Fluidmechanik, Bd.2: Elementare Strömungsvorgänge dichteveränderlicher Fluide sowie Potential- und Grenzschichtströmungen, 4.Auflage GERMAN

Klassiker der Technik Die ,,Klassiker der Technik“ sind unveränderte Neuauﬂagen traditionsreicher ingenieurwissenschaftl...

Author: Erich A. Truckenbrodt

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Klassiker der Technik Die ,,Klassiker der Technik“ sind unveränderte Neuauﬂagen traditionsreicher ingenieurwissenschaftlicher Werke. Wegen ihrer didaktischen Einzigartigkeit und der Zeitlosigkeit ihrer Inhalte gehören sie zur Standardliteratur des Ingenieurs, wenn sie auch die Darstellung modernster Methoden neueren Büchern überlassen. So erschließen sich die Hintergründe vieler computergestützter Verfahren dem Verständnis nur durch das Studium des klassischen fundamentaleren Wissens. Oft bietet ein ,,Klassiker“ einen Fundus an wichtigen Berechnungs- oder Konstruktionsbeispielen, die auch für viele moderne Problemstellungen als Musterlösungen dienen können.

Erich Truckenbrodt

Fluidmechanik Band 2: Elementare Strömungsvorgänge dichteveränderlicher Fluide sowie Potentialund Grenzschichtströmungen Vierte, ergänzte Auﬂage 1999 Nachdruck 2008 in veränderter Ausstattung

123

Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Erich Truckenbrodt Uni.-Prof., em. Lehrstuhl für Fluidmechanik der technischen Universität München

4. Auﬂage 1999; Nachdruck in veränderter Ausstattung 2008

ISBN 978-3-540-79023-5

e-ISBN 978-3-540-79024-2

DOI 10.1007/978-3-540-79024-2 Bibliograﬁsche Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograﬁe; detaillierte bibliograﬁsche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2008, 1998, 1992, 1980, 1968 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverﬁlmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspﬂichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empﬁehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen. Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: eStudio Calamar S.L., F. Steinen-Broo, Girona, Spanien Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.com

Vorwort zur vierten Auflage

Nachdem von Band 1 die vierte Auflage seit dem Jahr 1996 zur Verfiigung steht, wird jetzt eine vierte, iiberarbeitete und erweiterte Auflage von Band 2 vorgelegt. Bei den elementaren Stromungsvorgangen dichteveranderlicher Fluide in Kap.4 werden die Ausfiihrungen iiber die instationare Fadenstromung in Kap. 4.3.3 sowie iiber die Rohrstromung mit Warmeumsatz und mit Reibung in Kap. 4.4.2 noch starker nach gemeinsamen, zusammenfassenden Gesichtspunkten geordnet Fur die adiabate Rohrstromung mit Reibung wird eine der unmittelbaren Anwendung dienende Abbildung iiber den Massenstrom bei veranderlichem Druckverhaltnis von Ausstromdrack zu Kesseldruck beigegeben. Bei den drehungsfreien und drehungsbehafteten Stromungen in Kap. 5 werden die Begriffe und Gesetze einschlieBlich der Wirbelsatze in Kap. 5.2 ausfiihrlicher dargestellt mit dem Ziel, den theoretischen Grundlagen eine groBere Bedeutung zu geben. Bei den Grenzschichtstromungen in Kap. 6 wird fiir die turbulente Stromungsgrenzschicht an fester Wand in Kap. 6.3.3 die Ausfiihrung tiber die Geschwindigkeitsprofile mit Druckgradient der AuBenstromung einheitlich zusammengefaBt. Neu aufgenommen wird fiir die Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung in Kap. 6.4 ein erweiterter Abschnitt iiber den reibungsbehafteten Freistrahl in Kap. 6.4.2, wobei ein einfacher Losungsansatz zu iibersichtlichen Ergebnissen fiihrt. Erganzend zu Band 1 enthalt jetzt Band 2 ein gemeinsames Namensverzeichnis beider Bande. Einige niitzliche Erganzungen zu Band 1, z.B. iiber die Vorzeichenregelung des Volumenstroms an der Kontrollflache (eintretend positiv, austretend negativ), werden gemacht. Wie bei der 4. Auflage von Band 1 mochte ich mich wieder bei einigen Mitarbeitern des Lehrstuhls fiir Fluidmechanik der TU Miinchen, hier besonders bei Frau E. Rathgen, sowie bei den Mitarbeitern des Springer-Verlags bedanken. Nur mit ihrer Hilfe war es mir moglich, die jetzige Auflage anzufertigen. Miinchen, im Herbst 1998

E. Truckenbrodt

VI

Aus dem Vorwort zur zweiten Auflage

Aus dem Vorwort zur dritten Auflage Nach dem 1989 erschienenen ersten Band der dritten Auflage des 1980 in zweibandiger Form herausgegebenen Werkes (erste Auflage einbandig unter dem Titel ,,Str6mungsmechanik", 1968) wird jetzt die dritte, iiberarbeitete Auflage des zweiten Bandes vorgelegt. Neben der Berichtigung von Druckfehlern und kleineren sachlichen Unstimmigkeiten wurden verschiedene Teile des Buches iiberarbeitet. Wegen der engen Verbindung der Fluidmechanik mit der Thermodynamik wird eine tabellarische Zusammenstellung der wichtigsten thermodynamischen Beziehungen elementarer Zustandsanderungen vorangestellt. In Kap. 4 iiber die Stromungsvorgange dichteveranderlicher Fluide ist die Ausbreitung schwacher Druckstorungen (Schallgeschwindigkeit) ausfuhrlicher dargestellt. Die lineare Theorie der instationaren Fadenstromung sowie die Beschreibung der Stromung dichteveranderlicher Fluide in Rohrleitungen haben groBere textliche Umstellungen erfahren. In Kap. 5 iiber drehungsfreie und drehungsbehaftete Stromungen ist bei den ebenen Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide die Abschatzung der GroBenordnungen bei kleiner Stoning neu dargestellt. In Kap. 6 iiber Grenzschichtstromungen wird die Abhangigkeit des Verhaltnisses der Dicken der Stromungs- zur Temperaturgrenzschicht anschaulich erklart. Untersucht wird das Auftreten eines Wendepunkts bei den Temperaturgrenzschichtprofilen. Die Herleitung der Integralverfahren der Grenzschichttheorie und die Zusammenstellung der verschiedenen Naherungsverfahren (Impuls-, Energieverfahren) sind stark gekiirzt wiedergegeben. Fur die Anwendung mittels einfacher Quadraturformeln werden neue Vorschlage gemacht. Miinchen, im November 1991

Aus dem Vorwort zur zweiten Auflage Mit dem vorliegenden zweiten Band der ,,Fluidmechanik" bringe ich die zweite Auflage des im Jahr 1968 unter dem Titel ,,Str6mungsmechanik" erschienenen Werks zum AbschluB. Die Zielsetzung und Einteilung des Buches habe ich bereits im Vorwort zu Band 1 sowie in dem Auszug des Vorworts der ersten Auflage erlautert. Der Band 2 enthalt die Kapitel 4 bis 6. Wahrend sich Kapitel 1 mit der Einfiihrung in die Stromungsmechanik und Kapitel 2 mit den Grundgesetzen der Fluid- und Thermo-Fluidmechanik befassen, werden in Kapitel 3 elementare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide behandelt. Kapitel 4 schlieBt unmittelbar an Kapitel 3 an und beschreibt elementare Stromungsvorgange dichteveranderlicher Fluide. Dabei tritt die Fluidstatik wieder als Sonderfall auf. Gegeniiber der ersten Auflage haben die Ausfiihrungen iiber die instationare Fadenstromung und iiber die Rohrstromung bei dichteveranderlichem Fluid eine wesentliche Erweiterung erfahren. In Kapitel 5 werden die drehungsfreien und

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage

VII

drehungsbehafteten Potentialstromungen einer gemeinsamen Darstellung unterzogen. Dadurch gelingt es, das Verhalten der mehrdimensionalen reibungslosen Stromung in geschlossener Weise wiederzugeben. Ein Unterkapitel beschreibt einige verwandte Probleme der Potentialtheorie, wie die Stromung mit freier Stromlinie und die Sickerstromung durch ein poroses Medium. Die Grenzschichtstrb'mungen in Kapitel 6 betreffen die Stromungs- und Temperaturgrenzschicht bei laminarer und turbulenter Stromung an einer festen Wand. Dabei kommt die differentielle und integrate Behandlung zur Anwendung. Ein Unterkapitel berichtet iiber Grenzschichtstrbmungen ohne feste Begrenzung, wie sie beim Freistrahl und bei der Nachlaufstrbmung auftreten. Fragen der Intermittenz und des Coanda-Effekts werden kurz gestreift. Neben den Literaturverzeichnissen im AnschluB an jedes Kapitel befindet sich am SchluB des Buches eine aus etwa 1500 Biichern zur Fluidmechanik ausgewahlte und nach Sachgebieten geordnete Bibliographie. Miinchen, im August 1980

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage Um die wissenschaftliche und technische Entwicklung, welche die Stromungsmechanik in den letzten Jahrzehnten erfahren hat, ausreichend erfassen zu konnen, ist eine moglichst einheitliche Beschreibung der Stromungsvorgange sowohl bei inkompressiblen und kompressiblen als auch bei reibungslosen und reibungsbehafteten Fluiden anzustreben. Die Grundlagen und Methoden, wie sie bei vielen Fragestellungen in ahnlicher Weise haufig wieder auftreten, sind daher weitgehend unter gemeinsamen Gesichtspunkten zu sehen. Eine zu starke Beschrankung nur auf stationare Stromungen, wie sie sich aus didaktischen Griinden in manchen Fallen anbietet, soil moglichst vermieden werden. Der dargebotene Stoff soil das Verfolgen des Weges vom Ansatz bis zum praktisch verwertbaren Ergebnis erleichtern. Aus dieser Aufgabenstellung heraus ergibt sich der Grundaufbau des Werkes. Es gliedert sich in acht Kapitel. Kapitel 1 beschreibt die physikalischen Eigenschaften und Stoffwerte der Fluide. Das hinsichtlich des Einflusses von Reibung, Kompressibilitat und Schwere teilweise analoge Verhalten strbmender Fluide wird einander gegeniibergestellt. Die Ahnlichkeitsgesetze der Stromungsmechanik werden aus der Dimensionsanalyse hergeleitet und in ihrer Bedeutung und Anwendung besprochen. Kapitel 2 befaBt sich mit den ruhenden Fluiden und berichtet iiber die im allgemeinen bekannten Tatsachen der Hydro- und Aerostatik. Ein sehr umfangreiches Kapitel 3 beschaftigt sich sodann mit den Grundgesetzen der Stromungsmechanik. Den ausfiihrlich dargestellten Bewegungsgleichungen der reibungslosen, zahigkeitsbehafteten (laminaren), turbulenten und schleichenden Stromungen folgen die Transportgleichungen und die Erhaltungssatze, wie Massenerhaltungs-, Impuls- und Energiesatz, die sowohl in integraler als auch in differentieller Form gebracht werden. Die Kapitel 4 und 5 beschrei-

VIII

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage

ben elementare Stromungsvorgange bei inkompressiblen und kompressiblen Fluiden. Diese beiden Kapitel dienen in besonderem MaBe der Anwendung und Vertiefung der Grandgesetze der Stromungsmechanik. Neben der Rohrhydraulik und der Stromung in offenen Gerinnen findet man in diesem Teil des Buches u. a. Ausfiihrungen iiber Wellen und StoBe bei Uberschallstromungen. Die Kapitel 6 und 7 betreffen die drehungsfreien Potentialstromungen und die drehungsbehafteten Wirbelstromungen. Es wird der EinfluB der Kompressibilitat, der Zahigkeit und der Schwere, letzterer bei instationarer Potentialstromung mit freier Oberflache, aufgezeigt. Kapitel 8 behandelt schlieBlich Grenzschichtstromungen. Neben den Grundlagen der Grenzschichttheorie werden besonders die Stromungsund Temperaturgrenzschicht an der langsangestromten Platte besprochen. Die Aufnahme der Integralsatze der Grenzschichttheorie in dieses Buch dient der Erfassung des Einflusses des Druckgradienten der AuBenstromung auf die Ausbildung der Grenzschicht. Fragen der abgelosten Grenzschichtstromungen sowie die Grenzschichten ohne feste Begrenzung bilden den AbschluB der Darstellung. Dies nahezu alle Bereiche der Stromungsmechanik ansprechende Werk kann filr die sehr fortgeschrittenen Teilgebiete, wie etwa diejenigen der kompressiblen Stromungen und der Grenzschichtstromungen, naturgemaB nur als Einfiihrung dienen. Auf die Behandlung der Stromungen realer Gase sowie auf die kinetische Gastheorie muBte verzichtet werden. Um die mathematisch notwendigen Ableitungen leichter verstandlich zu machen, ist der Text mit zahlreichen anschaulichen Abbildungen und einfachen Beispielen versehen. Ein sehr ausfiihrliches Schrifttumsverzeichnis weist auf Originalarbeiten sowie Lehr- und Handbiicher hin. Das vorliegende Werk stellt zunachst ein Lehrbuch fur Studierende der naturwissenschaftlichen und technischen Fa'cher dar. Daneben wendet es sich auch an berufstatige Ingenieure und Physiker, die sich mit den neueren Fortschritten der Stromungsmechanik vertraut machen wollen. Fiir viele Aufgaben kann es als Nachschlagewerk benutzt werden. Miinchen, im Herbst 1968

Inhaltsverzeichnis

Verzeichnis der Tabellen

XIII

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten

xiv

4 Elementare Stromungsvorgange dichteveranderlicher Fluide

l

4.1

Uberblick

1

4.2

Dichteveranderliche Fluide im Ruhezustand (Aerostatik) 4.2.1 Ausgangsgleichungen 4.2.2 Gasdruck auf feste Begrenzungsflachen 4.2.2.1 Druck in einem abgeschlossenen Behalter 4.2.2.2 Schwebende Korper 4.2.3 Beispiele zur Mechanik und Thermodynamik ruhender Gase 4.2.3.1 Ruhende Atmosphare 4.2.3.2 Quasistatische Arbeitsprozesse bei Gasen

2 2 5 5 6 6 6 8

4.3

Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase) 4.3.1 Einfuhrung 4.3.2 Stationare FadenstrSmung eines dichteveranderlichen Fluids 4.3.2.1 Voraussetzungen und Annahmen 4.3.2.2 Ausgangsgleichungen der stationaren Fadenstromung 4.3.2.3 Ausbreitungsgeschwindigkeit schwacher Druckstorungen (Schallgeschwindigkeit 4.3.2.4 Kennzahlen und Druckbeiwert der Stromung dichteveranderlicher Fluide 4.3.2.5 Bei konstanter Entropie stetig verlaufende stationare Stromung . . . . 4.3.2.6 Mit normalem VerdichtungsstoB unstetig verlaufende stationare Stromung 4.3.2.7 Anwendungen zur stationaren Fadenstromung dichteveranderlicher Fluide 4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids 4.3.3.1 Voraussetzungen und Annahmen 4.3.3.2 Lineare Theorie der instationaren Fadenstromung 4.3.3.3 Anwendungen zur instationaren Fadenstromung dichteveranderlicher Fluide

10 10 10 10 11 13 16 20 24 30 41 41 42 49

4.4

Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen 4.4.1 Einfuhrung 4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren 4.4.2.1 Grundlagen zur Berechnung der Gasstromung in Rohrleitungen . . . . 4.4.2.2 Reibungslose Rohrstromung mit Warmeumsatz (Rayleigh) 4.4.2.3 Adiabate Rohrstromung mit Reibung (Fanno) 4.4.2.4 Rohrstromung bei konstanter Temperatur (isotherm)

58 58 59 59 64 69 75

4.5

Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und Stolie 4.5.1 Einfuhrung

76 76

X

Inhaltsverzeichnis 4.5.2 Schiefe Storfront 4.5.2.1 Voraussetzungen und Annahmen 4.5.2.2 Grundlegende Erkenntnisse 4.5.2.3 EinfluB des Umlenk- und Frontwinkels 4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung 4.5.3.1 Schwache Umlenkung bei supersonischer Stromung (lineare Theorie) 4.5.3.2 Starke stetige Umlenkung (konstante Entropie) 4.5.3.3 Starke unstetige Umlenkung (schiefer VerdichtungsstoB) 4.5.3.4 Hypersonische Stromung 4.6

Drehungsfreie und drehungsbehaftete Stromungen dichteveranderlicher Fluide (Gase) -¥ Kap. 5.3.3 bzw. 5.4.4

4.7

Laminare Grenzschichten dichteveranderlicher Fluide (Gase) —> Kap. 6.3.2

Literatur zu Kapitel 4

5 Drehungsfreie und drehungsbehaftete Stromungen

78 78 78 81 82 82 85 90 102

109

112

5.1

Uberblick

112

5.2

Begriffe und Gesetze drehungsfreier und drehungsbehafteter Stromungen . . . . 5.2.1 Einfuhrung 5.2.2 Geschwindigkeitspotentiale 5.2.2.1 Geschwindigkeitsfeld, Drehungsfeld (Wirbelfeld) 5.2.2.2 Skalares Geschwindigkeitspotential (Quellpotential) 5.2.2.3 Vektorielles Geschwindigkeitspotential (Wirbelpotential) 5.2.3 Drehbewegung (Wirbelstromung) 5.2.3.1 Drehung 5.2.3.2 Zusammenhang von Drehung und Entropie (Crocco, Vazsonyi) . . . . 5.2.3.3 Raumliche Erhaltung der Drehung (Raumlicher Wirbelerhaltungssatz) 5.2.3.4 Zeitliche Anderung der Drehung (Wirbeltransportgleichung) 5.2.4 Zirkulationsstromung 5.2.4.1 Zirkulation 5.2.4.2 Zusammenhang von Zirkulation und Drehung (Stokes) 5.2.4.3 Zusammenhang von Zirkulation und Geschwindigkeitspotential . . . 5.2.4.4 Zeitliche Anderung der Zirkulation 5.2.5 Wirbelsatze fur die Wirbellinie und den Wirbelfaden 5.2.5.1 Allgemeines 5.2.5.2 Definitionen 5.2.5.3 Raumliche Erhaltungseigenschaft 5.2.5.4 Zeitliche Erhaltungseigenschaft

113 113 113 113 114 115 115 115 115 116 117 118 118 120 122 122 124 124 124 125 126

5.3

Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen) 5.3.1 Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen 5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache 5.3.2.1 Ausgangsgleichungen 5.3.2.2 Grundlagen der ebenen Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide 5.3.2.3 Losungsansatze ebener Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide 5.3.2.4 Beispiele ebener Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide . . . . 5.3.2.5 Grundlagen der raumlichen Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide 5.3.2.6 Beispiele raumlicher Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide . 5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide (Gase) 5.3.3.1 Ausgangsgleichungen 5.3.3.2 Exakte Losungen ebener Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

127 127 130 130 132 135 140 157 158 163 163 165

Inhaltsverzeichnis

XI

5.3.3.3 Ebene Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide bei kleiner Stoning 5.3.3.4 Losungsansatze und Ahnlichkeitsregeln ebener linearisierter Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide 5.3.3.5 Raumliche Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide 5.3.4 Instationare Potentialstromungen mit freier Fliissigkeitsoberflache (Oberflachenwellen) 5.3.4.1 Grundlagen und Bestimmungsgleichungen 5.3.4.2 Gerade fortschreitende Oberflachenwellen 5.3.4.3 Uberlagerte Oberflachenwellen 5.3.4.4 Schiffswellen

188 188 192 196 197

5.4

Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen) . 5.4.1 Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen 5.4.2 Stationare Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide 5.4.2.1 Beliebig geformter Wirbelfaden 5.4.2.2 Einzelner ebener Potentialwirbel (Stabwirbel) 5.4.2.3 Mehrere parallel verlaufende ebene Potentialwirbel (Wirbelsysteme) 5.4.2.4 Potentialwirbelschichten 5.4.3 Tragflugeltheorie dichtebestandiger Fluide 5.4.3.1 Grundlagen der Theorie des Auftriebs 5.4.3.2 Tragflugel unendlicher Spannweite (Profiltheorie) 5.4.3.3 Tragflugel endlicher Spannweite (raumliche Tragflugeltheorie) . . . . 5.4.3.4 Tragflugelsysteme 5.4.4 Stationare Wirbelstromungen dichteveranderlicher Fluide 5.4.4.1 Ebener Potentialwirbel 5.4.4.2 Freie Wirbelschicht 5.4.4.3 Wirbelfeld (Drehung) hinter einem gekrummten VerdichtungsstoB . .

198 198 200 200 202 205 212 217 217 219 227 234 240 240 241 242

5.5

Verwandte Probleme der Potentialtheorie 5.5.1 Einfuhrung 5.5.2 Grundsatzliche Erkenntnisse der erweiterten Potentialtheorie 5.5.2.1 Potentialstromung mit freier Stromlinie 5.5.2.2 Schleichende Potentialstromung (Hele-Shaw) 5.5.2.3 Instationare Wirbelausbreitung in einem viskosen Fluid 5.5.3 Sickerstromung durch poroses Medium 5.5.3.1 Filtergesetz (Darcy) 5.5.3.2 Sickerstromung als potentialtheoretische Aufgabe 5.5.3.3 Grundwasserstromung

244 244 244 • 244 251 252 257 257 259 260

168 173 186

Literatur zu Kapitel 5

262

6 Grenzschichtstromungen

267

6.1

Uberblick

267

6.2

Grundziige der Grenzschicht-Theorie 6.2.1 Einfuhrung 6.2.2 Begriff der Grenzschicht und ihr grundsatzliches Verhalten 6.2.2.1 Stromungsgrenzschicht 6.2.2.2 Temperaturgrenzschicht 6.2.2.3 Diffusionsgrenzschicht 6.2.3 Ausgangsgleichungen der Grenzschicht-Theorie (Prandtl) 6.2.3.1 Grundgesetze der Stromung mit Reibungs- und TemperatureinfluG 6.2.3.2 Formulierung der Grenzschicht-Theorie 6.2.3.3 Stoffgesetze innerhalb der Grenzschicht

268 268 270 270 275 277 277 277 279 282

6.3

Grenzschichtstromung an festen Wanden 6.3.1 Einfuhrung 6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

.

283 283 283

XII

Inhaltsverzeichnis 6.3.2.1 6.3.2.2 6.3.2.3 6.3.2.4

6.4

Grenzschichtgleichungen der laminaren ebenen Scherstromung . . . . Folgerungen aus den Grenzschichtgleichungen Laminare Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte . . . . Laminare ebene Grenzschicht mit Druckgradient der AuBenstromung 6.3.2.5 Laminare Grenzschicht an Korpern mit gekriimmter Oberflache . . . 6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden 6.3.3.1 Grenzschichtgleichungen der turbulenten ebenen Scherstromung . . . 6.3.3.2 Geschwindigkeitsprofile der turbulenten Stromungsgrenzschicht . . . 6.3.3.3 Turbulente Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte . . . 6.3.3.4 Turbulente ebene Grenzschicht mit Druckgradient der AuBenstromung 6.3.4 Integralverfahren der Grenzschicht-Theorie 6.3.4.1 Allgemeines 6.3.4.2 Integralbeziehungen der Stromungsgrenzschicht 6.3.4.3 Quadraturverfahren zur Berechnung der Stromungsgrenzschicht bei einem homogenen Fluid 6.3.5 Abgeloste Grenzschicht bei umstromten Korpern 6.3.5.1 Grundsatzliche Erkenntnisse 6.3.5.2 Abgeloste Stromung an gewolbten Korpern 6.3.5.3 Abgeloste Stromung um Korper mit scharfen Kanten

347 351 351 352 358

Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung 6.4.1 Einfuhrung 6.4.2 Freie Stromungsgrenzschicht 6.4.2.1 Reibungsbehaftete Trennungsschicht (ebener Halbstrahl) 6.4.2.2 Reibungsbehafteter Freistrahl 6.4.2.3 Reibungsbehaftete Nachlaufstromung 6.4.3 Besondere turbulente Scherstromungen 6.4.3.1 Intermittenz bei turbulenter Stromung 6.4.3.2 Strahlablenkung durch feste Wand (Coanda-Effekt)

361 361 361 361 363 372 374 374 375

Literatur zu Kapitel 6

283 289 295 309 316 318 318 323 326 335 340 340 341

377

Bibliographie

000

Namenverzeichnis (Band 1 und 2)

000

Sachverzeichnis

000

Erganzungen zu Band 1 (4. Auflage)

000

Band 1 Grundlagen und elementare Strbmungsvorgange dichtebestandiger Fluide 1 Einfuhrung in die Fluidmechanik 2 Grundgesetze der Fluid- und Thermofluidmechanik 3 Elementare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide Sachverzeichnis

Verzeichnis der Tabellen

Tabelle 4.1. Tabelle 4.2. Tabelle 4.3. Tabelle 4.4. Tabelle 4.5. Tabelle 4.6. Tabelle 4.7.

Tabelle 5.1. Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle

5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Tabelle 6.6.

Isentrope Depressions- (Expansions-) stromung (Laval-Zustand) Austrittsdaten einwandfrei arbeitender Laval-Dusen Einfache Druckwelle nach der linearen Wellentheorie Druck- und Geschwindigkeitswellen in einem an beiden Enden geschlossenen Rohr Instationarer Druckbeiwert am Ende einer plotzlich geschlossenen Druckrohrleitung ZustandsgroBen bei Gasstromungen durch ein Rohr Fluidmechanisches und thermodynamisches Verhalten von Gasstromungen durch ein Rohr Potentialstromung. Geschwindigkeitskomponenten, Laplacesche Potentialgleichung (dichtebestandiges Fluid) Grundgesetze ebener Potentialstromungen (dichtebestandiges Fluid) Elementare ebene Potentialstromungen (dichtebestandiges Fluid) GroBenordnungen der kompressiblen Potentialstromung Ebene linearisierte Potentialstromungen (dichteveranderlicb.es Fluid) Zur Potentialtheorie mit freier Stromlinie Randbedingungen der Grenzschicht-Theorie GroBenordnungen der Grenzschichtdicken Definition der Grenzschichtdicken Funktionen zur Berechnung turbulenter Grenzschichten Geometrische und fluidmechanische GroBen vollausgebildeter turbulenter Freistrahlen Strahlausbreitung, maximale Geschwindigkeit und Volumenstrom bei einem Freistrahl

22 34 47 50 56 65 66

128 133 142 170 172 248 280 293 343 346 371 373

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten1

Formelzeichen a = A/pcp b c c, co c cp, cv cp = hplq^ cA, cw, cWt cF, cT cL d,f e, et g h h h, = h i = V—1 i = i (p) k / m ">A = pvA n n n, t p p pe q = (p/2) v2 q r r r,
Temperaturleitfahigkeit in m2/s, Tab. 1.1 Breite, Fliigelspannweite in m Schallgeschwindigkeit in m/s, Tab. 1.1, Abb. 4.7 Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Oberflachenwelle, Abb. 5.46 Ausbreitungsgeschwindigkeit einer schwachen Druckstorung in einem elastischen Rohr in m/s spezifische Warmekapazitat in J/K kg, Tab. 1.1 Druckbeiwert [-] Kraftbeiwert filr Auftrieb, Widerstand [—] Beiwert filr Plattenwiderstand, Wandschubspannung [—] Laval-Geschwindigkeit in m/s Profildicke, Profilwolbungshohe in m, Abb. 5.33 Einheitsvektor [—] Fallbeschleunigung in m/s2, Normfallbeschleunigung gn = 9,807 m/s2 Hone in m spezifische Enthalpie in J/kg, Tab. 1.2, 2.12 spezifische totale Enthalpie in J/kg imaginare Einheit [—] spezifisches Druckkraftpotential, Druckfunktion in J/kg, Tab. 2.12 Rauheitshohe in m, Durchlassigkeit in m2 Lange, Bezugslange, Fliigel-, Plattentiefe in m; dl Linienelement in m Masse in kg Massenstrom (Stromfaden, Rohr) in kg/s, Abb. 4.31 Polytropenexponent [—] (turbulenter) Geschwindigkeitsexponent [-] natiirliche Koordinaten (normal, tangential) in m Druck in bar, Druckspannung in N/m2 = Pa Schalldruck in N/m2 = Pa fluidmechanischer Energieverlust in N/m2 = J/m3 Geschwindigkeitsdruck in Pa massebezogene Warme in J/kg Ortsvektor in m Recovery-Faktor [-] zylindrische Koordinaten, Abb. 1.13; r, (p polar, r, z drehsymmetrisch Kriimmungsradius in m, Abb. 6.17 radiale Kugelkoordinate in m spezifische Entropie in J/K kg, Tab. 1.2, Abb. 4.1 a Wirbellinienkoordinate in m, Abb. 5.5 Stromlinienkoordinate in m, Abb. 5.5 Zeit in s Reflexionszeit in s Geschwindigkeitskomponenten bei ebener Stromung in m/s

Eine Zusammenstellung der Basis- und abgeleiteten GroBen mit ihren Dimensionen und Einheiten gibt Tabelle A in Bd. 1. S. XXIII.

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten

XV

ua(x), U(x) »„, v«,, vv» u, = Vr w /p uB, gz u = 1/p v, Vj 0 w w, w, w, x, y, z; x, z z = x + iy

Geschwindigkeit a m auBeren Rand der Grenzschicht (y = <5S) in m/s, Abb. 6.5 Anstromgeschwindigkeit in m/s Schubspannungsgeschwindigkeit in m/s spezifisches Massenkraftpotential, Schwerkraftpotential in J/kg spezifisches Volumen in m3/kg Geschwindigkeitsvektor in m/s Schallschnelle in m/s massebezogene Arbeit (mit Index) in J/kg komplexe, konjugiert komplexe Geschwindigkeit in m/s, Abb. 5.10 wirbelinduzierte Abwartsgeschwindigkeit in m/s, Abb. 5.65 kartesische (rechtwinklige) Koordinaten, Abb. 1.13 Hochlage in m, z > 0 nach oben komplexe Zahlenebene, Abb. 5.10

a, <xe, a, aT, ap /?!, fS2 Y Y 6 6, <5S, ST Slt &i, &i £ f = § + ir\ C,, C,* q & i^ K = cplcv

geometrischer, effektiver, induzierter Anstellwinkel [-], Abb. 6.65 Ausdehnungskoeffizient [-],Tab. 1.1, 1.2 Grenzschicht-Formparameter [—], Abb. 6.25 Intermittenzfaktor [-], Abb. 6.40b Wirbel-(Zirkulations-) dichte (eben) in m/s, Abb. 5.55 Schlankheitsgrad [-], Abb. 5.32 Grenzschichtdicke in m, Abb. 6.3 Verdrangungsdicke, Impuls-, Energieverlustdicke in m, Tab. 6.3 Quelldichte (eben, raumlich) konform abgebildete komplexe Zahlenebene, Abb. 5.14 Rohrverlustbeiwert [-], Abb. 4.28b dynamische Viskositat, Scherviskositat in Pa s, Tab. 1.1, Abb. 1.4 Winkel, Umlenkwinkel [-], Abb. 4.32 Keilwinkel [-], Abb. 4.33 Verhaltnis der Warmekapazitaten (= Jsentropenexponent KS bei idealem Gas) [—], Tab. 1.1, 1.22 Isentropenkoeffizient [-], Tab. 1.22 Warmeleitkoeffizient in J/s m K, Tab. 1.1 Rohrreibungszahl [—] Machwinkel [-], Abb. 4.39 kinematische Viskositat in m 2 /s, Tab. 1.1 Prandtl-Meyer-Winkel [-], Abb. 4.39 Charakteristiken, bei supersonischer Stromung, Abb. 4.18a Dichte in kg/m3, Tab. 1.1; dichteveranderlich p(p, T), kompressibel = barotrop (>(p), dichtebestandig p = const Grenzflachenspannung, Kapillarkonstante in N/m, Tab. 1.4 Frontwinkel, StoBwinkel [-], Abb. 4.36 gesamte (druck- und reibungsbehaftete) Spannung in N/m 2 = Pa, Tab. 2.8 (i =j Normal-, i + j Tangentialspannung) reibungsbedingte Spannung in N/m 2 = Pa Wandschubspannung in N/m 2 = Pa Warmestromdichte an der Wand in J/s m 2 Drehung (Rotation) des Fluidelements in 1/s, (&),y = — &>,,), Tab. 2.3

K, X X fi v = I\IQ v §, r\ p a a o, o^ T, Tjj xw max 2

Flache, Bezugsflache, Flachenvektor A (positiv nach auBen), Querschnitts-, Mantelflache in m2, Abb. 5.2, 5.6 Auftriebskraft in N (normal zur Anstromrichtung), Abb. 5.65 (turbulente) ImpulsaustauschgroBe, WarmeaustauschgroBe in Pa s Bodenstein-Zahl [-] StoBparameter [-] Crocco-Zahl [—] (vmta = Ausstromen ins Vakuum), Abb. 4.8

Der griechische Buchstabe ,,kappa" wird im Text mit K sowie in den von friiheren Auflagen iibernommenen Abbildungen mit x gekennzeichnet.

XVI

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten

D — 1R E EF, ER F H, Hn, H22, ix K,, K = Ma & L La = v/cL M M =E I Ma = v/c Pe = Vila Pr = via Pf = AJAq R = £>/2 R Re = vl/v S S T Ta(x) Te Tw V VA A V W Wt

Durchmesser (Rohr, Rreiszylinder, Kugel) in m Ergiebigkeit (Quelle, Sinke) in m2/s (eben), in m3/s (raumlich) Elastizitatsmodul (Fliissigkeit, Rohrwerkstoff) in Pa Kraft (mit Index) in N Geschwindigkeitsformparameter (Grenzschicht) [—], Abb. 6.26 Impulsstrom (Freistrahl) in kg m/s2 kinematischer Eigenschaftsstrom (Freistrahl) in m4/s2, Tab. 6.6 Hyperschallparameter [—] Rohrlange in m Laval-Zahl [-], Abb. 4.7 Kraftmoment in N m Dipolmoment (eben, raumlich; E —» °°, / —> 0) Mach-Zahl [—] Peclet-Zahl [-] (molekulare) Prandtl-Zahl [-], Tab. 1.1 turbulente Prandtl-Zahl [-] Halbmesser (Radius) in m spezifische (spezielle) Gaskonstante in J/K kg, Tab. 1.1 Reynolds-Zahl [-], / = D bei Rohr Flugelprojektionsflache in m 2 (konstante Flilgeltiefe S = bl) Schubkraft (Schraubenpropeller) in N absolute Temperatur in K Temperatur am auBeren Rand der Grenzschicht (y = 6T) in K, Abb. 6.5 Eigentemperatur (adiabate Wandtemperatur) in K, (6.65) Wandtemperatur in K Volumen in m3 Volumenstrom (Stromfaden, Freistrahl) in m3/s Widerstandskraft in N (in Anstromung) wirbelinduzierter Widerstand in N, Abb. 5.65

r A = b2/S II 4> Q. Q IJJ (O) = (A) + (S) (A), (S)

Zirkulation in m2/s, Abb. 5.1 Fliigelstreckung (Flilgelseitenverhaltnis) [—] Grenzschichtformparameter (Nachlauf) [—], Abb. 6.25 skalares Geschwindigkeitspotential (Quellpotential) in m2/s vektorielles Geschwindigkeitspotential in m2/s komplexe Potentialfunktion in m 2 /s, (5.47 b) geschlossene raumfeste Kontrollflache (Wirbelpotential) freier, korpergebundener Teil der Kontrollflache

FuBzeiger a b i,j= 1,2, 3 n 0

o r r, (p, i t

u u V

x,y,z * oo

auBen (Grenzschicht y = 6) Bezugszustand kartesische Zeiger normal, Normzustand oben (Flugelprofil) Ruhezustand (Kessel, Staupunkt), Oberflache (Fliissigkeit) reibungsbedingt zylindrische Komponenten tangential, total unten (Flugelprofil) laminar-turbulenter Umschlag geschwindigkeitsbedingt kartesische Komponenten zahigkeitsbedingt konjugiert komplexe GroBe ungestorter Zustand

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten B D E F,G K P R S T Z 1,2 1 ->2

XVII

Massenkraft (Volumenkraft) Dissipationsarbeit Tragheitskraft Flilssigkeit, Gas fester Korper, Keil, Kreiszylinder, Kugel Druckkraft Reibungskraft Stromungsgrenzschicht Temperaturgrenzschicht Zahigkeitskraft Punkte im Stromungsfeld, langs einer Linie (Stromfaden, Rohr), Zustandsanderung Weg im Stromungsfeld; ProzeBablauf

Kopfzeiger • v, A * ', ", "'

Ableitung nach der Zeit flaches, tiefes Wasser Laval-Zustand (kritischer Zustand), Tab. 4.1 1., 2., 3. Fassung der sub- und supersonischen Ahnlichkeitsregel

Sonstige Symbole d d 3 ~ A A • dis v div v div co grad 5 grad 0 rot v rot Q A$ (/ = 1, 2, 3)

substantielles (vollstandiges) Differential wegabhangiges (unvollkommenes) Differential partielles Differential proportional von gleicher GroBenordnung, Tab. 5.4 Differenz zweier GroBen gleicher Art, Kennzeichnung der GroBen eines Fluidelements Laplace-Operator, FuBnote 41 S. 176; Tab. B.5 d'Alembert-Operator, FuBnote 41 S. 176 Dissipationsfunktion, Tab. 2.12 Divergenz des Geschwindigkeitsfelds, Tab. B.4 Divergenz des Wirbelfelds, Tab. B.4 Gradient des Entropiefelds, Tab. B.I Gradient des skalaren Geschwindigkeitspotentials, Tab. B.I Rotation des Geschwindigkeitsfelds, Tab. B.3 Rotation des vektoriellen Geschwindigkeitspotentials, Tab. B.3 Laplace-Operator des Geschwindigkeitsfelds, Tab. 5.1b hinter Formel, bedeutet, daB Summationsvereinbarung nicht anzuwenden ist, sondern die Formel jeweils fiir z = 1,2 und 3 anzuschreiben ist

Begriffe spezifische GroBe: Zustandsgrofie/Masse (masse-)bezogene GroBe: ProzeBgroBe/Masse GroBendichte: GroBeA^olumen GroBenstrom: GroBe/Zeit GrBBenstromdichte: GroBe/Zeit • Flache

4 Elementare Stromungsvorgange dichteveranderlicher Fluide

4.1 Uberblick In ahnlicher Weise wie in Kap. 3 fur das dichtebestandige Fluid sollen in diesem Kapitel vornehmlich die Anwendungen einfach zu iibersehender elementarer Stromungsvorgange eines dichteveranderlichen Fluids betrachtet werden. Ohne immer besonders darauf hinzuweisen, wird unter einem dichteveranderlichen Fluid meistens ein ideales Gas verstanden. Auf den Unterschied der Begriffe dichteveranderlich und kompressibel wurde in Kap. 1.2.2.1 eingegangen. Danach handelt es sich um eine kompressible Stromung, wenn die Dichte p des Fluids nur vom Druck p abhangt, d.h. wenn ein Fluid im barotropen Zustand mit p = p(p) vorliegt. Spielt auch die Temperatur T eine Rolle, d.h. ist

0 nimmt man zunachst die nachstehende Einteilung der Mach-Zahl-Berei-

2

4.2 Dichteveranderliche Fluide im Ruhezustand (Aerostatik)

che vor: subsonisch fur 0<Ma < 1, transsonisch fur Ma = 1 und supersonisch fur Ma > 1, vgl. Kap. 1.3.3.4. Hierbei wird vorausgesetzt, daB im allgemeinen Max und Ma2 von etwa gleicher Grossenordnung sind. 1st nun Ma > 1, so spricht man von hypersonischer Stromung, wobei jedoch drei Fallunterscheidungen moglich sind, namlich Ma, P-1 und Ma2 ^ 1 oder Mal §> 1 und Ma2 =S 1 oder Max $ 1 und Ma2^> 1. Solche Stromungen konnen auftreten bei mit Hyperschallgeschwindigkeit (Ma!>5) angestromten Korpern sowie bei mit Hyperschallgeschwindigkeit durchstromten Uberschalldiisen. Zusammenfassende Darstellungen der theoretischen Grundlagen fiir Unterund Uberschallstromungen geben Becker [6], Ganzer [23a], Oswatitsch [41a], Sauer [54] und Zierep [72] sowie Schiffer [55].'

4.2 Dichteveranderliche Fluide im Ruhezustand (Aerostatik) 4.2.1 Ausgangsgleichungen Polytrope Zustandsgleichung. Spielt bei einem Fluid im wesentlichen nur der DruckeinfluB eine Rolle, so laGt sich dieser barotrope Zustand pip) durch die Polytrope (1.5) beschreiben. Tritt auch die Temperatur T auf, so gilt fiir den Zusammenhang von Dichte, Druck und Temperatur zusatzlich bei einem idealen Gas die thermische Zustandsgleichung (1.8) mit p = pRT. Aus (1.5c) und (1.8d) erhalt man die Zusammenhange zwischen dem Dichte-, Druck- und Temperaturverhaltnis zu

wenn (7) und (2) zwei zeitlich oder raumlich festgelegte Gaszustande sind. Es ist n der Polytropenexponent, und zwar wird mit n = 0 die Isobare (p = const), mit n = 1 die Isotherme (T - const) und mit n - re die Isentrope (s = const) wiedergegeben. Der Fall n = °° stellt die Isochore (p = const) dar.2 In Abb. 4.1a, b sind fiir die isentrope Zustandsanderung mit K = 1,4 das Dichte- und Temperaturverhaltnis uber dem Druckverhaltnis jeweils als Kurve (7) dargestellt. Bei Depression (0 fkp2lpx < 1) liegt Verdiinnung (Expansion) bzw. Temperaturabnahme und bei Kompression (p2lp\ > 1) Verdichtung bzw. Temperaturzunahme vor. Vakuum tritt bei p2lpx = 0 mit f>2/Pi = 0 = T2/T} ein. 1 Einschlagiges in Buchform erschienenes Schrifttum ist in der Bibliographie (Abschnitt B) am Ende dieses Bandes zusammengestellt. Im ubrigen enthalten die meisten Lehrbucher uber Fluidmechanik mehr oder weniger ausfiihrliche Abschnitte iiber Stromungen dichteveranderlicher Fluide. 2 Da die angegebenen GroBen nicht nur auf Verbindungslinien zwischen zwei Orten, sondem im ganzen vom Fluid angefilllten Raum konstant sein sollen, miiBte die Vorsilbe iso- richtiger durch homo- (vor Selbstlauten meist is- bzw. horn-) ersetzt werden.

4.2.1 Ausgangsgleichungen

50 100 Abb. 4.1. EinfluB des Druckverhaltnisses bei adiabater Zustandsanderung eines dichteveranderlichen (barotropen) Fluids (Luft, x= 1,4), vgl. Kap. 4.3.2.5 und 4.3.2.6 a Dichteverhaltnis und Entropieanderung; b Temperaturverhaltnis. (i) Isentrope (adiabat-reversible) Zustandsanderung: mit konstanter Entropie stetig verlaufende Stromung (4.1), (2) anisentrope (adiabat-irreversible) Zustandsanderung: mit VerdichtungsstoB (normal oder schief) unstetig verlaufende Stromung (4.57) bzw. (4.159a, b), (1) -4- (2) anisentrope Zustandsanderung: mit mindestens zwei hintereinander angeordneten schiefen VerdichtungsstoBen (o
Die in Abb. 4.1 dargestellte isentrope Zustandsanderang gilt sowohl fur den Ruhe- als auch fur den Bewegungszustand, vgl. (4.49a, b). Aerostatische Grundgleichung. Ausgangspunkt stellt die statische Energiegleichung der Fluidmechanik (2.13) dar. Sie lautet in differentieller Form oder angewendet auf zwei Stellen (1) und (2) des fluidgefullten Raums (2)

dp

dz = 0;

dp m i t

(4.2 a; b, c)

mit i als spezifischem Druckkraftpotential nach (2.5 b). Fur ein Fluid (Gas), welches einer polytropen Zustandsanderung ~ plln gemaB (4.1 a) gehorcht, erhalt man nach Ausfuhren der Integration

4.2 Dichteveranderliche Fluide im Ruhezustand (Aerostatik)

Hierin laBt sich i2 — i\ nach (4.2 b) durch g(zl — z2) ersetzen und so das Druckverhaltnis p2/Pi in Abhangigkeit von der Hochlage (z2-zl) darstellen, vgl. (4.13). Fur n = °° ergibt sich mit p, = p= const die hydrostatische Grundgleichung (2.14). Energiegleichung. Thermodynamische Einfliisse auf das Verhalten eines dichteveranderlichen Fluids lassen sich durch die Warmetransportgleichung (= Energiegleichung der Thermofluidmechanik im mitbewegten Bezugssystem nach Kap. 2.6.3.1) erfassen. Bei einem ruhenden Fluid tritt in (2.192) die Dissipationsarbeit nicht auf (dwD = 0), wahrend die bezogene Volumenanderungsarbeit dwv nach (2.196) gegeben ist.3 Aus (2.192 b) folgt fur die spezifische Enthalpieanderung eines Fluids im barotropen Zustand dh = — + dq = di + da

mit i = —— (adiabat)

(4.4a, b, c)

Jc(p)

als Druckfunktion nach (2.5). Werden mit (7) und (2) Anfang bzw. Ende einer Zustandsanderung gekennzeichnet, so erhalt man durch Integration die massebezogene zu- oder abgefiihrte Warme zu 4 Vi^i^lh-hi-

(i2 - h) = -

_

(i2 - id

(Gas).

(4.5 a, b)

Die letzte Beziehung folgt durch Einsetzen des Zusammenhangs von h nach Tab. 1.2 in Verbindung mit (4.1a) und / nach (4.3 a). Die GroBe (i2-i{) ist als spezifisches Druckkraftpotential durch (4.3) gegeben. Bei isothermer Zustandsanderung (n = 1), gilt q1 _^2 = - (i2 - ix). Wird Warme weder zu- noch abgefiihrt (^i^2 = 0), liegt eine isentrope (adiabat-reversible) Zustandsanderng (n = K) vor. Es ist dann (i2 - /,) die Anderung der spezifischen Enthalpie bei konstanter Entropie. Aus (4.5 b) erkennt man, daB fiir 1 ^ n < K stets qt^2 — (i2 - h) ist. Die von den Druckkraften verrichtete bezogene Volumenanderungsarbeit Wi -»2 erhalt man durch Integration iiber dwy = (p/(P-)dp nach (2.196 b) mit dp = (p/np)dp nach (1.5b) zu

f (i)

3

Es sei besonders vermerkt, daB in (2.192) die Arbeit der Massenkraft nicht auftritt. Die verschiedene Schreibweise der Indizes soil anzeigen, daB hu h2, i\ und i2 die Werte der ZustandsgroBen h und (' in den Systemzustanden (1) und (2) bedeuten, wahrend qx _,2 die Warme und wx _^2 die Volumenanderungsarbeit sind, welche als ProzeBgroBen das System vom Zustand (1) in den Zustand (2) iiberfuhren. 5 Fiir den bei n = K und qx _> 2 auftretenden unbestimmten Ausdruck gilt wx _,2 = cv(T2 - T,). 4

4.2.2 Gasdruck auf feste Begrenzungsflachen

5

Fur ein dichtebestandiges Fluid (isochore Zustandsanderung mit n = °°) folgt, wie zu erwarten, w1^2 = ®- Bei isothermer Zustandsanderung (n = 1) gilt Wx _>2 = - <1\ -> i, was bedeutet, daB die Volumenanderungsarbeit vollstandig in Warme umgewandelt wird. Entropiegleichung. Fiir die Anderung der spezifischen Entropie gilt nach Tab. C.2 sowie mit (4.2a) fiir ein Gas dz) (Gas). Bei ungeanderter Entropie folgen mit ds = 0 die Beziehungen dT g cpdT + gdz = 0, —— = < 0 (isentrop). dz

cp

(4.7 a, b)

(4.8 a, b)

Die in diesem Kapitel zugrunde gelegte Polytrope kann man vorteilhaft zur Beschreibung des Aufbaus der ruhenden Atmosphare in Kap. 4.2.3.1 sowie zur Darstellung der Prozesse in Stromungsmaschinen in Kap. 4.2.3.2 verwenden.

4.2.2 Gasdruck auf feste Begrenzungsflachen 4.2.2.1 Druck in einem abgeschlossenen Behalter In einem nach Abb. 4.2a ringsum geschlossenen, mit einem ruhenden Gas gefiillten Behalter befinde sich bei (1) eine Offnung, durch welche mittels eines langsam verschiebbaren Kolbens eine Druckwirkung auf das Gas ausgeilbt werden kann. Die GroBe des Drucks pi sei bekannt. An einer beliebigen Stelle (2) im Behalter berechnet sich der Druck p2 nach (4.2 a). In vielen Fallen der praktischen Anwendung ist der Druck/^ so groB, daB der EinfluB der Schwere ihr gegeniiber unberiicksichtigt bleiben kann (gz2 ~ gzj). Mit dz —> 0 gilt dann dp ~ 0, p2- P\~p ~ const

(Gas).

(4.9 a, b)

Hieraus folgt, daB in einem im mechanischen Gleichgewicht befindlichen eingeschlossenen Gas bei Vernachlassigung der Schwere an jeder Stelle und nach jeder Richtung der gleiche Druck herrscht. Nach Abb. 4.2b driickt das Gas auf jedes Flachenelement dA\ der Kolbenfache, soweit es mit dieser in

Kolben

Abb. 4.2. In einem abgeschlossenen Behalter unter Druck stehendes ruhendes Gas. a Druck im Behalter, b Druckkraft auf Kolben (Kolbenkraft)

6

4.2 Dichteveranderliche Fluide im Ruhezustand (Aerostatik)

Beriihrung ist, mit der Kiaftp dAt. Die Form des Kolbens sei an der dem Gas zugewandten Seite beliebig vorgegeben. Bezeichnet a den Winkel der Flachennormale gegen die Kolbenachse, so wird die Komponente p dAt in Richtung dieser Achse p dAt cos a. Da aber dAl cos a = dA die Projektion von dA^ auf die zur Kolbenachse normale Querschnittsflache A des Kolbens darstellt, erhalt man unter Beachtung von (4.9 a) die gesamte von dem Gas auf den Kolben in Richtung seiner Achse ausgeubte Druckkraft Fp = \pdA ~pA

(Kolbenkraft).

(4.10a, b)

w Die Kraft ist von der besonderen Form der Kolbendruckflache unabhangig. Bei reibungsfreier Fuhrung des Kolbens muB also zur Erzeugung des Drucks p im Gas auf den Kolben eine auBere Kraft (Kolbenkraft) von der GroBe FK-FP~ pA ausgeiibt werden.

4.2.2.2 Schwebende Korper Schwebebedingung. Ist ein Korper vom Volumen V nur von Gas (Luft) der Dichte pG umgeben, dann ergibt sich der aerostatische Auftrieb nach (2.18) zu FA = gmc = pcgV

(Archimedes)

(4.11a, b)

mit mG als Masse des vom Korper verdrangten Gases. Bei einem dichteveranderlichen Gas ist fiir pG ein Mittelwert der Gasdichte etwa in Hohe des Volumenschwerpunkts einzusetzen. Damit der Korper schwebt, muB in Analogie zur Schwimmbedingung nach (3.14a) der Auftrieb f^gleich dem Kbrpergewicht FK sein. Dies besteht bei einem Gasballon aus den Gewichten der Hiille, der Gondel und des eingeschlossenen Fiillgases. Tragkraft eines Gasballons. Die Tragkraft FT eines Freiballons oder Luftschiffs vom Volumen V ist gleich dem Auftrieb FA nach (4.11) vermindert um das Gewicht des Fiillgases F'G = p'GgV, d.h. FT = (
4.2.3 Beispiele zur Mechanik und Thermodynamik ruhender Gase 4.2.3.1 Ruhende Atmosphare Polytrope Atmosphare. Fiir die Bestimmung des Gleichgewichts eines ruhenden Gases in der Atmosphare bedarf es einer Annahme iiber die Abhangigkeit der Dichte p vom Druck p. Zugrunde gelegt werde die polytrope Zustandsanderung nach (4.1). Fallt der Koordinatenursprung in die Erdoberflache zl = z0 = 0 (Index 0), so erhalt man in einer Hohe z2 = z (ohne Index) nach (4.1a) sowie (4.3) mit (4.2b) das Druck- und Dichteverhaltnis nach Umformung zu Po

\pj

\

n

h)

y

'

Z Po

^ ( L i ) Po

(„=!).

(4.13a, b)

Als Abkiirzung wurde die GroBe h =

g(>0

_P±=RTo=^Zl_cJ, g Kg"

eingefiihrt, wobei beriicksichtigt ist, daB p0 = pttRT0, R = cp-cv und K=cplcv ist. Es hat h die Dimension einer Lange und wird Skalenhohe genannt. Da z = h der Hohe einer Gassaule von konstanter Dichte p^ entspricht, bezeichnet man sie auch als Hohe der gleichformigen Atmosphare.Von besonderer Bedeu-

4.2.3 Beispiele zur Mechanik und Thermodynamik ruhender Gase

7

tung ist auch die Temperaturveiteilung in der Atmosphare. Aus (4.1c) findet man in Verbindung mit (4.13 a, c) fiir das Temperaturverhaltnis n-\

z

dT dz

n-\ n

g R

K(n-l) g H(K — 1) cp

(polytrop).

(4.14a, b)

Die Temperatur andert sich linear mit der Hohe. Fiir einen konstant gehaltenen Wert n > 1 besitzt die Atmosphare eine endliche Hohe. An ihrer oberen Grenze z = H, d.h.

=£'

(h = 8,43 km, H = 29,52 km)

(Vakuum)

(4.14c)

ist die Temperatur T = 0 auf den absoluten Nullpunkt zuruckgegangen. Druck und Dichte sind bei diesem Zustand ebenfalls null. Die in (4.14 c) in der Klammer angegebenen Zahlenwerte beziehen sich auf die isentrope Atmosphare (n = K— 1,4). Der Druck p 0 und die Dichte (% entsprechen den Werten der Normatmosphare nach (4.15). Fiir die isotherme Atmosphare (n = 1) ist die Atmosphare nach oben nicht begrenzt, / / = °°. Fiir Werte ° < > > n > l (« = <*>: isochor, n = 1: isotherm) sind die Temperaturgradienten negativ {dTldz < 0). Dies gilt also auch fiir die isentrope (= adiabat) Zustandsanderung mit n = K. Bei adiabater Schichtung der Atmosphare betragt der Gradient der Temperaturabnahme fur Luft (g = 9,8067 m/s2, K = 1,4 undR = 287,2 m7s 2 K) dTldz = - 0,0098 K/m = - 10 K/km, d.h. die Lufttemperatur nimmt auf je 1 km Hohe um rund 10 K ab. Bei isothermer Schichtung ist dTldz = 0. Fiir Werte 1 > n > 0 (n = 0: isobar) sind die Temperaturgradienten positiv (dTldz > 0). Normatmosphare. Luftdichte und Temperatur sind in der Atmosphare standigen Schwankungen unterworfen. Sie andern sich von Tag zu Tag und sind an verschiedenen Orten der Erde im allgemeinen verschieden. Fiir die Zwecke der Flugtechnik hat man daher eine internationale Normatmosphare eingefiihrt. Dieser sind als Bodenwerte folgende GroBen zugrunde gelegt [68]; pa = 1 atm = 1,0133 bar, To = 288,15 K,

p0 = 1,225 kg/m3,

f o =15°C,

c0 = 340,3 m/s,

(dT/dz)0 = ~ 6,5 K/km

(OS z S 11 km).

(4.15)

In Abb. 4.3 a sind fiir die isotherme Atmosphare (n = 1), fiir die isentrope (adiabate) Atmosphare (n = K) SOwie die Normatmosphare (n = 1,235) das Druck- und Dichteverhaltnis fiber der Hohe z als Kurve (1), (2) bzw. (3) dargestellt. Beide GroBen nehmen stark mit der Hohe ab. Fur p = pb = const erhalt man aus (4.13 a) mit n = °° fiir die isochore Atmosphare den linearen Verlauf p/p0 = T/To = 1 - z/h, Gerade (4) in Abb. 4.3a. Stabilitatsbetrachtung. Die statische Stabilitat der Schichtung der Atmosphare beurteilt man aus dem Verhalten einer kleinen Luftmenge (Luftteilchen), wenn man diese vertikal verschiebt. Stabiles Gleich-

Abb. 4.3. Ruhende Atmosphare. a Druck- und Dichteverhaltnis in Abhangigkeit von der Hohe [56]. (i) Isotherme Atmosphare, (2) adiabate Atmosphare, (3) Normatmosphare [68], (4) isochore Atmosphare. b Stabilitatsverhalten

8

4.2 Dichteveranderliche Fluide im Ruhezustand (Aerostatik)

gewicht liegt vor, wenn die bei der Verschiebung auftretende Kraft das Luftteilchen in seine Ausgangslage zurucktreibt. Abb. 4.3 b (oben) zeigt diesen Vorgang schematisch dargestellt. Aufgrund irgendeiner Stoning moge das Luftteilchen aus seiner Ruhelage z = zt mit dem zugehorigen Druck p = p : in die Lage z = z2 geraten. Dabei nimmt das Teilchen den Umgebungsdruck p =p2 an. In der Schicht z = z2 liegt also eine isobare Zustandsanderang vor. Wenn dieser Vorgang schnell genug erfolgt und dissipative Einfliisse unbedeutend sind, andert sich die spezifische Entropie der Luftmenge nicht (Warmeleitvorgange beanspruchen Zeit), s = s^ Bei der Verschiebung des Teilchens Az = z2 - z, geht also seine Dichte von p(Pi> -?i) in p(p2, *i) Uber, wahrend in seiner Umgebung die Dichte p(p2, s2) mit s2^st herrscht. Das Luftteilchen kehrt in seine Ausgangslage zuriick, wenn (>(p2, *i) > (? (p2, s2) ist. Aufgrund dieses Dichteverhaltens lautet die Stabilitatsbedingung Ap=p(p2,s2)-p(p2,sJ)<0,

dp<0

(z = z2).

(4.16)

Eine Aussage iiber die Entropieanderung As = s2 — st bzw. ds erhalt man durch Heranziehen der filr ideales Gas giiltigen Beziehung (4.7b), wonach T ds = cp dT + gdz > 0 ist. Mithin kann man fur die Stabilitatsbedingung auch ^ - = | ^ + — > 0 , —>-— (stabil). (4.16b) dz dz cp dz cp schreiben, wobei der Temperaturgradient dT/dz < 0 eine Temperaturabnahme mit der Hohe bedeutet. MaBgebend ftlr stabiles, indifferentes oder instabiles Verhalten ist also das Vorzeichen des Temperaturgradienten, dT/dz § 0. Unter Einsetzen von (4.14b) fur dT/dz gilt fur die polytrope Atmosphare

^ =_

c

l

mit

c=«<"-j>

(4.17a, b)

dz cp n(ic-l) In Abb. 4.3 b ist die GroBe c uber dem Polytropenexponenten n aufgetragen. Hieraus folgen die Kriterien: c < 1: stabil (0 < n < K), ~\ c= 1: indifferent (« = K), | c> 1: instabil (n> K).

(Stabilitatsverhalten)

(4.17c)

)

Die Schichtung ist urn so stabiler, je geringer die Temperaturabnahme mit der Hohe ist. Die isotherme Atmosphare (n = 1) hat eine sehr stabile Schichtung, wahrend bei der isentropen (adiabaten) Atmosphare (n = K) die Schichtung indifferent (neutral) ist.6 Im letzten Fall wird sich ein Luftteilchen, das um eine bestimmte Hohe gehoben wird, infolge der Expansion gerade so viel abkilhlen, wie es der Temperaturabnahme mit der Hohe entspricht. Das Teilchen nimmt also gerade die Temperatur seiner neuen Umgebung an und ist damit in jeder Hohe in indifferentem Gleichgewicht. Abb. 4.3 b (unten) faBt die gefundenen Ergebnisse zusammen. Fur ein vertieftes Studium sei Eskinazi [18] empfohlen.

4.2.3.2 Quasistatische Arbeitsprozesse bei Gasen Allgemeines. Vorgange in einem thermodynamischen System (Stromungsmaschine), bei denen sich ZustandsgroBen andern, nennt man thermodynamische Prozesse. Ist das Fluid am Ende eines Prozesses wieder im gleichen Zustand wie zu Anfang, so hat es einen KreisprozeB durchlaufen. Beschrankt man sich auf ruhende Fluide, so dient die auBere Arbeit zum Uberwinden der auBeren auf die Oberflache wirkenden Druckkrafte. Die Driicke sind bei langsamen, d.h. quasistatisch verlaufenden Zustandsanderungen gleich dem inneren Druck. Carnot-KreisprozeB. Dies ist der wichtigste thermodynamische VergleichsprozeB, da er zwischen zwei Warmebehaltern mit jeweils konstanten Temperaturen durch eine einfache gedankliche Vorstellung vollstandig reversibel durchgefiihrt werden kann. Zur Ableitung der Beziehungen denkt man sich ein Gas (Arbeitsmedium) in einen Zylinder gebracht, der durch einen reibungsfrei gefuhrten Kolben abgeschlossen ist. Das Gas laBt man bei einem arbeitsgewinnenden ProzeB entsprechend dem p, f-Diagramm nach 6

Bei weiterer Steigerung der Stabilitat, d. h. bei Werten n < 1, dT/dz > 0, handelt es sich um sog. atmospharische Inversionsschichten. Inversionen wirken als Sperrschichten in der Atmosphare, welche die Vertikalbewegungen abbremsen und an denen es zur Anreicherung von Staub und Dunst kommt.

4.2.3 Beispiele zur Mechanik und Thermodynamik ruhender Gase Druck p

/Warmezufuhrl isotherm) Wfirmeabfuhr (isotherm I I 7 Depression (Verdiinnung)

"I

Kompression IVerdichtungl

Abb. 4.4. Zustandsanderungen des reversiblen Camot-Kreisprozesses imp, i>Diagramm. isentrop (n = K), < 7 I - » 2 = 0 = 4;

(n-1)

isotherm (n = 1),

spezifisches Volumen v=t

Abb. 4.4 nacheinander folgende Zustandsanderungen in der Reihenfolge (l)-(2)-(3)-(4)-(l) herum durchlaufen:

rechts

(l)—(2): adiabate (isentrope) Kompression (Verdichtung) mit n = K, <7I_»2 = 0 undp2 >P\ bei einerTemperaturzunahme T2>TU (2)—(3): isotherme Depression (Expansion, Verdiinnung) rait n = 1 und p3 0, (3)-(4): adiabate (isentrope) Depression mit n = K,qi^i

= 0 undp 4
r 4 pt Wiirmeabfuhr qA _>, < 0.

bei der ungeanderten Temperatur Tt = 7\ mit

Die Gin. (4.1) und (4.5 b) in Verbindung mit (4.3 b), sinngemalS auf den Carnot-ProzeB angewendet, liefern fur die isentropen Zustandsanderungen (n = K) und fur die isothermen Zustandsanderungen (n = 1) die Zusammenhange T2\—i

/r3\^i

Pi

Pi

ft

W

pi Pi

(4.18 a) (4.18 b)

Die gesamte wahrend des Kreisprozesses beteiligte massebezogene Warme erhalt man durch Summation der Teilwarmen zu q,^t - q2 _,3 + q4 _,,. Nach (4.6b) betragt mit n = 1 die massebezogene Volumenanderungsarbeit (4.19) Es bedeutet — Wj _,, die beim ProzeB gewonnene Arbeit. Sie ist in bekannter Weise als schraffierter Flacheninhalt des Kurvenzugs 1—2—3—4—1 in Abb. 4.4 dargestellt. Der thermische Wirkungsgrad q, des Kreisprozesses gibt an, welcher Teil der zugefiihrten Warme q2 ^ 3 in Arbeit - w, ^ , = q, _,, verwandelt wird. Es ist

,,= ?Lil = 1-^.^1 = 1-5- <1

(4.20)

unabhangig von der Art des arbeitenden Gases. Der Camot-KreisprozeB hat den hochstmoglichen Wirkungsgrad. LaBt man den reversiblen Carnot-KreisprozeB in der umgekehrten Reihenfolge (4)—(3)—(2)— (l)—(4) links herum durchlaufen, so kehren sich die Vorzeichen der Warme und Arbeit um. Es wird keine Arbeit gewonnen, sondern es muB die Arbeit wt _,t zugefuhrt werden.

10

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase) 4.3.1 Einfuhrung Wahrend in Kap. 3.3 ausfiihrlich iiber die Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide berichtet wurde, soil jetzt die Untersuchung auf die Stromung dichteveranderlicher Fluide erweitert werden 7 . Die Definition und Darstellung eines Strombzw. Kontrollfadens ist unter Bezugnahme auf die Abb. 2.15 und 2.26 in Kap. 3.3.1 gegeben. Abb. 4.5 faBt die in diesem Kapitel benotigten Bezeichnungen nochmals zusammen. Dabei handelt es sich an den betrachteten Stellen (1) und (2) auf der Fadenachse um die Hochlagen zx und z2, die Fadenquerschnitte Ax und A2 bzw. ihre jeweils nach auBen positiv gerichteten Flachennormalen A{ und A2, die Dichten pl und Q, die Driicke px und p2 sowie die in Stromungsrichtung verlaufenden Geschwindigkeitsvektoren vY und v2. Die Verbindungsflache zwischen der Ein- und Austrittsflache ist die Mantelflache (Stromrohre) AY^2 bzw. ihre Flachennormale Al^2- Es gilt die Beziehung Ax + A1_>2 + ^2 = 0.

Abb. 4.5. Zum Begriff des Stromfadens (Kontrollfadens) und Erlauterang der auftretenden GroBen

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids 4.3.2.1 Voraussetzungen und Annahmen Die folgenden Ausfiihrungen setzen eine stationare eindimensionale Stromung eines dichteveranderlichen Fluids (Gas) bei Vernachlassigung der Schwere und Reibung (Viskositat, Turbulenz) voraus. Das Gas soil sich vollkommen ideal verhalten, vgl. Kap. 1.2.5.3. Neben den genannten Voraussetzungen kann man an7

Fiir die numerische Behandlung der in diesem Kapitel dargelegten Theorien stehen entsprechende Formelsammlungen und Tabellen zur Verfiigung [3, 5, 8, 14, 15, 25, 27, 29, 32, 62]

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

11

nehmen, daB sich die fluidmechanischen GroBen, wie z.B. die Dichte p, der Druck p, die Temperatur T und die Geschwindigkeit v iiber die Kontrollfadenquerschnitte gleichmaBig verteilen. Im folgenden hangt die Dichte nur vom Druck ab, d.h. es liegt ein Fluid im barotropen Zustand p = p(p) vor, so daB man im vorliegenden Fall auch von einer kompressiblen Stromung im tatsachlichen Sinn sprechen kann, vgl. Kap. 1.2.2.1. Weiterhin soil kein Warmeaustausch des stromenden Fluidelements mit seiner Umgebung stattfinden (= abgeschlossenes thermodynamisches System). Die Stromung verlauft bei adiabater Zustandsanderung. Dies bedeutet nicht notwendigerweise eine adiabatreversible, d.h. isentrope Zustandsanderung. Die gemachte Annahme gilt auch fur eine adiabat-irreversible, d.h. anisentrope Zustandsanderung, wie sie bei unstetig verlaufender Uberschallstromung mit VerdichtungsstoB auftreten kann.8 4.3.2.2 Ausgangsgleichungen der stationaren Fadenstromung Zustandsgleichungen. Fiir thermisch ideale Gase steht die thermische Zustandsgleichung (1.8) mit p = pRT, ^ = ElIl. Pi

Pi T2

_ £ = J ? _ _ T (Gas) p

p

(4.21a, b; c)

T

zur Verfiigung. Diese Beziehungen gelten sowohl fiir isentrope als auch anisentrope Zustandsanderung. Fiir die isentrope Zustandsanderung bestehen dariiber hinaus fiir vollkommen ideale Gase nach (4.1) mit n = K so wie unter Beachtung von (1.11b) fiir die Schallgeschwindigkeit c ~ VT die Zusammenhange

dp 1 dp 1 dT 2 dc -*- = --?- = = r— T^r p K p K-1 T K-1 C

(isentrop).

(4.22 b)

Herrscht an der Stelle (2) Vakuum, dann sind wegen p2 = 0 auch p2 = 0, T2 = 0 und c2 = 0 9 . Die Abhangigkeit des Dichte- und Temperaturverhaltnisses vom Druckverhaltnis ist in Abb. 4.1 a, b jeweils als Kurve (i) dargestellt. Auf die Wiedergabe einer Zustandsgleichung fiir Fliissigkeiten und auf die daraus folgenden Zusammenhange wird verzichtet. Kontinuitatsgleichung. Nach dem Massenerhaltungssatz (Kap. 2.4.2.2) gilt bei normal zur Kontrollfadenachse liegenden Querschnitten nach (2.59) fiir den Massenstrom mA= plviA1

= p2v2A2 = const,

1 p

8

V

1- —— = 0 . A

(4.23a, b)

Die Einflusse der Reibung und eines Warmeaustausches werden in Kap. 4.4 am Beispiel der Rohrstromung dichteveranderlicher Fluide untersucht. 9 Praktisch wird p2 = 0 nicht erreicht werden konnen, weil sich wegen der gleichzeitigen Temperaturabnahme ein reales Gas vor Erreichen von p2 = 0 verfliissigt.

12

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Bezeichnet 0 = (?v die Massenstromdichte (Massenstrom/Querschnittsflache), dann gilt d&/& - - dA/A. Dies besagt, da6 sich bei einer Querschnittsvergrb'Berung eine Abnahme der Massenstromdichte einstellt, wahrend bei einer Querschnittsverkleinerung eine Zunahme der Massenstromdichte erfolgt. Impulsgleichung. Der Impulssatz (Kap. 2.5.2.2) liefert nach (2.83) die Kraftgleichung (p, + plv\)A1 + (p2 + P2vl)A2 = (FA ^ 2 •

(4.24) st

Unberiicksichtigt bleibt die Massenkraft (Schwerkraft). (FA)l_>2 i die Oberflachenkraft auf die Mantelflache des Kontrollfadens. Die Impulsgleichung (4.24) ist eine Vektorgleichung, die keinerlei Einschrankungen hinsichtlich moglicher Unstetigkeiten (VerdichtungsstoBe bei Uberschallgeschwindigkeit), auftretender Stromungsverluste (Reibungswarme) oder zu- bzw. abgefiihrter Warme (Warmeleitung) unterliegt. Sie kann entweder zeichnerisch oder numerisch gelost werden. Oft ist die Komponentendarstellung zu wahlen. Die differentielle Form der Impulsgleichung (4.24) findet man durch Annaherung der Querschnitte Ax und A2. Wegen Aj + A2--dA bzw./j A1 +f2A2 = - d(fA) mit/= (p + pi?) fiir die linke Seite und (FA)l^2 = -pdA fiir die rechte Seite ergibt sich zunachst die Beziehung A dp + d(pvzA) - 0. Die Flache A eliminiert man dadurch, daB man mit v skalar multipliziert und beachtet, daB vA = ± vA sowie V • A = ± vA ist. Da nach der Kontinuitatsgleichung pvA = const ist, folgt mit v • dv = vdv das gesuchte Ergebnis zu dp vdv+ — =0

(reibungslos).

(4.25)

Dies stellt die Energiegleichung der Fluidmechanik bei kompressibler, reibungsloser Stromung mit p = (?(p) dar (Bernoullische Energiegleichung). Energiegleichung. Der Energiesatz (Kap. 2.6.2.3) liefert nach (2.182 a) die Energiegleichung der Thermofluidmechanik fur die kompressible Stromung mit gz - 0 -y +h2= — + hi +qx^2,

vdv + dh = dq

(diabat) .

(4.26a, b)

Es ist h die spezifische Enthalpie, und zwar gilt fur ein vollkommen ideales Gas Tab. 1.2. Mit q\^,2 wird die iiber die Kontrollflache des Kontrollfadens ausgetauschte massebezogene Warme bezeichnet. Der Beziehung (4.26) liegt die Annahme zugrunde, daB die Ersatzleistung (Leistung der Oberflachenkrafte auf den freien Teil der Kontrollflache) nur den druckbedingten Anteil enthalt. Bei adiabater, jedoch nicht notwendigerweise reversibler Zustandsanderung wird mit qi^,2 = 0 fiir das vollkommen ideale Gas 2

K

-l

9 l

2

, - ! * •

2

K-1

2

K-l

Bei adiabat-reversibler (isentroper) Zustandsanderung ist in h - i bzw. dh - di die spezifische Enthalpie bei konstanter Entropie, vgl. (4.5) bzw. (4.4). Es wird also

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

v\ i>§ — +/; = — + i2, 2 2

13

dp vdv + —- = 0 (isentrop).
(4.28 a, b)

Die Enthalpiedifferenz (i2 — ii) ist mit n = K in (4.3 a) angegeben. Im iibrigen kann man (4.28 a) auch herleiten, wenn man die Gleichung fur die isentrope Zustandsanderung (4.22 a) unmittelbar in (4.27) einsetzt. Entropiegleichung. Die Anderung der spezifischen Entropie (s2 - st) erhalt man aus (2.221b) in Verbindung mit (4.21 a) zu, vgl. Tab. 1.2, (Gas)

-

(4

-29a'b)

Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik muB bei adiabater Zustandsanderung (s2 — Si) is 0 sein, was zu der in (2.222) angegebenen Bedingung fiihrt, vgl. (4.58 a, b). Riicken die Stellen (1) und (2) infinitesimal dicht zusammen, so muB bei stetiger Stromung p2 - px undp 2 = Pi sein. Dies bedeutet, daG nach (4.29a) die spezifische Entropie s2 = st ist, d.h. ein solcher Stromungsvorgang verlauft bei konstant gehaltener Entropie, vgl. (4.22a) und Kap. 4.3.2.5. Schlutibemerkung. Es sei vermerkt, dalJ die Zustandsgleichung (4.21 a, b), die Kontinuitatsgleichung (4.23 a), die Impulsgleichung (4.24), die Energiegleichung (4.26 a) und (4.27) und die Entropiegleichung (4.29) sowohl fur stetig bei ungeanderter Entropie verlaufende Stromungen als auch fur unstetige mit Verdichtungsstofi verbundene Stromungen gelten.

4.3.2.3 Ausbreitungsgeschwindigkeit schwacher Druckstorungen (Schallgeschwindigkeit) Vorbemerkung. Schwache Druckstorungen oder Druckwellen breiten sich, wie schon in Kap. 1.2.2.3 und 1.3.3.4 gezeigt wurde, mit der Schallgeschwindigkeit c aus. Die Kenntnis dieser Ausbreitungsgeschwindigkeit (Fortpflanzungsgeschwindigkeit) ist fur die Behandlung von Stromungen dichteveranderlicher Fluide, insbesondere von Gasen, von grundlegender Bedeutung. Von dem im Stromungsfeld ablaufenden thermodynamischen Prozessen sei angenommen, daB sie stets im thermodynamischen Gleichgewicht sind. Instationare Betrachtung. Nach Abb. 4.6 a moge sich eine freie Druckwelle in Form einer Wellenfront mit der Geschwindigkeit c in ein ruhendes Fluid (Geschwindigkeit v = 0, Druckp und Dichte (?) von rechts nach links hinein bewegen. Hinter der Wellenfront haben sich dabei Geschwindigkeit, Druck und Dichte jeweils geandert und betragen v + Av = Av, p + Ap bzw. g + Af>. Von einem ruhenden Beobachter aus gesehen handelt es sich bei der beschriebenen Wellenbewegung um einen instationaren Vorgang. Die allgemeine Beziehung erhalt man aus der Bewegungsgleichung fur reibungslose Stromung, d.h. der Kontinuitatsgleichung (2.60 a) und der Impulsgleichung (2.98 a), wenn man diese mit Riicksicht auf die schwachen Stb'rungen linearisiert. Auf die theoretische Ableitung in [70]

14

4.3 Strorafadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Welkn front (DrudmelleJ

Kontrollfldche milenfnnt

A- const Abb. 4.6. Zur Ausbreitung von Druckwellen (Wellenfronten), a ruhendes Bezugssystem, b mitbewegtes Bezugssystem, c im Rohr

sowie auf die anschauliche Herleitung in [46, 56] sei verwiesen. Danach gilt fiir das Quadrat der Schallgeschwindigkeit (Gleichgewichtsschallgeschwindigkeit) , = dp = /dp_\ dp \dp/s

=

/dp\ \dp/T

= K

p p

s

(schwache Druckwelle). (4.30 a, b, c, d)10

Schwache Druckstorungen verlaufen bei ungeanderter Entropie, d. h. bei isentroper (adiabat-reversibler) Zustandsanderung, ds = 0. Fiir (4.30 a) ist also genauer (4.30b) zu schreiben. Die Beziehungen (4.30c) und (4.30d) folgen unter Einsetzen von (1.27 a) bzw. (1.29b). Dabei stellt K-cp/cv das Verhaltnis der spezifischen Warmekapazitaten und KS den Isentropenkoeffizienten dar, vgl. Tab. C.I. Da der Druck p, die Dichte p und die Temperatur T bei Stromungsvorgangen im allgemeinen zeit- und ortsabhangig sind, stellt die Schallgeschwindigkeit keine konstante physikalische GroBe dar, vgl. (5.26c). Stationare Betrachtung. Wird der Beobachter mit der Welle mitbewegt, dann kann der Stromungsvorgang stationar betrachtet werden, Abb. 4.6 b. Das Fluid durchstromt die Wellenfront normal, und zwar an der Eintrittsflache A mit der Geschwindigkeit v = c und an der Austrittsflache (A + AA) mit der Geschwindigkeit v + Av. Analoge Aussagen gelten fiir die Druck- und Dichteanderung. Die Druckwelle sei so schwach, daB die Dicke der Wellenfront als sehr diinn angesehen werden kann. Das bedeutet, daB man AA/A ~ dA/A und wegen der schwachen Zustandsanderung Av ~ dv, Ap ~ dp und Ap ~ dp setzen darf. Ausgangsgleichungen fur die Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit v = c sind die Kontinuitats- und Energiegleichung der stationaren Stromfadentheorie (4.23b) bzw. (4.28b). Nach dem Quadrat der Geschwindigkeit v2 aufgelost und unter Beriicksichtigung von (4.30 a) mit c2 = dp/dp erhalt man c2

mit

_ p dA ~Adp

£

(4.30 e)

als QuerschnittseinfluB. Da die Beziehung v = c besteht, muB bei der stationaren Betrachtung fiir die sehr diinne Wellenfront £=0, d.h. dA/A ~ 0, angenommen 10

Der Ausdruck fiir die isotherme Schallgeschwindigkeit bei Gasen cT = ••J(dp/dp)T stammt von Newton und wurde spater fiir die isentrope Schallgeschwindigkeit von Laplace in c = V (dp/d(>)s verbessert.

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

15

werden. Hieraus folgt auch, daB die Ermittlung der Schallgeschwindigkeit in einem Rohr konstanten Querschnitts nach Abb. 4.6 c als allgemeingiiltig anzusehen ist, vgl. [23a, 72]. Schallgeschwindigkeit stromender Gase. Fur das vollkommen ideale Gas, bei dem R - const, cp = const und KS - K = const ist, gilt unter Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung (4.21 a) in (4.30d) = K— = KRT = (K-

(Gas).

1)CPT,

(4.31 a, b)

Den Zusammenhang zwischen der Schallgeschwindigkeit c und der Strdmungsgeschwindigkeit v erhalt man bei stationarer Strdmung aus (4.27 b) zu K - \

(v\ - v%),

cdc = -

K - \

vdv

(adiabat). (4.32 a, b)

Stellt die Stelle (1) einen Ruhezustand (Kessel, Staupunkt, Index 0) dar, bei dem die Geschwindigkeit vx = v0 = 0 (cj = c0) ist, dann wird fur eine beliebige Stelle (2) (hier ohne Index) fur die ortliche Schallgeschwindigkeit c2 = c (v2 = v) bei stationarer Stromung icn

C =

mit cn-

\K—

= VK/?T 0

(Ruhe) (4.33 a, b)

als Schallgeschwindigkeit des Ruhezustands (u = 0). Die ortliche Schallgeschwindigkeit c hangt von der drtlichen Geschwindigkeit v ab und ist stets kleiner als c0, vgl. Abb. 4.7. Die maximal erreichbare Geschwindigkeit umax stellt sich im Grenzzustand des Vakuums mit c = 0 ein, d. h. c0 (= 2,236 c0) (Vakuum) .

(4.33 c)1

W N

0,8 0,6

\ \

\

0,2 Vt

0,5

11

1,5

2,0

2,5

Abb. 4.7. Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Druckstorung (Schallgeschwindigkeit), Luft (K = 1,4), in Abhangigkeit von der Stromungsgeschwindigkeit

Das Zeichen (=) bedeutet, daB der jeweils folgende Zahlenwert fur Luft mit K = 1,4 gilt.

16

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Laval-Geschwindigkeit. 1st die Geschwindigkeit v gerade gleich der Schallgeschwindigkeit c, so bezeichnet man diesen kritischen Zustand (Schallzustand) nach [57] als Laval-Zustand. Entsprechend fiihrt man die Laval-Geschwindigkeit v = c = cr ein:
(Laval)

-

(4.34a, b)

Im Gegensatz zur zeit- und ortsveranderlichen Schallgeschwindigkeit c nach (4.33 a) ist die Laval-Geschwindigkeit cL nicht vom Stromungsvorgang abhangig. Sie ist wie die Ruhe-Schallgeschwindigkeit c0 nach (4.33b) eine konstante StoffgroGe des betrachteten Gases. Ausbreitungsgeschwindigkeit im elastischen Rohr. Bei nicht starrer, sondern elastischer Rohrwand muB bei der Ermittlung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Druckstorung die Nachgiebigkeit des Rohrwerkstoffs mitberiicksichtigt werden [28, 46, 47, 59], vgl. Kap. 4.3.3.2. An die Stelle der Schallgeschwindigkeit c im starren Rohr tritt bei Beriicksichtigung der Ringdehnung des diinnwandigen elastischen Rohrs die rechnerische Schallgeschwindigkeit c. Es gilt nach (4.30e)mit v = c C

Vl + £

< 1 mit £=Ejr- — > 0 (elastisches Rohr) Re

(4.35 a, b)

als ElastizitatsmaB. Dabei ist EF der Elastizitatsmodul des Fluids, z.B. Wasser EF ~ 2 • 109 N/m2, und ER der Elastizitatsmodul des Rohrwerkstoffs, z.B. Eisen ER ~ 2 • 10" N/m2 (EF/ER ~ 1/100), sowie D der von zeitlichen Schwankungen abgesehen unveranderliche Durchmesser und e die ebenfalls unveranderliche Wandstarke des Rohrs. Es ist stets c kleiner als c. 4.3.2.4 Kennzahlen und Druckbeiwert der Stromung dichteveranderlicher Fluide Mach-Zahl und Laval-Zahl. Zur Kennzeichnung des Stromungsverhaltens eines dichteveranderlichen Fluids bedient man sich nach Kap. 1.3.2.2 geeignet gewahlter Kennzahlen. Nach (1.47e) nennt man das Verhaltnis von Stromungsgeschwindigkeit v zu Schallgeschwindigkeit c die Mach-Zahl Stromungsgeschwindigkeit v .. Ma = —_ , „ .—. .. . . = — (Definition). Schallgeschwindigkeit c

(4.36)

Die Schallgeschwindigkeit ist nach (4.33) von der Geschwindigkeit v abhangig und damit im allgemeinen eine veranderliche GroBe. Fur ein dichtebestandiges Fluid ist c = oo und damit Ma = 0. Wahrend man bei der Mach-Zahl die Schallgeschwindigkeit c heranzieht, kann man auch mit der Laval-Geschwindigkeit cL eine Kennzahl, namlich die Laval-Zahl Stromungsgeschwindigkeit

La = —

v

T ^ — . .. , . — = — Lavalgeschwindigkeit cL

.

(Definition)

(4.37)

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

17

bilden. Hierbei ist nach (4.34) die Laval-Geschwindigkeit cL als diejenige (kritische) Geschwindigkeit definiert, bei der an einer bestimmten Stelle des Stromungsfelds die Stromungsgeschwindigkeit gerade gleich der dort herrschenden Schallgeschwindigkeit ist. Sie ist fur das ganze Stromungsfeld eine unveranderliche GroBe. Mithin ist also die Laval-Zahl im Gegensatz zur Mach-Zahl ein unmittelbares MaB fur die Stromungsgeschwindigkeit v ~ La. Unter Beachtung der Definitionen fur die Mach- und Laval-Zahl nach (4.36) bzw. (4.37) sowie des Zusammenhangs Ma/La = cjc wird mit (4.33 a) und (4.34a) fur das ideale Gas bei adiabater Zustandsanderung K+l (jc-l)Ma2

La =

Ma , Ma =

K+l-(K-l)La

La.

(4.38 a, b)

Mach-Zahl und Laval-Zahl stimmen fur Ma = 0 = La und Ma = 1 = La iiberein. Wahrend die Mach-Zahl wegen °° i£ c ^ 0 den ganzen Bereich von 0 S Ma S °° durchlaufen kann, ist der Bereich Laval-Zahl nach (4.38 a) auf O i L a i Lamax mit (= 2,449),

Lan

(Vakuum)

(4.38 c, d)

beschrankt. In Abb. 4.8 ist der Zusammenhang von Laval- und Mach-Zahl als Kurve (7) dargestellt. Im Bereich 0 < Ma < 1, d.h. einer Unterschallstromung (subsonisch), ist La > Ma, und im Bereich 1 < Ma < °°, d.h. einer Uberschallstromung (supersonisch), ist La < Ma. Laval- und Mach-Zahl stellen die beiden Kennzahlen fiir Stromungen dichteveranderlicher Fluide dar.12

2.5 La 2.0

1.5 1

1.0

0,5

2,45

A La-Ma = 10 [2] x-U

Abb. 4.8. Zusammenhang von Laval-Zahl La = v/cL, Crocco-Zahl Cr = iViW un
12

Auf eine weitere Kennzahl, namlich die Crocco-Zahl Cr nach (4.67) sei hingewiesen, Kurve (2) in Abb. 4.8.

18

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Die Anderung der Mach- und Laval-Zahl infolge einer Geschwindigkeitsanderung erhalt man wegen dMa — d(v/c) -Maidv/v — dele) in Verbindung mit (4.32 b) bzw. dha = d (v/cL) = La (dv/v) zu dMa / K-1 A dv (1 + —xMa2 — Ma = V 2 """) v ,'

dLa dv —— La = — v

,. , x (adiabat).

„„ , , (4.39 a, b)

/M

Diese Beziehungen besagen, daB bei adiabater Zustandsanderung einer Erhohung der Geschwindigkeit stets eine VergroBerung der Mach- bzw. Laval-Zahl und einer Verringerung der Geschwindigkeit stets eine Verkleinerung der Mach- bzw. Laval-Zahl zugeordnet ist. Einige Mach-Zahl-Abhangigkeiten. Mit vjcx = Max und v2lcx - (CJCY) Ma2 findet man aus der Energiegleichung (4.27 b) bei adiabater Zustandsanderung zwischen den ortlichen Mach-Zahlen und dem Verhaltnis der Schallgeschwindigkeiten bzw. dem Temperaturverhaltnis fur Gase die Zusammenhange cj Ma22 = ^

|(l + ^ M a \ \ ^ - ll.

(4.40b)

In Abb. 4.9 a ist Ma2 tiber Max mit TJTX = (c2/ci)2 als Parameter aufgetragen. Wegen der Allgemeingiiltigkeit der Energiegleichung (4.27) gelten die dargestellten Kurven sowohl fur die stetig mit konstanter Entropie verlaufende Depressions(Expansions-)stromung (gestrichelte Kurven) als auch fur die bei Uberschallstromung unstetige mit VerdichtungsstoB verbundene Kompressionsstromung (ausgezogene Kurven), vgl. Kap. 4.3.2.5 bzw. Kap. 4.3.2.6 und 4.5.3.3.13 Fur sehr groBe Mach-Zahlen (Max > 1, Ma2 > 1) gilt die asymptotische Losung Erfolgt die Zustromung aus einem Kessel, in dem sich das Fluid in Ruhe befindet, oder liegt bei einem umstromten Korper ein Staupunkt vor, in dem das Fluid ebenfalls zur Ruhe kommt, so spricht man vom Kessel-, Ruhe- oder Total(Gesamt-)zustand. Setzt man im ersten Fall Max = 0 , 7\ = To, Ma2 = Ma, T2 = T und im zweiten Fall Max - Ma, Tx = T, Ma2 ~0,T2 = To, so folgt aus (4.40a) fur beide Falle / K— 1 \ To = 1 + —— Ma2)T>T

(adiabate Ruhetemperatur).

(4.41)

Haufig bezeichnet man To auch als Stautemperatur. To (— Totaltemperatur Tt) stellt bei gegebener Mach-Zahl Ma und gegebener Temperatur T die groBtmogliche Temperatur dar. Sie ist ein MaB fur die im System gespeicherte Energie. Herrscht an der Stelle (2) der in Kap. 4.3.2.3 definierte Laval-Zustand (kritischer Zustand, durch Stern * gekennzeichnet), so folgt wegen v2 = c2 = c% bzw. Die Kurven T1/T1 S 1 verlaufen spiegelbildlich zu der Geraden TJTl = 1.

19

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids '-* I

c^ / r^ / 1, 7 '. 7 I 17

7

^

'5

Afe Abb. 4.9. EinfluB der Mach-Zahlen Maj und Ma2 eines dichteveranderlichen Fluids (Luft, K = 1,4) bei adiabater Zustandsanderung auf: a Temperaturverhaltnis nach (4.40 b), b Druckverhaltnis nach (4.49 a) bzw. (4.149), c Dichteverhaltnis nach (4.49 b) bzw. (4.149), d Grenzlinie fur normalen VerdichtungsstoB nach (4.64 a) : Depressions-(Expansions-) stromung, konvexe stetige (isentrope) Umlenkung (Ma2 > Ma^, vgl. Abb. 4.32 c links. : Kompressionsstromung, konkave unstetige (anisentrope) Umlenkung (Ma2 < Ma^, vgl. Abb. 4.32c rechts

Ma2 = Ma% = 1 aus (4.40a) und in Verbindung mit (4.38b)

(1*2 =

(4.42 a, b)

Erfolgt die Zustromung aus einem Kessel, in dem sich das Fluid in Ruhe befindet, d.h. im Ruhezustand (fur Index 1 wird Index 0 gesetzt), dann ergeben sich die ge-

20

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

suchten GroBen (Index 2, hier ohne Index) mit Max = 0 = Lax zu, vgl. (4.34 a) mit = c*. J1* 2 (= 0,833) (Ma* = 1 = La*). (4.43) / K+ 1 Eine weitere Diskussion des Laval-Zustands wird bei der isentrop verlaufenden Stromung in Kap. 4.3.2.5 und Kap. 4.3.2.7 Beispiel a durchgefuhrt. Druckbeiwert. Die Druckanderung Ap — p2 — Pi bezieht man auf den Geschwindigkeitsdruck (— auf Volumen bezogene Geschwindigkeitsenergie) an der Stelle (1) q1 = ^-v2l-j

pxMa\ > 0

(BezugsgroBe)

(4.44)

und schreibt fur den dimensionslosen Druckbeiwert bei einem vollkommen idealen Gas (K = const) AP

-

P2 Pi

- 2

2 ^ l U o KMa\\px

(Definition).

(4.45)

Bei Kompression (p2lp\ > 1) ergibt sich Uberdruck (Ap/^i > 0) und bei Depression (p2/Pi < 1) Unterdruck (Ap/qx < 0). 4.3.2.5 Bei konstanter Entropie stetig verlaufende stationare Stromung Allgemeines. Stetige Stromungsvorgange reibungsloser Fluide ohne Warmeaustausch der einzelnen Fluidelemente untereinander verlaufen bei konstanter Entropie (isentrop = adiabat-reversibel). Sie kommen vor bei Verdiinnungs-(Expansions-) oder Depressionsstromungen sowie bei schwachen Verdichtungs- oder Kompressionsstromungen. Die maBgebenden Zustandsanderungen an zwei Stellen (1) und (2) entnimmt man fur das ideale Gas (4.22). Sind die Verdichtungseinfliisse allerdings starker, so verlauft die Stromung, sofern es sich um eine Uberschallzustromung handelt, nicht iiberall mehr stetig, sondern es treten unstetige Stromungsvorgange mit VerdichtungsstoBen (anisentrop = adiabat-irreversibel) auf. Einflufi des Druckverhaltnisses. Das Dichteverhaltnis 1) logarithmische MaBstabe fiir Abszisse und Ordinate gewahlt. Auf die Bedeutung der Kurven (2) wird in Kap. 4.3.2.6 noch eingegangen. Aus (4.27a) erhalt man in Verbindung mit (4.22 a) die Geschwindigkeiten in Abhangigkeit vom Druckverhaltnis

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

21

Je kleiner das Dmckverhaltnis p2lpi ist, um so groBer wird bei gegebener Geschwindigkeit vx die Geschwindigkeit v2. Diese ist fiir p2lp\ - 0 (Vakuum-Zustand) in ihrer GroBe beschrankt. EinfluB der Zustrom-Mach-Zahl. Das Dmckverhaltnis p2lp\ erhalt man aus (4.46) in Abhangigkeit von der Differenz der Geschwindigkeitsquadrate v2 - v\. In diese Beziehung soil die Mach-Zahl des Stromungszustands an der Stelle (1), d.h. die Zustrom-Mach-Zahl Max = v1/cl eingefiihrt werden. Mit c\ = KpJ^ nach (4.31 a) ergibt sich fiir den Zusammenhang von Dmck- und Geschwindigkeitsverhaltnis

Herrscht an der Stelle (2) Ruhe mit v2 - 0, so wird doit der Druck p2 am groBten. Liegt bei (2) Vakuum mit p2 = 0 vor, dann stellt sich das maximal mogliche Geschwindigkeitsverhaltnis ein: ) Fiir Max = vjcx = 0, d.h. fiir i^ = 0, wird (y2/ci)max = V 2 / ( K - 1) (= 2,236) in Ubereinstimmung mit (4.33c). Ortliche Mach-Zahlen. Wahrend die Abhangigkeit des Temperaturverhaltnisses von den ortlichen Mach-Zahlen Ma1 und Ma2 fiir das ideale Gas bereits in Abb. 4.9 a dargestellt wurde, gewinnt man die entsprechenden Funktionen fiir das Dmck- und Dichteverhaltnis durch Einsetzen von T2ITX aus (4.40a) in (4.22a).

In den Abb. 4.9b und c sind Ma2 iiber Max mit p2lp\ bzw. Q2l(?i als Parameter fiir die mit konstanter Entropie verbundene Depressions-(Expansions-)stromung (0 Si p2lpi < 1) bzw. (0 S (p2l(?\ < 1) als gestrichelte Kurven dargestellt. Die ausgezogenen Kurven stellen die mit VerdichtungsstoB verbundene Kompressionsstromung (pjpi > 1) bzw. (p2/pi > 1) dar, iiber die in Kap. 4.3.2.6 und Kap. 4.5.3.3 berichtet wird. Laval-Zustand. In Kap. 4.3.2.3 wurde ein sogenannter kritischer Zustand definiert, bei dem an einer Stelle (2) die Stromungsgeschwindigkeit gerade gleich der Schallgeschwindigkeit v2 - c2, d.h. Ma2 = 1, ist. Alle an der Stelle (2) sich einstellenden GroBen seien mit einem Stern gekennzeichnet. Bei isentroper Zustandsandemng ergibt sich das kritische Dmckverhaltnis aus (4.22 a) in Verbindung mit (4.42) oder nach (4.49 a) mit Ma2 = Ma% = 1 zu p%

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

22

Fiir Max = 0 — Lax, d.h. bei v1 = 0 (Ruhe- oder Kesselzustand), ergibt sich der kleinste Wert zu

El) JJLPl/min

K-\

(-/ _ 0,528)

(Laval-Drackverhaltnis).

(4.51)

\K+l

Das kritische Geschwindigkeitsverhaltnis erhalt man aus der Definition der Laval-Zahl (4.37), und zwar gilt fiir die Zustrom-Laval-Zahl Lax = vx/cL mit cL = v*. Fiihrt man nach (4.38 a) auch die Zustrom-Mach-Zahl Max ein, so erhalt man v%

(4.52 a, b)

1

Bei Ma[ = °° bzw. Lax — La lmax nach (4.38 c, d) ergibt sich der Kleinstwert fur das kritische Geschwindigkeitsverhaltnis (= 0,408)

(A/a, =

(4.52 c)

Bei Unterschallzustromung (0 < Max < 1) bzw. (0 < Lax < 1) ist °° > v%/vx > 1 und (P*/Pi)mm v%/vx > (v*/vx)miD und 1 < p\lpx < °° einstellt. Ausgehend von (4.22 a) lassen sich fur den Fall der Zustromung aus dem Ruhezustand (Max = 0) heraus unter Einsetzen von (4.51) alle anderen interessierenden kritischen Werte angeben. Sie sind in Tab. 4.1 zusammengestellt.

Tabelle 4.1. Isentrope Depressions-(Expansions-)stromung von A/a, = 0 (Ruhezustand) auf Ma2 Ma% = 1. (Laval-Zustand = kritischer Zustand, mit * gekennzeichnet) fiir Luft K = 7/5 = 1,4; Ausstromen aus einem Kessel, Abb. 4.11,/)! =po,p%=p*, usw. Druck

(1

Pi

Dichte

Pi

(

Pi

\K+\)

Temperatur

T%

Geschwindigkeit, Schallgeschwindigkeit

v%

Stromdichte

p? ^2,*

2

c,

p, Ci

j - 0,634 5

"VK+1 K / o \ +i / ^ Xjt^D VK+1/

=0,528

>2,5

\~*zl

2 ~ K+l

)'

= 0,833

(5 )' -0,913 \6, v3, 0

(5 )

- 0,579

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

23

Stromfadenquerschnitt. Bei Stromungen dichteveranderlicher Fluide besteht hinsichtlich der Anderung des Stromfadenquerschnitts A mit der Geschwindigkeit v ein grundsatzlicher Unterschied, ob es sich urn eine Unter- oder Uberschallstromung handelt. Die Abhangigkeit der Dichteanderung dplq von der Geschwindigkeitsanderung dv/v findet man aus (4.30 a) in Verbindung mit (4.28 b) und (4.36) sowie die zugehorige Querschnittsanderung dA/A durch Einsetzen von dp/p in die Kontinuitatsgleichung (4.23b) zu, vgl. FuBnote 37, ^ = - M a

2

- § 0 ,

^=-(l-Ma2)—§0

(isentrop). (4.53 a, b)

Unabhangig von der Art des Fluids fiihrt die als Hugoniot-Gleichung [26] bekannte Beziehung (4.53 b) zu der Feststellung, daB sich bei isentroper Zustandsanderung im Unterschallbereich (Ma < 1) wegen (1 —Ma2) > 0 bei einer Geschwindigkeitserhohung (beschleunigte Stromung, dv > 0) eine stetige Stromfadenverengung (dA < 0) und umgekehrt bei einer Geschwindigkeitsverringerung (verzogerte Stromung, dv < 0) eine stetige Stromfadenerweiterung (dA > 0) einstellt. Im Uberschallbereich (Ma > 1) liegen die Verhaltnisse wegen des Vorzeichenwechsels der Klammer (1 - Ma2) < 0 umgekehrt. Es ist also dA S 0 fur dv S 0. Man erkennt als Folge der Dichteanderung des stromenden Fluids das grundsatzlich verschiedene Verhalten fur die Stromfadenquerschnitte bei Unterund Uberschallstromungen. In Abb. 1.19 wurde dieser Tatbestand bereits schematisch dargestellt und im Zusammenhang damit kurz beschrieben. Eine besondere Beachtung verdient der Sonderfall Ma = 1, fur den (4.53 b) die Bedingung dA = 0 liefert. Dies entspricht einem Extremwert des Stromfadenquerschnitts, der nach den vorhergehenden Betrachtungen nur ein Kleinstwert A = Amin sein kann. Dem Wert dA = 0 sind nach (4.53 b) die Bedingungen Ma-I, d.h. v = c, oder dv = 0, zugeordnet. Es stellt sich also im engsten Querschnitt entweder die LavalGeschwindigkeit (kritische Geschwindigkeit) v=c = cL nach (4.34) ein oder die Geschwindigkeit v erreicht an dieser Stelle einen Extremwert. In (4.53 b) laBt sich der Ausdruck fur die Geschwindigkeit dv/v durch eine Beziehung ausdriicken, die nur die Mach-Zahl Ma = v/c enthalt. Durch Einsetzen von (4.39 a) erhalt man fur die Querschnittsanderung bzw. die Querschnittsverteilung selbst 1 /2 + (K-l)Ma2 Ma\ K+1 ," * (4.54 a, b) Die zweite Beziehung ergibt sich aus der ersten durch Integration mit A - Amin bei Ma = 1 als Integrationskonstante.14 Der Verlauf A/Amin =f(Ma) ist in Zusammenhang mit der Untersuchung iiber das Ausstromen aus einem Kessel (Beispiel a.l in Kap. 4.3.2.7) in Abb. 4.11b als Kurve (2) dargestellt. Er bestatigt das bereits besprochene Ergebnis iiber das grundsatzlich verschiedene Verhalten der Stromfadenquerschnitte bei Unter- und Uberschallstromung. dA A

2(1 -Ma2) 2 + (K-l)Ma2

dMa A Ma ' Amin

Es gilt auch A/A^,, = p* v*/pvmit p*/p = (p*lp)VK nach (4.50a) und v*/vnach (4.52b).

24

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Stromungsumkehr. In Kap. 2.5.3.2 wurde gezeigt, daB man unter bestimmten Voraussetzungen fur die Massenkraft und die Randbedingungen bei der reibungslosen Stromung die Stromungsrichtung umkehren kann, ohne dabei am Druckverhalten in der Stromung etwas zu andern. Fiir die hier behandelte stetige Stromung, die bei isentroper Zustandsanderung ablauft, kann man dies Ergebnis leicht bestatigen, indem man z.B. in (4.47) die Indizes 1 und 2 miteinander vertauscht. Dadurch wird am Stromungsverhalten nichts geandert. 4.3.2.6 Mit normalem VerdichtungsstoB unstetig verlaufende stationare Stromung Allgemeines. Bei den bisherigen Untersuchungen wurden stetig verlaufende Stromungen dichteveranderlicher Fluide mit konstanter Entropie (isentrope Stromung) behandelt. Die Erfahrung hat gelehrt, daB unter gewissen Voraussetzungen jedoch auch unstetig verlaufende Stromungen dichteveranderlicher Fluide mit sprunghafter Dichteanderung, d.h. VerdichtungsstoB bei Uberschallzustromung mit anisentroper Zustandsanderung, auftreten konnen. Solche unstetigen Stromungsvorgange hat erstmalig Riemann [49] theoretisch erkannt. Sie lassen sich experimentell auf optischem Weg durch Beobachtung der Dichteanderung nachweisen (Interferenz-, Schlieren-, Schattenverfahren) [44, 71]. Zur Aufklarung des Vorgangs kann, wie schon bei der Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer schwachen Druckstorung in Kap. 4.3.2.3 die Stromung entweder in einem zylindrischen Rohr oder die Ausbreitung einer Druckstorung in einer freien Stromung betrachtet werden. Im ersten Fall denke man sich im Querschnitt A eines Rohrs von konstantem Querschnitt eine sprunghafte Verdichtung des Fluids (Gases), wodurch die vor dem Querschnitt vorhandene Geschwindigkeit Vi unstetig auf den Wert v2 abfallt, wahrend gleichzeitig Druck und Dichte von den Werten px und QX auf p2 bzw. p2 ansteigen. Im zweiten Fall sei in Analogie zu Abb. 4.6b die Storfront festgehalten und mit der Geschwindigkeit t»! beim Druck px und bei der Dichte pt normal (senkrecht) zur Front, d.h. ohne Stromungsumlenkung angestromt. Hinter der Front mogen dann die GroBen v2, p2, p2 herrschen. Die beschriebenen Vorgange konnen hierbei als stationar angesehen werden. Die Untersuchung des unstetigen Stromungsvorgangs moge nach Abb. 4.10a fiir den zweiten Fall gezeigt werden. Die Storfront zwischen den Stellen (1) und (2) sei vereinfacht als Unstetigkeitsflache normal zur Stromungsrichtung angenommen. Stromaufwarts von (1) und stromabwarts von (2) verlauft die Stromung bei isentroper Zustandsanderung jeweils stetig. Durch die sehr diinne, im mathematischen Sinn infinitesimal klein angenommene Storfront hindurch verlauft die Stromung bei anisentroper Zustandsanderung unstetig. Der betrachtete Kontrollfaden wird nach Abb. 4.10b aus den Flachen Au A2 und Al^2 ~ 0 gebildet. Fiir die Flachennormalen gilt Al~-A2. Die Kontrollflache wird also aus (O) = (Ai) + (A2) mit A^ ~ A2 gebildet. Bestimmungsgleichungen. Zur Behandlung der gestellten Aufgabe stehen die thermische Zustandsgleichung sowie die Kontinuitats-, Impuls-, Energie- und Entropiegleichung fiir den Kontrollfaden nach Kap. 4.3.2.2 zur Verfiigung. Aus

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids (11

25

121

Abb. 4.10. Zur Theorie des normalen (senkrechten) VerdichtungsstoBes. a StoBfront (Storfront), b Kontrollfaden

(4.23 a), (4.24), (4.27 a) und (4.29a) erhalt man die StoBgleichungen fur das vollkommen ideale Gas gemaB (4.21b) bei adiabatem Zustand zu Kontinuitatsgleichung:

^ f j = Q2V2 (A1=A2),

(4.55 a)

Impulsgleichung:

px + QXV\ =p2 + p2vj,

(4.55 b)

Pi

v\

K

K - l p,

2

K-l

K

Energiegleichung: Entropiegleichung:

p2

* 9i\pJ

vl

-7T,

(4.55 c)

(4.55 d)

Obwohl im Inneren des VerdichtungsstoBes Reibung und Warmeleitung von Bedeutung sind, treten diese Einfliisse an der Kontrollflache (reibungslose Strbmung, adiabate Zustandsanderung) in (4.55) nicht explizit auf, man vergleiche die Bemerkung am Ende dieses Abschnitts. Eine triviale Losung des obigen Gleichungssystems lautet pi = Q2, pl = p2 und vx = v2. Eine weitere Losung liefert (4.55 d) fur den Fall konstanter Entropie (s2 = Si). Uber diese stetig verlaufende isentrope Stromung wurde bereits in Kap. 4.3.2.5 berichtet. Die dort zugrunde gelegte Zustandsanderung (4.49 a) folgt unmittelbar aus (4.55 d) wegen (s2 - s{) = 0, bzw. In [..] = 0, bzw. [..] = 1. Aus den noch nicht herangezogenen drei Beziehungen (4.55 a, b, c) ergibt sich ein Gleichungssystem fur drei Unbekannte, namlich die Dichte, den Druck und die Geschwindigkeit. Dies System laBt sich elementar auflosen. Einflufi des Druckverhaltnisses. Aus (4.55 a) und (4.55 b) findet man zunachst fiir die Geschwindigkeitsquadrate und

^ f i

(4.56 a, b)

die man durch Einsetzen in (4.55 c) eliminiert. Die Zusammenhange zwischen dem Dichte- und Druckverhaltnis ergeben sich dann zu —

Pl K+l+{K_X)Ei

Pl

(4.57 a, b) —

Pi

PI

26

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Damit sind einfache Beziehungen zwischen den ZustandsgroBen p und p vor und hinter der StoBfront gegeben, wobei iiber die eingeschrankten Giiltigkeitsbereiche noch zu berichten ist. Es besteht in gleicher Weise wie bei der stetigen Stromung nach (4.49 a) ein barotroper Zustand p- (?(p), so daB man auch hier im tatsachlichen Sinn von einer kompressiblen Stromung sprechen kann. In Abb. 4.1a ist das Dichteverhaltnis iiber dem Druckverhaltnis als Kurve (2), auch Rankine-Hugoniot-Kurve (StoBadiabate) genannt, aufgetragen [26, 48]. Das Dichteverhaltnis £>2/Pi wachst mit steigendem Druckverhaltnis P2/P1 bis auf den asymptotischen Grenzwert -) 1 /max

=—r(=6,0) *•

{p2lPx ->°°).

(4.57c)

^

Luft kann also in einem normalen (senkrechten) VerdichtungsstoB nicht starker als auf den sechsfachen Betrag des Ausgangswerts verdichtet werden. Das Dichteverhaltnis P2/P1 wurde jeweils fur die Bereiche der Depression (Verdiinnung = Expansion) 0 < p2lpx < 1 sowie der Kompression (Verdichtung) p2lpx > 1 aufgetragen. Bei p2lp\ = 0 errechnet man nach (4.57 a) theoretisch einen endlichen, von null verschiedenen Wert, namlich (ft/pOmin — (K— 1)/(K + 1) (= 0,167), was fluidmechanisch unmoglich ist, da fur diesen Zustand Vakuum mit (J2/Pi — 0 herrschen muB. In Abb. 4.1a ist zum Vergleich das Dichteverhaltnis fur die stetige Stromung nach (4.49 a) als Kurve (1) dargestellt. Bei schwacher Verdiinnung oder Verdichtung p2lp\ ~ 1 stimmen die Ergebnisse der stetig (isentrop — mit konstanter Entropie) und unstetig (anisentrop = mit VerdichtungsstoB) verlaufenden Stromung uberein. Setzt man in (4.49a) und (4.57a) (p2/pi - 1) <§ 1, dann wird bei Beriicksichtigung nur der linearen Glieder von (p2lpl - 1) in beiden Fallen Q2IQX = 1 + (1/K) (pjpi - 1). Daraus folgt, daB auch schwache Verdichtungen stetig, d.h. ohne VerdichtungsstoB vor sich gehen, und dieser Zustand als isentrop verlaufend angesehen werden kann. Beim Durchgang durch den VerdichtungsstoB tritt eine Temperaturerhohung auf. Ausgehend von der Zustandsgleichung (4.21b) findet man fur das Temperaturverhaltnis T2ITX = (pjp^) (pi/p2). Sucht man die Abhangigkeit vom Druckverhaltnis, so ist fur QXIQ2 der Zusammenhang nach (4.57 a) einzusetzen. Das Ergebnis wird in Abb. 4.1b als Kurve (2) mit dem fur isentrope Stromung gemaB Kurve (7) verglichen. Danach ist die Temperaturerhohung hinter einem normalen VerdichtungsstoB groBer, als wenn die Stromung bei konstanter Entropie verdichtet wiirde. Die Darstellung in Abb. 4.1a zeigt, daB im Bereich der Depression (Auftragung in linearem MaBstab) die stetige Verdiinnung kleinere Werte fur das Dichteverhaltnis C2/C1 ergibt als die theoretisch berechenbare unstetige Verdiinnung. Im Bereich der Kompression (Auftragung in logarithmischem MaBstab) ergibt die stetige Verdichtung groBere Werte als die mit einem normalen VerdichtungsstoB verbundene unstetige Verdichtung. Fur sehr groBe Druckverhaltnisse p2/pr strebt im ersten Fall das Dichteverhaltnis ?2/pi einem unbeschrankt groBen Wert zu, wahrend sich im zweiten Fall der Grenzwert nach (4.57 c) ergibt. Sowohl bei der Depressions- als auch bei der Kompressionsstromung waren zwei mogliche Zuordnungen von Dichte- und Druckverhaltnis denkbar. Fluidmechanisch gesehen ist das gleichzeitige Auftreten der Kurven (1) und (2) nicht ohne weiteres vor-

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

27

stellbar. Die Frage, welche Kurve die fluidmechanisch mogliche ist, lafit sich mittels der Entropiegleichung (4.29) beantworten, nach der wegen (s2 — S\) = 0 namlich stets K- 1

.Pi.

fT

=

~

(4.58 a, b)

sein muB. Das heifit, daB bei gleichem Druckverhaltnis jeweils die Kurven mit dem Dichteverhaltnis bei konstanter Entropie (adiabat — reversibel) oder gegebenenfalls einem kleineren Wert nur sinnvoll sind. Bei der Depression bedeutet dies, daB VerdiinnungsstoBe nicht auftreten konnen. Der unbrauchbare Teil der Kurve (2) ist gestrichelt wiedergegeben. Bei der Verdichtung ist der zwischen den Kurven (1) und (2) schraffierte Bereich fluidmechanisch moglich, man vergleiche die Ausfiihrung iiber den schiefen VerdichtungsstoB in Kap. 4.5.3.3. Analoge tiberlegungen gelten fur das Temperaturverhaltnis T2IT\ in Abb. 4.1 b. Die Starke eines VerdichtungsstoBes wird durch die GroBe des Entropiesprungs As = s2 - 5j angegeben. Diesen erhalt man fur die hier angenommene adiabat-irreversibel verlaufende Stromung in Abhangigkeit von p2lpx aus (4.55 d), in die man Q2IQX nach (4.57 a) einsetzt. Das ausgewertete Ergebnis ist in Abb. 4.1a rechts als Kurve (2) dargestellt, und zwar sowohl fur die Depressionsals auch fur die Kompressionsstromung. Man bestatigt hierdurch wieder, daB es keine VerdiinnungsstoBe geben kann. In dem in Frage kommenden Bereich (0 Si PilPx < 1) wtirde eine Entropieabnahme auftreten, was dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik widersprechen wiirde, nach dem (s2 — sx)lcp > 0 sein muB. Bei Depressionsstromung kann, wie bereits gesagt wurde, die Stromung also nur isentrop, d.h. stetig verlaufen. EinfluB der Zustrom-Mach-Zahl. Im folgenden werden die Mach- oder LavalZahl des Stromungszustands vor dem VerdichtungsstoB an der Stelle (1) bei Zustromung mit Uberschallgeschwindigkeit mit Max — vjc^ > 1 bzw. Lai —VJCL > 1 eingefiihrt. Aus (4.56a) erhalt man mit c\ — rcpj^ und Max = vjc^ zunachst PTIP\ = 1 + K,Ma\{\ — f>i/f»2)- Nach Einsetzen von (4.57a, b) ergibt sich das Druck- und Dichteverhaltnis zu

wobei das maximale Dichteverhaltnis nach (4.57c) bei Max = °°bzw. Lax = Lalm3LX nach (4.38c, d) auftritt. Das Temperaturverhaltnis erhalt man wieder aus (4.21b) zu T2/T1 = (p2lpi) (Pi/p2). Unter Beachtung von (4.59a, b) kann man auch den Entropiesprung nach (4.55 d) in Abhangigkeit von der Mach-Zahl Max ermitteln: s2-s1_. Cp

\ [Xi

2

+

K-1]

+

1

ln

\2KMCL\

K-1]

~ [{K+\)Ma\ K+\\ K [~vrr~^ri\-

(4 6U)

-

Es zeigt sich, daB die Entropiezunahme im normalen VerdichtungsstoB um so groBer ist, je groBer Max ist. In Abb. 4.46 sind die gefundenen Ergebnisse als Grenzfall (StoBwinkel a= nil) dargestellt.

28

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Die Druckerhohung hinter einem normalen VerdichtungsstoB Ap -p2-px bezogen auf den Geschwindigkeitsdruck der Zustromung qx - (QJ2)V\ nach (4.44) erhalt man als Druckbeiwert nach (4.45) zu qx

K+l

Ma\

Lai

'

V <7i/max

K+\

( 4 6 1 a b

)

Die maximale Druckerhohung im normalen VerdichtungsstoB ergibt sich asymptotisch bei Max - °° bzw. Lax = Lax max. Neben den GroBen des Drucks, der Dichte, der Temperatur und der Entropie ist haufig auch die Kenntnis der Geschwindigkeit vor und hinter dem VerdichtungsstoB von besonderem Interesse. Aus der Kontinuitatsgleichung (4.55 a) findet man fiir das Geschwindigkeitsverhaltnis v2/vx = Q\l
,

—

i

ac+l

Mai

-

-

^ ,

Lai

/

-/

-

|

\vjmin

, _

.

K+ 1

Bei der vorliegenden Uberschall-Zustromung 1 < Max < °° erstreckt sich das Geschwindigkeitsverhaltnis auf den Wertebereich 1 > v2lvx > {v2lvx)min fur Max = oo. Aus (4.62 a) folgen mit Lax - vJcL die Beziehungen V\V2 = c\=

2

T el = const

(Prandtl),

(4.63)

wobei cL nach (4.34) die vom Stromungszustand nicht beeinfluBte Laval-Geschwindigkeit (kritische Geschwindigkeit) ist. Das in (4.63) erstmalig von Prandtl [43] angegebene bemerkenswerte Ergebnis besagt, daB beim normalen VerdichtungsstoB die Geschwindigkeit vx > cL bzw. Lax > 1 vor dem StoB immer groBer und die Geschwindigkeit v2 hinter dem StoB stets kleiner als die LavalGeschwindigkeit cL ist. Mach-Zahl und Laval-Zahl hinter einem normalen VerdichtungsstoB. Unter Beachtung von

Mai - (^Y= (^f (*) (*Y - (&) ^ ffl

p2

15 Geht man von (4.55b) aus, indem man unter Beachtung von (4.55 a) links und rechts durch QVI bzw. ^2^2 dividiert und den Ausdruck p2/(h mittels (4.55 c) ersetzt, dann folgt nach kurzer Zwischenrechnung

mit Ma] = v\/c\ und c\ = Kpjpi 1

K-

I

1 \u, May

v2

Die Gleichheit v2 = v1 entspricht dem trivialen Fall, bei dem kein VerdichtungsstoB auftritt, wahrend der Wert Null fiir die eckige Klammer zu (4.62a) fiihrt.

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

29

sowie durch Einsetzen von (4.59 a, b) erhalt man die Mach- und Laval-Zahl hinter dem VerdichtungsstoB zu 2 + (K-\)Ma\ A/f 2 Ma2 = ——r-r-^—; 7T < 1 (Ma, > 1), LKMa\ — (K—\)

1 {J La2 = —— < 1 (La, > 1), Lax (4.64 a, b) wobei (4.64 b) unmittelbar aus (4.62 a) mit La2 = v2/cL und Lax - vJcL folgt. Die gefundenen Beziehungen besagen, daB bei Uberschall-Zustromung hinter einem normalen VerdichtungsstoB immer Unterschallstromung herrscht. Die kleinstmoglichen Werte treten bei Max = Max max = °° bzw. Lax = Lax max nach (4.38 c) auf. Sie betragen

Ma2mm= E l (= 0,378), La2min= p ^ j ( = 0,408).

(4.64c, d)

Die Abhangigkeit der Mach-Zahl hinter dem VerdichtungsstoB Ma2 < 1 von der Mach-Zahl vor dem StoB Max > 1 ist in Abb. 4.9 d wiedergegeben. SchluBbemerkung. Die Untersuchungen haben gezeigt, daB bei einem normalen VerdichtungsstoB - die Aussage gilt auch fur schiefe VerdichtungsstoBe - eine irreversible, anisentrope Zustandsanderung vorliegt, d. h. eine Stromungsumkehr mit einem VerdiinnungsstoB ist nicht moglich. Es wurde eine reibungslose Stromung eines vollkommen idealen Gases bei adiabater Zustandsanderung zugrunde gelegt. In Wirklichkeit erfahren die dargestellten Vorgange iiber den VerdichtungsstoB eine mehr oder weniger starke Abwandlung. Eine erste Ursache kann in der Reibung und Warmeleitung gesehen werden. Diese Einfliisse spielen im VerdichtungsstoB selbst eine wesentliche Rolle, da sich nur hieraus die gefundene Entropieerhohung erklaren laBt. Die plotzliche Anderung der ZustandsgroBen im unstetig angenommenen VerdichtungsstoB bedeuten unendlich groBe Gradienten, so daB dort jede noch so kleine Viskositat oder Warmeleitfahigkeit des Fluids eine endlich groBe Energiedissipation zur Folge hat. Tatsachlich findet der Ubergang nicht unstetig, sondern innerhalb eines schmalen Raumbereichs von endlich groBer StoBdicke, welche jedoch nur von der GroBenordnung der freien Weglange der Fluidmolekiile (Gasmolekiile) ist, statt. Uber Untersuchungen der Einfliisse von Reibung und Warmeleitung in einem endlich ausgedehnten StoBbereich mit stetigen Anderungen der StromungsgroBen wird u. a. von Becker [6] berichtet. Hieraus wird erkenntlich, daB man ohne ausdriickliche Bezugnahme auf die Reibung und Warmeleitung den StoB als Unstetigkeitsflache in einem reibungs- und warmeleitungsfreien Stromungsfeld betrachten kann. Eine zweite Ursache kann in dem tatsachlichen Verhalten eines realen Gases gegeniiber dem angenommenen idealen Gas, insbesondere bei hoheren Temperaturen, gesehen werden. Der VerdichtungsstoB ist hierbei als StoBfront mit anschlieBender Relaxationszone aufzufassen, in der bestimmte chemische Reaktionen ablaufen. Man vgl. hierzu wieder [6].

30

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

4.3.2.7 Anwendungen zur stationaren Fadenstrdmung dichteveranderlicher Fluide An einigen einfachen Beispielen sei die Anwendung der in Kap. 4.3.2.5 und 4.3.2.6 gefundenen Beziehungen auf stetig und unstetig ablaufende Stromungen eines dichteveranderlichen und reibungslosen Fluids (Gas) bei adiabater Zustandsanderung gezeigt. a) Stationare Expansionsstromungen a.l) Ausstromen aus einem Kessel. In einem groBen Kessel (Behalter) nach Abb. 4.11 befindet sich ein Gas in ruhendem, barotropem Zustand (Index 0) und moge durch eine kleine Offnung ins Freie ausstromen (GroBen ohne Index). Der Kesselzustand (Ruhezustand) ist durch die unveranderlichen GroBen v0 = 0, p0, p 0 , To, c0 gekennzeichnet; entsprechend gilt fur die veranderlichen GroBen in der Austrittsoffnung v, p, p, 7", c. Ist der Gegendruck/?
Auch diese Beziehung ist in Abb. 4. l l a , und zwar als Kurve (2), dargestellt. Im Laval-Zustand ist v*/c= 1. Wegen c < c0 ist v/c0 < vie. Der aus (4.66) ableitbare Zusammenhang p/po=f(Ma) ist in Abb. 4.11b als Kurve (1) wiedergegeben. Das Geschwindigkeitsverhaltnis v/vma bezeichnet man auch als Crocco-Zahl Cr. Zwischen dieser Kennzahl und der Mach- bzw. Laval-Zahl bestehen die Zusammehange, vgl. (4.38),

"=- = I

Cr = — = I

—

T

"*|2 + ( K l ) M a 2

Ma = I ^ ^ La (Definition).

(4.67 a, b)

" ' -- • '

Fiir den gesamten Kennzahl-Bereich (0 S Ma S <*>, 0 S La S Lamax) ist 0 S Cr S 1, Kurve (2) in Abb. 4.8. Fiir Ma = 0 = La ist Cr = 0. Fiir den in Kap. 4.3.2.3 definierten Laval-Zustand (kritischer Zustand), bei dem Ma =l=La ist, ergibt sich die sog. kritische Crocco-Zahl zu Cr* = / — - (= 0,408) (Laval-Zustand). (4.67c) \ >c+ 1 Den Zusammenhang zwischen dem Druckverhaltnis und den Kennzahlen erhalt man aus (4.66) in Verbindung mit (4.67) zu

Pa

( l + M a ) ~~1 \ 2 /

(l(l \

L i )

l

( l C i ) ^

T

S l

(4.68 a, b,c)

K+1

16 Wegen der hier zugrunde gelegten Theorie der Kontinuumsmechanik ist dies Ergebnis nur bedingt richtig. Bei dem herrschenden stark verdiinnten Gas miiBte richtiger mit der kinetischen Gastheorie (Punktmechanik) gearbeitet werden.

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

31

Die Abhangigkeiten des Dichte- und Temperaturverhaltnisses vom Druckverhaltnis folgen aus (4.22 a) zu, vgl. Abb. 4.1, T Co

(4.69 a, b)

T

Po;

Durch Einsetzen von (4.68) lassen sich diese GroBen auch in Abhangigkeit von den Kennzahlen darstellen. Von besonderer Bedeutung fiir die Beurteilung des Stromungsverhaltens eines dichteveranderlichen Gases bei isentroper Zustandsandemng ist die Kenntnis der Massenstromdichte pv, das ist der auf den Stromfadenquerschnitt A bezogene Massenstrom mA = pvA. Mit p/p0 nach (4.69 a) und v/c0 nach (4.65 a) erhalt man bezogen auf die GroBe p0 c0 das Verhaltnis der Massenstromdichten zu

2 \ — poco

\ jc- 1 \po

K+l

Po

"' (=0,579).

(4.70a, b)

Dieser Zusammenhang ist in Abb. 4.11 a als Kurve (3) eingetragen. Bei p/p0 = 0 und bei plpa= 1 ist 0 = 0. Infolgedessen muB die dimensionslose Massenstromdichte 0 im Bereich 0 < p < p0 einen Extremwert haben. Dieser bestimmt sich aus der Bedingung d(pv)/dp = 0. Fiihrt man die Differentiation pdv/dp + vdp/dp = 0 aus und beriicksichtigt (4.28b) sowie (4.30a), so findet man als Geschwindigkeit, bei der 0 = © ^ ist, zu v — v* = c = cL. Der maximale Wert 0 max = 0 * stellt sich also bei Ma = vie = La = v/cL = 1 ein. Dies entspricht dem in Kap. 4.3.2.3 beschriebenen Laval-Zustand (kritischer Zustand) mit dem fiir Max = 0 = Lax zugehorigen Druckverhaltnis p*lp0 = (p*/pi)min nach (4.51). Aus dem Gefundenen folgt die bemerkenswerte Aussage, daB fiir Driicke p* < p < p0 Unterschallstromung v < c und fur Driicke 0 < p < p* Uberschallstromung v > c herrscht. Die weiteren kritischen Werte entnimmt man Tab. 4.1. Fiir jede Massenstromdichte 0 4= 0 max gibt es bei der zugrunde gelegten isentropen Zustandsanderung zwei Druckverhaltnissep/p 0 >p*/p0 undp/p 0
10

2.5

\v/c = Ma

2.0

15

1.0

1 1

0.8

1

\v/cn \

\ 12)

(3'L

0.5 13).

0

0.2 I-*

13).

0.4

iiberschall —

0.6

0.8

— Unterschall-

10

0

N

1 Unter- i

\V

1

1

0.6 0.52S

/

y

0,2

0 2

4 Uberschallstromung wrsc 3

5 -I

Mo

Abb. 4.11. Ausstromen eines Gases (K = 1,4) aus einem Kessel (Ruhezustand, Index 0). a EinfluB des Druckverhaltnisses p/p0. (1) Ausstromgeschwindigkeit v/c0, (2) Ausstrom-Mach-Zahl Ma = vie, (3) Massenstromdichte 0 = pv/poco, (3') 0 = 0 * (Verblockung). b EinfluB der Mach-Zahl Ma. (1) Druckverhaltnis p/p0, (2) Stromfadenquerschnitt AIA^ = A/A*. Unterschallstromung, Uberschallstromung

32

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

haltnis p/p0 nach (4.68 a) durch die Mach-Zahl Ma ersetzt. Mithin ergibt sich der dimensionslose Massenstrom mJ^c^A = 0 zu (mA A m) m

=Ma

2

/

p o c o A*

Der groBtmogliche Massenstrom, tritt bei Ma = Ma* = l mit 0 max nach (4.70b) ein, d.h. m*/(?ocoA* = 0*. 17 Ftir die KesselgroBen kann man wegen c2, = Kpo/p0 auch schreiben p o c 0 = V)cpoA>- Mit Riicksicht auf die Konstanz des Massenstroms langs des Stromfadens muB m = m* = const sein. Hieraus errechnet sich die Querschnittsverteilung langs der Stromfadenachse zu A/A* = 0*10. Da stets 0 3= 0 * ist, gilt A* I A g 1, d.h. es stellt A* = Amillden kleinstmoglichen Stromfadenquerschnitt dar. Man kann das Querschnittsverhaltnis A/Amia = 0mJ0 = 1 entweder nach (4.70a, b) in Abhangigkeit vom Druckverhaltnis oder in Abhangigkeit von der Mach-Zahl beschreiben, d. h.

^ - ^ J (Ma2-1)1 «-'(=) T^- [l + ^ ( M a 2 - l ) l 3 .

(4,72a, b)

Ma y \_ K + 1 J Ma \_ 6 J In Abb. 4.11b ist p/po-f(Md) als Kurve (7) und AJAmia=f(Ma) als Kurve (2) dargestellt. Fur jedes Querschnittsverhaltnis A 4= Amin gibt es zwei Mach-Zahlen Ma < 1 und Ma > 1. Die Kurven fiir den Unterschallbereich sind ausgezogen und die fiir Uberschallbereich gestrichelt gezeichnet. Aus Abb. 4.11b, Kurve (2), geht hervor, daB sich bei Erhohung der Geschwindigkeit der Stromfadenquerschnitt im Unterschallbereich verengt, im Uberschallbereich jedoch erweitert. Letzteres ist in der Skizze in Abb. 4.11 a gestrichelt angedeutet. Man vergleiche hierzu auch die Ausfiihrungen iiber das Querschnittsverhalten bei stetig verlaufenden Stromungen dichteveranderlicher Fluide in Kap. 4.3.2.5, Gl. (4.54b). a.2) Einfache Diise. Es sei angenommen, daB die Austrittsoffnung (Index a) lediglich aus einer konvergenten Diise besteht, wie sie in der Skizze in Abb. 4.11a angedeutet und in Abb. 4.12a dargestellt ist. Der austretende Massenstrom hangt von dem Mundungsquerschnitt Aa = Amin, den StoffgrOBen des Fluids K, po> Pa (Kesselzustand) sowie dem Druckverhaltnis pa/p0 ab. Aus dem Verlauf 0=f(pa/p<>), Kurve (3) in Abb. 4.11a, geht hervor, daB sich bei pjpa = 0 (Ausstromen ins Vakuum) kein Massenstrom m ~ 0 einstellen wiirde. Es ist leicht einzusehen, daB ein solches Verhalten unmoglich ist. Tatsachlich laBt sich experimentell nachweisen, daB der aus der Miindung einer einfachen Diise austretende Massenstrom eines Gases der theoretischen Kurve fiir die Massenstromdichte 0a =f(pjpo) nur im Bereich Po>pa= P* folgt- Sobald das Maximum, d.h. mmal ~ 0 raax , erreicht ist, andert sich der Massenstrom bei Verminderung des Drucks (p* & pa & 0) nicht mehr, Gerade (3') in Abb. 4.11a. Diese Erkenntnis besagt, daB fiir die Stromung durch eine einfache Diise alle fiir den Bereich O S p . S p * theoretisch gefundenen Abhangigkeiten ohne Bedeutung sind. Hierfiir treffen also die den Gleichungen zugrunde gelegten Voraussetzungen nicht mehr zu. Vielmehr muB man folgern, daB es nicht moglich ist, ein Gas in einer einfachen Diise auf einen Zustand zu entspannen, der einem kleineren Druckverhaltnis als dem Laval-Druckverhaltnis p*/p0 entspricht. Solange po> pa= p* ist, erfolgt vollige Entspannung (Expansion) im Miindungsquerschnitt. Wenn p* s pa g 0 ist, kann im Mundungsquerschnitt nur auf p*(v = c, Ma= 1) entspannt werden. Da im Mundungsquerschnitt die Stromungsgeschwindigkeit v gleich der Schallgeschwindigkeit c ist, kann sich eine Anderung des AuBenzustands stromaufwarts auf den Ausstromvorgang nicht auswirken. Die weitere Entspannung von p* auf den Gegendruck pa erfolgt daher hinter dem Miindungsaustritt. AuBerhalb des Austrittsquerschnitts erweitern sich die Querschnitte des Freistrahls, wobei Uberschallgeschwindigkeit im Strahl erreicht wird, wenn das ruhende Gas neben dem Strahl unter einem Druck pa
Um den Laval-Zustand zu kennzeichnen ist wegen 0A = const zu setzen 0 = 0 * und A = A*.

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

33

• Laval-Duse

Abb. 4.12. Laval-Duse (konvergentdivergentes Rohr zur Erzeugung von Uberschallgeschwindigkeit, AustrittsMach-Zahl Maa > 1), vgl. Tab. 4.2, K= 1,4. a Diisenform (aufgetragen ist die Querschnittsflache). b Druckverteilung langs Diisenachse. c Verteilung der ortlichen Mach-Zahl langs Diisenachse. (7) Asymmetrischer LavalGrenzzustand (= einwandfrei arbeitende Laval-Duse, Auslegungszustand, isentrop, Maa = 2); (2) symraetrischer Laval-Grenzzustand (isentrop, Ma * = 0,37); (3) als Venturi-Rohr arbeitende Laval-Duse (isentrop, 0 < Maa < Ma* < 1); (4) Laval-Duse mit VerdichtungsstoB (anisentrop, Maa < Maa < Maa )

sen vorderes Stuck sich zuerst bis auf einen Kleinstquerschnitt Amin verjiingt (konvergenter Teil = einfache Diise) und sich dann in bestimmter Weise stromabwarts wieder stetig bis auf einen Austrittsquerschnitt A(x = xo) = Aa (Index a) erweitert (divergenter Teil). Das Fluid (Gas) wird der Laval-Duse aus einem Kessel mit dem Ruhedruck p0 zugefuhrt. Die Gr66e des Gegendrucks p (x = xa) =pa l,pa=pa 1 entsprechend Abb. 4.11b eindeutig einander zugeordnet, so stellen sich bei vorgegebener Mach-Zahl-Verteilung (0 S Ma(x) s Maa) gemaB Kurve (1) in Abb. 4.12c die aus den Abhangigkeiten A/Amill =f(Ma) und p/p0 = f(Ma) hervorgehenden Verlaufe A(x) und p(x) als Kurve (1) in Abb. 4.12b ein. In diesem als Auslegungszustand bezeichneten Fall arbeitet die Laval-Duse bei isentroper Zustandsanderung einwandfrei und erzeugt die dem Auslegungsdruckverhaltnis pjpo zugehorige Austritts-Uberschall-Mach-Zahl Maa. Im engsten Querschnitt A^ wird der Laval-Zustand (Stromungsgeschwindigkeit = Schallgeschwindigkeit, d.h. Ma = 1, Laval-Druckverhaltnis p*/p0) erreicht. Den beschriebenen isentropen Auslegungszustand kann man als asymmetrischen Laval-Grenzzustand bezeichnen, da sich die Stromung asymmetrisch zum engsten Querschnitt (Laval-Zustand) verhalt. Der vorliegende Betriebszustand fordert den groBtmoglichen Massenstrom m (x) = m m u . Er berechnet sich nach (4.71b) mit m* = mmax und A* = Amin. In Tab. 4.2 sind fur einige Austritts-Mach-Zahlen die zugehorigen Auslegungsdaten, wie die Laval-Zahl sowie das Druck-, Temperatur- und Querschnittsverhaltnis zusammengestellt. Neben dem asymmetrischen Laval-Grenzzustand gibt es einen symmetrischen Laval-Grenzzustand, fiir den ebenfalls eine isentrope Zustandsanderung moglich ist. Dabei herrschen im Austritt der Druck pa=p* >p* und die Mach-Zahl Maa = Ma *< 1. Diese Losung ist in Abb. 4.12b, c als Kurve (2) dargestellt. Es wird an keiner Stelle der Diise Lfberschallgeschwindigkeit erreicht. Mit Ausnahme des engsten Querschnitts, in dem sich Schallgeschwindigkeit (Laval-Zustand) einstellt, herrscht sowohl im konvergenten als auch im divergenten Teil der Laval-Duse Unterschallgeschwindigkeit. Die Stromung ist symmetrisch zum engsten Querschnitt. In gleich groBen Querschnitten vor und hinter der engsten Stelle hat man nach (4.71a) gleiche Geschwindigkeit (Mach-Zahl) und gleichen thermodynamischen

34

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Tabelle 4.2. Charakteristische Austrittsdaten einwandfrei arbeitender Laval-Diisen (isentroper Auslegungszustand bei K— 1,4) Maa

0,5

1,0

1,5

2,0

3,0

5,0

Laa

0,535

1,0

1,365

1,633

1,964

2,236

2,449

Pa Po

0,843

0,528

0,272

0,128

0,0272

0,0019

0

0,952

0,833

0,690

0,556

0,357

0,167

0

1,340

1,000

1,176

1,688

4,235

25,00

oo

Ta %

K

Zustand. Der Laval-Zustand (p=p*t Ma= 1) entspricht dem Verzweigungspunkt, von dem aus sich stromabwarts je nach GroBe des Gegendrucks die symmetrische oder asymmetrische Losung entwickeln kann. Der Massenstrom betragt in beiden Fallen m (x) = mmax = rha. Aus dem Vergleich der bisher behandelten zwei Grenzfalle erkennt man, daB eine Druckabsenkung pa pa> p * , p * > pa > p ' a , Pa>Pa>Pa u n < l Pa > Pa > 0 z u unterscheiden. Bei pa>Pa>P% stellt sich sowohl im konvergenten als auch im divergenten Teil der Diise eine Unterschallstromung (Ma < 1) ein, Kurve (3) in Abb. 12 b, c. Der Laval-Zustand wird im engsten Querschnitt nicht erreicht. Eine solche Diise ist als Venturi-Diise (Venturi-Rohr) bekannt, vgl. Abb. 3.12. Der Vollstandigkeit halber sei erwahnt, daB bei pa = pB keine Stromung durch die Diise erfolgt. Bei Gegendriicken im Bereich p*> pa>pa folgt im konvergenten Teil der Diise die Zustandsanderung des Gases wie bei der einwandfrei arbeitenden Laval-Duse mit Ma < 1. Im engsten Querschnitt wird stets Schallgeschwindigkeit mit Ma = 1 erreicht, womit der Massenstrom immer ma = mmax = const bleibt, unabhangig davon, was im divergenten Teil der Diise geschieht. Hier stellen sich gema'B Kurve (7) zunachst Driicke kleiner als der Laval-Druck (p < p*) sowie Uberschallstromung (Ma > 1) ein, die jedoch weiter stromabwarts abhangig von der GroBe des Gegendrucks pa unstetig mit einem normalen VerdichtungsstoB in Unterschallstromung mit Ma < 1 iibergeht, Kurven (4). Im VerdichtungsstoB andert sich der Gaszustand entsprechend Kap. 4.3.2.6 anisentrop, wahrend weiter stromabwarts hinter dem StoB wieder mit isentroper Zustandsanderung gerechnet werden kann. Fiir den divergenten Teil der Diise, bei dem im engsten Querschnitt bei Gegendriicken p * ^pa^p'a der Laval-Zustand (A = Amin, p = p * , Ma = 1) erreicht wird und Ma S= 1 ist, laBt sich eine bemerkenswerte Beziehung herleiten, die sowohl fiir die stetig verlaufende Stromung, Kurve (2), als auch fiir die mit VerdichtungsstoB verbundene unstetige Stromung, Kurven (4) in Abb. 4.12b, c, gilt. Im vorliegenden Fall betragt der Massenstrom nach (4.71b) stets m = mmax = pvA = ®max^minCoco- Hieraus ergibt sich fiir die Geschwindigkeit in Verbindung mit der thermischen Zustandsgleichung (4.21 b)

± c0

= e L

, ^ * > j[ A

p

mit

,_^]

=.

K-\

Ma2

To

nach (4.40a). Mit dem Wert fiir 0 max nach (4.70b) sowie mit Ma = v/c S 1 folgt (4.73) S I (divergenter Diisenanteil). Po Diese allgemeingiiltige Beziehung stellt die Bedingungsgleichung fiir die drei GroBen A//4min, p/p0 und Ma im divergenten Teil einer Laval-Duse, bei der im engsten Querschnitt Ma = 1 ist, dar. Auf eine besondere Diskussion wird verzichtet. Auf ein von Riester [50] entwickeltes Verfahren zur Berechnung der Stromung in Laval-Diisen sei hingewiesen. 18

Englisch: Chocking, choked flow.

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

35

Bei den zwischen den Grenzkurven (1) und (2) vorkommenden Zustanden sowie auch bei einer Nachexpansion hinter dem Diisenaustritt beipa <pa tritt ein sehr verwickeltes unstetiges Strb'mungsverhalten im divergenten Teil der Laval-Diise bzw. im frei austretenden Strahl auf, das durch gerade, schiefe oder auch gegabelte VerdichtungsstoBe sowie schwingungsartiges Verhalten des austretenden Gasstrahls gekennzeichnet ist. Diese Vorgange sowie auch Reibungseinfliisse, die besonders beim Auftreten von VerdichtungsstoBen in der Diise von erheblicher Bedeutung sind, lassen sich mit der dargelegten elementaren Fadentheorie eines dichteveranderlichen Fluids nicht erfassen. Anschauliche Darstellungen, z. T. mit fotografischen Aufnahmen des Stromungsverhaltens, findet man in [44] sowie in den sonstigen einschlagigen Arbeiten, vgl. FuGnote 1 auf S. 2. Laval-Diisen finden in der Windkanal-, Dampfturbinen- und Raketentechnik bevorzugt Verwendung. Fiir die Windkanale sind besonders solche Laval-Diisen wichtig, deren engster Querschnitt variabel ist. Dies wird zwangslaufig durch flexible Wande und einstellbar durch Lageveranderung von Wandelementen erreicht [46, 71]. a.4) Doppel-Laval-Diise. Von besonderem Interesse fur die Windkanaltechnik mit Uberschallstromungen sind auch Doppel-Laval-Diisen, bei denen der Kanalquerschnitt zweimal eingeschniirt wird. Bei geniigend groBem Druckgefalle gelingt es, im Parallelstiick zwischen den beiden Verengungen eine homogene Uberschallstromung zu erzeugen. Dabei miissen nach Abb. 4.13 die Querschnittsverhaltnisse A^IA-i und A2/A3 so gewahlt werden, daB im engsten Querschnitt Al Schallgeschwindigkeit herrscht und im Parallelstiick keine VerdichtungsstoBe auftreten.

Abb. 4.13. Doppel-Laval-Diise

Ausfiihrlicher iiber die Wirkungsweise und ilber die Moglichkeit des Auftretens eines normalen VerdichtungsstoGes in einer Doppel-Laval-Diise berichtet Oswatitsch [41a]. a.5) Quellstromung bei dichteveranderlichem Fluid.19 In engem Zusammenhang mit den bisher besprochenen Anwendungen stehen die ebene und raumliche Quell- oder Sinkenstromung nach Abb. 4.14. Ausschnitte solcher Strb'mungen kommen in keil- oder kegelformigen divergenten und konvergenten Diisen vor. Aus einem geraden, normal zur Stromungsebene stehenden zylindrischen Rohr der Breite b oder aus einem kugelformigen Korper moge sich eine ebene bzw. raumliche Quellstromung eines dichteveranderlichen Gases radial nach aufien ausbreiten. In einem Abstand r vom Ursprung aus gemessen betragen die durchstromten Oberflachen A(r) = 2nbr bzw. A(r) = 4nr2. Auf solchen Flachen sind alle fluid-

7

19

8

Abb. 4.14. Geschwindigkeitsverteilung (Laval-Zahl La = v/vL mit v* = vL = const) der ebenen und raumlichen Quellstromung eines dichteveranderlichen Fluids (Gas, K- 1,4). Ebene Stromung: m = 1, raumliche Stromung: m = 2. (1) Unterschallstromung Ma < 1 (—); (2) Uberschallstromung Ma > 1 ( ); (2') asymptotischer Wert zu Kurve (2), Ma = °°,La = Lama; (3) dichtebestandiges Fluid

Obwohl es sich bei diesem Beispiel um ebene oder raumliche Stromungen handelt, konnen diese Falle mittels der Stromfadentheorie beschrieben werden.

36

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

mechanischen GroBen jeweils gleich groB. Nach der Kontinuitatsgleichung (4.23 a) ist der durchtretende Massenstrom m = p(r) v(r)A (r) = const von r unabhangig. Nach A (r) = A aufgelost, ist A = C/0 mit C = m/pbco als festem Wert und 0 = pu/p o c o als dimensionsloser Massenstromdichte nach (4.70). Nach Abb. 4.11a, Kurve (3), besitzt 0 beim Laval-Zustand (kritischer Zustand) ein Maximum 0 = 0*, was bedeutet, daG bei diesem Zustand die durchstromte Oberflache ein Minimum A* = Amin = C/0* = rh/p* v* annimmt. Daraus ergeben sich die zugehorigen Radien r* = rmin zu *"

I

(Zylinder),

in

rmln =

(Kugel).

(4.74a, b)

Es sind p* und v* = c* = cL die Dichte bzw. Geschwindigkeit (= Schallgeschwindigkeit = Laval-Geschwindigkeit) fiir r = rmin. Das Oberflachenverhaltnis A/Amin wird von (4.54b) beschrieben. Nach Einfiihren der Laval-Zahl La = v/cL entsprechend (4.38 b) findet man dann nach dem Radienverhaltnis aufgelost " ^ g l

(Gas).

(4.75a)

Fiir die ebene Stromung ist m = 1 und filr die raumliche Stromung m = 2 zu setzen. Danach ist die Quelloder Sinkenstromung eines dichteveranderlichen Fluids nur auBerhalb des Kreiszylinders bzw. der Kugel r a rmin moglich. In Abb. 4.14 ist die Geschwindigkeitsverteilung in der Form der Laval-Zahl La = v/cL auf einem Quellstrahl r/rmin dargestellt. Am Quellkem (Grenzzylinder, Grenzkugel) r = rmin ist La = 1 = Ma, wahrend im Stromungsfeld auBerhalb des Kerns die Laval- und Mach-Zahl mit wachsendem Abstand bei r —¥ °° entweder als Kurve (1) auf La = 0 = Ma abnimmt, oder als Kurve (2) bis auf La = Lamax nach (4.38 c) bzw. Ma = °° zunimmt. Von der Oberflache des Grenzzylinders oder der Grenzkugel stromt das Fluid (Gas) mit Schallgeschwindigkeit ab. Da jeder Stromfaden in der Quellstromung wie eine divergente Diise durchstromt wird, ist die Quellstromung je nach der Druckdifferenz zwischen der Quelle und dem Unendlichen entweder eine reine Unterschallstromung, in der das stromende Fluid auf Ma = 0 verzogert wird, eine reine tjberschallstromung, in der es auf Ma = ~ beschleunigt wird, oder eine gemischte Uberschall-Unterschallstromung, in welcher das stromende Fluid zunachst stetig auf tiberschallgeschwindigkeit beschleunigt, dann in einem VerdichtungsstoG unstetig auf Unterschallgeschwindigkeit abgebremst und stetig weiter auf Ma = 0 verzogert wird. Es besteht also ein enger Zusammenhang mit der bereits als Beispiel a.3 besprochenen Stromung durch eine Laval-Diise. Auch das in Abb. 1.19 dargestellte Verhalten iiber die Stromfadenquerschnitte bei Unter- und Uberschallstromung dichteveranderlicher Fluide findet man bestatigt. Zum Vergleich sei noch die Quellstromung eines dichtebestandigen Fluids betrachtet. Mit p = p 0 = const als Dichte in sehr groBem Abstand von der Quelle (Ruhezustand) gilt bei gleichem Massenstrom m= povA = p* v*A*, was mit v* = cL sowie den Beziehungen fiir A ~ rm und A* ~ r™in zu

La = ^ f l = V = (-?—) TZl f-^-T (= 0,634 (^-) ") (p = const) Co\r/

\K+V

\ r ) \

(4.75 b)20

\ r} I

fiihrt, wobei der Wert fiir p*/p 0 Tab. 4.1 zu entnehmen ist. Dieser Zusammenhang ist in Abb. 4.14 als Kurve (3) wiedergegeben. In Ubereinstimmung mit den Ausfuhrungen in Kap. 3.6.2.3, Beispiel e.l, ist die Quellstromung eines dichtebestandigen Fluids im ganzen Bereich 0 < r < °° definiert. Fur r > 2 rmin weicht sie nur wenig von der Kurve (2) fiir die Unterschallstromung ab. Auf die mit der ebenen Quellstromung in engem Zusammenhang stehende Stromung eines ebenen Potentialwirbels wird fur den Fall des dichteveranderlichen Fluids in Kap. 5.4.4.1 eingegangen. b) Stationare Kompressionsstrdmungen Staupunktstromung eines dichteveranderlichen Fluids. Bei der Umstromung eines vorn stumpfen Korpers tritt nach Abb. 3.10 ein Staupunkt (Index 0) auf, in dem die Geschwindigkeit ortlich zu null wird, v = v0 = 0, Ma0 = 0, und sich die ankommende Stromlinie teilt. Diese Aussage gilt sowohl fiir Unter- als auch Uberschallanstromung des Korpers (Index •>=), wobei sich im letzteren Fall nach Abb. 1.18b vor dem Korper ein abgehobener VerdichtungsstoB ausbildet. Die Berechnung der fluidmechanischen GroBen im Staupunkt erfordert also besondere Aufmerksamkeit, je nachdem, ob es sich um eine UnterGl. (4.75 b) folgt auch aus (4.75 a) als Entwicklung fiir kleine Werte von La
4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

37

oder Uberschallanstromung handelt, Max $ 1. Bei Unterschallanstromung befindet sich der Bezugszustand sehr weit (theoretisch unendlich weit) vor dem Korper, wahrend bei Uberschallanstromung der Bezugszustand mit dem Zustand bis vor den VerdichtungsstoB iibereinstimmt. Die Stromung erfolge bei adiabater Zustandsanderung (adiabate Kompression) eines reibungslosen Fluids (Gas). b.l) Stetige Staupunktstromung. Es werde zunachst vereinfacht angenommen, daB sich die Entropie langs der auf den Staupunkt fiihrenden Stromlinie nicht andert. Fur eine solche isentrop (adiabat-reversibel) verlaufende Stromung erhalt man nach (4.49b), wenn man die Stelle (1) fur den Anstromzustand und die Stelle (2) fur den Staupunkt wahlt, fur das Dichteverhaltnis im Staupunkt Mal)~s = 1 + - Ma 2 . + ••• & 1 . (4.76a) p / 2 Bei Ma^ = 0,2 ergibt sich po/p» = 1,020, und bei Mam = 0,3 wird po/p» = 1,045. Hieraus folgt die bereits aus (3.24) gezogene Feststellung, wonach die Mach-Zahl Ma^ ~ 0,3 die obere Grenze darstellt, bei der das stromende Gas gerade noch als dichtebestandig angenommen werden kann. Fur das Druckverhaltnis gilt nach (4.49 a) — = M + ^ l l Mai) " ^ a i

(po = Staupunktdruck).

(4.76b)

Im vorliegenden Fall wird das Gas bei isentropem Zustand stetig zur Ruhe gebracht. Den bei einer isentropen Kompression auf den Ruhezustand entstehenden Druck (Ruhedruck) definiert man als Totaldruck p0 =p,, man vergleiche (3.23a) fiir die Stromung eines dichtebestandigen Fluids. Der nach (4.76b) berechenbare Totaldruck stellt den groBtmoglichen Ruhedruck dar. Er wird von einer mit VerdichtungsstoB bei anisentroper Kompression ablaufenden Kompressionsstromung jedoch nicht erreicht, man vergleiche hierzu Abb. 4.16 und die hiermit im Zusammenhang gemachte Ausfiihrung. Fiir den Druckbeiwert gilt nach (4.45) mit Ap0 =p0 — p . als reduziertem Staupunktdruck (nicht Staudruck, vgl. Bd. 1, S.198,Fu6note9)
2

xMai

[f

? z l \ l 5 ]

l

+

}_Mal + - - - ^ l

(4.77 a, b)

mit gM = (p./2) u2 nach (4.44) als Geschwindigkeitsdruck der Anstromung (= auf Volumen bezogene kinetische Energie der Anstromung). Gl. (4.77b) erhalt man bei binomischer Reihenentwicklung nach kleinen Werten von [(K— l)/2] Mai, 1 gilt (4.77 a) nur fiir schwache Verdichtung, bei welcher die Bedingng konstanter Entropie erfiillt ist. Die Druckdifferenz Ap0 =Po—p- kann man unmittelbar mittels eines Prandtl-Rohrs nach Abb. 3.11c messen. Fiir das Verhaltnis der Stautemperatur To zur Temperatur der Anstromung Tx wird nach (4.41) — = 1+ ^ ^ M a 2 . a 1,

— - = *—— Mai (=0,2 Mai).

(4.78a, b)

Die Temperaturerhohung infolge isentroper Kompression AT0 = TO-TX nimmt quadratisch mit der Mach-Zahl der Anstromung Ma^ zu. Dies Verhalten ist in Abb. 4.15 b dargestellt. Nach Einfuhren der Enthalpie h = cpT mit cp = const kann man nach (4.26a) wegen cpT0 = vL/2 + cpT«, auch AT0 = vl/2cp schreiben.21 b.2) Unstetige Staupunktstromung. Bei Uberschallanstromung bildet sich vor einem stumpfen Korper entsprechend Abb. 4.15 a ein gekriimmter VerdichtungsstoB aus, dessen Form, Lage zum Korper und Starke im allgemeinen nicht einfach zu berechnen sind. Ist der Korper symmetrisch zur Anstromrichtung, so kann man annehmen, daB die auf den Staupunkt hinfiihrende Stromlinie den VerdichtungsstoB normal (senkrecht) trifft, ihn ohne Ablenkung durchschreitet und geradlinig auf den Staupunkt weiterlauft. Entsprechend einem Vorschlag von Prandtl [46] sei die Losung in zwei Teilaufgaben vorgenommen. Die ankommende ungestorte Uberschallstromung (Index «>) erfahrt am Ort des VerdichtungsstoBes 21

Auf die Temperaturerhohung infolge Wandreibung, die bei warmeundurchlassiger Wand etwa so groB ist wie diejenige durch adiabate Kompression, wird in Kap. 6.3.2.3 eingegangen, vgl. (6.70).

38

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase) 3,0 2,5

"GO

A.

D\

F

.

s \jsentrop

a 2,0

2,0

r

Sto /

^—

1.5]

15

u

{3

K

^2a)

>

(2') — r \2)

L

\05

Abb. 4.15. Staupunktstromung eines dichteveranderlichen Gases, K = 1,4. a Druckbeiwert Apolqx. b Temperaturerhohung durch Kompression ATO/TX. (/), (V) stetige, mit konstanter Entropie ablaufende Kompression; (2), (2') unstetige, mit normalem VerdichtungsstoB ablaufende Kompression bei Uberschallanstromung; (2a) Temperaturerhohung unmittelbar hinter dem VerdichtungsstoB ATJT^; (3) Naherung fur Druckbeiwert nach Newton

einen unstetigen Stromungsverlauf mit anisentroper (adiabat-irreversibel) Zustandsanderung. Der Zustand unmittelbar hinter dem normalen VerdichtungsstoB (Index s) wird durch die Beziehung aus Kap. 4.3.2.6 beschrieben. Mit den GroBen dieses Zustands, der jetzt einer Ausgangsstromung mit Unterschallgeschwindigkeit entspricht, verlauft der Vorgang bis zum Staupunkt (Index 0) als stetige Stromung mit isentroper Zustandsanderung entsprechend den Beziehungen aus Kap. 4.3.2.5. Das Zusammenfiigen beider Falle ergibt dann die gesuchten GroBen im Staupunkt. Wahrend bei der stetigen Staupunktstromung der Druck im Staupunkt (Ruhedruck = Totaldruck) mit p0 bezeichnet wurde, soil der Druck im Staupunkt bei der unstetigen Staupunktstromung mit/50 gekennzeichnet werden. Eine entsprechende Unterscheidung gilt auch fur die anderen physikalischen GroBen. Der VerdichtungsstoB bewirkt nach (4.59a) eine Erhohung des Drucks von p{ =/?„ auf p2 =ps und nach (4.64 a) eine Erniedrigung der Mach-Zahl von Mal = Max > 1 auf Ma2 = Mas < 1. Mithin sind bekannt pjpx =f(Ma^) und Mas =f(MaJ). Durch die isentrope Verzogerung hinter dem StoB ergibt sich hinter dem Ausgangszustand (Index s) nach (4.47) mit P\=ps, MaY = Mas und v2 = 0, p2 = pa das Druckverhaltnis pjps =f(Mas). Das gesuchte Druckverhaltnis im Staupunkt po//>» erhalt man dann aus der Beziehung po/px = (pjp^) (A)/A)> w a s nach elementarer Zwischenrechnung filr Ma_ & 1 zu El P~

K+ 1 -Ma;

I" (K+lfMai \l[2KMal-(K-:

"]-J^

(p0 = Staupunktdruck)

(4.79)

fiihrt [54]. Das Druckverhaltnis pjpa mit p0 nach (4.76b) bezeichnet man als Drosselfaktor; es ist in Abb. 4.16 als Kurve (1) iiber der Mach-Zahl Mam a 1 aufgetragen. Bei gleichem Anstromzustand ist der Ruhedruck bei Vorhandensein eines normalen VerdichtungsstoBes p0 stets kleiner als der Ruhedruck ohne VerdichtungsstoB p0 (= Totaldruck p,). In Abb. 4.15 a ist der Druckbeiwert Apo/qx gemaB (4.45) mit polp^ nach (4.79) in Abhangigkeit von der Zustrom-Mach-Zahl Ma» £ 1 fur die unstetige, mit normalem VerdichtungsstoB ablaufende Stromung als Kurve (2) aufgetragen. Man erkennt, daB der Druckbeiwert fur groBe Anstrom-Mach-Zahlen (Ma«, —> <=o) bei Vorhandensein eines normalen VerdichtungsstoBes einem Grenzwert, namlich

\

n-h

/A

K-\

4K

(4.80 a, b)

zustrebt. Die zweite Beziehung gibt das zugehorige Dichteverhaltnis im Staupunkt an. Dies gewinnt man in ahnlicher Weise wie das Druckverhaltnis. Fur K = 1,4 errechnet man die Zahlenwerte (Apa/q^)m!a = 1,839 und (A>/p»)max = 6,438, wahrend die Werte unmittelbar hinter dem StoB in (4.61b) und (4.57c) mit (ApJqJ)mm = 1,667 bzw. (e,/f-)m» = 6.0 angegeben werden. Eine naherungsweise Berechnung der Druckerhohung im Staupunkt erhalt man, wenn man nach Newton annimmt, daB die stromenden Huidelemente ohne vom Korper stromaufwarts beeinfluBt zu sein, diesen unmittelbar im Staupunkt treffen. Nach der Impulsgleichung (4.55b) wird mit

4.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

39 2

v2 = 0 der Druck im Staupunkt p0 =p_ + p^vi, woraus sich mit Mai = (vjcj) Druckbeiwert

und d = Kpjp^ der

— - = 2 (Newtonsche Naherung) (4.81) a«, errechnet. Dieser Wert ist nicht viel groBer als der bei sehr groBer Mach-Zahl Max nach (4.80 a) fiir Luft (K= 1,4) ermittelte Wert von 1,839. Mit K= 1 liefert (4.80 a) exakt das Ergebnis von (4.81). Der Druckbeiwert im Staupunkt eines vorn stumpfen Korpers ist also fur den gesamten Bereich von kleiner zu groBer Geschwindigkeit (0 S= Max % °°) bei einem Gas durch die Werte 1 S= Apjq^ S 2 begrenzt. Die Temperaturerhohung im Staupunkt bei einer Uberschallanstromung mit VerdichtungsstoB konnte man grundsatzlich ahnlich berechnen, wie es bei der Druckanderung durch Zusammenfiigen geschehen ist, d.h.fjT^ = (TJTJ (TJTS). Man kommt aber schneller zum Ziel, wenn man beachtet, daB die Energiegleichung (4.41), aus der sich die Staupunkttemperatur berechnen laBt, sowohl den stetigen als auch den unstetigen Stromungsverlauf beschreibt. Mithin gilt auch hier (4.78) sowie Kurve (1) und (2) in Abb. 4.15b mit T0 = T0. Kurve (2a) gibt den EinfluB der Temperaturerhohung durch den VerdichtungsstoB ATJT,, = TJTX - 1 wieder. Es zeigt sich, daB bei groBeren Uberschall-Mach-Zahlen die isentrope Temperaturerhohung nach dem VerdichtungsstoB, Unterschied zwischen Kurve (2) und (2 a), nur gering ist. Es sei erwahnt, daB bei groBeren Mach-Zahlen Max > 5 die Temperaturerhohungen so groB werden, daB die physikalischen Voraussetzungen eines idealen Gases als nicht mehr erfiillt anzusehen sind, sondern hier die Einfliisse eines realen Gases Beriicksichtigung finden miissen. Die Abnahme des Drosselfaktors mit steigender Mach-Zahl, Kurve (1) in Abb. 4.16, ist die Folge der Entropieerhohung durch den VerdichtungsstoB. Aus (4.29b) erhalt man die Entropieanderung gegeniiber dem Anstromzustand s0 - sm > 0 bzw. gegeniiber der Stromung ohne VerdichtungsstoB s0 - i_ = 0 mit f0 = To und TJTX =

cp

!.*[\

[Tx \pj

J

K

\p0

(Drosselfaktor).

(4.82a, b)

Dies Ergebnis ist in Abb. 4.16 als Kurve (2) wiedergegeben. c) Kompressible Stromung kleiner Stbrung Bei der Umstromung eines quer zur Anstromrichtung nur maBig ausgedehnten Korpers, d.h. eines schlanken Korpers (Fliigelprofil), hat man es mit einer Stromung kleiner Stoning zu tun. Bezeichnet die Stelle (1) den Anstromzustand und die Stelle (2) einen Punkt auf der Korperkontur, dann werde fiir die ortliche Geschwindigkeit v2 = u, + AD oder Av = v2 - v, mit | Au/u,| <8 1 gesetzt. Wegen der angenommenen kleinen Stoning gilt fiir das Geschwindigkeitsverhaltnis v2/vt ~ 1, fur das Druckverhaltnis • 1 und fiir das Dichteverhaltnis p2/Pi ~ 1- Dies bedeutet nach der Ausfiihrung im AnschluB an

10 /

\ s DrosseiWar \

\ /

y \

/ ^fnfrop/eanderung Abb. 4.16. Druck- und Entropieverhalten im Staupunkt eines mit Uberschallgeschwindigkeit Max> 1 angestromten vorn stumpfen Korpers; Vergleich der Stromungen ohne und mit VerdichtngsstoB (durch " gekennzeichnet). (1) Drosselfaktor, (2) Entropieanderung

40

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

(4.57 c), daB die Stromung sowohl bei einer schwachen Druckabnahme (Depression, Verdiinnung = Expansion) als auch bei einer schwachen Druckzunahme (Kompression, Verdichtung) bei konstanter Entropie stetig verlauft. Fiir stationare Stromungen gelten somit die in Kap. 4.3.2.5 angegebenen Beziehungen. c.l) Druckbeiwert. Die auf den Geschwindigkeitsdruck der Anstromung bezogene Druckanderung berechnet man nach (4.45) mit dem Druckverhaltnis nach (4.47). Bei binomischer Reihenentwicklung nach kleinen Werten von [ ( K - l)/2] [1 - (vjv,)2]Ma\ < 1 erhalt man zunachst 1 + A (\ - (}*) ~\ Ma\ + • • -1 (isentrop). (4.83 a) 4 \ \vj J J Man erkennt, daB die Anstrom-Mach-Zahl Max gegeniiber dem Geschwindigkeitsverhaltnis u2/i>i erst in zweiter Linie von EinfluB ist und daB der Wert K iiberhaupt nicht auftritt.22 Bei kleinen Storungen und nicht zu groBen Mach-Zahlen kann man weiter vereinfachen. Benutzt man jetzt fur die GroBen des Anstromzustandes (Index 1) den Index °° und fiir die GroBen am Ort der Korperkontur (Index 2) den Index K, so erhalt man den Druckbeiwert bei stetiger Depressions- oder Kompressionsstromung kleiner Storungen

wobei Av= vK — v^ die klein gegeniiber i>«, angenommene Geschwindigkeitsanderung ist.23 Der Geschwindigkeitsdruck ist nach (4.44) mit qx = (pJ2) vl gegeben. Fur die Stromung eines dichtebestandigen Fluids (inkompressible Stromung) ist (4.83b, c) in Ubereinstimmung mit (3.25a, b). Fiir die Stromung eines dichteveranderlichen Gases (kompressible Stromung) gilt (4.83b, c), wenn es sich um die Umstromung eines schlanken Korpers (kleine Storung) handelt. Unter dieser Voraussetzung gilt (4.83 c) sowohl fiir die Unterschall- als auch fiir die Uberschallanstromung mit Max 5 1. In Kap. 4.3.2.3 und 4.3.2.5 wurde der Fall, bei dem ortlich die Stromungsgeschwindigkeit gleich der Schallgeschwindigkeit ist, als kritischer Zustand (Lavalzustand) definiert. Das zugehorige Druckverhaltnis ist durch (4.50 a) gegeben. Da im Rahmen der Theorie kleiner Storung p%/pi ~ 1 ist, muB I [(K - 1)/(K + 1)] [1 - Ma2,] | < 1 sein. Fiihrt man in (4.50a) eine binomische Reihenentwicklung nach dieser GroBe durch und setzt das Ergebnis in (4.45) ein, so erhalt man fiir den kritischen Druckbeiwert24 c*=

An* ~ qx

2 1-Mai K+ 1 Mai,

(| Ai>* |/i>«, *$ 1),

(4.84)

wobei die Indizes wie in (4.83 b, c) gewahlt sind. Bei Unterschallanstromung (Ma^ < 1) ist c* < 0, was einem kritischen Unterdruck entspricht. In Abb. 4.17 ist der kritische Druckbeiwert iiber der Mach-Zahl bei Unterschallanstromung als Kurve (7) aufgetragen. Zum Vergleich ist die exakte Losung nach (4.50 a) in Verbindung mit (4.45) als Kurve (la) wiedergegeben. c.2) Umstromung eines Fliigelprofils mit Unterschallgeschwindigkeit. Wird ein Fliigelprofil (schlanker Korper) mit einer Geschwindigkeit u_ angestromt, so stellt sich etwa an der Stelle der groBten Profildicke die maximale Umstromungsgeschwindigkeit uKmal = vx + Avm,x mit Avmax > 0 als Ubergeschwindigkeit ein. Hierzu gehort der groBtmbgliche Unterdruck pmin bzw. Unterdruckbeiwert Apmin/qx < 0. Bei kleiner Unterschall-Mach-Zahl der Anstromung MaM ist die Umstromungsgeschwindigkeit vK zunachst immer kleiner als die ortliche Schallgeschwindigkeit c, d.h. vK < c. Steigert man die Anstrom-Mach-Zahl gegeniiber diesem Zustand, so kann die maximale Umstromungsgeschwindigkeit den Wert der Schallgeschwindigkeit erreichen. Dies entspricht dann dem in c.l beschriebenen kritischen Zustand. Fiir die Druckbeiwerte gilt dann Apmijq«, = Ap*/<7«. Die zugehorige Machzahl wird kritische Anstrom-Mach-Zahl Mai genannt. Sie erhalt man aus (4.84) zu 1

22

'"""""'

(4.85a, b)

Mit v2/vt = 0 liefert diese Beziehung den in (4.77 b) fiir den Staupunkt bei Unterschallanstromung angegebenen Druckbeiwert. 23 Da im Staupunkt vK = 0 bzw. Au/u. = - 1 ist, ist die Voraussetzung kleiner Storung fiir den Stromungsbereich in der Umgebung des Staupunkts nicht erfiillt. Gl. (4.83 b) kann somit fiir diesen Fall nicht angewendet werden. 24 Wegen Ap*/qx = 1 - (v*jvj2 nach (4.83a) folgt diese Beziehung auch aus (4.52b).

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

\ -O.i

do)\ (2)

-0.2

,

K

—I

-0.1 0 0.5

/ / V /% \ V

0.6

0.7 0,8 Moa

41

0.9

10

Abb. 4.17. Zur Bestimmung der kritischen Mach-Zahl Ma*, eines mit Unterschallgeschwindigkeit angestromten schlanken KSrpers (Fliigelprofil) mittels der Theorie kleiner Stoning. (/) Kritischer Druckbeiwert nach linearer Theorie, (la) kritischer Druckbeiwert nach exakter Theorie, (2) groBter Unterdruckbeiwert nach (5.133) mit (Ap/qJmln = - 0,15 bei Ma«, = 0

Wegen Apmin < 0 ist stets Mat < 1. Der Begriff der kritischen Mach-Zahl spielt eine wichtige Rolle fur Fliigelprofile, die mit hohen Unterschallgeschwindigkeiten angestromt werden. In Abb. 4.17 ist die grafische Ermittlung der kritischen Anstrom-Mach-Zahl gezeigt. Fur ein gegebenes Profil ist Apmijqx = f(MaJ) entsprechend (5.133) als Kurve (2) aufgetragen. Der Schnittpunkt mit Kurve (1) liefert die gesuchte Mach-Zahl Mat. Nach Uberschreiten der kritischen Mach-Zahl Max > Ma* treten am Profil ortlich Uberschallfelder auf, bei denen im allgemeinen die LFberschallgeschwindigkeit mittels eines VerdichtungsstoBes in Unterschallgeschwindigkeit zuriickkehrt. In solchen VerdichtungsstoBen andern sich nach Kap. 4.3.2.6 Druck und Dichte unstetig bei gleichzeitiger Entropieerhohung. Der starke Druckanstieg im VerdichtungsstoB fuhrt zur Ablosung der wandnahen Reibungsschicht und damit zu einer erheblichen Veranderung des Stromungsfelds um das Profil. Erste systematische Versuche iiber die Beeinflussung von VerdichtungsstoB und Reibungsschicht von Ackeret, Feldmann und Rott [2] sowie von Liepmann [36], bei denen die Reynolds-Zahl und die Mach-Zahl unabhangig voneinander verandert werden konnen, haben mancherlei Aufklarung iiber diese verwickelten Vorgange gebracht. Einen Ubersichtsbeitrag (iber die neueren Erkenntnisse gibt Green [36]. Der kritische Zustand (Erreichen der ortlichen Schallgeschwindigkeit) stellt den Grenzzustand dar, bis zu dem mit stetiger Stromung bei ungeanderter Entropie (isentrop) gerechnet werden kann.

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids 4.3.3.1 Voraussetzungen und Annahmen Die instationare Stromung eines dichtebestandigen Fluids nach der Stromfadentheorie bei reibungsloser Stromung wurde in Kap. 3.3.3 besprochen. Die Anwendungen in Kap. 3.3.3.3 erstrecken sich auf die instationare Bewegung von Fliissigkeitsspiegeln in oben offenen Gefa'Gen, und zwar auf die Fliissigkeitsschwingungen in einem kommunizierenden GefaB (Beispiel b) und auf den zeitlichen AusfluB einer Fliissigkeit aus einem GefaB (Beispiel c).25 Es soil jetzt die Stromfadentheorie fur die instationare Stromung eines dichteveranderlichen Fluids beDer EinfluB der Reibung wird bei der Rohrstromung in Kap. 3.4.5.3 (Beispiel b und c) untersucht.

42

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

handelt werden. Da auch hier reibungslose Stromung angenommen wird, handelt es sich bei der folgenden Untersuchung lediglich um die Erfassung der Dichteanderung des Fluids (Kompressibilitat). Zu den instationaren Stromungen dichteveranderlicher Fluide (Gase) gehoren neben zeitlich monoton ablaufenden Vorgangen besonders Schwingungsvorgange, bei denen die Ausbreitung, Reflexion und Uberlagerung von Druckwellen von groBer Bedeutung sind. Mathematisch treten Systeme gewisser nichtlinearer partieller Differentialgleichungen von hyperbolischem Typ auf. Da neben den Ortskoordinaten auch die Zeit als unabhangige Veranderliche vorkommt, hangen die einzelnen Losungen auBer von den (ortlichen) Randbedingungen von den (zeitlichen) Anfangsbedingungen ab. Bei kleinen Druckunterschieden kann man die Gleichungen auf lineare Differentialgleichungen zuriickfuhren (lineare Wellenausbreitung). Bei groBen Druckunterschieden bleiben die Gleichungen jedoch nichtlinear und erfordern einen recht erheblichen mathematischen Aufwand. Eine ausfiihrliche Darstellung dieses Fragenkreises ohne Beriicksichtigung der Reibung, der Warmeleitung und des Einflusses von Massenkraften wird von Sauer [54] gegeben, vgl. [37, 42, 52, 60, 61, 65, 72]. Im allgemeinen konnen die geometrischen und fluidmechanischen GroBen von der Zeit t und von der Koordinate langs der Kontrollfadenachse x abhangen.26 Dies gilt fur den Fadenquerschnitt A (t, x), die Geschwindigkeit v(t, x) sowie alle ZustandsgroBen, wie z.B. den Drackpit, x), die Dichte p(t, x) und die spezifische Entropie s (t, x). Die Geschwindigkeiten, Driicke und Dichten seien iiber die Fadenquerschnitte gleichmaBig verteilt. Es wird eine horizontalliegende Rohrleitung zugrundegelegt. Fiir die gesuchte Wellenausbreitung spielt eine veranderliche Hochlage keine wesentliche Rolle. Der Stromungsvorgang soil adiabat und reversibel, d.h. bei isentroper Zustandsanderung der Fluidelemente ablaufen. VerdichtungsstoBe werden also ausgeschlossen.

4.3.3.2 Lineare Theorie der instationaren Fadenstromung Ausgangsgleichungen. Zur Berechnung der Ausbreitung stetig verlaufender eindimensionaler Druckwellen stehen (2.56b), (2.94a) bzw. (2.217a) zur Verfiigung: dp dv g dA Kontinuitatsgleichung: -f^ + p-^—I" x —f - 0 ,

26

(4.86a)

Impulsgleichung:

dv 1 dp — + —— = 0

(4.86b)

Entropiegleichung:

ds — = 0.

(4.86c)

Um Verwechslungen mit der spezifischen Entropie s auszuschlieBen, wird die Koordinate langs der gegebenenfalls auch gekriimmten Kontrollfadenachse mit x bezeichnet.

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

43

Fur die substantiellen Anderungen d/dt gilt (2.41a) mit d/dt= d/dt + v(d/dx). Gl. (4.86c) sagt aus, daB jedes Fluidelement langs seiner Bahn keine Entropieanderang erfahrt und daher einen adiabat-reversiblen ProzeB durchlauft. Unter Beachtung dieser Aussage gilt fur die Dichteanderung gemaB p = p(p, s) do

/dp\ dp

= {i)J

(dp\ ds

/dp\ dp

+

= {i)J = ^I'

{i)

I dp

o_

(4.87a, b,c)

wobei c die Schallgeschwindigkeit nach (4.30 b) ist. Handelt es sich bei der Fadenstromung um die Stromung durch ein Rohr im unbelasteten Zustand mit konstantem Querschnitt A = const, so erfaBt dA/dp 4= 0 das elastische Verhalten der Rohrwandung. Die infolge Druckanderung dp auftretende Ringdehnung des Rohrs findet man durch Anwenden des Hookeschen Gesetzes der Elastizitatstheorie. Es gilt fur ein Rohr mit kreisformigem Querschnitt A = nR2 die Beziehung dA/A = (D/e) (dp/ER) mit D = 2R als Rohrdurchmesser, e als Wandstarke des Rohrs und ER als Elastizitatsmodul des Rohrwerkstoffs. Mithin kann man fur die Querschnittsanderung in (4.86a) schreiben, vgl. (4.30e) und (4.35 b), p dA A dt

e dp c1 dt

pc2 D ER e

.

EFD ER e

oo

u^

Die zweite Beziehung fur e gilt fur eine Fliissigkeit, bei der nach (1.10a) naherungsweise c2 - EF/p mit EF als Elastizitatsmodul des Fluids gesetzt werden kann. Nach Einsetzen von (4.87c) und (4.88 a) in (4.86a) sowie Heranziehen von (4.86 b) stehen jetzt die zwei quasilinearen Gleichungen dv \-pc2-~- = 0 , |^ =0

(4.89 a) (4.89b)

fur die gesuchten Funktionen v(t, x) undp(f, x) der beiden unabhangigen Veranderlichen t und x zur Verfiigung. Die Anfangs- und Randbedingungen miissen der jeweiligen Aufgabenstellung angepaBt werden. Auf die Wiedergabe von Losungen der angegebenen mathematisch schwierigen Differentialgleichungen muB hier verzichtet werden, man vgl. wieder [54]. Linearisierung. Einer stationaren Grundstromung mit der konstanten Geschwindigkeit v - const und daraus folgend konstanten Werten fur den Druck/7 = const und die Dichte p - const sei eine instationare Storstromung v(t, x) iiberlagert, d.h. es gilt fur die Geschwindigkeit, den Druck und die Dichte v(t, x) - v + v(t, x), p(t, x) = p + p(t, x),

p(t,x) = p + p(t, x). (4.90 a, b, c)

44

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Durch Einsetzen in (4.89 a, b) erhalt man zur Berechnung der Storstromung das Gleichungssystem (p + p) c2 ^

(1 + e ) ^ + (v + v ) ^ +

=0 ,

(4.91a)

Dabei sind die GroBen der Storstromung gegeniiber denen der Grundstormung als klein anzusehen. Lineare Wellengleichung der eindimensionalen Storstromung. Durch vollstandige Linearisierung (die StbrgroBen treten nur linear auf) erhalt man zur Berechnung der Storstromung das Gleichungssystem -^- + v^-~ + PC2^- = 0 mit dt dx v dx

^

v ^

+

+

c= , = const, VT+7

l^-=0.

(4.92a)

(4.92b)

dt dx p dx Dies ist u. a. auch die mathematische Grundlage der Akustik (schwingende Saite). In Anlehnung an die Akustik werden die Storung der Fluidgeschwindigkeit v haufig als Schallschnelle und die Druckstbrung p als Schalldruck bezeichnet. Die Gin. (4.92 a, b) gelten fiir das ruhende Bezugssystem. Sie lassen sich bei paralleler Grundstromung durch eine Galilei-Transformation auf ein mit der Geschwindigkeit v = const bewegtes Bezugssystem zuriickfiihren. Es gelten hierfiir die Transformationsformeln t = t',

x = x'+vt';

|

=^

-

^

,

|

=|>.

(4.93a, b)«

Als Ergebnis erhalt man fur die lineare Wellenbewegung (StorgroBen) im mitbewegten Bezugssystem zunachst die beiden simultanen Differentialgleichungen dp

dv

3?=-*ca?'

dv

1 dp

W = -?dx->-

(4 94a b)

-

'

Durch jeweilige partielle Differentiationen von (4.94a, b) nach t' und x' sowie entsprechende Zusammenfassungen findet man schlieBlich zwei getrennte Differentialgleichungen fiirp(t', x') und v(t', x') W2 11

28

= £2 1

d x^'

dY2~=£2'd72~

(Wellengleichungen) •

(4.95a, b)

Man beachte folgende Regeln fiir t = t (t\ x') und x (»', x'). d dt' d dx' d dt' dx' —= 1 mit — = 1 und — = — v, dt dt dt' dt dx' dt dt d dt' d dx' d dt' dx' 3 - = 3 - 377 + -5- -5-7 mit — = 0 und — = 1 . dx dx dt dx dx dx dx

Fur v= 0, d.h. bei der Wellenausbreitung in einem ruhenden Grundzustand, sind (4.92a, b) und (4.94 a, b) mit t' = t und x' = x identisch.

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

45

Dies sind lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung von hyperbolischem Typ fur den Stordruck (Schalldruck) und die Storgeschwindigkeit (Schallschnelle) in Longitudinalwellen eines mitbewegten Bezugssystems. Die allgemeinen Losungen wurden bereits von Riemann [49] angegeben:29 F (12)],

v(t',x') = c [/(''" 7) -f(t' + £)] = c [f(S)-F(q)] .

(4.96a) 30

(4.96b)

Die dimensionslosen Funktionen/und F sind zunachst willkiirliche, noch unbekannte Funktionen der Argumente § = t' — x'/c bzw. q = t' + x'/c, wobei t' und x'/c linear miteinander gekoppelt sind. Die Kurvenscharen £, = const und q = const heiBen Charakteristiken (Machlinien) der hyperbolischen Differentialgleichungen. Man bezeichnet sie auch als rechts- bzw. linkslaufige charakteristische Veranderliche. Auf ihnen sind die Funktionen/und F und damit die Geschwindigkeiten v und die Driickep jeweils unveranderlich, Abb. 4.18 a. Aus (4.96 a, b) gewinnt man die sog. Vertraglichkeitsbedingungen in folgender Form:

Ohne die Funktionen/und F im einzelnen zu kennen, konnen jedoch bereits Aussagen iiber die physikalische Bedeutung der durch sie beschriebenen fortschreitenden Wellen gemacht werden. Es seien die Funktionen/und F fur sich betrachtet, und zwar zunachst der durch / gegebene Storvorgang. Fur t' — x'lc = const bleibt die Stoning konstant. Aus c dt' - dx' = 0 ergibt sich die Geschwindigkeit dx'jdt' = c, mit der die Welle nach Abb. 4.18 b in positiver jc'-Richtung fortschreitet. Jede Stoning/breitet sich stromabwarts mit der Schallgeschwindigkeit c aus. Dabei bleibt die Wellenform stets die gleiche. Eine entsprechende Aussage gilt fur die durch F beschriebene Wellenausbreitung, wobei jetzt die Bewegung nach Abb. 4.18b in Richtung der negativen x'-Achse, d.h. stromaufwarts, erfolgt. Demnach muB z.B. der an der Stelle x' = x'o und zur Zeit t' = t'o durch/oder F festgelegte Zustand nach der Zeit t' = t'o + At' an den Stellen x' = x'o ± Ax' mit Ax' = c(t' - t'o) = cAt' angekommen sein. Die durch die Funktion/oder F allein beschriebene Druckanderung p sei als einfache Druckwelle bezeichnet. Man spricht von einer Uberdruckwelle, wenn p > 0 ist (/ > 0 bzw. F > 0), und von einer Unterdruckwelle, wenn p < 0 ist 29

Im folgenden soil bei den konstanten StoffgroBen p , c auf die Kennzeichnung durch tfberstreichen verzichtet werden. 30 Von der Richtigkeit dieser Ansatze iiberzeugt man sich durch Bilden der partiellen Differentialquotienten nach t' und x' sowie Einsetzen in (4.94a, b). Es ist

f mit / = — dE,

und

F = — . dr\

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

46

t

6x' -c if /

lit \

/

\

\

\

/

/

\/

/

/

A\ A \

/ \ \

•

\

/

\

/

\

\ S/

' ^

\

/

\

/

\

\ \

/

v

- =+ c \

y

A x'/c A \ / / \

c

Storting f. f

tk-W

cUt'

c

[S.

c ar

•

X'

.

Storung F -c\t'-

/

-chfAbb. 4.18a, b. Fortschreitende, geradlinig verlaufende lineare Wellen nach (4.96). a CharakteristikenDiagramm in der Weg-Zeit-Ebene C, = t' — x'/c — const, / = const, rechtslaufige Welle (Machlinie), r\ - f + x'/c = const, F = const, linkslaufige Welle (Machlinie). b Wellenbewegung der einzelnen Wellen / bzw. F

( / < 0 bzw. F < 0). Das Vorzeichen bestimmt also den Sinn der Druckwelle (gleichsinnig, gegensinnig). Weiterhin spricht man bei der Geschwindigkeitsanderung von einer Beschleunigungswelle, wenn v > 0 ist ( / > 0 bzw. F < 0) und von einer Verzogerungswelle, wenn v < 0 ist (f< 0 bzw. F > 0). In diesem Fall bestimmt das Vorzeichen die Art der Welle. Eine Geschwindigkeitsanderung v > 0 vergroBert den Volumenstrom V = vA - (v + v) A im Rohr, wahrend v < 0 ihn verkleinert. Die vier moglichen Typen sind in Tab. 4.3 zusammengestellt. Die vollstandige Losung besteht aus der Uberlagerung zweier im allgemeinen verschiedener, aber mit gleicher Geschwindigkeit c nach entgegengesetzter Richtung fortschreitender Wellen. Die gleichsinnigen Typen (1) und (2) sowie (3) und (4) verstarken sich beziiglich der Druckanderung untereinander, wahrend sich beziiglich der Geschwindigkeitsanderung die gleichartigen Typen (1) und (3) sowie (2) und (4) einander unterstiitzen. Die Ausbreitungsrichtung der Druckwelle stimmt jedoch nur fiir die Typen (1) und (4) mit der Richtung der Grundgeschwindigkeit v iiberein [37].

Abb. 4.18c. Weg-Zeit-Diagramm, (1), (2) rechts- bzw. linkslaufige Mach-Linie, (3) Bahnlinie der Grundstromung

47

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids Tabelle 4.3. Verhalten einfacher Druckwellen nach der linearen Wellentheorie [37] Sinn der Welle

tjberdruckwelle

Art der Welle

Beschleunigungswelle

Verzogerungswelle

Beschleunigungswelle

Verzogerungswelle

Wellenfunktion

/>o

/=o

/=o

/
F =0

F> 0

F <0

F =0

Richtung der Welle, x

—>

<—

Druckanderung, p

T

T

i

i

Geschwindigkeitsanderung,v

T

i

T

i

Volumentstrom V

T

i

T

i

Typ

(i)

(2)

(3)

(4)

Unterdruckwelle

—>

Durch Riicktransformation entsprechend (4.93 a) mit t' = t und x' = x - vt geht (4.96 a, b) iiber in (4.98.) (4.98 b) Im Weg-Zeit-Diagramm nach Abb. 4.18c stellen die Gerade 1 mit xx - (v + c)t — const die rechtslaufige und die Gerade 2 mit x2 — (v — c) t = const die linkslaufige Machlinie dar. Die Gerade 3 ist mit x3 - vt - const die Bahnlinie der stationaren Grundstromung. Fiir die zugehorigen Geschwindigkeiten gilt Ausbreitungsgeschwindigkeit der Stoning (dx/dt)l2 =v±c,

(4.99 a)

Fluidgeschwindigkeit der Grundstromung (dx/dt}3 = v .

(4.99 b)

Die analytischen Ausdriicke fiir / und F sowie ihre gegenseitige Verkniipfung konnen erst mit Hilfe der Grenzbedingungen, d.h. der Anfangs- und Randbedingungen bestimmt werden. Treten nur Anfangsbedingungen auf, so hat man es mit einer Anfangswertaufgabe zu tun. Kommen sowohl Anfangs- als auch Randbedingungen vor, so ist eine Anfangsrandwertaufgabe zu losen. Druckschwankungen in Rohrleitungen. Die drei wesentlichen fluidmechanischen Erscheinungen, die eine rechnerische Behandlung der instationaren Fadenstromung beeinflussen, sind die Dichteanderung und die Reibung des Fluids sowie gegebenenfalls die Elastizitat der Rohrwand. Entsprechend den getroffenen Voraussetzungen soil die Reibung vernachlassigt werden. Bei einem dichtebestandigen Fluid und einer starren Rohrwand verhalt sich die Fluidmasse in der Rohrleitung wie ein starrer Korper, was bedeutet, da6 die Ausbreitungsgeschwin-

48

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

digkeit einer Druckwelle in dem Fluid unendlich groB ist. Eine beschleunigte oder verzogerte Storbewegung ware sofort und gleichzeitig an alien anderen Punkten des Rohrleitungssystems wahrnehmbar. Es leuchtet ein, daB eine solche Annahme im allgemeinen den tatsachlichen Verhaltnissen stark widerspricht. Nimmt man jedoch ein dichteveranderliches Fluid und gegebenenfalls eine elastische Rohrwand an, so breiten sich die Druckwellen in der vom Rohr eingeschlossenen Fluidmasse mit endlicher Geschwindigkeit aus. Die Geschwindigkeit dieser Druckwellen ist bei unelastischem Rohr gleich der Schallgeschwindigkeit des Fluids c und bei elastischem Rohr gleich c = c nach (4.35). Je nach dem Grad der getroffenen Voraussetzungen und Annahmen entspricht das ermittelte Ergebnis dem wirklichen Verhalten mehr oder weniger gut. Bei Druckschwankungen in zylindrischen Rohren kann es sich nach Abb. 4.19 a um folgende Aufgaben mit den zugehorigen Anfangs- und Randbedingungen handeln: (1) links und rechts unendlich langes offenes Rohr, (2) links unendlich langes offenes Rohr und rechts endlich langes offenes Rohr (freier Austritt), (3) links unendlich langes offenes Rohr und rechts geschlossenes Rohr (feste Wand, (4) links und rechts geschlossenes Rohr. In alien vier Fallen befinde sich das Fluid (Gas) zunachst in Ruhe (v = 0). Das Aufbringen einer kleinen Stoning (p, v) fiihrt zu einer Anfangswertaufgabe: gegeben im betroffenen Rohr/? (f + e, x) -po(x), v(t + e,x) = vo(x) sowie gesucht p (t, x), v(t, x). In den Fallen (2) und (3) verhalten sich die Randdaten an der Stelle x = 0 verschieden, und es sind Anfangsrandwertaufgaben zu losen. In Abb. 4.19b sind die Randdaten unter der Annahme einfacher Wellen/bzw. F dargestellt. Bei dem offenen Rohrende tritt mehr oder weniger stark Druckausgleich mit dem auBeren Umgebungsdruck ein, was bedeutet, daB dortp {t, x = 0) ~ 0 sein muB. Bei dem geschlossenen Rohrende muB die Geschwindigkeit ver-

(F < 0, f-l..(f) ° F = J f (2)-

(2)-

(3)

(F > 0 ,

(4

(f

> 0,

°F

f-

--

(3)

--F-

p~

0)

=

Abb. 4.19. Druckschwankungen in zylindrischen Rohren. a mogliche Falle (1) bis (4). b Wellenreflexion, (2) offenes Rohrende, (3) geschlossenes Rohrende

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

49

schwinden, was bedeutet, daB bei stationar ruhendem Fluid v = 0 auch v(t, x = 0) = 0 sein mu6. Es gilt somit: offenes Rohr:

p = 0 (dynamische Randbedingung),

(4.100 a)

geschlossenes Rohr: v = 0 (kinematische Randbedingung). (4.100 b) Aus den Randbedingungen fur das offene Rohrende mit/= — F und fur das geschlossene Rohrende m i t / = F ergibt sich folgender Satz: Eine ankommende tiberdruckwelle (/ > 0) wird im ersten Fall als zuriicklaufende Unterdruckwelle (F < 0) und im zweiten Fall wieder als zuriicklaufende Uberdruckwelle umgewandelt (reflektiert). Eine entsprechende Aussage gilt fur eine ankommende Unterdruckwelle (/< 0). Im Fall (4) eines auf beiden Seiten geschlossenen Rohrs erfolgt die Reflexion an zwei festen Wanden und Uberlagerung der reflektierten Wellen. 4.3.3.3 Anwendungen zur instationaren Fadenstromung dichteveranderlicher Fluide Die in Kap. 4.3.3.2 dargestellte lineare Theorie kleiner Storungen soil an zwei technischen Beispielen instationarer Druckschwankungen in Rohrleitungen erlautert werden. Dabei befaBt sich der erste Fall mit der Gasstromung in einem StoBwellenrohr und der zweite Fall mit der Fliissigkeitsstromung in der Druckrohrleitung einer Wasserkraftanlage. a) StoBwellenrohr In der experimentellen Hochgeschwindigkeitsaerodynamik hat sich das StoBwellenrohr als Versuchseinrichtung mit intermittierender Arbeitsweise bewahrt. Dabei wird das stationare Stromungsgebiet eines instationaren Stromungsvorgangs fiir Modelluntersuchungen verwendet. Ein StoBwellenrohr besteht in der einfachsten Form aus einem an beiden Enden geschlossenen Rohr konstanten Querschnitts, welches durch eine gasdichte Membran in einen Hochdruck- und in einen Niederdruckraum unterteilt ist. Im Hochdrackraum vor der Membran befindet sich hinter einer Laval-Diise die MeBstrecke mit dem zu untersuchenden Modellkorper. Vor dem Versuch werden in den beiden Teilrohren die gewiinschten Driicke durch Hinein- bzw. Herauspumpen des Gases (Luft) eingestellt. Wird die Membran plbtzlich zerstort (SchnellschluBventil), so wird ein Drucksprung (VerdichtungsstoB) erzeugt. Durch den Druckausgleich findet ein Stromungsvorgang statt, bei dem der Drucksprung in das Gas niederen Drucks lauft und dies verdichtet, erhitzt und in Bewegung setzt. In der MeBstrecke herrscht dabei zeitweilig eine Ausgleichsstromung konstanter Geschwindigkeit. Kennt man die Druck-, Dichte- und Temperaturerhohung, dann liegt damit die fiir die MeBeinrichtung charakteristische Geschwindigkeit hinter der Druckwelle fest. Je nach Wahl der Lange des Rohrs, des verwendeten Gases und des eingestellten Druckverhaltnisses ergibt sich die zur Vergugung stehende MeBzeit (10~2 bis 10"1 s). Wegen der Kiirze dieser Zeit miissen besondere KurzzeitmeBtechniken angewendet werden. Einen ersten Einblick in die Wirkungsweise eines StoBwellenrohrs vermittelt die nachstehende Betrachtung der Ausbreitung eines schwachen Drucksprungs in einem beidseitig geschlossenen Rohr. StoBwellenrohr in Iinearisierter Behandlung. Zur Berechnung der Ausbreitung schwacher Druckund Geschwindigkeitswellen in einem StoBwellenrohr stehen (4.98 a, b) zur Verfugung. Nach (4.90 a, b) bedeuten dabei p (t, x) und v(t, x) die instationaren StorgroBen gegenuber einem stationaren Ausgangszustand v und p. Der Ausgangszustand sei ein Ruhezustand mit V = 0, so daB v(t, x) = v(t,x) = 0 ist. Als Vorbereitung zur Losung der gestellten Aufgabe sei zunachst die Ausbreitung eines in einem unendlich langen Rohr nach Abb. 4.20 am Ort x = xa zur Zeit t = t0 vorgegebenen schwachen Drucksprungs A/? untersucht. Da keine Randbedingungen vorgegeben sind, handelt es sich um eine reine Anfangswertaufgabe. Abb. 4.20 a, b zeigt die Entwicklung der Druck- und Geschwindigkeitswelle p{t, x) bzw. v(t, x) im Weg-Zeit-Diagramm. Nach (4.98 a, b) ist die Druckwelle proportional der Summe und die Geschwindigkeitswelle proportional der Differenz der beiden Stb'rfunktionen/und F, und zwar gilt p = pc2(f+ F) bzw. v = c(f—F). Es s e i e n / = a u n d F = a stiickweise konstante Funktionen mit a > 0

50

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

Abb. 4.20. Ausbreitung eines schwachen Drucksprungs in einem unendlich langen beidseitig offenen Rohr bei zunachst ruhendem Fluid (i7 = 0) [54] (t < t0: einfache Wellen, t > t0: uberlagerte Wellen). aDruckwelle/T(f, x) = p c 2 ( / + F ) . b Geschwindigkeitswelle v(t, x) = c(f-F). Rechtslaufige Charakteristik ( ): Verdichtung, linkslaufige Charakteristik ( ): Verdiinnung

als Amplitude der Storungen. Bei t = ta soil im ganzen Rohr v = 0 sein, d.h. es muB d o r t / = F sein. Man kann sich die Ausbreitung der Wellen fur / S /„ am einfachsten klarmachen, wenn man vom Zustand t < t0 ausgeht, bei dem sich die Wellen/und F noch nicht iiberlagert haben. Unter Beachtung der auf den Charakteristiken (Machlinien) dargestellten Pfeile gelangt man vom Zustand t < t0 iiber den Zustand t = t0 zum Zustand t > t0, indem man die zugehorigen Uberlagerungen beriicksichtigt. Bei einem solchen Vorgehen kann auf eine analytische Behandlung der Aufgabe verzichtet werden. In Tab. 4.4 sind die Zustande fur die mit (1), (2) und (3) gekennzeichneten Gebiete angegeben. Der Drucksprung im Gebiet (1) betragt bei ruhendem Fluidp = Ap = p c 2 ( / + F) = IQC1 a > 0, wahrend im Gebiet (2), welches weder von der Welle/noch von der Welle F beriihrt wird, sowohl der Druck als auch die Geschwindigkeit null sind. Im Gebiet (3) sinkt der Druck auf den halben Wert des vorgegebenen Drucksprungs p = QC2 / = pc2a = Ap/2 > 0, und die nach rechts gerichtete Geschwindigkeit nimmt den Wert v = c / = ca — Av an. Der Stromungsvorgang ist fluidmechanisch so zu verstehen, dafi langs der ausgezogenen Geraden f = const, d. h. t = t0 + (x - xo)/c, eine Verdichtung lauft, die einen Druckanstieg in das ruhende Fluid hineintragt, wahrend langs der gestrichelten Geraden q = const, d.h. t = t0 - (x - xo)/x, eine Verdiinnung lauft, die den vorgegebenen Drucksprung auf den halben Wert abbaut. Nachstehend wird ein nach Abb. 4.21 auf beiden Seiten geschlossenes Rohr betrachtet. Das Rohr habe die Lange / = x2 - xl. Bei einem zur Zeit t = t0 zunachst ruhenden Fluid v = 0 = v werde im Bereich

Mach -Linie Zeit

Druck

Geschwindigkeit

links

p/QC1

v/c

1/

f \

f+F

f-F

a

a

2o

i °

0 a

0 o

1 I

a

0 0

a

J

0 a

0 a

0

o

\

6 7

0

a a

a

a

2a

f

o

1

8

0

0

0

•

a

;

Gebiet

1 2 3 4 /=>/„

5

rechts

i

'•

2c

-a

Tabelle 4.4. Ermittlung der Druck- und Geschwindigkeitswellen in einem an beiden Enden geschlossenen Rohr (Stofiwellenrohr) nach der linearen Wellentheorie, Abb. 4.21, [54]. Eingerahmtes Feld: Anfangsbedingung (t = t0); gestrichelt eingerahmtes Feld: unendlich langes Rohr, Abb. 4.20; schraffiert eingrahmte Felder: Randbedingung (Reflexion an Rohrenden

51

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

=
•*-x

*m*

v,=0

a

c

b

Abb. 4.21. Ausbreitung eines schwachen Drucksprungs in einem beidseitig geschlossenen Rohr bei zunachst ruhendem Fluid (StoBwellenrohr) [54] a zur Erstellung von Tab. 4.4. b Druckschwankungen. c Geschwindigkeitsschwankungen

X[ £ x S x0 ein schwacher Drucksprung der Starke p(ta, x) = Ap = const erzeugt. An den Rohrenden x = xx und x = x2 muB im Verlauf der Zeit t > t0 jeweils die kinematische Randbedingung (4.100 b) mit v(t, Xj) = 0 = v(f, x2) erfiillt werden. Im vorliegenden Fall handelt es sich also um eine Anfangsrandwertaufgabe. Diese kann als linearisierte Behandlung des Stromungsverlaufs in einem sog. StoBwellenrohr angesehen werden. Die Reflexion an den Rohrenden (feste Wande) liefert wegen v(t, xl) = 0= v(t, x2) nach (4.98b) mit v = 0 die Verkniipfungen \

(4.101a)

Nach Einsetzen in (4.98 a) folgt hieraus fiir die Druckanderung an den Rohrenden p(t,xh2) = 2pc2f(t,x12)

= 2(>c2F(t,xli2) •

(4.101b)

Bei der Reflexion an der Wand wird also der Wert der ankommenden Druckstorung einer einfachen Welle, d.h. p = pc2foderp = pc 2 F, verdoppelt. Abb. 4.21 zeigt die zeitliche Entwicklung der Druck- und Geschwindigkeitswellen p(t, x) bzw. v(t, x) in einem Weg-Zeit-Diagramm. Fiir das vorliegende beidseitig geschlossene Rohr sind die Anfangsbedingungen bei t = t0, d. h. auf der Abszisse mit v = 0 fiir ^ S i S ^ sowie p = Ap > 0 fiir x1Sx 5= x0 und p = 0 fiir x0 3= x ^ x2 vorgegeben. Durch den Verlauf der Charakteristiken (Machlinien) / = const und F-= const entstehen gebietsweise homogene Stromungsbereiche analog Abb. 4.20. Unter Zuhilfenahme von Abb. 4.21 a wird in Tab. 4.4 die numerische Auswertung vorgenommen. Dort sind

52

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

gemaB (4.98 a, b) die dimensionslosen GroBen p /p c2 = / + F und 07c =/— F zu entnehmen, wobei/und F jeweils durch die Werte-a, 0, +a gekennzeichnet sind.31 In den in Abb. 4.21b, c mit (1) bis (8) numerierten Gebieten (Maschen) sind die Druck- und Geschwindigkeitsschwankungen jeweils konstant bzw. null. Durch horizontale Pfeile oder durch ihr Fehlen wird zum Ausdruck gebracht, ob in den betreffenden Teilen des Rohrs das Fluid mit der Geschwindigkeit v = Au nach rechts oder links stromt oder das Fluid sich in Ruhe befindet. Wenn man das Charakteristikennetz (Machnetz) bei konstanter Zeit t = const im Sinn wachsender Werte xlS xS x2 durchlauft, kann man sofort feststellen, wann der Druck p wachst oder abnimmt. Hat man die Druckschwankungen p(t, x) bestimmt, so kann man z.B. filr ein vollkommen ideales Gas unter Heranziehen der Isentropenbeziehung (4.22) auch die Dichte-, Temperatur- und Schallgeschwindigkeitsschwankungen angeben. Da es sich jeweils um schwache Storungen handelt, kann man (4.22 b) mit dp = p, dp= (T, dT = T und dc = c"benutzen, und manerhalt

l

p

J

p

^

f

^

K— 1 1

?

(4.102a, b,c)

K— 1 C

mit p, p,T und c als GroBen des Ruhezustands t = t0. Die vorstehend beschriebene lineare Theorie zur Berechnung von Druck- und Geschwindigkeitswellen in einem StoBwellenrohr beruht auf der Annahme kleiner Storungen in einer isentrop verlaufenden eindimensionalen Stromung. Man kann die vorgenommenen Untersuchungen auf groBere Storungen bei weiterhin isentroper Stromung erweitern, indem man die lineare Theorie raum-zeitlich lokal anwendet. Dies fiihrt zur nichtlinearen Theorie der eindimensionalen Druckwellen mit isentroper Zustandsanderung. Da auch solche Untersuchungen den tatsachlichen Stromungsablauf in einem StoBwellenrohr noch nicht vollstandig wiedergeben, sind im Rahmen der nichtlinearen Theorie auch VerdichtungsstoBe bei anisentroper Zustandsanderung zu beriicksichtigen. Uber die verschiedenen Berechnungsmethoden berichten Sauer [54] und Zierep [72]. Auf Einzelheiten der Wirkungsweise von StoBwellenrohren sowie auf die verschiedenen Ausfuhrungsmoglichkeiten sei hier nicht naher eingegangen. Man beachte hierzu besonders die umfangreiche Darstellung von Oertel [41]. b) Druckrohrleitung einer Wasserkraftanlage Bei einer Wasserkraftanlage nach Abb. 3.52 wird der Kraftstation (Turbine) das Wasser vom hoher gelegenen Stau- oder Speicherbecken durch eine sogenannte Druckrohrleitung zugefuhrt. Bei stationarem Betriebszustand (= Beharrungszustand) entspricht der Druck des in die Turbine eintretenden Wassers der hydrostatischen Druckhohe. Der zuflieBende Wasserstrom mufi regelbar sein, d. h. die Rohrleitung muB z.B. durch eine Regelvorrichtung (Regelorgan) geschlossen oder geoffnet werden konnen. Beim SchlieBen des Schiebers entstehen zunachst Druckerhohungen und beim Offnen zunachst Druckerniedrigungen, die sich uber die ganze Rohrleitung ausbreiten und die Rohrwandung entsprechend beanspruchen, man vergleiche hierzu die Ausfiihrungen iiber die WasserschloBschwingungen in Kap. 3.4.5.3 Beispiel c. Dabei interessiert in erster Linie die entstehende Druckwelle; besonders deren Spitzenwert, z.B. bei schnellem SchlieBen (Druckwellen kurzer Periode = Wasserschlag).32 Fiir kilrzere, insbesondere horizontale Rohrleitungen kann man die Druckwelle im allgemeinen in einem WasserschloB auffangen, wahrend man fiir langere, unter hohem Innendruck stehende Leitungen eine besondere Berechnung des

31

Dargestellt sind in Abb. 4.21 a die rechts- und linkslaufigen Charakteristiken/, (ausgezogen) bzw. Fn (gestrichelt) fiir n = 1 bis n = 8. Fiir die Anfangsbedingungen bei t = t0 gilt/, = a = Fi und/ 2 = 0 = F2. An den geschlossenen Rohrenden fiir n = 4, 5, 7, 8 werden die Geschwindigkeitswellen reflektiert; dort muB nach (4.100b) wegen v = 0 sein/, = Fn. Wenn man die Charakteristiken beginnend in den Punkten n = 1 und n = 2 im Verlauf der Zeit; unter Beachtung der jeweiligen Reflexion verfolgt, kommt man zu folgender Darstellung: / , = / 3 = / 5 A F 5 = F 6 = F 7 A/ 7

= a,

f2 A F2 = F, = F4 A / 4 = / 6 = / 8 A F , = 0 .

DaB Reflexion erfolgt, wird durch das Zeichen A gekennzeichnet. In den Punkten n = 3 und n = 6 iiberschneiden sich die rechts- und linkslaufigen Charakteristiken. Hier gilt/, = a, F3 = 0 bzw./ 6 = 0, F6 = a. Alle gefundenen Ergebnisse sind in Tab. 4.4 zusammengestellt. Die den Punkten zugeordneten Gebiete sind in Abb. 4.21 a markiert. 32 Haufig wird anstelle des Worts ,,Druckwelle" auch der Ausdruck ,,DruckstoB" verwendet. Da im folgenden die lineare Theorie kleiner Stoning nach Kap. 4.3.3.2 zugrunde gelegt werden soil, bei der VerdichtungsstoBe ausgeschlossen sind, wird die Bezeichnung "DruckstoB" weitgehend vermieden.

53

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

sm

5o Totalreflexion (p = 0) , Rohronfang (s = -l) 0,=const e - const ^Druckrohrleitung = const Regelorgan '.Sit)

h =const

i S(t)

Jim Offnen 1

1

I

5-

0 vt It) Rohrende

Abb. 4.22. Zur Berechnung der Druckwellen in der Druckrohrleitung einer Wasserkraftanlage, Bezeichnungen. a Anordnung. b Regelgesetze X = SISmax (SchlieBen: j\ = S/So, Offen: r/ = S/SJ)

instationaren Vorgangs durchfiihren muB. Als erster hat sich mit dieser Aufgabe theoretisch AUievi [4] beschaftigt. Seine Theorie bildet die Grundlage fur die Darstellungen in [16, 22, 28, 37,47, 59]. Von diesen Arbeiten sei besonders das Buch von Lowy [37] hervorgehoben. In Abb. 4.22 a ist eine Druckrohrleitung schematisch dargestellt. Ein einfaches geneigtes Rohr (Fallleitung) der Lange / mit der unveranderlichen Querschnittsflache A = const sowie mit der konstanten Wanddicke e mundet mit dem oberen Ende in ein Speicherbecken (Wasserfassung) ein und besitzt am unteren Ende die Regelvorrichtung (Schieber) mit der zeitlich veranderlichen Querschnittsflache S = S (t). Der Offnungsgrad der Regelvorrichtung zu einer bestimmten Zeit (SchlieB- oder Offnungsgesetz) werde durch (4.103)

) = - l i S 1 (Regelgesetz)

beschrieben mit Smra als groBtmoglichem Regelquerschnitt. Lineare Regelgesetze fur SchlieBen oder Offnen sind in Abb. 4.22 b dargestellt. Es empfiehlt sich, den Koordinatenursprung in den Ort zu legen, wo die hydraulische Stoning erzeugt wird; das ist die Regelvorrichtung. Somit gilt filr den Rohranfang s = — I und fur das Rohrende s = 0.33 Die GroBen im Rohr unmittelbar vor der Regelvorrichtung, d.h. am Rohrende (s = 0 - e) mit £ —> 0, werden mit dem Index e und die GroBen unmittelbar hinter der Regelvorrichtung, d. h. am Austria (s = 0 + £), mit dem Index a gekennzeichnet. Handelt es sich um GroBen des instationaren Betriebsvorgangs (t is t0), so wird dies jeweils durch fkt(t) vermerkt, wahrend im stationaren Betriebszustand (t = t0) die GroBen ohne einen besonderen Zusatz verwendet werden. Fur die instationare Druckanderung im Rohr am Ort vor der Regelvorrichtung giltpc(f) und ftir die Austrittsgeschwindigkeit va{i) bzw. va. Die Austrittsgeschwindigkeit va (i) berechnet man unter der Annahme einer quasistationaren Stromung aus der Torricellischen AusfluBformel (3.28b), vgl. (3.59b), zu — p,(t) - Vl + a(i)va

va(t) =

mit

va = V 2gh = const

(s = 0 + £) • (4.104 a, b)

Hierin ist h = const der Hohenunterschied zwischen dem Wasserspiegel im Speicherbecken und der Regelvorrichtung, pe(i) der bei der instationaren Stromung vor der Regelvorrichtung zusatzlich herrschende Druck sowie o(t) =

Pe(t) (p/2)v2a

2pe(t)

= 0-e)

Anstelle von x wird jetzt wieder 5 verwendet, vgl. FuBnote 26, S. 42.

(4.105)

54

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

der mit dem Geschwindigkeitsdruck der Austrittsgeschwindigkeit qa = (p/2) v2a gebildete zeitabhangige dimensionslose Druckbeiwert.34 Auch die Stromung durch die Regelvorrichtung kann man als quasistationar ansehen. Unter Beachtung der Kontinuitatsgleichung (3.41a) fur den Volumenstrom ve(t)A = va(t)S(t) ergibt sich fiir die Geschwindigkeit vor der Regelvorrichtung in Verbindung mit (4.103) und (4.104) ve(t) = — - va(t) = - ^ Vl + a(t)X{t)va (Reglercharakteristik). (4.106a, b) A A Am Rohranfang (offenes Rohr) herrscht ein der Wassertiefe im Becken entsprechender konstanter Druck; es treten dort wegen der dynamischen Randbedingung (4.100 a) keine Druckanderungen auf, p(t, -I) = 0. Die von der Regelvorrichtung ausgehende Druckwelle wird nach Durchlaufen der Rohrlange an der Einmiindungsstelle des Beckens reflektiert und kehrt mit umgekehrten Vorzeichen an ihren Ausgangspunkt zuriick, vgl. Abb. 4.19b. Man nennt diesen Vorgang eine Totalreflexion. Die Zeit eines solchen vollstandigen Hin- und Riicklaufs einer Welle heiBt die Reflexionszeit (Laufzeit) und umfaBt die sog. erste Phase. Sie betragt tr=— (Reflexionszeit). (4.107 a) c Da die Rohrlange / mit eingeht, ist tT eine fiir jede Anlage charakteristische GroBe. Meistens betrachtet man die Wellenausbreitung zu den sog. Hauptzeiten t = ti = to + itr mit 1 = 0 , 1 , 2 , . . .

(Hauptzeit).

(4.107b)

Es bedeutet i = 0, d.h. t = t0, den Beginn des instationaren Stromungsvorgangs und i =g 1 das Ende der ersten und der darauffolgenden Phasen. Die durch (4.96 a, b) beschriebenen Losungsansatze enthalten zwei Wellen, deren eine, namlich F, mit der Geschwindigkeit c stromaufwarts und deren andere, namlich/, mit derselben Geschwindigkeit c stromabwarts lauft, vgl. Abb. 4.18 b.35 Bei Totalreflexion am Rohranfang erhalt man mitp (t, - /) = 0 aus (4.96a) die Verknupfung/(f + l/c) = -F(t- l/c), vgl. Abb. 4.19b (Bild 2). Auf diese Weise bestimmt die Eintrittsoffnung bei s =— I den Zusammenhang zwischen den Funktionen/und F. Zur Zeit ttrifft am Rohranfang eine Druckwelle p = pc 2 F ein, die zur Zeit t - lie am Rohrende (s = 0) entstanden ist. Sie wird in voller absoluter GroBe am Rohranfang (s = - /) reflektiert und in eine mit umgekehrtem Vorzeichen versehene Druckwelle p = - pc 2 /umgewandelt. Diese erreicht das Rohrende zur Zeit t + lie. In .? = 0 sind also zwei Druckwellen iiberlagert, deren Laufzeit gleich der Reflexionszeit tr = 2l/c ist. Nimmt man eine Nullpunktverschiebung der Zeit vor, indem man / durch t ± l/c ersetzt, so wird fiir alle Stellen - / S s S O f(t) = -F(t-tr),

f(t + tr) = -F(t)

(dynamisches Reflexionsgesetz).

(4.108)

Die durch/dargestellte Druckwelle lauft um die Reflexionszeit /, vor oder hinter der durch F dargestellten Druckwelle her. Diese sehr wichtige Eigenschaft der Wellenreflexion, die jedoch nur bei Totalreflexion am offenen Rohranfang auftritt, beherrscht das Problem der Ausbreitung von Druckwellen in einfachen Leitungen. Wahrend eine am Austritt (Rohrende) durch die Regelung entstandene Druckwelle am Eintritt (Rohranfang) vollstandig und gegensinnig reflektiert wird, wird eine im Druckrohr absteigende Druckwelle am Austritt entweder gleichsinnig oder gegensinnig und ferner entweder vollstandig, teilweise oder gar nicht reflektiert. MaBgeblich fiir GroBe, Sinn und Art der reflektierten Welle in bezug auf die ankommende Welle sind Vorzeichen und Absolutwert des sog. Reflexionsfaktors/(f + x/c)IF (t — x/c). Druck und Geschwindigkeit am Ende der Rohrleitung unmittelbar vor der Regelvorrichtung sind die Unbekannten der Aufgabe. Dies trifft insbesondere fiir die durch die instationare Stromung hervorgerufene Druckanderung p, (t) zu. Fiir die Zeit t erhalt man aus (4.96 a, b) Pe(i) = pc 2 [/ e (0 +Fc(0] ,

ve(i) = c [fM-FM]

•

(4.109a)

Schreibt man die Druck- und Geschwindigkeitsanderungen jetzt auch fiir die Zeit (t — tr) auf, so findet man unter Beachtung des Reflexionsgesetzes (4.108) den Zusammenhang zwischen den Druck- und 34 Im Wasserbau ist es iiblich, mit Druckhohen statt mit Druckbeiwerten zu rechnen, und zwar gelten hierftir die Zusammenhange he(i) =pe(t)/(>g bzw. a(i) = he(t)lh. 35 Zugrundegelegt wird ein mitbewegtes Bezugssystem, bei dem t' A t gesetzt wird.

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

55

Geschwindigkeitsanderungen zu den Zeiten t und (t - tr) als Vertraglichkeitsbedingung, vgl. (4.97), pe(t-tr)+pe(t) = pc[ve(t-tr)-ve(t)]

(s = 0-e).

(4.109b)

Wegen (4.90a) darf anstelle der Differenz der Geschwindigkeitsanderungen ve(t - tr) - ve(i) die Differenz der Gesamtgeschwindigkeiten ve(t-tr)ve(t) geschrieben werden. Nach Einsetzen der Druckbeiwerte gemaB (4.106 b) fur t und (t - tr) erhalt man fur die Berechnung der Druckwellen die Rekursionsformel a(t-tr)-X(t-tr)-'Jl

(4.110)

Hierin stellt neben der Reflexionszeit t, nach (4.107 a) der Ausdruck k =2

~

mit va = \flgh

(Rohrcharakteristik)

(4.111)

eine fiir jede Anlage typische GroBe dar. Es ist c A c/Vl + £nach (4.35) in Verbindung mit (4.88 b) die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Dmckwelle. Sie erfaBt sowohl den EinfluB der Dichteanderung des Fluids als auch die Elastizitat der Rohrwand. Zu den Hauptzeiten tt entsprechend (4.107b) kann man mit <j(t,) = a{t0 + itr) = o; usw. fiir (4.110) schreiben o,_i +ffi= t [ V l + o-,-_, • A,_, - V 1 + a, • A,]

(4.112)

Nach Abb. 4.23 a werden zwei Regelgesetze A, = A(f,) ausgehend von t, = ta betrachtet. Die Regelung moge als teilweises SchlieBen oder Offnen der Regelvorrichtung bei i = 0 beginnen. Die Druckverlaufe Oi = a (f,-), auch Allievi-Driicke genant, sind jeweils in Abb. 4.23 b schematisch gezeigt. Am Ende der ersten Phase (;' = 1) kann die Druckwelle a, g 0 (Oberdruck beim SchlieBen oder Unterdruck beim Offnen) entweder wieder ab oder auch weiter zunehmen. Im ersten Fall stellt a, = oma > 0 bzw. cjmin < 0 einen Extremwert und im zweiten Fall nur einen Zwischenwert dar. Die durch den SchlieBvorgang erzeugte Uberdruckwelle kommt vom Rohranfang als Unterdruckwelle zuriick (fiir den Offnungsvorgang gilt die entgegengesetzte Aussage). Wahrend der zweiten Phase uberlagem sich beide Wellen, wodurch der instationare Druck geringer wird, als wenn die Riicklaufwelle nicht eintreffen wiirde. Bei ihrer Ankunft am Rohrende wird diese Riicklaufwelle ihrerseits reflektiert, und zwar entweder als Unterdruckoder als Uberdruckwelle. Diese Welle wird aber erst dariiber entscheiden, ob der Druck im Verlauf der zweiten Phase noch weiter iiber den Wert oi hinaus ansteigt oder unter diesen Wert absinkt. Aus den Darstellungen in Abb. 4.23 liest man ab, daB A_, = Ao und a_l = a0 = 0 ist.

;=o

-1

i= 0

r

min<0

Abb. 4.23. Zur Berechnung der Druckwellen in der Druckrohrleitung einer Wasserkraftanlage nach Abb. 4.22 (schematische Darstellung). a Einfache Regelgesetze: teilweises SchlieBen oder teilweises Offnen. b Mogliche Druckwellen (oszillierend, monoton): Uberdruck- bzw. Unterdruckwellen

4.3 Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase)

56

,

t

Abb. 4.24. Druckwellen am Ende der Druckrohrleitung einer Wasserkraftanlage bei schnellem vollstandigem SchlieBen. a Regelgesetze: plotzlicher oder beliebiger SchlieBvorgang innerhalb der ersten Phase, b Zeitlicher Verlauf der Druckwellen am Rohrende (direkte Druckwelle)

Mit i = 1 beginnend bezeichnet man (4.112), in der hier etwas abgewandelten Form, als die Allievischen Kettengleichungen, weil es sich hierbei um eine Serie von gekoppelten Gleichungen (Rekursionsformeln) fur die verschiedenen durch i jg 1 beschriebenen Phasen handelt. Mittels dieser Gleichungen kann zu irgendeiner Zeit die instationare Druckanderung am unteren Rohrende kurz vor der Regelvorrichtung schrittweise berechnet werden, wenn das Regelgesetz X(t) nach (4.103) sowie der Druckbeiwert
Tabelle 4.5. Ermittlung des instationaren Druckbeiwerts d = a(tj) am Ende einer plotzlich vollstandig geschlossenen Druckrohrleitung nach der linearen Wellentheorie, Abb. 4.24 SchlieOgesetz

0 1 8! O

2

3

I % % 0 0

/

/ / / /

/

Druckwelle

h

a

"0

0

/

0

0 0 0

0

,

+ kX0 - kl0

/

+

kfa

4.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichteveranderlichen Fluids

57

zelnen Phasen dem Betrag nach konstant. Sie wechseln von Phase zu Phase das Vorzeichen (Uber- bzw. Unterdruckwelle). Sie stellen die groBtmoglichen Druckwellen am Ende der einfachen Rohrleitung nach Abb. 4.22 a dar. Der maximale instationare Druckanstieg (maximale Druckwelle), auch direkter Sto8 Oder Joukowsky-StoB genannt, betragt mit (4.111) und (4.105) (direkte Druckwelle) .

(4.113a, b)

Beim Fall des kontinuierlichen vollstandigen SchlieBens innerhalb der ersten Phase 0 S { ( , - 1 0 ) S tr tritt die direkte Druckwelle ebenfalls auf. Es erfolgt noch keine Uberlagerung mit der reflektierten Welle. Betrachtet man jetzt die Zeitpunkte nach dem AbschluB f & ( , mit A ( ( g ts) = 0, so leitet man hierfiir aus (4.110) die Rekursionsformel

a(ts + itr)=-a(ts + ( i - IK)

(t a ts, i = 1, 2, ...)

(4.114)

ab. Nach vollstandigem SchlieBen pendelt also die Druckwelle entsprechend den gestrichelten Linienziigen in Abb. 4.24 b mit positiven und negativen Druckanderungen gleicher absoluter Starke zwischen den Hauptzeiten hin und her. Es stellt sich eine alternierende Druckschwingung mit der Periode 2tr ein. In Wirklichkeit klingen die Amplituden im wesentlichen als Folge des reibungsbedingten fluidmechanischen Energieverlusts im Rohr mehr oder weniger stark ab. Langsamer SchlieBvorgang. 1st die SchlieBzeit (ts - t0) > tr, so tritt vom Zeitpunkt t = to + tr, bei welchem der Regelvorgang noch nicht vollstandig abgeschlossen ist, Uberlagerung mit den reflektierten Druckwellen ein, so daB der Wert der direkten Druckwelle amax nicht erreicht werden kann. Am SchluB der ersten Phase (tt = t0 + tr) ist der Druckbeiwert am Rohrende nach (4.112) mit a0 = 0 und in Verbindung mit (4.113 a) durch (4.115a, b) gegeben mit rj, = AJA0 = S(r,)/S(t 0 ) als SchlieBgrad zur Zeit f=(, vgl. Abb. 4.22b. Gl. (4.115b) bestatigt, daB fiir den vorliegenden FallCT, <7, fiir i =S 2 auftreten kann [47]. Nach Beendigung des vollstandigen SchlieBens, d.h. fiir / a ts oder fiir die von ts ausgehenden Hauptzeiten t = tj = ts + jtr mity = 0, 1, 2, ..., folgt aus (4.112) mit Aj = 0 fiir die Druckbeiwerte zweier aufeinander folgender Phasen 0 ' = 1 , 2 , ...)

(4.116)

Dabei ist a0 = a(ts) der Druckbeiwert am Ende des SchlieBvorgangs. Wie beim schnellen SchlieBen stellt sich bei geschlossener Rohrleitung eine alternierende Druckschwingung ahnlich wie in Abb. 4.24 ein.

Abb. 4.25. Druckwelle am Ende der Rohrleitung bei langsamem linearem SchlieBvorgang [16] 36

DaB die diskreten Werte o; = a(t,) nicht durch Geraden, sondern durch leicht gekriimmte Kurven miteinander verbunden sind, hangt mit der Berechnung des vollstandigen Verlaufs a(t) zusammen.

58

4.4 Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen

Bei teilweisem SchlieBen tritt nach AbschluB des Regelvorgangs entweder eine alternierende, jedoch abklingende Druckschwingung oder eine aperiodisch abklingende Druckschwingung auf. Vorgang des Offhens. Der Vorgang des Offnens laBt sich in analoger Weise wie beim SchlieBen mittels (4.112) behandeln. Filr den Fall des plotzlichen vollstandigen Offnens lautet das SchlieBgesetz \{t = t0 - e) = 0 und \(t = t0 + e) = Xm. Mit Ao = 0 und a0 = 0 folgt aus (4.112) die Beziehung fur den Wert der Druckwelle innerhalb der ersten Phase ax = — kX. V 1 + oi mit der Losung

ax=-ie\

F / / k ' \

2

k'l

c S

/ l + f-^r) --=- <0 mit kr = kX. = 2—-?-. L\ \ 2/ 2J va A

(4.117a)

Im Gegensatz zum SchlieBen, bei dem in der ersten Phase eine instationare Uberdruckwelle auftritt, bildet sich jetzt eine instationare Unterdruckwelle aus. Fiir k'/2 < 1 nimmt ajk' einen negativen Extremwert an. Es gilt also CT,>c7lmin = - U M = - 2 — 4 ^ . (4.117b) va A Verglichen mit (4.113 a) erkemit man fiir So = SM (vgl. Abb. 4.22 b), daBCT,min den gleichen Betrag wie die direkte Druckwelle annimmt.

4.4 Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen 4.4.1 Einfiihrung AUgemeines. In Kap. 3.4 wurde die Stromung dichtebestandiger Fluide (Fliissigkeiten) in Rohrleitungen besprochen. Diese Untersuchungen sollen im folgenden auf dichteveranderliche Fluide (Gase) ausgedehnt werden. Je nach Verwendungszweck kommen nicht-warmeisolierte Leitungen, z.B. lange unterirdische Fernleitungen, bei denen das stromende Gas die Umgebungstemperatur annimmt (Warmeaustausch durch die Rohrwand), oder gut-warmeisolierte Leitungen, die z.B. dem Transport heiBer oder kalter Gase dienen (kein Warmeaustausch durch die Rohrwand), vor. Kurze Rohrleitungen verhalten sich ahnlich wie warmeisolierte Leitungen. Stromungsverhalten und thermodynamischer Zustand. Die Rohrstromung eines dichteveranderlichen Fluids bewirkt nicht nur eine Anderung des Drucks stromabwarts, sondern auch Anderungen der Dichte und Temperatur. Als stromendes Fluid wird ein vollkommen ideales Gas angenommen, welches der thermischen Zustandsgleichung (4.21) gehorcht und konstante Warmekapazitat sowie vernachlassigbar kleine Warmeleitfahigkeit besitzt. Es wird eine stationare eindimensionale Rohrstromung (gleichmaBige Verteilung der ZustandsgroBen iiber die Rohrquerschnitte) zugrunde gelegt. Neben dem Auftreten von Verlusten an fluidmechanischer Energie (Geschwindigkeits- plus Druckenergie) durch Reibungseinfliisse (laminar, turbulent) spielt bei der Fortleitung des Gases die Art des Warmeumsatzes durch Warmezufuhr bzw. Warmeabfuhr (negative Warmezufuhr) eine wesentliche Rolle. Sie kann entweder von auBen durch Warmeiibertragung iiber die Rohrwand mittels

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren

59

Konvektion oder Strahlung oder durch Warmeerzeugung im Inneren des Rohrs mittels Verbrennung oder chemischer Umsetzung erfolgen, wobei letztere wie von auGen zu- bzw. abgefiihrte Warme wirkt. Bei der Warmeubertragung hangen die thermodynamischen Zustandsanderungen von der technischen Ausfiihrung der Rohrleitung ab. Wahrend der Fall einer gut-warmeisolierten Leitung naherungsweise als Grenzfall einer adiabaten Zustandsanderung angesehen werden kann, stellt sich im Fall einer nicht-warmeisolierten Leitung eine isotherme Zustandsanderung ein. Im ersten Fall handelt es sich also um eine adiabate Rohrstromung mit Reibung und im zweiten Fall um eine diabate Rohrstromung, bei der bei konstant gehaltener Temperatur sowohl Reibung als auch Warmeumsatz auftreten. Die letzte Feststellung gilt allgemein fur geheizte und gekiihlte Leitungen, bei denen die Zustandsanderung mit einer Temperaturanderung verbunden ist. Vernachlassigt man die Reibung gegeniiber dem Warmeumsatz, so ist dieser Fall praktisch nur bedingt zu verwirklichen. Eine solche diabate Rohrstromung mit Warmezufuhr bzw. Warmeabfuhr stellt somit einen theoretischen Grenzfall dar. Ahnlich wie in Kap. 3.4.3 wird in Kap. 4.4.2 die Stromung von Gasen in geradlinig verlaufenden Rohren mit konstantem Querschnitt behandelt, und zwar die reibungslose Rohrstromung mit Warmezufuhr (Rayleigh-Stromung) in Kap. 4.4.2.2, die adiabate Rohrstromung mit Reibung in Kap. 4.4.2.3 (Fanno-Stromung) und die Rohrstromung bei konstanter Temperatur in Kap. 4.4.2.4 (isothermer Zustand). Mit solchen Untersuchungen haben sich Shapiro und Hawthorne [63] sowie [13, 19, 20, 24, 31, 38, 64, 69] befaGt. Auf die Darstellungen in einigen Lehrbiichern [9, 14, 21, 42, 51, 62, 65] sei hingewiesen. Fur die numerische Behandlung der in diesem Kapitel dargelegten Theorien stehen entsprechende Formelsammlungen und Tabellen zur Verfugung [3, 5, 7, 8, 14, 15, 25, 27, 29, 32, 62].

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren 4.4.2.1 Grundlagen zur Berechnung der Gasstromung in Rohrleitungen Allgemeines. Zur Beschreibung der Rohrstromung werden die Ausgangsgleichungen bei stationarer, eindimensionaler Bewegung sowie einige daraus zu ziehende Folgerungen sowohl in differentieller als auch in integraler Form bereitgestellt. Geometrie. Langs einer geradlinig oder nur schwach gekrummt vorausgesetzten Rohrachse x besitzte das Rohr nach Abb. 4.26 zwischen dem Rohranfang (Rohreintritt, Zustromzustand) an der Stelle (1) und dem Rohrende (Rohraustritt, Ausstromzustand) an der Stelle (2) die Lange L = x2 - xl. Die Querschnittsflache sei ungeandert A(x)=A = const. Ein nichtkreisformiger Querschnitt wird durch den gleichwertigen Durchmesser nach (3.77) erfaBt, D = 4A/U. Die Rohrleitung sei horizontal in x-Richtung verlegt, so daB der SchwereeinfluB unberiicksichtigt bleibt.

60

4.4 Stromung didhteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen

Abb. 4.26. Zur Berechnung der Gasstromung in einem Rohr der Lange L. Kessel (Index 0), Ausstromraum (Index b). a Unterschall-Zustromung, konvergente Diise. b Uberschall-Zustromung, konvergent-divergente Diise (Laval-Diise)

RohranschluB. Das Rohr sei nach Abb. 4.26 a, b an einen Kessel (Index 0) angeschlossen und endet vor Austritt (Index 2) in den Ausstromraum (Index b). Infolge des Druckgefalles pb /p0 < 1 bildet sich die Stromung im Rohr aus. Soil am Rohranfang (Index 1) Unterschallgeschwindigkeit (Mal < 1) herrschen, so geniigt beim AnschluB des Rohrs,an den Kessel eine einfache konvergente Diise nach Abb. 4.26 a. Soil dagegen die Stromung am Rohranfang mit Uberschallgeschwindigkeit {Max > 1) erfolgen, so ist zwischen Kessel und Rohrleitung eine konvergent-divergente Diise (Laval-Diise) entsprechend Kap. 4.3.2.7 Beispiel a.3 einzubauen. Dabei kann eine solche Diise nur der Erzeugung einer bestimmten Uberschall-Machzahl Max > 1 dienen. Soil sie fiir verschiedene UberschallMach-Zahlen genutzt werden, ist sie entsprechend mit variabler Geometrie'auszustatten. Das fiir die Aufrechterhaltung der Rohrstromung erforderliche Druckgefalle betragt bei Annahme eines reibungslosen und adiabaten (isentropen) Stromungszustands nach (4.68 b) mitp A Pi und Ma 4 Max < 1 (Druckgefalle).

Po

(4.118a)

Fiir den der Rohrleitung aus dem Kessel (Index 0) zugefiihiten Massenstrom rhA gilt in dimensionsloser Darstellung nach (4.71) mit Ma 4 Max mA

= MaA\

JC-1

Ma\ I 2

(Massenstrom),

(4.118b)

Es ist (>oco = V ^ f o P o e m e StoffgroBe des Kesselzustands. Fiir Max — 1 ergibt sich mit K = 1,4 der Wert mA/pocoA = 0,579. Mach-Zahl. Da das stromende Gas als dichteveranderliches Fluid angesehen werden soil, sind neben den Bilanzgleichungen auch die Stoffgleichungen mit heranzuziehen. Zugrande gelegt wird ein vollkommen ideales Gas, vgl. Tab. 1.2. Da die Reynolds-Zahl nicht explizit auftritt, kommt als maBgebende Kennzahl nur die Mach-Zahl Ma = v/c vor. Fiir sie und ihre Anderung gilt mit c2 nach (4.31 a)

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren

v2

dMa

61

=

dv

1 dT

^ (^iy^r' -mr -v-i^r-

(4 119a b)

-

'

Rohrreibung. Es sei angenommen, daB die Stromung bereits vom Rohranfang an tiber den gesamten Rohrquerschnitt von der Reibungswirkung erfaBt wird. Es handelt sich somit im Sinn von Kap. 3.4.3.2 um eine vollausgebildete Stromung. Die durch die Reibung bei der Fortbewegung des Gases verrichtete irreversible Dissipationsarbeit hat eine Verminderung der fiir den Stromungsverlauf zur Verfiigung stehenden Energie zur Folge. Das Ergebnis der in Kap. 3.4.3.2 fiir die vollausgebildete Rohrstromung durchgefiihrten Energiebetrachtung la'Bt sich nach (3.87c, d) folgendermaBen darstellen: dwr = 0, dwR = - dwD .

(4.120 a)

Es ist dwD die reibungsbedingte Dissipationsarbeit und dwR die von der Reibungskraft verrichtete Schlepparbeit. Dabei handelt es sich um massebezogene Arbeiten in J/kg = m2/s2 fiir ein Rohrelement vom Durchmesser D und von der Lange dx. Die GroBe (?dwD hat die Dimension eines Drucks N/m2. Es wird deshalb hierfiir die Bezeichnung dpe mit ,,e" als Index fiir fluidmechanischen Energieverlust, auch Totaldruckverlust genannt, eingefiihrt. In Verbindung mit (3.87d) laBt sich mit ds A dx und vm A v = dx/dt fiir (4.120 a) schreiben dwD = -^=A—

— = —dC,>0 (dC, = Xdx/D)

(4.120b)

mit v als mittlerer Geschwindigkeit, dC, als Verlustbeiwert des Rohrelements, vgl. (3.64a) und A als Rohrreibungszahl, iiber die anschlieBend berichtet wird. Nach Messungen von Frossel [23] an gasdurchstromten glatten Rohren mit konstantem Durchmesser stimmen die Werte fiir A bei Unter- und Uberschallgeschwindigkeit (die Nahe der Schallgeschwindigkeit sei ausgenommen), d.h. bei Ma $ 1 mit denjenigen bei Ma —> 0 (dichtebestandiges Fluid) praktisch iiberein. Hieraus folgt, daB die Rohrreibungszahl hinsichtlich ihrer Abhangigkeit von der Mach- und Reynolds-Zahl naherungsweise durch A (Ma, Re) ~ A (Re) dargestellt werden kann. Nach Keenan und Neumann [33] ergeben sich bei der Uberschallstromung fiir A Abweichungen in Richtung kleinerer Werte gegeniiber der vorgeschlagenen Naherung. Fiir die Reynolds-Zahl gilt Re = vD/v = puD/q. Bei konstantem Rohrequerschnitt (D = const) und konstanter Massenstromdichte (tpv = const) hangt die Rohrreibungszahl A ~ X(Re) somit nur von der dynamischen Viskositat r\ ~ r\(T) nach Abb. 1.4 d.h. nur noch von der Temperatur ab. Spielt dariiberhinaus die Rauheit der inneren Rohrwand k/D (k = Rauheitshohe, vgl. Tab. 3.4) eine Rolle, dann wird fiir die Rohrreibungszahl A = X(Ma, Re, k/D ~ X (T, k/D) angenommen. Fiir ein Rohr der Lange L = x2 — xx ergibt sich der Rohrverlustbeiwert durch Integration iiber x zwischen den Stellen (1) und (2) zu (2)'

J ^ = A ^ ^ = A - ^ - > 0 (i)

(A = const).

(4.120c)

62

4.4 Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen

Hierin gilt die zweite Beziehung fiir ein Rohr mit konstantem Durchmesser D unter der Annahme einer mittleren Rohrreibungszahl A = const, vgl. (3.82b). Warmeumsatz. Die Warmezufuhr (Heizen) bzw. die Warmeabfuhr (Kiihlen) erfolgen bei reversibler ProzeBfuhrung und zwar betragt nach (2.191b) sowie duB = 0 laut Voraussetzung, dwr = 0 nach (4.120 a) und dh-cpdT nach Tab. 1.2 der Warmeumsatz

dq=vdv + cpdT=cpdTt

mit Tt = (l + *^-Ma2)

T.

(4.121a, b)

Es wird als Abkiirzung die Totaltemperatur (adiabate Ruhetemperatur) Tt nach (4.78 a) eingefiihrt. Ausgangsgleichungen in differentieller Form. Der jeweilige Gaszustand gehorcht unabhangig davon, ob ein Warmeumsatz iiber die Rohrwand erfolgt, der thermischen Zustandsgleichung (4.21c). Als StoffgroBe spielt neben der Dichte p=p(p, T) die Schallgeschwindigkeit c nach (4.31) eine wichtige Rolle. Die Kontinuitatsgleichung (4.23 b) kann unverandert ubernommen werden. Die Energiegleichungen der Fluid- und Therrnofluidmechanik folgen aus (2.190b) und (2.191 b) mit duB = 0, dwr = 0 und dwD = - dwR sowie dh = cpdT. Zur Losung der Aufgabe in differentieller Form steht also das folgende auch fiir veranderlichen Rohrquerschnitt A (x) giiltige Gleichungssystem zur Verfiigung: dj> p

+

dT_dp= T p

vdv+ — +dwD = 0,

d? + dv + p v A

d_A=Q

vdv+cpdT=dq .

„

(4.122c, d)

Unter Beachtung von (4.119a) und (4.120b) kann man fiir (4.122c, d) auch schreiben: dv v

1 dp X dx . dv dT dq (K-l)Ma2—v + — KMa1— p =-^-FT> 2 D T = -^r. (4.122e,f) p 2 D v T cT Wahrend in (4.122 c) die durch die Rohrwand von auBen reversibel zu- oder abgefiihrte Warme dq nicht auftritt, ist in (4.122d) die von der Reibung des Fluids hervorgerufene irreversible Dissipationsarbeit dwD nicht enthalten. +

37 Aus (4.122a, b, e, f) erhalt man bei veranderlichem Rohrquerschnitt A = A(x) eine Beziehung fiir dA/A bei Variation der Geschwindigkeit, der Reibung und des Warmeumsatzes langs der Rohrachse. Nach der Kontinuitatsgleichung pvA = const ist die Querschnittsanderung dA/A gleich der negativen Anderung der Massenstromdichte d(pv)/pv. Es gilt

dA

(do —

~A~~~ \
4

dv\ dv 2 A dx ) = - ( 1 -Ma 2) V + KMa vJ ~~2~D

dq S0. cpT

—

Bei einer reibungslos und adiabat (isentrop) verlaufenden Stromung geht diese Beziehung mit (X = 0 = dq) in die fur die Anderung des Stromfadenquerschnitts nach (4.53 b) abgeleitete Beziehung iiber.

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren

63

Ausgangsgleichungen in integraler Form. Nachdem in (4.122) die Staff- und Bilanzgleichungen in differentieller Form bereitgestellt und anschlieBend einige Folgerungen daraus gezogen wurden, soil jetzt die entsprechende Darstellung in integraler Form gebracht werden. Die Ausgangsgleichungen gewinnt man durch Integration von (4.122 a, b, c, d) zwischen den Stellen (1) und (2) langs der Rohrachse. Zugrunde gelegt wird ein geradlinig verlaufendes Rohr mit gleichbleibendem Querschnitt (At = A2). Mithin folgt das Gleichungssystem: — - — —- (Zustand), fi

Pi +2

Q2 V2 = ^ vi

(Pe)i-,2 •qi^2

(A = const),

[N/m 2 ],

(4.123 a, b) (4.123 c) 38

[m2/s2] .

(4.123d)

Die Energiegleichung der Fluidmechanik (4.123 c) gilt fur reibungsbehaftete Stromung (mit Reibung), jedoch nicht notwendigerweise fur einen adiabaten Zustand. Die Energiegleichung der Thermofluidmechanik (4.123 d) gilt fiir eine diabate ProzeBfiihrung (mit Warmeumsatz), jedoch nicht notwendigerweise fiir eine reibungslose Stromung und entspricht (4.26a). Moglicher Stromungsablauf. Zur Beurteilung der thermodynamisch moglichen Zustandsanderung ist die Aussage des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik (Entropiegleichung) heranzuziehen. Hieriiber wurde ausfiihrlich in Kap. 2.6.4 berichtet. Nach (2.211) und (2.215b) gilt fiir die Anderung der spezifischen Entropie ds = — (dq + dwD) = dsa + dst ^ dsa

(4.124 a, b)

mit dsa als von auGen zu- oder abgefiihrter Entropie und dst als im Inneren erzeugter Entropie, man vgl. Tab. 2.14. Da der Warmeumsatz nach Kap. 4.4.2.1 reversibel erfolgen soil und damit keinen Beitrag zur inneren Entropie liefert, ist dsa = dq/T und dst - dwD/T. Wahrend die Anderung der auBeren Entropie durch die Art des Warmeumsatzes beim Durchstromen des Rohrs gegeben ist, laBt sich fiir die Anderung der inneren Entropie in einer Rohrstromung nach Einsetzen von (4.120b) in Verbindung mit (4.119 a) ein Ausdruck herleiten, der das Reibungsgesetz enthalt. Im einzelnen wird dq dsa=Y~$

0,

dst = 0 (Warmeumsatz),

dSi = (K- 1)cpMa2 - — S O ,

dsa = 0

(Reibung).

(4.125 a) (4.125b)

Dabei gilt in der letzten Beziehung das Gleichheitszeichen fiir den Fall reibungsloser Stromung (A = 0). Tritt bei adiabater Zustandsanderung (dsa = 0) ein un38

Bei der Integration von (4.122c), was zu (4.123c) filhrt, beachte man, daB pv = const nach (4.123b) und J p dwD = J dpe = (pe)[ _,2 nach (4.120b) ist.

64

4.4 Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen

stetiger Ubergang von einer Uberschall- zu einer Unterschallstromung in Form eines irreversiblen VerdichtungsstoBes auf, dann muB nach (4.125 b) die Entropie ds > 0 zunehmen. dsa = 0, ds > 0 (VerdichtungsstoB)

(4.125 c)

Ein unstetiger Ubergang von einer Unter- zu einer Uberschallstromung mit einem sog. ,,Verdunnungssto8" ist wegen ds < 0 thermodynamisch nicht moglich. Die Differenz der spezifischen Entropien zwischen zwei Stellen (1) und (2) langs der Rohrleitung kann nach (4.29 a) ermittelt werden, wenn man dort die Zustandsgleichung (4.123a), die Kontinuitatsgleichung (4.124b) sowie die MachZahlen Max = vjc1 und Ma2 = v2/c2 mit (cjc^2 = T2/Tx einsetzt. Man erhalt

Bei adiabat verlaufender Stromung muB stets s2- s^O

sein.

4.4.2.2 Reibungslose Rohrstromung mit Warmeumsatz (Rayleigh) Annahmen. Wahrend in Kap. 4.3.2.5 die reibungslose Fadenstromung ohne Warmeumsatz (dwD = 0 4= dq) ausfuhrlich behandelt wurde, soil im folgenden ebenfalls bei reibungsloser Stromung der EinfluB einer Warmezufuhr (Heizen) und einer Warmeabfuhr (Kiihlen) (dwD — 0 4= dq) untersucht werden. Die hier betrachtete diabate Rohrstromung erfolge bei reversibler ProzeBanderung (ds = dsa $ 0) und wird als Rayleigh-Stromung bezeichnet. Die folgende Untersuchung sei auf Stromungen in einem Rohr von gleichbleibendem Querschnitt (A = const) beschrankt. Der Warmeumsatz kann gemaB Abb. 4.26 zwischen den Stellen (1) und (2) langs der gesamten Rohrlange L = x2 — xl mit ql _,2 oder auch zwischen den Stellen (1) und (2) langs eines begrenzten Rohrabschnitts der Lange AL = xi-x; innerhalb einer sog. Reaktionszone mit (?i_>2 erfolgen. Da auBerhalb der Zone weder Reibung noch Warmeumsatz stromauf- und stromabwarts auftreten, bestehen zwischen den Stromungszustanden an den Stellen (1) und (1) sowie (2) und (2) keine Unterschiede, was bedeutet, daB q\^i =qi->2 ist. Ein Sonderfall mit einem ganz bestimmten reibungsbedingten Warmeumsatz stellt die isotherme Rohrstromung dar, tiber die in Kap. 4.4.2.4 berichtet wird. Zustandsanderungen. Durch einen Warmeumsatz werden die ZustandsgroBen in bestimmter Weise geandert. Diese Anderungen sollen in Abhangigkeit von der Mach-Zahl Ma und der zu- oder abgefiihrten dimensionslosen Warme d
_2{lMa)dMa 1 + KMO1 Ma

"

Bei Ma = 1 ist ds = 0, und die Entropie nimmt einen maximalen Wert (Grenzzustand) an. Alle Ergebnisse werden in Tab. 4.7 a diskutiert, wobei durch einen aufwarts gerichteten Pfeil eine Zunahme und durch einen abwarts gerichteten Pfeil eine Abnahme der ZustandsgroBe gekennzeichnet wird. Man erkennt, daB sich die Anderungen der ZustandsgroBen mit Ausnahme der Entropie, Temperatur- und Totaltemperaturanderung, vgl. (4.130 a), bei Unter- und Uberschallstromung (Ma g 1) entgegengesetzt verhalten. Von dieser Feststellung weicht die Temperaturanderung im Mach-Zahl-Bereich Ma' < Ma < 1 mit Ma' = 1/VK (= 0,845) ab. Hier ergibt sich das bemerkenswerte Ergebnis, wonach eine Warmezufuhr eine Temperaturabnahme und eine Warmeabfuhr eine Temperaturzunahme bewirkt. Im Unterschallbereich (Ma < 1) entsteht durch Warmezufuhr (dq > 0) eine beschleunigte Stromung (dv > 0), wahrend durch Warmeabfuhr eine verzogerte Stromung auftritt. Im Uberschallbereich (Ma > 1)

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren

65

Tabelle 4.6. Gasstromungen durch ein Rohr von konstantem Querschnitt (A = const) bei konstanter Massenstromdichte ((>v= const). a) Zustandsanderungen infolge Warmeumsatz und ReibungseinfluB39 b) ZustandsgroBen, auf Grenzzustand Ma* = 1 bezogen, (4.128 a, b) (1) reibungslos, mit Warmeumsatz (Rayleigh) (2) reibungsbehaftet, ohne Warmeumsatz (Fanno) (3) reibungsbehaftet, konstante Temperatur (isotherm) (4) isentrope Stromung (pvA = const), zum Vergleich nach Kap. 4.3.2.5 a)

(2)

(1)

dp

e

1 l-Ma2

p dT T

1 - KMa2 dq l-Ma2 cpT

dv

1 l-Ma2

V

KMa2

dq cp

KMa2 dq l-Ma2 cpT

dp

(3)

2

l-Ma

X

KMa2 X dx 1 - KMa2 2 D

dx

2 D

, l + (K-l)Ma2 1 — Ma'

X dx 2 D

1 dq ( K - l)Ma 2 cpT

K(K- l)Ma* X dx l-Ma2 2 D

dq cpT

o

KMa2 X dx l-Ma2 2 D

KMa2 X dx 1 - KMa2 2 D

dMa Ma

1 + KMa2 dq 2{I-Ma2) cpT

K , 2 + (K-l)Ma 2 X dx Ma 2 l-Ma2 2 D

1 (K-l)Ma2

b)

(1)

(2)

(4) 2

2

1 p + (x:-l)Ma ~U

f

K+1

r

K+1

dq cpT

P p*

1 + KMa (K+ l)Ma2

Mai

p p*

K+ 1 1 + KMa2

1 T K+1 U MaL2 + (K-l)Ma 2 J

T T*

UK+ l)Mal 2 [ 1 + KMa2 J

K+l

K+ 1

2 + (K-l)Ma2

2 + (K~1)MO2

r K+1 -U • a[2 + (K-l)Ma2\

1" K+1 "U ' a L 2 + (K-l)Ma 2 J

V

(K+l)Ma2

V*

1 + KMa2

s-s*

ml l W\l ln Ma

C

P

K+1

V^

+ KMa2)

il nn U ^ f H

K+1

Irr

[2 + (K-l)Ma2J

J

K+1

1 ^

L2 + (K-l)Ma 2 J

'

*]

\2 + (K-l)Ma2/

0

sind die Verhaltnisse umgekehrt. Eine Zu- oder Abfuhr von Warme wirkt auf die Anderung der Stromungsgeschwindigkeit im gleichen Sinn wie eine Verengung bzw. Erweiterung des Stromfadenquerschnitts bei adiabater Stromung (dq = 0). In Analogie zur Laval-Diise nach Kap. 4.3.2.7 Beispiel a.3 spricht man daher bei einem Rohr mit Warmeumsatz von auBen von einer Warmediise, vgl. [30], ZustandsgroBen. Fiir zwei durch (1) und (2) gekennzeichnete Stellen langs der Rohrleitung findet man die Verhaltniswerte der zugehorigen ZustandsgroBen zjzx mit z = p, p, ... in Abhangigkeit von den 39

Um die Abhangigkeiten der ZustandsgroBen z und ihrer Anderungen dz nur von der Mach-Zahl Ma bzw. dMa, d.h. dz/z =f(Ma, dMa), zu erhalten, sind die Zustandsanderungen dz/z =f(dq/cpT) bzw. dz/z =f(Xdx/2D) aus Tab. 4.6a (Spalte 1 bzw. 2) mit den GroBen dq/cpT=f(Ma) bzw. {X dx)/2D =f(Ma) zu multiplizieren.

4.4 Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen

66

Tabelle 4.7. Fluidmechanisches und thermodynamisches Verhalten bei Gasstromungen durch ein Rohr von konstantem Querschnitt, Ma' = 1 / V K ( = 0,845) Verdunnung: pj,; Verdichtung: pf; Depression (Expansion): pj,; Kompression pf; Verzogerung: v],, Mai,; Beschleunigung: vf, Ma^: Warmeabfuhr (Kiihlung) q\,\ Warmezufuhr (Heizen): q^ a) reibungslos, mit Warmeumsatz (Rayleigh)

T

C

p

i

i

T

T

T

Ma < Ma' Ma<\ Ma' < Ma < 1 Ma> 1

Warmeabfuhr, dq<0

Warmezufuhr, dq>0

Mach-Zahl-Bereich

Ma> 1

L T

T,

V

Ma

s

1

T

T

T

t

T

T

i

-I

t

i

4

b) reibungsbehaftet, ohne Warmeumsatz (Fanno)

T

T ±

T,

V

Ma s

i

i

I

i

i

T T

i

c) reibungsbehaftet, konstante Temperatur (isotherm)

Mach-Zahl-Bereich

9

p

T

u

Ma< 1

i

i

i

T T

T Ma < Ma'

i

Ma> 1

T

T

T

i

T Ma > Ma'

t

Ma

LI

Ma

i

T

T

T T

T

i

i

i

Mach-Zahl-Bereich
s

i

Mach-Zahlen Ma^ = fi/c, und Ma2 - v2/c2 aus (4.123 a, b, c) mit (p e ), _,2 = 0 in Verbindung mit (4.119a). Die Entropiedifferenz s2 - s, =f(MauMa2) erhalt man aus (4.126) durch Einsetzen von r 2 /r,. In Tab. 4.6b (Spalte 1) sind die auf den Grenzzustand (Ma* = 1, z* = p*, /?*, ...) bezogenen GroBen z = p, p, ... in der Form z/z* bzw. z — z* = (s — s*)cp in Abhangigkeit von der Mach-Zahl Ma wiedergegeben.40 DaB in den angegebenen Beziehungen die zu- oder abgefuhrte Warme q, _,2 nicht explizit auftritt, hangt damit zusammen, daB von (4.123 d) noch kein Gebrauch gemacht wurde. Alle Werte lassen sich in einfacher Weise numerisch bestimmen und tabellarisieren. Benutzt man diese normierten Werte, so erhalt man das Verhaltnis oder die Differenz zweier ZustandsgroBen zt, z2 an den Stellen (1) und (2), fiir welche die Mach-Zahlen Ma : und Ma2 gegeben sind, durch folgende Rechenregeln: z2 - z, = (z - z*)2 - (z - z*), =f(Ma,,

Ma2).

(4.128 a, b)

Die Kombination der Beziehungen fiir T2/r, und (s2 — sx)lcp gestattet fiir eine vorgegebene ZustromMach-Zahl Mat, die Aufstellung eines Temperatur-Entropie-Diagramms (Temperatur-Entropie-Diagramm).

(4.129)

Solche Diagramme sind in Abb. 4.27 a, b fiir eine Unterschall-Ausgangsstromung (Mal = 0,5) bzw. fur eine Uberschall-Ausgangsstromung (Ma, = 2,0) dargestellt. Die gestrichelten Kurven bezeichnet man als Rayleigh-Kurven. Dabei gelten die oberen Kurven fiir Unterschall- und die unteren Kurven fiir Uberschallstrb'mung (Ma2 S 1). Die Entropiedifferenz und das Temperaturverhaltnis besitzen bei Ma2 = Ma* = 1 bzw. Ma2 = Ma' = 1/\[K ihre Hochstwerte. Warmeumsatz. Die der Stromung zu- oder abgefuhrte Warme erhalt man in differentieller Form nach (4.121a, b)zu

= cpdT,~dTt^Q 40

mit T, = (l +

Ma2JT

(4.130a)

Zu den ZustandsgroBen z/z* =f(Ma) in Tab. 4.6b (Spalte 1) kommt man auch durch Integration der

GroBen jdz/z=f(Ma).

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren 10 i

1 1

1

,f

1

1

67 10

frf

7,5

/

Unterschallstrdmung

^

-? ^

7.5 -

W

r

K

L/<S2 1

' / • Verdichtungsstofl

/Ma"=l

, Jf<^ .... , T^

r

J4/\

\ 1

Ma' Unterscha llstrdmung

tr W ^

>"/ 05

Ma\ ^ ^

"*"„ Verdunn jngsstofl"

^

^

05

ss

0 -050

nn

Uberschall

iiberscha llstrdmung

strdmung

-ds—

-ds—

-025

-025

0

025

0,50

Abb. 4.27. Temperatur-Entropie-Diagramme fur Gasstromungen (K = 1,4) in einem Rohr von konstantem Querschnitt. a Unterschall-Zustromung (Ma, = 0,5), b Uberschall-Zustromung (Mat = 2,). : Reibungslose Rohrstromung mit Warmeumsatz (Rayleigh), Ma* = 1, Ma' — 1/VK (= 0,845); : adiabate Rohrstromung mit Reibung (Fanno), Ma* = I, Ma' —> 0. Zustromzustand: Mau T, s,; stromabwarts gelegener Zustand: Ma2, T2, s2; unstetige Zustandsanderung: Ma, —> Ma" (Ma, = 0,5, Ma" = 2,646, entspricht VerdiinnungsstoB, wegen s2 < s, nicht moglich; Ma, = 2,0, Ma" = 0,577, entspricht normalem VerdichtungsstoB, wegen s2 > ^i moglich) als Totaltemperatur.41 Die bezogene Warme dq/cpTin Abhangigkeit von der Mach-Zahl Ma ist Tab. 4.6a (Spalte 1) zu entnehmen. ZusammengefaBt gilt fur den Warmeumsatz beim Heizen und Kiihlen Heizen Grenzzustand \ dq~ dT, ~ ds ~ (1 — Ma2) dMa § 0 . Kuhlen

(4.130b)

Mitangegeben sind die Einfliisse der Entropie gemaB ds = dq/T und der Mach-Zahl Ma gemaB (4.127) und (4.130a). Mit ds = 0 wird der bereits erwahnte Grenzzustand fiir die Entropiedifferenz (s* — Si)/cp bei Ma* = 1 beschrieben, vgl. Abb. 4.27 a. In integraler Form erhalt man fiir den Warmeumsatz zwischen den Stellen (1) und (2)

a-T,,) = [^- - 1 c.7], =f(Ma,,Ma2) S 0 .

(4.131a)

Es hangt 1^2/^,! wieder nur von den beiden Parametern Mai u n ( l Ma2 ab. Fiir z/z* = TJT,* liegen in den genannten Quellen tabellarische Werte vor. Die Untersuchungen haben gezeigt, da6 man sowohl die Verhaltnisse der ZustandsgroBen z2lzi als auch den Warmeumsatz q, _»2 als Funktionen der Mach-Zahlen Ma, und Ma2 darstellen kann. Hieraus folgt, daB man bei gegebenen Werten an einer Stelle (1), d. h. Ma, und zx, die ZustandsgroBe an einer Stelle (2) durch die Abhangigkeit z2 = z, • f(May, q, _,2) beschreiben kann, vgl. (4.123 d). Das von einem Zustromzustand am Rohranfang Ma - Ma, bis zum Erreichen der Grenz-MachZahl Ma = Ma* = 1 auftretende Warmeaufnahmevermogen (Warmezufuhr) erhalt man aus (4.131a) mit T,, =f(Mau T,) und Ta =f(Ma%, T%) nach (4.130a) sowie Tf/T, nach Tab. 4.6b (Spalte 1) zu 2(K+\)Ma2 41

a2 = Ma*2=\).

(4.131b)

Ein Vergleich der spezifischen Warmekapazitat bei konstantem Druck cp in (4.130 a) mit der globalen spezifischen Warmekapazitat cF in der kalorimetrischen Gleichung (1.22 b) liefert fur das Verhaltnis der beiden Warmekapazitaten cFlcp = dTJdT = (1 - Ma2)/(\ - KMa1).

68

4.4 Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen

Die maximal erreichbare (kritische) Warmezufuhr q*->2 = qnax stellt sich bei dq = 0 ein, d.h. nach (4.130b) bei A/a, = 1. Im Unterschallbereich (Max < 1) kann man gmax vergroBern, indem man die Zustrom-Mach-Zahl A/a, erniedrigt, wahrend man im Uberschallbereich (A/a, > 1) einen groBeren Wert qma durch Erhohen der Zustrom-Mach-Zahl A/a, erreicht. Bei A/a, = 1 ist keine Warmezufuhr moglich,
s

s\ J

(Totaltemperatur-Entropie-Diagramm).

(4.132)

In Abb. 4.28 a ist das Verhaltnis der Totaltemperatur TJTf iiber der Entropiedifferenz (s — s*)/cp nach Tab. 4.6b (Spalte 1) mit der Mach-Zahl Ma als Parameter aufgetragen. Es ergeben sich fur den Unter- und Uberschallbereich (Ma S 1) zwei getrennte Kurven, die fur die Grenz-Mach-Zahl {Ma* = 1) bei s - s* = 0 den groBtmoglichen Wert T, = T* annehmen. Bei stetiger Annaherung an Ma = 1 nimmt die Totaltemperatur zu (dT, > 0), was nach (4.130 a) einer Warmezufuhr (dq > 0) und entsprechend (4.125 a) einer Entropieerhohung (ds - dsa > 0) entspricht. Beim stetigen Entfernen von Ma = 1 liegt Warmeabfuhr (dq < 0) mit entsprechender Entropieabnahme (ds < 0) vor. Wahrend fiir Ma —> 0 die Totaltemperatur den Wert T, = 0 annimmt, strebt bei Ma —> °= das Verhaltnis der Totaltemperaturen dem Wert (TJT,*)mia = (K2 — 1)/K 2 (= 0,490) zu, was dem Zustand des Vakuums mit T = 0 entspricht. Es seien zwei Stellen (1) und (2) langs der Rohrleitung betrachtet (voller bzw. leerer Punkt). Die thermodynamisch zulassigen Prozesse sind in Abb. 4.28 a schematisch dargestellt, vgl. auch Abb. 4.27. Eine Unterschallzustromung (Afa, < 1) kann stetig durch Kiihlen auf kleinere Mach-Zahlen (Ma2 S Ma ?i MaY) und durch Erwarmen mit qma = q*^2 bi s z u r Grenz-Mach-Zahl (Ma* = 1) gebracht werden. Beim Kiihlen ist bei ungeandertem Zustromzustand die abgefiihrte Warme theoretisch unbegrenzt. Bei einer Warmezu- oder -abfuhr nur in einer Richtung kann man eine Unterschallstromung nicht in eine Uberschallstromung iiberfiihren, da hierzu wegen ds < 0 gemaB (4.125 c) ein thermodynamisch nicht moglicher ,,VerdiinnungsstoB" erforderlich ware. Eine Unterschallzustromung laBt sich jedoch stetig in eine Uberschallstromung iiberfiihren, wenn man zunachst im Bereich A/a, S Ma s l das Huid mit dq>0 erwarmt und anschlieBend im Bereich 1 S= Ma ^ Ma2 > 1 mit dq<0 wieder abkiihlt. Bei Ma = 1 ist die Stromung wegen des dort vorliegenden adiabaten Zustands (dq = 0) nicht ohne weiteres in der Lage, Warme aufzunehmen oder abzugeben. Um diesen Stromungszustand zu ,,iiberbriicken", bedarf es zusatzlicher MaBnahmen, etwa indem der Querschnitt ortlich etwas erweitert und wieder eingeengt wird, damit an dieser Stelle der Ubergang vom beheizten zum gekiihlten Rohrteil vollzogen werden kann. Eine tiberschallzustromung (Ma1 > 1) kann stetig durch Kiihlen auf groBere Mach-Zahlen (Ma2 > Mai) u n d durch Erwarmen mit 0) verbunden ist. Diese ist gerade so groB, wie der Entropieunterschied zwischen den beiden Kurven fiir Ma > 1 und Ma < 1 bei T, = const. Den Nachweis fiihrt man folgendermaBen: Ist an der Stelle (1') die Zustrom-Mach-Zahl Mav, bekannt, so stellt sich an der Stelle (2') die durch den VerdichtungsstoB nach (4.64a) verkleinerte Mach-Zahl Mav ein. Mittels der Beziehung fiir die Entropieanderung (s — s*)/cp nach Tab. 4.6b (Spalte 1) berechnet man

42

Englisch: Thermal shocking.

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren

69

BrenzMach-Zahl

Verdichtungsstof) Uberschallstromung

1.4

-0..J5

-1.2

-C.JO

-1.0

-0.25

-0.8

-0.6

-0,20 -0.15 (s-s*)/cf •

-0,4

-0.10

-0.2

-0.05

0

0

Abb. 4.28. Verhalten von Gasstromungen in einem Rohr (K= 1,4): moglicher Stromungsablauf (7) —> (2). a Reibungslose Rohrstromung mit Warmeumsatz (Rayleigh). b Reibungsbehaftete Rohrstromung ohne Warmeumsatz (Fanno). • Ausgangszustand; O stromabwarts gelegener Zustand; © Grenzzustand (Index*), Ma = Ma* = 1; durch VerdichtungsstoB erreichter Zustand

die den beiden Mach-Zahlen Mav und MaT zugeordnete Entropieerhohung As' = s2- - sv = (s - s*)r (s - s*)r. Diese GroBe vergleicht man mit der Entropieerhohung durch den VerdichtungsstoB nach (4.60) As' — sT — sv und findet bestatigt, daB As' = As' ist.

4.4.2.3 Adiabate Rohrstromung mit Reibung (Fanno) Annahmen. Wahrend in Kap. 4.4.2.2 die reibungslose Rohrstromung mit Warmeumsatz (dwD = 0 4= dq) behandelt wurde, soil im folgenden die reibungsbehaftete Rohrstromung ohne Warmeumsatz (dwD + 0 = dq) untersucht werden. Die jetzt betrachtete adiabate Rohrstromung erfolgt bei irreversibler Zustandsanderung (ds = dsi > 0) und wird als Fanno-Stromung bezeichnet. Wegen q, _, 2 = 0 gilt nach (4.123 d) an jeder Stelle der vorliegenden Rohrstromung v2/2 + cpT=cpT,const. Die folgende Untersuchung sei wiederam auf die Stromung in einem Rohr von gieichbleibendem Querschnitt (A = const) beschrankt. Ein Sonderfall einer reibungsbehafteten Stromung bei konstanter Temperatur (isotherm) wird in Kap. 4.4.2.4 besprochen. Zustandsanderung. Durch die beim Durchstromen des Rohrs auftretende Wandreibung andern sich die ZustandsgroBen in bestimmter Weise. Diese Anderungen sollen in Abhangigkeit von der Mach-Zahl Ma und dem die Wandreibung bestimmenden Rohrverlustbeiwert Adx/D > 0 dargestellt werden. Aus (4.122a, b, e, f) und (4.119b) erhalt man mit dA - 0 und dq = 0 die in Tab. 4.6a (Spalte 2) mitgeteilten

70

4.4 Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen

Zusammenhange. Fiir die Entropieanderung gilt (4.125b) und damit nach Tab. 4.6a (Spalte 2) unter Beachtung der FuBnote 39 ds

„ A dx

— = (tc-l)Ma2 cp

2 D

X-Ma1

2(K-1)

= —:

K

dMa

2 + (x-l)Ma2

r

Ma

>0.

(4.133)

Alle Ergebnisse werden in Tab. 4.7 b diskutiert. Man erkennt, daB sich die Anderungen samtlicher ZustandsgroBen mit Ausnahme der Entropieanderung bei Unter- und Uberschallstromung entgegengesetzt verhalten. Ein Vergleich der adiabaten Rohrstromung mit Reibung mit der reibungslosen Rohrstromung mit Warmeumsatz ergibt hinsichtlich des Verhaltens bei Unter- und Uberschallstromung fiir p, p, v, Ma und s das gleiche Ergebnis. Bei der Temperatur T gilt diese Aussage nur fiir den Mach-Zahl-Bereich 1 / V K < Ma < 1 bzw. Ma > 1. Die Entropiedifferenz besitzt wie bei der reibungslosen Rohrstromung mit Warmeumsatz wegen ds = 0 bei Ma2 = Ma* = 1 ihren Hochstwert (Grenzzustand). Zustandsgrolien. Fiir zwei durch (1) und (2) gekennzeichnete Stellen langs der Rohrleitung findet man die Verhaltniswerte der ZustandsgroBen z2/z, mit z = (>, p, ... in Abhangigkeit von den Mach-Zahlen Ma, und Ma 2 aus (4.123 a, b, d) mit<ji^ 2 = 0 in Verbindung mit (4.119 a). Die Entropiedifferenz s2 - s, = f(Ma,, Ma2) erhalt man aus (4.126) durch Einsetzen von T2/T,. In Tab. 4.6b (Spalte 2) sind die auf den Grenzzustand (Ma* — 1) bezogenen GroBen wiedergegeben, vgl. hierzu die Ausfiihrung in Kap. 4.4.2.2 und Tab. 4.6a (Spalte 1). DaB in den angegebenen Beziehungen die Reibung (p,),^2 nicht explizit auftritt, hangt damit zusammen, daB von (4.123c) noch kein Gebrauch gemacht wurde. Auf (4.128a, b) wird hingewiesen. Die Kombination der Beziehungen fiir T2/T{ und (s2 — s,)/cp gestattet, wie schon in Kap. 4.4.2.3 erwahnt, fiir eine vorgegebene Mach-Zahl Ma, die Aufstellung eines Temperatur-Entropie-Diagramms (T, s). In Abb. 4.27 a und b sind fiir die Unterschallzustromung (Ma, = 0,5) bzw. fiir die Uberschallzustromung (Ma, = 2,0) solche Diagramme dargestellt. Die ausgezogenen Kurven bezeichnet man als Fanno-Kurven. Die oberen Kurven stellen Unter- und die unteren Kurven Uberschallstromungen dar. Nach Abb. 4.27 a, b stimmen die Fanno-Kurven mit den Rayleigh-Kurven im Schnittpunkt (1), d.h. bei der vorgegebenen Mach-Zahl Ma, 5 1 iiberein. Die Kurven schneiden sich dariiber hinaus noch ein zweites Mai, namlich bei Ma" S 1. Da die Punkte Ma, und Ma" sowohl einer Rayleighals auch einer Fanno-Kurve angehoren, herrscht in ihnen eine reibungslose, adiabat verlaufende Stromung. ReibungseinfluB. Den Zusammenhang zwischen dem Rohrverlustbeiwert C,, _^2 nach (4.120c) sowie den Mach-Zahlen Ma, und Ma2 findet man durch Integration der in Tab. 4.6 a (Spalte 2) fiir dMa/Ma = f(dQ = Adx/D) angegebenen Beziehung. Man erhalt das Ergebnis, vgl. (4.123 c) =A D

= D

( — 1 2 , Mai)

K\Ma

\ \_2 + (re- i)Ma2, \Ma

2K

=f(Ma,,Ma2).

(4.134a)

Fiir Ma, = Ma und Ma2 - Ma* = 1 sowie x2 = x* und x, = x bzw. x* - x = L* erhalt man x*-x

L*

1-Ma2

K+l

[

(K+

(4.134b)

In Abb. 4.29a ist f* =/(Ma) aufgetragen. Bei Ma = 1 gilt Q* = 0. Im Unterschallbereich (0 < Ma < 1) ist ~ > £* > 0, wahrend im Uberschallbereich (1 < Ma < °=) die Werte C,* begrenzt sind, namlich 0 < C,* < CX (= 0,822). Sind an den Stellen (1) und (2) langs der Rohrleitung die Mach-Zahlen Ma, und Ma2 gegeben, dann gilt in Analogie zu (4.128b) die Rechenregel

S^2 = A ^ = A^p-AX-^p

= f,-?2.

(4.134c)

Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt, daB man sowohl die Verhaltnisse der ZustandsgroBen z2/z, als auch den Rohrverlustbeiwert £ t _,2 als Funktionen der Mach-Zahlen Ma, und Ma2 darstellen kann. Hieraus folgt, daB man bei gegebenen Werten an einer Stelle (1), d.h. Ma, und z,, die ZustandsgroBe an einer Stelle (2) durch die Abhangigkeit z2 = z, -f(Ma,, C,, _,2) beschreiben kann. Mogliches Stromungsverhalten. Ahnlich wie fiir die reibungslose Rohrstromung mit Warmeumsatz (Rayleigh-Stromung) in einem Totaltemperatur-Entropie-Diagramm nach Abb. 4.29 a laBt sich auch fiir die adiabate Rohrstromung mit Reibung (Fanno-Stromung) der mogliche Stromungsablauf aus dem Ver-

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren •?l

1—l

1

1

1

1

71 3

L = A — = f*, - (,% in Abhangigkeit von der Mach-Zahl Ma (K = 1,4). a Adiabate Stromung (Fanno), b isotherme Stromung Abb. 4.29. Rohrverlustbeiwert Q* = X

halten der Entropieanderung erklaren. In Abb. 4.28 b ist in einem Reibungsverlust-Entropie-Diagramm der Rohrverlustbeiwert C* iiber der Entropiedifferenz (s - s*)/cp) nach Tab. 4.6b (Spalte 2) aufgetragen: (Reibungsverlust-Entropie-Diagramm) .

«*=/

(4.135)

Wie in Abb. 4.28 a ergeben sich wieder zwei getrennte Kurven fiir den Unter- und Uberschallbereich (Ma S 1), die sich beide bei der Grenz-Mach-Zahl (Ma* = 1) treffen. Im vorliegenden Fall handelt es sich um eine irreversible Stromung (ds = ds, > 0) bei adiabater Zustandsanderung (dsa = 0), was nach (4.124b) besagt, daB in Stromungsrichtung stets ds > 0 sein muB. Dies bedeutet, daB alle von einer bestimmten Mach-Zahl Ma § 1 ausgehenden Stromungen dem Wert Ma = 1 zustreben. Es werden jetzt wieder zwei Stellen (1) und (2) langs der Rohrleitung betxachtet (voller bzw. leerer Punkt). Die thermodynamisch zulassigen Prozesse sind in Abb. 4.28 schematisch dargestellt. Eine Unterschallzustromung (Mat < 1) verlauft im Mach-Zahl-Bereich Afa, s Ma < Ma2 < 1 stetig. Ein Ubergang in eine tfberschallstromung Ma2 > 1 ist auszuschlieBen, da dies einen nicht moghchen ,,VerdiinnungsstoB" mit negativer Entropieanderung (ds < 0) zur Folge haben mtiBte, vgl. auch Abb. 4.27 a. Eine tjberschallzustromung (Ma, > 1) kann sich stromabwarts sowohl stetig als auch unstetig entwickeln. Im ersten Fall bleibt sie dabei eine stetig verlaufende Uberschallstromung Ma, s Ma > Ma2 > 1, wahrend sie im zweiten Fall unstetig mittels eines normalen VerdichtungsstoBes im Bereich der Mach-Zahlen May > 1 bis Ma2- < 1 in eine Unterschallstromung Ma2 < 1 iibergeht, vgl. auch Abb. 4.27b. Der tfbergang von der Uberschall- zur Unterschallstromung bedarf noch einer besonderen Erlauterung. An der Stelle (1') ist der Mach-Zahl vor Beginn des VerdichtungsstoBes Mar > 1 nach (4.134b) ein bestimmter Wert Q% =f(Mav) zugeordnet. Diesem entspricht nach Tab. 4.6b (Spalte 2) die Entropiedifferenz (sv - s*)/cp. Durch den VerdichtungsstoB erfahrt die Entropie sv bei festgehaltem Wert (,% = const gemaB (4.125c) eine Erhohung As' = s2- - sv > 0, die man nach (4.60) bestimmt. An der Stelle (2') betragt die durch den VerdichtungsstoB bedingte Entropiedifferenz also s2. -s* = (sv~ s*) + As'. Nach einfacher Zwischenrechnung erhalt man = In

/[2KMa2r-(K-

1)] « • [2 + ( K - I) Mai]"

(4.136)

Diese Beziehung ist bei jeweils konstanten Werten f*. =f(Mav) = const in Abb. 4.28b als StoBkurve dargestellt. Sie erstreckt sich im Bereich 1 < Mav < °° von 0 > (sT - s*) > - 0,139 bzw. von 0 < ?y < 0,822 mit K= 1,4. Es zeigt sich, daB der reibungsbedingte Entropiesprung von der Uberschall- zur Unterschallstromung bei £* = const groBer ist als der durch den VerdichtungsstoB verursachte Entropiesprung, d.h.

72

4.4 Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen

As' > As'. Nach Abb. 4.28 b geht jetzt der weitere Ubergang zur Unterschallkurve bei ungeanderter Unterschall-Mach-Zahl (Mach-Zahl hinter dem VerdichtungsstoB) entsprechend der StoBkurve isentrop vor sich, bis der Punkt (2') erreicht wird. Von hier ab kann sich die Stromung nur in Richtung auf die Grenz-Mach-Zahl (Ma* = 1) entwickeln. Die bisherige Betrachtung hat gezeigt, daB sich die GroBe C, * = A (L*/D) bei dem mit VerdichtungsstoB verbundenen Stromungsvorgang vergroBert hat. Bei der Beurteilung des Stromungsverhaltens der reibungsbehafteten Rohrstromung eines dichteveranderlichen Fluids spielt daher die zur Verfiigung stehende Rohrlange L $ L* eine wichtige Rolle. Zusammenhang von Rohrlange und Mach-Zahl. Werden mit (1) und (2) der Rohranfang bzw. das Rohrende bezeichnet, dann errechnet man den Rohrverlustbeiwert des endlich langen Rohrs nach (4.134 a). Bei gegebenem Rohrdurchmesser D - const und bekannter mittlerer Rohrreibungszahl A = const, ist £, _, 2 = A(L/D) nach (4.120c) ein unmittelbares Ma6 fiir die Rohrlange L = x2 — xx. Bei konstant gehaltenem Wert f n 2 wirkt sich eine z. B. durch Rauheit der Rohrinnenwand hervorgerufene vergroBerte Rohrreibungszahl A wie eine rechnerische Rohrverkilrzung aus. Die gleiche Aussage gilt bei einer Verkleinerung des Rohrdurchmessers. Bei gegebenen Werten A und D sind die Grenzlangen L* = x* - x, bei kleiner Unterschallgeschwindigkeit (Ma —> 0, £2 —> ~) wesentlich groBer als bei Uberschallgeschwindigkeit (Ma —> °°; Q* —> 0,822). Aus den bisherigen Betrachtungen hat sich gezeigt, daB bei adiabater Stromung mit Reibung in einem Rohr konstanten Querschnitts die Stromung sowohl bei einer Unter- als auch bei einer Uberschall-Zustrom-Mach-Zahl Ma, § 1 stromabwarts dem Grenzzustand (Ma* = 1) zustrebt. Die Grenzlange L*(Mat) ist dadurch gekennzeichnet, daB am Rohrende Ma2 = Ma* = 1 ist, vgl. Abb. 4.29 a. Bei Unterschallzustromung (Mai - 0,5) wird nach Abb. 4.30a das Rohr der Lange L L* paBt sich die Rohrstromung dadurch an, daB sich die urspriingliche Zustrom-Mach-Zahl verkleinert. Ein solcher Anpassungszustand ist moglich, weil sich bei der vorliegenden Unterschallstromung eine Stoning am Rohrende stromaufwarts bis zum Rohranfang auswirken kann. Bei Uberschallzustromung (Max = 3,0) wird nach Abb. 4.30b in einem Rohr der Lange LikL* die Stromungsgeschwindigkeit unter Vermeidung eines VerdichtungsstoBes innerhalb des Rohrs bei L-L* Schallgeschwindigkeit (Ma2 =1) erreichen. Bei groBerer Rohrlange L> L* tritt innerhalb des Rohrs immer ein VerdichtungsstoB mit anschlieBender Unterschallstromung auf, wobei letztere am Rohrende immer Schallgeschwindigkeit erreichen muB. Eine zunachst mit Uberschallgeschwindigkeit ablaufende Rohrstromung paBt sich also mittels eines VerdichtungsstoBes einer gegebenen Rohrlange an. In Abb. 4.30b sind fiir die Zustrom-Mach-Zahl Mai - 3 drei typische Falle entsprechend dem in Abb. 4.28 b gezeigten Verfahren dargestellt. Mit wachsender Rohrlange L>L* wandert der VerdichtungsstoB stromaufwarts. Druckverhalten. Fiir die in einer konvergenten Diise (Abb. 4.26 a) stetig verlaufende Unterschallstromung (Abb. 4.30a), d.h. fur Ma, < Ma2 g 1 erhalt man das Verhaltnis des Austrittsdrucks p2 zum Kesseldruckp o zu El = El El = -E± \_ p0 p0 Pi Ma2 /

' K 1

=f(Mau Ma2) (Unterschall).

(4.137 a)

M

Dabei stelltp^po < 1 das nach (4.118a) zur Erzeugung der Rohrstromung in der Diise benotigte Druckverhaltnis undp 2 /Pi < 1 das nach Tab. 4.6 b (Spalte 2) durch Reibung bedingte Druckverhaltnis dar. Wie bereits gezeigt wurde, strebt die Mach-Zahl im Rohraustritt dem Grenzwert Ma2 = Ma* = 1 zu. Fiir diesen Zustand gilt also nach (4.137 a) ftir das Druckverhaltnis

—VMa,fl PQ

KT

-t- 1/

+— \

2

MII|)"^:!'<1

(Ma2=l).

(4.137b)

/

Durch Absenken des Drucks im Ausstromraum pb < p0 nimmt die Mach-Zahl im Rohraustritt Ma2 < 1 zunachst kontinuierlich auf den Wert Ma2 = Ma* = 1 zu und erreicht dort den Grenzdruck p2—P*- In diesem Fall stimmen die Drucke im Rohraustritt und im Ausstromraum uberein, pb=p2 = p2, und es laBt Englisch: Frictional shocking.

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren

73

1,00

Anpassungszustand (Bntritts-Machzahl)

Abb. 4.30. Zusammenhang von Rohrlange L = x2 - x , und Mach-Zahl (Mau Ma (x), Ma2) bei reibungsbehafteter Stromung ohne Warmeumsatz ( K = 1,4). a Unterschall-Zustrom-Mach-Zahl Ma\ = 0,5 mit Anpassungszustand Mal < 0,5 fiir L > L*. b UberschaU-Zustrom-MachZahl Mai = 3,0 mit Anpassungszustand (VerdichtungsstoB) fiir L > L* U/0-

sich das Druckverhaltnis pjpo =f(Mal, Ma2) nach (4.137 a) berechnen. Bei einer weiteren Absenkung des Drucks im Ausstromraum gilt pb < p2 < p*, wobei sich das Druckverhaltnis p%lpa =f(Ma,) nach (4.137 b) berechnen laUt. In diesem Fall ist also stets Ma2 = 1, woraus man folgern kann, daB sich bei gegebener Mach-Zahl Mai fur den Druckbereich p*>ph>0 das Stromungsverhalten im Rohr (einschlieBlich des Rohraustritts) nicht iindert und damit gleich dem Zustand bei pb = p\ ist. Es sei noch eine Bemerkung zu den Begriffen Druckabfall, Druckanstieg und Totaldruckverlust gemacht: Der auf die Rohrlange dx bezogene Totaldruckverlust betragt nach (4.120b) unter Beachtung von (4.119a) mit
(Gesamtdruckverlust),

(4.138 a)

und die ebenfalls auf die Rohrlange dx bezogene reibungsbedingte Druckanderung erhalt man nach Tab. 4.6a (Spalte 2) in Verbindung mit (4.138a) zu dp dx

l + (K-l)Ma 2 dp, < 0, Druckabfall (Ma < 1) I-Ma1

lU

> 0, Druckanstieg (Ma > 1)

(4.138 b)

Bei der vorliegenden adiabaten Rohrstromung mit Reibung andert sich das Vorzeichen bei Ma = \. Druckabfall liegt bei Unterschallstromung in ahnlicher Weise wie bei der Stromung eines dichtebestandigen Fluids (Ma = 0, dpldx = - dpjdx) vor, wahrend bei Uberschallstromung Druckanstieg auftritt. Massenstrom. Zur Berechnung des bei Unterschallstromung Mai < Ma2 < 1 auf die GroBe PocoA bezogenen Massenstroms der adiabaten Rohrstromung mit Reibung mA steht (4.118b) mit mA/poc0A =f(Mat) zur Verfugung. Weiterhin gilt nach (4.137) fur das Druckverhaltnis p2lp0=f(Mau Ma2) und nach (4.134a) fur den Verlustbeiwert (Rohrlange) ^ _ 2 = X(L/D) =f(Malt Ma2). Aus den letzteren beiden

4.4 Stromung dichteveranderlicher Fluide (Gase) in Rohrleitungen

74

Beziehungen laBt sich Ma2 eliminieren, und man erhalt Max senstrom kann man also schreiben

=f(p2/p0,

). Fiir den bezogenen Mas-

(4.139 a) ±-) (P2>p%). DJ p0 Um diese Beziehung auszuwerten, geht man folgendermaBen vor: Fiir einen gewahlten Wert 0 < mj QQCQA < 0.579 (Ma{ = 1, K= 1,4) wird mittels (4.118b) Mat < 1 bestimmt. Fur einen vorgegebenen Wert 0 < A(L/D) < <*> nach (4.134a) sowie Einsetzen des bereits bestimmten Werts Max berechnet man Ma2 < 1. Mit den Werten Ma, und Ma2 findet man schlieBlich nach (4.137 a) den Wert p2/p0 > p*/p0 (Ma2 = 1). Fiir den Massenstrom im Grenzzustand (Ma2 = 1> Index *) erhalt man durch Einsetzen von (4.118 b) in (4.137 b) die einfache Beziehung K+l

(4.139 b) Pa

Aus der Feststellung im AnschluB an Gl. (4.137 b) fiber das Druckverhalten im Rohraustritt und im Ausstromraum, p2 bzw. pb, folgt, daB im Bereich pb < p% bei gegebenem Wert A (L/D) der groBtmogliche konstante Massenstrom mf = m, _„ auftritt. Man kann also schreiben • = const

(0
(4.139 c)

p*).

In Abb. 4.31 ist der dimensionslose Massenstrom mJ(>ocoA fiber dem Dmckverhaltnis p2/p0 mit dem Verlustbeiwert A(L/D) als Parameter dargestellt. Dabei sind die beiden Bereiche 0 < pb < p2 < p* und p*
0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Abb. 4.31. Adiabate Rohrstromung mit Reibung bei Unterschallgeschwindigkeit (konvergente Diise). Massenstrom mA/(>0c0A als Funktion des Druckverhaltnisses pjpo mit dem Verlustbeiwert (~ Rohrlange) A(L/D) als Parameter. Zustandsgr68en des Kesselzustandes Poi co,po; Druck im Rohraustritt p2; Druck im Ausstromraum pb (K = 1,4), vgl. [42]

4.4.2 Gasstromung in geradlinig verlaufenden Rohren

75

4.4.2.4 Rohrstromung bei konstanter Temperatur (isotherm) Annahmen. In Kap. 4.4.2.2 wurde die reibungslose Rohrstromung mit Warmeumsatz (dwD = 0 =t= dq) und in Kap. 4.4.2.3 die adiabate Rohrstromung mit Reibung (dq = 0 4= dwD) untersucht. Es soil jetzt die reibungsbehaftete Stromung in einem Rohr von gleichbleibendem Querschnitt (A = const) mit Warmeumsatz behandelt werden, bei der die zu- oder abgefiihrte Warme jeweils so groB ist, daB die Temperatur ungeandert bleibt (T = const). Es liegt also eine isotherme Rohrstromung (dT = 0, dwD =f= 0 # dq) vor. Bei dieser Stromung hangt die Rohrreibungszahl X, wie in Zusammenhang mit (4.120b) gezeigt wurde, nur von der Rauheit der Rohrinnenwand ab, d. h. X = X (k/D). Im allgemeinen andert sich das Verhaltnis k/D nicht, so daB mit X = const gerechnet werden kann. Zustandsanderungen. Aus (4.122 a, b, e, f) und (4.119 b) findet man mit dA = 0 und dT — 0 die in Tab. 4.6 a (Spalte 3) angegebenen Anderungen der ZustandsgroBen. Diese Ergebnisse werden in Tab. 4.7 c diskutiert. Bei der reibungslosen Rohrstromung mit Warmeumsatz (Rayleigh) in Kap. 4.4.2.2 und der adiabaten Rohrstromung mit Reibung (Fanno) in Kap. 4.4.2.3 wurde jeweils ein Grenzzustand bei Ma = 1 gefunden, der besagt, daB dort die Entropie ihre Hochstwerte erreicht (ds = 0). Um festzustellen, ob im vorliegenden Fall auch ein solcher Grenzzustand vorliegt, muB man das Verhalten der Entropie naher untersuchen. Fuhrt man in (4.125a) den Warmeumsatz dq/cpTund in (4.125b) den ReibungseinfluB Xdx/2D in ihren Abhangigkeiten von der Mach-Zahl Ma gemaB Tab. 4.6 a (Spalte 3) ein, dann wird (4.140a, b) ^ S 0 , ( 1 K M a ^ > 0 .. Ma cp K Ma Die letzte Beziehung zeigt nun, daB wegen dst > 0 nur die Zuordnungen xMa2 < 1, dMa > 0 und KMa2 > 1, dMa < 0 physikalisch moglich sind. Durch dieese Uberlegung wird somit ein Grenzzustand festgelegt, der sich fur jede Mach-Zahl Mat bei Ma2 = l/V/c(= 0,845) einstellt. Die gesamte Entropieanderung ds = dsa + dst ergibt sich zu ds/cp = [(K— 1)/K] (dMa/Ma). p

ZustandsgroBen. Fiir zwei durch (1) und (2) gekennzeichnete Stellen langs der Rohrleitung findet man mit T2/Tl = 1 die Verhaltniswerte der zugehorigen ZustandsgroBen p, p und v aus (4.123 a, b). Man beachte, daB nach (4.119a) Ma1IMai = v2/v1 ist. Es gilt Pi

p,

v2

Ma2

Die Entropiedifferenz folgt unmittelbar aus (4.126). Warmeumsatz. Um eine konstante Temperatur aufrecht zu erhalten, ist nach (4.122d) bzw. (4.123 d) mit dT - 0 bzw. T = const in Verbindung mit (4.119 a, b) der erforderliche Warmeumsatz ql^2='^r^(Ma22-

^

Ma\>cpT

(T = const).

(4.142 a, b)

2

Hieraus geht hervor, daB bei VergroBerung der Mach-Zahl Warme zu- und bei Verkleinerung der MachZahl Warme abgefiihrt werden muB. Reibungseinflul). Den Zusammenhang zwischen dem Rohrverlustbeiwert ^ _,2 nach (4.120c) sowie den Mach-Zahlen Max und Ma2 findet man durch Integration der in Tab. 4.6a (Spalte 3) fiir dMa/Ma = d Ma2/2Ma2 gegebenen Beziehung. Man erhalt das Ergebnis D

D

K

\Ma\

Ma2

^ l )

2 0

(r

= const),

(4.143a)

Fur Mat = Ma und Ma2 = 1/VK sind die Werte

in Abb. 4.29 b iiberMa fur K= 1,4 aufgetragen. Bei Ma' = 1/VK ist £* = 0. Im Gegensatz zu (Abb. 4.29 b) besitzt [,* fiir Ma —> <x> keinen asymptotischen Wert. Sind an den Stellen (1) und (2) langs der Rohrleitung die Mach-Zahlen Mal und Ma2 gegeben, so gilt zur Ermittlung von fi _,2 die Rechenregel (4.134 c). Auf eine weitergehende Behandlung der isothermen Rohrstromung, die in enger Anlehnung an diejenige der adiabaten Rohrstromung mit Reibung von Kap. 4.4.2.3 erfolgen kann, sowie auch der Rohrstromungen, bei denen Einflusse der Reibung und des Warmeumsatzes gleichzeitig auftreten, wird hier verzichtet, man vgl. Michalke [40 a].

76

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe 4.5.1 Einfiihrung Bei einem mit Uberschallgeschwindigkeit stationar angestromten Korper werden die Stromlinien, wie in Abb. 1.18 gezeigt, in schrag zur Anstromrichtung liegenden, mehr oder weniger starken schiefen Storfronten (Wellen-, StoBfront) umgelenkt. Dabei treten hinter der Front stetige oder unstetige Anderangen der vor der Front herrschenden fluidmechanischen und thermodynamischen GroBen auf. In Abb. 4.32 sind einige typische Falle einfacher Stromungsumlenkungen zusammengestellt. Konvexe Umlenkungen (linke Seite) werden durch negative Umlenkwinkel ( # < 0) und konkave Umlenkungen (rechte Seite) durch positive Umlenkwinkel (&> 0) beschrieben. Die GroBen vor der Front, Stelle (1), werden mit dem Index 1 und diejenigen hinter der Front, Stelle (2), mit dem Index 2 gekennzeichnet.44 Bei der Umlenkung um eine schwach geknickte Wand (flache Ecke) (| &\ —> 0) wird die Storfront nach Abb. 4.32a aus einer einzigen geraden Machwelle gebilMachivelle Ma-,

Machwelle Ma-,

v///////////////; Ma-, Verdiinnungsfacher

Ma, L^rtV^Verdichtungsfoche'r

7/77/////////

ferdunnungsfacher

Yertf/Wungs-

i

Abb. 4.32. Umlenkungen von Uberschallstromungen (yx > c t ). a Schwach geknickte Wand, b gekrummte Wand, c stark geknickte Wand. Links: konvexe Umlenkung, Verdunnung (= Expansion), Depression: t?< 0, v2 > vup2 Mav Rechts: konkave Umlenkung, Verdichtung, Kompression: &> 0, v2 < vl,p2>pl, $2> p,,M 44

Fur die numerische Behandlung der in diesem Kapitel dargelegten Theorie stehen entsprechende Formelsammlungen und Tabellen zur Verfugung [3, 5, 14, 25, 27, 32].

4.5.1 Einfuhrung

77

det, die nur eine schwache, stetig verlaufende Anderung der StromungsgroBen hervorruft. Bei der konvexen Umlenkung erfahrt die Stromung eine Verdiinnung (P2 < P\) und bei der konkaven Umlenkung eine Verdichtung (p2 > fi)- Die Neigung der Machwelle (Machlinie) gegeniiber der Richtung der Zustromgeschwindigkeit u, wird durch den Machwinkel pi gemessen, der sich nach (1.52) aus i

< 1, tan/ii = -j=^= (Max > 1) (4.144a, b) Ma lM\1 berechnen laBt. Langs einer Machlinie sind alle fluidmechanischen und thermodynamischen GroBen ungeandert. Bei allmahlich vor sich gehender Umlenkung um eine gekrummte Wand nach Abb. 4.32b bestehen die Storfronten aus mehreren hintereinander angeordneten Machwellen, die man bei konvexer Umlenkung als Verdunnungsfacher und bei konkaver Umlenkung als Verdichtungsfacher bezeichnet. Auch hierbei andern sich die StromungsgroBen beim Durchgang durch die Fronten stetig. Bei konkaver Umlenkung kann jedoch der Verdichtungsfacher in einiger Entfernung von der Wand in einen unstetigen VerdichtungsstoB iibergehen. Bei einer stark geknickten Wand nach Abb. 4.32c bildet sich bei konvexer Umlenkung ahnlich wie in Abb. 4.32 b ein Verdunnungsfacher aus. An der Knickstelle entsteht ein zentrierter Facher mit stetiger Anderung der StromungsgroBen. Bei starker konkaver Umlenkung stellt sich der VerdichtungsstoB gegeniiber Abb. 4.32b bereits an der Knickstelle ein. Es entsteht ein schiefer (schrager) VerdichtungsstoB mit unstetiger Anderung aller StromungsgroBen hinter der StoBfront.45 In Abb. 1.18 wurde auf das Entstehen von Wellen- und StoBfronten bei mit Uberschallgeschwindigkeit angestromten Korpern kurz eingegangen. In diesem Zusammenhang wurden die Begriffe des geraden und gekrummten sowie des anliegenden und abgehobenen VerdichtungsstoBes erlautert. In Abb. 4.33 wird dies fluidmechanische Verhalten weitergehend besprochen, und zwar wird gezeigt, welche Formen VerdichtungsstbBe bei Korpern annehmen konnen, die mit verschiedener Mach-Zahl Max > 1 angestromt werden. Abb. 4.33 a zeigt einen vorn spitzen Korper {&K —» 0), bei dem sich ein schwacher VerdichtungsstoB in Form einer Machwelle ausbildet. In Abb. 4.33 b ist dargestellt, wie sich bei gleicher Korperkontur (&K — const) durch VergroBerung der Anstrom-Mach-Zahl Mai Machwelle und VerdichtungsstoB voneinander unterscheiden. Bei sehr groBer Mach-Zahl Mai unterschneidet die Machwelle die Korperkontur, was zeigt, daB nicht die Machwelle, sondern der anliegende schiefe VerdichtungsstoB den Bereich der vom Korper gestorten Stromung stromaufwarts abgrenzt. Aus Abb. 4.33 c geht die Bedeutung des Vorderkantenwinkels {S-K —> 7r/2) auf die Ausbildung des abgehobenen gekrummten VerdichtungsstoBes bei festgehaltener Anstrom-Mach-Zahl Mai hervor. Die verschiedenen Moglichkeiten der Stromungsumlenkung bei Uberschallstromungen seien im folgenden weitgehend gemeinsam behandelt, und gesonderte Untersuchungen erst dann vorgenommen, wenn dies unumganglich wird. 45

Zwischen den Machwellen (I) und (II) wilrde sich eine physikalisch nicht denkbare riicklaufige Stromung ergeben, wodurch sich die Unstetigkeit auch erklaren laBt.

78

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe VerdkMungsstof) a Moch-Welle

V

Verdkhtungs-

Much-Welle

stoO \

J

Verdkhtungs- . sfofi Y

/ May [ Ma, = const)

\ .

Abb. 4.33. Erlauterung des Unterschieds von Machwelle und VerdichtungsstoB bei mit Uberschallgeschwindigkeit angestromten keilformigen Korpern. a Schwache Stoning (# K —> 0). b Wachsende Anstrom-Mach-Zahl, anliegender VerdichtungsstoB. c Wachsender Vorderkantenwinkel i \ , abgehobener VerdichtungsstoB

4.5.2 Schiefe Storfront 4.5.2.1 Voraussetzungen und Annahmen In Abb. 4.34 a ist eine Storfront (Wellen- oder StoBfront) dargestellt. Ihre Lage im Raum wird durch den Normalvektor n beschrieben, wahrend der Tangentialvektor t in der Ebene der Storfront liegt. Die Storfront wird von den Flachen At,A2 und A, _>2 begrenzt. Sie sei wie beim normalen VerdichtungsstoB nach Abb. 4.10 als sehr diinn, d.h. mathematisch als UnstetigkeitsflachemitAj^^OundA! ~A2 ~ A vorausgesetzt und werde schrag mit der Geschwindigkeit i>i(t>in, vlt) stationar angestromt. Beim Durchgang durch die Front andert sich die Geschwindigkeit V2(v2n, v2t) nach Richtung und GroBe. Die Stromung erfahrt durch die schiefe Storfront eine Umlenkung. Es sei die reibungslose Stromung eines dichteveranderlichen Fluids (Gases) bei adiabater Zustandsanderung angenommen. 4.5.2.2 Grundlegende Erkenntnisse Ausgangsgleichungen. Unter den getroffenen Voraussetzungen und Annahmen gelten bei schrag durchstromten Querschnittsflachen nach (2.52), (2.80a) und

4.5.2 Schiefe Storfront

79 Storfront .

Storfront

Storfront j /

y

x

Abb. 4.34. Mit Uberschallgeschwindigkeit schief angestromte Storfront (Wellen- oder StoBfront). a Storfront und Geschwindigkeitsebene, b, c Geschwindigkeiten und Winkel in der Umlenkebene, konvexe Umlenkung: & < 0, konkave Umlenkung: t? > 0

(4.27 a) die Ausgangsgleichungen Masse:

plvl • At

Impuls:

piAt +

Energie:

(4.145 a) p^xiv • A,) + p2A2 + Q2v2(v2 • A2) = 0 , Pi

2

V\

K-\

K

p2

(4.145 b) (4.145 c)

Wegen Ax=-nA und A2-+ nA sowie vln = n • vx und u2n = « • u2 lassen sich die in (4.145 a, b) auftretenden skalaren Produkte in den Formen y, • A, = - v]nA und v2 • A2 = v2nA schreiben. Nach Einsetzen hebt sich die Flache A heraus, und es wird (4.146 a) =p2n + Q2v2nv2.

(4.146b)

Die vorstehende Impulsgleichung ist eine Vektorgleichung, die man als Komponentengleichungen fur die n- und ?-Richtung anschreiben kann. Umlenkebene. Die Impulsgleichung fur die ?-Richtung lautet Q\Vlnvu = (p2v2nv2l. Wegen (4.146a) folgt hieraus, daB vu = v2l ist. Dies bedeutet, daB die Geschwindigkeitskomponenten in der Ebene der Storfront vlt und v2, vor und hinter der Front gleiche Richtung und gleiche GroBe haben: v

u = v2, = v, = const.

(4.147)

Die Umlenkung erfolgt also in der vom Geschwindigkeitsvektor vx und dem Normalvektor n aufgespannten Ebene. Fur die Umlenkung ergibt sich somit das in

80

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

Abb. 4.34b, c gezeigte Bild einer ebenen Stromung. Bei der konvexen Umlenkung ( # < 0) ist i>2 > Vi, was einer Verdiinnungsstromung (Expansionsstromung) entspricht, und bei der konkaven Umlenkung ( # > 0) ist v2 < v1, wodurch eine Verdichtungsstromung (Kompressionsstromung) entsteht. Bestimmungsgleichungen. Wahrend zur Festlegung der Umlenkebene von der Impulsgleichung bereits die Komponentengleichung in ?-Richtung verbraucht wurde, verbleibt fur die weitere Behandlung von (4.146 b) nur noch die Komponentengleichung in ra-Richtung. Beriicksichtigt man, daB v\ = v\n + v\, und v2 = vln + Vlt m i t vu = V2t ist, dann erhalt man das Gleichungssystem zur Berechnung einer schiefen Storfront (StoGgleichung) Kontinuitatsgleichung:

(4.148 a)

Impulsgleichung:

(4.148 b)

Energiegleichung:

K-l

K-l

(J,

^ +^ .

(4.148c)

Analogie zum normalen VerdichtungsstoB. Bei der dargestellten Front handelt es sich um eine gerade schiefe Storfront, die man sich aus der geraden normalen Front durch Uberlagerung einer in der Frontebene wirksamen konstanten Tangentialgeschwindigkeit v, = const entstanden denken kann. Diese Moglichkeit ist fvir den schiefen VerdichtungsstoB in Abb. 4.35 gezeigt. Vergleicht man die Gleichungen (4.148 a, b, c) mit denjenigen des normalen VerdichtungsstoBes (4.55 a, b, c), so stellt man Ubereinstimmung fest, wenn man in den Gleichungen fur den normalen VerdichtungsstoB V\ durch vln und v2 durch v2n ersetzt. EinfluB des Druckverhaltnisses. Eliminiert man in (4.148 a, b, c) die Geschwindigkeiten vu und v2n, so erhalt man die gleichen Abhangigkeiten zwischen Druck und Dichte vor und hinter der Storfront wie in (4.57 a, b) fur die normale Storfront. Es gilt somit die Auftragung fur Q2l(?i =f(p2lp\) in Abb. 4.1a, Kurve (2), ebenfalls filr die schiefe Storfront, bei der sich die StromungsgroBen unstetig andern. Bei einer stetigen Anderung der StromungsgroBen Q2lQi = 1 + dp/p und

^normale Storfront

schiefe Storfront~

. 90°

"In

"Jn

Abb. 4.35. Zur Behandlung des schiefen VerdichtungsstoBes. a Normaler VerdichtungsstoB, Abb. 4.10a. b Mit Tangentialgeschwindigkeit v, = const bewegtes Koordinatensystem. c Schiefer VerdichtungsstoB, Abb. 4.34c

4.5.2 Schiefe Storfront

81

P2IP1 - 1 + dplp ergibt sich nach Einsetzen in (4.57 a) sowie Linearisierung dqlQ- (l/K)(dp/p) und nach Integration p/pK = const. Dies ist die Beziehung fiir die Isentrope. Die in Kap. 4.3.2.6 gemachten Aussagen iiber die jeweils physikalisch moglichen Zustande gelten auch hier. Danach liegt als Kurve (1) fiir 0 < p2/pi < °° eine stetig verlaufende, nur durch Machwellen konvex oder konkav umgelenkte isentrope Stromung vor. Fiir 1 < p2lpx < °° verlauft die durch einen schiefen VerdichtungsstoB konkav umgelenkte Kompressionsstromung unstetig entsprechend Kurve (2). Wird die Druckerhohung durch mehrere hintereinanderliegende schwache schiefe VerdichtungsstoBe, bei denen jeweils eine isentrope Verdichtung erfolgt, bewirkt, dann kann man von der Kurve (2) zur Kurve (/) gelangen. Es sind also Verdichtungsstromungen in dem schraffierten Bereich denkbar. Da das Temperaturverhaltnis T2/T1 nach (4.21b) und die Entropieanderung (s2 - Si)lcp nach (4.29a) nur vom Druck- und Dichteverhaltnis bestimmt werden, konnen auch die diesbeziiglichen Auftragungen in Abb. 4.1a, b fiir die schiefe Storfront iibernommen werden. Ortliche Mach-Zahlen. Ahnlich wie fiir die stetige Depressions-(Expansions-)stromung in Kap. 4.3.2.5 laBt sich auch fiir die unstetige Kompressionsstromung das Temperate-, Druck- und Dichteverhaltnis in Abhangigkeit von den MachZahlen vor und hinter dem StoB, Max = vjcl bzw. Ma2 = v2/c2, darstellen. Fiir T2ITX wurde die Beziehung bereits mit (4.40 a) angegeben und das Ergebnis in Abb. 4.9a dargestellt. Ausgehend von (4.21b) erhalt man zunachst T-ilT\ - (PIIP\)(Q\IQ2) unter Einsetzen von (4.57 a). Aus (4.40b) ergibt sich dann fiir die Abhangigkeit des Druckverhaltnisses von den ortlichen Mach-Zahlen K-\

Mal =

2

+{K+\)— Pi

K-l

(4.149)

Pi In ahnlicher Weise laBt sich auch eine Beziehung fiir das Dichteverhaltnis ft/pi herleiten. Die Ergebnisse fiir p2lp\ =f(Mau Ma2) und p 2 /?i -f(Malt Ma2) sind in Abb. 4.9b, c dargestellt.

4.5.2.3 EinfluB des Umlenk- und Frontwinkels Die Lage der Storfront t gegeniiber der Zustromrichtung v{ sei nach Abb. 4.34 durch den Frontwinkel a und die Umlenkung zwischen der Abstromrichtung v2 und der Zustromrichtung V\ durch den Umlenkwinkel d- gegeben (konkav t? > 0, konvex •& < 0). Bei normal durchstromter Front (a- n/2) ist va = vt2 = vt = 0, d.h. es tritt keine Umlenkung auf (•&= 0). Handelt es sich bei der Storfront um eine Machwelle, so ist der Frontwinkel gleich dem Machwinkel, 0= p. In Abb. 4.36a und b sind eine konvexe bzw. eine konkave Umlenkung mit ihren Geschwindigkeitsdreiecken einander gegeniibergestellt. Fiir die Betrage der Zu- und Abstromgeschwindigkeit soil vx = \ u,| bzw. v2=\v2\ geschrieben werden. Unter welchen physikalischen Voraussetzungen solche Stromungen auftreten konnen, wurde bereits in den obigen Ausfiihrungen gesagt. Aus den Geschwindigkeitsdreiecken findet man unmittelbar die trigonometrischen Beziehungen cos o- vxjvu tan 0= vxjvlt, cos (a - &) = v2t/v2 und

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

82

Storfront

Sibrfront

Abb. 4.36. Geschwindigkeitsdreiecke vor und hinter einer durch eine Storfront bedingten Umlenkung. a Konvexe Umlenkung (& < 0), Verdiinnung, Beschleunigung. b Konkave Umlenkung (& > 0), Verdichtung, Verzogerung

tan(a - ti) = v2n/v2t. Hieraus folgen wegen vu= v2l nach (4.147) fur das Geschwindigkeitsverhaltnis v2lvx und die Geschwindigkeitsanderung At» = v2 - i>i bezogen auf Uj sowie wegen Q2I
COSCT

cos(a-i?)'

Av v}

cos a (1 -cos &)- sin a sin & cos a cos i? + sin a sin •&

(4.150a, b)

1 + tan a tan ti tana (4.150c) (?! tan (a— ti) tan a— tan ti Im folgenden sollen jetzt die Falle der konvexen und konkaven Umlenkung durch Machwellen oder VerdichtungsstoBe bei schwacher und starker Umlenkung im einzelnen besprochen werden. 4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstrdmung 4.5.3.1 Schwache Umlenkung bei supersonischer Stromung (lineare Theorie) Linearisierung. Es sei der Umlenkwinkel sehr klein angenommen und mit & = At? bezeichnet. Es gilt also IAi?l —> 0, was bedeutet, daB in (4.150b) cos &=l und sin &~ Ai?gesetzt werden darf. Bei der angenommenen schwachen Umlenkung, auch flache Ecke genannt, stellt sich ein stetig verlaufender isentroper Stromungsvorgang ein. Die Storfront ist nach Abb. 4.32 a eine Machwelle, was bedeutet, daB der Frontwinkel gleich dem Machwinkel der ankommenden Stromung ist, d.h. a-yLx. Beachtet man die gemachten Annahmen, dann vereinfacht sich (4.150 b) und fiihrt zu Av

oder

tan ju, A& = —

Av/vl + Au/t>i

Wegen der angenommenen schwachen Umlenkung handelt es sich im Sinn von Kap. 4.3.2.7 Beispiel c um eine Stromung mit kleiner Storung, fur die |Ai>/u,| < 1 ist.46 Fur die bezogene GeschwindigkeitsWegen |Ai>/i»,| <S 1 ist auch jtan^A^I <« 1.

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung

83

anderung sowie fiir den Druckbeiwert nach (4.83b) wird mit (4.144b) Av _

Ad-

Ap _

2

v,

\/Ma -l

'

2Ad-

q,

- Ad- (Ma, > 1),

(4.151a, b)

-4Ma\-

wobei Av=v2v,, Ap = p2 - p, und q, = (d/2) v\ ist. Diese einfache in AS lineare Beziehung wurde erstmalig von Ackeret [1] gefunden. Sie gilt voraussetzungsgemaB nur fiir eine Uberschallzustromung mit Ma, > 1 und besagt, daB bei konvexer Umlenkung (AS < 0) eine Geschwindigkeitserhohung (Av > 0) und eine Druckerniedrigung (Ap < 0) sowie bei konkaver Umlenkung (AS> 0) eine Geschwindigkeitserniedrigung (Av < 0) und eine Druckerhohung (Ap > 0) auftreten. Unter einer supersonischen Stromung soil eine reine Uberschallstromung v, > c, und v2 > c2 mit c als Schallgeschwindigkeit verstanden werden. Bei der angenommenen schwachen Stoning kann c2 = c, gesetzt werden. Giiltigkeitsbereich. Gl. (4.151) verliert ihren physikalischen Sinn, wenn an der Stelle (2) bei konvexer Umlenkung (AS< 0) Vakuum (p2 = 0) und/oder bei konkaver Umlenkung (AS> 0) Schallgeschwindigkeit (Laval-Zustand, v2 = c2) erreicht wird. Bei gegebener Mach-Zahl Ma, > 1 lassen sich so maximal zulassige konvexe bzw. konkave Umlenkwinkel (Ad' < 0, AS" > 0) angeben. Es gilt unter Beachtung von (4.45) 2 q,

KMa\ \p,

Av v,

v2 v,

„

c 1 c, Ma,

IAS' AS" sjMa2,-l

(u2 = c2)

mit c2/c, nach (4.42). Aufgelost nach AS' bzw. Ad" erhalt man Ad-' = - -

:

KMU1,

< 0,

AS-" = 1 -

1 Ma,

2 K-1 -+ -Ma? K+ 1 K+ 1

In Abb. 4.37 sind die Grenzkurven iiber der Mach-Zahl Ma, als Kurven (1) und (2) dargestellt. Wahrend die Winkel Ad-' bei Af«! = ~J2 einen Maximalwert mit I At?max| = 1/2K (= 0,357 = 20,5°) annehmen, steigen die Winkel Ad-" mit wachsender Mach-Zahl an. Der Giiltigkeitsbereich der linearen supersonischen Theorie wird fiir 1 <Ma, < 1,6 durch die Kurve (2) und fur Ma, > l,6durchdieKurve (1) bestimmt. Der Giiltigkeitsbereich ist auch hinsichtlich der Mach-Zahlen einzuschranken. Die Begrenzung des supersonischen Geschwindigkeitsbereichs la'Bt sich folgendermaBen abschatzen: Herrscht an der Stelle (1) die Uberschallgeschwindigkeit v, > c, und an der Stelle (2) die Schallgeschwindigkeit v2 = c2~ c, (transsonische Stromung), dann lautet wegen v2= v, + Av mit Av < 0 die erste Beziehung c,/v, ~ 1 + Aviv,. Fiir den Fall, daB die Zusatzgeschwindigkeit Av = c2 ~ c, (hypersonische Stromung) erreicht, folgt die zweite Beziehung c,/v, ~ Aviv,. Mit Ma, = v,/c, und e = \Av/v, I <* 1 als MaG fiir die Stoning erhalt man den gesuchten Geschwindigkeitsbereich zu < Ma, < — (supersonischer Machzahl-Bereich) .

1.0 47

1,5

20

2.5

3.0

3.5

(4.152)

Abb. 4.37. Giiltigkeitsbereich der supersonischen Theorie nach Ackeret ( K = 1,4). (7) Maximaler konvexer Umlenkwinkel bei Expansion ins Vakuum, (2) konkaver Umlenkwinkel bei maximal zulassiger kleiner Geschwindigkeitsstorung

Auf die Behandlung der angestellten ebenen Platte nach der supersonischen Ahnlichkeitsregel in Kap. 5.3.3.4, Abschn. a (S. 179) wird hingewiesen.

84

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

Mit einem willkiirlich angenommenen Wert fur £ = 0,25 errechnet man die Zahlenwerte A/a, = 1,33 bzw. Ma, = 4,0. Nach dieser Abschatzung ist der Bereich der supersonischen Stromung durch 1,33 < Ma, < 4,0 festgelegt. In Abb. 4.37 ist der Giiltigkeitsbereich fur die supersonische Stromung schraffiert dargestellt. Beispiele zur Uberschalltheorie kleiner Storung. Die Beziehung (4.151b) kann man in einfacher Weise zur Berechnung der Druckverteilung und der resultierenden Stromungskraft an flachen ebenen Korpern, z.B. Profilen, die mit maBiger Uberschallgeschwindigkeit angestromt werden, benutzen. Dies beruht darauf, daB die Druckanderung Ap proportional dem Umlenkwinkel A-8- ist. Auf die grundlegende Arbeit von Busemann [11] sei hingewiesen. a) Angestellte ebene Platte.47 Als einfachstes Beispiel einer schwachen Umlenkung sei nach Abb. 4.38 a die unter dem konstanten Winkel a angestellte ebene Platte bei Anstromung mit maBiger Uberschall-Mach-Zahl behandelt.48 Auf der Plattenoberseite erfolgt eine konvexe Stromungsumlenkung mit A-& = — a, d. h., dort herrscht Depressions-(Expansions-)stromung, wahrend auf der Plattenunterseite wegen der konkaven Umlenkung mit At? = + a Kompressionsstromung vorliegt. Von der Plattenvorderkante geht infolgedessen auf der Oberseite eine Verdunnungs-Machwelle und auf der Unterseite eine Verdichtungs-Machwelle aus. An der Plattenhinterkante liegt die Verdichtungswelle oben und die Verdiinnungswelle unten. Hinter der Platte ist die Geschwindigkeit gleich der Anstromgeschwindigkeit u, und der Druck gleich />„ wie vor der Platte. Die Stromung geht somit hinter der Platte ungestort weiter, und die Storung ist auf den Streifen zwischen den von der Vorder- und Hinterkante der Platte stromabwarts laufenden Machwelle beschrankt. Die Storung klingt in diesem Streifen nicht ab, und die Stromlinien verlaufen tangential zur Platte. Die GroBe der Stromungsumlenkung an der Plattenhinterkante bestimmt sich aus der Bedingung, daB in der dort von der Plattenober- bzw. Plattenunterseite ausgehenden Stromlinie der gleiche Druck pa=pu bzw. Ap0 = Apu herrschen muB. Nach (4.151b) ist Ap ~ A-& § 0. Hieraus folgt, daB die Abstrombedingung nur erfiillt werden kann, wenn At?- = 0 ist und die Stromlinie mit einem Knick in die Richtung der Anstromrichtung umgelenkt wird. GemaB (4.151b) verteilen sich die Driicke jeweils konstant liber die Ober- und Unterseite. Die resultierende Druckverteilung beider Seiten (pu - p0) betragt bezogen auf den Geschwindigkeitsdruck der Anstromung g_ = (p«/2) vi Plt P

~ <> =

a

= const

(a = const).

(4.153)

Die hieraus filr die Platte der Breite b und der Tiefe / resultierende Kraft R steht normal zur Platte und hat den BetragR = bl(pu~p0). Ihr Angriffspunkt befindet sich wegen der konstanten Druckverteilung uber die Plattentiefe im Abstand 1/2 von der Plattenvorderkante. Zerlegt man die Kraft R in den Auftrieb A (normal zur Anstromrichtung) und in den Widerstand W (parallel zur Anstromrichtung), so hat man fur kleine Anstell winkel A~R bzw. W = Ra~ Aa. Fuhrt man fur den Auftrieb und den Widerstand dimensionslose Beiwerte ein, dann wird (4.154a)

(4.154 b) Der Auftriebsbeiwert ist proportional dem Anstellwinkel, wahrend der Widerstandsbeiwert proportional dem Quadrat des Anstellwinkels oder des Auftriebsbeiwerts ist. Da der Widerstand eine Folge der durch die Machwellen gestorten Stromung ist, nennt man ihn Wellenwiderstand. b) Symmetrisch angestromtes endlich dickes Profil.48 Als Beispiel einer Uberschallstromung um einen flachen ebenen Korper sei die symmetrische Umstromung eines endlich dicken Profils mit scharfer Nase beim Anstellwinkel a = 0 kurz besprochen. Ersetzt man das Profil naherungsweise durch ein Polygon nach Abb. 4.38b, so wird die Aufgabe auf die Berechnung der Stromung um flache Ecken zuriickgeftihrt. An der Vorder- und Hinterkante sind die Ecken konkav, wahrend alle iibrigen Ecken konvex 48

Uber eine genauere nichtlineare Behandlung wird in Kap. 4.5.3.3 Beispiel b (S. 100) bzw. c (S. 101) berichtet.

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung

85

Verdiinnung Verdichtung

*

Virdunnung \ Verdichtung

Abb. 4.38. Profiltheorie bei maBiger Uberschallanstromung (supersonische Theorie). a Angestellte ebene Platte. b Symmetrisch angestromtes, endlich dickes Polygon-Profil

sind. Von den Ecken gehen im Sinn der linearen Theorie kleiner Stoning Machwellen unter dem konstanten Machwinkel fi aus, wobei man es an der Vorder- und Hinterkante mit je zwei Verdichtungswellen und an den iibrigen Ecken mit Verdiinnungswellen zu tun hat. In Analogie zu (4.154b) liefern die an der Profiloberflache angreifenden Druckkrafte einen in Anstromrichtung wirkenden Wellenwiderstand. Dieser ist proportional dem Quadrat des Dickenverhaltnisses (d/l)2. Aus dieser Erkenntnis erklart sich, daB der Wellenwiderstand von Uberschall-Profilen erheblich vermindert werden kann, wenn die Profile moglichst diinn sowie vorn und hinten spitz ausgebildet sind. Auf weitere Einzelheiten der Anwendung der linearen supersonischen Theorie auf schlanke, endlich dicke und gewolbte Profile sei hier verzichtet und auf das einschlagige Schrifttum verwiesen, z.B. [56].

4.5.3.2 Starke stetige Umlenkung (konstante Entropie) In Kap. 4.5.3.1 wurde nach der linearen supersonischen Theorie kleiner Stoning die Uberschallstromung bei konvexer und konkaver Umlenkung behandelt. Im folgenden soil jetzt der allgemeine Fall der starken Storung, d. h. bei starker Umlenkung einer Uberschallstromung besprochen werden. Wie bereits in Kap. 4.5.1 gezeigt wurde, tritt bei konvexer Umlenkung eine mit konstanter Entropie verbundene, stetig verlaufende Depressions-(Expansions-)stromung auf, wahrend bei konkaver Umlenkung eine im allgemeinen mit einem schiefen VerdichtungsstoB verbundene, unstetige Kompressionsstromung vorliegt. In diesem Kapitel wird zunachst die stetige Umlenkung und anschlieBend in Kap. 4.5.3.3 die unstetige Umlenkung behandelt. Umlenkwinkel. Eine Uberschallstromung erfahre nach Abb. 4.39 a zwischen den Stellen (1) und (2) eine konvexe Umlenkung langs einer gekriimmten Wand um den Winkel & < 0. Dies entspricht nach Abb. 4.32b (links) einer durch einen Facher von Machwellen stetig umgelenkten homentropen Expansionsstrbmung. Die mit der Geschwindigkeit v^ parallel ankommende Stromung wird an der Machwelle Mai > 1 abgelenkt und geht an der Machwelle Ma2 > Mal wieder in

86

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

eine parallel verlaufende Stromung mit der Geschwindigkeit v2 > vY iiber. Die konvexe Umlenkung kann auch von einer am Ort (O) geknickten Wand ausgehen, vgl. Abb. 4.32c (links). Die zwischen den beiden in Abb. 4.39a strichpunktiert dargestellten Machwellen verlaufende Stromung ist als Prandtl-Meyersche Eckenstromung bekannt [40, 44]. Dieser Stromungstyp stellt eine exakte Losung der nichtlinearen Potentialtheorie einer Uberschallstromung dar. Sie wird haufig als ebene Stromung unter Benutzung von Polarkoordinaten berechnet, vgl. Kap. 5.3.3.2 Beispiel c.

150° Vm <-13 120°

/

90°

^hyperson 'sche -•6 nox Naherung 60°

-i /

30°

O'l

/

^ -

.May

Mo2 Ma-

10

20

Abb. 4.39. Prandtl-Meyersche Eckenstromung (K = 1,4). a Bezeichnungen, Stromlinienbild, Ma, > 1. b Umlenkung ins Vakuum, Ma, - 1, Ma2 = •*>. c Prandtl-Meyer-Winkel v(Ma) nach (4.156), hypersonische Naherung nach (4.169)

Ausgangspunkt ftir die weitere Behandlung ist die Stromung bei einer schwachen Umlenkung nach Kap. 4.5.3.1. Von einer infinitesimal kleinen Umlenkung dd- gelangt man durch entsprechende Integration zu der gegebenen endlich groBen Umlenkung &. Nach (4.151a) gilt in differentieller Form dv v

(rc-l)Ma

2

d(Ma2) Ma2

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung

87

wobei die zweite Beziehung durch Einsetzen von dv/v nach (4.39 a) folgt. Nach Ausfuhren der Integration zwischen den Stellen (1) und (2) wird fiir den Umlenkwinkel _ & = _ &2 + #, = v(Ma2)- v(Ma{) = v2-vl (4.155) mit v{Ma) als Prandtl-Meyer-Winkel, auch Prandtl-Meyer-Funktion genannt. Fiir sie errechnet man /I \ v(Ma) = k arctan I — si Ma2 - 1 I - arctan {siMa2 - 1 ) ^ 0 \ K

(4.156a)

1

mit k = V ( K + 1 ) / ( K - 1) > 1. Sie ist in Abb. 4.39 c dargestellt. Die Kurve strebt mit groBer werdender Mach-Zahl dem asymptotischen Wert - 1) ^ (= 130,5°)

(Ma = «>)

(4.156b)

zu. In Abb. 4.39c ist als Beispiel fiir die Mach-Zahlen Max und Ma2 die Bestimmung des Umlenkwinkels - & = v2 - v, gezeigt. Bei der Umlenkung um eine scharfe Kante ins Vakuum ist c2 = 0 und somit Ma2 = °°. Bei gegebener MachZahl Max strebt der Umlenkwinkel dann jeweils einem maximalen Umlenkwinkel - &m = vmax - vx zu. Den grb'Btmbglichen Umlenkwinkel erhalt man ausgehend von Max = 1 wegen v(Ma, = 1) = 0 zu - #max = vmax (= 130,5°), Abb. 4.39 b. Eine Uberschallstromung eines Gases mit K - 1,4 kann man nicht vollstandig, d.h. um 180°, konvex umlenken, auch wenn die raumliche Voraussetzung hierfiir gegeben ware. Eine vollstandige Umlenkung — t?max = 180° ist bei Max = 1 fur ein Gas mit K = 5/A moglich. In Abb. 4.39 c ist auch die Abhangigkeit des Machwinkels p von der Mach-Zahl Ma entsprechend (4.144 a) wiedergegeben. Nach (4.155) ist der Umlenkwinkel nur eine Funktion der Mach-Zahlen Max und Ma2. Im unteren Teil der Abb. 4.40a ist diese Abhangigkeit fiir die Depressions- (Expansions-) strbmung Ma2 > Max dargestellt. Nimmt man eine homentrop verlaufende Kompressionsstromung an, dann entspricht diese nach Abb. 4.32b (rechts) einer stetigen konkaven Umlenkung &> 0, bei der Ma2 < Max ist. Die zugehorigen Umlenkwinkel sind entsprechend (4.155) im oberen Teil von Abb. 4.40 a als gestrichelte Kurven dargestellt. Sie weichen im Bereich kleiner Werte von & < 20° nur wenig von den ausgezogenen Kurven ab, die fiir eine Umlenkung durch einen schiefen VerdichtungsstoB gelten, man vergleiche hierzu die Ausfiihrung in Kap. 4.5.3.3. ZustandsgroBen. Alle an beliebigen Stellen (1) und (2) im Umlenkraum interessierenden Verhaltnisse der ZustandsgroBen (Dichte, Druck, Temperatur) sind fiir die hier zugrunde liegende homentrope Strbmung in Kap. 4.3.2.5 bereits angegeben. In Abb. 4.9 sind diese GrbBen fiir die stetig verlaufende Depressionsstromung als gestrichelte Kurven in Abhangigkeit von den beiden Mach-Zahlen Max und Ma2 dargestellt. Dariiber hinaus gibt (4.45) in Verbindung mit (4.49 b) diese Abhangigkeit fiir den Druckbeiwert wieder. Da der Umlenkwinkel & nach Abb. 4.40 auch eine Funktion der Mach-Zahlen Max und Ma2 ist, lassen sich alle ZustandsgroBen als Funktionen der Zustrbm-Mach-Zahl Max und des Umlenk-

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe 1

Mari =J—

Of 0/

/

/

Abb. 4.40. Umlenkwinkel & in Abhangigkeit von Ma, > 1 und Ma2 S 1; unstetige Verdichtung: Kompression (Ma2 < Ma,), stetige Verdiinnung: Depression (Ma2> Ma,) K = 1,4. a Ma2 = 1 ( : stetige Verdichtung), b Ma2 ^ 1

winkels & darstellen. Eine solche Auftragung wird in Abb. 4.41 fur kleine und maBig groBe Umlenkwinkel & $ 0 gezeigt, und zwar im unteren Teil filr die konvexe Umlenkung (•&< 0) und im oberen Teil fur die konkave Umlenkung (&>0). Bei der stetig verlaufenden Kompressionsstromung mit konstanter Entropie (gestrichelte Kurven im oberen Teil der Abbildung) stimmen die Ergebnisse recht gut mit denjenigen der unstetig verlaufenden Stromung mit schiefem VerdichtungsstoB (ausgezogene Kurven) uberein. Charakteristikendiagramm. Bei einer homentrop umgelenkten Uberschallstromung liegen alle moglichen Geschwindigkeiten zwischen den Werten v = c = cL (von Ruhezustand abhangige Laval-Geschwindigkeit nach (4.34)) und v - umax (maximale Geschwindigkeit bei Umlenkung ins Vakuum). Letztere ist gleichbedeutend mit der Ausstromgeschwindigkeit eines Gases aus einem Kessel ins Vakuum. Das Verhaltnis i>max/cL findet man mittels (4.65b). Infolge einer kleinen endlichen Druckstorung Ap, die sich mit ungeanderter Starke langs einer Machlinie ausbreitet, erfahrt die Geschwindigkeit eine kleine Anderung Av, deren Vektor nach Abb. 4.42 a stets normal zur zugehorigen Machlinie (Storfront) steht, vgl. Abb. 4.36a. Tragt man, z.B. fin* eine konvex umgelenkte Stromung nach Abb. 4.42 b, die langs einer Stromlinie auftretenden Geschwindigkeiten von einem Festpunkt O aus auf und verbindet deren Endpunkte, so entsteht ein gebrochener Linienzug, der in eine stetig gekrummte Kurve (Hodographenkurve) ubergeht, sofern man die Druckstorungen als infinitesimal klein annimmt. Die Tangenten an diese Kurve stehen jeweils normal auf der zum Geschwindigkeitsvektor v gehorenden Machlinie.

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung i—

89

Ur

Abb. 4.41. Druckbeiwert bei einer Stromungsumlenkung um den Winkel ( # < 0: Depression, •&> 0: Kompression) in Abhangigkeit von der Zustrom-Mach-Zahl Ma, g 1, K= 1,4. Vergleich der stetig bei konstanter Entropie verlaufenden Stromung mit Begrenzung bei Ma2 = 1 und der unstetig mit VerdichtungsstoG verlaufenden Stromung mit der Begrenzung bei &m(Mai) nach Abb. 4.47b. Naherung: stetige Kompression ( ), [6]

Fiir die ebene Prandtl-Meyersche Eckenstromung laBt sich fiir die Beschreibung des Stromungsvorgangs nach Prandtl und Busemann [45] ein einfaches zeichnerisches Verfahren entwickeln, das zur Konstruktion eines sogenannten Charakteristikendiagramms fiihrt, mit dessen Hilfe der Ablauf einer beliebigen homentrop verlaufenden Uberschallstromung festgelegt werden kann. Entsprechend Abb. 4.42 b lassen sich die Geschwindigkeitsvektoren in einem Hodographen (Geschwindigkeitsebene) darstellen. Dabei tragt man die Geschwindigkeitsvektoren v2 als Funktion des Umlenkwinkels i ? S 0 in einem Polardiagramm nach Abb. 4.43 als gestrichelte Kurven (la, b) und (2a, by9 ein. Fur &= 0 ist L»2 = v1, und fiir & = i9-max ist v2 = vmax. Die Endpunkte der Geschwindigkeitsvektoren Vi und v2 beschreiben eine Kurve, welche zwischen den beiden konzentrischen Kreisen v — cL und v = fmax liegt. Sie heiBt die charakteristische Kurve der Eckenstromung, oder kurz die Charakteristik. Sie ist eine Epizykloide, die entsteht, wenn man einen Kreis vom Durchmesser (vmax — cL) auf dem inneren Kreis vom Halbmesser cL abrollen laBt. Fiir jeden Punkt des Geschwindigkeitsfelds gibt es zwei spiegelbildliche Charakteristiken, Kurve (a) bzw. Kurve (b). Die AuftraDer konkave oder konvexe Umlenkwinkel ist ohne Kennzeichnung des Vorzeichens mit #dargestellt.

90

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe Mach -L mien

Storfront

X

>" /

\\

^ \ \

-Mach-Linle ^ = const;

~(2'J

Stromlinie b

Hodographenkurve

Abb. 4.42. Prandtl-Meyersche Eckenstromung. a Geschwindigkeitsanderung, b Hodographenkurve

gung in Abb. 4.43 bezieht sich auf eine bestimmte vorgegebene Uberschallgeschwindigkeit vx > cx {Mal = vjcx, cx - yfrcpjp^) vor der Umlenkung (Zustromrichtung), Punkt A Erfolgt eine rechts- oder linkslaufige konvexe Umlenkung um den Winkel •& < 0, so kann man die Geschwindigkeiten v2 > L>I der zugehorigen Depressionsstromung auf den Kurven (7a) bzw. (1b) sofort ablesen. Bei entsprechender konkaver Umlenkung •& > 0 findet man die Geschwindigkeiten der zugehorigen, voraussetzungsgema'B homentropen Kompressionsstromung mit u2 < i>i auf den Kurven (2 a) bzw. (2 b)50. In alien Fallen sind die GroBen der moglichen Umlenkwinkel beschrankt, und zwar bei der Depressionsstromung durch die Punkte B, welche die Expansion ins Vakuum mit Ma2 - °° beschreiben, und bei der Kompressionsstromung durch die Punkte C, welche der Mach-Zahl Ma2 - 1 entsprechen. Ein vollstandiges Charakteristikendiagramm besteht aus einer Schar von Charakteristiken im Depressions-(Expansions-)gebiet, Kurven (7 a) und (1b) in Abb. 4.43, fiir verschiedene vom Pol O aufgetragene Zustromgeschwindigkeiten

4.5.3.3 Starke unstetige Umlenkung (schiefer VerdichtungsstoB) In Kap. 4.5.3.2 wurde die starke stetige Umlenkung behandelt. Eine konvex umgelenkte Depressions-(Expansions-)stromung (& < 0) verlauft bei konstanter Entropie. Es wurde auch gezeigt, daB bei konkaver Umlenkung eine Kompressionsstromung stetig verlaufen kann, sofern der Umlenkwinkel nur klein genug ist (#—» 0). Bei einer starken konkaven Umlenkung (&> 0) bildet sich nach Abb. 4.32 c (rechts) ein schiefer VerdichtungsstoB aus. Auf die in Analogie zum normalen VerdichtungsstoB in Kap. 4.5.2.2 gefundenen Ergebnisse iiber den EinfluB des Druckverhaltnisses und der oitlichen Mach-Zahl vor und hinter dem StoB sei hingewiesen. Das Gleichungssystem (4.148) gibt die StoBgleichungen fiir den schiefen VerdichtungsstoB wieder.

50

Die ebenfalls in Abb. 4.43 dargestellte StoBpolare (ausgezogene Kurven) wird in Kap. 4.5.3.3 besprochen.

91

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung

B «5a^

konvex (Verdiinnung)

Zus/ro/n-

Abb. 4.43. Zeichnerische Losung ebener Uberschallstromungen in der Geschwindigkeitsebene (Hodograph); Zustrom-Mach-Zahl Mat = 2,5; K = 1,4. Charakteristikendiagramm ( ): Umlenkung bei konstanter Entropie. Depression = Kurven (la), (lb); Kompression = Kurven (2a), (2b) (nur bei schwacher Kompression giiltig). StoBpolarendiagramm ( ): Umlenkung durch schiefen VerdichtungsstoB. Kompression = Kurven (3a), (3b); Depression = Kurven (4a), (4b) (nach zweitem Hauptsatz der Thermodynamik nicht moglich)

Ortliche Mach-Zahlen. Der in Kap. 4.5.2.3 eingefiihrte Frontwinkel entspricht jetzt dem StoBwinkel o > 0. Im folgenden soil seine Abhangigkeit von den MachZahlen vor und hinter dem StoG, d.h. Mal bzw. Ma2, hergeleitet werden. Nach (4.56a) mit v1 4 vln und vln - v1 sin a nach Abb. 4.36b sowie Max - v1/c1 mit Ci = \IKPJQI nach (4.31 a) und f>2/Pi nach (4.57 a) erhalt man zunachst snr a = KMCL\

I)p2/Pi

P2/P1 -

(4.157)

1KMO\

Lost man nach p2lpi auf und setzt in (4.149) ein, so ergibt sich der gesuchte Zusammenhang o=f{Max, Ma2) zu

(K+ I)2Maf sin2o-4(Ma2

sin2 o-l)(jcMa2

\2KMa] sin2o- (K- 1)] [ ( K - l)Majsm2

sin2O+ 1) a+ 2]

(4.158 a)

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

92

75

0

1

Abb. 4.44. EinfluB der ortlichen Mach-Zahlen Max und Ma2 auf den StoBwinkel cr, ju = Machwinkel, K = 1,4. a Kurven a — const; b Kurven Mal = °°, Ma2 und Max = Ma2

Das Ergebnis ist in Abb. 4.44a wiedergegeben. Es ist stets Ma2 = Ma{. Fur den normalen VerdichtungsstoB (a= n/2) wird (4.64a) bestatigt, vgl. Abb. 4.9d. Die Gerade Ma2 = Ma1 bedeutet eine schwache Umlenkung, wobei der StoBwinkel in den Machwinkel nach (4.144a) iibergeht: sin a - sinju= \IMax — l/Ma2. Die zu bestimmten Werten a gehorenden Werte fi sind in Abb. 4.44 a durch Kreise besonders gekennzeichnet. Die Kurven a - const streben fur Max —> °° jeweils asymptotischen Grenzwerten fiir Ma2 zu. Diese errechnen sich aus (4.158 a) zu Ma7 =

1+

K-l

2

COt2CT

(4.158b)

Fiir den normalen VerdichtungsstoB ergibt sich mit a = n/2 der kleinstmogliche Wert, namlich Ma2mm = SI(K- 1 ) / 2 K ( = 0,378). In Abb. 4.44b ist die Mach-Zahl Ma2 iiber a fiir die Falle Max = « und Max = Ma2 aufgetragen. Wahrend es sich im ersten Fall um einen schiefen VerdichtungsstoB handelt, beschreibt der zweite Fall eine Umlenkung mittels einer Machwelle (a=p). Bei kleinen und maBig groBen StoBwinkeln a < a' = arcsin V(l + 4K - K2)/4K (= 65,5°) ist die MachZahl Ma2 hinter dem StoB grbBer als die Mach-Zahl hinter der Machwelle, wahrend bei groBen StoBwinkeln o> a' die Mach-Zahlen hinter dem StoB kleiner als die Mach-Zahl hinter der Machwelle ist. In diesem Fall liegt fiir StoBwinkel a> a* = arcsin V ( K + I)/2K(= 67,8°) Unterschallstromung (Ma2 < 1) vor. EinfluB der Zustrom-Mach-Zahl. Aus (4.157) findet man fiir das Druck- und unter Beachtung von (4.57 a) fiir das Dichteverhaltnis mit Cx = Max sin crdie Ausdriicke51 51

Wegen der Analogie zum normalen VerdichtungsstoB (S. 80) stimmen diese Beziehungen mit (4.59 a, b) iiberein, wenn man Ma^ durch Max sin a ersetzt.

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung 2K

Pi

(K-\)C\

JC+1

93

>1 .

(4.159 a, b)

Die Zustrom-Mach-Zahl M«i und der StoBwinkel a sind durch die Kennzahl (StoBparameter, Mach-Zahl der Normalkomponente der Zustrdmung) Cx - Mau = Max sin a > 1

(StoBparameter)

(4.160)

miteinander gekoppelt. Da bei der vorliegenden Kompressionsstrdmung p2/p1 > 1 ist, folgt aus (4.159 a), daB stets d > 1 sein muB. Mithin gilt fur Cj der Wertebereich 1 < Cx < Max. Bei der Umlenkung mittels einer Machwelle ist s i n a = sin/i = l/Mau was nach (4.160) zu Cx = 1 fiihrt. Dies bedeutet auch, daB bei gleicher Zustrom-Mach-Zahl Max = const der StoBwinkel a = a(Ma) stets grb'Ber als der zugehbrige Mach-Winkel jut = p(Ma{) ist, d.h. a > p. (StoB-, Machwinkel).

(4.161)

Wird hinter einem schiefen VerdichtungsstoB Schallgeschwindigkeit erreicht, so erhalt man bei gegebener Zustrom-Mach-Zahl Ma, einen bestimmten StoBwinkel CT* = o(Mau Ma2 = 1). Diesen ermittelt man aus (4.158a). Er ist in Abb. 4.45 iiber Max aufgetragen. Bei Max = 1 ist a* = n/2. Fiir Ma{ = oo strebt er dem bereits angegebenen Wert a* = at zu. Zwischen beiden Werten besitzt a* ein Minimum. Zum Vergleich ist der Verlauf JU (Max) mitdargestellt. Mittels (4.159 a, b) lassen sich das Druck- und Dichteverhaltnis bei konstant gehaltenem StoBwinkel a iiber der Zustrom-Mach-Zahl Max darstellen, was in Abb. 4.46 a und b gezeigt wird. Weiterhin findet man unter Beachtung von (4.21 b) und (4.29 a) die entsprechenden Auftxagungen fiir das Temperaturverhaltnis und die Entropieanderung in Abb. 4.46 c und d. Aus diesen Darstellungen werden fiir die verschiedenen ZustandsgrdBen die Unterschiede zwischen dem schiefen und normalen VerdichtungsstoB bei festgehaltener Zustrom-Mach-Zahl besonders deutlich. So erzeugt z.B. der normale VerdichtungsstoB (o= n/2) beim Strdmungsdurchgang jeweils die grdBte Entropieanderung. Ein gerader schiefer StoB ( a = const) bewirkt in alien Punkten hinter dem StoB eine gleichgroBe Entropiezunahme, wahrend sich bei einem gekrummten StoB mit drtlich veranderli-

90°

1 Ma2<1 MOT-1

60°

V

wo 2 >;

30°

Abb. 4.45. StoBwinkel a* = a{Mal, Ma2 =1); zum Vergleich ]i K= 1,4

0° Ma, •

94

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe 6

500

a-=90°

200

^

100 50 ^

/.

$20 ///

/ / / /

0

°

/

/

/

/

/ / /

III / /

^

>

BJ

/

j Mai - '/sinro

/

,a-o°

0 1

75

0

1

15

b

Afa, • 100

3.0 50

0=90^^

2.5

20

a=90°

2.0

^ < 5 °

10 ^ ^ 3 0 °

il5

/ 15°^-

•

1.0

0.5 ,0=0'

0 1

/
15

0 d

10

15

Ma,

Abb. 4.46. EinfluB der Zustrom-Mach-Zahl Mal und des StoBwinkels a auf die fluidmechanischen GroBen hinter einem schiefen VerdichtungsstoB (normaler VerdichtungssstoB, a = 90°) fur K = 1,4. a Druckverhaltnis p2lpi, b Dichteverhaltnis p2/Pir c Temperaturverhaltnis ^ / ^ = (c2/c,)2, d Entropieanderung (i 2 - j,)/c.

chem StoGwinkel ( a =t= const) die Entropiezunahme von Stromlinie zu Stromlinie andert. Es sei schon hier bemerkt, daB die Stromung hinter einem gekriimmten VerdichtungsstoB gemaB dem Croccoschen Wirbelsatz nach Kap. 5.2.3.2 drehungsbehaftet ist, vgl. Abb. 5.72a, b. Schiefe VerdiinnungsstoBe waren mit einer Entropieabnahme verbunden; sie sind ebenso wie normale VerdiinnungsstoBe mit Riicksicht auf den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik physikalisch nicht moglich. Geschwindigkeiten. Wegen v2jvln = Pi/p2 nach der Kontinuitatsgleichung (4.146 a) kann (4.159 b) zur Ermittlung der Geschwindigkeiten vor und hinter dem StoB herangezogen werden. Beachtet man, daB Cl = Max sin o=vx sinCT/C,=

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung

95

vln/cl ist, dann folgt fiir das Produkt der Normalgeschwindigkeiten vlnv2n=[(K-

1)/(K+

1)] v\n + [2/(K+

l)]cf.

Aus der Energiegleichung (4.27b) entnimmt man v\ + [2/(K - l)]c\ = [2/(K - l)]cj) niit c0 als Schallgeschwindigkeit des Ruhezustands. Nach Abb. 4.36b ist v\ = v\n + v\t mit vlt = v, = const als Geschwindigkeitskomponente in Richtung des VerdichtungsstoBes nach (4.147). Somit erhalt man (4.162a, b) In der letzten Beziehung wurde die Laval-Geschwindigkeit gemaB (4.34) eingefiihrt. Fur den normalen VerdichtungsstoB geht (4.162) wegen v, = 0 in die einfachere Beziehung (4.63) iiber. Zusammenhang von StoB- und Umlenkwinkel. Im folgenden wird gezeigt, wie StoB- und Umlenkwinkel miteinander gekoppelt sind, man vgl. hierzu Abb. 4.36 b. Setzt man (4.150 c) in (4.159 b) ein, dann folgt nach trigonometrischer Umformung mit Cx = Max sin a die gesuchte Beziehung zu Ma2 M a f s n r'c -T -l 1

\

tana (^0). (4.163) / In Abb. 4.47 a ist der StoBwinkel a iiber dem Umlenkwinkel & > 0 mit der Zustrb'm-Mach-Zahl Max als Parameter dargestellt. Es ist der StoBwinkel stets grb'Ber als der Umlenkwinkel: 2

o>&

(StoB-, Umlenkwinkel).

(4.164)

Keine Umlenkung {& = 0, cot d- = °°) ergibt sich fiir die Falle 0 S a < 90° und C\ = Max sin a= 1 sowie a= 90°. Wie bereits gezeigt wurde, geht bei Cx - 1 der StoBwinkel in den Machwinkel iiber, d. h. a ~ /i. Im ersten Fall handelt es sich somit um eine durch Machwellen hervorgerufene schwache Verdichtung. Der zweite Fall entspricht dem normalen VerdichtungsstoB. Zu jedem Umlenkwinkel gehoren bei der gleichen Mach-Zahl Max zwei StoBwinkel. Man unterscheidet daher in die flachen oder schwachen und in die steilen oder starken VerdichtungsstoBe (kleine bzw. groBe Entropieanderung nach Abb. 4.46 d). Welcher Zustand sich einstellt, wird bei der Keilstromung, Beispiel a untersucht. Fiir jede MachZahl gibt es eine grbBte Umlenkung &m. Die Verbindungslinie all dieser Punkte ist in Abb. 4.47 a als Kurve (7) eingetragen. Die zugehorigen StoBwinkel seien mit om bezeichnet. Die groBtmogliche Umlenkung •&imx tritt bei Max = °° auf und betragt i?max = arcsin ( - ) (= 45,6°) W

bei

cr* = arcsin

/ ^ - ^ (= 67,8°). V 2K (4.165a, b)

Abb. 4.47 b zeigt den Verlauf von &m fiir Max iiber den Wert K = 1,4 und zum Vergleich auch fiir tc= 1,0. Wahrend im ersten Fall &m dem Wert t9-max = 45,6° zustrebt, gilt im zweiten Fall #max = 90°. Der in Abb. 4.45 dargestellte StoBwinkel o*(Mal), bei dem hinter dem VerdichtungsstoB Ma2 = 1 wird, ist in Abb. 4.47 a

96

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe ojnormaler

Verdichhngssto!)

Abb. 4.47. Konkave Stromungsumlenkung durch schiefen VerdichtungsstoB. a StoBwinkel o in Abhangigkeit vom Umlenkwinkel &> 0 und von der Zustrom-Mach-Zahl Ma, (K = 1,4); (i) groBte Umlenkung &m, am; (2) ortliche Mach-Zahl Ma2 - 1,CT*;ohne Umlenkung ( # = 0): (5) sehr scharfer Keil (langsangestromte ebene Platte), (4) angestromter stumpfer Korper (normaler VerdichtungsstoB); Hypersonische Naherung bei schwacher Umlenkung nach (4.172b). b Maximaler Umlenkwinkel &m in Abhangigkeit von Ma{ (K = 1,4 und K = 1,0)

als Kurve (2) wiedergegeben. Fur kleine und maBige StoBwinkel a< o* herrscht hinter dem StoB Uberschall- und fur groBe StoBwinkel a > a* Unterschallstromung. Die Kurven om = o(&= &m) und a* — a(Ma2 —I) unterscheiden sich nicht sehr stark voneinander. Es ist o= o(Max, Ma2) nach Abb. 4.44a und CT= a{Max, d) nach Abb. 4.47a bekannt. Eliminiert man den StoBwinkel, dann erhalt man fiir den Umlenkwinkel bei unstetiger Verdichtung die Beziehung •&= •& {Mau Ma2). Dieser Zusammenhang ist fiir Ma2 > 1 in Abb. 4.40a (oben) und fur Ma2 < 1 in Abb. 4.40b dargestellt. Druckbeiwert. Die Druckerhohung hinter einem schiefen VerdichtungsstoB Ap = p2-Pi bezogen auf den Geschwindigkeitsdruck der Zustromung q1 = (p1/2)v2l

97

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung

betragt nach (4.45) in Verbindung mit (4.159 a) tancrtani?Ma 2 sin 2 cr- 1 =2 > 0. Ma\ 1 + tan a tan •& K+l 4

(4.166 a, b)

Fur a= n/2 geht (4.166a) in (4.61a) iiber. Gl. (4.166b) erhalt man durch Einsetzen von (4.163) in (4.166a). In Abb. 4.48 ist der Druckbeiwert nach (4.166b) iiber tan a tan & aufgetragen. Er strebt fur sehr groBe Abszissenwerte der Asymptote (Ap/qi)max = 2 zu, wahrend sich der iiberhaupt mogliche groBte Beiwert fur den normalen VerdichtungsstoB mit a= n/2 bei Ma1 = » z u (A/?/<7i)max = 4/(JC+ 1)(= 1,67) fur K= l,4ergibt. DerWert (Ap/^) m a x = 2 wurdefur K = l,0erreicht. Gl. (4.166b) hat also nur im Bereich 0 § Ap/qx S 4 / ( K + 1) fluidmechanische Bedeutung, d.h. fur 0 g tan crtan & g 2 / ( K - 1) (= 5,0). In Abb. 4.48 sind die Falle fur Max = °° bei den Werten a = 45°, 60° und 75° besonders gekennzeichnet.

Abb. 4.48. Druckbeiwert beim Durchgang durch einen schiefen VerdichtungsstoB in Abhangigkeit vom StoB- und Umlenkwinkel (K = 1,4 und K = 1,0), hypersonische Naherung bei schwacher Umlenkung nach (4.173 a) tano"tDni?-

StoBpolarendiagramm. Zur zeichnerischen Behandlung von VerdichtungsstoBen kann das in Kap. 4.5.3.2 beschriebene Charakteristikendiagramm homentrop verlaufender Stromungen nicht verwendet werden. Zur Losung dieser Aufgabe hat daher Busemann [10] ein StoBpolarendiagramm entwickelt, mit dem man bei gegebener Geschwindigkeit u, vor dem StoB zu einem bestimmten Umlenkwinkel & > 0 den Betrag der Geschwindigkeit v2 hinter dem StoB ermitteln kann. Auch der StoBwinkel a kann auf diese Weise zeichnerisch gefunden werden. Das StoBpolarendiagramm hat den gleichen Aussagewert wie Abb. 4.47 a. Wie beim Charakteristikendiagramm in Abb. 4.43 sei auch hier auf die Konstruktion des StoBpolarendiagramms nicht naher eingegangen. Es werden wieder die Geschwindigkeitsvektoren v2 als Funktion des Umlenkwinkels i ^ S Oin einem Hodographen (Geschwindigkeitsebene) aufgetragen, und zwar in Abb. 4.43 als ausgezogene Kurven (3 a, b) und (4 a, b) dargestellt.52 Grundlegend fur die Darstellung des StoBpolarendiagramms ist die Beziehung fur die Geschwindigkeitskomponenten parallel zur StoBfront gemaB (4.147). Die StoBpolare ist bestimmt durch die beiden Konstanten vY und cL, d.h. durch den Betrag der Geschwindigkeit vor dem StoB und durch die vom Ruhezustand abhangige Laval-GeschwinSiehe FuBnote 49, S. 89.

98

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

digkeit gema'B (4.34). Die StoBpolare ist eine Strophoide. Wie bei der Epizykloide des Charakteristikendiagramms gibt es zwei spiegelbildliche Aste der Strophoide im StoBpolarendiagramm, Kurven (a) bzw. (b), je nachdem, ob es sich um eine links- oder rechtslaufige konkave Umlenkung handelt. Der Kreis v = cL teilt die StoBpolaren an den Punkten E in zwei Abschnitte, denen, wie bereits nach Abb. 4.47 a bekannt ist, VerdichtungsstoBe mit Unter- bzw. Uberschallgeschwindigkeit hinter dem StoB entsprechen, v2 S cL. Die Auftragung in Abb. 4.43 bezieht sich wieder auf eine bestimmte vorgegebene Uberschallgeschwindigkeit v{ > cx (MaY = vjcu cY - \ZKpJpi) vor dem StoB (Zustromrichtung), Punkt A. Dem Punkt D entspricht der normale VerdichtungsstoB mit •&= 0. Beim schiefen VerdichtungsstoB &> 0 treten zwei Schnittpunkte mit der StoBpolare auf, wobei in den Punkten F hinter dem StoB Uberschallgeschwindigkeit und in den Punkten G Unterschallgeschwindigkeit herrscht. Welcher Zustand sich einstellt, wird bei der Keilstromung noch untersucht. Die Winkel zwischen der Normalen zur Zustromung und den Strahlen AF bzw. AG sind nach Abb. 4.36 b gleich den StoBwinkeln a. Die Umlenkwinkel sind beschrankt durch die bereits in Abb. 4.47b bezeichneten Winkel # m , welche sich in Abb. 4.43 als Winkel der Tangente von O an die StoBpolare mit der Zustromrichtung OA darstellen. Die Fortsetzung der Polare iiber den Doppelpunkt A hinaus wiirde eine Depressionsstromung mit einem VerdiinnungsstoB beschreiben, was jedoch, wie bereits nachgewiesen wurde, fluidmechanisch nicht moglich ist. Fiir das in Abb. 4.43 eingezeichnete Beispiel mit der Zustrom-Mach-Zahl Max = 2,5 und dem Umlenkwinkel &= 20° ware bei der Depressionsstromung der Unterschied fiir die Geschwindigkeit v2 zwischen dem exakten Wert nach dem Charakteristikendiagramm und dem an sich unzulassigen Wert nach dem StoBpolarendiagramm nicht sehr groB. Er nimmt jedoch mit wachsendem Umlenkwinkel sehr schnell zu. Ein vollstandiges StoBpolaren-Diagramm nach Busemann [10] besteht aus einer Schar von StoBpolaren im Kompressionsgebiet, Kurven (3 a) und (3 b) in Abb. 4.43 fiir verschiedene vom Pol O aufgetragene Zustromgeschwindigkeiten v1 > vL (durch normierte Ordnungszahlen als Parameter gekennzeichnet). Miteingetragen sind im allgemeinen Kurven konstanten StoBwinkels a und Kurven konstanten Drosselfaktors po/po (Verhaltnis des Totaldrucks einer infolge schiefen VerdichtungsstoBes unstetigen Staupunktstromung zum Totaldruck einer mit konstanter Entropie stetig verlaufenden Staupunktstromung53). Fiir vx = cL entartet die StoBpolare in einen Punkt M = A=D, wahrend fiir vx = i>max die StoBpolare in einen Kreis iibergeht. Alle StoBpolaren liegen im Inneren des Kreises und umschlieBen den Punkt M. Beispiele zur Theorie schiefer VerdichtungsstoBe. Zur Veranschaulichung der bisher mitgeteilten Beziehungen sollen im folgenden einfache Stromungen behandelt werden, die mit dem Auftreten schiefer VerdichtungsstoBe verbunden sind. a) Keilstromung. Denkt man sich eine Stromlinie, welche durch einen schiefen VerdichtungsstoB konkav umgelenkt wird, durch eine feste Wand ersetzt, so entspricht dies entweder dem plotzlichen Abknicken einer ebenen Parallelstromung mit Uberschallgeschwindigkeit in einer stumpfen (konkaven) 53

Die Auftragungen in Abb. 4.16 gelten auch fur den schiefen VerdichtungsstoB, wenn man wegen der Analogie zum normalen VerdichtungsstoB anstelle der Mach-Zahl Ma als Abszissenwert den StoBparameter C = Ma sin a einfuhrt.

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung

99

1.2

Abb. 4.49. Mit Uberschallgeschwindigkeit angestromte Keilspitzen. a Anliegender VerdichtungsstoB, b abgehobener VerdichtungsstoB, c Druckbeiwerte fur verschiedene Keilwinkel (anliegender VerdichtungsstoB) Ecke nach Abb. 4.32c (rechts), oder der Anstromung eines Keils mit Uberschallgeschwindigkeit nach Abb. 4.49 a, vgl. auch Abb. 1.18a. Die Keilstromung nach Abb. 4.49 a, b sei etwas naher untersucht. Von der Spitze des Keils mit dem halben Offnungswinkel &K gehen bei einer Mach-Zahl MaM > 1 nach beiden Seiten gerade schiefe VerdichtungsstoBe aus, durch welche die ankommende Stromung um & = &K umgelenkt wird. Vor den StoBen bleibt die Stromung vom Keil unbeeinfluBt, wahrend wegen des geraden StoBes im Bereich zwischen StoB und Korperkontur iiberall ein gleichformiger, durch den schiefen StoB mit dem StoBwinkel a und der Anstrom-Mach-Zahl Ma«, bestimmter Zustand herrscht. Aus Abb. 4.47 a kann man fur gegebene Werte Ma, =Max und &= &K die GroBe des StoBwinkels &K entaehmen. Dies ist nur moglich, solange &K £ &m 1st. Nach Abb. 4.47 a sind bei festgehaltener Zustrom-UberschallMach-Zahl und gleichem Umlenkwinkel zwei VerdichtungsstoBe (schwach oder stark bzw. flach oder steil) moglich, und zwar ein schiefer VerdichtungsstoB, hinter dem weiterhin Uberschallgeschwindigkeit herrscht, oder ein fast normaler VerdichtungsstoB mit starker Verdichtung auf Unterschallgeschwindigkeit.54 Welche der beiden Moglichkeiten sich einstellt, kann man sich klar machen, wenn man die Anstromung eines scharfen und eines stumpfen Keils betrachtet. Bei der Umstromung eines sehr scharfen Keils mit &K —» 0, d.h. nach Abb. 4.50 a eines Falls ohne Stromungsumlenkung, ist ein steiler VerdichtungsstoB nicht vorstellbar. Bei Keilwinkeln &K S &m gehen somit nach Abb. 4.50b und c von der Keilspitze flache gerade VerdichtungsstoBe (a = const) als anliegende schiefe VerdichtungsstoBe aus. Das Auftreten solcher schwachen StoBe wird experimentell bestatigt. Die Druckverteilung auf der Kontur des Keils in Form des Druckbeiwerts Ap/qx = (pK - pS)/q«, erhalt man aus (4.166a) durch Eliminieren des StoBwinkels amittels (4.163) aus der nicht nach auflosbaren Beziehung tan2 &K =

4Mal 2-c,

(cp = Ap/qJ .

(4.167)

Bei festgehaltenem Keilwinkel d-K = const und gegebener Anstrom-Mach-Zahl M o . ist Ap/q^ = const. In Abb. 4.49c ist der Druckbeiwert iiber Ma^mit i? x als Parameter aufgetragen, vgl. Abb. 4.41. Dabeizeigt sich in Ubereinstimmung mit Abb. 4.47 b, daB ein anliegender StoB nur fur Keilwinkel &K g &m moglich ist. Dem Fall &K = &m entspricht eine kleinste Mach-Zahl (MaJ)min, bei welcher der VerdichtungsstoB gerade noch anliegt. Diese Begrenzung ist in Abb. 4.49 c dargestellt. Auf den kleinen Bereich zwischen am und a* sei nicht besonders eingegangen.

100

4.5 Uralenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe V- starker I Verdichtungsstofl

.(T--TII2

• Verdichtungsston

#1,-0 Ato, >7

I

a

Abb. 4.50. Zur Frage des Auftretens anliegender schiefer VerdichtungsstoBe an Keilspitzen, die mit Uberschallgeschwindigkeit (Mal = 2,5) angestromt werden, vgl. Abb. 4.47. — • — • — •: schwacher StoB, : starker StoB. a &K = 0, b &K = 10°, c &K = 20°

1st der Keilwinkel &K > &m, so liegt keine so einfache Losung wie bei &K Si &m vor. Vor solchen stumpfen Keiien beobachtet man nach Abb. 4.49b einen vom Korper abgehobenen gekrummten VerdichtungsstoB. Der StoBwinkel ist jetzt nicht mehr konstant (a 4= const), was bedeutet, daB der Stromungszustand zwischen StoB und Korper nicht mehr gleichformig ist. In der Symmetrieebene ist a = 7i/2 und & = 0, wahrend nach auBen a monoton abnimmt, wobei die Umlenkung stets & Si &m ist. In geniigend groBer Entfernung strebt bei endlich dickem Korper der StoBwinkel dem zu Max gehorenden Machwinkel fi zu, was im iibrigen auch fiir den anliegenden StoB bei einem endlich dicken Korper zutrifft. Wahrend bei keilformig zugespitzten Korpern bei Uberschallanstromung je nach Mach-Zahl Ma_ und Keilwinkel &K sowohl anliegende als auch abgehobene VerdichtungsstoBe auftreten, findet man bei Korpern, die nach Abb. 1.18b vorn stumpf sind, bei Uberschallanstromung nur abgehobene StoBe. In der Umgebung der Stromlinie, die zum Staupunkt fiihrt, herrscht hinter dem abgehobenen VerdichtungsstoB immer Unterschallstromung (Ma < 1.). Unmittelbar vor dem Kopf bildet sich also ein Unterschallgebiet aus in dem sich Storungen in einem gewissen Mafi, d. h. bis zum VerdichtungsstoB, stromaufwarts bemerkbar machen. Der Unterschallbereich ist durch die Linie Ma = 1 begrenzt. AuBerhalb des beschriebenen Bereichs herrscht zwischen VerdichtungsstoB und Korperkontur Uberschallgeschwindigkeit {Ma > 1). Mit der bisher angegebenen Theorie ist es nicht moglich, Lage und Kriimmung des abgehobenen StoBes zu ermitteln. Fragen des VerdichtungsstoBes bei einer Uberschallstromung werden zusammenfassend von Cabannes [12] behandelt. b) Angestellte ebene Platte. In Kap. 4.5.3.1, Beispiel a, wurde die Anwendung der linearen supersonischen Theorie (Ackeret) auf die angestellte ebene Platte gezeigt, Abb. 4.38 a. Im folgenden wird kurz iiber die mchtlineare Losung berichtet, die mit den in diesem Kapitel fur die unstetige Kompressionsstromung mit schiefem VerdichtungsstoB und in Kap. 4.5.3.2 fur die stetige Depressionsstromung mit konstanter Entropie bereitgestellten Formeln und Methoden (StoBpolaren- und Charakteristikendiagramm) arbeitet. Die ebene Platte ist nach Abb. 4.51a unter dem Anstellwinkel a gegen die Anstromrichtung geneigt. Die Umlenkung der Stromung an der Vorderkante um die Winkel & = ± a erfolgt auf der Oberseite der Platte durch einen zentrierten Verdiinnungsfacher und auf der Unterseite durch einen schiefen VerdichtungsstoB. An der Hinterkante kehrt sich dies Verhalten um. In den Bereichen (1) und (2) verlaufen die Stromlinien tangential zur Platte. Die Driicke auf der Unter- und Oberseite der umstromten Platte liegen durch die Druckanderungen fest, die von dem Verdiinnungsfacher bzw. von dem VerdichtungsstoB an der Vorderkante der Platte hervorgerufen werden. Das geschilderte Verfahren nennt man die StoB-Expansions-Methode.35 An der Hinterkante der Platte wird die Stromung in eine konstante ParallelstrSmung umgelenkt. Dabei bestimmt sich die GroBe der Umlenkung im VerdichtungsstoB und im Verdiinnungsfacher aus der Bedingung, daB Stromungsrichtung und Druck in den Bereichen (3) und (4) iibereinstimmen miissen. Diese Stromungsrichtung stimmt nicht genau mit der Anstromrichtung iiberein. Von der Hinterkante geht eine trennende Unstetigkeitsflache als Wirbelschicht aus, vgl. Kap. 5.4.4.2. Die geschilderte StroEnglisch: Shock-expansion method.

101

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung Verdiinnungsfacher Verdiinnungsfacher

VerdichtungssioR

Wirbetschicht /

\ \ \ Stoli

\/\ \

\

\

MtJco>1 VerdiMungsstoB

Verdiirmungsfacher

/

/%„>;

Verdichtungs- \ \

X

-

\

/\>\XN

^

%

Abb. 4.51. Beispiele zur nichtlinearen supersonischen Profiltheorie. a Angestellte ebene Platte, b sehnenparallel angestromtes Doppelkeilprofil, c sehnenparallel angestromtes Parabelprofil

mung in Plattennahe bleibt stromabwarts bis zu den beiden Mach-Linien m, und m2 bestehen, die dort ihren Ursprang haben, wo sich VerdichtungsstoB und Verdiinnungswelle treffen. Die filr die angestellte ebene Platte gemachten Uberlegungen lassen sich in analoger Weise auf das mit Uberschallgeschwindigkeit angestromte Doppelkeilprofil nach Abb. 4.51b iibertragen. Die von der Keilspitze ausgehenden VerdichtungsstoBe erstrecken sich in konstanter Starke allerdings nur bis zu den Stellen, wo sie mit einer vom Ort der groBten Profildicke ausgehenden Verdiinnungswelle in Wechselwirkung treten und dadurch abgeschwacht werden. c) Symmetrisch angestromtes endlich dickes Profil. In Kap. 4.5.3.1, Beispiel b, wurde auch die Anwendung der linearen supersonischen Theorie (Ackeret) auf ein sehnenparallel angestromtes symmetrisches Polygon-Profil gezeigt. Das bei der angestellten ebenen Platte und beim Doppelkeilprofil beschriebene Verfahren laBt sich in der angegebenen einfachen Weise nicht auf stetig gekriimmte Profile iibertragen. In Abb. 4.51c ist ein vom und hinten spitzes bikonvexes Parabelprofil (Linsenprofil) dargestellt. Auch hieriiber seien einige aus der nichtlinearen supersonischen Theorie folgende Bemerkungen gemacht. An der Profilnase entsteht zunachst auf beiden Profilseiten je ein gekriimmter anliegender VerdichtungsstoB mit dahinterliegendem Uberdruck. Infolge der konvexen Neigung der gekriimmten Profiloberflache gehen von dieser Verdiinnungswelle aus, durch welche der Uberdruck allmahlich wieder herabgesetzt und auf der riickwartigen Profilseite sogar in Unterdruck verwandelt wird. Die von der Ober- bzw. Unterseite des Profits ausgehenden Machwellen treffen teilweise die beiden an der Vorderkante entstandenen Verdichtungsstofie; es tritt dann eine Reflexion der Wellen ein. Das Stromungsfeld stromabwarts von den vorderen StoBen enthalt also sowohl auf der Oberseite als auch auf der Unterseite reflektierte Machwellen, die in Abb. 4.51 c nicht eingetragen sind. SchlieBlich bilden sich an der Profilhinterkante nochmals zwei gekriimmte schiefe VerdichtungsstoBe, die zu einer neuerlichen Druckerhohung ftihren, und zwar bis zum Druck der ungestorten Anstromung. Die Stromlinien werden dadurch wieder in ihre anfangliche horizontale Lage abgelenkt. Wegen der Krummung des VerdichtungsstoBes ist die Stromung hinter dem StoB aufgrund der von Stromlinie zu Stromlinie veranderten Entropie nicht homentrop. Bei hinreichend flachen Profilen ist die

102

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

reflektierter SM V

- T - ^ ^ ^ f—~~S'~ " ^ /'Shmliaii ' ; *

finfallnuler'~>^'

'"**

Abb. 4.52. Reflexion eines von einer Keilspitze ausgehenden schiefen VerdichtungsstoBes an einer festen Wand

Kriimmung der StoBfront jedoch so klein, daB die Entropieanderungen hinter der StoBfront vernachlassigt werden konnen. Die Stromung zwischen den StoBfronten (Kopf- bzw. SchwanzstoB) und dem Profil verhalt sich dann homentrop. Die Konstruktion des Stromungsfelds kann mittels des StoBpolaren- und Charakteristikendiagramms nach Abb. 4.43 erfolgen. Vernachlassigt man die oben beschriebene Reflexion der Verdiinnungswellen an den von der Vorderkante ausgehenden VerdichtungsstoBen, so entspricht dies der bei der angestellten ebenen Platte (Beispiel a) beschriebenen StoB-Expansions-Methode. Wenn die Entropieanderungen hinter dem KopfstoB nicht mehr vernachlassigbar klein sind, wie dies bei starker gekrummten, dickeren Profilen der Fall ist, liefem die bisher genannten Verfahren nur ungenaue oder unbefriedigende Losungen. Die an den verschiedenen Stellen des gekrummten VerdichtungsstoBes unterschiedliche Entropiezunahme bewirkt nach Kap. 5.4.4.3 eine drehungsbehaftete Stromung hinter dem StoB, was die Behandlung solcher Aufgaben erheblich erschwert. Man hat daher das in Kap. 4.5.3.2 besprochene einfache Charakteristikenverfahren fur drehungsfreie ebene Stromung auch auf drehungsbehaftete ebene Uberschallstromung erweitert. Auch zur Beschreibung instationarer Uberschallstromungen wurden Charakteristikenverfahren entwickelt. Ausfiihrliche Darstellungen iiber die Behandlung von Uberschallstromungen unter Zuhilfenahme von Charakteristikenverfahren findet man z.B. bei Meyer [39] und Sauer [54]. d) Stofireflexion. Trifft ein schiefer VerdichtungsstoB, der nach Abb. 4.52 von einer Keilspitze erzeugt wurde, auf eine feste Wand, so wird er an dieser mit gleicher Starke reflektiert. Eine Stromlinie langs der Wand erfahrt neben einer Ablenkung im Bereich zwischen den beiden VerdichtungsstoBen beim Durchtritt durch den ein- und ausfallenden (reflektierten) StoB eine erhohte Drucksteigerung. Solange der Keilwinkel nicht zu groB ist, stellt sich eine normale Reflexion nach Abb. 4.52 ein. Bei groBeren Keilwinkeln laBt sich die Randbedingung an der Wand nicht mehr so einfach erfiillen. Die Reflexion ist erheblich schwieriger zu beschreiben. Auf die vielfaltigen Probleme, die mit der Reflexion von Wellen und StoBen an festen Wanden oder freien Strahloberflachen zusammenhangen sowie beim Durchkreuzen gegenlaufiger Fronten auftreten, kann hier nicht eingegangen werden, man vgl. z. B. [6, 54].

4.5.3.4 Hypersonische Stromung Allgemeines. Stromungen, bei denen sehr groBe Mach-Zahlen Ma > 1 auftreten, werden als hypersonische Stromungen bezeichnet, vgl. Kap. 4.1. Sie sind durch besondere fiuidmechanische und mathematische Merkmale gekennzeichnet, die bei supersonischen Stromungen, wie sie z.B. in Kap. 4.5.3.1 behandelt werden, nicht vorkommen. Hypersonische Einfliisse machen sich sowohl bei Depressions-(Expansions-) als auch bei Kompressionsstromung bemerkbar. Die verschiedenen Voraussetzungen, unter welchen man von hypersonischen Stromungen spricht, konnen hier nicht vollstandig wiedergegeben werden.56 Beim Umstromen eines Korpers mit hoher Mach-Zahl ist es fur die Starke der Kompression entscheidend, ob der Korper vorn spitz oder stumpf ausgefuhrt ist. 56

Einschlagiges in Buchform erschienenes Schrifttum ist in der Bibliographie (Abschnitt B) am Ende dieses Bandes zusammengestellt.

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstrbmung

103

abgehobener VerdichtungsstoB

^ reibungsbehaftet

Abb. 4.53. Hypersonische Stromung um einen vorn stumpfen Korper. 6H = hypersonische Grenzschicht, 6R - Reibungsschicht

Im ersten Fall bildet sich vor dem Korper bei nicht zu groBem Offnungswinkel ein anliegender StoB aus, wahrend sich im zweiten Fall ein abgehobener VerdichtungsstoB einstellt, vgl. Abb. 1.18. Der VerdichtungsstoB schmiegt sich nach Abb. 4.53 der Korperform sehr eng an. Den Bereich zwischen dem VerdichtungsstoB und der Korperform nennt man auch die hypersonische Strdmungsgrenzschicht. Am Korper selbst entsteht infolge der Viskositat des Fluids eine hypersonische Reibungsschicht, welche einen wesentlichen Anteil der hypersonischen Grenzschicht ausmacht. Bei hypersonischen Strdmungen besteht daher eine sehr starke Beeinflussung zwischen dem VerdichtungsstoB und der Reibungsschicht, vgl. [2, 36, 73]. Eine Literaturzusammenstellung bis zum Jahr 1959 findet man bei Truitt [66]. Uber die deutschen Forschungsarbeiten auf dem Gebiet der Hyperschallaerodynamik bis zum Jahr 1966 berichten Gersten, Heyser und Wuest [23 b]. Einen Ubersichtsbeitrag iiber die Entwicklungsrichtungen der Theorie hypersonischer Strdmung gibt Schneider [58] Der folgende kurze AbriB moge iiber einige Ergebnisse der hypersonischen Stromungen berichten. Weitergehende Ausfiihrungen findet man in Kap. 5.3.3.4, Abschnitt c. Schwache Umlenkung bei hypersonischer Stromung Unter der Annahme nur kleiner Umlenkwinkel an einer Ecke nach Abb. 4.32a, d.h. \&\ —> 0, weichen die Geschwindigkeiten vor und hinter der Umlenkung nicht sehr stark voneinander ab, d.h. es ist v2 ~ vx. Erfolgt die Zustrdmung mit der hypersonischen Mach-Zahl Max > 1, dann gilt auch Ma2 > 1. Mit diesen beiden Bedingungen lassen sich aus Kap. 4.5.3.2 und Kap. 4.5.3.3 sowohl fiir die Depressions-(Expansions-) als auch fiir die Kompressionsstromung Formeln fiir die hypersonische Stromung herleiten. Als bestimmende Kennzahl stellt sich im Verlauf der nachstehenden Untersuchungen ein von Tsien [67] eingefiihrter Ahnlichkeitsparameter der hypersonischen Stromung heraus, der wie folgt definiert ist: Kx = Max & g 0 (Hyperschallparameter).

(4.168)

104

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

Dabei gilt das obere Vorzeichen fiir eine konvexe Umlenkung (#< 0) und das untere Vorzeichen fiir eine konkave Umlenkung (&> 0). Bei sehr groBen Mach-Zahlen Ma 8> 1 ergibt sich der Machwinkel nach (4.144 a) zu fi — l/Ma. Fiihrt man Ma in (4.168) ein, so stellt Kx - &/p das Verhaltnis von Umlenk- und Machwinkel dar. Depressionsstromung. Durch Reihenentwicklung nach groBen Werten von Ma erhalt man aus (4.156) fiir den Prandtl-Meyer-Winkel v(Ma) = vmax - - ^ -^ (Ma > 1, 0 < 0),

(4.169)

was in Abb. 4.39b als hypersonische Naherung eingetragen ist. Nach (4.155) wird dann fiir den konvexen Umlenkwinkel sowie fiir das haufig gebrauchte Verhaltnis der Mach-Zahlen Ma2 und Max

wobei Ki < 0 nach (4.168) der Ahnlichkeitsparameter der hypersonischen Depressions-(Expansions-)stromung ist. Die Stromung verlauft unter den gemachten Voraussetzungen bei konstanter Entropie. Ftir das Druckverhaltnis erhalt man aus (4.49 b) unter der Annahme, daB Ma, > 1 und Ma2 > 1 ist, p2lpx = (MaJMa2fKlK-\ Mit MaJMa2 nach (4.170b) wird nach Einsetzen in (4.45) fiir den Druckbeiwert

Hiernach hangt der Druckbeiwert von Kx ab und ist dem Quadrat des Umlenkwinkels & proportional. Tritt nach der Umlenkung Vakuum mit p2 = 0 ein, dann bleibt auch bei Vergrb'Berung des Parameters - K^ die Druckanderung Ap=p2-pl=-pl konstant. Der zugeordnete Druckbeiwert Ap/q1 = - 2/xMaj betragt dann = &

2

< 0

(Vakuum).

(4.171b)

Er wird nach (4.171 a) erstmalig bei K,=~ 2/(JC - 1) (= - 5,0) erreicht. In Abb. 4.54 ist (— Aplq^ld2 iiber — AT, als Kurve (/) aufgetragen. Kompressionsstromung. Bei sehr groBer Mach-Zahl Max > 1 und schwacher Umlenkung t? < 1 wird der StoBwinkel nach Abb. 4.47 a sehr klein, a < 1. Unter Beachtung dieser Annahmen folgt aus (4.163) die quadratische Gleichung Ma\ [o2 - ((K + l)/2) &o] = 1 mit der Losung fiir den Zusammenhang von StoBund Umlenkwinkel h

(4

-ma'b) wobei Kx > 0 nach (4.168) der Ahnlichkeitsparameter der hypersonischen Kompressionsstromung ist. Die Gerade a= [(K+ l)/2]i9-(=l,2t?) fiir A', = °°, d.h. auch

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung

105

Mai - °°> ist in Abb. 4.47 a als hypersonische Naherung eingetragen. Fur K- 1 sind StoB- und Umlenkwinkel gleich groB. Fiir den Druckbeiwert findet man aus (4.166b) und (4.172a) K+l

K+\

(4.173 a, b)

Er hangt wie bei der hypersonischen Depressionsstromung mit Kl < 0 jetzt nur von Kx > 0 ab und ist in gleicher Weise dem Quadrat des Umlenkwinkels & proportional. Fiir Kx = °°, d.h. auch bei Ma^ = «>, ergibt sich der asymptotische Wert (4.173 c) In Abb. 4.54 ist (+ Ap/q{)/&2 iiber + Kx als Kurve (2) aufgetragen. Die Beziehung Ap/ql = 2 a # i s t in Abb. 4.48 dargestellt. Die Ergebnisse fiir die hypersonische Depressions- und Kompressionsstromung bei schwacher Umlenkung sollen mit dem Ergebnis der supersonischen Stromung bei schwacher Umlenkung nach (4.151b) mit A # = & verglichen werden, indem man dort unter Verletzung der zulassigen Voraussetzung Max > 1 setzt. Dann gilt fiir den Druckbeiwert bei supersonischer Naherung Ap

May

(supersonische Naherung).

K

(4.174)

Diese Naherung ist in Abb. 4.54 als Kurve (3) wiedergegeben. Sie entspricht der Entwicklung von (4.171 a) und (4.173b) nach kleinen Werten von |K t \ <§ 1. Beispiel: Angestellte ebene Platte bei Hyperschallstrbmung. Die in Abb. 4.38 a dargestellte angestellte ebene Platte sei unter dem Winkel a = \ &\ mit Hyperschallgeschwindigkeit (Max S> 1) angestromt. Bei a > 0 ergibt sich auf der Oberseite nach (4.171) eine Depressionsstromung mit uber Plattentiefe konstanter Druckverteilung und auf der Unterseite nach (4.173) eine Kompressionsstromung, ebenfalls mit konstanter Druckverteilung. Den nach (4.154 a) definierten Auftriebsbeiwert erhalt man dann zu cA = cA(Ma^a), wo-

wV\ \\\\ s

^x+r

\ A3) — •

—

—

—

_

Abb. 4.54. Druckbeiwerte kplqi § 0 bei hypersonischer Stromung in Abhangigkeit vom Hyperschallparameter Ki =Ma,. (1) Depression (Expansion) (KY < 0), nach (4.171). (2) Kompression (K{ > 0), nach (4.173). (3) Supersonische Naherung, nach (4.174)

106

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoGe

bei Ma«. a den hypersonischen Ahnlichkeitsparameter der Plattenstromung bedeutet. In Abb. 4.55 ist der Auftriebsbeiwert cA in Abhangigkeit vom Anstellwinkel a mit Max als Parameter dargestellt. Zum Vergleich ist auch die lineare Theorie der supersonischen Stromung nach (4.154 a) wiedergegeben. Bis zu Mach-Zahlen von Ma. < 3 stimmt die supersonische Theorie mit der hypersonischen Theorie recht gut iiberein, wahrend sich bei Ma. ~ 10 bereits betrachtliche Unterschiede zwischen beiden Theorien zeigen. Der Auftriebsbeiwert bei Ma. = <»ergibt sich nach (4.173c) zu cA = (K + 1) a 2 (= 2,4 a2)

(Ma. =

(4.175)

Es sei erwahnt, da6 auf der Plattenoberseite Vakuum herrscht und hierfiir nach (4.171b) wegen Kt A Max a = <*> der Druckbeiwert Ap/qt A Ap/q °° = 0 ist. Wahrend bei maBiger Lfberschallanstromung (supersonische Stromung) der Auftriebsbeiwert nach (4.154a) linear vom Anstellwinkel a abhangt, ergibt sich bei Hyperschallstromung (hypersonische Stromung) bei Mam = °° eine quadratische Abhangigkeit von a.

Starke Umlenkung bei hypersonischer Stromung Bei der Anstromung eines vorn stumpfen Korpers bildet sich vor dem Korper ein abgehobener VerdichtungsstoB (Kopfwelle) aus, der bei sehr hohen Mach-Zahlen Max nach Abb. 4.53 sehr stark gekriimmt ist. Die ankommende Hyperschallstromung wird auf der Stromlinie zum Staupunkt durch den VerdichtungsstoB unstetig auf Unterschallgeschwindigkeit und im Staupunkt selbst auf den Wert der Geschwindigkeit null abgebremst, vgl. die Ausfiihrungen iiber die Staupunktstromung in Kap. 4.3.2.7 Beispiel b. In Staupunktnahe entstehen auBerordentlich hohe Temperaturen, die zu chemischen Reaktionen, wie z.B. Dissoziation und Ionisation des Gases und damit zu Abweichungen von den Eigenschaften des idealen Gases fiihren. Es gilt dann z.B. nicht mehr die Zustandsgleichung (4.21).

Abb. 4.55. Auftriebsbeiwert cA der angestellten ebenen Platte bei Hyperschallanstromung (K= 1,4) in Abhangigkeit vom Anstellwinkel a filr verschiedene Mach-Zahlen Ma«,, nach [35]. : hypersonische Theorie (nichtlinear), : supersonische Theorie (linear), : Max = 0, cA = 2na nach (5.209a)

4.5.3 Elementare Stromungsumlenkung bei Uberschallanstromung

107

Durch die starke Kriimmung des VerdichtungsstoBes treten entsprechend der Ausfiihrung in Kap. 4.5.3.3 beim Durchgang durch den StoB von Stromlinie zu Stromlinie starke Entropieanderungen auf. Dies bedeutet nach Kap. 5.4.4.3, daB die hypersonische Stromung auch ohne den hier nicht beriicksichtigten ReibungseinfluB bereits stark drehungsbehaftet ist. Die Berechnung der Stromung um eine stumpfe Vorderkante, insbesondere die Ermittlung der Lage und Form des VerdichtungsstoBes sowie die Berechnung der Druckverteilung am Korper erfordert einen groBeren Aufwand, weil im Strdmungsgebiet super-, trans- und subsonische Geschwindigkeitsbereiche auftreten. Abb. 4.56 a zeigt eine Stromungsaufnahme einer Kugel bei Hyperschallanstromung mit Max = 9- Die Lage des Abstands des abgehobenen VerdichtungsstoBes vom Staupunkt wurde u. a. von van Dyke [17] theoretisch ermittelt und ist in Abb. 4.56b fur verschiedene Mach-Zahlen Max wiedergegeben. Wird der VerdichtungsstoB nahezu normal durchstromt, dann ist a~ n/2, und damit wird bei Max > 1 die in (4.160) angegebene GroBe CY = Ma{ sin a > 1. Man spricht in diesem Fall in Analogie zur Einteilung der schwachen und starken StoBe in Kap. 4.5.3.3 auch von einer starken Hyperschallstromung. Unter der getroffenen Annahme folgt fur den Zusammenhang von Umlenk- und StoBwinkel

x°

X \

Ma,

V\ \ \ o

S £ 7

Abb. 4.56. Kugel bei Hyperschallanstromung. a Stromungsaufnahme bei Ma, = 9, nach Kurzweg. b Abstand e des abgehobenen VerdichtungsstoBes vom Staupunkt bei verschiedener Mach-Zahl Mat; Messung fiir Luft, Theorie nach van Dyke [17] fur K = 1,4

108

4.5 Umlenkung stationarer ebener Uberschallstromungen durch Wellen und StoBe

aus (4.163) sowie fur den Druckbeiwert aus (4.166 a) tan & =

sin (2a) K+

cos (2o) '

Ap

(a->7r/2).

K+ 1

(4.176 a, b)

Fiir das Dichteverhaltnis hinter und vor dem StoB gilt nach (4.159 b) wegen q §> 1 der bereits mit (4.57 c) angegebene konstante Wert. Bei den hier behandelten starken Hyperschallstromungen tritt die Mach-Zahl uberhaupt nicht auf. Man spricht daher auch vom Prinzip der Mach-Zahl-Unabhangigkeit der Hyperschallstromung oder vom hypersonischen Zustand. Newtonsche Naherung. Fur K = 1 findet man aus (4.176 a), daB der Umlenkwinkel gleich dem StoBwinkel &= a wird, d.h. die Stromung wird unmittelbar an der Korperflache umgelenkt. In diesem Fall ergibt sich nach (4.176 b) fur den Druckbeiwert A P -, • -, n — =2 sin2 S-.

A P /AP\ /sin#\ — = [—!-][ ~——

(Newtonsche Naherung). (4.177a, b)

Diese Beziehung ist als Newtonsche Naherung bekannt und laBt sich folgendermaBen leicht herleiten: Wird die Stromung mit der Geschwindigkeit vl erst beim Beriihren eines nach Abb. 4.57 a um den Winkel #geneigten Flachenelements dA umgelenkt, so liefert die Impulsgleichung (4.148 b) normal zu dA mit v2n = 0 und vu = Vi sin i^die Druckanderung p2 - P i = pii>2]Sin2#. Hieraus erhalt man unmittelbar den angegebenen Ausdruck fiir den Druckbeiwert. Die Beziehung gilt fiir die Korpervorderseite, d.h. 0 S | &\ g n/2, wahrend auf der Korperriickseite die gegebene Ableitung keine Aussage liefert. Man spricht hier vom sog. aerodynamischen Schatten. Bei kleiner Umlenkung wiirde sich Aplqx = 2&2 ergeben, was bei K = 1 in Ubereinstimmung mit der hypersonischen Naherung fiir schlanke Korper nach (4.173 c) ist. Man kann (4.177 a) noch dadurch abandern, daB man ausgehend von dem Druckbeiwert (Aplq{)0 an einer Stelle &0 entsprechend

1,0 0.8 0.6 0.4 0.2

A*\ \ \

^\

• 'A \ A\

0

0.4

0,8

T

s o

aerodynomhcher Schatten

I

1,2 1.6 2,0 s/R -

o

o

2.4 2,8

Abb. 4.57. Zur Newtonschen Naherung hypersonischer Stromungen. a Ableitung und aerodynamischer Schatten. b Druckverteilung um einen Halbkorper mit Halbkugelkopf, Messung nach [341, theoretische Kurve nach abgeanderter Newtonscher Naherung (4.177 b)

Literatur zu Kapitel 4

109

(4.177 b) auf den Druckbeiwert an einer Stelle & schlieGt. In Abb. 4.57 b ist die Druckverteilung an einem Halbkorper mit Halbkugelkopf nach [34] dargestellt. Die Ubereinstimmung zwischen der Theorie nach (4.177 b) und der Mesung ist sehr gut. Literatur zu Kapitel 4 1. Ackeret, J.: Luftkrafte auf Fliigel, die mit groBerer als Schallgeschwindigkeit bewegt werden. Z. Flugtechn. Motorluftschiff. 16 (1925) 72-74. NACATM 1113, 1947 2. Ackeret, J.; Feldmann, R; Rott, N.: Untersuchungen an VerdichtungsstoGen und Grenzschichten in schnell bewegten Gasen. Inst. Aero. ETH Zurich, Mitt. 10, 1946 3. • Aeronautical Research Council: A selection of tables and graphs for use in calculations of compressible airflow. Oxford: Clarendon Press 1952/54a) 4. Allievi, L.; Dubs, R.; Bataillard, V.: Allgemeine Theorie iiber die veranderliche Bewegung des Wassers in Leitungen (Ubersetzung ital. Aufl. 1903). Berlin: Springer 1909 5. • Ames Research Staff: Equations, tables, and charts for compressible flow. NACA Rep. 1135 (1953)*) 6. Becker, E.: Gasdynamik. Stuttgart: Teubner 1965 7. • Benedict, R.P.; Carlucci, N.A.: Handbook of specific losses in flow systems. New York: Plenum Press Data Div. 1966b) 8. • Benedict, R.P.; Steltz, W.G.: Handbook of generalized gas dynamics. New York: Plenum Press Data Div. 1966C) 9. Bosnjakovic, F.; Knoche, K.F.: Technische Thermodynamik, Teil I, 7. Aufl. Kap. 13. Darmstadt: Steinkopff 1988. Focke, R.I.: Forsch. Ing.-Wes. 16 (1949) 43-50 10. Busemann, A.: VerdichtungsstoGe in ebenen Gasstromungen. Vortrage aus dem Gebiet der Aerodynamik. Aachen 1929, 162-169. Berlin: Springer 1930 11. Busemann, A.: Aerodynamischer Auftrieb bei Uberschallgeschwindigkeit. 5. Volta-Tagung 1935; Luftf.-Forsch. 12 (1935) 210-220. Ann. Rev. Fluid Mech. 3 (1971) 1-12 12. Cabannes, H.: Theorie des ondes de choc, Handb. Phys. (Hrsg. S. Fliigge) IX, S. 162 bis 224. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer 1960. Melkus, H.: Ing.-Arch. 19 (1951) 208-227 13. Chambre, P.; Lin, C.-C: On the steady flow of a gas through a tube with heat exchange or chemical reaction. J. Aer. Sci. 13 (1946) 537-542; 14 (1947) 24, 63; 293-294 14. • Chapman, A. J.; Walker, W.F.: Introductory gas dynamics, Kap. 6. New York: Holt, Rinehart and Winston 1971") 15. • Daneshyar, H.: One-dimensional compressible flow. Oxford: Pergamon Press 1976") 16. Dubs, R.: Angewandte Hydraulik, Abschn. B III, IV. Zurich: Rascher 1947 17. Dyke, M.D. van: The supersonic blunt-body problem, Review and extension. J. Aero/Space Sci. 25 (1958) 485-496. Rusanov, V.V.: Ann. Rev. Fluid Mech. 8 (1976) 377-404 18. Eskinazi, S.: Fluid mechanics and thermodynamics of our environment, Kap. 4.11, New York: Academic Press 1975 19. Euteneuer, G.-A.; Heynatz, J.T.: Probleme der Rohrstromung. Forsch.-Ing.-Wes., VDI-Heft 547 (1971) 20. Foa, J.V.; Rudinger, G.: On the addition of heat to a gas flowing in a pipe at subsonic speed. J. Aer. Sci. 16 (1949) 84-94, 119; 317-318; 379-380; 566-567. Schrenk, O.: Ing.-Arch. 18 (1950) 272-276

•

enthalt numerische Tabellen.

•)

K=1,4.

b c

) K= 1,2; 1,2; 1,3; 1,4; 1,67.

)

d

K = 1 , 0 ; 1,1; 1,2;

1,3; 1,4;

) K= 1,3; 1,4; 1,67. e ) K = 1,33; 1,4; 1,67.

1,67.

110

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Literatur zu Kap. 4

111

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5 Drehungsfreie und drehungsbehaftete Stromungen

5.1 Uberblick Ein den Stromungsraum ausfiillendes Geschwindigkeitsfeld v(t, r) kann man in einen drehungsfreien und in einen drehungsbehafteten Anteil zerlegen. Der Begriff der Drehung (Rotation) eines Fluidelements wurde in Kap. 2.3.3.2 eingefiihrt. Es erweist sich fur die rechnerische Verfolgung der Bewegungen mit Drehung oft als zweckmaBig und anschaulich, statt des Geschwindigkeitsfelds v(t, r) das Feld der Drehungsvektoren a>(t, r) = (1/2) rotu(f, r) auch Wirbelfeld genannt, ins Auge zu fassen. Unter einer Wirbelbewegung versteht man nach iiblichem Sprachgebrauch eine kreisende Bewegung, wahrend eine drehende Bewegung im fluidmechanischen Sinn nicht notwendigerweise eine Wirbelbewegung ist.1 Kap. 5.2 erlautert zunachst einige grundlegende Begriffe und Gesetze, welche die Unterschiede zwischen drehungsfreien und drehungsbehafteten Stromungen aufzeigen. Kap. 5.3 befafit sich sodann mit den drehungsfreien Stromungen, kurz Potentialstromungen genannt. Dabei wird die groBe praktische Bedeutung der drehungsfreien Potentialstromungen zur Beschreibung reibungsloser Strdmungsvorgange gezeigt. Die drehungsbehafteten (zirkulationsbehafteten) Stromungen, gegebenenfalls auch Wirbelstromungen genannt, beschreibt fur den Fall reibungsloser Stromungsvorgange Kap. 5.4. Da man solche Stromungen aus einer vektoriellen Potentialfunktion herleiten kann, werden sie mit Potentialwirbelstromungen bezeichnet. In Kap. 5.5 wird iiber einige Sonderfalle reibungsbehafteter Stromung berichtet, die in engem Zusammenhang mit der in Kap. 5.2 bis 5.4 behandelten reibungsfreien Stromung stehen. Den reibungsbehafteten Stromungen mit fester oder freier Begrenzung, d.h. den Grenzschichtstromungen, ist Kap. 6 gewidmet.

1 So besitzt z.B. die laminare Scherstromung nach Abb. 1.3 mit vx = (uJH) y und vy = 0 nach Tab. 2.3 die mittlere Drehung (Rotation) co, = - uJ2h, jedoch keinen Wirbel. Auf eine Gegeniiberstellung von Drehung und Wirbel wird in Kap. 5.2.4.2 bei der Besprechung des Zusammenhangs von Drehung und Zirkulation eingegangen. Mit Fragen der Wirbelbewegung haben sich erstmalig von Helmholtz [28] und Thomson (Lord Kelvin) [84] befaBt. Eine zusammenfassende Darstellung mit vielen Schrifttumsnachweisen gibt Truesdell [90], vgl. auch [3, 17, 36, 45, 46, 77, 102].

5.2.2 Geschwindigkeitspotentiale

113

5.2 Begriffe und Gesetze drehungsfreier und drehungsbehafteter Stromungen 5.2.1 Einfiihrung In Abb. 2.23 wird die fluidmechanische Deutung der Drehung anschaulich gezeigt. Die drehungsfreien Stromungen co - 0 unterscheiden sich von den drehungsbehafteten Stromungen dadurch, daB bei letzteren entweder alle stromenden Fluidelemente oder doch eine gewisse Gruppe von ihnen Elementardrehungen co 4= 0 ausfiihren. Von besonderer Bedeutung ist die Feststellung, daB die in zwei Hauptklassen eingeteilten Stromungen (drehungsfrei und drehungsbehaftet) sich sowohl in ihrem fluidmechanischen Verhalten als auch hinsichtlich ihrer mathematischen Behandlung wesentlich voneinander unterscheiden. In Kap. 2.5.3.2 wurde gezeigt, daB drehungsfreie Stromungen Losungen der Eulerschen Bewegungsgleichung (reibungslose Stromung) sind, vgl. (2.101). Diese Aussage gilt sowohl fur dichteveranderliche Fluide im barotropen Zustand p=p(p) als auch fur dichtebestandige Fluide (J = const. Bei der Stromung eines homogenen Fluids (unveranderliche Dichte und Viskositat) schlieBt die Drehungsfreiheit das Fehlen einer Zahigkeitskraft am Fluidelement von selbst mit ein, vgl. (2.118). Zur Beschreibung drehungsfreier Stromungen la'Bt sich, wie noch gezeigt wird, eine skalare und zur Darstellung drehungsbehafteter Stromung eine vektorielle Potentialfunktion einfiihren. Man kann daher die zugehorigen Stromungen auch drehungsfreie bzw. drehungsbehaftete Potentialstromungen nennen.

5.2.2 Geschwindigkeitspotentiale 5.2.2.1 Geschwindigkeitsfeld, Drehungsfeld (Wirbelfeld) Bei einer Aufteilung der Stromung in einen drehungsfreien (rotationsfreien) Anteil und in einen drehungsbehafteten (rotationsbehafteten) Anteil (Index 1 bzw. 2) kann man fur das bei festgehaltener Zeit stetig vorausgesetzte Geschwindigkeitsfeld v = v{t, r) setzen v = vx + v2.

(5.1a)

Das von v^t, r) beschriebene drehungsfreie Stromungsfeld sei gegebenenfalls quellbehaftet und das von V2(t,r) beschriebene quellfreie Geschwindigkeitsfeld sei gegebenenfalls drehungsbehaftet2. Mithin gilt

2

v^. r o t u 1 = 0 ,

divt^+O

(drehungsfrei),

(5.1b)

v2: rotv2 4= 0 ,

divy 2 = 0

(drehungsbehaftet).

(5.1c)

Die Bezeichnung quellfreies Stromungsfeld soil hier allgemein fiir das divergenzfreie (solenoidale) Stromungsfeld verwendet werden, obwohl dies gemaB (2.61 a) eigentlich nur fiir ein dichtebestandiges Fluid (p = const) zutrifft. Entsprechend stellt ein quellbehaftetes Stromungsfeld ein divergierendes Stromungfeld dar.

114

5.2 Begriffe und Gesetze drehungsfreier und drehungsbehafteter Stromungen

Hierin ist div u,= £ nach (2.37 b) die Volumendilatation (Quelldichte) und rotv2=2a> nach (2.34a) die Rotation (doppelte Drehung). Bei dem drehungsbehafteten Geschwindigkeitsfeld stellt co (t, r) + 0 das Drehungsfeld der Stromung dar. Eine drehungsfreie Stromung wird durch co - 0 beschrieben. Um die genannten Forderungen zu erfiillen, werden fiir das Geschwindigkeitsfeld die Ansatze U! = gradtP, v2 = rot£2; v = grad 0 + rot Q

(5.2a; b)

gemacht. Hierin bezeichnet man
(5.3 a)

G> = —roti> = —rot(rotX2) = - — AI2 mitdivI2 = 0

(5.3b)

als Nebenbedingung.4 Es stellen A

|

47T J v

£

,

(Quellpotential).

(5.4a)

\r-r'\

An der Stelle r' =r besitzt der Integrand eine singulare Stelle. Bildet man von (5.4a) den LaplaceOperator, dann erhalt man fiir Punkte auBerhalb bzw. innerhalb des Quellbereichs r>ra. A* = 0, /•
3

Zwischen der vektoriellen Stromfunktion fiir die Massenstromdichte nach (2.64) und dem vektoriellen Geschwindigkeitspotential nach (5.2b) besteht der Zusammenhang pv = p6 rot xp bzw. v = rot £2. Fur das dichtebestandige Fluid ist danach y> = £2 sowie bei ebener Stromung ip = £2, vgl. (2.25). 4 Die Nebenbedingung laBt sich folgendermafien begriinden: Macht man den Ansatz £2 — £20 + grad

= 0, was zu zeigen war.

5.2.3 Drehbewegung (Wirbelstromung)

115

5.2.2.3 Vektorielles Geschwindigkeitspotential (Wirbelpotential) In Analogie zum Ansatz fiir das skalare Geschwindigkeitspotential der drehungsfreien raumlichen Stromung nach (5.4a) kann man fiir das vektorielle Geschwindigkeitspotential einer drehungsbehafteten raumlichen Stromung bei endlich ausgedehntem Feld schreiben £2 (r) = —

(divfi = 0) (Wirbelpotential).

(5.5 a)

v Die Ableitung bestatigt man durch einen Komponentenvergleich, wenn man z.B. in kartesischen Koordinaten <& 4 Q, und e 4 - 2&); mit i = 1, 2, 3 setzt und die vektorielle Summe bildet. Fiir Punkte auBerhalb bzw. innerhalb des Drehungsbereichs gilt gemaB (5.4b), vgl. (5.3 b), r>ra:

Afl = 0,

rKr^. A£2=~2a>.

(5.5b)

Der Vollstandigkeit halber wurde in (5.5 a) die Nebenbedingung (5.3 b) hinzugefiigt. Ihre Erfullung, wonach von dem Vektorpotential O (r) die Divergenz inbezug auf die Aufpunktveranderliche r (und nicht inbezug auf die Integrationsveranderliche /•') zu bilden ist, fiihrt unter Beachtung der in FuBnote 5 wiedergegebenen Ableitung sowie des GauBschen Integralsatzes (Bd. 1, Seite 85) zu der Aussage 1 £ca(r')-dA' div Q (r) = - —

(5.5 c)

AuBerhalb der Fla'che (A') verschwindet der Vektor £2, so daB am Rand des Drehungsbereichs iiberall a' • dA' = 0 sein muB. Dies bedeutet, daB die Drehungsvektoren in der Begrenzflache (A') liegen.

5.2.3 Drehbewegung (Wirbelstromung) 5.2.3.1 Drehung Der Begriff der Drehung (Rotation, Wirbel), genauer formuliert des Vektors der Drehung, co(t,r) wurde in Kap. 2.3.3.2 aus dem Verhalten eines Fluidelements bei seiner Bewegung hergeleitet. Er ist rein kinematischer Natur und berechnet sich aus dem Geschwindigkeitsfeld v (t, r) nach (2.34a) zu co= —rotu

(Drehung)

(5.6)

mit seinen Komponenten nach Tab. 2.3. Der Zusammenhang zwischen der Drehung oo und dem vektoriellen Geschwindigkeitspotential (Wirbelpotential) Q wurde in (5.3b) gezeigt. 5.2.3.2 Zusammenhang von Drehung und Entropie (Crocco, Vazsonyi) Zwischen der Drehung (mechanische GroBe) und der Entropie (thermodynamische GroBe) laBt sich ein Zusammenhang herleiten. Es sei ein instationares, stetiges und reibungsloses Stromungsfeld zugrunde

s

Durch Einfiihren der kartesischen Koordinaten r = e,x,, r' = e,x', | r—r'\ = a = V(x, — x,)2 und daraus d/dxj = — d/dx' sowie CO (rr) = a>' = e,ft}'erhalt man fiir die Divergenz inbezug auf r und r' den Zusammenhang div ( — ~ — 5~7 \ — a I =^ dXi\ a /) = - dx' a/

=

~ d l v \— a 1•

116

5.2 Begriffe und Gesetze drehungsfreier und drehungsbehafteter Stromungen

gelegt. In der auf das Stromungsfeld erweiterten Entropiegleichung (1.32b) mit ds A grads wird das druckbedingte Glied mittels der Eulerschen Impulsgleichung (2.98 a) in Verbindung mit (2.29 c) eliminiert. Man erhalt die Beziehung Tgtads = gradh

1 (?

dv I V2 \ grad » = ~ — (v x rotu) + grad \uB + — + /i] . ot

\

2

)

(5.7a)

Bei stationarer, reibungsloser und adiabat verlaufender Stromung ermittelt man das letzte Glied in (5.7a) aus der Energiegleichung der Thermofluidmechanik (2.191b) mit dv/dt = 0, dwr=0 = dq.6 Bei der fur das Stromungsfeld angegebenen Form gilt d{...) A grad(...). Im vorliegenden Fall ist grad(wB + v2/2 + h) = 0. Mithin ist im gesamten Stromungsbereich der Ausdruck uB+v2/2 +h = const. Man nennt dies eine homenergete Stromung. In (5.7a) eingesetzt, flihrt dies zu T gtads = — (v x rotu) = — 2(v x co) (stationar, homenerget).

(5.7b)

Dies Ergebnis bezeichnet man als Crocco-Vazsonyischen Wirbelsatz in seiner einfachsten Aussage [13]. Wenn das vektorielle Produkt aus dem Geschwindigkeitsvektor v und dem Drehvektor co iiberall im Stromungsfeld verschwindet (v x rot v = 0), besitzt jede stationare homenergete Stromung iiberall konstante Entropie (grad .? = 0), d. h. sie verlauft homentrop. Dies ist, abgesehen von dem trivialen Ergebnis v = 0, der Fall, sofern rot v = 2 to = 0, d. h. die Stromung drehungsfrei (wirbelfrei) ist, oder wenn der Geschwindigkeitsvektor v und der Drehvektor (Wirbelvektor) co dieselbe Richtung haben (u | \co). Weiterhin zeigt der Croccosche Wirbelsatz, daB unter den genannten Voraussetzungen die Entropie jeder drehungsbehafteten (wirbelbehafteten) Stromung (co + 0) langs einer Stromlinie konstant ist, d. h. isentrop verlauft. Dies folgt daraus, daB der Vektor (v x rot v) normal auf dem Stromlinienelement, welches dieselbe Richtung wie der Geschwindigkeitsvektor v hat, steht, d. h. (v x rot v) • v = 0, man vgl. hierzu Abb. 2.18 und die dort gemachten Ausfilhrungen. Eine Anderung der Entropie von Stromlinie zu Stromlinie ist mit dem Entstehen von Drehung (Wirbeln) verbunden, vgl. Kap. 5.4.4.3 (gekriimmter VerdichtungsstoG). Auf allgemeinere Ableitungen z.B. filr instationare Stromungen sowie Stromungen mit Reibung kann hier nicht eingegangen werden, man vgl. [13, 16, 83, 93].

5.2.3.3 Raumliche Erhaltung der Drehung (Raumlicher Wirbelerhaltungssatz) Differentielle Form. Wegen div(roti;) = 0 wird unter Einsetzen von (5.6) divco = 0

(Kontinuitat)

(5.8 a)

oder in Komponentenschreibweise nach Tab. 2.5 mit p = const und v & co. Die Divergenzfreiheit des Drehungsfelds (solenoidales Feld) bedeutet, daB in Analogie zur Kontinuitatsgleichung (Massenerhaltungssatz) eines Stromungsfeldes dichtebestandiger Fluide (2.61a) auch fiir das Drehungsfeld (Wirbelfeld) ein raumlicher Erhaltungssatz besteht. Integrale Form. Unter der Voraussetzung der Stetigkeit des Drehungsfelds folgt fiir die integrale Darstellung des raumlichen Erhaltungssatzes I div co dV = j> co-dA = 0 (Kontinuitat) "

(5.8 b)

(A)

Diese Beziehung folgt in Anlehnung an die integrale Darstellung der Kontinuitatsgleichung (2.52) fiir das dichtebestandige Fluid (c = const) nach Anwendung des GauBschen Integralsatzes zu fv-dA = ] divvdV mit v A co . (5.8b) v w In (5.8b) ist (A) die Randflache um das Volumen V des betrachteten Wirbelgebiets. Man bezeichnet dW = — co- dA in Anlehnung an den Volumenstrom dV = — v-dA nach (2.46 c) als Wirbelstrom (WirbelfluB) durch das Flachenelement dA. 6

Die Vernachlassigung der Reibung (Zahigkeitskoeffizient q = 0) bedeutet im allgemeinen auch die Vernachlassigung der Warmeleitung (Warmekoeffizient A = 0), was nach (1.37b) wegen X (cp/Pr) r\ mit cpIPr =1= 0 folgt.

5.2.3 Drehbewegung (Wirbelstromung)

117

Die abgeleiteten Gin. (5.8 a, b) stellen den raumlichen Wirbelerhaltungssatz dar. Er ist eine rein kinematische Beziehung, die keinerlei fluidmechanischen Voraussetzungen unterworfen ist und auch nicht von der Art des stromenden Fluids (Dichte, Reibung) abhangt. Sie gilt sowohl fiir stationare als auch fiir instationare Stromung. Aus der Analogie zur Kontinuitatsgleichung lassen sich alle fiir die Stromung dichtebestandiger Fluide ausgesprochenen kinematischen Satze sinngemaB auf drehungsbehaftete Stromungen (Wirbelstromungen) iibertragen.

5.2.3.4 Zeitliche Anderung der Drehung (Wirbeltransportgleichung) Wahrend bei der Ableitung des raumlichen Erhaltungssatzes fiir die Drehung in Kap. 5.2.3.3 nur kinematische Gesichtspunkte zu beachten waren, sollen jetzt die auf den Stromungsverlauf einwirkenden Krafte mitberiicksichtigt werden, d. h. die Uberlegungen erstrecken sich auch auf das dynamische Verhalten. Ausgangspunkt fiir die allgemeine Untersuchung bildet die differentielle Impulsgleichung (2.91) in der Form a = / m i t a = dv/dt als substantieller Beschleunigung nach (2.29c) in der Schreibweise a = dv/dt + grad(u 2 /2)-(v x rotu) und f = fB + fp + fz + h als massebezogener Kraft, bestehend aus der Massen-, Druck-, Zahigkeits- und Turbulenzkraft gemaB Tab. 2.6. Von der Impulsgleichung bildet man die Rotation iot(dv/dt) = d(rotv)/dt — rot(t> x rotu) = 2 [dco/dt-mt(vx <»)] =rot/mit rot (grad...) = 0. Wegenrot(l>x co) = to - grad v - v • grad co - co div v + udivoj 7 , wird unter Beachtung des Satzes von der raumlichen Erhaltung der Drehung (5.8a) fiir die substantielle Anderung der Drehung, vgl. [36], dco ceo I f \ =—— + v • gradta =
(5.9a)

Der Ausdruck auf der linken Seite stellt die substantielle Anderung des Drehvektors entsprechend der Transportgleichung (2.42 a) mit E = co dar. Diese Gleichung fiir die Drehung (Wirbelgleichung) hat vektoriellen Charakter und besagt, daB die substantielle Anderung der Drehung co gleich der Anderung dieser Grofie durch Verlagerung und Dehnung sowie dem Wert der Rotation der angreifenden halben Kraft//2 ist. Bei ebener und drehsymmetrischer Stromung ist co • grad v = 0. In diesen Fallen stehen die Drehvektoren to jeweils normal auf den Geschwindigkeitsebenen und besitzen jeweils nur eine Komponente, namlich a> = coz bzw. co = co^.

Mittels der Kontinuitatsgleichung (2.60 a) erhalt man durch Eliminieren des Ausdracks div v = — (1/p) (dqldi) in (5.9a) nach Umformung ^ ( )

g

r

a

d

v

+

r o t

( ) .

(5.9b)

Es werden nacheinander die Falle bei reibungsloser Stromung eines dichteveranderlichen Fluids sowie bei zahigkeitsbehafteter Stromung eines dichtebestandigen Fluids betrachtet und die zugehorigen Differentialgleichungen abgeleitet. Zeitlicher Wirbelerhaltungssatz. Fiir die folgende Untersuchung wird die reibungslose Stromung eines Fluids im barotropen Zustand zugrunde gelegt. Dieser Fall entspricht der Stromung bei groBer Reynoldszahl (Re —f =*>). Ausgangspunkt ist also die Eulersche Impulsgleichung (2.92), bei der die Reibungskraft nicht auftritt (/« = / z + / T = 0) sowie die Massen- und Druckkraft nach (2.10a) bzw. (2.5a) aus Kraftpotentialen abgeleitet werden konnen (fB = - grad uB,fP = - grad i). Bildet man von den Kraften die Rotation gemaB (5.9b), dann werden die Einfliisse der Massen- und Druckkraft wegen rot (grad...) = 0eliminiert und (5.9b) geht iiber in

d /to\ co — — = — • gradu (reibungslos, barotrop) . dt \p/ p

(5.10)

Das fiir reibungslose Stromung gefundene Ergebnis lafit sich folgendermaBen zusammenfassen: Jede Bewegung aus der Ruhe heraus ist drehungsfrei, da in der Ruhe to = 0 ist und wegen dto/dt = 0 auch fiir alle weiteren Zeiten to = 0 bleibt. Diese Aussage nennt man den zeitlichen Wirbelerhaltungssatz. Kein Fluidelement kommt in Drehung, welches nicht von Anfang an in Drehung begriffen ist. In der reibungslosen Stromung eines Fluids kann Drehung weder entstehen noch vergehen. Daraus folgt, 7 Vgl. Bd. 1, Tab. B, FuBnote 2: Danach gilt b • grada - a • gradA = rot(a x b) - (adivfc - b diva) mit a A v und b A co.

118

5.2 Begriffe und Gesetze drehungsfreier und drehungsbehafteter Stromungen

daB die Drehung (Wirbelung) eine Eigenschaft ist, die an die Fluidelemente gebunden ist und mit diesen transportiert wird.8 Gl. (5.10) bestatigt, daB bei einem barotropen oder dichtebestandigen Fluid mit $ = (>(p) bzw. p = const jede stetig verlaufende, drehungsfreie Stromung mit CO = 0 eine Losung der Eulerschen Bewegungsgleichung ist, vgl. Kap. 2.5.3.2. Wirbeltransportgleichung. Im folgenden soil jetzt der EinfluB der Zahigkeit (Viskositat q) untersucht werden. Dabei sei ein homogenes Fluid (p = const, q = const) angenommen. Ausgangspunkt fur die weitere Untersuchung stellt die Navier-Stokessche Impulsgleichung (2.108) dar. Neben der Druckkraft/,, = — grad(/>/p) und der Massenkraft fs— — gradMB tritt bei nichtberiicksichtigter Turbulenzkraft (fT = 0) noch zusatzlich die Zahigkeitskraft fz = - v rot (rot v) = - 2 v rot co nach (2.118 a) auf. Bildet man von den Kraften die Rotation gemaB (5.9b), dann werden die Druck- und Massenkrafteinfliisse wie in (5.10) eliminiert, und es verbleibt bei Beachtung von (5.8a) der Beitrag r o t / z = —2vrot(rotft)) = 2v [div (grad a>) — grad (divoj)] — 2vAco. Somit erhalt man in Erweiterang von (5.10) dco = co • grad v + vAco at

(zahigkeitsbehaftet, homogen)

(5.11)

mit A als Laplace-Operator, vgl. Tab. B.5. Man nennt diese Beziehung die Wirbeltransportgleichung. Sie hat vektoriellen Charakter und besagt, daB sich die viskose Reibung in einer Diffusion der Drehung (Wirbeldiffusion) auBert. Im Inneren einer Stromung bewirkt die Zahigkeit, daB die dort vorhandene Drehung ortlich allmahlich auf groBere Gebiete verteilt wird und daher zeitlich abklingt: Es findet also ein Ausgleich der Drehung (Wirbelung) im Stromungsgebiet statt, vgl. Abb. 5.54 a.

5.2.4 Zirkulationsstromung 5.2.4.1 Zirkulation Fur die Behandlung drehungsbehafteter (wirbelbehafteter) Stromungen wird eine weitere GroBe, namlich die Zirkulation der Geschwindigkeit mit Vorteil verwendet. Sie wurde von Thomson [84] eingefiihrt und in ihrer Bedeutung z.B. fur die Tragflugeltheorie wohl zuerst von Lanchester [49] erkannt sowie von Kutta [47] und Joukowsky [35] theoretisch verwertet. Ein in Bewegung befindliches Fluid erfiille vollstandig einen in bestimmter Weise begrenzten Raum. Die augenblickliche Geschwindigkeit v sei an jeder Stelle des Raums bekannt. Man wahle nun nach Abb. 5.1a eine beliebige geschlossene (materielle, fluidgebundene) Kurve (L) = L (t), bilde fur jedes Linienelement dl das skalare Produkt v • dl und integriere bei festgehaltener Zeit t iiber die ganze Linie. Das so entstehende Linienintegral der Geschwindigkeit langs der geschlossenen Kurve liefert die Zirkulation zu, vgl. (3.239a), F=j v • dl = j v^dl = j vcosadl (£)

(£)

(Linienintegral),

(5.12)

(£)

wobei L»=|I>| der Geschwindigkeitsbetrag, dl-\dl\ der Betrag des Linienelements und a der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der Linientangente sind. Verlauft ein Linienelement dl normal zu den Stromlinien (a = 7T/2), so ist wegen cos a = 0 der Beitrag zum Linienintegral dF=v -dl = 0. Verlauft das liber den zeitlichen Erhaltungssatz von Wirbellinien wird in Kap. 5.2.5.4 berichtet.

5.2.4 Zirkulationsstromung

Abb. 5.1 a, b. Zur Definition der Zirkulation (geschlossenes Linienintegral der Geschwindigkeit). a Beliebige Linie, b Stromlinie (Definition eines Wirbels)

Linienelement dl dagegen langs einer Stromlinie (a = 0), so ist cosa = l und dF— v • dl= vdl. Dieser in Abb. 5.1b dargestellte Fall kann im wortlichen Sinn als Definition eines Wirbels angesehen werden. Je nachdem, ob die Integration links- oder rechtsherum vorgenommen werden soil, kann dies durch die Symbole j> bzw. j> gekennzeichnet werden. Fiir die Wahl der geschlossenen Kurve (L) und der von ihr eingeschlossenen fluidgebundenen Flache A hat man zwei Falle zu unterscheiden: a) Einfach zusammenhangendes Gebiet. Eine einfach zusammenhangende Kurve schlieBt nach Abb. 5.1c gegebenenfalls einen umstromten Korper oder eine Stromungssingularitat (Einzelwirbel, Wirbelschicht = Trennungsflache) aus. Dieser Fall ist dadurch gekennzeichnet, daB sich das Gebiet durch stetige Veranderung auf einen Punkt zusammenziehen la'Bt. Die von (L) umfahrene fluidgebundene Flache sei mit A bezeichnet. Das Linienintegral la'Bt sich nach dem Stokesschen Integralsatz in ein Flachenintegral umformen. b) Mehrfach zusammenhangendes Gebiet. Eine zweifach zusammenhangende Kurve schlieBt nach Abb. 5.Id den genannten festen Korper bzw. die genannte Stromungssingularitat ein. Das Gebiet kann nicht auf einen Punkt zusammengezogen werden. Die von (L) umfahrene Flache setzt sich aus einem fluid-

fester Korper

Fluid \ (L) Abb. 5.1c, d. Zur Definition der Zirkulation. c Einfach zusammenhangendes Gebiet. d zweifach zusammenhangendes Gebiet

(L)

5.2 Begriffe und Gesetze drehungsfreier und drehungsbehafteter Stromungen

120

gebundenen und aus einem korper- bzw. singularitatengebundenen Anteil zusammen. Eine Umformung des Linienintegrals in ein Flachenintegral ist nicht moglich. 5.2.4.2 Zusammenhang von Zirkulation und Drehung (Stokes) Da sowohl die Drehung als auch die Zirkulation von rein kinematischer Natur sind, liegt es nahe, einen Zusammenhang zwischen beiden GroBen zu vermuten. Durch Anwenden des Stokesschen Integralsatzes la'Bt sich das geschlossene Linienintegral einer einfach zusammenhangenden Kurve (L) in ein Flachenintegral iiber eine beliebige, einfach zusammenhangende Flache A=A(t), die L = L(i) als geschlossene Randkurve (L) hat, umformen.9 Unter Beachtung von Abb. 5.2a, vgl. Abb. 5.1a erhalt man

r= j>v-dl = 2Jco-dA, (t)

A

r=2 j>co-dA = 2Jdiva)dV=0 (A)

(raumlich) .

(5.13a, b)

V

Bei links verlaufendem Integrationsweg (L) sind die Flachenelemente dA bei konvex (nach oben) gewolbter Flache positiv (dA > 0) und bei konkav (nach unten) gewolbter Flache negativ (dA < 0) einzusetzen. Gl. (5.13) ist der Stokessche Zirkulationsansatz ftlr den allgemeinen Fall einer raumlichen Stromung. Danach ist die Zirkulation um die Randkurve einer beliebigen raumlichen, auch gekriimmten Flache gleich dem doppelten Wert des Flachenintegrals iiber die Drehung.

Abb. 5.2. Zur Berechnung der Zirkulation. a Zusammenhang von Zirkulation und Drehung, offene Flache A. b geschlossene Flache (A) = A, + Atl Bei Integration iiber eine geschlossene Flache (A), was gleichbedeutend mit (L) —> 0 ist, und durch Anwenden des GauBschen Integralsatzes, wonach das Flachenintegral in ein Volumenintegral uberfuhrt werden kann, erhalt man (5.13b). Dies Ergebnis ist in Ubereinstimmung mit dem raumlichen Wirbelerhaltungssatz (5.8b) und driickt die raumliche Erhaltung der Zirkulation Taus. Gl. (5.13b) laBt sich auch folgendermaBen herleiten: Wird Abb. 5.2a (offene Flache A) entsprechend Abb. 5.2b zu einer geschlossenen Flache (A)=A, + An = 0 mit At>0 als konvex (nach oben) gewolbter Flache und mit An =—Aj<0 als konkav (nach unten) gewolbte Flache erganzt, dann gilt r = 2j,co-dA = r, + rll

Es gilt

mit rx = 2\a-dA

und r n = 2 \co • dA .

j>a • dl = j rota • dA (Stokesscher Integralsatz). j>a • dA = J div a dV (GauBscher Integralsatz) .

(5.13c)

5.2.4 Zirkulationsstromung

121

Bildet man die Linienintegrale fur die Teilzirkulationen F, und F,h dann gilt unter Beachtung der entgegengesetzten Umlaufrichtungen der Integrationswege (L,) bzw. (LB) der Zusammenhang J], = - F,. Dies bedeutet F= 0, und damit wird (5.13b) bestatigt. Die Zirkulation F ist, wie die Drehung a>, eine rein kinematische GroBe. Dire Definition ist somit sowohl auf reibungslose als auch auf reibungsbehaftete (zahigkeitsbehaftete) Stromungen dichtebestandiger und dichteveranderlicher Fluide anwendbar. Ein Sonderfall liegt vor, wenn das der Berechnung der Zirkulation zugrundegelegte geschlossene Linienintegral $vtdl nach Abb. 5.1b aus einem geschlossenen Stromlinienintegral j>vds besteht. In diesem Fall bewegen sich bei festgehaltener Zeit die einzelnen Fluidelemente auf dem Rand der von der Drehung betroffenen Flache (Drehungsflache) A5 kreisformig mit der Geschwindigkeit u,= v,= v. Dies Verhalten entspricht nach iiblichem Sprachgebrauch einer Wirbelbewegung. Somit wird ein Wirbel im Inneren des Fluids definiert als drehungsbehaftete Stromung einer durch eine geschlossene Stromlinie begrenzten Flache, d. h. als Bedingung fur einen Wirbel ist r = jvds = 2\ codA, (Wirbel) .

(5.13d)

anzusehen. Auf das fluidmechanische Verhalten von Wirbeln wird in Kap. 5.2.5 besonders eingegangen. a) Konstante Drehung. Es werde ein Stromungsgebiet betrachtet, welches sich nach Abb. 5.3 a ahnlich einer Festkorperrotation mit der Winkelgeschwindigkeit w = const um eine zur Bildebene normale Achse dreht (starrer Wirbel). Dem Radius r, entspricht dann die Umfangsgeschwindigkeit uy = cor^ und dem Radius r2 die Geschwindigkeit u2 = cor2. Fiir die Zirkulation langs der geschlossenen Linie, welche den in Abb. 5.3a schraffierten Bereich linksherum umhiillt, ergibt sich, da die beiden radialen Linienstiicke keine Beitrage liefern, F=u2r2

= 2a>A. Die letzte Beziehung folgt unter Einsetzen des Inhalts der betrachteten Flache A = (rj - r\) {1 identisch ist, sind alle Fluidelemente des betrachteten Stromungsgebiets drehungsbehaftet und besitzen den gleichen Wirbelvektor co. b) Konstante Zirkulation. Als Gegenstiick dazu sei jetzt nach Abb. 5.3 b eine Stromung betrachtet, bei der die Stromlinien ebenfalls konzentrische Kreise sind, bei der aber die Umfangsgeschwindigkeiten «i = a/ri und u2 — a/r2 mit a = const sind. Bildet man wieder die Zirkulation langs des Rands einer schraffierten Flache wie in Abb. 5.3a, so wild F=u2r2
Abb. 5.3. Stationare kreisformige Stromungen. a Bewegung mit konstanter Drehung (starrer Wirbel, Festkorperrotation). b Bewegung mit konstanter Zirkulation (Potentialwirbel, konstanter Drall)

122

5.2 Begriffe und Gesetze drehungsfreier und drehungsbehafteter Stromungen

5.2.4.3 Zusammenhang von Zirkulation und Geschwindigkeitspotential Liegt ein durch das skalare Geschwindigkeitspotential (Quellpotential)
(2)

(2)

r,_>2 = / v • dl= j g r a d # • dl = j d4>=
(5.14)

Dieser ist gleich der Differenz der Werte, welche die Potentialfunktion in den Punkten (2) und (1) besitzt. Die Potentialdifferenz 02~ *i ist zwischen (1) und (2) unabhangig vom Integrationsweg und eindeutig bestimmt, sofern $ innerhalb des betrachteten Gebiets eindeutig und endlich ist. Bildet man nun die Zirkulation langs einer geschlossenen Kurve (L) = 1 — 2 mit 2 —> 1), fur welche die Voraussetzung gelten soil, daB das StrSmungsgebiet, in dem sie liegt, ein einfaches zusammenhangendes Gebiet nach Abb. 5.2 bildet, dann muB rl^t2 = ® sein, da wegen des Zusammenfallens derPunkte (1) und (2) die Differenz * 2 — *i verschwindet. Es ergibt sich der wichtige Satz: In einem einfach zusammenhangenden Gebiet, in dem iiberall drehungsfreie Potentialstromung herrscht, ist die Zirkulation langs jeder geschlossenen Kurve gleich null. Die gemachte Einschrankung, daB die geschlossene Kurve ein einfach zusammenhangendes Gebiet umschlieBen soil, ist notwendig, wenn das Geschwindigkeitspotential * in diesem Bereich eindeutig und endlich sein soil. Bei einem mehrfach zusammenhangenden Gebiet nach Abb. 5.1 d kann das Potential <& dagegen mehrdeutig sein. Dies ist der Fall, wenn man nach einem Umlauf auf der betreffenden geschlossenen Kurve nicht wieder zu demselben Wert wie am Anfang gelangt. Es gilt also der obige fiir ein einfach zusammenhangendes Gebiet formulierte Satz nicht. Man vergleiche als Beispiel den ebenen Potentialwirbel, auf den in Kap. 5.4.2.1 naher eingegangen wird.

5.2.4.4 Zeitliche Anderung der Zirkulation Nachdem im vorhergehenden Kapitel die Aufgabe behandelt wurde, wie sich die Drehung mit der Zeit andert, sei jetzt die zeitliche Anderung der Zirkulation besprochen. Von der Zirkulation nach (5.12) wird die substantielle Anderung dr/dt gesucht, wobei die geschlossene Kurve L (t), langs der zu integrieren ist, immer aus denselben stromenden Fluidelementen gebildet werden moge, d. h. eine fluidgebundene Linie sein soil. Die Differentiation geschieht offenbar dadurch, daB man das Zirkulationsintegral zur Zeit t von dem Zirkulationsintegral zur Zeit t + dt abzieht, diese Differenz durch dt dividiert und den Grenzwert limdf —> 0 bildet. Nach Abb. 5.4 besitzen ein Linienelement dl bzw. dl' die Masse dm (t) = dm (t + dt), ein Linienstiick /0 _>t bzw. Iff _, y die Masse m 0 _,! = m^ _, t. und die geschlossene Linie (Kurve) L(t) bzw. L(t + dt) die

/' = l(t + dt)

dl

(b)

Abb. S.4. Zur zeitlichen Anderung der Zirkulation

5.2.4 Zirkulationsstromung

123

Masse m(t)=m(t + dt). Da jede der beiden Integrationen bei festgehaltener Zeit (t = const bzw. t + dt = const) vorgenommen wird, kann man fiir ein Linienstiick (0 —> 1) schreiben dt

dt J

J

dt

J dt

I

dt

(5.15a)

Wahrend im vorletzten Integral der Integrand die substantielle Beschleunigung bedeutet, soil der Integrand im letzten Integral noch umgeformt werden. Nach Abb. 5.4 betrachte man ein Linienelement dl zur Zeit t, wobei sich die Punkte (a) und (b) mit den augenblicklichen Geschwindigkeiten v bzw. v + {dv/dl) dl fortbewegen. Wahrend der Zeit dt legen sie bis zu den Punkten (a') und (b') die in Abb. 5.4 strichpunktiert gezeichneten Wege zuriick. Aus der Streckensumme (a—a'—b'—b—d) liest man dl'-dl=(vb-va)dt,

— (dl) = dv dt

ab, wobei die zweite Beziehung durch Grenzwertbildung limdt—>0 folgt. Mithin wird fiir die substantielle Anderung der Zirkulation des Linienstiicks

^

= jf-<* + > ? ^ ) .

(5.15b)

Fiir ein geschlossenes Integral (0-1-0) wird mit r 0 ^ „ = T und u, = v0, vgl. [36] , — dt =d— t& vdl=

l

I dt <«

6 — dl= i fdl

(geschlossene Linie).

(5.15c)

Eine weitere Beziehung findet man, wenn man wie bei der zeitlichen Anderung der Drehung in (5.2.3.4) beriicksichtigt, daB dv/dt = / = fB + fp + fz + fr die angreifende massebezogene Kraft ist. Durch Anwenden des Stokesschen Integralsatzes (FuBnote 8) laBt sich fiir ein einfach zusammenhangendes Gebiet nach Abb. 5.2aunter Beachtung der Beziehung rot (dv/dt) = rot/auch ~

= \xoXf-dA(=)2](l^--co-gtadv\-dA A

A ^

(p= const).

(5.15d)

^

schreiben. Die letzte Gleichung folgt aus (5.9 b) und gilt in der angegebenen Form fiir ein dichtebestandiges Fluid (p = const). Wie bei der Ermittlung der zeitlichen Anderung der Drehung in Kap. 5.2.3.4 sollen nacheinander wieder die reibungslose Stromung eines dichteveranderlichen und die reibungsbehaftete Stromung eines dichtebestandigen Fluids behandelt werden. Zeitlicher Erhaltungssatz der Zirkulation (Thomson). Fiir die reibungslose Stromung eines Fluids im barotropen Zustand p = p (p) wird mit / = /« + /? nach (2.12) bzw. r o t / = 0 nach (2.11a, b) fiir die substantielle Anderung der Zirkulation dr — = 0, dt

r(t) = const (=) 0 (Thomson).

(5.16a, b)

Dies ist der Thomsonsche Zirkulationssatz, haufig auch als Kelvinsches Theorem bezeichnet (Thomson = Lord Kelvin) [84]). Er sagt aus, daB die zeitliche Anderung der Zirkulation bei reibungsloser Stromung eines Fluids im barotropen Zustand langs einer geschlossenen, immer die gleichen Fluidelemente enthaltenden Linie (L) verschwindet, d. h. die Zirkulation zeitlich konstant ist. Die Aussage r (=) 0 folgt aus dem raumlichen Erhaltungssatz der Zirkulation (5.13 b) fiir eine geschlossene Flache (A). Fiir diesen Fall ist die Zirkulation sowohl raumlich als auch zeitlich konstant. Umgrenzt die geschlossene Kurve einen Stromungsbereich, in welchem die Stromung zur Zeit 1 = 0 drehungsbehaftet (wirbelbehaftet) verlauft, so besitzt die Zirkulation einen von null verschiedenen Wert. Da sich die Zirkulation zeitlich nicht andern kann, muB diese Stromung auch fiir alle darauffolgenden Zeiten zirkulationserhaltend (drehungsbehaftet) bleiben. Bei einer drehungsfreien Stromung gilt Entsprechendes. Zirkulationstransportgleichung. Im folgenden soil jetzt die zahigkeitsbehaftete Stromung eines homogenen Fluids (p = const, q = const) untersucht werden. In (5.15c) wird nach (2.118a) die Zahigkeitskraft/ z = vAv = - 2v rot co eingesetzt, was zu — = v i Avdl dt

= -2v
(5.17a)

124

5.2 Begriffe und Gesetze drehungsfreier und drehungsbehafteter Stromungen

fiihrt. Durch Anwenden des Stokesschen Integralsatzes (FuBnote 9) kann man das Linienintegral in ein Oberflachenintegral umformen. Unter Beachtung, daB div eo = 0 gemaB (5.8 a) und rot (rot co) = — Aco ist, wird dr , — = 2v f Aco • dA dt

(zahigkeitsbehaftet, homogen).

(5.17b)

Diese Gleichung stellt die integrale Form der Wirbeltransportgleichung (5.11) dar. DaB bei reibungsbehafteter Stromung im allgemeinen dfldt + 0 ist, erklart die Tatsache, daB Drehung (Wirbel) entstehen und vergehen konnen.

5.2.5 Wirbelsatze fiir die Wirbellinie und den Wirbelfaden 5.2.5.1 Allgemeines Von besonderer Bedeutung fiir die Wirbelbewegung ist das Stromungsverhalten von Wirbellinien und von Wirbelfaden. Den folgenden Untersuchungen liegt eine reibungslose Stromung eines dichtebestandigen Fluids zugrunde, bei der die Massen- und Druckkrafte aus Kraftpotentialen (konservative Kraftsysteme) abgeleitet werden konnen. Dabei betreffen die im einzelnen noch abzuleitenden Wirbelsatze sowohl die raumliche wie auch die zeitliche Erhaltung der Wirbellinien und Wirbelfaden (Wirbelrohren). Die Grundlagen hierfur wurden in den Kap. 5.2.1 bis 5.2.4 bereitgestellt. Es stellen der raumliche Erhaltungssatz (raumliche Konstanz) eine rein kinematische und der zeitliche Erhaltungssatz (zeitliche Konstanz) darliber hinaus eine dynamische Aussage dar. Die Wirbelsatze konnen sowohl in differentieller wie auch in integraler Form angegeben werden.

5.2.5.2 Definitionen Wirbellinie. Unter einer Wirbellinie (Vektorlinie) versteht man in Analogie zur Stromlinie nach Kap. 2.3.2.2 diejenige Kurve in einem drehungsbehafteten (wirbelbehafteten) Stromungsfeld (Wirbelfeld), welche zu einer bestimmten Zeit t an jeder Stelle mit der dort vorhandenen Richtung des Drehvektors (Wirbelvektor) co (t, r) ubereinstimmt. Als Gleichung zur Berechnung der Wirbellinie wurde bereits (2.35) angegeben. Sie lautet cox 6s = 0

oder

6s = eco mit

£ = 6s/co

(Wirbellinie),

(5.18a)

wobei 6s das Langenelement der Wirbellinie ist. Ausgehend von Abb. 2.13 werden in Abb. 5.5 die Strom- und Wirbellinie einander gegeniibergestellt. Zur Zeit t = t0 stellt die Stromlinie die Verbindungslinie der Massenelemente in den Feldpunkten - 2, - 1 , 0, 1,2 langs der Geschwindigkeitsvektoren v_2, i>_i, v0, vu v2 dar, wahrend die Wirbellinie zur Zeit t - t0 die Verbindungslinie der Massenelemente in den Feldpunkten- 2', - 1 ' , 0, 1', 2'langs der Wirbelvektoren (Drehvektoren) co_r, ea_r, a>0, cov, co2. ist. Die auf der Wirbellinie liegenden Massenpunkte bewegen sich mit den Geschwindigkeiten v_r, v_y, v0, vv, vv. In Richtung der Wirbellinie herrschen also die Geschwindigkeitskomponenten vs- = v' cos a'. Wirbelfaden, Wirbelrohre. Die Gesamtheit aller mit Drehung co belegten Wirbellinien, die nach Abb. 5.6a durch eine Flache A hindurchtreten, kann man in Analogie zum Stromfaden nach Abb. 2.15 zu

V

•r 2

s

_ — » • Stromlinie

2 ~2

r s

, Wirbellinie

Abb. 5.5. Zur Definition der Wirbellinie zur Zeit t = to = const. Vergleich von Stromlinie s und Wirbellinie s'

5.2.5 Wirbelsatze fur die Wirbellinie und den Wirbelfaden

125

Abb. 5.6. Zur Definition des Wirbelfadens und zur Berechnung der Zirkulation. a Flachenintegral. b Linienintegral

einem Wirbelfaden zusammenfassen. Er wird von einer geschlossenen Flache (A) begrenzt, die aus der Eintritts- und Austrittsflache A, bzw. A2 sowie der Mantelflache A, ^ 2 besteht. Letztere bezeichnet man in Analogie zur Stromrohre mit Wirbelrohre. Sie wird von den Randwirbellinien gebildet. AuBerhalb der Wirbelrohre ist die Stromung uberall drehungsfrei co = 0. Im allgemeinen nimmt man an, daB die Drehungsvektoren co gleichmaBig iiber die Wirbelfadenquerschnitte Al und A2 verteilt sind und nach Abb. 5.6a in negativer bzw. positiver Richtung der Flachenvektoren At und A2 verlaufen. Auf der Mantelflache (Wirbelrohre) At _,2 stehen die Flachenvektoren dA normal auf den Wirbelvektoren co. ZusammengefaBt gilt also als Definition fiir einen Wirbel, vgl. (5.13 d), >2 -A2 = + a>2A2

(Wirbelfaden).

(5.18b)

5.2.5.3 Rauniliche Erhaltungseigenschaft Fiir einen geschlossenen Wirbelfaden nach Abb. 5.6a betragt die Zirkulation zwischen den Stellen (1) und (2) nach (5.13 b) bei festgehaltener Zeit F = F, + J^ _, 2 + T2 = 0, wobei unter Beachtung von (5.18 b) rl = — 2a>iAl, Fl^>2 = 0 und F2 = co2A2. Mithin ist ft>,Ai = a>2A2. Da A, und A2 zwei langs des Wirbelfadens beliebig gewahlte Querschnitte sein konnen, kann man fiir die Zirkulation um einen durch die Randlinie (s) begrenzten Stromfadenquerschnitt A schreiben FA = § vds = 2coA = const. (5.19) « Dies ist der raumliche Erhaltungssatz fiir die Zirkulation um eine Wirbelrohre. Er besagt, daB die Zirkulation rA einer Wirbelrohre mit ortlich veranderlichem Querschnitt A zum selben Zeitpunkt langs des Stromfadens konstant ist. Eine die Wirbelrohre umschlingende Schleife kann demnach langs des Wirbelfadens beliebig verschoben werden, ohne daB sich ihre Zirkulation andert, vgl. Abb. 5.6 a. Will man die Zirkulation aus dem Linienintegral der Geschwindigkeit nach (5.13 a) berechnen, so ist nach Abb. 5.6b der geschlossene Linienzug (L) = Ll + Ll_>2 + L2 + L2_>l zu umfahren. Unter Beachtung der Richtungen der Linienelemente auf dem Mantel des Wirbelrohres bestatigt man, daB r1_<2 = --f2->i u n d somit r = f, + F2 ist. In Analogie zum Stromfaden folgt, daB ein Wirbelfaden im Inneren eines Stromungsbereichs weder beginnen (entstehen, keine Wirbelquelle) noch enden (verschwinden, keine Wirbelsinke) kann. Ware dies der Fall, so konnte an dieser Stelle die Kontinuitatsbedingung nach (5.8a, b) nicht erfiillt sein. Ein

126

5.2 Begriffe und Gesetze drehungsfreier und drehungsbehafteter Stromungen

Wirbelfaden und damit auch eine Wirbellinie miissen sich also entweder bis an die Grenzen des Stromungsbereichs (feste Wand, freie Oberflache) erstrecken oder in sich zuriicklaufend einen geschlossenen Wirbelring (z.B. Rauchring) bilden.

5.2.5.4 Zeitliche Erhaltungseigenschaft Die zeitlichen Erhaltungssatze fur die Bewegung von Wirbellinien und Wirbelfaden (differentielle bzw. integrale Form) sagen unter den oben genannten Annahmen (reibungslose Stromung eines dichtebestandigen Fluids, konservatives Feld der Massen- und Druckkraft) aus, daB die Linien bzw. Faden materielle GroBen sind, die zu alien Zeiten denselben materiellen Punkten angehoren. Wirbellinie. In Abb. 5.7 sind fur die Zeiten t = ta und t = t' = to + dt die Wirbellinienelemente 6s bzw. 6 s' dargestellt, wobei sich die Punkte (a) und (b) mit den Geschwindigkeiten va bzw. vb in Richtung auf die Punkte (a') und (br) bewegen. Fur die Anderungen der Vektoren der Wirbellinienelemente und des Geschwindigkeitsvektors liest man aus der Abbildung die kinematische Beziehung d(6s) = 6s' -6s = (vb - va) dt = 6v dt.

(5.20a)

ab.10 Fur die Geschwindigkeitsanderung langs des Wirbelvektors laBt sich verallgemeinert 6v = (dv/ dxj Sx—6s • gradv schreiben. Weiterhin besteht nach (5.18a) der Zusammenhang 6s = ECO mit e = 6slco, so daB man fur (5.20a) auch schreiben kann dco co de -I = co • gradu dt e dt

(p = const).

(5.20 b)

Durch Vergleich mit der aus der Impulsgleichung gewonnenen dynamischen Beziehung (5.10) mit p = const stellt man fest, daB de/dt = 0 sein muB. Man findet also fur die Erhaltung der Wirbellinien ^£ = 1 ( ^

dt

dt \coj

= 0,

e= — = const.

(5.21a, b)»

co

Die Wirbelstarke (Betrag des Wirbelvektors) to = | co \ andert sich im selben Verhaltnis wie die Lange des Wirbelelements 6s = \6s\, d.h. bei einer reibungslosen Stromung eines dichtebestandigen Fluids vermehrt oder vermindert sich die Wirbelstarke (co S 0) bei einer Wirbelstreckung bzw. einer Wirbelstauchung (6s S 0).

Abb. 5.7. Verlauf der Wirbellinien 6s und 6s' bei veranderlicher Zeit t = t0 bzw. t' = to + dt 10

Es kennzeichnet 6 die raumliche Differentiation langs der Wirbellinie und d die zeitliche Differentiation von der einen zur anderen Wirbellinie. 11 Zu diesem Ergebnis kommt man auch durch die folgende Uberlegung: Fur die Wirbellinien zu den Zeiten t = t0 und t' = t0 + dt lauten die Wirbelliniengleichungen (5.18 a) co x 6s = 0 = co' x 6s' mit co' = co + dco und 6s' - 6s + d(6s). Wenn man beachtet, daB dco x d(6s) klein von hoherer Ordnung ist, wird d(6s) dco co x , -6s x =0. dt dt Mit 6s = £CO nach (5.18a) erhalt man die Beziehung dEJdt = 0, was zu zeigen war.

5.3.1 Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen

127

Wirbelfaden. Neben den Wirbellinien haben auch Wirbelfaden Erhaltungseigenschaften. Dies bedeutet, da6 fur die Zeiten t-t0 und t' = to + dt die Wirbelfadenelemente 6s bzw. 6s' die Massenelemente 6m = pA 6s bzw. 6m' = p'A' 6s' besitzen mit der Bedingung 6m = 6m'. Mithin ist pA 6s = p'A'6s',

A 6s = A'6s'

((>=(>'),

(5.22a)

wobei die zweite Beziehung fur das dichtebestandige Fluid gilt. Nach dem fur eine geschlossene Flache (A), wie es der Wirbelfaden ist, giiltigen zeitlichen Erhaltungssatz fiir die Zirkulation (5.16b) ist f(t) = 0 oder mit (5.19) rA = r'A = const,

eoA = a'A'.

(5.22b)

ZusammengefaBt mit (5.22a) findet man a>/6s = co'/6s' in Ubereinstimmung mit (5.21b), was zu zeigen war. Es folgen zusatzlich zu den Feststellungen im AnschluB an (5.16b) sowohl fiir die Wirbellinie als auch fiir den Wirbelfaden die Aussagen: Fluidelemente, die zu einem Zeitpunkt eine Wirbellinie oder einen Wirbelfaden bilden, gehoren auch, in dem sie sich verformen und fortbewegen, nach einer beliebigen Zeit derselben Wirbellinie bzw. demselben Wirbelfaden an. Die Wirbelung ist eine Eigenschaft, die an den Fluidelementen haftet und mit ihnen transportiert wird. Der Wirbelstrom (Produkt aus Drehgeschwindigkeit und Stromfadenquerschnitt) bzw. die Zirkulation (Linienintegral iiber die Geschwindigkeit um den Stromfadenquerschnitt) sind langs der Stromfadenachse konstant und behalten auch bei der Fortbewegung des Stromfadens den gleichen Wert; sie sind raumlich und zeitlich konstant.

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen) 5.3.1 Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen Allgemeines. In Kap. 5.2.2.1 wurde ein den ganzen Raum ausfullendes stetiges Stromungsfeld gemafi (5.1) in einen drehungsfreien und einen drehungsbehafteten Anteil aufgeteilt. Es sollen hier zunachst die drehungsfreien Stromungen untersucht werden. Solche Stromungen stellen nach Kap. 2.5.3.2 Losungen der Eulerschen Bewegungsgleichung fiir die reibungslose Stromung dar, vgl. (2.101). Neben der Bedingung der Drehungsfreiheit sei bei adiabatem Zustand zusatzlich noch die Bedingung konstanter Entropie im gesamten Stromungsfeld eingefiihrt, d. h. homentroper (adiabat-reversibler) Zustand. Geschwindigkeitsfeld. Die Bedingung der Drehungsfreiheit fiir das Geschwindigkeitsfeld v (t, r) wird durch Einfiihren einer skalaren Potentialfunktion, genauer skalares Geschwindigkeitspotential *(f, r) genannt, entsprechend (5.2a) mit v = grad *

(rot v = 0)

(5.23 a)

wegen rot (grad (t, x, y, z) d& y

'=i"' ox

30 v =

y ^-< 03;

d

* = ir< oz

d

(' = 1 > 2 ' 3 ) -

-=ir

(5-23b)

aXj

In Tab. 5.1a sind die Geschwindigkeitskomponenten fiir kartesische und zylindrische Koordinatensysteme zusammengestellt. Zur Beschreibung des Geschwindigkeitsfelds v(t, r) sind neben den Anfangsbedingungen vor allem die jeweiligen Randbedingungen, z.B. an festen Wiinden (Korperober-

128

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Tabelle 5.1. Potentialstromung, Koordinatensysteme nach Abb. 1.13. a Geschwindigkeitskomponenten (Gradient eines skalaren Geschwindigkeitspotentials), b Kontinuitatsgleichung eines dichtebestandigen Fluids (Laplacesche Potentialgleichung). a

v = grad 0

b d
x,y,z

dx

a# ' a7

r,
u =

a#

v, = v= — dy T

a#

vz = w= —— az

a# ' a^

i a# r a
U =

A# = 0

a2# a 2 * a2* aT2"+ a ? " + ~dzT= 1 a / a#\ 7 a7 v " a T /

+

1 a2# a 2 * 7 a^2 + a ^ "

flache) oder an freien Oberflachen (Fliissigkeitsspiegel) zu beachten, vgl. die Ausfuhrungen am SchluB von Kap. 2.3.2.2. Bei ebener Stromung (x, y, d/dz = 0; vz — 0) kann mit <& (f, x, y) geschrieben werden 2 _ 1 Idv du _ 1 / a * ~ 2" \ a x ~~dy 2

CO

a2*

= 0 (eben). (5.23 c)

Mit der Drehung ft), = w nach Tab. 2.3 laBt sich die Erfiillung der Bedingung der Drehungsfreiheit einfach nachweisen. Im allgemeinen ist das Vertauschen der partiellen Differentiale ax, dy in den Nennern zulassig. Aus der Kenntnis der Geschwindigkeitskomponenten u(t,x, y) und v(t,x,y) lassen sich bei t = const nach Abb. 2.14) jeweils die Stromlinienbilder ermitteln. Da es sich bei dem Beschriebenen um eine reibungslose Stromung handelt, kann nach Abb. 5.8 jede aus Stromlinien gebildete Stromflache als feste Wand aufgefaBt werden. In einem natiirlichen, der Kontur des umstromten Korpers angepaBten, krummlinigen, rechtwinkligen und ebenen Koordinatensystem (s, n) nach Abb. 5.8 gilt fur die Geschwindigkeitskomponenten auf der Korperkontur (s, n = 0)

1 a# a* "'

hs ds ' as

«„ an

an

(Korperkontur).

(5.23 d)

mit den metrischen Faktoren (Lame-Parametern) hs=\ + n/rt=l und hn=l sowie dem Kriimmungsradius der Korperkontur rk. Diese Beziehungen gelten nach (2.26 a) fur die reibungslose Umstromung eines Korpers mit masseundurchlassiger Wand. Die Geschwindigkeitskomponenten langs der Wand vs = 0 stellen sich aus der Losung d

Stromung

Abb. 5.8. Begriff der Wandstromlinie bei reibungsloser Stromung

5.3.1 Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen

129

Fiihrt man in die Kontinuitatsgleichung eines quellfreien Stromungsfelds (2.60 a) den Ansatz fur das Geschwindigkeitspotential v = grad* nach (5.23 a) sowie die Beziehung fur das Quadrat der Schallgeschwindigkeit c 2 = dp/dpnach (4.30a) ein, so erhalt man, wenn man weiterhin die Druckanderung dp des barotropen Fluids p = p(p) bzw. das spezifische Druckkraftpotential di = dp/(>(p) nach (2.5b) ersetzt, — + pdivl» = 0 , ~ + c 2 A# = 0 mit i = i(p) (quellfrei). dt at

(5.24a, b)

Es ist A0 = div (grad 0) mit A als Laplace-Operator angewendet auf eine skalare Funktion nach Tab. B.5 mit a A (p. In Tab. 5.1b ist A* fur kartesische und zylindrische Koordinatensysteme zusammengestellt. Fiir ein dichtebestandiges Fluid (p = const) geht (5.24b) mit c = °° in die Laplacesche Gleichung A

= 0 bzw. v = grad<&. Es gilt 2

/a# v

\

\at

/

grad — - + —- + u B + / ( p ) 1 = 0

2

(drehungsfrei)

(5.25a)

mit uB als spezifischem Massenkraftpotential nach (2.10a) und i als spezifischem Druckkraftpotential nach (2.5 b). Der Klammerausdruck in (5.25a) stellt die Energiegleichung der Fluidmechanik ftir drehungsfreie Stromungen dar, und zwar gilt als Integral von (5.25 a) d

mit V = grad # .

(5.25 b)

Da auf der linken Seite nur ttber Raumkoordinaten zu integrieren ist, tritt auf der rechten Seite die vom Ort unabhangige Zeitfunktion F(f) auf. Diese hangt nur dann von der Zeit ab, wenn z.B. durch auBere Einwirkung (Randbedingung) derDruckp bzw. das Druckkraftpotential i(p) im Stromungsbereich verandert wird. Handelt es sich jedoch um einen unendlich ausgedehnten Fluidbereich, in dem eine Druckanderung durch auBere Einwirkung nicht moglich ist, so ist F (t) eine von der Zeit unabhangige Konstante, d. h. F (t) = const. Gl. (5.25b) wird fur den Fall F(i) — const noch dadurch umgeformt, daB man von ihr die substantielle Ableitung d/dt bildet. Nach der Transportgleichung fiir eine skalare FeldgroBe (2.41b) mit E A (d

3 /l> 2 \ /V2\ duB 1 dp _ 1 + 2—(—) + i>-grad(—)+—2 + - - £ = 0. at at \ 2) V2 / dt p dt

(5.26a)

Unter Einsetzen der Kontinuitatsgleichung (5.24b) und bei Annahme eines konstant gehaltenen Massenkraftpotentials (uB - const) kann man auch schreiben — ( — + i > 2 ) + t;-grad — ) = c2A4> («B = const). at \ dt ) \ 2/

(5.26b)12

Dies ist die grundlegende Beziehung zur Berechnung des Geschwindigkeitspotentials #(/, r) bei einer instationaren, drehungsfreien und reibungslosen Stromung eines sich barotrop und homentrop verhaltenden Fluids. Zu ihrer Losung bedarf es jedoch noch einer Angabe iiber die Schallgeschwindigkeit c. Wahrend fiir Fliissigkeiten in erster Naherung mit c = const = ~ gerechnet werden kann, ist fur Gase die Schallgeschwindigkeit vom Stromungsverlauf abhangig. Nach (4.30d) gilt die Beziehung c 2 = K(p/p). Unter Einfiihrung des spezifischen Druckkraftpotentials nach Tab. 2.12 mit i = [K/(K— 1)] (p/p) kann man fiir vollkommen ideale Gase schreiben C2 = (K—1) /. Durch Einsetzen von (5.25b) erhalt man den Ausdruck (— + —) at 2 12

(Gas).

Man beachte, daB v • grad (d

(5.26c)

130

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Es bedeutet c0 die Schallgeschwindigkeit im Ruhezustand (u 0 = 0) nach (4.33 b). Gl. (5.26b) ist in Verbindung mit (5.26c) sowohl bei Stromungen mit fester Oberflache (Korperumstromung) als auch bei Stromungen mit freier Oberflache (Fliissigkeitsstromungen) anzuwenden. Fiir die Stromung eines dichtebestandigen Fluids (p = const) vereinfacht sich (5.26b) wegen c = <*>, wie bereits oben festgestellt, sowohl bei stationarer wie auch bei instationarer Stromung zu d2

A$ = 0 ,

(dichtebestandig).

(5.27a)

Bei ebener Stromung erhalt man aus (5.26b) mit v = exu + ey v bzw. u = d/dx = y sowiemit v2 = u2 + v2 und v- grad(f 2 /2) = u24>xx + 2uv0xy + i^# OT mit # ^ = &yx (c2-u2)$xx

+ (c2-v2)4>yy-2uvXJ=&,l

+ 2u
(5.27b)

Druckfeld. Hat man die Potentialfunktion #(?, r) und damit auch das Geschwindigkeitsfeld v (t, r) = grad# ermittelt, kann man zunachst mittels (5.25b) das Feld des spezifischen Druckkraftpotentials ; (t, r) und daraus anschlieBend das Druckfeld p (t, r) bestimmen. Fiir den Fall stationarer Stromung wird mit d€>/dt = 0 und unter Voraussetzung des barotropen Zustands p= p(p) sowie bei Berticksichtigung des Schwereinflusses uB = gz fur das Stromungsfeld, vgl. (2.102a),

v2 !• g z = const

i(p) +

(stationar).

(5.28 a)

Fur das spezifische Dmckkraftpotential erhalt man bei dem zugmndegelegten homentropen Zustand (s = const) nach (2.5c) mit n = KS als Isentropenexponenten (Flussigkeit: KS ~ ==, Gas: K=K,= 1.4) {

p

)

(

{n = Ki)

(5.28b)»

mit pb undpb als beliebig zu wahlenden BezugsgroBen, z.B. den Werten an den Stellen (1) oder (2) des Stromungsfelds. SchlieBlich ergibt sich das Druckverhaltnis zu p _(n-\ pb _.\— ( D r u c k v e r M l t n i s ) (5.28c) Pb \ n pb Fiir das dichtebestandige Fluid (p = p 6 = const, n = KS = oo) gilt der in (2.5 b) bereits angegebene Zusammenhang i =p/p, was in (5.28a) eingesetzt zu der Bernoullischen Gleichung (3.231) fiihrt.

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache 5.3.2.1 Ausgangsgleichungen Potentialgleichung. Des besseren Verstandnisses wegen empfiehlt es sich, zunachst den Fall der Stromung eines dichtebestandigen Fluids ((?= const) zu besprechen. Nach (5.27a) lautet die Gleichung zur Berechnung des Geschwindigkeitspotentials

d20 d20 d20 + ^ r + ^ ^ dx1r dy1 dz1 = 0 (dichtebestandig).

(5.29)

Diese Differentialgleichung hatte man auch sofort durch Einsetzen von (5.23b) in die Kontinuitatsgleichung fiir kartesische Koordinaten nach Tab. 2.5 erhalten. Die Laplacesche Potentialgleichung fiir die Stromung dichtebestandiger Fluide 13 Fiir homentrope Stromung folgt aus (2.204b) mit n = K daB fiir diesen Fall bei Gasen das Druckkraftpotential gleich der Enthalpie bei konstanter Entropie ist.

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

131

ist fiir kartesische und zylindrische Koordinatensysteme in Tab. 5.1b wiedergegeben. Nach den Regeln der Vektor-Analysis ist Av = grad(divy)-rot(roti>), woraus wegen div v = 0 (dichtebestandig) und rot v = 0 (drehungsfrei) fiir quellfreie Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide auch die Beziehung Au = O; Au, = 0 ,

A u ^ O , Avz = 0

(i/ = grad$)

(5.30a; b)

gilt. Das Potential eines elektrischen Felds in einem homogenen Leiter geniigt ebenso wie das Geschwindigkeitspotential einer reibungslosen Stromung dichtebestandiger Fluide der Laplaceschen Differentialgleichung (5.29). Ausgehend von dieser Analogie kann man mittels des sog. elektrolytischen Trogs insbesondere ebene Potentialgleichungen sichtbar machen und ausmessen. Da die Potentialgleichung fiir das dichtebestandige Fluid allein aus der nur die Geschwindigkeit enthaltenden Kontinuitatsgleichung hergeleitet wurde, spielen fiir die Losung der potentialtheoretischen Aufgabe weder die Schwere des Fluids noch der Druck in der Stromung eine Rolle. Im vorliegenden Kap. 5.3.2 wird die stationare und quellfreie Stromung

mit a2 + fi2 + y2 = 0 .

(5.31)

Von der Richtigkeit dieses Ansatzes iiberzeugt man sich leicht durch Einsetzen in (5.29). Uber die zu erfiillenden Randbedingungen, z.B. bei der Umstromung masseundurchlassiger fester Wande, wurde bereits in (5.23 d) berichtet. Eine umfangreiche Sammlung von Losungen, auch in anderen Koordinatensystemen, ist schon bei Lamb [48] zu finden. tiberlagerungsprinzip. Wegen der Linearitat der Potentialgleichung (5.29) besteht ein einfaches lineares Superpositionsgesetz, das es ermoglicht, zwei oder mehrere bekannte Losungen (Elementarstromungen), z.B. ^>> folgendermaBen zusammenzusetzen: 0 = ax(?! + <x2&2 + ••• + a-n^n (lineare Uberlagerung).

(5.32)

Hierin konnen die Konstanten an beliebig gewahlt und dem vorliegenden Problem angepaBt werden. Auf diese Weise lassen sich aus einfachen Stromungen durch Uberlagerung kompliziertere Stromungsformen ableiten. Geschwindigkeitsfeld. Kennt man das Potential z.B. in der Form <&(x,y,z), dann findet man entsprechend (5.23 b) die Geschwindigkeitskomponenten vx(x, y, z), vy(x, y, z) und vz(x, y, z). Fiir Zylinderkoordinaten gilt Tab. 5.1. Analog dem algebraischen Superpositionsgesetz fiir die Potentialfunktion nach (5.32) folgt das vektorielle Superpositionsgesetz fiir die Geschwindigkeit v = grad# = aii>! +a2v2+ ... + anvn. (5.33a, b) Die Geschwindigkeitskomponenten lassen sich jeweils linear iiberlagern.

132

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Druckfeld. Hat man die Geschwindigkeit v (r) ermittelt, so erhalt man hieraus die Druckverteilung im Stromungsfeld p(r)=p(x, y, z) mittels der Energiegleichung der Fluidmechanik (Bernoullische Gleichung) (5.28 a) / =p/p zu — v2 + pgz + p = const

(v = grad 0).

(5.34)

Wegen der groBen Bedeutung der Potentialstromungen fur reibungslose Stromungen werden nachfolgend einige ebene und raumliche Falle naher untersucht. 5.3.2.2 Grundlagen der ebenen Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide Potential- und Stromfunktion. Spielen sich die Stromungen nur in parallelen x, >>-Ebenen ab, so verschwinden alle Ableitungen normal zur Stromungsebene 9/9z = 0 sowie die Geschwindigkeitskomponente u, = 0. Fur die Bestimmung der Potentialfunktion 0(x,y) und der Geschwindigkeitskomponenten vx=u, vy-v wird nach (5.29) bzw. (5.23 c) A$

920 dxz

920 dyz

0

90 ox

90 oy

(di

0).

(5.35a; b)

Gl. (5.35 a) stellt die Kontinuitatsgleichung (2.63 a) in der Form du/dx + dv/dy = 0 dar. In Kap. 2.4.3 wurde gezeigt, daB diese durch Einfiihren einer Stromfunktion W{x,y) mit den zugehorigen Geschwindigkeitskomponenten nach (2.66 a) erfullt werden kann. Angewendet auf drehungsfreie Stromungen, die der Bedingung nach (5.23 c) mit dv/dx— du/dy = 0 gehorchen miissen, folgt ^rT l = 0; dy

u =s - , dy

y = — 5 - (rotw = 0). (5.36a;b) ax

Man erkennt, daB auch die Stromfunktion W einer Laplaceschen Gleichung geniigen muB. Der Vergleich von (5.35b) und (5.36b) liefert die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 90 9W 90 9W v u = -^- = -^-, = ^- = -^— (p = const). (5.37a) 9x 9y 9y 9x Diese Differenzierbarkeitsbedingungen besagen, daB das ebene Stromungsfeld eines dichtebestandigen Fluids quell- und drehungsfrei ist. Geht man auf natiirliche Koordinaten in der Schmiegebene s, n (tangential bzw. normal zur Stromlinie) nach Abb. 2.17 a iiber, so gelten unter Beachtung der kinematischen Randbedingung (2.26a) mit vn = 0 + v, die Zusammenhange, vgl. Abb. 5.8, 90 9W 90 9W v, = — = — *0, (5.37b) Vn = — = - ^ - = 0. 9s 9n 9n 9s Gl. (5.37 a) ist fur die mathematische Behandlung der ebenen Potentialstromungen von grundlegender Bedeutung. In Tab. 5.2 sind die Beziehungen fur ebene Potentialstromungen eines dichtebestandigen Fluids in kartesischen recht-

Drehungsfreiheit rot v = 0

Kontinuitatsgleichung div v = 0

Geschwindigkeitskomponenten

dvy dx

dx

_

0

or

I — VJ

dv\_

o(p/

„

dvx =0 dy

dy

?=

dv,

d(rvr)

. _l

dvx

cp = - vx&va.

,cos
v

vr = i>,cos ^> + UyS

vx = vrcosq>—

= r(coscp + = rexp(i
z — x + \y

dr2 von selbst erfiillt rot (grad 0) = 0

1 a# r dr

a2* »

r1 dip2

1

vr = -r—, iy = —5— or r dip

ax

grad 0 = exvx + ey vy

0(x,y), 0(r,(p) v - grad 0

Potentialfunktion

Vy

1

d2W T

d2w 1 dw ~d72+7~d7

~dx W

d2W

+

n

von selbst erfiillt div(rot
1 d2w 7" 'dip2'

vr = — 3— , v = - or

dy

-5~,

v = rot «P grad W= — exvy + ey vx

W(x,y), f(r,
Stromfunktion

Tabelle 5.2. Grundgesetze ebener Potentialstromungen dichtebestandiger Huide (kartesische Koordinaten vx = u,vy= v)

dz

von selbst erfiillt

= vx — iv

w,(z) =

Komplexe Potentialfunktion

o

o Si

on

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

134

winkligen Koordinaten und in Polarkoordinaten zusammengestellt, man vgl. Abb. 1.12a. Potential- und Stromlinie. Denkt man sich jeweils alle Punkte in der x,j-Ebene, fiir welche die Potentialfunktion 0(x, y) bzw. die Stromfunktion W(x, y) gleiche Werte haben, miteinander verbunden, d.h.

'dy_\ dx j v=const

= _u

u

(5.38 a, b)

In Abb. 5.9 ist dies Ergebnis dargestellt. Danach zeigt sich daB sich Stromlinie und Potentiallinie normal schneidet. Verallgemeinert heiBt das also, daB innerhalb des ganzen Stromungsbereichs Stromlinien und Potentiallinien zwei Scharen sich normal schneidender Kurven, d. h. orthogonale Kurvenscharen bilden. Diese Aussage laBt sich wegen grad 0 = exu + eyv und grad W= — exv+eyu vektoranalytisch in der Form grad 0 • grad W = 0 schreiben. Uberlagerungs- und Vertauschungsprinzip. Das in (5.32) angegebene lineare Uberlagerungsprinzip fur die Potentialfunktion 0 gilt wegen der formalen Ubereinstimmung von (5.35a) und (5.36a) in gleicher Weise auch fiir die Stromfunktion W. Aus dem gleichen Grand konnen weiterhin Potential- und Stromlinien hinsichtlich ihrer fluidmechanischen Deutung miteinander vertauscht werden,

yv(x)

"'Stromlinie lyi= const 1

Potentiallinie
Abb. 5.9. Zusammenhang von Strom- und Potentiallinie, W= const bzw.

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

135

wobei es sich dann selbstverstandlich um eine andere Stromung als im urspriinglichen Fall handelt. Volumenstrom, Zirkulation. Die Gleichung zur Berechnung des Volumenstroms zwischen zwei durch 2 = 6 ( « y 2 - « / i ) ,

r,_2=*2-*,.

(5.39a, b)

Bei diesen Beziehungen kommt es jeweils nur auf die Differenzen der Werte fur die Stromfunktion bzw. fur die Potentialfunktion an.

5.3.2.3 Losungsansatze ebener Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide Losungsansatz I. Fur den Fall der hier vorliegenden ebenen Stromung liefert (5.31) eine Losung fur die Potentialfunktion mit a2 + (52 = O, d. h. /? = + i a mit i = V^T in der komplexen Darstellung a2
(5.40a, b)

wobei die zweite Beziehung aus einer Reihenentwicklung entsteht. Entsprechend dem Uberlagerungsprinzip (5.32) stellen sowohl die reellen als auch die imaginaren Glieder (jeweils mit a oder a2 multipliziert) Losungen der Laplaceschen Potentialgleichung (5.35a) dar, auf die spater in Kap. 5.3.2.4 naher eingegangen wird. Losungsansatz II. Fiir die Potentialfunktion kann man unter Ausnutzung des Uberlagerungsprinzips (5.32) auch
iy)

(5.41 a)

schreiben mit willkiirlich wahlbaren, stetigen und zweimal differenzierbaren Funktionen ),

(5.41b)

vgl. Abb. 5.10. Von der Richtigkeit dieses Ansatzes iiberzeugt man sich durch zweimalige Differentiation nach x und y sowie Einsetzen in (5.35a). Die Funktionen 2 sind den jeweiligen Randbedingungen anzupassen. Die Losungsansatze I und II zeigen, daB fur die mathematische Behandlung der stationaren ebenen quell- und drehungsfreien Stromung mit Vorteil die Theorie der komplexen Funktionen benutzt werden kann. Dies gilt zunachst fiir die Potentialfunktion 0. Da die Beziehung zur Ermittlung der Stromfunktion W nach (5.36a) denselben Aufbau wie die Laplacesche Potentialgleichung

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Abb. 5.10. Zur Erlauterung der komplexen und der konjugiert komplexen Geschwindigkeit w bzw. w, in der komplexen Bildebene z = x + xy sowie des Geschwindigkeitsvektors v = e.u + evi>

(5.35 a) hat, gelten die Losungsansatze fur auch fiir W.

nach (5.40) und (5.41) sinngemaB

Losungsansatz III. In der komplexen Ebene stellen nach Abb. 5.10 w = u + iv,

w* = u-iv

(5.42a, b)

die komplexe bzw. konjugiert komplexe Geschwindigkeit dar, wobei die Geschwindigkeit w durch Spiegelung von w* an der reellen x-Achse entsteht. Setzt man die Geschwindigkeitskomponenten u und v entsprechend (5.37a) in (5.42b) ein und integriert iiber das komplexe Argument dz = dx + idy, dann wird d$

dW (5.43a, b)

Dabei stellen die Integranden die totalen Diferentiale d<$ bzw. dW&w, so daB die Integrationen sofort ausgefiihrt werden konnen. Die so gewonnene komplexe Funktion cp{z) - cp(x + iy) =
(komplex)

(5.44)

sei als komplexes Geschwindigkeitspotential bezeichnet. <&(x, y) und W(x, y) nebst ihren partiellen Ableitungen nach x und y sollen stetige, reelle Funktionen von x und y sein. Die besondere Eigenschaft der komplexen Potentialfunktion besteht darin, daB sie an jeder Stelle des betrachteten Bereichs differenzierbar ist und damit der Laplaceschen Gleichung geniigt. Da pl(z) entsprechend den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (5.37a) sowohl die Quell- als auch die Drehungsfreiheit erfiillt, liefert jede analytische Funktion Ep(z) eine Potentialstromung. Bei der praktischen Behandlung bestimmter Aufgaben kommt es wesentlich darauf an, solche Ansatze fiir cp(z) zu finden, deren Stromungsbilder den vorgeschriebenen Randbedingungen der Aufgabe gerecht werden. Das schon friiher fiir die Potential- und gleichermaBen auch fiir die Stromfunktion erlauterte Uberlagerungsprinzip (5.32) gilt auch in der komplexen Schreibweise Epiz) = a, Epx(z) + a2 EP2(Z) +

(lineare Uberlagerung).

(5.45)

Hierin konnen die Konstanten au a2,... auch komplexe Zahlen sein. Ist z.B. fiir eine reelle Zahl a = a die Losung pJ(z) = a[0(x,y)+ilF(x,y)] und fiir eine

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

137

imaginare Zahl a - ia die Losung op(z) = \a [
dtp = —j—,

w(z) = u + iv,

\v\ =

dz

(5.46 a, b;c)

Die Geschwindigkeitskomponenten an jeder Stelle des betrachteten Stromungsbereichs lassen sich also berechnen, sobald die komplexe Funktion cp=cp(z) gegeben ist. Man braucht diese nur nach der komplexen Veranderlichen z zu differenzieren und das Ergebnis in den Real- und Imaginarteil aufzuspalten14. Methode der konformen Abbildung. Der besprochene Zusammenhang zwischen der Potential- und der Stromfunktion einer ebenen, drehungsfreien Stromung einerseits und der Theorie komplexer Funktionen andererseits ermoglicht die Anwendung der in der Funktionstheorie entwickelten Methode der konformen Abbildung auf ebene Stromungsprobleme. Eine eingehendere Darstellung der Methoden der konformen Abbildungen mit vielen praktisch wichtigen Anwendungen ist bei Betz [5] zu finden. Man betrachte zwei komplexe Ebenen, und zwar die z- und £-Ebene mit den Komponenten x, \y bzw. E,, i/j. Ist dann £= £(z) gegeben, so bedeutet dies, da8 jedem Punkt z der z-Ebene ein eindeutig festgelegter Punkt C, der £-Ebene zugeordnet ist. Einem bestimmten Bereich der z-Ebene entspricht also ein ganz bestimmter Bereich der £-Ebene. Man sagt deshalb: Durch die Funktion Q= C,{z) werden beide Bereiche aufeinander abgebildet; der eine ist das Bild des anderen. Diese Abbildung nimmt einen ganz speziellen Charakter an, wenn C, = £(z) analytisch ist, d.h. wenn die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (5.37a) erfiillt sind. In diesem Fall hat dCJdz an jeder Stelle des betrachteten Bereichs einen bestimmten Wert. Er stellt das Verzerrungsverhaltnis an der betreffenden Stelle dar. Ist ein Bereich (B) der £-Ebene das mittels C, = £(z) gewonnene Bild eines Bereichs (A) der z-Ebene, so kann umgekehrt auch (A) als konforme Abbildung von (B) mittels z = z(Q angesehen werden. Mit Hilfe der konformen Abbildung gelingt es, aus einer bekannten Stromung (z.B. um einen Kreiszylinder oder um eine Platte) schwierigere Strb'mungsbilder, insbesondere um vorgegebene Korperformen, in einfacher Weise abzuleiten. Durch den Riemannschen Abbildungssatz ist es immer moglich, eine beliebig gestaltete Korperform konform auf einen Kreis abzubilden, und zwar so, daB einem beliebigen Punkt der Kreis14 Eine Funktion F (z) ist komplex differenzierbar, falls der Differentialquotient dF/dz unabhangig von der Differentiationsrichtung ist, d.h. unabhangig von der Richtung der vom Punkt z zum Nachbarpunkt z + dz gezogenen Strecke. Es mufi also z.B. der fur eine beliebige Richtung gewahlte Differentialquotient dF/dz dem in Richtung der reellen Achse dz = dx oder auch dem in Richtung der imaginaren Achse dz = idy genommenen partiellen Differentialquotienten gleich sein, also dF/dz = dF/dx = dF/d(iy) = -idF/6y.

138

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

peripherie ein Punkt der gegebenen Kontur und dem Rreismittelpunkt ein Punkt im Innern der Kontur entspricht. Dieser Satz ist besonders geeignet, Stromungsbilder um Tragflugelprofile zu vermitteln, wobei die Stromung um die vorgelegte Kontur mittels einer analytischen Funktion auf die bekannte Stromung um einen Kreis zuriickgefiihrt wird. Allgemein kann man dabei folgendermaBen vorgehen. Ist die Stromung in der z-Ebene bekannt, so unterwerfe man sie durch Einfiihren der Abbildungsfunktion C, = E, + iti - £(z) = £(JC + iy)

(konforme Abbildung)

(5.47a)

einer Transformation, wodurch die Stromung der z-Ebene samt ihrer Begrenzung auf eine £-Ebene abgebildet wird. Fiihrt man nun in das komplexe Geschwindigkeitspotential cp{z) - 0 + i f der z-Ebene die inverse Funktion z = z(Q von (5.47 a) ein, so erhalt man als neue komplexe Potentialfunktion einen Ausdruck der Form O7[z(O] = 0 7 ( 0 = * ( £ n) + i f (£ q),

(5.47b)

wobei <&(§, q) und f ( £ , q) die Potential- bzw. Stromfunktion der neuen Stromung in der £-Ebene darstellen. Es kommt also immer darauf an, die Funktion, welche die konforme Abbildung vermittelt, so zu bestimmen, daB die jeweiligen Randbedingungen befriedigt werden. Diese Aufgabe bereitet mitunter erhebliche Schwierigkeiten. Die konjugiert komplexen Geschwindigkeiten erhalt man entsprechend (5.46a) zu w*(z) = dcp/dz und w*(Q = dQJ/d{,. Zwischen beiden besteht also der Zusammenhang ~w.(

\v(Q\ =

ck

= \v(z)\,

(5.48a, b)

wobei die zweite Beziehung den Betrag der Geschwindigkeit in der £-Ebene angibt. Die Anwendung der konformen Abbildung wird in Kap. 5.3.2.4 fur die normal angestromte Platte (Beispiel f) und fiir die Umstromung von Fliigelprofilen (Beispiel g) gezeigt. Hodographen-Methode. Oft empfiehlt es sich, neben der physikalischen Stromungsebene z=x + iy (komplexe Ortsdarstellung) die Geschwindigkeitsebene (Hodographen-Ebene) w* = u — iv (konjugiert komplexe Geschwindigkeit) zur Losung bestimmter Aufgaben heranzuziehen. Jedem Punkt in der z-Ebene, in dem die Geschwindigkeit v die Komponenten u und v hat, kann man einen Punkt in der w*-Ebene mit den Koordinaten u und - i u zuordnen. Ebenso kann man dann das Netz der Linien $ = const und {F= const in die Hodographen-Ebene abbilden. Wiederum ist dies eine konforme Abbildung, denn, wenn QJ(z) = & + iW analytisch ist, so ist es auch w* = dEpldz. Das Bild der Stromlinien in der w*-Ebene kann man somit als Darstellung einer neuen Stromung auffassen, die oft leichter zu iibersehen ist, weil ihre Berandung geometrisch einfacher ist als diejenige der Stromung in der urspriinglichen z-Ebene. Der Ubergang von der w*Ebene zuriick in die z-Ebene laBt sich durch die Beziehung z=

[dEp J w*

(Rucktransformation)

(5.49)

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

139

vollziehen. Zwei Beispiele zur Anwendung der Hodographen-Methoden werden in Kap. 5.5.2.1 besprochen. Kraft auf Korper mit beliebiger Querschnittsform.15 Die Methode der Anwendung komplexer Funktionen auf die ebene drehungsfreie Stromung gestattet nach Blasius [9] in einfacher Weise auch die Berechnung der angreifenden Kraft eines zu seiner erzeugenden Geraden normal angestromten, unendlich langen prismatischen Korpers. Hierfiir ist es nicht notwendig, die Querschnittsform des Korpers zu kennen. Der in Abb. 5.11 dargestellte Korper sei im Unendlichen mit der Geschwindigkeit vx stationar angestromt. Aus den auf den Umfang wirkenden Drilcken p (I) lassen sich durch entsprechende Integrationen die resultierende Kraft nach GroBe und Richtung ermitteln. Die Betrachtung sei fur das angegebene Koordinatensystem x, y durchgefiihrt. Auf den Korper mit der Breite b wirkt die Kraft F mit den Komponenten Fx und Fy. Der Beitrag eines Oberflachenelements dA = b&l zu den Kraftkomponenten betragt dFx = pb cos
dFy = —pb sin
Die Druckverteilung auf der Korperkontur (AT) folgt aus der Bemoullischen Druckgleichung (5.34) zu p = p_ + (p/2)vl - (p/2) (« 2 + v2). Mithin ergibt sich fur die Kiaftkomponenten

(u2+v2)dy,

Fx = -b?-§

= b9-

j (u2 + v2) dx .

(5.50a, b)

CO

Als nachster Schritt soil jetzt die komplexe Schreibweise eingefiihrt werden, d.h. nach (5.41b) z = x + ry und dz = dx + idy sowie nach (5.46a) w, = u — iv. Beachtet man weiterhin die Stromliniengleichung fur die Korperkontur nach (5.38b) mit udy = vdx, dann folgt nach kurzer Zwischenrechnung wI =

(M2

+ v2) (dx - idy).

Durch Vergleich mit (5.50a, b) erhalt man die am Korper angreifende konjugiert komplexe Druckkraft zu

, = Fx-iFy = -ib— j w2,(z)dz .

(5.51a, b)

TO

IK)

y-const Abb. 5.11. Zur Berechnung der Kraft auf einen angestromten prismatischen Korper mittels komplexer Funktion (Blasiussche Formel)

15 Da es sich im nachfolgenden Fall, wie noch gezeigt wird, um eine Stromung mit Zirkulation handelt, gehort sie aus fluidmechanischer Sicht eigentlich zu Kap. 5.4. Wegen ihrer mathematischen Herleitung mittels komplexer Funktionen wird sie jedoch bereits hier besprochen.

140

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Man nennt dies die Blasiussche Formel fiir die Druckkraft, wobei es sich um die Auswertung eines komplexen Integrals handelt. 1st auGerhalb des Korpers die Geschwindigkeit iiberall endlich, d. h. befinden sich dort keine Singularitaten (Quelle, Sinke, Wirbel), so laBt sich die konjugiert komplexe Geschwindigkeit auf (K) und auBerhalb (K) in eine Taylor-Reihe nach 1/z in der Form

entwickeln. Dabei hat Ao d i e B e d e u t u n g des Betrags der ungestorten Anstromgeschwindigkeit \v^\. die Druckkraft kann man nach Einsetzen in (5.51) schreiben

F. = - \b £ j> Uo +A— +%- + ..}j dz = 2-npbA^ .'6 TO

Z

^

Z

Fiir

(5.51c)

'

In diese Beziehung soil noch die Zirkulation um den Korper eingefiihrt werden. Fiir diese gilt nach (5.12), rechtsdrehend positiv, p F= j> V • dl = j> (udx+ vdy) = j- w,(z) dz = -i2nA1 , A, = - i — . n wo _), Fx = - pbrv^ < 0 ,

Fs = + pbru,, > 0 .

(5.52a) (5.52b)

Wegen tan a= v^/u^ = — Fx/Fy laBt sich zeigen, daB die resultierende Kraft F normal auf der Anstromrichtung steht. Man nennt diese fluidmechanisch orientierte Kraftkomponente Auftriebskraft, oder kurz Auftrieb FA. Eine Kraftkomponente in Anstrbmrichtung, die man Widerstandskraft, oder kurz Widerstand Fw nennt, tritt nicht auf. Das heiBt, in einer unendlich ausgedehnten, reibungslosen ebenen Stromung ist bei beliebiger Korperform der Widerstand gleich null, vgl. hierzu (2.81b) und (3.242c). Der Auftrieb entsteht nur, wenn um den Korper eine zirkulatorische Stromung herrscht, vgl. hierzu (3.242a, b). Es gilt somit FA = pbr I vx I ,

Fw = 0

(Auftrieb, Widerstand)

(5.53a, b)

mit | vx [ als Betrag der resultierenden Anstromgeschwindigkeit. Durch Anwenden der Impulsgleichung wurde das Ergebnis bereits in Kap. 3.6.2.1 als Beispiel a. 1 fiir das gerade Fliigelgitter, den einzelnen Tragfltigel sowie ftlr den ebenen Korper mit beliebiger Querschnittsform gefunden (Kutta-Joukowskyscher Auftriebssatz, d'Alembertsches Paradoxon).

5.3.2.4 Beispiele ebener Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide17 a) Ebene Winkel- und Eckenstromung a.l) Ansatz. Die Methode der Anwendung komplexer Funktionen zur Beschreibung ebener Potentialstromungen sei am Beispiel der komplexen Potentialfunktion in Form eines Potenzansatzes EtJ(z)- — z" = — (x + iy)n = — rn [cos (na>) + isin(na>)] = — r" exp(in w) (5.54) n n n n erlautert. Hierin sei n eine reelle Zahl, wahrend a = ax + \a2 auch eine komplexe Zahl sein kann. Je nach der Wahl von n und a ergeben sich sehr unterschiedliche Ergebnisse, die nachstehend besprochen werden. Wird der Faktor a als reelle Zahl angenommen, so liefert (5.54) durch Aufspalten in Real- und 16 Das Ergebnis der komplexen Integration langs des geschlossenen Wegs folgt aus dem Residuensatz der Funktionentheorie (rechtslaufiger Integrationsweg)

jz-dz 17

= -2ni

fur

« = l, = 0

fur

« = 2,3,...

Zahlreiche Beispiele mit den zugehorigen Stromlinienbildern werden von Tietjens [86] mitgeteilt. Eine Zusammenstellung der wichtigsten Formeln ebener Potentialstromungen gibt Tab. 5.3.

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

141

Imaginarteil sofort die Potential- und Stromfunktion zu = — r" cos (no)), n

= — r" sin(fi(p) n

{a = reell) .

(5.55 a, b)

Die Stromlinien W= const sind durch r" sin (n « > l entstehen nach Abb. 5.12b Stromungen in konkaven Ecken mit Umlenkwinkeln &>0. Fiir \>n> 1/2 liegen nach Abb. 5.12c Stromungen umkonvexe Ecken mit Umlenkwinkeln &<0 vor. Werte n < 1/2 stellen keine Winkel- oder Eckenstrb'mung dar, vgl. Beispiel d.2 mit n = — \. Die konjugiert komplexe Geschwindigkeit erhalt man nach (5.46a) zu w, (z) = azn~x und fiir den Betrag der Geschwindigkeit folgt hieraus \=

la\r"-1;

W\-

1

(5.56a; b)

Im Ursprung wird bei konkav umgelenkter Stromung mit n > 1 die Geschwindigkeit null, d. h. es bildet sich dort ein Staupunkt aus, wahrend bei konvex umgelenkter Stromung mit 1/2 S n < 1 der Ursprung mit unendlich groBer Geschwindigkeit umstromt wird. r =0 : |v | = 0

(konkav),

| v \ = °°

(konvex) .

(5.56c)

Die resultierende Geschwindigkeit \v(r)\ ist auf konzentrischen Zylinderflachen (r = const) gleich groB. Fur die Druckverteilung gilt bei verschwindendem SchwereinfluB nach (5.34)

In gleicher Weise wie bei der resultierenden Geschwindigkeit ist auch der Druck p — p0 auf den konzentrischen Zylinderflachen konstant. Da fiir n> 1, d.h. bei konkaver Umlenkung, die Geschwindigkeit mit wachsendem Abstand r zu- und der Druck entsprechend abnimmt, gibt es einen ausgezeichneten Radius r0, bei dem der Druck den Wert/? = 0 annimmt, was dem Zustand des Vakuums entsprechen wiirde. Fiir groBere Abstande (r>r0) wiirden sich negative Driicke errechnen, was jedoch physikalisch nicht moglich ist. Ein entgegengesetztes Verhalten gibt es fiir n < 1, d.h. bei der konvexen Umlenkung. In der Umgebung der Ecke (r —> 0) sind die Geschwindigkeiten sehr groB und die Driicke entsprechend sehr klein. Auch hier gibt es einen Radius r0, bei dem /7 = 0 (Vakuum) wird. In unmittelbarer Nahe der Ecke

Abb. 5.12. Ebene reibungslose Winkel- und Eckenstromung eines dichtebestandigen Fluids nach (5.54), a = reell. a Spitzer Winkel, n = 3, E = 60°; b konkave Ecke &>Q,n = 3/2,#= 60°; c konvexe Ecke # < 0, n = 3/4, •& = - 60° 18

Auf Stromungsbilder fiir k = 2, 3, ... wird hier nicht eingegangen, da hierdurch keine grundsatzlich neuen Erkenntnisse gewonnen werden.

142

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Tabelle 5.3. Elementare ebene Potential- und Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide Bezeichnung

Stromlinienbild

Komplexe Potentialfunktion

Skalare Potentialfunktion

Stromfunktion

0 {x, y)

W(x,y)

*('•»

Translationsstromung in x-Richtung «„ r exp(i^o)

«_ r cos
Translationsstromung in j-Richtung — iu_ r exp (i(

- v^r cos.
Staupunkt-, Eckenstromung a reell > 0

oxy

— r2 sin( Quelle, Sinke Ergiebigkeit

\

'E~0

-— (In r + i( 2rr Potentialwirbel Zirkulation

— i — In z 27T

2TT

Dipol Dipolachse: jt-Achse Dipolmoment: (MSO) Dipol Dipolachse: y-Achse Dipolmoment: (Af S O )

— arctan —

-In; 2rr

2TT

-lnr

2TT

arctan — \x

(i In r — (f>)

271

271 x2 + y2

M '2n

M cos 2n r

M sirup ~2n r

M 1 M>0

Ml exp (-up) 2n r M 1

.Ml , _ -

In \/x2 + y2 In

M In x2

M x 2~n x2 +

M sirup 2n r

M cos

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

143

(kartesische Koordinaten vx = u,vy= v), vgl. Tab. 5.2 Geschwindigkeitkomponenten polare

kartesische

vx(x,y)

vy(x,y)

vr(x, y)

vx{r,
vy(r,
vr(r, cp)

v<,{x, y)

X

0

" Vx2 + y2

0

ux cos
0

t>»

v

0

u_

v^sirup

ax

-ay

a

arcos
— ar sirup

ar cos (2tp)

E x 2n x2 + y2

2TT x2 + y2

E coscp r

r 2n

2TT

F sirup 2TT

2TT

x2-y2

M 2

2 7i (x + y2f

M cos (2(p) 2TT

r2

M 2TT (X

+ ;y )

r2

M 2xy In (x2 + y2)2 M sin(2(p) r2

M 2 2

M sin(2
r

2TT

2xy 2

x

r cosq>

r

2TT (X

2

Vx + y

— ar sin (2ip)

1

27T yJX2 + y2

0

0

l

r

0

27T Vx 2 + y2

r l

0

2TT

M

x

2n (x2 + y2Y12 M cos

r2

M

In (x2 + y2y2

y

M sirup 2TT

r2

r

M y 2 re (x2 + y2)3/2 M sirup r2

2TT

+ y2)2

r2

-

Vx2 + y2

2x>—a—^=^= 2 2

—^=^ Vx2 + y2

x2-y2

M cos (2(p) 2TT

x2-y2

E 1

2n x2 + y2

U«

V^COSip

2TI7

r

r

y x2+y2

X

Vx2 + y2

E

y

E sirup

2TI

- M_ sin tp

y

E

Vx2 + y2

M x 2n (x2 + y2y12 M coscp 2TT

r2

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

144

(r —> r 0 ) wird also die Stromung physikalisch nicht richtig wiedergegeben. Infolge des starken Druckanstiegs tritt an der konvexen Ecke Ablosung der Stromung ein. Das sowohl bei der konkaven als auch bei der konvexen Umlenkung beschriebene eigentiimliche Verhalten hat seine Ursache in der idealisierten Vorstellung des dichtebestandigen Fluids. a.2) Ebene Translationsstromung. Fiir n = 1 ergibt sich mit c = n nach Abb. 5.13a keine Umlenkung der Stromung, d.h. hierfiir liegt eine geradlinig verlaufende Parallelstromung mit UJ{z) = az und w, = a vor. Mit z = x + iy und a = a , - i a 2 folgt hieraus filr die Potential- und Stromfunktion sowie die Geschwindigkeitskomponenten, vgl. Tab. 5.3 a, b, = a^x + a2y,

(5.58 a; b) 1

Abb. 5.13. Ebene Potentialstromungen eines dichtebestandigen Fluids nach (5.54). Links: a = reell, rechts: a = imaginar. a Translationsstromung, n = 1, vgl. Tab. 5.3 a, b. b Staupunktstromung oder rechtwinkliger Raum, n = 2, vgl. Tab. 5.3 c. c Randumstromung, n = 1/2 19

Lediglich aus Griinden der zweckmaBigeren Darstellung wird der Imaginarteil von a negativ angenommen.

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

145

Dies Ergebnis ist in Ubereinstimmung mit den in x und y linearen Gliedern von (5.40 b). Die dargestellte Stromung besitzt nach (5.56a) mit n = l eine konstante Geschwindigkeit vom Betrag |t>|= \a\. Fur a = reell (al > 0, a2 = 0) stellt al = u = «„ die zur x-Richtung parallele Geschwindigkeit dar, wahrend fur a = imaginar (a, = 0, a 2 > 0) die Geschwindigkeit mit a2 = v = u . in ^-Richtung verlauft. a.3) Ebene Staupunktstromung. Fiir n = 2 erhalt man mit £ = n/2 und #7(z) = (a/2)z 2 nach Abb. 5.13 b (links) im ersten Quadranten die Stromung in einem durch zwei normal aufeinanderstehende ebene Wande gebildeten rechtwinkligen Raum. Nimmt man auch die Stromung in dem zweiten Quadranten mit hinzu, so handelt es sich um die ebene Stromung gegen eine normal stehende Wand. Diese bezeichnet man auch als Staupunktstromung, da sich bei ihr die Stromung im Ursprung teilt und wegen der dort verschwindenden Geschwindigkeit aufstaut. Nach (5.44) lauten die Potential- und Stromfunktion, vgl. Tab. 5.3 c V=axy

(a = reell).

(5.59a, b)

Das Ergebnis fiir 0 ist in Ubereinstimmung mit den in x und y quadratischen Gliedern von (5.40 b), wahrend das Ergebnis fiir V entsprechend dem Vertauschungsprinzip durch das gemischte Glied xy bestatigt wird. Die Stromlinien W=xy = const bilden eine Schar gleichseitiger Hyperbeln mit der x- und y-Achse als Asymptoten, wenn a reell ist. Dies Ergebnis kann man auch aus der Stromliniengleichung (5.38 b) herleiten. Wegen u = d&/dx = ax und v = d&/dy = -ay wird dy/dx = - y/x, was nach Trennen der Veranderlichen und Ausfiihren der Integration ebenfalls zu xy = const fuhrt. Die Richtung der Stromlinien findet man, wenn man beachtet, daB im ersten Quadranten (x > 0, y > 0) fiir die Geschwindigkeitskomponenten («>0, v<0) gilt. Entsprechend (5.56) und (5.57) verlaufen die Isotachen bzw. die Isobaren auf konzentrischen Kreisen um den Ursprung. Herrscht dort der Druck p0, dann wird nach (5.57) der Druck an einer beliebigen Stelle p (r) =p0- (p/2) a2r2. Gegeniiber dem groBten Druck im Staupunkt (r = 0) nimmt der Druck verhaltnismaBig schnell mit wachsendem Abstand r ab. Am Beispiel der ebenen Staupunktstromung sei in Abb. 5.14 die Anwendung der konformen Abbildung gezeigt. Es moge die ebene Translationsstromung in der z-Ebene 1X1(2) = az, wt(z) = a konform in die ebene Staustromung in der f-Ebene abgebildet werden. Mit der Abbildungsfunktion C, 2 = 2z wird [p(Q) = (a/2) C,2. Fiir die konjugiert komplexe Geschwindigkeit erhalt man durch Anwenden von (5.48 b) mit dzldC, = f die gesuchte Geschwindigkeit zu wt(£) = a£, = a(£, + iq) mit « = 0 erfolgt mit unendlich groBer Geschwindigkeit.

x -const

y-const

I

I 0 I

Abb. 5.14. Zur Anwendung der konformen Abbildungen bei ebener Potentialstromung eines dichtebestandigen Fluids, a Translationsstromung in der z-Ebene. b Staupunktstromung durch z = (1/2) C,2 konform in f-Ebene abgebildet

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

146

Diese Wurzelsingularitat tritt bei der Stromung dichtebestandiger Fluide mit vollstandiger Umlenkung um scharfe Kanten stets auf. a.5) Keilanstromung. Erganzt man das Stromlinienbild der Abb. 5.12b spiegelbildlich zurx-Achse und wahlt eine entgegengesetzte Stromungsrichtung, dann erhalt man die Umstromung eines vorn spitzen Korpers nach Abb. 5.15a mit dem halben Keilwinkel &K < n/2. Nach (5.56a) betragt die Geschwindigkeit auf der Korperkontur in der Umgebung der Korpervorderkante vK{r) = arm mit m = &Kl(n- i\). 2 0 Fur &K = 0 ergibt sich die langsangestromte Platte mit vK = a = const (Beispiel a.2) und fur &K = nil die Stromung in der nahen Umgebung eines vorn stumpfen Korpers (NasenanstrOmung) nach Abb. 5.15 b, wobei dieser Fall der bereits besprochenen ebenen Staupunktstromung entspricht (Beispiel a.3). An den Vorderkanten solcher Korper (keilformig oder abgerundet) verschwindet die Geschwindigkeit vK (r = 0) = 0. Es bilden sich dort durch den Ursprung gehende Staulinien in Richtung der Korpererzeugenden aus21.

Abb. 5.15. Ebene Potentialstromung im vorderen Bereich eines Korpers bei einem dichtebestandigen Fluid, a Vorn spitzer Korper (Keilanstromung), b vorn stumpfer Korper (Nasenanstromung) b) Ebene Quell- oder Sinkenstromung Fiir die komplexe Potentialfunktion und damit nach Zerlegen in Real- und Imaginarteil fiir die Potentialund Stromfunktion sei der Ansatz, vgl. Tab. 5.3d, W =a
(a =

(5.60a, b, c)

22

gemacht. Die Stromlinien sind nach Abb. 5.16a die Strahlen W= const vom Ursprung aus und die Potentiallinien die Kreise # = const um den Ursprung. Die konjugiert komplexe Geschwindigkeit ist w,(z) = ajz mit den Komponenten vr = ajr und vv= 0. Es handelt sich also um eine sich radial ausbreitende Stromung. Ist a > 0, so ist sie nach auBen gerichtet und wird eine ebene Quellstromung, auch Stabquelle genannt. Ist dagegen a < 0, so verlaufen die Stromlinien nach innen; eine solche Stromung nennt man eine ebene Sinkenstromung. Die GroBe a ist ein MaB fiir die Starke der Quelle oder Sinke. Die Quellstromung wurde bereits in Kap. 3.6.2.3 Beispiel e.l auf einfache Weise durch Auswerten der Kontinuitatsgleichung gefunden. Der aus der Quelle der Breite b austretende Volumenstrom in m3/s laBt sich nach (5.39 a) aus der Differenz der Werte fiir die Stromfunktionen, die den Stromlinien (p=
20

E = ~r-

Es wird m = n—\ gesetzt, und zwar ist 0 < m < 1. In zahigkeitsbehafteter Stromung hat die ebene Stromung eines vorn stumpfen Korpers (normal angestromte Wand) nach (6.77) eine endliche Verdrangungsdicke der Reibungsschicht, so daB hierfiir die ,,Staulinie der vom Korper verdrangten Stromung" etwas vor dem Korper liegt. Bei den vorn spitzen Korpern fallt dagegen die Staulinie stets mit der Vorderkante zusammen, da hier die Reibungsschichtdicke null ist. 22 Aus Dimensionsgriinden sind z A z//i und r A r/b als dimensionslose GroBen aufzufassen, wobei b eine konstante Bezugslange, z.B. die Breite der Quelle oder Sinke, ist. Die auftretende GroBen In b ist fiir die Stromung ohne Bedeutung. 21

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

147

Mit E = 2na wird die auf die Breite b bezogene Ergiebigkeit der Quelle in m3/s m bezeichnet. Damit wird der zunachst noch nicht definierten Konstanten a = E/2n eine anschauliche physikalische Bedeutung gegeben. Fiir die langs jeder Stromlinie konstante Radialgeschwindigkeit vr, welche zugleich die resultierende Geschwindigkeit ist, gilt somit E ~2nr'

vv = 0

(5.61a, b)

(Stabquelle)

mit r = Vx 2 + y2. Es ist E > 0 fiir die Quell- und E < 0 fiir die Sinkenstromung. Die Geschwindigkeit nimmt wie 1/r nach auBen ab. Im Ursprung selbst geht die Geschwindigkeit gegen unendlich, d.h. es handelt sich hier um eine singulare Stelle. Vom physikalischen Standpunkt aus gesehen ist also eine kleine Umgebung um den Ort der Quelle oder Sinke (r —» 0) auszunehmen. Damit sich eine Quell- oder Sinkenstromung tatsachlich einstellen kann, ist um Ursprung 0 ein standiger Zu- oder Abstrom erforderlich. In Abb. 3.82b bis d werden Ausschnitte aus einer Quell- bzw. Sinkenstromung gezeigt, denen eine bestimmte praktische Bedeutung zukommt. c) Ebener Potentialwirbel Nach dem in Kap. 5.3.2.2 angegebenen Vertauschungsprinzip konnen Strom- und Potentiallinien in ihrer physikalischen Deutung vertauscht werden. Angewendet auf das besprochene Beispiel der Quellstromung wiirde das bedeuten, daB die Stromlinien nach Abb. 5.16b jetzt Kreise um den Ursprung und die Potentiallinien entsprechend Gerade durch den Ursprung sind. In der komplexen Darstellung bedeutet dies, daB in (5.60) die GroBe a jetzt imaginar anzunehmen ist. Es sei also a = — ic gesetzt, wobei c eine reelle Zahl ist. Dies fiihrt dann zu folgenden Ausdriicken fiir die komplexe Potentialfunktion sowie fur die Potential- und Stromfunktion, vgl. Tab. 5.3 e: Cp(z) = -ic In z ;

= c
W=-c\nr

(c = r/2n= reell)

(5.62 a; b, c)

mit den Geschwindigkeitskomponenten vr = 0 und vv=c/r. Es herrscht also nur eine Umfangskomponente der Geschwindigkeit, d.h. eine kreisende Bewegung. Die GroBe c ist ein MaB fiir die Starke der Drehbewegung. Zu ihrer Erfassung kann man die Zirkulation Tnach Kap. 5.2.4.1 heranziehen. Diese kann man entweder nach (5.12) aus dem Linienintegral der Geschwindigkeit oder nach (5.14) aus der Differenz der Werte fiir die Potentialfunktion, die den Potentiallinien (p =

u. = v

(Stabwirbel).

2nr

(5.63)

r

0= const

= const

Abb. 5.16. Ebene Potentialstromung eines dichtebestandigen Fluids mit Singularitat im Ursprung (Strom- Potentiallinien). a Quelle, Sinke (Stabquelle), b Potentialwirbel (Stabwirbel)

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstrbmungen)

148

Wegen vr = Q und vr = vv(r) errechnet man die Komponente der Drehung um Achsen normal zur Stromungsebene nach Tab. 2.3 zu coz = (l/2r) [d(rvv)/dr]. Solange r 4= 0 ist, wird wegen rvv = F/2n = const die Drehung co2 = 0. Fur r = 0 ergibt sich fur a>z zunachst ein unbestimmter Ausdruck 0/0. DaB dieser Wert zu co2 * 0 fuhrt, lafit sich aufgrund des Stokesschen Zirkulationssatzes nach Kap. 5.2.4.2 zeigen, wonach das Vorhandensein einer Zirkulation notwendigerweise eine Drehung voraussetzt. Auf das hier vorliegende Beispiel angewendet bedeutet dies, daB sich im Ursprung normal zur Stromungsebene ein gerader Wirbelfaden (Wirbellinie) mit infinitesimalem Querschnitt, auch Stabwirbel genannt, befindet. Da man eine drehungsfreie Stromung als skalare Potentialstromung und eine drehungsbehaftete Stromung als Wirbelstromung bezeichnet, wird der gerade Wirbelfaden auch als ebenen Potentialwirbel dargestellt, man vergleiche Abb. 5.3 b und die dortige Ausfiihrung. Auf weitere Potentialwirbelstromungen wird in Kap. 5.4.2 ausfuhrlich eingegangen. d) Ebene Quell-Sinkenstromung Als erstes Beispiel des Uberlagerungsprinzips nach (5.32) bzw. (5.45) sei das Zusammenwirken einer Quell- und einer Sinkenstromung beschrieben. d.l) Quell-Sinken-Paar. In Abb. 5.17 seien auf der x-Achse eine Quelle im Abstand x = — l und eine Sinke im Ursprung x = 0 jeweils mit gleich starker Ergiebigkeit ± E angeordnet. Die resultierende Stromfunktion erhalt man aus (5.60c) zu f={E/2n) (
ln(z + / ) - l

— lim —i

1

2n ,_,„

'

M

M x-iy

(5.64a, b) 2

Abb. 5.17. Stromlinienbild eines ebenen Quell-Sinken-Paars bei Potentialstromung eines dichtebestandigen Fluids Dieser Ansatz ist mit n = — 1 und a = — M/2n in (5.54) enthalten.

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

149

mit r2-x2 + y2 sowie x = r cosip und y = r simp. Aus dem Real- und Imaginarteil erhalt man entsprechend (5.44) unmittelbar die Ausdriicke fiir die Potential- und Stromfunktion. Die Stromlinien W= const der hier beschriebenen Dipolstrbmung sind nach Abb. 5.18 a durch die Kreisschar (Zylinderflachen) gegeben, welche bei reellem Wert von M die x-Achse (Dipolachse) im Ursprung tangiert. Dies kann man sich an Hand von Abb. 5.17 klar machen, wenn man dort / —* 0 gehen laBt. Will man die y-Achse zur Dipolachse machen, so braucht man M in (5.64) nur imaginar durch iM zu ersetzen. Das zugehorige Stromlinienbild ist in Abb. 5.18b dargestellt, vgl. Tab. 5.3g. Die konjugiert komplexe Geschwindigkeit und der Geschwindigkeitsvektor betragen fiir den Dipol nach Abb. 5.18a gemaB (5.46a, c) wt = u — iv = — M/2nz2 bzw. v = exu + eyv. In Polarkoordinaten ergibt sich mit u = vx und v=vy mittels Tab. 5.3 f fur den Vektor und den Betrag der resultierenden Geschwindigkeit M M 1 (2)} \v\ = -—^-—z (Stabdipol). (5.65a, b) 2nr2 [ ( 2 ) Inr2 Wahrend bei der ebenen Quelle und Sinke der Geschwindigkeitsbetrag nach (5.61 a) nach auGen mit 1/r abnimmt, andert er sich beim ebenen Dipol erheblich starker, namlich wie 1/r2. Wie bei der Stromung der Quelle oder Sinke sowie der Stromung des Potentialwirbels stellt r = 0 wieder eine singulare Stelle in der Stromung dar. Eine andere Moglichkeit, den ebenen Dipol nach Abb. 5.18a zu erzeugen, besteht darin, daB man nach Abb. 5.19 zwei Potentialwirbel gleicher Zirkulationsstarke aber entgegengesetzten Drehsinns auf der y-Achse anordnet und hierfur den Grenziibergang / —> 0 mit M = rl vollzieht.

Abb. 5.18. Stromlinienbilder eines ebenen Dipols bei Potentialstromung eines dichtebestandigen Fluids, a Dipolachse = x-Achse, reelle Losung. b Dipolachse = yAchse, imaginare Losung

Dipol

Sinke. E<0 . \l

'Dipolachse i

Abb. 5.19. Zur Entstehung eines ebenen Dipols aus einem Quell-Sinkenpaar oder aus einem gegensinnig drehenden Wirbelpaar; Grenzwert lim I —> 0, Dipolmoment

150

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Wiirde man anstelle der verwendeten Singularitaten (Quelle, Sinke, Wirbel) Dipole wahlen, so kommt man zum sog. Quadrupol. Dieser entsteht in analoger Weise wie der Dipol, indem man wie in (5.64a, b) vorgeht: N

(Quadrupol)

(5.66)

mit N = -Ml = const als Quadrupolmoment, vgl. [5]. e) Umstromung zylindrischer Korper Das Uberlagerungsprinzip laBt sich sehr vorteilhaft auch zur Beschreibung der reibungslosen Umstromung ebener Korper verwenden, die sich in einer zunachst ungestorten Parallelstromung (Translationsstromung) befinden. e.l) Ebener Halbkorper. Fiigt man eine Translationsstromung der Geschwindigkeit w_ mit einer ebenen Quellstromung der Ergiebigkeit E zusammen, so erhalt man nach Abb. 5.20a einen vorn abgerundeten und hinten bis ins Unendliche parallel der Anstromrichtung verlaufenden offenen Korper. Hinsichtlich des Verhaltens der Stromfunktion laBt sich folgende aufschluBreiche Betrachtung machen: Fur die resultierende Stromfunktion erhalt man mittels Tab. 5.3 a und d o

=—

fur

y=

(5.67 a)

Fiir die Werte der Stromfunktion auf der Korperkontur muB % = W, = W2 sein. Dies fiihrt mit Wl = - ux h + E fur x = DO, y = — h,

= 0zuder Beziehung£' = 2/iMM. Es ist V = bE der Volumenstrom, der bei x = oo durch die Hache 2bh(b = Breite der Flache) tritt. Wiirde man bedenkenlos mit (5.39a) rechnen, ergabe sich ein falsches Ergebnis, namlich V = b (W2- %) = 0. Die Ursache beruht darauf, daB sich die Werte fur fbeim Durchgang durch die bei y = ± 0 gelegte Flache sprunghaft andern. Es ist namlich W{ = E fur x>0,

0 ,
(5.67 b)

Weitere Untersuchungen iiber die Stromung um einen ebenen Halbkorper (Korperform, Druckverteilung) findet man z.B. in [79, 86]. e.2) Geschlossener ovaler Korper. Ordnet man nach Abb. 5.20b neben der Quelle stromabwarts in einem bestimmten Abstand in Anstromrichtung noch eine Sinke gleicher Ergiebigkeit an, so stellt sich eine geschlossene Stromlinienflache ein, die man entsprechend Abb. 5.8 als Begrenzung eines festen Korpers auffassen kann. Diese Methode wurde von Rankine [69] entwickelt. Die Form des so entstan-

Abb. 5.20. Umstromte Korper in ebener Potentialstromung eines dichtebestandigen Fluids, a Ebener Halbkorper, b ebener ovaler Korper

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

151

denen ovalen ebenen Korpers, besonders seine Schlankheit, hangt dabei wesentlich von der Starke der gewahlten Einzelstromungen (Translationsstromung «„, Quell-Sinkenpaar £ * 0 ) ab. Geht das ebene Quell-Sinken-Paar in den ebenen Dipol iiber, so erhalt man die reibungslose Umstromung eines Kreiszylinders, iiber die nachstehend ausflihrlicher berichtet wird. e.3) Kreiszylinder bei symmetrischer Umstromung. Einer ebenen Translationsstromung mit der Geschwindigkeit «„ wird eine ebene Dipolstromung mit dem Dipolmoment M iiberlagert, wobei die Anstromrichtung und die Dipolachse (x-Achse) zusammenfallen sollen. Unter Zuhilfenahme von Tab. 5.3a und f findet man die zusammengesetzte Stromfunktion in Polarkoordinaten zu M r smip

(5.68 a, b)

Zu der zweiten Beziehung kommt man durch nachstehende Uberlegung: Fiir die Stromlinie W= const = 0 verschwindet der Klammerausdruck in (5.68 a), was bedeutet, daB es sich hierbei um eine kreisformige Stromlinie vom Halbmesser r = R handelt. Zwischen der Anstromgeschwindigkeit «„ und dem Dipolmoment M besteht dann der feste Zusammenhang M= inu^R2. Das Verschwinden des Faktors r sintpin (5.68) fur W- 0 bedeutet, daB die durch tp= 0 und
Abb. 5.21. Stromlinienbild eines in x-Richtung mit der Geschwindigkeit «„ angestromten Kreiszylinders bei Potentialstromung eines dichtebestandigen Fluids, a Symmetrische Umstromung ohne Zirkulation, F= 0. b, c, d Unsymmetrische Umstromung mit Zirkulation, T= 2TIRU^, F= 4TIRUX, F=

152

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Stelle x =—R, y = 0 teilt, um zwei halbkreisformige Kurven zu beschreiben, und sich dann an der Stelle x = R, y = 0 wieder zu einer Geraden vereinigt. FaBt man den kreisformigen Teil der Stromlinie entsprechend Abb. 5.8 als feste Begrenzung auf, dann stellt die Uberlagerung der zugrunde gelegten Translations- und Dipolstromung die Umstromung eines Kreiszylinders vom Radius R mit der Anstromgeschwindigkeit «„ dar. Der Vollstandigkeit halber seien die komplexe Potentialfunktion und die konjugiert komplexe Geschwindigkeit gemaB (5.46a) wiedergegeben, vgl. Tab. 5.3a und f, Ep(z) = u_ (z + —),

w, (z) = u j 1 - (—)

(Kreiszylinder).

(5.69 a, b)

In Abb. 5.21a ist das vollstandige auBere Stromlinienbild dargestellt, vgl. Abb. 2.11a. Auf die Wiedergabe des vom Dipol im Inneren des Kreiszylinders erzeugten Stromlinienbilds wird verzichtet, da es im Rahmen der hier behandelten Aufgabe ohne Bedeutung ist. Die Geschwindigkeitskomponenten ergeben sich nach Tab. 5.2 mit vr = (1/r) (d
cos
vv = -u«,

l + (—)

sin^>.

(5.70a, b)

Im folgenden seien noch die Geschwindigkeits- und Druckverteilung auf der Korperkontur berechnet. Fiirr=Rerhalt man ur = 0und v¥ = -2ux sirup. Fiir die Geschwindigkeitsverteilung auf der Korperkontur (Index A"), gemessen in tatsachlicher Umstromungsrichtung
%max = 2M_ (Kreiszylinder).

(5.71a, b)

An den Stellen ^ = 0 und
(5.72a, b)

In Abb. 5.22 a ist die hiernach errechnete Druckverteilung iiber dem abgewickelten Umfang als Kurve (1) aufgetragen. In den Staupunkten (
(5.73a, b) Diese beiden Losungen fiir die Quell- und Dipolverteilung lassen sich durch partielle Integration mit e = dm/dx' und m(x' = 0) = 0 = m(x'= I) ineinander iiberfuhren.

153

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

f

10 0.5

l\

0 -0.5 I ' -1.0 I

12) \ /'

I

-2,5

\

-3,0 0°

30°

60°

t ii

j

90°

8

\

0

\ (1)

"~ -to

/-

121

\

i. -0.5

r

/

\

0.5

i —-

V r;A\ ,13) \\

-2.0

1.0

j)

-15

1

0°

30°

60°

90°

120°

150° 180°

n—

120° 150°

180°

B-2R

Abb. 5.22. Druckverteilung auf der Oberfla'che eines Korpers mit kreisformigem Querschnitt bei Stromung eines dichtebestandigen Fluids, a Kreiszylinder (ebenes Problem), b Kugel (raumliches Problem), c Geometrie. (1) potentialtheoretisch (reibungslos), (5.72), (5.93); (2) mit laminarem ReibungseinfluB (unterkritisch), Re = «„ D/v = 1,86 • 105 fiir Kreiszylinder und Re = 1,63 • 10s fur Kugel; (3) mit turbulentem ReibungseinfluB (iiberkritisch), Re = 6,7 • 105 bzw. Re = 4,35 • 105

Damit ein Korper entsteht, ist der Singularitatenverteilung eine Translationsstromung #„ = um x mit M«. als Anstromgeschwindigkeit zu iiberlagern. Die Losung einer solchen Aufgabe liefern achsenparallel angestromte zylindrische Korper.24 MaBgebend hierbei ist die Erfiillung der kinematischen Randbedingung (5.38b) fur die Korperkontur y = yK(x) sowie bei geschlossenen Korpern die SchlieBbedingung, die fordert, daB die Gesamtergiebigkeit E = 0 ist. Diese beiden Bedingungen lauten dyK dx '

» —, is

£= f E(x')dx' = 0.

(5.74 a, b)

J

Es sind uK und vK die von der Singularitatenverteilung am Ort des Korpers hervorgerufenen St6rgeschwindigkeiten. Mit Ausnahme der unmittelbaren Umgebung eines Staupunkts ist bei schlanken Korpern | «*-!**«„, so daB man fiir (5.74a) naherungsweise auch dyKldx= vKluK schreiben kann. Die SchlieBbedingung ist bei der Dipolverteilung nach Einsetzen von e = dmldx' in (5.74b) und anschlieBende Integration iiber 0 < x' < I von selbst erfiillt. Das beschriebene Singularitatenverfahren ist sehr weit ausgebaut und hat fiir das Umstromungsproblem von Fliigelprofilen groBe Bedeutung eriangt. Grundlegende Arbeiten hierzu stammen u. a. von Riegels [72], vgl. [79], sowie von Keune [41]. Neben dem Singularitatenverfahren spielt die Methode der konformen Abbildung nach Kap. 5.3.2.3 fiir die Beschreibung der Stromung um ebene Korper, wie z.B. elliptische Zylinder, Platten und Flugelprofile eine wesentliche Rolle. Auf die beiden letztgenannten Korperformen wird nachstehend eingegangen. f) Normal angestromte Platte25 Die ebene Stromung um eine normal zur Anstromrichtung stehende rechteckige Platte, deren Dicke unendlich klein und deren Breite quer zur Stromung unendlich groB ist, kann nach Abb. 5.23 mittels einer konformen Abbildung aus der Parallelstromung um den Kreiszylinder abgeleitet werden. Als Ab-

24

Man vgl. den entsprechenden Korper bei drehsymmetrischer Stromung nach Abb. 5.30. Auf die Beispiele b.l und b.2 in Kap. 3.6.2.2 zur Berechnung der Strahlkraft auf angestromte Platten mittels der Impulsgleichung sei hingewiesen. 25

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

154

bildungsfunktion der z-Ebene (x, y) auf die £-Ebene {£,, q) diene die analytische Funktion a z

- '?••'

(Abbildungsfunktion),

(5.75a, b)

wobei a = R den Halbmesser des Kreiszylinders bezeichnet. Fiir z —> •+• oo geht £ —» + °o, d. h. sehr weit vor und hinter dem Korper stimmt die Stromung in der z-Ebene mit derjenigen £-Ebene iiberein; es herrscht dort ungestorte Parallelstromung. In (5.75b) gilt das obere Vbrzeichen fiir stromaufwarts und das untere Vbrzeichen fiir stromabwarts liegende Punkte. Urn die dem Umfang des Zylinderquerschnitts entsprechenden Konturpunkte (Index K) in der £-Ebene zu bestimmen, setzt man z = zK = xK + iyK = a exp(i
r

u(§,q)-iv(^,q)

(5.76a, b)

mit h - 2a als halber Plattenhbhe. Am Ort der Platte C, = C,K = i q mit —MSqSh digkeitsverteilung zu n

" • - + <),

-hsqs

+ h),

findet man die Geschwin(5.77 a, b)

wobei das obere Vbrzeichen fiir die Vorder- und das untere Vbrzeichen fiir die Riickseite der Platte gilt. Man erkennt, daB die Stromung an den Stellen £,= + 0, q = 0 vor und hinter der Platte Staupunkte besitzt. Einem Aufwartsstromen an der Vorderseite entspricht ein Abwartsstromen an der Riickseite bzw. umgekehrt. An den Plattenrandern £ = + 0 , q = + h werden die Geschwindigkeiten unendlich grofi. Man hat also an den Randern der Platte singulare Stellen.

Abb. 5.23. Normal angestromte ebene Platte bei Potentialstrb'mung eines dichtebestandigen Fluids; Anwendung der konformen Abbildung. a z-Ebene, b £-Ebene

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

155

g) Umstromung von Fliigelprofilen g.l) Symmetrisches Joukowsky-Profil. Als weiteres einfaches Beispiel zur Anwendung der Methode der konformen Abbildung soil nach Abb. 5.24 die Stromung um ein symmetrisches Flugelprofil bei sehnenparalleler Anstromung kurz behandelt werden. Gelingt es, das vorgelegte Flugelprofil mittels einer analytischen Funktion konform auf einen Kreis abzubilden, so liefert die Stromung um den Kreiszylinder die gesuchte Stromung um den profilierten Korper, dessen Breite man sich dabei wieder unendlich groK vorzustellen hat (ebene Stromung). Eine solche Abbildung wird z.B. durch die Joukowskysche Abbildungsfunktion [35] (KreisabbildunS)

(5.78 a, b)

geleistet. Diese Funktion unterscheidet sich von (5.75 a) durch das Vorzeichen des mit 1/z behafteten Glieds. Sie bildet zunachst die Umstromung eines Kreiszylinders (A") vom Radius a = x1 + y2 in der z-Ebene auf die Stromung der langsangestromten ebenen Platte der Lange / = Aa in der £-Ebene ab. Mit der Abbildungsfunktion (5.78) lassen sich bei anderer Wahl des Bildkreises jedoch auch tragfliigelartige Korperformen mit runder Nase und scharfer Hinterkante erzeugen, die sog. Joukowsky-Profile. In Abb. 5.24 a stellt (A") einen Einheitskreis vom Radius a um den Ursprung der z-Ebene dar. Als Bildkreis in der z-Ebene sei ein Kreis (K) gewahlt, dessen Mittelpunkt auf der negativen reellen Achse im Abstand x0 vom Ursprung liegt und der durch den Punkt x = + a geht und somit den Radius R = a + xo = a (1 + e) mit e = xo/a besitzt. Die Profilkontur (Tropfenprofil) in der f-Ebene ergibt sich mit zK =—xo+R exp(i^p) = - x0 + R (cos (p + i sin
a

n. a

1-

1 -cos(p)

(5.79a)

(5.79b)

Das Profil ist in Abb. 5.24b dargestellt, wobei die Profiltiefe l>4a ist. Die zweiten Beziehungen gelten fur ein kleines Dickenverhaltnis d/l = (3/4) V3e = 1,299 £. Einheitskreis und Bildkreis beriihren sich im Punkt x = a, d.h. der Winkel ihrer Tangenten ist dort null. Da bei der konformen Abbildung die Winkel erhalten bleiben, ist der Hinterkantenwinkel des in der f-Ebene abgebildeten Profils null. Dies ist ein wesentliches Merkmal der Joukowsky-Profile. Die Geschwindigkeitsverteilung am Ort und in der Umgebung des Profils (f-Ebene) laBt sich aus der Geschwindigkeitsverteilung des angestromten Kreiszylinders in der z-Ebene unter Zuhilfenahme der Beziehung (5.48b) ermitteln, vgl. [79].

Einheitskreis (K'J Bildkreis (K)

Abb. 5.24. Sehnenparallel angestromtes symmetrisches Joukowsky-Profil, Anwendung der konformen Abbildung. a z-Ebene (Bildkreis), b £-Ebene (Tropfenprofil)

Auf das Einfiihren eines Index K wie in Beispiel f wird hier verzichtet.

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

156

g.2) Andere Fliigelprofile. Die in (5.78) angegebene Joukowskysche Abbildungsfunktion kann noch in verschiedener Weise verallgemeinert werden, wodurch man aus der Kreisabbildung weitere, ungewolbte und gewolbte Fliigelprofile erzeugen kann. Die Methode der konformen Abbildung ist in ahnlicher Weise wie das Singularitatenverfahren fiir die Profiltheorie sehr weit ausgebaut worden [5, 79]. Auf die Ausfilhrungen zur Tragflugeltheorie in Kap. 5.4.3.2 sei hingewiesen. h) Prinzip der Spiegelung h.l) Gerade Wand. Uberlagert man einer Stromung ihr Spiegelbild beziiglich einer Ebene, so wird die Spiegelungsebene zur Symmetrieebene und kann z. B. als feste Wand aufgefaBt werden. Umgekehrt kann die Wirkung einer ebenen Wand durch Uberlagerung der an der Wand gespiegelten Stromung dargestellt werden. In Abb. 5.25 ist die Spiegelung einer Quellstromung an einer Wand, deren Ursprung von der Wand den normalen Abstand y = a besitzt, gezeigt. Nach dem Superpositionsgesetz (5.45) liefert die zusammengesetzte Stromung gemaB (5.60a) die komplexe Potentialfunktion Ep(z) = ~ [In (z - id) + In (z + ia)] = ~ In (z2 + a1). 2n 2n

(5.80)

Hieraus lassen sich in bekannter Weise alle interessierenden fluidmechanischen GroBen ableiten. Interessant ist die Feststellung, daB auf einem Kreis durch 0 mit r0 = a als Radius ortlich die Geschwindigkeitskomponenten in >>-Richtung v verschwinden. Quellen sind als Quellen, Sinken als Sinken und Potentialwirbel als entgegengesetzt drehende Potentialwirbel zu spiegeln. Bei der Spiegelung von Dipolen schlieBen nach Abb. 5.26 a die Achsen der Dipole jeweils den gleichen Winkel mit der Normalen der Wand ein. Bei der Spiegelung an einer geraden Wand bleibt die Intensitat der Singularitaten in alien Fallen erhalten. h.2) Kreisfdrmige Wand. Besitzt eine ebene Stromung eine gerade Stromlinie, die zugleich Symmetrielinie ist, so stellt dies die bereits behandelte Spiegelungsaufgabe an einer geraden Wand dar. Auf eine solche symmetrische Stromung kann man die besprochene Methode der konformen Abbildung so anwenden, daB die Symmetriegerade in einen Kreis iibergeht. Es wird also die konforme Abbildung der Wandspiegelung an einem Kreis durchgefuhrt. Die bei einer Singularitat an der Stelle r = rx nach Abb. 5.26b am Kreis r = R gespiegelte Singularitat liegt bei r2 = R2lrl. Es werden gespiegelt eine Quelle als gleichstarke Quelle, ein rechtsdrehender Wirbel als gleichstarker linksdrehender Potentialwirbel sowie ein Dipol von der Starke Mt als Dipol von der Starke M 2 = (Rlr\)2 Mu dessen Achse nach Abb. 5.26b mit der Verbindungslinie der beiden Dipole den gleichen Winkel einschlieBt. Singularitaten, die im Unendlichen liegen, werden im Kreismittelpunkt abgebildet. Eine Quelle auBerhalb des Kreises bedingt eine Sinke gleicher Intensitat im Unendlichen, deren Spiegelbild im Kreismittelpunkt liegt. Die Spiegelung von Potentialwirbeln wird in Kap. 5.4.2.3 Beispiel d nochmals besonders gezeigt.

-—V—_

\

r

'-Q

l I

\

Wand

±:r' T~^—

.

Abb. 5.25. Spiegelung der ebenen Quellstromung eines dichtebestandigen Fluds an einer geraden Wand

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

157

Abb. 5.26. Spiegelung der ebenen Dipolstromung eines dichtebestandigen Fluids, a Spiegelung an einer geraden Wand (Gerade), M2 = Af,. b Spiegelung an einem Kreiszylinder (Kreis) M2 - (R/r^2 M,

5.3.2.5 Grundlagen der raumlichen Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide Allgemeines. Die bisher in den Kap. 5.3.2.2 bis 5.3.2.4 besprochenen ebenen Stromungen sind einer rechnerischen Erfassung sehr viel leichter zuganglich als die raumlichen Stromungen. Dies hangt in besonderem MaB damit zusammen, daG bei einer Abhangigkeit des Stromungsvorgangs von zwei Ortskoordinaten x, y oder r, (p in den analytischen Funktionen des komplexen Arguments ein sehr weittragendes mathematisches Hilfsmittel zur Verfiigung steht. Eine Losung der dreidimensionalen Laplaceschen Potentialgleichung in kartesischen Koordinaten wurde bereits in (5.31) angegeben. Dabei gestaltet sich allerdings die praktische Auswertung recht schwierig. Fur dreiachsige Ellipsoide liegen u. a. exakte Ergebnisse vor [55]. Uber leicht zu iibersehende Stromungen wird im folgenden berichtet. Kugelsymmetrische Stromung. Ein besonders einfacher Fall einer raumlichen Stromung ergibt sich, wenn die Stromung nur von einer Kugelkoordinate, namlich dem Radius r0 - ^/x2 + y2 + z2 abhangt. Fiir diese eindimensionale Stromung gilt ro = const/r§ fuhrt. Wegen weiterer Aussagen sei auf Beispiel c in Kap. 5.3.2.6 (raumliche Quelle) verwiesen.

158

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Drehsymmetrische Stromung. Zu den raumlichen Stromungen soil auch die drehsymmetrische (rotationssymmetrische) Stromung gerechnet werden. Dabei handelt es sich um eine zweidimensionale Stromung in den Zylinderkoordinaten r, z mit den Geschwindigkeitskomponenten vr(r, z), vip=0 und vz(r, z), man vgl. Abb. 1.12b. Fiir solche Stromungen lassen sich die Geschwindigkeitskomponenten nach Tab. 5.1 a in der Form d

2.3 mit G>,,= 0 muB also dvr/dr+ vr/r+ dvz/dz = O und dvJdz-dvJdr-0

sein.

Nach Einsetzen von (5.82) erhalt man die Bestimmungsgleichungen fiir ^ und W zu d24> 1 d$ 92

A$ = -

T r

+ - —+

T T

= 0;

—2

— + —— = 0. (5.83a;b)

dr2 r dr dz2 dr1 r dr dz1 Es erfiillen der Ansatz mit 0 die Bedingung der Drehungsfreiheit und der Ansatz mit W die Bedingung der Kontinuitat von selbst. Wahrend (5.83 a) entsprechend Tab. 5.1b eine Laplacesche Gleichung ist, gilt dies fiir (5.83b) wegen des negativen Vorzeichens vor dem zweiten Glied nicht, vgl. Tab. B.5 (Bd. 1) mit a = rp und c = 0. Dies bedeutet auch, daB das in Kap. 5.3.2.2 fiir ebene Stromung beschriebene Vertauschungsprinzip von Potential- und Stromfunktion bei drehsymmetrischer Stromung nicht gilt. Die Losungen von (5.83a) und (5.83b) stellen sich in der Form
5.3.2.6 Beispiele raumlicher Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide Die Behandlung stationarer raumlicher Potentialstromungen sei in folgender Weise vorgenommen: Von einer vorgegebenen Funktion *(/•) wird zunachst gepriift, ob es sich um eine drehungsfreie Stromung handelt, d.h. ob nach (5.29), (5.81a) bzw. (5.83a) die Laplacesche Potentialgleichung A# = 0 erfullt ist, vgl. Tab. 5.1b. Ist dies der Fall, wird das zugehorige Geschwindigkeitsfeld v(r) = grad^ entsprechend (5.33a) ermittelt, vgl. Tab. 5.1a, und die so erhaltene Losung physikalisch gedeutet, indem die Stromlinien gemaB (2.24 a, d) berechnet werden. a) Translationsstromung Ein linearer Ansatz fiir die Potentialfuaktion mit beliebigen Werten der Konstanten a, b, c ist eine Losung der Laplaceschen Potentialgleichung A$ = 0 und besitzt jeweils im ganzen Raum konstante Geschwindigkeitskomponenten cz ;

vx = a,

vy = b , v2 = c ;

| V \ = Va 2 + b2 + c2 .

(5.84a; b; c)

Der Geschwindigkeitsvektor ist nach GroBe und Richtung ungeandert. Es handelt sich um eine Parallelstromung (Translationsstromung), mit dem Geschwindigkeitsbetrag nach (5.84c). Die ebene Stromung wird mit c = 0 beschrieben. In diesem Fall ist die Geschwindigkeitsrichtung durch den Winkel a gegen die x-Richtung entsprechend tan a = vy/vx = b/a gegeben.

5.3.2 Stationare Potentialstromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

159

b) Raumliche Staupunktstromung Macht man fiir die Potential- oder Stromfunktion die zweidimensionalen, drehsymmetrischen Ansatze -(r2-2z2),

W(r, z) = - ar2z ,

(5.85a, b)

so erfiillen diese jeweils (5.83 a) bzw. (5.83 b) und liefern die Geschwindigkeitskomponenten nach (5.82) vr = ar,

vz--2az.

(5.86a, b)

Die Projektion der Stromlinien W - const auf Ebenen normal zur z-Achse bildet Scharen von Geraden durch den Ursprung r = 0. Fiir die Projektion der Stromlinien auf die Meridianebene (r, z-Ebene) ergibt sich eine Schar kubischer Hyperbeln. Abb. 5.27 zeigt das Stromflachenbild dieser Stromung; es ist drehsymmetrisch um die z-Achse. Der Koordinatensprung r = 0 = z ist wegen vr = 0 = v, ein Staupunkt. Es handelt sich um die raumliche Staupunktstromung im Gegensatz zur ebenen Staupunktstromung von Kap. 5.3.2.4 Beispiel a.3. c) Raumliche Quell- oder Sinkenstromung Die in Kap. 5.3.2.5 fiir eine kugelsymmetrische Stromung angegebenen Beziehungen liefern E -;

;

d$ E r0 = ^- = -A T

v

1 T

(Punktquelle) ,

(5.87 a; b)

wobei El An eine noch naher zu erlauternde Konstante ist. Da die Potentialflachen

. Es handelt sich also bei diesem Beispiel um die raumliche Quell- oder Sinkenstromung (Punktquelle oder Punktsinke) im Vergleich zur ebenen Quell- oder Sinkenstromung von Kap. 5.3.2.4 Beispiel b. Die raumliche Quellstromung wurde bereits in Kap. 3.6.2.3 Beispiel e.l auf einfache Weise durch Auswerten der Kontinuitatsgleichung gefunden. Dem Vergleich von (5.87b) und (3.261b) entnimmt man, daB E die Ergiebigkeit der Quelle (E>0) bzw. Sinke ( £ < 0 ) in m3/s ist. Die Geschwindigkeit nimmt im raumlichen Fall nach auBen schneller ab als im ebenen Fall, namlich wie l/r§ statt 1/r. Der Ursprung der raumlichen Quelle oder Sinke (r0 = 0) stellt wie bei der ebenen Quelle oder Sinke wieder eine singulare Stelle dar.

Abb. 5.27. Raumliche Staupunktstromung eines dichtebestandigen Fluids

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

160 d) Raumliche Dipolstromung

In ahnlicher Weise wie in Kap. 5.3.2.4 Beispiel d.2 fiir den ebenen Fall laBt sich aus einem raumlichen Quell-Sinken-Paar der raumliche Dipol entwickeln. Fallt die Dipolachse mit der x-Achse zusammen, dann liefert die Rechnung filr die Potential- und Stromfunktion die Ausdriicke An rl

W (r, x)=-

(5.88 a, b)2

(Punktdipol)

471

r2-¥x2 und r =•> moment. Bei der raumlichen Dipolstromung handelt es sich um eine drehsymmetrische Stromung, bei der in den r, x-Ebenen (Meridianebene = Drehflache) jeweils gleiches Stromungsverhalten herrscht. Bemerkenswert ist, daG die Stromlinien in der Meridianebene im Gegensatz zur ebenen Dipolstromung nach Abb. 5.18a keine Kreise sind. Die Stromflachen stellen torusformige Ringkorper dar (Torus = Ringflache). Durch Anwenden von (5.82) findet man unter Vertauschen von x mit z die Geschwindigkeitskomponenten in drehsymmetrischen Koordinaten sowie die in der Meridianebene verlaufende resultierende Geschwindigkeit v= \ v | = Vi>2 + v\ zu 3M xr 7?"

M

1-3

\M\ r

—

.

(5.89 a, b;c)

o

Die Richtung der Dipolachse moge jetzt beliebig im Raum liegen und nach Abb. 5.28b durch den Vektor a gekennzeichnet werden. Das Dipolmoment ist dann ebenfalls als Vektor M anzusetzen. Bildet die Dipolachse mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z die Winkel a, /}, y, die noch durch den Zusammenhang cos 2 a + cos2/J + cos 2 y = 1 miteinander gekoppelt sind, dann ergeben sich fiir die x-, y- und z-Achse die Komponenten des Dipolmoments zu MX=M cos a, My = M cos/3 und MZ = M cosy, wobei M=\M\ gesetzt wurde. Unter Benutzung von (5.88 a) wird dann die resultierende Potentialfunktion (5.90 a, b) Wegen ro=exx + eyy + eIz als Ortsvektor und M = (5.90b). Von M und ra ist das skalare Produkt zu nehmen.

M als Dipolvektor folgt

e) Umstromung drehsymmetrischer Korper Ahnlich wie fur den ebenen Fall in Kap. 5.3.2.4 Beispiel e laBt sich auch im raumlichen, hier drehsymmetrischen Fall das Uberlagerungsprinzip zur Beschreibung der Umstromung von drehsymmetrischen Korpern, die in Richtung ihrer Drehachse angestromt werden, anwenden.

•x-Achse Meridianebene

Abb. 5.28. Raumliche Dipolstromung eines dichtebestandigen Fluids, a x-Achse = Dipolachse, b beliebige Lage der Dipolachse a 27

Die Richtigkeit von (5.88b) weist man mittels (5.82a) durch die Identitat d

5.3.2 Stationare Potential stromungen dichtebestandiger Fluide ohne freie Oberflache

161

e.l) Drehsymmetrischer Halbkorper. Die Uberlagerung einer Translationsstromung mit einer raumlichen Quellstromung liefert den vorn abgerundeten und nach hinten bis ins Unendliche parallel zur Anstromrichtung verlaufenden offenen Korper (Nabenkorper). Der entsprechende ebene Halbkorper wurde in Abb. 5.20a gezeigt. e.2) Kugelumstromung. Die Uberlagerung einer Translationsstromung mit einer raumlichen Dipolstromung, bei welcher die Dipolachse mit der Anstromrichtung zusammenfallt, ergibt die potentialfheoretische Umstromung einer Kugel, man vgl. die potentialtheoretische Umstromung eines Kreiszylinders nach Kap. 5.3.2.4 Beispiel e.3. Die Anstromung erfolge in x-Richtung (= Drehachse) mit der Geschwindigkeit wM. Da es sich bei der Kugelumstromung um eine drehsymmetrische Stromung in der r, x-Ebene handelt, ist zunachst die Stromfunktion der Translationsstromung in den r, x-Koordinaten zu ermitteln. Wegen vx = (\/r) (df/dr) = u^ = const entsprechend (5.82b) erhalt man nach partieller Integration iiber r hierfiir W= (1/2) u^r2. Fiir die resultierende Stromfunktion ergibt sich durch Uberlagerung mit (5.88 b) r, x) =

(5.91a, b)

mit ro = \/r2 + x2. Die weitere Behandlung der Aufgabe geschieht wie bei der Kreiszylinderstromung angegeben. Aus der Stromlinienbedingung W = const = 0 erhalt man mit r0 = R fiir das Dipolmoment M = 2nuxR3, wobei R der Radius der Kugel ist. Durch Einsetzen von M in (5.91a) findet man (5.91b). Gesucht seien jetzt die Geschwindigkeits- und Druckverteilung auf der Korperkontur, die fur jede Meridianebene jeweils gleich sind. Die Umfangsgeschwindigkeit in einem Meridianschnitt nach Abb. 5.29 betragt vr= urcos
(Kugel).

(5.92 a, b)

An den Stellen ipK = 0 und (pK=n wird vK = vK0 = 0; dort stellen sich also potentialtheoretisch ein vorderer bzw. ein hinterer Staupunkt ein. Die groBte Umstromungsgeschwindigkeit vK = vKma ergibt sich nach (5.92b) bei (pK= n/2, d.h. dort, wo der Korper die groBte Ausdehnung quer zur Anstromrichtung hat. DaG vKma bei der Kugelumstromung kleiner als bei der Zylinderumstromung mit vKma = 2ux nach (5.71b) ist, erklart sich daraus, daB bei der Kugel das ankommende Fluid nach alien Seiten hin ausweicht, wahrend beim Zylinder das Fluid diesen nur in Ebenen quer zur Zylinderachse umstromen kann. Den Druckbeiwert berechnet man in Analogie zu (5.72): PK-P-

Staupunkt

(5.93 a, b)

'Drehachse

Meridianebene

Abb. 5.29. Zur Erlauterung der Koordinaten und Geschwindigkeitskomponenten bei der Kugelumstromung

5.3 Drehungsfreie reibungslose Strbmungen (Potentialstromungen)

162

Diese Druckverteilung ist in Abb. 5.22b dargestellt. Gegeniiber der Umstromung des Kreiszylinders ist der groGte Unterdruck bei der Umstromung der Kugel wegen der geringeren Ubergeschwindigkeit am Ort der groBten Querausdehnung erheblich geringer. Die bei der Kreiszylinderumstromung gemachte Bemerkung iiber das Abweichen der potentialtheoretisch berechneten Druckverteilung von der gemessenen Druckverteilung trifft bei der Kugelumstromung in gleichem MaB zu, vgl. Abb. 5.22b. e.3) Beliebige drehsymmetrische Korper. Das bei der ebenen Stromung in Kap. 5.3.2.4 Beispiel e.4 bereits erlauterte Singularitatenverfahren laBt sich mit gutem Erfolg auch bei drehsymmetrischer Stromung anwenden. Betrachtet man als Singularitaten nur raumliche Quell- oder Sinkenelemente, dann konnen diese im Raum, auf einer Flache oder auf einer Strecke angeordnet sein. Hierauf beruht die praktische Mannigfaltigkeit der verschiedensten Losungen. Als Beispiel sei die Anordnung einer langs einer geraden Strecke QSx'Sl kontinuierlich verteilten raumlichen Quell-Sinken-Verteilung in einer Parallelstromung kurz besprochen. Dies fuhrt zu drehsymmetrischen Korperformen. Ist dE(x') = e(x') dx' die Ergiebigkeit eines an der Stelle x' befindlichen raumlichen Quellelements der Lange dx', so gilt mit (5.87a) in sinngemaBer Anwendung von (5.73a) fur das Geschwindigkeitspotential der Singularitatenstromung an der Stelle (Aufpunkt) r, x

=

J

e(x')dx'

(drehsymmetrisch).

(5.94)

Die Rand- und SchlieBbedingung (5.74a, b) gilt auch hier. Die kinematische Randbedingung ist in entsprechender, dem vorliegenden Fall angepaBter Form anzuwenden. Das vorstehend geschilderte Verfahren wurde zuerst von Fuhrmann [19] vorgeschlagen, um die Stromung um Luftschiffkorper zu beschreiben. Abb. 5.30a zeigt den aus einer Punktquelle und einer gleichmaBig verteilten Sinkenstrecke gebildeten ,,Fuhrmann-K6rper". Angegeben ist in Abb. 5.30b die theoretisch berechnete Druckverteilung. Diese stimmt mit der gemessenen Druckverteilung sehr gut uberein. Im einzelnen wird auf das Singularitatenverfahren drehsymmetrischer Stromungen z.B. in [41, 79] naher eingegangen.

w —o— Messunff Theorie

I 0

1

-Ot

I |

/

<*0

xjl

Abb. 5.30. Stromung um einen axial angestromten Luftschiffkorper (Fuhrmann-Korper), [19]. a Stromlinienbild. b Druckvertielung, Messung /?e = « . / / v = l , 3 - 106

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

163

f) Raumlich verteilte Quell- bzw. Sinken-Vertellung Eine Verallgemeinerung der eben besprochenen eindimensionalen Singularitatenmethode kann man folgendermaBen vomehmen: 1st an einer Stelle r' ein Quell- oder Sinkenelement der Starke dE(r') = e(r') dV' mit dV' als Volumenelement gegeben, so besitzt dies nach (5.87a) im Aufpunkt r die Potentialfunktion d
5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide 5.3.3.1 Ausgangsgleichungen Potentialgleichung. Wahrend zur Ableitung der Potentialgleichung bei der stationaren Potentialstromung eines dichtebestandigen Fluids die Kontinuitatsgleichung mit p- const geniigt, ist bei der stationaren Potentialstromung eines dichteveranderlichen Fluids mit p + const zusatzlich die Energiegleichung mitheranzuziehen. Die dieser Gleichung zugrunde liegenden Voraussetzungen sind in Kap. 5.3.1 mitgeteilt. Die Stromung verlaufe stetig und drehungsfrei (rotu = 0). Bei Uberschallstromung diirfen an keiner Stelle des Stromungsfelds unstetige VerdichtungsstoBe auftreten. Es soil dariiber hinaus angenommen werden, daB das Stromungsfeld keinem EinfluB von auBen, z.B. der Schwerkraft unterliege, d.h. uB = 0 gesetzt werden kann. Die Dichte des Fluids (Gas) sei nur von einer Zustandsveranderlichen abhangig, und zwar soil es sich um ein barotropes Fluid mit p = p(p) handeln. Zur Aufstellung der sog. gasdynamischen Grundgleichung bei stationarer Stromung stehen die Kontinuitatsgleichung (5.24a), die Energiegleichung (5.26a) sowie die Beziehung fur die Schallgeschwindigkeit (5.26c) zur Verfiigung: dp Kontinuitatsgleichung: —J- + p div v = 0 ,

Energiegleichung:

1 dp fv2\ — — + v • grad (-— I = 0 ,

Schallgeschwindigkeit: —— = c2 = cl dp 28

—v 2 .

(5.96a)

(5.96b) (5.96c, d)

2

Man beachte, daB die Dichte der Ergiebigkeit £ der Dilatationsgeschwindigkeit nach (2.37 b) gleichwertig ist, d.h. e— div v. Fur die Potentialgeschwindigkeit v = grad

164

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Bei der angenommenen stationaren Stromung besteht nach (2.41b) wegen d/dt = 0 die Identitat d/dt - v • grad. Durch Eliminieren des Drucks und der Dichte erhalt man die nur die Stromungs- und Schallgeschwindigkeit enthaltende Grundgleichung /v2\ c2divv-vgrad ( — 1 = 0 , rotu = 0 . (5.97a, b) Der Fall des dichtebestandigen Fluids (f> - const) ist mit c = <*> in (5.97 a) enthalten. Hierfur gilt div v = 0, vgl. (5.96a). Fiir die ebene Stromung sei (5.97a) in Komponentendarstellung angeschrieben. Mit v = exu + eyv, V2 = u2+v2, divi> = du/dx+ dv/dy, (rotv) z = dv/dxdu/dy = 0 sowie grad (...) = ex(d/dx) + ey(d/dy) wird, vgl. (5.27b) mit d/dt = O, u — 0x und v = 0y, 2

2

c -« K-+

dx

C

2

-U

2

K - = MU K - + ^ -

dy

\dy

> 3 - =3--

dx /

dy

dx

(5.98 a, b)

Beriicksichtigt man jetzt die Beziehung fiir die ortliche Schallgeschwindigkeit (5.96d), so erhalt man K+l

.

K-l

du dv\ -^- + -^-) dy ox) du -= dy

\dli

I .

K-l .

K+l

(Gasdynamische Grundgleichung),

dv r - = 0 (Drehungsfreiheit). ox

(5.99 a) (5.99b)

Dies sind, da c0 als Schallgeschwindigkeit des Ruhezustands eine konstante GroBe ist, zwei Gleichungen fiir die beiden Unbekannten u(x,y) und v(x,y). Durch Einfiihren der Potentialfunktion 0 gema'6 (5.23 c) wird (5.99b) von selbst erfullt, und es verbleibt nur noch eine Gleichung fiir die Ermittlung von y nach (5.23b) erhalt man hierfur A($x, 0y) • 0XX + 2B (0X, 0y) • 0^ + C(0X, 0^-0^

= 0.

(5.100)

Hierin sind die Funktionen

nur von 0X und 0y, nicht aber von 0 selbst abhangig. In (5.100) kommen die ersten und zweiten Ableitungen des Geschwindigkeitspotentials in nichtlinearen Verbindungen vor. Da aber die zweiten Ableitungen fiir sich allein linear eingehen, wird die Differentialgleichung auch quasilinear genannt. Bei der Differentialgleichung (5.100) unterscheidet man durch AC-B2^0 den elliptischen und den hyperbolischen Fall. Diese mathematische Bedingung fiihrt zu folgender fluidmechanischen Aussage: Durch Vergleich mit (5.98) gilt A = c 2 - u2, B = - uv und C = c2-v2 sowie AC-B2 = c2[c2-(u2 + v2)]=c4(l-Ma2)^0 mit der ortlichen Mach-Zahl Ma2 = (u2+v2)/c2$l. Dies bedeutet, daB bei der Stromung ei-

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

165

nes dichteveranderlichen Fluids die Potentialgleichung im Unterschallbereich Ma < 1 vom elliptischen und im Uberschallbereich Ma > 1 vom hyperbolischen Typus ist. Daher riihrt auch ihre grundsatzliche Verschiedenheit sowohl bei der mathematischen Behandlung als auch im fluidmechanischen Verhalten fiir Unterund Uberschallstromungen, vgl. Kap. 1.3.3.4 und Kap. 4.3. Die durch die Beriicksichtigung von Dichteanderungen des Fluids eingetretene mathematische Erschwerung besteht darin, daB (5.100) fiir die Potentialfunktion (x,y) im Gegensatz zu (5.35 a) fiir die Stromung eines dichtebestandigen Fluids nichtlinear ist. Bei der Stromung eines dichteveranderlichen Fluids gilt infolgedessen das Uberlagerungsprinzip fiir die Potentialfunktionen (5.32), welches bei der Stromung dichtebestandiger Fluide nach Kap. 5.3.2 die Losungsverfahren stark vereinfacht, nicht mehr. Auch die Verwendung der Funktionen einer komplexen Veranderlichen, welche bei der ebenen Stromung eines dichtebestandigen Fluids nach Kap. 5.3.2.3 wertvolle Dienste leistet, ist hier nicht mehr ohne weiteres moglich. Geschwindigkeitsfeld. Kennt man das Geschwindigkeitspotential, z.B. bei ebener Stromung in der Form
d
u = ^r-, oy

d
v = -^ay

(P + const).

(5.101a; b)

Druckfeld. Zwischen den Geschwindigkeiten an zwei Stellen (1) und (2) des Stromungsfelds Vi bzw. v2 und den zugehorigen Driicken gilt unter der getroffenen Bedingung, daB die Stromung bei konstanter Entropie ablaufen soil, die Beziehung (4.46). Nach dem Druckverhaltnis aufgelost wird bei ebener Stromung ^r 2tc Pi

(ujul+viv .

T

(isentrop)

(5.102)

Hieraus erhalt man den Druckbeiwert durch Einsetzen in (4.45). Im AnschluB an einige Ausfiihrungen iiber das Auffinden strenger Losungen in Kap. 5.3.3.2 wird in Kap. 5.3.3.3 und 5.3.3.4 ein wichtiger Sonderfall, namlich die Stromung bei kleiner Stoning ausfiihrlich behandelt. Dieser hat besondere Bedeutung fiir die Aerodynamik des Flugzeugs, vgl. [79]. 5.3.3.2 Exakte Losungen ebener Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide Grundsatzliches. Im Gegensatz zur Stromung eines dichtebestandigen Fluids nach Kap. 5.3.2 handelt es sich bei der Stromung eines dichteveranderlichen Fluids nach (5.100) um eine nichtlineare partielle Differentialgleichung fiir #(x,y), deren weitere Behandlung gegenliber der linearen Differentialgleichung fiir das dichtebestandige Fluid eine so betrachtliche Erschwerung des mathematischen Problems darstellt, daB von (5.100) bisher nur eine geringe Anzahl von exakten Losungen vorliegt.29 Grundsatzlich bestehen zwei Moglichkeiten zur Losung der Aufgabe, indem man entweder in der Stromungsebene (Ortsebene x, v) oder in der Geschwindigkeitsebene (Hodographenebene u, v) arbeitet. Auf die bereits in Kap. 4.3.2.7 Beispiel a.5 behandelte ebene Quellstromung sei hingewiesen.

166

5.3 Drehungsfreie reibungslose StrSmungen (Potentialstromungen)

a) Lineare Darstellung der Potentialgleichung in der Hodographenebene. Durch bestimmte Transformationen laBt sich die Potentialgleichung der ebenen Stromung, ohne daB irgendwelche Vernachlassigungen gemacht zu werden brauchen, linearisieren. Die gewiinschte Linearisierung laBt sich erzielen entweder durch die Molenbroek-Tschapligin-Transformation oder durch die Legendre-Transformation. Dabei beruhen die Verfahren auf der eindeutigen und umkehrbaren Abbildung der Stromungsebene (x, y) auf die Geschwindigkeitsebene oder Hodographenebene (u, v), vgl. hierzu z.B. [76]. Die Linearisierung mittels der Legendre-Transformation sei hier kurz beschrieben. Fiihrt man neben dem Potential ) + xdu + ydv = xdu + ydv und d(p=(dcp/du)du + (dq>/dv)dv die Beziehungen x = d(p/du =
v) • (puv + C(u, v) •
(5.103)

an, wobei die Funktionen/I, B und C die gleiche Bedeutung wie in (5.100) haben, wenn man dort &x= u und y = u setzt. Anstelle von x, y in (5.100) treten jetzt u, v als neue unabhangige Veranderliche auf. Gl. (5.103) ist jetzt eine lineare Differentialgleichung fur das konjugierte Potential
F = ^[(cl-A)<Pa-2B4>xy

+ (cl~C)w]

(5.104a, b)

schreiben kann. Fiir F(x, y) = 0 geht (5.104) in die Laplace-Gleichung (5.35 a) iiber und liefert die Potentialstromung eines dichtebestandigen Fluids als eine erste Naherung der gesuchten Unterschallstromung. Nach dem Vorgehen von Janzen [33] und Lord Rayleigh [71] wird (5.104) durch Entwicklung derFunktion
y)+Ma'0
(5.105)

Durch Einsetzen in (5.104) und Vergleich der Koeffizienten gleicher Potenzen von Mai ergibt sich eine Folge von Differentialgleichungen, aus denen die Funktionen
A*1=f0(x,y), 2

2

2

A# 2 = F, (*, y ) , ...

(5.106a,b,c)

2

Hierin bedeutet A = d /dx + d /dy den Laplace-Operator. Gl. (5.106a) stellt die Laplacesche Potentialgleichung dar, die man nach den Methoden von Kap. 5.3.2 berechnet, wahrend (5.106b, c) wegen des inhomogenen Glieds auf der rechten Seite Poissonsche Gleichungen sind. Die Funktionen auf der rechten Seite von (5.106) sind jeweils aus den vorausgegangenen Naherungen bekannt. Die Naherungen <
5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

167
Abb. 5.31. Stetig verlaufende Prandtl-Meyersche Eckenstromung, Geschwindigkeit in Polarkoordinaten, r, cp\ vgl. Abb. 4.39b

v2= v2+ D2 und c 2 = v2, wird mit vmm als groBtmoglicher Geschwindigkeit bei einer Expansion ins Vakuum (c = 0) d&\2

K / +K-l

K-\

(5.107a, b)

r2

Hierbei wurde in sinngemaBer Anwendung i>r((p) = d

/d(p) gesetzt.31 Der Separationsansatz &(r,q>) = r-f(
df K-1

f(
\d

¥> I'm

Somit findet man das Geschwindigkeitspotential der konvexen Umlenkung einer Uberschallstromung zu
IK - 1

\

/

I 2

/K+1

(5.108a)

mit umm nach (4.65b) in Verbindung mit (4.34a). Fiir die Geschwindigkeitskomponenten gilt vr = sin I

(5.108 b, c)

Die Integrationskonstante ist so gewahlt, daB bei q> = 0 die radiale Geschwindigkeitskomponente verschwindet (vr = 0), d.h. die Stromung dort fiir die Geschwindigkeit den Wert v=v9{(p = 0) = V ( K - 1 ) / ( K + 1 ) fmax annimmt. Diese Beziehung besagt, daB die Geschwindigkeit v gleich der LavalGeschwindigkeit cL, im vorliegenden Fall gleich der ortlichen Schallgeschwindigkeit auf dem Strahl >0 und Ma>\ beginnen lassen. Zwischen dem Polarwinkel if nach (5.108b, c) mit Ma2= v2lc2, v2 = v2+ v2, sowie c 2 = t;2, dem Machwinkel pnach (4.144b) und dem Prandtl-Meyer-Winkel vnach (4.156a) besteht der Zusammenhang v= (p+ ]i— Till =f{Ma).

Man beachte die gegeniiber der Polarkoordinaten-Darstellung abweichende Festlegung des Winkels
5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

168

5.3.3.3 Ebene Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide bei kleiner Storung Annahme. Fur den Fall, daB nur eine kleine Storung gegeniiber einem Ausgangszustand auftritt, laBt sich bei stationarer drehungsfreier Stromung eines dichteveranderlichen Fluids (Gas) die gasdynamische Grundgleichung (5.97a) durch Linearisierung erheblich vereinfachen. Ein solcher Fall liegt z.B. vor, wenn eine Parallelstrbmung mit der konstanten Geschwindigkeit £/„ in Jt-Richtung durch einen in Anstrbmrichtung schlanken Korper oder eine schwach angestellte Platte gestbrt wird. Handelt es sich um einen gewolbten, endlich dicken Korper (Fliigelprofil), so bestimmen das Dickenverhaltnis d/l (d = Dicke, / = Tiefe) und das Wblbungsverhaltnis /// ( / = Wblbungshbhe) den Schlankheitsgrad des Kb'rpers. Bei einem angestellten Korper (Profil, Platte) stellt der Anstellwinkel a die kennzeichnende GroBe dar.32 Die genannten Parameter kann man zum Parameter der Querausdehnung =]j,j,a

1

(Schlankheitsgrad)

(5.109)

zusammenfassen. In Abb. 5.32 ist die Definition von 6 dargestellt. Die Gesamtstromung eines umstromten schlanken Korpers setzt sich aus der Grundstromung mit der Geschwindigkeit U^ und der Storstrbmung mit den Geschwindigkeitskomponenten u und v zusammen. Fur die Geschwindigkeitskomponenten der Gesamtstromung sei U =U^ + u und V=v gesetzt. Es soil angenommen werden, daB die Stbrgeschwindigkeiten gegeniiber der Grundgeschwindigkeit vernachlassigbar klein sind. Es soil also (u2 + v2) <£ Ul, und in dimensionsloser Darstellung U

w = 1+ -

:1,

V

t/

(5.110a; b)

gelten, was jedoch nicht bedeutet, daB | u \ und | v | immer von gleicher GroBenordnung sein miissen. Um die Voraussetzung der kleinen Storung zu erfullen, miissen die umstromten Korper der Schlankheitsbedingung (5.109) geniigen.

y'y

y.y

y.y I'd

f f

'\

Abb. 5.32. Zur Definition des Schlankheitsgrads (Parameter der Querausdehnung) fur ein Fliigelprofil 6= [d/l,f/l, a ) , a Profiltropfen, b Skelett-Profil, c angestelle ebene Platte. gestrichelt: nach subsonischer Ahnlichkeitsregel transformiertes Profil, vgl. (5.130b) 32

Hierbei handelt es sich um zirkulationsbehaftete Kap. 5.4.4.1.

Potentialwirbelstromungen im Sinn von

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

169

Ausgangsgleichung. Anstelle der Schallgeschwindigkeit des Ruhezustands c0 in (5.99 a) soil im folgenden die Schallgeschwindigkeit des Anstromzustands cm eingefiihrt werden. Nach (5.96d) besteht mit v=Ux und c-c^ der Zusammenhang cl = cl + ^ U l .

(5.111)

Mit Mam = UJc^ als Mach-Zahl der Anstromung erhalt man nach Einsetzen von (5.111) in (5.99a, b) unter Beachtung der FuBnote33 l-Mal Mai

\du / 1 J dx ' \Mal

Ji

\dv J dy ~

dv du dx ~ ' dy

J2 J3 J ~/2 3--/33--J33-

(

mit den Geschwindigkeitsfunktionen der Storstromung

-,

I/3NI.

(5.113c)

Linearisierung. Im Rahmen der getroffenen Annahme kleiner Stoning lassen sich die angegebenen Geschwindigkeitsfunktionen vereinfacht darstellen. Die Kontur eines schlanken Profils nach Abb. 5.32 ist durch yK/l-h(x/l)S mit h als affiner Ordinatenverteilung und 6<1 als Schlankheitsgrad nach (5.109) gegeben. Wegen der kinematischen Konturbedingung (Stromlinienbedingung) mu6 dyKldx = v/(U^ + u)~ v/Ux sein. Da dyK/dx ~ 6 ist, gilt fur die Geschwindigkeitskomponente normal zur Anstromrichtung v/Ux ~ 6. Fur die Storgeschwindigkeit in Anstromrichtung sei «/t/_ ~ 6" mit n > 0 als zunachst unbekanntem Exponent angenommen. Fiir die partielle Ableitung der Storgeschwindigkeit in x-Richtung kann man ohne Einschrankung der Allgemeingiiltigkeit d/dx ~ 6° setzen. Aus der Bedingung der Drehungsfreiheit dv/dx=du/dy folgt mit v/Ux~6l, d/dx~6" und u/U_~6" fiir die Ableitung in )>-Richtung dldy~6i-". In Tab. 5.4 sind die GroBenordnungen aller in (5.112) und (5.113) auftretenden Geschwindigkeitsterme zusammengestellt, und in der Abb. 5.33 sind die Exponenten m-f(n) der betreffenden GroBenordnungen 6m als Geraden a, b; 1, 1', 1", 1'"; 2, 2', 2", 2'"; 3', 3" fiir den nachstehend begriindeten Wertebereich 0 S n S 2 dargestellt. Die Einftusse der Geschwindigkeitsfunktionen der Storstromung ^(du/dx), f2(dv/dy) und f3(dv/dx) bzw. f3(du/dy) haben unter Beachtung von Tab. 5.4 ftir die Summenglieder die GroBenordnungen 8m = 8ln, (53", c52+"; 62, 5 2+ ", 6"^"; S2, 82*". Es gilt also fiir die Exponenten m = 2n, 'in, 2 + n; 2,2 + n, 4 — n\ 2,2 + n. Dabei spielen bei der Linearisierung (Abschatzung der GroBenordnung) der einzelnen Summenglieder nur diejenigen mit den kleineren Exponenten m eine Rolle. Dies sind die Werte m - 2rc; 2, 4-«; 2, wenn n > 0 ist. Dies bedeutet, daB nur die Summenglieder 1', 2', 2"'; 3' beriicksichtigt werden miissen. Diese Feststellung wird auch aus Abb. 5.33 ersichtlich. Zusammenfassend gilt, daB bei 0 < n < 2 in den Geschwindigkeitsfunktionen/!, / 2 , / 3 nur lineare Glieder «/[/„ bzw. v/U^ auftreten, wahrend bei n = 2 in der Funktion/ 2 noch zusatzlich das quadratische Glied (vlUJ)2 zu beriicksichtigen ist. Die durch Linearisierung nicht vernachlassigbaren Anteile sind in Tab. 5.4 durch Einrahmen gekennzeichnet.

33

In Abweichung zu den Bezeichnungen in Kap. 5.3.3.1 und 5.3.3.2 werden mit groBen Buchstaben U, V die Gesamt- und mit kleinen Buchstaben u, v die Storgeschwindigkeiten bezeichnet. In (5.98) und (5.99) ist u durch U und v durch V zu ersetzen.

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

170

Tabelle5.4. Zur Abschatzung der GroBenordnungen 6m der Geschwindigkeitsterme in (5.112) und (5.113)33, vgl. Darstellung der Exponenten m -f(n) in Abb. 5.33

u

a

i i

7

U

du dx

6"

2

du dx

'•

,

3 37

6"

+ ;)

U

fYV]

1U

x+1

8/ "37 ~

3

1 37

3y

3w

1

V

r (if

u du dx

dx

17 ~

'•••

1 <2

h

dv

^ 1 v V 1 dv
+

ITy 1

2'

u

dv

^2

(t)1 By

dv

2"'

"97 i

dv dx

3'

V

dv

37

•

'

"i

u \ v dv _ . 3 Un I Ua, dx

(

?" i —

ay

au , /. By "

v dv tt» 8x

u v U~ tL

»-

~

u\

du 3y '

i

Aufgrund der gemachten Vereinfachungen nehmen die Geschwindigkeitsfunktionen in (5.113) schlieBlich die Formen M

KT+1 / V

x2

i;

= Oc+1)

(5.114a, b, c) an. Diese sind jetzt in (5.112) einzusetzen. Damit ist die Ausgangsgleichung fur die ebene Potentialstromung kleiner Storung bereitgestellt. Bei einer vollstandigen Linearisierung von (5.112) ist/] = (), / 2 = 0 und/3 = 0 zu setzen, was bedeutet, daB die Bedingungen \{\-Ma2JIMal\>\fx\ und 1/Afo£»|/ 2 | erfiillt sein mussen, vgl. Tab. 5.5. Man erhalt somit die lineare Differentialgleichung (\-Mal)^-

-Beispiel (!"'): ( ^ -

+ ^- = 0

f A

(n = l ) .

(5.115a)

U

mit

5» =

6

-

= ^

(m

=2

+

„)

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

171

Abb. 5.33. Zur Abschatzung der GroBenordnungen in (5.112) und (5.113) nach Tab. 5.4; Exponenten m —/(«)• Es bedeutet n = 1 sub- bzw. supersonische Stromung, n = 2/3 transsonische Stromung und n = 2 hypersonische Stromung

Die aus Tab. 5.4 entnommenen GroBenordnungen betragen 6" bzw. <52 ". Bei gleicher GroBenordnung bedeutet dies, daB wegen n = 2-n als Schnittpunkt der Geraden 1 und 2 in Abb. 5.33 der Exponent n = 1 ist.35 Fur den Fall sehr groBer Mach-ZahlenMaM»>l, im Grenzfall Ma^ = oo, geht (5.112) in Verbindung mit (5.114) sowie /i = 0 uber in, vgl. Tab. 5.5, x

U^ ay

2

\Ux / ay

U_ ay

(5.115b)

Alle Terme mit den aus Tab. 5.4 entnommenen GroBenordnungen 6m sind fur n = 2 als Schnittpunkt der Geraden 1, 2', 2'" und 3' in Abb. 5.33 von der gleichen GroBenordnung 62.35

Mach-Zahl-Bereiche. Gl. (5.112) laBt sich weiter linearisieren, wenn auf der linken Seite die Bedingungen \(l-Mal)/Mai\>\fA und (1/Mai)>\f2\ erfullt sind. Dies ist jeweils nur fur bestimmte Mach-Zahl-Bereiche moglich. Wie noch gezeigt wird, handelt es sich dabei um den Unterschallbereich (0<Ma o o SMa3 und den Uberschallbereich (MaZ = Ma^£Ma'") mit den Grenzwerten Ma'x<\, MaZ>l und Ma'" > 1. Eine lineare Losung im Sinn von (5.115 a) liegt fiir die sub- und supersonische Stromung schlanker Korper vor, wenn die Bedingungen M=

I-Ma2 Mai

K+\ JC-1

1

(5.116a, b)

erfullt sind.36 In Abb. 5.34 sind M und N in Abhangigkeit von der Mach-Zahl der Anstromung Max fur K= 1,4 (Luft) dargestellt. Die linke Seite von (5.112) laBt sich linearisieren, wenn die Bedingung M>\fl\
Auf den Fall Max § 1 sowie Ma^ = 1 wird in Kap. 5.3.3.4 Abschnitt a bzw. b und auf den Fall Ma <S 1 in Kap. 5.3.3.4 Abschn. c eingegangen. 36 Man beachte, daB/ 2 = [ ( K - 1)/(K + 1)]/, ist, wenn man bei der Betrachtung die hypersonische Stromung mit A/a. > 1 auslaBt.

172

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Tabelle S.S. Ebene linearisierte Potentialstromungen dichteveranderlicher Gase Mach-Zahl-Funktion Mach-Zahl der Anstromung

I-Mai

subsonisch

1-Mal

Geschwindigkeitsfunktion

1 Mai

Mai

1 Mai

Mai

Typ

/•

h

h

0

0

0

linear

0

0

nichtlinear

supersonisch (Ma. > 1) transsonisch

u

1 Mai

1 Mai

hypersonisch

(Ma^> 1)

y

1,0 linear

-V\\

0,8 /

\

/

"1

0,4 r--

0,2

—

linear

0,6 0

I)

0

r~

—

i l /

1 1

nicntlinear -"'" Abb. 5.34. Einteilung der Mach-ZahlBereiche bei ebener Potentialstromung kleiner Storang fur Luft (K = 1,4), Mach-Zahl-Funktionen M und N nach (5.116), vgl. (5.118) 2

1

5

MoL Ma"

der Linearisierung bestimmt. Im einzelnen gilt fur die Bereiche, in denen sich die linke Seite von (5.112) linear oder nichtlinear verhalt, die Einteilung, vgl. Tab. 5.5, linear: M> a, nichtlinear:M < a,

N >a N
(ausgezogene Kurve), (gestrichelte Kurve).

Fur die weitere Betrachtung sei a = 0,5 angenommen.37 Dieser Wert ist in Abb. 5.34 als Grenzwert eingetragen und legt die Mach-Zahl-Bereiche fest, in 37

Bei einer Storgeschwindigkeit | w/J/J « 0 , 0 5 i s t | / , | = 0,12. Die Bedingung | / t | <S a = 0,5 sei hierfur als erfullt angesehen.

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

173

denen auf der linken Seite von (5.112) linearisiert werden darf. Die Grenz-MachZahlen findet man aus (5.116a, b) zu ^ ( ^ )

(5.117a, b)

Mit K = 1,4 fiir Luft und mit der willkiirlichen Annahme a = 0,5 erhalt man eine grobe Abschatzung fiir die vier in Abb. 5.34 gekennzeichneten Mach-Zahl-Bereiche. Die zugehorigen Stromungen nennt man38 subsonisch (Unterschallbereich): transsonisch (Schallbereich): supersonisch (Uberschallbereich): hypersonisch (Hyperschallbereich):

0 < Ma^ < 0,8 , 1 0,8 < Ma^ < 1,4 , I 1,4 <Ma<x < 3,5 , [ 3,5 < Ma^ < oo • J

Die hier vorgenommene Einteilung geschieht nach rein mathematischen Erwagungen, und zwar nur der linken Seite von (5.112). Wie aus den weiteren Ausfiihrungen jedoch noch hervorgeht, wird diese Einteilung durch fluidmechanische Uberlegungen sowie durch Vergleiche mit Messungen weitgehend bestatigt. Potentialgleichung. Analog der Geschwindigkeit setzt sich bei der vorliegenden Stromung kleiner Stoning das Geschwindigkeitspotential aus einem Grundpotential 4>x — u^x und einem Storpotential zusammen, wobei letzteres mit
dx

d

dy

dx

d20

dv

d2&

dx ' dy

2

2

dv

du

d2
dy ' dx

dy

dxdy (5.119a; b)

Diese Ausdriicke sind in die Beziehungen (5.112) und (5.114) einzusetzen. Auf die Wiedergabe der hieraus folgenden linearisierten Potentialgleichung wird hier verzichtet. 5.3.3.4 Losungsansatze und Ahnlichkeitsregeln ebener linearisierter Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide Entsprechend den oben angegebenen Mach-Zahl-Bereichen sollen im folgenden die sub- und supersonische, die transsonische sowie die hypersonische Stromung getrennt voneinander weiterbehandelt werden. Dabei lassen sich iiber die bereits eingefiihrte teilweise Linearisierung (Stromung kleiner Stoning) hinaus noch weitere fluidmechanisch bedingte Vereinfachungen machen. Neben der Angabe einfacher Losungsansatze fiir die sub- und supersonische Stromung folgt die Ableitung von Ahnlichkeitsregeln fiir die in (5.118) genannten Mach-Zahl-Bereiche. 38 Fiir a > 0,5 werden die linearen Bereiche (sub-, supersonisch) z.T. stark eingeschrankt, und zwar ergibt sich z.B. fiir a = 0,75 fiir den Unterschallbereich 0 < Max < 0,76 und fiir den Uberschallbereich 2,0 < M a . < 2,83.

174

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Letztere sind von wesentlicher Bedeutung fur die Beschreibung der ebenen linearisierten Potentialstromung eines dichteveranderlichen Gases, vgl. [51]. a) Sub- und supersonische Potentialstromung Potentialgleichung. Fiir die Stromung kleiner Stoning im Unter- und Uberschallbereich Ma^Si wurde bereits Gl. (5.115a) hergeleitet, aus der man durch Einsetzen von (5.119b) die Potentialgleichung erhalt.

Durch die getroffenen Vereinfachungen ist die Gleichung fiir das Geschwindigkeitspotential bei kleiner Stoning 0 wie bei der Stromung eines dichtebestandigen Fluids von elliptischem Typ und bei Uberschallanstromung Max>\ wegen (1—M<2^)<0 von hyperbolischem Typ, man vgl. hierzu die Ausfiihrung zu (5.100). Man kann also erwarten, daB die subsonische Stromung von ahniicher Art wie die Stromung eines dichtebestandigen Fluids ist und daB die supersonische Stromung hiervon grandsatzlich verschieden ist. Diese Erkenntnis wurde friiher in Kap. 1.3.3.4 gewonnen. Die hier dargestellte Theorie kleiner Stoning nennt man bei supersonischer Stromung auch die akustische Naherung (Wellengleichung). Losungsansatz fur die subsonische Potentialfunktion. Bei der ebenen Unterschallstromung (Max < 1) konnen die in Kap. 5.3.2.3 fiir die Stromung eines dichtebestandigen Fluids (Max = 0) gemachten Losungsansatze in einfacher Weise iibernommen werden. Es folgt aus (5.41 a) fiir den Fall 0 § Ma^ < 1 0(x, y) =&1(x + iy sl\(5.121) Von der Richtigkeit dieses Ansatzes iiberzeugt man sich durch Einsetzen in (5.120b). Der EinfluB der Mach-Zahl driickt sich in einer Transformation der zur Anstromrichtung normal verlaufenden y-Koordinate aus, indem diese mit dem Faktor Vl-Ma^< 1 multipliziert wird. Hierauf wird bei der Herleitung der subsonischen Ahnlichkeitsregel eingegangen. Losungsansatz fiir die supersonische Potentialfunktion. Bei der ebenen tiberschallstromung (Max > 1) geniigt in Analogie zu (5.121) der Ansatz 1) (5.122) 39 Wegen n = 1 sind die Storgeschwindigkeiten | u/C/«,| — <5und | v/Ux\ — S proportional dem Schlankheitsgrad <5nach (5.109) und damit von gleicher GroBenordnung.

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

175

der Potentialgleichung (5.120b). Es sind 2 zunachst willkurliche, stetige und zweimal differenzierbare Funktionen der Veranderlichenx ±ysjMala-l, die den Randbedingungen jeweils angepaBt werden miissen. Ahnlich wie bei der subsonischen Stromung driickt sich der EinfluB der Mach-Zahl in einer Transformation der j-Koordinate aus, die mit dem Faktor y/Ma^ — 1 zu multiplizieren ist. Hierauf wird bei der Herleitung der supersonischen Ahnlichkeitsregel noch eingegangen. Gl. (5.122) sagt weiterhin aus, daB die den Funktionen 3>, und
(5.123)

mit y0 = y (x = 0) und tan \i = 1/VAfa^-l , wie in Abb. 5.35 gezeigt, konstant sind. Samtliche Geraden dieser beiden Scharen bilden mit der Anstromrichtung £/„ den Winkel ± \i, der nach (4.144b) gleich dem Machwinkel ist. Die Losung (5.122) stellt demnach stehende Wellen von beliebiger Form dar, deren gerade Fronten unter dem Machwinkel gegen die Anstromrichtung geneigt sind. Die Geraden der Potentialfunktionen
v= d&/dy = -

(5.124)

mit 4>' = d

(5.125)

Abb. 5.35. Zum Losungsansatz der supersonischen Potentialstxomung bei kleiner Stoning, Scharen von Machlinien (= Potentiallinien, Charakteristiken) bei A/fiU > 1, p. = Machwinkel

176

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen) const

Abb. 5.36. Lineare supersonische Potentialstromung. a Konkave schwache Umlenkung, A # > 0 . b Konvexe schwache Umlenkung, Ai? < 0

Ausgehend von (4.83 c) erhalt man fur den Druckbeiwert 0

(schwache Stoning).

(5.126a, b)4

Sub- und supersonische Ahnlichkeitsregel. Durch bestimmte Transformationen der korperfesten Ortskoordinaten x, y und des Geschwindigkeitspotentials <£ lassen sich die Falle fur die Unterschallanstromung Ma^\ auf eine Vergleichsstromung eines dichteveranderlichen Fluids bei Ma'x=sf2 zuriickfiihren. Die GroGen der transformierten Vergleichsstromung seien mit einem Strich versehen. Die beiden Gleichungen der ausgezeichneten Vergleichsstromungen lauten also d2
d2
(5.127 a, b)41

2

d
Die Transformationen sollen von der Art sein, daB in der transformierten Stromung die Mach-Zahl der Anstromung nicht mehr explizit auftritt. Die Transformationsformeln seien wie folgt angesetzt: x'=x,y'

= Ciy; U^=U^,

ql = qn;

(5.128a; b; c)

Es bedeutet cx den geometrischen und c2 den fluidmechanischen Transformationsfaktor. Fiihrt man (5.128 a, c) in (5.120b) ein und vergleicht das Ergebnis mit (5.127), so erhalt man c2\(l-Ma2J

d2
(5.129a, b) 42 40

Auf die Anwendung von (5.126) bei der mit Uberschallgeschwindigkeit angestellten ebenen Platte in Kap. 4.5.3.1 Beispiel a sei hingewiesen. 41 Es ist A = d2/dx2 + d2/6yz der Laplace-Operator und D = d2/dx2 - d2/dy2 der d'Alembert-Operator. 42 Die Losung c2 = 0 liefert das triviale Ergebnis

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

177

Bezeichnen ^ ( x ) und y'K(x') die vorliegende bzw. die transformierte Korperkontur des umstrbmten Korpers, dann folgt aus (5.128 a) die Vorschrift fiir die geometrische Transformation: y'K(.x')=yK(x)^\\-Mal\,

6'= 6-s/\l-Ma2J-

(5.130 a, b)

Mit 6 wurde der Schlankheitsgrad (Parameter der Querausdehnung) nach (5.109), vgl. Abb. 5.32, eingefuhrt. Mit Riicksicht auf die affine Verzerrung der y-Koordinaten sind die Aussagen in (5.130a) und (5.130b) gleichwertig. Die GroBe des Transformationsfaktors c 2 erhalt man aus der zuerst von Gothert [22] formulierten Stromlinien-Analogie. Unter der Voraussetzung kleiner Storgeschwindigkeiten lauten die kinematischen Randbedingungen fiir die beiden Korper

dyK^Jd0

dA_y^_

1 3*-

Setzt man die Transformationsformeln (5.128) ein, so findet man mit y'K=cxyK den fluidmechanischen Transformationsfaktor c2 aus rt 5 131 h c) 5.131b, Im Rahmen der Theorie kleiner Stoning gilt (5.126a) fiir die Druckbeiwerte am Ort der Kontur des schlanken Korpers cp = Ap/q^ = -2u/U^ = -(2/U^)(d/dx) und c'p = Ap'/ql = -2u'/Ul = -(2/U'J(d
c

|1— Ma^\

<5' = 6V|l-Ma2|

°°

(Ma § 1 , 1 . Fassung). (5.132a, b)

Die Nebenbedingung (5.132b) gibt an, in welcher Weise der Vergleichskorper y'K(x) aus dem vorgegebenen Korper yK(x) zu bilden ist, vgl. Abb. 5.32. Man bezeichnet (5.132) als Ahnlichkeitsregel der sub- und supersonischen Stromung kleiner Stoning, da sie den Zusammenhang zwischen zwei ahnlichen Stromungen beschreibt, namlich einer Vergleichsstromung bei Ma'^ — 0 oder Ma'x = -J~2 und einer Unter- bzw. Uberschallanstromung bei 0 < M a . < l bzw. Ma^>\. Das Ergebnis von (5.132a, b) ist in Abb. 5.37a, biiber der Mach-Zahl der Anstromung MaM aufgetragen. Bei Max —> 1 gehen fiir die Vergleichskorper die Koordinaten y'K gegen null, und die Druckbeiwerte c'p streben gegen das fluidmechanisch nicht sinnvolle Ergebnis eines unendlich groBen Druckbeiwerts. Fiir Max —> °° wird y'K —> <», was gegen die Schlankheitsbedingung der hier zugrunde gelegten Theorie kleiner Stoning verstoBt. Fiir die beiden Falle Ma^ ~ 1 und Ma^ > 1 ist somit die sub- und supersonische Theorie nicht anwendbar. Der Giiltigkeitsbereich bei der subsonischen Stromung hangt ab von der kritischen Anstrom-Mach-Zahl Ma*, bei der gerade am Korper erstmalig ortlich Schallgeschwindigkeit auftritt. Angaben iiber Ma*, konnen z.B. Abb. 4.17 entnommen werden. Da man (5.132) eine noch einNach (5.128 a) ist x' = x.

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

178

3

Abb. 5.37. Zur Erlauterung der sub- und supersonischen Ahnlichkeitsregel, 1. Fassung nach (5.132), 2. Fassung nach (5.133). a Transformation der Geometrie (Querausdehnung), b Transformation des Druckbeiwerts

fachere Form geben kann, sei die bisher besprochene Beziehung als erste Fassung der sub- und supersonischen Ahnlichkeitsregel bezeichnet. Im Rahmen der vorausgesetzten linearen Theorie sind die Druckbeiwerte an Korpern, die nach Abb. 5.32 in x-Richtung angestromt werden, jeweils proportional der Querausdehnung (bei Tropfenprofilen proportional dem Dickenverhaltnis, bei gewolbten Platten proportional dem Wolbungsverhaltnis und bei angestellten ebenen Platten proportional dem Anstellwinkel). Mit 8' als Parameter der Querausdehnung des ebenen Vergleichskorpers nach (5.109) gilt fur den Druckbeiwert c'p{x) = h{x) 8', wenn h(x) die Einheitsdruckverteilung fur Ma'^ = 0 bzw. Mai = J2 darstellt. Zwischen 6' und dem Parameter der Querausdehnung des tatsachlichen ebenen Korpers 6 besteht nach (5.132b) der Zusammenhang 6'= 6V|l-Ma^|, so da6 man fur den Druckbeiwert auch c'p(x) = h(x) S\J\\-Ma2x\ schreiben kann. Der Ausdruck c"{x) = h(x)6 gibt die Druckverteilung einer Vergleichsstromung wieder, bei welcher der Korper nicht transformiert wird, d.h. bei dem y'K = yK ist. Setzt man den Ausdruck fiir in (5.132a) ein, so erhalt man eine andere Fassung der Ahnp

lichkeitsregel in der Form c"(x) cp(x) = V| 1 -Mai

8" = 8 (2. Fassung).

(5.133a, b)

Diese Beziehung ist einfacher als (5.132) zu handhaben, da auf die geometrische Transformation verzichtet werden kann. Auch das Ergebnis von (5.133) ist in Abb. 5.37 wiedergegeben.44 44

Besonders im alteren Schrifttum findet man fiir die Unterschallanstromung (Ma^ < 1) zuweilen eine Fassung, bei der die Druckverteilung bei geanderter Korperkontur gleich bleibt, vgl. Prandtl [65]: 6'" =

(3. Fassung).

Im Rahmen der linearen Theorie ebener Stromungen ist diese Beziehung mit der ersten und zweiten Fassung gleichwertig. Da sie jedoch nicht auf Falle der Stromung um raumliche Korper (z.B. Tragfliigel endlicher Spannweite) iibertragen werden kann, kommt ihr keine weitere Bedeutung mehr zu.

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

179

Das beschriebene Transformationsverfahren fiir die sub- und supersonische Stromung bezeichnet man als Prandtl-Glauert-Ackeretsche Ahnlichkeitsregel [2, 21, 65]. Beispiel: Angestellte ebene Platte.45 Nach der sub- und supersonischen Ahnlichkeitsregel sei der Auftrieb einer unter dem Winkel a angestellten ebenen Platte berechnet. Anstelle der Auftriebskraft FA werde der Auftriebsbeiwert cA = FA/blqx mit b als Breite und I als Tiefe der Platte sowie qx = (p»/2) C/i als Geschwindigkeitsdruck der Anstromung eingefuhrt. Es soil die zweite Fassung der Ahnlichkeitsregel nach (5.133) benutzt werden. Danach bleibt der Parameter der Querausdehnung ungeandert, d.h. der Anstellwinkel wird nicht transformiert, a" = a. Fiir die Vergleichsstromungen gilt nach (5.209 a) fiir Ma'L = 0 derWert c'A = 2 na" und nach (4.154a) fiir Ma"V2~ der Wertc^'= 4a". Da der Auftriebsbeiwert cA dem Druckbeiwert cp proportional ist, folgt unmittelbar aus (5.133a) fiir den Auftriebsanstieg da

(5.134 a, b)

In Abb. 5.38 ist der theoretisch fiir die angestellte ebene Platte bereehnete Auftriebsanstieg dcjda iiber MaM dargestellt und mit dem typischen Verlauf einer Messung an einem diinnen Profil verglichen. Die Ubereinstimmung von Messung und Theorie ist mit Ausnahme des Bereichs um Max ~ 1 (schraffierter Bereich) nahezu vollstandig, wodurch die lineare Theorie fiir sub- und supersonische Stromungen sehr gut bestatigt wird. Der im transsonischen Geschwindigkeitsbereich recht verwickelte Stromungszustand wurde an Hand von Druckverteilungen und Stromlinienbildem (Schlierenaufnahmen) sehr eingehend untersucht, z.B. von Holder [30]. Vergleich von Theorie und Experiment. Eine Vorstellung dariiber, in welchem MaB sich die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte fiir verschieden dicke, symmetrische Profile bei Unterschallanstromung, insbesondere bei Annaherung an die Schallgeschwindigkeit Ma^ —> 1, andern, vermitteln die Abb. 5.39 a und b. Bemerkenswert an diesen Ergebnissen ist, daB der plotzliche Auftriebsabfall und der starke Widerstandsanstieg bei hoher Unterschall-Mach-Zahl um so eher stattfinden, je dicker das Profil

Abb. 5.38. Auftriebsanstieg der angestellten ebenen Platte bei Unter- und Uberschallanstromung. (1) Theorie nach (5.134), Prandtl-GlauertAckeretsche Ahnlichkeitsregel; (2) Messung an einem diinnen Fliigelprofil

45

Die angestellte ebene Platte kann man nach Kap. 5.4.3.2 Beispiel a als Potentialwirbelflache auffassen. Diese zunachst fiir das dichtebestandige Fluid gewonnene Erkenntnis gilt auch fiir ein dichteveranderliches Fluid. Man hatte somit die angestellte Platte grundsatzlich auch den Potentialwirbelstromungen von Kap. 5.4 zuordnen konnen. Auf die Anwendung der sub- und supersonischen Ahnlichkeitsregeln wurde man bei einem solchen Vorgehen jedoch nur schwer verzichten konnen. liber das fluidmechanische Verhalten der angestellten ebenen Platte bei supersonischer Stromung wird bereits in Kap. 4.5.3.1, Beispiel a berichtet.

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Abb. 5.39. Aerodynamische Beiwerte an symmetrischen Tragfliigelprofilen (NACA-Profile) in Abhangigkeit von der Anstrom-Mach-Zahl Max nach [23]. a Auftriebsbeiwert cA = A/blqx, hier Auftriebsanstieg dcjda. b Widerstandsbeiwert cw = Wlblq^ bei cA = 0

ist. In diesem Zusammenhang sei auf die Bemerkung iiber die kritische Mach-Zahl in Kap. 4.3.2.7 Beispiel c.2 hingewiesen. Sowohl filr den Unterschall- als auch fiir den tjberschallbereich lassen sich durch sog. hohere Naherungen verbesserte Losungen fiir die Ermittlung der fluidmechanischen GroBen an umstromten Profilkorpern entwickeln, man vgl. hierzu [11, 91]. Bisher wurden nur ebene sub- und supersonische Stromungen und die ihnen zugeordnete Ahnlichkeitsregel besprochen. Auf den erweiterten Fall raumlicher Stromungen wird in Kap. 5.3.3.5 eingegangen.

b) Transsonische Potentialstromung Potentialgleichung. Fur die schallnahe Anstromung soil nur der Fall Ma^ = 1 untersucht werden. Falle fiir Ma^ ~ 1 erfordern eine etwas langere Ableitung. Es sei hierzu auf [76, 103] verwiesen. In (5.112) gehen die Mach-Zahl-Funktionen fiir Max - 1 gegen die Grenzwerte (1 - Mat)/Mat = 0 sowie 1/Mai = 1. Dies bedeutet, da8 die Geschwindigkeitsfunktion/, nach (5.114a) beriicksichtigt werden muB, wahrend |/ 2 | <S 1 nach (5.114b) vernachlassigt werden darf, vgl. Tab. 5.5. GemaB den Vorschriften fiir die Linearisierung der Potentialgleichung in Kap. 5.3.3.3, vgl. Tab. 5.4 und Abb. 5.33, betragen die GroBenordnungen 6m fiir die verbleibenden Geschwindigkeitsterme /j (du/dx) ~ 62", dv/dy~62~" und fi(dv/dx) ~ 62. Sollen die drei Exponenten m = 2n,2-n,2 (Gerade 1', 2, 3') von gleicher GroBenordnung sein, so miiBte 2n = 2-n = 2 sein, was nicht moglich ist. Aus der Gleichheit In = 2 - n als Schnittpunkt der Geraden V und 2 folgt n = 2/3 bzw. m = 4/3. Diesbedeutet, daBderTerm/3 (dv/dx) wegenm = 2>4/3 klein von hoherer Ordnung ist und somit unberiicksichtigt bleiben kann. Bei MaM = 1 ist in

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

181

(5.112) in Verbindung mit (5.114) also/! * 0,/ 2 = 0 und/3 = 0 zu setzen, vgl. Tab. 5.5. In der Stromung eines mit Schall- oder Uberschallgeschwindigkeit angestromten schlanken Korpers (Fliigelprofil) breiten sich Stromungen nach der Theorie kleiner Stoning geradlinig auf Machlinien (Machwelle) aus. Langs einer Machlinie sind alle fluidmechanischen GroBen ungeandert. Das mogliche Vorhandensein von VerdichtungsstoBen wird in der Weise beriicksichtigt, daB man schwache, geradlinig verlaufende StoBe voraussetzt. Der StoBwinkel a ist gleich dem Machwinkel p. Dieser berechnet sich nach (4.144a) zu sin fi = \IMax. In Abb. 5.40a ist das Feld der Machlinien bei supersonischer Stromung (Max > 1) dargestellt, wobei p, < 7i/2 ist. Bei schallnaher Anstromung {Max ~ 1) ist p = TT/2, was nach Abb. 5.40b bedeutet, daB die Storungen auf Flachen, welche mehr oder weniger normal zur Anstromrichtung (x ~ const) stehen, nahezu ungeandert sind. Aus dieser Uberlegung folgt fiir die Ableitungen der verschiedenen fluidmechanischen GroBen nach den Ortskoordinaten, daB d/dx f> d/dy ist. Mithin gilt fiir die Geschwindigkeitskomponenten du

du

dv

~d~x~

~dy~

~dx~

u

V

(Ma»~l).

(5.135 a, b)4

In (5.135a) wurde nach (5.99b) die Bedingung der Drehungsfreiheit mit du/dy dv/dx beriicksichtigt. Zur Berechnung der drehungsfreien transsonischen Stromung ergibt sich somit unter Einsetzen von (5.119) -(K+l)

Ik

= 0,

-

dx

dx2

dy2

(n = 2/3). (5.136a, b)

const

x,u

Abb. 5.40. Zur fluidmechanischen Herleitung der Ahnlichkeitsregeln ebener linearisierter Potentialstromungen. a Supersonische Stromung, b transsonische Stromung, c hypersonische Stromung

46

Das Ergebnis von (5.135b) wird durch die GroBenordnungsbetrachtung in Tab. 5.4 bzw. Abb. 5.33 mit «/[/„ ~ 62/3 und v/U^, ~ 61 bestatigt.

182

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Diese Differentialgleichung fiir 3> ist nichtlinear, was ihre mathematische Losung gegeniiber der linearen Differentialgleichung bei sub- und supersonischer Stromung (5.120b) wesentlich schwieriger gestaltet. Transsonische Ahnlichkeitsregel. In analoger Weise wie bei der sub- und supersonischen Stromung la'Bt sich auch fur die transsonische Stromung eine Ahnlichkeitsregel herleiten. Dabei soil die Aufgabenstellung wie folgt formuliert werden: Vorgegeben ist ein ebener Korper (GroBen ohne Index) mit dem Schlankheitsgrad 8, vgl. (5.109), der mit Schallgeschwindigkeit (Max = 1) angestromt wird. Gefragt ist, wie andert sich bei einem ebenen Vergleichskorper (GroBen durch Strich gekennzeichnet) mit dem Schlankheitsgrad 8', der ebenfalls mit Schallgeschwindigkeit (MaL = 1) angestromt wird, die (affine) Druckverteilung. Gl. (5.136b) gilt fur die Vergleichsstromung in entsprechender Form, namlich K+

1 90' d2&'

d20' +

-uT^-d^

W^ = 0

{MaL = l)

(5 137)

-

'

Urn die gestellte Frage zu beantworten, werden analog (5.128) die Transformationsformeln x'=x,y'

= c3y;

Ul=U^,qL = q~,

(5.138a;b;c)

eingefiihrt. Nach Einsetzen in (5.136b) und Vergleich mit (5.137) wird 2 f K + 1 30' d 0' . d20' 1 c4 - c 4 - ^ 7 - - ^ p - - ^ 7 r + c i - ^ - 7 r =0,

c\ = cA.

(5.139a, b)

Einen weiteren Zusammenhang zwischen den Koeffizienten c3 und c4 erhalt man durch Anwenden der bei der sub- und supersonischen Ahnlichkeitsregel bereits benutzten Stromlinien-Analogie (kinematische Randbedingung). Mit (5.138) findet man aus der (5.131 a) analog zu (5.131b, c) ^

= C3Ct^

= c l C t

^

t

C|C4=1,

C3C4 = 6/8'

(5.140a, b.c)

Die Losung c2c4= 1 liefert in Verbindung mit c\ = c4 nach (5.139b) das triviale Ergebnis c3 = c4= 1. Eine zweite Losung findet man folgendermaBen: Fiir die Korperneigungen in (5.140a) gelten unter Einfiihren der Schlankheitsgrade (5.109) die Proportionalitaten dyjdx ~ 8 und dy'Jdx' ~ 8' ~ c38, was zu der in (5.140c) angegebenen Beziehung fiihrt. Aus (5.139b) und (5.140c) erhalt man also 1/3

/ £ \ 2/3

(5.141a, b) Auf eine Besonderheit sei aufmerksam gemacht. Wahrend nach (5.138 a) c3 = 8'18 ist, folgt aus (5.141a) c3 = (8/8')113. Dies bedeutet, daB eine bestimmte Vertraglichkeitsbedingung nicht erfilllt ist, und zeigt den Naherungscharakter der dargelegten Ableitung. Die auf den Korper angewendete Stromlinien-Analogie ist nicht fiir das gesamte Stromungsfeld giiltig, vgl. [38]. Fiir den Druckbeiwert gilt in analoger Weise wie bei der sub- und supersonischen Ahnlichkeitsregel cp = Ap/q^ = c4c'p, d.h. fiir die zwei miteinander zu ver-

183

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

gleichenden schlanken Korper ist cp(x) = h(x)62'3

„•] , o I

(Ma

(5.142a, b)47

mit h(x) als Einheitsdruckverteilung bei transsonischer Stromung. Nach der transsonischen Ahnlichkeitsregel ist also der Druckbeiwert bei Schallanstromung

Abb. 5.41. Anwendung der Ahnlichkeitsregeln dichteveranderlicher Gase auf die Berechnung der Druckbeiwerte cp zweier Korper (Index 1 und 2) verschiedenen Schlankheitsgrads <5, vgl. (5.109) und (5.118). (1) Sub- und supersonische Regel (PrandtlGlauert-Ackeret), (2) transsonische Regel (von Karman), (3) hypersonische Regel fur Max —» ~ (Tsien)

0.10

f (1/1 = 012

ojcT^

0,06

\ /

0.04

0.02

0.7

/

A V

1/

0.9

10

0.08

0.06

1.1

10

Abb. 5.42. Zur Anwendung der transsonischen Ahnlichkeitsregel, Widerstand von Profilen (Dickenverhaltnis 6= d/l) bei schallnaher Anstromung nach Malavard [54]. a Widerstandsbeiwert cw in Abhangigkeit von der Mach-Zahl Max. b Reduzierter Widerstandsbeiwert cw ~ cw/6513 in Abhangigkeit von der reduzierten Mach-Zahl M, ~ (Mai - l)/5 2/3 Dieses Ergebnis wird wegen u~ 6" und u' ~ 6'" nach Tab. 5.4 mit n = 2/3 nach (5.135) bestatigt.

184

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

Ma^ = 1 proportional 6m, wahrend er bei der Unter- und Uberschallanstromung Ma«, $ 1 proportional 6 ist. In Abb. 5.41 ist fur die transsonische Stromung das Verhaltnis der Druckbeiwerte bei verschiedenem Verhaltnis der Schlankheitsgrade 62/S1 als Kurve (2) mit dem Ergebnis fiir die sub- und supersonischen Stromungen entsprechend Kurve (1) verglichen. Das beschriebene Transformationsverfahren fiir transsonische Stromungen nennt man haufig die von Karmansche Ahnlichkeitsregel [38]. Auf die Darstellungen iiber transsonische Stromungen in [30, 61, 76, 103] sei hingewiesen. Die transsonische Ahnlichkeitsregel fiir Ma^ = 1 und die hier nicht wiedergegebene Erweiterung fiir Ma«. = 1 ist von besonderer Bedeutung fiir die Ordnung von Versuchsergebmssen verschieden dicker, gewolbter oder angestellter Fliigelprofile bei schallnaher Anstromung. Eine experimentelle Bestatigung gibt Malavard [54]. In Abb. 5.42a, b sind Widerstandsbeiwerte cw ~ 6 • cp ~ S5/2 an Profilen im schallnahen Anstrom-Bereich iiber der Mach-Zahl 0,7 <Max < 1,1 vor und nach der Transformation dargestellt. Danach kann man zeigen, daB die transsonische Ahnlichkeitsregel auch fiir Stromungen mit schwachen VerdichtungsstoBen noch giiltig ist. In Abb. 5.43 ist fiir ein Profil schematisch das verwickelte, von der Potentialtheorie stark abweichende Stromungsverhalten im transsonischen Geschwindigkeitsbereich, d.h. beim Ubergang von der sub- zur supersonischen Stromung, dargestellt.

v. / Verdich tungsstofl Ma
Iv Ma>l

Ma>1

/

\

\

Abb. 5.43. Stromungsverhalten an einem Fliigelprofil beim Ubergang von Unter- zu Uberschallanstromung, sub-, trans-, supersonische Stromung (schematisch)

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

185

c) Hypersonische Potentialstromung Potentialgleichung. Im folgenden soil jetzt der Fall sehr groGer Anstrom-MachZahlen Ma^ §> 1 besprochen werden. Solche hypersonischen Stromungen sind im allgemeinen fur Anstrom-Mach-Zahlen Ma^ > 4 definiert.48 Dies stellt etwa auch die Grenze dar, wo man ein Gas nicht mehr als ideal, sondern bereits als real ansehen mu6, man vgl. hierzu die Ausfiihrung in FuBnote 3, Bd. 1, S. 9. In (5.112) gilt bei Mam>\ fur die Mach-Zahl-Funktionen (1 -Mai)/(Mai —>- 1 sowie 1/Mai—»0. Dies bedeutet, daG die Geschwindigkeitsfunktion l / J - ^ 1 nach (5.114a) vernachlassigt werden darf, wahrend/2 und/ 3 gemaG den Vorschriften fiir die Linearisierung der Potentialgleichung in Kap. 5.3.3.3, vgl. Tab. 5.4 bzw. Abb. 5.33, voll (beide Terme) beriicksichtigt werden miissen. Bei Max>l ist in (5.112) in Verbindung mit (5.114) also /, = 0, f2 4= 0, f3 4= 0 zu setzen, vgl. Tab. 5.5. Bei einer hypersonischen Stromung ist nach Abb. 5.40c der Machwinkel sehr klein, JU —> 0. Dies besagt, daG die Storungen auf Flachen, welche mehr oder weniger parallel zur Anstromrichtung (y ~ const) verlaufen, nahezu ungeandert sind. Aus dieser Uberlegung geht fiir die Ableitungen der verschiedenen GroBen nach den Ortskoordinaten hervor, daG im Gegensatz zur transsonischen Stromung jetzt d/dx < d/dy ist. Mithin gilt du ~dx~

du ~dy~

dv ~dx~

u

V

. (5.143a, b)4

<

Diese Uberlegung folgt auch daraus, daG sich bei einem mit Hyperschallgeschwindigkeit angestromten Korper nach Abb. 4.53 Storungen nur in einer sehr schmalen, den Korper umgebenden hypersonischen Grenzschicht bemerkbar machen. Zur Berechnung der drehungsfreien hypersonischen Stromung ergibt sich mit u = d

dx

2Ui \dyj J dy

2

2 d& d20 =0 LL dy dx dy (5.144)

Auch diese Gleichung fiir # ist wie diejenige der transsonischen Stromung (5.136b) nichtlinear, was das Auffinden von Losungen erschwert. Hypersonische Ahnlichkeitsregel. Wie bei der sub-, super- und transsonischen Stromung laGt sich auch fur die hypersonische Stromung eine Ahnlichkeitsregel angeben. Die Potentialgleichung (5.144) mb'ge dabei auf eine hypersonische Vergleichsstromung fiir MaL 9> 1 zuriickgefiihrt werden, bei der Ma'm 4= Max > 1 ist. Zu diesem Zweck ist (5.144) nochmals aufzuschreiben, wobei jetzt alle GroGen der Vergleichsstromung mit einem Strich zu versehen sind. In diese Beziehung werden dann analog zu (5.128) oder (5.138) die Transformationsformeln 48

Fiir den Grenzfall Ma_ = ~ wurde bereits (5.115 b) abgeleitet. Das Ergebnis von (5.143 b) wird durch die GroBenordnungsbetrachtung in Tab. 5.4 bzw. Abb. 5.33 mit «/!/„ ~ 62 und v/Ux ~ S1 bestatigt.

49

186

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

x' = x,y' = c5y;

UL = V», qL = q^', Mai (5.145a; b; c)

eingesetzt. Eine kleine Zwischenrechnung liefert dann durch Vergleich mit (5.144) die Zusammenhange c5c6- 1 und cjc-, — 1 sowie hieraus c\ = c7. Durch Anwenden der Stromlinien-Analogie (kinematische Randbedingung) entsprechend (5.140c) folgt c5c7 = 8/8' mit <5bzw. 8' als Schlankheitsgrad nach (5.109). Da aber auch csc7 = c6 = Mai/Ma^ ist, kann man schreiben 8/8' = Mai/Ma^ oder K' = Mai 8' = Max 8-K

(Hyperschallparameter).

(5.146)

Soil wie bei der sub- und supersonischen Stromung eine schwache Umlenkung entsprechend Abb. 5.36a, b mit A& $ 0 zugrunde gelegt werden, dann gilt wegen 8/8' ~ A#/A#' die Beziehung K' = Mai A&' = Ma«, A# = K. Es ist die GroBe K' bzw. K ein kennzeichnender Parameter einer hypersonischen Stromung bei kleiner Stoning, der bereits in (4.168) als hypersonischer Ahnlichkeitsparameter eingefiihrt wurde. Hypersonische Stromungen verhalten sich also ahnlich, wenn sie gleichen Parameter K besitzen. Analog zur sub-, super- oder transsonischen Stromung gilt fur den Druckbeiwert cp = Ap/q«, = CjCp = c2 cp, d.h.

%=JL c'p u'

=

(*£.)2

=

\Ma^J

(*)2

{K'

= K).

(5.147a)

\S'J

Hieraus folgt, daB bei Hyperschallanstromung der Druckbeiwert bei einem schlanken Korper bei gegebenem Wert K proportional dem Quadrat der Querausdehnung 82 ist. Wird mit h = h(K, x) die Einheitsdruckverteilung bei hypersonischer Stromung bezeichnet, dann ist cp = h(K,x)82,

cp = h{8Ma^,x)82

(Ma^> 1).

(5.147b, c)

Dies Ergebnis ist in Abb. 5.41 als Kurve (3) mit den Ergebnissen fur die sub-, super- und transsonische Stromung verglichen. Wahrend bei sub- und supersonischer Stromung die Druckverteilung proportional zu 8 und bei transsonischer Stromung proportional zu 8213 ist, ist sie bei hypersonischer Stromung im Grenzfall Max —» oo proportional 82. Das beschriebene Transformationsverfahren nennt man haufig die Tsiensche Ahnlichkeitsregel [92]. Sie wurde in Kap. 4.5.3.4 auf andere Weise bereits hergeleitet. Die bisherigen Ableitungen bezogen sich auf homentrope Stromungen ohne VerdichtungsstoGe, bei denen also im gesamten Stromungsfeld die Drehung verschwindet. Hayes [26], Goldsworthy [26] und andere haben gezeigt, daB die Tsiensche Ahnlichkeitsregel auch fur Stromungen mit VerdichtungsstoGen, d.h. fur die anhomentrope Stromung hinter einem VerdichtungsstoB giiltig bleibt. Auf die Darstellungen iiber hypersonische Stromungen in [26, 61, 76, 103] sei hingewiesen. 5.3.3.5 Raumliche Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide Allgemeines. Wahrend in Kap. 5.3.3.1 die Ausgangsgleichung fur die Potentialstromung in allgemeiner Darstellung abgeleitet wurde, befaBten sich die Kap. 5.3.3.2 bis 5.3.3.4 zunachst mit den ebenen Stromungen. Gegeniiber der ebenen

5.3.3 Stationare Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide

187

Stromung treten bei der raumlichen Stromung zusatzliche Glieder auf, welche die schon bei der Losung der vollstandigen Potentialgleichung bei ebener Stromung auftretenden mathematischen Schwierigkeiten noch betrachtlich vergroBern. Auf Einzelheiten soil hier nicht naher eingegangen werden, man vgl. [76]. Uber einige einfach zu iibersehende Falle wird nachstehend kurz berichtet. Kugelsymmetrische Stromung. Hangt die Stromung eines dichteveranderlichen Fluids nur von einer einzigen Kugelkoordinate ab, namlich dem Radius r0, so ist sie in gleicher Weise wie die Stromung eines dichtebestandigen Fluids nach Kap. 5.3.2.5 eine Potentialstromung. Eine solche eindimensionale Stromung liegt z. B. bei der raumlichen Quellstromung vor, uber die in Kap. 4.3.2.7 Beispiel a.5 bereits berichtet wurde. Drehsymmetrische Stromung. Solche zweidimensionalen Stromungen in der r,z-Ebene wurden fur ein dichtebestandiges Fluid in Kap. 5.3.2.5 beschrieben. Die Potentialgleichung fur die stationare drehsymmetrische Stromung eines dichteveranderlichen Fluids ist in hohem MaB nichtlinear, was die Integration gegeniiber der ebenen Stromung noch schwieriger gestaltet, man vgl. [76]. Raumliche Potentialstromung bei kleiner Storung. Die in Kap. 5.3.3.3 fur ebene Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide bei kleiner Storung gefundenen Beziehungen lassen sich auch auf dreidimensionale Potentialstromungen bei kleiner Storung erweitern. Besondere Bedeutung haben diese Stromungen fur die Aerodynamik von Tragfliigeln mit endlicher Spannweite erlangt, vgl. [79]. Bei vollstandiger Linearisierung gilt anstelle von (5.120b) d2 0 92

(5.148)

Diese Potentialgleichung ist linear. Man kann ausgehend hiervon in analoger Weise wie bei der ebenen Stromung eine einfach zu handhabende sub- und supersonische Ahnlichkeitsregel ableiten. Linearisierte kegelsymmetrische Stromung. Als besonders einfache raumliche Uberschallstromung sei der Sonderfall erwahnt, bei dem nach Abb. 5.44 auf alien

•Madi-Kegel Abb. 5.44. Kegelsymmetrische Stromung bei Uberschallgeschwindigkeit

188

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

von einem Symmetriezentrum A ausgehenden Halbgeraden der Geschwindigkeitsvektor v und alle ZustandsgroBen wie Druck, Dichte usw. unverandert sind. Solche Stromungen liegen bei Korpern mit Kegelsymmetrie vor, wie z.B. bei schlanken Drehkegeln oder bei dreieckformigen Flachen (Deltafliigel). Das so beschriebene Stromungsfeld nennt man nach Buseman [10] ein kegelsymmetrisches oder konisches Stromungsfeld. Eine notwendige Voraussetzung beim Umstromungsproblem der genannten Korper besteht darin, dafi die Kanten geradlinig sind. Sie sind zwei ausgezeichnete Strahlen des kegelsymmetrischen Stromungsfelds. Fiir die kegelsymmetrische Stromung vereinfacht sich naturgemafi die allgemeingiiltige Potentialgleichung (5.148). Wahlt man das Koordinatensystem nach Abb. 5.44, so hangt das Stromungsfeld nur von den beiden dimensionslosen Koordinaten q = y/x und C, = z/x ab. Fiihrt man fernerhin fiir das Potential der Zusatzstromung den Separationsansatz 4>(x, y, z) = x •/(/], Q ein, so ist die Bedingung, dafi die Geschwindigkeitskomponenten auf den Strahlen durch die Kegelspitze A konstant sind, erfiillt. Durch Einsetzen in die Potentialgleichung erhalt man iurf{q, Q eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diese Beziehung fiir die neue Funktion / hangt nur von den zwei Ortsveranderlichen q und Q in der Ebene normal zur Anstromrichtung (x = const) ab. In den Querebenen x = const liegt also jeweils eine quasi-ebene Stromung vor. Eine umfangreiche Zusammenstellung von Ergebnissen ist von Jones und Cohen [34] angegeben worden.

5.3.4 Instationare Potentialstromungen mit freier Fliissigkeitsoberflache (Oberflachenwellen)50 5.3.4.1 Grundlagen und Bestimmungsgleichungen Wellenbewegung. Die Gesamtheit der nichtstationaren Fliissigkeitsbewegungen kann man zunachst rein aufierlich unterteilen in stehende und fortschreitende Wellen. Zu den ersteren gehoren diejenigen Vorgange, bei denen dieselbe Erscheinung am gleichen Ort periodisch wiederkehrt, d.h. Schwingungsknoten und Schwingungsbauche bleiben an derselben Stelle. Die letzteren sind durch ein seitliches Fortschreiten der Erscheinung gekennzeichnet, welches aber nicht mit einem Fortschreiten der Substanz gleichbedeutend ist. Die einzelnen Fluidelemente beschreiben vielmehr geschlossene, oder doch nahezu geschlossene Bahnen (Orbitalbewegung), vorausgesetzt, dafi keine translatorische Bewegung der ganzen Fliissigkeit vorhanden ist. Gerade dieser Unterschied zwischen dem Fortschreiten der Welle einerseits und der Bewegung der Fluidelemente andererseits ist kennzeichnend fiir das Wesen der fortschreitenden Welle. Als Entstehungsursache fiir Fliissigkeitswellen kommen in der Hauptsache in Betracht: Storungen der Fliissigkeit durch das Eintauchen, Herausziehen oder Fortbewegen fester Korper, Entnahme oder Zufuhren von Fliissigkeit, Wirkung des Winds, Gleichgewichtsstorungen durch 50

Auf die Behandlung instationarer Potentialstromungen dichteveranderlicher Fluide ohne freie Oberflache wird verzichtet und statt dessen auf Kap. 4.3.3 verwiesen, in dem die lineare Wellenausbreitung ausfuhrlich besprochen wird.

5.3.4 Instationare Potentialstromungen mit freier Fllissigkeitsoberflache (Oberflachenwellen)

189

Erschiitterungen, Anziehung durch andere Weltkorper u.a.m. Aus dieser Aufzahlung geht hervor, daB Fliissigkeitswellen fast ausschlieBlich an der Oberflache einer Fliissigkeit erzeugt werden, oder allgemeiner gesagt an der Grenzflache zweier Fluide. Eine Ausnahme bilden die etwa durch Sprengungen oder Eruptionsvorgange unter Wasser hervorgerufenen Wellen, die hier jedoch auBerhalb der Betrachtung bleiben. Mit wachsender Entfernung von der Oberflache klingen die Wellenbewegungen ziemlich schnell ab, weshalb man gewohnlich nur von Oberflachenwellen spricht. Bei diesen kann man nach ihrer Symmetrie ebene Wellen, Ringwellen und Wellen vom Typ der Schiffswellen unterscheiden. An der Wellenbewegung freier Oberflachen sind maBgeblich die Schwerkraft (Gravitation) und die Kraft der Oberflachenspannung (Kapillaritat) beteiligt. Entsprechend unterscheidet man in Schwer- und Kapillarwellen. Die Schwerwellen kann man weiter unterteilen in reine Schwingungswellen, bei der kein oder fast kein Massentransport in der Ausbreitungsrichtung auftritt, und in Ubertragungswellen, bei denen Flussigkeitselemente in Wellenausbreitungsrichtung verschoben werden und nicht an ihren Ursprungsort zuriickkehren (Einzelwellen, Brandungswellen). Bei den hier zu untersuchenden Schwingungswellen ist weiter in Tief- und Flachwasserwellen zu unterscheiden. Voraussetzungen. Den Ausgangspunkt fur die theoretische Behandlung der Wellenbewegung liefert die Bewegungsgleichung der Fluidmechanik (Impulsund Kontinuitatsgleichung) in Verbindung mit den Randbedingungen. Letztere sind bestimmt durch feste Wande, besonders die Sohle, welche den Fliissigkeitsraum begrenzen sowie durch das Vorhandensein einer freien Oberflache, d.h. bei den hier interessierenden Fallen einer Trennungsflache zwischen Wasser und Luft. Die Fliissigkeit wird als reibungsloses Fluid angesehen, was bei Vorgangen an der Oberflache wegen des geringen Reibungseinflusses weitgehend zutrifft. Da die Stromung unter dem EinfluB konservativer Krafte (Schwere) steht und aus dem Zustand der Ruhe heraus erfolgt, ist diese Bewegung drehungsfrei, man vgl. hierzu den zeitlichen Wirbelerhaltungssatz nach Kap. 5.2.3.4. Aufgrund der getroffenen Voraussetzungen stellt die Wellenbewegung eine Potentialstromung dar. Die folgende Untersuchung soil sich auf eine ebene Stromung (ebene Wellenbewegung) beschranken, d.h. es wird angenommen, daB alle Wellenkamme quer zur Ausbreitungsrichtung einander parallel sind (gerade Wellen) und daB in alien zu dieser Richtung parallelen Ebenen derselbe Bewegungszustand herrscht. Der Koordinatenursprung sei nach Abb. 5.45 a in die ungestorte Oberflache gelegt, die xAchse falle in die Ausbreitungsrichtung und die z-Achse sei senkrecht nach aufwarts gerichtet. Ein bestimmter Bewegungszustand, der zur Zeit t an der Stelle x vorliegt, soil sich zur Zeit t + At an der Stelle x + Ax wiederfinden. Es hat sich das gesamte Bewegungsbild mit der Geschwindigkeit c = Ax IAt in der *-Richtung verlagert. Dabei hat sich nicht das Fluid, sondern nur der Zustand der Wellenform bewegt. Die Ortskoordinate x und die Zeit t treten daher immer in der Kombination (x — ct) als Charakteristik auf. Verallgemeinert kann man hierfiir auch schreiben ax-fit-a(x-ct),

c = — (Ausbreitungsgeschwindigkeit) (5.149 a, b)

als Fortpflanzungsgeschwindigkeitsphasen der Welle

190

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

z^t.xh

Sohle

b

L

Abb. 5.45. Flache Oberflachenwellen an freien Fliissigkeitsoberflachen. a Bezeichnungen, fortschreitende Einzelwelle. b Wellengruppe. c Bahnlinien der Wellenbewegung nach der AiryLaplaceschen Wellentheoriea, vgl. [68]. Links: begrenzte Fliissigkeitstiefe, rechts: unbegrenzte Fliissigkeitstiefe

zk

a

Die elliptischen Bahnlinien an der Flussigkeitsoberflache unterscheiden sich nur wenig von der Kreisform.

Geschwindigkeitsfeld. Fiir die drehungsfreie ebene Potentialstromung gilt die Kontinuitatsgleichung nach (5.35 a) in der Form ox1

dz2

M=

"3~ ' dx

w-^-

dz

(eben)

(5.150a; b)

mit

(t, x, z), u = vx(t, x, z) und w = vz(t, x, z ) .

Randbedingungen. Besondere Bedeutung kommt den Randbedingungen zu, die sowohl fiir die feste Begrenzung (Sohle) als auch fiir die freie Oberflache (Fliissigkeitsspiegel) zu beriicksichtigen sind. Dabei handelt es sich zunachst um kinematische Randbedingungen an der Sohle und an der freien Oberflache, die bestimmte Aussagen iiber das Verhalten der Vertikalgeschwindigkeit w fordern. An der horizontal angenommenen Sohle (z = - h) muB die Vertikalgeschwindigkeit verschwinden. Die freie Oberflache sei durch z = zo(t, x) beschrieben, wobei z0 die Erhebung bzw. Absenkung der Oberflache iiber die ungestorte Spiegelflache

5.3.4 Instationare Potentialstromungen mit freier Fliissigkeitsoberflache (Oberflachenwellen)

191

(z = 0) bedeutet. Unter der Annahme, daB die Oberflache immer aus den gleichen Fluidelementen bestehen soil, d.h. die Fluidelemente immer an der Oberflache bleiben, muB dz0 = w (t, z0) dt sein. Es ist d/dt die substantielle Anderung nach der Transportgleichung (2.41a) mit E A zo(t, x), dzo/dz = 0, vx = u(t, x) ~ 0, vz = w (t, x). Mithin lauten die kinematischen Randbedingungen w = 0 (feste Sohle), w = —^ = -^- + u -^- ~ -—-^- (freie Oberflache). dt dt dx dt ' (5.151a, b) Unter Einsetzen von (5.150b) gelten fiir das Geschwindigkeitspotential die kinematischen Randbedingungen —-=0 dz

(z = -h),

-r- = —^- + -=—r-^- ~ -^dz dt dx dx dt

(z = zu0 ). (5.152a, b)

Die letzte Beziehung in (5.151b) bzw. (5.152b) gilt fur den Fall, daB das Fluid mit Ausnahme der Wellenbewegung in Ruhe ist und die Amplituden klein sind. Am Fliissigkeitsspiegel herrscht auBerdem wegen der dynamischen Randbedingung der Druck p = p0 = p [z0 (t, x)]. Dieser riihrt her von dem ungeanderten Atmospharendruck pa = const und vom Kriimmungsdruck (Kapillardruck) pK an der gekriimmten Oberflache. Fiir eine zylindrische Wolbung (Kriimmung nur in einer Richtung) gilt mit (1.40 b) die dynamische Randbedingung a =

+

Po Pa PK~ AJ ^

d2z0 ~ Pa ~ ° -> 2

( z = zo)

(5.153 a, b)

mit a als Kapillarkonstante und rK > 0 als Kriimmungsradius, wenn sich der Kriimmungsmittelpunkt unterhalb der Oberflache, d. h. innerhalb der Fliissigkeit befindet.51 Zwischen dem Kriimmungshalbmesser und der Kriimmung besteht bei schwacher Kriimmung der Zusammenhang l/rK ~ - d2zjdx2 (partiell wegen t = const), was zu (5.153b) fiihrt. Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v = grad

+

PQ d

Fiir die zweite Beziehung gilt eine entsprechende Annahme wie bei (5.152b). Die Funktion F(t), welche x nicht enthalt, muB wegen (5.149a) eine Konstante sein, vgl. (5.25b). Die Potentialfunktion <£ (t, x, z) muB an der freien Oberflache (z = z0) zwei nichtlineare Randbedingungen, namlich (5.152b) und (5.154b) erfiillen. Dies Verhalten unterscheidet sich stark von der linearen Randbedingung an der Sohle (z = - h) nach (5.152a). Dies Ergebnis erklart sich daraus, daB an der freien OberEs gilt fiir die Kriimmung d2z0/dx2

(d/dyy

2

__ d2z0

d2

ur

dz0 dx

192

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

flache nicht nur die Potentialfunktion
ad

w^^dAdxT) ^d-A-dT)=° 2

(z

(5 155)

-

=

2

schreiben. Die Gleichung d

fit)

(5.156a)

stellt bei noch willkiirlichen Konstanten a, /3, A und B eine allgemeine Losung der Laplaceschen Potentialgleichung (5.150a) dar. An der Sohle des Fliissigkeitsgebiets z = - h muB nach (5.152a) die Vertikalgeschwindigkeit w - d&/dz — 0 sein. Aus (5.156a) ergibt sich dann A exp (— ah) = B exp (ah). Setzt man ein und beachtet, daB exp [a(z + h)] + exp [- a(z + h)] = 2 cosh [a(z + h)] ist, so wird mit C = 2 A exp (- ah) = 25 exp (ah)

5.3.4 Instationare Potentialstromungen mit freier Fliissigkeitsoberflache (Oberflachenwellen)

193

(5.156b)

Die Potentialfunktion, und damit auch die von ihr abgeleiteten GroBen verhalten sich periodisch. Bei festgehaltener Zeit t nimmt 0 den gleichen Wert wieder an, wenn man x um 2n/a wachsen laBt. Die zugehorige Lange stellt die Wellenlange X dar. Mithin gilt a=-£-, X= — (Wellenlange). (5.157 a, b) A a Auf die Beziehung fiir die Ausbreitungsgeschwindigkeit c in (5.149b) sei hingewiesen. Hieraus folgt der Zusammenhang /J - 2nc/A. Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c ergibt sich nach (5.149 b) zu c = ft /a. Diesen Zusammenhang erhalt man fur Wellen mit kleiner Amplitude und unter der Annahme, daB die Fliissigkeit nur der Wellenbewegung unterworfen ist, aus (5.155). Setzt man (t, x, z) nach (5.156b) ein, so findet man mit d2

+ a2-)-^

(z = z 0 ).

(5.158)

Unter der Annahme flacher Wellen (z = zo~ 0) erhalt man mit d

Sie hangt stark von der Wellenlange A und der Fliissigkeitstiefe h ab. Die Abhangigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenlange wird einem Sprachgebrauch aus der Optik folgend als Dispersion bezeichnet. Der Klammerausdruck in (5.159) gibt an, in welcher Weise die Schwere g und die Oberflachenspannung (Kapillaritat) a das Ergebnis bestimmen. Bei sehr groBen Wellenlangen X ist der zweite Summand gegeniiber dem ersten bedeutungslos. Diese von der Oberflachenspannung unabhangigen Wellen nennt man Schwerwellen (a = 0). Bei sehr kleinen Wellenlangen ilberwiegt dagegen der zweite Summand gegeniiber dem ersten. Diese nur von der Oberflachenspannung abhangigen Wellen bezeichnet man als Kapillar- oder Krauselwellen (g = 0). Bei groBer Fliissigkeitstiefe h/X> 1 (Kopfzeiger ") wird tanh(2nh/X)~ 1, und man erhalt aus (5.159) in Abhangigkeit von der Wellenlange c= \^-g •\ 2n

+ ^L—

X p

mit cmia=4

-\J

4g— (tiefes Wasser) p

(5.160a, b)

bei X = Xm = 2n\Jol
Da Wellenvorgange an freien Oberflachen im allgemeinen bei Wasser auftreten, wird anstelle von Fliissigkeit von Wasser gesprochen.

194

5.3 Drehungsfreie reibungslose Stromungen (Potentialstromungen)

nach (1.47d) und fiir den EinfluB der Oberflachenspannung die Weber-Zahl We ~ pv2l/o nach (1.47f) maBgebliche Kennzahlen. Mit v = c und I = X sowie Fr = 2nc2/gX und We = pc2X/2no geht (5.160a) iiber in 1 = l/Fr + I/We. Fiir Wasser gegen Luft ist o~ 0.073 N/m und p~ 1000 Ns2/m4. Damit wird cmin = 23,1 cm/s bei Xm = 1,7 cm. Diese Grenze ist besonders zu beachten bei der Ausfiihrung von Modellversuchen zur Erforschung von Stromungserscheinungen, welche mit Wellenbildung verbunden sind, z.B. bei der Bewegung eines Schiffs in ruhendem Wasser oder bei der Stromung um ein inflieBendemWasser festgehaltenes Hindernis. Da die Wellengeschwindigkeit den Wert cmin nicht unterschreiten kann, hat man die Modellgeschwindigkeit entsprechend zu wahlen, damit Oberflachenwellen iiberhaupt auftreten konnen. Der EinfluB der Oberflachenspannung auf die Wellengeschwindigkeit wurden zuerst von Thomson [85] untersucht. In Abb. 5.46a ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit bei groBer Fliissigkeitstiefe in der Form c/cmin iiber XIXm nach (5.160) als Kurve (7) dargestellt. Bei kleiner Fliissigkeitstiefe h/X
—1 gh (flaches Wasser).

(5.161)

Treten nur Schwerwellen auf (o= 0), so erhalt man nach (5.159) die Beziehungen c-

jX (2nh\ \ X hr-g tanh —i— ; c= — g; -\j In \ A / -v| In

r-r c = -Jgh (Schwere),

(5.162a; b, c) wobei (5.162b) fiir tiefes und (5.162c) fiir flaches (seichtes) Wasser gilt. In Abb. 5.46a ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schwerwelle bei tiefem Wasser c iiber der Wellenlange X als Kurve (2) dargestellt. Infolge der Dispersion breiten sich lange Wellen schneller aus als kurze. Der Unterschied der Kurve (2) gegeniiber der Kurve (7) zeigt den EinfluB der Oberflachenspannung (Kapillaritat). Schwerwellen bei flachem Wasser mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c haben keine Dispersion. Man bezeichnet die von der Wellenlange unabhangige Ausbreitungsgeschwindigkeit als Grundwellengeschwindigkeit c0 = c, vgl. Kap. 1.3.3.3. Der EinfluB der Fliissigkeitstiefe h IX auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schwerwelle ist in Abb. 5.46b wiedergegeben, und zwar ist bezogen auf c - c0 nach (5.162c) c/c0 als Kurve (7) mit c nach (5.162a) und c/c0 als Kurve (2) mit c nach (5.162b) aufgetragen. Wahrend (7) den exakten Verlauf beschreibt, stellt (2) die asymptotische Losung fiir groBe Fliissigkeitstiefen dar. Den Ubergang von flachem zu tiefem Wasser kann man als Schnittpunkt der Kurve (2) mit der Geraden (3), d.h. c/c0 = 1, bei h/X = l/2n~ 1/6 angeben. Gleichung der freien Oberflache. Fiir Wellen mit kleiner Amplitude gilt zur Bestimmung der Form der freien Oberflache nach (5.152b) in Verbindung mit (5.156b) die Bestimmungsgleichung -^- = TT- = aC sinh (ah) cos (ax - fit) (z = zo
5.3.4 Instationare Potentialstromungen mit freier Hussigkeitsoberflache (Oberflachenwellen)

195

EinfluO der Oberflachenspannung

Abb. 5.46. Ausbreitungsgeschwindigkeit von flachen Oberflachenwellen. a EinfluB der Schwere und der Oberflachenspannung bei groBer Wassertiefe. (1) Schwer- und Kapillarwelle nach (5.160a, b), ( c / c m j 2 = (1/2) (XIK + Kl*)\ (2) Schwerwelle nach (5.162b), (c/cminf = (1/2) (A/XJ. b EinfluB der Wassertiefe bei Schwerwellen. (i) c nach (5.162a), exakter Verlauf; (2) c = c nach (5.162b), tiefes Wasser; (3) c = c = c0 nach (5.162c) flaches Wasser

Durch Integration iiber der Zeit t erhalt man unter Beachtung von (5.149a) und (5.157 a)

zo(t, x) = a0 sin (ax-pt)

= z0 max sin U p (x - ct) L

(Oberflache) (5.163 a, b)

mit Zomax = — (C/c) sinh (ah). Die Oberflache hat die Form einer Sinuskurve, die sich mit der Geschwindigkeit c in x-Richtung verschiebt. Bahnlinienverlauf. Die Geschwindigkeitskomponenten eines Fluidelements u und v erhalt man mittels (5.156b) zu dx

2TT

2TT

(5.164 a)

sin

~dt

dz d

(5.164b)

Bei sehr langen Wellen Xl(z + h) > 1 ist u nahezu unabhangig von der Fliissigkeitstiefe z, wahrend w annahernd null ist. Mithin ist die vertikale Beschleunigung vernachlassigbar, was bedeutet, da6 bei langen Wellen der Druck nach der hydrostatischen Druckgleichung mit der Tiefe zunimmt. Aus den Komponenten der Stromungsgeschwindigkeit u (t, x, z) und v(t, x, z) nach (5.164a, b) kann man durch Integration die Bahnen der Fluidelemente finden. Macht man die Annahme, daG sich die Fliissigkeit (Wasser) periodisch um eine mittlere Lage (Mittelpunkt) x, F herumbewege, und setzt in (5.164) rechts diese festen Werte fur x, z ein, so kann man einfach integrieren und erhalt 2TT

x — x = — a cos

(x-ct)

a = — cosh c

2TT

(z+h)\,

(5.165a, b)

196

5.3 Drehungsfreie reibungslose Strbmungen (Potentialstromungen)

z - z~ = - b sin —r- (x - ct) \ , b = — sinh —r (J + h)\ . |_A J c I A J

(5.165 c, d)

Quadriert man die beiden Gleichungen fur (x — x) und (z — T) und addiert sie anschlieBend, so ergibt sich [(x -x)/a~\2 + [(z - z~)/b]2 - 1. Dies ist die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b. Die einzelnen Fluidelemente beschreiben danach in Vertikalebenen geschlossene Ellipsen (Orbitalbahnen), deren Halbachsen mit der Tiefe z~ veranderlich sind. Das Verhaltnis der vertikalen zur horizontalen Halbachse betragt b/a = tanh [(2n/X) (z + h)] S I . Fiir die Oberflache (z~ ~ 0) gilt b/a = tanh (2nh/A). Fur hi A - \/2n (Ubergang von flachem zu tiefem Wasser nach Abb. 5.46b) ist z.B. b/a = 0.76. Fur h/A ^ 1/H = 0,32 ergibt sich 0,96 § b/a Si 1, d.h. die Ellipsen gehen praktisch in Kreise iiber. An der Sohle (z = — h) ist b — 0. Dort sind also, wie es die Randbedingung (5.151a) erfordert, keine vertikalen Bewegungen der Fluidelemente vorhanden. Fiir eine unendlich groBe Tiefe h = °° wird b/a = 1; es handelt sich in diesem Fall bei alien Tiefen um Kreise vom Radius r = a-b. Aus (5.165b, d) errechnet man hierfiir r (J)/r (I = 0) = exp(27rz"/A) S= 1 wegen z S 0. In Abb. 5.45c sind die Bahnlinien fiir die Falle der begrenzten und unbegrenzten Wassertiefe schematisch dargestellt. Fiir Wellen von endlicher Amplitude sind, entgegen dem vorstehenden Ergebnis, die Bahnen der Fluidelemente keine vollstandig geschlossenen Kurven, was seinen Grand darin hat, daB in den Wellenbergen die Vorwartsbewegung starker ist als die Riickwartsbewegung in den Wellentalern. Die einzelnen Fliissigkeitselemente bleiben also im Mittel nicht am gleichen Ort, wie es der oben dargelegten Theorie entsprechen wiirde, sondern es findet ein, wenn auch geringer Massentransport in der Welle statt. 5.3.4.3 Uberlagerte Oberflachenwellen Die in Kap. 5.3.4.2 wiedergegebene lineare Theorie der Wellenbewegung von Flussigkeitsoberflachen gestattet die Uberlagerung von Wellensystemen. Im nachfolgenden mogen zwei einfache Falle kurz besprochen werden. Stehende Oberflachenwellen. Nach (5.163 a) lautet die Gleichung der freien Oberflache fur einen Wellenzug, der sich mit der Geschwindigkeit c im Sinn der positiven *-Achse ausbreitet, z'o = a0 sin (ax - fit). Trifft dieser Wellenzug auf einen zweiten von gleicher Amplitude, gleicher Wellenlange und gleich groBer, aber entgegengesetzt gerichteter Ausbreitungsgeschwindigkeit derart, daB fur letzteren z'o = a0 sin (ax + fit) ist, so werden durch Beeinflussung der beiden sich begegnenden Wellenziige stehende Wellen erzeugt. Da sich durch Uberlagerung zo = ZQ + Z% = 2u0sin (ax) cos (/?/) ergibt, so wird unabhangig von der Zeit fiir ax = kn mit k = 1, 2, 3, ... z0 = 0. In den durch x = kn/a = kXji bestimmten Punkten stellen sich Schwingungsknoten ein, deren Abstande gleich der halben Lange der fortschreitenden Welle sind. Die Dauer einer vollen Schwingung betragt r = ^ = - , f= l ~ (tiefes Wasser) . (5.166) P c -\ g Die letzte Beziehung gilt nach (5.162b) fiir Schwerwellen, deren Lange klein gegeniiber der ungestorten Fliissigkeitstiefe h ist. In den Schwingungsbauchen findet lediglich eine Vertikalbewegung der Fluidelemente statt. Denkt man sich also durch einen Schwingungsbauch eine vertikale Wand gelegt, so erhalt man eine stehende Welle, wie sie unter Vernachlassigung aller Verluste etwa durch Interferenz einer gegen die Wand fortschreitenden und der durch die Wand reflektierten Welle erzeugt wird. Legt man noch durch einen zweiten Schwingungsbauch eine vertikale Wand, so ergeben sich stehende Wellen, wie sie z.B. in einem rechteckigen Trog auftreten kbnnen. Voraussetzung ist dabei allerdings, daB die Breite des Troges gerade gleich kX/2 ist, wo k eine beliebige ganze Zahl bedeutet.

5.3.4 Instationare Potentialstromungen rait freier Fliissigkeitsoberflache (Oberflachenwellen)

197

Gruppen von Oberflachenwellen. Von der Ausbreitungsgeschwindigkeit c eines Wellenbergs zu unterscheiden ist diejenige Geschwindigkeit, mit der eine Wellengruppe als Ganzes betrachtet fortschreitet und die man als Gruppengeschwindigkeit cs bezeichnet. Man erhalt die einfachste Form einer solchen Wellengruppe durch Uberlagerung zweier im gleichen Sinn fortschreitender Wellenziige vom Typ (5.163 a), welche die gleiche Amplitude, aber etwas voneinander verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlange besitzen. Bezeichnet man die Werte der ersten Welle mit a' und P' sowie diejenigen der zweiten Welle mit a" und /}", so ergibt sich durch Addition beider Ausdriicke als Gleichung der freien Oberflache z0 = aa [sin (a'x — p'i) + sin (a"x — f3"i)], wofiir man auch

fa' + cx" P' + P" \ Id-oC P'-P" \ z0 = zOlrax sin ( — x- H 2 F tj cos { — x 7 2

(

}

mit 2o 0 = zOmax schreiben kann. Sind nun, wie vorausgesetzt, die Werte a' und a" bzw. /?' und P" nur wenig voneinander verschieden, so andert sich der Cosinus des vorstehenden Ausdrucks nur langsam. Gl. (5.167) kann also als eine Sinuswelle aufgefaBt werden, deren Amplitude (5-168) mit der kleinen Frequenz (p' — P")/2 langsam zwischen 0 und zOmax schwankt (Schwebung), Abb. 5.45b. Die Lange / der Wellengruppe ist durch zwei aufeinander folgende Abszissen x bestimmt, fur welche die Amplitude a = 0 wird. Man erhalt sie, wenn das Argument des Cosinus in (5.168) gleich n/2, 3n/2 ... wird, zu / = 2n/(a' - a"). Weiter ergibt sich aus (5.167) fur die Zeit, welche die Gruppe braucht, um die Lange / zu durchlaufen t = 2nl(p' — p"). Aus / und / erhalt man somit als Gruppengeschwindigkeit

c= 8

/

t

= =

P'-P"

dp

oi - oC

da

" = = ! = =

d(ac)

dc dc =cc + + aa — = = c-\— r,r = c \dX da da da dX

(5.169)

wobei man fur kleine Differenzen ( a ' - a") und (/?' — P"), d.h. bei langen Wellengruppen, den Differentialquotient dp/da einfiihren kann. Es ist X = 2n/a die in (5.157b) fur die Einzelwelle angegebene Wellenlange. Fur flache Wellen, deren Lange X im Verhaltnis zur Flussigkeitstiefe h groB ist, d.h. fur Schwerwellen erhalt man mit (5.162c) aus (5.169) c s = V gh = c

(Schwerwelle in flachem Wasser),

(5.170)

d.h., die Gruppengeschwindigkeit stimmt in diesem Sonderfall mit der Geschwindigkeit der Einzelwelle uberein. Wichtiger ist der Fall groBer Flussigkeitstiefe im Verhaltnis zur Wellenlange. Mit (5.160a) erhalt man aus (5.169) fur die beiden Sonderfalle der Schwer- und Kapillarwelle cs= — c (CT = 0 ) , cs = — c (g = 0)

(tiefes Wasser) .

(5.171 a, b)

Die Gruppengeschwindigkeiten hangen in einfacher Weise mit den Ausbreitungsgeschwindigkeiten der fortschreitenden Einzelwellen zusammen. Die Gruppengeschwindigkeit der reinen Schwerwelle ist gleich der halben Geschwindigkeit der entsprechenden Einzelwelle. Letztere wandert also gewissermaBen durch die Gruppe hindurch. Zwischen den einzelnen Gruppen befinden sich Streifen, in denen die Oberflache nahezu glatt ist. Es sind dies die Stellen, wo die Amplituden a gleich null oder wenig davon verschieden sind. In der Natur konnen derartige Wellengruppen auf Seen und Meeren haufig beobachtet werden. Die Gruppengeschwindigkeit der reinen Kapillarwelle betragt das eineinhalbfache der Ausbreitungsgeschwindigkeit der entsprechenden Einzelwelle. Darauf ist eine Erscheinung zuriickzufuhren, die man mitunter an einem ruhenden Hindernis in stromendem Wasser beobachten kann, dessen Geschwindigkeit wenig groBer als cmin nach (5.160b) ist. Es zeigen sich dabei oberhalb des Hindernisses Kapillarwellen, unterhalb Schwerwellen. Die Kapillarwelle eilt also der Storungsstelle voraus. Entsprechendes gilt, wenn das Wasser runt und das Hindernis in ihm mit konstanter Geschwindigkeit bewegt wird.

5.3.4.4 Schiffswellen Bei der Bewegung eines Schiffs in hinreichend tiefem Wasser beobachtet man zwei vom Bug und Heck ausgehende Wellenziige, die dem Schiff folgen und als Schiffswellen bezeichnet werden. Die Form dieser Wellen hat groBe Ahnlichkeit mit denjenigen, welche durch eine punktformige Druckstorung hervor-

198

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

Storquelle

Abb. 5.47. Wellensystem (Schwerwellen, Schiffswellen) hinter einer durch eine ruhende tiefe Fliissigkeit bewegte Storquelle, 2-F = 39° = const, [48]

gerufen werden, die sich mit konstanter Geschwindigkeit vorwarts bewegt, vgl. Abb. 1.17d. Die theoretische Untersuchung einer derartigen Storung ist zuerst von Thomson [85] durchgefuhrt worden und hat folgendes wichtiges Ergebnis geliefert: An der Oberflache eines tiefen Wassers bildet sich hinter der Storquelle ein System von leicht gekriimmten Quer- und Seitenwellen (Schwerwellen) aus, die sich untereinander beeinflussen und mit der Storquelle fortschreiten. Der Abstand der Querwellen, d. h. deren Wellenlange, ergibt sich nach (5.162b) zu X = 2nc2/g, wobei c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in tiefem Wasser bezeichnet. Der Winkel, welcher nach Abb. 5.47 das ganze Wellengebilde einschlieBt, betragt bei groBerer Wassertiefe 2fiF = 39° = const. Es besteht ein grundsatzlicher Untschied zu dem nach Abb. 1.17d bei der Strflmung eines dichteveranderlichen Fluids auftretenden Machwinkel p, der nach (1.52) von der Geschwindigkeit der bewegten Druckstorung abhangt.53 Bei der Bewegung eines Schiffs sind die Anderungen gegentiber dem ungestorten Zustand am Bug und am Heck am groBten, so daB man sich an diesen beiden Stellen je eine der oben genannten Storquellen konzentriert denken kann. Auf diese Weise entstehen zwei sich beeinflussende Wellensysteme. Voraussetzung ist dabei, daB die Geschwindigkeit des Schiffs groBer ist als der oben ermittelte Kleinstwert fiir die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Wellenzugs. Zur Erzeugung der Schiffswellen wird standig Energie verbraucht, die vom Schiffsantrieb geleistet werden muB. Der entsprechende Widerstand wird deshalb als Wellenwiderstand bezeichnet, der neben dem durch die Fliissigkeitsreibung bedingten Reibungs- und Druckwiderstand einen Teil des gesamten Schiffswiderstands bildet.

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen) 5.4.1 Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen Allgemeines. In Kap. 5.2.2.1 wurde ein den ganzen Raum ausfiillendes Geschwindigkeitsfeld gemaB (5.1a, b, c) in einen drehungsfreien und in einen drehungsbehafteten Anteil aufgeteilt. Die drehungsfreien Bewegungen lassen sich nach (5.2a, b) mittels eines skalaren Geschwindigkeitspotentials (Quellpotentials)

5.4.1 Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen

199

Stromungen untersucht werden. Dabei wird zur Erfassung des Einflusses der Drehung nach Kap. 5.2.4.2 weitgehend der Begriff der Zirkulation eingefiihrt. Diese Stromungen seien als Potentialwirbelstromungen bezeichnet. Einen wichtigen Sonderfall stellt der ebene Potentialwirbel dar, iiber den in Kap. 5.3.2.4 Beispiel c bereits einige Angaben gemacht wurden. Bei den folgenden Untersuchungen spielen die Ausfiihrungen in Kap. 5.2 eine wesentliche Rolle. Geschwindigkeitsfeld. Nach (5.2b) gilt fur das Geschwindigkeitsfeld v(t, r) einer drehungsbehafteten Stromung v = grad

(5.172a)

Die in der Klammer angegebenen Beziehungen folgen aus (5.3 a, b) mit A als Laplace-Operator. Die Geschwindigkeitskomponenten sind in kartesischen Koordinaten fur v - grad 0 in (5.23b) angegeben und sind fur v = rot Q Tab. B.3 mit a A £2 und c A v zu entnehmen: v

x

= ^ ^ , v=— v= yy dz ay dz dz

^—, L-^-T2--^—•

ax

ax

(5.172b)

dy

Bei ebener Stromung (x, y, d/dz = 0; u, = 0) kann mit

(5.173a, b)

Wirbelfeld. Die Abhangigkeit des Vektors der Drehung (Wirbelvektor) to (t, r) vom Geschwindigkeitsvektor v(t, r) ist durch (5.3b) gegeben. Es ist co = — rot v = - — AQ (div Q = 0)

(5.174a, b)

mit den Komponenten des Drehvektors nach Tab. 2.3. In kartesischen Koordinaten gilt bei ebener Stromung mit coz = co (x, y) av

du\

1 /d2Q d2Q

Die Beziehungen (5.174b, d) sind Poissonsche Differentialgleichungen. Uber die zeitliche Anderung der Drehung dco/dt wird in Kap. 5.2.3.4 berichtet. Vektorielles Geschwindigkeitspotential. Neben dem skalaren Geschwindigkeitspotential nach (5.4 a) gilt fur das vektorielle Geschwindigkeitspotential nach (5.5 a) 27T

f " f r ) ^ (Wirbelpotential). vJ

(5.175)

\r-r I

Die Integration ist iiber alle Raumelemente dV zu erstrecken, die Wirbel enthalten. Liegt der Aufpunkt innerhalb des mit Wirbeln behafteten Bereichs, dann ist nach (5.5b) AQ(r) = - 2 co(r). Befindet sich dagegen der Aufpunkt auBerhalb des genannten Bereichs, dann gilt A£2 (r) = 0, d.h. in diesem Fall handelt es sich

200

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

um eine Laplacesche Differentialgleichung und damit um eine Potentialstromung im Sinn von Kap. 5.3. In kartesischen Koordinaten ist r(x, y, z), r'ix', y', z'), \r — /\ — \a\ = a = V (x - x'f + (y - y'f + (z - z')2 und dV' = dx' dy' dz' sowie co {?) = co' = ex coX' + ey coy + ez oo7,. Zirkulation. Neben der Drehung co spielt bei drehungsbehafteten Stromungen vor allem auch die Zirkulation Teine wesentliche Rolle. Sie ist nach (5.13 a) als geschlossenes Linienintegral der Geschwindigkeit oder als Flachenintegral iiber die Drehung bzw. nach (5.14) bei einem mehrdeutigen skalaren Geschwindigkeitspotential #] 2 als Potentialdifferenz definiert:

r=jv-dl (t)

= 2Jco-dA,

^^2=02-^.

(1-2^1).

(5.176a, b)

A

In kartesischen rechtwinkligen Koordinaten gilt nach (5.176a) mit v = ex vx + ey vy + e2 vz und dl = exdx + eydy + e2 dz fur das Linienintegral r = j (vxdx + vydy + v2dz).

(5.176c)

Uber die zeitliche Anderung der Zirkulation dF/dt wird in Kap. 5.2.4.4 berichtet. Biot-Savart-Gesetz (induzierte Geschwindigkeit). Das von einem Wirbelfeld co ( / ) im Aufpunkt r herriihrende (induzierte) Geschwindigkeitsfeld ergibt sich aus (5.172a) mit (5.175) zu v (r) = rot Q (r) = - ? - rot f " ^ ^ (Wirbelfeld). (5.177 a, b) 2n i \r-r\ v Von dem Vektorpotential Q (r) ist die Rotation in bezug auf die Aufpunktveranderliche r (und nicht in bezug auf die Integrationsveranderliche r') zu bilden. Die Beziehung fur die induzierte Geschwindigkeit ist von rein kinematischer Natur. Weder die Dichte des Fluids noch die Reibung spielen eine Rolle. Ausgehend von (5.177) lassen sich nachstehend einige fur die praktische Anwendung wichtige Beziehungen zirkulationsbehafteter Stromungen mit einfachen Wirbelbelegungen langs Linien oder in Flachen ableiten.

5.4.2 Stationare Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide 5.4.2.1 Beliebig geformter Wirbelfaden In einer sonst drehungsfreien Stromung befinde sich ein in sich geschlossener Wirbelfaden von der Lange / und hinreichend kleinem Querschnitt A'. In diesem Fall betragt das Volumenelement dV' = A' ds', wenn ds' das in Richtung des Wirbelfadens fallende Linienelement ist. Da ds' parallel zu co (#•') = co' ist, gilt also co' dV = co'A'ds'. Hierin stellt gemaB (5.9) die GroBe 2 co' A' = T'A = const die

5.4.2 Stationare Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide

201

langs des Wirbelfadens unveranderliche Zirkulation Tdar.54 Es wird aus (5.177b) fur die indizierte Geschwindigkeit y(/ . ) =

_<prot(___)=__
(Wirbelfaden).

Mit a = | a \ =\r — r'\ wird nach Abb. 5.48 a der Abstand des Aufpunkts vom Linienelement ds' = \ ds' | bezeichnet. Die Integration ist iiber die gesamte Lange des Wirbelfadens / zu erstrecken. Mit Riicksicht auf den raumlichen Wirbelerhaltungssatz nach Kap. 5.2.5.3 muB der Wirbelfaden eine geschlossene Kurve bilden. Die einzelnen Beitrage zur Geschwindigkeit dv stehen jeweils normal auf der von ds' und a gebildeten Ebene und sind so gerichtet, daB ds', a und dv ein Rechtssystem im Raum beschreiben. Nach Abb. 5.48a zeigt somit dv bei F > 0 aus der Zeichenebene heraus. Es ist | a x ds'\ = a sin ads' mit a als Winkel zwischen ds' und a, so daB sich der Betrag der Teilgeschwindigkeit zu F sin a dv = \dv\ = — —— ds' (Wirbelelement) An a2

(5.178c)

ergibt. Die Beziehung (5.178) ist rein kinematischer Natur. Diese Ausdriicke stellen das fluidmechanische Analogon zum Biot-Savartschen Gesetz der Elektrodynamik dar. Dem stromdurchflossenen Leiter entspricht hier der Wirbelfaden, der Stromstarke die Zirkulation und dem Magnetfeld des Stroms das zum Wirbelfaden gehorige Geschwindigkeitsfeld. Wirbelring. Ist der Wirbelfaden mit der Zirkulation F = const kreisformig gebogen (Kreisradius R), dann erhalt man die induzierte Geschwindigkeit im Kreismittelpunkt a = R mit a - n/2 - const und $ds' - 2nR zu v = F/2R. Gerader Wirbelfaden. Fur ein gerades Wirbelstiick von der endlichen Lange AB nach Abb. 5.48b ist die induzierte Geschwindigkeit zu berechnen. Wegen r = a sin a = const, dr = a cos a da + sin a da = 0 und s' = - a cos a, ds' = a sin a da- cos a da sowie daraus ds' = (a/sin a) da erhalt man ausgehend von (5.178c) zunachst dv = (F/4TTT) sin a da, wobei r den Abstand des Aufpunkts normal zur Wirbelachse bezeichnet. Da im vorliegenden Fall alle Wirbelelemente ds' in der durch den Wirbelfaden und den Abstand r bestimmten Ebene liegen, sind alle Elementarbeitrage dv gleichgerichtet. Um die zu einem Wirbelfadenstiick gehorige Geschwindigkeit v im Aufpunkt zu bekommen, kann man also den obigen Ausdruck skalar zwischen den Stellen A und B, d.h. von c^ bis a2, integrieren. Man erhalt fur die induzierte Geschwindigkeit F v = —— (cos a! — cos a2) 54 55

(Wirbelfadenstiick).

(5.179)

Im folgenden wird bei T'A der Index A' fort gelassen und fur F'A nur F geschrieben.

Nach den Regeln der Vektor-Analysis gilt rot ( — ) = — rot (ds') + grad (— I x ds' = ; x ds'. \ a J a \aj a1 Da die Rotation in bezug auf die Aufpunktveranderliche r zu bilden ist, tritt der Ausdruck (I/a) rot (ds') wegen der Unabhangigkeit des Vektor ds' von r nicht auf.

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

202

Aufpunkt iv

'Aufpunkt

Wirbetelement is

r Abb. 5.48. Zur Berechnung des Geschwindigkeitsfelds von Wirbelfaden (Potentialwirbel) a Wirbelelement, b gerades Wirbelsttick als Teil eines geschlossenen Wirbelfadens

Es sei besonders hervorgehoben, daB es einen Wirbelfaden endlicher Lange an sich nicht gibt. Man kann ihn nur als Teil eines geschlossenen Wirbelfadens ansehen. 5.4.2.2 Einzelner ebener Potentialwirbel (Stabwirbel) Geschwindigkeitsfeld. Das stationare Stromungsfeld eines ebenen Potentialwirbels unendlicher Lange laBt sich auf drei verschiedene Weisen ableiten. Als erste Moglichkeit wurde dies in Kap. 5.3.2.4 als Beispiel c durch Vertauschen der Strom- und Potentiallinien aus einer ebenen Quellstromung gewonnen, vgl. Abb. 5.16. Das induzierte Geschwindigkeitsfeld des ebenen Potentialwirbels gehort hiernach zu den skalaren Potentialstromungen, bei denen sich in einer sonst drehungsfreien Stromung eine drehungsbehaftete singulare Stelle befindet. Die Achse normal durch diese Stelle stellt eine gerade Wirbellinie mit infinitesimal kleinem Querschnitt dar. Aus dem Gesagten wird verstandlich, warum das beschriebene Stromungsmodell als Potentialwirbel bezeichnet wird. Als zweite Moglichkeit laBt sich das Geschwindigkeitsfeld eines Wirbelfadens nach der allgemeinen Theorie der drehungsbehafteten Stromung entsprechend Kap. 5.4.2.1 bestimmen. Fiir den geraden und unendlich langen Wirbelfaden erhalt man aus (5.179) mit £*! = 0 und a2= n die induzierte Geschwindigkeit des ebenen Potentialwirbels in Ubereinstimmung mit (5.63) zu (v = vv, F> 0 linksdrehend)

r

rxr v = 2nr2

(ebener Potentialwirbel). (5.180a, b) 2nr' Wahrend (5.180a) den Betrag der Geschwindigkeit angibt, enthalt (5.180b) auch die Vorzeichenregelung fiir die Geschwindigkeit, wobei r der Radiusvektor und F der in Richtung der Wirbelachse fallende Zirkulationsvektor sind. Alle Punkte im gleichen Abstand r von der Wirbelfadenachse haben gleich groBe Geschwindigkeiten. Die den Wirbelfaden bildende Stromung besitzt nach Abb. 5.16b kreisformige Stromlinien um den Faden, deren Ebenen normal zur Wirbelfadenachse stehen. Wahrend die Geschwindigkeit fiir r —> 0 dem Wert v —»°° zustrebt (singulare Stelle), nimmt sie mit wachsendem Abstand wie 1/r nach auBen ab. Die Ausdriicke fiir die Geschwindigkeitskomponenten vx, vy sind Tab. 5.3 e zu entnehmen. Eine dritte Moglichkeit zur Ableitung von (5.180a) besteht in der Untersuv=

5.4.2 Stationare Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide

203

chung eines mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit co um seine Achse gleichformig rotierenden Kreiszylinders vom Radius R in einem viskosen Fluid. Dieser Fall wurde als Losung der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung in Kap. 2.5.3.3 Beispiel c bereits behandelt. Die Wirkung des Potentialwirbels kann man sich also auch so vorstellen, daB bei der Rotation eines Zylinders von sehr kleinem Radius das Fluid infolge der von Stromlinie zu Stromlinie iibertragenen Schubspannung in drehende Bewegung gerat, bei der die Geschwindigkeit v(r) wie 1/r nach auBen abnimmt. Auf der Wirkung des besprochenen Potentialwirbels beruhen die als Wind- oder Wasserhose bekannten Naturerscheinungen. Infolge der sehr groBen Geschwindigkeit in unmittelbarer Nahe der Wirbelachse entstehen dort erhebliche Unterdriicke, durch welche Sand, Wasser, Staub, selbst feste Gegenstande angesaugt und in kreisende Bewegung versetzt werden. Geschwindigkeitspotential. Das Feld des unendlich langen geraden Wirbelfadens ist auBerhalb des Wirbelfadens quell- und drehungsfrei und laBt sich dort gemaB (5.62b) mittels eines skalaren Geschwindigkeitspotentials 4>=^-((p+2nk)

mit k = 0, ± 1, ± 2, ...

(5.181)

in verallgemeinerter Form darstellen. Da einem beliebigen Punkt

(A)

v2 dA =Kgjib

1

v2r dr = —-— In r

/jr 1 QO fl b

4H

Dies fiihrt auf das fluidmechanisch unbefriedigende Ergebnis einer unendlich groBen kinetischen Energie. Hieraus kann gefolgert werden, daB in einer drehungsfreien Stromung ein einzelner Potentialwirbel nicht auftreten kann. Nimmt man die unmittelbare Umgebung des Wirbelfadens bei der Integration aus, setzt also fur die untere Grenze des Integrals r = r0 4= 0, so ergibt sich wegen der oberen Grenze r = °° dennoch E = °° • Anwendungen a) Zirkulationsstromung um Kreiszylinder. FaBt man nach Abb. 5.16b einen der Stromlinienkreise des Potentialwirbels als Querschnitt eines Kreiszylinders auf, so erhalt man eine ebene Stromung mit

204

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

Zirkulation, die in konzentrischen Kreisen um diesen Kreiszylinder vor sich geht. In Kap. 5.2.4.3 war gezeigt worden, daB bei einer drehungsfreien Potentialstromung innerhalb eines einfach zusammenhangenden Raums nach Abb. 5.1 c die Zirkulation fiir jede geschlossene Linie innerhalb dieses Raums verschwindet. Das steht nicht im Widerspruch zum vorliegenden Beispiel, da es sich hier um einen zweifach zusammenhangenden Raum nach Abb. 5.1 d handelt, in dem die geschlossene Linie des Integrationswegs, nicht nur ein Fluid, sondern auch einen festen Korper, namlich den Kreiszylinder, umschlieBt. Eine solche Stromung wird als Zirkulationsstromung bezeichnet. b) Kreiszylinder bei unsymmetrischer Umstromung. Uberlagert man der in Kap. 5.3.2.4 Beispiel e.3 besprochenen und in Abb. 5.21 a dargestellten symmetrischen Kreiszylinderumstromung (Potentialstromung) die Zirkulationsstromung eines ebenen Potentialwirbels, dessen Achse (Ursprung) mit der Zylinderachse zusammenfallt, so entstehen die in Abb. 5.21 b, c und d gezeigten Kreiszylinderumstromungen (Potentialwirbelstromung). Mit «„ als Anstromgeschwindigkeit in x-Richtung und -Tals rechtsdrehender Zirkulation findet man fiir das in (5.44) definierte komplexe Geschwindigkeitspotential Hi (z) sowie die Geschwindigkeitsverteilung auf der Zylinderkontur v^(r = ^?) unter Beachtung von (5.69a) und (5.62a) sowie Tab. 5.3 R2\

F i-—Inz,

F vJr = R) = - 2 « M s i n

27T

2TTR

.

(5.183a,b)

Der Verlauf der Stromlinien ist wesentlich abhangig vom Verhaltnis der Zirkulation F zur Anstromgeschwindigkeit «„. Insbesondere verschieben sich mit wachsender Zirkulation die Staupunkte (1) und (2) immer mehr nach abwarts. Ihre Lagenergeben sich aus (5.183b) wegen vr = 0 zu sin M (z - R2/z). Mit (5.183a) wird dann die resultierende komplexe Potentialfunktion R2

F

Z

27T

EtJ(z) = («„ - ivjz + («_ + ivj) — + i — In z .

(5.184)

Diese Beziehung ist von besonderer Bedeutung fiir die theoretische Berechnung der unsymmetrischen Umstromung von Tragfliigelprofilen, die man aus dem Kreis mittels einer konformen Abbildung erzeugen kann, vgl. Kap. 5.4.3.2 Beispiel a. c) Wirbelquelle. Die Uberlagerung eines ebenen Potentialwirbels mit einer ebenen Quelle, die sich beide im gleichen Ursprung befinden, fiihrt zur ebenen Wirbelquellstromung. Nach (5.60a) und (5.62 a) lautet die entsprechende komplexe Potentialfunktion Ep (z) = (a - ic) In z mit a > 0 (Quelle) und c> 0 (linksdrehender Wirbel). Die Stromlinien sind logarithmische Spiralen und werden durch die Gleichung aq> — c In r = const bestimmt. Die Neigung der Stromlinien gegeniiber der radialen Richtung ist iiberall die gleiche und durch die Beziehung tan p = vv/vr = c/a gegeben. d) EinfluB der Schwerkraft auf die Wirbelbewegung. Spielt sich die von einem vertikal stehenden Potentialwirbel verursachte Kreisstromung bei einer Fliissigkeit in horizontalen Ebenen ab, so hat die Schwerkraft einen besonderen EinfluB auf die Ausbildung der Gestalt der freien Flussigkeitsoberflache. Diese senkt sich bei der Kreisbewegung wie in Abb. 5.49 gezeigt ab. Auf der Flussigkeitsoberflache, die mit z = z0 bezeichnet wird, herrscht iiberall der ungeanderte Druck p = po = const. Der Koordinatenursprung befindet sich am Ort des Wirbelfadens in Hohe des ungestflrten Fliissigkeitsspiegels. Wahrend die Geschwindigkeitsverteilung nach (5.180a) mit v(r) = c/r gegeben ist, gilt nach der Bernoullischen Energiegleichung (5.34) fiir die Druckverteilung (f>/2) (c/r)2 + pgz + p (r, z)=p0.

5.4.2 Stationare Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide

205

- Wirbelfaden

Abb. 5.49. Flilssigkeitsoberflache eines dem SchwereinfluB unterworfenen vertikal stehenden Wirbels. (1) Rotationshyperboloid (Potentialwirbel nach (5.185a), (2) Rotationsparaboloid (starrer Wirbel) nach (5.185b). : Rankinescher kombinierter Wirbel Wegen p = p0 bei z = zo(r) folgt fur die Form der Flussigkeitsoberflache c2

/R \ - )

fflr

r

=

(Potentialwirbel).

(5.185a)

Diese Beziehung beschreibt ein Rotationshyperboloid und ist in Abb. 5.49 als Kurve (/) dargestellt. Die trichterformige Absenkung des Fliissigkeitsspiegels wird mit r —> 0 immer groBer, wobei die Geschwindigkeit in den Kreisstromlinien ebenfalls zunimmt, v -> °° • Dies Ergebnis entspricht nicht ganz der Wirklichkeit, da die tatsachliche Absenkung endlich bleiben muB. Den wirklichen Verhaltnissen kommt man naher, wenn man nach einem Vorschlag von Rankine, vgl. [48], den Potentialwirbel in der Nahe des Wirbelkerns durch eine andere Kreisbewegung ersetzt. Ahnlich wie bei einer Fllissigkeit in einem mit der Winkelgeschwindigkeit a> rotierenden GefaB nach Kap. 2.2.3.3 kann man fur die Geschwindigkeitsverteilung v (r) = cor annehmen (Festkorperrotation). Anstelle des Rotationshyperboloids wird jetzt die Flussigkeitsoberflache gemaB (2.17 a) als Rotationsparaboloid dargestellt. An einer bestimmten Stelle r = R geht der kombinierte Rankinesche Wirbel entsprechend Kurve (2) in Abb. 5.49 vom Hyperboloid zum Paraboloid liber. Aus den Obergangsbedingungen v(r = R) - c/R - coR und zo(r = R) = - c2/2gR2 = zOmin + a?R2l2g erhalt man co = c/R2 sowiez0min = — c2/gR2. Nach Einsetzen in (2.17 a) folgt dann schlieBlich o«=-

gR2

—

fur

OSrSfi

(starrerWirbel) .

(5.185b)

Die groBte Absenkung unter den ungestorten Fliissigkeitsspiegel bei r = 0 betragt z0 rain = — c2/gR2, und die Tiefe, bei welcher der Potentialwirbel in den starren Wirbel iibergeht, ist zo(r = /?)= — c2/2gR2.

5.4.2.3 Mehrere parallel verlaufende ebene Potentialwirbel (Wirbelsysteme) Man denke sich ein sonst drehungsfreies, unendlich ausgedehntes Stromungsfeld durchsetzt von einer Anzahl gerader, der z-Achse paralleler Wirbelfaden von unendlich kleinen Querschnitten. Dann geht die zugehorige Stromung in Ebenen vor sich, welche der x,j>-Ebene parallel sind, so daB es geniigt, wenn man lediglich die Stromung in dieser Ebene betrachtet. Nach dem Biot-Savartschen Gesetz entspricht jedem dieser Wirbelfaden an einem beliebigen Ort P(x, y) eine Geschwindigkeit, die nach (5.180a) von der GroBe der Zirkulation abhiingig ist. Die dadurch entstehende Bewegung ist auBerhalb der Wirbelfaden eine ebene Potentialstromung im Sinn vom Kap. 5.3. Die Wirbelfaden projizieren sich dann in die x, v-Ebene als Wirbelpunkte, von denen jeder mit einer bestimmten Zirkulation behaftet ist. Im folgenden seien einige Anwendungen von Systemen diskret verteilter Potentialwirbel besprochen. a) Schwerpunktsatz der Wirbelbewegung. Befinden sich die mit m = 1,2,3, ..., M bezeichneten Wirbelpunkte nach Abb. 5.50a an den Stellen xm,ym, dann ergeben sich die Komponenten des zugehorigen induzierten Geschwindigkeitsfelds an dem Aufpunkt xn, yn ohne den Beitrag der Eigeninduktion (xm = *„, ym - yn) nach Tab. 5.3 e zu56 Das Zeichen 2' bedeutet, daB bei der Summation das Glied m = n auszulassen ist.

206

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

AufpunkHnL

\(yn-vJ

Abb. 5.50. Zur Erlauterung des Schwerpunktsatzes der Wirbelbewegung. a Lage der Wirbelpunkte eines aus diskreten Potentialwirbeln gebildeten Systems, b Anwendung auf zwei gleichsinnig drehende Potential wirbel

yn — ym

(5.186a, b)

mit rnm = V (xn - xm)2 + (yn- ym)2 als Abstand der Wirbelpunkte vom Aufpunkt. Multipliziert man die in den Punkten 1 si n £ M herrschenden Zirkulationen Fj, F2 ,...,/"„ der Reihe naeh mit den Geschwindigkeitskomponenten «,, u2, ..., un bzw. u b v2, ..., vn nach (5.186) und summiert die Ergebnisse, so erhalt

i

27T

= 0 . (5.187a, b)

2n Durch elementare Rechnung zeigt man, da6 sich in den Doppelsummen die Glieder paarweise aufheben. FaBt man die Zirkulationen r,, F2, ..., Fn im Sinn der Mechanik als ,,Massenpunkte" auf, mit denen die einzelnen Wirbelpunkte behaftet sind, so sprechen die vorstehenden Bedingungen aus, daB der ,,Impuls dieses Massenpunktsystems" verschwindet. Dies bedeutet nach dem Schwerpunktsatz der Mechanik, daB der Massenmittelpunkt bei der Bewegung der einzelnen Massenpunkte seine Lage unverandert beibehalt. Dieser so definierte Punkt mit den Koordinaten -,

ys = -

(Wirbelschwerpunkt)

(5.188 a, b)

wird als Schwerpunkt des Wirbelsystems bezeichnet. Dabei ist hinsichtlich der Berechnung von xs und ys zu beachten, daB die Zirkulationen Tn je nach ihrem Drehsinn positiv oder negativ einzufiihren sind. Uberlagert man dem Wirbelsystem eine Potentialstromung (etwa eine einfache Parallelstromung), so fiihrt der Schwerpunkt des Wirbelsystems eine Bewegung aus, welche allein durch die iiberlagerte Stromung bestimmt ist. Relativ zu ihm bleibt die Bewegung der Wirbelpunkte unverandert bestehen. Die Wirbel schwimmen dann in der Stromung, was man in flieGendem Wasser haufig beobachten kann. Die vorstehende Uberlegung setzt voraus, daB die Wirbel dauernd an die einzelnen Fluidelemente gebunden sind, wie es bei reibungsloser Stromung nach dem zeitlichen Wirbelerhaltungssatz entsprechend Kap. 5.2.3.3 der Fall ist. Bei reibungsbehafteter Stromung gilt diese Aussage nicht. Handelt es sich nach Abb. 5.50b lediglich um zwei Wirbelpunkte Ax und A2 mit den Zirkulationen r t und r2, so erteilt jeder dem anderen eine Geschwindigkeit, die normal zur Verbindungsgeraden AtA2 steht. Die Betrage dieser Geschwindigkeiten ergeben sich nach (5.180a) mitAiA2 =lzav1 = F2/2nl und v2 = rxl1nl. Der Schwerpunkt S dieses Wirbelsystems liegt auf der Geraden/t]A 2 bei ^ = [FJ^r, + F2)]l, und zwar zwischen den beiden Wirbelpunkten, wenn F{ und F2 gleichen Drehsinn haben, anderenfalls auBerhalb auf der Seite der groBeren Zirkulation. Um die durch S gehende Achse rotieren die beiden Wirbelpunkte auf konzentrischen Kreisen. Die Winkelgeschwindigkeit dieser Rotationsbewegung ist co = D,//, = vjl2. Es mag noch bemerkt werden, daB das Fluidelement, welches sich augenblicklich an der Stelle 5 befindet, im allgemeinen nicht ruht, sondern eine Geschwindigkeit besitzt, die aus (5.186)

5.4.2 Stationare Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide

207

berechnet werden kann. Haben F1 und F2 verschiedenen Drehsinn, und ist auGerdem | Fl \ = | F2 \, so sind die Geschwindigkeiten vt und v2 gleich groB und gleich gerichtet. Die Wirbelpunkte, welche jetzt als Wirbelpaar bezeichnet werden, bewegen sich mit gleicher Geschwindigkeit normal zur Geraden J4,A 2 . Der Schwerpunkt S liegt im Unendlichen. b) Stromlinienbilder ebener Wirbelfelder. Fur einige Anordnungen von Wirbelsystemen seien noch die Stromlinienbilder gezeigt. Es lautet die Stromfunktion gemaB (5.62b) 1

V

V

f = - -7T- Zr m lnr m = - —- X ajnrm = - — In (rf • rf ... r«-...), ATI

m

ZU

m

(5.189a, b, c)

ZTl

wenn rm die jeweiligen Abstande der Wirbelpunkte l s « S M vom Aufpunkt sind und Fm = am F mit F als Festwert und am S 0 als Proportionalitatsfaktor entsprechend der GroBe und dem Drehsinn der Zirkulation Fm gesetzt wird. Da W fiir jede Stromlinie einen konstanten Wert besitzt, liefert die Bedingung W = const die Gleichung der Stromlinien. Von dem in einem endlichen Bereich liegenden Wirbelsystem nimmt die Stromfunktion in unendlich groBer Entfernung (rm —> <*>) bei X am * 0 den Wert •?„ = - °° an. Ist dagegen X « m = 0, d.h. verschwindet die Gesamtzirkulation aller Wirbel X-Tm = 0, so erhalt man fiir die Stromlinie im Unendlichen (rm —> °») den Grenzwert fM = — (F/2ri) In 1 = 0.57 Ein solcher Fall liegt z.B. bei a2- — (Xi und am = 0 fiir m g 3 vor, d.h. bei zwei entgegengesetzt drehenden Wirbeln mit absolut gleich groBer Zirkulation. Abb. 5.51a zeigt fiir zwei Wirbeifaden mit gleichsinnig drehenden Zirkulationen T, und F2 = T, 12, d. h. a, = 2 bzw. a2 = 1, den Verlauf der Stromlinien. Die beiden Wirbel grenzen ihre Gebiete durch eine Grenzstromlinie f0 ab, die am Ort 0 einen Knickpunkt aufweist. An dieser Stelle ist die Geschwindigkeit gleich null. Die Zirkulation um die Einzelwirbel innerhalb von
E = £-|J J v2dnds = b^-j j vdsdW=b -- j F{V)dy. (A)

wm

(5.190a, b,c)

v,

Mit dV= vb dn = bdWaach (5.39a) als Volumenstrom zwischen zwei durch die Werte (fund W + dW gekennzeichnete benachbarte Stromlinien laGt sich (5.190a) in (5.190b) tiberfuhren. Weiterhin kann fiir jede geschlossene Stromlinie der Werte der Zirkulation F'= fv ds = r(V) angegeben werden, wodurch man zu (5.190c) gelangt. Fiir das Beispiel in Abb. 5.51a mit zwei gleichsinnig drehenden Wirbeln hat man die drei fiir sich abgeschlossenen Gebiete (I), (II) und (III) zu betrachten. Dabei werden die Gebiete (I) mit F= F{ und (II) mit F= F2 nach auBen durch die Grenzstromlinie Wo und bei Annahme endlicher Wirbelkerne anstelle infinitesimal kleiner Wirbelfadenquerschnitte nach innen in Anlehnung an Abb. 5.51b durch die Stromfunktionen der Kernrander "Pf bzw. W*2 begrenzt. Das Gebiet (III) mit r = T[ + F2 befindet sich zwischen f_ und Wo. Bezeichnet E* die nicht naher bekannte kinetische Energie der beiden Wirbelkerne, so erhalt man durch Integration von (5.190c) im Sinn der positiven KoordiF Es ist der Grenzwert y_ = - — lim [In (rJ,)] mit e = T <xm = 0 . 271 r»_.

208

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

ffa,

Abb. 5.51. Stromlinienbilder zweier ebener Wirbelfaden. a gleichsinnig drehend mit F2 = FJ2, b Wirbelpaar (gegensinnig drehend) mit / \ = — F2

naten, d.h. in den drei Gebieten jeweils von auBen (untere Grenze) nach innen (obere Grenze), die kinetische Energie ftir das betrachtete Beispiel zu + b

2

(5.191a)

[

Die Funktion Wo hat sich bei der Integration herausgehoben. Die gesuchte Energie ist neben E* nur von den Stromfunktionen f * und fP% an den Kernrandern und von der Stromfunktion W» im Unendlichen des Stromungsfelds abhangig. Wahrend W* und W% bei endlich groBen Kernquerschnitten endlich sind, wird nach den friiher gemachten Angaben "?„ = - = , wenn T; + T2 # 0 ist. Dies bedeutet nach (5.191a) unendlich groBe kinetische Energie E = «> • Solche Wirbelsysteme sind demnach a'hnlich wie ein einziger Wirbel fluidmechanisch nicht moglich. Eine Ausnahme bildet lediglich das in Abb. 5.51b dargestellte Wirbelpaar, bei dem (fi + T2) = 0 und Wx = 0 ist. Aus (5.189a) erhalt man mit r 2 = - r, = - T, r 3 = 0 fur m a 3 sowie rt = a^ und r2 = a2 flir die Werte der Stromfunktionen an den Randern der Wirbelkerne ip* = - w*{ = (r/2n) In (Vai) und somit nach (5.191 a) E = E* + ~ -

In ^—)

(Wirbelpaar) .

(5.191b)

Wie man sieht, nimmt die Energie des Wirbelpaars mit endlichen Kernquerschnitten einen endlichen Wert an. Im Gegensatz zu den vorher besprochenen Wirbelsystemen stellt also das Wirbelpaar ein physikalisch mogliches Gebilde dar; ein Ergebnis, das auch durch den Versuch bestatigt wird. Die gefundenen Erkenntnisse lassen sich auf eine beliebig groBe Anzahl paralleler Wirbelfaden, die samtlich im Endlichen liegen, ausdehnen. Die Energie eines solchen Wirbelfelds kann nur dann einen endlichen Wert annehmen, wenn f_ = 0 ist, d.h. wenn die Gesamtzirkulation aller im Endlichen liegenden Wirbelfaden verschwindet. Daraus folgt allgemein, daB in einer Stromung nur solche, samtlich im Endlichen liegenden, geraden Wirbelfaden moglich sind, die endliche Kernquerschnitte besitzen und deren Gesamtzirkulation gleich null ist. Um also die Gesamtenergie eines solchen Wirbelfelds numerisch berechnen zu konnen, muB man einerseits die Energie der Wirbelkeme und andererseits die Stromfunktionen der Kernrander kennen. Beide GroBen hangen offenbar mit der Gestalt der Kerne und der GroBe der Zirkulationen zusammen. Um daruber etwas aussagen zu konnen, muB die Entstehungsgeschichte der Kerne bekannt sein. Die Losung dieser hier aufgeworfenen Frage ist in allgemeiner

5.4.2 Stationare Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide

209

Form noch nicht gelungen. Fiir einen Sonderfall aus der Tragfliigeltheorie hat Kaufmann [39] ein Naherungsverfahren zur Berechnung der Kernenergie fiir reibungslose Stromung angegeben. Uber die zeitliche und raumliche Ausbreitung von Wirbeln in einem viskosen Fluid wird in Kap. 5.5.2.3 noch besonders berichtet. d) Spiegelung eines ebenen Potentialwirbels.58 Denkt man sich in Abb. 5.52 a die Mittelebene zwischen den beiden Wirbeln eines Wirbelpaars durch eine feste gerade Wand ersetzt und betrachtet nur den rechten Teil der Abbildung, so erhalt man das momentane Stromlinienbild eines Wirbelfadens, der sich im Abstand / parallel einer geraden festen Wand mit der Geschwindigkeit v = F/4nl bewegt. Diese Stromung ist instationar, da die gezeichneten Stromlinien der relativen Bewegung um den Wirbel entsprechen, der sich selbst noch mit der angegebenen Geschwindigkeit bewegt. Die Stromlinien sind Kreise mit a = 2l/(c2 - 1), r = 2cl/(c2 - 1) bei vorgegebenen Werten von c> 0. FaBt man eine kreisformige Stromlinie als feste Berandung auf, so entspricht dies der Aufgabe der Spiegelung eines geraden Wirbelfadens an einem festen Kreiszylinder. Legt man nach Abb. 5.52b den Koordinatenursprung in den Kreismittelpunkt, dann wird ein Wirbel der Starke — F im Abstand e vom Kreismittelpunkt durch einen Wirbel der Starke + F, der sich im Abstand a = R2/e im Inneren des Kreises befindet, gespiegelt. Das Stromungsbild eines axialen Wirbelfadens in einem Kreisrohr vom Radius r R an einer Stelle r = a erhalt man also, wenn man auBerhalb des Kreisrohrs einen Wirbel gleicher Starke, aber entgegengesetzter Drehrichtung im Abstand e = R2/a vom Kreismittelpunkt auf der Verbindungsgeraden durch den Kreismittelpunkt und den Wirbelpunkt spiegelt. e) WirbelstraBe (von Karman). Wird ein prismatischer oder zylindrischer Korper nach Abb. 5.53a normal zu seiner Achse gleichformig mit der Geschwindigkeit U in einem ruhenden Fluid bewegt, so bildet sich bei geeignetem Wert von U und entsprechender Korperabmessung hinter dem Korper ein System von Einzelwirbeln in bestimmten Abstanden auf zwei nahezu parallelen Geraden aus. Es entsteht eine WirbelstraBe, die als Ganzes betrachtet dem Korper mit der kleineren Geschwindigkeit u < U folgt. Zwischen den beiden Wirbelreihen stellt sich eine pendelnde Stromungsbewegung ein. Diese in Wasserrinnen zu beobachtende Erscheinung veranlaBte von Karman [37], die Stabilitat einer derartigen Wirbelanordnung genauer zu untersuchen, wobei er folgende idealisierende Annahmen machte: a) Das Fluid wird als reibungslos angesehen, b) der bewegte Korper ist normal zur Stromung unendlich lang (ebenes Problem), c) die einzelnen Wirbelfaden werden als Potentialwirbel normal zur Stromungsrichtung eingefuhrt (ihre Zirkulationen sind samtlich gleich groB, haben aber nach Abb. 5.53 a in den beiden Reihen der StraBe entgegengesetzten Drehsinn), d) auBerhalb dieser Wirbelfaden herrscht Potentialstromung, e) die WirbelstraBe wird als beiderseits unendlich lang angenommen. Unter diesen Voraussetzungen fand von Karman, daB nur die aus Abb. 5.53 a ersichtliche Wirbelanordnung, bei welcher die Wirbelfaden der beiden Reihen um die Strecke 1/2 gegeneinander verschoben sind, gegeniiber kleinen Storungen der An-

Abb. 5.52. Spiegelung von Potentialwirbeln. a an fester gerader Wand, vgl. Abb. 5.25 u. 5.26, b an festem Kreiszylinder, axialer Wirbel in einem Kreisrohr

Auf die Spiegelungsaufgabe einer ebenen Quellstromung in Kap. 5.3.2.4 Beispiel h.l sei hingewiesen.

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

210

fangslage stabil ist.59 Dabei ergibt sich fur das Verhaltnis zwischen dem Abstand h der beiden Wirbelreihen und dem Wirbelabstand / der von der speziellen Querschnittsform des Korpers unabhangige Wert sinh (71/1//) = 1 oder h/l = 0,2806. Die auf diese Weise gekennzeichnete stabile Anordnung der WirbelstraBe bildet sich derail aus, daB sich abwechselnd gegensinnig drehende Wirbel zu beiden Seiten des erzeugenden Korpers loslosen, wodurch die periodisch pendelnde Bewegung entsteht. Man stellt leicht fest, daB ein beliebiger Wirbel infolge aller iibrigen Wirbel derselben unendlich langen Reihe keine Geschwindigkeit erlangen kann. Infolge der anderen Reihe erhalt er nur eine der x-Richtung parallele Geschwindigkeit, da sich die zu je zwei symmetrisch zu ihm liegenden Einzelwirbel gehorigen j>-Komponenten paarweise aufheben. Bei unendlich langen Reihen hat jeder Wirbelpunkt die gleiche Geschwindigkeit. Das ganze Wirbelsystem bewegt sich also mit konstanter Geschwindigkeit u in Richtung der x-Achse. Zur Berechnung dieser Geschwindigkeit soil die Methode der komplexen Funktionen nach Kap. 5.3.2.3, Losungsansatz III, herangezogen werden. Bezeichnet zx = x + iyl die komplexe Lage irgendeines Wirbels der oberen Wirbelreihe, so ist die komplexe Potentialfunktion infolge dieses Wirbels an dem beliebigen Ort z = x + iy nach (5.62a) cJJ(z) = -i(ri2n)\a (z - z,). Die resultierende komplexe Potentialfunktion der oberen und unteren Reihe mit z2= — zl erhalt man durch Summation liber alle Wirbel nach elementarer Zwischenrechnung, vgl. die Bibliographie [A 22, 24], zu

*•£*•

ir / ' 2i\cot(n

w =

— COt 71

(5.192a, b)

Abb. 5.53 a, b . Karmansche WirbelstraBe hinter zylindrischen Korpern. a Wirbelanordnung (schematisch); b theoretisches Stromlinienbild der stabilen WirbelstraBe

59

Auf die Moglichkeit, daB bei ganz speziellen Storungen auch die Wirbelanordnung nach Abb. 5.53 a instabil sein kann, hat Schmieden [12] hingewiesen. Eine Verallgemeinerung des Karmanschen Stabilitatskriteriums stammt von Domm [12] und Maue [12].

5.4.2 Stationare Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide

7?

211

•Vv

D=0,Z35mm ^3

0,813 0,989 3.180 S.3S0

S703

2

9 ( 810*

Abb. 5.53. c, d experimentelles Stromlinienbild bei Re = UD/v = 4.75 • 102 bzw. Re = 9,64 • 102; e Strouhal-Zahl Sr =fD/U in Abhiingigkeit von der Reynolds-Zahl Re = UD/v nach Roshko [75]. U Fortbewegungsgeschwindigkeit des Zylinders, u Geschwindigkeit des Wirbelsystems

wobei die zweite Beziehung nach (5.46 a) die konjugiert komplexe Geschwindigkeit wt (z) = d [p/dz = u - iv im Aufpunkt ist. Zu dieser Geschwindigkeit liefern alle Wirbelpunkte beider Reihen einen Beitrag, sofern z nicht gerade mit einem Wirbelpunkt zusammenfallt. Um die Geschwindigkeit u eines beliebigen Wirbelpunkts und damit diejenige der WirbelstraBe zu bekommen, beachte man, daB diese Geschwindigkeit parallel der x-Achse gerichtet ist und daB die Bewegung dieses Wirbels durch sein eigenes Geschwindigkeitspotential nicht beeinfluBt wird. LaBt man nun den Aufpunkt z mit einem Wirbelpunkt zusammenfallen, so liefert w, die Geschwindigkeit dieses Wirbels zuziiglich der Geschwindigkeit infolge

212

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

des eigenen Geschwindigkeitspotentials, welche nach (5.180a) unendlich groB ist. Fur einen Wirbel der oberen Reihe ist z = zt + Id (k ganzzahlig von — °= bis + °°). Nach Einsetzen dieses Werts in (5.192b) erhalt man unter Beachtung des vorher Gesagten wegen cot [n(z — z^/l] = <*> und wegen 2z, = 1/2 + i/z, ohne Wiedergabe der Zwischenrechnung, als Geschwindigkeit der WirbelstraBe M = — tanh(n-)=— 21

\ '/

-=0,354—

V8 '

(sinh(nh/l) = 1 , h/l = 0,281).

(5.193a, b)

'

Die letzte Beziehung folgt durch Einsetzen der oben angegebenen Stabilitatsbedingung mit tanh (nh/l) = 1/V2. Das nach der dargelegten Theorie berechnete Stromlinienbild zeigt Abb. 5.53 b. Bei kleinen Geschwindigkeiten U und kleinen Korperabmessungen stimmt es besonders in einiger Entfemung hinter dem Korper gut mit den von Karman und Rubach [37] angestellten Versuchen iiberein, vgl. Abb. 5.53 c. Als Versuchskorper wurden dabei ein Kreiszylinder und eine diinne rechteckige Platte durch ruhendes Wasser geschleppt, dessen Oberflache zur Sichtbarmachung der Stromlinien mit Lykopodiumsamen bestreut war. Beim Kreiszylinder ergab sich ein Langenverhaltnis von h/l = 0,282, bei der Platte im Mittel h/l = 0,306. Diese Werte zeigen, zumindest beim Zylinder, eine gute Ubereinstimmung mit dem theoretischen Wert von h/l - 0,281. Demgegeniiber kann man auch bei sorgfaltigsten Versuchen mit gro'Berer Geschwindigkeit U (groBere Reynolds-Zahl) bereits vom dritten oder vierten Wirbelpaar ab nach Abb. 5.53 d ein Zerflattern der WirbelstraBe, mitunter sogar eine ganz unregelma'Bige Wirbelbildung beobachten, was darauf schlieBen laBt, daB Einflusse vorhanden sind, welche die fiir die reibungslose Stromung nachgewiesene Stabilitat storen. Im Bereich von Reynolds-Zahlen Re = UD/v- 40 bis 10000 (U = Anstromgeschwindigkeit, D = Zylinderdurchmesser, v = kinematische Viskositat) wurden von Roshko [75] eingehende Untersuchungen durchgefiihrt. Dabei zeigt sich, daB die Ausbildung und Form der WirbelstraBe wesentlich von der GroBe der Reynolds-Zahl abhangig ist. Bei Re = 40 bis 150 stellt sich ein stabiler Zustand ohne turbulente Stoning ein, in dem die theoretisch ermittelte Karmansche WirbelstraBe beobachtet wird. Zwischen Re = 150 bis Re = 300 bildet sich ein laminar-turbulentes Ubergangsgebiet mit einzelnen Storungen der stabilen Form der StraBe aus, wahrend bei Re = 300 ein mehr oder weniger unregelmaBiger Zustand entsteht. Dieser ist dadurch gekennzeichnet, daB die periodische Anordnung der freien Einzelwirbel von turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen iiberlagert ist, die im weiteren Verlauf zu einem Zerflattern der Wirbel fuhren. Dabei vergroBert sich die Breite der StraBe stromabwarts standig, wahrend gleichzeitig die Zirkulation der Einzelwirbel abnimmt. Hinsichtlich der Wirbelfrequenz/der Karmanschen WirbelstraBe hinter einem Kreiszylinder besteht aufgrund der experimentellen Untersuchungen ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Strouhal-Zahl (dimensionslose Frequenz) Sr =fD/U, vgl. Kap. 1.3.2.3, und der Reynolds-Zahl Re = UD/v entsprechend Abb. 5.53e. In Kap. 5.4.2.4 Beispiel a und in Kap. 5.5.2.1 Beispiel a sowie in Kap. 6.3.5.2 Beispiel b werden noch einige Bemerkungen zur Karmanschen WirbelstraBe gemacht. Eine zusammenfassende Berichterstattung mit einer umfangreichen Literaturangabe iiber die bei der mehr als sechzigjahrigen Erforschung der Karmanschen WirbelstraBe erzielten Ergebnisse gibt Chen [12].

5.4.2.4 Potentialwirbelschichten Trennungsflachen konnen bei Stromungen auftreten, wenn sich bestimmte StromungsgroBen sprunghaft andern. Solche Vorgange konnen in Flachen vorkommen, bei denen die Betrage der Geschwindigkeiten, nicht aber ihre Richtungen beim Ubergang von der einen zur anderen Seite unstetig sind. So definierte Unstetigkeitsflachen treten im allgemeinen als Wirbelschichten auf. Im folgenden sollen nur ebene Stromungen behandelt werden. a) Translationsstromungen mit Trennungsflache. Gegeben sei nach Abb. 5.54a eine ebene Translationsstromung parallel zur x-Achse, die fiir y < 0 die Geschwindigkeit Mj und fiir y > 0 die Geschwindigkeit u2> ul besitzt. Es ist also die x, z-Ebene eine Trennungsflache mit dem Geschwindigkeitssprung u2 — ul. Wahrend jede Parallelstromung u{ bzw. u2 fiir sich drehungs- und zirkulationsfrei ist, d.h. eine Potentialstromung im Sinn von Kap. 5.3.2 ist mit &{ - uxx bzw.

5.4.2 Stationary Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide

(LJ

213

C

Tmnnungsfliiche

Ausgleichsz. gebief

Abb. 5.54. Translationsstromung mit Trennungsflache. a Unstetige Geschwindigkeitsverteilung (in reibungsloser Stromung), b stetige Geschwindigkeitsverteilung (in reibungsbehafteter Stromung), c Labilitat einer Trennungsflache nach dem Zusammentreffen von zwei vorher getrennten Stromungen

4>2 = u2x, gilt diese Aussage nicht fiir die gesamte Stromung mit der Trennungsflache. Die Zirkulation F erhalt man als Linienintegral der Geschwindigkeit langs der mit (L) gekennzeichneten, im Uhrzeigersinn positiv gewahlten rechteckigen Kurve. Mit (5.12) wird sie durch Summation der Einzelbetrage iiber die vier Rechteckseiten ausgehend vom Punkt A za F = 0 + u2l + 0 - Uil = (u2 - u{)14= 0. Die Zirkulation ist also von null verschieden. Dies bedeutet auch, daB das Geschwindigkeitspotential beim Durchgang durch die Trennungsflache gemaB (5.14)

214

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

den Sprung >| 4= 0 das Stromungsfeld drehungsfrei ist, daB die Trennungsflache der Stromungsbereiche (y § 0) diejenige Stelle ist, wo die Drehung coz 4= 0 ist; man beachte, daB fur y = 0 die Geschwindigkeitsanderung du/dy = o° und damit nach (5.174c) die Drehung \coz\ = °° ist. Die Trennungsflache stellt also fluidmechanisch gesehen eine Wirbelschicht dar. Ein Geschwindigkeitssprung nach Abb. 5.54a kann nur in einer reibungslosen Stromung bestehen. In einer reibungsbehafteten Stromung bildet sich nach Abb. 5.54b ein Ausgleichsgebiet der Geschwindigkeitsverteilung u (y) aus. Zwischen den beiden Gebieten (I) und (II) tritt ein Streifen der Hohe h auf, in welchem der Geschwindigkeitsgradient du/dy und damit auch die Drehung endlich und von null verschieden sind. Das Ausgleichsgebiet stellt also ein Wirbelgebiet dar. Uber die reibungsbehaftete Trennungsflache wird in Kap. 6.4.2.1 berichtet. Trennungsflachen konnen beim Zusammentreffen von zwei vorher getrennten Stromungen, z.B. auf der Riickseite eines Korpers nach Abb. 5.54 c entstehen. Dabei kann es vorkommen, daB zu beiden Seiten der Trennungsflache die Konstante der Bernoullischen Gleichung verschieden, jedoch der Druck gleich ist. Solche Trennungsflachen (Wirbelschichten) sind instabil, d.h. zufallige kleine Storungen (Ausbuchtungen) vergroBern sich schnell. Die Wirbelschicht bewegt sich mit dem arithmetischen Mittel der Geschwindigkeiten beider Seiten u0 = (1/2) (wj + u2). Der Stromungsvorgang ist instationar. In Abb. 5.54c ist ein Bezugssystem gewahlt, das sich mit der mittleren Geschwindigkeit u0 mitbewegt, wodurch der Stromungsvorgang zunachst als stationar angesehen werden kann. Wellentaler und Wellenberge bleiben bei dieser Betrachtungsweise ortsfest. Das obere Fluid stromt fiir dies Bezugssystem mit der Geschwindigkeit AM > 0 nach rechts und das untere Fluid mit der Geschwindigkeit AM < 0 nach links. Bei der nach (7) gewellten Trennungsflache stellen sich fiir die untere Stromung in den Wellentalem vergroBerte Geschwindigkeit und in den Wellenbergen verkleinerte Geschwindigkeit ein. Die entsprechenden Driicke bewirken aber eine VergroBerung der Wellenamplitude entsprechend (2). Die Wellenform bildet sich somit mehr und mehr aus und wird bald wie (3) zur jc-Achse unsymmetrisch. Die Wellen iiberschlagen sich nach (4) schlieBlich und rollen sich gemaB (5) zu einzelnen Wirbeln auf. Bei diesen, durch den Aufrollvorgang entstandenen Wirbeln handelt es sich nicht mehr um Wirbelfaden von unendlich kleinem Querschnitt, sondern um eine ganze Anzahl elementarer Faden, die zusammen Wirbelkerne von endlichem Querschnitt bilden. Auch die in Kap. 5.4.2.3 als Beispiel e behandelte Karmansche WirbelstraBe kann man als Endergebnis zweier zerfallener Trennungsflachen auffassen, die sich hinter dem Korper bei seiner Bewegung ausbilden, aber infolge ihrer Instabilitat nicht erhalten bleiben konnen. In diesem Zusammenhang sei noch eine Bemerkung gemacht, die sich auf den Thomsonschen Zirkulationssatz (5.16) bezieht. Hiernach bleibt eine aus dem Zustand der Ruhe unter dem EinfluB konservativer Krafte entstehende Bewegung einer reibungslosen Stromung zirkulationsfrei. Dieser SchluB ergibt sich daraus, daB in einer drehungsfreien Stromung die Zirkulation langs einer geschlossenen Kurve, die immer von denselben Fluidelementen gebildet wird und einen einfach zusammenhangenden Bereich umschlieBt, dauernd null sein muB. Nun zeigt aber die obige

5.4.2 Stationare Potentialwirbelstromungen dichtebestandiger Fluide

215

Uberlegung, daB in einer reibungslosen Stromung unter gewissen Voraussetzungen Trennungsflachen und damit auch Wirbel entstehen konnen. Die Erklarung dieses scheinbaren Widerspruchs ist von Prandtl [67] dahingehend gegeben worden, daB alle materiellen Linien, die im Innern des ruhenden Fluids einen einfach zusammenhangenden Bereich bilden, sich nur so bewegen oder verformen, daB sie einer sich unter gegebenen Voraussetzungen bildenden Trennungsflache ausweichen, d.h. diese nicht schneiden. In die geschlossene materielle Linie konnen demnach niemals Teile der Trennungsflache (Wirbelschicht) hineingelangen, so daB der von ihr begrenzte Stromungsbereich standig drehungsfrei bleibt, wenn er dies anfangs war. b) Kontinuierliche Schicht ebener Potentialwirbel. Neben den in Kap. 5.4.2.3 besprochenen Wirbelsystemen diskret angeordneter, parallel verlaufender ebener Potentialwirbel spielt besonders auch die kontinuierliche Anordnung dicht nebeneinander in einer Flache liegender Potentialwirbel eine groBe Rolle. Dabei kann die Flache sowohl gerade als auch gewolbt sein. Solche Wirbelschichten waren bereits von Helmholtz [29] bekannt. Sie kommen im Sinn von Beispiel a als Trennungsflachen vor und bilden eine wesentliche Grundlage in der Tragfliigeltheorie nach Kap. 5.4.3 sowie bei den Potentialstromungen mit freien Stromlinien nach Kap. 5.5.2.1. Im folgenden wird zunachst die gerade Wirbelschicht untersucht. Nach Abb. 5.55 a moge die normal zur Bildebene unendlich ausgedehnte Wirbelschicht mit der x-Achse zusammenfallen und sich iiber die gesamte Lange von - °° < x' < °° erstrecken, wobei x' die laufende Koordinate bezeichnet. An einer Stelle x' sei die auf das Langenelement der Schicht dx' bezogene Zirkulation, d.h. die Zirkulationsdichte (Wirbeldichte) y(x') = dF(x')/dx' in m/s. Durch Anwendung des BiotSavartschen Gesetzes (5.180a) auf einen unendlich langen rechtsdrehenden Potentialwirbel mit der Zirkulation dF(x') = y(x') dx' und r = x - x' erhalt man mit Tab. 5.3e die von der Wirbelschicht herriihrenden Geschwindigkeitskomponenten in x- und v-Richtung an einem Aufpunkt x, y zu 1

y dx'

2TT

(x-x'f +y2'

u (x, y) =

,, (x-x')dx'

(5.194 a) (5.194b)

y=-0

Abb. 5.55. Ebene Potentialwirbelschichten (Trennungsschichten) mit kontinuierlich verteilter Zirkulationsdichte a gerade Wirbelschicht y (x?,y = 0), b kreiszylindrische Wirbelschicht y{
216

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

Von besonderem Interesse sind die Geschwindigkeiten bei Annaherung an die Wirbelschicht y —> 0.60'61 Es ist der Grenzwert lim (y —> 0) zu bilden, was zu

=-^- f

(y»0) X

(5.195a)

fiihrt. Bei der Geschwindigkeitskomponente u bezieht sich das obere Vorzeichen auf Punkte dicht oberhalb und das untere Vorzeichen auf Punkte dicht unterhalb der Wirbelschicht, d.h. uo(x) = u (x, y = + 0) > 0 und uu(x) = u (x, y = - 0) < 0. Beim Durchgang durch die Wirbelschicht tritt also der Geschwindigkeitssprung AM (X) = UO-UU = 2U0 = y(x)

auf.

Bei konstant angenommener Zirkulationsdichte y(x') = y = const der sich bis ins Unendliche erstreckenden ebenen Wirbelschicht — °° < x' < °° liefert die Auswertung von (5.195 a) fur die induzierten Geschwindigkeiten in den Bereichenx,

u (x, + 0) = + ^ = const,

v (x, 0) = 0

(gerade).

(5.195 b)

Als weiteres Beispiel einer ebenen Wirbelschicht sei die kreiszylindrische Wirbelschicht nach Abb. 5.55b beschrieben. Diese Schicht besitze den Radius r = R und sei mit der konstanten Zirkulationsdichte y( = 0), was nach (5.13 a) bedeutet, daB dort die Zirkulation als Flachenintegral iiber die Drehung verschwindet. Mithin folgt fur die Zirkulation als Linienintegral der Geschwindigkeit F(r < R) = 2nrvv{r < R) = 0 und damit v9(r < R) = 0. Auf dem Kreiszylinder und im AuBenbereich (r g= R) gilt fur die Zirkulation

60

LaBt man y —> 0 gehen, entsteht bei x - £ bzw. x + e mit e —> 0 eine singulare Stelle. Eine genauere mathematische Losung fiihrt fur die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung zu x +e

f

u(x,y^0) =

hm = . In y^a J (x-xf + y2 \y\ 2 Dies Ergebnis laBt sich auch folgendermaBen J (x- anschaulich gewinnen: In der Umgebung des Punkts x,y = ± 0 sei nach Abb. 5.55 a ein flaches rechteckiges Element mit den Kantenlangen Ax und Ay —> 0 betrachtet. Fur die Geschwindigkeiten ober- und unterhalb der Wirbelschicht gilt u0 (x, y = + 0) = — uu (x, y = - 0). Fiir die hier rechtsdrehend angenommene Zirkulation als Linienintegral nach (5.12) wird fur das Element A r = u0 Ax - uu Ax = 2 «0 Ax. Mit Ar(x) = y (x) Ax folgt ebenfalls uo(x) = -uu (x) = (1/2) y(x). 61 Fiir die Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung gilt v(x, y -> 0) =

,• fY Y(x')dx'

= hm M0\J

x-xf

++

} y(x')dx' J

i

x-x

f J

x-x

Das Integral j ... dx' wird als Cauchyscher Hauptwert bezeichnet, der besagt, daB der Bereich x - £ < x ' < x + £ mit £ —> 0 bei der Integration auszulassen ist.

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide

217

F = 2n Ry = 2n rv9(r - R). Die Betrachtungen iiber die Zirkulation fiihren fur die Umfangsgeschwindigkeiten zu dem Ergebnis P

vv(r
v(p(r^R) = -

R R

= y— (kreiszylindrisch) .(5.196a, b)

Wahrend die Stromung im Innenbereich in Ruhe ist, ist die Umfangsgeschwindigkeit im AuBenbereich genau so groB wie die induzierte Geschwindigkeit, die ein Einzelwirbel erzeugen wiirde, der sich im Nullpunkt (Zylinderachse) befindet und die Gesamtzirkulation Tbesitzt.

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide Einzelne Tragfliigel oder Anordnungen von mehreren Tragflugeln finden Verwendung bei Stromungsmaschinen der verschiedensten Art (Pumpe, Turbine, Propeller, Windrad) sowie in besonderem MaB bei Luftfahrzeugen. Die Ausfiihrungen dieses Kapitels konnen nur einen gedrangten und somit auch unvollstandigen Einblick vermitteln. Zum weiteren Studium muB auf das einschlagige Schrifttum verwiesen werden, z.B. [5, 64, 79, 80, 87, 88]. 5.4.3.1 Grundlagen der Theorie des Auftriebs Uber die Theorie des Auftriebs angestromter ebener Korper bei reibungsloser Stromung eines dichtebestandigen Fluids wurde bereits in Kap. 3.6.2.1 und 5.3.2.3 berichtet. Dabei zeigte sich, daB eine Auftriebskraft an einem Korper nur bei Vorhandensein einer den Korper einschlieBenden zirkulatorischen Stromung moglich ist. Der Zusammenhang zwischen der Auftriebskraft FA und der Zirkulation F wird durch den Kutta-Joukowskyschen Auftriebssatz angegeben. Wird ein beliebig geformter prismatischer Korper, im vorliegenden Fall ein Tragfliigelprofil der Breite b in ebener Stromung mit der Geschwindigkeit w^ angestromt, so gilt nach (3.240a), (3.242a) oder (5.53a) FA = pbw^r,

FALwx

(Auftriebssatz)

(5.197 a)

mit g als Dichte des Fluids und F als Zirkulation um das Profil. Die Auftriebskraft (= Querkraft) steht normal auf der durch die Geschwindigkeit wM bestimmten Anstromrichtung. Zur Erzeugung der fur das Auftreten eines Auftriebs notwendigen Zirkulation muB der Querschnitt des Tragfliigels eine entsprechende Profilform erhalten. Wahrend diese im allgemeinen vorn an der Fliigelnase gut abgerundet ist, besitzt sie nach Abb. 5.56 eine mehr oder weniger scharf zugespitzte Hinterkante. Der Flugelschnitt sei gegen die ungestorte Parallelstromung angestellt. Nach den Lehren der Potentialtheorie von Kap. 5.3 ergibt sich ein Stromlinienbild mit einem hinteren Staupunkt S auf der Fliigeloberseite gemaB Abb. 5.56a, man vgl. dazu Abb. 5.77b und die dort zu dieser Stromung gemachte Ausfiihrung. Die scharfe Hinterkante wird dabei von unten her mit unendlich groBer Geschwindigkeit umstromt. Eine resultierende Einzelkraft auf den Fliigel wird

218

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen) C D gebundener Wirbelfl^s- 0 Anfahr-

Abb. 5.56. Zur Entstehung der Zirkulation bei einem hinten scharfkantigen Tragflugelprofil. a Stromung ohne Zirkulation, S = hinterer Staupunkt; b Anwendung des Thomsonschen Zirkulationssatzes; c Stromung mit Zirkulation, Abstrombedingung an der Hinterkante erfiillt

durch diese Potentialstrdmung nicht erzeugt. Damit iiberhaupt ein Auftrieb entstehen kann, muB nach (5.197a) eine rechtsdrehende Zirkulationsstromung iiberlagert werden. liber die GroBe der Zirkulation F, die wesentlich von der Profilform und dem Anstellwinkel abhangt, vermag der Kutta-Joukowskysche Satz selbst nichts auszusagen. Ihre Entstehung laBt sich nur erklaren, wenn man die Reibung des stromenden Fluids mit in Betracht zieht. Bei Beginn der Bewegung stellt sich, wie bereits gesagt wurde, die Potentialstromung nach Abb. 5.56a ein, und auch bei der reibungsbehafteten Stromung eines Fluids mit nur geringer Viskositat kann man im ersten Augenblick ein starkes Umstromen der Fliigelhinterkante beobachten. Da die Geschwindigkeit von der Hinterkante bis zum Staupunkt S sehr schnell auf den Wert null abfallt, herrscht in diesem Bereich nach der Bernoullischen Energiegleichung ein sehr starker Druckanstieg, den die verzogert stromende, wandnahe Reibungsschicht nicht zu iiberwinden vermag, vgl. Kap. 6.2.2.1 und 6.3.2.2. Sie lost sich also an der Hinterkante vom Fliigel ab und wickelt sich entsprechend Abb. 5.56b zu einem starken Einzelwirbel, dem sog. Anfahrwirbel auf. Denkt man sich nun in Abb. 5.56b um den Fliigel in hinreichend groBem Abstand eine geschlossene Kurve (Flache) A-B-D-E-A gelegt, welche diesen samt dem abgehenden Anfahrwirbel umfaBt, so ist die Zirkulation langs dieser Kurve, in deren Bereich reibungslose Stromung angenommen wird, nach dem Thomsonschen Zirkulationssatz (5.16b) gleich null, da sie anfangs, d.h. im Ruhezustand, gleich null war. Da nun in dem Gebiet C-D-E-F-C ein linksdrehender Wirbel mit der Zirkulation - F vorhanden ist, muB sich zum Ausgleich in dem Gebiet A-B-C-F-A eine Zirkulation um den Tragflugel von entgegengesetzt gleicher Starke + F ausbilden. Der Anfahrwirbel wachst so lange, und zwar sehr schnell, bis die Geschwindigkeiten auf beiden Seiten des Fliigelprofils an der Hinterkante gleich groB geworden sind, so daB ein Umstromen der Kante nicht mehr stattfindet. Man nennt dies die Kutta-Joukowskysche Abstrombedingung. Der Staupunkt S in Abb. 5.56a wird dadurch gerade in die Flugelhinterkante verschoben, Abb. 5.56c. Dies Verhalten der Stromung liefert somit eine Bedingung, mit deren Hilfe die Fliigelzirkulation bei gegebener Profilform, Anstellung und Anstromgeschwindigkeit berechnet werden kann. Nach einiger Entfernung des Anfahrwirbels, der weiter stromabwarts vom Fliigel wandert, stellt sich am Tragflugel ein nahezu stationarer Zustand ein, bestehend aus einer Parallelstromung mit Zirkulation, durch welche der Fliigelauftrieb zustande kommt.

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide

219

Man kann die Auftriebswirkung des Fliigelprofils naherungsweise durch einen einzigen Wirbelfaden mit der Zirkulation F ersetzen, dessen Achse parallel der Fliigelquerachse ist und durch den Angriffspunkt des Auftriebs auf der Profilsehne geht. Dieser den Tragfliigel ersetzende hypothetische Wirbel wird im Gegensatz zu dem in der freien Stromung liegenden Anfahrwirbel als gebundener oder tragender Wirbel bezeichnet. Eine bessere Annaherung fur den tragenden Wirbel stellt eine iiber das Fliigelprofil kontinuierliche Zirkulationsverteilung dar, d.h. der Fliigel wird durch eine tragende Wirbelflache ersetzt. Nimmt man die Verteilung wie bei einer geraden Wirbelschicht nach Kap. 5.4.2.4 Beispiel b vor, dann gilt fur die Zirkulationsdichte y(x) = dF/dx, wobei sich die Elementarwirbel dF(x) iiber die ganze Flugeltiefe 0 S x ^ / erstrecken. Beim Tragfliigel endlicher Spannweite ist y auch noch von der Spannweitenerstreckung abhangig. Die durch die Wirbelverteilung am Ort der Wirbelflache in Anstromrichtung hervorgerufene Zusatzgeschwindigkeit erhalt man in sinngemaBer Anwendung von (5.195a) zu u (x) = ± y(x)/2. Damit nun an der Hinterkante glattes Abstromen herrscht, muB dort u (x = /) = 0 sein. Daraus folgt dann fur die Zirkulationsdichte an der Hinterkante, d. h. fur die Kutta-Joukowskysche Abstrombedingung y(x = l)=

F

^~

= 0 (Abstrombedingung).

(5.197 b)

Diese Beziehung gilt fur Fliigel mit sehr kleiner Profildicke und sehr scharfer Hinterkante (theoretisch mit verschwindendem Hinterkantenwinkel). Grenzen der Tragflugeltheorie. Aufgrund obiger Uberlegungen wurden verschiedene Verfahren zur Berechnung des Auftriebs von Tragfliigeln beliebiger Gestalt entwickelt, man vgl. hierzu [79]. Danach werden die theoretisch ermittelten Werte - abgesehen von nicht erfaBbaren Reibungseinfliissen - von den Versuchswerten bestatigt, solange bei gut geformten Fliigelprofilen und kleinen Anstellwinkeln die Stromung, wie in Abb. 5.57 a gezeigt, gut anliegt. Man spricht in diesem Fall von einer gesunden Stromung. Bei groBeren Anstellwinkeln bildet sich nach Abb. 5.57b auf der Fliigeloberseite ein breites Wirbelgebiet, wodurch gleichzeitig der Auftrieb stark abnimmt. Es entsteht eine abgeloste Stromung. In diesem von der Profil- und auch von der FlugelgrundriGform abhangigen Anstellwinkelbereich verliert die obige Zirkulationstheorie zur Berechnung des Tragfliigelauftriebs ihre Giiltigkeit. 5.4.3.2 Tragfliigel unendlicher Spannweite (Profiltheorie)62 Methode der konformen Abbildung. Ebene Potential- und Potentialwirbelstromungen lassen sich nach Kap. 5.3.2.3 mittels komplexer Funktionen beschreiben. Besondere Bedeutung hat dabei die Methode der konformen Abbildung erlangt. Danach laBt sich die Stromung von der komplexen z-Ebene (im allgemeinen die Kreiszylinderumstromung) mittels einer bestimmten konformen Abbildung in die 62

Ein Tragfltigelprofil in ebener Stromung kann man sich als Tragflugel unendlicher Spannweite oder als Tragflugel zwischen parallelen Endscheiben vorstellen.

220

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

Abb. 5.57. Experimentell bestimmte Stromlinienbilder um angestellte Fliigelprofile. a Gesunde Stromung (kleines Wirbelgebiet), b abgeloste Stromung (groBes Wirbelgebiet)

Umstromung eines vorgegebenen ebenen Korpers (hier das Fliigelprofil) in die komplexe £-Ebene transformieren. Nach diesem Verfahren wurde in Kap. 5.3.2.4 als Beispiel/die normal angestrb'mte Platte behandelt, Abb. 5.23. Beim Beispiel g. 1 wurde gezeigt, wie man durch die einfache Joukowskysche Abbildungsfunktion (5.78) aus der Kreiszylinderumstromung in der z-Ebene die Umstromung eines sehnenparallel angestrbmten symmetrischen Joukowsky-Profils gewinnen kann, vgl. Abb. 5.24. Wird der Mittelpunkt des Bildkreises nicht, wie in Abb. 5.24a gezeigt, auf der x-Achse sondern auf der y-Achse verschoben, so entsteht eine kreisformig gewolbte Platte. Eine Verschiebung sowohl in x- als auch in y-Richtung liefert ein gewolbtes Joukowsky-Profil, vgl. [79]. Uber die einfache Joukowskysche Abbildungsfunktion hinaus gibt es eine Fiille weiterer analytischer Funktionen, die zur Beschreibung von in bestimmter Weise vorgegebenen Profilkonturen entwickelt

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestiindiger Fluide

221

wurden. Wesentlich fur die Auftriebserzeugung eines Profils ist, da8 nach (5.197a) die Stromung um den betrachteten ebenen Korper eine Zirkulation Tbesitzen mu6. Als Beispiel zur Methode der konformen Abbildung wird unten die Umstromung der angestellten ebenen Platte mit Auftrieb behandelt. Auf weitere Anwendungen kann hier nicht eingegangen werden, man vgl. die Ausfuhrung in [79]. AbschlieBend sei nochmals vermerkt, daB mittels der Methode der komplexen Funktionen nur ebene Stromungen um Tragfliigelprofile, d.h. nur Fragen der Profiltheorie, beschrieben werden konnen. Singularitatenverfahren. Im Gegensatz zur Methode der konformen Abbildung laBt sich das Singularitatenverfahren sowohl fur ebene als auch raumliche Stromungen anwenden. Sofern es sich bei den Singularitaten um in Profiltiefenrichtung kontinuierlich verteilte ebene oder raumliche Quellen und Sinken handelt, wurden diesbeziiglich Ausfiihrungen bereits in Kap. 5.3.2.4 Beispiel e.4 bzw. Kap. 5.3.2.6 Beispiel e.3 gemacht. Um das Auftriebsproblem erfassen zu konnen, sind als Singularitaten kontinuierlich verteilte Potentialwirbel mit heranzuziehen. Da sich die Untersuchung im vorliegenden Fall nur auf Fragen der Profiltheorie, d.h. auf die ebene Stromung, beschranken soil, handelt es sich hierbei um ebene Potentialwirbel im Sinn von Kap. 5.4.2.2. Die Umstromung eines schwachgewolbten Profils (Skelettprofil, Wolbungsverhaltnis ///<^ 1) von maBig endlicher Dicke (Profiltropfen, Dickenverhaltnis d//<§ 1) mit Anstellung (Anstellwinkel a), Abb. 5.32, kann dadurch bestimmt werden, daB man die Stromungsfelder aus den Singularitaten des angestellten Skelettprofils (Wirbel) und des Profiltropfens (Quelle, Sinke, Dipol) mit der Parallelstromung iiberlagert. Das Geschwindigkeitsfeld im Inneren des Profils ist dabei ohne Belang. Wesentliche Beitrage zur Profiltheorie stammen von Birnbaum [8], Glauert [20] und Riegels [72] sowie Keune und Burg [41]. Uber experimentelle Untersuchungen und Vergleiche von Theorie und Messung berichten Abbott und von Doenhoff [1] sowie Riegels [73]. Skelett-Theorie. Im folgenden sollen nur sehr diinne gewolbte Profile, sog. Skelettprofile, besprochen werden. Solche gewolbten Platten stellen fluidmechanisch gesehen mit Zirkulation behaftete Trennungsflachen im Sinn von Kap. 5.4.2.4 Beispiel b dar. Der Grundgedanke der Skelett-Theorie beruht darauf, das Fliigelprofil nach Abb. 5.58 entsprechend dem Singularitatenverfahren durch eine Schicht von gebundenen ebenen Potentialwirbeln zu ersetzen und deren Zirkulationsstarke dF{x') = y{x')dx' so zu wahlen, daB die resultierende Geschwindigkeit aus der ungestorten Anstromung w^ und der Zusatzgeschwindigkeit der Wirbelbelegung an jeder Stelle in die Richtung der Tangente des Fliigelskeletts fallt. Es wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem x, y mit dem Koordinatenursprung in der Profilvorderkante zugrunde gelegt, wobei die x-Achse mit der Profilsehne zusammenfallt und das Profil die Tiefe / hat. Die Wolbungshohe des Skeletts wird als klein gegeniiber der Profiltiefe vorausgesetzt. Die Sehne des Profils sei gegeniiber der Anstromrichtung um den Anstellwinkel a angestellt, der ebenfalls als klein angesehen werden soil. Wegen der angenommenen geringen Wolbung des

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

222

Abb. 5.58. Zur Anwendung des Singularitatenverfahrens bei diinnen gewolbten Skelett-Profilen (gewolbte Platten)

Skeletts kann man sich, ohne einen gro'Beren Fehler zu begehen, die Wirbelschicht statt am Ort des Skeletts y = y(x') auch am Ort der Sehne y = 0, d.h. auf der x-Achse im Bereich 0 § i ' § / angeordnet denken. Die gesamte Zirkulation um das Profil betragt

r=jy(x')dx',

(5.198a, b)

Die zweite Beziehung stellt die Abstrb'mbedingung nach (5.197b) dar. Die von der Wirbelschicht y(x') am Ort x, y = ± 0 induzierten Geschwindigkeitskomponenten u{x, ±0) und v(x, 0) erMlt man aus (5.195a) bzw. (5.195b), wenn man statt — oo bis oo als Integrationsgrenzen 0 bis / einsetzt. Diese Storgeschwindigkeiten stellen bis auf kleine GroBen hoherer Ordnung auch die Storgeschwindigkeiten an dem entsprechenden Punkt des Profilskeletts y (x) dar. Da die resultierende Geschwindigkeit aus der Anstromgeschwindigkeit wM sowie den Storgeschwindigkeiten u{x) und v(x) an jeder Stelle des Profils die Richtung der Profiltangente haben muB, ergeben sich aus der kinematischen Randbedingung (2.24 b) mit wx + u (x) ~ w«, fiir die Profilkontur y (x) a-

dy(x) dx

_-

v(x)

y(x')dx' x — x'

(5.199a, b)

Diese Beziehungen reichen in Verbindung mit (5.198b) zur Losung der Aufgabe aus. Dabei ergeben sich zwei verschiedene Fragestellungen: 1st yQO vorgegeben, so kann die zu dieser Wirbelverteilung gehorende Profilform y (x) und gegebenenfalls der Anstellwinkel a unmittelbar bestimmt werden. Im allgemeinen lautet die Frage jedoch umgekehrt, d. h. es sind die Profilform und der Anstellwinkel gegeben und die zugehorige Zirkulationsverteilung ist gesucht. Im letzten Fall ist eine Integralgleichung fiir y{x) zu Ibsen. Da das Skelettprofil als Wirbelschicht dargestellt wird, besteht nach (5.195 a) ein Sprung der Geschwindigkeit in x-Richtung zwischen der Profilober- und -unterseite. Wegen der vorausgesetzten Kleinheit von Wolbung und Anstellwinkel kann die resultierende Tangentialgeschwindigkeit am Profil gleich der Geschwindigkeitskomponente auf der x-Achse u(x) = wx, + u(x) = w^± y(x)/2 gesetzt werden, wobei das obere Vorzeichen fiir die Profiloberseite (Index o) mit u =uo und das untere Vorzeichen fiir die Unterseite (Index u) mit u =uu gilt. Durch Anwen-

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide

223

den der Bernoullischen Energiegleichung (5.34) erhalt man die Lastverteilung (Druckverteilung) iiber die Plattentiefe zu Ap = pu - po = (p/2)/(u „ - u I). Diese Druckdifferenz bezieht man auf den Geschwindigkeitsdruck der Anstromung qm = (f>/2) w£ und erhalt so den dimensionslosen Druckbeiwert der Lastverteilung Ac/*) = *

^

= ( M - (^")

= 2 ^ .

(5.200a, b)

Hierdurch ist bei bekannter Verteilung der Zirkulationsdichte y(x) die Druckverteilung unmittelbar gegeben. Die Auftriebskraft FA eines Profils der Breite b ergibt sich durch Integration der Druckverteilung iiber die Profiltiefe zu FA = bj(pu-po)dx = 0 schwanzlastig drehend) wird mit q«, = (p/2) wi und S = bl i

i

y(x)dx,

cM =

-^ I y W

°°

"A (5.202a, b, c)

o

mit xA als Lage des Angriffspunkts der Auftriebskraft auf der Profilachse von der Profilvorderkante aus gemessen. Auf weitere Einzelheiten der praktischen Handhabung des beschriebenen Singularitatenverfahrens wird hier verzichtet, vgl. [79]. Anwendungen a) Angestellte ebene Platte. Die Anwendung komplexer Funktionen in Verbindung mit der Methode der konformen Abbildung soil am einfachsten Beispiel eines Tragflugelprofils, namlich der angestellten ebenen Platte nach Abb. 5.59a in der Stromung eines dichtebestandigen Fluids naher erlautert werden.64 Die komplexe Potentialfunktion tfJ(z) einer Kreiszylinderstromung, der eine Zirkulation riiberlageit ist, wird durch (5.184) beschrieben. Durch Anwenden der Joukowskyschen Abbildungsfunktion (5.78) wird mit C, = z + a2lz der Kreis vom Radius a in Abb. 5.60a (z-Ebene) mit zK = a exp (i
Auf (5.207) und (5.208) bei der angestellten ebenen Platte sei hingewiesen. Die angestellte ebene Platte wurde in Kap. 4.5.3.1 als Beispiel fur die schwache Umlenkung einer supersonischen Stromung und in Kap. 5.3.3.4 als Beispiel a zur Anwendung der sub- und supersonischen Ahnlichkeitsregel besprochen. Dies sind beides Falle von Stromungen dichteveranderlicher Fluide, die hier nicht zur Behandlung anstehen. 64

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

224

AJ

"

X/l

Abb. 5.59. Angestellte ebene Platte bei reibungsloser Stromung eines dichtebestandigen Fluids (Potentialwirbelstromung). a Bezeichnungen, Krafte. b resultierende Druckverteilung (Lastverteilung) langs Plattentiefe

Abb. 5.60. Angestellte ebene Platte bei reibungsloser Stromung eines dichtebestandigen Fluids (Potentialwirbelstromung), Anwendung der konformen Abbildung, Anstellwinkel a - 30°. a z-Ebene, b f-Ebene

z2-a2

*Jt,2-Aa2

z2-a2

-= + -

1

sjQ-Xa2

fiir die Geschwindigkeitsverteilung an der angestellten ebenen Platte und in ihrer Umgebung w.(Q = u(Q- iv(Q = «„

(5.203 a, b,c)

Fiir sehr groBe Werte C, = + °° soil die konjugierte komplexe Anstromgeschwindigkeit im Unendlichen gleich w,(f = T <») = «„ - ivm sein. Hieraus folgt, daB in (5.203 b) das obere Vorzeichen fiir f > 0 und das untere Vorzeichen fiir f < 0 gilt. Die GroBe der Zirkulation rbestimmt sich aus der Forderung des glatten Abstromens an der Plattenhinterkante (Kutta-Joukowskysche Abstrombedingung). Es muB also bei C, — f = 2a die Geschwindigkeit endlich bleiben, was durch Verschwinden des Zahlers in dem mit i behafteten Glied von (5.203b) erreicht wird. Es muB also r = 4nav^ sein. Nach Einsetzen in (5.203b) folgt die in (5.203 c) angegebene Beziehung fiir die Verteilung der konjugiert komplexen Geschwindigkeit in der Umgebung der angestellten Platte nach Abb. 5.60b. An der Platte selbst C,K - £ ergibt sich im

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide

225

Bereich — la s £ s 2a die Geschwindigkeitsverteilung mit Aa -I als Plattentiefe zu cos a ± sin a

~

j

(-//2S{S;/2),

(5.204)

wobei das obere Vorzeichen filr die Plattenober- und das untere Vorzeichen fur die Plattenunterseite gilt. In (5.204) wurden die resultierende Anstromgeschwindigkeit wm = VML + vl, und der Anstellwinkel a durch «„ = wx cos a sowie u. = wm sin a eingefiihrt. Nach (5.204) ist die Geschwindigkeit an der Plattenvorderkante £ = -1/2 unendlich groB. Die Platte wird dort, wie in Abb. 5.60b gezeigt, von unten nach oben umstr&mt. An der Hinterkante E, = 1/2 ist die Tangentialgeschwindigkeit u = wM cos a. Die Lage des Staupunkts auf der Plattenunterseite erhalt man mit u = 0 aus (5.204) zu £0 = — (1/2) cos 2a. An jeder Stelle der Platte mit Ausnahme der Hinterkante hat die Tangentialgeschwindigkeit u (£) einen Sprung zwischen Ober- und Unterseite, welcher die Ursache fiir den Druckunterschied und damit fiir den Auftrieb der angestellten Platte ist. Den dimensionslosen Druckbeiwert der Lastverteilung iiber die Plattentiefe berechnet man nach (5.200a), wenn man die Geschwindigkeit auf der Ober- und Unterseite der Platte nach (5.204) einsetzt: Acp(x) = Pu~P<> =2 sin 2a I—~~ ( O S i g J ) . (5.205) <7« "\ x Anstelle von i, wurde entsprechend Abb. 5.59 a die Koordinate x mit der Plattenvorderkante (x = 0) als Ursprung eingefiihrt.65 Die Anwendung des oben beschriebenen Singularitdtenverfahrens fiihrt fiir kleine Anstellwinkel (sin 2a = 2a) ebenfalls auf das mittels der Methode der konformen Abbildung gefundene Ergebnis. Mit y(x) = 0 fur 0 £ x S / liefert (5.199a, b) in Verbindung mit (5.198b) als Losung der Integralgleichung die Wirbelverteilung, vgl. [79], Acp(x) = 4a I l „ (Oij/ISl). (5.206a,b) "\ x/l Diese nennt man auch die erste Birnbaum-Ackermannsche Normalverteilung. Die Beziehung (5.206b) folgt durch Einsetzen von (5.206a) in (5.200b) und bestatigt die Ubereinstimmung mit (5.205). Die Lastverteilung ist in Abb. 5.59b fiber der Plattentiefe dargestellt. Die normal auf die Plattenoberflache der Breite b wirkenden Drucke erzeugen die Normalkraft FN = b \ (pu-p0)dx= npbwil sinacosa. (5.207) o Nach der Kutta-Joukowskyschen Auftriebsformel (5.197 a) betragt die normal zur Anstromrichtung wirkende Auftriebskraft der angestellten ebenen Platte FA- pbwxr= npbwllsina,

FN-FAcosa,

Fw = 0 ,

(5.208a, b, c)

wobei der im AnschluB an (5.203) angegebene Wert fiir die Zirkulation r = nlw^ sin a berucksichtigt wurde. Zwischen FN und FA besteht der Zusammenhang (5.208 b), d.h. FN ist nach Abb. 5.59aeineKomponente von FA. Da bei der zugrunde gelegten reibungslosen ebenen Stromung die Auftriebskraft zugleich die resultierende Kraft ist, tritt im vorliegenden Fall keine Kraftkomponente in Anstromrichtung, d. h. keine Widerstandskraft Fw, auf. Damit FA normal auf der Anstromrichtung steht, muB also noch eine nach vorn gerichtete Kraftkomponente tangential zur Platte vorhanden sein, FT = — FA sin a. Die Tangentialkraft wird auch Saugkraft FS = — FT genannt. Sie entsteht durch das Umstromen der unendlich dttnnen Vorderkante mit der theoretisch berechneten unendlich groBen Geschwindigkeit. Dies zunachst nicht ohne weiteres einsichtige Ergebnis ist erstmalig als Paradoxon von Cisotti bekannt geworden. Weitere Einzelheiten hierzu werden u. a. in [79] besprochen. Aus (5.208a) findet man fur den Auftriebsbeiwert cA = FA/q^ S mit q» = (f>/2)w1 und S = bl Q = 27isina = 27ia,

Sif*

Y

~^ = 2n;

-j- = - ^ = - .

/if*

1

(5.209a, b; c) 66

Die GroBe dcjda bezeichnet man als den Auftriebsanstieg der angestellten ebenen Platte. Dieser Wert gilt in erster Naherung auch fur schlanke Flugelprofile. Wahrend der Auftriebsanstieg nach der Poten65

Es besteht der Zusammenhang E, = x - 1/2. Beziehungen fur den Auftriebsanstieg bei einem dichteveranderlichen Fluid wurden fiir die Unterund Uberschallanstromung bereits in (5.134a, b) mitgeteilt. 66

226

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

tialtheorie mit dem Profildickenverhaltnis zunimmt, ist er infolge von Reibungseinfliissen je nach Profilform haufig etwas kleiner als 2n. Die Lage des Angriffspunkts der Normalkraft (Auftriebskraft) xA erhalt man aus dem Moment der Lastverteilung um die Plattenvorderkante. Nach (5.209c) greift FN im sog. Einviertelpunkt des Profils an. Man nennt den anstellwinkelunabhangigen Angriffspunkt der Auftriebskraft den Neutralpunkt des Profils. b) Parabelskelett. Die Funktion y(x/l) = 4(///) (x/l) (1 - x/l) stellt ein Parabelskelett mit der W61bungshohe/= y (x/l = 1/2) dar. Wird dies in Sehnenrichtung (x-Richtung) angestromt, dann ist a = 0. Die Losung von (5.199) ergibt in Verbindung mit (5.198 b) und (5.200b) die Lastverteilung (Druckverteilung) [79]

= 4nl,

^ = 1 (a =

(5.210a, b, c)

Diese nimmt sowohl an der Vorderkante als auch an der Hinterkante jeweils den Wert null an. Wahrend dies Ergebnis an der Hinterkante die Erfiillung der Abstrombedingung bedeutet, spricht man bei der Vorderkante, die im Gegensatz zur angestellten ebenen Platte jetzt nicht umstromt wird, von der umstromungsfreien Zustromung. In (5.210b, c) sind in Analogie zu (5.209a, c) der Auftriebsbeiwert und die Lage des Angriffspunkts der Auftriebskraft wiedergegeben. Die beiden gebrachten Beispiele der angestellten ebenen Platte und des Parabelskeletts konnen linear iiberlagert werden, wodurch man den Fall eines angestellten Parabelprofils erhalt:

f

«.-*•(••*f>

=4 1

2 (///) + a

(a * 0 ) .

(5.211a, b)

Da xA/l von a abhangig ist, spricht man von einer Druckpunktwanderung der Auftriebskraft mit dem Anstellwinkel. Auftrieb und Widerstand stellen bei realer Stromung die resultierenden Krafte aller normal und parallel zur Anstromrichtung auf die Fliigeloberflache ausgeubten Druck- und Schubspannungen dar. Infolge der Anstellung des Tragfliigels und infolge der im allgemeinen starkeren Kriimmung der Fliigeloberseite gegeniiber der Unterseite stellen sich auf ersterer, abgesehen von einem kleinen Gebiet in unmittelbarer Nahe der Hinterkante, Unterdrucke und auf letzterer dagegen Oberdriicke ein. Abb. 5.61 zeigt fur mittelgroBe Anstellwinkel (gesunde Stromung) eine iiber die Flugeltiefe 0 S j £ ( aufgetragene gemessene Druckverteilung. Man erkennt daraus, da6 die Unterdrucke absolut genommen wesentlich groBer sind als die Uberdrucke. Wegen des unterschiedlichen fluidmechanischen Verhaltens von Fliigelober- und -unterseite nennt man die erstere haufig auch die Saugseite, die letztere dagegen die Druckseite des Fliigels. Dabei konnen die Unterdrucke auf der Saugseite in der Nahe der Fliigelnase bei groBeren Anstellwinkeln Werte annehmen, welche das zwei- bis dreifache des Geschwindigkeitsdrucks der ungestorten Stromung erreichen. Der Flacheninhalt des dargestellten Druckdiagramms ist ein MaB fiir die GroBe des Auftriebs.

•Saugseite

Abb. 5.61. Gemessene Druckverteilung um ein Flugelprofil, i = Geschwindigkeitsdruck der Anstromung

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide

227

5.4.3.3 Tragfliigel endlicher Spannweite (raumliche Tragfliigeltheorie) Im folgenden soUen nur einige wenige Angaben uber das fluidmechanische Verhalten des Tragfliigels endlicher Spannweite gemacht werden. Da diese Aufgabe in hohem Ma6 die Aerodynamik des Flugzeugs betrifft, sei auf die ausfiihrliche Darstellung in [79] verwiesen. Wirbelschicht hinter einem Fliigel endlicher Spannweite. Die bei der Profiltheorie behandelten Vorgange betrafen ebene Stromungen, d.h. bezogen sich auf den unendlich langen Fliigel. Dabei zeigte sich, daB durch Uberlagerung einer Parallel- und einer Zirkulationsstromung an der Fliigeloberseite Unterdruck, an der Unterseite dagegen Uberdruck, und somit als resultierende Kraft Auftrieb entsteht. Beim Tragfliigel endlicher Spannweite bewirken diese Druckunterschiede ein Umstromen der seitlichen Fliigelenden in dem aus Abb. 5.62a und b ersichtlichen Sinn. Die Folge davon ist das Entstehen einer raumlichen Stromung mit einer Verminderung der Druckunterschiede nach den seitlichen Fliigelenden hin. An den Enden selbst verschwindet dieser Druckunterschied. Demnach muB auch der ortlich iiber die Spannweite veranderliche Auftrieb (Zirkulation) nach einem

Anstrijmrichtung

Abb. 5.62. Zur Entstehung der freien Wirbelschicht und der aufgerollten Einzelwirbel hinter einem Tragfliigel endlicher Spannweite. a, b FliigelgrundriB, Ansicht von hinten; c, d, e Wirbelschicht, Aufrollvorgang; f aufgerolltes Wirbelpaar

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potential wirbelstromungen)

228

zunachst noch unbekannten Gesetz von der Mitte nach den Enden hin stetig bis auf den Wert null abfallen, vgl. Abb. 5.63a. Die durch die seitliche Strbmung bedingte Sekundarstrbmung, welche sich der Hauptstrbmung iiberlagert, halt auch dann noch an, wenn das strbmende Fluid den Tragfliigel bereits wieder verlassen hat, so da6 hinter dem Fliigel zwei Strbmungsschichten vorhanden sind, die mit verschiedenen Geschwindigkeiten aneinander vorbeistrbmen. Es entsteht somit eine Trennungsflache, die man nach Kap. 5.4.2.4 als freie Wirbelschicht auffassen kann, deren Elementarzirkulationen nach Abb. 5.62c links und rechts der Fliigelmitte entgegengesetzten Drehsinn haben, vgl. Abb. 5.63b. Aufrollvorgang hinter einem Tragfliigel. Die Wirbelschicht hinter dem Fliigel wird bei der Vorwartsbewegung des Tragfliigels standig in voUer Breite der Fliigelspannweite neu gebildet. Sie ist indessen nicht stabil, sondern rollt sich hinter dem Fliigel von den seitlichen Enden her, wie in Abb. 5.62d und e gezeigt, spiral artig auf, bis schlieBlich entsprechend Abb. 5.62f bei symmetrischer Auftriebsverteilung iiber Spannweite allein zwei einzelne Wirbel mit nach innen drehender Zirkulation iibrigbleiben, vgl. Abb. 5.63c. Es entsteht auf diese Weise in einiger

Tly)

^AnstrBmrkhtung gebundene Wirbel ,75 / ,Tlyi

vj freie C

c \sch

->

c

(yi

— ti

—

Abb. 5.63. Das Wirbelsystem hinter einem Tragfliigel endlicher Spannweite (schematisch). a Zirkulationsverteilung iiber Spannweite, b nicht aufgerollte Wirbelschicht (bestehend aus einzelnen Hufeisenwirbeln, deren tragende Teile sich auf ein Viertel der ortlichen Fliigeltiefe befinden), c Wirbelschicht mit Aufrollvorgang

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide

229

Entfernung hinter dem Fliigel, ahnlich wie in Abb. 5.51b, ein Wirbelpaar, das sich theoretisch bis ins Unendliche erstreckt. Da in reibungsloser Stromung Zirkulation nach dem Thomsonschen Zirkulationssatz (5.16) nicht verlorengehen kann, ist die Zirkulation jedes der beiden gegenlaufigen Wirbel gleich der Zirkulation r 0 einer Halfte der Trennungsflache, aus der sie entstehen. Wie in Abb. 5.63 a und c gezeigt, ist der Abstand der beiden Einzelwirbel kleiner als die Spannweite des Tragfliigels, b0 < b. Man kann ihn nach einem Vorschlag von Prandtl [64] mittels des Impulssatzes naherungsweise berechnen. Weitergehende theoretische Untersuchungen uber den AufroUvorgang der freien Wirbelschicht stammen u.a. von Kaufmann [40], wobei fur die aufgerollten Einzelwirbel endliche Kernquerschnitte angenommen werden. Auf die Darstellung von Widnall [97] sei hingewiesen. Wirbelsysteme der raumlichen Tragfliigeltheorie. Es wurde bei der Profiltheorie bereits gezeigt, daB man den Fliigel durch einen tragenden Wirbel von der Zirkulation F ersetzen kann. Ein solcher Wirbelfaden kann im Inneren der Stromung gemaB dem raumlichen Wirbelerhaltungssatz von Kap. 5.2.5.3 weder beginnen noch enden. Er muB sich also entweder wie beim Tragfliigel unendlicher Spannweite bis an die Grenze des Stromungsraums erstrecken oder, in sich zusammenlaufend, einen geschlossenen Wirbelfaden bilden. Im folgenden bleibe der AufroUvorgang unberiicksichtigt. Nimmt man beim Tragfliigel endlicher Spannweite zunachst eine uber Spannweite konstant verteilte Zirkulation an, so findet der tragende Wirbel nach hinten seine Fortsetzung in Gestalt der beiden Randwirbel, die von den seitlichen Fliigelenden ausgehen. Man nennt diese Wirbel auch freie Wirbel. Bei endlicher Zeit nach der Anfahrt bilden der tragende Wirbel und die beiden Randwirbel zusammen mit dem Anfahrwirbel nach Abb. 5.64a ein geschlossenes Wirbelgebilde. Bei unendlich langer Zeit nach der Anfahrt verliert der Anfahrwirbel fur das Stromungsverhalten am Tragfliigel an Bedeutung, und die Randwirbel enden im Unendlichen. Es entsteht dann ein sog. Hufeisenwirbel. Nach dem Wirbelerhaltungssatz folgt, dafi die Zirkulationen der Randwirbel gleich der Zirkulation des tragenden Wirbels und gegebenenfalls des Anfahrwirbels sind. Dabei ist der jeweilige Drehsinn zu beachten. In Abb. 5.63 a ist die den beiden aufgerollten Einzelwirbeln von Abb. 5.63 c mit der Zirkulation Fo zugeordnete uber die Spannweite konstante Zirkulationsverteilung F(y) r 0 = const fur - bo/2 S y S bo/2 gestrichelt dargestellt. In Wirklichkeit liegen die Verhaltnisse nicht so einfach wie vorstehend geschildert, da der Auftrieb und mit ihm die Zirkulation bei endlicher Fliigelspannweite nicht konstant, sondern ahnlich wie in Abb. 5.63 a etwa elliptisch uber die Spannweite verteilt ist. Dementsprechend werden sich unmittelbar hinter dem Fliigel nicht nur die beiden oben erwahnten Randwirbel ausbilden, die ja die Fortsetzung der plotzlich aufhorenden Fliigelzirkulation darstellen, sondern es wird ein ganzes System paralleler freier Wirbel hinter dem Fliigel entstehen, deren Verteilung und Starke von der Verteilung der Zirkulation langs der Spannweite des Tragfliigels abhangig sein wird, da jeder Anderung der Zirkulation ein vom Fliigel nach hinten abgehender Wirbelfaden entsprechen muB. Man kann sich von diesem Wirbelsystem eine Vorstellung machen, wenn man sich gemaB Abb.

230

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

5.63b mehrere Hufeisenwirbel iiberlagert denkt, was einer stufenartigen Verteilung der Zirkulation langs der Flugelspannweite entsprechen wiirde. Bei stetiger Anderung der Zirkulation bilden die abgehenden Wirbelfaden die eingangs bereits erwahnte Wirbelschicht. Aus der Darstellung von Abb. 5.63 b kann geschlossen werden, daB jede Anderung der Zirkulation F = F(y) am Ort y um die GroBe dF(y) langs des Elements dy der Flugelspannweite einen nach hinten abgehenden Wirbelfaden von der Zirkulation dF(y) zur Folge hat. 1st also das Verteilungsgesetz F= I\y) bekannt, so kann auch die Starke der Wirbelschicht hinter dem Tragflugel angegeben werden. Zwischen der Zirkulation F(y) und der Auftriebsverteilung langs der Spannweite besteht nach (5.197a) der Zusammenhang dA(y) = puxF(y) dy mit dA als Teilauftrieb auf ein Fliigelstiick der Breite dy und ux als Anstromgeschwindigkeit.67 Die bisherigen Betrachtungen setzen voraus, daB es sich um Fliigel groBen Seitenverhaltnisses (= Spannweite/mittlere Fliigeltiefe) handelt und die Anstromung normal zur tragenden Linie erfolgt. Kennzeichnend fiir diese Theorie ist der Ersatz des Tragfliigels durch die an den Fliigel gebundenen, geraden tragenden Wirbel von veranderlicher Zirkulation F(y) und die Einfiihrung eines von der Fliigelhinterkante nach hinten annahernd in Anstromrichtung verlaufenden Systems freier Wirbel. Bei Fliigeln mit kleinem Seitenverhaltnis oder bei gepfeilten Fliigeln, bei denen die tragende Linie keine Gerade ist, sondern in der Fliigelmitte einen Knick nach hinten oder auch nach vorn aufweist, sowie ebenfalls bei schiebenden Fliigeln, deren tragende Linie nicht normal zur Anstromrichtung steht, ist die obige Vorstellung von dem tragenden Wirbelfaden nicht ausreichend. Eine bessere Beschreibung der Verhaltnisse am Ort des Fliigels erhalt man durch Einfiihren der tragenden Wirbelflache. Hinsichtlich der Verteilung der einzelnen Wirbelelemente iiber die Fliigelflache kann man dabei z.B. nach Truckenbrodt [88] folgendermaBen vorgehen: Man denkt sich entsprechend Abb. 5.64b den gegebegetundener Wirbel

y Ilementorfliigel

•dr

r ic ^

Abb. 5.64. Wirbelsysteme der raumlichen Tragfliigeltheorie. a Tragflugel endlicher Spannweite mit konstanter Zirkulationsverteilung iiber Spannweite, Hufeisenwirbel bestehend aus gebundenem (tragendem) Wirbel und zwei freien Wirbeln. b Tragflugel endlicher Spannweite aus Elementarfliigeln gebildet, bei denen die tragenden Wirbel als Hufeisenwirbel iiber die Tiefe verteilt sind, nach Truckenbrodt [88] 67 Fiir den Tragflugel endlicher Spannweite wird das Koordinatensystem folgendermaBen festgelegt: x-Achse = in Richtung der Symmetrieebene nach hinten, y-Achse = in Spannweitenrichtung nach rechts, z-Achse = normal auf Flligelflache nach oben.

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide

231

nen Tragfliigel aus lauter Elementarfliigeln von der Breite dy und der ortlichen Tiefe l{y) aufgebaut und ersetzt diese Fliigel jeweils durch eine langs der Fliigeltiefe gegeneinander verschobene Schar von Hufeisenwirbeln. Dabei stellen die in Spannweitenrichtung verlaufenden Wirbelelemente und die in Langsrichtung verlaufenden Wirbelfaden, solange sie den Fliigel noch beriihren, gebundene Wirbel dar. Stromabwarts von der Hinterkante sind die nahezu in Anstromrichtung verlaufenden Wirbel wieder freie Wirbel. Induzierter Widerstand. Die in Abb. 5.62 beschriebene Wirbelflache hinter dem Fliigel und der daraus folgende Aufrollvorgang der freien Wirbel werden bei der Vorwartsbewegung eines Fliigels endlicher Spannweite standig neu gebildet, was naturgemaB einen entsprechenden Arbeitsaufwand notwendig macht. Der Fliigel muB also auch bei reibungsloser Stromung einen Widerstand iiberwinden, der zusatzlich zu dem durch Reibung erzeugten Profilwiderstand auftritt. Dieser durch die endliche Spannweite des Fliigels bedingte Widerstand wird als induzierter Widerstand oder Randwiderstand bezeichnet und bildet zusammen mit dem Profilwiderstand den Gesamtwiderstand des Tragfliigels.68 Wahrend bereits Lanchester [49] eine qualitative Darstellung des Problems gegeben hat, stammt die theoretische Erklarung des induzierten Widerstands an Tragfliigeln endlicher Spannweite von Prandtl [64]. Die ausgehend von der Prandtlschen Traglinientheorie gewonnene Erkenntnis sei nachstehend beschrieben. Der Fliigel wird nach Abb. 5.63b von in Spannweite verlaufenden tragenden Wirbeln ersetzt, die im Einviertelpunkt der Fliigeltiefe (Angriffspunkt der Auftriebskraft nach (5.209c)) liegen und die Zirkulationsstarke F(y) besitzen. Sobald sich die Zirkulation in y-Richtung um dF(y) andert, bildet sich ein freier Wirbel der gleichen Starke. Fur die weitere Betrachtung wird eine nichtaufgerollte Wirbelschicht angenommen, bei der die freien Wirbel sich geradlinig nach hinten bis ins Unendliche erstrecken. Es wird also der besprochene und in Abb. 5.63c dargestellte Aufrollvorgang der Wirbelschicht hinter dem Fliigel vernachlassigt. Diese Naherung darf man machen, wenn man nur kleine Anstellwinkel a voraussetzt. Das System der freien Wirbelfaden erstreckt sich vom Ort des Fliigels (gebundener Wirbel) einseitig nach hinten bis ins Unendliche (halbunendlich langer Wirbel). Am Ort des Fliigels ist also die Storgeschwindigkeit eines solchen Wirbels nur halb so groB wie diejenige eines unendlich langen Wirbels. Betrachtet sei nach Abb. 5.65 ein Fliigelschnitt an der Stelle y in Spannweitenrichtung. Der geometrische Anstellwinkel, d. i. der Winkel zwischen der ungestorten Anstromrichtung und der Nullauftriebsrichtung des Profils, sei a(y). Die freie Wirbelschicht, bestehend aus geradlinig verlaufenden halbunendlich langen Wirbelfaden, ruft am Ort des Fliigels eine im wesentlichen abwarts gerichtete Storgeschwindigkeit hervor, die mit der Anstromgeschwindigkeit iiberlagert eine entsprechende Anstellwinkelanderung am Ort des Fliigelschnitts bedeutet. Man nennt dies den induzierten Anstellwinkel at{y). Man kann also davon ausgehen, daB der Fliigel68

Bei mit Uberschallgeschwindigkeit angestromten Fliigeln tritt bei reibungsloser Stromung als weitere WiderstandsgroBe auch noch der Wellenwiderstand hinzu, man vgl. hierzu die Ausfuhrung in Kap. 4.5.3.1 Beispiele a und b.

232

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

dA

Abb. 5.65. Anstellwinkel (geometrisch, induziert, effektiv) und Krafte (Auftrieb, induzierter Widerstand) am Fliigelschnitt (Profil) eines Tragfliigels endlicher Spannweite (raumliche Stromung)

Nullauftrisbsric/ihng ungestorte Anstromrichtung effehtin AnstriimriMung

schnitt y nicht unter dem geometrischen Anstellwinkel a(y), sondern unter einem um a,(y) im allgemeinen verkleinerten effektiven Anstellwinkel ae(y) = a(y) - aXy) angestromt wird. Beim ebenen Problem (Profiltheorie) ist a, = 0, so da8 dort ae = a gilt. Nach dem Kutta-Joukowskyschen Querkraftsatz (5.197a) steht die durch die Fliigelzirkulation F(y) bedingte Kraft dR(y) normal zur tatsachlichen, d.h. effektiven Anstromrichtung. Sie ist demnach, wie in Abb. 5.65 gezeigt, um den Winkel at(y) nach hinten gedreht. Zerlegt man dR in die Komponenten dA normal und dWt parallel zur ungestorten Anstromrichtung wM, SO liefert dA den Flugelauftrieb und dWt = atdA den zugehorigen induzierten Widerstand des Fltigelelements der Breite dy an der Stelle y. Bezeichnet man mit w^y) > 0 die von den freien Wirbeln am Ort des Fliigels induzierte Abwartsgeschwindigkeit, dann gilt a, = wju^. Mit der bereits oben angegebenen Beziehung fur die ortliche Auftriebskraft dA = QU^F dy erhalt man durch Integration iiber die Fliigelspannweite - s ^y ^ s mit 5 = b/2 als Halbspannweite die am Fliigel angreifenden Gesamtkrafte zu A= mit

J r{y)dy, Wi(y) = -3—

(5.212a, b) dF dy' dy' y — y'

(5.212 c)

wobei die induzierte Abwartsgeschwindigkeit w,(;y) als EinfluB der freien Wirbel hinter dem Fliigel mittels des Biot-Savartschen Gesetzes (5.179) zu ermitteln ist. Ein halbunendlich langer gerader rechtsdrehender Wirbel an der Stelle y' mit der Starke dF(y') induziert an einer Stelle y > y' die Abwartsgeschwindigkeit dwt(y, y') - dF(y')IAn(y - y'), was durch Integration iiber - s ^ y' Si s zu (5.212 c) fuhrt; auf die analoge Beziehung (5.195 a) so wie auf FuBnote 60 von S. 216 sei hingewiesen. Da der induzierte Anstellwinkel linear von der Zirkulation abhangt, ist der induzierte Widerstand proportional dem Quadrat der Zirkulation.

5.4.3 Tragflugeltheorie dichtebestandiger Fluide

233

Wie man aus (5.212b) in Verbindung mit (5.212c) ersieht, ist der induzierte Widerstand nur von der Zirkulationsverteilung F(y) abhangig, wobei es gleichgiiltig ist, ob diese Verteilung durch den FlugelgrundriB (Seitenverhaltnis, Zuspitzung, Pfeilung) oder die Anstellwinkelverteilung (Verwindung) entstanden ist, vgl. [79]. Eine andere Moglichkeit zur Erklarung des induzierten Widerstands als die vorstehend besprochene ergibt sich, wenn man die Energiezunahme der aufgerollten Wirbelflache betrachtet. Hiermit hat sich eingehend Kaufmann [39] beschaftigt. Einige Ergebnisse. Fiir eine iiber Fliigelspannweite elliptische Zirkulationsverteilung F(y) = r 0 V l - (y/s)2, vgl. Abb. 5.63a, nehmen die Werte der Integrale von (5.212) besonders einfache Ausdriicke an: A = (n/4)pbuxr0, w,-(y) = FJ2b = const und W, = (n/S) QF2a. Bemerkenswert ist, daG die induzierte Abwartsgeschwindigkeit langs der Spannweite konstant ist. Durch Eliminieren von Fa sowie durch Einfiihren der dimensionslosen Beiwerte cA = A/q^S und cw. = Wtlqx S mit S als FliigelgrundriBflache und
2nA

2nA

da

-JA2 + 4 + 2

A +2

wobei der letzte Ausdruck fiir die einfache Traglinientheorie von Prandtl [64] fiir groBe Seitenverhaltnisse A > 3 gilt. Fiir den Fliigel unendlicher Spannweite geht (5.215) mit A = °° iiber in den in (5.209b)

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

234

/

k

// /

/

V c

/

V

w

II 1 If If

//

f z/

t

0 - 0 2 |V\\

-0,2

\\ ' 0

0,01 0,08 0,12 OX 0,20

/ / / 0°

f

8°

12° ie°

20° IF

Abb. 5.66. Gemessene Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte an einem Rechteckfliigel (Seitenverhaltnis = Spannweite/mittlere Tiefe A = 5, Profil NACA 2412). a Polarendarstellung cA(cw), cWi = induzierter Widerstand nach (5.213b). b Abhangigkeit vom Anstellwinkel, cA{a) nach (5.215a), cw(a)

angegebenen Wert dcjda = In. Die Beziehung (5.215) sagt aus, daB bei gleichem geometrischen Anstellwinkel der Auftriebsbeiwert cA um so kleiner wird, je kleiner das Seitenverhaltnis A ist. Dies hangt mit dem Druckausgleich an den Enden eines Fliigels endlicher Spannweite zusammen. In Abb. 5.66b ist die aus derselben Kraftmessung wie in Abb. 5.66a gewonnene Abhangigkeit des Auftriebsbeiwerts vom Anstellwinkel cA(a) wiedergegeben. Man erkennt, daB der Auftriebsbeiwert innerhalb des praktisch wichtigen Anstellwinkelbereichs von - 10° < a < 20° nahezu geradlinig ansteigt, bei 20° ein Maximum von c A m a x =l,35 erreicht und darauf mit weiter wachsendem Anstellwinkel schnell abfallt. Nach (5.215 a) ist der theoretisch berechnete Auftriebsanstieg etwas groBer als der gemessene. Die Nullpunktverschiebung bei cA = 0 ruhrt her von der durch die Wolbung des Profils hervorgerufene gedrehten Nullauftriebsrichtung. Der ebenfalls aufgetragene Widerstandsbeiwert ist innerhalb der oben genannten Grenzen wesentlich kleiner als der Auftriebsbeiwert und folgt wie erwartet etwa einem quadratischen Gesetz. Auf die Wiedergabe des gemessenen Moments, aus dem die Lage des Angriffspunkts der resultierenden Stromungskraft zu ermitteln ist, wird hier verzichtet. Die Messung der Stromungskrafte und des zugehorigen Moments erfolgt bei Luftstromungen in der Regel in einem Windkanal, oder bei Fliissigkeitsstromungen in einer entsprechenden Versuchsanlage, indem man an ahnlichen Modellen mittels einer besonderen Waageeinrichtung miBt. Um die Ergebnisse solcher Modellmessungen auf die GroBausfilhrung iibertragen zu konnen, miissen die Ahnlichkeitsgesetze der Fluidmechanik entsprechend Kap. 1.3.2.3 (gleiche Reynolds-, Mach-, Froude-Zahl) beachtet werden. Alle Ahnlichkeitsgesetze lassen sich im allgemeinen nicht gleichzeitig erfullen.

5.4.3.4 Tragfliigelsysteme Anordnungen mehrerer Tragfliigel finden fur die verschiedensten Aufgaben, insbesondere bei Stromungsmaschinen, Verwendung. Auf eine vollstandige Beschreibung der einzelnen Moglichkeiten muB hier verzichtet werden, vgl. Nickel [59]. Als typische Beispiele sollen nur das gerade Fliigelgitter und der Schraubenpropeller kurz besprochen werden. Uber beide wurde schon bei den elementaren Stromungsvorgangen in Kap. 3.3.2.3 und 3.6.2.1 berichtet. Dort gelang es bereits, durch Anwendung insbesondere der Impulsgleichung wichtige Beziehungen uber das fluidmechanische Verhalten herzuleiten, ohne die Einzelheiten der Stromung an den einzelnen Tragfliigelelementen genauer zu kennen. Durch die Tragflugeltheorie ist die Moglichkeit einer noch besseren fluidmechanischen Erfassung ge-

5.4.3 Tragflugeltheorie dichtebestandiger Fluide

235

geben. Hieriiber seien noch einige Ausfiihrangen gemacht. Dabei sollen sich diese Angaben wieder auf die Stromung dichtebestandiger Fluide beschranken. a) Gerades Fliigelgitter (Schaufelgittertheorie).69 Die in Kap. 3.6.2.1 Beispiel a.l und a.2 bei der Stromungsumlenkung durch ein gerades Flugelgitter unendlicher Spannweite gefundenen Beziehungen sind von der Form der Gitterprofile und vom Staffelungswinkel, das ist nach Abb. 5.67 der Winkel der Gitterfront gegenuber derjenigen eines ungestaffelten Gitters, unabhangig. Es ist jedoch einleuchtend, daB der Stromungsverlauf zwischen den einzelnen Gitterprofilen durch die Profil- und Gitterparameter beeinfluBt wird, was sich besonders auf die Geschwindigkeits- und Druckverteilung in der wandnahen Reibungsschicht auswirken muB. Letztere ist von entscheidendem EinfluB auf die Grb'Be des Profilwiderstands der einzelnen Fliigel. Um iiber den durch Reibung des stromenen Fluids bedingten fluidmechanischen Energieverlust im Gitter etwas Genaueres aussagen zu konnen, muB zunachst Einblick iiber den Verlauf der reibungslosen Stromung zwischen den Fliigeln gewonnen werden. Zur Losung dieser Frage kann grundsatzlich wie beim Einzelfliigel in Kap. 5.4.3.2 die Methode der konformen Abbildung verwendet werden, indem man zunachst das in der z-Ebene gegebene Gitter mittels der Funktion C, = exp (2nz/t) mit t als Gitterteilung konform auf eine f-Ebene abbildet. Durch diese Transformation wird ein Streifen der z-Ebene von der Teilung t in die ganze f-Ebene iiberfuhrt, so daB als Bild der gesamten Fliigelreihe nur ein einziger, allerdings entsprechend verzerrter Fliigel in der f-Ebene entsteht. Dieser Fliigel der f-Ebene laBt sich nun weiter konform auf einen Kreis abbilden, und zwar so, daB der AuBenraum des Fliigels in das AuBere des Kreises transformiert wird. Eine ausfiihrliche Darstellung dieser Abbildung gibt Betz [5]. Das in Abb. 5.67 dargestellte gestaffelte Flugelgitter ist im Gegensatz zu Abb. 3.73 auf das Koordinatensystem x, y orientiert, dessen x-Achse den Profilsehnen parallel lauft. Der Staffelungswinkel sei A genannt und in der gezeichneten Weise definiert. Die Wirbelbelegung dF(x') = y{x')dx' auf der Profilsehne wird ftlr alle Fliigel auf zur Gitterfront parallelen Geraden gleich angenommen. Die Betrachtung sei in der komplexen Ebene z = x + ry durchgefuhrt. Mit den Bezeichnungen nach Abb. 5.67 gilt fiir den Ort z' eines auf einer Profilsehne liegenden Elementarwirbels z'n = x' + rcr(sinA + icosA), wo n = 0 ± 1,2, ..., die Ordnungsnummer der einzelnen Fliigel ist. Die durch einen am Ort z'n befindlichen, rechtsdrehenden Elementarwirbel dF(x') im Punkt z hervorgerufene konjugiert komplexe Geschwindigkeit betragt dw,(z, z'n) = idr(x')l2n(z — z'n), man vgl. (5.62a) in Verbindung mit (5.46a). Durch Summation der Geschwindigkeitsanteile aller Elementarwirbel der unendlichen Wirbelreihe, welche die gleiche relative Lage auf den verschiedenen Profilsehnen haben, von n = - ° ° b i s n = + »= sowie die anschlieBende Integration iiber die Profiltiefe O ^ i ' s i erhalt man nach einiger Zwischenrechnung die infolge aller Wirbelbelegungen vorhandene konjugiert komplexe Geschwindigkeit zu i f f z—x' 1 w,(z) = u ~ iv = — (exp (iA) I y{x') coth n exp (U) dx'.

(5.216)

Bewegt man sich in Abb. 5.67 normal zur Gitterfront auf einem Strahl z = a (cos X — i sin X) bis sehr weit vor oder hinter das Gitter, d.h. a = + <*>, so nimmt wegen coth (+«>) = + 1 die komplexe Geschwindigkeit die Werte wr=ur+ ivr= ± (r/2t) (sin A + i cos A) an, wobei Tdie Gesamtzirkulation um ein Schaufelprofil ist.™ Es folgt, daB die induzierten Geschwindigkeiten weit vor und hinter dem Gitter parallel zur Gitterfront verlaufen und wr=± F/2t betragen. Das Gitter erzeugt also im gesamten Feld vor und hinter sich eine zu seiner Front parallele konstante Aufwarts- bzw. Abwartsgeschwindigkeit. Besonders einfach la'Bt sich der Stromungsvorgang fiir das ungestaffelte Gitter mit A = 0 iibersehen. Fiir Punkte auf der Profilsehne, d.h. auf der x-Achse, wird mit z = x die rechte Seite von (5.216) rein imaginar, was bedeutet, daB nur eine von der Wirbelbelegung hervorgerufene Geschwindigkeitskomponente v(x) auftritt. Dieser Storgeschwindigkeit ist nun die ungestorte Anstromgeschwindigkeit w« zu iiberlagern, um die Stromung langs der Profilkontur zu erhalten. Es ist also, ahnlich wie fiir das Einzelprofil, die kinematische Randbedingung fiir die Skelettlinie y (x) nach (5.199a) zuerfiillen. Es gilt also in Analogiezu (5.199b)

69

Fiir ein kreisformiges Flugelgitter wurde in Zusammenhang mit der Darstellung der Impulsmomentengleichung in Kap. 2.5.2.3 die Hauptgleichung der Stromungsmaschinentheorie (Eulersche Turbinengleichung) hergeleitet. ; 70 Man beachte, daB i exp(iA) = - (sin A - i cos A) nach (5.41b) und T=\y(x')dx' nach (5.198a) ist.

236

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

/ A~j / | I!_,, f-wr \]l_Z J

n=-2

- — = —
dx"

Abb. 5.67. Zur Berechnung der Stromung durch ein gestaffeltes, gerades Flugelgitter bestehend aus Skelettprofilen nach dem Singularitatenverfahren

(ungestaffelt),

(5.217)

wobei der Anstellwinkel a zwischen der ungestorten Anstromrichtung und der Profilsehne als klein vorausgesetzt wird. Fiir t —> °° geht (5.217) in (5.199b) iiber. Die rechnerische Durchfiihrung der beschriebenen Aufgabe ist jedoch, selbst fiir einfache Profilformen, sehr umstandlich. Aus diesem Grund ist es zweckmaBiger, sich zur Darstellung der Druckverteilung langs der Fliigelkonturen des ebenfalls in Kap. 5.4.3.2 fiir den Einzelfliigel bereits besprochenen Singularitatenverfahrens zu bedienen, besonders dann, wenn es sich um dttnne Profile handelt, bei denen das Profil durch das Fliigelskelett ersetzt werden kann. Bei der Anwendung dieses Verfahrens auf Flugelgitter werden die gleichen Voraussetzungen hinsichtlich Profilwolbung und Anstellwinkel gemacht wie friiher, insbesondere sollen auch hier die Wirbelsingularitaten wieder auf den Profilsehnen der einzelnen Fliigel angenommen werden. Das Singularitatenverfahren la'Bt sich auch auf Profile von endlicher Dicke erweitern, wenn man als Singularitaten auBer Wirbeln auch noch Quellen- und Sinkenverteilungen verwendet. Ein solches Verfahren ermoglicht in verhaltnismaBig einfacher und tibersichtlicher Weise die Berechnung der reibungslosen Stromung an der Schaufelkontur und damit unter Zuhilfenahme der Bernoullischen Energiegleichung auch der zugehorigen Druckverteilung. Damit sind dann die Voraussetzungen geschaffen, die beim Durchstromen des Gitters entstehenden Reibungsverluste auf rechnerischem Wege zu bestimmen, wie Schlichting und Scholz [80] gezeigt haben. Eine ausfiihrlichere Darstellung iiber Gitterstromungen mit Angaben iiber das einschlagige Schrifttum findet man z.B. bei Betz [4], Scholz [80] und Traupel [87], b) Schraubenpropeller (Fliigelblatt-Theorie). In Kap. 3.3.2.3 Beispiel c.l und Kap. 3.6.2.2 Beispiel d.l a wurde der Propeller als durchlassige Scheibe angesehen und hierfiir eine einfache Strahltheorie entwickelt. Die Wirkungsweise der Propeller beruht im wesentlichen auf dem Tragfliigelprinzip, jedoch mit dem Unterschied, daB der Schraubenfliigel eine aus der Vorwartsbewegung des Fahrzeugs und der Drehbewegung des Propellers resultierende Schraubenbewegung ausfiihrt (daher auch die Bezeichnung Schraubenpropeller). Bei der Ausbildung der Propellerfliigel spielen also ahnliche Uberlegungen eine Rolle wie in der Tragflugeltheorie, besonders hinsichtlich einer giinstigen Gleitzahl, die, wie bereits in

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide

237

Verbindung mit Abb. 5.66 gesagt, das Verhaltnis des Widerstands zum Auftrieb darstellt. Die FliigelblattTheorie geht schon auf Froude [18] zuriick. Wirbelsystem. Betrachtet man zunachst einen Propeller mit jeweils konstanter Auftriebsverteilung uber die einzelnen Rligelblatter, wobei der Auftrieb an den Fliigelspitzen und an der Nabe plotzlich auf null abfallt, so ergibt sich infolge des in Kap. 5.4.3.3 geschilderten Verhaltens an jedem Schraubenfliigel ein Wirbelgebilde, das dem Hufeisenwirbel des Tragfliigels entspricht und etwa die in Abb. 5.68 schematisch dargestellte Form hat. Die auBeren, von den Fliigelspitzen ausgehenden schraubenformigen Wirbel umschlingen dabei den durch den Propeller tretenden Strahl. Die einzelnen Fliigelblatter bilden die gebundenen Wirbel von zunachst konstant angenommener Zirkulation ± F. Sie setzen sich an der Nabe in einem gemeinsamen Nabenwirbel und an den Fliigelenden in den Spitzenwirbeln fort. Die zunachst gemachte Annahme einer iiber das Fliigelblatt konstanten Auftriebsverteilung trifft in Wirklichkeit nicht zu, da an den seitlichen Fliigelenden der zur Entstehung des Auftriebs erforderliche Druckunterschied auf der Ober- und Unterseite des Fliigels durch Umstromen der Flugelrander ausgeglichen wird. Ahnlich wie beim Einzeltragfliigel hat man es hier also mit einer veranderlichen Auftriebs- bzw. Zirkulationsverteilung in Richtung des Propellerradius F(r) zu tun, so daB nicht nur von den Fliigelenden, sondern von alien Stellen des Fliigelblatts Wirbelfaden abgehen, die eine kontinuierliche, schraubenformige Trennungsflache bilden. Durch Ubertragung der entsprechenden Gedankengange vom Einzeltragfliigel auf den Schraubenfliigel hat Betz [4, 6] einige fur die Propellertheorie wichtige GesetzmaBigkeiten abgeleitet. Insbesondere konnte er zeigen, daB die fiir Tragfliigel gefundene Bedingung fur das Minimum des induzierten Widerstands in erweiterter Form auch fiir Schraubenfliigel gilt. Diese Bedingung lautet fur schwach belastete freifahrende Propeller in der Formulierung von Betz: )vDie Stromung hinter einer Schraube mit geringstem Energieverlust ist so, wie wenn die von jedem Schraubenfliigel durchlaufene Bahn (Schraubenflache) erstarrt ware und sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit nach hinten verschiebt oder sich mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit urn die Schraubenachse dreht." Wenn auch dieser Idealzustand bei praktischen Ausfiihrungen nie ganz erreicht werden kann, so weichen doch die Stromungsvorgange bei gut arbeitenden Propellern nicht allzu stark davon ab, so daB die aus der obigen Bedingung gezogenen Folgerungen dem wirklichen Zustand immerhin ziemlich nahe kommen diirften. Schraubenkrafte. Um eine Vorstellung von den am Propellerfliigel auftretenden Kraften und Geschwindigkeiten zu bekommen, sei nach Abb. 5.69 a ein Fliigelelement von der Breite dr im Abstand r von der Schraubenachse betrachtet, das man sich zunachst als Element eines unendlich langen Fliigels vorstellen kann. Die axiale Vorwartsgeschwindigkeit der Schraube sei w., ihre Winkelgeschwindigkeit co, so daB die resultierende storungsfreie Geschwindigkeit des betrachteten Elements v = V« 2 + «d mit u = cor betragt, die um den Anstellwinkel a gegen die Profilsehne geneigt ist. Das ungestorte Fluid wird als ruhend angenommen. Sofem alle Reibungseinfliisse auBer Betracht bleiben, kann ein Widerstand am Fliigelelement nicht auftreten. Dies erfahrt bei seiner Bewegung gemaB (5.197 a) also nur einen Auftrieb dA = puT dr, der normal zur Geschwindigkeit v steht. Seine Komponenten in axialer und tangentialer Richtung (Umfangsrichtung) liefern die Schubkraft dS — dA cos /3 = puF dr = p&>Fr dr und die Tangentialkraft dT = dA sin^ = pw^F dr. Der Beitrag zum Drehmoment um die Propellerachse betragt dM = rdT = pw, Fr dr. Um die Schubkraft und das Drehmoment eines Fliigelblatts zu erhalten, hat man

Abb. 5.68. Spitzen- un Nabenwirbel eines Schraubenpropellers bei konstant angenommener Zirkulationsverteilung uber jedes Fliigelblatt

238

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

iiber die Fliigelspannweite, d. h. iiber den Schraubenradius von 0 Si r 3= R, zu integrieren und erhalt R

R

S = pcojrrdr,

M=(>wxjFrdr.

o

(5.218 a, b)

o

Die Nutzleistung der Schraube ist w^S und die Motorleistung Mco. Aus dem Vergleich von (5.218 a) und (5.218b) folgt somit, daB bei verlustloser Bewegung beide Leistungen einander gleich sind. Bei einem Fliigelblatt von endlicher Breite treten infolge der oben erlauterten Spitzen- und Nabenwirbel Stor- oder Zusatzgeschwindigkeiten auf, welche eine Beeinflussung des Stromungsverhaltens am Blattelement bewirken. Das Geschwindigkeitsfeld an dem betrachteten Fliigelelement erfahrt die in Abb. 5.69b ersichtliche Abanderung, wobei jetzt die Relativgeschwindigkeiten gegen den ruhend gedachten Fliigel dargestellt sind. Die resultierende Storgeschwindigkeit u, setzt sich mit v zur effektiven Geschwindigkeit ve zusammen. Normal zu dieser steht in Analogie zu Abb. 5.65 die auf das Blattelement entfallende Kraft dR, deren Komponente nach der Richtung von v den induzierten Widerstand dWt liefert. Der durch den induzierten Widerstand bedingte Leistungsverlust findet sein Aquivalent in der hinter der Schraube zuriickbleibenden auf die Zeit bezogenen kinetischen Energie des Wirbelgebildes, die fur den Bewegungsvorgang als verloren anzusehen ist (induzierte Verlustenergie). Die resultierende Kraft dR kann wieder wie in Abb'. 5.69 a in die axiale Schubkraft dS und in die Tangentialkraft dT zerlegt werden. Wirkungsgrad. Zur Berechnung des Wirkungsgrads sei eine Schraube von unendlich groBer Fliigelzahl betrachtet. Weiter soil angenommen werden, daB die den stromabwarts abgehenden Wirbelflachen zugehorigen induzierten Storgeschwindigkeiten klein gegeniiber der Vorwartsgeschwindigkeit der Schraube sind. Insbesondere sollen im einzelnen folgende Annahmen gemacht werden: a) die Tangentialkomponente «, in Abb. 5.69b sei so klein, daB die mit der Strahldrehung verbundenen Zentrifugalkrafte in radialer Richtung kein merkliches Druckgefalle erzeugen; b) die Anderung der Axialkomponente w, sei so gering, daB die damit verbundene Strahleinschnurung praktisch bedeutungslos ist, und

Profitsehne

'

i

u = a> r I

Propellerebene

Abb. 5.69. Geschwindigkeiten und Krafte am Fliigelblatt eines Schraubenpropellers (reibungslose Stromung). a Unendliche Spannweite (ebenes Problem), bewegter Flligel in ruhendem Fluid; b endliche Spannweite (raumliches Problem), ruhender Fliigel mit Anstromung

5.4.3 Tragfliigeltheorie dichtebestandiger Fluide

239

c) alle Radialkomponenten sollen unberiicksichtigt bleiben. Unter diesen einschrankenden Voraussetzungen, die bei nicht zu hohen Belastungsgraden einigermaBen erflillt sind (bei Schiffsschrauben mit ihren hohen Belastungsgraden treffen sie nicht mehr zu), lassen sich einige wichtige Aussagen iiber den Wirkungsgrad machen, wobei alle Reibungseinfliisse auBer Betracht bleiben sollen. Zur Bestimmung des induzierten Wirkungsgrads fiir das Blattelement rj, im Abstand r von der Drehachse bildet man das Verhaltnis aus der nutzbaren Schubleistung wm dS und der aufgewendeten Leistung des Drehmoments cor dT. Dann wird mit u = cor als ortlicher Umfangsgeschwindigkeit 1 "

wM dS wx „ w_ u- M, = — cot/?= = qa- qd
.

(5.219a, b, c, d)

Hierbei wurde nach Abb. 5.69b beriicksichtigt, daB cot/! = dSldT =(u- «,-)/(w» + w,) ist. Der erste Faktor in (5.219c) stellt den axialen Wirkungsgrad qa < 1 entsprechend (3.39) dar, wahrend man den zweiten Faktor als Drallwirkungsgrad r\d<\ bezeichnet. Der induzierte Wirkungsgrad beriicksichtigt also sowohl die durch den RiickstoB bedingten axialen Verluste als auch die dadurch entstehenden Verluste, daB der Vortrieb von einem rotierenden Korper erzeugt wird, der dem Abstrom eine Drehgeschwindigkeit erteilt. Unter den oben gemachten Voraussetzungen kann, wie bei der einfachen Strahltheorie nach (3.38 a), die axiale Storkomponente w, am Ort des betrachteten Fliigelblattelements gleich der Halfte der axialen Geschwindigkeitszunahme Aw weit hinter der Schraube gesetzt werden (analog Abb. 3.15b ist Aw = w4 — w,). In ahnlicher Weise laBt sich mit Hilfe des Impulsmomentensatzes zeigen, daB die tangentiale Storkomponente ut am Ort des Fliigelblatts die halbe GroBe der entsprechenden Abnahme der Umfangsgeschwindigkeit AM im ausgebildeten Schraubenstrahl besitzt, also w, = Aw/2 und M, = AM/2. Den Wirkungsgrad der ganzen Schraube q, erhalt man aus einer Integration der ortlich aufgewendeten Leistungen (= Nutzleistung/Wirkungsgrad = w» dS/q,) dividiert durch den Mittelwert der aufgewendeten Leistung w_ S/qt. Zur Auswertung des iiber 0 S r S s zn erstreckenden Integrals muB die Schubverteilung dS/dr bekannt sein, worauf hier allerdings nicht eingegangen werden kann. Der theoretisch hochste Wirkungsgrad bei Beriicksichtigung des Drallverlusts laBt sich nach [4, 6] durch Beziehung (5.220) angenahert ermitteln. Hierin treten die fiir einen Propeller wichtigen KenngroBen, namlich der Fortschrittsgrad der Schraube X = wJU mit wM als axialer Vorwartsgeschwindigkeit und U = coR als Umfangsgeschwindigkeit der Blattspitze sowie der Schubbelastungsgrad cs = S/q^A mit 0 geht i\i in qa nach (3.39) iiber. Uber die Einfliisse, welche durch die Reibung (Profilwiderstand) entstehen, sagen die angegebenen Beziehungen nichts aus. Hierauf sowie auf die Berechnung der Schubverteilung, des Einflusses der endlichen Fliigelzahl und auch noch weiterer Einzelheiten kann hier nicht eingegangen werden, man vgl. u.a. [4, 6, 31,64,96]. SchluBbemerkung. Auf eine bei Propellent wichtige Erscheinung, die bei groBen Geschwindigkeiten auftritt, sei hier noch hingewiesen: bei Wasserschrauben die Kavitation (Hohlraumbildung) und bei Luftschrauben die Kompressibilitat (Dichteanderung) der Luft bei Annaherung an die Schallgeschwindigkeit. Bei Erreichung groBer Geschwindigkeiten sinkt nach der Bernoullischen Energiegleichung der Druck, so daB dieser bei Wasserschrauben gegebenenfalls bis auf den Dampfdruck abfallen kann. Das Wasser scheidet dann unter Hohlraumbildung Dampf- und Luftblasen aus, vgl. Kap. 1.2.6.3, was zu einem AbreiBen der Stromung an den Flugelblattern und damit zur Verschlechterung des Wirkungsgrads, ja sogar zu Materialbeschadigungen (Korrosion), fiihren kann. Derartige Schrauben miissen zur Vermeidung dieser Erscheinung wenig gewolbte Profile und kleine Anstellwinkel erhalten, damit die Unterdriicke auf der Saugseite klein bleiben. Dementsprechend sind breite Fliigelblatter zur Erzeugung des gewiinschten Schubs erforderlich. Bei schnellen Flugzeugen und groBen Drehzahlen wird die Schallgeschwindigkeit und damit die widerstandskritische Mach-Zahl, vgl. Kap. 4.3.2.7 Beispiel e.2 und Abb. 5.39b, zuerst an den Propellerspitzen erreicht, was ebenfalls mit einer erheblichen Verschlechterung des Wirkungsgrads verbunden ist. Damit sind sowohl der Wahl des Propellerdurchmessers als auch der Drehzahl gewisse Grenzen gesetzt. Auch fiir derartige Luftschrauben kommen im wesentlichen, besonders nach den Blattspitzen zu, flach gewolbte Profile in Frage, wobei allerdings wegen der groBen Geschwindigkeitsdriicke nur relativ kleine Profiltiefen verwendet werden konnen. Zur besseren Anpassung solcher Schrauben an die verschiedenen Betriebsbedingungen (Start, Schnellflug, Steigen und Landen) ist man zur Verwendung von Verstellpropellern ubergegangen.

240

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

5.4.4 Stationare Wirbelstromungen dichteveranderlicher Fluide 5.4.4.1 Ebener Potentialwirbel In Kap. 5.3.2.4 Beispiel c und Kap. 5.4.2.2 wurde das Stromungsfeld eines unendlich langen geraden Wirbelfadens fur ein dichtebestandiges Fluid besprochen. Mit Ausnahme der singularen Stelle, an der sich der Wirbelfaden befindet, verhalt sich danach die Stromung drehungsfrei. Es liegt also hier im Sinn von Kap. 5.3 eine drehungsfreie Potentialstromung vor. Da der Wirbelfaden an seinem Entstehungsort drehungsbehaftet ist, spricht man von einem Potentialwirbel. Die fur das dichtebestandige Fluid durchgefuhrte Untersuchung laBt sich auf den Fall des dichteveranderhchen Fluids (Gas) erweitern.71 Die Stromlinien seien nach Abb. 5.70a wieder Kreise, auf denen sowohl die Geschwindigkeit vip= v= v(r) als auch die Dichte Q = £>(r) jeweils konstant sind. Hierfiir ist bei stationarer Stromung die Kontinuitatsgleichung nach Tab. 2.5 erfiillt. Bei Annahme homentroper Zustandsanderung (grads) liefert der Croccosche Wirbelsatz nach (5.7b) v x rot v = 0. Bei AusschluB von v = 0 muB rot v = 2co = 0 sein. Wegen dieser Bedingung der Drehungsfreiheit ist dann, wie bei der Stromung des dichtebestandigen Fluids nach (5.180a) vr = F/2n= const. Bezieht man die Geschwindigkeit v auf die Lavalgeschwindigkeit cL = v* nach (4.34), so erhalt man durch Einfiihren der Laval-Zahl La = v/cL = v/v* nach dem Radius aufgelost

^^

2ncL La ~

min

LL

~ 2ncL La

I«ElL

(5221a b)

Bei Lamax = V ( K + \)I(K- 1) bzw. Mammi = °° nach (4.38c, d) besitzt r = rmin ein Minimum, was dem Zustand des Vakuums entspricht. In dimensionsloser Darstellung gilt -

1

(Gas)

'

(5 222a b)

-

'

wobei die zweite Beziehung mittels (4.38b) folgt. In Abb. 5.70b ist die Geschwindigkeitsverteilung in der Form La = v/v* als Kurve (1) und (2) iiber dem Radiusverhaltnis r/rmin aufgetragen. Der Radius, bei welchem gerade Schallgeschwindigkeit La — 1 = Ma herrscht, spielt im Gegensatz zur Quellstromung eines dichteveranderhchen Fluids nach Abb. 4.14 keine ausgezeichnete Rolle. Die Stromung eines ebenen Potentialwirbels besteht bei einem dichteveranderlichen Fluid nur auBerhalb des vom Radius r = rmin durch Lamax bzw. Ma = °° begrenzten Kreises. Wie man aufgrund der Herleitung sofort zeigt, gilt (5.222) auch fur den Fall eines dichtebestandigen Fluids, wobei jedoch die Einschrankung r/rmin g 1 nicht mehr gilt. Dies ist in Abb. 5.70b als Kurvenzug (l)-(2)-(3) wiedergegeben. Man erkennt, daB sich die Stromung eines ebenen Potentialwirbels bei dich71

Die ebene Quellstromung, die in engem Zusammenhang mit der Potentialwirbelstromung steht, wurde fur das dichtebestandige Fluid in Kap. 3.6.2.3 Beispiel e.l und Kap. 5.3.2.4 Beispiel b sowie fiir das dichteveranderliche Fluid in Kap. 4.3.2.7 Beispiel a.5 untersucht, vgl. Abb. 4.14.

5.4.4 Stationare Wirbelstromungen dichteveranderlicher Fluide

241 \

\

Xm

^_ —

•

1 I

0 a

b

T

l r/r m i n

l

t

S

-

Abb. 5.70. Ebener Potentialwirbel bei einem dichteveranderlichen Fluid (Gas, K = 1,4). a Stromlinienbild. b Geschwindigkeitsverteilung. (1) Unterschallstromung Ma < 1 ( ), (2) Uberschallstromung Ma > 1 ( ); (V)-(2)-(3) dichtebestandiges Fluid

teveranderlichem Fluid von derjenigen bei einem dichtebestandigen Fluid nur dadurch unterscheidet, daB sie sich im Kern r < rmin nicht fortsetzen kann. 5.4.4.2 Freie Wirbelschicht Ubergang von einem Verdichtungsfacher zum VerdichtungsstoB. Bei einer Uberschallstromung langs einer konkav gekriimmten Wand konnen die Machlinien in Wandnahe nach Abb. 5.71a, vgl. Abb. 4.32b (rechts), zunachst einen homentropen Verdichtungsfacher (Wellen erster Ordnung) bilden, der in einem Punkt A zusammenlauft und von dort sich als gerader, schiefer VerdichtungsstoB in den AuBenraum fortsetzt. Jeweils vor und hinter dem Verdichtungsfacher bzw. dem VerdichtungsstoB herrscht Parallelstromung. Im Punkt A entsteht ein zur Wand gerichteter Verdiinnungsfacher (Wellen zweiter Ordnung), dessen Starke gerade so groB ist, daB hinter diesem derselbe Druck und die gleiche Stromungsrichtung wie hinter dem VerdichtungsstoB herrschen. Vom Punkt A geht also eine Trennungsflache aus, langs der die wandnahe homentrope Stromung und die Stromung, welche durch den VerdichtungsstoB einen Entropiesprung erfahren hat, aneinander entlang gleiten. Wegen der Entropieanderung beim Durchgang durch diese Trennungsflache muB entsprechend dem Croccoschen Wirbelsatz (5.7b) diese drehungsbehaftet sein. Sie ist also eine Wirbelschicht. Angestellte ebene Platte. Eine freie Wirbelschicht, wie sie nach Abb. 5.71 a entsteht, wenn sich in einem Punkt A sowohl ein Verdiinnungsfacher als auch ein VerdichtungsstoB ausbilden, tritt bei der mit Uberschallgeschwindigkeit angestromten Platte nach Abb. 5.71b auf. Die Umlenkung der Anstromung in die Richtung der Platte erfolgt auf der Oberseite durch einen homentropen Verdiinnungsfacher, wahrend auf der Unterseite die Umlenkung durch einen anliegenden schiefen VerdichtungsstoB vor sich geht. Hinter der Platte schliefit sich eine freie Wirbelschicht an, die wie in Abb. 5.71 a dadurch bestimmt ist, daB zu beiden Seiten der Wirbelschicht die Bedingungen der gleichen Richtung des Geschwindig-

5.4 Zirkulationsbehaftete reibungslose Stromungen (Potentialwirbelstromungen)

242

VerdichtungsstoO

Wirbelschicht

Verdkhtungsfacher

Abb. 5.71. Freie Wirbelschichten bei Uberschallstromung. a Ubergang von Verdichtungsfacher in VerdichtungsstoB, b angestellte ebene Platte, vgl. Abb. 4.51 a

keitsvektors und des gleichen Drucks erfiillt sein miissen. Durch einen VerdichtungsstoB auf der Oberseite und einen Verdiinnungsfacher auf der Unterseite wird die Stromung hinter der Platte und damit auch die freie Wirbelschicht in die Richtung der Anstromung umgelenkt. Die Wirbelschicht ist dabei nur schwach, man vgl. [76]. 5.4.4.3 Wirbelfeld (Drehung) hinter einem gekriimmten VerdichtungsstoB Bei einem gekriimmten VerdichtungsstoB, wie er nach Abb. 4.53 besonders bei hypersonischer Stromung vorkommt, ergibt sich von Stromlinie zu Stromlinie beim Durchgang durch den StoB nach Abb. 4.46 d in Abhangigkeit vom StoBwinkel aeine unterschiedliche Entropiezunahme. Dies bedeutet nach dem Crocco-Vazsonyischen Wirbelsatz (Kap. 5.2.3.2), daB die vor dem StoB (Index 1) stationar und reibungslos (drehungsfrei) angenommene Stromung hinter dem VerdichtungsstoB (Index 2) drehungsbehaftet wird. Die folgende Betrachtung wird fur den ebenen (zweidimensionalen) Fall durchgefuhrt. In Abb. 5.72 a ist die Entstehung der Drehung hinter einem gekriimmten VerdichtungsstoB erlautert. Unter Einfiihren der natiirlichen Koordinaten fur die Stromung hinter dem StoB nach Abb. 5.72b mit t, n, z, d/dz = 0 folgt t>2 = VtV2, <£>2 = «zft>2> V2 x ®2 = ~ en v2co2 sowie grad s = en (ds2/dn). Nach (5.7b) betragt also die Drehung hinter dem StoB 1 T2 ds2

1 T2 Vi dx do

2 v2 dn

2 V\ v2 dn dx do

ds2

(5.223 a) 72

Die in der zweiten Beziehung auftretenden GrSBen lassen sich aus Abb. 5.72b entnehmen, und zwar gilt dx

do — dx

d~n

cos (oZu der letzten Gleichung gelangt man, wenn man beachtet, daB tan o = dyaldx = y'a ist. Weiterhin gilt nach Abb. 5.72b in Verbindung mit (4.146a) und (4.159b) tana tan {a- &) 12

{K+l)C\

mit

C, = Maj sin o.

In einem schiefen VerdichtungsstoB mit gerader StoBfront (o = const, T2 = const, co2 = 0) andert sich die Entropie iiberall um den gleichen Betrag (s2 = const). Bei gleichformiger Anstromung ist die Stromung hinter dem schiefen VerdichtungsstoB also homentrop.

5.4.4 Stationare Wirbelstromungen dichteveranderlicher Fluide

243

gehriimmkr hrdichtungsstoB

Stromfliichen

c

0

15°

30°

K

£0°

15

Abb. 5.72. Drehung hinter einem gekriimrnten VerdichtungsstoB. a Schematische Darstellung. b Geometrie und Geschwindigkeit. c Drehung
Die Entropieanderung berechnet man aus (4.29a), wenn man dortp 2 /Pi u n d P2/P1 nach (4.159a, b) einsetzt, nach a differenziert, das Ergebnis mit T2/T1 = (p2/Pi) (Pi/ft) multipliziert und die Mach-Zahl der Zustromung Max = iVc, mit C] = (K- 1) cpTi einfiihrt. Es wird

do

4i;? / C ? - l \ 2 . (K+iy \ c] - ) sin a cos a.

(5.223 b)

Nach Einsetzen der gefundenen Beziehungen in (5.223) erhalt man fiir die Drehung hinter dem durch ya{x) gegebenen gekriimmten VerdichtungsstoB, vgl. Truesdell [89, 90],

244

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie

Die Drehung ist linksdrehend positiv angenommen. Da bei einem gekriimmten VerdichtungsstoB y" < 0 ist, stellt sich hinter dem StoB eine rechtsdrehende Drehung ein. Bei Max = °° bzw. d = °° folgt aus (5.224a)

Fiir einen nach Abb. 5.72c angenommenen parabolischen VerdichtungsstoB mit yjd = \lxld > 0 mit d als Durchmesser des Scheitelkriimmungskreises sowie y'a = tan aund y " = — (2/d) tan3 crist die Drehung in der Form co2d/v1 ilber a fur verschiedene Mach-Zahlen Mai aufgetragen. Wahrend bei a = 90° und a = 0° keine Drehung auftritt, ist die Drehung am groBten etwa dort, wo hinter dem StoB die Schallgeschwindigkeit Ma2 ~ 1 erreicht wird. Die Gr6Be der Drehung ist durch die Kurve fiir Ma, = = begrenzt und ergibt sich nach (5.224b) zu co2d/Vi = — [4/(1^ — 1)] cos a sin3 a. Der groBtmogliche Wert tritt bei a = 60° mit a)2d/vl=— 1,35 fiir K = 1,4 auf.

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie 5.5.1 Einfiihrung Neben den in Kap. 5.3 und 5.4 besprochenen drehungsfreien und drehungsbehafteten reibungslosen Potential- bzw. Potentialwirbelstromungen lassen sich unter bestimmten Voraussetzungen auch Falle mit reibungsbehafteter Stromung auf der Grundlage der Potentialtheorie behandeln. Die nachstehend wiedergegebenen Anwendungen sollen die Mb'glichkeiten dieser sog. erweiterten Potentialtheorie aufzeigen. Dabei befaBt sich Kap. 5.5.2 mit Fragen grundsatzlicher Art, und zwar der Potentialstromung mit freier Stromlinie als Beitrag zur abgelbsten Stromung hinter einem stumpfen Kbrper oder zur Einschniirung eines Freistrahls, der schleichenden Potentialstromung als experimenteller Methode zur Sichtbarmachung von ebenen drehungsfreien Potentialstromungen sowie der instationaren Ausbreitung eines ebenen Wirbels in einem viskosen Fluid. In Kap. 5.5.3 werden Sickerstromungen durch porose Medien als potentialtheoretische Aufgabe besprochen, die von besonderer Bedeutung fiir die Grundwasserstrb'mung sind.

5.5.2 Grundsatzliche Erkenntnisse der erweiterten Potentialtheorie 5.5.2.1 Potentialstromung mit freier Stromlinie Grundziige der erweiterten Potentialtheorie. Die in Kap. 5.3 und 5.4 wiedergegebene Potential- bzw. Potentialwirbeltheorie stellt eine wesentliche Grundlage zur Beschreibung zwei- und dreidimensionaler reibungsloser Strb'mungsvorgange dar. Zahlreiche Anwendungsbeispiele wurden fiir das dichtebestandige Fluid bei stationarer Stromung in Kap. 5.3.2.4, 5.3.2.6 und 5.4.3 besprochen. Wenn man von dem Widerstandsproblem absieht, kbnnen die genannten Theorien auch reibungsbehaftete Stromungen in guter Naherung beschreiben, sofern sich

5.5.2 Grundsatzliche Erkenntnisse der erweiterten Potentialtheorie

245

der durch- oder umstromte Korper in einer sog. gesunden Stromung, d.h. ablosungsfreien oder zumindest nahezu ablosungsfreien Stromung, befindet. Die in Kap. 5.4.3 entwickelte Potentialwirbeltheorie dient daher weitgehend der Losung des Auftriebsproblems,73 vgl. Abb. 5.57a. Um das reibungsbedingte Widerstandsproblem erfassen zu konnen, mu8 die in Kap. 6.3 ausfiihrlich dargelegte Grenzschicht-Theorie herangezogen werden. Die Ergebnisse der Potential- und Potentialwirbeltheorie weichen von der Wirklichkeit entscheidend ab, wenn groBere Ablosungen der Stromung auftreten, vgl. Abb. 5.57b. Solche Falle kommen bei sehr scharfen Umlenkungen von Stromungen vor. Ein typisches Beispiel zeigt Abb. 5.73 a. Die Stromung lost an der scharfen Kante ab, was zur Folge hat, daB sich hinter dem Korper ein stark verwirbeltes Gebiet ausbildet, kurz Wirbelgebiet genannt74. Dies Stromungsbild steht im Widerspruch zu dem mit der gewohnlichen Potentialtheorie ermittelten Bild, bei dem sich die Stromung vor und hinter dem Storkorper spiegelbildlich verhalt, vgl. Abb. 5.23b. Durch eine starke Idealisierung einer abgelosten Stromung haben von Helmholtz [29] und Kirchhoff [42] gezeigt, daB man die gewohnliche Potentialtheorie zu einer erweiterten Potentialtheorie mit freien Stromlinien ausbauen kann. Hierbei bedient man sich der in Kap. 5.4.2.4 eingefiihrten Trennungsflache (Wirbelschicht), indem man die Stromung stromabwarts von der Ablosestelle in zwei durch freie Stromlinien (Stromflachen) getrennte Bereiche aufteilt. Man unterscheidet in die Hauptstromung und in die Nebenstromung. Bei der Umstromung nach Abb. 5.73 a besteht die Nebenstromung aus dem im allgemeinen wirbelbehafteten Nachlauf, oft auch Totwasser genannt. Nimmt man von dem Wirbelgebiet hinter dem Korper naherungsweise an, daB sich das Fluid dort in Ruhe befindet, d.h. ein Ruhegebiet vorliegt, so gelangt man zu dem in Abb. 5.73b wiedergegebenen idealisierten Bild. Die Potentialtheorie mit freien Stromlinien laBt sich auch auf das Problem des Ausstromens eines Fliissigkeitsstrahls aus einer scharfkantigen Austrittsoffnung in ein Gas nach Abb. 5.73 c anwenden. Man beobachtet hierbei eine Einschniirung (Kontraktion) des austretenden Strahls, vgl. Kap. 3.3.2.3 Beispiel b.l, 3.4.4.2 (plotzliche Rohrverengung) und 3.6.2.3 Beispiel e.2. In diesem Fall besteht die Nebenstromung aus der im wesentlichen in Ruhe befindlichen Umgebung des Strahls. Der Theorie liegt die stationare ebene und reibungslose Stromung eines dichtebestandigen Fluids zugrunde. Wegen dieser Voraussetzung konnen Fluidschichten, hier die freien Stromflachen (Trennungsflachen) aneinander vorbeigleiten, ohne daB dabei Schubspannungen entstehen. Beim Ubergang von der Haupt- zur Nebenstromung verhalt sich die tangentiale Geschwindigkeitskomponente quer zur freien Stromlinie unstetig, wahrend der Druck quer zur freien Stromlinie stetig verlauft. Man hat es also mit einer Stromung zu tun, bei der in den genannten zwei Bereichen verschiedene Geschwindigkeitspotentiale und verschiedene 73

Man beachte, da6 man in einem fluidmechanisch orientierten Bezugssystem die Kraftkomponente in Anstromrichtung mit Widerstand und diejenige normal zur Anstromrichtung mit Auftrieb bezeichnet. 74 Auf die Ausfuhrungen iiber abgeloste Stromungen um Korper mit scharfen Kanten in Kap. 6.3.5.3 sei hingewiesen.

246

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie

freie Stromlinie

Fliissig keit

Ruhegebiet

Abb. 5.73. Zur Potentialtheorie mit freier Stromlinie. a Scharfes Hindernis mit abgelostem Wirbelgebiet, b scharfes Hindernis mit Ruhegebiet (idealisierte Vorstellung des Ablosegebiets), c aus scharfkantiger Offnung austretender Strahl

Energieniveaus herrschen. Mit Ausnahme der Trennungsflachen (Wirbelschichten) sei das Stromungsfeld drehungsfrei. Liegt eine Zweiphasenstromung vor, so besaBe auch die Dichte eine Unstetigkeit. Da auf der einen Seite der Trennungsflache das Fluid nahezu in Ruhe ist, herrscht dort ein angenahert konstanter Druckp =po = const. Nach der Bernoullischen Druckgleichung fiir das reibungslose Fluid (5.34) bedeutet dies bei Vernachlassigung des Schwereinflusses, da8 die Geschwindigkeit langs der freien Stromlinie unverandert ist. Die freie Stromflache (Index / ) ist bei ebener Stromung also gekennzeichnet durch konstante Werte fiir die Stromfunktion Wf = const, den Druck Pf = Po = const und die Geschwindigkeit vf = const. Dies ist eine nichtlineare Randbedingung fiir die zu 16sende Aufgabe der Potentialtheorie. Da kinematische Gesichtspunkte das Problem weitgehend bestimmen, ist es zweckma'Big, die Behandlung nicht in der Stromungsebene (physikalische Ebene), sondern in der Geschwindigkeitsebene (Hodographenebene) durchzufiihren, vgl. Kap. 5.3.2.3. Letztere erhalt man, indem man die den einzelnen Fluidelementen einer Stromlinie zugehorigen Geschwindigkeitsvektoren von einem Festpunkt aus auftragt und die Endpunkte dieser Vektoren miteinander verbindet. Dabei treten die freien Stromlinien entweder als Kreisstiicke oder gerade Linien auf. Dies Verfahren wird im folgenden an den Beispielen der normal angestromten Platte und der Berechnung der Kontraktionsziffer eines austretenden Strahls kurz erlautert. Da8 die Theorie der unstetigen Potentialstromung auch fiir das Entstehen von Hohlraumen in der Stromung (Kavitation) von Bedeutung ist, sei erwahnt, vgl. Kap. 1.2.6.3. Ausfuhrlichere Darstellungen der angesprochenen Fragenkreise findet man in [7, 24, 25, 62, 74, 101, 102]. Anwendungen a) Normal angestromte Platte. Wird eine unendlich dilnne Platte von der Hohe 2h und der Breite b in ebener reibungsloser Stromung mit der ungestorten Geschwindigkeit M_ normal angestromt, so stellt sich

5.5.2 Grundsatzliche Erkenntnisse der erweiterten Potentialtheorie

247

nach der gewohnlichen Potentialtheorie von Kap. 5.3.2.4 Beispiel f ein Stromlinienbild wie in Abb. 5.23 b ein, bei dem die Stromung auf der Vorder- und Riickseite der Platte symmetrisch ausgebildet ist. Die Stromlinien schlieBen sich hinter der Platte wieder genauso zusammen wie sie sich vor der Platte getrennt haben. Eine aus der Druckverteilung an der Platte resultierende in Anstromrichtung wirkende Widerstandskraft kann aus Symmetriegriinden nicht auftreten. Weiterhin weisen die Randstromlinien bei scharfer Plattenkante am oberen und unteren Plattenende einen Knick auf, was praktisch nicht moglich ist. Um die genannten Unstimmigkeiten zu umgehen, kann man sich nach Abb. 5.74a vorstellen, daB sich das Fluid zwar auf der Vorderseite der Platte genauso verhalt wie im Fall der gewohnlichen Potentialstromung, daB es sich dagegen an den Kanten ablost. Hinter der Platte wird, wie bereits oben beschrieben, ein sog. Ruhegebiet (Index 0) mit v = v0 = 0 angenommen, welches durch zwei Trennungsflachen (Unstetigkeitsflachen) von dem auBeren Stromungsfeld abgegrenzt ist, und in dem der Druck p = p0 = const herrscht. Die auf der vorderen und hinteren Seite der Platte unterschiedliche Druckverteilung ruft im Gegensatz zur potentialtheoretisch berechneten Druckverteilung eine erhebliche Widerstandskraft Whervor, vgl. hierzu (2.81 b) und (3.242c). Die Trennungsflachen, in denen der Dmckpf=p0 = const und die Geschwindigkeit vf= const herrschen, erstrecken sich theoretisch bis ins Unendliche. Da doit die Geschwindigkeit gleich der Anstromgeschwindigkeit vf= «_ ist, folgt, daB die Geschwindigkeit am auBeren Rand der Trennungsflachen iiberall gleich dem Betrag der Geschwindigkeit der ungestorten Stromung ist, d. h. vf=u«,. Von diesem Wert springt die Geschwindigkeit auf dem Rand unstetig auf den Wert null im Innem des Ruhegebiets. Aus diesem Ergebnis findet man fur den Druck pf = Po=P«- Der Ort der Begrenzung des Ruhegebiets, der zugleich freie Stromlinie ist, ist zunachst unbekannt. Man kann jedoch annehmen, daB die Begrenzungsstromlinien an den scharfen Plattenenden beginnen. Die weitere Untersuchung soil in der Hodographenebene (Geschwindigkeitsebene) w, = u — iv durchgefiihrt werden. Das durch die Stromlinien A—O—B—C und A—O~B'—C in Abb. 5.74a beschriebene Stromungsgebiet entspricht nach Abb. 5.74b im Hodographen dem Inneren eines Halbkreises vom Radius ty = «„. Bei der normal angestromten Platte gemaB Abb. 5.23 wurde nach (5.75a) die Abbildungsfunktion f = z — a2/z verwendet. Analog hierzu laBt sich der Hodograph mittels der konformen Abbildungsfunktion .

w.

£=

«„

.

mit

.

£=§ + iq

(5.225)

in die einfachere Figur der Abb. 5.74c (£-Ebene) uberfiihren. Fur die in den Abb. 5.74a, b, c gekennzeichneten Stellen (O Staupunkt; A ungestorte Anstromung; B, B' Plattenrander, C, C" freie Stromlinien) sind in Tab. 5.6a die Werte in der z-Ebene (x, y), in der w,-

z=

-IV

B1y,

freie Stromlinie

'i—1

W x Ruhegebiet

Stromlinien •freie Stromlinie

0 —

Abb. 5.74. Normal angestromte Platte mit abgeloster Nachlaufstromung nach der Potentialtheorie mit freier Stromlinie, vgl. Tab. 5.7a. Platte: , freie Stromlinie: . a Stromungsebene (z-Ebene), b Geschwindigkeitsebene (w,-Ebene), c konform abgebildete Geschwindigkeitsebene (f-Ebene)

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie

248

Tabelle 5.6. Zur Potentialtheorie mit freier Stromlinie. a) normal angestromte Platte nach Abb. 5.74, b) ebener Fliissigkeitsstrahl nach Abb. 5.76 a £-Ebene

a)

z-Ebene

w,-Ebene

Stelle

X

y

u

V

w,/ux

O

0

0

0

0

0

— oo

0

A

— oo

0

+ «„

0

1

0

0

B,B'

0

±h

0

± ««,

+i

0

+2

CX'

+ oo

+ OO

+ «„

0

+1

0

0

b)

z-Ebene

Stelle

X

y

u

V

wjvo

O

0

+ oo

0

0

0

— OO

nil

A, A'

+ oo

0

0

0

0

-oo

0, 7T

B,B'

Tb

0

±v0

0

±1

0

0, 71

CX'

Tb'

— oo

0

+i

0

71/2

1

f-Ebene

w.-Ebene

n

Es ist In i = ITT/2 und In (— 1) = 2 In i = irr.

Ebene (u, v, w,/uj) und in der f-Ebene (£, q) zusammengestellt. Alle Stromlinien beginnen in jeder Ebene in A und enden in C bzw. C". Daraus und aus der Symmetric der Stromlinien zur Abszisse und Ordinate in der £-Ebene kann man auf einen Quadrupol bei C, = 0 schlieBen, mit dem komplexen Potential £ 7 ( 0 ~ HC, \ vgl. (5.66). Mittels der dargelegten Theorie ist man in der Lage, sowohl die Form der freien Stromlinien als auch den Plattenwiderstand Fw = W zu berechnen, man vgl. z.B. Wieghardt [98]. Der Plattenwiderstandsbeiwert ergibt sich zu cw = — QXA

= - ^ - = 0,88

(Kirchhoff)

(5.226)

4 + 7T

mit A = 2bh als Plattenstirnflache und qx = (p/2) u I, als Geschwindigkeitsdruck der Anstromung. Dieser zuerst von Kirchhoff [42] gefundene Zahlenwert ist etwa nur halb so groB wie der durch Messung ermittelte Wert, vgl. Tab. 3.9. Trotz dieser erheblichen Abweichung steht die Helmholtz-Kirchhoffsche Uberlegung doch insofern in Ubereinstimmung mit der Wirklichkeit, als eine Ablosung des Fluids vom Korper tatsachlich stattfindet, und zwar auch dann, wenn der Korper keine scharfen Ecken und Kanten besitzt, wie z.B. beim Kreiszylinder oder bei der Kugel, vgl. Abb. 5.22 sowie Kap. 6.3.5.2. Ein wesentlicher Unterschied besteht jedoch darin, dafi nach der beschriebenen erweiterten Potentialtheorie bei reibungsloser Stromung das Ruhegebiet hinter der Platte stromabwarts immer breiter wird und bis ins Unendliche reicht, wahrend das bei reibungsbehafteter Stromung sich hinter der Platte tatsachlich einstellende Wirbelgebiet eine endliche Ausbreitung besitzt, vgl. Abb. 5.73 a. Man kann zeigen, daB die der Berechnung zugrunde liegenden Trennungsschichten zwischen zwei Fluiden gleicher Dichte entsprechend Kap. 5.4.2.4 Beispiel a labil sind und sich in einzelne Wirbel auflosen. Einen anderen Versuch, den Widerstand eines mit der Geschwindigkeit wM angestromten hinten stumpfen Korpers mit abgeloster Nachlaufstromung auf potentialtheoretische Weise zu bestimmen, stellt die Untersuchung von Karman [37] iiber die WirbelstraBe nach Kap. 5.4.2.3 Beispiel e dar. Diese Theo-

249

5.5.2 Grundsatzliche Erkenntnisse der erweiterten Potentialtheorie rie liefert fiir den Widerstandsbeiwert die Beziehung cw = 0,8 - ( l - 0,4 —) — h \

«„/

(5.227)

(von Karman)

M_

und ist unter bestimmten Voraussetzungen in befriedigender Ubereinstimmung mit der Wirklichkeit. Sie kann aber dabei nicht auf die experimentelle Bestimmung gewisser, ihr eigentiimlicher GroBen verzichten, welche mit dem reibungsbehafteten Verhalten des Fluids in Zusammenhang stehen. Dabei handelt es sich um das Verhaltnis der Teilung der Wirbelreihen / zur halben Plattenhohe h sowie um das Verhaltnis der Geschwindigkeit des Wirbelsy stems u0 A u zur Anstromgeschwindigkeit des Korpers «„. Die GroBen l/h und uo/ux lassen sich aus der Beobachtung des wirbelbehafteten Nachlaufs ermitteln. Fiir eine normal angestromte Platte vom Seitenverhaltnis bllh = 14,3 fanden von Karman und Rubach [37] die Zahlenwerte l/h = 11,0 und MO/"» = 0.20. Hiermit erhalt man nach (5.227) einen Widerstandsbeiwert cw = 1,62, welcher der GroBenordnung nach mit den Werten in Tab. 3.9 ubereinstimmt. b) Freistrahl. Beim Ausstromen eines Fluids aus einem oben offenen GefaB oder aus einem Uberdrackbehalter bildet sich ein Freistrahl aus. Sein fluidmechanisches Verhalten hangt davon ab, ob es sich bei dem umgebenden Fluid um das gleiche Fluid wie im Strahl, d. h. Fliissigkeit — Fliissigkeit bzw. Gas — Gas, handelt, oder ob z.B. der Strahl aus Fliissigkeit und das umgebende Fluid aus Gas, d.h. Fliissigkeit - Gas, besteht. Diese beiden Falle sind in Abb. 5.75 einander gegeniibergestellt. Im ersten Fall vermischt sich der Strahl nach Abb. 5.75 a infolge der Reibungswirkung an der Strahlgrenze mit dem umgebenden Fluid. Dadurch nimmt die Masse im Strahl stromabwarts zu, und der Strahl breitet sich bei abnehmender Geschwindigkeit immer mehr aus. Zu seiner Berechnung muB die Grenzschicht-Theorie nach Kap. 6.4.2.2 herangezogen werden. Im zweiten Fall spielt nach Abb. 5.75 b die Reibung fiir die Ausbildung des Strahls stromabwarts keine besondere Rolle. Nach einer gewissen Strahllange lost sich die Fliissigkeit infolge der Grenzflachenspannung (Kapillaritat) in einzelne Tropfen auf. Ist die Austrittsoffnung scharfkantig, so kann man mit Hilfe der oben geschilderten erweiterten Potentialtheorie der freien Stromlinie die Einschniirung des Strahls berechnen. Die Bewegung erfolge nicht unter dem EinfluB der Schwere, sondern werde durch einen Uberdruck erzeugt, den man sich liber den Fliissigkeitsspiegel gleichmaBig verteilt vorstellt. Diese Voraussetzung ist aus Griinden der mathematischen Vereinfachung erforderlich. Es ist anzunehmen, daB beim vertikalen Austritt des Strahls in unmittelbarer Nahe der Offnung die Austrittsgeschwindigkeit bei dem durch die Schwere erzeugten Strahl nur wenig von derjenigen eines durch Uberdruck erzeugten Strahls abweichen kann, weil ja die Schwerkraft die Richtung des Strahls besitzt. Da aber gerade das Stromungsverhalten in nachster Nahe der Offnung fiir die GroBe der Kontraktionsziffer entscheidend ist, so wird man die getroffene Voraussetzung als zulassig ansehen dlirfen. Ahnlich wie bei der normal angestromten Platte laBt sich auch der ebene Einschniirungsvorgang unter Zuhilfenahme der Methode der komplexen Funktionen und der konformen Abbildung behandeln. Auch hier empfiehlt sich der Ubergang von der Stromungs- zur Geschwindigkeitsebene. Solche Spaltstromungen wurden sowohl hinsichtlich der Ausbildung der freien Stromlinien als auch der Werte fiir die Kontraktionskoeffizient verschiedentlich untersucht. Die Begrenzung des Fliissigkeitsstrahls wird als freie Stromflache (Stromlinie) aufgefaBt, auf der sich die Geschwindigkeit unstetig von der Strahlgeschwindigkeit auf den Wert null des den Strahl umgebenden Fluids (Gas) andert. Der Druck am Strahlrand muB uberall gleich dem konstanten AuBendruck

Mlschvorgang geschlossener Strahl Fliissig1 keit

gleiches Fluid (z.B. Gas)

ruhends Umgebung (z.B. 6as)

Abb. 5.75. Freistrahlen (schematisch). a Vermischung mit umgebendem Fluid (Fliissigkeit —» Fliissigkeit, Gas —» Gas), b Ohne Vermischung mit umgebendem Fluid (Fliissigkeit —> Gas, Fluid —> ruhendes Fluid)

250

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie

Sinke

ykOWuelle)

A'

AfA

Sinke

OueUeW)

-2b* C'(Sinke)

Abb. 5.76. AusfluB durch einen Spalt aus einem groBen GefaB, ebener Fliissigkeitsstrahl, vgl. Tab. 5.7 b. a Stromungsebene (z-Ebene), b Geschwindigkeitsebene (w,-Ebene), c konform abgebildete Geschwindigkeitsebene (f-Ebene), (5.228 a) sein, Pf~Po = const, woraus aufgrund der Bernoullischen Druckgleichung folgt, daB die Fliissigkeitsgeschwindigkeit am Strahlrand iiberall gleich groB sein muB, vf = const. Nach Abb. 5.76 a tritt der Strahl bei reibungslos angenommener ebener Stromung und bei Vernachlassigung des Schwereinflusses aus einem groBen GefaB durch einen ScWitz der Breite 2b mit der asymptotischen Geschwindigkeit v0 ins Freie. In gleicher Weise, wie bei der normal angestromten Platte, ist in Abb. 5.76b das Verhalten der Stromung in der Geschwindigkeitsebene (Hodographen-Ebene) dargestellt. Dem Stromungsgebiet (GefaB und Strahl) entspricht im Hodographen das Innere eines Halbkreises vom Radius vf~ v0. In Analogie zu (5.225) laBt sich der Hodograph durch eine Abbildungsfunktion, und zwar hier durch w, =

mit

f=

(5.228 a, b)

in die einfachere Figur nach Abb. 5.76c (f-Ebene) uberfiihren. Fur die in den Abb. 5.76 a, b, c gekennzeichneten Stellen (O GefaB; A, A' GefaBboden; B, B' Austrittsoffnung; C, C freie Stromlinie) sind in Tab. 5.7b die Werte in der z-Ebene (x, y), in der iv.-Ebene (u, v, w,/v0) und in der f-Ebene (^, q) zusammengestellt. Alle Stromlinien beginnen in jeder Ebene in dem durch die Punkte O, A, A' beschriebenen Bereich und enden im Punkt C, C". Im Punkt w,/v0 = 0 ist eine Quelle und im Punkt wjva = + i ist eine gleichstarke Sinke anzunehmen. Durch (5.228 a) werden die Kreissektoren der w.-Ebene in Halbstreifen der f-Ebene abgebildet. Dabei riicken die Punkte A, A' wieder ins Unendliche, so daB im Endlichen als einzige Singularitat die Sinke in C, C mit C, = in/2 iibrig bleibt. Die Stromung in diesem Halbstreifen der f-Ebene kann man durch eine unendliche Reihe von Sinken in den Punkten C, = + i7r/2, ± 3in/2, ... darstellen. In der z-Ebene verschwindet bei C, C" der Volumenstrom V= vo2b*l mit / als der Lange des Austrittsspalts. Die Sinke in der £-Ebene muB doppelt so stark sein, da ihr auch aus dem rechten Halbstreifen ebensoviel zuflieBt wie aus dem hier nur interessierenden linken Streifen. Hinsichtlich der weiteren Behandlung der Aufgabe - Berechnung der Form der freien Stromlinien und der Kontraktionskoeffizient - sei wieder auf [98] verwiesen. Fiir eine scharfkantige spaltformige Offnung der Breite 2b in einer GefaBwand oder in einem GefaBboden hat bereits Kirchhoff [42] den Kontraktionskoeffizient fx des austretenden Strahls der Breite 2b* ermittelt, und zwar gilt in sehr guter Ubereinstimmung mit MeBergebnissen b* ~b~

2+7T

= 0,611

(einfacher Spalt).

(5.229)

Die beschriebene erweiterte Potentialtheorie laBt sich auch auf die ebene Strahlstromung aus einem GefaB mit endlichem Querschnitt anwenden [98]. Ein solcher Fall liegt bei der plotzlichen Querschnittsverengung (Rohrverengung) nach Kap. 3.4.4.2 vor. Die diesbeziigliche Formel fiir die Kontraktionsziffer ]i ist in (3.125b) und die grafische Darstellung in Abb. 3.36a wiedergegeben. Auf eine einfache Abschatzung der Kontraktionsziffer in Kap. 3.6.2.3 Beispiel e.2 sei hingewiesen. Aus der Vielzahl von Untersuchungen zur Theorie der Freistrahlen seien die Arbeiten von von Mises [42], Betz und Petersohn [42] sowie die bereits oben zitierten zusammenfassenden Darstellungen genannt.

5.5.2 Grundsatzliche Erkenntnisse der erweiterten Potentialtheorie

251

5.5.2.2 Schleichende Potentialstromung (Hele-Shaw) Eine zuerst von Stokes [82] angegebene Losung der Bewegungsgleichung fiir die schleichende Stromung nach Kap. 2.5.3.4 bezieht sich auf die stationare Stromung eines viskosen Fluids (Fliissigkeit) zwischen zwei festen, eng iibereinander liegenden planparallelen Platten (z.B. Glasplatten). Nach Abb. 5.17a. seien der Plattenabstand 2a sowie die Plattenrichtung horizontal und der ;t,y-Ebene parallel. Die Geschwindigkeitskomponente in der z-Richtung sei null, vz = 0. An den festen Platten haftet Fluid, so daB bei der Stromung zwischen den eng gestellten Platten offenbar groBe Geschwindigkeitsanderungen in z-Richtung auftreten werden, denen gegenuber die partiellen Anderungen in den Koordinatenrichtungen x und y als vernachlassigbar klein angesehen werden konnen. Dann gilt nach Tab. 2.7 mit vx = u, vy = v und uB = gz (nur SchwerkrafteinfluB) dp

d2u

-£ = ^>

dp =

d2v

dp

-£ «1#> ^=~P§-

(5.230a,b,c)

Aus der letzten Gleichung ergibt sich durch Integration fiir den Druckp (x, y, z) = — Qgz +f(x, y), was bedeutet, daB die Druckgradienten dp/dx und dp/dy von z unabhangig sind. Damit lassen sich die Geschwindigkeitskomponenten u und v aus (5.230a, b) durch zweimalige Integration iiber z unmittelbar berechnen; und zwar ergeben sich fiir u(x, y, z) und v(x, y, z) unter Beachtung der Randbedingungen u (x, y, z — ± a) = 0 und v(x, y, z = ± a) = 0 jeweils die parabolischen Geschwindigkeitsverteilungen, vgl. die Spaltstromung in Kap. 2.5.3.3 Beispiel a,

2^L

\a)

\dx'

2/7 L

\a)

J dy'

Bei dieser Stromung sind fiir alle wandparallelen x,j-Ebenen (z = const) die Stromlinien zueinander kongruent. Weiterhin kann man zeigen, daB nach (5.23c) die Drehung in den x,y-Ebenen coz = (1/2) (dv/dx - du/dy) = 0 ist. Hieraus folgt, daB sich die zahigkeitsbehaftete schleichende Stromung hinsichtlich ihrer Geschwindigkeitskomponenten wie eine ebene drehungsfreie Stromung eines dichtebestandigen Fluids verhalt. Von oben gesehen handelt es sich um eine Potentialstromung im Sinn von Kap. 5.3.2.2. Wegen u = d

Bringt man nach dem Vorschlag von Hele-Shaw [27] zwischen die parallelen Platten irgendeinen scheibenformigen zylindrischen Korper von beliebigem Querschnitt, z.B. Fliigelprofil, der den Plattenspalt der Hdhe nach vollkommen ausfiillt, so wird das Fluid gezwungen, diesen Korper zu umstromen. Es bilden sich dabei ganz ahnliche Stromlinien wie im Falle der ebenen (reibungslosen) Potentialstromung eines dichtebestandigen Fluids aus. Man kann dies Stromlinienbild durch Zufiihren von Farbstoff sichtbar machen, wie es in Abb. 5.77b fiir die Stromung um ein angestelltes Tragfliigelprofil dargestellt ist. Das gewonnene Ergebnis setzt wegen der oben vorgenommenen Vereinfachungen in den Differen-

252

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie

enger Spall 2o

1 Blkkrichtung —

- 1

^

! i

Modell

1

Blasplatte

Abb. 5.77. Schleichende Potentialstromung (Hele-Shaw-Stromung). a Stromung zwischen zwei nahe iibereinander liegenden parallelen Platten. b Stromung um angestelltes Profil

tialgleichungen voraus, da8 der Wandabstand hinreichend klein und die Stromungsgeschwindigkeit nicht zu groB ist. Letzteres bedeutet eine sehr kleine Reynolds-Zahl, wie sie fur die schleichende Stromung kennzeichnend ist. In einer wandnahen Zone treten gewisse Abweichungen auf, die auf das Haften des Fluids an der Korperberandung zuriickzufuhren sind. Eine kritische Bewertung und Erweiterung des obigen Ergebnisses stammt von Riegels [27]. 5.5.2.3 Instationare Wirbelausbreitung in einem viskosen Fluid Wesentlich schwieriger als bei reibungsloser Stromung gestaltet sich die Untersuchung der Wirbelbewegung, wenn der EinfluG der Viskositat auf den Stromungsverlauf beriicksichtigt werden soil. Auf eine allgemeine Theorie wird hier nicht eingegangen. Jedoch konnen einige grundsatzliche Aussagen iiber die Wirbelausbreitung gemacht werden, wie zunachst Oseen und Hamel [60] gezeigt haben. Die folgende Betrachtung sei auf das ebene Problem eines dichtebestandigen und schwerlos angenommenen Fluids beschrankt. Wirbelmodell. Wegen der ebenen Stromung steht der Wirbelvektor co iiberall normal auf der Geschwindigkeitsebene v. Die sich zeitlich und raumlich ausbreitenden Wirbelfaden mogen jeweils kreisformigen Querschnitt besitzen, so daB sich sowohl die Wirbelstarke als auch die Geschwindigkeit axialsymmetrisch verteilen. Bei der Geschwindigkeit tritt nur eine Komponente in Umfangsrichtung v = vv auf. Fiir das Wirbel- und Geschwindigkeitsfeld gilt also in Zylinderkoordinaten: v:

vr = 0,

co. cor = 0,

vv= v(t, r),

vz = 0

(5.233a)

oov = Q),

coz = co(t,r).

(5.233b)

Diese Stromung erfiillt die Kontinuitatsgleichung (2.63 b) und den raumlichen Wirbelerhaltungssatz nach (5.8a). Entsprechende Abhangigkeiten von der Zeit t und dem Radius r gelten auch fiir die anderen GroBen, wie z.B. die Druckspannungp(r, r) und die Schubspannung r(t, r).

5.5.2 Grundsatzliche Erkenntnisse der erweiterten Potentialtheorie

253

Bestimmungsgleichungen. Zur Beschreibung des Stromungsvorgangs stehen die Navier-Stokessche Bewegungsgleichung nach Tab. 2.7 und die Wirbeltransportgleichung (5.11) zur Verfiigung. Mithin erhalt man dp

I dco dt

dv

dco/*co dt \dr2

v (d v + 1 dv

U

1

v\

)

(5234ab)

' '

Ldoo_\

+

r

dr)'

wobei v = q/g die kinematische Viskositat ist. Fiir den Zusammenhang zwischen Wirbel- und Geschwindigkeitsfeld gilt nach Tab. 2.3 (5.235) Differenziert man diese Gleichung partiell nach r, so stellt 2 v (dco/dr) gerade die rechte Seite von (5.234b) dar. Man kann also auch schreiben -^ = 2v -^- . (5.236) dt dr Diese Beziehung besagt, daG die Wirbelausbreitung um so schneller erfolgt, je groBer die Viskositat ist. Dies ist besonders an derjenigen Stelle r der Fall, an welcher dco/dr einen moglichst groBen Wert besitzt. Die Geschwindigkeitsverteilung v(r) bei festgehaltener Zeit t hat aus Stetigkeitsgriinden allgemein den aus Abb. 5.78 ersichtlichen Verlauf. Am Ort r = 0 ist v = 0. Da bei der Ausbreitung des Wirbels die Geschwindigkeit am Ort r = 0 auch weiterhin null bleiben muB, folgt fiir t, r = 0: dv/dt = 2v(dco/dr) = 0, d.h. es muB zu jeder Zeit dco/dr fiir r — 0 verschwinden. Die Zirkulation Ferhalt man nach (5.13 d) zu F(t, r) = 2nrv(t, r) = An \ co(t, r') r'dr'.

(5.237a, b)

o

Die vom gesamten Wirbelfeld ( O i / s oo) hervorgerufene Gesamtzirkulation wird mit F(t, r —> oo) = j ^ gekennzeichnet. Weiterhin gilt fiir die zeitliche Anderung der Zirkulation dF dF dv dco —r- = -r- = 2nr -^- = Anvr -^— . dt dt dt dr

(5.237c, d ) n

Geschwindigkeits-, Wirbel- und Zirkulationsverteilung. Man findet durch Integration von (5.234b) fur die Geschwindigkeit eines im Abstand r vom Wirbelzentrum liegenden Aufpunkts zur Zeit t F f /-r 2 \] v(t, r) = —— 1 - e x p — r ) \ mit r\ = Av(t0 + t), Znr |_ \ >"i /] 75

Wegen tt> ± v gilt bei ebener Stromung dco da> dr dr , dr — = —— + v • grado, co • gradu = 0, -— = — + v • gradr= —- . dt at at at at

(5.238a, b)

254

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie starrer Wirbei

Potentialwirbel

Abb. 5.78. Geschwindigkeitsverteilung eines Wirbels in der Stromung eines dichtebestandigen viskosen Fluids (schematisch). : Potentialwirbel, — : starrer Wirbei

wobei mit t0 eine Bezugszeit gekennzeichnet wird, die den bei t = 0 herrschenden Anfangszustand angibt. Es bedeutet i~L die Gesamtzirkulation. Das Wirbelfeld erhalt man durch Einsetzen von (5.238) in (5.235) (5.239) co(t, r) = -—jr exp I 2nr\ Dies Wirbelfeld soil als Oseenscher Wirbei bezeichnet werden. Die Zirkulation findet man nach (5.237a, b) und ihre zeitliche Anderung nach (5.237c, d) zu r) = r j 1 - exp -

r

dr dt'

r2

(5.240 a, b)

Wie aus vorstehenden Gleichungen ersichtlich ist, besitzt der Oseensche Wirbei eine Eigenschaft, die ihn grundsatzlich vom Potentialwirbel der reibungslosen Stromung unterscheidet. Der anfangs in der Geraden r = 0 konzentrierte gerade Wirbelfaden breitet sich mit der Zeit t, und zwar plotzlich beginnend, in radialer Richtung aus, wobei die Zirkulation die zeitliche Anderung nach (5.240b) erfahrt. Der zeitliche Erhaltungssatz der Zirkulation von Thomson nach (5.16), welcher fur reibungslose Stromungen gilt, trifft also hier nicht mehr zu. Als Folge der Reibung ist die Stromung des Wirbelfelds ebenfalls im Gegensatz zum Potentialwirbel instationar. Indessen geht durch die Wirbelausbreitung insgesamt keine Zirkulation verloren, da die iiber die ganze Stromungsebene genommene Zirkulation fur endliche Zeiten nach (5.240a) den anfanglichen Wert beibehalt: F(t, r —> °°) In Abb. 5.79 a sind die auf vx - rj2nrl bezogene Geschwindigkeitsverteilung als Kurve (7), die mit co0 = co(t, 0) = TJ2nr\ dimensionslos gemachte Wirbelstarkenverteilung als Kurve (2) und die Zirkulationsverteilung F/F^ als Kurve (3) iiber r/rl = r/\/4v(t0 + t) aufgetragen. Die zum Vergleich eingetragene Kurve (7') fur die Geschwindigkeitsverteilung des Potentialwirbels vm = FJ2nr zeigt deutlich den EinfluB der flachenhaften Wirbelteilung auf das Geschwindigkeitsfeld. Wahrend die Geschwindigkeit v, und damit auch die kinetische Energie des Wirbels, mit wachsender Zeit standig abnimmt, ist dies fur die Gesamtzirkulation nicht der Fall. Daraus muG gefolgert werden, daB im Gegensatz zur Energie die Wirbei nicht an

5.5.2 Grundsatzliche Erkenntnisse der erweiterten Potentialtheorie

in OR

®1

\

)L

k> nc

a" / ,

^

0-

a

0/ /

255

V \(1'J

1' r

\

JM fi'A

\(S7 Abb. 5.79. Instationare Ausbreitung eines kreiszylindrischen Wirbels in der Stromung eines dichtebestandigen viskosen Fluids (Potentialwirbel:

\

%-»

n. Of

IS r/r,

2,0

2,5 •

3ft

a Geschwindigkeit. (i) Geschwindigkeit v/v^ nach (5.238a), (2) Wirbel (Drehung) co/co0 nach (5.239), (3) Zirkulation T/r. nach (5.240a). b Spannungsverteilung. (4) Druckspannung (p -pj)/qi nach (5.241a), (J) Schubspannung Trjr\vx nach (5.241 b)

die Masse der stromenden Fluidelemente gebunden sind. Die Ausbreitung des Wirbels erfolgt in radialer Richtung und ist nicht gleichbedeutend mit einem Fortschreiten der Substanz, da die Massenelemente, sofern keine translatorische Bewegung des gesamten Fluids damit verbunden ist, nach wie vor ihre Kreisbewegung um die Wirbelachse ausfuhren. Man hat es danach bei der Wirbelausbreitung offenbar mit einer Erscheinung zu tun, die in abgewandelter Form kennzeichnend fur alle Wirbelbewegungen in zahigkeitsbehafteten Stromungen ist. Um die Beziehungen zur Beschreibung der zeitlichen Wirbelausbreitung verwenden zu konnen, bedarf es noch der Angabe eines Anfangszustands {t = 0), welcher offenbar von der Entstehungsgeschichte des Wirbels abhangt. Dariiber konnen nur von Fall zu Fall verbindliche Angaben gemacht werden. Die Auftragungen in Abb. 5.79a gelten auch fur den Anfangszustand, wenn man r = V4v?0 setzt. Im allgemeinen handelt es sich bei der Stromung eines nicht zu stark viskosen Fluids um Wirbelfaden von praktisch endlichen, nahezu kreisformigen Querschnitten, wobei die einzelnen Wirbelelemente zur Zeit t = 0 kontinuierlich iiber ein verhaltnismaBig eng begrenztes Gebiet verteilt sind. Unter dieser Voraussetzung kann ein derartiger Wirbel im Anfangszustand dargestellt werden durch einen drehungsbehafteten inneren Teil, den sog. Wirbelkern (starrer Wirbel) vom Radius rK, und das ihn umgebende Wirbelfeld, in dem anfangs nahezu Potentialstromung herrscht. Der Wirbelkern breitet sich mit der Zeit unter dem EinfluB der Schubspannungen immer weiter in das ihn umgebende Wirbelfeld aus und vergroBert damit standig seinen Radius rK. Kaufmann [60] hat fur Einzelwirbel mit annahernd kreisformigem Querschnitt eine Naherungstheorie entwickelt, die den Stromungsbereich in einen wir-

256

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie

belbehafteten Wirbelkern 0 S= r ;§ rK und in einen wirbelfreien AuBenbereich r Ik rK aufteilt. Die Geschwindigkeits- und Wirbelverteilung innerhalb des Wirbelkems werden durch Potenzansatze des radialen dimensionslosen Abstands r/rK beschrieben, wahrend auBerhalb des Wirbelkems Potentialstromung herrscht. Die GroBe des Wirbelkems im Anfangszustand (Radius des Wirbelkems) bestimmt Kaufmann naherungsweise zu rK ~ Vl2v? 0 = •\f^r1, wobei rx fiir t = 0 zu nehmen ist. Die GroBe von rK hangt im einzelnen von dem jeweiligen Mechanismus des Wirbels ab und muB, sofern keine anderen Angaben dariiber vorliegen, experimentell bestimmt werden. MeBtechnisch laBt sich die Stelle rM ermitteln, bei der die groBte Geschwindigkeit auftritt. Fiir die Losung von Oseen ist rM/rt = 1,121 oder rK = l,544r M . Auf die Arbeiten [43] sei noch hingewiesen. Spannungszustand. Herrscht in sehr groBer Entfernung vom Ursprung, d.h. bei r —•> °°, der Druckp M , dann findet man die Druckspannung fiir eine beliebige Stelle r aus (5.234 a) durch Integration iiber r zu p (f, r) -p^ = - p j(tf7r) dr. Setzt man (5.238a) ein, so findet man nach Ausfiihren der Integration iiber r die Druckverteilung76

[(^K^K)] wobei wieder vt = FJ2nri bedeutet und q1 = (p/2)uf ist. Am Ort r = 0, d.h. im Mittelpunkt des Wirbelkems, erhalt man fiir den Druckbeiwert (Unterdruck) (po—p-)/qi = — 2In 2 = — 1,386, wahrend der Potentialwirbel einen unendlich groBen Unterdruck besitzen wiirde. In Abb. 5.79b ist die Verteilung des Druckbeiwerts (p — p^)lq\ iiber r/r, als Kurve (4) aufgetragen. Mitdargestellt ist die Druckverteilung des Potentialwirbels (p—p^)?ot/<Ji — — (>"i/r)2 als Kurve (4'). Fiir r> rK weicht die Druckverteilung des viskosen Wirbels von derjenigen des Potentialwirbels praktisch kaum mehr ab. Kennt man die Geschwindigkeitsverteilung nach (5.238), so erhalt man fiir die Schubspannung in radialer und azimutaler Richtung r{t, r) = qrd(v/r)/dr, vgl. Tab. 2.8. Die Auswertung liefert

In Abb. 5.79 b ist die dimensionslose Schubspannung in der Form Tr^i\vx iiber r/r{ als Kurve (5) dargestellt. Wahrend r bei r = 0 verschwindet, ergibt sich bei r = 1,355 r, ein Maximalwert. Auch hier ist zum Vergleich der Schubspannung des Potentialwirbels, fiir die Tvmrjqvt = — 2 (ri/r)2 gilt, als Kurve (5') herangezogen. Es sei in diesem Zusammenhang auf die bereits in Kap. 2.5.3.3 besprochene Tatsache hingewiesen, daB eine drehungsfreie Stromung (Potentialwirbel) durchaus Schubspannungen besitzen kann. Kinetische Energie und Dissipation. Wie bereits in Kap. 5.4.2.2 gezeigt wurde, ist die kinetische Energie des Potentialwirbelfelds in einer unbegrenzten drehungsfreien ebenen Stromung unendlich gro6. Ein solcher Wirbel besitzt also von diesem Standpunkt aus gesehen keine fluidmechanische Wirklichkeit. Es erhebt sich nun die Frage, ob dies auch fiir den Oseenschen Wirbel zutrifft bzw. in welcher Form sich der Einflufi der Viskositat auf den Energieinhalt eines derartigen Wirbelfelds auswirkt. Durch Einsetzen von (5.238a) in (5.182b) und Integration iiber r laBt sich die kinetische Energie E in Abhangigkeit von r/r, ermitteln. Auf die Wiedergabe der gefundenen Beziehung wird verzichtet; es wird nur das Ergebnis diskutiert. Wahrend fiir r = 0 die Energie null ist, wird sie fiir sehr groBe Abstande r —> °° unendlich groB (E —> <x>). Die kinetische Energie des Oseenschen Wirbels wird also auch fiir endliche Zeiten / unendlich groB. MaBgebend dafiir ist die Annahme eines allseitig unbegrenzten Felds 0 S r S » " Man hat es hier also wohl mit einer mathematisch exakten Losung der Wirbeltransportgleichung (5.11) zu tun, nicht aber mit einer fluidmechanisch moglichen, da im letzteren Fall stets ein im Endlichen liegender Rand vorhanden ist. Von der Art der dort herrschenden Randbedingungen hangt es ab, in welcher Weise der Rand das Geschwindigkeitsfeld beeinflussen wird. Jedenfalls miiBte dies so geschehen, daB E einen endlichen

Es ist E i (— x) = J — exp (— £) d£ das Exponentialintegral.

5.5.3 Sickerstromung durch poroses Medium

257

Wert annimmt. Als zeitliche Anderung der kinetischen Energie des Gesamtfelds der Breite b erhalt man in groBem Abstand r unabhangig von der Viskositat

^__*?Jl_^, dt

2 4nt

dt

^

=0

(,->-).

(5.242a,b)

dt

woraus eine standige Abnahme von E ersichtlich ist, ohne daB dadurch E jedoch innerhalb einer endlichen Zeit einen endlichen Wert erreicht. Eine Energiebetrachtung nach Kap. 2.6.2.1 lehrt, daB bei Vernachlassigung von Massenkraften die an der Begrenzungsflache des Felds von den auBeren Kraften verrichtete Arbeit gleich der Summe aus der kinetischen Energie E und der durch innere Reibung in Warme umgewandelten Dissipationsarbeit des Felds ist.77 Um die Arbeit der auBeren Krafte zu berechnen, betrachte man zunachst ein Gebiet, das nach auBen von einem beliebigen Kreis r > 0 um das Wirbelzentrum begrenzt ist. Da die Normalspannungen am Zylinderrand keine Arbeit verrichten, erhalt man als Arbeit der auBeren Krafte dWA = 2nbrzv dt, wo r nach (5.241b) die tangential gerichtete Schubspannung und v nach (5.238a) die Umfangsgeschwindigkeit bezeichnen. Somit erhalt man, wenn man zur Grenze r —> °° ubergeht, die Beziehung (5.242b). Da von den auBeren Kraften des Gesamtfelds keine Arbeit verrichtet wird, muB die durch (5.242 a) dargestellte zeitliche Anderung der kinetischen Energie absolut gleich der zeitlichen Anderung der Dissipationsarbeit sein, d.h. die zeitliche Abnahme der kinetischen Energie ist gleich der Dissipation des Felds. Der zeitliche Ausbreitungsvorgang des Wirbels ist also auf die Wirkung der Schubspannungen zuriickzufuhren. Folgerung. Bei vielen Aufgaben der technischen Fluidmechanik hat man es mit ebenen Stromungen zu tun, bei denen die einzelnen Wirbelfaden anfangs kontinuierlich iiber ein verhaltnismaBig kleines Gebiet, den Wirbelkern, verteilt sind, wahrend das umgebende Stromungsfeld praktisch drehungsfrei ist. Derartige Wirbelfaden entstehen z.B. bei der Ablosung von Reibungsschichten hinter festen Korpern, die in einer translatorisch bewegten Stromung festgehalten sind, etwa Karmansche WirbelstraBe nach Kap. 5.4.2.3 Beispiel 3 oder bei der seitlichen Aufwicklung von Trennungsflachen, welche sich hinter Tragfliigeln von endlicher Spannweite ausbilden, vgl. Kap. 5.4.3.3. Die Querschnitte dieser Wirbel sind, wie Versuch und Theorie zeigen, gewohnlich so ausgebildet, daB die Wirbelstarke der kontinuierlich iiber die Querschnittsflache verteilten Elementarwirbel im Kernschwerpunkt ein Maximum besitzt und nach dem Kernrand hin stetig und stetig differenzierbar auf null abfallt, wobei der Kern im ailgemeinen kein Kreis zu sein braucht. In einem viskosen Fluid kann ein von einer Potentialstromung umgebender Wirbelfaden mit endlichem Querschnitt auf die Dauer nicht bestehen. Es fmdet eine zeitliche Ausbreitung des Wirbelfadens in das ihn umgebende Stromungsfeld statt, wodurch die anfangs als drehungsfrei angesehenen stromenden Fluidelemente in Drehung geraten. Aus (5.234c) ist ersichtlich, daB sich dieser Vorgang um so schneller vollzieht, je groBer die kinematische Viskositat v ist.

5.5.3 Sickerstromung durch poroses Medium 5.5.3.1 Filtergesetz (Darcy) Die stationare Bewegung eines Fluids, im ailgemeinen einer Fliissigkeit, durch ein poroses Medium (feinkorniger Sand) besitzt einen ahnlichen Stromungscharakter wie die laminare Bewegung in einem Rohr, vgl. Kap. 3.4.3.3. Bei einem derartigen Stromungsvorgang sind sowohl die Geschwindigkeit, mit der sich das 77

Das beschriebene Ergebnis wird nachfolgend begriindet: Vorgegeben ist ein dichtebestandiges Fluid (p = const) bei einer adiabaten Zustandsanderung (dQ = 0). Weiterhin wird der EinfluB der Massenkraft vernachlassigt (dWB = 0) und beachtet, daB wegen p = const eine Volumenanderungsarbeit nicht auftritt (dWv = 0). Dann folgt aus (2.166) fur die Anderung der kinetischen Energie dE - dWA + dW, sowie aus (2.168 b) fur die Anderung der Arbeit der auBeren Krafte dWt = — dWD, wobei dWD die Anderung der Dissipationsarbeit ist. ZusammengefaBt gilt also dWA = dE - dWD.

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie

Abb. 5.80. Zur Erlauterung des Filtergesetzes nach Darcy

Fluid durch die einzelnen Poren des porosen Mediums bewegt, als auch die Porendurchmesser in der Regel sehr klein, so daB die Voraussetzung fur die Laminarhaltung (kleine Reynolds-Zahl) im allgemeinen erfiillt ist. Das besondere Merkmal der laminaren Spalt- und Rohrstromung ist nach (2.125a), (3.92b) und (3.94) die Proportionalitat zwischen dem Volumenstrom und dem Druckgefalle, namlich V~ (l(/j) (dp/dx). DaB ein analoges Gesetz bei kleinen Reynolds-Zahlen auch fur die Stromung durch porose Medien gilt, zeigt der folgende Filterversuch: Abb. 5.80 stellt ein mit feinem Sand gefiilltes horizontal liegendes Rohr dar, an das zwei vertikal stehende, oben offene Steigrohre im Abstand / voneinander angeschlossen sind. LaBt man nun durch das Rohr in der angedeuteten Richtung als Folge eines linksseitigen Uberdrucks Wasser stromen, so steigt dies entsprechend den in den Querschnitten (7) und (2) herrschenden Driicken p1 und p2 in den Steigrohren verschieden hoch. Der Unterschied h der Steigrohrspiegel ist dabei gleich dem Verlust an Druckhohe auf der Lange /. Bezogen auf die Lange erhalt man daraus bei konstantem Druckgefalle nach der hydrostatischen Grundgleichung (2.14 c) *=-i^=-

W

*~*

(laminar),

(5.243)

wenn x die Richtung der horizontalen Rohrachse angibt. Den Volumenstrom des Wassers in m3/s bezieht man auf die Flache quer zur Stromungsrichtung und bezeichnet diese GroBe als Filtergeschwindigkeit. Sie ist nicht identisch mit der tatsachlichen Geschwindigkeit, welche das Wasser beim Durchstromen der einzelnen Poren ortlich besitzt. Der obige Versuch zeigt nun, daB die Filtergeschwindigkeit u in Richtung der x-Achse den Wert u=

— (eindimensional) (5.244) U ox besitzt, wobei k die Durchlassigkeit des porosen Mediums in m2 und t\ die Viskositat des Fluids in N s/m2 bezeichnet. Die GroBe k/ij soil im folgenden als unveranderlich angenommen werden, k/q = const. Das Gesetz nach (5.244) ist zuerst von Darcy [15] fur feinen Sand nachgewiesen worden und ist als Darcysches Filtergesetz bekannt. Voraussetzung fur seine Giiltigkeit ist ein poroses Medium, in dem sich die oben vorausgesetzte Laminarstromung auch tatsachlich ausbilden

5.5.3 Sickerstromung durch poroses Medium

259

kann. Kling [44] hat anhand des zur Verfiigung stehenden Versuchsmaterials verschiedener Autoren festgestellt, daB bei der Stromung durch Kugelschiittungen aus den verschiedensten Materialien laminare Stromung nur bei Reynolds-Zahlen Re = ud/v < 10 vorhanden ist, wobei u die Filtergeschwindigkeit und d den Kugeldurchmesser bezeichnen. Nur in diesem Bereich ware danach das Darcysche Gesetz giiltig. Gl. (5.244) laBt sich unter den gleichen Voraussetzungen wie oben fiir eine beliebige Stromungsrichtung erweitern, indem man die Filtergeschwindigkeit v in der Form v =

k

grad (p + pgz)

(dreidimensional),

(5.245 a)

oder in Komponentenform mit vx = u, vy = v und vz = k dp

k dp

k d

/

(5.245b)

anschreibt. Der zweite Summand in der Gleichung fiir w gibt dabei den EinfluB der Schwere an, wenn die z-Koordinate vertikal nach aufwarts angenommen wird. Gl. (5.245) enthalt keinen EinfluB der Tragheitskraft, so daB dies Gesetz nur fiir kleine Geschwindigkeit giiltig sein kann. Solche Stromung ist im Sinn von Kap. 2.5.3.4 als schleichende Stromung zu betrachten. Die Filtergeschwindigkeit muB bei quellfreier Stromung die Kontinuitatsgleichung (2.132 b) mit div v = 0 erfiillen, was fiir den Druckp (x, y, z) zu der Beziehung (2.132 a)

mit A als Laplace-Operator fiihrt. Die GroBe der Durchlassigkeit k hangt wesentlich von der KorngroBe des porosen Mediums bzw. von dessen Dichtigkeit (Porenvolumen) ab. Die Zahlenwerte fiir k schwanken sehr stark. Handelt es sich bei dem porosen Medium um Erdmaterial, so spielt der Umstand eine Rolle, ob dies frei von tonigen Beimengungen ist oder nicht. Im letzteren Fall kann die Durchlassigkeit k stark absinken. Ist die Giiltigkeit des Filtergesetzes wegen zu groBer Reynolds-Zahl (bei Kugelschiittungen Re > 10) nicht mehr gegeben, so muB ein Filtergesetz fiir die turbulente Bewegung zu verwenden sein. Nahere Angaben iiber die Stromung durch porose Medien findet man u.a. bei de Wiest [99] und Scheidegger [78], vgl. [57, 63, 100]. 5.5.3.2 Sickerstromung als potentialtheoretische Aufgabe Gl. (5.245a, b) zeigt, daB sich die Filtergeschwindigkeit V nach (5.23 a) als Gradient eines Geschwindigkeitspotentials

k

(p + pgz)

darstellen laBt, und zwar gilt

(laminar)

(5.247 a)

260

5.5 Verwandte Probleme der Potentialtheorie

90 90 90 v = grad
5.5.3 Sickerstromung durch poroses Medium

261

Abb. 5.81. Sickerstromung unter einem Wehrkorper. a Bezeichnungen. b Strom- und Potentiallinien ( bzw. ) Stromlinien der Potentialstromung sind. Dagegen stellt die FluBsohle rechts und links des Wehrkorpers Potentiallinien dar, da das Sickerwasser die FuBsohle in vertikaler Richtung durchflieBt. Die Stromlinien der Sickerstromung stehen also normal zur FluBsohle. Zur schnellen Auftragung der Stromlinien kann man sich eines Modellversuchs nach der in Kap. 5.5.2.2 besprochenen Methode von Hele-Shaw bedienen. Nimmt man den Druck im FluB als hydrostatisch verteilt iiber die Tiefe an, so kann, wenn die x, v-Ebene in die FluBsohle gelegt wird, das Potential der linksseitigen Sohle nach (5.247 a) wegen z, = 0 und pl = pB + pght in der Form
(5.248)

ergibt. b) Auftriebskraft auf Spundwand. Von der in Abb. 5.82 dargestellten ebenen, unten durch einen halben Kreiszylinder abgeschlossenen Spundwand ist die durch die Sickerstromung hervorgemfene Auftriebskraft zu ermitteln. Da die Stromlinien um den in der durchlassigen Schicht befindlichen halben Kreiszylinder konzentrische Kreise sind, miissen die auf den Stromlinien stehenden Potentiallinien gerade Linien durch den Kreismittelpunkt sein. Fur das Potential kann man also schreiben (5.249 a, b)

, + c2q> =

n und c , c

wobei ip der Polarwinkel x 2 Konstanten sind, die aus den Randbedingungen auf der Sohle bei

(5.250)

71

Als interessantes Ergebnis ist hervorzuheben, daB die von der Sickerstromung hervorgerufenen Driicke unabhangig von der Durchlassigkeit k der porosen Schicht und der Viskositat q des Fluids sind. Die gesamte Auftriebskraft infolge der Sickerstromung findet man durch Integration der an den Flachenelementen dA = bRd
Literatur zu Kapitel 5

V/#=const

Abb. 5.82. In Sickerstromung stehende Spundwand, Berechnung der Auftriebskraft

rechts der Spundwand. Uber die durch die unterschiedlichen Wasserstande {hx + h2) auf eine Spundwand hervorgerufene seitliche Druckkraft wurde in Kap. 3.2.2.1 Beispiel a.3 bereits berichtet. c) Naherungslbsungen. Die strenge Behandlung der Grundwasserbewegung in dem vorstehend besprochenen Sinn mittels der Potentialtheorie bereitet immer dann erhebliche Schwierigkeiten, wenn der Grundwasserstrom eine freie Oberflache besitzt, deren Gestalt unbekannt ist. Man ist deshalb bei derartigen Untersuchungen im allgemeinen auf Naherungslosungen angewiesen. Erstmalig werden vereinfachende Annahmen von Dupuit angegeben, mittels derer man z.B. die Durchsickerung von Dammen und Deichen sowie die Grundwasserabsenkung bei Graben und Brunnen ermitteln kann. Die daraus gefundenen Ergebnisse konnen jedoch, besonders wegen der Unsicherheit der jeweils vorliegenden Randbedingungen, nur als mehr oder weniger grobe Naherungen gewertet werden. Da es hier nicht moglich ist, auf Einzelheiten einzugehen, wird auf das bereits fur die Grundwasserstromung angegebene Schrifttum sowie [58] verwiesen. Dort wird z.B. auch die Wirkung von Kapillarkraften sowie das Verhalten bei nichtstationarer Stromung behandelt.

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96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103.

6. Grenzschichtstromungen

6.1 Uberblick Uber die Krafte, welche auf einen umstromten Korper ausgeiibt werden, kann man folgende Feststellung treffen: Solange die Stromung vom Korper nicht ablb'st, laBt sich die normal zur Anstromrichtung wirkende Kraft (Querkraft, Auftriebskraft) auch bei Vemachlassigung der Reibung recht zuverlassig durch die Potentialtheorie nach Kap. 5.3 und 5.4 ermitteln. Uber die fur das Auftriebsproblem am Tragflugel entwickelten Berechnungsmethoden wurde in Kap. 5.4.3 berichtet. Die Theorie der reibungslosen Stromung eines dichtebestandigen Fluids vermag im allgemeinen das Vorhandensein einer in Anstromrichtung wirkenden Widerstandskraft nicht zu erklaren, bekannt als d'Alembertsches Paradoxon (2.81b). Eine vollstandige physikalische Erklarung des Widerstandsproblems laBt sich jedoch nur geben, wenn auch die Reibung in der Stromung beriicksichtigt wird.1 Fur die bei der reibungsbehafteten Stromung in Wandnahe und bei einem Freistrahl oder einer Nachlaufdelle auftretenden Probleme ist die Prandtlsche Grenzschicht-Theorie zum Ausgangspunkt eines besonderen Zweigs der Fluidmechanik geworden. Dieser hat neben der theoretischen und experimentellen Aufklarung vieler bis dahin nicht losbarer Fragen in besonderer Weise fur den technischen Anwendungsbereich eine entscheidende Bedeutung erlangt. Die Grenzschicht-Theorie diente zunachst der Berechnung von Stromungsgrenzschichten (Reibungsschichten) und ist so als asymptotische Losung der NavierStokesschen Bewegungsgleichung fur die laminare Stromung eines normalviskosen Fluids bei groBer Reynolds-Zahl anzusehen. Sie hat im Zug der Entwicklung der Fluidmechanik in verschiedenster Weise Erweiterungen erfahren. Ahnlich wie bei der Rohr- und Gerinnestromung in Kap. 3.4 bzw. 3.5 tritt auch in Grenzschichten sowohl der laminare als auch der turbulente Stromungszustand auf. Diesem Umstand tragt die Grenzschicht-Theorie in vollem MaB Rechnung. Dariiber hinaus erfaBt sie den EinfluB, der bei einem inhomogenen Fluid (veranderliche Stoffgrb'Ben) durch Temperaturanderung in der Grenzschicht hervorgerufen wird. Neben der Stromungsgrenzschicht kennt man somit auch 1 Dies ist naherungsweise mittels einer erweiterten Potentialtheorie nach Kap. 5.5.2.1 (Potentialstromung mit freier Stromlinie) moglich. DaB auch in reibungsloser Stromung Widerstande auftreten konnen, wurde in Kap. 4.5.3.1 fur den Wellenwiderstand bei Uberschallstromung einer angestellten Platte oder eines profilierten Korpers und in Kap. 5.4.3.3 fur den induzierten Widerstand beim Tragflugel endlicher Spannweite gezeigt.

268

6.2 Grundziige der Grenzschicht-Theorie

eine Temperaturgrenzschicht. Spielt ein Stoffaustausch zwischen einer porosen Wand und einem vorbeistromenden Fluid eine Rolle, so liegt eine Diffusionsgrenzschicht vor. In Kap. 6.2 werden zunachst allgemeine Aussagen iiber das Verhalten von Grenzschichten gemacht und die Grundziige der Grenzschicht-Theorie fiir die Stromungs- und Temperaturgrenzschicht einschlieBlich der sie betreffenden Stoffgesetze dargelegt. Mit der laminaren und turbulenten Grenzschichtstromung an festen Wanden befaBt sich ausfiihrlich Kap. 6.3, wobei sowohl die differentielle als auch die integrale Darstellung behandelt werden. Den Grenzschichtstromungen ohne feste Begrenzung ist Kap. 6.4 gewidmet. Die Forschungstatigkeit auf dem Gebiet der Grenzschichtstromung ist in besonders rascher Entwicklung begriffen. Dies trifft vor allem fiir die turbulente Grenzschicht zu. Die hier mitgeteilten Erkenntnisse und Ergebnisse konnen daher nur als Einfiihrung in dies wohl wichtigste Teilgebiet der Fluidmechanik gewertet werden. Auf die in deutscher Sprache vorliegenden Werke von Schlichting [94], Walz [115] und Rotta [88] sowie Tollmien [108] sei hingewiesen.2 Die Darstellung erstreckt sich nahezu ausschlieBlich auf die ebene Grenzschichtstromung. Fragen der drehsymmetrischen Stromung werden nur bei der laminaren Grenzschicht gestreift, wahrend iiber die raumliche Grenzschichtstromung nicht berichtet wird, man vgl. hierzu [27].

6.2 Grundziige der Grenzschicht-Theorie 6.2.1 Einfiihrung Aus der Erfahrung ist bekannt, daB ein fester Korper in reibungsbehafteter Stromung einen Widerstand zu iiberwinden hat. Dieser sei Reibungswiderstand genannt. Er setzt sich zusammen aus den Beitragen der Schubspannungskrafte (Schubspannungswiderstand) und den durch die Reibung beeinfluBten Druckspannungskraften (Druckwiderstand infolge Reibung). Wie in Abb. 1.15 fiir den Widerstandsbeiwert querangestromter elliptischer Zylinder und in Abb. 3.84 fiir den querangestromten Kreiszylinder und fiir die angestromte Kugel gezeigt wurde, hangt dieser stark ab von der Reynolds-Zahl Re = Ul/v bzw. UD/v mit U als Anstrtimgeschwindigkeit, / als Korperlange bzw. D als Kreis- oder Kugeldurchmesser und v als kinematischer Viskositat. Bei der Stromung dichteveranderlicher Fluide spielt neben der Reynolds-Zahl auch die Mach-Zahl Ma = U/c mit U als Anstromgeschwindigkeit und c als Schallgeschwindigkeit eine wichtige Rolle. Abb. 6.1 zeigt Messungen von Widerstandsbeiwerten cw an Kugeln in Abhangigkeit von der Reynolds- und Mach-Zahl; es ist cw = W/qA mit W als Widerstandskraft, q = (Q/2)U2 als Geschwindigkeitsdruck der Anstromung und 2

Einschlagiges in Buchform erschienenes Schrifttum ist in der Bibliographie (Abschnitt C) am Ende dieses Bandes zusammengestellt. Im iibrigen enthalten die meisten Lehrbucher iiber Fluidmechanik mehr oder weniger ausfiihrliche Abschnitte liber die Grenzschichtstromung.

6.2.1 Einfiihrung

269 12

2,0 3,0 1,5

8-705 9

Abb. 6.1. Widerstandsbeiwerte von Kugeln cw = W/qA in Abhangigkeit von der ReynoldsZahl Re = UD/v und von der Mach-Zahl Ma = U/c nach Messungen von Naumann [71]

Re- UD/v

A = (7i/4) D2 als Bezugsflache. Bei kleinen Mach-Zahlen ist der Widerstandsbeiwert fast nur eine Funktion der Reynolds-Zahl cw{Re, Ma) ~ cw{Re). Die pldtzliche starke Verminderung des Widerstandsbeiwerts im Bereich 2 • 105 < Re < 6 • 105 ist auf den Umschlag von laminarer in turbulente Strdmung zuriickzufuhren. Auf ein solches fluidmechanisches Verhalten wurde in Kap. 1.3.3.2 schon kurz hingewiesen. In Kap. 2.5.3.6 wurden Uberlegungen zur Entstehung der Turbulenz gemacht. Weiterhin wird in Kap. 6.3.5.2 in Zusammenhang mit dem Auftreten abgeldster Stromungen auf das angesprochene Problem nochmals eingegangen. Bei Erhohung der Mach-Zahl verschwindet der EinfluB der Reynolds-Zahl immer mehr und ist bei grofien Mach-Zahlen iiberhaupt nicht mehr vorhanden cw(Re, Ma) ~ cw{Ma). Auf den starken Widerstandsanstieg an Tragfliigelprofilen bei Anstromung mit hohen Unterschall-Mach-Zahlen {Ma —> 1) nach Abb. 5.39b sei hier ebenfalls aufmerksam gemacht. Die vollstandige theoretische Erfassung des Reibungswiderstands umstrdmter Korper ist, insbesondere wenn die Strdmung bereits Ablosungsgebiete besitzt, nur naherungsweise mdglich. Kap. 3.6.3.1 berichtet iiber die Ermittlung des Reibungswiderstands aus dem Impulsverlust hinter einem angestromten Korper in einem dichtebestandigen Fluid. Im folgenden wird gezeigt, wie man durch Einfiihren einer sog. wandnahen Strdmungsgrenzschicht eine Mdglichkeit zur Berechnung der reibungsbehafteten Strdmung an umstrdmten Kdrpern gewinnt.

270

6.2 Grundziige der Grenzschicht-Theorie

6.2.2 Begriff der Grenzschicht und ihr grundsatzliches Verhalten 6.2.2.1 Stromungsgrenzschicht Allgemeines. In Kap. 2.5.3.3 und 2.5.3.5 wurde darauf hingewiesen, daB eine allgemeine Losung der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung (Impuls- und Kontinuitatsgleichung) sowohl fur die zahigkeitsbedingte laminare Stromung als auch fiir die zahigkeitsbedingte turbulente Stromung (Reynoldssche Bewegungsgleichung) in geschlossener Form kaum moglich ist. Insbesondere gilt dies fiir den Fall, wenn die Zahigkeits- und Tragheitskrafte im ganzen Stromungsgebiet von der gleichen GroBenordnung sind, so daB keine Kraftart gegen die andere vernachlassigt werden darf. Bei den schleichenden Bewegungen in Kap. 2.5.3.4 wird den Zahigkeitskraften die iiberwiegende Bedeutung zuerkannt und auf diese Weise die Losung einer Anzahl praktisch wichtiger Stromungsvorgange, wie z.B. die hydromechanische Schmiermittelreibung nach Kap. 3.6.3.2, ermoglicht. Es handelt sich dabei durchweg um Bewegungen mit sehr kleinen Reynolds-Zahlen. Nunmehr soil der entgegengesetzte Fall betrachtet werden, der — abgesehen von den Vorgangen in unmittelbarer Nahe fester Wande — durch sehr groBe ReynoldsZahlen Ul Re = —

(Reynolds-Zahl)

(6.1)

gekennzeichnet ist. Hierin bedeutet U eine charakteristische Bezugsgeschwindigkeit, z.B. die Anstromgeschwindigkeit bei umstromten Korpern, / eine charakteristische Korperabmessung, etwa den Durchmesser eines Kreiszylinders oder einer Kugel, die Profiltiefe eines Tragfliigels oder eine sonstwie festgelegte Lange, und v = q/p die kinematische Viskositat des Fluids, vgl. Tab. 1.1. Von einem Fluid mit geringer Viskositat (Wasser, Luft) darf angenommen werden, daB es sich in groBerer Entfernung von einer umstromten festen Wand nahezu wie ein reibungsloses Fluid verhalt. Bei gegebener Viskositat q kann die Reibung in (2.119 b) nur dann einen merklichen EinfluB ausiiben, wenn groBe Geschwindigkeitsgradienten, insbesondere quer zur Stromungsrichtung, vorhanden sind. In der freien Stromung ist das im allgemeinen nicht der Fall, wohl aber in unmittelbarer Nahe einer umstromten festen Wand. An dieser haftet nach Abb. 1.14b das Fluid, hat also dort die relative Geschwindigkeit null. Dagegen besitzt es bereits in geringem Abstand von der Wand annahernd den Wert der auBeren reibungslosen Stromung. Zwischen der Wand einerseits und der auBeren Stromung andererseits befindet sich also eine diinne Ubergangsschicht, die sogenannte Reibungs- oder Grenzschicht, in welcher ein starker Geschwindigkeitsanstieg vom Wert null an der Wand auf den Wert der auBeren Stromung stattfindet. Danach kann das vom Fluid durchstromte Gebiet in zwei, allerdings nicht scharf trennbare Bereiche eingeteilt werden: den auBeren Bereich, in dem angenahert reibungslose Stromung herrscht und in dem bei Drehungsfreiheit die Gesetze der Potentialstromung nach Kap. 5.3 gelten und den inneren Bereich, d.h. die Stromungsgrenzschicht, fiir welche die Gesetze des reibungsbehafteten Fluids maBgebend sind. Es ist das groBe Verdienst von Prandtl [76], diese Trennung zuerst

6.2.2 Begriff der Grenzschicht und ihr grundsatzliches Verhalten

271

Stromungsgrenzsch/cht AuBensfromung N

Abb. 6.2. Ausbildung der Stromungsgrenzschicht an einem prismatischen Korper mit dem Keilwinkel 2&K, Koordinaten x, y langs bzw. normal zur Korperoberflache (feste Wand)

vorgenommen und die Vorgange in der Grenzschicht einer theoretischen Behandlung zuganglich gemacht zu haben. Fluidmechanisch kann man sich die Entstehung der wandnahen Stromungsgrenzschicht klarmachen, wenn man die Stromung um einen prismatischen Korper nach Abb. 6.2 betrachtet, der in einem wenig viskosen Fluid festgehalten ist und, wie gezeigt, mit der Geschwindigkeit ux angestromt wird. Im Punkt 0 findet eine Verzweigung der zugehorigen Stromlinie nach der Ober- und Unterseite des Korpers statt. Die x-Richtung verlaufe langs der Korperoberflache (Lauflange) und die y-Richtung normal dazu (Wandabstand). Entsprechend gelte fur die Geschwindigkeitskomponenten innerhalb der Grenzschicht u(x, y) bzw. v(x, y). Wahrend an der Korperoberflache (feste Wand, Index w) die Geschwindigkeit infolge des Reibungseinflusses nach (2.119c) verschwindet, uw — 0 = vw, herrscht bereits in geringem Abstand vom Korper nahezu reibungslose AuBenstromung (Index a) mit der Geschwindigkeit ua(x). Die sehr starke Geschwindigkeitsanderung vom Wandwert null auf den Wert der AuBenstromung vollzieht sich in der schmalen Grenzschicht, deren Dicke im Punkt 0 null ist und im weiteren Verlauf allmahlich zunimmt.3 Der Ubergang von der Grenzschicht- zur AuBenstromung ist jedoch nicht scharf begrenzt, er erfolgt vielmehr asymptotisch. Zur Definition der Grenzschichtdicke ist deshalb im allgemeinen eine bestimmte Festsetzung erforderlich. So wird haufig als Dicke der Stromungsgrenzschicht 6s(x) derjenige Wert in ^-Richtung angenommen, fur welchen die Geschwindigkeit u (x, y) der Grenzschicht nur noch um 1 % kleiner als die Geschwindigkeit der auBeren reibungslosen Stromung ua(x) ist, u [x, y = 6s(x)] = 0,99 ua(x). Diese Feststellung hat indessen nur vom mathematischen Standpunkt aus Bedeutung. Fluidmechanisch wichtig ist allein die Tatsache, daB bereits in einem sehr kleinen Abstand von der Wand praktisch die Geschwindigkeit der reibungslosen AuBenstromung erreicht ist und daB in der schmalen Wandzone starke Reibungskrafte iibertragen werden.

3

Bei einem vorn stumpfen Korper hat die Grenzschichtdicke bei x = 0 bereits einen endlich groBen Wert, vgl. (6.77).

272

6.2 Grundziige der Grenzschicht-Theorie

Stromungszustand in der Grenzschicht. Aus den Erkenntnissen iiber die Rohrstromung nach Kap. 3.4.3 ist bekannt, daB man zwei verschiedene Stromungsarten zu unterscheiden hat, namlich die laminare und die turbulente Stromung; man beachte hierzu auch die Ausfiihrung in Kap. 1.3.3.2. Durch Vergleich von experimentell gefundenen Ergebnissen mit entsprechenden theoretischen Uberlegungen hat sich gezeigt, daB auch in den Grenzschichten sowohl die laminare als auch die turbulente Stromungsart vorkommen kann. Bei der laminaren Stromung sind die Vorgange durch die Viskositat und die Tragheit bestimmt und damit nach Kap. 2.5.3.3 fluidmechanisch vollkommen iibersehbar. Bei der turbulenten Stromung treten, wie bereits in Kap. 2.5.3.5 dargelegt wurde, neben den statistisch gemittelten Werten der Geschwindigkeit und des Drucks noch zusatzliche SchwankungsgroBen auf, durch welche u.a. turbulente Scheinspannungen ausgelost werden, die nicht durch die Viskositat, sondern durch die entstehende Mischbewegung bedingt sind. Es ist deshalb notwendig, das Problem der Grenzschichtstromung auch auf das mogliche Auftreten der turbulenten Stromungsart hin genauer zu untersuchen. Umschlag laminar-turbulent. Der laminar-turbulente Umschlag in der Grenzschicht eines umstromten Korpers wird von vielen Parametern beeinfluBt, von denen auBer der Reynolds-Zahl die wichtigsten der Druckverlauf der AuBenstromung, die Wandbeschaffenheit (Rauheit) und die Storungsfreiheit der AuBenstromung (Turbulenzgrad) sind. Es erhebt sich also die Frage, an welcher Stelle des umstromten Korpers die laminare in die turbulente Stromungsgrenzschicht iibergeht, falls sich die laminare Grenzschicht nicht bereits vorher abgelost hat. Es ist im allgemeinen nicht so, daB die Grenzschicht langs der Berandung eines festen Korpers (Zylinder, Tragfliigel usw.) bereits vom vorderen Staupunkt ab entweder laminar oder turbulent stromt. Sie wird vielmehr anfangs, d.h. bei geringer Lauflange x, immer laminar sein und bei groBer werdendem Abstand x unter gegebenen Voraussetzungen turbulent werden. In Abb. 6.3 a ist dieser Tatbestand schematisch dargestellt. An welcher Stelle x = xu der Umschlag mit der zugehorigen Reynolds-Zahl des Umschlagpunkts Reu = Uxjv erfolgt, kann zunachst nicht ohne weiteres angegeben werden. Im allgemeinen ist es auch hier wie bei der Rohrstromung so, daB sich bei kleinen Reynolds-Zahlen Re < Reu die laminare und bei Re > Reu dagegen die turbulente Stromungsart einstellt. Da im allgemeinen der bei turbulenter Stromung an der Korperwandung auftretende Reibungswiderstand wesentlich groBer als bei laminarer Stromung ist, kommt der Bestimmung des Umschlagpunkts eine erhebliche Bedeutung zu. Es handelt sich hier um die Losung eines Stabilitatsproblems, welches eine der wichtigsten Aufgaben der Fluidmechanik darstellt. Als ungefahrer Anhaltspunkt gilt, daB der Umschlagpunkt angenahert mit der Stelle des Druckminimums der AuBenstromung zusammenfallt. In Kap. 2.5.3.6 wurde diese wichtige Frage bereits erortert. Neben den dort bereits genannten grundlegenden Arbeiten iiber die Entstehung der Turbulenz, Lit. Kap. 2 [11, 39, 50], seien hier noch diejenigen zusammenfassenden Berichte erwahnt, die sich vornehmlich mit dem Problem des laminar-turbulenten Umschlags und dem Stabilitatsverhalten von Grenzschichten befassen. Es handelt sich dabei um die Darstellung von Michalke [67], Reshotko [102] und Tani [102].

273

6.2.2 Begriff der Grenzschicht und ihr grundsatzliches Verhalten Uoo

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Abb. 6.3. Verhalten in der Grenzschicht schematisch dargestellt. a Stromungsgrenzschicht mit Umschlagpunkt, (1) laminar Re < Reu, (2) turbulent Re > Reu, b Temperaturgrenzschicht mit und ohne Warmetransport. (i), (5) warmedurchlassige (diabate) Wand, (pw S 0; (2) warmeundurchlassige (adiabate) Wand,
Gewisse Storungen konnen der laminaren Grenzschichtstromung zunachst eine Sekundarstromung iiberlagern, ehe der Umschlag in die turbulente Stromung erfolgt. Beispiele dieser Art sind die sog. Taylor- und Gortler-Wirbel [38]. Ablosung der Stromungsgrenzschicht. Das sich in der Grenzschicht bewegende Fluid erfahrt infolge der Wandreibung eine standige Verzogerung und damit eine Verminderung seiner kinetischen Energie. Herrscht in Stromungsrichtung x ein Druckabfall, so wirkt dies antreibend auf die Grenzschichtbewegung in Langsrichtung. Bei Druckanstieg dagegen wird die Verzogerung des Grenzschichtmaterials weiter verstarkt. Das so abgebremste Fluid wird zunachst von der auBeren Stromung noch mitgeschleppt, wobei die Grenzschicht standig an Dicke zunimmt; bei weiter steigendem Druck kann es zum Stillstand gelangen und sogar zur Umkehr gezwungen werden. Diese riicklaufige Stromung schiebt sich zwischen Korperoberflache und Grenzschicht, wodurch die AuBenstromung vom Korper abgedrangt und sich an einer bestimmten Stelle des um- oder durchstromten Korpers ablost. Zwischen beiden Stromungen entsteht eine Unstetigkeitsflache, die sich jedoch wegen ihrer Labilitat spiralartig in Einzelwirbel auflost, welche ihrerseits von der auBeren Stromung mit fortgefuhrt werden. Die zur Erzeugung dieser Wirbel verbrauchte Energie geht im wesentlichen mechanisch verloren. Sie findet ihr Aquivalent in einem entsprechenden Widerstand, den der Korper dem Fluid entgegensetzt. Weitere Aussagen iiber das Auftreten von Ablosung bei Stromungsgrenzschichten werden in Kap. 6.3.5 noch gemacht. MaBnahmen zur Beeinflussung der Stromungsgrenzschicht. Die bisherigen Uberlegungen haben gezeigt, welch entscheidenden EinfluB das Verhalten der Grenzschicht auf die GroBe des Widerstands ausiibt, den ein fester Korper in einer Stromung erfahrt. Eine laminare Grenzschicht ohne Ablosung be-

274

6.2 Grundziige der Grenzschicht-Theorie

sitzt einen geringeren Schubspannungswiderstand als eine unter gleichen Randbedingungen sich ausbildende turbulente Grenzschicht, vgl. das Verhalten der langsangestromten ebenen Platte in Abb. 1.15. Eine Ablosung der Grenzschicht von der Korperwand hat ein groBes Wirbelgebiet hinter dem Korper und damit einen besonders hohen Druckwiderstand zur Folge, vgl. das Verhalten des Kreiszylinders in Abb. 1.15. Um die beiden genannten widerstandserhohenden Ursachen gunstig zu verandern, hat man nach Mitteln gesucht, durch welche die Grenzschicht derart beeinfuBt wird, daB einerseits eine nicht abgeloste Grenzschicht moglichst lange laminar bleibt, d.h. der Umschlagpunkt moglichst weit stromabwarts liegt, und andererseits eine Ablosung entweder ganz verhindert oder in ihrer Auswirkung wesentlich abgeschwacht wird. Um bei einem umstromten Korper den Druckwiderstand infolge Reibung gering zu halten, muB der im Fluid bewegte Korper eine solche Korperform erhalten, daB das hinter ihm entstehende Wirbelgebiet moglichst klein wird. Dies bedeutet fluidmechanisch gesehen, daB die Ablosungsstelle der Grenzschicht soweit wie moglich stromabwarts zu verlegen ist. Da deren Lage wesentlich von der GroBe des Druckanstiegs langs der Korperkontur abhangt, liefert eine nach hinten schlank verlaufende Korperform unter sonst gleichen Voraussetzungen einen geringeren Druckwiderstand als eine mehr oder weniger stumpf abgeschnittene Form. Bei entsprechend schlanken Korperformen kann der Druckwiderstand nahezu vermieden werden, man vgl. hierzu die Druckverteilung in Abb. 5.30b, die derjenigen aus der Potentialstromung sehr nahe kommt. Bei Stromungen mit groBeren Druckanstiegen laBt sich jedoch eine Ablosung ohne besondere MaBnahmen im allgemeinen nicht vermeiden. Das optimal Erreichbare bestiinde darin, durch konstruktive Mittel die Ausbildung einer Grenzschicht iiberhaupt unmoglich zu machen. Dies ware offenbar dann der Fall, wenn die Korperoberflache sich an jeder Stelle mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen wiirde wie das umgebende Fluid. Es ist einleuchtend, daB sich eine derartige MaBnahme einer mitbewegten Wand praktisch kaum vollkommen verwirklichen laBt. Mit Vorteil verwendet man besonders in der Flugtechnik sog. Schlitzfliigel. Das sind Fliigel, bei denen z.B. nach Abb. 6.4 a vor dem eigentlichen Tragfliigel ein Vorfliigel in geeigneter Stellung so angeordnet ist, daB ein diisenformiger Spalt zwischen beiden Fliigeln entsteht. Die durch den Schlitz von unten nach oben mit groBer Geschwindigkeit eindringende Luft fiihrt der auf der Flugeloberseite gegen steigenden Druck stromenden Grenzschicht neue mechanische Energie zu und verhindert damit ihre Ablosung. Da diese Anordnung auch noch bei groBer Anstellung der Fliigel gegeniiber der Anstromrichtung wirksam ist, lassen sich damit besonders groBe Auftriebskrafte erzielen. Hilfsfliigel werden auch bei verschiedenen anderen Stromungsvorgangen benutzt, die ohne eine derartige MaBnahme mit starker Ablosung und Wirbelbildung verbunden waren. Ein Beispiel dafiir zeigt Abb. 6.4b, in welcher die Moglichkeit angedeutet ist, wie sich durch Anordnung von Vorflugeln die Ablosungserscheinung stark herabsetzen laBt. In diesem Zusammenhang sei auf die bereits in Abb. 3.41 b gezeigte Anordnung von Umlenkschaufeln in stark gekrummten Kanalen oder Rohren hingewiesen. Eine weitere Moglichkeit zur Verhinderung der Grenzschichtablosung besteht darin, die verzogerte stromende Grenzschicht durch zusatzliche MaBnahmen zu beschleunigen. Bei Tragflugeln versucht man, dies nach Abb. 6.4 c durch Ausblasen von Frischluft auf der Flugeloberseite aus dem Inneren des Fliigels zu erreichen. Eine weitere besonders erfolgversprechende Methode ist das Absaugen der Grenzschicht. Dies Verfahren ist zuerst von Prandtl vorgeschlagen worden, um die Ablosung der Grenzschicht im Druckanstiegsgebiet von Zylindern und an stark erweiterten Diffusorwandungen zu verhindern. Zu diesem Zweck ordnet man ein oder mehrere Schlitze in der Wand eines hohl ausgefiihrten Zylinders bzw. in der Diffusorwand an. Durch das Absaugen des im Druckanstiegsgebiet bereits stark abgebremsten Grenzschichtmaterials wird vor dem Schlitz eine Druckminderung erzeugt, so daB die sich hinter dem Schlitz neu bildende Grenzschicht jetzt in die Lage versetzt wird, den neuerlichen Druckanstieg zu iiberwinden. Auf diese Weise kann man bei entsprechender Anordnung des Schlitzes eine Ablosung vollkommen vermeiden.

Abb. 6.4. MaBnahme zur Beeinflussung der Stromungsgrenzschicht. a, b Vorfliigel (Schlitzfliigel). c Ausblasen

6.2.2 Begriff der Grenzschicht und ihr grundsatzliches Verhalten

275

Kam es bei den vorstehend angedeuteten MaBnahmen in erster Linie darauf an, eine Ablosung der Grenzschicht zu verhindern, so hat man auch erkannt, daB sich durch Grenzschichtbeeinflussung eine Verschiebung der Umschlagstelle laminar-turbulent stromabwarts und damit eine VergroBerung der Reynolds-Zahl des Umschlagpunkts Reu erreichen laBt. Hierdurch kann der Schubspannungswiderstand vermindert werden. Dieser hangt, wie im einzelnen in Kap. 6.3 noch ausgeftihrt wird, abgesehen von der Giite der Korperoberflache (fluidmechanisch glatt oder rauh), wesentlich davon ab, ob die Grenzschicht laminar oder turbulent stromt. Da laminare Grenzschichten erheblich kleinere Wandschubspannungen als turbulente erzeugen, muB man zwecks Kleinhaltung des Schubspannungswiderstands bestrebt sein, die laminare Grenzschicht moglichst lange am Korper zu erhalten oder, anders gesprochen, den Umschlagpunkt moglichst weit stromabwarts zu verlegen. Diese Frage ist besonders fur die Flugtechnik wichtig, wo man durch entsprechende Formgebung sog. Laminarprofile fur die Tragfliigel entwickelt hat, die durch lange laminare Lauflangen gekennzeichnet sind. Da der Umschlagpunkt in der Nahe des Druckminimums bzw. Geschwindigkeitsmaximums der AuBenstromung liegt, ist es notig, die Stelle der groBten Profildicke moglichst weit nach hinten zu verlegen [29, 121]. Ahnlich wie bei der Beeinflussung der Lage des Ablosungspunkts laBt sich auch die Lage des Umschlagpunkts durch Grenzschichtabsaugung stromabwarts verschieben. Bei kontinuierlicher Absaugung durch entsprechend nahe beieinanderliegende Locher oder Schlitze in der Wand kann die Reynolds-Zahl des Umschlagpunkts Reu erheblich gesteigert werden. Die Folge davon ist ein langeres Laminarbleiben der Grenzschicht mit geringerer Oberflachenreibung als bei turbulenter Grenzschicht. Es ist einleuchtend, daB bei all diesen Uberlegungen auch die Frage nach dem Leistungsbedarf fur die Absaugung eine RoUe spielt, denn eine groBe Absaugleistung konnte den Leistungsgewinn infolge Laminarhaltung der Grenzschicht ganz oder zu einem wesentlichen Teil wieder aufheben. Entsprechende Rechnungen zur Ermittlung des fur die Laminarhaltung mindestens erforderlichen Absaugvolumens haben jedoch gezeigt, daB dazu nur verhaltnismaBig geringe Massen benotigt werden. Die durch derartige MaBnahmen erzielte Widerstandsersparnis ist bei groBen Reynolds-Zahlen recht erheblich. Die Lage des Umschlagpunkts laBt sich durch bestimmte MaBnahmen auch stromaufwarts verschieben. Bringt man z.B. vorn am Korper einen sog. Stolperdraht an, so kann man durch diese kiinstliche Storung erzwingen, daB die Grenzschicht sofort turbulent wird, d. h. die Lage des Umschlagpunkts sich bei xu = 0 befindet. Auf diese Weise kann der bei der Umstromung von Kreiszylindern und Kugeln auftretende Druckwiderstand bei turbulenter Stromung kleiner als bei laminarer Stromung gehalten werden, vgl. Abb. 3.84. Die zahlreichen theoretischen und experimentellen Untersuchungen zur Grenzschichtbeeinflussung, insbesondere beim Ausblasen und Absaugen, sind in einer umfangreichen Darstellung bei Lachmann [61] zu finden, vgl. auch Schlichting [94]. Auf die Frage der Absaugung wird bei der laminaren Plattengrenzschicht in Kap. 6.3.2.3 Abschn. a noch etwas naher eingegangen. Zusammenwirken von Grenzschicht und Verdichtungsstofi. Treten bei trans- und supersonischen Stromungen an den Wanden VerdichtungsstoBe auf, so ist eine starke gegenseitige Beeinflussung von Grenzschicht und VerdichtungsstoB die Folge. Hieriiber berichten zusammenfassend Green [39] und Ryzhov [90]. Uber das besondere Verhalten bei hypersonischer Stromung wurde in Kap. 4.5.3.4 eine kurze Bemerkung gemacht, vgl. Abb. 4.53. Auf den Ubersichtsbeitrag von Mikhailov, Neiland und Sychev [25] sei hingewiesen. Um das Zusammenwirken von Grenzschicht und VerdichtungsstoB mittels der Grenzschicht-Theorie beschreiben zu konnen, bedarf es einer Theorie hoherer Ordnung, die im Rahmen dieses Buches mit Ausnahme von Kap. 6.3.2.5 Abschn. b nicht behandelt wird.

6.2.2.2 Temperaturgrenzschicht Allgemeines. Handelt es sich um die Stromung eines inhomogenen Fluids ((? =1= const, q 4= const), so kann die Temperatur T fur den Stromungsvorgang eine wichtige RoUe spielen, da nach Kap. 1.2 die Dichte (? und die Viskositat q von ihr abhangen. Geschwindigkeitsanderungen in der wandnahen Stromungsgrenzschicht bedingen also auch Temperaturanderungen in unmittelbarer Wandnahe. Infolge des Warmeleitkoeffizienten A und der spezifischen Warmekapazitat cp des stromenden Fluids treten somit auch Warmestrome infolge von Warmeaustausch durch Leitung bzw. von Warmeiibertragung durch Konvektion (Mit-

276

6.2 Grundziige der Grenzschicht-Theorie

fuhren) in der Grenzschicht auf.4 Man muB also neben der Stromungsgrenzschicht eine Temperaturgrenzschicht, auch Warmegrenzschicht genannt, einfiihren. Zur Beschreibung der Temperaturgrenzschicht reicht die in Kap. 6.2.2.1 fur die Bestimmung der Stromungsgrenzschicht genannte Bewegungsgleichung (Impuls- und Kontinuitatsgleichung) allein nicht aus. Man muB dariiber hinaus die Energiegleichung der Thermofluidmechanik (erster Hauptsatz der Thermodynamik), welche die Umwandlung zwischen mechanischer und thermischer Energie angibt, mit heranziehen. Nach Kap. 2.6.3.3 kommt hierfur die Warmetransportgleichung in Frage. Dabei ist ahnlich wie bei den Stromungsgrenzschichten neben dem molekularen Warmeaustausch bei laminarer Stromung auch der zusa'tzliche Warmeaustausch infolge der turbulenten Mischbewegung zu beriicksichtigen. Die Bewegungsgleichung und die Warmetransportgleichung sind nicht voneinander unabhangig. Dire Kopplung erfolgt iiber die fluidmechanischen StoffgroBen des Fluids nach Kap. 1.2, da diese im allgemeinen Funktionen der Temperatur sind, sowie bei der Temperaturgrenzschicht auch vom Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht. Bei der mit Warmetransport verbundenen Stromung spielt die Peclet-Zahl nach (1.47 g) eine bestimmende Rolle: Pe = — (Peclet-Zahl). (6.2) a Hierin bedeuten U und / wie in (6.1) die Bezugsgeschwindigkeit bzw. die Bezugslange und a = A/pcp nach (1.36) den Temperaturleitkoeffizienten. GemaB (1.47i) stellt Pr = - ^ = — = - ^ (Prandtl-Zahl) (6.3) Re a A die Prandtl-Zahl dar. Sie ist eine reine StoffgroBe, vgl. Tab. 1.1. Abb. 6.3 b zeigt schematisch das mogliche Verhalten in der Temperaturgrenzschicht T(x, y). Der Ubergang der durch Reibung und Warmetransport bestimmten Temperaturgrenzschicht in die von der Wand unbeeinfluBte auBere Temperatur geschieht in einem Wandabstand y = 6T(x), den man die Dicke der Temperaturgrenzschicht nennt. Dort herrscht die AuBentemperatur Ta(x). Im allgemeinen sind die Dicken der Stromungsgrenzschicht Ss(x) und der Temperaturgrenzschicht 6j{x) nicht gleich groB. Das Verhaltnis 6jl5s hangt stark von der PrandtlZahl Pr ab. Warmeiibergang. Die Randbedingungen an der Korperwand (y = 0) sind beim Temperaturfeld vielfaltiger als beim Stromungsfeld. Langs der Oberflache des umstromten Korpers kann nicht nur konstante oder mit der Lauflange x veranderliche Temperatur Tw (x) vorgegeben sein, sondern es kann auch ein Warmeiibergang von der warmedurchlassigen (diabaten) Wand in das Fluid oder umgekehrt 4

Bei sehr hohen Temperaturen kommt eine Warmeilbertragung durch Strahlung hinzu. Sie kann im Rahmen der hier zu behandelnden Aufgaben vernachlassigt werden.

6.2.3 Ausgangsgleichungen der Grenzschicht-Theorie (Prandtl)

277

vorgeschrieben sein. Letzteres tritt nach (1.33) wegen (pw(x) = — Aw(dT/dy)w (Warmestromdichte) dann ein, wenn an der Wand ein bestimmter Temperaturgradient (dT/dy)w =t= 0 vorhanden ist. Bei (dT/dy)w > 0 geht Warme vom Fluid an die Wand und bei (dT/dy)w < 0 von der Wand in das Fluid iiber. Der Sonderfall (3T/dy)w = 0 stellt die warmeundurchlassige (adiabate) Wand dar. Dieser Fall liegt bei einem vollig warmeisolierten Korper vor. Durch die Reibungswarme des vorbeistromenden Fluids erfolgt solange ein Aufheizen der Wand, bis der Zustand (3T/dy)w = 0 erreicht wird. Die Wand nimmt dabei eine Ubertemperatur gegeniiber dem Fluid auBerhalb der Temperaturgrenzschicht an, die man als Eigentemperatur der Wand bezeichnet. Man nennt diesen Fall, besonders im alteren Schrifttum, auch das Thermometerproblem. 6.2.2.3 Diffusionsgrenzschicht Werden durch eine porose Wand in das vorbeistromende Fluid ein anderes Fluid oder kleine Festkorperteilchen eingeblasen oder wird Wandmaterial durch Ablation abgetragen, so findet in Wandnahe ein Stoffaustausch (Diffusion) statt, welcher dem Warmeaustausch in der Temperaturgrenzschicht ahnlich ist. Da sich auch diese Vorgange in einer wandnahen Schicht abspielen, hat man es neben der Stromungs- und Temperaturgrenzschicht auch noch mit einer Diffusionsgrenzschicht, auch Stoffgrenzschicht genannt zu tun. Im allgemeinen interessieren hierbei besonders die Zweistoffgrenzschichten. Analog zur Reynolds-Zahl nach (6.1) und zur Peclet-Zahl nach (6.2) kennt man die Bodenstein-Zahl Bo=—

(Bodenstein-Zahl)

(6.4)

mit D als Diffusionskoeffizient. Diese Kennzahl wird haufig auch als Peclet-Zahl der Stoffiibertragung Pe* bezeichnet, vgl. DIN 5491.

6.2.3 Ausgangsgleichungen der Grenzschicht-Theorie (Prandtl) 6.2.3.1 Grundgesetze der Stromung mit Reibungsund TemperatureinfluB Im folgenden werden von den in Kap. 2 bereits hergeleiteten Grundgesetzen diejenigen zusammengestellt, die zur Losung der in Kap. 6.2.1 und 6.2.2 beschriebenen Aufgaben benotigt werden. Dabei handelt es sich zur Erfassung des Reibungs- und Temperatureinflusses in der wandnahen Grenzschicht um den Massenerhaltungssatz (Kontinuitatsgleichung), den Impulssatz (Kraftgleichung) und den Energiesatz (Warmetransportgleichung). Zunachst wird nur die differentielle Darstellung behandelt, wobei die Beziehungen vornehmlich in kartesischen Koordinaten angegeben werden. Fur andere Koordinatensysteme wird auf die einschlagigen Tabellen verwiesen. Die nachstehenden Gleichungen beziehen sich grundsatzlich sowohl auf die laminare als auch auf die turbulente Stromung. Im letzteren Fall sind jeweils die momentanen GroBen entsprechend (2.134) als maBgeblich anzusehen.

278

6.2 Grundziige der Grenzschicht-Theorie

Kontinuitatsgleichung. Nach (2.62) gilt fiir ein quellfreies Stromungsfeld dt

dXj

dt

dXj

Hierin bedeutet Q die Dichte, Xj die Ortskoordinaten und Vj die zugehorigen Geschwindigkeitskomponenten; zur Summationsvereinbarung vgl. Bd. 1 (4. Aufl.), FuBnote 14 (S. 66). Impulsgleichung. Die Impulsgleichung viskoser Fluide lautet nach (2.119b) bei Vernachlassigung der Massenkraft (enthalten im Massenkraftpotential uB) dVj dp d [ /dv (II) gr —— = - ^—- + -— n t dt dxi dXjl'XdXj

dVj\\ 1- -— dXi/j

2 3/ du/ - — -=—l n 3 3xt \ d..j,

mitp als Druck und r\ als dynamischer Scherviskositat. Warmetransportgleichung. Fiir die Stromung eines inhomogenen Fluids (veranderliche StoffgroBen) wird nach (2.205 b) in Verbindung mit (2.202) dT_ dt

dp dt

_d_(A 9T\ dxj \ dxjj

,.

p

T_ p (6.6 a)

wobei T das Temperaturfeld und diss v die von dem Geschwindigkeitsfeld bestimmte Dissipationsfunktion gemaB (2.200) J

A >0

(6.6b)

Cj /

ist. Im einzelnen gilt entsprechend der Ausfiihrung zu (2.205 b) a = 0: Fliissigkeit (f> = const), a = 1: Gas ((? = p/RT). (6.6 c) Gleichungssystem. In (6.5 a), (6.5b) und (6.6a) bedeutet d/dt = d/dt + Vji die substantielle Ableitung nach (2.41b), wobei das erste Glied den lokalen und das zweite Glied den konvektiven Anteil angibt. Die genannten Gleichungen stellen im dreidimensionalen Fall bei bekannten Stoffgesetzen nach Kap. 6.2.3.3 fiir p(p, T), q (p, T), cp(p, T) und X{p, T) fiinf Gleichungen fiir die fiinf Unbekannten Vj(i - 1, 2, 3), p und T dar. Die kinematische Randbedingung (2.119c) fordert bei umstromten Kb'rpern fiir die Geschwindigkeit, daB wegen der Haftbedingung die tangentiale Geschwindigkeitskomponente relativ zur Kbrperwand verschwindet, vt = 0. Ist die Wand gegen Stoffstrome undurchlassig (nichtporos), so muB auch die Geschwindigkeitskomponente normal zur Wand null sein, vn - 0. Fiir die Temperatur kann die Wandtemperatur Tw oder die Warmestromdichte entsprechend (1.33) durch
6.2.3 Ausgangsgleichungen der Grenzschicht-Theorie (Prandtl)

279

6.2.3.2 Formulierung der Grenzschicht-Theorie Die Prandtlschen Grenzschichtvereinfachungen sollen fiir die ebene Stromung besprochen werden. Es wird also mit den Koordinaten xl=x,x2 = y und d/dx^ = 0 sowie mit den zugehorigen Geschwindigkeitskomponenten' vl = u, v2 = v und v3 = 0 gerechnet.5 Wenn die x-Achse in die Wandrichtung fallt und die y-Achse normal dazu steht, bedeutet die Verwendung der kartesischen Koordinaten x, y zunachst, daB die Wand ungewolbt, d.h. eine gerade Begrenzungsflache ist. Die folgenden Betrachtungen zur Grenzschicht-Theorie lassen sich, sofern die Grenzschichtdicke als klein gegen den Kriimmungsradius der Wand angesehen werden darf, im Rahmen einer Theorie erster Ordnung auch auf gekriimmte Begrenzungsflachen iibertragen. Man fiihrt dazu nach Abb. 6.5 ein krummliniges Koordinatensystem ein, bei dem als x-Koordinate die Bogenlange der Wand (Lauflange) gewahlt wird, wahrend die y-Koordinate jeweils normal zur Wand (Wandabstand) steht. Der EinfluB groBerer Wandkriimmung wird im Rahmen einer Grenzschicht-Theorie zweiter Ordnung in Kap. 6.3.2.5 Abschn. b kurz behandelt. Randbedingungen der Grenzschicht. Fiir die Stromungsgrenzschicht 0 S_y g Ss(x) und fiir die Temperaturgrenzschicht O S y ^ ^ i ) gelten an einer feststehenden, masseundurchlassigen (nichtporosen) Wand sowie an den Randern der Grenzschichten die Randbedingungen y = 0: u = uw(x) = y

= 0:T=Tw(x),

y = 6s(x): u = ua(x) (Geschwindigkeit); (6.7a) y = ST(x): T = Ta(x) (Temperatur).

(6.7b)6

Der Index w soil die Werte an der Wand y - 0 und der Index a diejenigen am Rand der Grenzschicht y = 8 kennzeichnen. Die Randbedingungen an der Wand bezeichnet man als Wandbedingungen und diejenigen am Rand der Grenzschicht, d.h. dort wo die Grenzschicht in die AuBenstrdmung bzw. AuBentemperatur iibergeht, als Ubergangsbedingungen. In Tab. 6.1 sind alle denkbar vorkommenden

TJxS -T(x.y) lemperaturgrenzschkht

5

Abb. 6.5. Zur Berechnung der Stromungs- und Temperaturgrenzschicht an maBig gekrummter Korperoberflache (mit Ausnahme der Umgebung x/l
Auf einen besonderen Hinweis iiber die Zeitabhangigkeit der in der Grenzschicht auftretenden Grofien wird hier verzichtet. 6 Auf die Moglichkeit, an der Wand die Warmestromdichte vorzugeben, wird hingewiesen.

^i

II

S

II

«?

Geschwindigkeits-Gradient II

«s-

(f).=°

Temperatur-Gradient

AuBentemperatur

T=Ta(x)

AuBengeschwindigkeit

U = M o (x)

Warmestromdichte an der Wand cpw = — XM[ — \dy

J3 II

ceo<<3

60

kiihlende Wand Warmestrom: Fluid —> Wand

absaugende Wand Massenstrom: Fluid —> Wand

heizende Wand Warmestrom: Wand —> Fluid

vw<0

0

ausblasende Wand Massenstrom: Wand —> Fluid

warmedurchlassige (diabate) Wand

warmeundurchlassige (adiabate) Wand

Warmetibergang zwischen Wand und Fluid oder umgekehrt"

Wandtemperatur

vw>0

masseundurchlassige (nichtporose) Wand

v =0

massedurchlassige (porose) Wand

Haftbedingung bei bewegter Wand

u = uw(x)

v= vw(x)

T = Tw(x)

Haftbedingung bei feststehender Wand

Temperaturgrenzschicht

u=0

Stromungsgrenzschicht

Tabelle 6. 1. Randbedingungen der Grenzschicht-Theone

Wand

O 3

O a

6.2.3 Ausgangsgleichungen der Grenzschicht-Theorie (Prandtl)

281

Randbedingungen zusammengestellt.7 Dabei sind auch die Bedingungen fur eine massedurchlassige (porose) und eine warmedurchlassige (diabate) Wand mitangegeben. Grenzschichtvereinfachungen. Aufgrund des Prandtlschen Grenzschichtkonzepts soil die Dicke der Grenzschicht 8(x), abgesehen von der Stelle x = 0, an welcher die Grenzschicht beginnt, sowie deren unmittelbarer Umgebung, die Bedingung 8 < x erfiillen. Diese Annahme findet auch seitens experimenteller Erkenntnisse ihre Rechtfertigung. Ist / eine charakteristische Korperlange, z.B. nach Abb. 6.5 die Tiefe / eines profilierten Korpers, dann gilt wegen der geringen Ausdehnung der Grenzschicht normal zur Wand fur die bezogenen Grenzschichtdicken 8s/l <S 1 bzw. 6j/l < 1. Fiir die Koordinaten kann man somit die GroBenordnung mit x ~ I und y ~ 8S bzw. y ~ 6T abschatzen. Dies bedeutet fur die Anderungen normal zur Wand bei dem Geschwindigkeitsprofil d/dy ~ l/6s und bei dem Temperaturprofil d/dy ~ \l8j. Da sich sowohl die Geschwindigkeiten als auch die Temperaturen in der Grenzschicht im allgemeinen sehr viel starker normal zur Wand (y-Richtung) als langs der Wand (x-Richtung) andern, kann man bei den Ableitungen annehmen

a

a

1

~dx~ d ~dx

a ~dy~

——

(Geschwindigkeitsprofil, 0 g y § Ss),

(6.8 a)8

(Temperaturprofil, 0 § y

(6.8 b)8

Im allgemeinen ist 8T =f= 6S, und zwar hangt, wie noch gezeigt wird, &rl8s im wesentlichen von der Prandtl-Zahl Pr ab. Durch das Abschatzen der GroBenordnung nach (6.8) erfahren die Ausgangsgleichungen von Kap. 6.2.3.1 zur Berechnung der Geschwindigkeits- und Temperaturverteilungen in der Grenzschicht entscheidende Vereinfachungen. Die wesentlichste Aussage besteht nach (6.16 b) darin, daB sich die Driicke an einem festgehaltenen Schnitt x innerhalb der Grenzschicht kaum andern. Der Druck wird der Grenzschicht von auBen aufgepragt. Es gilt also in Erganzung von (6.8 a, b) fiir die Druckverteilung die Druckbedingung p (x, y) ~ p (x, y = 6) = pa (x) (Druckverteilung, 0 S y S

(6.8c)9

Die sich aufgrund der Annahmen (6.8 a, b, c) aus (6.5) und (6.6) ergebende Prandtlsche Grenzschichtgleichung stellt bei gegebenen Anfangs- und Randbedingungen an der Wand y = 0 sowie am Rand der Grenzschicht y = S(x) die Grundlage fiir die weiteren Untersuchungen dar. 7

Die Haftbedingung gilt nur so lange, als man das stromende Fluid als Kontinuum ansehen darf, was fur Luft in Erdnahe auch bei groBen Geschwindigkeiten noch zutrifft. Handelt es sich jedoch um Stromungsprobleme, die sich in groBen Hohen abspielen, dann ist die Luft so stark verdiinnt, daB die mittlere freie Weglange der Gasmolekiile von der GroBenordnung der Korperabmessung oder auch der Grenzschichtdicke ist. In solchen Fallen ist die Haftbedingung nicht mehr erfiillt; vielmehr muB jetzt anstelle des Haftens an der Wand eine entsprechende Gleitbewegung in die Theorie eingefiihrt werden. 8 Als Profil wird die Anderung mit dem Wandabstand y bei x = const und als Verteilung die Anderung mit der Lauflange x bei y = S(x) bezeichnet. 9 Unter 6 ist jeweils der groBte Wert von 6S oder 6T zu verstehen.

282

6.2 Grundziige der Grenzschicht-Theorie

6.2.3.3 Stoffgesetze innerhalb der Grenzschicht Die Kopplung der Gleichungen zur Berechnung der Stromungs- und Temperaturgrenzschicht erfolgt u. a. iiber die bei dem Stromungsvorgang beteiligten StoffgroBen, wie die Dichte p, die Viskositat q, die spezifische Warmekapazitat cp und den Warmeleitkoeffizienten A. Dies ist der Fall, wenn diese GrbBen mindestens von einer Veranderlichen, namlich der Temperatur T abhangen. Wichtiger als bei einer Fliissigkeit ist das Zusammenwirken von Stromungs- und Temperaturgrenzschicht bei einem Gas. Drei der genannten StoffgroBen kann man nach (6.3) in der Prandtl-Zahl Pr = cpq/A zusammenfassen. Sie kann bei Gasen als druck- und temperaturunabhangig angenommen werden und besitzt naherungsweise den Wert Pr~ 1,0, vgl. (1.38). Dichte. Unter normalen Bedingungen kann man eine Fliissigkeit nach (1.7) als dichtebestandig mit p/pb =1,0 annehmen, d.h. es ist p(x, y) = const. Bei einem idealen Gas besteht zwischen der Dichte p, dem Druck p und der Temperatur T nach der thermischen Zustandsgleichung (1.8 a) der Zusammenhang p = pRT mit R als spezifischer Gaskonstanten. Da der Druck nach (6.8 c) an einer Stelle x innerhalb der Grenzschicht 0 S y ^ 6 unverandert gleich dem AuGendruck p(x, y) = pa{x) ist, folgt aus der Zustandsgleichung innerhalb der Grenzschicht zwischen der Dichte und der Temperatur die Beziehung

mit pa, pa, Ta als den Werten am Rand der Grenzschicht ya = 6(x). Viskositat. Wahrend die Druckanderung eine vernachlassigbare Rolle spielt, muB die Temperaturanderung bei der dynamischen Viskositat r\ — i\(T) gema'8 den Angaben in Kap. 1.2.3.2 beachtet werden. Bei bekannter Temperaturverteilung T(x, y) kann man die zugehorigen Werte q(x, y) fiir Flijssigkeiten und Gase aus Abb. 1.4 in Verbindung mit den Bezugswerten nach Tab. 1.1 ermitteln. Fiir ein Gas laBt sich die Temperaturabhangigkeit nach (1.14b) durch v)^ ^ ^ j ~T(x,y)

rT(X

q(x,y)=qa(x)\

(Gas)

(6.10a, b)

mit 0,7 < co < 0,8 angeben. In erster Naherung kann man a> ~ 1,0 setzen und erhalt so das lineare Temperaturgesetz fur die Viskositat. Auf die bei den Grenzschichtgleichungen inhomogener Fluide in den Kap. 6.3.2.3 Abschn. b und Kap. 6.3.2.4 Abschn. b auftretende Viskositatsfunktion C, nach (1.16a) sei hingewiesen. Warmekapazitat. Fiir ein thermisch ideales Gas hangt die spezifische Warmekapazitat nur von der Temperatur ab, cp = cp(T), vgl. Bd. 1 (4. Aufl.), Tab. C.I. Meistens kann man den TemperatureinfluB vernachlassigen und mit cp(x,y) ~ cp = const rechnen.

(Gas)

(6.11)

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

283

Warmeleitfahigkeit. Ahnlich wie die dynamische Viskositat q ist auch der Warmeleitkoeffizient gemaB den Angaben in Kap. 1.2.5.4 nur von der Temperatur abhangig, A = X(T). Unter Einfiihren der Prandtl-Zahl Pr nach (6.3) gilt A(x,y)=^q(x,y),

A(x,y) = cpn(x,y)

(Pr=l).

(6.12 a, b)

Bei der vorausgesetzten konstanten Warmekapazitat cp = const sowie bei Annahme konstanter Prandtl-Zahl Pr = const, was fiir ein Gas im Temperaturbereich 50 K < T < 1500 K mit Pr ~ 1 nach Tab. 1.1 sehr gut zutrifft, ist die Warmeleitfahigkeit proportional der dynamischen Viskositat A (x, y) ~ r\ (x, y) (cp = const, Pr = const).

(6.12 c)

Hinsichtlich ihrer Abhangigkeit von der Temperatur gilt also sinngemaB (6.10).

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden 6.3.1 Einfiihrung Dies Kapitel befaBt sich mit Stromungs- und Temperaturgrenzschichten, die sich an umstromten festen Wanden ausbilden. Die Beschaffenheit der Korperoberflache (glatt, rauh, masse- oder warmedurchlassig u.a.m., vgl. Tab. 6.1) bestimmt die Randbedingungen an der Wand, die jeweils zu erfiillen sind. Als wichtigste ist die Haftbedingung anzusehen. Besondere Bedeutung kommt der Stromung am AuBenrand der Grenzschicht zu. Diese AuBenstromung kann in Stromungsrichtung beschleunigt, gleichformig oder verzogert verlaufen. Dadurch konnen in Stromungsrichtung Bereiche mit Druckabfall, Gleichdruck oder Druckanstieg auftreten, wobei im letzteren Fall die Stromungsgrenzschicht zur Ablosung kommen kann. Im einzelnen befassen sich Kap. 6.3.2 mit der laminaren und Kap. 6.3.3 mit der turbulenten Grenzschicht an festen Wanden. Dabei stellt die langsangestromte ebene Platte jeweils den Sonderfall mit Gleichdruck dar. Wahrend in den genannten Kapiteln die differentielle Darstellung besprochen wird, betrifft Kap. 6.3.4 die Integralverfahren der Grenzschicht-Theorie, aus denen sowohl fiir die laminare als auch fiir die turbulente Grenzschicht einfach zu handhabende Naherungsverfahren entwickelt werden. Einigen Fragen der Stromungsablosung ist Kap. 6.3.5 gewidmet.

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden 6.3.2.1 Grenzschichtgleichungen der laminaren ebenen Scherstromung Die Ausfiihrungen dieses Kapitels beziehen sich auf die ebene laminare Grenzschichtstromung mit dem Koordinatensystem x, y nach Abb. 6.5, wahrend die

284

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

drehsymmetrische Grenzschichtstromung in Kap. 6.3.2.5 Abschn. a besprochen wird. Auf das Schrifttum iiber laminare Grenzschichten in Buchform, Abschnitt C der Bibliographie am Ende dieses Buches, sowie auf den Handbuchbeitrag von Howarth [50] sei hingewiesen. a) Stromungsgrenzschicht Ausgangsgleichungen. Nach (6.5 a) und (6.5 b) lautet die Bewegungsgleichung bei laminarer Stromung eines inhomogenen Fluids (p 4= const, r\ 4= const)10 dp dt

d(pu) d(pv) dp dx dy ~ dt du

du ~dx~ ~ -~dy~

du

dp_ dx

P

dp dy

dp ^dx-

(du \dx

dv\ dy

du_ ~dx~

2 d_ ~3~dx

du ~d~x~

dp 2 d ~dy~ +

(dv dv dv pv -^—I- u -=—I- v ~^— \dt - dx " dy

dx

l

(6.13 a)

(6.13b)

I dv du J~dyn\~dy~lh

(du dv \dy dx

(6.13 c)

Fiir eine feststehende und masseundurchlassige (nichtporose) Wand gilt nach Tab. 6.1 die kinematische Randbedingung, vgl. (6.7 a),

u(t,x,0) = 0 = v(t,x,0)

(Wand,y = 0).

(6.13 d)

Abschatzen der Grofienordnungen. Zunachst folgt aus der Kontinuitatsgleichung (6.13 a), daB du /dx und dv/dy von gleicher GroBenordnung sind. Dies wird verstandlich, wenn man beachet, daB die Kontinuitatsgleichung auch fiir die Stromung mit p = const erhalten bleiben muB. Die Grenzschichtvereinfachung (6.8 a) fiihrt fiir die Geschwindigkeitsgradienten in der Grenzschicht in Verbindung mit (6.13 a) zu den Abschatzungen d ~dy~

>

d ~dx

du ~dy~

>

du ~dx

dv ~dy~

dv dx

(6.14 a, b)

Die GroBenordnungen sind durch Unterstreichungen besonders gekennzeichnet, und zwar ein sehr groBer Ausdruck durch eine ausgezogene, ein mittelgroBer Ausdruck durch eine gestrichelte und ein sehr kleiner Ausdruck durch eine punktierte Linie. Durch Integration der Ausdriicke du/dy und dv/dy iiber y wird zunachst y

— dy = u(t,x,y)-u(t,x,0), J dv

y

—dy = v(t,x,0)-v(t,x,0). J dy

Wegen der Randbedingung an einer feststehenden, nichtporbsen Wand nach (6.13d) ist u(t, x, 0) = 0 = v(t, x, 0), so daB sich unter Beriicksichtigung von (6.14b) fiir die Geschwindigkeitskomponenten selbst Fiir ein homogenes Fluid gilt (2.121 a, b, c) mit p = const und v = q/p = const.

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

285

die Abschatzung \v\<\u\

(0§yS(5s)

(6.14c)

11

angeben lafit. Fiir die geschwindigkeitsbehafteten Glieder in den Impulsgleichungen (6.13 b, c) sind die GroBenordnungen durch die vereinbarten Unterstreichungen vermerkt. Von den lokalen Beschleunigungen du/dt und dv/dt sei angenommen, daB sie von gleicher GroGenordnung wie die zugehorigen konvektiven Beschleunigungen sind.12 Die Impulsgleichungen lassen sich durch Einfiihren der Komponenten fiir die Tragheits-, Druck- und Zahigkeitskraft in der Kurzform folgendermaGen anschreiben: B 1^+^

+ 1^ = 0, FEy + FPy + FZy = 0.

(6.15a,b)

Es sind FE (6.13 b, c), FPx, FPy die Komponenten der Druckkraft und F^, FZy die Komponenten der Zahigkeitskraft. Die Gegeniiberstellung von (6.15 a, b) zeigt durch Vergleich der unterstrichenen Glieder in (6.13b, c), daB \FEy\<S \FEx[\xnd \FZy\
(6.16 a)

(0=3v=S(5s).

(6.16b)

Dies nennt man die Druckbedingung der Grenzschicht-Theorie. Sie besagt, daB innerhalb der Grenzschicht der Druck naherungsweise unabhangig vom Wandabstand y ist. Er darf demnach iiber den Querschnitt x = const als unveranderlich angesehen und gleich dem am auBeren Rand der Stromungsgrenzschicht^ = <5S bestimmten Wert der reibungslosen Stromung pa (t, x) gesetzt werden (6.16b). Der Druck tritt somit als eine von der auBeren Stromung aufgepragte bekannte GroBe auf. Er ist lediglich von der Langskoordinate x und bei instationarer Stromung noch von der Zeit t abhangig. Fiir die Stromung eines viskosen Fluids ist nach (2.115 b) die Spannung normal zur Wand -P

(j, = 0 ) .

(6.16c)

Fiir den Fall stationarer Stromung wurde dv/dy nach (6.13 a) eingesetzt. Da an der Wand nach (6.13 d) sowohl u = 0 = v als auch du/dx = 0 ist, gilt fiir den Druck an der Wand die letzte Beziehung, d.h. dort ist die Normalspannung ayy gleich dem negativen Wert des Drucks p. Damit ist gezeigt, daB bei stationarer Stromung die Viskositat auf die Normalspannung an einer festen und masseundurchlassigen Wand keinen EinfluB hat.

Grenzschichtgleichung. Das Ergebnis iiber das Verhalten des Drucks in der Grenzschicht bedeutet, daB der Aussagewert der Impulsgleichung normal zur umstromten Wand (6.13 c) erschopft ist. Diese Gleichung braucht also fiir die weitere Grenzschichtrechnung nicht mehr herangezogen zu werden. Die Grenzschichtgleichung besteht nurmehr aus (6.13a) und (6.13b), wobei letztere mit den besprochenen Grenzschichtvereinfachungen anzuschreiben ist. Zur Berechnung der laminaren Stromungsgrenzschicht erhalt man so bei instationarer ebener Stromung das Gleichungssystem 11 Hierbei wird vorausgesetzt, daB du/dy bzw. dv/dy in den betrachteten Integrationsbereichen ihre Vorzeichen nicht andern. 12 Stark instationare Vorgange in Grenzschichten konnen nur mit der vollstandigen Navier-Stokeschen Bewegungsgleichung beschrieben werden. 13 In (6.13 b, c) stellen die einzelnen GroBen Kraftdichten in N/m3 dar.

286

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

.

, dx

.

, ^0, dy du du du\ dp d ( du\ -dt+Ud-x+Vdj)=-d-x+dy-\Tld-y)

) (6.17a) I i (inhomogen) \ ,.,,,, (6 17b) ) -

mit der Randbedingung an der Wand nach (6.13 d) oder gegebenenfalls nach Tab. 6.1. Am Rand der Stromungsgrenzschicht (auBere Stromung y = 6s(t, x), Index a) ist u(t, x, 6S) = ua(t, x). Weiterhin soil das Geschwindigkeitsprofil der Grenzschicht ohne Knick in die AuBenstromung iibergehen, d.h., es muB (du/dy)a = 0 sein (Ubergangsbedingung), vgl. Tab. 6.1. So erhalt man aus (6.17b) fiir den iiber einen Schnitt x = const unveranderlichen Druckgradienten dp/dx = dpjdx dpa (dua du,\ . . , dp, du, „ -J^=-p!-^- + ua—-J (instationar), -p-=-^ua-r(stationiir). x x x x \ l l (6.18a, b) Mit pa wird die Dichte am Rand der Grenzschicht bezeichnet. Gl. (6.18 b) gilt mit d/dt = 0 und d/dx = d/dx fiir den Fall stationarer Stromung. Unter der Annahme, daB die StoffgroBen p und q bekannt und die Druckverteilung pa (t, x) = p (t, x) bzw. die Geschwindigkeitsverteilung der AuBenstromung ua(t, x) gegeben sind, stellt (6.17) ein Gleichungssystem fiir die Geschwindigkeitskomponenten u (t, x, y) und v(t, x, y) dar. Sind dagegen p und q nicht gegeben, so miissen die Stoffgesetze nach Kap. 6.2.3.3 in Verbindung mit der Gleichung fiir die Temperaturgrenzschicht herangezogen werden. Fiir ein homogenes Fluid (p = const, q = const) geht (6.17) in das Gleichungssystem du

^ I (6.19a) _ } (homogen) du du du du» du, du \ ( O J ^ +M ^ +V ^ + H ^ + V 2^ (6.19b) dt dx dy dt " dx dy J (I)

dv

-JT- + -J-=0,

iiber. Als neue StoffgroBe tritt die kinematische Viskositat v = q/p = const auf. Die Geschwindigkeit ua(t, x) wird der auBeren reibungslosen Stromung (Potentialstromung) entnommen und ist somit als gegeben anzusehen. Damit geniigen die gekoppelten partiellen Differentialgleichungen (6.19 a, b) in Verbindung mit den Randbedingungen nach Tab. 6.1 zur Bestimmung der beiden Geschwindigkeitsverteilungen u (t, x, y) und v(t, x, y) in der Stromungsgrenzschicht. Aus u(x, y) kann gemaB (1.12) die Schubspannung r = q(du/dy) und insbesondere die Wandschubspannung TW = x(x, 0) berechnet werden. Fiihrt man die Schubspannung in (6.17 b) ein, so kann man verallgemeinert bei stationarer Stromung auch schreiben (II) p(u^- + v ~ ) = - ^ + ^\ dx dy / dx dy

(dp/dx = dpjdx).

(6.20)15

14 Auf die Moglichkeit, die substantielle Beschleunigung (linke Seite der Gleichung) in konservativer Form nach FuBnote 43 (Bd. 1, S. 114) zu schreiben, sei hingewiesen. 15 Diese Formel laBt sich auch aus einer einfachen Kraftebilanz in x-Richtung herleiten.

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

287

Hierin stellen die einzelnen Glieder der Reihe nach die (negative) Tragheits-, Druck- und Schubspannungskraft in x-Richtung dar. Die Beziehungen (6.19 a) und (6.20) kann man auch als Gleichungen fur die turbulente Stromungsgrenzschicht ansehen, wenn man in ihnen die durch den Turbulenzmechanismus hervorgerufenen gemittelten SchwankungsgroBen beriicksichtigt, vgl. (6.96b). b) Temperaturgrenzschicht Ausgangsgleichung. Neben dem Gleichungssystem fur die Stromungsgrenzschicht, z.B. nach (6.17), gilt die Warmetransportgleichung (6.6). Sie lautet fur die ebene laminare Stromung eines inhomogenen Fluids (Gas, a = 1), vgl. (2.205), dT

dp

d / , dT\

d

/,ar\

p c - 7 - = — + ^ ~ A — + — A3— + diss v (inhomogen). (6.21 a) ' dt dt dx \ dx J dy \ dy / Die Ausdriicke dT/dt und dp/dt bedeuten substantielle Anderungen, fur die d/dt = d/dt + u (d/dx) + v(d/dy) gilt. Weiterhin stellt diss v die Dissipationsfunktion (Reibungsarbeit) nach (6.6 b) mit dv

du \ 2 2

dar. Die GroBe diss v enthalt nur GroBen der Stromungsgrenzschicht. Abschatzen der Grofienordnungen. In gleicher Weise wie bei du/dt, linke Seite von (6.13b), kann bei dT/dt keine Grenzschichtvereinfachung vorgenommen werden, wahrend dies bei dp/dt moglich ist; wegen (6.14c) und (6.16a) ist dp dx

(6.22a)

'

Fur die mit X behafteten Glieder der Warmeleitung findet man unter Beachtung von (6.8 b) analog zu (6.14 a) dT

dT — dx

(OSvSA),

(6.22 b)

was bedeutet, daB das zweite Glied auf der rechten Seite von (6.21 a) gestrichen werden kann. Die Dissipationsfunktion diss v laBt sich durch Einfiihren von (6.14b) in (6.21b) erheblich vereinfachen. Die verschiedenen GroBenordnungen sind wieder durch Unterstreichen gekennzeichnet, und man erhalt 7j diss i> = ;j ( ! ^ ) = r | ^ - > 0 (OSy^S), \dyJ dy wobei nach (1.12) die Schubspannung r = q(du/dy) eingesetzt wurde.

(6.22c)

Grenzschichtgleichung. Nach Beriicksichtigung der gefundenen Vereinfachungen folgt aus (6.21 a) die Gleichung fur die Temperaturgrenzschicht eines inhomogenen Fluids (Gas, a = 1) /dT

dT

dT\

dp

dp 1

(III)J pp c _ — + « — + i ; r r = - T i - + M ^

^ \dt

dx

dy)

dt

dx

d f,dT\ +

/du\2

T - A - r - + nl - r -

dy \

dyj

(inhomogen)

\dy)

(6.23)

288

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

mit der Randbedingung an der Wand nach (6.7 b) oder gegebenenfalls nach Tab. 6.1. Am Rand der Temperaturgrenzschicht (y = ST(t, x), Index a) ist T(t, x, 6j) = Ta(t, x). Weiterhin soil das Temperaturprofil ohne Knick in die AuBentemperatur iibergehen, d.h. es muB (dT/dy)a = 0 sein (Ubergangsbedingung), vgl. Tab. 6.1. So erhalt man aus (6.23) fiir den Zusammenhang von Druck und Temperatur am Rand der Grenzschicht + «« S

Ka

" dx

dt

(instationar).

(6.24a)

Bei stationarem Stromungsvorgang gilt mit d/dt = 0 und d/dx = d/dx in Verbindung mit (6.18 b) zwischen dem Druck, der Geschwindigkeit und der Temperatur am Rand der Grenzschicht der Zusammenhang dpa dua —7- =— Paua~f

=

dTa u2a . ,n., Qa p-~r~ > ~y~ + CPTa = const (stationar). (6.24b, c) c

Die letzte Beziehung stellt die iiber x integrierte Form der Energiegleichung der Thermofluidmechanik gema'B (2.191b) dar. Sie gilt nach Voraussetzung fiir eine reibungslose, adiabat-reversiblen (isentrop) verlaufende Stromung eines dichteveranderlichen Fluids (pa 4= const). Fiir die stationare Stromung eines homogenen Fluids (Fliissigkeit, a = 0) erhalt man aus (6.6) nach Einfiihren der Grenzschichtvereinfachungen analog zu (6.23) / dT dT\ d2T fdu\2 (III) gcD u -z—I- v -r— = A -^-^ (homogen, dp/dx S 0 ) . 2 + n —— ' V dx dy) dy \dy) ^ Diese fiir eine Fliissigkeit giiltige Formel unterscheidet sich gegeniiber der fiir ein Gas giiltigen Formel (6.23) dadurch, daB der DruckeinfluB explizit nicht auftritt. Auch in den Randbedingungen ist ein entscheidender Unterschied zu beachten. Wahrend an der Wand (y = 0) die Angaben in Tab. 6.1 unverandert gelten, ist am Rand der Temperaturgrenzschicht y = 6j(x) die AuBentemperatur Ta(x) nicht frei wahlbar. Wegen der Ubergangsbedingung (d/dy)a = 0 folgt aus (6.25) die Zwangsbedingung —-^ = 0,

Ta(x) = const

(stationar, homogen).

(6.26a, b)

Fiir die stationare Stromung des homogenen Fluids sind die Geschwindigkeitskomponenten u (x, y) und v (x, y) nach (6.19 a, b) bekannt, so daB man die Temperaturverteilung T(x, y) unmittelbar aus (6.25) berechnen kann. Mittels des Ansatzes fiir die Warmestromdichte nach (1.33) mit (p = - A(dT/dy) und fiir die Schubspannung nach (1.12a) mit r = q(du/dy) kann man fiir (6.23) verallgemeinert bei stationarer Stromung auch schreiben ZXTTX

(III)

/

dT

dT\

dp

gcD u ——I- v -T— = u — \ dx dy) dx

dw

du

,

,,

—I- r ^r— (dp/dx dy dy

,

,,

dpjdx). (fi

^

Hierin stellen die einzelnen Glieder der Reihe nach die Konvektions-, Kompressions-, Konduktions- (Leitungs-) und Reibungswarme dar.

289

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

Die Beziehung (6.27) kann man auch als Gleichung fur die turbulente Temperaturgrenzschicht ansehen, wenn man in ihr die durch den Turbulenzmechanismus hervorgerufenen gemittelten SchwankungsgroBen beriicksichtigt, vgl. (6.99). c) Kopplung von Stromungs- und Temperaturgrenzschicht Das fur die Stromungsgrenzschicht mit (I) und (II) in (6.17 a, b) angegebene Gleichungssystem wird durch die fur die Temperaturgrenzschicht mit (III) gekennzeichnete Gleichung (6.23) erganzt. Bei bekannten Stoffgesetzen fur p, q, cp und X nach Kap. 6.2.3.3 sowie bei vorgegebener Druck- und Temperaturverteilung der AuBenstr6mungpa(?, x) bzw. Ta(t, x) stellen die genannten Formeln drei Gleichungen filr die Geschwindigkeitskomponenten u (t, x, y), v(t, x, y) und die Temperatur T(t, x, y) dar. Wahrend sich bei einem homogenen Fluid die Stromungsgrenzschicht nach (6.19) ohne Kenntnis der Temperaturgrenzschicht berechnen laBt, muB bei der Ermittlung der Temperaturgrenzschicht nach (6.25) die Stromungsgrenzschicht nach (6.19) bekannt sein. Bei den Gleichungssystemen zur Berechnung der Stromungs- und Temperaturgrenzschicht handelt es sich um gekoppelte partielle Differentialgleichungen, deren geschlossene Losung nur in einigen wenigen Fallen moglich ist. Man ist daher in besonderem MaB auf die Anwendung numerischer Methoden angewiesen. Ubersichtsberichte hieriiber geben z.B. Krause [60] und Keller [55]. Ohne zunachst auf die Integration der Gleichungen einzugehen, lassen sich aus ihnen bereits einige wesentliche Erkenntnisse und Folgerungen der Grenzschicht-Theorie gewinnen. 6.3.2.2 Folgerungen aus den Grenzschichtgleichungen a) Geschwindigkeitsprofil In Abb. 6.6 sind einige denkbare Geschwindigkeitsverteilungen in der Stromungsgrenzschicht (Geschwindigkeitsprofile) dargestellt. Sie erfiillen jeweils die

ujx)

6(xl

-Druckabfall-

Druckanstieg-

Abb. 6.6. Mogliche Geschwindigkeitsprofile in der Grenzschicht in einem Schnitt x = const; am Rand der Grenzschicht ist (du/dy)a = 0, (92u/9y\ < 0. (1) Wendepunktfrei: bei Druckabfall dpjdx < 0 und Gleichdruck dpjdx = 0 mit (du/dy)w > 0, (d2u/dy2)w S 0. (2) Wendepunktbehaftet: bei maBigem Drackanstieg dpjdx > 0 mit (du/dy)w > 0, (d2u/dy2)w > 0. (5) Wendepunktbehaftet: bei Druckanstieg dpjdx > 0 mit (du/dy)w = 0, (d2uldy2)w > 0, beginnende Stromungsablosung (Ablosungspunkt). (4) Wendepunktbehaftet: bei Druckanstieg dpjdx > 0 mit (du/dy)w < 0, (d2u/dy2)w > 0, abgeloste Grenzschicht mit Riickstromung in Wandnahe, u < 0

290

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Haftbedingung bei y = 0 und die Ubergangsbedingung bei y - 6S nach Tab. 6.1. Wegen der Ubergangsbedingung am Rand der Stromungsgrenzschicht y - Ss besitzen alle Geschwindigkeitsprofile die gleiche konvexe Kriimmung (konvex im Sinn der x-Achse, gestrichelt dargestellt), d.h. (d2u/dy2)a < 0. Fiir Punkte an der Wand (y = 0, Index w) folgt im Fall stationarer Stromung an einer massedurchlassigen (porosen) feststehenden Wand mit uw = 0=¥ vw nach (6.17b) die Beziehung dp

(dn\

(du\

, ^ , (du\

(62g)

Diese als Wandbindung der Stromungsgrenzschicht bekannte Beziehung gibt iiber die Kriimmung des Geschwindigkeitsprofils (d2u/dy2)w in Wandnahe (y —> 0) Auskunft. Sie gilt gleichermaBen fur laminare und turbulente Stromung, da unmittelbar an der Wand die turbulente Schwankungsbewegung erlischt und doit nur die viskose Unterschicht wirksam ist. Einflufi des Druckgradienten. Nach (6.28) gilt bei Nichtberiicksichtigen des Einflusses der Temperaturabhangigkeit der Viskositat fiir eine masseundurchlassige Wand mit dp/dx = dpjdx (1. Wandbindung) 4) =-^=-f>aMa-^- SO

(q = const),

(6.29a, b)

wobei die letzte Beziehung aus (6.18 b) folgt. Je nach Art der von der Wandkriimmung hervorgerufenen Geschwindigkeits- oder Druckverteilung der AuBenstromung ua(x) bzw. pa(x) kann man drei Falle unterscheiden: 1) Bei Druckabfall in Stromungsrichtung dpjdx < 0 bzw. bei beschleunigter Stromung dujdx > 0 (z.B. auf der Vorderseite eines umstromten Korpers) wird {9iuldy2)w < 0, was bedeutet, daB das Geschwindigkeitsprofil der Grenzschicht an der Wand nach Abb. 6.6 Bild 1 konvex im Sinn der x-Achse gekriimmt ist. Das Geschwindigkeitsprofil ist wegen der iiberall gleichen Kriimmung (gestrichelte Kurve) wendepunktfrei. 2) Bei Gleichdruck dpjdx = 0 bzw. bei gleichformiger Stromung dujdx = 0 (z.B. Stromung langs einer ebenen Platte) ist (d2u/dy2)w = 0. Das zugehorige Geschwindigkeitsprofil ist mit Ausnahme des Wandpunkts bei y = 0 wie in Bild 1 wendepunktfrei. 3) Bei Druckanstieg in Stromungsrichtung dpjdx > 0 bzw. bei verzogerter Stromung dujdx < 0 (z.B. auf der Riickseite eines umstromten Korpers) ist (d2u/dy2)w > 0 und damit das Geschwindigkeitsprofil an der Wand nach Bild 2 bis Bild 4 konkav im Sinn der x-Achse gekriimmt (ausgezogene Kurve). Diese Geschwindigkeitsprofile besitzen wegen der sich von der Wand y - 0 bis zur AuBenstromung y=6s andernden Kriimmung in einem bestimmten Abstand von der Wand einen Wendepunkt (P). Nach Abb. 6.6 ist bei Druckabfall und Gleichdruck der Geschwindigkeitsgradient an der Wand gemaB Bild 1 immer (du/dy)w > 0, wahrend bei Druckanstieg nach Bild 4 auch (du/dy)w < 0 auftreten kann. Der Fall (du/dy)w = 0 nach Bild 3 stellt somit die Grenze zwischen Vor- und Riickstromung in der Grenzschicht dar. Riickstromung bedeutet Ablosung der Grenzschicht von der umstromten Korperwand. Sie kann sich nur bei Druckanstieg der AuBenstromung einstellen und wird

291

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

durch die Bedingung fur die Wandschubspannung = 0 (beginnende Ablosung, dpjdx > 0)

Tu, =

(6.30)

gekennzeichnet. Die Stelle, bei der sich dies Verhalten einstellt, definiert man als die Lage des Ablosungspunkts der Grenzschicht. Zu ihrer genauen Bestimmung ist die Integration der Grenzschicht-Differentialgleichung erforderlich, woriiber in diesem Kapitel noch nicht berichtet wird. Die gefundenen Zusammenhange sind in Abb. 6.7 schematisch fur eine Profilumstromung dargestellt. Aufgetragen ist der Druckverlauf langs der Korperkontur pa(x), wobei das Geschwindigkeitsmaximum der AuBenstromung dem Druckminimum entspricht. Weiterhin sind einige Geschwindigkeitsprofile der Stromungsgrenzschicht eingezeichnet. Das der Bedingung (6.30) gehorchende Profil befindet sich an der Stelle A. Die Linie AB stellt die Trennungslinie zwischen Vor- und Riickstromung dar. EinfluB eines Warmeiibergangs an der Wand. Wegen (dqldy)K - (dq/dT)w (dT/dy)w und 0) oder nach innen abzusaugen (vw < 0). Das in (6.28) angegebene Ergebnis (3. Wandbindung) kann man nach (6.29a) fur {duldy)w > 0 in Vergleich zu einem entspechenden Druckgradienten der AuBenstromung dpjdx § 0 setzen, woraus folgt: 1) Absaugen entspricht einem Druckabfall (Geschwindigkeitsprofil ohne Wendepunkt), 2) Ausblasen entspricht einem Druckanstieg (Geschwindigkeitsprofil mit Wendepunkt).

b) Temperaturprofil Ohne, ahnlich wie bei der Stromungsgrenzschicht, zunachst auf die Integration der Gleichung fiir die Temperaturgrenzschicht einzugehen, kann man eine Aussage iiber die Kriimmung des Temperaturprofils in Wandnahe (y —> 0) machen. Wegen uw = 0 = vw bei nichtporoser Wand folgt aus (6.23) im Fall stationarer Stroy\

ujx)

p(x.y)=pjx)\

Druckwiderstand reibungsbehaftet abm

Druckanstieg

Bleichdruck

•

Abb. 6.7. Geschwindigkeitsprofile in der laminaren Grenzschicht eines umstromten Korpers (schematisch gezeichnet), EinfluB der Druckverteilung (Druckabfall, Gleichdruck, Druckanstieg) der AuBenstromung, pa(x) = p (x, y)

fur 0 S y S 6s(x), ?_ = (?J2)ui (A) beginnende Ablosung

292

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

mung analog zu (6.29) die Wandbindung fur die Temperaturgrenzschicht, wenn die Temperaturabhangigkeit des Warmeleitkoeffizienten X unberucksichtigt bleibt, zu (4. Wandbindung) SO

(A = const).

(6.31)

Der Ausdruck auf der rechten Seite entspricht nach (6.22 c) der negativen Dissipationsarbeit an der Wand und besagt, daB doit das Temperaturprofil konvex (im Sinn der x-Achse) gekrummt ist. Da am Rand der Temperaturgrenzschicht die Profilkrummung sowohl konvex als auch konkav sein kann, treten Temperaturprofile ohne und mit Wendepunkt auf, man vgl. die Ausfiihrung zu Abb. 6.12 auf S. 306. c) EinfluB der Reynolds- und Peclet-Zahl Es moge jetzt die Frage erortert werden, in welcher Weise der Verlauf der laminaren Stromungs- und Temperaturgrenzschicht an einem vorgegebenen Korper von den in Kap. 6.2.2.1 bzw. 6.2.2.2 genannten Kennzahlen beeinfluBt wird. Die Untersuchung sei fur die stationare Stromung eines homogenen Fluids (konstante StoffgroBen) durchgefiihrt. Es seien alle Langen auf eine charakteristische Korperlange /, alle Geschwindigkeiten auf eine Bezugsgeschwindigkeit, z.B. die Anstromgeschwindigkeit ««,, sowie die Temperate und die GroBe u2jcp, welche die Dimension einer Temperatur besitzt, bezogen. Setzt man fur die dimensionslosen GroBen, ohne diese besonders zu kennzeichnen, x A x/l, y A 3?//, u A u/ux, v A v/u^ sowie T 4 cpT/u1, so lassen sich (6.19 a, b) und (6.25) wie folgt anschreiben: dv

(III) u

dT dx

= 0,

V

dT dy

(II)

du U ~dx~

1 d2T Pe dy2

v

du

dua +

!Tdy = ua-zrdx

Re \dl

1

d2u

-5-l^> Re dy2

(nomo§en) •

, , „„

,N

(6.32a, b) (6.33)

Es bedeuten Re = u^ l/v nach (6.1) die Reynolds-Zahl mit v = q/p als kinematischer Viskositat und Pe = u«, I la nach (6.2) die Peclet-Zahl mit a - X/pcp als Temperaturkoeffizienten. Wahrend bei vorgegebener Korperform und damit bekannter AuBengeschwindigkeit ua A uju^ der Verlauf der Stromungsgrenzschicht nur von einem Parameter, namlich der Reynolds-Zahl abhangt, wird der Verlauf der Temperaturgrenzschicht zusatzlich noch von der Peclet-Zahl bestimmt. Es treten also fur die Berechnung der Temperaturgrenzschicht die zwei Parameter Re und Pe auf.16 16

Zwischen den Arbeiten durch Dissipation und Warmeleitung sowie den Proportionalitaten u ~ ua und T~Ta besteht unter der Annahme konstanter StoffgroBen das Verhaltnis

Eingefiihrt werden die Kennzahlen Pr - cp qIXnach (1.47i) und Ec = u2alcpTa nach (1.47h). Fur Gase rait der Schallgeschwindigkeit c\ ~ Ta nach (1.11) bzw. der Mach-Zahl Ma = ujca nach (1.47e) gilt der angegebene Zusammenhang Ec ~ Ma2. Es folgt also, daB fur kleine Mach-Zahlen die Dissipationsarbeit gegeniiber der Arbeit durch Warmeleitung vernachlassigbar klein ist.

293

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

Setzt man in (6.19 a, b) die Transformationen V

u=

(6.34a, b)

v= —

ein, dann folgt eine weitere dimensionslose Darstellung in der Form du dx

dv dy

(I) 3 ^ + 3^=

ro«f

du

_ dua

dx

d2u

(6.35 a, b)

df

mit den im allgemeinen auftretenden Randbedingungen u = 0 = v bei y = 0 und ua = uju«, bei y = (6s/l) \[Re. Gl. (6.35) enthalt die Reynolds-Zahl nicht mehr. Daraus folgt, daB die Losungen u(x, y) und v (x, y) von der Reynolds-Zahl unabhangig sind. Bei Anderung der Reynolds-Zahl erfahrt die Grenzschicht also lediglich eine MaBstabsverzerrung, derart, daB die dimensionslose Querkoordinate und die dimensionslose Geschwindigkeit in der Querrichtung mit 1/v^elnultipliziert werden. Dies kann man so ausdriicken, daB fiir einen vorgegebenen Korper die dimensionslose Geschwindigkeitskomponenten u/u^ und v V l/u^v Funktionen der dimensionslosen Koordinaten x/l und y \fu^/lv sind. Die Nutzanwendung dieses Ahnlichkeitsgesetzes beziiglich der Reynolds-Zahl besteht darin, daB fiir einen vorgegebenen Korper die Berechnung der Stromungsgrenzschicht in den dimensionslosen Veranderlichen nur einmal nach (6.35) ausgefiihrt zu werden braucht und man auf diese Weise den Grenzschichtverlauf fiir alle Reynolds-Zahlen sofort kennt. Insbesondere folgt daraus, daB die Lage der Ablosungsstelle bei laminarer Stromung von der Reynolds-Zahl unabhangig ist. d) Grenzschichtdicken Fiir die Grenzschichtstromung eines homogenen Fluids mit der Geschwindigkeit am Rand der Stromungsgrenzschicht ua{x) = ua sind in Tab. 6.2 die Grb'Benordnungen fiir die einzelnen Terme der Kontinuitats-, Impuls- und Warmetransportgleichung zusammengestellt. Die Folgerungen fiir die Dicken der Stromungsund Temperaturgrenzschicht Ss bzw. 6j sind eingerahmt hervorgehoben. Danach gilt fiir die Grenzschichtdicken der Stromungs- und Temperaturgrenzschicht ohne

Tabelle 6.2. Zur Abschatzung der GroBenordnungen in den Grenzschichtgleichungen [(I) Kontinuitatsgleichung (6.32a), (II) Impulsgleichung (6.32b), (III) Warmetransportgleichung (6.33)] fiir ein homogenes Fluid.") Im einzelnen gilt x ~ 1, y ~ 6S bzw. y ~ 6Tu~ \,T ~ I I

du dy

du d~x~1'

V

II

U

III

dT u— ~1 , dx

a

-

dl~ '

-

i a2w

du 1 d~y~ dT

1 , | 6s ~ &r 1

dx

Re dy2

1

~Re \dy)

1 \Re62s~\\ ~1

Re .51-1

Das ~ Symbol besagt, daB es sich um Aussagen beziiglich der charakteristischen Werte handelt, die jeweils nur bis auf frei wahlbare Konstanten festliegen.

294

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

und mit Druckgradient in Stromungsrichtung 6s~Re112,

6r~Pe'1'2

(6.36 a, b)

sowie fur das Verhaltnis der beiden Dicken S

6S

(6.36 c, d)

\R

mit Pr = Pe/Re = via = cp r\IX als die nur von den StoffgroBen des Fluids abhangige Prandtl-Zahl nach (6.3). Die Gegeniiberstellung von (6.36 c) und (6.36 d) zeigt, daB sich beide Aussagen fur 6jl8s nicht eindeutig verhalten. Um diesen Sachverhalt aufzuklaren, werden im folgenden die beiden Grenzfalle 6j —> 0 und 6S —> 0 naher untersucht. Die zugehorigen Grenzschichtprofile sind in Abb. 6.8 dargestellt, vgl. [35, 52]. GroBe Prandtl-Zahl. Auf die diinne Temperaturgrenzschicht (^ —> 0) nach Abb. 6.8 a wirkt sich nur der Teil der Stromungsgrenzschicht aus, bei dem die Schubspannung naherungsweise gleich der Wandschubspannung ist, r(x, y) ~ TW(X), d.h. bei dem sich die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung linear mit dem Wandabstand y andert. Wegen des Ansatzes fur die Wandschubspannung gemaB (1.12b) gilt also u(x, y) = (rw/q)y. In dimensionsloser Schreibweise kann man also schreiben u A — =cTRey

mit

uj Re = -

cT =

Die Geschwindigkeitskomponente in j-Richtung findet man durch Beachtung der Kontinuitatsgleichung (6.32 a) zu v \ du dcT y2 x 1)4 mAx ~dx y = ~~dx eY = J Setzt man in die Warmetransportgleichung (6.33) ein, dann wird

cm)

dT dx

dcT dx

dT y2 dy 2

1 d2T Pe dy2

Entsprechend der Abschatzung der GroBenordnungen ~ 1 fur die einzelnen Terme folgt zunachst c$Re~ 1 bzw. C r - f f e - ^ u n d m i t x - l ^ - ^ u n d T - l sodann Rem 6,~ 1 ~ (Pe (S?)"1. Unter Einfiihren der Prandtl-Zahl Pr = Pe/Re und der Beziehung fur 6S nach (6.36a) erhalt man durch Vergleich der linken und rechten Seite der angegebenen Gleichung schlieBlich (Pr - » oo).

(6.37 a)

Dem Wert Sp —> 0 entspricht bei Re =1= 0 die Prandtl-Zahl Pr —> °°. Dies Ergebnis bedeutet, daB bei groBen Prandtl-Zahlen Pr > 1 mit <5r/5s ~ Pr~1/3 zu rechnen ist.

JO .

<5s-c u w =0

Tw

Abb. 6.8. Geschwindigkeits- und Temperaturprofile fur die Falle verschwindender Grenzschichtdicken. a Temperaturgrenzschicht mit &p —¥ 0, b Stromungsgrenzschicht mit 6S —> 0

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

295

Kleine Prandtl-Zahl. Die diinne Strb'mungsgrenzschicht (<5S —> 0) bedeutet nach Abb. 6.8b eine iiber den Wandabstand y konstante Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung u(x, y) = ua(x) sowie eine verschwindende Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung v(x, y) = 0. Bei der Berechnung der Temperaturgrenzschicht spielt also die Stromungsgrenzschicht keine Rolle. In der Warmetransportgleichung (6.33) eingesetzt wird (III)

dT 1 d2T ua — = mit dx Pe dy2

ua ua A — «„

(<5S —> 0) .

Durch Abschatzen der GroBenordnungen x ~ 1, y ~ <5j-, und ua ~ 1, T ~ 1 folgt Pe 6\ ~ 1, und man erhalt mit Pr = Pe/Re &T~Re-mPr-m;

&r

~j-~Pr~m

(Pr-*0).

(6.37b)

Dem Wert 6S —> 0 entspricht bei Re 4= 0 die Prandtl-Zahl Pr —> 0. Dies Ergebnis bedeutet, daB bei kleinen Prandtl-Zahlen Pr<S 1 mit &r/6s = P r 1 / 2 zu rechnen ist, vgl. (6.36d).

Beliebige Prandtl-Zahl (Pr § 1). Unter Beachtung der Grenzwerte fiir das Grenzschichtdickenverhaltnis 6jl8s bei Pr —> ooUnd Pr —> 0 nach (6.37 a, b) kann man fiir den gesamten Bereich der Prandtl-Zahlen °o > Pr > 0 naherungsweise schreiben [94] j!L=f(Pr)=Pr~n

mit 1/3 < n < 1/2 (°° > Pr = cpr\IX > 0).

(6.37c)

Fiir Gase, bei denen nach Tab. 1.1 Pr ~ 1 ist, ist also die Dicke der Temperaturgrenzschicht etwa von der gleichen GroBenordnung wie die Dicke der Stromungsgrenzschicht 8T~ Ss, wahrend fiir Fliissigkeiten, bei denen Pr > 1 ist, die Temperaturgrenzschicht diinner als die Stromungsgrenzschicht ist, 8T<6S. Quecksilber (fliissiges Metall) weicht hinsichtlich des Verhaltnisses der beiden Grenzschichtdicken wegen Pr<\ sowohl von den Fliissigkeiten als auch von den Gasen entscheidend ab, 8T> 8S. Abb. 6.9 zeigt einen Vergleich der Geschwindigkeits- und Temperaturprofile bei Grenzschichtstromungen von Fluiden mit stark unterschiedlichen Prandtl-Zahlen. 6.3.2.3 Laminare Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte Allgemeines. Als einfachstes Beispiel einer Grenzschichtstromung sei die langsangestromte ebene Platte betrachtet, d.h. die Plattengrenzschicht. Die dabei ge-

-u(yl

u» - 0

I— k

Abb. 6.9. Geschwindigkeits- und Temperaturprofile u{y) bzw. T(y) bei Grenzschichtstromungen von Fluiden mit unterschiedlichen Prandtl-Zahlen. aPr> 1: Sp < Ss (Fliissigkeit, Wasser, Ol); b Pr = 1: 6f = Ss (Gas, Luft); c Pr <S 1: 6p > Ss (flussiges Metall, Quecksilber)

296

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

wonnenen Erkenntnisse sind fiir die praktische Anwendung der GrenzschichtTheorie von besonderer Bedeutung. Betrachtet wird nach Abb. 6.10 a eine diinne ebene Platte, die mit der Geschwindigkeit u = u^ in Richtung der Plattenebene angestromt wird. Der Koordinatenursprung sei in die Vorderkante gelegt, die xAchse falle mit der Plattenebene zusammen, und die y-Achse sei normal dazu. AuBerhalb der Stromungsgrenzschicht 6S S y S °° herrscht die Geschwindigkeit ua = u<x = U. Wahrend bei stationarer Stromung U = const ist und damit eine Stromung mit verschwindendem Druckgradienten dp/dx = 0 vorliegt, kann bei instationarer Stromung U = U(t, x) sein. Die Anfangs- und Randbedingungen hangen von der jeweiligen Aufgabenstellung ab. Die Ergebnisse fiir die langsangestromte Platte gelten, naherungsweise auch fiir gewolbte Oberflachen mit maBigen Druckgradienten. Somit bildet die Theorie der Plattengrenzschicht die Grundlage fiir das Widerstandsproblem aller solcher Korperformen, bei denen keine wesentliche Stromungsablosung auftritt. Die Erweiterung der Untersuchungen auf Stromungen mit Druckanstieg wird durch Auswertung der hierfiir giiltigen Differentialgleichungen sowie durch Anwendung entsprechender Integralmethoden spater noch gezeigt. a) Laminare Plattengrenzschicht eines homogenen Fluids Stationare Stromungsgrenzschicht. Fiir die langsangestromte Platte bei einem homogenen Fluid (konstante StoffgroBen) steht das Gleichungssystem (6.19 a, b) mit ua = u^ = U = const zur Verfiigung. Durch Einfiihren einer Stromfunktion

/

/

/

f

°\m

d

turb

1

\

1 10 y /y

—

10

^

Abb. 6.10. Stromungsgrenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte. a Geschwindigkeitsverteilung und Verlauf der Grenzschichtdicke (schematisch). b Schubspannungs- und Widerstandsbeiwert bei laminarer Grenzschicht eines homogenen Fluids, c Turbulente Grenzschicht mit laminarer Vorstrecke (unter 5U ist die Impulsverlustdicke im Umschlagpunkt zu verstehen)

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

297

W = W(x, y) nach (2.25 a) wird die Kontinuitatsgleichung (6.19 a) von selbst erfiillt, man vergleiche hierzu die Ausfiihrungen in Kap. 2.4.3. Mithin wird als Ausgangsgleichung der laminaren Plattengrenzschicht mit du du d2u dW u -=- + v -=- = v ir-r mit u = ^—, 1 dx dy ay dy

dW v =— — dx

(6.38 a, b)

gerechnet. Bei masseundurchlassiger (nichtporoser) Wand sind nach Tab. 6.1 die Randbedingungen y = 0: u = 0 = v,

y = °°: u = ua = ux = U

(6.39a, b)

zu erfiillen. Anstelle einer endlich groBen Grenzschichtdicke y = 6s(x) wird hier der fluidmechanisch einleuchtendere asymptotische Ubergang von der zahigkeitsbehafteten wandnahen Stromung in die AuBenstromung bei y —> oo angenommen. Nach Einfiihren der geometrischen Transformationen x=x,y=y

(~U d d l y d d [ Ud — ; ^ - = ^ - ^ - 4 ^ ^ , ^ - = /—z ^rz ^ vx dx dx 2 x dy dy -y| vx dy

^17 (6.40a; b)17

rr An

sowie des Ansatzes fiir die Stromfunktion (Separationsansatz) W(x, y)=\udy = yJvUx | — dy = yJvUx -f(y) o

(6.41)

mit/als dimensionsloser Stromfunktion kann man fiir die Geschwindigkeitskomponenten gemaB (6.38b)

schreiben. Da f(y) nur von der einen Veranderlichen y abhangt, darf df/dy = df/dy = / ' geschrieben werden. Unter Beriicksichtigung von (6.40b) findet man die in (6.38a) auftretenden Geschwindigkeitsableitungen, wobei die GroBen f" = d2f/dy2 und/'" = d3f/dy3 auftreten. Mithin geht die partielle Differentialgleichung (6.38 a) fiir x + 0 in die gewohnliche nichtlineare Differentialgleichung dritter Ordnung fiir/(_y) mit den Randbedingungen nach (6.39) 2 / ' " + # " = 0; y = 0:

/ = 0 = / ' , ? = «>:

/'= 1

(6.43 a, b) 18

Uber. Diese Gleichung wurde erstmalig von Blasius [7] angegeben und auch numerisch durch entsprechende Reihenentwicklungen nach y gelost. Hat man f(y) gefunden, dann ist wegen (6.42a) auch das Geschwindigkeitsprofil u/U = / ' bekannt und kann entsprechend Abb. 6.11a uber der dimensionslosen Ordinate y 17

Bei der Bildung der partiellen Differentialoperatoren beachte man, daB wegen x = x (x, y) und y = y (x, y) d dx

— =

dx d dy d 1 — dx dx dx dy

und

d dy

— =

dx 9 dy d 1— dy dx dy dy

mit dxjdx = 1 und dx/dy = 0 fiir x = x ist. 18 Die haufig verwendeten Transformationen x = x, y = y \IUI2vx und W = V2 vUx • f(y) fiihren zu

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

298

Abb. 6.11a. Geschwindigkeitsprofile u/U und v/U in der laminaren Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte. Theorie nach Blasius [7], Messungen nach Nikuradse [7], Querkoordinate y \jUlvx, <5j = Verdrangungsdicke nach (6.45 a)

aufgetragen werden. Es liegen also affine Geschwindigkeitsprofile vor, die sich an verschiedenen Stellen langs der Platte nur durch einen LangenmaBstab normal zur Platte voneinander unterscheiden. Messungen von Nikuradse [7] zur Untersuchung der laminaren Reibungsschicht zeigen eine ausgezeichnete Ubereinstimmung zwischen der Blasiusschen Theorie und dem Versuch. Eine Ablosung der Grenzschicht tritt bei der langsangestromten ebenen Platte nicht auf, da immer (du/dy)w > 0 ist. In Abb. 6.11a ist die Querkomponente der Geschwindigkeit in der Grenzschicht miteingetragen, und zwar in der Form (v/U) V Ux/v iiber y = y \jUlvx. Ausgehend vom Wert v = 0 bei y = 0 strebt v fiir y —> °° gegen den von x abhangigen Wert v/y/x/vU = 0,8604. Die Stromungsgrenzschicht erzeugt also in der auBeren Stromung eine Querstromung. Diese laBt sich durch das Haften des Fluids an der Plattenoberflache erklaren. Darin besteht die Ruckwirkung der Grenzschicht auf die AuBenstromung. Setzt man zur Ermittlung der Grenzschichtdicke die GroBe <5S willkiirlich so fest, daB die Viskositat keinen merklichen EinfluB auf die Stromung mehr hat, wenn z.B. u (x, ys) ~ 0,99U geworden ist, so kann aus Abb. 6.11 a als ungefahre Dicke der Stromungsgrenzschicht der Wert vx

w

(u/U « 0,99)

(laminar)

(6.44)

entnommen werden. Die Grenzschichtdicke nimmt also bei laminarer Stromung proportional \[x zu. Die laminare Grenzschichtdicke fiir x = I = 1 m, U = 15 m/s und v = 15 • 10~6 m2/s (Luft) betragt 6S ~ 0,005 m = 5 mm. Man erkennt, wie auBerordentlich diinn die Grenzschicht ist. Zur Kennzeichnung der Grenzschichtdicke kann man auch die Verdrangungsdicke verwenden, zu welcher man durch folgende Uberlegung gelangt: Infolge der Reibungswirkung in der Grenzschicht vermindert sich der durch einen Querschnitt normal zur Plattenober- oder Unterseite tretende Volumenstrom gegeniiber dem Fall, bei dem der ReibungseinfluB nicht beriicksichtigt ist, um die iiber O^ygoo integrierten Teilvolumenstrome dV= (U - u)b dy mit b als Plattenbreite. Setzt man diesen Ausdruck gleich Ub6u

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

299

so kann <5, als diejenige Querkoordinate aufgefaBt werden, um welche die AuBenstromung infolge der Grenzschichtwirkung von der Wand abgedrangt wird. Somit ist die Verdrangungsdicke definiert durch den Ansatz Sl = \(l -£) dy = 1,721 j^r- (Verdrangungsdicke). (6.45 a) J\ U) -\j U Der angegebene Zahlenwert ergibt sich aus der Blasiusschen Theorie. Er ist in Abb. 6.11a eingezeichnet. Die beiden schraffierten Gebiete sind gleich groB. Eine weitere haufig interessierende GroBe ist die Impulsverlustdicke &2- Fur sie gilt S2=\^-(l-^y)dy 1 U \ U/

= 0,664 / - ^ \j U

(Impulsverlustdicke).

(6.45 b)

Das Geschwindigkeitsprofil kann durch einen Formparameter gekennzeichnet werden, der aus dem Verhaltnis von Verdrangungs- und Verlustdicke besteht: & H12 = -± = 2,591 (Formparameter). (6.45 c)
6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

300

s s

Messungen: erger • 5e^ra

-J2tL ) J

D

» yfe/??/7/'

p

0

°

3

Schoenherr

\ ' .

£

• *

4

(2b)

s /

I

\

V

it

i

t

*

1

—.

\ \

116

Z

j

i

f

118

f

t

f

6 10

Abb. 6.11 b. Widerstandsbeiwerte der langsangestromten ebenen Platte bei fluidmechanisch glatter Wand, cF = cF(/Je_)> Vergleich von Theorie und Messung. (i) laminar nach (6.47c), (2a) turbulent (Rohranalogie) nach (6.112 a), (2 b) turbulent nach (6.121 a), (2 c) turbulent nach (6.121 c), (3) Ubergang laminar-turbulent nach (6.112b)

wahrend fur turbulente Reibung cF wesentlich groBer wird. Nach den Beobachtungen kommen laminare Stromungen bis zu einer Reynolds-Zahl Re^ von etwa 5 • 105 bis 106 vor. Der genaue Wert hangt von der Stoning der Parallelstromung an der Plattenvorderkante (Stolperkante), vom Turbulenzgrad der Anstromung und von der Oberflachenbeschaffenheit der Platte ab. Stationare Stromungsgrenzschicht mit Absaugung. Als Beispiel einer der in Kap. 6.2.2.1 erwahnten Methoden zur Grenzschichtbeeinflussung sei das gleichmaBige Absaugen an der langsangestromten ebenen Platte bei einem homogenen Fluid untersucht. Ausgangspunkt stellt wieder (6.19a, b) mit ua = U = const dar, vgl. (6.38 a), wobei im Gegensatz zu (6.39 a, b) jetzt die Randbedingungen y = 0:

u = 0,

v = vw = const; y = <*>\

u —U

(6.48 a, b)

lauten. Das Gleichungssystem besitzt eine partikulare Losung, bei welcher das Geschwindigkeitsprofil von der Lauflange x unabhangig ist, u(x, y) = u(y), Mit du/dx = 0 folgt aus (6.19a) unmittelbar v(x, y) = vK mit vw < 0 als Absauggeschwindigkeit an der Wand (y = 0). Aus (6.38a) wird weiterhin v(du/dy) = v(d2u/dy2), was zu der Losung [94]

u(y)

r

/ D V

(6.49)

fuhrt.19 Das hier gefundene Ergebnis kann sich bei einer langsangestromten Platte erst in einiger Entfernung von der Vorderkante ausbilden. Die angegebene Geschwindigkeitsverteilung u (y) stellt die asymptotische Losung fur x —> <*>, auch asymptotisches Absaugprofil genannt, dar. Das Geschwindigkeitsprofil mit Absaugung ist volliger als das ohne Absaugung nach Abb. 6.11 a. Damit besitzt aber die Stromung eine groBere Stabilitat gegeniiber kleinen Storungen, wodurch sich der Indifferenzpunkt stromabwarts verlagert, vgl. die Ausfiihrung in Kap. 2.5.3.6 zur Entstehung der Turbulenz. Durch Absaugen laBt sich die Reynolds-Zahl des Umschlagpunkts Re,, um eine bis zwei Zehnerpotenzen vergroBern. Fiir die Verdrangungsdicke nach (6.45 a) wird <5, = v/(- vw) > 0, und fur die Wandschubspannung rw= q (duldy)^ ergibt sich unabhangig von der Viskositat TW = - (iv^U > 0. 19

Diese einfache Losung ist zugleich eine exakte Losung der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung.

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

301

Instationare Stromungsgrenzschicht. Hierbei handelt es sich entweder um Bewegungen aus der Ruhe heraus (Anfahrvorgang) oder um periodische Bewegungen. In beiden Fallen kann entweder der Korper in ruhendem Fluid zeitveranderlich bewegt werden oder die zeitlich veranderliche AuBenstromung an dem ruhenden Korper vorbeistromen. Fur die Plattengrenzschicht bei einem homogenen Fluid gilt das Gleichungssystem (6.19 a, b) in Verbindung mit (6.18 a). Neben der kinematischen Stromungsbedingung bei y = 0 mit v = 0 konnen als weitere kinematische Randbedingungen bei bewegter Wand u = uw{i) oder bei zeitveranderlicher AuBenstromung bei y = °°: u = ua(t, x) auftreten. Im folgenden sei kurz liber die Ausbildung der Plattengrenzschicht beim Anfahrvorgang berichtet. Dabei soil vereinfacht eine sog. Schichtenstromung angenommen werden. Hierunter versteht man eine Stromung, bei der nur eine Geschwindigkeitskomponente auftritt. 1st bei ebener Stromung u (t, x, y) 4= 0 und v(t, x, y) = 0, so folgt aus der Kontinuitatsgleichung (6.19a), daB du/dx = 0 und somit u (t, x, y) = u (t, y) ist. Damit entfallen in (6.19 b) auf der linken Seite die konvektiven Beschleunigungen. Der Druck ist im ganzen Raum konstant, was nach (6.18a) bedeutet, daB in (6.19b) das Glied dujdt + ua(dua/dx) zu streichen ist. Mithin lautet die zu losende Grenzschichtgleichung —- = v —-r (Anfahrvorgang). (6.50 a) at ay Die zunachst im ruhenden Fluid befindliche ebene Platte wird plotzlich (ruckartig) in ihrer eigenen Ebene auf die konstant bleibende Geschwindigkeit uw gebracht. Im ruhenden Bezugssystem gelten also die Anfangs- und Randbedingungen (SO: w = 0 ( 0 £ j i » ) ,

(6.50b)

t & 0: u = uw = const (y = 0), u = 0 (y = °°).

(6.50c)

Die Losung lautet, vgl. [94],20 (

y

\\

).

(6.51)21

Die Geschwindigkeitsprofile u/uw sind fiir verschiedene Zeiten t zueinaner affin, d.h. sie konnen durch Anderung des MaBstabs in der y-Richtung zur Deckung gebracht werden. Bei y/2 -Jvi~ 2,0 ist u/uw ~ 0,01. Unter Beriicksichtigung der Definition fur die Dicke der Stromungsgrenzschicht <5S analog (6.44) betragt die Dicke der von der Reibung mitgenommenen Schicht <5S ~ 4 \fvt. Sie ist proportional der Wurzel aus der kinematischen Viskositat und der Wurzel aus der Zeit. Das Ergebnis von (6.51) ist wegen der getroffenen Annahmen noch nicht die voUstandige Losung des Problems. Es gilt nur weit genug stromabwarts, wo der StoreinfluB der Vorderkante nicht mehr wirksam ist und sich daher die Stromung wie bei der unendlich langen Platte verhalt. Strenggenommen muB die voUstandige Losung noch die zusatzliche Bedingung u (t, x = 0, y) = 0 fiir alle y und alle Zeiten ( erfiillen. Wegen der vollstandigen Losung sei auf Stewartson [101] verwiesen.

b) Laminare Plattengrenzschicht eines inhomogenen Fluids Bei der Stromung eines inhomogenen Fluids sind die StoffgroBen im allgemeinen veranderlich (p 4= const, r\ + const, cp 4= const, X =t= const). Sie konnen sowohl vom Druck p als auch von der Temperatur T abhangen. Insbesondere gilt bei einem Gas p = (?(p, T), q = q(T) und A = A(7). Als unveranderliche GroBe soil die spezifische Warmekapazitat angesehen werden, cp = const. Uber die Stoffgesetze innerhalb der Grenzschicht wurde in Kap. 6.2.3.3 bereits berichtet. Diese stellen die Kopplungsgleichungen fiir die in Kap. 6.3.2.1 angegebenen Gleichungen zur Berechnung der Stromungs- und Temperaturgrenzschicht dar. Untersuchungen der Plattengrenzschicht bei einem inhomogenen Fluid sind im Schrifttum recht 20

Sie entspricht der Losung der Differentialgieichung der Warmeleitung im eindimensionalen Fall. 9

21

^

Es ist erf £ = —j— j exp (- ^)rff das GauBsche Fehler- oder Wahrscheinlichkeitsintegral (erf = errorV n function). °

302

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

ausfiihrlich behandelt worden. Einige der wichtigsten und aufschluBreichsten Ergebnisse seien bei Beschrankung auf stationare Stromungen besprochen. Stationare Stromungsgrenzschicht. Mit d/dt = 0 sowie ua = ux, = U' = const lautet das Gleichungssystem (6.17) in Verbindung mit (6.18b) fiir die langsangestromte ebene Platte bei einem inhomogenen Fluid d(pu)

d(oi>)

/

du

du\

d I

du (6.52 a, b)

Bei masseundurchlassiger Wand sind die Randbedingungen dieselben wie in (6.39). Unter bestimmten z.T. einschrankenden Voraussetzungen lassen sich die Grenzschichtgleichungen fiir die Stromung des inhomogenen Fluids durch die von Dorodnitsyn und Howarth [49] eingefiihrte StoffgroBen-Transformation auf die gleiche Form wie bei der Stromung eines homogenen Fluids bringen. Dabei wird ein mit dem Index b gekennzeichneter Bezugszustand eingefiihrt. Die Kontinuitatsgleichung (6.52 a) wird wie bei der Plattengrenzschicht eines homogenen Fluids wieder durch Einfiihren einer Stromfunktion W(x, y) befriedigt, wobei jetztnach (2.66 a, b) dW dy'

pu = Pb

pV =

dW ~Pb~dx

(6.53a, b)

mit o6 als Bezugsdichte zu setzen ist. Weiterhin werden die Ortskoordinaten unter Einbeziehen der StoffgroBen durch die Ansatze Ax,

y =\ —dy

mit

Cw =

{Qb u

w

(6.54a)

0 .

als Dichte-Viskositatsfunktion nach (1.16a) an der Wand £„, = £(x, y = 0) transformiert. Fiir die in den Bestimmungsgleichungen auftretenden partiellen Ableitungen gilt dann dx

ox

ay

dy

pb dy

Anstelle der Geschwindigkeitskomponenten u, v in (6.53) sollen die transformierten Geschwindigkeitskomponenten u, v eingefiihrt werden, die sich aus der Stromfunktion W(x, y) entsprechend dem Ansatz (6.38 b) fiir die Stromung eines homogenen Fluids, d.h. M = dW/dy und v = — dW/dx zu u = u,

pv=
(6.55a, b)

ergeben. Nach Einsetzen von (6.55 a, b) in Verbindung mit (6.54b) in (6.52a, b) erhalt man, ohne auf die Zwischenrechnung im einzelnen einzugehen, das trans1

Unter Beachtung der Regeln fiir die partiellen Differentiationen nach FuBnote 17 auf S. 297 ist y

dx dx

dx dy

dy dy

p ph

dy dx

3 f p dx J p6

'

dm dy

d dx

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

303

formierte Gleichungssystem fur die Stromungsgrenzschicht eines inhomogenen Fluids zu ^TN (I)

du

+

dv

=0

aF a^ '

/TTX

(II) u

du +v

du

!* W

= Vb

d (~ du\ c

W\ W)-

,x (6 56a b)

- '

Hierin bedeuten vb = qblQb die kinematische Viskositat des Bezugszustands sowie

die auf die Stoffwerte an der Wand bezogenen Viskositatsfunktionen nach (1.16a, b). Die allgemein giiltige Dichte-Viskositatsfunktion (6.57a) geht fiir Gase unter Beachtung, daB in der Grenzschicht p/pw = 1 ist, in die angegebene Temperatur-Viskositatsfunktion (6.57 b) iiber. Es ist ^ = 1 sowohl fur homogene Fluide (f> = const, q = const) als auch fiir thermisch ideale Gase, bei denen die dynamische Viskositat q dem linearen Temperaturgesetz nach (6.10 b) gehorcht (p ~ 1/T, q ~ T). Letzteres bedeutet nach (6.10a) fiir den Exponenten der Temperaturfunktion co = 1. Wahrend die Kontinuitatsgleichung (6.56 a) formal vollstandig mit der Kontinuitatsgleichung fiir die Stromung eines homogenen Fluids (6.19 a) iibereinstimmt, geht die Impulsgleichung der Stromungsgrenzschicht des inhomogenen Fluids (6.56 b) bei Z, = 1 in diejenige eines homogenen Fluids nach (6.38 a) iiber. Damit lassen sich fiir diesen Fall alle Ergebnisse der laminaren Plattengrenzschicht bei homogenem Fluid unmittelbar auf die laminare Plattengrenzschicht bei inhomogenen Fluid (Gas) iibertragen. Wenn man davon ausgeht, daB der TemperatureinfluB in Wandnahe am groBten ist, kann man bei Gasen naherungsweise mit £ ~ 1 rechnen, man vgl. hierzu [19]. Mithin gilt z.B. fiir den Plattenwiderstandsbeiwert unverandert nach (6.47c) .

(6.58)

Es ist qx = ($J2)ul, und Rex = u^l/v^. Die angegebene Beziehung gilt fiir beliebige Mach-Zahlen Ma^ = ujcx. Diese Kennzahl hat bei der Herleitung keine Rolle gespielt. Wegen der Entkopplung der Stromungs- und Temperaturgrenzschicht (C, - 1) trifft dies auch fiir die Prandtl-Zahl zu, Pr = beliebig. Als maBgebende Kennzahl tritt also nur die Reynolds-Zahl der Anstromung Rex auf. Stationary Temperaturgrenzschicht. Zur Berechnung der Temperaturgrenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte bei einem inhomogenen Fluid steht die Warmetransportgleichung (6.23) mit d/dt = 0 und p = const zur Verfiigung:

(III) pCp^—

+ v—y—{xJ^

+n

(^)

(inhomogen) (6.59)

Die Randbedingungen fiir u und T bei y = 0 (Wand) und bei y = » (entspricht den Grenzschichtdicken 6S bzw. ST) sind Tab. 6.1 zu entnehmen.

304

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Eine transformierte Warmetransportgleichung, auch Enthalpietransportgleichung genannt, erhalt man aus der Summe der Warmetransportgleichung (6.59) und der mit der Geschwindigkeit u multiplizierten Impulsgleichung (6.52b).23 Die neue Gleichung lautet

,TTT ^ / dfl dh\ d \ (I dh Pr-l a /u2\\] _ ^ (Ilia) p[u+ v^-) = ^-\ri(1 — -^- + — — - y h r (Gas) r T\ dx dy) dy I \Pr dy Pr dy \ 2 ))\ (6.60 a) mit der ortlich veranderlichen Prandtl-Zahl Pr = cpq/A und der spezifischen Totalenthalpie h = h, = cpT+u2/2.24

(6.60 b)

Die angegebene Beziehung gilt fur das vollkommen ideale Gas nach Tab. 1.2. Die Randbedingungen bei masseundurchlassiger Wand lauten gemaB Tab. 6.1 y = 0:u = 0=v, y

= oo; U = u«,,

h=hw = cpTw

oder

(dfi/dy)w = cp(dT/dy)w,

h = K = cpT«, + ul/2 .

(6.61a) (6.61 b)

Nimmt man Pr = 1 an, was fur ein Gas nach (1.38) eine erste Naherung bedeutet, so vereinfacht sich (6.60a) erheblich und fuhrt zu der reduzierten Enthalpietransportgleichung (Illb)

(Pr = cptil\=\).

(6.62)

Diese Gleichung ist linear in h und besitzt die beiden partikularen Losungen (1)

h = hw = h^ = const

(6.63 a)

(2)

h = hw + (L-k)—

(6.63 b)

mit hw = cpTw = const wegen uw = 0 bei y = 0 und hm — cpTx + u2j2 — const bei y = oo25.

Die erste Losung (6.63 a) liefert nach der Temperatur aufgelost26 u2 \

/ u \21

(1) T=T^ + -^\\-(—

J " = 1+ ^

(Gas,/V=l).

Mai [l - (—)2] (
(6.64a)

(6.64b)

Eingefiihrt wurde die Mach-Zahl der Anstromung Max = ujc^ mit d = (K— 1) c^T^ fur ein Gas nach (4.31a). 23

a / 3u\ ( du\2 d r a /« 2 YI . Man beachte, daB u — (n — + n — = — n — — ) ist.

dyVdyJ 24

VdyJ

dylldy\2){

Genau genommen, ist die spezifische totale Enthalpie durch h = cpT + (u2 + v2)/2 definiert, was jedoch wegen \v\
6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

305

An der Wand stellt sich die Temperatur T = Tw = const ein. Weiterhin nimmt an der Wand die Warmestromdichte
+ y - ^ - j 7U = (1 + ^ — M a i ) 7U (adiabate W a n d , P r = \ ) . V TC/ " ' (6.65 a, b)

Der Temperaturunterschied Te-Tx>0 stellt die Aufheizung der warmeundurchlassigen Wand durch die Reibungswarme dar (Thermometerproblem). Bemerkenswert ist, daB diese vom Viskositatsgesetz q (T) nicht abhangt. Formal stimmt (6.65) mit (4.41) ftir die Ruhetemperatur To bei adiabater Kompression im Staupunkt eines mit der Geschwindigkeit MM bei der Temperatur 7^, d.h. mit der Mach-Zahl Ma^ = ujcm, angestromten vorn stumpfen Korpers iiberein. Die zweite Losung (6.63 b) liefert nach der Temperatur aufgelost26 °~Tw+2c~V~u~)\'u'

(Gas,/Y=l),

,-Te-(T.-Te)£]-£T

(6.66a)

(6.66b)

[T (6.66 c)

In den beiden letzten Gleichungen wurde die Eigentemperatur Te nach (6.65 a, b) eingefiihrt. Die Warmestromdichte an der Wand ergibt sich mit uw = 0 zu cpw — Aw(dT/dy)w = AW[(J'W — Te)/u^] (du/dy)w. Der auftretende Geschwindigkeitsgradient la'Bt sich durch die Wandschubspannung TW = qw(du/dy)w ausdriicken. Man erhalt mit AJr\w = cp/Pr = cp fur Pr = 1 die gesuchte Warmestromdichte cpw = Cp

w

~

e

TW S 0 (diabate Wand, Pr= 1 ) .

(6.67)

Auf den bemerkenswerten Zusammenhang zwischen der Warmestromdichte (Warmeiibergang an der Wand) und der Wandschubspannung hat erstmalig Reynolds hingewiesen. Man spricht daher auch von der Reynoldsschen Analogie. Im vorliegenden Fall der langsangestromten Platte ist die Wandschubspannung stets rw > 0. Ob Warme von der Wand auf das stromende Gas iibergeht oder umgekehrt (Richtung des Warmestroms), bestimmt das Vorzeichen der Temperaturdifferenz (Tw - Te) 5 0. Eine gleichwertige Aussage erhalt man nach Einsetzen von Te nach (6.65) in (6.67), so daB man die Ungleichungen

T ^ l

(6.68,,b,

q>w < 0 (Gas —> Wand) J 26

Die Wandbindung fiir das Temperaturprofil (6.31) isl unter Beachtung der Wandbindung der Stromungsgrenzschicht (6.29a) mit dpjdx = 0 = (d2u/dy2)w erfullt.

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden y-6

Kurve Mach-Zahl Eigentemperatur

Nr. Ma.

a TJT. = 1,4

Tw/Te

b TJTa, = 0,6

TJTe

CO

(2)

2 1,8

V2

<1 <0 <1 <0

=1 =0

1,4

(3) 1 1,2

(4) 0 1,0

0,6

>1 >0 >0

<0

(5)

<0

=1 =0

<0 Abb. 6.12. Temperaturprofile der langsangestromten ebenen Platte bei laminarer Grenzschicht eines inhomogenen Fluids (Gas, K= 1,4, Pr = 1) nach (6.66c) in Verbindung mit (6.65), Geschwindigkeitsprofile angenahert durch «/«„ = (2 - y/8)(y/6). a Wandtemperatur groBer als AuBentemperatur, TK > Tm. b Wandtemperatur kleiner als AuBentemperatur, Tw < 7_

anschreiben kann. Hierin gilt das obere Vorzeichen fiir einen Warmetransport von der Wand in das Gas (heizende Wand = von Gas gekiihlte Wand) und das untere Vorzeichen fiir einen Warmetransport vom Gas an die Wand (von Gas beheizte Wand = kuhlende Wand), vgl. Tab. 6.1. In Abb. 6.12 sind einige Temperaturprofile schematisch dargestellt, und zwar handelt es sich in Abb. 6.12 a um solche, bei denen die Wandtemperatur groBer als die AuBentemperatur Tw > Tx und in Abb. 6.12b um solche, bei denen die Wandtemperatur kleiner als die AuBentemperatur Tw < 7L ist. Die Bedeutung der einzelnen Kurven ist der Abbildungsunterschrift zu entnehmen. Es gilt TJT^ =f(Ma00) nach (6.65 b) sowie bei gegebenen Werten Tw/T^ § 1 der Zusam-

menhang TJTe = (TJTJ/(TJTJ

§ 1 und
eingerahmt sind die Werte fiir TJT^ = 1 und 7L ist, wird bedingt durch die starke Reibungswarme (Dissipationsarbeit) der Wand Warme zugefiihrt, was auch fur die Kurven (7) bis (4) in Abb. 6.12b gilt. Die Kurven (2) in Abb. 6.12a und (5) in Abb. 6.12b beschreiben die warmeundurchlassige (adiabate) Wand.27 27

Die Kurve (5) ist eine mathematisch denkbare Losung, die jedoch wegen der zugehorigen imaginaren Mach-Zahl Max = V-~2 keine fluidmechanische Bedeutung hat.

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

307

Bei den Kurven (3) und (4) in Abb. 6.12 a wird Warme von der Wand dem Gas zugefuhrt. Die besprochenen Temperaturprofile sind in Ubereinstimmung mit der Wandbindung (6.31) bei y = 0 konvex gekriimmt (d2T/dy2)w < 0, wahrend sie bei y = 6 konvex oder konkav gekriimmt sein konnen, (d2T/dy2)a S 0. Es treten also Temperaturprofile ohne und mit Wendepunkt auf. Den Kurven (4) in Abb. 6.12 a, b ist die Mach-Zahl Ma^ = 0 zugeordnet. Hierfiir gilt nach (6.66 b) mit Te = T» nach (6.65) T-Tw = (T«,-Tw) — ~—

(6.69) 28

(Pr=l,Ma^ = 0).

Die Temperaturprofile der partikularen Losungen (6.64) und (6.66) sind bei gegebener Mach-Zahl Max eindeutige Funktionen der Geschwindigkeitsverteilungen, T = T(u). Solche Temperatur-Geschwindigkeitsfunktionen wurden von Busemann [12] und Crocco [12] eingefiihrt. Nach ihr sind die Isotachen u - const gleichzeitig auch Isothermen T = const. An der Wand (w = 0) ist nach (6.66b) unabhangig von der Mach-Zahl (dT/du)w = -(Jw- Te)/ux, was fur die erste Losung wegen Tw = Te zu (dT/du)w = 0 fiihrt. Fur Pr 4= 1 laBt sich (6.60a) nicht geschlossen losen, man vgl. [94]. Fiir den Fall der warmeundurchlassigen Wand kann man naherungsweise fiir die adiabate Wandtemperatur (Eigentemperatur) in Anlehnung an (6.65) r=j;

U2 I K—\ \ + r - ^ = 7 ' J l + r —— Mai (adiabate Wand, Pr * 1) 2C

»

V

2

}

(6.70a, b)

schreiben, wobei r = r (Pr) das Verhaltnis der Erwarmung der langsangestromten ebenen Platte infolge Reibung (Te - Tm) zur Erwarmung durch adiabate Kompression auf einen Ruhezustand To ~ Tx, wie z.B. im Staupunkt nach (4.78 a) darstellt, auch Recovery-Faktor genannt. Es ist r ~ \fP~r (= 0,843), wobei der Zahlenwert fiir Luft mit Pr = 0,71 gilt und durch Messungen sehr gut bestatigt wird. Gl. (6.70 b) fuhrt hierfur mit K = 1,4 zu Te = Tm (1 + 0,169 Mai). Weitere Ergebnisse. Bei der Grenzschichtstromung eines inhomogenen Fluids (Gas) spielt neben derx Prandtl-Zahl die Mach-Zahl eine wesentliche Rolle. Um hieriiber eine Vorstellung zu bekommen, werden im folgenden einige typische Ergebnisse der laminaren Plattengrenzschicht bei verschiedenen Mach-Zahlen Max wiedergegeben. Abb. 6.13 zeigt einige Geschwindigkeits- und Temperaturprofile an der warmeundurchlassigen (adiabaten) Wand (Tw = Te) fiir den Fall eines idealen Gases mit der Prandtl-Zahl Pr = 1 und einer linearen Abhangigkeit der Viskositat von der Temperatur q ~ T, d. h. C, = p/]/pM /]». = 1.29 Die Ergebnisse-sind zunachst in Abb. 6.13 a und b iiber dem dimensionslosen Wandabstand y = y V M_/V_X aufgetragen. Mit wachsender Mach-Zahl ergibt sich eine betrachtliche Zunahme der Grenzschichtdicke. Fiir sehr groBe Mach-Zahlen ist das Geschwindigkeitsprofil nahezu geradlinig iiber die gesamte Grenzschichtdicke. Die Temperaturprofile zeigen bei groBen Mach-Zahlen erhebliche Temperaturerhohungen in der Grenzschicht, die von der Reibungswarme herriihren. Die Temperaturerhohung an der Wand Tw/Tx berechnet sich nach (6.65). Die Zuordnung der Geschwindigkeits- und Temperaturwerte bei gegebener Mach-Zahl und gegebenem Wandabstand folgt aus (6.64 a). Man kann die Geschwindigkeitsprofile von Abb. 6.13 a 28

Beim Grenzfall einer Stromung mit Ma = 0 gilt die Zuordnung u =f= 0, c = °°. Fiir ein thermisch ideales Gas mit c ~ \IYfiihrt dies zu dem unbrauchbaren Ergebnis unendlich groBer Temperatur T = •*>. 29 Man beachte, daB nach der thermischen Zustandsgleichung QTIQJT^ =p/px = 1 ist.

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

308

W

Mo*,

-of/

"A

f/ 1/ y, 11

//

V / /'/

0}

/ /

y

/

V

5 I'wi

'oo

\

W

12

<•

y-

£

n n% ! / •

Abb. 6.13. Laminare Plattengrenzschichtstromung eines idealen Gases (K = 1,4, Pr = 1, £ = 1) bei warmeundurchlassiger Wand, EinfluB der Mach-Zahl Max nach Crocco [12], Querkoordinate y = y sjujv^x. a Geschwindigkeitsprofil «/«„, b Temperaturprofil T/Tx mit Tw = Te als Eigentemperatur

fur verschiedene Mach-Zahlen nahezu zur Deckung bringen, wenn man den Wandabstand y statt auf V « . / v a auf VM«/VWX bezieht, d.h. y - y \lujvwx = y \fvjvn als dimensionslosen Wandabstand wahlt.30 Aus diesem Ergebnis laBt sich schlieBen, daB die Zunahme der Grenzschichtdicke mit wachsender Mach-Zahl (bei konstanter Reynolds-Zahl) hauptsachlich auf die mit der Erwarmung der wandnahen Schicht verbundenen VolumenvergroBerung zuriickzufuhren ist. Abb. 6.14a und b zeigt Geschwindigkeits- und Temperaturprofile fur den Fall mit Warmeubergang an der Wand. Die Wand wird durch Kiihlung auf der gleichen Temperatur wie die AuBenstromung gehalten, Tw = Tx. In diesem Fall wird ein Teil der erzeugten Reibungswarme an die Wand und ein Teil an die AuBenstromung abgegeben. Aus dem Vergleich mit Abb. 6.13 a erkennt man, daB die Grenzschichtdicken wesentlich geringer sind und weniger stark von der Mach-Zahl abhangen als bei der warmeundurchlassigen Wand. Abb. 6.15 gibt das Verhaltnis der Plattenwiderstandsbeiwerte cF/cF0 mit cF = cf(MaM + 0) und C/..o= cF(Max = 0) fur die warmeundurchlassige Wand bei einem Gas als Fluid wieder. Ist die Viskositat nicht exakt proportional der Temperatur, d.h. r\~ T" mit co < 1, dann nimmt der Plattenwiderstandsbeiwert cF mit wachsender Mach-Zahl Max ab, vgl. Abb. 6.23. Auf den Sonderfall nach (6.58) mit a> = 1 wurde bereits hingewiesen.

/A

\ \

's

/ //

\ ^»^~

/

\

\

\ \

f i

Abb. 6.14. Laminare Plattengrenzschichtstromung eines idealen Gases (K = 1,4, Pr = 0,7, f = 1) mit Warmeubergang bei Tw = Tm, EinfluB der Mach-Zahl Ma., nach Hantzsche und Wendt [41], Querkoordinate y=y V«M/vmx. a Geschwindigkeitsprofil «/«„, b Temperaturprofil T/Tx

30

Fiir Gase ist Vvw/vM = -Jqw(>Jq.(>w = Nach (6.65 b) gilt mit Te = Tw weiterhin T

Tm wegen qjq^ = TJT^ und = J» = 1 + [ ( K - l)/2] Mai •

= TJT«, mit pjp^ = 1.

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

309

1,001 w=l,O;Pr=-beliebig u>=0,5; Pr-W 0.90

Pr w 7 0,8 1 0.7SS 0,733 0,7SS 0,725 0,75 1 0,5

— Han tzschi i/.Mint)t -r.16. irman u. Tsiei Brainerd u. fmmons CroccouMonforh o Bustmann 3

O

Abb. 6.15. Widerstandsbeiwerte cF der langsangestromten, warmeundurchlassigen ebenen Platte bei laminarer Grenzschicht eines idealen Gases (nln~ = (T/TJ"); cF/cFo in Abhangigkeit von der Mach-Zahl Ma^ nach Rubesin und Johnson [89], cFo = Widerstandsbeiwert bei Ma_ = 0 nach (6.47 c) mit

t

Maa

6.3.2.4 Laminare ebene Grenzschicht mit Druckgradient der AuBenstromung Allgemeines. Als Fortsetzung der Betrachtungen iiber die Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte, d. h. der Stromung ohne Druckgradient (Gleichdruck), soil jetzt die Grenzschicht an der Wand mit Druckgradient (Druckabfall, Druckanstieg) langs der Wandkontur fur den Fall stationarer Stromung untersucht werden. Der Druckabfall und besonders der Druckanstieg haben einen starken EinfluB auf die Ausbildung der Grenzschicht. Neben dem Reibungswiderstand interessiert besonders die Frage, ob Ablosung der Stromungsgrenzschicht eintritt und wo gegebenenfalls die Ablosungsstelle liegt, man vgl. hierzu die Ausfiihrung in Kap. 6.2.2.1 sowie die Feststellung in Kap. 6.3.2.2 Abschn. a, wonach gemaB der Wandbindung (6.29) Stromungsablosung im allgemeinen nur bei Druckanstieg in Stromungsrichtung (verzogerte Stromung) auftreten kann. Als Kriterium fur die Ablosungsstelle gilt (6.30). Zwischen dem Druck-, Geschwindigkeits- und Temperaturgradienten der AuBenstromung bestehen die Beziehungen nach (6.24b). a) Laminare Grenzschicht eines homogenen Fluids mit Druckgradient der AuBenstromung Stationare Stromungsgrenzschicht. Fur die stationare Stromung mit der vorgegebenen Geschwindigkeit ua(t, x) = ua(x) = U(x) eines homogenen Fluids (p = const, r\ - const, v = T\IQ - const) gilt das aus Kontinuitats- und Impulsgleichung bestehende Gleichungssystem (6.19 a, b) in der Form (I)

du

dv

_

«•» « -

Wie bei der Plattengrenzschicht laBt sich die Kontinuitatsgleichung (6.71 a) durch Einfiihren einer Stromfunktion gemaB (6.38b) identisch erfiillen. Es verbleibt

310

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

dann die aus (6.71 b) gewonnene Grenzschichtgleichung dW d2<¥ ay ox ay

d<¥ d2W ox ay1

dU ax

d3
dW dy

dW Ox

(6.72) Fiir die masseundurchlassige (nichtporose) Wand lauten nach Tab. 6.1 die Randbedingungen dW --=0, dy

v

=-

dW — dx

(6.73 a, b)

Strenge Losungen von (6.71) oder (6.72) sind bislang nur fiir einige Sonderfalle gelungen. Hierzu gehort u.a. die in Kap. 6.3.2.3 Abschn. a behandelte laminare Plattengrenzschicht. Ahnliche Losungen fiir die laminae Stromungsgrenzschicht eines homogenen Fluids. Fiir die laminare Plattengrenzschicht wurde gezeigt, da8 man die partielle Differentialgleichung (6.38 a) durch Einfiihren bestimmter Transformationen fiir die Ortskoordinaten x, y und fiir die Stromfunktion W in eine gewohnliche Differentialgleichung (6.43 a) umformen kann. Fiir bestimmte Sonderfalle gelingt dies auch bei der laminaren Grenzschicht mit Druckgradient in Stromungsrichtung. Dies trifft z.B. fur sog. ahnliche Losungen zu, die dadurch gekennzeichnet sind, daB die dafiir in Frage kommenden Stromungen affine Geschwindigkeitsprofile u (x, y) aufweisen. Hierunter sind Profile zu verstehen, welche in verschiedenen Abstanden x zur Deckung gebracht werden konnen, wenn man sie mit bestimmten MaBstabfaktoren fiir u und y dimensionslos macht. Ahnliche Losungen sind moglich, wenn die Geschwindigkeitsverteilung der vorgegebenen AuBenstromung um einen festen Korper einer Potenz der Lauflange x, gerechnet vom vorderen Staupunkt aus, oder einer Exponentialfunktion proportional ist [116] U(x) = cxm

(einfacher Potenzansatz),

U(x) = c exp(nx)

(Exponentialansatz).

(6.74 a) (6.74b)31

Im folgenden wird nur der Ansatz (6.74 a) mit c> 0 weiterbehandelt. Durch m = 0 wird mit U(x) = c — const die langsangestromte ebene Platte beschrieben, iiber die in Kap. 6.3.2.3 Abschn. a bereits berichtet wurde. Nach Abb. 5.13b bzw. 5.15 b liegt bei m=\ die ebene Staupunktstromung U(x) = c x vor. Wegen dU/dx ~ m handelt es sich bei m > 0 um beschleunigte Stromungen mit Druckabfall in Stromungsrichtung, bei denen eine Stromungsablosung nicht auftreten kann, vgl. Abb. 6.6 (Bild 1), und bei m < 0 handelt es sich um verzogerte Stromungen mit Druckanstieg in Stromungsrichtung, bei denen eine Stromungsablosung auftreten kann, vgl. Abb. 6.6 (Bild 2). Verallgemeinert stellt 1 > m > - 1/2 nach Abb. 5.12b, c ebene Stromungen bei konkaver bzw. konvexer Umlenkung dar. U b e r e i n s t i m m u n g z w i s c h e n ( 5 . 5 6 ) u n d ( 6 . 7 4 a ) b e s t e h t m i t | i » | = U, \ a \ = c , r = x u n d n — 1 = m .

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

311

In Erweiterung der Blasiusschen Transformationsformeln fiir die langsangestromte Platte nach (6.40) und (6.41) haben Falkner und Skan [31] die Transformationen fur die Ortskoordinaten und die Stromfunktion

x,y= yj^^-

^

; ^(*> y) = J ^ * U ( x ) -f(y) (6.75a; b)

mit U(x) = U(x) nach (6.74 a) gewahlt. Die weitere Rechnung geht wie bei der langsangestromten ebenen Platte vor sich und fiihrt auf die gegeniiber (6.43 a) erweiterte gewohnliche Differentialgleichung dritter Ordnung P

+l)).

(6.76)32

Die Striche bedeuten die Ableitungen nach y. Fur die Randbedingungen gilt sinngemaB (6.43b). Die Losungen sind von Hartree [31] untersucht worden. Als wichtigstes Ergebnis sind die Geschwindigkeitsprofile u/U =f'{m, y) anzusehen. Fiir die Grenzschichtdicke ergibt sich mit 6S = ys fur u/U = 0,99 bei den affinen Geschwindigkeitsprofilen der ahnlichen Losung ein bestimmter Wert ys = const. Mithin folgt fiir die Abhangigkeit der Grenzschichtdicke 8 = y6 von der Lauflange

wobei J?- der Umlenkwinkel ist.33 Fiir die langsangestromte Platte mit ft = m = 0 folgt nach (6.77 a) fiir die Grenzschichtdicke 8{x) ~ V*in Ubereinstimmung mit (6.44). Laminare Staupunktstromung.34 Im Staupunkt und in seiner Umgebung mit P = m = 1 ergibt sich nach (6.77 a) ein konstanter Wert fiir die Grenzschichtdicke 6(x —> 0) = const > 0. Laminare Keil- und Eckenstromung. In Abb. 6.16 a sind die Grenzschichtgeschwindigkeitsprofile, auch Hartree-Profile genannt, in der Form u/U =f((3, y) dargestellt. Dabei gilt mit 0 < /? < 1 bzw. 0 < m < 1 fiir die Keilstromungen 0 < 2& < 180° und mit 0 > j3 < fiA bzw. 0 > m < mA fur die Eckenstromungen 0 > i? > &A. Bei den mit dem Index A versehenen GroBen liegt das Profil der beginnenden Stromungsablosung mit (du/dy)K = 0 vor, vgl. Abb. 6.6 (Bild 3). Es gelten die Werte fiA=- 0,1988, mA = - 0,090 und &A = - 18°. Laminare Strbmungsgrenzschicht fiir die AuBenstromung U(x) - l/ 0 (l - ax"). Neben der besprochenen ahnlichen Losung wurde eine weitere Klasse von exakten Losungen fiir die laminare Stromungsgrenzschicht bei einem homogenen Fluid fiir die AuBengeschwindigkeit U(x) = f/0(l — ax")

(erweiterter Potenzansatz)

(6.78)

gefunden, und zwar fiir n = 1 (lineare Geschwindigkeitsverteilung) von Howarth [48] und fiir n =t= 1 von Tani [48]. Fiir a > 0 liegt verzogerte und fiir a < 0 beschleunigte AuBenstromung vor. Bei der durch 32

Die haufig verwendete Transformation x=x,y

-y \f(m + \)U(X)/2VK

und W= V[2/(m +1)] vxU(x~)

•f(x) fuhrt zu/'" +ff" + P(l -f2) = 0. 33

Unter Beriicksichtigung der Ausfiihrung in Kap. 5.3.2.4 Beispiel a.l sowie der FuBnote 31 folgt die Beziehung (6.77b) fiir den Keil- und Eckenwinkel &. 34 Die als ahnliche Losung beschriebene ebene Staupunktstromung stellt eine exakte Losung der NavierStokesschen Bewegungsgleichung dar [94].

U(x)

2-fi

U(x)l beschleunigt

-P=0 verzogert

Abb. 6.16. Laminare Geschwindigkeitsprofile u/U in der Stromungsgrenzschicht bei Stromungen homogener Fluide mit Druckgradient der AuBenstromung in Abhangigkeit vom dimensionslosen Wandabstand y. a Ahnliche Losungen nach Falkner und Skan [31] sowie Hartree [31]. b Linear veriinderliche AuBenstromung nach Howarth [48]. c Kreiszylinder mit potentialtheoretischer AuBenstromung, vgl. [94]. : Ablosung, - . - . - . - : ebener Staupunkt

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

313

(6.78) beschriebenen Stromung handelt es sich bis auf den Fall mit n = 0 (langsangestromte ebene Platte) nicht um eine ahnliche Losung der Grenzschichtgleichung. In Abb. 6.16b sind fiir n = 1, d. h. fiir die Geschwindigkeitsverteilung der AuBenstromung U(x) = U0(l — ax), die Geschwindigkeitsprofile in der Grenzschicht u/U in Abhangigkeit von y = y ~JU0/vx bei verschiedenen Werten P = — (x/U0) (dU/dx) = ax dargestellt. Im Bereich der verzogerten Stromung ist P > 0, und alle Geschwindigkeitsprofile weisen einen Wendepunkt auf. Ablosung tritt beiP^ = 0,1198 ein, d.h. wennxA = 0,12/a ist. Schreibt man fiir die AuBenstromung U(x) = Ua(\ -x/l), so kann diese Stromung auch gedeutet werden als die Potentialstromung langs einer ebenen Wand, die bei x = 0 beginnt und die bei x = / normal auf einer zweiten unendlich ausgedehnten Wand aufsitzt (gebremste Staupunktstromung). Laminare Stromungsgrenzschicht am Kreiszylinder. Fiir den allgemeinen Fall der ebenen Grenzschichtstromung kann einem Vorschlag von Blasius [7] folgend ein Berechnungsverfahren in der Weise aufgebaut werden, daB die Geschwindigkeitsverteilung der AuBenstromung und das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht als Potenzreihen der Lauflange langs der Korperkontur x angesetzt werden (Blasiussche Reihe). Fiir die Potenzreihe der Geschwindigkeitsprofile sind dabei die Koeffizienten Funktionen des normal zur Wand gemessenen Abstands y. Auf Einzelheiten dieses Berechnungsverfahrens wird hier nicht eingegangen. Mit Vorteil werden auch Differenzenverfahren zur Losung der Grenzschichtgleichung benutzt, die sich besonders fiir den Einsatz elektronischer Rechenanlagen eignen. Auf die Entwicklung von Naherungsverfahren wird in Kap. 6.3.4 eingegangen. Fiir den symmetrisch umstromten Kreiszylinder ist die Geschwindigkeitsverteilung der AuBenstromung nach der Potentialtheorie entsprechend (5.71) durch )U(x)

(Kreiszylinder)

(6.79)

mit x = R(p als Lauflange und R als Zylinderradius gegeben. Bei

b) Ebene laminare Grenzschicht eines inhomogenen Fluids mit Druckgradient der AuBenstromung Was den EinfluB der veranderlichen StoffgroBen auf die Gleichungen zur Berechnung der Stromungs- und Temperaturgrenzschicht bei inhomogenen Fluiden (Gasen) betrifft, kann im wesentlichen auf die entsprechenden Ausfiihrungen fiir die laminare Plattengrenzschicht inhomogener Fluide in Kap. 6.3.2.3 Abschn. b verwiesen werden. Die Erweiterung der Untersuchung besteht jetzt darin, einen moglichen Druckgradienten in Stromungsrichtung zu beriicksichtigen. Dabei soil auch hier wieder nur die stationare Stromung besprochen werden. Fiir die Zusam-

35

Man beachte, daB y = y I — - = y I ^— =y I A "\ vR \ vRsm(x/R) ' m = 1 in (6.75 a) ist, vgl. Abb. 6.16 a fiir p = 1.

fur x —> 0 in Ubereinstimmung mit

314

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

menhange der Druck-, Geschwindigkeits- und Temperaturverteilung der AuBenstromung gilt bei dichteveranderlichem Fluid (pa =1= const) (6.24b). Stromungsgrenzschicht. Mit d/dt = 0 lautet das Gleichungssystem (6.17) in Verbindung mit (6.18 b) fur die Grenzschicht mit Druckgradient der AuBenstromung

,1)

^U^-0,

(6.80a,

mit den Randbedingungen fiir die masseundurchlassige (nichtporose) Wand nach (6.73). Durch Erweiterung der Dorodnitsyn-Howarth-Transformation [49] fur den Fall ohne Druckgradient (Plattengrenzschicht in Kap. 6.3.2.3 Abschn. b) la'Gt sich die Grenzschichtgleichung fiir die Stromung des inhomogenen Fluids mit Druckgradient mittels einer Illingworth-Stewartson-Transformation [51], vgl. Riegels in [94, Kap. 13], auf nahezu die gleiche Form wie bei der Stromung eines homogenen Fluids bringen. Der Bezugszustand sei zunachst durch den Index b gekennzeichnet. Die Kontinuitatsgleichung (6.80 a) werde entsprechend (6.53) durch Einfiihren einer Stromfunktion W(x, y) befriedigt. Die Ortskoordinaten werden in Erweiterung von (6.54 a) wie folgt transformiert x

y

\^dy

mit

s»=inr>

(6 81a)

-

wobei £,w = C,{x, y = 0) die Dichte-Viskositatsfunktion nach (1.16a) an der Wand y = 0 bedeutet. Anstelle von (6.54b) fiir die Plattengrenzschicht erhalt man in erweiterter Form die partiellen Differentialoperatoren

i»

(6.81b)

dy Es wird auch hier als Abkiirzung m = dy/dx eingefiihrt. Fiir die transformierten Geschwindigkeitskomponenten gilt u = d W/dy und v = — d W/dx, d. h. (6.82 a, b) Bei der weiteren Untersuchung geht man ahnlich wie bei der Plattengrenzschicht eines inhomogenen Fluids vor. Ohne auf die Zwischenrechnung einzugehen, erhalt man als Erweiterung von (6.56) das transformierte Gleichungssystem fiir die Stromungsgrenzschicht eines inhomogenen Fluids (Gas) mit Druckgradient der AuBengeschwindigkeit zu 36 du

dv

(I) ^dxr + ^dyr = 0,' dx dy

_ du w (II)

u^— dx dx

_du

~dy

_ dua 6 a

"

dx

1

d (~ du

[ \>l dy; " dy

Man beachte, da6 -^- = — (^-) = —- \~ ( ^ V ist, vgl. FuBnote 22, S. 302. dy dy \dx/ dx |0 \TJ \

(6.83 a, b)

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

315

mit t, = Twq/T qw • ~ 1,0, vgl. die Ausfiihrung im AnschluB von (6.57) sowie mit der dimensionslosen Temperaturfunktion { [ \u) )\2T\ du = 9 + 19 a a a

r c T +u TF, ( G a s ) p a

(6.

Die zweite Gleichung gilt fiir ein Gas unter Beriicksichtigung der hierfiir giiltigen Beziehungen (6.9a), (6.24b) sowie (6.82a). Nach (6.60b) stellen Zahler und Nenner spezifischeTotalenthalpienh t -h=h + u2/2mit h - cpTdar. Manbezeichnet daher die dimensionslose Temperaturfunktion g = h/ha auch als dimensionslose Enthalpiefunktion. Meistens wahlt man als Bezugszustand (Index b) den Zustand der Ruhe (Index 0). Die transformierten Gleichungen fur die Stromungsgrenzschicht eines inhomogenen Fluids (6.83 a, b) unterscheiden sich von den entsprechenden Gleichungen fur die Stromungsgrenzschicht eines homogenen Fluids (6.71 a, b) bei der Kontinuitatsgleichung iiberhaupt nicht und bei der Impulsgleichung nur um die bei dem Druckglied ua(dujdx) als Faktor auftretende Funktion g(x, y).37 Diese ist aus der Gleichung fur die Temperaturgrenzschicht zu berechnen. Die Randbedingungen zu (6.83) sind sinngemaG aus (6.73) zu entnehmen. Temperaturgrenzschicht. Ausgangsgleichung fur die Berechnung der stationaren Temperaturgrenzschicht fiir ein Gas ist (6.27). Durch Multiplikation von (6.20) mit u und Addition der so gewonnenen Gleichung zu (6.27) laBt sich der Druckgradient dp/dx eliminieren, und man erhalt unter Einfuhren der spezifischen Totalenthalpie h nach (6.60b) %

o)

-

Mit T = r\ (du/dy), cp = -X(dT/dy), X = (cp/Pr) qundh= cpT + u2/2 erhalt man die bereits bei der Plattengrenzschicht fiir dp/dx = 0 gefundene Beziehung (6.60).38 Dies gilt somit auch fiir die laminare Stromung eines inhomogenen Fluids (Gas) mit Druckgradient der AuBenstromung sowie auch fiir Falle ohne und mit Warmeubergang an der Wand. Die Randbedingungen sind aus (6.61) zu entnehmen, wobei man y = °° durch y = 6(x), ux durch ua(x) sowie Tm durch Ta(x) bzw. hx durch ha(x) zu ersetzen hat. Unter 8{x) ist fallweise die Dicke der Stromungsgrenzschicht 6S oder der Temperaturgrenzschicht 6j zu verstehen. Fiir den Sonderfall Pr = 1 gilt (6.62) in der Form

(Illb) p ( « £ + ^ ) = | r ( ^ )

Pr=l,dp/dx*0) (6.85a)

mit der ersten partikularen Losung nach (6.63a) 39 h(x,y) = ha(x) = c.Ta(x) + 37

^ = const.

(6.85b)

Man beachte, daB ua(x) = U(x) ist. Man beachte, daB bei den Untersuchungen cp = const gesetzt wird, vgl. Kap. 6.2.3.3. 39 Die zweite partikulare Losung nach (6.63 b) gilt fiir den bier vorliegenden Fall der AuBenstromung mit Druckgradient (dp/dx + 0) nicht, da sich der Nachweis fiir ihre Richtigkeit nur fiir verschwindende Druckgradienten (dp/dx = 0) fiihren laBt. 38

316

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Mithin erhalt man den Zusammenhang zwischen der Temperaturverteilung T(x, y) und der Geschwindigkeitsverteilung u (x, y) analog (6.64 a) zu T=T,,+

2cn

1-

(adiabate Wand)

(6.85 c)

mit der Zwangsbedingung der adiabaten Wand
d(rvr) dr

ua(xl

(6.86a) 4

ua(xl

Abb. 6.17. Zur Berechnung der Stromungsgrenzschicht an Korpern mit gekriimmter Oberflache. a Transversale Kriimmung, b longitudinale Kriimmung Man beachte, daB r(dvjdz) = d(rvz)/dz ist, da r und z voneinander unabhangige Veranderliche sind.

6.3.2 Laminare Grenzschichten an festen Wanden

dp

\d

317

(dv\

i a / dv

^ +v r ) = ^ +n \ [ ) + ^ ( r ) \ (6.86b) dz dr) dz \_dz \dz J r dr \ drj\ dvr dv\ dp r d (dv\ 1 d ( dv\ vrl + v ^ ) = ^ + ri k V J + - ^ - r ^ - ~ - I ' (6.86c) dzj r dr \ dr/ r2] Durch ahnliche Abschatzung der GroBenordnungen fur die geschwindigkeitsbehafteten Glieder wie bei der ebenen Stromung, vgl. (6.14), erhalt man die Grenzschichtgleichung der drehsymmetrischen Stromung zu d(uR) d(vR) „ , s 3« du TTdU d2u o^ u^ + = 0 U + V U + V -V^ ^ r ^ W ^^~ = ^^ • (6.87 a, b) dx dy dx dy dx dy2 Hierin sind u(x, y) A v7 und v(x, y) A vr die Geschwindigkeitskomponenten parallel und normal zur Wand innerhalb der Grenzschicht O S y S 6s(x). Weiterhin wurde beriicksichtigt, daB wegen y=6s und Ss/R < 1 der Radius r ~R(x) gleich dem Korperradius ist, vgl. Abb. 6.17a. Auch fiir die drehsymmetrische Grenzschicht gilt die Druckbedingung der Grenzschicht-Theorie (6.16), nach welcher der Druck der AuBenstromung pa(x) bei y = 6s(x) der Grenzschichtstromung im Querschnitt x = const aufgepragt wird, p (x, y)~p (x) - pa(x). Zwischen der Geschwindigkeit am Rand der Grenzschicht u (x, S) = ua(x) U(x) und dem Druckp (x, y) =pa(x) besteht der Zusammenhang nach (6.18b). Die Gl. (6.87) wurde erstmalig von Boltze [68] angegeben, vgl. auch Millikan [68] sowie Rott und Crabtree [86]. Verglichen mit dem Gleichungssystem fiir die ebene Grenzschicht eines homogenen Fluids (6.71a, b) ergibt sich, daB die Impulsgleichung (6.87b) mit (6.71b) ubereinstimmt, wahrend die Kontinuitatsgleichung (6.87 a) gegeniiber (6.71a) zusatzlich den Korperradius R (x) enthalt. Der Fall einer ebenen Stromung ist durch /? —> °° gegeben. Die Randbedingungen fiir die masseundurchlassige Wand sind in (6.73) formuliert, vgl. auch Tab. 6.1. „, (I)

Zusammenhang zwischen drehsymmetrischer und ebener Stromungsgrenzschicht. Durch eine von Mangier [65] vorgeschlagene Transformation laBt sich das Gleichungssystem (6.87) in ein entsprechendes Gleichungssystem nach (6.71) iiberfuhren. IstL eine konstante Bezugslange, dann gilt fiir die Koordinaten X

R

i

d

fR\2 ()

d

y dR d

d

R d

UN4I (6 88a;b)

-

und fiir die Geschwindigkeitskomponenten \

U(X).

(6.88c; d)

Nach Einfiihren dieser Rechenregeln in (6.87 a, b) tritt in alien Gliedem der Faktor (R/L)2 auf. Man kann ihn fortlassen und erhalt so das Gleichungssystem fiir die aus der Transformation hervorgehende ebene Stromung. In (6.71a, b) sind im vorliegenden Fall alle Glieder als transformierte Glieder mit einer Schlange zu versehen. Die Stromungsgrenzschicht an einem Rotationskorper R (x) mit der Geschwindigkeitsverteilung der AuBenstromung U (x) kann also so ermittelt werden, daB man eine ebene Stromungsgrenzschicht fur die Geschwindigkeitsverteilung U(x) = U(x) mit x — x(x) nach (6.88 a, d) berechnet. Aus den fur die transformierte Stromung ermittelten Geschwindigkeitskomponenten u (x, y) und v (x, y) fmdet man mittels (6.88 c) die gesuchten Geschwindigkeitskomponenten der drehsymmetrischen Stromung u (x, y) und v(x, y). Laminare raumliche Staupunktstromung. Fiir die Umgebung eines raumlichen (drehsymmetrischen) Staupunkts und die zugehorige Geschwindigkeitsverteilung der AuBenstromung ist nach Abb. 6.17 a sowie bei sinngemaBer Anwendung von (5.86a)

R(x) = x, U(x) = cx mit c = (dUldx\.

(6.89a, b)

Nach (6.88 a) und (6.88 d) gilt fiir die zugeordnete ebene Staupunktstromung

41

it

1Ix

L

3 \L ,

)

t

U{x)

Man vgl. FuBnote 17, S. 297.

cx

mit

c = V3L2c.

(6.90a, b)

318

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Diese ebene Stromung gehort zu den ahnlichen Losungen nach (6.74 a), und zwar ist m = 1/3, was nach (6.76) einem Wert /? = 1/2) entspricht. Das zugehorige Geschwindigkeitsprofil ist in Abb. 6.16a wiedergegeben (/? = 0,5) und kann mit der des ebenen Staupunkts (/J = 1,0) verglichen werden. b) Eintluli der Oberflachenkrummung auf die ebene Stromungsgrenzschicht Bei der bisher besprochenen Grenzschichtstromung um einen ebenen Korper mit longitudinaler Oberflachenkriimmung (Fliigelprofil, Kreiszylinder) wurde der EinfluB der Stromlinienkriimmung nur im Rahmen einer Grenzschicht-Theorie erster Ordnung erfaBt. Dies geschieht nach Abb. 6.17b durch Einfiihren eines krummlinigen Koordinatensystems, bei dem als x-Koordinate die Bogenlange der Wand gewahlt wird, wahrend die >>-Koordinate jeweils normal zur Wand steht. Dabei wird vorausgesetzt, daB die Grenzschichtdicke 6 sehr klein im Vergleich zum Krummungsradius der betrachteten Stromlinie rk ist, d.h. Ss/rk 1 ftir konvexe und k < 1 fiir konkave Kriimmung. Die Grenzschichtgleichung mit Beriicksichtigung der longitudinalen Korperkriimmung lautet fiir die stationare Stromung, vgl. [25],

(I) ^ 1 + ^ L o ox

(k = rJrK=l+ylrK*il),

(6.91a)

oy

(n.) «|!i

+

^=-i|P+vtA|"Il.(jhl)l,

dx

ay

p ox

oy \k oy

(lib) * = ±%-. rK

(6.9ib)

J

(6.91c)

p dy

AuBer dem Auftreten des Krummungsparameters k unterscheiden sich die Gleichungen von denen der Theorie erster Ordnung durch die Aussage iiber die Anderung des Drucks normal zur Korperoberflache nach (6.91 c). Mit wachsender konvexer Kriimmung nimmt die Grenzschichtdicke ab. Die Geschwindigkeitsprofile erfahren am Rand der Grenzschicht groBere Anderungen. Die Theorie erster Ordnung folgt aus dem Gleichungssystem (6.91), wenn man rk ~ rK, d.h. k~\ setzt. Die Vernachlassigung der longitudinalen Kriimmung bedeutet daruber hinaus rK —> °°, was mit u2/rK^>0 nach (6.91c) zu der Druckbedingung der Grenzschicht-Theorie (6.16b) fuhrt, wonach der Druck in einem Schnitt x der Grenzschicht von auBen aufgepragt wird.

6.3.3 TUrbulente Grenzschichten an festen Wanden 6.3.3.1 Grenzschichtgleichungen der turbulenten ebenen Scherstromung AUgemeines. Eine exakte Berechnung des Geschwindigkeits- 'und Temperaturprofils in der turbulenten Grenzschicht aus den hierfur geltenden Grenzschicht42

Neben dem EinfluB der longitudinalen und transversalen Korperkriimmung zahlt man zur Grenzschicht-Theorie zweiter und hoherer Ordnung die Verdrangungswirkung der Grenzschicht und deren Verhalten bei starkem Ausblasen oder Absaugen. Weiterhin stellt auch eine wirbelbehaftete AuBenstromung, z.B. hinter einem gekriimmten VerdichtungsstoB, oder eine AuBenstromung mit Anderung der Ruheenthalpie, eine Erweiterung der Grenzschicht-Theorie erster Ordnung dar. Zusammenfassend berichtet hieriiber van Dyke [25], vgl. auch Gersten; Gross; Borger [34].

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

319

gleichungen bereitet ungleich groBere Schwierigkeiten als im laminaren Fall und ist bisher noch nicht vollstandig gelungen. Es ist dies vor allem darauf zuriickzufiihren, daB der eigentliche Turbulenzmechanismus in seinen Einzelheiten schwer zu erfassen ist. Dariiber hinaus spielen die Umstande eine Rolle, daB bei der turbulenten Stromungsart in unmittelbarer Wandnahe eine sehr schmale Zone als viskose Unterschicht bzw. warmeleitende (diatherme) vorhanden ist, in welcher die Stromung laminar verlauft, und daB der Stromungsvorgang in dem Ubergangsgebiet zwischen turbulenter Grenzschicht und AuBenstromung mehr oder weniger stark von dem Druckgradienten der AuBenstromung beeinfluBt wird. In diesem Zusammenhang sei auf die Erscheinung der Intermittenz der Turbulenz in der auBeren Halfte der Grenzschicht hingewiesen, vgl. Kap. 6.4.3.1. Wie bereits in Kap. 6.2.2.1 beschrieben und in Abb. 6.3 a gezeigt wurde, besitzt die Grenzschicht bei einem umstromten Korper zunachst, d.h. fur O ^ I ^ I , , laminaren Stromungscharakter. Bei x - xu (Lage des laminar-turbulenten Umschlags) geht die Grenzschicht in die turbulente Stromungsart iiber. Hiervon werden das Geschwindigkeitsprofil und die Wandschubspannung sowie auch das Temperaturprofil in bestimmter Weise betroffen. Haufig vereinfacht man die Aufgabe dadurch, daB man bereits von x = 0 an eine vollturbulente Grenzschicht annimmt. Durch bestimmte MaBnahmen, wie z.B. durch einen sog. Stolperdraht, laBt sich dies Verhalten fluidmechanisch verwirklichen. Den EinfluB der laminaren Vorstrecke (0 5= x 5= xu) kann man auch durch Einfuhren einer idealisierten turbulenten Grenzschicht beriicksichtigen, indem man die turbulente Grenzschicht an einer Stelle x = x, beginnen laBt, derart, daB sie im Umschlagpunkt (x = xu) die gleiche Grenzschichtdicke (Impulsverlustdicke) besitzt wie diejenige der dort herrschenden laminaren Grenzschicht, man vgl. die Ausfiihrung bei der langsangestromten ebenen Platte in Kap. 6.3.2.3 Abschn. a sowie Abb. 6.10c. Wie bei der turbulenten Rohrstromung in Kap. 3.4.3.4 und 3.4.3.5 hat man auch bei der turbulenten Grenzschichtstromung zu unterscheiden, ob es sich um eine fluidmechanisch glatte oder fluidmechanisch rauhe Oberflache handelt. Zu den Aufgaben der Grenzschicht-Theorie turbulenter Stromungen gehoren sowohl die Bestimmung der Lage des Umschlagpunkts laminar-turbulent als auch des Ablosungspunkts. Ober die Entstehung der Turbulenz wurde bereits in Kap. 2.5.3.6 berichtet. Auf das umfangreiche Schrifttum iiber turbulente Grenzschichten in Buchform sei hingewiesen, Abschnitt C der Bibliographic am Ende dieses Bandes. Das momentane Geschwindigkeits-, Druck- und Temperaturfeld einer turbulenten Stromung (u*, p*, T*) wird nach (2.134) aufgeteilt in die Grundbewegung (Hauptstromung mit gemittelten Werten fur die Geschwindigkeit v, den Druck p und die Temperatur T) sowie in die Schwankungsbewegung (Nebenstromung mit unregelmaBigen Verteilungen fur die Geschwindigkeit v', den Druck p' und die Temperatur 7"). Die folgenden Ausfiihrungen sollen sich auf eine im Mittel stationare ebene Stromung mit d/dz = 0 sowie u (x, y), v(x, y), w(x, y) = 0 und u'{x, y), v'(x, y), w'(x, y) = 0 beschranken. Sowohl an der festen Wand (v = 0) als auch am Rand der Grenzschicht (v = 6S) verschwinden die SchwankungsgroBen.

320

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

a) Stromungsgrenzschicht Grenzschichtgleichung. Als Ausgangsgleichung fiir die im Mittel (statistisch) stationare turbulente Stromung eines homogenen Fluids (p = const, q = const) steht die Reynoldssche Bewegungsgleichung (Kontinuitats- und Impulsgleichung) (2.149) zur Verfiigung, vgl. (6.13) fiir die laminare Stromung,

du dx

_du\ dy j

(d2u ' ^2

dp dx

d2u\ ^a '

v

fd{u'2) (6.92b)

v

_ dv \ dx

_ dv\ dy)

/d2v \dx2

dp dy

d2v\ dy2 /

l

/d(u'v') \ dx

d(v'2y\ dy (6.92 c)

Gegeniiber dem Gleichungssystem fiir die laminare Stromung (6.13) mit d/dt = 0, (? = const und q — const besteht der Unterschied einerseits darin, daB fiir die Geschwindigkeiten u, v sowie fiir den Druck p die zeitlich gemittelten Werte u, v bzw.p einzusetzen sind, und andererseits darin, daB in (6.92b, c) die von der turbulenten Schwankungsbewegung hervorgerufenen zusatzlichen Turbulenzkrafte (Tragheitskrafte der turbulenten Schwankungsbewegung) auftreten. Man kann im allgemeinen annehmen, daB die gemittelten Werte iiber die Produkte der Schwankungsgeschwindigkeitenu'2 if2 und \u' v'\ vongleicher GroBenordnung sind, vgl. die Ausfiihrungen zu Abb. 2.41, wonach \u'\ ~ \v'\ ist. Hinsichtlich der Abschatzung der GroBenordnungen fiir die Gradienten der gemittelten Geschwindigkeiten u, v, u'2, v'2 und \u' xf\ geht man wie bei der laminaren Grenzschicht in (6.13 a, b, c) vor. Aus dem Vergleich von (6.92 b, c) folgt fiir das Verhalten der Drackkraft in Erweiterung von (6.15) gemaB (2.142a), d.h. FEi + Fpi + FZi + FTl mit der Turbulenzkraft FTl nach (2.143b), dP

dx

dy

' v~d(v2) dy

=0,

p(x,y)^pa(x)-pi/2.

(6.93a, b)

Die letzte Beziehung erhalt man durch Integration iiber y, wobeipa(x) der Druck an denjenigen Stellen der Grenzschicht ist, an denen i/ = 0 ist. Dies trifft bei turbulenzarmer AuBenstromung fiir den Rand der Grenzschicht y = 5s(x) und fiir die feste Wandbegrenzung y = 0 zu, d.h. es ist pw(x) = pa{x). Innerhalb der Grenzschicht 0Sv§<5s(x) ist der Druck nicht wie bei der laminaren Stromung iiber einen Grenzschichtquerschnitt x = const unveranderlich, sondern es giltp (x, y) ^pa(x). Um den fiir den Druck gefundenen Zusammenhang in (6.92 b) einsetzen zu konnen, ist (6.93 b) partiell nach x zu differenzieren, was zu der Druckbedingung

dx

dx

v

dx

^ \

a

dx

'

dx

fiihrt. Hierin ist der Druckgradient dpjdx identisch mit dpjdx nach (6.18 b). Es sind pa(x) bzw. ua(x) der reibungslosen AuBenstromung zu entnehmen. Nach

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

321

Einsetzen von (6.93 c) in (6.92 b) geht die Impulsgleichung in x-Richtung unter Beachtung der Grenzschichtvereinfachungen fiir die gemittelten Geschwindigkeiten ua(x, y) und v (x, y) iiber in _ du U dx

_du) , } dy) -

+ V

dpa I 6 ( dx' dy { n dy

^U

)

od {Uup VV2

{J

dx

Diese Gleichung unterscheidet sich gegeniiber derjenigen bei laminarer Stromung (6.17 b) durch das Auftreten der gemittelten Geschwindigkeiten u und v sowie durch die zusatzlich von den turbulenten Spannungen hervorgerufenen Turbulenzkrafte. Da im allgemeinen u'2 ~ v'2 ist, kann das letzte Glied meistens vernachlassigt werden. Es gelangt nur in der Nahe des Ablosungspunkts eine gewisse Bedeutung. Der Ausdruck in der Klammer des vorletzten Glieds stellt nach (2.151) die gesamte von der Viskositat und von der Turbulenz in der Stromungsgrenzschicht hervorgerufene gemittelte Schubspannung dar, vgl. (1.18), d.h. = 0).

(6.95a, b)

Unter AT wird nach (1.18b) die ImpulsaustauschgroBe der turbulenten Schwankungsbewegung verstanden. An der Wand (y = 0) verschwindet der turbulente Impulsaustausch mit Ar = 0. Dies fiihrt zu der Beziehung fur die Wandschubspannung Tw nach (6.95 b). Auch in der viskosen Unterschicht (0 § j § <50) spielt AT keine Rolle, d. h. hier gilt AT <^ r\. Abgesehen von der Ubergangsschicht zur vollturbulenten Grenzschichtstromung ((50 = y S <5(), in der q und A, von gleicher GroBenordnung sein konnen, kann man fiir die vollturbulente Wandschicht (6, ^ y ^ 6S) die Viskositat gegeniiber der ImpulsaustauschgroBe vernachlassigen,

AT>n. Fiir die Berechnung der im Mittel stationaren turbulenten ebenen Stromungsgrenzschicht eines homogenen Fluids steht somit das Gleichungssystem (I)

|^ +|^=0,

dx

(6.96a)

dy

zur Verfiigung. Diese Beziehung stimmt formal mit derjenigen fiir die stationare laminare Grenzschicht (6.20) uberein. Die Schwierigkeit bei der Auswertung von (6.96 a, b) besteht darin, daB bei dem Ansatz fiir die Schubspannung keine allgemeingiiltige Angabe fiir die ImpulsaustauschgroBe AT vorliegt. Man muB sich vielmehr mit halbempirischen Ansatzen behelfen, man vgl. (2.152b) und die dort gemachte Ausfiihrung. Die in Tab. 6.1 angegebenen Randbedingungen sind sinngemaB fiir die gemittelten Geschwindigkeitskomponenten anzuwenden. Bei feststehender, masseundurchlassiger Wand ist AT = 0 sowie u = 0 = v. In gleicher Weise wie die laminare Grenzschicht ist die Ausbildung der turbulenten Grenzschicht vom Druckgradienten der AuBenstromung betroffen. Es gilt

322

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

auch hier die Wandbindung (6.29), da an der Wand die turbulente Schwankungsbewegung erlischt und sich die Stromung in der viskosen Unterschicht wie bei einer laminaren Stromung mit der gemittelten Geschwindigkeit u verhalt. Eine Ablosung der Stromungsgrenzschicht kann nur bei Druckanstieg in Stromungsrichtung (verzogerte AuBenstromung) auftreten, wahrend bei Gleichdruck und Druckabfall (konstante bzw. beschleunigte AuBenstromung) eine Riickstromung der Stromungsgrenzschicht nicht vorkommen kann. Im allgemeinen ist bei gleichem Druckverhalten der AuBenstromung eine turbulente Grenzschicht in der Lage, groBere Druckanstiege ablosungsfrei zu iiberwinden als eine laminare Grenzschicht. b) Temperaturgrenzschicht Die fiir die stationare laminare Temperaturgrenzschicht gefundene Gleichung (6.27) laBt sich naherungsweise auch auf eine im Mittel stationare turbulente Temperaturgrenzschicht eines homogenen Fluids iibertragen.43 Ahnlich dem Vorgehen bei der turbulenten Stromungsgrenzschicht gemaB (6.96) sind fiir die Geschwindigkeitskomponenten u und v sowie fiir die Temperatur T jeweils die zeitlich gemittelten Werte u, v bzw. T einzusetzen. Fiir die gemittelte Schubspannung i* und die gemittelte Warmestromdichte
(6.97a, b)

Hierin ist Aq die WarmeaustauschgroBe. An der Wand (y - 0) verschwindet der turbulente Austausch, d. h. es ist dort AT = 0 = Aq. Mithin erhalt man fiir die Wandschubspannung und die Warmestromdichte an der Wand du\

_

. /dT\

(Wand)

(6.98a, b)

Mit Ausnahme der unmittelbaren Wandnahe (viskose bzw. warmeleitende Unterschicht) ist AT^> q und cpAq S> A. Das Verhaltnis der AustauschgroBen wird nach (1.39b) als turbulente Prandtl-Zahl Pr' = AJAq bezeichnet. In erster Naherung kann fiir Gase mit Pr' ~ 1,0 gerechnet werden. Die Gleichung fiir die im Mittel stationare turbulente ebene Temperaturgrenzschicht eines homogenen Fluids folgt aus (6.25), vgl. (6.27), zu (III)

/ dT dT\ d~0* —du pcA u — + v —\ = - -j!j- + r* —

(homogen, dpjdx § 0).

Die in Tab. 6.1 angegebenen Randbedingungen gelten sinngemaB fiir die gemittelten Geschwindigkeitskomponenten und die gemittelte Temperatur. Zu beachten ist die Zwangsbindung fiir die Temperatur am Rand der Temperaturgrenzschicht (y = 8T) gemaB (6.26). 43

Bei einem dichtebestandigen Fluid (p = const) entfallt gemaB (6.25) das den Druck enthaltende Glied.

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

323

6.3.3.2 Geschwindigkeitsprofile der turbulenten Stromungsgrenzschicht In Kap. 2.5.3.5 wurde bei der Besprechung der Bewegungsgleichung der turbulenten Stromung am Beispiel der Rohrstromung in Abb. 2.42 c bereits gezeigt, daB sich in unmittelbarer Wandnahe (0 < y < <50) eine viskose Unterschicht der Dicke <50 ausbildet, in der keine merklichen turbulenten Mischbewegungen auftreten. Der zugehorige Geschwindigkeitsverlauf ist in Abb. 6.18 a als Kurve (1) dargestellt. Im AnschluB an eine Ubergangsschicht (<50 < y < 6,) nach Kurve (2) laBt sich die turbulente Schicht (6, < y < 6) unter Zuhilfenahme der Modellvorstellung des Mischungswegs durch das turbulente Wandgesetz beschreiben, was als Kurve (3) und in Abb. 6.18 b in der Form eines logarithmischen Wandgesetzes u/uT = f(uTy/v) wiedergegeben ist. Bei der Umstromung von Korpern (Grenzschichtstromungen) ist weiterhin zu unterteilen in die turbulente Innen- und AuBenschicht. Wahrend man bei der langsangestromten Platte hierauf weitgehend verzichten kann, spielt dies bei AuBenstromungen mit Druckanstieg jedoch eine besondpre Rolle, vgl. Abb. 6.18 b. In Abb. 6.19 a sind einige mogliche Geschwindigkeitsprofile der turbulenten Grenzschicht bei verschiedenen Druckgradienten der AuBenstromung (Druckabfall, Gleichdruck, Druckanstieg) dargestellt. Tragt man diese Ergebnisse, wie schon bei der Rohrstromung in Abb. 2.42 c in der Form u/uT - f(uTy/v) mit «r = VTW/(> als Schubspannungsgeschwindigkeit auf, so ergibt sich Abb. 6.19 b. Man erkennt, daB die gemessenen Werte im auBeren Teil der Grenzschicht mit groBer werdendem Druckanstieg der AuBenstromung immer starker vom logarithmischen Geschwindigkeitsgesetz (2.156) abweichen. Die Messungen lassen sich sowohl bei Gleichdruck als auch bei Druckanstieg der AuBenstromung nach Abb. 6.21 durch eine formal von der Reynolds-Zahl nahezu unabhangigen Beziehung (U - u)/uT = f{ylS) mit dem Druckgradienten als Parameter beschreiben.

30

20

-J-uly)

m

- Innenschicht (ibergangs\ ' schicht ' viskose Unterschicht'

Nachlaufgeseiz

nogarith-Jim -Aufienschichtmlsches Sesetz

W

W2 uTy/v -

Abb. 6.18. Bereichseinteilung turbulenter Stromungsgrenzschichten (schematisch). a Langsangestromte Platte, (7) viskose Unterschicht, (2) Ubergangsschicht, (5) turbulente Schicht. b Korperumstromung ohne und mit Druckgradient (Druckanstieg)

324

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden 60

? i

50

I (6)- 1

1.0

i

0.8

0.6

0.4

/ / / ;

/

Y

(5)-/

A

(3)

A A

A

,

I

2.5In

7

i

/

20

(6)/ /

0.2

(51

i

09

1

K

r*>

.0

10

/ 0.4 0.6 y/S-

0,2

0.8

1.0

t

6 iW2

2 ury/v

t •

Abb. 6.19. Geschwindigkeitsprofile in turbulenten Stromungsgrenzschichten. a u/u, = f(ylS), b u/uT=f(Pi, u,ylv). (1) • Druckabfall, Herring (1967); (2) V Gleichdruck, Wieghardt (1944); (3) maBiger Drackanstieg, Bradshaw (1966); (4) • starker Druckanstieg, Ludwieg (1949); (5) A sehr starker Druckanstieg, Schubauer (1960); (6) - - o - - abgeloste Stromung, Moses (1964), vgl. [116]

Unter den zahlreichen Vorschlagen, die Tatbestande im auBeren Bereich der vollturbulenten Stromungsgrenzschicht moglichst treffend zu erfassen, verdient die Arbeit von Coles [22] besondere Bedeutung. Danach laBt sich die Geschwindigkeit im auBeren Teil der turbulenten Grenzschicht durch ein allgemeines Gesetz darstellen, wie es im turbulenten Mischungsbereich eines Freistrahls oder im Nachlauf hinter einem festen Korper beobachtet wird. Fiir das AuBengesetz besteht wegen der AnschluBbedingung an das Wandgesetz eine (allerdings geringe) Abhangigkeit von der Wandschubspannung. Fiir das Geschwindigkeitsprofil in der turbulenten Plattengrenzschicht gilt in Erweiterung von (2.156a), vgl. [15, 116] u 1 — = — In

(0 ^ y ^ 8).

K

(6.100 a)

Hierin bezeichnet man w (y/S) als Nachlauffunktion und IJ(x) als Parameter des Nachlaufprofils. Letzterer ist besonders von Bedeutung fiir turbulente Grenzschichten, die einem Druckgradienten der AuBenstromung unterliegen. Aufgrund empirischer Auswertung ist 1

4r\ =2sin 2

(6.100b)

Am Rand der Grenzschicht ist y = 6 und u = U, was zu Ur

fiihrt.

K

\V

-77

(y = S)

(6.100c)

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

325

Abb. 6.20. Turbulente Geschwindigkeitsprofile u = f(y). EinfluB der Nachlaufstromung. a Innenbereich logarithmisches Gesetz (7), AuBenbereich, Nachlauf-Funktion (2). b typisches Grenzschichtprofil bei Druckanstieg der AuBenstromung

Fiir die Stromung langs der ebenen Platte, d. h. bei verschwindendem Druckgradienten, ist K~ 0,4, B ~ 5,5 und 77~ 0,5, wahrend fiir Falle mit starkem Druckanstieg der AuBenstromung wesentlich grofiere Werte bis 77 ~ 4 vorkommen. Die Beziehung fiir die Nachlauffunktion wird durch Messungen sehr gut bestatigt.44 In Abb. 6.20 a, b sind typische Grenzschichtprofile ohne und mit Nachlaufstromung gemaB (6.100 a) wiedergegeben. Subtrahiert man (6.100b) von (6.100a), so erhalt man in Analogie zur Rohrstromung nach (3.100a) fiir das Geschwindigkeitsprofil in der turbulenten Grenzschicht nach Abb. 6.21 die Defektfunktion 277

U-u

K

2 8

, -£-1 (AuBengesetz). (6.100d)

Nach (6.100d) lassen sich analog zu (6.45 a, b, c) bestimmte Grenzschichtdicken Ai und A2 sowie ein Formparameter fiir das Geschwindigkeitsprofil G = G2i = A2/A1 bilden. Zwischen diesen allgemein giiltigen GroBen sowie der Verdrangungsdicke 8{ und der Impulsverlustdicke 62 gemaB (6.45 a, b) mit u A u bestehen die Zusammenhange (6.101a)45

(6.101b)

A,= 5, - 62

44

(6.101c)

Das durch die Nachlauffunktion beschriebene AuBengesetz fiir das turbulente Geschwindigkeitsprofil (6.100) hat als Folge der Uberlagerung der Sinus-Funktion mit dem Logarithmus einen unerwiinschten Knick am Rand der Grenzschicht. Dieser laBt sich nach Pfeil und Lehmann [22] durch erne Zusatzverteilung zur Nachlauffunktion beheben. 45 Englisch: Defect thickness.

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

326

Freeman Klebanoff und Diehl Schultz-Grunow

Hama J. H. U. - rauhe Wand Moore - sehr rauhe Wand

Abb. 6.21. Turbulente Geschwindigkeitsprofile, Defektfunktion (U — u)/u,=f(fSu y/6), Messung nach Clauser [20], Theorie nach Mellor und Gibson [66]. a Gleichdruck, b Druckanstieg (Gleichgewichtsgrenzschicht), /?, = Druck-Formparameter (Clauser-Parameter) nach (6.125 a). Die Messungen werden auch nach (6.100d) in Verbindung mit 77=/(/?,) gemaG FuGnote 52 sehr gut wiedergegeben

wobei cT = TWIQ U2) der Beiwert der Wandschubspannung ist. Fur die bezogenen Grenzschichtdicken und das Grenzschichtdickenverhaltnis sei geschrieben c2

(6.102 a)

Aus (6.102 a) ergeben sich in Verbindung mit (6.101) fur die Verdrangungs- und Impulsverlustdicke 8X bzw. ^ sowie den Formparameter Hn —
— = cx^JcT, - ^ = (c,-c 2

(6.102 b)

Man erkennt, daB alle drei GroBen von dem Beiwert der Wandschubspannung cT abhangen. Insbesondere ist zu vermerken, daB im allgemeinen der Formparameter Hl2 + const, ist. Mit sich entwickelnder Grenzschicht wird cT (x) kleiner, und Hl2(x) nimmt langsam ab. Auf diese Tatsache wird in Kap. 6.3.3.4 bei der Besprechung der sog. Gleichgewichtsgrenzschicht nochmals kurz eingegangen. 6.3.3.3 Turbulente Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte Allgemeines. Da die Behandlung der turbulenten Plattengrenzschicht gegenuber der laminaren Plattengrenzschicht in Kap. 6.3.2.3 wesentlich schwieriger ist, soil hier nur iiber einige einfache Ansatze berichtet werden. Die Untersuchung beschrankt sich dabei auf eine im Mittel stationare ebene Stromung eines homoge-

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

327

nen Fluids. Es soil im wesentlichen die turbulente Stromungsgrenzschicht und nur kurz die turbulente Temperaturgrenzschicht besprochen werden. Ausgangsgleichungen. Der Betrachtung wird wie bei der laminaren Plattengrenzschichteine AnordnunggemaB Abb. 6.10amit ua-u^-U = const als Anstromgeschwindigkeit zugrunde gelegt. Zunachst wird angenommen, daB die Stromungsgrenzschicht (Reibungsschicht) bereits von der Plattenvorderkante (x = 0) ab turbulent sei. Die Gleichungen fur die Stromungsgrenzschicht lauten nach (6.96 a, b) du

dv

0

n

(

{

du

u

du\

dz

u

„ , (6„ 103a b)

)

- '

wobei u und v zeitlich gemittelte Werte iiber die Haupt- und Nebenstromung (Grund- und Schwankungsbewegung) sind. Unter r* ist die Schubspannung nach (6.95 a) zu verstehen. Da iiber die ImpulsaustauschgroBe AT keine allgemein giiltigen Ansatze bekannt sind, tragt (6.95 a) zur Berechnung der Schubspannung und damit nach (6.103) auch zur Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung in der Stromungsgrenzschicht nicht viel bei. Wahrend bei laminarer Stromung ein fester Zusammenhang in der Form r = q (du/dy) besteht, mu6 ein solcher fur turbulente Stromung erst noch hergeleitet werden. Von der mit p(U - u) multiplizierten Kontinuitatsgleichung (6.103a) werde die Impulsgleichung (6.103 b) subtrahiert und das Ergebnis anschlieBend iiber 0 S y ^ oo integriert. Dies liefert nach elementarer Zwischenrechnung )

^

,

(6.104a)

Six)

Tw(x).

(6.104b)

Bei der Integration von (6.104a) iiber 0 ^y g °° ist folgendes zu beriicksichtigen: Die eckige Klammer [u(U - u)] verschwindet an der oberen Grenze (y = <») wegen u =U. Man kann daher in (6.104 b) den Differentialoperator d/dx = d/dx vor das Integral ziehen und wegen (U - u) = 0 fur 6 S y g oo die obere Integrationsgrenze y = 8{x) anstelle von y = °° einfiihren. Die eckige Klammer [v(U - M)] verschwindet sowohl an der oberen Grenze (y = °°) wegen u = U als auch an der unteren Grenze (y = 0) wegen v = 0. Damit liefert das zweite Glied in (6.104 a) nach Ausfiihren der Integration keinen Beitrag. Das Glied auf der rechten Seite von (6.104 a) nimmt nach der Integration wegen r*(x, y = °°) = 0 den Wert der Wandschubspannung i*(x, y = 0) - ^w{x) an. Nach Einfiihren der Impulsverlustdicke analog (6.45 b) gelangt man fur die Berechnung des Beiwerts der Wandschubspannung gemaB (6.46 c) zu dem Ausdruck

d

d% mit *<*>=jK 1 -!)*'-

(6 105ab)

" '

als Impulsverlustdicke. Die Wandschubspannung laBt sich somit durch ein in bestimmter Weise definiertes Integral iiber das Geschwindigkeitsprofil u/U darstel-

328

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

len. Hieraus folgt, daB bei Kenntnis von u/U iiber 0 =iy == 6 zunachst ^(x) und daraus ~fw(x) berechnet werden kann. Den Reibungswiderstand der einseitig iiberstromten Platte findet man nach (6.47 a) durch Integration der Schubspannungsverteilung iiber die Plattentiefe 0 ^i x ^ / oder nach (6.47 b) unmittelbar aus der Impulsverlustdicke am Ende der Platte (x = I). Der Plattenwiderstandsbeiwert betragt somit \

^

(6.106a, b)

wobei S = bl die iiberstromte Oberflache und qm = (p/2)u2^ den Geschwindigkeitsdruck der Anstromung (MM = U) bezeichnen. a) T\irbulente Plattengrenzschicht bei glatter Wand Analogie zur Rohrstromung. Nach Prandtl [77] kann man naherungsweise davon ausgehen, daB sich die turbulente Grenzschichtstromung langs der Platte nicht wesentlich von der turbulenten Stromung in einem Rohr unterscheidet. Im Zustand der vollausgebildeten Turbulenz kann man sich die Rohrstromung als eine Grenzschichtstromung vorstellen, wobei die Dicke der Stromungsgrenzschicht 6 der GroBe des Rohrhalbmessers R und die maximale Geschwindigkeit in Rohrmitte ymax der Anstromgeschwindigkeit U bei der Platte entspricht. Ein grundsatzlicher Unterschied besteht bei dieser Analogie darin, daB der Rohrradius R — const ist, wahrend die Grenzschichtdicke 6 = 6(x) ist. Dariiber hinaus ist die Rohrstromung mit einem Druckabfall (dp/dx < 0) verbunden, wahrend bei der Plattenstromung Gleichdruck (dp/dx = 0) herrscht. Eine kritische Bewertung der Analogiebetrachtung wird von Truckenbrodt [77] gegeben. Wie bei der turbulenten Rohrstromung la'Bt sich auch bei der turbulenten Plattenstromung das Geschwindigkeitsprofil iiber einen Querschnitt der Grenzschicht an einer Stelle x durch das 1/7-Potenzgesetz des Geschwindigkeitsprofils naherungsweise darstellen, vgl. (3.97a) mit n = 1/7. Mithin gilt UIU=(ylS)ln,

6,16 = 0,125,

.Sj/S = 0,0972,

Hn= 1,286.

(6.107)

Mitangegeben sind die Zahlenwerte fiir die Verdrangungsdicke 6sl'6 nach (6.45 a) und die Impulsverlustdicke 62/6 nach (6.45 b) sowie fiir den Formparameter H[2 = 6^/62 nach (6.45 c). Es gilt fur die Wandschubspannung bei der Rohrstromung gema'B (3.86b) bzw. bei der Plattenstromung gemaB (6.105 a) die Gegeniiberstellung Rohr -> — pv2m = \jJ = gU1 - ^ <- Platte . (6.108) 8 dx Die Analogie zwischen der Rohr- und der Plattenstromung besteht nun darin, daB D = 2R = 26 und i W = U mit vjvmnx = 49/60 = 0,817 nach (3.98a) sowie X nach (3.96) und 6J6 nach (6.107) angenommen wird. Setzt man in (6.108) ein, so wird bei fluidmechanisch glatter Oberflache (J/<5/v)"4 (d6/dx) = 0,240. Bei turbulenter Grenzschicht von der Plattenvorderkante (x = 0) an liefert die Integration iiber x die Grenzschichtdicke des 1/7-Potenzgesetzes des Geschwindigkeitsprofils zu

/r/xV"5

6{x) = 0,381 (

x~xil5

(turbulent, glatt) .

(6.109 a)

Unter Beachtung von (6.107) erhalt man fur die Verdrangungs- und Impulsverlustdicke die Ausdriicke <5,(x) = 0,048(

)

x,

62(x) = 0,037 (

Vv /

]

x.

(6.109b, c)

Vv/

Die Kenntnis der Impulsverlustdicken der laminaren und turbulenten Grenzschicht nach (6.45 b) bzw. (6.109c) ermoglicht die Berechnung des virtuellen Anfangspunkts (x = x,) der in Kap. 6.3.3.1 Abschn. a erwahnten idealisierten turbulenten Plattengrenzschicht, Abb. 6.10c. Wegen der Gleichheit der Impulsverlustdicken im Umschlagpunkt (x = xu) gilt die Bedingung /v\l/2

0,664 f—J

/V\1/5

x,!c = 0,037 I —1

(xu~x,)il5

(Umschlagpunkt).

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

329

Hieraus erhalt man dann x lUx \~3/s —= 1- 3 7 (—-I =0,73

(Se. = 5 • 10 5 ).

(6.110) 5

Der Zahlenwert gilt fiir die Reynolds-ZaW des laminar-turbulenten Umschlags Reu = Uxulv = 5 • 10 . Den Beiwert der Wandschubspannung ermittelt man aus (6.105a) in Verbindung mit (6.109c) zu cT=—j = 0,0297 I ) =0,0130 (—5.) . (6.111a, b)
cP = '

(6.112a)

Rl mit Re^ = «„ I/v als Reynolds-Zahl der Anstromung (ux = U). Dies von Prandtl [77] angegebene Ergebnis ist in Abb. 6.11b als Kurve (2a) wiedergegeben. Der benutzte Ansatz fiir die Wandschubspannung Tw ist aufgrund des Blasiusschen Gesetzes fiir die Rohrstrbmung nach (3.96) berechnet worden, das, wie friiher angegeben wurde, nur fur Reynolds-Zahlen Re = vmD/v < 105 gilt. Man muB also erwarten, daB auch (6.12a) nur einen beschrankten Gultigkeitsbereich besitzt. Er betragt 5 • 105 < Re^ < 107. In diesem Bereich ist der Widerstandsbeiwert fur Platten, deren Reibungsschicht von vorn an turbulent ist, in guter Ubereinstimmung mit Versuchsergebnissen. Mittels der Analogie zur Rohrstromung lafit sich auch erne Angabe fiber die Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags Reu = Uxjv machen. Unter Beachtung der Beziehungen fur die laminare Rohrstromung nach Kap. 3.4.3.3 und fur die laminare Plattenstromung nach (6.44) kann man schreiben

Hieraus folgt mit x = xu der Zahlenwert Reu = 2,2 • 105 in befriedigender Ubereinstimmung mit dem in Abb. 6.11 b fur den beginnenden laminar-turbulenten Umschlag angegebenen Wert Reu = 5 • 105. Um den EinfluB der in Abb. 6.10c dargestellten laminaren Vorstrecke zu erfassen, schlagt Prandtl [77] vor, diesen durch ein Zusatzglied in der Formel (6.112a) zu beriicksichtigen: cP=

'

-

(laminar-turbulent).

(6.112b)

Fiir die Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags Reu = 5 - 105 ist A = 1700 zu setzen. Der durch (6.112 b) beschriebene Kurvenverlauf ist in Abb. 6.11 b als Kurve (5) wiedergegeben. Verallgemeinerte Potenzdarstellung. In Erweiterung von (6.107) lassen sich das Gesetz fiir das Geschwindigkeitsprofil entsprechend (3.97 a) und die daraus folgenden Beziehungen fiir die Verdrangungsund Impulsverlustdicke sowie den Formparameter folgendermaBen anschreiben.46 6,

6

p

1+p'

62

6

p

H6,

(\+p)(l+2p)

( 6 n 3 a )

Unter Einfiihren der Schubspannungsgeschwindigkeit u, = \llal^> laBt sich das Gesetz fur das Geschwindigkeitsprofil aufgrund eines Vorschlags von Prandtl [77] auch in der Form

mit x = 8,73 furp = 1/7 darstellen. Den Schubspannungsbeiwert cT = (uJU)2 findet man unmittelbar aus (6.113 c). Fiihrt man noch die Impulsverlustdicke &2 anstelle der Grenzschichtdicke 6 mittels ^2/6 nach (6.113 a) ein, so erhalt man

- •-[^]v-. -i. 46

Der Exponent p = 1 beschreibt eine lineare Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht. Dieser Verlauf stellt eine erste grobe Naherung fur die laminare Plattengrenzschicht dar.

330

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Fiir/> = 1/7 ist a = 1/4 und a = 0,013 in Ubereinstimmung mit (6.111b). Es sindp und damit auch a(p) und a(p) von der Reynolds-Zahl abhangige GroBen. Mit wachsender Reynolds-Zahl nehmen die Exponenten p und a ab. Nach Einsetzen von (6.114a) in (6.105a) erhalt man bei Annahme konstanter Werte fiir a und a nach Ausflihren der Integration mit c^ = 0 bei x = 0 fiir die mit der Impulsverlustdicke gebildete Reynolds-Zahl

Mithin kann man fiir (6.114 a) auch schreiben )ajT+", b = — — .

(6.114c)

Fiir a = 1/4 ist b = 1/5 und /? = 0,030 in Ubereinstimmung mit (6.111 a). SchlieBlich erhalt man fiir den Plattenwiderstandsbeiwert nach (6.106 a, b) mit (6.114 b) —\

mit

r=2[(l+a)a]

TT

",

b = ^—.

(6.115)

Fiir a = 1/4 ist b = 1/5 und y = 0,074 in Ubereinstimmung mit (6.109 a).

Einfuhren der Nachlauffunktion. Auf den Umstand, daB am auBeren Rand der Grenzschicht das Turbulenzverhalten bei der Platte und beim Rohr verschieden sein muB, weist Wieghardt [77] hin. Bei der Platte sind bei turbulenzarmer AuBenstromung die Schwankungsgeschwindigkeiten dort nahezu null, wahrend sie in Rohrmitte noch betrachtliche Werte haben, da dort die andere Seite einwirkt. Bei kiinstlich stark turbulent gemachter AuBenstromung laBt sich zeigen, daB das Geschwindigkeitsprofil der Plattengrenzschicht demjenigen der Rohrstromung sehr nahe kommt. Messungen von Schultz-Grunow [77] und Nikuradse [7] zeigen allerdings, daB das Geschwindigkeitsprofil der Platte u/uT = f(yT) mit U T — V^T^als Schubspannungsgeschwindigkeit und yT = uTy/v als dimensionslosem Wandabstand im auBeren Teil der Grenzschicht systematisch von dem logarithmischen Verteilungsgesetz des Geschwindigkeitsprofils nach oben abweicht, vgl. Abb. 6.19 b. Dies bedeutet, daB fiir eine genauere Erfassung der turbulenten Plattengrenzschicht die Kenntnis iiber die Geschwindigkeitsprofile als nur iiber die Analogie zur Rohrstromung erforderlich ist. Als besonders hierfur geeignet hat sich die Verwendung der Nachlauffunktion nach (6.100) erwiesen, wobei fiir die langsangestromte Platte naherungsweise der Wert 77= 0,5 gesetzt werden kann. Fiir die bezogenen Grenzschichtdicken c1 und c2 sowie das Grenzschichtdickenverhaltnis G nach (6.102a) werden in [15, 116] fiir die turbulente Plattengrenzschicht die Zahlenwerte cl = 3,78 (3,75),

c2 = 25,0 (24,8),

G = 6,61 (6,61), angegeben.47

77=0,55(0,50)

K = 0,41 (0,40) (6.116a)

47

Ohne Beriicksichtigung der Nachlauffunktion lassen sich die Integrate (6.101 a, b) elementar auswerten, und man erhalt mit K = 0,4 hierfur c, = - = 2 , 5 , K

c2 = ^1 = 12,5, K

G= -=5,0 K

(77=0).

(6.116b)

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

331

Den Beiwert der Wandschubspannung erhalt man aus (6.100c) mit uT/U = Vc^zu 1

1.

.

.

,

C,

cT=f(Res)

(6.117 a, b)

mit Res = US/v, K = 0,4, B = 5,5 und C = B + 277/K = 8,0. Mittels (6.102b) laBt sich die mit der Grenzschichtdicke S gebildete Reynolds-Zahl US/v umformen in die mit der Impulsverlustdicke Si gebildete Reynolds-Zahl US2/v = (62/6) (US/v). Auf diese Weise erhalt man eine implizite Formel fiir die Berechnung des Schubspannungsbeiwerts cT =f(U6Jv), auf deren Wiedergabe jedoch verzichtet wird. Da S2 = S2(x) ist, gilt auch cT =f(Rex) mit Rex = Ux/v.4i Die Ergebnisse der oben dargelegten verfeinerten Theorie konnen nach White [116] durch einfache Approximationsformeln beschrieben werden. Danach berechnet sich die Grenzschichtdicke unter Annahme des Parameters 77 — 0,5 zu 6(x) = 0,14 I

j

x ~ x6n

(turbulent, glatt),

(6.118 a)

wahrend die Analogiebetrachtung zu (6.109 a) gefuhrt hat. Bei turbulenter Stromung nimmt die Grenzschichtdicke nahezu linear mit der Lauflange x zu, wahrend sie bei laminarer Stromung nach (6.44) proportional yfx anwachst. Fiir x = 1 m, U = 15 m/s und v = 15 • 10~6 m2/s (Luft) betragt die turbulente Grenzschichtdicke S ~ 0,02 m = 20 mm, wahrend die laminare Grenzschicht bei gleichen Ausgangswerten nur S ~ 5 mm dick ist. Fiir den Zusammenhang der Impulsverlustdicke S2 mit der Lauflange x gilt, vgl. (6.114b), / Ux \~vl US / Ux \6P S2(x) = 0,0142 x, —^=0,0142 (6.118b, c) V /

V

\ V /

und fiir den Beiwert der Wandschubspannung, vgl. (6.112 a, b)

cT = 0,0125 f—) \ v/

= 0,0062 f—^ \ v /

.

(6.119a, b)

La8t man den EinfluB der Nachlauffunktion unberiicksichtigt, d.h. setzt man in der obigen Ableitung 77= 0, so ist das Ergebnis in (6.119) hiervon nur geringfiigig betroffen. Gl. (6.119b) gibt die MeBergebnisse am besten wieder, wenn man 0,013 anstelle von 0,0125 setzt. Im Aufbau entsprechen die Naherungsformeln denjenigen, die bereits aus der Analogie zur Rohrstromung, d.h. dem Potenzgesetz des Geschwindigkeitsprofils, gewonnen wurden. Durch Vergleich mit (6.114) und (6.115) stellt man fest, daB anstelle der Exponenten a = 1/4 und b = 1/5 die genaueren Werte a = 1/6 und b = 1/7 treten. Dies bedeutet nach (6.113) eine Verkleinerung des Exponenten des Geschwindigkeitsprofils von p - a/(2 - a) = 1/7 auf p = 1/11. An die Stelle der Zahlenwerte in (6.107) treten nach [116] jetzt die nahezu ungeanderten Werte 6J6 = 0,129 (0,083),

S2/S = 0,101 (0,071),

Hu= 1,268 (1,18). (6.120)

Eine solche Art der Darstellung hat bereits von Karman [54] gegeben.

332

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Die in den Klammern angegebenen, stark abweichenden Werte wurden nach (6.113 a) mitp = 1/11 berechnet. Kennt man den Verlauf der Schubspannungsverteilung cT (x) langs der Platte (0 Si x Si /) oder die Impulsverlustdicke am Ende der Platte 62(x = I), so laBt sich hieraus gemaB (6.106 a, b) der Plattenwiderstandsbeiwert leicht ermitteln. Nach Einsetzen von (6.119a) in (6.106a) und Ausfuhren der Integration iiber 0 = x Si / erhalt man fur die langsangestromte ebene, fluidmechanisch glatte Platte bei vollturbulenter Grenzschicht ohne Einschrankung des Giiltigkeitsbereichs der Reynolds-Zahl cF = -1

(vollturbulent, glatt),

(6.121 a)

wobei der Zahlenwert den Messungen angepaBt ist. Diese Formel wurde bereits friiher von Falkner [30] vorgeschlagen, wobei nur der Zahlenwert unwesentlich abweicht, namlich 0,0306 statt 0,0303. Die Genauigkeit verschiedener Formeln zur Berechnung des Plattenwiderstandsbeiwerts der vollturbulenten Plattengrenzschicht bei fluidmechanisch glatter Wand hat White [116] untersucht. Die unter Verwendung der Nachlauf-Funktion ,,exakt" berechneten Werte erfaBt am besten die Beziehung cF = 0,523 [In (0,06 « e j } " 2

(White).

(6.121b)

Die Zahlenwerte stimmen mit denjenigen von (6.121 a) weitgehend iiberein. Die von Prandtl und Schlichting [77] vorgeschlagene Formel Cp

= 0,455 (lg ReJ-2-5* (Schlichting)

(6.121c)

kann ebenfalls als sehr zuverlassig angesehen werden. In Abb. 6.11b ist das Ergebnis der Gleichungen (6.121 a, c) als Kurve (2b) bzw. (2c) dargestellt. b) Tlirbulente Plattengrenzschicht bei rauher Wand Die bisher in diesem Kapitel durchgefiihrte Untersuchung bezog sich auf die turbulente Grenzschicht an der langsangestrbmten Platte, sofern die Wand als fluidmechanisch (hydraulisch) glatt angesehen werden kann. Bei rauher Wand tritt, ahnlich wie bei dem fluidmechanisch (hydraulisch) rauhen Rohr nach Kap. 3.4.3.5, eine erhebliche Abweichung gegeniiber dem Ergebns der glatten Wand auf. Mit k werde auch hier die Rauheitshohe bezeichnet. Wahrend fur unveranderlich angenommene Werte k = const bei der Rohrstromung die relative Rauheit k/D iiber die ganze Rohrlange konstant ist, andert sich bei der Plattenstromung die relative Rauheit k/6 wegen 6 = 6(x) langs der Lauflange x. Man hat dann im vorderen Plattenteil bei kleiner Grenzschichtdicke 6 einen groBen und stromabwarts dagegen einen standig kleiner werdenden Rauheitsparameter k/6. Zur Berechnung des Widerstandsbeiwerts rauher Platten kann man wieder die bei der Rohrstromung gefundenen GesetzmaBigkeiten auf die Platte umrechnen, wobei man zunachst zweckmaBig von der Sandkornrauheit (kiinstliche Rauheit) ausgeht, vgl. Kap. 3.4.3.5. Derartige Rechnungen sind von Prandtl und Schlichting [77] und entsprechende Messungen von Schultz-Grunow [77] durchgefiihrt worden.

333

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

Fiir den Bereich der voUausgebildeten Rauheitsstromungen laBt sich fur den Plattenwiderstandsbeiwert cF analog zu (3.107b) die Interpolationsformel O=|l,89-l,621g(y

(turbulent, rauh,

10"6 < k/l'< 10"2) (6.122 a)

angeben. Dabei ist wieder angenommen, da8 die turbulente Grenzschicht an der Plattenvorderkante x = 0 beginnt. Die angegebene Beziehung gilt zunachst fiir die Sandkornrauheit im Bereich 10~6 < k/l < 10"2. Das Ergebnis ist in Abb. 6.22 angegeben, wobei cF — cF (k/l) iiber der Reynolds-Zahl Rem mit der relativen Rauheit k/l als Parameter dargestellt ist. Eine verfeinerte Methode zur Berechnung des Plattenwiderstands an einer rauhen Wand, die von der gleichen Vorstellung wie bei der glatten Wand ausgeht, wird in [88, 116], beschrieben. Hiernach ergibt sich fur den Plattenwiderstandsbeiwert die Naherungsformel ' k\V6

cF = 0,024 ( - )

(6.122 b)

Gegeniiber (6.122a) tritt eine Abweichung bis zu 10% auf. Da man hinsichtlich der Rauheitshohen k stets mit gewissen Ungenauigkeiten rechnen muB, kann man davon ausgehen, daB die angegebenen Beziehungen etwa gleichwertig sind.

Abb. 6.22. Widerstandsbeiwerte cF der langsangestromten sandrauhen ebenen Platte bei der Stromung eines homogenen Fluids nach (6.122a). (/) Laminar nach (6.47c), (2) turbulent glatt nach (6.121c), (5) laminar-turbulent nach (6.112b), (4) Grenze des Bereichs der voUausgebildeten Rauhheitsstromung

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

334

Werte fur technische Rauheitshohen sind fur die Rohrstromung in Tab. 3.4 zusammengestellt. Sie konnen auf den vorliegenden Fall der langsangestromten Platte iibertragen werden. Erganzend sei noch auf die Arbeit von Perry, Schofield und Joubert [74] aufmerksam gemacht. Ebenso wie beim Rohr wirkt eine bestimmte relative Rauheit nicht bei alien Reynolds-Zahlen widerstandserhohend, sondern erst oberhalb einer bestimmten Reynolds-Zahl. Fur kleine Reynolds-Zahlen ist eine rauhe Platte unter Umstanden als fluidmechanisch (hydraulisch) glatt anzusehen. Man kann hierftir eine zulassige Rauheitshohe &zul angeben, bis zu der gerade noch keine Widerstandszunahme gegeniiber der glatten Oberflache auftritt. Es gilt (6.123) Um also ein fluidmechanisch glattes Verhalten zu haben, muB k Si kml ~ 100//Re„ mit Rex = ujjv sein. c) Turbulente Plattengrenzschicht eines inhomogenen Fluids Uber die turbulente Grenzschicht bei einem inhomogenen Fluid (veranderliche StoffgroBen) wird z.B. von Rotta in [94, Kap. 23] berichtet. Wie schon bei der laminaren Grenzschicht spielt die gegenseitige Beeinflussung von Stromungs- und Temperaturgrenzschicht hierbei eine besondere Rolle. Die einfachste Methode, die Ergebnisse der Stromung eines inhomogenen Fluids auf die Stromung eines homogenen Fluids zu iibertragen, besteht im Einfiihren einer bestimmten Bezugstemperatur fur die StoffgroBen. Bei warmeundurchlassiger Wand empfiehlt sich, hierfiir die Wandtemperatur zu wahlen. Die Anwendung des Prandtlschen Mischungswegansatzes auf die turbulente Grenzschichtstromung eines inhomogenen Fluids wurde von van Driest [24] vorgenommen. Von seinem Ergebnissen ist in Abb. 6.23 der Plattenwiderstandsbeiwert fur die warmeundurchlassige glatte Wand bei verschiedenen Mach-Zahlen wiedergegeben. Der starke Abfall des Plattenwiderstandsbeiwerts mit der Mach-Zahl ist in Abb. 6.24 gezeigt. Bei rauher Wand ist der EinfluB der Mach-Zahl auf den Widerstandsbeiwert noch groBer als bei glatter Wand. Die Eigentemperatur Te (Wandtemperatur bei warmeundurchlassiger Wand) kann man mit der gleichen Beziehung (6.70) wie fiir die laminare Temperaturgrenzschicht ermitteln, wenn man den bei der

s Mam-C

—-—13—- --—

—-. -— 1 —. 1

A

,

N

-c

•

—

.

1—-

—-—.

—

£/

i — •

ts • — - ^

-

•

^

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0,2-

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*

e 8 10s

*

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t

e

i

t

e

Abb. 6.23. Widerstandsbeiwerte cF der langsangestromten warmeundurchlassigen ebenen Platte bei laminarer und turbulenter Grenzschichtstromung eines inhomogenen Fluids (Pr = 1, w = 0,76, K = 1,4) in Abhangigkeit von der Reynolds- und Mach-Zahl Rex = uj/v^ bzw. Mam - ujc^, nach van Driest [24]

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

335

1,0

0,2

° Dhawan • • Coles AA Brinich,Diaconis • Chapman, Hester

Abb. 6.24. EinfluB der Mach-Zahl Max auf die Widerstandsbeiwerte der langsangestromten warmeundurchlassigen Wand bei turbulenter Grenzschichtstromung, Rex ~ 107. fluidmechanisch glatte Wand, Theorie nach Wilson [120]

turbulenten Grenzschicht etwas groBeren Recovery-Faktor = \ffr (= 0,892) einsetzt. Der Zahlenwert gilt fur Luft mit Pr = 0,71. Auch der Zusammenhang zwischen der Warmestromdichte an der Wand
6.3.3.4 T\irbulente ebene Grenzschicht mit Druckgradient der Aufienstromung Grenzschichtgleichungen. Zur Berechnung der turbulenten Stromungs- und Temperaturgrenzschicht bei stationarer ebener Stromung eines homogenen Fluids wurde das Gleichungssystem (6.96 a, b) und (6.99) bereitgestellt. Es sollen hier nur einige grundsatzliche Angaben iiber die turbulente Stromungsgrenzschicht bei veranderlicher AuBenstromung ua(x) - U(x) gemacht werden. In (6.96a, b) stellen u und v gemittelte Werte der Geschwindigkeitskomponenten dar. Die Auswertung ist wie bei der Plattengrenzschicht durch das Fehlen allgemeingultiger Aussagen iiber das Verhalten der Schubspannung T* in der turbulenten Grenzschicht sehr erschwert. Schon bei der Behandlung der turbulenten Plattengrenzschicht in Kap. 6.3.3.3 zeigte sich der halbempirische Charakter der Methoden zur Erfassung des Turbulenzeinflusses. Wahrend dort durch eine Analogiebetrachtung zur turbulenten Rohrstromung bereits einige Fragen der unmittelbaren Anwendung auf stromungstechnische Aufgaben zufriedenstellend gelost werden konnten, stehen fur den Fall mit Druckgradient der AuBenstromung Aussagen iiber turbulente Stromungsvorgange in einer ahnlichen Form nicht zur Verfiigung. Dabei ist die Forschungstatigkeit auf dem Gebiet der turbulenten Grenzschicht auBerordentlich groB und hat bereits zu beachtlichen Erkenntnissen und Erfolgen gefiihrt. Einen Uberblick iiber den Entwicklungsstand der Grenzschichtberechnung einschlieBlich vieler Vergleiche mit Versuchsergebnissen bis zum Jahr 1968 vermitteln die

336

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

,,Sitzungsberichte der 1968 AFOSR-IFP-Standford Conference" [56]; der zweite Band iiber diese Tagung stellt eine umfassende Sammlung von Versuchsergebnissen zur Verfiigung. Weitere Fortschrittsberichte iiber turbulente Grenzschichten stammen von Wieghardt [117], Kovasznay [58], Fernholz [33] und Bradshaw [9]. Rechenverfahren sowie vergleichende Gegeniiberstellungen der Grundlagen (Turbulenzmodelle) und Ergebnisse werden u.a. in [10, 62, 113, 114] mitgeteilt, vgl. Keller [55], Reynolds [82] sowie Cebeci und Bradshaw [13]. Auf einige weitere Verfahren der Integralmethode wird in Kap. 6.3.4 noch hingewiesen. Ttorbulente Gleichgewichtsgrenzschicht. In gleicher Weise wie bei den ahnlichen Losungen der laminaren Grenzschicht in Kap. 6.3.2.4 Abschn. a hat man sich auch bei der turbulenten Grenzschicht mit der Frage sog. ahnlicher Losungen beschaftigt. Man bezeichnet eine turbulente Grenzschicht mit verschiedenem Druckgradienten der AuBenstromung im turbulenten Gleichgewicht, wenn sich die grob-strukturellen Eigenschaften dieser Grenzschichten durch konstante Parameter erfassen lassen. Man nennt solche Grenzschichten daher Gleichgewichtsoder Aquilibriumsgrenzschichten.49 Fur das auf die Schubspannungsgeschwindigkeit uT bezogene Geschwindigkeitsprofil (6.100d) gilt mit ft =/(/7) als sog. Gleichgewichtsparameter f(py\

(Gleichgewicht). (6.124) m i t ft = const o/ Erstmalig hat Clauser [20] turbulente Gleichgewichtsgrenzschichten mit verschiedenem Druckgradienten (Druckanstieg) der AuBenstromung dpjdx =t= 0 experimentell untersucht und festgestellt, daB bei diesen der dimensionslose Druckgradient (Druck- Formparameter) 6Ldp.=_A1dU TW ax uT

(Clauser.Parameter)

(6.125a)50

ax

langs der Lauflange x unveranderlich zu halten ist, ft = const. Es stellt ft das Verhaltnis der Druckkraft zur Wandschubspannungskraft dar. Nach (6.125 a) ist die turbulente Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte wegen dpjdx = 0 eine Gleichgewichtsgrenzschicht. Dabei ist allerdings iiber den Verlauf der Wandschubspannung Jw(x) noch nichts ausgesagt, vgl. (6.127b). Fur dpjdx g 0 liegen Messungen von Clauser [20] fur ft = 0, ft = 1,8 und ft = 8,0 sowie von Herring und Norbury [8] fur ft = - 0,35 und ft = - 0,53 vor, vgl. Abb. 6.21. Da sowohl G als auch ft nur von der Defektfunktion (U-u)/uT nach (6.101) bzw. (6.124) abhangen, folgt bei turbulenten Gleichgewichtsgrenzschichten fiir das Verhaltnis der Geschwindigkeitsprofile der Defektfunktion G = ^- - (1 -H^)cTil2 49

=/(/?,) - ft .

(6.125b)51

Englisch: Equilibrium or self-preserving boundary layer. Die zweite Beziehung folgt durch Einsetzen von (6.93c, d) mit dpjdx = - pU(dU/dx) sowie (6.101 a) mit <S, = (uT/U)Al und TW = qu J. 51 Ein zahlenmaBiger Zusammenhang wird von Nash [8] mit /}2 ~ 6,1 V/?i + 1,81 — 1,7 angegeben. Bei Gleichdruck ergibt sich mit j8, = 0 der Wert /?2 = 6,51, statt fc = 6,61 nach (6.116a). 50

337

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Wanden

Bei einer ablosungsgefahrdeten Grenzschicht nimmt nach (6.30) die Wandschubspannung den Wert Yw = 0 an. Dies bedeutet fur die Gleichgewichtsparameter theoretisch /?, = <*> und (32 = °°- Fur den Geschwindigkeits-Formparameter Hn kann man nach (6.102b) jetzt auch schreiben (6.126) Affine Geschwindigkeitsprofile mit Hn(x) = const lassen sich genau genommen nur verwirklichen, wenn wegen f32 - const zugleich auch der Beiwert der Wandschubspannung cT(x) = const ist: Hn = const, cT = (uJUf = const (Gleichgewicht).

(6.127 a, b)

Die Aussage uJU = const kann im allgemeinen nur durch eine fluidmechanisch rauhe Wand verwirklicht werden. Wie man aus (6.126) jedoch erkennt, hat der Parameter uJU einen nur geringen EinfluB auf das Geschwindigkeitsprofil von Gleichgewichtsgrenzschichten. Da fur ablosungsgefahrdete Grenzschichten uJU = 0 und P2 = °° i s ^ kann H12 mittels (6.126) hierfur nicht berechnet werden. Durch Gegeniiberstellung von /Iund $ nach (6.100d) bzw. (6.124) findet man bei turbulenten Gleichgewichtsgrenzschichten fur den Parameter der Defektfunktion (6.128)52

.

In Abb. 6.25 ist dieser Zusammenhang dargestellt und mit MeBwerten fur Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtsgrenzschichten (offener bzw. voller Punkt) verglichen, [116]. Als Abszisse ist auch der Parameter /?2 gemaB (6.125b) mitangegeben. Bei Gleichdruck ist ^ = 0, (12 ~ 6,5 und 77 ~ 0,48 in Ubereinstimmung

• •

A *• • A

-0,5

J

-LJ

I

-2

•4

8

Druck- I

52

cht

• /Vicht-Glehhgewicht

W

12

h abfatl

o Ileichgewi

L 6.5

02 4 6

• •

•

14

-

- Druckanstieg -

Abb. 6.25. Nachlauf-Parameter II fur turbulente Grenzschichts- und Nichtgleichgewichtsgrenzschichten in Abhangigkeit vom Clauser-Parameter /3, [Interpolationskurve fur Gleichgewichtsgrenzschicht nach (6.128)]. Die Abszissenwerte fur das Verhaltnis der Geschwindigkeitsprofile der Defektfunktion f}2 nach (6.125 b) sind angegeben

Ein zahlenmaBiger Zusammenhang wird von White [116] mit 17= 0,8 (/?, + 0,5)a75 angegeben. Diese empirisch gefundene Formel gibt die von Mellor und Gibson [66] gefundenen Werte recht gut wieder.

338

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

mit den bei der langsangestromten ebenen Platte angegebenen Werten (fa = 6,61, II = 0,5). Auch von den Nichtgleichgewichtsgrenzschichten wird der durch (6.128) beschriebene Verlauf sowohl bei Druckabfall (fa < 0) als auch bei Druckanstieg (fa > 0) der AuBenstromung qualitativ richtig wiedergegeben. In erster Naherung kann man auch quantitativ mit (6.128) rechnen. Dies ist so zu rechtfertigen, daB der Parameter 77 nach (6.100a) nur das Geschwindigkeitsprofil der Nachlaufstromung w (y/S) betrifft. Allgemein nimmt der EinfluB des Nachlaufprofils mit wachsenden Parametern fa, G, IT, d.h. bei Druckanstieg der AuBenstromung (dpa(dx > 0)), zu. Ausgehend von der noch abzuleitenden integralen Impulsgleichung (6.144a).

laBt sich noch eine weitere Bedingung fur das Auftreten turbulenter Gleichgewichtsgrenzschichten formulieren, und zwar ist nach (6.127a, b) Hl2(x) = const und cT{x) = const zu setzen. Weiterhin ist <52(x) = Sl(x)/Hl2~ S^x) mit ^(x) = Aj(x) V^V ~ &i(x) nach (6.101a). Mithin kann man fur (6.129a) im turbulenten Gleichgewicht schreiben dA,

A, dU

,

-£ + (Hu + 2) -jj- — = // 1 2 V^ = const.

(6.129b)

Damit die linke Seite von x unabhangig ist, miissen unter Beachtung von (6.127 a, b) mit Hl2 = const und cT = const die Bedingungen Aj

dU

dAj

fa- JJ- -j- = const, —— = const (Gleichgewicht)

(6.130 a, b)

erfiillt werden. Losungen von (6.130a, b) sind, wie man durch elementare Rechnung nachweist,53 U(x) = cxm mit Ai = cx~x (c = fa/m), (6.131a) U(x) = cexp(nx) mit A1 = d= const (c = fa/ri). (6.131b) AufschluBreiche Messungen an Gleichgewichtsgrenzschichten vom Typ der Gl. (6.131a) hat Bradshaw [8] durchgefiihrt. Da die Verdrangungsdicke 8X = \[c^Al stets positiv ist, miissen in (6.131 a, b) die Konstanten c=£0 sein. Setzt man (6.131a) in (6.129 b) ein und beachtet, daB stets Hl2 Vcv = 0 ist, dann folgt fur die zulassigen Werte von m l + (//12 + 2 ) m § 0

oder °o > m ^ - 1/(H12 + 2).

(6.132a, b)

Negative Werte m < 0 treten bei verzogerter AuBenstromung (Druckanstieg) auf. Liegt eine Stromung vor, bei der iiberall cT = 0 ist, so handelt es sich bei alien Geschwindigkeitsverteilungen um Profile, die unmittelbar vor der Ablosung stehen (Index A). Hierfiir gilt m = mA. Bei turbulenten Grenzschichten hat man in der Nahe ihrer Ablosung Werte 2,00 < (Hn)A < 4,05 beobachtet, die nach (6.132 b) zu 53

Fur die ahnlichen laminaren Grenzschichten gelten nach (6.74 a, b) die gleichen in (6.131 a, b) angegebenen Geschwindigkeitsverteilungen der Auitenstromung.

6.3.3 Turbulente Grenzschichten an festen Warden

339

- 0,25 < mA < - 0,165 fiihren. Nach Stratford und Townsend [110] ist (halbempirisch) mA = — 0,23, wahrend die bei Versuchen gefundenen Kleinstwerte bei mA = — 0,29 liegen. Zum Vergleich sei erwahnt, daB nach Kap. 6.3.2.4 Abschn. a der Minimalwert der ahnlichen Lb'sung der laminaren Grenzschicht mA = - 0,0904 betragt. Turbulente Grenzschichten konnen also, ohne abzulosen, wesentlich steilere Druckanstiege als laminare iiberwinden. Die Gleichgewichtsgrenzschichten geben auch einen Hinweis dariiber, wie die Druckverteilung der AuBenstromung einzurichten ist, damit ein moglichst groBer Druckanstieg ohne Ablosung erreicht wird. Eine Druckverteilung mit anfanglich hohem und dann fortschreitend abnehmendem Anstieg erzeugt eine diinnere Grenzschicht und erlaubt insgesamt eine groBere Druckzunahme als ein gleichformiger Druckanstieg. Dies wurde fur turbulente Grenzschichten von Schubauer und Spangenberg [98] und von Stratford [110] experimentell bestatigt. Die bei den Gleichgewichtsgrenzschichten gewonnenen Erkenntnisse haben sich sehr vorteilhaft auf die Entwicklung der praktischen Berechnung vor turbulenten Grenzschichten bei beliebigem Druckgradient der AuBenstromung ausgewirkt. Die Verfahren zur Berechnung turbulenter Grenzschichten bei beliebiger Druckverteilung der AuBenstromung pa(x) lassen sich wie bei der laminaren Grenzschicht in zwei Gruppen unterteilen, und zwar in die Feld- und Integralmethode. Dabei sind beide Methoden in hohem MaB auf empirische Erkenntnisse angewiesen, um die SchlieBungsbedingungen jeweils erfiillen zu konnen. Feldmethode. Bei dieser Methode ist man bemtiht, moglichst genaue Aussagen iiber das gesamte Feld der Strdmungs- und Temperaturgrenzschicht zu finden. Was dies z.B. fur die Stromungsgrenzschicht bedeutet, wird in Abb. 6.19 durch die Wiedergabe von moglichen turbulenten Geschwindigkeitsprofilen bei verschiedenen Druckgradienten der AuBenstromung (Druckabfall, Gleichdruck, Druckanstieg) klar gemacht. Wahrend man bei der turbulenten Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte zunachst mit einer Bereichseinteilung nach Abb. 6.18 a auskommt, um das verschiedenartige Stromungsverhalten (viskose Unterschicht, Ubergangsschicht, turbulente Schicht) zu beschreiben, ist bei der turbulenten Grenzschicht mit veranderlicher Druckverteilung pa(x) eine weitere Aufgliederung erforderlich, Abb. 6.18 b. Fur die Beschreibung der Innenschicht wurde (2.158a) in Verbindung mit (2.158b) oder (2.158c) bereitgestellt. Eine genauere Formel fur diesen Bereich einer turbulenten Stromungsgrenzschicht stammt z.B. von Spalding [100]. Die Feldmethoden gehen von den partiellen Differentialgleichungen der Grenzschicht-Theorie aus. Bei der turbulenten Grenzschicht treten dabei jeweils gemittelte GroBen fur die Geschwindigkeit und Temperatur auf. Um die Gleichungssysteme geschlossen losen zu konnen, miissen zusatzliche SchlieBungsansatze fur die AustauschgroBen (Impuls, Warme) und damit fur die gemittelte Schubspannung sowie das gemittelte Energiefeld gemacht werden, vgl. Kap. 2.5.3.5 und Kap. 2.6.5.2. Zur Anwendung der fur die Feldmethode entwickelten Berechnungsverfahren miissen die partiellen Differentialgleichungen numerisch in der Regel unter Be-

340

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

nutzung von Differenzenverfahren und unter Einsatz hochleistungsfahiger Rechner gelost werden. Die Giite der verschiedenen Verfahren laBt sich besonders an Beispielen der turbulenten Gleichgewichtsgrenzschicht beurteilen. Integralmethode. Bei dieser Methode beschrankt man sich auf die Ermittlung einiger globaler GroBen. Bei der Stromungsgrenzschicht sind dies z.B. eine Grenzschichtdicke (Verdrangungs-, Impulsverlust-, Energieverlustdicke), die Wandschubspannung sowie ein das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht kennzeichnender Formparameter (Verhaltnis zweier Grenzschichtdicken), durch den die Stelle der Grenzschichtablosung vorausgesagt werden kann. Dem moglichen Nachteil bei der Anwendung einer solchen Methode auf eine allgemeinere Stromung als derjenigen, fiir die sie urspriinglich entwickelt wurde, steht der wesentliche Vorteil des erheblich geringeren Rechenaufwands gegeniiber.

6.3.4 Integralverfahren der Grenzschicht-Theorie 6.3.4.1 Allgemeines In Kap. 6.3.2 und 6.3.3 wurde gezeigt, in wieweit es moglich ist, mittels der partiellen Differentialgleichungen der Grenzschicht-Theorie, Aussagen iiber das Verhalten der Stromungs- und Temperaturgrenzschichten zu machen. Wahrend die Methoden, welche zur strengen Losung der Grenzschichtgleichungen entwickelt wurden, nur fur die laminare Grenzschicht gelten, miissen bei der turbulenten Grenzschicht noch zusatzliche, im allgemeinen aus dem Versuch gewonnene, fluidmechanische Eigenschaften mit herangezogen werden. Integralsatze der Grenzschicht-Theorie (Integralmethode) stellen i. allg. Naherungslosungen dar, die bei laminarer Grenzschicht kaum noch Bedeutung besitzen. Bei turbulenter Grenzschicht kann ihr Einsatz entsprechend den durch die Aufgabenstellung geforderten Genauigkeitsanspriichen jedoch von Nutzen sein. Von Karman [53] und Pohlhausen [75] machten erstmalig den Vorschlag, nicht mit den die Einzelheiten der Stromungsgrenzschicht beschreibenden partiellen Differentialgleichungen zu rechnen, sondern diese uber die Grenzschichtdicke zu mitteln. Bei diesem Vorgehen wird die Grenzschichtgleichung in eine gewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung ubergefiihrt, was die integrale Form der Impulsgleichung darstellt. Es liegt nahe, neben der Impulsgleichung auch die integrale Form der Energiegleichung der Fluidmechanik (Arbeitssatz der Mechanik) zu verwenden. Wieghardt [118] leitet die Impuls- und Energiegleichung fiir die Stromungsgrenzschicht als Sonderfalle einer unendlichen Vielzahl von gewohnlichen Differentialgleichungen her. Diese gewinnt man dadurch, daB man die partiellen Differentialgleichungen mit bestimmten Funktionen der Geschwindigkeitsverteilung multipliziert und anschlieBend iiber die Grenzschichtdicke integriert.54 Die integrale Form der Energiegleichung der Thermofluidme54

Auf einige, z.T. uberholte, jedoch richtungsweisende Integralverfahren sei fiir die laminare Grenzschicht in [5, 23, 42, 75, 105, 111, 114, 118] und fur die turbulente Grenzschicht in [40, 111,114] hinge-

6.3.4 Integralverfahren der Grenzschicht-Theorie

341

chanik (erster Hauptsaz der Thermodynamik, Waremtransportgleichung), die man in ahnlicher Weise wie die oben genannte Impuls- und Energiegleichung herleitet, dient der Berechnung der Temperaturgrenzschicht, vgl. [36, 52]. 6.3.4.2 Integralbeziehungen der Stromungsgrenzschicht eines homogenen Fluids Die Integralbeziehungen der Stromungsgrenzschicht werden zunachst in verallgemeinerter Darstellung fiir den Fall stationarer Stromung wiedergegeben54. Die so gewonnenen Integralsatze der Grenzschicht-Theorie dienen dann als Grundlage fiir die Entwicklung von Naherungsverfahren zur Berechnung der Stromungsgrenzschichten, insbesondere bei turbulenter Stromung. Bei den nachstehenden Uberlegungen gelten wieder die gleichen Voraussetzungen fiir die Grenzschicht, wie sie in Kap. 6.2.2. und 6.2.3 getroffen wurden. Der Druck in einem bestimmten Schnitt x der Grenzschicht ist als eine bekannte Funktion der Lauflange x anzusehen, Massenkrafte sollen auBer Betracht bleiben. Die Untersuchung wird fiir das homogene Fluid (p = const, r\ - const) durchgefiihrt. Allgemeine Herleitung. Sowohl die laminare als auch die turbulente ebene Stromungsgrenzschicht lassen sich bei stationarer Stromung durch die Kontinuitatsgleichung (6.96 a) und durch die Impulsgleichung (6.96 b) beschreiben.55 Die angegebenen Gleichungen werden mit den Geschwindigkeitsfunktionen (Ut + ' — ut+ ') bzw. (k + 1)«* multipliziert und dann voneinander subtrahiert. Man erhalt, vgl. [ I l l ] , pi—

t [u(Uk + l-ut + 1)]+-^-[v(U — dy

+l

-ut + 1)]

+ 6(x) erfullt. Die Ordnungsziffer k kann man beliebig wahlen. Der Faktor (k + l)uk, mit dem die Impulsgleichung multipliziert wurde, nimmt fiir k = 0 und k = 1 die Werte 1 bzw. 2w an. Dies bedeutet, daB mit k = 0 der Impulssatz und mit k = 1 der Energiesatz der Fluidmechanik (Arbeitssatz der Mechanik) beschrieben werden: Impulssatz:

k = 0, Energiesatz:

k=\.

(6.134a, b)

Integriert man jetzt (6.133) fiir einen bestimmten Schnitt x = const iiber 0 S y Si <5M = const, so kann man den Differentialoperator d/dx = d/dx vor das erste Integral ziehen. Da jedoch fiir S(x) s y £ <5M der Klammerausdruck [...]= 0 ist, kann man nachtraglich die obere Integrationsgrenze £„ wieder durch die Dicke der Stromungsgrenzschicht 6(x) ersetzen. Man erhalt ,

dx

55

\~

j u•

tJ

,

U dx

—,

dx

' \ r

\ft

••*•—!

rr

—;

Ck+h-

(6.135a, b)

I U dx

Der Einfachheit halber wird u A u, v A v und f A T gesetzt, womit die folgenden Beziehungen auch fiir die laminare Stromungsgrenzschicht gelten. Da keine Verwechslung auftreten kann, wird im folgenden <5S = 6 gesetzt. Die Geschwindigkeit am AuBenrand der Grenzschicht betragt u (x, y = S) = ua(x) = U(x). Weiterhin gilt zwischen dem AuGendruck pa A pa - p(x, y = S) und der AuBengeschwindigkeit nach (6.18 b) der Zusammenhang dpa = — (?U dU.

342

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Es wurden folgende universelle KenngroBen der Stromungsgrenzschicht eingefiihrt: i,

(6.136a, b)

Die GroBen fk und gk stellen Langen dar und konnen entsprechend ihren Definitionen fur bestimmte Werte k als universelle Dicken der Stromungsgrenzschicht bezeichnet werden. Diese werden bei einem dichtebestandigen Fluid nur von der Geschwindigkeitsverteilung u/U in der Grenzschicht des betrachteten Schnitts x bestimmt. In (6.135 b) ist gk/fk das Verhaltnis der beiden Grenzschichtdicken gk und/.. Es stellt Ak = — + k + 2 (Geschwindigkeits-Formparameter I) (6.137 a) fk einen Formparameter der Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht dar. Er nimmt fur k = 1 wegen g1 = 0 den Wert A^ = 3 = const an. Eine Vereinfachung der Darstellung erreicht man durch Einfiihren des Verhaltnisses der Grenzschichtdicken/, und/, als weiterem Formparameter der Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht Bmn = -f-

(Geschwindigkeits-Formparameter II).

(6.137 b)

Die GroBe ek enthalt die Schubspannung und ist dimensionslos. Sie werde als SchubspannungsgroBe bezeichnet. Unter Beachtung der FuBnote 55 ist eQ = iJqiU1 der Beiwert der Wandschubspannung. Bei fester, d.h. nicht bewegter Wand verschwindet wegen uw = 0 das zweite Glied in (6.136 c). Die SchubspannungsgroBe hangt fiir einen bestimmten Schnitt x auBer von der Geschwindigkeitsverteilung u/U von der dimensionslosen Schubspannungsverteilung r/pf/2 ab. Die GroBe jk tritt bei poroser (massedurchlassiger) Wand vw + 0 auf. Sie beschreibt die durch Ausblasen oder Absaugen hervorgerufene Grenzschichtbeeinflussung. Ist die Geschwindigkeit einer moglicherweise bewegten Wand gleich der AuBenstromung uwIU — 1, so wird jt = O, und die beschriebene Grenzschichtbeeinflussung durch Ausblasen oder Absaugen ist ohne Wirkung. Der EinfluB des Druckgradienten der AuBenstromung soil durch den Druckparameter der AuBenstromung Pk= — — (Druckparameter) (6.137 c) U dx dargestellt werden. Man kann also fiir den Fall ohne Grenzschichtbeeinflussung nach (6.135b) vnitjk = 0 schreiben ^+AtPl

= ek,

dx

f^=ek

(Pt = 0).

(6.138a, b)

dx

Die zweite Beziehung gilt fiir die Stromung ohne Druckgradient der AuBenstromung, d. h. fiir die langsangestromte ebene Platte. Die bisherige Ableitung hat gezeigt, daB die partiellen Differentialgleichungen zur Beschreibung der Grenzschichtstromung an jedem einzelnen Ort x, y innerhalb der Grenzschicht durch die angegebene Integralbeziehung an einem Schnitt x in ein System beliebig vieler, durch k gekennzeichneter gewohnlicher Differentialgleichungen fiir ebenso viele eindeutig definierte Grenzschichtdicken fk{x) umgewandelt werden konnen. Da k jeden beliebigen Wert annehmen kann, soil (6.138 a) nochmals getrennt fiir die beiden Werte k — m und k = n angeschrieben werden: ^+AmPm dx 56

= em,

^ + AnPn = en. dx

(6.139a, b)

Die Formel fiir ek wurde durch partielle Integration des letzten Glieds in (6.133) gewonnen.

343

6.3.4 Integralverfahren der Grenzschicht-Theorie

Wahrend man (6.139b) unverandert ubernimmt, wird (6.139a) wegen fm = Bmnfn und dfm = Bmndfn +fndBmn noch umgeformt, und man erhalt nach kleiner Zwischenrechnung die beiden Beziehungen

(I) dxf

(6.140a)

U dx

(II)

dx

(6.140b)

U dx

mit dmn = em — Bmnen als modifizierter Schubspannungsgrb'Be. Es sind (6.140a, b) bei vorgegebener Geschwindigkeitsverteilung U (x) und bekannten Abhangigkeiten fiir An und Am sowie fiir em und en zwei miteinander gekoppelte Differentialgleichungen fiir die Grenzschichtdicke/n und fiir den Formparameter Bmn. In welcher Weise mit dem Gleichungssystem (6.140) weitergearbeitet wird, wird im folgenden gezeigt.

Impuls- und Energiesatz der Stromungsgrenzschicht. Nach (6.134 a, b) stellen die Werte k = 0 und k = 1 den Impuls- bzw. den Energiesatz (Arbeitssatz) der Grenzschicht dar. Beschrankt man sich auf diese beiden Falle, so kommen nach (6.136a) von den Grenzschichtdicken die in Tab. 6.3 mit (6.141 a, b, c) wiedergegebenen GroBen vor. Die iiblicherweise verwendeten Symbole und Beziehungen sind mitangegeben. Tabelle6.3. Definition der Grenzschichtdicken, vgl. [Ill] Bezeichnung

Symbol

Verdrangungsdicke

. - «

Formel

Gleichung (6.141a)

0

6

[mpulsverlustdicke

(6.141) (6.141b)

* - * 6

Energieverlustdicke

/ i = 4?

— 1 — ( —) \dy

(6.141c)

Mit (6.137 a, b) wurden Geschwindigkeits-Formparameter der Stromungsgrenzschicht eingefuhrt, welche bestimmte Verhaltnisse von Grenzschichtdicken enthalten. Im einzelnen werden unter Einfuhren der iiblichen Bezeichnungen beim Impuls- und Energiesatz benotigt Ao = — + 2 = ^ + 2 = Hn + 2, D

_

D01

——

/o

J\

_

^

_

— -j- —

°3

i4j = 3 ,

Jo

(6.142a) (6.142b, c)

Fiir die SchubspannungsgroBen erhalt man aus (6.136 c) bei feststehender Wand mit uw = 0 (5

=e0 =

C -3— (—77) 3 ( 7 7 2 ) dy = —yj = T (Wandschubspannung),

(6.143a)

344

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden S

—^ = —r-j -r— dy = ——r = cD (Dissipationsarbeit). (6.143 b) 2 J QU* oy (?Ui Die Handhabung des beschriebenen Integralverfahrens der Grenzschicht-Theorie kann in der Weise erfolgen, daB man in (6.140 a, b) entweder das Wertepaar m = 1, n = 0 oder das Wertepaar m = 0, n = 1 wahlt. Dabei sollen entsprehend den auftretenden Grenzschichtdicken, namlich im ersten Fall der Impulsverlustdicke / 0 = 62 und im zweiten Fall der (mechanischen) Energieverlustdicke/i = S3, fur die Rechenverfahren die Bezeichnungen Impulsverfahren bzw. Energieverfahren der Stromungsgrenzschicht benutzt werden. Die zugehorigen Beziehungen lauten: Impulsverfahren (m = 1, n = 0; Index 2)

(6.144 a) (II) 62^-(Hu-l)H32^-^^2cD-Hi2cT;

(6.144b)

Energieverfahren (m = 0, n = 1; Index 3)

(II)

63^

+ (Hu-l)Hn^-^=cT-2H2,cD.

(6.145b)

Das Impuls- oder Energieverfahren kann nur angewendet werden, wenn weitere Angaben uber das Verhalten der Formparameter Hu und H23 = l///32 sowie iiber die schubspannungsbedingten GroBen cT und cD vorliegen. Dies gilt sowohl fiir die laminare als auch turbulente Stromung. Die folgenden Ausfiihrungen beziehen sich alle auf die Stromung eines dichtebestandigen Fluids. Weiterhin soil auch nur der Fall der fluidmechanisch glatten Wand behandelt werden. Geschwindigkeits-Formparameter. Eine durch theoretische Betrachtungen und viele Versuchsergebnisse immer wieder bestatigte Tatsache ist, daB sich die Geschwindigkeitsprofile mit bemerkenswerter Genauigkeit durch eine Kurvenschar mit nur einem freien Parameter beschreiben lassen; d.h. im einzelnen, daB sich die in Kap. 6.3.2.4 Abschn. a fiir die ahnlichen Losungen der laminaren Grenzschicht sowie in Kap. 6.3.3.3 fiir die turbulenten Gleichgewichtsgrenzschichten gefundenen Ergebnisse als brauchbare Naherungen anbieten. Fiir die in (6.142) definierten Formparameter laBt sich schreiben Hn=fkt(H32)

(m=l,n

= 0),

(6.146a)

H12 =fkt(H23)

(m = 0, n = 1).

(6.146b)

Fiir die laminare Grenzschicht werden die Hartree-Profile (ahnliche Losung) zugrunde gelegt. Der Zusammenhang Hl2(Hi2) ist in Abb. 6.26a als Kurve (7) dargestellt. Eppler [28] gibt Interpolationsformeln fiir den Zusammenhang der beiden Formparameter an. Fiir die turbulente Grenzschicht sind die nach der Interpolationsformel von

345

6.3.4 Integralverfahren der Grenzschicht-Theorie

Femholz [32] Hn = 1 + 1,48 (2 - H32) + 104 (2 - H32)6-7

(turbulent).

(6.147)

berechneten Werte Hn -fkt(H32) in Abb. 6.26 a als Kurve (2) aufgetragen. Wahrend sich bei der laminaren Stromung jeweils bestimmte Werte fur die Gleichdruckstromung und fur die Stromung in der Nahe der Ablosungsstelle angeben lassen, konnen bei der turbulenten Stromung jeweils nur bestimmte Bereiche, die noch von der Grenzschichtentwicklung selbst abhangen, durch Angabe von Mittelwerten gekennzeichnet werden. Im Schrifttum finden sich fur turbulente Grenzschichten folgende Zahlenangaben, vgl. Walz [115]: Gleichdruck (Index «,): (H32)^ = 1,572 (#e 2 )£ 013 ,

(6.148 a)

Ablosung (Index A): 2,00 =§ (HU)A =S 4,05

(6.148b)

mit Re2 - U&z/v und v = r\l(>. Die Gleichungen fur die Formparameter (6.144b) und (6.145b) legen es nahe, einen modifizierten Formparameter H in der Form dH

dH32

dH23

(6.149 a) 23

einzufiihren. Da nach (6.146a) HU(H32) ist, laBt sich die Integration unmittelbar ausfiihren, und man erhalt H = exp

dH3 (H12-1)H32

(modifizierter Formparameter). (6.149b)

Hierin ist (//32)oo gleich dem Wert fur die Gleichdruckstromung. Er hat nach Abb. 6.26 a fur die laminare Grenzschicht einen festen Wert, wahrend er fur die turbulente Grenzschicht nach (6.148 a) von der Reynolds-Zahl abhangt. Als Mittelwert soil (//12)M = 1,3 bzw. (//32)M = 1,799 nach (6.147) gelten, vgl. (6.107) und (6.120).

Abb. 6.26. Geschwindigkeits-Formparameter der Stromungsgrenzschicht bei einem dichtebestandigen Fluid, a Verhaltnis zweier Grenzschichtdicken Hl2 =/(// 3 2 ). (7) laminar (Hartree-Profil); (2) turbulent, glatt. b Modifizierter Formparameter, Hn =f(H), turbulent, glatt

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

346

soil (Hn)m = 1,3 bzw. (H32)«. = 1,799 nach (6.147) gelten, vgl. (6.107) und (6.120). Die Gleichdruckstromung ist also mit //„, = 1,0 festgelegt. Mithin gilt fur den Druckgradient der AuBenstromung Druckabfall: 1,0 < H g Ho,

Druckanstieg: HA ^ H < 1,0

(6.150)

mit Ho als Formparameter fiir einen gegebenenfalls vorliegenden Staupunkt und HA als Formparameter der beginnenden Ablosung. Durch Einsetzen von (6.147) in (6.149b) erhalt man durch numerische Integration den Zusammenhang H(H32) und hieraus die Abhangigkeit H32(H) sowie aus H12(H32) nach (6.147) auch Hl2(H). Dieser Verlauf ist in Abb. 6.26b wiedergegeben. Dort sind fur die beginnende Ablosung einer turbulenten Grenzschicht im Schrifttum angegebenen Werte gemaB (6.148 b) eingetragen. Verglichen mit Abb. 6.26 a zeigt sich, daB die Werte fiir die Formparameter (Hl2)A und (H32)A schwanken. In [111] wird als Kriterium fiir die beginnende Ablosung der Wert HA = 0,723 vorgeschlagen. Im folgenden soil hiervon abweichend HA = 0,730

(beginnende turbulente Ablosung)

(6.151)

gelten, vgl. die Ausfuhrung im Zusammenhang mit (6.156a). Durch einfache Potenzansatze Z = co + cxH + c2H ' + c3H2

(turbulent)

(6.152)

lassen sich die Funktionen Z = H32(H) bzw. Z = Hl2(H) beschreiben. Die Zahlenwerte c0 bis c3 sind in Tab. 6.4 zusammengestellt. Tabelle 6.4. Funktionen zur Berechnung turbulenter Grenzschichten Z = c0 + Cj// + c 2 //~' + c 3 //" 2 , Gleichdruck (Index » ) : //„ = 1 (Hn = 1,3), Ablosung (Index A):HA = 0,730 ( a = 0). 57

z Hv a

P

a b A B

c2

Co

41,944 - 1,792 -0,413 - 0,0070 0,268 0,167 5,808 -2,188

c3

Z_

ZA

- 13,145 1,216 0,142 0,0070

- 42,528 4,051 0,450 0,0069

15,029 - 1,676 -0,163 -0,0014

11,300] 1,799 0,0157 0,0055

2,288 1,501 0,001 0,0049

- 2,704 0,945

-4,343 1,778

1,129 - 0,498

-0,110 0,0369

0,002 0,0030

3,150 1,476

|o

I

0,0046

0 0,0031

Schubspannungsbedingte GroBen. Beim Impuls- und Energieverfahren tritt die Schubspannung in der Grenzschicht T(X, y) in Form des Beiwerts der Wandschubspannung cT = TJQU2 und des Beiwerts der Dissipationsarbeit cD = e/pU3 auf. Ahnlich wie in (6.146 a, b) kann man bei fluidmechanisch glatter Wand schreiben USA cT=fkt[H32, =fkt (H, Re2) (m = 1, n = 0 ) , (6.153 a) v I

57

Die Ableitung der Potenzansatze stammt von Heller (Lehrstuhl fiir Fluidmechanik, TU Miinchen). Die letzte Spalte gibt die Werte fiir den Fall der Ablosung nach (6.147) und (6.156a, b) an.

6.3.4 Integralverfahren der Grenzschicht-Theorie

cD =fkt \H23 , — J =fkt(H,

347

Re3)

(m = O,n=l).

(6.153 b)

In die Beziehungen wurden der modifizierte Formparameter H wegen H32(H) bzw. H23 (H) sowie die mit der Impuls- bzw. Energieverlustdicke gebildeten Reynolds-Zahlen i?e

2 =

^,

/?g3=^i

(6.154a, b)

eingesetzt. Bei der laminaren Grenzschicht lassen sich wegen des eindeutigen Zusammenhangs von Schubspannung und Geschwindigkeitsgradient r = q(du/dy) fur die SchubspannungsgroBen einfache Angaben machen, vgl. [5]. Bei der turbulenten Grenzschicht liegen mehrere halbempirische Formeln zur Berechnung der schubspannungsbedingten GroBen vor. Mit ihrer kritischen Bewertung haben sich besonders Fernholz [32] und Walz [115] befaBt und dabei die in (6.153a, b) angegebene einparametrige Abhangigkeit (Parameter H32 = l/H23) weitgehend bestatigt gefunden. Auf die von Ludwieg und Tillmann [64] entwickelte und haufig benutzte Formel zur Berechnung des Beiwerts der Wandschubspannung sei hingewiesen. In Analogie zu (6.111 a) werden die stark vereinfachten Ansatze cT=a(H)Re2a

cD = P(H)Re3b

(turbulent, glatt)

(6.155a, b) 58

gemacht, wobei Re2 und Re3 die Bedeutung von (6.154 a, b) haben. Die von Fernholz [32] vorgeschlagenen Interpolationsformeln lauten a = 0,0245 (1 - 2,007 lg // 12 ) 1705 , P = [0,00481 + 0,0822(H32 - l,5)

a = 0,268 , 481

]//ft32,

b = 0,167 .

(6.156a, b)

Fur die langsangestromte ebene Platte, d.h. fur Gleichdruck bei / / = / / „ = 1,0, folgen die Werte a^ = 0,0157, a^ = 0,268 und /L = 0,0055, b^ = 0,167.59 Im Fall der Ablosung muB nach (6.30) die Wandschubspannung verschwinden, d.h. cT = 0 oder a(HA) = 0 sein, was gemaB (6.151) zu H = HA = 0,730 fiihrt. In Abb. 6.27a sind die auf die Werte bei Gleichdruck bezogenen GroBen a' - a/a,*, und P' = pip^ als Funktionen des Formparameters H dargestellt. Wahrend sich a' sehr stark mit H andert, verlauft P' nahezu konstant. Die Potenzansatze fur a und p sind gemaB (6.152) in Tab. 6.4 angegeben. 6.3.4.3 Quadraturverfahren zur Berechnung der Stromungsgrenzschicht bei einem homogenen Fluid Allgemeines. Um einen Einblick uber die Moglichkeit der Anwendung der in Kap. 6.3.4.2 abgeleiteten Integralbeziehungen fur die naherungsweise Berechnung von Stromungsgrenzschichten mit Druckgradient der AuBenstromung zu geben, seien nachstehend hierzu einige Ausfiihrungen gemacht. Dabei soil 58

Die GroBen a, a, /Jund b haben eine andere Bedeutung als in (6.114c). Fur die langsangestromte ebene Platte gelten bei turbulenter Stromung nach (6.111b) und (6.119b) die Wertepaare ax = 0,0130, ax = 1/4 bzw. a» = 0,0062, a» = 1/6. 59

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

348 0.21

1,2 1,0

,

1

1

—

-

—

0,10

•

r

0,8 0,6

0 -0.1

I I

s.

y

I I

-0,3

0,2

0,9

1,0

1,1

1,2

0,7

0,08 0,06

A>

-0,2

/

0,8

/

A

/

0 0,7

1 0,12

0,1 .

' 0,4

1

0,8

0,9

0,04 \

0,02

1,0

1,1

0 1,2

HOruckonstieg

Druckabfoll

Dru'ckanstieg

Druckabfall

Abb. 6.27. Schubspannungsbedingte GroGen der turbulenten Grenzschicht. a a' = a (H)oc«,, /?' =

die Entwicklung eines einfach zu handhabenden Quadraturverfahrens fiir die Stromung eines Fluids'mit unveranderlicher Dichte und Viskositat (p = const bzw. q = const) gezeigt werden.60 Da man laminare Grenzschichten aus den partiellen Differentialgleichungen der Grenzschicht-Theorie numerisch exakt berechnen kann, besteht hierfiir ein geringeres Bediirfnis an der Entwicklung von Naherungsverfahren als bei turbulenten Grenzschichten.61 Die nachstehenden Ausfuhrungen beziehen sich daher auf den Fall der turbulenten Grenzschicht. Wahrend meistens das Impulsverfahren benutzt wird, bevorzugt vor allem Truckenbrodt [111] das Energieverfahren.62 Fiir diese Wahl sind folgende Gesichtspunkte mafigebend: 1) Die linke Seite von (6.145 a) hangt im Gegensatz zu (6.144a) nicht explizit vom Formparameter H ab. 2) Die auf der rechten Seite von (6.145 a) auftretende Dissipationsarbeit cD berechnet sich nach (6.143 b) aus einem Integral der Schubspannung iiber die Grenzschichtdicke O S y S S(x), wahrend beim Impulsverfahren auf der rechten Seite von (6.144a) die Wandschubspannung cT nur von GroBen der reibenden Wand (y = 0) bestimmt wird. Dies bedeutet, daB die Dissipationsarbeit weit weniger stark vom Formparameter H abhangt als die Wandschubspannung, was durch die Darstellungen a' (H) und /}' (H) in Abb. 6.27 a bestatigt wird. Beim Energieverfahren ist somit die Kopplung zwischen der Gleichung zur Bestimmung der Grenzschichtdicke (Energieverlustdicke 63) und der Gleichung zur Ermittlung des Formparameters H wesentlich schwScher als beim Impulsverfahren. Fiihrt man in die Ausgangsgleichungen des Energieverfahrens (6.145 a, b) die Reynolds-Zahl Re3 nach (6.154b) 63 sowie den modifizierten Formparameter H nach (6.149a) ein, so kann man zusammengefaBt fiir das Energieverfahren bei einem homogenen Fluid schreiben (I)

60

—(ReU2) dx

=

(6.157 a)

Quadratur: Losen von Differentialgleichungen durch eine endliche Anzahl von Integrationen (Bronstein). 61 Man beachte hierzu FuBnote 54. 62 Ein anderer Gedanke zur Berechnung turbulenter Grenzschichten findet in einem Verfahren von Head [43] Anwendung. Zusammenstellungen und kritische Bewertungen der verschiedenen, hier nicht besonders genannten Verfahren findet man u.a. in [56] sowie bei Rotta [87] und Thompson [104]. 63 Bei der Reynolds-Zahl wird auf eine besondere Kennzeichnung durch den Index 3 (Hinweis auf Energieverlustdichte <53) verzichtet, d. h. es ist Re A Re3.

6.3.4 Integralverfahren der Grenzschicht-Theorie (II)

~ (^

= V (H, Re) • Re-' (x) .

349 (6.157 b)

Es sind 0 und W EmfluBfunktionen des Energieverfahrens, welche die Abhangigkeiten von H und Re enthalten. Fur diese gilt bei turbulenter Grenzschichtstromung im einzelnen 0=-cD v

= -P(H)Reb v

(6.158a)

H CT

(6.158b)

^

W

L

v

Ha-1 mit A = - aHH\2+"l(Hn - 1) und B = 2/?///(// 12 - 1). Die Beziehungen fur fi(H), A (H) und B (H) sind Tab. 6.4 zu entnehmen, vgl. Abb. 6.27. Durch simultane Losung des Gleichungssystems I/II (stiickweise Integration) findet man bei vorgegebener Geschwindigkeitsverteilung der AuBenstromung U(x) die in der Reynolds-Zahl Re (x) = U6Jv enthaltene Energieverlustdicke ^(x) sowie den Geschwindigkeits-Formparameter H(x). Wegen der von H abhangigen Zusammenhange Hn = 6J&i und H32 = 6J62 nach Tab. 6.4 lassen sich aus der Energieverlustdicke 63 die Verdrangungsdicke (5: und die Impulsverlustdicke 62 wie folgt ermitteln: <5i = (//12///32)<53.

62 = (VH}2)63.

(6.159a, b)

Durch die Kenntnis des Formparameters ist man in der Lage festzustellen, ob bei einer verzbgerten AuBenstromung (Druckanstieg) eine Ablosung der Stromungsgrenzschicht auftritt (H S= HA) und wo sich gegebenenfalls die Ablosungsstelle (x = xA) befindet.

Langsangestromte ebene Platte (Gleichdruckstrdmung). Bei der Anwendung des beschriebenen Energieverfahrens auf den Fall der langsangestromten Platte (Index 00) bei turbulenter Grenzschicht gelten die Beziehungen U (x) = [/«, = const undH(x) = / / „ = 1,0, sowie f}~fi«, = 0,0055 undb = 0,167. MitdiesenAnnahmen laBt sich (6.157a) in Verbindung mit (6.158 a) geschlossen integrieren, was zu l +b

Re3(x)

U x = 2(1 + 6)/L -^— ,

/U x\~ 0 ' 14 63(x) « 0,0239 [-^—) x (6.160a, b)

fiihrt. Dabei stellt x = 0 den Plattenanfang dar. Nach Tab. 6.4 betragt das Verhaltnis der Impuls- zur Energeiverlustdicke S2/63 = 0,556, so da6 bei der Impulsverlustdicke 82(x) = H23S3 der Faktor H23 = 0,0133 auftritt. Dies Ergebnis stimmt mit (6.118b) zufriedenstellend iiberein. Naherungsweise Berechnung der Energieverlustdicke. Eine erste Naherung zur Berechnung der Energieverlustdicke 63 (x) bei einer turbulenten Grenzschicht fur eine veranderliche AuBenstromung U{x) besteht in der Anwendung der Energiegleichung (6.157a) verbunden mit (6.158a), wenn man fur die vom Formparameter H abhangige GroBe den Wert der Gleichdruckstromung fi~ fi«, annimmt. In Erweiterung von (6.160 a) erhalt man bei glatter Oberflache

(6.161) mit pm = 0,0055 und b = 0,167. Fur die Berechnung der aus der vorgegebenen Geschwindigkeitsverteilung der AuBenstromung U (x) und der gesuchten Energieverlustdicke 63 (x) gebildeten

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

350

Reynolds-Zahl Re = U63/v ist nur eine einfache Integration iiber die Geschwindigkeitsverteilung U (x)3 + 2b auszufiihren. Besonders einfach ist eine solche Auswertung z.B. fur die Verteilungen U(x) = Uh(x/l)m und U(x) = Ub(l - x/l). Da keine Ableitung dll/dx auftritt, bereitet die Rechnung mit einer nicht analytisch vorgegebenen, sondern z.B. mit einer aus dem Experiment gewonnenen Geschwindigkeitsverteilung keine besondere Schwierigkeit. Profilierter Korper. Das als Integralmethode beschriebene Energieverfahren (6.157 a, b) wurde auf die Umstromung eines profilformig ausgebildeten Korpers angewendet, bei dem nach Abb. 6.28 a in Stromungsrichtung zunachst ein starker Druckabfall (positiver Geschwindigkeitsgradient) und weiter stromabwarts ein starker Druckanstieg (negativer Geschwindigkeitsgradient) mit dem Eintreten einer Stromungsablosung vorliegen [56, 97]. Abb. 6.28b, c zeigt den Vergleich von Theorie und Messung fiir die mit der Impulsverlustdicke <52 gebildete Reynolds-Zahl Re2 und fiir den Geschwindigkeits-Formparameter // 32 . Die

1.8

1.6

o o ' c

\

o

60 "o,

o

a

1,0

0

50 0,2

O.l,

0,6

0,8

o

1,0 0

40

-30

/

4,20

10

c°0

0,2

0,4

X = ( * - * ] ) / (

0,6 X2

-

1,0 X-,)-

Abb. 6.28. Turbulente Grenzschicht an einem profilierten Korper nach Schubauer und Klebanoff [97], vgl. [56], IDENT2100. o Messung x = (x — x1)/(x2 — x1) mitX! fiir den ersten und x2 fiir den letzten MeBpunkt, x2 — x, =7,68 m, U{xC) = 30,7 m/s, v= 1,48 • 10"5 m2/s. a Geschwindigkeitsverteilung U(x)/U(x{) langs Korperkontur; b mit Impulsverlustdicke 62 gebildete Reynolds-Zahl Re2(x) = U(x) ^(x)/v, c Formparameter Hi2(x). ° Messung: U, Re2, H32, Theorie: Re2 = Re3/H32 mit Re3 nach (6.161) und Hn = H32(H) mit H nach (6.157b) und Tab. 6.4

6.3.5 Abgeloste Grenzschicht bei umstromten Korpern

351

Ubereinstimmung ist im Bereich des Druckanstiegs und der beginnenden Ablosung als gut anzusehen.

6.3.5 Abgeloste Grenzschicht bei umstromten Korpern 6.3.5.1 Grundsatzliche Erkenntnisse Anliegende Stromung. Bei der Anwendung der Grenzschicht-Theorie an festen Wanden auf das Umstromungsproblem von Korpern liefern die in Kap. 6.3.2 bis 6.3.4 geschilderten Berechnungsverfahren als Integral der Wandschubspannung iiber die Oberflache zunachst nur den Schubspannungswiderstand. Auch in solchen Fallen, wo keine Ablosung vorliegt, enthalt der gesamte Reibungswiderstand noch einen Druckwiderstand. Dieser riihrt fluidmechanisch daher, daB die Reibungsschicht (Stromungsgrenzschicht) auf die AuBenstromung (Potentialstromung) eine Verdrangungswirkung ausiibt. Die Stromlinien der AuBenstromung werden um einen Betrag, der gleich der Verdrangungsdicke Si ist, von der Korperkontur abgedrangt, vgl. Abb. 6.11a fur die laminare Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte. Dadurch wird an der Korperkontur auch bei nichtabgeloster Stromung die Druckverteilung etwas geandert, vgl. Abb. 5.30b fur den axial angestromten Luftschiffkorper. Diese geanderte Druckverteilung hat in Anstromrichtung nicht wie nach dem d'Alembertschen Paradoxon die Resultierende null, sondern erzeugt einen reibungsbedingten Druckwiderstand (Verdrangungswiderstand), der zu dem reibungsbedingten Schubspannungswiderstand noch hinzukommt. Beide zusammen ergeben den Reibungswiderstand, auch Form- oder Profilwiderstand genannt. Der reibungsbedingte Druckwiderstand bleibt nur dann klein, wenn eine Ablosung vermieden wird. Dies kann man durch zweckmaBige Formgebung des Korpers erreichen. Auf die experimentelle Ermittlung und theoretische Berechnung des Reibungswiderstands aus dem Impulsverlust hinter dem Korper wurde bereits in Kap. 3.6.3.1 eingegangen. Abgeloste Stromung. Die Vorgange, die zum Entstehen einer abgelosten Grenzschichtstromung fuhren, konnen fluidmechanisch als geklart angesehen werden. Mittels der Grenzschicht-Theorie laBt sich bei ebener und drehsymmetrischer und z.T. auch bei einigen einfachen Fallen raumlicher Stromung die Stelle der Ablosung, d.h. der Zustand, wo nach Abb. 6.7, vgl. auch Abb. 6.6 (Bild 3), Riickstromung in der wandnahen Reibungsschicht erstmalig beginnt, ermitteln. Im allgemeinen tritt Ablosung nur bei Druckanstieg der AuBenstromung in Stromungsrichtung auf, man vgl. hierzu die Ausfiihrungen in Kap. 6.2.2.1 und 6.3.2.2 Abschn. a. Das hinter der Ablosungsstelle stromabwarts gelegene mit Wirbeln versehene Stromungsgebiet weicht wesentlich von dem nach der Potentialtheorie berechneten reibungslosen Stromungsbild ab. Ablosungserscheinungen an um- und auch durchstromten Korpern lassen sich mit der in Kap. 6.3.2 bis 6.3.4 beschriebenen Grenzschicht-Theorie nicht erfassen. Dies beruht z. T. darauf, daB in dem Ablosungsgebiet nach Abb. 6.7 die

352

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Grenzschichtdicke erheblich anwachst, so daG die der Grenzschicht-Theorie zugrunde liegende Voraussetzung kleiner Grenzschichtdicke nur noch sehr angenahert erfullt ist. Fortschritte in der Berechnung laminarer Ablosungsgebiete hat man seit einiger Zeit dadurch erzielt, daG man unter Einsatz hochleistungsfahiger Rechner die vollstandige Navier-Stokessche Gleichung lost. Auf die Arbeiten in [11, 14] wird aufmerksam gemacht. Um die Auswirkung einer Stromungsablosung auf die Druckverteilung eines umstromten Korpers und die dadurch hervorgerufene reibungsbedingte Kraft feststellen zu konnen, ist man weitgehend auf Versuche im Wind- oder Wasserkanal angewiesen. Mehr noch als bei der anliegenden spielt bei der abgelosten Stromung die Ermittlung des oben definierten Reibungswiderstands eine besondere Rolle. Dies kann entweder mittels einer Kraftmessung oder durch Auswerten der Korpernachlaufstromung gemaG Kap. 3.6.3.1 erfolgen. Auf die Moglichkeiten, die Stromungsablosung und damit auch das Widerstandsverhalten durch eine geeignete Grenzschichtbeeinflussung giinstig zu gestalten, wurde in Kap. 6.2.2.1 hingewiesen. Nach (3.268b) fiihrt man im allgemeinen einen dimensionslosen Widerstandsbeiwert cw ein. Dieser kann auGer von der Form des umstromten Korpers noch von der Reynolds- und Mach-Zahl Rex = uxl/vx bzw. Max = ujcx mit um als Anstromgeschwindigkeit des Anstromzustands sowie / als charakteristischer Lange abhangen: W cw = — - = fkt

(Korperform, Re«,, MaJ .

(6.162)

Es ist qx = ((Joo/2) ui der Geschwindigkeitsdruck der Anstromung in N/m2 und A die Bezugsflache in m2. Bei der Stromung eines dichtebestandigen Fluids entfallt der EinfluG der Mach-Zahl, und es verbleibt nur derjenige der Reynolds-Zahl. Im Gegensatz zu gewolbten Korperformen, wie Zylinder, Profile, Kugeln, Ellipsoide u.a., bei denen iiber die moglicherweise von der Reynolds-Zahl abhangige Lage der Ablosestelle von vornherein nichts Bestimmtes ausgesagt werden kann, fallt bei kantigen Korperformen die Ablosestelle meistens mit eindeutig bevorzugten Kanten zusammen. Der EinfluG der Reynolds-Zahlen tritt hierbei kaum in Erscheinung. Zusammenfassende Darstellungen zum Problem der Stromungsablosung geben Chang [17, 18] und Roshko [85]. Viele praktisch verwertbare Ergebnisse zum Widerstandsproblem umstromter Korper findet man bei Hoerner [45] und Eck [26]. Da es hier nicht moglich ist, einen auch nur annahernd vollstandigen Uberblick iiber den Fragenkreis abgeloster Grenzschichtstromungen zu geben, seien nachstehend nur einige Falle etwas ausfiihrlicher beschrieben. 6.3.5.2 Abgeloste Stromung an gewolbten Korpern a) Elliptischer Zylinder. In Abb. 1.15 werden Widerstandsbeiwerte von elliptischen Zylindern mit verschiedenem Dickenverhaltnis, die in Richtung der groGen Achse bei kleinen Mahlzahlen (MaM —> 0) angestromt werden, wiedergegeben. MaGgebend fiir den Verlauf cw(ReJ) ist die Lage des Umschlagpunkts von der la-

6.3.5 Abgeloste Grenzschicht bei umstromten Korpern

353

minaren in die turbulente Stromungsgrenzschicht. Beim Dickenverhaltnis d/l=l, d.h. beim angestromten Kreiszylinder, andert sich die Abhangigkeit cw(Rem) entscheidend gegeniiber derjenigen bei verschwindendem Dickenverhaltnis d/l = 0, d. h. bei der langsangestromten ebenen Platte. Dies hangt mit der Grenzschichtablosung bei einem endlichen dicken hinten stumpfen Korper und der hinter dem Korper sich ausbildenden Nachlaufstromung zusammen. b) Kreiszylinder und Kugel. Die Umstromung eines Kreiszylinders oder einer Kugel ohne Beriicksichtigung des Reibungseinflusses laBt sich fur ein dichtebestandiges Fluid nach den Methoden der Potentialtheorie in Kap. 5.3.2 berechnen. In Abb. 5.22a und b sind die potentialtheoretisch ermittelten Druckverteilungen wiedergegeben. Sie liefern wegen ihrer Symmetrie von Vorder- und Hinterteil keinen Widerstand (d'Alembertsches Paradoxon). Halt man einen unendlich langen Kreiszylinder (ebenes Problem) in einem anfangs ruhenden Fluid fest und setzt dies dann in Bewegung, so stellt sich im ersten Augenblick nach Abb. 6.29 a eine nahezu reibungslose Potentialstromung um den Zylinder ein. Die Geschwindigkeit ist im vorderen Staupunkt null, steigt von doit auf der Vorderseite oben und unten zu ihrem Maximalwert an und fallt auf der Riickseite wieder auf den Wert null im hinteren Staupunkt ab, vgl. Kap. 5.3.2.4 Beispiel e 3. Im vorderen Bereich herrscht gemaB der Bernoullischen Energiegleichung nach Abb. 5.22a Druckabfall und im hinteren Bereich Druckanstieg, der im weiteren Verlauf zu einer Ablosung der Grenzschicht vom Zylinder fiihrt. Durch weitere Ansammlung des abgebremsten Grenzschichtmaterials wird die Ablosungsstelle solange stromaufwarts verschoben, bis sich schlieBlich, wie in Abb. 6.29 b schematisch gezeigt, ein quasistationarer Zustand einstellt. Die Fortbewegung der Wirbel im Nachlauf des Kdrpers erfolgt je nach GroBe der Reynoldszahl in unterschiedlicher Weise. Bei dem in Abb. 6.29 c dargestellten Stromlinienbild gelangt abwechselnd oben und unten ein freier Wirbel in den Nachlaufstrom. Dieser Fall laBt sich theoretisch als Karmansche WirbelstraBe berechnen, vgl. die Ausfiihrung iiber die Karmansche WirbelstraBe in Kap. 5.4.2.3 Beispiel e. Bei weiterer Steigerung der Anstromgeschwindigkeit entstehen nach Abb. 6.29 d und e weitgehend durch unregelmaBige Bewegung gekennzeichnete Stromlinienbilder. In der Unterschrift zu Abb. 6.29 a bis e sind fiir die unterschiedlichen Stromlinienbilder die Bereiche der Reynolds-Zahlen Re«, - u«,D/v, bei denen diese auftreten, angegeben. Der vorstehend qualitativ angedeutete Stromungsvorgang iiber die Wirbelbildung hinter dem Kreiszylinder wird durch das Experiment bestatigt. In Abb. 5.22a, b sind fiir den Kreiszylinder und die Kugel die gemessenen Druckverteilungen fiir jeweils zwei verschiedene Reynolds-Zahlen dargestellt. Die sehr groBen Unterschiede gegeniiber der potentialtheoretisch berechneten Druckverteilung werden besonders im hinteren Bereich (n/2 <
354

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Die Druckverteilungen von Abb. 5.22 sind in Abb. 6.30 nochmals anschaulich iiber dem Meridianschnitt aufgetragen. Man erkennt deutlich die verschiedenen Gebiete, in denen Unter- oder Uberdruck herrscht. In Ubereinstimmung mit theoretischen Ergebnissen einer Grenzschichtrechnung stellt man fest, daB die turbulente Grenzschicht langer an der Korperoberflache anliegt als die laminare. Bei laminarer Ablosung befindet sich die Ablosungsstelle nahe des groBten Korperquerschnitts, und es bildet sich hinter dem Korper nach Abb. 6.29 d ein normal zur Anstromrichtung breites Wirbelgebiet aus, welches einen groBen reibungsbedingten Druckwiderstand und damit einen groBen Widerstandsbeiwert cw zur Folge hat. Dieser Fall tritt jeweils bei der kleineren Reynolds-Zahl ein. Bei groBerer Geschwindigkeit und damit bei groBerer Reynolds-Zahl schlagt die laminare Grenzschichtstromung, bevor sie sich vom Korper ablost, in die turbulente Stromungsform um, und zwar mitunter ganz plotzlich, d.h. ohne ein wesentliches Ubergangsgebiet. Die Ablosungsstelle verschiebt sich dabei weiter stromabwarts, und das Wirbelgebiet hinter dem Korper wird dadurch nach Abb. 6.29 e normal zur Anstromrichtung schmaler. Die Folge davon ist ein fast plotzliches Absinken des Widerstandsbeiwerts. Man spricht daher von einem laminaren oder auch unterkritischen und einem turbulenten oder auch iiberkritischen Bereich. In Abb. 3.84 ist fur einen KreiszyUnder, der normal zu seiner Achse angestromt wird (ebene Strb'mung), das Widerstandsverhalten in Abhangigkeit von der Reynolds-Zahl (103 < Rex < 106) als Kurve (7) wiedergegeben. Bis Rex = 1,8 • 105 ist der Widerstandsbeiwert cw ~ 1,2. Dies laminare Verhalten geht bei Reu ~ 2 • 105 mit einem starken Sprung in das turbulente Verhalten iiber, wobei der Widerstandsbei-

Abb. 6.29. Stromungsablosung hinter einem normal angestromten Kreiszylinder und Stromlinienbilder in der Nachlaufstromung (schematische Darstellung). a Zustand beim Ingangsetzen der Stromung, 0 < Re«, < 4; b Ausbildung der Nachlaufstromung, 4 < Rex < 40; c RegelmaBige (periodische) Nachlaufstromung (Karmansche WirbelstraBe), 40 < Rex < 160 ^ 5000); d UnregelmaBige Nachlaufstromung (laminare Grenzschichtablosung), 5 • 103 < Rex < 2 • 105; e UnregelmaBige Nachlaufstromung (turbulente Grenzschichtablosung), Rex > 2 • 105

6.3.5 Abgeloste Grenzschicht bei umstromten Korpern

355

wert vom Wert cw~ 1,2 auf den Wert cw~ 0,3 abfallt. Bei der Kugel (raumliche Stromung) zeigt sich nach Kurve (2) ein ahnliches Bild. Sowohl im laminaren als auch im turbulenten Reynolds-Zahl-Bereich sind die Widerstande nach (6.162) wegen der nahezu konstanten Widerstandsbeiwerte proportional dem Quadrat der Anstromgeschwindigkeit. Fiir die laminare Stromung um den Kreiszylinder wurde von Thoman und Szewczyk [103] sowohl die Dmckverteilung als auch der Widerstand als Losung der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung theoretisch berechnet. Der Vergleich mit der Messung fallt dabei recht zufriedenstellend aus.

Unterdruck Uberdruck.

(reibungslos)

(laminar)

(turbulent)

Abb. 6.30. Dmckverteilung iiber den Meridianschnitt an Korpern mit kreisformigem Querschnitt (Durchmesser D) bei anliegender und abgeloster Stromung, nach Abb. 5.22. a Kreiszylinder, b Kugel. (1) Potentialtheoretisch (ohne ReibungseinfluB); (2) laminare Stromungsgrenzschicht: Rex = u^D/v = 1,86 • 105 bzw. 1,63 • 105; (3) turbulente Stromungsgrenzschicht; Re«, = 6,7 • 105 bzw. 4.35, 105

356

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Fiir den laminaren Bereich einschlieBlich des Verhaltens bei schleichender Stromung gibt White [116] die Interpolationsformeln Kreiszylinder: cw=l + 10/l/Re1

(0
(6.163 a)

Kugel: cw = — + — + 0,4 (0 < Re < 2 • 105) (6.163 b) Re 1 + sRe an, vgl. (2.133 a). Uber das Widerstandsverhalten im turbulenten Bereich iiber Werte S c = 106 hinaus liegen kaum Untersuchungen vor. tiber den EinfluB der Mach-Zahl Ma^ und der Reynolds-Zahl Re^ auf den Widerstandsbeiwert einer Kugel in der Stromung eines dichteveranderlichen Fluids gibt Abb. 6.1 AufschluB. Wahrend bei kleinen Mach-Zahlen der Widerstandsbeiwert cw(Max, Rex) stark von der Reynolds-Zahl abhangt, verschwindet diese Abhangigkeit bei groBen Mach-Zahlen (Ma^ > 0,8) vollstandig. Turbulenzfaktor. Fiir Kugeln wurde in Niedergeschwindigkeits-Windkanalen die sog. kritische Reynolds-Zahl (laminar-turbulenter Umschlag) zu 2 • 105 < Retr < 4 • 105 bestimmt. Der verhaltnismaBig groBe Streubereich ist zu einem groBen Teil auf die Verschiedenheit des Turbulenzgrads Tu des betreffenden Kanals zuriickzufiihren, vgl. Kap. 2.5.3.6. Bei groBem Turbulenzgrad wird der Umschlag laminar-turbulent eher als bei kleinem erfolgen und damit erne kleinere Reynolds-Zahl des Umschlags beobachtet. Messungen in der freien Atmosphare haben gezeigt, daB Reu ~ 3,8 • 105 ist, und zwar unabhangig von atmospharischen Schwankungen. Das laBt darauf schlieBen, daB die groBen Turbulenzballen der atmospharischen Luft die Vorgange in der Grenzschicht praktisch uberhaupt nicht beeinflussen. Der angegebene Wert Reu entspricht damit praktisch einem turbulenzfreien oder doch sehr turbulenzarmen Luftstrom, vgl. Abb. 2.45. Aus diesem Grand wird haufig das Verhaltnis dieses Werts zu der in einem Windkanal gemessenen Reynolds-Zahl des Umschlags als ein MaB fiir die Turbulenz des Windkanals verwendet. Als Reynolds-Zahl des Umschlags der Kugel, auch Kugelkennzahl genannt, gilt dabei diejenige, fiir welche der Widerstandsbeiwert cw = 0,3 ist (Bezugsflache A = TTD2/4). Der Wert 3 8 105

1 (Kugelkennzahl)

(6.164)

(«OKanal

kann somit als Turbulenzfaktor definiert werden. Je groBer er ist, desto turbulenzreicher ist der betreffende Kanal. Der Turbulenzfaktor laBt sich durch eine Kraftmessung leichter bestimmen als der in (2.165) eingefiihrte, durch Messung der turbulenten Schwankungsgeschwindigkeiten zu ermittelnde Turbulenzgrad Tu. Der Turbulenzfaktor ist nicht so eindeutig wie der Turbulenzgrad.

c) Tragfliigelprofil. Den Auftrieb an einem Tragflugelprofil (ebenes Problem) bei kleinem oder mittlerem Anstellwinkel kann man unter Vernachlassigung des Reibungseinflusses nach Kap. 5.4.3.2 in sehr guter Ubereinstimmung mit Messungen berechnen. Die wandnahe Reibungsschicht hat sich hierbei noch nicht abgelost. Solange diese Voraussetzung gilt, kann man auch den Profilwiderstand, der hierbei weitgehend aus den Schubspannungskraften an der Oberflache besteht, mittels der Grenzschicht-Theorie berechnen. Bei maBig angestelltem oder schwach gewolbtem Tragflugelprofil mit guter Abrundung an der Profilnase entsteht auf der Oberseite (Saugseite) vom vorderen Staupunkt aus zunachst eine laminare Grenzschicht. Daran schlieBt sich mit dicker werdender Grenzschicht im allgemeinen ein Ubergangsgebiet bis zur vollstandigen Ausbildung der turbulenten Grenzschicht an, welche nach Abb. 5.57a bei anliegender Stromung bis fast zur Profilhinterkante lauft. Bei groBerem Anstellwinkel mit auftretendem starken Druckanstieg lost die Stromung nach Abb. 5.57b von der Fliigeloberseite unter starker Wirbelbildung ab. In Verbindung mit der genannten Abbildung wurde be-

6.3.5 Abgeloste Grenzschicht bei umstromten Korpern

357

reits darauf hingewiesen, daB mit der Verbreiterung des Wirbelgebiets auf der Saugseite eine Verminderung des Tragflugelauftriebs verbunden ist. Dies Wirbelgebiet ist von entscheidendem EinfluB auf die GroBe des Reibungswiderstands. Daraus kann gefolgert werden, daB zwischen Auftrieb und Profilwiderstand ein ursachlicher Zusammenhang bestehen muB [4]. Der EinfluB eines Wirbelgebiets auf die Druckverteilung ist in Abb. 6.31 dargestellt und mit dem theoretischen Ergebnis bei reibungsloser Stromung verglichen. Bei einem mittleren Anstellwinkel tritt nach Abb. 6.31a Stromungsablosung zuerst auf der Oberseite des Profils in der Nahe der Hinterkante auf. Von dort aus wandert sie mit zunehmendem Anstellwinkel nach vorn. Es bildet sich dabei ein Gebiet aus, welches einen in sich geschlossenen Wirbel einschlieBt. Bei einem diinnen angestellten Profil kann die in Abb. 6.31b dargestellte Druckverteilung mit laminarer Ablosung an der Vorderkante und Wiederanlegen der turbulenten Reibungsschicht weiter stromabwarts beobachtet werden. Uber Untersuchungen zur Berechnung der Druckverteilung an Tragfliigelprofilen unter Beriicksichtigung des Reibungseinflusses berichtet u.a. Thwaites [106]. In Abb. 6.32a, b sind fur zwei verschiedene Profile die gemessenen und theoretisch ermittelten Druckverteilungen bei anliegender und bei abgeloster Stromung gegeniibergestellt. Aufgetragen sind die anstellwinkelabhangigen Anteile, indem von der resultierenden Druckverteilung jeweils die Druckverteilung des symmetrisch angestrb'mten Profiltropfens abgezogen ist. Die Darstellungen

10 x/l-

Abb. 6.31. EinfluB der Stromungsablosung auf die Druckverteilung um ein angestelltes Tragflugelprofil (schematisch), Ap/qx mit Ap=p-px und #„ = (p/2)«i, nach Thwaites [106]. a Ablosung an der Hinterkante, b Ablosung an der Vorderkante. (1) Theoretisches Ergebnis (reibungslos); (2) experimentell beobachtetes Ergebnis

358

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden

Abb. 6.32. Gemessene und berechnete Druckverteilung an Tragfliigelprofilen, nur anstellwinkelabhangiger Anteil. a Anliegende Stromung, Profil RAE 101 bei a = 8°, nach [73]. b Abgeloste Stromung, Profil NACA 64A - 006 bei a = 7°, nach [78]. (1) Theoretische Kurve ohne ReibungseinfluB; (2) theoretische Kurve mit ReibungseinfluB

sind somit vergleichbare Druckverteilungen zur angestellten ebenen Platte nach Abb. 5.59b. Es zeigt sich, daB der EinfluB der Reibung auf die Druckverteilung entscheidend von der Form des Profils abhangt. Kennzahl. Das auch die Reynolds-Zahl Rex = U^l/v in der Profiltheorie (laminar, turbulent, Umschlagpunkt, Ablosung) eine wichtige Rolle spielt, ist nach den Erkenntnissen der Grenzschichttheorie ohne weiteres verstandlich. Damit erhebt sich auch hier die Frage, inwieweit die Messung an einem Tragflugelmodell in einem Windkanal auch fiir die GroBausfiihrung, fiir welche die Reynolds-Zahl eine andere als beim Versuch ist, iibertragbar ist. Eine weitere Rolle spielt dabei auch der Turbulenzgrad des stromenden Fluids (Luft). So ist z.B. einleuchtend, daB bei hohem Turbulenzgrad die laminare Stromung friiher in die turbulente umschlagt, was einen entsprechend hoheren Reibungswiderstand zur Folge hat. Auch die relative Wandrauheit spielt dabei eine Rolle, da die turbulente Stromungsgrenzschicht durch Wandunebenheiten erheblich beeinfluBt wird, vgl. Kap. 6.3.3.3 Abschn. b. Auch der Hochstauftrieb ist von der Reynolds-Zahl und vom Turbulenzgrad abhangig. Darauf sind u. a. Abweichungen zuriickzufiihren, die in Windkanalen verschiedener Bauart, besonders mit verschiedenem Turbulenzgrad, beobachtet werden. Allgemein kann man sagen, daB bei nicht zu stark gewolbtem Profil der Hochstauftrieb mit zunehmender Reynolds-Zahl etwas ansteigt. Dasselbe ist der Fall bei erhohter Turbulenz des Luftstroms. Bei 0,8 • 10 5
Den EinfluB der Turbulenz und der Reynolds-Zahl auf die Tragfiugeleigenschaften hat schon friihzeitig Schlichting [93] systematisch untersucht. Umfangreiche Zusammenstellungen iiber die fluidmechanischen Eigenschaften von Tragfliigelprofilen stammen von Abbott und von Doenhoff [1], Riegels [83], Hoerner [45, 46] sowie Schmitz [96]. 6.3.5.3 Abgeloste Stromung urn Korper mit scharfen Kanten Normal angestromte Einzelkorper. Besitzt der umstromte Korper vorspringende Ecken oder scharfe Kanten, so findet die Ablosung der Stromungsgrenz-

6.3.5 Abgeloste Grenzschicht bei umstroraten Korpern

359

schicht an den Ecken oder Kanten statt. Setzt man z.B. eine diinne rechteckige Platte einer Stromung normal zur Plattenebene aus, so stellt sich zunachst eine Potentialstromung nach Abb. 5.23 b ein. An den Kanten oben und unten tritt theoretisch eine unendlich groBe Geschwindigkeit auf, die am hinteren Staupunkt wieder auf null abfallt. Auf der riickwartigen Plattenseite herrscht also am oberen und unteren Plattenrand ein sehr starker Druckanstieg, der zur Ablosung der Grenzschicht an den Plattenrandern und starker Wirbelbildung hinter der Platte Veranlassung gibt, man vgl. Kap. 5.5.2.1 Beispiel a iiber die normal angestellte Platte mit freien Stromlinien. Durch die auf der Plattenvorder- und -ruckseite unsymmetrische Druckverteilung entsteht eine groBe Widerstandskraft. In Tab. 3.9 sind Angaben iiber gemessene Widerstandsbeiwerte gemacht. Bei einer Platte unendlicher Breite ist der auf die Stirnflache bezogene Widerstandsbeiwert cw ~ 2,0, wahrend bei einer Kreisscheibe der Wert mit cw~ 1,1 nur etwa halb so groB ist. Diese Werte sind nahezu unabhangig von der Reynolds-Zahl. Dies ist in erster Linie darauf zuriickzufiihren, daB die Grenzschichtablosung unabhangig von der Reynolds-Zahl stets an der gleichen Stelle, namlich an den scharfen Kanten erfolgt. Diese Erscheinung gilt danach nicht nur fur Platten, sondern fur alle Korper mit quer iiberstromten scharfen Kanten. Widerstandsbeiwerte fur abgeschnittene Kegel und Halbkugeln sind in Tab. 3.10 mitgeteilt. Unterlagen iiber Auftriebsund Widerstandsbeiwerte von unendlich langen scharfkantigen und winkligen Profilstaben findet man u. a. in [44]. Aerodynamik des Bauwerks. Die genaue Kenntnis der Druckverteilung an Bauwerken (scharfkantige Korper der verschiedensten Art), die unter WindeinfluB stehen, ist besonders im Hinblick auf Festig- und Steifigkeitsfragen von groBer Bedeutung. Es hat sich hierfiir die Aerodynamik des Bauwerks als ein wichtiges Anwendungsgebiet der Fluidmechanik entwickelt. Da eine theoretische Behandlung sowohl wegen der vielfaltigen Geometrie der Bauwerke als auch wegen der in hohem MaB vorliegenden abgelosten Stromung nur bedingt erfolgreich sein kann, ist die Aerodynamik der Bauwerke ein bevorzugtes Gebiet des stromungstechnischen Versuchswesens. Da bei der Umstromung von Korperformen mit scharfen Kanten, ahnlich wie bei der normal angestromten Platte, die Reynolds-Zahl nur einen sehr geringen EinfluB besitzt, konnen die Ergebnisse aus Modellversuchen weitgehend auf die GroBausfiihrung iibertragen werden. Gewisse Fehlerquellen sind bei dieser Ubertragung allerdings nicht immer ganz zu vermeiden. Sie riihren einerseits daher, daB es sich bei dem natiirlichen Wind nicht um eine stationare Stromung, sondern um eine sowohl nach Richtung und Starke als auch der Hohe nach mehr oder weniger veranderliche Bewegung handelt, weshalb man geeignete Mittelwerte fur die Anstromgeschwindigkeit anzunehmen hat. Andererseits spielt auch die Bodenbeschaffenheit (Rauheit) in der Umgebung des Bauwerks eine gewisse Rolle, die sich im Modellversuch nur schwer nachahmen la'Bt. Winddruckverteilungen iiber die Oberflache eines geometrisch ahnlichen Bauwerksmodells konnen in Wandkanalen manometrisch gemessen werden. Dies geschieht dadurch, daB an dem Modell gemaB Abb. 3.11a kleine Bohrungen angebracht werden, die den an der betreffenden Stelle herrschenden Druck mittels eines Schlauches an das Manometer weiterleiten.

360

6.3 Grenzschichtstromung an festen Wanden Druckmaflstab:

0

±1

a b Abb. 6.33. Winddruckverteilung an einfachen Bauwerken, nach Frimberger [2]. a Allein stehendes Bauwerk, b zwei hintereinander stehende Bauwerke, ajt = 4,6

Neben der Aerodynamik des einzelstehenden Bauwerks kommt der gegenseitigen aerodynamischen Beeinflussung von Gebaudeteilen oder Gebaudegrappen groBe Bedeutung zu. In Abb. 6.33 a ist die Druckverteilung an den AuBenwanden eines einfachen Gebaudes und in Abb. 6.33 b diejenige an zwei in Windrichtung (Anstromrichtung) hintereinander angeordneten einfachen Gebauden dargestellt. Wahrend auf der windzugewandten Vorderseite (Luvseite) Uberdruck herrscht, bildet sich als Folge der Stromungsablosung an der scharfen Gebaudeoberkante auf der windabgewandten Hinterseite (Leeseite) Unterdruck aus. Da zwischen den beiden sich gegenseitig beeinflussenden Gebauden ein starkes Wirbelgebiet entsteht, erfahrt das im Windschatten liegende zweite Gebaude auf seiner Vorderseite den gleichen Unterdruck wie das erste Gebaude auf seiner Hinterseite. Auf den Dachern der dem Wind unmittelbar ausgesetzten Gebaude entsteht Unterdruck, wahrend bei dem zweiten Gebaude auf dem Dach ein Gebiet mit Uberdruck auftritt. Neben vielen z. T. systematischen Untersuchungen zur Gebaudeaerodynamik [2, 16] findet man zusammenfassende Darstellungen mit ausfuhrlichen Literaturangaben in [47, 84, 99 a] sowie Bibliographic [D.4c]. Aerodynamik des Fahrzeugs. Mit der Riicksicht auf die standig wachsende Geschwindigkeit der Landfahrzeuge spielt das Stromungsverhalten auch auf diesem Gebiet der Technik eine groBe Rolle. Bei Geschwindigkeiten bis 70 km/h ist der Luftwiderstand noch verhaltnismaBig gering gegeniiber dem Rollwiderstand, steigt dann aber schnell an, da er ungefahr quadratisch mit der Geschwindigkeit wachst. Man ist deshalb bestrebt, den Fahrzeugen Formen (Stromlinienverkleidung) zu geben, die unter weitgehender Vermeidung von Stromungsablosung auf moglichst kleinen Luftwiderstand hinzielen. Wahrend bei alteren verhaltnismaBig kantigen Bauformen der auf die Stirnflache des Fahrzeugs bezogene Widerstandsbeiwert noch bei 0,6 > cw> 0,5 lag (bei offenem Fahrzeug noch hoher), ist er inzwischen auf Werte 0,3 > cw > 0,25 reduziert worden. Unterlagen zur Aerodynamik des Landfahrzeugs findet man in [50 a, 57] sowie Bibliographic [D.3c].

6.4.2 Freie Stromungsgrenzschicht

361

Aerodynamik des Flugzeugs. Da man bei Luftfahrzeugen besonders bestrebt ist, abgeloste Stromungen zu vermeiden, spielen die in diesem Kapitel besprochenen Fragen der Ablosungen an scharfen Kanten nahezu keine Rolle, [95] sowie Bibliographic [D.5].

6.4 Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung 6.4.1 Einfiihrung Bei der in Kap. 6.3 besprochenen Grenzschicht handelt es sich durchweg um die Stromung langs einer festen Wand (Platte, umstromter Korper). Ist keine feste Wand vorhanden, so laBt sich auch hierauf die Grenzschicht-Theorie anwenden. Zu solchen Stromungen der freien Grenzschicht, im turbulenten Fall als freie Turbulenz bezeichnet, gehoren die reibungsbehaftete freie Trennungsschicht (Halbstrahl), der Freistrahl und die Nachlaufstromung. Im folgenden wird ein Uberblick gegeben, der die grundlegenden Erkenntnisse und Ergebnisse enthalt. Obwohl in den meisten Fallen die Stromung der freien Grenzschicht turbulent verlauft, seien auch einige Aussagen iiber die laminare Stromung gemacht. Zusammenfassende Darstellungen zu dem angesprochenen Fragenkreis in Buchform geben Birkhoff und Zarantonello [6] sowie Pai [72], vgl. auch [3, 79]. AbschlieBend wird die Frage der Intermittenz bei turbulenter Stromung sowie der sog. Coanda-Effekt bei Strahlablenkung erortert.

6.4.2 Freie Stromungsgrenzschicht 6.4.2.1 Reibungsbehaftete Trennungsschicht (ebener Halbstrahl) Als freie Trennungsschicht wird nach Kap. 5.4.2.4 Beispiel a die Beruhrungsflache von zwei gleichgerichteten Stromungen eines Fluids gleicher Art mit verschieden groBen Geschwindigkeiten bezeichnet. Letztere bildet eine Unstetigkeitsflache der Geschwindigkeit, die infolge von Reibungswirkung nach Abb. 5.54a, b innerhalb eines bestimmten Ausgleichsgebiets zu einem stetigen Geschwindigkeitsiibergang der beiden Stromungen fiihrt. In Abb. 6.34a ist die Stromung einer Trennungsschicht dargestellt, die dadurch entsteht, dafi ein zunachst langs einer festen Wand mit der Geschwindigkeit ua- U - const stromendes Fluid sich plb'tzlich ohne Fiihrung weiterbewegt und mit dem umgebenden ruhenden Fluid in Beriihrung tritt. Das Ausgleichsgebiet, auch Halbstrahl bezeichnet, ist gegeniiber dem ruhenden Fluid durch eine freie Trennungsschicht, oder auch freie Strahlgrenze genannt, abgegrenzt. Die sich abspielenden Stromungsvorgange sind nahe verwandt mit der Stromung in einer Grenzschicht (Reibungsschicht), die sowohl laminar als auch turbulent verlaufen kann. In beiden Fallen ist der Geschwindigkeitsgradient du/dy quer zur Stro-

362

6.4 Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung

j

10

\

1.5

I

in

0,5

f i

-05 -1,0

02

0,1 as

a

u,/U-

s n

'I

A 1f

y

A

0?. a* 0S

J

OS 1,0

u/U

Abb. 6.34. Freie reibungsbehaftete Trennungsschicht (ebener Halbstrahl) bei einem homogenen Fluid. a Ausbreitung eines freien Strahlrands (schematisch). b Laminares Geschwindigkeitsprofil u/U iiber y = y -JU/vx, nach [107]. c Turbulentes Geschwindigkeitsprofil u/U uber y = o(y/x) mit a = 13,5. Theorie nach [37], Messung nach [81]

mungsrichtung groB, und die Querausdehnung des reibungsbehafteten Ausgleichsgebiets ist klein gegenuber der Lange, die fur den Ausgleichsvorgang benotigt wird. Bei hinreichend groBer Reynolds-Zahl lost sich die Trennungsfla'che in eine turbulente Vermischungszone auf. Sowohl bei der laminaren als auch bei der turbulenten Stromung nimmt die Querausdehnung des freien Halbstrahls mit wachsendem Abstand x standig zu, da immer neues Fluid aus der zunachst ruhenden Umgebung mitgerissen wird. In erster Naherung kann man den Druck als unveranderlich annehmen, p (x, y) ~ const. Zur theoretischen Untersuchung des Ausgleichsvorgangs kann man die Prandtlsche Grenzschichtgleichung heranziehen. Diese lautet fur die stationare ebene Stromungsgrenzschicht bei einem homogenen Fluid (konstante StoffgroBen) nach (6.19a) und (6.20) mit dp/dx ~ 0, vgl. (6.103a, b), du dv 3^ + ^ 3T - -0' dx ay mit den Randbedingungen y = + oo;U = U,

(II)

y = -oo-.u = 0.

du — dx

du\ _ dyj

dr = _ dy

(6.165 a, b)

(6.165c)

Bei turbulenter Stromung bedeuten u A u und uA v die gemittelten Werte fur die Geschwindigkeitskomponenten und r A T* der zugehorige Wert fur die Schubspannung. Laminare Trennungsschicht. Im laminaren Fall gilt fur die Schubspannung r = q{duldy). Zur Losung des Gleichungssystems (6.165) fuhrt man wie bei der laminaren Plattengrenzschicht in Kap. 6.3.2.3 Abschn. a die dimensionslose Querkoordinate y = y V U/vx und die Stromfunktion W= \jvUx -f(y) ein, wobei in der Trennungsebene (y = 0) bei parallel verlaufender Stromung W= const = 0 ist. Die Losung der dabei auftretenden gewohnlichen Differentialgleichung/(}>)

6.4.2 Freie Stromungsgrenzschicht

363

mit den Randbedingungen (6.165 c) kann nicht in geschlossener Form angegeben werden. Numerische Ergebnisse stammen von Lock [63]. Die sich einstellenden affinen Geschwindigkeitsprofile u/U sind in Abb. 6.34b wiedergegeben. Die Querausdehnung der Ausgleichszone h(x) nimmt in Analogie zur laminaren Plattengrenzschichtdicke nach (6.44) wie xm zu. Ibrbulente Trennungsschicht. Wie in Kap. 6.4.1 bemerkt wurde, verlauft die Stromung bei nicht zu kleiner Reynolds-Zahl turbulent, weshalb jetzt fiir die Schubspannung i* ein Ansatz entsprechend (1.18) eingefuhrt werden muB. Da bei der freien Turbulenz die turbulente Schubspannung sehr viel groBer als die zahigkeitsbedingte Schubspannung ist, kann 1' nach der Mischungswegformel (2.152) in (6.165 b) eingesetzt werden. Bei der Integration der Grenzschichtgleichung (6.165) ergibt sich eine wesentliche Vereinfachung, wenn man von vornherein einen Zusammenhang beachtet, der zwischen der Querausdehnung der Vermischungszone und der Abszisse x besteht. Bei der turbulenten freien Strahlgrenze kann man annehmen, daB sich ihre Hohe h(x) in Analogie zur turbulenten Plattengrenzschichtdicke nach (6.118 a) naherungsweise proportional x andert, vgl. [94]. Mit dem Mischungswegansatz fiir die Schubspannung wurde die Aufgabe erstmalig von Tollmien [107] und spater von Gortler [37] mittels eines Austauschansatzes fiir die Schubspannung mit jeweils konstant angenommener AustauschgroBe AT iiber die Querausdehnung der Vermischungszone gelost. Letzteres Ergebnis ist verglichen mit Messungen von Reichardt [81] in Abb. 6.34 c wiedergegeben. Die GroBe a ist die einzige empirische Konstante, die in der Theorie frei bleibt und aus den Messungen mit 11,1 = ^=13,5 ermittelt wurde. Auf die Untersuchungen von Szablewski [37] sei hingewiesen. 6.4.2.2 Reibungsbehafteter Freistrahl Einfuhrung. In Kap. 3.3.2.3 Beispiel b wurde der AusfluB einer Fliissigkeit aus einem mit einer kleinen Offnung versehenen GefaB untersucht. Hierbei handelt es sich um ein Beispiel zur Anwendung der Stromfadentheorie. Zu unterscheiden sind die Falle des Austritts eines dichtebestandigen Fluids in ein weniger dichtebestandiges Fluid als geschlossener Strahl (AusfluB ins Freie, Wasser —> Luft) und des Austritts eines Fluids in das gleiche ruhende Fluid als offener Strahl (AusfluB unter Wasser, Wasser —> Wasser; Ausstromen aus Uberdruckkessel, Luft —> Luft), vgl. Abb. 5.75. Beim Austritt durch eine scharfkantige Offnung erfahrt der austretende Strahl nach Abb. 3.13b eine Strahleinschniirung (Strahlkontraktion). Diese laBt sich nach der Potentialtheorie mit freier Stromlinie gemaB Kap. 5.5.2.1 Beispiel b berechnen. Durch das Einfuhren der freien Stromlinien (freie Stromflache = Trennungsschicht) wird der ReibungseinfluB in erster Naherung erfaBt. Der hier zu behandelnde reibungsbehaftete Freistrahl entsteht beim Ausstromen eines Fluids aus einer stromungsgiinstig abgerundeten kleinen Offnung (Spalt, Diise) in ein ihn umgebendes ruhendes Fluid gleicher Art. Der einer kreisformigen Austrittsb'ffnung vom Radius r0 zugeordnete Freistrahl wird als runder

364

6.4 Grenzscbichtstromung ohne feste Begrenzung

Freistrahl und der einer schlitzformigen Austrittsoffnung von der Hohe h und der Breite b zugeordnete Freistrahl als ebener Freistrahl bezeichnet, vgl. Tab. 6.5. Mit wachsendem Abstand von der Austrittsoffnung stellt sich nach Abb. 6.35 ein Stromungszustand ein, bei dem wie bei der freien Trennungsschicht nach Kap. 6.4.2.1 teilweise aus der Umgebung Fluidmasse mitgerissen wird. Der im Strahl beforderte Massenstrom nimmt also stromabwarts zu. Der reibungsbehaftete Freistrahl erfahrt also eine Strahlerweiterung, die stromabwarts mit einer Verringerung der Strahlgeschwindigkeit verbunden ist. Nach den Strahlrandern hin nimmt die Langsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit in Strahlrichtung) u gegeniiber der Strahlmittengeschwindigkeit (maximale Geschwindigkeit in der Strahlachse bei rundem Strahl bzw. in der Strahlmittenebene bei ebenem Strahl = Zentralgeschwindigkeit) um erheblich ab. Im Strahlquerschnitt stellt sich somit ein Strahlgeschwindigkeitsprofil (Strahlprofil) u/um in Form einer sog. Glockenkurve ein. Die Grenzen des Strahlbereichs zeichnen sich hinter der Strahlaustrittsoffnung zunachst deutlich ab, verwischen sich mit zunehmendem Abstand jedoch mehr und mehr. Abgesehen von sehr kleinen Strahlgeschwindigkeiten ist der Freistrahl kurz nach dem Austritt vollturbulent. Es findet also dann eine turbulente Strahlvermischung statt. Bei einem runden Freistrahl stromt die Umgebungsluft von alien Seiten heran, wodurch, verglichen mit anderen Strahlformen, die beste Vermischung erreicht wird. Allgemeines. Ahnlich wie bei der freien Trennungsschicht kann auch bei dem Freistrahl angenommen werden, daB dem Strahl der konstante Druck des umgebenden ruhenden Fluids aufgepragt wird. Die Einwirkung von Druckkraften kann also vernachlassigt werden. Haben Strahl und Umgebung die gleiche Dichte (homogene Stromung), so wird das Stromungsbild im wesentlichen durch das Verhaltnis der Tragheitskrafte im Strahl zu den auftretenden Reibungskraften bestimmt. MaBgebend sind dabei ein Masse-, Impuls- und Energieaustausch des Strahls mit seiner Umgebung.

Um X

Strahlprofil

Abb. 6.35. Reibungsbehafteter Freistrahl aus einer kleinen Diisenoffnung. Stromlinienbild, Strahlerweiterung und Strahlprofil (laminarer runder Strahl), vgl. [92]

6.4.2 Freie Stromungsgrenzschicht

Einzelheiten des Strahlerweiterungsvorgangs werden entsprechend dem Vorgehen von Truckenbrodt [112] dargestellt und nachstehend fur den runden und ebenen Strahl beschrieben, wobei die dabei verwendeten geometrischen und fluidmechanischen Begriffe in Abb. 6.36 anschaulich erklart sind. Abb. 6.36a zeigt die Entwicklung der Geschwindigkeitsprofile u = u(x, f) bzw. u = u(x, y) und Abb. 6.36b den Verlauf der Mittengeschwindigkeit um = um(x) bezogen auf die Strahlaustrittsgeschwindigkeit u0. Die Entwicklung der Strahlstromung in Richtung des Strahlwegs laBt sich in Anlehnung an das Verhalten einer Rohrstromung nach Kap. 3.4.3, in drei Bereiche (Abschnitte, Zonen) unterteilen: r.y freie Strahlgrenze

Strahlachse (r=0)

I

/ x Sirahfmittenebene iy-0) Strohlhalbwertlinie ndex a)

Strahlbegrenzungslinie / ( I n d e x s)

0 Abb. 6.36. Kennzeichnende geometrische und fluidmechanische GroBen runder und ebener isothermer Freistrahlen. a Strahlausbreitung (Geschwindigkeitsprofil), b Strahlmittengeschwindigkeit (Zentralgeschwindigkeit), vgl. Tab. 6.5

366

6.4 Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung

1. Strahlaustrittsstromung (entspricht der Rohreintrittsstromung). 2. Sich ausbildende Freistrahlstromung, auch Strahlanfangszone genannt (entspricht der Rohreinlaufstromung). 3. Vollausgebildete Freistrahlstromung, auch Strahlhauptzone genannt (entspricht vollausgebildeter Rohrstromung). Wegen der vorausgesetzten gut abgerundeten Austrittsoffnung tritt eine Strahlkontraktion, d.h. eine Strahlaustrittsstromung, nicht auf. Dem turbulenten Freistrahl kann unmittelbar nach der Austrittsoffnung ein kurzer laminarer Freistrahl vorangehen. Wahrend dadurch die Strahlstromung in der Anfangszone beeinfluBt wird, wirkt sich dieser Umstand mit groBer werdender Entfernung von der Austrittsoffnung in der Hauptzone kaum mehr aus und kann unberiicksichtigt bleiben. In einer Ubergangszone geht die Strahlanfangszone stetig in die Strahlhauptzone iiber. In der Strahlanfangszone ist die Strahlstromung im inneren Strahlkern, ahnlich wie bei der Rohreinlaufstromung, von der Reibung noch unbeeinfluBt, vgl. Abb. 6.36a. Die axiale Strahlgeschwindigkeit ist dort gleich der Strahlaustrittsgeschwindigkeit u = uo = const. Der Strahlkern kann beim runden Strahl kegelformig und beim ebenen Strahl keilformig angenommen werden. Die Stelle, bei der die Mittengeschwindigkeit um gleich der Strahlaustrittsgeschwindigkeit u0 ist, d. h. ujuo = 1 wird, definiert die fiktive Lange des Strahlkerns x = x'. Alle die Kernlange x' betreffenden Einfliisse lassen sich summarisch in der sog. Mischzahl m zusammenfassen, wenn man schreibt d

h

m

m

x'= — (rand), x' =

(eben) .

(6.166a, b)

Dabei sind d = 2r0 der Durchmesser und h = 2y0 die Hohe der Strahlaustrittsoffnung bei x - 0. Bedingt durch unterschiedliche Strahlaustrittsbedingungen, wie die Form der Strahlaustrittsoffnung, die Strahlaustrittsgeschwindigkeit u0, die dort herrschende Reynoldszahl Re = wod/vbzw. Re = uoh/v sowie den Turbulenzgrad der Strahlkernstromung gilt fur den Wertebereich der Mischzahlen 0,1 < m < 0,4

(Richtwerte).

(6.167)

Es leuchtet ein, daB bei einem hohen Turbulenzgrad die Mischzahl m > 0,25 groB und entsprechend die Kernlange x' klein wird. Bei einem kleinen Turbulenzgrad gilt m < 0,25. Mit m ~ 0,15 als mittlerem Wert betragt die fiktive Kernlange etwa Um den Kern herum liegt der Strahlschleier, in dem die Vermischung des Strahls mit seiner Umgebung erfolgt. Dort herrschen die axialen Geschwindigkeiten u x' die axialen Strahl64

Die bei turbulenter Strahlstromung angegebenen Mischzahlen werden durch die theoretisch mittels der Grenzschichttheorie ermittelten Werte bestatigt. Aus Tab. 6.6 entnimmt man fur ujuo = 1 die Zahlenwerte m = d/x' = 1/c = 0,152 (rund) bzw. m = hlxr = 1/c2 = 0,174 (eben).

6.4.2 Freie Stromungsgrenzschicht

367

geschwindigkeiten u bei gleichzeitiger Strahlerweiterung, vgl. Abb. 6.36a. Insbesondere gilt nach Abb. 6.36b fur die Strahlmittengeschwindigkeiten um < u0. Die Reibung hat jetzt alle Stellen des Freistrahls erfaBt, was der vollausgebildeten Freistrahlstromung entspricht. Die Strahlhauptzone ist die praktisch wichtigste Zone. Dire Ausdehnung hangt ab von der Art und GroBe der Strahlaustrittsoffnung (rand r0 bzw. eben y0) sowie von der Strahlaustrittsgeschwindigkeit u0. Grundlagen der Strahltheorie. Die theoretischen Grandlagen und experimentellen Erkenntnisse zur Fluidmechanik freier Strahlen sind weitgehend Prandtl und seinen Mitarbeitern (Tollmien, Gortler, Schlichting, Reichardt, Forthmann) zu verdanken, [37, 81, 92, 107]. Neben der laminaren Strahlstromung wurde vor allem die technisch mehr interessierende turbulente Strahlstromung untersucht, wobei die Prandtlsche Turbulenztheorie (Mischungswegansatz, Impulsaustauschansatz) die Losung dieser Aufgabe ermoglicht. Freistrahlen haben Grenzschichtcharakter, d.h. geringe Erstreckung in der Querrichtung im Vergleich zur Langsrichtung und groBe Geschwindigkeitsgradienten in der Querrichtung. Hire theoretische Behandlung ist also ein Problem der Grenzschicht-Theorie. Im folgenden soil fur Luft nur der isotherme turbulente Freistrahl behandelt werden. Fur den runden und ebenen Freistrahl werden folgende vereinfachende Ansatze gemacht: 1. Der Druck p ist auBerhalb und innerhalb des Strahls gleich groB, d.h. p = const. 2. Im Strahl und seiner Umgebung soil sich die Luft wie ein ideales Gas verhalten, fur das die thermische Zustandsgleichung p = pRT gilt. Wegen der unveranderlichen Gaskonstante R = const und wegen des angenommenen konstanten Drucks p = const besteht zwischen der Dichte QT = const, d.h. beim isothermen Freistrahl mit T = const ist die Dichte p = const. 3. Wegen der Annahme konstanten Drucks und des Fehlens fester Wande liefert die Anwendung des Impulssatzes in x-Richtung (3.225a) mit F^ = 0 = FSx sowie FBx = 0 die Aussage unveranderten Impulsstroms in Strahlrichtung IX = I = const.65 Im Freistrahl bleibt also der Impulsstrom erhalten. Es gilt mit di = pu dV = pu2dA fur den Impulsstrom im Strahlaustritt (Index 0) und im Strahl selbst die Bedingung #, u\ Ao = J QU2 AA

((? = p0)

(6.168 a)

(A)

mit Ao als Strahlaustrittsflache und u0 als konstant iiber die Austrittsflache verteilter Austrittsgeschwindigkeit sowie mit A(x) als Strahlquerschnittsflache und u (x, r) bzw. u (x, y) als zugehorigem Geschwindigkeitsprofil. In dimensionsloser Schreibweise lautet die Impulsstrombedingung

) J \um)

(6.168b)

Aa

(A) 65

Die Kraft auf den freien Teil der Kontrollflache FA setzt sich zusammen aus den Anteilen der Druckund Reibungskraft (Schubspannungskraft) FA = FP + Fe. Dabei ist FP = 0 wegen p = const bzw. dp/dx = 0.

368

6.4 Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung

Eingefiihrt wurde die Strahlmittengeschwindigkeit um und die an sich willkiirlich wahlbare Bezugsflache Aa. Diese soil mit der Strahlquerschnittsflache iibereinstimmen, die sich beim runden Freistrahl auf den Bereich O i r § r D bzw. beim ebenen Freistrahl auf den Bereich - yagy§= ya erstrecken, vgl. Abb. 6.37 a, b. 4. Die Geschwindigkeitsprofile (Strahlprofile) in den Stxahlquerschnitten verhalten sich im Bereich der vollausgebildeten Strahlstromung beim runden und ebenen Freistrahl langs des Strahlwegs x S x' affin zueinander. Alle Profile lassen sich in der Hauptzone durch eine einzige Kurve wiedergeben, wenn man die Langsgeschwindigkeiten u auf die Mittengeschwindigkeit um und die Abstande in r- bzw. y-Richtung auf eine Strecke ra bzw. ya bezieht, d.h. fur das dimensionslose Geschwindigkeitsprofil u/um = f{rj) mit q = r/ra fur den runden sowie i\ = ylya fur den ebenen Strahl schreibt. Das Geschwindigkeitsprofil kann nach Reichardt [81] mit guter Naherung in Form einer Exponentialfunktion (Fehlerverteilungsfunktion) dargestellt werden:

=f(n) =

= r/ra,

n = ylya),

(6.169)

vgl. Abb. 6.38. Sollen r = ra bzw. y = ya die Abstande normal zur Strahlmittenebene bzw. zur Strahlachse sein, bei denen die Geschwindigkeit u = ua halb so gro!3 wie die Strahlmittengeschwindigkeit u — um bleibt (Halbwertlinie), dann folgt aus dieser Festlegung m i t / = / a = ujum = 1/2 und q - r\a = 1 der

Abb. 6.37. Strahlquerschnittsflachen. a Runder Freistrahl (Durchmesser d), b ebener Freistrahl (Breite b, Hohe h), vgl. Tab. 6.5

369

6.4.2 Freie Stromungsgrenzschicht

Abb. 6.38. Vergleichende Betrachtung der Geschwindigkeitsprofile isothermer Freistrahlen (laminar und turbulent gleichbleibend). ( / = u/um, q = r/ra bzw. q = ylya. (1) rund und eben nach (6.169), (2) rund nach (6.178 a), (3) eben nach (6.178 b)

Wert c = In 2 = 0,693. Eine bessere Annaherung der Geschwindigkeitsprofile in den Randgebieten ebener turbulenter Freistrahlen liefert Bradbury [81]. 5. Die die Strahlerweiterung kennzeichnenden Abstande ra bzw. ya nehmen bei der vollausgebildeten turbulenten Strahlstromung nach Abb. 6.37 linear mit dem Strahlweg x § x' zu, vgl. [79, 92]. Wegen ra ~ x bzw. ya ~ x gilt also =—

(rund),

^ =4

(eben),

(6.170 a, b)

wenn ra' bzw. y'a die Abstande bei x = x' bedeuten. Theorie und Messung bestatigen diese Abhangigkeiten, wenn man sich den Freistrahl von einem virtuellen Ursprung bei x0, der geringfiigig vor oder hinter der Austrittsoffnung liegt, ausgehend denkt. Eigenschaften isothermer Freistrahlen. Der isotherme Freistrahl ist dadurch gekennzeichnet, daB im Strahl und seiner Umgebung die Dichten unveranderlich sind und daher in den folgenden Formeln nicht vorkommen. Eine Aussage iiber die Strahlmittengeschwindigkeit um(x) erhalt man aus dem Ansatz (6.168a), nach dem sich der Impulsstrom / (x) langs des ganzen Strahlwegs ausgehend vom Strahlanfang an der Stelle x = 0 mit der Strahlaustrittsflache Ao bis zu einer Stelle x mit der Strahlquerschnittsflache A (x) nicht andert, vgl. Tab. 6.5. Fiir die auf die Strahlaustrittsgeschwindigkeit u0 bezogene Strahlmittengeschwindigkeit um = um(x) folgt aus (6.168b) 1 Ao

"M AZ

1

M=

AA

(6.171a, b)

als charakteristischem Kennwert fiir das Geschwindigkeitsprofil. Da beim runden und ebenen Freistrahl mit affinen Geschwindigkeitsprofilen gerechnet werden kann, ist jeweils M = const. Nach Einsetzen der Beziehung fiir das Geschwindigkeitsprofil (6.169) erhalt man nach Integration iiber die Strahlquerschnittsflache die ZahlenwerteM = l/2c = 0,721 (rund) bzw. M = -Jn/8c = 0,753 (eben) mit c = In 2, vgl. [112]. Im Bereich der Strahlkernstromung 0 S x = x' ist die Strahlmittengeschwindigkeit konstant; dort ist also um = u0. An der Kernspitze x = x' ist die Strahlquerschnittsflache Aa = A'a, was nach (6.171 a) zu dem Zusammenhang AJA'a = M fiihrt. Fiir die dimensionslose Mittengeschwindigkeit in der Anfangs- und Hauptzone ist dann — = 1 (OSJ «o

-SI

(x^

(6.172 a, b)

370

6.4 Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung

Tabelle 6.5. Geometrische und fluidmechanische GroBen vollausgebildeter turbulenter Freistrahlen (x > x'), c = In 2 = 0,69, m = Mischzahl nach (6.167), vgl. Abb. 6.36 GroBe

Allgemein

Runder Strahl

Ebener Strahl

d = 2ro

h = 2yo

Ao

nr2o

2byo

1

n=

«=i

K

Tir\

2bya

Strahlaustritt (Index 0)

Strahlquerschnitt (Index a)

r

T.

Aa

ya _ *

K

y'a 1

x'

Kernlange Mittengeschwindigkeit

um

x'

d

«0

x

mx

Volumenstrom

As

m

.— x fr?r = 4Tcx rns

jV

FT

•\ x

\ mx

~ [zc *

ys

Ao

F~2~K

V

Ft [AT F2^K

x x

mx d

"V V ~\

~h

Fs [Aj F2y Aa

2 x' 3 x

2 d 3 mx

\2 x'

\2 h

y 3" x~ ~ -\ ~3 mx

Vo

E

Energiestrora

1

h

,

X =—

m

m

As

Strahlbegrenzung

x'

0

/

x

/

mx

In dieser Darstellung spielt die Form der affinen Geschwindigkeitsprofile keine Rolle. Bei x = x' findet rechnerisch der Ubergang von der Anfangs- zur Hauptzone statt, vgl. Abb. 6.36b. Fur die in Abb. 6.37 a, b dargestellten Freistrahlen lassen sich die Flachenverhaltnisse mittels r'ajra = x'/x bzw. 3>0'/y0 = x'jx darstellen. Die so gewonnenen Formeln zur Berechnung der dimensionslosen Strahlmittengeschwindigkeit um/u0 in der Hauptzone sind fur den runden und ebenen Freistrahl Tab. 6.5 zu entnehmen. Bei den behandelten Freistrahlen hangt das Verhaltnis der Mittengeschwindigkeit zur Austrittsgeschwindigkeit unter Beachtung von (6.166 a, b) neben den geometrischen GroBen der Austrittsoffnung d bzw. h, dem Strahlweg x nur noch von der Mischzahl m ab. Die Geschwindigkeitsabnahme langs des Strahlwegs ist beim runden Strahl umgekehrt proportional und beim ebenen Strahl umgekehrt proportional der Wurzel aus der Entfemung von der Strahlaustrittsoffnung, also um ~ 1/x fiir den runden bzw. um ~ 1/Vx fiir den ebenen Strahl, vgl. Abb. 6.36b. Bei sonst ungeanderten GroBen ua,m und d bzw. h verringert sich die axiale Strahlgeschwindigkeit beim ebenen Strahl wegen des Fehlens einer seitlichen Erweiterung erheblich weniger als beim runden Strahl. Fiir die Strahlbegrenzung, d.h. nach Abb. 6.36a fiir die Abstande qs = rjra bzw. q, = yjya, bei denen die ortliche Strahlgeschwindigkeit der voUausgebideten Strahlstromung einen willkiirlich vorgegebenen Wert ujum < 1 annimmt, erhalt man aus (6.169) H,=

/--In

(c = hi 2).

(6.173 a)

Die qs zugeordnete Strahlquerschnittsflache A, findet man zu A., A~o' Ao

mlt

A:

A; 1 = = "T" T7 Ao M

const

(6.173b)

6.4.2 Freie Stromungsgrenzschicht

371

nach (6.171 a) angewendet auf x = x' mit um = u0. Die Beziehungen fur den runden und ebenen Freistrahl sind in Tab. 6.5 wiedergegeben. Als Eigenschaftsstrome seien die in einem Freistrahl vom Querschnitt A auftretenden Massen-, Volumen-, Impuls- und Energiestrome, d.h. m, V,I. und E verstanden.66 Unter Einfuhren der kinematischen Eigenschaftsstrome Kn gilt bei konstant angenommener Massendichte f> = const: n - 1: Massenstrom m-^Ki,

Volumenstrom V=KU

n-2: Impulsstromi' = pK 2 , o . n = 3: Energiestrom E= — K,. Zur Ermittlung der Eigenschaftsstrome Kn ist die ortlich verteilte Geschwindigkeitsfunktion u" iiber die Strahlquerschnittsflache A zu integrieren, und zwar ist Kn= \ u" dA = u"mAa I (—)

—

J \um J Aa

J

(x a x').

(6.174)

(A)

W

Wie in (6.171 a) ist als Bezugsflache die Strahlquerschnittsflache Aa eingefiihrt. In der durch den Index 0 gekennzeichneten Strahlaustrittsflache Ao ist u0 = const und mithin der zugehorige kinematische Eigenschaftsstrom Kn,0 = «5 Ao. Bezieht man auf diese GroBe, ergibt sich fiir die dimensionslosen Eigenschaftsstrome , ,

,

„

, ,

,

,, -

(6.175a, 1

Die Ausfiihrang der Integration mit u/um nach (6.169) ergibt die Zahlenwerte Fn - line (rand) bzw. Fn = s/n/Snc mit c = In 2, vgl. [112]. Es laBt sich AJA0 nach (6.171a) sowie «„/«„ nach (6.172b) ersetzen, was zu den einfachen Beziehungen *„ = — ( — J F2

= — (-^-P

\«0 /

^2

(x&x')

(6.176a, b)

V^a/

fiihrt, wobei FJF2 = 2/n fiir den runden Strahl und FJF2 = V'2/n fiir den ebenen Strahl gilt. Die so gewonnenen Formeln zur Berechnung der dimensionslosen Volumen- und Energiestrome, ki = V/Vo mit V"o = M0 Ao in m3/s und t 3 = £/£ 0 m it ^o = (p/2) «o Ao in J/s sind fiir den runden und ebenen Freistrahl Tab. 6.5 zu entnehmen fiir den dimensionslosen Impulsstrom gilt voraussetzungsgemaB k2 = I/i0 = 1 = const. Diese Ergebnisse sind in Abb. 6.39 dargestellt. Bei einer runden Strahlaustrittsoffnung z.B. ist der Volumenstrom bereits in einem Abstand von 5facher Kemlange auf das lOfache des Austrittsvolumens gestiegen.68 Abschliefiende Bemerkung. Ausgehend von der Prandtlschen Grenzschichtgleichung fur den Halbstrahl (Trennungsschicht) (6.165 a, b) mit der hier vorliegenden Randbedingung z. B. fiir den ebenen Freistrahl •y = 0:i; = 0 ,

du —=0, dy

7 = + oo:M = 0

(eben)

(6.177)

wurden sowohl der laminare als auch der turbulente Freistrahl theoretisch von Schlichting und Bickley, Tollmien, Gortler sowie Reichardt untersucht. Dabei werden die Strahlgeschwindigkeitsprofile fiir die laminare und turbulente Stromung gleichbleibend mit — = (l+ar;2)-2 — = l-tanh 2 (a^)

66

(rand, a = -Jl- 1 = 0,414), (eben, a = artanh(l/2) = 0,881)

(6.178a) (6.178b)

Auf eine besondere Kennzeichnung durch den Index A, z.B. V=VA, wird verzichtet. Durch Vergleich mit (6.171 b) folgt, daB F2 = M ist. 68 Fiir die theoretisch ermittelten Werte nach Tab. 6.6 erhalt man unter Beachtung von (6.166 a) und FuBnote 64 mit V/Vo = 0,456 (x, d) = 3 (x/x') das 15fache des Austrittsvolumens, was nach Abb. 6.38 eine Folge der Abweichungen der Geschwindigkeitsprofile (1) und (2) am Strahlrand ist. 61

6.4 Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung

372

0,5 — Anfongszone-

1.0

1,5

20

2,5

• Houptzone

3,0 -I

Abb. 6.39. Eigenschaftsstrome (Volumenstrom V/Vo, Impulsstrom I/Io, EnergieStrom E/Eo) fur runden und ebenen turbulenten Freistrahl in Abhangigkeit vom Strahlwe

§

x/x

'

angegeben. Diese Abhangigkeiten sind verglichen mit dem Exponentialansatz (6.169) und in Abb. 6.38 dargestellt. Die theoretischen Ergebnisse fur die Strahlausbreitung, die Strahlmittengeschwindigkeit und den Volumenstrom sind in Tab. 6.6 zusammengestellt. Zusammenfassend berichten Abramovich [la] und Rajaratnam [79] iiber turbulente Freistrahlen, vgl. [6, 72]. Eine Ubersicht experimenteller Untersuchungen uber Freistrahlen gibt Wille [119]. Eine fur praktis'che Anwendungen geeignete Darstellung moglicher Freistrahlen wird von Truckenbrodt [112] und Eck [26] gegeben, vgl. auch Regenscheit [80 a].

6.4.2.3 Reibungsbehaftete Nachlaufstromung Uber die durch Reibung hinter einem Korper bedingte Nachlaufstromung (Windschatten) wurde in Kap. 3.6.3.1 bei der Ermittlung des Widerstands aus dem Impulsverlust bereits berichtet. Laminarer Nachlauf. Die ebene Nachlaufstromung hinter einer langsangestromten ebenen Platte bei laminarer Stromung wurde von Goldstein [36] und Tollmien [108] berechnet. In sehr groGer Entfemung hinter der Platte stellt sich dabei ein asymptotisches Geschwindigkeitsprofil ein, fur das man eine geschlossene Losung angeben kann [94]: u FT ( u«,y2 — = 1-0,375 / - e x p - - r ^ -

(6.179)

Der von um abzuziehende Geschwindigkeitsbetrag stellt die eigentliche Nachlaufgeschwindigkeit AM = wM - u dar. Sie ist bei y y = 0 am groBten und betragt A«max = «~ - "min = 0 , 3 7 5 M , , Es ist festzustellen, daB dieser Wert von

373

6.4.2 Freie Strbmungsgrenzschicht

Tabelle 6.6. Ebener und runder Freistrahl (schmaler Spalt von der Breite b und der Hohe h bzw. kreisformiges Loch vom Durchmesser d) nach theoretischen Angaben in [94], vgl. [59]. Strahlausbreitung (Strahlhalbwertlinie) ya bzw. ra, maximale Strahlgeschwindigkeit «„, Volumenstrom V. BezugsgroBen: Austrittsgeschwindigkeit u0 = uh bzw. w0 = ud, Reynoldszahl Reh = uhh/v bzw. Red = udd/v, Austrittsvolumenstrom Vh = bhuh bzw. Vd = (n/4)d2ud, vgl. [59] Strahlausbreitung

laminar

Zustand

(c = 3,203)

Maximale Strahlgeschwindigkeit

Volumenstrom

(c = 3,302)

(c = 0,454)

turbulent

*

laminar

(c = 0,115)

c(

turbulent

rundei Strahl (kreisform iges Loch)

ebener Strahl (schmaler Spalt)

Strahlform

] X ) \Redd)

(c = 2,398)

/ 1 x\-<

(c = 0,625) X c(l \ \Red d)

(c = 5,945)

(c = 0,0938)

(c = 32,00)

(c = 0,0848)

(c = 6,571)

(c = 0,456)

der kinematischen Viskositat unabhangig ist. Man kann Au/AumiOi iiber der dimensionslosen Querkoordinatey =y \lujvx auftragen und erhalt so das affine Geschwindigkeitsprofil der laminaren Nachlaufstromung. Zusammenfassend berichtet Berger [3] iiber laminare Nachlaufstromungen, vgl. [6]. Tiirbulenter Nachlauf. Bei turbulenter Stromung wurde die ebene Nachlaufstromung hinter einem Einzelkorper (Zylinder) zuerst von Schlichting [91] und spater von Tollmien [109] sowie Gortler [37] theoretisch untersucht. Fur das Geschwindigkeitsprofil der Nachlaufstromung Au/Aumax erhalt man unter Annahme des Austauschansatzes sehr weit hinter dem Korper wieder ein Geschwindigkeitsprofil ahnlich der Verteilung (6.179). Die durch den Reibungswiderstand eines umstromten Korpers verursachte Nachlaufstromung lafit sich in Beziehung zum Widerstandsbeiwert des Korpers setzen. Fur die turbulente Stromung hinter einem Kreiszylinder vom Durchmesser D kann man schreiben [94] 3/212

(x/D > 50 cw)

•= 1 - 1 -

(6.180a)

mit

= 0,98

und

h(x) = 0,57 D

(6.180b)

6.4 Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung

374

Es ist 2h(x) die Hohe des Nachlaufs und cw der auf die Stirnflache A = bD und den Geschwindigkeitsdruck der Anstromung q^ = (p/2)ui, bezogene Widerstandsbeiwert des Kreiszylinders. Die in (6.180) angegebene halbempirische Beziehung stimmt mit Messungen der Nachlaufstromung sehr gut iiberein.

6.4.3 Besondere turbulente Scherstromungen 6.4.3.1 Intermittenz bei turbulenter Stromung Der aus dem Englischen entlehnte Begriff der Intermittenz kennzeichnet allgemein einen Vorgang, dessen Ablauf aus Intervallen der Ruhe und der Bewegung zusammengesetzt ist. In der Theorie turbulenter Scherstromungen sind Ruhe und Bewegung gleichbedeutend mit einem nichtturbulenten und einem turbulenten Stromungszustand. Durch experimentelle Untersuchungen des Umschlags der laminar-turbulenten Rohr- und Grenzschichtstromung hat sich ein intermittierender Charakter gezeigt, der darin besteht, daB die Stromung an einer festgehaltenen Stelle zeitweise laminar oder turbulent verlauft. Eine ahnliche Beobachtung hat man auch im Bereich der freien Grenze vollausgebildeter turbulenter Scherstromung gemacht. Man kann somit unterscheiden in die Intermittenz der Turbulenzentstehung und in die Intermittenz der Turbulenzgrenze. Bei Rohrstromungen hat sich nach Messungen des Geschwindigkeitsverlaufs in Abhangigkeit von Ort und Zeit im Bereich der Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags nach Rotta [87 (1956)] gezeigt, daB Zeitabschnitte mit laminarer und turbulenter Stromung in unregelmaBiger Folge wechseln. Ftir Stellen in der Nahe der Rohrmitte ist in den laminaren Zeitabschnitten die Geschwindigkeit groBer als der zeitlich gemittelte Wert in den turbulenten Zeitabschnitten; ftir Stellen in der Nahe der Rohrwand ist es umgekehrt. Der fluidmechanische Charakter dieser Stromung kann gut gekennzeichnet werden durch den Intermittenzfaktor y, welcher den Bruchteil der Zeit angibt, in welchem an einer bestimmten Stelle turbulente Stromung herrscht. Es bedeutet also y = 1 die andauernd turbulente und y = 0 die andauernd laminare Stromung. Im laminar-turbulenten Umschlaggebiet der Grenzschicht einer langsangestromten ebenen Platte vollziehen sich die fluidmechanischen Vorgange in gleicher Weise wie bei der Rohrstromung. Oszillographische Aufzeichungen der turbulenten Schwankungsgeschwindigkeiten zeigen, daB die Lage der ziemlich ausgepragten Grenze zwischen der turbulenten Grenzschichtstromung und der nahezu turbulenzfreien AuBenstromung eine fast zusammenhangende Trennflache bildet, die jedoch zeitlich stark schwankt. In

1.2 1.0

o

0

(

0.8 nicht turbulent Trennflache

0,6

r\ \X

0.4 0.2

Wand

0.2

0.4

0.6 y/6 -

OS

10

1.2

Abb. 6.40. Zur Intermittenz bei turbulenter Stromung [88]. a Schematische Darstellung der Trennflache. b Intermittenz-Faktor yin der turbulenten Grenzschicht an der langsangestromten ebenen Platte, nach Messungen von Klebanoff [97]

6.4.3 Besondere turbulente Scherstromumgen

375

Abb. 6.40 a, in der ein Schnitt durch eine Wandgrenzschicht skizziert ist, erscheint die momentane Lage der Grenzflache als eine Schnittlinie mit dem Abstand y,(t, x) von der Wand. Wenn man im auBeren Teil der Grenzschicht an einem festen Punkt des Raums Turbulenzmessungen ausfiihrt, stellt man folglich nur zeitweise turbulente Schwankungen fest; zwischendurch ist die Stromung ruhig und drehungsfrei. Man nimmt an, daB die Grenzflache von der Hauptbewegung mitgenommen wird. Als Intermittenzfaktor Y bezeichnet man nun den Bruchteil der Zeit, wahrend dessen die Stromung am Beobachtungsort turbulent ist. In der Plattengrenzschicht ist nach Abb. 6.40 b im wandnahen Teil mit 0 < yl6 < 0,5 fiir die vollturbulente Stromung y = 1, wahrend zwischen 0,5 < y/S < 1,2 der Intermittenzfaktor y auf den Wert null abklingt. Mit wachsendem Wandabstand bleiben die momentanen turbulenten Schwankungen zwar etwa gleich stark, sie treten aber immer seltener auf. Die bei der Rohrstromung und bei der turbulenten Wandgrenzschicht im AuBenbereich der Grenzschicht beobachtete Erscheinung der Intermittenz tritt auch auf bei dem turbulenten Freistrahl und der turbulenten Nachlaufstromung. Einen zusammenfassenden Bericht iiber Fragen der Intermittenz gibt Mollo-Christensen [69].

6.4.3.2 Strahlablenkung durch feste Wand (Coanda-Effekt) Mit Coanda-Effekt bezeichnet man die Ablenkung eines Fluidstrahls, sobald man einen festen Korper an die Strahlgrenzflache bringt. Die Ablenkung erfolgt gegen den Korper hin. Diese Erscheinung kann man z.B. beobachten, wenn man einen Finger an einen diinnen Wasserstrahl halt. Experimentelle Untersuchungen an haftenden Strahlen hat erstmalig Coanda [21] durchgefiihrt. Strahlablenkung durch eine Schneide. Ein ebener Strahl sei nach Abb. 6.41a auf der einen Seite durch eine quer zur Stromungsrichtung gehaltene Schneide gestort. Dabei wird der Hauptstrahl vom Querschnitt A aufgeteilt in einen entlang der festen Wand stromenden Wandstrahl vom Querschnitt A2 und in einen abgelenkten Freistrahl vom Querschnitt A{. Die Berechnung des Ablenkwinkels a laBt sich in einfacher Weise mittels des Impulssatzes durchfiihren. Die Wahl der Kontrollflache (O) = (A) + (5) ist in Abb. 6.41a gezeigt. Die Stromlinien der einzelnen Strahlen sollen am freien Teil der Kontrollflache (A) gradlinig verlaufen. Die Geschwindigkeiten seien jeweils gleichmaBig iiber die Strahlquerschnitte verteilt. Der Druck auBerhalb der Strahlen pM wird den Strahlen jeweils aufgepragt. Dies fuhrt nach der

Abb. 6.41. Zur Strahlablenkung durch einen festen Korper (Coanda-Effekt). a Ablenkung durch eine Schneide (reibungslose Stromung). b Strahlablenkung eines Wandstrahls am Kreiszylinder, Druckverteilung nach Gersten [21]; Re = VjR/v= 1,6 • 105; Gesamtdruck am Strahlaustritt/)0; Strahlgeschwindigkeit am Austritt v}

376

6.4 Grenzschichtstromung ohne feste Begrenzung

Energiegleichung (3.231) mit uB = 0 zu dem Ergebnis v = i»j = v2 • vgl. Beispiel b in Kap. 3.6.2.2 iiber die Strahlablenkung an einer geneigten Wand. Zur Anwendung kommt die Impulsgleichung in x-Richtung (3.225 a). Es sind die Komponenten der Massenkraft (Schwerkraft) und der Druckkraft null, d.h. FBx = 0 bzw. F^ = 0. Weiterhin tritt wegen der angenommenen reibungslosen Stromung an der festen Wand keine Stiitzkraftkomponente auf, d.h. FSx = 0. Mithin liefert (3.225a) auf die vorliegende Aufgabe angewendet die Aussage ^>{v\A2— v\Ai sin a) = 0 mit vl = v2. Hieraus erhalt man fur den Ablenkwinkel die einfache Beziehung s i n y = ^ = - ^ (A=Al+A2), (6.181) Ax ft, wobei wegen des ebenen Strahls Al = bhl und A2 = bh2 mit b als Strahlbreite ist. Wie zu erwarten war, ergibt sich fiir /J 2 //I, = 1 eine Ablenkung der beiden Teilstrahlen um a = 7i/2. Ebener Strahl an gekriimmter Wand. Eine weitere Moglichkeit der Strahlablenkung besteht im Ausblasen eines Fluids tangential oder annahernd tangential zu einer gekriimmten Oberflache. Die Eigenschaft des Fluids, sich an eine in der Nahe befindliche gekriimmte Wand anzulegen und daran entlang zu stromen, bezeichnet man als den eigentlichen Coanda-Effekt. Das charakteristische Merkmal einer solchen Stromung ist das Auftreten eines Druckgefalles normal zur Hauptstromungsrichtung infolge der Zentrifugalkraft. Es entsteht eine endliche Druckdifferenz />„ — pw zwischen dem AuBenraum und der Wand, weshalb man hier nicht mehr von einer einfachen Grenzschichtstromung sprechen kann. Wenn am Kreiszylinder nach Abb. 6.41b ein Strahl aus einem Schlitz tangential in das ruhende Fluid austritt, so stromt er als Wandstrahl um den Zylinder herum. Ein solcher Wandstrahl hat bei geniigend groBer Reynolds-Zahl auBen die Eigenschaft eines turbulenten Freistrahls. Die Erweiterung des Wandstrahls wachst mit dem Abstand vom Schlitz, und der Druck nimmt von der Offnung stromabwarts zu. Dies bewirkt schlieBlich eine Ablosung der Stromung von der festen Wand. Bei groBer ReynoldsZahl und kleinem Verhaltnis Schlitzweite/Radius des Zylinders s/R tritt die Ablosung bei einem Umlenkwinkel a = 240° ein. Uber experimentelle und theoretische Untersuchungen der ebenen Strahlstromung entlang einer Kreiszylinderkontur berichtet Gersten [21]. Bei dem Experiment wurden die Druckverteilung auf der Zylinderkontur sowie die StromungsgroBen im abgelenkten Strahl bei den geometrischen Parametern R Is, t/s mit s als Schlitzweite und t als Eindringtiefe der Zylinderkontur in den Strahl vermessen. Fur die theoretische Behandlung wurde die Stromung in zwei Bereiche unterteilt, und zwar in einen Einlaufbereich mit reibungslosem Kern unmittelbar hinter dem Ausblaseschlitz, und in einen Bereich, bei dem die Geschwindigkeitsprofile untereinander affin sind. Unter Benutzung der vollstandigen Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung fiir die radiale Richtung und gewisser empirischer Beziehungen gelang es, die Druckverteilung an der Zylinderkontur zu berechnen. Abb. 6.41 b zeigt einen Vergleich von Theorie und Messung fiir verschiedene relative Eindringtiefen t/s. Uber die Moglichkeit, den Coanda-Effekt zur Verbesserung der Eigenschaften von Tragfliigelprofilen heranzuziehen, liegen verschiedene Untersuchungen vor, man vgl. z.B. Riedel [21]. Bei einem Klappenfliigel kann der mit hoher kinetischer Energie auf der Profiloberseite an der Nase der Klappe tangential ausgeblasene Strahl nicht nur die Ablosung an der Profilklappe verhindern, sondern in Verlangerung der Profilklappe auch als Strahlklappe wirken. Hierbei legt sich der Ausblasestrahl an die Profilklappe an und folgt damit der Klappenneigung (Coanda-Effekt). Auf diese Weise sind Auftriebsbeiwerte von cA ~ 6 erreichbar. Fluidmechanischer Regelkreis. Auch die Automatisierungstechnik nutzt die Eigenschaft des CoandaEffekts. Das diese Technik umfassende Gebiet heiBt Fluidik. Durch die Steuerung von Fliissigkeits- und Gasstrahlen lassen sich bestimmte Schaltvorgange der Signaliibertragung und Signalverarbeitung erreichen. Fiir die Schaltaufgaben der Fluidik ist in erster Linie der ebene Strahl geeignet. Die einfachste Anordnung eines bi-stabilen symmetrisch aufgebauten Haftstrahlelements ist in Abb. 6.42 dargestellt. Wird das Fluid, welches nach Abb. 6.42 a zunachst durch den Kanal (I) stromt, mittels eines sog. Regelstrahls (1) nach Abb. 6.42 b gestort, so wechselt das Fluid seine Richtung und stromt jetzt durch den Kanal (II). Soil die Stromung wieder im Kanal (/) erfolgen, so geschieht dies durch einen Regelstrahl (2). Der Fluidstrahl kann also auf die beschriebene Weise in die eine oder andere Haftlage umgesteuert werden. Dieser durch den Coanda-Effekt erzielte Vorgang verhalt sich stabil. Die

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Literatur zu Kapitel 6 /

I

Regelstrohl

Abb. 6.42. Bi-stabiles Haftstrahleleraent (Fluidik). a Ohne, b mit Regelstrahl

Strahlablenkung bleibt auch noch dann erhalten, wenn die Steuerwirkung nicht mehr vorhanden ist. Eine zusammenfassende Darstellung zum Themenkreis der Fluidik einschlieBlich ihrer Grundlagen, Bauelemente und Schaltungen gibt Rechten [80].

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Erganzungen zu Band 1 (4. Auflage)

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Erganzungen zu Band 1 (4. Auflage) Beschleunigung S. 75 (tfxrot v) • ds; u||rot v, d.h. v x rot i> = 0, t>_l_rot t>, d.h. v • rot i> = 0 S. 126 FuBnote: 53 a Man beachte die konservative Darstellung filr die substantielle Beschleunigung in FuBnote43(S. 114) Strouhal-Zahl S. 40 abspielt, d.h. €/u <S t (z.B. langsame Absenkung des Fliissigkeitsspiegels beim instationaren GefSBausfluB) stationare Stromung: / = °° (nicht t = &>) Volumenstrom (zur Vorzeichenregelung). S. 86 bis S. 91 Kontrollfaden:

Definition V=-vA$0 i>i • Ar + v2 • A2 = - L>! • Al + v2 • A 2

(Gl. auf S. 86), vgl. (2.51 a) (Kontinuitat)

(2.53)

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Erganzungen zu Band 1 (4. Auflage) V= Vi + V^2 + V2 = 0, V,^ 2 = 0 (Mantelflache) Vi = + ViAx > 0 (eintretend), V2=-v2A2<0 (austretend) VA - V] = -K2 = UjAj = i>2 A2 = vA > 0 (durchtretend) y2 = V2A2 -> VA (Korrektur) I W o l -> I Vi/Vo | (Korrektur)

vgl. (S. 161) (2.51a) (2.55) (S. 202) (S. 277)

S. 95 Stromfunktion: (2.69) (A)

mit dA = bdn, v = v, > 0, i>! = u > 0, u2 = v > 0,

(Abb. 2.28 a)

Randwerte S. 114 Fliissigkeitsoberflache: dynamische Randbedingung (Druckbedingung) S. 146 Wandschubspannung: mit Tw= ry (du/dy)w — p«J als Wandschubspannung und u, —^Tp als Schubspannungsgeschwindigkeit duldy —> (du/dy)w

(Korrektur)

Arbeit, Energie S. 157 auBere Spannungskraft j> v • odO = ... mit o = — enp und dO = endO

(2.154c) (1.18b)

(2.174a)

(0)

S. 159 potentielle Druckenergie (Druckkraftpotential, Druckfunktion) S. 182 Dissipation —» Dissipationsarbeit Zustandsgleichungen S. 22 Energetische Zustandgleichungen Zustandsgleichungen fur das einfache thermodynamische System (spezifischer Systemzustand z durch zwei voneinander unabhangige intensive ZustandgroBen x, y eindeutig festgelegt) in differentieller Form S. 178 Entropie, zu Gl. (2.221a) d.h. bei adiabatem Vorgang (dsa = 0,ds = dst =S 0) Flachwasseranalogie S. 47 nach Kap. 1.3.3.3 bei kleiner Flussigkeitstiefe S. 48 mit freier Oberflache und geringer Tiefe Litereratur S. 321, [20, 31, 58] -» [20, 31, 58, 70] S. 349, Kap. 3:1a. Ackeret, J., Aspects of internal flow. In: Fluidmechanics of internal flow (Hrsg. Sovran, G.) S. 1—26; Amsterdam, Elsevier 1967 S. 352 Kap. 3: 79, Truckenbrodt: Ing. Arch. 45 (1976) 249-258 Kapitelhinweis: S. 129 Kap. 5.2.3.2 -» Kap. 5.2.3.4

Bibliographie

Das Fachwissen auf dem Gebiet der Fluid- und Thermofluidmechanik wird in Lehr-, Hand- und Jahrbiichern, in Tagungs- und Fortschrittsberichten sowie in Tabellenwerken und als Einzelbeitrage in Zeitschriften oder gesammelten Abhandlungen veroffentlicht. Die nachstehende Bibliographie enthalt eine aus etwa 1500 seit dem Jahr 1850 erschienenen Biichern ausgewahlte und nach Sachgebieten geordnete Zusammenstellung. Dabei sind Lehrbucher aufgenommen, wahrend auf Werke, die vornehmlich Zeitquerschnitte darstellen, verzichtet wird. Hinter dem Verfassernamen sind jeweils das Jahr der ersten und gegebenenfalls der letzten Auflage angegeben. Bei Nachdrucken ist auch das letzte bekannt gewordene Erscheinungsjahr hinter dem Verlagsnamen vermerkt. Auf die Literaturverzeichnisse zu den Kapiteln 1 bis 6, deren Verfasser namentlich in dem Namenverzeichnis zusammengestellt sind, wird hingewiesen.

Inhaltsverzeichnis A. Grundlagen der Fluidmechanik A. 1 Gesamtdarstellung A. 2 Methoden zur Beschreibung von Stromungsvorgangen a) Theoretische Verfahren b) Numerische Verfahren c) Dimensionsanalyse, Ahnlichkeit, Analogie A. 3 Teildarstellung a) Fluidmechanische Stabilitat b) Wirbelbewegung c) Wellenbewegung d) Meteorologie B. Stromung dichteveranderlicher Fluide (Thermofluidmechanik) B. 1 Gesamtdarstellung B. 2 Teildarstellung a) Sub- und supersonische Stromung b) Transsonische Stromung c) Hypersonische Stromung B. 3 Sondergebiete a) Impuls-, Wdrme- und Stojfiibertragung b) Freie Molekulstromung, kinetische Theorie der Fluide

Bibliographic

c) Magnetofluidmechanik d) Meteorologie C. Reibungsbehaftete Stromung, Grenzschichtstromung C. 1 Gesamtdarstellung C. 2 Teildarstellung a) Laminare Stromung b) Turbulente Stromung c) Stromung bei kleiner Reynolds-Zahl d) Stromungsablosung, Grenzschschichtbeeinflussung e) Stromung mitfreier Grenze, Freistrahl, Nachlauf C. 3 Sondergebiete a) Nichtnewtonsches Fluid, Rheologie b) Mehrphasenstromung c) Stromung durch poroses Medium D. Angewandte (technische) Fluidmechanik D. 1 Gesamtdarstellung D. 2 Rohr- und Gerinnestromung a) Rohrstromung b) Gerinnestromung c) Fluidik D. 3 Maschinenwesen a) Elemente der Stromungsmaschine, Fliigelgitter b) Fluidmechanische Schmiermittelreibung c) Aerodynamik des Landfahrzeugs D. 4 Bauwesen a) Hydromechanik im Wasserbau b) Sicker-, Grundwasserstromung c) Aerodynamik des Bauwerks D. 5 Flugwesen a) Aerodynamik des Flugzeugs b) Profit, Tragflugel, Rumpfkorper c) Propeller, Strahlantrieb D. 6 Stromungstechnisches Versuchswesen a) Gesamtdarstellung b) Stromungsmefitechnik c) Windkanaltechnik

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Namenverzeichnis (Band 1 und 2) (zitiert in den Literaturverzeichnissen von Kap. 1 bis 6)

Abbott, I.H. 5.1,6.1 Abramowitsch (Abramovich), G.N. 6.1 a Ackeret, J. 3.1,4.1,4.2,5.2,6.2 Ackermnn, W. 5.8 Adler, M. 3.53 Airy, G.B. 5.3 a Albring.W. 5.3 Allievi,L. 4.4 Andrade, E.N. da C. 1.1 Ans, J. d' 1.2 Armstrong, R.C. 1.5 Atwell, N.P. 6.10 Bach,J. 1.16 Baehr,H.D. 1.3, 1.4,2.1 Baer, H. 4.31 Bailey, A.B. 6.71 Baines,W.D. 6.2 Barbin,A.R. 3.2 Barth, R. 6.57 Bataillard, V. 4.4 Bauer, G. 5.28 Becker, E. 4.6,6.101 Bednarczyk, H. 2.2 Benedict, R.P. 3.3, 4.7, 4.8 Berger, S.A. 3.29,6.3 Bergmann, S. 5.29 Berker, R. 2.3 Bernoulli, D. 2.4 Bernoulli, J. 2.5 Betz, A. 3.4, 3.32, 3.48, 5.4, 5.5, 5.6, 5.42, 5.43, 5.66, 5.67, 6.4 Bhatia, J.C. 6.5 Bickley,W. 6.92 Bienen, Th. 5.6 Bird, R.B. 1.5, 1.19 Birkhoff, G. 5,7,6.6 Birnbaum, W. 5.8 Blaisdell, F.W. 3.6 Blasius, H. 3.7,5.9,6.7 Bluschke,H. 3.8 Bohme, G. 1.6 Bornstein, 1.23 Bohlen,T. 6.75 Boltze, E. 6.68 Borger, G.-G. 6.34 Borst, H.V. 6.46

Bosnjakovic, F. 4.9 Boussinesq, J. 2.6 Bowlus, D.A. 3.2 Bradbury, L J . 6.81 Bradshaw, P. 6.8, 6.9, 6.10, 6.13, 6.20 Brauer, H. 3.9 Brenner, H. 1.16 Breuer,W. 6.99 Brighton, J.A. 3.2 Brock, A.E. 4.25 Brock, T.E. 3.5 Brown, S.N. 6.11 Buckingham, E. 1.7 Burg, K. 5.41 Bun, A. 6.40 Busemann,A. 4.10,4.11,4.45,5.10,5.11,6.12, Cabannes, H. 4.12 Callander, R.A. 5.70 Campbell, F.B. 3.5 Campbell, W.D. 3.10 Carlson, G.A. 3.75 Carlson, L.W. 3.52 Carlucci, N.A. 3.3, 4.7 Carruthers, N.B. 6.47 Cebeci, T. 2.7, 6.13, 6.14, 6.15, 6.82 Cerbe.G. 1.8 Cermak,J.E. 6.16 Chambre, P. 4.13 Chang, P.K. 6.17,6.18 Chapman, AJ. 4.14 Chapman, D.R. 6.19 Chapman, S. 1.9 Chappell, J.R. 3.60 Chen,R.-Y. 3.10 Chen,Y.N. 5.12 Christian, WJ. 6.63 Clauser,F.H. 6.20 Coanda, H. 6.21 Cockrell, D J . 3.5,3.11,6.56 Cohen, D. 5.34 Colebrook, C.F. 3.12 Coleman, B.D. 1.10,6.25 Coles, D.E. 6.22,6.56 Cooke,J.C. 6.27 Corrsin, S. 2.8, 6.69 Cousteix, J. 6.15

Namenverzeichnis (Band 1 und 2) Cowling, T.G. 1.9 Crabtree, L.F. 6.86 Crocco, L. 5.13,6.12 Crown, D.A. 3.5 Curie, N. 6.23 Curtiss, C.F. 1.19 Czwalina, A. 3.13 Dachler, R. 5.14 Daily, J.W. 3.41 Daneshyar, H. 4.15 Darcy, H. 5.15 Davey,A. 2.9 Davis, R.T. 6.25 Dean,W.R. 3.29 Deissler, R.G. 3.14 Denbigh, K.G. 1.11 Desoyer, K. 5.14 Dhawan, S. 6.39 Doenhoff, A.E. von 5.1,6.1,6.40 Domm, U. 5.12 Dorodnitsyn, A.A. 6.49 Drath,R. 1.28 Driest, E.R. van 2.10, 6.24 Dryden, H.L. 2.11,2.12,6.76 Dubs,R. 3.16,4.4,4.16 Dyke, M.D. van 4.17, 6.25 Ebert, F. 1.12 Eck, B. 6.26 Eelman, G.M. 4.63 Eder,F.X. 1.13 Ehrenberger, F.N. 5.58 Eichelbrenner, E.A. 6.27 Eichhofer, G. 5.29 Eiseman, P.R. 6.60 Eisner, N. 1.14,2.13 Eppler, R. 5.29, 6.28, 6.29 Ertel,E. 5.16 Escudier, M.P. 6.32 Eskinazi, S. 4.18,5.17 Euler, L. 2.14 Euteneuer, G.-A. 4.19 Falkner, V.M. 6.30,6.31 Fannelop, T.K. 6.25 Favre, H. 3.18 Feldmann, F. 4.2 Felsch, O. 6.114 Fernholz, H.-H. 3.67, 6.21, 6.32, 6.33, 6.119 Ferriss, D.H. 6.10 Fiebig, M. 3.75 Fiedler, H. 6.69 Flachsbart, O. 6.44 Fliigge, S. (Hrsg.)u.a. 1.15 Fliigge-Lotz, I. 6.25 Foa, J.V. 4.20 Focke, R.I. 4.9

401

Forthmann, E. 6.81 Fotttinger, H. 5.6 Fox,R.W. 4.21 Frank, J. 3.19 Frank, N. 6.2 Franke, P.-G. 3.20,4.22 Frey,K. 3.42 Frimberger, R. 5.12,6.2 Frossel.W. 4.23 Froude.W. 5.18 Fuhrmann, G. 5.19 Gadd, G.E. 6.11 Ganzer, U. 4.23 a Gardel,A. 3.21 Garner, H.C. 6.40 Geropp, D. 6.114 Gersten, K. 3.67, 4.23 a, 6.21, 6.34, 6.35, 6.76, 6.94 Gibson, A.H. 3.22 Gibson, D.M. 6.66 Giesecke, J. 3.19 Gilbarg, D. 5.24 Gilman, S.F. 3.23 Ginzel,J. 6.75 Glauert,H. 5.20,5.21 Goldschmied, F.R. 6.14 Goldstein, S. 2.15,6.36 Goldsworthy, F.A. 5.26 Gortler, H. 1.7,6.37,6.38 G6thert,B.H. 5.22,5.23 Green, J.E. 4.36,6.39 Grigull, U. 1.16, 1.17 Gross, J.E 6.34 Gruschwitz, E. 6.40 Gurevich, M.I. 5.25 Gutmann, F. 1.18 Haase, D. 3.38,3.42 Hagen,G. 3.24 Haji-Sheikh, A. 3.52 Hall,M.G. 6.27 Hamel, G. 5.60 Han,L.S. 3.75 Hankey, W.L. jr. 3.41 Hansen, M. 3.25 Hantzsche.W. 6.41 Happel,J. 2.16 Hartree, D.R. 6.31 Hassager, O. 1.5 Hawthorne, W.R. 4.63 Hayasi, N. 6.42 Hayes, W.D. 5.26 Head, M.R. 6.10, 6.42, 6.43, 6.69, 6.118 Hein, H. 2.42 Heinrich, G. 5.14,5.58 Hele-Shaw, H.S. 5.27 Helmbold, H.B. 3.77,5.6

402 Helmholtz, H. von 5.28, 5.29 Herring, H.J. 6.8 Herwig, H. 6.35 Heynatz, J.T. 4.19 Heyser,A. 4.23 b Hicks, B.L. 4.24 Hiemenz, K. 6.7 Hinze, J.O. 2.17 Hirsch, C. 2.18 Hirschfelder, J.O. 1.19 Hirst, E.A. 6.56 Hixon, C.W. 3.75 Hodge, R.I. 3.52 Hoerner, S.F. 1.20, 3.26, 6.44, 6.45, 6.46 Hoffmann, H J . 1.8 Hofmann,A. 3.27 Holder, D.W. 5.30 Holstein,H. 6.75 Holzke, H. 3.82 Hopf,L. 3.62 Hornbeck, R.W. 3.75 Houghton, E.L. 4.25, 6.47 Howarth, L. 6.48, 6.49, 6.50 Hucho,W.-H. 6.50 a Hugoniot, H. 4.26 Humphrey, J.S. 5.12 Idelchik, I.E. 3.28 Illingworth, C.R. 6.51 Imai, K. 3.30 Immich, H. 3.79 Imrie,B.W. 4.27 Inger, G. 6.39 Irvine, T.F. 3.52 Isay,W.-H. 5.31 Ito, H. 3.29,3.30 Jacob, K. 5.72 Jaeger, C. 3.31,4.28,5.32 Jahn, K. 3.45 Janzen, O. 5.33 Jeffrey, A. 2.19 Jensen, M. 6.2 Jischa, M. 2.20,6.52 Johnson, H.A. 6.89 Johnston, J.P. 3.60 Jones, B.M. 3.32 Jones, J.B. 3.2 Jones, R.T. 5.34 Jordaan, J.M. jr. 3.41 Jordan, D.P. 4.29 Joubert, P.N. 6.74 Joukowsky, N. 5.35 Jung, I. 4.23 Jungclaus, G. 4.30 Kahlert,W. 3.62 Kammerer, C. 4.31

Namenverzeichnis (Band 1 und 2) Karamcheti, K. 5.36 Karman, Th. von 2.21, 3.33, 3.34, 5.6, 5.37, 5.38, 6.53, 6.54 Katz, S. 3.35 Kaufmann, W. 5.12, 5.39, 5.40, 5.60, 5.84 Kawaguti, M. 6.103 Kaye,J. 4.32 Keenan,J.H. 4.32,4.33 Keller, H.B. 6.55 Kelvin, Lord (Thomsom, W.) 5.84, 5.85 Kestin, J. 2.38 Keulegan, G.H. 3.36 Keune,F. 5.41 Kibel, I.A. 5.45 King,A.L. 3.5 Kinne,E. 3.37 Kirchbach, H. 3.38 Kirchhoff, G. 5.42 Kirde, K. 5.43 Kirschmer, O. 3.12,3.39 Klebanoff, P.S. 6.97 Kline, S.J. 3.60,6.56 Kling, G. 5.44 Klomp.E.D. 3.74 Knapp,F.H. 3.40 Knoche, K.F. 1.21,4.9 Kochenov, I.S. 3.41 Koenig-Fachsenfeld, R. 6.57 Kohlrausch, F. 1.22 Kolmogoroff, A.N. 2.22 Korner, H. 6.35 Koschmieder, F. 6.114 Kotschin, N.J. 5.45 Kovasznay, L.S.G. 6.58 Kraemer.K. 6.59 Krause, E. 6.60 Kretschmer, F. 3.15 Krober, G. 3.42 Kruger, C.H. jr. 1.41 Kiichemann, D. 5.46 Kuethe, A.M. 2.12 Kuo,A.Y.-S. 6.69 Kutta,W.M. 5.47 Kuznetsov,Y.N. 3.41 Lachmann, G.V. 6.61 Laitone, E.V. 5.95 Lam, S.-H. 5.51 Lamb,H. 5.48 Lanchester, F.W. 5.49 Landolt 1.23 Langhaar, H.L. 3.10 Latzko, H. 3.43 Laufer, J. 2.23 Launder, B.E. 6.62 Lawton, F.L. 3.5 Lax, E. 1.2 Lees,L. 4.34

403

Namenverzeichnis (Band 1 und 2) Lehmann, J. 3.44 Lehmann, K. 6.22 Leutheuser, H.J. 6.2 Levi-Civita, T. 5.50 U W . - H . 5.51 Liepe,F. 3.45 Liepmann, H.W. 4.36, 6.7, 6.39, 6.90 Lighthill, M.J. 5.52 Lilienthal, O. 5.53 Lin, C.C. 3.24,4.13 Lin, S.H. 3.46,3.75 Linnel, R.D. 4.35 List, EJ. 6.79 Liu, H.-C. 3.80 Lock, R.C. 6.63 Loffler, H J . 1.24 Lotz, I. 6.4 Lowy, R. 4.37 Ludwieg, H. 6.64 Lukasiewicz, J. 4.38 Lundgren, T.S. 3.46, 3.75 Lusch, G. 6.2

Multhopp,H. 5.64 Miinzberg, H.G. 3.49 Murphy, J.S. 6.70 Muskat, M. 5.57

Mach,E. 1.25 Macken, N.A. 3.62 Malavard, L. 5.54 Mangier, W. 6.31,6.65,6.75 Manson, P.W. 3.6 Markland, E. 3.11 Markovitz, H. 1.10,6.25 Maruhn, K. 5.55 Maue,A.W. 5.12 Mayinger, F. 1.35,2.44 McComas, S.T. 3.46 McDonald, A.T. 4.11 McMillan, O.J. 3.60 Mehaute, B. le 5.56 Meissner, W. 3.61 Melkus.H. 4.12 Mellor, G.L. 6.66 Meyer, R.E. 4.39 Meyer, T. 4.40 Michalke,A. 4.40 a, 6.67 Mikhailov, V.V. 6.25 Miller, D.G. 6.71 Miller, D.S. 3.47 Millikan, C.B. 6.68 Mintz, M.D. 4.29 Mises, R. von 3.48, 5.42, 5.48 Moller, E. 6.57 Mollo-Christensen, E. 6.69 Montgomery, D.J. 4.24 Moody, L.F. 3.12 Moore, F.K. 6.27 Morel-Seytoux, H J. 5.100 Morkovin, M.V. 6.56 Moses, H.L. 3.60 Mosinskis, G J . 6.14

Oertel, H. 4.41 Olive, R.W. 3.41 Oseen, C.W. 2.26,5.60 Oswatitsch, K. 1.27, 2.27, 4.41 a, 4.46, 5.13, 5.61,6.78 Owczarek, J.A. 4.42

Nahme, R. 3.62 Nahrgang, G. 5.58 Narasimha, R. 6.79 Nash, J.F. 6.8 Naumann, A. 6.71 Navier, C.L.M.H. 2.25 Neiland,V.Y. 6.25 Neppert, H. 6.57 Neubert,W. 6.114 Neumann, E.P. 4.33 Nickel, K. 5.59 Nicoll,W.B. 6.32 Nikuradse,J. 3.50,3.51,3.52,6.7 Nippert,H. 3.53 Noll,W. 1.10 Norbury, J.F. 6.8 Nunner,W. 3.43

Pai,S.-I. 5.62,6.72 Pankhurst, R.C. 6.73 Patel,V.C. 6.10,6.43 Patterson, G.N. 3.11 Perry, A.E. 6.74 Persen, L.N. 6.22 Petermann, F. 3.37 Peters, H. 3.76 Petersohn, E. 3.48,5.42 Peyret, R. 2.28 PfeiLW. 6.22 Philip, J.R. 5.63 Pigott, RJ.S. 3.29 Pohlhausen, K. 6.75 Poincare, H. 5.28 Poiseuille, J.L.M. 3.54 Prandtl, L. 1.26, 1.27, 2.29, 2.30, 2.31, 2.32, 3.55, 3.56, 357, 4.43, 4.44, 4.45, 4.46, 5.64, 5.65, 5.66, 5.67, 6.76, 6.77, 6.78 Press, H. 3.58, 4.47, 5.68 Pretsch,J. 3.77 Probstein, R.F. 5.26 Puschmann, G. 1.28 Raay, O. van 4.30 Rajaratnam, N. 6.79 Ramsay, WJ. 3.76 Rankine, W.J.M. 4.48,5.69

404 Raoche, PJ. 2.34 Raudkivi, A J . 5.70 Rayleigh, Lord (Strutt, J.W.) 5.71 Rechten,A.W. 6.80 Regenscheit, B. 6.80 a Reichardt, H. 6.81 Reid,R.C. 1.29 Reid,W.H. 2.24 Reiner, M. 1.30 Reinius, E. 3.59 Reneau, L.R. 3.60 Reshotko, E. 6.102 Reynolds, O. 1.31,2.33,3.61,3.62 Reynolds, W.C. 6.82 Rhone, TJ. 3.5,3.87 Riedel,H. 6.21 Riegels, F.W. 5.27, 5.72, 5.73, 6.83 Riemann, B. 4.49 Riester.E. 4.50 Roache, PJ. 2.34 Robertson, J.M. 5.74 Rose,N.W. 5.45 Rosemeier, G.-E. 6.84 Roshko, A. 5.75, 6.39, 6.85 Ross, D. 3.14 Rott, N. 4.3,6.86 Rotta, J.C. 2.35, 2.36, 6.87, 6.88 Rotty, R.M. 4.51 Rubach, H. 5.37 Rubesin, M.W. 6.19,6.89 Rudinger, G. 4.20,4.52 Rues, D. 5.61 Rusanov,V.V. 4.17 Ryzhow, O.S. 6.90 Saibel.E.A. 3.62 Saint-Venant, B. de 2.37, 4.53 Salcher, P. 1.25 Sanderson, R. 6.57 Sauer, R. 4.54, 5.76 Schade.H. 5.77,6.67 Scheidegger, A.E. 5.78 Schiebener, P. 1.17 Schiffer, N. 4.55 Schiller, L. 3.63,3.64 Schlichting, H. 2.38, 2.39, 3.65, 3.66, 3.67, 4.56, 5.79, 5.80, 6.76,6.77, 6.91, 6.92, 6.93, 6,94, 6.95 Schmid, P. 3.21 Schmidt, E. 1.32, 1.35,4.57 Schmieden, C. 5.12 Schmitz,F.W. 6.96 Schneider, W. 4.58 Schofield, W.H. 6.74 Scholz, N. 3.68, 3.69, 3.77, 5.80, 6.111 Schonung, B.E. 2.40 Schrenk, O. 4.20 Schroder, R. 3.58, 3.70, 3.71, 4.47, 4.59, 5.68

Namenverzeichnis (Band 1 und 2) Schubart,W. 3.38 Schubauer, G.B. 2.41,6.97,6.98 Schubert, G.U. 3.61 Schultz-Grunow, F. 2.42, 3.72, 4.60, 6.77, 6.99 Schumann, J.E. jr. 3.5 Schiitt, H. 3.73 Schwaben, R. 1.39 Schwier, K. 1.4 Sears, W.R. 6.27 Seifert, H. 4.61 Serrin,J. 2.43 Shapiro, A.H. 4.62,4.63 Shavit, G. 3.75 Sherwood, T.K. 1.29 Sillem, H. 4.57 Simmons, L.M. 1.18 Simpson, R.L. 6.98 Skan, S.W. 6.23,6.31 Skelland, A.H.P. 1.33 Skramstad, H.K. 2.41 Slattery, J.C. 3.10 Smith, A.M.O. 2.7, 6.9, 6.14, 6.15 Sockel, H. 6.99 a Sommerfeld, A. 3.62 Sovran, G. 3.74, 6.56 Spalding, D.B. 6.62,6.100 Spalding,W. 3.53

Spangenbeg,W.G. 6.9 8

Sparrow, E.M. 3.46, 3.52, 3.75 Spence, D.A. 6.40 Sprenger, H. 3.76 Spurk,J.H. 1.34 Squire, H.B. 3.77,6.73 Starr, J.B. 3.46 Stary.F. 3.79 Steltz,W.G. 4.8 Stephan, K. 1.35,2.44,3.43 Stewartson, K. 6.51,6.101 Stoker, JJ. 5.81 Stokes, G.G. 2.45, 2.46, 5.82 Stratford, B.S. 6.14,6.110 Straub, J. 1.16, 1.17 Stroehlen, R. 4.31 Strutt, J.W. (Lord Rayleigh) 5.71 Stucky,A. 3.78 Sutherland, D.M. 1.36 Swetz, S.D. 3.3 Sychev.V.V. 6.25 Szablewski, W. 3.43,3.50,3.51,6.37 Szabo, I. 1.37,2.47 Szczeniowski, B. 4.64 Szewczyk, A.A. 6.103 Takada,H.T. 6.14 Tani,I. 6.32,6.48,6.76,6.102 Taylor, G.I. 2.48, 2.49, 6.38 Taylor, T.D. 2.28 Teipel, I. 5.61,6.70

Namenverzeichnis (Band 1 und 2) Tetervin, N. 6.40 Thorn, A.S. 6.103 Thoman, D.C. 6.103 Thomas, F. 6.21 Thompson, B.G.J. 6.104 Thompson, P.A. 4.65, 5.83 Thomson, W. (Lord Kelvin) 5.84, 5.58 Thwaites, B. 6.105,6.106 Tietjens, O. 5.6,5.86 Tillmann, W. 6.64 Timme, A. 5.12 Tollmien, W. 2.50, 2.51, 2.52, 5.13, 6.107, 6.108, 6.109 Townsend, A.A. 6.110 Traupel,W. 5.87 Truckenbrodt, E. 3.79, 3,80, 3.81, 4.56, 5.72, 5.79, 5.88, 6.2, 6.5, 6.32, 6.77, 6.95, 6.111, 6.112 Truesdell, C. 5.89,5.90 Truitt, R.W. 4.66 Tsien, H.S. 4.67,5.91,5.92 Tullis,J.P. 3.2 Umstatter, H. 1.39 Unser,K. 3.82 Vasanta Ram, V.I. 6.85 Vazsonyi.A. 3.83,5.93 Verruijt,A. 5.94 Vincenti, W.G. 1.41 Vogel, G. 3.37 Vogelpohl, G. 3.62 Voges, R. 6.113 Vuskovic, I. 3.27 Walchner, O. 5.11 Walker, W.F. 4.14 Walz,A. 6.114,6.115,6.118 Wang, J.-S. 3.2 Wantzel.L. 4.53 Ward Smith, A.J. 3.84, 4.69 Wasielewski, R. 3.27 Wasserman, R.H. 4.24 Wauschkuhn, P. 6.85 Weber, J. 5.46 Wedemeyer, E. 5.67

405 Wehausen, J.V. 5.85 Weinig, F. 5.96 Weinlich, K. 4.31 Weisbach, J. 3.85 Weissinger, J. 5.64 Wendt, H. 6.41 Wharton,R. 3.5 Whippany, N J . 3.14 White, CM. 3.12 White, F.M. 2.53,3.86,6.116 Widnall, S.E. 5.97 Wieghardt, K. 1.27, 4.46, 4.70, 5.98, 6.77, 6.78, 6.117,6.118 Wieselsberger, C. 5.66 Wiest, RJ.M. de 5.99 Wille, R. 3.42,5.12,6.119 Williams III. J.C. 6.11 Williamson, J.V. 3.87 Wilson, R.E. 6.120 Winter, H. 6.44 Winternitz, F.A.L. 3.76 Wooding, R.A. 5.100 Wortmann, F.X. 6.121 Wu, T.Y. 5.101 Wuest,W. 4.23 b, 4.71 Yamaguchi, S. 6.81 Yao, L.-S. 3.29 Yegna Narayan, K. 6.79 Yeung,R.W. 5.95 Yih, C.-S. 5.102 Young, A.D. 3.77,6.12 Zanker, K.J. 3.5 Zarantonello, E.H. 5.7, 6.6 Zierep, J. 1.42,4.72,4.73,5.103

Aeron. Res. Counc. 4.3 Amer. Res. Staff 4.5 Brit. Hyd. Res. Ass. (BHRA) 3.5 Deutsch. Norm. Aussch. (DIN) 3.15 Eng. Sci. Dat Unit (ESDU) 3.17 U.S. Stand. Atm. 4.68 VDI-Warmeatlas 1.40

Sachverzeichnis *

Ablosung —» Stromungsablosung Absaugen, Ausblasen —> Stromungsgrenzschicht (Grenzschichtbeeinflussung) Abstrombedingung (Kbrperhinterkante) -, Uberschall-, Unterschallstromung (Kutta-Joukowsky) 84, 218-219, 222, 224 Adiabasie (Adiabate), Diabasie -, adiabat (warmeundurchlassig) 11-13, 15, 17-18,25-29, 63,276, 305-307, 316 —, adiabat-reversibel (hom-, isentrop) 4, 11 — 14, 20, 23, 27, 42, 85-90, 288 -, adiabat-irreversibel (anhom-, anisentrop) 11, 20,27,69-74,90-109 —, diabat (warmedurchlassig) 4, 12, 15, 64—69, 276,305 Aerostatik (Ruhezustand) 2-9 —, Atmosphare (SchwereinfluB) 6—8, Abb. 4.3 -, Gasdruck (Behalter, verschiebbarer Kolben), Korper (schwebend) 5-6, Abb. 4.2 -, KreisprozeB (Camot) 8-9, Abb. 4.4 Ahnlichkeitsregeln (kompressible Stromung) 176-180, 182-186, Abb. 5.37, 5.38-5.42 Anfahrwirbel (Tragflugel) 218-219, 229, Abb. 5.56b, 5.64a Anstromzustand (Fliigelprofil, Platte, Schraubenpropeller) 83-84, 168, 232, 237-238, Abb. 5.32, 5.65, 5.69 Arbeit —> Dissipation, Volumenanderung Atmosphare (adiabat = isentrop, isotherm, Normatmosphare, Stabilitat) 6—8, Abb. 4.3 Aufrollvorgang (Wirbelschicht) 228-229, 231, Abb. 5.63c Auftrieb, Auftriebskraft (normal zur Anstromrichtung) 140, 226, 357, Abb. 5.1 lb, 5.61 -, Sickerstromung (Spundwand) 261, Abb. 5.82 -, Verdrangung (statisch) 6 -, Zirkulation (Korperumstromung) 139-140, Abb. 5.11 -» Fliigel (Tragflugel), Kreiszylinder, Platte (angestellt) Auftriebssatz (Blasius, Kutta-Joukowsky) 140, 217 Ausbreitungs-, Fortpflanzungsgeschwindigkeit (Wellenausbreitung) —> Schallgeschwindigkeit, Oberflachenwelle

Ausstromen (Kessel-, Rohraustritt) 30-35, 60, 72-73, Abb. 4.12, 4.26 AuBenstromung —> Stromung-, Temperaturgrenzschicht Barotropie (barotroper Zustand) 1—4, 11, 30, 113, 123, 129, Abb. 4.1 -> Polytrope —, Druckkraftpotential (Druckfunktion) 3—4 -, Potentialstromung (dichteveranderlich) 163-188 -, StoBgleichung (VerdichtungsstoB) 25-26 Bauwerksaerodynamik 359—360, Abb. 6.33 > Bernoulli —> Druck-, Energiegleichung (Fluidmechanik) Bewegungsgleichung -> Kontinuitats-, hnpulsgleichung Biot-Savart —> Induzierte Geschwindigkeit Blasius —> Auftriebssatz (Korperumstromung), Plattengrenzschicht (laminar) Carnot -4 KreisprozeB Cauchyscher Hauptwert (singulares Integral) 216,232 Cauchy-RiemannscheDifferentialgleichung (Potential-, Stromfunktion) 132, 136-137 Charakteristik (homentrop umgelenkte Uberschallstromung) -, Charakteristiken-Diagramm 88-90, 97-98, 100, 102, Abb. 4.43 —, Machlinie, Machwelle (rechts-, linkslaufig) 45, 50-52, 175, Abb. 4.18a, 4.20-4.21, 5.35 Coanda-Effekt (Strahlablenkung) 375-377, Abb. 6.41-6.42 Crocco-Zahl (Ausstromen aus einem Kessel) 17, 30, Abb. 4.8 Crocco-Vaszonyi -> Wirbelsatz Depression (Druckverminderung), Depressionsstromung (Expansionsstromung) 2, 9, 18, 20-21, 26, 30-36, 85-90, 98, 104, Abb. 4.1, 4.9, 4.21, 4.43, Tab. 4.1, 4.7 -> Stromungsumlenkung (konvex) Dichteanderung (dichteveranderliches Fluid, Gas) 1-111,282

* Mit (•) versehene Begriffe kommen bereits im Sachverzeichnis von Band 1 vor.

408 Dichteverhaltnis (Gas) 2, 6, 11, 21, 25-27, 37-38, 92-93, Abb. 4.1 a, 4.3 a, 4.9 c Dipolstrbmung (eben raumlich) 148-153, 156-157, 160-162, Abb. 5.18-5.19,5.26, 5.28, Tab. 5.3f,g Dissipationsarbeit (reibungsbedingt) 61—62, 75, 256-257, 278, 287, 292, 344, 346-348 Drehsymmetrische Strbmung 158-162, 187, 316-318,Abb. 5.27-5.30, 6.17a Drehung (Rotation), Drehungsfeld 113-118 -» Wirbel, Zirkulation -, drehungsfreie Stromung (Euler) 112, 127-198, 251 -> Potentialstrbmung —, Geschwindigkeitsfeld (drehungsfrei, drehungsbehaftet) 112-114 -, VerdichtungsstoG (gekriimmt) 242-244, Abb. 5.72 —, Zusammenhang (Entropie, Zirkulation) 115-116,120-121 Drosselfaktor (VerdichtungsstoG) 38-39, 98, Abb. 4.16 Druckanderung —> Depression, Kompression Druckbedingung (dynamische Randbedingung) —> Fliissigkeitsoberflache, Rohrstromung (instationar), Strbmungsgrenzschicht Druckbeiwert (auf Geschwindigkeitsdruck bezogene Druckdifferenz) 20, 28, 37-41, 83, 96-97, 104-105, 108-109, 176-178, 182, 186, Abb. 4.15a, 4.17, 4.41, 4.48, 4.49, 4.54 Druckfeld (dichtbestandiges, dichteveranderliches Fluid) 130, 132, 165, 319 Druckgleichung (Bernoulli) 132, 214 -> Energiegleichung (Fluidmechanik) Druckgradient (Druckabfall, Druckanstieg, Gleichdruck) —> Stromungsgrenzschicht (AuBenstrbmung) Druckkraffpotential (Druckfunktion) 3-4 —» Enthalpie Drucksprung (DruckstoB) 24, 49, 53 Druckverhalten (Rohrstromung) 60, 72-73 Druckverhaltnis (Gas) 2, 6, 11, 20-23, 25-27, 80-81, 92-93, 165, Abb. 4.1, 4.3a, 4.9b Druckverteilung (Kbrperumstrbmung), Druckwiderstand 139, 162, 226, 273-274, 291, 351, Abb. 5.30, 5.61, 6.7 -» Kreiszylinder, Kugel, Platte (angestellt) Druckwelle (schwache Druckstorung) 13-16, 24, 41-47, Abb. 4.6, 4.18, Tab. 4.3 —» Rohrstromung (instationar), Schallgeschwindigkeit Diise (konvergent, divergent) 32—35 —> Laval-Diise Eckenstrbmung (konvex) —, geknickte Wand (dichtebestandiges Fluid) 140-144, 311, 358, Abb. 5.12c, 6.16a

Sachverzeichnis -, Prandtl-Meyer-Eckenstrb'mung (Uberschallstromung, stetig, homentrop) 76, 86-90, 166-167, Abb. 4.32a, 4.34, 4.36a, 4.39-4.41 —» Charakteristiken-Diagramm Eigentemperatur (adiabate Wandtemperatur, Thermometerproblem) 276, 305-307, 316, 334 • Elastizitat (Fluid, Rohrwerkstoff) 16, 43,47, 55 Ellipse, Ellipsoid 153, 157 Energie —> Wirbelenergie (kinetisch) Energiegleichung —, Fluidmechanik (Arbeitssatz, Druckgleichung) 3,12, 62-63,129, 132,163 -, Thermofluidmechanik (erster Hauptsatz, Waimetransportgleichung) 4, 12, 25, 62-63, 79-80,116,288 Enthalpie, Totalenthalpie 12-13, 315 -, Druckkraftpotential (Enthalpie bei konstanter Entropie) 4, 12-13 Entropie, Entropiegleichung (zweiter Hauptsatz) 5,8, 13, 25, 63, Abb. 4.1a -, konstant (is-, homentrop) 2, 4 - 5 , 11-14, 20-24, 27, 30-37, 39-58, 85-90 -, veranderlich (anisentrop) 24-29, 37—39, 63-75, 90-109, 242-244, Abb. 4.46c Ergiebigkeit (Quelle, Sinke) 147, 152, 159, 162 Expansion (Entspannung), Expansionsstrbmung 30-36 —> Depression Faden (Stromfaden), Fadenstrbmung (stationar, instationar) 10—58 —> Rohrstromung Filtergesetz (Darcy) 257-259, Abb. 5.80 Flache (Querschnittsflache), Flachennormale 10, 23, 31-34, 43, 62, Abb. 4.5, 4.11b Flachwasser (Grundwelle) 194, 197 Fliigel, Tragflugel (Aufrieb, Widerstand) -> Potentialwirbelschicht, -system —, endliche Spannweite (FliigelgrundriB, Seitenverhaltnis) 227-234, Abb. 5.62-5.66 -, unendliche Spannweite (Skelett-, Tropfenprofil) 40-41, 84-85, 101-102, 155-156, 168, 179-186, 217-223, 251, 274-275, 356-358, 376, Abb. 4.17, 4.38b, 4.51 b, c, 5.24, 5.32a, b, 5.38-5.43, 5.56-5.58, 5.77, 6.31,6.32 -> Platte (angestellt) -, Flugelsystem (Fliigelgitter, Propeller) 234-239, Abb. 5.67, 5.68 Fluid (Flussigkeit, Gas) -, dichteveranderlich (Druck, Temperatur) —> Dichteanderung -, inhomogen (Dichte, Viskositat) 275, 301-309,313-316,334-335 —, kompressibel (Druck) 1,11 —> Barotropie Fluidik (Halbstrahlelement) 376-377, Abb. 6.42 Fliissigkeitsoberflache (Fliissigkeitsspiegel) -, Druckbedingung (von Atmosphare aufgepragt) 191

Sachverzeichnis

409

-, Kapillar-, Schwerwelle (instationar) 188-198, Abb. 5.45-5.47 - Rankine-Wirbel (Hohlwirbel) 204-205, Abb. 5.49 Freie Stromlinie (erweiterte Potentialtheorie) 244-250, Abb. 5.73-5.76, Tab. 5.6 Freistrahl, Halbstrahl (Flussigkeit, Gas) 32, 245, 249-250, 267, 361-375, Abb. 5.73c, 5.75, 6.34-6.39, Tab. 5.6b, 6.5-6.6 Froude-Zahl (SchwereinfluB) 193-194

Heizen, Kiihlen -> Rohrstromung (diabat) Hele-Shaw-Stromung (schleichende Stromung) 251-252, Abb. 5.77 Helmholtz -> Wirbelsatz Helmholtz-Kirchhoff -» Potentialtheorie (erweitert) Hodograph —» Geschwindigkeitsebene Hypersonische Stromung (Hyperschallstromung) 1-2, 83,102-109,171, 185-186, Abb. 5.40c, Tab. 5.5

Galilei-Transformation (instationare Fadenstromung) 44 Gas (dichteveranderliches Fluid) 1, Tab. C (l.Bd.) —, thermisch ideal (R = const), vollkommen ideal ( K = KS = const) 2, 11, 15, Tab. 1.2 Gasdynamische Grundgleichung (Potentialgleichung) 163-167 — Linearisierung (Abschatzen der GroGenordnung) 168-178, Abb. 5.33, 5.34, 5.36, Tab. 5.4, 5.5 -, Transformation (Ahnlichkeitsregel) 166, 176-186, Abb. 5.37-5.38, 5.41-5.42 Geschwindigkeitsdruck (,,Staudruck") 20, 37, 96, 268 Geschwindigkeitsebene (Hodograph) 89-90, 97, 138-139, 166, 246-247, 250, Abb. 4.43, 5.74b, 5.76b, Tab. 5.6 Geschwindigkeitsfeld, Geschwindigkeitsverhatnis 21-22, 28, 112-114, 127-128, 131-132, 137, 165, 190, 199-202, 319 Geschwindigkeitspotential 113—115 -, skalar (Quellpotential) 114-115, 122, 127-130 -> Potentialfunktion -, vektoriell (Wirbelpotential) 115, 199-200 —> Stromfunktion -, Zusammenhang (Zirkulation) 122 Geschwindigkeitswelle (schwache Geschwindigkeitsstorung) 41-47, Abb. 4.6, 4.18, Tab. 4.3 —> Rohrstromung (instationar) Grenzschicht (Reibungsschicht), GrenzschichtTheorie (Prandtl) 267-382 —, Ausgangsgleichungen (Impuls, Kontinuitats-, Warmetransportgleichung) 277'-278, 284-285, 287, 320-321 -, Begriff, Formulierung 270-283, Abb. 6.2-6.5, Tab. 6.1 -, Grenzschichtgleichung (laminar, turbulent) —> Stromungs-, Temperaturgrenzschicht Grundwasserstromung 260-262, Abb. 5.81-5.82 Grundwellengeschwindigkeit (flaches Wasser) 194

• Impulsgleichung (Kraftgleichung) 12, 25, 42, 79-80, 117, 129, 278, 284, 320 Induzierte Geschwindigkeit (Potentialwirbel, Zirkulation) -, dichtebestandiges Fluid (Biot-Savart) 200-207, 211-212, 215-217, 222-225, 235, Abb. 5.48 —, dichteveranderliches Fluid (Gas) 240-241, Abb. 5.70b Induzierter Widerstand (Tragfliigel endlicher Spannweite) 231-234, Abb. 5.65-5.66a Instationare Stromung (Druck-, Geschwindigkeitswelle) —, Flussigkeit (Druckrohrleitung, freie Oberflache) 52-58, 188-198, Abb. 4.22-4.25, 5.45-5.47 -, Gas (Faden-, Rohrstromung) 41-52, Abb. 4.18-4.21 -, Wirbelausbreitung (Hamel-Oseen) 252-257, Abb. 5.78-5.79 Integralsatz (Gaufi, Stokes) 120 Intermittenz - Stromungsgrenzschicht • Isentrope Zustandsanderung - Entropie (konstant) -, DruckeinfluB (Dichte, Temperatur) 2-3, Abb. 4.1 • Isobare, -chore, -tache, -therme 2 - 5 , 75, 307

Haftbedingung —> Stromungsgrenzschicht (Wand) Halbkorper (Nabenkorper) 109, 150, 161, Abb. 5.15b, 5.20a

Joukowsky -> Auftriebssatz • Kapillarwelle (Flussigkeitsoberflache) 189, 193-194, 197, Abb. 5.46a Karman —> PotentialwirbelstraBe Kavitation (Hohlraumbildung) 239, 246 Kegelstromung —, kegelsymmetrisch (supersonisch) 187-188, Abb. 5.44 -, Widerstand 359 Keilstromung 77, 98-100, 102, 146, 311, Abb. 4.33a, 4.49a, c-4.52, 5.15a • Kennzahl —> Crocco-, Froude-, Laval-, Mach-, Reynolds-, Strouhal-Zahl • Kessel (Ruhezustand) 15, 18-20, 60, Abb. 4.11a, 4.26 -> Ausstromen Komplexe Darstellung (ebene Potentialstromung) 135-157, Abb. 5.10, Tab. 5.2-5.3 —> konforme Abbildung Kompressible Stromung (barotrop) 1, 11, 26

410 Kompression (Druckerhohung), Kompressionsstromung, 2, 9, 18, 20-21, 26-27, 36-39, 90-100, 104-105, Abb. 4.1, 4.9, 4.21, 4.43, Tab. 4.7 -> Stromungsumlenkung (konkav) Konforme Abbildung (ebene Potentialstromung) 137-139, 145, 153-155, 223-225, 247-250, Abb. 5.14, 5.23-5.24, 5.60, 5.74, 5.76 Kontinuitatsgleichung (Massenerhaltung) 11-12, 23, 25, 42, 62-63, 79-80, 117, 129, 132, 163, 278, 284, 320 Kontraktion (Einschnilrung), Kontraktionskoeffizient 249-250 Konturbedingung (Korperkontur, Wandstromlinie) 128, 153, 169, 177, Abb. 5.8 KreisprozeB (Carnot) 8-9, Abb. 4.4 Kreiszylinderumstromung 151-152, 204, 376, 5.21,6.29,6.41b —, Druck-, Geschwindigkeitsverteilung, Zirkulation (Auftrieb) 152, 204, Abb. 5.22a —, Stromungsgrenzschicht, Widerstand (Druck, Schub) 268, 275, 313, 353-356, Abb. 6.16c, 6.30a Kritischer Zustand (Schallzustand, Index*) -, Grenzzustand (Rohrstromung) 64-73, Abb. 4.27-4.30 -, Laval-Zustand (La = 1 = Ma) 16, 21-22, 30, 40-41, Abb. 4.17, Tab. 4.1 Krummlinige Koordinaten (Grenzschicht) 128, 279, 316-318, Abb. 6.5, 6.17 Kugelsymmetrische Stromung 35, 157, 159, 187, Abb. 4.14 Kugelumstromung 107-109, 161-162, 258, 316, Abb. 4.56, 5.29 —, Druck-, Geschwindigkeitsverteilung, Widerstand (Druck, Schub) 108-109, 161-162, 268, 275, 353-356, Abb. 4.57, 5.22b, 6.1, 6.30b Kutta-Joukowsky —> Abstrombedingung, Auftriebssatz Laminare Stromung —> Stromungs-, Temperaturgrenzschicht Landfahrzeug (Aerodynamik) 360 Laval-Diise (konvergent - divergent) 32-35, 49, 60, Abb. 4.11-4.13, 4.26b, Tab. 4.2 Laval-Zahl 16-19, 22, 27-29, 240-241, Abb. 4.8, 5.70 -> kritischer Zustand Linearisierung (kleine Stoning) 39-40, 43-47, 168-173, Abb. 5.33, Tab. 5.4 Linie (Potential-, Stromlinie) 134, Abb. 5.9 Linienintegral der Geschwindigkeit (Zirkulation) 118-120, Abb. 5.1 Machlinie (Machwelle), Machwinkel 76-77, 92-93,95, 166, 175,181,241, Abb. 4.32-4.33, 5.31, 5.40 -> Charakteristik

Sachverzeichnis Mach-Zahl 1, 16-20, 23, 28-29, 60-61, 91-94, 268, 303, Abb. 4.8, 4.9, 4.44a, 6.1 Mach-Zahl-Bereich (sub-, super-, trans-, hypersonisch) 1-2, 68, 71, 75, 83, 171-173, Abb. 4.37, 5.34, Tab. 4.7, 5.5 Massenstrom (Masse/Zeit), Massenstromdichte 11-12, 31-34, 36, 60, 73-75, Abb. 4.31 -> Volumenstrom Nachlauffunktion (Defektfunktion) 324-326, 330-332, Abb. 6.20-6.21 Nachlaufstromung (Stromungsablosung) 245, 267, 353-354, 372-374, Abb. 5.73a, 6.29 Newtonsche Naherung (Druck) 39, 108-109, Abb. 4.15a, 4.57 Normaler (senkrechter) VerdichtungsstoB —> VerdichtungsstoB Normatmosphare 7, Abb. 4.3 a Oberflachenwelle (Fliissigkeitsspiegel) 188-198, Abb. 5.45-5.47 Operator (d'Alembert, Laplace) 176 Peclet-Zahl (Temperaturgrenzschicht) 276, 292-295, Tab. 6.2 Platte -, angestellt (Auftrieb) 83-84, 100-101, 105-106, 168, 179, 223-226, 241-242, 358, Abb. 4.38a, 4.51 a, 4.55,5.32c, 5.38, 5.59-5.60, 5.71b, 6.32c -, gewolbt (Skelettprofil) 168, 221-223, 226, Abb. 5.32b, 5.58 —, langsangestromt (Stromungs-, Temperaturgrenzschicht, Widerstand) 295-309, 311, 326-335, 349, Abb. 6.10-6.15, 6.22-6.24 -» Stromungs-, Temperaturgrenzschicht -, normal angestromt 153-154, 246-248, Abb. 5.23, 5.74, Tab. 5.6 —, Analogie zur Rohrstromung 328—330 Polytrope (Gas) 2 - 8 Potentialfunktion (skalares Geschwindigkeitspotential, Quellpotential), Potentialgleichung 114-115, 122, 127-139, 140-167, 173-176, 190-193, 203, 259, Abb. 5.9, Tab. 5.1-5.3 -> Druckkraftpotential Potentialstromung (drehungsfrei, Euler) 127-198, Tab. 5.1a -, dichtebestandiges Fluid 130-163, 259-260, 353, Abb. 5.9-5.30, Tab. 5.1b, 5.2, 5.3 —, dichteveranderliches Fluid (Gas) 163—188, Abb. 5.31-5.44, Tab. 5.4,5.5 —, erweiterte Potentialtheorie (freie Stromlinie, Helmholtz-Kirchhoff) 244-250, Abb. 5.73-5.76, Tab. 5.6 —, schleichende Potentialstromung (Hele-Shaw, Sickerstromung) 251-252, 259-262, Abb. 5.77,5.81-5.82

Sachverzeichnis • Potentialwirbel, Potentialwirbelstromung (zirkulationsbehaftet) 147-148, 198-241, Abb. 5.16b, 5.52, 5.70, Tab. 5.3e -» Wirbel, Wirbelstromung Potentialwirbelschicht (Trennungsflache) 212-217 -, gerade, kreiszylindrisch 212-217, Abb. 5.55 -, Skelett-Theorie 221-223, Abb. 5.58 Potentialwirbelsystem (mehrere Potentialwirbel) -, Schwerpunktsatz, Energie (kinetisch) 205-209, Abb. 5.50 Schraubenpropeller, Tragfliigel (freier, gebundener Wirbel) 227-239, Abb. 5.62-5.69 -» Anfahrwirbel -, Wirbelpaar, Wirbelquelle 149, 204, 206-209, Abb. 5.19, 5.50-5.52 - WirbelstraSe (Karman) 209-212, 214, 248-249, 353, Abb. 5.53 • Prandtl —> Grenzschicht-, Tragfliigeltheorie Prandtl-Glauert-Ackeret —» Ahnlichkeitsregel (kompressible Stromung) Prandtl-Meyer -» Eckenstromung (Uberschallstromung) > Prandtl-Zahl (Temperaturgrenzschicht) 276, 282-283, 294-295, 303-307 Profiltheorie 217-226 -> Flugelprofil (unendliche Spannweite) • Propeller (Schraubenpropeller) 236-239, Abb. 5.68-5.69 • ProzeB, ProzeBgroBe (Arbeit, Warme) 4, 8-10, 62, 67-68 Quadropol (Dipol) 150, 248, Abb. 5.74c Quellstromung (Sinkenstromung), Quell-Sinkenpaar 35-36, 146-153, 159, 163, Abb. 4.14, 5.16a-5.17, 5.19-5.20, Tab. 5.3 d Quellpotential (skalares Geschwindigkeitspotential) 114-115—> Potentialfunktion Randumstromung, Randwirbel (Tragfliigel) 87, 145, 227-229, Abb. 4.39b, 5.13c, 5.62 Rauheit (Oberflachenbeschaffenheit) 61, 272, 332-334, Abb. 6.22 Reibung, reibungsbehaftete Stromung —> Potentialstromung (erweitert, scWeichend), Rohrstromung (Fanno), Stromungs-, Temperaturgrenzschicht Reynolds-Analogie (Warmestromdichte/ Wandschubspannung) 305, 335 Reynolds-Zahl (Reibung) 267-268, 270, 292-295, 300, 354, Tab. 6.2 Rohrstromung -, adiabat, reibungsbehaftet (Fanno), isotherm, reibungslos, diabat (Warmeumsatz, Rayleigh) 58-65, Abb. 4.26-4.31, Tab. 4.6, 4.7 -, instationar (Druck-, Geschwindigkeitswelle) 47-58, Abb. 4.19-4.25, Tab. 4.4-4.5

411 • Ruhezustand, Ruhedruck (isentrop), Ruhetemperatur (adiabat) 2-9, 18, 21, 37, 305 -> Kessel, Staupunkt, Totalzustand

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Schalldruck, Schallschnelle 44-45 -> Druck-, Geschwindigkeitswelle Schallgeschwindigkeit (Lavalgeschwindigkeit, Ruhezustand) 11-16,48, 129, 163-164, 169, Abb. 4.7 Schallstromung —> transsonische Stromung Schiefer (schrager) VerdichtungsstoB —» VerdichtungsstoB Schiffswelle 189, 194, 197-198, Abb. 5.47 Schlankheitsgrad (Flugelprofil) 168, 177-187, Abb. 5.32 Schleichende Stromung (Hele-Shaw) 251-252, Abb. 5.77 Schwebender Korper 6 SchwereinfluB (Aerostatik) -, Atmosphare 6—8, Abb. 4.3 -, Grundwasserstromung 260-262, Abb. 5.81-5.82 -, Hohlwirbel (vertikal stehend) 204-205, Abb. 5.49 Schwerwelle (Flussigkeitsoberflache) 189, 193-194, 197, Abb. 5.46 Sickerstromung (Grundwasser) 257-262, Abb. 5.80 Singularitatenverfahren (Dipol, Quelle, Potentialwirbel) 152-153, 156, 162, 221-223, 225, 236, Abb. 5.30, 5.58, 5.67 Spiegelung (Dipol, Potentialwirbel, Quelle) 156-157, 209, Abb. 5.25-5.26, 5.52 Staudruck —> Geschwindigkeitsdruck Staupunkt, Staupunktdruck 15, 36-39, 106-107, 152, 204, 218, 225, Abb. 4.15, 5.21 Staupunktstromung (eben, raumlich) 145—146, 159, 310-313, 317-318, Abb. 5.13b-5.15, 527, 6.16-6.17, Tab. 5.3c Stautemperatur (Ruhetemperatur) 18, 37—39, Abb. 4.15 b Storfront (Stofi-, Wellenfront) 24-29, 76-82, Abb. 4.10, 4.32-4.36 -> Stromungsumlenkung (konkav, konvex) StoB-Expansions-Methode 100-101, Abb. 4.51 StoBpolaren-Diagramm 97-98, Abb. 4.43 StoBwellenrohr 49-52 Strahl, Strahlstromung —> Frei-, Halbstrahl Strahlablenkung (Coanda) 375-377, Abb. 6.41 Stromfaden (reibungslose Fadenstromung) 10-58, Abb. 4.5-4.25 -> Wirbelfaden Stromfunktion (vektorielles Geschwindigkeitspotential, Wirbelpotential) 114, 132-138, 140-152, 159-161, 207-208, 296-297, 309-311, 314, 362, Tab. 5.2-5.3 Stromlinie, Stromlinienbild 119, 124, 134, 141-162, 205-212, 244-252, Abb. 5.1, 5,5, 5.12-5.30, 5.50-5.53, 5.73-5.77 -> Linie

412 Stromlinienbedingung (Konturbedingung), Stromlinien-Analogie (Ahnlichkeitsregel) 128, 132, 153, 169, 177-186, Abb. 5.8 Stromung, Stromungsfeld -, drehungsbehaftet —> Wirbelstromung, drehungsfrei —> Potentialstromung —, reibungsbehaftet —> Stromungs-, Temperaturgrenzschichtstromung -, zirkulationsbehaftet - Potentialwirbelstromung Stromungsablosung, Riickstromung (gewolbter Korper, scharfe Kante, Druckanstieg) 41, 144, 152, 218-219, 245-249, 273, 290-291, 309, 311, 322, 338-339, 345, 351-361, Abb. 4.17, 5.22, 5.57b, 5.73a, b, 6.1, 6.6-6.7, 6.16, 6.26, 6.29-6.32 Stromungsgrenzschicht (homogenes, inhomogenes Fluid) —» Grenzschicht; GrenzschichtTheorie —, feste, masseundurchlassige Begrenzung (Wand) 267-361, 374-377, Abb. 6.2-6.28, 6.40, Tab. 6.1-6.4 -» Platte (langsangestromt) —, freie Begrenzung (Freistrahl) 361—374, Abb. 6.34-6.39, Tab. 6.5-6.6 -, laminare Stromung 283-287, 289-303, 307-318,361-363 -, turbulente Stromung 318-351, 361-375 —, Ablosung —> Stromungsablosung, Umschlag -> Stromungsumschlag -, AuBenstromung (Druck/Geschwindigkeit) 271, 279, 283, 286, 288, 290-291, 297, 309-311, 317, 321-325, 330, 335-339, 346, 351, Abb. 6.2, 6.5, 6.28 a, Tab. 6.1 —, Druckbedingung (Druck von AuBenstromung bzw. von Strahlumgebung aufgepragt) 281, 285-286, 317-318, 320, 362, 364, 367 -, Geschwindigkeitsprofil 279-281, 286, 290-291, 311, 313, 368, Abb. 6.5-6.9, 6.16, 6.38 , ahnliche Losung (laminar) 311, 363, Abb. 6.11a, 6.16a, 6.34 - -, Potenzansatz, Gleichgewichtsgrenzschicht, Nachlauffunktion (turbulent) 323-326, 330,336-339, Abb. 6.18-6.21, 6.25 -, Grenzschichtdicke (Energie-, Impulsverlustdicke, Verdrangungsdicke) 271, 279-281, 293-295, 298-299, 311, 319, 325-326, 328, 331-332, 337, 344-351, Abb. 6.3 a, 6.5, 6.8-6.9, Tab. 6.2,6.3 -, Impulsbedingung (Impulsstrom im Strahl unveranderlich) 367—368 —, Integralverfahren (Energie, Impuls) 340-350, Abb. 6.26-6.28 - Reynolds-Zahl 267-270, 272, 292-295, 300, 303 - , Stoffgesetz (Dichte, Viskositat) 282, 302-303,314-315

Sachverzeichnis -, Unterschicht (viskos) 290, 319, 321-322, Abb. 6.18b —, Wand (Grenzschichtbeeinflussung, Haftbedingung) 270, 273-275, 278-281, 283-284,289-291, 297, 300-301, 310, 321, Abb. 6.2-6.6, Tab. 6.1 —, Wandschubspannung (Schubspannungsgeschwindigkeit) 286, 291, 299, 305, 321-322, 325-331, 336, 343, 346-348 > Stromungsmaschine —» Fltigelgitter, KreisprozeB, Propeller ' Stromungsumkehr 24 Stromungsumlenkung (stetig, unstetig) 76-109, 166-167, Abb. 4.32, 5.31 -» Storfront -, konkav (Kompression) —> VerdichtungsstoB (schief) -, konvex (Depression, Expansion) —> Eckenstromung (Prandtl-Meyer) ' Stromungsumschlag (laminar-turbulent), Intermittenz 272-273, 275, 300, 319, 328-329, 374-375, Abb. 6.1, 6.3a, 6.10c, 6.40 . Strouhal-Zahl (instationar) 212, Abb. 5.53e Sub-, supersonische Stromung (Unter-, Uberschallstromung) 1-2, 10-102, 163-180, Abb. 5.40a, Tab. 5.5 • Summationsvereinbarung 278 Superpositionsgesetz (Uberlagerungsprinzip), 131, 134-137, 147, 153, 161, 174-175, 204, Abb. 5.10, 5.31 Temperaturgrenzschicht (homogenes, inhomogenes Fluid) —> Grenzschicht, Grenzschicht-Theorie —, feste, warmedurchlassige Begrenzung (Wand) 267-268, 275-283, 287-289, 292-295, 303-308, 315-316, 322, Abb. 6.3b, 6.5, 6.8-6.9, 6.12-6.14, Tab. 6.1 —> Platte (langsangestromt) -, laminare Stromung 287-289, 293-295, 303-309,315-316 -, turbulente Stromung 322 -, AuBenstromung (Druck/Temperatur) 276, 279, 288, Abb. 6.5 -, Grenzschichtdicke 276, 279-281, 293-295, Abb. 6.3b, 6.5, 6.8-6.9, Tab. 6.2 -, Peclet, Prandtl-, Reynolds-Zahl 276, 282-283, 292-295, 303-305, 322 -, Stoffgesetz (Warmekapazitat, Warmeleitfahigkeit) 282-283 -, Temperaturprofil 276, 279-281, 291-292, 306-308, Abb. 6.3 b, 6.5, 6.8-6.9 -, Wand (Eigentemperatur, Wandtemperatur, Warmeubergang) 276-281, 288, 291-292, 304-307, 316, 322, Abb. 6.12, Tab. 6.1 -, Unterschicht (diatherm, warmeleitend) 319, 322

Sachverzeichnis Temperaturverhaltnis (Gas) -, Stromfaden, VerdichtungsstoB 18-20, 27, Abb. 4.9 a —, Zustand (isentrop, polytrop, thermisch) 2,7, 11, Abb. 4.1b Thermometerproblem (adiabate Wandtemperatur) 276, 305 Totalzustand, Totaldruck (adiabat-reversibel), Total-Druckverlust (adiabat-irreversibel), Totaltemperatur (adiabat) 18, 37, 61-62, 66-68, Abb. 4.28 a, Tab. 4.7 a Tragfliigeltheorie (Prandtl) —» Fliigel, Zirkulation Translations-, Parallelstromung 144-145, 158, 212-215, Abb. 5.13a, 5.54 Transsonische Stromung (Schallstromung) 2, 83, 180-184, Abb. 5.40b, 5.42-5.43, Tab. 5.5 Trennungsflache (Trennungs-, Wirbelschicht) 100-101, 212-217, 241-242, 245-249, 361-363, Abb. 4.51a, 5.54-5.55, 5.71b, 6.34 > Turbulente Stromung —> Stromungs-, Temperaturgrenzschicht • Turbulenzgrad (Kugelkennzahl) 272, 300, 356, 358 • tlberschallstromung —» supersonische Stromung • Unterschallstromung —> subsonische Stromung Unterschicht —> Stromungs-, Temperaturgrenzschicht • Vakuum2, 11, 15,21,26,30,83,87, 104, 141, 167, Abb. 4.37, 4.39b Verdichtungs-, Verdunnungsfacher (Uberschallstromung) 77, 100-102, 241-242, Abb. 4.32, 4.51,5.71 VerdichtungsstoB (Uberschallanstromung, unstetig, anisentrop) 11, 29, 35-36, 41, 68, 71, 77, Abb. 4.27-4.28, 4.30, 4.32b, c -, abgehoben (gekriimmt), anliegend (~ gerade) 36-39, 77-78, 95-103, 106-109, 242-244, Abb. 4.15a, 4.33, 4.47, 4.49-4.50, 4.53, 4.56, 5.72 -, flach (schwach), steil (stark) 95-96, 99, 184, Abb. 4.47, 4.50, 5.43 -, normal (senkrecht) 24-29, 37-38, 80, Abb. 4.9d, 4.10, 4.15 -, schief (schrag) 29, 77, 80, 90-102, Abb. 4.32b-4.36b, 4.40-4.41,4.47-4.48 —, DruckeinfluG (Dichte, Entropie, Temperatur) 25-27, 80-81, Abb. 4.1 -, StoBfront (Storfront), StoBparameter, StoBwinkel 78-82, 91-96, Abb. 4.34-4.36, 4.44-4.46 -, StoBgleichung (Rankine-Hugoniot), StoBpolare (Diagramm) 24-25, 78-80, 97-98, Abb. 4.43 -, StoBreflexion 102, Abb. 4.52 Vertauschungsprinzip 134-135, 137, 145, 147, Abb. 5.9,5.16

413 • Volumenanderungsarbeit 4 - 5 , 9 • Volumenstrom (Volumen/Zeit) 135, 146, 370-371, Abb. 6.39, Tab. 6.5 -» Massenstrom Wandbedingung (Wandbindung) —» Stromungs-, Temperaturgrenzschicht • Wandbeschaffenheit (diabat, glatt, poros, rauh) 61, 272, 276-277, 283, 290-291, 305, 319, 332-334, 337 • Wandschubspannung —> Stromungsgrenzschicht Wandtemperatur (adiabat) -> Eigentemperatur i Warme, Warmetransportgleichung, Warmeiibergang, Warmeumsatz (Heizen, Kiihlen) 4 - 5 , 12 -> KreisprozeB (Carnot), Rohrstromung (Rayleigh, isotherm), Temperaturgrenzschicht < Weber-Zahl (Oberflachenspannung) 194 Weg-Zeit-Diagramm (instationare Fadenstromung) 45-52, Abb. 4.18,4.20-4.21 Wehrkorper 260-261, Abb. 5.81 • Wellenausbreitung, Wellenbewegung (instationare Stromung) —, Faden, Rohrleitung (Druck-, Geschwindigkeitswelle) 41-58, Abb. 4.18-4.25 -, Flussigkeitsoberflache (Kapillar-, Schwerwelle) 188-195, Abb. 5.45-5.47 -, Reflexion (Rohr, VerdichtungsstoB) 48-49, 102, Abb. 4.19,4.52 -, Storfront (Machwelle) 13-16, 76-82, Abb. 4.6, 4.32-4.36 • Widerstand, Widerstandskraft (tangential zur Anstromrichtung) 226, 352, 372-374, Abb. 5.11b, 5.61 -> Fliigel, Kreiszylinder, Kugel, Platte —, Ablosungswiderstand (Nachlaufstromung) 248-249, 273, 352-360, 373-374 —, Druckwiderstand (d'Alembert-Paradoxon) 140, 152,267,351 —, Induktionswiderstand, Widerstandspolare (Tragfliigel-Wirbelsystem) 232-234, 238, Abb. 5.65-5.66,5.69 -, Reibungswiderstand (Schubspannung) 233, 268-269, 296 —, Verdrangungswiderstand (reibungsbedingter Druckwiderstand) 152, 268, 274-275, 291, 351, Abb. 6.7 - , Wellenwiderstand (Uberschallstromung) 84, 231 Winkelstromung 140-141, Abb. 5.12a —> Eckenstromung Wirbel (Drehung), Wirbelstromung (drehungsbehaftet) 112-119, 199, Abb. 5.1b —> Potentialwirbel, Potentialwirbelstromung -, Ausbreitung (instationar, viskoses Fluid, Hamel-Oseen) 252-257, Abb. 5.78-5.79 -, Entstehung (Anfahrwirbel) 218-219, Abb. 5.56

414 Wirbel - Rankine-Wirbel (Hohlwirbel) 204-205, Abb. 5.49 —, Zusammenhang (Entropie, Zirkulation) 115-116, 120-121 Wirbelelement, Wirbelfaden, Wirbellinie, Wirbelring, Wirbelrohre 124-126, 200-202, Abb. 5.5-5.7, 5.48 -> Induzierte Geschwindigkeit (Biot-Savart) Wirbelenergie (kinetisch) 203, 207-209, 254, 256-257 Wirbelgebiet (Nachlauf) 219, 245, Abb. 5.73a Wirbelkern (Festkorper-Rotation) 121, 205, 207, 255-256, Abb. 5.3a, 5.49, 5.51, 5.79 Wirbelpotential (vektorielles Geschwindigkeitspotential) 114, 115 —> Stromfunktion Wirbelsatz, Wirbelerhaltungssatz (raumlich, zeitlich, Crocco-Vazsonyi, Helmholtz) 94, 115-118, 124-127,201,240-242 Wirbelschicht (angestellte Platte, gekriimmter VerdichtungsstoB) 241-244, Abb. 5.71, 5.72 —> Trennungsflache Wirbeltransportgleichung 117-118, 124, 253, 256 Wirkungsgrad -, mechanisch (Propeller) 239, thermisch (Carnot-KreisprozeB) 9

Sachverzeichnis > Zirkulation (Flachen-, Linienintegral), Zirkulationsdichte 118-122, 147, 200, 215-216, Abb. 5.1-5.3, 5.55 -, Auftriebssatz (Blasius, Kutta-Joukowsky) 140, 217, Abb. 5.11 —, Ausbreitung (instationar, viskoses Fluid, Hamel-Oseen) 252-257, Abb. 5.79 -, Entstehung (Anfahrwirbel) 218-219 - , Tragflugel (Potentialwirbelsystem) 217-234 —, Zusammenhang (Drehung, Geschwindigkeitspotential) 120-122, 200 Zirkulationssatz, Zirkulationserhaltungssatz (raumlieh, zeitlich, Stokes, Thomson = Lord Kelvin) 122-124, 214-215, 218, 229 Zirkulationsstromung (Potentialwirbelstromung) 118-124,198-242 > Zustand, Zustandsanderung, Zustandsgleichung, ZustandsgrSBe (Gas) 2-4, 11, 58-59, 64-66, 69-70, 75, Tab. 4.6 -, adiabat (reversibel, irreversibel) —> Adiabasie, ProzeB —, barotrop, polytrop —> Barotropie, Polytrope —, isentrop, homentrop (adiabat-reversibel) —> Entropie (konstant) -, thermisch (ideal, vollkommen ideal)

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