutzen ebenso hoch wie mit diesem Gut; der Wert WV(Z^) stimmt mit dem Sicherheitsäquivalent SÄ(Z^) überein. Bei den folgenden Darstellungen wird nur noch der Wert aus Sicht eines potentiellen Käufers explizit betrachtet. Er wird nun mit W(Z^) bezeichnet.

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

5.

235

Wert und Sicherheitsäquivalent im Vergleich

5.1.

Allgemeine Zusammenhänge

Wie in Abschnitt 4.1 gezeigt wurde, stimmt bei Risikoneutralität bzw. bei exponentieller RNF und normalverteilter Zielgröße der Wert (aus Sicht eines potentiellen Käufers) mit dem Sicherheitsäquivalent überein: W(Z^) = SÄ(Z^). Welche Beziehung besteht allgemein zwischen Wert und Sicherheitsäquivalent? Beide sind genau dann identisch, wenn sich die in der Definitionsgleichung (VIL24) für den Wert (aus Sicht eines potentiellen Käufers) aufgeführten Nutzenerwartungswerte in der gleichen Weise ändern, sofern zu Z und zu Z + Z^ - W(Z^) jeweils derselbe sichere Betrag W(Z^) hinzuaddiert wird, wenn also (VIL24)

E[U(Z)] = E(U[Z + Z'' - W(Z^)])

die folgende Gleichung impliziert: (VIL31)

E(U[Z + W(Z'')])=E[U(Z + Z^)].

Da die Gleichung (VIL31) der Definitionsgleichung (VIL18) für das Sicherheitsäquivalent entspricht, ist dann der Wert W(Z^) zugleich auch das Sicherheitsäquivalent: W(Z'') = SÄ(Z'^). Da die in (VII.24) bzw. in (VII.31) enthaltenen stochastischen Terme jeweils denselben Nutzenerwartungswert aufweisen, müssen auch die entsprechenden Sicherheitsäquivalente miteinander übereinstimmen: (VII.32)

SÄ(Z)=SÄ[Z + Z ' ' - W ( Z ' ' ) ]

bzw. (VII.33)

SÄ[Z + W(Z^)]=SÄ(Z + Z'').

Die Gleichungen (VII.32) und (VIL33) und mithin auch die Gleichungen (VII.24) und (VII.31) sind genau dann miteinander kompatibel, wenn bei Erhöhung der Zielgröße Z um den sicheren Betrag W(Z^) das Sicherheitsäquivalent in der gleichen Weise steigt wie bei Erhöhung der Zielgröße Z + Z^ - W(Z^) um den Betrag W(Z^). Diese Bedingung ist nur bei linearer RNF (also bei Risikoneutralität) bzw. bei exponentieller RNF streng erfüllt. (Nur bei diesen Nutzenfunktionen besteht konstante absolute Risikoaversion.) Für andere Nutzenfunktionen gilt grundsätzlich: W(Z^) ^ SÄ(Z^) 7i SÄ(Z + Z^) - SÄ(Z). Dies läßt sich anschaulich für den Fall einer quadratischen RNF zeigen.

236

Kapitel VII

5.2.

Wert und Sicherheitsäquivalent bei quadratischer RNF

In der Ausgangssituation sei diejenige Wahrscheinlichkeitsverteilung über Z gegeben, die dem Punkt P^ in Abbildung VII.8 entspricht. a^i

k

" - IKi T

P3 Z

p**/

^/

0

SÄ(Z)

^

W(Z")

^^^^ IK2 P^2

>/Y

sÄcz"") /

sÄcz+z"")

1 2 c

w

^

Abb. VII.8: Zum Sicherheitsäquivalent und Wert bei quadratischer RNF Führt nun die stochastische Änderung Z^ zu einem beliebigen Punkt P2 auf der Indifferenzkurve IK2, so ist das Sicherheitsäquivalent dieser Änderung gleich der Differenz P^P zwischen den Abszissenwerten der Punkte P* und P^. (Dabei entspricht den Punkten P* und Pj derselbe Ordinatenwert.): Der sichere Vermögenszuwachs P^P bewirkt, daß bei unveränderter Varianz der Erwartungswert der Zielgröße entsprechend steigt. Der hierbei erzielten Position P* entspricht derselbe Erwartungsnutzen wie P2; der Entscheider ist indifferent zwischen dem sicheren Betrag P^P und dem ungewissen Betrag Z^ (der zur Position P2 führt). Dem Übergang von P^ auf P2 entspricht ein Wert W(Z^) in Höhe von P P2 . Wenn ausgehend von der Position P2 das Vermögen mit Sicherheit um P P2 sinkt, wird die Position P** erreicht, die ihrerseits der Position Pj äquivalent ist; es wird derselbe Erwartungsnutzen erzielt wie in der

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

237

Ausgangssituation. Im Beispiel der Abbildung VII.8 ist der Ordinatenwert des Punktes P2 höher als der des Punktes P^. Dies impliziert W(Z'')>SÄ(Z''). Beweis: Wie in Kapitel VI, Abschnitt 5.3.1.3, gezeigt wurde, verlaufen bei quadratischer RNF die Indifferenzkurven im (|Li,a^)-Diagramm streng konkav, wobei die Indifferenzkurvensteigung in einem Punkt mit gegebenem Ordinatenwert eine (linear) fallende Funktion des Abszissenwertes dieses Punktes ist. Somit ist die Steigung der Indifferenzkurve IK2 bis zu ihrem maximalen Ordinatenwert für alternative Ordinatenwerte niedriger als die Steigung der Indifferenzkurve IKj. Der waagerechte Abstand zwischen beiden Indifferenzkurven wird folglich bis zu dem maximalen Ordinatenwert von IK2 mit steigendem Ordinatenwert immer größer. Daraus folgt P**P2 >PiP* bzw. W ( Z ^ ) > S Ä ( Z ' ' ) (q.e.d.).6) Wandert der Punkt P2 entlang der Indifferenzkurve IK2 nach rechts oben bzw. nach links unten, so ändert sich das Sicherheitsäquivalent nicht. Jedoch steigt bzw. sinkt der zugehörige Wert W ( Z ^ ) ; er ist jeweils gleich der Differenz der Abszissenwerte des Punktes P2 und desjenigen Punktes P** auf der Indifferenzkurve IKj, der denselben Ordinatenwert aufweist wie P2. Für P2 = P* gilt W(Z^) = SÄ(Z^). Ist der Ordinatenwert des Punktes P2 kleiner als der des Punktes P^, gilt SÄ(Z^)> W ( Z ^ ) . Wandert bei gegebener Position des Punktes P2 der Punkt P^ entlang der Indifferenzkurve IKj nach rechts oben bzw. nach links unten, so bleibt zwar der Wert W(Z^) unverändert (W(Z^) = P P2), jedoch steigt bzw. sinkt das Sicherheitsäquivalent SÄ(Z^). Dabei gilt für jeden positiven Ordinatenwert von Pi die Relation SÄ(Z^)>SÄ(Z + Z ^ ) - S Ä ( Z ) . Ist der Ordinatenwert von Pj gleich null (diesem Punkt entspricht dann ein "Sicherheitsäquivalent" in Höhe seines Abszissenwertes), so ist SÄ(Z^) gleich 6)

Der Punkt P3 hat einen Ordinatenwert, der höher ist als der maximale Ordinatenwert der Kurve IK2. Führt ausgehend vom Punkt P3 die stochastische Änderung Z" zu dem Punkt P2 (oder einem anderen Punkt auf der Indifferenzkurve IK2), so existiert kein Sicherheitsäquivalent SÄ(Z"): Wenn ausgehend von der dem Punkt P3 entsprechenden (|Li,a^)-Konstellation die Zielgröße sukzessive um einen sicheren Betrag steigt, so wächst gleichermaßen der Erwartungswert bei konstanter Varianz. Eine Bewegung entlang der durch P3 verlaufenden Geraden nach rechts fuhrt zunächst zu immer günstigeren Indifferenzkurven, bis schließlich beim Abszissenwert b/2c eine Indifferenzkurve tangiert wird (Tangentialpunkt T). Eine weitere Erhöhung des Zielgrößenwertes führt nun zu immer ungünstigeren Indifferenzkurven. Da der Indifferenzkurve, die beim Abszissenwert b/2c tangiert wird, ein kleinerer Nutzenerwartungswert entspricht als der durch P2 verlaufenden Indifferenzkurve, gibt es keinen sicheren Zuwachs der Zielgröße, der zu demselben Erwartungsnutzen fuhrt wie die stochastische Änderung Z" (mit der der Punkt P2 erreicht wird); es existiert hier kein Sicherheitsäquivalent SÄ(Z"). Der Grund hierfür ist, daß bei quadratischer RNF der Nutzen U an der Stelle Z=b/2c sein Maximum erreicht und dann mit steigendem Z wieder abnimmt.

238

Kapitel VII

dem Sicherheitsäquivalent der Wahrscheinlichkeitsverteilung, zu dem die stochastische Änderung Z^ führt, abzüglich des sicheren Betrages in der Ausgangssituation. Dem Übergang von einem Punkt auf der Indifferenzkurve IK2 auf einen Punkt der Indifferenzkurve IKj entspricht ein negativer Wert und ein negatives Sicherheitsäquivalent. Dabei ist der Betrag des Wertes (bzw. des Sicherheitsäquivalentes) gleich dem positiven Sicherheitsäquivalent (bzw. dem positiven Wert) bei einem Übergang in entgegengesetzter Richtung. Für den Übergang von Punkt P2 auf P^ (Abbildung VII.8) ist der Betrag des negativen Sicherheitsäquivalents gleich P P2; eine sichere Vermögenseinbuße in Höhe dieses Betrages führt zu demselben Erwartungsnutzen wie die stochastische Änderung Z^ (die zu P^ führt). Der Betrag des negativen Wertes ist gleich PjP ; ein sicherer Vermögenszuwachs in Höhe dieses Betrages kompensiert gerade die stochastische Änderung Z". Wird der dem Übergang von P^ auf P2 entsprechende Wert mit W(Pi,P2) bezeichnet und das entsprechende Sicherheitsäquivalent mit SÄ(Pi,P2) und werden die Größen W(P2,Pi) und SÄ(P2,Pi) analog für einen Übergang von P2 auf P^ definiert, so können die Zusammenhänge wie folgt dargestellt werden:'^) SÄ(Pi,P2) = |W(P2,Pi)| = P i P , W(Pi,P2) = |SÄ(P2,Pi)| = P**P2.

6.

Zur Höhe des Wertes eines zusätzlichen (riskanten) Projekts bei alternativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über das Endvermögen in der Ausgangssituation

Im folgenden wird davon ausgegangen, der Entscheider habe die Möglichkeit, ein riskantes Projekt zu realisieren, das vor Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung den Erwartungswert des Endvermögens um A|i und die Varianz um Aa erhöht. Es wird untersucht, welchen Wert W dieses Projekt bei alternativen Ausgangspositionen von |LI und cj^ aufweist. Bei exponentieller RNF und Normalverteilung gilt für den Wert W: (VIL34)

7)

W = A|i--.Aa^.

Bei exponentieller RNF und Normalverteilung verlaufen die Indifferenzkurven im (|i,a^)-Diagramm linear und parallel zueinander. Der waagerechte Abstand zwischen zwei beliebigen Indifferenzkurven ist dann für jeden Ordinatenwert identisch, so daß gilt: SÄ(Pi,P2) = W(Pi,P2) = |W(P2,Pi)| = |SÄ(P2,P,)|.

Sicherheitsäquivalent und Wert einer stochastischen Zielgröße

239

Der Wert ist hier unabhängig von der ursprünglichen (|i,a2)-Position. Da bei quadratischer RNF (und beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung) die Indifferenzkurvensteigung in einem Punkt mit gegebenem Ordinatenwert eine fallende Funktion des Abszissenwertes dieses Punktes ist, folgt: Je größer in der Ausgangssituation der Erwartungswert JLX des Endvermögens ist, desto geringer ist der Wert des Projekts. Abbildung VIL9 veranschaulicht dies. (T2'

i

K^y"^ / An/ /l /

W3 =. 0

/ \ 1% A o ^

1 / ^ \ l\l '^

•

Jb_ 2c

Abb. VII.9: Zur Analyse der Höhe des Wertes des Projekts Ist in der Ausgangssituation diejenige (|Li,a^)-Konstellation gegeben, die dem Punkt Pj entspricht, so ist der Wert des Projekts gleich Wj (Wi>0). Der dem Punkt P3 (er hat denselben Ordinatenwert wie Pj) entsprechende Wert W3 ist zwangsläufig kleiner; es gilt hier W3 = 0. Der geringere Wert resultiert daraus, daß flir alternative Ordinatenwerte die Steigung der durch P3 führenden Indifferenzkurve niedriger ist als die Steigung der durch P^ verlaufenden. Bei einem Ausgangspunkt rechts von P3 ist der Wert negativ. Je größer das Vermögen bzw. dessen Erwartungswert ist, desto geringer ist tendenziell die Bereitschaft des Entscheiders, zusätzliche Risiken einzugehen. Jedoch ist der Wert einer riskanten Maßnahme (mit gegebenen Werten für AjLiund Aa ) unabhängig von der bereits gegebenen Varianz a^ des Endvermögens. Auch dies verdeutlicht Abbildung VII.9. Dem Punkt P2 entspricht eine höhere Varianz als dem Punkt P^, jedoch derselbe Projektwert (W2 = Wi). Der Grund hierfür liegt darin, daß die Indifferenzkurven

240

Kapitel VII

äquidistant zueinander verlaufen (der senkrechte Abstand zwischen zwei Indifferenzkurven ist für alternative [LI-Werte jeweils identisch). Die dargestellten Implikationen einer quadratischen Nutzenfunktion sind nicht unproblematisch. In der Realität ist eher zu erwarten, daß die Bereitschaft zusätzliche Risiken einzugehen, mit steigendem Erwartungswert des bisherigen Endvermögens zunimmt (und nicht sinkt) und mit steigender Streuung des bisherigen Endvermögens sinkt (und nicht konstant bleibt).^)

Ergänzende und vertiefende

Literatur:

BAMBERG/COENENBERG (2002, S. 88ff.); LAUX (2003); PRATT (1964).

8)

Bei exponentieller RNF und Normalverteilung verlaufen die Indifferenzkurven im ()Li,a^)-Diagramm linear, wobei sowohl der senkrechte als auch der waagerechte Abstand zwischen zwei beliebigen Indifferenzkurven stets derselbe ist. Hier ist der Wert des Projekts nicht nur unabhängig von der Varianz a^ des Endvermögens in der Ausgangssituation, sondern auch von dem Erwartungswert |LI.

VIII.

1.

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

Problemstellung

Im vorliegenden Kapitel werden als Anwendung bisheriger Überlegungen einperiodige Entscheidungsprobleme und Lösungsansätze in Risikosituationen untersucht. Die Überlegungen beruhen auf folgenden Grundannahmen: 1. Zu Beginn der betrachteten Periode (dem Zeitpunkt 1) ist aus der Menge mehrerer Alternativen eine Alternative auszuwählen. 2. Am Ende der Periode (dem Zeitpunkt 2) wird ein bestimmtes Ergebnis (Gewinn oder Vermögen) erzielt, das von der gewählten Alternative und dem eintretenden (Umwelt-)Zustand abhängt. In den Abschnitten 2, 3 und 4 werden mögliche Konsequenzen der Mischung riskanter Wertpapiere untersucht; Alternativen sind dabei realisierbare Wertpapierportefeuilles. Außerdem wird gezeigt, wie ein optimales Wertpapierportefeuille ermittelt werden kann und welche Eigenschaften es aufweist. Die Orientierung an der Problematik der Portefeuille-Auswahl ermöglicht es, in einfacher und anschaulicher Weise Grundprobleme der Risikoanalyse sowie der Ermittlung einer optimalen Alternative zu diskutieren. Nach Darstellung der Problematik der Entscheidung auf der Basis des Grundmodells der Entscheidungstheorie (Abschnitt 2) werden Grundeigenschaften effizienter Alternativen und die Konsequenzen der Risikostreuung auf der Grundlage des (jLi,a)-Prinzips untersucht (Abschnitt 3.1 und 3.2). Es wird gezeigt, daß für die Varianz des Endwertes eines Wertpapierportefeuilles die Kovarianzen zwischen den Endwerten der verschiedenen Wertpapiereinheiten i.a. eine (erheblich) größere Bedeutung haben als die Varianzen der Endwerte der einzelnen Wertpapiereinheiten (Abschnitt 3.3). In Abschnitt 4 wird insbesondere untersucht, wie effiziente Wertpapierportefeuilles ermittelt werden können und welche Struktur sie aufweisen. Zudem werden Eigenschaften eines optimalen Portefeuilles betrachtet. In Abschnitt 5 wird verdeutlicht, daß die Portefeuille-Theorie auch Bedeutung für die Risikoanalyse bei Realinvestitionen hat. Auf den Darstellungen im vorliegenden Kapitel aufbauend wird in LAUX (1998, Kapitel IV bis VIII) untersucht, wie Gleichgewichtspreise auf Kapitalmärkten erklärt werden können, welche Bedeutung Marktwerte von Aktien für die Untemehmensplanung (allgemein: für Entscheidungen in Unternehmungen) haben und wie Entscheidungen getroffen werden können, die vom Standpunkt aller Anteilseigner (bei Zielkonformität) bzw. einer homogenen Gruppe von Anteilseignem (bei Zielkonflikt) optimal sind.

242

Kapitel VIII

Aufgrund der besonderen Bedeutung für die Kapitalmarkttheorie werden die Struktur und die Eigenschaften effizienter bzw. optimaler Portefeuilles im vorliegenden Kapitel relativ ausführlich behandelt.

2.

Entscheidung auf der Basis des Grundmodells der Entscheidungstheorie

2.1.

Zur Darstellung des Modells

Die zentralen Bausteine des Grundmodells der Entscheidungstheorie sind die Ergebnismatrix und die Zielfunktion. Die Ergebnismatrix bildet das Entscheidungsfeld des Entscheiders ab, die Zielfunktion dessen Entscheidungsregel. Struktur und Bedeutung der Ergebnismatrix wurden bereits in Kapitel II behandelt, Konzeptionen zur Formulierung von Entscheidungsregeln bei Risiko in den Kapiteln VI und VII. An dieser Stelle soll deshalb nur noch auf die Ermittlung der Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustände Si,S2v»Ss ausführlich eingegangen werden. Jedem Zustand entspricht definitionsgemäß eine Konstellation von Ausprägungen der (noch ungewissen) entscheidungsrelevanten Daten. Folglich ist die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Umweltzustandes gleich der Wahrscheinlichkeit, mit der diejenigen Datenausprägungen gemeinsam eintreten, die diesen Zustand definieren. Sind alle entscheidungsrelevanten Daten voneinander (stochastisch) unabhängig, so ergibt sich die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Zustandes Sg (s = l,2,...,S) als Produkt der unbedingten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der entsprechenden Datenausprägungen. Jedoch sind nur in Ausnahmefällen alle entscheidungsrelevanten Daten voneinander stochastisch unabhängig. Stochastische Abhängigkeiten werden durch bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt (vgl. Kapitel V). Auf der Basis dieser bedingten Wahrscheinlichkeiten werden die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustände so wie bei stochastischer Unabhängigkeit bestimmt. Zur Verdeutlichung dient Beispiel VIII.l. Es gelten die Annahmen aus Beispiel II.l (Kapitel II, Abschnitt 4.2.2) mit einer Ausnahme: Zwischen den ungewissen entscheidungsrelevanten Daten, d.h. zwischen den Einzahlungen Eg und E^, besteht stochastische Abhängigkeit. Hinsichtlich Eg rechnet der Entscheider mit folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten: W(EB = 470|EA = 490) = 0,7,

W(EB = 600|EA = 490) = 0,3,

W(EB = 470|EA = 580) = 0,4,

W(EB = 600|EA = 580) = 0,6.

Die Einzahlung Eß ist mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 hoch, wenn auch die Einzahlung E^ hoch ist; EB ist mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 niedrig, wenn E^ niedrig ist.

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

243

Die Zustände sind im Beispiel charakterisiert als Konstellationen von Einzahlungen aus je einer Aktie der Gesellschaften A und B. Folgende Zustände können eintreten:

EA

Eß

Si

490

470

S2

490

600

S3

580

470

S4

580

600

Tabelle VIII.l: Darstellung der relevanten Zustände für Beispiel VIII.l Den einzelnen Umweltzuständen entsprechen die folgenden Wahrscheinlichkeiten: w(Si) = w(EA=490)-w(EB=470|EA=490) = i - 0 , 7 = 0,35 w(S2)

= W ( E A = 4 9 0 ) - W ( E B = 6 0 0 | E A = 490) = ^-0,3

=

w(S3)

= W ( E A = 580) • W ( E B = 4 7 0 | E A = 580) = ^ • 0,4 =

0,20

w(S4)

= W ( E A = 580) • W ( E B = 6 0 0 | E A = 580) = ^-0,6

0,30.

=

0,15

Die Ergebnismatrix für Beispiel VIII.l unterscheidet sich von derjenigen für Beispiel II.l nur hinsichtlich der Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Zustände: 0,35

0,15

0,20

0,30

S3

S4

Si (490,470)

(490,600)

(580,470)

(580,600)

Al

1080

1080

1080

1080

A2

1030

1030

1120

1120

A3

1010

1140

1010

1140

A4

960

1090

1050

1180

A5

980

980

1160

1160

^6

940

1200

940

1200

Matrix VIII.l: Ergebnismatrix für Beispiel VIII.l Dabei bezeichnen die Alternativen die möglichen Wertpapier-Portefeuilles (vgl. Kapitel II, Abschnitt 4.2.2).

244

Kapitel VIII

2.2.

Grenzen des Modells

In Beispiel VIII. 1 ist die Anzahl der möglichen Alternativen und Zustände relativ gering. Beträgt jedoch der heutige Aktienkurs für beide Gesellschaften nicht 500 €, sondern nur 100 €, so existieren schon 66 realisierbare Wertpapier-Portefeuilles. Stehen mehr als 1000 € für die Anlage in Wertpapieren zur Verfügung und/oder können mehr als zwei Aktientypen ins Portefeuille aufgenommen werden, so kann die Anzahl der Alternativen wesentlich größer sein als 66. Auch die Zahl der möglichen Zustände kann in der Realität sehr groß sein. Diese Zahl ist eine steigende Funktion der Anzahl der im Kalkül berücksichtigten Aktientypen und der Anzahl der möglichen Einzahlungsbeträge je Aktientyp. In komplexeren Entscheidungssituationen kann allenfalls eine drastisch vereinfachte Ergebnismatrix konstruiert werden, wobei z.B. gewisse Alternativen und Zustände vernachlässigt werden (Kapitel XII). Bei derartigen Vereinfachungen besteht aber die Gefahr, daß eine nachteilige Entscheidung getroffen wird. Im folgenden werden Konzepte dargestellt, bei denen der Analyse- bzw. Planungsaufwand u.U. wesentlich geringer ist als im Rahmen des Grundmodells der Entscheidungstheorie. Die Modelle beruhen auf der Annahme, der Entscheider orientiere sich nur an einer Zielgröße (dem Geldvermögen, über das er am Ende der betrachteten Periode verfügt) sowie am (|a,a)-Prinzip. Das (|a,a)-Prinzip ermöglicht eine sehr anschauliche Analyse der Konsequenzen der Risikostreuung und der Eigenschaften effizienter bzw. optimaler Wertpapierportefeuilles oder Kombinationen anderer riskanter Projekte.

3.

Eigenschaften effizienter Alternativen und Bedeutung der Risikostreuung

3.1.

Bedeutung und Grundeigenschaften effizienter Alternativen

Hat der Entscheider eine quadratische Nutzenfunktion, so folgt das (|Li,a)Prinzip bei beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße aus dem BERNOULLI-Prinzip. Ist die Zielgröße normalverteilt, so folgt das (|i,a)-Prinzip bei beliebiger konkaver Nutzenfunktion aus dem BERNOULLIPrinzip. Für den Fall einer exponentiellen Nutzenfunktion und Risikoaversion läßt sich (bei Normalverteilung) das Sicherheitsäquivalent einer Zielgröße Z anschaulich wie folgt darstellen (Kapitel VI, Abschnitt 5.3.2.1): SÄ(z) = E ( z ) - | - V a r ( z ) - H - | - a 2

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

245

Dabei bezeichnet a den Risikoaversionskoeffizienten des Entscheiders. Das (|a,a)-Prinzip steht in einer gewissen Analogie zur Vorgehensweise im Fall zweier Zielgrößen und sicherer Erwartungen hinsichtlich der Ergebnisse. Zwar dient das (|Li,a)-Prinzip zur Beurteilung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über eine Zielgröße; von diesen Verteilungen werden aber genau zwei Kennzahlen berücksichtigt: der Erwartungswert JLI und die Standardabweichung a bzw. die Varianz a^. Diese Kennzahlen stellen "derivative" Zielgrößen dar. Da die Präferenzvorstellungen hinsichtlich der Parameter |LI und a im Prinzip ebenso mit Hilfe von Indifferenzkurven dargestellt werden können wie die Präferenzvorstellungen bei Sicherheit und zwei Zielgrößen, kann die optimale Alternative nach dem (|a,a)-Prinzip analog bestimmt werden wie bei Sicherheit und zwei Zielgrößen. Bei gegebenen Indifferenzkurven im (|Li,a)-Diagramm kann die Entscheidung in der Weise getroffen werden, daß die Menge derjenigen (|a-,a)Konstellationen bestimmt und im (jLi,a)-Diagramm dargestellt wird, die den erwogenen Alternativen entspricht; gewählt wird jene Alternative, deren (|Li,a)-Konstellation auf der am weitesten rechts verlaufenden Indifferenzkurve liegt. Die Menge der (|Li,a)-Kombinationen, die den erwogenen Alternativen entspricht, wird im Beispiel der Abbildung Vlll.la bzw. b durch die schraffierte Fläche abgebildet. Es existieren hier unendlich viele Alternativen, so daß eine "exakte" Darstellung als Ergebnismatrix nicht möglich ist.

Abb. Vlll.la: Zur Ermittlung der optimalen Altemative nach dem (|Li,a)-Prinzip bei Risikoaversion

246

Kapitel VIII

Abb. Vlll.lb: Zur Ermittlung der optimalen Alternative nach dem (|Li,a)-Prinzip bei Risikofreude Bei den in Abbildung VIII.la (bzw. Vlll.lb) dargestellten Indifferenzkurven ist diejenige Alternative optimal, die dem Tangentialpunkt T (bzw. dem Eckpunkt C) entspricht. Die Bestimmung der Menge aller realisierbaren (|a,a)-Kombinationen kann einen sehr großen Aufwand verursachen. Diese Menge muß aber für die Ermittlung eines Optimums gar nicht vollständig bekannt sein. Es genügt, die (|Li,a)-Kombinationen der effizienten Alternativen zu kennen. Im Fall der Risikoaversion ist eine Alternative effizient, wenn keine andere Alternative existiert, die - bei gleichem oder geringerem a ein höheres jii oder - bei gleichem oder höherem |LI ein kleineres a aufweist. Im Fall der Risikofreude ist eine Alternative dann effizient, wenn keine andere Alternative existiert, die - bei gleichem oder größerem a ein höheres |J- oder - bei gleichem oder höherem |LI ein größeres a aufweist. Der geometrische Ort der effizienten (|Li,a)-Kombinationen wird als Effizienzkurve bezeichnet. Das Optimum ist durch denjenigen Punkt auf dieser Kurve determiniert, der auf der am weitesten rechts oben verlaufenden Indifferenzkurve liegt. Im Beispiel der Abbildung VIII.l ist für den Fall der Risikoaversion die Kurve AB die Effizienzkurve und für den Fall der Risikofreude die Kurve BC.

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

3.2.

247

Zur Analyse effizienter (^,a)-Kombinationen bei Risikoaversion

5.2.7. Zwei riskante Positionen^ die miteinander konvex werden können

kombiniert

Im folgenden wird gezeigt, wie bei Risikoaversion des Entscheiders effiziente ()Li,a)-Kombinationen bestimmt werden können und welche Struktur die Menge dieser Kombinationen aufweist. Dabei wird angenommen, Zielgröße des Entscheiders sei sein Vermögen V2 am Ende der betrachteten Periode, dem Zeitpunkt 2 (Endvermögen). Zunächst wird davon ausgegangen, daß der Entscheider zum risikolosen Zinssatz Geld weder anlegt noch leiht. Alle riskanten Alternativen (Projekte bzw. Projektkombinationen), die der Entscheider erwägt, verursachen eine Anschaffungsauszahlung in Höhe eines bereits vorhandenen Geldvermögens V^. Der Entscheider habe zunächst (nur) die Wahl zwischen zwei riskanten Projekten A und B bzw. zwei Positionen V{\xp^\ap^) und P(iJ,B;aB), die (wie noch näher erläutert wird) beliebig miteinander konvex kombiniert werden können. Dabei bezeichnet jn^ (bzw. a^) den Erwartungswert (bzw. die Standardabweichung) des Endvermögens V2 bei alleiniger Realisation der Position ^{\ip^\<3pj. Das Entsprechende gilt für |LIB (bzw. cjß). Im folgenden wird ohne Einschränkung der Allgemeinheit davon ausgegangen, es gelte \i^ > M-A- (^i^ Darstellungen gelten für |a^ > \i^ analog.) Das Endvermögen bei alleiniger Realisation des Projekts A (bzw. der Position P(|LXA;O'A)) wird im folgenden mit WiA bezeichnet, das Endvermögen bei alleiniger Realisation des Projekts B (bzw. der Position P(|LiB;aB)) mit ¥23- Es gilt somit: 1^ A = E( V2A),

CT A = Sta( V2A),

I^B = E( V2B \

C7B

= Sta( V2B ).

Eine Konvexkombination der beiden Positionen besteht darin, daß von beiden Positionen ein nichtnegativer Teil realisiert wird, wobei sich die beiden Teile zu eins addieren. Zum Beispiel werden von der Position P(|LIA;CJA) ^in Drittel und von der Position P(IIB;CJB) zwei Drittel ins Programm aufgenommen. 1) Wird der Teil der riskanten Position V{\i^\(5^), der in der Konvexkombination enthalten ist, mit y ( 0 < y < l ) bezeichnet, so gilt für den Erwartungswert des Endvermögens: (VIII.l) 1)

E(V2) = ( l - y ) - ^ i A + y ^ B = ^iA+y(^LB-|^A)-

Bei einer Konvexkombination wird bei keiner Position ein negativer Bestand gehalten. Es werden z.B. Leerverkäufe von Aktien ausgeschlossen.

248

Kapitel VIII

(1 - y ) gibt an, welcher Teil der Position P(|LIA; a^) realisiert wird. Da annahmegemäß H'B'^M'A gilt? ist E(V2) eine linear steigende Funktion von y. Für die Standardabweichung des Endvermögens gilt: (VIII.2)

Sta(V2) = ^ ( l - y ) 2 . a ^ + 2 - ( l - y ) . y p . a A - a B + y 2 . a 2 .

Für jedes y ( 0 < y < l ) ist die Standardabweichung der Konvexkombination eine monoton steigende Funktion des Korrelationskoeffizienten p bezüglich der Endwerte V2A und ¥23- Für p= 1 folgt aus (VIIL2):

(VIIL3) sta(V2) = (i-y)-^A + yc^B = ^A + y(^B-^A)>o. Gilt - wie in Abbildung VIIL2 - die Relation a g x r ^ , so ist Sta(V2) eine linear steigende Funktion von y. Da - wie gezeigt wurde - auch E(V2) eine linear steigende Funktion von y ist, folgt unmittelbar: Sta(V2) ist eine linear steigende Funktion von E(V2). In Abbildung VIII.2 wird die Menge der effizienten (|Li,a)-Kombinationen für p=l durch die Strecke P(|LiA;aA)P(|LiB;^B) dargestellt.2) Gilt a ^ >CJB (uiid weiterhin |LIB>JLIA), SO ist für p = l die Standardabweichung Sta(V2) eine linoai fallende Funktion von E(V2). Effizient ist dann nur die "reine" Position P(|LiB;aB) (mit y= 1).^)

2)

3)

Dabei entspricht jedem Erwartungswert £(¥2) im Intervall zwischen lu^ und |LIB ein bestimmter y-Wert (0 < y < 1). Gemäß (VIII. 1) gih: ^^^E(V2)-^A Für E(V2) = i^A z.B. gilt y=0 und för E(V2) = [Hß gilt y=l. Im Fall a^ > ag ist der Ordinatenwert des Punktes P()IB;CB) niedriger als der des Punktes P(|Li/^;a/^). Die Steigung der Strecke P(}iA;aA)P(f^B'^B) ist dann negativ. Da für p=l nur (fi,a)-Konstellationen auf dieser Strecke realisierbar sind, kann nur der Punkt P(|IB;CTB) eine effiziente Position darstellen; bei Punkten auf der Strecke P(f^A'^A)P(l^B'^B) li^ks von P(|J-B;CJB) ist der Erwartungswert niedriger und die Standardabweichung höher. (Es ist zu beachten, daß hier nur Konvexkombinationen betrachtet werden, für die 0 < y < 1 gilt.)

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

249

Sta(V2) P(^B;aB)

aA+CTB

(y = 0)

(y=

(y=i)

cTA+ae

Abb. VIII.2: Zur Bildung effizienter (|u,a)-Konstellationen durch Konvexkombinationen zweier riskanter Positionen, P()LiA;aA) und P()j,B;aB) Für p = - l folgt aus (VIIL2):4) (VIIL4)

Sta(V2) = | ( l - y ) - a A - y a B h | a A - y ( a A + a B ) | .

Hierfür kann man schreiben: ^A-y-i^A

+ ^ B ) fiiraA - y - ( a A + ^ 5 ) > 0 »y<

(VIIL5)

^—, QA+GB

Sta(V2): I^A -Y'i^A

+ ^ B ) | für CJA - y - ( a A +CJB) < 0 <=^y>-

^A

GA+CIB

Im Bereich 0 < y < An der Stelle y =

QA+ag

ist Sta(V2) eine linear fallende Funktion von y.

— ist die Standardabweichung gleich null (wobei ein

sicheres Endvermögen erzielt wird). Im Bereich

— < y < 1 ist der Term ^A-^'JB

QA - y•(Ö"A + ^ B ) negativ. Da gemäß (VIII.5) der Betrag dieses Terms re4)

Es ist hier zu beachten, daß die Standardabweichung nichtnegativ ist.

250

Kapitel VIII

levant ist, ist in diesem Bereich die Standardabweichung eine linear steigende Funktion von y. Da für jLiß > jLiA der Erwartungswert £(¥2) eine linear steigende Funktion von y ist, gilt die Beziehung zwischen Sta(V2) und y analog auch für Sta(V2) und E(V2): Sta(V2) ist im Intervall [^AJI^B] ^^^^ zunächst linear fallende und dann linear steigende Funktion von £(¥2). Dem y-Wert

^^

, bei dem Sta(V2) = 0 gilt, entspricht gemäß (VIII. 1)

ein sicheres Endvermögen von E(V2) = V2 = ^A +

~—(M^B ~ M^A)- ^^^^^

sem Endvermögen entspricht der Punkt S in Abbildung VIII.2. Die Effizienzkurve ist jetzt mit derjenigen Strecke identisch, die die Punkte S und P(|Liß;(Tß) verbindet. Punkte auf der Strecke P(|LIA;CJA)S können nicht effizient sein, da bei gegebener Standardabweichung Sta(V2) jeweils ein höherer Erwartungswert E(V2) mit einem Punkt auf der Strecke SP(|Liß;aB) realisiert werden kann. p=l und p = - l stellen Grenzfälle dar. Für 0 < p < l ist Sta(V2) eine streng konvexe Funktion von E(V2). Die in Abbildung VIII.2 dargestellten konvexen Graphen verdeutlichen den Zusammenhang für unterschiedliche Werte von p (mit Pi > P2 > Ps)- Als Effizienzkurve ist jeweils nur der steigende Bereich relevant. 3.2.2. Mehr als zwei riskante Positionen, die miteinander konvex kombiniert werden können In Abbildung VIII.3 sind drei riskante Positionen (PA^PR ^^^ ^c) dargestellt, aus denen beliebige Konvexkombinationen gebildet werden können. Der Anteil der riskanten Position PA (PR bzw. P^) an der Konvexkombination wird nun mit yA (yß bzw. y^) bezeichnet. Dabei gilt: (VIIL6) yA + YB "^ Yc "^ ^ ^^d YA- ö' YB - ^ ^^d Yc^ ö. YA (YB bzw. y^) gibt auch an, welcher Teil der "reinen" Position P^ (Pß bzw. PQ) realisiert wird. Die Kurve PA^B i^ Abbildung VIII.3 bringt zum Ausdruck, welche (jLi,cT)-Konstellationen durch Konvexkombination der riskanten Positionen PA und Pß realisierbar sind (dabei gilt jeweils Yc = 0). Das Analoge gilt für die Kurven PA^C (^i^ YB'^Ö) ^^d PßPc (™t YA'^Ö)-

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

251

Sta(V2) ^ Pß PA

V —

Pi

Pc Ps^

> ^ /

^

•

Umhüllende

p;

0

E(V2)

Abb. VIII.3: Zur Ermittlung effizienter Portefeuilles Auch Konvexkombinationen aus "reinen" Positionen können miteinander konvex kombiniert werden. Die Kurve PiPc zum Beispiel zeigt, welche (jLi,a)-Positionen bezüglich V2 erreicht werden können, indem die dem Punkt Pi entsprechende Konvexkombination mit der "reinen" Position P^ (konvex) kombiniert wird. Die Kurve P2P3 bringt zum Ausdruck, welche (ia,a)-Positionen durch Konvexkombination derjenigen Konvexkombinationen erreichbar sind, die den Punkten P2 und P3 entsprechen. Bei Ausnutzung aller Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine konvexe "Umhüllende", die zeigt, welche minimale Standardabweichung für die möglichen E(V2)-Werte durch Konvexkombination der Positionen P^, Pß ^^^ Pc letztlich erzielbar ist (vgl. die gestrichelte Kurve in Abbildung VIII.3). Hat der Entscheider keine anderen Aktionsmöglichkeiten, so stimmt die Effizienzkurve mit demjenigen Teil der Umhüllenden überein, der rechts von ihrem Minimum verläuft. 3.2,3. Variation des Niveaus von

Basisprogrammen

Bei der Ermittlung der Umhüllenden wurde davon ausgegangen, daß der Entscheider Kapital zum risikolosen Zinssatz r weder anlegt noch aufnimmt. Jede reine Risikoposition verursachte eine Anschaffungsauszahlung in Höhe von V^. Da außerdem gefordert wurde, daß sich die Summe der Teile, die von den reinen Risikopositionen realisiert werden, zu 1 addieren, entspricht jedem Punkt auf der Umhüllenden dieselbe Anschaffungsauszahlung Vj. Die Gestalt der Umhüllenden hängt somit von der Höhe von Vj ab.

252

Kapitel VIII

Nun aber hat der Entscheider auch die Möglichkeit, zum Zinssatz r Kapital anzulegen bzw. aufzunehmen. Dies bedeutet, daß die Projekte bzw. Projektkombinationen, die der Umhüllenden entsprechen, auch nur teilweise oder auf höherem Niveau als 1 durchgeführt werden können. Wird zum Beispiel die Konvexkombination

der "reinen" Positionen P^, Pg bzw. PQ (bzw. der Projekte A, B und C) nur zur Hälfte realisiert, so wird von jedem Projekt nur der sechste Teil ins Programm aufgenommen. Entsprechend sinkt die Anschaffungsauszahlung von Vj auf ^ - ¥ [ . Der residuale Betrag j'^i wird zum Zinssatz r angelegt. Wird das sechsfache der obigen Kombination realisiert, so werden von jedem Projekt zwei Einheiten in das Programm aufgenommen. Entsprechend steigt die Anschaffungsauszahlung von Vj auf 6-Vi. Der Betrag 5 • Vi wird zum Zinssatz r aufgenommen. Im folgenden werden die Projekte bzw. Konvexkombinationen von Projekten, die der Umhüllenden in Abbildung VIII. 3 entsprechen, als BasisProgramme bezeichnet. Es wird untersucht, welcher Erwartungswert und welche Standardabweichung des Endvermögens sich ergeben, wenn ein gegebenes Basisprogramm B auf unterschiedlichen Niveaus z {z^\; z > 0) durchgeführt wird.^)Dabei wird davon ausgegangen, daß zum risikolosen Zinssatz r (praktisch) unbegrenzt Kapital angelegt und aufgenommen werden kann. Die dem betrachteten Basisprogramm entsprechende riskante Einzahlung zum Zeitpunkt 2 wird mit Q2B bezeichnet, der entsprechende Erwartungswert mit E(e2B) und die entsprechende Standardabweichung mit Sta(e2B)-^^ Das Basisprogramm bewirkt im Vergleich zu einer Anlage des Geldvermögens Vj zum Zinssatz r den folgenden Zuwachs des erwarteten Endvermögens: AE( V2) = E ( R G B ) = E[e2B-(l + r)-Vi] = £(633) - (1 + r) • Vj = RPß. =Residualgewinn RGß des BasisProgramms

Interpretation: Das Basisprogramm führt zum Zeitpunkt 2 zu einem Einzahlungsüberschuß von §23- Andererseits fällt zum Zeitpunkt 1 die An5)

6)

Insbesondere für Realinvestitionen können in der Realität Obergrenzen existieren, die einen Einfluß auf die optimale Lösung haben. Solche Obergrenzen sollen hier nicht betrachtet werden; es geht darum, einige grundlegende Zusammenhänge in relativ einfacher Weise darzustellen. Wird genau eine Einheit dieses Programms realisiert, so gilt: E(V2) = E(e2B) und Sta(V2) = Sta(e2B).

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

253

Schaffungsauszahlung Vj an. Entsprechend ändert sich bei Durchführung einer Einheit des Basisprogramms gegenüber der Anlage des Betrags Vj zum Zinssatz r das Endvermögen um den ''Residualgewinn'' § 2 3 - ( 1 + r)-Vj. Der Erwartungswert des Residualgewinns gibt an, wie weit der Erwartungswert des Endvermögens bei Durchführung einer Einheit des Basisprogramms steigt;^) dieser Betrag kann als Risikoprämie RPg einer Einheit des Basisprogramms B interpretiert werden. Wird das Basisprogramm B auf dem Niveau z {zi^\\ z > 0) durchgeführt, so ändert sich gegenüber der Anlage des Betrages Vj zum Zinssatz r der Erwartungswert des Endvermögens um: AE(V2) = z-E[e2B-(l + r)-Vi] = z-RPB. Es wird dann der folgende Erwartungswert des Endvermögens erzielt: (VIII.7)

E(V2) = (l + r).Vi + z-RPB.

Die zugehörige Standardabweichung beträgt: (VIII.8)

Sta(V2) = z • Sta(e2B).

(VIII.7) kann wie folgt dargestellt werden: (VIII.7a) z = [E(V2)-(l + r ) - V i ] - - ^ . Einsetzen von (VIII.7a) in (VIII.8) ergibt: (Vlll.Sa) Sta(V2) = [E(V2)-(l + r ) - V i ] . ^ ^ J j a ^ . Bei gegebenem Basisprogramm ist im hier relevanten Bereich E(V2)>(l + r)-Vj die Standardabweichung eine linear steigende Funktion des Erwartungswertes des Endvermögens, wobei alternative Erwartungswerte für das Endvermögen durch alternative Niveaus z ( z > 0 ) induziert werden, auf denen das Basisprogramm realisiert wird. Gemäß (VIII. 8a) steigt die Standardabweichung mit steigendem Erwartungswert des Endvermögens dann am wenigsten, wenn dasjenige Basisprogramm gewählt wird, bei dem die Relation aus der Standardabweichung Sta(e2B) und der Risikoprämie RPg am geringsten ist. Für die Konstruktion der Effizienzkurve ist grundsätzlich das Basisprogramm mit der kleinsten Standardabweichung des Einzahlungsüberschusses 623 irrelevant. Zur Verdeutlichung wird Abbildung VIII.4 betrachtet. Der Fahrstrahl AM 7)

Es wird hier davon ausgegangen, der Erwartungswert des Residualgewinns sei positiv. Andernfalls könnte es (bei Risikoaversion des Entscheiders) nicht vorteilhaft sein, das riskante Basisprogramm auf einem Niveau z>0 durchzufuhren.

254

Kapitel VIII

bringt zum Ausdruck, welche (jLi,a)-Kombinationen mit demjenigen Basisprogramm (M) erreichbar sind, das die kleinste Standardabweichung aufweist. Die betreffenden (|i,a)-Kombinationen sind nicht effizient. Man erhält die Effizienzkurve, indem durch den Punkt A (auf der Abszisse mit dem Abszissenwert (l+r)-Vi) ein Fahrstrahl gebildet wird, der die Umhüllende tangiert', für das dem Tangentialpunkt T entsprechende Basisprogramm ist der Quotient aus der Standardabweichung und der Risikoprämie minimal, jedoch nicht die Standardabweichung für sich gesehen. Sta(V2) ^ i

y PA

\

,*'''

"Umhüllende" \

/ ^ ^ ^ N I

,y'

y/

/Pc ^ ^ ^x^-^^^Effizienzkurve

ll-;^?=^^

^^,ff>^

~

^

(l + r).Vi

^ E(V2)

Abb. VIII.4: Zur Ermittlung effizienter ()Li,a)-Konstellationen Alle effizienten Positionen liegen auf dem durch die Punkte A und T führenden Fahrstrahl. Sie unterscheiden sich dadurch, daß das dem Punkt T entsprechende Basisprogramm auf unterschiedlichem Niveau z durchgeführt wird: Jedes effiziente Programm hat damit dieselbe Struktur wie das dem Punkt T entsprechende Basisprogramm (die Relationen zwischen den Größen z - y ^ , z-yg und z-y(^ stimmen jeweils mit den Relationen zwischen y^, yg und y^ überein). Wird diejenige Position auf der Effizienzkurve realisiert, die dem Punkt T entspricht, so wird genau eine Einheit des betreffenden Basisprogramms durchgeführt und zum Zinssatz r weder Kapital angelegt noch aufgenommen. Wird ein Punkt auf der Effizienzkurve links von T realisiert, so wird nur ein Teil des betreffenden Basisprogramms durchgeführt ( z < l ) ; das noch verfügbare Kapital wird zum Zinssatz r angelegt. Wird ein Punkt auf der Effizienzkurve rechts von T realisiert, so wird ein Vielfaches z > 1 des entsprechenden Basisprogramms durchgeführt; der über Vj hinausgehende Kapitalbedarf wird durch Aufnahme von Kapital zum Zinssatz r gedeckt.

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

255

Kann z (anders als bisher angenommen) nicht größer als 1 sein, so setzt sich die Effizienzkurve aus der Strecke AT und der Kurve TP^ als Teil der Umhüllenden zusammen. Dann haben nur noch effiziente Portefeuilles, die durch Punkte auf der Strecke AT charakterisiert sind, dieselbe Struktur wie das dem Punkt T entsprechende Basisprogramm. Die obigen Darstellungen gelten analog für den Fall, daß mehr als drei reine Positionen miteinander kombiniert werden können.

*3.3. Zur Bedeutung von Varianzen und Kovarianzen Für die Risikoanalyse sind nicht allein die Standardabweichungen (die Varianzen) von Bedeutung, sondern auch die Kovarianzen (bzw. die Korrelationskoeffizienten). Wie im folgenden gezeigt wird, haben die Kovarianzen für die Beurteilung des Risikos tendenziell eine erheblich größere Bedeutung als die Varianzen. Dabei wird davon ausgegangen, der Entscheider könne beliebig teilbare Wertpapiere der Typen 1,2,...,N erwerben. Der Wert einer Einheit des Wertpapiertyps n (n==l,2,...,N) zum Zeitpunkt 2 (dem Ende der betrachteten Periode) wird mit P2n bezeichnet, die Varianz der Zufallsgröße P2n niit Var(P2n) und die Kovarianz der Zufallsgrößen P2n und P2m mit Kov(P2n;P2m)-

Zunächst wird folgende Entscheidungssituation betrachtet: 1. Der Entscheider will (aus welchen Gründen auch immer) genau z > 0 Wertpapiere in seinem Portefeuille halten. 2. Von jedem Wertpapiertyp, den er in seinem Portefeuille hält, erwirbt er die gleiche Anzahl an Einheiten (wobei die Summe aller Einheiten z beträgt). Hält er nur einen einzigen Wertpapiertyp in seinem Portefeuille, so erwirbt er z Einheiten dieses Typs. Hält er 2 Wertpapiertypen, so erwirbt er von jedem z/2 Einheiten, usw. 3. Hält der Entscheider M < N Wertpapiertypen in seinem Portefeuille, so sind dies die Typen 1,2,...,M. Wenn also die Zahl M der Wertpapiertypen von M auf M erhöht wird, so werden zusätzlich die Typen M*+l^ M*+2, ..., M** erworben und die Zahl der Einheiten der Typen 1,2,...,M entsprechend reduziert (so daß die Summe aller Wertpapiereinheiten wieder z beträgt). Es wird untersucht, wie die Varianz a^ des Endwertes des Portefeuilles von M abhängt. Mit M ist zugleich auch die Portefeuillestruktur festgelegt. Die alternativen M-Werte entsprechenden Portefeuillestrukturen sind zwar in der Regel nicht effizient (Abschnitt 4). Jedoch ermöglichen die getroffenen Annahmen eine anschauliche Analyse der prinzipiellen Bedeutung der Varianzen Var(P2n) und der Kovarianzen Kov(P2n;P2m) f^^ ^i^ Varianz a^ des Portefeuilles.

256

Kapitel VIII

Hält 2

der

2

Entscheider

nur

Wertpapiere

des

Typs

1,

so

gilt

~

a = z • Var(P2i). Bildet er ein Portefeuille mit den Wertpapieren der Typen 1,2,...,M (M < N), so folgt: M /

(VIII.9)

\2

a^ = X ^

M M

•Var(P2n)+ I

Z - ^ —.Kov(P2n;P2m).

Sind die Endwerte der Wertpapiere voneinander stochastisch unabhängig, so sind alle Kovarianzen gleich null und die Doppelsumme auf der rechten Seite von (VIII.9) entfällt. Es gilt dann: (VIILIO) a^ = l r 4 - V a r ( P 2 n ) = ^ -

^tilMJ

X^lVar(P2n)/M

l ^ ^ ^ ^ = ' - ^ ^ r .

M ^ti

M

M

ist der Durchschnitt Var der Varianzen Var(P2i),

Var(P22), ..., Var(P2M)' Um die Varianz des Endwertes des Portefeuilles zu ermitteln, ist dieser Durchschnitt noch einmal durch M zu dividieren. Mit wachsendem M (mit wachsender Zahl von Wertpapiertypen im Portefeuille) wird somit bei gegebener Anzahl z aller Wertpapiere im Portefeuille die Varianz a^ immer kleiner, sofern die durchschnittliche Varianz Var sinkt, konstant bleibt oder in geringerem Verhältnis ansteigt als M. Sind alle Varianzen identisch, Var(P2i) = Var(P22) = ... = Var(P2M)=Var, so folgt aus (VIILIO): (VIII.ll)a2=^.M:^.^.Var. M M M Mit wachsendem M wird a^ immer kleiner. Für den Fall z= 100 zum Beispiel sinkt a^ von 10.000-Var auf 100-Var, wenn nicht 100 Wertpapiere eines einzigen Typs ( M = l ) , sondern von 100 verschiedenen Wertpapiertypen (M= 100) je eine Einheit gehalten wird. Der beschriebene Effekt ergibt sich aus der Kombination von Wertpapieren mit stochastisch unabhängigen Endwerten. Er tritt nicht in gleicher Weise auf, wenn stochastische Abhängigkeiten bestehen, also die Kovarianzen ungleich null sind. Bei positiven Kovarianzen liegt gemäß (VIII.9) die Varianz des Portefeuilles um einen Betrag über der gewichteten Summe der Varianzen, der sich aus der Addition positiver Kovarianzen ergibt. Während (VIII.9) nur M Varianzen enthält, besteht die Doppelsumme aus M-(M-l) Kovarianzen. Die Kovarianzen können daher eine erheblich größere Bedeutung haben als die Varianzen.

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

257

Zur Verdeutlichung des Einflusses der Kovarianzen wird die Doppelsumme auf der rechten Seite von (VIIL9) wie folgt umgeformt: (VIII.12)

I

S f e f - K o v ( P 2 „ ; P W = z 2 . ^ . E^ Z E ^°^(P2n,P2m) —/

n=lm=l

=lm==1

M

m?tn

z^

M-1 M

M M

Kov(P2n; ^ I m ) n=l m=l M ( M - 1 )

Die untere Doppelsumme auf der rechten Seite von (VIII.12) enthält M-(M-l) Kovarianzen, von denen jede durch M-(M-l) dividiert wird. Diese Doppelsumme kann somit als durchschnittliche Kovarianz interpretiert werden. Wird sie mit Kov bezeichnet, so kann (VIII. 9) unter Berücksichtigung von (VIII.IO) wie folgt dargestellt werden: /,.TTTi^x

2

(VIII.13) a^ =

Z^

TT-

^Var

Varianzeffekt = Varianz bei stochastischer Unabhängigkeit

2

+ z^

M - 1

-—-

Kov

Kovarianzeffekt = Varianzänderung aufgrund der stochastischen Abhängigkeit

bzw. ^ ^ l M-1 (VIIL14) a^ = z ^ . ( - ^ V a r + ^ ^ ^ ^ . K o v ) M M = z^ • [Kov + 1 (Var - Kov)]. M Während mit wachsendem M der erste Summand in der runden Klammer tendenziell gegen null geht, nähert sich der zweite Summand der durchschnittlichen Kovarianz. Obwohl der Varianzeffekt mit steigendem M tendenziell gegen null geht, ist es nicht ohne weiteres sinnvoll, M zu maximieren, also möglichst viele Wertpapiertypen in das Portefeuille aufzunehmen. Mit steigendem M sinkt zwar der Varianzeffekt, jedoch wird gemäß (VIII. 14) das Gewicht der Kovarianz Kov immer größer. Der funktionale Zusammenhang zwischen a^ und M hängt dann davon ab, wie Var und Kov ihrerseits von M abhängen. Die Darstellungen verdeutlichen vor allem die grundsätzliche Bedeutung der Varianzen und Kovarianzen für die Risikoanalyse. Dabei wurde vereinfachend vorausgesetzt, daß von jedem Wertpapiertyp 1,2,...,M dieselbe Zahl an Einheiten (und zwar jeweils z/M Einheiten) im Portefeuille gehalten werden. Wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird, kann - j e nach Höhe der Varianzen und Kovarianzen - mit einer anderen Portefeuille-

258

Kapitel VIII

Struktur (bei gegebener Zahl von Wertpapieren) in der Regel eine kleinere Varianz erzielt werden. Andererseits ist für die Portefeuille-Bildung nicht nur die Varianz des Endwertes des Portefeuilles relevant, sondern auch der Erwartungswert des Endwertes.

4. 4.1.

Grundzüge der Portefeuille-Theorie Annahmen und Symbole

Im folgenden soll am Beispiel der Ermittlung eines optimalen WertpapierPortefeuilles gezeigt werden, wie die Effizienzkurve ermittelt werden kann. Die Portefeuille-Theorie befaßt sich mit der Bestimmung eines optimalen Bestandes von risikobehafteten Wertpapieren. (Sie kann unter bestimmten Voraussetzungen auch für die Auswahl von Realinvestitionsprojekten herangezogen werden.) Das Standardmodell der Portefeuille-Theorie beruht auf der Annahme, das Wertpapier-Portefeuille werde für die Dauer einer Periode gehalten, der Investor orientiere sich am (ii,a)-Prinzip und er sei risikoscheu.^) Bevor gezeigt wird, wie für diesen Fall die Effizienzkurve bestimmt werden kann, sollen zur Präzisierung der Entscheidungssituation die folgenden Annahmen getroffen werden: 1. Der Entscheider kann zum risikolosen Zinssatz r (praktisch) unbegrenzt Geld anlegen und aufnehmen. 2. Er kann außerdem zum Zeitpunkt 1 (risikobehaftete) Wertpapiere der Typen 1,2,...,N erwerben, die er erst zum Zeitpunkt 2 wieder verkaufen kann. Der Entscheider hat mit seinen Dispositionen keinen spürbaren Einfluß auf die Wertpapierkurse; er agiert als Mengenanpasser. Mit dem Kauf und Verkauf von Wertpapieren sind keine Transaktionskosten verbunden. Alle Wertpapiere sind beliebig teilbar, so daß keine Ganzzahligkeitsbedingungen beachtet werden müssen.^) 3. Zum Zeitpunkt 1 hat der Entscheider einen bereits vorhandenen Wertpapierbestand verkauft und verfügt über das Geldvermögen V^ (Vj >0). Er will nun einen neuen optimalen Bestand ermitteln. Die erworbenen Wertpapiere werden zum Zeitpunkt 2 wieder veräußert. Da mit dem 8)

9)

Vgl. hierzu MARKOWITZ (1952; 1959); TOBIN (1957; 1958); FARRAR (1962); SHARPE (1970); FRANKE/HAX (1999, S. 306-320); RUDOLPH (1979, S. 1-59); BiTZ (1981, S. 110-151); SCHMIDT/TERBERGER (1996, S. 309-338). Werden Ganzzahligkeitsbedingungen in einem Modell der Portefeuille-Planung vernachlässigt, so kann sich zwar ein Portefeuille als optimal erweisen, das nicht ganzzahlige Wertpapierbestände enthält. Sind jedoch die Anschaffungsauszahlungen für die einzelnen Wertpapiereinheiten im Vergleich zum Umfang des gesamten Wertpapierbestandes gering, so ist die Gefahr einer Fehlentscheidung relativ gering, wenn Ganzzahligkeitsbedingungen im Modell vernachlässigt und nicht ganzzahlige Werte gerundet werden.

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

259

Kauf und Verkauf keine Transaktionskosten verbunden sind, schränken diese Annahmen die Allgemeinheit der Problemstellung nicht ein. Jedoch vereinfachen sie einige Darstellungen. 4. Der Erwerb von Wertpapieren führt zum Zeitpunkt 1 zu Anschaffungsauszahlungen und zum Zeitpunkt 2 zu Einzahlungen in Form von Verkaufserlösen und Dividenden bzw. Zinsen. Die Anschaffungsauszahlung je Wertpapiereinheit ist mit Sicherheit bekannt. Für die Einzahlungen zum Zeitpunkt 2 sind zum Zeitpunkt 1 nur Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegeben. 5. Zielgröße des Entscheiders ist das Geldvermögen, über das er am Ende des Planungszeitraums (dem Zeitpunkt 2) verfügt (Endvermögen)A^) 6. Der Entscheider orientiert sich am BERNOULLI-Prinzip. Es werden zwei Fälle behandelt: Entweder ist der Endwert des Portefeuilles normalverteilt^l) und die RNF des Entscheiders bezüglich seines Endvermögens verläuft exponentiell oder die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Endvermögen ist beliebig und die RNF quadratisch. In beiden Fällen steht das (|i,a)-Prinzip mit dem BERNOULLI-Prinzip im Einklang. ^2) (2u den entsprechenden Indifferenzkurven im (!Li,a)- bzw. (|j.,a )-Diagramm vgl. Kapitel VI, Abschnitt 5.3). Da der Entscheider annahmegemäß risikoscheu ist, zieht er von zwei Wertpapier-Portefeuilles mit demselben Erwartungswert des Endvermögens dasjenige mit der kleineren Standardabweichung vor. 7. Der Entscheider verfügt außerhalb seines Wertpapierbestandes über keine riskanten Vermögenspositionen, die bei der Ermittlung des optimalen Wertpapierbestandes explizit berücksichtigt werden müssen. 13) 10) Es wird davon ausgegangen, daß der Entscheider bereits eine Entscheidung über die Höhe seiner Konsumausgaben in der betrachteten Periode getroffen hat. Entsprechend bezeichnet V| das Geldvermögen, über das er zum Zeitpunkt 1 nach Abzug von Konsumausgaben verfügt. Die Konsumausgaben werden also nicht simultan mit dem Wertpapierbestand optimiert. 11) Der Endwert eines beliebigen Portefeuilles von Wertpapieren ist genau dann normalverteilt, wenn die Renditen r^ aller Wertpapiere einer multivariaten Normalverteilung genügen. Daraus folgt für das Wertpapier n (n= 1,2,...,N) fn=an+b„-rM+8n mit Kov(rj^;8n) = 0 und E(Sj^|r]^) = 0. Dabei sind alle stochastischen Terme (mit Tilde) normalverteilt. Xy^ bezeichnet die Rendite eines Portefeuilles, das den Gesamtbestand aller N Wertpapiere enthält. E(Sri|rj^) = 0 besagt, daß der Erwartungswert von s„ unter der Bedingung gleich 0 ist, daß T^^ irgend einen festen Wert annimmt; entsprechend muß auch der unbedingte Erwartungswert von s^ gleich 0 sein. 12) Zwar steht bei normalverteilter Zielgröße das (fi,a)-Prinzip bei jeder konkaven RNF im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip. Trotzdem soll hier der Einfachheit halber der Fall der Normalverteilung nur in Verbindung mit einer exponentiellen RNF betrachtet werden; die Indifferenzkurven im (fi,a^)-Diagramm verlaufen dann linear. 13) Dies bedeutet nicht, daß neben dem Portefeuille nur sichere Vermögenspositionen existieren. Sind die Vermögenspositionen zwar ungewiß, jedoch vom Endwert des Porte-

260

Kapitel VIII

Symbole V2 X

= Vermögen zum Zeitpunkt 2 (Endvermögen), = Geldbetrag, der zum Zinssatz r angelegt wird (im Falle einer Verschuldung ist x negativ), x^ = Zahl der Einheiten des Wertpapiers n (n=l,2,...,N), die zum Zeitpunkt 1 gekauft werden , Pjn = Anschaffungsauszahlung je Einheit des Wertpapiers n (n= 1,2,...,N) zum Zeitpunkt 1, P2n = Einzahlung je Einheit des Wertpapiers n (n=l,2,...,N) zum Zeitpunkt 2, E(P2n) = Erwartungswert der Zufallsgröße P2n, Var(P2n) = Varianz der Zufallsgröße P2n, Kov(P2n;P2m) = Kovarianz der Zufallsgrößen P2n und P2ni, r = risikoloser Zinssatz, Vj = Geldvermögen zum Zeitpunkt 1.

4.2.

Das Modell

Das (ungewisse) Endvermögen beträgt: (VIII.15) V2 = (l + r)-x+i:x„-P2„ . n=l

Für den Erwartungswert des Endvermögens gilt: (VIII.16) M = E(V2) = (l + r)-x+2:x„-E(P2„) . n=l

Die Varianz cr^ von V2 errechnet sich nach der folgenden Formel: (Vin.17) a2 . Var(V2)=: Z x^.VarCPjjH- S n=l

i:x„-x„-Kov(P2„;P2n,)

n=lm=l m?tn

N N = 1 ZXn.X^.Kov(P2n;P2m) n=l m=l

mit Kov(P2n;P2n) = Var(P2n).

feuilles stochastisch unabhängig, so kann der Ungewißheit außerhalb des Portefeuilles implizit Rechnung getragen werden, indem die Nutzenfunktionen für das explizit betrachtete Endvermögen als Funktion bestimmt wird, die zum Ausdruck bringt, wie sich der Erwartungswert des Nutzens des gesamten Endvermögens bei alternativen Endwerten des Portefeuilles ändert (vgl. hierzu LAUX, 1993, S. 3-27).

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

261

Für den Zeitpunkt 1 gilt folgende Budgetgleichung: (VIIL18) x + S x n - P l n = V i . n=l

Sie besagt, daß der gesamte Auszahlungsüberschuß zum Zeitpunkt 1 mit dem vorhandenen Geldbetrag Vj übereinstimmen muß. Im Rahmen der folgenden Darstellungen werden keine Nichtnegativitätsbedingungen für die Variablen x^ berücksichtigt. 1^) Wie kann ein effizientes Portefeuille ermittelt werden? Werden zum Zeitpunkt 1 die vorhandenen Vj Geldeinheiten restlos zum Zinssatz r angelegt, so ergibt sich ein sicheres Endvermögen von (1 +r) • V^. Ein riskantes Portefeuille kann demnach (bei Risikoaversion des Entscheiders) nur dann effizient sein, wenn ihm ein Erwartungswert des Endvermögens entspricht, der höher ist als (1 + r ) - V j . Man erhält ein riskantes effizientes Portefeuille (und damit einen Punkt der Effizienzkurve)), indem in (VIII. 16) für |LI ein fester Wert |LI > ( l + r)-Vi eingesetzt und unter Beachtung dieser Nebenbedingungen sowie der Nebenbedingung (VIII. 18) die Varianz (VIII. 17) minimiert wird.

4.3.

Gleiche Struktur aller effizienten Portefeuilles

Im folgenden soll die Menge der effizienten ()Li,a)- bzw. (|Li,a2)-Kombinationen (der Verlauf der Effizienzkurve im (iLi,a)- bzw. im (|Li,a2)-Diagramm) sowie das entsprechende optimale Portefeuille näher untersucht werden. Werden beide Seiten von (VIII. 18) mit (1 +r) multipliziert und die erzielten Produkte entsprechend umgestellt, ergibt sich: (VIIL19) ( H - r ) . x = (l + r ) . V i - X x n . ( l + r).Pi^. n=l

Einsetzen in (VIII. 16) und Umformung führt zu: (VIIL20) ^ - E ( V 2 ) = (l + r ) . V i + Z x ^ . E [ P 2 n - ( l + r ) . P i J . n=l ^ Risikoprämie des Portefeuilles 14) Es wird davon ausgegangen, daß einer der folgenden Fälle relevant ist: 1. Der Entscheider kann von jedem Wertpapiertyp n (n=l,2,...,N) einen negativen Bestand halten. Dies geschieht via Leerverkauf. Für Xj^=-10 z.B. verkauft der Entscheider im Zeitpunkt 1 10 Wertpapiere des Typs n zum Preis P^j^. Er kauft diese Papiere im Zeitpunkt 2 zum Preis ^2w ^^d liefert sie an den (Termin-)Käufer. 2. Zwar sind keine Leerverkäufe zulässig bzw. möglich, jedoch enthalten die effizienten Portefeuilles (und mithin auch das optimale Portefeuille) auch dann keine negativen Bestände für einzelne Wertpapiere, wenn Nichtnegativitätsbedingungen nicht explizit ins Modell einbezogen werden.

262

Kapitel VIII

^2n~(^"^r)'Pln bezeichnet die erwartete Änderung des Endvermögens für den Fall, daß eine (weitere) Einheit des Wertpapiers n erworben und entsprechend die Kapitalanlage (bzw. die Kapitalaufnahme) zum Zinssatz r um den Betrag P^^ reduziert (bzw. erhöht) wird. Im folgenden wird die Differenz P2n~(l"^^)*Pln ^^^ Residualgewinn einer Einheit des Wertpapiers n (n=l,2,...,N) bezeichnet. Der Erwartungswert dieses Residualgewinns kann als Risikoprämie interpretiert werden, die eine Einheit des Wertpapiers bietet. Entsprechend stellt der Summenausdruck auf der rechten Seite von (VIII.20) die Risikoprämie RP des gesamten Portefeuilles dar. Die Nebenbedingung (VIII.20) umfaßt die Nebenbedingungen (VIIL16) und (VIII. 18). Dabei wird die Entscheidungsvariable x nicht mehr explizit berücksichtigt, sondern nur noch implizit. Diese Darstellungsform erleichtert die Analyse der Eigenschaften effizienter bzw. optimaler Portefeuilles. Die Risikoprämie RP(k) eines Portefeuilles, das sich aus dem k-fachen (k>0) des Portefeuilles x. ,X2vjX>^ (mit der Risikoprämie RP* und der Varianz a*^ bzw. der Standardabweichung a*) zusammensetzt (d.h. die Risikoprämie des Portefeuilles k-x^k-x!,.--» k-x-»^) beträgt: (VIIL21) RP(k)= I k - x ; - E [ P 2 „ - ( l + r ) - P i J n=l = k- E x ; - E [ P 2 n - ( l + r ) - P i J . n=l

,

= RP des Portefeuilles X|, ..., x^

= kRP . Die Risikoprämie des Portefeuilles k - X p k - X 2 , . . . , k - x ^ ist somit gleich dem k-fachen der Risikoprämie des Portefeuilles x*, X2,..., x ^ . Dem Portefeuille k-Xp k-X2,...,k-x^ entspricht folgende Varianz des Endvermögens: (VIIL22) a\],)=

Zk2.x;'.Var(P2n)+ I n=l

I k - x ; - k - x ^ .Kov(P2n;P2m)

n=lm=l

= k2-[E

Ix;.x;.Kov(P2„;P2„i)]

n=lm=l

^

=Varianz des Portefeuilles x^, X2,..., x^s^ 1 2

*2

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

263

Die Varianz des Portefeuilles k • x^, k • X2,..., k • x ^ ist somit gleich dem k^fachen der Varianz des Portefeuilles x^,xl,...,xtr. Entsprechend ist die Standardabweichung (als Wurzel aus der Varianz) das k-fache. Wird also bei gegebener Struktur des Portefeuilles (d. h. bei gegebener Relation zwischen den Größen XpX2,...,x^) der Bestand an Wertpapieren verändert, so ändern sich im gleichen Verhältnis sowohl die Risikoprämie als auch die Standardabweichung des Portefeuilles. Ist das Portefeuille XpX2,...,x^ effizient, so gilt dies auch für das Portefeuille k• x j , k• x^,..., k• x ^ . Beweis: Wie erläutert wurde, entspricht dem Portefeuille k-x^, k• X2,..., k• x ^ die Risikoprämie k-RP* und die Standardabweichung k• a . Es ist seinerseits effizient, wenn kein anderes Portefeuille existiert, für das eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: 1. Bei gleicher Risikoprämie k-RP* weist es eine kleinere Standardabweichung als k - a auf. 2. Bei gleicher Standardabweichung k - a bietet es eine höhere Risikoprämie als k-RP*. 3. Bei kleinerer Standardabweichung als k - a bietet es eine höhere Risikoprämie als k • RP*. Hier soll nur gezeigt werden, daß die erste Bedingung erfüllt ist: Angenommen, es gebe ein Portefeuille x!*,X2*,...,x!t mit der Risikoprämie k-RP*

und

der

Standardabweichung

a**
Dem

Portefeuille

Y • x p , Y • X2* ? •••» "^ • x ^ entspräche dann die Risikoprämie -r'^' RP* = RP * und die Standardabweichung^^) —(^

< a . Bei gleicher Risikoprämie ent-

spräche somit dem Portefeuille ^-xT,^'xT^...^^-x"^ dardabweichung als dem Portefeuille

eine kleinere Stan-

x ^ x ! , . . . , x!.; das

Portefeuille

Xp X2,..., x ^ könnte nicht effizient sein. Analog kann gezeigt werden, daß auch die beiden anderen Bedingungen erfüllt sind; wenn das Portefeuille Xp X2,..., x ^ effizient ist, muß auch das k-fache dieses Portefeuilles effizient sein. Wird also ausgehend von einem effizienten Portefeuille bei gleicher Struktur des Portefeuilles der Bestand an Wertpapieren erhöht oder gesenkt, so ergibt sich wieder ein effizientes Portefeuille, wobei sich die Risikoprämie und die Standardabweichung im gleichen Verhältnis ändern wie der Umfang des Portefeuilles. Es gibt somit nur eine einzige effiziente

15) Diese Größenrelation folgt unmittelbar aus der angenommenen Relation a**0 dividiert, ergibt sich (l/k)-a**
264

Kapitel VIII

Portefeuillestruktur; die effizienten Portefeuilles unterscheiden sich nicht durch ihre Struktur, sondern durch ihren Umfang. Man erhält die Effizienzkurve im (|Li,a)-Diagramm, indem für eine beliebige Risikoprämie RP*>0 das entsprechende effiziente Portefeuille XpX2,...,x^ ermittelt, die entsprechende (|Li,a)-Kombination für das Endvermögen durch einen Punkt P* im (|Li,a)-Diagramm dargestellt und ausgehend von dem Punkt A auf der Abszisse (mit dem Abszissenwert (l+r)-Vi) ein Fahrstrahl durch den Punkt P* gezeichnet wird (Abbildung VIIL5). Sta(V2) ^i (a) y^

T

Effizienzkur

y^^ *""* (eine) Indifferenzkurve

Sta(V2)opt P* y^'^^

^.y^ 0

(l + r)-Vi

\

\M b 2c

IIP* ^^"^ RP(opt

E(V2) (|Ll)

Abb. VIII.5: Lineare Effizienzkurve im (|Li,a)-Diagranim und optimale (}i,a)Kombination Die subjektive Risikoeinstellung hat zwar keinen Einfluß auf die Struktur des optimalen Portefeuilles, jedoch auf dessen Umfang. Bei quadratischer Risikonutzenfunktion (und beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endvermögen) haben die Indifferenzkurven im (|a,(j)-Diagramm die Gestalt von konzentrischen Halbkreisen, deren Mittelpunkt auf der Abszisse liegt und den Abszissenwert b/2c aufweist. 1^) Das optimale Portefeuille wird dann durch den Tangentialpunkt der Effizienzkurve mit einem dieser Halbkreise bestimmt. (Vgl. den Punkt T in Abbildung VIII.5.) Wird jeder Ordinatenwert der Effizienzkurve in Abbildung VIII.5 quadriert, so ergibt sich die entsprechende Effizienzkurve im (|i,a2)-Diagramm. Sie hat die Gestalt einer Parabel (Abbildung VIII.6).

16) Von diesen Indifferenzkurven ist allerdings nur derjenige Teil relevant, der links vom Abszissenwert b/2c liegt (Kapitel VI, Abschnitt 5.3.1.4).

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

265

Var(V2)

Effizienzkurve

1/

^dne) Indifferenzkurve

Var(V2)opt

(l + r).Vi

Abb. VIII.6: Effizienzkurve als Parabel im ()i,a^)-Diagramm und optimale (|Li,a2)Kombination Bei exponentieller RNF und normalverteiltem Endvermögen verlaufen die Indifferenzkurven im (|i,a2)_Diagramm linear mit der Steigung 2/a. Das optimale Portefeuille wird dann durch den Tangentialpunkt der konvexen Effizienzkurve mit einer linearen Indifferenzkurve bestimmt (vgl. den Punkt T in Abbildung VIII.6). Bei quadratischer RNF (und beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endvermögen) verlaufen die Indifferenzkurven im (|j.,a2)-Diagramm streng konkav (Kapitel VI, Abschnitt 5.3.1.3). Der entsprechende Tangentialpunkt der Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve repräsentiert bei gleichem Entscheider dasselbe (optimale) Portefeuille wie der entsprechende Punkt T in Abbildung VIII. 5.

*4.4. Vergleich mit den Darstellungen im Abschnitt 3.2. Im Abschnitt 3.2 wurde gezeigt, wie die Effizienzkurve auf der Basis einer Umhüllenden ermittelt werden kann. Diese Darstellungen haben vor allem didaktische Bedeutung, indem sie mögliche Auswirkungen einer Risikomischung anschaulich aufzeigen. Für die praktische Ermittlung der Effizienzkurve muß jedoch die Umhüllende nicht bekannt sein. Wie in Abschnitt 4.3 erläutert wurde, ist explizit nur das effiziente Portefeuille für eine ein-

266

Kapitel VIII

zige (beliebige) Risikoprämie RP > 0 zu ermitteln: Wird wie in Abbildung VIII.5 der entsprechende Punkt P*im (jLi,a)-Diagramm mit dem Punkt A verbunden, erhält man die Effizienzkurve. Jedoch stehen beide Konzepte miteinander in Einklang; es ergibt sich jeweils dieselbe Effizienzkurve, wie hoch Vj auch sein mag. Beim Vergleich der beiden Konzepte muß beachtet werden, daß die Umhüllende von Vj abhängig ist. Die Umhüllende gibt definitionsgemäß an, welche minimalen Sta(V2)-Werte alternativen E(V2)-Werten entsprechen, sofern genau das vorhandene Geldvermögen V^ in (Konvexkombinationen von) riskanten Projekten angelegt wird. Eine Variation von V^ führt zu einer anderen Umhüllenden. Dabei gilt der folgende Zusammenhang: Steigt bzw. sinkt das Geldvermögen von Vj, auf a-V^ ( a ^ l ; a>0), so ändert sich in demselben Verhältnis sowohl der Abszissenwert als auch der Ordinatenwert jedes Punktes der Umhüllenden; die bisher relevanten Basisprogramme erhalten jeweils das a-fache Niveau. Zur Verdeutlichung wird Abbildung VIIL7 betrachtet, wobei a = 2 gilt: Sta(V2)

E(V2)

Abb. VIII.7: Zur Abhängigkeit der Umhüllenden von Vj Steigt das Geldvermögen von V^ auf 2-Vi, so verdoppelt sich sowohl der Abszissenwert als auch der Ordinatenwert jedes Punktes der Umhüllenden; es verändert sich im Grunde nur der "Maßstab". Dabei entspricht den Punkten auf demselben Fahrstrahl durch den Ursprung des Koordinatensystems dieselbe Steigung der Umhüllenden. (Zum Beispiel entspricht dem Punkt P2 dieselbe Steigung wie dem Punkt P2.) Dies wiederum bewirkt, daß dem Geldvermögen 2 • Vj dieselbe Steigung für die Effizienzkurve ent-

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

267

spricht wie dem Geldvermögen V^. Zum Beweis wird die Abbildung VIII.8 betrachtet: Sta(V2) Effizienzkurve 1

(l-fr).Vi

Effizienzkurve 2

(l + r).2.Vi

Abb. VIII.8: Zur Abhängigkeit der Effizienzkurve von V| Dem Geldvermögen Vj entspricht die Effizienzkurve 1. Sie tangiert die Umhüllende 1 im Punkt Tj. Dieser Punkt liegt auf demselben Fahrstrahl durch den Ursprung des Koordinatensystems wie der Punkt T2 auf der Umhüllenden 2. Folglich ist die Steigung der Umhüllenden 2 im Punkt T2 ebenso groß wie die der Umhüllenden 1 im Punkt Tj. Wird im Punkt T2 eine Tangente an die Umhüllende 2 gelegt, so erhält man eine parallel zur Effizienzkurve 1 verlaufende Gerade. Diese Gerade ist die dem Geldvermögen 2-Vi entsprechende Effizienzkurve, sofern ihr Schnittpunkt A2 mit der Abszisse den Abszissenwert (l+r)-2-Vj aufweist. Diese Bedingung ist in der Tat erfüllt.^'7) Die dem Geldvermögen 2-Vi entsprechende Effizienzkurve hat dieselbe Steigung wie die Effizienzkurve 1. Allgemein bewirkt eine Änderung von V^, daß sich die Effizienzkurve bei unveränderter Steigung nach links bzw. nach rechts verschiebt.

17)

Da die Effizienzkurve 1 und die Tangente durch T2 parallel verlaufen, gilt nach dem Strahlensatz für die Strecken 0T|, OT2 , 0A| und OA2 die folgende Relation:

ÖT^_ÖÄ£ OTi

OA

Da der Abszissenwert bzw. der Ordinatenwert von T2 doppelt so hoch ist wie der Abszissenwert bzw. der Ordinatenwert von T j , gilt 0T2:0T| = 2 und mithin auch 0A9:0A

268

Kapitel VIII

4.5.

Analyse der Struktur effizienter Portefeuilles

4,5.1. Grundlegende Struktureigenschaften In Abschnitt 4.3 wurde gezeigt, daß alle effizienten Portefeuilles dieselbe Struktur (d.h. dieselbe Größenrelation zwischen den Variablen xi,X2,..>,x^) aufweisen. Offen blieb dabei, wie diese Struktur aussieht. Sie soll im folgenden analysiert werden. Wie bereits erläutert wurde, erhält man ein riskantes effizientes Portefeuille, indem in der Nebenbedingung (VIII.20) für |LI ein fester Wert |LI* > (1 +r) • Vj eingesetzt und unter Beachtung dieser Nebenbedingung die Varianz (VIII.17) minimiert wird.^^) Die Nebenbedingung (VIIL20) (mit |a = |Li*) kann wie folgt dargestellt werden: (VIII.23) ^ * - ( l + r).Vi- Xxn-[E(P2n)-(l + r).PiJ = 0. n=l

Nach dem Ansatz von Lagrange liegt der Minimalwert der Funktion (VIII.17) unter der Nebenbedingung (VIII.23) dort, wo die folgende zusammengesetzte Funktion L (die sogenannte Lagrange-Funktion) (VIII.24) L = E x 2 . V a r ( P 2 „ ) + I Ex« •x^-Kov(P2n;P2„,) n=l

n=lm=l

+ ^ - L * - ( l + r)-Vi-Sx„-[E(P2„)-(l + r)-Pi„]| ihren Minimalwert annimmt. Die notwendigen Bedingungen hierfür lauten: dL

(VIII.25.n)

. N ^ ^ =2.x^.Var(P2n)+ I 2 . x ^ .Kov(P2n;P2m) ^n m=l -X.[E(P2n)-(l + r).PiJ = 0

(für alle n=l,2,...,N)

und aL * N ^ (VIII.26) — = ^1 - ( l + r).Vi-2:x^.[E(P2n)-(l + r).PiJ = 0. ö^ n=l (VIII.25.n) (n=l,2,...,N) beschreibt ein (Gleichungs-)System mit N Gleichungen; Gleichung (VIII.25.n) stellt die gleich null gesetzte erste partielle Ableitung der Funktion (VIII.24) nach x^ dar. Die Gleichung (VIII.26) ist gerade die Nebenbedingung (VIII.23). Der Ausdruck 18) Die Nebenbedingung (VIIL20) umfaßt die Nebenbedingungen (VIII. 16) und (VIII. 18).

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall N 2.Xn.Var(P2n)+

269

N

E 2 - X ^ .Kov(P2n;P2m) = 2- E x ^ . K o v ( P 2 n ; P 2 m ) m=l m=l

in (VIIL25.n) gibt an, wie weit die Varianz des Endvermögens steigt, wenn ausgehend von dem Portefeuille X I , X 2 V X N eine zusätzliche Einheit des Wertpapiers n im Portefeuille gehalten wird. Dieser Ausdruck wird als Grenzvarianz des Portefeuilles bezüglich des Wertpapiertyps n bezeichnet. (VIIL25.n) (n=l,2,...,N) und (VIIL26) beschreiben ein Gleichungssystem mit N+1 Gleichungen und N+1 Variablen (XI,X2VXN,X,)- Sind diese Gleichungen voneinander linear unabhängig, so existiert eine eindeutige Lösung (und davon wird im folgenden ausgegangen). Sie wird mit XpX2,.--jX^,A- bezeichnet. Einsetzen dieser Variablenwerte in das Gleichungssystem (VIII.25.n) (n= 1,2,...,N) und Umstellung ergibt: (VIII.27.n)

2- Ix;^-Kov(P2n;P2m) = ^*{E(P2„Hl+r>Pi„] m=l

(n=l,2,...,N). Hieraus folgt: 2-i:x*^-Kov(P2„;P2m) (VIII.28.n) ^ = X.* E(P2„)-(l + r).Pi„

(n=l,2,...,N).

Wegen E x ; • Kov(P2„;P2„,) = Kov(P2„; I x * ^ • P 2 „ ) = Kov(P2„;V^) m=l

m=l

kann man für (VIII.28.n) schreiben: 2-Kov(P2n;V*) (VIII.28a.n) — ^»' ^' =X E(P2„)-(l + r).Pi„

(n=l,2,...,N).

Interpretation: Wie bereits erläutert wurde, gibt 2-Kov(P2n;V2) an, wie sich die Varianz des Endwertes des Portefeuilles (und mithin auch die Varianz des gesamten Endvermögens) ändert, wenn ausgehend vom effizienten Portefeuille x^x^,...,x-^^ eine zusätzliche Einheit des Wertpapiertyps n erworben wird {Grenzvarianz). Bei dem effizienten Portefeuille X. ,X2,...,x>^ ist für jeden Wertpapiertyp n (n==l,2,...,N) das Verhältnis aus der Grenzvarianz und der Risikoprämie je Wertpapiereinheit gleich A.*. Wie in Abschnitt 4.5.2 gezeigt wird, gilt A. > 0.

270

Kapitel VIII

Ist die Kovarianz zwischen P2n und dem Endwert des (effizienten) Portefeuilles X., x^,..., x-^T positiv, so kann der Wertpapiertyp n nur dann mit einem positiven Bestand im Portefeuille enthalten sein, wenn auch E(P2n)-(l + r)-Pin positiv ist. Die letzte Einheit des Wertpapiers n trägt dann dazu bei, daß die Varianz des (Endwertes des) Portefeuilles steigt; zum Ausgleich muß die Risikoprämie positiv sein. Zur Verdeutlichung wird ein Portefeuille mit dem Endwert V2 betrachtet. In diesem Portefeuille sei ein positiver Bestand an Wertpapieren des Typs n enthalten, wobei Kov(P2n;V2)>0 und E(P2n)-(l + r)-Pin < 0 gelte. Dieses Portefeuille kann nicht effizient sein: Wird der Bestand an Wertpapieren des Typs n reduziert, so sinkt die Varianz des Endvermögens, während dessen Erwartungswert steigt. Bei negativer Kovarianz kann das Wertpapier n auch dann mit einem positiven Bestand im Portefeuille x. ,X2,..., x>^ enthalten sein, wenn E(P2n)-(l + r)-Pin < 0 gilt. Die letzte Einheit des Wertpapiers n trägt dann dazu bei, daß die Varianz des Portefeuilles sinkt; dieser Vorteil kann die Inkaufnahme einer negativen "Risikoprämie" rechtfertigen. 4,5,2. Zur Interpretation von A, Zur Interpretation von A,* werden beide Seiten von (VIII.27.n) (n= 1,2,...,N) mit x^ multipliziert: (VIII.29.n)

2- Ix;.x*^.Kov(P2n;P2m) = ^*-x* •[E(P2n)-(l + r ) . P i J m=l (n=l,2,...,N).

Werden alle N Gleichungen dieses Gleichungssystems addiert, so ergibt sich: (Vni.30) 2 . x Ex;.x;.Kov(P2„;P2„,) = A.*.i;x;.[E(P2„)-(l+r>Pi„]. n=lm=l

n=l

Hieraus folgt in Kurzschreibweise: (VIII.31) 2-Var(V*) = :^*-RP* bzw. HC

(VIII.32) X =

2-Var(V*)

RP

V-^-

Der dem effizienten Portefeuille

X!,X2,...,X!T

entsprechende A.-Wert ist

gleich dem Quotienten aus der Varianz und der Risikoprämie dieses Portefeuilles. Da beide Terme positiv sind, gilt A. > 0.

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

271

Im folgenden soll untersucht werden, welcher Zusammenhang zwischen X und dem Umfang des effizienten Portefeuilles besteht. Dabei wird der Umfang durch die Risikoprämie RP gemessen. (Es sei daran erinnert, daß jedes effiziente Portefeuille dieselbe Struktur aufweist.) Wie erläutert wurde, verläuft die Effizienzkurve im (|Li,a)-Diagramm linear. Wird die Steigung der betreffenden Kurve mit y bezeichnet, gilt für die Standardabweichung Sta(V2) im Bereich RP > 0 (bzw. im Bereich E(V2) > (1 + r) • Vi): Sta(V2) = y-RP. Hieraus folgt für die Varianz:RP > 0 (VIII.33) Var(V2) = y^-RP^. Die Effizienzkurve im (|Li,a2)-Diagramm weist somit bei der Risikoprämie RP folgende Steigung auf: (VIII.34)^X^(^=.y2.2.Rp. ^ ' dRP ^ In Worten: Die Steigung der Effizienzkurve im (|Li,a2)-Diagramm ist im Bereich R P > 0 eine linear steigende Funktion der Risikoprämie RP des (effizienten) Portefeuilles: Für RP = 0 (bzw. E(V2) = (l + r)-Vi) ist die Steigung gleich 0, für jedes R P > 0 ist sie positiv. Die Steigung der Effizienzkurve gibt an, wie weit die minimale Varianz (d.h. die Varianz des Portefeuilles bei effizienter Portefeuillebildung) ansteigt, sofern die Risikoprämie RP des Portefeuilles um eine marginale Einheit erhöht wird. Dieser Anstieg wird im folgenden als Grenzvarianz bezüglich der Risikoprämie RP bezeichnet. Aus (VIIL33) folgt: (VIII.35) RP = ^ ^ ^ f ^ . y^-RP Einsetzen in (VIII.34) ergibt (VIII.36) dVar(V2)^,,Var(V2) dRP RP Die Steigung der Effizienzkurve ist somit für jede Risikoprämie RP > 0 doppelt so hoch wie der Quotient aus der zugehörigen minimalen Varianz und der Risikoprämie (Abbildung VIIL9).l^)

19) Dieser Zusammenhang hat besondere Bedeutung für die Analyse der Preise von Wertpapieren im Kapitalmarktgleichgewicht (Laux, 2003, Kapitel V und VII).

272

Kapitel VIII

Für das spezielle effiziente Portefeuille x ^ x^,..., x ^ mit der Risikoprämie RP* und der Varianz VarCV^) gilt gemäß (VIIL36): (VIIL37)

dVar(V2) dRP

= 2-

VarCV^) RP

Hieraus folgt in Verbindung mit (VIIL32): (VIIL38) X

dVar(V2)| (XI,X2,.-.,XN)' dRP

Der dem effizienten Portefeuille x. ,X2,.. X!T entsprechende A.-Wert ist gleich der Steigung der Effizienzkurve bei der zugehörigen Risikoprämie RP = RP*. Der Lagrange-¥aktor X* bringt also zum Ausdruck, wie weit die Varianz des Endwertes des Portefeuilles steigt, wenn ausgehend vom Portefeuille XpX2, Xxr die Risikoprämie RP um eine marginale Einheit erhöht und dabei ein neues effizientes Portefeuille gebildet wird. Aus (VIIL32) folgt in Verbindung mit (VIIL28a.n): (VIII.39.n)

Kov(P2n;V2)

VarCV^)

E(P2n)-(l + r).PjIn

RP

(n=l,2,...,N).

Für das effiziente Portefeuille x^,xl,...,xtr gilt somit: Das Verhältnis der Kovarianz Kov(P2n;V2) zur Risikoprämie je Einheit des Wertpapiertyps n ist gleich dem Verhältnis der Varianz des gesamten Portefeuilles zur Risikoprämie des Portefeuilles. Var(V2) t Effizienzkurve Tangente

(l + r).Vi

Abb. VIII.9: Zur Interpretation des Lagrange-MultiplikoXors X, der dem effizienten Portefeuille mit der Risikoprämie RP entspricht

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

4.6.

273

Eigenschaften des optimalen Portefeuilles

Wie bereits erläutert wurde, ist dasjenige Portefeuille optimal, bei dem die Effizienzkurve eine Indifferenzkurve tangiert. Der Lagrange-Mulüplik2itoY ^opt' ^^^ ^ ^ ^ optimalen Portefeuille entspricht, ist daher gleich der Indifferenzkurvensteigung im Tangentialpunkt (vgl. die Abbildungen VIILIO und VIII.ll). Eine Änderung des Wertpapierbestandes ist bei diesem X,-Wert nicht vorteilhaft. Var(V2)f Effizienzkurve

(eine) IndifFerenzkurve

Var(V2)opt

Abb. VIII.IO: Zur Charakteristik des optimalen Portefeuilles bei exponentieller RNF und normalverteiltem Endvermögen Bei exponentieller RNF und normalverteiltem Endvermögen verlaufen die Indifferenzkurven im ()i,a2)-Diagramm linear (und parallel zueinander). Die Steigung beträgt 2/a (vgl. Kapitel VI, Abschnitt 5.3.2.3). Hier ist X^^p^ exogen vorgegeben: X,opt=2/a. Da 1/a die Risikotoleranz bezeichnet, kann dieser Zusammenhang auch wie folgt formuliert werden: Der dem optimalen Wertpapierbestand entsprechende A.-Wert ist gleich der mit 2 gewichteten Risikotoleranz, also eine a priori bekannte Größe. Das optimale Wertpapierportefeuille kann somit (bei exponentieller RNF und Normalverteilung) ermittelt werden, indem in (VIII.24) X durch 2/a ersetzt und dann (VIII.24) bezüglich der Variablen Xi,X2,...,x^ minimiert wird. Da nun X exogen vorgegeben (und keine Variable mehr) ist, sind X-^i und X,-(l + r)-Vi konstante Terme, die bei der Ermittlung des Minimums von (VIII.24) vernachlässigt werden können. Zu minimieren ist dann die Differenz aus der Varianz und der mit 2/a gewichteten Risikoprämie des Portefeuilles. Diese Differenz wird minimiert, indem die Differenz aus der Risi-

274

Kapitel VIII

koprämie und der mit a/2 gewichteten Varianz des Portefeuilles (d.h. das Sicherheitsäquivalent des Portefeuilles) maximiert wird.^^) Var(V2)

Effizienzkurve Tangente

Var(V2)opt

Abb. VIII.ll: Zur Charakteristik des optimalen Portefeuilles bei quadratischer RNF und beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endvermögen Bei quadratischer RNF ist ^^p^ nicht exogen vorgegeben; die Indifferenzkurven verlaufen nicht linear. X^^^ ist hier gleich der mit 2 gewichteten Risikotoleranz an der Stelle |Li = ( l + r ) - V i + RPopt (^^^ ^i^ Steigung der Indifferenzkurve im (|a,a2)-Diagramm vgl. (VI.44a) in Kapitel VI, Abschnitt 5.3.1.5). Hier ist X^^^ zwar keine exogen vorgegebene Größe. Kann X^^^ hinreichend genau geschätzt werden, so kann damit das Optimum analog wie bei exogen vorgegebenem A.-Wert ermittelt werden. Da das optimale Portefeuille effizient ist, gilt die Bedingung (VIII.39.n) analog auch für das optimale Portefeuille.

4.7.

Renditebetrachtung

Die bisherigen Darstellungen beruhen auf absoluten Größen. Die Ergebnisse lassen sich jedoch auch mit Hilfe von Renditen ausdrücken: Wird die

20) Die Zielflmktion a^

2

a

a

1

RP -> Min! ist (wegen a>0) der Zielflmktion - • a^ - RP -> Min! 2

äquivalent und diese wiederum der Zielfunktion RP

a ^

Max! .

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

275

Rendite des Wertpapiertyps n (n=l,2,...,N) mit r^^^^) bezeichnet, so kann ^2n wi^ ^^^E^ dargestellt werden: (VIII.40) P2„ =(l + f„).Pi„ =?!„ +f„ •?!„. Wird der in ein effizientes Portefeuille XpX2,.-,x^ investierte Kapitalbetrag mit I* bezeichnet, (VIII.41) i * = E P i „ - x ; , n=l

und die Portefeuillerendite mit f , so gilt: (VIII.42) V* = (1 + r) • Vi +1* • (r* - r), (VIII.43) Var(V*) = Var[(l+r)-Vi+I*-(f*-r)] = Var(I*-f*) = I*^-Var(r*) und (VIII.44) RP* = E[I* • (fp - r)] = I* • E(fp - r). Werden (VIII.40), (VIII.42), (VIII.43) und (VIII.44) in (VIII.39.n) eingesetzt, so ergibt sich: (VIII.45) Kov[Pin + f„.Pi„;(l + r)-Vi + f - ( f : - r ) ] E[(l + f„)-PiJ-(l + r)-Pi„

f •Var(r*) * (n=l,2,...,N). = -* I -^f^-r)

=Pln •£(?„-!)

Da Pjjj, Vj und r deterministische Größen sind, gilt: (VIII.46) Kov[Pin + f„ • Pin;(l + r)• Vi + f • (i^* - r)] = Pi„ • f • Kov(r„;rp). Einsetzen in (VIII.45) ergibt nach Vereinfachung: Kov(rn;f*) Var(f*) (VIII.47) - — £- = ^ ^ E(r„-r) E(f - r )

21) Es gilt: r„ = ^^" Pin

^'"

(n = l,2,...,N).

276

Kapitel VIII

Diese Bedingung entspricht der Bedingung (VIII.39.n), die sich auf absolute Größen bezieht. (VIIL47) gilt analog auch für das optimale Portefeuille (das ja ebenfalls effizient ist).

4.8.

Vergleich mit dem Grundmodell der Entscheidungstheorie

In dem beschriebenen Modell werden im Gegensatz zum Grundmodell die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße (das Endvermögen) nicht explizit dargestellt, sondern nur der Erwartungswert und die Varianz der Zielgröße. Dadurch erübrigt sich die explizite Darstellung der Umweltzustände 81,82,."jSs. Andererseits müssen jedoch die Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen der Einzahlungen der riskanten Kapitalanlagemöglichkeiten (Wertpapiere) bestimmt bzw. geschätzt werden. Das beschriebene Modell kann bei komplexeren Entscheidungsproblemen einen wesentlich niedrigeren Planungsaufwand verursachen als das Grundmodell der Entscheidungstheorie. Die (relative) Einfachheit des Konzepts resultiert daraus, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße nur durch die beiden Parameter Erwartungswert und 8tandardabweichung (bzw. Varianz) gekennzeichnet werden. Gerade daraus resultieren jedoch auch Grenzen des Konzepts: Wenn beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße möglich sind, steht das (|Li,a)Prinzip nur dann im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip, wenn die Nutzenfunktion des Entscheiders quadratisch ist bzw. "hinreichend genau" durch eine quadratische Funktion approximiert werden kann. Bei Normalverteilung der Zielgröße steht allerdings das (^i,a)-Prinzip bei jeder konkaven Nutzenfunktion im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip. Ein weiterer möglicher Kritikpunkt liegt darin, daß bei Orientierung am (|Li,a)-Prinzip der Nutzen nur als Funktion der Höhe des Endvermögens angesehen wird. Es wird nicht berücksichtigt, daß einem bestimmten Endvermögensbetrag ein unterschiedlicher Nutzenwert entsprechen kann, je nachdem, welcher Zustand eintritt. Zwei Alternativen mögen den gleichen Erwartungswert und die gleiche Varianz des Endvermögens bieten. Trotzdem braucht der Entscheider gegenüber beiden nicht indifferent zu sein, wenn z.B. die eine Alternative gerade in denjenigen Zuständen relativ hohe Endvermögensbeträge bietet, in denen günstige Verwendungsmöglichkeiten für Geld offenstehen, und für die andere Alternative das Gegenteil gilt. Ist die Bewertung des Endvermögens vom eintretenden Zustand abhängig, so ist die Nutzenfunktion für das Endvermögen zustandsabhängig zu formulieren. Andererseits darf nicht übersehen werden, daß jede Modellbildung im 8pannungsfeld zwischen "Anschaulichkeit" und "Realitätsnähe" steht. Das beschriebene Modell ermöglicht eine einfache Ermittlung effizienter bzw. "optimaler" Portefeuilles und eine anschauliche Analyse ihrer Eigenschaf-

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

277

ten. Insbesondere bei zustandswwabhängiger Nutzenfunktion kann eine Portefeuilleplanung auf der Basis des (|a,a)-Prinzips zu einer guten Entscheidung führen. Das beschriebene Modell hat jedoch nicht nur theoretische und praktische Bedeutung für die Gestaltung "optimaler" individueller Wertpapierportefeuilles, sondern auch für die Analyse der Preisbildung auf Kapitalmärkten. Dies wird in LAUX (2003) gezeigt. Dabei werden bei der Erklärung der (Gleichgewichts-)Preise riskanter Wertpapiere Einsichten gewonnen, die auch für den Fall prinzipielle Bedeutung haben, daß sich die Investoren (die durch den Handel mit Wertpapieren deren Preise bestimmen) nicht am (|Li,a)-Prinzip orientieren. Das Grundmodell der Entscheidungstheorie setzt keine spezielle Nutzenfunktion voraus; insbesondere können auch zustandsabhängige Nutzenfunktionen berücksichtigt werden. Jedoch ist vor allem bei einer großen Zahl von Alternativen die Konstruktion einer (nicht vereinfachten) Ergebnismatrix kaum möglich. Im folgenden wird ein Entscheidungsmodell skizziert, das durch zwei Eigenschaften ausgezeichnet ist: 1. Im Gegensatz zum Grundmodell der Entscheidungstheorie werden die Alternativen nicht explizit erfaßt, sondern implizit durch die Zielfunktion und die Nebenbedingungen (sowie die darin enthaltenen Entscheidungsvariablen und Daten). 2. Es wird keine spezielle Nutzenfunktion vorausgesetzt (insbesondere kann in dem dargestellten Modell die Nutzenfunktion auch zustandsabhängig sein). Auch dieses Modell wird LAUX (2003) zur Analyse der Preisbildung auf Kapitalmärkten herangezogen.

4.9.

Ermittlung eines optimalen Portefeuilles und Analyse der Eigenschaften dieses Portefeuilles unter expliziter Berücksichtigung der möglichen Zustände

4.9.1. Zur Ermittlung eines optimalen Portefeuilles Das Modell erfaßt ebenso wie das Grundmodell der Entscheidungstheorie die Zustände explizit. Bei der Darstellung des Modells wird von den Annahmen 1 bis 5 in Abschnitt 4.1 ausgegangen, wobei weiterhin Risikoaversion des Entscheiders unterstellt wird. Symbole Pin P2n,s V2s

=

Anschaffungsauszahlung je Einheit des Wertpapiers n zum Zeitpunkt 1 (n=l,2,...,N), = Einzahlung je Einheit des Wertpapiers n zum Zeitpunkt 2 (n=l,2,...,N), falls der Zustand Sg (s=l,2,...,S) eintritt, = Endvermögen bei Eintreten des Zustandes Sg.

278

Kapitel VIII

Die Zielfunktion lautet für den Fall, daß die Nutzenfunktion nicht zustandsabhängig ist: (VIIL48) E[U(V2)]= Iw(Ss)-U(V2s)->Max! s=l

Das Endvermögen V2s im Zustand Sg (s = 1,2,...,S) hängt ab von - dem Geldbetrag x, der in der betrachteten Periode zum Zinssatz r angelegt (bzw. geliehen) wird, und - der Anzahl x^ der Einheiten des Wertpapiers n (n=l,2,...,N), die im Portefeuille gehalten werden. Es gelten die folgenden Bestimmungsgleichungen: (VIIL49.1)

V2,i=(l + r).x+Ix^.P2n,i n=l

(VIIL49.2)

V2,2 =(l + r).x+ Ix^.P2n,2 n=l

(VIII.49.S)

V2,s=(l + r).x+ Zx^.P2n,s. n=l

Für den Zeitpunkt 1 gilt die folgende Budgetgleichung: (VIIL18) x + X x ^ . P i n ^ V i . n=l

Sie besagt, daß der gesamte Auszahlungsüberschuß zum Zeitpunkt 1 mit dem vorhandenen Geldbetrag Vj übereinstimmen muß. Sind keine Leerverkäufe zulässig, so gelten noch die Nichtnegativitätsbedingungen für die Variablen x^: (VIII.50) Xn>0 (n = l,2,...,N). Ist die Nutzenfunktion vom eintretenden Zustand abhängig, lautet die Zielfunktion: (VIII.48a)

S Iw(S3)-U3(V2s)^Max! s=l

Dabei bezeichnet Ug (s=l,2,...,S) diejenige Nutzenfunktion, die dem Zustand Ss entspricht.

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

279

4.9.2. Vergleich mit dem Modell auf der Basis des (jUyO)-Prinzips Im Rahmen des in Abschnitt 4.9.1 dargestellten Modells werden die Zielgrößenwerte in den einzelnen Zuständen explizit erfaßt, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße werden also nicht auf ihren Erwartungswert und ihre Varianz reduziert. Folglich ist in diesem Modell die Ermittlung der Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen der Einzahlungsüberschüsse der einzelnen Wertpapiere nicht erforderlich. (Die Maximierung des Erwartungswertes des Nutzens führt dazu, daß die investierten Mittel optimal auf die verschiedenen Anlagemöglichkeiten verteilt werden.) Ist die Zahl der möglichen Zustände groß, so kann die Konstruktion und Lösung eines Entscheidungsmodells, das alle Zustände explizit berücksichtigt, einen erheblichen Aufwand verursachen. Es kann dann notwendig oder zumindest sinnvoll sein, zu vereinfachen. Eine Möglichkeit der Vereinfachung besteht insbesondere darin. Zustände mit geringen Wahrscheinlichkeiten völlig zu vernachlässigen und/oder solche Zustände zusammenzufassen, in denen die Einzahlungen der erwogenen Anlagemöglichkeiten jeweils annähernd gleich sind. 4.9.3. Eigenschaften des optimalen

Portefeuilles

Im folgenden sollen einige Eigenschaften der optimalen Lösung betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, es seien keine Nichtnegativitätsbedingungen (und Obergrenzen für die Entscheidungsvariablen) zu beachten und die Nutzenfunktion sei zustandswwabhängig und streng konkav. Bei zustandsunabhängiger RNF ist die Zielfunktion (VIII.48) relevant. Unter Berücksichtigung des Gleichungssystems (VIII.49.s) (s=l,2,...,S) kann sie wie folgt dargestellt werden: (VIIL51) E[U(V2)]= Ew(Ss)-U(V2,s)= Iw(S3).U[(H-r).x+ Z x ^ .P2n,s]-^ Max! s=l

s=l

n=l

Diese Zielfunktion ist unter Beachtung der Budgetgleichung (VIII. 18) zu maximieren. Werden beide Seiten dieser Nebenbedingung mit (1+r) multipliziert und die erzielten Produkte entsprechend umgestellt, ergibt sich (VIIL19) (l + r ) . x = (l + r ) . V i - E x n . ( l + r).Pin. n=l

Einsetzen in (VIII.51) und Umformung führt zur Zielfunktion:

280

Kapitel VIII

(VIIL52) Zw(S3)-U[(l + r)-Vi+ E x n - ( P 2 n , s - a + r).Pin)]->Max! s=l

n=l

Die Nebenbedingung (VIIL18) wird bei dieser Darstellung nicht explizit berücksichtigt, sondern implizit; dadurch entfällt die Variable x. Da keine andere Nebenbedingung relevant ist, lauten die notwendigen Bedingungen für den maximalen Nutzenerwartungswert gemäß der Zielfunktion (VIII.52): (VIIL53.n) ^^^^^^ ^^n

= Iw(S3>P2n,s-U'(V23,opt)- Pm-Zw(S3Kl+r).U'(V2s,opt) - 0 s=l

^

s=l

-E[P2,-U'(V2,opt)]

(n=l,2,...,N) bzw. (VIIL54.n)

E[P2n-U'(V2,opt)] = (l + r).Pi^. Iw(S3).U'(V2s,opt) s=l

- ( l + r).Pin-E[U'(V2,opt)]. Dabei bezeichnet U'(V2s,opt) (s=l,2,...,S) den Grenznutzen des Endvermögens im Zustand Sg, der dem optimalen Portefeuille entspricht und E[U'(V2 opt)] den Erwartungswert des Grenznutzens. Interpretation: Wird ausgehend vom optimalen Wertpapierportefeuille eine weitere (marginale) Einheit des Wertpapiers n erworben, so steigt der Nutzen des Endvermögens - vor Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung - im Zustand 83 (s=l,2,...,S) um P2n,s'U'(V2s,opt)- Entsprechend wächst der Erwartungswert des Nutzens um den Betrag auf der linken Seite von (VIII.54.n). Andererseits ist zum Zeitpunkt 1 der sichere Betrag Pin^O zu zahlen. Entsprechend sinkt die Anlage bzw. steigt die Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r, so daß das Endvermögen c.p. um (l+r)-Pij^ sinkt. Dies bewirkt für den Zustand Sg (s=l,2,...,S) eine Nutzeneinbuße von (l+r)-Pin'U'(V2s,opt)- Entsprechend sinkt der Erwartungswert des Nutzens um:

Xw(S3).(l + r).Pi^.U'(V23,opt) = a + r).Pi^.E[U'(V2,opt)]. s=l

Gemäß (VIII.54.n) muß dieser Betrag im Optimum mit E[P2n •U'(V2opt)] übereinstimmen. Entspricht einem Wertpapierportefeuille für den Zustand S3 (s= 1,2,...,S) das Endvermögen V23 und gilt für das Wertpapier n die Relation

Risikoanalyse und optimale Entscheidung im Einperiodenfall

281

(VIII.55) Iw(Ss).P2n,s-U'(V2s)>(l + r).Pi^.E[U'(V2s)], s=l

so kann kein Optimum vorliegen; der Erwartungswert des Nutzens steigt, wenn (mindestens) eine weitere Einheit des Wertpapiertyps n erworben wird. Gilt die Relation "<", so ergibt sich ein Vorteil, wenn der Bestand an Wertpapieren des Typs n um eine (marginale) Einheit gesenkt wird. Bei gegebenem Preis P^^ i^nd gegebenem Erwartungswert E(P2n) ist der Wert einer (weiteren) Einheit des Wertpapiertyps n bezüglich eines Portefeuilles davon abhängig, wie P2n über die Zustände verteilt ist und welche Grenznutzenwerte diesen Einzahlungen in den einzelnen Zuständen entsprechen. Der Wert ist um so höher, je größer die Tendenz ist, daß ^2^ in denjenigen Zuständen (relativ) hoch ist, in denen der Endwert des Portefeuilles niedrig und folglich der Grenznutzen des Endvermögens hoch ist. Bei der Portefeuille-Planung mit Hilfe des (|i,a)-Prinzips wird diese Tendenz durch Kovarianzen ausgedrückt; Grenznutzenwerte werden dann implizit und nicht explizit berücksichtigt.

5.

Risikoanalyse und optimale Entscheidung bei Realinvestitionen

Die Portefeuille-Theorie hat grundlegende Bedeutung auch für die Risikoanalyse bei Realinvestitionen. Hier stellt sich ebenfalls das Problem, dem Risikoverbund Rechnung zu tragen. Risikoverbund ist grundsätzlich bereits dann relevant, wenn erwogen wird, ein bereits beschlossenes (Basis-) Programm um ein Projekt zu erweitem. Entspricht diesem Projekt zum Zeitpunkt 2 der ungewisse Einzahlungsüberschuß e2p und zum Zeitpunkt 1 die sichere Anschaffungsauszahlung A^p, so ist es bei normalverteiltem Endvermögen und exponentieller RNF vorteilhaft, wenn (VIIL56) E ( e 2 p ) - ( l + r ) - A i p - ^ . [ V a r ( e 2 p ) + 2.Kov(e2p;V2)]>Q

gilt. Dabei bezeichnet Kov(e2p;V2) die Kovarianz zwischen dem Projektüberschuß e2p und dem Endvermögenswert V2, der dem bereits beschlossenen (Basis-)Programm entspricht. Der Ausdruck in der eckigen Klammer (Aa ) gibt an, wie sich bei Durchführung des Projekts die Varianz des Endvermögens ändert. Hierfür kann man schreiben:

282

Kapitel VIII

(VIIL57) Aa^ = Var(e2p) + 2.p(e2p;V2)-Sta(e2p)-Sta(V2) = Sta(e2p) • [Sta(e2p) + 2 • p(e2p; V2) • Sta( V2)]. Für p( •) 7^ 0 ist der zweite Summand in der eckigen Klammer eine lineare Funktion von Sta(V2). Je größer der Betrag des Korrelationskoeffizienten und die Standardabweichung des (Basis-)Programms sind, desto größer ist der Betrag des zweiten Summanden in der eckigen Klammer im Vergleich zum ersten, und desto mehr charakterisiert die Kovarianz Kov(e2p;V2) den maßgeblichen Einfluß des Projekts auf das Risiko des Gesamtprogramms. Bei quadratischer RNF verlaufen die Indifferenzkurven des Entscheiders im (ia,a2)-Diagramm nicht linear. Für die Bewertung des Projekts ist dann von Bedeutung, welcher Erwartungswert und welche Varianz dem Endvermögen des (Basis-)Programms entspricht. Wird ausgehend von dem betreffenden Projekt im (ja,a2)-Diagramm eine Position {[i + \X^,G^ + AG^^) auf einer Indifferenzkurve mit größerem Präferenzwert erreicht, ist das Projekt vorteilhaft. Das in Abschnitt 4.9 diskutierte Entscheidungsmodell mit expliziter Berücksichtigung der möglichen Zustände wurde als ein Modell der Bestimmung eines optimalen Wertpapier-Portefeuilles konzipiert. Es ist jedoch nicht nur für die Portefeuille-Auswahl relevant. In dem Modell können vielmehr beliebige einperiodige Anlagemöglichkeiten (Investitionsprojekte) berücksichtigt werden. Wenn Obergrenzen für die einzelnen Projekte bestehen, ist das Modell durch folgende Nebenbedingungen zu ergänzen: (VIIL58) X n < M n

(n=l,2,...,N).

Dabei bezeichnet M^ die Obergrenze des Projekts n (n= 1,2,...,N). Von besonderer Bedeutung sind nun auch Nichtnegativitäts- und Ganzzahligkeitsbedingungen.

Ergänzende und vertiefende

Literatur,

BiTZ (1981, S. 110-151); BREALEY/MYERS (1991, S. 129-180); COPELAND/ WESTON (1988, S. 145-192); DINKELBACH/KLEINE (1996, S. 62-161); ELTON/GRUBER (1991); FRANKE/HAX (2004, S. 311-333); HAX (1985, S. 133-145); KRUSCHWITZ (1995, S. 210-221); LAUX (2003, Kapitel IV); MARKOWITZ ( 1 9 5 2 ; 1 9 5 9 ) ; RIESS (1996); RUDOLPH (1979, S. 1-59); SCHMIDT/TERBERGER (1996, S. 309-338); SHARPE/ALEX ANDER (1990, S.

134-193); TOBIN (1957; 1958).

IX.

1.

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung Problemstellung

In der bisherigen Analyse von Entscheidungsproblemen bei Risiko wurden die nachfolgenden Entscheidungen zukünftiger Zeitpunkte nicht explizit berücksichtigt. Die Trennung der gegenwärtigen Entscheidungen von zukünftigen mag als sinnvoll erscheinen, weil es im Grunde (sofern von Aspekten wie "Neugierde" und "Vorfreude" abgesehen wird) zunächst nur darum geht, welche Maßnahmen gegenwärtig zu ergreifen sind; über die Aktionen zukünftiger Zeitpunkte kann immer noch dann entschieden werden, wenn diese Aktionen zur Auswahl stehen. Zwischen den Entscheidungen über Aktionen zu verschiedenen Zeitpunkten bestehen jedoch oft enge hiterdependenzen, so daß die jetzigen Aktionen nicht isoliert von den zukünftigen optimal bestimmt werden können. Andererseits sind in Risikosituationen die zukünftigen Aktionsmöglichkeiten sowie die zukünftigen Ausprägungen entscheidungsrelevanter Daten nicht mit Sicherheit bekannt. Da sich der Informationsstand (auch über zukünftige Aktionsmöglichkeiten und Datenausprägungen) im Zeitablauf verbessert, erscheint es sinnvoll, über die Maßnahmen eines zukünftigen Zeitpunktes letztlich erst dann zu entscheiden, wenn dieser Zeitpunkt tatsächlich eingetreten ist; es können dann alle relevanten Liformationen berücksichtigt werden, die bis zu diesem Zeitpunkt eingehen. Trotzdem darf nicht auf die Planung zukünftiger Maßnahmen verzichtet werden, da sonst die Grundlage für die Beurteilung gegenwärtiger Maßnahmen fehlt. Ein Ausweg aus diesem Dilemma bietet das Konzept der flexiblen Planung, bei dem fiir zukünftige Zeitpunkte bzw. Perioden bedingte (oder Eventual) Pläne erstellt werden. Welcher dieser Pläne tatsächlich reahsiert wird, hängt dann von der eintretenden Umweltentwicklung ab. hn vorliegenden Kapitel wird die Bedeutung der flexiblen Planung als Entscheidungsprinzip gewürdigt und Modelle der flexiblen Planung dargestellt und miteinander verglichen. Li Abschnitt 2 werden zunächst die wesentlichen Gründe fiir hiterdependenzen zwischen den Entscheidungen verschiedener Zeitpunkte dargestellt. Danach wird verdeutlicht, daß aufgrund dieser Interdependenzen die gegenwärtigen Aktionen immer nur in Verbindung mit den zukünftigen Maßnahmen beurteilt und optimal bestimmt werden können und wie im Rahmen der flexiblen Planung Maßnahmen fiir verschiedene Zeitpunkte koordiniert werden können. In Abschnitt 3 wird die betrachtete Entscheidungssituation präzisiert und die Bedeutung der flexiblen Planung unter den getroffenen Annahmen gewürdigt. Darauf aufbauend werden in den Abschnitten 4 und 5 Modelle der flexi-

284

Kapitel IX

blen Planung dargestellt und miteinander verglichen. Sie werden in Abschnitt 6 mit Hilfe eines Beispiels erläutert. In Abschnitt 7 werden hnplikationen der flexiblen Planung mit der "rollenden" ("starren") Planung verglichen und gezeigt, daß auch bei flexibler Planung im Zeitablauf ständig Neuplanungen bzw. Planrevisionen erforderlich sind ("rollende" flexible Planung).

2.

2.1.

Interdependenzen zwischen Maßnahmen zu verschiedenen Zeitpunkten und Prinzip der flexiblen Planung Interdependenzen und Koordinationsbedarf

Zwischen den Maßnahmen zu verschiedenen Zeitpunkten können (insbesondere) aus folgenden Gründen Literdependenzen bestehen: (a) Die zu einem Zeitpunkt durchgeführten Maßnahmen beeinflussen den Handlungsspielraum für spätere Aktionen. So hängen z.B. die Produktionsmöglichkeiten späterer Zeitpunkte davon ab, welche Anlagen zu den vorhergehenden Zeitpunkten installiert werden. Das zukünftige Absatzpotential eines Unternehmens wird u.a. durch die jetzigen Werbemaßnahmen bestimmt. Die gegenwärtigen Livestitions- und Finanzierungsmaßnahmen beeinflussen den zukünftigen Finanzierungsspielraum. (b) Wie weit der Erfolg (allgemein: die Ausprägungen der Zielgrößen) steigt bzw. sinkt, wenn zu einem Zeitpunkt bestimmte Maßnahmen durchgeführt werden, hängt in der Regel auch von den Aktionen anderer Zeitpunkte ab. Der Erfolg wird also nicht allein von Einzelmaßnahmen bestimmt, sondern von der Gesamtheit aller Aktionen, die im Zeitablauf realisiert werden. So hängen etwa die Erfolge zukünftiger Werbemaßnahmen im allgemeinen (auch) davon ab, welche Werbeaktivitäten gegenwärtig erfolgen. Die Einzahlungsüberschüsse zukünftiger Investitionen werden u.a. dadurch bestimmt, welche Investitionen zu den vorhergehenden Zeitpunkten durchgeführt werden. (c) Sofern der Entscheider nicht risikoneutral ist, gibt es (in Risikosituationen) eine dritte Ursache für Literdependenzen zwischen den Einzelmaßnahmen verschiedener Zeitpunkte: Wie die mit den Maßnahmen eines Zeitpunktes verbundenen Risiken bewertet werden, hängt davon ab, welche Risiken den Maßnahmen anderer Zeitpunkte entsprechen und welcher Risikoverbund zwischen den einzelnen Maßnahmen besteht. Die unter (a) bis (c) beschriebenen intertemporalen Literdependenzen existieren in der Realität sehr häufig, vor allem auch im betriebswirtschaftlichen Bereich. Bei intertemporalen Literdependenzen können die gegenwärtigen Aktionen (d.h. die Maßnahmen für den Zeitpunkt 1) nicht isoliert von den zukünfti-

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

285

gen Aktionen optimal bestimmt werden. Die zukünftigen Aktionen beeinflussen die jetzigen (und umgekehrt); es besteht Koordinationsbedarf Zu (a): Die gegenwärtigen Maßnahmen beeinflussen die Entscheidungsspielräume zukünftiger Zeitpunkte: Ob bestimmte Maßnahmen "vorteilhaft" oder "nachteilig" sind, hängt (auch) davon ab, ob sie die zukünftigen Entscheidungsspielräume in "vorteilhafter" oder in "nachteiliger" Weise beeinflussen. Das kann aber nur in der Weise festgestellt werden, daß im voraus geprüft wird, welcher Gebrauch jeweils von den zukünftigen Entscheidungsspielräumen gemacht wird und welche Erfolge damit verbunden sind. Bei der Planung der jetzigen Aktionen müssen daher zugleich auch die zukünftigen Aktionen in den Kalkül einbezogen werden. So muß z.B. im voraus die zukünftige Verwendung einer Maschine geplant werden, damit festgestellt werden kann, ob ihr Kauf vorteilhaft ist oder nicht. Zu (b): Die Erfolge der Einzelmaßnahmen sind nicht additiv: Der einer Kombination von Einzelmaßnahmen entsprechende (Gesamt-) Erfolg kann wesentlich höher oder niedriger sein als die Summe der Erfolge der Einzelmaßnahmen bei jeweils isolierter Durchflihrung. So mögen z.B. jetzige und zukünftige Werbemaßnahmen, jeweils isoliert durchgeführt, wenig wirksam sein, während sie in Kombination miteinander zu einem großen Erfolg fähren (können). Entsprechend hängen die Erfolgsbeiträge und somit auch die Vorteilhaftigkeit der gegenwärtigen Maßnahmen von den zukünftigen Aktionen ab. Dies ist ein weiterer Grund dafür, daß die gegenwärtigen Aktionen nur gemeinsam mit den zukünftigen Aktionen optimal ermittelt werden können. Zu (c): Ob bestimmte gegenwärtige Maßnahmen vorteilhaft sind oder nicht, hängt auch davon ab, welcher Risikoverbund zwischen den Erfolgen dieser Maßnahmen und den Erfolgen der zukünftigen Aktionen besteht: Das Optimum kann wieder nur erreicht werden, indem die gegenwärtigen Maßnahmen mit den zukünftigen abgestimmt (koordiniert) werden. Zur expliziten Erfassung von intertemporalen Interdependenzen sind mehrstufige (sequentielle) Entscheidungsmodelle erforderlich, die mit den jetzigen Maßnahmen (mehr oder weniger grob) zugleich auch die Aktionen fiir spätere Zeitpunkte festlegen, hn folgenden sollen der Aufbau und die Struktur solcher Modelle für Risikosituationen beschrieben werden.

2.2.

Koordination durch flexible Planung

Das folgende Schema (in Anlehnung an NEMHAUSER, 1966) verdeutlicht die Interdependenzen zwischen den Entscheidungen (Aktionen) verschiedener Zeitpunkte:

286

Kapitel IX ax_i

ai Situation im Zeitpunkt 1

Situation im Zeitpunkt 2

Situation im Zeitpunkt 3

a-p —————

—-

Situation im Zeitpunkt T

z

Abb. IX. 1: Schema einer Entscheidungssequenz

Zu den Zeitpunkten 1,2,...,T ist jeweils zwischen verschiedenen Aktionen zu wählen, wobei zu jedem Zeitpunkt der Handlungsspielraum, d.h. die Menge der wählbaren Aktionen, durch die jeweilige "Entscheidungssituation" bestimmt ist. Die (Entscheidungs-) Situation zum Zeitpunkt 1 die (u.a.) von der Datenkonstellation W^ abhängig ist, bildet den Ausgangspunkt der Entscheidungssequenz. Die Situation zum Zeitpunkt 2 wird determiniert durch - die Ausgangssituation zum Zeitpunkt 1, - die Aktion a^, die zum Zeitpunkt 1 gewählt wird, und - die zum Zeitpunkt 2 eintretende Datenkonstellation W2, die der Entscheider nicht beeinflussen kann. Analog wird die Situation zum Zeitpunkt t (t=3,4,...,T) bestimmt durch die Situation zum Zeitpunkt t-1, die in dieser Situation gewählte Aktion a^^ und die Datenkonstellation W^. Die Situation zum Zeitpunkt T und die zum Zeitpunkt T gewählte Aktion determinieren gemeinsam das Endergebnis der Entscheidungsfolge, das durch die Ausprägung der Zielgröße Z (im Falle mehrerer Zielgrößen: durch die Ausprägung eines Zielgrößenvektors) gemessen wird.^) Wenn derartige Abhängigkeiten zwischen mehreren zeitlich aufeinanderfolgenden Entscheidungen bestehen, liegt eine sogenannte "Entscheidungssequenz" vor. Ist im voraus mit Sicherheit bekannt, welche Folge von Datenkonstellationen Wi,W2,...,Wj (kurz; welche Umweltentwicklung) im Zeitablauf eintreten wird, so wird in dieser Arbeit von einer deterministischen Entscheidungssequenz gesprochen. (Dabei ist sicher, zu welchen Konsequenzen die Aktionen im Zeitablauf fähren werden.) Li der Realität sind jedoch Entscheidungssequenzen im allgemeinen dadurch gekennzeichnet, daß mehrwertige Erwartungen über die eintretende Umweltentwicklung bestehen. Von Literesse ist vor allem der Fall, in dem den unterschiedlichen möglichen Umweltentwicklungen Eintrittswahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können, wenn also eine Risikosituation gegeben ist. Es liegt dann eine stochastische Entscheidungssequenz vor.

1)

Das Ergebnis Z kann unmittelbar im Zeitpunkt T eintreten oder aber auch erst in einem späteren Zeitpunkt (falls die Konsequenzen von Aktionen über den Zeitpunkt T hinausreichen).

Mehq3eriodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

287

Wie die Abbildung IX. 1 verdeutlicht, beeinflussen die Aktionen des Zeitpunkts 1 nicht unmittelbar das Endergebnis Z, sondern mittelbar in Verbindung mit den zukünftigen Aktionen. Die gegenwärtigen Aktionen können nur gemeinsam mit den zukünftigen (Folge-) Aktionen optimal bestimmt werden. Wären die Umweltentwicklung Wi,W2,.-.»Wx und die jetzigen und zukünftigen Aktionsmöglichkeiten mit Sicherheit bekannt, könnten alle zukünftigen Aktionen endgültig und unwiderruflich festgelegt werden; es könnten dann keine Ereignisse eintreten, die eine Revision der Pläne erforderlich machen. Li Risikosituationen bestehen jedoch zumindest mehrwertige Erwartungen über die Umweltentwicklung, wobei sich grundsätzlich die Wahrscheinlichkeiten für die weiteren Entwicklungen der Umwelt im Zeitablauf je nach den zugehenden hiformationen ändern. (Z.B. erhält der Entscheider Informationen über die Entwicklung der Preise seiner Erzeugnisse, über die Anschaffungsauszahlungen für Investitionsprojekte, die Entwicklung des Kapitalmarktes usw.) Da in Zukunft weitere Informationen zugehen, ist es nicht sinnvoll, zukünftige Aktionen vorher schon endgültig festzulegen. Über die zu einem zukünftigen Zeitpunkt zu ergreifende Aktion sollte erst dann definitiv entschieden werden, wenn dieser Zeitpunkt tatsächlich eingetreten ist. Nur dann können alle Informationen berücksichtigt werden, die bis dahin vorliegen. Trotzdem darf nicht auf die Planung zukünftiger Maßnahmen verzichtet werden, da sonst die Voraussetzung fiir die optimale Entscheidung über die Maßnahmen zu Beginn des Planungszeitraums fehlt. Ein Lösungsweg bietet die flexible Planung, bei der nur die zu Beginn des Planungszeitraums zu ergreifende Aktion endgültig festgelegt wird. Simultan damit wird für jeden zukünftigen Aktionszeitpunkt ein System von Eventualplänen erstellt (wobei die zeitlichen Interdependenzen zwischen den Aktionen berücksichtigt werden). Welcher Plan zu einem zukünftigen Zeitpunkt t tatsächlich realisiert (welche Aktion dann also gewählt) wird, hängt von der Umweltentwicklung Wi,W2v.,Wt ab, die bis zu diesem Zeitpunkt eintritt. Flexible Planung fährt zu einem gegenwärtigen Aktionsprogramm, das einen optimalen (nicht notwendig maximalen) Spielraum fiir zukünftige Anpassungen an die möglichen Umweltentwicklungen offen läßt. Dies liegt daran, daß bei der Formulierung der Eventualentscheidungen schon berücksichtigt wird, welche zukünftigen Entscheidungsspielräume bestehen und welcher Gebrauch jeweils davon gemacht wird. Im folgenden werden verschiedene Verfahren der flexiblen Planung dargestellt. Die Modelle beruhen auf der Voraussetzung, daß der Entscheider im Zeitablauf bestimmte Informationen erhält, entweder weil er sie selbst beschafft, oder weil sie ihm ohne eigene Informationsaktivitäten zugetragen werden. Es wird nicht diskutiert, wie der optimale Informationsstand ermittelt werden kann. (Zur Bestimmung des optimalen Informationsstandes im Rahmen der flexiblen Planung vgl. LAUX, 1971a, S. 83-85.)

288

3.

Kapitel IX

Präzisierung der Entscheidungssituation

3.1. Annahmen Für die folgenden Überlegungen soll die Entscheidungssituation präzisiert werden: 1. Die Anzahl der Zeitpunkte, in denen Entscheidungen zu treffen sind, ist T (T>2). 2. Zu jedem Zeitpunkt t (t= 1,2,...,T) ist mit Sicherheit bekannt, welche Aktionen jeweils möglich sind. Unter der Aktion eines Zeitpunkts wird die Gesamtheit der Maßnahmen verstanden, die zu diesem Zeitpunkt ergriffen werden. Die Menge der Aktionsmöglichkeiten eines Zeitpunkts wird als Entscheidungsspielraum (Aktionsraum) dieses Zeitpunkts bezeichnet. 3. Der Entscheidungsspielraum zum Zeitpunkt 1 hängt von der zu diesem Zeitpunkt gegebenen Umwelt W^ ab; der Entscheidungsspielraum zum Zeitpunkt t (t=2,3,...,T) hängt zum einen von den Aktionen ab, die zu den Zeitpunkten l,...,t-l realisiert werden, und zum anderen von der bis zum Zeitpunkt t eintretenden Umweltfolge Wi,W2v.,Wt. Dabei wird unter der Umwelt W^ (t=l,2,...,T) die zum Zeitpunkt t eintretende Konstellation von entscheidungsrelevanten Daten verstanden, die durch den Entscheider nicht beeinflußt werden können. Wj wird z.B. determiniert durch die zum Zeitpunkt 1 angebotenen Livestitionsgüter, deren Anschaffungskosten, die Preise und Produktionskosten der Fertigerzeugnisse usw. 4. Das Endergebnis der gesamten Entscheidungssequenz hängt davon ab, welche Aktionen zu den Zeitpunkten 1,2,...,T realisiert werden und welche Umweltentwicklung Wi,W2vjW'p eintritt. 5. Der Entscheider kennt zu Beginn des Planungszeitraumes (t= 1) die Umwelt Wj. Zu einem späteren Zeitpunkt t > l kennt er die Umweltentwicklung Wi,W2,..-?Wt. Zu jedem Zeitpunkt t (t=l,2,...,T-l) ist jedoch noch ungewiß, welche Umweltentwicklung Wx+\,W^+2^...,Wj in den zukünftigen Zeitpunkten t+l,t+2,..,T eintreten wird. Der Entscheider verfügt jeweils über subjektive Wahrscheinlichkeiten für die denkbaren Umweltentwicklungen. Dabei hängt das Wahrscheinlichkeitsurteil zum Zeitpunkt t (t=2,3,...,T-l) von der Umweltfolge Wi,...,Wt ab, die bis zu diesem Zeitpunkt eingetreten ist. Zur Vereinfachung der Darstellung wird die bis einschließlich Zeitpunkt t (t=2,3,...,T) eintretende Umweltfolge W,...,Wt als Umweltzustand (oder kurz als Zustand) des Zeitpunktes t bezeichnet und die zum Zeitpunkt 1 gegebene Umwelt Wj als Ausgangszustand. Die Erwartungsstruktur hinsichtlich der möglichen Entwicklungen der Umwelt kann in anschaulicher Weise mit Hilfe eines Zustandsbaumes dargestellt werden, der für die flexible Planung von grundlegender Bedeutung ist. Die Abbildung JX.2 zeigt einen sehr einfachen Zustandsbaum. Die Knoten repräsentieren die zu den verschiedenen Zeitpunkten möglichen Zustände; sie werden durch den hidex z fortlaufend numeriert. Z^ (t=l,2,...,T)

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

289

bezeichnet die Menge der Knotenindizes z, die dem Zeitpunkt t zugeordnet sind. In Abbildung K . 2 gilt z.B. Z4 = {9,10,...,21}. 3

L

Zeitpunkt 1

Zeitpunkt 2

Zeitpunkt 3

Zeitpunkt 4

Abb. IX.2: Beispiel eines Zustandsbaumes (T=4) Der Knoten 1 kennzeichnet den Ausgangszustand Wj. Die von einem Knoten Z G Z ^ (t=l,2,...,T-l) ausgehenden Kanten repräsentieren die Übergänge zu den Zuständen, die zum Zeitpunkt t+1 noch eintreten können, wenn zum Zeitpunkt t der Zustand z eintritt. Jeder Kante ist eine Übergangswahrscheinlichkeit w(z |z)>0 zugeordnet. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Zustand z* eintritt, falls zum vorhergehenden Zeitpunkt der Zustand z eingetreten ist. Mit Hilfe der den Kanten zugeordneten Wahrscheinlichkeiten können die unbedingten Eintrittswahrscheinlichkeiten der zukünftigen Zustände berechnet werden. Es wird deutlich, wie sich diese Wahrscheinlichkeiten im Zeitablauf ändern können (vgl. hierzu Abbildung DC.2): Zum Zeitpunkt 1 ist die Wahrscheinlichkeit für den Zustand 2 (bzw. 3) gleich 1/3 (bzw. 2/3). Die Wahrscheinhchkeit eines Zustandes z e Z ß oder z e

290

Kapitel IX

Z4 ermittelt sich als Produkt derjenigen Wahrscheinlichkeiten, die dem Kantenzug vom Kjtioten 1 zum Knoten z zugeordnet sind. Z.B. ist die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit für den Zustand 21 zum Zeitpunkt 1 gleich 2/3-3/4 • 3/8 = 3/16. Zum Zeitpunkt 2 sind die Wahrscheinlichkeiten für die Zustände z G Z3 und ZGZ4 davon abhängig, ob Zustand 2 oder 3 eintritt. Tritt z.B. der Zustand 3 ein, so haben die Zustände 4-6 und 9-15 eine Wahrscheinlichkeit von null. Lediglich die Zustände 7, 8 und 16-21 sind noch möglich. Der Zustand 7 (bzw. 8) hat dann die Wahrscheinhchkeit 1/4 (bzw. 3/4). Die Wahrscheinlichkeit für einen Zustand z e {16,17,...,21} ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten, die dem Kantenzug vom Knoten 3 zum Knoten z zugeordnet sind. Z.B. ist die Wahrscheinlichkeit für Zustand 21 jetzt gleich 3/43/8=9/32>3/16. Zum Zeitpunkt 3 sind die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Zustände z eZ4 davon abhängig, welcher der Zustände 4,5,...,8 eintritt. Tritt z.B. Zustand 8 ein, so sind nur noch die Zustände 18,19,20 bzw. 21 möglich. Zustand 21 z.B. hat dann die Wahrscheinhchkeit 3/8>9/32.

3.2.

Bedeutung derflexiblenPlanung

In der beschriebenen Entscheidungssituation ist es aus folgenden Gründen nicht sinnvoll, schon zum Zeitpunkt 1 die Aktionen der zukünftigen Zeitpunkte definitiv festzulegen: 1. Der Entscheidungsspielraum zum Zeitpunkt t (t=2,3,...,T) hängt (außer von den Aktionen zu den Zeitpunkten l,2,...,t-l) von der bis zum Zeitpunkt t eingetretenen Umweltentwicklung Wi,W2,...,Wt ab, die zum Zeitpunkt 1 noch unbekannt ist. 2. Welche der zum Zeitpunkt t (t=2,3,...,T) möghchen Aktionen optimal ist, hängt von der Erwartungsstruktur zum Zeitpunkt t über die weitere Entwicklung der Umwelt ab. Diese Erwartungsstruktur ist ihrerseits von der zum Zeitpunkt 1 noch unbekannten Umweltentwicklung Wi,W2v5Wt abhängig. Somit kann die optimale Aktion eines zukünftigen Zeitpunktes t (t=2,3,...,T) nicht unabhängig von der bis dahin eintretenden Umweltentwicklung Wj, W2v.,Wt bestimmt werden. Es ist sinnvoll, flexibel zu planen. Hierbei wird sofern keine Modellvereinfachung erfolgt - jedem Knoten des Zustandsbaumes ein optimaler Teilplan zugeordnet. Die optimale Aktion für den Zeitpunkt 1 wird also ermittelt unter Berücksichtigung der in Zukunft möglichen Umweltzustände und den in diesen Zuständen optimalen (Folge-) Aktionen. Die Zuordnung von optimalen Teilplänen zu den künftigen Zuständen dient primär nicht der Festlegung künftiger Entscheidungen, sondern dazu, eine möglichst gute Entscheidung über die Aktion zu Beginn des Planungszeitraums (dem Zeitpunkt 1) zu treffen: Die Erstellung von Eventualplänen ermöglicht die Erfassung temporaler Interdependenzen bei mehrwertigen Erwartungen über die

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

291

zukünftige Umweltentwicklung. Diejenigen Eventualpläne werden realisiert, die der eintretenden Zustandsfolge entsprechen. Im folgenden sollen einige Entscheidungsmodelle zur Bestimmung eines optimalen Aktionsprogramms nach dem Prinzip der flexiblen Planung dargestellt und miteinander verglichen werden. Diese Modelle bauen (mittelbar oder unmittelbar) auf dem Zustandsbaum auf Zunächst wird die Grundstruktur dieser Modelle in allgemeiner Form beschrieben. Danach werden diese Lösungsansätze mit Hilfe eines Beispiels verdeutlicht (Abschnitt 6).

4. 4.1.

Flexible Planung mit Hilfe von Entscheidungsbäumen Der Entscheidungsbaum

In der Literatur wird häufig die flexible Planung auf der Basis eines Entscheidungsbaums diskutiert. Der Entscheidungsbaum stellt eine Erweiterung des Zustandsbaumes dar und kennzeichnet nicht nur die Erwartungsstruktur des Entscheiders über die möglichen Umweltentwicklungen (Wi,W2v5Wx), sondern auch die in den einzelnen Zuständen möglichen Aktionen sowie die Endergebnisse der möglichen Aktionsfolgen. Die Abbildungen DC.3 und K . 4 dienen zur Veranschaulichung:

Zeitpunkt 1

Zeitpunkt 2

Zeitpunkt 3

Abb. IX.3: Beispiel eines Zustandsbaumes (T=3) Kann in jedem Zustand z (z=l,2,...,7) zwischen zwei Handlungsmöghchkeiten gewählt werden, ergibt sich der in Abbildung IX.4 dargestellte Entscheidungsbaum. Im Entscheidungsbaum gibt es zwei Arten von Knoten: Die durch Rechtecke gekennzeichneten ICnoten stellen die möglichen Entscheidungssituationen des betreffenden Zeitpunkts bzw. die Endergebnisse der möglichen Entscheidungsfolgen dar. Die Entscheidungssituation zum Zeitpunkt 1 wird gekenn-

292

Kapitel IX

zeichnet durch den Zustand 1 und durch die Aktionsmöglichkeiten zum Zeitpunkt 1. Eine Entscheidungssituation zum Zeitpunkt t (t=2,...,T) wird charakterisiert zum einen durch den Zustand z zu diesem Zeitpunkt und durch die zu den Zeitpunkten l,...,t-l getroffenen Entscheidungen, zum anderen durch die Aktionsmöglichkeiten zum Zeitpunkt t. (Die Aktionen, die vor dem Beginn des betrachteten Planungszeitraumes - also vor dem Zeitpunkt 1 - realisiert wurden, sind definitiv vorgegeben und brauchen folglich bei der Beschreibung der Entscheidungssituationen für die Zeitpunkte 1,...,T nicht explizit berücksichtigt zu werden.) Jeder alternativen Aktionsmöglichkeit in einer Entscheidungssituation entspricht eine von dem entsprechenden Knotenpunkt ausgehende (Aktions-)Kante. Sie fuhrt entweder zu einem Verzweigungsknoten (diese Knoten sind durch kleine Kreise gekennzeichnet) oder in einen rechtekkigen Knoten, in dem das Endergebnis festliegt und keine Folgeentscheidung mehr zu treffen ist. Die Verzweigungsknoten repräsentieren die Ungewißheit hinsichtlich der Umweltentwicklung zum folgenden Zeitpunkt. Die von ihnen ausgehenden (Zustands-)Kanten kennzeichnen den Übergang von einem Umweltzustand zum Zeitpunkt t zu einem Zustand zum Zeitpunkt t+1; sie fuhren in die entsprechenden Entscheidungsknoten zum Zeitpunkt t+l.^) Jeder dieser Kanten wird die gleiche Wahrscheinlichkeit zugeordnet wie der ihr entsprechenden Kante des Zustandsbaumes. Die rechteckigen Knoten in Abbildung DC.4, die den Zeitpunkten 1, 2 und 3 entsprechen, kennzeichnen die Entscheidungssituationen. Sie sind fortlaufend numeriert. Die in der Entscheidungssituation s (s = l,2,...,21) durchfuhrbaren 1

9

Aktionsmöglichkeiten werden mit ag und ag bezeichnet. Sie sind die möglichen Ausprägungen der Aktionsvariablen ag. Zum Zeitpunkt 1 ist die Entscheidungssituation 1 gegeben, die dem Zustand 1 entspricht. Zum Zeitpunkt 2 sind die Entscheidungssituationen 2, 3, 4 und 5 möglich.

2)

Strenggenommen führen die von den Verzweigungsknoten ausgehenden Kanten zu den Zustandsknoten des folgenden Zeitpunkts. Jedem dieser Zustandsknoten entspricht genau eine Entscheidungssituation, die (u.a.) durch den Zustand charakterisiert ist. Zur Vereinfachung wird daher der charakteristische Zustand und die Entscheidungssituation in einem (rechteckigen) Entscheidungsknoten zusammengefaßt. Die Knoten des Zustandsbaumes tauchen im Entscheidungsbaum explizit nicht mehr auf; in den Entscheidungsknoten sind die Zustände jedoch als Determinante der Entscheidungssituation verzeichnet.

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

Zeitpunkt 1

Zeitpunkt 2

Zeitpunkt 3

Abb. IX.4: Beispiel eines Entscheidungsbaums (T=3)

293

294

Kapitel IX

Jedem der zugehörigen Entscheidungsknoten entspricht ein Zustand zum Zeitpunkt 2 und eine gewählte Aktion zum Zeitpunkt 1; diese Determinanten der Entscheidungssituation sind links im Rechteck vermerkt während rechts die entsprechende Aktionsvariable angegeben ist. Zum Zeitpunkt 3 sind 16 Entscheidungssituationen möglich; jeder dieser Situationen entspricht eine bestimmte Folge von Aktionen zu den vorhergehenden Zeitpunkten und ein bestimmter Zustand zum Zeitpunkt 3. Den Kanten, die aus den Verzweigungsknoten herausfuhren, sind die jeweiligen Übergangswahrscheinlichkeiten zugeordnet, die sich aus dem Zustandsbaum (Abbildung DC.3) ergeben. So entspricht z.B. der Entscheidungssituation 5 der Zustand 3 und der unmittelbar nachfolgenden Entscheidungssituation 18 (bzw. 20) der Zustand 6. Unter der Bedingung, daß zum zweiten Zeitpunkt der Zustand 3 eintritt, hat der Zustand 6 eine Eintritts Wahrscheinlichkeit von 1/4. Diese Wahrscheinlichkeit wird der Kante zugeordnet, die in den Knotenpunkt 18 (bzw. 20) führt. Von den Entscheidungsknoten, die dem Zeitpunkt 3 entsprechen, gehen jeweils zwei Aktionskanten aus, die unmittelbar in Ergebnisknoten enden. Es wird also davon ausgegangen, daß jeweils mit Sicherheit bekannt ist, welches Endergebnis erzielt wird, wenn zum Zeitpunkt 3 eine bestimmte Entscheidungssituation vorliegt und eine bestimmte Aktion gewählt wird. Es können freilich auch hier wieder mehrwertige Erwartungen im Entscheidungsbaum ausgedrückt werden, worauf hier der Einfachheit halber verzichtet wurde.

4.2.

Erstellung einer Ergebnismatrix

Es stellt sich nun die Frage, wie der optimale Aktionsplan bestimmt werden kann. Jeder Aktionsplan wird durch eine Strategie beschrieben, die angibt, welche Aktion zum Zeitpunkt 1 gewählt wird und welche Aktionen in den nachfolgenden (möglichen) Entscheidungssituationen gewählt werden. Da jeder Entscheidungssituation ein bestimmter Zustand entspricht, wird damit auch jedem Zustand eine besondere Teilaktion zugeordnet. Das Prinzip der flexiblen Planung findet dadurch Berücksichtigung. hn Entscheidungsbaum der Abbildung DC.4 sind 128 Strategien enthalten. Eine davon wird durch die fetten Aktionskanten besonders markiert. Ihr entsprechen die folgenden (bedingten) Aktionen: a},a2,a3,a5,a7,af2,ai3. Li der Entscheidungssituation 1 wird hier die Alternative a^ gewählt, so daß zum Zeitpunkt 2 entweder die Entscheidungssituation 2 oder 3 eintritt. Wenn sich die Entscheidungssituation 2 (bzw. 3) einstellt, wird die Teilaktion a2 (bzw. af) gewählt, wobei zum Zeitpunkt 3 entweder die Entscheidungssituation 6 oder 7 (bzw. 12 oder 13) eintritt. Li den Entscheidungssituationen 6, 7, 12 1 1 2

2

bzw. 13 werden die Teilaktionen 3.^,3.^,3,12 ^'^^' ^13 gewählt.

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

295

Jeder Strategie entspricht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endergebnis. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen können in einer Ergebnismatrix zusammengestellt werden: Li der Vorspalte werden die Strategien dargestellt, in den Kopfzeilen die möglichen Umweltentwicklungen (gekennzeichnet durch die entsprechende Knotenfolge des Zustandsbaumes) und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Jeder Konstellation von Strategie und Umweltfolge wird das entsprechende Endergebnis zugeordnet. Dem Entscheidungsbaum in Abbildung IX.4 entspricht die Ergebnismatrix D(.l. Es zeigt sich, daß auch mehrstufige Entscheidungsprobleme mittels einer Ergebnismatrix dargestellt werden können, sofern die Alternativen A I , A 2 , . . . , A A ^^S Strategien ermittelt werden. Wenn die Ergebnismatrix bekannt ist, kann die optimale Strategie (die optimale Alternative) so bestimmt werden, wie in Kapitel VI, Abschnitt 3.2, gezeigt wurde. Jedoch verursacht die explizite Erstellung einer Ergebnismatrix selbst bei relativ einfachen Entscheidungssequenzen einen sehr großen Planungsaufwand, hn folgenden wird gezeigt, wie eine optimale Strategie bestimmt werden kann, ohne daß sämtliche Strategien enumeriert werden müssen. 1 1 3 2

1 1 3 2

1 6

1 6

2 1 3 4

2 3 3 4

1 6

1 2

Umweltentwicklungen Zustände 1,2,4 Al

. 1 1 1 1

ü/

1

1

^ A\

E(a^;a2;a^;4)

Zustände 1,2,5

Zustände 1,3,6

Zustände 1,3,7

TT/ 1

ü / 1 1 1 /c^

E(aJ;a3;aJ^;7)

r:/ 1 1 1 /r\ ^(^l'^3'^0'^

E(aJ;a3;aj^;7)

1

1 C\

E(a^;a2;a^;5)

1 1 1 . ^'^O'^ll^

A2

, 1 1 1 2 ^ r 2' 3' 6'

7 / 1 1 2 .. (a :a :a :a : 1E(a^;a2;a^;4)

TT/ 1

1 1 0 E(a^;a2;a^;5)

1 1 1 . ^'^lO'^ll^'

^128

, 2 2 2 2 '^^l'^'^'^lö'

E(aj^a4;a^^;4)

T:/

2

2

2 ;:.

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ü/ 2

2

2

^

E(^;^;a20'^

E(a^^a^;a^;7)

2 2. a 217' :a 20' :a 2K )

Matrix IX. 1: Ergebnismatrix zum Entscheidungsbaum in Abb. DC.4.

4.3.

Das "RoU-Back"-Verfahren

Eine optimale Strategie kann in folgender Weise auf der Grundlage des Entscheidungsbaumes bestimmt werden (vgl. hierzu auch das Beispiel in Abschnitt 6.1): Li der ersten Phase der Planaufstellung wird jedem Entscheidungsknoten, der dem Zeitpunkt T entspricht, jeweils diejenige Teilaktion zugeordnet, die

296

Kapitel IX

den Nutzen des Endergebnisses maximiert.^) Da jedem derartigen Knoten jeweils eine bestimmte Aktionsfolge bis zum Zeitpunkt T-1 entspricht, kann dieses Zuordnungsproblem im Rahmen eines einstufigen Entscheidungsmodells gelöst werden, hi der zweiten Phase der Planaufstellung wird jedem Entscheidungsknoten, der dem Zeitpunkt T-1 entspricht, ein optimaler Teilplan zugeordnet. Auch hier handelt es sich um ein einstufiges Entscheidungsproblem: Jedem derartigen Knoten entspricht zum einen eine bestimmte Aktionsfolge bis zum Zeitpunkt T-2. Zum andern kann als Ergebnis einer zum Zeitpunkt T-1 gewählten Aktion die dieser Aktion entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung über Entscheidungssituationen zum Zeitpunkt T verstanden werden. In der ersten Planungsphase wurde jedoch jeder Entscheidungssituation, die zum Zeitpunkt T möglich ist, eine optimale Aktion und damit zugleich der maximale Ergebnisnutzen zugeordnet. Die einer Entscheidungssituation zum Zeitpunkt T-1 entsprechende optimale Aktion kann daher wie folgt bestimmt werden: Für jede Aktion, die in dieser Situation möglich ist, wird der Erwartungswert der Nutzenwerte berechnet, die mit denjenigen Entscheidungssituationen verbunden sind, die bei Wahl dieser Aktion zum Zeitpunkt T eintreten können. Für jede Aktion zum Zeitpunkt T-1 ergibt sich dabei der Erwartungswert des Nutzens des Endergebnisses, den der Entscheider erzielt, wenn er diese Aktion wählt und in jeder Entscheidungssituation, die dann zum Zeitpunkt T noch eintreten kann, die optimale Folgeaktion wählt. Es ist jeweils diejenige Aktion optimal, bei der dieser Erwartungswert am größten ist. In analoger Weise werden sukzessive den Entscheidungsknoten der Zeitpunkt T-2,T-3,...,1 optimale Teilpläne zugeordnet. Es handelt sich auch hier jeweils um einstufige Entscheidungsprobleme. Zu Beginn des Planungszeitraumes (dem Zeitpunkt 1) wird nun die Aktion realisiert, die dem Situationsknoten für den Zeitpunkt 1 als optimal zugeordnet wurde. Zum Zeitpunkt 2 wird die Aktion realisiert, die derjenigen Entscheidungssituation als optimal zugeordnet wurde, die zum Zeitpunkt 2 eintritt. Da die Aktion zum Zeitpunkt 1 eindeutig bestimmt ist, hängt die Entscheidungssituation zum Zeitpunkt 2 nur noch davon ab, welcher Zustand dann eintritt. Zum Zeitpunkt 3 wird die Aktion verwirklicht, die derjenigen Entscheidungssituation als optimal zugeordnet wurde, die dann eintritt, usw. Nach dem beschriebenen Planungsverfahren wird das gesamte Entscheidungsproblem in einstufige Teilentscheidungsprobleme zerlegt, die in einer natürlichen Ordnung aufeinander folgen. Indem diese Teilentscheidungsprobleme gelöst werden, konstituiert sich auch die Lösung des Gesamtproblems. Das beschriebene Planungsverfahren, bei dem das Entscheidungsproblem gewissermaßen von hinten aufgerollt wird, heißt "Roll-Back"-WQxi2ihrQn.

3)

Falls das Endergebnis auch bei der Entscheidung im letzten Zeitpunkt noch ungewiß ist, wird jeweils die Aktion mit dem höchsten Erwartungswert des Nutzens gewählt.

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

297

Beim "Roll-Back"-Verfahren entsteht im allgemeinen ein niedrigerer Planungsaufv^and als bei expliziter Erstellung einer Ergebnismatrix. Li der Ergebnismatrix wird für jede mögliche Strategie die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endergebnis dargestellt. Ein solch umfassender Überblick ist aber flir die Auswahl der optimalen Strategie gar nicht notwendig, hn Entscheidungsbaum der Abbildung IX.4 gibt es z.B. 32 Strategien, bei denen jeweils die Entscheidungssituation 6 möghch ist. Bei je 16 dieser Strategien 1

2

wird in der Entscheidungssituation 6 die Aktion a^ bzw. a^ gewählt. Um die Frage beantworten zu können, welche Aktion in der Entscheidungssituation 6 gewählt werden soll, müssen diese 32 Strategien jedoch nicht explizit miteinander verglichen werden. Was immer auch in den anderen Entscheidungssituationen geschieht, in der Entscheidungssituation 6 ist jene der beiden Aktionen optimal, die zu dem Endergebnis mit dem höheren Nutzenwert fährt. Wird diese Aktion bestimmt, so sinkt die Zahl der ursprünglich betrachteten Strategien mit einem Schritt von 32 auf 16. Analog wird beim Aufrollen des Entscheidungsproblems die Zahl der für das Optimum in Betracht kommenden Alternativen (Strategien) schrittweise verringert, bis schließlich die optimale Alternative (Strategie) übrig bleibt.

*5. Flexible Planung mit Hilfe der mathematischen Programmierung Li komplexeren Entscheidungssituationen wird der Entscheidungsbaum so umfangreich, daß praktisch nicht mehr damit gearbeitet werden kann. Es besteht jedoch auch die Möglichkeit, unmittelbar auf dem Zustandsbaum aufbauend die optimale Strategie zu bestimmen, ohne sämtliche Strategien explizit zu beschreiben. Jedem Knoten des Zustandsbaumes werden dabei besondere Entscheidungsvariablen zugeordnet; jede Wertekonstellation der einem Knoten zugeordneten Entscheidungsvariablen bezeichnet eine Teilaktion (eine Menge von Einzelmaßnahmen) flir den entsprechenden Zustand. Außerdem werden flir jeden Knoten besondere Nebenbedingungen aufgestellt, die den Aktionsspielraum des zugehörigen Zustandes abgrenzen. Dabei wird berücksichtigt, daß der Aktionsspielraum in einem zukünftigen Zustand z außer von den entsprechenden Datenausprägungen auch von den Maßnahmen abhängt, die in denjenigen Zuständen realisiert werden, die dem Zustand z vorausgehen. Unter bestimmten Voraussetzungen lassen sich diese Nebenbedingungen als lineare Gleichungen oder Ungleichungen formulieren (LAUX, 1969; 1971a). In der Zielfunktion des Modells wird berücksichtigt, daß bei der Planung noch unbekannt ist, welche Folge von Zuständen im Zeitablauf eintreten wird. Hierzu wird flir jede möghche Zustandsfolge (d.h. flir jeden Kantenzug des Zustandsbaumes vom Ausgangszustand 1 zu einem der Endzustände z e Zj) der Wert der Zielgröße(n) in Abhängigkeit von der jeweiligen Zustandsfolge

298

Kapitel IX

Wi,W2v,Wx und der jeweiHgen Aktionsfolge ausgedrückt. Außerdem werden in der Zielfunktion die Wahrscheinlichkeiten fiir die möglichen Zustandsfolgen erfaßt. Jedem möglichen Aktionsplan entspricht also eine Wahrscheinhchkeitsverteilung über die Zielgröße(n). Somit liegt ein Standardproblem der Entscheidung bei Risiko vor, für das in Kapitel VI und VII Auswahlkriterien diskutiert werden. Unter bestimmten Voraussetzungen - z.B. bei Maximierung des Erwartungswertes des Erfolges - ist die Zielfunktion linear. Sind außerdem auch die Nebenbedingungen linear, kann die optimale Lösung mit Hilfe der (ganzzahligen) linearen Programmierung ermittelt werden. Diese Rechentechnik setzt jedoch nicht generell voraus, der Entscheider sei risikoneutral: Auch der Fall der Nichtrisikoneutralität läßt sich berücksichtigen. Die dann nichtlineare Nutzenfunktion kann durch eine stückweise lineare Funktion approximiert werden. Die Zahl der Variablen und Nebenbedingungen des Modells kann allerdings so groß werden, daß die optimale Lösung nicht in einem Rechengang ermittelt werden kann, weil die Kapazität der Rechenanlage nicht ausreicht. Eine Lösungsmöglichkeit kann dann darin bestehen, das Entscheidungsmodell nach dem Prinzip der dynamischen Programmierung zu zerlegen (JOCHUM, 1969; HAX, 1985, S. 176-182 und 187-195; LAUX, 1971a, S. 52-60; BÜHLER, 1981).

6. 6.1.

Ein Beispiel zur Erläuterung der beschriebenen Modelle derflexiblenPlanung (Beispiel IX.l) Die Entscheidungssituation

1. Es besteht die Möglichkeit, zur Erledigung bestimmter Aufträge ein Werk aufzubauen. Die zukünftigen Auftragseingänge sind ungewiß. 2. Der Planungszeitraum des Entscheiders umfaßt drei Perioden. Der Beginn der t-ten Periode (t= 1,2,3) wird als Zeitpunkt t bezeichnet. 3. Lediglich zu den Zeitpunkten 1, 2 und 3 (also zu Beginn der Perioden 1, 2 und 3) können Aufträge eingehen. Zu jedem Zeitpunkt muß sofort entschieden werden, welche der jeweils eingehenden Aufträge angenommen werden. (Es ist also nicht möglich, die Entscheidung aufzuschieben, bis sich der Liformationsstand bezüglich zukünftiger Auftragseingänge verbessert hat.) Jeder Auftrag, der zu Beginn einer Periode angenommen wird, muß zum Ende dieser Periode ausgefiihrt sein. 4. Zur Erledigung der Aufträge werden Produktionsanlagen eines bestimmten Typs benötigt. Mit einer Anlage kann je Periode höchstens ein Auftrag abgewickelt werden. Bisher ist noch keine Anlage vorhanden. Neue Anlagen können zu den Zeitpunkten 1, 2 und 3 angeschafft werden. Jede Anlage kann bis zum Zeitpunkt 4 (dem Ende des Planungszeitraums) genutzt werden und ist dann wertlos. Die Anschaffiingskosten je Anlage betragen 500 GE.

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

299

5. Jeder Auftrag bietet einen Deckungsbeitrag (Differenz aus Erlös und variablen Kosten) von 300 GE. 6. Es wird unterstellt, daß etwaige Zinsüberlegungen vernachlässigt werden können. 7. Hinsichtlich der Zahl der eingehenden Aufträge zu den einzelnen Zeitpunkten bestehen die in Tabelle IX.l dargestellten Erwartungen. Die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Auftragseingänge des Zeitpunktes 3 hängen also von der Zahl der Aufträge ab, die zum Zeitpunkt 2 eingehen. Die Erwartungsstruktur über die Auftragsentwicklung kann folgendermaßen als Zustandsbaum dargestellt werden (Abbildung DC.5): Knoten 1 kennzeichnet die zu Beginn des Planungszeitraums eingehenden Aufträge. Jeder Knoten z (z=2,3,...,7) kennzeichnet eine bestimmte Auftragsentwicklung. So entspricht z.B. dem Knoten 6 die Auftragsfolge: 2 Aufträge in Periode 1, 2 Aufträge in Periode 2, 1 Auftrag in Periode 3. 8. Optimal ist für den Investor die Strategie, bei der der Erwartungswert des Nutzens des Gewinns maximiert wird. Dabei ist der Gewinn gleich dem gesamten Deckungsbeitrag der im Planungszeitraum angenommenen (und erledigten) Aufträge abzüglich der Anschaffungskosten der erworbenen Produktionsanlagen. Zeitpunkt

Zahl der Aufträge

(bedingte) Wahrscheinlichkeiten

Zustand z

t 1

Wi=2

1

1

2

W2=l

2

0,7

W2 = 2

3

0,3

W3 = l

4

0,8, falls zum Zeitpunkt 2 ein Auftrag eingeht

6

0,2, falls zum Zeitpunkt 2 zwei Aufträge eingehen

5

0,2, falls zum Zeitpunkt 2 ein Auftrag eingeht

7

0,8, falls zum Zeitpunkt 2 zwei Aufträge eingehen

3

W3 = 2

Tabelle IX.l: Zahl der eingehenden Aufträge und ihre (bedingten) Wahrscheinlichkeiten

300

Kapitel IX

1 Auftrag (7)

Zeitpunkt 1

Zeitpunkt 2

Zeitpunkt 3

Abb. IX.5: Zustandsbaum

6.2.

Flexible Planung mit Hilfe des Entscheidungsbaumes

6,2,1. Der Entscheidungsbaum Die optimale Strategie des Livestors kann auf der Basis eines Entscheidungsbaumes bestimmt werden, in dem nicht nur die möglichen Folgen von Auftragseingängen und die stochastischen Beziehungen zwischen den Auftragseingängen aufeinanderfolgender Zeitpunkte dargestellt sind, sondern auch mögliche Aktionsstrategien. Dabei müssen jedoch nicht alle Strategien berücksichtigt werden. Es kann eine Vorauswahl getroffen werden, so daß sich ein relativ einfacher Entscheidungsbaum ergibt: 1. Da in keiner Periode mehr als zwei Aufträge eingehen können, ist es nicht sinnvoll, mehr als zwei Produktionsanlagen zu beschaffen. Sämtliche Strategien, bei denen mehr als zwei Anlagen gekauft werden, können daher als nicht optimal vernachlässigt werden. 2. Da in jeder Periode mindestens ein Auftrag eingeht, ist es sinnvoll, zum Zeitpunkt 1 mindestens eine Anlage zu beschaffen: Wird eine Anlage gekauft, so kann zu jedem Zeitpunkt t (t= 1,2,3) ein Auftrag angenommen werden, wobei im gesamten Planungszeitraum ein Gewinn von 3-300500=400 erzielt wird. 3. Es ist nachteihg, zum Zeitpunkt 3 eine Anlage zu beschaffen, da mit ihr allenfalls noch ein Auftrag abgewickelt werden kann, dessen Deckungsbeitrag (300) niedriger ist als die Anschaffungskosten der Anlage (500).

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

301

Entsprechend kann es auch nicht vorteilhaft sein, zum Zeitpunkt 2 eine zweite Anlage anzuschaffen, sofern dann nur ein Auftrag eingeht, also Zustand 2 eingetreten ist. 4. Es ist nachteilig, zu einem Zeitpunkt t (t= 1,2,3) einen Auftrag abzulehnen, der mit einer bereits vorhandenen Anlage abgewickelt werden kann. Im Entscheidungsbaum der Abbildung IX.6 sind diese Vereinfachungsgesichtspunkte bereits berücksichtigt. Die den Zeitpunkten 1,2 und 3 zugeordneten eckigen Knoten kennzeichnen Entscheidungssituationen, die dem Zeitpunkt 4 zugeordneten Knoten charakterisieren Ergebnissituationen, bei denen der Gesamtgewinn des Planungszeitraums festliegt. Yg bezeichnet die Zahl der Produktionsanlagen, die in der Entscheidungssituation s (s=l,2,...,15) erworben werden, Xg bezeichnet die Zahl der jeweils angenommenen Aufträge. W^ kennzeichnet (als charakterisierende Umweltvariable) die Anzahl der zum Zeitpunkt t (t= 1,2,3) eingehenden Aufträge.^) Li einer Entscheidungssituation liegt der Gesamtgewinn noch nicht endgültig fest, sondern kann durch Aktionen (Annahme von Aufträgen, Beschaffung von Produktionsanlagen) beeinflußt werden. Jeder möglichen Entscheidungssituation des Zeitpunkts 2 bzw. 3 entspricht eine bestimmte Folge von Auftragseingängen - also ein bestimmter Zustand - und bestimmte Aktionen, die bereits vor diesem Zeitpunkt durchgeführt worden sind. Für die Entscheidungssituation 10 gilt z.B.: Zustand 4 ist eingetreten, eine Produktionsanlage ist gekauft und zwei Aufträge sind bearbeitet worden. Von jedem Entscheidungsknoten gehen eine oder zwei Kanten aus, von denen jede eine zulässige Aktion kennzeichnet. Jede (Aktions-) Kante, die aus einem dem Zeitpunkt 1 bzw. 2 zugeordneten Entscheidungsknoten herausfiihrt, mündet in einen (runden) Verzweigungsknoten, der die unsicheren Erwartungen hinsichtlich des folgenden Umweltzustandes repräsentiert. Die entsprechenden (Zustands-) Kanten kennzeichnen den Übergang zu der Entscheidungssituation zum nachfolgenden Zeitpunkt. Die diesen Kanten zugeordneten Übergangswahrscheinlichkeiten sind gleich den entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten des Zustandsbaumes. So ist z.B. die Übergangswahrscheinlichkeit, die der in den Entscheidungsknoten 12 fiihrenden Kante zugeordnet ist, gleich der Wahrscheinlichkeit flir den Zustand 6 unter der Bedingung, daß zum Zeitpunkt 2 der Zustand 3 eintritt. Jede Aktionskante, die aus einem Entscheidungsknoten herausfiihrt, der dem Zeitpunkt 3 entspricht, mündet in einen Ergebnisknoten. In jeden Ergebnisknoten ist der entsprechende Gesamtgewinn eingetragen. So entspricht z.B. der Ergebnissituation, die auf die Entscheidungssituation 6 folgt, ein Ge-

4)

In der Abbildung IX.6 sind in den Entscheidungsknoten der besseren Übersicht wegen als Determinanten der Entscheidungssituationen nur die Ausprägung der Umweltvariable W^ und der Entscheidungsvariablen angegeben. Die in der Abbildung als Charakteristika der Entscheidungssituation fehlenden Entscheidungen der Vorperiode lassen sich bei Betrachtung des vorhergehenden Kantenzugs leicht erkennen.

302

Kapitel IX

samtgewinn von 4-300-2-500=200 (4 Aufträge werden angenommen und zwei Produktionsanlagen gekauft).

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Abb. IX.6: Entscheidungsbaum 6.2,2. Erstellung einer Ergebnismatrix Die optimale Strategie kann in der Weise bestimmt werden, daß auf der Basis des Entscheidungsbaumes DC.6 eine Ergebnismatrix konstruiert wird. Hierzu werden zunächst die (drei) Strategien beschrieben, die im Entscheidungsbaum enthalten sind:

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

303

Strategie v4y.- In der Entscheidungssituation 1 (also zum Zeitpunkt 1) werden zwei Produktionsanlagen angeschafft und beide Aufträge angenommen (Yi=Xi=2). Li jeder später noch möghchen Entscheidungssituation 2, 3, 6, 7, 8 bzw. 9 werden keine weiteren Produktionsanlagen gekauft und die jeweils eingehenden Aufträge angenommen. (Mit anderen Worten: Zum Zeitpunkt 1 werden zwei Produktionsanlagen angeschafft und zu den Zeitpunkten 1, 2 und 3 werden alle eingehenden Aufträge angenommen.) Strategie A2: hi der Entscheidungssituation 1 wird eine Produktionsanlage angeschafft und ein Auftrag angenommen (Yi=Xi = l). Li den später möglichen Entscheidungssituationen 4 und 5 wird jeweils ein Auftrag angenommen und keine weitere Anlage gekauft. Dasselbe gilt für die jeweils noch möglichen Folgesituationen 10 und 11 bzw. 12 und 13. (Mit anderen Worten: Zum Zeitpunkt 1 wird eine Produktionsanlage angeschafft und zu jedem Zeitpunkt 1,2 und 3 wird ein Auftrag angenommen.) Strategie A^: Li der Entscheidungssituation 1 wird eine Produktionsanlage beschafft und ein Auftrag angenommen (Yi=Xi = l). Tritt zum Zeitpunkt 2 der Zustand 2 und damit die Entscheidungssituation 4 ein, so wird keine weitere Produktionsanlage beschafft und ein Auftrag angenommen (¥4=0; X4=l). Dasselbe gilt fär die Entscheidungssituationen 10 und 11. Tritt zum Zeitpunkt 2 der Zustand 3 und damit die Entscheidungssituation 5 ein, so wird eine zweite Produktionsanlage gekauft und es werden beide Aufträge angenommen (Y5 = l und X5=2). Li den Entscheidungssituationen 14 und 15 werden die jeweils eingehenden Aufträge angenommen (und keine Produktionsanlage mehr gekauft). Jeder Strategie entspricht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Gesamtgewinn. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden mit Hilfe der Ergebnismatrix DC.2 dargestellt: Wahrscheinlichkeiten l-0,7-0,8 = 0,56

l-0,7-0,2 = 0,14

l-0,3-0,2 = 0,06

l-0,3-0,8 = 0,24

Entwicklung der Auftragseingänge Wi=2, W2=l,

Wi=2, W2=l,

W i = 2 , W2 = 2,

Wi=2, W2=l

W3 = l

W3 = 2

W3 = l

W3 = 2

(Zustände 1,2,4)

(Zustände 1,2,5)

(Zustände 1,3,6)

(Zustände 1,3,7)

Al

200

500

500

800

A2

400

400

400

400

A3

400

400

200

500

Matrix IX.2: Ergebnismatrix Li der Vorspalte werden die Strategien aufgeführt, in der Kopfzeile die möglichen Auftragsfolgen (gekennzeichnet durch die entsprechenden Knotenfolgen

304

Kapitel IX

des Zustandsbaumes) und deren Wahrscheinhchkeiten. Jeder Konstellation von Strategie und Auftragsfolge wird der entsprechende Gesamtgewinn zugeordnet. Zur Bestimmung der optimalen Alternative wird zunächst davon ausgegangen, der Livestor sei risikoneutral. Auf der Grundlage der Ergebnismatrix IX.2 kann für jede Strategie der Erwartungswert des Gewinns bestimmt werden: 4 ^2 ^3

-> -> ->

404 400 412.

Optimal ist danach die Strategie A3: Zum Zeitpunkt 1 wird eine Produktionsanlage beschafft. Zum Zeitpunkt 2 wird genau dann eine zweite Anlage erworben, wenn zwei Aufträge eingehen, d.h. Zustand 3 eintritt. Außerdem werden zu jedem Zeitpunkt 1,2,3 jeweils so viele Aufträge angenommen, wie eingehen und mit den jeweils vorhandenen Anlagen abgewickelt werden können. Ist der Entscheider nicht risikoneutral, so wird zunächst die Gewinnmatrix IX.2 in eine Entscheidungsmatrix überfiihrt, indem die Gewinne durch Nutzenwerte substituiert werden. Dann werden die Nutzenerwartungswerte der Alternativen A|, A2 und A3 berechnet. Optimal ist die Alternative mit dem höchsten Nutzenerwartungswert. 6.23.

''Roll-Back^'-Verfahren

Die Planungsarbeit kann dadurch vereinfacht werden, daß keine Ergebnismatrix ermittelt, sondern auf dem Entscheidungsbaum aufbauend durch retrogrades Aufrollen des Entscheidungsproblems die optimale Strategie bestimmt wird ("Roll-Back"-Verfahren). Dabei ist es nicht notwendig, alle Strategien explizit zu beschreiben. Es wird zunächst wieder angenommen, der Investor sei risikoneutral. Ausgangspunkt fiir die Lösung des Entscheidungsproblems ist der Zeitpunkt 3. Jedem der Entscheidungsknoten 6,7,...,15 wird derjenige Gesamtgewinn zugeordnet, der bei Eintreten der entsprechenden Entscheidungssituation erzielt wird (vgl. Abbildung IX.6). Danach wird jedem Entscheidungsknoten, der dem Zeitpunkt 2 entspricht (das sind die Kjioten 2,3,4 und 5), der Erwartungswert des Gewinns zugeordnet, der bei Eintreten dieser Entscheidungssituation erzielt wird: In der Entscheidungssituation 2 z.B. ist es optimal, wenn keine Anlage gekauft und der eingehende Auftrag angenommen wird. Bei dieser Entscheidung tritt zum Zeitpunkt 3 mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 (bzw. 0,2) die Entscheidungssituation 6 (bzw. 7) ein, der ein Gewinn von 200 (bzw. von 500) entspricht. Somit entspricht der Entscheidungssituation 2 ein Gewinnerwartungswert von 0,8-200 + 0,2-500=260. Entsprechend sind die Gewinnerwartungswerte flir die Entscheidungssituationen 3 und 4 zu bestimmen.

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

305

Vom Knoten für die Entscheidungssituation 5 gehen zwei (Aktions-) Kanten aus. Der Aktion "¥5=0, X5 = r ' entspricht ein Gewinnerwartungswert von 0,2-400+0,8-400=400. Der Aktion "¥5 = !, X5=2" entspricht der Gewinnerwartungswert 0,2-200+0,8-500=440. Diese zweite Aktion ist somit optimal; dem Knoten für die Entscheidungssituation 5 wird ein Gewinnerwartungswert von 440 zugeordnet, hn Entscheidungsbaum kann diese Auswahl durch Abstreichen des suboptimalen Kantenzuges verdeutlicht werden. Schließlich wird die optimale Aktion für die Entscheidungssituation 1 bestimmt. Bei Wahl der Aktion "Yi=2, Xi=2" ergibt sich zum Zeitpunkt 2 entweder die Entscheidungssituation 2 oder 3; bei Wahl der Aktion "Y| = l, Xi = r ' tritt entweder die Entscheidungssituation 4 oder 5 ein. Jeder der Entscheidungssituationen 2, 3, 4 und 5 wurde bereits der entsprechende Gewinnerwartungswert zugeordnet. Mit Hilfe dieser Erwartungswerte kann die optimale Aktion für die Entscheidungssituation 1 bestimmt werden: Bei der Aktion "Yi=2, X i = 2 " wird ein Gewinnerwartungswert von 0,7-260+0,3740=404, bei der Aktion "Yi = l, Xi = r ' ein Gewinnerwartungswert von 0,7400+0,3-440=412 erzielt. Die zuletzt genannte Aktion ist somit optimal. Es erweist sich also wieder die Strategie A3 als optimal: Zum Zeitpunkt 1 wird eine Produktionsanlage beschafft. Zum Zeitpunkt 2 wird genau dann eine zweite Produktionsanlage erworben, falls die Entscheidungssituation 5 eintritt, also zwei Aufträge eingehen. Li jeder möglichen Entscheidungssituation werden so viele Aufträge angenommen, wie eingehen und abgewickelt werden können. Bei Nichtrisikoneutralität kann die optimale Strategie im Prinzip ebenso bestimmt werden wie bei Risikoneutralität: Anstelle der Gewinne treten die entsprechenden Nutzenwerte. Den Entscheidungssituationen werden keine Gewinnerwartungswerte, sondern die entsprechenden Nutzenerwartungswerte zugeordnet. Optimal ist die Strategie mit dem maximalen Nutzenerwartungswert. Das betrachtete Entscheidungsproblem ist sehr einfach, so daß sich auch ein einfacher Entscheidungsbaum ergibt. Li realistischeren Entscheidungssituationen wird indessen der Entscheidungsbaum so komplex, daß praktisch nicht mehr damit gearbeitet werden kann. Zur Bestimmung der optimalen Strategie kann es dann zweckmäßig sein, ein Modell zu formulieren, das unmittelbar auf dem Zustandsbaum aufbaut und in dem nicht die Strategien explizit abgebildet werden.

*6.3. Flexible Planung mit Hilfe der linearen Programmierung 6.3.1.

Symbole

Es wird nun gezeigt, wie die optimale Strategie mit Hilfe der (ganzzahligen) linearen Programmierung bestimmt werden kann. Das Modell benötigt keinen

306

Kapitel IX

Entscheidungsbaum, sondern baut unmittelbar auf dem Zustandsbaum auf. Der Vorteil der Vereinfachung fällt allerdings bei dem betrachteten (einfachen) Beispiel nicht so sehr ins Gewicht. Bei komplexeren Entscheidungsproblemen (z.B. bei einer größeren Zahl von Entscheidungsvariablen) kann jedoch der Planungsaufwand dadurch erheblich sinken. Symbole Gz(z=4,5,6,7)

Xz(z=2,3) x^ (z=4,5,6,7) yi yz(z=2,3)

Gesamtgewinn bei Eintreten derjenigen Auftragsfolge, die dem Zustand z (Knoten z des Zustandsbaumes) entspricht, Zahl der Aufträge, die zu Beginn der ersten Periode angenommen (und während dieser Periode abgewickelt) werden, Zahl der Aufträge, die zu Beginn der zweiten Periode angenommen werden, falls dann Zustand z eintritt, Zahl der Aufträge, die zu Beginn der dritten Periode angenommen werden, falls dann Zustand z eintritt, Zahl der Produktionsanlagen, die zum Zeitpunkt 1 gekauft werden, Zahl der Produktionsanlagen, die zum Zeitpunkt 2 gekauft werden, falls dann Zustand z eintritt.

6.3,2. Das Modell Unter der Annahme, der Livestor sei risikoneutral, ist die Strategie optimal, bei der der Erwartungswert des Gesamtgewinns maximiert wird. Die Zielfunktion des Modells lautet dann: (DC.l)

0,56-G4 + 0,14-G5 + 0,06-G6 + 0,24.G7->Max!

Jede Variable G^ (z=4,5,6,7) wird mit der Eintrittswahrscheinlichkeit flir die entsprechende Auftragsfolge multipliziert. (Vgl. dazu Matrix DC.2.) G2 (z=4,5,6,7) hängt ab von der Zahl der Produktionsanlagen, die angeschafft werden, und von der Zahl der Aufträge, die angenommen werden, wenn die Auftragsfolge eintritt, die dem Zustand (Knoten) z entspricht. Dem Zustand 4 gehen die Zustände 1 und 2 voraus. Somit gilt: (K.2)

G4=300-(xi+X2+X4)-500.(yi+y2).

Entsprechend gilt: (IX.3)

G5=300-(xi+X2+X5)-500-(yi+y2)

(IX.4)

G6=300-(xi+X3+X6)-500-(yi+y3)

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

(IX.5)

307

G7=300-(xi+X3+X7)-500-(yi+y3).

In keinem Zustand z (z=l,2,...,7) können mehr Aufträge angenommen werden als eingehen. Es gilt folglich (vgl. den Zustandsbaum in Abbildung IX.5): (IX.6)

xi<2,

(IX.7)

X2<1,

(IX.8)

X3<2,

(IX.9)

X4<1,

(IX.IO)

X5<2,

(IX.ll)

X6<1,

(IX.12)

X7<2.

In der Periode 1 können höchstens so viele Aufträge abgewickelt wie Produktionsanlagen gekauft werden. Es gilt daher die "Kapazitätsbedingung": (IX.13)

xi
Die Zahl der Aufträge, die in Periode 2 abgewickelt werden, kann nicht größer sein als die Zahl der Produktionsanlagen, die zu den Zeitpunkten 1 und 2 gekauft werden. Für Periode 2 gelten daher folgende Kapazitätsbedingungen: (IX.14)

X2
(IX.15)

X3
Analog gelten folgende Kapazitätsbedingungen fiir Periode 3 (wie bereits erläutert wurde, ist es nicht sinnvoll, zum Zeitpunkt 3 noch Produktionsanlagen zu erwerben):

(IX. 16)

X4 ^ Yl + Ya

(IX. 17)

X5 ^ Yi + y2

(IX. 18)

X6 ^ Yl + Y3

(IX.19)

X7
Schließlich gelten noch Nichtnegativitätsbedingungen fiir die Variablen y^^ (z=l,2,3)undx2(z=l,2,...,7). Die optimale Lösung des Modells lautet: yi = l,

y2=0,

y3 = l,

xi = l,

X2 = l ,

X3=2,

X4=l,

X5 = l ,

X6-1,

X7=2.

Optimal ist Strategie A3: Im Zustand 1 (also zum Zeitpunkt 1) wird eine Anlage gekauft (yi = 1) und ein Auftrag angenommen (xj = 1). Tritt zum Zeitpunkt 2 Zustand 2 ein, geht also ein Auftrag ein, so wird der Auftrag angenommen (x2= 1) und keine weitere Produktionsanlage erworben (y2=0). Tritt zum Zeitpunkt 2 der Zustand 3 ein, gehen also zwei Aufträge ein, werden eine zweite Produktionsanlage gekauft (y3 = l) und beide Aufträge angenommen (x3=2). Tritt zum Zeitpunkt 3 einer der Zustände 4,5 und 6 ein, wird jeweils ein Auf-

308

Kapitel IX

trag angenommen (x4=l; X5 = l; x ^ ^ l ) . Zwar gehen im Zustand 5 zwei Aufträge ein. Die Kapazität erlaubt aber nur die Abwicklung eines Auftrages, da dem Zustand 5 der Zustand 2 vorausgeht, in dem keine zweite Produktionsanlage beschafft wird. Tritt zum Zeitpunkt 3 der Zustand 7 ein, so werden beide zum Zeitpunkt 3 eingehenden Aufträge angenommen (x7==2). Ist der Entscheider nicht risikoneutral, so tritt anstelle der Zielfunktion (IX.l) die Zielfunktion (IX.la): (IX.la) 0,56-U(G4) + 0,14.U(G5) + 0,06-U(G6) + 0,24-U(G7)^Max! Hierin kennzeichnet U(G2) (z=4,5,6,7) den Nutzenwert des Gewinns G^. Die Nebenbedingungen des Modells müssen nicht modifiziert werden. Die Zielfunktion (DC.la) ist (wegen der Nichtlinearität der Funktion U) nicht linear. Damit das Modell (DC.la), (DC.2) bis (K.19) mit Hilfe der (ganzzahligen) linearen Programmierung gelöst werden kann, ist die Zielfunktion in eine lineare Zielfunktion zu überfuhren. Das kann in der Weise geschehen, daß die Nutzenfunktion U stückweise linearisiert wird.

7.

Starre versusflexiblePlanung

7.1. Vergleich Bei starrer Planung wird in der Weise gegen das Prinzip der flexiblen Planung verstoßen, daß zwar simultan über gegenwärtige und zukünftige Maßnahmen entschieden wird, die zukünftigen Maßnahmen aber nicht in Form von bedingten Plänen (Eventualplänen), sondern ohne Rücksicht auf die Umweltentwicklung festgelegt werden. Starre Planung impliziert, es müsse schon bei der Festlegung der Aktionen für den Beginn des Planungszeitraumes eine endgültige und unwiderrufliche Entscheidung darüber getroffen werden, welche Folgeaktionen in den späteren Perioden des Planungszeitraumes realisiert werden. Li der einfachsten Variante der starren Planung wird von der Fiktion ausgegangen, die zukünftige Umweltentwicklung sei mit Sicherheit bekannt. Nur für die entsprechende (als sicher angenommene) Umweltentwicklung werden Pläne aufgestellt. Die Aktionen werden also im Rahmen eines deterministischen Entscheidungsmodells bestimmt. Starre Planung kann aber auch auf der Grundlage eines stochastischen Entscheidungsmodells erfolgen, hn Modell werden dann zwar mehrere mögliche Umweltentwicklungen berücksichtigt; für alle diese Umweltentwicklungen wird aber dieselbe Folge von Entscheidungen festgelegt. Bei der Modellkonstruktion wird nicht explizit berücksich-

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

309

tigt, daß für alternative Umweltentwicklungen verschiedene Aktionsfolgen optimal sein können.^) Natürlich müssen auch bei starrer Planung die ursprünghchen Pläne nicht unbedingt eingehalten werden. Diese Pläne können im Zeitablauf immer wieder revidiert werden, wenn Zustände eintreten, für die sie nachteihg erscheinen. Starre Planung mit ständiger Planrevision wird als ''rollende'' bzw. "revolvierende" Planung bezeichnet.^) Auf der Grundlage eines deterministischen Ansatzes kann die rollende Planung z.B. wie folgt ablaufen (wobei die Aktionszeitpunkte mit 1,2,...,T bezeichnet werden): Zum Zeitpunkt 1 werden auf der Basis einer als sicher angenommenen Umweltentwicklung Wi,W2v,W7 (etwa jener mit der größten Eintrittswahrscheinlichkeit) Aktionspläne für die Zeitpunkte 1,2,...,T bestimmt. Der Plan für den Zeitpunkt 1 wird anschließend realisiert. Zum Zeitpunkt 2 wird - je nach der tatsächlichen Ausprägung der Umweltlage W2 - der ursprüngliche Plan für den Zeitpunkt 2 revidiert, wobei gleichzeitig auch eine Revision der Pläne für die Zeitpunkte 3,4,...,T erfolgt. Die neuen Aktionspläne werden wieder unter der Fiktion ermittelt, die zukünftige Umweltentwicklung (jetzt also W3,...,Wx) sei mit Sicherheit bekannt. Dabei stimmt die für den Zeitpunkt t (t=3,...,T) unterstellte Umweltlage W^ im allgemeinen nicht mit jener überein, die bei der Planung zum Zeitpunkt 1 zugrunde gelegt worden ist; die ursprüngliche Annahme über die Umweltentwicklung wird zum Zeitpunkt 2 im Lichte der dann bekannten Umweltlage W2 revidiert. Zum Zeitpunkt 2 wird nun der neue (der revidierte) Aktionsplan für diesen Zeitpunkt realisiert, während für den Zeitpunkt 3, je nach der eintretenden Umweltlage W3 zum Zeitpunkt 3, der Plan erneut revidiert wird, usw. Bei rollender Planung werden also die Pläne im Zeitablauf immer wieder der eintretenden Umweltentwicklung angepaßt. Trotzdem handelt es sich um starre Planung, da die Möglichkeiten einer späteren Anpassung nicht von vornherein gesehen und einkalkuliert werden. Dem Prinzip der flexiblen Planung wird nicht schon damit entsprochen, daß die Planung im Zeitablauf fortwährend revidiert wird; die Revisionsmöglichkeiten und deren Folgen sind im Rahmen bedingter Pläne vorweg im Kalkül zu erfassen. Starre und flexible Planung können zu unterschiedlichen Aktionen (auch) für den Zeitpunkt 1 führen. Bei starrer Planung werden die Aktionen für den Zeitpunkt 1 nur mit genau einer Folge späterer Aktionen "optimal" abge5)

6)

Beispiele für derartige Entscheidungsmodelle sind die Ansätze der Investitionsplanung mit Hilfe der Chance-constrained-programming (NÄSLUND, 1966; JÄÄSKELÄINEN, 1966; ALBACH, 1967). Bei rollender Planung erfolgt im allgemeinen noch eine weitere Vereinfachung in der Weise, daß der Planungszeitraum "verkürzt" wird. Dabei werden bei der Planung im Zeitpunkt 1 noch nicht alle Zeitpunkte bis zum Zeitpunkt T explizit berücksichtigt, sondern nur diejenigen bis zum Zeitpunkt T*
310

KapitellX

stimmt. Zwar können in Zukunft die Pläne flir die Zeitpunkte 2,3,...,T revidiert werden. Der Plan für den Zeitpunkt 1 ist dann aber realisiert, so daß vorteilhafte Anpassungen an die Besonderheiten alternativer Umweltentwicklungen möglicherweise von vornherein "verbaut" sind. Die Erstellung von Eventualplänen fiir zukünftige Zeitpunkte ermöglicht dagegen, für den Beginn des Planungszeitraumes einen Aktionsplan zu bestimmen, der unter Berücksichtigung der möglichen Folgeaktionen zu einer guten Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Gesamtergebnis (z.B. den Gesamtgewinn oder das Endvermögen) fiihrt. Zur Verdeutlichung dient nochmals Beispiel K . l , wobei angenommen wird, der Entscheider sei risikoneutral. Bei flexibler Planung erweist sich die Strategie A3 als optimal. Diese Strategie wird bei starrer Planung überhaupt nicht in den Kalkül einbezogen. Mit der Zahl der zum Zeitpunkt 1 anzuschaffenden Produktionsanlagen wird (bei starrer Planung) zugleich die Zahl der in Zukunft zu installierenden Anlagen definitiv (und nicht zustandsabhängig) festgelegt. Es werden nur die Alternativen A^ und A2 erwogen, von denen A^ den höheren Gewinnerwartungswert aufweist. Bei starrer Planung werden somit zum Zeitpunkt 1 zwei Anlagen beschafft (statt einer Anlage bei flexibler Planung). Dadurch sinkt der Gewinnerwartungswert gegenüber der Wahl der Alternative A3 um (412-404=) 8 GE. Bei bestimmten Problemstmkturen kann natürlich die starre Planung zu (annähernd) ebenso guten Aktionen fähren wie die flexible Planung. A priori ist jedoch in komplexeren Entscheidungssituationen nur schwer abzuschätzen, ob sich bei starrer Planung wesentliche oder nur geringfügige Nachteile ergeben. Die Forschung kann den Einblick in die Zusammenhänge erleichtem, indem sie flir verschiedene Typen von Entscheidungssituationen untersucht, zu welchen Unterschieden starre und flexible Planung jeweils fiihren. Einen ersten Versuch in dieser Hinsicht hat INDERFURTH (1979) unternommen.

7.2.

Flexible Planung und Revision von Plänen

Im Grundmodell der flexiblen Planung wird davon ausgegangen, daß im Planungszeitraum keine Zustände eintreten, die vorher nicht als möglich erkannt worden sind. Wie aber die Erfahrung zeigt, treten häufig Zustände ein, mit denen vorher nicht als Möglichkeit gerechnet wurde. In der Realität kann es daher häufig notwendig werden, sich an Entwicklungen anzupassen, die bei der Aufstellung der Pläne nicht vorhergesehen wurden. Darüber hinaus können sich Anpassungen auch deshalb als vorteilhaft erweisen, weil neue Aktionsmöglichkeiten entdeckt werden. Es ist also auch bei flexibler Planung notwendig, im Zeitablauf ständig Planrevisionen vorzunehmen. Die Anpassung von Plänen kann wieder nach dem Prinzip der flexiblen Planung erfolgen. Bei Verzicht auf Modellvereinfachung würde schon zu Beginn des Planungszeitraumes eine umfassende Strategie bis zum Ende des Planungszeit-

Mehrperiodige Entscheidungsmodelle nach dem Prinzip der flexiblen Planung

311

raumes erarbeitet werden. Für alle als möglich erkannten Umweltentwicklungen würde eine Folge detaillierter (bedingter) Teilpläne erstellt. Von diesen (ursprünglichen) Plänen würde man allenfalls dann abweichen, wenn in Zukunft eine bisher nicht als möglich erkannte Umweltentwicklung eintritt und/oder neue Aktionsmöglichkeiten entdeckt werden. Falls derartige Ereignisse nicht eintreten, erübrigen sich spätere Planungsaktivitäten, hn Zeitablauf werden jene der bereits vorliegenden Teilpläne realisiert, die der eintretenden Umweltentwicklung entsprechen. Es ist unmittelbar einsichtig, daß eine solch umfassende Planung in der Regel nicht möglich ist, da hierzu die Planungskapazität nicht ausreicht; zumindest würden zu hohe Planungskosten entstehen. Es stellt sich daher das Problem, an der als theoretisch richtig erkannten Modellstruktur Vereinfachungen vorzunehmen. (Dieses Problem wird in Kapitel XII ausführlich behandelt.) Eine Vereinfachung kann vor allem dadurch erfolgen, daß zunächst ein Detailplan nur für den Beginn des Planungszeitraumes ermittelt wird, wobei die zukünftigen Folgemaßnahmen in Form einer Globalplanung antizipiert werden. Dabei wird die (im allgemeinen) immense Vielzahl möglicher Umweltentwicklungen durch wenige "repräsentative" Entwicklungen erfaßt, für die mehr oder weniger global festgelegt wird, was jeweils zu tun ist. Zu späteren Zeitpunkten werden, je nach der eintretenden Umweltentwicklung, vorhandene Pläne verworfen und neue (Detail- oder Global-) Pläne erstellt und/oder es werden vorhandene Pläne revidiert bzw. detaillierter ausgestaltet. Die Notwendigkeit der Modellvereinfachung ist also ein weiterer Grund dafür, daß auch bei flexibler Planung im Zeitablauf ständig Neuplanungen bzw. Planrevisionen erforderlich sind {^'rollende"flexible Planung).

Ergänzende und vertiefende Literatur: BÜHLER (1981); HAUMER (1983); HAX (1974b; 1985, S. 165-195); HAX/ LAUX (1972); HELLWIG (1987; 1989); HESPOS/STRASSMANN (1965); INDERFURTH (1979; 1982); LAUX, C . (1993); LAUX (1971a; 1971b; 1971c; 2002, Kapitel XII); MAGEE (1964a; 1964b); MOORE/THOMAS (1976, S. 53-73); RAIFFA

(1973, S. 22-58 und 157-171);

SCHLAIFER

(1969, S. 3-83).

TEIL E:

X. 1.

DIE BILDUNG EINES WAHRSCHEINLICHKEITSURTEILS

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten Problemstellung

In dieser Arbeit stehen Entscheidungsprinzipien und Entscheidungsmodelle für Risikosituationen im Vordergrund. Eine Entscheidungssituation bei Risiko liegt dann vor, wenn der Entscheider über ein Wahrscheinlichkeitsurteil bezüglich der maßgeblichen (ungewissen) Umweltzustände verfügt. Die Bildung eines solchen Wahrscheinlichkeitsurteils erweist sich dabei als ein zentraler Bestandteil der Analyse von Alternativen. Dabei stellt sich die Frage, ob der Entscheider seine Informationsbasis zur Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils erweitern soll. Mit diesem Problemkreis befaßt sich das nachfolgende Kapitel XL Unabhängig davon, ob zusätzliche Informationen beschafft werden oder nicht, ist das komplexe Problem zu lösen, wie Informationen in (subjektive) Wahrscheinlichkeiten transformiert werden sollen. Damit befaßt sich das vorliegende Kapitel. Zunächst wird in Abschnitt 2 die mögliche Unscharfe einer verbalen Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsvorstellungen erläutert. Es erweist sich daher als sinnvoll, diese Vorstellungen durch quantitative (subjektive) Wahrscheinlichkeiten auszudrücken. In Abschnitt 3 wird (insbesondere) gezeigt, wie Wahrscheinlichkeiten für alternative Zustände aufgrund direkt geschätzter (subjektiver) Wahrscheinlichkcitsrelationen für je zwei Zustände ermittelt werden können. Die direkte Schätzung von Wahrscheinlichkeiten bzw. von Wahrscheinlichkeitsrelationen setzt ein relativ großes Differenzierungsvermögen voraus. Daher sind indirekte Meßverfahren entwickelt worden, bei denen der Entscheider einfache und ihm vertraute Entscheidungsprobleme zu lösen hat, bei denen Wahrscheinlichkeiten nur implizit angesprochen werden. Aus den Lösungen werden dann Rückschlüsse auf die (zunächst verborgenen) subjektiven Wahrscheinlichkeiten gezogen. In den Abschnitten 4 und 5 werden indirekte Verfahren für zustandsunabhängige und zustandsabhängige Nutzenfunktionen dargestellt. Bei der Quantifizierung von Wahrscheinlichkeitsvorstellungen stellt sich immer wieder das Entscheidungsproblem, ob ein erzieltes Wahr-

314

Kapitel X

scheinlichkeitsurteil über die Zustände akzeptiert und damit eine der erwogenen Alternativen gewählt werden soll, oder ob weitere Überlegungen zur Bildung eines (noch) fundierteren Wahrscheinlichkeitsurteils angestellt werden sollen. Hiermit befaßt sich Abschnitt 7.

2.

Bedeutung der Quantifizierung von Wahrscheinlichkeitsvorstellungen

Glaubwürdigkeitsvorstellungen hinsichtlich ungewisser Ereignisse werden in der Realität - vor allem auch im Geschäftsleben - oft verbal ausgedrückt in Formulierungen wie "es ist sehr wahrscheinlich", "die Chancen stehen gut", "es ist möglich", "es ist zweifelhaft", "es ist kaum damit zu rechnen" oder "es ist äußerst unwahrscheinlich". Derartige Formulierungen sind jedoch im allgemeinen problematisch, weil Worte nur dann Inhalte und Vorstellungen eindeutig übermitteln, wenn Autor und Leser (oder Sprecher und Zuhörer) den jeweiligen Begriffen (hinreichend genau) dieselbe inhaltliche Bedeutung beimessen. Diese Voraussetzung ist aber gerade bei der verbalen Darstellung von Glaubwürdigkeitsvorstellungen in der Regel nicht erfüllt. Wie empirische Untersuchungen gezeigt haben, können sich die Wahrscheinlichkeitsvorstellungen, die durch dieselben verbalen Beschreibungen (wie etwa "es ist sehr unwahrscheinlich") dargestellt werden, von Person zu Person erheblich unterscheiden (MOORE/THOMAS, 1976, S. 132f.). Die Mehrdeutigkeit der verbalen Sprache läßt es sinnvoll erscheinen, die Glaubwürdigkeitsvorstellungen mit Hilfe einer quantitativen Sprache auszudrücken. Aus diesem Grund kommt dem formalen Wahrscheinlichkeitskonzept für die Beschreibung von Glaubwürdigkeitsvorstellungen und deren Berücksichtigung bei der Analyse von Entscheidungsproblemen eine besondere Bedeutung zu. Dies gilt nicht nur für den Fall, daß sich zwei oder mehr Personen im Rahmen eines EntScheidungsprozesses gegenseitig über Wahrscheinlichkeitsvorstellungen informieren, sondern auch dann, wenn ein einzelner Entscheider die Entscheidung allein trifft. Einerseits wird er dazu angeregt, sich kritisch mit seinem eigenen Wahrscheinlichkeitsurteil auseinanderzusetzen. Andererseits ist die Darstellung der Glaubwürdigkeitsvorstellungen durch (quantitative) Wahrscheinlichkeiten die formale Voraussetzung für die Anwendung der dargestellten Entscheidungsmodelle bei Risiko. Zwar fehlt im allgemeinen die Basis für die Ermittlung objektiver Wahrscheinlichkeiten. Der Entscheider hat jedoch in der Regel aufgrund seiner allgemeinen Erfahrung und/oder seiner speziellen Informationen über die konkrete Entscheidungssituation gewisse Glaubwürdigkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände. Werden diese Vorstellungen durch subjektive Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt, entsteht ei-

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

315

ne sinnvolle Basis für die Analyse von Wahlproblemen als Entscheidungsprobleme bei Risiko. Die subjektive Wahrscheinlichkeit, die ein Entscheider einem Ereignis (einem Zustand) zuordnet, kann als Glaubwürdigkeitsgrad interpretiert werden, mit dem der Entscheider den Eintritt dieses Ereignisses erwartet (je höher die Wahrscheinlichkeit, desto eher wird mit dem Eintreten des betreffenden Ereignisses gerechnet). Subjektive Wahrscheinlichkeiten können grundsätzlich auf zwei Arten gemessen werden. Bei den direkten Methoden (Abschnitt 3) wird der Entscheider explizit nach seinen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen gefragt (oder er "fragt" sich selbst danach). Bei indirekten Methoden (Abschnitt 4) wird versucht, diese Wahrscheinlichkeitsvorstellungen aus den Wahlakten des Entscheiders in bestimmten (realen oder hypothetischen) Entscheidungssituationen abzuleiten. Einige dieser Methoden sollen im folgenden dargestellt werden. Dabei werden nur Entscheidungssituationen betrachtet, bei denen die Anzahl der möglichen Zustände (der möglichen Ereignisse oder Ereigniskonstellationen) endlich ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind dann diskret.

3.

Direkte Methoden

Der einfachste Versuch, die Wahrscheinlichkeitsvorstellung des Entscheiders über einen Umweltzustand zu erkunden, besteht darin, ihn nach dieser zu befragen. Wenn er über Kenntnisse des Wahrscheinlichkeitskonzepts verfügt, kann er gegebenenfalls seine Vorstellung durch eine Glaubwürdigkeitsziffer zwischen 0 und 1 zum Ausdruck bringen. Eine direkte Befragung ist zwar einfach und schnell durchzuführen. Der befragte Entscheider kann aber nur dann seine Wahrscheinlichkeitsvorstellungen unmittelbar in kardinalen Größen ausdrücken, wenn er über ein relativ großes Differenzierungsvermögen verfügt. Vor allem bei einer größeren Zahl von Zuständen kann die direkte Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten Schwierigkeiten bereiten, weil der Entscheider im allgemeinen nicht in der Lage ist, in seinen Überlegungen simultan alle möglichen Zustände zu berücksichtigen. Es entsteht das Problem, wie die Zusammenhänge überschaubarer gemacht werden können. Eine Möglichkeit besteht darin, den Entscheider nach den Wahrscheinlichkeitsre/öi^/owew zwischen je zwei Zuständen zu fragen. Der Entscheider muß dann jeweils nur die relativen Chancen von zwei Zuständen abwägen. Nachdem die Wahrscheinlichkeitsrelationen fixiert sind, werden die absoluten Werte der subjektiven Wahrscheinlichkeiten derart berechnet, daß ihre Summe 1 ergibt. Eine derartige Berechnung läßt sich an folgendem Beispiel verdeutlichen. Dabei wird angenommen, die Zahl der möglichen Zustände sei drei. Nach gewissen Überlegungen kommt der Entscheider zu dem Urteil, der

316

Kapitel X

Zustand S^ sei dreimal so wahrscheinlich wie S2 und S2 zweimal so wahrscheinlich wie S3: (X.1)

Z ( S l l = 3, w(S2)

MS2)^2. w(S3)

Hieraus folgt in Verbindung mit der Normierungsvorschrift (X.2)

w(Si) + w(S2) + w(S3) = l

die Gleichung: (X.3)

w(Si) + f w ( S i ) + f w ( S i ) = l.

Demnach gilt: (X.4)

w(Si) = | , w(S2) = | , w(S3) = f

Nach diesem Konzept werden also zunächst Wahrscheinlichkeitsrelationen zwischen je zwei Zuständen fixiert und dann aus diesen Relationen die absoluten Werte der Wahrscheinlichkeiten abgeleitet. Bei den direkten Methoden besteht die Gefahr, daß der befragte Entscheider eine wenig durchdachte Aussage über seine subjektiven Wahrscheinlichkeiten (bzw. Wahrscheinlichkeitsrelationen) macht. Es kann dann sinnvoll sein, ihn zusätzlich mit weiteren Fragen zu konfrontieren, um seine Aussagen auf Konsistenz zu überprüfen. Angenommen, ein risikoneutraler Entscheider behauptet, er ordne dem Zustand Sj die Wahrscheinlichkeit 0,8 zu. Um die Konsistenz der Wahrscheinlichkeitsangabe zu überprüfen, kann der Entscheider gefragt werden, ob er bereit wäre, bei einer Lotterie teilzunehmen, die bei einem Einsatz von 40 € genau dann zu einem Gewinn von 50 € führt, wenn der Zustand Sj eintritt (wenn Sj nicht eintritt, verliert der Entscheider seinen Einsatz). Wenn der Entscheider diese Lotterie ablehnt, sollte er sein Wahrscheinlichkeitsurteil überdenken. Denn der Gewinnerwartungswert der Lotterie ist bei der genannten Wahrscheinlichkeit ebenso groß wie der geforderte Einsatz (0,8 • 50 = 40). Der Entscheider müßte seiner Risikoeinstellung entsprechend bereit sein, die Wette anzunehmen (zwar erzielt er dabei keinen Vorteil, es entsteht ihm aber auch kein Nachteil).

4. 4.1.

Indirekte Methoden Grundlagen

Direkte Methoden sind zwar einfach und schnell anzuwenden, sie setzen jedoch ein relativ großes Differenzierungsvermögen beim Befragten vor-

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

317

aus. Da solche Methoden viele Personen überfordem, sind indirekte Meßverfahren entwickelt worden. Vielen Personen fällt es leichter, einfache und vertraute Entscheidungsprobleme zu lösen, als Fragen nach der Höhe von Eintrittswahrscheinlichkeiten explizit zu beantworten. Die indirekten Methoden tragen diesem Sachverhalt Rechnung: Es wird versucht, die subjektiven Eintrittswahrscheinlichkeiten eines Individuums für die Zustände (allgemein: für bestimmte Ereignisse) aus seinen Wahlakten in bestimmten (möglichst einfach strukturierten) Entscheidungssituationen abzuleiten. Dabei wird unterstellt, der Entscheider bilde sich in diesen Situationen (wenn auch mehr oder weniger unbewußt) ein Wahrscheinlichkeitsurteil über die maßgeblichen Zustände und lege dieses seinen Entscheidungen zugrunde. Mit den indirekten Methoden ist insofern ein größerer Aufwand verbunden als mit den direkten, "als die Angaben der befragten Personen vom Befrager noch in kardinale Zahlenwerte transformiert werden müssen. Bei den indirekten Meßmethoden sinken also die Anforderungen an den zur Wahrscheinlichkeitsschätzung Befragten, dagegen steigen die Anforderungen an den Befrager und an die einzusetzenden Hilfsmittel" (PFOHL, 1977, S. 32). Die (hypothetischen) Entscheidungssituationen, die den indirekten Methoden zugrunde gelegt werden, sind i.d.R. als Spiel- bzw. Wettprobleme formuliert, bei denen in Abhängigkeit von den einzelnen Zuständen bestimmte Geldgewinne erzielt werden können. Die Entscheidungen eines Individuums in solchen Situationen hängen nicht nur von seinen zunächst noch verborgenen subjektiven Wahrscheinlichkeiten ab, sondern auch - von seinen subjektiven Nutzenvorstellungen bezüglich der möglichen Ergebnisse der jeweils erwogenen Alternativen und gegebenenfalls auch - von seiner Spielabneigung bzw. seiner Spielfreude. Für die Bestimmung der subjektiven Wahrscheinlichkeiten nach einer indirekten Methode ist deshalb die Gültigkeit eines Entscheidungsmodells zu unterstellen. Für die folgenden Überlegungen wird angenommen, der Entscheider orientiere sich am BERNOULLI-Prinzip, das u.a. das Fehlen von Spielfreude und Spielabneigung impliziert. (Vgl. hierzu die Ausführungen zum Reduktionsaxiom in Kapitel VI, Abschnitt 3.3.1.) Diese Annahme allein ist jedoch für die Bestimmung subjektiver Wahrscheinlichkeiten nach einem indirekten Meßverfahren noch zu schwach. Denn das BERNOULLIPrinzip macht keine Aussage über die Gestalt der Risikonutzenfunktion (RNF) des Entscheiders. Eine mit dem BERNOULLI-Prinzip in Einklang stehende Entscheidung kann sehr unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsvorstellungen implizieren, je nachdem, welche Gestalt die RNF aufweist. Deshalb müssen bei Anwendung eines indirekten Meßverfahrens die Nutzenwerte der maßgeblichen Gewinne bzw. Verluste bekannt sein. (Es ist in diesem Zusammenhang von Bedeutung, daß die RNF unabhängig von den Wahrscheinlichkeiten für die Zustände ermittelt werden kann.)

318

Kapitel X

Die Entscheidungsprobleme, die im Rahmen der indirekten Methoden dem Entscheider zur Lösung vorgelegt werden, sollen eine möglichst einfache Struktur haben. Bei komplexen Problemen besteht die Gefahr, daß der Entscheider eine Entscheidung trifft, die nicht im Einklang mit seinen "wahren" Wahrscheinlichkeits- und Nutzenvorstellungen steht (oder daß er sich überfordert fühlt und die Befragung ablehnt).

4.2.

Die äquivalente Urne

Die unbekannte Länge eines Gegenstandes läßt sich messen, indem sie mit bekannten Längen verglichen wird. Durch einen derartigen Vergleich können auch Glaubwürdigkeitsziffem geschätzt werden, wobei als Vergleichswerte objektive Wahrscheinlichkeiten dienen, etwa die Wahrscheinlichkeit dafür, daß aus einer mit Kugeln gefüllten Urne eine Kugel mit bestimmten Eigenschaften entnommen wird. Zur Messung der subjektiven Eintrittswahrscheinlichkeit w(Ss), die der Entscheider einem Zustand Sg (s=l,2,...,S) zuordnet, kann ihm z.B. (wenn auch nur hypothetisch) die Wahl zwischen den folgenden Alternativen angeboten werden: Alternative I: Der Entscheider erhält 1000 €, sofern der Zustand Sg eintritt. Wenn sich ein anderer Zustand einstellt, erhält er nichts. Alternative II: Er erhält die 1000 € genau dann, wenn er aus einer Urne mit 100 gut gemischten gleichgroßen Kugeln, die entweder rot oder blau sind, mit geschlossenen Augen eine rote Kugel entnimmt. Die Zahl X (0<X<100) der roten Kugeln in der Urne wird dem Entscheider bekanntgegeben. Beide Alternativen sind in der folgenden Abbildung einander gegenübergestellt: 1000 €

..,AO»0^^--<^ 1000 €

Abb. X.1: Zum Vergleich der Alternativen I und II Die objektive Wahrscheinlichkeit, aus der Urne eine rote Kugel zu entnehmen, beträgt X/100. Wenn der Entscheider bei einem bestimmten X-Wert die Alternative I vorzieht, muß in seinen Augen eine größere Chance bestehen, mit dieser Alternative die 1000 € zu gewinnen, als mit der Alternative IL Im Urteil des Entscheiders ist dann also die Eintrittswahrscheinlichkeit für den Zustand Sg größer als X/100 (w(Ss)>X/100). Wenn der Entscheider die Alternative II vorzieht, gilt w(Ss)<X/100. Sofern er zwischen den Al-

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

319

temativen I und II indifferent ist, verhält er sich so, als wäre die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn von 1000 bei beiden Alternativen gleich groß. Bezeichnet X* die Zahl der roten Kugeln, bei der Indifferenz besteht, so gilt (X.5)

w(Ss) = — .

X* kann empirisch z.B. in der Weise bestimmt werden, daß zunächst X = 50 zugrunde gelegt wird (die Wahrscheinlichkeit für die Entnahme einer roten Kugel beträgt 0,5). Der Entscheider wird nun gefragt, ob er zwischen den Alternativen I und II indifferent ist und wenn nicht, welche er vorzieht. Bei Indifferenz gilt X* = 50 und mithin w(Ss) = 0,5. Wenn der Entscheider die Alternative I vorzieht, wird die Zahl der roten Kugeln in der Urne sukzessive erhöht (und die der blauen entsprechend verringert). Der Entscheider wird jeweils gefragt, ob er immer noch die Alternative I vorzieht. Schließlich ergibt sich eine Mischung aus roten und blauen Kugeln, bei welcher der Entscheider hinsichtlich beider Alternativen indifferent ist. Zwar könnte der Entscheider Schwierigkeiten haben, zu präzisieren, ob etwa bei 77, 78, 82 oder 83 roten Kugeln die Alternativen I und II gleichwertig sind. Solche feinen Unterschiede sind jedoch häufig irrelevant. Das "kritische" Intervall zwischen 77 und 83 läßt sich durch den mittleren Wert 80 repräsentieren: Es wird dann davon ausgegangen, der Entscheider sei genau dann indifferent zwischen beiden Alternativen, wenn die Zahl der roten Kugeln gleich 80 ist. Es gilt dann w(Ss) = 0,8. Im Zuge der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit w(Ss) müssen keine Fragen gestellt werden, die komplexer sind als die Frage: "Ziehen Sie die Alternative I oder II vor, oder sind Sie zwischen beiden indifferent?" Aus den Antworten auf diese Fragen ergibt sich schließlich ein numerischer Wert für den Glaubwürdigkeitsgrad, mit dem der Zustand Sg erwartet wird. Das beschriebene Verfahren besticht durch seine Einfachheit. Es ist aber nur unter der folgenden Voraussetzung sinnvoll: Der Nutzen des Gewinnes von 1000 € ist unabhängig davon, ob der Zustand Sg eintritt oder nicht. Diese Voraussetzung ist aber in der Realität oft nicht erfüllt. Denn der Nutzen eines Geldgewinnes wird durch den Nutzen derjenigen Aktionen bestimmt, die damit realisiert werden können. Diese Aktionen können ihrerseits davon abhängen, ob der Zustand Sg eintritt oder nicht. Wenn der Nutzenwert des Geldgewinnes vom Zustand abhängt, ist es nicht sinnvoll, die subjektive Wahrscheinlichkeit w(Ss) gemäß Formel (X.5) zu bestimmen. Ist z.B. der Entscheider indifferent zwischen den Alternativen I und II, falls die Urne 80 rote Kugeln enthält, folgt nicht zwingend w(Ss) = 0,8, denn in der Bestimmungsgleichung (X.5) bleibt ja unberücksichtigt, daß der Nutzenwert des Gewinnes davon abhängt, in welchem Zustand er erzielt wird: Während bei der Alternative I die 1000 € genau

320

Kapitel X

dann gewonnen werden, wenn der Zustand Sg eintritt, wird bei der Alternative II dieser Gewinn möglicherweise auch bei Eintreten eines anderen Zustandes erzielt, in dem die 1000 € einen höheren oder niedrigeren Nutzen stiften als im Zustand Sg. Dieser Aspekt wird in Abschnitt 5 näher erläutert. 4.3.

Bewertung von Wetten

Ein anderes Konzept zur Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten besteht darin, aus dem Einsatz, den der Entscheider in bestimmten Wettsituationen jeweils höchstens zu zahlen bereit ist, auf sein Wahrscheinlichkeitsurteil hinsichtlich der Zustände zu schließen. Nach diesem Konzept wird die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Zustandes Sg auf folgende Weise bestimmt: 1. Dem Entscheider wird (wenn auch nur hypothetisch) eine Wette angeboten, bei der er genau dann 1000 € gewinnt, wenn der Zustand Sg eintritt. Er hat anzugeben, welchen Preis Pg* er höchstens für dieses Angebot zu zahlen bereit ist. 2. Unter Berücksichtigung der Risikoeinstellung des Entscheiders wird dann Pg* in die Wahrscheinlichkeit w(Sg) transformiert, die der Entscheider (implizit) dem Zustand Sg zuordnet. Die Bestimmung von w(Ss) ist relativ einfach, wenn die Risikonutzenfunktion des Entscheiders linear verläuft (wenn er sich also risikoneutral verhält). In diesem Fall muß Pg* mit dem Erwartungswert des Gewinns der Wette übereinstimmen: (X.6)

P;=w(S,)-1000 + [l-w(Ss)]-0.

Hieraus folgt: (X.7)

w(Sg) = - ^ . 1000

Ist der Entscheider nicht risikoneutral, gilt grundsätzlich p* p* w(SO < —^— (bei Risikofreude) oder w(SO > —^— (bei Risikoaversion). Wie kann dann Pg* in w(Sg) transformiert werden? Angenommen die Risikonutzenfunktion des Entscheiders habe folgende Gestalt:

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

321

Nutzenfunktion U(lOOO-Ps)

) + |U(-Ps

Vermögensänderung U(-Ps) Abb. X.2: Zur Messung der subjektiven Wahrscheinlichkeit w(Sg)

Diese Nutzenfunktion ordnet den alternativen Vermögensänderungen (Gewinnen bzw. Verlusten) die jeweiligen Nutzenwerte zu. Der Situation "keine Vermögensänderung" (repräsentiert durch den Abszissenwert null) entspricht ein Nutzenwert von nuU.l) Bei Teilnahme an der Wette entsteht entweder eine YQvmögQnseinbuße in Höhe des Einsatzes Pg oder ein VermögQnszuwachs in Höhe von lOOO-Pg. Bei dem Einsatz ?§*, den der Entscheider höchstens zu zahlen bereit ist, muß der Erwartungswert des Nutzens aus der Wette mit dem Nutzenwert bei Verzicht auf die Wette (d.h. also mit null) übereinstimmen. Es gilt demnach: (X.8)

w(Ss)-U(1000-P;) + [l-w(Ss)])-U(-P;)=U(0) = 0.

Hieraus folgt nach Umformung: (X.9)

w(S3) = -

-u(-p;)

u(iooo-p;)-u(-p;)

Wegen U(-Ps*)<0 gilt -U(-Ps*)>0. Mit X.9 gilt demnach auch:

1)

Da die Nutzenflmktion nur bis auf eine positiv lineare Transformation eindeutig bestimmt ist, kann sie stets so dargestellt werden, daß sie durch den Nullpunkt des Koordinatensystems verläuft.

322

Kapitel X

(X.9a)

u(-p;) Wl

(Ss)^

U(1000-Ps*) + U(-Ps*)

Dabei bezeichnet U(-Ps*) den Betrag von U(-Ps*)<0. Die Größe Pg* wird vom Entscheider festgelegt. Werden die Beträge -Pg* und lOOO-Pg* im Schaubild der Nutzenfunktion abgetragen (vgl. Abbildung X.2), so erhält man die Zahlenwerte, die in Zähler und Nenner auf der rechten Seite von (X.9) bzw. (X.9a) einzusetzen sind. Damit kann w(Ss) eindeutig bestimmt werden. (Im Beispiel der Abbildung X.2 gilt w(Ss)« 1/5.) Das beschriebene (Wett-) Konzept ist nur unter der Voraussetzung anwendbar, daß die Nutzenwerte der maßgeblichen (Geld-) Gewinne bzw. Verluste vom eintretenden Zustand unabhängig sind.

*5. Zur Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten bei zustandsabhängigen Nutzenfunktionen 5.1.

Die äquivalente Urne

5.7.7. Die Problematik des Konzepts bei zustandsabhängigen funktionen

Nutzen-

Wenn der Nutzenwert des Gewinns vom eintretenden Zustand abhängt, ist es nicht sinnvoll, die subjektive Wahrscheinlichkeit w(Ss) nach der Bestimmungsgleichung (X.5) zu ermitteln: Während bei der Alternative I die 1000 € genau dann gewonnen werden, wenn der Zustand Sg eintritt, wird bei der Alternative II dieser Gewinn möglicherweise auch bei Eintreten eines anderen Zustandes erzielt, in dem die 1000 € einen höheren oder niedrigeren Nutzen erbringen als im Zustand Sg. Dieser Aspekt bleibt in (X.5) unberücksichtigt. Die Problematik der Bestimmungsgleichung (X.5) bei zustandsabhängigen Nutzenfunktionen soll im folgenden näher verdeutlicht werden. Der Einfachheit halber wird davon ausgegangen, es seien nur zwei Zustände (Sj und S2) möglich. Jedem dieser Zustände entspricht eine besondere Nutzenfunktion für Geldgewinne, wobei die dem Zustand Sg (s = l,2) entsprechende Nutzenfunktion mit Us=Us(G) bezeichnet wird. Folgende Nutzenwerte seien ermittelt worden:

(X.IO)

Ui(lOOO)

^U(1000,Si)

Ui(0)

^U(0,Si)

= 1, = 0,1,

U2(1000)

^U(1000,S2)

= 0,4,

U2(0)

^U(0,S2)

= 0.

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

323

Ui(lOOO) bezeichnet z.B. den Nutzenwert des Gewinnes von 1000 € für den Fall, daß der Zustand Sj eintritt; U2(0) kennzeichnet den Nutzenwert für den Fall, daß kein Gewinn erzielt wird und sich außerdem der Zustand S2 einstellt.2) Angenommen der Entscheider sei indifferent zwischen den in Abbildung X.l dargestellten Alternativen I und II, wenn die Urne 80 rote Kugeln enthält (d.h. also mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 eine rote Kugel entnommen wird). Aus Gleichung (X.5) folgt dann w(Si) = 0,8. Die subjektive Wahrscheinlichkeit, die der Entscheider tatsächlich dem Zustand S^ zuordnet, ist jedoch niedriger als 0,8. Da seine Nutzenfunktion zustandsabhängig ist, impliziert seine Indifferenz zwischen Alternative I und Alternative II die Äquivalenz der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen (wobei zunächst noch offen ist, wie hoch die Wahrscheinlichkeiten w(Si) und w(S2) sind): 1000,Si 1000,Si

r\j

Alternative I

Alternative II

Abb. X.3: Äquivalente Altemativen Da bei der Alternative I die 1000 € genau dann gewonnen werden, wenn der Zustand S] eintritt, ist bei dieser Alternative die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (1000,Si) ebenso hoch wie die Wahrscheinlichkeit w(Si) für den Zustand Sj. Analog ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (0,82) 2)

Zur Interpretation der in (X. 10) aufgeführten Nutzenwerte kann man sich etwa vorstellen, Sj (bzw. S2) repräsentiere den Zustand "die Sonne scheint" (bzw. "die Sonne scheint nicht"). Der Entscheider hat die Präferenzordnung: /^Gewinn von 1000,^ T Gewinn von 1000, ^ /^ kein Gewinn, ^ ( kein Gewinn, ^ 1^ Sonne scheint J l^Sonne scheint nicht J l^Sonne scheint J l^Sonne scheint nicht J oder kurz: (1000,Si):^(1000,S2)>-(0,Si)>-(0,S2). 11(1000,82) = 0,4 besagt, daß der Entscheider indifferent ist zwischen der sicheren Situation (1000,82) ^^^ ^^^^^ Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 die beste Situation (1000,S|) eintritt und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 0,6 die schlechteste Situation (0,82). Analog ist 11(0,82) "^ ^'^ ^^ interpretieren.

324

Kapitel X

gleich w(S2). Die Ergebnisse (1000,82) ^^^ (0,81) können bei der Alternative I nicht eintreten. Ihr entspricht also die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Ergebnisse: w(1000,Si) w(1000,82) w(0,8i) w(0,82)

= = = =

w(8i), 0, 0, w(S2).

Bei der Alternative II dagegen hat jedes der Ergebnisse (1000,Sj), (1000,82), (0,81), (0,82) eine positive Eintrittswahrscheinlichkeit: Der Gewinn von 1000 wird genau dann erzielt, wenn eine rote Kugel entnommen wird; die Wahrscheinlichkeit hierfür ist 0,8. Der Zustand S\ tritt mit der Wahrscheinlichkeit w(8i) ein und der Zustand 82 mit der Wahrscheinlichkeit w(82). Da der eintretende Zustand von der Farbe der entnommenen Kugel unabhängig ist, gilt: w(1000,8i) w(1000,82) w(0,8i) w(0,82)

= = = =

0,8-w(8i) 0,8-w(82) 0,2-w(8i) 0,2-w(82).

Da der Entscheider zwischen den Alternativen I und II indifferent ist, müssen deren Nutzenerwartungswerte übereinstimmen: ( X . l l ) w(8i)-Ui(1000)+w(82)-U2(0) = 0,8-w(8i)-Ui(1000) + 0,8.w(S2)-U2(1000) + 0,2.w(8i)-Ui(0)

+0,2.w(82)-U2(0).

Hieraus folgt in Verbindung mit (X.IO): (X.12) w ( 8 i ) - l + w ( 8 2 ) - 0 =

0,8-w(8i)-l

+0,8-w(82)-0,4

+ 0,2-w(8i)-0,l+0,2-w(82)-0. Wegen w(82) = 1 - w ( 8 i ) gilt dann (X.13) w(8i)• 1 =0,8• w(8i)-1+ 0,8 • [ l - w ( 8 i ) ] - 0 , 4 + 0,2•w(8i)-0,1. Hieraus folgt: (X.14) w(8i) = - ^ = 0,64

(und mithin w(82) = 0,36).

Die Eintrittswahrscheinlichkeit für den Zustand 8^ ist also kleiner als die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei der äquivalenten Urne die rote Kugel gezogen wird (w(8i)<0,8). Dieses Ergebnis ist plausibel: Der Gewinn von 1000 € stiftet annahmegemäß im Zustand 8^ einen höheren Nutzen als im

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

325

Zustand 82- Nun wird aber bei der Alternative I genau dann der Gewinn von 1000 € erzielt, wenn der Zustand Sj eintritt. Bei der Alternative II hingegen wird dann der Gewinn erzielt, wenn eine rote Kugel gezogen wird; dieses Ereignis kann auch dann eintreten, wenn sich der Zustand S2 einstellt und mithin dem Gewinn ein niedriger Nutzenwert (nämlich 0,4 statt 1) entspricht. Der Entscheider ist somit nur dann indifferent zwischen beiden Alternativen, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Alternative II höher ist als bei Alternative I, wenn also die Wahrscheinlichkeit für die Entnahme einer roten Kugel größer ist als w(Si) (0,8 >w(Si) = 0,64). 5.1.2. Grenzen einer Modifikation des Konzepts Die Darstellungen im vorhergehenden Abschnitt verdeutlichen die Problematik der Bestimmungsgleichung (X.5) für Entscheidungssituationen, bei denen der Nutzenwert des Geldvermögens vom eintretenden Zustand abhängt. Für den Fall zweier möglicher Zustände wurde gezeigt, wie das Konzept der äquivalenten Urne in geeigneter Weise modifiziert werden kann. Das entwickelte Konzept kann in formaler Hinsicht auf eine beliebige (endliche) Zahl möglicher Zustände erweitert werden. Bei einer größeren Zahl von Zuständen ist das Konzept jedoch kaum sinnvoll anzuwenden. Zum einen entsteht ein großer Rechenaufwand, zum anderen kann und dies ist der bedeutend wichtigere Aspekt - bei einer größeren Zahl von Zuständen kaum erwartet werden, daß der Entscheider die notwendigen Vergleiche in konsistenter Weise vornehmen kann: Er müßte für jeden Zustand Ss (s = l,2,...,S-l) angeben, bei welcher Zahl von roten Kugeln in der Urne er jeweils indifferent ist zwischen den Alternativen I und II in Abbildung X.l.^) Dabei geht es jedoch nicht nur um ein einfaches Abwägen der beiden Ergebnisse "Gewinn von 1000" und "kein Gewinn". Wenn der Nutzen des Geldgewinnes vom Zustand abhängt, sind beim Alternativenvergleich die Zustände explizit zu berücksichtigen, in denen die Gewinne jeweils zur Verfügung stehen. Um diesem Sachverhalt Rechnung zu tragen, ist die Darstellung der möglichen Ergebnisse der Alternativen I und II in Abbildung X.l wie folgt zu präzisieren:

3)

Wegen w(Ss) = l-w(Sl)-w(S2)-...-w(SS-l) erübrigt sich diese Angabe für den Zustand Ss.

326

Kapitel X

0,Si

rote y^ KugelX>^

0,82

^

1000,Si

^ 0

1000,82

-0

1000,83

X)

1000,8s

X

100/ 0,Ss_i 1000,Ss

\

yo

100

0,81

0,Ss^.i 0,82 0,83

blaue Kugel

0,8c

0,8c

Alternative I

Alternative II

Abb. X.4: Zum Vergleich der Altemativen I und II

Es wird deutlich, daß für den Vergleich der Altemativen I und II sehr viel mehr mögliche Ergebnisse relevant sind, während die Abbildung X.l den Eindruck erweckt, für beide Altemativen seien nur zwei Ergebnisse zu unterscheiden (nämlich "Gewinn von 1000" und "kein Gewinn"). Zwar entspricht den Ergebnissen (1000,Si), (1000,S2), (1000,83),..., (1000,Ss) Jeweils derselbe Gewinn. Trotzdem dürfen diese Ergebnisse nicht als gleichwertig angesehen werden, sofern der Nutzen des Gewinns vom Zustand abhängt. Während bei der Altemative I der Gewinn genau dann erzielt wird, wenn der Zustand Sg eintritt, werden bei Altemative II die 1000 € möglicherweise auch bei Eintreten eines anderen Zustandes gewonnen, in dem die Geldeinheiten einen höheren oder niedrigeren Nutzen erbringen als im Zustand Sg. Die Problematik einer Vernachlässigung dieses Sachverhaltes wird besonders deutlich, wenn angenommen wird, der Entscheider würde mit dem Gewinn Einheiten eines bestimmten Gutes erwerben, dessen Preis vom Zustand abhängt. Jedem Ergebnis entspricht dann eine andere Anzahl von Einheiten dieses Gutes. Entsprechend viele Ergebnisse sind beim Vergleich der beiden Altemativen gegeneinander abzuwägen.^) 4)

8ind die Wahrscheinlichkeiten w(8|), w(82),..., w(8s) bekannt, kann für jede Altemative in Abb. X.4 der Nutzenerwartimgswert bestimmt werden. Die Altemative mit dem höheren Nutzenerwartungswert wird vorgezogen. Der Vergleich der beiden Altemativen ist

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

5.2.

327

Bewertung von Wetten

Ist der Nutzenwert des Geldvermögens vom Zustand abhängig, so ergeben sich bei dem Konzept der Bewertung von Wetten ähnliche Probleme wie bei der Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe äquivalenter Urnen. Zwar kann auch das Konzept der Bewertung von Wetten in formaler Hinsicht für den Fall zustandsabhängiger Nutzenfunktionen erweitert werden. Bei einer größeren Zahl möglicher Zustände ist das (erweiterte) Konzept aber kaum sinnvoll anzuwenden: Zum einen verursacht dann die Transformation der Größen Pg in die Wahrscheinlichkeiten w(Ss) (s=l,2,...,S) einen erheblichen Aufwand.^) Zum anderen kann - und dies ist wieder der wichtigere Aspekt - bei einer größeren Zahl von Zuständen kaum erwartet werden, daß der Entscheider die maßgeblichen Bewertungen in konsistenter Weise vornehmen kann: Er muß für jeden Zustand Sg (s=l,2,...,S-l) angeben, welchen Preis Pg er höchstens für eine Wette zu zahlen bereit ist, bei der er genau dann (z.B.) 1000 € gewinnt, wenn der betreffende Zustand eintritt. Der Entscheider muß sich also jeweils ein Urteil darüber bilden können, ob die Wette bei irgendeinem Preis Pg für ihn vorteilhaft oder nachteilig ist oder ob er indifferent ist zwischen Annahme und Ablehnung der Wette. Dabei geht es aber nicht um ein einfaches Abwägen der beiden Ergebnisse "Gewinn von 1000" (und damit einem Vermögenszuwachs von 1000-Pg) und "kein Gewinn" (und damit einer Vermögenseinbuße von Pg). Wenn der Nutzenwert des Geldvermögens vom Zustand abhängt, müssen explizit auch die Zustände berücksichtigt werden, in denen die jeweiligen Vermögensänderungen eintreten. Es geht also um den Vergleich der folgenden Alternativen:

also bei bekannten Wahrscheinlichkeiten für die Zustände relativ einfach. Nun sollen aber gerade diese Wahrscheinlichkeiten gemessen werden. Daher kann der Vergleich nicht explizit nach dem BERNOULLI-Prinzip erfolgen: Die Ergebnisse müssen gegeneinander abgewogen werden, ohne daß Wahrscheinlichkeiten explizit zugrunde gelegt werden. 5)

Bei zustandsabhängigen Nutzenfunktionen können die den Beträgen P^, P 2 v j Ps ^^^' sprechenden Wahrscheinlichkeiten w(Sj), w(S2)v, w(S3) nicht isoliert voneinander bestimmt werden, sondern nur im Rahmen eines Gleichungssystems, in dem alle möglichen Zustände gleichzeitig erfaßt werden.

328

Kapitel X -Ps,Si

0,Si

-Ps,S2

0,S2

-Ps,Ss-i (1000-Ps),Ss

0,Ss 0,Ss+i

0,Sc

-PSJSQ

Alternative I: Teilnahme an der Wette beim Preis Ps

Alternative II: keine Wette, keine Vermögensänderung

Abb. X.5: Zur Bewertung von Wetten Die Abbildung X.5 verdeutlicht, daß bei der Bewertung einer Wette (auf den Zustand Sg) möglicherweise sehr viele mögliche Ergebnisse gegeneinander abgewogen werden müssen. Zwar führt die Teilnahme an der Wette in den Zuständen Sj,82,.••»Ss.i,Ss+2vjSs jeweils zu derselben Vermögenseinbuße (in Höhe von Pg). Trotzdem dürfen die Ergebnisse (-Ps'Si),

•. •

, (-Ps'Ss-i)? (-Ps'Ss+i)?

• • • ? (-Ps'Ss)

nicht als gleichwertig angesehen und von vornherein zu einem Ergebnis zusammengefaßt werden, sofern die Konsequenzen dieser Vermögensminderung vom Zustand abhängen. In LAUX (1993, S. 42-62) wird gezeigt wie bei zustandsabhängigen Nutzenfunktionen subjektive Wahrscheinlichkeiten aufgrund relativ einfacher (hypothetischer) Entscheidungsprobleme gemessen werden können.

6.

Die Akzeptanz subjektiver Wahrscheinlichkeitswerte als Entscheidungsproblem

6.1. Die Problematik Wesentlicher Bestimmungsfaktor für die subjektiven Wahrscheinlichkeiten eines Entscheiders ist der Informationsstand, über den er verfügt. Ein be-

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

329

reits ermitteltes subjektives Wahrscheinlichkeitsurteil kann i.a. dadurch "verbessert" werden, daß weitere Informationen eingeholt und im Licht des dabei erzielten "Informationsergebnisses" die Wahrscheinlichkeitsvorstellungen revidiert werden. Mit diesem Problemkreis befaßt sich Kapitel XL Ein anderes Problem entsteht daraus, daß die Messung derjenigen subjektiven Wahrscheinlichkeiten, die dem bereits vorliegenden Informationsstand entsprechen, einen mehr oder weniger großen Planungsaufwand verursacht. Dieser resultiert nicht allein daraus, daß die Angaben des Entscheiders (z.B. über Indifferenzgewinne oder Höchstpreise für Wetten) in kardinale Wahrscheinlichkeitswerte überführt werden müssen. Der größere Aufwand entsteht in der Regel bei der Lösung der jeweiligen (hypothetischen) Entscheidungsprobleme. Hierzu sind u.a. die (jeweils gegebenen) Informationen gegeneinander abzuwägen, die für bzw. gegen das Eintreten der einzelnen Zustände sprechen. Ein Teil der Informationen, die der Entscheider früher einmal aufgenommen hat, sind jedoch im Unterbewußtsein verborgen. Der Entscheider muß sich dieser Informationen erst wieder bewußt werden. Darüber hinaus muß er sich Gedanken darüber machen, welche Schlüsse er aus den Informationen ziehen soll. Die indirekten Methoden liefern zwar gewisse Orientierungshilfen für die Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten. Sie lassen jedoch offen, mit welcher "Intensität" man sich mit den jeweiligen (hypothetischen) Spiel- bzw. Wettsituationen befassen soll. Um den Planungsaufwand in "akzeptablen" Grenzen zu halten, wird die Wahrscheinlichkeitsmessung im allgemeinen im Rahmen vereinfachter Überlegungen vorgenommen. Dann können sich jedoch Zweifel hinsichtlich der Akzeptanz der geschätzten Wahrscheinlichkeiten ergeben. Bei sorgfältigerem Abwägen würde der Entscheider vielleicht zu einem anderen Wahrscheinlichkeitsurteil kommen und eine andere Handlungsaltemative wählen. Solche Zweifel sind vor allem bei recht grober Schätzung der Wahrscheinlichkeiten zu erwarten. Aber auch bei sehr fundierter Wahrscheinlichkeitsanalyse können noch gewisse Zweifel bestehen. Der Entscheider mag befürchten, daß er bei noch sorgfältigerer Analyse (oder bei anderer Gemütslage) doch noch zu einem anderen Wahrscheinlichkeitsurteil gelangen würde. Nun ist aber die Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten kein Selbstzweck. Sie dient (wenn von Aspekten wie "Neugierde" und "Vorfreude" abgesehen wird) allein dazu, eine "gute" Alternative zu wählen. Aktivitäten zur Verbesserung des Wahrscheinlichkeitsurteils können nur dann vorteilhaft sein, wenn sie möglicherweise zu dem Ergebnis führen, daß die Alternative, die man sonst gewählt hätte, nachteilig ist. Unter Berücksichtigung dieses Aspekts soll im folgenden untersucht werden, unter welchen Bedingungen es vorteilhaft sein kann, ein gegebenes Wahrscheinlichkeitsurteil über die Zustände in Zweifel zu ziehen und dieses Urteil zu überprüfen.

330

6.2.

Kapitel X

Präzisierung der Entscheidungssituation

Ausgangspunkt der Überlegungen ist folgende Entscheidungssituation: 1. Der Entscheider hat sich bereits (in mehr oder weniger grober Weise) ein Wahrscheinlichkeitsurteil über die Zustände gebildet. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten werden mit wl(Si),wl(S2)vjwl(Ss) bezeichnet. 2. Der Entscheider erwägt eine Überprüfung und gegebenenfalls eine Revision seines bisherigen Wahrscheinlichkeitsurteils. Die Wahrscheinlichkeiten, die er anschließend den Zuständen zuordnet, werden mit w2(Si), w2(S2)v,w2(Ss) bezeichnet. 3. Die Wahrscheinlichkeiten w2(Si),w^(S2)v5w2(Ss) können (sie müssen aber nicht) von den Wahrscheinlichkeiten w^(Si),wl(S2)vjWl(Ss) abweichen. Die Wahrscheinlichkeiten w2(Si),w2(S2)v>w2(Ss) sind natürlich dem Entscheider im voraus nicht mit Sicherheit bekannt (sonst könnte er gleich diese Wahrscheinlichkeiten zugrunde legen). 4. Der Entscheider kann sich ein Urteil darüber bilden, welche Werte die einzelnen Wahrscheinlichkeiten w2(Si),w^(S2)v?w2(Ss) annehmen können. Darüber hinaus ist er jedoch nicht in der Lage, diesen möglichen Werten präzisere (subjektive) Eintrittswahrscheinlichkeiten zuzuordnen.^) 5. Wenn der Entscheider sein Wahrscheinlichkeitsurteil nicht überprüft, wählt er diejenige Alternative, die bei den Wahrscheinlichkeiten w^(Si), wl(S2)v,wl(Ss) den höchsten Nutzenerwartungswert aufweist. Nach Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils entscheidet er aufgrund der Wahrscheinlichkeiten w2(Si),w2(S2)v,w2(Ss). 6. Die Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils ist mit Kosten verbunden. Das Problem, ob ein gegebenes Wahrscheinlichkeitsurteil überprüft und gegebenenfalls revidiert werden soll, stellt ein Entscheidungsproblem dar, für dessen Lösung ein Abwägen von "Nutzen" und Kosten der Überprüfung erforderlich ist. Eine Lösung dieses Problems wird hier nicht angestrebt.

6)

Die Annahme, der Entscheider könne den möglichen Ausprägungen der subjektiven Wahrscheinlichkeiten w^(S|), w^(S2), ..., w^(S5) ihrerseits subjektive Wahrscheinlichkeiten zuordnen, wäre nicht sinnvoll. Es geht ja gerade um das Problem, daß er Zweifel hinsichtlich der Akzeptanz subjektiver Wahrscheinlichkeiten hegt und erwägt, diese zu überprüfen. Mit der Einführung subjektiver Wahrscheinlichkeiten für die Ausprägungen der subjektiven Wahrscheinlichkeiten w^(S|), w^(S2), ..., w2(S3) würde dieses Problem nicht gelöst, sondern auf eine andere Ebene verlagert. Es können sich dann Zweifel ergeben, ob die zusätzlich eingeführten subjektiven Wahrscheinlichkeiten akzeptiert werden dürfen oder nicht.

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

6.3.

331

Allgemeine Bemerkungen

Sind die Abweichungen zwischen den Wahrscheinlichkeiten w2(Si), w2(S2)v,w2(Ss) einerseits und den Wahrscheinlichkeiten wl(Si), wl(S2),.-.,wl(Ss) andererseits gering, so ist der Nutzenerwartungswert der Alternative Aa(a=l,2,...,A) bei beiden Wahrscheinlichkeitsurteilen annähernd gleich; es ergibt sich dann ein relativ geringer Nachteil, wenn auf die Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils verzichtet und die Alternative gewählt wird, die im Licht des Wahrscheinlichkeitsurteils wl(Si), wl(S2),.--,wl(Ss) optimal ist. Wenn also der Entscheider damit rechnet, daß eine Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils allenfalls zu einer geringfügigen Revision führen wird, liegt die Vermutung nahe, daß sie nachteilig ist. Nur bei relativ großen Unterschieden zwischen den Wahrscheinlichkeiten w2(S2),w2(S2)v?w2(Ss) und wl(Si),wl(S2)v,wl(Ss) kann sich ein wesentlicher Nachteil ergeben, wenn auf die Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils verzichtet wird. Wenn jedoch bei dem ersten Wahrscheinlichkeitsurteil der maximale Nutzenerwartungswert relativ weit über den übrigen Nutzenerwartungswerten liegt, kann selbst bei starker Revision des Wahrscheinlichkeitsurteils dieselbe Handlungsalternative als optimal erscheinen wie zuvor. Im folgenden sollen einige Zusammenhänge für den Fall zweier Zustände näher analysiert werden.

6.4.

Analyse für zw^ei Zustände

6.4,1. Zwei Alternativen 6.4.1.1. Die Abhängigkeit der Nutzenerwartungswerte Wahrscheinlichkeitsurteil

vom

Zunächst wird angenommen, nur zwei Alternativen stünden zur Auswahl (A = 2). Das Entscheidungsproblem kann dann (bei zustandswwabhängiger Nutzenfunktion) durch eine Entscheidungsmatrix des folgenden Typs charakterisiert werden: w(Si)

w(S2)

S,

S2

Al

U(Ei,) = U „

U(E|2) = U,2

A2

U(E2,) = U2,

U(E22) = U22

Matrix X.1: Entscheidungsmatrix bei zwei Alternativen und zwei möglichen Zuständen

332

Kapitel X

Es gelte: Un
Ui2>U22,

U22
U2i>Un.

Die Ei(U)-Kurve in Abbildung X.6 bringt zum Ausdruck, wie der Nutzenerwartungswert Ei(U) der Alternative Aj von w(S2) abhängt ( w ( S i ) = l w(S2)). Die analoge Beziehung für A2 wird durch die E2(U)-Kurve dargestellt. Für w(S2) = w*(S2) gilt Ei(U) = E2(U); beide Alternativen Aj und A2 sind dann gleichwertig. Für w(S2)<w*(S2) gilt Ei(U)<E2(U); die Alternative A2 wird Aj vorgezogen. Für w(S2)>w*(S2) gilt die umgekehrte Beziehung. Ei(U). E2(U)

/

E2(U)-Kurve (Alternative A2)

U2i^ v^ > U i 2

^'^^^^.^^

t

-U22

Uii\ ^ El ( U ) - K u r v e (Alternative A^)

0

w * ( S2)

w (S2)

l

w(S

Abb. X.6: Zur Abhängigkeit des maximalen Nutzenerwartungswertes von w(S2) (zwei Alternativen) Der Streckenzug ABC bringt zum Ausdruck, wie der maximale Nutzenerwartungswert von w(S2) abhängt. Aufbauend auf Abbildung X.6 wird nun untersucht, - welche (notwendige) Bedingung erfüllt sein muß, damit eine Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils vorteilhaft sein kann, bzw. - unter welchen (hinreichenden) Bedingungen eine derartige Überprüfung nachteilig ist. Dabei steht der Fall wl(S2)<w*(S2) im Vordergrund. Der Fall wHS2)> w*(S2) kann analog untersucht werden.

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

333

6.4.1.2. Notwendige Bedingung dafür, daß eine Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils vorteilhaft ist Im Fall w^S2)<w*(S2) erweist sich bei Zugrundelegung der Wahrscheinlichkeit wl(S2) für den Zustand S2 die Alternative A2 als optimal. Diese Alternative ist auch im Licht der Wahrscheinlichkeit w2(S2) optimal, sofern auch w2(S2)^w*(S2) gilt. Durch die Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils wird dann also "bestätigt", daß die Alternative A2 einen maximalen Nutzenerwartungswert aufweist. Ergibt die Überprüfung w2(S2)>w*(S2), so wird statt A2 die Alternative A^ gewählt. Damit steigt zugleich der Nutzenerwartungswert. Wenn z.B. w2(S2) den in Abbildung X.3 dargestellten Wert aufweist, steigt der Erwartungswert des Nutzens um A. Um diesen Betrag ist im Licht der Wahrscheinlichkeit w2(S2) der Nutzenerwartungswert von A^ höher als der von Alternative A2 (die bei Verzicht auf Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils gewählt wird). Je weiter w2(S2) über w*(S2) liegt und je stärker sich die Steigungen der Ei(U)- und der E2(U)-Kurve unterscheiden, desto größer ist die Differenz A. Die Überprüfung des bisherigen Wahrscheinlichkeitsurteils kann nur unter der (notwendigen) Bedingung vorteilhaft sein, daß der Entscheider damit rechnet, daß w2(S2) möglicherweise über w*(S2) liegt. Je weiter w2(S2) über w*(S2) liegen kann, desto eher ist zu erwarten, daß eine Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils vorteilhaft ist. 6.4.1.3. Hinreichende Bedingung dafür, daß eine Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils nachteilig ist Wenn der Entscheider (im Fall wl(S2)<w*(S2)) damit rechnet, daß w2(S2) in keinem Fall größer ist als w*(S2), ist eine Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils nachteilig. Zum einen würde sie Kosten verursachen, zum anderen könnte sie nur bestätigen, daß die Alternative A2 (die bei Verzicht auf Überprüfung gewählt wird) vorteilhaft ist. Je niedriger wl(S2) ist, desto weiter kann w2(S2) über wl(S2) liegen, ohne daß die kritische Grenze w*(S2) überschritten wird. Mit anderen Worten: Je niedriger wl(S2) ist, desto größer muß der bei Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils aufgedeckte "Schätzfehler" sein, damit überhaupt die Auswahl der Alternative beeinflußt wird. Dementsprechend gilt folgende Tendenz: Je niedriger die Wahrscheinlichkeit ist, die der Entscheider bereits dem Zustand S2 zugeordnet hat, desto eher ist zu erwarten, daß eine Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils keinen Vorteil (sondern nur einen Nachteil in Gestalt von Kosten) mit sich bringt. Liegt wl(S2) nahe bei w*(S2), kann nach Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils auch schon dann die Alternative A^ (statt A2) als optimal erscheinen, wenn w2(S2) nur wenig über w^(S2) liegt.

334

Kapitel X

Die Darstellungen gelten analog für den Fall wl(S2)>w*(S2). In diesem Fall erscheint bei Zugrundelegung der Wahrscheinlichkeit wl(S2) die Alternative A | als optimal. Die Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils kann hier nur dann vorteilhaft sein, wenn w2(S2) möglicherweise kleiner ist als w*(S2). Je näher die Wahrscheinlichkeit w^(S2) bei 1 liegt, desto weiter kann w2(S2) unter wl(S2) liegen, ohne daß w2(S2) die kritische Grenze w*(S2) unterschreitet, und desto eher ist demnach zu erwarten, daß die Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils keinen Vorteil mit sich bringt. Allgemein gilt also: Je weiter wl(S2) von w*(S2) abweicht, je stärker also bereits die Vermutung ist, daß der Zustand Sj bzw. S2 eintritt, desto eher ist damit zu rechnen, daß eine Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils nachteilig ist. *6.4.2,Mehr als zwei

Alternativen

Sind außer den Alternativen A^ und A2 noch weitere Alternativen gegeben, so hat dieser Sachverhalt keinen Einfluß auf das Ergebnis der vorhergehenden Analyse, wenn die E(U)-Kurven der anderen Alternativen den Strekkenzug ABC nicht schneiden. Dies ist z.B. in der Abbildung X.7 der Fall.

W*(S2)

W(S2)

Abb. X.7: Zur Abhängigkeit des maximalen Nutzenerwartungswertes von w(S2) (mehr als zwei Alternativen) Für die Analyse von Schätzfehlem müssen wieder nur die Alternativen A^ und A2 betrachtet werden, denn es existiert keine Wahrscheinlichkeit w(S2) ( 0 < w ( S 2 ) ^ l ) , bei der eine der anderen Alternativen einen höheren Nutzenerwartungswert aufweist als A^ bzw. A2. Anders ist die Situation, wenn die E(U)-Kurven z.B. wie in Abbildung X.8 verlaufen:

Messung subjektiver Wahrscheinlichkeiten

335

w(S2)

Abb. X.8: Zur Abhängigkeit des maximalen Nutzenerwartungswertes von w(S2) (mehr als zwei Altemativen) Jetzt gibt der Streckenzug ABCDEF an, wie der maximale Nutzenerwartungswert von w(S2) abhängt. Die Intervalle für w(S2), in denen jeweils dieselbe Alternative den maximalen Nutzenerwartungswert aufweist, sind nun kleiner als in Abbildung X.6 bzw. X.7. Gilt z.B. w*(S2)<wl(S2)<w**(S2), so erweist sich im Licht der Wahrscheinlichkeit w^(S2) die Alternative A2 als optimal. Ist der Entscheider davon überzeugt, daß die Wahrscheinlichkeit w2(S2) mit Sicherheit innerhalb des Intervalls [w*(S2),w**(S2)] liegt, ist die Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils nachteilig. Die Entscheidung ist mit der Wahrscheinlichkeit wl(S2) bereits gut fundiert. Die Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils kann nur dann vorteilhaft sein, wenn w2(S2) möglicherweise größer ist als w**(S2) oder kleiner ist als w*(S2). Führt die Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils zu dem Ergebnis w2(S2)>w**(S2)

bzw.

w2(S2)<w*(S2),

336

Kapitel X

erweist sich die Alternative A2 als nachteilig. Wird die Alternative mit dem maximalen Nutzenerwartungswert gewählt, steigt gegenüber der Wahl der Alternative A2 der Nutzenerwartungswert um denjenigen Abstand zwischen dem Streckenzug ABCDEF und der E2(U)-Kurve, der der neuen Wahrscheinlichkeit w(S2)=w2(S2) entspricht. Tendenziell gilt: Die Wahrscheinlichkeit wl(S2) ist um so eher als Basis für die Entscheidung zu akzeptieren, - je geringer die maximale Abweichung zwischen w2(S2) und w^(S2) eingeschätzt wird und - je geringer die senkrechten Abstände zwischen dem Streckenzug ABCDEF und derjenigen E(U)-Kurve sind, die derjenigen Alternative entspricht, die hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit w(S2) = wl(S2) den höchsten Nutzenerwartungswert aufweist (und folglich bei Verzicht auf Überprüfung des Wahrscheinlichkeitsurteils gewählt wird).

Ergänzende und vertiefende ENGELKAMP

Literatur:

(1980, S. 71-80);

LAUX

(1976);

MARKOWITZ

(1959, S. 257-

273); MOORE/THOMAS (1976, S. 132-153); PFOHL (1977); RAIFFA (1973,

S. 128-156);

SAVAGE

(1954); SCHNEEWEIß, H. (1977);

WITTMANN

(1959).

XL

1.

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem Problemstellung

Ein Entscheidungsmodell kann immer nur den derzeitigen subjektiven Informationsstand eines Entscheiders widerspiegeln. Der Liformationsstand ist jedoch im allgemeinen nicht unabänderlich. Der Entscheider kann insbesondere auch selbst dazu beitragen, ihn zu verbessern. Liformationsaktivitäten können darauf ausgerichtet sein, - neue Alternativen zu finden bzw. zu erfinden, - die Ergebnisse E^g der Alternativen genauer abzuschätzen und/oder - das Wahrscheinlichkeitsurteil über die maßgeblichen Umweltzustände zu verbessern. Die Beschaffung von hiformationen ist jedoch im allgemeinen nicht kostenlos. Kosten entstehen in Form von Ausgaben und/oder durch Einsatz von Arbeit und Zeit (Opportumtätskosten); u.U. können bestimmte Aktionen nicht mehr realisiert werden, wenn erst umfangreiche hiformationen über deren Konsequenzen eingeholt werden. Die Entscheidung darüber, ob bestimmte hiformationen beschafft werden sollen oder nicht, erfordert daher ein Abwägen der Kosten und des Wertes dieser hiformationen. Die Frage, ob bzw. welche zusätzliche hiformationen eingeholt werden sollen, ist ein Entscheidungsproblem bei Risiko, hn folgenden soll untersucht werden, wie dieses Problem gelöst werden kann, hn Vordergrund stehen dabei solche hiformationen, die zur Verbesserung des Wahrscheinlichkeitsurteils über die Zustände 81,82,.--^Ss führen können. Es wird vor allem gezeigt, wie der "Wert" solcher hiformationen ermittelt werden kann und wie er von seinen Determinanten abhängt. hl Abschnitt 2 wird gezeigt, wie sich bei Zugang von hiformationen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ändern (können). Bei der Bewertung von hiformationen sind (in Form eines Wahrscheinlichkeitsurteils) die möglichen Änderungen sowie ihr Einfluß auf die "Qualität" der Altemativenwahl zu antizipieren. Dabei ist - wie eben bei jedem Entscheidungsproblem unter Risiko die Risikoeinstellung des Entscheiders zu berücksichtigen, hi den Abschnitten 3 und 4 wird gezeigt, wie bei Risikoneutralität der Informationswert ermittelt werden kann und wie dessen Höhe von seinen Determinanten abhängt. In Abschnitt 5 wird der Fall der Nichtrisikoneutralität betrachtet. Abschnitt 6 befaßt sich mit der Problematik der Ermittlung eines optimalen Informationsstandes. In Abschnitt 7 wird vor allem gezeigt, inwieweit subjektive Urteile in die hiformationsbewertung einfließen.

338

2. 2.1.

Kapitel XI

Revision von Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und Bewertung von Informationen Die Notwendigkeit der Präzisierung des Wahrscheinlichkeitsurteils über die Informationsergebnisse

Der in Zukunft tatsächlich eintretende Zustand - er ist durch eine konkrete Kombination von Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten charakterisiert - kann zum Zeitpunkt der Entscheidung (noch) nicht unmittelbar beobachtet werden. Der Entscheider überprüft daher im Zuge der Liformationsbeschaffting statt dessen die Ausprägungen von Größen, die bereits zu beobachten sind, und zieht hieraus Rückschlüsse hinsichtlich der denkbaren Zustände. Sofern der Entscheider keine weiteren Liformationen einholt, bildet er sich sein Wahrscheinlichkeitsurteil über die künftigen Zustände auf der Basis seines bisherigen Informationsstandes (a j!7r/or/-Wahrscheinlichkeiten). Im Fall der Informationsbeschaffung korrigiert er den neuen Kenntnissen entsprechend sein bisheriges Wahrscheinlichkeitsurteil und wählt dann jene Alternative, die sich im Licht der revidierten Wahrscheinlichkeiten (der sogenannten a poster/orz-Wahrscheinlichkeiten) als optimal erweist. Die Größen bzw. Tatbestände, die unmittelbar überprüft werden und als Grundlage flir die Prognose der Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten dienen, werden als Indikatoren bezeichnet. Indikatoren sind zum Beispiel die bisherige Preisentwicklung, Bilanzen, Berichte in Zeitungen, die Auskunft eines Informanten (die auch die Gestalt eines Wahrscheinlichkeitsurteils haben kann), die Daten des internen Rechnungswesens oder das bisherige Verhalten von Individuen. Zum Zeitpunkt der Entscheidung darüber, ob bestimmte Informationen beschafft werden sollen, sind die Ausprägungen der entsprechenden Indikatoren (also der Inhalt der Informationen) dem Entscheider noch nicht mit Sicherheit bekannt. Wären sie bereits bekannt, so würde sich das Problem der Informationsbeschafftmg gar nicht stellen. Die im Zuge des Informationsprozesses festgestellten Ausprägungen der Indikatoren werden als Informationsergebnis bezeichnet; die a priori (d.h. vor Information) als möglich erachteten Informationsergebnisse werden durch Ii,l2,...,Ii charakterisiert. Wie diese möglichen Informationsergebnisse im konkreten Fall zu beschreiben sind, hängt davon ab, welche Indikatoren überprüft werden sollen und welche Ausprägungen diese aus Sicht des Entscheiders vor Information aufweisen können. Die Entscheidung darüber, ob bestimmte Indikatoren beobachtet werden sollen, kann durch Abwägen der Kosten und des Wertes der Information erfolgen. Dabei ist der Informationswert gleich demjenigen kritischen Kostenbetrag, bei dem die Beschaffung der Information, also die Beobachtung der betreffenden Indikatoren, weder vorteilhaft noch nachteilig ist. Sind die tatsächlichen Kosten niedriger (bzw. höher) als der Informationswert, so ist die Informationsbeschaffung vorteilhaft (bzw. nachteilig).

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

339

Da bei der Ermittlung des Informationswertes noch nicht bekannt ist, welche Ausprägungen die entsprechenden Indikatoren aufweisen, weiß der Entscheider auch nicht, welche Alternative er nach Information wählen wird. Wie noch gezeigt wird, sind im Zuge der Informationsbewertung alle möglichen Informationsergebnisse sowie die jeweils gewählte Alternative zu berücksichtigen (es sei denn, es erfolgt eine Vereinfachung des Bewertungskalküls). Die nach Information gewählte Alternative hängt u.a. davon ab, welche Wahrscheinlichkeiten dann der Entscheider den Zuständen beimißt, in welcher Weise er also sein ursprüngliches Wahrscheinlichkeitsurteil bei Informationszugang revidiert. Richtung und Umfang dieser Revision hängen nicht nur davon ab, welches Informationsergebnis eintritt, sondern auch davon, welche "Prognosequalitäf die Indikatoren (bzw. der Indikator) aus Sicht des Entscheiders haben. Das Urteil des Entscheiders über die Prognosequalität hängt wiederum davon ab, wie er vor Information die stochastische Beziehung zwischen den möglichen Informationsergebnissen Ii,l2,...Ji und den Zuständen 81,82,.-583 einschätzt: Beispiel XI.l: Angenommen, das Ergebnis einer heute zu treffenden Entscheidung sei vom morgigen Wetter abhängig. Für den Entscheider stellt sich dann das Problem, sich ein Wahrscheinlichkeitsurteil über das Wetter zu bilden. Der Einfachheit halber werden hier nur die Zustände "schönes Wetter" (Sj) und "schlechtes Wetter" (82) gegeneinander abgegrenzt. Bei seinem bisherigen Informationsstand (z.B. Kenntnis der heutigen Wetterlage) ordne der Entscheider jedem Zustand die Wahrscheinlichkeit 0,5 zu. Der Entscheider habe nun die folgenden Informationsmöglichkeiten: (a) Er kann einen "Wahrsager" befragen, von dem der Entscheider annimmt, daß er heimlich würfelt und je nach der geworfenen Augenzahl seine Wetterprognose abgibt. (b) Er kann (heute) im Radio den lokalen Wetterbericht für den kommenden Tag hören. Im Urteil des Entscheiders wurde im Wetterbericht bisher in Z% der Fälle eine richtige Prognose gegeben. Dabei gilt Z>50, d.h. die Wetterprognose war häufiger richtig als falsch. Zu (a): Die Auskunft des Wahrsagers wird vernünftigerweise keinen Einfluß auf das Wahrscheinlichkeitsurteil des Entscheiders haben, welche Wetterprognose der Wahrsager auch immer abgeben mag. Die Prognose ist unabhängig vom Wetter und läßt folglich keinen Rückschluß darauf zu. Zu (b): Es liegt nahe, die Wahrscheinlichkeit p für eine richtige Wetterprognose gleich der relativen Häufigkeit zu setzen, mit der bisher richtige Prognosen abgegeben wurden: P = T§>0,5. Zwischen der (heutigen) Wetterprognose (dem Liformationsergebnis) und dem morgigen Wetter (dem Zustand) besteht hier also folgende stochastische Abhängigkeit: Unter der Bedingung, daß das Wetter "schön" (bzw. "schlecht")

340

Kapitel XI

sein wird, wird mit der Wahrscheinlichkeit p die Vorhersage "schönes Wetter" (bzw. "schlechtes Wetter") getroffen und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1 - p die Vorhersage "schlechtes Wetter" (bzw. "schönes Wetter"). Die Wahrscheinlichkeiten, die der Entscheider nach Kenntnis der Wettervorhersage den Zuständen Sj (schönes Wetter) und S2 (schlechtes Wetter) zuordnet, hängen nun davon ab, welches Wetter prognostiziert wird und welche Höhe die Wahrscheinlichkeit p (p>0,5) aufweist. Wird zum Beispiel schönes Wetter angekündigt, so ordnet der Entscheider (wie in Abschnitt 2.2.2 bewiesen wird) dem Zustand Sj eine höhere Wahrscheinlichkeit als 0,5 zu, dem Zustand S2 eine geringere. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit für den Zustand Sj den Wert 0,5 um so mehr übersteigen (und die für den Zustand S2 um so mehr unterschreiten), je höher im Urteil des Entscheiders die Wahrscheinlichkeit p für eine zutreffende Prognose ist. Im Fall p = l wird der Entscheider dem vorausgesagten Zustand die Wahrscheinlichkeit 1 zuordnen. Liegt p nahe bei 0,5, so hat die Wettervorhersage nur einen geringen Einfluß auf sein Wahrscheinlichkeitsurteil. Die Wahrscheinlichkeiten, die der Entscheider nach Information den Zuständen zuordnet, hängen allgemein davon ab, wie er den stochastischen Zusammenhang zwischen dem Informationsergebnis und dem Zustand einschätzt. (Die Art dieser Abhängigkeit bestimmt die Prognosequalität des Indikators bzw. der Indikatoren.) Damit der Wert von Informationen ermittelt werden kann, muß sich der Entscheider ein Urteil darüber bilden, welche Informationsergebnisse möghch sind und wie diese stochastisch von den relevanten Zuständen abhängen. Der Informationswert kann immer nur in bezug auf ein derartiges Urteil "richtig" bestimmt werden.

2.2.

Das Theorem von B A Y E S

2.2,1. Allgemeine Darstellung Der Zusammenhang zwischen der vor Informationszugang gegebenen Wahrscheinhchkeit für den Zustand Sg (s=l,2,...,S) und der Wahrscheinüchkeit dieses Zustandes bei Eintreten des Informationsergebnisses Ij (i=l,2,...,I) kann mit Hilfe des Theorems von BAYES beschrieben werden. Hierzu wird die stochastische Abhängigkeit zwischen den Informationsergebnissen und den Zuständen durch folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt: w(Ij|Ss)= (bedingte) Wahrscheinlichkeit für das Informationsergebnis \ (i=l,2,...,I) unter der Hypothese, daß der Zustand Sg (s= 1,2,...,S) eintritt bzw. vorliegt. Sind die Wahrscheinhchkeiten w(Ii|Ss) (und außerdem auch die Wahrscheinlichkeiten w(Ss)) bekannt, können auch die folgenden Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden:

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

341

w(Ss|li) = (bedingte) WahrscheinUchkeit für den Zustand Sg (s=l,2,...,S) unter der Voraussetzung, daß Ij (i=l,2,...,I) das Ergebnis der hiformationsbeschaffung ist. w ( I i ) = (unbedingte) WahrscheinHchkeit für das Informationsergebnis Ii(i=l,2,...,I). w(Ss|Ii) ist die sogenannte a j^o^^enon-WahrscheinHchkeit, w(Ss) die a prioriWahrscheinhchkeit für den Zustand Sg. Wie können die WahrscheinHchkeiten w(Ii) und w(Ss|Ii) bestimmt werden? Es gilt: (XI.1)

w ( S s n I i ) = w(Ii|S3)-w(S3).

w(Ssmj) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Zustand Sg eintritt und außerdem das Liformationsergebnis Ij erzielt wird. Es gilt aber auch: (XL2)

w ( S s n I i ) = w(Ss|li).w(Ii).

Hieraus folgt in Verbindung mit (XI.l): (XI.3)

w(Ii|Ss)-w(Ss) w(SsIi)=w(Ii)

Für die absolute (die unbedingte) Wahrscheinlichkeit w(Ii) des Liformationsergebnisses Ij gilt:

s (XI.4)

s

w ( I i ) = I w ( S s n I i ) = 2:w(Ii|S3).w(S3) s=l

(i-l,2,...,I).

s=l

Mit (XI.3) entsteht daraus die grundlegende Gleichung (BAYES'.scÄe^ Theorem)'. (XLS)

w(S3|li)= ;^(^il^s)'W(S3)

(i=i,2,...,I; s=l,2,...,S).

2:w(Ii|Ss).w(Ss) s=l

(XL5) gibt an, wie die a posteriori-Wahrscheinlichkeiten w(Ss|Ii) aus den a priori-Wahrscheinlichkeiten w(Ss) berechnet werden können, wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten w(Ii|Ss) gegeben sind. Die Wahrscheinlichkeiten, die der Entscheider nach Information den Zuständen Si,S2vjSs zuordnet, hängen gemäß (XI.5) davon ab, - welche WahrscheinHchkeiten w(Si),w(S2),.-,w(Ss) er den Zuständen vor Information, also bei seinem bisherigen Informationsstand, beimißt, - wie er vor Information die stochastische Abhängigkeit zwischen den möglichen Informationsergebnissen Ii,l2,...,Ii und den Zuständen 81,82,.--^s ^i^^" schätzt und - welches Informationsergebnis tatsächlich erzielt wird.

342

Kapitel XI

Ist (wie im Beispiel des "Wahrsagers" in Abschnitt 2.1) das hiformationsergebnis stochastisch unabhängig vom Zustand, so sind die betreffenden hidikatoren für die Prognose irrelevant: Das Wahrscheinlichkeitsurteil über die Zustände nach hiformation stimmt mit dem vor Liformation überein. Beweis: Ist das Informationsergebnis stochastisch unabhängig vom Zustand, gilt: (XL6)

w(Ii|Si) = w(Ii|S2)= ... =w(Ii|Ss) = w(Ii)

(i=l,2,...,I).

Hieraus folgt in Verbindung mit (XI.3):

(XI.,)

w(s.|i,,=:^(!i&^=:5Kii)^_(s^) w(Ii)

w(Ii) (s=l,2,...,S).

Bei stochastischer Unabhängigkeit stimmen also bei jedem Informationsergebnis Ij die a posteriori-Wahrscheinlichkeiten der Zustände Sg mit den a prioriWahrscheinhchkeiten überein (q.e.d.). Indikatoren sind nur dann prognoserelevant, d.h. sie ermöglichen nur dann einen Rückschluß auf den Zustand, wenn ihre Ausprägungen (stochastisch) vom Zustand abhängen. Im allgemeinen sind auch prognoserelevante Informationen in dem Sinne ''unvollkommen", daß sie nur einen probabilistischen Rückschluß auf den Zustand ermöglichen. Nach Information liegt dann immer noch eine Risikosituation vor, jedoch ist das Wahrscheinlichkeitsurteil "besser" als vor Information. " Vollkommene'' Informationen ermöglichen einen sicheren Rückschluß: Bei jedem Informationsergebnis hat jeweils ein Zustand die Wahrscheinhchkeit 1, alle anderen die Wahrscheinhchkeit 0. Diese Ausnahmesituation ist dann gegeben, wenn jedes Informationsergebnis Ij (i=1,2,...,I) jeweils nur bei einem einzigen Zustand eintreten kann. 2.2.2,

Beispiele

Zu Beispiel XI.l (Abschnitt 2.1): Es sind zwei Zustände und zwei Informationsergebnisse (zwei Wetterprognosen) möglich: Sj = das morgige Wetter ist schön, S2 = es ist schlecht, 11 = das Wetter wird schön, 12 = es wird schlecht. Beim bisherigen Informationsstand ordnet der Entscheider beiden Zuständen die Wahrscheinlichkeit 0,5 zu. Im lokalen Wetterbericht wird mit der Wahrscheinlichkeit p eine zutreffende Prognose abgegeben. Zwischen der Prognose und dem Zustand besteht also der folgende stochastische Zusammenhang:

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

343

i\0l

SS'

Abb. XI.l: Stochastische Abhängigkeit der Prognose vom Zustand Gemäß (XL 5) gilt nun: w(Si|li) = ^ ^ = P, '' ^ p-0,5+(l-p>0,5

w(S,|lO- oV.n"'fos=^^-P>' p-0,5 + (l-p>0,5

w(Si|l2) = - ^ ^ ^ ^ f ^ = (l-p), (l-p>0,5+p-0,5 w(S2|l2)=., P'^'^ ^ = p . (l-p>0,5 + p-0,5 Wird der Zustand S3 (s=l,2) vorausgesagt, so ordnet der Entscheider diesem die Wahrscheinlichkeit p zu und dem anderen Zustand die Wahrscheinlichkeit 1 - p . Die Wahrscheinlichkeit des prognostizierten Zustandes stimmt also mit der Wahrscheinlichkeit dafür überein, daß eine richtige Prognose abgegeben wird. Die Tatsache, daß die Eintrittswahrscheinlichkeit des prognostizierten Zustandes unabhängig davon ist, welcher Zustand vorhergesagt wird, hat hier zwei Gründe: Zum einen haben beide Zustände dieselbe a priori-Wahrscheinhchkeit (w(Si)=w(S2)=0,5). Zum anderen ist die Wahrscheinhchkeit p für eine richtige Prognose unabhängig davon, welcher Umweltzustand tatsächlich eintreten wird. Beispiel XL 2: hn Rahmen eines Entscheidungsproblems seien die beiden folgenden Zustände relevant: Si = Der Auftraggeber ist "zahlungsfähig", S2 = er ist "nicht zahlungsfähig". Bei seinem bisherigen Liformationsstand ordnet der Entscheider den Zuständen die folgenden Wahrscheinlichkeiten zu:

344

Kapitel XI

w(Si)=0,8

w(S2)=0,2.

Der Entscheider erwägt nun, bei einem Informanten eine Auskunft über die Zahlungsfähigkeit des Auftraggebers einzuholen. Der Informant gibt entweder die Auskunft Ij oder I2: Ij = Der Auftraggeber ist zahlungsfähig, I2 = er ist nicht zahlungsfähig. Im Urteil des Entscheiders bestehe (vor Information) der in Abbildung XI.2 dargestellte stochastische Zusammenhang zwischen dem Inhalt der Auskunft (dem Informationsergebnis) und dem Zustand. Aus Sicht des Entscheiders gibt also der Informant unter der Hypothese, daß der Zustand S^ vorliegt, mit Sicherheit die richtige Auskunft. Falls der Zustand S2 relevant ist, erwartet der Entscheider nur mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 eine richtige, mit der Gegenwahrscheinlichkeit 0,3 eine falsche Auskunft. Die Gefahr der Fehlinformation im Fall der Zahlungsunfähigkeit kann etwa daraus resultieren, daß der Auftraggeber möglicherweise gegenüber dem Informanten mit Erfolg vortäuscht, zahlungsfähig zu sein.

Abb. XI.2: Die stochastische Abhängigkeit des Informationsergebnisses vom Zustand (Beispiel XI.2) Wie hoch sind nun die a posteriori-Wahrscheinlichkeiten w(Ss|li) (s=l,2; i = l,2)? Gemäß (XI.5) gilt: w(Si|li) = ^ ^ « 0,93, ^' ^ l-0,8 + 0,3-0,2

w(S2|li) = ^ ^ ^ « 0,07, ^' ^ 1.0,8 + 0,3-0,2

^^ . ^ 0-0,8 _ w(Si I7) = = 0, ^ ' ^ 0-0,8 + 0,7-0,2

^_ . ^ 0,7-0,2 ^ w(S2 I2) = =1• ^' ^ 0-0,8 + 0,7-0,2

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

345

Wenn also die Auskunft I2 (der Auftraggeber ist nicht zahlungsfähig) gegeben wird, entspricht dem Zustand S^ ("zahlungsfähig") die Wahrscheinlichkeit null und dem Zustand S2 ("zahlungsunfähig") die Wahrscheinlichkeit 1. Dieses Ergebnis ist unmittelbar plausibel, denn die Auskunft I2 ist nur dann möglich, wenn S2 tatsächlich der wahre Zustand ist. Aus der Auskunft I^ ("zahlungsfähig") kann dagegen kein sicherer Rückschluß auf den Zustand gezogen werden; diese Auskunft wird ja möglicherweise auch dann gegeben, wenn "Zahlungsunfähigkeit" besteht: Dem Zustand Sj entspricht jedoch eine höhere, dem Zustand S2 eine geringere Wahrscheinlichkeit als in der Ausgangssituation, und zwar 0,93 statt 0,8 bzw. 0,07 statt 0,2.

3. 3.1.

Ermittlung und Höhe des Informationswertes bei Risikoneutralität Grundlagen

Für die Darstellung und die Analyse von Modellen zur Bewertung von Informationen werden folgende Grundannahmen gesetzt: 1. Der Entscheider orientiert sich nur an der Zielgröße Gewinn. Wenn die Alternative Aa (a= 1,2,...,A) gewählt wird und der Zustand Sg (s= 1,2,...,S) eintritt, wird (vor Abzug der Informationskosten) ein Gewinn von G^s erzielt. Der Gewinn nach Informationskosten wird als Nettogewinn bezeichnet. 2. Die (Brutto-) Gewinne G^s sind unabhängig davon, ob Informationen beschafft werden oder nicht. Diese Bedingung ist in der Realität nicht immer erfiillt. Z.B. können sich die möglichen Erfolge der Alternative "Aufnahme eines neuen Erzeugnisses in das Produktionsprogramm" erheblich unterscheiden, je nachdem, ob das Produkt gleich auf dem Markt eingeführt wird oder erst, nachdem auf einem Testmarkt die Erfolgschancen des Produkts erkundet worden sind. Durch diese Form der Informationsbeschaffung (Verkauf auf einem Testmarkt) kann nämlich die Konkurrenz auf die Pläne aufinerksam werden und frühzeitig Gegenmaßnahmen ergreifen, so daß die (Brutto-) Gewinne möglicherweise sinken. 3. Bei der Bewertung von Informationen muß der Risikoeinstellung des Entscheiders Rechnung getragen werden. Am einfachsten läßt sich der Fall der Risikoneutralität erfassen. In diesem Fall orientiert sich der Entscheider am Erwartungswert des Gewinns. Bei Risikoneutralität ist der Informationswert gleich dem Gewinnerwartungswert bei Entscheidung mit Information (vor Abzug der Informationskosten) abzüglich des Gewinnerwartungswertes bei Entscheidung ohne Information. Der Informationswert wird dabei auf die Entscheidungssituation vor Kenntnis des Informationsergebnisses bezogen. Denn die Entscheidung darüber, ob bestimmte Informationen eingeholt werden oder nicht, muß ja ebenfalls vor In-

346

Kapitel XI

formationszugang getroffen werden. Die Informationsbewertung stellt ein ex ante-Ksilkül dar, bei dem für jedes mögliche Informationsergebnis Ij (i=l,2,,..,I) die jeweils zu realisierende Alternative A^ bestimmt wird. Es wird also ein System von Eventualplänen für den Fall der Informationsbeschaffung erstellt. Welcher Eventualplan (d.h. welche Alternative) nach Information tatsächlich realisiert wird, hängt vom erzielten Informationsergebnis Ij ab. Die Informationsbewertung folgt also dem Prinzip dor flexiblen Planung. Im folgenden soll zunächst mit Hilfe zweier Beispiele gezeigt werden, wie der Wert von Informationen bestimmt werden kann. In Abschnitt 3.3 werden die Überlegungen verallgemeinert.

3.2.

Beispiele zur Bestimmung des Informationswertes

3.2,1, Die

Entscheidungssituation

Den beiden Beispielen liegt die gleiche Entscheidungssituation zugrunde: 1. Der Entscheider steht vor dem Problem, ob von einem bestimmten Erzeugnis eine "große" (Alternative A^), "mittlere" (Alternative A2) oder "kleine" Menge (Alternative A3) produziert werden soll. 2. Der Gewinn, der bei einer bestimmten Produktionsmenge erzielt wird, hängt von der Nachfrage nach diesem Erzeugnis ab. Der Entscheider rechnet bei seinem bisherigen Informationsstand damit, daß entweder eine "große" (Zustand Si), "mittlere" (Zustand S2) oder "niedrige" Nachfrage (Zustand S3) besteht. Er ordnet diesen Zuständen folgende a priori-Wahrscheinlichkeiten zu: w(Si)=0,5,

w(S2) = 0,3,

w(S3) = 0,2.

3. Die folgende Gewinnmatrix gibt an, welche Gewinne den alternativen Konstellationen aus Produktionsmenge und Nachfrage entsprechen: 0,5

Aj (große Produktionsmenge) A2 (mittlere Produktionsmenge) A3 (kleine Produktionsmenge)

0,3

0,2

S3 Si S2 große mittlere niedrige Nachfrage Nachfrage Nachfrage 200 100 -120

a priori-Gewinnerwartungswerte 106

150

150

-10

118

50

50

50

50

Matrix XI. 1: A priori-Gewinnmatrix des Entscheiders (Beispiele XL 3 und XI.4) Bei Verzicht auf Liformation wählt der Entscheider diejenige Produktionsmenge, die im Lichte seiner a priori-Wahrscheinlichkeiten w(Si), w(S2) und w(S3)

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

347

den höchsten Gewinnerwartungswert aufweist, also die Alternative A2. Damit erzielt er einen Gewinnerwartungswert von E= 118. 3.2.2. Der Wert einer vollkommenen Information

(BeispielXI.3)

Zunächst wird angenommen, der Entscheider könne Liformationen einholen, die einen sicheren Rückschluß auf den in Zukunft eintretenden Zustand zulassen, so daß ihm nach Information die Nachfragemenge bekannt ist. Wie hoch ist der Wert einer solchen vollkommenen Information? Bei Informationsbeschaffung wird erst nach Informationszugang die Produktionsmenge festgelegt. Da zu diesem Zeitpunkt der Entscheider den Zustand kennt, wählt er diejenige Menge, die in diesem Zustand den höchsten Gewinn bietet. Unter der Hypothese, daß der Zustand Sg (s= 1,2,3) eintritt, wird mithin der folgende Gewinn erzielt: S i - > A i - > 200, S2->A2-> 150, S3->A3-^

50.

Zum Zeitpunkt der Informationsbewertung ist jedoch dem Entscheider der Zustand (die Nachfrage) noch unbekannt; den möglichen Zuständen entsprechen die (a priori-)Wahrscheinlichkeiten, die in der Gewinnmatrix XI.l aufgeführt sind. Somit ergibt sich für den Fall der Entscheidung mit Information ein Gewinnerwartungswert EI (vor Abzug der Informationskosten) in Höhe von: EI = 0,5-200+0,3-150 + 0 , 2 - 5 0 - 1 5 5 . Defmitionsgemäß ist bei Risikoneutralität der Wert der Information, WI, gleich der Differenz aus dem Gewinnerwartungswert EI bei Entscheidung mit Information (vor Abzug der Informationskosten) und dem Gewinnerwartungswert E bei Entscheidung ohne Information: W I = E I - E = 1 5 5 - 1 1 8 = 37. Woraus resultiert dieser Wert? Bei Entscheidung ohne Information wird definitiv A2 gewählt. Bei Entscheidung mit Information wird statt dessen A^ (bzw. A3) gewählt, wenn der Zustand S\ (bzw. S3) relevant ist; dabei wird gegenüber der Wahl von A2 ein Gewinnzuwachs von 50 (bzw. von 60) erzielt. Die Wahrscheinlichkeit für Zustand S^ (bzw. S3) und somit für den entsprechenden Gewinnzuwachs ist zum Zeitpunkt der Informationsbewertung gleich 0,5 (bzw. 0,2). Der Erwartungswert der möglichen Gewinnzuwächse ergibt den Informationswert: WI=0,5-50+0,2-60=37.

348

Kapitel XI

Sind die Kosten der Information niedriger (bzw. höher) als 37, ist die Informationsbeschaffung gegenüber der Entscheidung ohne Information vorteilhaft (bzw. nachteilig). Die Aussage, die Information sei vorteilhaft, wenn die Informationskosten niedriger als 37 sind, bezieht sich auf die Entscheidungssituation vor Kenntnis des Informationsergebnisses (hier: des Zustandes). Die Entscheidung darüber, ob die Information beschafft werden soll oder nicht, muß ja ebenfalls vor Kenntnis des Informationsergebnisses getroffen werden. Von einer solchen ex a«^e-Beurteilung ist die Beurteilung der Situation zu unterscheiden, die sich ex post einstellt (d.h. nachdem das Informationsergebnis bekannt ist). Sind die Informationskosten positiv, jedoch kleiner als 37, ist die Informationsbeschaffung ex ante zwar vorteilhaft, ex post kann sich jedoch gegenüber dem Verzicht auf Information ein Nachteil ergeben: Zeigt sich, daß der Zustand S2 der wahre ist, wird bei Entscheidung mit Information die Alternative A2 gewählt und ein (Netto-)Gewinn von 150-Informationskosten erzielt. Die Alternative A2 wird indessen auch bei Verzicht auf Information gewählt, wobei keine Informationskosten anfallen. Wenn der Zustand S2 gegeben ist, fährt demnach die Informationsbeschaffung ex post zu einem Nachteil. Das Informationswert-Konzept ist jedoch eine ex ante-Betrachtung. Entsprechend werden im Bewertungskalkül alle möglichen Zustände (S|, S2,S3) berücksichtigt. Die Vorteilhaftigkeit der Information resultiert daraus, daß der mögliche ex post-Nachteil (im Zustand S2) durch mögliche ex postVorteile (in den Zuständen S^ und S3) überkompensiert wird. Wenn keine Informationskosten entstehen, ist die Beschaffung vollkommener Informationen auch ex post stets optimal. 3.2,3. Der Wert einer unvollkommenen Information (Beispiel XL4) In den meisten Entscheidungssituationen gibt es keine Informationen, die einen sicheren Rückschluß auf den Zustand ermöglichen; zumindest sind die Kosten vollkommener Informationen so hoch, daß die Beschaffung solcher Informationen nachteilig wäre. Es wird nun gezeigt, wie der Wert einer unvollkommenen Information bestimmt werden kann. Hierzu wird angenommen, es bestehe die Möglichkeit, das Produkt zunächst auf einem Testmarkt einzuführen und erst nach Kenntnis der dort erzielten Absatzmenge die Produktionsmenge für den eigentlichen Markt (^'Absatzmarkt') festzulegen. Der Entscheider rechne damit, daß auf dem Testmarkt entweder eine "große", eine "mittlere" oder eine "kleine" Absatzmenge erzielt wird. Der Testmarkt kann als Informationsquelle und die Absatzmenge auf dem Testmarkt als Indikator aufgefaßt werden. Dabei werden die möglichen Informationsergebnisse wie folgt definiert:

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

349

Ij = große I2 = mittlere > Absatzmengen auf dem Testmarkt. 13= kleine Im Urteil des Entscheiders besteht zwischen der Absatzmenge auf dem Testmarkt und der Nachfragemenge auf dem Absatzmarkt die in Abbildung XL 3 dargestellte stochastische Abhängigkeit. Unter der Hypothese, daß z.B. der Zustand 8^ (bzw. 82) der wahre ist, wird mit der Wahrscheinlichkeit 0,75 (bzw. 0,3) auf dem Testmarkt eine große Absatzmenge erzielt. Die Absatzmenge auf dem Testmarkt läßt keinen sicheren Rückschluß auf die Nachfrage im Absatzmarkt zu. Auch nach Kenntnis der Absatzmenge auf dem Testmarkt hegt der Entscheider noch unsichere Erwartungen darüber, welcher der Zustände 8^,82,83 der wahre ist. Das Testergebnis bewirkt jedoch eine Änderung des Wahrscheinlichkeitsurteils über diese Zustände. Die den möglichen Absatzmengen auf dem Testmarkt entsprechenden a posterioriWahrscheinlichkeiten können mit Hilfe des BAYES'schen Theorems bestimmt werden. Es gilt: /C IT A

W(Ii|8s)-W(8s)

w(8sli) =

^—-— w(Ii)

,

1 0'2

•

1 0'2^

(s=l,2,3; 1=1,2,3)

mit w(Ii) = w(Ii|8i)-w(8i) + w(Ii|82)-w(82) + w(Ii|83)-w(83)

(i-1,2,3).

350

Kapitel XI

Abb. XI.3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten für die Absatzmengen auf dem Testmarkt (Beispiel XI.4) Mithin folgt für das Beispiel XL4 (vgl. Abbildung XL3): w(Ii) = 0,5-0,75 + 0,3-0,3 + 0,2-0,1 =0,485 w(l2)=0,5-0,2 +0,3-0,6+0,2-0,2=0,32 w(l3)=0,5 - 0,05 + 0,3 - 0,1 + 0,2 • 0,7=0,195 und damit: w(Ii)

0,485

,(S|I),w(Ii|S,)-w(S,)^0,3:M ^ ' w(Ii) 0,485

.0,19

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

w(Ii)

351

0,485

und analog: w(Si|l2) «0,31 w(S2|l2) « 0,56 w(S3|l2) « 0,13 w(Si|l3) « 0,13 w(S2|l3) « 0,15 w(S3|l3) « 0,72. Bei Einführung des Produkts auf dem Testmarkt wird erst nach Kenntnis der dort erzielten Absatzmenge die Produktionsmenge für den Absatzmarkt festgelegt. Wenn das Informationsergebnis Ij (i= 1,2,3) erzielt wird, wird diejenige Menge gewählt, die im Licht der a posteriori-Wahrscheinlichkeiten w(Ss|Ij) (s= 1,2,3) den höchsten Gewinnerwartungswert aufweist. Den möglichen Informationsergebnissen Ij, I2 und I3 entsprechen die Gewinnmatrizen X1.2XI.4: w(Si|I|) = 0,77

w(S2|Ii) = 0,19

w(S3|IO = 0,04

a posteriori-

Si

S2

S3

Gewinnerwartungswerte

Al

200

100

-120

168,2

A2

150

150

-10

143,6

A3

50

50

50

50

Matrix XI.2: Gewinnmatrix für das Informationsergebnis Ij (große Absatzmenge auf dem Testmarkt)

w(Si|l2) = 0,31

w(S2|l2) = 0,56

w(S3|l2) = 0,13

a posteriori-

Si

S2

S3

Gewinnerwartungswerte

Al

200

100

-120

102,4

A2

150

150

-10

129,2

A3

50

50

50

50

Matrix XI.3: Gewinnmatrix für das Informationsergebnis I2 (mittlere Absatzmenge auf dem Testmarkt)

352

Kapitel XI

w(Si|l3) = 0,31

w(S2|l3) = 0,15

w(S3|l3) = 0,72

a posteriori-

Si

S2

S3

Gewinnerwartungswerte

Al

200

100

-120

-45,4

A2

150

150

-10

34,8

A3

50

50

50

50

Matrix XI.4: Gewinnmatrix für das Informationsergebnis I3 (niedrige Absatzmenge auf dem Testmarkt) Da bei jedem Informationsergebnis die Alternative mit dem höchsten a posteriori-Gewinnerwartungswert reahsiert wird, besteht folgende Zuordnung zwischen Informationsergebnis, gewählter Alternative und a posteriori-Gewinnerwartungswert: I1

<^ L

-•

Ao

I.

-•

A.

-•

168,2

-•

129,2

50

Abb. XI.4: Die möglichen Informationsergebnisse mit der jeweils gewählten Alternative und die entsprechenden a posteriori-Gewinnerwartungswerte (Beispiel XL4) Zum Zeitpunkt der Bewertung der Information ist noch nicht bekannt, welches Informationsergebnis erzielt wird. Aus Abbildung XL4 sind jedoch die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Informationsergebnisse zu entnehmen. Werden diese Wahrscheinlichkeiten mit den entsprechenden (bedingten) a posteriori-Gewinnerwartungswerten multipliziert und wird dann die Summe gebildet, so ergibt sich der Gewinnerwartungswert EI bei Entscheidung mit Information (vor Abzug der Informationskosten): EI=0,458-168,2+0,32-129,2 + 0,195-50=132,671. Wird hiervon der Gewinnerwartungswert bei Entscheidung ohne Information subtrahiert, so erhält man den Wert WI der Information: WI=132,671-118 = 14,671. Dieser Informationswert ist kleiner als der Wert der vollkommenen Information: Bei vollkommener Information wird mit Sicherheit die Alternative ge-

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

353

wählt, die bei dem tatsächlich eintretenden Zustand den höchsten Gewinn bietet. Bei unvollkommener Liformation ist das nicht der Fall. Bei Beschaffung der unvollkommenen Liformation (Beispiel XL4) wird ex post selbst dann nicht notwendig ein besseres oder ein ebenso gutes Ergebnis erzielt wie bei einer Entscheidung ohne Liformation, wenn die Liformationskosten gleich null sind. Wird z.B. das Liformationsergebms I^ (große Absatzmenge auf dem Testmarkt) erzielt, so wird die Alternative A^ (große Produktionsmenge) gewählt. Wenn nun der Zustand S3 eintritt - die Wahrscheinlichkeit hierfiir ist beim Liformationsergebms Ij allerdings nur 0,04 - wird ein Verlust von 120 erzielt. Bei Verzicht auf Liformation wird dagegen A2 gewählt und nur ein Verlust von 10 erzielt. Trotz des positiven Liformationswertes kann also ex post selbst dann ein schlechteres Ergebnis eintreten als bei Verzicht auf Liformation, wenn keine Liformationskosten anfallen. Der positive Liformationswert resultiert daraus, daß die möglichen ex post-Nachteile durch die möglichen ex post-Vorteile überkompensiert werden. Im folgenden sollen die Darstellungen zur Informationsbewertung verallgemeinert werden.

3.3.

Ein allgemeines Modell zur Ermittlung des Informationswertesi)

3.3.1. Der Gewinnerwartungswert bei Entscheidung ohne

Information

Bei Entscheidung ohne Information (d.h. wenn der Entscheider keine zusätzlichen Informationen beschafft und die Entscheidung auf der Basis seines derzeitigen Informationsstandes trifft) wird die Alternative mit Hilfe der Gewinnmatrix XL 5 ausgewählt. w(Ss)

a prioriGewinnerwartungsweite

G12

GlS

Zs=l^(Ss)-Gls

G21

G22

G2S

ILMSS)-G2S

GAI

GA2

GAS

ES=1*(SS)-GA3

w(Si)

W(S2)

Si

S2

A,

Gn

A2

AA

Matrix XI.5; A priori-Gewinnmatrix des Entscheiders

1)

Vgl. hierzu BITZ/WENZEL

(1954; 1959; 1964); BASS (1963); ALBACH (1969); (1974); BiTZ (1975); BAMBERG/COENENBERG (2002, S. 144-185).

MARSCHAK

354

Kapitel XI

Der Entscheider wählt dann die Alternative Ag, die den höchsten a priori-Gewinnerwartungswert aufweist. Bei Entscheidung ohne Information wird mithin ein Gewinnerwartungswert in Höhe von (XLS)

E[G]oi = maxXw(S3).Gas a

Ew(S3).Gäs

s=l

erzielt, wobei ol für "ohne Information" steht. 3,3,2, Der Gewinnerwartungswert bei Entscheidung mit Information Zur Ermittlung des Wertes WI der Information ist neben dem Gewinnerwartungswert bei Entscheidung ohne Information (E[G]oi) auch derjenige bei Entscheidung mit Information (E[G]j^)2) zu bestimmen, denn es gilt WI=E[GU-E[G]oi. Welche Alternative nach Information gewählt wird, hängt vom Ergebnis der Informationsbeschaffung ab. Unter der Bedingung, daß das Informationsergebnis Ii(i=l,2,...,I) erzielt wird, ist für die Wahl der optimalen Alternative die Gewinnmatrix XL6 mit den a posteriori-Wahrscheinlichkeiten w(Ss|Ii) (s= 1,2,...,S) relevant. w(Ss|Ii)

a posteriori-Gewinnerwartungswerte beim Informationsergebnis Ij

G12

Gis

2:^^iw(sjii)-G,3

G21

G22

G2S

2:L^(sJii)-G2s

GM

GA2

G^s

Ss=l^(Sslli)-GAs

w(S,|Ii) Si

w(S2|Ii) S2

Al

G,,

A2

1 AA

•

Matrix XI.6: Gewinnmatrix des Entscheiders für das Informationsergebnis Ij Der Entscheider wählt dann die Alternative, die bei diesen Wahrscheinlichkeiten den höchsten a posteriori-Gewinnerwartungswert aufweist. Mithin wird beim Informationsergebnis Ii(i=l,2,...,I) ein Gewinnerwartungswert (vor Informationskosten) in Höhe von (XL9)

2)

E[G|li] = maxXw(Ss|lO-Ga

In diesem Gewinnerwartungswert sind Informationskosten nicht enthalten.

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

355

erzielt. Zum Zeitpunkt der Bewertung der Information ist das Informationsergebnis noch unbekannt. Es hegt folgende Ungewißheitssituation vor: -•

E[G|I ] = max Z w ( S | I ) - G A a s=l s 1 ds

-•

E[G|I ] = max E w ( S | I ) G ^ a s=l s 2 ab

-t,

E[G|I ] = max S w ( S | I ) - G •^ a s=l s 3 as

-•

E [ G | L ] = max I w(S |I ) - G 1 a s=l s I '<

Abb. XI.5: Die möglichen Informationsergebnisse (mit ihren Eintrittswahrscheinlichkeiten) und die entsprechenden a posteriori-Gewinnerwartungswerte Mithin ergibt sich bei Entscheidung mit Information ein Gewinnerwartungswert (vor Informationskosten) von: (XLIO)

E [ G W = Zw(Ii)-maxIw(Ss|li).Gas = Sw(Ii)-E[G|li]. i=l

a s=l

i=l

In Worten: Der Gewinnerwartungswert bei Entscheidung mit Information ist gleich der gewichteten Summe der a posteriori-Gewinnerwartungswerte E[GIi], die den möglichen Informationsergebnissen \ entsprechen. Als Gewichtungsfaktoren dienen dabei die unbedingten Wahrscheinlichkeiten w(Ii) fiir die einzelnen Informationsergebnisse. 3.3.3. Der

Informationswert

Die Differenz zwischen dem Gewinnerwartungswert E[G]i^ bei Entscheidung mit Information (vor Informationskosten) und dem Gewinnerwartungswert E[G]oi bei Entscheidung ohne Information ergibt den Wert der Information: (XI.11)

WI = E [ G ] ^ - E [ G ] o i .

Hieraus folgt in Verbindung mit (XLIO) und (XI.8):

356

Kapitel XI I

(XL12)

S

S

WI = Z w ( I i ) - m a x E w ( S j l i ) . G a s - E w ( S s ) - G ä s . i=l

a s=l

s=l

Für das Verständnis des Informationswertes ist es zweckmäßig, die Wertbestimmungsgleichung (XL 12) geringfligig zu modifizieren. Es gilt die Hilfsgleichung: (XL13)

S I S Ew(Ss)-Gas = I w ( I i ) - Z w ( S 3 | l i ) - G a s s=l i=l s=l

(a=l,2,...,A).

In Worten: Der a priori-Gewinnerwartungswert der Alternative A^ ist gleich der gewichteten Summe ihrer a posteriori-Gewinnerwartungswerte bei den Informationsergebnissen Ij (i=l,2,...,I), Ss=i^('^sri)*Gas • ^^^ Gewichtungsfaktoren dienen dabei die Wahrscheinlichkeiten w(Ij) dieser Informationsergebnisse. Aus (XI.12) und (XI.13) folgt: (XL14)

I S S WI = Z w ( I i ) - [ m a x i : w ( S 3 | I i ) - G a s - Z w ( S 3 | I i ) - G ä s ] . i=l

a s=l

s=l

Interpretation: Bei Entscheidung ohne zusätzliche Information wird die Alternative A^ gewählt, der im Licht des Informationsergebnisses Ij (i=l,2,...,I) der Gewinnerwartungswert 2]s=i^('^s|Ii)*Gäs entspricht. Bei Entscheidung mit Information wird dagegen der Gewinnerwartungswert max2]s=iw(Ss|li)-Gas a erzielt, wenn das Informationsergebnis \ eintritt. Mithin bezeichnet die Differenz in der eckigen Klammer in (XL 14) den Zuwachs des Gewinnerwartungswertes (vor Informationskosten), der gegenüber der Entscheidung ohne Information unter der Bedingung erzielt wird, daß das Informationsergebnis Ij eintritt. Gemäß (XL 14) ist der Wert der Information gleich dem Erwartungswert der bedingten Zuwächse, wobei die Gewichtung mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten w(Ij) erfolgt.

4. 4.1.

Höhe des Informationswertes und Vorteilhaftigkeit der Informationsbeschaffung Höhe des Informationswertes

Aus (XL 14) folgt: Der Wert der Information ist um so höher, je größer beim Informationsergebnis \ (i=l,2,...,I) die Differenz zwischen dem maximalen a posteriori-Gewinnerwartungswert und dem a posteriori-Gewinnerwartungswert der Alternative Ag ist (die bei Entscheidung ohne zusätzliche Information

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

357

gewählt wird). Der Informationswert kann nicht negativ sein; es gilt stets WI>0. Dieses Ergebnis ist unmittelbar einleuchtend: Der Entscheider kann auch nach Information immer noch die Alternative A^ wählen, die sich bei Verzicht auf Information als optimal erweist. Falls jedoch im Licht des erzielten Informationsergebnisses eine andere Alternative als besser erscheint, kann der Entscheider statt dessen diese Alternative (mit dem höheren a posterioriGewinnerwartungswert) wählen. Weist die Alternative A^, bei jedem Informationsergebnis Ii(i=l,2,...,I) einen maximalen a posteriori-Gewinnerwartungswert auf, so gilt WI=0, d.h. der Wert der Information ist gleich null. Auch dieses Ergebnis ist plausibel: Wenn bei jedem Informationsergebnis die Alternative A^ einen maximalen a posteriori-Gewinnerwartungswert aufweist, ist es optimal, sie in jedem Fall zu wählen. Da dann die Altemativenwahl vom Ergebnis der Informationsbeschaffung unabhängig ist, hat die Information keinen Einfluß auf die Entscheidung und der Informationswert ist null. Es sind folgende Fälle denkbar, in denen die Alternative A^ bei jedem Informationsergebnis einen maximalen Gewinnerwartungswert aufweist: (a) Das Informationsergebnis ist im Urteil des Entscheiders vom Zustand stochastisch unabhängig: In diesem Fall stimmen bei jedem Informationsergebnis die a posteriori-Wahrscheinlichkeiten für die Zustände mit den a priori-Wahrscheinlichkeiten überein. Folglich muß die Alternative A^, die definitionsgemäß einen maximalen a priori-Gewinnerwartungswert aufweist, auch bei jedem Informationsergebnis einen maximalen Gewinnerwartungswert bieten. (b) Das Informationsergebnis hängt zwar vom Zustand ab, jedoch weichen die a posteriori-Wahrscheinlichkeiten von den a priori-Wahrscheinlichkeiten nur so wenig ab, daß sich für jedes mögliche Informationsergebnis wieder A^ als optimal erweist. Bei gegebenen a priori-Wahrscheinlichkeiten w(Ss) und Gewinnen G^s (a=l,2,...,A; s=l,2,...,S) erreicht der Informationswert sein Maximum, wenn nach Information der Zustand mit Sicherheit bekannt ist {vollkommene Information). Die Informationsbeschaffung führt dann dazu, daß der Entscheider mit Sicherheit diejenige Alternative wählt, die in dem tatsächlich eintretenden Zustand den höchsten Gewinn bietet. Für den maximalen Informationswert Wl^ax (d^n Wert einer vollkommenen Information) gilt: S

WiMax = Zw(Ss)-(max G^s - G ^ s ) . s=l a maxGas bezeichnet das Maximum der derjenigen Spalte der Gewinnmatrix, a

die dem Zustand Sg (s=l,2,...,S) entspricht. Wljvjax ist ^Is kritische Größe von besonderer Bedeutung. Sind die Kosten der Information größer oder gleich Wl^ax? so kann die Informationsbeschaffung unter keinen Umständen vorteilhaft sein. Alle Informationsmög-

358

Kapitel XI

lichkeiten, deren Kosten nicht niedriger als WI]y[ax sind, werden nicht weiter in Betracht gezogen. Je größer fiir alternative Zustände die Differenz aus dem maximalen Spaltenwert und dem Gewinn der Alternative A^ ist, desto größer ist auch der maximale Liformationswert. Dies soll an den a priori-Gewinnmatrizen XL7 und XLS verdeutlicht werden. 1/3 Si

1/3 S2

1/3 S3

a prioriGewinnerwartungswerte

Al

30.000

60.000

90.000

60.000

A2

30.000

60.000

90.000

60.000

A3

29.700

60.450

90.000

60.050

Matrix XI.7: Zur Ermittlung eines maximalen Informationswertes

1/3

1/3

Si

S2

1/3 S3

a prioriGewinnerwartungswerte

Al

30.000

60.000

90.000

60.000

A2

90.000

60.000

30.000

60.000

A3

29.700

90.000

60.450

60.050

Matrix XI.8: Zur Ermittlung eines maximalen Informationswertes In beiden Matrizen weist die Alternative A3 den höchsten a priori-Gewinnerwartungswert auf, es gilt also jeweils ä = 3. Für Matrix XL7 ergibt sich als maximaler Informationswert: WlMax=f(30.000-29.700) + i-(60.450-60.450) + i-(90.000-90.000) = 100. Für Matrix XI.8 gilt dagegen: WlMax=i-(90.000-29.700) + l-(90.000-90.000) + i-(90.000-60.450) = 29.950. Die a priori-Gewinnerwartungswerte der einzelnen Alternativen stimmen für beide Matrizen überein. Hieraus wird deutlich: Bei gegebenen a priori-Gewinnerwartungswerten können sich erhebliche Unterschiede bezüglich des (maximalen) Informationswertes ergeben, je nachdem, welche Verteilung der Gewinne über die Zustände gegeben ist. Bei vollkommener Information wird bei der Ergebnismatrix XI.8 mit Sicherheit ein Gewinn erzielt, der höher ist als der a priori-Gewinnerwartungswert der Alternative A3, die bei Entscheidung ohne zusätzliche Informationen gewählt wird. Dieser Zusammenhang ist freilich nicht zwingend. Im Beispiel der Matrix XI.7 kann eine vollkommene Information zu der Erkenntnis führen,

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

359

daß der Zustand Sj eintreten wird, in dem die Gewinne aller drei Alternativen niedriger sind als der a priori-Gewinnerwartungswert (60.050) der Alternative A3. Mit dieser Alternative wird jedoch im Zustand S^ nicht der maximale Gewinn erzielt. Wird statt A3 die Alternative Aj (oder A2) gewählt, so steigt der Gewinn um 300. Dieser Sachverhalt allein bewirkt bei der Matrix XL7 den Wert der vollkommenen Information', er ist gleich der a priori-Wahrscheinlichkeit (1/3) für den Zustand Sj multipliziert mit dem entsprechenden Gewinnzuwachs. Das Analoge gilt für den Fall, daß aus dem Liformationsergebnis kein sicherer Rückschluß auf den Zustand gezogen werden kann. Wie erläutert wurde, wählt der Entscheider bei jedem Liformationsergebnis die Alternative mit dem maximalen a posteriori-Gewinnerwartungswert. Für einzelne hiformationsergebnisse kann der betreffenden Gewinnerwartungswert niedriger sein als der a priori-Gewinnerwartungswert der Alternative Ag. Für den Liformationswert ist dieser Sachverhalt irrelevant, es kommt primär darauf an, welcher Vorteil bei den möglichen hiformationsergebnissen jeweils erzielt wird, wenn statt der Alternative Ag die Alternative mit dem maximalen a posterioriGewinnerwartungswert gewählt wird. Der bei einem hiformationsergebnis erzielte Vorteil kann hoch sein, auch wenn der entsprechende maximale a posteriori-Gewinnerwartungswert weit unter dem a priori-Gewinnerwartungswert der Alternative A^ liegt.

4.2.

Zur Vorteilhaftigkeit der Informationsbeschaffung

Wie erläutert wurde, ist die Liformationsbeschaffung vorteilhaft, wenn der Liformationswert höher ist als die hiformationskosten. Dieses Kriterium bezieht sich auf die Entscheidungssituation vor Kenntnis des Informationsergebnisses. Die Entscheidung darüber, ob Informationen beschafft werden sollen, muß ja ebenfalls vor Kenntnis des Liformationsergebnisses getroffen werden. Von einer solchen ex a^r^-Beurteilung ist die Beurteilung der Situation zu unterscheiden, die sich (ex post) ergibt, nachdem das Liformationsergebnis bekannt ist. Sind die hiformationskosten positiv, jedoch geringer als der Liformationswert, so ist die Liformationsbeschaffung ex ante zwar vorteilhaft, ex post kann sie sich jedoch gegenüber dem Verzicht auf Liformation als nachteilig erweisen. Ein ex post-Nachteil ergibt sich dann, wenn ein Liformationsergebnis eintritt, bei dem die Differenz zwischen dem maximalen a posteriori-Gewinnerwartungswert und dem a posteriori-Gewinnerwartungswert der Alternative Ag kleiner ist als die hiformationskosten. Beim Liformationswert-Konzept werden alle möglichen Liformationsergebnisse (Ii,l2,...,Ii) berücksichtigt, sofern das Bewertungsmodell nicht vereinfacht wird. Die Vorteilhaftigkeit der Liformation (fiir den Fall, daß der Liformationswert höher ist als die hiformationskosten) resultiert daraus, daß die

360

Kapitel XI

möglichen ex post-Nachteile durch mögliche ex post-Vorteile kompensiert werden. Zur Verdeutlichung wird nochmals das Beispiel in Matrix XLS betrachten und angenommen, nach hiformation sei der Zustand mit Sicherheit bekannt. Wie erläutert wurde, ist dann der Informationswert gleich 29.950. Betragen die Informationskosten 29.900, so erweist sich die Informationsbeschaffung als vorteilhaft. Bezogen auf den Zeitpunkt vor Kenntnis des Informationsergebnisses (bzw. des entsprechenden Zustandes) steigt der Erwartungswert des Gewinns um 29.950-29.900=50. Woraus resultiert dieser Vorteil? Bei Entscheidung ohne Information wird die Alternative A3 gewählt. Die Information führt (unter Berücksichtigung der Informationskosten) ex post genau dann zu einem Vorteil, wenn der Zustand S^ der wahre ist; bei Informationsbeschaffung wird dies erkannt und es wird dann statt A3 die Alternative A2 gewählt. Damit wird ein Gewinnzuwachs nach Informationskosten von 90.000-29.700-29.900=30.400 erzielt. Ist der Zustand S2 der wahre, so wird bei Informationsbeschaffung dieselbe Alternative A3 gewählt wie bei Entscheidung ohne Information; der Gewinn sinkt dann um die Informationskosten 29.900. Ist der Zustand S3 der wahre, so wird bei Informationsbeschaffung statt A3 die Alternative Aj gewählt, womit ein Gewinnzuwachs vor Informationskosten von 90.000-60.450=29.550 erzielt wird. Unter Berücksichtigung der Informationskosten ergibt sich eine Gewinneinbuße von 350. Bezogen auf den Zeitpunkt vor Kenntnis des Informationsergebnisses fiihrt die Informationsbeschaffung zu dem folgenden Zuwachs des erwarteten Gewinns nach Informationskosten: ^•30.400 - |-29.900 - ^-350 = 50. Somit erweist sich die Informationsbeschaffung als vorteilhaft. Wenn nach Information der Zustand mit Sicherheit bekannt ist, kann sich eine kostenlose Information ex post in keinem Fall als nachteilig erweisen. Grundsätzlich bestehen jedoch auch nach Kenntnis des Informationsergebnisses noch ungewisse Erwartungen über den Zustand. Zwar wählt der Entscheider bei jedem Informationsergebnis \ (i=l,2,...,I) jeweils die Alternative mit dem maximalen a posteriori-Gewinnerwartungswert. Jedoch ist es möglich, daß sich aufgrund der Information eine Alternative als optimal erweist, mit der im tatsächlich eintretenden Zustand Sg ein Gewinn erzielt wird, der kleiner ist als jener, der mit der Alternative Ag erzielt worden wäre; ein höherer (bedingter) Gewinnerwartungswert garantiert eben in Risikosituationen grundsätzlich nicht, daß ex post auch tatsächlich ein höherer Gewinn erzielt wird.

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

361

*5. Ermittlung und Höhe des Informationswertes bei Nichtrisikoneutralität 5.1.

Das Grundproblem der Bestimmung des Informationswertes

Es soll nun untersucht werden, wie der hiformationswert für einen Entscheider bestimmt werden kann, der sich nicht risikoneutral verhält. Der Erwartungswert des Gewinns ist dann grundsätzlich keine sinnvolle Basis für die Beurteilung von hiformationen; es ist vielmehr der Erwartungswert des Nutzens des Gewinns heranzuziehen. Wenn der Entscheider keine weiteren hiformationen einholt, trifft er die Entscheidung auf der Grundlage der folgenden Entscheidungsmatrix (wobei U(Gas) den Nutzen des Gewinns G^s bezeichnet): w(Si) Si

w(S2)

A,

U(G,i)

U(Gi2)

A2

U(G2,)

U(G22)

AA

U(GAI)

U(GA2)

w(Ss)

a priori- Nutzenerwartungswerte

U(G,s)

Zs=iMSs)-U(G,3)

U(G2s)

Ss=iW(S,)-U(G2,)

U(GAS)

IS=IMSS)-U(GAS)

§2

••

• ••

Matrix XI.9: Entscheidungsmatrix bei Verzicht auf Informationsbeschaffung Da der Entscheider die Alternative mit dem höchsten Nutzenerwartungswert wählt, wird bei Entscheidung ohne (zusätzliche) Liformation ein Nutzenerwartungswert in Höhe von (XL 15)

s

s

E[U(G)]oi = maxSw(S3).U(Gas)-Zw(S3).U(Gäs) s=l

s=l

erzielt. Die Alternative, die bei Verzicht auf hiformation gewählt wird, wird hier wieder durch A^ gekennzeichnet. (Das bedeutet freilich nicht, daß bei Nichtrisikoneutralität dieselbe Alternative gewählt wird wie bei Risikoneutralität.) Welche Alternative im Fall der Informationsbeschaffung realisiert wird, hängt von dem zunächst noch unbekannten Informationsergebnis \ (i = l,2,...,I) und (wie noch erläutert wird) von der Höhe der Informationskosten ab. Sind die Informationskosten gleich null und tritt das Informationsergebnis Ij ein, so wählt der Entscheider jene Alternative, die in der folgenden Entscheidungsmatrix den höchsten Nutzenerwartungswert aufweist:

362

Kapitel XI

w(S,|li)

w(S2|li)

Si

S2

Al

U(Gii)

U(Gi2)

A2

U(G2,)

U(G22)

AA

U(GA,)

U(GA2)

•

•

•

Ss

a posterioriNutzenerwartungswerte

U(Gis)

SL^(Sslli)-U(G,3)

U(G2s)

Es=lW(Ss|li)-U(Q23)

U(GAS)

Is=,^(Ss|li)-U(GAs)

w(Ss|Ii)

•

Matrix XI.IO: Entscheidungsmatrix für das Informationsergebnis Ij (sofern die Informationskosten gleich null sind) Mithin entspricht dem Informationsergebnis Ij (i=l,2,...,I) der folgende Nutzenerwartungswert : (XL16)

E[U(G)|Ii] = maxi:w(S3|Ii).U(Gas). a s=l Da die Wahrscheinlichkeit für das Informationsergebnis Ij (i=l,2,...,I) gleich w(Ij) ist, wird bei Entscheidung mit der (kostenlosen) Information ein unbedingter Nutzenerwartungswert von (XL17)

E[U(G)U = Iw(Ii)-maxSw(Ss|Ii).U(Gas) i=l a s=l

erzielt. Stimmen die Erwartungswerte (XL 17) und (XL 15) überein, so führt die Informationsbeschaffung weder zu einem Vorteil noch zu einem Nachteil. Ist der Erwartungswert (XL 17) größer als der Erwartungswert (XL 15), so ist die Beschaffung der (kostenlosen) Information vorteilhaft.^) Wenn nun ausgehend von null die Informationskosten sukzessive steigen, so bleibt die Informationsbeschaffung zunächst immer noch vorteilhaft. Der Informationswert ist also positiv: Dieser Wert ist gerade definiert als derjenige Preis, den der Entscheider maximal zahlen kann, ohne daß der Kauf der Informationen für ihn nachteilig wird. Im folgenden soll untersucht werden, wie der Informationswert ermittelt werden kann. Es liegt nahe, im Fall der Nichtrisikoneutralität analog vorzugehen wie bei Risikoneutralität und unter Berücksichtigung der gegebenen Nutzenfunktion U(G) den Informationswert als denjenigen Kostenbetrag zu bestimmen, bei dem der Unterschied zwischen den Nutzenerwartungswerten (XL 17) und

3)

Der Erwartungswert (XL 17) kann nicht niedriger sein als der Erwartungswert (XL 15). Der Informationswert kann also nicht negativ werden; der Beweis kann analog geführt werden wie für den Fall der Risikoneutralität.

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

363

(XL 15) gerade kompensiert wird.^) Dieses Vorgehen impliziert aber, daß die beim Informationsergebnis Ij (i=l,2,...,I) gewählte Alternative von der Höhe der Informationskosten unabhängig ist. Diese Voraussetzung ist zwar bei Risikoneutralität erfüllt. Bei Nichtrisikoneutralität (also bei nichtlinearer Nutzenfunktion) wird jedoch die nach Information optimale Alternative im allgemeinen auch von der Höhe der Informationskosten bestimmt.^) Daß die Informationskosten die Entscheidung nach Information beeinflussen können, mag zunächst überraschen. Die Informationskosten sind doch unabhängig davon, welche der Alternativen A I , A 2 , . . - , A A gewählt wird. Trotzdem können sie einen Einfluß daraufhaben, welche Alternative beim Informationsergebnis I^ (i=l,2,...,I) optimal ist: Die mit den Alternativen verbundenen (Brutto-)Gewinne fuhren jeweils zu einer entsprechenden Erhöhung bzw. (im Falle eines negativen Gewinnes) zu einer Verringerung des Vermögens des Entscheiders. Der Nutzen einer Vermögensänderung hängt bei nichtlinearer Nutzenfunktion von der Höhe des Vermögens vor Durchführung der Alternative ab. Dieser Vermögensbetrag verringert sich bei Informationsbeschaffung um die Informationskosten (LA VALLE, 1968). Dieser Aspekt kann auch wie folgt ausgedrückt werden: Steigen die Informationskosten, so verschieben sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Nettogewinne in Richtung auf kleinere Beträge. Es wird dadurch ein anderer Bereich der Nutzenfunktion relevant, in dem die Grenznutzen möglicherweise völlig andere Werte aufweisen. Folglich müssen auch die Konsequenzen der Alternativen anders beurteilt werden.6)

4)

5)

6)

Der Vorschlag, den Informationswert in dieser Weise zu bestimmen, wird z.B. von DRUKARCZYK (1974, S.16) und BAMBERG/COENENBERG/KLEINE-DOEPKE (1976) gemacht. Im Rahmen eines Modells von TEICHMANN (1971) wird der Informationswert als Differenz aus den Nutzenerwartungswerten (XVII. 17) und (XVII. 15) bestimmt. Diese Differenz hat jedoch die Dimension "Nutzeneinheit", während der Informationswert die Dimension "Geldeinheit" hat, so daß aus dieser Differenz grundsätzlich nicht unmittelbar der Wert abgeleitet werden kann. Die Problematik des Ansatzes von TEICHMANN zeigt sich auch darin, daß die Nutzenfunktion nur bis auf eine positiv lineare Transformation eindeutig bestimmt ist. Je nachdem, welche Nutzenfunktion zugrunde gelegt wird, ergibt sich ein hoher oder ein niedriger Wert. Nur in dem Spezialfall, daß der Entscheider risikoneutral ist und die Nutzenfunktion U(G)=G zugrunde gelegt wird, führt der Ansatz von Teichmann zum exakten Wert. Bei exponentieller Nutzenfunktion ist das Sicherheitsäquivalent einer riskanten Alternative unabhängig vom Ausgangsvermögen. Folglich ist hier die nach Information gewählte Alternative von den Informationskosten unabhängig. Der Informationswert ist dann gleich der Differenz zwischen dem Sicherheitsäquivalent des Gewinns (vor Berücksichtigung der Informationskosten) bei Entscheidung mit Information und dem Sicherheitsäquivalent bei Entscheidung ohne Information. So ist es etwa möglich, daß bei Informationskosten von null die Gewinne in einem Bereich liegen, in dem die Nutzenfunktion konkav verläuft, während bei Informationskosten in einer bestimmten Höhe die (Netto-) Gewinne in einem konvexen Bereich der Nutzenfunktion liegen: In Abhängigkeit von der Höhe der Informationskosten verhält sich der Entscheider bei der Auswahl einer Alternative risikoscheu oder risikofreudig.

364

Kapitel XI

Es wird die folgende Problematik der Informationsbewertung (bei Nichtrisikoneutralität) deutlich: Einerseits hängt der Informationswert davon ab, welche Alternative beim Informationsergebnis Ij (i = l,2,...,I) gewählt wird. Andererseits ist die bei einem Informationsergebnis optimale Alternative von der Höhe der Informationskosten abhängig. Aufgrund dieser Interdependenz ist bei der Ermittlung des Informationswertes zugleich auch fär jedes mögliche Informationsergebnis Ij jene Alternative zu bestimmen, die dann gewählt wird, wenn Informationskosten gerade in Höhe des (gesuchten) Informationswertes anfallen. Die Kenntnis des Informationswertes ist jedoch keine notwendige Voraussetzung flir die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Informationen. Sind die Kosten K der erwogenen Informationen bereits gegeben, genügt die Feststellung, ob bei genau diesen Kosten die betreffenden Informationen vorteilhaft sind oder nicht. Es kann offen bleiben, welcher Preis höchstens gezahlt werden kann, ohne daß die Informationsbeschaffung nachteilig wird. Die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Informationsmaßnahmen bei gegebenen Kosten verursacht bei Nichtrisikoneutralität grundsätzlich einen geringeren Aufwand als die Bestimmung des Wertes der betreffenden Informationen. Im folgenden Abschnitt wird ein Kriterium fiir eine solche Beurteilung dargestellt. Darauf aufbauend wird dann gezeigt, wie der Informationswert ermittelt werden kann.

5.2.

Die Beurteilung von Informationen bei gegebenen Informationsl^osten

Sind die Informationskosten gleich K (K>0) und tritt das Informationsergebnis Ij (i=l,2,...,I) ein, so wählt der Entscheider diejenige Alternative, die bei der Entscheidungsmatrix XI. 11 den höchsten (bedingten) Nutzenerwartungswert aufweist. Dabei bezeichnet U(Gas-K) den Nutzenwert des Nettogewinns G^sK. w(Ss|Ii)

a posterioriNutzenerwartungswerte

•

U(G,S-K)

Es=lMS,|li)-U(G„-K)

U(G22-K)

• •

U(G2s-K)

Is=iW(Ss|li)-U(G2s-K)

U(GA2-K)

• • •

U(GAS-K)

Es=iW(Ss|li)-U(GA,-K)

w(Si|lj)

w(S2|li)

s,

§2

Al

U(Gii-K)

U(Gi2-K)

•

A2

U(G2i-K)

AA

U(GArK)

Matrix XI.ll: Entscheidungsmatrix für das Informationsergebnis Ij (wenn Informationskosten in Höhe von K > 0 entstehen)

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

365

Mithin entspricht dem Liformationsergebnis Ij (i=l,2,...,I) der folgende Nutzenerwartungswert: (XL18)

E[U(G-K)|Ii] = max2:w(S3|Ii)-U(Gas-K). a 8=1

Da die Wahrscheinlichkeit für diesen Erwartungswert gleich w(Ii) ist, ergibt sich bei Entscheidung mit Information ein unbedingter Nutzenerwartungswert nach Kosten von: (XL19)

E[U(G-K)]=i:w(Ii)-max2:w(S3|Ii)-U(Gas-K). i=l

a s=l

Ist der Nutzenerwartungswert (XL 19) höher (bzw. niedriger) als der Nutzenerwartungswert (XL 15), so ist die Informationsbeschaffung vorteilhaft (bzw. nachteilig). Stimmen die Nutzenerwartungswerte (XL 19) und (XL 15) überein, so ist die Informationsbeschaffung weder vorteilhaft noch nachteilig.

5.3.

Die Bestimmung des Informationswertes

Das aufgestellte Beurteilungskriterium setzt voraus, daß die Informationskosten K gegeben sind. Es kann jedoch vorkommen, daß die Informationskosten noch offen sind und mit dem (potentiellen) Informanten ausgehandelt werden müssen. In diesem Fall ist es für den Entscheider von Vorteil, den Informationswert bei der Preisverhandlung zu kennen: Er weiß dann, welchen Preis er höchstens zahlen kann, ohne daß die Informationsbeschaffung für ihn nachteilig wird (Preisobergrenze). Der Informationswert WI kann nun wie folgt theoretisch bestimmt werden: Zunächst wird für K = 0 der Nutzenerwartungswert (XL 19) bestimmt. Ist er gleich dem Nutzenerwartungswert (XL 15), so gilt WI=0. Ist er höher, gilt WI>0. Zur Bestimmung von WI wird dann K (ausgehend von K=0) sukzessive erhöht und der jeweils entsprechende Erwartungswert (XL 19) ermittelt und dieser mit dem (Nutzen-) Erwartungswert gemäß (XL 15) verglichen. Der kritische Kostenbetrag K, bei dem schließlich die Erwartungswerte (XL 19) und (XL 15) übereinstimmen, ist der gesuchte Informationswert WI.^) 7)

Für den Spezialfall der Risikoneutralität läßt sich das beschriebene Konzept vereinfachen. Es ergibt sich dabei die Wertbestimmungsgleichung (XL 12), die bereits früher auf einfacherem Wege abgeleitet wurde: Nach den vorangegangenen Überlegungen für den Fall der Nichtrisikoneutralität muß WI allgemein die folgende Gleichung erfüllen (WI ist gleich demjenigen Kostenbetrag K, bei dem der Erwartungswert des Nutzens bei Entscheidung mit Information ebenso hoch ist wie der Nutzenerwartungswert bei Entscheidung ohne Information): (XI.20)

Iw(Ii)-maxIw(S3|Ii)-U(Gas-WI)=Xw(Ss)U(Gä,). i=l

ä s^i

s^l

366

Kapitel XI

5.4.

Zur Höhe des Informationswertes

Bei Risikoaversion des Entscheiders kann der Informationswert höher, aber auch niedriger sein als bei Risikoneutralität. Zur Verdeutlichung wird hier nur der einfache Fall einer vollkommenen Information betrachtet.

Al

0,5 Si 100

0,5 S2 0

A2

0

100

Matrix XI.12: Zur Analyse des Wertes einer vollkommenen Information bei Risikoaversion des Entscheiders Stützt sich der Entscheider im Beispiel der Matrix XI.12 auf seinen bisherigen Informationsstand, so wählt er eine beliebige der dargestellten Alternativen. Das entsprechende Sicherheitsäquivalent SÄ beträgt: SÄ=0,5-100-RAi = 50-RAi. Dabei bezeichnet RA^ den Risikoabschlag des Entscheiders für die in Matrix XI.12 dargestellten Gewinnverteilungen. Wenn der Entscheider die (vollkommene) Information beschafft, so erzielt er vor Informationskosten einen sicheren Gewinn von 100. Da definitionsgemäß der Informationswert WI gleich demjenigen Kostenbetrag ist, bei dem die Informationsbeschaffung weder vorteilhaft noch nachteilig ist, gilt: h

100-WI=50-RAi.

Bei Risikoneutralität kann die Nutzenfunktion U wie folgt dargestellt werden: (XL21) U(G) = G bzw. U(G-K)=G-K. Hieraus folgt in Verbindung mit (XL20): (XI.22)

iw(I0-max2;w(S3|Ii).(Gas-WI)=Ew(SJ.Gäs.

-S Wegen Xs=i w(Ss | li) • WI = WI gilt damit auch

(XL23)

Sw(IO -WI + maxSw(S3|Ii)-G,s i=l

^

^Sw(S3).Gäs.

s=l

-I Wegen YJ\=\ ^(li) • WI = WI läßt sich weiter umformen: I

(XI.24)

S

S

-WI+Sw(I0-maxXw(S3|Ii).G,3 = I w ( S J . G ä s .

Hieraus folgt unmittelbar die Wertbestimmungsgleichung (XL 12).

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

367

Hieraus folgt WI=50+RAi. Bei Risikoaversion liegt hier also der Informationswert um den Risikoabschlag RAj über demjenigen für den Fall der Risikoneutralität. Im Beispiel der Matrix XL 13 ist der Informationswert bei Risikoaversion niedriger als bei Risikoneutralität: 1/3

1/3 Si

Erwartungswert

1/3 S3

S2

Al

300

0

A2

100

A3

0

0

100

100

100

100

0

300

100

Matrix XI. 13: Zur Analyse des Wertes einer vollkommenen Information bei Risikoaversion des Entscheiders Stützt sich der Entscheider auf seinen bisherigen Informationsstand, so wählt er die Alternative A2; die entsprechende Risikoprämie ist gleich null. Für den Fall der Risikoneutralität ergäbe sich ein Informationswert von 1/3 • 300+1/3-100+1/3-300-100= 133,3. Da zum Zeitpunkt der Ermittlung des Informationswertes der Gewinn, der bei Informationsbeschaffung erzielt wird, noch eine ungewisse Größe ist, muß bei Risikoaversion für WI gelten: 1/3-300+1/3-100+1/3-300-WI-RA2= 100 bzw. WI= 133,3-RA2. Dabei bezeichnet RA2 denjenige Risikoabschlag, der der Wahrscheinlichkeitsverteilung l / 3 ; ( 3 0 0 - W I ) | l / 3 ; ( 1 0 0 - W I ) | l / 3 ; ( 3 0 0 - W I ) entspricht. Der Informationswert liegt nun um den Risikoabschlag unter dem Informationswert bei Risikoneutralität.

6. 6.1.

Zur Ermittlung eines ''optimalen" Informationsstandes Einstufiger Informationsprozeß

6.1,1. Das Konzept Bisher wurde vor allem gezeigt, wie der Wert einer einzelnen Informationsbeschaffungsmaßnahme ermittelt werden kann und wie dieser Wert von seinen Bestimmungsgrößen abhängt. Ist der Wert bestimmter Informationen höher als deren Kosten, so ist zwar die Beschaffung dieser Informationen gegenüber der Entscheidung ohne zusätzliche Information vorteilhaft. Ob sie allerdings opti-

368

Kapitel XI

mal ist, hängt davon ab, welche Liformationsmöglichkeiten sonst noch gegeben sind, welche Kosten sie verursachen und welche Rückschlüsse sie auf die maßgeblichen Zustände ermöglichen. Bei der Bestimmung eines optimalen Informationsstandes geht es somit im allgemeinen nicht allein darum, ob bestimmte Informationen beschafft werden sollen oder nicht. Vielmehr sind verschiedene Möglichkeiten der Liformationsbeschaffung gegeneinander abzuwägen.^) Das Problem stellt sich also umfassender dar: Es geht darum, ob überhaupt Liformationen beschafft werden sollen und welche Lidikatoren gegebenenfalls beobachtet werden. Optimal ist diejenige Alternative der Liformationsbeschaffung, bei der die Differenz aus Wert und Kosten der hiformation am größten ist. Wenn allerdings die maximale Differenz negativ ist, so ist es optimal, überhaupt keine Liformationen zu beschaffen; der Entscheider trifft dann seine Entscheidung auf der Grundlage seines bisherigen Liformationsstandes. Li der Realität ist es weder möglich noch sinnvoll, für alle Alternativen der Liformationsbeschaffung explizit die Differenz aus Wert und Kosten zu bestimmen. Ln allgemeinen kann nur ein Teil der gegebenen Alternativen in einem Bewertungskalkül berücksichtigt werden. Es sind in einer Vorauswahl jene Liformationsaltemativen zu bestimmen, die nicht weiter untersucht werden. Ein Kriterium flir diese Vorauswahl liefert der maximale Liformationswert Wl^ax- Sind die Kosten einer Liformationsmaßnahme gleich WI^^x ^^^^ höher, so kann diese Maßnahme nicht vorteilhaft sein; alle Liformationsmaßnahmen, deren Kosten nicht niedriger sind als der maximale Liformationswert, können daher vernachlässigt werden. Darüber hinaus liegt es nahe, auch jene Alternativen der Liformationsbeschaffung zu vernachlässigen, deren Kosten nur wenig unter WI^^x liegen und bei denen eine schwache stochastische Abhängigkeit zwischen den Ausprägungen der Lidikatoren und dem Zustand besteht. Es ist im allgemeinen nicht möglich, den Wert der Liformation über mehrere Lidikatoren in der Weise (exakt) zu bestimmen, daß zunächst für jeden Lidikator der Wert der alleinigen Liformation über diesen Lidikator ermittelt und dann die Summe über die einzelnen Liformationswerte gebildet wird. Dieses Vorgehen führt nur in Spezialfällen zum richtigen Liformationswert. Li der Regel sind die Liformationswerte nicht additiv.^) 8)

9)

Können z.B. die Indikatoren r|, X2 ^^^ ^3 beobachtet werden, so gibt es folgende Möglichkeiten M^ der Informationsbeschaffüng: Ml = (ri), M2 = (r2), M3 = (r3), M4 = (ri,r2), M5 = {x^,x^\ M^ = {x2.x^\ M7 = (ri,r2,r3). Bei der Alternative M^ z.B. wird nur der Indikator r|, bei M-7 werden alle drei Indikatoren beobachtet. Es ist z.B. möglich, daß bei Information allein über den Indikator r^ bzw. r2 die a posteriori-Wahrscheinlichkeiten der Zustände bei jedem Informationsergebnis nur so wenig von den a priori-Wahrscheinlichkeiten abweichen, daß jeweils dieselbe Alternative gewählt wird wie bei Verzicht auf Information; der Informationswert eines einzelnen Indikators ist dann gleich null. Gleichzeitig kann sich aber bei Information über beide Indikatoren das Wahrscheinlichkeitsurteil über Zustände so stark ändern, daß mit positiver

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

369

6.1,2, Zur Bestimmung der (bedingten) Wahrscheinlichkeiten w(Ii\Sg) im Falle mehrerer Indikatoren Wenn eine hiformationsmaßnahme die Beobachtung mehrerer Lidikatoren umfaßt, können im allgemeinen die Wahrscheinlichkeiten w(Ii|Ss) nicht unmittelbar bestimmt werden. Zunächst muß der Entscheider für jeden einzelnen Indikator die jeweilige stochastische Abhängigkeit vom Zustand durch bedingte Wahrscheinlichkeiten zum Ausdruck bringen. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten w(Ii|Ss) (s=l,2,...,S) fär das Informationsergebnis Ij (i=l,2,...I) ergeben sich dann durch die Multiplikation der entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeiten für diejenigen Indikatorenausprägungen, aus denen sich das Informationsergebnis I^ zusammensetzt. Sind die Ausprägungen von Indikatoren nicht nur vom Zustand abhängig, sondern auch davon, welche Ausprägungen andere Indikatoren annehmen, so müssen mit Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten auch diese Abhängigkeiten erfaßt werden (LAUX, 1993, S.98ff).

6.2.

Mehrstufiger Informationsprozeß

Im allgemeinen ist es nicht sinnvoll, im voraus definitiv und unwiderruflich festzulegen, welche Indikatoren beobachtet werden und welche nicht. Der Informationsprozeß ist in der Regel ein mehrstufiger Entscheidungsprozeß, wobei die weiteren Maßnahmen davon abhängen, zu welchem Ergebnis die bisherigen Informationsaktivitäten geführt haben: Der Entscheider beginnt mit der Überprüfung eines oder mehrerer Indikatoren. In Abhängigkeit von den festgestellten Ausprägungen stellt er daraufhin entweder die Informationsbeschaffung ein und wählt eine der Handlungsaltemativen Aj, A2,...,AA oder er unternimmt zusätzliche Informationsaktivitäten. Wenn er zusätzliche Informationen einholt, hängt das weitere Vorgehen vom Inhalt dieser Informationen ab: Je nach den Ausprägungen der zusätzlich beobachteten Indikatoren werden weitere Indikatoren überprüft oder der Informationsprozeß wird eingestellt und die Handlungsaltemative mit dem höchsten a posterioriGewinnerwartungswert gewählt. In LAUX (1993, S. 103ff.) wird gezeigt, wie ein optimaler mehrstufiger Informationsprozeß gemäß dem Prinzip der flexiblen Planung bestimmt werden kann.

Wahrscheinlichkeit eine andere Alternative gewählt wird als bei Verzicht auf Information; der Informationswert beider Indikatoren ist dann positiv. Andererseits kann der Informationswert beider Indikatoren auch ebenso hoch sein wie der eines einzelnen Indikators (unabhängig davon, ob der betreffende Informationswert gleich null oder positiv ist); dies ist z.B. dann der Fall, wenn beide Indikatoren mit Sicherheit dieselbe Aussage beinhalten.

370

6.3.

Kapitel XI

Zur Notwendigkeit der Komplexitätsreduktion

Da die Ermittlung eines "optimalen" Liformationsstandes einen immensen Aufwand verursacht, stellt sich auch hier das Problem der Vereinfachung. Wie bereits erläutert wurde, kann im allgemeinen nur ein Teil der Liformationsmöglichkeiten in einem Informationswertkalkül erfaßt werden. Darüber hinaus kann vereinfacht werden, indem nur ein Teil der möglichen Zustände Sg (s=l,2,...,S) und Liformationsergebnisse berücksichtigt wird. Auch wenn das Liformationswert-Modell nicht explizit angewendet wird, kann es wichtige Orientierungshilfen geben; es zeigt, wie der Informationswert von seinen Determinanten abhängt, und erleichtert somit die mehr oder weniger pauschale Schätzung von Informationswerten.

7.

Der Informationswert als subjektive Größe

Der Informationswert ist eine subjektive, keine objektive Größe. Er hängt davon ab, welche Handlungsaltemativen der Entscheider erwägt, welche Gewinne sie aus seiner Sicht in den relevanten Zuständen bieten und welche subjektiven Wahrscheinlichkeiten w(Ss) und w(Ij|Ss) er bei der Informationsbewertung zugrunde legt. Für Individuen mit unterschiedlichen Handlungsmöglichkeiten und Wahrscheinlichkeitsvorstellungen können die Informationswerte erheblich voneinander abweichen. Abweichungen können auch daraus resultieren, daß im Rahmen eines Informationswertkalküls bzw. bei der Schätzung des Informationswertes unterschiedliche Vereinfachungen vorgenommen werden. Wie erläutert wurde, wird der Informationswert auf die Entscheidungssituation vor Kenntnis des Informationsergebnisses bezogen. Die Informationsbewertung erfolgt dabei vor dem Hintergrund von "Vorinformationen" (oder "Hintergrundinformationen"), über die der Entscheider bereits verfugt, bevor er über die Informationsbeschaffung entscheidet. Die betreffenden Vorinformationen finden bei gegebener Altemativenmenge ihren Niederschlag in den a priori-Wahrscheinlichkeiten w(Ss) für die Zustände und in den bedingten Wahrscheinlichkeiten w(Ij|Ss) für die Informationsergebnisse. Je nach bereits vorhandenen Vorinformationen können zusätzliche Informationen einen hohen oder einen niedrigeren Wert haben. Für einen Entscheider, der bereits a priori einen "guten" Informationsstand hat und damit rechnet, daß die Informationsbeschaffung nur mit geringer Wahrscheinlichkeit zur Wahl einer anderen Alternative als A^ führen wird, ist der Informationswert tendenziell gering. Für einen Entscheider mit "schlechtem" Informationsstand kann dieselbe Information einen hohen Wert aufweisen. Bei gegebenen a priori-Wahrscheinlichkeiten w(Ss) und Gewinnen G^s hängt - wie erläutert wurde - der Informationswert von den (subjektiven) be-

Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem

371

dingten Wahrscheinlichkeiten w(Ii|Ss) ab. Diese wiederum hängen von der allgemeinen Erfahrung des Entscheiders und seinen speziellen Liformationen über den stochastischen Zusammenhang zwischen dem Liformationsergebnis und dem Zustand ab. Es ist möglich, daß der Entscheider bisher wenig konkrete hiformationen zur Prognose der maßgeblichen Zustände besitzt, jedoch über Liformationen verfügt, die es ihm ermöglichen, aus dem hiformationsergebnis einen guten Rückschluß zu ziehen; der Informationswert ist dann für ihn tendenziell hoch. Für einen anderen Entscheider, der die betreffenden Indikatoren nicht interpretieren kann, so daß aus seiner Sicht bei jedem möglichen Liformationsergebnis die a posteriori-Wahrscheinlichkeiten für die Zustände mit den a priori-Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen, ist dagegen der Liformationswert gleich null. Es ist freilich auch möglich, daß ein Entscheider Liformationen deshalb einen hohen Wert beimißt, weil er die betreffenden Lidikatoren "falsch" interpretiert; er vermutet einen stochastischen Zusammenhang, der gar nicht gegeben ist. (Vom Standpunkt einer besser informierten Person, die zum Beispiel aufgrund von empirischen Untersuchungen weiß, daß die Ausprägungen der betreffenden Lidikatoren vom Zustand unabhängig sind, ist der Liformationswert gleich null.) Ein Entscheider kann aber bei der Liformationswertermittlung, ebenso wie bei jedem anderen Entscheidungsproblem bei Risiko auch, immer nur jenes Wahrscheinlichkeitsurteil berücksichtigen, das er sich selbst aufgrund seines bisherigen Liformationsstandes gebildet hat. Hält er es für möglich, daß er den stochastischen Zusammenhang zwischen dem Liformationsergebnis und dem Zustand "falsch" einschätzt, so kann er wiederum darüber Liformationen einholen. Sind deren Kosten positiv, so stellt sich allerdings das Problem, auch diese Liformationen zu bewerten. Bei den bisherigen Darstellungen wurde davon ausgegangen, daß der Entscheider ex ante den Wert bestimmter Liformationen ermittelt, um beurteilen zu können, ob es vorteilhaft ist, sie bei gegebenen Liformationskosten zu beschaffen. Nun mögen dem Entscheider (aus welchen Gründen auch immer) bestimmte Liformationen bereits zugeflossen sein und sich für ihn das Problem stellen, welche Rückschlüsse diese auf die relevanten Zustände zulassen. Dabei geht es auch hier im Kern wieder darum, welche stochastische Beziehung zwischen den Ausprägungen der entsprechenden Lidikatoren und den Zuständen bestehen. Hierüber kann sich der Entscheider im Prinzip ebenso informieren wie vor einer aktiven Beschaffung von Liformationen. Kommt er zu dem Schluß, daß der Liformationszugang das Ergebnis eines Zufallsprozesses ist, der stochastisch unabhängig ist vom Zustand, so hat der Liformationszugang keinen Einfluß auf die Wahrscheinlichkeiten der Zustände; die betreffenden Liformationen sind nicht entscheidungsrelevant. Das Problem, Liformationen zu beschaffen, um bereits eingegangene Liformationen besser interpretieren zu können, stellt sich vor allem auch im Rahmen interner Kontrollsysteme bei Delegation von Entscheidungen. Dabei geht es darum, wie der Liformationsstand der kontrollierenden Listanz erweitert

372

Kapitel XI

werden kann, damit sie aus den in Kontrollrechnungen ausgewiesenen Größen einen besseren probabilistischen Rückschluß auf die "Qualität" der getroffenen Entscheidungen ziehen kann (LAUX, 1995, Kapitel XIX).

Ergänzende und vertiefende Literatur: ALBACH

(1969);

ALTROGGE

(1975);

BAMBERG/COENENBERG

(2002, S. 144-

185); BASS (1963); BITZ (1975); BITZ/WENZEL (1974); LA VALLE (1968);

(1993); (1975).

LAUX

LIERMANN

(2004);

MARSCHAK

(1954; 1959; 1964);

WENZEL

XII.

1.

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem Problemstellung

Wird der "optimale" Informationsstand mit Hilfe eines "exakten" Informationswertkalküls ermittelt, in dem für jedes mögliche Informationsergebnis die optimale Alternative antizipiert wird, so ist das Entscheidungsproblem bereits vollständig gelöst: Die betreffenden Informationen werden beschafft und die dem erzielten Informationsergebnis entsprechende Alternative wird realisiert. (Erweist es sich als optimal, keine Informationen zu beschaffen, so wird diejenige Alternative gewählt, die bezüglich der a priori-Wahrscheinlichkeiten als optimal erscheint.) Es ist unmittelbar einleuchtend, daß es in komplexeren Situationen kaum möglich sein wird, im Rahmen eines umfassenden Informationswertkalküls über alle Einzelheiten möglicher Folgemaßnahmen bedingte Entscheidungen zu treffen. Es besteht die Notwendigkeit der Vereinfachung. Die Bedeutung des Informationswertkonzepts besteht primär darin zu zeigen, welche Determinanten den Informationswert bestimmen und wie er von ihnen abhängt. Damit bietet es Orientierungshilfe für die Entscheidung darüber, ob zusätzliche Informationen eingeholt werden sollen oder nicht. Da im Rahmen eines Informationswertkalküls die möglichen Informationsergebnissen entsprechenden Maßnahmen nur mehr oder weniger global antizipiert werden (können), ist nach Beschaffung der relevanten Informationen über Alternativen und deren Konsequenzen das Informationsproblem noch nicht endgültig gelöst. Der Entscheider muß sich nun ein fundiertes Urteil darüber bilden, welche Alternative im Licht des erzielten Informationsergebnisses optimal ist. Da die anderen, ursprünglich als möglich erachteten Informationsergebnisse nicht mehr berücksichtigt werden müssen, können nun die vorliegenden Informationen viel gründlicher "verarbeitet" werden als dies im Rahmen des ursprünglichen Informationswertkalküls in bedingter Weise möglich war. Es ist daher in der Regel zweckmäßig, nach Vorliegen des Informationsergebnisses ein Entscheidungsmodell zu formulieren, das (noch) bessere probabilistische Rückschlüsse auf die "Qualität" der erwogenen Alternativen (deren Präferenzwerte) ermöglicht. Zwar werden bei der Lösung eines Entscheidungsmodells "nur" tautologische Umformungen vorgenommen, so daß aus dem Modell nicht mehr "herausgeholt" werden kann als das, was "hineingesteckt" worden ist. Trotzdem kann die Modellösung zu wichtigen entscheidungsrelevanten Indikatoren für die Beurteilung der Qualität der erwogenen Alternativen führen.

374

Kapitel XII

Angenommen es sei darüber zu entscheiden, welche von mehreren Investitionsprojekten, deren Einzahlungsüberschüsse bekannt sind, realisiert werden soll. Obwohl die Überschüsse bereits bekannt sind, kann es schwierig sein zu erkennen, welche Alternative optimal ist. Die Anwendung der Kapitalwertmethode führt zu Indikatoren (den Kapitalwerten), die darüber informieren, wie die einzelnen Investitionsaltemativen das Vermögen des Entscheiders beeinflussen. Obwohl diese Informationen "nur" durch rechnerische Umformungen gewonnen wurden, sind sie von großer Bedeutung für die Entscheidungsfindung. Die Formulierung eines Entscheidungsmodells zur Beurteilung der Qualität von Handlungsaltemativen stellt ihrerseits ein Entscheidungsproblem dar. Da es dem eigentlichen Entscheidungsproblem (welche Alternative A^ soll gewählt werden?) vorgelagert ist, wird es als Vorentscheidungsproblem bezeichnet. Bei der Lösung dieses Problems geht es im Kern darum, in welchem "Umfang" und in welcher Weise gegebene Informationen im Modell abgebildet werden sollen. Dabei besteht in realen Entscheidungssituationen stets die Notwendigkeit, zu vereinfachen. Daher ist es nicht ohne weiteres sinnvoll, die vom Modell als optimal ausgewiesene Lösung tatsächlich zu realisieren. Vielmehr stellt sich folgendes Entscheidungsproblem: Soll die Lösung realisiert werden? Soll im Licht von Informationen, die nicht explizit in das Modell eingegangen sind, die Lösung revidiert und die betreffende Alternative realisiert werden? Soll das Modell seinerseits revidiert und eine neue (vorläufige) Lösung ermittelt werden? Bei der Anwendung von Entscheidungsmodellen geht es - wie bei jeder anderen Form der Informationsbeschaffung auch - um eine Abwägen von Wert und Kosten der Informationen. Dabei ist es bei gegeben Kosten nicht ohne weiteres sinnvoll, eine möglichst "realitätsnahe" oder "originalgetreue" Abbildung im Modell vorzunehmen. Es geht primär darum, das Modell so zu formulieren, daß seine Lösung gute (probabilistische) Rückschlüsse auf die Qualität von Entscheidungen ermöglicht. Werden im Modell als entscheidungsrelevant vermutete Sachverhalte vernachlässigt (um die Planungskosten zu reduzieren), kann es sinnvoll sein, noch weitere Vereinfachungen vorzunehmen, um "Verzerrungen" vorzubeugen. Im vorliegenden Kapitel wird die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als (Vor-) Entscheidungsproblem untersucht. Im Vordergrund steht dabei die Diskussion der Möglichkeiten und Konsequenzen von Modellvereinfachungen. Zugleich werden Grenzen der Anwendung des entscheidungstheoretischen Instrumentariums im Hinblick auf die Lösung des Vorentscheidungsproblems verdeutlicht. Von Modellvereinfachung wird im folgenden nicht nur dann gesprochen, wenn ein bereits konkret vorliegendes Modell nachträglich vereinfacht wird; eine Modellvereinfachung erfolgt in der Regel in der Weise, daß von vornherein darauf verzichtet wird, ein komplexeres Modell zu formulieren.

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

375

Die folgenden Ausführungen sind zum Teil recht allgemein. Es werden wie in der Entscheidungstheorie üblich - Grundprobleme diskutiert, die allen Entscheidungssituationen (bei Risiko) gemeinsam sind. Konkretere Aussagen über die Auswirkungen von Vereinfachungen können nur dann abgeleitet werden, wenn Anwendungsmodelle formuliert werden, die auf spezielle Problemstellungen und konkrete Entscheidungssituationen bezogen sind, wie z.B. die Ansätze der Investitionsplanung 1), der Untemehmensbewertung^) oder die Ansätze zur Optimierung der Kassenhaltung^). Abschnitt 2 befaßt sich mit der Notwendigkeit der Vereinfachung und mit einigen allgemeinen Grundformen der Vereinfachung. In den Abschnitten 3 und 4 werden für ein einstufiges und ein mehrstufiges Entscheidungsmodell spezifische Formen der Vereinfachung diskutiert. In Abschnitt 5 wird insbesondere die Anspruchsanpassungstheorie als Konzept der Modellvereinfachung untersucht und gewürdigt. In Abschnitt 6 wird gezeigt, wie der Entscheidungsprozeß durch sukzessive Einengung und Präzisierung des Entscheidungsproblems vereinfacht werden kann. Abschnitt 7 befaßt sich mit der praktischen Bedeutung (mehr oder weniger "willkürlich") vereinfachter Entscheidungsmodelle.

2.

Notwendigkeit und Grundformen der Vereinfachung

Bei der Konstruktion eines Entscheidungsmodells kann der Entscheider höchstens diejenigen Aspekte seines jeweiligen Entscheidungsproblems berücksichtigen, die er (nach einem mehr oder weniger kreativen Analyseprozeß) überhaupt wahrnimmt. Da seine Erkenntnismöglichkeiten hinsichtlich der Wirklichkeit begrenzt sind (es werden z.B. objektiv mögliche Alternativen nicht erkannt und/oder mögliche Folgen erwogener Alternativen übersehen), wäre ein Entscheidungsmodell selbst dann eine vereinfachte Darstellung der Realität, wenn der Entscheider alle wahrgenommenen Aspekte des Entscheidungsproblems getreu seiner Wahrnehmung im Modell abbilden würde. Ein Entscheidungsmodell, das alle jene Aspekte originalgetreu abbildet, die der Entscheider wahrnimmt und von denen er glaubt, daß sie für eine optimale Entscheidung von Bedeutung sein könnten, wird in dieser Arbeit als "vollständig" bezeichnet. Im allgemeinen ist der Entscheider trotz der bereits darin enthaltenen Vereinfachung gegenüber der Realität nicht in der Lage, ein vollständiges Modell zu formulieren. Die Konstruktion und Lösung eines solchen Modells erfordert einen Planungsaufwand, der nicht be1)

Die Auswirkungen von Vereinfachungen bei der Investitionsplanung werden u.a. untersucht von KRUSCHWITZ (1976, 1977) und INDERFURTH (1979).

2) 3)

Vgl. BALLWIESER (1980). Vgl. BALLWIESER (1978).

376

Kapitel XII

wältigt werden kann. Unter Berücksichtigung der grundsätzlich mit der Formulierung und Lösung eines Modells verbundenen Kosten^) erscheint die Formulierung eines vollständigen Entscheidungsmodells nicht nur unmöglich, sondern auch unzweckmäßig. Es besteht ein Zwang zur Vereinfachung. In der Realität gibt es also grundsätzlich nicht das vollständige ("exakte") Entscheidungsmodell; es ist eine Fiktion. Die Zielvorstellungen und die (wahrgenommenen) Handlungsmöglichkeiten sowie die für möglich erachteten Ergebnisse werden im Vergleich zu einem (fiktiven) vollständigen Modell immer nur in mehr oder weniger grober Weise abgebildet: Bei der Konstruktion eines Entscheidungsmodells stellt sich somit nicht das Problem, ob vereinfacht werden soll, sondern wie die Modellvereinfachung vorgenommen werden soll. Vereinfachungen können u.a. in folgenden Phasen des Problemlösungsprozesses erfolgen: 1. Ein bereits konstruiertes, konkretes Entscheidungsmodell wird im nachhinein vereinfacht, indem z.B. Entscheidungsvariablen vernachlässigt werden (es werden also weniger Aktionsmöglichkeiten berücksichtigt) und/oder nichtlineare Funktionen durch lineare ersetzt werden (gewisse Beziehungen werden also weniger genau abgebildet). Solche Vereinfachungsmaßnahmen können jedoch nur noch dazu dienen, die (numerische) Ermittlung einer Lösung des Modells zu erleichtem. 2. Grundsätzlich ist es weder möglich noch sinnvoll, erst ein vollständiges Entscheidungsmodell zu konstruieren und dieses dann ex post zu vereinfachen (um den Rechenaufwand zu verringern). Die Vereinfachung muß schon in der Phase der Modellkonstruktion erfolgen; sie besteht im Verzicht auf die Konstruktion eines komplexeren Modells. Es ist natürlich auch möglich, zunächst ein vereinfachtes Entscheidungsmodell zu konstruieren und dieses anschließend - nachdem die Zusammenhänge relativ gut überschaubar geworden sind - noch weiter zu vereinfachen, um den Aufwand bei der Ermittlung einer Lösung zu verringern. Art und Ausmaß der Vereinfachung eines Entscheidungsmodells stellen ihrerseits ein Entscheidungsproblem dar {Vorentscheidungsproblem). Da grundsätzlich nicht bekannt ist, zu welchen Konsequenzen eine Modellvereinfachung führen wird, handelt es sich um ein Entscheidungsproblem bei Unsicherheit. 4)

Diese Kosten entstehen in Form von Ausgaben und/oder Opportunitätskosten. Ausgaben entstehen z.B. dann, wenn Computerstunden zur Berechnung der optimalen Lösung eines Entscheidungsmodells gekauft werden. Opportunitätskosten können z.B. dadurch entstehen, daß der Entscheider aufgrund der Beschäftigung mit einem Entscheidungsproblem andere Aufgaben nur noch weniger gut oder gar nicht mehr wahrnehmen kann. Außerdem ist es möglich, daß bestimmte Alternativen nicht mehr durchgeführt werden können und/oder zu weniger guten Ergebnissen fuhren, wenn erst im Rahmen eines langwierigen Kalküls überprüft wird, ob sie vorteilhaft sind oder nicht; die damit verbundenen Nachteile stellen ebenfalls Opportunitätskosten dar.

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

377

Bei der Konstruktion eines Entscheidungsmodells stellen sich folgende Grundprobleme: (a) Welches A-Modell soll angewendet werden? (b) Wie soll das gewählte A-Modell zu einem K-Modell spezifiziert werden? (Zur Definition von A- und K-Modellen vgl. Kapitel I, Abschnitt 5.3.2.) Beide Problemkreise sind unter dem Aspekt der Vereinfachung zu lösen: Zu (a). Mit der Wahl eines bestimmten A-Modells wird der allgemeine Rahmen für die Modellkonstruktion festgelegt. Eine Vereinfachung kann demnach zunächst in der Weise erfolgen, daß von zwei erwogenen Modelltypen jener mit der einfacheren Grundstruktur gewählt wird. Eine derartige Vereinfachung erfolgt z.B. dann, wenn zur Lösung eines mehrstufigen Entscheidungsproblems bei Risiko statt eines Modells der flexiblen Planung ein deterministischer Ansatz herangezogen wird, wobei in Zukunft die Pläne entsprechend der eintretenden Umweltentwicklung revidiert werden. Auch innerhalb des Konzepts der flexiblen Planung bieten sich verschiedene A-Modelle an. In komplizierteren Entscheidungssituationen kann sich z.B. ein niedrigerer Planungsaufwand ergeben, wenn statt des "Roll-Back"-Verfahrens (auf der Grundlage eines Entscheidungsbaumes) ein Modell der mathematischen Programmierung (unmittelbar auf der Grundlage des Zustandsbaumes) angewendet wird. Zu (b). Das Problem, ob und wie vereinfacht werden soll, stellt sich auch bei der konkreten Anwendung eines bestimmten A-Modells (also bei der Überführung des betreffenden A-Modells in ein K-Modell). Es können diesbezüglich zwei grundlegende Möglichkeiten unterschieden werden: (b.l) Die (logische) Struktur des A-Modells wird derart vereinfacht, daß (abgesehen von den geringeren Planungskosten) in jeder konkreten Entscheidungssituation jeweils dasselbe Ergebnis erzielt wird wie im nicht vereinfachten Modell. (Ein Beispiel für eine derartige Vereinfachung findet sich in LAUX (1993, Kapitel XVII) für ein Modell der Informationsbewertung. Die beschriebene Vereinfachung erspart gewisse Rechenoperationen. Trotzdem ergibt sich logisch zwingend derselbe Informationswert wie bei Verzicht auf Vereinfachung.) (b.2) Bei der praktischen Anwendung eines A-Modells werden darin relevante Aspekte des zu lösenden, konkreten Entscheidungsproblems nur teilweise und/oder in vereinfachter Form abgebildet. Eine solche Vereinfachung kann u.a. in der Weise erfolgen, daß - nur ein Teil der bekannten Aktionsmöglichkeiten im Modell berücksichtigt wird, - die möglichen Folgen der berücksichtigten Aktionen unvollständig bzw. ungenau abgebildet werden und/oder - die Zielfunktion vereinfacht wird (z.B. wird für einen risikoscheuen Entscheider angenommen, er sei risikoneutral).

378

Kapitel XII

Für die Entscheidung darüber, wie diese Vereinfachung erfolgen soll, sind zum einen von Bedeutung - die Kosten der Formulierung und Lösung des konkreten Modells {Planungskosten) und zum anderen - der Ertrag, der mit der Kenntnis der Modellösung verbunden ist (m.a.W.: die "Güte" der Entscheidung, zu der das Modell führen wird). Vor allem der Ertrag läßt sich in der Regel nur schwer abschätzen. Es mag naheliegen, bei gegebenen Kosten der Planung im Rahmen der Modellkonstruktion eine möglichst "originalgetreue" Abbildung der Realität anzustreben (was immer das auch heißen mag). Dieses Vorgehen ist jedoch nicht ohne weiteres sinnvoll. Es kommt primär nicht darauf an, daß das Modell möglichst originalgetreu ist, sondern, daß es zu einer (möglichst) guten Entscheidung führt. Eine größere Annäherung des Modells an die Realität hat nicht notwendig eine bessere Entscheidung zur Folge. Im Gegenteil: Eine weitere Vernachlässigung von Aspekten der Realität kann gerade zu einer besseren Entscheidung führen. Angenommen, ein Modell werde vereinfacht, indem eine mögliche Umweltentwicklung vernachlässigt wird. Dadurch ergeben sich gewisse Verzerrungen, weil die Ergebnisse der erwogenen Alternativen für diese Umweltentwicklung nicht berücksichtigt werden. Dieser Verzerrung kann u.U. dadurch begegnet werden, daß auch andere Umweltentwicklungen vernachlässigt werden. Die Möglichkeiten und Konsequenzen der Vereinfachung im Rahmen eines bestimmten Modelltyps hängen außer von der konkreten Entscheidungssituation auch von der Struktur des jeweiligen Modelltyps ab. Im folgenden sollen für zwei ausgewählte Modelltypen spezifische Formen der Vereinfachung diskutiert werden.

3. 3.1.

Einstufiges Entscheidungsmodell Zur Modellstruktur

Zunächst werden einstufige Entscheidungsprobleme betrachtet: Zu einem bestimmten Zeitpunkt ist aus der Menge mehrerer Alternativen eine auszuwählen. Das Ergebnis der gewählten Alternative hängt vom eintretenden Zustand ab. Die Entscheidung (d.h. die Auswahl der Alternative) wird auf der Basis einer Ergebnismatrix getroffen. Am Beispiel dieses Konzepts lassen sich in anschaulicher Weise typische Möglichkeiten der Modellvereinfachung diskutieren, die auch für andere Modellstrukturen relevant sind.

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

3.2.

379

Vernachlässigung von Alternativen

Die erste Möglichkeit der Vereinfachung einer Ergebnismatrix besteht darin, Alternativen zu vernachlässigen (bzw. nicht näher in Betracht zu ziehen): Wenn bereits vor Konstruktion einer Ergebnismatrix offensichtlich ist, daß mehrere Alternativen in jedem Zustand jeweils dasselbe Ergebnis bieten, so genügt es, nur eine dieser Alternativen in die Ergebnismatrix aufzunehmen. Alternativen, die von einer anderen Alternative dominiert werden, können ebenfalls vernachlässigt werden, ohne daß die Vereinfachung zu einem Nachteil führen kann. Bieten mehrere Alternativen in jedem Zustand jeweils ähnliche Ergebnisse, ist es immer noch naheliegend, nur eine dieser Alternativen zu berücksichtigen; dadurch sinken die Planungskosten ohne daß besondere Nachteile entstehen können.

3.3.

Vereinfachung bei der Erfassung der Zustände

3.3.1. Vorbem erkung Eine zweite Möglichkeit der Vereinfachung besteht darin, - einen oder mehrere Zustände völlig zu vernachlässigen und/oder - Teilmengen von Zuständen jeweils durch einen "mittleren" Zustand zu repräsentieren. Die möglichen Folgen derartiger Vereinfachungen werden am Beispiel der folgenden Ergebnismatrix verdeutlicht: w(Si)

w(S2)

w(S3)

w(S4)

w(S5)

w(S6)

Si

S2

S3

S4

Al

150

160

S5

S6

160

161

100

8

A2

80

150

150

154

100

16

A3

180

132

132

135

100

20

Matrix XII. 1: Ergebnismatrix Die Betrachtung einer bereits konstruierten Ergebnismatrix hat didaktische Gründe. Im allgemeinen ist es nicht sinnvoll, erst eine Ergebnismatrix zu erstellen und diese dann nachträglich (durch Vernachlässigung und/oder Zusammenfassung von Ergebnisspalten) zu vereinfachen. Die Vereinfachung sollte schon während der Konstruktion der Ergebnismatrix erfolgen.

380

Kapitel XII

3.3.2. Völlige Vernachlässigung von Zuständen Die Vernachlässigung eines oder mehrerer möglicher Zustände erspart die Bestimmung der entsprechenden Spalten der Ergebnismatrix. Ein Zustand kann ohne weiteres vernachlässigt werden, wenn alle erwogenen Alternativen in diesem Zustand dasselbe Ergebnis bieten; die Vereinfachung trifft in diesem Fall alle Alternativen gleichermaßen und die Präferenzordnung über die Alternativen bleibt unverändert. Die Vernachlässigung eines Zustandes ist auch dann naheliegend, wenn die Ergebnisse aller Alternativen in diesem Zustand ähnlich sind. Ist die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes sehr niedrig, kann es zweckmäßig sein, ihn auch dann zu vernachlässigen, wenn in diesem Zustand die Ergebnisse der verschiedenen Alternativen stark voneinander abweichen. Die völlige Vernachlässigung vieler Zustände kann jedoch selbst bei geringer Wahrscheinlichkeit problematisch sein, da sich die jeweiligen Fehler derart kumulieren können, daß eine sehr nachteilige Alternative gewählt wird. Zur Verdeutlichung dient die Ergebnismatrix XII. 1: Auch wenn die Planung keine Kosten verursacht, kann die Berücksichtigung des Zustandes S5 keinen Vorteil mit sich bringen. Wird dieser Zustand vernachlässigt, sinkt für jede Alternative der Nutzenerwartungswert um denselben Betrag w(S5)U(IOO), wobei die Rangordnung über die Nutzenerwartungswerte - und somit auch die Präferenzordnung über die Alternativen - nicht beeinflußt wird.^) Wird z.B. der Zustand S5 (ersatzlos) vernachlässigt, so ändern sich die Nutzenerwartungswerte der drei Alternativen in unterschiedlichem Maße. Ist jedoch die Wahrscheinlichkeit w(S6) sehr gering, so sind auch die absoluten Werte der jeweiligen Änderungen sehr gering. Es ist dann zu erwarten, daß sich die Alternative mit dem höchsten "exakten" Erwartungswert des Nutzens auch bei Vernachlässigung des Zustandes S5 als optimal erweist. Sind allerdings die exakten Nutzenerwartungswerte annähernd gleich, so können auch schon relativ kleine Fehler bewirken, daß eine andere Alternative gewählt wird als bei Berücksichtigung des Zustandes S^; dies hat dann aber keine schwerwiegenden Konsequenzen, da die exakten Erwartungswerte ohnehin annähernd gleich sind. Bei praktischer Planung werden häufig nur drei "Fälle" (Zustände bzw. Umweltentwicklungen) berücksichtigt, nämlich der "wahrscheinlichste". 5)

Voraussetzung ist allerdings, daß bei Vernachlässigung des Zustandes S5 die Eintrittswahrscheinlichkeiten der anderen Zustände nicht verändert werden. Die Summe der in der (vereinfachten) Ergebnismatrix aufgefiihrten EintrittswahrscheinHchkeiten ist dann zwar kleiner als 1. Dies ist jedoch völlig unproblematisch. Bei erneuter Normierung der verbleibenden Eintrittswahrscheinlichkeiten wird nur dann zwingend die beste Alternative (also jene mit dem höchsten "exakten" Nutzenerwartungswert) gewählt, wenn diese Wahrscheinlichkeiten in demselben Verhältnis erhöht werden.

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

381

der "schlechteste" ("worst case") und der "beste" Fall ("best case"). Für jeden Fall werden die Ergebnisse der erwogenen Alternativen antizipiert. (Bei mehrperiodiger Planung werden die Sequenzen von Ergebnissen - z.B. von Gewinnen oder Einzahlungsüberschüssen - geplant.) Dabei bezeichnet "best case" bzw. "worst case" nicht unbedingt die beste bzw. die schlechteste aller möglichen Entwicklungen. Die Wahrscheinlichkeit der betreffenden Entwicklung kann so niedrig sein, daß sie für die Beurteilung der Qualität der Alternativen nur geringe Bedeutung hat. Das Risiko kann transparenter gemacht werden, indem als "best case" bzw. als "worst case" eine Entwicklung mit höherer Wahrscheinlichkeit zugrunde gelegt wird. Der "best case" ist dann nicht der beste aller möglichen Entwicklungen, sondern der beste der im Kalkül berücksichtigten. Das Analoge gilt für den "worst case". 3.3.3. Repräsentation stand

mehrerer Zustände durch einen (mittleren)

Zu-

Entsprechen verschiedenen Zuständen (annähernd) dieselben Ergebnisspalten, ist es naheliegend, diese Zustände nicht explizit in der Ergebnismatrix aufzuführen, sondern durch einen (mittleren) Zustand zu ersetzen. Zur Veranschaulichung dient wieder die Ergebnismatrix XII. 1. Hier genügt es, die Zustände S2 und S3 in einem Zustand S23 zu erfassen, dem dann die Wahrscheinlichkeit w(S2)+w(S3) zugeordnet wird. Da die Handlungsaltemativen im Zustand S4 jeweils ähnliche Ergebnisse bieten wie in den Zuständen S2 und S3, mag es naheliegen, sogar die Zustände S2 bis S4 zu einem Zustand zusammenzufassen; dabei wird diesem aggregierten Zustand entweder die Gewinnspalte für den Zustand S2 (bzw. S3) oder S4 zugeordnet oder es werden Mittelwerte gebildet.

3.4.

Vereinfachung bei der Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils

Eine dritte Vereinfachungsmöglichkeit besteht bei der Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils über die Zustände. In Kapitel X wird gezeigt, wie ein Entscheider seine subjektiven (und zunächst noch "verborgenen") Wahrscheinlichkeitsvorstellungen auf der Basis einfacher (hypothetischer) Entscheidungsprobleme ans "Licht bringen" (messen) kann. Dieses indirekte Vorgehen ist aber - vor allem bei zahlreichen Zuständen - recht aufwendig. Demgegenüber kann eine Vereinfachung z.B. in der Weise erfolgen, daß die subjektiven Wahrscheinlichkeiten in mehr oder weniger grober Form direkt geschätzt werden. Danach hat der Entscheider immer noch die Möglichkeit, wenigstens einen Teil dieser direkt festgelegten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe einer indirekten Methode zu überprüfen. Dabei testet er

382

Kapitel XII

auf der Basis einfacher (hypothetischer) Entscheidungssituationen, ob er sich im Einklang mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten verhält; ist das nicht der Fall, so kann er sein Wahrscheinlichkeitsurteil überdenken und gegebenenfalls revidieren. (Zu möglichen Folgen einer groben Abschätzung subjektiver Wahrscheinlichkeiten vgl. Kapitel X, Abschnitt 6.)

3.5.

Vereinfachung bei der Darstellung der Ergebnisse

Eine weitere Vereinfachungsmöglichkeit besteht darin, die Ergebnisse der Alternativen weniger genau zu beschreiben. Der Entscheider überprüft dann nicht mehr exakt, zu welchen Ergebnissen die Alternativen in den einzelnen Zuständen führen, sondern setzt mehr oder weniger grobe Schätzwerte ein. Ein solches Vorgehen kann vor allem im Hinblick auf Zustände mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit sinnvoll sein. Der Entscheider kann auch Zielgrößen, die an sich für ihn relevant sind, bei der Beschreibung der Ergebnisse vernachlässigen und nur die "gewichtigeren" Zielgrößen berücksichtigen.

3.6.

Vereinfachung bei der Bestimmung der Nutzenfunktion

Schließlich besteht die Möglichkeit, Vereinfachungen bei der Ermittlung der Nutzenfunktion vorzunehmen. Dabei werden nur für einige der möglichen Ergebnisse die Nutzenwerte explizit nach dem in Kapitel VI, Abschnitt 3.2.2, beschriebenen Konzept bestimmt, während die Nutzenwerte für die anderen Ergebnisse mehr oder weniger grob geschätzt werden. Orientiert sich der Entscheider z.B. nur an einer Zielgröße, werden die Nutzenwerte (die Indifferenzwahrscheinlichkeiten) nur für einige Zielgrößenwerte explizit bestimmt. Danach wird die Nutzenfunktion approximativ so festgelegt, daß sie durch die zuvor bestimmten Punkte verläuft (vgl. Kapitel VI, Abschnitt 3.2.2).

3.7.

Zur Abschätzung der Konsequenzen von Vereinfachungsmaßnahmen

Zur Beantwortung der Frage, in welcher Weise das Entscheidungsmodell vereinfacht werden soll, muß sich der Entscheider ein Urteil bilden über die möglichen Konsequenzen alternativer Varianten der Vereinfachung. Wäre die Ergebnismatrix bereits vollständig beschrieben, so wären die Konsequenzen einer nachträglichen Vereinfachung (z.B. einer Vernachlässigung von Zuständen und/oder von Alternativen) noch relativ gut überschaubar. Wenn jedoch die Ergebnismatrix bereits erstellt ist, kann durch

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

383

eine nachträgliche Vereinfachung allenfalls der Rechenaufwand im Hinblick auf die Bestimmung der Nutzenerwartungswerte der Alternativen verringert werden. Der wesentliche Planungsaufwand wird aber gerade durch die Konstruktion der Ergebnismatrix verursacht: Es müssen Alternativen gefunden (bzw. erfunden) und beschrieben werden, es muß überprüft werden, von welchen Daten die Ergebnisse abhängen usw.. Damit überhaupt eine ins Gewicht fallende Verringerung der Planungsarbeit erreicht wird, müssen schon vor Kenntnis der "genauen" Ergebnismatrix Vereinfachungen vorgenommen werden. Dann sind aber nur vage Anhaltspunkte über die Konsequenzen der Modellvereinfachung (d.h. des Verzichts auf stärkere Durchdringung des eigentlichen Entscheidungsproblems) gegeben. Zur Verdeutlichung: Die Entscheidung, eine bestimmte Alternative nicht weiter auf ihre Vorteilhaftigkeit hin zu überprüfen, wird im allgemeinen schon zu einem Zeitpunkt getroffen, in dem noch nicht genau untersucht worden ist, welche möglichen Ergebnisse ihr entsprechen und welche Wahrscheinlichkeiten sie aufweisen. Würden die möglichen Ergebnisse und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten "genau" überprüft, um besser beurteilen zu können, ob sich eine weitere Berücksichtigung der Alternative im Entscheidungskalkül lohnt, könnte sich keine wesentliche Vereinfachung mehr ergeben: Bei Vernachlässigung der Alternative würde nur noch die Berechnung ihres Nutzenerwartungswertes entfallen. Weitere Schwierigkeiten werden daran ersichtlich, daß viele Alternativen zunächst nur äußerst unscharf definiert sind. So mag z.B. eine Alternative "Bau eines Zweigwerkes" lauten, wobei Standort, Größe und Art der Finanzierung noch weitgehend offen sind. Die betreffende Alternative repräsentiert mithin ein ganzes Bündel noch näher zu beschreibender Alternativen. Die Vernachlässigung der Alternative "Bau eines Zweigwerkes" im weiteren Entscheidungsprozeß bedeutet somit die Vernachlässigung einer Vielzahl von Alternativen. Da diese noch gar nicht spezifiziert sind, ist nur schwer abzuschätzen, welche Konsequenzen sich dabei ergeben (können). Die Entscheidung, einen möglichen Zustand im Kalkül zu vernachlässigen, wird i.d.R. schon zu einem Zeitpunkt getroffen, in dem nur vage Vorstellungen darüber bestehen, welche Wahrscheinlichkeit man ihm zuordnet und welche Ergebnisse die Alternativen in diesem Zustand bieten. Würden diese Vorstellungen präzisiert, um die Konsequenzen einer Vernachlässigung des Zustandes besser beurteilen zu können, so entstünde von vornherein jener Planungsaufwand, den man zu vermeiden sucht.

384

4. 4.1.

Kapitel XII

Mehrstufiges Entscheidungsmodell Zur Modellstruktur

In diesem Abschnitt werden Möglichkeiten und Konsequenzen der Vereinfachung im Rahmen eines sequentiellen Entscheidungsmodells bei Risiko diskutiert (vgl. zu diesen Modellen Kapitel IX). Dabei wird angenommen, - zu den Zeitpunkten 1,2,...,T sei zwischen verschiedenen Aktionen zu wählen und - die Entscheidung werde nach dem Prinzip der flexiblen Planung getroffen. Es wird kein spezielles Modell der flexiblen Planung zugrunde gelegt. Die zu diskutierenden Varianten der Modellvereinfachung können unabhängig davon angewendet werden, ob die flexible Planung mit Hilfe der mathematischen Programmierung erfolgt oder z.B. nach dem "Roll-Back"-Verfahren. Es darf aber nicht übersehen werden, daß eine bestimmte Variante der Vereinfachung den Planungsaufwand in sehr unterschiedlicher Weise verringern kann, je nachdem, welches A-Modell der flexiblen Planung zugrunde gelegt wird.

4.2.

Das betrachtete Grundkonzept: Vereinfachung durch Globalplanung zukünftiger Maßnahmen

Die flexible Planung dient in erster Linie dazu, unsichere zukünftige Entwicklungen und Handlungsmöglichkeiten bei der Entscheidung über die gegenwärtigen Aktionsmöglichkeiten zu berücksichtigen. Sie zielt darauf hin, daß gegenwärtig ein solches Aktionsprogramm gewählt wird, das einen "guten" Entscheidungsspielraum für zukünftige Entwicklungen offen läßt. Bei Verzicht auf Modellvereinfachung würde bereits zum Zeitpunkt 1 eine umfassende Strategie bis zum Zeitpunkt T erarbeitet werden. Der Entscheider würde also für alle als möglich erkannten Umweltentwicklungen eine Folge detaillierter Eventualpläne erstellen und von diesen Plänen allenfalls dann abweichen, wenn eine bisher nicht als möglich erkannte Umweltentwicklung eintritt und/oder neue Aktionsmöglichkeiten entdeckt werden. Falls derartige Ereignisse nicht eintreten, würden sich (bei Verzicht auf Modellvereinfachung) in Zukunft weitere Planungsaktivitäten erübrigen: Der Entscheider realisiert dann im Zeitablauf jene der vorliegenden (bedingten) Teilpläne, die der eintretenden Umweltentwicklung entsprechen. Es ist unmittelbar einleuchtend, daß eine solch umfassende Planung in der Realität nicht möglich oder zumindest nicht sinnvoll ist. Es stellt sich wieder das Problem der Vereinfachung. Im Prinzip sind die gleichen Ver-

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

385

einfachungsmöglichkeiten gegeben wie im einstufigen Modell. Im Vordergrund der folgenden Darstellungen stehen diejenigen Varianten der Vereinfachung, die für das Konzept der flexiblen Planung besondere Bedeutung haben. Im Rahmen dieses Konzepts kann eine Vereinfachung vor allem in der Weise erfolgen, daß zum Zeitpunkt 1 noch keine umfassende Strategie bis zum Zeitpunkt T bestimmt wird: Ein Detailplan wird zunächst nur für die Aktionen des Zeitpunkts 1 erstellt. Damit diese Aktionen zu einer guten Ausgangsposition für spätere Anpassungen an mögliche Umweltentwicklungen führen, werden die zukünftigen Folgemaßnahmen nicht völlig vernachlässigt. Sie werden jedoch nur in Form einer Grobplanung erfaßt, d.h. es werden für zukünftige Entscheidungszeitpunkte - relativ wenige Eventualpläne erstellt, - die mehr oder weniger umrißartig vorsehen, was jeweils zu tun ist {Global- oder Grobpläne). Die Aktionen eines zukünftigen Zeitpunkts t (t = 2,3,...,T) werden erst zu diesem Zeitpunkt detailliert festgelegt, wobei im Prinzip ebenso vorgegangen wird wie bei der Erstellung des (Detail-) Planes für den Zeitpunkt 1 (rollende flexible Planung). Bei einem derartigen Planungskonzept erfolgen im Zeitablauf stets neue Planungsaktivitäten. Dabei werden je nach der eintretenden Umweltentwicklung - vorhandene (bedingte) Teilpläne revidiert und/oder detailliert (detaillierter) ausgearbeitet bzw. - völlig neue Detailpläne bzw. Globalpläne für spätere Zeitpunkte erstellt. Folgende Formen der Vereinfachung sollen nun näher betrachtet werden: - Vereinfachung des Zustandsbaumes, - Vereinfachung bei der Erfassung von Aktionsmöglichkeiten. Grundsätzlich dürfte es bei der praktischen Planung sinnvoll sein, beide Varianten miteinander zu verbinden. Trotzdem sollen sie hier getrennt diskutiert werden, wodurch der Einblick in die Zusammenhänge erleichtert wird.

4.3. 4.3.1.

Vereinfachung des Zustandsbaumes Überblick

Eine Vereinfachung des Zustandsbaumes kann dadurch erfolgen, daß - mögliche Umweltentwicklungen (Zustandsfolgen) völlig vernachlässigt oder Teilmengen möglicher Umweltentwicklungen durch jeweils "mittlere" Zustandsfolgen repräsentiert werden und/oder - einige Umweltentwicklungen, die ins Modell einbezogen werden, nicht explizit bis zum Zeitpunkt T, sondern nur bis zu einem früheren Zeitpunkt T* < T erfaßt werden.

386

Kapitel XII

4.3.2. Vernachlässigung und Zusammenfassung Um weiten twicklungen

von

Die völlige Vernachlässigung einzelner Umweltentwicklungen ist vor allem dann naheliegend, wenn sie als äußerst unwahrscheinlich anzusehen sind. Die Zusammenfassung eines Bündels von Umweltentwicklungen zu einer mittleren Entwicklung liegt dann nahe, wenn die entsprechenden entscheidungsrelevanten Daten nur wenig voneinander abweichen. Werden mögliche Umweltentwicklungen vernachlässigt oder zusammengefaßt, so sinkt die Zahl der Knoten des Zustandsbaumes und damit auch der Planungsaufwand: Erfolgt die Optimierung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes, sind weniger Entscheidungssituationen zu berücksichtigen. Bei Anwendung eines Programmierungsansatzes sinkt die Zahl der Variablen und Nebenbedingungen des Modells. Das vereinfachte Modell weist keine Pläne für die im Zustandsbaum nicht explizit berücksichtigten Umweltentwicklungen aus. Außerdem ergeben sich für die berücksichtigten Zustände in der Regel andere Teilpläne als bei genauerer Erfassung der Umweltentwicklungen. Das gilt vor allem auch für den Zustand 1 (zum Zeitpunkt 1); der Teilplan für diesen Zustand kann eben nur optimal sein im Hinblick auf die im Modell erfaßten Umweltentwicklungen. Bei Vernachlässigung und/oder Zusammenfassung von Zuständen wird zu Beginn des Planungszeitraumes noch keine vollständige Strategie bis zum Zeitpunkt T bestimmt, so daß im allgemeinen im Zeitablauf immer wieder neue Planungsaktivitäten notwendig werden. So ist es z.B. möglicherweise nicht sinnvoll, zum Zeitpunkt 2 einen jener Eventualpläne zu realisieren, die zu Beginn des Planungszeitraumes für den Zeitpunkt 2 erarbeitet wurden; vielmehr werden zum Zeitpunkt 2 die jeweiligen Aktionen im Rahmen weiterer Planungsmaßnahmen festgelegt. Dies kann z.B. in der Form geschehen, daß einer der bereits vorliegenden Eventualpläne für den Zeitpunkt 2 geringfügig verändert wird, ohne daß ein neues konkretes Modell formuliert und gelöst wird. Dieses Vorgehen ist vor allem dann naheliegend, wenn der tatsächlich eingetretene Zustand einem der in den Eventualplänen angenommenen Zustände sehr ähnlich ist. Bei größeren Unterschieden zwischen dem tatsächlichen Zustand und jenen Zuständen, für die Eventualpläne bereits vorliegen, kann sich die Formulierung und Lösung eines neuen Modells der flexiblen Planung als sinnvoll erweisen. Da nun alle Umweltentwicklungen, die nicht mehr eintreten können, im Modell vernachlässigt werden, können die noch möglichen Entwicklungen umfassender berücksichtigt werden als bei der Ausgangsplanung zum Zeitpunkt 1. Bei Zusammenfassung mehrerer möglicher Umweltentwicklungen zu einer "mittleren" Entwicklung wird für alle diese Umweltentwicklungen dieselbe Folge von Teilplänen erstellt. In der Regel ist es aber selbst dann nicht sinnvoll, diese Teilpläne tatsächlich zu realisieren, wenn eine der be-

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

387

treffenden Umweltentwicklungen eintritt. Denn diese Pläne beziehen sich auf eine fiktive "mittlere" Umweltentwicklung und nehmen nicht konkret Bezug auf die Besonderheiten jener Umweltentwicklungen, die durch die mittlere repräsentiert werden. Es ist daher in aller Regel vorteilhaft, die betreffenden Pläne im Zeitablauf der tatsächlichen Entwicklung anzupassen. Vor allem die völlige Vernachlässigung möglicher Zustandsfolgen kann zu erheblichen Abweichungen vom Optimum führen; dies gilt insbesondere dann, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeiten dieser Entwicklungen hoch sind. Tritt eine vernachlässigte Umweltentwicklung ein, kann z.B. die Zwangsliquidation des Unternehmens erforderlich werden; wäre diese Zustandsfolge von vornherein im Modell berücksichtigt worden, hätte der Entscheider möglicherweise eine Aktionsfolge gewählt, bei der sich das Unternehmen in einer günstigeren Position befände. 4,3.3. Verkürzung des

Planungszeitraumes

Eine andere Vereinfachungsmöglichkeit besteht darin, den Zustandsbaum und mithin auch den Planungszeitraum zu "verkürzen". In diesem Fall werden bei der Planung zum Zeitpunkt 1 nur die Entscheidungen bis zu einem Zeitpunkt T* T * bestimmt werden; dann wird aber die angestrebte Vereinfachung nicht erreicht. Die Auswirkungen der im Planungszeitraum gewählten Aktionen auf die Zeitpunkte t > T * müssen somit durch Wertansätze erfaßt

388

Kapitel XII

werden, die nicht theoretisch "exakt" bestimmt, sondern mehr oder weniger grob geschätzt werden. Auch bei Verkürzung des Planungszeitraums (des Zustandsbaumes) ist es grundsätzlich geboten, mögliche Umweltentwicklungen innerhalb des verkürzten Planungszeitraums völlig zu vernachlässigen bzw. durch jeweils "mittlere" Umweltentwicklungen zu repräsentieren; dies gilt vor allem dann, wenn der verkürzte Planungszeitraum immer noch zahlreiche Entscheidungszeitpunkte (bzw. Perioden) umfaßt. Es besteht auch die Möglichkeit, bestimmte Umweltentwicklungen nur bis zu einem Zeitpunkt T'
Zeitpunkt 1

Zeitpunkt 2

Abb. XII. 1: Ein vereinfachter Zustandsbaum

Zeitpunkt 3

Zeitpunkt 4

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

4.4. 4.4.1.

389

Vereinfachung bei der Erfassung der Aktionsmöglichkeiten Überblick

Es besteht auch die Möglichkeit, bei der Erfassung der (bedingten) Aktionsmöglichkeiten Vereinfachungen vorzunehmen, z.B.: - Aktionsmöglichkeiten für die im Modell erfaßten Zustände werden nicht berücksichtigt (bzw. es wird darauf verzichtet, weitere Aktionsmöglichkeiten zu suchen), - die Aktivitätsniveaus von Aktionsmöglichkeiten werden dem Modell als Daten vorgegeben, - Aktionsmöglichkeiten und deren Konsequenzen werden bei der Formulierung des Modells (zunächst) nur grob umrissen. 4.4.2. Vernachlässigung von

Aktionsmöglichkeiten

Werden Aktionsmöglichkeiten für den Zeitpunkt 1 vernachlässigt, so besteht die Gefahr, daß die Berücksichtigung gerade dieser Aktionsmöglichkeiten im Modell erwiesen hätte, daß sie vorteilhaft sind. Zukünftige Aktionsmöglichkeiten, die zum Zeitpunkt 1 vernachlässigt werden, können zwar bei späterer Planung immer noch in den Entscheidungskalkül aufgenommen werden; trotzdem können sich aus ihrer Vernachlässigung zum Zeitpunkt 1 erhebliche Nachteile ergeben. Die Vernachlässigung zukünftiger Absatzmöglichkeiten z.B. kann dazu führen, daß die Produktionskapazität jetzt nicht vergrößert wird. Später wird es vielleicht nicht mehr möglich sein, die Kapazitäten schnell genug zu erweitern, um die sich bietenden Absatzchancen nutzen zu können. Die Vernachlässigung zukünftiger Investitionsmöglichkeiten kann dazu führen, daß bereits jetzt schon alle finanziellen Mittel gebunden werden, obwohl ihre Anlage in den vernachlässigten Projekten vorteilhafter gewesen wäre.

4.4.3. Vorgabe von

Aktivitätsniveaus

Über bestimmte Teilaktionen kann schon vor der Modellkonstruktion entschieden werden; die gewählten Teilaktionen werden dem Modell als Daten vorgegeben. Beispielsweise könnte im voraus festgelegt werden, daß zum Zeitpunkt 1 die Maschinen A, B und C gekauft werden und zum Zeitpunkt 2 die Maschinen D, E und F, falls dann Zustand 2 eintritt (z.B. die Nachfrage in einer bestimmten Weise steigt). Durch das Modell wird zwar nicht die Vorteilhaftigkeit der vorgegebenen Teilaktionen überprüft, jedoch die der anderen Aktionen unter Berücksichtigung der vorgegebenen Teilaktionen. Die in Abschnitt 4.4.2 aufgezeigte Möglichkeit der Vereinfachung läßt sich als Spezialfall der von Abschnitt 4.4.3 auffassen: Die Aktivitätsni-

390

Kapitel XII

veaus der vernachlässigten Aktionsmöglichkeiten werden auf null festgesetzt. 4,4.4. Grobe Beschreibung zukünftiger Aktionsmöglichkeiten Weiterhin kann vereinfacht werden, indem die zukünftigen Aktionsmöglichkeiten bei der Beschreibung des Modells nur grob umrissen werden. Z.B. werde (auch) erwogen, zu einem zukünftigen Zeitpunkt ein Zweigwerk zu errichten. Zur Vereinfachung der Modellkonstruktion wird dieses Projekt nur in groben Umrissen beschrieben, z.B. durch die Kapazität und das Produktionsvolumen, wobei u.a. noch offen bleibt, welche Maschinen gekauft werden, welche Verfahrenstechnik angewendet und welche Absatzpolitik gewählt wird. Das Modell führt bei derartigen Vereinfachungen nur zu groben Rahmenplänen für zukünftige Zeitpunkte. Auf den relevanten Rahmenplänen aufbauend erfolgt später die Detailplanung, bei der die konkreten Einzelaktionen festgelegt werden. Der Rahmenplan für einen zukünftigen Umweltzustand wird spätestens dann detailliert ausgestaltet, wenn dieser Zustand eingetreten ist. Entsprechend den zunächst nur groben Umrissen zukünftiger Aktionsmöglichkeiten können auch die damit verbundenen Konsequenzen zunächst nur grob geschätzt werden. Z.B. können die mit dem Zweigwerk verbundenen Ein- und Auszahlungen deshalb zunächst nur vage antizipiert werden, weil u.a. noch weitgehend offen ist, welche Maschinen bei Errichtung des Zweigwerkes beschafft, welche Produktmenge hergestellt und welche Preise dafür erzielt werden.

5. 5.1.

Die Modellvereinfachung als (Vor-)Entscheidungsproblem Die Problematik der Bestimmung eines optimalen Komplexionsgrades

Wie erläutert wurde, müssen bei der Konstruktion eines Entscheidungsmodells in der Regel Vereinfachungen vorgenommen werden, weil sonst die Kosten der Planung zu hoch werden oder die Planungskapazität des Entscheiders nicht ausreicht. Dabei ergibt sich das Problem, in welcher Weise eine Vereinfachung vorgenommen werden soll. Dies ist das Problem des optimalen Komplexionsgrades, das sich grundsätzlich für jedes Entscheidungsmodell und jede Planungstechnik stellt. Da es sich auch bei der Bestimmung des optimalen Komplexionsgrades um ein Entscheidungsproblem handelt, mag es naheliegen, dessen Lösung mit Hilfe eines Entscheidungsmodells anzustreben, d.h. ein "Meta-Modell"

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

391

zur Bestimmung des optimalen Komplexionsgrades des eigentlichen Entscheidungsmodells zu konstruieren. In einem solchen Modell müßten jedoch alle relevanten Gegebenheiten (z.B. Handlungsmöglichkeiten und Umweltzustände) berücksichtigt werden, die im eigentlichen Modell (für das der optimale Komplexionsgrad gesucht wird) enthalten sein können. Das Meta-Modell wäre daher mindestens ebenso komplex wie das nicht vereinfachte eigentliche Modell und das Problem der Vereinfachung würde sich jetzt analog für das Meta-Modell stellen. Hierzu müßte ein MetaMeta-Modell formuliert werden, für das sich wieder das Problem der Vereinfachung ergibt usw.. Dieses Vorgehen führt somit zu einem infiniten Regreß. Auf diesem Weg ist das Problem der Modellvereinfachung nicht sinnvoll zu lösen. Eine tatsächliche Vereinfachung wird nur erreicht, wenn die Auswirkung der Vereinfachung nicht theoretisch "exakt" ermittelt wird.

5.2.

Die Vorentscheidung als mehrstufiges Problem

Die Abschätzung der Konsequenzen einer Modellvereinfachung bereitet im allgemeinen große Schwierigkeiten. Das gilt vor allem auch für sequentielle Entscheidungsmodelle. Wären der Zustandsbaum und die jeweiligen Aktionsmöglichkeiten detailliert beschrieben, so wären die Konsequenzen verschiedener Varianten der Modellvereinfachung noch relativ gut überschaubar. Wenn aber der Zustandsbaum sowie die Aktionsmöglichkeiten vollständig beschrieben werden, bevor die Entscheidung über Vereinfachungen im Entscheidungsmodell getroffen wird, wird der Planungsaufwand kaum sinken. Daher sind grundsätzlich ohne genaue Beschreibung des Zustandsbaumes und der (bedingten) Aktionsmöglichkeiten Vereinfachungen des Kalküls vorzunehmen. Dann sind aber die Vorstellungen über die Konsequenzen der Vereinfachung (des Verzichts auf ein tieferes Eindringen in das Entscheidungsproblem) noch sehr vage. Ob eine bestimmte Form der Modellvereinfachung sinnvoll ist oder nicht, läßt sich oft besser beurteilen, wenn die Lösung des entsprechend vereinfachten Modells vorliegt. Daher ist es für den Entscheider nicht sinnvoll, an einer zunächst gewählten Variante der Modellvereinfachung unwiderruflich festzuhalten, unabhängig davon, zu welchen (Eventual-) Plänen sie führt. Auch der Planungsprozeß selbst kann nach dem Prinzip der flexiblen Planung erfolgen: Zu Beginn des Planungszeitraumes wird nach gewissen Vorüberlegungen eine bestimmte Form der Modellvereinfachung gewählt und die entsprechende Modellösung ermittelt. Dann wird geprüft, ob der als optimal ausgewiesene Plan für den Zeitpunkt 1 auch unter Berücksichtigung solcher Faktoren (z.B. möglicher Umweltentwicklungen oder zukünftiger Aktionsmöglichkeiten) als "befriedigend" erscheint, die bisher im Modell vernachlässigt wurden.

392

Kapitel XII

Dabei muß der Entscheider mehr oder weniger grob abschätzen, wie sich die vernachlässigten Sachverhalte auswirken können. Kommt er zu dem Ergebnis, daß der Plan für den Zeitpunkt 1 verbessert werden könnte, wird er möglicherweise diesen Plan ohne zusätzliche modellhafte Fundierung revidieren. Er kann aber auch das Entscheidungsmodell selbst revidieren (indem er z.B. im Kalkül zusätzliche Umweltentwicklungen berücksichtigt und/oder zukünftige Aktionsmöglichkeiten und ihre Folgen präziser abbildet) und dann eine Lösung des revidierten Modells ermitteln. Nachdem die neue Lösung vorliegt, trifft der Entscheider entweder die endgültige Entscheidung über die Aktionen des Zeitpunkts 1 (wobei er möglicherweise von dem entsprechenden Aktionsplan der neuen Modellösung abweicht) oder er revidiert abermals das Modell und bestimmt erneut eine Lösung. Das Modell wird also schrittweise revidiert und der Planungsprozeß für den Zeitpunkt 1 erst dann abgeschlossen, wenn ein Teilplan für den Zeitpunkt 1 vorliegt, der auch im Lichte bisher vernachlässigter Aspekte als "gut" erscheint. Analog wird in den späteren Planungsphasen vorgegangen.

*5.3. Die Anspruchsanpassungstheorie als Konzept der Modellvereinfachung 5,3,1, Einwertige

Ergebnisse

Ein Konzept zur Lösung des Vorentscheidungsproblems beschreibt die Anspruchsanpassungstheorie von SIMON (1957), die sich mit dem Aspekt der Vereinfachung bei der Suche und Bewertung von Alternativen befaßt. Im folgenden soll die Bedeutung dieses Konzepts für die Lösung praktischer Probleme untersucht werden. Dabei wird angenommen, der Entscheider orientiere sich nur an einer Zielgröße. Außerdem wird zunächst davon ausgegangen, die Zielgrößenwerte der bereits bekannten Alternativen könnten eindeutig bestimmt werden. (Es bestehen jedoch noch unsichere Erwartungen über die Zielgrößenwerte derjenigen Alternativen, die bei Fortsetzung der Altemativensuche entdeckt werden können.) Nach der Anspruchsanpassungstheorie werden grundsätzlich nicht alle (objektiv) möglichen Alternativen in den Entscheidungsprozeß (in die Suche nach einer Lösung des Entscheidungsproblems) explizit einbezogen. Vielmehr wird ein bestimmtes Anspruchsniveau - d.h. ein befriedigender Mindestwert für die Zielgröße - festgelegt; wird eine Alternative entdeckt, bei der die Zielgröße dieses Anspruchsniveau überschreitet (oder gerade erreicht), so wird die Suche weiterer Alternativen eingestellt und die betreffende Alternative realisiert. Die Anspruchsanpassungstheorie von SIMON besagt nicht, dem Entscheider sei es gleichgültig, wie weit die Zielgröße über seinem An-

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

393

Spruchsniveau liegt. Der Entscheider würde es durchaus begrüßen, wenn die Zielgröße nach Erreichen des Anspruchsniveaus weiter steigen würde, ohne daß zusätzliche Anstrengungen erforderlich sind (vgl. hierzu Kapitel II, Abschnitt 8.2). Bei Anwendung des Konzepts der Anspruchsanpassung auf konkrete Entscheidungsprobleme stellt sich das Problem, wie das jeweilige Anspruchsniveau fixiert werden soll. Wie SIMON erläutert, können die Anspruchsniveaus unter bestimmten Voraussetzungen mit Hilfe eines sequentiellen Entscheidungsmodells ermittelt werden. 5,3.2. Ein Beispiel zur Bestimmung des

Anspruchsniveaus

An einem Beispiel zeigt SIMON (1957, S. 257f), wie die Grundstruktur eines Modells zur Festlegung von Anspruchsniveaus aussehen könnte: Es wird angenommen, der Entscheider müsse sein Haus innerhalb von n Tagen verkaufen (wobei n endlich ist).6) An jedem Tag, an dem er sein Haus noch besitzt, legt er ein Anspruchsniveau für den Verkaufspreis (d.h. einen akzeptablen Mindestpreis) fest. Das Anspruchsniveau für den k-ten Tag (k=l,2,...,n) wird mit d(k) bezeichnet. Wenn am ersten Tag ein Angebot eingeht, das über d(l) liegt, verkauft er das Haus; falls mehrere Angebote über d(l) liegen, akzeptiert er das beste. Sofern er kein Angebot erhält, das über d(l) liegt, behält er sein Haus mindestens bis zum nächsten Tag und setzt dann ein neues Anspruchsniveau (einen neuen akzeptablen Mindestpreis) d(2) fest, usw.. Auf ein Angebot, das an einem bestimmten Tag eingeht und dann nicht angenommen wird, kann der Entscheider später nicht mehr zurückgreifen. Die Kosten des Wartens auf bessere Angebote (allgemein: der "Suche" nach besseren Alternativen) bestehen im Beispiel von SIMON allein darin, daß später möglicherweise nur noch schlechtere Angebote eingehen. Für den Entscheider entstehen also keine Kosten aus einer aktiven Suche potentieller Käufer. (Außerdem werden Zinsverluste beim späteren Verkauf des Hauses vernachlässigt.).^) SIMON zeigt nun, wie die optimalen Anspruchsniveaus formal bestimmt werden können, sofern der Entscheider die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die zukünftigen Preisgebote kennt. Als optimal wird dabei jenes System von Anspruchsniveaus für die Tage l,2,...,n bezeichnet, bei denen der Entscheider den Erwartungswert des Verkaufserlöses maximiert, wenn er

6)

SIMON diskutiert auch den Fall n^oo (vgl. hierzu SIMON, 1957, S. 259).

7)

In der Realität kann dagegen häufig auf bereits vorhandene Alternativen zurückgegriffen werden, falls die Suche nach weiteren Alternativen nicht erfolgreich verläuft. Die Kosten der Suche nach weiteren Alternativen ergeben sich dann vor allem aus dem Einsatz von Geld und Arbeitszeit für die Suchaktivitäten (oder durch einen Zinsverlust, z.B. weil ein Verkaufserlös später eingeht).

394

Kapitel XII

sein Haus an dem Tag verkauft, an dem er erstmals ein Preisgebot oder mehrere Preisgebote über dem maßgeblichen Anspruchsniveau erhält. Werden jedoch die Anspruchsniveaus in dieser Form bestimmt, unterscheiden sich das Konzept der Anspruchsanpassung und das der Maximierung nur durch den Namen; eine Vereinfachung des Entscheidungsprozesses erfolgt nicht. Eine tatsächliche Vereinfachung kann nur erzielt werden, wenn sich der Entscheider mit mehr oder weniger groben Schätzungen hinsichtlich der Anspruchsniveaus zufrieden gibt. Die Anspruchsanpassungstheorie läßt jedoch weitgehend offen, nach welchen Kriterien die Schätzung erfolgen soll. SIMON (1957, S. 253f) gibt folgenden (zwar plausiblen, jedoch sehr allgemeinen) Hinweis: Das Anspruchsniveau ist um so höher, je niedriger die Kosten der Suche nach besseren Alternativen und je höher die Erfolgschancen dieser Suche sind. (Das Prinzip der "Maximierung" wird damit nicht aufgegeben.) 5.3.3. Meh rwertige Ergebn isse Nach der Anspruchsanpassungstheorie müssen die Zielgrößenwerte der jeweils erwogenen Alternativen (im Beispiel des Hausverkäufers: die Verkaufserlöse, die den eingehenden Angeboten entsprechen) mit dem jeweiligen Anspruchsniveau verglichen werden. Dieser Vergleich soll entweder zur Realisation einer Alternative (z.B. zum Verkauf des Hauses an einen bestimmten Interessenten) oder zur Suche nach weiteren Alternativen führen. (Im Beispiel des Hausverkäufers besteht diese Suche darin, daß neue Angebote abgewartet werden. Sie könnte auch darin bestehen, daß "aktiv" nach weiteren Interessenten gesucht wird.) Zwar wird im Rahmen der Anspruchsanpassungstheorie berücksichtigt, daß mehrwertige Erwartungen hinsichtlich des Ergebnisses bei Fortsetzung der Altemativensuche bestehen. Das Konzept setzt jedoch voraus, daß die Zielgrößenwerte der bereits bekannten Alternativen ebenfalls bekannt sind. Diese Voraussetzung ist im allgemeinen nicht erfüllt. Die Anspruchsanpassungstheorie läßt offen, wie vorzugehen ist, wenn der Entscheider keine sicheren Erwartungen über die Ergebnisse der bereits bekannten Alternativen hegt. In diesem Fall kann in der Regel zum Zeitpunkt der Entscheidung noch nicht eindeutig festgestellt werden, ob das Ergebnis, das bei Wahl einer Alternative erzielt wird, über oder unter dem Anspruchsniveau liegen wird. Es liegt daher nahe, für Risikosituationen das Anspruchsniveau auf den Erwartungswert des Nutzens zu beziehen. (Bei Risikoneutralität wird das Anspruchsniveau in Form eines Erwartungswertes der Zielgröße fixiert.) Gemäß der Anspruchsanpassungstheorie ist dann der Nutzenerwartungswert einer jeden erwogenen Alternative mit dem als Anspruchsniveau definierten Nutzenerwartungswert zu vergleichen. Analog zum Fall sicherer Erwartungen über die jeweiligen Zielgrößenwerte stellt sich auch bei Risiko das noch weitgehend offene Problem, wie

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

395

das Anspruchsniveau festgelegt werden soll. Darüber hinaus ergibt sich bei Risiko ein zweites grundlegendes Problem: Bei großer Zahl möglicher Zustände kann der Nutzenerwartungswert einer Alternative in der Regel nur im Rahmen eines vereinfachten Kalküls bestimmt (bzw. geschätzt) werden. Bewertungsfehler sind dann unvermeidlich, so daß oft gar nicht eindeutig festgestellt werden kann, ob das jeweilige Anspruchsniveau mit einer Alternative tatsächlich erreicht wird oder nicht. Zur Verdeutlichung wird davon ausgegangen, der Entscheider orientiere sich am Gewinn, wobei zum Zeitpunkt der Auswahl einer Alternative noch mehrwertige Erwartungen darüber bestehen, wie hoch der damit erzielte Gewinn sein wird. Der Entscheider sei risikoneutral, so daß für seine Entscheidung der Gewinnerwartungswert maßgeblich ist. Gemäß der Anspruchsanpassungstheorie hat nun der Entscheider einen bestimmten Gewinnerwartungswert als Anspruchsniveau festzulegen und die Lösung des Entscheidungsproblems so lange fortzusetzen, bis er eine Alternative gefunden hat, die dem Anspruchsniveau genügt. Damit er aber jeweils feststellen kann, ob das Anspruchsniveau bereits erreicht worden ist, muß der Gewinnerwartungswert der jeweils betrachteten Alternative bestimmt werden. Die genaue Ermittlung der Gewinnerwartungswerte setzt aber voraus, daß die möglichen Gewinne und ihre Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden, was einen erheblichen Planungsaufwand verursachen kann. Wird bei der Bewertung der Alternativen in der Weise vereinfacht, daß - Zustände völlig vernachlässigt, - Bündel von Zuständen durch einen mittleren Zustand repräsentiert und/ oder - die möglichen Gewinne der Alternativen mehr oder weniger grob geschätzt werden, ergibt sich jeweils ein Gewinnerwartungswert, der allenfalls zufällig mit dem exakten Wert übereinstimmt. Der exakte Erwartungswert kann somit auch dann unter (bzw. über) dem Anspruchsniveau liegen, wenn der im Rahmen des vereinfachten Kalküls ermittelte Erwartungswert darüber (bzw. darunter) liegt. Die Anspruchsanpassungstheorie läßt offen, wann in einer solchen Situation der Vereinfachung eine Alternative zu akzeptieren und der Prozeß der Überprüfung weiterer Alternativen abzubrechen ist. Die skizzierten Probleme ergeben sich natürlich nicht nur bei Anwendung des Konzepts der Anspruchsanpassung, sondern auch - in gleicher oder ähnlicher Form - bei anderen Formen der Vereinfachung von Entscheidungsmodellen (bzw. EntScheidungsprozessen). Häufig wird jedoch in der Literatur der Eindruck erweckt, das Konzept der Anspruchsanpassung sei QmQ problemlose Variante der Vereinfachung.

396

6.

Kapitel XII

Vereinfachung durch sukzessive Einengung und Präzisierung von Problemsteilungen

6.1. Das Konzept Der Entscheidungsprozeß beginnt im allgemeinen damit, daß ein unstrukturiertes Entscheidungsproblem wahrgenommen wird. Komplexere Entscheidungsprobleme können nun nicht in der Weise strukturiert und gelöst werden, daß die Vielzahl von objektiv möglichen Alternativen (Kombinationen von Einzelmaßnahmen) explizit erwogen werden und ein umfassendes Entscheidungsmodell formuliert wird. Die Notwendigkeit der Komplexitätsreduktion beginnt schon bei der "Suche" nach möglichen Alternativen. Die Alternativen sind ja grundsätzlich nicht im voraus bekannt; der Entscheider muß sich erst Klarheit darüber verschaffen, welche Maßnahmen er ergreifen könnte. Die Alternativensuche ist ein (kreativer) Prozeß, der hohe Kosten in Form von Ausgaben sowie durch Einsatz von Arbeit und Zeit verursachen kann. Es besteht das Problem, die Suchaktivitäten zu begrenzen und zugleich in erfolgreiche Bahnen zu lenken (LAUX/LIERMANN, 2003). Der Problemlösungsprozeß erfordert, daß sich der Entscheider zunächst überlegt, auf welche Maßnahmen zur Lösung des gestellten Problems er sich konzentrieren soll. Dabei leitet er aus dem vage formulierten Ausgangsproblem engere und präzisere Teilprobleme ab, deren Lösung zu einer guten Entscheidung hinsichtlich des Ausgangsproblems führen soll. Bei der Formulierung dieser Teilprobleme werden bestimmte Aktionsmöglichkeiten ausgeschlossen, die (zumindest vorläufig) nicht mehr berücksichtigt werden. Die Teilprobleme können aber immer noch ein weites Feld von Handlungsmöglichkeiten belassen, die nicht alle entdeckt und umfassend gegeneinander abgewogen werden können. Für den Entscheider ist es dann naheliegend, aus den Teilproblemen noch engere und konkretere Unterprobleme abzuleiten usw.. Auf diesem Weg kann er zu einer Problemebene gelangen, bei der es möglich und sinnvoll ist, die Ergebnisse konkreter Handlungsaltemativen in analytisch fundierter Weise (etwa mit Hilfe einer Ergebnismatrix) gegeneinander abzuwägen. Die Alternative, die sich dann als optimal erweist, wird realisiert. Kommt der Entscheider allerdings zu der Vermutung, daß im Prozeß der sukzessiven Einengung der Problemstellung Alternativen ausgeschlossen wurden, die bei genauerer Betrachtung vorteilhafter sind, so kann er aus dem Ausgangsproblem neue Problemstellungen ableiten.

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

6.2.

397

Beispiel

Mit Hilfe eines Beispiels soll diese Vorgehensweise verdeutlicht werden: Da der Absatz des Produkts A zurückgegangen ist, stellt sich das Problem der Produktförderung (oder der Erreichung eines Absatzzuwachses von 10%). Da es sehr viele Möglichkeiten der Produktförderung gibt, die nicht alle erforscht und im Rahmen einer fundierten Analyse bewertet werden können, besteht das Problem, "gute" Ideen zur Produktförderung zu entwickeln (zu verfolgen) und "schlechte" Aktionsmöglichkeiten frühzeitig aus dem Entscheidungsprozeß zu eliminieren, um die begrenzte Planungskapazität effizient nutzen zu können. Um auf Ideen für sinnvolle Aktionen zur "Förderung des Produkts" zu kommen, wird zunächst eine Analyse der Stärken und Schwächen des Produkts durchgeführt. (Welche Vorteile bietet das Produkt gegenüber Konkurrenzprodukten? Worin bestehen die Schwächen des eigenen Produkts im Vergleich zu diesen Produkten?) Aufgrund dieser Analyse beschließt der Entscheider, das Produkt durch zwei "Maßnahmenpakete" zu fördern (Abbildung XIL2): 1. Durch Werbung sollen verstärkt die komparativen Vorteile des Produkts bekannt gemacht werden. 2. Das Produkt soll verbessert werden, indem gewisse Mängel beseitigt werden. Ebene 1: "Förderung" des Produkts A

Ebene 2: Werbung für das Produkt

Ebene 3: Werbung im Femsehen

Ebene 3: Werbung in Zeitschriften

Ebene 2: Produktverbesserung

Ebene 3: Verbesserung des Produktdesigns

Ebene 3: Erhöhung der Lebensdauer

Ebene 4: Formverbesserung Ebene 4: Reduktion der Produktgröße

Abb. XII.2: Schrittweise Präzisierung und Einengung einer Problemstellung

398

Kapitel XII

Das ursprüngliche Problem ("Produktförderung") wird jetzt also durch zwei Teilprobleme ("Werbung" und "Produktverbesserung") repräsentiert. Dies hat folgende Konsequenzen: 1. Es werden bestimmte Handlungsmöglichkeiten zumindest vorläufig im Entscheidungsprozeß nicht mehr in Betracht gezogen (z.B. Herabsetzung des Preises, Veränderung der Vertriebspolitik). 2. Die im weiteren Entscheidungsprozeß zu analysierenden Probleme (der Ebene 2) sind konkreter formuliert als das Ausgangsproblem. Die beiden Problemstellungen der Ebene 2 lassen aber immer noch viele Handlungsmöglichkeiten offen. Es liegt nahe, die beiden Problemstellungen weiter einzuengen und zu präzisieren. Hierzu wird die Stärken-Schwächen-Analyse fortgesetzt. Aufgrund dieser Analyse kommt der Entscheider zu den Teilproblemen, die auf der Ebene 3 dargestellt sind. Z.B. werden die Versendung von Prospekten oder die Sendung von Werbespots im Rundfunk als verkaufsfördemde Maßnahmen ausgeschlossen. Auf der vierten Ebene wird schließlich das Teilproblem "Verbesserung des Produktdesigns" durch die Teilprobleme "Formverbesserung" und "Reduktion der Produktgröße" konkretisiert, wobei z.B. die Änderung der Farbgebung ausgeschlossen wird. Diejenigen Teilprobleme, die nicht weiter zerlegt werden, müssen nun gelöst werden. Hierzu müssen Alternativen erdacht und z.B. auf der Basis von Ergebnismatrizen gegeneinander abgewogen werden. Dabei ist zu beachten, daß Erfolgsinterdependenzen zwischen den Maßnahmen der einzelnen Teilprobleme bestehen können. Der Erfolg von Werbemaßnahmen im Femsehen kann davon abhängen, welche Werbemaßnahmen in Zeitschriften durchgeführt werden und/oder in welcher Weise die Lebensdauer des Produkts verbessert wird. Der beschriebene Problemlösungsprozeß ist dadurch charakterisiert, daß aus dem mehr oder weniger vage formulierten Ausgangsproblem sukzessive engere und präzisere Teilprobleme abgeleitet werden: Aus dem Oberziel "Förderung des Produkts" werden immer präzisere Unterziele abgeleitet, deren Befolgung zur Erreichung des Oberziels beitragen soll. Die Teilprobleme bzw. die Unterziele ergeben sich dabei nicht einfach durch logische Deduktionen aus dem Oberziel; es sind vielmehr schöpferische Akte erforderlich, um gute Teilprobleme bzw. Unterziele zu (er-) finden. Die schrittweise Einengung und Präzisierung der Problemstellung hat auch heuristische Bedeutung hinsichtlich der Entdeckung bzw. Wahrnehmung von "guten" Aktionsmöglichkeiten. Es ist schwierig, unmittelbar sinnvolle Möglichkeiten der "Förderung des Produkts A" zu entdecken bzw. wahrzunehmen. Indem der Entscheider nach gewissen Vorüberlegungen konkretere Teilprobleme formuliert, gibt er dem weiteren Suchprozeß eine konkrete Richtung. Zugleich wird der Suchprozeß vereinfacht, indem bestimmte Aktionsmöglichkeiten nicht mehr berücksichtigt werden; nur noch den verbleibenden Altemativenraum muß der Entscheider erforschen.

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

399

Die hiermit verbundenen Vorentscheidungen setzen Bewertungen voraus, die nur in sehr grober Form durchgeführt werden können. Aktionsmöglichkeiten, die der Entscheider auszuschließen und nicht näher zu analysieren erwägt, hat er eben noch nicht näher analysiert, so daß ihre Vorteilhaftigkeit nur schwer zu beurteilen ist. Es ist möglich, daß er im Entscheidungsprozeß einen Weg einschlägt, der zu keinem befriedigenden Ergebnis führt. Es kann dann zweckmäßig sein, aus dem Ausgangsproblem ("Förderung des Produkts A") neue Aufgabenstellungen abzuleiten und dabei auch Aktionsmöglichkeiten in Betracht zu ziehen, die zuvor schon einmal im Planungsprozeß verworfen wurden.

6.3.

Vorauswahl auf der Basis von Erfolgsindikatoren

6.3.1. Das Konzept Orientiert sich der Entscheider an der Zielgröße "Erfolg", so besteht für ihn die Aufgabe, - Indikatoren bzw. Symptome zu entdecken, die auf Chancen der Erfolgsverbesserung hinweisen, und - Entscheidungsprobleme zu formulieren und aus diesen konkrete Alternativen zur Erfolgsverbesserung herzuleiten. Zwar werden in vielen Fällen Indikatoren für Möglichkeiten der Erfolgsverbesserung ohne kreative Suchaktionen wahrgenommen: Es fällt z.B. eine Maschine aus, vor einer Kasse entstehen ständig sehr lange Warteschlangen, der Bestand an Halbfabrikaten ist stark angestiegen. Es wird jeweils deutlich, daß durch geeignete Maßnahmen der Erfolg verbessert werden könnte. Aber nicht alle Chancen der Erfolgsverbesserung äußern sich in einer solch offensichtlichen Form. Für den Entscheider stellt sich daher das komplexe Problem, systematisch nach Chancen der Erfolgsverbesserung zu suchen. Der Suchprozeß wird vereinfacht und erleichtert, wenn der Entscheider Indikatoren kennt, die einen (probabilistischen) Rückschluß auf Erfolgspotentiale ermöglichen. Solche Indikatoren werden in der Literatur unter der Bezeichnung "Effizienzkriterien" in großer Zahl zur Diskussion gestellt. Z.B. werden folgende Erfolgsindikatoren genannt (FESSMANN, 1979, S. 11): Produktivität, Flexibilität, Fluktuation, Gewinn, Quantität der Produktion bzw. Umsatz, Absentismus, Zufriedenheit mit der Arbeit, Qualität, Kosten (Kostenwirtschaftlichkeit), Moral, Wachstum (Wachstumsrate), Zufriedenheit der Mitarbeiter, Bedeutung und Qualität des Managements, Beschaffung und effiziente Nutzung von Ressourcen, Kohäsion, Kooperation (vgl. auch GRABATIN, 1981).8) 8)

Zwischen diesen Indikatoren bestehen enge Beziehungen: Das Ausmaß der Zufriedenheit hat z.B. einen Einfluß auf die QuaHtät der Arbeit. Die Qualität der bereits geleisteten Ar-

400

Kapitel XII

Einige Indikatoren sind allerdings so allgemein definiert, daß sie praktisch inhaltsleer sind. Der Indikator "effiziente Nutzung von Ressourcen" bringt nicht mehr zum Ausdruck, als daß Ressourcen nicht "verschwendet" werden sollen. Erfolgsindikatoren bieten eine Orientierungshilfe für die gezielte Suche nach Erfolgspotential, indem sie Anregungen geben, welche Tatbestände bzw. Größen systematisch beobachtet werden können, um Chancen aufzudecken. Z.B. könnte sich der Entscheider Informationen über die Ausprägung des Indikators "Arbeitszufriedenheit der Mitarbeiter" beschaffen. Erste Hinweise können dabei die Indikatoren "Fluktuation" und "Absentismus" liefern. Darüber hinaus können Befragungen der Mitarbeiter und Berichte ihrer Vorgesetzten weitere Anhaltspunkte geben. Der Entscheider kann dabei Möglichkeiten entdecken, die zur Verbesserung der Arbeitszufriedenheit und des Erfolges führen. Wie erläutert wurde, werden im Verlauf des EntScheidungsprozesses Aktionsmöglichkeiten sukzessive ausgeschlossen und die verbleibenden Aktionsmöglichkeiten immer detaillierter (präziser) beschrieben, bis schließlich konkrete Handlungsmöglichkeiten gegeneinander abgewogen werden (können). Der Ausschluß von Alternativen, die nicht näher analysiert werden sollen, erfordert eine Bewertung dieser Alternativen. Da sie aber noch nicht näher definiert und analysiert worden sind, ist ihr Einfluß auf den Erfolg nur schwer abzuschätzen. Die Orientierung an "Effizienzkriterien" kann die Bewertung erleichtem. Wenn der Entscheider z.B. erwägt, technische Veränderungen zur Verbesserung der Arbeitszufriedenheit vorzunehmen, kann er sich u.a. an Erfolgsindikatoren wie "Produktivität" und "Kostenwirtschaftlichkeit" orientieren. Möglicherweise kommt er zu dem Ergebnis, daß sich die Produktivitäts- und Kostensituation bei bestimmten technischen Veränderungen zu sehr verschlechtern würden; diese Möglichkeiten werden dann im Entscheidungsprozeß nicht weiter berücksichtigt. Die Orientierung an Erfolgsindikatoren stellt ein komplexes Problem dar. Bisher ist kaum untersucht worden, welche (probabilistischen) Rückschlüsse Erfolgsindikatoren auf den (zukünftigen) Erfolg zulassen. Die Beantwortung dieser Frage erfordert empirische Untersuchungen über den stochastischen Zusammenhang zwischen Indikatorausprägungen und Erfolgsentwicklung. Die Erforschung und Beschreibung dieses Zusammenhangs ist deshalb schwierig, weil er in starkem Maße situationsabhängig ist und sich ständig ändern kann.

beit läßt gewisse Rückschlüsse auf die Arbeitszufriedenheit in der Vergangenheit zu. Umgekehrt kann die gegenwärtige Arbeitszufriedenheit ein Indikator für die zukünftige Arbeitsqualität sein. Auch zwischen der Zufriedenheit der Mitarbeiter und dem Ausmaß des Absentismus bestehen Abhängigkeiten. Steigender Absentismus kann den Schluß nahelegen, daß sich die Arbeitszufriedenheit verringert hat.

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

401

Bei der Orientierung an Erfolgsindikatoren im Entscheidungsprozeß stellt sich das komplexe Problem, wie deren Ausprägungen bewertet (gewichtet) werden sollen. Es ist kaum sinnvoll, für die einzelnen Erfolgsindikatoren a priori Anspruchsniveaus zu fixieren und alle Alternativen aus dem weiteren Entscheidungsprozeß auszuschließen, bei denen mindestens ein Erfolgsindikator das Anspruchsniveau nicht erreicht. Der Nachteil, der daraus resultiert, daß bei einer Alternative ein Erfolgsindikator unter dem Anspruchsniveau liegt, kann dadurch kompensiert werden, daß andere Erfolgsindikatoren (weit) darüber liegen. Im Gegensatz zu Zielgrößen wie "Freizeit" und "Prestige" charakterisieren Erfolgsindikatoren keine eigenständigen Wertkomponenten. Hohe "Anpassungsfähigkeit" und große "Schnelligkeit des Materialdurchflusses" z.B. sind keine Vorteile an sich. Die Steigerung der "Anpassungsfähigkeit" und der "Schnelligkeit des Materialdurchflusses" kann nur dann zu einem Vorteil führen, wenn dadurch mit positiver Wahrscheinlichkeit der (ökonomische) Erfolg steigt, z.B. weil mehr produziert werden kann und/oder die Produktionskosten sinken. Die "Schnelligkeit des Materialdurchflusses" könnte z.B. für die Bewertung einer Produktionsanlage irrelevant sein, weil in anderen Produktionsbereichen Engpässe bestehen, die nicht beseitigt werden können (oder sollen), und folglich der Erfolg bei Beschleunigung des Materialdurchflusses nicht steigt. Bei der Gewichtung der Ausprägungen von Erfolgsindikatoren muß abgeschätzt werden, welche Bedeutung die einzelnen Indikatoren in der gegebenen Entscheidungssituation für den Erfolg haben und welche Erfolgschancen alternative Ausprägungen der Erfolgsindikatoren eröffnen. Diese Abschätzung kann allerdings nur in recht grober Form erfolgen, da sonst die angestrebte Vereinfachung nicht erreicht wird. 6.3.2.

Beispiel

Eine alte Produktionsanlage ist durch eine neue zu ersetzen. Da als Ersatzinvestition sehr viele Produktionsanlagen mit unterschiedlichen Eigenschaften in Frage kommen, ist es nicht möglich oder zumindest nicht sinnvoll, alle Investitionsaltemativen mit Hilfe des investitionstheoretischen Instrumentariums zu analysieren. Daher soll die Menge der Alternativen zunächst eingeengt werden. Das Problem besteht darin, eine "gute" Vorauswahl vorzunehmen. Zunächst werden für die Vorauswahl folgende Indikatoren zugrunde gelegt - Anschaffungskosten, - Erweiterungsmöglichkeit, - Störanfälligkeit, - Elastizität (Anpassungsfähigkeit). Die Vorentscheidung fällt in mehreren Schritten:

402

Kapitel XII

1. Ein Vergleich der Anschaffungskosten führt bereits zu einer Vorauswahl solcher Investitionsaltemativen, die nicht weiter in Betracht gezogen werden. Zum einen sind die betreffenden Produktionsanlagen relativ teuer, zum andern kommt der Entscheider durch grobes Abwägen zu dem Ergebnis, daß diese Anlagen hinsichtlich der anderen Kriterien keine besonderen Vorteile bieten, die die höheren Anschaffungsausgaben rechtfertigen. Andere Anlagen, die ebenfalls relativ teuer sind, werden (noch) nicht ausgeschlossen, da sie eine besonders hohe Elastizität aufweisen, die den Nachteil der höheren Anschaffungskosten kompensieren könnte. 2. Der Entscheider hält es für möglich, daß die Nachfrage nach den eigenen Produkten steigen wird. Er will zwar heute die Kapazität noch nicht wesentlich erweitem, aber schon dafür Sorge tragen, daß in Zukunft die Kapazität zu relativ geringen Kosten vergrößert werden kann. Daher überprüft er die Investitionsalternativen, die noch in der engeren Wahl stehen, hinsichtlich ihrer Erweiterungsmöglichkeiten. Dabei zeigt sich, daß bei einigen Produktionsanlagen die Kapazitätserweiterung nur schwer möglich ist und relativ hohe Kosten verursacht. Nur ein Teil dieser Anlagen verbleibt im weiteren Entscheidungsprozeß. Bei diesen Anlagen vermutet der Entscheider, daß sie Vorteile hinsichtlich "Elastizität" und "Störanfälligkeit" bieten, die den Nachteil der relativ "schlechten" Erweiterungsmöglichkeiten kompensieren könnten. 3. Auf der Produktionsanlage sollen unterschiedliche Produkte bearbeitet werden, wobei recht heterogene Arbeitsgänge notwendig sind und die Anlage häufig umzurüsten ist. Dem Gesichtspunkt "Elastizität" wird daher ein besonderes Gewicht eingeräumt. Eine grobe Analyse der Produktionsanlagen, die noch erwogen werden, zeigt, daß einige Anlagen hinsichtlich der Elastizität dem Anspruch nicht genügen: Mit diesen Anlagen können einige Produkte, die der Entscheider nicht aus dem Produktionsprogramm nehmen möchte, entweder gar nicht hergestellt werden oder nur zu Kosten, die offensichtlich zu hoch sind. Diese Anlagen werden ebenfalls nicht mehr in Betracht gezogen. 4. Der Entscheider erwägt nun, die verbliebenen Investitionsaltemativen in fundierterer Weise als zuvor hinsichtlich ihrer "Elastizität" zu analysieren. Um den damit verbundenen Aufwand zu begrenzen, wird jedoch zunächst die Altemativenmenge mit Hilfe des Indikators "Störanfälligkeit" weiter eingeengt. 5. Danach wird der Erfolgsindikator "Elastizität" durch folgende Indikatoren präzisiert: - Umrüstzeiten (Opportunitätskosten wegen Produktionsausfall), - Umrüstkosten und - Kosten der laufenden Produktion. Nach einer Analyse dieser Größen werden weitere Produktionsanlagen aus der Betrachtung ausgeschlossen. Hierzu gehören auch einige jener Produktionsanlagen, deren Anschaffungskosten relativ hoch sind, von

Die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Entscheidungsproblem

403

denen jedoch zunächst vermutet wurde, daß sie komparative Vorteile hinsichtlich der Elastizität aufweisen, die die höheren Anschaffungskosten rechtfertigen könnten. Die genauere Analyse hat diese Vermutung nicht bestätigt. Diejenigen Investitionsprojekte, die nach der Vorauswahl noch zu erwägen sind, werden mit Hilfe des investitionstheoretischen Instrumentariums, etwa mit der Kapitalwertmethode oder mit einem Modell der flexiblen Investitionsplanung, beurteilt. Erst danach wird die endgültige Auswahl einer Investitionsaltemative vorgenommen. Das Beispiel verdeutlicht: - Es ist zweckmäßig, bei der Vorauswahl zunächst jene Indikatoren zugrunde zu legen, deren Ausprägungen einfach zu messen bzw. zu bewerten sind und für die in relativ einfacher Weise befriedigende Mindestoder Höchstwerte fixiert werden können. - Bei der Vorauswahl aufgrund eines einzelnen Indikators dürfen die übrigen Indikatoren nicht völlig vernachlässigt werden. Wenn eine Indikatorausprägung unbefriedigend ist, so wird dieser Nachteil möglicherweise durch günstige Werte hinsichtlich anderer Indikatoren kompensiert. In Zweifelsfällen müssen erst andere Indikatoren näher untersucht werden, bevor über den Ausschluß einer Alternative entschieden wird. - Bei der Vorauswahl auf der Basis von Indikatoren kann es sinnvoll sein, mit einer "Hierarchie" von Indikatoren zu arbeiten. Zunächst erfolgt eine Vorauswahl aufgrund eines recht allgemeinen Effizienzkriteriums (z.B. "Elastizität"). Zur Vorauswahl weiterer Handlungsaltemativen wird später dieser Indikator präzisiert, indem er durch weitere "Subindikatoren" repräsentiert wird (z.B. "Umrüstzeiten", "Umrüstkosten" und "Kosten der laufenden Produktion"). Diese Indikatoren können ihrerseits durch Subindikatoren repräsentiert werden usw.. - Die Verwendung von Effizienzkriterien (Erfolgsindikatoren) ist keine Alternative zur Konstruktion fundierterer Entscheidungsmodelle. Beide Konzepte können miteinander kombiniert werden, wobei die Effizienzkriterien insbesondere dazu dienen, eine Vorauswahl solcher Alternativen vorzunehmen, die im (formalen) Entscheidungsmodell nicht berücksichtigt werden.

7.

Zur praktischen Bedeutung vereinfachter Entscheidungsmodelle

Wie deutlich wurde, müssen bei der Konstruktion von Entscheidungsmodellen im allgemeinen Vereinfachungen vorgenommen werden, die nicht "theoretisch exakt" fundiert sind, sondern auf einem mehr oder weniger groben, subjektiven Ermessensurteil beruhen. Die Modellkonstruktion ist demnach nicht frei von Willkür. Die explizite Anwendung von Entschei-

404

Kapitel XII

dungsmodellen stößt aus diesem Grund gelegentlich auf grundsätzliche Bedenken. Doch welche Alternativen gibt es hierzu und wie sind diese zu beurteilen? 1. Wird die Entscheidung völlig intuitiv getroffen, so erfolgt die Auswahl einer Alternative im Rahmen eines sehr groben Kalküls, wobei weitgehend im Verborgenen bleibt, welche Informationen in die Entscheidung einfließen und wie sie verarbeitet werden. 2. Das Verhalten anderer Personen kann ungeprüft nachgeahmt werden. (Z.B. werden bestimmte Maßnahmen durchgeführt, weil die Konkurrenz dies tut.) Dieses Vorgehen ist ebenfalls problematisch. Entscheidungen, die im Hinblick auf die Aktionsmöglichkeiten und Zielvorstellungen einer anderen Person "gut" sind, können sehr schlecht sein bezüglich der eigenen Möglichkeiten und Ziele. Selbst bei gleichen Zielen und Möglichkeiten ist eine kritiklose Orientierung an den Entscheidungen anderer problematisch. Die Bezugspersonen treffen möglicherweise sehr schlechte Entscheidungen (was gerade darauf zurückzuführen sein mag, daß sie es ebenfalls ablehnen, mit Entscheidungsmodellen zu arbeiten). 3. Im allgemeinen ist es sinnvoller, die Entscheidung auf der Grundlage eigener Überlegungen zu treffen (wobei freilich die Informationen und der Rat Anderer in den Entscheidungsprozeß einfließen können). Derartige Überlegungen werden immer an bestimmten Leitlinien ausgerichtet und sind stets modellorientiert. Man hat also gar nicht die Wahl zwischen einer Entscheidung mit oder ohne Entscheidungsmodell. Man hat nur die Entscheidungsfreiheit, wie mit einem Modell gearbeitet wird. Man kann ein Modell implizit anwenden oder explizit. Der Vorteil einer expliziten Anwendung besteht darin, - daß man gezwungen wird, die Prämissen der Entscheidungsfindung offenzulegen und - daß außerdem die Informationen besser verarbeitet werden können.

Ergänzende und vertiefende

Literatur:

(1980; 1990); BiTZ (1977); BRAYBROOKE/LINDBLOM (1963); (1980); DINKELBACH (1973); GÄFGEN (1974, S. 199-218 und 461-491); GAITANIDES (1979); H A X (1967); SCHENK (1991); SCHMIDT,

BALLWIESER BRETZKE

R.H. (1983); SIMON (1957); ZENTES (1976).

TEIL F:

XIII.

ENTSCHEIDUNG IN GRUPPEN

Elemente des Entscheidungsprozesses in Gruppen

1 • Problemstellung In den vorangegangenen Kapiteln wurde der Entscheidungsprozeß eines einzelnen Entscheiders betrachtet. Häufig jedoch werden Entscheidungen durch Personengruppen getroffen. Der Aufsichtsrat einer Aktiengesellschaft z.B. bestellt gemeinsam die Mitglieder des Vorstands; der Vorstand entscheidet im Rahmen einer Abstimmung darüber, welches Unternehmensziel verfolgt werden soll; die Leiter der Geschäftsbereiche eines Unternehmens legen gemeinsam das Investitionsprogramm fest. Die steigende Komplexität vieler Entscheidungsprobleme hat dazu geführt, daß in Unternehmen in zunehmendem Maße Entscheidungsgremien (Entscheidungsgruppen) mit der Problemlösung betraut werden. Mit dem Einsatz von Entscheidungsgremien wird die Erwartung verbunden, daß diese "bessere" bzw. "ausgewogenere" Entscheidungen treffen als ein Einzelner. Die Entscheidungsgremien in Unternehmungen werden i.d.R. durch eine übergeordnete Instanz, etwa durch den Aufsichtsrat oder den Vorstand, eingesetzt: Mehr oder weniger präzise räumt die Instanz dem Gremium Entscheidungskompetenzen ein und gibt ein Formalziel vor, das bei der Entscheidung zu verfolgen ist {eingesetzte Gremien). Entscheidungsgremien können aber auch dadurch zustande kommen, daß sich Personen "freiwillig" zu einer Gruppe zusammenschließen und als gleichberechtigte Mitglieder ein selbstbestimmtes Ziel verfolgen, wobei einige oder alle Entscheidungsprobleme gemeinsam gelöst werden. Solche autonomen Gruppen können z.B. entstehen durch den Zusammenschluß von gleichberechtigten Rechtsanwälten oder Wirtschaftsprüfern zu einer Kanzlei oder von Personen, die gemeinsam einen landwirtschaftlichen Betrieb, einen Handwerksbetrieb oder eine Werkstätte führen. Der Entscheidungsprozeß in einer Gruppe ist vor allem dadurch gekennzeichnet, daß nach einer Phase des gegenseitigen Informationsaustausches sich jedes Mitglied eine individuelle Präferenzordnung über die erwogenen Alternativen bildet. Die Entscheidung der Gruppe fällt dann im Verlauf einer Abstimmung.

406

Kapitel XIII

In diesem Kapitel werden die Elemente eines solchen Entscheidungsprozesses in eine gewisse Systematik gebracht (Abschnitt 2) und mögliche Vor- und Nachteile von Gremienentscheidungen im Vergleich zur Entscheidung durch ein Individuum aufgezeigt (Abschnitt 5). Dabei wird auch verdeutlicht, wie die Gruppenmitglieder im Verlauf des Entscheidungsprozesses wechselseitig ihre Präferenzordnungen über die Alternativen beeinflussen (Abschnitt 3) und Einfluß auf das Ergebnis der Abstimmung nehmen können (Abschnitt 4).

2.

Kommunikation und Abstimmung als Elemente des Gruppenprozesses

Es wird eine relativ einfache Entscheidungssituation betrachtet: 1. Die Gruppe hat aus einer gegebenen Menge {AI,A2,...,AA} von Alternativen eine auszuwählen.^) 2. Die Konsequenzen der Alternativen hängen davon ab, welcher Zustand eintreten wird. Die möglichen Zustände werden mit Si,S2v5Ss bezeichnet. 3. Die Gruppenmitglieder Mi,M2v?M]y[ (M>2) orientieren sich bei der Bildung ihrer Präferenzordnungen am BERNOULLI-Prinzip. Die endgültige Auswahl einer Alternative erfolgt in Form einer Abstimmung (Abschnitt 4). Der Abstimmung geht im allgemeinen ein mehr oder weniger intensiver Informationsprozeß voraus: Die Gruppenmitglieder - beschaffen Informationen außerhalb der Gruppe (d.h. sie überprüfen die Ausprägungen von Indikatoren, die Rückschlüsse auf die Zustände ermöglichen), - sie informieren sich gegenseitig über die Ausprägungen von Indikatoren (Kommunikation) und - diskutieren darüber, welche Schlüsse aus Informationen (d.h. den Ausprägungen von Indikatoren) zu ziehen sind. - Einzelne Mitglieder versprechen möglicherweise auch Belohnungen (bzw. drohen Sanktionen an) für den Fall, daß eine bestimmte Alternative gewählt (bzw. nicht gewählt) wird. Der Entscheidungsprozeß einer Gruppe besteht also aus folgenden Grundelementen:

1)

Durch die Annahme, die Menge der Handlungsaltemativen sei bereits gegeben, wird die Problemstellung nicht wesentlich eingeengt. Natürlich stellt sich einer Gruppe im Rahmen eines Entscheidungsproblems im allgemeinen auch die Aufgabe, (zusätzliche) Alternativen zu finden bzw. zu erfinden. In dieser Hinsicht unterscheidet sich jedoch der Entscheidungsprozeß in einer Gruppe nicht von dem eines Einzelnen. Der Aspekt der Altemativensuche läßt sich außerdem leicht in die folgenden Darstellungen einbeziehen.

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

Informationsprozeß der Gruppe

407

Abstimmungsprozeß (Auswahl einer Alternative)

Abb. XIII.l: Der Entscheidungsprozeß einer Gruppe im Überblick Wenn in einer bestimmten Phase des Informationsprozesses nicht alle Mitglieder dieselbe Alternative als die beste ansehen, liegt ein Interessenkonflikt vor. Er kann den Informationsprozeß der Gruppe fördern, aber auch beeinträchtigen. Wenn etwa die Mitglieder schon bald nach Beginn des Informationsprozesses dieselbe Alternative als die beste ansehen, wird die Motivation fehlen, weitere Informationen zu beschaffen und zu verarbeiten. Interessenkonflikte bewirken dagegen häufig, daß der Informationsprozeß fortgesetzt wird, um eine größere Übereinstimmung der individuellen Präferenzordnungen zu erreichen. Jedoch besteht bei Interessenkonflikten auch die Gefahr, daß die Mitglieder ihre Energien nicht auf den Entscheidungsprozeß verwenden, sondern für die Sicherung und Verbesserung der eigenen Position in der Gruppe einsetzen. Im folgenden werden die Aktivitäten der einzelnen Mitglieder im Rahmen des Informationsprozesses der Gruppe näher untersucht und systematisiert; danach wird der Abstimmungsprozeß betrachtet. Hierzu ist es zweckmäßig, zunächst einmal die Determinanten darzustellen, von denen die Präferenzordnung eines Mitglieds über die Alternativen A I , A 2 , . . . , A A abhängt. Bei gegebenen Konsequenzen der Alternativen in den Zuständen Sj, S 2 v j S s ist die Präferenzordnung eines Gruppenmitglieds abhängig von seiner Zielfunktion und seinem Wahrscheinlichkeitsurteil über die Zustände. Die Zielfunktion eines Mitglieds ist gekennzeichnet durch die Zielgrößen, an denen es sich bei seiner Entscheidung orientiert und durch die Gestalt seiner Nutzenfunktion, in der u.a. seine Risikoeinstellung zum Ausdruck kommt. Das Wahrscheinlichkeitsurteil eines Mitglieds hängt ab von seinen Informationen und davon, welche (probabilistischen) Rückschlüsse es aus diesen Informationen zieht (welches Prognosemodell es also anwendet). Zur Präzisierung dieser Aussage dienen folgende Begriffe: Indikatoren: Jedes Mitglied bildet sich sein Wahrscheinlichkeitsurteil auf der Basis bestimmter Informationen (über die es verfügt). Die Größen (bzw. Ereignisse), die als Prognosegrundlage dienen, werden als Indikatoren bezeichnet. Informationsmenge: Die Menge der Indikatoren, deren Ausprägungen einem Mitglied bekannt sind, bezeichnen wir als dessen Informationsmenge (oder Informationsstand).

408

Kapitel XIII

Informationsstruktur: Das Wahrscheinlichkeitsurteil eines Mitglieds hängt nicht nur davon ab, über welche Indikatoren es informiert ist, sondern auch von deren Ausprägungen. So kann etwa die Preisprognose eines Mitglieds, das die bisherige Preisentwicklung kennt, ganz unterschiedlich ausfallen, je nachdem, ob es bisher z.B. fallende oder steigende Preise beobachtet hat. Um diesem Sachverhalt bei späteren Darstellungen Rechnung tragen zu können, wird der Begriff der Informationsmenge zum Begriff der Informationsstruktur spezifiziert. Die Informationsstruktur eines Mitglieds ist determiniert 1. durch seine Informationsmenge und 2. durch die Ausprägungen der zu seiner Informationsmenge gehörenden Indikatoren Prognosefunktion'. Durch die Informationsstruktur allein sind die Wahrscheinlichkeiten, die ein Mitglied den Zuständen zuordnet, noch nicht eindeutig determiniert. Zwei Individuen mit identischer Informationsstruktur können zu unterschiedlichen (subjektiven) Wahrscheinlichkeitsurteilen kommen, weil sie aus den Informationen unterschiedliche (probabilistische) Schlüsse ziehen. Zur Erfassung dieses Sachverhalts wird der Begriff "Prognosefunktion" eingeführt. Die Prognosefunktion eines Individuums gibt an, welche Wahrscheinlichkeiten es den Zuständen bei alternativen Informationsstrukturen zuordnet; sie bringt zum Ausdruck, in welcher Weise Informationen in (subjektive) Wahrscheinlichkeitsurteile transformiert werden. Die Abbildung XIIL2 gibt einen Überblick über die Determinanten der Präferenzordnung eines Gruppenmitglieds (bei gegebenen Konsequenzen der Alternativen):

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

409

Präferenzordnimg des Mitglieds

Wahrscheinlichkeitsurteil des Mitglieds über die Umweltzustände Si,S2,.",Ss

Prognosefunktion des Mitglieds

Zielfunktion des Mitglieds

Informationsstruktur des Mitglieds

Informationsmenge des Mitglieds

Ausprägungen der Indikatoren der Informationsmenge

Abb. XIII.2: Die Determinanten der Präferenzordnung eines Gruppenmitgliedes (bei gegebenen Konsequenzen der Alternativen)

3. 3.1.

Der Kommunikationsprozeß in der Gruppe Überblick

Zur Analyse des Informationsprozesses der Gruppe wird angenommen, jedes Mitglied habe schon zu Beginn dieses Prozesses (mehr oder weniger präzise) Vorstellungen über die eigene Präferenzordnung. Während des Informationsprozesses versuchen die Mitglieder, ihre eigenen Präferenzordnungen zu "verbessern" und die der anderen Mitglieder im eigenen Sinne zu beeinflussen. Zunächst wird untersucht, aus welchen Gründen sich die individuellen Präferenzordnungen zu Beginn des Informationsprozesses der Gruppe unterscheiden können. Danach werden die Aktivitäten eines Gruppenmit-

410

Kapitel XIII

glieds im Informationsprozeß systematisiert. Schließlich wird gezeigt, warum sich auch am Ende des Informationsprozesses die individuellen Präferenzordnungen (noch) unterscheiden können. Unterschiede in den individuellen Präferenzordnungen machen eine explizite Abstimmung notwendig. Der Abstimmungsprozeß wird in Abschnitt 4 untersucht.

3.2.

Die individuellen Präferenzordnungen zu Beginn des Informationsprozesses

Vor allem zu Beginn des Informationsprozesses werden nur in Ausnahmesituationen alle Gruppenmitglieder dieselbe Alternative als die beste ansehen. (Eine solche Situation liegt z.B. dann vor, wenn von vornherein ein einzelnes Mitglied eine besonders starke Machtposition hat, so daß niemand es wagt, ein abweichendes Urteil zu vertreten.) Die Präferenzordnungen der Mitglieder können vor allem deshalb voneinander abweichen, weil sie verschiedene Ziele verfolgen: Zum einen mögen sich die Mitglieder an verschiedenen Zielgrößen orientieren, zum anderen können sich aufgrund verschiedener Risikoeinstellungen selbst dann unterschiedliche Präferenzordnungen ergeben, wenn sich die Mitglieder an derselben Zielgröße orientieren und zudem ihre Wahrscheinlichkeitsurteile über die Zustände identisch sind. Orientieren sich etwa zwei Mitglieder einer Gruppe nur am gemeinsamen Einkommen, können ihre Präferenzordnungen trotzdem verschieden sein, z.B. weil sich das eine Mitglied risikoneutral verhält und das andere risikoscheu. Es könnte eingewendet werden, Unterschiede in den individuellen Zielfunktionen seien in der Realität kaum zu erwarten: Den "eingesetzten" Gruppen wird von der übergeordneten Instanz ein Ziel vorgegeben, an dem sich die Mitglieder zu orientieren haben, während "freiwillige" (oder "autonome") Gruppen ein selbstbestimmtes, gemeinsames Ziel verfolgen. Allein die Tatsache, daß eine übergeordnete Instanz der Gruppe ein Ziel setzt, gibt jedoch noch nicht die Gewähr, daß sich jedes Mitglied dieses Ziel zu eigen macht. Einzelne oder alle Mitglieder können sich an abweichenden persönlichen Zielen orientieren. Angenommen, das Ziel der Instanz sei Maximierung des Gewinnerwartungswertes. Ein Gruppenmitglied könnte sich dann außer am Gewinn z.B. auch an Zielgrößen wie Umsatz, Betriebsgröße und Zahl der unterstellten Mitarbeiter orientieren, um seine Beförderungschancen und/oder sein Ansehen zu erhöhen. Auch wenn sich ein Gruppenmitglied primär nur am Gewinn orientiert, kann es die Zielvorgabe (Maximierung des Gewinnerwartungswertes) verletzen. Es mag bei niedrigen Gewinnen persönliche Nachteile erwarten (z.B. sinkt die Wahrscheinlichkeit einer Beförderung oder die der Vergrößerung seiner Abteilung) und deshalb für eine Alternative eintreten, die zwar im eigenen Urteil keinen maximalen Gewinnerwartungswert aufweist, bei der aber die Wahr-

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

411

scheinlichkeit für einen niedrigeren Gewinn gering ist. Natürlich wird ein Mitglied kaum offen bekennen, daß es (abweichende) persönliche Ziele verfolgt. Es wird in der Diskussion abweichende Präferenzen mit abweichenden Wahrscheinlichkeitsurteilen bezüglich der maßgeblichen Zustände begründen. Eine Orientierung an persönlichen Zielen ist im allgemeinen um so eher zu erwarten, je schwieriger es ist, eine Mißachtung des von der Instanz vorgegebenen Ziels nachzuweisen. Freiwillige Gruppen verfolgen zwar ein "gemeinsames Ziel", jedoch ist dieses Ziel in der Regel so allgemein definiert, daß sehr unterschiedliche Zielpräzisierungen möglich sind. Das Ziel eines Kegelklubs z.B. besteht "im gemeinsamen Kegeln". Trotzdem kann etwa deshalb zwischen zwei Mitgliedern Zielkonflikt bestehen, weil das eine ehrgeizig ist und für härteres Training plädiert, während das andere eher die Geselligkeit sucht. Die Präferenzordnung eines Mitglieds hängt auch von seiner Informationsstruktur ab. Diese ist gekennzeichnet durch die Menge der entscheidungsrelevanten Indikatoren, die das Mitglied kennt (seine Informationsmenge), und die Ausprägungen dieser Indikatoren. Vor allem zu Beginn des Informationsprozesses ist zu erwarten, daß sich die Informationsmengen der einzelnen Mitglieder unterscheiden. Für eine Instanz kann es gerade sinnvoll sein, eine solche Gruppe einzusetzen, deren Mitglieder in der Ausgangssituation über unterschiedliche Informationsmengen verfügen. Weichen die Informationsmengen der Mitglieder voneinander ab, so unterscheiden sich im allgemeinen auch ihre Wahrscheinlichkeitsurteile über die Zustände und ihre Präferenzordnungen über die Alternativen. Selbst bei identischen Informationsmengen können die Wahrscheinlichkeitsurteile der Mitglieder verschieden sein. Dies ist dann der Fall, wenn sie aus den Informationen verschiedene Schlüsse ziehen. Unterschiede in den individuellen Prognosefunktionen (also im Prognoseverhalten der einzelnen Mitglieder) sind gerade zu Beginn des Gruppenprozesses zu erwarten. Im Verlauf der Gruppendiskussion können sich die individuellen Prognosefunktionen einander angleichen.

3.3. 3.3.1.

Aktivitäten zur Beeinflussung individueller Präferenzordnungen im Informationsprozeß der Gruppe Überblick

Im folgenden wird davon ausgegangen, daß die Aktivitäten eines jeden Mitglieds im Informationsprozeß der Gruppe allein dazu dienen, das Wahlergebnis (aus eigener Sicht) "günstig" zu beeinflussen. Wenn ein Mitglied

412

Kapitel XIII

sich nicht in der Lage fühlt, Einfluß auf die Entscheidung der Gruppe auszuüben, wird es in der Gruppe nicht aktiv mitwirken.^) Im Verlauf des Informationsprozesses bemüht sich i.d.R. jedes Mitglied (wenn auch mit unterschiedlicher Intensität), (a) Informationen für die "Verbesserung" der eigenen Präferenzordnung über die Alternativen zu erhalten und/oder (b) die Präferenzordnungen anderer Mitglieder so zu beeinflussen, daß die Wahrscheinlichkeit dafür steigt, daß die im eigenen Urteil beste oder wenigstens eine "gute" Alternative als Wahlsieger aus der Abstimmung hervorgeht. Zu (a): Die Maßnahmen der Informationsbeschaffung eines Mitglieds zielen zum einen darauf ab, die Konsequenzen der Alternativen besser zu prognostizieren, um bei der Abstimmung die Stimme bzw. Stimmen zielgerechter vergeben zu können. Zum anderen dienen die zusätzlichen Informationen als Beurteilungsgrundlage dafür, wie die Präferenzordnungen der übrigen Mitglieder im Informationsprozeß der Gruppe beeinflußt werden sollen. Zu (b): Ein Gruppenmitglied kann daran interessiert sein, die Präferenzordnungen anderer Mitglieder zu beeinflussen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, daß der Spitzenreiter der eigenen Präferenzordnung oder zumindest eine ranghohe Alternative gewählt wird. Dabei kann das betreffende Mitglied seine Präferenzordnung nach seinen persönlichen Zielvorstellungen bilden oder nach dem Ziel einer das Gremium einsetzenden Instanz. Die unter (a) und (b) genannten Aktivitäten werden aus Gründen der Übersichtlichkeit im folgenden getrennt betrachtet. In der Realität lassen sie sich jedoch nicht immer streng trennen. Erfragt z.B. ein Gruppenmitglied eine Information in der Gruppe, so hat diese Information möglicherweise nicht nur Auswirkungen auf die Präferenzordnung des betreffenden Mitglieds, sondern auch auf die Präferenzordnungen anderer Mitglieder, die den Informationsaustausch "mithören". Aus diesem Grund lassen sich die Aktivitäten (a) und (b) auch nicht zeitlich in eine bestimmte Reihenfolge bringen, sondern sie verlaufen in der Regel "parallel" zueinander. Dabei stellt sich das folgende Grundproblem: Von seiner eigenen Präferenzordnung hängt es ab, in welche Richtung ein Gruppenmitglied die Präferenzordnungen der anderen Mitglieder zu lenken versucht. Während des Informationsprozesses kann sich jedoch die eigene Präferenzordnung (insbesondere aufgrund zusätzlicher Informationen und/oder anderer Schlußfolgerungen) noch ändern. Wenn nun aber das Mitglied mit seinen Aktivitäten zur Beeinflussung der Präferenzordnungen anderer Mitglieder erst dann beginnt, wenn sich seine eigene Präferenzordnung "gefestigt" hat, besteht un-

2)

In der Realität könnte ein Mitglied z.B. aus Prestigegründen auch dann Beiträge leisten (es dokumentiert etwa seinen guten Informationsstand), wenn es davon überzeugt ist, daß die Beiträge keinen Einfluß auf die Entscheidung der Gruppe haben.

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

413

ter Umständen gar nicht mehr die Möglichkeit, die Präferenzordnungen der anderen Mitglieder zu verändern. 3.3.2. Beeinflussung der eigenen Präferenzordnung Die Aktivitäten, die ein Mitglied zur Verbesserung der eigenen Präferenzordnung unternimmt, hängen (außer von der bisherigen Gestalt der Präferenzordnung) vor allem ab (a) von seinem Urteil über die Möglichkeiten, sein Wahrscheinlichkeitsurteil über die Konsequenzen der zur Debatte stehenden Alternativen zu verbessern, und (b) von seiner Einschätzung des eigenen Potentials hinsichtlich der Beeinflussung des Abstimmungsergebnisses. Zu (a): Jedes Mitglied hat grundsätzlich zwei Möglichkeiten, sein Wahrscheinlichkeitsurteil zu verbessern: Es kann seinen Informationsstand erweitem und/oder seine Prognosefunktion korrigieren. Zur Verbesserung seines Informationsstandes informiert sich das betreffende Mitglied über die Ausprägungen entscheidungsrelevanter Indikatoren, wobei als Informanten vor allem auch die übrigen Gruppenmitglieder in Betracht kommen. Zur Korrektur seiner Prognosefunktion beschafft es sich (auch) Informationen darüber, welche Rückschlüsse andere Mitglieder aus bestimmten Informationen auf die Zustände bzw. auf einzelne entscheidungsrelevante Daten ziehen und mit welchen Argumenten und Theorien diese Schlußfolgerungen begründet werden. Welche Aktivitäten zur Verbesserung seines Informationsstandes ein Mitglied in der Gruppe unternimmt, hängt davon ab, wie es die bisherigen Informationsstände der anderen Mitglieder und/oder ihre Möglichkeiten zur Beschaffung zusätzlicher Informationen einschätzt. Wenn es damit rechnet, daß andere Mitglieder keine zusätzlichen entscheidungsrelevanten Informationen haben, wird es auch nicht nach weiteren Informationen fragen, sondern allenfalls die Anregung geben, zusätzliche Informationen außerhalb der Gruppe zu beschaffen. Wenn das Mitglied erwartet, daß andere Mitglieder die Ausprägungen "wichtiger" Indikatoren kennen, wird es vielleicht (in der Gruppensitzung oder außerhalb) die Ausprägungen erfragen oder darauf warten, daß die betreffenden Mitglieder von sich aus diese Informationen geben. Wer selbst keine Informationen gibt, erhält häufig auch keine. Aus diesem Grund wird ein Mitglied allein schon deshalb Informationen der Gruppe liefern, um die Informationsbereitschaft anderer Mitglieder zu erhöhen. Zu (b): Ein Mitglied wird im Zuge seiner Aktivitäten zur "Verbesserung" der eigenen Präferenzordnung auch seinen Einfluß auf das Wahlergebnis abschätzen, um beurteilen zu können, ob sich diese Aktivitäten überhaupt lohnen. Wenn das Mitglied zur Überzeugung kommt, daß es keinen Einfluß auf das Wahlergebnis hat, wird ihm die Motivation fehlen.

414

Kapitel XIII

durch entsprechende Informationsaktivitäten zu einer "fundierteren" eigenen Präferenzordnung zu gelangen. Zugleich wird auch die Motivation fehlen, anderen Mitgliedern Rat und Informationen zu geben. In größeren Gruppen (etwa ab 7 Mitgliedern) ist der einzelne Teilnehmer oft der Meinung, "daß seine eigenen Anstrengungen keinen großen Einfluß auf das Endergebnis haben werden und daß er von der Entscheidung der Sitzung in gleicher Weise betroffen wird, unabhängig davon, mit wieviel oder wenig Aufwand er die fraglichen Probleme studiert" (OLSON, 1968, S. 52). Die geringere Motivation der Mitglieder kann sich z.B. darin äußern, daß immer weniger Personen ihre Informationen anderen Gruppenmitgliedern freiwillig zur Verfügung stellen, wenn die Zahl der Gruppenmitglieder wächst (GiBB, 1951). Möglichkeiten zur Beeinflussung des Wahlergebnisses durch ein einzelnes Mitglied können zum einen im Verlauf des Informationsprozesses der Gruppe bestehen (das Mitglied kann versuchen, die Präferenzordnungen der anderen Mitglieder im eigenen Sinne zu beeinflussen) und zum anderen bei der Abstimmung. 3.3.3. Beeinflussung der Präferenzordnungen

anderer

Mitglieder

Die Aktivitäten, die ein Mitglied zur Beeinflussung der Präferenzordnungen anderer Mitglieder unternimmt, hängen außer von seiner eigenen Präferenzordnung vor allem ab von seiner Erwartungsstruktur hinsichtlich (a) der bisherigen Präferenzordnungen der anderen Mitglieder (sowie den Ausprägungen der Determinanten dieser Präferenzordnungen), (b) der Möglichkeit, die Präferenzordnungen der anderen Mitglieder (durch Beeinflussung ihrer Determinanten) zu verändern, und (c) der Möglichkeit, dadurch einer besseren Alternative zum Wahlsieg zu verhelfen. Zu (a)\ Zunächst stellt sich für das betreffende Mitglied das Problem, sich ein (Wahrscheinlichkeits-) Urteil über die Präferenzordnungen der anderen Mitglieder zu bilden. Wenn es z.B. zur Überzeugung kommt, daß die anderen Mitglieder ohnehin dieselbe Präferenzordnung haben wie es selbst, wird es keine Aktivitäten speziell zur Änderung der Präferenzordnungen der anderen Mitglieder vornehmen. Es wird allenfalls dafür plädieren, (bestimmte) zusätzliche Informationen zu beschaffen und einander zu übermitteln, um die gemeinsame Basis für die Prognose der Konsequenzen der Alternativen zu verbessern. Die Präferenzordnungen der anderen Mitglieder (sowie die Ausprägungen der sie bestimmenden Determinanten) sind vor allem zu Beginn des Informationsprozesses der Gruppe oft nur schwer abzuschätzen. Der Verlauf dieses Prozesses liefert möglicherweise (zusätzliche) Informationen, die Rückschlüsse darauf zulassen. Ein Mitglied setzt sich z.B. offen für die Wahl einer bestimmten Alternative ein. Ein anderes Mitglied gibt immer

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

415

nur Informationen, die eine bestimmte Alternative als vorteilhaft erscheinen lassen. Ein drittes Mitglied plädiert immer wieder für die Verfolgung eines bestimmten Zieles, so daß offenkundig wird, welche Gestalt seine Präferenzordnung hat. Trotz solcher Informationen werden zumindest die Präferenzordnungen eines Teils der anderen Mitglieder nicht mit Sicherheit bekannt sein. Um abschätzen zu können, ob die Präferenzordnungen anderer Mitglieder beeinflußt werden können bzw. sollen und in welcher Weise, muß sich das einzelne Mitglied ein Wahrscheinlichkeitsurteil bilden über die bisherigen Präferenzordnungen dieser Mitglieder und die jeweiligen Determinanten (die jeweilige Zielfunktion, Informationsstruktur und Prognosefunktion). Zu (b): Ist ein Mitglied davon überzeugt, daß andere Mitglieder dieselbe Zielfunktion verfolgen wie es selbst und daß deren Präferenzordnung nur deshalb von der eigenen abweicht, weil sie umfassender informiert sind und/oder ihre Prognosefunktionen "besser" sind, wird es natürlich nicht versuchen, deren Präferenzordnung in Richtung auf die eigene Präferenzordnung zu beeinflussen. Es wird deren Präferenzordnung übernehmen. Wenn das Mitglied vermutet, daß die abweichenden Präferenzordnungen der anderen Mitglieder aus schlechteren Informationsmengen, "schlechteren" Prognosefunktionen und/oder abweichenden Zielfunktionen resultieren, wird es sich möglicherweise bemühen, die Präferenzordnungen der anderen Mitglieder zu beeinflussen. Dazu können folgende Möglichkeiten bestehen:^) - Beeinflussung der Informationsstrukturen, - Beeinflussung der Prognosefunktionen, - Beeinflussung der Zielfunktionen. Wenn das betrachtete Mitglied vermutet, daß die Präferenzordnungen anderer Mitglieder (auch) deshalb von der eigenen Präferenzordnung abweichen, weil diese Mitglieder einen "schlechteren" Informationsstand haben, ist es für das betrachtete Mitglied naheliegend, ihnen die fehlenden Informationen entweder selbst zu geben oder andere Personen zu veranlassen, sie zu übermitteln. Ist das Mitglied davon überzeugt, daß die Präferenzordnungen anderer Mitglieder (auch) deshalb von der eigenen Präferenzordnung abweichen, weil diese Mitglieder über "schlechtere" Prognosefunktionen verfügen, wird es versuchen, diese Funktionen zu beeinflussen. Es kann z.B. erläutern, welche Schlüsse es selbst aus Informationen zieht, und Argumente liefern, die diese Schlußfolgerungen rechtfertigen.

3)

Gegebenenfalls kann das Mitglied die Präferenzordnungen anderer Mitglieder auch dadurch beeinflussen, daß es Belohnungen verspricht (bzw. Sanktionen androht) für den Fall, daß eine bestimmte Handlungsaltemative gewählt (bzw. nicht gewählt) wird. Darauf wird im folgenden nicht weiter eingegangen.

416

Kapitel XIII

Im Falle abweichender Zielfunktionen wird das Mitglied versuchen, die Ziele der anderen Mitglieder zu beeinflussen, so daß diese Ziele mit dem eigenen Ziel übereinstimmen oder ihm zumindest näher kommen. Zu (c): Die beschriebenen Aktivitäten zur Beeinflussung der Präferenzordnungen anderer Mitglieder lohnen sich für das betrachtete Mitglied nur dann, wenn dadurch die Chance steigt, daß eine Alternative die Wahl gewinnt, die aus der Sicht dieses Mitglieds besser ist als jene Alternative, die ohne diese Aktivitäten gewinnen würde. Wenn z.B. eine Mehrheit von Mitgliedern eine bestimmte Alternative bevorzugt, und das betrachtete Mitglied sich nicht in der Lage sieht, genügend viele Mitglieder zu beeinflussen, dann unternimmt es auch keine derartigen Aktivitäten. Es wird allenfalls versuchen, die Präferenzvorstellungen eines solchen Mitglieds zu beeinflussen, das seinerseits möglicherweise in der Lage ist, die "Mehrheitsverhältnisse" zu verändern. Die Möglichkeit der Beeinflussung des Wahlergebnisses hängt (auch) von der Abstimmungsregel ab (Abschnitt 4). 3.3.4. Das Ende des Informationsprozesses der Gruppe Das Ende des Informationsprozesses der Gruppe kann auf verschiedene Weisen bestimmt werden: 1. Es wird entweder durch die einsetzende Instanz, einen Gruppenleiter oder die Gruppe (im Rahmen einer Abstimmung) von vornherein festgelegt. 2. Das Ende des Informationsprozesses wird nicht im voraus fixiert; die Gruppenmitglieder einigen sich vielmehr nach einer bestimmten Zeit (ohne daß es zu einer formellen Abstimmung kommt), den Informationsprozeß zu beenden und über die zu realisierende Alternative abzustimmen. Ein einmütiger Abbruch der Gruppendiskussion ist vor allem dann zu erwarten, wenn jedes Gruppenmitglied davon überzeugt ist, daß eine Fortsetzung der Diskussion nicht zur Wahl einer anderen Alternative führen würde. 3. Das Ende des Informationsprozesses wird wieder nicht im voraus festgelegt, sondern es erfolgt nach einer bestimmten Zeit eine formelle Abstimmung: Falls die Mehrheit der Mitglieder für die sofortige Beendigung des Informationsprozesses stimmt, erfolgt unmittelbar danach die Abstimmung über die zu realisierende Alternative. Falls die Mehrheit gegen die Beendigung ist, wird der Informationsprozeß fortgesetzt und später erneut über die Beendigung des Informationsprozesses abgestimmt, usw.. Der Zeitpunkt, in dem der Informationsprozeß spätestens beendet sein muß, kann z.B. durch äußere Gegebenheiten bestimmt sein (die Gruppe erwägt z.B. eine gemeinsame Urlaubsreise, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt gebucht werden muß). Es ist auch möglich, daß eine die Gruppe einsetzende Instanz eine Frist setzt, bis zu der die Entscheidung getroffen

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

417

werden muß (dabei kann die Gruppe den Informationsprozeß auch vor Ablauf dieser Frist beenden und über die zu realisierende Alternative abstimmen).

3.4.

Die individuellen Präferenzordnungen am Ende des Informationsprozesses der Gruppe

Auch am Ende des Gruppenprozesses werden die Mitglieder im allgemeinen nicht alle dieselbe Präferenzordnung haben. Die Ursachen hierfür lassen sich mit Hilfe der Determinanten der individuellen Präferenzordnungen (den individuellen Zielfunktionen, Informationsstrukturen und Prognosefunktionen) erläutern: Trotz des Informationsaustausches in der Gruppe können die individuellen Zielfunktionen am Ende des Gruppenprozesses verschieden sein (die Ausführungen von Abschnitt 3.2 gelten hier analog) Die Informationsmengen der Mitglieder sind im allgemeinen auch im Zeitpunkt der Abstimmung nicht identisch. Eine umfassende gegenseitige Übermittlung der in der Gruppe (asymmetrisch) verteilten Informationen würde im allgemeinen zu hohe Kosten verursachen. Außerdem sind manche Mitglieder gar nicht bereit, über alle ihnen bekannten Indikatoren zu berichten, etwa weil sie sich Vorteile versprechen, wenn sie bestimmte Informationen später allein nutzen können, oder weil sie mit Sanktionen durch Außenstehende rechnen, wenn sie bestimmte Informationen weitergeben. In der Gruppe wird zwar im allgemeinen darüber diskutiert, welche (probabilistischen) Rückschlüsse Informationen ermöglichen. Diese Diskussion bewirkt aber im allgemeinen nicht, daß Unterschiede in den individuellen Prognosefunktionen völlig aufgehoben werden. Daher können die Gruppenmitglieder selbst bei identischer Informationsstruktur auch am Ende des Informationsprozesses den Zuständen verschiedene subjektive Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Bei subjektiven Wahrscheinlichkeiten kann definitionsgemäß nicht intersubjektiv überprüfbar nachgewiesen werden, welches der individuellen Wahrscheinlichkeitsurteile "richtig" ist. Obwohl die Präferenzordnungen der Gruppenmitglieder (auch am Ende ihres Informationsprozesses) im allgemeinen nicht identisch sind, bestehen in der Regel doch gewisse Abhängigkeiten, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich ein Mitglied die Präferenzordnung OQ (O = 1 , 2 , . . . , 0 ) bilden wird, hängt ab von den Präferenzordnungen der anderen Mitglieder; dabei bezeichnen O i , 0 2 v j O o die logisch möglichen Präferenzordnungen über die Alternativen A I , A 2 , . . . , A A . Oft besteht zwischen den Präferenzordnungen verschiedener Gruppenmitglieder eine stochastische Abhängigkeit des folgenden Typs: Wenn sich Mitglied M^ die Präferenzordnung OQ bildet, dann wird sich Mitglied Mj^'

418

Kapitel XIII

mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit dieselbe oder eine "ähnliche" Präferenzordnung bilden, während die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich eine Präferenzordnung "erheblich" von O^ unterscheidet, niedrig ist. Eine enge stochastische Abhängigkeit besteht vor allem dann, wenn Mitglieder mit hoher Wahrscheinlichkeit die Präferenzordnung eines anderen Mitglieds (etwa die des Gruppenleiters) übernehmen, z.B. weil dieses Mitglied für besonders kompetent gehalten wird. Die Präferenzordnung eines Mitglieds mag auch übernommen werden, um materielle oder immaterielle Belohnungen zu erzielen bzw. Sanktionen zu vermeiden. So mag z.B. ein Mitglied so stimmen wie sein Vorgesetzter, um die Beförderungschancen nicht zu beeinträchtigen oder sich am Votum eines ihm nahestehenden Mitgliedes orientieren, weil es die persönlichen Beziehungen nicht belasten möchte. Wie in empirischen Untersuchungen beobachtet wurde, geben Individuen oft auch dann das gleiche Urteil ab wie andere, wenn sie diese nicht näher kennen und deren Urteil sogar als falsch ansehen. Dabei geben sie dem Bedürfnis nach, "nicht als verschieden von den anderen oder minderwertig zu erscheinen. Sie sind nicht fähig, den Anschein der Fehlerhaftigkeit in den Augen der Gruppe zu ertragen. Die Versuchspersonen unterdrücken ihre Beobachtungen und gleichen ihre Aussagen bewußt denen der Mehrheit an" (ASCH, 1969, S. 65). Nach dem Befund von Asch sinkt die Zahl der Mitglieder, die ihr Urteil an das der Mehrheit angleichen, wenn sie durch andere Mitglieder unterstützt werden. Abhängigkeiten zwischen den Präferenzordnungen bestehen i.a. auch dann, wenn jedes Mitglied im Rahmen eines eigenen Kalküls seine Präferenzordnung ermittelt und nicht die Präferenzordnungen anderer Mitglieder "ungeprüft" übernimmt. Bei eingesetzten Gruppen z.B. wird der Gruppe von der Instanz ein bestimmtes Ziel vorgegeben. Wenn alle Mitglieder dieses Ziel befolgen, ist die Wahrscheinlichkeit relativ hoch, daß sie sich ähnliche Präferenzordnungen bilden werden; Unterschiede können dann nur noch aus abweichenden Informationsmengen und/oder abweichenden Prognosefunktionen resultieren. Ob ein Mitglied die Verhaltensnorm befolgt oder nicht, hängt vor allem auch von den Zielen und Kontrollmöglichkeiten der anderen Mitglieder ab. Sind diese gut informiert und mit dem Entscheidungsproblem vertraut, kann es schwierig sein, persönHche Ziele zu verfolgen, ohne daß dies erkannt wird. Eine Verletzung der Verhaltensnorm ist jedoch auch bei guten gegenseitigen Kontrollmöglichkeiten zu erwarten, wenn die Mitglieder ähnliche persönliche Ziele verfolgen, also keine persönlichen Zielkonflikte zwischen ihnen auftreten. Auch in diesem Fall bestehen wieder enge Abhängigkeiten zwischen den Präferenzordnungen. Da die Mitglieder gemeinsam Informationen beschaffen und/oder Informationen gegenseitig austauschen, verfügen sie im Zeitpunkt der Abstimmung über ähnliche Informationsmengen. Das kann - je nach den individu-

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

419

eilen Prognose- und Zielfunktionen - dazu führen, daß sie auch ähnliche Präferenzordnungen vertreten werden. Die Gruppenarbeit kann schließlich eine Annäherung der individuellen Prognosefunktionen bewirken. Daß Abhängigkeiten bestehen, bedeutet freilich nicht zwingend, daß alle Mitglieder dieselbe Alternative auf den ersten Platz ihrer Präferenzordnung setzen werden; dies ist eher der Ausnahmefall.

4. 4.1.

Die Abstimmung in der Gruppe Formelle und informelle Abstimmung

Die endgültige Auswahl einer Alternative durch die Gruppe erfolgt in Form einer Abstimmung, die formell oder informell stattfinden kann. Bei formeller Abstimmung erfolgt die Wahl einer Alternative durch explizite Anwendung einer Abstimmungsregel (die entweder von einer übergeordneten Instanz vorgegeben oder durch die Gruppe selbst bestimmt wird); dabei kann die Abstimmung offen (durch Akklamation) oder geheim erfolgen. Bei informeller Abstimmung wird zwar ebenfalls eine bestimmte Abstimmungsregel angewendet (auch wenn sich die Gruppenmitglieder dessen häufig gar nicht bewußt sind); die Abstimmungsregel ist aber nicht explizit vorgegeben und sie wird auch nicht offiziell angewendet. Angenommen, es seien zwei Alternativen (Aj und A2) gegeben. Bei der Gruppendiskussion werde deutlich, daß eine Mehrheit der Gruppenmitglieder die Alternative A | präferiert. Wenn sich nun die Minderheit der Gruppenmitglieder der Mehrheit beugt und die Alternative A^ realisiert wird, so wird (implizit) die Mehrheitsregel (Abschnitt 4.2.3) angewendet, auch wenn nicht offiziell die Stimmen gezählt werden, die für bzw. gegen die Alternative A^ sind. Welche Alternative von der Gruppe bei formeller Abstimmung gewählt wird, hängt von der Abstimmungsregel und den Präferenzordnungen der einzelnen Mitglieder im Zeitpunkt der Abstimmung ab. Eine Konstellation individueller Präferenzordnungen heißt Präferenzordnungsprofil. Bei drei Alternativen und fünf Mitgliedern kann das Präferenzordnungsprofil z.B. folgende Gestalt haben: Ml

M2

M3

M4

M5

Al

Al

A2

A3

Al,A2

Al

A2

Al,A3

A2

A3

A3

A3

Al

Matrix XIII. 1: Beispiel eines Präferenzordnungsprofils

420

Kapitel XIII

Beispielsweise nimmt in der Präferenzordnung des Mitglieds Mj die Alternative Aj den ersten und A3 den letzten Rang ein. Mitglied M3 ist indifferent zwischen Aj und A3; beiden Alternativen wird A2 vorgezogen. Bei gegebenem Präferenzordnungsprofil hängt das Wahlergebnis von der Abstimmungsregel ab. In der Literatur werden zahlreiche Abstimmungsregeln diskutiert (vgl. z.B. BLACK, 1958; BARBUT, 1961 und SEN, 1970). Im folgenden werden zunächst einige der prominentesten Regeln dargestellt und mögliche Wahlergebnisse miteinander verglichen. Dabei wird zunächst angenommen, die Mitglieder verhielten sich bei der Abstimmung nicht "strategisch". Anschließend werden Möglichkeiten und Konsequenzen strategischen Verhaltens bei der Abstimmung untersucht.

4.2.

Abstimmungsregeln

4,2,1. Beispiele für

Präferenzordnungsprofile

Bei der Darstellung der Abstimmungsregeln werden die folgenden Präferenzordnungsprofile als Beispiele verwendet: M,

M2

M3

M4

M5

Mö

M7

Mg

M9

A,

A2

A5

A5

A4

A3

A3

A3

A4

^5

Al

A4

A3

Ae

Ae

Aö

Aö

Aö

Ag

A3

A,

A4

A5

A4

A4

A2

A,

A4

A4

A2

Al

A3

A5

A5

Al

A2

A3

Aö

A3

Aö

A,

A2

A,

A4

A3

A2

A5

Aö

A2

A2

Al

A2

A5

A5

Matrix XIII.2: Präferenzordnungsprofil für A=6 und M=9

M]

Mj

M3

M4

M5

Mö

Al

A3

Aö

A4

A5

A2

Al

A2

A7

A7

A7

Aö

A,

A5

\

A2

A5

A5 A3

A5 A4

_A4^,

A7

My

Mg

M9

Mio

M,i

A2

Aö

Aö

A5

A5

Aö

A7

A3

A7

A7

A4

A2

A2

Aö

A7

A4

A3

Al

Al

A4

A3

A4

A5 A4

A3

Al

A4

A4

A2

Al

A4

A5

Al

A2

A7

A7

A3

A3

Al

A2

A3 A,

A2

A7

A5

A3

Aö

Aö

A5

Al

A2

Aö

Aö

A3

Matrix Xin.3: Präferenzordnungsprofil für A=7 und M= 11

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen Ml

M2

M3

Al

A2

A3

A2

A3

Al

A3

Al

A2

421

Matrix XIII.4: Präferenzordnungsprofil für A=3 und M = 3 4.2.2, Das Einstimmigkeitskriterium Nach dem Einstimmigkeitskriterium hat jedes Mitglied eine Stimme; gewählt ist diejenige Alternative, die die Stimme sämtlicher Mitglieder erhält. Eine Entscheidung kommt also nur dann zustande, wenn sich alle Mitglieder auf eine Alternative einigen. Ist kein Mitglied bereit, bei der Abstimmung von seiner Präferenzordnung abzuweichen, so kommt eine Entscheidung nur zustande, wenn in den Präferenzordnungen aller Mitglieder dieselbe Alternative an erster Stelle steht. Diese Voraussetzung ist vor allem bei größeren Gruppen in der Regel nicht erfüllt. Man mag einwenden, dann müsse eben der Informationsbeschaffungs- und Informationsverarbeitungsprozeß (die Beratungen der Gruppe) so lange fortgesetzt werden, bis schließlich alle Mitglieder dieselbe Alternative als die beste ansehen. Bei einem solchen Vorgehen entstehen indessen möglicherweise hohe Kosten in Form von Ausgaben und/oder durch Einsatz von Arbeit und Zeit. Außerdem weichen die Prognose- und Zielfunktionen der Mitglieder oft derart voneinander ab, daß auch langwierige Gruppenprozesse keine übereinstimmenden Urteile bewirken können. Das Einstimmigkeitskriterium ist vor allem dann problematisch, wenn die Entscheidung rasch getroffen werden muß, um gegebene Aktionsmöglichkeiten überhaupt realisieren zu können. Bei den folgenden Abstimmungsregeln wird keine Einstimmigkeit gefordert. 4.2.3. Das Kriterium des paarweisen Vergleichs (Mehrheitsregel) Bei dem Kriterium des paarweisen Vergleichs werden - etwa durch den Vorsitzenden der Gruppe oder nach dem Zufallsprinzip - aus der Menge der Alternativen zunächst zwei Alternativen ausgewählt und über sie abgestimmt, wobei jedes Mitglied eine Stimme abgibt.4) Die Alternative mit den wenigsten Stimmen scheidet aus. Die Alternative, die die Mehrheit der Stimmen erhält, wird einer weiteren Alternative gegenübergestellt und es 4)

Für den Fall, daß ein Mitglied zwischen beiden Alternativen indifferent ist, kann die Regel vorsehen, daß es jeder Alternative eine halbe Stimme gibt. Im folgenden werden die Abstimmungsregeln grundsätzlich nur für den Fall dargestellt und analysiert, daß kein Mitglied zwischen zwei oder mehr Alternativen indifferent ist.

422

Kapitel XIII

kommt zu einer erneuten Abstimmung. Dieser Prozeß wiederholt sich so lange, bis alle Alternativen beteiligt waren; diejenige, die beim letzten Wahlgang die Mehrheit der Stimmen erhält, ist schließlich gewählt. Erhalten bei einem Wahlgang beide Alternativen die gleiche Stimmenzahl, entsteht eine Pattsituation. Die Auswahl der Alternative kann dann nach einem Zufallsprozeß (z.B. durch Würfeln) erfolgen; als gewählt kann aber auch die Alternative gelten, die die Stimme des Vorsitzenden erhält. Eine Alternative, die im paarweisen Vergleich mit jeder anderen Alternative die Mehrheit der Stimmen erhält, wird als Coi- A3 >- A^: Bei einer Abstimmung über A^ und Aj gewinnt Aj (Aj erhält je eine Stimme von Mj und M3, A2 eine Stimme von M2). Bei einer Abstimmung über A2 und A3 gewinnt A2 (A2 erhält je eine Stimme von M^ und M2, A3 eine Stimme von M3). Bei einer Abstimmung über A3 und A^ schließlich gewinnt A3 (A3 erhält je eine Stimme von M2 und M3, Aj eine Stimme von Mj). Jede Alternative wird also von genau einer anderen Alternative geschlagen.^) Hier kann jede Alternative als Sieger hervorgehen; welche Alternative tatsächlich gewählt wird, hängt von der Reihenfolge der Abstimmung ab. Für Matrix XIII.3 gilt z.B.:

5)

Für einen außenstehenden Beobachter mag das Verhalten des Gremiums als paradox erscheinen. Es präferiert erst Aj gegenüber A2, dann präferiert es A3 gegenüber A|, obwohl A3 schlechter als A2 eingestuft wurde. Der paradoxe Effekt, daß beim paarweisen Vergleich trotz transitiver individueller Präferenzordnungen eine intransitive kollektive Präferenzrelation entstehen kann, wird als Wahlparadoxon (paradox of voting; vgl. ARROW, 1963, S. 3) oder CONDORCET-Effekt bezeichnet. Er wurde schon 1785 von MARQUIS DE CONDORCET beschrieben. Vgl. CONDORCET (1785).

Elemente des Entscheidungsprozesses in Gruppen Reihenfolge der Abstimmung K

gewählte Alternative

Ay, A4, A5, A2, A3, A,

Al, Aj,

A,

A^, A5, A4, A3, A2

A2

Aö, A7, A4, A5, A2, Al, A3

A3

A7, A5, A2, Aj, Ag, A3, A4

A4

A2, A7, Al, A3, A5, A4

A5

K

423

A2, Ay, Al, A3, A4, A5, Ae

\

Al, A2, A3, A4, A5, Ag, A7

A7

Wenn z.B. zunächst über die Alternativen A5 und A7 abgestimmt wird und die anderen Alternativen in der Reihenfolge A4,A5,A2,A3,Ai in die Wahlgänge aufgenommen werden, gewinnt A^: Im ersten Wahlgang gewinnt A7 mit 6:5 Stimmen; das gleiche gilt für die Wahlgänge 2 (A7 gegen A4) und 3 (Ay gegen A5). Im vierten Wahlgang (A7 gegen A2) gewinnt A2 mit 6:5 Stimmen; das gleiche gilt auch für den fünften Wahlgang (A2 gegen A3). Im letzten Wahlgang schließlich gewinnt Aj und ist damit endgültig gewählt. 4.2.4. Das

Single-Vote-Kriterium

Das Single-Vote-KxiiQx'mm (BLACK, 1958, S. 156f.) erfordert nur einen Wahlgang. Jedes Mitglied gibt dabei eine Stimme ab; die Alternative, die die meisten Stimmen erhält, ist gewählt.^) Es werden also nur die Erstpräferenzen berücksichtigt. Im Beispiel der Matrix XIII.2 erhalten die Alternativen folgende Anzahl von Stimmen: Al ^ 1

A2 -> 1

A3 -> 3

A4 -^ 2

A5 -> 2

Aö -> 0.

Gewählt ist demnach die Alternative A3. Bei Matrix XIII.3 wird A5 gewählt. Bei Matrix XIII.4 erhält jede Alternative eine Stimme; es entsteht eine Pattsituation. Im Beispiel der Matrix XIII.2 führt das Single-Vote-KniQnum zur Wahl der CONDORCET-Alternative. Das ist aber nicht zwingend bei jedem Präferenzordnungsprofil der Fall, wie das folgende Beispiel zeigt:

6)

Erhalten mehr als eine Alternative die (gleiche) maximale Stimmenzahl, so ist das Wahlergebnis noch nicht endgültig determiniert. Aus der Menge der Alternativen mit maximaler Stimmenzahl ist noch eine Auswahl zu treffen: Als gewählt könnte dann die Alternative gelten, die in der Rangordnung des Vorsitzenden den höchsten Platz einnimmt; die Auswahl könnte z.B. aber auch nach dem Zufallsprinzip erfolgen.

424

Kapitel XIII

M,

M2

M3

M4

M5

Me

A4

A5

Al

A,

A2

A3

A3

A2

A3

A2

A2

A2

A4

A5

A5

A4

A3

A3

A5

A3

A4

A5

A5

A4

A2

A4

Al

Al

Al

Al

Matrix XIII.5: Präferenzordnungsprofil für A=5 und M=6

Nach dem Single-Vote-KritQrmm erhält die Alternative Aj zwei Stimmen, jede andere nur eine. Folglich wird A^ gewählt. CONDORCET-Alternative ist jedoch Aj, die bei paarweisem Vergleich mit 4:2 Stimmen gegen A^ gewinnt. (Da Al in den Präferenzordnungen der Mitglieder M3 bis M5 an letzter Stelle steht, würde auch jede andere Alternative mit 4:2 Stimmen gegen Aj gewinnen.) 4.2.5. Das BORDA-Kriterium Nach dem BORDA-Kriterium gibt bei einer Abstimmung über A Alternativen jedes Mitglied der Alternative auf dem ersten Platz seiner Präferenzordnung A Stimmen, der auf dem zweiten Platz A - 1 Stimmen usw., der Alternative auf dem letzten Platz 1 Stimme (BLACK, 1958, S. 156-158). Gewählt ist die Alternative mit der höchsten Gesamtstimmenzahl. Bei Matrix XIIL2 erhalten die Alternativen folgende Stimmen: Al -> 6+5+4+3+2+1+2+3+4=30

A2 -> 1+6+3+1+1+2+1+4+3=22

A3 -^ 2+4+2+5+3+6+6+6+2=36

A4 -> 3+3+5+4+6+4+4+2+6=37

A5 -> 5+1+6+6+4+3+3+1+1=30

A^ -> 4+2+1+2+5+5+5+5+5=34.

Gewählt ist also A4. Bei Matrix XIII.3 wird A7 gewählt. Bei Matrix XIII.4 erhält jede Alternative (3 + 2 + 1=) 6 Stimmen; es entsteht eine Pattsituation. Auch das BORDA-Kriterium führt bei den Matrizen XIII.2 und XIII.3 zu einer anderen Alternative als das Single-Vote-KxiiQnmn: Beim BORDA-Kriterium werden eben nicht nur die ersten, sondern auch die nachfolgenden Ränge in den Präferenzordnungen der Mitglieder berücksichtigt. Nach dem BORDA-Kriterium kann eine Alternative auch gewinnen, wenn sie bei keinem Mitglied in der Präferenzordnung den ersten Rang einnimmt. Eine CONDORCET-Alternative wird auch nach dem BORDA-Kriterium nicht zwingend gewählt, wie Matrix XIII.2 zeigt. Dort gewinnt A4 die Wahl, während A3 CONDORCET-Alternative ist. Auch im folgenden Beispiel führt das BORDA-Kriterium nicht zur Wahl der CONDORCET-Alternative:

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen M,

M2

M3

M4

M5

Al

Al

Al

A2

A2

A2

A2

A2

A3

A5

A3

A4

A5

A4

A4

A4

A5

A4

Al

A3

A5

A3

A3

A5

A,

425

Matrix XIII.6: Präferenzordnungsprofil für A=5 und M=5 Hier ist Aj CONDORCET-Altemative, aber nach dem BORDA-Kriterium gewinnt A2 die Wahl mit 22 Stimmen. Die CONDORCET-Altemative steht dreimal auf dem ersten Platz, jedoch auch einmal an vorletzter und einmal an letzter Stelle. Damit kann sie nach dem BORDA-Kriterium nicht gegen die Alternative A2 gewinnen, die zwar nur zweimal auf dem ersten Platz steht, dafür aber in den restlichen Präferenzordnungen den zweiten Rang einnimmt. Existieren nur zwei Altemativen, so stehen die Mehrheitsregel (das Kriterium des paarweisen Vergleichs), das Single-Vote- und das BORDA-Kriterium miteinander im Einklang; nach jedem dieser Kriterien wird die Alternative gewählt, die bei der Mehrheit der Mitglieder in der Präferenzordnung den ersten Rang einnimmt. 4.2.6. Die HARE-Regel Nach der HARE-Regel gibt jedes Mitglied zunächst eine Stimme ab, d.h. es votiert wie beim Single-Vote-Kriterium für eine Alternative. Erzielt dabei eine Altemative die absolute Mehrheit der Stimmen, ist sie gewählt. Andemfalls wird die Altemative mit der geringsten Stimmenzahl eliminiert^) und die Abstimmung mit den verbleibenden Altemativen wiederholt. Die Entscheidung des Gremiums ist getroffen, wenn erstmals eine Alternative die absolute Mehrheit der Stimmen erhält. Möglicherweise erfüllt sich diese Bedingung erst bei Abstimmung über die beiden letzten verbleibenden Alternativen.^) Im Beispiel der Matrix XIII.6 wird die Entscheidung schon beim ersten Wahlgang getroffen; gewählt wird hier die CONDORCET-Alternative A^. Die Wahl einer CONDORCET-Altemative ist aber nicht zwingend. Es ist z.B. möglich, daß diese Altemative schon beim ersten Wahlgang ausschei7)

8)

Erzielen zwei oder mehr Altemativen eine minimale Stimmenzahl, so kann z.B. die Elimination einer dieser Altemativen durch den Vorsitzenden des Gremiums oder nach einem Zufallsprozeß erfolgen. Zur Diskussion dieser Regel, die zum Beispiel auch vom Internationalen Olympischen Komitee angewendet wird, vgl. SCHAUENBERG (1992).

426

Kapitel XIII

det, weil sie in keiner der individuellen Präferenzordnungen den ersten Rang einnimmt. In diesem Abschnitt wurden nur einige Abstimmungsregeln dargestellt, die besondere theoretische und praktische Bedeutung haben. Die Darstellung ist keinesfalls vollständig. In der Literatur finden sich zahlreiche andere Abstimmungsregeln. Mit etwas Phantasie lassen sich beliebig viele solcher Regeln entwickeln. Diese kurze Darstellung genügt jedoch, um den Einfluß der Abstimmungsregel auf das Abstimmungsergebnis zu erkennen. Damit wird die Problematik der Auswahl einer Abstimmungsregel bei Gruppenentscheidungen deutlich. Darauf wird in Kapitel XIV nochmals eingegangen.

4.3. 4.3.1,

Strategisches Verhalten bei der Abstimmung Definitionen

Bisher wurde unterstellt, daß jedes Mitglied seine Stimme bzw. seine Stimmen gemäß seiner tatsächlichen Präferenzordnung abgibt - eine Voraussetzung, die nicht erfüllt sein muß. Wenn sich nämlich ein Mitglied bei der Abstimmung so verhält, als hätte es eine andere Präferenzordnung, kann das zur Wahl einer Alternative führen, die in seiner eigentlichen Präferenzordnung einen höheren Rang einnimmt. Ein Abweichen von der eigentlichen Präferenzordnung mit dem Ziel, die Wahl einer "besseren" Alternative durchzusetzen, wird als strategisches Verhalten bezeichnet (vgl. zu diesem Problemkreis auch FARQUHARSON, 1956; KRAMER, 1972; GiBBARD, 1973 und PATTANAIK, 1973, 1974 und SCHAUENBERG, 1992).

Das strategische Verhalten kann sich auch darauf richten, die Reihenfolge der Abstimmung zu beeinflussen. Zwei oder mehr Mitglieder können ihr strategisches Verhalten gezielt aufeinander abstimmen, also eine Koalition bilden. Wenn ein Mitglied sich strategisch verhält, ohne eine Koalition einzugehen, spricht man von isoliertem strategischen Verhalten dieses Mitglieds. 4.3.2. Isoliertes strategisches Verhalten 4.3.2.1. Single- Vote-Kriterium Zunächst wird davon ausgegangen, keines der Mitglieder stimme sein strategisches Verhalten mit anderen Mitgliedern ab. Es wird untersucht, über welche strategischen Möglichkeiten ein einzelnes Mitglied bei alternativen Abstimmungsregeln verfügt, das Wahlergebnis in seinem Sinne zu beeinflussen. Gegeben sei folgendes Präferenzordnungsprofil:

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

Ml

M2

M3

M4

M5

Al

A,

A3

A3

A2

A2

A2

A2

A2

A3

A3

A3

Al

A,

Al

427

Matrix XIII.7: Präferenzordnungsprofil für A=3 und M=5 Ml sei Vorsitzender der Gruppe, dessen Stimme in einer Pattsituation den Ausschlag gibt. Verhält sich kein Mitglied strategisch, so gibt jedes Mitglied derjenigen Alternative die Stimme, die in seiner Präferenzordnung an erster Stelle steht. Aj und A3 erhalten dann je zwei Stimmen und A2 eine. Damit ist die Alternative A^ gewählt, da sie die Stimme des Vorsitzenden erhält. Aj steht aber in der Präferenzordnung von Mitglied M5 an letzter Stelle. Wenn nun M5 nicht für A2, sondern für A3 stimmt, wird A3 mit drei Stimmen gewählt (sofern sich die anderen Mitglieder nicht auch strategisch verhalten). Indem also Mitglied M5 für die Alternative auf dem zweiten Platz seiner Präferenzordnung stimmt, bewirkt es, daß diese Alternative und nicht seine rangletzte Alternative (A^) gewählt wird. Beim Präferenzordnungsprofil in Matrix XIII.7 kann keines der Mitglieder M3 und M4 allein das Wahlergebnis zu seinen Gunsten beeinflussen. Gibt nur eines dieser Mitglieder einer anderen Alternative als A3 die Stimme, gewinnt nach wie vor A^ die Wahl. Stimmen jedoch beide Mitglieder für A2, wird diese Alternative gewählt, falls M5 sich nicht auch strategisch verhält. Wenn M5 für A3 stimmt und sich zugleich mindestens eines der Mitglieder M3 und M4 ebenfalls strategisch verhält und A2 die Stimme gibt, ergibt sich vom Standpunkt der Mitglieder M3, M4 und M5 kein Vorteil; es wird dann wieder A^ gewählt. (Es wird hier bereits deutlich daß es für die Mitglieder M3, M4 und M5 sinnvoll sein kann, eine Koalition zu bilden und ihr strategisches Verhalten aufeinander abzustimmen.) Bei strategischem Verhalten bezüglich der Stimmabgabe kann das Wahlergebnis davon abhängen, in welcher Reihenfolge bei offener Abstimmung die Stimmen abgegeben werden. Wird die Alternative A3 vor A2 aufgerufen, so werden die Mitglieder M3 und M4 ihre Stimme A3 geben. M5 wird dann ebenfalls für diese Alternative stimmen, um die Wahl von A^ zu verhindern. Wird jedoch A2 vor A3 aufgerufen, so wird Mitglied M5 für A2 stimmen. Nun werden sich die Mitglieder M3 und M4 dem Votum von M5 anschließen. Ist die Reihenfolge der Stimmabgabe nicht von vornherein festgelegt, so kann sich (bei offener Abstimmung) das strategische Verhalten einzelner oder aller Mitglieder auch daraufrichten, die Reihenfolge zu beeinflussen.

428

Kapitel XIII

4.3.2.2. Kriterium des paarweisen Vergleichs

(Mehrheitsregel)

Auch beim Kriterium des paarweisen Vergleichs gibt es zwei grundsätzlich verschiedene strategische Verhaltensweisen: (a) bei der Festlegung der Reihenfolge der Abstimmung und (b) bei dQY Abstimmung selbst. Zu (a) : Zunächst wird davon ausgegangen, bei der Abstimmung verhalte sich kein Mitglied strategisch. In diesem Fall ist das Wahlergebnis von der Reihenfolge der Abstimmung unabhängig, sofern eine CONDORCET-Alternative existiert. Wenn keine CONDORCET-Altemative existiert, hängt das Wahlergebnis von der Reihenfolge der Abstimmung ab. Kennt dann ein Mitglied die Präferenzordnungen der anderen Mitglieder, kann es das Wahlergebnis für jede Abstimmungsfolge eindeutig vorhersehen und vielleicht die Auswahl der Abstimmungsfolge entsprechend beeinflussen. So wird sich z.B. bei Matrix XIII.3 Mitglied Mj für die Reihenfolge A5, A7, A4, A5, A2, A3, Al einsetzen, weil dann die Alternative Aj gewählt wird, die in seiner Präferenzordnung an erster Stelle steht. Sieht es keine Chance, diese Reihenfolge durchzusetzen, wird es für die Reihenfolge A^, Ay, A5, A5, A4, A3, A2 eintreten, die zur Wahl der Alternative A2 führt, die immerhin auf dem zweiten Platz seiner Präferenzordnung steht, usw.. Zu (b) : Es soll nun die Beeinflussung des Wahlergebnisses durch strategisches Verhalten im Abstimmungsprozeß betrachtet werden. Folgendes Präferenzordnungsprofil sei gegeben: M,

Mj

M3

A4

A2

A3

A,

A4

Al

A2

A3 A,

A4

A3

A2

Matrix XIII.8: Präferenzordnungsprofil für A=4 und M=3 Hier ist A4 CONDORCET-Alternative. Wenn sich kein Mitglied bei der Abstimmung strategisch verhält, gewinnt A4 die Wahl. Wird statt dessen A2 gewählt, ergibt sich für Mitglied M2 ein Vorteil, wird eine der Alternativen Al und A3 gewählt, erzielt Mitglied M3 einen Vorteil. Ob nun für ein Mitglied die Möglichkeit besteht, durch isoliertes strategisches Verhalten bei der Abstimmung die Wahl zu seinen Gunsten zu beeinflussen, hängt davon ab, wann die CONDORCET-Altemative in den Wahlprozeß aufgenommen wird. Wird sie erst beim letzten Wahlgang aufgenommen, gewinnt sie zwingend die Wahl. Kein Mitglied kann dann durch strategisches Verhalten das Wahlergebnis zu seinen Gunsten verändern, unabhängig davon, welche Alternative der CONDORCET-Altemative

Elemente des Entscheidungsprozesses in Gruppen

429

noch gegenübergestellt wird. Sie wird ja bei jedem paarweisen Vergleich von zwei Mitgliedern vorgezogen. Wird die CONDORCET-Altemative früher in den Abstimmungsprozeß aufgenommen, gibt es strategische Verhaltensweisen, bei denen genau ein Mitglied einen Vorteil erzielt. Gegeben sei z.B. die Reihenfolge A4, A2, Aj, A3. Wenn sich keines der Mitglieder M^ und M2 strategisch verhält, kann M3 die Wahl von A3 bewirken, indem es beim ersten Wahlgang (A4 gegen A2) für die Alternative A2 stimmt, die bei ihm den letzten Rang einnimmt; A2 gewinnt dann mit 2:1 Stimmen. Beim zweiten Wahlgang (A2 gegen A^) gewinnt A^ (sie erhält je eine Stimme von Mj und M3), beim dritten Wahlgang schließlich gewinnt A3 (sie erhält je eine Stimme von M2 und M3), die in der Präferenzordnung von M3 an erster Stelle steht. Das beschriebene Verhalten des Mitglieds M3 führt nicht zwingend zur Wahl von A3, wenn sich mindestens eines der Mitglieder Mj und M2 ebenfalls strategisch verhält. A3 steht auf dem letzten Platz der Präferenzordnung von M^. Wenn Mj beim zweiten Wahlgang (A2 gegen Aj) statt für Aj für A2 stimmt, gewinnt A2 diesen und dann auch den letzten Wahlgang. A2 steht auf dem letzten Platz der Präferenzordnung von M3. Hätte M3 beim ersten Wahlgang nicht strategisch gestimmt, so hätte immerhin die Alternative A4 die Wahl gewonnen. 4.3.2.3.

BORDA-Kriterium

Es sei das folgende Präferenzordnungsprofil gegeben: M,

M2

M3

A,

A4

A5

A3

A2

Ae

Aö

Al

Al

A2

A3

A2

A5

A5

A3

A4

A6

A4

Matrix XIII.9: Präferenzordnungsprofil für A=6 und M=3 Wenn sich kein Mitglied strategisch verhält, erhalten die Alternativen folgende Anzahl von Stimmen: Al -> 6+4+4=14

A2 -> 3+5+3=11

A3 -> 5+3+2=10

A4 -> 1+6+1= 8

A5 -^ 2+2+6=10

Aö -> 4+1+5=10.

430

Kapitel XIII

Gewählt ist somit die Alternative A^, die in der Präferenzordnung von Mitglied M2 an dritter Stelle steht. Wenn sich nun keines der Mitglieder M^ und M3 strategisch verhält, kann M2 die Wahl von A2 (die auf dem zweiten Platz seiner Präferenzordnung steht) durchsetzen, indem es sich bei der Verteilung seiner Stimmen so verhält, als ob es die Präferenzordnung (A2, A4, A3, A5, A5, Al) hätte. Auf die Alternativen entfallen dann folgende Stimmen:

Al -^ 6+1+4=11

A2 -^ 3+6+3=12

A3 -> 5+4+2=11

A4 -> 1+5+1= 7

A5 -> 2+3+6=11

Aö -^ 4+2+5=11.

Somit sinkt gegenüber dem nichtstrategischen Verhalten die Stimmenzahl für Al, während die für A2 so weit steigt, daß A2 gewählt wird.^) Das beschriebene strategische Verhalten von M2 führt nicht zwingend zur Wahl von A2, wenn sich mindestens eines der Mitglieder Mi und M3 ebenfalls strategisch verhält. 4.3.2.4. Strategisches Verhalten als

Entscheidungsproblem

Für jedes Gruppenmitglied stellt sich das Entscheidungsproblem, aus der Menge seiner möglichen Strategien diejenige zu bestimmen, die zu der Alternative führt, die in seiner Präferenzordnung einen möglichst hohen Rang einnimmt. 1^) Die Ermittlung der optimalen Strategie eines Mitglieds ist relativ einfach, wenn bekannt ist, wie sich die anderen Mitglieder bei der Abstimmung (im Abstimmungsprozeß) verhalten werden. Diese Voraussetzung ist aber i.d.R. nicht erfüllt, vor allem nicht bei geheimer Abstimmung. Es ist dann nicht mit Sicherheit bekannt, zu welchen Alternativen die möglichen Strategien eines Mitglieds führen werden. Die Bestimmung seiner optimalen Strategie stellt mithin ein komplexes Entscheidungsproblem bei Unsicherheit dar. Einige Anhaltspunkte für das strategische Verhalten eines Mitglieds seien kurz skizziert. Beim Single-Vote-Kriterium wird das Mitglied der "erstrebten" Alternative die Stimme geben. Die "erstrebte" Alternative muß nicht diejenige sein, die in seiner Präferenzordnung den ersten Platz einnimmt; es könnte z.B. auch die Alternative auf dem dritten Rang sein, weil keine Chance besteht, eine Alternative mit höherem Rang durchzusetzen. Beim Kriterium des paarweisen Vergleichs wird das Mitglied zunächst bemüht sein, die Reihenfolge der Abstimmung zu beeinflussen. Es wird zu erreichen versuchen, daß die von ihm erstrebte Alternative möglichst spät 9)

M2 kann (wenn die MitgHeder Mj und M3 nicht strategisch stimmen) nicht die Wahl von A4 bewirken, da diese Alternative von den Mitgliedern M| und M3 jeweils nur eine Stimme erhält. 10) Erste Überlegungen zu diesem Problem finden sich bei FARQUHARSON (1956, 1969), KRAMER (1972) und PATTANAIK (1973, 1974).

Elemente des Entscheidungsprozesses in Gruppen

431

in den Wahlprozeß aufgenommen wird und die Alternativen, die gegen sie gewinnen könnten, möglichst früh. Je später nämlich die erstrebte Alternative in den Wahlprozeß aufgenommen wird, um so kleiner ist die Zahl der Alternativen, gegen die sie gewinnen muß, um endgültig als Wahlsieger hervorzugehen; je früher die Alternativen, die gegen die erstrebte gewinnen könnten, in den Wahlprozeß aufgenommen werden, desto eher ist zu erwarten, daß diese Alternativen im Laufe des Abstimmungsprozesses überstimmt werden und folglich der erstrebten nicht gegenübergestellt werden. Bei den einzelnen Abstimmungen wird das Mitglied jeweils so stimmen, daß möglichst eine Alternative verbleibt, die beim paarweisen Vergleich mit der erstrebten Alternative verliert. Beim BoRDA-Kriterium liegt es nahe, der erstrebten Alternative möglichst viele Stimmen zu geben, und den Alternativen, die gegen sie gewinnen könnten, möglichst wenige. 4.3.3. Bildung von Koalitionen Vom Standpunkt eines Teils der Mitglieder kann sich ein Vorteil ergeben, wenn sie ihr Verhalten gezielt aufeinander abstimmen, also eine Koalition bilden (RiKER, 1962; RIKER/ORDESHOOK, 1973). Das folgende Präferenzordnungsprofil dient zur Verdeutlichung: Ml

M2

M3

M4

M5

Mft

M7

Al

A,

Al

A2

A3

A4

A5

A2

A2

A2

A3

A3

A3

A3

A4

A4

A4

A4

A5

A3

A4

A5

A5

A5

Al

Al

Al

Al

A2

A2

A2

A5

A4

A5

A3

Matrix XIII. 10: Präferenzordnungsprofil für A=5 und M=7 Mj sei Vorsitzender der Gruppe, dessen Stimme in einer Pattsituation entscheidet. Wenn jedes Mitglied für die Alternative auf dem ersten Rang seiner Präferenzordnung stimmt, wird beim Single-Vote-KritQrmm die Alternative Aj gewählt, die in den Präferenzordnungen der Mitglieder M4 bis M7 auf dem vierten Rang steht. Wenn nun diese Mitglieder eine Koalition bilden und für A2 stimmen, wird die Alternative A2 gewählt, die bei ihnen einen höheren Rang einnimmt als A^. Wenn nur drei der Mitglieder M4 bis My für die Alternative A2 Stimmen, gewinnt nach wie vor Aj die Wahl, da M| in einer Pattsituation den Ausschlag gibt.

432

Kapitel XIII

Welche Alternative von einer Gruppe gewählt wird, hängt also (auch) von den gemeinsamen Strategien ab, die die Gruppenmitglieder bei der Abstimmung verfolgen.

4.4.

Abstimmung über eine kollektive Präferenzordnung

Bisher stand die Gruppe vor dem Problem, aus einer Menge von Alternativen diejenige auszuwählen, die realisiert werden soll. In der Realität müssen Entscheidungsgremien jedoch häufig eine (kollektive) Präferenzordnung über die zur Debatte stehenden Alternativen bestimmen: - Der Vorstand einer Aktiengesellschaft muß die Rangfolge der verschiedenen Untemehmensziele festlegen. - Eine Kommission muß sich eine Präferenzordnung über mehrere Bewerber um eine Stelle bilden: Lehnt der Bewerber auf dem ersten Platz der Präferenzordnung (nach mehr oder weniger intensiven Verhandlungen) ab, so wird mit dem Bewerber auf dem zweiten Platz verhandelt; lehnt auch er ab, so kommt der Bewerber auf dem dritten Platz zum Zuge, usw.. - Ein Gemeinderat muß über die Reihenfolge entscheiden, in der bestimmte Projekte abgewickelt werden. Bei Abstimmung über die kollektive Präferenzordnung kann im Prinzip ebenso vorgegangen werden wie bei alleiniger Entscheidung über eine der Alternativen Nach dem Einstimmigkeits-Kriterium kommt eine Entscheidung über die kollektive Präferenzordnung nur dann zustande, wenn sich alle Mitglieder auf eine gemeinsame Präferenzordnung einigen. Ist kein Mitglied bereit, bei der Abstimmung von seiner Präferenzordnung abzuweichen, wird eine kollektive Präferenzordnung nur dann festgelegt, wenn sämtliche individuellen Präferenzordnungen identisch sind. Diese Voraussetzung ist vor allem bei größeren Gremien in der Regel nicht erfüllt. Bei Anwendung des Single-Vote- und des BORDA-Kriteriums werden die Alternativen nach ihrer jeweiligen Stimmenzahl geordnet: Auf dem ersten Rang der kollektiven Präferenzordnung steht die Alternative mit der höchsten Stimmenzahl, auf dem zweiten Rang die mit der zweithöchsten, usw.. Alternativen mit der gleichen Stimmenzahl nehmen denselben Rang ein; es besteht dann also kollektive Indifferenz zwischen ihnen. Wenn nach der Mehrheitsregel überhaupt eine kollektive Präferenzordnung existiert,^^) erfüllt sie folgende Bedingung: Den ersten Rang nimmt diejenige Alternative ein, die den paarweisen Vergleich gegen jede andere gewinnt. Auf dem zweiten Platz steht diejenige Alternative, die zwar von 11) Wie in Abschnitt 4.2.3 gezeigt wurde, kann sich bei der Mehrheitsregel eine intransitive kollektive Präferenzrelation ergeben. Präferenzordnungen sind jedoch definitionsgemäß transitiv.

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

433

der rangersten geschlagen wird, jedoch den paarweisen Vergleich gegen jede andere Alternative gewinnt, usw.. Bei zielgebundenen Gruppen delegiert eine Person - wir bezeichnen sie als Instanz - Entscheidungsbefugnisse an die Gruppe; dabei gibt die Instanz ein Ziel vor, an dem sich die Mitglieder zu orientieren haben. Die Gruppe wird in der Erwartung eingesetzt, daß vom Standpunkt der Instanz aus gesehen eine bessere Entscheidung getroffen wird als bei alleiniger Entscheidung durch sie selbst oder ein anderes Individuum. Bei zielgebundenen Gruppen stellt sich vor allem das Problem, welche Abstimmungsregel und welche Größe und Zusammensetzung der Gruppe aus der Sicht der Instanz optimal ist. Beurteilungsgrundlage ist dabei das Ziel der Instanz.

5. 5.1.

Zur Vorteilhaftigkeit eines Gremiums Das allgemeine Beurteilungsproblem

Mit dem Einsatz einer (Entscheidungs-) Gruppe ist aus der Sicht der Instanz gegenüber der Delegation der Entscheidung an einen einzelnen Entscheidungsträger zwar die Chance verbunden, daß z.B. mehr und "gehaltvollere" Informationen im Entscheidungsprozeß verarbeitet werden und/ oder aufgrund eines größeren Sachverstandes aus Informationen bessere Rückschlüsse auf die Folgen der erwogenen Alternativen gezogen werden. Andererseits besteht aber auch die Gefahr, daß sich bei der Abstimmung z.B. Mitglieder durchsetzen, die sich an persönlichen Zielen orientieren (statt am Ziel der Instanz) oder die aus den Informationen problematische Wahrscheinlichkeitsurteile über die Folgen der Alternativen ableiten. Außerdem setzt sich das einzelne Mitglied in der Gruppe möglicherweise wesentlich weniger ein als bei alleiniger Entscheidung, weil es sich nicht persönlich für das Ergebnis des Gruppenentscheidungsprozesses verantwortlich fühlt. Es kann also nicht generell davon ausgegangen werden, eine Gruppe treffe bessere Entscheidungen als ein Individuum. Vielmehr muß im Einzelfall geprüft werden, ob der Einsatz einer Gruppe vorteilhaft ist. Dies erfordert jedoch die Lösung eines komplexen Bewertungsproblems, in dem die genannten Chancen und Risiken gegeneinander abzuwägen sind. Ob der Einsatz eines Gremiums vorteilhaft ist, läßt sich u.a. deshalb nur schwer beurteilen, weil es sehr viele Varianten des Gruppeneinsatzes und der Steuerung des Entscheidungsprozesses durch die einsetzende Instanz gibt, die in Abhängigkeit vom Entscheidungsproblem zu sehr unterschiedHchen Konsequenzen führen können (KAUS, 1985; LiNDSTEDT, 1997). Als Gestaltungs- bzw. Steuerungsvariablen der Instanz kommen u.a. in Betracht: Gruppengröße, Gruppenzusammensetzung, Abstimmungsregel,

434

Kapitel XIII

Normen über den Verlauf des Entscheidungsprozesses (z.B. welche Informationen einzuholen sind, wie die Aufgaben in der Gruppe zu verteilen sind, wie oft und wie lange jeweils Gruppensitzungen stattfinden sollen) und die Kompetenzverteilung in der Gruppe. (Sind alle Gruppenmitglieder gleichberechtigt oder wird ein Vorsitzender bestimmt, der den anderen Mitgliedern im Entscheidungsprozeß bestimmte Aufgaben zuweisen darf bzw. soll?)

5.2.

Zur Beurteilung eines Gremiums bei isolierter Problemlösung

Bei Delegation der Entscheidung an eine Gruppe kann im Vergleich zur Delegation an einen einzelnen Entscheidungsträger schon dann ein Vorteil entstehen, wenn die Gruppenmitglieder völlig isoliert voneinander arbeiten und anschließend abstimmen. Notwendige (jedoch nicht hinreichende) Voraussetzung ist allerdings, daß nicht mit Sicherheit alle Mitglieder im Rahmen ihrer Individualkalküle dieselbe Alternative als die beste einstufen. Die Wahrscheinlichkeit für die Wahl einer (vom Standpunkt der Instanz) guten Alternative durch die Gruppe kann unter dieser Voraussetzung auch dann hoch sein, wenn sie bei alleiniger Entscheidung durch ein beliebiges Mitglied niedrig ist. Mit der Entscheidung durch die Gruppe ist die Chance verbunden, daß diejenigen Mitglieder überstimmt werden, die bei alleiniger Entscheidung eine ungünstige Alternative wählen würden. Allerdings besteht zugleich die Gefahr, daß gerade diese Mitglieder bei der Abstimmung den Ausschlag geben und jene Mitglieder überstimmen, die bei alleiniger Entscheidung eine gute Alternative gewählt hätten. Zur Verdeutlichung dieses Zusammenhangs wird ein einfaches Beispiel mit zwei Alternativen betrachtet, von denen eine zu wählen (und zu realisieren) ist. Als Entscheidungsträger kommen die Personen M | , M2 und M3 in Betracht. Jeder Entscheidungsträger würde bei alleiniger Entscheidung mit der Wahrscheinlichkeit p die (nach irgendeinem Kriterium) günstigere Alternative wählen und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-p die andere. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für die Wahl der günstigeren Alternative, wenn über die Alternativen abgestimmt und dann jene Alternative realisiert wird, die die Mehrheit der Stimmen bekommt? Es werden zwei Fälle: p = 0,8 und p = 0,3 betrachtet. Außerdem wird vereinfachend angenommen, die Voten der einzelnen Entscheidungsträger seien voneinander stochastisch unabhängig. Die Tabelle XIII. 1 zeigt, welche Abstimmungsergebnisse möglich sind und welche Wahrscheinlichkeiten ihnen entsprechen. "+" bzw. "-" heißt dabei, daß der betreffende Entscheidungsträger für bzw. gegen die günstigere Alternative stimmt.

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

Voter ivon

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten

M|

M^

M-,

(p = 0,8)

(P = 0,3)

1

+

+

+

0,8-0,8-0,8 = 0,512

0,3-0,3-0,3 = 0,027

2

+

+

-

0,8-0,8-0,2 = 0,128

0,3-0,30,7 = 0,063

3

+

-

+

0,8-0,2-0,8 = 0,128

0,3-0,7-0,3-0,063

4

+

+

0,2-0,8-0,8 = 0,128

0,7-0,3-0,3 = 0,063

-

+

0,2-0,2-0,8 = 0,032

0,7-0,7-0,3 = 0,147

6

-

+

0,7-0,3-0,7 = 0,147

7

+

0,3-0,7-0,7 = 0,147

-

-

0,8-0,2-0,2 = 0,032

8

-

0,20,8-0,2 = 0,032 0,2-0,2-0,2 = 0,008

0,7-0,7-0,7 = 0,343

5

435

Tabelle XIII. 1: Die im Beispiel möglichen Abstimmungsergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten Die günstigere Alternative wird dann gewählt, wenn sie die Mehrheit der Stimmen erhält. Das ist bei den Abstimmungsergebnissen 1-4 der Fall. Die Wahrscheinlichkeit P dafür, daß eines dieser Ergebnisse eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse. Somit gilt: P = 0,512 + 3-0,128 = 0,896 und P = 0,027 + 3-0,063 = 0,216

falls p = 0,8 falls p = 0,3.

Die Gruppe wählt die günstigere der beiden Alternativen also im Fall p = 0,8 mit höherer Wahrscheinlichkeit, im Fall p = 0,3 mit geringerer Wahrscheinlichkeit als ein einzelner Entscheidungsträger.

5.3.

Zur Beurteilung eines Gremiums bei gemeinsamer Problemlösung

5.3.1, Einfluß der Gruppenbildung auf die Informationsmengen Prognosefunktionen der Mitglieder

und

Die Mitglieder einer Gruppe arbeiten im allgemeinen jedoch nicht völlig isoliert voneinander. Im Rahmen eines arbeitsteiligen Entscheidungsprozesses werden Informationen beschafft, gegenseitig übermittelt und verarbeitet. Die Präferenzordnungen der Mitglieder am Ende des Gruppenprozesses sind daher häufig nicht identisch mit jenen, die sie bei alleiniger Entscheidung vertreten würden. Schon bei der Konstituierung der Gruppe können die Mitglieder gemeinsam mehr entscheidungsrelevante Informationen besitzen als jedes einzelne Mitglied allein. Bei geeigneter Arbeitsteilung können außerdem von einer Gruppe mehr zusätzliche Informationen beschafft werden als von einem einzelnen. Durch den gegenseitigen Austausch der bereits vorbände-

436

Kapitel XIII

nen und der neu beschafften Informationen kann der Informationsstand jedes Gruppenmitglieds gegenüber individueller Entscheidung wesentlich erhöht werden. Die Mitglieder können sich dann bei der Bildung ihrer Präferenzordnungen auf eine breitere Informationsbasis stützen. Darüber hinaus wird in einer Gruppe auch darüber diskutiert, welche (probabilistischen) Rückschlüsse aus den Informationen zu ziehen sind. Dadurch können die Prognosefunktionen einiger oder aller Mitglieder beeinflußt werden. Ein Mitglied kann folglich auch dann zu einem anderen Wahrscheinlichkeitsurteil über die Umweltzustände und mithin zu einer anderen Präferenzordnung kommen als bei alleiniger Entscheidung, wenn es in der Gruppe keine zusätzlichen Informationen erhält. Ob das vom Standpunkt der Instanz vorteilhaft ist oder nicht, kann nicht allgemeingültig beurteilt werden. Ob der Einsatz einer Gruppe gegenüber der Entscheidung durch einen einzelnen vorteilhaft ist, hängt vor allem auch von den Möglichkeiten der Arbeitsteilung ab, die wiederum vom Entscheidungsproblem sowie von den Informationen und Fähigkeiten der einzelnen Mitglieder abhängen (KELLEY/ THIBAUT, 1969, S. 65f; COLLINS, 1970, S. 180ff). Kann das Entscheidungsproblem in weitgehend unabhängig voneinander zu bearbeitende Teilaufgaben zerlegt werden und ergänzen sich die Informationen und Fähigkeiten der Mitglieder gerade so, daß diese Aufgaben gut verteilt werden können, ist der Vorteil der Gruppenbildung relativ hoch. Sind indessen die Teilaufgaben nicht unabhängig voneinander zu lösen und besteht die Gruppe nur aus hochspezialisierten Mitgliedern, die nicht beurteilen können, wie sich die Lösungen ihrer jeweiligen Teilprobleme auf andere Bereiche auswirken, so ist der Vorteil der Gruppenbildung gering. In dieser Situation wird die Vorteilhaftigkeit der Gruppe ansteigen, wenn als zusätzliches Mitglied ein "Generalist" aufgenommen wird, der die Teilaufgaben gut aufeinander abstimmen kann.

5.3.2. Einfluß der Gruppenbildung auf die Ziele und die Motivation der Mitglieder Zwar wird den Mitgliedern ein Ziel gesetzt, an dem sie sich bei ihrer Entscheidung zu orientieren haben. Damit besteht aber noch nicht die Gewähr, daß dieses Ziel auch tatsächlich verfolgt wird. Ob ein Individuum die Verhaltensnorm befolgt oder nicht, ist im allgemeinen nicht unabhängig davon, ob es allein entscheidet oder Mitglied einer Gruppe ist und aus welchen Personen sich die Gruppe zusammensetzt. Entscheidet ein Individuum allein, so ist die Wahrscheinlichkeit relativ hoch, daß eine Zielabweichung zugunsten eigener Interessen nicht erkannt wird. Bei Gruppenentscheidung werden dagegen auch andere Personen mit den Altemativen und den entscheidungsrelevanten Daten vertraut gemacht. Die dadurch ermöglichte gegenseitige Kontrolle erschwert es, sich von eigenen Interessen leiten zu lassen. Da-

Elemente des EntScheidungsprozesses in Gruppen

437

durch kann die Wahrscheinlichkeit steigen, daß die Verhaltensnorm befolgt und eine vom Standpunkt der Instanz gute Alternative gewählt wird. Das gilt vor allem dann, wenn auch neutrale Mitglieder ins Gremium aufgenommen werden, die von der Entscheidung nicht persönlich betroffen sind. Es ist andererseits auch möglich, daß einzelne Mitglieder, die bei individueller Entscheidung die Verhaltensnorm befolgen würden, in der Gruppe ihre persönlichen Ziele vertreten und andere Mitglieder in ihrem Sinne beeinflussen. Nachdem auch andere Personen für dieselbe (suboptimale) Alternative gestimmt haben, trifft sie nicht mehr allein die Verantwortung. Einzelne Mitglieder können sich auch an materiellen oder immateriellen Belohnungen und Sanktionen durch andere Mitglieder orientieren und die Stimmabgabe von deren Präferenzen abhängig machen. Eine solche Orientierung kann dazu führen, daß das betreffende Mitglied eine Präferenzordnung über die Alternativen vertritt, die vom Standpunkt der Instanz weniger gut, möglicherweise aber auch besser ist als jene, die das Mitglied bei alleiniger Entscheidung erarbeitet hätte. Ein Gruppenmitglied kann gegenüber alleiniger Entscheidung auch deshalb weniger motiviert sein, sich für die Lösung des Entscheidungsproblems einzusetzen, weil es sich nicht mehr persönlich für das Ergebnis der Entscheidung verantwortlich fühlt und/oder weil es damit rechnet, daß sein Beitrag keinen Einfluß auf das Ergebnis hat. Eine solche Einstellung ist vor allem bei größeren Gruppen zu erwarten. Empirische Befunde zeigen, daß in größeren Gruppen (mit mehr als sieben Mitgliedern) beim einzelnen verstärkt das Gefühl aufkommt, sein Beitrag sei von untergeordneter Bedeutung für die Gruppe (OLSON, 1968, S. 52). Hieraus resultiert eine geringere Teilnahme am Gruppengeschehen; die Anzahl der Mitglieder, die ihre Ideen zum Ausdruck bringen und ihre Informationen zur Verfügung stellen, sinkt. Empirische Untersuchungen haben gezeigt, daß eine bezüglich der Persönlichkeit der Mitglieder heterogene Zusammensetzung der Gruppe sich auf die Motivation der Mitglieder positiv auswirkt (DEUTSCH, 1968, S. 269). Obwohl im allgemeinen bei Individuen die Tendenz besteht, lieber mit Personen gleicher Einstellungen und Interessen zusammenzuarbeiten, zeigte sich, daß aufgabenbezogene Konflikte, deren Ursprung in der Heterogenität der Mitglieder zu suchen ist, eine positive Wirkung auf die Leistung der Gruppe haben können (COLLINS, 1970, S. 221). 5.3.3. Zur '* ausgleichenden*^ Wirkung der Abstimmung Wie bereits erläutert wurde, besteht auf Grund der Abstimmung die Chance, daß Mitglieder, die sich eine vom Standpunkt der Instanz "nachteilige" Präferenzordnung bilden, von anderen überstimmt werden. Andererseits kann aber auch die Gefahr bestehen, daß gerade diejenigen Mitglieder von anderen überstimmt werden, die bei alleiniger Entscheidung eine vom Standpunkt der Instanz "gute" Alternative gewählt hätten. Orientiert sich

438

Kapitel XIII

Z.B. jedes Gruppenmitglied mit der Wahrscheinlichkeit p ( 0 , 5 < p < l ) am Ziel der Instanz und sind die Ziele der einzelnen Mitglieder voneinander stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mehr als die Hälfte der Mitglieder das Ziel der Instanz verfolgt, größer als p. Dabei liegt die betreffende Wahrscheinlichkeit um so weiter über p, je größer die Mitgliederzahl n ist (LAUX, 1979a, S. 233). Im Falle 0 < p < 0 , 5 gilt die umgekehrte Beziehung. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Mehrheit der Mitglieder das Ziel der Instanz verfolgt, sinkt hier mit steigender Mitgliederzahl immer weiter unter p. Analoge Aussagen gelten auch für die anderen Determinanten der individuellen Präferenzordnungen. Die Gruppe kann zwar schon dann mit höherer Wahrscheinlichkeit eine (aus der Sicht der Instanz) "gute" Alternative wählen als jedes einzelne Mitglied bei alleiniger Entscheidung, wenn keinerlei Interaktionen in der Gruppe erfolgen. Je nach den Wahrscheinlichkeiten für die Präferenzordnungen der einzelnen Mitglieder und der Abstimmungsregel ist es jedoch auch möglich, daß die Gruppe mit geringerer Wahrscheinlichkeit eine "gute" Altemative wählt als jedes einzelne Mitglied bei alleiniger Entscheidung.

5.4.

Der Kostenaspekt

Gruppenentscheidungsprozesse sind oft langwieriger als Individualentscheidungen. Insbesondere bei sinnvoller Arbeitsteilung kann jedoch eine Gruppe auch wesentlich schneller zu einer Entscheidung kommen als ein Individuum. Je größer die Zahl der Mitglieder und je langwieriger der Entscheidungsprozeß, desto größer sind tendenziell die (Opportunitäts-) Kosten eines Entscheidungsgremiums. Die Dauer des EntScheidungsprozesses ist im allgemeinen um so größer, je mehr Interdependenzen bei der Lösung von Teilproblemen zu beachten sind, je weniger gut also das gesamte Entscheidungsproblem in unabhängige Teilprobleme zerlegt werden kann und je mehr sich folglich das einzelne Mitglied mit dem Entscheidungsproblem als Ganzem befassen muß. Auch die Vorgabe der Einstimmigkeitsregel wird in der Regel bewirken, daß die Dauer des Entscheidungsprozesses größer wird (und mithin die Kosten des Gremiums steigen). Ergänzende und vertiefende

Literatur:

(2002, S. 250-269); BLACK (1958); BLEICHER (1968); COLLINS (1970); DEUTSCH (1968) FARQUHARSON (1956, 1969); KAUS (1985); KELLEY/THIBAUT (1969) KRAMER (1972); LAUX (1979a, S. 139-236; 1979b); LINDSTEDT (1997)

BAMBERG/COENENBERG

(1975);

CARTWRIGHT/ZANDER

M A G (1992); MANKE (1980); OLSON (1968); SCHANZ (1978, S. 130-149)

SCHAUENBERG (1992); SEIDEL (1992); (1973).

VETSCHERA

(1991; 2004);

TÜRK

XIV.

1.

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

Problemstellung

Die fortschreitende Demokratisierung unserer Gesellschaft hat dazu geführt, daß nicht nur im politischen, sondern auch im wirtschaftlichen Bereich Entscheidungen in zunehmendem Maße von Gruppen (Entscheidungsgremien) getroffen werden. Für viele Entscheidungsgremien stellt sich das Problem, wie die individuellen Präferenzordnungen der Mitglieder über die erwogenen Alternativen "möglichst gerecht" zu einer ''kollektiven Präferenzordnung" (d.h. zu einer Präferenzordnung der Gruppe) aggregiert werden können. Im vorliegenden Kapitel wird untersucht, wie dieses Problem präzisiert werden kann und welche Schwierigkeiten einer befriedigenden Lösung des Problems entgegenstehen. "Es ist offensichtlich, welche praktische Bedeutung ein gerechter, allgemein akzeptierter Aggregationsmechanismus haben könnte. Aufgenommen in die Geschäftsordnung, könnte er endlose Geschäftsordnungsdebatten ersparen; relativ mühe- und konfliktlos könnten mit seiner Hilfe Probleme von folgendem Typ gelöst werden: - Aufweiche Prioritätenliste für Forschungsprojekte oder andere Projekte soll sich der Vorstand einer AG einigen? - In welche Rangfolge soll der Vorstand die Kandidaten für vakante leitende Stellen ordnen? - Auf welche Rangfolge der verschiedenen Untemehmensziele soll sich der Vorstand einigen? - Auf welche Rangfolge von konkurrierenden wirtschaftspolitischen Zielen soll sich ein politisches Gremium einigen? - Nach welchen Prioritäten soll ein Stadtrat seine zur Debatte stehenden Projekte ordnen? - Aufweiche Landesliste soll sich ein Landesparteitag einigen? - Wie kann in einem Berufungsausschuß ein Konsensus über eine Berufungsliste erreicht werden? - usw.. Vielfach müssen in der Praxis Entscheidungsgremien keine Präferenzordnung aller zur Debatte stehenden Alternativen aufstellen, sondern sich lediglich für eine der Alternativen entscheiden. Diese Aufgabe ist natürlich gelöst, wenn das Gremium eine Präferenzordnung aller Alternativen ermittelt hat; man braucht ja nur den "Spitzenreiter" auszuwählen" (BAMBERG/ COENENBERG, 2002, S. 251).

Das Problem des "fairen" Interessenausgleichs stellt sich auch dann, wenn zwar ein einzelner Entscheidungsträger eine Präferenzordnung aufzu-

440

Kapitel XIV

stellen oder eine einzelne Alternative auszuwählen hat, dieser jedoch die Entscheidung nicht "für sich selbst" trifft, sondern für eine Gruppe von Personen mit divergierenden Präferenzordnungen. Die folgenden Darstellungen gelten für diesen Fall analog. Nach Erläuterung einiger Grundprobleme und Grundbegriffe in Abschnitt 2 wird in Abschnitt 3 die Bedeutung von PARETO-Regeln für die Aggregation der (individuellen) Präferenzordnungen der Gruppenmitglieder zu einer kollektiven Präferenzordnung (der Gruppe) diskutiert. Die strenge PARETO-Regel stellt zwar äußerst plausible Anforderungen an die Bildung einer kollektiven Präferenzordnung. Es verbleiben jedoch im allgemeinen viele Alternativen, die nach dieser Regel nicht verglichen werden können. Zwar besteht die Möglichkeit, diese Alternativen (vom Standpunkt der Gruppe) als gleichrangig zu deklarieren. Wie jedoch gezeigt wird, ist dieses Vorgehen wenig sinnvoll. Die Gruppe könnte nun versuchen, sich auf weitere Anforderungen zu einigen, um zu einem allseits akzeptierten ("fairen") Aggregationsmechanismus zu gelangen. ARROW hat indessen gezeigt, in welches Dilemma dieser Weg führt. Er hat einige plausible und harmlos erscheinende Anforderungen (Bedingungen) formuliert und gezeigt, daß überhaupt kein Aggregationsmechanismus existiert, der diese Bedingungen simultan erfüllt. In Abschnitt 4 wird dieses Unmöglichkeitstheorem dargestellt. In Abschnitt 5 wird untersucht, gegen welche Bedingungen einige klassische Abstimmungsregeln verstoßen. In Abschnitt 6 wird die Problematik von Versuchen diskutiert, einen Ausweg aus dem von ARROW aufgezeigten Dilemma zu finden. In Abschnitt 7 wird verdeutlicht, daß Bedingungen eines "fairen" Interessenausgleichs im Konflikt stehen können mit dem Ziel, diejenige Alternativenwahl zu treffen, die vom Standpunkt einer Instanz optimal ist, die die Gruppe eingesetzt und die Entscheidungskompetenz an sie delegiert hat. (Bei Delegation von Entscheidungen gibt die Instanz ein Ziel vor, an dem sich der bzw. die Entscheidungsträger orientieren sollen.)

2. 2.1.

Grundlagen Das Präferenzordnungsprofil

Zur Präzisierung der Problemstellung werden zunächst einige Bezeichnungen vereinbart: M I , M 2 V , M M ( M > 2 ) sind die Mitglieder der Gruppe. A = { A I , A 2 , . - - , A A } ( A - 2 ) ist die Menge der erwogenen Alternativen. A^ und Ay kennzeichnen zwei beliebige Alternativen der Menge A. Zur Darstellung der Präferenzstrukturen der einzelnen Mitglieder werden die Symbole Rj^, Im und V^ (m= 1,2,...,M) verwendet. Es bedeutet:

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

Ax Rm Ay

441

=

die Alternative A^ ist für Mitglied Mj^ mindestens so gut, wie die Alternative Ay, ^x^m^y = Mitglied Mj^ ist zwischen den Alternativen A^ und Ay indifferent, ^x^m^y = Mitglied M^ zieht die Alternative A^ der Alternative Ay (streng) vor. Die Relationen I^^ und Pj^ können mit Hilfe von Rj^ definiert werden: AxImAy <=>

A^Rj^Ay

und

AyR^A^,

Ax Pm Ay <=^

Ax Rjn Ay

und nicht

Ay R^^ A^.

Die entsprechenden Relationen für die Gruppe werden mit R, I und P bezeichnet. A^RAy besagt z.B., daß die Alternative A^ "im Urteil der Gruppe" mindestens so gut ist wie die Alternative Ay. Eine Relation R^ bzw. R wird als "schwache Präferenz", eine Relation P^n bzw. P als "strikte oder strenge Präferenz" bezeichnet. Im folgenden wird die strikte Präferenz auch kurz als "Präferenz" bezeichnet. Ojn kennzeichnet die Präferenzordnung des Mitglieds Mj^^ (m= 1,2,...,M) über die Alternativen Ai,A2,.-.,A^. Werden die Präferenzordnungen der M Mitglieder zu dem M-Tupel ( 0 I , 0 2 V , 0 M ) zusammengefaßt, so entsteht ein sogenanntes Präferenzordnungsprofil.

2.2.

Die kollektive Wahlfunktion als Aggregationsmechanismus

Das zu untersuchende Problem lautet nun: Nach welcher Regel soll aus einem Präferenzordnungsprofil ( O I , 0 2 V 5 0 M ) eine kollektive Präferenzordnung O hergeleitet werden? (Eine kollektive Präferenzordnung ist eine vollständige und transitive kollektive Präferenzrelation.) Für den Fall, daß die Präferenzordnungen aller Gruppenmitglieder übereinstimmen, ist die kollektive Präferenzordnung identisch mit der für alle Mitglieder gleichen individuellen Präferenzordnung. Diese vollkommene Interessenharmonie ist jedoch im allgemeinen nicht gegeben. Bei divergierenden individuellen Präferenzordnungen ist die Ableitung einer kollektiven Präferenzordnung aus einem Präferenzordnungsprofil nicht unmittelbar eindeutig. In diesem Fall kann ein "vernünftiger" (den Abstimmungsprozeß normierender) Aggregationsmechanismus sehr nützlich sein. Ein Aggregationsmechanismus, der je einem Präferenzordnungsprofil eine kollektive Präferenzordnung zuordnet, wird als kollektive Wahlfunktion (bzw. als Sozialwahlfunktion oder soziale Wohlfahrtsfunktion) bezeichnet. Eine kollektive Wahlfunktion ist eine Zuordnung F, die jedem im Definitionsbereich von F liegenden Präferenzordnungsprofil eine kollektive Präferenzordnung zuordnet. Auch die Regel, daß bei identischer individueller Präferenzordnung für alle Gruppenmitglieder die kollektive Präferenzordnung mit der betreffen-

442

Kapitel XIV

den individuellen Präferenzordnung übereinstimmt, ist bereits eine kollektive Wahlfunktion. Ihr Definitionsbereich ist jedoch sehr eng, da sie sich nur auf den Fall der völligen Interessenharmonie bezieht. Es bleibt offen, welche Gestalt die kollektive Präferenzordnung aufweisen soll, wenn sich die Präferenzordnungen von mindestens zwei Gruppenmitgliedern unterscheiden. Damit die kollektive Wahlfunktion die Gruppe nicht in bestimmten Situationen "im Stich" läßt, sollte ihr Definitionsbereich alle logisch möglichen Präferenzordnungen umfassen. Der Definitionsbereich von F ist dann unbeschränkt.

2.3.

Kollektive Wahlfunktionen mit beschränktem und unbeschränktem Definitionsbereich

Das Single-Vote-KvitGrium. und das BORDA-Kriterium z.B. konstituieren kollektive Wahlfunktionen mit unbeschränktem Definitionsbereich. Jedem logisch möglichen Präferenzordnungsprofil entspricht jeweils eine kollektive Präferenzordnung. Auf dem ersten Platz steht die Alternative mit der höchsten Stimmenzahl, auf dem zweiten Platz die mit der zweithöchsten usw.. Alternativen mit der gleichen Stimmenzahl nehmen denselben Rang ein. Da die Mehrheitsregel (Kriterium des paarweisen Vergleichs) nicht bei jedem Präferenzordnungsprofil zu einer kollektiven Präferenzordnung führt (vgl. Kapitel XIII, Abschnitt 4.2.3), impliziert sie nur dann eine kollektive Wahlfunktion, wenn ihr Definitionsbereich beschränkt wird (und zwar auf solche Präferenzordnungsprofile, bei denen kein Zyklus entsteht).

2.4.

Ein Konzept zur Auswahl einer kollektiven Wahlfunktion

Wie in Kapitel XIII deutlich wurde, führen das Single-Vote- und das BORDA-Kriterium im allgemeinen zu unterschiedlichen kollektiven Präferenzordnungen. Neben diesen Kriterien lassen sich noch sehr viele andere kollektive Wahlfunktionen formulieren, die ihrerseits wieder zu anderen kollektiven Präferenzordnungen führen und die a priori nicht ohne weiteres als "unvernünftig" abgelehnt werden können. Es stellt sich damit ein komplexes Problem: Nach welcher der zahlreichen kollektiven Wahlfunktionen soll die kollektive Präferenzordnung bestimmt werden? Die kollektive Wahlfunktion soll zu einem "fairen" Ausgleich der Interessen der Gruppenmitglieder führen. Was dabei unter "fair" zu verstehen ist, kann präzisiert werden durch bestimmte Anforderungen an die kollektive Wahlfunktion. Für die Auswahl einer kollektiven Wahlfunktion liegt damit die folgende Vorgehensweise nahe: Die Gruppenmitglieder einigen sich auf bestimmte Anforderungen, denen die kollektive Wahlfunktion genügen soll. Ge-

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

443

nügt nur eine der zur Wahl stehenden kollektiven Wahlfunktionen den gestellten Anforderungen, so wird diese Wahlfunktion für die Ableitung einer kollektiven Präferenzordnung zugrundegelegt. Genügen mehrere kollektive Wahlfunktionen den Anforderungen, so ist zunächst noch offen, welche dieser Wahlfunktionen zur Anwendung kommen soll. Die Gruppe könnte dann versuchen, durch Einigung auf zusätzliche Anforderungen die Menge der zulässigen kollektiven Wahlfunktionen weiter einzuengen. Dabei mögen zwar immer noch mehrere zulässige Wahlfunktionen übrig bleiben; das beschriebene Konzept ermöglicht aber wenigstens die Aussonderung unerwünschter kollektiver Wahlfunktionen. Dies kann auch dann hilfreich sein, wenn keine Kriterien angegeben werden können, nach denen die verbleibenden kollektiven Wahlfunktionen beurteilt werden sollen. Als Anforderungen an eine "faire" kollektive Wahlfunktion erscheinen die Bedingungen der schwachen und insbesondere der strengen PARETORegel als allgemein akzeptabel (PATTANAIK, 1971, S. 37f. und S. 52ff.).

3.

PARETO-Regeln

3.1.

Die schwache PARETO-Regel

Nach der schwachen PARETO-Regel gilt für ein beliebiges Alternativenpaar A ^ 5Ay € A :

(a)

Wenn A^ImAy

&ixjedes m e {1,2,...,M}, dann gilt A^IAy.

(b)

Wenn A^PmAy

im jedes m G {1,2,...,M}, dann gilt A^PAy.

In Worten: (a) Wenn jedes Mitglied indifferent ist zwischen A^ und Ay, dann ist auch die Gruppe indifferent (A^IAy). (b) Wenn jedes Mitglied A^ streng Ay vorzieht, so präferiert auch die Gruppe Ax gegenüber Ay (A^PAy). Die schwache PARETO-Regel ist zwar sehr plausibel, sie besitzt jedoch als kollektive Wahlfunktion einen zu engen Definitionsbereich: Sie macht keine Aussage über die kollektive Präferenzrelation für den Fall, daß 1. (mindestens) ein Mitglied die Alternative A^ und (mindestens) ein anderes Mitglied die Alternative Ay vorzieht oder 2. (mindestens) ein Mitglied gegenüber beiden Alternativen indifferent ist, jedoch alle übrigen Mitglieder eine und dieselbe Alternative der anderen vorziehen. Den unter 2. genannten Aspekt erfaßt die strenge PARETO-Regel.

444

Kapitel XIV

3.2. 3.2.1.

Die strenge PARETO-Regel Darstellung

Nach der strengen PARETO-Regel gilt für jedes Alternativenpaar A^jAy e A: (a)

Wenn A^ImAy für jedes m e {1,2,...,M}, dann gilt auch A^IAy.

(b)

Wenn A^R^Ay für jedes m G {1,2,...,M} und A^PmAy für mindestens ein m e {1,2,...,M}, dann gilt A^PAy.

In Worten: (a) Wenn jedes Mitglied indifferent ist zwischen A^ und Ay, dann ist auch die Gruppe indifferent (A^IAy). (b) Wenn jedes Mitglied A^ als mindestens ebenso gut einschätzt wie Ay und mindestens ein Mitglied A^ gegenüber Ay (streng) präferiert, so ist auch vom Standpunkt der Gruppe A^ gegenüber Ay der Vorzug zu geben. 3.2.2. Vergleich mit der schwachen PARETO-Regel Die strenge PARETO-Regel impliziert die schwache PARETO-Regel. Die strenge PARETO-Regel fordert jedoch die Gruppenpräferenz A^PAy nicht nur für den Fall, daß jedes Mitglied A^ gegenüber Ay streng vorzieht. Die Gruppe soll auch dann A^ gegenüber Ay vorziehen, wenn ein Teil der Mitglieder (mindestens ein Mitglied) A^ vorzieht und die übrigen Mitglieder zwischen A^ und Ay indifferent sind. Die strenge PARETO-Regel geht zwar (in vernünftiger Weise) über die schwache PARETO-Regel hinaus, aber auch ihr Definitionsbereich ist noch zu sehr eingeschränkt. Wenn mindestens ein Mitglied A^ streng vorzieht und mindestens ein Mitglied Ay, so kann die strenge PARETO-Regel beim Vergleich dieser Alternativen nicht angewendet werden (da sie für diesen Konfliktfall keine Aussage über die kollektive Präferenzrelation macht). 3.2.3. Die strenge PARETO-Regel und das Problem der Bestimmung einer kollektiven Präferenzordnung Mit Hilfe der strengen PARETO-Regel kann nur dann eine kollektive Präferenzordnung hergeleitet werden, wenn kein Konflikt zwischen individuellen Präferenzen vorkommt. Es darf ferne Alternative existieren, die in mindestens einer individuellen Präferenzordnung einen höheren und in mindestens einer anderen individuellen Präferenzordnung einen niedrigeren Rang einnimmt als eine andere Alternative. Diese Bedingung ist z.B. dann erfüllt, wenn die Präferenzordnungen aller Mitglieder identisch sind, oder wenn das Präferenzordnungsprofil z.B. die folgende Gestalt hat:

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

M,

M2

M3

M4

A,

Al

Al

Al,A2,A3,A4

Al

A2

A2,A3

A3

A3,A4

A4

445

A4

Matrix XIV.l: Beispiel eines Präferenzordnungsprofils ohne Konflikt Hier führt die strenge PARETO-Regel zu einer kollektiven Präferenzordnung. Sie ist mit der Präferenzordnung des Mitglieds Mj identisch. Dagegen kann in der folgenden Konfliktsituation nach der strengen PARETO-Regel keine kollektive Präferenzordnung bestimmt werden: M,

M2

M3

Al

A3,A4

Al

A2

A2

A2

A3

A,

A3

A4

A4

Matrix XIV.2: Beispiel eines Präferenzordnungsprofils mit Konflikt Hier folgt nach der strengen PARETO-Regel A3PA4. Die Alternative A4 kann daher nicht Spitzenreiter einer kollektiven Präferenzordnung sein. Im übrigen bleibt jedoch die Gestalt der kollektiven Präferenzordnung offen: Die Alternativen Ai,A2 und A3 sind nach der strengen PARETO-Regel nicht vergleichbar. Allgemein gilt: Je "größer" der Konflikt zwischen den individuellen Präferenzordnungen ist, desto größer ist auch die Menge von Alternativenpaaren, für die die strenge PARETO-Regel nicht anwendbar ist. 3,2.4. Die strenge PARETO-Regel als

Vorauswahl-Kriterium

Obwohl die strenge PARETO-Regel keine kollektive Wahlfunktion ist, die jedem logisch möglichen Präferenzordnungsprofil eine kollektive Präferenzordnung zuordnet, kann sie trotzdem für die Lösung kollektiver Entscheidungsprobleme sehr hilfreich sein. Dies gilt insbesondere dann, wenn die Gruppe keine vollständige Präferenzordnung über sämtliche Alternativen aufstellen, sondern sich lediglich für eine der Alternativen entscheiden muß. Die strenge PARETO-Regel ermöglicht im allgemeinen eine Vorauswahl von Alternativen, die im Vergleich zu einer oder mehreren anderen Alternativen nachteilig sind und mithin (nach den Bedingungen der strengen PARETO-Regel) nicht Spitzenreiter einer kollektiven Präferenzordnung

446

Kapitel XIV

sein können. Eine Alternative ist im Vergleich zu einer zweiten Alternative nachteilig, wenn jedes Mitglied die zweite Alternative als mindestens ebenso gut einschätzt wie die erste und mindestens ein Mitglied die zweite Alternative (streng) präferiert. Für die Entscheidung der Gruppe kommen nur noch diejenigen Alternativen in Betracht, die nach Ausscheiden der nachteiligen verbleiben. Diese (verbleibenden) Alternativen werden als ''pareto-effizient" oder als ''pareto-optimaV bezeichnet: Eine Alternative ist pareto-effizient, wenn keine andere (zulässige) Alternative existiert, die von mindestens einem Mitglied als besser und von keinem Mitglied als schlechter eingestuft wird. Die strenge PARETO-Regel macht keine Aussage darüber, welche von mehreren pareto-effizienten Alternativen zu wählen ist. Das Kernproblem der kollektiven (Letzt-) Entscheidung besteht darin, daß hinsichtlich der pareto-effizienten Alternativen eine Konfliktsituation besteht: Wenn statt einer pareto-effizienten Alternative A^ eine pareto-effiziente Alternative Ay (y^^x) gewählt wird, erzielt mindestens ein Mitglied einen Vorteil und erleidet mindestens ein anderes Mitglied einen Nachteil. 3.2.5. Exkurs: PARETO-Efßzienz versus Effizienz von Alternativen einem einzelnen Entscheider

bei

Der Begriff "PARETO-Effizienz" steht in Analogie zum Effizienzbegriff, der sich auf das Entscheidungsproblem eines einzelnen Entscheiders bezieht, der sich an mehreren Zielgrößen (Zi,Z2vj2^z) orientiert (Kapitel III). Eine Alternative ist effizient, wenn keine andere (zulässige) Alternative existiert, die von diesem Entscheider hinsichtlich sämtlicher Zielgrößen Zi,Z2,...,Z2 als mindestens ebenso gut und hinsichtlich mindestens einer dieser Zielgrößen als besser eingestuft wird. Während also für die Bestimmung der Menge der pareto-effizienten Alternativen die Präferenzordnungen der Gruppenmitglieder Mi,M2,..-jM]yj maßgeblich sind, ist für die Ermittlung der Menge der effizienten Alternativen für einen einzelnen Entscheider von Bedeutung, in welcher Weise er die Alternativen hinsichtlich seiner einzelnen Zielgrößen Zi,Z2,."j^z jeweils in eine Rangordnung bringt.

3.3.

Die strenge erweiterte PARETO-Regel

Die strenge PARETO-Regel läßt offen, wie pareto-effiziente Alternativen untereinander einzustufen sind. Die strenge erweiterte PARETO-Regel (PATTANAIK, 1971, S. 52ff.) löst dieses Problem in der Weise, daß sie hinsichtlich aller pareto-effizienten Alternativen eine kollektive Indifferenz definiert.

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

447

Nach der strengen erweiterten PARETO-Regel gilt für jedes Altemativenpaar A^^Ay e A: (a) Wenn A^RmAy für jedes m e {1,2,...,M} und A^P^Ay für mindestens ein m E {1,2,...,M}, dann gilt A^PAy. (b) Wenn weder A^PAy noch AyPA^, dann gilt A^IAy. Die strenge erweiterte PARETO-Regel steht im Einklang mit der strengen PARETO-Regel. Wenn nach der strengen PARETO-Regel A^PAy oder A^IAy gilt, so ist dies auch nach der strengen erweiterten PARETO-Regel der Fall. Die strenge erweiterte PARETO-Regel geht jedoch weiter als die strenge PARETO-Regel, indem sie alle Alternativen, die nach der strengen PARETORegel nicht miteinander vergleichbar sind, als sozial indifferent deklariert; dadurch wird aus der strengen PARETO-Regel ein Aggregationsmechanismus mit unbeschränktem Definitionsbereich. Dieser erzeugt jedoch nicht notwendig eine kollektive Präferenzordnung (d.h. eine transitive kollektive Präferenzrelation), wie das folgende Beispiel zeigt: Ml

M2

A3

Al

A,

A2

A2

A3

Matrix XIV.3: Beispiel eines Präferenzordnungsprofils Nach der strengen erweiterten PARETO-Regel gilt hier: A1PA2,

A2IA3

und

A1IA3.

Die kollektive Präferenzrelation ist mithin nicht transitiv (denn aus A1PA2 und A2IA3 müßte A1PA3 folgen). Die strenge erweiterte PARETO-Regel ist somit keine kollektive Wahlfunktion. Nach PATTANAIK (1971, S. 53) besteht die Schwäche der strengen erweiterten PARETO-Regel vor allem darin, daß sie jedem Mitglied der Gruppe ein Vetorecht einräumt in dem Sinne, daß das Mitglied auch dann kollektive Indifferenz zwischen zwei Alternativen Ax und Ay erzwingen kann, wenn alle anderen Gruppenmitglieder die Alternative Ax der Alternative Ay streng vorziehen.

3.4.

Die Problematik der Auswahl einer kollektiven Wahlfunktion

Die strenge PARETO-Regel (Abschnitt 3.2.1) stellt zwar äußerst plausible Anforderungen an die kollektive Wahlfunktion dar. Es verbleiben jedoch im allgemeinen viele Alternativen, die nach der strengen PARETO-Regel nicht beurteilt werden können. Es besteht zwar die Möglichkeit, diese Al-

448

Kapitel XIV

temativen als sozial indifferent zu deklarieren (strenge erweiterte PARETORegel). Dieses Vorgehen ist jedoch wenig sinnvoll. Wie erläutert wurde, entsteht auf diese Weise keine kollektive Wahlfunktion. Da zahlreiche kollektive Wahlfunktionen denkbar sind, die den Bedingungen der strengen PARETO-Regel genügen, stellt sich das Problem, welche dieser Funktionen gewählt werden soll. Da die kollektive Präferenzordnung über die Alternativen A I , A 2 V A A von der gewählten kollektiven Wahlfunktion abhängt, gibt es bei Interessenkonflikten bezüglich dieser Alternativen auch Interessenkonflikte bezüglich der kollektiven Wahlfunktion; jedes Gruppenmitglied wird diejenige kollektive Wahlfunktion auf den ersten Rang seiner Präferenzordnung setzen, die zu einer kollektiven Präferenzordnung über die Alternativen A I , A 2 , . . - A A führt, die mit der eigenen Präferenzordnung möglichst "gut" übereinstimmt.^) Es ist nicht sinnvoll, über die kollektive Wahlfunktion ihrerseits abzustimmen. Es würde sich dann das Problem stellen, nach welcher Abstimmungsregel über die kollektive Wahlfunktion abgestimmt werden soll, usw.. Man gerät damit in einen infiniten Regreß. Für die Auswahl einer kollektiven Wahlfunktion liegt folgende Vorgehensweise nahe: Die Gruppenmitglieder (oder deren Stellvertreter) einigen sich auf zusätzliche Anforderungen, denen die kollektive Wahlfunktion genügen soll, und überprüfen daraufhin die erwogenen Wahlfunktionen. Erfüllt nur noch eine die gestellten Anforderungen, so wird diese für die Ermittlung einer kollektiven Präferenzordnung über die Alternativen A^, A2,...A/^ zugrunde gelegt. Genügen mehrere kollektive Wahlfunktionen den Anforderungen, so ist zunächst noch offen, welche zur Anwendung kommen soll. Es könnte dann versucht werden, durch Einigung auf zusätzliche Anforderungen die Menge der zulässigen kollektiven Wahlfunktionen weiter einzuengen. ARROW (1963) hat jedoch gezeigt, in welches Dilemma dieser Weg führt. Er hat einige sehr plausible und harmlos erscheinende Bedingungen formuliert und gezeigt, daß keine kollektive Wahlfunktion existiert, die allen diesen Bedingungen gleichzeitig genügt {Unmöglichkeitstheorem).

1)

Geht es nur um das Problem, aus der Menge der Alternativen eine auszuwählen, so setzt jedes Gruppenmitglied diejenigen Wahlmechanismen auf den ersten Rang seiner Präferenzordnung, bei denen seine meistpräferierte Alternative gewählt wird.

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

4.

449

Das Unmöglichkeitstheorem von ARROW

4.1.

Die Anforderungen Wahlfunlction

4,1,1.

ARROWS

an die kollelitive

Darstellung

Dem Theorem von ARROW liegen die folgenden vier Anforderungen an die kollektive Wahlfunktion zugrunde. Bedingung 1: Unbeschränkter Definitionsbereich (Bedingung U): Jedes logisch mögliche Präferenzordnungsprofil gehört zum Defmitionsbereich der kollektiven Wahlfunktion. Bedingung 2: ^ARETO-Prinzip (Bedingung P): Sind A^ und Ay zwei beliebige Alternativen der Menge A und zioht jedes Mitglied Mj^ (m=l,2,...,M) die Alternative A^ der Alternative Ay streng vor, so soll auch die Gruppe die Alternative A^ der Alternative Ay streng vorziehen (A^PAy). Bedingung 3: Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen (Bedingung I):^) Sind Ax und Ay zwei beliebige Alternativen und stimmen zwei Präferenzordnungsprofile (0^,02 ,...,Oy^) und (OJ ,02 ,.••, Ojyj)auf {A^, Ay} überein, so müssen auch die ihnen nach der kollektiven Wahlfunktion zugeordneten kollektiven Präferenzordnungen 0 = F(0^,02,...,0j^) und O'-F(0'^,0^,..., Oj^)auf {A^jAy} übereinstimmen. Zur Verdeutlichung dienen folgende Präferenzordnungsprofile: Ml

M2

M3

M,

M2

M3

Al

A4

A4

(A2)

(A3).A,

(A2>A3)

(A2)

(A3)

Al

A4

(A2)

Al

(A3)

(A2)

(Aa.Aj)

A,

A4

A4

A4

Al

Matrix XIV.4: Präferenzordnungsprofil (Oj ,02,03)

(A3)

Matrix XIV.5: Präferenzordnungsprofil ( 0 | , 0 2 , 0 3 )

Beide Profile stimmen auf {A2,A3} überein: - Mj präferiert jeweils die Alternative A2 gegenüber A3, - M2 präferiert jeweils A3 gegenüber A2, - M3 ist jeweils zwischen A2 und A3 indifferent. Gemäß Bedingung I muß nun gelten: 2)

Diese Bedingung wird hier in Anlehnung an BAMBERG/COENENBERG (2002, S. 256 f) dargestellt.

450

Kapitel XIV

Wenn die kollektive Wahlfunktion beim Präferenzordnungsprofil ( 0 | , 0 2 v , 0 j ^ ) die Alternative A2 besser als (schlechter als, ebenso wie) A3 einstuft, so muß dies auch beim Präferenzordnungsprofil (0J,02v.,0jy[) der Fall sein. Die unterschiedliche Einstufung der Alternativen Aj und A4 bei beiden Präferenzordnungsprofilen ist für den kollektiven Vergleich zwischen den Alternativen A2 und A3 irrelevant. Bedingung 4: Diktator-Verbot (Bedingung D): Es existiert kein Mitglied Mjj^*, so daß bei jedem Altemativenpaar A^jAyeA die Gruppe immer dann A^ gegenüber Ay präferieren muß, wenn das Mitglied Mj^* die Alternative A^ gegenüber Ay präferiert. 4.1.2.

Interpretation

Die Bedingung U fordert, daß die kollektive Wahlfunktion jedem logisch möglichen Präferenzordnungsprofil eine kollektive Präferenzordnung zuordnet. Es dürfen keine Präferenzordnungsprofile existieren, für die der Aggregationsmechanismus nicht definiert ist und mithin die Gruppe durch diesen Mechanismus "im Stich" gelassen wird. Die Bedingung P ist äußerst plausibel. Sie sichert in gewisser Weise die Autonomie der Gruppe: Ziehen alle Mitglieder die Alternative A^ der Alternative Ay streng vor, so soll auch die Gruppe als Ganzes die Alternative A^ streng vorziehen (präferieren). Es gibt keine Alternative, deren Wahl tabu ist, unabhängig von den individuellen Präferenzen. Die strenge PARETO-Regel impliziert die Bedingung P. Die strenge PARETO-Regel enthält jedoch eine weitergehende Anforderung an die kollektive Wahlfunktion. Nach der strengen PARETO-Regel muß die kollektive Präferenz A^PAy nicht nur dann gelten, wenn alle Mitglieder A^ streng Ay vorziehen, sondern auch für den Fall, daß nur ein Teil der Mitglieder die Alternative A^ streng vorziehen und die übrigen Mitglieder indifferent sind. (Darüber hinaus fordert die strenge PARETO-Regel die kollektive Indifferenz A^IAy für den Fall, daß jedes Mitglied zwischen beiden Alternativen indifferent ist.) Da die strenge PARETO-Regel eine weitergehende Anforderung an die kollektive Wahlfunktion stellt als die Bedingung P, gilt das Unmöglichkeitstheorem von ARROW auch für den Fall, daß (c.p.) die Bedingung P durch die Bedingungen der strengen PARETO-Regel ersetzt wird. Gemäß Bedingung I darf die kollektive Präferenzrelation zwischen zwei beliebigen Alternativen A^ und Ay nur von den individuellen Präferenzrelationen hinsichtlich dieser beiden Alternativen abhängen. Die kollektive Präferenzrelation bezüglich der Alternativen A^ und Ay darf also nicht davon abhängen, wie die Mitglieder die übrigen Alternativen in ihren individuellen Präferenzordnungen einstufen.

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

451

Die Bedingung I ist von allen Anforderungen ARROWS wohl am meisten umstritten. Insbesondere wird eingewandt, es werde damit die Intensität der individuellen Präferenzen vernachlässigt. Zur Verdeutlichung des Arguments werden die Präferenzordnungsprofile (0^,02,03) und (02,02,03) in Matrix XIV.4 und Matrix XIV.5 betrachtet. Beim ersten Profil stuft Mitglied Ml die Alternative A2 unmittelbar vor A3 ein, während es beim zweiten Profil die Alternativen A4 und Aj zwischen A2 und A3 anordnet. Dies könnte ein Indiz dafür sein, daß Mitglied Mj beim zweiten Profil die Alternative A2 gegenüber A3 "stärker" präferiert als beim ersten Profil. Mithin könnte es durchaus sinnvoll sein, wenn beim ersten Profil (z.B.) kollektive Indifferenz zwischen den Alternativen A2 und A3 besteht (A2IA3), während beim zweiten Profil die Gruppe A2 gegenüber A3 streng vorzieht (A2PA3). Bei einer derartigen Argumentation wird jedoch die Problemstellung ARROWS verkannt: Informationen über die Intensität der individuellen Präferenzen sollen gar nicht ausgenutzt werden. Gemäß der Definition der kollektiven Wahlfunktion soll die kollektive Präferenzordnung allein von den individuellen Präferenzordnungen abhängen. Die Erfassung der Intensität individueller Präferenzen würde zur Problematik des interpersonellen Nutzenvergleichs führen. Es gibt jedoch kein befriedigendes Konzept, um "Präferenzintensitäten" Rechnung zu tragen (Abschnitt 6.3). Die Bedingung D ist wohl unter allen Bedingungen ARROWS am wenigsten umstritten. Sie schließt aus, daß die kollektive Wahlfunktion "diktatorisch" ist. Ein Diktator im Sinne der Bedingung D läßt der Gruppe nur dann einen Entscheidungsspielraum, sofern er zwischen zwei Alternativen indifferent ist. Wenn er eine Alternative präferiert, ist seine Präferenz ausschlaggebend, unabhängig von den Präferenzen der anderen Mitglieder. 4.2.

Darstellung des Unmöglichkeitstheorems

Die Bedingungen U, P, I und D erscheinen auf den ersten Blick als recht harmlos. Wie jedoch ARROW nachgewiesen hat, gibt es keine kollektive Wahlfunktion, die alle diese Bedingungen erfüllt, sofern die Anzahl der Gruppenmitglieder mindestens 2 (M>2) und die Anzahl der Alternativen mindestens 3 (A>3) beträgt.^) Dieses Ergebnis wird von ARROW als "general possibility theorem for social welfare functions" (d.h. als allgemeines Möglichkeitstheorem für kollektive Wahlfunktionen) bezeichnet; treffender dürfte jedoch die Bezeichnung Unmöglichkeitstheorem sein. Das Unmöglichkeitstheorem schließt die Fälle M = l und A<2 aus: Im Fall M = l besteht die "Gruppe" nur aus einem Mitglied; das Problem der Aggregation mehrerer individueller Präferenzordnungen zu einer kollektiven Präferenzordnung existiert dann nicht. 3)

Ein Beweis des Theorems findet sich in ARROW (1963, S. 98-100).

452

Kapitel XIV

Im Fall A = l liegt kein Entscheidungsproblem vor. Erst für M > 2 und A = 2 ergibt sich ein kollektives Entscheidungsproblem. Der Fall A = 2 bereitet jedoch - unabhängig von der Mitgliederzahl M (M>2) - noch keine Probleme. Bei zwei Alternativen sind die Bedingungen U, P, I und D miteinander zu vereinbaren. Eine kollektive Wahlfunktion, die diese Bedingungen erfüllt, ist die Mehrheitsregel (ARROW, 1963, S. 46f).

5.

Klassische Abstimmungsregeln im Licht des Unmöglichkeitstheorems

5.1.

Single- K(9^e-Kriterium

Um das Unmöglichkeitstheorem näher zu verdeutlichen, werden einige der in Kapitel XIII, Abschnitt 4.2, dargestellten klassischen Abstimmungsregeln daraufhin untersucht, ob sie - kollektive Wahlfunktionen implizieren und - die Bedingungen U, P, I und D erfüllen. Das Single-Vote-YjciiQxmm impliziert eine kollektive Wahlfunktion, die die Bedingung U (unbeschränkter Definitionsbereich) erfüllt. Es führt bei jedem logisch möglichen Präferenzordnungsprofil zu einer kollektiven Präferenzordnung: Auf dem ersten Platz steht jeweils die Alternative mit der höchsten Stimmenzahl, auf dem zweiten Platz die mit der zweithöchsten, usw.; Alternativen mit derselben Stimmenzahl werden als kollektiv indifferent eingestuft. Das Single-Vote-Kx\iQn\mi verletzt jedoch die Bedingung P (PARETOPrinzip). Zum Beweis wird das folgende Präferenzordnungsprofil betrachtet: M4

Ml

M2

M3

Al

Al

Al

A2

A2

A2

A2

A,

A3

A3

A3

A3

,A4

A4

A4

A4

Matrix XIV.6: Präferenzordnungsprofil 1 Bei diesem Präferenzordnungsprofil erhalten die Alternativen folgende Anzahl von Stimmenzahlen: Al-^3,

A2^1,

Aß-^O,

A4-^0.

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

453

Mithin entsteht die kollektive Präferenzordnung:

A3,A4. Die Alternativen A3 und A4 erscheinen als sozial indifferent. Da jedes Mitglied die Alternative A3 der Alternative A4 streng vorzieht, müßte jedoch nach der Bedingung P die Alternative A3 in der kollektiven Präferenzordnung vor der Alternative A4 stehen. Die Bedingung P ist folglich verletzt. Auch die Bedingung I (Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen) ist beim Single-Vote-KritQrium. verletzt. Zum Beweis wird dem Präferenzordnungsprofil 1 (Matrix XIV.6) das Präferenzordnungsprofil 2 gegenübergestellt: M]

M2

M3

M4

A3

A3

A3

A2

A,

A3

A,

Al

A2

A2

A2

Al

|A4

A4

A4

A4

Matrix XIV.7: Präferenzordnungsprofil 2 Für das Präferenzordnungsprofil 2 entsteht nach dem Single-Vote-KvitQrium folgende kollektive Präferenzordnung:

A2 Ai,A4. Da die Präferenzordnungsprofile 1 und 2 auf {A3,A4} übereinstimmen (bei beiden Profilen zieht jedes Mitglied die Alternative A3 der Alternative A4 streng vor), müßten auch die entsprechenden kollektiven Präferenzordnungen auf {A3,A4} übereinstimmen. Dies ist jedoch nicht der Fall: Beim Präferenzordnungsprofil 1 werden die Alternativen A3 und A4 als indifferent eingestuft, während beim Profil 2 die Alternative A3 in der kollektiven Präferenzordnung einen höheren Rang einnimmt als A4; die Bedingung I ist mithin verletzt.

454

Kapitel XIV

5.2.

Mehrheitsregel (Kriterium des paarweisen Vergleichs)

Nach der Mehrheitsregel gilt für zwei beliebige Alternativen A^ und Ay e A: A^PAy, falls Nxy > Nyx, (XIV. 1)

A^IAy,

falls Nxy = Nyx,

AyPAx, falls Nxy
5.3.

BORDA-Kriterium

Das BORDA-Kriterium impliziert eine kollektive Wahlfunktion, die die Bedingung U erfüllt. Es führt bei jedem logisch möglichen Präferenzordnungsprofil zu einer kollektiven Präferenzordnung: Auf dem ersten Platz steht jeweils die Alternative mit der höchsten Stimmenzahl, auf dem zweiten die mit der zweithöchsten, usw.; Alternativen mit derselben Stimmenzahl werden als kollektiv indifferent eingestuft. Das BORDA-Kriterium erfüllt auch die Bedingungen D und P. Die Bedingung I ist jedoch verletzt. Zum Beweis werden folgende Präferenzordnungsprofile betrachtet: 4) 5)

Es wird hier wieder davon ausgegangen, daß kein Mitglied indifferent ist zwischen zwei oder mehr Alternativen. Für das Präferenzordnungsprofil in Matrix XIIL4 ergibt sich z.B. der folgende Zyklus:

Al :^ A2 >-A3 :>-Aj.

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

Mj

M2

M3

Mj

M2

M3

(A3)

(A3)

(A.)

(A3)

(A3)

(A.)

(A.)

(A.)

A2

(A.)

(A,)

(A3)

A2

A2

(A3)

A2

A2

A2

Matrix XIV.8: Präferenzordnungsprofil 3

455

Matrix XIV.9: Präferenzordnungsprofil 4

Beide Profile stimmen auf {A^jAß} überein. Diese Übereinstimmung gilt jedoch nicht für die kollektiven Präferenzordnungen, die diesen Profilen entsprechen. Auf die einzelnen Alternativen entfallen die folgenden Stimmenzahlen: Profil 3

Profil 4

A, -> 2+2+3=7

Al -> 2+2+3=7

A2 -> 1+1+2=4

A2 -> 1+1+1=3

A3 -> 3+3+1=7

A3 -^ 3+3+2=8

Mithin besteht für das Präferenzordnungsprofil 3 die kollektive Indifferenz A1IA3 (beide Alternativen erhalten 7 Stimmen), für das Profil 4 jedoch die Präferenz A3PA1 (A3 erhält mehr Stimmen als Aj). Die BORDA-Regel verletzt somit die Bedingung I.

5.4.

Exkurs: Eine diktatorische Entscheidungsregel

Die bisher betrachteten (klassischen) Abstimmungsregeln behandeln die Mitglieder als gleichberechtigt; alle individuellen Präferenzordnungen haben das gleiche "Gewicht". Die Gleichheitsbedingung ist z.B. dann verletzt, wenn die Präferenzordnung eines bestimmten Mitglieds in jedem Fall zur kollektiven Präferenzordnung wird, und zwar unabhängig von den Präferenzordnungen der anderen Mitglieder. Diese diktatorische Entscheidungsregel stellt eine kollektive Wahlfunktion mit unbeschränktem Definitionsbereich dar. Jedem logisch möglichen Präferenzordnungsprofil wird eine kollektive Präferenzordnung zugeordnet, wenn dabei auch jeweils nur die Präferenzordnung eines einzigen Mitglieds (eben des Diktators) maßgeblich ist. Die betrachtete diktatorische Entscheidungsregel erfüllt auch die Bedingung P (PARETO-Prinzip), nach der die Gruppe A^ der Alternative Ay (streng) vorziehen soll, wenn jedes Mitglied die Alternative A^ der Alternative Ay (streng) vorzieht. Der Beweis ist trivial: Zieht jedes Mitglied die Alternative A^ vor, so zieht auch derjenige A^ vor, dessen Präferenzord-

456

Kapitel XIV

nung die kollektive Präferenzordnung bestimmt; es entsteht eine kollektive Präferenz für die Alternative A^ (A^PAy). Auch die Bedingung I (Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen) ist erfüllt. (Stimmen zwei Präferenzordnungsprofile auf {Ax,Ay} überein, so stimmen auch die ihnen zugeordneten kollektiven Präferenzordnungen auf {Ax,Ay} überein.) Der Beweis ist wieder trivial: Zwei Präferenzordnungsprofile können nur dann auf {Ax,Ay} übereinstimmen, wenn auch die Präferenzordnung desjenigen Mitgliedes auf {Ax,Ay} übereinstimmt, dessen Präferenzordnung die kollektive Präferenzordnung bestimmt; somit müssen auch die entsprechenden kollektiven Präferenzordnungen auf {A^, Ay} übereinstimmen. Da die Präferenzordnung des "Diktators" die kollektive Präferenzordnung determiniert, ist die Bedingung D (Diktator-Verbot) verletzt. (Der hier betrachtete "Diktator" hat einen größeren Einfluß als der Diktator im Sinne der Bedingung D. Der Diktator im Sinne der Bedingung D läßt der Gruppe immerhin dann einen Entscheidungsspielraum zwischen zwei oder mehr Alternativen, wenn er selbst keine von diesen Alternativen (streng) vorzieht. Der hier betrachtete Diktator setzt in der Gruppe sogar auch seine Indifferenzvorstellungen durch.)

6. 6.1.

Die Suche nach einem Ausweg aus dem Dilemma Modifizierung der Anforderungen ARROWS

Ein Ausweg aus dem von ARROW aufgezeigten Dilemma könnte sich daraus ergeben, daß die Anforderungen an die kollektive Wahlfunktion modifiziert werden. Nach der Bedingung U muß der Definitionsbereich der kollektiven Wahlfunktion alle logisch möglichen Präferenzordnungsprofile einschließen. Für den Beweis des Unmöglichkeitstheorems kann dann auch auf Kombinationen sehr konträrer individueller Präferenzordnungen zurückgegriffen werden, wodurch gerade der Beweis gelingt. Nun ist aber bei vielen Gruppen eine gewisse "Ähnlichkeit" zwischen den Präferenzordnungen der einzelnen Mitglieder zu erwarten, so daß möglicherweise die Bedingung U eine zu harte Anforderung an die kollektive Wahlfunktion stellt. Es mag daher naheliegen, den Definitionsbereich der kollektiven Wahlfunktion einzuschränken, also die Bedingung U durch eine Bedingung zu ersetzen, bei der nur eine Teilmenge der logisch möglichen Präferenzordnungsprofile relevant ist. Einschränkungsmöglichkeiten, die zu Möglichkeitstheoremen führen, beschreiben z.B. ARROW (1963, S. 75ff.), INADA (1964) und SCHAUENBERG (1978, S. 154-252).

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

457

Eine vielbeachtete Einschränkung, die zu einem Möglichkeitstheorem führt, ist die auf BLACK (1958) zurückgehende Bedingung der ''Eingipfligkeif (singlepeakedness condition). Ein Präferenzordnungsprofil genügt dieser Bedingung, wenn die Alternativen wie in Abbildung XIV. 1 so angeordnet werden können, daß fär jedes Gruppenmitglied der Präferenzwert monoton sinkt, wenn ausgehend vom Spitzenreiter der Präferenzordnung die Alternativen in der Reihenfolge nach links und/oder nach rechts betrachtet werden. O3 O2

Ol

A2

Al

A4

A3

Abb. XIV.l: Zur Bedingung der Eingipfligkeit Hier hat für jede individuelle Präferenzordnung (dargestellt durch eine beliebige ordinale Präferenzfunktion) der zugehörige Graph (der streng genommen nur aus vier Punkten besteht, die jedoch der Anschaulichkeit halber durch einen Polygonzug verbunden wurden) genau einen "Gipfel". Zum Beispiel nimmt in der Präferenzordnung O2 des Mitglieds M2 die Alternative A4 den ersten Rang ein. Diese Alternative wird A^ und A3 vorgezogen (die untereinander auch denselben Rang einnehmen können). A^ wird ihrerseits A2 vorgezogen. Sind nur Kombinationen von Präferenzordnungen entscheidungsrelevant, die der Bedingung der Eingipfligkeit genügen, erscheint es sinnvoll, die Bedingung U (Unbeschränkter Definitionsbereich der kollektiven Wahlfunktion) wie folgt abzuschwächen: Bedingung la: Zum Definitionsbereich der kollektiven Wahlfunktion gehören nur Präferenzordnungen, die der Bedingung der Eingipfligkeit genügen. Bei ungerader Mitgliederzahl M ist die Mehrheitsregel (das Kriterium des paarweisen Vergleichs) ein Aggregationsmechanismus, der die Bedingungen la, P, I und D simultan erfüllt (vgl. z.B. ARROW, 1963, S. 78f). In Abschnitt 5.2 wurde bereits gezeigt, daß die Mehrheitsregel auch bei unbeschränktem Definitionsbereich die Bedingungen P, I und D erfüllt. Die Mehrheitsregel verletzt jedoch bei unbeschränktem Definitionsbereich die Transitivitätsbedingung, so daß sie keine kollektive Wahlfunktion im definierten Sinne darstellt. Dieser Aggregationsmechanismus führt dagegen

458

Kapitel XIV

bei ungerader Mitgliederzahl zwingend zu einer kollektiven Präferenzordnung, wenn nur individuelle Präferenzordnungen relevant sind, die der Bedingung (la) der Eingipfligkeit genügen. Im Beispiel der Abbildung XIV. 1 ergibt sich folgende kollektive Präferenzordnung A4 :>- Aj :^ A3 >- A2. A4 gewinnt den paarweisen Vergleich gegen jede andere Alternative, Aj schlägt A2 und A3, A3 gewinnt den paarweisen Vergleich mit A2. Voraussetzung dabei ist allerdings, daß Mitglied M2 die Alternative Aj der Alternative A3 streng vorzieht und A3 wiederum A2. Ist es z.B. indifferent zwischen Al und A3 (und präferiert es beide Alternativen gegenüber A2), so ergibt sich die kollektive Präferenzordnung A4>-Ai~A3 >-A2. Dabei wird hier davon ausgegangen, daß M2 beim paarweisen Vergleich zwischen A^ und A3 beiden eine halbe Stimme gibt. Beide Alternativen erhalten somit 1,5 Stimmen und werden als sozial indifferent eingestuft. ARROW (1963, S. 80) hat auch gezeigt, daß die Voraussetzung einer ungeraden Mitgliederzahl nicht überflüssig ist. Gilt z.B. M = 2 und A = 3 und besteht das Präferenzordnungsprofil (Oi,02) aus den Präferenzordnungen Ol Al A2 A3

O2 A2 A3 Al

(sie erfüllen mit der Anordnung Ai,A2,A3 die Bedingung der Eingipfligkeit), so ergibt sich nach der Mehrheitsregel: A3 ~ A1

und

A1 ~ A2

, aber

A2 )>- A3 (und nicht A2 ~ A3).

Die Mehrheitsregel verletzt hier die Transitivitätsbedingung und stellt somit keine kollektive Wahlfunktion dar. Die Bedingung der Eingipfligkeit kann z.B. im politischen Bereich durchaus plausibel sein. So mögen im Beispiel der Abbildung XIV. 1 M^, M2 und M3 "Wähler" (oder homogene Wählergruppen) repräsentieren, die eine kollektive Präferenzordnung über die Kandidaten Aj, A2, A3, und A4 erstellen wollen, die sich durch ihren politischen Standort unterscheiden. A2 steht am weitesten "links" und A3 am weitesten "rechts". Der Wähler Mj ist "linksgerichtet"; in seiner Präferenzordnung (Oj) nimmt ein Kandidat einen um so höheren Rang ein, je weiter "links" er steht. Beim Wähler M3 verhält es sich umgekehrt. Der Wähler M2 ist "liberal"; Spitzenreiter seiner Präferenzordnung ist der Kandidat A4. Der Kandidat rechts von A4 nimmt einen niedrigeren Rang ein, ein Kandidat links von A4 nimmt einen um so niedrigeren Rang ein, je weiter sein "Standort" von dem des Kandidaten A4 entfernt ist. Im betriebswirtschaftlichen Bereich dürfte (insbesondere bei größerer Zahl von Gruppenmitgliedem) die Bedingung der Eingipfligkeit selten er-

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

459

füllt sein.^) Ist sie verletzt, so kann sich nach der Mehrheitsregel eine intransitive kollektive Präferenzrelation ergeben; die Mehrheitsregel ist dann keine kollektive Wahlfunktion im definierten Sinne. Es stellt sich generell das noch offene Problem, welche Einschränkungen des Definitionsbereichs der kollektiven Wahlfunktion für betriebswirtschaftliche Entscheidungen in der Realität sinnvoll sind. In der Literatur wird auch versucht, die anderen Anforderungen von ARROW zu modifizieren, bisher jedoch mit geringem Erfolg (vgl. z.B. den Überblick bei BAMBERG/COENENBERG, 2002, S. 259-269).

6.2.

Modifizierung der Problemstellung ARROWS

Ein Ausweg aus dem von ARROW aufgezeigten Dilemma könnte darin bestehen, daß die Forderung modifiziert wird, der Aggregationsmechanismus müsse jedem logisch möglichen Präferenzordnungsprofil eine kollektive Präferenzordnung (d.h. eine transitive und vollständige kollektive Präferenzrelation) zuordnen. Z.B. könnte gefordert werden, daß der Aggregationsmechanismus zu einer quasitransitiven und vollständigen kollektiven Präferenzrelation führt. Eine kollektive Präferenzrelation wird als quasitransitiv bezeichnet, wenn für drei beliebige Alternativen A^, Ay und A2 e A gilt: Wenn A^PAy und AyPA^, so folgt A^PA^. Transitivität impliziert Quasitransitivität. Die Transitivitätsbedingung geht insofern weiter, als sie die Transitivität auch für Indifferenzrelationen fordert. Ein Aggregationsmechanismus, der jedem Präferenzordnungsprofil eine vollständige quasitransitive kollektive Präferenzrelation zuordnet und die Bedingungen U, P, I und D erfüllt, ist die strenge erweiterte PARETO-jRege/ (vgl. hierzu SEN, 1970, S. 52f.). Die Vollständigkeit der kollektiven Präferenzrelation wird durch die rigide Definition der kollektiven Indifferenz I bewirkt: Zwei Alternativen,

6)

Bei gegebener Menge von Investitionsalternativen wäre die Bedingung etwa erfüllt, wenn für jedes Gruppenmitglied gilt: - Eine Investitionsaltemative nimmt in seiner Präferenzordnung einen um so höheren Rang ein, je höher die Anschaffungsauszahlung ist, oder - nimmt einen um so höheren Rang ein, je niedriger die Anschaffungsauszahlung ist, oder - irgendeine Alternative, deren Anschaffungsauszahlung höher ist als die minimale und niedriger ist als die maximale, nimmt den ersten Rang ein und die übrigen werden um so niedriger eingestuft, je mehr ihre Anschaffungsauszahlung von der der meistpräferierten Alternative abweicht.

460

Kapitel XIV

die nach der strengen PARETO-Regel nicht vergleichbar sind, werden von der strengen erweiterten PARETO-Regel als sozial gleichwertig deklariert. Der Beweis, daß nach der strengen erweiterten PARETO-Regel die kollektive Präferenzrelation auch quasitransitiv ist (d.h. für drei beliebige Alternativen Ax, Ay und A2 e A gilt: Aus A^PAy und AyPA^ folgt A^PA^) ist einfach: Nach dieser Regel gilt dann und nur dann A^PAy und AyPA^, wenn die individuellen Präferenzrelationen die folgende Bedingung erfüllen: (a)

A^RniAy für jedes m G {1,2,...,M} und A^PmAy für mindestens ein m G {1,2,...,M}

und (b)

AyRj^A^ für jedes m e {1,2,...,M} und AyPjj^A^ für mindestens ein m G { 1 , 2 , . . . , M } . Da die individuellen Präferenzrelationen (annahmegemäß) transitiv sind, folgt aus (a) und (b): A^Rj^A^ für jedes m G {1,2,...,M} und A^PniAz für mindestens ein m G {1,2,...,M}. Aus (c) folgt gemäß der strengen erweiterten PARETO-Regel A^PA^ (q.e.d.). Da die strenge erweiterte PARETO-Regel für jedes logisch mögliche Präferenzordnungsprofil definiert ist, erfüllt sie die Bedingung U. Auch die Bedingung P ist erfüllt. Die strenge erweiterte PARETO-Regel erfüllt außerdem die Bedingung I, da die kollektive Präferenzrelation zwischen zwei beliebigen Alternativen A^jAy G A allein von den individuellen Präferenzrelationen bezüglich dieser beiden Alternativen abhängt. Auch die Bedingung D ist erfüllt. Wenn von zwei beliebigen Alternativen A^ und Ay (mindestens) ein Mitglied A^ streng vorzieht und (mindestens) ein anderes Mitglied Ay, so besteht nach der strengen erweiterten PARETO-Regel kollektive Indifferenz. Folglich kann kein Diktator im Sinne der Bedingung D existieren. Zwar erfüllt die strenge erweiterte PARETO-Regel die Bedingungen U, P, I und D. Sie gibt jedoch jedem Mitglied der Gruppe ein Vetorecht in dem Sinne, daß es auch dann kollektive Indifferenz zwischen zwei Alternativen Ax und Ay erzwingen kann, wenn alle anderen Mitglieder eine dieser Alternativen der anderen vorziehen. Im Konfliktfall werden die Alternativen stets als sozial indifferent deklariert. Es erscheint dann also gleichgültig, welche der betreffenden Alternativen die Gruppe wählt. Das Problem eines fairen Interessenausgleichs dürfte auf diesem Wege kaum gelöst werden. Eine Gruppe (ein Entscheidungsgremium) muß oft gar keine Rangordnung über sämtliche Alternativen erstellen, sondern sich lediglich für eine der Alternativen entscheiden. Zwei Abstimmungsregeln, die diesem Ziel dienen, werden besonders häufig angewendet: (c)

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

461

1. Über die Alternativen wird der Reihe nach abgestimmt. Gewählt ist diejenige Alternative, die als erste "akzeptiert" wird. 2. Nach dem Kriterium des paarweisen Vergleichs (Mehrheitsregel) werden der Reihe nach je zwei Alternativen zur Abstimmung gegenübergestellt. Die Gruppe entscheidet sich für diejenige Alternative, die den letzten paarweisen Vergleich gewinnt. "Wie jeder bestätigen kann, der den Gremienalltag aus eigener Erfahrung kennt, besteht der Hauptnachteil "dieser Vorgehensweisen" darin, daß der Terminus "der Reihe nach" nicht befriedigend ausgelegt werden kann. So könnte man per Geschäftsordnung festlegen, daß der chronologische Eingang der Anträge relevant ist oder daß der Vorsitzende über die Reihenfolge entscheiden soll. Für den betriebswirtschaftlichen Bereich, wenn etwa über verschiedene Investitionsanträge entschieden werden soll, scheinen diese Reihenfolgen reichlich gekünstelt zu sein" (BAMBERG/COENENBERG, 2002, S. 256f.). Hinsichtlich der ersten Vorgehensweise stellt sich (bei mehr als zwei Alternativen) das Problem, wann eine Alternative als akzeptiert gelten soll. Wird die absolute Stimmenmehrheit gefordert, so kommt bei nichtstrategischem Verhalten eine Entscheidung nur dann zustande, wenn in den Präferenzordnungen der Mehrheit der Mitglieder dieselbe Alternative den ersten Rang einnimmt. Diese Bedingung wird jedoch häufig nicht erfüllt sein. Eine Gruppenentscheidung wird dann nur getroffen, wenn sich Mitglieder bei der Stimmenvergabe strategisch verhalten. Dann kann das Wahlergebnis davon abhängen, in welcher Reihenfolge abgestimmt wird. Das gravierende Problem dabei ist, daß die Entscheidung nicht allein aufgrund der "wahren" individuellen Präferenzordnung getroffen wird, sondern strategische Aspekte eine besondere Bedeutung gewinnen; von einem fairen Interessenausgleich kann dann kaum die Rede sein. Bei der zweiten Vorgehensweise (dem Kriterium des paarweisen Vergleichs) ist die Reihenfolge ebenso entscheidend, sofern keine CONDORCET-Altemative existiert; in diesem Fall hängt das Wahlergebnis von der Reihenfolge der paarweisen Vergleiche ab. Bei bestimmten Präferenzordnungsprofilen kann durch entsprechende Manipulation der Reihenfolge j e de gewünschte Gruppenentscheidung durchgesetzt werden. Aufgrund der Schwächen der traditionellen Vorgehensweisen ist es naheliegend, nach einer anderen, ^Vernünftigen'' Regel zu suchen, mit deren Hilfe eine der Alternativen gewählt werden kann. Indes ist diese Zielsetzung kaum zu erreichen, wenn an die Regel einigermaßen anspruchsvolle Forderungen gestellt werden. (Vgl. hierzu den Überblick bei B A M BERG/COENENBERG, 2002, S. 265ff.'7)).

7)

Beim Single-Vote-Kriterium z.B. kann eine Alternative die Wahl gewinnen, die den paarweisen Vergleich mit jeder anderen verlieren würde (Kapitel XIII, Abschnitt 4.2.4). Bei der HARE-Regel kann eine CüNDüRCET-Altemative (die jeden paarweisen

462

Kapitel XIV

6.3.

Zur Problematik der Erfassung der Intensität individueller Präferenzen Wie bereits erläutert wurde, werden bei der Problemstellung ARROWS Informationen über die "Intensität" individueller Präferenzen nicht berücksichtigt. (Gemäß der Definition der kollektiven Wahlfunktion soll die kollektive Präferenzordnung nur von der Gestalt der individuellen Präferenzordnungen abhängen.) Die Vernachlässigung von Präferenzintensitäten mag als problematisch erscheinen. Angenommen, Mitglied Mj erziele nur einen "geringen Nachteil", wenn statt A^ die Alternative A2 gewählt wird, während Mitglied M2 einen "enormen Vorteil" erzielt. Warum soll diese Asymmetrie in der Bewertung der Alternativen bei der kollektiven Entscheidung nicht berücksichtigt werden? Die Berücksichtigung der Intensität individueller Präferenzen würde zur Problematik des interpersonellen Nutzenvergleichs führen. Es gibt jedoch kein Konzept für einen generellen und sinnvollen interpersonellen Vergleich von Präferenzintensitäten (vgl. hierzu PATTANAIK, 1971, S. 146-166).

*7. Exkurs: Bedingungen eines fairen Interessenausgleichs im Konflikt mit den Zielen einer die (Entscheidungs-) Gruppe einsetzenden Instanz Wenn eine Instanz Entscheidungskompetenzen an eine Gruppe überträgt, stellt sich für sie (die Instanz) das Problem, welche Abstimmungsregel sie vorgeben soll (LAUX, 1979a; 1979b). Es liegt nahe, zur Bestimmung einer vom Standpunkt der Instanz guten Abstimmungsregel analog zu den bisherigen Darstellungen den folgenden methodischen Ansatz zu wählen: Es werden bestimmte Anforderungen gestellt, und alle Abstimmungsregeln ausgeschlossen, die ihnen nicht genügen; nur verbleibende Abstimmungsregeln werden noch in die engere Wahl gezogen. Dabei stellt sich aber das noch weitgehend offene Problem, welche Anforderungen in alternativen Entscheidungssituationen gestellt werden sollen. Anforderungen, die plausibel und sinnvoll erscheinen, wenn es darum geht, die Interessen der Mitglieder in "fairer" Weise in Einklang zu bringen, können im Hinblick auf die Auswahl einer vom Standpunkt der Instanz optimalen Abstimmungsregel äußerst problematisch sein. Im folgenden soll die Problematik einiger üblicher Anforderungen (Bedingungen) gezeigt werden. Da die bisher diskutierten (klassischen) Abstimmungsregeln diesen Bedingungen genügen, werden zugleich deren Schwächen deutlich, betrachtet man diese Regeln vom Standpunkt der Instanz. Diktator-Verbot (Bedingung D): Diese Bedingung verbietet, daß die Präferenz eines Mitgliedes automatisch zur kollektiven Präferenz wird, unVergleich gewinnen würde) schon im ersten Wahlgang ausscheiden (Kapitel XIII, Abschnitt 4.2.6).

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

463

abhängig von den Präferenzen der anderen Mitglieder. Sie erscheint als überaus plausibel, wenn es darum geht, die individuellen Präferenzordnungen in eine faire Gruppenpräferenzordnung zu überführen. Bei Delegation der Entscheidung an eine Gruppe kann es jedoch durchaus optimal sein, einen "Diktator" aufzunehmen, der alleine die Entscheidung trifft (die anderen Mitglieder sind dann Stabsmitglieder, die beratend ohne Stimmrecht mitwirken). Ob dies in einer bestimmten Situation sinnvoll ist, stellt ein komplexes entscheidungstheoretisches Problem dar. Es ist jedoch nicht ohne weiteres sinnvoll, a priori die Bedingung des Diktator-Verbotes zu setzen. Auch folgende Bedingung wird bei der Diskussion gerechter Abstimmungsregeln oft zugrundegelegt. Gleichbehandlung der Mitglieder (Bedingung G):^) Nach dieser Bedingung muß die kollektive Präferenzordnung unverändert bleiben, wenn Präferenzordnungen von einzelnen Mitgliedern des Gremiums miteinander vertauscht werden (MAY, 1952, 1953; SEN, 1970, S. 68). Zur Verdeutlichung dienen folgende Präferenzordnungsprofile: Ml

M2

M3

Ml

M2

M3

A,

A3

A2

A3

A2

Al

A2

Al

A3

Al

A3

A2

A3

A2

A,

A2

Al

A3

Matrix XIV.IO

MatrixXIV.il

Beide Präferenzordnungsprofile enthalten dieselben individuellen Präferenzordnungen, jedoch in verschiedener Reihenfolge. Nach Bedingung G muß ihnen dieselbe kollektive Präferenzordnung entsprechen. Die kollektive Präferenzordnung soll also allein davon abhängen, welche individuellen Präferenzordnungen im Präferenzordnungsprofil erscheinen; es ist gleichgültig, welchen Mitgliedern sie zugeordnet sind. Die Bedingung G impliziert Bedingung D (Diktator-Verbot). Die Bedingung G ist eine vernünftige Anforderung für eine "gerechte" Abstimmungsregel; kein Mitglied darf bevorzugt werden. Vom Standpunkt der das Gremium einsetzenden Instanz kann aber eine Abstimmungsregel optimal sein, die diese Bedingung verletzt. Für die Auswahl einer Alternative ist in der Regel nicht allein von Bedeutung, welche Präferenzordnungen im Gremium vertreten werden, sondern auch, wer diese Präferenzordnungen vertritt: Wenn eine Alternative in der Präferenzordnung eines hochqualifizierten und gut informierten Mitgliedes an erster Stelle steht, liegt die Vermutung

8)

Diese Bedingung wird auch als Anonymitätsbedingung bezeichnet. Vgl. MAY (1952, S. 681).

464

Kapitel XIV

nahe, daß sie vom Standpunkt der Instanz optimal ist. Bei einem Mitglied, das seine Präferenzordnung nach irgendeinem Zufallsmechanismus erstellt, ließe das keine Rückschlüsse zu. Es ist somit nicht ohne weiteres sinnvoll, die Bedingung der Gleichbehandlung der Mitglieder zu übernehmen. Neutralität gegenüber den Alternativen (Bedingung N): Der kollektive Aggregationsmechanismus darf keine Alternative gegenüber einer anderen bevorzugen (MAY, 1952; SEN, 1970, S. 68). Diese Bedingung ist z.B. bei zwei Alternativen und 5 Mitgliedern verletzt, wenn die eine Alternative erst die Wahl gewinnt, wenn sie mindestens 4 Stimmen erhält, während die andere nur zwei Stimmen benötigt. Die Bedingung N erscheint plausibel, wenn es darum geht, die Präferenzordnungen der einzelnen Mitglieder zu einer gerechten Gruppenpräferenzordnung zu aggregieren. Ihre Verletzung würde bedeuten, daß diejenigen Mitglieder, die jene durch den Aggregationsmechanismus bevorzugte Alternative präferieren, gegenüber den anderen Mitgliedern bevorzugt werden. Vom Standpunkt der Instanz ist aber nur in Ausnahmefällen eine Abstimmungsregel optimal, die dieser Bedingung genügt (LAUX, 1979, S. 349ff.).

8.

Implikationen

Die Darstellungen haben vor allem gezeigt, wie schwierig es ist, präzise und überzeugende Aussagen darüber zu machen, welche Alternative in Konfliktsituationen einen "fairen" oder "gerechten" Kompromiß zwischen den divergierenden Interessen verkörpert. Hieraus ergeben sich sowohl praktische als auch theoretische Implikationen. Wenn Individuen miteinander kooperieren wollen (etwa als Gesellschafter eines Unternehmens bzw. als Gesellschafter einerseits und Manager andererseits), ist es wenig sinnvoll, zukünftige Interessenkonflikte in der Weise zu "lösen", daß man sich darauf einigt, jeweils einen "fairen" Kompromiß herbeizuführen. Je nach Interessenlage werden die Beteiligten unterschiedliche Vorstellungen darüber vertreten, was unter "fair" bzw. "gerecht" zu verstehen sei. Es besteht die Gefahr, daß viel Zeit mit der Diskussion über "faire" Entscheidungen verbracht wird und wenig Zeit verbleibt, getroffene Entscheidungen in die Wirklichkeit umzusetzen. Es ist im allgemeinen auch nicht sinnvoll, im voraus im Rahmen eines umfassenden Vertrages für alle möglichen zukünftigen Umweltentwicklungen nach dem Prinzip der flexiblen Planung eindeutig festzulegen, welche Maßnahmen jeweils realisiert werden sollen. Ein solches Vorgehen würde einen Planungsaufwand verursachen, der nicht bewältigt werden kann. Außerdem können immer wieder Entscheidungssituationen eintreten, die im voraus nicht als möglich erkannt wurden und für die kein Eventualplan erstellt worden ist. Ein Ausweg aus diesem Dilemma kann darin bestehen, a priori institutionelle Rahmenbedingungen zu schaffen, unter denen Interessenkonflikte

Die Problematik eines fairen Interessenausgleichs in Gruppen

465

gar nicht erst entstehen oder in relativ engen Grenzen gehalten werden. Mit diesem Problemkreis befaßt sich LAUX (2003). Hier wird u.a. untersucht, unter welchen Bedingungen ''Anreizkompatibilitäf zwischen den Gesellschaftern eines Unternehmens besteht. Die Präferenzordnungen aller Gesellschafter über erwogene Investitionsprojekte (und andere riskante Maßnahmen) sind dann identisch; wenn z.B. bei Durchführung eines "neuen" Investitionsprojekts der Erwartungsnutzen irgend eines Gesellschafters steigt, konstant bleibt oder sinkt, gilt dies auch für den Erwartungsnutzen aller anderen Gesellschafter (es besteht Zielkonformität bzw. Einmütigkeit zwischen ihnen). Wie gezeigt wird, ist Anreizkompatibilität bezüglich neuer Investitionsprojekte (bei proportionaler Teilung der möglichen Erfolge dieser Projekte zwischen den Gesellschaftern und unveränderlichen zustandsabhängigen Grenznutzenwerten der Gesellschafter) dann gegeben, wenn das aus der Gesamtheit aller bisherigen Investitionen resultierende Risiko über die planungsrelevanten Zustände 81,82,..-jSs pareto-effizient (bzw. pareto-optimal) geteilt ist. Eine pareto-effiziente (bzw. pareto-optimale) Teilungsregel liegt dann vor, wenn durch Umverteilung der zustandsabhängigen Erfolge bzw. Endvermögenswerte der Erwartungsnutzen keines Gesellschafters erhöht werden kann, ohne daß der Erwartungsnutzen mindestens eines anderen Gesellschafters sinkt. Eine bedeutsame Institution zur Risikoteilung stellt der Kapitalmarkt dar. Es wird untersucht, unter welchen Bedingungen er das relevante Gesamtrisiko pareto-effizient teilt. Dabei bleibt offen, ob die betreffende Teilungsregel die divergierenden Interessen der Anbieter und Nachfrager in "fairer" Weise zum Ausgleich bringt. Wie man auch immer eine existierende pareto-effiziente Risikoteilung beurteilen mag, sie garantiert Anreizkompatibilität bzw. Einmütigkeit zwischen den Gesellschaftern bezüglich neuer Projekte, sofern die möglichen Projekterfolge nach einer bereits vereinbarten Regel proportional geteilt werden und sich die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte der Gesellschafter bei Durchführung der Projekte nicht ändern. Schließlich wird untersucht, wie anreizkompatible Systeme der Erfolgsbeteiligung für Manager ermittelt werden können, bei denen sie mit bestimmten Maßnahmen genau dann einen finanziellen Vorteil erzielen, wenn diese auch für die Anteilseigner vorteilhaft sind. Darauf aufbauend wird untersucht, welche Eigenschaften anreizkompatible Beteiligungssysteme in unterschiedlichen Szenarien aufweisen. Ergänzende und. vertiefende

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Stichwortverzeichnis Abhängigkeit, intertemporale 284ff. -, stochastische 132f. absolute Risikoaversion 198ff., 208, 227f. Abstimmung 419ff. -, formelle 419f. -, informelle 419f. 426ff. -, strategisches Verhalten - über eine kollektive Präferenzordnung 43 2f. 420ff. Abstimmungsregel -, Bedingungen für die Auswahl448ff. -, BORDA-Kriterium 424f., 454f. -, Einstimmigkeitskriterium 421 -, HARE-Regel 425f. -, Kriterium des paarweisen Vergleichs (Mehrheitsregel) 421 ff., 454 -, Single vote-Kriterium 423f., 452f. Äquivalente Urne, Konzept 318f. -, Problematik bei zustandsabhängigen Nutzenfunktionen 322ff. Aggregationsmechanismus -, kollektive Wahlfunktion als 441 f. 20f. Aktionsvariable (-parameter) Alternative 3, 10, 20f. -, dominante 105 -, effiziente 244ff. Anspruchsanpassungstheorie 54ff. - als Konzept der Modellverein392ff. fachung Anspruchsniveau 99ff., 393ff.

Basisprogramm Bayes Theorem Bedauernswert BERNOULLI-Nutzen BERNOULLI-Prinzip -, Begriff und Inhalt - bei mehreren Zielgrößen -, Kompatibilität mit dem Axiomensystem -, Kritik -, Rationalität - und Widerspruch zu tatsächlichem Verhalten Bewertungs verbünd BORDA-Kriterium -, isoliertes strategisches Verhalten

CONDORCET-Altemative CONDORCET-Effekt (Wahlparadoxon)

Diktatorverbot Dominanzprinzip -, Konflikt mit ()Li,c)-Prinzip Durchschnittserfolg, Orientierung am -, Standardabweichung

251 ff. 340ff. 112 169 164ff. 164f. 184ff. 175 ff. 194ff. 171ff. 197ff 8 424f. 429f.

422 422

450 105 158ff.

148ff.

ARROW,

Unmöglichkeitstheorem A R R O W - P R A T T Maß

für

449ff.

die

absolute Risikoaversion 199ff., 208, 227ff. Axiome rationalen Verhaltens 31ff., 171ff. Axiomensystem von LUCE und RAIFFA

-, Kompatibilität des B E R NOULLI-Prinzips mit dem

171ff.

175ff.

Effizienzkriterium 97ff. Effizienzkurve 79 - und Umhüllende 251 Einstimmigkeitskriterium 421 Eintrittswahrscheinlichkeit von 130ff. Ereignissen, Berechnung Elementarereignis 121 f. Entscheidung, Begriff 1 - als Prozeß 8 291 ff. Entscheidungsbaum Entscheidungsfeld 19ff.

480

Stichwortverzeichnis

Entscheidungskriterium 28, 63ff. - bei Risiko 145 ff. - bei Sicherheit 63 ff. - bei Unsicherheit i.e.S. 105ff. Entscheidungsmatrix 165 f. Entscheidungsmodell 16ff., 19ff., 49ff., 63ff 16f. -, allgemeines (A-Modell) -, Basiselemente 19ff. -, Bedeutung 53ff. -, deterministisches 52 -, einperiodiges 52f. -, einstufiges 378ff. -, graphisches 42ff., 74ff. -, konkretes (K-Modell) 16f. -, mathematisches 49ff. -, mehrperiodiges 52f., 301 ff. -, mehrstufiges 384ff. -, Metabereich 56ff. -, Objektbereich 56ff. -, sequentielles (mehrstufiges) 384ff. -,stochastisches 52 -, Subjektivität 59ff. -, Systematik 52ff. -, Vereinfachung 373 ff. -, vollständiges 375 Entscheidungsprinzip 2 8 ff. Entscheidungsproblem - bei mehreren Zielgrößen 64ff., 184ff. -, hypothetisches 164 Entscheidungsprozeß in Gruppen 40 5 ff. Entscheidungsregel 28 Entscheidungssequenz 2 85 f. -, deterministische 286 -, stochastische 286 Entscheidungstheorie 1 -, deskriptive 2, 13ff. -, Gegenstand 1 -, Grundmodell 34ff. -, präskriptive 2, 13ff. Entscheidungsvariable 20f. Ereignis 13 Off. -, abhängige 132 -, einander ausschließende 130 -, einander nicht ausschließende 131 -, Eintrittswahrscheinlichkeit 121ff.

-, unabhängige 131 Erfolgsindikator 399ff. Erfolgsverbund 6 Ergebnis 20 f. -, Vereinfachung bei der Darstellung 382 -, Vergleich 71 f. -, -, paarweiser 71 -, als Wahrscheinlichkeits36 verteilung Ergebnismatrix 36ff., 294ff. Ersatzkriterien 95 ff. Erwartungsnutzen (vgl. Nutzenerwartungswert) Erwartungswert (von Zufalls134ff. größen) Eventualplan 287,291

fairer Interessenausgleich in Gruppen 439ff. flexible Planung, Prinzip 283ff. - mit Hilfe von Entscheidungsbäumen 291 ff., 3OOff. - mit Hilfe der mathematischen Programmierung 297f., 306ff. - und Revision von Plänen 310f. -, Vereinfachungen 384ff.

Gleichbehandlung der Mitglieder 463 Gesamterfolg, Orientierung 151 ff. -, Standardabweichung 151 Gesetz der großen Zahl 147ff. Gewichtungsfaktoren 100 Globalplanung 384ff. Gremium (vgl. auch Gruppe) -, Vorteilhaftigkeit eines 43 3 ff. Grenzvarianz 140 Grundmodell der Entschei34ff., 242ff. dungstheorie Gruppe -, Entscheidungsprozeß in einer409ff. -, Überblick 409ff. -, Informationsmenge der Mitglieder 407 -, Informationsprozeß in einer 406ff.

Stichwortverzeichnis

-, Motivation der Mitglieder -, Prognosefunktion der Mitglieder

Handlungsalternative -, dominante -, effiziente -, Erforschung Handlungsspielraum HARE-Regel HURWICZ-Prinzip

436ff.

Interdependenzen Iso-Gewinnlinie

481

5f., 284ff. 46

407f.

3, 10, 20f. 105 244ff. lOff. 284 425f. 11 Off.

Indifferenzkurven 74 74ff. -, Bestimmung -, Gestalt 76ff. -, -, im (|Li,a)-Diagramm 207, 21 If. -, -, im (|Li,a^)-Diagramm 205ff. 21 Off. Indifferenzwahrscheinlichkeit 167 Indikator 338f. 339 -, Prognosequalität Individualentscheidung bei 145ff. Risiko 63ff. -, bei Sicherheit -, bei Unsicherheit i.e.S. lOSff. Information, Beschaffung 337ff. -, als Entscheidungsproblem 338, 352f. -, ex ante-Beurteilung 338, 352f. -, ex post-Beurteilung -, Kosten 337, 364 339ff. -, unvollkommene -, -, Wert 339ff. 355ff. -, vollkommene 347 346ff. -, -, Wert 338 Informationsergebnis 407 Informationsmenge Informationsprozeß in der 409ff. Gruppe Informationsstand, optimaler 368ff. 407f. Informationsstruktur Informationswert 345ff. Bestimmung 345ff. - bei Risikoneutralität - bei Nichtrisikoneutralität 361ff. 356ff., 361ff. Höhe 357ff. maximaler

Koalition -, Bildung Komplexionsgrad, optimaler Konvexkombination riskanter Positionen Korrelationskoeffizient Kovarianz 143ff.,

247ff. 144ff. 255ff.

LAPLACE-Regel lexikographische Ordnung Lösung, effiziente

115ff. 96f. 100

431 f. 390f.

mathematische Entscheidungsmodelle 48ff. Maximax-Regel 108f. Maximin (Minimax)-Regel 107f. Mehrheitsregel (Kriterium des paarweisen Vergleichs) 421 ff., 454 -, isoliertes strategisches Verhalten 428f. Modellvereinfachung 373ff., 390ff. Monotonieprinzip 177 146ff., 200f. |Li-Prinzip (|Li-Regel) -, im Einzelfall 15 3 ff. -, im Wiederholungsfall 147ff. (|Li,a)-Prinzip 155ff., 202ff. -, Konflikt mit Dominanzprinzip 158ff.

V.

NEUMANN-MORGENSTERN-

Nutzen Neutralität gegenüber den Alternativen NIEHANS-SAVAGE-Regel Normierungsbedingung Nutzenabhängigkeit Nutzenerwartungswert Nutzenfunktion -, Ermittlung 93ff., -, exponentielle -, Gestalt

169 464 112ff. 122 93 164f. 26ff. 166ff. 209ff. 180ff.

482

Stichwortverzeichnis

-, kardinale 181 -, Konzept zustandsabhängiger 190ff. -, positiv lineare Transformation 181 -, Nullpunkt und Skaleneinheit 181 -, numerische 92ff. -, ordinale 92 -, quadratische 201 ff. Nutzenkonzept, graphische 90ff. Veranschaulichung Nutzenunabhängigkeit 93 Optimierungskriterium -, Maximierung des Präferenzwertes als Optimismusparameter -, Bestimmung ordinales Prinzip Ordnungsaxiom 31 ff.,

25 30f. 110 110 172 69ff.

Paarweiser Vergleich von Ergebnissen 71 Pareto-Prinzip 449 Pareto-Regel 443 ff. -, schwache 443 -, strenge 444ff. -, strenge erweiterte 446f. Petersburgerspiel 154f. Phasenschema, Problematik 12 Planrevision 309,311 308 Planung, bedingte -, rollende ("revolvierende") 309 Portefeuille 261 ff., 268ff. -, effizientes -, optimales 264ff., 273ff., 277ff. Portefeuillestruktur 261 ff. Portefeuillerendite 274ff. Portefeuille-Theorie (Theorie der optimalen Wertpapier258ff. mischung) Präferenz 441 -, schwache -, strikte 441 Präferenzfunktion 25 ff. Präferenzordnung 71, 7 3, 410 ff. -, Determinanten 407ff. -, Ermittlung 71 ff.

Präferenzordnungsprofil 419,440f. Präferenzrelation 71 -, Beeinflussung individueller 41 Iff. Präferenzwert -, Fixierung 30 -, Maximierung 30 -, Minimierung 30 -, Satisfizierung 31 Präzisierung von Problemstellungen 396ff. Prinzip des unzureichenden 115f. Grundes Problemformulierung 9 Prognosefunktion 408

Rationalität des BERNOULLI-

Prinzips 17 Iff. Reduktionsprinzip 174f. relative Häufigkeit 124f. Rendite eines Portefeuilles 274ff. Risiko 22f. -, Entscheidungskriterien 145ff. Risikoabschlag 216ff. Risikoanalyse 241 ff. Risikoaversion 182f., 218ff. -, absolute 198ff., 208, 227ff. Risikofreude 182f., 220f. Risikoneutralität 190,200,217 169 Risikonutzen Ri sikonutzen -Funkti on 180ff. -, Gestalt -, -, exponentielle 209 -, Konzept zustandsabhängiger 190ff. -, quadratische 203 Risikoprämie 216f. Risiko Streuung 244ff. Risikoverbund 7 Roll-Back-Verfahren 295ff., 304ff. Satisfizierung 24, 31, 57ff. Sicherheitsäquivalent 215ff., 235ff. - und Bemoulli-Prinzip 216 - und Biegung der Nutzenfunktion 222ff. - und |LX-Prinzip 217 - und (|Li,a)-Prinzip 225ff.

Stichwortverzeichnis

- und unstetige Risikonutzen221 f. Funktion - einer stochastischen Änderung einer Verteilung 229ff. Single vote-Kriterium 423f., 452f. -, isoliertes strategisches 426ff. Verhalten Standardabweichung (einer Zufallsgröße) 143 starre Planung 308ff. statistische Grundlagen 130ff. Stetigkeitsprinzip (-axiom) 172f. stochastische Abhängigkeit 132f. Strategie 294ff. Strategisches Verhalten bei der Abstimmung 426 43Of. - als Entscheidungsproblem subjektive Wahrscheinlichkeit 125ff. -, Konzept 125 f. Messung 313ff. -, direkte Methoden 315f. -, indirekte Methoden 316ff. Rechtfertigung 126ff. Wahrscheinlichkeitswerte, Akzeptanz 328ff. Subjektivität von Entscheidungsmodellen 59f. Substitutionsprinzip 173 f.

Teilprobleme, hypothetische 164 Transformation einer Nutzenfunktion - monoton wachsende bei Sicherheit 92 180ff. - positiv lineare bei Risiko Transformations-Bedingung 82ff. Transformations-Konzept 82ff. Transitivitätsaxiom 31 ff. Transitivitätsprinzip bezüglich der Handlungsalternativen 175

Übergangs Wahrscheinlichkeit Umhüllende Umweltentwicklung Umweltzustand

289 251 287ff. 21 f.

483

-, Erwartungsstruktur des Entscheiders 288 -, Vernachlässigung und Zusammenfassung 381 -, völlige Vernachlässigung 380f. Unabhängigkeit von irrelevanten 449f. Alternativen Unbeschränkter Definitionsbereich 449 Unmöglichkeitstheorem von ARROW

Unsicherheit - i.e.S. Urne, äquivalente

449ff.

22f. 22f., 105ff. 322ff.

Varianz (von Zufallsgrößen) 135ff., 255ff. Vereinfachung - bei der Bestimmung der Nutzenfunktion 169,382 - bei der Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils 381 ff. - bei der Darstellung der Ergebnisse 382 - bei der Erfassung der 379ff. Zustände - bei der Erfassung von Aktionsmöglichkeiten 379 - des Zustandsbaumes 385ff. Vorentscheidung als mehrstufiges Problem 391 f. Vor-Entscheidungsproblem 391 f.

Wahlfunktion, kollektive - als Aggregationsmechanismus 441 f. Wahlparadoxon (CONDORCETEffekt) 422 121 ff. Wahrscheinlichkeit -, a posteriori 341 - , a priori 341 340f. -, bedingte -, objektive 125 -, statistische 124 -, subjektive 125ff., 313ff. -, Berechnung 130ff. -, -, Konzept 125f.

484

Stichwortverzeichnis

-, -, Rechtfertigung 126ff. Wahrscheinlichkeitsbegriff -, klassischer 123 124 -, statistischer 125 ff. -, subjektiver Wahrscheinlichkeitsrechnung 121ff. Wahrscheinlichkeitsurteil 123 ff. -, Bildung -, -, Vereinfachung 381f. Wert einer stochastischen 231 ff. finanziellen Größe 231 ff. -, aus Sicht eines Käufers -, aus Sicht eines Verkäufers 234ff. Wettprobleme -, Bewertung von Wetten 320ff... 327ff.

3 Ziel 23 f. Zielarten Zielfunktion 23ff., 41f., 89ff. 24ff. -, Ermittlung 100 Zielgewichte lOlff. Zielgewichtung 21 Zielgröße -, Entscheidungsprobleme bei 64ff. mehreren 24ff. -, Fixierung 24ff. -, Maximierung 24ff. -, Minimierung Zielgrößenmatrix 64f., 71 ff. Zielgrößenvektor 21 Zielkomplementarität 67ff. 67ff. Zielkonflikt 67ff. Zielneutralität Zielunterdrückung 95 f. 21 Zielvariable 15ff. Zielsystem 9 -, Präzisierung Zufallsgröße 133ff. -, Erwartungswert 141ff. -, Kovarianz 143 -, Standardabweichung 137 -, stochastisch abhängige 136 -, stochastisch unabhängige 135ff. -, Varianz 291f. Zustandsbaum 385ff. Zustandsbaumvereinfachung