[FIA] B - Gruppen und Hypergruppen

Moaalshetieliir

Mh. Math. 89, 9--t7 (1980)

dhemalik

9 by Springer-Verlag 1980

[FIA]B Gruppen und Hypergruppen Von

Klaus Hartmann, Paderborn ( Eingeffangen am 5. September 1978, revidierte Fassung am 13. April 1979)

Abstract. [FIA]~Groups and Hypergroups.The space GBof/~-orbits of an [FIA]B group G is a commutative hypergroup (= commutative eonvo in Jewet~'s terminology). Its space of "hypergronp characters" is a hypergroup itself (see [3]) which can be identified with E (G, B) (the extreme points of B-invariant positive definite continuous functions p : G -* C with p (e) = 1), endowed with the topology of compact convergence. We determine the structure space of L 1(E (G,B), #PL) where ~PL is the Plancherel measure (which is the "Haar measure" of E (G, B)) and characterize the convolution algebras M (E (G, B)) and L 1(E (G, B)) via the inverse Fourier-Stieltjes transformation. O. Priiliminarien Sei G eine [FIA]B Gruppe, B _ I (G), d . h . eine lokalkompakte Gruppe, ffir die B relativ k o m p a k t bezfiglich der B i r k h o f f Topologie in Aut Gist, oder, was d a m i t gleichwertig ist: J e d e r B-Orbit in G i s t relativ k o m p a k t u n d G h a t beliebig kleine B-invariante Einsumgebungen. Sei GB der R a u m der/~-Orbits, versehen mit der Quotiententopologie; die kanonisehe Projektion ~: G-~ GB ist often u n d eigentlich u n d induziert eine Abbildung ~ : M ( G ) - * M(GB) der beschr/inkten komplexen R a d o n m a 6 e y o n G a u f die yon GB. Identifiziert m a n vermSge ~ Z n (M (G)) (die B-invari~nten Mage) mit M (GB), so induziert dies eine F a l t u n g * a u f M (G~) u n d eine I n v o l u t i o n - ' (B (xi)- ' = B (x-l). D a d u r e h wird (GB, *) eine komm u t a t i v e H y p e r g r u p p e (in der Terminologie y o n JEWETT ,,commut a t i v e convo") mit Haarmal3 2, welches das Bild des HaarmaBes yon G unter nist. Ffir eine k o m m u t a t i v e H y p e r g r u p p e (H, *) mit H a a r m a B )~ (welches bis a u f skalare Viclfache eindeutig ist, u n d wie I~. SPECTOR kfirzlich gezeigt h a t [12], stets existiert) bezeichne 5 ( H ) alle beschr/~nkten stetigen F u n k t i o n e n )/:H -~ C mit X (x) Z (Y) =-----~zdp~*py (p~ DiracmaB in x) Yx, y ~ H , versehen mit der H

0026--9255/80/0089/0009/$01.80

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K . HARTMANN

Topologie der gleichmgBigen K o n v e r g e n z a u f k o m p a k t e n Teilmengen. D a n n k a n n X(H) m i t d e m S t r u k t u r r a u m A (L j (H,2)) v o n L 1 (H,2) (L 1 (H,2) ist Unteralgebra yon M(H)), versehen mit der Gelfand Topologie, identifiziert werden verm6ge Z~-~Fx, wo F,(f)" = ~f2d2 ([4], 6.3). /~: = { Z e S ( H ) ; Z ( x - ) = 7 ~ ( x ) } ist ein H

abgesehlossener Teilraum y o n 5 (H). Fourier(-Stieltjes) u n d inverse Fourier(-Stieltjes) T r a n s f o r m a t i o n werden eingefiihrt dureh ( z ) = S z (x)

(x)

()~eI~,#eM (H))

H

(x): = S Z (x) d e (Z) ( x e H , QeM (I::I)). /7

Naeh [BOCHNERs Satz ([4], 12.3) ist v eine Bijektion yon M (/~) a u f alle beschriinkten positiv definiten F u n k t i o n e n yon H (q:H ~ C positiv definit : ~ q stetig u n d ~ ci ~ S q dpx, * P~; >~~0V xi e H, ci e C, n ~ N ). Falls das P r o d u k t beschri~nkter positiv definiter F u n k t i o n e n wieder positiv definit ist, k a n n m a n a u f M (/~) eine F a l t u n g durch die Formel (Q1

v =

,Q2eM(B))

u n d eine I n v o l u t i o n durch komplexes Konjugieren der E l e m e n t e aus /~ definieren. I m allgemeinen b r a u e h t (/~, *) keine H y p e r g r u p p e zu sein; falls (/~, *) jedoch eine ist, so heiBt sie die zu (H, *) duale Hypergruppe. I m Falle einer [FIA]~-Gruppe (B D_ I (G)) h a t K. A. Ross ([11], p. 252) u n t e r V e r w e n d u n g eines Satzes y o n HULANICKI ([10], 4.12) gezeigt, dab die Abbildung

(C,j~) ~ ~ E(G,B), Z~-~X o~ eine topologisehe Bijektion ist ( E ( G , B ) = E x t r e m a l p u n k t e der Menge aller B - i n v a r i a n t e n p E P (G) m i t p ( e ) = 1, wo P (G) die stetigen positiv definiten F u n k t i o n e n a u f G bezeiehnet). I n [3] wurde sehlieglieh gezeigt, dag ((GB) ~, *) (= (E (G, B), *)) eine H y p e r g r u p p e , u n d zwar die duale H y p e r g r u p p e y o n (GB, *) ist. (Im Falle zentraler Gruppen, B = I (G), wurde dies bereits y o n K. A. Ross in [11], t h e o r e m 5.5, gezeigt.) Das zu 2 a u f GB gehSrende P l a n c h e r e l m a g #PL a u f (GB) ~ = E (G, B) ([4], 7.3) ist ein H a a r m a B yon E (G, B) ([4], 12.4. A) u n d somit Trigger #PL = E (G, B) ([4],

[FIA]~ Gruppen und Hypelgrulopen

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5.1.A). Es fgllt z u s a m m e n mit dem PlaneherelmaB, das yon KANINTH u n d SCHLICHTING in [6] eingeffihrt wurde, u n d auf dessen Grundlage in [7] eine F a l t u n g f/it L ~(E (G,B)) (unter etwas einsehrgnkenden B e d i n g u n g e n an B) eingeffihrt wurde. Aus den F o r m e l n in [4], 5.5 folgt die Konsistenz der F a l t u n g in [7] mit der von JEWETT.

Bezeichnungen: (X l o k a l k o m p a k t e r I~aum, G eine [FtA]~ Gruppe, B U n t e r g r u p p e von A u t G, die die inneren A u t o m o r p h i s m e n umfat3t) C ~ (X) = die stetigen, besehrgnkten F u n k t i o n e n auf X, Co (X) = die stetigen im Unendlichen versehwindenden F u n k tionen a u f X, C00 (X) = die stetigen F u n k t i o n e n mit k o m p a k t e m Trgger auf X, M (X) = die besehrgnkten k o m p l e x e n R a d o n m a g e auf X, P (G) = die stetigen positiv definiten F u n k t i o n e n auf G, A (G) = Fourier-Algebra yon G [2], B (G) = Fourier-Stieltjes Algebra yon G [2], E (G, B) = E x t r e m a l p u n k t e der B-invarianten p e P (G) mit p (e) = 1 (bei B = I (G): E (G)), ZB (A) = die Menge der B-invarianten F u n k t i o n e n aus einer Menge A yon F u n k t i o n e n G ~ C, ZB(M(G)) = Algebra der B-invarianten Mal~e aus M(G) (d.h. J =/~ V ~ e B, wo #~ (f): =/~ (fi), f f (x): = f (fl -~ (x))), A (G, B) = R a m n der L i n e a r k o m b i n a t i o n e n yon F u n k t i o n e n aus P (G) c~ Z B (L' (G)).

Beme@ung: Da G x AutG ~ G, (x, fl)~ fi(x) stetig ist, sind stetige B-invariante F u n k t i o n e n stets B-invariant u n d daher Binvariante R a d o n m a B e /-~-invariant. Ftir f ~ C b (G) sei f # definiert dureh f # ( x ) : = ~f(fl-l(x))dfl (dfl das normierte Haarmal3 der k o m p a k t e n Gruppe/~), f # ~ C b (G). Ffir weitere Eigensehaften v o n # (z. B. ffir L L F u n k t i o n e n auf G) siehe [10], 1.

1. l)er Strukturraum von L ~ (E (G, B)) Sei stets O ~ [FIA]~, B ~_ I (G). Definiert m a n ffir M (E (G, B)) eine I n v o l u t i o n 03: =

Oe*), WO

!2

K. HARTMANN

f*(~)----f(~) f f e C o ( E ( G , B ) ) , ~ e M ( E ( G , B ) ) ,

~eE(G,B))

so wird M (E (G, B)) eine k o m m u t a t i v e Banachalgebr~ mit isometrischer Involution, u n d i 1 (E (G, B)) ist ein abgeschlossenes, selbstadjungiertes Ideal darin (vgl. [4], 5.5, 5.6). In [7], 3. wurde gezeigt : Der S t r u k t u r r a u m A (L 1 (E (G)) mit Gelfandtopologie ist hom6omorph zu G~(a) verm6ge G~(~) -~ A (L ~(E (G)), ~ (x) -* ~.(z), wo ~ (x) (f)" = ~ f (a) ~ (x) d#pL (~), x ~ G, u : G -~ GI
a) /~L ist invariant unter der Operation von B auf E (G) (d. h. ~ L (~) = #~i (~), WO ~ (~): = ~ (~Z-'), ~ e E (G), fle/~). b) Das Bildmafi S(#~L) von #GpL unter s: E ( G ) - ~ E ( G , B ) , s (~): = ~ (vgl. [10], 5.8) ist #~L. c) L 1 (E (G,B),#BL) i~t in kanonischer Weise isometrisch *-isomorph zu {fe L 1 (E (G), [~GL) ; f~ ----f V fle B}. d) Fiir ~eCoo(E(G)) sei ~ (~)" = ~ ~(~-')dfl. Dann gilt fiir $, ~]~ Coo ( E (G) ) mit V B-invariant (~ * ~]) r ----~r * ~. ~ ldJ3t sich fortsetzen zu einer Proje]ction yon L 1 (E (G),#~L) auf ( f e L ' (E(G),#~L); Beweis: ~) Wegen der Eindeutigkeit des Pl&ncherelm&13es bei Gfiltigkeit der Umkehrformel ffir ~lle f e P ( G ) ( ~ Z ( L I ( G ) ) ([6], Satz 4) geniigt es zu zeigen: f(Y) d# GL (Y) = S fz (Y)d# GL (Y) V f e B (G) n Z (n 1 (G)). (G) E (G) Aus der Umkehrformel folgt f(Y)d~L(~)----f(e) =fZ(e) ---- ~ (fz)~ ( y ) d ~ ( y ) , E (G)

E (G)

[FIA]B

Gruppen und Hypergruppen

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und somit wegen ]8 (7) = (f)A (7) (wie man unmittelb~r nachrechnet) die Behauptung. b) Es genfigt zu zeigen" Y f e Z B (L 1(G)) n P (G), V x e G gilt: S ]B(~)~(x)ds(#~L)(~)=f(x) 9 E(G,B)

Die linke Seite ist gleich ]~(7~)7 ~ (x)d#~(7) = ~ $~(7)7 # ( x ) d ~ ( 7 ) z (G)

=

E (g)

= ~ S $~ (7~-~) 7 (x) d , ~ (7) d~ = ~ $~ (7) 7 (x) d , ~ (7) = f(x) G ~

G

(s (~n) ist RadonmaI~, da s stetig und eigentlieh) o) $~* ~ ~(~) = fig)~, (~) = (fg)~, ( ~ ) = $ ~ , 0~ ( ~ ) = 0~ , 08) o s (~) Vf, g e A (G,B) ([7], p.314). Der Rest ist wegen a) und b) sowie Dichteschliissen klar. d) rechnet man unmittelb~r naeh mit Hilfe von [7]~p. 314 (1) ffir ~e (Z (L' (G)) n P (G)) ~, ~ e (ZB (n ~(G)) n P (G)) ~, ~nschlieBend DichteschluB. Der Rest ist klar (vgl. Analogie zu [10], 1 .). Proposition 1: G ~ [FIA];, B ~_ I (G). Dann ist die Abbildung

qS:GB--->zJ (L 1 (E (G,B))), u(x)~q:=(,,.) ein surjektiver Hom6omorphismus (x ~ G, :~: G ~ G~ kanonisch, ~=(x)(f) : =

~ f(o~)~(x)d#Pf(~),feLl(E(G,B))). E(G,B)

Beweis: Nach obigem Lemma kann A0: = L 1 ( E ( G , B ) ) als Unteralgebra der kommutativen Banachalgebra A : ---=L ~(E (G)) aufgefaftt werden; + ist Projektion yon A auf A0. Wegen Eigenschaft d) aus dem Lemma kann naeh [9], Lemma 1.7 jedes multiplikative Funktional auf A0 zu einem auf A fortgesetzt werden ; daraus folgt die Surjektivits Der Rest der Behauptung folgt genau so wie in [7], p. 315 (insbesondere Lemma 6). Sehliel~lieh sei noch der Pontryaginsche Dualit~tssatz ffir die Hypergruppen (GB, *) und (E (G, B), *) formuliert (vgl. [1], Proposition 1.4 ffir zentrale Gruppen).

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K. HAI~'rM~NN

Proposition 2: G~ [FIA]B, B ~_ I (G). Dann ist die Abbildung q) aus Proposition 1 ein Isomorphismus der Hypergruppe (GB , *) auf die Hypergruppe ( ( ( G B ) ~ ) ~ , * ) = ( E ( G , B ) ~ , , ) . Ganz analog ist (E (G, B), ,) isomorph zu ((E (G, B)~)~, *).

Beweis: Die erste Aussage ist klar wegen [3], die zwei~e folgt unmittelbar aus der ersten. 2. Zusammenhang von L ~ (E (G, B)) und M (E (G, B)) mit der FourierStieltjes Algebra yon G Ffir die inverse Fourier- und Fourier-Stieltjes-Transformation wollen wir zur Unterscheidung folgende Bezeichnungen einffihren (Umbezeichnung gegenfiber den Pr~liminarien):

~ : M (E (G, B)) -, ZB (C b (G)), ~ : M (E (G, B)) ~ C b (GB), wobei/~ (x) =

~

~ (x) d# (~), und (/~) ~ sei/~, betrachtet als Funk-

E(G,B)

tion auf GB, d.h. (#) ~ o ~ =/1. ~ : L ~ (E (a, B)) -~ Zv (Co (G)) bzw. ~: L ~(E (G, B)) ~ CO(GB) entstehen durch Einschr/inkung (letztere ist nach Proposition 1 die Gelfandtransformation). v bzw. v~ sind *-Isomorphismen a u f U n t e r Mgebren von ZB(Cb(G)) (punktweise Multiplikation, komplexes Konjugieren Ms Involution) mit IJ/~ll~ ~< II# IJ ([4], 12.1, 12.2). Wir wollen abschliegend diese Unteralgebren eharakterisieren. ( ( ) bezeichne im folgenden den yon einer Teilmenge aufgespannten linearen Unterraum.) C* (G) bezeichne die einhtillende C*-Algebra yon L 1 (G) ; fiir die Eigenschaften yon A (G) und B (G) sei auf [2] verwiesen. Fiir ueB(G), f l e B folgt uZeB(G), u # e Z B ( B ( G ) ) , IluZllB(a/= ]JulIB(c4 und Ilu e liB(a/~< Ilulls(c.), wie man unmittelbar sieht. Offensiehttieh gilt B (G) # = ZB (B (G)) und A (G) # __ ZB (A (G)). Es gilt jedoch auch A (G) ~ ~_ ZB(A (G)): zu l e a (G) ~ gibt es ein g e A (G) mit g e = f . Da nach [2], Prop. 3.4 (Coo ( G ) n P (G)} dicht in (A (G), II" IIA(a)) ist (Bemerkung : IJ" IIA(a/= ll" IIs (all A (G)), gibt es eine Folge gn daraus mit Jlg~ -- g IIA(G/--* 0, also ~uch IIg~ - g# lie(a/~ 0; da g~ eZB (A (G)) ist und Z s ( A (G)) abgeschlossene Unteralgebra yon B (G) ist, folgt f ----g# c Z e (A (G)).

[FIA]~ Gruppen und Hypergrnppen

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Proposition 3: Sei G~ [FIA]~, B ~_ I (G).

a) v . M (E (G, B)) ~ (Z, (B (G)), H]]~(~)) ist ein 8urjektiver, isometrischer *-Isomorphismus. b) " " L ~(E (G, B), #PL) -~ (Z~ (A (r [I [IA(a)) ist ein surjektiver, isometrischer *- I somorph ism us. Beweis: a)Wegen M + (E (G, B))v = Z , (P (G)) (,,Bochner':) verbleibt nur die Isometrie zu zeigen. Wir behaupten zungchst: f e Z z ( L 1 (G))=~ [Ifitc*(a)= IIf[ic*(Z,(L'(a))) = IIf[l~. (C* (Z, (L 1 (G))) sei die C*-Hfille yon Z , (L 1 (G)), welches wegen G a[SIN]B eine besehrgnkte, approximierende Eins (sogar ffir L ~(G)) besitzt). Beweis : IIfll2 =ll

(f~

*f) I1 =

sup

A

y(f**f)(x)a(x)dx=

~E(G,B) G

= sup {p (f* , f ) ; p purer state von C* (ZB (L' (G)))} = l

2

= !JIIc,
9

Es gilt stets Hf[lc* (G) ~< ]If IIc* (z, (L~(G))), da jedes positive Funktional auf L 1 (G) auch positiv auf ZB (L 1 (G)). Andererseits 1/~Bt sich jeder pure state auf ZB(LI(G)), der ja einem ~ s E ( G , B ) entspricht, fortsetzen zu einem state auf L~(G) vermSge , f ~ ~ f ( x ) 5 ( x ) d x (f~L ~(G)), woraus die Beh~uptung folgt, a Sei n u n / ~ e M (E (G, B)). I[/; ]]B(c~)= sup {[ ~/; (x)f(x)dxl; f e L 1(G) n C (G), IIfHc'*(~)~< 1} = G'

= sup{ly/~(x)f #(x) dxl;...} -(;

=sup{[j"

j" ~ ( x ) f # ( x ) d # ( ~ ) d x ] ; . . . } =

(~ E(G,B)

=sup{[

.~ ( f f ) ~ ( ~ ) d ~ ( ~ ) l ; . . . } = E(G,B)

=sup{[

J" f(5)d#(a)];fEZB(L'(G))c~C(G), ! i f l l ~ < l } = E(G,B)

= II# tl

( f i i r f e L j (G) gilt llf ~ I]c*(o) ~< []f[[c*(,); und wegen A (G, B) dieht in Z z ( L ~(G)) ist (A (G,B)) ~ dicht in (Co(E (G,B)), [[.

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K. HARTMANN

b) ZB (A (G)) = A (G) n ZB (B (G)) ist abgesehlossen in A (G). N a c h a) ist L I ( E ( G , B ),#Pi) v abgeschlossener U n t e r r a u m yon

zB (B 51 (E(G,B)) ~ ~_ ZB(A (G)): sei f6(ZB(Coo(G)) c~P(G)), so ist f e L I ( E ( G , B ) ) u n d nach U m k e h r f o r m e l (f^)~ = f , also umfaBt L ~ (E (G, B)) ~ die in Z B (A (G)) dichte Teilmenge (ZB (Co0 (G)) c~ P (G)) ([2], Prop. 3.4 u n d Coo (G) # = ZB (C00 (G))) u n d d a m i t auch ZB (A (G)). L ~ ( E ( G , B ) ) ~ _ Z B ( A ( G ) ) 9 zu f ~ L ~ ( E ( G , B ) ) gibt es ein g e A (G,B) m i t O~Coo(E(G,B)) u n d n 0 - f l l ~ < e ( L e m m a 2, siehe unten) u n d nach [2], Prop. 3.4 E7 (Gist unimodular) ist 9 ~ A (G), also g ~ ZB (A (G)), u n d nach U m k e h r f o r m e l (g A) ~ _-- g ; also liegt eine dichte Teilmenge v o n i n (E(G,B)) ~ in ZB(A(G)), also auch L1 (E (G, B)) v _ ZB (A (G)). N a c h z u t r a g e n ist Lemma 2. Sei G e [FIA]~, B ~ I (G). V ~ ~ Coo (E (G, B)) 9ibt e8 eine offene relativ kompakte Teilmenge U ~_ E (G, B) mit Trdiffer~ ~_ U, so daft es fiir alle e > 0 ein f ~ A ( G , B ) gibt mit Trf~_ U und

lift- I1 <

Beweis: Sei ~Coo(E(G,B)), also ~os~Coo(E(G)). Nach [7] L e m m a 2 gilt die Aussage ffir die inneren A u t o m o r p h i s m e n , also gibt es eine offene, relativ k o m p a k t e Menge U' _ E (G) m i t U' ~_ Tr~ger ~o s, o. E. S-1 (s ( W') ) = U' (s stetig, often, surjektiv, eigentlich), so daB es f/Jr alle e > 0 e i n f ' ~ A (G,I(G)) gibt mit Tr (f') A~ _~ U' u n d [[(f')A~- ~~ < e. U: = ~ ( U ' ) u n d f: = (f')~ h a b e n genau die verlangten Eigenschaften. L ~ (E (G, B), #Pz) ist eine halbeinfache, symmetrische, vollstdindig reguliire kommutative Banachalgebra mit isometrischer Involution und beschrdinkter approximierender Eins. Korollar:

Beweis: Wegen ~' o u = ~' genfigt es fiir die vollst/~ndige Regularit~t zu zeigen: K _ G/~-invariant, U offene,/3-invariante Umgebung y o n K es gibt eine L i n e a r k o m b i n a t i o n u v o n F u n k t i o n e n aus ZB (P (G)) c~ Coo (G) ~_ Z~ (A (G)) m i t 0 ~< u ~< 1, u]K = 1, u l G \ U = O. N a c h [2], L e m m a 3.2 gibt es ein v, das L i n e a r k o m b i n a t i o n v o n F u n k t i o n e n aus P (G) c~ Coo (G) _~ A (G) ist, m i t 0 ~ v ~< 1, v[K = = l , v IG \ U = 0. u : = v # leistet das Gewiinschte.

[FIA]~ Gruppen and Hypergruppen

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Eine beschr~nkte approximierende Eins besitzt L 1(E (G)) n~ch [7], p. 321, corollary 2, also auch L 1(E (G, B)) wegen Lemma 1 d). Die iibrigen Aussagen sind Mar.

Bemerkung: Dieses Korollar folgt natfirlich auch aus Ill, section 2.

Literatur

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Monatshef~effir Mathematik, Bd. 89/i