Fondamenti di telecomunicazioni

-

45°)

=

Re{(25e-j7T/4)

ejCL\)t},dove Wo = 211/0 efo = 500 Hz. Analoga-

mente, lO cos( wot + 35°) è rappresentato come lO /35°. Sporadicamente vengono anche usate definizioni di fasore leggermente diverse. Per esempio, w( t) può essere espressa come parte immaginaria di una quantità complessa anziché come parte reale, oppure il modulo del fasore può indicare il valore efficace piuttosto che il valore massimo [Kaufman e Seidman, 1979]. In tutto il libro ci atterremo strettamente alla definizione (2-24).

2-2

43

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

2-2 TRASFORMATA DI FOURIER E SPETTRI DI UN SEGNALE Definizione

della trasformata

di Fourier

La definizione di frequenza per un.segnale sinusoidale è immediata: la frequenza di oscillazione è !'inverso del periodo di ripetizione To secondo la relazione fo = llTo. Però, in molte applicazioni i segnali non sono periodici, quindi occorre rispondere al seguente quesito: esiste un metodo per trovare il contenuto frequenziale7 di segnali non sinusoidali? La risposta coinvolge l'uso della cosiddetta trasformata di Fourier (TF). Questo algoritmo permette infatti di ricavare proprio le componenti sinusoidali di un dato segnale w(t). DEFINIZIONE.

La trasformata di Fourier di un segnale w( t) è W(J)

= ~[w(t)] = Ioo--= [w(t)]e-j21T/t

dt

(2-26)

dove ~[.] denota l'''operatore trasformata" e f è il parametro frequenza espresso in Hz (cioè, lIS)8. W(J) è anche chiamato spettro bilatero di w(t), in quanto nella (2-26) la frequenza può assumere valori sia positivi che negativi. Dovrebbe essere chiaro che la trasformata di una tensione o di una corrente è il risultato di un calcolo matematico, quindi non è fisicamente presente in alcun punto di un sistema. f, come già detto, è il parametro (chiamato frequenza) in corrispondenza del quale viene valutata la trasformata, che è in generale un valore complesso. La TF fornisce dunque il contenuto frequenziale di un segnale al variare del parametro f. Per esempio, nel caso w(t) = 1, la funzione integranda della (2-26) è e-j21T/t

= cos 27Tft

- j sin 27Tft, e l'integrale è nullo se f = O. Se invece si sceglie f

=

O

la TF non è nulla, e possiamo concludere che questa l'unica componente frequenziale contenuta in w(t) = 1. Come ulteriore esempio, consideriamo w(t) = 2 sin 217fot.In questo caso la funzione integranda della (2-26) è sin 27T(fo- /)t + sin 27T(fo+ f)t j cos 27r(fo - /)t

+ cos 27r(fo + f)t e l'integrale è non nullo solo per f

= fo e f =

_f09.

Anche in questo caso abbiamo "risolto" le componenti frequenziali di w(t). Il calcolo della TF secondo la definizione può essere difficile, ma vi sono alcune tecniche alternative che spesso aiutano nello scopo. 1. Integrazione diretta. Si veda l'Esempio 2-2. 2. Tabella di trasfonnate di Fourier e di Laplace. Si veda la Tabella 2-2 e l'Esempio 2-9. 3. Teoremi sulla TF. Si veda la Tabella 2-1 e l'Esempio 2-3.

7 La tensione costante contiene la sola frequenzaf= O, ed è un caso speciale di un segnale sinusoidale con To ~ 00 efo ~ o. L'onda quadra ha un numero infinito di frequenze armoniche multiple dispari della fondamentale, come mostrato nell'Esempio 2-12. 8 Abbastanza spesso la TF viene definita in funzione del parametro pulsazione ltJ =271/, espresso in radianti al secondo. Questa definizione è identica alla (2-26) quando ad ltJ si sostituisce 271f. Qui utilizzeremo la (2-26) in quanto la scala degli analizzatori di spettro è calibrata in hertz, e non in radianti al secondo. 9 La frequenza della sinusoide èfo, ma la TF trova due componenti, una a frequenzafo e l'altra alla frequenza "immagine" -fo, come spiegato in maggiore dettaglio nell'Esempio 2-4.

44

Capitolo 2 - Segnali e spettri

4. Principio di sovrapposizione degli effetti, per scomporre il problema in due o più problemi più semplici. Si veda l'Esercizio di approfondimento EA2-5. 5. Derivazione o integrazione di w(t). Si veda l'Esempio 2-6. 6. Integrazione numerica mediante PC utilizzando le funzioni di integrazione di MATLAB o MathCAD. Si veda l'Esempio 2-5 e ilfile E2_055N.M. 7. Trasformata di Fourier veloce (FFf, Fast Fourier Transform) mediante PC utilizzando le funzioni di MATLAB o MathCAD. Si veda la Figura 2-21. il file FlG2_21.M, la Figura 2-22, e il file FlG2_22.M. Scopo di questo capitolo è proprio lo sviluppo di queste tecniche. Dalla (2-26), si nota immediatamente che la TF W(J) di un segnale è una funzione complessa della frequenza, visto che e-j21T!tè una quantità complessa. Allora W(J) può essere decomposta nelle due funzioni reali X(J) e f(J) tali che W(J)

= X(J) + jf(J)

(2-27)

cioè la parte reale e la parte immaginaria di W(J) (forma rettangolare). Alternativamente, la (2-26) può essere espressa in coordinate polari, sempre mediante una coppia di numeri reali che ora denotano il modulo e la fase: W(J)

=

(2-28)

IW(J)lej6(f)

Pertanto

(}(J)

=

f(J) tan-I ( X(J) )

(2-29)

e la forma è detta polare. Per determinare se alcune componenti frequenziali sono presenti in segnale, è sufficiente esaminare lo spettro d'ampiezza IW(J) I, che spesso, commettendo peccato d'omissione, è chiamato semplicemente spettro. Conoscendo la TF di un segnale, si può risalire al segnale di partenza attraverso la formula della antitrasformata di Fourier (ATF) w(t)

=

foo-00 W

(J)ej21T!t

df

(2-30)

Le funzioni w(t) e W(J) rappresentano una coppia trasformata-antitrasformata, cioè rispettivamente la rappresentazione temporale e frequenziale del segnale. Come illettore avrà già notato, abbiamo indicato una funzione nel dominio del tempo con una lettera minuscola, riservando la lettera maiuscola alla corrispondente TE Una notazione abbreviata per indicare il legame (biunivoco) tra i due domini è rappresentata da una doppia freccia: w(t) ~ W(J). Il segnale w( t) ammette sicuramente TF quando rispetta le cosiddette condizioni di Dirichlet:

.

w( t) è assolutamente integrabile, cioè foo -00

Iw(t)1dt <

(2-31) 00

J

2-2

.

45

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

Su un qualsiasi intervallo temporale di lunghezza finita w( t) ha un numero finito di discontinuità con valori-limite da destra e da sinistra finiti, e ha un numero finito di massimi e minimi.

Queste condizioni sono sufficienti, ma non necessarie. Infatti alcuni degli esempi descritti nel seguito non soddisfano le condizioni di Dirichlet, tuttavia possiedono TF. Una condizione sufficiente più restrittiva per l'esistenza della trasformata di Fourier è E

= foo--=Iw(t)12 dt

(2-32)

< 00

dove E è l'energia normalizzata del segnale [Goldberg, 1961]. Questa è la condizione di energia finita che peraltro è soddisfatta da tutti i segnali fisicamente realizzabili. Pertanto, tutti i segnali incontrati nella pratica possiedono TF. Abbiamo già accennato che talvolta si utilizzano definizioni della TF leggermente diverse da quella della (2-26). In questi casi, l'equazione per la trasformata inversa, equivalente alla (2-30), è differente, in modo che calcolando "in cascata" trasformata e antitrasformata si ritrova comunque il segnale originario w( t) secondo il teorema integrale di Fourier: (2-33)

w(t) = foo --= foo --=w(A)ej27T!(t-A)dA df

Questa relazione può essere decomposta nelle (2-26) e (2-30), ma anche in altre maniere altrettanto valide. Per concludere, notiamo che il teorema integrale è strettamente applicabile solo per funzioni non singolari (cioè per funzioni fisiche). Se ad esempio w(A), è un'onda quadra ideale, allora nei punti di discontinuità (ad esempio, Ao)il segnale "ricostruito" w( t) avrà un valore che è la media (semisomma) dei due valori-limite assunti da w( A) ai lati del punto di discontinuità ;\0stesso. Esempio

2-2 5PETIRO DI UN IMPULSO ESPONENZIALE

Consideriamo un impulso esponenziale decrescente con inizio al tempo t = O,e cioè t>O t< O Attraverso la definizione si ottiene (integrando direttamente)

cioè W(f)=

l

Dunque la coppia TF-A TF è

e -/ , { O,

t>O t < O}

H-

l l + j27Tf

(2-34) (Continua)

46

Capitolo 2 - Segnali e spettri Lo spettro può essere espresso in fonna rettangolare razionalizzando il denominatore della (2-34): e Y(f)

=l

-27Tf + (27Tf)2

Gli spettri di ampiezza e fase si trovano invece esprimendo la TF in fonna polare come segue: e

Vedremo altri esempi dopo aver introdotto alcuni utili teoremi. Proprietà

delle trasformate

di Fourier

Dalla definizione di TF (2-26) discendono molte proprietà ("teoremi") estremamente utili. Uno di particolare interesse consegue dal fatto di lavorare con segnali fisici. Infatti, le forme d'onda associate alla tensione o alla corrente in un qualunque sistema fisico sono funzioni reali, e non certamente funzioni complesse. TEOREMA. Simmetria Hermitiana dei segnali reali. Se w(t) è reale, al/ora

W(-f)

= W*(f)

(2-35)

dove l'asterisco ad apice indica l'operazione di coniugio (numero complesso coniugato). Dimostrazione.

Dalla (2-26) si ha

W( -f)

= j'oow(t)ej21T/1dt -00

(2-36)

e coniugando la (2-26) si ottiene (2-37) Poiché w(t) è reale, w*(t) = w(t), quindi la (2-35) è dimostrata in quanto i termini a secondo membro nella (2-36) e nella (2-37) sono uguali. Si vede anche facilmente che se w(t) è reale e pari, allora W(f) è reale [e perciò pari per la (2-35)] e che se w(t) è reale e dispari, allora W(f) è immaginaria pura (e dispari). Dalla (2-35) si capisce che per w(t) lo spettro di ampiezza è una funzione pari, e cioè

IW(-f)1 = IW(f)1

(2-38)

mentre lo spettro di fase è una funzione dispari: O(-f)

= -O(f)

(2-39)

2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

47

Se infatti scriviamo lo spettro in forma polare W(f)

=

IW(f)leJo(f)

=

IW(-f)!ejO(-f)

=

IW(f)!e-jo(f)

allora W(-f) e W*(f)

e dalla (2-35) si trovano subito la (2-38) e la (2-39). Per concludere, riassumiamo le principali proprietà della TF:

.

f, chiamata frequenza e misurata in hertz, è un parametro della TF che specifica il va-

.

lore dellafrequenzadellacomponentedel segnalew(t) chevogliamo"misurare". La TF cerca una componente a una frequenza f fissata considerando il segnale w( t) tutto l'asse temporale, cioè -00

. .

< t < 00

W(f) è in generale complessa, anche se w(t) è reale.

Se w(t) è reale, alloraW(-f)

= W*(f).

Teorema di Parseval e densità spettrale di energia Teorema di Parseval.

Wl(t)W;(t) dt

fOO -00

Se Wl (t)

= W2(t) = w(t),

= foo -00 Wl (f)W;(f)

df

(2-40)

allora il teorema si riduce al

Teorema dell'energia di Rayleigh. E Dimostrazione. si ottiene

= foo

-00

Iw(t)12 dt

= foo

-00

IW(f)12 df

(2-41 )

Considerando la (2-40) e utilizzando la (2-30) per sostituire Wl(t),

48

Capitolo 2 - Segnali e spettri

I

Scambiando l'ordine di integrazione tra le variabili

I: WI(t)W~(t) dt = I:

Wl

(f)

e t si ha IO

[I: W2(t)e-j21T/t dtr

di

Applicando la (2-26) si trova infine la (2-40). Il teorema di Parseval fornisce un metodo alternativo di valutare l'energia di un segnale nel dominio della frequenza piuttosto che nel dominio del tempo, e conduce al concetto di densità spettrale di energia. DEFINIZIONE.La densità spettrale di energia normalizzata (DSE) è definita per i segnali a energia fmita come '&(f) = IW(f)12 dove w(t)

(2-42)

H W(f).

Utilizzando la (2-41), l'energia normalizzata risulta data da

E

= Joo -00'&(f)

(2-43)

di

Per i segnali a potenza finita, può essere definita una funzione similare, chiamata densità spettrale di potenza (DSP), che sarà introdotta e studiata nel Paragrafo 2-3 e nel Capitolo 6. Al di là di quello di Parseval, i principali teoremi riguardo la TF sono riassunti in Tabella 2-1. Generalmente la dimostrazione si ottiene sostituendo la funzione del tempo nella definizione di trasformata e riducendo il risultato a quello riportato nella colonna destra della tabella. Per esempio, il teorema del cambiamento di scala si dimostra sostituendo w(at) nella (2-26). Si ottiene

~[w(at)] Ponendo ti

= Joo -00w(at)e-j211lt

dt

= at, e supponendoa > °, si trova ~[w(at)] =

J-00 ~a w(t,)e-j21Tif/a)tl OO

dt,

= ~W a

/ (a )

mentre per a < O,questa equazione diventa

Così, sia per a > O che per a < °, si ottiene

w(at) H~w lal IO Il

/ ( a)

teorema di Fubini afferma che l'ordine di integrazione può essere scambiato se i due integrali sono

assolutamente convergenti, e cioè sono [miti quando alle funzioni integrande assoluto. Supponiamo che questa condizione sia soddisfatta.

si sostituisce

il rispettivo

valore

2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

49

Gli altri teoremi di Tabella 2-1 possono essere facilmente dimostrati in modo del tutto simile, eccetto per il teorema integrale che è più difficile da ottenere in quanto presuppone l'mio della funzione delta di Dirac 8(f). Questo teorema può essere dimostrato usando il teorema della convoluzione, come illustrato nel Problema 2-36. Il teorema del segnale passa-banda sarà trattato con maggiore dettaglio nel Capitolo 4, e rappresenta la base per le modulazioni analogiche e digitali sviluppate nei Capitoli 4 e 5. Infine, nel Paragrafo 2-8 studieremo la relazione tra la TF fin qui analizzata e la trasformata discreta di Fourier (TDF). Gli esempi che seguiranno dimostreranno chiaramente che questi teoremi, assieme alla Tabella 2.1 che il lettore deve padroneggiare, semplificano enormemente in molti casi il problema di calcolare la TF. Talvolta, dopo aver calcolato una certa TF, può essere utile verificame alcune proprietà elementari, in modo da rivelare eventuali errori. Ad esempio, se w( t) è reale, sappiamo che:

. .

W(-f)

.

W(f) è immaginaria pura se w( t) è dispari, e così via.

W(f)

= W*(f), oppure IW(f)1 pari e O(f) dispari. è reale se w(t)

è pari.

Esempio 2-3 SPEITRO DI UNA SINUSOIDESMORZATA Un segnale sinusoidale smorzato è del tipo w(t)

=

e-1fT sin Ctl(Jt, {O,

t> O, T> O t< O

Lo spettro di questa forma d'onda è ottenuto valutandone la TF, cosa che risulta piuttosto semplice se si fa uso del risultato dell'esempio precedente nonché dei teoremi sulla trasformata. Dalla (2-34), utilizzando il teorema del cambiamento di scala di Tabella 2-1 con a = l/T, si trova che

t>O

T

t < O} H 1 + j(2TrIT) Per il teorema della traslazione in frequenza con 8 = -Tr/2, si ha poi W (I)

=

1 T /2 - e-J7T 2 { 1 + j2TrT(f 0

T

=

essendo eozj7T/2= cos( Tr/2) -:tj sin( Tr/2)

T

0

- lo)

l

2j { l + j2TrT(f

+ eJ7T/2

l + j2TrT(f + lo) }

l

- lo) = -:tj.

l + j2TrT(f + lo) }

(2-44)

Lo spettro ottenuto è complesso (cioè non

è né reale né immaginario puro) visto che w(t) non ha simmetria nè pari nè dispari attorno a t = O.La (2-44) indica anche che lo spettro di ampiezza della sinusoide smorzata tocca il proprio massimo per / = -:t/o. Tenendo conto che il massimo dello spettro di ampiezza dell'esponenziale decrescente si ha per I = O,concludiamo che l'effetto del termine Wotè quello di spostare il massimo da / = Oa/ = -:t/o.

50

Capitolo 2

TABELLA 2-1

- Segnali

e spettri

TEOREMI RELATIVI ALLA TRASFORMATA DI FOURIERa

Operazione

Funzione

Trasformata di Fourier

Linearità Traslazione temporale

atWl(t) + azwz(t) W(t-Td)

al Wl(f) + azWz(f) W(f) e-j.,Td

Cambiamento di scala

w(at)

iTw(~)

Coniugio Dualità Traslazione in frequenza di un segnale reale [w(t) è reale] Traslazione in frequenza di un segnale complesso Segnale passa-banda

w*(t) W(t) w( t) cos( wct + (J)

WO(-f) w(-J) ![ej"W(f - fc) + e-j"W(f + fc)]

Re{g( t) ej"ct} dnw(t) dtn

![G(f - fc)+ G*(-f

r

(j21TJ)-IW(f)

+ !W(O) 8(f)

Wl (f) * Wz(f)

= foo -<X>Wl (A) Wz(f

Derivazione Integrazione Convoluzione

Moltiplicazioneb

(j21Tf)nW(f)

-<X>w(A)dA

Wl(t) * wz(t) = . wz(t - A) dA

foo -<X>Wl

WI(t)WZ(t)

(A)

(- j27T )

Moltiplicazione per tn a Wc

- fc)]

- A) dA

-n dnw (f) dfn

= 271/c-

b * indica l'operazione di convoluzione come descritta in dettaglio dalla (2-62).

Funzione delta di Dirac e funzione gradino unitario DEFINIZIONE. Lafunzione deltadi Dirac 5(x) è definitacome Ioo -00

= w(O)

w(x) 5(x) dx

dove w( x) è qualsiasi funzione continua in x

(2-45)

= O.

In questa definizione, la variabile x può essere il tempo o la frequenza, a seconda del caso particolare. La (2-45) dice in realtà assai poco sulla delta di Dirac, della quale è conveniente dare una definizione alternativa che aiuti a chiarime natura e proprietà:

IOO -00

5(x) dx

=

l

(2-46a)

2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

51

e

o(x)

x=O x~O

= {~'

(2-46b)

Da queste relazioni si capisce che la delta di Dirac non è una vera e propria funzione nel senso ordinario del tennine (una funzione non può assumere valore infinito). Essa può essere definita a rigore come funzione generalizzata e viene studiata in una parte della matematica chiamata teoria delle distribuzioni. Elaborando la (2-45), si ottiene la proprietà campionatrice della funzione o: fX>--00

w(x) o(x

-

xo) dx

= w(xo)

(2-47)

Attraverso questa operazione estraiamo cioè un campione del segnale dato. Un'ulteriore rappresentazione di 8( x) è la seguente:

o(x)

(2-48)

= Joo dy --00 e:f:.j21rxy

dove può essere usato sia il segno + che il segno - (e da questo si capisce che 8(x) è pari: 8(-x) = o(x)). La validità della (2-48) può essere verificata prima calcolando la trasfonnata di Fourier della funzione delta Joo --00 8(t)e-j21r/t dt

= eO =

l

e poi calcolandone l'antitrasfonnata: la relativa relazione coincide proprio con la (2-48) Per le altre proprietà della funzione delta si rimanda all'Appendice A. Un segnale strettamente collegato alla funzione delta di Dirac è il gradino unitario. DEFINIZIONE.Il segnale gradino unitario u(t) è definito da l, u(t) = {O,

t>O t
(2-49)

Tenendo conto delle proprietà della funzione delta appena esaminate, è facile rendersi conto che

r

--008(À)

dÀ

= u(t)

(2-50)

e di conseguenza

du(t) dt

= o(t)

(2-51)

Attraverso questa relazione è possibile calcolare la derivata di una funzione discontinua (che naturalmente risulta una funzione generalizzata).

52

Capitolo 2

- Segnali e spettri

Esempio

2-4 5PETIRO DI UNA SINUSOIDE

Calcoliamo lo spettro di un segnale sinusoidale con frequenza /0 e valore di picco A: v(t)

= A sin Wot

dove

Wo = 27Tjo

Dalla (2-26) la TF è V(f)

= =

A 2j

I

oo

A

e-j271'(f-fo)tdt - -

-00

2j

oo

I

e-j271'(f-fo)tdt

-00

Dalla (2-48) vediamo che ognuno di questi integrali è equivalente a una funzione delta di Dirac. Pertanto, A

V(f) = j 2: [S(f + /0) - S(f - /0)] Lo spettro è immaginario puro, come prevedibile, poiché v(t) è reale e dispari. Usando la delta di Dirac, siamo riusciti a trovare la TF di un segnale a energia infinita e non assolutamente integrabile v( t} e che quindi non soddisfa le condizioni (sufficienti) di Dirichlet (2-31)-(2-32). Lo spettro in ampiezza è A

A

IV(f) I = -2 S(f - /0) + -2 S(f + /0) doveA è un numeropositivo.Poiché sono presentisolo due componentialle frequenze (f = ~lo), 8(f} è definita solo per queste due frequenze. Pertanto, 8(fo} = tan-l(-l/O) = -90° e 8(-lo} = tan-I( 1/0) = +90°. Comunque, dato che W(f)1 = ° per tutte le frequenze, eccettuato / = ~/o e che inoltre V(f) = W(f)1 ej9(t). 8(f) può assumere qualsiasi valore per / ,p :t/o. Per comodità, possiamo scegliere

-1T/2, 8(f} = {+1T/2,

/ >O / <

.

.

-90°,

°} radianti = {

/ >O

/<0

90° ,

}

I diagrammi di questi spettri di ampiezza e fase sono illustrati in Figura 2-4. In Figura 2-4a, ogni funzione delta è indicata da una freccia il cui "peso" corrisponde ali' area della funzione corrispondente (cioè il risultato dell'integrazione della funzione stessa). Non è possibile infatti "graficare" la funzione delta, che è una funzione generalizzata e non possiede a stretto rigore un grafico. Si può comunque constatare che lo spettro d'ampiezza è pari e lo spettro di fase è dispari, come previsto dalle (2-38) e (2-39). Se la sinusoide ha una fase arbitraria ~ la situazione è la seguente: w(t}

=A

sin (Wot + ~)

= A sin

[Wo(t + ~/Wo}]

e la TF si ricava tramite il teorema del ritardo (traslazione temporale): W(f}

= j~2

ejfJo(J/fo)

[S(f + /o} - S(f

- lo}]

2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

jV(f)1

O(f)

A "2

-lo

53

Peso (area) AI2.

1-

1-

lo

(a) Spettro di ampiezza

(b) Spettro di fase (00

Figura 2.4

=

O)

Spettro della funzione seno.

Lo spettro di ampiezza è invariato rispetto al caso precedente (00 = O)mentre il nuovo spettro di fase è la somma di quello precedente più la funzione lineare (80//0)/. Tuttavia, la TF è nulla eccettuato che in f = :!::/o,quindi il valore dello spettro di fase può essere anche staPer / = /0 la fase è (80 - 7T/2)radianti,menvolta scelto arbitrariamente eccetto / = :!::/o. tre per

/ = -/0

è -( 80 - 7T/2) radianti.

Da un punto di vista matematico, la Figura 2-4 dimostra che nel segnale sinusoidale sono presenti due componenti, una alla frequenza f = + fa e l'altra in f = -fa. Possiamo facilmente trovare un'ulteriore giustificazione a questo risultato. Infatti, utilizzando le formule di Eulero si trova V()t

.

A.

= A SIn wot = -

j2

A

eJ~t

- -

j2

.

e-J~t

quindi il segnale sinusoidale è la risultante di due fasori, uno rotante alla frequenza f = + fa e l'altro con f = -fa (controrotante). Da un punto di vista applicativo diremo che è presente una sola componente alla frequenza f = fa, perchésappiamo(dalla(2-35» che in ogni segnale fisico, e perciò reale, a ogni componente a frequenza positiva corrisponde matematicamente una componente alla frequenza negativa opposta. Il fasore associato a v( t) è c

=

O - jA

=

A

/ -900

cioè quello relativo alla frequenza positiva.

Lo spettro in ampiezza del segnale sinusoidale è costituito da funzioni delta di Dirac. Come mostrato dalla (2-109), questo è conseguenza dell'essere il segnale periodico; nella pratica uno spettro di questo tipo si chiama spettro a righe. Se la sinusoide viene prima "accesa" e poi "spenta", come nell'Esempio 2-9, il segnale non è più periodico e quindi lo spettro è continuo. Anche la sinusoide smorzata, che non è un segnale periodico, ha spettro ugualmente continuo, come illustrato nell'Esempio 2-3.

Impulsi rettangolare e triangolare Nei sistemidi comunicazionevengonospessousati alcunisegnaliparticolariper i quali introdurremouna notazionespeciale.

54

Capitolo 2 - Segnali e spettri DEFINIZIONE.

Indicheremo con n(.) l'impulso rettangolare

It I :5

T2 (2-52)

Itl > T 2 DEFINIZIONE.

Indicheremo con Sa(.) la funzione Il sin x Sa(x) =- x

DEFINIZIONE.

(2-53)

Indicheremo con A(') l'impulso triangolare

It I :5

T

(2-54)

Itl >T Questi segnali sono illustrati nella Fig. 2-5, mentre la funzione Sa( x) è tabulata nel Paragrafo A-9 dell'Appendice A. Esempio

2-5 SPETTRO DI UN IMPULSO RETIANGOLARE

Valutiamo la TF di w(t)

= TI(t/T). T/2

W(f) =

e-jwT/2 - ejwT/2

J-T/2le-jwt dt

= T

=

. -JW

sin( wT/2) = T Sa( TrTf) wT/2

da cui TI (;

)H

T Sa( TrTf)

(2-55)

Il calcolo numerico di questo integrale è riportato nel file E2_055N.M, mentre la coppia TFATF è mostrata in Figura 2-6. Si noti la relazione che sussiste tra la durata T dell'impulso nel tempo e il primo nullo l/T dello spettro in frequenza. Dal teorema di dualità di Tabella 2-1, possiamo anche ricavare lo spettro di un segnale del tipo (sin x)/x che sarà di tipo "rettangolare". Infatti, tenendo conto che TI(x) è una funzione pari e applicando il teorema di dualità alla (2-55), si ottiene T Sa( TrTt) H TI ( -

n = TI U)

Sostituendo poi il parametro T con 2W, si ricava la coppia TF-ATF:

Sa(2TrWt) H

C~ )

(2-56)

Il Una definzione simile è quella della funzione sinc(A) = (sin( TrA)/(TrA», che è tale per cui Sa(x) = sinc( 1T/X).Le funzioni Sa(x) e sinc(x) sono sostanzialmente equivalenti, ma possono essere confuse per la presenza del fattore di scala.

2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

55

n(~) -

t-

T "2

(a) Impulso rettangolare

1.0 I Sa(x)

-3'1T

-271'

~ sinx x

71'

471' x-

3'1T

(b) Funzione Sa(x)

1.0

-T

t-

T

(c) Impulso triangolare

Figura 2-5

Fonne d'onda e corrispondente notazione simbolica.

illustrata in Figura 2-6b, dove W è la banda in hertz. Gli spettri mostrati in Figura 2-6 sono reali poiché gli impulsi nel dominio del tempo sono reali e pari. Se però gli impulsi sono traslati temporalmente si perde la simmetria pari,e gli spettri saranno complessi. Per esempio, se

l, v(t) = { O,

O< t < T

altrove

}

= TI t - T/2

(

T

) (Continua)

56

Capitolo 2 - Segnali e spettri Dominio

Dominio della frequenza

del tempo

T Sa('lTTf) I.OT

1.0 T

(a) Impulso

1-

T 2

-2

rettangolare

e suo spettro 2WSa(271WI)

n(k)

2W

-w

!-

w

(b) Funzione Sa(x) e suo spettro

I.OT

1.0

(c) Impulso

3 2 I -7'" -T -T

T 1-

-T triangolare

I T

2 T

!-

e suo spettro

Figura 2-6 Spettro dell'impulso rettangolare, della fu~one (sin x)/x e dell'impulso triangolare. allora, utilizzando il teorema del ritardo e la (2-55), si ottiene la TF: (2-57)

V(J) = Te-j1TfTSa( 7TTf) In forma rettangolare, la (2-57) diventa V(J) = [T Sa( 7TfT) cos( 7TfT)] + j[ -T Sa( 7TfT) sin( 7TfT)] X(J)

(2-58)

Y(J)

Lo spettro in ampiezza di v(t) è sin 7TfT

IV(J)I = T I

7TfT

(2-59) I

2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

57

e quello di fase è

o, 8(f) = j e- j1rfT+ jSa( 1TfT) = -1TfT +

l

1T,

n T
T

'

T < Ifl < n T +l'

n pari (2-60) n dispari

)

L'impulso rettangolare è un segnale molto utilizzato, ad esempio nella rappresentazione dei dati binari. Nei circuiti digitali TIL, un impulso rettangolare di ampiezza +5 V indica il livello logico uno, mentre l'assenza di tale impulso indica il livello logico zero, come mostrato in Figura 3-15a, dove A = 5. La banda al primo nullo per un segnale digitale con impulsi rettangolari si trova facilmente dalla (2-55) o dalla (2-59). Se la durata di un impulso è T allora la banda (cioè l'estensione dell 'intervallo sul semiasse positivo delle frequenze dove lo spettro in ampiezza è significativo) è approssimativamente pari a 1fTHz. Il concetto di banda di un segnale verrà ampiamente illustrato nel Paragrafo 2-9.

I

Il

'I

I

I]

Esempio 2-6 SPETTRODI UN IMPULSOTRIANGOLARE Lo spettro di un impulso triangolare può essere ottenuto calcolando direttamente per parti l'integrale nella definizione della TF. Un altro approccio che evita il calcolo esplicito dell'integrale si basa sul calcolo della TF della derivata seconda del segnale dato. Con questo metodo, partendo da

I

I

w(t) = A(t/T} si ha

/

-

dw(t} dt

= -T u(t + T) - -T u(t) + -T u(t - T)

l

2

l

d2W(t} dt2

=~ T 8(t + T} - ~ T 8(t} + ~ T 8(t

e - T) III

Mediante la Tabella 2-1, per la derivata seconda si trova l. -d2W(t} H -eJ",r dt2 T

!I

2 l . - -+-e-J",r T T

Il

che può essere riscritta come il

Applicando due volte di seguito il teorema integrale (si veda ancora la Tab. 2.1), si ottiene per il segnale originario w(t) H -4 T

(sin 1TfT}2 (Continua)

58

Capitolo 2 - Segnali e spettri e infrne (2-61) come illustrato in Figura 2-6c.

Convoluzione L'operazione di convoluzione che è già apparsa in Tabella 2-1 è fondamentale nell'elaborazione dei segnali. Nel Paragrafo 2-6 vedremo infatti come attraverso tale operazione si può ricavare l'espressione di un segnale in uscita a un sistema lineare. DEFINIZIONE.La convoluzione del segnale Wl(t) con W2(t) è il segnale W3(t) dato da W3(t)

= Wl

(t) * W2(t) £ f')() -00 Wl(A) W2(t

-

A) dA

(2-62a)

dove Wl(t) * W2(t) è la notazione abbreviata per tale operazione di integrazione e * indica l'operatore corrispondente. Esaminando l'integrale ci si accorge che t è un parametro, mentre A è la variabile di integrazione. In modo equivalente si ha anche W3(t) Da quest'espressione,

= J:wl(A)

w2(-(A - t)) dA

èh2b)

ci rendiamo conto che la funzione integranda nella (2-62b) è ottenuta:

1. invertendo per W2 l'asse temporale in modo da ottenere W2(-A); 2. traslando W2 di t secondi per ottenere W2( - (A

-

t));

3. moltiplicando il risultato per Wl per formare l'integranda wl(A) w2(-(A - t)). Queste tre operazioni sono illustrate negli esempi seguenti. Esempio 2-7 CONVOLUZIONE DI UN IMPULSO RETIANGOLARE CON UN ESPONENZIALE Poniamo e come mostrato nella Figura 2-7. I passi 1-2-3 possono essere effettuati graficamente con l'aiuto della figura, e possiamo renderei conto che la convoluzione di Wl(t) con W2(t) è nulla per t < Odato che il prodotto Wl(À) W2(-( À - t» è zero per ogni valore di À. Se invece O < t < T, la (2-62b) diventa

W3(t)

= {le+(À

- t)/T dÀ

= T(l

- e-t/T)

2-2

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

59

Se t > T, invece la (2-62b) vale '"

W3(t) = faTle+(A-

l)fT dÀ

= T(e -

Pertanto,

W3(t)

=

l) e-1fT

°

°,

t<

T(l - e-l/T), - l)e-I/T,

t> T

( T(e

O
come illustrato in Figura 2-7.

J. -T

I

T

..J.. 2T

T

2T

À-

T

2T

À-

T

2T

(-

À-

W2(À)

-T

W2(-(A - t))

-T

T O.63T

-T

Figura 2-7 Convoluzione dell'impulso

rettangolare con la funzione esponenziale.

I. .

60

Capitolo 2

- Segnali

e spettri

Esempio 2-8 CALCOLO DELLO SPETIRO DI UN IMPULSO TRIANGOLARE MEDIANTE CONVOLUZIONE Nell'Esempio 2-6, lo spettro di un impulso triangolare è stato calcolato utilizzando il teorema integrale. Lo stesso risultato può essere ottenuto mediante il teorema della convoluzione della Tabella 2-1. Se si effettua infatti la convoluzione dell'impulso rettangolare con se stesso e poi si moltiplica il risultato con la costante l/T, il segnale risultante è l'impulso triangolare di Figura 2-6c (provare per credere!). Applicando il teorema della convoluzione, si ottiene lo spettro dell'impulso triangolare moltiplicando lo spettro dell'impulso rettangolare con se stesso e scalando con il fattore l/T. Come previsto, il risultato è lo stesso di quello mostrato nella Figura 2-6c.

Esempio

2-9 SPETIRO DI UN IMPULSO SINUSOIDALE

Nell'Esempio 2-4 è stato calcolato lo spettro di una sinusoide continua ottenendo due funzioni delta di Dirac centrate in I = :tIo. Come cambia questo spettro se "accendiamo" e "spengiamo" la sinusoide moltiplicandola per un impulso rettangolare? Questo segnale, chiamato impulso sinusoidale o impulso a radiofrequenza rappresentato in Figura 2.8a ed è dato da

Utilizzando la TF dell'impulso rettangolare dalla Tabella 2-1 e applicando il teorema della modulazione sempre in Tabella 2-1, si ottiene A

W(J)

= j 2" T [Sa(7TT(J+ lo)) - Sa(7TT(J- lo))]

(2-63)

Questa TF è continua e immaginaria pura, e il corrispondente spettro di ampiezza è rappresentato in Figura 2-8b. Esso risulta diverso da quello a righe ottenuto per la sinusoide periodica (onda continua) riportato in Figura 2-4a. Con un po' di fantasia si riesce anche a immaginare in che modo lo spettro continuo di Figura 2-8 diventa quello discreto di Figura 2-4a (con le funzioni delta in I = lo eI = -lo) quandola duratadell'impulsosinusoidaleviene progressivamente aumentata (cioè per T ~ 00), ciascuna delle due funzioni Sa(-) diventa sempre più "alta" e con il primo lobo sempre più "stretto" fino a trasformarsi in una funzione deltaLo spettro dell'impulso sinusoidale può anche essere calcolato mediante l'operazione di convoluzione. Si può utilizzare il teorema del prodotto di Tabella 2-1 con Wl(t) = II(t/T) e W2(t)

=

A sin wot. Lo spettro risulta una convoluzione

W(J)

= W1(J)

* W2(J)

nel dominio della frequenza:

= J:W1(A)W2(J

- A) dA

È semplicecalcolarequestointegralepoichélo spettrodi W2(t) è formatoda due funzioni delta. I dettaglisono lasciaticomeesercizioper il lettore. La Tabella 2-2 riporta un elenco di coppie TF-ATF in forma chiusa, mentre le tecniche numeriche per la valutazione della TF verranno discusse nel Paragrafo 2-8.

2-3

Densità spettrale di potenza e funzione di autocorrelazione

61

w(t)

-

t-

(a) Dominio del tempo

IW(f)1 AT

2

!(b) Dominio della frequenza (spettro di ampiezza)

Figura 2-8

Impulso a radiofrequenza (RF). 'I

2-3 DENSITÀ SPETIRALE DI POTENZA E FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

l\'

Il I

Densità spettrale di potenza Troveremo adesso una relazione tra la potenza normalizzata di un segnale e una funzione nel dominio della frequenza chiamata densità spettrale di potenza (DSP). La DSP è molto utile per descrivere il modo in cui i filtri e altri dispositivi utilizzati nei sistemi di comunicazione modificano la potenza dei segnali e dei disturbi. Nella (2-42) abbiamo introdottola funzione densità spettrale di energia (DSE) come il modulo quadro della TF del segnale. La DSP sarà definita in modo similare. Da notare che la DSP è in generale più utilizzata della DSE in quanto nel risolvere i vari problemi spesso si impiega, per comodità, il modello di segnale a potenza finita. Come prima cosa, si definisce la versione troncata del segnale WT(t)

W(t),

= O, {

- T/2 < t < T/2

altrove

= w(t)II ~ } ( T)

Utilizzando la (2-13), si ottiene la potenza normalizzata p

=

l lim T --+00T

f

T/2

-T/2

W2(t) dt

=

oo

l

lim T --+00 T

I

-00

w}(t) dt

Il . I 111\

111

il (2-64)

I

62

Capitolo 2

- Segnali

e spettri

TABELLA 2-2 TRASFORMATE DI FOURIER NOTEVOLI Funzione

Segnale nel dominio del tempo w(t)

Spettro W(f)

Rettangolare

T[Sa( 1TfT)]

Triangolare

T[Sa( 1TfT)]2

u(t) ~

Segno

sgn(t) ~

Costante

l

Impulso in t

= to

l

+l,

Gradino unitario

t> O t O

{ O,

!8(f) l

j1Tf 8(f) e-i211-jto

{

-l,

+ j21TI

t< O

8(t - to)

l II I 2W ( 2W )

sinc

Sa(21TWt)

Fasore Sinusoide 8(f + Ic) Gaussiana

ei(lL\J/+q»

eitp

cos(wct

!eitp8(f - Ic) + !e-itp

+ cp)

8(f - fo)

e-1f(t Iro)'

e-tIT, { O,

Esponenziale, monolatera

T

t> O t< O

l + j21TIT 2T

Esponenziale, bilatera

l + (21TIT)2 k=oo

11=00

I 8(t k=-=

Treno di impulsi

kT)

lo

I

n=~

8(f - nlo),

dove/o = l/T

Per mezzo del teorema di Parseval, Equazione (2-41), la potenza media nonnalizzata diventa allora .

p

=

lim

~

T-+oo T

f

ooIWT(f)12 df

-00

oo

=

f

-00

lim

( T-+oo

IWT(f) 12 df T

)

(2-65)

dove Wdf) = ~[wdt)]. La funzione integranda relativa all'integrale a destra ha unità di misura VZlHz o A2IHz e può quindi essere definita come densità spettrale (cioè relativa all'unità di banda) della potenza. DEFINIZIONE. La densità spettrale di potenza (DSP) di un segnale detenninato a potenza finita èl2 12Le Equazioni (2-66) e (2-67) forniscono la DSP e la pOlenza entrambe normalizzate rispetto all'ipotetica resistenza di carico di I fi. Per ottenere i valori effettivi non normalizzati, !jJ> w(f) deve essere modificata. In panicolare,

se w(t) è la tensione ai capi di un carico di R ohm, la DSP non normalizzata

è !jJ>w(f)IR W/Hz,

Se invece w(t) è la corrente che fluisce in un carico di R ohm, la DSP non normalizzata è !jJ>w(f)R W/Hz.

2-3

Densità spettrale di potenza e funzione di autocorrelazione

63

(2-66)

dove WT(t) ~ WT(J) e flPw(J)è misuratain V2(A2)!Hz. La DSP è naturalmente una funzione della frequenza reale non negativa. Essa non dipende inoltre dallo spettro di fase di w(t) per la presenza dell'operazione di modulo contenuta nella (2-66). Per la (2-65), la potenza normalizzata risulta (2-67) essa è l'integrale della funzione DSP.

Funzione di autocorrelazione Defmiamo adesso una funzione collegata alla DSP, chiamata funzione di autocorrelazione R( T). DEFINIZIONE.Lafunzione di autocorrelazione di un segnale reale èl3 RlO(r) ~ (w(t)w(t

+ T)~ = lim -

l

T ~oo T

f

T/2

w(t)w(t

+ r) dt

(2-68)

-T/2

Si può dimostrare che la DSP e la funzione di autocorrelazione costituiscono una coppia TF-ATF: (2-69) Questo risultato, chiamato teorema di Wiener-Khintchine, sarà ulteriormente esaminato, assieme alle proprietà di R( r) e di 'lP(J), nel Capitolo 6. In conclusione, la DSP può essere calcolata mediante uno dei seguenti due metodi. 1. Metodo diretto, utilizzando la definizione (2-66)14. 2. Metodo indiretto, valutando prima la funzione di autocorrelazione e quindi trasformando con Fourier: flPw(J) = ~[Rw( r)].

Il I

Per quanto riguarda la potenza normalizzata del segnale w(t), essa può essere valutata utilizzando uno dei quattro approcci riassunti dalla seguente equazione:

Il

I I

p

= (W2(t) = W;ff = foo-00 flPw(J)df

=

(2-70)

Rw(O)

"i Il'

Il

13 La

funzione di autocorrelazione di un segnale complesso è R,.( T) ,g,(w(t)w(t

14 Il metodo

diretto

è di solito

più difficile

di quello

indiretto.

+ T).

64

Capitolo 2 - Segnali e spettri

Esempio 2-10

PSD DI UNA SINDSOIDE

Calcoliamo la DSP del segnale

=A

w(t)

sin aJot

mediante il metodo indiretto. L'autocorrelazione è Rw(7)

= (w(t)w(t =

l lim T-->ooT

+ 7»

f

T/2

A2 sin aJot sin Cù()(t + 7) dt

-T/2

Utilizzando un'identità trigonometrica, dall' Appendice A otteniamo A2

Rw( 7)

=-

2

I

-

COSaJo7 lim T-->ooT

f

T/2

-T/2

A2

dt - -

2

l

lim -

T-->ooT

T/2

f

-T/2

cos(2Cù()t+ aJ(7) dt

che si riduce a (2-71) La DSP è,pertanto A2

A2 rzpw(f)

= ?]i [""2

COS aJo7 ] ="4

[8(f

- fa)

+ 8(f + fa)]

(2-72)

che è diversa dallo spettro d'ampiezza di w(t) trovato nell'Esempio 2-4 e illustrato in Figura 2-4. La potenza normalizzata si trova mediante la (2-67): oo

p=

A2

A2

-[8(f-fo)+8(f+fo)]df=f-= 4

(2-73)

2

come già noto dal calcolo temporale (2-74) Il lettore calcoli per esercizio la DSP del segnale A cos Cù()te dimostri che è identica a quella appena ricavata (perché?).

Abbiamo finora studiato le principali proprietà dei segnali e del rumore, come lo spettro, la potenza normalizzata, il valore efficace ecc., ma non ci siamo preoccupati del modo con il quale i segnali possono essere rappresentati, forniti, conosciuti. Naturalmente, il metodo che vorremmo sempre usare è quello di procurarsi una relazione matematica che descriva in forma chiusa il segnale stesso. Questa possibilità spesso non esiste o non è conveniente. Un esempio di "rappresentazione" alternativa dei segnali, già noto dai corsi di matematica, è quello di utilizzare lo sviluppo in serie di potenze (serie di Taylor) rispetto un punto a: 00

w(t) =

I

11=0

w(n)(a) n!

(2-75) (1 - a)n

2-4

Rappresentazione

su base ortogonale

dei segnali e del rumore

65

Peso

V~ -fo Figura 2-9

4

1-

fo

Spettro di potenza della sinusoide.

dove

=

w(n)(a)

(2-76)

dnw(t) dtn I

t=a

Se è noto il singolo valore delle varie derivate del segnale (di qualunque ordine) per t = a è completamente noto anche l'andamento del segnale per tutti gli istanti del tempo. Un altro tipo di rappresentazione, che discuteremo nel paragrafo successivo, è l'espansione su base ortogonale.

2-4 RAPPRESENTAZIONE SU BASE ORTOGONALE DEI SEGNALI E DEL RUMORE La rappresentazione su base ortogonale dei segnali e del rumore ha varie applicazioni significative nei problemi riguardanti i sistemi di comunicazione, ad esempio nel campionamento dei segnali e nella descrizione dei segnali digitali.

Funzioni ortogonali Primadi studiarele rappresentazionisu baseortogonale,dobbiamodefinirel'ortogonalità tra funzioni. DEFINIZIONE. Le funzioni qJ,,(t) e qJm(t)sono ortogonali sull'intervallo a < t < b se soddisfano la condizione

f: qJ,,(t)qJ~(t) dt

= O,

dove n ,p m

(2-77)

Raccogliendo le funzioni in un insieme {qJn(t)} al variare di n, esse sono tali che

f

b

a

qJn(t)qJ~,(t)dt =

O, { Kn,

n ,p m = K"Dnm n - m}

(2-78)

dove

D"m ~

O, { l,

: ::}

(2-79)

è chiamata delta di Kronecker. Se le costanti Kn sono unitarie, le qJn(t)sono un insieme di funzioni ortonormali.

66

Capitolo 2 - Segnali e spettri

Possiamo interpretare la (2-77) come "test" per verificare l' ortogonalità tra due funzioni date. Se l'integrale sull'intervallo (a, b) del prodotto delle funzioni è nullo, esse sono ortogonali. Se al contrario il risultato non è nullo, le funzioni non sono ortogonali, e conseguentemente presentano una qualche dipendenza o "somiglianza".

Esempio

2-11 FUNZIONI ESPONENZIAU COMPLESSE ORTOGONALI

Dimostriamo che l'insieme delle funzioni esponenziali complesse {ejn~l} sono ortogonali sull'intervallo a < t < b, dove b = a + To se To = l/fo, ~ = 2'TTfo,e n è un intero. Soluzione.

f

Sostituendo q>n(t)= ejn~1 e q>m(t) = ejn~1 nella (2-77), si ottiene

b

a fOn(t)fO;'(t) dt

=

f

a+To ejn~1

dt

e-jm~1

=

a

a+TO

f

ej(n-m)~1

dt

(2-80)

a

Per m oF n, la (2-80) diventa

f

a+TOej(n-m)~1 dt

= ej(n-m)-[ej(,,-m)21T

- 1]

j(n - m)~

a

visto che ej(n-m)21T = cos [21T(n

-

m)] + j sin [21T(n - m)]

=

o

(2-81)

1. In questo modo, la (2-

77) è soddisfatta, e di conseguenza, le funzioni esponenziali complesse sono ortogonali sull'intervallo a < t < a + To, dove a è una costante arbitraria positiva. Per n = m, la (2-80)diventa a+TO

f

q>n(t) q>~(t) dt

a

=

f

a+To

a

1 dt

= To

(2-82)

e sostituendo la (2-82) nella (2-78), si trova K" = To per tutti i valori di n. Poiché Kn oF 1, queste funzioni non sono ortononnali. Però si può facilmente normalizzare l'insieme delle funzioni esponenziali complesse con un opportuno fattore di scala, ottenendo l'insieme ortonormale

Sviluppo

su base ortogonale

Supponiamo che w(t) rappresenti una qualsiasi forma d'onda (segnale utile, rumore, oppure una combinazione di segnale e di rumore) di cui vogliamo trovare una rappresentazione su di un intervallo a < t < b. Si ottiene una rappresentazione su base ortogonale di tale segnale applicando il seguente teorema. TEOREMA.w(t) può essere rappresentato sull'intervallo a < t < b mediante la serie

"

(2-83)

2-4

Rappresentazione

su base ortogonale dei segnali e del rumore

67

dove i coefficienti dello sviluppo (chiamato talvolta serie ortogonale) sono dati da b

I an

(2-84)

= K n Ja w(t)fP~(t)dt

ove in generale la variabile n scorre su un intervallo illimitato. Affinché la (2-83) sia una rappresentazione esatta di un segnale fisico (cioè a energia finita), l'insieme ortogonale deve essere completo. Questo implica che l'insieme {fPn(t)} può essere utilizzato per rappresentare qualsiasi segnale a energia finita con un errore avente energia arbitrariamente piccola [Wylie, 1960]. In generale, è difficile dimostrare che un insieme di funzioni è completo. Si può però dimostrare che l'insieme delle funzioni esponenzialicomplesse e l'insieme delle funzioni armoniche sinusoidali del Paragrafo 2-5 sono completi [Courant e Hilbert, 1953]. Altri insiemi completi di suo frequente sono quelli delle funzioni di Bessel, dei polinomi di Legendre, e (sotto qualche ulteriori ipotesi) delle funzioni tipo sin(x - n)f(x - n) come illustrato dalla (2-161). Dimostrazione. Supponiamo dapprima che l'insieme {fPn(t)} sia sufficiente per rappresentare il segnale. Allora, affinché la (2-83) sia vera, occorre solo dimostrare che la relazione per valutare i coefficienti an è quella giusta. Pertanto, applichiamo a entrambi i membri di tale equazione l'operatore di integrale {b[.]

(2-85)

fP:;'(t)dt

ottenendo

f:[W(t)]fP:;'(t)dt

= f: = Ian n

[~anfPn(t)]

fP:;'(t)dt

Jba fPn(t) fP:;'(t)dt

= IIl

anKn8nm (2-86)

da cui segue la (2-84). Le funzioni ortonormali fPit) sono segnali determinati, quindi se la funzione da rappresentare w( t) è determinata, allora anche i coefficienti {aj} lo saranno, e saranno facilmente calcolabili. Nel Capitolo 6 dimostreremo che se w(t) è un processo stocastico (cioè il modello matematico di un disturbo non determinato), allora {aj} è un insieme di variabili aleatorie che danno una rappresentazione del processo. Possiamo usare la (2-83) per "ricostruire" il segnale w( t) a partire dalle funzioni fPj(t) e dai particolari coefficienti aj. In questo caso, w(t) può essere ben approssimata utilizzando un numero finito (ragionevolmente piccolo) di funzioni fPj (t). La Figura 2-10 indica come è possibile sintetizzare w( t) sommando le funzioni fPj (t), opportunamente pesate con i coefficienti {aj} (segnale reale).

68

Capitolo 2 - Segnali e spettri Generatore di funzione l

Generatore di funzione 2

w(t)

/

Clock

Generatore di funzione N

'l'N(t)

Figura 2-10 Generazione di forme d'onda mediante l'uso di funzioni ortogonali.

2-5 SERIE DI FOURIER La serie di Fourier è un particolare tipo di rappresentazione su base ortogonale con funzioni sinusoidali oppure esponenziali complesse.15 Risulta molto utile per risolvere vari problemi nell' ambito delle telecomunicazioni.

Serie di Fourier in forma complessa La serie di Fourier in formacomplessautilizzal'insieme delle funzioniesponenzialiortogonali (2-87) dove n è un intero, To = (b - a) la lunghezza dell'intervallo su cui la serie (2-83) è definita, wo = 21T/Toe KIl = To. Dalla (2-83) deriva il seguente teorema. TEOREMA. Un segnale a energia finita può essere rappresentato sull' intervallo a < t < a + To dalla serie di Fourier n=oo

w(t) =

I

(2-88)

n =-00

15I matematici chiamano talvolta qualsiasi serie ortogonale

una serie di FOllrier.

2-5

Serie di Fourier

69

dove i coefficienti complessi dello sviluppo sono dati da 1 CII

e dove £Vo=

271/0

=

To

j

a+To

w(t)e-jll~t

a

dt

(2-89)

= 271/To.

Se la forma d'onda w(t) è periodica con periodo To, la rappresentazione mediante la serie di Fourier vale su tutto l'asse temporale (e cioè per -00 < t < +00), in quanto sia w( t) che ({JII( t) sono periodiche con lo stesso periodo. In questo caso, la scelta del parametro a è arbitraria e di solito è fatta scegliendo a = O oppure a = - To/2 per semplicità. La frequenza/o

=

l/To è chiamata/ondamentale,

mentre la frequenza n/o con n > 1

è la n-esima armonica. Il coefficiente di Fourier Corappresenta il valore medio della forma d'onda, in quanto con n = O, la (2-89) è identica alla (2-4). Il coefficiente CII[chiamato coefficiente di FOl!rierdel segnale w(t)] è complesso, ed è interpretabile come un fasore essendo il coefficiente di una funzione del tipo ejùJt,e la (2-88) è chiamata serie di Fourier in forma complessa. Elenchiamo adesso alcune proprietà della serie di Fourier in forma complessa: l. Se w(t) è reale, (2-90) 2. Se w(t) è reale e pari [cioè w(t)

= w(-t)), Im[clI) = O

(2-91)

3. Se w(t) è reale e dispari [cioè w(t) = -w(-t)), Re[clI) = O

4. Il teorema di Parseval è

;0 ja+TOIW(tWdt a

= 11=-00 lIioolclIJ2

(2-92)

5. I coefficienti della serie in forma complessa di un segnale reale sono legati a quelli della serie in forma rettangolare da [si vedano le (2-96)-(2-98)]

! CII =

ali

-

j!

bll,

ao, [

! a-Il + j!b-II,

n> O n= O n< O

(2-93)

6. I coefficienti della serie in forma complessa di un segnale reale sono legati a quelli della serie in forma polare da [si vedano le (2-106) e (2-107)]

! D ~, CII

= Do, [ ! D-Il /-CP-II'

n>O n =O n
(2-94)

70

Capitolo 2 - Segnali e spettri

Alcune di queste proprietà per i coefficienti di Fourier in fonna complessa sono simili a quelle già discusse per la trasfonnata di Fourier nel Paragrafo 2-3.

Serie di Fourier in forma rettangolare Lafm"marettangolare(o cartesiana)della serie di Fourierper un segnalew(t) a energia finita sull'intervalloa < t < a + Toè n=oo

w(t) =

n=oo

L an cos n~t

L bn sin n~t

+

n=O

(2-95)

n=1

dove ora le funzioni ortogonali sono sin(n~t) e cos(n~t). I coefficienti della serie sono dati da [si veda la (2-77)]

an

a+To

I

f ! To f

-

-

To -2

w(t) dt,

n=D

w(t) cos nlllotdt,

n?l

w(t) sin n~t dt,

n > D

a

(2-96)

a+To

a

e bn

=-

a+TO

2

To

f

(2-97)

a

Poiché tutte le funzioni sinusoidali ortogonali sono periodiche di periodo To, questa rappresentazione è periodica di tale periodo, e se il segnale w( t) è esso stesso periodico di periodo (sottomultiplo di) To, la serie rappresenterà il segnale su tutto l'asse temporale (-00 < t < 00). Le serie di Fourier in forma complessa, [(2-88)], e quella in forma rettangolare, [(2-95)], possono essere messe in relazione ricavando la parte reale Xne la parte immaginaria Yndel coefficiente complesso cn. Dalla (2-89) si ha: Cn

= Xn + jYn l

= [ To

a+To

f

a

-l w(t) cos n~t dt ] + j [ To

a+TO

f

a

w(t) sin n~t dt ]

(2-98)

per ogni n. Quindi, Xn

=-

l

To

f

a+TO

(2-99)

w(t) cos n~t dt

a

e a+TO

-l

Yn

=-

To

f

w(t) sin n~

(2-100)

dt

a

Utilizzando le (2-96) e (2-97), si ottengono le relazioni cercate

co, an = {2xn,

n= D CQ, n? l } = {2 Re{clI},

n=D n? l }

(2-101)

2-5

Serie di Fourier

71

e bn

= -2Yn = -2

Im{cn}, n

~

1

(2-102)

dove (come di consueto) Re{.} e Im{.} indicano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria.

Serie di Fourier in forma polare La serie di Fourierin formarettangolarepuò essereriscrittain formapolare,e cioè n=oo

w(t) = Do +

I

n=1

Dn cos(n~

+ ((in)

(2-103)

dove w( t) è reale e a = n

Do, { Dncos ({in,

bn = -Dnsin

({in,

n=O n~l

(2-104)

n ~ 1

(2-105)

Invertendo queste ultime due equazioni si ottiene anche Dn =

n=O

ao,

2 2 { ~an + bn,

co,

n~l } = { 2lcnl,

n=O n~l

(2-106)

e (2-107) dove si è definito

L.ll= tan-I (~Re[. ] ) Dovrebbe essere chiaro dal contesto quando

L

denota l'operatore

(2-108) o l'angolo stesso.

Ad esempio, /90° indica un angolo di 90°, mentre /[1 + j2] indica l'operatore definito nella (2-108) che fornisce il valore 45°. L'equivalenza tra i vari coeffieienti delle serie di Fourier appena introdotte è dimostrata geometricamente in Figura 2-11. Si può notare che, quando si rappresenta un segnale reale con la serie di Fourier, il coeffieiente Cnè complesso con parte reale Xne parte immaginaria Yn (entrambi numeri reali), e di conseguenza, an, bn, Dn, e ({insono numeri reali. Inoltre, Dn è anche non negativo per n ~ 1. Tutti questi coeffieienti descrivono il contenuto frequenziale del segnale alle frequenze n/oHz. In pratica, la serie di Fourier (SF) è spesso troncata a un numero finito di termini per dare una rappresentazione approssimata e semplificata (per sintetizzare cioè il segnale con un piccolo numero di armoniche). Potremmo ad esempio voler ricostruire in modo approssimato un'onda quadra con 5 o lO armoniche. Potremmo allora chiederei: per questa rappresentazione "finita", i valori ottimi dei coeffieienti della serie sono semplicemente i primi 5 o lO della serie a infiniti termini, o andrebbero magari ricalcolati per fornire una migliore approssimazione? La risposta è che i coefficienti ottimi per la SF troncata sono gli stessi di quella infinita.

72

Capitolo 2 - Segnali e spettri

f Asse immaginario

I I I I

Numero complesso CII

Fasore

CII

Assereale-

Figura2-11

Coefficienti della serie di Fourier, n ;::: l.

Poiché le serie di Fourier in fonna complessa, in forma rettangolare e in fonna polare sono equivalenti, qual è la fonna migliore da usare? La risposta è: dipende dal particolare problema da risolvere! Se il problema si risolve analiticamente, i coefficienti complessi sono di solito più facili da calcolare e manipolare. D'altro canto, se si effettuano delle misure in laboratorio, la fonna polare è quella più conveniente, poiché gli strumenti di misura, come voltmetri, oscilloscopi, voltmetri vettoriali, e analizzatori di spettro di solito forniscono la misura in modulo e fase. Utilizzando misure di laboratorio, è pratica comune disegnare gli spettri monolateri (cioè solo per le frequenze positive) dove per ogni frequenza f = nfo si disegna una linea verticale corrispondente al valore di DII' Naturalmente, lo spettro monolatero può essere convertito mediante la (2-94) in uno spettro bilatero dato dal grafico dei coefficienti CIIin funzione di n. Spettro

a righe di un segnale

periodico

Per un segnale periodico, la rappresentazione mediante la serie di Fourier è definita su tutto l'asse temporale (cioè -00 < t < (0). Poniamoci allora questo problema: è possibile calcolare la trasformata di un segnale periodico? Se sì, che relazione avrà con i coefficienti di Fourier? La risposta è data dal seguente teorema. TEOREMA.

Se un segnale è periodico di periodo To la sua TF è 11=00

W(f) dove fo

=

=

I

n =--00

CII

8(f

-

nfo)

(2-109)

1/Toe CIIsono i coefficienti di Fourier della forma d'onda dati dalla (2-89).

2-5

Serie di Fourier

73

Dimostrazione. 11=00

=

w(t)

I

CII

ejlltU;J/

11=-00

Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri, si ha

W(f) =

J: C~:

=

dt

CII ejlltU;J/) e-j~

"=00

oo

11=00

I

J

CII

11=-00

e-j21T(J-II!O)/

dt

I

=

CII

8(f - nlo)

Il =--00

-00

dove si è utilizzata la rappresentazione integrale (2-48) per la funzione delta. Questo teorema indica che un segnale periodico ha sempre uno spettro a righe (o discreto), dove le funzioni delta sono centrate sulle frequenze armoniche 1 = nloe hanno "area" pari a CII'Un esempio di questa proprietà è già stato in pratica ricavato nell'Esempio 2-4, dove CI = -jA/2, C-l = jA/2 e gli altri coefficienti sono nulli. Viceversa, se un segnale non contiene componenti periodiche lo spettro è continuo, eccettuato una possibile componente discreta (delta) per 1 = Ose il segnale ha un valore medio (componente continua) diverso da zero. Viceversa, è anche possibile valutare i coefficienti di Fourier di un segnale periodico w( t) campionando la trasformata di Fourier di una porzione del segnale limitata a un singolo periodo. TEOREMA. Se w (t) è un segnale periodico di periodo To ed è rappresentato da "=00

w(t) =

n=oo

I

h(t - nTo)

n =-00

=

I

CII ejlltU;J/

(2-110)

11=-00

dove h(t)

= JW(t),

se Itl < To 2 altrimenti

lo,

(2-111)

al/ora i coefficienti di Fourier sono dati da CII

dove H(f)

= ~[h(t)] elo =

= loH(nlo)

(2-112)

l/To.

Dimostrazione. 00

w(t) =

I

11=-00

00

h(t

-

nTo)

=

I

11=-00

h(t) * 8(t - nTo)

(2-113)

74

Capitolo 2 - Segnali e spettri

dove * indica come di consueto l'operatore di convoluzione. Dunque 00

w(t) = h(t) *

I

(2-114)

8(t - nTo)

n =--00

La sequenza di impulsi può però essere espressa anch'essa in serie di Fourier16 00

00

n =--00

n =--00

(2-115) dove tutti i coefficienti di Fourier sono proprio Cn = lo. Sostituendo la (2-115) nella (2-114), si ottiene 00

= h(t)

w(t)

*

I

(2-116)

n =--00

Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri della (2-116), si ha 00

= H(f)

W(f)

I

lo 8(j - nlo)

n =-00 00

=

I

(2-117)

[loH(nlo)] 8(f - nlo)

n =-00

Dalle (2-117) e (2-109), segue infine la (2-112). Questo teorema è utile per valutare i coefficienti di Fourier Cnquando la trasformata di Fourier dell'impulso fondamentale h(t) del segnale periodico è già nota oppure la si può facilmente calcolare, per esempio mediante la Tabella 2-2. Esempio

2-12 COEFFICIENTI DI FOURIER DEL TRENO D'IMPUlSI RETIANGOLARI

Valutiamo i coefficienti di Fourier del segnale di Figura 2-12a, chiamato treno d'impulsi rettangolari, dove T è la durata dell'impulso e To = 2T è il periodo. Dalla (2.89), i coefficienti di Fourier per n = O,sonopari a Cn =

l

--

fo

To

che, calcolando a parte il caso n

Cn=

TO/2.

-

Ae-jn«.\Jt dt = j -

A.

(e-jn7T - l)

= Oe tenendo conto che e-jn1T= (-1)°,

A 2'

n=O

,A -J-,W7T

n dispari

O,

altrimenti

16Prima formula di somma di Poisson.

(2-118)

21Tf1

si riduce a

(2-119)

2-5

T.

To = 2

W(I)

I

A

-To

Serie di Fourier

dove Tè la durata dell'imp ulso

T .1

I"""

1 -TTo

1 TTo

3 TTo

To

2To

1(a) Forma d'onda

1

A ,IW(f)1 T ,' ' ,

A

4

-6k -5k -4k-3k -2k 3 2 I

-T

I

1TTf

'..

1

fo= To= 2T' dove T è la durata dell'impulso

-T

sin (1TTf)

,,/ 1 \ .~lnviluppo =~2

-k

.. ,,

lo

-T

IW(f)1 =l' .i. n=],

I

sin (n1T/2 ) I

n1T/2

2/0 3/0 4/0 5/0 6/0 1 2 3 T T T

0(1

- nlo)

1

1-

(b) Spettro di ampiezza

Figura 2-12

Onda rettangolare dell'Esempio 2-12.

La (2-119) si può ricavare per altra via usando la (2-112) e l'Esempio 2-5, con To = 2T. Infatti,

A

Cn

= -To V( nJOç. ) = -A2

-' / 2 sin(n1T/2) e Jn."

n1T/2

(2-120)

che è uguale alla (2-119) (dimostrare). Il valore medio del segnale risulta Co = A/2, comesi può verificare utilizzando la (2-4). La TF del treno di impulsi si ottiene poi dalla (2-109), e il relativo spettro di ampiezza è riportato in Figura 2-12b. L'area di ogni funzione delta si ottiene "campionando" l'inviluppo continuo di tipo (sinx)/x. Confrontiamo ora lo spettro (di ampiezza) del treno di impulsi di Figura 2-12b con quello dell'impulso rettangolare di Figura 2-6a. Si può notare che il primo è discreto, cioè a righe, e contiene funzioni delta, mentre il secondo è continuo. Però l'inviluppo dello spettro per entrambi i casi è lo stesso, e cioè di tipo I(sinx)/xl

con x

=

1TTf.

Calcoliamo ora i coefficienti delle altre forme della serie di Fourier. Per mezzo delle (2-109) e (2-102), i coefficienti della serie in forma rettangolare sono (Continua)

75

76

Capitolo

2 - Segnali

e spettri

A - 11=0 Gli =

"2'

(2-12Ia)

[ O,

bll=

siamo

> O 11 dispari

~, [

Tutti i coefficientiGli =

11

O,

O, sono nulli eccetto per 11

= O. Mediante

poi ricavare i coefficienti della serie in fonna

A

le (2-106) e (2-107) pos-

polare

11=0

2' DII =

(2-12Ib)

11 pari

{ 2A,

11

=

(2-122)

I, 3, 5,

1l1T

altrimenti

O,

e ({JII=

-900

per 11 ~

(2-123)

1

Nelle questioni relativealle comunicazioni è spesso necessario valutare la potenza normalizzata dei segnali. Per i segnali periodici questa si può calcolare utilizzando i coefficienti della serie di Fourier. TEOREMA. Per un segnale periodico w(t), la potenza normalizzata è pari a I

(2-124)

I;

Il

= --00

dove i {CII}sono i coefficienti complessi di Fourier. Dimostrazione. Per un segnale periodico w(t), la rappresentazione mediante la serie di Fourier è definita per tutto l'asse temporale e può essere sostituita nella (2-12) per valutare ki potenza normalizzata Pw

=

n m

n

m

n

ovvero (2-125) Il

La (2-124) è un caso particolare del teorema di Parseval (2-40), applicato a segnali a potenza finita.

2-5

Serie di Fourier

77

Densità spettrale di potenza per segnali periodici TEOREMA.

Per un segnale periodico la densità spettrale di potenza normalizzata

(DSP) è datà da 11=00

(2-126) n =--00

dove To = l/fo è il periodo del segnale e i {cn} sono i coefficienti complessi della serie

di Fourier.

Dimostrazione. di w(t) è

Poniamo w( t) = 2.'::' cnejnWoI.La funzione di autocorrelazione

R( r)

=

(w*(t)w(t + 7)

ovvero 00

R( 7)

=

00

I

I

c~cmejmWoT(ejWo(m-n)l)

n=-oo m=-oo

00

R( 7)

I

=

(2-127)

ICn 12ejnWoT

n =--00

La DSP è allora

00

00

-00

-00

(2-128) La (2-126) non solo fornisce un modo per valutare la DSP per segnali periodici, ma può anche essere utilizzata per valutame la banda. Per esempio, quest'ultima si potrebbe valutare come l'intervallo in cui si ha il 90% della potenza totale del segnale. Esempio

2-13 DSP DEL TRENO DI IMPULSI RETTANGOLARI

Calcoliamo la DSP del treno di impulsi di Figura 2-12a. Dato che il segnale è periodico, si può usare la (2- 126), quindi il problema diventa quello di trovare i coefficienti della SF. Ma tali coefficienti sono dati dalla (2-120), quindi

çj>(J)=

I

~

-00 ( 2

La DSP è mostrata nella Figura 2-13.

2

sin(n1T/2»

) (

n1T/2

)2 8(J -

nfo)

(2- I29)

78

Capitolo 2 - Segnali e spettri 'lP(f)

A2 T ,;~"..

-.. ..

,, ,,, , ,,, ,,

-3/0

,, ,, ,, ,, , ,.

A2 "8

, ..

-4/0

.. .. .. .. .. ..

... .,

.. . . . .

"

..

, ,,, ,, ,,, ,

-2/0

..

... ...

.. .. ..

..

"""

o

- lo

..

lo

210

3/0

4/0

Figura 2-13 Densità spettrale di potenza dell'onda rettangolare dell'Esempio 2-13.

2-6 RICHIAMI SUI SISTEMILINEARI Sistemi lineari stazionari Un sistema è lineare quando per esso vale il principio di sovrapposizione degli effetti, cioè quando

y(t) = ~[alxl(t) + a2x2(t)] = al~[xl(t)] + a2~[x2(t)]

(2-130)

dove y(t) e x(t) = al XI (t) + a2x2(t) sonorispettivamentel'uscita e l'ingressodel sistema, come mostratoin Figura2-14. ~[.] indicala genericatrasformazione(operatore)liSegnale d'ingresso x(t)

Segnale d'uscita y(t) Sistema lineare

h(t)

H(f)

Alcune notazioni

Alcune notazioni

per il segnale di ingresso

per il segnale di uscita

X(f) RAr) 'lPAf)

Trasformata

Y(f)

Funzione di autocorrelazione

Ry( r) 'lPy(t)

Densità spettrale di potenza

Figura 2-14 Sistema lineare.

2-6

Richiami sui sistemi lineari

79

neare effettuata dal sistema. Quest'ultimo è stazionario se, per qualsiasi ingresso ritardato x(t - to), l'uscita è ritardata della stessa quantità [è cioè pari a y(t - to)] e perciò la forma della risposta del sistema non dipende dall'istante in cui viene applicato l'ingresso. Una discussione dettagliata della teoria e delle applicazioni dei sistemi lineari va ben oltre gli scopi di questo libro. L'argomento è così vasto che richiederebbe un libro intero, come [Irwin, 1995]. Comunque, riassumeremo qui quei concetti fondamentali che risultano particolarmente importanti per le applicazioni. Risposta

impulsiva

I sistemi lineari stazionari sono caratterizzati dalla conoscenza dalla risposta impulsiva h(t), cioè l'uscita del sistema quando in ingresso si dà una funzione delta di Dirac: y(t)

=

h(t) quando x(t)

=

~(t). Nei circuiti fisici la risposta impulsiva è causale, cioè

h(t) = Oper t < 0.17 Si può utilizzare la risposta impulsiva per ricavare la risposta del sistema a un qualunque ingresso x(t). Infatti, il generico segnale d'ingresso si può approssimare con18 00

x(t)

=

Lx(n

ilt)[~(t

n=O

-

n ilt)] ilt

(2-131)

considerando i campioni dell'ingresso presi ogni ilt secondi. Allora, utilizzando le proprietà di stazionarietà e di linearità, si trova che l'uscita è approssimativamente pari a 00

y(t)

=

Lx(n n=O

ilt)[h(t

-

n ilt)] ilt

(2-132)

Questa espressione diventa esatta al tendere di ilt a zero e si trasforma nel seguente integrale:

y(t)

= Joo

-00

x(À)h(t

- À) dÀ

==

x(t) * h(t)

(2-133)

Un integrale di questo tipo è un integrale di convoluzione, come già definito nella (2-62) del Paragrafo 2-2. Dunque, l'uscita di un sistema lineare e stazionario è la convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva del sistema stesso. Ecco spiegata l'importanza della risposta impulsiva: questa grandezza permette di descrivere la risposta del sistema nel dominio del tempo, come indicato nella Figura 2-14.

Risposta in frequenza Per trovarelo spettrodel segnaled'uscita possiamocalcolarela TF di entrambii membri della (2-133).Medianteil teoremadella convoluzionedi Tabella2-1, si ricava Y(f) = X(f)H(f)

(2-134)

17La condizione di causalità si può anche fonnulare nel dominio della frequenza. Secondo il criterio di Paley-Wiener, la risposta frequenza H(j) (cioè la TF della risposta impulsiva) deve soddisfare la condizione

f

oo I1n IHU) I I df < 00 -;x) I + f2 18Àt corrisponde a dx della (2-47).

80

Capitolo 2

- Segnali

e spettri

da cui

=

H(f) dove H(f)

= ~[h( t)]

Y(f) X(f)

(2-135)

è la risposta in frequenza del sistema. Dunque la risposta impulsi-

va e la rispostain frequenzacostituisconouna coppiaTF-ATF: h(t)

H H(f)

Naturalmente, la risposta in frequenza H(f) è complessa e può essere scritta in forma polare

IH(f)I ejl!!Xl

H(f) =

(2-136)

dove IH(f) I è la risposta in ampiezza e O(f)

=

= tan-l

/H(f)

Im{H(f)} [ Re{H(f)}

]

(2-137)

è la risposta in fase. Poiché la h(t) di sistemi fisici è una funzione reale, sappiamo dalle (2-38) e (2-39) che IH(f) I è una funzione pari della frequenza, mentre / H(f) è dispari. La risposta in frequenza di un sistema lineare e stazionario può essere misurata con un segnale di prova sinusoidale, la cui frequenza è fatta variare sulla banda di interesse. Ad esempio, se x(t) = A cos Wot allora l'uscita del sistema sarà

= AIH(fo)I cos [Wot + L!!iJil]

y(t)

(2-138)

dove l'ampiezza e la fase possono in pratica essere valutate frequenza per frequenza con un analizzatore vettoriale. Questa proprietà (insieme alla linearità del sistema) permette di calcolare lo spettro della risposta a un segnale periodico. Se infatti n=oo

X(f)

=

I

Cn

S(f

n =-00

-

nfo)

(2-139)

dove i {Cn} sono i coefficienti di Fourier del segnale di ingresso, lo spettro del segnale d'uscita è dato da n=oo

Y(f)

=

I

cnH(nfo) S(f - nfo)

(2-140)

n =--00

Per un sistema lineare e stazionario è anche semplice ricavare la relazione che sussiste tra le DSP dei segnali in ingresso '1Px (f) e in uscita '1P y(f).19 Tenendo conto della (2-66) e sapendo che '1Py(f)

=

.

l

hm - IYT(f)12 T-HXJ T

19La relazione tra le funzioni di autocorrelazione cavata come mostrato dalla (6-82).

dell'ingresso

e dell'uscita

(2-141)

Rx ( T) e Ry ( T) può essere ri-

iiiii 2-6

Richiami sui sistemi lineari

81

dalla (2-134) si ottiene l

ç]>y(f) = IH(f)12 lim -IXT(f)12 T-+00 T

oppure (2-142)

Di conseguenza, la risposta in potenza del sistema è

G,,(f)

(2-143)

- ç]>y(f) = IH(f)12 - ç]>Af)

Una diversa dimostrazione questa relazione verrà affrontata nel Capitolo 6. Esempio

2-14 FILTRO RC PASSA-BASSO

La Figura 2-15 mostra lo schema di un filtro RC passa-basso, dove x( t) e y( t) sono rispettivamente le tensioni di ingresso e di uscita. Dalla legge di Kirchoff relativa alla somma delle tensioni in una maglia, si ha

x(t) = Ri(t) + y(t) dove i(t) = C dy(t)jdt, oppure dy RC -dt + y(t) = x(t)

(2-144)

Trasformando ambo i membri con l'aiuto della Tabella 2-1, questa equazione differenziale si trasforma in RC(j21Tf)Y(f)

+ Y(f)

= X(f)

Possiamo allora calcolare la risposta in frequenza del circuito: H(f)

I

Y(f)= = X (f)

(2-145)

e, di nuovo usando la Tabella 2-1, possiamo anche ricavare anche la risposta impulsiva

h(t )

=

~

TO

[ O,

e-t /70

'

t~O

(2-146)

t
dove TO= RC è la costante tempo del circuito. Dalle (2-143) e (2-145) si ottiene la risposta in potenza (2-147) dovefo

= Ij(21TRC). {Continua}

82

Capitolo 2 - Segnali e spettri R v.A

o

o

x(t) o

lc

y(t)

T

o

(a) Filtro RC passa-basso h(t) I

RC 0.37 RC

II

l-

TO=RC I

(b) Risposta impulsiva Gh(f)

I

1.0

fo=~ 27rRC (c) Funzione di trasferimento

Figura 2-15

!-

della potenza

Caratteristiche di un filtro RC passa-basso.

I grafici della risposta impulsiva e della risposta in potenza sono riportati in Figura 2-15. Si noti che il valore della risposta in potenza alla frequenza f = fo è Gh(JO)=! mentre Gh(O) = 1. Questo significa che la componente frequenziale alla frequenza f = lo nel segnale d'uscita viene attenuata dal circuito di 3 dB in più rispetto a quanto venga attenuata quella per f = O.Di conseguenza,f = fo è chiamata banda a -3 dB o frequenza di taglio del filtro. La definizione di banda è discussa con maggior dettaglio nel Paragrafo 2-9.

2-6

Trasmissione

Richiami sui sistemi lineari

83

senza distorsione

Nei sistemi di comunicazione si desidera in generale avere un canale che non introduca distorsione. Con quest'affermazione si intende che l'uscita del canale deve essere proporzionale a una versione ritardata dell'ingresso (2-148) dove A è il guadagno (che può eventualmente essere molto minore dell'unità) e Td è il ritardo introdotto. La corrispondente condizione espressa nel dominio della frequenza è ottenuta considerando la trasformata di Fourier di entrambi i membri della (2-148).

Per avere una trasmissione senza distorsione, si richiede che la risposta in frequenza del canale (modellato come un sistema lineare e stazionario) sia pari a H(f)

=

Y (f) X(f)

= Ae-j21r/Td

(2-149)

e cioè il sistema deve avere: 1. risposta in ampiezza piatta,

(2-150a)

IH(f) I = costante = A 2. risposta in fase funzione lineare della frequenza: ()(f)

=

jH(f)

= -27rfTd

(2-150b)

Quando è verificata la prima condizione, non c'è distorsione in ampiezza. Quando invece è la seconda condizione a essere soddisfatta, non c'è distorsione di fase. Il secondo requisito è spesso riformulato utilizzando la nozione di ritardo di fase del sistema, che è definito come l l (2-151) Td(f) = - O(f) = - jH(f)] 2'ITf

2'ITf

Affinché non ci siano distorsioni di fase, il ritardo di fase deve essere costante: Td(f)

= costante

(2-152)

Se infattiTd(f) non è costante,la rispostain fase, ()(f), non è una funzionelinearedella frequenza. Esempio

2-15 DISTORSIONI INTRODOTTE DA UN FILTRO

Cerchiamo di individuare le distorsioni eventualmente prodotte dal filtro passa-basso RC studiato nell'Esempio 2-14. Per la (2-145) la risposta in ampiezza è

IH(f)1 = -==

l

(2-153) (Continua)

84

Capitolo 2

- Segnali

e spettri

e quella di fase è o(f)

= /H./!) = -tan-1U//o)

(2-154)

La corrispondente funzione che fornisce il ritardo di fase del filtro è I

Td(f)

=_ 27TI tan-1U//o)

(2-155)

L'andamento di queste grandezze è mostrato a tratto continuo nei grafici di Figura 216, mentre le linee tratteggiate indicano le risposte di un filtro ideale che non introduce distorsione. 11filtro produce quindi distorsioni di fase e ampiezza, in quanto le (2-l50a) e (2-150b) non sono soddisfatte. Possiamo però fare qualche ulteriore considerazione. Se il segnale in ingresso al filtro possiede componenti frequenziali rilevanti solo in una banda di frequenze inferiore a 0.5/0, il filtro introduce una distorsione trascurabile, dato che lo scarto nella risposta in ampiezza rispetto al caso di non distorsione è contenuto in 0.5 dB, e lo scarto di fase è inferiore a 2.1°. Per / < /0, l'errore in ampiezza è inferiore a 3 dB e quello di fase è inferiore a 45°. Questi errori sono ritenuti tollerabili in molte applicazioni. Dalla Figura 2-16c si nota anche che un segnale con componenti contenute in una banda di estensione 0.50/0 è ritardato circa di 1/(217fo)s; se ad esempio la frequenza di taglio del filtro fosse[o = 1kHz, il ritardo sarebbe all'incirca di 0.16 ms.

Distorsione

di segnali

audio, video e dati

Un sistema lineare stazionario produce dunque distorsione in ampiezza se la risposta in ampiezza non è piatta, e distorsione in fase se la risposta di fase non è una funzione lineare della frequenza. Nelle applicazioni che trattano segnali audio (e più specificamente per i segnali telefonici), si è trovato sperimentalmente che l'orecchio umano è sensibile alla distorsione in ampiezza, ma relativamente poco sensibile a quella di fase. Infatti un errore di fase in un filtro di 15° a 15 kHz produce un errore nel ritardo di fase di circa 3 J.LS.che è trascurabile rispetto ad esempio alla durata di una sillaba nel parlato, che è dell'ordine di 0.010.1 s. Viceversa, un errore in ampiezza di 3 dB comporta il dimezzamento della potenza di una componente frequenziale ed è certamente rilevato dall'orecchio umano. Nelle specifiche di distorsione lineare per gli amplificatori audio ad alta fedeltà si è interessati principalmente a ottenere una risposta piatta in ampiezza, mentre minore attenzione viene riservata alla linearità in fase. Per le applicazioni video, invece, è la risposta in fase a diventare di importanza dominante. Infatti, una distorsione di fase sul segnale video si traduce in un errore nel ritardo delle componenti del segnale, che provoca lo "sfuocamento" dei dettagli dell'immagine, cui l'occhio è molto sensibile. La distorsione di fase è parimenti dannosa per i segnali dati. Se il filtro introduce infatti ritardi non costanti per le componenti frequenziali, il risultato è che un impulso dati "sporca" gli impulsi adiacenti utilizzati nella trasmissione, causando inteiferenza intersimbolica (ISI). II progetto dei filtri per avere minima ISI è discusso nel Paragrafo 3-6. Altri tipi di distorsione vengono poi generati se il sistema è non lineare oppure variabile nel tempo (non stazionario). In questi casi, nello spettro del segnale d'uscita compaiono nuove componentijrequenziali non presenti nel segnale di ingresso (Par. 4-3) e che risultano in generale dannose (anche se in alcuni dispositivi questo fenomeno è invece provocato ad arte).

2-6

Richiami sui sistemi lineari

t dB O IH(f)ldB

OdB

---------_t

-IO -15

-3/0

-2/0

= -101og[1 + (fllo)2]

IH(f)ldB

-lo

lo

210

3/0

1-

(a) Risposta in ampiezza

t

I O(f)

Gradi 90° 45°

0(/)

'" '"

= -tan-I(~ fo )

,

-90° 360

j'""

(21Tlo)I

in gradi

(b) Risposta in fase

t

T d (f)

s

I 21T/o

-3/0

-2/0

-lo

lo

210

(c) Ritardo temporale

Figura 2-16

Distorsione dovuta a un filtro RC passa-basso.

3/01-

85

86

Capitolo 2 - Segnali e spettri

2-7 SEGNALI E RUMORE A BANDA LIMITATA Un segnale a banda limitata ha uno spettro tIiverso da zero solamente per un intervallo limitato di frequenze. A questo tipo di segnali si possono applicare alcuni importanti teoremi, in particolare il teorema del campionamento. Come vedremo nel Capitolo 3, i segnali a banda limitata sono particolarmente importanti nei sistemi digitali di comunicazione.

Segnali a banda limitata DEFINIZIONE. Un segnaleè (rigorosamente)a banda limitata (o limitato in banda) se W(f) = ~[w(t)] = O, per lil ~ B

(2-156)

dove B è il limite di banda (brevemente, la banda). DEFINIZIONE.

Un segnale è (rigorosamente) a durata limitata (o limitato nel tem-

po) se w(t) = O, per Itl > T TEOREMA.

(2-157)

Un segnale a banda limitata non può essere a durata limitata, e viceversa.

Questo teorema trova applicazione nell'Esempio 2-5. Una dimostrazione per assurdo del teorema si trova ad esempio in Wozencraft e Jacobs [1965]. Da questo teorema sembra scaturire un paradosso. Sappiamo che un segnale a banda limitata non può avere durata limitata. Sappiamo anche che un segnale fisico è sicuramente a durata limitata poiché il dispositivo che lo genera ha cominciato a funzionare a un certo istante nel passato finito e finirà di funzionare a un certo istante futuro, producendo così una forma d'onda temporalmente limitata. Dunque tutti i segnali fisici hanno banda infinita? Questo paradosso è risolto tenendo conto che quando rappresentiamo un fenomeno fisico con un modello matematico, probabilmente tutte le ipotesi relative al modello non sono esattamente soddisfatte anche se, erroneamente, così crediamo. In altre parole, esiste sempre un certo grado di incertezza riguardo l'esatta descrizione temporale e frequenziale del segnale, soprattutto alle estremità degli intervalli temporali e frequenziali di definizione. Se è vero che il segnale a durata limitata ha banda teoricamente illimitata, è anche vero che la banda può essere considerata praticamente limitata, nel senso che lo spettro in ampiezza oltre un certo valore di frequenza avrà valori trascurabili. Il legame tra il fenomeno fisico e il nostro modello matematico è discusso in un interessante lavoro di David Slepian [1976]. Teorema

del campionamento

Il teorema del campionamento è di fondamentale importanza, in quanto su di esso si basano la moderna elaborazione numerica dei segnali e i sistemi digitali di comunicazione. Vedremo che questo teorema suggerisce anche una particolare rappresentazione dei segnali su base ortogonale.

!

2-7 TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO.

Segnali e rumore a banda limitata

87

Un segnale w(t) con spettro rigorosamente li-

mitato nella banda B può essere rappresentato

sull' intervallo -00 < t < 00 da

n=oo

w(t) =

I

n=-00

(2-158)

an sin {7if.,[t - (n/fs)]} 7if.,[t - (n/fs)]

dove (2-159)

an =fs f'"-00w(t) sin 7if.,[t {7if.,[t- - (n/fs)] (n/fs)]} dt sono i campioni del segnale w( t) presi agli istanti temporali equispaziati

(2-160)

tn = nlfs

e dove la quantità fs, chiamata frequenza di campionamento, deve rispettare la condizionefs 2::2B. La serie (2-159) è chiamata serie cardinale; essa è nota ai matematici almeno dal 1915 [Whittaker, 1915] e nella letteratura tecnica dal lavoro fondamentale di Shannon sulla teoria dell'informazione [Shannon, 1949]. Un'eccellente introduzione all'argomento si trova in Jerri [1977]. Dimostrazione. Cominciamo col dimostrare che 'Pn(t)

= sin{7if.,[t - (n/fs)]}

(2-161)

7ifs[t- (n/fs)]

è un insieme di funzioni OTtogonali.Per la definizione (2-77), si deve dimostrare che la (2-161) verifica

J: 'Pn(t) 'P~( t)

=

dt

(2-162) Kn

8nm

Applicando il teorema di Parseval (2-40), il primo membro diventa (2-163) dove (2-164) quindi

J:'Pn(t)'P~(t)

dt

= U:)2 J: [n(i)Y e-j21T(n-m)f/fs di -

I

-- (fs ) 2

f

fs/2

-fs/2

-j21T(n-m)(f/M

e

df

=~

J'"s

8nm

(2-165)

88

Capitolo 2 - Segnali e spettri

Le funzioni 'Pn(t) sono perciò ortogonali con Kn = l/fs. Supponiamo allora che costituiscano una base completa, e che quindi il segnale possa essere rappresentato secondo la scomposizione standard su base ortogona1e (2.83). Per la (2.84) e usando di nuovo il teorema di Parseval, si ha an = fs r>o --=w(t)'P~(t)

dt r

=fs

IO<> --= W(f)~(f) dI

(2-166) I

Sostituendo la (2-164) otteniamo j,j2

an =

I-j,j2

W (f)e-j21r!(nj!,) dI

(2-167)

Poiché W(f) è per ipotesi zero per 111> B, dove B :5 fs /2 (segnale limitato in banda), gli estremi di integrazione possono essere estesi a (-00, 00) senza alterare il risultato. L'integrale coincide allora con la ATF di W(f) valutata per t = n/fs. Pertanto, an = w(n/J,), che è la (2-159). Usando questi coefficienti per ricostruire il segnale secondo la rappresentazione su base ortogonale (2-83), si ottiene esattamente la (2-160) che viene anche chiamata formula d'interpolazione cardinale. Dalla (2-167) è ovvio che la minima frequenza di campionamento necessaria per ricostruire il segnale senza errori è (fs)min

= 2B

(2-168)

La relazione!s :22B è anche chiamata condizione di Nyquist. Si può anche dimostrare che l'insieme di funzioni ortogonali (2-161) è completo per i segnali che soddisfano questa condizione Cerchiamo ora di capire se è possibile riprodurre un segnale a banda limitata utilizzando un numero N finito di campioni del segnale. Supponiamo di essere interessati a riprodurre il segnale su di un intervallo di durata To come mostrato in Figura 2-17a. Allora possiamo considerare nella serie in (2-158) solamente le funzioni 'Pn(t)che presentano massimo nell'intervallo di interesse. Pertanto, la forma d'onda può essere approssimativamente ricostruita mediante N campioni con la seguente formula d'intelpolazione:

n=nl+N w(t)

=

I

(2-169)

n=l1l

ove le {'Pn(t)} sono quelle della (2-161). La Figura 2-17b mostra il segnale ricostruito (linea continua) ottenuto da una somma pesata di funzioni (sin x)/x opportunamente ritardate (linea tratteggiata). I vari pesi an = w(n/fs) sono i campioni di segnale evidenziati con i punti. Questi campioni possono essere memorizzati su un file in un calcolatore per ricostruire il segnale successivamente, oppure possono essere trasmessi "in tempo reale" su di un canale di comunicazione per la ricostruzione del segnale al ricevitore mediante la (2-169). Il minimo numero di campioni necessari per ricostruire il segnale su di un intervallo di lunghezza To secondi è

2-7

Segnali e rumore a banda limitata

89

1(a) Segnale campionato

/"

/

-

~

,/

"

/ / I

/

I

/

\

I

<

1\ I \

/

,---'; ---

"

, /

I I I

\ \

I \

\

\ \ / \ \1..:::::':::::...

,---'; ---

(b) Segnale ricostruito dai suoi campioni

Figura 2-17

Teorema del campionamento.

To

N

=

l/fs =/sTo ~ 2BTo

(2-170)

Il parametro N è chiamato dimensionalità del segnale. Campionamento ed elaborazione

ideale numerica

dei segnali

Un diverso modello dell'operazione di campionamento dei segnali si ottiene usando il cosiddetto segnale campionato ideale ws(t) che si ottiene formalmente sostituendo nella formula di interpolazione cardinale (2-158) alle funzioni (sinx)/x le funzioni delta di Dirac. Questo segnale può anche essere ottenuto pensando di moltiplicare il segnale originario per un treno d'impulsi delta di Dirac: 00

n =-00 00

=

L

w(nTs) 8(t - nTs)

n =--00

(2-171)

90

Capitolo 2

- Segnali e spettri

dove Ts = l/fs è l'intervallo di campionamento, come illustrato in Figura 2-18.20Nella figura, l'area di ogni funzione delta è indicata dall' altezza dell' impulso. Lo spettro del segnale campionato ws( t) si valuta ripartendo dalla (2-171) ed espandendo in serie di Fourier la serie campionatrice di delta di Dirac, ottenendo così 00

ws(t)

1

= w(t) n=-oo I TS

(2-172)

ejnw,1

Calcolando la TF di entrambi i termini di questa equazione, si ha

ovvero I Ws(f)

= TS

00

I

n=-oo

W(f

-

(2-173)

nfs)

W(f)

-8

8

!-

(a) Segnale e suo spettro

t-

-I. -I.

I. fs T

2 -IB

(b) Segnale campionato

e suo spettro ifs > 28)

Figura 2-18 Campionamento ideale.

20Per semplicità si suppone W(f) reale.

1-

21.

!-

.

O_L-

-

----

2-7

Segnali e rumore a banda limitata

--

91

La Figura 2-18b indica chiaramente che lo spettro del segnale campionato è la ripetizione, ogni!s Hz, dello spettro del segnale non campionato, dove!s è la frequenza di campionamento'-(campioni/secondo).21Questo risultato è uno dei principi di base dell'elaborazione numerica dei segnali (DSP, Digital Signal Processing). Si noti che questa tecnica di campionamento con una sequenza di impulsi può essere utilizzata per traslare lo spettro di un segnale attorno a un'armonica della frequenza di campionamento. In generale, come verrà illustrato nel Paragrafo 4-11, i circuiti che traslano lo spettro dei segnali a una frequenza desiderata vengono chiamati mescolatori (o mixer). Come illustrato in Figura 2-18, sefs ;::: 2B, le repliche degli spettri non si sovrappongono, e lo spettro originale può essere ricostruito tagliando tutte le repliche in Ws(f) che si trovano oltre fs /2. Ciò significa in pratica filtrare ws( t) con un filtro passa-basso ideale di banda/c = fs/2, confs ;::: 2B. Sefs < 2B il segnale è sottocampionato; lo spettro di ws(t) è ancora formato dalle repliche dello spettro di w(t), ma in questo caso tali repliche si sovrappongono, come mostrato in Figura 2-19.22 La sovrapposizione è chiamata aliasing o ripiegamento spettrale.23 In questo caso, la versione filtrata passa-basso di ws(t) non è uguale a w(t) e, quindi, si ha distorsione per la presenza di aliasing. Questa distorsione può essere contenuta prefiltrando il segnale originario prima del campionamento con un filtro anti-aliasing, in modo che il segnale prefiltrato non abbia componenti oltre!s /2. Il prefiltraggio produce anch'esso distorsione sul segnale ricostruito, in quanto vengono rimosse le componenti del segnale oltrefs /2. La Figura 2-19 indica comunqueche il segnalericostruitodal segnale campionato dopo prefiltraggio presenta un errore con energia metà di quella che si avrebbe senza prefiltro. Un segnale fisicamente realizzabile w(t) ha energia finita. Dalle (2-42) e (2-43) segue che lo spettro in ampiezza, IW(f)I, deve essere trascurabile per l/I > B, doveB è un opportuno numero positivo. Di conseguenza, ogni segnale fisico è praticamente limitato in banda, anche se la banda B risulta talvolta grande.

Teorema della dimensionalità Una versione più generale del teorema del campionamento è il cosiddetto teorema della dimensionalità. TEOREMA. Quando il prodotto BTo è grande, un segnale reale può essere completamente specificato da N

= 2BTo

21 Nel Capitolo 3 generalizzeremo questo risultato considerando impulsi di durata finita e forma arbitraria (campionamento istantaneo).

(2-174)

il campionamento

22 Per semplicità si suppone W(f) reale. 23 La frequenza di ripiegamento

è fJ2. cioè la metà quella di campionamento.

con una sequenza di

---

92

Capitolo 2 - Segnali e spettri W(n

f-

-B

(a) Spettro del segnale prima del campionamento

Filtro passa-basso

\._-I I I I

,,

/ /

, / / ", , / /

3 Zfs

-fs

2fsf-

B+f'~ (b) Spettro dell'impulso

campionato

Figura 2-19

(fs < 2B)

Sottocampionamento e aliasing.

informazioni indipendenti che descrivono il segnale sull' intervallo di durata To. Il numero N è il numero delle dimensioni richieste per specificare il segnale, e B è la banda del segnale. [Shannon, 1949; Wozencraft e Jacobs, 1965; Wyner e Smamai (Shitz), 1998]. Il teorema enunciato nella (2-174) afferma semplicemente che l'informazione che può trasportare un segnale o un sistema di comunicazione a banda limitata è proporzionale al prodotto tra la banda del sistema e il tempo necessario per trasmettere l'informazione. Il teorema della dimensionalità ha profonde implicazioni nel progetto e nelle prestazioni di qualsiasi tipo di sistema di comunicazione. Ad esempio, il prodotto banda-durata del segnale trasmesso in un sistema radar deve essere grande per avere buone prestazioni. Possiamo applicare il teorema della dimensionalità in due maniere fondamentali. Se è dato un certo segnale e si vuole memorizzare un certo numero di campioni del segnale su un file in un personal computer per poter poi ricostruime l'andamento su di un intervallo di To secondi, il teorema dice che dobbiamo salvare almeno N valori, e la frequenza di campionamento deve essere almeno quella dettata dalla condizione di Nyquist, cioè24 24 Se lo spettro del segnale da campionare

ha una componente

discreta per f = ~B. si ha qualche ambi-

guità sul fatto che tale componente sia o no nella banda B. Pertanto la si considera ponendofs > 2B.

2-8

Trasformata discreta di Fourier

!s~2B

93

(2-175)

Pertanto, il'Primo tipo di applicazione del teorema è quello di calcolare il numero di campioni (e quindi la quantità di memoria) necessari per rappresentare il segnale. Il secondo tipo di applicazione è un problema di tipo inverso: il teorema è utilizzato per stimare la banda di un segnale. Questa applicazione è descritta in dettaglio nel Capitolo 3, Paragrafo 3-4, dove il teorema della dimensionalità è usato per ricavare il limite inferiore della banda di un segnale numerico.

2-8 TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER Con la disponibilità di personal computer e di circuiti integrati per l'elaborazione numerica del segnale molto potenti, è diventato semplice misurare o stimare lo spettro di un dato segnale analogico utilizzando la trasformata discreta di Fourier (che indicheremo con l'acronimo internazionale DFf, Discrete Fourier Transform). Qui di seguito vogliamo illustrare com'è possibile ricavare attraverso DFf sia i campioni della trasformata continua di Fourier (TF) (2-26) che i coefficienti della serie di Fourier (SF) (2-94) di un segnale dato. DEFINIZIONE.La trasformata discreta di Fourier (DFf) è definita come k=N-( X(n)

I

=

x(k)e-j(21T/N)lIk

(2-176)

k=O

dove n = O, l, 2, n., N - l, e /' antitrasformata discreta di Fourier (IDFf, Inverse Discrete Fourier Transform) è definita da 1 II=N-l

x(k)

=

N

I

11=0

X(n)ej(21T/N)nk

(2-177)

dove k = O, 1,2, n., N - l.

Le variabili tempo e frequenza in queste definizioni non sono esplicitamente presenti, in quanto le (2-176) e (2-177) sono le definizioni di due algoritmi impiegati per calcolare numericamente N valori per la DFf e la IDFf a partire da altrettanti valori già memorizzati nel computer. Occorre tenere presente che vengono utilizzate correntemente anche altre definizioni di (I)DFf. Ad esempio, può essere utilizzato il fattore l/..JN nella (2-176) se contemporaneamente il fattore l/N nella (2-177) viene a sua volta sostituito con l/..JN; ciò comporta evidentemente un diverso fattore di scala quando si utilizza la DFf per il calcolo della TF. Inoltre, si può invertire il segno degli esponenziali nella (2-176) e (2-177), e questo inverte l'ordine dei campioni sull'asse della frequenza. Per valutare numericamente la DFT si sfrutta un celeberrimo algoritmo veloce chiamato FFf (Fast Fourier Transform) che rappresenta la base della moderna elaborazione numerica dei segnali [Ziemer, Tranter e Fannin, 1998].

94

Capitolo 2 - Segnali e spettri

MATLAB usa le definizioni di DFT e 10FT date dalle (2-176) e (2-177), eccetto che gli indici dei campioni vanno da I a N piuttosto che da O a N-l. In questo modo, gli algoritmi di FFT di MATLAB sono legati alle (2-176) e (2-177) da25

x = fft(x)

(2-178)

x = ifft(X)

(2-179)

e

dove x è un vettore a N elementi contenente i campioni del segnale, e X è il vettore anch'esso a N elementi contenente i campioni della DFT. Per avere la massima efficienza dell'algoritmo veloce, N deve essere una potenza di 2 (cioè N = 2m, con m un intero positivo). Se vengono utilizzati altri strumenti software per il calcolo della FFT occorre tenere presente le relative specifiche di utilizzo in modo da interpretare correttamente i risultati. Vedremo qui di seguito due applicazioni dalla DFT. Nella prima, valuteremo l'andamento di una TF W(f); mediante DFT [approssimazione (2-184) illustrata nell'Esempio 2-16]. Nella seconda applicazione eseremo la DFT per valutare i coefficienti Cndella serie di Fourier in forma complessa [formula (2-187) illustrata nell'Esempio 2-17]. Uso della DFT per il calcolo della TF continua Il legame tra la DFT definita dalla (2-180) e la TF continua si basa sulle tre operazioni di finestratura (troncamento), campionamento e periodicizzazione della sequenza, illustrati in Figura 2-20, dove si rappresenta il segnale sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza. Per calcolare numericamente la TF come prima operazione si limita (con un'opportuna finestra) il segnale w(t) sull'intervallo (O,T) ottenendo ww(t) =

W(t),

{ O,

0::5 t::5 T

altrove

}

= w(t) II

t

(

-

(T/2) T )

(2-180)

La trasformata di Fourier di quest'ultimo segnale è Ww(f) = Ioo ww(t)e-j21Ttt dt = --00

(2-181)

Tw(t)e-j21Ttt dt

Jo

Poi si approssima la TF del segnale troncato utilizzando una sommatoria in luogo dell'integrale, dove t = k 6.t, f = n/T, dt = 6.t, e M = T/N: N-I

Ww(f)lt=n/T =

I

(2-182)

w(k 6.t)e-j(21T/N)nkM k=O

Ricordando la (2-176) si ottiene la relazione cercata, e cioè (2-183)

Ww(f)lt=n/T = 6.t X(n)

x

25 Gli algoritmi FFT di MathCAD sono legati alle (2-176) e (2-177) da X cfft (X).

= (I/{IV)

= {IV

icf ft

(x) e

-- -

2-8

Trasformata discreta di Fourier

95

dove f = n/T e Ilt = T/N. I campioni utilizzati nel calcolo della DFT sono x(k) = w(k Ilt), come mostrato in Figura 2-20c. Inoltre, poiché e-j(21T/N)nk nella (2-176) è periodico in n (in quanto i valori assunti per n = N, N + l, ... sono ripetuti anche per n = O, l, ... segue che lo spettro X(n) è periodico, anche se occorre tenere presente che il programma che implementa la DFT fornisce solo i primi N valori della sequenza. D'altro canto, la DFT deriva dalla trasformata di un segnale campionato e quindi risulta periodica della frequenza di campionamento

fs

= 1/ Ilt = N/T come illustrato in Figura 2-18 e

anche nelle (2-20c) e (2-20d). Inoltre, dato che il programma al computer restituisce i campioni X(n) con n = O, l, ..., N - l se si desidera ricavare lo spettro per frequenze negative, la (2-183) deve essere modificata per fornire i valori nell'intervallo -fs /2 < f < fs /2. Pertanto, per frequenze positive si ha N (2-184a) Ww(f)lf=n/T = Ilt X(n), 0:5 n < -2 e per quelle negative

Ww(f)lf=(n-N)/T= Ilt X(n),

N -2 < n < N

(2-184b)

In modo del tutto simile si trova una relazione tra la IDFT inversa e la ATF continua. L'approssimazione della TF con la DFT può generare errori significativi se i vari parametri in gioco non sono ben scelti. Gli errori sono dovuti a vari fattori che possono essere sistemati in tre categorie: leakage (perdita), aliasing ed effetto picket-fence (palizzata). Il primo è causato dall'operazione di troncamento nel dominio del tempo. Nel dominio della frequenza, questa operazione corrisponde a effettuare la convoluzione dello spettro del segnale originale (non limitato temporalmente) con la TF della funzione di "finestratura" utilizzata. Si ha pertanto un allargamento delle componenti frequenziali di w(t), come illustrato in Figura 2-20b, che interferiscono con le componenti adiacenti (come se si avesse una "perdita" idraulica da un vaso comunicante all'altro). Questo effetto può produrre errori, e si può limitare aumentando la lunghezza T della finestra di peso, cioè aumentando N per un dato Ilt, oppure sagomando la fmestra per ridurne i lobi laterali nello spettro relativo [Harris, 1978; Ziemer, Trenter e Fannin, 1998]. Eventuali componenti periodiche di notevole ampiezza nel segnale w(t) contribuiscono ad aumentare illeakage, e pertanto, se sono note, possono essere filtrate prima di eseguire la DFT. Dal teorema del campionamento, sappiamo che lo spettro di un segnale campionato è la sovrapposizione delle repliche dello spettro del segnale a tempo continuo centrate sulle armoniche della frequenza di campionamento. Se!s < 2B, dove fs = 1/ Ilt e B è la banda del segnale, si avranno errori dovuti all'aliasing. Questo secondo effetto può essere limitato aumentando la frequenza di campionamento o utilizzando prima del campionatore un filtro passa-basso per limitare la banda (filtro anti-aliasing). La componente con la massima frequenza che si può valutare (in gergo: risolvere) con una DFT a N punti è f = fs/2 = N/(2T). Il terzo tipo di errore, l'effetto picket-fence, sorge per il fatto che una DFT a N punti non può risolvere componenti collocate sull'asse delle frequenze a una distanza inferiore alla spaziatura Ilf = l/T. In questo modo due componentivicine a distanzainferiorea Ilf vengono viste come un'unica componente, esattamente come due pali troppo vicini in una palizzata. Incrementando T si può diminuire tale spaziatura, e perciò aumentare la ri-

96

Capitolo 2 - Segnali e spettri

IW(f) I

w(t)

Funzione delta

di area 'h

o

t-

-fs

t-

-fs

1'1-

(a) Segnale e suo spettro

ISI-

(b) Segnale troncato e suo spettro

T 2ilt

WS10(t )

t-

IWsw(f) I

-fs

(c) Segnale troncato e campionato e suo spettro (fs

= l/ilT) T .2ilt

t-fs

l -Tfs

IW,.w (f) I oppure ilt I X(n) I

-I I-Io 12345678

(d) Periodicizzazione del segnale troncato e campionato e suo spettro (lo

Figura 2-20

.. ..

.. .. .

= l/T)

fs

1-

n-

Confronto fra trasformata continua di Fourier e trasformata discreta di Fourier.

soluzione dell'algoritmo. Questo trucco si può usare anche se il segnale è limitato a un intervallo To:quando To S; T, T può essere esteso aggiungendo campioni di valore nullo (riempimento con zeri o zero-padding) finché /11 viene ridotta al valore desiderato. Naturalmente il computer non può produrre valori di ampiezza illimitata. La DFf approssima infatti le funzioni delta di Dirac con degli impulsi di ampiezza finita. Comunque, l'area delle funzioni delta si valuta accuratamente utilizzando la DFT per il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier, come mostrato nell'Esempio 2-17. Ricapitolando, la possibilità di usare la DFT per il calcolo della TF è garantita da alcune operazioni o proprietà fondamentali: i) il segnale viene limitato a un intervallo (O,T)

2-8

Trasformata discreta di Fourier

97

per avere un numero finito di campioni; ii) la DFf e la IDFf sono periodiche con periodo rispettivamente

considerazioni:

.

. .

fs

,.

= 1/ l:1t e T. I parametri l:1t, T, e N sono scelti in base alle seguenti

l:1t è scelto in modo che sia soddisfatta la condizione di Nyquist,fs = 1/ l:1t> 2B, dove B è la più alta frequenza nello spettro nel segnale. l:1tè l'intervallo tra campioni successivi, ed è anche chiamato risoluzione temporale. Inoltre, t = kl:1t. T è scelto in modo da avere la desiderata risoluzione frequenziale, l:1f = l/T. Inoltre, f = n/T.

N è il numero di campioni ed è determinato da N = T/ l:1t. Ovviamente, il tempo di calcolo aumenta all'aumentare di N.26

La DFf a N punti fornisce in uscita N campioni dello spettro sull'intervallo (O,fs) con fs = 1/ l:1t= N/T. All'incirca metà di questi valori sono relativi alla frequenze positive, e l'altra metà alle frequenze negative, come descritto dalla (2-184) e illustrato nel successivo esempio. Esempio 2-16 DFT DI UN IMPULSORETTANGOLARE La Tabella 2-3 contiene il listato di un programma MATLAB per il calcolo dello spettro di un impulso rettangolare mediante l'algoritmo veloce di DFf, cioè la FFf. I risultati sono riportati nella Figura 2-21. Si noti che per mettere in relazione i risultati ottenuti con la FFf con lo spettro continuo (cioè la TF) si è fatto riferimento alle (2-178) e (2-183). I parametri M, tend, e T sono scelti in modo che gli spettri (ampiezza e fase) calcolati numericamente ben si accordino con quelli teorici delle (2-59) e (2-60) nell'Esempio 2-5. Il parametro T dell'Esempio 2-5 equivale a tend della Tabella 2-3. L'impulso non è certamente a banda limitata, ma se si considera una durata pari a tend = I, lo spettro in ampiezza assume valori trascurabili per frequenza al di là di 5/tend = 5Hz = B. Fissiamo allora la frequenza di campionamento almeno a 2 B = IO Hz. Per T = IO e N = 128, si ha t:.t = 0.08 eh = 1/t1t = 12.8 Hz e i valori di T e N soddisfano il criterio di Nyquisth > 2 B. Inoltre, la risoluzione in frequenza è buona in quanto si ha t1f = l/T = 0.1 Hz. Nell'uJtimo grafico della Figura 2-21 è mostrato lo spettro di ampiezza nell'intervallo O < f < fs, con J, = 12.8 Hz. Poiché nel programma MATLAB non è stata applicata la (2184b), la parte del grafico con O < f < 6.8 (fs/2 = 6.8 Hz) corrisponde allo spettro di ampiezza della TF per le frequenze positive, mentre la porzione con 6.4 < f < 12.8 corrisponde alle frequenze negative. Il lettore dovrebbe provare a fissare altri valori per i parametri M, tend e T in modo da verificare l'influenza degli errori di leakage, aliasing e picket-fence quando tali parametri non sono adeguatamente scelti. In particolare, perché si trovano notevoli errori se tend = T?

26 L'algoritmo

FFf

è un metodo veloce per il calcolo

della DFr.

Il numero di moltiplicazioni

com-

plesse richieste per la DFr è all'incirca N2, mentre la FFr (con N potenza di 2) richiede soltanto (N/2) log2N moltiplicazioni complesse. Pertanto, il guadagno che si ottiene con la FFr è 2N/(Iog2N), che ad esempio per N = 512 vale 113.8.

.I I

98

Capitolo 2 - Segnali e spettri TABELLA 2.3 CODICE MATLAB PER CALCOLARE LO SPETTRO DI UN IMPULSO RETTANGOLARE USANDO LA DFf % File: TABLE2_3.M; % Calcolo della FFT per il gradino troncato % Con 'tend' si indica l'estremo superiore M = 7;

del

gradino

= 2~M; n = O:1:N-1;

N

tend

= T/N;

dt t

= 1;

= 10;

T

= n*dt;

della forma d'onda nel dominio del tempo

% Generazione

w

=

zeros(length(t) ,1); for (i = l:l:length(w» if (t (i) <= tend) w(i) = 1;

end; end; % Calcolo della W

f

= =

FFT

dt*fft (w) ; n/T;

% Calcolo della posizione del quarto nullo pos = index(f,4/tend); plot-I)r(2) ; plot(t,w); axis([O T O 1.5]); xlabel('t (s) -->'); ylabel

('w(t)

');

title('Andamento

Temporale');

pause; subplot

(311)

;

plot(f(l:pos),abs(W(l:pos»)); xlabel('f (Hz) -->'); ylabel('

IW(f)

l');

title('Spettro di ampiezza del segnale per subplot(312) ; plot(f(1:pos),180/pi*angle(W(1:pos») ); xlabel('f (Hz) -->'); ylabel

( 'theta

(f)

(gradi)

i primi

4 nulli');

O) ;

title('Spettrodi fase del segnaleper i primi 4 nulli'); gridi subplot

(313) ;

plot(f,abs(W») xlabel('f

; (Hz)

ylabel

( , W (f)

title

('Spettro

I

-->'); I

') ;

di ampiezzadel segnale sull'interoasse

delle frequenze della FFT');

Uso della DFT per il calcolo della serie di Fourier La DFf si può applicareancheper il calcolodei coefficientidellaseriedi Fourierin forma complessa.Dalla(2-89)siha

2-8

99

T

l Cn

Trasformata discreta di Fourier

f

=T

O w(t)e-j2'7TT1fotdt

Approssimando l'integrale con una sommatoria si ottiene N-I

Cn =

~T k=O I w(k

(2-185)

b.t)e-j(21T/N)nk b.t

dove t = k b.t,fo = l/T, dt = b.t, e b.t = T/N. Dalla (2-176) troviamo allora facilmente la relazione tra i coefficienti di Fourier desiderati e la DFf dei campioni di segnale: l (2-186) cn=-X(n) N

o

o

2

3

0.5

4

5

6

t(s)-

1.5

2

[(Hz) -

7

2.5

8

9

lO

3

3.5

4

3

3.5

4

Spettro di fase del segnale per i primi 4 nulli

~

-100

!':~ ......

'
O

0.5

I

1.5

2

2.5

[(Hz) -

~~;C1~~~mn'i"'==::L O

2

4

6

8

~

lO

12

[(Hz)

Figura 2-21

Spettro dell'impulso rettangolare ottenuto con MATLAB DFf.

14

1 I

100

Capitolo 2 - Segnali e spettri

Poiché la DFT fornisce i campioni X(n) per n = O, l, ..., N-L la (2-186) deve essere modificata per fornire i coefficienti Cnper n negative. Per n positiva, si ha l Cn= N X(n),

O::5n<-

N 2

(2-187a)

mentre per le n negative l

Cn

Esempio

N

= -N X(N + n), -- 2 < n < O

(2-187b)

2-17 USO DELLA DFT PER CALCOLARELO SPETIRO DI UNA SINUSOIDE

Consideriamo il segnale w( t)

= 3 sin( ùlQt +

(2-188)

20°)

dove ùIQ= 271f0 e fo = lO Hz. Poiché w( t) è un segnale periodico, ha uno spettro a righe come nella (2-109)

W(f)

=L

Cn

8(f

-

nfo)

dovei {cn} sonoi coefficientidellaSF. Inoltre,dato che sin(x) = (ejx - e-jx)/(2j), 3 sin(ùlQt+ 20°) = (:j ej20)ejlL\>t + (;~ e-j20)e-jlL\>/ Di conseguenza, i coefficienti della SF sono

Cl

C-l

= (:j ej20)= 1.5/-70° = (;~ e-j20)= 1.5/+70°

(2-l89a) (2-l89b)

e i rimanenti sono nulli. Cerchiamo di ritrovare questo risultato mediante una DFf. Come illustrato in Figura 2-22, il programma MATLAB in Tabella 2-4 calcola la FFf e traccia il grafico dello spettro che appare in perfetto accordo con il risultato trovato analiticamente nell'Esempio 2-4. Come già accennato, la funzione 8 non può essere riportatata nel grafico, quindi per rappresentare lo spettro in ampiezza si riportano le aree delle funzioni delta. Inoltre, alle frequenze per cui IW(f)1 = O, si può utilizzare qualsiasi valore per la fase 8(f) dato che W(f)

=

IW(f)1/8(f)

= O.

2-9 BANDA DI UN SEGNALE L'intervallo sull'asse delle frequenze occupato da un segnale (in fisica si direbbe: la larghezza spettrale) è una quantità molto importante nei sistemi di comunicazione essenzialmente per due motivi. Innanzitutto, sempre più utenti richiedo'no un'assegnazione di canali

2-9

Banda di un segnale

101

Segnale nel tempo

-:r' o

~

:

0.01

0.02

0.04

0.03

: ;, -

0.05 I(S)

0.06

0.07

0.08

1 0.09

0.1

Punti della FFf

~

::::

o

2

4

6

8

10

12

14

16

20

40

60

80

11-

Spettro di ampiezza,

2

IW(f)1

1.5 :::: .S:!..

1 0.5 O -80

-60

-40

-20

o

j(Hz) -

Spettro di fase, e (f) 100

50

o

-100 -80

Figura 2-22

80

Spettro della sinusoide ottenuto con MATLAB DFf.

di comunicazione a radiofrequenza, quindi l'intervallo frequenziale necessario per ogni utente deve essere considerato attentamente. Secondariamente, la larghezza spettrale è molto importante anche per il progetto degli apparati che costituiscono il sistema, in quanto

102

Capitolo 2 - Segnali e spettri TABELLA 2-4 CODICE MATLAB PER CALCOLARE LO SPETTRO DI UNA SINUSOIDE USANDO LA DFT % File:

TABLE2_4.M

dello spettro di una sinusoide attraverso

% Calcolo M N

=

=

FFT.

2AM;

= =

fo

la

4; lO;

2*pi*fo; n O:l:N-l; T l/fo; dt = T/N;

wo

= =

t

=

n*dt;

% Generazione

w

della forma d'onda + (pi/180*20)); dei punti della FFT.

nel

dominio

del

tempo

= 3*sin(wo*t

% Calcolo W fft(w); W W(:); % POICHÉ IL SEGNALE È PERIODICO, SI RICORRE ALLA SERIE DI FOURIER %COMPLESSA PER OTTENERE LO SPETTRO % ==> Calcolo dei coefficienti della serie di Fourier dalla FFT dei dati usando la (2-186).

= =

% Quindi si usa la (2-109) per -N/2:l:N/2; fnl nl/T; fs = l/dt; % Generazione dei coefficienti cn = l/N * W;

nl

ottenere

lo spettro.

= =

% Generazione

=

Theta

della

della

serie

complessa

di Fourier

fase

(180/pi)*angle(cn

+ 0.001);

% Conversione dei campioni per n= 0,1,2,3, ..., N-l nei coefficienti cn corrispondenti a indici n positivi e negativi % Si osservi che la (2-187) cn = fftshift(cn) '; Theta = fftshift(Theta) '; cn = [cn cn(l)]; Theta = [Theta Theta(l)]; cn

=

cn

( : ) ;

=

Theta

Theta(:);

% Grafico

dei

plot-pr(4)

;

plot(t,w)

risultati

;

xlabel('t ylabel

corrisponde

(s) -->');

('w(t)

');

title('Segnale nel tempo'); pause; plot(n,abs(W), for line(

(i = [n(i)

'o');

l:l:length(n») n(i)],

[O abs

end; xlabel

( 'n'

) ;

ylabel (' IW(n) I'); title('Punti della axis([O 16 O 25])

pause;

FFT');

(W (i»)]);

al comando

predefinito:

fftshift

-2-9

TABELLA 2-4

-

-

Banda di un segnale

-

-. --~ - ~- _._~

.

.

103

CODICE MATLAB PER CALCOLARE LO SPETIRO

DI UNA SINU50IDE USANDO LA DFf (seguito) subplot (211) plot(fnl,abs(cn), for

(i =

line

'o');

1:1:1ength(n1»

( [fn1

(i )

xlabel

( 'f

(Hz)

ylabel

(,

fn1

( i)

],

[O

abs

( cn

( i)

) ] ) ;

end; I

c (n)

I

-->'); ') ;

title('SPETTRO DI AMPIEZZA, IW(f) I'); axis([-80 80 O 2]) subplot(212) plot(fn1, zeros (length(fnl) ,1), 'w',fn1,Theta,

i I

'o');

for (i = 1:1:1ength(n1» line

( [fn1 (i)

fn1 (i) L

[O Theta

(i) ] ) ;

end;

l'

xlabel

( 'f

ylabel

( 'theta

title('SPETTRO

(Hz)

-->');

(f) DI

(gradi)'); FASE,

i relativi circuiti devono

Theta(f)

avere

'I;

sufficiente

banda per far passare

il segnale

utile e reiettare

(cioè rigettare, scartare) i disturbi. Ma che cos'è questa larghezza spettrale, chiamata nelle telecomunicazioni banda? Come discuteremo di seguito, esiste più di una risposta a questa domanda, cioè esistono varie definizioni per questa quantità. Finché si utilizza la stessa definizione applicandola a vari tipi di segnale non sorgono particolari problemi. Se però si usano definizioni diverse diventa necessario disporre di "fattori di conversione" per passare da una definizione all'altra, e questi fattori purtroppo dipendono usualmente dal tipo di spettro considerato. Nelle applicazioni, la banda è universalmente considerata come l'estensione di un intervallo considerato soltanto sul semiasse positivo delle frequenze (si noti che stiamo considerando segnali reali e filtri aventi risposta impulsiva reale, per i quali lo spettro in ampiezza è pari rispetto all'origine). In altre parole, la banda di un segnale è una quantità del tipo h - I), doveh > Il ;:::Oe h e Il sono determinatecon un qualchecriterio in base alla definizione scelta. Per segnali e filtri in banda base normalmente Il è pari a zero. Per segnali passa-banda Il > Oe la banda Il < I
104

Capitolo 2 - Segnali e spettri

3. La banda equivalente di rumore di un filtro H(f) è definita considerando un filtro ideale che ha guadagno pari a IH(fo)l, dove fo è la frequenza in corrispondenza della quale la risposta in ampiezza deUiltro è massima. La banda di rumore si ricava imponendo l'uguaglianza tra la potenza di rumore all'uscita del filtro ideale di banda pari a Beq, e cioè (2-190)

potenza equivalente = BeqlH(foW e quella all'uscita del filtro H(f) dato nelle stesse condizioni:

(2-191) potenza effettiva = {>:) IH(f)12 df In questo modo, la definizione diventa oo

l Beq

=

I £I("

\12

f

(2-192)

o IH(fW df

4. La banda al primo nullo per i sistemi passa-banda è h - fl, dove h è il primo nullo dello spettro d'ampiezza a destra di fo e fl è il primo nullo invece alla sinistra di fa, ove fa è la frequenza in cui lo spettro in ampiezza assume valore massimo.27 Per i sistemi in banda base, fl è come al solito nulla. 5. La banda a -x dB (una generalizzazione della banda a -3 dB) è h - fl, ove fl eh sono tali che lo spettro d'ampiezza IH(f)l2, per le frequenze nell'intervallo fl < f < h è non inferiore di una quantità prefissata, cioè x dB (tipicamente 20 o 50), rispetto al valore massimo. 6. La banda al 99% è h - ft, dove l'intervallo fl < f < h è quello in cui viene a

trovarsi il 99% della potenza totale del segnale. Nel Capitolo 6 definiremo anche la banda efficace, che è invece molto utile per i problemi teorici. Esempio 2-18 BANDADI UN SEGNALEBPSK Useremo un segnale BPSK (Binary Phase Shift Keyed) con modulazione di fase binaria come caso di studio per illustrare come si valuta la banda in base alle varie definizioni appena dale. Il segnale BPSK è (2-194) s(t) = m(t) cos wct dove Wc= 27Tfc,con!c frequenza portante, e m(t) è il segnale modulante binario (valori :t 1) prodotto da una sorgente di informazione dati digitale (un PC che scarica un file da Internet) come illustrato in Figura 2-23a. Valutiamo lo spettro di s(t) nel caso peggiore di massima banda occupata.

27 Nel caso di assenza di nulli nello spettri in ampiezza, la definizione

non è naturalmente

applicabile.

2-9

Banda di un segnale

105

m(t) 1.0

t-1.0 (a) Segnale digitale modulato

I I

"\

"

CfI'(f)

I \

, \ , \

\

, ,

, , ,, I,

, , ,I, ,,,

, ,

-fc -R

-fc +R

fc-R

fc +R

!-

(b) Spettro del segnale BPSK risultante

Figura 2-23

Spettro del degnaIe BPSK.

Lo spettro nel caso peggiore si ha quando il segnale dati modulante è costituito da una continua alternanza di livelli + l e -l, come mostrato in Figura 2-23a. Qui il livello logico + 1 è rappresentato da un impulso di + I V mentre il livello logico -I è un impulso di ampiezza -I V; la velocità di informazione è R = I/Tb bit/s e il segnale è un'onda quadra. Lo spettro di potenza (DSP) dell' onda quadra può essere calcolato mediante sviluppo in serie di Fourier come nelle (2-126) e (2-120):

Cfl'm(J)

= n~-=

ICnl28(J - nfo)

(2-195)

= n~-=[sin~:;~2)r 8(f - n~) n"
dovefo = 1/(2Tb) = R/2. La DSP di s(t) si valuta in funzione della DSP di m(t) calcolando l'autocorrelazione di s(t), cioè

= (s(t)s(t

Rs( T)

+ T)

= (m(t)m(t

+ T) cos wct cos Wc(t + T)

= ~(m(t)m(t

+ T) COSWcT+ ~(m(t)m(t + T) cos (2wct + WcT)

= ~Rm( T) cos

WcT

ovvero

Rs( T)

+

1

~

T/2

m(t)m(t T -->00T J-T/2 lim

+ T) cos (2wct + WcT)dt

(2-196)

(Continua)

106

Capitolo 2 - Segnali e spettri

L'integrale è trascurabile poiché m(t)m(t + T) è praticamente costante per intervalli di tempo "brevi", mentre sugli stessi intervalli cos..(2wet + WeT) compie molte oscillazioni, dato che le ~ R.28 L'eventuale area residua accumulata è trascurabile quando divisa per T, con T ~ 00. In conclusione, (2-197) Calcoliamo poi la DSP tramite TF di entrambi i membri della (2-197). Per mezzo del teorema della modulazione di Tabella 2-1, si ha (2-198) Sostituendo la (2-195) nella (2-198), si ottiene infine la DSP per il segnale BPSK

~s(f)

= ~ n~-oo [sin~:;~2)r n"O (2-199)

X{8(f - le - n(R/2)) + 8[1 + le - n(R/2)]}

che è mostrata in Figura 2-23b. L'inviluppo di questo spettro (che risulta a righe) coincide con la forma della DSP che si ottiene quando la sequenza dei dati binari è aleatoria (cioè non è nota in anticipoc come nel nostra calcolo), e che risulta continua, come vedremo nel Capitolo 3 [Eq. (3-41)]:

sin TTTb(f - fc) "I( ) _1 - - Tb fi1>

4

[

TTTb

(f - le) ]

2

4

+ le) 2 (f + le) ]

sin TTTb(f

]

+ - Tb

[

TTTb

(2-200)

Questa curva è quella mostrata a tratteggio in Figura 2-23b. Questo esempio dimostra anche che spesso, per analizzare un sistema di comunicazione, si possono usare (semplici) segnali determinati, come l'onda quadra del nostro esempio, anziché (complicati) segnali aleatorio Valutiamo ora la banda del segnale BPSK per ognuna delle definizioni date in precedenza. Se le ~ R, la DSP del segnale per frequenze positive si riduce a (2-201) e utilizzando le varie definizioni si ottengono i valori della Tabella 2-5. TABELLA 2-5

BANDE PER SEGNALAZIONI BPSK CON BIT RATE DI R

Banda

Definizione

1. Banda assoluta 2. Banda a -3 dB 3. Banda equivalente di rumore 4. Banda al primo nullo 5. Banda a-50 dB 6. Banda al 99%

28 Questa è una conseguenza

00 0.88R 1.00R 2.00R 201.04R 20.56R

del lemma di Riemann-Lebesgue

= 11Tb

BITIS

Banda (in kHz) 9600 per R bit/s

=

00

8.45 9.60 19.20 1,930.0 197.4

del calcolo integrale [Olmsted,

1961].

2-11

Esercizi di approfondimento

107

2-10 RIEPILOGO

. . . .

. .

.

I segrali possono essere determinati (forma d'onda nota) oppure aleatori (della forma d'onda sono note soltanto le proprietà statistiche). Le principali proprietà dei segnali sono lo spettro, i valori medio ed efficace, e la potenza media. Sono state studiate in dettaglio la Trasformata di Fourier (TF) di un segnale e le relative proprietà. La TF permette di ricavare le componenti frequenziali presenti nel segnale. Abbiamo poi definito la funzione di autocorrelazione e la densità spettrale di potenza (DSP) di un segnale. I segnali e il rumore possono essere rappresentati per mezzo delle basi ortogonali. È stata dimostrata l'utilità della serie di Fourier e della serie cardinale. Abbiamo richiamato le proprietà generali dei sistemi lineari, e si è ricavata la condizione per la trasmissione senza distorsione. Sono state ricavate le proprietà dei segnali a banda limitata, in particolare i teoremi del campionamento e della dimensionalità. Abbiamo inoltre studiato la trasformata discreta di Fourier (DFT) mediante esempi in MATLAB. Abbiamo discusso il concetto di banda fomendone ben sei diverse definizioni. La banda al primo nullo di un impulso rettangolare di durata T è pari a l/T. Questo rappresenta un concetto fondamentale nei sistemi digitali di comunicazione.

2-11 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO EA2-1 Componente continua e valor efficace di un segnale esponenziale Il segnale v(t) è periodico come in Figura 2-24. Sull'intervallo O < t < l, v(t) è descritto da e'. Trovame il valore medio e il valore efficace. Soluzione.

Per segnali periodici il valore medio è Vdc

= (v(t) = -

l

l

TO

To Jo

v(t) dt

=J

o

e'dt

= el

- eO

ovvero Vdc

=e -

l

=

1.72 V

Analogamente,

Così, Veff = '>/3.19= 1.79 V EA2-2 Potenza (in dBm) di un segnale esponenziale Il segnale periodico illustrato in Figura 2-24 si trova ai capi di un carico resistivo di 600 !l Calcolare la potenza media dissipata sul carico e il valore corrispondente in dBm. Soluzione. p

= V~fr!R= (1.79)2/600= 5.32mW

108

Capitolo 2 - Segnali e spettri v( t)

3

-2

o

-1

2

3

t (s) Figura 2-24 e p lO log ( 10-3)

=

5.32 X 10-3 lO log ( 10-3 )

= 7.26 dBm

Nota: Il valore di picco della potenza è max[p(t)]

= max[v(t)

= (e)2 = 600

i(t)]

= max[v2(t)/R]

12.32 mW

EA2-3 Calcolo della TF per sovrapposizione degli effetti t - 5

w(t) = TI( lO

Trovare la TF del segnale

) + 8 sin(61Tt)

Soluzione. La TF del segnale w(t) è la sovrapposizione dello spettro dell'impulso rettangolare e dello spettro della sinusoide. Utilizzando le Tabelle 2-1 e 2-2, si ha

t- 5

= lO sin(I01Tf) e-j21T/5
= lO

. sin(I01Tf) e-JI01T/ + j4[8(1 + 3) - 8(1 - 3)] lO1Tf

EA2-4 Calcolo della TF per integrazione

Trovare la TF del segnalew(t)

=5 -

5e-2 t u(t).

2-11

Esercizi di approfondimento

109

Soluzione. W(f) = j''''' -00 w(t)e-j"" dt

00

-2(1 + jllf)t

=

ossia

-

58(f)

W(f)

=

5 -;( 1 + j7/"f) o 1

58(f)

5

-

EA2-5 Calcolo della TF per sovrapposizione degli effetti Figura 2-25. Calcolame la trasformata di Fourier.

w( t) è il segnale riportato in

Soluzione. Osservando la Figura 2-25, si nota che w( t) può essere espresso come sovrapposizione di due impulsi rettangolari: t - 2 t- 2

(

(~ )

w(t)= IT ~

) + 2IT

Utilizzando le Tabelle 2-1 e 2-2, si trova che la TF è e cioè

W(f)

= 4Sa( 7/"f4)e-jw2 +

W(f)

= 4(Sa( 47/"f) +

2(2)Sa( 7/"f2)e-jw2

Sa(27/"f)] e- j411f

EA2-6 Funzioni ortogonali Dimostrare che CPI(t)= IT(t) e Cf'2(t)= sin 27Ftsono funzioni ortogonali sull'intervallo -0.5 < t < 0.5.

w(t)

3

2 I--

l

I

I -

I

Figura 2-25

-

110

Capitolo 2 - Segnali e spettri Soluzione. h

J

05

0.5

'P1(t) 'f>2(t) dt =

l sin 2mdt = - cos 2m

~

J-0.5

a

27T

. 1

-0.5

-1 = [cos 7T- cos( -7T)] = O 21T

Dato chel'integrale è nullo, la (2-77) è verificata.Di conseguenza,n(t) e sin 2m sonoOTtogonali su -0.5 < t < 0.5. [Nota: Le due funzioni non sono ortogonali sull'intervallo O < t < l, in quanto !'integrale è diverso da zero e vale l/m.]

EA2-7 Uso della SF per valutare la DSP Trovare la SF e la DSP del segnale rappresentato in Figura 2-24. Nell'intervallo O< t < l, v(t) è pari a e'. Soluzione.

Dalle (2-88) e (2-89), dove To = 1 e % = 27T/To = 27T,si ha

=

c n

I

l.

e'e-jnZ"./ dt

l

O

e

-

l

l - j27Tn

=

l

e(1-jZ".n)/

=

-

j27Tn O I

l

1.72

l - j6.28n

Perciò, 00

v(t)

=

1.72

L n=~

l -ej'z".n/ l - j6.28n

Poiché v(t) è periodico, la DSP è costituita da una serie di funzioni delta come quelle nella (2-126), dove/o = l/To. 00

ovvero

2.95 8(f - n) 1!/'(f) = -= l + (39.48)nZ

L 00

EA2-8 Proprietà della SF w(t)

= -w(t

Soluzione.

Il segnale w(t) è periodico di periodo To, e alternativo, cioè

:!: To/2). Dimostrare che Cn

= O per

n pari.

Utilizzando la (2-89) e il fatto che w(t) 1

Cn

=-

To

I

~~

o

w(t)

. l e-jnl4J/ dt - -

To

Ora, eseguendo un cambiamento di variabile, con ti nel secondo, si ha

= -w(t

- To/2), si ottiene

T

fTo/2

.

w(t - To/2) e-jnl4J/ dt

= t nel primo

integrale e ti

=t -

To/2

2-11

1

TO/2.

To fo

=Ma (1 - èjn 17) = O per n

= ...-

Esercizi di approfondimento

111

.

w (tdeln""'lt (1 - e-lnl7) dtl

2, O, 2. ... Così, Cn= O se n è pari. Lo spettro di un se-

gnalealternativocontienesolo armonichedispari. EA2-9 Calcolo della ATF mediante anti-FFT La (2-184) indica come approssimare una TF continua mediante la trasformata di Fourier veloce (FFf). a. Ricavare una formula che indichi come approssimare l'antitrasformata continua con una 10FT.

b. Data la risposta

in frequenza del filtro RC passa-basso H(f)

dove fo

=

=

l

1 Hz, utilizzare la anti-FFf di MATLAB per calcolame la risposta impulsiva

h(t). Soluzione.

(a) Dalla (2-30), l'antitrasformata continua è

Con riferimento alla discussione che ha condotto alla (2-184), possiamo approssimare la relazione precedente con w(kIlt)

= "i,W(ntJ.f)ej217nl:.jkl:.t tJ.f

Ma tJ.t= T/N, tJ.f = 1fT, eJs = 1/tJ.t,perciò

Utilizzando la definizione di 10FT data dalla (2-177), si trova che l'ATF continua è legata alla 10FT da

w(ktJ.t) = !sx(k)

(2-207)

dove x(k) è il k-esimo elemento del vettore a N elementi della DFT. Come già detto nella discussione che ha condotto alla (2-184), gli elementi del vettore X sono scelti in modo che i primi N /2 elementi siano i campioni delle componenti a frequenza positiva di W(f), dove f = nJ1f, mentre i rimanenti N /2 elementi corrispondono ai campioni per le frequente negative. (b) Il lettore esegua il file SA2_9.M per ottenere il grafico di h(t) mediante una IFFf e la (2-207). Consideri poi la funzione calcolata numericamente e la confronti con quella valutata analiticamente e mostrata in Figura 2-15b, dove 7"0= RC = 1/(271/0).

112

Capitolo 2 - Segnali e spettri

ESERCIZI PROPOSTI 2.1 2-2

Utilizzare l'operatore di media temporale per mostrare che il valore efficace di un segnale sinusoidale con valore di picco A e fr~quenzafo, è A/fi. Un generatore di funzioni produce il segnale periodico mostrato in Figura EP2-2. v(t)

t-1 Figura EP2-2

2-3

(a) Trovame il valore medio. (b) Trovame il valore efficace. (c) Se il segnale è applicato a un carico di 1000 n, qual è la potenza dissipata? La tensione applicata ai capi di un carico è data da v(t) = Ao cos Wot,e la corrente che fluisce attraverso il carico è un'onda quadra, i(t) = lo n~~

2-4

2-6

-

n(t -

nT~0/2(To/2))]

dove Wo= 27T/To.To = l sec, Ao = lO V, e lo = 5 mA. (a) Trovare l'espressione della potenza istantanea e disegnare qualitativamente il risultato in funzione del tempo. (b) Trovare il valore della potenza media. La tensione applicata ai capi di un carico di 50 n è data dalla rettificazione a singola semionda di un segnale cosinusoidale, cioè

v(t) =

2-5

[n(t ;0;;0)

lO cos Wot, { O,

se It - nTol < To/4 altrimenti

dove n è un intero. (a) Disegnare qualitativamente il grafico della tensione e della corrente in funzione del tempo. (b) Trovare il valore medio della tensione e della corrente. (c) Trovare il valore efficace della tensione e della corrente. (d) Trovare il valore medio della potenza dissipata nel carico. Per l'Esercizio 2-4, trovare l'energia dissipata nel carico durante un intervallo di un'ora con To = 1 s. Dire per ciascuno dei seguenti segnali se è a energia o a potenza finita, e trovame la corrispondente energia o potenza normalizzata: (a) w(t) = n(t/To).

Esercizi proposti

113

= TI(t/To)cos UJot. (c) w( t) = COS2 UJot. Un wattmetro (misuratore di potenza) fornisce il valore della potenza media all'uscita di un trasmettitore. L'uscita del trasmettitore alimenta un carico di 75 O e il wattmetro fornisce la lettura di 67 W. (a) Qual è il livello di potenza in dBm? (b) Qual è il livello di potenza in dBk? (c) Qual è il livello in dBmV? (b) w(t)

2-7

2-8

Un segnalecon un valoreefficace Verrnotoè applicatoa un caricodi 50 O. Ricavareunafor-

2-9

Un amplificatore è collegato a un carico di 50 O ed è alimentato da una sorgente di corrente sinusoidale, come illustrato in Figura EP2-9. La resistenza di uscita dell'amplificatore è IO O e la resistenza di ingresso è 2 kO. Valutare il guadagno del circuito in dB.

mula per il calcolo del livello in dBm a partire da Veff.

Generatore di corrente sinusoidale

50n

Amplificatore

[eff= 0.5 mA

=

Veff \O V

Figura EP2-9 2-10

Il valore efficace della tensione ai capi di un'antenna da 300 O in un ricevitore FM è 3.5 /LV. (a) Trovare la potenza di in,;resso in watt. (b) Valutare il livello della potenza di ingresso rispetto l mW (dBm). (c) Quale sarebbe il livello di tensione (in microvolt) a parità di potenza d'ingresso se la resistenza di ingresso fosse 75 O invece di 300 O?

2-11

Qual è il fasore che corrisponde alla tensione v(t)

2-12 2-13

Un segnale è w(t) = 3 sin(IOOm - 30°) + 4 cos(IOOm). Trovare il corrispondente fasore. Trovare la trasformata di Fourier del segnale e -at

w(t) = { O, 2-14

Trovare la TF di w(t)

=

,

12 sin(UJot - 25°), dove UJo= 200017'?

t? I t
= e-7T(t/T)2in funzione del parametro T. Cosa si può dire della dura-

ta di w( t) e di W(f) al cresceredi T? 2-15 Utilizzandoil teoremadella convoluzione,trovarela TF del segnale w(t) 2-16

= sin

21Tjlt cos 21Tj2t

Trovare la TF della forma d'onda triangolare At, s(t) = { O, in funzione di A e To.

O< t < To altrove

114

Capitolo 2 - Segnali e spettri 2-17

Trovare lo spettro della fonna d'onda di Figura EP2-17. w(t) , 4 3 2 1

-4

-3

t-

-2

Figura EP2-17 2-18

Dato il segnale w(t) con trasfonnata di Fourier W(f)

=

j27Tf I + j27Tf

trovare la TF X(f) dei seguenti segnali: (a) x(t) = w(2t + 2). (b) x(t) = e-jtw(t - 1).

= 2 d~~t). = w(l - t).

(c) x(t) (d) x(t) 2-19

= ATI(fj2B),

Dalla (2-30), trovare l'ATF w(t) di W(f)

e verificare il risultato utilizzando

il teorema della dualità. 2-20

Trovare la parte reale X(f) e quella immaginaria f(f) della trasfonnata di Fourier di w(t)

= u(t)e-at

sin Cù{)t

dove u(t) è la funzione a gradino, a > O.

2-21 Trovarela TF di w(t) 2-22

= citI/T.

Graficare l'andamento temporale e lo spettro d'ampiezza dei seguenti segnali: [Suggerimento: Utilizzare la (2-184)].

t- 3 ).

(a) TI(~

(b) 2. (c) A(t ~ 5). 2-23 Per mezzodella(2-184),trovarel'espressioneapprossimatadella trasfonnatadi Fourierdel seguentesegnale: 5 < t < 75 sin(27Tt/512) + sin(707Tt/5l2), x(t) = altrove { O,

Esercizi proposti 2-24

115

Trovare la TF dell'impulso trapezoidale mostrato in Figura EP2-24. w(t)

A

tFigura EP2-24

2-25 Dimostrareche SF-I{SF[~(t)]} == ~(t) 2-26

[Suggerimento: Utilizzare la (2-33).] Utilizzando la definizione di ATF, dimostrare che il valore di ~(t) per t sottesa da W(J), cioè ~(O)

2-27

2-28

Oè pari all'area

== Ioo --00W(J) df

Dimostrare che (a) se ~(t) è una funzione reale e pari del tempo, W(J) è reale; (b) se ~(t) è una funzione reale e dispari del tempo, W(J) è immaginaria pura. Lo spettro di un segnale in funzione della frequenza espressa in hertz è W(J)

2-29

==

~2 S(J

- 4) +

~2 S(J

j"".f ej7Tf 2 + j21Tf Trovare la corrispondente espressione dello spettro con la frequenza espressa in rad/s. L'impulso unitario può essere anche definito come segue: sin at . S(t) == 11m Ka a-+oo[ ( at )] ==

+ 4) +

con K opportuno. Trovare il valore di K, e dimostrare che tale definizione è consistente con quella data nel testo. Fornire un altro esempio di funzione che, al limite, tende alla funzione delta di Dirac.

2-30 Utilizzarev(t) ==ae-at, a> O,per approssimare l3(t)quando a ~ 00. (a) Disegnarev(t) per a ==0.1, l, e lO. (b) DisegnareV(J) per a ==0.1, I, e IO. 2-31

Dimostrare che l sgn(t) H ---:-j1T

1

[Suggerimento:Utilizzarela (2-30)e J;;' (sin x)/x dx ==1T/2dall' Appendice A.] 2-32

Dimostrare che l u(t) H ~o(J) + -:-j21Tf [Suggerimento: Utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti e il risultato dell'Esercizio 2-3 I.]

116

Capitolo 2 2-33

2-34

2.35

- Segnali

e spettri

Dimostrare che la proprietà di traslazione delle funzioni 8 può essere generalizzata per calcolare integrali contenenti derivate della funzione delta, cioè

dove l'apice (n) denota la n-esima derivata. [Suggerimento: Utilizzare la formula di integrazione per parti.] t - 0.05 mediante MATLAB con Disegnare lo spettro di ampiezza del segnale x(t) = TI 0.1 ) ( l'aiuto delle (2-59) e (2-60). Verificare il risultato utilizzando la FFf e la (2-184). Se w(t) = WI(t)W2(t), dimostrareche

W(f) = dove W(f) = ?F[w(t)]. Dimostrare che (a) J~ w(A)dA = w(t) * u(t). (b) J~ w(A)dA H (j21TJ)-1 W(f) (c) w(t) * 8(t - a) = w(t - a). 2-37 Dimostrare che

J: Wl (A)W2(f

- A) dA

2-36

+ !W(O) 8(f).

2-38

[Suggerimento: Utilizzare la (2-26) e integrare per parti. Si faccia l'ipotesi che w(t) sia assolutamente integrabile.] Come discusso nell'Esempio 2-8, dimostrare che

2.39

Dato il segnale w(t)

2-40

come discusso nell'Esempio 2-9. Calcolare i seguenti integrali. (a)

J oo -ùO

sin 4A 8(t 4A

= ATI(t/T)

-

sen Wot, trovame la TF utilizzando il teorema del prodotto

A) dA.

(b) Joo-ùO(A3 - 1) 8(2 - A) dÀ. 2-41

Dimostrare che

M(f) * 8(f - /0)

2-42 Calcolarey(t)

e

= Wl(t)

= M(f -

/0)

* W2(t), dove. l, WI(t) = { O,

se It I < To

altrimenti

[l - 2Itl], W2(t) = { O,

se Itl
Esercizi proposti 2-43

117

Dato W(f) = 5 + 12 cos Wof,conio = \O Hz, trovare. (a) Rw( T). (b) r&.w(1).

2-44

Dato il segnale

ove A), A2, W), Cù2,Bio e (h sono costanti, (a) Trovare la funzione di autocorrelazione di W(f) in funzione delle costanti. (b) Trovare la DSP di W(f). (c) Disegnare la DSP nel caso Wl "# Cù2. (d) Disegnare la DSP nel caso Wl = Cù2e BI = (h + 90°. (e) Disegnare la DSP nel caso Wl = Cù2e BI = (h.

2-45

Dato il segnale periodico mostrato in Figura EP2-45, (a) trovame il valore medio; (b) trovarne il valore efficace; (c) trovarne la serie di Fourier in forma complessa; (d) trovarne lo spettro d'ampiezza. S(f)

Archi di sinusoide per s( f) > O

A 2

3

4

-A

5

6

(-

Figura EP2-45 2-46

Determinare se SI (f) e S2(f) sono ortogonali sull'intervallo (~T2 < f < ~T2), dove SI(f) = AI COS(Wlf + C'pd,S2(f) = A2 COS(Cù2f+ 1p2),e Cù2= 27T/T2 nei seguenti casi: (a) Wl

=

(b) Wl

= Cù2e

Cù2 e C'pl

C'pl

= =

(c) Wl = Cù2e C'pl= (d)

Wl

(e) Wl

(f) Wl

2-47

1p2.

lp2+ 7T/2. lp2

+

7T.

= 2Cù2 e C'pl = 1p2. = ~Cù2e C'pl = 1p2.

= 7TCù2e C'pl= 1p2.

Trovare il valore efficace del segnale s( f) zione di AI e A2 nei seguenti casi: (a) Wl

=

Cù2e C'pl

(b)

=

Cù2 e C'p\

Wl

(c) Wl

= Cù2e

(d) Wl

= 2Cù2 e

(e) Wl

C'p.

= 1p2. =

lp2

=

lp2 + 7T.

+ 7T/2.

C'ple 1p2.

= 2Cù2e C'pl=

lp2+ 7T.

= A I cos(

Wlf + C'pd + A2 cos( Cù2f+ 1p2)in fun-

118

Capitolo 2 - Segnali e spettri 2-48

Dimostrare che 00

I

00

I

8(t - kTo) H /0

k=~

dove/o = llTo. [Suggerimento: Espandere I.r=~ colarne la trasformata di Fourier.]

2-49

8(/ - n/o)

k=~

8(t - kTo) in serie di Fourier e poi cal-

Per le tre funzioni rappresentate in Figura EP2-49: (a) Mostrare che sono a due a due ortogonali sull'intervallo (-4, 4). (b) Normalizzarle. (c) Rappresentare il segnale 0$t$4

l, w(t)

altrove

= {O,

sulla base ortonormale trovata al punto (b). (d) Valutare l'errore quadratico medio per la serie ottenuta al punto (c) calcolando 4 8

=

f

-4 [

W(t)

-

Ì

J=I

ajcpj(t) 2 dt ]


t
1

t-1

tFigura EP2-49

Esercizi proposti

119

(e) Ripetere i punti (c) e (d) per il segnale

=

w(t)

COS(~1Tt), { O,

-4 :5 t:5

4

altrove

Le tre funzioni ortononnali fonnano una base completa? 2-50

Dimostrare che la base cos(n~t) e sin(n~t), della serie di Fourier in fonna rettangolare (2-95) è ortogonale sull'intervallo a < t < a + To, dove ~ = 27T/To.

2-51

Trovare l'espressione dei coefficienti della serie di Fourier in fonna complessa per il segnale illustrato in Figura EP2-51. x(t) 2.0

1.0

... I

l

2

3

5

t

-

-

-1.0

2-52

4

Figura EP2-51 Il segnale periodico mostrato in Figura EP2-51 è filtrato da un filtro lineare avente risposta impulsiva h(t) = e-atu(t), con t > Oe a > O. (a) Calcolare i coefficienti di Fourier del segnale d'uscita y(t) = x(t) * h(t). (b) Calcolare la potenza di questo stesso segnale y(t).

2-53

Trovare la serie di Fourier in fonna complessa del segnale periodico di Figura EP2-2.

2-54

Trovare i coefficienti della serie di Fourier in fonna complessa del treno di impulsi mostrato in Figura EP2-54 in funzione di A, T, h, e TO.[Suggerimento: Il risultato può essere ridotto a un fattore tipo (sin x)/ x moltiplicato per il coefficiente complesso ej8.(TO>.] s(t)

5T

Figura EP2-54

t-

120

Capitolo 2 - Segnali e spettri 2-55

Del segnale illustrato in Figura EP2-55 (a) trovare la serie di Fourier in forma complessa; (b) trovare la serie di Fourier in forma rett3.Qgolare. w(t) 2

2

-2

4

6

t-

Figura EP2-55 2-56

Il Ij I I i

Del segnale periodico s(t) = I.:;"=-oop(t - nTo), dove At,

p(t) = { o,

O
e T STo, (a) trovare i coefficienti CIIdella serie di Fourier; (b) trovare i coefficienti {x" 'YII} della serie di Fourier;

(c) trovarei coefficienti{DIl' Ip,,} della serie di Fourier. 2-57

Dimostrare che la serie di Fourier in forma polare (2-103) può essere ottenuta da quella in forma complessa (2-88). 2-58 Verificare la (2-93). 2-59 Due generici numeri complessi CI e C2sono dati da CI = Xl + jYI e C2 = X2 + jY2, con Xi> X2,Yi>Y2 reali. Dimostrare che Re{ o} è un operatore lineare, cioè Re{c) + C2} = Re{cl} + Re{c2} 2-60

2-61 2-62

È dato il segnale y(t) = s,(t) + 2S2(t), dove s,(t) è rappresentato in Figura EP2-45 e S2(t) nella Figura EP2-54. Nell'ipotesi che T = 3, b = 1.5, e TO= O,trovare i coefficienti {CII}della serie di Fourier in forma complessa di Y(t). Calcolare la DSP del segnale illustrato in Figura EP2-2. Il segnale v(t) è rappresentato in Figura EP2-62. (a) Trovame serie di Fourier in forma complessa. (b) CaIcolarne la potenza media normalizzata. (c) Disegnarne il grafico dello spettro in ampiezza. (d) Disegname il grafico della DSP. v(t)

/\l\/\ /

-2

V:/_~-

V V

Figura EP2-62

2

t(s)

-

-

-" -

Esercizi proposti 2.63

121

Un generico numero complesso è rappresentabile come c = x + jy, dove x e y sono numeri reali. Se c. denota il complesso coniugato di c, dimostrare che (a) Retc} = !c + !c.. l 1 (b) Im{c}

= 2j c - 2j c..

Se c = ejz, (a) coincide con la definizione di cos Z e (b) con quella di sin z. 2-64 2.65

Calcolare e disegnare il grafico della DSP per la sinusoide rettificata a singola semionda descritta nell 'Esercizio 2-4. La definizione delle funzioni seno e coseno è sin ZI ~ ejz, Dimostrare che

I

- e-jz, e cos Z2~ ejz2 +2 e-jz2 2j I

= :ICOS(ZI - Z2) + :ICOS(ZI + Z2). Z2 = ! COS(ZI - Z2) - ! COS(ZI + Z2). Z2 = ! sin(zl + ! sin(zl + Z2).

(a) cos ZI COSZ2 (b) sin ZI sin (c) sin ZI cos

2.66

Z2)

Due generici numeri complessi CI e C2 sono dati da CI X2, yt. e Y2 reali. Dimostrare che Re{cl}

Re{c2}

= ! Re{c)c;} + ! Re{clc2}

2.67

Si noti che questa è una generalizzazione dell'identità cos ZI COSZ2dell'Esercizio 2-65, dove cos ZI COSZ2,CI = ejz, e C2= ejz2. Dimostrare che la trasformata di Fourier è un operatore lineare, cioè che

2-68

~[ax(t) + by(t)] = a~[x(t)] + b~[y(t)] Disegnare la risposta in ampiezza e in fase del filtro avente risposta in frequenza

. H(J) =

2-69

jlOf

5 + jf Dato il filtro di Figura EP2-69, dove Wl(t) e W2(t) sono i segnali in ingresso e in uscita, (a) trovame la risposta in frequenza; (b) disegname la risposta in ampiezza e in fase; (c) trovame la risposta in potenza; (d) disegnarne la risposta in potenza. 0.05p.F

1.5kil 180

Figura EP2.69 2-70

Un segnale con DSP

è applicato al circuito mostrato in Figura EP2-70.

-

122

Capitolo 2 - Segnali e spettri Z!l .>

4!l x(t)

y(t)

O.5F

o

I

o

Figura EP2-70

2-71

(a) trovare la DSP di y(t); (b) trovare la potenza nonnalizzata di y(t). Un segnale ha DSP K

!I

Il

l'J

2-72

(jJ>x(f)= [l + (27TI/B)2]2 dove K > Oe B > O. (a) Trovarne la banda a 3 dB in funzione di B. (b) Trovarne la banda equivalente di rumore in funzione di B. Il segnale x(t) = e-4001rlu(t) è applicato a un filtro ideale passa-basso la cui funzione di trasferimento è

H(f)

l, = { O,

1/1:5 B III >B

Trovare il valore di B tale che l'energia del segnale all'uscita del filtro sia la metà di quella d'ingresso. 2-73 Mostrare che la potenza media nonnalizzata di un segnale può essere calcolata valutando l'autocorrelazione

Rw(or) per or =

O,cioè P = Rw(O).

[Suggerimento: Riferirsi alle (2-69) e (2-70).] 2-74

2-75

Il segnale x(t) = 0.5 + 1.5 cos[G)m] + 0.5 sin[G)m] V passa attraverso un filtro passabasso RC (si faccia riferimento alla Figura 2-15 a), dove R = l .n e C = l F. (a) Qual è la DSP di ingresso (jJ> x(f)? (b) Qual è la DSP di uscita (jJ>y(f)? (c) Qual è potenza nonnalizzata in uscita Py? L'ingresso al filtro passa-basso RC di Figura 2.15 è x(t)

= 0.5

+ 1.5 cos wxt + 0.5 sin wxt

Se la frequenza di taglio è lo = 1.51x; (a) trovare la DSP di ingresso (jJ>x(f); (b) trovare la DSP di uscita (jJ>y(f); (c) trovare la potenza nonnalizzata dell'uscita y(t). 2-76 Utilizzando MATLAB, disegnare il grafico del modulo e della fase della risposta in frequenza del filtropassa-bassomostrato in Figura EP2-76, dove R l = 7.5 k.n, R2 = 15 k.n, e C = 0.1 }LF.

Esercizi proposti

x(t)

c

123

y(t)

Figura EP2.76 2.77

La Figura EP2-77 è lo schema di unfiltra a pettine. Se Td = 0.1, (a) disegnare il grafico della risposta in ampiezza del filtro; (b) disegnare lo spettro d'ampiezza dell'uscita xCt) = TICtIT), quando l'ingresso è !f(f)I, dove T = l.

.. y(t)

x(t)

Figura EP2.77

2-78

Il segnale xCt) = TI(t - 0.5) passa attraverso un filtro H(f) = TI(f IB). Disegnare il segnale in uscita quando (a) B = 0.6 Hz. (b) B = 1 Hz.

(c) B 2-79

2-80 2-81

2-82

con

risposta

in frequenza

= 50 Hz.

Si consideri l'effetto della distorsione di un filtro passa-basso RC. Un' onda quadra ad ampiezza unitaria con duty-cycle del 50% è data in ingresso a tale filtro avente banda a -3 dB pari a 1500 Hz. Utilizzando un PC o una calcolatrice programmabile, disegnare il grafico del segnale di uscita quando la frequenza dell'onda quadra è (a) 300 Hz (b) 500 Hz (c) 1000 Hz [Suggerimento: Espandere l'onda quadra in serie di Fourier.] Un segnale x( t) ha DSP costante [cioè
La banda del segnaleg(t) = e-o.1t è circa 0.5 Hz; perciòil segnalepuò esserecampionato con frequenza fs = 1 Hz con aliasing trascurabile. Si considerino i campioni del segnale an nell'intervallo di tempo (O, 14), e si applichi il teorema del campionamento (2-158) per ricostruire da questi un segnale a tempo continuo. Si disegni poi sia il segnale originale che quello ricostruito. Sono simili? Cosa accade se la frequenza di campionamento viene diminuita? Il segnale 20 + 20 sin(500t + 30°), deve essere campionato e ricostruito a partire dai relativi campioni. (a) Trovare il massimo intervallo temporale ammissibile tra i campioni. (b) Quanti campioni devono essere memorizzati per riprodurre un secondo di segnale?

2-83 Utilizzando un programma al calcolatore, si valuti la DFT dell'impulso rettangolare TICt).In particolare, considerare cinque campioni dell'impulso e 59 zeri in modo da utilizzare un algoritmo FFT a 64 punti. Rappresentare il modulo della FFT e considerare il vero spettro dell'impulso, commentando le eventuali differenze con quello ricavato numericamente. Provare

124

Capitolo 2 - Segnali e spettri

.-jI

altre combinazioni del numero dei campioni dell'impulso e degli zeri di riempimento per verificare i cambiamenti dell 'uscita della FFf. 2-84

Utilizzando la DFf, calcolare e disegnare!o spettro di A(t). Verificare i risultati con quelli dati nella Figura 2-6c.

2-85

Utilizzando la DFf, calcolare e disegnare IW(f)1 per l'impulso mostrato in Figura EP2-24, dove A = l, tI = l s, e t2 = 2 s.

2-86

È dato il segnale

dovei. = lO Hz eh = 25 Hz. (a) Utilizzando la DFf, calcolare e disegnare IW(f) 1e 8(f). (b) Utilizzando la DFf, calcolare e disegname la DSP 'lPw(f). (c) Confrontare i risultati ottenuti nei punti (a) e (b) con quelli ottenuti analiticamente. 2-87

Utilizzando la DFf, calcolare e disegnare IS(f)1 per il segnale periodico mostrato in Figura EP2-45, dove A = 5.

2-88

La risposta in frequenza per un filtro a coseno rialzato è H(f)

0.5[ l = °, {

+ cOS(0.57Til/o», se ,Ii 1

~2io

altnmenh

2-89

Utilizzando la IFFf, calcolare la risposta impulsiva h(t) di questo filtro conio = l Hz. Confrontare i risultati con quelli mostrati nella Figura 3-26b per r = l. È dato il filtro passa-basso mostrato in Figura 2-15, dove il = IO Hz e h = 25 Hz. (a) Trovame la banda equivalente di rumore in funzione di R e C. (b) Trovame la banda al primo nullo. (c) Trovame la banda assoluta.

2.90

La DSP di un segnale è

'lPs(f)

2.91 2.92

=

2

sin(7T/IBII) [

7TilBII

]

dove BIIè la banda al primo nullo. Trovare l'espressione della banda equivalente di rumore in funzione della banda al primo nullo. La Tabella 2-5 riporta la banda del segnale BPSK secondo sei differenti definizioni. Utilizzando le definizioni e la (2-201), verificare tali risultati. È dato l'impulso triangolare s(t) (a) (b) (c) (d)

Trovarne Trovarne Trovarne Trovarne

la banda la banda la banda la banda

= A(tITo)

assoluta. a 3 dB in funzione di To. equivalente di rumore in funzione di To. al primo nullo in funzione di To.

Punti principali

.

. . .

. .

Codifica digitale

dei segnali analogici (Pulse-Code Modulation e modulazione delta) Segnali digitali binari e multilivello Spettro e banda

dei segnali digitali Riduzione dell'interferenza intersimbolica Multiplazione

a suddivisione di tempo Trasmissioni a pacchetto

SEGNALI DIGITALI E A IMPULSI IN BANDA BASE

3-1 GENERALITÀ Questo capitolo illustra la codifica di fonne d'onda analogiche (prodotte cioè da sorgenti analogiche) in segnali digitali in banda base. Come vedremo, è possibile "approssimare" un segnale analogico mediante codifica digitale con il grado di approssimazione desiderato. Scopriremo anche come elaborare il segnale digitale in banda base in modo da rendere minima l'occupazione spettrale (banda). I segnali digitali sono molto diffusi per il basso costo dei circuiti digitali e la relativa flessibilità di un approccio digitale. La flessibilità si riferisce alla possibilità di far coesistere i dati originati direttamente da sorgenti digitali con quelli derivati da sorgenti analogiche in modo da costituire un sistema di comunicazione di uso generale (generalpurpose). I segnali interessati alla conversione analogico-digitale sono in banda base. I segnali digitali in banda passante si ottengono attraverso la modulazione di una portante da parte di un segnale in banda base, come descritto nel Capitolo 1.

126

Capitolo 3

- Segnali

digitali e a impulsi in banda base

Questo capitolo tratta principalmente i seguenti 4 punti.

. .

. .

Studiare i metodi di conversione di un segnale analogico in uno digitale. La tecnica più diffusa è la cosiddetta tecnica PCM (Pulse-Code Modulation). Calcolare lo spettro dei segnali digitali Esaminare il problema del filtraggio dei segnali digitali a impulsi e determiname l'influenza sul recupero dell'informazione digitale al ricevitore. Il filtraggio può infatti produrre il fenomeno della inteiferenza intersimbolica sul segnale dati ricevuto. Analizzare la possibilità di multiplare (cioè combinare) i flussi di dati prodotti da più sorgenti digitali in un singolo flusso digitale ad alta velocità. Studieremo in particolare la tecnica della multiplazione a suddivisione di tempo (TDM, Time-Division Multiplexing).l

Un problema ulteriore di grande importanza nei sistemi di comunicazione è la presenza del rumore, che può causare errori nel flusso digitale di uscita. Tale questione verrà analizzata nel Capitolo 7, poiché necessita della conoscenza preventiva di concetti probabilistici che sono presi in considerazione nella seconda parte del volume.

3-2 PULSE-AMPLITUDE MODULATION (PAM) La modulazione d'ampiezza di un impulso (PAM, Pulse-Amplitude Modulation) si incontra ogniqualvolta si converte un segnale analogico in un segnale "a impulsi", dove l'ampiezza di ogni impulso rappresenta sostanzialmente l'informazione analogica. In generale, la conversione da segnale analogico a PAM è il primo stadio nella conversione di un segnale analogico in digitale PCM. In alcune applicazioni ormai tecnologicamente superate il segnale PAM veniva usato direttamente senza la necessità della ulteriore conversione PCM. Lo scopo di un segnale PAM è quello di costruire un segnale analogico costituito da un treno d'impulsi (modulati) che contiene tutta l'informazione presente nel segnale di partenza. Usando segnali impulsivi, ci aspettiamo che la banda del segnale PAM sia più grande di quella del segnale di partenza; i segnali impulsivi sono però di uso più pratico per i sistemi digitali. Vedremo che la cadenza di emissione degli impulsifs per la PAM è quella stessa richiesta dal teorema del campionamento, e cioè fs 2: 2B, dove B è il limite di banda del segnale analogico e 2B è nota come frequenza di Nyquist. Possiamo classificare i segnali PAM in due grandi classi: quelli ottenuti per campionamento naturale tramite una porta, e quelli ottenuti per campionamento istantaneo con .

impulsirettangolari.Questisegnalisono rappresentatirispettivamentenelle Figure 3-1 e 3-5. L'impulso rettangolare è più utile per la conversione PCM; il campionamento naturale è però più semplice da realizzare ed è stato per molto tempo il più usato. Campionamento

naturale

DEFINIZIONE.Se w( t) è un segnale analogico con banda limitata a B hertz, il segnale PAM con campionamento naturale è ws(t) I Le tecniche di multiplazione Capitoli 5 e 8.

a suddivisione

= w(t)s(t) di frequenza

(3-1) e a suddivisione

di codice sono trattate nei

3-2

Pulse-Amplitude

127

Modulation (PAM)

w(t)

t(a) Segnale analogico in banda base

s(t)

1-

Ts (b) Onda rettangolare

con fattore di attività d

= T/Ts = 1/3

ws(t)

1o

~

(c) Segnale PAM risultante (campionamento

Figura 3-1

naturale, d = T/Ts = 1/3)

Segnale PAM ottenuto con campionamento naturale.

dove

s(t) = k~OOn( t - 7kTs) è un treno di impulsi rettangolari aventi ciascuno durata 't e!s

(3-2)

= l/Ts

2:: 2B.

TEOREMA. Lo spettro di un segnale PAM con campionamento naturale è 00

Ws(f)

= ~[wAt)] = d

I

n=-oo

sin7md 7md W(f

-

nfs)

(3-3)

128

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base dove fs = l/Ts, Ws = 271fs, il fattore di attività (duty cycle) di s(t) è d = r/Ts, e W(f) = ~ [w( t)] è lo spettro della forma ."d'onda originaria.

Dimostrazione. Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri dell'equazione (3-1) si ha (3-4) Ws(f) = W(f) * S(f) D'altronde s(t) può essere espanso in serie di Fourier come segue: 00

(3-5a) n =-00

dove CII

=d

(3-5b)

sin n1Td n1T.

Poiché s(t) è periodica, possiamo usare (2-109) per otteneme lo spettro: 00

S(f)

= ~[s(t)] =

I

(3-6)

c1I8(f - n/s)

n=-oo

cosicché la (3-4) diventa

Ws(f)

= W(f) * C~-OO c1I8(f

- nf.,))

=

II~-OO

CII

W(f) * 8(f

-

n/s)

ovvero 00

Ws(f)

=

I

CII

(3-7)

W(f - nfs)

n =-00

che coincide con la (3-3) non appena sostituiamo la (3.5b).

Ir'

Il segnale PAM con campionamento naturale è relativamente semplice da realizzare, poiché richiede soltanto l'uso di una porta (switch) analogica (ad esempio, la porta bilaterale quadrupla 4016 in tecnologia CMOS). Uno schema di principio è mostrato in Figura 3-2, ove sono riportati i vari segnali w(t), s(t) e ws(t) sopra definiti.

I ,I

Inerruttore analogico bilaterale

wsCt)

w(t)

,

s(t)

I

= w(t)s(t)

-

Clock

Figura 3.2

Generazione del segnale PAM con campionamento naturale.

-

,---

-..

3-2

- ---

Pulse-Amplitude

Modulation (PAM)

129

Abbiamo dunque ricavato lo spettro di un segnale PAM con campionamento naturale (3-3) in funzione dello spettro del segnale analogico di partenza. Questa relazione è rappresentata in Figura 3-3 per un segnale di partenza che ha uno spettro rettangolare, un duty-cycle pari a 1/3 e per una frequenza di campionamento /s = 4B. Come ci si aspettava, lo spettro del segnale analogico d'ingresso viene replicato sui multipli della frequenza di campionamento, e questa proprietà è simile a quella dello spettro di un segnale campionato studiato nel Paragrafo 2-7 (si veda in particolare la Fig. 2-18). Per questo esempio, in cui il fattore di attività è pari a 1/3, si nota che lo spettro del segnale PAM è nullo alle frequenze :!:3/s,:t.6/secc., poiché le relative componenti frequenziali sono annullate dalla funzione (sin x)/x. Dalla figura si nota anche che la banda del segnale PAM è molto più grande di quella del segnale di partenza. Nell'esempio di Figura 3-3b, la banda al primo nullo dell'inviluppo

del segnale è 3/s

=

l2B; dunque la banda è cresciuta di

un fattore pari a 12 rispetto al segnale di partenza. In ricezione, il segnale analogico w(t), può essere recuperato filtrando il segnale PAM in un filtro passa-basso con frequenza di taglio ws(t), tale che B < [taglio < /s - B. Confrontando infatti la Figura 3-3b con la 3-3a, si vede chiaramente che il segnale all'uscita del filtro passa-basso ha uno spettro con lo stesso andamento di quello di quello di partenza. Pertanto, il segnale analogico viene ricostruito a meno di una costante moltiplicativa che può essere facilmente compensata con un amplificatore. L'uguaglianza tra questi spettri (e perciò anche tra il segnale originale e il ricostruito) può sussistere solo quando /s ~ 2B, altrimenti le componenti frequenziali delle varie repliche dello spettro originaIW(f)1

r-+-

-B

1-

B

(a) Spettro di ampiezza del segnale analogico di ingresso

IWs(f) I

:~J (di

sin;::dJ i) IW(f- nls)l}

H

-----

----3fs

-2fs

-fs

-B

(b) Spettro di ampiezza del segnale PAM (campionamento

Figura 3-3

Sin;W;f>I)

--/-B

naturale) con d

21s

= 1/3 e/s

=4 B

Spettro del segnale PAM ottenuto con campionamento naturale.

31s

1-

130

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

rio si sovrapporrebbero, in accordo con la condizione di Nyquist per il corretto campionamento. Se il segnale di partenza è sottocampionato (fs < 2B), l'effetto della sovrapposizione spettrale delle repliche è chiamato a]jasing, e il segnale ricostruito è distorto (errore di aliasing). In pratica, tutti i segnali fisici hanno durata limitata, quindi (si veda il Cap. 2) non possono essere rigorosamente limitati in banda: un certo ammontare di aliasing sarà sempre presente nel segnale PAM [Spilker, 1977]. Per ridurre questo fenomeno, il circuito che realizza la PAM viene preceduto da un (pre) filtro passa-basso chiamato anti-aliasing. La Figura 3-4 descrive una maniera alternativa di recuperare il segnale analogico a partire da quello PAM attraverso il cosiddetto rivelatore a conversione (o a prodotto). La moltiplicazione per il segnale sinusoidale a frequenza lLU= nlAJsriporta in banda base (cioè attorno a f

=

O) la banda del segnale PAM centrata attorno alla frequenza n

= °, stessa.

In alcuni casi, questa banda frequenziale contiene meno disturbi di quella originariamente attorno alla n = °, e questo giustifica la complessità addizionale del circuito di demodulazione.

Campionamento

istantaneo

(PAM con impulso rettangolare)

I segnali analogici possono anche essere convertiti in segnali a impulsi usando il campionamento istantaneo con impulso rettangolare mostrato in Figura 3-5. Questa tecnica è un'altra generalizzazione del campionamento a treno d'impulsi visto nel Paragrafo 2-7. DEFINIZIONE.Dato un segnale w(t) a banda limitata B, il segnale PAM con campionamento istantaneo è dato da 00

=

ws(t)

I

w(kTs)h(t

k=-oo

(3-8)

- kTs)

Moltiplicatore analogico (moltiplicatore a quattro quadranti)

w.(t) PAM (campionamento naturale)

Cw(t) Filtro passa-basso, H(f)

H(f) Oscillatore CtJo=nws

- flaglio

flaglio fdove B
Figura 3.4

Demodulazione di un segnale PAM (ottenuto con campionamento naturale).

3-2

Pulse-Amplitude

131

Modulation (PAM)

w(t)

t(a) Segnale analogico in banda base

1

j

1

1

1

1

1

L

t-

(b) Treno di impulsi di campionamento

ws(t)

to

(c) Segnale PAM risultante (campionamento

Figura 3-5

impulsivo, d = T/Ts = 1/3)

Segnale PAM ottenuto con campionamento impulsivo.

dove h(t) indica la fonna dell'impulso campionatore. Per il campionamento con impulso rettangolare si ha

h(t) con 'T :5 Ts

=

=n

l/fs efs ~ 2B.

!...

( T)

=

l,

Itl < T/2

{ O,

Itl > T/2

(3-9)

132

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

TEOREMA. Lo spettro di un segnale PAM con campionamento istantaneo a impulso rettangolare è 00

l Ws(f) = -H (f) T.r

L

(3-10)

W(f - k/s)

k =--00

dove

H(f)

= ~[h(t)] =

sin 7TTf T

(

7TTf

(3-11)

)

Questo tipo di segnale PAM consiste sostanzialmente in campioni "istantanei", visto che w(t) è campionato agli istanti t = kTs e i campioni w(kTs) detenninano l'ampiezza degli impulsi nel treno campionatore (Fig. 3-5c). Il segnale PAM a impulso rettangolare può essere generato dai circuiti elettronici detti "sample & hold" (campiona e mantieni) o "a mantenimento". Altri tipi di impulsi campionatori oltre il rettangolare possono essere usati nella (3-8). In particolare, se h(t) è del tipo (sin x)/x e gli impulsi in w(t)sono sovrapposti, allora la (3-8) è identica alla (2-158) ricavata per il teorema del campionamento, e la fonna d'onda PAM diventa identica a quella analogica originale. Dimostrazione. Lo spettro del segnale con campionamento istantaneo si trova calcolando la trasfonnata di Fourier della (3-8). Innanzitutto riscriviamo quest'ultima usando un' operazione di convoluzione: ws(t) = LW(kTs)h(t)

* 8(t - kTs)

k

= h(t)

* Lw(kTs)

ws(t)

= h(t)

* [w (t)

~

Ws(f)

= H(f)

[W (f)

*

8(t - kTs)

k

Dunque

8(t - kTs)]

e lo spettro è

~

e-j21T! kT

j

(3-12)

Dalle formule di Poisson, sappiamo che la serie esponenziale a secondo membro è equivalente (nel dominio della frequenza) a un treno di impulsi di Dirac: (3-13a) dove (3-13b)

3-2

Pulse-Amplitude

133

Modulatioo (PAM)

Usando questa relazione nella (3-12) si ottiene

[

Ws(J) = H(J)

* .J...

W(J)

= .J...H(J) Ts

Ts

[I

k

I

8(J

-

kfs)

k

*

W(J)

8(J - kfs)

] ]

che coincide con la (3-10). Lo spettro della PAM con campionamento istantaneo rettangolare è rappresentato in Figura 3-6 ancora per un segnale di partenza con spettro rettangolare. Il segnale analogico può ancora essere recuperato con un filtro passa-basso, ma in questo caso c'è una distorsione sul segnale causata da un effetto filtrante dell'impulso di campionamento h(t) (distorsione d'apertura). Questo effetto può essere ridotto diminuendo la durata dell'impulso 'T(la cosiddetta apertura, appunto) o modificando la risposta in frequenza del filtro di ricostruzione. In questo caso, il filtro passa-basso si chiama filtro equalizzatore (o equalizzatore d'apertura) e ha una risposta in frequenza pari a 1/H(J). Trasmettere un segnale

IW(f)1

--r---

r--I-

-8

8

!-

(a) Spettro di ampiezza del segnale analogico di ingresso

IWs(f)1 = (is IH(f)I)n~lW(f

- kfs)1 ,in(1T1j)

.J...IH(f)I=~

I

1

'/.Ts

Ts

1Trf

..-.....-3fs

-2fs

-fs

fs

2!s

3!s

!(b) Spettro di ampiezza del segnale PAM (campionamento

Figura 3.6

impulsivo), TITs

= 1/3 efs =48

Spettro del segnale PAM ottenuto con campionamento impulsivo.

134

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

La trasmissione di un segnale PAM (con campionamento sia naturale sia istantaneo) richiede un canale di comunicazione a larga banda a causa della ridotta durata degli impulsi. La banda necessaria è molto maggiore cij quella del segnale analogico originario, e le prestazioni del sistema PAM quando il rumore non è trascurabile sono inferiori a quelle del corrispondente sistema analogico che opera nelle stesse condizioni. Conseguentemente, piuttosto che essere utile per trasmissioni a lunga distanza, la PAM costituisce una maniera per convertire il segnale analogico in digitale PCM (vedi il paragrafo successivo). La modulazione PAM è però anche un modo di "confinare" il segnale analogico in intervalli temporali (time slot) ben definiti e molto stretti. In questo modo, segnali PAM multipli possono essere "interlacciati" giocando su ritardi temporali opportuni in modo da "multiplare" l'informazione di più sorgenti su di un singolo canale di trasmissione. Questa operazione è chiamata multiplazione a suddivisione di tempo e sarà oggetto del Paragrafo 3-9.

3-3 PULSE-CODE MODULA nON

(PCM)

DEFINIZIONE.La modulazione con codice a impulsi (PCM, Pulse-Code Modulation) è essenzialmente un tipo particolare di conversione analogico-digitale in cui l'informazione contenuta nel campione (istantaneo) di un segnale analogico viene rappresentata attraverso "parole di codice" digitali organizzate in un flusso di dati binari.

Se ciascunadelle paroledigitaliha n bit, esistonoM = 2n parole di codicedistin-

..

te, e ciascuna parola rappresenta un diverso livello di ampiezza del segnale. D'altronde i campioni del segnale analogico assumono in teoria un numero infinito di livelli, cosicché siamo costretti a usare quella parola digitale corrispondente al livello di ampiezza che meglio rappresenta il campione dato. Questa è in sintesi l'operazione di quantizzazione. Dunque, l'esatto valore w(kTs) del campione del segnale analogico viene rimpiazzato dal valore più vicino, tra gli M "permessi" corrispondenti alle parole di codice. Altri tipi molto diffusi di conversione analogico-digitale, come la modulazione delta (DM, Delta Modulation) e il PCM differenziale (DPCM) saranno discussi successivamente. La PCM è molto diffusa per diverse ragioni, tra cui le seguenti.

. .

La circuiteria che realizza tale tecnica è essenzialmente digitale e a basso costo. Segnali PCM derivanti da tutti i tipi di sorgenti analogiche (audio, video, voce ecc.)

possono essere multiplati con segnali dati (trasferimento file, comunicazioni tra calcolatori) e possono essere trasmessi su di un'unica rete digitale. Questo tipo di coesistenza può essere realizzato attraverso tecniche di multiplazione a suddivisione di tempo, e sarà oggetto di studio nei prossimi paragrafi.

.

.

Nei sistemi di telefonia digitale a lunga distanza con ripetitori, all'uscita di ogni ripetitore è possibile rigenerare un segnale PCM "ripulito" dai disturbi presenti sul segnale PCM d'ingresso. Purtroppo, tali disturbi possono occasionalmente generare errori sui valori dei bit ritrasmessi in uscita. Le prestazioni di un sistema digitale nei confronti del rumore possono essere superiori sa quelle di un sistema analogico. Inoltre, la probabilità di un errore in uscita

- I

3-3

Pulse-Code Modulation (PCM)

135

a un ripetitore può essere ulteriormente ridotta con l'uso di specifiche tecniche di codifica, come accennato nel Capitolo 1.

I

Questi vantaggi più che bilanciano normalmente lo svantaggio principale del PCM, e cioè la necessità di una banda sensibilmente più larga di quella del corrispondente segnale analogico. Campionamento,

quantizzazione

e codifica

Il segnale PCM viene ottenuto dalla successione di tre operazioni concettuali: campionamento, quantizzazione e codifica (Fig. 3-7). L'operazione di campionamento genera inizialmente un segnale PAM con impulso rettangolare. L'operazione di quantizzazione è poi illustrata in Figura 3-8 per il caso di M = 8 livelli. Questo quantizzatore è chiamato uniforme perché tutti i livelli di quantizzazione sono equidistanti (passo costante). Poiché stiamo approssimando il valore del campione analogico con un numero finito di livelli, stiamo introducendo un errore nel segnale, causato appunto dall' operazione di quantizzazione. L'errore di quantizzazione, la cui forma d' onda è illustrata in Figura 3-8c, consiste nella differenza tra il segnale analogico all'ingresso del campionatore e quello all'uscita del quantizzatore. Il valore di picco di questo errore (:tI) è pari alla metà del passo di quantizzazione (2). Campionando alla frequenza di Nyquist (2 B) o a frequenza maggiore, e trascurando l'eventuale rumore di canale, c'è ancora un contributo di rumore sul segnale quantizzato, detto appunto rumore di quantizzazione. Possiamo riguardare il rumore di quantizzazione come un "errore di arrotondamento" commesso nella rappresentazione dei campioni del segnale analogico. Valuteremo nel Paragrafo 7-7 le statistiche del rumore di quantizzazione e calcoleremo il relativo rapporto segnale-rumore. Naturalmente l'uscita del quantizzatore è di fatto un segnale PAM quantizzato. Il segnale PCM è ottenuto finalmente dal segnale PAM quantizzato codificando il valore di ogni campione quantizzato in una particolare parola binaria. È compito del progettista specificare la corrispondenza tra valori del segnale e parole digitali: il segnale TABELLA 3-1

CODICE GRA Y A TRE BIT PER M

Campioni quantizzati di tensione

+7 +5 +3 +1

= 8 LIVELLI

Parola di codice con codifica Gray (segnale PCM di uscita)

110 111 101 100 Immagine speculare (a eccezione del bit di segno).

-l

000

-3

001

-5

011

-7

010

.... I»

C'I

n$»

'9. ..... o

o-

,

1 Trasmettitore PCM : (conversione analogico-digitale) Segnale: analogico

Segnale analogico di ingresso

Filtro passa-basso di banda =B

--

1

limitato:

in banda

1 ~

. CamplOnamento istantaneo

11

Segnale PAM ottenuto con campionamento impulsivo

1 . Quanl1zzatore con numero

di livelli

Segnale P~M quanl1zzato

: 11

=M

1

1 1 J

1

,

1Canale (percorso trasmissivo) 1 I

1 1 1

11

Linea telefonica

.

Ripetitore

rigenerativo

Linea telefonica

Ripetitore

Ripetitore

rigenerativo

rigenerativo

Linea telefonica

,

1 1 r 1

:

Ricevitore

(conversione digitale-analogico)

Circuito di rigenerazione del segnale

PCM

Segnale

~

Decodificatore

Filtro

1

passa-basso

1

(di ricostruzione)

I 1

~

1 1

PAM

:

Figura 3-7

~

11 1 1 1

:

quantizzato

:

:

I 1

PCM

1 1

Segnale PAM

-+

Codificatore

~

~

1 f./) /1) C1Q ::s

:

e tenuta

:

1 1

:

W

1

1 1 ~1

Sistema di trasmissione PCM.

Segnale analogico di usci ta

03: ..... /1) $»

.

c: f[ S' cr" $» ::s $» cr" $» '" /1)

3-3

Pulse-Code Modulation (PCM)

137

8

Tensione di uscita

M=8

Tensione di ingresso = x

(a) Caratteristica

ingresso-uscita

del quantizzatore

-I I-

Istanti di campionamento

Ts

!! li! -.-

Segnale analogico, a(t)

-2

SegnalePAM,T= Ts SegnalePAM quantizzato

-4 -6 -8

(b) Segnale analogico, segnale PAM con campionamento

j j j j j

f-

impulsivo e segnale PAM quantizzato

Differenza fra segnale analogico e segnale P AM quantizzato

f(c) Segnale errore

-I II

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Parola PCM I

I

I

I

I

f-

(d) Segnale PCM

Figura 3-8

I

Andamento dei segnali nel sistema PCM.

PCM risultante dalla codifica con il codice Gray di Tabella 3-1 è rappresentato in Figura 3-8d, dove la parola PCM relativa a ogni campione quantizzato è resa in uscita in corrispondenza dell'impulso di c10ck immediatamente successivo. Il codice Gray viene usato perché associa parole che differiscono di un solo bit a livelli di quantizzazione adiacenti.

138

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

Di conseguenza, etTorisu di un singolo bit nella parola ricevuta causano etTori minimi nell'ampiezza ricostruita, a meno ché il bit colpito non sia quello di segno. Nella descrizione appena vista della modulazione PCM ci siamo limitati a considerare il PCM binario, in cui i livelli del segnale quantizzato sono rappresentati da parole binarie. In generale è possibile rappresentare i valori quantizzati in una base diversa da 2 o, equivalentemente,convertire il segnale binario in un segnale multilivello (Par. 3-4). I segnali multilivello hanno il vantaggio di occupare meno banda del segnale binario, ma richiedono circuiti multilivello anziché digitali binari standard.

Circuiti per sistemi PCM Le tecniche più diffuse per realizzare una conversione analogico-digitale con codifica binaria sono la conversione a conteggio, ad approssimazioni successive, e la parallela o "flash". Nel convertitore a conteggio, in concomitanza all'operazione di campionamento, si fa partire un generatore di rampa e un contatore binario con c10ck fisso. Il valore della rampa è continuamente confrontato con quello del segnale campionato finché non si rileva l'uguaglianza; in tali condizioni si blocca il contatore e se ne legge l'uscita. Il risultato del conteggio è la parola PCM desiderata. Il contatore e la rampa vengono azzerati (resettati) in modo da poter effettuare una nuova conversione. Ad esempio, il circuito CMOS ICL7126 è di questo tipo. La conversione a conteggio ha bassa complessità, ma non è adatta ad alte cadenze di campionamento perché la conversione è limitata dalla velocità del contatore. Il convertitore ad approssimazioni successive confronta il valore campionato con valori quantizzati "di prova". Dopo ogni confronto, viene generato un valore di prova successivo maggiore o minore del precedente a seconda del risultato del confronto. Il passo con cui si aggiornano tali valori è inizialmente grande, e quindi sempre più piccolo in modo che la successione dei valori converga rapidamente verso il valore desiderato (metodo dicotomico). Le tensioni di tentativo sono generate da una serie di partitori di tensione che sono configurati (on-off) da commutatori digitali. La parola PCM è data dalla configurazione di commutatori quando il processo di approssimazioni successive è giunto a convergenza. Questa tecnica richiede più componenti di precisione (i partitori) rispetto a quellaa conteggio, ma è in generale più veloce. Esempi di circuiti ad approssimazioni successive (o seriali) sono lo AD750 della Analog Devices e lo ADC0804 della National Semiconductors, entrambi a 8 bit. Infine, il convertitore parallelo ("flash") usa un insieme di comparatori operanti in parallelo i cui livelli di riferimento sono tutti i possibili valori quantizzati. Il campionedi segnale è "caricato" in tutti i campioni simultaneamente, e la parola PCM è determinata, attraverso uno stadio di logica binaria, dai segni delle uscite dei vari comparatori. I convertitori "flash" (come ad esempio il CA3318 a 8 bit della Harris Semiconductors) sononaturalmente i più veloci tra quelli analizzati, ma anche i più complicati e costosi. Il lettore interessato può consultare [Walden, 1999] per una rassegna di componenti con le relative caratteristiche. Tutti i convertitori analogico-digitale (ADC, Analog to Digital Converter) citaticome esempio hanno un'uscita digitale parallela che corrisponde al valore quantizzato del segnale. Il vero e proprio segnale PCM viene ottenuto convertendo l'uscita parallela in un flusso di bit seriali che viene poi inviato sul canale (ad esempio un cavo bifilare). Questa conver-

3-3

Pulse-Code Modulation (PCM)

139

sione si ottiene usando un convertitore parallelo-serie, indicato usualmente con l'acronimo SIa (Serial Input-Output). Il circuito SIa include un registro a scorrimento (shift register) che viene caricato con i dati paralleli (normalmente parole di 8 016 bit). I dati vengono poi fatti scorrere bit dopo bit in uscita all'ultimo stadio del registro in modo da produrre il flusso seriale. I chip SIa sono normalmente di tipofull-duplex, cioè contengono due registri per gestire contemporaneamente i due flussi dati nei due sensi di comunicazione. Il primo converte dati paralleli in seriali da trasmettersi sul canale; il secondo converte invece dati seriali ricevuti in ingresso in parole (dati paralleli). I SIa sono poi di tre tipi: UART (Universal Asynchronous ReceiverlTransmitter) per trasmettere e ricevere dati in modo asincrono, USRT (Universal Synchronous ReceiverlTransmitter) per trasmettere e ricevere dati in modo sincrono, e USART (Universal SynchronouslAsynchronous ReceiverlTransmitter) che combina i due in un unico chip. Ulteriori dettagli sulla trasmissione dati sincrona e asincrona sono disponibili nel Paragrafo 3-9. Al ricevitore, il segnale PCM è decodificato, convertito cioè in un segnale analogico tramite un convertitore digitale-analogico (DAC, Digital to Analog Converter). Se il DAC ha un ingresso parallelo, il flusso di dati PCM viene per prima cosa convertito con un SIa come già accennato. I dati paralleli sono dunque convertiti in una approssimazione del campione del segnale analogico di partenza. Questa conversione viene generalmente effettuata usando i vari bit della parola per stabilire la configurazione di commutatori digitali in una rete resistiva di partitori di tensione o corrente che "sintetizzano" il desiderato livello di segnale. Un esempio di questo tipo di circuiti è il DAC808 a 8 bit della National Semiconductor. Dunque il DAC genera di fatto un segnale PAM a livelli quantizzati che rappresenta un' approssimazione del segnale analogico di partenza. Come mostrato in Figura 3-7, l'uscita dell' ADC viene poi filtrata ("smussata") da un filtro passa-basso di ricostruzione per migliorare la fedeltà del segnale ricostruito. Sono disponibili centinaia di componenti ADC e DAC prodotti da tutte le principali ditte di semiconduttori. Le relative specifiche (data sheet) sono facilmente accessibili sui siti web dei produttori. Ulteriori dettagli su questi componenti sono reperibili in Dorf [1993] e Whitaker [1996].

Occupazione

di banda dei segnali PCM

Qual è lo spettro di un segnale PCM (in forma seriale)? La domanda ha già avuto risposta per un segnale PAM: lo spettro può essere facilmente ottenuto a partire dallo spettro del segnale analogico di partenza, poiché la PAM è una modulazione lineare. Al contrario, come si vede dalle Figure 3-7 e 3-8, la PCM è una funzione nonlineare del segnale analogico d'ingresso; lo spettro del segnale PCM non è quindi immediatamente riconducibile a quello del segnale analogico (come vedremo nei Parr. 3-4 e 3-5). La banda di una PCM binaria dipende dalla velocità di bit e dalla forma dell'impulso elementare usato per rappresentare i dati. Dalla Figura 3-8, la cadenza di bit risulta R

= n/s

(3-14)

dove n è il numero di bit delle parole PCM (M = 2 n) e!s è la frequenza di campionamento. Per evitare l'aliasing, si deve avere!s ~ 2B, dove B è la banda del segnale analogico di partenza.

140

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

Secondo il teorema della dimensionalità (Par. 3-4), la banda del segnale PCM è tale che (3-15a) e la minima banda è ottenuta quando l'impulso associato ai dati binari è del tipo (sin x) / x. Normalmente, l'impulso di segnalazione è diverso da questo, quindi la banda del segnale PCM sarà maggiore della minima. Ulteriori dettagli sui criteri di scelta degli impulsi di segnalazione e di cosiddetti codici di linea saranno esaminati nei Paragrafi 3-5 e 3-6. Naturalmente il particolare valore di banda che è necessaria dipenderà da questi fattori. Per esempio, supponiamo di usare un semplice impulso rettangolare con formati dati NRZ unipolare o NRZ polare, come mostrato nelle Figure 3-15b, 3-15c. Queste ultime sono forme d'onda tipiche generate dai circuiti PCM più diffusi. La banda al primo nullo è allora, come indicato nelle Figure 3-16a e 3-16b, l'inverso della durata del rispettivo impulso rettangolare, che è in entrambi i casi 11Th= R. Dunqueper impulsirettangolarila .banda al primo nullo è BpCM = R

= nfs

(banda al primo nullo)

(3-15b)

La Tabella 3-2 riassume questa situazione in alcuni casi, per il caso di campionamento alla frequenza di Nyquist,fs = 2B. Come già accennato, il teorema di dimensionalità (3-15a) stabilisce che la banda del segnale PCM è comunque limitata da (3-15c) dove fs 2:: 2B e B è la banda del corrispondente segnale analogico. Per valori di n usati in pratica, la banda del segnale PCM seriale è considerevolmente più grande di quella del segnale analogico che è stato convertito. Per l'esempio di Figura 3-8, in cui 11= 3, la banda del segnale PCM sarà almeno tre volte maggiore di quella del segnale (analogico) di partenza. Se inoltre la banda del segnale PCM viene ridotta, ad esempio per effetto di una non adeguata risposta in frequenza di un qualche apparato nel sistema, gli impulsi filtrati subiranno in generale un "allungamento" temporale, e quindi ciascun impulso tenderà a "invadere" intervalli temporali relativi a impulsi adiacenti. Se questo fenomeno diventa molto accentuato, può addirittura causare errori nella ricostruzione del flusso binario in ricezione. L'effetto creato dall'allungamento degli impulsi è chiamato intelferenza intersimbolica (ISI, InterSymbol Inteiference). Le condizioni per ottenere un segnale privo di ISI in uscita a un filtro sono discusse nel Paragrafo 3-6.

Influenza dei disturbi Il segnale analogico ricostruito all'uscita del decodificatore PCM è accompagnato da un disturbo (rumore). Le cause di questo disturbo sono essenzialmente due:

. .

rumore di quantizzazione introdotto nel codificatore PCM a causa del quantizzatore su M livelli; errori nella ricostruzione dei bit del segnale digitale PCM, a loro volta prodotti dal rumore di canale e/o dalla risposta in frequenza inadeguata del canale, che causa ISI.

3-3

Pulse-Code Modulation (PCM)

TABELLA 3-2 PRESTAZIONI DI UN SISTEMA PCM CON QUANTIZZAZIONE E SENZA RUMORE TERMICO

Numero di livelli di quantizzazione usati, M

Banda del segnale PCM (misurata in corrispondenza del primo nullo)'

Lunghezza della parola di codice PC M, Il (bit)

2 4 8 16

l 2 3 4 5 6 7 8

32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16 384 32 768 65 536

UNIFORME

Rapporto Potenza segnale analogico ricevuto-Rumore di quantizzazione {S/ N)pk

2B 4B 6B 8B IOB 12B 14B 16B 18B 20B 22B 24B 26B 28B

9 IO Il 12 13 14 15 16

141

oul

10.8 16.8 22.8 28.9 34.9 40.9 46.9 52.9 59.0 65.0 71.0

no 83.0 89.1 95.1 101.1

30B 32B

{S/N)ouI 6.0 12.0 18.1 24.1 30.1 36.1 42.1 48.2 54.2 60.2 66.2 72.2 78.3 84.3 90.3 96.3

. B è la larghezzadi banda del segnale analogico di ingresso.

Inoltre (si vedano i Parr. 2-7 e 3-2), il segnale analogico d'ingresso deve essere adeguatamente limitato in banda e campionato con una frequenza sufficientemente elevata in modo da rendere la distorsione da aliasing trascurabile. Come vedremo nel Capitolo 7, il rapporto tra la potenza di picco del segnale e la potenza media statistica totale di disturbo in uscita al sistema PCM è, sotto ipotesi non molto restrittive2, S ( N ) pk oul

3M2

(3-16a)

=

mentre il rapporto tra la potenza media di segnale e la potenza media di rumore è (~ )OUI=

M2

(3-16b)

ove, come di consueto, M è il numero di livelli di quantizzazione e dove Pe è la probabilità di errore sul bit nel flusso dati seriale PCM ricostruito al ricevitore e inviato in ingresso 2 Per ricavare questa relazione sono necessari alcuni concetti probabilistici. è rimandato al Capitolo 7.

quindi il calcolo dettagliato

142

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

al DAC. Il calcolo dettagliato della Pe per molti sistemi di trasmissione sarà effettuato nel Capitolo 7. Nel Capitolo l abbiamo però già visto come è possibile ridurre il valore di Pe fino a valori trascurabili attraverso l'uso di c,odicia protezione d'errore. Se dunque suppo-

niamoche la Pe sia sostanzialmentenulla (bassolivellodi rumoree di ISI), il rapportosegnale-rumore (SNR) è dovuto al solo rumore di quantizzazione e vale [si veda la (3-16a)]

S

( N ) pk out

-

3M2

(3-17a)

mentre il rapporto segnale-rumore medio è (dalla (3-16b» S ( N ) Qut

= M2

(3-17b)

Valori numerici tipici di queste grandezze sono elencati in Tabella 3-2. Per sperimentare veramente questi SNR, è necessario che l'ampiezza picco-picco del segnale analogico in ingresso al codificatore PCM sia pari al livello massimo di quantizzazione imposto dal progettista. Con riferimento alla Figura 3-8a, quest'ipotesi corrisponde ad avere un segnale che "spazzola" tutto il campo da -V a +V, dove V = 8 Volt è il massimo livello di quantizzazione. Le (3-16) e (3-17) sono state ricavate nell'ipotesi di un segnale d'ingresso con livelli "uniformemente distribuiti" all 'interno di un certo campo di variazione: un esempio di segnale di questo tipo è un'onda triangolare che ha un'ampiezza picco-picco pari a 2V e un valore efficace V/.y3, dove V è evidentemente il massimo livello di quantizzazione. In pratica, il rumore di quantizzazione all'uscita del decodificatore PCM può essere di quattro tipi, a seconda delle condizioni funzionamento: rumore di sovraccarico, rumore casuale, rumore di granularità, e rumore di inseguimento. Come già accennato, i valori del segnale analogico all'ingresso del codificatore PCM devono essere tali che il valore di picco non ecceda mai (in valore assoluto) il massimo livello di quantizzazione V. Se viceversa questa condizione non è verificata, la forma d'onda analogica all'uscita del decodificatore PCM presenterà tratti costanti ("saturati") laddove l'ingresso è superiore (in valore assoluto) a V. In queste condizione viene prodotto del rumore di sovraccarico. I tratti costanti si possono facilmente rilevare con un oscilloscopio, e la forma d'onda ricostruita è distorta, poiché la "saturazione" produce componenti frequenziali indesiderate di ordine superiore. Il secondo tipo di rumore, il rumore casuale, è costituito dagli errori di quantizzazione (casuali) prodotti da un quantizzatore che opera in condizioni normali con livelli di quantizzazione "ben piazzati": è questa la condizione che ha portato alle relazioni (3-17). In un tal caso, gli errori di quantizzazione hanno, campione per campione, tutti la stessa distribuzione statistica e sono approssimativamente indipendenti. In un segnale audio il rumore casuale ricorda il classico "soffio" dei sistemi elettronici, anche se è generato da un fenomeno diverso, poiché presenta anch'esso caratteristiche di "rumore bianco". Se il livello del segnale d'ingresso viene molto ridotto rispetto al valore nominale massimo di quantizzazione, gli errori di quantizzazione non hanno tutti la stessa distribuzione statistica come nel caso precedente e il suono del rumore di quantizzazione si fa più aspro, come quello di ghiaia versata in un barattolo metallico: è il rumore di granularità. Quest'ultimo può essere naturalmente "casualizzato" aumentando il numero dei livelli di quantizzazione e quindi aumentando anche la velocità di bit del segnale PCM seriale. Il

3-3

Pulse-Code Modulation (PCM)

143

rumore di granularità può anche essere diminuito utilizzando una legge di quantizzazione non uniforme come nei quantizzatori con caratteristica J1(J1-law) o caratteristica A (A-law) descriui nel paragrafo successivo. Il quarto tipo di rumore di quantizzazione è il rumore d'inseguimento (hunting noise) che si può manifestare quando il segnale d'ingresso è sostanzialmente costante, e in particolare quando è nullo. In queste condizioni infatti, il valore all'uscita del quantizzatore può "oscillare" tra due valori adiacenti tra i quali è compreso il valore costante del segnale. Nell 'uscita del decodificatore si trova quindi una componente pseudo-sinusoidale alla frequenza !!S. Per eliminare il rumore di inseguimento nel caso di segnale nullo, che viene anche chiamato rumore di canale libero (idle channel noise), si può usare un quantizzatore che ha un tratto orizzontale attorno all'origine anziché il tratto "verticale" della Figura 3-8a. È d'uso esprimere il rapporto segnale-rumo.re in decibel. Ricordando che M = 2n, le (3-17) possono essere espresse come segue:

i. ( N )dB

= 6.02n + a

(3-18)

dove n è il numero di bit della parola PCM, a = 4.77 per il SNR di picco, e a = Oper lo SNR medio. Questa equazione dà una regola empirica (la regola dei 6 dB) per valutare le prestazioni di un sistema PCM: aggiungendo un bit alla parola PCM si migliora il rapporto segnale-rumore di 6 dB (Tab. 3-2). L'Equazione (3-18) continua a essere valida per molti casi diversi (tipi di segnali d'ingresso e caratteristiche del quantizzatore), anche se il valore di a può variare da caso a caso [Jayant e Noll, 1984]. Naturalmente si fa l'ipotesi che non vi siano errori sui bit e che il segnale d'ingresso sia sufficientemente ampio da "spazzolare" tutti i possibili livelli di quantizzazione (rumore casuale). Esempio 3-1 PROGETTODI UN SEGNALEPCM PERUN SISTEMATELEFONICO Un segnale telefonico analogico occupa all'incirca la banda da 300 a 3400 Hz (banda vocale o fonica). Volendo convertire tale segnale in fonnato PCM, dobbiamo per cominciare fissare una frequenza di campionamento. Il minimo valore è 2 X 3.4 = 6.8k campioni/s. Per poter usare un filtro anti-aliasing passa-basso di costo ragionevole, si deve fissare un'estensione ragionevole della banda di transizione, e quindi è necessario sovracampionare il segnale fino a 8000 campioni al secondo. Questa è lo frequenza di campionamento standard nei sistemi telefonici digitali in Europa e negli Stati Uniti. Rappresentando ogni campione con una parola di 8 bit otteniamo una velocità di bit pari a R

= (h campioni/s) (n bit/campione) = (8k campioni/s)(8 bit/campione) = 64

kbit/s

(3-19)

Sempre secondo il teorema di dimensionalità, la banda minima necessaria a trasmettere questo segnale PCM binario è (3-15a) (B)min

= 4R = 32 kHz

(3-20)

Tale banda necessita dell'uso di un impulso tipo (sin x)/x nel segnale digitale binario. Usando al contrario impulsi rettangolari, la banda è in teoria infinita, e in pratica può essere quantificata nella banda al primo nullo: (Continua)

.....

144

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

BpCM

= R = 64 kHz

(3-21)

La banda del segnale PCM è in questo caso"Pari a 64 kHz, quando la banda lorda (cioè considerando anche la zona di transizione del filtro anti-aliasing) del segnale telefonico analogicooriginale è pari a 4 kHz! Usando la (3-l7a), osserviamo che il SNR di picco è

~ ( N ) pk

= 3 (28)2 = 52.9 dB

(3-22)

oul

L'aggiunta di un eventuale bit di parità non modifica naturalmente il rumore di quantizzazione. Il bit di parità è un tipo di codifica a protezione d'errore che può servire a diminuire il numero di errori provocati dal rumore di canale o dall'ISI. Nell'esempio, questi effetti sono stati comunque trascurati perché si è ipotizzato Pc= O.

Ricordiamo che in Tabella 3-2 sono elencati i vari valori dell'SNR ottenibili in assenza di errori di canale. Si può usare questa tabella come strumento per verificare i requisiti di progetto di un certo sistema PCM. Ad esempio, nel campo delle applicazioni audio ad alta fedeltà si sono diffuse tecniche digitali per cui i segnali sono registrati in formato PCM anziché analogico. Si nota che per avere una dinamica di 90 dB sono necessari almeno 15 bit nella codifica PCM. Considerando una banda audio di 20 kHz, la banda al primo nullo del segnale PCM con impulsi rettangolari sarebbe 2 X 20 kHz X 15

= 600

kHz. An-

che se l'espansione di banda è notevole, si deve considerare che raramente gli apparati analogici raggiungono una dinamica di 70 dB. La conclusione è che le tecniche digitali, in particolare PCM, sono molto efficaci per migliorare le prestazioni di questo tipo di sistemi, prova ne è l'enorme successo commerciale del Compact Disc (CD) audio. Questo standard usa un PCM a 16 bit con una frequenza di campionamento di 44.1 kHz.

Quantizzazione non uniforme: le leggi J1e A di compressione/espansione I segnali vocali analogici presentano con alta probabilità valori vicini allo zero piuttosto che agli estremi della dinamica permessa. Quando un segnale vocale viene digitalizzato, se il valore di picco è l V, i valori a debole intensità possono avere valori vicini a 0.1 V, cioè 20 dB al di sotto. Per questi segnali, aventi cioè una distribuzione delle ampiezze non uniforme,il rumoredi granularitàpuò rivelarsiun problemaserio,a menoche il passo di quantizzazione non venga rimpicciolito per valori vicini allo zero, e aumentato per ampiezze più grandi. Questo approccio è chiamato quantizzazione non uniforme visto che viene utilizzato un passo variabile. Un esempio di una caratteristica di quantizzazione non uniforme è mostrato nella Figura 3-9a. Lo stesso risultato della quantizzazione non uniforme si può ottenere elaborando dapprima il segnale analogico con un compressore, cioè un dispositivo non lineare con amplificazione decrescente al crescere dell'ampiezza del segnale, e poi codificando il segnale in uscita dal compressore con un circuito PCM standard a quantizzazione unifonne. Questa tecnica, con il nome di compressione a legge J.1è stata applicata negli Stati Uniti già dagli anni '60. La legge J.1[Smith,1957] o J.1-lawè definita da:

3-3

Pulse-Code Modulation (PCM)

145

1.0 0.8

:. ~

Caratteristica del quantizzatore con compressore di dinamica

0.6

s

'0 :5 0.4

Caratteristica del quantizzatore uniforme

0.2

o

O

0.2

004

0.6

0.8

(a) Caratteristica

del quantizzatore

1.0

1.0

0.8

0.8

'I

con M

=8

I I

-

~

~

~

1.0

t V = 1.0

Ingresso IWI ( t) I

0.6

§' 0.6

~ s .~ :> 0.4

S

'0

:5

0.2

004

I Il

0.2

O O

O

0.2

004

0.6

Ingresso IWI(t)1

(b) Caratteristica

del compressore

Figura 3.9

0.8

1.0

t

O

0.2

V = 1.0

di dinamica J.L-Iaw

0.4

0.6

0.8

IngressoIWJ(t)1

1.0

t

v= 1.0 (c) - Caratteristica

del compressore

di dinamica A-law

Caratteristiche del compressore di dinamica (solo primo quadrante).

Iw.,(t)1= In(1 + J.Llwl(t)I) In(1 + J.L)

, I

I I I

(3-23)

I I I

dove Wl(t) è normalizzato al valore di picco:tl (cioè IWl(t)1 :5 l), J.Lè un parametro positivo e In indica il logaritmo naturale. La caratteristica di compressione è mostrata nella Figura 3-9b per alcuni valori di J1;si nota che J1= Ocorrispondealla quantizzazione uniforme (amplificazione lineare), e che aumentando m il grado di compressione (non-linearità) aumenta. Il valore J1= 255 è tipico delle reti telefoniche nordamericane e giapponesi. In Europa è al contrario utilizzata la cosiddetta legge di compressione A che sarà descritta tra breve. In pratica, la caratteristica di compressione di Figura 3-9b seguita da quantizzazione uniforme viene approssimata da un compressore/quantizzatore con una caratteristica . I

146

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

Parole di codice

Segmento 3 11 O 10000

Parole di codice

t

Complessivamente 8 segmenti sull' asse positivo

Bildi Bit della Bitdel segno corda passo 000 + Fondo scala I 0000 111 Illl + Zero I O III Il Il - Zero 000 0010 - Fondo scala O Parola di codice

Valori negativi di tensione (come quelli positivi)

Tensione

O ~'-v--'\

'

Segmento l, Segmento 2, 16 passi 16 passi di quantizzazione, di quantizzazione, ampiezza passo ampiezza passo 2.1 di quantizzazione .1 (d) Quantizzatore

con /J.

Segmento 3, 16passi di quantizzazione, ampiezza passo 4.1

di ingresso ~ v--' positiva Segmento8 (ultimosegmento), 16 passi di quantizzazione,

ampiezzapasso 128.1

= 255. Figura 3-9

(seguito)

lineare a tratti, come indicato in Figura 3-9d relativa al caso J1= 255 [Dammann, McDaniel, e Maddox, 1972]. Ogni "corda" è "mappata" su di un quantizzatore uniforme a 16 livelli con un passo caratteristico del particolare "segmento": per il segmento l sono usati 16 livelli di ampiezza D (incluso un semi-livello da ogni lato dello zero), per il segmento 2 si usano 16 livelli di ampiezza 2 ~, per il 3 16 livelli di ampiezza 4 ~ e così via. Il valore di ~ è fissato in modo che l'ultimo livello del segmento 8 corrisponda con il valore di picco del segnale analogico d'ingresso. Come indicato in Figura 3-9d, la parola PCM a 8 bit consiste in un bit di segno che indica la polarità (positivo o negativo) del segnale d'ingresso, tre bit che indicano il numero del segmento (bit di corda) e 4 bit che indicano il valore del livello all'interno del segmento (bit di livello). Come già accennato, la compressione usata in Europa è la "legge A" definita da [Cattermole, 1969]:

~,~

3-3

Pulse-Code Modulation (PCM)

IWl (t) I l +ln A '

147

A

IW2(t)1=

l

(3-24)

1+ ln(Alwl(t)1) 1+lnA

dove il segnale d'ingresso è ancora normalizzato ai valori di picco :f:1e A è un parametro positivo. La caratteristica del compressore è mostrata in Figura 3-9c ed è simile a quella della legge J1.L' implementazione è ancora lineare a tratti con 16 livelli di quantizzazione per corda, salvo che il medesimo passo /),.è stavolta mantenuto sia nella corda l che nella 2, dopodiché si procede al raddoppio a ogni corda successiva come per la legge J1. Naturalmente, quando in codifica si applica una compressione, il ricevitore deve effettuare l'operazione di espansione cioè decompressione con una legge reciproca per ripristinare i corretti valori del segnale. L'operazione di compressione/espansione viene spesso indicata con il nome di companding (compressing/expanding) e, come già discusso ha lo scopo di aumentare il rapporto segnale-rumore di quantizzazione. Si può dimostrare che tale parametro segue ancora la "regola dei 6 dB" [Couch, 1993]:

~ ( N )dB

= 6.02n + a

(3-25)

(uniforme)

(3-26a)

II

oppure a = 4.77 -

20 log[ln(l

+ JL)]

(legge JL)

(3-26b)

mentre, per quantizzazione uniforme, si ha a = 4.77 -

20 log[l

I I i

ove, con segnali di dinamica adeguata [Jayant e NolI, 1984]: a = 4.77 - 2010g(V/xeff)

Il

I I

+ In A]

(legge A)

(3-26c)

In queste relazioni, n è il numero di bit della parola PCM, V è il valore massimo del quantizzatore e Xeff è il valore efficace del segnale analogico. Il rapporto SNR di quantizzazione dipendedal livellodel segnaleper l'uniforme,mentreè relativamenteinsensibileal livello del segnale nel caso di companding. La Figura 3.10 mostra l'andamento dell'SNR in funzione del cosiddetto fattore di carico V/Xeff. La superiorità delle tecniche di compressione/espansione quando il fattore di carico è alto risulta evidente.

V.90 56-kbitls PCM computer modem Il modem per personal computer (PC) di tipo V.90 trasmette dati alla velocità di 56 kbit/s via rete telefonica commutata da un PC "di abbonato" usando un segnale analogico trasmesso su doppino in rame. Tale segnale analogico è "pre-quantizzato" ai livelli di quantizzazione di un codificatore a legge A (o J1),cioè quelli sull'asse delle ascisse di Figura 3-9d. Il clock del modem nel PC viene poi sincronizzato con quello a 8 kHz del codificatore PCM di centrale in modo da recuperare esattamente i livelli di quantizzazione agli istanti corretti. In realtà, vengono usati solo 64 livelli della caratteristica di Figura 3-9 (più

I I -'

148

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

60

t (dB)

50 Tecnica di compressione IL 255

legge IL

=

40 I I I I I I I I I I

Quantizzazione uniforme: (senza compressione di dinamica)

-50

--40

(~) uscita

--30

-20

Livello del segnale di ingresso normalizzato 20 log (XefrlV)

-\O

30

20 I

:

I I I I I I I I I I

--4.77

\O

o

(dB)-

Figura 3-10 SNR in uscita per un sistema PCM a 8 bit con e senza compressione di dinamica.

i 64 negativi) per non trasmettere livelli troppo vicini tra loro e quindi troppo vulnerabili al rumore. Questo significa usare solo 7 degli 8 bit della parola PCM, per una velocità di bit totale di 56 kbit/s. I dati trasmessi sono proprio i vari bit che identificano il (cioè vengono mappati nel) livello di qmintizzazione. Lo svantaggio del modem V.90 (chiamato anche modem PCM) è che deve essere connesso (in centrale) a una linea di trasmissione dati digitale. Il segnale analogico prodotto con la strategia appena descritta non può essere inviato su di una linea telefonica commutata per connettersi direttamente a un altro modem dello stesso tipo. Se così si facesse infatti, il segnale del modem sarebbe riconvertito in digitale da un codificatore PCM standard per segnali vocali in centrale che non sarebbe sincronizzato con il c10ck del PCM originario come invece avviene nel modem. Ciò significherebbe perdita sicura dei dati a causa del non perfetto riconoscimento dei livelli di quantizzazione. Quando è necessaria una connessione diretta modem-modem su linea analogica, il modem V.90 commuta su di un modo di funzionamento non-PCM, ad esempio il modo V.34 a 28.8 kbit/s o V.34bis a 33.6 kbit/s con modulazione QAM passa-banda, come discusso nelI'Appendice C-5. In ogni caso, il rumore sulla linea telefonica analogica deve essere sufficientemente piccolo in modo da poter effettuare una trasmissione priva di errori. Dalla formula di Shannon della capacità di canale (l-IO), il rapporto SIN della linea telefonica dovrebbe essere di almeno 51.1 dB per sostenere una velocità di 56 kbit/s nella banda telefonica di 3.3 kHz (si veda l'App. C-5). Quando il SNR non raggiunge questo livello, il modem viene configurato per una velocità inferiore, come quelle appena citate.

3-4

Trasmissione digitale

149

3-4 TRASMISSIONE DIGITALE Come è poss1bile rappresentare matematicamente la forma d'onda di un segnale digitale, come il segnale PCM di Figura 3-8d, e come è possibile stimame la larghezza di banda? La risposta a queste domande richiede tecniche matematiche raffinate come la rappresentazione di funzioni su spazi di Hilbert. In pratica, la forma d'onda di un segnale digitale può essere espressa come una sovrapposizione di un numero finito N di componenti ortogonali N O < t < To (3-27) W(t) = Wk'Pk(t),

I

k=l

dove i vari Wk rappresentano i dati digitali e le funzioni 'Pk(t), k = 1, 2, . . ., N, sono le N componenti ortogonali che determinano la particolare forma d'onda (vedremo esempi specifici di questo nei paragrafi sulle "forma d'onda binarie" e "forma d'onda multilivello"). Il parametro N rappresenta il numero di "dimensioni" necessarie alla descrizione del segnale. Il termine dimensione richiama l'interpretazione geometrica della scomposizione (3-27) che vedremo nel paragrafo successivo. La forma d'onda w(t), nella (3-27), è caratterizzata da una particolare sequenza di valori {wd,

k = I, 2,

. . ., N, che rappresenta-

no il messaggio da trasmettere. Ad esempio, considerando come sorgente di dati binari una tastiera ASCII di un PC, al carattere X è associata la parola di codice 0001101 (si veda App. C, Tab. C-2). In questo caso, N = 7 e Wl = O, W2 = O, W3 = O, W4 = l, W5 = l, W6 = O,W7 = l. Questo messaggio (cioè la lettera X) è trasmesso in un intervallo di tempo di Tosecondi, come indicato nella (3-27). Possiamo adesso definire alcune grandezze fondamentali : DEFINIZIONE.

La velocità (o cadenza) di simbolo è D

= N/To

simbolijs

(3-28)

dove N è il numero di dimensioni utilizzate nell'intervallo di tempo To secondi. L'unità simboli/s è anche indicata con il nome di baud. DEFINIZIONE.La velocità (o cadenza) di bit è R

= n/To

bit/s

(3-29)

dove n è il numero di bit inviati nell'intervallo di tempo di To secondi. Se i dati Wk sono binari, n = N e w(t) è un segnale binario. Viceversa, quando i Wknon sono binari, il segnale è multilivello. Discuteremo questi due tipi di segnale più in dettaglio in seguito. Una questione fondamentale è la seguente: se il segnale (3-27) è trasmesso su di un canale di comunicazione e giunge al ricevitore, come può il ricevitore stesso recuperare i dati trasmessi? Visto che w(t) è una scomposizione con funzioni ortogonali, la maniera diretta per recuperare i dati è quella di calcolare i coefficienti dello sviluppo (le "coordinate") secondo la (2-84): Wk

=-

I

Kk

Tn

f

o

w(t) 'Pk(t)dt, k = 1,2, ... N

(3-30)

dove naturalmente w( t) è il segnale ricevuto e le 'Pk(t) sono le funzioni ortogonali, note al ricevitore, usate per costruire il segnale trasmesso. Si può dimostrare che la strategia descritta

150

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

dalla (3-30) è anche quella ottimale in presenza di rumore additivo bianco; questa procedura è chiamatafiltraggio adattato o ricezione a correlatori e sarà descritta nel Paragrafo 6-8.

Rappresentazione vettoriale La rappresentazione con funzioni ortogonali (3-27) corrisponde alla rappresentazione su di uno spazio vettoriale del tipo N W

=

I

(3-3Ia)

Wj
j=1

dove le variabili in grassetto indicano vettori a N dimensioni. Il vettore w è un rappresentazionedella formad'onda w(t) nella (3-27),e {
(3-3Ib)

WN)

ove quindi si identifica il segnale digitale con un vettore riga a N dimensioni.

Esempio

3-2 RApPRESENTAZIONE VETTORIALEDI UN SEGNALE BINARIO

Consideriamo il segnale s(t) di Figura 3-lla relativo alla trasmissione di 3 bit. Tale segnale può essere rappresentato come N=3 N=3 s(t)

=

I

djp[t

- (j - !)T] =

j=l

I

djpj(t)

j=1

ove p(t) è l'impulso rettangolare di Figura 3-llb (impulso elementare di bit) e si è posto Pj(t) ~ p[t - (j - nT]. L'insieme {pit)} di funzioni ortogonali (non normalizzato) induce una rappresentazione del segnale attraverso il vettore

',.

I

Indichiamo ora con {ipj( t)} l'insieme di funzioni ortonormali derivate da quelle di partenza. Usando la (2-78) si ottiene

Pj (t) T--;;--

f

o PJ(t)

dt

ovvero

(j - I)T < t < jT altrove

Trasmissione digitale s(t)

5V T To

t-

= 3T

(a) Segnale di durata pari a 3 bit

p(t)

reo

5

t-

I

(b) Forma dell'impulso

3T

t-

2T

3T

t-

P2(t)

I

I

2T

T

Lt1

di durata pari a un bit

T

2T

3T

t-

(c) ) Insieme delle funzioni ortogonali

5VT" " d =(I, O, I)

"

s = 0..JT.O,5~)

" ,,/

~nnn I 1 I 1 I I l'

nnn_:;'j ,,"

"

,,"

I I I I I I I

" -(' I I I " I '" I ",,," 5VT I " ,,"

11'1 (d) Rappresentazione

Figura 3-11

vettoriale del segnale di 3 bit

Rappresentazione di un segnale digitale binario di durata pari a 3 bit.

151

152

Capitolo 3 - Segnali digitali ~ a impul!!iìn banda base -.

Dalla (2-84) con a = O e b ;;, 3T, si,trovano i coefficienti dell'espansione su base ortononnale del segnale digitale s(t) di Figura 3-11a: s = (SI, S2, S3)"'= (5#,

O, 5#)

corrispondente al vettore s(t). Tale rappresentazione vettoriale è indicata nella Figura 3-lld. In questo caso tridimensionale con segnalazione binaria, si possono rappresentare soltanto 23 = 8 messaggidistinti.Ogni messaggiocorrispondegeometricamentea uno dei vertici del cubo di Figura 3-lld.

Valutazione

della larghezza di banda

Possiamoottenereun limiteinferioreper la bandadel segnaledigitale(3-27)usandoil teoremadi dimensionalità.Dalla (2-174)e dalla (3-28)si può valutarela bandadi w(t) come N l B :2::= -D 2To 2

Hz

(3-32)

Se le funzioni-base ({Jk( t) sono del tipo sin( x) / x allora viene raggiunto il limite inferiore di N/(2To) = D/2, mentre per altri tipi d'impulso la banda sarà in generale maggiore. La (3-32) è utile per valutare o comunque stimare la banda di un segnale digitale, specialmente quando il calcolo esatto non è fattibile. Illustreremo meglio questo concetto negli Esempi 3-3 e 3-4.

Segnali binari Un segnale binario può essere descritto dalla scomposizione ortogonale a N dimensioni della (3-27), ove i coefficienti Wk, assumono valori binari. Ulteriori dettagli sui segnali binari sono sviluppati nell'esempio che segue. Esempio

3-3 SEGNALAZIONE BINARIA

Esaminiamo l'esempio di una segnalazione binaria fornita da una sorgente che può produrre uno tra M

= 256

messaggi distinti. Poiché M

=

2n

=

28

=

256. Ogni messaggio può esse-

re rappresentato da una parola binaria su n = 8 bit (1 byte). Poniamo inoltre che il tempo necessario a trasmettere un messaggio sia To = 8 ms e che il particolare messaggio preso in considerazione corrisponda alla parola di codice 01001110. In questo caso, Wl = O,W2 = l, W3 = O, W4 = O,W5 = 1, W6 = l, W7 = l e Wg = O a) FUNZIONI ORTOGONALI

A IMPULSI RETTANGOLARI

Supponiamo

che le funzioni-base 'Pk(t) siano impulsi rettangolari di ampiezza unitaria e di durata

Tb = To/n = 8/8 = 1 ms ove naturalmente Tbè il tempo necessario a trasmettere l bit. Allora, usando la (3-27) e MATLAB, si trova la fonna d'onda di Fig. 3-l2a. I dati possono essere rivelati nel ricevitore valutando i coefficienti dello sviluppo su base ortogonale come nella (3-30). Con funzioni base rettangolari, questo equivale (in assenza di disturbi) a campionare la fonna d'onda in un qualunque punto all'interno di ogni intervallo di bit. Si nota facilmente dalla Figura 3-l2a che tale operazione pennette di recuperare correttamente il byte di dati 01001110.

3-4

153

Trasmissione digitale

1.5

~

;:!

0.5

o -0.5 O

2

3

4

5

6

7

8

t(ms)(a) Formato dell'impulso

rettangolare,

T b = 1 ms

1.5

-0.5 8

O Campionamento a metà intervallo di simbolo

t(ms)(b) Impulso (sin x)/x,

Figura 3-12

Tb = l ms

Segnalazione binaria (realizzata al calcolatore).

La velocità di bit (bit rate) e di simbolo (symbol rate) del segnale binario coincidono e sono pari rispettivamente a R = n/To = l kbit/s e D = N /To = l kbaud, visto che N = n = 8 e To = 8 ms. Che banda occupa il segnale di Figura 3-12a? Dalla (3-32) si trova che il limite inferiore è ~D = 500 Hz. Nel Paragrafo 3-5 vedremo che la banda al primo nullo di un segnale binario con impulsi rettangolari è pari a B = l/Ts = D = 1000 Hz. Questa banda è superiore a quella del limite inferiore. Qual è dunque la forma d'onda dell'impulso che garantisce la minima banda? La risposta è ancora l'impulso del tipo (sin x)/ x descritto in b).

b) FUNZIONI ORTOGONALI (sin x)/x L'intuizione dice che le discontinuità dell'impulso rettangolare devono essere "smussate" per ridurre la banda del segnale. Richiamando inoltre i concetti relativi al teorema del campionamento (2-258), ci accorgiamo che la banda minima è data dall'impulso del tipo (sin x)/ x. Di conseguenza, scegliamo

sin CPk(t)=

{~

1TTs (t - kTs) Ts (t - kTs)

}

(3-33) (Continua)

154

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

ove, per segnalazione binaria, T. = TboLa forma d'onda trasmessa in questo caso è mostrata nella Figura 3-12b. Di nuovo, i dati possono essere recuperati calcolando i coefficienti dello sviluppo su base ortogonale, e ancora una volta questo può essere effettuato, in assenza di disturbi, semplicemente campionando il segnale esattamente nel punto medio di ogni intervallo di segnalazione. Se nella Figura 3-12b valutiamo il segnale al centro di ogni periodo di 1 ms come indicato, otteniamo esattamente il byte trasmesso 01001110. La velocità di bit e di simbolo sono ancora rispettivamente

R

= 1 kbitfs

eD

= 1 kbaud.

Dall'esame della Figura 2-6b si può inoltre valutare la banda del segnale nella (3-33) in B = 1/(2T.) = 500 Hz (si ponga 2W = 1fT.), raggiungendo così il limite inferiore del teorema di dimensionalità. Usando un impulso rettangolare, l'informazione digitale viene trasmessa usando un segnale digitale a due soli livelli (Fig. 3-12a). Viceversa, usando la forma d'onda del tipo (sin x)/ x l'informazione digitale è affidata a una forma d'onda analogica, con infiniti livelli tra -0.4 e 1.2 V (Fig. 3-12b).

Segnali

multilivello

Per il segnale binario dell'esempio precedente, abbiamo raggiunto la minima occupazione di banda pari a B = N/(2To). Nel caso b), abbiamo usato N = 8 impulsi su di una durata pari a To = 8 ms usando una banda di 500 Hz; questa banda può essere ulteriormente ridotta diminuendo N, e cioè lasciando che i coefficienti Wk nella (3-27) assumano più di due valori, diciamo L > 2. In tal caso la forma d'onda (3-27) è un segnale mu/ti/ivello. Esempio 3-4 SEGNALEMULTlLIVELLO AL

= 4 LIVELLI

In questo esempio la sorgente di M =256 messaggi dell'Esempio 3-3 verrà codificata da un segnale a 4 livelli (L =4), trasmesso ancora una volta in un tempo totale di To = 8 ms. I dati multilivellosonoottenuti"mappando"ogni parolabinaria a f-bit in uno traL = 2i livelli tramite un convertitore digitale-analogico (DAC, Digital to Analog Converter), come indicato in Figura 3-13. Un esempio di codifica per un DAC a f

=

2 bit è quello della Ta-

bella 3-3. La sequenza dei quattro simboli quatemari (cioè a 4 livelli) corrispondente alla parola binaria 01001110 sarà dunque -3, -1, +3, +1. Di conseguenza, i coefficienti Wk della (3-27) saranno Wl = -3, W2 = -1, W3 = +3 e W4 = +1 cosicché saranno usate solo N = 4 dimensioni. Il corrispondente segnale multilivello con impulsi rettangolari e del tipo (sin x)/x è rappresentato rispettivamente nelle Figure 3-14a e 3-14b. Ancora una volta, il ricevitore può recuperare l'informazione digitale (in assenza di disturbi) campionando i segnali al centro degli intervalli di segnalazione come indicato nelle figure; si noti che tali intervalli hanno adesso durata T. = 2 ms.

iiiI iIiiiI

3-4

Trasmissione digitale

155

Segnale multilivello a L livelli (Fig. 3-14)

Segnale binario (Fig. 3-12) Convertitore

Sorgente del messaggio (uscita binaria)

analogico-digitale D simboli/s

Figura 3-13

=R

a l bit

bit/s

D simboli/s =R/l e R bit/s

Conversione di un segnale binario in un segnale multilivello.

4 2

-

O

M

-2

-4

O

2

5

6

7

8

3

5

6

7

8

!

!

3

4

t(ms) -

(a) Formato dell' impulso rettangolare con T b

= 1 ms

4 2

o

-4

O

I

2

t

iCampionamento a metà intervallo di simbolo

t(ms)(b) Impulso (sin x)/x, T b

Figura 3-14

= 1 ms

Segnalazione con L

=4 livelli (realizzata al calcolatore).

Per questi segnali multilivello, l'intervallo di bit è ancora Tb

=l

ms perché ogni sim-

boloportaadessoe = 2 bitdi informazione(eprecisamentela coppiadi bit associataa unodei 4 livelli della Tab. 3-3). La velocità di bit è dunque ancora R = n/To = e/T, = I kbit/s esattamente come nell'Esempio 3-3, mentre la velocità di simbolo è D = N/To = l/T, = 0.5 kbaud

e

cioè

la

metà

di

quella

dell''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

156

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base TABELLA 3-3 CONVERTITORE DIGITALEANALOGICO A 2 BIT. Ingresso binario (€ 2 bit)

=

Il lO 00 al

Livello del segnale in uscita (V)

+3 +1 -l -3

dove e = logz(L) è il numero di bit associati a ogni livello, cioè il numero di bit letti in ogni periodo di cIock dal DAC. La banda al primo nullo del segnale multilivello con impulso rettangolare di Figura 3l4a è B = l/Ts = D = 500 Hz mentre la banda dell'impulso di tipo sin(x)/x usato nella Figura 3-l4b è B = N /(2To) = 1/(2Ts) = D/2 = 250 Hz. La banda di ciascuno dei due segnali multilivello è quindi pari alla metà di quella del corrispondente segnale binario con lo stesso tipo d'impulso. In generale, un segnale a L livelli ha una banda pari a l/e-esimo della bandadel corrispondentesegnalebinarioe = logz (L). La riduzione di banda è dovuta al fatto che la velocità di simbolo del segnale multilivello si riduce di un fattore e rispetto a quella del segnale binario.

Esamineremo nel prossimo paragrafo il calcolo delle densità spettrali di potenza dei segnali binari e multilivello.

3-5 CODICI DI LINEA E SPETTRI Codici di linea binari lii

I livelli binari Oe l del segnale PCM (chiamati anche "O logico" e "l logico") possono essere rappresentati in diversi formati di segnalazione seriale, chiamati anche codici di linea. I più diffusi codici di linea (compreso il modo di rappresentare lo O logico e l'l logico su di un nastro perforato) sono schematizzati in Figura 3-15. Le due categorie principali sono quello con ritorno a zero (RZ, Return to Zero) e quelle senza ritorno a zero (NRZ, No Return to Zero). Inoltre, si possono usare modalità diverse nell'assegnare i livelli di segnale ai simboli logici binari. In particolare si hanno le seguenti possibilità: Segnalazione unipolare. Il simbolo "1 logico" è rappresentato dal livello "alto" +A, mentre lo "O logico" è rappresentato dal livello O. Questo formato è anche chiamato on-off keying o segnalazione a tutto o niente. Segnalazione polare. I simboli l e O sono rappresentati da due livelli "simmetrici" positivo e negativo +A e -A (segnalazione antipodale). Il

3-5

Codici di linea e spettri

157

Segnalazione bipolare o pseudo-ternaria. Il simbolo O è rappresentato da un livello O,mentre il simbolo l è rappresentato da un livello che alterna di volta in volta tra +A e -A. Per questo motivo questo formato viene chiamato pseudo-ternario o anche AMI (Alternate Mark Inversion).

-

Segnalazione Manchester (chiamata anche split-phase o bi-phase). Il simbolo I è rappresentato dalla successione di due impulsi positivo-negativo di durata pari a metà bit, mentre il simbolo Oè rappresentato dalla successione negativo-positivo. In seguito, indicheremo semplicemente con segnalazione unipolare la segnalazione unipolare NRZ, polare per polare NRZ, e bipolare per bipolare RZ. Questa nomencIatura è la più appropriata, sebbene spesso nella pratica (specialmente nell'ambiente della comunicazioni radio) si indichi con "bipolare" la segnalazione polare NRZ anziché la pseudoternaria con ritorno a zero. In questo testo, ci atterremo però alla nomencIature esatta sopra indicata. In realtà, tutti i codici di linea di Figura 3-15 sono indicati con più di un solo nome nel mondo delle comunicazioni [Deffeback e Frost, 1971; Sklar, 1988]. Ad esempio, lo NRZ polare è anche chiamato NRZ-L, ove la L indica l'assegnazione usuale dei livelli logici. Lo RZ bipolare è anche indicato con RZ-AMI, mentre lo NRZ bipolare viene anche chiamato NRZ-M, ove la M indica l'inversione dello I logico (Mark) ecc. Nella pratica, sono usati molti altri codici di linea [Bylanski e Ingram,1976; Bic, Duponteil e Imbeaux, 1991], la cui elencazione va al di là degli scopi di questo testo. Ad esempio, il segnale pseudo-ternario può essere generalizzato come discusso di seguito alla (3-45). Ciascuno dei codici di linea della Figura 3-15 ha i propri pro e contro. Lo NRZ unipolare può essere facilmente generato da circuiti con una singola tensione di alimentazione (tipicamente i +5 V dei circuiti TIL), ma richiede anche un accoppiamento in continua degli stessi circuiti (cioè una circuiteria con risposta in frequenza estesa fino a O Hz) perché il relativo segnale ha una componente continua diversa da O. Il formato NRZ polare non richiede accoppiamento in continua, purché il segnale commuti frequentemente tra i livelli Oe I e purché il numero di Oinviati sia mediamente uguale al numero di I. Ma richiede anche circuiti ad alimentazione duale (positiva e negativa attorno allo O). Il formato Manchester presenta una componente a frequenza nulla che è sempre O, indipendentemente dalle proprietà della sequenza dati, ma richiede una banda doppia rispetto ai formati NRZ visto che presenta impulsi con durata dimezzata (Fig. 3-15). Il codice di linea ideale dovrebbe possedere le seguenti caratteristiche.

.

. .

Sincronizzabilità.

Il codice contiene in sé informazioni

riguardo alla temporizza-

zione dei bit, cosicché è semplice realizzare i circuiti per l'estrazione del cIock dal segnale ricevuto. Lunghe sequenze di I o Onon dovrebbero costituire un inconveniente per il recupero della temporizzazione. Bassa probabilità di errore. Dovrebbe essere semplice progettare ricevitori che forniscono una bassa probabilità di errore quando il segnale è disturbato da rumore o ISI. Analizzeremo il fenomeno dell'ISI nel Paragrafo 3-6, e valuteremo gli effetti del rumore nel Capitolo 7. Banda. Dovrebbe essere la minima possibile.

158

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base DATI BINARI I (a) Nastro perforato

:

t

volt

I

I

. :-.:

l

:.:

I

:

:

:

:

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

(foro)

(b)Codlfi"ooipolM< oJ

::::: i

I I I

(c) Codifica polare NRZ

I

:I (foro) AI

NRZ

O

~:

I I I

O-A

I-I I I I

: :

i Tb

(foro)

I

L.D I I I

~

I I I

I I I

O

O I I I I I I I I I I I I t I

O

(e) Codifica bipolare RZ

0-

I

I I

I I

: . : : (foro):

tj : ~ I

Tempo:-: I I I

I I I

A

(d) Codifica polare RZ

I

I

I I I I I I

I I I

I I I I I I I I I I

I I I I I AI

-A

I lI I I I I

AI

(f) Codifica Manchester O NRZ

-A

~

I I I

,

Figura 3-15 Formati di alcune segnaiazioni binarie.

.

Capacità di rivelazione d'errore. Dovrebbe essere semplice implementare questa funzione con codificatori e decodificatori di canale, o addirittura questa caratteristica dovrebbe essere automaticamente fornita dal codice di linea.

.

Trasparenza. Il protocollo dati e il codice di linea dovrebbero essere tali da garantire che ogni possibile sequenza di dati è decodificata fedelmente cioè con trasparenza e senza alterazione di alcuno dei bit.

Un protocollo è non trasparente se alcune parole sono riservate per sequenze di controllo. Ad esempio, una certa parola di 8 bit potrebbe essere un codice interpretato dal ricevitore come una direttiva a inviare a una stampante tutto il resto del messaggio. Questa caratteristica può causare inconvenienti quando viene trasmesso un file di dati casuali

~

3-5

Codici di linea e spettri

159

(ad esempio, un file contente un'immagine compressa o un file eseguibile di un'applicazione), poiché nella successione di dati può comparire casualmente qua e là proprio la parola di controllo. Quando questa parola viene ricevuta, essa viene "intercettata" dal protocollo, che procede a prendere l'azione specificata (la stampa del resto del messaggio) invece di continuare a passare il file alla destinazione originaria. TIcodice risulta non trasparente anche se particolari sequenze possono causare la perdita del sincronismo di clock. Nel formato NRZ, lunghe sequenze di Oo di l senza transizioni provocano proprio la perdita del clock, e quindi un codice di questo tipo deve essere classificato come non trasparente. Prima di analizzare ulteriormente i pregi e difetti di ogni formato in relazione a una particolare applicazione, dobbiamo valutarne gli spettri di potenza.

Spettri di potenza dei codici di linea binari Come discusso nel Capitolo l e illustrato con l'Esempio 2-18, le densità spettrali di potenza dei segnali binari possono essere calcolate con metodi deterministici o probabilistici. La valutazione attraverso tecniche deterministiche parte dalla considerazione della forma d'onda caratteristica di una particolare sequenza di dati. La densità approssimata si calcola attraverso la (2-66) o, se il codice di linea è periodico, la (2-126) (si veda anche l'Esercizio 3-21). In alternativa, si può applicare l'approccio probabilistico sviluppato nel Capitolo 6. Useremo appunto un approccio probabilistico per ottenere al densità spettrale di potenza dei codici di linea di Figura 3-15, visto che esso permette di ottenere lo spettro di un codice di linea con una sequenza di dati casuale (invece che per una particolare sequenza determinata). Come già discusso nel Paragrafo 3-4, un segnale digitale (eventualmente con un certo codice di linea) può essere rappresentato da 00

s(t)

=

I

n =--00

anf(t - nTs)

(3-35)

ove f(t) è l'impulso elementare e Ts è l'intervallo di simbolo. Per segnalazioni binarie, Ts = Tb, ove Tbè l'intervallo di bit. Per segnalazioni multilivello, Ts = fTb. L'insieme di valori {an} rappresenta la sequenza casuale dei dati. Per il segnale unipolare f(t)

= TI (;J e an = +A V in corrispondenzadi un l logico, e an = OV per uno Ologico.

Come si dimostra nel Paragrafo 6-2, l'espressione generale (6-70) per la densità spettrale di potenza di un segnale digitale è 00

I

R(k)ej21TkfT,

(3-36a)

k=-oo

dove FU) è la trasformata di Fourier dell'impulso elementare f(t) e R(k) è la funzione autocorrelazione della sequenza di dati. Tale funzione è data da l R(k)

=

I

;=1

(anan + ÙP;

(3-36b)

160

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

ove an e an + k sono i valori rispettivamente dell'n-esimo e dell'(n + k)-esimo simbolo,e Pi è la probabilità che il prodotto allan + k assuma l'i-esimo valore possibile. Si nota che lo spettro di potenza dipende da due quantità: la forma dell'impulso elementare e le proprietà statistiche dei dati. Procediamo dunque a calcolare tramite l'approccio probabilistico descritto dalla (3-36) lo spettro dei segnali con i codici di linea della Figura 3-15. NRZ unipolare. Per segnaiazioni unipolari, i livelli possibili per gli an sono +Ae O.Supponiamo che questi livelli siano equiprobabili, e che i dati siano statisticamente indipendenti. Per quanto riguarda R(k), osserviamo che quando k = O, i possibili valori di allall sono A X A = A 2 e O X O = O, con equiprobabilità. Quindi I = 2, e 2

R(O) =

I

= A2.! + O.! =! A2

(anall)i?;

i=1

Per k # o, ci sono 4 possibili valori per il prodotto A X A, A X Oe O X A, O X O.e tut-

ti con probabilità~ (dati indipendenti)cosicché,per k # O, 4

R(k) =

I

(allan + k)Pi

i=1

= A2.~+ o.~ + o.~ + o.~ = ~A2

Quindi

~ A2,

k=O

~

k#O

(3-37a) R~;",,=(k)

~

(

A',

)

Per impulsi NRZ rettangolari abbiamo anche t

= II -

f(t)

( Tb)

H

F(f) = Tb

sin 7Tf T b

.

7Tf Tb

(3-37b)

per cui dalla (3-36a), con Ts = Tb, si trova lo spettro del codice unipolare NRZ: sin7TfTb 2 . ( 7TfTb ) [ I + k~-= eJ27rkfTi, ]

~

A2Tb

=~

(ijJunipolareNRZ(f)

Applicando la formula di Poisson (2-115) 00

I k=-=

=-

ejk27rfrb

l

Tb

00

I n=-=

o( f

(3-38)

- !!:..Tb )

si ottiene poi A2Tb (ijJunipolareNRZ(f)

=

~

2

sin7TfTb (

7TfTb

) [l

+;

I

b 11=-=

O( f -

; )]

(3-39a)

b

che per n # Osi riduce alla A2Tb (ijJunipolareNRZ(f)=

~

2

sin7TfTb (

7TfTb

)

(3-39b)

3-5

Codici di linea e spettri

161

= O per f = nlTb. Volendo un segnale NRZ unipolare con potenza media normalizzata pari a l, si trova facilmente che A = {i. Questa densità di potenza è tracciata nella Figura 3-16a, in cui la velocità di bit del codice di linea è 11Tb = R. Lo svantaggio dell'NRZ unipolare è la quantità di potenza trasmessa sprecata nella componente continua, e il fatto che comunque la parte continua dello spettro non si riduce a zero nella vicinanza della frequenza nulla. Come già accennato, il vantaggio è la facilità di generazione del segnale con circuiti TIL o CMOS ad alimentazione singola. osseIVando che [sin (7TfTb)1 ( 7TfTb)]

NRZ polare. Per segnaiazioni polari NRZ, i livelli possibili per gli an sono +A e -A. Supponiamo che questi livelli siano equiprobabili, e che i dati siano statisticamente indipendenti. Allora R ( O)

=

"2

l

l

a a ) .p. = A2- + (-A ) 2- = A2 1/1/11 2 2

!-- ( 1=1

e per k ~ O, 4

R(k) =

L (anan + dP;

;=1

l

l

= A2 - + (-A)(A) 4

l

- + (A)(-A) 4

l

- + (-A)2 4 4

=O

Dunque Rpolare(k)

=

A2, { O,

-

2

k = O

(3-40)

k~O }

e, sostituendo nella (3-36a), otteniamo: (!}'Ipolare NRz(J) - A Tb (

sin 7TfTb 7TfTb )

2 (3-41 )

Stavolta il valore di A per avere potenza normalizzata unitaria è A = l, e la densità spettrale di potenza risultante è quella di Figura 3-16b, ove la velocità di bit è ancora R = 11Tb. Il segnale polare ha però ancora lo svantaggio di presentare componenti non trascurabili nell'intorno della frequenza nulla. D'altronde i segnali polari sono relativamente semplici da generare, anche se richiedono un'alimentazione duale. La probabilità di errore dello NRZ polare è inoltre inferiore a quella di altri metodi di segnalazione (Fig. 7-14). RZ unipolare. La funzione autocorrelazione per dati unipolari è già stata calcolata precedentemente, ed è data dalla (3-37a). Per segnaiazioni RZ, la durata dell'impulso è Tbl2 anziché Tb, come per il caso NRZ, quindi (3-42)

162

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

t !!J'unipolare

I (f)

Peso

=-

2

(a) NRZ unipolare I

O

O.5R

R

1.5R

2R

!-

Th

t !!J'polare(f)

O.5Th

(b) NRZ polare

l

O

t

R

1.5R

O.5R

R

1.5R

O.5R

R

1.5R

O.5R

R

1.5R

O.5Th Peso =-

2R

!-

l 4

!!J'df) (c) RZ unipolare O

2R

!-

t !!J'bipolare(f)

O.5Th

(d) RZ bipolare

O

!!J'Manchester

l

(e) NRZ Manchester

2R

!-

(f)

05T'~ O

2R

[Figura 3-16

Densità spettrale di potenza per i codici di linea (frequenze positive).

3-5

Codici di linea e spettri

163

Ripetendo i ragionamenti che hanno condotto alle (3-37b) e (3-39a) concludiamo che lo spettro di potenza del codice RZ unipolare è

eJ>umpolare RZ(f)

(

16

2

sin( 1TfTbI2»

= A2Tb

.

1TfTbl2

) [

I

~

l +

Tb n=-oo

8 f - ~

(

Tb )]

(3-43)

Il valore di A che dà potenza unitaria è stavolta A = 2, e la densitàspettralein questo caso è quella rappresentata nella Figura 3-l6c, con R = llTb. Come era lecito attendersi, la banda al primo nullo è doppia rispetto al caso NRZ, visto che l'impulso base ha durata metà. C'è inoltre una componente discreta (impulso) alla frequenzaf = R. Di conseguenza, questa componente periodica può essere usate per il recupero di un segnale di temporizzazione (clock). Peraltro, la parte continua dello spettro è ancora non trascurabile nell' intorno di f

= O, e inoltre

questo formato richiede 3 dB

di potenza in più rispetto al formato polare per fornire la stessa probabilità di errore a parità di disturbo (si veda il Cap. 7). RZ bipolare. Usiamo di nuovo la (3-36a) per valutare lo spettro di potenza. I livelli possibili per gli 011sono +A, -A e O, ove il livello Orappresenta gli O logici, e i livelli +A e -A rappresentano alternativamente gli l logici. Per k = O, i valori dei prodotti anan sono A 2 e O, con equiprobabilità. Dunque R(O)

=

A2

2

Per k = l (bit adiacenti) i valori possibili dei prodotti anan + I sono -A 2, O, Oe O. per le sequenze di dati rispettivamente (l, l), (l,O), (O,l) e (0,0). Ognuno di questi valori (sequenze) si presenta con probabilità~, quindi 4

A2

R(l) = ;=1 L,(allan+l);P; =-""4 Per k > 1, i bit non sono adiacenti, e i valori del prodotto dei livelli sono :f:A2,O, O e O, ciascuno con probabilità 1/4. Dunque 5

R(k>

l)

=

I(anan

;=1

+ k);P;

= A2.

~

-

A2.

~

=O

da cui A2

Rbipolare(k)

=

2 ' A2 4' O,

k=O

Ikl = 1

(3-44)

Ikl > 1

Usando le (3-44) e (3-42) nella (3-36a) con Ts = Tb, otteniamo la densità spettrale di potenza del segnale RZ bipolare (AMI):

I

I 'l'

164

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

ovvero (3-45)

con A = 2 per una potenza normalizzata unitaria. L'andamento di questo spettro è mostrato nella Figura 3-16d. Il codice bipolare ha un nullo in continua, e quindi il sistema di trasmissione può usare circuiti accoppiati in alternata (ad esempio trasformatori). Possiamo facilmente estrarre un segnale di temporizzazione dal codice bipolare convertendo questo formato in un RZ unipolare attraverso raddrizzamento a doppia semionda. Il segnale così ottenuto presenta infatti una componente periodica alla frequenza di clock (Fig. 3-16c). Sfortunatamente i segnali bipolari non sono trasparenti. Una sequenza di molti O logici provoca perdita del segnale di clock ricostruito. Si può aggirare quest'inconveniente usando i formati cosiddetti HDBn (High-Density Bipolar n) o a sostituzione, secondo i quali una lunga stringa di O logici viene sostituita da una sequenza "di riempimento" che contiene alcuni livelli non nulli3. I segnali bipolari hanno un'intrinseca capacità di rivelare errori di trasmissione, poiché un errore singolo provoca una violazione della legge dell' alternanza, che può essere facilmente rivelata con opportuni circuiti logici. Lo svantaggio principale del formato bipolare sta nel fatto che il ricevitore deve distinguere fra tre livelli anziché tra due come nei formati appena discussi. Di conseguenza, il segnale bipolare ha una probabilità di errore più grande di un fattore 1.5 rispetto a quella del segnale unipolare (7-28) e richiede quindi all'incirca 3 dB di potenza in più rispetto al formato polare. NRZ Manchester.

Nel formato Manchester viene usato l'impulso (3-46a)

la cui trasformata è

ovvero (3-46b)

3 Ad esempio, il codice HDB3 sostituisce n + I = 4 zeri consecutivi alternativamente con due sequenze di riempimento OOOVe IOOV, ove il bit l viene codificato secondo la normale alternanza AMI, mentre il simbolo V viene codificato violando la regola di alternanza. In tal modo, V livelli consecutivi alternano a loro volta di polarità, e così il codice ha un nullo alla frequenza! = o. Il decodificatore HDB3 è progettato in modo da rivelare la violazione dell'alternanza. Dopo aver rivelato una di tali violazioni, il decodificatore "torna indietro" di 3 posti e sostituisce la stringa ricevuta con quattro O consecutivi.

3-5

Codici di linea e spettri

165

Usando questo risultato insieme alla (3-40) nella (3-36a), otteniamo la densità spettrale di potenza del segnale Manchester: (3-46c) con A

=

l per avere potenza unitaria.

Questo spettro è disegnato nella Figura 3-16e. La banda al primo nullo è doppia rispetto al caso del formato bipolare, ma si ha un nullo nell' origine, e lunghe stringhe di O logici non causano alcun effetto di perdita del sincronismo.

Codifica differenziale ~

Nella trasmissione di dati seriali su di canale di comunicazione, può inavvertitamente verificarsi l'inversione di se!!no del segnale trasmesso Ad esempio, è sufficiente scambiare i due fili in una trasmissione su doppino telefonico a una delle due estremità quando si usa un codice di linea polare (non si avrebbe viceversa alcun cambiamento di polarità usando un codice unipolare). Questo problema può essere evitato usando la codifica differenziale di Figura 3-17, che è assai diffusa. I dati differenzialI sono ottenuti dall' operazione eli =

Dati in ingresso

11 Codificatore 1 :

dll

1

:

:

1 1 1

differenziale

Sommatore modulo 2

1 1 1

:

1

eli

Circuito per la codifica di linea

1 1 1

Ritardo Th

1 1 1-

(3-47)

dl1 G:> el1-)

:

:

1 1 1

Canale

'

1

I Decodificatore differenziale I I Sommatore modulo 2

Circuito per la decodifica di linea

: I

:I I I

:I

~:

L

\ Ritardo Th

1

Figura 3-17

1 1 1

Sistema di codifica differenziale.

L/

-eli-I:

1

: Dati in uscita

1 1 1

I

J

166

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

TABELLA3-4 ESEMPIODI CODIFICADIFFERENZIALE Sequenza di ingresso Sequenza codificata Bit di riferimento Sequenza di decodifica ricevuta (con la corretta polarità) Sequenza decodificata Sequenza di decodifica ricevuta (con polarità invertita) Sequenza decodificata

dll eli

eli

l t

l

d" e" d"

O

l O

l l

O l

l O

O O

O O

O

l

l

O

O

O

l

l

O

l

O

O

l

O

O

l

l

l

l

l

O

l

O

O

O

ica di OR esclusivo, o (3-48) dove la "tilde" indica i dati lato ricezione. 1n fase di codifica, ognI dato è ottenuto confrontando il v1!lQl1: clp.lhit ali'istante corrente con quello all'istanteJ:)re'cede~. -Vi~e prodotto un livello logico l se i due v~lori sono discordi (cioè differenti), viceversa se sono c~l1.:..ordi (codific~ delle differ~ze o dif- !Jerenziale). Questa è esattamente la tabella di verità di una porta XOR. Un esempIOdI c
\~ ,

;.

'-. "

...

(

r,° con quello all'istante precedente. Se tali valori sono c~~~ordi, si _eIE..e~!?.un simbolo Q logico, VIceversase sòno d§rdi GO)Ilè'ST!:iòtanellatabella, si può tranquillamente m(tèrtIre la polafi''[ dI luEii. .iliPJ2.ojicodificati ~f[erenziJlllI}ente senzap'er9.11esto mutare i . .;Iorraeidati decodificati. Questa situazione è molto vantaggiosa quando il segnale vie;trattato (come spesso accade) da centinaia o migliaia di circuiti in un sistema di comunicazione, cosicché la polarità è in certo senso "smarrita", o quando, per effetto di una commutazione nel percorso del segnale, la topologia del circuito viene fisicamente alterata.

Diagramma a occhio L'effetto di un filtraggio di canale e/o dei disturbi può essere visualizzato osservando la forma d'onda ricevuta su di un oscilloscopio analogico. La parte sinistra della Figura 3-18 mostra l'andamento di un segnale NRZ polare nel caso di filtraggio di canale ideale (a), di filtraggio con ISI (b), e di ISI più rumore di canale (c) (si veda il Par. 3-6 per maggiori dettagli sull'ISI). Nella parte destra della figura, abbiamo rappresentato le corrispondenti visualizzazioni sull' oscilloscopio degli stessi segnali in passate multiple. Ogni passata è comandata da un impulso di clock, e l'ampiezza dell'asse dei tempi è leggermente maggiore di un intervallo di simbolo. Questi diagrammi vengono chiamati a occhio perché ricordano la forma di un occhio umano. In condizioni di corretto funzionamento (cioè in assenza di errori di rivelazione), i vari "spezzoni" del segnale sono ben

3-5

o

I

Segnale I O

Codici di linea e spettri

167

Diagramma a occhio

O

I I

I I

I I

t-

II tI

(a) Filtraggio I I I I I

(b) Filtraggio I I I I I I

I I I I I I I I I

ideale I I I I I I r I I I I I affetto I I I I I I

I I I I I I da IBI I

t-

:'tI

I I I I I I I I I

I

,'

I.

Istante ottimo di campionamento

l''

I

I I I I (c) Rumore

+ ISI

Figura 3-18

Segnale polare NRZ distorto e suo diagramma a occhio.

distanziati e l'occhio è "aperto". In presenza di molta ISI o di rumore, gli spezzoni si avvicinano e l'occhio tende a "chiudersi": verranno a prodursi errori di rivelazione al ricevitore. Il diagramma a occhio costituisce una maniera semplice ed efficace per valutare la qualità del formato di segnale ricevuto e la possibilità del ricevitore di controbattere possibili errori sul bit. Come indicato in figura, il diagramma a occhio dà le seguenti informazioni:

. .

L'errore di sincronismo tollerabile in ricezione può essere valutato dall'ampiezza orizzontale dell'interno dell'occhio, chiamata apertura. Naturalmente, l'istante ottimo di campionamento è quello corrispondente alla massima apertura verticale. La sensibilità agli errori di sincronismo è valutabile dalla pendenza del margine del-

l'occhio (valutatanelle vicinanzedegli attraversamentidellozero).

.

Il margine di rumore del sistema è l'altezza dell'apertura dell'occhio.

Ripetitori

rigenerativi

Quando trasmettiamo un segnale digitale con un codice di linea (per esempio un segnale PCM) su di un doppino telefonico, esso viene ricevuto dopo filtraggio, attenuazione e aggiunta di disturbi. A causa di ciò, il segnale non può essere correttamente ricevuto quando il cavo è molto lungo, a meno che non si utilizzi una cascata di ripetitori lungo la linea, come in Figura 3-7. I ripetitori amplificano e "ripuliscono" il segnale con regolarità. Per un segnale analogico, si possono usare solo filtri e amplificatori (ripetitori lineari), visto

168

Capitolo 3

- Segnali

digitali e a impulsi in banda base

che devono essere preservati i livelli relativi nel segnale, quindi i disturbi e la distorsione continuano ad accumularsi ripetitore dopo ripetitore. Con i segnali digitali, si possono usare ripetitori nonlineari, detti rigenerativi,.che riproducono (rigenerano) una replica del segnale digitale senza aggiunta di disturbi. Uno schema semplificato di un ripetitore rigenerativo per un segnale NRZ unipolare è riportato nella Figura 3-19. Il filtro attivo (amplificato) semplicemente amplifica il livello del debole segnale d'ingresso fino a renderlo adeguato a quello richiesto dalla circuiteria seguente, e filtra il segnale in modo da minimizzare gli effetti del rumore di canale e dell'ISI (il filtro che riduce l'ISI è chiamato equalizzatore ed è analizzato nel Par. 3-6). Il sincronizzatore di bit genera un segnale di temporizzazione (clock) alla cadenza di bit, cosicché il segnale amplificato viene campionato nel punto di massima apertura dell' occhio. Per ogni impulso di clock, il circuito sample-and-hold (a mantenimento) produce un campione che viene mantenuto per un intervallo di bit Tb, fino cioè al successivo impulso di clock. Il comparatore produce infine un livello "alto" quando il segnale in ingresso supera il valore di soglia Vr. Quest'ultimo viene scelto pari alla metà del livello picco-picco del segnale d'ingresso (che è poi il valore ottimale quando i livelli l e Osono equiprobabili). Se i disturbi sono modesti e l'ISI è trascurabile, l'uscita del comparatore risulterà "alta" solo quando il livello logico rappresentato dal segnale NRZ distorto e disturbato in ingresso al rigeneratore è pari a l: il comparatore è equivalente a un "decisore", un dispositivo cioè che compie una decisione sul segnale in ingresso. Il segnale NRZ quindi rigenerato "privo di rumore", a parte alcuni errori sui valori dei bit che si presentano occasionalmente quando il rumore e l'ISI alterano così tanto il valore del campione in ingresso al decisore da fario ricadere della parte "sbagliata" rispetto a Vr. Nel Capitolo 7 vedremo l'influenza sulla probabilità di un errore sul bit del rapporto segnale-rumore all'ingresso del ripetitore, del filtro d'ingresso e del valore di soglia Vr utilizzato. In un collegamento su lunghe distanze, si possono incontrare molti ripetitori in cascata, come indicato in Figura 3-7. La spaziatura tra tali ripetitori (lunghezza della tratta) dipende dall' attenuazione del portante (cavo in rame, fibra ottica, radioonde) e dalla quantità di rumore di canale. Ogniqualvolta il rapporto segnale rumore lungo il canale tendea scendere sotto un livello necessario a mantenere una probabilità di errore prefIssata, allora è necessario inserire un ripetitore. Supponiamo che la spaziatura sia regolare, in modo che ogni ripetitore lavori con la stessa probabilità di errore Pe, e che il numero totaledi ripetitori,inclusoil ricevitorefinale, sia pari a m. La probabilitàdi errore Pme,della cascata degli m ripetitori si può valutare con la formula di Bemoulli della distribuzione bino-

Segnale di ingresso

distorto e attenuato

Circuitodidecisione

Filtraggio e amplificazione

:

, :

I

+

~ I

~

diuscita

rigenerato

:

I

e amplificato

i~_--j

\ ../\/\J i

i

1Figura 3-19

l, "i

I

Filtro

Segnale

,

j

lLD..l1Ripetitore rigenerativo per segnalazione unipolare NRZ.

3-5

Codici di linea e spettri

169

miale riportata in Appendice B. La probabilità che i tra gli m ripetitori sia in eIToreè data dalla (B-33): (3-49) Si produITà un eITore in uscita dall'm-esimo ripetitore soltanto se i è dispari. La probabilità di un eIToresul collegamento sarà dunque 111 Pllle

=

L

111

P;=

;=1 ; = dispari

= mPe(1 -

L

;=1 ; = dispari

Pe)1II - 1

+

(7) m(m

-

P(I

-Pe)III-;

l)(m - 2) ,." P;(I - Pe)m-

3

+ ... (3-50a)

In condizionidi funzionamentonominale,Pe ~ 1, quindi il primo termine nella sommatoria è quello nettamente dominante, e la probabilità cercata è ottimamente approssimata da Pme = mPe

(3-50b)

ove ricordiamo che Pe è la probabilità di eITore su di ogni singola tratta.

Sincronizzazione

di bit

I segnali di.sincronizzazione sono particolari tipi di segnale (come un segnale di clock) che sono necessari in un ricevitore (o in un ripetitore) per procedere alla rivelazione (o alla rigenerazione) dei dati dal segnale d'ingresso disturbato. Questi segnali di clock hanno una relazione di frequenza e fase ben precisa nei confronti del segnale dati ricevuto, e sono ritardati rispetto al cOITispondentesegnale di clock nel ricevitore per effetto del ritardo di propagazione del segnale nel canale di trasmissione. I sistemi di comunicazione digitali necessitano di almeno tre tipi di segnali di sincronizzazione: 1) sincronizzazione di bit, per distinguere un intervallo di bit dal successivo; 2) sincronizzazione di trama per distinguere "gruppi" o "blocchi" di dati, come vedremo nel Paragrafo 3-9 riguardo alla multiplazione a suddivisione di tempo; 3) per i sistemi di comunicazione passa-banda, sincronizzazione della portante come vedremo nei Capitoli 4, 5 e 7. I vari sistemi sono progettati in modo che i segnali di sincronismo vengano ricavati o direttamente dal segnale disturbato ricevuto o da un canale separato usato esclusivamente per trasmettere informazioni di sincronismo. Esamineremo specificamente i sistemi che ricavano il sincronismo direttamente dal segnale disturbato, perché assai spesso non è tecnicamente o economicamente valido trasmettere il sincronismo su di un canale separato. La complessità dei circuiti per la sincronizzatore di bit dipende dalle proprietà di sincronizzazione del codice di linea. Ad esempio, il sincronizzatore di bit per un codice RZ unipolare con un numero sufficiente di transizioni tra i livelli 1 e Oè al limite del banale, visto che lo spettro di questo codice ha una componente discreta alla frequenza di bit f

= R, come

si nota dalla Figura 3-16c. Di con-

seguenza, il segnale di temporizzazione di clock può essere ricavato filtrando il segnale

170

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base Segnale polare NRZ di ingresso filtrato

Segnale unipolare RZ

Filtro a banda stretta

lo

= lfFb ,

b

IHif)1

Quadratore

W2(t)

= wf(t)

Segnale di clock in uscita

W3(t)+. Comparatore

VI

(a) Diagramma a blocchi del sincronizzatore

(b) Segnale polare NRZ di ingresso filtrato

W2(t)

(c) Uscita del quadratore (segnale uni polare RZ)

l-i

(d) Uscita del filtro a banda stretta

~I

(e) Segnale di clock in uscita

Figura 3-20

Istanti di campionamento

Sincronizzatore di bit a legge quadratica per segnalazione bipolare NRZ.

ricevuto con un filtro passa-banda selettivo con frequenza centrale lo = R = IITb. La Figura 3-20 si può riferire a questo caso se si immagina di sopprimere il blocco "quadratore". In alternativa, come vedremo nel Paragrafo 4-3, il sincronismo può essere ricavato

3-5

Codici di linea e spettri

171

Radrizzalore a doppia semi-onda

Segnale polareNRZ filtrato

+ Segnale di Oscillatore controllo controllato

Wl(t) Diagramma

in

tensione (VCC)

Filtro passa-basso

a

occhio per wl (t)

Campione

Figura 3.21

Wz(t)

Clock in uscita

Radrizzatore a doppia semi-onda

anticipato

Sincronizzatore "early-Iate" (ad anticipo e ritardo) per segnalazione polare NRZ.

dal segnale RZ unipolare usando un anello ad aggancio di fase (PLL, Phase-Locked Loop) che si "aggancia" alla componente periodica alla frequenza f = R. Per un segnaleNRZ polare, il sincronizzatore è leggermente più complicato, come indicato in Figura 3-20. Qui, il segnale polare NRZfiltrato (Fig. 3-20b) viene convertito in unipolare RZ (Fig. 3-20c) usando un dispositivo a non-linearità quadratica o, in alternativa, un raddrizzatore. Il segnale di cIock può allora essere recuperato usando un filtro o un PLL, visto che il segnale unipolare RZ ha una componente discreta alla frequenza f = R. Tutti questisincronizzatori sono basati sul principio della rivelazione di una componente spettrale discreta alla frequenza di cIock. Una tecnica differente è basata sulla "simmetria" del codice di linea [Carlson, 1986]. La Figura 3-18, che rappresenta il diagramma a occhio di un codice NRZ polare, suggerisce che l'impulso base di un codice di linea filtrato è simmetrico rispetto all'istante ottimo di campionamento, purché i dati si alternino frequentemente tra i livelli O e I. Consideriamo dunque lo schema di Figura 3-21. Indichiamo con Wl(t) il segnale polare NRZ filtrato, con Wl(TO + nTb) il valore del campione di segnale preso in corrispondenza della massima apertura dell'occhio, con n l'indice dell'n-esimo bit, con R = IITb l'intervallo di bit, con T la generica differenza di fase tra il cIock di trasmissione e di ricezione, e con TOil valore ottimo di T corrispondente alla massima apertura dell'occhio. Per la proprietà di simmetria del diagramma a occhio appena discussa, IWI( TO +

nTb

ove TOè un valore fissato e O < il <

-

il)1

=

1 Tb. La

IWI( TO

quantità

+ nTb + il)1 Wl ( T + nT b - il) viene chiamata

campione anticipato, mentre WI(T + nTb + il) è il campione ritardato. Questi campioni possono essere utilizzati per ricavare in modo ottimale il segnale di sincronismo, come avviene nel cosiddetto sincronizzatore ad anticipo-ritardo (early-late bit synchronizer) di Figura 3-21. Il segnale di controllo per l'oscillatore a controllo di tensione (VCC,

172

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

Vo/tage-Controlled C/ock) è una versione filtrata (mediata) di W2(t) cioè

W3(t) == (W2(t)

(3-5 la)

in cui (3-5Ib) L'operazione di media è necessaria per fornire un "effetto volano" al circuito, per fario cioè restare sincronizzato anche se i dati non alternano tra O e 1 in ogni intervallo di bit. Se il VCC fornisce impulsi di sincronismo in corrispondenza ali 'istante ottimo 7 ==70la (3-5Ib) indica che il segnale di controllo W3(t) è zero, e quindi la situazione è "stabile". Se invece l'impulso di clock è "in ritardo" 7, W3(t) conterrà una componente positiva di correzione, mentre la componente sarà negativa se l'impulso è in anticipo. Un segnale di controllo positivo (negativo) tenderà allora ad aumentare (diminuire) la frequenza del segnale di clock in modo da sincronizzarsi meglio con il segnale ricevuto. In conclusione, il segnale W4(t) sarà un treno di impulsi centrati sugli istanti t == 7 + nTh, ove 7 approssima il valore ottimo dell'istante di campionamento 'To,corrispondente alla massima apertura dell' occhio. Ci si rende facilmente conto che la struttura del sincronizzatore ad anticipo/ritardo è molto simile a quella dell'anello di Costas per la sincronizzatore di portante della Figura 5-3. I sincronizzatori di bit per i codici polari, unipolari e bipolari funzionano solo se c'è un numero adeguato di alternanze tra il livelli l e O. Si può evitare la perdita del sincronismo causata da lunghe sequenze di Oo di 1 adottando una tra due possibili alternative. La prima, come discusso nel Capitolo 1, è quella di usare una qualche forma di interlacciamento o di "scrambling". In questo caso, i dati di sorgente vengono codificati dallo "scrambler" in modo da dare luogo a una sequenza dati con alternanze di 1 e Oche vengono poi trasmessi sul canale con formato unipolare, polare o bipolare. Al ricevitore, si recuperano i dati codificati con le consuete tecniche di rivelazione e sincronizzazione, come sopra descritto; i dati vengono poi decodificati per recuperare il messaggio di sorgente. La seconda alternativa è utilizzare un tipo di codice di linee che non richiede per la sincronizzazione l'alternanza dei bit. Un esempio è il codice NRZ Manchester che però richiede banda doppia rispetto all'NRZ polare.

Spettro di potenza dei segnali NRZ polari multilivello La segnalazione multilivello richiede banda inferiore rispetto alla binari a, come già discusso nel Paragrafo 3-4. La Figura 3-22 indica come convertire un segnale binario in uno multilivello NRZ polare: viene usato un DCA a f-bit per convertire il segnale binario con velocità R bit/s in un segnale multilivella polare NRZ a L == 2e livelli. Supponiamo ad esempio di usare un DAC a 3 bit, in modo da ottenere un segnale a L == 23 == 8 livelli. La Figura 3-22b mostra un tipico segnale binario d'ingresso, mentre la Figura 3-22c mostra il corrispondente segnale d'uscita a otto livelli, ove come di consueto Ts è l'intervallo di simbolo del segnale multilivello. Tale segnale è stato ottenuto usando la codifica già introdotta in Tabella 3-5. Vediamo che la velocità di simbolo è D == l/Ts == 1/(3Tb) ==R/3, o, in generale, R

D==f

(3-52)

3-5

Segnale unipolare NRZ binario in ingresso 'I01(t)

.

R bit/s

Codici di linea e spettri

173

Segnale polare NRZ multilivello in uscita Wz(t)

Convenitore digitale-analogico albit

D simboli/s

=Rll

e R bit/s (a) Convenitore

digitale-analogico

a l bit

,

-, ,, :-Tb ,,

o

:tI

,,

I o

(b) Segnale binario di ingresso, wl (t)

W?(t) 7 -------------

------------------------------------

6 5 -------------4 ------3

------

----------------------------

---------------

-----------------------------

Ts

2

l ------ -- ----- ---------------------

l

-2 -3 ------------------------------

----------------------

-------

-

-

---------

------- ------- ----------

-4 -5 -----------------------------

-------

-------

--

-6

-7 -----------------------------------------------

--

(c) Segnale polare NRZ in uscita con L = 8 = 23

Figura

3-22

Segnale polare NRZ in uscita con L

= 8 = 23 livelli.

La relazione tra la velocità di simbolo D e la velocità di bit R è identica a quella già discussa in relazione al teorema di dimensionalità del Paragrafo 3-4, dove abbiamo anche visto che la banda del segnale è limitata da B ;:::D/2. La densità spettrale di potenza del segnale multilivello NRZ di Figura 3-22c si può facilmente ottenere dalla (3-36a). Concentrandoci sul calcolo di R(k) nel caso di livelli a" equiprobabili, si ha, per k = O,

174

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base TABELLA 3-5

CODIFICA DAC A TRE BIT Livello tensione

Ingresso digitale

di uscita (an)i

000 001 010 011

+7 +5 +3 +1

100 101 110 111

-1 -3 -5 -7

8

R(O)

=

I

(an)fp;

;=1

= 21

ove P; = ~ per tutti i possibili 8 valori. Per k ;é O,R(k) = O. Pertanto, lo spettro di potenza di W2(t) è

dove l'intervallo di simbolo è Ts '1P

= 3Tb. Per un impulso rettangolare (f)

sin 37TfTb

= 63T

W2

b

(

37TfTb

di durata 3Tb, si ha

2

)

La banda al primo nullo di questo segnalemultilivellopolare NRZ è Bnullo= 1/(3Tb ) cioè un terzo della banda del segnale binario d'ingresso. Nel caso generale di L

=

= R/3.

2 e livelli, la densità spettrale di potenza del segnale mul-

tilivello polare NRZ con impulsi rettangolari sarà del tipo (3-53)

dove K è un'opportuna costante, mentre la banda al primo nullo sarà Bnull

= R/f

(3-54)

In conclusione. la segnalazione multilivello consente di ridurre la banda rispetto al caso della segnalazione binaria. I segnali multilivello filtrati sono usati spesso per modulare una portante in un sistema di trasmissione digitale via radio, in modo da produrre un segnale a banda relativamente stretta.

Efficienza spettrale DEFINIZIONE. L'efficienzaspettraledi un segnaledigitaleè pari al numerodi bital secondodi informazionechepossonoesseretrasmessinellabandaunitariadi 1Hz:

3-5

.

R

7J

= -B

175

Codici di linea e spettri

(3-55)

(blt/S)/Hz

ove R è 'la velocità di informazione e B è l'ampiezza di banda del segnale. Nelle applicazioni in cui la banda è limitata da vincoli di carattere fisico o normativo, !'ingegnere delle telecomunicazioni deve scegliere una tecnica di segnalazione avente la massima efficienza spettrale, nell'ambito delle specifiche di costo del sistema e di bassa probabilità di errore in uscita al ricevitore. L'efficienza spettrale è anche limitata dal rumore di canale se la probabilità di errore deve essere piccola. Infatti la formula di Shannon (l-IO) sulla capacità di canale dice che

7Jmax

(3-56)

= ~ = log2(l + ~)

La teoria di Shannon non identifica quale sistema ha questa massima efficienza spettrale; i sistemi usati in pratica che si avvicinano a questo limite utilizzano però solitamente codifiche a protezione d'errore e segnalazioni multilivello. L'efficienza spettrale della segnalazione NRZ polare si ottiene facilmente sostituendo la (3-54) nella (3-55), ottenendo così 7J= t'(bit/s)/Hz

(3-57)

(segnalazione multilivello NRZ polare)

dove t' è il numero di bit usati nel DAC. Naturalmente, non è possibile aumentare troppo il valore di questo parametro, che è comunque limitato dal rapporto segnale-rumore, come indicato dalla (3-56). Si può valutare facilmente l'efficienza spettrale di tutti i codici di linea binari esaminati nei paragrafi precedenti considerandone le rispettive densità di potenza, e ottenendo i risultati di Tabella 3-6. I formati NRZ unipolare, NRZ polare, e RZ bipolare sono doppiamente efficienti dei formati RZ unipolare o NRZ Manchester. Tutti questi codici hanno efficienza minore o al limite uguale a l (bit/s)!Hz. Si possono usare formati multilivello per aumentare il valore di questo parametro, ma al prezzo di una circuiteria (multilivello) più costosa. Ad esempio, il formato utilizzato nelle reti telefoniche digitali ISDN è una segnalazione polare NRZ quaternaria con codice di linea 4B3T.

TABELLA 3-6

EFFICIENZA SPETIRALE DI ALCUNI CODICI DI LINEA

Tipo di codifica

Frequenza del primo nullo (Hz)

= R /B

spettrale [(bitls)/Hz]

R

Unipolare NRZ Polare RZ

R

Unipolare RZ

2R

Bipolare RZ Manchester NRZ

2R

Polare multilivello NRZ

Efficienza TI

l 2

R R/f.

l 2 f.

176

Capitolo 3

- Segnali

digitali e a impulsi in banda base

3-6 INTERFERENZA INTERSIMBOLICA La banda di un impulso di forma rettangolare è infinita, e se il filtraggio effettuato dal sistema.di comunicazione non è opportuno, la durata temporale di tale impulso teJ]deràad aumentare. Pertanto, l'impulso associato a ogni simbolo tenderà a invadere intervalli di ~egnalazione adiacenti .causando inteiferenza intersimbolica (lSI, lnterSymbol lnteiference), come illustrato nella Figura 3-23. Il problema sta quindi nel come riuscire a limi!We la banda occupata senza introdurre ISI. Naturalmente, per effetto della banda limitata, gli impulsi avranno una forma "smussata" (invece di essere perfettamente rettangolari). Questo problema è stato studiato per la prima volta da Nyquist [1928]. I suoi studi portarono alla scoperta di tre differenti metodi per scegliere la forma degli impulsi in modo-da-eliminare l'ISI. Ognuno dei tre metodi sarà esaminato nei paragrafi che segl!gno. Consideriamo un sistema di trasmissione digitale come quello illustrato in Figura 3-24, dove il segnale multilivello in ingresso è (3-58) n

dove h(t)

= IHljTst

è-un impulso rettangolare di durata Ts e an è il siJUQ.QJo di infor-

mazioneappartenentea un alfabetocon L livelli (L = 2 per segnalazionebinaria).Lavelocitàdi simboloè lT=l/T; impulsi/s, quindi la (3-58)può essereriscrittacQ..me n

(3-59)

L'uscita del sistema lineare di Figura 3-24 corrisponde alla convoluzione tra la sequenza diim"pulsi di ingresso e la risposta complessiva equivalente dell'intero sistema; cioè Forma d'onda Segnale di ingresso, Win(t)

o

O

I I I

,

O

Ts

O

l

I I

'

I I

\

'

I I

"I

llllJ--

I I

,I I

~ I I I

,

,'-' I,

o

:, Ts :I Istanti di campionamento (clock al trasmettitore)

I

L

,

I t ........ I I

:Interferenza intersimbolica I

Il! I

del segnale ricevuto, wou,( t) (somma delle risposte ai singoli impulsi)

O

D- l

Risposta al singolo impulso

I I I

, '1-' ,, , I

Istanti di campionamento (clock al ricevitore)

I I I I I I I

I I I I I I I

I

I I I I I I I

I

I I I I I I I

,

o

'I

Il I

I

,I

l'''''

,

, ,, ,

,,

O

,I

,

:, Ts I:

,I

'-'

I

L

,tI,

I I

Istanti di campionamento (cIock al ricevitore)

Figura 3.23 Effetto dell'ISI sugli impulsi del segnale ricevuto in un sistema di comunicazionebinario.

!j

3-6 Wi,,(t) re

)i golari

Risposta impulsiva del canale Hc(f)

Filtro di trasmissione H

r(1)

Figura 3-24

wc(t)

Interferenza intersimbolica Filtro di ricezione H R (I)

177

Wout(t) (al circuito dI campionamento e decisione)

Sistema di trasmissione in banda base.

(3-60)

dove la risposta impulsiva equivalente è he(t)

= h(t)

* hT(t) * hc(t) * hR(t)

(3-61)

Si noti che he(t) è anche l'impulso che si avrebbe all'uscita del filtro di ricezione se in ingresso al filtro di trasmissione avessimo un impulso rettangolare (Fig. 3-24). La funzione di trasferimento equivalente del sistema è dunque (3-62) dove (3-63) è la trasformata di Fourier dell'impulso rettangolare in ingresso al filtro di trasmissione. Il filtro di ricezione ha risposta in frequenza data da (3-64) Se la risposta globale He(f) è scelta in modo da minimizzare l'ISI, il filtro di ricezione a~te risposta in frequenza HR(f), come nella (3-64), è denominato filtro equalizzatore. Quest'ultimo dipende da Hc(j), risposta in frequenza del canale, e pure dalla He(f) specificata. Se il canale è una linea telefonica commutata, la risposta in frequenza cambia in generale per ogni chiamata, e il.filtro equalizzatore deve essere in grado di adattarsi alle condizioni di volta in volta mcontrate, deve c.io~ess~e un filtro adattativo. In questo caso, l'equalizzatore aggiusta la propria configurazione in modo da minimizzare l'ISI. In cerh-.schemi adattativi, ogni sessione di comunicazione (ad esempio una chiamata a un fornitore di servizi Internet) è preceduta da una fase di inizializzazione durante la quale viene ~a~illelsa una particolare sequenza di simboli per adattare in modo automatico il filtro cercando di ottenere la m.~ssim-1l apertura del diagramma a occhio (cioè la minima ISI). Tali sequenze sono chiamate sequenze di addestramento (training) o preamboli. Possiamo riscrivere l'Equazione (3-60) in modo che la sequenza di impulsi all'uscita del filtro di ricezione sia

"

(3-65)

178

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

La...forma_dell,)mpulsodi uscita dipende dall'impulso di ingresso (in questo caso rettangolare), dal filtro di trasmissione, dal canale e dal filtro di ricezione. Se la risposta del canale è specificata, il problema è quello di determinare il filtro di trasmissione e quello di ricezione in modo tale che l'ISI relativa all'impulso in uscita dal filtro di ricezione sia minimizzata. Da un punto di vista applicativo, le funzioni di trasferimento del filtro di trasmissione e di ricezione sono determinate a meno di un fattore moltiplicativo del tipo K e-jwTd, dove K è un fattore di guadagno e Td è un arbitrario ritardo. Questi parametri sono scelti in modo da facilitare la realizzazione dei filtri. Il fattore Ke-jwTd ovviamente non influenza la minimizzazione dell'ISI, ma modifica soltanto l'ampiezza e il ritardo della forma d'onda d'uscita.

Primo criterio di Nyquist OSI nulla) Il primo giterio di Nyquist per eliminare l'ISI è quello di utilizzare una risposta in frequenza equivalente He(f), tale che la relativa risposta impulsiva soddisfi la condizione k=O k-,60

(3-66)

dove k è un intero arbitrario, Ts è l'intervallo di segnalazione, 7 è il ritardo di campionamento del !icevi!Qre calcolato rispetto agli istanti di campionamento del clock di trasmissione, e C è una costante.non nulla. S~ inviassimo all'ingresso del filtro di tr1lsmissioneall'istante t-==.O,un singolo impulso rettangolare di ampiezza a l'impulso ricevJJ1.o~arebbeproprio ahe(t). Quest'ultimo avrebbe poi ampiezza aC all'istante t = 7 ma nOllcau.sere.!J~einterferen~~!illd.. Lst~I]tLdicamJ?iomini'éiitoin-~ìo ,be(kTs +-7) sarebbe nullo per ogni k -,6 O. Sce~mo oral'er h,d!) un~Juvzione dettipo (sin x)/x,in_paxticolare he(t) = sill'TT'fst 7Tfst

"I

(3-67)

cov.r... = l/L- e poniamo :r = O. Questo impulso soddisfa. il primo c6teJig di .NY.9!!ist (3-66).per avere ISI nulla. Cons~guentemente, se il filtro di trasmissione e di ricezione sono progettati in modo che la funzione di trasferimento globale sia (3-68) .22!l vi ~à ISI, con un'occupazi(~ne di banda pari a B = fs/2. Dallo studio del teorema del campionamento e-d~J.C19ELma..della. dimensionalità condotto nel Capitolo 2-e ne1J>lLr~~f2 3-4. ci.sipuò.con.vin_ce~f~cilmenteche questoèjlfùtraggio ottimo da utiliz.zareper avere un si~~..2anda mi!!inla..psso penp.ette. un~ veloci~ ..QLs~gvalaziQm<..wu:La D. = l/Ts = 2B impulsi/s, dove B è la banda de!.Jiste!Jla._dLt(aslJlissiQl1e ~a §.~gomatura complessiva di tipo' (sin x)/x presenta però due difficoltà di ordine pratico:

.

La risposta complessiva He(f) è costante sulla banda -B < f < B a 2;~[0altrove.

3-6

.

Interferenza intersimbolica

179

Ciò è fi~camel!.te irrealizzabile (cioè la risposta impulsiva sarebbe non causale e di du'fatainfinita). IQQltre,Hl.fJ3 di difficile. aJm!2ssiIDaz!on~a £!lusa dei fianchi rimdi della rispostazrJ = La sincronizza~ion~ temporale effeJtullta...daLcircuito.di..campionamentodel ricevitore deve essere molto accurata, poiché l'impulso di tjpo (sin x)/x decresce (lenfamente) come l/x e negli intervalli di segnalazione adiapenti è nullo soltanto quando l'istante di campÌonamento è esattamente quello dovuto. Il... diagramma a occhio "'---"" . . o-. .. ,~ --. . ~ (Fig. 3-n)ç molto stretto, e una sincronizzazione non accurata provoca l'insorge-

j:~.

pt diforteIsr-

- - --

-

~ causa diqueste_difficoltà~ è in pratica obbligati a 90ver ~°!lsid~r~e altri tipidi imRulsi a banda Plù}arga. ~è_~uella gl t!".ovar~furIrled'o.!!~ aY~ll.tila.pr.QPdetfdies--~ ,2ere nulle agli istanti di camE!°namento adiacenti, ma che contemporaneamente abbiano £.od~~e~3poRTh yei()c~mente di l/.x in modo che un'eventuàie fluttuaiione d'elCÌstante,di~campiQnamentQnQn causi troppa ISI. Una poss.~bilesoluzione per la risposta in frequen.za complessiva è rappresentata dal filtro di Nyquist a coseno rialzato.

Filtro di Nyquist a coseno rialzato ~

----

DEFINIZIONE.Il filtro di NyquJst a co~eno rialzf!.toha la risposta in frequenza l,

Ifl
o,

(3-69)

Ifl >B

illustrata nf~ll~EigJ'ra 3-25, çlo,,~_è..la..banda (assoluta) del s~$.!!.a.Le.!.i2.,!e ~ l,!lbanda a 6 dB e.gli ulteriori parameq;LI}~UA.Q-6~)~ono definiti da (3-70) f/J. = B - fo e (3-71) !lfattQa.. di_deca4iJ:JJgo.to(comunemente r?,..O :os;;r:OS;;

iè poi definito co~e .

chiamato fattore di rollof! o, brevemente, rolloff)

- - -

.-

.. (3-72)

La corrispondente risposta impulsiva è (3-73)

180

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

: fA : ,-'-' , I , ,

1.0

fA

I II

1 ,

I I

: ,, ,,

1 1

1 1 1 1

I I I

1 I 1 1

I 1 I I I I

I I I I I I

I I I I I I

fo

B

(

0.5 f-- - - - - - - - - - - - - - - ...- - - I - - - - -1-----. I I

-B

-fo Figura 3-25

f-

Caratteristica del filtro di Nyquist a coseno rialzato.

~ risposte in fr~qus:nz
=

1.0) oUeniamo..p.e.riLche: 1) la realizzazione

è meno impegnativa, 2)) requisiti nella

£recisi~me-del camp19.na..meJ1lQ..£on~o stringenti, .QQ!chél)nyiluQ2..odella risposta im_pulsivadecresçe..più velocel1)el!ted] 1/1 t J (~e1l'ordine di 1/1 t j3peLvaloriilit suffiCiéilte~ntp. BJ:ffildi). Troviamo adesso che velocità di segnalazione deve adotj:a.reY.nsistema con sagomatura a_cosenoJiJllz(!tQper-Qtt~ere ;ss;;'za aIISLDalla Figura 3-26b, si nota che la risposta impulsiva del sistema si annulla per t = n/2/0, n #- O,pertanto a questi istanti l'ISI è nulla. In altre parole, riferendosi alla (3-66) con 'T= O, si può notare che il filtro a coseno rialzato soddisfa il primo criterio di Nyquist relativo all'assenza di ISI se si sceglie un intervallo di segnalazione Ts = 1/(2/0) cui corrisponde una velocità di segnalazione D

=

l/Ts = 2/0 simboli/s. Così, la banda a -6 dB del/iltro

d~ve e~sere~

a ç.o.setlOrialzato,fo..

alla metà della velocifà di segnal~zioné: UtiIiz;'ndo la (3-70) e la (3-72),

si concludeche la velocitàdi segnalazioneammissibiledel sistemaè 2B D=l+r

(3-74)

dove B è la banda assoluta del sistema e r è il fattore di rolloff. Esempio 3-1 (SEGUITO) Un sistema di comunicazione digitale usa un segnale binario con impulso di tipo NRZ sagomato a coseno rialzato con fattore di rolloff 0.25 e con una velocità di bit di 64 kbit/s. Detenniniamo la banda del segnale filtrato. Dalla (3-74), la banda è B = 40 kHz. Questa è inferiore a quella del segnale non filtrato, per il quale la banda al primo nullo è 64 kHz.

3-6

Interferenza intersimbolica

181

r=O r = 0.5 r = 1.0

- "lfo

-io

0.5io

io

1.5io

2io

!-

(a) Spettro di ampiezza

he(t) I

2io

io

-3 io

(-

(b) Risposta impulsiva

Figura 3-26 Risposta in frequenza e nel tempo per differenti valori di rolloff.

Il filtro a coseno rialzato è anche chiamato filtro di Nyquist, e appartiene a una classe di filtri più generale che soddisfano il primo criterio di Nyquist. Questa classe è descritta dal seguente teorema:

182

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base TEOREMA.

Un filtro si dice di Nyquist se la sua risposta in frequenza è He(f)

se Ifl < 2fo

= Il C~o) +'Y(f),

(3-75)

altrimenti

( O,

dove Y(f) è una funzione reale pari attorno a f = O,e cioè

Y(-f) = Y(f),

111

< 2fo

(3-76a)

e dispari attorno a f = fo, e cioè

Y(-f + fo) = -Y(f + fo),

(3-76b)

Ifl
Allora non vi sarà inteiferenza intersimbolica all' uscita del sistema se la velocità di segnalazione è pari a D

(3-77)

=!s = 2fo

Y(!) 0.5

2/0

-2/0

/-

-0.5 I I

1.0

-/0

/-

/0

1.0

HA!) =

/0

ll

< 2/0 ({'lo) + Y(f),sel/I .. a ltnrnentl

{ O,

2/0

Figura 3-27 Caratteristicadel filtro di Nyquist.

/-

3-6

Interferenza intersimbolica

183

Questo teorema è illustrato in Figura 3-27. La funzione Y(f) può essere una qualsiasi funzione reale che soddisfa le condizioni di simmetria date dalla (3-76). Così, si possono utilizzare un numero infinito di filtri per produrre ISI nulla. Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che la risposta impulsiva di questo filtro è nulla per t = nTs. n 0;6O, dove Ts = l/h = 1/(2fo). Calcolando la antitrasformata di Fourier della (3-75), si ha he(t)

=

f

-fo

Y(f)ejtJJ( df +

-2fo

f

fo

[1 + Y(f) ]ejtJJ(df +

-fo

f

2fo

Y(f)ejtJJ( df

-fo

ovvero fo

he(t)

=

f

-fo

ejtJJ(df +

f

2fo

Y(f)ejtJJ( df

-2fo

o sinwot = 2fo ( wo ) + -2foY(f)ejtJJ( df +

r f

2fO

Jo

Y(f)ejtJJ( df

Posto ft = f + fo nel primo integrale e ft = f - fo nel secondo, si ottiene . fo smwot he(t) = 2fo ( WOr ) + e J or -fo Y(ft - fo)eJIJJ'(dfl _°tJJ

Dalle (3-76a) e (3-76b) si ha che Y(fl - fo)

f

= -Y(fl

o

+ fo); si ottiene così

Questa risposta impulsiva è reale poiché He(-f) = H;(f), e soddisfa il primo criterio di Nyquist in quanto he(t) è nulla per t = n/(2fo), n 0;6Oe T = O. In questo modo, campionando agli istanti t = n/(2fo), non vi sarà alcuna ISI. Il filtro non è però causale. Ovviamente, si può usare un filtro con una risposta He(f)e-jtJJTd,avente fase lineare, in modo che ritardando l'istante di campionamento di Td secondi non si abbia ISI. In questo caso il massimo della risposta impulsiva si sposta lungo l'asse temporale verso destra, rendendo con buona approssimazione il filtro causale. Al ricevitore, oltre che minimizzare l'ISI, occorre anche minimizzare con opportuno filtraggio l'effetto del rumore introdotto dal canale. Come vedremo nel Capitolo 6, il filtro che minimizza tale effetto è ilfiltro adattato. Se in generale si utilizza un filtro adattato come filtro di ricezione HR(f), la risposta complessiva, He(f), non soddisfa più la condizione di Nyquist per l'annullamento dell'ISI. Nel caso di rumore Gaussiano, gli effetti sia dell'ISI che del rumore sono minimizzati se i filtri di trasmissione e di ricezione sono progettati in modo che [Shanmugan, 1979; Sunde, 1969; Ziemer e Peterson, 1985].

184

Capitolo 3

- Segnali

digitali e a impulsi in banda base

(3-78a) e

IHR(f) I =

a~IHe(f) I

(3-78b)

dove
Secondo e terzo criterio di Nyquist per il controllo dell'I SI Il secondo criterio per il controllo dell'ISI consiste nell'introdurre in modo controllato una quantità prefissata di ISI, in modo che al ricevitore essa possa essere cancellata e conseguentemente i dati possano essere ricavati senza alcun errore, per lo meno in assenza di rumore [Couch, 1993]. Tale tecnica permette anche di raddoppiare la velocità di bit o, alternativamente, di dimezzare la banda occupata. Questo fenomeno fu osservato dai telegrafisti dei primi del '900, ed è noto come "raddoppio della velocità dei punti e linea" [Bennet e Davey, 1965]. Nel terzo criterio di Nyquist per il controllo dell'ISI, l'effetto di quest'ultima è eliminato scegliendo la risposta impulsiva complessiva del sistema he(t) in maniera tale che l'integrale dell'impulso su di un certo intervallo di segnalazione di durata Ts sia non nullo, mentre quello esteso agli intervalli adiacenti sia nullo. In fase di rivelazione, il ricevitore valuta l'integrale del segnale ricevuto su di ogni intervallo di segnalazione e decide sulla base del risultato ottenuto, che è privo di ISI. Sono noti vari tipi di impulsi che soddisfano tale criterio, ma le loro prestazioni in presenza di rumore sono inferiori a quelle relative agli esempi appena discussi [Sunde, 1969].

3-7 MODULAZIONE PCM DIFFERENZIALE Nel campionamento di segnali audio o video, si trova generalmente che campioni tempor~lmente adiacenti differiscono molto poco in ampiezza. Ciò significa che nei campioni di segnale è presente un'elevata ridondanza, e conseguentemente che la banda e la dinamica di un sistema PCM non sono utilizzate in modo efficiente. Una maniera semplice

di

minimizzare la ridondanza di tale trasmissione, e quindi di ridurre la banda, è quella di !r.a.-" s.metter~segl!ali PCM che,codificano le diff~r~nze tra campioni adiacenti. Proprio in questo consiste infatti la mQdulaziQJlePCM differenziale (DPCM, Differential Pulse-Code .... .

Modulation). l'!e) ricevitore, ogni campione di segnale viene ricQ.§.t[u.ito~o!1:!01a!},d() il v~-

. lore differenziale ricevuto attraverso il sistema di trasmissione al campione.stimato al passo precedente.

3-7 y(nTs)

.

Ritardo Ts

Modulazione

Ritardo Ts

000 --..

PCM differenziale

185

Ritardo Ts

z(nTs}

Figura 3-28

Filtro trasversale.

COf1:1e IIlterinrp p\1'aezi.QRampnto, i~alore,JteJ..ç@1pio!!.e_~t!yalepuò essere stimato dai val~..P_~~1!-ti.!I1ediante. [email protected]!LP..redizjQn,e,J'~Ie filtro mt9~essere realizzato. me:, diante un filtro trasversale.,come illustrato in Figura 3-28. Quando i coefficienti {al} son~ scelti in modo che l'uscita del filtro sia una predizione del campione attuale basata su !ln cert9 !!.umerodi campioni passat!, ti filtro stesso è chiamato filtro di predizione linea.re [Spilker, 1977]; i valori ottimi dei coefficienti dipendono poi dalle proprietà d~orrelazione dds.egnale [Jayant e NolI, 1984]. I!.sampione in uscita al filtro è

---

K

z(nTs)

-

= '2>ly(nTs - lTs)

-

(3-79a)

L=-.L

oppure, in notazione semplificata" -.. .. -

K Zn

=

LalYn-1

(3-79b)

1= 1

dove Yn-LrapE!e~enlail campione all'ingresso del fjltro all'istante t = (n - l)Ts e K è il numero di elementi di rit~o prese!!!!.l1eLfjltrQ. Si può integrare 1! f.!!tro
configuraziom.La prima, mostratain Figura3-29, milizzail filtro pr.ediUOl:e-pet..ptD.dwI.e ~n s~g;;''7differe~ziale

con impulsi modulatI' r; ampiezza (DP AM, Differential Pulse-Am,

plitude Modulation),dal quali,
~

----

;;

..

~ ~ 0"1

n

I» "8. -o O"

1-----------------------------------------------------------------------

Segnale analogico

Segnale analogico

.

di ingresso

Filtro

:Trasmettitore DPCM

:

r .

Segnale PAM

limItato

I I II

in banda

I

rettangolari, wn

I I I I I I I I I

passa-basso

lo; IIlIpU.....

I

I I II

Segnale DPAM

:DPC M

quantizzato Codificatore

Campionatore

I I I I I I I I

I I I I

Predittore

I I I 1______-----------------------------------------------------------______1

VJ I (j) (1)

~I»

t:-: C-

-

C§:

~ (1) I»

~. g. f:!J. :r cr' ~ CI» cr' I» rn

Canale Segn

(1)

:R;;DPCM--------------------------------I I I I I I I

I I I I I I I I

I

Circuito di

DPAM

DPCM

+

PAM

Filtrodi ricostruzione

Decodificatore

regenerazione

(passa-basso)

Predittore

I ~

I J

Figura

3-29

DPCM

con predizione

basata

sui campioni

del segnale

di ingresso.

(\\ uSCIta

: analogico

Segnale analogico di ingresso-

Segnale analogico limitato in banda

Filtro passa-basso

~ ~------------------------------------------------I TrasmettItore DPCM I I

---------------

: I

Segnale PAM a impulsi

:

I I

.

Segnale

I

. Quantizzatore quantIzzato. a M livelli Codlficatore

I

rettangolari, W

Camplonatore

n

+

DPAM:

DPAM e

I I I I I I I

11

+

:

:DPCM I I I I I I

:

Predittore

I I I I I

I l I I I

J

~

VJ I "I

Canale

-------------------------------------------------------------------------------------------.

:Ricevitore DPCM I I I I I I

: I I I

... CIrcUItodI .

I I I I

DPCM

DPAM

+

PAM

Decodificatore

regenerazlOne

~

o

:

I I I I

i

,

Filtro di ricostruzione

(passa-basso)

Predittore

t Figura 3-30 DPCM con predizione basata sul segnale differenziale quantizzato.

: : I

I I I I

:

I I I J

Segnale di uscita analogico

p.. E. ~ o' ffi ""ò

(J

~

p.. I:;.; ~ ... ~ 1»' ro I-' QO ......

188

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

S~e!:!òdimQstrareche il sistema DPCM, come queJl.9pC.M,..§~ue l~ei [Jayant e Noll, 1984]

(~)dB k=

6 dB (3-80a)

6.02n + a

dove -3 < a < 15

p~r segnali vocaliI2£CM

(3-80b)

e n è il numero dei bit di quantizzazione (M = 2n). A differenza del PCM con compressione/espansione, il parametro a per il DPCM varia su un ampio intervallo dipendentedalle proprietà del segnale di ingresso. La (3-80b) fornisce l'intervallo di a relativo alla trasmissione di segnali telefonici. Per confrontare le prestazioni del DPCM con quelle del PCM, partiamo dalla (3-26b), secondo la quale a = -lO dB per un sistema PCM con legge di compressione di tipo JL con JL = 255. Nel caso più favorevole, assistiamo a un miglioramento nel rapporto segnale-rumore (SNR) di 25 dB rispetto al caso del PCM con JL

=

255. In alternativa, a parità di SNR, il DPCM può richiedere 3 o 4 bit in meno per

campione rispetto al sistema PCM con compressione. Questa è la ragione per cui nei sistemi DPCM per applicazioni telefoniche (ad esempio nello standard dei telefoni senza filo digitali DECT) la velocità di bit è tipicamente R

ti Il

'I

I

I

=

32 kbit/s oppure R

=

24 kbit/s,

invece dei 64 kbit/ s necessari per i sistemi PCM con compressione. La ITU-T (ex-CCITT) ha emanato uno standard DPCM a 32 kbit/s che prevede 4 bit di quantizzazionealla velocitàdi 8000campioni/sper la codificadi segnaliin banda telefonica (3.2 kHz) [Decina e Modena, 1988]. Un secondo standard ITU-T DPCMa 64 kbit/s (4 bit di quantizzazione e 16000 campioni/s) prevede la codifica di segnalivocali ad alta qualità con banda di 7 kHz. L'analisi dettagliata dei sistemi DPCM è complicata, e dipende dal tipo di segnale di ingresso, dalla velocità di campionamento, dal numero di livelli di quantizzazione, dal numero di coefficienti utilizzati nel filtro di predizione e così via. Tale analisi è oltre lo scopo di questo testo; per ulteriori approfondimenti, il lettore può riferirsi a Flanagan et al. [1979]; Jayant e Noll [1984]; O'Neal [1966]. 3-8 MODULAZIONE DELTA

III jll

La modulazione delta (DM, Delta Modulation) può essere considerata un caso particola~ della moduìaZione DPC~con due soli livell~~za:rione. Se immagi!1iamoche luigura-3.dO,.s(rifeci.s":I :Il "::ISQ di M~ 2, otteniamo un segnale quantizzato DPAMbi~o,..9.!!iI1
I: I

I

I

La complessità(i1

~

costo

l di un sistema !?~ è i~eIjore

~l~llo

di.u~- sistema DPCM

con M > ?, in ..9.E!!!2.il convertitore analQgico-digitale (ADC, Analog-t7H5TgitalConverter)e g~ellodigitale-analogi£g(DAC,Digital-to-AnalogConverter).nons°I!°!i£h!.esti. Il costo può essere ulteriormente ridotto utilizzando al posto del filtro preditto[e-yn circuito integratore a--basso--.. costo (ai limite, u~ filtro passa-basso RC), come illustratoin Figura 3-31. ~e!~emadeI.sistema..D..M di £igura 3-:~1.~lle.raziQne È! sottrazione e il ~antizzatore a due liy~Ui sono !eali:z;.~atemediante un cOlIlPm.:~tor~, ~Q..do...che.12uscita..sia 1:?inariae pari a :!:Vc.L'insieme delle forme d'onda associate con la modlWione deltlloè IttQ~!Lato J~I1Lflgura 3-32; in particolare nella Fi~ura}:.32a viene rappresentato..iLseg&l-

3-8

Modulazione

delta

1-----------------------------------

:

I Trasmettitore DM 1 w(t): Segnale analogico di ingresso

\...:

1

Segnale PAM a impulsi

I

Filtro passa-basso

Codificatore

rettangolari +

1 :

y(t)

1 DM

1

I I 1 1 1 1 1 1

: 1 1 1 1

189

1 1 1 1 1 1 I I

:

Clock

h

L

J

I I 1 1

Canale

1 I Ricevitore DM I 1 1

1 I I I I

1 1 1 1 1

I I 1 1 1

Integratore

Figura 3-31

Segnale analogico in uscita

Sistema DM.

le <:liingresso).~ la Figura 3-32b..illustrdsegnale @pliqlto al!'!.ngresso_d~ll'accumulatore del ricevitore. L.:inlegratore ha il compito di integrare gli impulsi in ingresso, coslcCJiè"ìrsegniiIeTnuscita all'istante t = -nTs è dato da l

"

L {j. Ve i=O

ZII = -

Yi

(3-81)

dove Yi = y(iTs) e l'incremento elementare-1.rappresenta il guadagno dell'accumulatore, detto anche passo. La corrispondente uscita del sistema DM è rappresentata in Figura 3-32a. Al ricevitore, il segnale DM viene ri-convertito in un segnale analogico che approsijm.a..iLsegnaleanalogico in ingresso al sistema. Ciò è realizzato mediante un integratore che fornisce una versione filtrata passa-basso del segnale all'uscita dell'accumulatore presente nel trasmettitore (Fig. 3-32a).

Rumore granulare e rumore per sovraccarico di pendenza ~J,:, Fi§IH.a.3;.32.a2il?uò n9tl!!eçhe..iLsegnale. all'uscita de]l'accurnul!lto.re..!lQQ.§e.I!!Jlfe 1>ies..ce.a

seg,ui!"~ll s!gn.ale ~IlV.QgiCOin ingresso. Il...l11J;IJore di quanti~z.az.iQIle cblì..vielle

raPJ:"o~iJu!ò_~~ere di due_tipjg.iversi: il rumore per sovraccarico di pendenza eJ)~lo di granularità. Il primo si ha .9u~!l_d9iJ passo~{j è trolmo picco[o7'é'iC'segnale aH'uscitadC;iT'accumulator~on~plln..s~).lire_).ma variazione bru~ca del segnale d'jngresso. ~icevers~l rul!l°!e_di ~anulaI.:ità è tanto più piéco!g q~a!1topiù_P1£coloè il R.as~ò8.il rumore di .granll)arità per il sistema DM è simile al corrispondente presente nel PCM,

190

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base Intervallo di inizializzazione

/

1(a) Segnale analogico di ingresso e in uscita dall'accumulatore

y(t)

1(b) Segnale DM

Figura 3-32 Andamento dei segnali nel sistema DM.

Il

I I

mentre il rumore per sovraccarico di pendenza è un nuovo fenomeno legato alla codifica di un segnale differenziale. Enyambi i fenomeni son~ Eesenti anche nel sistema DPCM prima descritto. ~ chiara l'esistenza di un val9re ottimo ner illla$~toaQ,ln-9.!!.antose g!l~t2. è. ~ ~!E.2.-il f!lllloredi granularità crescerà e qllelloper sovraccarico di Rel1denz!!.
Esempio 3-5 PROGETIODI UN SISTEMADM Troviamo il passo {)in modo da non avere sovraccarico di pendenza quando il segnale di ingresso è sinusoidale. La massima pendenza relativa al segnale in uscita dall'accumulatore è (3-82)

I

l

3-8

Limitato dal sovraccarico dipendenza

)

C

Modulazione delta

Limitato dal rumore di granularità

t

Passo,8 Valore

ottimodi 8 Figura 3-33

Rapporto segnale-rumore in uscita da un sistema DM in funzione del passo di quantizzazione.

Nel caso di ingresso sinusoidale, con w(t) = A sin wat, la pendenza risulta (3-83)

e il massimo valore è pari a AWa. Conseguentemente, per evitare sovraccarico di pendenza, occorre che 81s > AWa, e cioè (3-84)

Non è comunque conveniente scegliere 8 troppo grande, altrimenti il rumore granulare diventa preponderante.

191

192

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

È anche possibile valutare il rapporto segnale-rumore all'uscita del sistema DM. È stato determinato sperimentalmente che lo spettro del rumore granulare è distribuito uniformemente sull'intervallo frequenzialelfl":5 fs. D'altronde, la potenza del rumore di quantizzazione dovuto al fenomeno della granularità è pari a 82/3 (Par. 7-7, sostituendo al posto di 8/2 per il PCM il valore 8 relativo alla DM), quindi la densità spettrale di potenza di tale rumore sarà g>n(f)

N

=

8 2/(6fs)'

= (n2) =

La potenza nella banda

I

B

-B

82B

g>n(f) df

=-

I f I :::; B, è dunque (3-85)

3fs

oppure, considerando la (3-84) con il segno di uguaglianza, N = 41T2A2f~B 3f: La potenza del segnale utile è

s = (W2(t» = A2 2

(3-86)

e il rapporto segnale-rumore di quantizzazione all'uscita del sistema DM con un segnale sinusoidale "di prova" è (3-87)

dove fs è la frequenza di campionamento, fa è la frequenza del segnale di ingresso e B è la banda del ricevitore. Da notare che la (3-87) vale solo per segnali di ingresso sinusoidali. Per segnali in banda fonica (segnali vocali) è stato dimostrato che l'Equazione (3-84) è troppo restrittiva se fa = 4 kHz, e che il rumore per sovraccarico di pendenza è trascurabile se [deJager, 1952] 8;::: 21T800Wp fs

(3-88)

dove Wp è il valore di picco del segnale vocale d'ingresso (ciò è dovuto al fatto che il contenuto energetico più significativo del segnale vocale sta nelle frequenze "medie" attorno a 800 Hz). Combinando le Equazioni (3-83) e (3-85), si ottiene il rapporto segnale-rumore SNR per un sistema DM con segnali vocali: !...

( N ) oul I I I Il

= (W2(t» = N

W2(t» 3f: (16001T)2B ( W; )

(3-89)

dove B è la banda audio e (W2(t»/W2) è il fattore di cresta, cioè il rapporto tra la potenza media e la potenza di picco, essendo quest'ultima definita come il quadrato del valore di picco. Questo risultato può essere utilizzato per dimensionare un sistema DM per segnali vocali. Supponiamo infatti di voler fissare un rapporto segnale-rumore pari ad almeno 30 dB, considerando una banda lorda del segnale vocale pari a B =4 kHz e un fattore di cresta pari a!. Dalla (3-89) si ricava che la frequenza di campionamento deve essere 40.7 kbit/s, e cioè

3-8 TABELLA 3-7

X O l l

193

ALGORITMO DI VARIAZIONE DEL PASSO

Sequenza di dati"

x X O l

Modulazione delta

Numero di cifre binarie successive parialoaO

l 2 3 4

O l l l

Valore passo, f(d)

8 8 28 48

" X, qualsiasi valore.

= 10.2B. È interessante paragonare il sistema DM in questione con un sistemaPCM avente la stessa banda (e dunque stessa velocità di bit). Il numero di bit n, richiesti per ogni parola PCM è fornita da R = (2B)n = 1O.2Be cioè n = 5, e il rapporto segnale-rumore di quantizzazione è 30.1 dB (Tab. 3-2). In queste condizioni, il sistema PCM presenta la stessa banda occupata e le stesse prestazioni del sistema DM. Occorre però notare che se fosse richiesto un valore di SNR > 30 dB il sistema PCM avrebbe prestazioni in termini di SNR superiori a quelle del sistema DM a parità di banda, e viceversa per un valore di SNR < 30 dB. Si noti che il valore di SNR aumenta per il sistema DM come f;, e cioè 9 dB per ottava.

!s

Modulazione

delta adattativa e a pendenza

variabile con continuità

Per minimizzare il rumore dovuto al sovraccarico di pendenza mantenendo allo stesso temEOIl ru~ié Oi g!aQulajìtàil!jv"eITi~~èeita£!.Ii,~L~tilÌ!-!:~Ji.!!!.?:!i!~;i~~e~!.iFaad~ttati~a~ (ADM.M.-a[21ÌJ!.e,.D.dJa.Modulation). In questo caso !lpas§g QyJslli.y~iJW '11§l~.È2...!!1:. fu!!~LQ!l~.dels~gnalein ingre.§§.Q da cQdW.care.In R.articolare,8 è mantenuto piccolo per minimizzare il rumore granulare finché il ~~gnal~ ~flria lentame.nte, ma quando il rumore dovuto al ~QvmccarIcQ'di Qepdenza inizja a essere preponderante il passo viene incrementato opportunamen,te (adattato). L'adattamento del passo può avvenire in base al se&nodegli impulsi all'uscita.del tr~~tit~re DM. Infatti! quando si .h~ un~uc_ce§~~I!.~di i!l!~~ s.n laJ>1.elì~larit~, il passo viene aumentato (Fig. 3-32). Viceversa, quando gli impulsi cominciano ad alternarsi in segno, taÌe valore viene diminuito, e cosÌ_'!!.a.UJ!J11.: goritmo che realizz~ guant£>de~c,rl!!~-è_~2~~~!~.ell~3-7. IJ passo di q1!agtizzazto~ è fissato at valore 8 quando il segnale ADM...$.°I!~is~9i. cìrr~.J1iDJ\rie .l ~.Q..altWJ!I,mj~ oppure quando si sussegygno due sole cifre u~uali. Invece, con tre o quattro cifre uguali ~ìjg.unQa~so JispeJ.tiy~nte..pijrj !L2~ 48. L~schepa a ~Iocchi ~el ~ist!
--

~-

-

~-

-

----

'"'" \D ""

1-------------------------Segnale analogico di ingresso

: Filtro passa-basso

I I 1

-- ---- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- ---- 1

Segnale PAM

con impulsi rettangolari

Campionato e r

I

~

1 I I I

,1

"'g"'~

1 I I 1

~ Passo

I 1 1 1

AXGUadagno

:

:!:':~~~':~':'

:

'velli

Quantizzatore a21

variabile

~

f (d)

Rivelatore

Segnale ADM

;

--- -

Guadagno variabile

1 1 I I

:

Integratore

Passo

:

1

1 :

r ;i~:~:r; ~~~

1 1

1 1 1 1

di sequenza:

Canale

Rivelatore

f(d)

di sequenza

1 1 I I I

1

1 1 :

L

~

Figura 3-34

Sistema ADM.

~ ~ p.. 03: ..... ~ Cl) I»

i

~I

: L

I/'I

1

() I» "8. ..... o 5" VJ I Cf) Cl)

Segnale di uscita analogico

~. ~ 5[ S' O'" I» ::1 p.. I» O'" I» '" Cl)

3-8

Multiplazione

195

delta

DM può rivelarsi la IQ~gliore,allChe~.~lstema-AI2M.h
-

K

Codifica della voce I codificatori digitali del segnale vocale possono essere classificati in due categorie: i codificatori di forma d'onda e i vocoder. Nei codificatori di forma d'onda la codifica e la decodifica della voce è effettuata in modo che l'uscita del sistema consista in una approssimazione del segnale di ingresso. Invece, i vocoder codificano il segnale vocale estraendo un insieme tipico di parametri che sono quantizzati e trasmessi al ricevitore, dove sono a loro volta utilizzati per (ri-)sintetizzare il suono vocale di uscita. Di solito, la forma d'onda in uscita a un vocoder non è una replica fedele del segnale di ingresso, e quindi questi circuiti possono fornire un suono abbastanza innaturale. Le parole all'interno di una frase sono chiaramente discemibili, ma spesso è difficile riconoscere l'identità della persona che parla. Con i codificatori di forma d'onda (per esempio PCM, DM, DPCM e CVSDM) è stato dimostrato che la voce può essere codificata con qualità telefonica utilizzando la velocità di 24 kbit/s. Tecniche più sofisticate possono ridurre tale velocità a 8 kbit/ s, e addirittura ci si può spingere fino a 2 kbit/ s. Le tecniche disponibili per ottenere codifiche a bassa velocità di bit sono quella basate sulla predizione lineare (già illustrata nel DPCM), sulla codifica adattativa in sottobande, e sulla quantizzazione vettoriale. Nella codifica adattativa in sottobande il segnale viene scomposto nelle componenti frequenziali principali, e ciascuna di esse viene quantizzata su di un numero variabile di bit che dipende dalla forma dello spettro del segnale stesso e dalle proprietà dell'udito. Con la quantizzazione vettoriale, invece di codificare un campione per volta, si codificaun intero blocco (vettore)di campioni.Alcuni esempidi codificatoriusati in pratica sono il CELP (Code Excited Linear Prediction) e il VSELP (Vector-Sum Excited Linear Prediction), utilizzati nella telefonia cellulare, come descritto nel Paragrafo 8-8. Questi codificatori utilizzano tecniche di analisi e sintesi combinate LPAS (Linear Prediction-based Analysis-by-Synthesis), secondo le quali il segnale vocale è innanzitutto suddiviso in segmenti di durata 20 ms per le fasi di analisi e di sintesi. Il codificatore, utilizzando un opportuno modello relativo alla formazione della voce, produce una sequenza di parametri, che caratterizzano un segnale di eccitazione e un filtro che modella gli apparati di fonazione umana. Questi parametri, mediante i quali il segnale vocale può essere (ri-)sintetizzato in maniera ottimale, vengono opportunamente quantizzati e costituiscono poi l'informazione trasmessa. Il ricevitore utilizza i dati ricevuti ricostruendo tali parametri e fomendoli al sintetizzatore vocale in modo da ricostruire il segnale vocale originario. Per ridurre i costi relativi alla trasmissione dei dati si preferiscono codificatori/decodificatori (in una parola codec) a bassa velocità di bit (tipicamente, 13 kbit/s nei sistemi cellulari). Comunque, tali tipi di codec richiedono una maggiore complessità computazionale, producono ritardi maggiori nella riproduzione del segnale, e hanno una qualità inferiore. Per maggiori dettagli sui codificatori e sulle relative prestazioni si possono consultare i riferimenti Gersho [1994]; Spanias [1994]; Budagavi e Gibson [1998].

-

-

~

~

-

- --

=-

-

~

-

,

---

- - -- ..... 1.0 C1\

n~ '"S. ..... o O"

Segnali analogici di ingresso

<.N

Canale l 1 (dalla sorgente l) r

'

I

I :

r

1 Ts

I

Canale 3

I I

-1

--1Tsl-

I Canale 2 1 (dalla sorgente 2) 1

1Segnale 1 TDM 1 1 PAM 1

I 1

I 1

I 1

I I

--1 I-

:

~

: :. -:-~-.:.:

~ ~

I 1 1

(-

11

1 I I

. QuanUzzatore e codificatore

p..

03: .....

Segnale TDM PCM

~ /T) ~

I I 1 1 1 J

I

(dalla sorgente 3) I I I I

1 (f) /T)

1

1Trasmettitore

J

:. -:~ -.-. -. -, Sincronizzazione

1 1 1 1 1 1 1

~. S

f:!J.

::r O" ~ =' p.. ~ O" ~ ffJ /T)

Canale ..............

Segnale TDM PCM ricevuto + rumore

Ricevitore

Decodificatore

Campionatore

TDM PAM

1 1 r I I I

""---/

I '

I

1 1

/

~

Canalel

/ 'V

~

Canale 2

\ Canale 3

Segnali analogici in uscita

Figura 3-35

Sistema PCM con tre canali TDM.

--

3-9

Multiplazione

a suddivisione

197

di tempo

3-9 MULTIPLAZIONE A SUDDIVISIONEDI TEMPO DEFlNI1iIONE.La mll/tip/azione a suddivisione di tempo TDM (Time Division MlI/tip/exing) consiste nell'intercalare temporalmente i campioni di varie sorgenti in modo tale che l'informazione possa essere trasmessa serialmente sullo stesso canale di comunicazione. La Figura 3-35 esemplifica il concetto della multiplazione TDM applicata per trasmettere, attraverso un sistema PCM, i segnali di tre sorgenti analogiche. I segnali PAM sono ottenuti attraverso campionamento naturale con una larghezza temporale dell'impulso pari a Ts!3 = 1/(3Js), mentre la durata degli impulsi nel segnale TDM PCM è Ts/(3n),

dove n è il numero di bit utilizzati nella parola PCM. In questo casoJs

=

l/Ts

rappresenta la "frequenza di rotazione" del commutatore, e Js soddisfa la condizione di Nyquist per la sorgente analogica avente banda più larga. Quando la banda delle sorgenti è marcatamente diversa, le sorgenti con banda più larga sono campionate con maggiore frequenza rispetto alla sorgenti con banda inferiore. Al ricevitore, il campionatore deve essere sincronizzato con il segnale di ingresso, in modo che i campioni relativi alla sorgente l siano inviati all'uscita del canale 1. Questa funzione è chiamata sincronizzazione di trama. I filtri passa-basso sono impiegati per ricostruire i segnali analogici a partire dai relativi campioni. Naturalmente un filtraggio di canale non adeguato provoca interferenza intersimbolica, e in queste condizioni può accadere che i campioni di segnale di un canale si risentano sui canali adiacenti, anche in presenza di sincronizzazione di bit e di trama ideale. L'interferenza del segnale di un canale su quello di un altro è chiamata diafonia (crossta/k).

Sincronizzazione

di trama

La sincronizzazione di trama è necessaria al ricevitore TDM affinché i dati ricevuti e demultiplati possano essere instradati verso il corretto canale di uscita. La sincronizzazione si può ottenere trasmettendo un segnale apposito su di un canale separato, oppure ricavando tale informazione dallo stesso segnale ricevuto. Poiché la realizzazione del primo approccio è ovvia, ci concentreremo sul secondo, che è in generale preferibile in quanto non è richiesto alcun canale aggiuntivo. Come illustrato in Figura 3-36, l'informazione per il sincronismo può essere multiplata assieme ai simboli di informazione trasmettendo una particolare parola di K bit all'inizio di ogni trama. Il sincronismo di trama è allora ottenuto dal segnale TDM ricevuto utilizzando il circuito di sincronizzazione di Figura 3-37 il cui compito è quello di calcolare la correlazione tra il segnale TDM ricostruito e la parola s = (SI, S2, ... , SK). Le variabili SI, S2 ... Sj, . . . Sb sono cifre binarie l o O,che (in

Canale N dati

Canale I dati

Canale 2 dati

Canale N dati

sI

s2

''-v--' Parole di infonnazione

Parole di sincronizzazione

Parole di infonnazione

Parole di sincronizzazione

Trama

l

Figura 3-36 Formato della trama di sincronizzazione TDM.

198

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

logica TIL) sono rappresentate rispettivamente dai livelli di tensione +5 V e O V. Il bit corrente relativo al segnale TDM ricostruito è inviato all'ingresso del primo stadio del registro a scorrimento, ed è quindi fatto scorrere nei successivi stadi in modo che nel registro siano sempre memorizzati i K bit più recenti. Nei triangoli in uscita a ogni stadio del registro a scorrimento è presente un invertitore se Sj corrisponde alla cifra binaria O, oppure un semplice cortocircuito se Sj corrisponde alla cifra binaria 1. Il rivelatore a coincidenza è una porta AND a K ingressi. Ogniqualvolta il registro contiene la parola di sincronismo, tutti gli ingressi del rivelatore sono pari a 1 e l'uscita del rivelatore anch' essa assume questo valore; altrimenti si ha la cifra O. Conseguentemente, l'uscita del rivelatore assumerà il valore cosiddetto alto soltanto durante l'intervallo di ampiezza Tb in corrispondenza del quale la parola di sincronizzazione è perfettamente allineata nel registro, rivelando così l'informazione di sincronismo di trama. Si avrà indicazione di sincronismo errata se per puro caso la sequenza di bit di informazione ricevuti è proprio uguale a quella della parola di sincronismo, senza naturalmente che questa sia stata effettivamente trasmessa. Per simboli equiprobabili, la probabilità di avere errata sincronizzazione è uguale alla probabilità di ottenere casualmente la parola di sincronizzazione, e cioè (3-90) Nel progetto del sincronizzatore di trama, questa equazione può essere utilizzata per determinare il numero di bit K, necessario affinché il valore della probabilità di falso aggancio soddisfi certe specifiche. In alternativa, si possono applicare tecniche più sofisticate per eliminare gli impulsi relativi al falso aggancio [Ha, 1986]. Le parole di informazione possono essere infatti codificate in maniera tale che non possano dare la sequenza dei bit relativi alla parola di sincronizzazione. Ricordiamo che l'uscita del rivelatore a coincidenza è in pratica il valore della correlazione tra la parola di sincronismo e i K bit memorizzati nel registro a scorrimento. Occorre quindi che tale parola sia scelta opportunamente, e cioè che la corrispondente funzione di autocorrelazione Rs(k) abbia le seguenti proprietà: Rs(O) = l e R(k) = Oper k =F O.Le sequenze pseudo casuali PN (Pseudo Noise), studiate nel Paragrafo 5-13, sono particolarmente adatte allo scopo. Per fare un esempio, se è ammessa una probabilità di errato sincronismo pari a Pf = 4 X 10-5 allora dalla (3-90) si trova che è richiesta una parola di (K = 15) bit. Tale parola può essere generata al trasmettitore per mezzo di un

registro a scorrimento a quattro stadi, e al ricevitore si deve utilizzare un registro con 15 celle di ritardo.

Sistemi sincroni e asincroni I sistemi per la trasmissione dati possono essere impiegati utilizzando linee seriali di tipo sincrono o asincrono. Nei sistemi sincroni, ogni dispositivo è progettato in modo che il clock interno abbia una prefissata stabilità per un lungo intervallo di tempo, e allo stesso tempo sia sincronizzato con un clock principale di riferimento (master clock). Il segnale di sincronizzazione può essere fornito attraverso una linea separata o può essere estratto direttamente dal segnale di informazione (ad esempio utilizzando un codice di linea

Segnale di ingresso TDM attenuato e distorto

Campionatore e circuito di decisione

Amplificatore e filtro

Rigeneratore

di dati TDM

------------------------------------. :

I :

I Sincronizzatore di bit

Sincronizzatore di trama

I

I

Registro a scorrimento

:

I

Dati I Bitdi sincronizzazione: Clock

I : I I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I I I I I :

I I I I I I L

Figura 3.37

:

I

sK

Rivelatore a coincidenza

Sincronizzatore di trama con ricevitore TDM.

W I \D ~ ,:::

Sincronismo di trama

I

~

I I I I I I

~ I Tf I

a=: "O ii) N o. ::s Il> I» fJ> ,::: Cl. Cl. §: fJ> o. ::s Il> e: tt 3 "O o ""' \D \D

200

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

Manchester). Oltre a ciò, i sistemi di trasmissione sincroni richiedono funzioni di sincronizzazione di livello gerarchico superiore per far sì che il ricevitore possa determinare esattamente l'inizio e la fine di ogni blocco di dati. Questo scopo è raggiunto mediante l'uso di una parola di sincronizzazione, come appena descritto, e attraverso i protocolli cosiddetti di collegamento dati (data link), come illustrato in Appendice C. Nei sistemi asincroni, il riferimento temporale è stabile soltanto all'interno dei bit che compongono una singola parola, ed è per questo che tale segnalazione è anche chiamata di tipo start-stop, poiché ogni parola, o carattere, consiste di un bit d'inizio (start bit) che inizializza il c10ck del ricevitore e termina con uno o due bit di fine (stop bit) che conclude la trasmissione. Usualmente, sono utilizzati due stop bit per apparati aventi velocità minori di 300 bitl s, e soltanto uno per velocità maggiori. Con le linee asincrone il clock del ricevitore è re-inizializzato periodicamente, e non è pertanto necessaria nessuna sincronizzazione con un c10ck principale. La frequenza del clock del ricevitore deve soltanto essere sufficientemente accurata in modo da mantenere una buona sincronizzazione temporale per tutti i bit contenuti ali 'interno di una singola parola. Questo modo di trasmissione "aperiodico" è ideale per i terminali alfanumerici, nei quali la tastiera non è certamente utilizzata con un ritmo regolare, e nei quali la velocità con cui si immettono i caratteri è molto più bassa di quella del sistema di comunicazione dati. Per questi terminali asincroni è normalmente utilizzato un codice ASCII a 7 bit (App. C), e il carattere completo consiste di un bit di start, 7 bit di codice ASCII, un bit di parità e un bit di stop (per R ~ 300 bit/s) per una lunghezza totale di lO bit. Nei sistemi TDM di tipo asincrono, le varie sorgenti sono multiplate attraverso interallacciamento di carattere (byte), e cioè carattere per carattere, piuttosto che mediante interallacciamento di bit. I sistemi di trasmissione sincroni sono più efficienti in quanto non sono necessari i bit di start e di stop, però richiedono il recupero del segnale di sincronismo. Si possono anche usare sistemi TDM intelligenti per concentrare i dati provenienti da diversi terminali e/o sorgenti, utilizzando tecniche di conversione di velocità, codifica e protocollo. L'hardware dei sistemi TDM intelligenti è essenzialmente formato da microprocessori o minicomputer. Essi si collegano di volta in volta all'ingresso di quelle linee che al momento presentano dati da inviare, sconnettendo le rimanenti. Per esempio, un terminale viene disconnesso dal sistema mentre è inattivo (anche se all'utente appare connesso) ed è nuovamente collegato non appena si ha un carattere o un blocco di dati da inviare. Così, la velocità dei dati all'uscita del multiplatore è di molto inferiore alla somma delle capacità delle singole linee di trasmissione. Questa tecnica, che naturalmente può essere applicata soltanto quando le sorgenti dati hanno un carattere di forte intermittenza nella trasmissione, è chiamata multiplazione statistica, e permette il collegamento a un sistema di molti terminali. I multiplatori TDM possono essere suddivisi in tre diverse categorie. Nella prima troviamo quelli connessi a linee sincrone; la seconda consiste in quelli collegati a linee quasi-sincrone (chiamate anche plesiocrone). In questo secondo caso, i clock delle varie sorgenti non sono esattamente sincronizzati in frequenza, e conseguentemente, vi sarà una certa variabilità nelle velocità relative ai dati provenienti dai diversi apparati. In questi casi, le velocità dei flussi dati non stanno tra loro generalmente in rapporto razionale, e quindi il segnale TDM d'uscita presenterà una velocità di bit leggermente maggiore rispetto al valore nominale per poter multiplare i segnali non sincroni. Se la velocità del flusso digitale di una certa sorgente (detto tributario) è inferiore a quella nominale, di quando in quando la sorgente non può rendere disponibile un nuovo bit per la multipla-

Il li

I

iilll

tI

3-9

Multiplazione

a suddivisione

di tempo

201

Segnale digitale di ingresso

Canale I

1-

Multiplatore a divisione di tempo

Uscita

Canale2

o

Segnale TDM in uscita

-

Numero identificativo delcanaledi ingresso

*

= bit

Figura 3-38

1I

2

I

2

2

2

I

2

di riempimento

Interallacciamento di bit di due canali TDM con impulsi di riempimento.

zione; nel flusso dati TDM in uscita dal multiplatore viene allora inserito un bit particolare, chiamato di riempimento (stuff). Questa strategia è illustrata nella Figura 3-38 relativamente a un multiplatore a interallacciamento di bit. I bit di riempimento possono valere l o O, o addirittura qualche particolare sequenza, a scelta del progettista del sistema. Il terzo tipo di sistema TDM può multiplare flussi asincroni ottenendo o Un flusso asincrono ad alta velocità senza bit di riempimento, o un flusso sincrono COnbit di riempimento. Esempio

3-6 PROGETIO DI UN MULTIPLATORE A SUDDIVISIONE DI TEMPO

Progettiamo un multiplatore a suddivisione di tempo per Il sorgenti secondo le seguenti specifiche: Sorgente 1. Analogica con Sorgente 2. Analogica con Sorgente 3. Analogica con Sorgenti 4-11. Numeriche,

banda di 2 kHz. banda di 4 kHz. banda di 2 kHz. sincrone a 7200 bit/s.

Supponiamo per prima cosa che le sorgenti analogiche siano convertite in parole PCM di 4 bit, che siano impiegate linee TDM di tipo sincrono e, per semplicità, che la sincronizzazione di trama sia fornita attraverso un canale separato. Per soddisfare la condizione di Nyquist, le sorgenti analogiche 1,2 e 3 devono esser campionate rispettivamente alla frequenza di 4, 8 e 4 kHz, almeno. Come mostrato nella Figura 3-39, ciò può essere realizzato facendo "ruotare" il primo commutatore

conft

=4

kHz e campionando

la sorgente n. 2 per due volte a

(Continua)

202

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

.

....

.'

Dalla sorgente I 2 kHz, analogico

Segnale PAMTDM

I

I I

16000 .

Dalla sorgente 2

4 kHz, analogico

.

I Dalla sorgente 3

-

campioni/s

.

+

I

Segnale

4bit AID

I TDM PCM I 64 kbit/s

t, =4kHz

2 kHz, analogico Dalla sorgente 4

Impulsi di

7.2 kbit/s, digitale

riempimento

Dalla sorgente 5

Impulsi di riempimento

7.2 kbit/s, digitale

Dalla sorgente II

I

8 kbit/s 8 kbit/s Segnale TDM PCM in uscita

128kbit/s

.1 .Implsid

8 kbit/s

I I

.

h=8kHz

I

7.2 kbit/s, digitale Figura 3.39

TDM con ingressi analogici e digitali come descritto nell'Esempio

3-6.

ogni giro. All'uscita del commutatore si ha un segnale TDM PAM avente 16000 campioni/s TDM PAM. Ogni campione è convertito in una parola di 4 bit, e così facendo la velocità del segnale PCM/TDM in uscita al convertitore analogico-digitale è di 64 kbit/s. I dati relativi alle sorgenti analogiche sono poi combinati con quelli provenienti dalle sorgenti dati per mezzo di un secondo commutatore rotante ah

= 8 kHz

e organizzato in modo che il segnale

PCM a 64 kbit/s è collegato a 8 dei 16 terminali. Infine, ai rimanenti 8 terminali possono essere collegate delle sorgenti digitali con flussi aventi velocità massima di 8 kbit/ s. Poiché le sorgenti forniscono in realtà dei flussi dati con velocità pari a 7.2 kbit/s devono essere utilizzati dei bit di riempimento per innalzare la velocità fino a 8 kbit/ s.

L'esempio precedente evidenzia il principale vantaggio della multiplazione TDM: si possono facilmente combinare sia sorgenti analogiche che numeriche. Sfortunatamente però, quando i segnali analogici vengono convertiti in segnali numerici senza riduzione della ridondanza (compressione), la capacità totale del sistema digitale di trasmissione viene sfruttata assi poco efficientemente.

\ .1

I I

Gerarchia TDM

.

I segnali multiplati TDM sono utilizzati per due distinte categorie di applicazioni fondamentalmente diverse, anche se questa distinzione tende sempre più a svanire a causa de-

3-9 TABELLA 3-8

Formato

DS-lE DS-2E DS-3E DS-4E DS-5E

segnalI!

Multiplazione

a suddivisione

di tempo

203

STANDARD TDM EUROPEO

Velocità di bit, R (Mbit/s)

Numero di canali vocali PCMa 64 kbit/s

2.048 8.488 34.368 139.264 565.148

30 120 480 1920 7680

gli sviluppi moderni dei sistemi di comunicazione. La prima categoria è fonnata dai segnali utilizzati in reti di calcolatori per combinare flussi dati provenienti da diverse sorgenti e trasmetterli in TDM su linee ad alta velocità. L'uscita di questi multiplatori consiste in un flusso dati avente velocità standardizzate a 9.6, 14.4, 19.2,28.8, 33.6,56.0 kbit/s o a lO e 100 Mbit/s. La seconda categoria di multiplatori TDM è utilizzata dai gestori nazionali di servizi di telecomunicazione, come Telecom Italia, France Telecom, AT&T (American Telephone and Telegraph company) per combinare l'infonnazione di diverse sorgenti in un segnale TDM ad alta velocità da trasmettersi sulla rete telefonica. Gli standard adottati nelle diverse parti del mondo sono simili nella sostanza ma diversi nella fonna. In particolare, possiamo distinguere quelli adoperati in Europa, confonni agli standard ETSI (European Telecommunications Standard Institute) e ITU-T, rispetto a quelli relativi agli Stati Uniti e al Giappone di derivazione AT&T. La gerarchia TDM lTU-T è illustrata in Figura 3-40 [lnner,1975], mentre quella del Nord America e Giappone è riassunta in Figura 3-41 [James e Muench, 1972]. Lo standard lTU-T, generalmente utilizzato in Europa e in altre parti del mondo, prevede un primo livello il cui fonnato è designato come DS-lE (dove DS indica Digital Signal) con velocità 2.048 Mb/s, un secondo livello DS-2E con velocità 8.488 Mb/s, e così via, come descritto nella Tabella 3-8, dove si riportano anche il numero di canali telefonici standard che possono essere inseriti in ogni multiplex. Come si vede, ogni livello è composto dalla multiplazione di quattro segnali tributari provenienti dal livello gerarchico immediatamente inferiore. Occorre anche notare che a ogni livello vengono inseriti canali addizionali per trasportare le infonnazioni di segnalazione di rete e di controllo, e quindi la velocità di trasmissione aumenta di un fattore leggennente maggiore di 4. Non è comunque detto che un certo livello di multiplazione debba sempre essere ottenuto aggregando tributari di livello inferiore. Ad esempio, un segnale El può essere direttamente ottenuto codificando un segnale video digitale con un fonnato opportuno, oppure può essere ottenuto aggregando flussi eterogenei o multimediali (audio, video dati ecc.). Lo standard relativo al Nord America e al Giappone è basato su un primo livello denominato DS-l con velocità pari a 1.544 Mbit/s, e così via, come descritto in Tabella 3-9. La gerarchia TDM giapponese è identica a quella nordamericana fino al secondo livello, ma differisce per i livelli 3, 4 e 5. Infatti, per il livello 3 lo standard giapponese prevede 32.064 Mbit/s corrispondente a 480 canali telefonici, il livello 4 è pari a 97.728 Mb/s con 1440 canali, e il livello 5 consiste in 397.200 Mbit/s e cioè 5760 canali. Variazioni tra gli standard sono discussi e riassunti da Jacobs [1986]. TImezzo di trasmissione (chiamato anche mezzo portante o portante tout-court) utilizzato per trasferire i segnali multiplati dipende principalmente dal livello DS e da fattori

N Q ~ n ~ "'(j

l

---=-

24~ei~~~~S?o~-0

ciascuno a 64 kbit/s (1 Canale vocale

:

{

Segnale DS-I

Segnale DS-2

Segnale DS-3

Segnale DS-4

di uscita 1

di uscita l

di uscita I

di usci ta l

2

Multiplatore di primo livello

24

per ogni ingresso) -

-g" o C.>J I (f) ro ~ ~ o.. ..... 03. ..... ~ ro ~

Quattro segnali di ingresso DS-I

!

~ Multiplatore

{

Linea DS-I 1.544 Mbit/s (24 Canali vocali)

~secondo 4

di livello

Multiplatore di terzo livello

Sette segnali di ingresso DS- 2

).

Linea DS-2 6.312 Mbit/s (96 Canali

Figura 3-40

vocali)

7

Sei segnali di ingresso

/

{

DS- 3

.6

. Multtplatore

Multiplatore di quarto livello

Due segnali di ingresso DS-4

Linea DS-3 44.736 Mbit/s (672 Canali vocali)

Gerarchia digitale TDM nordamericana.

r

Segnale DS-5 di uscita

2 di quinto livello I 560.160 Mbit/s

)'

Linea DS-4 274.176 Mbit/s (4032 Canali vocali)

(8064 canali vocali)

S' "'(j s:: 1!J.

:r cr" ~ ::3 o.. ~ cr" ~ (f) ro

30 segnali di ingresso digita!i.64 kbit/s cIascuno {

-~--.~

:

-

30

-

Multiplatore di primo livello

Multiplatoredi

{

+- Quattri SegnaliY di ingresso a 2.048 Mbit/s

~ secondolivello ~ Quattro

~

segnali

di ingresso

a 8.448 Mbit/s

2.048 Mbit/s

8.448 Mbit/s

(30 canali vocali)

(120 canali vocali)

2 ......

Multiplatore

--+-

di terzo livello

2

f-J { --+- di quano

/

Quattro segnali di ingresso a 34.368Mbit/s

34.368

2 Multiplatore

Mbit/s

(480 canali vocali)

r

Quattro

livello

segnali

)

di ingresso a 139.264Mbit/s

139.264

Mbit/s

(1920 canali vocali)

Multiplatore 3 di quinto livello

~ 4

1

565. 148 Mbit!s

(7680 canali vocali)

VJ I \O

s: E. ::l'. "O j;) N o' ::s t'D ~ '" ~ Q.. P.... ::i. '" .... o ::s t'D e: ! o

Figura 3.41

Gerarchia digitale TDM prevista da ITU-T.

N Q \11

206

Capitolo 3

- Segnali

TABELLA 3-9

digitali e a impulsi in banda base

STANDARD TDM NORDAMERICANO

Segnale digitale

Velocità di bit, R (Mbit/s)

Numero di canali vocali PCM a 64 kbit/s

DS-O DS-I DS-IC DS-2 DS-3 DS-3C DS-4E DS-4 DS-432 DS-5

0.064 1.544 3.152 6.312 44.736 90.254 139.264 274.176 432.00 560.160

1 24 48 96 672 1344 2016 4032 6048 8064

I I

economici che impongono l'uso di un portante piuttosto che un altro in relazione anche alla dislocazione geografica e all'applicazione. Ad esempio, i livelli DS più alti e perciò con capacità maggiore sono trasmessi su fibra ottica, ponte radio o satellite, mentre i primi livelli, come il DS-IE oppure il DS-l sono di solito trasmessi su doppino telefonico (coppia ritorta), uno per ogni direzione. Il sistema di trasmissione del segnale con formato DS-IE è chiamato sistema El, mentre il corrispondente relativo al formato DS-l è detto TI. Questi sistemi sono molto diffusi sia per il costo relativamente contenuto che per la facilità di manutenzione, e saranno descritti più in dettaglio nei prossimi paragrafi. Lo sviluppo dei sistemi in fibra ottica a grande capacità ha messo in evidenza che gli standard TDM originariamente sviluppati non sono più adeguati all'attuale domanda di servizi. Intorno al 1985 è stato quindi proposto da Bellcore (Beli Communications Research) un nuovo sistema TDM sincrono chiamato SONET (Synchronous Optical NETwork). Tale tecnica è evoluta poi in uno standard internazionale emanato da ITU-T e denominato gerarchia digitale sincrona (SDH, Synchronous Digital Hierarchy). Le caratteristiche fondamentali del SONET sono riportate in Tabella 3-10. In particolare, il segnale OC-I (dove OC sta per Optical Carrier, portante ottico) è un segnale ottico modulato a tutto o niente (On-Off) da un segnale elettrico binario con velocità di 51.84 Mbit/s, chiamato segnale di trasporto sincrono di livello 1 (STS-I, Synchronous Transport Signal-leveI1). Gli altri segnali ottici OC-N, il cui flusso è a velocità N volte superiore di quello dell'OC-l, sono ottenuti utilizzando come segnale modulante un segnale elettrico STS-N, a sua volta risultante dall'interallacciamento byte a byte di N segnali STS-1. Vedremo altri dettagli riguardo i sistemi in fibra ottica nel Paragrafo 8-7. Un segnale multiplex SDH, che non prevede necessariamente una modulazione ottica, è formato da trame STM-l (Synchronous Transport-Module 1), le quali, mediante interallacciamento di byte, vanno a formare i livelli più alti. Il segnale STM-I è formato da un flusso dati a 155.52Mb/s, e N di questi flussi formano il segnale STM-N, fino all'TM-64 cui corrisponde una velocità dati di 9.95328 Gbit/s. Ogni trama occupa un intervallo temporale di 125 J.ls,pari alla frequenza di campionamento utilizzata nel PCM. Pertanto, la trama STM-I consiste in 19 440 bit, e cioè in 2430 byte. Questi sono organizzati in una matrice di 9 righe e 270 colonne. I bit sono trasmessi in sequenza "per ri-

/

l

l

l

I

I

3-9

Multiplazione

a suddivisione

di tempo

207

TABELLA3-10 GERARCHIADELSEGNALESONET Numero equivalentedi Velocità di trasmissione

LivelloOC

sulla linea (Mbitls)

DS-3

DS-l

DS-O

51.84 155.52 466.56 622.08 933.12 1244.16 1866.24 2488.32 9953.28

l 3 9 12 18 24 36 48 192

28 84 252 336 504 672 1008 1344 5376

672 2016 6048 8064 12096 16 128 24 192 32 256 129 024

OC-1 OC-3 OC-9 OC-12 OC-18 OC-24 OC-36 OC-48 OC-192

ghe" partendo dall'angolo in alto a sinistra e andando verso quello in basso a destra. Le prime 9 posizioni di ogni riga, e cioè le prime 9 colonne, sono riservate per la sezione di intestazione (SOH, Section OverHead) contenente le informazioni necessarie alla multiplazione e demultiplazione, al monitoraggio della linea, e alla gestione della rete. La parte rimanente della trama trasporta il cosiddetto "carico utile" (STM-I payload), ove i dati da trasmettere sono contenuti in particolari unità chiamate VC (Virtual Cointainers). Questa tecnologia, basata sulla multiplazione a suddivisione di tempo sincrona, è molto adatta ad applicazioni con flusso dati a velocità costante, ed è tipicamente usata nelle grandi vie di comunicazione (dorsali) ad alta capacità delle reti dei fornitori di servizi nazionali. Essa fa un uso efficiente della capacità trasmissiva minimizzando allo stesso tempo i ritardi nella fornitura di servizi audio, video e dati. Quando la rete deve fornire servizi eterogenei a larga banda con flusso fortemente variabile nel tempo, la multiplazione sincrona mette in evidenza una certa mancanza di flessibilità. Per tali applicazioni è preferita una tecnica di multiplazione a suddivisione di tempo di tipo asincrona detta ATM (Asynchronous Transfer Mode) descritta più in dettaglio in Appendice C. Per completezza, citiamo in questa sede i due tipi di rete e di tecnologia emersi negli ultimi tempi per la fornitura di servizi digitali direttamente all'abbonato della rete pubblica. Negli anni '90 è stata infatti sviluppata una rete d'abbonato completamente digitale basata sull'integrazione di dati e voce digitalizzata fino alla presa telefonica di abbonato: la cosiddetta ISDN (Integrated Services Digital Network, rete digitale a servizi integrati). Quest'architettura di rete sembra destinata a essere soppiantata dall'avanzare della tecnologia ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line, linea digitale di abbonato asimmetrica) che fornisce un collegamento ad alta velocità di bit sul consueto doppino telefonico d'abbonato, e si interfaccia (lato rete) direttamente ai sistemi di trasporto ad alta capacità di tipo SOH o ATM precedentemente discussi. Vedremo maggiori dettagli su queste tecnologie nel Paragrafo 8-3.

Il sistema PCM El TIprimo livello di multiplazione utilizzato in Europa e denominato, come già illustrato, OS-IE, si ottiene multiplando byte a byte 30 segnali telefonici PCM per un velocità di bit

208

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

lorda pari a 2.048 Mbit/s. La frequenza di campionamento utilizzata per ogni segnale analogico è 8 kHz, e per questo la lunghezza di una trama è pari a 1/(8 kHz) = 125 ms. Ogni campione è codificato mediante parole di 8 bit e ciò comporta che in una trama si trovano 8 X 30 =240 bit di informazione. Oltre ai bit che rappresentano i campioni del segnale telefonico, è necessario inviare informazioni di sincronizzazione e di segnalazione, e cioè riguardanti l) il modo con cui i campioni sono multiplati, affinché essi possano essere recuperati e forniti al destinatario, e 2) il percorso che deve compiere il segnale attraverso la rete. Pertanto, la trama è suddivisa in 32 intervalli temporali, detti time slot, numerati da Oa 31. Gli slot Oe 15 sono utilizzati per la sincronizzazione e la segnalazione, mentre i rimanenti contengono i campioni dei segnali telefonici. Nello slot O si alternano di trama in trama due sequenze fissate di 8 bit che vengono utilizzate per il cosiddetto allineamento, e cioè per recuperare il sincronismo di inizio trama. Il segnale relativo a un multiplex EI viene normalmente trasmesso su doppino telefonico, e per questo deve essere opportunamente adattato alle caratteristiche di tale canale di trasmissione. Come già discusso precedentemente, deve anche essere evitata la trasmissione di lunghe sequenze di simbolo Oo 1 consecutivi, pena la perdita del sincronismo nel ricevitore. Per queste ragioni si utilizzano opportuni codici di linea, che sagomano la densità spettrale del segnale trasmesso riducendo il contenuto energetico alle basse frequenze, e contemporaneamente introducendo transizioni addizionali. La maggior parte di questi codici sono ternari, come il codice AMI (Alternate Mark Inversion), dove il bit Oè rappresentato dal simbolo di linea nullo, mentre il bit l da un impulso alternativamente positivo e negativo. Per ulteriori dettagli sui codici di linea, si riveda il Paragrafo 3-5.

, ~

Il sistema PCM TI Il sistema TI è utilizzato per trasportare il segnale con formato DS-I (1.544 Mbit/s), e trasporta quindi 24 canali telefonici PCM. È stato sviluppato nei Laboratori BelI come sistema digitale di comunicazione per traffico telefonico e per distanze fino a circa 80 Km. Come il sistema EI, ogni segnale telefonico è campionato alla frequenza 8 kHz (quindi la lunghezza di trama anche in questo caso è 125 I1s),e codificato su 8 bit. All'interno di una trama vi sono 8 X 24

= 192 bit

di informazione,

e un bit utilizzato per la sincronizzazio-

125p,s 0.6477ILs --I Parola PCM relativa al canale I

Parola PCM relativa al canale 2

Parola PCM relativa al canale 24

r LI

4 5 6 trama 7 8 Bit 2di 3 allineamento 193bit Figura 3-42

Formato del segnale TDM TI per un singolo blocco.

,

3-10

Trasmissione a pacchetto

209

ne di trama, per un totale di 193 bit, come raffigurato nella Figura 3-42. La velocità dati è allora pari a (193 bit/trama) (8000 trame/s) = 1.544 Mbit/s. Le informazioni di segnalazione sono. inserite nel formato del segnale sostituendo il bit meno significativo di ogni parola ogni 6 trame. In questo modo la velocità del dato di segnalazione per ognuno dei 24 canali risulta pari a (l bit/6 trame) (8000 trame/s) = 1.333 kbit/s. Il segnale su una linea TI ha un formato con impulso RZ bipolare (Fig. 3-15), e pertanto si ha valor medio nullo qualunque sia la sequenza dei dati. Inoltre, nella codifica si applica al segnale una compressione di tipo J1= 255,come descritto in questo capitolo nelle sezioni precedenti. Poiché la velocità dati del sistema TI è pari a 1.544 Mbit/s e il codice di linea è bipolare,la banda al primo nullo è pari a 1.544 MHz, e il valore massimo dello spettro si ha per 772 kHz, come mostrato nella Figura 3-16d.

3-10 TRASMISSIONE A PACCHETTO La multiplazione TDM si basa in generale su una tecnologia a trasferimento sincrono STM (Synchronous Transfer Mode). Questo significa che a una sorgente vengono assegnati determinati intervalli per trasmettere, quelli che abbiamo già defmito con il termine time slot, per una velocità dati che è costante nel tempo. In molte applicazioni questa assegnazione costante non è efficiente, in quanto se la sorgente non ha dati da inviare si devono inserire i cosiddetti bit di riempimento, come già descritto nelle sezioni precedenti, con lo scopo di raggiungere la velocità di bit prefissata. Per esempio, un PC connesso con una scheda modem potrebbe inviare un grosso file di testo (per il quale è necessaria una elevata velocità di bit) e poi semplicemente inviare da tastiera alcuni parametri (per i quali invece è richiesta una bassa velocità di bit). L'informazione prodotta da questo tipo di sorgente non è adatta per la trasmissione attraverso un sistema sincrono, mentre si può raggiungere una maggiore efficienza attraverso l'uso di un sistema di comunicazione a pacchetto. Un sistema di trasmissione a pacchetto suddivide i dati forniti dalla sorgente in opportuni blocchi, detti pacchetti, ognuno dei quali contiene un'intestazione con l'indirizzo del destinatario, e un campo dati vero e proprio, e i vari utenti condividono uno stesso canale ad alta velocità di bit, combinando i loro pacchetti in un unico flusso dati. La rete di comunicazione contiene poi dei dispositivi chiamati router che leggono l'informazione contenuta nell'intestazione di ogni pacchetto, e lo instradano verso la destinazione desiderata. Con questa tecnica, le sorgenti ad alta velocità inviano sulla rete in un certo intervallo di tempo molti più pacchetti di quanti non ne producano le sorgenti a bassa velocità. Il protocollo TCP/IP sul quale è basato il funzionamento della rete Internet è l'esempio più noto e affermato dell'applicazione delle tecniche di trasmissione a pacchetto, l'esame dettagliato delle quali va però al di là degli intendimenti di questo testo. A ogni modo, l'Appendice C contiene alcuni cenni all'architettura dei sistemi a pacchetto, in primis alla rete Internet, basata sul protocollo TCP/lP, quindi anche alla tecnologia di trasferimento asincrono ATM utilizzata da alcuni gestori di traffico telefonico. È chiaro che una rete a pacchetto assegna le risorse in modo efficiente quando le sorgenti producono un flusso dati a velocità di bit variabile, cioè con un carattere di forte "intermittenza" (burstiness): è questo il caso del traffico generato dal tipico utente Internet che naviga nella rete. Altrettanto chiaro è che con queste tecniche, si ha un sovraccarico delle rete (overhead) causato dalla necessità di dover trasmettere assieme ai

210

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

dati anche l'intestazione del pacchetto. Pertanto, le reti STM sono più efficienti quando le sorgenti producono dati a velocità costante.

3-11 MODULAZIONI DEL TEMPO D'IMPULSO: MODULAZIONE DI DURATA E DI POSIZIONE Le modulazioni del tempo d'impulso PTM (Pulse Time Modulation) sono tecniche di trasmissione secondo le quali la codifica del campione di un segnale analogico è associata a un opportuno parametro temporale del segnale digitale. La modulazione differisce dalle PAM, PCM e DM in quanto queste codificano il campione del segnale mediante l'ampiezza del segnale digitale. I due principali tipi di modulazione PTM sono la modulazione di durata (PWM, Pulse Width Modulation), e la modulazione di posizione (PPM, Pulse Position Modulation). Come illustrato nella Figura 3-43, nella PWM il valore dei campioni del segnale analogico è utilizzato per determinare la durata degli impulsi del segnale digitale. Il campione del segnale può essere ricavato mediante campionamento istantaneo oppure naturale. La Istanti di campionamento

!I

!

!

!

!I

Analogico

!I

!I

I I I I

I I I I T I

1

II t-

(a) Segnale analogico

PWM

..

I

:t(b) Corrispondente

PPM

(c) Corrispondente

segnale PWM I I I I I I I

I I I I I I I

I I

I I I I I I I

I I I I I I I

I I I I I I I

I I I I I I I

I I I I I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

segnale PPM

Figura 3.43

Segnalazione a modulazione temporale di impulso.

I I

-

3-11

Segnale analogico di ingresso

.,

..

Modulazioni del tempo d'impulso

Segnale PAM ad impulsi rettangolari . Generatore dI + segnale PAM con ~

\ campionamento(i~

211

Segnale PWM di uscita

+

istantaneo

+, Vr = livello di riferimento Funzione/ triangolare Generatore Multivibratore di funzione monostabile triangolare

Segnale PPM di uscita

Segnale PAM

Onda triangolare

~ ~ ~ ~-Temporizzazione t

Segnale PAM + Onda triangolare

I

t-

I I

t-

I

PWM

PPM

Figura 3.44

II I

D

I I

I

D

I I

I

O

,O

Tecnica per generare segnali PTM con campionamento

tistantaneo.

Figura 3-44 descrive una tecnica per ricavare il segnale PWM con il campionamento istantaneo, mentre la Figura 3-45 mostra come ottenerlo con il campionamento naturale. Nella modulazione PPM, invece, il campione del segnale analogico determina la posizione degli impulsi. Nelle suddette figure si può notare che la modulazione PPM è facilmente ottenuta da quella PWM utilizzando un circuito multivibratore monostabile. Riguardo i segnali PTM, spesso il livello Vr è denominato livellQ di riferimento. I segnali PWM e PPM possono essere riconvertiti nei corrispondenti segnali analogici mediante i circuiti mostrati nella Figura 3-46. Nella rivelazione PWM, il segnale ricevuto viene usato per controllare !'istante iniziale e quello finale dell'intervallo di integrazione di un integratore: in altre parole, l'integrazione inizia (a partire da integratore scarico) quando l'impulso PWM passa al valore alto e termina quando ritorna al livello

212

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base Segnale analogico di ingresso +

Segnale PWM di uscita

"(k Generatore di funzione triangolare Multivibratore monostabile

Segnale analogico di ingresso

Segnale PPM di uscita

(-

Onda triangolare

(-

Segnale analogico + Onda triangolare

(-

PWM PPM Figura 3-45

(-

(-

Tecnica per generare segnali PTM con campionamento naturale.

basso. Se l'integratore è collegato a una sorgente di tensione costante di riferimento, l'uscita sarà una rampa troncata a un valore corrispondente al valore del campione codificato. Perciò l'uscita dell,integratore, poco prima del reset a zero, è inviata in ingresso a un circuito di campionamento e mantenimento. Il segnale PAM è poi convertito in forma analogica mediante filtraggio passa-basso. Il segnale PPM può essere convertito in modo

t.

r

3-11 Integratore

Segnale a rampa troncato

Impulso Impulso di 'rese!' di 'stop' e di 'start'

Modulazioni

PAM

Campionamento e tenuta

213

del tempo d'impulso

Filtro passa-basso

Segnale analogico di uscita

I

h~

I

Segnale PWM I di ingresso

: ...JL~~~ '~ :L . I

Segnale PPM di ingresso

-

I

Derivatore

.

I

~: I~~:

I

I

.-----------------------

:,

I Dal clock del circuito :> di sincronizzazione

Segnale di ;;;;;ori~~n~

I I

Verso A

I

Verso B

,:

A -- -- ì .. Verso

II .. Verso B ;

1

SegnalePWM di ingresso

SegnalePPM di ingresso

Uscita dell'integratore (rampa troncata)

D

I

D

D

IO

~

1-

I

Segnale PAM

Figura 3-46

Rivelazione di segnali PWM e PPM.

del tutto simile: un impulso di clock comanda lo scaricamento dell 'integratore e l'inizio dell'integrazione, mentre l'impulso PPM la conclude. Il valote finale della rampa rappresenta il valore del segnale PAM che è poi utilizzato per rigenerare il segnale analogico. La modulazione PTM è ormai quasi completamente in disuso, principalmente perché richiede circuiteria analogica, anche se presenta un'elevata immunità nei confronti del rumore additivo.

214

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

3-12 RIEPILOGO Nel nostro studio della segnalazione in banda base, ci siamo concentrati su quattro principali argomenti: l) come rappresentare con segnali digitali l'informazione associata a forme d'onda analogiche; 2) come calcolare lo spettro dei codici di linea; 3) come la limitazione in banda dei segnali digitali operata dal canale di comunicazione influenza il recupero dell'informazione al ricevitore (problema dell'ISI); 4) come combinare l'informazione di diverse sorgenti in un unico segnale digitale per mezzo della multiplazione a suddivisione di tempo TDM. Abbiamo anche descritto gli standard utilizzati per i sistemi di telecomunicazione TDM. La tecnica PCM è uno schema di conversione analogico-digitale basata su tre operazioni fondamentali: 1) campionamento di un segnale analogico a banda limitata; 2) quantizzazione dei campioni analogici su M valori discreti; 3) codifica del campione quantizzato attraverso parole di n bit, con M = 2n. Il segnale in uscita a un ricevitore PCM è disturbato da due diversi tipi di rumore: l) il rumore di quantizzazione dovuto all'approssimazione dei campioni (teoricamente a infiniti livelli) su M soli livelli; 2) il disturbo dovuto agli errori commessi nella rivelazione dei bit al ricevitore a causa del rumore di canale o dell'ISI provocata da una inadeguata risposta in frequenza del canale. Se il segnale analogico non è rigorosamente a banda limitata, sarà presente anche una terza componente di disturbo nella componente di segnale originale dovuta al fenomeno dell' aliasing. Nello studio del processo di generazione dell'ISI da parte del canale di trasmissione, abbiamo esaminato il filtro a coseno rialzato di Nyquist, e abbiamo scoperto che la minima banda richiesta per la trasmissione di un segnale digitale senza ISI è pari alla metà della velocità di segnalazione (banda di Nyquist), anche se per problemi realizzativi si utilizza in pratica una banda più larga, fino al doppio di quella minima. La banda occupata sul canale può comunque essere diminuita facendo uso di tecniche di segnalazione multilivello. In questo capitolo abbiamo esaminato la segnalazione digitale in banda base. Nel prossimo capitolo ci occuperemo della tecniche per modulare un' oscillazione sinusoidale con un segnale in banda base, in modo che lo spettro del segnale risultante sia concentrato attorno alla frequenza di oscillazione della sinusoide, chiamatajìoequenza portante. 3-13 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO EA3-1 Spettro e banda di un segnale PAM Un segnale analogico w(t) è convertito in un segnale PAM avente impulsi rettangolari di durata 100 j.Ls.usando una frequenza di campionamento di 8 kHz. Supponendo che W(f) = 2A(f/B), doveB = 3 kHz, (a) trovare e rappresentare lo spettro di ampiezza del segnale PAM; (b) trovare il valore numerico della banda al primo nullo del segnale PAM. Soluzione. (a) Utilizzando W(f)

= 2A(f/B)

nella (3-10) si può facilmente valutare e rappresenta-

re con MATLABlo spettrodi Figura3-47.La figuraillustracome W(f) si ripetaalle

(,

3-13

215

Esercizi di approfondimento

Spettro di ampiezza del segnale PAM ad impulsi rettangolari

1.6 lA 1.2

~

~

0.8

~.., 0.6 004

0.2

o -5

-4

-3

-2

-]

o f

2

3

4

5

Figura 3-47 Soluzionedi EA3-l. sin 7TTf

y- ) della frequenza di campionamento e sia "pesata" dal fattore 'T ( 7T'T aannoniche causa della forma rettangolare dell'impulso PAM. (b) La banda al primo nullo è B = 3 kHz. Il valore 3 kHz non è però una buona misura della banda, poiché l'ampiezza dello spettro non è affatto trascurabile per frequenze [lobi secondari della funzione (sin x)/x). In tali circostanze, spesso si utilizza l'inviluppo dello spettro per specificare la banda al primo nullo. In questo modo, la banda =risulta a =quella al primo nullo dell'inviluppo BDullo l/T =essere 1/100pari J.LS lO kHz.

T

I

Si::;f I, e cioè

EA3-2 Banda e SNR del segnale PCM In un sistema di comunicazione vocale, un segnale telefonico di banda 3200 Hz viene convertito in un segnale PCM campionandolo alla velocità di 7000 campioni/s e utilizzando un quantizzatore uniforme con 64 livelli. Il segnale binario PCM è trasmesso attraverso un canale rumoroso a un ricevitore avente probabilità di errore BER (Bit Error Rate) pari a lO -4.

.

(a) Qual è la banda del segnale PCM corrispondente al primo nullo dello spettro? (b) Qual è il rapporto segnale-rumore medio SNR del segnale all'uscita del ricevitore? Soluzione (a) M = 64 passi di quantizzazione generano una parola PCM di 6 bit in quanto 64 =26. Utilizzando la (3-l5b), si trova che la banda corrispondente al primo nullo è BDuilo

= n/s =

6(7000)

=

42 kHz

Nota: Usando impulsi di tipo sinx/x la banda sarebbe BDuilo= ~nf, = 21 kHz

216

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base (b) Dalla (3-16b) con M

(~) =

= 64 e Pe =

10-4 si ottiene

. ~2

"= 4096 = 1552= 31.9 dB

Nota: Il tennine l a denominatore rappresenta il rumore di quantizzazione, e 1.64 rappresenta il rumore nel segnale ricostruito causato dagli errori effettuati dal ricevitore nella rigenerazione dei bit. In questo esempio, in due tennini danno contributi pressoché identici. Per M = 64, se il valore di BER fosse minore di 10-5 il rumore di quantizzazione dominerebbe, e viceversa per BER maggiore di 10-3. EA3-3 Proprietà del codice di linea NRZ Un codice di linea NRZ viene convertito in un segnale multilivello per la trasmissione su canale, come illustrato in Figura 3-13. Il numero dei possibili valori del segnale multilivello è 32, e il segnale consiste di impulsi rettangolari di durata 0.3472 ms. Per il segnale multilivello, (a) (b) (c) (d)

Qual è la velocità di segnalazione (di simbolo) espressa in baud? Qual è la velocità di bit? Qual è la banda al primo nullo? Ripetere i punti (a)-(c) per il codice NRZ unipolare.

Soluzione. (a) Utilizzando la (3-28), poiché si ha N = l impulso in To = 0.3452 ms, si ottiene (b) Poiché inoltre L

D = N/To = 1/0.3472 ms = 2880 baud = 5 dalla (3-34) si ha

= 32 = 2 £, con f

R = €D = 5(2880)= 14400 bit/s (c) Usando la (3-54), si trova che la banda è B.ullo

= R/f = D = 2880 Hz

(d) Per il codice di linea NRZ, abbiamo N = 5 impulsi in To = 0.3472 ms, e quindi

D = 5/0.3472 ms = 14400 baud Inoltre R = D in quanto il codice unipolare NRZ è binario (cioè L sione, R = 14400 bit/s e la banda al primo nullo è B.ullo

=

R/f

=

D

=

= 2£). In conclu-

14400 Hz

EA3-4 Banda del segnale RS-232 La porta seriale RS-232 di un personal computer trasmette dati alla velocità di 38400 bit/s utilizzando un codice di linea polare NRZ. Valutare e rappresentare la densità spettrale di potenza del segnale, utilizzando una scala in dB normalizzata in modo che il valore massimo corrisponda a OdB. Discutere i requisiti di banda per questo segnale. Soluzione. Considerando la (3-41), poniamo A2 Tb in modo che il valore massimo valga OdB. Allora lo spettro, in dB, vale

3-13

217

Esercizi di approfondimento

Densità spettrale di potenza

o -5 -IO -15 -20 j;Q "'O

S

-25

@> -30 -35 -40 -45 -50 -2

-1.5

-I

-0.5

o

0.5

[(Hz) Figura 3-48

1.5

2 X 105

Densità spettrale di potenza per un segnale RS-232 con velocità di informazione

pari a 38 400 bitjs.

con Tb = I/R e R = 38400 bit/s. Questo risultato è rappresentato nella Figura 3-48 utilizzando come richiesto una scala in dB. Il grafico mostra che il segnale ha una banda elevata. Infatti, sebbene la banda al primo nullo sia (Bnull= R), il massimo del primo e del secondo lobo laterale si ottengono per I = 57 600 Hz e 96 000 e sono attenuati rispetto a quello principale rispettivamente di soli 13.3 dB e 17.9 dB. Sapendo che l'inviluppo dello spettro è descritto da (1/'1TITb)2, si trova che è necessaria una banda di 386 kHz = IO.IR affinché le componenti frequenziali fuori banda siano attenuate più di 30 dB. La conclusione è che un segnale con impulsi rettangolari è a banda larga, come già illustrato nella Figura 2-24. Per applicazioni che richiedono la trasmissione su canali a banda limitata, è neces~rio un qualche tipo di filtraggio dell'impulso, per fornire una buona attenuazione fuori banda e contemporaneamente non introdurre ISI. Ad esempio, dalla (3-74) si ricava che un impulso con sagomatura a coseno rialzato con rollof r = 0.5 avrebbe attenuazione infinita a partire da B = !(l + r)D = (0.5)(1.5)(38400) = 28800 Hz = 0.75R, corrispondente alla banda assoluta. Con riferimento alla Figura 3-26a e usando la (3-69), si nota che lo spettro a coseno rialzato con rolloff r = 0.5 è attenuato di 30 dB a/= 20070 Hz = 0.523R e di 100 dB per 1= 22217 Hz = 0.579R. Utilizzando la definizione di banda corrispondente a una attenuazione di 30 dB, si ottiene un "risparmio di banda" di circa ]9 volte rispetto al caso dell'impulso rettangolare.

218

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base

ESERCIZI PROPOSTI

3-1

3-3

Dimostrare che i coefficienti della serie ~i Fourier per la forma d'onda rappresentata in Figura 3-lb sono dati dall'Equazione (3-5b). (a) Rappresentare la forma d'onda PAM che si ottiene con un campionamento naturale alla frequenza 4-kHz di un segnale sinusoidale alla frequenza di 1 kHz. (b) Ripetere il punto (a) per il caso di segnale PAM con impulso rettangolare. Lo spettro di un segnale analogico audio è mostrato in Figura EP3-3. Il segnale è campionato con frequenza 10kHz con impulsi di durata T = 50 1-tS. (a) Trovare l'espressione della densità spettrale di potenza del segnale PAM con campionamento naturale e rappresentare graficamente il risultato. (b) Trovare l'espressione per la densità spettrale di potenza del segnale PAM con impulsi rettangolari e rappresentare graficamente il risultato.

3.4

(a) Dimostrare che si può ricostruire un segnale analogico proporzionale all'originale a partire da un segnale PAM con campionamento naturale utilizzando la tecnica di Figura 3-4. (b) Trovare la costante di proporzionalità C che si ottiene applicando la suddetta tecnica, dove w( t) è il segnale originale e Cw( t) è quello ricostruito. Si noti che C è una funzione di n, se la frequenza dell'oscillatore è n/s.

3.5

La Figura 3-4 illustra come demodulare un segnale PAM con campionamento naturale per ricostruire il segnale analogico attraverso un'operazione di conversione frequenziale. Dimostrare che questo schema può essere utilizzato per ricostruire w(t) anche a partire da un segnale PAM con campionamento istantaneo, a patto di usare un opportuno filtro H(f). Trovare la risposta in frequenza di tale filtro.

3.6

Il segnale analogico avente lo spettro di Figura EP3-3, deve essere trasmesso attraverso un sistema PAM con accoppiamento in alternata. Si utilizza dunque il codice Manchester (3-46a) e una frequenza di campionamento pari a lO kHz. Trovare la densità spettrale di potenza di tale segnale.

3.7

In un sistema PCM binario, il rumore di quantizzazione non deve eccedere il valore percentuale :tP del livello della potenza di picco. Dimostrare che allora il numero di bit richiesto per ogni parola è

..

j.

(Suggerimento: Fare riferimento alla Figura 3-8c.) 3-8

Una forma d'onda analogica deve essere trasmessa in un sistema PCM con una accuratezza pari a :tO.l % della dinamica picco-picco. Il segnale ha banda di 100 Hz e una dinamica nelle ampiezze di + lO V. Determinare:

IW(f)1

4

j(kHz) Figura EP3-3

Esercizi proposti (a) (b) (c) (d)

219

la minima frequenza di campionamento richiesta; il minimo numero di bit richiesti per la parola PCM; la minima velocità di bit per il segnale PCM; la"minima banda di canale richiesta per la trasmissione del segnale PCM.

3-9

Un hard disk da 20 OB è utilizzato per memorizzare dati PCM. Un segnale telefonico campionato a 8000 campioni/s deve avere un rapporto segnale-rumore medio SNR pari almeno a 30 dB. Quante ore di conversazione possono essere memorizzate sull'hard disk?

3-10

Un segnale analogico di banda 4.2 MHz deve essere convertito in segnale PCM binario e trasmesso su un canale. Il rapporto tra la potenza di picco del segnale e la potenza media del rumore di quantizzazione deve essere almeno 55 dB. (a) Nell'ipotesi di Pe = O e ISI trascurabile, quali saranno la lunghezza della parola PCM e il numero di passi di quantizzazione richiesti? (b) Quale sarà la velocità di bit? (c) Quale sarà la banda al primo nullo del segnale che utilizza impulsi rettangolari?

3-11

Un lettore di compact disc (CD) utilizza un sovracampionamento di 8 volte del segnale analogico, la cui banda è 20 kHz. (a) Qual è la banda corrispondente al primo nullo del segnale PCM? (b) Usando la (3-18), trovare lo SNR di picco in dB. Un segnale vocale con componenti spettrali nell 'intervallo da 300 a 3000 Hz, viene campionato alla frequenza di 7 kHz per generare un segnale PCM. Progettare il sistema PCM come segue: (a) Disegnare lo schema a blocchi del sistema, includendo il trasmettitore, il canale e il ricevitore. (b) Specificare il numero di passi uniformi di quantizzazione richiesti e la banda al primo nullo, nell'ipotesi che il rapporto segnale-rumore di picco all'uscita del ricevitore sia almeno 30 dB e che la segnalazione sia polare NRZ. (c) Discutere come la quantizzazione non uniforme può migliorare le prestazioni del sistema.

3-12

3-13

I rapporti segnale-rumore SNR dati dalla (3-17a) e (3-17b), ipotizzano nessun errore sui bit ricevuti a causa del rumore di canale (cioè Pe

3-14

3-15

3-16

3-17

=

O). Trovare il valore limite della Pe che

porta a un errore dello 0.1% sulle (3-17a) e (3-17b) per M = 4,80 16. In un sistema PCM il tasso d'errore dovuto al rumore di canale è 10-4. Si ipotizzi che il rapporto segnale-rumore di picco relativo al segnale ricostruito debba essere almeno 30 dB. (a) Trovare il minimo numero di passi di quantizzazione che possono essere usati per codificare il segnale analogico. (b) Se il segnale analogico d'ingresso ha una banda assoluta di 2.7 kHz, qual è la banda relativa al primo nullo dello spettro del segnale PCM per il caso di segnalazione polare NRZ? Con riferimento alla Figura 3-20 relativa al sincronizzatore di bit con quadratore, disegnare qualitativamente i segnali presenti nel sistema quando in ingresso si trova un segnale PCM con codifica Manchester. Discutere se questo sincronizzatore di bit ha prestazioni migliori per il segnale PCM con codifica Manchester o con codifica polare NRZ. (a) Disegnare

la caratteristica

completa

di un compressore

J.L= lO tale da accettare in in-

gresso segnali nell'intervallo da -5 a +5 V. (b) Disegnare la caratteristica dell' espansore. (c) Disegnare la caratteristica di un quantizzatore non uniforme a 16 livelli corrispondente a quella del compressore J.L= lO. Per un sistema PCM a 4 bit, calcolare e disegnare l'andamento del rapporto segnale-rumore SNR di uscita (in dB) in funzione del livello relativo di ingresso 20 log (XeffIV) per: (a) un sistema PCM che utilizza una legge di compressione J.L= 10;

220

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base (b) un sistema PCM che utilizza una quantizzazione unifonne; Quale di questi sistemi è migliore per un utilizzo pratico? Perché? 3-18

Si devono calcolare le prestazioni di un si&.temaPCM con legge di compressione di tipo = 255 quando l'ingresso è un segnale sinusoidale con valore di picco V. Supponendo M = 256, (a) trovare l'espressione del rapporto SNR di uscita; (b) illustrare graficamente l'andamento dell'SNR in funzione del livello relativo di ingresso 20 log(xeffIV). Confrontare questi risultati con quelli mostrati nella Figura 3-10. IL

3-19

Un sistema digitale multilivello invia uno tra 16 possibili livelli ogni 0.8 ms. (a) Qual è il numero di bit corrispondenti a ogni livello? (b) Qual è la velocità di segnalazione? (c) Qual è la velocità di bit?

3-20

Un sistema digitale multilivello deve operare alla velocità dati di 9600 bitl s. (a) Se ogni livello rappresenta una parola di 4 bit, qual è la minima banda richiesta? (b) Ripetere la parte (a) per il caso di codifica con 8 bit.

3-21

Una sequenza detenninistica di prova è fonnata da simboli binari l e O alternanti. Detenninare lo spettro in ampiezza (non la densità spettrale di potenza) per i seguenti fonnati di segnalazione in funzione dell'intervallo di bit TI>: (a) segnalazione unipolare NRZ; (b) segnalazione unipolare RZ dove la durata dell'impulso è T = ~TI>' Come cambierebbero questi spettri se la sequenza di test fosse una sequenza di quattro simboli binari l seguiti da altrettanti O? 3-22 Calcolare la densità spettrale di potenza per i seguenti formati di segnalazione in funzione dell'intervallo di bit TI>,e con una sequenza di bit indipendenti a valori Oe I equiprobabili: (a) segnalazione unipolare NRZ. (b) segnalazione unipolare RZ dove la durata dell'impulso è T = ~TI>' Come si confronta la densità di potenza per il caso di simboli aleatori con gli spettri di ampiezza relativi al caso di simboli detenninistici dell'Esercizio 3-21? Qual è la efficienza spettrale in ognuno di questi casi? 3-23 Una sequenza detenninistica di prova è fonnata da simboli binari I e O alternanti. Detenninare lo spettro in ampiezza (non la densità spettrale di potenza) per i seguenti fonnati di segnalazione in funzione dell'intervallo di bit TI>: (a) segnalazione polare NRZ; (b) segnalazione Manchester NRZ. Come cambierebbero questi spettri se la sequenza di test fosse una sequenza di quattro simboli binari l seguiti da altrettanti O? 3-24

Calcolare la densità spettrale di potenza per i seguenti fonnati di segnalazione in funzione dell'intervallo di bit TI>,e con una sequenza di bit indipendenti a valori O e I equiprobabili:

(a) segnalazionepolareRZ dove la duratadell'impulsoè T =

!TI>;

(b) segnalazione Manchester RZ dove la durata dell'impulso è T = iTI>'Qual è la banda al primo nullo di questi segnali? Qual è la efficienza spettrale in ognuno di questi casi? 3-25 Ricavare le densità spettrale di potenza del codice di linea bipolare NRZ e bipolare RZ (durata dell'impulso T = !TI» con valore massimo di :1:3V. Disegnare il grafico di questi spettri nel caso R = 2.048 Mbit/s. 3-26 Nella Figura 3-16, sono mostrate le densità spettrali di potenza per varie codifiche di linea. Questi spettri sono ricavati nel caso di potenza unitaria per ciascun segnale, in modo che questi possano essere confrontati sulla base di uguale potenza trasmessa. Ricalcolare gli spettri di potenza relativi a queste codifiche ipotizzando che il valore di picco sia unitario, e cioè A = l. Riportare in grafico gli spettri trovati ipotizzando uno stesso valore di picco.

Esercizi proposti

221

3-27 Utilizzando la (3-36), detenninare le condizioni sotto le quali sono presenti funzioni delta nel-

3-28

lo spettro delle codifiche di linea. Discutere come questo fattore influenza il progetto dei sincrogizzatori di bit per tali codifiche. [Suggerimento: Esaminare la (3-43) e la (6-70d).] Una sequenza aleatoria di simboli binari I e O equiprobabili viene trasmessa con un codice di tipo pseudo-polare in modo tale che l'impulso associato a ogni bit è Jet)

=

cos [ O,

(;:), altrimenti

dove Tb è l'intervallo di bit. (a) IlIustrare qualitativamente una realizzazione di questo segnale. (b) Trovare l'espressione della densità spettrale di potenza di questo segnale. (c) Qual è l'efficienza spettrale di questo tipo di segnalazione binaria? 3-29 La sequenza dati 01101000101 è inviata in ingresso a un decodificatore differenziale. Trovare le due possibili sequenze codificate che si possono ottenere in uscita in funzione delle condizioni iniziali del codificatore. 3-30

3.31

3-32

Disegnareil diagrammaa blocchidi un sistemaconcodificae decodificadifferenziale.Spiegare come opera il sistema illustrando il processo di codifica e decodifica per la sequenza 001111010001, con simbolo di riferimento pari a I. Dimostrare che non è possibile la propagazione degli errori. Disegnare l'architettura di un ripetitore rigenerativo con gli associati sincronizzatori di bit per una codifica di linea RZ. Spiegare come funziona il sistema. (Suggerimento: Fare riferimento alla Figura 3-19 e alla discussione sui sincronizzatori di bit.)

Progettareun sincronizzatoredi bit per la codificadi linea ManchesterNRZ effettuandoi seguenti passi: (a) Detenninare uno schema a blocchi semplificato. (b) Spiegare le funzioni del sincronizzatore. (c) Specificare i requisiti dei filtri. (d) Spiegare i vantaggi e gli svantaggi di usare questo sistema per una codifica di linea Manchester NRZ rispetto alla codifica polare NRZ con il corrispondente sincronizzatore.

3-33 La Figura 3-22c illustra un segnale a 8 livelli che viene poi trasmesso su di un canale che filtra il segnale e aggiunge rumore. (a) Disegnare qualitativamente il diagramma a occhio per il segnale ricevuto. (b) Definire un possibile ricevitore con gli associati sincronizzatori di bit per questo codice di linea. (c) Spiegare il funzionamento del ricevitore. 3-34

Una fonna d'onda analogica è prima codificata in un segnale PCM e poi convertita in un segnale multilivello per la trasmissione sul canale. Il numero dei livelli è 8, la banda del segnale analogicoè 2700 Hz e l'accuratezzadi riproduzionedeve esserepari allo 0.1% della dinamica picco-picco. (a) Detenninare la minima velocità di bit del segnale PCM. (b) Detenninare la minima velocità di segnalazione del segnale multilivello. (c) Detenninare la minima banda assoluta di canale richiesta per la trasmissione. 3-35 Un segnale binario a 9600 bit/s è convertito in un segnale multilivello a 8 livelli che è poi trasmesso in un canale con risposta in frequenza di Nyquist a coseno rialzato. Il canale ha una risposta in fase equalizzata fino a 2.4 kHz. (a) Qual è la velocità di segnalazione del segnale multilivello? (b) Qual è il fattore di rolloff del filtro a coseno rialzato?

222

Capitolo 3 3-36

- Segnali

digitali e a impulsi in banda base

Un segnale digitale ha L

= 64 livelli e impulso RZ dato da I(t}

3-37

dove Ts è l'intervallo di simbolo. (a) Detenninare l'espressione della densità spettrale di potenza del segnale nel caso di simboli equiprobabili e con livello massimo pari a IO V. (b) Qual è la banda al primo nullo? (c) Qual è l'efficienza spettrale? Un sistema di comunicazione impiega una segnalazione polare. La risposta impulsiva complessiva è del tipo (sin x)/x in modo che rISI sia nulla. La velocità di bit è R

3-38

= II (~)

= Is =

300 bit/s.

(a) Qual è la banda del segnale polare? (b) Disegnare qualitativamente la fonna d'onda all'uscita del sistema quando la sequenza di bit in ingresso è 01100101. È possibile individuare i simboli trasmessi direttamente dal grafico di tale segnale? L'Equazione (3-67) fornisce una possibile risposta impulsiva non causale per un sistema di comunicazione con ISI nulla. Come approssimazione causale si consideri he(t)

=

sin 1TIs(t

1TIs(t-

-4 4X X10-3) 10-3)

II

t - 4 X 10-3 ( 8 X 10-3

)

dove Is = 1000. (a) Calcolare numericamente He(f) utilizzando un PC, e disegnarne il moduloIHe(f)I. (b) Qual è la banda di questa approssimazione causale, e come si confronta a quella del filtro non causale descritto dalle (3-67) e (3-68)? 3-39

Partendo dalla (3-69), dimostrare che la risposta impulsiva del filtro a coseno rialzato è data dalla (3-73).

3-40

Per il filtro di Nyquist a coseno rialzato dato dalle (3-69) e (3-73), (a) trovare il grafico diIHe(f)1 con r = 0.75, indicando le frequenzet.,fo e B in modo simile alla Figura 3-25. (b) trovare il grafico di he(t) per il caso di r = 0.75 in funzione di Ilfo. Il grafico dovrebbe essere simile a quello riportato in Figura 3-26. Trovare la densità spettrale di potenza del segnale in uscita a un canale a coseno rialzato con

3.41

r

3-42

=

0.5 e segnalazione polare NRZ. Si ipotizzi che i simboli siano equiprobabili e che la ban-

da del canale sia sufficientemente larga da evitare l'ISI. L'Equazione (3-66) fornisce la condizione per l'assenza di ISI (primo criterio di Nyquist). Mediante questa equazione con C = I e T = O,dimostrare che il criterio di Nyquist per l'assenza di ISI è anche soddisfatto se l per

3-43

III s;

2Ts

Usando i risultati dell'Esercizio 3-42, dire se i seguenti filtri soddisfano o meno il primo criterio di Nyquist (fs

To

= 2/0 = 2/To). I

(a) He(f) = 2" II ( 2" ITo) .

Esercizi proposti 2

To (b) He(f) 3-44

( )

= "2 TI "3 fTo .

Un sistema di trasmissione ha risposta in frequenza complessiva pari a quella di un filtro di Nyquist a coseno rialzato. (a) Trovare la funzione di Nyquist Y(f) corrispondente alla (3-75). (b) Disegnare la Y(f)

3-45

3-46 3-47

3-48

3-50

3-51

3-52

nel caso r

= 0.75.

(c) Disegnare un'altra Y(f) che non sia a coseno rialzato, e determinare la banda assoluta del filtro di Nyquist risultante. Un segnale analogico viene convertito in un segnale PCM con codifica binaria polare NRZ. Il segnale è poi trasmesso su di un canale con banda 4 kHz. Il quantizzatore PCM è a 16 livelli e la risposta in frequenza complessiva del sistema è tipo a coseno rialzato con r = 0.5. (a) Trovare la massima velocità dati PCM che può essere supportata da questo sistema senza introduzione di ISI. (b) Trovare la massima banda del segnale analogico. Ripetere l'Esercizio 3-45 nel caso di codifica di linea polare NRZ a quattro livelli. Una trasmissione dati a velocità di bit pari a 2400 bit/ s viene effettuata tramite un codice di linea a quattro livelli con impulsi all'uscita del trasmettitore di forma rettangolare. Il sistema complessivo, e cioè il trasmettitore, il canale e il ricevitore, è di Nyquist a coseno rialzato con r = 0.5. (a) Trovare la velocità di segnalazione del segnale trasmesso. (b) Trovare la banda a -6 dB di questo sistema di trasmissione. (c) Trovame la banda assoluta. In un sistema PCM per segnali vocali, la banda del segnale analogico è pari a 3400 Hz e lo SNR deve essere almeno 40 dB. Determinare la velocità di bit di un sistema che utilizza: (a) segnalazione

3-49

223

PCM con compressione

IL

=

255;

(b) segnalazione DPCM. Con riferimento alla Figura 3-32, che illustra tipiche forme d'onda di tipo DM, tracciare il grafico di una forma d'onda analogica diversa da quella mostrata nella figura, del relativo segnale DM e dell'uscita dell'integratore. Stabilire le regioni dove dominano rispettivamente il rumore per sovraccarico di pendenza e il rumore granulare. Un sistema DM viene provato con un segnale sinusoidale di frequenza lO kHz e ampiezza picco-picco pari a l V. Il segnale è campionato con una frequenza lO volte superiore a quella minima di Nyquist. (a) Qual è il passo di quantizzazione richiesto per prevenire il rumore per sovraccarico di pendenza e per minimizzare il rumore granulare? (b) Qual è la densità spettrale di potenza del rumore di granularità? (c) Se il ricevitore ha banda 200 kHz, qual è il rapporto segnale-rumore di quantizzazione medio? Il segnale d'ingresso di un sistema DM è 0.lr8 - 5r + 2, il passo di quantizzazione è l V, e il campionatore funziona a IO campioni/s. Mostrare qualitativamente il segnale di ingresso, l'uscita del modulatore DM, e l'uscita dell'integratore sull'intervallo da Oa 2 s. Indicare le regioni relative al rumore granulare e per sovraccarico di pendenza. Ripetere l'Esercizio 3-51 per il caso di un modulatore DM adattativo, per il quale il passo di quantizzazione è selezionato secondo il numero di cifre binarie l o Oconsecutive. Si ipotizzi che il passo sia 1.5 V quando ci sono quattro cifre binarie consecutive uguali, l V per il caso di tre cifre consecutive, e 0.5 V per il caso di due o meno.

224

Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base 3-53

Un modulatore DM deve essere progettato in modo da trasmettere un segnale analogico con ampiezza picco-picco di 1 V e banda 3.4 kHz. Il segnale digitale deve essere trasmesso attraverso un canale con risposta in frequenza non più accettabile oltre a 1 MHz. (a) Selezionare opportunamente il passo di quantizzazione e la frequenza di campionamento, e discutere le prestazioni del sistema in base ai valori dei parametri selezionati. (b) Nel caso di trasmissione di un segnale analogico vocale, selezionare l'opportuno passo per una frequenza di campionamento pari a 25 kHz e discutere le prestazioni in tali condizioni.

3-54

Un segnale analogico Wl(t) è limitato in banda a 3 kHz e un secondo segnale, W2(t), a 9 kHz. Questi due segnali sono trasmessi attraverso un sistema TDM di tipo PAM. (a) Determinare la minima frequenza di campionamento per ogni segnale, e disegnare lo schema del sistema TDM (in particolare dei commutatori). (b) Disegnare due realizzazioni tipiche per Wl(t) e W2(t), e il corrispondente segnale TDM. Tre segnali sono multiplati a suddivisione di tempo utilizzando un segnale PAM a campi0namento istantaneo con tempo di campionamento 0.15 secondi con impulsi di durata molto stretta. Disegnare il segnale TDM quando i segnali di ingresso sono

3-55

Wl (t)

= 3 sin(2m)

W3(t)

= -A(t

e

3.56

- 1)

Ventitrè segnali analogici con banda 3.4 kHz sono campionati con frequenza 8 kHz ciascuno, e sono multiplati assieme a un canale si sincronizzazione (8 kHz) in un segnale TDM, che a sua volta è trasmesso attraverso un canale con risposta complessiva a coseno rialzato

con r

==

0.75.

(a) Determinare lo schema a blocchi del sistema, definendo la frequenza!s del commutatore e la velocità del flusso dati TDM. (b) Valutare la banda assoluta minima del canale. 3-57

Due segnali PAM, ottenuti mediante campionamento istantaneo, sono multiplati per produrre un segnale composito PAM(fDM che è trasmesso sul canale. Il primo segnale PAM è ottenuto da un segnale analogico con spettro Wl(f) = nUI2B). Il secondosegnalePAMè invece ottenuto da un segnale analogico con spettro W2(f) = A(fIB), doveB = 3 kHz. (a) Determinare la minima frequenza di campionamento per ogni segnale, e progettare un commutatore e decommutatore per gestire questi segnali. (b) Calcolare e disegnare qualitativamente lo spettro in ampiezza del segnale PAM(fDM.

3-58

Ripetere l'Esercizio 3-56 per un sistema PCM(fDM, in cui viene utilizzato un quantizzatore a 8 bit per generare la parola PCM relativa a ogni segnale analogico di ingresso e in cui nel canale di sincronizzazione viene inviata una parola di sincronismo di 8 bit.

3-59

Progettare un sistema PCM(fDM per quattro ingressi digitali sincroni a 300 bitl s e un segnale analogico di banda 500 Hz codificato a 4 bit/campione. In particolare, disegnare uno schema a blocchi del sistema analogo a quello di Figura 3-39, fornendo la velocità di bit nei vari punti del diagramma.

3-60

Progettare un sistema TDM per due ingressi digitali sincroni a 2400 bitls e un segnale analogico con banda 2700 Hz in cui il segnale analogico viene campionato a una frequenza pa-

Punti principali

. . . . .

.

Inviluppo complesso

e segnali modulati Spettro dei segnali

passa-banda Distorsioninon lineari Dispositivi

per le telecomunicazioni (convertitori, PLL, sintetizzatori, rivelatori) Trasmettitori e ricevitori "Software

radio"

SEGNALI PASSABANDA E RELATIVI SCHEMI CIRCUITALI

Questo capitolo affronta le problematiche legate alle tecniche di trasmissione passa-banda. Come anticipato nel Capitolo 1, un segnale passa-banda viene ottenuto modulando su una certa portante un segnale in banda base analogico o digitale. Il capitolo è sicuramente di grande interesse poiché introduce i principi basilari della trasmissione in banda passante. Faremo spesso ricorso all'inviluppo complesso in quanto attraverso di esso è possibile rappresentare qualsiasi segnale in banda passante. L'inviluppo complesso è un concetto essenziale ai fini della comprensione dei sistemi di comunicazione analogica e digitale che saranno descritti con maggior dettaglio nei Capitoli 3 e 5. Sempre nel corso del capitolo verranno affrontati alcuni degli aspetti pratici che si incontrano nel progetto degli apparati tipicamente impiegati nei sistemi di comunicazione, e cioè filtri, amplificatori lineari e non, mixer, convertitori di frequenza, modulatori, rivelatori e anelli ad aggancio di fase (PLL). A conclusione del capitolo descriveremo alcuni tipi di trasmettitori, di ricevitori ed esamineremo il concetto della "software radio".

228

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

4-1 L'INVILUPPO COMPLESSO DEI SEGNALI IN BANDA PASSANTE Che cos'è la rappresentazione di un segnale passa-banda analogico o digitale? Come possiamo rappresentare un segnale modulato? Queste sono alcune delle questioni che verranno affrontate in questo paragrafo.

Definizioni:

banda base, banda passante e modulazione

DEFINIZIONE.Un segnale in banda base ha uno spettro di ampiezza diverso da..z.e..ro per frequenze prossime all'o[Ì.,gillef = OeJrascur~.biI~ altIQve. DEFINIZIONE.Un segnale in banda passante (o passa-banda) ha uno spettro..di ampiezza

cIiver~o da 7ero SII eli IIn!j, certa handa-atteme-a-\lna-fn~quenza...~

chiaIll~[reQUenza 1JortmJ.te. Nella pratica,fc è la frequenza
~j-Q~~ungo

~anak..trasmissi.vo..(sia.esso-via{;ave.{K'-ia-radio)~-

DEFINIZIONE.C~ il termine modulazione si indica il processo mediante il quale l'informazion~__~im~essa su di un segnale sinusoidale portanté con frequenzafc attraverso i'introduzione di unaqualche variazione nell'ampiezza, nella fase o su entrambe. Il segnale passa-banda così ottenuto è detto segnale modulato, s(t), mentre 11segnale informativo originale -è..£\1iam~t.9_s.f8nale modl!.lante,m(t). Più avanti nel capitolo verranno presentati alcuni esempi di modulazione di un segnale. La definizione appena data indica che la modulazione può essere pensata come un'operazione di "trasferimento" dell'informazione di sorgente su di un segnale passa-banda. A essere trasmesso sul canale sarà proprio il segnale in banda passante. " Nel momento -in cui il segnale modulato attraversa il mezzott:"a;missivo, esso viene alterato dai disturbi (rumore). All'ingresso del ricevitore si ha dunque una forma Segnale informativo

in ingresso Ig(t) I I s(t) m IElaborazioneL.:..:..JModulatore del segnale

Mezzo di trasmissione (canale)

emodulatore Ig(~)1Elaborazione del segnale

Ricevitore

Trasmettitore

Figura 4.1

Sistema di comunicazione.

m 1

4-1

L'inviluppo

complesso dei segnali in banda passante

229

d'onda, r(t), che risulta dalla sovrapposizione di segnale utile e rumore (Figura 4-1). Il ricevitore ha il compito di ricostruire ciò che è stato effettivamente trasmesso dalla sorgente; rappresenta la versione alterata dal rumore di m.

m

Inviluppo

complesso

Tutti i segnali in banda passante, siano essi segnali modulati, segnali interferenti o rumore, possono essere rappresentati in modo opportuno attraverso il seguente teorema. Useremo il simbolo v( t) per indicare un generico segnale passa-banda che potrà coincidere

con il segnaleutilese s(t)

==

v(t), con il rumore,se n(t)

il rumore all'uscita del canale, (r(t) banda passante.

v(t), col segnalefiltratopiù

==

v(t)), o con qualsiasi altra forma di segnale in

==

I

TEOREMA.

Un qualunque segnale -passa-banda .- - può essere ----rappresentato come -

(4-1a) d~{'

I indirl1.kLpaae...re.aledi {.I, g(t} è l'inviluppo complesso di v(t) e!c Ua re-

1ClJb!g-1J'f>ql1l!ma

pOClante..(in.hertz)

con

=

a..'c..

271jr;.:.1'1!!ltrez

sono

possibili

altre

dut;. rEP...-

pr~JJaJ.tazioni-eqJlWalenti,-6-Gioè

v(t) = R(t) - - cos[wct --- + O(t)]

(4-lb)

e v(t) = x(t) cos wct - y(t) sin....Wct

(4-lc)

dove g(t)

= x(t) + jy(t) = x(t) = Re{g(t)} y(t) = Im{g(t)} R(t) ~ Ig(t)1

Ig(t)lej/g(t)

== R(t)ej8(1)

(4-2)

==

R(t) cos O(t)

(4-3a)

==

R(t) sin O(t)

(4-3b)

==

..Jx2(t) + y2(t)

(4-4a)

y(t) tan-l ( x(t) )

(4-4b) ,.

e

O(t) ~ jg(t)

=

Dimostrazione. Qualsiasi segnale fisico (non necessariamente periodico) può essere rappresentato sull'intero asse dei tempi attraverso il suo sviluppo (complesso) in serie di Fourier, con To ~ 00: 11=00

v(t) =

I

Cn ejnwor,

n =--00

I

Il simbolo""

indica un'equivalenza

mentre il simbolo ~ indica una definizione.

(4-5)

4-3

Spettro dei segnali passa-banda

231

4-2 RAPPRESENTAZIONE DEI SEGNALI MODULA TI La modulazione è un rocedimento di codifica del segnale infonnativo m(t) (se naIe mo~ul~egn~l~ il\JJanga".pas se n.~~~~u1ID.Q1 Il segnaj£".JJJ~ulatrl-~I1~ generale

--

(4-9) dove Wc= 21T/c,elc è la frequenza portante. L'inviluppo complesso g(t) è una funzione del segnale modulante m(t): g(t)

= g(m(t)]

(4-10)

Dove g['] indica l'operazione di trasfonnazione operata su m(t) (vedi Fig. 4-1). La Tabella 4-1 fornisce un quadro generale del processo di modulazione. Vengono presentati esempi di trasfonnazione g( m] per i seguenti tipi di modulazione: di ampiezza (AM), a doppia hancia laterale con portante soppressa (DSB-SC), di fase (PM), di frequenza (FM), AM a banda laterale singola con portante sQPpressa (SSB-AM-Sq, PM a ~ànda laterale singola (SSB-PM), FM a banda laterale singola (SSB-FM)' a banda latera1~1a rnn rivelazione d'inviluppo (SSR-RV), a-banda-lateJ:ale..singo.1a...con riye)çJziwe a quadratore (SSR-SQ) e infine modulawne in fase{quadratqra (Q~ ~I segnali modulati analogici e digitali saranno analizzati con maggior dettaglio nel' Capitolo 5. In particolare, i segnali con modulazione di itale si ottengono a artire da un se naIe modulante di itale in base m t come l'uscita di un circu' 'gitak:...di.tipo TTL. Ovviamente è possibile far uso di altre funzioni g( m] oltre a quelle elencate in Tabella 4-1. La domanda da porsi a questo proporsito è la seguente: tali funzioni sono effettivamente utili? Generalmente, le varie g( m] devono essere semplici da implementare e devono dar luogo a proprietà spettrali interessanti. Inoltre, visto che al ricevitore è necessario applicare la funzione inversa m(g] tale inversione dovrebbe essere univoca sull'intero intervallo di valori in esame e facilmente implementabile. Infine, l'operazione di trasfonnazione deve risultare il più possibile immune ai vari disturbi in modo che m(t) possa essere ricostruito il più fedelmente possibile.

&-3SPETTRO DEI SEGNALI PASSA-BANDA Lo spettro di un segnale passa-handa può e~~ inviluppo complesso.

ricay.at<,> girettamente da quello del suo -

--

TEOREMf:.:;;"Dato un segnale 12a~sq-.!?andall~jpJgr..ma vi!)

= f3,e{gJ!lejOJct) -~

(4-11)

al/ora la s!:!..qJJ:ag2l:rnatadi f' ourier (TF) è

V(f)

--

= HG(f - lc) Ic)] - + G*(-I ---............

(4-12)

N c:...J N

n I» "E. 8" 5" TABELLA 4-1

H::>I Cf) Il)

INVILUPPO COMPLESSO PER VARIE FORME DI MODULAZIONE" Corrispondenti modulazioni in quadratura

Tipo di modulazione AM

:- C:.<;;P>

DSB-SC PM FM

Mappa g(m)

Ac[1 + m(t)]

SSB-AM-SCb

Ac[m(t)

SSB-PMb

AcejDp[m(t):!:j'ÌI(t)]

SSB-FMb

AcejDrl~[m(O'):!:jtfl

dO'

Ac cos [DJ

o

:!: jm(t)]

O Acsin[Dpm(t)]

f~ m(u)

Ace

{lo[t +m(t)]:!:jhi

SSB-SQb

Ace

(1/2) {to(l +nr(t) ]:!:Jlfi IJ+nr(t)l}

QM

Ac[mt(t) + jm2(t)]

Il +nr(t)l}

Acsin[DJ

]

Ace+Dpm(t) cos[Dpm(t)]

Ace +Dpm(t) sin[Dpm(t)]

COS[DJ

f~ m(u)

Ac[1 + m(t)] cos{liì[1 + m(t)]} AcVI + m(t) cosH liì[1 + m(t)]} Acmt(t)

dU]

n! SI .....

f~ m(U)dU]

:!:Acm(t)

(O')]dO'

SSB-EVb

du

Acm(t)

Ace+Drl~'i1(O')dO'

--

y(t)

Ac[l + m(t)] Acm(t) Accos[Dpm(t)]

Acm(t) AcejDpln(t) AcejDrl~m(O')

x(t)

Ace+Dr(m(d)dd

sin[ DJ

~: cn n ::r Il) §. n ::;. n 5. .....

f~ m( u) dU]

:!:Ac[1+ m(t)] sin{liì[1 + m(t)]} :!:AcVI+ m(t) sinH liì[1 + m(t)]} Acm2(t)


~

---

-;-

TABELLA 4-1 INVILUPPO COMPLESSO PER VARIE FORME DI MODULAZIONE (seguito) Corrispondenti modulazioni di ampiezza e fase Tipo di modulazione

AM

DSB-SC

R(I)

Acll + m(t)1

Ac

FM

Ac

O,

m(t) >-1

{ 180°, m(t) <-I

O,

Aclm(t)1

PM

0(1)

{ 180°,

+ [m(t)]2

r

--00

m(O") dO"

SSB-AM-SCb

Ac~[m(t)]2

SSB-PM b

Ace :!:DpliI(r)

SSB-FMb

Ace:!:D/",,';; (u)du

SSB-EVb

Acll + m(t)1

m( t) > -I per la rivelazione di inviluppo

L

Rivelazione coerente

:!:liì[1

SSB-SQb

Ac~1 + m(t)

:!:t liì[1 + m(t)J

QM

Ac~mf(t) + m~(t)

tan -1[m2(t) I mI (t)]

NL

Dp è la deviazione di fase costante (rad/volt)

NL

DI è la deviazione di frequenza costante (radivolt-sec)

L

tan-l[:!:m(t)lm(t)]

r

--00

Rivelazione coerente

m(u) du

+ m(t)]

NL NL

m(t) > -I affinché In(o) sia reale

NL

m(t) > -I affinché In(o) sia reale

L Adottata nel sistema televisivo a colori NTSC; rivelazione coerente

a Ac > O è una costante che fissa il livello di potenza del segnale valutato in accordo alla (4-17); L, lineare; NL, non lineare; [ ~] indica la trasfonnata sione motata di -90° di [o]) (si vedano i Paragrafi 5-5 e A-7, Appendice A).

b Il segno positivo corrisponde

"'" I VJ

NL

Dpm(t) DI

Requisiti particolari

Le

m(t) > O m(t) < O

Dpm(t)

DI

Linearità

alla banda laterale superiore e quello negativo alla banda laterale inferiore.

c In senso stretto, i segnali AM non sono lineari, poiché il tennine associato alla portante non soddisfa la proprietà (di sovrapposizione)

della linearitào

di Hilbert (ovvero la ver-

VJ "O t'D ~ o i:l.. ~o
234

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

-

mentre la sua densità spettrale di potenza (DSP) risulta:

\ ç]>.v(f) = Hç]>g(f - ~.) + ç]>g(-I - le)]~ dove G(f)

= ~[g(t)]

e ç]>g(f)è la D§! d(g(t).

(4-13)

-. .

Dimostrazione.

da cui (4-14) Considerando la relazione ~[g*(t)] = G *(-1) in Tabella 2-1 e la proprietà di traslazione in frequenza della trasformata di Fourier (sempre in Tabella 2-1), la precedente equazione diventa V(f)

= !{G(f - le) + G*[-(f + le)]}

(4-15)

che corrisponde alla (4-12). La densità spettrale di potenza di v( t) si ricava a partire dalla funzione di autocorrelazione: Rv( T)

=

(v(t)v(t

+ T) = (Re{g(t)ejwcf}

Re{g(t

Tenendo conto della seguente identità (si veda l'Esercizio Re( C2) Re( c)) dove C2 =

= ! Re( c;cJ)

+

+ T) eFUc(t+T)})

2-66)

! Re( C2C))

g(t)ejwcfe c) = g(t + T) ejwc(fh),otteniamo

Rv(T) = (! Re{g*(t)g(t

+ T) e-jùJcfejùJc(fh)}) + (! Re{g(t)g(t

+ T) ejwcfejùJc(t+T)})

Visto che ( ) e Re{ } sono entrambi operatori lineari, possiamo invertirne l'ordine senza alterare il risultato; in tal modo l'autocorrelazione diventa

o, in alternativa,

Rv(T) =

! Re{(g*(t)g(t

+ T) ejùJcT}+

! Re{(g(t)g(t

+ T) ej2wcf)ejùJcT}

Ma (g*(t)g(t + T) = Rg(T) e il secondo termine al secondo membro è trascurabile perché ej2wcf= cos 2wet + j sin 2wet oscilla molto rapidamente rispetto alle variazioni del prodotto g(t)g(t + T). In altri termini,fc è una frequenza molto maggiore di tutte quelle contenute nella banda di g(t) e quindi questo integrale può essere considerato nullo. Si tratta in realtà di una diretta applicazione del Lemma di Riemann-Lebesgue del calcolo integrale [Olmsted, 1961]. L'autocorrelazione diventa quindi (4-16) e la densità spettrale di potenza si ottiene applicando il teorema di Wiener-Khintchine, cioè calcolando la TF della (4-16). Quest'ultima relazione ha la stessa espressione della (4-11) dove però t è sostituito da T, cosicché la trasformata di Fourier ha la stessa forma della (4-12).

4-4

Misura della potenza

235

Infatti

C!Pv(J)= ~[Rv( T)] =

~ [C!Pg(J

- Ic) + C!Pg(-1 - !c)]

Ma C!Pg(J) = C!Pg(J), poichéla DSPè una funzionereale.Di conseguenzala densitàspettrale di potenza è data proprio dalla (4-13).

4-4 MISURA DELLA POTENZA

~

TEOREMA. La potenza media totale normalizzata di un segnale passa-banda v(t) è

- - .... (4-17)

dove "normalizzata" indica che la mivq1:f1p ~tatQ,ejfeHNa~UiiU"""'~r.itfP ~inrperiemq. pari a J ohm. Dimostrazione. Sostituendo v( t) nella (2-67), otteniamo

Pv = (V2(t) = Joo -00 C!Pv(J)di Ma Rv( r)

=

~-I[C!Pv(J)]

= J~ C!Pv(J)ej21T/T di, quindi

Rv(O) =

f:

C!Pv(J)di

e dalla (4-16) Rv(O)

= ! Re{Rg(O)} = ! Re{(g*(t)g(t + O)}

o, equivalentemente,

. Rv(O) = ! Re{(lg(t)l2)} e poiché Ig(t)1 è reale, si ottiene infine

Un altro indice legato alla misura di oten a è -di' /' inVl u o ek E er ; questa grandezza risulta particolarmente utile quando SIvogliono fornire le specifiche di un apparato trasmettitore. .

DEFINIZIONE. La potenza di picco dell' inviluppo è quella potenza media che si otterrebbe se

!iQ]

~osse mantenuto costante al suo valore di picco.

Ciò è equivalente a valutare la potenza media di un segnale sinusoidale a RF non modulato con valore di picco pari a Ap = max [v( t)], come si vede immediatamente dalla Figura 5-lb. TEORE~,

:::;:..-

La potenza normalizzata ç!ipicco dell' inviluppo. è data da

fj PPEP = ! [maxlg(t)IF '"

(4-18)

La dimostrazione del teorema segue direttamente dall'applicazione della definizione di cui sopra alla (4-17). Come vedremo in maggior dettaglio nei Capitoli 5 e 8, la

236

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

potenza di picco consente di specificare la capacità in tennini di potenza di un trasmettitore radio AM o SSB e di quello di un sistema televisivo. Esempio

4-1 SEGNALI MODULATI IN AMPIEZZA

Ricaviamo lo spettro di potenza di un segnale modulato in ampiezza (AM). Dalla Tabella 4-1, l'inviluppo complesso di un segnale AM è g(t)

= Ae[1 +

m(t)]

e quindi il suo spettro è dato da (4-19) Dalla (4-19) si ricava l'espressione del segnale AM s(t)

= Ae[1 +

m(t)] cos wc!

e dalla (4-12) si ottiene lo spettro del segnale AM S(f)

= !Ae[8(1 - le) + M(f - fc) + 8(1 + fc) + M(f + fc)] (4-20a)

dove si è tenuto conto del fatto che, poiché m(t) è reale, allora M*(I) = M( - I) e 8(1) = 8( -I) (la funzione delta è pari per definizione). Supponiamo che lo spettro di ampiezza del segnale modulante sia una funzione triangolare, come mostrato in Figura 4-2a. Tale spettro potrebbe essere generato ad esempio da una sorgente audio analogica con un forte contenuto di basse frequenze. Lo spettro del segnale AM risultante dalla (4-20) è mostrato in Figura 4-2b. Visto che G(I - le) e G*( -I - le) non si sovrappongono, lo spettro di ampiezza è

1>0 I
(4-20b)

li teffiline l in g(t) - Ae[I + m(t)] determina la presenza della funzione cI",lt"nelle spettro in conispondenza di I +!c,dovele è la fre uenza alla 4-17), si ricava

anchela potenzamediacompessiva del segnale: Ps =

! A~(II +

.

m(t)l2) = ! A~(1 + 2m(t) + m2(t)

= ! A~[1+ 2(m(t) + (m2(t)]

-

,§.e la componente continu~ '" Figura 4-2a, la potenza me(

-

'.0)~del se&!ale modllu.Q~o,.

lventa

comeindicato

-in

(4-21) dovePm

= (m2(t)

è la potenza del segnale modulante m(t),!

Pm è la potenza delle bande laterali di s(t).

A~ è la potenza della portante e! A~

4-5

Filtri passa-banda

237

e distorsioni lineari

IM(f)1 1.0

-B (a) Spettro di ampiezza

j-

B

del segnale modulante

Componente discreta dovuta

IS(f)1

alla portante di area

Area =...!...A 2 c

=.!.. Ae 2

Ac

T

-le - B

- le

le - B

-le + B

le

le + B

j(b) Spettro di ampiezza

del segnale AM

Figura 4-2

Spettro del segnale AM.

4-5 F[LTRI PASSA-BANDA E DISTORSIONI LINEARI Equivalente

in banda

base di un filtro

Nel Paragrafo 2-6 è stato introdotto il concetto di risposta in frequenza per affrontare le problematiche del filtraggio lineare. Vediamo adesso una tecnica molto utile per modellare un filtro passa-banda

mediante un filtro in banda base con ris osta im ulsiva c

-

l'lessa (Figura 4-3). VI t) e V2(t) sono i segnali passa-banda rispettivamente di ingresso e di uscita, con i corrispondenti inviluppi complessi gl(t) e g2(t). La risposta impulsiva di un filtro passa-banda, h( t), in quanto segnale passa-banda, può essere descritta attraverso il suo inviluppo complesso k(t). Inoltre, come mostrato in Figura 4-3a, la sua rappresentazione nel dominio delle frequenze, H(J), è esprimibile in funzione di K(J) attraverso la (4-11) e la (4-12). La Figura 4-3b mostra l'andamento tipico della risposta in frequenza in un filtro passa-banda IH(J) I. (TEOREMA~ L'inviluppo complesso dell'ingresso, dell'uscita e della rispostaJwpulsiva di un filtro passa-banda sono leffafÌ dalla seRuente relazIOne: ~

!g2(t)

= !gl(t)

* ~k(t)

(4-22)

dove gl(t) è l'inviluppo complesso dell'inf!resso e k(t) è l'inviluppo çQmplessodella risposta

impulsiva...li.J!...$.,e"g}J-feq1)£he che

t !G2(J) = !G1(J)!K(J) ~ Dimostrazione. Sappiamoche per la TF del segnaledi uscita è

(4-23)

(4-24)

238

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali Filtro passa-banda ht(t) H(f)

= Re [k,(t)ei"'e']

= lf2K(1 - I~) + lf2K*(-1

- fc)

(a) Filtro passa-banda

IH(f)1

1/2IK*(-1 - le)1

1/2IK(1 - le>I

/\

/\

-fc (b) Risposta impulsiva caralteristica

lf2gt (t) lf2Gt (f)

1;.

!-

del filtro passa-banda

-

Filtro equivalente in banda base lf2k(t) lj2K(f)

lf2g2(t)

lj2G2(f)

(c) Equivalente in banda base del filtro (risposta impulsiva complessa)

1/2IK(f)1 ..

!(d) Risposta impulsiva caratteristica dell'equivalente in banda base del filtro

Figura 4-3

Filtraggio passa-banda.

Poiché inoltre VI(t), V2(t) e h( t) sono tutti segnali passa-banda, gli spettri di questi segnali sono legati a quelli dei loro inviluppi complessi attraverso la (4-15); quindi, la (4-24) diventa

![G2(f - le) + G;(-I - le)] = HGI(f - le) + G~(-I - fc)JHK(f - le) + K*(-I - le)]

(4-25)

= HG1(f - le)K(f - le) + GI(f - le)K*(-1 - fc) + G~(-I - le)K(f - le) + G~(-I - le)K*(-1 - le)] Ma GI(f - fc) K*(-I - fc) = °, vistoche lo spettrodi GI(f - le) è nullonell'intervallo di frequenzeattornoa -le, dove K*(-I - fc) è diversa da zero. In altre parole, non c'è sovrapposizione spettrale fra G1(f

- le) e K*(-I - fc), poiché G1(f) e K(f) hanno spet-

4-5

Filtri passa-banda

e distorsioni lineari

239

tri diversi da zero solo per f = O (ovvero in banda base, come indicato in Fig. 4-3d). Ugualmente, G~(-f - fc) K(J - fc) = O.Di conseguenza, la (4-25) diventa [!G2(J - fa)] + [!G~(-f

- fc)]

= [!GI(J - fc) !K(J - fc)] + [!G~(-f

- fc) !K*(-f

- Jc.)]

(4-26)

e si ottiene, !G2(J) = !G1(J) !K(J), cioè la (4-23). Calcolando l'A TF di entrambi i membri della (4-23), si ricava la (4-22). Il p il suo equivalente in banda base, come mostrato in Figura 4-3d. Le varie relazioni che coinvolgono i filtri equivalenti in banda base sono in genere meno complicate di quelle per i filtri in banda passante; per tale motivo il modello passa basso di un sistema è particolarmente interessante. In particolare, la massima frequenza in uno spettro passa-basso è comunque molto più piccola di quella del corrispondente passa-banda. Quest' osservazione risulta di grande utilità nei programmi di simulazione al calcolatore che ricorrono al campionamento per simulare un sistema di comunicazione in banda passante (si veda, a tal proposito, il Par. 4-6). Inoltre, come mostrato nell'Esercizio 4-12 e in Figura EP4-12, un filtro egyiyals:.ntein banda b~se con rispP..£tiLimpulsiva, complessa può.essere re~lizzato_attraversQ9.!!.€!ltrg [ill!i.pas§~ba.ss.{).£QjJ._Jj§po.staJmpu1siva.realg; se in~ltre-ta risposta i!l.frequenza.del iiltJ:o_I2~§§a-~1.I!!!!~ha..simmetria.Hermitiana attorno alla.frequenza f = Ic, sononeces,§.~!L§'Q!~~-4.ueiiltri.passa..basso..con-cisposta impulsivareal&. All'uscita di -;;n filtro lineare a ~. fase-deLs.egnaledi uscita, ~(t) = g2 t, uò divent di am iez l'invilf~t9:"cofuD~~.pJl~

C?~

.

~eeu~.dWJJgres~~1=J.~~ Questòiènomeno.è chiamato_'''r. --

PoiclJé h(!).l..un filtro linearp. g2(t) ""rÌì IIna versione filtrata linearmente di Kdt)~ viceversa, le componenti AM p. EMdi~4ispettivan:um!~..&.(t)-~~(!) sarannouna versione legata in maniera non lineare a t e alle corrispondenti grandezze d'ingresso t e R2(t). Abbiamo già trattato le distorslOm mean ne C"apllolo2. VIceversa, per i '"Segnali passa-banda lo studio delle distorsioni non lineari è particolarmente complicato. In generale, le non-linearità che caratterizzano molti dei sistemi usati in pratica possono causare ulteriori distorsioni e conversioni AM-PM. Gli effetti delle non-linearità possono essere studiati in diversi modi, tra i quali l'analisi in serie di potenze; come approfondiremo nel paragrafo dedicato agli amplificatori più avanti nel capitolo.

Distorsioni lineari Nel Paragrafo 2-6 abbiamo introdotto il concetto di sistema unv" cl; digtQrBi~nliPpr i filtri (modelli di canale di trasmissione) lineari vassa-banda esistono delle condizioni meno restrittive. Affinché il segnale passa-banda non venga distorto, è necessario che la risP.2: sta in frequenza d~I.£!.n.are,B(:r)~JEr1.If~Uj...gg~e segueniipIQmle.t&.:....

.

La risposta in
cQ~tanteLe cioè (4-27a)

240

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

.

L~ derivata della risposta in fase dev.e~re

.costante, e

~ l

Queste condizioni sono illustrate nella Figura 4-4. Si osservi che la (4-27a) è identica alla condizione più generale (2-150a), ma la (4-27b) è meno restrittiva della (2-150b). In altri termini, se la (2-150b) viene soddisfatta, allora è verificata anche la (4-27b) con Td = Tg;Viceversa, se è verificata la (4.27b), calcolando l'integrale di entrambi i membri si ha f)(f)

-:-

=

-27TfTg

dove f)f) è un::! f:l!;P.ro!;t:lntp, ('ornI' mo!;trMo in Fjgura

+ f)o

(4-28)

4-4b. Se (}g è ciivers~o.-allo-

~ la (2-150b ) non è verificata. Dimostriamo adesso che le condizioni (4-27a)-(4-27b) sono sufficienti affinché si abbia trasmissione di un segnale passa-banda senza distorsioni. Dalla (4-27a) e dalla (4-28), la risposta in frequenza del canale è IH(f)1

.

-I A

~

:

I

. Banda:

delsegnaleII -

I:

I

I

I I I I I I

I

I I I I I I

I

fc

'

!-

(a) Risposta in ampiezza

B(f) .J

fc

!j

(b) Risposta in fase

Figura 4-4

Caratteristiche della risposta in frequenza di un canale passa-banda non distorcente.

/

4-6

Teorema del campionamento

per segnali passa-banda

241 (4-29)

sulla banda del segnale. Se il segnale di ingresso al canale passa-banda è rappresentabile

nella forma

~

VI (t)

= x(t)

cos wet - y(t) sin wet

allora, dalla (4-29) e tenendo conto che il termine e-j27TjTg determina un ritardo di Tg, si trova che l'uscita del canale è la seguente V2(t)

= Ax(t

- Tg) cos[we(t - Tg) + 00] - Ay(t - Tg) sin[we(t - Tg) + 00]

Dalla (4-28),otteniamo V2(t) = Ax(t - Tg) cos[wet + O(fe)] - Ay(t - Tg) sin[wet + O(ft.)] dove, con riferimento alla (2-lS0b) calcolata in f = !c., O(fe) = -Wc Tg + 80 = -271feTd Quindi, il segnale passa-banda in uscita può essere espresso come V2(t)

= Ax(t

- Tg) cos[we(t - Td)] - Ay(t - Tg) sin[we(t - Td)] (4-30)

dove la modulazione sulla portante (o meglio, le componenti I e Q del segnale) è ritardata di un valore pari al ritardo di gruppo Tg, mentre la portante subisce un ritardo pari a Td. Poiché la portante viene sfasata di O(ft.) = -271feTd, O(fe) è anche chiamato ritardo di fase. La (4-30) dimostra che il filtraggio passa-banda ritarda l'inviluppo complesso di Td e l'oscillazione portante di Tg. La (4-40) indica che le componenti l/Q del segnale passa-banda non sono distorte. Poiché il contenuto informativo risiede in queste componenti, la condizione di non distorsione è verificata. Si osservi che Tg differisce in generale da Td, a meno che 00 non risulti pari a zero. Riassumendo, le condizioni generali affinché un sistema di trasmissione non introduca distorsioni sono date dalla (2-1S0a) e dalla (2-lS0b). D'altra parte, per un segnale passa-banda la (2-1S0b) risulta troppo restrittiva e può essere sostituita dalla (4-27b). In questo caso il ritardo di fase è diverso ritardo di gruppo dal Td '" Tg a meno che 00 = O. Per una trasmissione in banda passante priva di distorsione è sufficiente avere una ris osta in frequenza con amp-lezza e costante sulla banda del segnale.

4-6 TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO

PER SEGNALI PASSA-BANDA

L'operazione di campionamento trova diretta applicazione negli apparati basati sui dispositivi di elaborazione numerica dei segnali e nelle simulazioni dei sistemi di comunicazione. Se il campionamento dovesse essere effettuato su di un segnale passa-banda con una cadenza che rispetti la condizione di Nyquist (fs ;::: 2B, dove B è la frequenza più elevata nello spettro del segnale a RF), esso risulterebbe pressoché impraticabile. Per esempio, in un sistema di comunicazione satellitare con frequenza portante di fe = 6 il tasso di campionamento richiesto sarebbe come minimo pari a 12 GHz. Non esistono a tutt'oggi, neanche nei laboratori più avanzati, componenti in grado di effettuare l'operazione richiesta a tale velocità. Fortunatamente, si può dimostrare che per un segnale passa-banda la frequenza di campionamento dipende solo dall'estensione della banda del

242

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

segnaleh - Il, e non dal valore "assoluto" delle frequenze coinvolte. Ciò è sostanzialmente equivalente ad affermare che è possibile riprodurre un segnale passa-banda a partire dai campioni del suo inviluppo complesso (o me~lio, delle sue componenti l/Q).

."

TEOREMADELCAMPIONAMENTO PER SEGNALIPASSA-BANDA: Da£o un sefmale (reale ~ J!~sfJ-..~ql}..~J;.en-sJl£t1r.a~~"\lersn (j,g".ze!o solo sull' interv.aLlo dL.fj;,equenze

fI. <. ([1-::: fz. s.!J!!1~~i con BT la ~~::d!J,,,.cfHfl)~ff!,;,;.BT = Il, -l!.:..!2!.s~gglJ£lk.~serè- ;ir~1JJ. /1fJP.l:1.W~dàl_\i(/f(J1'ul{;'J ;;';;/7i~;;;;i;;Lw. è sci/ha in modo tale che

--J!~~;1

N

i c0V(~ì

(4-31) La (4-31) indica ad esempio che se il segnale passa-banda con portante pari a 6 GHz precedentemente introdotto ha una banda di IO MHz, allora sarà richiesta una frequenza di campionamento di soli 20 MHz, invece che 12 GHz secondo la condizione di Nyquist per segnali passa-basso. C'è dunque una differenza di ben tre ordini di grandezza. Il teorema del campionamento per segnali passa-banda può essere dimostrato a partire dalla (4-31) applicando il teorema del campionamento (2-158)-(2-160) alla rappresentazione in fase/quadratura in banda passante e cioè v(t)

=

r

lqfJ:£4!1en'lf1-fj~o

x(t) cos wct - y(t) sin wct

[

(4-32)

Selc è la frequenza di centro banda, alloralc = (h + Il)/2. Dalla (4-8), sia x(t) che y(t) sono segnali in banda base con spettri rigorosamente

limitati nella banda B

=

BT /2. Dal-

la (2-160), la frequenza di campionamento richiesta per rappresentare il segnale in banda

I.

base èIb ~ 2B = BT. La (4-32)diventaallora n~co

v(t)

= n~-co

n [ X ( Ib ) cos wct

n

- Y ( Ib )

. SIn wct ] [

sin{1Tlb[t- (n/lb)])

(4-33)

]

1Tlb[t - (n/lb)]

Per ogni valore di n si ottengono i due campioni reali x(n/lb) e y(n/lb) cosicché la frequenza di campionamento complessiva per v(t) èfs = 21b~ 2BT , cioè il requisito per la frequenza di campionamento di un segnale passa-banda (4-31). I campioni di x e di y possono essere ottenuti dal campionamento

di v(t) in corrispondenza

di t

=

(n/lb), non

contemporaneamente, ma variando leggermente t in più o in meno rispetto all'istante nominale, in modo tale da avere cos Wc t = 1 e sin Wc t = -1 rispettivamente per x e y all'istante di campionamento. In altri termini, se t = n/fs, v(n/lb) = x(n/lb) quando cos wct = 1 (quindi sin wct = O),e v(n/lb) = y(n/lb) mentre sin wct = -1 (e quindi cos wct = O). Gli aggiustamenti all'istante di campionamento sono piccoli perché . le = 2fs ~ 2BT. Nell'applicare questo teorema si ipotizza che il segnale passa-banda v(t) sia ricostruito attraverso la (4-33). Però i campioni di x e y si possono ottenere, come appena discusso, solo usando un campionamento non uniforme di v( t) anziché un normale campionamento uniforme con intervallo Ts . Si può adottare un campionamento uniforme di v( t) con frequenza di campionamento minima di 2BT, purché sia Il che h risultino armoniche (cioè multiple intere) difs [Hsu, 1999; Taub e Schilling, 1986]. Comunque sia, si può dimostrare che è necessaria una frequenza minima di campionamento uniforme maggiore di 2BT, ma mai superiore a 4BT, anche se/l eh non sono armoniche difs. .

I

4-7

Ricezione di segnale e rumore

243

!J~REMA.~LL~ !>I~ENSIONALITÀ p~ .BANJ>~l,ASSAN~Dato un segnale (reale) passa-~y,~;;;~ fl"'O>:;~dti ~I!~~;;:j,.,~~Ji~~T:r~allo([[ frequenze fl <~ si indichi con Br la banda assoluta, Br = f2 - r. e BT <,gtI. Il segnale può essere mter~mente svecificato su di un intervallo di Tn secondi da I

J

N

= 2BTTol'

(4-34)

informazioniindipendenti.N ~.i(1)umern flPl/Pdimençioni richieste ver caratterizzare il segnale. Il t~orema della dimensionalità in banda passante (utile ancora una volta per le simulazioni di un sistema di comunicazione) dice che un segnale passa-banda di banda pari a BT Hz può essere rappresentato su di I!!l..i!lt.t;w.llodi Tg..secondida...{a.hD~DQ) N - 'lBT'J.'ocamptom. Maggi~ri dettagl~_sul~a del campiQ.naw<:nto..inJJand..a, passante saranno discu!~i nell'esercizjQ_di aPPLo.f9ndLme!!tQ EA4-5.

4-7 RICEZIONE DI SEGNALE E RUMORE

s(t) = Re[g(t)eleucl] dove g(t) è l'inviluppo complesso della particolare modulazione utilizzata (Tab. 4-1). Se il canale è line~e e stazionario1 il s~nale rumoroso ricevuto è

(4-35) }[(t) =-~2 * h(tW::_[(t) ~ dove h( t) è la risposta impulsiva del canale e n(t) è il rumore all'ingresso del ricevitore. Inoltre, se il canale è non distorcente, la sua risposta in frequenza è data dalla (4-29), e di conseguenza, il segnale rumoroso all'ingresso del ricevitore è esprimibile anche come r(t)

= Re[Ag(t

- Tg)el(euc'+8(fc))+ n(t)]

(4-36)

dove A è il guadagno del canale, (1mnumero positivo g@neralmtmteminoTe,di O.Tg ne-È il ritardo di gruppo e O(fr) il ritardo di. fase. In pratica i valori di Tg e di O(fc) non sono noti, cosicché, quando la conoscenza di tali grandezze è essenziale per ricostruire il contenuto informativo del segnale trasmesso, i circuiti del ricevitore devono provvedere alla stima della fase della portante O(fc) e del ritardo di gruppo (quest'ultima funzione è svolta per esempio dal sincronizzatore di bit per segnali digitali). Trascurando in prima approssimazione gli errori nella stima di queste grandezze, il segnale disturbato dal rumore ha la seguente forma: r( t) = Re[g( t )eltùc']+ n( t)

(4-37)

dove gli effetti del filtraggio del canale, se ci sono, sono inclusi in una eventuale modifica dell'inviluppo complesso g(t) mentre la costante Ac implicitamente contenuta in g(t) (Tab. 4-1) è fissata in modo opportuno per tenere conto dell'effetto di attenuazione del canale. Ulteriori dettagli su questo tipo di analisi verranno affrontati nel Paragrafo 8-6.

244

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

4-8 TIPI DI FILTRI E AMPLIFICA TORI Fil tri

-'-

I filtri sono dispQSjfuLcl1e..~ono

in ingresso un se~nale e ne modificano lo spettro in

...modo da produrre un opportun?~egnale di uscita. Essi ossono essere classificati secondo vari criteri, ad esempio: in b ti o di C .. . . ru i . ali I quarzo ecc. oppure ~~- ase1l!~.l.~ro ri&D(~stain..f1:~9uenza (Butterworth, 'Clle 'yshev ecc.). -:rngenerale;J:filffi'I1JiJffiaRO èom~Qnpnti in gr~r1Aeli inm ,lIg8zy.inarc tm8~gi" (altri-

menti detti "dotati di memoria") per ottenere un certo grado di selettività in frequenza. In ogni impJementaziOiìèfiSica,però, t"alico~ponenti IWssieQ.oop('''r'"'ttpri~tir.h~ narassite. Per esempio, un induttore presenta una certa resistenza in serie alla vera e propria induttanza, mentre un condensatore ha una certa resistenza di perdita (di "shunt") in parallelo alla capacità. A questo punto, è naturale porsi la seguente domanda: Che"fo,$SL~~clinito come fattore ~i g,yalità...Q...s!L\ll1 elemen1:O-Circuitale_odi..un-filtFe+-Sono usati correntemente due parametri di bontà. Il primo riguarda l'efficacia di immagazzinamento dell'energia in un circuito [Ramo,--Whinnery e ~vanDuzer, 1967, 1984] ed è -='" ..~ Q

=

27T(massima energia immagazzinata durante un ciclo) energia dissipata per ciclo

r

(4-38)

Un valore elevato di Q corrisponde a U~~!)t
=

/0 B

(4-39)

dove o è la fre uenza di risonanza (di centro banda) e B è la banda a 3 dB del filtro. In questo caso, più elevato è il vaJor~di-Q.-maggio e uenza OICe, fissata /0, la banda risuJ!.e..rà.più..stretta..In generale, il valore di Q misurato facendo uso della (4-38) differisce da quello ottenuto con la (4-39). Entrambe le definizioni forniscono valori identici se calcolate per un circuito risonante serie RLC alimentato da un generatore di tensione, o per un circuito risonante parallelo RLC alimentato da un generatore di corrente [Nilsson, 1990]. Nel filtraggio di segnali passa-banda, la selettività in frequenza è una caratteristica di fondamentale importanza, per cui si usa più frequentemente la (4-39) che è anche di più semplice misurazione. Se si sta progettando un filtro passivo con frequenza centrale /0 e banda a 3 dB pari a B, i singoli elementi circuitali dovranno tutti presentare un valore di Q più elevato del rapport%/B. Quali sono i valori di Q necessari in pratica, e quali componenti ci consentono di ottenerIi? La Tabella 4-2 riporta un elenco di filtri in base al tipo di elemento "dotato di memoria" impiegato neIIa realizzazione, oltre a fornire alcuni valori tipici di Q per tali componenti. Filtri che usano elementi L e C concentrati3 diventano di difficile realizzazione a frequenze superiori ai 300 MHz, perché le capacità e le induttanze parassite dei fili incidono sulla risposta in frequenza del filtro alle frequenze \ 3 Un componente concentrato è il familiare elemento discreto di tipo R, L o C. in contrapposizione qui agli elementi RLC distribuiti in modo continuo, come quelli che si trovano nelle linee di trasmissione di segnaliaRF.

l

11

4-8 TABELLA 4-2

Tipi di filtri e amplificatori

245

TECNICHE DI REALIZZAZIONE DEI FILTRI

Tipo di realizzazione

~

Descrizione degli elementi del filtro

-Il-

LC (passivo)

Condensatore attivo e commutato

ID~

Cristallo al quarzo

Interval10 di funzionamento del1a frequenza centrale

Valore tipico di Q (in assenza di carico)

dc-300 MHz

100

dc-500 kHz

200b

I kHz-100 MHz

Applicazioni del filtro

Audio, video, IFeRF Audio

100 000

IF

1000

IF

aI quarzo

Trasduttori

~

Asse

Disco

lO kHz-IO.7 MHz

Ceramica D~~ Elettrodi Una sezione

/

/

Strutture interdigitate

A onda acustica

10-800 MHz

c

IFeRF

superficiale (SA W) Substrato piezoelettrico Zona di sovrapposizione delle strutture

Linea trasmissiva

UHF e microonde

u

Cavità risonante

a IF, Frequenza Intennedia;

interdigitate

A/4

RF, Radio Frequenza

Microonde

1000

RF

lO 000

RF

(si veda il Paragrafo 4-16).

b Valore di Q in banda passante. c Dipende dal progetto: N = Io/B, dove N è il numero di sezioni,fo lore di Q in presenza di carico è risultato pari a 18 000.

è la frequenza centrale di banda e B è la banda. 11va-

246

Capitolo 4 - Segnali passa-banda

e relativi schemi circuitali

PiÙ elevate. I filtri attivi che impiegano amplificatori operazionali con elemen . realizzabili solo al di sott' oiché l'am I Icatore o erazionale ha biso no

~

I un guai~&'!.o~~d anello a erto elevato sull .. e Quando applic~I i, i fi tn attivI - . sono In genere preferiti a Quelli passivi LC poiché gli induttori div~ntano non miniatllrizzahili a h:l~~o f! alle ba~~p frpouenze, I filtri attivi sono difficili da

~pl~mffi12re. al!' interno di £!r..c...qiti int~grati..poiché-le-f@sistenze-e-i-condensatori:oèCiipà. ~ no una porzione significativa dell'area del chip. Tale difficoltà può essere superata usando la tecnologIa COSlGaeua a conaensatore commutato" (switched capacitor) per realizzazioni di tipo IC (Integrated Circuit, circuito integrato). In questo caso, le resistenze sono sostituite da un insieme di commutatori elettronici ed elementi capacitivi controllati da un segnale di clock digitale [Schaumann et al., 1990]. I filtri a cristallo sono ottenuti da elementi al quarzo che si comportano come circuiti risonanti serie con una capacità parassita parallelo dovuta al contatto con i conduttori. Al di sopra dei 100 MHz gli elementi al quarzo diventano troppo piccoli per essere realizzati, mentre, al di sotto di 1 kHz, la dimensione del quarzo cresce eccessivamente. I filtri al quarzo offrono prestazioni eccellenti per il loro f:JttorpQ ;ntrin~ecamente elevato. ma sono anche iù costosi dei filtri LC e di quelli ceramicJ.:..-... I filtri ceramici sono ottenuti a ISCI I materiale piezoelettrico sui lati opposti dei quali vengono direttamente realizzati i contatti metallici sotto fonna di placchette. Il comportamento di un filtro ceramico è simile a Quello dei filtri al Quarzo,però con un f:lttOTp Q (assai) inferiore. Il vantaggio dei filtri ceramici consiste nell'offrire pre~t:l7ion~bili a un costo contenuto rispetto a un nonnale filtro al quarzo. I

Il funzionamentodei filtria onda acustica

.,

.QU8t~-

ve) sLbasa su oll...e.§.ol1gre_che veng<m-o)tW1!Je e 'lulndi~da~ lun~o u~_substratodi ma-o ,p,Ut~(;1,,,~.~..Jt«fi) Sul substrato vengono depositate due strutture" a peiii'ne" con i,j~.!ii!!te.,rç.ala!i. In un..pettine,la tensione d'ingresso viene Eonvertit~ in un segnale acu~tico grazie all'effetto.piezoelett1'iGQ(trasduttore d'ingresso), viceversa nell'aLtr~tt;np "i Ra.J..;.eff~ttoMoPPosto..La geometria di queste strutture interlacciate detennina la risposta in frequenza del filtro e allo stesso tempo consente l'accoppiamento ingresso-uscita [Dorf, 1993, pp. 1073-1074]. Le pe~i.!.~di inserzione sono in qualche modo più consistenti rispetto ai filtri al quarzo e ceramici, ma.la facIlità con cui srnesce a modellare la risposta in frequenza e soprattutto l'ampia banda che è possibile coprtrer-endono. i"filtri SAW particolannente inter~ssiillti..Questa tecnolOgiaèìiifattiÌmteriale pie~1~!.tJjç9_~n~

piegataper realizz~e ottimi.am r~'. .-' . ~JI~n7~i~;p1T11ed~a (JF,Inte.rme4jJ!1G.l!1f..-~eJ.lC , .nel 1])0 ern~apparatL..telev.JS1.v.L.e..neLI1Ce.Vlton XJ::tsDtP1hte.. - ".,., ~nfiiie, sfruttando le proprietà di risonanza delle linee di trasmissione a circuito aperto o cortocircuitate. è possibile...oUeJ.1@F0-filtFi Gheoper:lno nelle bande UHF ~_m...!£!Q9nde; per queste bande di frequenze, le lunghezze d'onda sono sufficientemente piccole da consentire dimensioni ridotte dei filtri. Nella banda delle microonde si utilizzano anche filtri a cavità risonante con dimensioni ragìonevolménìe conienute. Varpunto di vista-della fUnzionalità, i ijJtri sono in generale caratterizzati dalla ri:ro~ta in frpqn01l'ZA:-f>er un filtro a parametri concentrati, essa può e~e e~r~~~me rapporto di due polinomi --_.~ --- nella variab!k.. -H( ) = bo+ bl(jw) + b2(jw)2 + .. . + bt{jw)k f ao + al(jw) + a2(jw)2 + ... + an(jw)n

(4-40)

r

4-8 dove le costanti a. e .' ono i metro n è l'ordine np] filtro. ~d..2. Ta risposta iò frequenza desiderata. La terio di ottimizzazione che caratterizza to quando

si richiede

IIn andamento

Tipi di filtri e amplificatori

247

valori dei componenti stessi e (J) = 27Tf. Il araopp~rtunamente il va ore delle costanti, si ottiene Tabella 4-3 elenca tre diversi tipi di filtri e il criciascuno di essi. Il filtro di Chebyshev è utilizza-

particolarmente

riplC10 del tt:1nl"'h, rlpll" qiFo~t"

)11...

'frequenza contrasmissioni il minimo nllmpro di componpnti circllitali la Uforma filtro didell'impulso, Bessel è spesso im- " piegato nella dati quando si vuole conservare dal mo".

mento che esso tenta di mantenere il più possibile lineare la risposta di fase sulla banda,". passante. Il filtro dI Butter_worthè invece una _~a di comprom~~i

d~ ~j1ala ri!;Qosta in ampIezzamasslmameme pIatta.

-

çiùelioLDfece- tt

~"

Con il diffondèfsrarcomponenti potenti ed economici per l'elaborazione numerica dei segnali, assumono sempre maggiore importanza i filtri digitali realizzati o attraver~o microprocessori (DSP, Di ital Si r cessor 4 o con com onentI s ecifici ad alta in-

tegrazione .ASIC--

lca IOn- e

ta

. [Oppenheime Schafer,1989].

Per enon appro on ImentI SUl I tn ana OgICI,con particolare accento sulle applicazioni ai sistemi di comunicazione, si può consultare Brown e Stephenson [1979]. TABELLA 4-3

Tipo di filtro

CARATTERISTICHE DI ALCUNI FILTRI

Butterworth

Massimamente piatto: il maggior numero possibile di derivate devono andare a zero quando f ~ O

Chebyshev

Fissato un certo valore dell' ondulazione picco-picco per la caratteristica dilH(J)I, quest'ultima si attenua più rapidamente di ogni altro filtro di ordine n

Bessel

Caratteristiche del filtro passa-basso.

Criterio di ottimizzazione

Tenta di mantenere lineare la fase all'interno della banda passante

l IH(J)I

= "l + 82C~(J/fb)

8 = costante di progetto; Cn(J) è il polinomio di Chebyshev di ordine n definito dalla relazione ricorsiva Cn(x) = 2xCn-I(X) - Cn-2(X) dove Co(x) = l e Cl (X) = x

Kn è una costante scelta in modo tale che H (O) = l, mentre la relazione di Bessel ricorsiva è Bn(x)

=

(2n

-

l) Bn-I(X)

- x2Bn-2(X),

dove Bo(x) = l e BI(x) = l + jx afb è la frequenza di taglio.

4 Non si confonda la sigla inglese DSP di uso universale in quest'accezione con la sigla italiana DSP che abbiamo usato come acronimo di densità spettrale di potenza. A quale dei due significati ci si riferisce dovrebbe essere ben chiaro dal contesto (NdT).

Ji-

f 248

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

Amplificatori Per quel che riguarda il progetto eli <:istema,i.cir{;yitielettronir.i P, pii) <:pecificatamente, li amplificatori, possono essere classificati in due cate orie rinci lineari e line:lri I.a linearità è stata definita nel Paragrafo- ~.=1u!.tavia, tutti i circuiti usati nel a pratica sono in qualche misura nOIlnneari, in maniera usualmente trascurabile a bassi livelli di segnale (tensione o corrente), per diventare poi fortemente non lineari a elevati livelli di segnale. L'analisi dei circuiti lineari (la cui trattazione matematica è notevolmente semplificata) fornisce soluzioni accurate solo se il livello del segnale è abbastanza piccolo. La categoria dei sistemi non lineari può a sua volta essere suddivisa nelle due sotto categorie di circuiti con e senza memoria. I circuiti con memoria presentano effetti capacitivi e induttivi che portano il segnale di uscita a essere funzione dei valori del segnale d'ingresso assunti in precedenza, oltre che del valore corrente. Se il circuito non ha memoria, l'uscita a un certo istante dipende invece esclusivamente dal valore dell 'ingresso allo stesso istante. Nei corsi introduttivi d'ingeg;npri:l elel.1.:.i.nf!azione (elettronica, informatica e telecomunicazioni), sL~umejll..IDima.J.s1anza che i circuiti siano linearI e senz nroria (circuiti puramente resistivi) e successivamente lineari con-m~l!.1or§(£ir£IJ,i!:i.&..C). Si scopre(Sl veda ilCap. 2~ amplifiCi"tori.11iìea~l1~memoria-posson0-es56RMlescritti ;!traverso una risPo§la in frequenza che è il rapporto delle trasformate di Fourier del segnale di uscita e del seg~kèfiiigresSO:-C"ome.-di.s..cussonerParagrafo 2-6, fanspOSìa'1b frequenza di un am lificatore rivo di distorsioni è d~a.Ke-jldTd, dove K è il guada~gQ. di -ténsione dell'amplificatore e Td è il ritardo tra il segnale d'uscita e quello 111gresso. Se la rispost~in frequellza deTi'a~plificatore lineare no!)-assuI1leJ~Lf2rillaer~cedente allOi'iiiISégnale d'uscita sarà una versione distorta linearmente del segnal~ d'in.gresso.--

4-9 DISTORSIONI NON LINEARI Oltre alle distorsiQDilinp:lri, gli :lmplifi.catoI:i-i.troduCOQQjIU:1Latica anche distorsioni non lineari. Per valutare gli effetti delle non linearità e mantenere unrnodelfo matE=" matico semplice, analizzeremo i sistemi non lineari senza memoria, per i quali il valore del segnale in uscita a un certo istante dipende solamente dal valore dell'ingresso allo stesso istante. Se l'~pl!!i~atore è lineare :lvremo 1:1seg;u~J!terelazione:(4-41) Vo(t) = KVi(t) ~- ,~

dove K è il guadagno (in ampiezza) dell'amplificatore. In pratica, l'uscita dell'amplificatore raggiunge la-saturazi()ne...in-corcisponde.n~a di un determinato valore dell' ampie77:1elel §§~Ii~M'i"gre~~o. Ciò è illustrato dalla caratteristica ingresso-uscita dell'amplificatore con saturazione mostrata in Figura 4-5. La relazione ingresso-uscita può essere espansa in serie di Taylor

attorno

a Vi

= O~~~~aurin):

co

Vo = Ko + KI Vi + K2V; + ... =

I

Knv;'

(4-42)

11=0

dove l KII

=

~

dIlVo

(

dv;' ) Ui=O I

(4-43)

4-9

Distorsioni non lineari

249

t Tensione di uscita.

Vo

Livello di saturazione --------

Tensione di ingresso. vi

--------

Figura 4-5

Caratteristica ingresso-uscita di un amplificatore non lineare.

Si ha distorsione non lineare sul segnale in uscita quando i coefficienti Kz, K3,

. . . sono

diversi da zero. Ko è il livello in continua del segnale d'uscita, KI Vi è il termine (lineare) del primo ordine, Kzvl è il termine (quadratico) del secondo ordine, e così via. Ovviamente, KI sarà (assai) più grande di Kz, K3, .. ose l'amplificatore è in qualche misura vicino alla linearità. Applicando un~gnak ~inusoidale di prova all'ingresso dell'amplificatore si può effettuare la misura...deUad;~tn,.~;nnpnrrnnnim. Dato dunque il segnale di test in ingresso ----Viet) = Ao sin wot

(4-44)

il termine del secondo ordinp nc;>11 'l1~dta è

K AZ Kz(Ao sin wot)Z = ---2 Q.(l - cos 2wot) f.

(4-45)

perciò la distorsione del secondo ordine detennin:! IIn livello in continua pari a KzA5/2 alla frequenza 2iooIn generale, per u~ ingre~§..osinl,ls<1i.d:tle pllro l'uscita sarà Vout(t) = Vo + VI cos( wot + q>d + Vz cos(2wot + q>z) + V3 cos(3wot

+ q>J) +

...

(4-46)

dove Vn è il valore di picco dell'uscita alla fre uenza di n o hertz. Allora la distorsione armomca tota e (THD Tnta/..Jlarmonic...DisJar.tiaIù è.definita come .:~. THD (%) = ~L:;O=zV; X 100 Vi

(4-47)

misurata in percento. La THD di un amplificatore può essere misurata usando un distorsiometro, oppure valutata attraverso la (4-47), con i valori di Vn ottenuti grazie a un analizzatore di spettro.

250

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

La distorsione da intermodulazione di un amplificatore (IMD, Inter Modulation Di@rtion)

SI ottiene invece applIcando due tom (due comnonenti spettrah) dI prova. :Seil

segnale d'ingresso è

-

(4-48)

Vi(t) = AI sin lùlt + A2 sin IiJ2t

allora il termine del secondo,ordine L K~lùl

t

+ A2 sinlù2 t)2 = K2(Afsin2lùl t + 241 A2 Sinlùltsinlù2! + A~sin2lù2t)

Il primo e l'ultimo termine al secondo membro ~i..9.~sta equazione indicano StaDP,1k~ mente distorsione armonicaaJ.le d~(tnze 2(1 e 2(7. Il prodotto .ncrociato invece dà ~ne a IMD~Questo contributo compare solo Quandoin in~ressò sono pre;e-;:;Ùentrl{1]1~. on1M1p', doncle il nome '~t:1)llO~'. Il termine Q!intermodulazionedel s~ondo ordine è dunqJle-

'\'r

--

...

2K2AIA2

che contiene

sin lùlt sin lù2t

componenti

=

K2AIA2

Hlle frequenze

-

{COS[(lùl

lù2)t] -

COS[(lùl

+ liJ2)t]}

SOmmH e cliffer.eo7H cii qUP'IIe. OriginHrie.

Il termine del terzo ordine è K3Vf

= K3(A1 = K3(Af

~

lùlt

+

A2 sin IiJ2t)3

sin3 lùl t + 3AfAz sinz lùl t sin IiJ2t

+ 3AIA~ sin lùlt sinzliJ2t

+ A~ sin3 lù2t)

(4-49)

Ancora una volta) il primo e l'~ltimo termi~e- ~ s~ondo membro determinano distorsione armonic!!.J11~tre. il.secondo-t@rmifle;-eieè-il-primo--pmtleHo-4.ft6Fociato, ~iVP't)ta

3K3AfAz sinz lùlt sin lùzt

= ~ K3AfAz sin lùzt(l = ~ K3AfAz{sin -sin(2lùl

COS 2lùlt)

lùzt - Hsin(2lùl

+

lù2)t

- lùZ)t]}

(4-50)

Ana!Qgamente,il terzo termine della (4-49) è 3K3AIA~ sin lùlt sinZlùzt

= ~K3AIAHsin

lùl!

- ! [sin(2lùz

Nel caso di amplificatori.Pll~a-b~nda ~.tI

'

+ lùl)t - sin(2lùz - lùl)t]}(4-51)

eJl all'interno della b!pja l?!l~

e.iL.vi-

ccinaafz(cioè.!1 = fz ~ O),i prodotti~d~lla~!st~~i~ne a 2/1 +1'2;._e 2fz + Il nella (4-50) ~nel1a{4:51) cadranno tipicamente aI"ai fuori della banda stessa e in enere non costiiiii=: scono un problema.;..VIceversa, gli ulteriori ultimi contributi alle fre uenze - z e \ J.v- I 2fz - ti nelle stesse equazioni sono i termini d'intermodulazione a frequenze non armomche, risID.tano...vidni..:tlle...frequenz~~esse ti e (? quindi interni alla banda-pas~~Essi rappresentano le princip-ali cOITI.J'°nentidi distorsione ~lianìp1ifièaton' passa-banda come Quelli impieg.ati..J:wlL~.r.nplifica?;jpl}.e_.a..RRdi-tr.asmettltoii e ricevitorr.. ~ Come mostrano la (4-50) e la (4-51), se AI oppure Az assumono valori sufficientemente elevati, la distorsione da intermodulazione divent . . e I uscIta desiderato varia linearmente con AI ° con A2, mentre le componenti di intermo-

r

I

I

-

d~azione varìaQOcon Aia? e A1;:4;.OVVlame"'i1te,' [-parilcolaré li\;erro:àèI seg;;iì~:aDii-gresso in corrispondenza del quale l'effe.llQ..J1.~i ..RrQ9Qttid~dulazio9&-'diventa

!.:"

4-9

Distorsioni non lineari

251

(4-52)

Il punto di intercetta d'ingresso è definito come il livello del sefnaJp.(li ingrp.&soper il qualeRIMD è unitario (cioè il punto per il quale la potenza dell'intermodulazione in banda l!~~ !~ PQtelH!:ftDtltHer,. ed è mostrato in Figura 4-6. Le curve a tratto continuo sono quelle ottenute sperimentalmente usando due generatori di segnale sinusoidale e valutando l'ampiezza del segnale desiderato in uscita (ali oppure ah) e i prodotti di intermodulazione (a 2/1 - h o a 2h - Il) con un analizzatore di spettro. Il punto di intercetta è 40 30

Intercetta

1

,"

r-~~~~::~::::~::~~

o

,I I I ,

s .u ~ -lO .5 .,

, I I

,

,I

(;j

~ '" -20

~

-50

"

,,

~ ,~"

3dB

lO

-.; "O ~ -30 P::: '" ~ 5 -40

""','

delterzo.ordine

20

, ,,

I I , I I I

-A~~~~1de~;

~

del segnale di uscila

~

,

i'

Prodo.tto. di

I inlenno.dulazio.ne

: del terzo. o.rdine I (applicando. due : segnali in ingresso.)

I I I I I I I I I

-60 -70

Po.tenza a RF del segnale di ingresso. (dBrn)

Figura 4-6

Caratteristiche del segnale in uscita dall'amplificatore.

252

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

..

un punto fittizio ottenuto er estrapolazione delle porzioni' lirieiri(il grafico è quotato in dell'andamento delle curve del segna e utile e del prodotto di intermodulazione, pnma che si verifichi l'effettiva intersezione fra re due, L'uscita desiderata (al] oppure ah)

raggrungeffi reiiftà Ta8afiiiazIone quandosÌYaiìeftèttuare

la misura, poiché i termini di

ordine elevato della serie di Taylor generano componenti a Il e a fz che si vanno a sottrarre all'uscita amplificata linearmente, Ad esempio, se K3 risulta negativa, il primo termine a secondo membro (4-51) si trova in corrispondenza di Il e va a sottrarsi alla componente amplificata linearmente alla stessa frequenza, determinando in tal modo la saturazione della sinusoide a Il , Per un amplificatore con la caratteristica non lineare di Figura 4-6, il punto di intercetta si ha per un livello dell'ingresso a RF di -lO dB~ specifica del punto di intp.rc.p.tt"del terzo ordine @utile pl:r pilGtat:eun trasml:ttitQre in modo che l'amplificatore RF nonYIQ..d!!.ca ecc~siva distorsionp.,m" è:"l1Che-usataJn ricezione per evitare che un segnale in antenna troppo potente provochi distorsione sul se-

gnalericevuto.

-

La Figura 4-6 permette di discutere anche altre proprietà degli amplificatori. Ad esempio, il guadagno dell'amplificatore è di 25 dB in zona lineare, poiché un ingresso di -60 dBm determina un livello in uscita di -35 dBm. L'uscita desiderata risulta compressa di 3 dB per un segnale di iI1gre~sodi -1~ dBm, e quindi l'amplificatore può essere ritenuto uneare solo sel~"gotc;:w:a..~~~~9,~~~~~.g~m5-~W~' se-i prooottI ~I!.~rmodulazione del terzo ordine devono essere attenuati di almeno 45 dB rispetto al segnale uti'-'-."-"," _. ~ ìe',-sarà necessa:.i~an~n.E!:.e il s~gnale di ingresso a un...y~loremferi~ ai.:-32 dBm. Un ulteriore termine di distorsione all'uscita dell'amplificatore non lineare è la cosiddetta 1d -modulation). I termini di modulazione incrociata si ottengono ana Izzan Q I prodotti di intermodulazione

del terzo or<1megenerati con IIn ~

gnale d'ingresso a d..u~c.Q!!1P-QnentifrequenziaILCome.indicatLw1ella..( 4.~llella (4-51), i termini ~K3AfA2sin lù2t e ~K3AlA~ sin w]t sono derivanti dai prodotti incrociati. Esaminiamo il termine ~K3AfA2 sin w2t, e cerchiamo di capire cosa accade se la componen: te~ frequenzl!.. Wlè un segnaleAMdel tipoA I [l + mi (t )l.sin Wlt'.Aove mI(t)è il segnale mgdulante, anziché la sinusoide pura.t. In q!lesto.c.asoil prodotto della distorsione de'Iter: zo ordine diventa (4-53)

.

\/J.'.

'.

Pertanto. la modulazione (J'"mpip'77"~111 segnai" " fr"C]IIp.n7a il genera un segnale a ~;"~enzaf.2Son. umtmodulazil?_np. ~~~rt" 111altre parole, ~licando due segnali. (li c.lli1109 ~IAM, in in resso' . . . siqni dp.1tp.fZo-orclinp., l'amiezza dell' altro segnale

I

viene in gualche

misura

modulata

da_~l!.a versione

distorta

de~.:......

te. Questo fenomeno è proprio Ja.modulaz1mleincrociata. V Quando si impiegano amplificaf6n per ottenere segnali a eÌevat'apotenza, come nei trasmettitori radio, è necessario disporre di amplificatori a elevata efficienza al fine di ridurre il costo degli alimentatori, degli eventuali circuiti di raffreddamento, nonché naturalmente l'energia consumata. L'effJ£i~~a..d~ll'amplific.at9re è Hrapporto fra la potenza ~el segnale dil\uscitae quellarelativa al1àCOmeOE~!~con"thIUadi alimentazione. Gli a;;.pÌificatori posso~~ssere classificati in varie categorie in base ai tipi di polarizzazione e alle configurazioni circuitali impiegate. Alcune di queste.categorie sono le classi A, B, e, D, E, F, G, H e S [Krauss, Bostian e Raab, 1980; Smith, 1998]. Per operare in classe A, .

naie

l~polarizzazione dello stadio d'am~lificazione è tale che la corrente fluisce per l'intero ci-

4-10

Limitatori

253

clo della sinusoide applicata in ingresso. In classe B, l'amplificatore è polarizzato in moao che la corrente scorra solo per metà periodo; di conseguenza, se esso deve essere impiegato come amplificatore lineare in bandJl~..@ il caso ad esempio di un amplificatore aillIio dipofenzi per un Sistema Hi-Fi), Si usano due di questi dispositivi connessi in configurazione push-pull,jn mod().c~meno uno sia in conduzione su ogni ~emionda della sinusoide. Nel caso di amplificatori passa-banda lineari in classe B, dove la banda è una piccolISSimafrazione della frequenza di funzionamento, si può usare un singolo dispositivo attivo, dal momento che la corrente per l'altra metà del ciclo viene fornita da un circuito risonante. La classe C è caratterizzata da una corrente di tipo impulsivo in cui ciascun impulso ha una durata (assai) inferiore alla metà del periodo della sinusoide d'ingresso. Operando In classe C, non ~possibile ottenere un'a-;;}IillfiCaZione lineare, neancge "-inunamplificatore a RF'COi1èlrCUiti accordati. Se proviamo ad amplificare un segnale AM con un amplificatore in classe C o con un altro tipo d'amplificatore non lineare, il segnale AM in risulterà distO n inV ~scita ' ~IUPPO ~' rto., Invece nn on . '.~~,..Jln <;:pgTulle; EM n~~SSf.re amp cato S ~oe...JIQlc.M qn amPli:. . .. ,Ificator<:...n<E!..!.ine~re consery~~li a!!!,2;versamentid):J1~ze~o dell~~~~d~on.
.

.

4-10 LIMITA TORI ~b

LXt~ b \

'''~~

:~~ ~~

..

.

Af--f Pò-(

~

-F

..

.

..

'.

'

!I .

II

Un limitatore è un dispositivo non lineare con caratteristiche di saturazioneJntr-odnttei~ ,Eonalmente. La caratteristica di un limitatore "soft" (cioè progressivo) è quella di Figura 4-5, mentre in Figura 4-7 è illustrata la caratteristica di un limitajQre"hard" (cLoèa soglia)

254

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali Caratteristica Vout dellimitatore

Vlim(t)

a soglia

/

VL

I~

L..

t-

t

Vin(1 Figura 4.7 Caratteristica del limitatore a soglia con andamento del segnale di ingresso e di uscita non filtrato.

assieme alla rappresentazione del segnale in uscita per un determinato segnale d'ingresso. La caratteristica ingresso-uscita di un limitatore ideale è sostanzialmente quella di un comparatore ideale con lIvello di riferimento pari a zero. Le forme d'onda di Ì'lgura 4-1 moStrano come le variazionid'ilmplezza(nell'inviluppo) dell'ingresso siano scomparse nel .

segnale d'uscita. U.!!-limitatore in banda passante è un dispositivo non linp.:m"con satura-

;

zione, seguito da un fIltro passa-banda. In questo caso, l'uscita dal filtro è una sinusoide, I 1

J)..

pOlche~earmoDlchedell'onda quadra eli FigJlr::l4-'1 vpngQnoelimina1e..dal1:.Qperazione di \\ ~. In generale, ogni ingresso passa-banda (anche un segnale modulato disturbato Il da rumore) può essere rappresentato usando la (4-lb) nel modo seguente: Vin(t)

= R(t)

COS[lùct

+

O(t)]

(4-54)

La c°f!Ì~ondente uscita per un limitatore ideale in banda passante diventa VOUI(t) = KVL COS[lùct

+ O(t)]'-

(4-55)

dove K è il livello deU~ GQ~~lIl~è81l't;~)nrl::l mmrl1J' cioè 4/'11'. WQltipli;: cato per il guadagno del filtro assa-oanda in uscit~L'equazione precedente indica che il

Imitatore lacca un'eventualemodulazioneAM in ingres,m.-mentre..preseFVa.}.'andamen-

4-11

255

Mixer e convertitori di frequenza

to della fase (in particolare, li attraversamenti zero dell'in ressa sono anche uelli e uscita). I limitatori vengono spesso utilizzati nei sistemi di ricezione per segnali con modulazionè d'~n 010 PSK FSK e, nel caso analo ico, FM er eli!!ili!arçqg!li Dossibi-

~ variaZIOne in rum~ul

ampiezza

e

inviluppo desegnale

all 'ingresso del' ricevitore dovuta al

canale o_al fa~ing.

4-11 MIXER E CONVERTITORI DI FREQUENZA

(4-56) dove gin(t) ne è l'inviluppo complesso. Il segnale in uscita dal mixer ideale è quindi VI(t)

=

[Ao Re{gin(t)ejcucl} ]cos wot

= ~o[gin(t)ejCUcl

+ gi~(t)e-jcucl](ejl<.\)1 + e-jl<.\)1)

ovvero

tato ~:n~~~:~ i~~ic~~:~eg?ale Da~sa-banda.d'ing:esso con frequenza cent~~le fr aè = le + lo, e l'altro aJx.e
u

può _usareun filtro per selezionarela componentea frequenzamaggioreo quella a fre ~ \

il~quenza

iiifenore. La çombinazione di un mixer seguito da un filtro che e Imma uno e dùe segnah in uscita d~ro è il mixer a handa lateraJe çin.go1.a.Per selezionare la ~'~~~.Mixer

-

'

Filtro

_Il

t..>,

V2(t)

Oscillatore locale

Figura 4-8 Mixer per conversioni verso l'alto e verso il basso seguito da filtro.

.

-""\ r

,

"-.'?

r I 256

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi scherni circuitali

componente a frequenza più elevata si fa uso di un filtro passa-banda, mentre la componetm: é:tflt:yut:~Zé:tplò ~assa puo esst:lt: 1>d\:;L~v.l!it!i " ,,,,,, ''''

r;II". ;~,},JInà'~1 pqHnnte ò -

con uno in ban a base, ~seconda di dov~~'locata G:.=.h.:. Per esempio, sele - lo = O, sarà necessarIo-tin rutTOpassa-basso e in uscita avremo uno spp.ttm in h:mda base. Sk.. le - lo > O, con le - lo maggiore della banda di gin(t), si impiegherà allora un filtro in banda passante, la cui uscita risulta (4-58) Sele > lo, la modulazione applicata al segnale in ingresso al mixer Vin(t) viene semplicemente trasferita su entrambe le uscite a frequenza !t, e Id, Se invece le

riscrivere la (4-57) come segue VI(t)

=

I .

lo possiamo

~o Re{gin(t)ej(wc+"-IJ)t}+ ~o Re{g~(t)ej("-IJ-wc)l}

(4-59)

<J

dal momento che la frequenza che compare all'esponente della rappresentazione in ban~ base del segnale deve essere positiva. ~el caso in cuih' < lo, l'in viluppo complesso del segnale convertito verso il b.asSQ.è-'luin.di...iLconlllg::lto rlp.lI'inviJuppo.cowplesso del segnaTe-d'Ingresso,Ciò è equivalente a dire che le.Q1.I.!1gel£!.~~L~()l)os~,$c~; oV:vero, la banda superiore del segnale di ingresso d1venta la banda inferiore del segnale di

-

uscita convertito verso Il 6asso, e vicevérsa; infatti lo speJ):ro di -g: (Q ~-

~[g~(t)] =

f:

gi~(t)e-jwt dt

=

-

[f: gin(t)e-j(-W)IdJ

= G~(-/)

(4-60)

La presenza della variabile -I indica appunto che la banda laterale superiore e quella inferiore sono state scambiate, mentre il coniug!9 ci dice fl:1e lç§Qettro di fas~

Riassumendo, l'in viluppo è6~so conversion) è

d~IJ1ta...inve.!.1it!2.

de1segnale d'uscita convertito verso l'alto (u12

g2(t) - = "--

\

~o gin(t)-1

(4-61a)

~v~ = !~/o > O,Pertanto,ritroviamoun'eventualemodulazionein ingressoanche sul segnaTe l uscita, ma con ampi~z~a §.ca.@t~d~UMJ..QDU\oL2.- Nel caso di conversione verl,p il l1ass_(L(down'conv.~~i.pm-ci..sQn.iLCh.l~--Possibilità.. Se /d = le - lo > O, cioè lo < h., ... -' ~.,...,,~-

l g2(t)

=

f

gin(t)

i })f)JlJtJ:r:

(4-61b)

Si parla allora di conversione verso il basso con ri erimento in eriore low-side in 'ection ,

poic e a frequenzadell'oscillatorelocale è al di sotto di quella del segnaledi ingresso (cioè. f/1 < &l..ln questocaso, ìà mociiì~ in uscitaè la stessa in ingresso,Mttua- to il fattoredi scalaAo/2. L'altra possibilitàèÙ = lo':: le > o, cioè/o > !c, e il coITisPòndenteiIivlliippocoffij5Iésso del segnalein llsc1trlm ...~- ---

c

4-11

Mixer e convertitori di frequenza

]l..

257

(4-61c)

Si parla <J!!i!ldidi conv~sionf> ver<:o il bas<:()ron riferimento superiore (high-side injection), poiché/o> 1<..In questo caso, le bande lat~I:1J.lLd.cl...se.gnale di uscita convertito ver~oìThasso sono invertite rispetto a quelle dell'ingresso

(ad esemJ?io.z.un s$,ggale d'ingresso

LSSB diventa i~uscita ':!!!J'~ill.e y~~m. I mixer si comportano come elementi circuitali lineari e variabili nel temoo, poiché -~--.;:;;:z ~=;;;; - \ VI(t) = (A cos Wot)Vin(t)\ dove A cos Wotè una sorta di guadagno variabile del circuito line~re. Questi componenti non hanno niente a che vedere con i mixer impiegati negli studi radio e televisivi. Un t!1ixe_~mp1!!icato~eche genti i' Iversoun. tIpO,come mlcrofoms.OI~mamolti. n rodutton segn~li ~Lin~Q tt..{>.,[1 CQro:~!!~1!tj, D 10 modo dasor:tale.-da '~mlxarh" (mescòfar I e~~od~~~s} ~~rsegnaledi uscita. Dunque il termine mixer assume slgmhcatI completamente dIversi, a seconda ael contesto. Quando ~ I!s.alQ!lei trasmettitori e nei ricevitori, ~s~o ~mplic,a1J!l'Q!!.~r.a.zione di moltieljcazio~ e quindi la tr1}slazione...io..fr.e.qJle.pza deL1>egnaledi ingre~s.o.Nei sistemi :mnio, rorrisponde. invece a u~' operazione di somma che consente di combinare più segnali di ingresso in un unico segnale di usdia:-L'operazione di m~ti1?licazione realizzata da un mixer,pJ!Q..essereimplementatai!!. uno de.i~g~!!ti E1odi:-

-

..£!..L. D -,--, ~ ~t.-.':::, } ~ 1.)ln ,""-

j-k OL.

':D

~

dispositivo a transrondutt.aRza..vaFiaèi.-le-ifl-fft(')~Ofltit1UO £Ear~

«Dun

neLtemp.o..c..om~

dispositivo lineare con guadagno variabile nel tempo in modo discreto.

Nel primo caso, cioè usando un FET a doppio gate per implementare la moltiplicazione, Vin(t) è tipicamente applicato al gate 1, mentre l'oscillatore locale è connesso al gate 2.

I7uscita risuTfiiiite è'-~

---

-

-

-

..

(4-62) nell'ambito di una certa dinamica èIllunzionamento, dove VLO(t) è la tensione dell'oscil~re locale. Il mQlli@aore è a se la ffi61IìpttcazlOne viene effe~ata fra due segnali di_in~eJso~n e VLO(t), entrambi non negativi o non positivi [quin5lUL grafi£Qili Vin(!) !9 funzione di vLo.Lù.~d~eramente nel primo quadrante]. Il moltiplicatore è a d~g..ul!1ran!.LS!-Vffi!L1..2PILU~.YLO(ill.llOi1llèi:!i:f'la..Q ifon..PQsitiva,mentre<" l'altra forma cl'2nda ha .§.~&1°arb!!t.ario.Infine, il moltil'licatore è a quc:ttroCfi!f!drantise l~qJtWIif..aziQne avyienejndipendentemente .dal..segno.di-v;n{t.J..e,"di.v~ Con la seconda tecnica, la moltiplicazione viene effettuata sommando dapprima i due segnali di ingresso, e poi elaborando il segnale attraverso un dispositivo non lineare, come indicato in Figura 4-9. Considerando la componente quadratica dell'uscita, abbiamo

sWiiii:;;'dGg~

VI(t) = K2(Vin + VLO)2+ altri termini = K2(u~ + 2VinVLO+ ulo) + altri termini

(4-63 )

258

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

58 \ LA vJ CI/~ "io Dispositivo non lineare

Filtro

Oscillatore locale

Figura 4-9 Dispositivo non lineare usato come mixer. Il termine di prodotto incrociato è quello che implementa l'operazione di moltiplicazione desiderata: (4-64)

(4-65) dove s(t) è il treno d'impulsi rettangolari con aI!!p'iez~1U!i..P.icco unitaria, che determina la commutazion~Dallo sviluppo in serie di Fourier del treno d'impulsi, troviamo che la (4-65) diventa VI (t)

= Vin(t) -1 + [2

~ L

2 sin (n7Tj2)

n=1

n7T

cos nUJot

]

(4-66)

l'operazione di prodotto è ottenuta in corrispondenza di n = l, cioè t 2 B . - Vin(t) COSUJot 7T

(4-67)

in band&f!assaAte.~()nsp.ettrodiverso da zero nell'intorno di i - !S' .uesto termine dà luogo a conversione verso l'alto e verso il basso de1 segUi!le rispettiva-

~egnale

~Iile al e rrequenze

e

+ io eJ;::-];Ta-~66)

mostra però che nel segnale di uscita so-

ng~nh i1ij§P~*",,' 'JI.lìf'J9A~}'''I'I'~~e.D7:(( f lie:t niol, n - 3,5,7, .. ,:.!!2!1s.l1é i!.,!:rmine "spurio" legato all'ingresso, ~~u.L..°vviaillèiiie, è p'ossibile introdurre un filtro per seleZIOnare una delle aue componenti traslate in fJ;.çg~z:l yerso...il.b.J;l~\l..oPPJJfe

t\b!

l ve~o ]!:lltQè~-ç,QfuiiiI5n(uiél1ii~~-6~--\ 1\ I_~ixer sono~~ss~~ssifi~~:!bilancia~~~

q ~il(1'.j~ig.mentosin&.olo~ a bil2!~a.:;....

4-11

259

Mixer e convertitori di frequenza

mento doppio. Per capire questa classificazione osserviamo che in generale all'uscita del ifÙxer SI ottIené un s.egnaledel tipo (4-68) Quando Cl e C2 sono diversi da zero, il mixer è detto sbilanciato, poiché Vin(t) e vo(t) vengono nportatI m uscita. Un mixer sbilanciato quello di Figura 4-9, dove, per realIzzare il prodotto, SI fa uso di un dispositivo non lineare. Nell'espansione in serie di Taylor della caratteristica ingresso-uscita di un dispositivo non lineare, è Il termme lIneareà determmare la presenza sull'uscita SIa dI vinCi) che di v;(t). In un mixer a bilanciamento singolo, solo uno dei due ingressi viene nportato m uscIra;cìòè C I oppure C2 sarà nullo. u'O esempio di mixer a bilanciamento singolo è riportato in FIgUra4-lU, dove la moltIplIcazione è realizzata attraverso il campionamento. In questo esempio, la (4-66) mostra che voF) vIene bl~ccato (cioè: C2 O)mentre Vi,;-(t)"rientra" in uscita con un guadagno pari a C I

= !. Un

-=

mixer a bilanciamento

doppio non presenta in uscita nessun termine in-

desiderato dovuto all'mgresso cioè sia C I che C2 sono nulli. La Figura 4-11a mostra lo schema dI un mixer doppiamente bilanciato a diodi. Questo tipo di mixer è abbastanza diffuso poiché relativamen~~conomi$fo e dotato di'eccellenti ~s~1 Il ~e di.ill.t~odulazlOne del terzo ordine è in genere al di sotto di 50 dB rispetto alle componenti desiderate. Tale mixer è ro ettato-'er-mied'enzeaisòr ente é di carico 0150 !'le pre.. --- . ~. .1"f!l<JIII'!IIo..,." ~.~ senta banda larga sia in ingresso che i!,1u~£i~__~porta RF [quella cui è applicato Vin(t étaporta LO [quella dell' oscillatore locale] spesso funzionano su un intervallo di frequenza di 1000 : l, e cioè da l a 1000 MHz; la porta IF (frequenza intermedia) relativa al segnale di uscita, VI(t), lavora, invece, dalla continua fino a 600 MHz. I trasformatori vengono realizzati con piccoliavvolgimenti toroidali, mentre i diodi sono in tecnologia "hot-carrier" e sono accoppiati in modo da presentare caratteristiche identiche. Il livello del segnale di ingresso sulla porta a RF è relativamente piccolo, generalmente inferiore ai -5 dBm, mentre il livello dell'oscillatore locale è piuttosto elevato, dell'ordine dei +5 dBm. Il segnale LO ha am iezza considerevole, oiché, in effetti, deve "accendere" e "spegnere" i diodi in modo che questi funzionino a commu ri. I::'Oscillatore

locale

fornIsce

in!':omm:l

il <:pgn:llp il. ..."nttr,>l1" ppr 1" "'owml1t<>7.n~

-Il

circuito descritto funziona come un dispositivo variabile nel tempo (rispetto al segnale di ingresso sulla porta RF) e la sua analisi è molto simile a quella adottata per il mixer Commutatore analogico (dispositivo lineare tempo-variante) ""-

VI(t)

,

.

nnnn -4 'C'I

~

t~

Multivibratore

(generatore

Figura 4-10

Filtro

d'onda quadra)

Vout(t)

Ij

r

V

Dispositivo lineare variabile nel tempo usato come mixer.

260

Capitolo 4 - Segnali passa-banda

e relativi schemi circuitali

+

+ I

..

PortaRF

Porta

Vw

oscillatore

locale(LO)

Oscillatore locale

PortaFI +

Carico (a) Schemacircuitaledi unmixerdoppiamentebilanciato

Vw(I) +

(b) Equivalente

circuitale

(c) Equivalente circuitale quando vw(t) è negativa

quando vLQ(t) è positiva

s(t) +1

1(d) Segnale bipolare di commutazione

generato dall'oscillatore

locale

Figura 4-11 Analisi dello schema circuitale di un mixer doppiamente bilanciato.

~ commutazione di Figura 4-10. Nel semiperiodo in cui VLO(t) è una tensione positiva, l'uscita risulta proporzionale a +Vin(t), come già visto per lo schema circuitale equivalente di Figura 4-11b. Quando, invece, VLO(t) è negativa, l'uscita è proporzionale a -Vin(t), come si vede dal circuito equivalente di Figura 4-llc. L'uscita del mixer è (4-69) dove s(t) è l'onda quadra di Figura 4-lld, avente periodo To = 1//0, e descritta dalla seguente serie di Fourier: s(t)

=4

~

sin(n7T/2)

n=1

n1T

L

cosnWot

(4-70)

da cui (4-71 )

4-12

Moltiplicatori di frequenza

261

Se come di consueto l'ingresso è un segnale passa-banda avente uno spettro diverso da zero nell'intorno di/c, allora esso risulterà convertito alle frequenze Ih- :I::n/ol, con n = l, 3, 5, . . . . In~pratica, il valore K è tale che il guadagno di conversione (definito come il livell.2deU~mponent~t.iI~i.!!.scita çlivis
--t>r\.:J

4-12 MOLTIPLICATORI DI FRRQ1JENZA

s

Ati

-

\ ~H -F 'r( I moltiplicatori di frequen~a sono circ~iti non lineari se~uiti da un circuito accordato, come Illustrato in [email protected].:12'r~ inyj~ ingresso un s~~nale.£a~-.È~da, ,l'!!scita posizionata suJ1A-.ban~ ,freouenze COrriSDQIl~all' n-esima aTmoniNi-iffillafTe£I..uegu. portante d'ingresso. Poiché però il dispositivo è non lineare, il segnale...,wrr"anche di-

~

~-

~torto, cosicché la banda attorno all'n-esima

armonica <.!L!:!..scita rislIlliul y'olt~J?iù -~!!1m!!

Moltiplicatore

,

di frequenza ~

I

II I

VI (l)

I I I I

I

~

(a) Schema a blocchi di un moltiplicatore

di frequenza

Filtro passa-banda (gruppo risonante a n/c)

~ Polarizzato in zona non lineare

Frequenza

in ingresso

(b) Schema circuitale

~

I

Frequenza in uscita

= /e

di un moltiplicatore

Figura 4-12

~

di frequenza

Moltiplicatore di frequenza.

= n/c

Vout(t)

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

262

di Quella del
Vin(t) = R(t) cas[wct + t9(t)]

del mal-

(4-72)

La caratteristica di un dispasitiva nan lineare può essere espansa in serie di Taylar, nella quak Jl. t.erm.ine-dLordilte..n-RsulHlVl(t)

= Knv~(t) = KnRn(t)

casn[wct

+ t9(t)]

a, in altemativa,5 VI(t) = CRn(t) cas[nwct

+ nt9(t)J

+ altri termini

Paiché il filtro passa-banda è proe;~ttato in mqda da far passare le fn~qJIenze.n.e.lJ..J.ntama di n!c:,l'uscita sarà (4-73) La precedente equaziane ~ide~!a la distar,~i,wJ~~"b.Ua da!!' amviezzq R C,-LdeLs~~lliJ.le di in ressa: in uscita l'inviluppo del se nale.~ ra resentata d n«(~ndamenta nel tema della madulaziane d anga are t9 t , non viene Invece aistarta dal maltiplicatare di frequenza, che però ne incrementa l'ampipzza Qjdl" "~ri~7ione di 1m fatton~ n PercIò I

\

'

~i licatari di frequenza nan vengana impiegati can i se nali er i u ., . canservare la madulazlOne I ampiezza, mentre risultana partical.ap1~nte utQi nel casa di egnah PM e FM, pOlché.,9ifatta "amplificana" JafaJ:.!11ad'anda madulante. -" I maltiplicatari di frequenza nan devana essere canfusi can i mixer. I primi infatti si campartana carne dispositivi nan lineari. IIl11ixer (che implementa l'aperazianeat. prodatta) .opera, invece, carne un cirçJilia lineare can un guada~'!.<2...variabile nel tempa (grazie all' ascillatare lacale). La banda del segnale in uscita dal maltiplicatare di frequ~ ~più ampia_di.qileJ.la.-de.ll:ingressaed è callacata in carrispandenza dell'n-esima armanica. La banda del se na' c' al mixer invece, è la stessa dell'ingressò, ma spettra è tras ata V~ versa l assa a secanda della fre uenza dell' ascillatare lacale e del filtro- passa-banda di uscita.

r , U.. Q. .

~

-

4-13 JmTELA TORI .."., -

Carne indicata nella Figura 4-1, il ricevitare camprende :mrh("plpmenti circuitali che ri- . cavana un segnale in banda base dal ~~gnnJf~~...;.IJQ".I",.1: ~n~t:~esti dispasitivi sana chiamati rivelator.L... I paragrafi seguenti spiegheranna carne sana castituiti i principali tipi di dispasitivi in grada di rivelare in uscit
5

I tennini di uscita di ordine m, con m > n, possono contribuire

è sufficientemente

en

elevato

rispetto

= 2 facendo uso dell'identità

a Kn. Questa

condizione

all'n-esima

si può facilmente

illustrare

trigonometrica 8cos4x = 3 + 4 cos 2x + cos4x.

annonica

di uscita, se Km

ad esempio

con m

=

4

Rivelatori di inviluppo

~V~L-ATùR.~ N~cA 4-13 ,,A..~c:LO X((€ ~A

/

Co~~§ Nì 6" Rivelatori 263 I}..)G

R.e~Jo '\

Un r' t .. 'u circuito che fornisce in uscita una fonna d'onda proporzI()nale all'inviluppo R(t) del suo ingresso. a a - , 1 ~egna e passa-banda di in-: , ~sso può essere espresso come Ret) cos[wct + 8(t)], dove R(t) ;:::O; quindi, l'uscita del rivelatore ideale di inviluDDoè~ (4-74)

) dQ~ § è la costante di DroporzionaJjtà La Figura 4-13a illustra un semplice circuito a diodi che approssima il rivelatore di inviluppo ideale. La corrente del diodo è una serie di Impu~ ti; ampiezza pI:OponiQAale alla semionda positiVa del segnale di ingresso, che caricano il condensatore e generano in uscita la fonna d'onda di Figura 4-13b. La costante tempo RC è scelta in modo tale che il segnale di uscita possa seguire l'inviluppo Kl!J aei segnale di mgresso. DI conseguen-za, la fr~enza di .!.aglio-~eTfiltro passa-.bassQJIQYI£:eSS~ piii piccola della portante te ma (moltoLpjìu~h;~vata della banda~ del segnale modulante ri.Y..elatO-lIL.altri tennini, l B~-~J" 27TRC 'f

(4-75)

Jc

Il rivelatore eJiinvilllppO-è-tipicamente-utili~ato-per-1a-demodulazione dei segnali

~~n questo caso, Vin(t) ha inviluppo complesso ~(t) = AcrI + m(t)l, dove Ac2~ rappresenta l'intensità del segnale AM. mentre f11-(t)p.la modulante. S~ I?!t(t)1<_-1 -~~ allorl.\ Vout = KR(t)

= Klg(t)1 = ~+_m{01 ---

..----

= KAr+ Kdd11J.4

(a) Rivelatore di inviluppo che impiega un diodo

Segnale di ingresso, vin(t)

(b) Forma d'onda associata al rivelatore di inviluppo a diodo

Figura 4-13

Rivelatore di inviluppo.

264

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

KAe è una componente continua utilizzata per ottenere il controllo automatico nel gllanagno AG nel ricevitore AM: se KAe è relativamente piccolo (cioè un segnale AM ricevuto debolmente il guadagno de rICevitoreaumenta èVl(;eversa. La componente em t è inv~ce il segnale modulante rivelato. Nel caso di modula"riOne au IO,va OrItlplCIper i componenti de rIve atore di inviluppo sono R = lOkil e C = 0.001 /Lfd. Tale scelta consente di ottenf"rp'''I (iIL."1='''''''"D"o>o>v "Vii flefll:l8113a di t,,glio (a -3 dB) pari afeo

~6J

)( {"" -""'

V\~

"A

=

1/(21TRC)

15.9 kHz, assai al di sotto dife (attorno ai 1000

k~~! e m~ggi~e del~apìU alta delle freauenze ~d.ÌD.:B~impiegaie.-ne11eJlpich~pplica- .

ì c§""zl~nfAM (L[5KHz). .

2-~""latore

(1:St;jPrS::;r

..

=

xk~

-

J

-4

sincrono)-<>

Un rivelatOlLsill~ig. ~nda

(Yj

,.

(-

Pbc..Jaro...loW ~

n-

M."Ax.Jòc=..

~ ""Ò~,

'

IV i"f"$,

4-14) è un mixer che converte in handa base il segnale di inpiù rumore). L'u~cita»el m~~ p.

v,(t) = R(t) cos[wet + e(t)]Ao cos(w,.t + eo) = 1AoR(t) cos[e(t) - 80] + !AoR(t) cos[2wet + e(t) + eo] dove la fre uenza dell'oscillatore è lo la componente convertita v.~so I ~

Vout(t)

= !AoR(t)

cos[e(t)

- 80] = !AoRe{g(t)e-jOo}

(4-76)

do_vel'inviluppo complesso del segnale di ingresso è

~) = R(t)ejl}(') = x(t) + ;y(t} e x(t) e y(t) sono le componenti in fase/quadratura [si veda la (4-2)]. Poiché la frequenza dell'oscillatore coincid~ con quella della portau.t.ulel ~~gnale di ingresso. l'oscillatore o

. con J'iJ:Jg.t~P. Inoltre, se eo = O.:I:oscillatore è anche sinysuita :~~.~(?~~ crono Infase e I uscita Ivpnta -==.

.

(4-77a)

Vout = !Aoy( t) ~_-:-: -

(4-77b)

La (4-76) indica inoltre che il rivelatbteSincro.!}!Lè...sensibil~lla-modHlaziooe..dL ampiezza (AM) e a quella ~i fase (PTyQ.Ad esempio, se l'ingresso non presenta alcuna Vin(t)

= R(t)

COS [Wcl

+

/J(t)]

Filtro passa-basso

oppure Vin(t)

= Re[g(t) = R(t)

dove g(t)

dwcC] e j8(c)

Oscillatore Figura 4-14 Rivelatore a prodotto.

.

4-13 . 'fe'

O. e se il vai

modulazione d'angolo, e dun eClOè 00 = O), al~

Rivelatori

265

della fase è nullo (4-78a)

cioè all'uscita del rivelatore sincrono si ottiene l'inviluppo del segnale passa-banda, proprio come nel rivelatore dI m~l~ppo ..EI~u.~~r~~(fent~f!1~~~' Se ìiilngresso è invece Q!"esenteun segnale modulato d'angolo kco~ [(IL! + O(t n e On= 90°. l'uscita del rivelatore sincrono è ~

ovvero VOUI(t) = .J~oAc sinO(tL (4-78b) In questo caso, il rivelatore sincrono si com orta Il car e!i§fica,§ipY$oJ~~p'Q.iché la tension~~..!!.~cita è pr,o orzion a a I erenza eh ase tra i'H't-gnaredfin-gresso e Cluellodell'oscillatore. Sono anche utilizzati rivelatori di fa~e con caratteristica triangolare o a dente di sega rKrauss, Bostian e Raab, 1980]. Con riferimento alla (4-78b), nel caso di rivelatore di fase con caratteristica sinusoidale, e ipotizzando che la differenzadi fase sia piccola [ovvero, 10(r)1~ 7T/2],notiamo che O (t) = O (t), quindi Vout(r)

= !AoAcO(t)

(4-79)

che è una caratteristica lineare (per angoli piccoli). In conclusione, l'uscita del rivelat~ n . I sincrono è direttamente prooorzionale alla l1iflerenza di fase. quando questa è piccola (si veda la Fig. 4-20a). Il rivelatore sincrono si comporta come un dis ositivo lineare variabile tem o rispetto all'ingresso Vint , a differenza del rivelatore di inviluppo, che risulta invece non lineare. La ro rietà di linearità o meno mfluisce significativamente-sui risultati &..ull'ingressosono presenti due o PlUcomponenti (come segn e PlUrumore). Tale argomento verrà affrontato nel Capitolo 7. I rivelatori possono anche essere classificati come coerenti o non coerentL Un ri- '

~ !!

gy'~

-

-

I

3elatore c~~o~,..w~~ess!:~\!1!9 per il s~gnale di riferimento P~( e~pio il se~a le~ncromzzatò con 'oscJ!lator~tD'~ltro oer Il.~d~.,.che deve eSs.e.re3lemo-1\ duIato..l1 rivelatore sincrono è un esempio di rivelatore coerente. Un rivelatoT~ll!J£.coe.rente ha s~t~~ h segnale modulato, come il rivelatore-d'inviluppo~ .~.

~modulatore

di frequenza

Un demodulatore di frequenza ideale (demodulatore FM't è un dispositivo la,cui uscita è proporzionale aUafr.,ç~ta.u!;ij,W;:a.òeU'jDgv-~e i\..§egnaleP!!~s!!:banda~ssoèR(r)_cQ.Srw<J:t ~~~ Vout(t)

= Kd[wct/~ O(r)] = K[ WC+ d~~r)] --=

quando .-, (Rit)",.*0). _.-

/, JR

Y

b .f,-

~ \-

r .. C: O- ~':)

(4-80)

!

It

266

Capitolo 4

- Segnali

passa-banda e relativi schemi circuitali

Tipicamente, il demodulatore FM è bilanciato. CiQ si~nifica che la tensione continua Kwc non compar.ein .!!scitase il rivelatore è accord~ulla..fr.ecl1J.eDZa PQrtant~In questo caso: ruscÌia è

Vout(t) \&.

d O(t) dt

(4-81)

= K.......-

~

Ci sono vari modi di implementare un demodulatore FM, ma la quasi totalità di questi si basa su tre principi:

--

.. .

- -. ---

c?E..,,!rs~~FM-AM; rivelazione a sco~tamento di~~--_.. fase o in_~~ratu~; -, rivelazione degli attraversamenti dello zero. ~--

-

-

--~ - -

La Figura 4-15 rappresenta un rivelatore a pendenza esloue detector) che funziona sulla base del principio della conversione FM-AM. Per el1minareeventuali variazioni dell'ampiezza del se~nale d'in!1're~~oè necessario un limitatore jn banda passante;..in caso contrario, il segnale di uscita risulterebbe distorto. Supponiamo che l'ingresso sia un seg~ale ~ato iOfreaue~a con unavanazlOne di ammefza dovuta ai disturbi. Dalla Tabella 4-1, tale segnale FM è rappresentabile come Vin(t) = A(t) cos[ wct + O(t)]

(4-82)

dove O(t)

= Kf

r

-00

(4-83)

m(tl) dtl

~(t) è l'inviluppo CQnuna variazione di ampiezza (fadinR), mentre met) è il segnale modulante (ad esempio di tipo audt2). Ne segue che l'uscita dellimitatore è proporzionale a VI(t)

=

VL cos[wct

+

O(t)]

(4-84)

e l'uscita del derivatore diventa

V2(t)

= -V L [ Wc + d~~t)] sin[wct + O(t)]

(4-85)

L'uscita del rivelatore di inviluppo è quindi l'ampiezza dell'inviluppo complesso di V2(t):

Vin(1)

..

Ipassa-banda Limitatore Figura 4-15

Derivatore

Vz(t) Rivelatore di inviluppo

Demodulatore di frequenza a derivatore.

4-13

Rivelatori

267

e poiché, in pratica, Wc ~ dO/ dt essa diventa

dO(t) Vout(t)

;Jt]

= VL [ WC +

In conclusione, dalla (4-83), otteniamo (4-86)

Questa equazione ci dice che il segnale di uscita contiene una componente continua VI W~, più il termine VLKrm(t), proporzionale alla modulazione del segnale FM. Ovviamente~ =-posslbileinserire un condensatore in serie ali'uscita in modo da eliminare la com onente commua.ì1Oenv -un u slasi circuito che a isca da convertitore fre9uenza-am~iezza. Ad esempio, è possibile usare4-16), un CircUItonsonante accor ato ~eQuen7H m;.sginrp rli,gJl~I1H ddla..po11an1e(Fig. in modo che la risposta in ampiezza sia IH(f)1 = KJ! + K2 nella zona utile della caratteristica. Si ottiene.,poi un rivelato .. o d. .. atore b .lanciato " . o" il circ ito risonante ~ome in Figura a componente continua in uscita Quando l'ingresso ha frequenza pari afc viene automaticamente bloccata, e la zona lineare del convertitore frequen~.n:. slOneviene anche estesa.

Convertitore frequenza-ampiezza

Rivelatore di inviluppo

.--------------I

.---------------

: I

R

I I

I

Vin(t)

I I C I I L I I I I I I I I --------------_J

I

I

I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I

Co

1

--------------_J

I I I I Ro:

voo,(t) I I I I I

(a) Schema circuitale del derivatore Intervallo di frequenze per la conversione

~ineare

l

frequenza-ampiezza

1/

o

fo

f-

fc (b) Modulo della funzione di trasferimento

Figura 4-16

del filtro

Derivatore a circuito risonante per la conversione frequenza-ampiezza.

268

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali Circuito accordato

Rivelatore

I@!I

di inviluppo

Caratteristica del circuito sintonizzato I

Caratteristica complessiva frequenza-tensione

o

.

-

!Rivelatore di inviluppo

Circuito accordato

2@fz (a) Schema a blocchi Circuito sintonizzato

I

II

~

I I I I I

CI

:

I I I J

'--------r-------I I I I I I I I I I :

- - - - - - --: Cz

... Circuito sintonizzato

I I

:

I I I I I

JI 2

(b) Schema circuitale

Figura 4-17 Discriminatore bilanciato.

In pratica, i d!scriminatori sono stati sostilliiti.da.cir.cuiti intew~li.ch~anQ sulla base del principio della rivelazione in quadratura. 11pnnclpio di funzionameno del demodu/atore in uadratura è il seguente: per prima cosa rif'np ~ te un se n~e in uadraturacon l e ttraversofiltra io ca~ivo; successivamente, gr:.a_~ie_a.un rivelatore sincrono, il segnale in quadratura viene !!l°ltiplic.atooer il se~naIe ~~e~~ci,ç9$I..~v,l;jjI'W1.Wi1l.a.1-Jl-segflal~mqu~çlrall/.1"a .si ottien.e.,.facenEl~assareoih~,ale-FM attrft''''8F8B \lR~QDdew;atote,.,.Conne~~2

4-13

Rivelatori

269

~ ~er~~.£cm-tJjJ.;<;j,u;lJ.it~°3!~!1~p!]!el0 sintonizza£.O ~ullafreauenza ~. La capacità in serie determina una rgt~zione di 0° mentre il circuito risonante inu.:oduceuna ulteriore ."r2t~zi2,l1~c.liJ~~9rzionak.~ija ~~viazione istanta~~ dj fÌeque~za ~da/e) de segna e N. Dalla14-84) e dalla (4-83), il segnale FM risulta

,-~-

Vin(t) = VL

cos[wcf

+

(4-87)

O(t)]

mentre il segnale in quadratura è

Vquad(t)

=

KI VL sin[ Wct

(4-88)

+

~?ve KI~~~l!J;~o so~a~i. che~dipendono d~ y~1.wi4~comP9nenti circl!itali usati perJl ~atore in seriè e~p~~)i:clJitn:ti'!.QD"nrf> parallelo. I se~li della (4-87) e della (4-88) vengono moltiplicati fra loro da un rivelatore sincrono (per'èSempitr,qiiello dI FIg. 4-14) al fine di ottenere il segnale di uscita 2.

l

Vout(t)

dove il termine a fre~nza cfentem~nte piccolo, sin x

dO(t)

(4-89)

= zKI V L SIn [ K2 ---;jf ]

somma viene eliminato dal filtro passa-basso. Per K2 suffidiventa

= x, quindi, facendo uso della (4-K;), l'uscita Vout(t) = !KIK2 VIKjm(t)

.

(4-90)

e dunque il rivelatore in uadratura realizza la . e FM. TIprincipio del rivelatore in gua atUrae anc e a a ase del fuq~onamento degli anelli ad aJ:!iganciodi fase ~PLL, Phase Locked Looo) aPDositaJ)Jeate..!p,aJj<,za~i p~r ri~lare sl(gnaliFM rsi veda la (4-110)]. Come indicato nella (4-80), l'!!§cita di un demodulatore FM ideale Ldjrettamente proporzionale alla...frequenzaist!!:ntan~!!.d~lsegIl~ di ingresso. Si può ricavare una caratteristica lineare frequenza-tensione

'~~

forma

d'onda in in~resso. Un demodulatore diquest~princiDio rivelaiPnÙll_attt~el)to dello zero. La Figura <..fa.yso 4-18 illustra un circpi~do è chiamto (cioè formato da componenti sia digitali che analogici) che im lementa il rivelatore di attraversamenti adio zero. Il segnale. . I '!... !l~CIa _a Imitatore (onda quadra~1è mostrato in Fi-. giira 4-18b, relativa aYcasoÌn"'cuila frequenza istantanea del segnale d'ingresso .

,.~..,.;~'-~

.

:'-,~

-

l dO(t) J;(t) =fc + -(4-91) l. ,,~-~ 7r t!!-J è maggiore della frequenza portante/c. Poiché la tensione modul3Ptf<\(3ua lert~1J1enterisl?ettQ~l~çjllazione del segnale FM di ingresso, la frequenza di J; > Cr:.(iD figura) appare costante, sebbene in realtà stia lentamente variando secondo l'andamento di VI(t). TI niiiftlvibratore monostabile è attivato attr!:l.y~~tJ1!W:lello.zero con )2endenza~osi- -.,- dagli , .--ilva~l O_Per avere una demodulazione bilanciata, la larghezza dell'im ina'e ".'2,..deve essere-;iifi1': 2-~ T 2 in mo a tensione in uscita cMl'iluwlifiça.wr.e _.~. ~.. ~.- o c e _. . 'dl!ferenziale si~.1.lUlla.lìe.J;_=-/".. per~come mostrato dalla forma d'ondaQuindi, VI(t) inè figura], la tensione c!Luscit()p,..pg~it ,m tre per J;.<J..c.L!is.!!herà negativa. possibile ottenere una caratteristica fre~uenza-ten~ii~re, sp°I!genza-dì un segDalf> FM ronfiW -- - f. :i: Il /')7T)Krm(t).

-- J!IS

C[J;(t) - /e], in corri-

270

Capitolo 4

- Segnali

passa-banda

e relativi schemi circuitali

Multivibratore monostabile

voo,(t)

(il parametro Q ,Te I e""2=2fc)

C ...L:

I R

~

:

I

/

~

I

I I

J

LPF (a) Schema circuitale

r

Andamento del segnale per una frequenza istantanea/;

> le. dove /; =

+ I

Ti

Uscita dellimitatore

tQ

- - - - - -- - - - - - Q

-----------

V3( t)

= livello

in continua di Q

Uscita Q del monostabile

t-

--~-------------

UscitaQdelmonostabile

((b) Andamento dei segnali (/; > le>

Figura 4-18

Demodulatore FM bilanciato ad attraversamento dello zero.

Il circuito di migliore qualità per effettuare, tra le altre operazioni, una demodula-

zione è ranelload-aggancio-difàse. ., ~dCfrequenza - -----

- -- -

4-14 ANELLI AD AGGANCIO DI FASE E SINTETIZZA TORI DI FREQUENZA tre elementif~damentali: l

.~~

di fase"(2 \hn filtro

-~,.

3

IIn oscIl-

~' "'~n) ed Qscillato/:bcome >,rn= essenzialmente da çV.f9. Voltage-Contro mostrato in Figura 4-19. Il-, VCO è un osdllatore.che.genera..unaf~m1a..d:Q.nda..pçriodica.con..f.r.equenza '-'O anello ada~Cio~ latole contr<,?llato in ~~sione ~

,vatjab$ atJ~~~~fr-_di Qposo (oscjllazio libera) a seco'19~_d~ampie~la tensIOneapplicata V2(t). --' ---..... La frequenza I n oso o e appunto la frequenza in uscita dal

4-14

Anelli ad aggancio di fase e sintetizzatori di frequenza

271

.vCO_9.~~J!2 la tensione di ingresso v 'ulla. Il~rivelatore di fase ~roduce in uscita un se naIe o o i n' e tra il se naIe di in resso v t. . J!..scitad~!!'9Sg&tp~19( t) Il segnale filtrato v t è il segnale di controllo utilizzato er ~fI .!ariare.l~tJ:~<;!~3.1S,ll~uscita_'el VCO. Utilizzando un fi tro eassa-basso.çr",,~E,...LowniijZI!fe1j ~~aI1d~~I?rtunamente èJ?ossibile..prQ~e so funzioni da fiITrq i inse uimentostretta trackin . In questo caso, il~ laPLL.Jtt-.mG.dD~pp~frequenza del VCO COIncie con uella di una delle righe dello spettro del segnale di ingresso e, uindi, il segn e In uscita dal VCO risulta eriodico e con requenza pan a a requenza media di questa componente spettrale. Una volta che la frequenza e a nga e stata acqUIsita,1 VCO continua a inseguirla anche se essa varia lentamente. Se invece si usa un filtro passa-basso con banda iù lar a il VCO uò inse uire la fre uenza istantanea, anche non lentam ente variabile. de 1 segnale di ingresso. Quando il . n i .

iQ.g~es' ,b modali!' d critt~~~wnci~t~ PL~~~ ...,"" el segnale applicato In mgresso ha una frequenza iniziale pari a /0, il PLL raggiunge facil~ente l'aggancio e il VCO insegue la frequenza del segnale di ingresso purché questa vari lentamente nell'ambito di un certo intervallo. L'anello rimane infatti agganciato solo per un insieme finito di val2~ridylloscostamento di frequenza._Oues.s°in.

.

.

.

...

.

.

.

rerv11[0-dITiéquenzee chiamatointervallodi mantenimento.(lock-Ù!) d~ll'~.ellq.Esso èiT-" penàe-diivafore del guadagno totale in continua dell'aneIIo;-rncfudendo anche il guadagno in continua del filtro passa-basso. D'altra parte, se il segnale applicato in ingresso ha una frequenza iniziale diversa da/o, l'anello potrebbe non raggiungere l'aggancio, anche se la frequenza iniziale appartiene all'intervallo di mantenimento..1.'insi~!11edelletrequeJ;lze_di ingresso in corris1.?°ndynzasl~Ue_qu.a1i l'anello può "aggancia£si::..è.clUamaio..iDteJY.alio. di aggancio (p.ul'Un). Esso è e~seEzj~lmente de~~fll1ina!9jallY_car.atte.ristiche_deU:anello.e 'ìioirèìTI~iJP.~;iim "io~ I~ ~ ~9..Oin1an~~e~ (si veda la Fig. 4-23). Un'altra spectfi~a impo~te per u~, ~ fJ.~;,!fg~~~ Vàriazi°:;L#!fLuenza.all' aK~ancio, definita come la massima veloclta di vanazroI'ie'tlemf'fr~quenza di Ingresso In cornspondenza del..'

~ quale Il sistema nmane ag,~a9claJ°'~

-

la frequenza-diIngresso varia troppo rapida-

mente, l'anello SI sgancerà.

seìiPI.L viene realizzatocon circuitianalogici,si..p"rl~i.aaelJp 4tiaggan.Q9-di fase analogico(APPL).Se invececircuiti e s_e&.nl!!i~oqQ~digUali,.,jJ,yj"J..è UI}../llldlP ad -à8..ga~~~ò.a!Es!..~~~ltc;l~Q?P!::L). .!?.partlc01areol l~c~~~ep~~c~~~ diJ~(tP, Phase Detector) dipende strettamente dall'implementatrbne uti!izz~~O"'Soc ì1omoStrate 1e cara1teristiéhe-diillcumnVè1afrirrdUase;ia èatiitensiicìt sinusoidale si ot-

tie~~quando!l:!!2..s~h~~ circui~~"è..~nt~- un moltiplicatoreanalo~ic~Jad esempio Vin(t)

Rivelatore di fase

v\(t)

(PD)

Filtro passa-basso (LPF)

V2(t)

Fif)

vo(t)

Oscillatore controllato

I--

in tensione (VCO) vo(t)

Figura 4-19

Struttura base del PLL.

-

..

t 272

Capitolo 4 - Segnali passa-banda

e relativi schemi circuitali

t

T (a) Caratteristica

sinusoidale

(b) Caratteristica

triangolare

I 'I

"

1

(c) Caratteristica

a dente di sega

Figura 4-20

Caratteristiche di alcuni rivelatori di fase.

...J!.D.._mi:.er~pEiamente bilanciato e i se n h..J2e(jocikisn~inusoidali. Le caratteristiche .tti!mgpt.!U:~;[g,~.tlf~-At~~.~ç~~'1 ~d.!&i{ali-Ol~re al VCO dig~t~~emoreai'NIé':ITDJ>LCpllr mdnde.re.,anche un lIltI2.§anello dIgItale e alcuni stadi di elabo~~<m.!2.QW.~gl1alecJ~s..i.m"pielli!I1P opportuni.!llic..roprocessori. La letteratura sui PLL è molto estesa, vista l'importanza di questi circuiti nella-praIcà,~ìfd esempio si possono consultare Gupta [1975] per gli anelli ad aggancio di fase analogici, Lindsey e Chie [1981] per i PLL digitali, nonché Blanchard [1976]; Gardner [1979]; Best [1999]. Cominciamo con l'analizzare il PLL analogico di Figura 4-21 in cui è_utilizzato un moltiplicatore (rivelatore di fase con çi.lLa.Ukd.§tica~ID..YJ>pidale). Il segnale di ingresso è Vin(t)

= Ai

Vo(t)

= Ao cos[UJot + 8o(t)]

sin[UJot+ 8i(t)]

t

T

(4-92)

e l'uscita del VCO è '""

~~-

'-

(4-93)

t

4-14

Anelli ad aggancio di fase e sintetizzatori di frequenza

273

con 8o(t)=Kvf

(4-94)

-= v2(r)dr

e dove Kv è la sensibilità (guadagno) del VCO [(rad/s)N]. Allora l'uscita del PD risulta

= KmA;Ao

VI(t)

=

KmA;Ao

2

sin[lùQt

+

O;(t)] cos[lùQt + Oo(t)]

sin[O;(t)- 8o(t)] - +

---.,..

KmA;Ao

2

-

;;,.

sin [2lùQt .

+---"'L O;(t) + 80(t) ] --=><"""""",-,,,w ..-

".. _.-~"'~-

(4-95)

dove Km è il -". guadagno del moltiplicatore. Il termine a frequenza somma non -passa attra. ".- ., . ' ~

""'---'~

-- -

-

-

verso il filtro passa-basso,la cui ~sc~a-è quindi

-

(4-96) dove

-

Oe(t) £ O;(t) Kd

=

--

(4-97)

Oo(t) .

(4-98)

KIIlA;Ao

2

e (t) è la risposta impulsiva del filtro LPF. Oe(t) è chiamato errore difase, mentre Kd è i~a ~~q!!.!:~:'91~.-"lede r~e at~~_l..~~e cJi~...lirlfn'IveiatOfe-dI fase a mo}tiplicatore, dipende dal l~v~~ si!:!§egnale di ingre~o, A; e da quello del segnale in uscita dal VCO, Ao. L'equazione complessiva che descrive il funzionamento del PLL si ottiene derivandolà T4-9'4}e là (4-97) e combinando Crisultati t;a~ite la (4-96). L' ~qu~zi~~~-differenziale non lineare risultante che caratterizza il PLL diventa -~--~

-...---

-

,

dOe(t)

;jf

dO;(t)

= -;jf

-

KdKv

I

l

.

o [SIn Oe(A)]f(t

-

(4-99) A) dA

d,2YelMÙ ~ l'incognita e 0;(t) il termine forzante. In generale, questa equazione è difficile da risolvere assegnato Kd._È-però..possibile ricondurla a un'equazione lineare sUEP9nend~fhe l' anellq,~~ a anciato e che uindi

I~rrored}fase~~c~oi6. lineare nsu~e

è

'iii.]lf~st?~as61~f~~lJ&r-

e

-

t., e equazione (4-100)

LPF F(f)

Figura 4.21

PLL analogico:

I 'L.(( ..J i (" I A ,.~ \.. ~... ... t ,~/I' t; ,.:(

.

274

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

La Figura 4-22 illustra un diagramma a blocchi equivalente di questa e uazione ove la ,

mgressoe a as~§c~

a

vanno a s~t1tuirei.~nalt

~~~ e...£.ro-

pn Clello~chema di Figur~ ~-21. Possiamo calcolare 1~#UEo~~';:' ma dI FIgura 4-Ll ove naiuramiente 00(f) = ~[80(t) ]"éiaTF""
--

.

H(f)

= 00(f) =.

-

--

KdKvF(f)

1

-e

c::[ç)

-:::::-~

\ (4-101)

0i(f) }27T/ + KdKvF(f) '-,'1 l)( ) Poiché lo schema di Figura 4-22 ricorda quello di un sistema di controllo a controreazione, sono applicabili tutte le tecniche di progettazione e di analisi impiegate nello studio dei sistemi lineari di controllo reazionati, come,,,-i,9~",i eli Rode.-Essi risultano di estrema utilità ai fini ~l1a v::!1IJt"7innp-,delle~£.eS~ei..m..L..in rcmdizi;',nidi affnnrin ,cL'equazione per l'int~a!!.o...9i!!!aQtenim€lli!p.§.i.Ruò inyece~vare dallo st.!!Q!£È~L. com orta t non lineare del PLL. alla (4-94) e dalla (4-96), la deviazione istantanea di requenza del VCO rispetto a Worisulta

-

~

--

(4-102) Per ottenere l'intervallo di mantenimento, la frequenza di ingresso viene variata molto lentamente a partire da/o. cioè si deve porre 80(t) = t e si deve anche supporre che il segna-

le errore vari molto lentamente (al limite, sia costante). Allora la (4-102) diventa (4-103) dove a secondo membro compare il guadagno in continua del filtro d'anello. ~~ mi: nimo e quello massimo di !:lwdanno l'intervallo di mantenimento e si ottengono in corri-

spondenzadi 8e.-= + l.-Perciòil-Ya1~~;~simo deWiFltervallo'di.mantenimento..(néI:c~s:odi assenza di rumore) è (4-104) ".

.!-'andamento tipico del~a~teristica di aggancioj!1..lr~!l.ue!1z;.a del PLL~ ~ostrato in Figura 4:23. La cqrva a tratto continuo rappresenta l'andamento del seg!lale di controllo del VCO, v,Ct) che sLQttiene Quando 1~'
--

8;(t)

+

LPF F(f) = FtCf)

V2(t)

8o(t) VCO Kv F2(f) = j271f

, 80(t)

Figura 4-22

Modello linearizzato del PLL analogico.

4-14

V2(t)

Anelli ad aggancio di fase e sintetizzatori di frequenza

275

Intervallodi Intervallo mantenimentodi aggancio Direzione della conversione

.

'f'l~

Direzione della conversione ~

,

o

.. .. ..

~

fi.n-

\..

" Intervallo di aggancio I:J.fh

Figura 4-23

Intervallo di aggancio I:J.fp

Tensione di controllo del VCO di un PLL a conversione del segnale sinusoidale di ingresso.

rispetto afo per la div.,$>itàdell~ ampit:u.e..deL.ç,anmLdiaggancio e di manteniment,:?cui SI è già accennato. L'intervallò di aggancio Afp è determinabile a partire dalle caratteristiche del filtro di anello. Consideriamo il caso in cui l'anello fJ.Qnabbia ancora raggiunto l'aggancIO e Il segnale ?i P!o~~ venga lentam~ U po~taJ9~ er~ o~ a_frequ._enz a Ilo. AllOra ,X-uscit a del r l'.Y$ÌaQ.!:'. velatore di fase sarà un segDaJ~.alt.eIDativQ..dLbauimentq con freSl{en?;al&..::..M . Le-daun valore elevato a uno £.iù.pi~col~~~ ~a1l.°_c!:ela~~1]la 4el .!Jeg!1ale dLE!°vl:! . si anjva _ne1!e.. viçjn~nze delt~ copdizio_nedi...!!g~ancl°...:.!a [orma J I si sposta versQjo. Qi!.aF_do d'onda del segnale di 15attimentoperde.le_c~a!~~.r!~tich..e gi sim..~~ e, quilldk tende a sviluppare una componente contmua non nulJ~. Tale componente modifica la frequenza del VCO in mQdojI~arra W&~rci;;Q;q~~iÌa d'cl selinale in ingresso e da far ag~nciare l'anello. L'intervallo di aggancio AJP,all'interno del quale l'anello riesce ad acquisire dipende dal modo in cui il filtro d'anello FU) agisce sull'uscita del rivelatore di fase per generare il segnale di controllo del VCO. Anche se il segnale si trova all'interno di questo intervallo, l'anello può comunque impiegare un tempo considerevole prima di agganciarsi, poiché il filtro passa-basso si comporta come un integratore e la tensione di controllo (in uscita dal filtro) richiede anch'essa un certo tempo per arrivare a un valore abbastanza elevato da "spostare" la frequenza del VCO e da consentire quindi l'acquisizione. L'analisi della fase di aggancio è alquanto complicata, e deve essere condotta secondo criteri statistici per sua natura, perché dipende dalla relazione di fase iniziale (casuale) tra il segnale di ingresso e quello del VCO, nonché dal rumore presente nel circuito. Di conseguenza, nel misurare Afp, sarà necessario un certo numero di tentativi per ottenere un valore significativo. Il fenomeno dell' aggancio in frequenza si verifica anche in altri tipi di circuiti. Per esempio, se si accoppia un segnale esterno sulla porta di uscita di un oscillatore (cioè di un oscillatore convenzionale, e non di un VCO), l'oscillazione tenterà comunque di cambiare frequenza e si potrà agganciare sulla frequenza del segnale esterno (ad esempio un disturbo). Questo fenomeno è chiamato aggancio a iniezione (injection locking) o .

.

.

.

.

..

.

.

.

.

..

.

..

.

276

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

sincronizzazione di un oscillatore e può essere descritto attraverso il modello del PLL [Couch, 1971]. Il PLL ha numerose apDlicazioni nell'ambito dei sistemi di teleco~zione, tra

1

cui: ~ dep'wdl!!~ione ~l!~~~nerw~ ~e~le FM altamente st~b.l~.C?l.la rIve aZIOnec en e el ~IDLAM, (4) la moltiplicazione di frequenza, (~la sio~ requenza, (6) la possibilità di utilizzo come elemento cosJ!.tutiYQ di Q:m.1wjc!!ti s!§.temidi-

gItaITChecon~e.niono Ìa sincronizzazionedi blt ~ja Qyelà.?
...

-

Determiniamo ora le condizioni necessarie affinché un PLL funzioni come demodulatore FM. Con riferimento alla Figura 4-21, supponiamo di avere un segnale FM in

ingresso alPLL,ossia

_.-

-

-

(4-105a) dove (Ji(t) = DJ

r

,

(4-105b)

m(À) dÀ

-00

ti

ovvero (4-105c) e che.J?1(.t)si£lil segnah~_~?~l.!lg!tl.~.j~r

esempio, audio). Vorrem~

vare sotto quali ipotesll'uscita del PLL, V2(0, è proe..<mio.nale. a n:it). Supponiamoche le appartenga all'int~.allQ di :i\§gancia..det..£,LL; quindi, per semplicità, sia/o = le. AlTora, al fini dell'analisi, è possibile ricorrere al modello linearizzato del PLL, rappresentato in Figura 4-22. Lavorando nel dominio della frequenza, otteniamo in uscita t

l

che, per la (4-105c), diventa

V2(f)

DJ -F1 Kv

= Fl

(f)

2nf

(4-106)

M(f)

(f) + j ( KvKd )

Indichiamo con B la banda del segnale WQdul.aJ)te e sUPPoI1iamoche.LIfil!ro d'aneJlo sia passa-bAssocon risposta piatta in questa.banda, cioè

-

.

F(f) = F,(f)

Allora V2(f) è proporzionale a M( f) se..

-

\III <-B J

= l,

t;:' »

~~ B

J fi;J

éj)

(4-107)

(4-108)

4-14

Anelli ad aggancio di fase e sintetizzatori di frequenza

277

in modo che la (4-106) diventi, nella banda del segnale,

--

)),

=

V2(f)

(4-109)

K~ M(f)

ovvero

= Cm(t)

V2(t) I

' dove la Costante di Prop orzionalit à è C = DJ/ Kv. In conclusione, il circuito del PLL di Fi- . . . I gu~a_~~2ld~ve~~~n ~~~o~t~!~£y:tYJJt) è il seg,I!alerivelatojll..uscinMè"i6.::.c_O!!.;. . .1 diZIOnI t4:'fò1j' e (4-108) s°1!2-soddisfatte. In altre applicazioni, il PLL può essere utilizzato per generare il segna]e cQeteDt~ necessario al rivelatore sincrono 9i ~y!mali AM (Fi& 4-24). Ricordando la (4-92) e la .

c-- ,( ;;;:Rt I

1>D

(4-110)

\

.

.

.

..

.

.

.

~

(4-93),il VCO del PLL si agganciacon un errore di fase di -?O~rispetto al segnaleapplicato in ingresso~Di conseguenza,vo(t) deve esseremotato di -900 in mooòèlarisul=

tare in fase col segnale AM di in resso come n~c~I!e.i!!.na dvel~~~~in accor o con a - . a banda del filtro passa-basso deve essere poi abbastanza ampia dà cORmel'intervallo di aggancio, cons~tç.QQ.oMG.OSI.J1I"'\teO-di:aCqulSlfe--:J:tt:fre~nz-crponan .. tei<.. ~ el PLL all'interno di un ~intp.tizzatoredi frequenza.

O-

'

.

~.

~

II

~sto

un segnale al ~eQuenza Laapparato Figura geneG!4-25 illustra l'uso Reri.Q.olco d IouI

-

= (M) Ix

'"-~

':-~

(4-111 )

-~

dove Ix è la frequenza dell'oscillatore stabile para",._.~, ,::;.~,'...,.-- di riferimento, mentre N e M sono i ,..~ m~(JiV'iS'OrèJy~en~~;.!u!atti, quando l'anello è agganciato, il segnale di controllo in continuà,' v;(tldetermina una traslazione della frequenza del VCO, in modo tale che V2(t) abbia la stessa frequenza di Vin(t). Di conseguenza,

l l. M

~

I,", ~ Rivelatore in quadratura

SegnaleAM

Rivelatore in fase

(4-112)

N

LPF

Rotazione di fase di -900

VCO

LPF

Figura 4-24

PLL impiegato per la demodulazione di un segnale AM.

6 Ciò deriva dalla caratteristica del rivelatore di fase. T~ affenna7ion€-è-ooFretttl-pel'"un-PEh)he-generi una tensione continua in uscita nulla quando i due segnali in ingresso al rivelatore di fase sonQ §fasa!LdL90° (ov-

,

v~ un PD a -.-, moltiplicatore]. Se mvece IrClfrnitb-cI'éT"PI!r§iì~ tiii:;lt~nsioU'e..çontinua.in uscita pari a zero -.' .,.',-".--"""' '>. quando i due segnalI sono in fase, il VCO del PLL si aggancia in fase con il se,gnat~ di il!gresso atPLJdJesso. .-- - -,-

278

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali Oscillatore (a frequenza fissa) f=fx

Divisore di frequenza +M

VI (t)

V2(t)

Figura 4-25

LPF

Divisore di frequenza +N

VCO

PLL impiegato come sintetizzatore di frequenza.

che è equivalente alla (4-111). I divisori di frequenza classici forniscono valori interi di M e di N. Ricorrendo a divisori prografiimabll1, fa frequenza in uscita dal'~intetizzi!!9~ può es~r~variata a~endo sul software.ill un microprocessore; quest'Jlltimo P\?v~~ricavare il valore oQQortunodi M e di N in accordo alla (4-111). Tale tecnica è utilizzata nei sintetizzatori di frequenza ael moderni ricevitori aSIntonia digitale (si veda anche l'esercizio di approfondimento EA4-6 per un esempio di progetto di sintetizzatore di frequenza), Nel caso di M = 1, il sintetizzatore si comporta come u~ mo!HRJkatore.dUrequenza. . SI possono ottèi1ereanèhe v~lori e9ui~a~~ non int~rL~~~~l~~~ ~eriodicamente il valore del divisore all 'interno di un insieme di valori simili. Ciò determina un valore medIOdi N non intero, per cui si parla'ai tecnica a N f!.d'Jo~~rio.Nei'sintetizzatori a rrazionario, il valore istantaneo di N varia nel tempo e va a modulare l'uscita del VCO, ~nerand,o Derç>cOJJlponentilaterali non desider:U~(spnrie) nello spetJ,W~Le bande laterali possono essere ridotte con un progetto accurato in modo da portare il disturbo a un livello sufficientemente basso per le applicazioni [Conkling, 19981 Configurazi.9ni più com.£!.esst0eisintetizzatç>Q çLih~queI!za,comprendonoancbe.mixer..e,.oscillata[Laddi~iQna1i.

-

4-15 SINTESI DIGITALE DIRETIA -...

f

La sintesi_cJigital~dire a DI?S, [Jirect D./_!tal.JVlJthe~w è,.~ ~ecnica che ~~n..te_di.. gi!i{erarela forma ~fon a deslderata.ad ~~myIO !IDa...~d~,.a!.~verso un mIC~£!Q.~ssure 6 una sene dtcrr~~~~mSile ?i~it~li, com~d~~cl:jttOin. Figura 4-26. Per ot~éiiereuna J~efl1}inat~w~a"çl.~~~~IID1.PI~ni.~~ues0!!:i~.a~~no e~~e:~~onve~iti I!l'par~le p~agazzInatI, In una mellloqad!g1t~AM) M~!!lJ1J;Y oppureROM... Rea Q~'!.ly Memory. sIstema può quindiB-qn,?:il..'!lJc..cess generarela formad'oo-drtI1dlOerarauflfè'ggendÒ'/ re parole memorizzatee inviandolea un convertitoredigita.

le-~nalogico (DAC, Digital-to-Analo.G...f..~'.:!.r~~uce uscita.

il se~n~e .an~.lo~i.:~dl-

La tecnica DDS ha numerosi ~tAW' Per esempio, se il segnale è periodico,. come un' onda siQ]JS9jQ.~~ffjc!e!1!e m~morizzare i campioni relativI a uir SOLO' ciClo. L'intera sinusoide verrà poi riprodott~ in modo ;;';ntinuòaftraversoliiiiiserlei'h accessI1tpetuti alla memoria. L.afrequenza della sinusoide ottenuta dipende dalla velocità di lettura della memoria stes~. Se lo si desidera, il microprocessore può essere program"p~(~In' moao da generare una de~rm.lQata.~quenza.durante-Ull.cgtolnffiryallQ.c!i t~mpo e cambiMlapoi (o actdmttura cambiare forma d'onda) in un intervallo di tempo successivo. -.-'

4-16

Microprocessore (i campioni digitalizzati

Trasmettitori e ricevitori

279

Forma d'onda

Segnale PCM

I

vengono memorizzati in una RAM o

Convertitore

generata

Idigitale-analogico

in una ROM)

Figura 4-26 Sintesidigitalediretta(DDS). Inoltre, è possibile avere in uscita simultaneamente un seno e un coseno con relazione di fase esattamente ari a 9O'7ad'i-inse;e~ un altro ~ ~ggendo la m~mori3;.c~ op orluno sc . l rapporto s~!!~.:~mo~_d.i,.9!1}ntizzaZione-euò mol~_essere reso sufficientemente elevato scegl.ie~!!l} D!l~ro _~9E~to ~ pe;rQ.as~I!..a parola l'cM: memodz~a1a, c:()meindicato dall!l (3-18). , DisposItivi DDS st~nno prendendo il QQstodei sintetizzatori analogici in molte applicazioni. Ad esempio, essi vengono impiegati come smtetizzatore aifreQuenza a. co-5:t...

'

",,",=

-_,'_"-"'~>",.-''''''''

.

.

.'

.',

.

.,

' ~

*2?2~~~~ (~CO, D~x, fiJll}t~lJerJOs~illa~r) D
---

4-16 TRASMETTITORI E RICEVITORI

Trasmettitori universali I trasmettitori gen~rano un segnale modulato a freQJlenzaf~ a partire dal-s~ale-.moduW1te mlJl: Nei Paragrafi 4-1 e 4-2 abbiamo visto che qualsiasi tipo di segnale modulato puo essere rappresentato nella forma (4-113) o, equivalentemente,

v(t) = R(t) cos[wct + 8(t)]

(4-114)

e v(t)

= x(t)

g(t)

= R(t)ej8(t)

cos Wct - y(t) sin Wct

(4-115)

dove l'inviluppo complesso

= x(t)

+ jy(t)

(4-116)

è una funzione del segnale modulante m(t). Til particolare relazione che lega g(t) a m(t) definisce un il tipo di modulazione, e cioè ~lIn" e ricavare un FMmodello (si veda universale la Tab. 4-1). Attraverso approccio generalizzato è possibl di trasmettitoreJa ricondurre. oi a uno schema più specifico, a seconda della articolare modulazione--'\jQ~t.!l..Vedremo inoltre che esistono alcuni mode l equivalenti cui corri-

~

280

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

~pondono differenti configurazioni circuitali; tuttavia, essi vengono impiegati per generare il medesimo segnale modulato in uscita. E compito del progettista scegliere un'implementazione che massimizzi le prestazioni, minimizzando allo stesso tempo i costi, a seconda dello stato dell' arte dei componenti circuitali. Possiamo individuare due confi razi'" e indicato ne a .è. relativa,~L.£.i,&çJlitQ a 4-27. Lo stadio di elaborazione in b base e se t e () t ~re da~( t), R e () sono funzioni del segnale modlJJante m(t}, secondQ..JUljldelle PO'sSÌD'ìTiffiodulazioni della Tabella 4-1. L'elaborazione del segnale può essere realizzata attraverso circuiti analogici non lineari o, più vantaggiosamente, attraverso componenti digitali che implementano gli algoritmi di generazione di R e a () in software (per un microprocessore) o direttamente in hardware (per i componenti dedicati). Esternamente all'elaboratore digitale, sarà necessario un convertitore analogico-digitale in ingressoeciilè DAC in uscita. La parte rimanente dello schema AM-PM richiede circuiti a RF. come inr'Y'r 1dicato In figura. La Figura 4-28 mostra la seconda configurazione universale per il trasmettitor.e, che è quella più diff""" 0",11<> prMic.a.Questa fa uso dell'elaborazione in fase e quadratura (l/Q). In Tabella 4-1 sono anche riportate le formule che legano x( t) e y( t) a m( t) mentre l'elaborazione in banda base del segnale può essere realizzata con componenti hardware analogici oppure digitali. Il resto del circuito prevede circuiti a RF come indicato. Sottolineiamo ancora una volta che Qualsiasi tipo di modulazione (AM, FM, SSB, QPSK ecc.) DUÒesserp.ottp.nlltaa partire da queste due strutture generali. che separano opportunamente l'elahora7ione in banda base da quella a RE Le tecniche digitali risultano di Eande utilit~oprio nella fase di elabo~azLonein banda ba~ s~ s.u!.n0.~ganocIrcUIti qi calcolo digitali, è possibile generare la modulazione desiderata semQlicemente ,1Cegliendo l'algoritmo software più appropriato. Molti dei trasmettitori attualmente in uso non sono altro che variazioni di queste forme canoniche. Talvolt~le operazioni a RF delle Figure 4-28 e 4-29 sono realizzate a una

-

I

' l

frequenza più bassa e solo in seguito il segnale viene convertito all'effettiva frequenza por- .

tante di trasmissione (trasmettitori a doppia conversIOne).Nel caso al segnalI a RP cne nçn \ . u a l In ampI ssono Intro urre moltiplicatori di frequenza per rag-

-

~

Circuiti di elaborazione in banda base

Circuiti a RF r-----------------I

R(t)1

m (I) Modulazione di ingresso

I I I I I I I I I I

Il circuito di elaborazione in banda base del segnale (schema I) potrebbe non essere lineare 0(/)

Oscillatore a frequenza portantele

: ~

I

II v(t) I I I I I l I

= R(/)cos[wcl + O(t)]

Segnale . modulato . m uscita

+--Modulatore

:

I

AÀ

-

di fase

: cos[wct I :

I ~

Figura 4-27 Struttura generalizzata del trasmettitore che impiega la tecnica di generazione.AM-PM.

+ 8(/)]

j

.

4-16

segnale (schema II) potrebbe non essere lineare y(t)

t<:>..

II I I

:

: v(t) = x(t) cos(Wct) - y(t) sin(wd)

II

.

I I I I I I I

Ramo Q

I I

r

::

Ramo I I I I I I I I

Il circuito di elaborazione in banda base del

di ingresso

1

r x(t):

Modulazione

281

Circuiti a RF

Circuiti di elaborazione in banda base

m(t)

Trasmettitori e ricevitori

Oscillatore

Rotazione

a frequenza

di fase

sin( Wct )

L__~~rt:~~~--j ~=~:

:: J

cos( Wct)

Figura 4-28 Struttura generalizzata del trasmettitore che impiega la tenica di generazione in quadratura.

giungere la frequenza di lavoro. In ogni caso, sono necessari amplificatori di otenza a RF per portare la potenza in usc~ a un certo valore. e 1 segnale non presenta variazioni di ampiezza. si possono usare amplificatori in classe C (che hanno efficienza relativamente

"'-"---

elevata)~ alternativa,si ricorrein generead amplificatoriin ----classe B. Ricevitori

universali:

il ricevitore

supereterodina

Il ricevitore ha il compito di estrarre l'informazione dal segnale modulato ricevuto, eventualmente disturbato da rumore, Nelle trasmlsslOE!.~n!lo~~e si richiede che l'uscita del iìcevitore sia uo:! r~plica fedele del segnale modulante in ingresso-àl trasmettitore. I primi ricevitori radio effettuavano la sintonia direttamente a radio frequenza, utilizzando una cascata di filtri RF passa-banda a elevato guadagno sintonizzati sulla frequenza portante

le, seguiti da un opportuno circuito di rivelazione (rivelatore di inviluppo, sincrono o demodulatore FM ecc.). Questi ricevitori non sono oggigiorno più utilizzati (salvo nelle comunicazioni militari o nelle misurazioni [Rappaport, 1989]) poiché è difficile progettare Ingresso a RF vin(t)

Mixer Amplificatore aRF, HtCf)

Uscita in banda base

Amplificatore aIF. H2(f)

Segnale IFdi uscita

Figura 4-29

Rivelatore

Amplificatore in banda base

Ricevitore supereterodina.

(ali' altoparlante, a un tubo a raggi catodici ecc.)

282

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

degli stadi sintonizzabili a RF che siano in grado di selezionare la frequenza desiderata e allo stesso tempo dotati di una banda abbastanza stretta da reiettare le frequenze vicine. La stragrande maggioranza dei ricevitori impiega lo schema supereterndina descritto in Figura 4-2~ Tale tecnica conSiste nella conversione del segnale di ingresso non direttamente in banda base ma (verso l'alto o verso il hasso) a una neteTTTlinata freCJ)1en-

\

(}.

N~~

I

zafissa la re ue"

.

enc

e nella successivaestra-

zione dell'informazIOne emo u aZIOne, attraverso un o ortuno nve atore o erante a tale requenza. La struttura ase 1questo ncevltore è adottata nella ricezione di tutti i tipi di segnali in banda passante, come quelli televisivi M s .. . ra~~. amplI lcatore a RF ha una caratteristfca oassa-handa che lascia passare il seBIlale desiderato e rinforza adeguatamente il segnale ricevuto in modò da.rendere trascuraQile.Jl rumore addizionale ~Ea1eratnti",lmixer, La risposta in frequenza' de1Ì'~plificatore è anche tale da consentire un blando filtra io dei se na . . . del rumore; in realtà, gran parte ella reiezione dei canali adiacenti, come vedremo, è realizzata dal filtro a Il filtro a IF è un filtro assa-banda che seleziona la componente convertita verso l'alto o verso 1 basso (a seconda dell ettista. el caso gi conversione verso a to, Inviluppo complesso dell'uscita (passa-banda) del filtro IF coincide c°l!!Pn..

ue con uello del se naIe di ingresso a RF, a meno dei filtraggi aJ~.F e a lf, risRettiyamente H I f e H . e Invece SIusa una converslOnè vei-SOiI'l.)asso biso na distin uere

due casi: se > allora l'invilu o com sarà il coniugato de segnale a SI ve a il (4-61c)], e ciò comporta l'inversione delle bande latera i CIèlrilselta a IF (ovvero, hlbanda laterale-sliperlore dell'ingresso a RF diventa quella latèi1iTé i~fenore defl'us~~a a ]}i e viceversa); Se invece fLO?:..~,' ~!l
~

"","""'.,

-

~

La frequenza intermedia è scelta sul~.!>a§~..gL~.F..QI1~~~zioni: ~'amplificatore 0a

<0a

IF deve essere stabile e a elevato guadagno;

IF deve essere sufficientemente piccola. in modo che, nella realizzazione pratica del filtro a IF si riesca a ottenere un alto . . IDQre.e..minimizzare..J.:in:. te erenza provemente dai canali adiacenti; frequenza a IF ~e

essere abbastanza elevata in modo da rendere accettabilmente

picc.ola la rispod'" imm"'gine del ri!ì~vitore.

-

La ri è una componente indesiderata della ris osta in fre uenza del ricevitore posizionata in corrispondenza de a cosiddetta frequenza immagine, e dovuta a lOsufficiente attenuazione del segnale immagine d.aparte dell'amplificatore a RF. Illustriamo meglio il concetto di risposta immagine con un esempio.

Esempio 4-2 RICEVITORE RADIO AM SUPERETERODINA -= Consideriamo una radio AM sintonizzata su una stazione a 850 kHz e avente oscillatore locale con frequenza superiore a quella della portante. Se la frequenza intermedia (TF)è 47Q kHz0Juelladell'oscillatorelQSO».le sarà a R)j)-'-.170- 1:32Qk}lz (si veda la Fig. 4-30). Co-

7 Ven~no

anche realizzati Ilcevitori sllper..etero£l~all doppJa conversione.

nei quali il primo stadio IF di

Figura4-29è seg\ìitodaun sec..Q!1dl}.mixer ~ da un secondostadioafreqll~~ZI\i!!!~I')1edia.- -

--

4-16

Trasmettitori e ricevitori

283

Nel caso di conversione verso il basso Ce cioè fu> = Ifr - (LOI),la frequenza im-

maginerisulta

-

+

le 2/IF, /im = { le - 2/IF,

se lLO>lc

(4-117a)

se lLO < le

dove le è la frequenza port~nteJI RF~4f: Ua frequenza intermedia II:...eAo è l~!requen.: za dell'oscillatore locale. Nella - conversione verso l'alto Cecioè fIE = [, + lLO), .,..--- la frequenza immagine è.

~~.

~m = 2/L°.J (4-117b) Dalla Figura 4-30 si osserva che il contributo della componente imma ine si riduce in generale al crescere della frequenza interme la, pOIchéla/im viene a trovarsi sempre più di"Stante_~alpICCO(o lobo) principale deH.ospettro del filtro a RF, [H\(f)I. ,-- Il vantaggio principale del ricevitore supereterodina è quello di essere facilmente sintonizzabile, variando soltanto la fre uenza dell' oscillatore locale (che può tUltO a un smtetizzatore di frequenza) e cioè tras an o a an a passante del filtro a RF in corrispondenza della frequenza IF desiderata. COritranamente a quanto accade con;T

~

Attenuazione

1-

-....------1790

-1320

della

- - - - - - -t ~:.q~c:?~a,!,:!?magine

-850

Ic=

850

lLO

= 1320

fim

= 1790

kHz

470kHz 1470kHZ 940 kHz

Figura 4-30

Spettri dei segnali e risposta in frequenza del!' amplificatore a RF di un ricevitore supereterodina.

284

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali

sinto!!lzzazione.a RF, isomponenti circuitali ad alto Q necessari per dare selettività al ricevItore e reiettare i canali adiacenti sono n~:essari solo n~a'E..pli..qcjJ.mr~,aIF, sh~yora fref.tenza fissa. Questo semplifica pJ;pgettoe abbassa notevolmente i costi4-4 rispetto a unaacon 19urazionealtamente selettiva eildirettamente sintonizzabile. La Tabella elenca alcune comuni frequenze intermedie che sono diventate standard de lacto. Il tipo di rivelatore utilizzato nel ricevitore supereterodina dipende pOIdall'applicazione specifica. Per esempio, in un sistema digitale PSK possiamo usare un rivelatore smcrono, mentre nei ricevitori radio AM vÌene adottato il rivelatore di mviluppo.Se vogliamo ricavarele componentiin quadraturax( t) e y( t) dell'invill1ppommplesso g( t) de~ modulato, dobbiamo usare una coppia di rivelatori sincroni, come mostrato in Figura 4-3J. I:..edue componenti x( t) e y( t) vengono poi elaborate (spesso attraverso componenti digita-

li) per estrarre la modulazion~ Trascurando gli effetti del rumore, l'elaboratore di segnale ricostruirà m(t) a partire da x(t e t e qumdi demodulerà il segnale a IF), grazIe alla funzione inverg,_!gue a usata per la generazio..n~<_d.!<.U)n..vjlupp('-CJlmllles:iQ. in Tabella 4~r.-

-

-

.

-.-

Ricevitori Zero-IF Quando la frequenza dell' oscillatore locale di un ricevitore supereterodina coincide con quella della portante (fLO- le) allora hF - O,e il r!ce~.ito!esupereter~dina si chiama ri-

TABELLA 4-4

FREQUENZE INTERMEDIE COMUNI IN ITALIA

Frequenza intermedia (IF)

Applicazione

470 kHz 10.7 MHz

Radiodiffusione AM Radio diffusione FM (stereo) Televisione Radar Trasmissioni via satellite

38.9 MHz (portante video) 30 MHz o 60 MHz 70 MHz o 140 MHz

Canale I

LPF

x(t)

LPF

y(t)

Segnalea IF Vtp(t)

= Re[g(t)e"'Jp]

2 cos( Wrpt)

@-2 Oscillatore f = hF Figura 4-31

Canale Q cos( Wrpt)

[

Rotazione di fase di +900 Rivelatore IQ (in fase e quadratura).

.

4-16

Trasmettitori e ricevitori

285

cevitore zero-IF o ricevitore a conversione diretta8 e il filtro a IF è banalmente un filtro passa-basso.La combinazione di mixer p. filtro passa=.ba~~o è in pratica un rivelatore sincr..Q!lQ (e lo~stadio di rivelazione di Figura 4-29 non è più necessario) Tipicamente, ~ cevitore zero-IF ha un secondo c~ve,:.titore verso il basso ~n~g!l~g~ in modo da ~ri_costruireenn:amoe le c2T~enti x( (1 ~~C!.2JI.!:.~~I~ c2.m.p~.~mJ.illi.,.ç,Qndizioni, il ricevitore zero-IF ha l' archit~tt~Ladi !,igura,...4-3.1.. d..QvJUU~g,nale,..di..ingFes80-Si troY~Jrequen;;{e W;i~ soS;itQit~a~W[f' Le componenti x(t) e y(t) possono essere campionate e dig~~ate c<:ll':!.n..AD~.£2!!S~D,t~Y.~v~U\:f@"~J.~!.q~;iI del-l'inviluppo

complesso g(t)

=

x(t)

+ jy(t),

con comE9I!el1tijligjt(i)i, co.me verrà illustra-

zione sincrona,ha numerò'Si'Vài1taggl: -

o

-to nel Paragrafo 4--17:Tn "questocaso;IT1irtio pa&.S~b'!ssoanalogico funziona come filiro antr:aITasingniì confronti del campionat!)re. , Il ricevitore a zero~IF:Che di fatto è un ricevitore a sintonizzazione RF con rivela. o'

~'n-ha irp;~bkm~

della frequenza im-

magine; inoltre:TaSltettti-ra-basepu~ essere riutilizzata in differentI app lcazioni , ca!!!.l;Hando solo l'elaborazione in banda ase, con notevo e nsparrmo m termmi economici. Se infatti tale elaborazione è effettuata con un 1.IJicroprocp.~~C)re DSP. è sufficientt<..l1lodificare il software di gestione per implementare-funzioni.clifier«ntL~9Lparagrafo successivo). Tale software può essere modificato facilmente, a seconda dell'applicazione desiderata. Lo stesso ricevitore riesce inoltre a operare nelle bande VI:JI:'e UHF, ~~.&liendo opEQ!1unamentela1re~~ dell' os~~ ;;..f.t'").~.sintonizzafldo'"Su-fc il filtro di t~nt-end c..4i§Qljtg..J,lJJ,..çir.£pitsw! .semplic~oo9-). ~principale del ricevitore a zero-IF consiste nella possibilità di reirradiazion~"fedell'oscillatore locale a causa di acco iamento diretto usc' -' e mlxer ee - roug . Se VIceversa a lamo accoppiamento diretto ingresso-uscita (e dunque sbilanciamento del mixer) avremo una componente conti ., cita..de~P:-leve qum l l le are un mIx ualità e un o . tore locale er~

o

o

~

ricevitore può ino)trp. axp.rp.o,~IJJ.a...Gif.I;a...ffi.-mmere-a6

.

,.

front-

'èllif,iD reaiiz~zioni mmmerci:jli, non P,in.i!\~A~r.e..uno..stadio..a.glladagI1.Q ~Jltvatoe p~o ~-Come in qualsiasi ricevitore, l 'hardware va accuratamente progettato in modo da . avere una dinamica tale da impedire ai segnali più potenti di generare componenti spurie dovute alle non linearità, e allo stesso tempo un guadagno sufficientemente elevato in modo da poter rivelare i segnali più deboli. Nonostante tali difficoltà, il ricevitore a zeto-IF fornisce una soluziQne...economica..e. a..ellWat~prp5.taZioniRer molte applicazioni

--

[Frohne,1998].

--

Interferenza La discussione sui ricevitori non è completa se non si considerano alcune delle principali cause di interfere~ Spesso chi utilizza il ricevitore (ad esempio un radioamatore) attribufsée ai segnale stesso l'origine del probìema. Cm è vero solo in parte. L'interferenza pugJ.1!fattinascere in unoJl!!!!lsiasi di questi tre punti. (!)A

livello della sorgente del segnale intprfpf.eRte,un trasmettitore può generare componenti fuori banda (come ad esempio delle armoniche o comunque delle componenti spurie) che cadono nell'intervallo di frequenze del segnale utile. 8

Il ricevitore a conversione

diretta è chiamato anche ricevitore omodina o sincrodina. UlF8I ~ ~ ~r

286

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali ivello. ~~lIo "tpc~9 rigl'l,'i>Mo

p front-endpuò determinarefenomenidi satura-

~one o la nascita di componenti indesiderate. Ciò si verifica quando lo stadio a RF o quello del mlxer vengono portati a la.vorarein zona non lineare a causa della presenza di un segnale interferente; la non linearità determina la nascita di un termine di cross-modulazione nel segnale utile in uscita dall'amplificatore a RF.

(;)A ~~u~~ntuale.))QI.Ù.Ù1eaIità.Jlel

componenti ---"..., spurie nella banda util~1segnale. .

m"77Q tr::l<:wissivo può causare

Per ulteriori approfondimenti sul progetto dei ricevitori, inclusi esempi di implementazione pratica, si rimanda il lettore ad AARL [1999]. 4-17 SOFTWARE RADIO Il concetto di "software radio" si sta rapidamente imponendo nel mercato professionale e sta per sbarcare anche nel mercato dell'elettronica di consumo. Una "software radio" impiega hardware DSP, microprocessori,circuiti integrati dedicati (IC, Integrated Circuit) e opportuni programmi software al [me di modulare il segnale in trasmissione (Tab. 4-1 e Fig. 4-28) e demodularlo poi al ricevitore con tecnologie digitali anziché analogiche. Un approccio "estremo" di questo tipo prevede di campionare e digitalizzare direttamente il segnale ricevuto in antenna con un convertitore analogico-digitale (ADC), ed elaborarlo successivamente con l'hardware DSP. Il software verrà impiegato per ricostruire il segnale modulante all'uscita del ricevitore. Se però la portante ha frequenza troppo elevata o il segnale ha banda di modulazione molto ampia è difficile o costoso realizzare ADC/DSP abbastanza veloci da elaborare in tempo reale tali [Baines, 1995]. In alternativa, si può utilizzare un ricevitore supereterodina con rivelatore in fase/quadratura (Fig. 4-31) in modo da estrarre le componenti in banda base del segnale. Per bande passanti abbastanza modeste (diciamo 25 MHz), le componenti I e Q, cioè x(t) e y(t), dell'inviluppo complesso possono essere poi campionate ed elaborate con un comune DSP. Un approccio intermedio tra i due precedenti prevede invece di campionare il segnale a IF con un ADC a elevata velocità e di inviare tali campioni a un convertitore digitale di frequenza (DDC, Digital Down Converter) a circuiti integrati (per esempio, il convertitore Harris, ora Intersil, HSP50016) [Chester, 1999]. Il DDC moltiplica i campioni a IF con i campioni del seno e del coseno dell'oscillatore locale in modo che si realizzi una conversione l/Q fino alla banda base. Il DDC impiega una tabella ROM (look-up table) per ricavare i campioni del coseno e del seno dell'oscillatore locale, in modo simile a quanto avviene con la sintesi digitale diretta (DDS) introdotta nel Paragrafo 4-15. Per la ricezione multipla simultanea di canali adiacenti (ad esempio nella stazione radio base di un sistema cellulare), si usano a più DDC integrati in parallelo, ciascuno con il proprio oscillatore locale sintonizzato su un'opportuna frequenza in modo da convertire verso il basso il segnale desiderato. I campioni I e Q digitali dell'inviluppo complesso, g(t) = x(t) + jy(t), possono essere filtrati con opportuni filtri digitali che sono di fatto equivalenti a un filtraggio passa-banda a frequenza intermedia del Paragrafo 4-5. Si possono così ottenere eccellenti filtri equivalenti IF, caratterizzati da fianchi estremamente ripidi e perciò da un'ottima

4-19

Esercizi di approfondimento

287

reiezione dei canali adiacenti. L'andamento del filtro può inoltre essere facilmente modificato semplicemente variando il software. In una trasmissione digitale, molto spesso si usa un filtro a radice di coseno rialzato sia in trasmissione che in ricezione per minimizzare il numero di errori sul bit dovuti al rumore sul canale, oltre che per eliminare l'ISI, [come mostrato dalla (3-78) del Par. 3-6]. La rivelazione AM e PM viene realizzata utilizzando le componenti l e Q per calcolare l'inviluppo o la fase del segnale modulato, come indicato rispettivamente dalla (4-4a) e dalla (4-4b). La demodulazione FM, invece, si ottiene calcolando numericamente la derivata della fase secondo la (4-8). Nelle "software radio" si possono anche usare vantaggiosamente tecniche basate sulla trasformata di Fourier, naturalmente calcolata in modo efficiente attraverso un algoritmo di FFf. Ad esempio, la FFf può servire a determinare la presenza o meno di canali multipli, e consente quindi di selezionare oppure di reiettare un determinato segnale. Essa può inoltre risultare utile ai fini della rivelazione dei dati su un numero elevato di portanti a spaziatura fitta come nei sistemi OFDM descritti nel Paragrafo 5-12. L'uso delle "software radio" presenta numerosi vantaggi: il medesimo hardware può essere impiegato per differenti tipi di apparati radio (ad esempio sistemi cellulari Europei GSM e americano CDMA incompatibili), poiché di fatto è il software a distinguerli; inoltre, è possibile aggiornare un apparato anche dopo la vendita semplicemente aggiornando il software per includere nuovi protocolli o formati di segnale. Naturalmente quest'approccio risulta al momento più costoso e dà luogo talvolta ad apparati più ingombranti e con maggiori necessità di potenza d'alimentazione rispetto ad approcci più tradizionali.

4-18 RIEPILOGO In questo capitolo sono state affrontate le tecniche base per il trattamento dei segnali passa-banda. Abbiamo dapprima esaminato t'utilità della rappresentazione in banda base tramite inviluppo complesso dei segnali e dei filtri passa-banda, per poi presentare una descrizione generale dei sistemi di comunicazione. Ci siamo soffermati sui principali componenti base di tali sistemi, e cioè filtri, amplificatori, limitatori, mixer, moltiplicatori di frequenza, anelli ad aggancio di fase e circuiti di rivelazione, impiegando tecniche di analisi lineari e non per analizzarne il funzionamento. Particolare attenzione è stata infine dedicata alla descrizione e analisi del ricevitore supereterodina. e alla struttura di trasmettitori e ricevitori "universali", che ci hanno permesso l'introduzione del concetto di "software radio".

4-19 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO EA4-1 Spettro d'ampiezza per un segnale AM Un segnale AM s(t) con frequenza portante di 1150 kHz ha inviluppo complesso g(t) = Ac[I + m(t)], dove Ac = 500 V, e la modulazione è un segnale di prova di frequenza pari a I kHz descritto da m(t) = 0.8 sin (21TI,000t). Ricavare lo spettro di ampiezza di questo segnale. Soluzione.

Dalla definizione di onda sinusoidale data nel Paragrafo A-I, (4-118)

288

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali Usando la (2-26), e ricordando quanto detto nel Paragrafo A-5, si trova che la trasformata di Fourier di m( t) risulta9 M(J)

l'

i

= -j 0.4 8(J ':...1000) + j 004 8(J + 1000)

(4-119)

Sostituendo l'espressione di cui sopra nella (4-20a), otteniamo lo spettro di ampiezza del se-

gnale AM: S(J)

= 250 8(J

- le) - jlOO 8(J - ie - 1000)

+ jlOO 8(J - ie + 1000)

+ 250 8(J + ie) - jlOO 8(J + ie - 1000) + jlOO 8(J + ie + 1000) EA4-2 Densità spettrale di potenza di un segnale AM di potenza del segnale AM descritto in EA4-1. Soluzione. AM m(t),

(4-120)

Calcolare la densità spettrale

Dalla (2-71) otteniamo la funzione di autocorrelazione del segnale modulante

(4-121)

dove A = 0.8 e ù-\)= 21T1000.Calcolando la trasformata di Fourier attraverso la (2-26) si ricava la densità spettrale di potenza di lO rz/>m(J)=

A2

- 4 [8(J - io) + 8(J + io)]

ovvero rz/>m(J) = 0.16 [8(J - 1000) + 8(J + 1000)]

(4-122)

La funzione di autocorrelazione dell'inviluppo complesso del segnale AM è Rg(r) =
+ (m(t + T)~ + (m(t)m(t

+ T)~

ma (1) = I, (m(t) = O,(m(t + T)~= O,e (m(t)m(t + T)~= Rm(r). Quindi, (4-123)

Rg( r) = A~ + A~Rm(r) Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri della (4-123), otteniamo

(4-124) Sostituendo infine la (4-124) nella (4-13) e tenendo conto della (4-122), ricaviamo la densità spettraledi potenzadel segnaleAM: rz/>s(J)= 62500 8(J - ie) + IO000 8(J - ie - 1000)

+ lO000 8(J - ie + 1000) + 62500 8(J + le) + IO000 8(J + ie

-

9 Poiché m(t) è periodico, un metodo alternativo

1000) + IO000 8(J + t. + 1000) per valutare M(J)

(4-125)

è dato dalla (2-109). dove mentre

gli altri cn sono nulli. IOPoiché m(t) è periodico.

Quindi, usando la (2-126) con Cl ne la (4-122).

la (2-126) può essere usata come metodo alternativo

= C~l = A/(2j)

per valutare 'lJ>m(J).

= -jO.8/2 = -jOA (e gli altri Cnrisultano nulli), si ottie-

4-19

289

Esercizi di approfondimento

(Nota: da quanto detto sopra si conclude che la densità spettrale di potenza di s(t) può essere detenninata traslando la densità spettrale di potenza in banda base di g(t) verso l'alto, a frequenza le e verso il basso, a frequenza -le. Inoltre, nel caso di segnale AM, la densità spettrale di g( t) è data da quella di m( t) più una funzione delta in corrispondenza

I =

di

O).

EA4-3 Potenza media di un segnale AM 11segnale AM descritto nell'Esercizio EA4-1 viene applicato a un circuito con carico resistivo di 50 O. Calcolare la potenza dissipata sul carico resistivo di 50 O. Soluzione.

Dalla (4-21), la potenza media nonnalizzata risulta (Ps)norm

=

(VS)~ff

=

~A~

[1 + (Vm)~ff]

= ~(500)2 [1 + (~)r

= 165kW

(4-126a)

Nota: un metodo alternativo per calcolare (Ps)normconsiste nel misurare l'area sottesa dalla densità spettrale di potenza di s(t). Cioè, usando la (4-125),

(Ps)norm= (Vs)~ff = foo --00qJ>s(f)di = 165 kW

(4-126b)

Dalla (4-126a) o dalla (4-126b), ricaviamo la potenza efficace dissipata sul carico di 500:11 (Ps)actual

=

(Vs);ff RL

=

1.65 X 105 50

=

3.3 kW

(4-127)

EA4-4 Potenza di picco di un segnale AM Calcolare la potenza di picco del segnale AM dell'Esercizio EA4-1 su di un carico resistivo di 50 O. Soluzione.

Dalla (4-18), otteniamo il valore della potenza di picco nonnalizzata:

~[maxlg(t)IF = ~A~[1 + max m(t)F = ~(500)2 [I + 0.8F = 405 kW

(PPEP)norm =

(4-128)

Allorail valoredella potenzadi picco sul caricodi 50 O allora (4-129)

EA4-5 Campionamento di segnali passa-banda Si supponga di campionare un segnale passa-banda AM, s(t) e di memorizzame i campioni per una successiva elaborazione. Come mostrato in Figura 4-32a, questo segnale ha banda BT centrata attorno a le, con le iJ>BT e BT > 0.11 segnale s(t) può essere campionato con uno dei tre metodi mostrati in Figura 4-32.12Per ognuno di questi tre metodi, ricavare la frequenza minima di campionamento (cioè la minima frequenza di cIock) richiesta, discutendo vantaggi e svantaggi di ciascun metodo.

1\ Se s(t) è una cOlTente (invece che una tensione), allora (Ps)actual = (/s)2effRL' 12 Si ringrazia il professor Christopher S. Anderson (Department ring, University of Florida) per i suggerimenti sul Metodo II.

of Electrical and Computer

Enginee-

290

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali IS(f)1

le 1-

-f.:

Campionatore

s(t) Uscita campionata

Segnale di ingresso

passabanda

(a) Metodo I: campionamento diretto Convertitore

verso il basso

I s(t)

i

Campionatore ~

,ex

I

I: ---L

~ (b) Metodo II: conversione verso il basso e campionamento

Uscita campionata

Campionatore Segnale campionato in fase (l)

s(t) Segnale di ingresso passa banda

Segnale campionato in quadratura (Q)

Campionatore (c) Metodo III: campionamento IQ (in fase e quadratura)

Figura 4-32 Tre metodi di campionamento dei segnali passa-banda. Soluzione. Metodo I Con riferimento alla Figura 4-32a, il Metodo I fa uso del campionamento diretto come descritto nel Capitolo 2. Dalla (2-168), la minima frequenza di campionamento è (fs)min= 2B, dove B è la componente frequenziale più elevata del segnale; quest'ultima, nel caso del nostro segnale passa-banda, risulta pari a B = le + BT /2. Quindi, per il Metodo I, la minima frequenza di campionamento è Metodo I

(4-130)

Ad esempio, se le = 100 MHz e BT = I MHz, la frequenza di campionamento minima richiesta sarà (/s)min = 201 MHz.

4-19

Esercizi di approfondimento

291

Metodo II Con riferimento alla Figura 4-32b, vediamo che nel Metodo II il segnale passa-banda viene convertito verso il basso alla frequenza intermedia (lF); in questo modo la massima frequenza da campionare risulta notevolmente ridotta. Per limitare ulteriormente la componente spettrale più elevata, scegliamo la frequenza dell'oscillatore loca]e pari a io = ie - Br/2.13 La massima frequenza del segnale convertito verso il basso (ali'ingresso del campionatore) è quindi B = (fe + Br/2) - io =.h- + Br/2 - .h- + Br/2 = Br, mentre quella più piccola (nella porzione di spettro a frequenza> Odel segnale traslato verso il basso) è (.h- - Br/2)-io = ie - Br/2 - ie + Br /2 = O. Dalla (2-]68), si trova che la massima frequenza di campionamento è (f,)min = 2Br

Metodo II

(4-13 ])

quando la frequenza dell'oscillatore locale è scelta pari aio = ie - Br/2. Per talesceltadella frequenza di oscillazione, il filtro passa-banda diventa un filtro passa-basso con frequenza di taglio pari a Br. 11Metodo II consente una drastica riduzione della frequenza di campionamento rispetto al Metodo l. Ad esempio, se ie = 100 MHz e Br = ] MHz, allora la frequenza di campionamento diventa (fs)min = 2 MHz, invece dei 20] MHz richiesti col Metodo I. D'altra parte (come svantaggio), il Metodo II richiede l'uso di un convertitore verso il basso. Va inoltre osservato che la (fs)min del Metodo n, come specificato dalla (4-131), soddisfa la (fs)minimposta dal teorema del campionamento in banda passante e indicata nella (4-31). 11Metodo n è uno dei modi più efficienti di campionare un segnale passa-banda. Una volta ricostruito il segnale a partire dai suoi campioni e in accordo alla (2-158) e alla (2-160), otteniamo nuovamente il segnale in banda passante convertito verso il basso. Per ricostruire il segnale originale s(t), è necessario un convertitore che riporti il segnale alla frequenza portante occupata in origine dallo spettro (convertitore verso l'alto). È inoltre possibile utilizzare il Metodo n per ottenere i campioni delle componenti in quadratura (l e Q) dell 'inviluppo complesso. Dalla Figura 4-32b, il segnale a frequenza intermedia in ingresso al campionatore è VIP(t)

= x( t )COSlVIPt-

y( t )sinlVIpt

dove fip( t) = Br/2. ] campioni di x( t) si possono ricavare se VIP(t) viene campionato agli istanti di tempo in corrispondenza dei quali cos lùJpt = :1:1(e sin lùJpt = O). ]n questo modo abbiamo Br campioni di x(t) al secondo- Analogamente, i campioni di y(t) si ottengono agli istanti di tempo per i quali lùJpt = ::1:1(e cos lùJpt = O). Ancora una volta avremo Br campioni di y(t) al secondo. La velocità di campionamento complessiva risulta quindi!, = 2Br. ]n altre parole, in uscita al campionatore troviamo la seguente sequenza di valori di l e di Q: x, -y, -x, y, x, -y, . _.11c10ck del campionatore può essere sincronizzato con la frequenza intermedia ricorrendo a un circuito di sincronizzazione di portante. 11Metodo III adotta un approccio simile. Metodo 111 Come si vede nella Figura 4-32c, il Metodo III impiega rivelatori sincroni sul ramo in fase (l) e su quello in quadratura (Q) per generare le componenti in banda base x( t) e y(t) di s(t), (come discusso nel Par. 4-16 e illustrato in Fig. 4-31). La frequenza più elevata nello spettro di x(t) e y(t) è pari a B = Br/2. Quindi, dalla (2-]68), la minima frequenza di campionamento sui due rami (l e Q) risulta (4-132) (fs)min = Br Metodo III

13Usiamo un riferimento

terali.

locale a frequenza inferiore in modo che non vi sia inversione delle bande la-

292

Capitolo 4

- Segnali

passa-banda

e relativi schemi circuitali

Poiché sono presenti due campionatori, la frequenza di campionamento complessiva sarà pari a (/s)mincompI= 2Br. Talevaloresoddisfala condizionesul minimovaloreconsentitodalla (4-31) per la frequenza di campionamento. In definitiva, anche il Metodo III (come il Metodo II) fornisce uno dei modi più efficienti di campionare un segnale in banda passante. Nel caso di ic

=

100 MHz e Br

=

l MHz, sarà necessaria una velocità di campionamento

complessiva di 2 MHz per il Metodo III, cioè come nel Metodo II. Una volta ottenuti i campioni l/Q, essi possono essere elaborati con un DSP per realizzare il filtraggio a frequenza intermedia, come descritto nel Paragrafo 4-5, oppure ottenere un altro tipo di modulazione, come descritto al Paragrafo 4-2. Il segnale originale in banda passante può inoltre essere ricostruito con l'ausilio della (4-32).

ESERCIZI PROPOSTI

4-1 4-2

Dimostrare che, se v(t) = Re{g(t)ej t}, allora valgono le (4-1b) e la (4-1c), con g(t) = x(t) + jy(t) = R(t)ej8(t). Il segnale DSB-SC s( t) con frequenza portante pari a 3.8 MHz ha inviluppo complesso g(t) = Aem(t). Ae = 50 V, e il segnale modulante è una sinusoide di prova a 1kHz, esprimibile come m(t) = 2 sin (21T1,000t). Ricavare lo spettro di ampiezza di questo segnale.

4-3

Con riferimento al segnale DSB-SC dell'Esercizio 4-2, s(t), applicato a un carico resistivo di 50

4.4

n,

(a) calcolare la potenza media dissipata sul carico; (b) calcolare la potenza di picco. Con riferimento al filtro passa-banda di Figura EP4-4, (a) determinare l'espressione della risposta in frequenza del filtro, H(f) = V2(f)/VI (f), in funzione di R, L e C, e tracciare l'andamento dello spettro di ampiezzaIH(f)I; (b) determinare l'espressione della risposta in frequenza del filtro equivalente passa-basso, tracciando l'andamento del corrispondente spettro di ampiezza.

c

L

o-rrm--J R

V2(t)

Figura EP4-4 4.5

La risposta in frequenza di un filtro ideale passa-banda è data da

H(f)

=

l, l, O, I

se li + iel < Br/2 se li - iel < Br/2 altrimenti

dove Br è la banda assoluta del filtro. (a) Rappresentame la risposta in ampiezza IH(f)I. (b) Trovare l'espressione del segnale di uscita, V2(t), in corrispondenza dell'ingresso VI (t)

= ATI(t/T)

cos(ltIet)

(c) Rappresentare il segnale di uscita V2(t) nel caso in cui Br = 4/T e !C.~ Br.

t

Esercizi proposti

293

(Suggerimento: usare la tecnica dell'inviluppo complesso, esprimendo la risposta in funzione del seno integrale definito come

- = fo

Si(u)

4.6

Tale andamento può essere tracciato cercando i valori del seno integrale su opportune tabelle valutando numericamente Si(u).) Esaminare le distorsioni di un filtro RC passa-basso (mostrato in Fig. 2-15). Nell'ipotesi di avere in ingresso un segnale passa-banda con banda di l kHz e frequenza portante di 15 kHz, e con una costante

4.7

sin A dA A

u

tempo

del filtro

70

= RC =

10-5 s.

(a) Trovare il ritardo di fase della portante di uscita. (b) Determinare il ritardo di gruppo alla frequenza portante. (c) Valutare il ritardo di gruppo per le componenti all'interno della banda del segnale. Tracciare l'andamento di tale ritardo in funzione della frequenza. (d) Tenendo conto dei precedenti risultati, spiegare se il filtro distorce o meno il segnale in banda passante. Il filtro passa-banda mostrato in Figura EP4-7 ha la risposta in frequenza H(s)

=

Ks s2

+ (WoIQ)s + w~

dove Q = RVC IL, la frequenza di risonanza è/o = 1/(2~), Wo= 27T/O,K è una costante e i valori di R, L e C sono riportati in figura. Si consideri un segnale passa-banda con /e = 4 kHz e larghezza di banda pari a 200 Hz applicato in ingresso al filtro, con /0 = fc.

R = 400a

L = 1.583rnH

Figura EP4-7 (a) Dalla (4-39), determinare la banda del filtro. (b) Tracciare l'andamento

4-8

del ritardo di fase in funzione di

s(t)

4-9

/

nell'intorno

di/o.

(c) Tracciare l'andamento del ritardo di gruppo in funzione di / nell'intorno di/o. (d) Dire se il filtro distorce o meno il segnale. Un segnale FM ha la seguente espressione:

= cos[ wet +

DJ

f~ m(O") dO"]

dove m(t) è il segnale modulante e We = 27Tfc.., con/e frequenza portante. Dimostrare che le funzioni g(t), x(t), y(t), R(t), e 6(t), come riportate in Tabella 4-1, sono corrette. Un segnale modulato è pari a s(t)

=

100 sin( We + wa)t + 500 cos wet -

100 sin( We - wa)t

dove la portante non modulata risulta 500 cos wet. (a) Determinare l'inviluppo complesso del segnale modulato. Di che tipo di modulazione si tratta? Qual è il segnale modulante? (b) Determinare le componenti in fase/quadratura x(t) e y(t) del segnale modulato.

294

Capitolo 4

- Segnali

passa-banda e relativi schemi circuitali

4-10

(c) Determinare le componenti di ampiezza e fase R(t) e 8(t) del segnale modulato. (d) Determinare la potenza media totale, se s(t) è una tensione applicata a un carico di 50 n. Trovare lo spettro del segnale modulato dell'Esercizio 4-9 con i due metodi seguenti: (a) valutando direttamente la trasformata di Fourier di s(t); (b) usando la (4-12).

4-11

Dato l'impulso modulato s(t) = e-al cos[(we + Llw)t)u(t)

4-12

con a, Wc,e Llwpositive e frequenza portante, Wc ~ Llw, (a) Trovame l'inviluppo complesso. (b) Trovame lo spettro S(f). (c) Tracciare l'andamento degli spettri di ampiezza e fase IS(f)1 e 8(f) = LJj[J. Nella simulazione numerica di un filtro passa-banda, si fa uso dell'inviluppo complesso della risposta impulsiva, dove h(t) = Re [k(t) ejwct),come indicato in Figura 4-3. La risposta impulsiva complessa può essere espressa in termini delle componenti in quadratufa come k(t) = 2hx(t) + j2hy (t), dove hAt) = tRe[k(t)] e hy (t) = t 1m[k(t)]. Gli inviluppi complessi dei segnali di ingresso e di uscita sono indicati rispettivamente con gl(t) = XI(t) + jYl(t) e gz(t) = xz(t) + jyz(t). La simulazione del filtraggio passa-banda può essere implementata usando quattro filtri reali in banda base (cioè filtri con risposta impulsiva reale), come mostrato in Figura EP4-12. Si osservi che, nonostante la presenza di quattro filtri, ci sono solamente due diverse risposte impulsive: hAt) e hy(t). (a) Usando la (4-22), dimostrare che la Figura EP4-12 è corretta.

(b) Dimostrareche hy(t)

==

O(e quindinon è necessarioalcunfiltro sui due rami relativi),

se il filtro passa-banda ha risposta in frequenza con simmetria Hermitiana attorno aie, ovvero, se H(-LlI + le) = H*(LlI + Jc.), dove ILlII < Bd2 e Br la banda passante del filtro passa-banda. La simmetria Hermitiana implica che la risposta in ampiezza è pari attorno a Jc.mentre la risposta in fase è dispari sempre attorno a!c. Filtro passa-banda hAt)

Xz(t)

Xt (t)

Filtro passa-banda hy(t)

gz(t)

Filtro passa-banda hy(t)

I Id

yz(t)

Yt Ct)

Filtro passa-banda hAt)

Figura EP4-12 I

\

Esercizi proposti 4-13 4-14

295

Deteffilinare e quindi tracciare l'andamento della risposta in ampiezza per un filtro passa-basso (a) di Butterworth; (b) di Chebyshev e (c) di Bessel. Si consideri/b = lO Hz e e = l. Tracciare l'andamento della risposta in ampiezza, della risposta in fase e del ritardo di fase in funzione della frequenza per i seguenti filtri passa-basso, dove B = 100 Hz: (a) Filtro di Butterworth del secondo ordine: I H(f)

=

1+ -{2(j//B)

+ (j//B)2

(b) Filtro di Butterworth del quarto ordine: 1 H(f)

4-15

4-16

4-17

=

[1 + 0.765(j//B)

+ (j//B)2][1

+ 1.848(j//B)

+ (jf!b)2]

Confrontare i risultati ottenuti per i due filtri. Un amplificatore passa-banda ha la caratteristica ingresso-uscita descritta dalla (4-42) e viene sottoposto a una misura di intermodulazione tramite un segnale a due componenti sinusoidali. (a) Deteffilinare la frequenza dei prodotti di inteffilodulazione del quinto ordine che cadono all'interno della banda passante dell'amplificatore. (b) b) Valutare i livelli dei prodotti di inteffilodulazione del quinto ordine in funzione di Al, A2 e dei parametri K. La distorsione totale armonica di un amplificatore (THD) viene misurata applicando in ingresso un segnale sinusoidale puro e inviando l'uscita a un analizzatore di spettro. Si trova che i valori di picco delle tre affiloniche rilevate decrescono in accordo a una legge ricorsiva di tipo esponenziale Vn+1= Vne-n, dove n = 1,2, 3. Qual è il valore della distorsione affilonica totale? La caratteristica ingresso-uscita di un amplificatore è

e il segnale di ingresso ha sette componenti frequenziali: 1

4

6

I

Vio(t) ="2 + 1i2 k=1

1

(2k - 1" cos[(2k - 1)171]

(a) Tracciare l'andamento del segnale di uscita e confrontarlo con la componente lineare dell'uscita stessa 5Vio(t). (b) Valutare la FFT dell'uscita Vout(t), confrontarla con lo spettro della componente lineare dell 'uscita stessa. che l'uscita un limitatore passa-banda

è data dalla (4-55), con K

=

4-18

Dimostrare

4-19

dove Ao indica il guadagno in tensione del filtro passa-banda (costante sulla banda passante). Discutere se l'analisi non lineare in serie di Taylor è applicabile (a) allimitatore "soft", (b) allimitatore "hard".

(4/ 1T)Ao e

4-20

Valutare la distorsione totale armonica (THD) dell'uscita di un limitatore "hard" con ingresso sinusoidale.

4-21

Utilizzando la definizione di linearità data nel Capitolo 2, dimostrare che il moltiplicatore commutato di Figura 4-10 è un dispositivo lineare. Un segnale audio con banda pari a 1 kHz modula AM una portante a 1.0 MHz. Il segnale AM è poi ricevuto da un ricevitore supereterodina con rivelatore di inviluppo. Quali sono i vincoli sulla costante tempo RC del rivelatore di inviluppo?

4-22

( 296

Capitolo 4 4-23 4-24

- Segnali

passa-banda e relativi schemi circuitali

Un ricevitore AM viene sintonizzato per errore su un segnale SSB-AM con modulante m(I). Trovare l'espressione del segnale audio in uscita dal ricevitore, dire se risulta distorta. Valutare la sensibilità del demodulatore FM ad attraversamenti dello zero di Figura 4-18, supponendo che l'amplificatore

4-25 ,I

l'

I

4-26

differenziale'sia

descritto da Vout(t)

= A[V2(t)

- V3(t)], dove

A è il guadagno di tensione. Dimostrare cioè che Vout= Kfd, dove/d = li - le, e determinare il valore della costante di sensibilità K in termini di A, Ree. Si consideri un valore di picco per le uscite del monostabile Q e Q pari a 4 V (livelli del circuito TTL). (a) Usando la (4- 100), dimostrare che il diagramma a blocchi del PLL è dato dalla Figura 4-22. (b) Dimostrare che la (4-101) descrive il modello lineare del PLL riportato in Figura 4-22. Usando la trasformata di Laplace e il Teorema del valore finale, trovare l'espressione dell'errore di fase a regime, limt oc 8e(t), per il PLL descritto dalla (4-100). [Suggerimento: II teorema del valore finale è il seguente: limt oc 1(1) = lims o sF(s).]

o

, I

r-n : I I I

o

/ F(f)

-L-

---:

R

,i I

~--

o

I . I I I

[j J I I

o

Figura EP4-27 4-27

Un PLL ha il filtro d'anello mostrato in Figura EP4-27.

4-28

(a) Valutare la risposta in frequenza ad anello chiuso H(f) = :~~? del PLL linearizzato. (b) Tracciare il diagramma di Bode [IH(f)lJdB ~ 20 log /H(f)/ per il PLL in esame. Si desidera valutare la caratteristica del rumore di fase di un PLL. Il rumore di fase generato internamente al VCO è modellato con un segnale opportuno 8n (t), come riportato in Figura EP4-28. flJt)

+

Figura EP4-28 (a) Determinare l'espressione della risposta in frequenza dell'anello chiuso 00(f)/0n(f), supponendo 8;(t) = O.

4-29

(b) Se F,(f) è il filtro passa-basso della Figura EP4-27, tracciare il diagramma di Bode [I00 (f)/0n(f)I]dB della risposta in frequenza relativa al rumore di fase. Il segnale di ingresso a un PLL è Vin(I) = Il sin(lùQt + 8;) e il filtro d'anello ha funzione di trasferimento F(s) = (s + a)/s.

Esercizi proposti

297

(a) Qual è l'errore di fase a regime? (b) Qual è il massimo intervallo di mantenimento nel caso di sistema non rumoroso? 4-30

4-31

4.32 4-33

4-34 4.35

(a) Con riferimento al sintetizzatore di frequenza con PLL in Figura 4-25, progettare un sintetizzatore che operi sull'intervallo di frequenze da 144 a 148 MHz a passi di 5 kHz, partendo da 144.000 MHz. Si consideri una riferimento di frequenza di 5 MHz, un divisore per M fisso e un divisore per N programmabile in modo da coprire l'intervallo frequenziale richiesto. Disegnare il diagramma a blocchi del progetto, indicando le frequenze corrispondenti ai vari punti dello schema a blocchi. (b) Modificare lo schema in modo che il segnale di uscita risulti modulato in frequenza con un segnale di ingresso a frequenza audio e presenti una deviazione di picco dell'uscita a RF pari a 5 kHz. Un trasmettitore SSB-AM è realizzato con la tecnica AM-PM di Figura 4-28. (a) Disegnare il diagramma a blocchi del circuito di elaborazione in banda base del segnale. (b) Trovare ('espressione per R(t), 8(t) e v(t) quando il segnale modulante risulta m(t) = AI COSWlt + A2 cos lù}.t. Ripetere l'Esercizio 4-31 nel caso di segnale FM. Un trasmettitore SSB-AM è realizzato con la tecnica di generazione in fase/quadratura di Figura 4-28. (a) Disegnare il diagramma a blocchi del circuito di elaborazione in banda base. (b) Trovare l'espressione per x(t), y(t) e v(t) quando il segnale modulante risulta m(t) = AI cos wlt + A2 cos lù}.t. Ripetere l'Esercizio 4-33 nel caso di segnale FM. Un apparecchio radio FM è sintonizzato su una stazione a frequenza 96.9 MHz. Il ricevitore è supereterodina con riferimento superiore, e impiega un amplificatore IF a 10.7 MHz. (a) Determinare la frequenza dell'oscillatore locale. (b) Nell'ipotesi di segnale FM con larghezza di banda pari a 150 kHz, determinare i parametri dei filtri a RF e a IF. (c) Calcolare la frequenza immagine.

4~36 Un telefono cellulare dual-mode è stato progettato per funzionare sulla banda a 900 MHz del sistema GSM oppure su quella a 1800 MHz del DCS-1800. Il telefono impiega un ricevitore supereterodina con frequenza intermedia di 500 MHz in entrambe le modalità. (a) Calcolare la frequenza dell'oscillatore locale e la frequenza immagine, nel caso di riferimento superiore, quando il cellulare riceve un segnale GSM a 920 MHz. (b) Calcolare la frequenza dell'oscillatore locale e la frequenza immagine nel caso di riferimento inferiore, quando il cellulare riceve un segnale a 1860 MHz. (c) Discutere il vantaggio dell'impiego di una frequenza intermedia di 500 MHz per il telefono cellulare dual-mode esaminato. (Nota: il sistema GSM e il sistema DCS-1800 sono descritti nel Capitolo 8.) 4.37

Un ricevitore supereterodina è sintonizzato su una stazione radio a 20 MHz. La frequenza dell'oscillatore locale è 80 MHz e quella intermedia (IF) è 100 MHz. (a) Qual è la frequenza immagine? (b) Se l'oscillatore locale ha una seconda armonica non trascurabile, quali sono le due ulteriori componenti frequenziali al ricevitore? (c) Se l'amplificatore a RF comprende un circuito risonante parallelo con Q = 50 e con frequenza di risonanza pari a 20 MHz, quale sarà l'attenuazione in dB alla frequenza immagine?

4.38

Un ricevitore SSB-AM è sintonizzato su un segnale SSB a banda laterale inferiore (LSSB) centrato attorno alla frequenza 7255 MHz. Il segnale LSSB è modulato da un segnale audio di banda pari a 3 kHz. Il ricevitore è supereterodina con IF a 3.395 MHz e filtro SSB.

'r

I 298

Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali (a) Disegnare uno schema a blocchi del ricevitore supereterodina a singola conversione, indicando le frequenze presenti e gli spettri tipici dei segnali ai vari punti dentro il ricevitore. (b) Determinare le specifiche per i filtri a RF e a IF, nell'ipotesi che la frequenza immagine debba essere attenuata di 40 dB. 4.39

4-40

4.41

(a) Disegnare il diagramma a blocchi di un ricevitore FM supereterodina che opera sull'intervallo di frequenze compreso fra i 144 MHz e i 148 MHz. Il ricevitore è del tipo a doppia conversione (cioè un mixer e un amplificatore alla prima IF seguiti da un altro mixer e da un secondo amplificatore alla seconda IF), dove la prima frequenza intermedia è 10.7 MHz e la seconda 470 kHz. Indicare le frequenze dei segnali in corrispondenza dei diversi punti del diagramma e in particolare mostrare le frequenze coinvolte quando il segnale da ricevere si trova a frequenza pari a 146.82 MHz. (b) Sostituire il primo oscillatore con un sintetizzatore di frequenza, in grado di sintonizzarsi, con un passo di 5kHz, sull'intervallo di frequenze compreso fra i 144.000 e i 148.000 MHz. Disegnare il diagramma a blocchi del sintetizzatore, riportando le frequenze coinvolte. Un ricevitore radio AM è sintonizzato su una frequenza pari a 1080 kHz e impiega un oscillatore locale a frequenza superiore. La frequenza intermedia è 470 kHz. (a) Graficare la risposta in frequenza dei filtri a RF e a IF. (b) Qual è la frequenza immagine? Le stazioni di radiodiffusione AM commerciale operano sull'intervallo frequenze compreso fra i 525 e i 1605 kHz, con canali di banda pari a lO kHz. (a) Qual è il numero massimo di stazioni che possono essere allocate? (b) Se i canali vengono occupati "uno si e uno no" (al fine di ridurre l'interferenza sui ricevitori con prestazioni modeste a IF), quante stazioni è possibile allocare? (c) Se la frequenza intermedia è pari a 470 kHz, qual è la banda della frequenze immagini per un ricevitore che impieghi un convertitore verso il basso con riferimento locale superiore?

- ---

------

@~[!@ tf1 -- - ~ ---------

J

Punti principali .

Modulazione (AM) unica

.

laterale

(SSB)

Modulazione di frequenza (FM)

.

di ampiezza

e a banda

e di fase

Modulazioni

(PM)

digitali(OOK,

BPSK, FSK, MSK, MPSK, OAM, OPSK, 1T/40PSK,

e OFOM) .

Sistemi

a spettro

espanso

(spread-spectrum)

e COMA

(Code-Oivision

Multiple

Access)

MODULAZIONI ANALOGICHE E DIGITALI

Questo capitolo tocca molti argomenti connessi alle tecniche di modulazione analogiche e digitali, e precisamente: la modulazione di ampiezza (AM,Amplitude Modulation) e a banda laterale unica (SSB, Simde-Side Band'>,la modulazione di fase (PM, Phase Modu~ e di frequenza (FM, Fre uenc Modulation), le modulazioni digitali come lamodulazIOne n-o On-O Ke in ,la . . se binaria BPSK, Binary Phase-Shift KeyinK), la modulazione di freQlLenza(FSK, Freqeuncy-Shift Keying), e la modulazIone OFDM (OrthogonalFrequency-DivisionMultiplexin .Questetecnichedi segnalazIOne consistono ne a modulazIOne l una portante sinusoidale mediante un segnale analogico o digitale in banda base. Tale approccio è stato introdotto per la prima volta nel Paragrafo 4-2, dove si è rappresentato il segnale modulato passa-banda come (5-1)

s(t) = Re{g(t)j",cI}

dove Wc= 2me e re è la frequenza della portante. Il tipo di segnale modulato desiderato, s(t),'è ottenuto in base alla particolare funzione g[m(t)] di Tabella 4-1 caratteristica del modulatore utilizzato, dove m( t) è il segnale modulante in banda base analogico o digitale. Lo~pettro

d'a~£ie_z~a del segl1ale modulato è ~

S(f)

=!

[G(f

-

-

lo) + G*(-I ,....-

- Ic)] d

(5-2a)

300

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

e la DSP è (jps(f)

= ~ [(jpg(f

- fe)

+ (jpg(-f - fe)]

(5-2b)

dove G(f) = ~[g(t)] e (jpg(f) è la DSP dell'inviluppo complesso g(t). Nella prima metà del capitolo (dal Par. 5-1 al Par. 5-8) ricaveremo risultati del tutto generali che si possono applicare sia alle modulazioni analogiche che a quelle digitali, mentre nella seconda metà (dal Par. 5-9 al Par. 5-13) studieremo specificamente le modulazioni digitali. Gli obiettivi di questo capitolo sono:

.

. .. .

esaminare la forma di g( t) e s( t) per i vari tipi di modulazione; valutare lo spettro per i vari tipi di segnale modulato; esaminare alcune strutture di trasmettitori e ricevitori; studiare alcuni sistemi standard; introdurre i sistemi a spettro espanso.

5-1 MODULAZIONE DI AMPIEZZA Dalla Tabella 4-1 sappiamo che l'invilu)?Po comple&!io_diu!! segnale con modula~e d'ampiezza (AM, Amplitude Modulation) è pari a -

-

(5-3) ~g(t) ---- = Ae[1 + m(t)] ~ dove la costante Ae determina il livello di otenza e m t è il se naie modulante che può essere sia analOgIcoc e Iglta e. Il segnale modulato AM è pertanto

,

(5-4) "f.s(t) =AAl + m(t)j cos UJet Un esempio tipico di segnale AM, così come potrebbe essere visualizzato da un oscilloscopio, è riportato in Figura 5-1, ove per semplicità il segnale modulante m( t) è sinusoidale. Ae[1 + m(t)] corrisponde in questo caso alla componente in fase x(t) dell'inviluppo complesso, e anche al modulo dell' inviluppo stesso Ig(t) I essendo usualmente m(t) ;::::-1. ,Se met) ha valore di picco positivo + l e negativo -l, il segnale AM è modulato al 100%. Altrimenti:

DEI':IIDz.LO~. La profondità di modulazione positiva per un segnale AM è A -A % modulazione positiva = max e X 100 = max [m(t)] X 100 (5-5a) Ae

e la profondità di modulazione neRativa..è . . Ae - Amin % modulazIOnenegativa = X 100 Ae

= -min

[m(t)] X 100 (5-5b)

La profondità di modulazione totale è m 70

.

modulazione =

Amax - Amin 2Ae

X 100

= max[m(t)] - min[m(t)] 2

X

100

(5-6)

5-1

Modulazione

di ampiezza

301

m(t)

~

~~

....

t-

(a) Segnale modulante sinusoidale

Adi + m(t)] -~-------------

-------

s( t)

t7----------(b) Segnale AM risultante

Figura 5-1

Segnale AM.

dove Amaxè il valore massimo di Ac[l + m( t)], Aminè il valore minimo, e Ac è il livello dell'inviluppo AM in assenza di modulazione [cioè m(t) = O]. La (5-6) può essere ottenuta calcolando la media tra la (5-5a) e la (5-5b). I vari valori Amax, Amin e Ac sono chiaramente mostrati in Figura 5-1b, dove Amax= 1.5Ac e Amin= 0.5Ac, in modo da avere uguali profondità di modulazione positiva e negativa, e una profondità di modulazione totale pari al 50%. La profondità di modulazione può essere anche superiore al 100%lcioè Aminpuò essere negativo) a patto~i u!iliz.~arein fase..dLdemodulazinnp.::IlriceYÌtoreull.rnQ~ tore a quattro 9u~d!~ti per effettuare il prodotto tra Ac[1 + m(t )lJh50s wct ill ill9.Q()da ottenere il segnale AM datO"OaIIa-{5"4)J. ~e mtattl Il trasmettitore utilizzasse un moltiplicatore a due quadranti (che fornisce uscita nulla quando Ac[1 + m(t)] è negativa) il segnale di uscita sarebbe s(t)

=

Ac[1 + m(t)] cos wct, { O,

se m(t) ;:::-1 se m(t) <-1

(5-7)

che è un ancora un segnale AM, ma con distorsione. Infatti, la banda di questo segnale è molto più ampia di quella della fonna d'onda AM non distorta, come si può facilmente dimostrare mediante analisi spettrale. Per questo motivo la condizione di sovramodulazione (profondità maggiore del 100%) non è in genere pennessa. Un trasmettitore AM ad alta potenza per radiodiffusione che utilizza la modulazione del circuito di placca di un tubo a vuoto è un esempio tipico di un moltiplicatore a due quadranti. In questo circuito la portante non modulata è applicata alla griglia del tubo, e la tensione di placca (costante in I Se la pe,""enhlalp ti; "'IB!ltllll!:ione è melltt-granderiI-tiegDa/e.AM..di\IeRta..un.se.gn~l~

te~le con portantesoppressa(DSR-SC)cQ1Jlt:...de£critto...lld...P.ilril~rafo successivo.

j;I.J!op~ banda la-

- --

302

Capitolo 5

- Modulazioni

analogiche e digitali

assenza di modulazione) viene fatta variare proporzionalmente a [l + m(t)], con [l + m(t)] ;::::O.Si ottiene così il prodotto Ae[l + m(t)] cos wet, quando m(t) ;::::-l, e uscita nulla se m( t) < -I. Se la percentuale di modulazione è inferiore alI 00%, si può usare come circuito di demodulazione un rivelatore di inviluppo, in quanto, Ig(t)1 = IAe[1 + m(t) ]1,è identico a Ae[1 + m(t) ]. Se invece la percentuale di modulazione è superiore al 100% (e il modulatore è a 4 quadranti), è possibile ancora demodulare il segnale senza distorsione con Unrivelatore sincrono, come si vede dalla (4-76) con 80 = O. Vedremo nel Capitolo 7 che il demodulatore sincrono ha prestazioni migliori rispetto al rivelatore di inviluppo, quando il rapporto segnale-rumore di ingresso è piccolo. Dalla (4-17), la potenza media normalizzata del segnale AM è

(s2(t)

= ! (lg(t)l2) = ! A;([1

= ! A;(1

+ m(t)J2)

+ 2m(t) + m2(t)

= ! A;+ A;(m(t) + ! A;(m2(t)

(5-8)

Se il segnale modulante ha valor medio nullo, cioè (m(t) = Ola potenza del segnale AM è (S2(t)

= ! A; +! A;(m2(t) '-v

' '

r

'

(5-9)

potenza potenza delle bande della ponante laterali I

I.

DEFINIZIONE.L'efficienza di modulazione è il rapporto pp.r~p.ntI1RIp. trR la potenza del segnale modulato che trasporta l'informazione e la potenza totale. In un segnale AM solo la componente di segnale legata alle bande laterali trasporta informazione; l'efficienza di modulazione è quindi E

=

(m2(t) 1 + (m2(t)

X 100%

(5-10)

Il valore massimo di efficienza raggiungibile con una modulazione avente profiondità massima pari al 100% è i150%. Utilizzando al (4-18), la potenza di picco del segnale è A2 (5-11) PPEP = ---E- {l + max[m(t)]}2 2 Lo spettro del segnale AM è poi fornito dalla (4-20a) dell'Esempio 4-1, cioè A (5-12) S(f) = --=2 [8(f - le) + M(f - le) + 8(f + le) + M(f + le)] Tale spettro è una versione traslata dello spettro del segnale modulante cui si somma una funzione delta relativa alla componente spettrale della portante, quindi la banda del segnale modulato è doppia rispetto a quella del segnale modulante in banda base. Esempio 5-1 POTENZADI UN SEGNALEAM Le stazioni radio AM vengono in genere classificate sulla base della potenza media della portante. Si supponga che un trasmettitore AM da 5000 W sia collegato a un carico di 50 n. In questo caso, considerando un segnale di tensione, la costante Ac è data dalla relazione ! A~/50 = 5000. Perciò la tensione di picco ai capi del carico in assenza di modulazione sarà

I

I 1

5-1

Modulazione di ampiezza

303

pari ad Ac = 707 V. Se usiamo come segnale modulante un tono di prova a 1000 Hz con modulazione al 100%, la potenza totale media rappresentata dalla potenza della portante e quella delle 'banda laterali sarà, per la (5-9),

1.5

H (~)] = (1.5)

X (5000)

= 7500 W

in quanto (m2(t) = ! per modulazione al 100%. In queste stesse condizioni, la tensione di picco ai capi del carico di 50 .a è (2)(707) = 1414 V. Dalla (5-11) la potenza di picco è

4

[~

(:~)]= (4)(5000) = 20000

L'efficienza della modulazione è pari al 33% dato che (m2(t)

W

= !.

Ci sono vari modi di realizzare un trasmettitore AM. Il p-rimopuò essere quello di ,generare il segnale AM con IIn h".,.,n li"~llQ di poten'7<1(ppr mp77n ti; IIn mnlt;pl;l'!\tQI/")

-

e poi di amplificarlo al livello de~;;tipr~. di procedere ~ietie :1m~lificato'Jin . come li am lificatori in classe Questo A o B,modo discussi nel Par. 4-9 in modo a non

avere lstorsione. Ma bisogna tenere conto che questo tipo di amplificatori non è molto efficiente nel convertire la potenza fornita dall'alimentazione in potenza RF, e ci sarà pertanto un...!lelevatadissipazione di Dotenza in calore.2 Di conseguenza, i trasmettitori a elevata potenza per la radiodiffusione AM sono realizzati mediante u~ livel{n e. cioè am'plificando il segnale di portante a un livello oppoifiirio di potenza con amplificatore in classe C o D molto più efficiente, e poi introducendo la modulazione di ampiezza soltanto nell'ultimo stadio di potenza. Un esempio è quello della Figura 5-2a, dove la modulazione a elevata efficienza di conversione viene realizzata mediante una modulazione di durata PWM (Pulse Width Modulation) [DeAngelo, 1982]. Il segnale modulante è prima convertito in un segnale PWM, e questo a sua volta è utilizzato per controllare uno commutatore di potenza realizzato mediante un circuito a tubo oppure a transistor. L'uscita del commutatore, cioè un segnale PWM di potenza, è quindi filtrata passa-basso per ricavare una componente che è poi utilizzata come tensione di alimentazione per lo stadio di amplificazione. La frequenza di commutazione del segnale PWM è scelta sufficientemente elevata (attorno a 70-80 kHz) in modo che la fondamentale e le armoniche superiori siano facilmente soppresse dal filtro passa-basso, e contemporaneamente la componente di "bassa frequenza" possa variare con una banda fino a 12-15 kHz per garantire una buona fedeltà audio. Questa tecnica fornisce una buona risposta in frequenza e bassa distorsione, in quanto non sono necessari trasformatori di potenza. A tutt'oggi, quando sono necessarie elevate potenze di trasmissione sono utilizzati tubi a vuoto al posto di componenti a stato solido per realizzare il commutatore e lo stadio finale di potenza. Un'altra tecnica er realizzare trasme . ri AM a elevata potenza con componenti a stato so l o è basata su tecniche di elaborazione numenca e se un trasmettitore AM da 50 kW può essere reahzzato mediante la combinazione di 50-100 2 Non si confonda la (5-10),

l'efficienza

di conversione

con l'efficienza

di modulazione.

che è stata definita dal-

304

- Modulazioni

Capitolo 5

analogiche e digitali

\

Oscillatore (frequenza portante'/c)

Amplificatore a

Amplificatore di potenza (PA) (amplificatore in classe C)

potenza intermedia (lPA)

(amplificatore in classe C)

Amplificazione in continua per l'amplificatore di potenza (PA)

m(t)

.

Segnale audio

-

Modulatore di durata (PWM)

di ingresso

Commutatore elettronico a elevata

ì

potenza

L___.,.

(t)

r

Filtro

I--

passa-basso

Alta tensione da un generatore di potenza in continua (a) Schema a blocchi

-7-tV2(t) = PWM

t-

+=

1-

s( t) = segnale AM in uscita

t(b) Forme d'onda

Figura 5.2

Generazione di un segnale AM a elevata potenza tramite modulazione di durata (PWM).

s(t) Segnale AM di uscita

V3(t)

306

Capitolo 5

- Modulazioni

analogiche e digitali

è però necessario un rivelatore ~inr.f()no cl)e presenta J'inr.onveniente di essere oiù costos~i quello d'inviluppo. Se il valore di picco del segnale modulato è pari a Ap, si può dimostrare che (Esercizio 5-8) la potenza di nn ~egna~B-8&è--qu.att):£LYQlte Quella di un segnale AM con lo stessa livello di picco, e quindi in questo senso il segnale DSB-SC,

f

S.e...lu.U.L anzlch~ n pe~ quanto riguarda .la ~nza

Se:;~8tlle tUHho, è tra~mess~.'

rù

I

vantaggioso di un segnale AM.

(5-13) è un segnale BPSK. eD .... dettagli sulla segnalazione BPSK nel Paragrafo 5-9.

5-4 ANELLO DI COSTASE ANELLO QUADRATORE Il riferimento coerente in fase e in frequenza necessario al rivelatore sincrono per la demodulazione di un segnale DSB non può essere ottenuto utillizzando un normale anello ad aggancio di fase (PLL, Phase Locked Loop), per la semplice ragione che nello spettro del segnale ricevuto non è presente alcuna componente discreta alla frequenza fie, che possa essere agganciata. Dato però che lo spettro del segnale DSB-SC è simmetrico rispetto alla frequenza portante, può essere impiegato uno dei due schemi per il recupero della portante illustrati nella Figura 5-3: il PLL di Costas (Fig. 5-3a) e l'anello quadratore (Fig. 5-3b). Le prestazioni, in termini di varianza dell' errore nella stima della fase della portante di questi anelli sono del tutto simili [Ziemer e Peterson, 1985], perciò la scelta tra i due dipende dal costo dei componenti dell'anello e dall'accuratezza che si vuole conseguire. Per analizzare il PLL di Costas di Figura 5-3a supponiamo che il VCO sia agganciato alla frequenza portante (soppressa) dell'ingresso le a meno di un errore di fase (Je (cioè che la sua frequenza di riposo coincida con quella della portante da agganciare). In questa ipotesi, le tensioni Vl(t) e V2(t) all'uscita dei filtri passa-basso sul ramo in fase e su quello in quadratura hanno l'espressione indicata nella Figura 5-3a. Poiché l'errore nella stima di fase (Jesi suppone piccolo VI(t) è proporzionale a m(t) e quindi rappresenta l'uscita demodulata. Inoltre, la tensione prodotto V3(t) è V3(t)

= ! (!AoAe)2m2(t) sin 2(Je

Tale segnale è filtrato passa-basso con un filtro avente frequenza di taglio sufficientemente piccola in modo che l'uscita, cioè il segnale di controllo per il VCO, è V4(t) dove K

=!

(!AoAe)2(m2(t)

e (m2(t)

= K sin 2(Je

è il valor medio del segnale m2(t). Questo segnale

di controllo è tale da mantenere il VCO (con certe ipotesi verificate) agganciato alla frequenza

I c con

un piccolo errore residuo (Je.

L'analisi dell'anello quadratore è svolta direttamente in Figura 5-3b (si vedano le espressioni dei segnali nei vari punti dello schema). Il risultato è che, come per il PLL di Costas, anche l'anello quadratore è in grado di fornire un segnale sinusoidale alla frequenza della portante necessario per demodulare il segnale. Inoltre, i due circuiti per il recupero della portante introdotti possono essere utilizzati anche per un segnale BPSK, visto che tale segnale ha la stessa espressione di quello DSB-SC in cui naturalmente m( t) è un segnale dati NRZ bipolare, come quello illustrato nella Figura 3-15c.

I I

~

I

5-4

307

Anello di Costas e anello quadratore

Filtro in banda base (PB)

Segnale di uscita demodulato

LPF

(a) Anello di Costas per il recupero della fase

(b) Anello con non linearità quadratica ..

Figura 5.3

Anelli per il recupero della portante per segnali DSB-SC.

Il principale svantaggio sia dell'anello di Costas che dell'anello quadratore è quello di presentare un'ambiguità

di fase di 180°. Supponendo di avere un ingresso pari a

-

m(t)

cos wctal posto del segnale m (t) cos Wct si può dimostrare che l'uscita è la stessa di quella ottenuta in precedenza. Allora, una volta che l'anello ha raggiunto la condizione di regime, il segnale d'uscita demodulato può essere -m(t) oppure m(t) all'orecchio umano suona esattamente come il suo opposto, ma se il segnale è digitale per la trasmissione dati, il simbolo binario questo comporterebbe l'inversione di tutti i livelli logici. Come già accennato nel Capitolo 3, abbiamo a disposizione due metodi per superare questa ambiguità di 180°: (1) Si può utilizzare un segnale di prova dopo che l'anello è andato a regime, in modo da determinare la giusta polarità può essere determinata, o (2) si può utilizzare la codifica e decodifica differenziale.

308

Capitolo 5

- Modulazioni

analogiche e digitali

5-5 SEGNALIA BANDA LATERALEUNICA Banda laterale unica DEFINIZIONE.Un. segnaleliaI banda laterale (USSB, u~:er Simde Side Bane!)ha spettro nUllOper < ie. dove fe è superiore la fre uenza ortante Un segna e a an aterl e In enore (LSSB, Lower Single Side Band) ha spettro~ullo per 171> fe, dove le e la frequenza portante Ci~QIlOv-aRe-trasfeffilazKmi-m(-t-)-per-eosft:Hi£.e..un..segJJ~k ~ haDna..mtft1J1le unica a J2!lrtiredal modulante 4-1)~6~~~~nsistemi I corimlllcazione breve~ è utilizzatase~nale in ambito militare £[mUTab. e dai radio amalnèl HF(1iigh Prequency), pònclpalmente perché la banda del segnale :S:SH-AMe uguale a quella del segnale modulante, e quindi metà della banda necessaòa per un segnale AM o DSB-SC.

-

TEOREMA.

Un segnale SSB (per esempio SSB-AM) ha inviluppo complesso g(t) = Ae[m(t) :I::jm(t)]

(5-15)

dove il segno (-) è usato per la USSB (banda laterale superiore) e il segno (+) per la LSSB (banda laterale inferiore). L'espressione del segnale modulato in banda passante è s( t)

=

Ae[ m (t) cos Wct :I:: m (t) sin Wct]

(5-16)

Nelle precedenti formule m(t) indica la trasformata di Hilbert3 di m(t) m(t) :@:m(t) * h(t)

(5-17)

dove l

h(t) e H(f)

= -1Tt

(5-18)

= ;Y;[h(t)] è la rispostainfrequenza di uno sfasatorepuro di 90 gradi: H(f)

= -~, {

J,

f > O f
(5-19)

La Figura 5-4 illustra questo teorema: la spettro di ampiezza del segnale modulante è rappresentato in Figura 5-4a, quello dell'inviluppo complesso del segnale modulato è in Figura 5-4b (e, per la USSB, è Oper le frequenze negative), e il segnale modulato s(t) ha lo spettro raffigurato in Figura 5-4c: Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che lo spettro di s(t) è nullo per la banda laterale scelta (che dipende dal segno). Calcolando la trasformata della (5-15) si ha G(f) e utilizzando la (5-17) si ottiene G(f)

3 Riportiamo

una tavola di trasfonnate

= Ac{M(f) = AeM(f)[1

:I::j;Y;[m(t)]}

(5-20)

:I::jH(f)]

(5-21)

di Hilbert nel Paragrafo A-7 (App. A).

5-5

309

Segnali a banda laterale unica

IM(f)1

-B

B

!-

B

!-

Ca) Spettro di ampiezza in banda base

IG(f)1

Cb) Spettro di ampiezza dell'inviluppo

complesso di un segnale USSB

IS(f)1

------------------

------------------

-fc - B-1,.

fc

!e + B

!-

Cc) Spettro di ampiezza del segnale USSB

Figura 5-4

Spettro di un segnale USSB.

Concentriamoci sul caso USSB. Allora, per la (5-19) la (5-21) diventa 2AeM(f),

G(f) = { ,

I>

O,

O

I < O}

(5-22)

(caso USSB)

Sostituendo la (5-22) nella (4-15) otteniamo il segnale passa-banda: S(f)

= Ae

{

M(f O,

- le),

I> le I < le }

+

Ae {

O, M(f + le),

I > -le I < -le

(5-23) }

che è proprio un segnale USSB (si veda la Fig. 5-4). Scegliendo invece il segno (+) nella (5-21), si ottiene il segnale LSSB. La potenza media normalizzata del segnale SSB è (S2(t)

=

!(lg(t)12)

=

! A;(m2(t)

+

[m(t)]2)

(5-24)

310

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

Come dimostrato nell'Esercizio EP5-1, (m(t)2) = (m2(t), e quindi (5-25)

(S2(t) = A;(m2(t)

cioè la potenza del segnale SSB è quella del segnale modulante moltiplicata per il guadagno (m2(t). La potenza (normalizzata) di picco è A;. (5-26) ~ max{lg(t)l2} = ~ A;max{m2(t) + [m(t)]2} La Figura 5-5 illustra due tecnir.he ppr g{'Q@f3l'8 MBsegnal@~~B. Il mOfllllalorealla -~ Hilber0n mnfllllntnrp T/Q) è irlentiro al-m0tede-già-diBGQSSG-in figura 4-28 e qui aQ.plicato al segnale SSB. Il metodo del filtro a banda laterale unica è invece una tecnica in èiiiusegnale viene generato attravers()J:i[traggioRF piuttosto ç)1eattr v borazione in banda hl'lti~come' ma.:l'ri'letodo del filtraggio è forse quelo più diffuso in quanto si può ottenere un buon filtraggio della banda laterale impiegando filtri al quarz04, che risultano alla frequenze IF usuali, poco costosi ma efficienti. Oltre a questi due metodi per generare un segnale SSB, occorre menzionare anche un terzo metodo, detto di Weaver [Weaver, 1956], che viene analizzato nell'Esercizio EP5-12. Dopo gli stadi "di segnale" in banda base o alla IF, un trasmettitore SSB ha generalmente un convertitore per traslare il segnale SSB alla frequenza di trasmissione e un amplificatore in classe B (e quindi lineare) per amplificare il segnale al livello desiderato, Un segnale SSB è modulato sia in ampiezza (AM) che in angolo (PM), Utilizzando la (5-15), l'inviluppo del segnale è (5-27) R(t) = Ig(t)1 = Ac ~m2(t) + [m(t)]2 mentre la fase istantanea è :f: m(t)

8(t)

= /g(t) = tan-l [

m(t)

(5-28) ]

I segnali SSB possono essere ricevuti mediante un ricevitore supereterodina conte-

nente un rivelatoresincronoa un solo ramo con 80 = O,L'uscita del ricevitore è dunque Vout(t)

= K Re{g(t)e-jllo}

(5-29)

= KAcm(t)

dove la costante K dipende dal guadagno del ricevitore e dall'attenuazione del canale, La fase del riferimento 80 può anche essere diversa da zero nella demodulazione di segnali vocali, in quanto un errore di fase costante, come già detto, non compromette l'intelleggibilità. La fase deve essere invece stimata esattamente con le modulazioni digitali, altrimenti si ha un drastico peggioramento delle prestazioni. Inoltre, non è possibile usare la modulazione SSB per un segnale dati con impulsi rettangolari. Infatti, negli istanti di transizione il segnale SSB-AM avrebbe valore illimitato a causa della trasformazione di Hilbert. Pertanto, in una ipotetica realizzazione, il segnale SSB sarebbe fortemente distorto a causa della inevitabile limitazione d'ampiezza. Se invece vengono utilizzati impulsi sagomati del tipo (sin x) / x, ad esempio, il segnale SSB avrà valore di picco ragionevole, e lo si potrà utilizzare anche per la trasmissione dati.

4

Si riesce a ottenere una buona reiezione della banda laterale perché un segnale telefonico

nuto spettrale trascurabile per frequenze inferiori a 300 Hz, Così, il filtro può essere progettato bia alta attenuazione sulla banda di transizione pari a 2 X 300 = 600 Hz,

ha un conte-

in modo che ab-

{

5-5 Elaborazione

in banda base

:nnnnnn_: I

m(t)

r I I

m(l)

I I I I I I

I I

Segnale modulante II di ingresso :

II

'

311

Segnali a banda laterale unica

diRotazione fase -900

sulla banda

di m t

S (l)

II m(t)

I :

1 Oscillatore

1=le

\

Rotazione di fase -900 peri = le

(a) Metodo "alla Hilbert"

m(l)

Filtro in banda laterale (filtraggio in banda passante della banda inferiore o di quella superiore)

..

Segnale modulante di ingresso

S(l) Segnale SSB

Oscillatore

1=le (b) Metodo "del filtro"

Figura 5-5

Generazione del segnale USSB.

Un segnale SSB è vantaggioso sotto diversi aspetti. Innanzitutto necessita di una banda dimezzata rispetto a quella di un segnale AM o DSB-SC. Inoltre, fornisce un rapporto segnale-rumore all'uscita del ricevitore superiore a quello di un sistema AM e ugual a quello di un DSB-SC (Cap. 7). D'altronde il modulatore e il demodulatore sono di realizzazione più complessa sia del DSB-SC che, soprattutto, dell' AM. Per ulteriori informazioni sull'argomento si rimanda al testo [Sabin e Schoenike, 1987] dedicato interamente all'SSB. Banda lateraJe

vestig:ia1p in "o";d..~)

(5-30)

I.

312

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

m(t) .. Modulazione

Filtro VBS sVSB(t) (filtro passa-banda) VSB Hv(f)

s(t)

Modulatore DBS

DBS

(a) Generazione del segnale VSB

SU)

I

Il-

(b) Spettr?

I

del segnale

I I I I (c) Funzione I I I I

-

O

le

I I I I

I

I I I I

I I I

B

D~B

I

l I I I I I I

I I I I

.. -Je I I

di trasferimento I I I I I I

.

I

I I I I

/,.

I I I I I I I

SVSB(f)

del filtro VSB I I I

I

I I

I I I I I

te

-le

I I

I I Hv(f

(d) Spettro del segnale VSB I I

,

iT I I I

C=I

-le

:/-

Hv(f

- te> /",

-B

-

te> + Hv(f + tc)

/

I

/~

Hv(f + te>

1-

:

I I I I I I I I

1-

-t"

(e) Proprietà di simmetria vestigiale

Figura 5.6

~

Trasmettitore VSB e relativi spettri.

~ve s(t) è il segnale AM descritto dalla (5-4), se è presente la portante. oppure il segnale DSB-SC descritto dalla (5-13), se la portante è SOlW.Ies.sa,...mentre...hv't) è la risposta impulsiva del filtro vestigiale. Lo spettro del segnale VSB è ,,--SVSB(J) = S(J)Hv(J)

_J

(5-31)

come illustrato nella Figura 5-6d.

...

5-5

Segnali a banda laterale unica

313

Il segnale VSB uò essere demodulato con un ricevitore a . ure, se è resente la p.?rtant~ c..9D... ~JJX~I.~Efficiente, 1p~qian!.eun rivelatore d'invilu n VInCOOfondan1entaleper nona:vefe distorsione sul segnale demodulato riguarda naturalmente il filtro vestigiale:

.""

Con riferimento alla (4-14), si dimostra facilmente che l'uscita del rivelatore sincrono è Vout(t) = [AosvsB(t) COSlùct] * h(t) dove h( t) è la risposta imoulsiva di un filtro passa-basso con banda B J;)ari a <}11/>1I-" çI~1 segnale modnl(jnte. Nel dominio della frequenza quest'ultima equazione diventa

dove H(f)

=

1 per

lil <

B e O altrove. Sostituendo l'espressione per SVSB(f)e facendo

uso della proprietàdella convoluzionex(f) * 8(f - a)

= x(f -

a) si ottiene lil < B

e cioè

lil
t'

= KM(f)

perciò nel dominio del tempo Vout(t) = Km(t), dove K = A Ao 4, il che significaassenza l distorsione per il segnale a uscita del rivelatore moltiplicativo. Come vedremo nel Capitolo 8, nella radiodiffusione terrestre della televisione analogica (e anche che per quella digitale, limitatamente al Nordamerica) si usa la modnl(,lzione VSB per contenere la banda occupata a circa 6 MHz. l!!..lliH:tiçolare,nellaTV analogica la risposta in frequenza d~lfiltrQ y..estigiale..ha..J.1;. mite di banda superiore a -3 dB alla distanza di 5 MHz dalla fifJPleT\ZaPQJ:t<m1r~ ~i.dr.o (-20 dB a 5.5 MHz), e..dè piatto sulla banda lateralel!!!enille..ma sQ1pper 0.75 MHz rispetto alla frequenza portante, per poi arrivare a -20 dB ~~...alla..p.arta.nt~a1la.distanza.. di 1.25 MHz. Inoltre, il filtro IF del ricevitore ha una risposta in frequenza, simile a quella in Figura 5-6c, dove fl::.= 0.75 MHz. Questa risposta è tale che il vincolo (5-32) è verificato, quindi il segnale demodulato non è distorto. r

314

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

5-6 MODULAZIONI DI FASE E DI FREQUENZA Rappresentazione dei segnali PM e FM La modulazione di fase (PM) e la modulazione di frequenza (FM) sono casi particolari della modulazione d'angolo, per la Quale l'invilu~po complesso è,

= AcejlJ('~

fg(t)

(5-33)

In questocasoil modulodell'inviluppocomplesso,R(t) = Ig(t)1= Ac, è costantee la fase 8(t) è una fUnzione lineare del se naIe modulante m t ; complessIvamente t è funzione non lineare del se-gnalemodulante. Utilizzando la (5-33), si trova c e un sef,(rtale modulato d'anKolo è

~

~

s(t)

= Ac COS[lùct +

(5-34)

8(t)]

Per la PM la fase è direttamente proporzionale al se!male modulante (5-35) 8(t) = D[~~ dove la costante di proporzionalità D" rappresenta la sensibilità di fase del modulatore. ed è misurata in radN fassumendo che m(t) sia una tensione]. Per la FM, la fase istantanea è invece proporzionale all'intel!rale di m(t). cosicché

r}-i

8(t) =

~

DJ

r

(5-36)

-:w m(u) du

dove la costante-.diproporzionalità Df è la deviazione di freQenzae si misura in (rad/s)N. Dalle due ultime equazioni, è facile rendersi conto che se si ha un segnale PM modulato da mp(t), il segnale è anche di tipo FM. modulato però da un diversa forma d'onda data da -

mJ ( t ) --

dmp(t)

Dp

DJ [

dt

(5-37) ]

dove i edici e sono relativi ris ettivamente alla fre uenza (frequency) e alla fase -(phase). In modo del tutto simile, se si ha un segnale FM modulato da mf t ,I se!ma e corrispondente modulante in fase è

m/(t)

(a) Generazione

mp(t)

.

Integratore con DJ guadagno = Dp

mp(t)

Modulatore di fase (frequenza portante = f c)

s(t) Segnale FM in uscita

di un segnale FM utilizzando un modulatore di fase

.

Derivatore con Dp guadagno =DJ

mJ(t)

Modulatore di frequenza (frequenza portante = f c)

s(t) Segnale PM di uscita

(b) Generazione di un segnale PM utilizzando un modulatore di frequenza

Figura 5-7

Generazione di un segnale FM a partire da un segnale PM e viceversa.

5-6

I l

D

mp(t)

315

Modulazioni di fase e di frequenza

= -.L Dp

mf(

--00

(5-38)

(T) d(T

Dalla (5-38) si capisce che si può utilizzare un modulatore PM per realizzare un modulatore pre- lItran o con un mte ra ore l'in ress atore di a. l puo realizzare un modulatore di fase di tipo cosiddetto diretto facendo passare la portante

non modulata

attraverso

1111drcuito

variahile

nel tempo

r.he introrillr.e

11110sf:lsa-

mento proporzionale al segnale modulante, come in Figura 5-8a, dove Dp rappresenta il guadagno del circuito (radN). In modo del tutto simile, si realizza un modulatore FM di tipo diretto variando la frequenza di accordo di un oscillatore secondo il segnale moduCircuito a sfasamento

variabile

---~~~~~~-~-----------(frequenza

m( t)

=

= modulazione

1

-I

Oscillatore aRF

i(t) I :

f c)

I I I I + 1 1 1 1 1 I I I I I I 1

di ingresso

~

s(t) SegnalePM di uscita

L

1 1 1

- - - - - - - - -1

-- --- __I

Diodi varicap (a) Schema circuitale del modulatore di fase Oscillatore (frequenza

a RF

= f c)

Co

L

Circuito risonante

s(t) Segnale FM di uscita

m(t) Modulazione di ingresso

Diodi varicap (b) Schema circuitale del modulatore di frequenza

Figura 5-8 Schema circuitale dei modulatori d'angolo. RFC = Induttanza di blocco (Radio Frequency Choke).

316

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

~

q~to

P.il principi\} di fumionamento

del circuito di Figura 5-8b, dove DJ rappre-

senta il guadagno del circuito [(rad/s)N)]. DEFINIZIONE.Dato un segnale passa-banda .del tipo s(t) -=_R(t) cos r/J(t) dove_I/!~~ = Wct + O(t), allora la frequenza istqp.tanea di s(t) (in hertz) è [Boashas , 1992] l

l

= -27T

J;(t)

Wj(t)

= -27T

dr/J(t) - dt ] [

ovvero (5-39) La flequt;;I1~1\.~ea..di..P.n

se~nale FM utilin:lOn" h (5 36), ri"lllt:l l [;(t) =!c + -27T DJm(t)

(5-40)

Ecco spiegata la ragione per la quale questo tipo di segnalazione è chiamata modulazione di frequenza: la frequenza istantanea del segnale varia attorno alla frequenza portante in modo direttamente pro orzionale al se naIe modulante m(t). Come esempIO, la fIgura 5-9b illustra la variazione della frequenza istantanea nel caso i segnale modulante sinusoidale. Il segnale modulato FM risultante è invece illustrato in Figura 5-9c. Il concetto ~frequenza istantanea non deve essere corif.!!socon gu~~ifrequenza utilizzato nell' analisi armOnIcadI un segnale. Infatti la trasformata di Fourier di un se---gnares( t) è valutata su tutto ['asse dei tempi (-00 < t < (0) e pertanto fornisce l'informazione di quali frequenze sono complessivamente contenute in tutto l'andamento del segnale in media. Invece, la frequenza istantanea di un segnale modulato è Quellacert~za

presente

-=

n /Jn .nnrtirnlnrp

içtnntp

La deviazione di frequenza dalla frequenza portante è definita come l

= [;(t)

fd(t)

- fc

=

27T

dO(t) r ;ji

(5-41)

e la deviazione (di frequenza) di picco è

= max C~ [d~~t)]}

ÀF

In alcune applicazioni, come le modulazioni digitali co-e.icco, definita come

ÀF = max PP

~

dO(t)

{ 27T [

dt

p-..wilizz:tta :lnrhe 1:1nevi:l7innp p;('-

- min ]}

(5-42)

~

dO(t) { 27T [ dt ]}

(5-43)

Per un segnale FM, la deviazione di frequenza di picco è legata al valQre di picco del segnale modulante dalla relazione -

.

--

(5-44)

5-6

Modulazioni di fase e di frequenza

317

m(t)

~

1-

~

(a) Segnale modulante sinusoidale

te -M

o

-

(b) Frequenza istantanea del segnale FM conispondente

s(t)

~

(c) Segnale FM corrispondente

Figura 5.9

Segnale FM con modulazione sinusoidale in banda base.

I

dove V" = max m t , come illustrato nella Fi ura 5-9ao a r mente (come è chiaro dalla Fig. 5-9) all'aumentare dell'ampiezza del sel1:nale

I

-odulante

V si assiste a un corris ondente aumento della deviazione tlF. Si intuisce che

- questo modo andrà a.d aumentare anche la banda del segna e M, senza però influenIzareil valore della potenza media, che è comunque pari a Al 20Aumentando V le componenti spettrali vicino a a requenza portante decrescono m amoiezza e cominri:mo a comparire componenti sempre più lontane. ma il vaIOl:~della..potp.D7.a...rimane..gl.oba.1mente"ìnvarlato (per maggiori dettagli si consulti l'Esempio 5-2). Questo comportamento è

~c J

11J'

o

uello che si riscontra con la se nalazione AM, dove il livello

~ se n e alterarne modulan e m uenza direttamente la b , ~ mmamente a n ao

otenza del se nale modula~~~

I

,

Analogamente, la devia~one d! fase di picco 1]11<1 essere definita come dO = max(O(t)] -' ='

(5-45)

318

Capitolo 5

- Modulazioni

analogiche e digitali

che per la PM è legata al valore di picco del segnale modulante da f18.= Dp!J>

(5-46)

dove Vp = max(m(t)]. DEFINIZIONE.

5

L'indice di modu/mione

di fase è

~-= f18

(5-47)

f3

dove !1fJè la deviazione di fase di oicco

J

L'indice di modulazione di frequenza è invece dato da f1F tf3f

=B

\

(5-48)

dove f1Fè la deviazione di frequenza di picco e B è la banda d dulante, che nel caso l segna e mo u ante smusoidale corrisponde alla frequenza della si-

nusoide6fm' ~odulazioni PM e FM con se!!:nalemodulante sinllsoiclale viazione di frequenza di oicco. hanno Bn u!!:ualea Br.

e aventi 13 st~c;:~~98

Spettro dei segnali modulati d' angolo Non diversamentedalle altremodulazioni,lo spettrodi un segnalemodulatod'angolo si ottienedalla (4-12): S(f) = HG(f - Ic) + G*(-f - fc)]

(5-49)

dove

(5-50) II calcolo dello spettro dei se!!:naliAM DSB-SC. e SSB (chiamte modulazioni lineari) è stato particolarmente semplice, nel senso ch .ste una sem lice relazio . Per l segna l modulati d'angolo, viceversa, 8(r) è una funzione non lineare di aM

~zìOi1e'G(f) e pertanto [lon si può ottenere una formula semplice e generale che mette in relaa M( i). Nel valutare lo spettro di un segnale modulato d'angolo, si deve svi-

' luppare la (5-50) in base al Particolare tipo di segnale. Inoltre, a causa del fatto Ch~ è una funzione non lineare di m(t), non vale il princi io di .. de li effetti, e qUindi lo spettro FM relativo allaue se nali modulanti non è la somma dei singo l spettri. ~I ~mpio semplice di calcolo dello spettro di un segnale modulato d'angolo è fornito dall'Esempio 2-18 del Capitolo 2. In questo caso, il segnale modulante in fase è un'onda quadra con deviazione di fase picco-picco di 180°, quindi lo spettro è facilmente calcolabile poiché il segnale PM si riduce a un segnale DSB-SC. In generale, però, il .

5 Per le modulazioni

digitali è utilizzata molto spesso una definizione alternativa di indice di modula= 2fj.8/ 1T,dove 2fj.8 è la massima decorrispondente all'intervallo di trasmissione di un simbolo, Ts. [Si veda la (5-82)].

zione. Questa grandezza è indicata con il simbolo Il ed è definita come Il viazione di fase picco-picco

6 A rigore, questa definizione è valida solo per segnali modulanti sinusoidali. Essa è comunque usata anche per gli altri tipi di segnale, dove la banda B è una opportuna misura di banda del segnale (assoluta o di altro tipo).

5-6

Modulazioni

di fase e di frequenza

319

calcolo della (5-50) non è agevole, e spesso si utilizzano tecniche di calcolo numerico per approssimare l'integrale di Fourier (5-50). Vediamo ora il caso di un segnale modulante sinusoidale.

Esempio 5-2 SPEITRO DI UN SEGNALEPM O FM CON MODULAZIONE

SINUSOIDALE

Cominciamo con la PM con modulante sinusoidale: (5-51) Allora

= [3 sin

8(t)

(5-52)

UJmt

dove [3p = DpAm = [3 è l'indice di modulazione di fase. Otterremmo la stessa funzione 8( t) per una FM con segnale modulante

= Am

mf(t)

(5-53)

cos UJmt

se ponessimo [3 = [3J = DJAm/wm. In questo caso, la deviazione di frequenza di picco sarebbe M'

= DJAm/27T.

L'inviluppo complesso del segnale modulato è (5-54) che è periodico di periodo Tm = l/fm' Di conseguenza, si può espandere g(t) in serie di Fourier: n=oo

g(t)

I

=

(5-55)

n =-00

dove (5-56) che si riduce a (5-57) Questo integrale, noto come funzione di Bessel del primo tipo di ordine Jn([3), non può essere espresso in forma chiusa, ma deve essere valutato numericamente. Alcuni valori di Jn([3) sono riportati in Tabella 5-1; maggiore precisione si può ottenere consultando Abramovitz a Stegun [1964] o usando MATLAB. Con la (5-57) si dimostra facilmente con un cambio di variabile che J-n([3)

(5-58)

= (_1)n Jn([3)

Il grafico delle funzioni di Bessel per vari valori di n è mostrato nella Figura 5-10. Applicando la TF alla (5-55), si ottiene n=oo

G(f) =

I

11=-00

Cn

8(f

-

nfm)

(5-59) (Continua)

W N O

n l»

"O

gO O01

.-aì

I

o p.

TABELLA5-1 VALORIDELLEFUNZIONI DI BESSEL/,,({3)

:

0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

lO

SI» N

o'

2.

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 lO Il 12 13 14 15 16

0.9385 0.2423 0.03060 0.002564

"'"

0.7652 0.4401 0.1149 0.01956 0.002477

-0.2601 -0.3971 -0.1776 0.1506 0.3001 0.1717 0.2239 -0.3276 -0.2767 -0.004683 0.2346 0.5767 0.3391 -0.06604 -0.1130 0.3528 0.4861 0.3641 0.04657 -0.2429 -0.3014 -0.1676 -0.2911 0.1289 0.3091 0.4302 0.3648 0.1148 0.03400 0.1320 0.2811 0.3576 0.1578 -0.1054 0.3912 0.1321 0.2611 0.3621 0.3479 0.1858 0.007040 0.04303 0.3392 0.3376 0.001202 0.01139 0.04909 0.1310 0.2458 0.002547 0.01518 0.05338 0.1296 0.2336 0.3206 0.004029 0.01841 0.05653 0.1280 0.2235 0.005520 0.02117 0.05892 0.1263 0.006964 0.06077 0.001468 0.02354 0.002048 0.008335 0.02560 0.002656 0.009624 0.003275 0.001019

-0.09033 0.2453 0.1448 -0.1809 -0.2655 -0.05504 0.2043 0.3275 0.3051 0.2149 0.1247 0.06222 0.02739 0.01083 0.003895 0.001286

-0.2459 0.04347 0.2546 0.05838 -0.2196 -0.2341 -0.01446 0.2167 0.3179 0.2919 0.2075 0.1231 0.06337 0.02897 0.01196 0.004508 0.001567

l» =' l»

O-

I)Q

g: ro ro p. 03: .....

5-6

t

Modulazioni

di fase e di frequenza

321

1.0

l" (f3) 0.8 li (f3) 0.6

/

12(f3) h (f3)14(f3) 15(f3) 16(f3)

004

0.2

o

-0.2

-004 O

2

4

6

8

lO f3-

Figura 5-10

Funzioni di Bessel per n

= 0-6.

e cioè (5-60) per cui si può ricavare dalla (5-49) la TF del segnale modulato d'angolo con segnale modulante sinusoidale. Il modulo di tale spettro per f > O è riportato in Figura 5-11 per i valori {3= 0.2, 1.0, 2.0, 5.0 e 8.0. La componente alla frequenza portante è proporzionale a IJo({3)I; e conseguentemente, il livello della portante dipende dall'indice di modulazione. In particolare, {3= 2.40, 5.52 e così via (Tab. 5-2) tale componente si annulla.

Dalla Figura 5-11 si nota che ~ banda eli ~ ~p~]p ]1"rI"l~ rI'nRP-olo di12ende da {3e da/m. Infatti, si può dimostrare che il 98% della potenz::Itnt,,]pp "ontp,u']taR...lh\]avda

t

R6-GOLA

-

BT =

-~

2({3 + 1)B

(5-61)

ove {3è l'indice di modulazione di fase o quello diJr~uJWba._e_R è.Ja banda dI'I St';gWlle modulante (che è parraj;nP~r~~gnali sinusoidali.)7 Questa formula, chiamata reeola di fornisce un'indicazIOne di massima per valutare la banda di un segnale PM o FM CAfèso1J"Carson, ~

Dr

7 Per il caso FM (ma non PM) con 2 < B <

lO, la rerol3..di Car$an..(5.:6l)Jornisç~

una sottostima del-

la banda. un'approssimazione migliore""è'B;" = 2(/3 + 2)B. Se poi il segnale modulante contiene delle di scontinuità, c~e l'onda quadra, entrambe le formule sono assai poco accurate, e BT dovrebbe essere valutato caso per caso. Comunque, per evitare confusione nel calcolo di BT, si adotterà la (5-61) in tutti i casi considerati.

322

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali TABELLA5-2 ZERI DELLEFUNZIONI DI BESSEL:VALORIDI (3QUANDO !n({3)= O Ordine della funzionedi Bessel,n 1

2

3

4

5

6

3.83 7.02 10.17 13.32 16.47 19.61 22.76 25.90

5.14 8.42 Il.62 14.80 17.96 21.12 24.27 27.42

6.38 9.76 13.02 16.22 19.41 22.58 25.75 28.91

7.59 11.06 14.37 17.62 20.83 24.02 27.20 30.37

8.77 12.34 15.70 18.98 22.21 25.43 28.63 31.81

9.93 13.59 17.00 20.32 23.59 26.82 30.03 33.23

O {3per il primo zero {3per il secondo zero {3per il terzo zero {3per il quarto zero {3per il quinto zero {3per il sesto zero {3per il settimo zero {3per l'ottavo zero

2.40 5.52 8.65 11.79 14.93 18.07 21.21 24.35

anche non sinusoidale. I valori di BT indicati per i vari {3nella Figura 5-11 sono quelli ricavati in questa maniera. Il calcolo della banda secondo altre defmizioni, ad esempio la banda a 3 dB, può essere molto complicato, a meno di utilizzare un computer per approssimare lo spettro numericamente. Poiché lo spettro di un segnale modulato d'angolo è difficile da calcolare, ogni approssimazione risulta utile. Nel paragrafo seguente discuteremo le modulazioni ~ b~da stretta e a banda larga (corrispondenti a indice di modulazione rispettivamente piccolo o grande), per le quali il calcolo dello spettro è semplificato.

Modulazione

a banda stretta

Quando 8 (t) assume valori piccoli, diciamo 18 (t) I < 0.2, possiamo sviluppare l'inviluppo complesso g(t)

= Ac

e j8 in serie di Taylor

arrestata

al primo

ordine.

Così, dato

che e x = 1 + x per Ixl ~ 1, si ha g(t) Utilizzando questa approssimazione ~ato

+ j8(t)]

nella (4-9) o nella (5-1), si ricava l'espressione

d' an~a1() n,~nda s(t)

= Ac[1

(5-62) per il

stretta:

= Ac cos '

wct - Ac8(t) sen wct ,---' , portante b.!!l)delate~

(5-63)

...

Si vede che il segnale modulato d'angolo a banda stretta,,£onsistedi due termini' nna coW,.: ponente discreta legata alla nortante-1.ch~Q9n dipende dal segnale modulante). e un termme legato alle bande laterali. Questo segnale è molto simi g' eren e il te . aterali è in uadratura con la o La modulazione a banda stretta si uò e . 0-UAmnltiplicatore, come indicato in Fig'lra 5 12a, relativa alla modulazione di frequenza (NBFM, -Narrow Band Fremtanr,r.M.Mlulntinn).Un segna~modulato in frequenza a banda larga (WBFM, Wide Band FrecfUenryMnrhdatiO}j)si ott~e da un segnale NBFM attraverso un moltiplirMore di freEll:le8Zae 1:18limitatgrp pP.J;. tagl.i.el:ela mndI1l~7ione..di..aml2iezza (Fig. 5-l2b), che è pari. a VI + 82(t) _.come conseguenza dp.I1'~pprn~~ima7ione(5-62).

5-6

Modulazioni

di fase e di frequenza

------------. 1.0

!-

O (a) {3=0.2

------------

1.0

!-

O (b) {3 = 1.0 ------------

1.0

O

!-

fc BT

(c) {3 = 2.0 ------------

1.0

O

!-

!e BT

(d) {3 =

5.0 ------------

1.0

O (e) {3 = 8.0

Figura 5-11

j

!-

Spettri di ampiezza di segnali FM e PM con segnale modulante sinusoidale per vari indici di modulazione.

323

324

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali m(t)

Integratore

con

guada?no

= Df

Segnale NBFM di uscita

119(t )

+

Rotazione

Oscillatore (frequenza = Ic)

di fase di -900

(a) Generazione di un segnale WBFM da un segnale NBFM

SegnaI NBFM Il di i dalla parte (a) della figura

Moltiplicatore di frequenza

Limitatore

di frequenza ..I Moltiplicatore

I

WBFM Segnai: di uscita

(b) Generazione di un segnale NBFM da un segnale WBFM

Figura 5.12

Metodo indiretto per generare segnali FM a banda stretta (NBFM) (metodo di Arrnstrong).

Questo metodo di generazione del !:"g~aleWHmA p chiamato metodo di Armstrong o indiretto-Per le (5-62) e (5-49), lo spettro per un segnale modulato d'angolo a banda stretta è A

S(f)

= ~2

([8(f

- Ic) + 8(f

+ Ic)] + j[S(f

- Ic) - S(f

+ Ic)]} (5-64)

dove DpM (f),

S(f) = ~[O(t)] = ( ~ M(f), j21TI

Modulazione

di frequenza

a banda

f

per segnaliFM

11

(5-65)

per segnali FM

~

4("

~~

~ JI1\..

larga

Il metodo diretto per generare un segnale modulato in frequenza a banda larga è quello di usare un oscillatore controllato in tenslO~..lYJ~..()-.o.If.£!1E8..e_£o_ntrolled Qsci!l!!!°rL~e illustrato in Figura 5-13. Per un VCO, la caI>acitàdi fornire elevata deviazione di frequenza M è in ccmtfitti:!ron j; pm~ibilit"-fÙ~tt.ener~uri:.élGWt.abik stabilità della... fre-

~nza d~l VCO ~-~~.. ì\tlso~jLffrequenza e necessano per diminuire l'indice di mos1yJaziQDu~J~i!le.J:YBEM e,a.v.PtRJ~JUegnale a banda.~;,e!!a {~onIl-:::.0.2),- in questo modo è @curame-ntPprf'!:enteuna compo-

que.nza portant~ lo ed ètr~l!llte qui.ndiun~rcUltò1>t~. neC~!S~iO"~~~~e'_ 5-1. o~<:lllatore stabtleIcal=quarzo

.

.

5-6

Modulazioni

di fase e di frequenza

325

m(t) Segnale modulante in ingresso

Oscillatore al quarzo losc

LPF

= le IN Divisore di frequenza 7N

-

VCO

Segnale . WBFM

diuscita Figura 5-13

Metodo diretto per la generazione di un segnale WBFM.

nente alla frequenza le/N che uò essere "a anciata"dal circuito PLL [si vedano la Fi . 5-11a e e ]. Il segnale di controllo dell'anello mantiene il ve sulla frequenza desiderata a meno della tolleranza nella stabilità d~~llffi) quarzo. -La DSP di un sesmaleWBFM RUÒessere approssimata utilizzando la densità di probabilità del segnale modulante. Per gIUstificare intuitivamente quest'affermazione, osserviamo che la frequenza istantanea del segnale FM varia in maniera roporzionale al segnale modulante. Pertanto, se il segnale assume con a ta (bassa) probabilità una certa ampiezza, la frequenza istantanea assumerà con alta (bassa) probabilità il valore corrispondente, e lo spettro avrà per tale valore di frequenza un picco (un avvallamento). Il ragionamento si basa su un'ipotesi di lavoro chiamata a rossimazione uasi-statica che è ben documentata in Rowe [1965]. Per riassumere, si en e eorema. '!EOREMA: La DSP di un se/male WBFM del tipo

-

s(t) = Ae cos [ wet + DJ f3J =

DJ max [m (t ) ]

21TB

f~

m(O") dO"]

> l

dove B è la banda di m(t), è approssimata da 1TA~

~(f)

21T

21T

= 2D; [ 1m( DJ (f - le) ) + 1m( DJ (-I - le) )]

(5-66)

dove Im(') è la densità di probabilità del segnale modulante8. Dimostriamo questo teorema nell'Esercizio 6-52.

8 Si consulti l'Appendice B per la definizione di densità di probabilità e per i relativi esempi. Non si confonda la densità di probabilità del segnale modulante Im(') con la variabile frequenza I.

326 Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali Esempio 5-3 SPETIRO DI UN SEGNALE WBFM CON SEGNALE MODULANTE TRIANGOLARE Cerchiamo di valutare lo spettro di un segnale WBFM con segnale modulante triangolare (Fig. 5-14a). Supponendo che il segnale modulante sia una funzione campione di un processo ergodico (Par. 6-1), è relativamente semplice ricavarne la densità di probabilità, e si ottiene il risultato illustrato in Figura 5-14b, cioè la densità uniforme se 1mI < Vp

(5-67)

altrimenti dove Vp è il valore di picco del segnale triangolare. Sostituendo questa equazione nella (5-66) si ha se ~: (f altrimenti I

- le)

I

< Vp ]

------

(-,

m-

-----------

(a) Segnale modulante triangolare

(b) Densità di probabilità di una modulazione

triangolare

C/J>(f) A;'

8M ----------

----------

I

-te -

M

-te

-te

te-M

+M

te

te

o

f-

(c) Densità spettrale di potenza di un segnale WBFM con modulazione triangolare, M = DfVp/27T

Figura 5-14 Spettro approssimato di un segnale WBFM con modulazione triangolare.

5-6

Modulazioni

327

di fase e di frequenza

La DSP del segnale WBFM è dunque A2
8fj.~'

I O,

(Je - fj.F) < I < (Je+ fj.F)

altrove

A2

+

]

(-le - fj.F) < I < (-le + fj.F)

8fj.~'

I O,

altrove

(5-68)

]

dove la deviazione di frequenza di picco è M

=

DfVp 211'

(5-69)

Questa DSP è illustrata in Figura 5-14c. È chiaro che il risultato è soltanto un'approssimazione. Infatti, il segnale modulante è periodico con periodo Tm,quindi lo spettro del segnale FM è in realtà a righe con funzioni delta di Dirac spaziate di 1m = IjTm l'una dall'altra (in analogia con quello calcolato per segnale modulante sinusoidale). Questa approssimazione fornisce quindi una sorta di inviluppo delle righe dello spettro discreto.

Nell'esempio con segnale modulante sinusoidale, si può calcolare esattamente l'espressione della DSP: essa ha componenti discrete con area [Acl n(,B)F /2 alle frequenze I = le + nlm(Fig. 5-11.) Per elevati indici di modulazione, l'inviluppo di questo spettro coincide proprio con la densità di probabilità di un segnale sinusoidale ergodico ricavata nell' Appendice B, e in accordo con l'Esempio 5-3. Anche lo spettro dei segnali digitali FM a banda larga può essere :wpm~~imatocon la (5-66). Ad esempio, la densità di probabilità del segnale modulante, m(t), di un segnale dati con impulsi rettangolari consiste in funzioni delta in corrispondenza dei valori delle possibili ampiezze. Pertanto, la DSP di un segnale cli~it:'llf'EM :'Ih:'lnclalarga è approssimato da funzioni delta, come illustrato in Fivma "i-IS per. huno..dulaùone FSK a larga banda. .In conclusione, le princiPal~ei guentI.

-----

~

-J)

segnali modulati d'angolo sono le se-

0Un

segnale modulato d'angolo è una funzione non lineare del segnale modulante, pertanto la banda del...s.e~llmenta con l'indice çli modulazion~

()

Il livello della componente in corrispondenza della frequenza portante cambia in funzione dell'indice di modulazione, e può anche essere nullo.

0La

banda di un segnalemodulatod'angolo a bandastrett ,. io della banda del segna e mo u an e, qum l e a stessa di quella di un segnale AM.

t> (:)L~piezza dell'inviluppo di un segnale modulato d'angolo è co§tante,RCt) e non di~!).de_daLfurella..deLs~Qale modulante.

= Ae,

Preenfasi e deenfasi per i segnali modulati d' angolo Come vedremo in maggior dettaglio nel Capitolo 7, il rapporto segn:'lle-J:I1morf' :'IlI'm:cita del ricevitore per i segnali modulati d'ammlo può p<:<:pr miglior:'lto <:pil livdlo del seg1,1ale modulante al trasmettitore è incrementato per le componenti ad alta frequenze post.:.-al"

328

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

tl\

m(t) Ts

H

m

l Area =2"

l

Area

=2"

f(b) Densità di probabilità di una modulazione

(a) Segnale modulante rettangolare (simboli l e O equiprobabili)

digitale

'lP(f) A2 -.:...

=

Area

~ -le - M

I

I

-le

-le + M

le - M

.L le

le+ M

O (c) Densità spettrale di potenza di un segnale FSK binario con modulazione

Figura 5-15

binaria, t::..F= DfVp/27T

Spettro approssimato di un segnale FSK binario a larga banda.

l'estremitiì~t>lIa bagr!" {m'ppnfMfJ.., e attenuato corrispondentemente all'uscita del ric~vitore (deenfasi); con ciò si garantisce una risposta in am iezza iatta, migliorando come già detto il rapporto segnale-rumore all'uscita del ricevitore. Nella rete di preen aSI per CIiodiffuslOne commercIale FM, la frequenza h (Fig. 5-16) è scelta in modo che sia maggiore della banda del segnale modulante (ad esempio, 25 kHz per applicazioni audio), mentre la costante TI è di solito fissata a 50 JLS(75 JLSnegli Stati Uniti), in modo che !t

= 3.18 kHz. Nella diffusione FM con una preenfasi di 50 JLSil segnale trasmesso è FM per frequenze inferiori a 3.18 kHz, ma per frequenze superiori è m~a!.£lPJaJe.J-~aj.oche il circuito di preenfasi agisce come derivatore er le fre uenze tra e fz. In questo ma o, con reen ., . 'nazion . kQmb.ina . i vantaggI nel nguar I e rumore dI entrambe l ma ulazioni. a1coleremo ne apitolo 7 I mig lOramentonel rapporto segnale-rumore all'uscita del ricevitore. 5-7 MULTIPLAZIONE A SUDDIVISIONE DI FREQUENZA E FM STEREO La multiplazione a suddivisione di frequenza (FDM. Frequencv Division Mult(nln;n.g) è una ,-- tecnica per trasmettere contemporaQ~ilmentevari segnali (canali) su di un unico ca,

l

5-7

Multiplazione

a suddivisione

Segnale demodulato di uscita Ricevitore modulato d'angolo

Segnale modulante

di ingresso r I I

: : I L

Trasmettitore modulato d'angolo

Filtro di.

mf(t)

Trasmettitore

I I I I

FM

I

preenfasl

:

Hp(f)

329

di frequenza e FM stereo

Canale

i---:::v~:~

F~I:~:---j

FM

deenfaSl Hd(f)

I I I L

I

J

I I I I

I

J

(a) Schema a blocchi complessivo

c

/ log(f)

-

Hp(f) = K 1 + j(f 1ft) (b) Filtro di preenfasi

(c) Diagramma di Bode della risposta in frequenza del filtro di preenfasi loglH d(f)1

RI

o

t

W'v

I

o

o

o log(f)

(d) Filtro di deenfasi

-

(e) Diagramma di Bode del filtro di deenfasi

Figura

5-16

Sistemi modulati d'angolo con preenfasi e deenfasi.

naIe a banda larga. Come prima cosa i segnali cosiddetti "tributari" vengono modulati su ~e "sottoportanh" di frequenze QI2IWrtllMe,..e-ii1-\;eguitn ~ngono sommati per formare il segnale composito FOM (~egl1alemultiplex) in QaDd~base. Gli spettri dei segnalr~~ lati non devono SOy.tapporSi.-21iiliùenti..in.'R6ez,ion~.s;;;Fà~diafòllia.(c(Q.WElk2 !!.ai segnali..H segnale composito FDM così ottenuto vipnp poi mnrlnlato alla vera frequenza portante, come mostrato in Figura 5-17, utilizzando un trasmettitore AM, DSB, SSB, o l'M, e trasmesso sul canale.

-

330

Capitolo 5

- Modulazioni

analogiche e digitali SSCI(1)

Modulatore della

m2(1)

sottoportante

fsc I

SSC2(1)

Modulatore della sottoportante fSC2

Trasmettitore

\

I I

s(t)

= FDM

fe

Segnale modulante in banda base complessivo

Modulatore della sottoportante fSCN (a) Trasmettitore

IMb(f)1

\nlnn

Q

-fsCI

O

I

fscl

I

fSC2

I

BSCI

I

I

BSC2

f-

fSCN BSCN

I

B (b) Spettro del segnale complessivo

Segnale complessivo in banda base s(t)

Ricevitore principale

in banda base

Filtro passa-banda,

fscl

Filtro passa-banda, fSC2

Filtro

passa-banda,

fSCN

.

I

.

I

I sSCI(I)

Demodulatore, fscl

I ssczCl) Demodulatore, fSC2

.

Demodulatore, I SSCN(t)

fSCN

...

)

I

(c) Ricevitore

Figura 5-17

Sistema FDM.

TIsegnale ricevuto viene demodulato per recuperare il segnale composito FDM in banda base, che viene pOIfatto passare attraverso dei filtri J?assa-oandacentrati sulle variesottop_ortantl'pei s~arare (deIJ1Ultiplare.). i yari tributari modulatLQuesti ultimlvengo-=noinfme..demodulati e cioè riportati inbanda-base per riprodwre..Lsegnali..1nJ(t),W2(t), e..così via. Il sistema di radiodiffusione FM stereofonico (brevemente, stereo) nella gamma di frequenze 88-108 MHz (VHF) è un tipico esempio di sistema FDM. Per prima cosa, esso deve essere anche compatibile con il preesistente sistema FM monoaurale (brevemente,

5-9

Modulazioni digitali binarie

331

mono): un ascoltatore con un ricevitore FM mono potrà ascoltare il programma mono dato dalla somma del canale sinistro e di quello destro, mentre un ascoltatore con un ricevitore stereo riceverà il canale audio sinistro sull'altoparlante sinistro e così per il canale destro. Per garantire questa compatibilità, a partire dai segnali D e S (destro e sinistro), entrambi con banda audio di 50-15 000 Hz, si costruiscono i due segnali S e D, come indicato nella Figura 5-18a: il primo è dato dalla somma dei canali destro e sinistro, e costituisce di fatto il segnale mono, mentre il secondo è dato dalla differenza dei due e permette di ricostruire il segnale stereo. In particolare, il segnale D viene multiplato con il segnale S in banda base modulando DSB-SC una sottoportante a 38 kHz DSB-SC. Inoltre, un tono pilota a 19 kHz ottenuto dalla divisione di frequenza per 2 della sottoportante viene sommato al segnale composito e rappresenta il riferimento in ricezione per la demodulazione sincrona (previa moltiplicazione di frequenza). Lo spettro del segnale multiplex stereo è rappresentato nella Figura 5-18b, mentre lo schema del ricevitore stereo (mono-compatibile) è illustrato nella Figura 5-18c, e dovrebbe essere autoesplicativo sulla base di quanto detto finora. L'indice di modulazione è poi 13[=5 per il segnale monofonico (corrispondente a una banda di :I:75 kHz attorno alla portante secondo la regola di Carson). Nell'Esercizio 5-44 dimostreremo che si può utilizzare una semplice tecnica di campionamento per realizzare il demodulatore e separare i segnali del canale sinistro e destro in un'unica operazione. Le stazioni FM possono anche trasmettere informazioni aggiuntive come per esempio il nome della stazione, il titolo dei programmi, il nome degli artisti ecc., attraverso il sistema RDS (Radio Data System) che prevede un'ulteriore sottoportante a 57 kHz modulata con tecnica DBPSK (DSB-SC) a una velocità pari a circa 1200 bit/s (19 000/16 = 1187.5

H t\ '2:

bit/s) su di una ulteriore sottoportante a 57 kHz.

5-8 STANDARD TECNICI PER LA DIFFUSIONEFM . b , . . .h R l l '

it13T/5~108 ~ ,

'

' FM' In 1;ov \<1\+lassumIamo revemente e pnnclpa I norme tecmc e per l.1 a rad IOd Iff USlOne "Q.da VHF. In Italia, i canali radiofonici FM coprono la ban~a~7,?-108 MI!:z:_consp~ia.!U-

~ra di 200 kHz. La massima deviazione frequenziale permessa per trasmissione monoè di :1:75kHz, corrispondente a un indice nominale di modulazione 13= 5 alla frequenza massima di!m = 15 kHz. La banda nominale del segnale, secondo la regola di Carson (5-61),

è 180 kHz, compatibile con la spaziatura dei canali. Per trasmissioni stereo, la banda del segnale cresce fino a 53 kHz nominali (si veda la Fig. 5-18b) quindi la profondità di modulazione deve essere ridotta per non eccedere la canalizzazione. Come vedremo, questa riduzione influenza (in negativo) le prestazioni del ricevitore in presenza di rumore di canale. Le norme tecniche per la realizzazione dei trasmettitori sono in Europa dettate dalla ITU-R (ex-CCIR) attraverso la EBU (European Broadcasting Union), mentre l'assegnazione delle frequenze è gestita a livello nazionale in ottemperanza con i dettami della conferenza mondiale WRC dall' Autorità del Garante per le Telecomunicazioni

5-9 MODULAZIONI DIçITAT.T RTNAEIE Un segnale digitale modulato si DUÒottenere semplir.emente :lttT:lVPTSnmodulazione AM,

PM, FM, o QM come in,Dbella 4-1, purché il segnale modulante w( t) si.!!!!n~~~a':-

332

Capitolo 5

- Modulazioni

analogiche e digitali

Canale audio di sinistra

mdt)

mL(t) + mR(t) = uscita audio del sistema mono Canale audio di destra mR(t)

Modulatore DSB-SC della sottoportante fsc= 38 kHz

(a) Trasmettitore FM stereo

Spettro del segnale DSB di uscita

/ o

15 19 kHz kHz

(b) Spettro del segnale composito

38 kHz

f-

in banda base Uscita

Filtro audio passa-basso (amplificatore) daOal5kHz Filtro in banda passante da 23 a 53 kHz

I I I J

centratosu fsc =38 kHz Rivelatore sincrono

I Anello ad aggancio: di fase

I I I I

L____------

(c) Ricevitore FM stereo

Figura

5.18

FM Segnale FM stereo.

sistema

mono

5-9

Modulazioni digitali binarie

333

ti in banda base secondo uno dei vari codici di linea binari o multilivello sviluppati nel CapItolo 3. In questo paragrafo, ci concentreremo sII' """llIpl1rìsegnaii modulati binIDi sciando ai Paragrafi rispettivamente 5-10 e 5-11 lo studio dei segnali multiliveJlQ Le tecniche più comuni di modulazione digitale binaria sono illustrare ih l'Igura 5-19, e sono le seguenti: ~

Modulazione OOK (On...OffKpving), anche chi.amataASK

.

consistenel modulare~~~ff(acceso-~a..lill.rtantè

slnusoida-

le sucomando di un segnale binario unipolare. La OOK è di f;ltto.u.o.amodulazio-. De-J)S~:.5ç con segnale modulante binario unipolare [si veda la (5-13)]. La tecnica OOK ~ universalmente imp~ta nei sistemi di trasmissione su fibra ottica.

-- -

.

- - --.

- '..

DATI BINARI

o

(a) Modulazione unipolare

m(t)

(b) Modulazione

m(t)

O

O

t-

obf~ s(t) (i)(C) SegnaleOOK

(2)

(d)SegnaleBPSK s(t) tfV 'E?}( .-e

ON~~~.g-.S

fY In

f CCS~1Jo

(iJv Q..

~

I{ f,lcQ

A\ÀL~ATh

C

(e) Segn~ FSK

s(t)

(f) Segnale DSB-SC ottenuto

s( t)

rv+-71

prefiltrando

ilsegnale digitale in banda base Figura 5-19 Segnali passa-banda con modulazione digitale.

t-

t-

----.

334

Capitolo 5

D

V:£J

- Modulazioni

analogiche e digitali

0 Modulazione

ase h' '-. onsiste nell'intrQ<:LIJrre.Jl!!O-.sf' samento di 00 o I ne a ase della portante in base al valore di un seg"nale modulante binario Ilnipolare. La ~odulazione Br~K ~ ,pertanto una modulazione

ed è anche eauivalente a signifIca una DSB-Sç",f°q,!!n ~e~ale binaQ2ilfiinola~. ~ale, a ti, sfflsare la portante di 1800 sempiicemente cambiame segno durante tutto un intervallo di segnalazione.

é!)ModulazioneF

Q)

requencyShift Keyin ): consistenel modificar,

della portante su a ase del sel!Qaledati binario. p~r ~sempio utiliz.z:andoellIf~eliversI valori corrispondenti ai simboli binari l e O.È eleltutto ~Quivalentea una modulazione FM.

Come abbiamo visto I}elParagrafo 3-6, la banda di un segnale modulato deve essere la minima possibile per ottenere elevata efficienz ettrale. .QJJesta...condiziane...sLp.Ilò reah~e per o meno nelle modulazioni O~SK) sagomando gli impulsi diJ:rasmissione con un filtro a coseno riil17ato.huvoelo anche...da.Jiusçire..&o.ntemporan~a..m~nte a non introdurre 1St lLsegnille in banda ~se così otte!l~.2E.2~la la...ponante.§.e£ond~UM ~e.!:1~c~he ap.I?eT,@_de_scri,!!e. La Figu~.2[ U!!Is!.rau'Les~ml2io di segnale BPSK in banda passante con..prefiltro,.che dLfatta.è.un.segnaIe..DSB,,£C.con..modulaziane.digitale e~o sagomatore.

Modulazione

OOK (On Off Ke1/i1J.g)

Il segnaleOOK è delJipo ~(t)

= Acm(t) -

cos wcf.-J

(5-70)

dove m(t) è il segnale digitale in hilnelilha~p eli Fig,Jlra5-19a. Conseguentemente, l'inviIUppo complesso è semplicemente

-

~Acm(t) per OOIL] (5-71) e la DSP dell'inviluppo complesso [si veda la (3-39b)] è .§.emplicementeproporzionale a . quella r- del segnale in bandà base met) -- e cioè

-

-

-" -

(per OOK)

(5-72)

dove m(t) ha valore di picco pari a A = 2 in m _che-s(t)-abbia.poten.za.no~izza.' -per I corrispondente segnale OOK.,èqp!.l!di ottenuta sostituendo la_(5-7.2)n~lla (5-2b). Lo s~orisultante è mostrato per le sol~Jrequevze positive in FE' gura 5-20a, dove R = 11Th è la vellJci.tà..Qj.,informazione. La banda nullo-nullo~ Br = 2R, mentre la banda assolu@è Br = 00. La banda di trasmissione per una segnala-

ta

\ Il

Il zione OOKè

valutablle quindi in BT ~ 2E, ed è pari al doppio della banda B del segna-

'~,llle~odulante (la 001{ è essenz~ U9~~ Per contenerela bandadi trasmissione,si utIlizzaspessoun filtraggioa cosenorialzato. In.,guestocaso la ban~a_~s9!uta..dets~gM~'6ìnl!Ìi.2J!!.§n~.l>~e2!P~nde,~ base ~74),

dalla velOcità di segnalJlZioneR

B

= Rb e~ è

= !(I + r)R

(5-73)

5-9

Modulazioni

digitali binarie

335

A2 e Area =8

A/ 8R

fe -2R

sin (7T(f- fe)/R

(

-

7T(f fe)/R

fe

2

) f-

fe +2R

2R (a)OOK

A/ 8R

fc-2R

fc

sin (7T(f- fe)/R

(

7T(f-

fe)/R

2

)

fc+2R

2R (b) BPSK (si veda la Fig. 5-15 per un grafico più dettagliato dello spettro)

Figura 5-20

Densità spettrale di potenza dei segnali digitali in banda passante (per valori positivi della frequenza).

do~ r è il fattore di rolloff del filtro. La banda assoluta del segnale OOK con sagomatu[a ~£~no rialzato è quindi (5-74) BT = (1 + r)R Il se naIe OOK in u uò essere rivelato attraverso un rivelatore d'invilu o emodulazione non.-eoel$nte) oppure utilizzando uv' . e coeret)~~2._Quandoil ~na]e ~F in ingressò al riçl"vitQ~ ~ "\1QltnÒP,bn]e.si utilizza l rIcevitore snpl"TPtl"mdinadi Fi!!ura 4-2~, con uno dei rivelatori di cui sopra all'uscita dello stadio IF (Figg. 5-21a e 5-21b). Il rivelatore sincrono richiede un riferimento di portante COS(wct), che può essere ricavato con un circuito PLL (studiato nel Par. 4-14); esso mfatti è ~o di :lggmci"ni :111:1 mmpnnl"ntpsimu;gidale-presentPnel segnale OOK (Fig. 5-20a). Per una rivelazione ottima della OOK, e dunque per ottenere iLminimo tasso d'er:. rore (BER, Bit Errar Rate) quando al segnale è sommata una componente di rumore Gaus::. siano hi:ln~n ~AWl iN Aàd~e-Wfi~!+66f6H-l~-effl6), è necessario utilizzare il rivelatore moltiplicativo ~~~) seguito da un filtr~£ttllto. Questo schema è mostratom FÌgura 5-2Ic, dove sono illustratiYsegnalf n'èi'";raripunti del circuito nel caso particolare di ricezione di un segnale OOK conispondente alla "parola" dati binaria 1101. Maggiori dettagli sul funzionamento, sulle prestazioni e sulla realizzazione del filtro adattato

336

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali Uscita binaria

Segnale OOK di ingresso

(a) Rivelazione non coerente Uscita binaria

Segnale OOK di uscita

(b) Rivelazione

coerente tramite filtraggio passa-basso Filtro adattato

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -II

I II I

Segnale OOK I 'mgresso

d~ A

B I

Integratore

,

c ampIOnamenot

da O a Tb sec

I

Reset

e

C

tenuta

Comparatore

I I I

+

Uscita binari a

E

:-D

I

f COS(wcl) l--mtm_m--+--J

I

(dal PLL per il sincronismo di fase)

'I I

Andamento del segnale in C

Andamento del segnale in D

I V,

Clock (dal circuito per il sincronismo di bit) I I I I I I I

:

I

i

I I

I I I I I I I

H--i:=Et :

I

I

I

I

I

l! LD

Andamento del segnale in E

l Tb I_I I

I I

lVT

ll-

(c) Rivelazione coerente tramite filtraggio adattato

Figura 5-21

Rivelazione di segnali OOK.

si possono trovare nel Paragrafo 6-8. Per il funzionamento del filtro adattato occ°r!!: anche un segnale di tempOri77"7iolUI(g@gFlft1e 6~);:Ief-Ia-seariea-fr6B8t+-deIJ.:int.egra~ re ali'inizio il; 9gBi iBtervalle di bit, " 1'''1il1>uccé:3sivocù:cuito ti; mlill.teqimento(sample ~nd hold). Questo segnal~e:lj;clockè fornito dal circuitodi-sincronizzazione-di. bit stiidia::"to nel Capitolo 4. Il rivelatore ottimo QO~ della Figura 5-21c..tPiù comptesso c!ar~alizzare di quel-c lo non co~rente di Figura 5-21a.- Se però il rapporto segnale-rumore all'ingresso del rice~

5-9

Modulazioni digitali binarie

337

vitore non è particolarmente sfavorevole, il..rivelatore non coerente può essere la miJ:dio-

~ soluzione

tenendo conto sia del costo che delle Qrestazioni. L~ prestazioiJ.i .LI:1...!Lrmini di

BER sia del rivelatore ottimo, ~e~

çh~ £!i_CJl!.~I!.2 sl.!.b-otti~ non coerente verrann9

a!lal1zz~e in dett'!IDto JwJ .P$l,r~gra.f.Ql-i>"

Modulazione

BPSK (Binary Phase Shift Keying)

Il segnaleBPSKè dato da s(t)

= Ac cos[wct

+ Dpm(t)]\

(5-75a)

~ove m( t) è il segnale dati in banda lJase.~uppomamQ,..per...sem.p1icitiì ç;he m( t) abbia impulsi rettangOla~i e assnm:1 i v:11oritJ La modu azione a 'a è(spgnale u!1caso.polare), ar' '

. ne d'amoiezza :.~a -'~; ottiene infatti s(t) = Ac cos(Dpm(t)) cos Wct - Ac sin (Dpm(t)) sin Wct

(AMl. Svilupp~n~

~d.? c°!ltQ..£.hem(t) vale:!::1 e che le fu~~os(x) pari e dispari, si trova a

7f

e sin (x) sono rispettivamente

-

s(t) = \(Ac cos Dp) cos Wct, - ..(Ac sin Dp)m(t) sin wct'

(5-75b)

tennine di informazione

portante

Per le modulazioni digitali di angolo si definisce talvolta l'indice di modulazione h come (5-76) d.Qve21l()è la de~ia.~<2n~"~assi~apicc.?-eLcE2.lnradianti che si htLneIrintervallo di trasmissione di un simbolo, Ts TTs = Tb per modulazioni binarie),

-

Il ÌÌvello della p~rtante

d'

~

nena neria:dQJlf'i-di p.icco t\ A-=-.i2p-

~!a_~ndo m t -:!::.~ ~al~valore è piccolo, il termine relati~o alla,E°rt~te ha ampiez~a elevata, e"la potenza relativa della componente informativa è bassa. Per ottenere elevata efficienza e migliorare leprest~ioni d,~lricevit()r~èjn.vece Ql1P.Qrtupo ma.ssimiz,za~~ la-potenzi-al qii~t.:ul.!i!!2?~~e,~i deve cioè scegli~re ~f1 =.J2p.= 90° = JrJ'J..-

=

'che COrrIsponde a un indice di mQdula~ione _pari a h

--

diventa

~t) = -Acm(t~~n

J, In questo caso il ~gIl~~'i'~!&'

wct

il{

(5-77)

ed è quinili...e..qyiy~lente a una mod~}azi~neDSB. SC~on §.e~~alemodulante biJlolare.Qpesta è la forma usuale del segnale BPSK...çh~useremo di qUi in avanti. L'inviluppo compl~o di ques~gnale è

=

jAc~;::g(t)--"-"'J..a=:-

_~rJ3..~I}

(5-78)

e la corrispondente DSP, utilizzando la (3-41), è rg> (f) g

= A2 T, c

b

2

sin 7TfTb

(

7TfTb

)

(per BPSK)

(5-79)

che m(.L)..abhia..Y.al
nell'ipotesi

tro m banaa _bast1alla fry'ql,lf~,!1Z_a Portailte, ~çiQU.~.ti1\.1e.lldo la (5-79) nella (5-26). si ot-

r

338

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

tiene lo spettro illustrato nella Figura 'i-?Oh, clove ~i.può "erifip.:lre p.he1:1h:lncl:lnullonullo è pari a 2R, come per il segnale OOK.

/-

La rivelazione del segnale BPSK necessita di un demodulatore

sincrono, come in-

dicato nella Figura 5-22a. Poiché nella (5-77) non si ha alcuna componente freqllenziale discreta, un PLL non è,in gr:leloeli e~tr:lrre1"1:11 ~e~nale ricevuto il riferimento sinp.rill1O-di portante, a meno che assieme BPSK non si trasmetta una ortante il .~

nen o contoperò che il segnaleutile è di ti o DSB-SC si uò utilizzarel anellodi Co,§tas °.J~<2uadratore 1_. - peI;ricostmire 1:1 portaìiie-a,.p;rtife dal segnale

~

to nel agr - con una odir' aha eliffere zi~l~~t.itore e cons~glM
Modulazione

DPSK (Differential Phase Shift Keying)

Uscita binaria

Segnale BPSK di ingresso

(a) Rivelazione dei segnali BPSK (rivelazione coerente) Uscita binaria decodificata

Segnale DPSK di ingresso

(b) Rivelazione dei segnali DPSK (rivelazione parzialmente

Figura 5.22

coerente)

Rivelazione dei segnali BPSK e DPSK.

5-9

Modulazioni digitali binarie

339

on richiede il circuito di sin-

ta spesso al posto della BPSK c'Iom

Modulazione FSK (Frei:,uency Shift Keyin~) ~

Esistono due modi diversi di enerazione di un segnale FSK, e due corris ondenti es ress~~ni e segnale. Un primo ti o di e ottiene commutando l'uscita del trasmettitò"'Te tra due oscillatori con fre uenze diverse, come illustrato m i ura 5-23a. ln..questo mo o ISJ~ naIe di uscita resenta elle discontmUlta agli istanti di commutazione, e la ~odula,?ione Jisuitante~ chlarriatflFSK-a.fas, discontlnua, p.Q1Calie-It.t è in !!eIler~ d.i§£Q!!!Ì!!u.a ~gli il!lant\.çli...ç.ommJJill4iPI1~r Il segnale J.n°dulato è .

AC COS(lùlt + 81), per t nell'intervallo di tempo in cui è trasmesso il simbolo binario l

s(t)

= Ac

COS[lùct+ 8(t)]

=

Ac COS(lù2t+ fh,) pertnell'intervalloditempoin ., .. .. CUI e trasmesso Il simbolo bmano

(5-80) O

! dove fl è la frequenza di mark (simbolo binario 1).12 è la frequenza di space (sil1llill1Q..biaario. O), ~~e fh sono l~ fasi inizi1!lidei due oscHlii\torie la fase {discontinua) è ()=

..!.!...

Cùlt + 81 - Cùct,per t nell'intervallo di tempo in cui è trasmesso il simbolo binario l { lù].t+ fh. - Cùet,per t neli' intervallo di tempo in cui è trasmesso il simbolo binario O

Questo tipo di s~~lazi
.:,

Il seco~o

chiamato a fase continuq (CP-FSK,~Tontinuous

di

F~ ~t~

1

1 Commutatore

Oscillatore a frequenza = I l

: 1 1 1

,

1

elettronico:

Oscillatore a frequenza

~;::a

Phflse FSK'o p.ciP;q;I...1-

= 12

1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 I

Uscita FSK

Linea di controllo

Segnale dati binario di ingresso m(t) (a) Segnale FSK a fase discontinua

Modulatore di frequenza (frequenza portante = le)

Segnale dati binario di ingresso m(t)

(b) Segnale FSK a fase continua

Figura 5-23

Generazione del segnale FSK.

Uscita FSK

340

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

lo universalmente adottato: come si vede dalla figura, il segnale modulato si ottiene in-

qand~ ~s~!i~al~g~ti all'ingresso di un modulatore di fre9.uenza, otten~ndo s(t) = Ac cos[ UJct + DJ

f~ m(A) dA]

oppure (5-81a)

s(t) = Re{g(t)ejw,t} dove g(t)

= AcejlJ(t)

8(t)

= DJ

~

r

-qQ. m(A)

(5-81b) dA

(5-81c)

per FSK

Anche se m(t) è discontinuo agli istanti di commutazione la fase istantanea e t è contio c e e ro orzionale all'inte ale el ~e nale aIe dati m t ' in_ario(ad esempio bipolare i~.~~~!?~~~1)Ls~&.n3!I~!SK corris}2ondenteè detta FSK binar.io,mentre un segnaIemodulante multilivello produrrà unft ESK O)ultilivello. ~j Lo spettro di un segnale FSK binario è in generale difficile da valutare in quanto

l'invIluppo c°n:!plesso e unatunzionef10~li~del~gnalemTiT-

---

-

Esempio 5-4 SPETIRODI UNA FSK BINARlA Il

il

Il I

il

I personal computer (PC) sono perlopiù collegati alla rete Internet via modem su linea telefonica. Quest'ultima può essere schematizzata come un canale passa-banda nell'intervallo 300-3300 Hz. I segnali dati in banda base (come quello bipolare) non sono adatti per la trasmissione su questa banda; ecco perché nei modem si effettua di solito una modulazione per produrre un segnale passa-banda che si adatti al particolare canale utilizzato. La connessione dal PC al server di rete si realizza collegando due modem (ognuno formato da un modulatore e da un demodulatore) alle due estremità della linea (Fig. 5-24). I modem lTU V.34 a 28.8 kbit/s e V.34bis a 33.6 kbit/s fanno uso della modulazione QAM, descritta nel Paragrafo 5-10, mentre i modem V.90 a 56 kbit/s utilizzano tecniche PCM (Par. 3-3). Ma è la tecnica FSK quella a essere stata utilizzata per prima, e continua a esserlo nella segnalazione telefonica relativa all' identificatore di chiamata e anche in molte applicazioni wireless. A scopo didattico, procediamo alla valutazione dello spettro di un segnale FSK utilizzando come esempio il rnodem standard ITU V.21 (1981) a 300 bit/s. Con riferimento alla Figura 5-24, ogni modern contiene una sezione di trasmissione e una di ricezione in modo che il computer può "trasmettere" e "ricevere" contemporaneamente. Per il modem preso ad esempio si hanno due bande (una attorno a l kHz e l'altra attorno a 2 kHz) per le funzioni simultanee di trasmissione e di ricezione. Questo approccio è chiamato full-duplex, mentre nella modalità half-duplex si può solo alternativamente o trasmettere o ricevere, e in simplex si può solo trasmettere o solo ricevere unidirezionalmente. Le cosiddette frequenze mark e space per le due bande sono indicate in Tabella 5-3, dove si può verificare che la deviazione picco-picco è 2/lF

= 200

Hz.

Valutiamo ora lo spettro del segnale trasmesso dal modem V.21 considerando il caso peggiore di banda occupata massima. Si può dimostrare che questa condizione si ha quando il segnale modulante consiste in un'onda quadra corrispondente a una sequenza di simboli alternanti (per esempio, 1010101010)9come in Figura 5-25a, dove Tb è l'intervallo necessario per trasmettere un bit e To

=

2Tb è il periodo del segnale modulante. Lo spettro si ricava

9 La DSP di g(t) per il caso di dati aleatori è fornita dalle curve con il

= 0.7 = 0.67

di Figura 5-27.

5-9 Segnale dat digitale

Modem FSK

Tastiera del terminale

Modulazioni digitali binarie

Linea telefonica

(chiamata)

Centrale telefonica

Modem FSK (risposta)

Figura 5-24

TABELLA 5-3

341

Computer centrale

Sistema di comunicazione digitale che impiega una segnalazione FSK.

FREQUENZA DI "MARK" E DI "SPACE" PER IL MODEM V.2I Modem che origina la chiamata (Hz)

Frequenze di trasmissione; Mark = simbolo binario I Space = simbolo binario O frequenze di ricezione Mark = simbolo binario I Space = simbolo binario O

=

1270

h =

1070

Il

Modem

chiamato (Hz)

Il = 2225 h = 2025

Il = 1270 h = 1070

Il = 2225 h = 2025

mediante la tecnica basata sulla serie di Fourier sviluppata nel Par. 5-6 e nell'Esempio 5-2. Ci si aspetta ragionevolmente, essendo il segnale modulante una funzione periodica, uno spettro discreto contenente funzioni delta di Dirac. Nell'ipotesi che m(t) abbia valori :i:1,(cui corrisponde la fase istantanea a onda triangolare mostrata in Figura 5-25b), dalle (5-8Ic) e (5-42) si trova che la deviazionedi picco è l1F = DJ /(21T).L'indicedi modulazioneè qui h =

2M

- 1T =

2!:!.F

l1FTo

=-R

(5-82)

dove la velocità di informazione è R = I/Tb = 2/To. Se si assume che la banda di m(t) sia valutabile in B = l/To, allora l'indice di modulazione (digitale) dato dalla (5-82) è uguale all'indice di modulazione FM definito nella (5-48): h =!:!.F

!:!.F

I/To = B

= f3J

La serie di Fourier in forma complessa dell'inviluppo complesso del segnale modulato è 00

g(t) = dove/o

= I/To

I--00

Cn

(5-83)

ejn"",t

= R/2, c

A

n

I

= ---E.. 1'.O

Ac

- To

1'0/2

ej8(t)e-jn"",t dt

-1'0/2

~

[f-1'0/4

ejl1wr- jnWol

dt +

f

~

1'0/4

e-j!1w(t-(1'o/2»e-jnWol dt

]

(5-84)

(Continua)

342

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali m(t)

r -1 1

i-JJ

I I I I (a)

-

O

I

Th

I I I I I I

O(t)

l.

Segnale modulante in banda base I I I I 1 1 1

2M

t-

Il

,I

- 27TI:J.FTo

il

4 (b) Corrispondente

Figura 5-25

andamento della fase

Segnale dati di ingresso e corrispondente andamento della fase del segnale FSK.

"Il e C:.W=

27TM

= 27Th/To. La (5-84) si riduce a

Il Il

c /I

= Ac 2

-

sin[(7T/2)(h

[(

(7T/2)(h

-

sin[(7T/2)(h + n)] n)] + (-1)" n) ) ( (7T/2)(h + n) )]

(5-85)

Utilizzando le (5-49) e (5-59), si trova che lo spettro del segnale FSK con simboli alternanti è S(f)

= ~ [G(f - Ic) + G*(-I

-

(5-86a)

Ic)]

dove 00

G(f)

=~

00

CII

8(f - nlo)

=

~

CII

R

8( I -

T

)

(5-86b)

e dove i CIIsono dati dalla (5-85). Lo spettro del segnale FSK può essere valutato numericamente per vari valori della deviazione M e della velocità di informazione R mediante personal computer. Tre grafici re-

5-9

Modulazioni digitali binarie

343

lativi allo spettro e corrispondenti a differenti insiemi di parametri sono illustrati in Figura 5-26: nella Figura 5-26a, dove l'indice di modulazione utilizzato è h = 0.67 si può notare che non si hanno componenti alle frequenze mark e space,fl eh, Dagli altri due grafici riportati in Figura 5-26, dove il valore dell'indice è rispettivamente h = 1.82 e h = 3.33. si nota che aumentando il valore di h lo spettro tende a concentrarsi attorno alle frequenze ti e h. Questo è proprio il risultato previsto dal teorema di Woodward (5.66) per la FM a banda larga, in quanto la densità di probabilità del segnale modulante consiste in questo caso di due funzioni delta (Fig. 5-15).

La banda di egnale FSK è approssi / B. Pertanto, si ha regola di C:lrsQ.n,BT = 2({3 + l) B, dove {3= t:J..F .

~

e data dalla

~

BT = 2M --

+ 2B

(5-87)

dove B è la banda del segnale modulante.]':!el nostro esemQiocon sim~oJi l e Oah~l!!~ti, la banda al primo nullo del segnale modulante è B = R, e quindi dalla (5-87) si ha (5-88) lJ.T = 2(M + R) come' strato in Figura 5-26. Se invece si utilizza un filtro a coseno rialzato Der la sagomatura deu;impulso, la.banjL~usegn~e lventa (5-89) ltT = 2M + (l + r)R Per la FSK a banda larga con {3~ l, il termine M è dominante e quindi BT = 2M, ment\eper Iar§!<:fb3£l~a 'SWetta{3~ T la"banda è BT= 2B. L~o.§pe"t!!cuI~1 segnaleFSK a fase continua è pipttosto complicato da calcolare quan~o i..9~~QJ:I.o..~eatQ);i.[Proakis, 1995, pp. 209-215; Anderson e Saltz, 1965; Bennet e Rice, 1963]. Ci limitiamo qui a riportare il risultato (equivalente in banda base)lO: 'ì

-

,I ~ g(f) =

A;Tb

(5-90a) dove An(f) = sin[7TTb(f - t:J..F(2n- 3))] 7TTb(f - t:J..F(2n- 3))

(5-90b)

e

=

Bnm(f) COS[27TfTb

- 27Tt:J..FTb(n+ m - 3)] - COS(27Tt:J..FTb) COS[27Tt:J..FTb(n + m - 3)] (5-90c)

l + cos2(27Tt:J..FTb) - 2 COS(27Tt:J..FTb) COS(27TfTb) Questa DSP è graficata per vari valori dell'indice di modulazione in Figura 5-27, dove le curve sono ottenute mediante MATLAB. La curva per h = 0.7 = 0.67 corrisponde allo spettro di g(t) per il modem V.21 a 300 bit/s dell'Esempio 5-4.

IO

delta).

h
...Quando

h = O, l, 2, ..., nello spellTO si hanno anche componenti

discrete (funzioni

344

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

o R

t ;:Q ~

-IO

"N N

" '0. E "

h = 0.67

-20

:o

g1j

~

-30

o

500

2000

2500 t(Hz)

-

R

t ;:Q

-IO "N "N '0. E " -20 :o

-1r h

=

1.82

g1j

Q. CI:> -30 .I

L o 500

\000 I

i

2000

500

2500 t(Hz)-

te = 11701=---1 BT = 420 Cb) Spettro del segnale FSK per

eh = 1.82

Il

h = 1070 Hz, ti = 1270 Hz, R = 110 bit/s

o

I

t -IO

;:Q

~

"N

N " '0. E " -20 :o

g R

CI:>

-30

10001

h

15001

J;. =

20001 1,570

Il

BT = 1,600 Cc) Spettro del segnale FSK per

e h = 3.33

Figura 5-26

h = 1070 Hz, ti = 2070 Hz, R = 300 bitls

Spettri dei segnali FSK per diversi fonnati del segnale dati modulante (frequenze positive e corrispondenti ampiezze monolatere).

5-9

Modulazioni

digitali binarie

345

3.0

2.5

2.0

:

t

= 0.5

Ac = I Il

h

= 2MIR

1.5

rg>N) 1.0

0.5

o

O.5R

R

1.5R

2R

!-

Figura 5-27 Densità spettrale dell'inviluppo complesso di un segnale FSK (asse positivo delle frequenze).

Il segnale FSK può essere rivelato utilizzando un discriminatore di frequenza (rivelazione non coerentel.Q.£ondue rivelatori sincroni (rivelazione coerente), come illustrato lp)~igyra 5-2~tudieremo in maggior .çlettaglioq!!e~time!()di Qiriv~ill.zi.Qll.~_!!~.L~ragr~fj 7-3-e 7-4, dove valuteremp anche le curve di BER. Per ottenere le migliori prestazioni Filtro passa-basso

Segnale FSK di ingresso

Rivelatore di frequenza

Uscita binaria

Segnale FSK

Uscita binaria

cos( wl t)

di ingresso

Filtro passa-basso

cos( w2 t) (a) Rivelazione

(b) Rivelazione coerente (sincrona)

non coerente

Figura 5-28

Rivelazione di un segnale FSK.

346

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

iQ.jerminidiJiE&,.su.caQalebWGN è necessario utilizzare un demodulatore coerente.£QU !lItro adattato e rivelatore a soglia (si veda la Fig. 7-8).

5-10 MODULAZIONI DIGITALI MULTILIVELLO Se il segnale digitale all'ingresso del trasmettitore presenta simboli con un numero di livelli ma lOredI due otteniamo una modulazione muItilivello. Q!!esta ~c!ll<2.~ è i111!.strata q,enaFigur.a 5-29, d~oveitsegnale.m tI Ive o e generato a partire da un fh.lsso~didati ,b,inario...utilizzandoun conv£f.tt!toreD/A. Per esempio, nell'ipotesi di un D/A a € = 3 = 2i bit il nUQlero,dilivelli deLs.egnale multili

'Ira - a. a ve ocita di segnalazione (s~

J?~ il ~~gnalemultilivelloè

'D - = RI€ ~ = ~R,doveR = llTb- bit/s è la~azione. --~

...

Modulazioni OPSK (Ouadrature Phase Shift Keying) e MPSK (M-ary Phase Shift Keying)

(5-91) dove i valori possibili di x( t) e y (t) sono x.

.~

cos (J

(5-92)

I

= Ac

Yi Uscita

=A

(5-93)

sin ()i

Segnale digitale

U.

Convertitore

R bit/s

digitale analogico su I bit

Figura 5-29

Trasmettitore simboli

D

o

=

f

Sistema di trasmissione digitale multilivello.

n

5-10 g(t)

g(t) Asse immaginario

t

(componente in quadratura)

Asse immaginario (componente in quadratura)

t

.

e

- reale Asse

X.I

(a)

-

Assereale

(componente in fase)

Figura 5-30

347

Modulazioni digitali multilivello

.

I

(componente

.

infase)

(b)

Costellazione per segnali 7T/4 e QPSK (valori consentiti per l'inviluppo complesso).

l\!°gul~ion~

.Q~.

(Quadrature AmplihlJi.p Modulatimù

I!-~a .mj i!l.Jas e l~ a. . La QAMma è una tecnicadi mOdU~!!~~...~..s~!!~~O dPe... . .sono ~ra riSDeitO aurmodlliazion ena desqj.ttfl_Lpul}tLJ1()J). vincofàti AiillWQtte.Petf...a..1!Jla,>c.irconf~enza di r.aggioAc. viceyersa. essi sO_Iill..disposti su di un re:... .

~i.£2loqua,dratQ .rr.gplare.

.

.

348

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali Elaborazione in banda base

' Ingresso binario R bit/s

: :

ì I

I

I I

~I I

:

Segnale digitale multilivello

Convertitore

digitale-analogico su

ebit

M D

I

=2{

x(t)

I

I

Segnale QAM di uscita

Elaborazione del segnale

livelli

= Re simboli/s

I

~

~ I ~(t) J

(a) Modulatore per una costellazione generica

g(t) = x(t) + jy(t)

1

{

I

x(t)

Elaborazione in banda base 1

:

Ingresso binario d(t) R/2 bit/s

I I

:. I

t-I

: :

:

dt(t) R/2 bit/s

Convertitore digitale-analogico

Costellazione a M

D = R/e simboli/s

Segnale QAM di uscita

ill~~

ConvertItore

= 2{ punti

serie-parallelo su2bit

~ Convertitore d2(t)

II L

digitale-anal?gico

R/2bit/s

I

sue/2blt ~

II

(b) Modulatore per una costellazione rettangolare

Figura

Il ~gnale

5-31

Generazione dei segnali QAM.

OAM ~i nmçres~~ta i~fat!i"come

s(t)

= x(t)

cos lùct - y(t) sin lùct ~

~~

dove

"-.$(t) ,

._~

= x(t) +~jy{t) = R(t)ej8(t)

(5-95)

~.le ç.2!!!P-Q_neJ1tijnjase/qua[h:::1tIIJ:a ~(t) e y(..L)..sono_entrambe segnali digitaJi my.!.J.ili~.elli:\ ~mpio, la Figura 5-32 ra presenta la costella~jtL~ (Tab. C-6) ~,~ancora in uso nei sistemi di radiodiffY~~Le,yj.si.Ya..digit~I3,_ç...diJin~a gigjJale dI abbonato ADS~. ~l':gn:111': I n-Oj\M può essere generato mediantN tipI': rnn""rtitgri AID.a 2 bit e un modulatore I/O. come mo~tratflin Eigura.5.:3Jb. ~

~

n

5-10

Modulazioni digitali multilivello

349

Asse . immaginario (componente in quadratura)

Y

.

.

/SI.

.

.

.

.

. .

. .

.

.

.

t

I

I

/

x-

Asse reale (componente

in fase)

s2

Figura 5-32

~omponenti

Costellazione 16-QAM (quattro livelli per ciascuna delle dimensioni).

I e Q sono rappresentate

~ (5-96)

e (5-97)

(5-98)

350

Capitolo 5

- Modulazioni

Modulazioni

analogiche e digitali

OQPSK

e '1T/4QPSK

-

La modulazione OQPSK è un~~«.OA..M.. = A in cuiJe,.p08sibi-li.tl:a~i-d~omponeiidI e Q avvengono non contem oamenle TUaWQJlOrit
/

DSP per MPSK, QAM, OQPSK e '1T/4QPSK La densità spettraledi potenza dei i segnali MPS:rs:~ QAM-c_QI.Li!JlPl!.ls2. !e,!!angs>lareè elementare;ecTsiCOrfvincefacilmente che è la stessa del segnale; BPSK dopo un'oppor:--!!!nascalarura deWasse-detlFfi'èquenze. ~ ~- - .Infatti la DSP dell'inviluppo complesso g(t), per il segnale MPSK o QAM si triva utilizzando la (6-70d). Partiamo da 00

g(t)

=I

-00

cnf(t

-

nTs)

(5-99)

dove Cnè una variabile aleatoria che rappresenta il simbolo multilivello per l'n-esimo in-

tervallo di segnalazione (impulso), f(t)

D

= l/Ts

è l'impulso di modulazione f(t)

= ll(t/Ts)

e

è la velocitàdi segnalazione.La TF dell'impulsoè FU) = Ts

sin f 7TfTb sin 7TfTs = fTb 7TfTs ( ) ( f 7TfTb )

(5-100)

dove Ts = fTb, in quanto un simbolo rappresenta l bit. Per simboli simmetrici rispetto al livello zero ed equiprobabili (Fig. 5-32) si havalore medio è

= Cn = O

(5-101a)

= cnc*n = Pcn I = C

(5-lOlb)

me

e ti!: c

dove C è una costante positiva. Sostituendo le (5-100) e (5-101) nella (6-70d), si trova che la DSP dell'inviluppo complesso del segnale MPSK o QAM è

/

5-10 sen 1TffTb @g(f)

= K(

2 (5-102)

) '

1TffTb

351

Modulazioni digitali multilivello

per MPSK e QAM

dove K = CfTb.M = 2e è il numero dei punti della costellazione, è la velocità d'informazione è R = llTb. Per una potenza trasmessa totale pari a P si ha K = 2PfTb, visto che f~ @s(f) df = P. Questa DSP è illustrata in Figura 5-33 su una scala logaritmica (dB); la DSP del segnale MPSK o QAM è ottenuta traslando questa curva attorno alla frequenza portante, come descritto dalla (5-2b). Naturalmente, se f = l, si ritrova la DSP del segnale BPSK, come si può verificare dalla Figura 5-33 con f = l, e dalla Figura 5-20b. Inoltre, è facile rendersi conto che la DSP dell 'inviluppo complesso di un segnale multilivello è essenzialmente identica a quella ottenuto nella (5-53) per un segnale multilivello in banda base. Ponendo f = 2(M = 4) la (5-102) e la Figura 5-33 rappresentano anche lo spettro per il segnale QPSK, OQPSK, e 1T14QPSK con impulso rettangolare. Possiamo calcolare la DSP del segnale con impulsi sagomati seguendo la stessa procedura che ha portato alla (5-102), a patto di considerare, al posto della (5-100), la trasformata dell'impulso utilizzato. Per esempio, per una sagomatura a coseno rialzato confo = 1/(2fTb), la DSPdi Figura 5-33 diventa @g(f) = 2010g[IHe{f)l], ove He{f) è la risposta in frequenza del filtro a coseno rialzato (3-69) illustrata nella Figura 3-26b. Dalla Figura 5-33, la banda nullo-nullo per il segnale MPSK o QAM è

= 2Rlf

BT

(5-103)

o -5 t

2

-lO

[\

(sin ( 7T!f/R)\

'" N

[ç]>g(f)

]dB = lO log

2R f

3R f

C

7T!f/R J]

'"

8.

-15

'" 's °;;; c'"

~

-20

O

-25

:a '" ]

-30 O

R f

4R f

5R f

6R f

7R f

8R f

!-

Figura 5.33 Densità spettrale di potenza della MPSK e della QAM con impulsi dati rettangolari, dove M = 2e, R è il bit rate e R/€ = D è il baud rate (sono riportate le frequenze positive). Si ponga € = 2 per la densità spettrale di potenza degli inviluppi complessi della QPSK. OQPSK e 1T/4QPSK.

352

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

Sostituendo la (5-103) nella (3-55), si trova che l'efficienza spettrale per una segnalazione MPSK o QAM con impulso rettangolare è R TJ=-=BT

f bit/s 2 Hz

(5-104)

dove M = 2 e è il numero di punti della costellazione. In particolare, per la 16QAM (M = 16), l'efficienza spettrale è TJ = 2 bit/s per hertz. Efficienza spettrale di MPSK, QAM, OQPSK con sagoma tura a coseno rialzato

e 'Tt'/4QPSK

La DSP di Figura 5-33 con impulsi rettangolari ha l'inconveniente della presenza dei 10bi)aterali. In particolare, il primo lobo laterale è attenuato di soli 13.4 dB, rispetto al livello a centro banda, e quindi crea interferenza sui canali adiacenti. Questo problema può esser risolto utilizzando un filtraggio a coseno rialzato in trasmissione che soddisfa anche la condizione di Nyquist per l'assenza di ISI. Però, come già discusso, il filtraggio a coseno rialzato presenta lo svantaggio di introdurre una modulazione AM sul segnale MPSK che può, in certe applicazioni, essere causa di distorsione. Nelle realizzazioni pratiche, viene comunemente impiegato un filtro sagomatore radice di coseno rialzato (SRRC, Square Root Raised Cosine) al trasmettitore, e un filtro (adattato) identico al ricevitore in modo da avere contemporaneamente assenza di ISI e minimizzazione, per lo meno su canale AWGN, della BER. Con una sagomatura della risposta impulsiva complessiva di questo tipo, la banda assoluta del segnale modulante a M livelli è,

B = !(1 + r)D

(5-105)

dove D = R/ f e r è il fattore di rolloff del filtro [si veda la (3-74)]. Inoltre, sapendo che la banda del segnale trasmesso (con semplice modulazione DSB-SC) è legata alla banda del segnale modulante dalla relazione BT = 2B, si ha l + r BT = ( (5-106) )R Con una sagomatura a impulsi rettangolari la banda assoluta è infinita, mentre quella nullo-nullo è BT = 2R/f, come mostrato in Figura 5-33 Poiché M = 2e, e perciò f = log2 M = (In M)/(ln 2), l'efficienza spettrale della modulazione QAM con sagomatura a coseno rialzato è

-e

R TJ=-= BT

In M bit/s (l + r) In 2 Hz

(5-107)

Questo risultato è importante in quanto pone in relazione la velocità di informazione con la banda necessaria per la trasmissione, e vale anche per la modulazione MPSK, essendo quest'ultima una caso particolare di quella QAM. La Tabella 5-4 riporta i valori dell'efficienza spettrale calcolati con la (5-107) per alcuni valori del fattore di rolloff. Per esempio, supponendo di utilizzare un canale satellitare con banda disponibile 2.4 MHz, nel caso si adotti la modulazione BPSK (M = 2) con un fattore di rolloff pari al 50% la velocita massima possibile è BT X TJ= 2.4 X 0.677 = 1.60Mbit/s.Se invecesi utilizzala QPSK 11

I Il

5-11

Modulazione

MSK e GMSK

353

TABELLA 5-4 EFFICIENZA SPETTRALE PER SEGNALAZIONE QAM CON FILTRO DI MODULAZIONE A RADICE DI COSENO RIALZATO (si ponga M = 4 per le segnalazioni QPSK, OQPSK, e 1T/4 QPSK)

Numerodi livelli M (simboli)

Dimensioni del DAC, C(bit)

2 4 8 16 32

1 2 3 4 5

TI = !!.... BT (bit/S) Hz r

= 0.0

1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

r

= 0.1

r

0.909 1.82 2.73 3.64 4.55

= 0.25 0.800 1.60 2.40 3.20 4.0

r = 0.5

r = 0.75

r = 1.0

0.667 1.33 2.00 2.67 3.33

0.571 1.14 1.71 2.29 2.86

0.500 1.00 1.50 2.00 2.50

CM = 4) con rolloff pari a 25% la velocità di informazionepassa a 2.4 X 1.6 = 3.84 Mbit/s. Il numerodei livelli M nella (5-107)non può però essere aumentatoa piacere,in quanto, fissata la potenza del segnale, la distanza tra i punti contigui della costellazione tende a diminuire, e il rumore causa un numero di errori maggiore. Dalla teoria dell'informazione (Par. 1-9) sappiamo che se R < C, dove C è la capacità del canale, il numero degli errori può essere reso piccolo a piacere. Pertanto, usando la (1-10) si richiede che TJ <

TJmax

(5-108a)

dove (5-108b)

5-11 MODULAZIONE MSK CMINIMUM SHIFT KEYING) E GMSK (GAUSSIAN MINIMUM SHIFT KEYING)

.

Con la modulazione MSK è possibile ottenere una buona efficienza spettrale con un segnale !ld al11p!ezzacostante' éhe può essere amplificato senzadistorsI9n~ CQi1..implificato" ri in classe C ad alta efficienza energetica.

/

J.bF.F1~liTWiE:LLa modulazione MSK (Minimum Shift Keyin/?) è una modulazione ~YSJLal~_c.Qflti1.!ua CQUil mjmmQ indi£e.ç!~11!~
s~-m1}:t1QJl~

::;Ql1o...Q!1QgQDali.

Come prima cosa, mostriamo che h = 0.5 è davvero il minimo il!.dic~p,o,wbileper una modulazione FSK a fase continua ortogQnalT SllPp,on!iul}oche lleJl'intervallo O'< t < T~, Il segnale FSKsia SI Ct) = Aç co~ Wl t + 0,81),in GQQ'ÌSRo.ndenzadel simbolo binario l, e sia pari a S2(t) = Ac cos (lù;! t + th), per il simpolo O.!,.ac9ndizione di continuità di fase àIl'istante t = (j di inizio simbolo impone 81 = £h. Affinché i segnalislaiio C

354

- Modulazioni

Capitolo 5

analogiche e digitali

ortogonali si richiede che l'integrale del prodotto dei due segnali sull'intervallo di bit sia nullo: Tb

Tb

f

o SI(t)S2(t) dt

=

f

o

A;COS

(Wl

t + Od cos (lù2 t + 8z) dt

=O

(5-109a)

ovvero

A; sin[(ml 2

O>2)Tb

+ (01 - 8z)) - sin(OI - (h) mi - 0>2

[ +

A;

]

sin[(WI + lù2)Tb+ (01 + (h)]

2 [

Wl

+

- sin(81+ 8z) = O

(5-109b)

]

lù2

Il secondo tennine è trascurabile, perché la quantità Wl + lù2è molto grande12;la condizione di ortogonalità è quindi sin [27Th+ (81 - 8z)] - sin(OI - 8z) 27Th

=O

(5-1I0)

dove abbiamo posto (Wl - lù2)Tb = 27T(2flF)Tb e dalla (5-82) h = 2flFTb. Per il caso di FSK a fase continua, 01 = 02; e la (5-110) è soddisfatta per il valore mil1imo-di h = 0.5, a cui corrisponde la deviazione di freguenza di picco

- .l

l =- R

(5-1I1a) Per MSK 4Tb 4 ' Per la FSK afase discontinua, 01 "" (h; e il minJmo valore d~ll'indjce per cui si ha ortogonalità è h :; 1.D: - - ---.-l l tJ.F=-=-R per FSK a fase discontinua (5-1Il b)

flF = -

.

2Tb

2

'

In realtà la modulazione MSK non viene realizzata in pratica come appena descritto, cioè attraverso un modulatore CP-FSK. Quando si usa quesrulti~9 m~JoQo,)Tlfatti,la modulazione viene nonnalmente indicata con la sigla.FESK_ç~ E(,l$tEre.q,ue.ncy-Shift

III

~g,~com.e..in ognC.FSk;i-datibin~i sono ttlilizzati per detenninare la frequenza di s~gnalazione ("mark" o "s.pace"). Per capire meglio come la modulazione MSK viene allora realizzata, dimostriamo che il segnale FFSK (cioè un segnale CP-FSK binario con h = 0.5) è equivalente a un segnale OQPSK con impulso elementare ad arco di coseno. Naturalmente, affinché la velocità di bit resti la stessa, }'intervallo di segnalazione sui rami I e Q per quest'ultimo tipo di segnale deve essere pari al doppio dell'intervallo di bit, ottenendo così

111

g(t) = x(t)

+ jy(t)

= Ac

L

C2n + I f(t

n

- n . 2Tb) + jAc

L

C2r!(t

- n . 2Tb- Tb) (5-112)

n

Cn = ::tI ef(t) = cos(7rtI2Tb) n(tI2Tb) è l'impulso arco di coseno di durata 2h La Figura 5-34 illustra l'andamento tipico dei segnali x( t) e y( t) calcolati a partire dalla (5-112). Da questa figura si vede che x(t) e y(t), rispettivamente. parte reale e imma-

dove

I: li Il I

ginaria dell 'inviluppo

complesso,

sono appunto formati da una successione

di archi di

coseno di durata 2Tb moltiplicati per una sequenza di simboli binari ::t1, e sono in offset, 12 Se

scegliere le

Wl

+ lù2 non è sufficientemente

= ~mlTb

grande da rendere il secondo termine trascurabile,

= ~mR. con m intero positivo. Questa condizione

(fl =Ie - /::"Feh=fc + /::"F).

si può sempre

annulla il secondo termine, in quanto

5-11

Modulazione MSK e GMSK

~

m(t) +1

I I I

l e~~e dati In

S

ri

ingresso

y

I I

I I

I X I

I I

~I

.

Dati componente

I

I

I

I I Y

I I I

I I X

I I I

2Th

3Th

4Th

I I

I I

I I

i

:I

i

:I

i

:I

x-.

I

I I Y

I I I

5Th

i

X

:

1

I

I

I I

I I

I I

I I

I X I

I I

I I I

6~h

I

Y

I

7Th

i

I

I j

:

I

j

I

Y

I

8Th

9Th

I I

I I

i

:I

I

I

Dati

I I I I I I I I I I

.

,

I

I

I

I

I

I I I

I I I

I I I I I

I I I I I I

I I I I I I

i

:

I

tI

I I

I

I

I

I

I

I

I I I I

I I I

I I I

I

I I I I I

I I I I I

I I I I I I

I

I I I I I

t-

I I

..

nte compo", y

355

I I

t-

t x(t)

-A

t

t-

,Ac

y(t)

t-A

Figura 5-34

Andamento nel tempo delle componenti in quadratura della MSK (MSK di tipo II).

visto che gli impulsi sulla parte in quadratura sono ritardati di Tb rispetto a quelli in fase. La figura mostra anche il segnale m(t) costituito dalla successione dei simboli binari c" che, alternativamente a posti pari e dispari, vengono "dirottati" sulla componente rispettivamente in quadratura e in fase. Attenzione però che questi dati binari, a parità di segnali x(t) e y(t), non sono gli stessi dati che modulano in frequenza per ottenere un segnale FFSK.

356

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

Per convincersi dell'equivalenza dei due segnali bisogna esaminare il segnale MSK di Figura 5-34 in ogni intervallo di bit. Innanzitutto si nota immediatamente dalla figura che istante per istante i segnali x( t) e y( t) costituiscono due oscillazione in quadratura: dove infatti l'oscillazione è massima in modulo su una componente, è uguale a zero sull'altra, a prescindere dai segni degli archi di sinusoide. Questo significa che comunque l'inviluppo del segnale è sempre costante, quindi la modulazione è sicuramente d'angolo. Inoltre, x( t) e y( t) non sono mai discontinui, perciò la fase istantanea del segnale sarà pure continua. Limitandosi al primo intervallo di bit, O< = t < Tb, si nota che la componente in fase è del tipo x(t)

(5-1l2a)

= :!:Ae cos C;J

dove il segno + o - dipende dal valore del dato sulla componente, e la componente in quadratura è

y(t)

= :!:Aesin

(5-1l2b)

C;J

cioè 1ft

= + j sin g(t) = x(t) = jy(t) = Ae-+cos( ~ 2Tb) ( 2Tb)] [

Il

:l:Aee

:!:j'rrt/2Tb

(5-1l2c)

che rappresenta l'inviluppo complesso di un segnale FSK con deviazione di frequenza ~f = 1/(4Tb) (e a fase continua) come ci si attendeva. I segnali x( t) e y (t ) della Figura 5-34 sono relativi alla cosiddetta MSK di tipo II [Bhargava, Haccoun, Matyas e Nuspl, 1981], dove l'impulso di modulazione è sempre un arco di (co)sinusoide con segno positivo. Invece nella MSK di tipo I, l'impulso per x( t) e per y( t)] è un arco di sinusoide utilizzato con segno alterno in periodi consecutivi di durata 2Tb. Come già accennato, per entrambe le modulazioni MSK di tipo I e II non c'è una corrispondenza diretta tra il segnale modulante m(t) e le frequenze fl e h del segnale FFSK. Infatti, valutando la frequenza istantanea fi si ottiene fi = fe + (l/21THd8(t) / dt] = fe :I: ~F, essendo 8(t) = tan -I [y(t)/ x(t)]. Il segno:l: è determinato dalla tecnica utilizzata (tipo I o II) per produrre x(t) e y(t) e anche ovviamente dal segno del segnale Tb. Per avere una corrispondenza diretta tra la MSK di tipo I e la FSK con h = 0.5 i simboli all'ingresso del modulatore FSK devono essere codificati informa differenziale. In questo modo il segno degli impulsi ad arco di (co)sinuoside sui due rami I e Q è pari direttamente al valore dei dati modulanti (i dati di indice pari per il ramo Q e quelli di indice dispari per il ramo I). Esempi di MSK di tipo I e II ~ di FFSK si possono trovare nelle soluzioni MATLAB degli Esercizi 5-69, 5-70 e 5-71. Al di là dalle differenze messe in evidenza, i segnali MSK di tipo I e II e la FFSK sono comunque ad ampiezza costante e di tipo FSK a fase continua con indice pari a h

= 0.5.

La DSP di un segnale MSK (tipo I o II) può essere valutata come segue. Cominciamo con l'osservare che le componenti I/Q x(t) e y(t) dell'inviluppo complesso g(t) = x(t) + jy(t), sono indipendenti e a valor medio nullo. Allora la DSP di g(t) è

Il

5-11

Modulazione

MSK e GMSK

357

CZP x( x) = y(f) in quanto l'impulso di modulazione per x( t) e y( t) è lo stesso. Usando la (3-40) e la (3-36a) e osservando che per la MSK la durata dell'impulso elementare è pari a 2Tb, otteniamo dove

CZP

(5-113) dove F(f) = ?:F[J(t)]e f(t) è l'impulso utilizzato. Nel caso della MSK si ha (5-114a) 1(1)

[A; CO'(;,) ,

~

altrimenti

cha ha trasformata di Fourier (5-l14b) La DSP dell'inviluppo complesso del segnale MSK è dunque 16A;Tb CZPg(f)=

'1T2

COS2 2'1TTd

( [l - (4Td)2]2

)

(5-115)

e cioè la curva continua in Figura 5-35 (ove A;/2 è la potenza normalizzata); la DSP del segnale modulato MSK si ottiene naturalmente traslando la (5-115) attorno alla frequenza portante, come descritto nella (5-2b). Un parente stretto della modulazione MSK è la cosiddetta GMSK (Gaussian-filtered Minimum Shift Keying), che viene realizzata come una FFSK nella quale il segnale dati con impulso rettangolare è filtrato da un filtro passa-basso con risposta in frequenza Gaussiana:

H(f)

= e-[(J/B)2(ln 2/2)]

(5-116)

ove B è la banda a -3 dB del filtro. L'effetto del filtraggio è quello di ridurre i lobi laterali nello spettro del segnale MSK trasmesso. La forma esatta di tale spettro è piuttosto complicata, per cui si ricorre a un calcolo numerico tramite PC [Murato, 1981]. Il risultato è quello della Figura 5-35 per il caso BTb = 0.3. Per valori inferiori del prodotto BTb, i lobi laterali diminuiscono ulteriormente ma sulle componenti I e Q del segnale ricevuto compare notevole ISI che porta a un degradazione

della BER. Il valore BTb

=

0.3 è un

buon compromesso tra l'esigenza di avere lobi laterali limitati e la necessità di avere ISI tollerabile. Il segnale GMSK ha comunque ampiezza dell'inviluppo costante e può quindi essere amplificato senza eccessiva distorsione con amplificatori in classe C a elevata efficienza spettrale. Come vedremo nel Capitolo 8, la GMSK con BTb = 0.3, è il formato di modulazione adottato nel sistema telefonico cellulare GSM. I segnali MSK possono essere generati con i metodi illustrati nella Figura 5-36. In Figura 5-36a si mostra la generazione del segnale FFSK (che, lo ricordiamo, è equivalente al segnale MSK di tipo I con codifica differenziale dei simboli) mediante un modulatore FM con deviazione di frequenza di picco !J.F= 1/(4Tb) = (1/4)R. La Figura 5-36b mostra un modulatore MSK di tipo I-Q che implementa la (5-112). Questo metodo è chiamato parallelo, in quanto sono generate in parallelo sia la componente in fase (I)

358

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

o

,~ ,. W

-5

MSK

rV ,. -IO

t

[

,, \.

,, \1.\ ,, . " , . , , " \' \,

~

-15

GMSK (BTb

[QPy(f)]dB

II \,

,'

I. 1

I

I I

I , I "

-25

I I

,

.

I

Il. I I

Il Il

-30

Il Il.

l'' I I

. ,

I I I I I I I I Il

. ,

::, Il'

-35

, '.

Il Il

'I Il . . \.11

Il

, , Il ;: il I

I

-40 O

::

II

Il Il

Il

I I

I

II ,

Il

= IOIOg[(

Sin(7Tf/R»

2

)

]

7Tf/R

,

: n. I I

= 03)

/'

,-V"" ,,, ,,, ~ I, ,,

I

-20

]

QPSK oppure OQPSK

~

Figura 5-35

COS2(27Tf/R)

[QPy(f)]dB = IOlog [1-(4f/R)2]2

0.5R

f'. Il '11

"

, , ,, ,, , I ,, I I I I I

I I I I II

,,

,, ",.., ,I ," , " I I I I I 'I II II II II I I Il Il Il

'" R

2R

, " 'I I, " " I , I I I I I I I I Il I I Il Il 1.1

2.5R

",..,,

, ,

, , , ,, , ,

I , ,

I I I I I I

!-

3R

Densità spettrale di potenza dell'inviluppo complesso di MSK, GMSK, QPSK e OQPSK, dove R è il bit rate (sono riportate le frequenze positive).

che quella in quadratura (Q). La Figura 5-36c mostra infine il cosiddetto metodo seriale per generare il segnale MSK. Con questo approccio, viene dapprima generato un segnale BPSK con frequenza portante

h = le - M', quindi tale segnale (passa-banda) è filtrato

con un filtro opportuno centrato su Il = le + M' per produrre il segnale MSK con frequenza portantele. L'analisi di questo modulatore è lasciata come esercizio al lettore (si veda l'Esercizio 5-72). Ulteriori proprietà della modulazione MSK si possono trovare in Leib e Pasupathy [1993]. Le modulazioni digitali passa-banda descritte nei Paragrafi 5-9, 5-10 e 5-11 sono riassunte in Tabella 5-6, dove riportiamo l'efficienza spettrale per i vari tipi di segnali nel caso di impulso rettangolare utilizzando le definizioni di banda al primo nullo e di banda a -30 dB. In conclusione, osserviamo che il progetto di un sistema di comunicazione digitale, deve essere condotto tenendo conto del costo, dell'occupazione di banda, ma anche delle prestazioni raggiungibili in termini di BER. Quest'ultimo argomento sarà esaminato nel Capitolo 7, dove verranno calcolate le prestazioni delle modulazioni appena introdotte in presenza di rumore termico.

5-11 Ingresso m(t)

Trasmettitore

=

!J.F

FM

Modulazione

s(t)

(1/4)R

SegnaleFFSK

(a) Generazione di un segnale Fast-Frequency-Shift-Keying

(FFSK)

Dati su x

x(t)

Oscillatore

Oscillatore alla frequenza portante, le

alla frequenza portante,

lo = M = 1/4R Ingresso m(t)

359

MSK e GMSK

Convertitore

+ s(t)

I

parallelo-seriale (2 bit)

Segnale di sincronismo

'Segnale MSK

Rotazione di fase di -900

Rotazione di fase di -900

Segnaledi sincronismo

Datisuy

y(t)

(b) Generazione in parallelo di un segnale MSK del IOtipo (inserendo un codificatore differenziale in ingresso si otterrà un segnale FFSK) Segnale BPSK alla frequenza portante h

Ingresso m(t)

Filtro MSK passa-banda centrato su/l H(f)

s(t) Segnale MSK alla frequenza portante le

Oscillatore alla frequenzaportante

h =fe - M (c) Generazione seriale di un segnale MSK

Figura 5-36 TABELLA 5-5

Generazione dei segnali MSK.

EFFICIENZA SPETTRALE DEI SEGNALI DIGITALI

R Efficienza spettrale, 71= BT Tipo di segnalazione

OOK e BPSK QPSK,

OQPSK,

MSK 16 QAM 64 QAM

e '1T/ 4 QPSK

bit/S

(~ )

Banda al primo nullo

Banda a 30-dB

0.500 1.00 0.667 2.00 3.00

0.052 0.104 0.438 0.208 0.313

360

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

5-12 MODULAZIONE OFDM (ORTHOGONAL FREQUENCY DIVISION MULTIPLEXING) La modulazione OFDM, letteralmente multiplazione ortogonale a suddivisione di frequenza, è una tecnica per trasmettere dati in parallelo utilizzando un certo numero di portanti (in genere elevato, per esempio 2048), con una spaziatura scelta opportunamente in modo da garantire l'ortogonalità. Questa tecnica consente la trasmissione attraverso canali fortemente distorcenti di tipo multipath (cammini multipli), nei quali cioè la propagazione del segnale avviene mediante più "cammini" (path). In un intervallo di durata T, l'inviluppo complesso del segnale OFDM è N-l

g(t)

= Ac

I

(5-117a)

WIl'P,,(t), O < t < T ,,=0

dove Ac è l'ampiezza della portante, w" è il generico elemento del vettore dei dati w = [wo, w), ..., wN-d, e le portanti ortogonali sono l 'P"(t ) = ej27Tf"t dove [" = T ( n

I :1 i'

I I~

N - l

- ~

)

(5-117b)

La durata del simbolo relativo a ogni portante è dunque T e le portanti sono spaziate di 1fTHz. Questaspaziaturagarantisceche i segnali 'P1l(t) soddisfano la condizione di ortogonalità (2-77) proprio su un intervallo di durata T come abbiamo visto nell'Esempio 2-11. La condizione di ortogonalità permette di rivelare i simboli relativi alle varie portanti, senza che nascano problemi di interferenza inter-portante. Una delle proprietà chiave del successo di questa modulazione, che è stata adottata nel sistema di radiodiffusione televisiva terrestre Europea DVB (Digital Video Broadcasting) e in alcuni sistemi per reti dati locali via radio (wireless LAN) è che essa può essere realizzata mediante tecniche efficienti di elaborazione numerica del segnale basate su FFT. Infatti, eliminiamo dalla (5-115b) il termine (N - 1)/2T (che può essere aggiunto alla frequenza portante all'atto della traslazione a RF) e sostituiamo la (5-1l5b) così ottenuta nella (5-115a). In una realizzazione digitale, avremo un campionamento temporale del segnale, e possiamo quindi porre t = kT / N. I campioni (complessi) di segnale in uscita al modulatore sono proprio le uscite di un algoritmo di anti-FFT (IFFT), come descritto nella (2-177). Si ottiene allora l'architettura del trasmettitore OFDM riportata nella Figura 5-37 e che contiene un calcolatore di IFFT. In questa figura l'inviluppo complesso è rappresentato dalle componenti I e Q rispettivamente x(t) e y(t) e i dati d'ingresso hanno un intervallo di segnalazione pari a Ts. Questi dati possono essere binari reali (:1:1) per portanti BPSK, oppure multilivello complessi per portanti modulate QPSK, MPSK, o QAM. II convertitore serie-parallelo legge blocchi di N simboli per volta e ne mantiene il valore in uscita su N linee in parallelo (vettore w) per un periodo pari a T = NTs. Il blocco IFFT, il cui ingresso è il vettore w fornisce in uscita un vettore complesso g, contenente gli N campioni spaziati di Ts dell'inviluppo complesso del segnale modulato. Il convertitore parallelo-serie riorganizza infine tali campioni in un flusso seriale. Le componenti I e Q dell'inviluppo complesso del segnale OFDM, e cioè i segnali x(t) e y(t) sono generate convertendo in analogico rispettivamente la parte reale e quella immaginaria di ogni campione mediante due convertitori D/A. Il segnale OFDM è quindi ottenuto mediante un modulatore l-Q.

Elaborazione in banda base del segnale

i-n__n I Flusso seriale dei dati m(t)

I I I

n

n

Conversione

serie!:

parallelo'

_;nnn_-

Circuiti a RF

- nn__n_:

nngn

IFFf

x(t):

Conversione

:

parallelo!

.

serie

n

n

nnn_n-

I I I I :

y(t)

n:

I I I I I

v(t) = x(t) cos(wct)- y(t) sin(wct) Segnale OFDM

:

01

I ...... N

s:::

o

Ot: Si N

o. ~

IO

O "I1

a s::: Y>

Figura 5-37 Trasmettitore OFDM.

'" ~

362

Capitolo 5

- Modulazioni

analogiche e digitali

Al ricevitore, il flusso dati seriale viene ottenuto dal segnale OFDM ricevuto: i) demodulando il segnale ricevuto per ricavame le componenti I e Q; ii) convertendo i campioni (complessi) seriali in un flusso parallelo; iii) calcolando la FFf; iv) riconvertendo i campioni all'uscita della FFf in un flusso seriale, e infine v) effettuando l'operazione di decisione a soglia. La lunghezza della FFf (che è pari al numero di sottoportanti del segnale OFDM) è scelta in modo che il sistema offra elevata resistenza alla distorsione introdotta dal canale a cammini multipli. In particolare, N è scelto in modo che la durata del simbolo OFDM T = NTs sia molto più grande del massimo ritardo differenziale, e cioè il ritardo di propagazione dell'ultimo eco rispetto al primo. In tal modo l'effetto dei cammini multipli può essere trascurato in quanto tutti gli "echi" ricevuti vengono a sovrapporsi con ritardi sostanzialmente trascurabili rispetto all'intervallo di simbolo e quindi con distorsione anch' essa trascurabile. La DSP del segnale OFDM può essere ricavata molto facilmente se si tiene conto che esso consiste nella somma di portanti modulate ognuna con simboli indipendenti e aventi impulso rettangolare di durata T. Pertanto, la DSP di ogni componente è del tipo ISa[ 7T(f

-

fn)T]12, e lo spettro globale per l'inviluppo

complesso del segnale OFDM è

N-l. l1P

g

(I)

=C

I

n=O

12

sm[ 7T(f - fn)T 7T(f - fn)T

(5-118)

dove C = A~ IWnl2Te Wn = O.Tale DSP è illustrata nella Figura 5-38 per N = 32. Poiché la spaziaturatra le 1(l' Hz portanti è pari a N la banda al primo nullo del segnale OFDM è N+I BT=-=T

N+I NTs

l :=:::-=DsHz Ts

(5-119)

dove Ds = lrrs è la velocita dei simboli (baud) per il flusso all'ingresso del trasmettitore OFDM e dove l'approssimazione è ragionevole per N > lO. In alcuni sistemi più avanzati, si utilizza un impulso sagomato, per esempio a radice di coseno rialzato, per contenere il livello dei lobi laterali al di fuori della banda di trasmissione BT = Ds. Un caso particolare di sistema OFDM è quello rappresentato dal sistema DMT (Discrete Multitone) impiegato nei sistemi di accesso su doppino telefonico ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line, Cap. 8), nel quale la velocità del flusso dati su ogni sottoportante è controllata in base al valore del rapporto segnale-rumore misurato sulla sottoportante al ricevitore e comunicato al trasmettitore mediante un canale di ritorno. Secondo questa strategia, il flusso dati viene ridotto o addirittura annullato per quelle portanti con basso SNR, mentre viene incrementato usando costellazioni di segnale a molti punti (fino a 256) sulle portanti con alto SNR. Con questa tecnica si adatta il cosiddetto "carico" su ogni sottoportante in base alle variazioni della risposta in frequenza del canale a cammini multipli, e si massimizza la capacità del canale di trasferire informazione su canali fortemente degradati dal fading.

5-13 SISTEMI A SPETTRO ESPANSO (SPREAD SPECTRUM) Nell'analisi e nel progetto dei sistemi di comunicazione si è interessati principalmente, almeno per quanto visto finora, alle prestazioni in termini di efficienza spettrale ed effi-

5-13 5

I

I

o

ço 'O

I

I

363

I

-

-\

.5

S

Sistemi a spettro espanso (spread spectrurn)

-

c-

@;,..

6'"

'" '"

-I

c.. §u

'-

o c.. -I ]' .;:;: .5 -2' 'a; 'O

1\ 1\ Il

-

Il Il

IO:

f\

(\

-2 -

c..

'6 '"

'" :: -3

'-

-3 IO: '" 1:1

-

.,c.. '" .;;;

--4' O

I

I

I

I

I

5

IO

15

20

25

Frequenza normalizzata,

Figura 5-38

30

fT

Densità spettrale di potenza dell'inviluppo complesso di un segnale OFDM con N = 32.

cienza energetica. In alcune applicazioni, occorre però considerare anche altri fattori come, ad esempio: i) l'efficienza di accesso multiplo; ii) la resistenza all'interferenza e ai disturbi intenzionali; iii) la bassa probabilità di intercettazione. Questi obiettivi possono essere raggiunti mediante i cosiddetti sistemi a spettro espanso, o spread sprectrum (SS). La capacità di accesso multiplo è fondamentale nella telefonia cellulare e per i sistemi di comunicazione personale (PCS, Personal Communication System), dove molti utenti devono condividere la stessa banda di frequenza. La banda complessiva assegnata a tali servizi non permette infatti l'assegnazione "permanente" di una porzione di banda a ogni utente. Le tecniche di trasmissione a spettro espanso permettono a molti utenti l'uso simultaneo della stessa banda di frequenze mediante tecniche di accesso a suddivisione di codice o CDMA (Code Division Multiple Access). Le altre due tecniche di accesso multiplo al canale, la suddivisione di tempo TDMA (Time Division Multiple Access) o di frequenza FDMA (Frequency Division Multiple Access) sono alternative al CDMA e anch'esse molto utilizzate, e sono studiate nei Paragrafi 3-9, 5-7, e nel Capitolo 8. Esistono diverse tecniche per generare un segnale a spettro espanso. In generale però, per poter classificare un sistema di comunicazione a spettro espanso come tale, occorre che siano verificate le seguenti condizioni: 1. La banda del segnale trasmesso s(t) deve essere molto maggiore di quella del segnale modulante.

364

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

2. L'incremento della banda del segnale trasmesso deve essere prodotto da un segnale di espansione (spreading) c(t) indipendente dal segnale modulante e noto al ricevitore in modo da poter procedere alla rivelazione del segnale dati. Come per qualunque modulazione, il segnale SS è del tipo s(t)

=

Re{g(t)

ejwcl}

(5-120a)

dove l'inviluppo complesso dipende sia da m(t) che da c(t). In molte applicazioni si utilizza il prodotto (5-l20b) dove gm(t) e gc(t) sono i consueti inviluppi complessi ottenuti dalle modulazioni AM, PM, FM ecc., a partire rispettivamente dai segnali m(t) e c(t), come illustrato nella Tabella 4-1. I segnali SS sono classificati in base al tipo di modulazione utilizzata per gc(t); i tipi più diffusi sono:

. .

.

A sequenza diretta (Direct Sequence Spread-Spectrum DS/SS). In questo caso la modulazione dati è semplicemente una DSB-SC, mentre il segnale di espansione è un opportuno segnale binario NRZ bipolare. A salto di frequenza (Frequency Hopping Spread-Spectrum FH/SS). In questo sistema (utilizzato principalmente per comunicazioni militari), gc(t) è un segnale di tipo FSK con M = 2 k frequenze determinate da gruppi di k bit relativi a una determinata sequenza di espansione. Tecniche ibride, che includono sistemi SS e FH.

Sistemi a Sequenza Diretta (DS/SS) Supponiamo che il segnale dati m(t) sia bipolare con valori :1::1,e che si utilizzi una modulazione BPSK: gm(t)

= Aem(t).

L'inviluppo g(t)

complesso del segnale DS/SS è allora

= Aem(t)c(t)

(5-121)

La modulazione che ne deriva s(t) = Re{g(t)ejwcl} è chimata segnale BPSK-DS/SS. Il segnale di espansioné è, come già accennato, un segnale NRZ binario generalmente ottenuto da un generatore di sequenze pseudocasuali (PN, Pseudo Noise), come quello di Figura 5-39b. La durata di ogni impulso è c(t) ed è comunemente chiamata intervallo di chip da non confondere con l'intervallo di bit del segnale dati. Il generatore della sequenza, chiamata anche sequenza di codice, è un registro a scorrimento con reazione avente con r elementi di memoria e comandato da un segnale di clock con periodo Te. Alcune uscite intermedie del registro sono sommate (modulo 2) tra i loro e riportate in reazione all'ingresso del registro stesso. In questo modo la sequenza generata dal circuito è ripetitiva, cioè periodica, ed è possibile configurare il circuito stesso, cioè scegliere le uscite intermedie da sommare, in modo che il periodo di ripetizione sia il massimo possibile e cioè N

=

2' - 1. In questo caso, si ottiene un generatore di sequenze a massima lunghezza, o

sequenze-m (m-sequence). Tali sequenze hanno le seguenti proprietà principali [Peterson, Ziemer e Borth, 1991]:

5-13

365

Sistemi a spettro espanso (spread spectrum)

Modulatore BPSK

r I Modulatore 1 1 1 1

BPSK

It

:

I

1-

1 1 1 1 1

:

1 EspansIOne spettrale 1 I 1 1 1 I ... 1 1 1 1 1 c(t) 1 1 1 1 Generatore

:

I

I

1 1 1 1

~

~

+

1 1 1 1

Accos Wct

:

:

1

1

Oscillatore a frequenza portante !c

:

:

1 1 l 1 L

Rb

~

1 1 1 1

:

1 1 1 L

:- --

---I 1 1 1 1 1 1

Segnale BPSK-DS/SS

1 1 1 l 1 1 1 1 1

della sequenza di espansione

s (t) = Acm(t) c(t) cos (wct)

:

1 ~

1 1 1

!-

Sequenza PN c(t)

(a) Trasmettitore BPSK-DS/SS

c(t)

Sommatore modulo 2

DJ -Iq- 'l-

i/' o--L&8..-&, I

ì

Clock

t

t

t R-2r-1

t

IN-j

f-I ~,~;)~trr,

Rc~ I

(b) Generatore della sequenza di espansione

1- 1 CompressIOne spettrale 1 1 1

r (t)

= s(t) + n(t)

:

11 I

.

vI (t)

:

1 1 1 1

:

r l Demodulatore : :

1

v2 (t )

c(t): Generatore della

sequenza di espansione

l 1 1

Filtro passa-basso:

:

1 1 1 1

IH(f)I: 2coswct

5-39

m(t)

1 1 :

11 I

1

**!1.0

Oscillatore

-

R

Rb

~

(c) Ricevitore BPSK-DS/SS

Figura

1 1

: 1 : 1

!-

1 1 1 Modulazione I rivelata

BPSK;

1

1 1

I

: 1 1 l

1 1 I 1 1

I

Sistema Direct-Sequence Spread-Spectrum (DSiSS).

I 1 :

1

1 11 1 ~

+ n3(t)

366

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

1. Nel periodo, il numero dei chip pari a l è superiore di un 'unita rispetto al numero dei chip pari a O. 2. Una sequenza-m sommata (modulo 2) chip a chip con una versione traslata delle stessa sequenza produce un'altra versione traslata sempre della medesima sequenza. 3. Se facciamo scorrere una "finestra" di durata r (con r numero di elementi del registro) su di un periodo della sequenza-m, otteniamo tutti i 2r - 1 possibili valori distinti di una parola di r cifre binarie eccettuata la parola contenente r valori O. 4. Rappresentiamo adesso i valori logici Oe l della sequenza-m con i valori polari + 1 e -l V, e definiamo la funzione di autocorrelazione della sequenza Re(k) = def (I/N) sum{cnen+ k} con Cn= :tI. Allora si ha:

Re(k) =

!

1,

k = iN

-~

k#iN

N'

(5-122)

Se consideriamo adesso il segnale di espansione c( t) ottenuto dalla sequenza-m, troviamo che la sua funzione di autocorrelazione è

(5-123) dove Re(T)

= (c(t)c(t

+ T) e T" è la versione di modulo Te, cioè resta definito da con

(5-124)

La (5-123) si riduce a

Re( T)

=

[~: (I + ~)

A

(T- ~NTe

)] - ~

(5-125)

che rappresenta una forma d'onda periodica con impulsi triangolari di durata 2Te che si ripetono ogni NTe e che vale -I/N tra questi impulsi, come è illustrato nella Figura 5-40a. Essendo la funzione di autocorrelazione periodica, lo spettro è di tipo discreto. Infatti, l'autocorrelazione può essere espansa in serie di Fourier come 00

(5-126) n =-00

= 1/(NTe) e {rn} sono i coefficienti della serie di Fourier. La DSP del segnale di espansione è dunque, dalla (2-109), dove/o

00

çpe(J) = ~[Re(T)] =

I

rn 8(J

-

n/o)

(5-127)

n =-00

dove n=O (5-128) n#O come illustrato in Figura 5-40b.

5-13

Sistemi a spettro espanso (spread spectrum)

367

1.0 l

tr 1

t-

f (a) Funzione di autocorrelazione

sin(7TnIN)\2

Area = (N +/

/N

Area = IIN2

-3

-2

Te

r;-

-I

r;-

)(

O

fo = 1/(NTe)

~~

m'}N)

l

2

r;-

r;-

3 T;J-

(b) Densit spettrale di potenza

Figura 5-40

Autocorrelazione e densità spettrale di potenza di un sequenza PN ("sequenza a massima lunghezza" o "sequenza-m").

Dimostriamo ora che la banda del segnale SS è molto grande rispetto alla velocità di informazione Rh ed è (sostanzialmente) determinata dal segnale di espansione utilizzato piuttosto che dal segnale modulante. Con riferimento alla Figura 5-39, possiamo affermare che le DSP del segnale di espansione e di quello modulante sono entrambe del tipo [(sin x)/xF ove però la banda del segnale c(t) è molto più grande di quella del segnale m(t) essendo la velocita di chip Re = l/Te molto maggiore del tasso di informazione Rh = l/Th. È vero che lo spettro del segnale di espansione è discreto, mentre quello del segnale dati è continuo, ma è altrettanto vero che quando il periodo di ripetizione della sequenza PN è molto grande (così come accade nelle applicazioni pratiche), le righe dello spettro (5-127) sono così vicine da poter ottimamente approssimare lo spettro a righe con uno continuo. Per semplificare le cose, supponiamo che tali spettri siano costanti sulla rispettiva banda Rh e Re e con valori tali da dare area unitaria, visto che le potenze dei due segnali sono unitarie (valori dei segnali H.) Dalla (5-121) vediamo che g(t) è ottenuto moltiplicando nel dominio del tempo i due segnali indipendenti m(t), c(t) Pertanto,

368

Capitolo 5

- Modulazioni

analogiche e digitali

la DSP dell'inviluppo complesso del segnale BPSK-DS-SS è ottenuto dalla convoluzione nel dominio della frequenza (5-129) Il risultato è mostrato nella Figura 5-41, dove si è tenuto conto dell'approssimazione nella forma degli spettri. Quando N ~ l, la banda del segnale BPSK-DS/SS è determinata essenzialmente dalla cadenza di chip Re, visto che Re ~ Rb. Ad esempio, se Rb = 9.6 kbit/s e Re = 9.6 Mchip/s, allora la banda del segnale SS è Br

= 2Re = 19.2MHz.

Si capisce facilmente che grazie all'espansione spettrale il segnale è molto meno rilevabile, e cioè presenta una bassa probabilità di intercettazione. Senza espansione, il livello in banda della DSP è grosso modo proporzionale a A;/(2Rb), mentre con l'espansione tale livello scende a A;/(2Rc)' come si può notare dalla Figura 5-41. Si ha dunque una riduzione nel livello della DSP pari al rapporto Re/Rb, che con i valori utilizzati appena citati, è pari a (9.6 Mchip/s)/(9.6 kbit/s) = 1000,o 30 dB. Spesso si cerca di rilevare una trasmissione esaminando una certa zona dello spettro con un analizzatore di spettro a larga banda. Con il segnale SS si ha un livello inferiore di 30 dB a quello che si avrebbe in assenza di espansione, e che risulta spesso inferiore al minimo livello misurabile dalla strumento: il segnale SS sfugge all'intercettazione.

l 2Rb

!(a) Densità spettrale di potenza approssimata

di m(t)

!(b) Densità spettrale di potenza approssimata !!P/t)

di c( t) = A~!!Pm(t) * !!Pe(f)

t(c) Densità spettrale di potenza approssimata

del segnale 55

Figura 5-41 Densità spettrale di potenza approssimata di un segnale BPSK-DS-SS.

5-13

Sistemi a spettro espanso (spread spectrum)

369

Analizziamo ora la caratteristica di immunità all'interferenza del segnale SS. Supponiamo allora che il segnale SS sia disturbato da un segnale intenzionalmente interferente (il cosiddetto jammer) r(t)

= s(t) + n(t) = Acm(t)c(t)

cos wct + nj{t),

(5-130)

dove il segnaledi disturbo(jamming)è nAt)

= AJ

COSwct

(5-131)

Supponiamo che la potenza del disturbo sia A]/2, che quella del segnale sia A;/2 e che, per avere il peggiore effetto di interferenza, la frequenza portante dell'interferente sia uguale alla frequenza portante fc del segnale utille SS. Lo schema del ricevitore con cui viene demodulato tale segnale è rappresentato nella Figura 5-39c. Si ha per prima cosa un circuito di "compressione spettrale" (despreading) pilotato da un generatore di codice PN sincrono con il codice ricevuto. L'uscita del circuito di compressione è VI(t)

= Acm(t)

cos Wct +AJc(t) cos Wct

(5-132)

datoche C2(t) = (:1:1)2= 1.Il segnaleBPSK-DS/SSè tornatoa essereun segnaleBPSK, e quindi la banda è passata dal valore 2Rc, all'ingresso del ricevitore, al valore 2Rb, del segnale BPSK, con un fattore di compressione pari a 1000. A questo punto i dati possono essere ottenuti attraverso un comune demodulatore BPSK che come ingresso ha il segnale all'uscita del circuito di compressione, come illustrato in Figura 5-39. Dimostriamo ora che il ricevitore SS ha una capacità di reiezione del disturbo (antijam) di 30 dB, sempre nell'ipotesi di Rb = 9.6 kbit/s e Rc = 9.6 Mchip/s. Infatti, dalla (5-132) ci si rende subito conto che il segnale di disturbo a banda stretta presente all'ingresso del ricevitore ha subito una espansione spettrale, essendo moltiplicato per il segnale di espansione c(t). Allora dalla (5-132) e con riferimento allo schema del ricevitore riportato in Figura 5-39, il segnale all'ingresso del filtro passa-basso LPF, a meno dei termini a frequenza doppia centrati su f

=

2fc (sicuramente

bloccati dal filtro), è

(5-133) dove (5-134) In base alla (5-134) e approssimando ancora le vere DSP con densità rettangolari come nella Figura 5-41, la potenza della componente di disturbo all'uscita del ricevitore è Rb

Pn3

=

mentre quella all'ingresso

f

-Rb

cg>n2(f) df

=

f

Rb

-Rb

l

A2

A] 2Rc df = Rc /JRb

(5-135)

del filtro LPF è pari a A] [si ricordi che cg>n2(f) = A]/(2Rc)].

Se avessimo usato un sistema BPSK convenzionale senza espansione spettrale, avremmo naturalmente ottenuto una potenza di disturbo all'uscita del ricevitore identica a quella presente in ingresso, e cioè A] / (Rcl Rb)' In entrambi i casi, avremmo avuto la stessa potenza di segnale utile. In conclusione, per il sistema SS la potenza di disturbo è ridotta del fattore Rc/Rb, che nel nostro esempio assume il valore 1000; tale grandezza è chiamata 13 Il

guadagno di elaborazione è definito come il rapporto tra le potenze di disturbo ali'uscita del ricevi-

tore con e senza 55. Questa definizione

è equivalente

spettivamente

all'ingresso

i rapporti segnale-disturbo

al rapporto (SIN)ont/(SIN)i" essendo (SIN)i" e (SIN)ont ridel ricevitore e all'uscita

del"filtro LPF.

370

Capitolo 5

- Modulazioni

analogiche e digitali

guadagno di elaborazione del ricevitore SSI3, e rappresenta l'incremento nella capacità di reiezione del disturbo rispetto a un sistema convenzionale (cioè a banda stretta). In altre parole, con i dati del nostro esempio, gli effetti di interferenza che si avrebbero in un sistema senza SS con una data potenza di disturbo si riscontrerebbero nel sistema SS con una potenza però superiore di ben 30 dB. Nel caso di modulazione binaria, il guadagno di elaborazione coincide anche con il cosiddettofattore di espansione (spreadingfactor), cioè con il rapporto tra le bande del segnale modulato prima e dopo l'espansione spettrale. Le tecniche SS sono utilizzate anche per realizzare sistemi ad accesso multiplo, come per esempio i sistemi telefonici cellulari CDMA (Code Division Multiple Access) IS95 e UMTS. In questi sistemi, a ogni utente è assegnato un particolare codice di espansione spettrale in modo tale che i segnali si mantengano ortogonali. Tali segnali possono essere quindi trasmessi simultaneamente sulla stessa frequenza portante, e i dati di un determinato utente possono essere rivelati senz'alcuna interferenza da parte degli altri utenti (canali), purché il compressore spettrale del ricevitore sia perfettamente sincronizzato con l'inizio della sequenza di codice utilizzata al trasmettitore. Approfondendo lo studio del CDMA, osserviamo che in realtà l'accesso può essere sincrono o asincrono. Il modo sincrono è quello appena descritto in cui i segnali per i vari utenti sono allineati temporalmente; essi sono a due a due ortogonali e non creano interferenza mutua. Questo è il caso del collegamento in avanti (detto anche f01ward link o downlink) tra una stazione base (BS, Base Station) e il terminale utente mobile (UT, User Termina!) di una rete radio cellulare. Viceversa, nel modo asincrono i segnali non sono temporalmente allineati perché l'accesso non è coordinato; è questo il caso del collegamento all'indietro (return link o uplink) tra UT e BS. Nel modo asincrono i segnali non sono più ortogonali, e di conseguenza si ha la cosiddetta interferenza da accesso multiplo (MAI, Multiple Access Interference) che può, in alcuni casi, essere la principale causa di degradazione delle prestazioni del ricevitore. Talvolta le stesse bande di frequenza sono condivise da servizi con collegamenti radio a banda stretta o a spettro espanso. Questo è possibile perché i sistemi SS a banda larga rappresentano un'interferenza trascurabile per l'utente a banda stretta, specialmente se la distanza del ricevitore a banda stretta rispetto al trasmettitore SS è abbastanza elevata. Nel verso contrario, le sorgenti a banda stretta rappresentano per il sistema SS una sorta di disturbo interferente (jamming) che ha in generale effetti trascurabili, visto che il guadagno di elaborazione del ricevitore SS è in questi casi sufficientemente elevato. Frequency

hopping

Come già accennato, un segnale FH/SS del tipo FH a salto di frequenza utilizza una funzione gc(t) del tipo FSK, dove il modulatore (illustrato in Fig. 5-42a) ha a disposizione M = 2k frequenze possibili. Come prima cosa, si genera un segnale con modulazione tradizionale a banda stretta di tipo FSK o BPSK. Il segnale così ottenuto è quindi ulteriormente traslato in frequenza utilizzando un' oscillazione prodotta da un sintetizzatore a controllo numerico (NCO, Numerically Controlled Oscillator). La sequenza di codice relativa al particolare utente controlla cioè, mediante una parola di k bit, i divisori programmabili del sintetizzatore di frequenza (si faccia riferimento alla Fig. 4-25). In questo modo la frequenza all'ingresso del mescolatore cambia nel tempo in base alla sequenza di espansione, facendo "saltare" in modo pseudocasuale il segnale utile all'interno della banda di trasmissione disponibile.

Il

5-13

371

Sistemi a spettro espanso (spread spectrum)

Il segnale FH/SS è decodificato come mostrato in Figura 5-42b. La sequenza di espansione, nota al ricevitore, è impiegata per controllare l'oscillatore di demodulazione (un secondo NCO) in modo sincrono con quello di trasmissione. Si realizza così la rÌ-compressione spettrale (despreading) del segnale ricevuto in modo da ottenere il segnale modulato originario, per esempio FSK o BPSK, da cui sono poi ricavati i dati.

m(l)

Modulatore

1

1 Espansione FH I

1 1

I

I

/!

FSKo BPSK

S egna Ie FSK o BPSK

1 II Accos (w;t) I I I Sintetizzatore 1 1 di frequenza 1 1 I I kchip I

...

----------______1

I I 1 1 1 1 1

1---

Generatore

C(I)

sequenza di spreading

Convertitore serie-parallelo

1 1

I 1 1 1 1 1 I I I I 1 1 1 1 1 1 I I I I 1 1 1 1

Filtro passa-banda

(attorno alla frequenza somma)

Segnale FSK o BPSK FH/SS

S(I)

I I

L

~

(a) Trasmettitore

, :

r(l)

= s(t)

+ n(l)

Compressione

FH

1 1 1

1 1 1

I I I

1 I I I

1 :

2cos (w;t)

:

1 1 1 "

S mtetIzza tor e

di frequenza

1 l I I I 1

,---

:

1 l I

Demodulatore FSKo BPSK

Filtro passa-banda (attorno alla frequenza

differenza)

Y

Segnale FSK o BPSK

I I :

1 1 1 1 l I I

1

I

1 :

Generatore sequenza

I

di spreading

C(I)

Convertitore: serie-parallelo

1 :

l

~ :

~

(b) Ricevitore

Figura 5-42

Sistema a spettro espanso a salto di frequenza (FH/SS).

Dati rivelati

in (t)

372

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

L'origine e le prime applicazioni dei sistemi a spettro espanso ebbero luogo nei sistemi di comunicazione militare per gli evidenti vantaggi di difficoltà di intercettazione e di interferenza già discussi. Negli utlimi anni, i segnali DS/SS e il CDMA ha trovato importanti applicazioni anche in ambito civile e commerciale, in primis nel sistema cellulare digitale americano di seconda generazione IS-95, e recentemente nei sistemi di comunicazione personale multimediali UMTS (Universal Mobile Telecommunication System) in Europa e Giappone e cdma2000 nelle Americhe (Cap. 8). Per ulteriori informazioni sui sistemi SS si consigliano i testi specializzati [Cooper e McGillem, 1986; Dixon, 1994; McGill, Natali e Edwards, 1994; Peterson, Ziemer e Borth, 1995; Rhee, 1998].

5-14 RIEPILOGO Abbiamo esaminato in questo capitolo una vasta gamma di modulazioni analogiche e digitali sulla base della teoria sviluppata nei Capitoli 1-4. In particolare, sono state considerate in dettaglio le modulazioni analogiche AM, SSB, PM, e FM, esaminando anche alcuni standard di trasmissione. Sono state poi studiate le modulazioni digitali, come le OOK, BPSK, FSK, e OFDM, nonché le modulazioni multilivello, come le QPSK, MPSK, e QAM. Per ciascuno di questi segnali abbiamo valutato anche l'andamento delle relative DSP per valutare l'efficienza spettrale dei vari segnali. Sono stati inoltre esaminati i sistemi a spettro espanso (spread spectrum), per i quali si sono evidenziate le proprietà fondamentali, come la possibilità di accesso multiplo, la resistenza ai disturbi e all'interferenza, nonché la bassa probabilità di intercettazione.

5-15 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO EA5-1 Potenza di un segnale SSB Dimostrare che la potenza normalizzata di un segnale SSB è (s2(t) = A~(m2(t), come indicato nella (5-25). Soluzione.

Per la modulazione SSB si ha g(t)

= Ac[m(t)

:l::jm(t)). Utilizzando la (4-17),

si ottiene

ovvero (5-136) Ma ([m(t)F)

= Joo -= ~m (f) di = Joo -= IH(f)12~m(f) di

dove H(f) è la risposta in frequenza del filtro di Hilbert. In base alla (5-19), si trova che IH(f) I = 1, quindi

([m(t)F) =

f: ~m (f) di = (m2(t)

Sostituendo la (5-137) nella (5-136), il risultato è

A

(5-137)

5-15

Esercizi di approfondimento

373

EA5-2 Valutazione della potenza di un segnale 55B Un trasmettitoreSSB con = 100 viene collaudato con un segnale modulante di tipo triangolare mostrato in Figura 514a con Vp = 0.5 V. Il trasmettitore è collegato a un carico di 50 il resistivo. Calcoliamo la potenza dissipata nel carico.

Ac

Soluzione.

Utilizzando la (5-25) si ha Peff

=

=

(vsHff

RL

(s2(t» RL

= A~ (m2(t»

(5-138)

RL

Per il segnale mostrato in Figura 5-14a (m2(t»

=-

I

Tm

f

Tm

o

m2(t) dt

=-

4

f

Tm

Tm/4

4~

2

---1!..t - Vp dt ) ( Tm

o

quindi

~

(m

2

(t) = ~4V2 T,n

(

3 ITm/4

t -

Tm

1)

3(~)

(5-139) o

Sostituendo la (5-139) nella 95-138), si ottiene infine

Peff= A~V~ = (100)2(0.5)2 = 16.67W 3RL 3(50) EA5-3 Trasmettitore FM con moltiplicatori di frequenza Il trasmettitoreFM di Figura 5-43, è costituito nell'ordine da un modulatore FM, un moltiplicatore di frequenza X3 un convertitore con filtro passa-banda, un moltiplicatore di frequenza X2, e infine un altro moltiplicatore di frequenza X3. La frequenza dell'oscillatore locale è 80.0150 MHz, e il filtro passa-banda è centrato sulla frequenza portante, che è di circa 143 MHz. Il modulatore FM ha frequenza portante 20.9957 MHz con una deviazione di frequenza di picco di 0.694 kHz, mentre la banda del segnale di ingresso è 3 kHz. Calcolare la frequenza portante e la deviazione di frequenza di picco nei punti B, C, D, E e F. Calcolare poi la banda e la frequenze centrale del filtro passa-banda. Soluzione. Come illustrato nel Paragrafo 4-12, un moltiplicatore di frequenza fornisce un segnale in uscita che è sostanzialmente l'n-esima armonica del segnale di ingresso, incrementando così la deviazione di fase o frequenza del segnale di ingresso di un fattore n. Pertanto, se 8(t) è la fase istantanea del segnale d'ingresso, il segnale all'uscita avrà una variazione di fase pari a n8(t), come mostrato nella Figura 5-43, e la corrispondente deviazione di frequenza è (M)ouI = n(~F)in,essendoM = max(I/21T)d8(t)/dt. Il demodulatore FM ha frequenza portante (Jc)A = 20.9957 MHz e deviazione di picco (M)A = 0.694 kHz. Perciò, il segnale FM nel punto B ha i seguenti parametri (fC)B = 3(fc)A

= 62.9871 MHz e (M)B = 3(M)A = 2.08 kHz

Il moltiplicatore produce due segnali nel punto C, a frequenza somma e differenza, con frequenze portanti (fc)c somma=

lo + (fc)B = 143.0021MHz

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali

374

Generatore m(t) ~ segnale Ingresso FM audio

A

IMoltiplicatore I

B

Filtro passa-banda

difrequenza x3

I

D

MoltiplicatoreI E di frequenza x2

Moltiplicatore

IF

s( t)

di frequenza x3 Segnale FM di uscita

Figura 5-43 Trasmettitore FM. e (fc)c diff =

lo - (fc)B = 17.0279MHz

Poiché il segnale ali'uscita del mescolatore ha lo stesso inviluppo complesso del segnale all'ingresso (Par. 4-11), tutti i parametri relativi alla modulazione FM si mantengono invariati, e sia il segnale alla frequenza somma che quello alla frequenza differenza sono FM con deviazioni (t:..F)c = (LlF)B = 2.08 kHz. Il filtro passa-banda deve lasciare passare il termine alla frequenza 143 MHz e di conseguenza, il segnale FM al punto D ha parametri (fc)v

= (fc)c

somma= 143.0021 MHz e (LlF)D = (t:..F)c = 2.08 kHz

I segnali FM che si trovano nei punti E e F hanno parametri

(fc)E = 2(fc)D = 286.0042MHz e (LlF)E= 2(t:..F)D= 4.16 kHz (fc)F = 3(fc)E = 858.0126MHz e (LlF)E= 3(LlF)E= 12.49kHz Pertanto, il circuito in Figura 5-43 produce un segnale FM alla frequenza portante di 858.0126 MHz avente deviazione di frequenza di 12.49 kHz. Il filtro passa-banda deve essere centrato su (fc)c sum= 143.0021 MHz e avere banda tale da lasciare passare il segnale FM con deviazione (t:..F)c = 2.08 kHz. Utilizzando la formula di Carson (5-61), si trova che la banda richiesta per il filtro passa-banda è I

BT

I I

= 2[,Sc + I]B = 2[(LlF)c + B]

quindi BT

= 2[2.08 + 3.0] =

10.16 kHz

EA5-4 Trasmissione 88B di un segnale dati Un radioamatore utilizza la banda con lunghezza d'onda di 40 metri per trasmettere dati mediante un trasmettitore SSB. Per fare ciò, collega all'ingresso micro del trasmettitore SSB un modem V.21 (descritto nell'Esempio 5-4). Supponendo che il modem sia nella modalià di interrogazione, e che il trasmettitore sia LSSB con frequenza portante (fc)SSB = 7090 MHz, cercare di individuare il tipo di modulazione digitale, e determiname la frequenza portante. Calcolare poi lo spettro del segnale trasmesso per la sequenza di bit 101010. Soluzione. Con riferimento al Paragrafo 4-5, sappiamo che un trasmettitore LSSB trasla il segnale modulante alla frequenza portante e sopprime la banda superiore. Dalla Tabella 5-5 si trova poi che il modem V.21 (modo di interrogazione) ha nel modo di interrogazione una frequenza di mark a Il

J I

~

l

~

=

2225 Hz, e frequenza di space pari a h

=

2025 Hz, con frequen-

Esercizi proposti za portante (Je)V.21103

= 2125

375

Hz. Il trasmettitore LSSB trasla queste due frequenze ri-

spettivamenteper il simbolobinario l a (fc)SSB

- Il = 7090 kHz -

2225 kHz

= 7087.775 kHz

per il simbolo binario O (fc)SSB- h

= 7090 -

2025

= 7087.975 kHz

e per la frequenza portante (fc)FSK

=

(fc)SSB

-

(Je)BeIl103

= 7090 - 2.125 = 7087.875kHz.

Pertanto, il trasmettitore LSSB produrrà un segnale FSK con una frequenza portante di 7087.875 kHz. Lo spettro del segnale trasmesso per il caso di simboli alternanti è quello delle (5-85)(5-86), conle = 7087.875 kHz. Perciò, il grafico dello spettro sarà simile a quello riportato nella Figura 5-26a, ma traslato da/e = 1170 Hz aie = 7087.875 kHz. È facile rendersi conto che lo spettro appartiene alla banda laterale inferiore della SSB; se viceversa si fosse usato un trasmettitore DSB-SC, lo spettro sarebbe simmetrico rispetto alla frequenza portante di 7090 kHz. La DSP dell'inviluppo complesso per dati aleatori è data dalla (5-90) ed è mostrata nella Figura 5-27 per un indice pari a h = 0.7. Mediante la (5-2b) si trova che lo spettro del segnale FSK è quello dell'inviluppo complesso traslato alla frequenza di 7087.785 kHz.

ESERCIZI PROPOSTI 5-1

Un trasmettitore AM viene collaudato con un tono modulante sinusoidale collegando all'uscita RF un carico di 50 !l. La portante è alla frequenza di 850 kHz e la potenza di trasmissione è 5000 W. Il segnale sinusoidale è alla frequenza di 1000 Hz, e si utilizza una modulazione al 90%. (a) Trovare il valore della potenza espressa in dBk (dB rispetto a lkW). (b) Scrivere l'espressione della tensione ai capi del carico, calcolando numericamente le varie costanti. (c) Disegnare o spettro di questa tensione. (d) Qual è la potenza media dissipata sul carico di prova? (e) Qual è la potenza di picco?

5-2

Un trasmettitore AM ha in in~esso il segn~le di prova m(t) dove l. = 500 Hz, h = 500 "2 Hz, e Ae = 100. (a) Disegnare qualitativamente il segnale AM. (b) Qual è la percentuale di modulazione? (c) Valutare e disegnare lo spettro del segnale modulato.

5-3

Per il segnale AM dell'Esercizio 5-2: (a) Valutare la potenza media del segnale. (b) Valutare la potenza di picco del segnale.

5-4

Un trasmettitore

= 0.2

sen Wl t + 0.5 cos lù2t,

AM ha in ingresso un segnale di prova video dato da m(t)

sen Wlt, dove Il = 3.57 MHz e Ae = 100. (a) Disegnare qualitativamente il segnale AM.

= -0.2 + 0.6

376

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali (b) Qual è la percentuale di modulazione positiva e negativa? (c) Valutare e disegnare lo spettro del segnale AM attorno ate. 5.5

Il trasmettitore di una stazione AM con potenza trasmessa 50 kW viene collaudato con un segnale a due toni. Il trasmettitore è collegato a un carico di 50 il, e m(t) = AI cos Wlt + AI cos 2wIt, dove ti = 500 Hz. (a) Detenninare l'inviluppo complesso del segnale AM in funzione di Al e Wl. (b) Detenninare il valore di AI affinchè si abbia una percentuale di modulazione pari a 90%. (c) Trovare il valore di picco e il valore medio per la corrente nel carico di 50 il e per la modulazione aI 90%.

5.6

Un trasmettitore AM utilizza un moltiplicatore a due quadranti in modo che il segnale trasmessosia descrittodalla(5-7).Il segnalemodulanteè m(t) = Am cos wmt, dove Am è scelto in modo da avere una percentuale positiva di modulazione pari al 120%. Detenninare lo spettro di questo segnale modulato in funzione dei parametri Ae'/e e tm. Disegnare qualitativamente il risultato trovato.

5-7

Un segnale DSB-SC ha come segnale modulante m(t) = cos Wlt + 2 cos 2wIt, dove Wl = 21T.f1'/1= 500 Hz, e Ae = 1. (a) Scrivere l'espressione del segnale modulato e rappresentarlo mediante un grafico qualitativo. (b) Trovare e disegnare lo spettro del segnale modulato DSB-SC. (c) Detenninarne il valore della potenza media. (d) Detenninarne il valore della potenza di picco.

5.8

In un trasmettitore radio, il segnale di uscita modulato ha una dinamica di picco pari ad Ap, a causa del valore della tensione di alimentazione. Dimostrare che la potenza delle bande laterali di un segnale DSB-SC con valore di picco Ap è pari a quattro volte la potenza delle bande laterali di un segnale AM con lo tesso valore di picco.

5-9

Dimostrare che un segnale DSB-SC può essere generato a partire da due segnali AM come nella Figura EP5-9. Dimostrare che l'inviluppo complesso g(t) = m(t) - jm(t) nell'ipotesi che m(t) sia reale, fornisce un segnale SSB a banda laterale inferiore.

5-10 5.11

Dimostrare che la risposta impulsiva di un filtro di Hilbert è 1/1Tf.Suggerimento:

Modulatore AM

m(t) lkil

s(t)

Oscillatore f = te

Segnale passa-banda in uscita

lkil Modulatore AM

Figura EP5-9

377

Esercizi proposti

=

H(J)

1>0 1<0

-je-af, lim { aa~g jeaf,

5-12

Un segnale SSB può essere generato con il metodo alla Hilbert illustrato in Figura 5-5a, con il metodo del filtraggio di Figura 5-5b, e con il metodo di Weaver [Weaver, 1956], come illustrato in Figura EP5-12. Per quest'ultimo metodo, (B è la banda del segnale modulante): (a) Trovare l'espressione dei segnali all'uscita di ogni blocco componente il sistema. (b) Dimostrare che s(t) è un segnale SSB.

5-13

Un trasmettitore

SSB ha in ingresso il segnale sinusoidale m(t)

= 5 cos

Wlt, con Wl = 211/10

II = 500 Hz, e Ac = l. (a) Trovare m(t). (b) Scrivere l'espressione del segnale modulato per la SSB a banda laterale inferiore. (c) Valutare il valore efficace del segnale SSB. (d) Valutare il valore di picco del segnale SSB. (e) Valutare la potenza media normalizzata del segnale SSB. (I) Valutare la potenza di picco del segnale SSB. 5-14 Un trasmettitore SSB ha in ingresso il segnale modulante rettangolare m(t) = TI(t/T) e Ac = l. (a) Dimostrare che m(t)

5-15

= ~7r

2t + T

In 2t 1

-

T

I

come in Tabella A-9. (b) Scrivere l'espressione del segnale modulato SSB e rappresentarlo graficamente. (c) Valutare il valore di picco del segnale SSB. Per l'Esercizio 5-14, (a) Trovare l'espressione dello spettro per il segnale USSB-AM. (b) Disegnarelo spettro di ampiezza IS(J)I.

v (t) 3

I passa-basso Filtro I

Vs (t)

A:'À

V9(t)

0+ tBHz

--I

vI (t)

I Oscillatore

Oscillatore -...L lo-Ic+ 28

-...L 10-28

v-,(t) +

'(I)

m(t) !,

Modulazione di ingresso

+

(t) V4

Vs(t)

(t)

I

I Figura

EP5-12

Filtro

passa-basso 0+

I

v6 (t)

vlO(t)

tBHz

Metodo di Weaver per la generazione

di segnali SSB.

SegnaleSSB di uscita

378

Capitolo 5 5-16

- Modulazioni

analogiche e digitali

Per un trasmettitore USSB, il segnale modulante è sin 7T'at

mt( ) =7Tat (a) Dimostrare che

=

m(t)

5-17

sin2[( 7Ta/2)t] ( 7Ta/2)t

(b) Disegnare il segnale USSB nel caso Ae = l, a = 2, e/e = 20 Hz. Il segnale modulante di un trasmettitore USSB-AM è una sequenza di impulsi rettangolari 00

m(t)

=

L

II[(t

n=~

5-18

5-19 5-20

-

nTo)/T]

Dove, To = 2T. (a) Trovare l'espressione della TF del segnale SSB-AM. (b) Disegname lo spettro d'ampiezza, ISU)I. La Figura EP5-18 raffigura un demodulatore SSB-AM. Questo circuito è collegato all'uscita IF di un ricevitore supereterodina. (a) Determinare se il ricevitore è per segnali LSSB o USSB. Come potrebbe essere modificato per ricevere i segnali relativi all'altra banda laterale? (b) Se nel punto A si ha il segnale SSB con/e = 455 kHz, trovare l'espressione dei segnali dal punto B fini al punto l. (c) Ripetere (b) nel caso che nel punto A vi sia un segnale LSSB. (d) Discutere i requisiti per i filtri IF e LP, se nel punto A il segnale ha banda 3 kHz. L'anello di Costas può essere utilizzato per demodulare un segnale SSB-AM? Giustificare la risposta. Un segnale modulato è descritto da s(t)

=

10cos[(27TX

108)t + IOcos(27TX

103t)]

Trovare le seguenti quantità: (a) Percentuale di modulazione AM. (b) Potenza normalizzata del segnale modulato. (c) Massima deviazione di fase. (d) Massima deviazione di frequenza.

A

B

LPF

c

D + l

F

LPF

G

Figura EP5-18

11

Rotazione

di fase di -900

IH

Uscita audio

Esercizi proposti 5-21

5-22

5-23

379

Un segnale sinusoidale m(t) = cos 27Tfmtè l'ingresso di un modulatore d'angolo, dove la frequenza portante è le = 1 Hz e 1m = lei 4. Trovare le seguenti quantità: (a) Disegnare m(t) e il corrispondente segnale PM, con Dp = 11'. (b) Disegnare m(t) e il corrispondente segnale FM, con DJ = 11'. Un segnale modulante sinusoidale con ampiezza 4 V e frequenza I kHz è applicato all'ingresso di un modulatore FM avente sensibilità pari a 50 Hz/V. (a) Trovare la deviazione di frequenza di picco. (b) Qual è l'indice di modulazione? Un segnale FM è modulato da un segnale sinusoidale con frequenzalm = 15 kHz indice di modulazione /3 = 2.0. (a) Trovare la banda di trasmissione utilizzando la formula di Carson. (b) Quale percentuale della potenza totale del segnale FM si trova all'interno della banda di Carson?

5-24

La Figura EP5-24 illustra lo schema a blocchi di un modulatore FM. La risposta in fr~quenza audio è piatta sulla banda 20 Hz-15 kHz. Il segnale FM in uscita ha frequenza portante di 103.7 MHz e deviazione di picco 75 kHz. (a) Trovare la frequenza centrale e la banda del filtro passa-banda. (b) Determinare la frequenza dell' oscillatore. (c) Qual è la deviazione massima di fase del modulatore FM? 5-25 Analizzare le prestazioni del circuito FM illustrato in Figura 5-8b. La tensione ai capi dei diodi che forniscono la tensione alla capacità variabile è v(t) = 5 + 0.05m(t), dove m(t) = cos Wl t, un segnale di prova sinusoidale, con Wl = 27Tf1, e Il = 1 kHz. La capacità dei diodi polarizzati inversamente è Cd = IOO;Vl + 2v(t) pF, Co = 180 pF e L è scelta in modo da risuonare a 5 MHz. (a) Trovare il valore di L. (b) Mostrare che il segnale prodotto dall'oscillatore è un segnale FM. Per semplicità si assuma che l'ampiezza di picco del segnale prodotto dall'oscillatore sia lO V. Trovare il parametro DJ. 5-26 Un segnale modulato a RF è dato da 500 cos[wet + 20 cos wlt], dove Wl = 27Tf" !t = 1 kHz, e le = 100 MHz. (a) Se la costante della deviazione di fase è 100 radIV, trovare l'espressione del segnale modulante in fase m(t). Qual è il valore di picco e la frequenza di tale segnale? (b) Se la costante della deviazione di frequenza è 1 X 106 rad/V-s, trovare l'espressione del segnale modulante in frequenza m(t). Qual è il valore di picco e la frequenza di tale segnale? (c) Ricavare la potenza media e quella di picco quando il segnale a RF è posto ai capi di un carico pari a 50 n.

Segnale FM Filtro passa-banda

Generatore FM te = 5.00 MHz

Moltiplicatore di frequenza x8

Oscillalore l' le

= ?.

Figura EP5-24

Amplificatore' di uscita in classe C

380 Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali 5-27

Si consideri il segnale FM s(t)

=

IO cos [wc t + 100 f~

m(u)

du], dove m(t) è un'onda

quadra bipolare, con duty-cycle del 50%, periodo di I s e valore di picco pari a 5 V. (a) Graficare la frequenza istantanea e il segnale modulato. (b) Disegnare la deviazione di fase in funzione del tempo. (c) Valutare la deviazione di frequenza di picco. 5-28

In un trasmettitore

=

FM con portante s(t)

100 COS(21T X 109t)

un segnale

modulante

di

ampiezza I V (eft) produce una deviazione di 30 kHz. Determinare l'ampiezza e la frequenza delle componenti del segnale modulato FM maggiori dell' I% dell'ampiezza della portante non modulata per i seguenti segnali modulanti: (a) m(t) = 2.5 COS(31T X 104t). (b) m(t) = l COS(61TX 1Q4t). 5-29

Con riferimento alla (5-58), dimostrare che

5-30

Si consideri un modulatore FM con uscita s(t) dulante è m (t)

=

= 100 COS[21T1000t + 8(t)]. Il segnalemo5 cos (21/St), e la sensibilità del demodulatore è 8 Hz/V. Il segnale FM è

fatto passare attraverso un filtro passa-banda ideale con frequenza centrale 1000Hz, banda 56 Hz e guadagno unitario. Determinare la potenza media normalizzata (a) All'ingresso del filtro passa-banda. (b) All'uscita del filtro passa-banda.

.

5-31

Un segnale sinusoidale a l kHz modula in fase una portante a 146.52 MHz con deviazione di fase di picco pari a 45°. Valutare lo spettro di ampiezza del segnale PM nell'ipotesi che Ac = I e disegnare il risultato. Utilizzando la regola di Carson, valutare la banda approssimata e dire se si tratta di un risultato ragionevole rispetto al grafico dello spettro.

5-32

Un segnale sinusoidale a I kHz modula in frequenza una portante a 146.52 MHz con deviazione di frequenza di picco di 5 kHz. Valutare lo spettro di ampiezza del segnale PM nell'ipotesi che Ac = I e disegnare il risultato. Utilizzando la regola di Carson, valutare la banda approssimata e dire se si tratta di un risultato ragionevole rispetto al grafico dello spettro.

5-33

Si può usare un metodo basato sulle funzioni di Bessel per effettuare la calibrazione di uno strumento per la misura della deviazione di frequenza. Si genera un segnale FM di prova con una deviazione di frequenza massima nota modulando una portante con un segnalesinusoidale a 2 kHz. Si aumenta poi gradualmente l'ampiezza del segnale modulante a partire da zero finché sull 'analizzatore di spettro si misura una componente nulla alla frequenzaportante. Qual è la deviazione di frequenza di picco quando il termine alla portante è nullo?Si aumenti poi ulteriormente l'ampiezza del segnale modulante in modo che il termine di portante ricompaia, raggiunga un massimo e si annulli di nuovo. Qual è la deviazione di frequenza di picco in queste nuove condizioni?

5-34

Un modulatore di frequenza ha sensibilità pari a IO Hz/V, e il segnale modulante è O,

t< O O
....

m(t) =

15, j

5,

7, O,

l
(a) Disegnare la curva della deviazione di frequenza in Hertz sull'intervallo O < t < 5. (b) Disegnare la curva della deviazione di fase in radianti sull'intervallo O < t < 5.

'I

Esercizi proposti 5-35

381

Un segnale di prova rappresentato da un 'onda quadra con duty-cyc1e del 50% periodo l ms e simmetrica

rispetto a t

= O modula

in fase una portante producendo

il segnale s(t)

=

lO

cos [wc t + (J (t)]. La frequenza della portante è 60 MHz e la deviazione di fase di picco è 45°. Trovare lo spettro del segnale s(t). 5-36

5-37

La somma di due sinusoidi,m(t) = Al COSwlt + Azcos Wzt,modula in fase un'oscillazione portante.Trovareuna formulaper lo spettrodel segnalePM in funzionedei parametriAe, Wc,Dp'A l,Az, wheWz.[Suggerimento:Utilizzareeja(t) = (eja,(t»)(eja,(t»),dovea(t)= al(t) + az(t).] Disegnare lo spettro d'ampiezza passa-banda si un segnale FM quando il segnale modulante è m(t)

= Al cos

21Tfit + Az cos 211/zt

con Il = lO Hz,fz = 17 Hz, e con A l e Az tali che la deviazione di frequenza di picco sia 20 Hz. 5-38

5-39

5-40

5-41

5-42

Per piccoli valori di 13,la funzione Jn(f3) può essere approssimata con J,,(f3) = f3"/(2"n!). Mostrare che, nel caso di segnale modulante sinusoidale, il valore 13= 0.2 è sufficientemente piccolo da fornire una modulazione NBFM. Un'onda quadra con duty-cyc1e 50% ampiezza di picco 5 V, periodo di 5 ms e antisimmetrica rispetto all'origine è il segnale modulante di un trasmettitore NBFM con deviazione di fase di picco pari a 10°. (a) Determinare la deviazione di frequenza di picco per il segnale NBFM. (b) Valutare e rappresentare graficamente lo spettro del segnale NBFM supponendo che la frequenza portante sia 30 MHz. Disegnare lo schema di un trasmettitore FM a banda larga che utilizza il metodo indiretto. Il segnale FM deve avere frequenza portante pari a 96.9 MHz e deviazione di picco di 75 kHz quando viene modulato da una sinusoide di l V (eff) a frequenza 20 Hz. Indicare le frequenze centrali e le deviazioni di picco nei vari punti dello schema. Il segnale FM, 100 cos[wet + DJ

J~ m(u)

du],

con/e

=

420 MHz è modulato dal segna-

le mostrato in Figura EP5-41. (a) Determinare il valore della sensibilità DJ in modo che la deviazione di frequenza piccopicco sia 215 kHz. (b) Valutare e rappresentare graficamente lo spettro approssimato. (c) Determinare la banda del segnale FM in modo che le componenti esterne alla banda abbiano un' ampiezza inferiore a 40 dB rispetto al livello della portante non modulata. Il segnale periodico mostrato in Figura EP5-42 è utilizzato come segnale modulante in un trasmettitore WBFM. Valutare e rappresentare graficamente lo spettro del segnale WBFM nel caso Ac = 5,fe = 2 GHz, e DJ = 105. Volt lO

-lO

Figura EP5-41

382

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali Volt T I

5 3

m(t)

l

I I

2

I 3

4

5

I 6

I 8

7

t (ms)

-1 -3 -5

Figura EP5-42 5-43

5-44

Si consideri la Figura 5-16b, dove è illustrato il circuito per un filtro di preenfasi. (a) Dimostrare cheti = 1/(27TR1C). (b) Dimostrare che h = (R, + Rz)/(27TR,RzC) = 1/(27TRzC). (c) Esprimere la costante K in funzione dei parametri del circuito. Il segnale composito (multiplex) per la trasmissione FM stereo è dato da mb(t)

"

= [mL(t) + mR(t)] + [mL(t) -

mR(t)] cos(cusct) + K cos(4cusct)

Un ricevitore FM stereo utilizza il demultiplatore a campionamento della Figura EP5-44 per recuperare i segnali mL(t) e mR(t). (a) Disegnare qualitativamente le forme d'onda di sincronismo nei punti C e D che controllano i campionatori, trovando in particolare per ognuna il ritardo opportuno. (b) Dimostrare che h

= (R l

+ Rz)/(27TR I RzÒ

- l/(27TRz C).

(c) Trovarel'espressionedei segnalinei puntiA-F, e spiegareil funzionamentodel circuito. 5-45

In un sistema di comunicazione, si trasmettono simultaneamente due segnali in banda base (analogici o digitali) utilizzando il segnale RF s(t)

=

ml(t) cos cuet + mz(t) sin cuet

La frequenza portante è 7.25 MHz, mentre le bande dei segnali mi (t) e mz(t) sono rispettivamente 5 kHz e lO kHz. (a) Valutare la banda di s(t). (b) Trovare l'espressione dello spettro di s(t) in funzione di M,(f) e Mz(f).

Uscita Ricevitore FM

del rivelatore FM

Filtro "notch" I A a 19 kHz

E

..

LPF

2mL(t)

Commutatori analogici Filtro BP a bandal B stretta attorno

PLL

a 19 kHz

Figura EP5-44

F

..

LPF

2mR(t)

Esercizi proposti

383

(c) I segnali mI (t) e m2(t) possono essere ricavati dal segnale s(t) utilizzando un ricevitore supereterodina con due rivelatori a campionamento. Determinare lo schema a blocchi del ricevitore e disegnare le forme d'onda che controllano la temporizzazione dei campionatori. Dimostrare che il criterio del campionamento di Nyquist è verificato. [Suggerimento: Considerare la Figura EP5-44]. 5-46 Un segnale in banda base formato da una sequenza di impulsi rettangolari con velocità d'informazione pari a 24 kbit/s è trasmesso su un canale passa-banda. (a) Valutare lo spettro di ampiezza del segnale modulato OOK considerando una sequenza di prova formata dai simboli binari l e O alternanti. (b) Disegnare lo spettro trovato e indicare la banda al primo nullo. (c) Trovare la DSP per dati aleatori, e commentare il risultato rispetto a quello ottenuto ai punti (a) e (b). 5-47 Ripetere l'Esercizio 5-46 per il caso di modulazione BPSK. 5-48 Una portante è modulata d'angolo da un segnale polare in banda base. Il segnale modulato è s(t)

=

lO cos[wct

+ Dpm(t)].

dove m(t)

= :1:1. Si supponga

di trasmettere

la sequenza

10010110, con Tb = 0.0025 s e Wc = 10001Te, utilizzando MATLAB, si disegni il segnale BPSK e lo spettro calcolato mediante FFT in corrispondenza degli indici di modulazione:

Q --

(a) h

5-49

5-50

5.51

Segnale BPSK di ingresso

= 0.2.

(b) h = 0.5. (c) h = 1.0. Valutare lo spettro di ampiezza di un segnale FSK con simboli l e O alternanti. Si assuma che la frequenza di mark sia 50 kHz, la frequenza di space sia 55 kHz e che la velocità di informazione sia 2400 bit/s. Trovare infine la banda al primo nullo. Una sequenza di dati aleatoria a 4800 bit/s è inviata su di un canale passa-banda mediante una segnalazione BPSK. Trovare la banda di trasmissione Br in modo che, al di fuori della banda, l'inviluppo dello spettro di potenza sia attenuato di almeno 35 dB. Come mostrato nella Figura 5-22a, un segnale BPSK può essere demodulato utilizzando un demodulatore coerente, dove il riferimento di portante è ricavato con un anello di Costas. In alternativa, il riferimento può essere fornito da un anello quadratore che utilizza un moltiplicatore di frequenza X2 come mostrato nella Figura EP5-51. (a) Disegnare lo schema a blocchi dell'intero ricevitore BPSK con anello quadratore. (b) Dimostrare che l'anello quadratore ricava effettivamente un riferimento di portante. (c) Dire se il quadratore ha o meno ambiguità di fase di 180°.

Moltiplicatore

di frequenza x2

1

'

1Anello ad aggancio di fase 1

I I

1

Filtro:

d'anello

:I

I I I I 1 1 Divisore di frequenza +2

Portante di riferimento

in uscita

Figura EP5-51

384

Capitolo 5 - Modulazioni analogiche e digitali 5.52

In un sistema DPSK i dati sono dapprima codificati in modo differenziale e poi modulano in fase un trasmettitore. La deviazione di fase picco-picco è 1800 e la frequenza le è un multiplo intero del tasso di infonnazione R. (a) Disegnare lo schema a blocchi del trasmettitore e in particolare del codificatore differenziale. (b) Disegnare i segnali presenti nei vari punti del trasmettitore nel caso che la sequenza dei dati sia O lO 11000 lO 1.

5.53

5.54 5.55 5.56

5.57

(c) Per un ricevitore supereterodina con il demodulatore di Figura EP5-52 (dove T = I/R) detenninare la soglia del decisore Vr supponendo che il segnale IF DPSK VI(t) abbia valore di picco pari ad Ac. (d) Disegnare i segnali presenti nei vari punti del ricevitore nel caso che la sequenza dei dati sia quella del punto (b). Un segnale binario in banda base è filtrato con un filtro a coseno rialzato con rolloff del 50% e modula una portante. La velocita di infonnazione è 64 kbit/s. Valutare (a) La banda assoluta del segnale OOK. (b) La banda approssimata del segnale FSK quando la frequenza di mark è 150 kHz e la frequenza di space 155 kHz. (Nota: Considerare le bande ottenute negli Esercizi 5-46 e 5-49.) Valutare lo spettro di ampiezza del segnale FSK trasmesso dal modem V.21 operante nel modo di interrogazione a 300 bit/s. Si supponga di trasmettere una sequenza di 1 e O alternanti. Partendo dalla (5-84), dettagliare tutti i passaggi che conducono alla (5-85). Nella demodulazione coerente di un segnale FSK, come mostrato in Figura 5-28b, si assume che i riferimenti cos £tI1t e cos W:2t siano ortogonali. Questo è approssimativamente vero se Il - h = 2 M è sufficientemente grande. Trovare la condizione esatta affinchè i segnali mark e space del segnale FSK siano ortogonali. [Suggerimento: La risposta consiste nel trovare una relazione tra Il '/2, e R.] Dimostrare che la banda approssimata

di un segnale FSK è data da Br

=

2R (1 + h/2), do-

ve h è l'indice di modulazione e R è la velocità di informazione. 5.58

Un segnale QPSK è utilizzato per inviare dati con una velocità di infonnazione di 30 Mbit/s attraverso un transponder satellitare avente banda 24 MHz. (a) Se il segnale è filtrato per avere una sagomatura a coseno rialzato, qual è il fattore di rolloff utilizzato? (b) È possibile scegliere un fattore di rolloff tale da rendere possibile la trasmissione alla velocità di 50 Mbit/s?

5.59

Un segnale QPSK viene generato utilizzando su entrambi i canali I e Q impulsi aventi una sagomatura pari alla radice di coseno rialzato in frequenza. (a) Trovare l'espressione della DSP del segnale QPSK.

-------------------------

I I I I I

~

Integratore (n + I) r (v)dt nr

J

V4 (t) Campionamento e tenuta t=nT

I I I V5 (t) II I I I I

Filtro adattato ~

Figura EP5-52

Decisore a soglia

Uscita binario bipolare v6 (t)

Esercizi proposti

385

(b) Disegnare il grafico della DSP in dB per l'inviluppo complesso del segnale QPSK in corrispondenza di un fattore di rolloff r = 0.35 e normalizzando l'asse delle frequenze alla velocità di informazione, come in Figura 5-33. 5-60

Dimostrare che due sistemi BPSK possono funzionare simultaneamente sullo stesso canale utilizzando portanti in quadratura e disegnare lo schema a blocchi del relativo trasmettitore e ricevitore. Qual è la velocità di informazione globale per questo sistema utilizzante le portanti in quadratura in funzione della banda di nullo del canale? Qual è la relazione tra la velocità di informazione del sistema in questione e quella che si ottiene con un sistema che utilizza la multiplazione TDM per le due sorgenti e trasmette il flusso dati risultante con una portante QPSK (a parità di banda)?

5-61

Un doppino telefonico di lunghezza 5400 m ha una banda utile pari a 750 kHz. Trovare la massima velocità di informazione che questa linea può sostenere trasmettendo un segnale con banda di nullo di 750 kHz e (a) una segnalazione QPSK a singola portante con impulsi rettangolari; (b) una segnalazione OFDM con portanti QPSK.

5-62

Una linea telefonica viene equalizzata per permettere la trasmissione passa-banda di dati sull'intervallo 400-3100 Hz in modo tale che la banda "piatta" utile sia 2700 Hz attorno alla frequenza di centro banda di 1750 Hz. Progettare un sistema l6QAM mediante il quale è possibile trasferire dati con velocità di informazione pari a 9600 bit/s. Scegliere un opportuno fattore di rolloff r, giustificandone il valore, e indicare la banda assoluta e a 6 dB del segnale QAM.

5-63 Nell'ipotesi di R = 9600 bit/s e impulsi rettangolari. Calcolare la banda al secondo nullo per la modulazione BPSK, QPSK, MSK, 64PSK, 64QAM. Discutere vantaggi e svantaggi nell'usare ognuna delle modulazioni indicate. 5-64 Con riferimento alla Figura 5-31b, disegnare qualitativamente i segnali all'uscita di ogni blocco, nell'ipotesi che l'ingresso sia un segnale TTL con dati 110100101 e f = 4. Spiegareil funzionamento del trasmettitore QAM. 5-65 Ricavare lo schema a blocchi di un ricevitore per una segnalazione QAM con una costella-

zione di segnali a M = 16 punti. Spiegare il funzionamento del ricevitore QAM. [Suggerimento: Considerare la Fig. 5-3lb]. 5-66

Utilizzando MATLAB, disegnare i segnali sul canale in fase e su quello in quadratura per le modulazioni QPSK e OQPSK, utilizzando impulsi rettangolari e nell'ipotesi che il flusso dati sia {-l, -l, -l, +1, +1, +1, -l, -l, -l, +1, -l, -l, +1, -l, -l} Per semplicità si pone Tb =

l.

5-67Per una segnalazione

7T/4QPSK, (a) Calcolare gli sfasamenti della portante quando il flusso dati di ingresso è 10110100101010. (b) Trovare la banda assoluta del segnale utilizzando un filtraggio a coseno rialzato con fattore di rolloff r = 0.5 e con velocità di informazione pari a 1.5 Mbit/s.

5-68

Dimostrare che la (5-1l4b) è la trasformata di Fourier di (5-1l4a).

5-69

Utilizzando MATLAB, disegnare le componenti x(t) e y(t) di un segnale FFSK per la sequenza di dati in ingresso {+l, -l, -l, +1, -l, -l, +1, -l, -l, +1, +1, -l, +1, +1, -l} Porre per semplicità Tb = 1.

386

Capitolo 5 5-70

- Modulazioni

analogiche e digitali

Ripetere l'Esercizio 5-69, ma con i dati {-l, -l, -l, +1, +1, +1, -l, -l, -l, +1, -l, -l, +1, -l, -l} Questo flusso dati è la versione codificata in forma differenziale di quello usato nell'Esercizio 5-69. Che relazione c'è tra i segni degli impulsi sulle componenti l/Q e i dati modulanti FSK?

5-71

Utilizzando MATLAB, disegnare le componenti x(t) e y(t) di un segnale MSK di tipo n, assumendo come dati in ingresso l-l,

I I

-l,

-1, +1, +1, +1, -l,

Porre per semplicità Tb

-l,

-l,

+1, -l,

-l,

+1, -1, -Il

= l.

5-72

Dimostrare che la MSK può essere realizzata con il metodo seriale della Figura 5-36c. Dimostrare che la DSP all'uscita del filtro passa-banda MSK è lo spettro del segnale MSK descritto dalle (5-115) e (5-2b).

5.73

Il segnale GMSK si ottiene filtrando un segnale dati polare NRZ a impulsi rettangolari con un filtro Gaussiano e applicando il tutto a un modulatore MSK. (a) Dimostrare che l'impulso filtrato dal filtro Gaussiano è

p(t)

Il

f

= (~ 1~~)(BTb)

~~b _+:e -[~;~ (BTb)2x2] dx TBb 2

il

[Suggerimento: Valutare p(t) = h(t)*ll(t/Tb), dove h(t) = ~-I[H(f)] con H(f) descritta dalla (5-116)]. (b) Disegnare p(t) per BTb = 0.3 e Tb normalizzato a Tb = l. 5.74 5.75

Calcolare l'efficienza spettrale dei segnali di Tabella 5-5 utilizzando il criterio della banda a -40 dB. Valutare e disegnare il grafico della DSP per il segnale OFDM con N

=

64. Trovare la ban-

da per questo segnale se la velocità di informazione è lO Mbit/s e ogni portante utilizza la modulazione 16QAM. 5.76

Dimostrare la formula (5-123) per la funzione di autocorrelazione di un codice PN basato sulle sequenze-m. Suggerimento: Utilizzare la definizione di funzione di autocorrelazione Re(7) = (c(t)c(t + r), dove 00

--00

con l, p(t)

5.77

= { O,

O < t < Te altrove

Trovare l'espressione della DSP di un codice PN basato sulle sequenze-m nell'ipotesi che la velocità di chip sia lO MHz e che il registro a scorrimento abbia otto elementi. Disegnare qualitativamente il risultato.

Esercizi proposti 5-78

5.79

387

Con riferimento alla Figura 5-40a, dimostrare che i coefficienti di Fourier della funzione di autocorrelazione di un segnale di espansione basato su di una sequenza-m sono dati dalla (5-128). In un sistema FH/SS come quello di Figura 5-42 si utilizza la modulazione FSK. (a) Trovare l'espressione del segnale FSK-FH/SS s(t) all'uscita del trasmettitore. (b) Utilizzando il segnale trovato al punto (a) come ingresso per il ricevitore di Figura 5-42b, [cioè r(t) = s(t)], dimostrare che l'uscita del filtro passa-banda del ricevitore è di nuovo un segnale FSK.

-- -.J

---

--

I L

...

Punti principali . Processialeatori . Densitàspettrale di potenza

. . .

Caratteristiche

dei sistemi lineari Processi aleatori

Gaussiani Il filtro adattato

PROCESSI ALEATORI E ANALISI SPETTRALE

Questo capitolo tratta gli strumenti matematici necessari allo studio dei segnali aleatori e del rumore. Come si ricorderà dal Capitolo l, per trasportare l'informazione vengono impiegati segnali casuali, o aleatori (in contrasto con quelli determinati), e anche i disturbi (in particolare il rumore) vengono descritti in termini statistici. Di conseguenza, la conoscenza dei segnali aleatori e del rumore è fondamentale per comprendere appieno il funzionamento di un sistema di comunicazione. Il capitolo è rivolto a lettori con una conoscenza elementare della teoria della probabilità, delle variabili aleatorie e delle medie statistiche, tutti concetti peraltro approfonditi nell'Appendice B. Se il lettore non ha familiarità con tali argomenti, è opportuno che esamini preliminarmente la suddetta appendice come se si trattasse di un vero e proprio capitolo. Per chi invece ha già una certa esperienza in questo campo, l'Appendice B potrà servire per un veloce ripasso. I processi aleatori sono un' estensione del concetto di variabile aleatoria, nel momento in cui viene preso in considerazione anche il parametro tempo. Come vedremo, ciò consente di includere tra i parametri statistici anche una descrizione spettrale.

390

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Sorgente di rumore

v(t)

t/ v]

= v(t]) = {v(t],E;),perognii}

V2 = V(t2) = {v(t2, Ei), per ogni i}

Figura 6-1 Sorgente di rumore casuale e funzioni campione di un processo aleatorio.

6-1 DEFINIZIONI FONDAMENTALI Processi aleatori DEFINIZIONE.Un processo aleatorio è un insieme ordinato di funzioni reali di un certo parametro (in genere il tempo) che gode di determinate proprietà statistiche.

, II I I

I Il

J I Il

Si considerino i possibili segnali emessi da una sorgente di rumore (Fig. 6-1). Una forma d'onda possibile è v(t, E,); un'altra è v(t, E2). In generale, v(t, Ej) indica la forma d'onda che si ottiene quando si verifica l'evento Ej nello spazio campione di un esperimento aleatorio. v( t, Ej) è una funzione campione dello spazio campione. Le possibili funzioni campione {v( t, Ej)} costituiscono l'insieme delle realizzazioni; quest'ultimo definisce il processo aleatorio v( t) che a sua volta caratterizza la sorgente rumorosa. In altri termini, gli eventi {Ej} vengono "mappati" in un insieme di funzioni del tempo {v(t, Ej)}, e questa mappa (assieme alla raccolta delle funzioni campione) costituisce il processo aleatorio v(t). Quando osserviamo la tensione generata da una sorgente di fUmore, stiamo in realtà considerando una delle possibili funzioni campione. Le funzioni campione si possono ottenere osservando simultaneamente l'uscita di più sorgenti di rumore identiche fra loro. Naturalmente, per ottenere tutte le funzioni campioni in generale, sarebbe necessario un numero infinito di sorgenti di rumore. Confrontiamo la definizione di processo aleatorio con quella di variabile aleatoria. Una variabile aleatoria fa corrispondere gli eventi a valori costanti, mentre un processo li fa corrispondere a funzioni del parametro t.

6-1

Definizioni fondamentali

391

TEOREMA. Un processo aleatorio può essere descritto da un insieme ordinato di variabili aleatorie. Con riferimento alla Figura 6-1, definiamo un gruppo di variabili aleatorie VI = V(tl), V2 = V(t2), ..., dove v(t) è il processo aleatorio. Chiaramente, la variabile aleatoria Vj

=

v(tj) assume i valori descritti dall'insieme

delle costanti {v(tj, E;), per ogni i}.

Ad esempio, una importante classe di processi usata per modellare il rumore elettronico, è tale che ciascuna delle variabili aleatorie ha una funzione densità di probabilità Gaussiana, cioè del tipo (6-1)

dove Vj ~ v(tj). Questa funzione di densità di probabilità dipende implicitamente dal tempo, poiché mj e Uj corrispondono rispettivamente al valor medio e alla deviazione standard misurate all'istante t = tj, che possono in generale variare. La distribuzione congiunta per N = 2 di una sorgente Gaussiana osservata in corrispondenza degli istanti t = ti e t = t2 è la densità di probabilità (congiunta) di due variabili congiuntamente Gaussianefv(v\, V2), dove VI = V(tl) e V2 = V(t2)' Per caratterizzare un generico processo aleatorio x( t) in modo completo, è necessaria la densità di probabilità fx( x), di ordine N, x = (XI, X2, . . ., Xj, . . ., XN), dove Xj ~ x(tj) e N è arbitrariamente grande. Questa densità di probabilità è una funzione impli. cita di N costanti temporali ti, t2, . . ., tN, quindi la notazione più appropriata è (6-2) I processi aleatori possono essere ad ampiezze continue o discrete. Un processo aleatorio continuo non è altro che un processo aleatorio cui vengono associate variabili aleatorie Vj = v(tj) con distribuzione continua. Il processo aleatorio Gaussiano (descritto in precedenza) è un esempio di processo aleatorio continuo. Il rumore nei circuiti lineari dei sistemi di comunicazione è in genere di tipo continuo (e spesso lo è anche il rumore dei componenti non lineari). Un processo aleatorio discreto è invece definito da una insieme di variabili aleatorie con distribuzione discreta. Ad esempio, l'uscita di un limitatore ideale è un processo aleatorio binario, cioè discreto a due livelli. In Figura 6-2 sono riportate alcune funzioni campione di un processo aleatorio binario.

Stazionarietà

ed ergodicità

DEFINIZIONE.

Un processo aleatorio x(t) è stazionario di ordine N se, per ogni ti,

dove to è una traslazione temporale arbitraria. Esso è inoltre stazionario in senso stretto se è stazionario di ordine N -7 00 con N qualunque.

392

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale x (t,E1)

-

r---

t-

O

i-x(t, E2)

r---

O

-

(-

O

(-

O

(-

Figura 6.2

Funzioni campione di un processo aleatorio binario.

Il significato di questa definizione è semplice: se un processo stazionario di ordine N viene traslato nel tempo, allora le statistiche di ordine N (e di tutti gli ordini inferiori) non cambiano.Inoltre,la densitàdi probabilitàdi ordineN dipendesoltantodalleN - l differenze fra gli istanti temporali t2 - tI, t3 - tI, . . ., tN - tI (per convincersene basta scegliere formalmente to = -tI). Esempio

6-1 STAZIONARIETÀ DEL PRIMO ORDINE

Consideriamo il processo aleatorio: x(t)

=A

sin(U-\]t + 80)

(6-4)

ove t è naturalmente il parametro temporale, e studiamone la stazionarietà del primo ordine sotto varie ipotesi.

6-1

Definizioni fondamentali

393

CASO 1: PROCESSO STAZIONARIO. Supponiamo che le costanti A e C'-U siano detenninate (assegnate), mentre 80 sia una variabile aleatoria unifonnemente distribuita fra -7T e 7T.Allora 1/1g, 80 + C'-Ut è una variabilealeatoriaunifonnementedistribuitasull'intervallo C'-Ut- 7T< 1/1< C'-Ut+ 7T.La densità di probabilità del primo ordine di xCt) si ottiene come soluzione di un problema di trasfonnazione di variabile aleatoria del Paragrafo B-8 dell'Appendice B. Si tratta in sostanza dello stesso problema affrontato nell'Esempio B-5. Dalla (B-71), la densità di probabilità del primo ordine di xCt) risulta fCx)

l .01

= [

o'

se

O,

Ixl:5 A altrimenti

(6-5a)

Visto che tale densità di probabilità non è funzione di t, xCt) è un processo stazionario del primo ordine. Questo risultato è applicabile ai problemi in cui 80 è la fase iniziale di un oscillatore non ancora sincronizzato, quindi incognita e completamente casuale. CASO 2: PROCESSO NON STAZIONARIO. Ipotizziamo che A, C'-U e 80 siano tutte costanti detenninate: stiamo esaminando un caso particolare in cui il processo aleatorio "degenera" in un segnale perfettamente detenninato. Allora, a ogni istante, il valore di xCt) è noto con probabilità unitaria e la sua densità di probabilità del primo ordine risulta fCx)

= 8Cx -

A sinCC'-Ut+ 80»

(6-5b)

Questa densità di probabilità è funzione di t, quindi xCt) non è stazionario del primo ordine. Tale risultato è significativo del caso in cui l'oscillatore è sincronizzato con una qualche sorgente esterna in modo che la sua fase iniziale risulti nota e pari a 80.

DEFINIZIONE.Un processo aleatorio è ergodico se la media temporale di ciascuna delle funzioni campione (o di trasformazioni di questa) coincide con il valore atteso del processo stesso (o della stessa trasformazione). Due caratteristiche fondamentali di un segnale sono il valor medio e il valore efficace. Tali grandezze sono definite in termini di medie temporali, ma se il processo è ergodico, possono essere determinate anche attraverso medie statistiche. Il valore in continua di x(t) è Xdc~ (x(t). Quando x(t) è ergodico, la media temporale coincide con quella statistica e cioè Xdc

" = (x(t)

==

[x(t)]

= mx

(6-6a)

[x(t)]dt

(6-6b)

dove la media temporale è l

([x(t)])

= lim -

T~'" T

f

T/2

-T/2

e la media statistica è [x(t)]

= foo--00[x]fAx)dx

= mx

(6-6c)

Analogamente, il valore efficace si ottiene come Xeff ~ ~(x2(t)

dove O; è la varianza di x( t).

==

~

= ~o; + m;

(6-7)

394

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Riassumendo, se un processo è ergodico, le medie temporali e statistiche risultano "intercambiabili". La media statistica è un valore costante indipendente del tempo, poiché tale parametro è stato, appunto, mediato. Ne segue che un processo ergodico deve essere stazionario, poiché se così non fosse la media statistica (così come i momenti) sarebbero funzioni del tempo. Viceversa, non è detto che un processo stazionario sia ergodico. Esempio

6-2 PROCESSO ALEATORIO ERGODICO

Consideriamo di nuovo il processo x(t)

=A

(6-8)

cos(C<.\)t+ O)

dove A e C<.\) sono costanti e Oè una variabile aleatoria unifonnemente distribuita su (°, 217'). Per prima cosa, valutiamo alcune medie statistiche. Il valore atteso e il momento del secondo ordine sono oo

1

21T

l' = J-00 [x(O)]fe(O)dO =

Jo

[Acos(C<.\)t + O)]2 17'dO= °

(6-9)

e

x2(t)

=

f

21T

o

[A cos(C<.\)t+ 0)]2 -

1

217'

A2

dO = -

2

(6-10)

In questo esempio, il parametro t scompare nel momento in cui si esegue la media, e ciò è indice di stazionarietà. Come ulteriore passo, valutiamo le corrispondenti medie temporali usando una funzione campione rappresentativa del processo aleatorio. Ciò significa riprendere l'espressione (6-8) intendendo però x(t,Et) = A cos C<.\)t, come fissato. Le medie temporali corrispondenti sono 1

(x(t)

TO

=- J To o

A cos(C<.\)t+ O) dt

=

°

(6-11)

e (x2(t)

=-

l

f

TO

A2

[A cos(C<.\)t + 0)]2dt =- 2 To o

(6-12)

dove To = llfo e dove si è impiegato l'operatore di media temporale per funzioni periodiche [si veda la (2-4)]. Anche in questo caso, Oscompare nel momento in cui si va a valutare la media temporale, e quindi il risultato è lo stesso per qualunque funzione campione. Questa è sicuramente una condizione necessaria all'ergodicità. Se il processo non fosse ergodico, la media temporale sarebbe ad esempio risultata una variabile aleatoria dipendente da x(t). Confrontando la (6-9) con la (6-11) e la (6-10) con la (6-12), osserviamo che la media temporale coincide con quella statistica per i momenti del primo e del secondo ordine. Di conseguenza, saremmo portati a concludere che il processo sia ergodico. In realtà non abbiamo valutato tutte le possibili medie temporali e statistiche o tutti i possibili momenti, come prevede la definizione. In generale, è piuttosto difficile dimostrare l'ergodicità di un processo, per cui talvolta (empiricamente) lo considereremo tale quando risulta stazionario e quando alcune delle sue medie temporali coincidono con quelle statistiche.

6-1

Definizioni fondamentali

395

Vedremo nell'Esercizio 6-2 al termine del capitolo che il processo aleatorio (6-8) risulta non stazionario (e, di conseguenza, non ergodico) se (Jè uniformemente distribuita su (O, 1T/2) invece che su (O, 21T).

Funzioni di correlazione DEFINIZIONE.

e stazionarietà

in senso lato

Lafunzione di autocorrelazione di un processo x(t) è

RAtl, t2) = x(tdX(t2) =

(6-13) foo -00 foo -00 xlx2fAxl,

X2) dXI

dX2

= X(tl) e X2 = X(t2)' Se il processo è stazionario del secondo ordine, la funzione di autocorrelazionel dipende solo dalla differenza temporale r = t2 - ti.

dove XI

RA r) = x(t)x(t + r) DEFINIZIONE.

(6-14)

Un processo aleatorio è stazionario in senso lato se l. X(t)

=

(6-15a)

costante

2. Rx(ti, t2) = Rx(-r) dove r

= t2

(6-15b)

- ti.

Un processo stazionario di ordine 2 o superiore è stazionario in senso lato. Il viceversa non è necessariamente vero, poiché solo alcune medie statistiche, e in particolare, quelle delle equazioni (6-15), devono risultare invarianti alle traslazioni temporali per avere stazionarietà in senso lato.2 Come indicato dalla (6-15), la media e la funzione di autocorrelazione di un processo stazionario in senso lato non cambiano in seguito a un' eventuale traslazione dall'origine dell'asse temporale. La funzione di autocorrelazione ci dà un'idea della risposta in frequenza associata a un processo aleatorio. Ad esempio, se RA r) rimane costante man mano che rcresce da Overso un qualche valore positivo, allora, mediamente, i campioni di X prelevati agli istanti t = ti e t = ti + r saranno più o meno gli stessi. Di conseguenza, x(t) non varia (in media) nel tempo in modo significativo e le sue componenti spettrali dovrebbero essere concentrate alle basse frequenze. D'altra parte, se x( t) decresce velocemente al crescere di RA r) allora ci aspettiamo rapide variazioni di r inel tempo e quindi componenti a frequenze elevate. Riformuleremo in modo più rigoroso tale risultato nel Paragrafo 6-2, dove dimostreremo che la densità spettrale di potenza del processo è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione. Le proprietà della funzione di autocorrelazione di un processo stazionario in senso lato sono le seguenti: l. RAO)

=

x2(t)

=

momento del secondo ordine

(6-16)

2. RAr) = Rx(-r)

(6-17)

3. RAO) :2:IRAr)1

(6-18)

l La funzione di autocorrelazione mediata nel tempo (2-68) coincide con la funzione di autocorrelazione statistica (6-14) quando il processo è ergodico. 2 Un'eccezione è rappresentata implica anche quella in senso stretto.

dai processi aleatori Gaussiani,

per i quali la stazionarietà

in senso Iato

396

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Le prime due proprietà derivano direttamente dalla definizione di Rx( r), riportata in (6-14). Inoltre, se x(t) è ergodico, R(O) coincide con il quadrato del valore efficace di x(t). La Proprietà 3 si dimostra come segue: [x(t):I:: x(t + r)]2 è una quantità non negativa, quindi [x(t) :t x(t + T)]2 ;:::O o

Questa equazione è equivalente a

che corrisponde alla Proprietà 3. Definiamo adesso la funzione di correlazione fra due processi aleatorio DEFINIZIONE.Lafunzione di correlazione mutua (correlazione incrociata o crosscorrelazione) di due processi x(t) e y(t) è (6-19) Inoltre, se x (t) e y( t) sono congiuntamente stazionari,3 la funzione di correlazione mutua diventa

dove r

= t2

- t(.

Altre proprietà della funzione di correlazione mutua dei processi reali congiuntamente stazionari sono

1. Rxi-r)

(6-20)

= Ryx( r)

(6-21)

2. IRxy(r)1 ::5~Rx(O)Ry(O) e

(6-22) La prima proprietà segue direttamente dalla definizione (6-19). La Proprietà 2 segue dalla considerazione che, per ogni costante reale K, [x(t) + Ky(t + r)]2 ;::: O

(6-23)

Espandendo la (6-23), otteniamo una disuguaglianza quadratica in K: (6-24) Affinché la (6-24) sia verfificata per ogni K reale, il discriminante del polinimio in K (6-24) deve essere non positivo: 3 In modo analogo alla (6-3), x(t) fxy{x..

fxy(x""

..., XN, Ylo ...,

YM; tlo ...,

e y(t) sono congiuntamente

tN, tN + lo ...,

stazionari quando

tN + M) =

.,XN, y.. ..", YM;ti + to,."", tN + to, tN + I + to,""", tN + M + to), con N e M arbitrari.

6-1

Definizioni fondamentali

397 (6-25)

da cui segue la Proprietà 2, (6-21). La Proprietà 3 segue direttamente dalla (6-24) ponendo K = :1::1.Inoltre, IRxy(r)1 s VRxCO)Ry(O)s HRxCO)+ Ry(O)]

(6-26)

poiché la media geometrica dei due numeri positivi RxCO)e Ry(O)non può essere maggiore di quella aritmetica. La funzione di cross-correlazione dei due processi aleatori x( t) e y( t) è una generalizzazione del concetto di correlazione di due variabili aleatorie definita dalla (B-91). In questo caso, XI viene sostituita da x(t) e X2 da y(t + r). Di conseguenza, due processi aleatori si dicono incorrelati se Rxy(r)

=

[x(t)][y(t + T)]

= mxmy

(6-27)

per ogni valore di r. Analogamente,due processialeatori,x(t) e y(t) si dicono O1.tOgOnali se (6-28)

valoredi r. Se y(t) = x(t), la funzione di correlazione mutua coincide con quella di autocor-

per ogni

relazione. In questo senso, la funzione di autocorrelazione è un caso particolare di quella di correlazione mutua. Ovviamente, quando y(t) == x(t), tutte le proprietà della funzione di correlazione mutua coincidono con quelle della funzione di autocorrelazione. Se i processi aleatori x(t) e y(t) sono congiuntamente ergodici, possiamo scambiare la media temporale con quella statistica, cioè per la funzione di correlazione si ha Rxy(r) £ x(t)y(t

+ r) ==(x(t)y(t

+ r)

(6-29)

dove 1

f

T/2

(6-30) [.] dt T-+00 T -T/2 In questo caso, la funzione di correlazione mutua o di autocorrelazione può essere misurata tramite un circuito elettronico che consiste di una linea di ritardo, di un moltiplicatore e di un integratore, come rappresentato in Figura 6-3.

([.]) = lim -

Processi aleatori complessi Nei capitoli precedenti abbiamo introdotto il concetto di inviluppo complesso g( t) di un segnale passa-banda. I segnali aleatori passa-banda possono anch'essi essere caratterizzati attraverso un inviluppo complesso g( t) che costituisce un processo aleatorio complesso in banda base. DEFINIZIONE.

Un processo aleatorio complesso ha la forma g(t) £ x(t) + jy(t)

dove x( t) e y( t) sono processi aleatori reali e j

(6-31)

= R.

Un processo complesso è stazionario in senso stretto se x( t) e y( t) sono congiuntamente stazionari in senso stretto; cioè se la densità di probabilità congiunta

L

" I

396

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Le prime due proprietà derivano direttamente dalla definizione di RA r), riportata in (6-14). Inoltre, se x(t) è ergodico, R(O) coincide con il quadrato del valore efficace di x(t). La Proprietà 3 si dimostra come segue: [x(t) :I::x(t + r)]2 è una quantità non negativa, quindi [x(t) :t x(t + r)]2 ~ O o X2(t) :I::2x(t)x(t

+ r) + x2(t + r) ~ O

Questa equazione è equivalente a

che corrisponde alla Proprietà 3. Definiamo adesso la funzione di correlazione fra due processi aleatorio DEFINIZIONE.Lafunzione di correlazione mutua (correlazione incrociata o crosscorrelazione) di due processi x(t) e y(t) è (6-19) Inoltre, se x(t) e y(t) sono congiuntamente stazionari,3 la funzione di correlazione mutua diventa

dove r

= t2 -

t(.

Altre proprietà della funzione di correlazione mutua dei processi reali congiuntamente stazionari sono 1. Rxy{-r)

= Ryx( r)

(6-20) (6-21)

2. IRxY{r)1 ::5 ~Rx(O)Ry(O)

e (6-22) La prima proprietà segue direttamente dalla definizione (6-19). La Proprietà 2 segue dalla considerazione che, per ogni costante reale K, [x(t) + Ky(t + r)]2 ~ O

(6-23)

Espandendo la (6-23), otteniamo una disuguaglianza quadratica in K: [Ry(O)]K2 + [2Rxy(r)]K + [Rx(O)] ~ O

(6-24)

Affinché la (6-24) sia verfificata per ogni K reale, il discriminante del polinimio in K (6-24) deve essere non positivo:

fx)'(x(,

3 In modo analogo alla (6-3), x(t) e y(t) sono congiuntamente ,... XN. YI, "" YM; tI. ,. '. tN. tN + (, "'. tN + M) =

stazionari quando

fx)'(x(, .. .,XN. Y(, .. " YM;ti + to, ,. " tN + to, tN + I + to. "., tN + M + to), con N e M arbitrari.

6-1

Definizioni fondamentali

[2Rxy(7)J2 - 4[Ry(0)][Rx(0)]

:5 O

397

(6-25)

da cui segue la Proprietà 2, (6-21). La Proprietà 3 segue direttamente dalla (6-24) ponendo K = :1:1.Inoltre, IRxy( 7)1 :5 ~Rx(O)Ry(O)

:5 HRxCO)

+ Ry(O)]

(6-26)

poiché la media geometrica dei due numeri positivi RxCO)e Ry(O) non può essere maggiore di quella aritmetica. La funzione di cross-correlazione dei due processi aleatori x(t) e y(t) è una generalizzazione del concetto di correlazione di due variabili aleatorie definita dalla (B-9l). In questo caso, XI viene sostituita da x(t) e X2 da y(t + 7). Di conseguenza, due processi aleatori si dicono incorrelati se Rxy( 7)

= [x(t)][y(t + 7)] = mxmy

(6-27)

per ogni valore di 7. Analogamente,due processialeatori,x( t) e y(t) si diconoortogonati se (6-28)

per ogni valoredi 7. Se y(t) = x(t), la funzione di correlazione mutua coincide con quella di autocorrelazione. In questo senso, la funzione di autocorrelazione è un caso particolare di quella

di correlazionemutua.Ovviamente,quandoy(t)

==

x(t), tutte le proprietàdella funzione

di correlazione mutua coincidono con quelle della funzione di autocorrelazione. Se i processi aleatori x( t) e y( t) sono congiuntamente ergodici, possiamo scambiare la media temporale con quella statistica, cioè per la funzione di correlazione si ha Rxy(7) ~ x(t)y(t

+ 7) ==(x(t)y(t

+ 7)

(6-29)

dove 1

([.]) = lim T ~oo

T

f

T/2

[.] dt

(6-30)

-T/2

In questo caso, la funzione di correlazione mutua o di autocorrelazione può essere misurata tramite un circuito elettronico che consiste di una linea di ritardo, di un moltiplicatore e di un integratore, come rappresentato in Figura 6-3. Processi

aleatori complessi

Nei capitoli precedenti abbiamo introdotto il concetto di inviluppo complesso g(t) di un segnale passa-banda. I segnali aleatori passa-banda possono anch'essi essere caratterizzati attraverso un inviluppo complesso g( t) che costituisce un processo aleatorio complesso in banda base. DEFINIZIONE.Un processo aleatorio complesso ha la forma g(t) ~ x(t) + jy(t) dove x( t) e y( t) sono processi aleatori reali e j

(6-31)

= R.

Un processo complesso è stazionario in senso stretto se x( t) e y( t) sono congiuntamente stazionari in senso stretto; cioè se la densità di probabilità congiunta

398

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale Moltiplicatore a 4 quadranti

x (t)

.. ILinea Ritardo di ritardo =T I

I

Integratore (filtro passa-basso)

..

I "'Rxy(T)

y(t) Moltiplicatore a 4 quadranti

(a) Correlazione mutua

Integratore

.. ..riwdo RItardo =

x,<)

T

'" Rx (T)

(filtro passa-basso)

t (b) Autocorrelazione

Figura 6-3

Misura delle funzioni di correlazione.

(6-32)

con N qualunque, è invariante a una traslazione temporale arbitraria di to di tutti gli istanti temporali. Le defmizioni delle funzioni di correlazione possono essere generalizzate per coprire i problemi aleatori complessi. DEFINIZIONE.

La funzione di autocorrelazione di un processo aleatorio com-

plesso è (6-33)

dove l'asterisco indica il complesso coniugato. Un processo aleatorio complesso è stazionario in senso lato se g( t) è una costante complessa e Rg(tl, t2) = Rg(T), dove T = t2 - ti. La funzione di autocorrelazione di un processo complesso stazionario in senso lato gode della proprietà di simmetria Hermitiana (6-34) DEFINIZIONE. Lafunzione di correlazione mutua (o cross-correlazione) di due processi aleatori complessi gl(t) e g2(t) è Rg1g2(tl,t2) = g;(tl)g2(t2)

(6-35)

Quando i processi aleatori complessi sono congiuntamente stazionari in senso lato, la funzione di cross-correlazione diventa

dove T

= t2 -

ti.

Nel Paragrafo 6-7 faremo uso delle precedenti definizioni per descrivere statisticamente i segnali aleatori e il rumore passa-banda. "

I

6-2

Densità spettrale di potenza

399

6-2 DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA Definizione Abbiamo già visto nel Capitolo 2 [Eq. (2-66)] la definizione di densità spettrale di potenza per segnali determinati. Presentiamo adesso una defInizione applicabile ai processi aleatorio Supponiamo che x(t, Ei) sia una funzione campione del processo aleatorio x(t) e definiamone la versione troncata:

xT(t,Ei) =

se It I
X(t, Ei), { O,

(6-36)

dove il pedice T indica il troncamento. La trasformata di Fourier corrispondente è

XT(J,Ei) =

Joo -00

XT(t, Ei)e-j21Tjt dt

T/2

=

J-T/2 x(t,

(6-37)

Ei)e-j21Tjt dt

che risulta essa stessa un processo aleatorio (complesso) con parametro la frequenza anziché il tempo. Fatte queste premesse, possiamo semplifIcare la notazione omettendo gli eventi dello spazio campione, e indicare i processi come XT(f), XT(t) e x(t). L'energia normalizzata4nell'intervallo di tempo (-T/2, T/2) è (teorema di Parseval)

= Joo-00

ET

xf(t) dt

= Joo-00 IXT(f)12di

(6-38)

ET è naturalmente una variabile aleatoria, visto che x(t) e/o ETsono processi aleatorioL'energia media normalizzata si ottiene calcolando la media statistica della (6-38) oo

T/2

ET =

J-T/2

X2(t) dt

=J

oo

xf(t) dt

-00

=J

IXT(f) 12di

(6-39)

-00

La potenza media normalizzata è l'energia media per unità di tempo: p

1 lim -

=

T~oo

T

T/2

J-T/2

x2(t) dt

=

l lim T~oo

T

oo

J-00

xf(t) dt

ovvero oo

p

=

J

-00

lim 2. IXT(f) 12 di = (x2(t))

[T~oo

T

]

(6-40)

Nella valutazione del limite della (6-40), è importante effettuare l'operazione di media statistica prima del limite stesso, poiché vogliamo essere certi che XT(f) sia fInito (poiché x(t) è un segnale a potenza fInita, X(f) = limT~oo XT(f) potrebbe non esistere). Concordemente con la (6-40), la potenza media normalizzata è data dalla media temporale del momento del secondo ordine. 4 Se x(t) è una tensione o una corrente, ET è l'energia su di un carico unitario R = l.

400

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Dalla definizione di densità spettrale di potenza del Capitolo 2, sappiamo che

p =

fJO--00

(6-41)

~(J) df

Possiamo allora dare la definizione di densità spettrale di potenza per un processo aleatorio, che risulta consistente con quella fornita dalla (2-66) nel Capitolo 2. DEFINIZIONE.

La densità spettrale di potenza di un processo aleatorio x(t) è

~x(J) = lim T~oo

[IXT(J)12]

(

)

T

(6-42)

dove T/2

XT(J)

=J

(6-43)

x(t)e-j21T/t dt

-T/2

Teorema di Wiener-Khintchine Assai spesso è conveniente valutare la densità spettrale di potenza di un processo aleatorio a partire dalla funzione di autocorrelazione, attraverso il seguente teorema. TEOREMADI WIENER-KHINTCHINEs La densità spettrale di potenza di un processo stazionario (almeno) in senso lato è uguale alla trasformata di F ourier della funzione di autocorrelazione del processo:

~x(J)

= ~[Rx{T)]

(6-44)

= Joo --00Rx{T)e-j21T/TdT

Viceversa: Rx{ T)

= ~-l[~x(J)] = JOO --00 ~x{f)ej21T/T

(6-45)

df

sotto l'ipotesi che R( T) diventi sufficientemente piccola al crescere di T, in modo che (6-46)

Il teorema è valido anche per processi non stazionari, a patto di sostituire Rx{ T) con (Rx{t, t + T). Dimostrazione. Dalla definizione di densità spettrale di potenza,

~x{f) = liro T ~oo

5

so A.I. Ili

U nome deriva da quelli del matematico

Khintchine

(1894-1959).

Altre

possibili

IXT(J) 12 (

T

)

americano Norbert Wiener (1894-1964) translitterazioni

del nome

russo

sono

e del matematico rus.

Khinchine

e Khinchin.

6-2

401

Densità spettrale di potenza

dove 2

T/2

IXT(f) 12 = I

J-T/2

x(t)e-jUII dt 1

T/2

T/2

=J

-T/2

J-T/2

x(tl)x(t2)e-jUII'ejUllz dtldt2

e x(t) è reale per ipotesi. Ma X(tl)X(t2) = Rx(tl, t2)' Inoltre, poniamo 'T= t2

-

tI. e

sostituiamo la variabile t2 con 'T+ tI. Allora, (6-47)

Il dominio bidimensionale di integrazione è mostrato in Figura 6-4. In quest'ultima, Q) indica l'area coperta dal prodotto fra l'integrale più interno e il differenziale dtl. Per risolvere in modo semplice l'integrale bidimensionale, è opportuno scambiare l'ordine di integrazione. Come si vede nella figura, ciò significa considerare l'area
Oe

l'area
(6-48)

Ora, supponiamo che x(t) sia stazionario, in modo che RAtl, tI + 'T) = Rx( 'T), e portiamo fuori dell'integrale il fattore Rx( 'T): o IXT(f) 12=

=

T

T/2

RA 'T)e-jWT tI d'T+ [ -T/2-T] -T

J

J~o (T +

I

'T)RA 'T)e-jWTd'T+

f

f

o

T/2-

R( 'T)e-jwT tI

T (T o

[

I -T/2

j

d'T

'T)Rx( 'T)e-jwT d'T

Questa equazione può essere riscritta in modo più compatto come (6-49)

--~--

-

402

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

t

T

T

-T{2

11-

-T

Figura 6.4

Zone di integrazione delle Equazioni (6-47) e (6-48).

Sostituendo la (6-49) nella (6-42), otteniamo T

~x(f)=

lim T-+ooJ-T (

T-ITI T

)

(6-50a)

Rx(T)e-j"'TdT

ovvero ~x(f)

=J

oo

-=

.

Rx( T)elWT dT

-

.

T

hm T-+oo -T

J

ITI

-

T

.

Rx( T)e-l"'T dT

(6-50b)

Dalla (6-46), notiamo che il secondo integrale è nullo e la (6-50b) coincide con la (6-44), c.v.d. La relazione inversa segue direttamente dalle proprietà della trasformata di Fourier. Se x( t) non è stazionario, la (6-44) si può ancora ottenere sostituendo Rx(t) , t) + T) nella (6-48) con (Rx(t), t) + 7") = Rx(T). Per riassumere, esistono due diversi modi di valutare la densità spettrale di potenza di un processo aleatorio: 1. in modo diretto, a partire dalla definizione, e applicando quindi la~6-42);

6-2

403

Densità spettrale di potenza

2. in modo indiretto, ricavando la funzione di autocorrelazione RA 7), RA 7) e valutandone poi la trasformata di Fourier. Confronteremo i due metodi nell'Esempio 6-3.

Proprietà della densità spettrale di potenza Le proprietà della densità spettrale di potenza sono le seguenti: 1. 'lJ> AI) è sempre reale.

(6-51) (6-52) (6-53) (6-54a)

2. 'lJ> AI) 2: O. 3. Se x(t) è reale, 'lJ>A-f) = 'lJ>Af). 4. f~ 'lJ>Af)df = P = potenza totale normalizzata. Quando x(t) è stazionario in senso lato,

(6-54b)

f'o--= 'lJ>Af) df = P = x2 = RAO)

(6-55)

5. 'lJ>x(O)= f~ RA 7) d7.

Queste proprietà seguono direttamente dalla definizione di densità spettrale di potenza e dal teorema di Wiener-Khintchine. Esempio 6-3 DENSITÀ SPETIRALE DI POTENZA PER UN SEGNALE DATI IN BANDA BASE Consideriamo un segnale dati in formato polare x(t) modellato come un processo aleatorio; una delle possibili funzioni campione di questo segnale è rappresentata nella Figura 6-5a. Calcoliamo la densità spettrale di potenza di x( t) supponendo che i dati binari siano variabili aleatorie indipendenti a valori equiprobabili. Il segnale polare può essere espresso come 00

(6-56) n=-oo

dovef(t) è l'impulso elementare mostrato in Figura 6-5b, e Tb è la durata del bit. {an} è una successione di variabili aleatorie che rappresenta i dati binari. Per ipotesi, tali variabili sono indipendenti,e ciascunadi esse ha una distribuzionediscretaa due valorian = :1:1con P(an = l) = P(an = -l) = !, per ipotesi. Valutiamo la densità spettrale di potenza di x(t) viene con il Metodo l, che richiede la conoscenza di XT(f). Possiamo ottenere XT(t) troncando la (6-56) e cioè n=N XT(t)

dove T/2

=

L

n=-N

anf(t

-

nTb)

= (N + !)Tb. Allora N XT(f)

=

;JF[XT(t)]

=

L

n=-N

N

an;JF[J(t - nTb)] =

L

n=-N

anF(f)e-jwnT. (Continua)

404

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale x (t)

. Tb

r:--I

t(a) Segnale polare

f(t)

I

t,I I

(b) Fonna dell'impulso

di segnalazione

!l'

1.0

3

2

Tb

Tb

!(c) Densità spettrale di potenza del segnale polare

Figura 6-5

Segnale aleatorio polare e relativa densità spettrale di potenza.

ovvero N

XT(J) = F(J)

I

ane-jwnTb

(6-57)

n=-N

doveF(J) = ~[J(t)]. Sostituendo la (6-57) nella (6-42), troviamo che la densità spettrale di potenza è

Il

6-2

Densità spettrale di potenza

405

(6-58)

dove anam = an am per n ~ m, poiché an e am sono indipendenti. Tenendo conto della di-

stribuzionediscretadi an, otteniamo an = (+ l

H+

=O

(-I)!

Analogamente, am = O.Inoltre,

Pertanto, n=m n~m

(6-59)

Grazie al risultato precedente la (6-58) diventa

C;PAf)= IF(f)12 ;~oo

(~

n~N

l)

e, tenendoconto che T = 2(N + !)Tb, 2N + l

C;PAf)= IF(f)12J~oo [ (2N + I)Tb] cioè (segnalazione polare)

(6-60)

Nel caso dell 'impulso rettangolare di Figura 6-5b, F(f)

= Tb

sin7rfn (

(6-61)

7rfTb)

Quindi, la densità spettrale di potenza del segnale polare a impulsi rettangolari è

c;P

AI) =

Tb

(6-62)

( S~;ç;b r

rappresentata nella Figura 6-5c. 6 Il primo nullo si trova in corrispondenza di B

=

llTb

= R,

doveR è la velocitàdi bit. Si osserviche la (6-62)soddisfale proprietàdella densitàspettraledi potenzaelencatein precedenza. (Continua)

6 La densità spettrale di potenza del segnale polare è continua poiché gli impulsi positivi e negativi sono tutti della stessa ampiezza per ipotesi.

406

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale Valutiamo ora la stessa densità spettrale di potenza di un segnale polare con il Metodo 2. È quindi necessario calcolare la funzione di autocorrelazione e valutame la trasfonnata di Fourier. Usando la (6-56), la funzione di autocorrelazione è

RAt, t + T) = x(t)x(t + T) 00

00

I

n =-00

n

m=-oo

m

Dalla (6-59), questa equazione diventa 00

(6-63) n =-00

Ovviamente, x( t) non è un processo stazionario in senso lato, poiché la funzione di autocorrelazione dipende dal parametro t. Per semplificare la (6-63), dobbiamo scegliere un particolare tipo di impulso. Consideriamo, ancora una volta, \'impulso rettangolare l, se !tISTb/2 { O, altnmenti

f(t)= Il prodotto fra impulsi diventa f( t - nT b)f( t + T - nTb) -

{

l, se It - nTbl S Tb/2 e It + T - nTb I S Tb/2 O, altrimenti

Sviluppando le disuguaglianze, otteniamo un valore unitario per il prodotto solo quando

e

-

(n Nell'ipotesi

nTb

-

T S t S (n

+ ~)Tb-

T

che T ~ O; abbiamo dunque un prodotto unitario se

(n - nTb S t S (n + nTb - T a patto che T S Tb. Allora, per O S T S Tb, Rx(t, t

+

T)

=

I

l,

-

(n

nTb S t S (n + ~)Tb -

T

}

n=-"o{ O, altrove

(6-64)

Sappiamo che il teorema di Wiener-Khintchine è valido anche per processi non stazionari, se poniamo Rx( T) = (Rx(t, t + T). Dalla (6-64) otteniamo l Rx( T)

f

T/2

00

I

l

=
(n - ~)Tb S t S (n + nTb - T dt

altrove

}

ovvero Rx( T)

=

l

lim T~oo

-

T

N

I n=-N

(n+I/2)Tb-T

(f

(n+I/2)T.

l dt

)

6-2

dove T/2

= (N

Densità spettrale di potenza

407

- !)Tb. Semplificando,

Rx(T) = lim N~oo

~

(2N + 1)

[

(Tb - T), 0:5 T:5 Tb T> Tb }]

{ O,

ovvero

(6-65 )

Risultati analoghi si ottengono per T < O.In ogni caso, sappiamo che RA -T) = RA r), quindi la (6-65) può essere generalizzata per qualsiasi valore di T. In conclusione,

Tb-ITI RAT) =

Tb'

( O,

(6-66)

se ITI :5 Tb altrimenti

da cui si vede che RA T ) ha forma triangolare. Valutando la trasformata di Fourier della (6-67), otteniamo la densità spettrale di potenza per il segnale polare con impulsi rettangolari: I!/'Af)

= Tb

(sin 1TfTb

(6-67)

y

Questo risultato,ottenuto con il Metodo 2, è identico alla (6-62), ottenutacon il Metodo l.

Formula generale per la densità spettrale di potenza dei segnali digitali Ricaviamo ora l'espressione generale per la densità spettrale di potenza dei segnali digitali. La formula dell 'Esempio 6-3, infatti, era valida solo per un segnale polare con an = :1:1 e con dati indipendenti. Quando i dati sono correlati, lo spettro di potenza del segnale dipende dall' autocorrelazione dei dati, an, definita come (6-68) Ripartiamo allora dalla (6-58), scambiando gli indici della e ponendo m

nendocont~che T CZPx(f)

= (2N +

=n

+ k. Te-

1)Ts, la (6-58)diventa

= WUW

lim N-HXJ

nf k=£-n R(k)ejkWT, 1 ] [ (2N + l)Ts n=-N k=-N-n

Abbiamo anche sostituito Tb con Ts perché in generale i dati possono essere multilivello. Sostituendo la somma più esterna di indice n con il termine 2N + 1, otteniamo la seguente espressione. [Questa procedura, a rigore, non è corretta, poiché la somma più interna è anche funzione di n. Sarebbe più corretto scambiare l'ordine della somma, in modo simile a quello usato per passare dalla (6-47) alla (6-50), dove si era invertito l'ordine di integrazione. Il risultato coincide con quello che otterremo più sotto, quando N ~ 00.]

408

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

r;J>Af)

= =

IF(f)12

. hm

(2N + l)

N-,>oo[ ( 2N + l )

Ts IF(f)

12 kioo

Ts

R(k)ejkwT,

k=--oo

= !F(f) 12 [R(O) + k~--OO R(k)ejkwT, + k~l R(k)ejkCUT,] ovvero

r;J>x(f)= IF~)12

[R(O) + %1 R(-k)e-jkwT, + %1 R(k)ejkCUT,]

Poiché R(k) è una funzione di autocorrelazione, R(-k) r;J>Af)= IF(f)12 Ts

[

R(O) +

I

k=1

(6-69)

= R(k), e la (6-69) diventa

R(k)(ejkwT, + e-jkWT,) ]

Riassumendo, l'espressione generale per la densità spettrale di potenza risulta (6-70a) o (6-70b) Esplicitiamo ora la funzione di autocorrelazione dei dati: l

R(k)

= anan+k =

L (anan+k)iPi

(6-70c)

i=1

dove Pi è la probabilità di avere il valore i-esimo del prodotto (anan+k)i, tra gli I possibili. F(f) è la TF dell'impulso dati. Si osservi che l'espressione tra parentesi quadre nella (6-70b) è analoga alla trasfonnata discreta di Fourier della funzione di autocorrelazione fra i dati R (k), ma in questo caso la variabile frequenziale (J)risulta continua, perché la R (k) non è una sequenza periodica. Dunque, la densità spettrale di potenza di un segnale digitale in banda base dipende sia dallo "spettro" dei dati, sia da quello dell'impulso impiegato per la codifica di linea. Lo spettro può anche contenere funzioni delta quando il valor medio dei dati, an, risulta diverso da zero. Supponendo ancora una volta simboli indipendenti, si ha infatti R(k)

=

a~,

k = O = tla + m~, k = O k ".,.O} {anan+k. k".,. O} { m~,

dove abbiamo usato la media e la varianza dei dati rispettivamente ma = (an - ma)2 = a; - m;. Sostituendo nella (6-70b), otteniamo

= iin e a;

6-2

409

Densità spettrale di potenza

Dalla (2-115) (formula somme di Poisson) abbiamo 00

00

L

e:r.jkwT,= D

k =--00

dove D

=

L su -

nD)

n =--00

l/Ts è la velocità di segnalazione (baud rate). La densità spettrale di potenza è

r;}Af) = IF~) 12 [O; + m;,D n~--ooSU - nD) J Quindi, con dati incorrelati, la densità spettrale di potenza del segnale digitale risulta 00

(6-70d) n =-00

'--v

' Spettro discreto

Spettro continuo

Elaboriamo ora ulteriormente questa formula; in particolare, indichiamo con R( k) i dati normalizzati in modo da avere varianza unitaria e media nulla:

Ne segue

= -O; p(k) + m;

R(k) dove

p(k)

= [anan+kJ

è la funzione di autocovarianza normalizzata dei simboli. Sostituendo (6-70b) e sfruttando la proprietà R( -k)

=

R( k), otteniamo

r;}Af) = IF~)12

[O; k~--OO p(k)e-jkwT, + m; k~--OO e-jkWT,J

L'espressione generale della densità spettrale di potenza del segnale digitale è dunque 00

n =-ex:> Spettro discreto

Spettro continuo

dove 00

"WpU)

=

L

p( k) e-j21TkfT,

(6-70f)

k =--00

è una funzione di "pesatura" ottenuta dalla trasformata di normalizzata. Lo spettro di potenza di un segnale digitale consiste che dipende dallo spettro dell'impulso di modulazione FU) ti. Se inoltre ma ~ O e F(nD) ~ O, la densità spettrale di

Fourier dell'autocorrelazione dunque in una parte continua e dalla correlazione fra i dapotenza contiene anche delle

410

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

righe (funzioni delta) posizionate in corrispondenza delle annoniche della frequenza di segnalazione, cioè spaziate di D (baud rate). In questa maniera sono stati valutati gli spettri della Figura 3-16 per i codici di linea unipolari RZ, bipolari e Manchester, e in questa maniera verranno ricavati nei Paragrafi 5-9 e 5-10 gli spettri delle segnalazioni digitali passa-banda, come OOK, BPSK, QPSK, MPSK e QAM.

Processo di rumore bianco DEFINIZIONE.Un processo aleatorio stazionario (almeno) in senso lato x(t) è chiamato processo di rumore bianco se la sua densità spettrale di potenza è costante su tutto l'asse delle frequenze e cioè
(6-71)

dove No è una costante positiva. La funzione di autocorrelazione di un processo di rumore bianco si trova calcolando l'antitrasfo~ata di Fourier della (6-71): Rx{ 7)

No

= -2

c5(7)

(6-72a)

Un esempio di rumore bianco è il processo di rumore termico che sarà descritto nel Paragrafo 8-6, e che può essere considerato bianco sulle bande di interesse per le radiocomunicazioni, con

No = kT

(6-72b)

Il rumore termico presenta anche una distribuzione Gaussiana. Ovviamente, è possibile avere processi di rumore bianco con distribuzioni statistiche differenti.

Misure di densità spettrale di potenza La densità spettrale di potenza può essere misurata con tecniche analogiche o digitali. In entrambi i casi, è possibile solo approssimare la vera densità spettrale di potenza, poiché la misura viene di fatto effettuata su un intervallo temporale finito invece che sull'intervallo infmito specificato dalla (6-42). Tecniche analogiche. Le tecniche di misura analogiche consistono nell'impiego di un banco di filtri passa-banda a banda stretta in parallelo oppure di un unico filtro passa-banda con frequenza centrale variabile. Nel primo caso, il segnale viene inviato in ingresso contemporaneamente a tutti i filtri, andando poi a misurare la potenza in uscita su ciascun ramo. Le potenze in uscita vanno divise (scalate) per un fattore pari alla banda efficace del filtro corrispondente, in modo da ottenere un' approssimazione della densità spettrale di potenza. In altri termini, la densità spettrale di potenza viene valutata in corrispondenza delle frequenze centrali dei vari filtri. Gli analizzatori di spettro che adottano questo tipo di elaborazione analogica in parallelo sono in genere impiegati per coprire l'intervallo delle frequenze audio, nel quale è possibile realizzare un banco di filtri passa-banda a un costo contenuto.

, I

6-2

Densità spettrale di potenza

411

Gli analizzatori di spettro a RF sono in genere realizzati con un singolo filtro passa-banda a frequenza centrale e a banda stretta preceduto da un mixer per la conversione verso il basso o verso l'alto. L'oscillatore locale del mixer viene lentamente spostato sulla banda di frequenze opportuna; in questo modo, l' analizzatore di spettro a RF è di fatto equivalente a un filtro passa-banda a banda stretta e con frequenza centrale variabile nell'intervallo spettrale di interesse. Ancora una volta, la densità spettrale di potenza si ottiene valutando la potenza (scalata) in uscita dal filtro a banda stretta, man mano che la frequenza viene variata. Valutazione numerica della densità spettrale di potenza. La densità spettrale di potenza può essere valutata numericamente con un analizzatore di spettro che impieghi tecniche di elaborazione digitale dei segnali. Un'approssimazione della densità spettrale di potenza è

=

~T(f)

(6-73a)

T 12 dove il pedice T indica che l'approssimazione è ottenuta osservando x(t) su un intervallo di T secondi. T è detto intervallo di osservazione o finestra di osservazione. Ovviamente, la (6-73a) è un' approssimazione della vera densità spettrale di potenza definita nella (6-42), poiché T è finito e poiché stiamo considerando solo una fra tutte le possibili funzioni campione. Negli analizzatori di spettro più sofisticati, ~T(f) viene calcolata per diverse "finestre" sul segnale x(t) in modo da poter valutare poi la media aritmetica (frequenza per frequenza) di tutte queste misure di ~T(f) come approssimazione della media statistica richiesta per il calcolo della vera ~ Af) [si veda la (6-42)]. Nel valutare ~T(f), si impiega in genere la trasformata discreta di Fourier per l'approssimazione di XT(f). Con gli accorgimenti che questo tipo di analisi comporta (si veda il Par. 2-8). Sottolineiamo che la (6-73a) è un'approssimazione o una stima della densità spettrale di potenza. Tale stima è chiamata periodogramma, poiché storicamente è stata impiegata per ricercare un'eventuale periodicità nei dati rilevati, ad esempio individuando la presenza di righe nello spettro. (È abbastanza semplice localizzare le righe all'interno di una densità spettrale di potenza, e quindi verificare la periodicità del segnale risulta immediato.) È inoltre auspicabile che la stima abbia una media statistica coincidente con la vera densità spettrale di potenza. In questo caso lo stimatore è chiamato non distorto. Possiamo cercare di verificare con la (6-73a) tale proprietà. Abbiamo ~T(f)

1XT(f)

= [I XTV) 12]

e, con la (6-50a) per un T finito, otteniamo

infine, con riferimento alla Tabella 2-2,

~T(f) = T~x(f)

* (Si:;çTY

(6-73b)

412

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Poiché CfPr(f) y6 Cf} Ai), il periodogramma è in realtà distorto. La distorsione è causata dalla presenza di una funzione triangolare A (T/T) che a sua volta deriva dal troncamento di x(t) su un intervallo di osservazione di T secondi (cioè dalla moltiplicazione di x(t), per una "finestra" rettangolare). Ricordando il Paragrafo A-8, dove a = 1TT,vediamo che lirnT ~oo [Cf}T(f)] = Cf}x(f) e, quindi, il periodogramma diventa non distorto per T ~ 00. Si parla allora di stimatore asintoticamente non distorto. Oltre al fatto di essere non distorto, uno stimatore dovrebbe essere anche consistente, cioè che presenti una varianza tendente a Oquando T ~ 00. A tal proposito, si può dimostrare che la (6-73a) fornisce una stima non consistente della densità spettrale di potenza se x(t) è Gaussiano [Bendat e Piersol, 1971]. Ovviamente, si possono usare "finestre" diverse da quella rettangolare al fine di ottenere differenti stimatori di densità spettrale di potenza [Blackman e Tukey, 1958; Jenkins e Watts, 1968] Tecniche più moderne assumono un modello matematico per la funzione di autocorrelazione e stimano i parametri di tale modello (stima parametrica); quest'ultimo viene poi controllato per vedere se è consistente con i dati. Alcuni esempi sono i modelli a media mobile (MA, Moving Average), autoregressivi (AR) e autoregressivi a media mobile (ARMA) [Kay, 1986; Kaye Marple, 1981; Marple, 1986; Sharf, 1991; Shanmugan e Breipohl, 1988]. Gli analizzatori di spettro che impiegano circuiti basati su microprocessori spesso ricorrono a tecniche numeriche per valutare la densità spettrale di potenza. Questi strumenti possono misurare la densità spettrale di potenza solo a frequenze relativamente basse, diciamo l'intervallo delle frequenze audio e degli ultrasuoni, poiché è praticamente impossibile per i circuiti di elaborazione numerica del segnale elaborare in tempo reale i segnali a RF.

6-3 VALaRE MEDIO E VALaRE EFFICACE PER UN PROCESSO ALEATORIO ERGODICO Nel Capitolo 2 abbiamo definito il valor medio, il valore efficace e la potenza media in termini di medie temporali. Per i processi ergodici, le medie temporali coincidono con quelle statistiche; quindi, il valor medio, il valore efficace e la potenza media (tutti concetti fondamentali nell'ambito dell'ingegneria) possono essere messi in relazione con i momenti statistici di un processo ergodico. Per riassumere, riportiamo si seguito una lista di proprietà dei processi ergodici riguardo queste grandezze. 1. Valor medio: Xdc :@: (x(t)

==

X

= mx

(6-74)

2. Potenza normalizzata della componente continua: (6-75) 3. Valore efficace: (6-76)

6-4

Sistemi lineari

413

4. Valore efficace della componente in alternata: (Xeff)ac ~

~«(x(t) - Xm)2)= ~(x - x)2

= ~X2 - (x)2 = ~RAO) - (x)2

=

~f: ~Af)

df - (x)2

=

= deviazione standard (6-77) Ux

5. Potenza media totale normalizzata: p ~ (X2(t»

=x2

= Rx(O) = Joo -= ~Af)

(6-78)

df

6. Potenza media totale normalizzata della componente in alternata:

= Joo-= ~Af)

df

-

(x)2

= O; = varianza

(6-79)

La media, il momento del secondo ordine e la varianza di un processo ergodico possono essere misurate dalla strumentazione standard di laboratorio. Ad esempio, se x(t) è una tensione, x può essere misurata con un voltmetro in continua, mentre Ux con un voltmetro "a vero valore efficace" con accoppiamento in alternata.? A frequenze più elevate (per esempio frequenze radio, microonde e ottiche), x2 e O; si possono valutare con un misuratoredi potenza(wattmetro)calibratoO; = x2 = RP, doveR è il caricoresistivodel misuratore di potenza (in genere 50 il) e P è il valore di potenza letto sullo strumento.

6-4 SISTEMI LINEARI Relazioni ingresso-uscita Nel Capitolo 2 abbiamo visto che un sistema lineare stazionario può essere descritto attraverso la sua risposta impulsiva, h( t) o, in modo equivalente, attraverso la sua risposta in frequenza, H(f). Ciò è illustrato in Figura 6-6, dove x(t) è l'ingresso e y(t) è l'uscita. La relazione ingresso-uscita è y(t)

= h(t)

* x(t)

7 Molti voltmetri "a vero valore efficace" non hanno una risposta in frequenza

tinua. Perciò. non misurano il vero valore efficace V<x2(t)

=V. bensì misurano u.

(6-80) che arriva fino alla con-

414

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

x (l) Ingresso

Sistema

.1

lineare

Uscita

h(t) H(f)

I

I

.

Y(t)

I

X(f)

Y(f)

RxCr)

RyCr)

cg>xCf)

cg>,(f) Sistema lineare.

Figura 6-6

La relazione corrispondente in termini di trasformata di Fourier è Y(f)

= H(f)X(f)

(6-81)

Se x( t) e y( t) sono processi aleatori, le relazioni sopra sono ancora valide (proprio come se si trattasse di funzioni determinate). Nei sistemi di comunicazione, x(t) potrebbe essere un segnale aleatorio (utile) più rumore oppure solo rumore, quando il segnale è assente. Nel caso di processi aleatori, si possono usare la funzione di autocorrelazione o la densità spettrale di potenza per dare una descrizione in potenza del segnale. Di conseguenza, dobbiamo affrontare il seguente problema: come ricavare la funzione di autocorrelazione e/o la densità spettrale di potenza del processo di uscita y( t) una volta note le corrispondenti grandezze del processo di ingresso x(t)? TEOREMA. Quando un processo stazionario in senso lato con funzione di autocorrelazione RA r) e densità spettrale di potenza SAI) è applicato all' ingresso di un sistema lineare stazionario con risposta impulsiva h(t), l'autocorrelazione del processo di uscita è

Ry(r) = f')() -00 foo -00 h(Àdh(À2)RAr

- À2 + Àl) dÀldÀ2 .

(6-82a)

ovvero (6-82b)

e la densità spettrale di potenza di uscita è (6-83) dove H(f)

= ~[h(t)].

La (6-83) mostra che la risposta in potenza della rete è G (f) h

esattamente come nella (2-143).

=

'lPy(f) 'lPx(f)

=

IH(f)12

(6-84)

6-4

Sistemi lineari

415

Dimostrazione. Dalla (6-80), Ry( r) ~ y(t)y(t + r)

=

[f: h(ÀI)x(t

- ÀI) dÀI

Jlf:

-

oo h(Àdh(À2)x(t = Joo--00J --00

h(À2)X(t

+r-

À2) dÀ2

J

ÀI)X(t + r - À2) dÀldÀ2

(6-85)

Ma

perciò, la (6-85) è equivalente alla (6-82a). Inoltre, la (6-82a) può essere riscritta in termini di operazioni di convoluzione come

Ry{ r) =

=

f:

h(ÀI) {f:h(À2)Rx[

Joo --00 h(ÀI){h(r+

* h[ - (-r)]

+ ÀI)

-

À2] dÀ2} dÀI

* Rx(r+ Àd} dÀI

ÀI)

= JOOh(Àd {h[ - ((-r) --00 = h(-r)

(r

- Àd] * RA - ((-r)

- ÀI)]} dÀI

* Rx[ - (-r)]

che coincide con la (6-82b). La densità spettrale di potenza dell'uscita si ottiene calcolando la trasformata di Fourier della (6-82b):

ovvero CZPy(J) = H*(J)H(J)CZPx(f)

dove h(t) è reale per ipotesi. Questa equazione coincide con la (6-83). Il teorema appena dimostrato può essere applicato a una cascata di sistemi lineari, come mostrato in Figura 6-7. Il teorema può anche essere generalizzato in modo da ottenere la correlazione incrociata e il relativo spettro incrociato di due sistemi lineari, come indicato nella Figura 6-8. XI(t) e YI(t) sono rispettivamente i processi di ingresso e di uscita del primo sistema, con risposta impulsiva hl(t). Analogamente, X2(t) e Y2(t) sono i processi di ingresso e di uscita del secondo sistema.

416

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale x (l)

j

ht (l) Ht(f)

1

y(l)

h2(l) H2(f)

.

Risposta impulsiva complessiva: h(l) = ht(l) * h2(l) H(!) = HJC!)H2(f)

Figura 6-7

Due sistemi lineari in cascata.

Xt(l)

I

ht (l) Ht(f)

Yt(l)

Ry,y,( r) CZP y,y,(f)

Rx,x,(r) rJ\x, (f) X2(l)

I Figura 6-8

Y2(l)

h2(l) H2(f)

..

I

Due sistemi lineari.

TEOREMA. I due processi congiuntamente stazionari (almeno) in senso lato Xt(t) e X2(t) sono inviati in ingresso a due sistemi lineari stazionari, come mostrato in Figura 6-8; allora, la funzione di correlazione mutua di uscita risulta RYlY2(r)

= f'o-00

foo r - À2 + Àd dÀ1dÀ2 -00 hl(Àt)h2(À.2) RX,X2(

(6-86a)

ovvero RYlY2(r)

= ht(-r)

* h2(r) * RX\X2(r)

(6-86b)

La densità spettrale di potenza incrociata in uscita (data per definizione dalla trasformata di Fourier della funzione di correlazione incrociata) è
(6-87)

~[RYIY/r)],
=

~[h2(t )]. La dimostrazione è simile a quella del teorema precedente e viene lasciata per esercizio al lettore. Esempio

6-4 AUTOCORRELAZIONE E DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA IN USCITA DA UN FILTRO PASSA-BASSO RC

La Figura 6-9 rappresenta un filtro passa-basso RC. Consideriamo un processo di ingresso stazionario con densità spettrale di potenza uniforme

çpAI)

= !No

Allora la densità spettrale di potenza in uscita sarà

6-4

~

o

:

Jl

I

o

y(t)

[

o

1-

--

!

H (f)

i

--

l

= 1+ j

417

I

I I I

x(t)

Sistemi lineari

.

o

l dove B3dB

(-L )

=

2'TTRC

B3dB

Figura 6-9

Filtro passa-basso di tipo Re.

che diventa
=

1/(2'TTRC) è la banda a

-

=

4No

(6-88)

3 dB del filtro. Calcolando l'antitrasfonnata

rier di
di Fou-

(6-89)

4RC

La potenza nonnalizzata in uscita, cioè il momento del secondo ordine, è No Py = y2 = Ry(O) = 4RC

(6-90)

Inoltre, il valore in continua dell'uscita, e cioè il valor medio, è nullo, dal momento che8 YDC = my = ~ 8-+0 lim

e> O

f

e -E

=O


(6-91)

La varianza dell'uscita coincide con la (6-90), poiché O; = y2 - m;, dove my = O. Esempio

6-5 RApPORTO SEGNALE-RUMORE ALL'USCITA DI UN FILTRO PASSA-BASSO RC

Supponiamo che il segnale x(t) in ingresso al filtro RC di Figura 6-9 sia costituito dalla sovrapposizione di un segnale detenninato sinusoidale e da rumore bianco,

x(t) = Si(t) + ni(t) e Si(t) = Ao cos(lb\)t + 80) dove Ao, lb\), e 80 sono costanti note e
= No/2. (Continua)

8 Quando

medio.

l'integrale

è diverso da zero, il valore ottenuto è maggiore

o uguale al quadrato

del valore

418

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale La potenza di segnale in ingresso è

mentre la potenza di rumore in ingresso risulta oo

(nf)

= ;;;=

f

-00

fT oo

I!Pn,(f)df

=

N

-00

df

= 00

Dunque, il rapporto segnale-rumore (SNR, Signal to Noise Ratio) in ingresso è !... = (sf(t) ( N ) in (nf(t)

=O

(6-92)

Poiché il sistema è lineare, l'uscita è pari alla somma del segnale d'ingresso filtrato e del rumore di ingresso filtrato: y(t) = so(t) + no(t) Il segnale di uscita è so(t)

= Si(t)

* h(t)

= AoIH(fo)1 cos[Wot

+ 80 + /H(fo)]

e la sua potenza risulta pari a (s5(t)

(6-93)

= A5 2 IH(foW

Dalla (6-90) dell'Esempio 6-4, la potenza di rumore in uscita è ::2

No

(6-94)

no = 4RC

Pertanto l'SNR di uscita sarà !...

( N ) oul

= (s5(t) = (s5(t) = 2A5IH(fo)l2RC (n5(t)

n5(t)

(6-95)

No

ovvero

S ( N ) oul

=

2A5RC No[l + (21TfoRC)2]

Il lettore verifichi che il valore di RC che massimizza il rapporto segnale-rumore è RC = 1/(211/0), cioè il filtro che massimizza lo SNR ha banda a -3 dB esattamente pari a fo. Come si giustifica intuitivamente questo risultato?

6-5 MISURA DELLA BANDA Nel Paragrafo 2-9 sono stati introdotti diversi modi per valutare la larghezza di banda di un segnale, e, in particolare, la banda assoluta, la banda a -3 dB, la banda equivalente, la banda al primo nullo e la banda al 99%. Tutte queste definizioni possono essere utilizzate anche per misurare la larghezza di banda di un processo stazionario in senso lato x(t),

"

6-5

Misura della banda

419

dove ~Af) sostituisce IH(f)l2. In particolare, riprenderemo qui il concetto di banda equivalente e introdurremo una nuova misura della larghezza di banda: la banda efficace.

Banda equivalente Per un processo stazionario in senso lato x(t), la banda equivalente è definita come segue [cfr. con la (2-192)] (6-96) dovefo è la frequenza in corrispondenza della quale ~Af) è massima. L'espressione precedente è valida sia per i processi in banda base sia per quelli passa-banda (per i processi in banda base è fo = O).

Banda efficace La banda efficace è la radice quadrata del momento del secondo ordine delle frequenze, rispetto a una densità spettrale di potenza correttamente normalizzata. Questa definizione è simile a quella di varianza di una variabile aleatoria, ove il ruolo della densità di probabilità

è assunto

dalla DSP normalizzata

~ Af)

/ J~

~ A A) dA. Quest'ultima

è una fun-

zione non negativa il cui integrale risulta unitario e che quindi soddisfa le proprietà tipiche di una densità di probabilità. DEFINIZIONE.

Se x(t) è un processo passa-basso stazionario in senso lato, la ban-

da efficace è Beff =

@

(6-97)

dove

(6-98)

La misura della banda efficace viene spesso impiegata per confrontare teoricamente l'efficienza dei sistemi di comunicazione, poiché i calcoli richiesti sono più semplici di quelli impiegati per il calcolo di altre larghezze di banda. D'altro canto, valutare la banda efficace con i normali strumenti di laboratorio non è poi così immediato. TEOREMA. Per un processo stazionario in senso lato x(t), il valor quadratico medio della frequenza risulta (6-99)

420

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Dimostrazione. Sappiamo che

=

RA 7)

J: çj>A/)ej27r/T

dt

Calcolando la derivata seconda di questa equazione rispetto a 7, otteniamo oo d2R ( 7 ) = --=çj>Af)ej21T/T(j21Tf)2 di

d~

J

Valutando entrambi i membri di questa equazione a 7 d2RA 7)

=

(j21T)2

dr T=O Sostituendo nell'integrale della (6-98), si ha I

= O otteniamo

ooj2çj>A/) J--=

di

I

I

che coincide con la (6-99).

/

La banda efficace può essere definita anche per un processo passa-banda. In tal caso siamo interessati alla radice quadrata del momento del secondo ordine calcolato rispetto al valor medio della porzione di spettro sul semiasse positivo delle frequenze. DEFINIZIONE.Se x(t) è un processo passa-banda stazionario in senso lato, la banda efficace è Beff

= 2~(f - 10F

(6-100)

dove (f - 10)2 =

foo

(f - 10)2

di

00 çj>Af)

(6-101)

( lo çj>AÀ)dÀ)

o e

lo ~ 1= foo I o

ooçj>AI)

di

(6-102)

( {çj>AÀ) dÀ )

Come si vede dall'andamento di una tipica densità spettrale di potenza passa-banda, la quantità al secondo membro della (6-100) coincide con Oj. Di conseguenza, è necessario un fattore 2 per dare una definizione corretta della larghezza di banda che consideri entrambi i "lati" dello spettro rispetto alla portante.

6-6

Esempio

421

Processi aleatori Gaussiani

6-6 BANDA EQUIVALENTE E BANDA EFFICACE PER UN FILTRO RC

La banda equivalente e quella efficace di un filtro si ottiene applicando in ingresso rumore bianco e valutando le rispettive quantità per la densità spettrale di potenza in uscita. Per un filtro passa-basso RC (Fig. 6-9), la densità spettrale di potenza di uscita, in corrispondenza di rumore bianco in ingresso, è data dalla (6-88). La corrispondente funzione di autocorrelazione in uscita è riportata nella (6-89). Sostituendo queste equazioni nella (6-96), la banda equivalente per un filtro passa-basso RC risulta

=

B eq

Ry{O) 22J>y(0)

= No/4RC - ~ 2(~Nn)

hertz

(6-103)

4RC

Pertanto, per questo filtro si ha (6-104) La banda efficace si ottiene sostituendo la (6-88) e la (6-90) nella (6-98). Otteniamo

Beff

=

f: j22J>y(f)d 1 Ry{O)

A

I

l

oo

J-00

-V2rRC

j2

(B3dB)2

(6-105)

+ j2 di

Analizzando l'integrale, osserviamo che l'integrando diventa unitario quando 1 -t ::1:00,quindi l'integrale (generalizzato) non esiste (ovvero Beff = 00). Affmché la banda efficace risulti finita, la densità spettrale di potenza deve tendere a Opiù velocemente di 1/1/12 al crescere della frequenza.

6-6 PROCESSI ALEATORI GAUSSIANI DEFINIZIONE.

Un processo aleatorio x( t) è Gaussiano se le variabili aleatorie (6-106)

hanno una densità di probabilità congiunta Gaussiana di ordine N per ogni valore di N e per ogni N-upla t(, t2, ..., tN. La densità di probabilità congiunta Gaussiana di ordine N può essere scritta in modo compatto attraverso una notazione matriciale. Indichiamo con x il vettore colonna che contiene le N variabili aleatorie: XI

X(tl)

X2 x

=

: [ XN ]

X(t2)

=

:

(6-107)

[ X(tN) ]

La densità di probabilità Gaussiana N-dimensionale è fx(x)

=

1 (21T)N/21 Det ClI/2 e-(1/2)[(x-m)TC-I(x-m)]

(6-108)

422

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

dove il vettore dei valori medi è

(6-109)

e dove (x - m)T rappresenta il vettore riga trasposto del vettore colonna (x La matrice C è la matrice di covarianza

C =

Cl2

CIN

C22

C2N

CN2

CNN

(6-110)

CI

["" CNI

- m).

]

i cui elementi sono (6-111) Det C è poi il determinante della matrice C, mentre C-I è la matrice inversa. Per un processo stazionario in senso lato, mj = x(tj) = mj = x(tj) = m, e gli elementi della matrice di covarianza diventano (6-112) Se, inoltre, si verifica che le Xj sono incorrelate, si ha XjXj = XjXj per i "" j, e la matrice di covarianza è u2

C

~

[!

O

:

i]

(6-113)

dove 0'2 = x2 - m2 = Rx(O)- m2. Dunque la matricedi covarianzarisulta diagonale se le variabili aleatorie sono incorrelate. Sostituendo in questo caso la (6-113) nella (6-108), si vede facilmente che variabili aleatorie Gaussiane incorrelate sono anche indipendenti.

Proprietà dei processi Gaussiani Riportiamo ora alcune proprietà dei processi Gaussiani. 1. fx{x) dipende solo da C e da m, ovvero la densità di probabilità congiunta di ordine N è interamente specificata dalle statistiche del primo e del secondo ordine (cioè valori medi, varianze e covarianze). 2. Se {Xj = x(tj)} sono congiuntamente Gaussiane, allora le varabili Xj = x(tj) sono marginalmente Gaussiane. 3. Se C è una matrice diagonale, le variabili aleatorie sono incorrelate. Inoltre, variabili aleatorie Gaussiane incorrelate sono anche indipendenti.

6-6

Processi aleatori Gaussiani

423

4. Variabili aleatorie ottenute per trasformazione lineare di un insieme di variabili Gaussiane sono ancore Gaussiane. 5. Come conseguenza della Proprietà l, si puo dimostrare che un processo Gaussiano stazionario in senso lato è stazionario anche in senso strett09 [Papoulis, 1984, p. 222; Shanmugan e Breipohl, 1988, p. 141]. La Proprietà 4 è particolarmente utile nell'analisi dei sistemi lineari, come suggerisce il seguente teorema. TEOREMA. Se un sistema lineare ha in ingresso un processo aleatorio Gaussiano, allora produce un processo di uscita Gaussiano. Dimostrazione. L'uscita di un sistema lineare stazionario con risposta impulsiva h(t)è y(t)

= h(t)

= Ioo -00

* x(t)

h(t

-

À)x(À)

dÀ

Questa espressione può essere approssimata come N

I

=

y(t)

h(t

-

Àj)X(Àj)

(6-114)

~À

j=1

che diventa esatta al crescere di N e per ~À -7 O. Preleviamo N variabili aleatorie dal processo aleatorio di uscita: N y(tl)

=

I

[h(tl

-

Àj) ~À]X(Àj)

I

[h(t2

-

Àj)

j=1 N y(t2)

=

~À]X(Àj)

j=1

N

y(tN)

=

I

[h(tN - Àj) ~À]X(Àj)

j=1

In notazione matriciale, le equazioni precedenti diventano YI

= ..

Y2

[ YN ]

hll

hl2

hlN

Xl

h21

h22

h2N

X2

..

[hNl

hNN ] [ XN ]

ovvero

y

9

Ciò segue direttamente

zione solo del parametro

= Hx

dalla (6-112), poiché la densità di probabilità

Te non dell'asse

assoluto dei tempi.

(6-115)

Gaussiana N-dimensionale

è fun-

424

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

dove gli elementi della matrice H=N X N sono legati alla risposta impulsiva come segue: (6-116)

Dimostriamoadessola proprietà4 appenaenunciata:Y segue una distribuzioneGaussiana, ammesso che x sia sua volta un vettore di variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane. Per questa dimostrazione ricorriamo alla teoria della trasformazione di sistemi di più variabili aleatorie (App. B). Per la (B-99), la densità di probabilità di y risulta fy(y)

=

fx(x) Il(yjx)I

I

(6-117)

x=w'y

Lo Jacobiano della trasformazione è

J -

( XY)

=

Det

dYI

dYI

dXI

dX2

dY2

I

dXI dY2

dX2

dYN

dYN

dXI

dX2

...

dYI dXN

...

dY2

dXN

. ..

I=

Det[H]

K

(6-118)

dYN dXN

dove K è una costante,visto chel(yjx) è una trasformazionelineare.Quindi, fy(y) = I~I fx(H-Iy) ovvero .f

( )

Jy y

=

l

-(1/2)[(H-ly-m.)TC:;'

(H-Iy-m.)]

(21T)N/2IKIIDet Cxll/2 e

(6-119)

dove il pedice x viene applicato a tutte le quantità associate a x(t). D'altra parte sappiamo che my = Hmx, e, dalla teoria delle matrici, si ha la seguente proprietà [AB]T

-H(y

=

BT A T, così che l'esponente

della (6-119) diventa

-

- my)]

my)T(H-IV]C;I[H-I(y

= -H(y

- myVC;I(y

- my)]

(6-120)

dove

(6-121) ovvero

= HCxHT IDet Cyl = IDet (HCx HT)I = IKI2DetCn

(6-122)

Cy

Osservando che giunta di y è

la densità di probabilità con-

(6-123) che è appunto una densità di probabilità Gaussiana N-dimensionale.

6-7

Processi passa-banda

425

Se un sistema lineare si comporta come un integratore o un filtro passa-basso a banda stretta, le variabili aleatorie di uscita tendono a essere proporzionali alla somma delle variabili aleatorie di ingresso. Di conseguenza, applicando il teorema del limite centrale (App. B), l'uscita dell'integratore o del filtro passa-basso tenderà a un processo Gaussiano anche quando le variabili aleatorie di ingresso sono indipendenti, ma con distribuzione non Gaussiana. Esempio

6-7 PROCESSO GAUSSIANO BIANCO

Consideriamo un processo aleatorio Gaussiano con densità spettrale di potenza

0>n(J)

~No,

= O, {

se

li I ~

B

altrimenti

(6-124)

dove B è una costante positiva. Questa espressione è caratteristica di un processo Gaussiano bianco limitato in banda fintanto che B è finita, mentre caratterizza un processo Gaussiano bianco (a banda teoricamente illimitata), quando B ~ 00. La funzione di autocorrelazione di un processo bianco limitato in banda è

Rn( T)

e la potenza media totale è P

= BNo(Si~:;:T)

= Rn(O) = BNo.

(6-125)

Il valor medio di n(t) è nullo, poiché non

sono presenti funzioni delta nella densità spettrale di potenza in corrispondenza di i = O. Inoltre, la funzione di autocorrelazione si annulla per T = kj(2B) quando k è un intero diverso da zero. Ciò significa che le due variabili aleatorie nl = n(td e nz = n(tz) sono in-

correlate quando t2 - tI

=T

= kj(2B),

k ~ O. Per gli altri valori di T, le variabili sono

correlate.Poichén(t) è per ipotesiGaussiano,n( e nz sonovariabilialeatoriecongiuntamente Gaussiane.Di conseguenza,dalla Proprietà3, le due variabilialeatoriesonoanche indipen-

denti quando t2 - tI = kj(2B). Per gli altri valori di t2 e di tI, sono invece dipendenti. Quando B ~ 00, allora Rn( T) ~ ~No8(T), e le variabili aleatorie n( e nz diventano indipendenti per qualunque valore di tI e di tz, purché tI ~ tz. Inoltre, se B ~ 00, la potenza media tende all'infinito e quindi un processo Gaussiano bianco non è un segnale fisicamente realizzabile. Esso si rivela però una idealizzazione matematica estremamente utile per l'analisi dei sistemi, proprio come l'impulso di Dirac è utile per ricavare concettualmente la risposta impulsiva di un sistema lineare, benché non sia fisicamente realizzabile.

6-7 PROCESSI PASSA-BANDA Rappresentazione

in banda passante

Nel Paragrafo 4-1 si è dimostrato che qualsiasi segnale passa-banda può essere rappresentato nella seguente forma (6-126a) o, equivalentemente, v(t) = x(t) COSlùct- y(t) sinlùct

(6-126b)

426

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

ovvero v(t)

= R(t)

(6-126c)

cos[wct + 8(t)]

dove g(t) è l'inviluppo complesso, R(t) è l'ampiezza istantanea dell'inviluppo, 8(t) è la fase e x(t) e y(t) sono le componenti in fase e in quadratura. Pertanto, l'inviluppo complesso risulta g(t)

=

Ig(t)1 ejjg(t)

= R(t)ej8(t) = x(t)

+ jy(t)

(6-127a)

e valgono inoltre le seguenti relazioni R(t)

=

8(t)

= Jg(t) = tan-t [ x(t)

x(t)

= R(t)

cos8(t)

(6-127d)

y(t)

= R(t)

sin 8(t)

(6-127e)

Ig(t)1

= ~x2(t)

+ y2(t) y(t)

(6-127b) (6-127c)

]

e

Infine,lo spettrodi v(t) è legatoa quello di g(t) attraversola (4-12),cioè V(f) = HG(f - Ic) + G*(-I - Ic)]

(6-128)

Nei Capitoli 4 e 5 abbiamo usato la rappresentazione in banda base per analizzare i sistemi di comunicazione da un punto di vista deterministico. Estenderemo adesso tale rappresentazione anche ai processi aleatori, che possono essere segnali modulati, rumore o segnale utile disturbato da rumore. Se v( t) è un processo aleatorio passa-banda con componenti frequenziali concentrate attorno a -xlc, allora g(t), x(t), y(t), R(t) e 8(t) saranno processi passa-basso. In generale, g(t) è un processo complesso (descritto al Par. 6-1), mentre x(t), y(t), R(t), e 8(t) sono processi reali. Ciò si vede chiaramente dall' espansione in serie di Fourier di v(t), riportata nelle Equazioni (4-5)-(4-8), dove i coefficienti della serie di Fourier formano un insieme di variabili aleatorie, visto che v( t) è un processo aleatorio. Inoltre, se v(t) risulta Gaussiano g(t), x(t) e y(t) sono anch'essi Gaussiani, in quanto funzioni lineari di v(t). R(t) e 8(t) non sono invece Gaussiani, perché legati a v(t) da una relazione di tipo non lineare. La densità di probabilità di questi processi verrà valutata nell'Esempio 6-10. A questo punto dobbiamo affrontare il concetto di stazionarietà applicato alla rappresentazione passa-banda. TEOREMA. Se x( t) e y( t) sono processi congiuntamente stazionari in senso lato (SSL), il processo reale passa-banda v(t) = Re{g(t)ejeuct}= x(t) cos wct - y(t) sin wct

(6-129a)

sarà stazionario in senso lato se e solo se

,

I

1. x(t) = y(t) = O

(6-129b)

2. Rx(r) = Ry(r)

(6-129c)

6-7

427

Processi passa-banda

e (6-129d) Dimostrazione. Le condizioni necessarie per avere la stazionarietà in senso lato sono che v(t) sia costante e che Rv(t, t + T ) sia funzione solo di T. Notiamo che v(t) = x(t) cos Wc t - y( t) sin Wc t è una costante al variare di t se e solo se x( t) = y( t) = O.Dunque, la condizione 1 è necessaria. Le altre condizioni necessarie a rendere Rv(t, t + T) funzione unicamente di T si trovano procedendo con il calcolo: Rv(t, t + T) = v(t)v(t + T)

= [x(t) cos wct - y(t) sin wct][x(t + T) cos wc(t + T) - y(t + T) sin Wc(t + T)]

= x(t)x(t

-

y(t)x(t

+ T) cos Wct cos wc(t + T)

-

x(t)y(t + T) cos Wct sin wc(t + T)

+ T) sin wc! cos wc(t + T) + y(t)y(t + T) sin wct sin wc(t + T)

ovvero Rv(t, t + T) = Rx( T) cos wct cos wc(t + T) - Rxy(T) cos Wc!sin wc(t + T) - Ryx(T) sin wct cos wc(t + T) + Ry(T) sin wct sin wc(t + T) Usando fonnule trigonometriche per i prodotti del seno e del coseno, l'equazione precedente si semplifica nella fonna Rv(t, t + T) = ![Rx(T) + Ry(T)] COSWcT + HRx(T) - Ry(T)] cos wc(2t + T) - HRxy( T) - Ryx(T)] sin WcT- HRxy( T) + Ryx(T)] sin wc(2t + T) L'autocorrelazione di v(t) risulta funzione solo di T se i tennini in cui compare t vengono forzati a zero, cioè [Rx ( T)

-

Ry{ T)]

=

O e [Rxy( T)

+

Ryx( T)]

= O. Quindi

sono ne-

cessarie anche le condizioni 2 e 3. Se le Condizioni 1-3 della (6-129) sono soddisfatte, e cioè v(t) è stazionario in senso lato, saranno valide anche le Proprietà 1-5 delle Equazioni (6-133a)-(6-133e). Vedremo che queste proprietà sono estremamente utili nell'analisi dei processi aleatori presenti ai vari livelli di un sistema di comunicazione Dato un segnale passa-banda, la rappresentazione dell'inviluppo complesso g( t) non è univoca. Ciò si vede chiaramente dalla (6-126), in cui la scelta del parametrofc rimane a nostra totale discrezione. Di conseguenza, nella rappresentazione di un segnale passa-banda v(t), le componenti frequenziali presenti nell'inviluppo complesso g(t) dipendono dal valore difc scelto per il modello. Naturalmente, nel rappresentare un processo aleatorio, ci si focalizza spesso solo sulle proprietà dello spettro di potenza del medesimo. Poiché si può dimostrare che, se v( t) è un processo SSL, Re{ (- j ) g( t) ejCùct} ha la stessa densità spettrale di potenza di Re{g(t)ejCùcl} [Papoulis, 1984, pp. 314-322], si capisce ulterionnente che g(t) non è unica e viene scelta in modo da soddisfare eventuali altre condizioni. In alcune applicazioni, le Condizioni 1-3 della (6-129) non sono verificate. È il caso per esempio di componenti in quadratura x( t) e y( t) con diversa potenza, come nei problemi di modulazione in fase/quadratura sbilanciata. Un altro esempio si ha quando x( t) o y( t)

428

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

hanno una componente continua. In questo caso, il modello di processo passa-banda descritto dalla (6-126) potrebbe non essere stazionario. È possibile ricavare un altro modello passa-banda che rappresenti il processo SSL v(t), ma che non richieda le Condizioni 1-3della (6-129)? La risposta è affermativa. Generalizziamo infatti il modello in modo da includere una costante di fase 8c che risulti essere una variabile aleatoria con opportuna distribuzione. Avremo allora il seguente teorema. TEOREMA. Se x(t) e y(t) sono processi congiuntamente SSL, il processo reale passa-banda v(t) = Re{g(t)ej(w~+8c)} = x(t) cos((ùct + 8c) - y(t) sin((ùct + 8c)

(6-130)

risulta SSL quando 8c è una variabile aleatoria indipendente da x e y uniformemente distribuita su (O,21T). La modifica introdotta al modello passa-banda non deve preoccuparei più di tanto, poiché si può affermare che costituisce una rappresentazione attendibile da un punto di vista fisico. Infatti, la costante 8c è sostanzialmente il valore aleatorio della fase iniziale, poiché dipende dalle condizioni iniziali del processo fisico. Qualsiasi sorgente di rumore o di segnale, nel momento in cui viene "accesa", presenta una rotazione casuale della fase, a meno che non venga sincronizzata tramite un qualche segnale esterno. Dimostrazione. Modellando il processo passa-banda con la (6-130), dimostreremo ora che v( t) è stazionario in senso lato se g( t) è stazionario in senso lato, anche se le condizioni della (6-129) non sono rispettate. Per dimostrare che la (6-130) rappresenta un processo stazionario in senso lato, è necessario per prima cosa imporre che v(t) sia una costante: v(t) = Re{g(t)ej(wct+8c)} = Re{g(t)ejwcl ejfJc} Ma ej8c = O, quindi abbiamo v(t) = O, costante. La seconda condizione è che Rv(t, t + r) sia funzione solamente di r:

Rv(t, t + r) = v(t)v(t + r) = Re{g(t)ej(wcl+8c)} Usando l'identità Re(c\) Re(c2)

=!

Re(C\C2)

+

Re{g(t

+ r)ej(Wcf+wc7+8c)}

! Re(c~c2)

e ricordando che 8c è una

variabile aleatoria indipendente, otteniamo Rv(t, t + r) = !Re{g(t)g(t

+ r)ej(2wct+Wc'T)ej28c}

+ !Re{g*(t)g(t

+ r)ejwc'T}

Ma ej28c= Oe Rg( r) = g*(t)g(t + r), poiché g(t) è per ipotesi stazionaria in senso lato. Dunque, (6-131) L'espressione al secondo membro della (6-131) non è funzione di t, quindi si ha Rv(t, t + r) = Rv( r). Di conseguenza, la (6-131) rappresenta un processo stazionario in senso lato.

6-7

Processi passa-banda

429

Per il modello decritto dalla (6-130), sono valide le Proprietà 1-5 delle Equazioni (6-133a)-(6-133e), mentre le Proprietà 6-14 delle Equazioni (6-133f)-(6-133h) non valgono per le componenti x(t) e y(t) di v(t) = x(t) cos (wet + (Je) - y(t) sin (wet + (Je), a meno che non vengano soddisfatte le condizioni della (6-129). A ogni modo, come di dimostrerà più avanti, le componenti x( t) e y( t) rivelate con una coppia di rivelatori sincroni sui rami in fase e in quadratura (Fig. 6-11) verificano le Proprietà 6-14, sempre nell'ipotesi che la fase iniziale, (Jo,sia indipendente da v( t). Si osservi che le componenti x(t) e y(t) associate con v(t) all'ingresso dei rivelatori non sono identiche alle componenti in fase/quadratura

di uscita a meno che 8e

=

(Jo; in ogni caso, le densità spettrali di

potenza dovrebbero coincidere. La rappresentazione tramite inviluppo complesso della (6-130) è piuttosto utile per valutare l'uscita dei rivelatori. Ad esempio, se v( t) è il processo ottenuto dalla sovrapposizione di segnale e rumore applicato a un rivelatore sincrono, x( t) sarà il processo di uscita sul ramo in fase (dove l'oscillazione di riferimento è 2 cos (wc t + (Je)mentre y(t) è il processo di uscita sul ramo in quadratura (dove l'oscillazione di riferimento è data da -2 sin( Wc t + (Je)(Cap. 4). Analogamente, R(t) è il processo di uscita dal rivelatore di inviluppo, mentre (J(t) è quello in uscita dal rivelatore di fase.

Proprietà dei processi passa-banda stazionari in senso lato Possiamo ora ricavare alcuni teoremi che forniscono le relazioni fra la funzione di autocorrelazione e la densità spettrale di potenza per v(t), g(t), x(t) e y(t) Questi e altri teoremi vengono riportati di seguito come proprietà dei processi aleatori passa-banda. Si assume per ipotesi che il processo v(t) sia reale e SSL.IOLa natura passa-banda di v(t) è espressa matematicamente mediante la (6-lOa), nella quale C!Pv(f)

=O

perh < 1II
(6-132)

dove O < II ::5le ::5h. Inoltre, viene definita una costante positiva Bo che rappresenta la massima distanza la frequenza centrale le e ciascuno dei due estremi della banda, come mostrato in Figura 6-lOa, e tale che Bo < le. Le proprietà sono le seguenti: 1. g( t) è un processo complesso passa-basso stazionario in senso lato. 2. x(t) e y(t) sono processi passa-basso congiuntamente stazionari in senso lato.

(6-133a)

3. Rv( r) = ! Re {Rg( r) ejwcT} . 4. C!Pv(f) = HC!Pg(f - le) + C!Pg(-1- le)].

(6-133b) (6-133c) (6-133d)

s. V2 =! Ig(t) 12= Rv(O) = !Rg(O).

(6-133e)

Se il processo passa-banda v(t) è SSL e se le Condizioni 1-3 della (6-129) sono verificate, allora v(t) può essere rappresentato dalla (6-129a), dove x(t) e y(t) soddisfano le Proprietà 6-14 elencate più avanti. D'altra parte, se v(t) è SSL, ma non verifica tutte e tre le condizioni della (6-129), la rappresentazione (6-129a) non è più applicabile, e le Proprietà IOv( t) ha anche media nulla, poiché è un processo passa-banda.

430

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

No 2

o

-2/e

2/e

1-

fc

2fc

I-

le

2fc

1-

fc

2fc

1-

le

2te

1-

(a) Spettro in banda passante

No 2

-le

-2fc (b) Spettro passa-banda

.

.

I. -o I I I I I I I I

traslato

I

o

01

rzpv(f

I

+ te>

No 2 I

-2fc

I I I f!J> x(f)

(c) Spettro passa-banda traslato

I

O

-Bo I

-fc

Bo

'I f!J>y(/)

Noi No 2 I -2fc

-le

O

-Bo I I

(d) Spettro

delle componenti

in banda base

:

I I I I I I I I I I I I I Bo I I

f!J>xy(f)-

f!J> yx(f)

:

]

I I I I I I I

I ----:-- - - ----:-- I I I I I I I I

-2/e

I I I I I I I I I I I

]

No 2

-fc

- No 2

(e) Spettro incrociato delle componenti in banda base

Figura 6-10 Spettri dei processi aleatori dell'Esempio 6-8.

6-14 non valgono. D'altronde si può sempre utilizzare per v(t) la rappresentazione (6-130), senza preoccuparsi di verificare le Condizioni 1-3 della (6-129) e/o le 6-14 riguardo x(t) e y(t) nella (6-130). Inoltre se le componenti in quadratura di v(t) vengono ricostruite me-

6-7

Processi passa-banda

431

diante rivelatori sincroni come in Figura 6-11 (dove 00 è una variabile aleatoria uniformemente distribuita indipendente da v(t), allora le componenti x(t) e y(t) rivelate soddisfano le Proprietà 6-14 seguenti. Tali proprietà vengono di seguito riportate:1l (6-133f)

6. x(t) = y(t) = O.

7. V2(t)= x2(t) = y2(t) = ~ Ig(t)

12

.

(6-133g)

=Rv(O) = Rx(O) = Ry(O) = ~Rg(O).

(6-133h)

8. Rx(T) = Ry(T) = 2 {'O !lPv(f) COS[21TU - le)T] df.

(6-133i)

9. Rxy(T) = 2 {OO !lPv(f) sin[21TU - le) T] df.

= -Rxy( -T) = -Ryx( T). Rxy(O) = O.

(6-133j) (6-33k)

lO. Rxy( T)

11.

12. !lPx(f)

~

[!lPvU- le) + !lPvU+ le)], se !/I Bo = !lPy (f) = O, altnmentl {

13. !lPx(f) = j[!lPvU - le) - !lPvU+ le)], y { O,

~Bo

se .1/1

altnmentl

(6-1331)

(6-133m) (6-133n)

Si possono ottenere altre proprietà nel caso in cui v( t) sia un processo SSL a banda laterale unica (SSB). Se v( t) è SSB attorno a I = #"e,allora,dal Capitolo5, segueche

g(t)

= x(t)

(6-134)

:I: jx(t)

, Filtro passa-basso

Wl(t)

v(t)

..

0f

2cos(wct + 00)

1

H(f)

x(t)

-+ffi-!-

-2 sin(Wct + 00) Filtro passa-basso

(t)

.d9 Figura 6-11

..

1

H(f)

y(t)

-+ffi-!-

Ricostruzione di x(t) e y(t) a partire da v(t).

Il Le Proprietà 6-14 valgono anche per le componenti (6-129b. c, d) siano soddisfatte.

x(t) e y(t)

della (6-129a). purché le condizioni

432

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

dove il segno superiore si usa per il caso USSB, mentre quello inferiore per la LSSB. x(t) è la trasformata di Hilbert di x(t). Dalla (6-134), otteniamo le seguenti proprietà: 15. Se v(t) è un processo SSB attorno a l Rg(r)

= #e,

= 2[Rx(r)

(6-135a)

:l:jRx(r)]

dove Rx(r) = [1/(1Tr)] * Rx(r). 16. Per i processi USSB, (6-135b) 17. Per i processi LSSB,

l >

O, ~g(J)

°

(6-135c)

= { 4~x(l), l < °

Dalla Proprietà 9 segue che, se v( t) è pari attorno a l = le , l > O, allora Rxy(7 ) = Oper ogni valore di 7. Di conseguenza, x( t) e y( t) sono processi ortogonali quando ~v(J) è pari attorno a l = lc, l > o. Inoltre, se v(t) è anche Gaussiano, x(t) e y(t) risultano processi aleatori Gaussiani indipendenti. Esempio

6-8 SPETIRI DELLE COMPONENTI IN FASE/QUADRATURA DI UN PROCESSO DI RUMORE BIANCO PASSA-BANDA

Consideriamo un processo di rumore bianco passa-banda v(t) avente densità spettrale di potenza pari a v(t) sull'intervallo No/2 (Fig. 6-10). Per la Proprietà 12 possiamo valutare la densità spettrale di potenza di x(t) e y(t). Dobbiamo infatti sommare gli spettri traslati 'li'v(f - le) e 'li'v(f + !c), mostrati in Figura 6-lOb e c, per ottenere 'li'x(f) mostrata in Figura 6-1Od.Si osservi che lo spettro di 'li'x(f) è nullo per III > Bo. Analogamente, lo spettro incrociato, 'li'xy{f), si ottiene dalla Proprietà 13 ed è riportato in Figura 6-1Oe.È interessante notare che, sull'intervallo di frequenze in cui è diverso da zero, lo spettro incrociato risulta anche immaginario puro; visto che 'li'v(f) è una funzione reale. Inoltre, lo spettro incrociato è sempre una funzione dispari. La potenza totale normalizzata è

p

= J: 'li'v(f)

df

= No(h

- Il)

Lo stesso risultato si ottiene se la potenza viene calcolata a partire da 'li'x(f) la Proprietà 7:

p = Rx(O) = Ry(O)

Che cosa succede se f e = (lI + 12) 12?

= f'X>'li'x(f) dI = NO(f2- ft) -=

= 'li'y{f)

e si usa

6-7

Esempio

Processi passa-banda

433

6-9 DENSITÀ SPETIRALE DI POTENZA DI UN SEGNALE BPSK

Valuteremo ora la densità spettrale di potenza di un segnale BPSK modulato con dati casuali. Nei Capitoli 2 e 5 abbiamo visto che un segnale BPSK può essere espresso come v(t)

= x(t)

(6-136)

cos(wet + 8e)

dove x(t) rappresenta i dati polari binari (si veda l'Esempio 2-18) e 8eè la fase iniziale aleatoria. La densità spettrale di potenza di v( t) si trova a partire dalla Proprietà 4, dove g(t) = x(t) + jO. Quindi, (6-137) Dobbiamo ora ricavare la densità spettrale di potenza del segnale polare binario x(t). Questa è stata calcolata nell'Esempio 6-3, dove si erano considerati dati binari indipendenti ed equiprobabili. Sostituendo la (6-62), o, equivalentemente, la (6-67) nella (6-137), otteniamo la densità spettrale di potenza del segnale BPSK: (6-138) Una rappresentazione grafica del risultato ottenuto è riportata in Figura 6-12. Tale risultato era stato già anticipato nella (2-200) per valutare la banda del segnale BPSK.

Dimostrazione

di alcune proprietà

Dimostrare tutte le 17 proprietà elencate in precedenza va al di là degli scopi di questo testo. Per tale ragione, presenteremo dimostrazioni dettagliate solo di alcune di esse, lasciando come esercizio al lettore quelle che richiedono passaggi matematici analoghi. Le Proprietà 1-3 sono già state dimostrate nella discussione della (6-131). La Proprietà 4 segue direttamente dalla 3, una volta calcolata la trasformata di Fourier della (6133c). I passaggi sono identici a quelli usati per ottenere la (4-25). Anche la Proprietà 5 deriva dalla 3 in modo diretto. La Proprietà 6 viene dimostrata di seguito, mentre la 7 si ricava a partire dalla 3 e dalla 8. Come vedremo più avanti, le Proprietà 8-11 si ottengono dalle Proprietà 12 e 13.

1.0 0.5

le

-I,.

Figura 6.12

Spettro di potenza per un segnale BPSK.

1-

434

Capitolo 6 - Processi a1eatori e analisi spettra1e

Le Proprietà 6 e 12 si ricavano con l'aiuto della Figura 6-11. Come indicato nella (4-77) al Paragrafo 4-13, x(t) e y(t) possono essere ricostruiti grazie a due rivelatori sincroni, (6-139)

x(t) = [2v(t) COS(lùet+ 00)] * h(t) e y(t)

= -[2v(t)

sin (lùet

(6-140)

+ 00)] * h(t)

dove h( t) è la risposta impulsiva di un filtro ideale passa-basso di banda Bo hertz e 00è una variabile aleatoria indipendente da v, unifonnemente distribuita su (O, 27T) che corrisponde alla fase iniziale dell'oscillatore non sincronizzato. La Proprietà 6 segue dalla (6-139), avendo calcolato le medie statistiche COS(lùet+ 00) = O e sin (lùet + 00) = O. La Proprietà 12, ovvero la densità spettrale di potenza di x(t), si ottiene valutando l'autocorrelazione di Wl(t) in Figura 6-11: Wl (t) Rw,( T)

= 2v(t) COS(lùet+ = Wl(t)WI(t + T)

= 4v(t)v(t

00)

+ T) COS(lùet+ 00) COS(lùe(t+ T) + (0)

Considerando che 00 è indipendente da v( t) abbiamo

= 4v(t)v(t + T)[! cos lùeT +! e siccome COS(2lùet+ lùeT + 200)= O,allora RWI(T)

COS(2lùet+ lùeT+ 200)]

(6-141) La PSD di Wl(t) è ottenuta prendendo la trasfonnata di Fourier dell'Equazione (6-141). w.(f)= 2v(f) * [!S(f

- le) + !S(f + le)]

ovvero

La densità spettrale di potenza di x( t) e infine

ovvero x(f)=

[IJ(j

{ O,

- le) + 1J(j + le)],

se III < Bo altrimenti

che corrisponde alla Proprietà 12. La Proprietà 8 deriva direttamente dalla 12, calcolando l'antitrasfonnata di Fourier:

6-7

Con i cambiamenti di variabile

I I = -I + I c nel primo

435

Processi passa-banda

integrale e Il = I + Ic nel se-

condo, otteniamo: le + Ho

le + Ho

Rx( 7) =

f

v(-II)ej21T(fe-!J)'TdII +

le-Ho

f

v(Jl) ej21T(fde) T dll

le-Ho

Ma v(-j)= v(J), visto che v(t) è un processo reale. Inoltre, dal momento che v(t) risulta limitato in banda, l'integrazione può essere effettuata sull'intervallo (O,(0). Dunque, oo

Rx( 7) = 2

f

ej21T(II-Ie)'T

+ e-j21T(fI-Ie)'T

v(Jl) [ o

]

2

dII

che coincide con la Proprietà 8. In modo analogo, si dimostra la validità delle Proprietà 13 e 9, mentre la lO e la 14

si ricavanoin modo immediatodalla 9.

.

Per i processi SSB, y(t) = ::li(t). La Proprietà 15 si ottiene nel seguente modo: Rgg( 7)

= g*(t)g(t = [x(t)

+ 7)

=+=jx(t)][x(t+

= [x(t)x(t

7) :r.jx(t+

+ 7) + x(t)x(t

:i:j[ -.i(t)x(t

7)]

+ 7)]

+ 7) + [x(t)x(t

+ 7)]

(6-142)

Dalla definizione di funzione di correlazione incrociata e dalla Proprietà lO, abbiamo Rxs( 7) = x(t)x(t

+ 7) =

-

Rsx( 7)

=-

x(t)x(t

+ 7)

(6-143)

Inoltre, sapendo che x( t) è la convoluzione di x( t) con 1/( 1Tt),si dimostra che (Esercizio 6-40) (6-144) e (6-145) Perciò, la (6-142) corrisponde alla Proprietà 15. Valutando (6-135a), si ottengono le Proprietà 16 e 17. Come dimostra la Proprietà 6, il valor medio rilevato do v(t) è indipendente da 00. In ogni caso, dalle (6-139) fatto necessaria una condizione meno restrittiva. Cioè, x( t) ortogonale rispettivamente a cos(wct + (0) e a sin (wct + che v (t) sia del tipo

la trasformata di Fourier della di x( t) e di y( t) è nullo quane (6-140), si capisce che è di o y( t) saranno nulli se v( t) è (0), Ad esempio, si supponga (6-146)

dove Ocè una variabile aleatoria uniformemente distribuita su (O, 27T). Se il riferimento 2 cos (wc t + 00) di Figura 6-11 è in fase con cos (wc t + Oc)(cioè 00 ==Oc),l'uscita del filtro passa-basso sul ramo superiore avrà valor medio pari a 5. D'altra parte, se le variabili

-

436

~--_.

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

aleatorie ~ e 8..sono indipendenti,allorav( t) è ortogonalea cos(lù,.t + (0), e orinuscita dal filtro passa-basso sul ramo in fase di Fig. 6-11 risulta nullo. Il valore in continua dell'uscita (e cioè la sua media temporale) sarà 5 cos (80 - e..) in entrambii casi. Non è stata fin qui studiata alcuna proprietà relativa alla funzione di autocorrelazione di R(t) e di 8(t) e a una loro eventuale relazione con l'autocorrelazione di v(t). In generale, questo problema è piuttosto complicato, poiché R(t) e fJ(t) sono funzioni nonlineari di v(t). Vediamo a questo proposito un esempio. Esempio

6-10 DENSITÀ DI PROBABILITÀDELL'INVILUPPO E DELLA FASE DI UN PROCESSO GAUSSIANO PASSA-BANDA

Consideriamo un processo Gaussiano stazionario v(t) con densità spettrale di potenza simmetrica attorno a f= rfc. Vogliamo determinare la densità di probabilità del primo ordine del (processo aleatorio) inviluppo R(t). Ovviamente, quest'ultimo coincide con il processo in uscita da un rivelatore di inviluppo quando in ingresso è presente un processo Gaussiano, (ad esempio rumore termico). Vogliamo anche determinare la densità di probabilità della fase 8(t), cioè l'uscita di un rivelatore di fase. Il problema si risolve atraverso la trasformazione bidimensionale delle variabili aIeatorie x

=

x(t) e y

= y(t)

nelle variabili R

= R(t)

e 8 = 8(t), come illustrato nella Figura

6-10. Poiché v(t) è Gaussiano, sappiamo già che x e y sono congiuntamente Gaussiane. Se v(t) ha una densità spettrale di potenza (finita) simmetrica attorno a f

= f/e,

i valori medi

di x e y saranno entrambi nulli mentre la varianza sarà per entrambi pari a (6-147) Inoltre, x e y sono indipendenti, in quanto variabili aleatorie Gaussiane incorrelate (sempre poiché la densità spettrale di potenza è simmetrica attorno a f = f/e). Dunque, la densità di probabilità congiunta di x e y risulta I fty{x, y) = 27Trr e-(x2+y2)j(2.r)

(6-148)

La densità di probabilità congiunta di R e fJsi ottiene dal teorema fondamentale applicato alla trasformazione bidimensionale di x e y in R e fJ: fxl'(x, y) !Re(R,8)

= IJ[(R:fJ)/(x,y)]I :~:~~:: I

= f<).(x, y)1 J(i;: ~~) Il.;:: ;i~s:

(6-149)

Abbiamo considerato lo Jacobiano J[(x, y)/(R, fJ)] invece di J[(R, fJ)/(x, y)], poiché in questo particolare problema le derivate parziali nel primo si valutano più facilmente di quelle nel secondo. Abbiamo quindi

éJx éJx éJ8 J x, y) = Del éJR iJy ( (R, 8)) ~ éJR éJ8 l ]

6-7

437

Processi passa-banda

.r

R .. Trasfonnazione non lineare .r = Reos (I

y

y

..

=

R sin (I

(I

Figura 6-13 Trasformazione non lineare (in coordinate polari) di due variabili alcatoric gaussiane. dove x e y sono legate a R e 8 dalle relazioni riportate in Figura 6- I3. Ovviamente, R ~ O, mentre 8 cade nell'intervallo (O, 27T),di conseguenza cos 8 -R sin 8 J- x, .v) =Det R cos 8] ( (R, 8) ) [ sin 8

= R[cos28 + sin2 8] = R

(6-150)

Sostituendo la (6-148) e la (6-150) nella (6-149), la densità di probabilità congiunta di R e 8 risulta pari a . fRU(R,8) =

~27TCT-

e-R'/(2
! O,

(6-151)

altrimenti

La densità di probabilità dell'inviluppo si ottiene calcolando la densità di probabilità marginale:

R~O ovvero

(6-152)

J,(R)

altrove ti' , ,-"/(,''',, R" O

~

cioè una densità di probabilità di Rayleigh. Analogamente, la densità di probabilità di 8 si ottiene integrando rispetto a R la densità congiunta:

fÌJ( 8)

=

217T' O::S 8::S 27T

! O,

(6-153)

altrove

Si tratta questa volta di una densità uniforme. Queste due densità di probabilità ora introdotte sono rappresentate nella Figura 6-14. Le variabili

aleatorie

R

=

R(tl)

e 8

=

8(tl)

sono indipendenti,

in quanto

vale

IR (R, 8 ) = .ftl(R) f( 8 ). Viceversa, R(t) e 8(t) non sono processi aleatori indipendenti (Continua)

438

Capitolo

6 - Processi

all'Mori l' ,lnalisi spl'ttr
t

O.h

f/i(N) do\"e

(r

(1.-1 0.2

R(a) Densil;\ di prohahililil dell'ill\iluppo

t l,/(Ii)

~

11-

(h) Densitil di prohahilitil della fa'l'

I

Figura 6-14

Ocnsitil di probahilitÙ dell'illviluppo

e della fase di un processo (ìaussiano.

t

I

poiché le variabili aleatorie R = R(tl) e H = O(tl + T) non sono indipendenti per ogni valore di T. Per verificare questa affermazione. è necessario esaminare una trasformazione delle quattro variabili aleatorie (x(td. .r(/~). y(t)). )'(/~)) nelle variabili (R(/d. R(/~). (J(t.). (J(/2)) dove t2 - ti = T [Oavenport e Root. 1958]. Questa trasformazione (di analisi molto complicata) è anche necessaria per valutare le funzioni di autocorrelazione di R(t) e di8(t).

6-8 IL FILTRO ADATTATO Definizione

I I

J

e risultati generali

Nei precedenti paragrafi. ahhiamo sviluppato alcune tecniche per caratterizzare i processi aleatori e per al/a!i::are gli effetti dei sistemi lineari su di essi. In questo paragrafo studieremo invece la .l'il/tesi (progetta:iol/{,) di un filtro lineare che minimizza gli effetti del rumore massimizzando allo stesso tempo iI l'ontrihuto del segnale utile. cioè del cosiddetto filtro adattato. La rappresentazione generale di un filtro (adattato) è riportata in Figura 6-15. Le componenti di segnale utile in ingresso e in uscita sono indicate rispettivamente con .1'(1) e su( t). Analoghe notazioni sono adottate anche per il rumore. Si suppone che la forma d'onda del segnale sia nota. (Come utilizzare tale approccio nei prohlemi di segnalazione

6-8

1'(1)

~

.

'(I)

1/(1)

.

Il filtro adattato

439

l'ihro adallal" 11(/) IIU)

Fi~ura

6-15

Filtro adatlato.

digitale e nelle applicazioni radar risulterà chiaro dagli Esempi 6-11 e 6-12.) Il segnale è per ipotesi a durata limitata. e precisamente diverso da zero solo ne Il"intervallo temporale (O. T). La densitll spdtrale di potenza ?/',ln del rumore additivo (stazionario) di ingresso n(l) è anch'essa nota. Vogliamo ora determinare lIuali devono essere le caratteristiche del filtro affinché la potenza istantanea del segnale in uscita risulti massimizzata in corrispondenza di un certo istante di campionamento t(l. rispetto alla potenza media statistica del rumore d'uscita allo stesso istante. In altre parole. vogliamo trovare h(t) o. elluivalentemente. 11(/), in modo tale che il rapporto S ( risulti

massimo

per I

=

lo. Questo

s~(I)

(6-154)

ti ) "ul = II~(I)

è proprio

il criterio

di progetto

del filtro adattato.

È da notare che il filtro adattato nOli conserva la forma d'onda dell'ingresso. poiché non è lIuesto il suo ohiettivo, Piuttosto. la sua funzione è tjuella di distorcere il segnale di ingresso e il rumore in modo che all"istante di campionamento lo. il livello del segnale utile sia il piil elevato possihile rispetto al valore efficace del rumore (in uscita). Nel Capitolo 7 dimostreremo che. sotto certe condizioni, il filtro adattato minimizza la probabilità di errore tjuando è impiegato nella ricezione di segnali digitali. TEOREMA. Il filtro adallato, CiOI;lfuel/o che IIllIssillli::lI il rlIp/wr!o segllale-mlIIore (S N)"1I1

=

S(~(lo)/II~(I)

IllI risposla

infi'elfUl'n:a

S'(f) IIU)

(6-155 )

= K :J/',,(f)

do\"(' S(I) = ;1'[.1'(t)] l; la trll,~/(mnllla di Fouril'r del segnale di ingresso m'clllc durala pari a T secondi. .J/,,,(I) (; la dl'lIsitlì spellrall' di pOlcn:a del mlllore di illgrl'sso, lo (; r istante di call1piOll(l/lIl'lIIOin corrispollden:a dc/lflla/l' l'a/Illialllo (S / N )"111 l' K l' lilla costallle arhitraria dil"l'rsa da :l'ro. Dimostrazione.

Il segnale in uscita all'istante

so(to)

lo è

= f'- '- 1I(f)S(f)l'i.'~" dI

La potenza media del rumore in uscita è inoltre

n(~(t)= R",,(O)= f'- '- IH(/W'P,,(f) dI

I

J'

/I ( I ) \ ( I I ( ",' d

{'

/I ( I )

do\c ficata

.

I( I)

L'

:1(f)/1( /) dll'.

/1( () SOIlO fllllziOlli

SL' L' ,010

\II )

J'

COmpk\\L'

(h-156)

1',,( I I di

Vogliamo tro\~\rc qucl/a partlcolarL' /I( I) d1L' l11a,'IIllI//a dcl/a di'lI~ua~lianza di '-;dm ari l' 'L'L'OIIl!O I~ILjuak

lI:

Il

(\

\ )""" Dohhiaillo

di J

dcll~1 \'anahik

/1( /)

a\\akrci

(h-157)

. di

~

reak

r l. 'u~ua~liil1l/a

i: \Tri.

sc

I( Il

Ih-l5X)

/\/1 (t)

don' K e lilla Ljualsia,i co,lanlL' dl'hitraria rL';ile. \pplic;\Ildo IlUl1lcralore Lkl sccondo Illcmhru della I() I ')()). UHI

I( I)

di Sclmarl

al

\.P,,( I)

1/(1)

11(I )

disuguagliallza

SU)I'

,,,,'

\.f'"U)

'.P,,(/)

IIU)

J

~

dI

/lit)

I~

.f'"U) 1/ massimo (S N)"", ,i otticllc qualldo /1(1) L' 'L'dlo uguagliallza. CiÙ ,i \erifica sc 1(1) /\/1 (I). ()\ \LTO

dI

di in modo

KS (!)I \ ./',,( t) alla (h-I ')5) dd teorcma.

è

'.f',,( /) di

\U)

che corri,polllk

SU)

.f'"U)

"."

(h-15\)) da ollCllcrc

il ,cgno di

6-8

Il filtro adattato

441

Da un punto di vista teorico, si vede chiaramente che la costante K è arbitraria, poiché va a moltiplicare sia il segnale di ingresso che il rumore, senza influire sul rapporto segnale-rumore. Tuttavia, il livello del segnale di ingresso e quello del rumore dipendono entrambi da tale costante che rappresenta l'amplificazione del filtro. Nella dimostrazione non si è fatta alcuna ipotesi sulla causalità di h(t) Dunque, il filtro specificato dalla (6-155) potrebbe non essere realizzabile (cioè non causale). Si può comunque approssimare la risposta in frequenza che compare nella suddetta equazione con quella di un filtro fisicamente realizzabile (causale). Se imponiamo un vincolo di causalità, il progetto del filtro adattato diventa più complesso; in particolare, per ottenere la funzione h( t) è necessario risolvere un'equazione lineare integrale [Thomas, 1969]. Risultati nel caso di rumore bianco Nel caso di rumore bianco, la descrizione del filtro adattato si semplifica notevolmente. Ponendo ~n(f) = No/2, la (6-155)diventa H(f)

= 2K No

S*(f)

e-jwlo

da cui deriva il seguente teorema. TEOREMA.

Quando il rumore di ingresso è bianco. la risposta impulsiva del filtro

adattato è h(t)

= Cs(to

(6-160)

- t)

dove C è una costante arbitraria reale e positiva, to è [' istante in corrispondenza del quale si rileva il picco del segnale di uscita e s(t) è la forma d'onda nota del segnale di ingresso. Dimostrazione. Abbiamo

2K oo .. h(t) =;gp-I[ H(f) ] = S*(f) e-j(J)/°ejW( df No -=

J

= 2K No

[J-= oo S(f)ej21T!(IO-I)

df

r

2K

=-

No

[s(to - t)]*

Ma se s(t) è un segnale reale basta porre C = 2K/No, in modo che la risposta impulsiva coincida con la (6-160). Dalla (6-160) vediamo che, nel caso di rumore bianco, la risposta impulsiva del filtro adattato è semplicemente il segnale (noto) di ingresso, ruotato attorno all'asse delle ordinate e traslato di to (come illustrato nell'Esempio 6-11). Per questo motivo, il filtro si dice "adattato" al segnale. Una proprietà importante è l'effettivo valore di (S/N)ouI ottenuto in uscita dal filtro adattato.

442

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Dalla (6-159), usando il teorema di Parseval (2-41), otteniamo:

~

=

( N ) oul

f

oo

-00

IS(f)12 di = ~ oo s2(t) dt No/2 No-oo

f

Ma J~ S2(t) dt = Es è l'energia del segnale di ingresso (di durata finita). Dunque: S

2Es ( N ) ou,= No

(6-161)

che è un risultato interessante. Esso infatti stabilisce che il rapporto segnale-rumore (S/N)ouI in uscita al filtro adattato dipende dall'energia del segnale e dal livello della densità spettrale di potenza del rumore, ma non dalla particolare forma d'onda impiegata. Ovviamente, è possibile innalzare il livello dell' energia del segnale per migliorare (S/N)ouI incrementandone l'ampiezza, la durata, o entrambi questi parametri. La (6-161) può essere riscritta in funzione di parametri differenti: il prodotto durata-banda e il rapporto tra potenza media del segnale di ingresso (su un intervallo di T secondi) e la potenza media di rumore nella medesima banda. Se la banda sulla quale si misura la potenza del rumore di ingresso è W hertz, per la (6-161) si ha

~

= 2TW

( N ) OUI

(Es/T) (NoW)

= 2(TW)

~ ( N ) in

(6-162)

dove (S/N)in = (Es/T)/(NoW). Dalla (6-162),vediamoche un incrementonel prodotto durata-banda (TW) non modifica l'SNR di uscita, poiché l'SNR di ingresso diminuisce dello stesso valore. Nelle applicazioni radar, incrementare il valore di TW significa avere una migliore capacità di risolvere (distinguere) bersagli molto vicini l'uno all'altro. Secondo la (6-162), questo incremento non altera le prestazioni del ricevitore radar rispetto ai disturbi di ricezione.

Esempio

6-11 FILTRO (ADATTATO) A INTEGRAZIONE E SCARICA

Supponiamo che il segnale di ingresso sia un impulso rettangolare, come mostrato in Figura 6-16a: s(t) La durata del segnale è T

=

=

l, { O,

t):5 t :5 t2 altrove

(6-163)

t2 - ti. Allora, nel caso di rumore bianco, la risposta impulsi-

va del filtro adattato deve essere h(t)

= s(to -

t)

= s(-(t

- to»

(6-164)

C è stato scelto unitario per semplicità, mentre s(-t) è riportato in Figura 6-16b. Sempre da questa figura, si vede chiaramente che, affinché la risposta impulsiva risulti causale, è necessario imporre che (6-165) Sceglieremo allora to = t2 poiché è il più piccolo valore che soddisfa la condizione di causalità, e quindi minimizza l'intervallo di tempo che dobbiamo attendere prima di rivelare il picco in uscita dal filtro (cioè, t = to). La risposta h(t) per to = t2 è rappresentata in Figura 6-16c, mentre il segnale di uscita è mostrato in Figura 6-16d. Si osservi che il picco del segna-

6-8

Il filtro adattato

443

s(t)

(a) Segnale di ingresso

~

T

t2 I I I I I I I I I I I I I I I I I I

s (-t)

TI

R,

(b) Segnale motato rispetto all' asse delle ordinate

h(t) = sUodove to = t2

t),

t-

I

t-

1.0

to (c) Risposta impulsiva del filtro adattato so(t)

=I t2

T

I I I I I I

t-

T 0.75T 0.5T

to + T

t-

2T (d) Segnale in uscita dal filtro adattato

Figura 6-16 Fonne d'onda associate al filtro adattato dell'Esempio 6-1 I. le di uscita si presenta in corrispondenza appunto di t = to e che la fonna d'onda di ingresso è stata distorta dal filtro al fine di innalzare il livello del segnale di uscita proprio in t = to.

Usando segnali dati con impulsi rettangolari, il filtro adattato viene tipicamente implementato come il filtro a "integrazione e scarica" (integrate-and-dump) che illustriamo di seguito. Supponiamo dunque di adottare un impulso di segnalazione rettangolare e di essere interessati a campionare l'uscita del filtro quando il livello del segnale risulta massimo. (Continua)

444

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale In generale, l'uscita del filtro all'istante t = to è ro(to) = r(to) * h(to) =

f:

r(À)h(to

- À) dÀ

Quando sostituiamo la risposta impulsiva del filtro adattato riportata in Figura 6-16c, questa equazione diventa IO

ro(to)

=

f

(6-166)

r(À) dÀ

lo-T

In altri termini, dobbiamo integrare il segnale digitale più rumore in ingresso su un periodo di simbolo T (che, nel caso di segnalazione binaria, coincide con il periodo di bit) e poi "scaricare" l'uscita dell'integratore alla fine di tale intervallo per poter procedere alla stessa operazione nell'intervallo di bit successivo. Tutto questo è rappresentato nella Figura 6-17 per

r( t) = s(t) + n(t) A

Integratore Reset .

ro(1)

Campionamento e tenuta

B L'integratore viene riportato allo stato iniziale a ogni istante di clock

Uscita C

j

D

Segnale di clock (sincronizzazione di bit)

Segnale in A (segnale di ingresso + rumore)

Segnale in B

Segnale in C (uscita)

Segnale in D (clock)

Figura 6-17 Realizzazione del filtro adattato a integrazione e scarica.

6-8

Il filtro adattato

445

una segnalazione binaria. Affinché il filtro possa operare correttamente, è necessario un segnale di clock esterno, chiamato sincronizzazione di bit (Cap. 3) che provvede alle "scariche". Inoltre, il segnale di uscita non è binario, poiché i valori dei campioni di uscita sono ancora disturbati dal rumore (sebbene quest'ultimo sia stato minimizzato dal filtro adattato). Nei ricevitori digitali, l'uscita viene poi convertita in un segnale binario inviandola in ingresso a un comparatore a soglia (Cap. 7).

Il correlatore TEOREMA. In presenza di rumore bianco, il filtro adattato può essere implementato nella forma di un correlatore, cioè di un dispositivo che correla l'ingresso con s(t); IO

ro(to)

=

f

(6-167)

lo-T r(t)s(t)

dt

dove s( t) è la forma d'onda ingresso nota e r( t) è il segnale effettivamente applicato al correlatore, come mostrato in Figura 6-18. Dimostrazione. L'uscita del filtro adattato all'istante to è IO

ro(to)

f

r(À)h(to

s(to - t), { O,

O:5t:5T altrove

= r(to) * h(to) =

-

À) dÀ

-00

Ma dalla (6-160) h(t)

=

quindi IO

ro(to)

=

f

lo-T

r(À)s[to

-

(to - A)] dÀ

che coincide con la (6-167). Il correlatore viene spesso impiegato come filtro adattato nel caso di segnali passabanda, come illustrato nell'Esempio 6-12.

: I

r(t)

= s(t)

1 I

+ n(t):

Integratore tQ

I

I

I : I I I

[r(t )s(t)

~-T:

s(t)

: (Segnale noto) I Ingresso di riferimento L

Figura 6-18

I:

]dt

I

I I I :

JI

Realizzazione del filtraggio adattato tramite correlatore.

446

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Esempio

6-12 IL FILTRO ADATTATO PER LA RIVELAZIONE DI SEGNALI BPSK

Con riferimento alla Figura 6-18, l'ingresso al filtro adattato è un segnale BPSK disturbato da rumore, così come si ha all'uscita dello stadio IF di un ricevitore BPSK. Il segnale BPSK si può scrivere come ( )

s t

=

+A cos wct, nT < t :s (n + 1)T cos wct, nT < t:S (n + I)T

{-A

per un livello logico o simbolo binario l per un livello logico o simbolo binario O

dove Ic è la frequenza centrale dello stadio IF, T è la durata del bit d'informazione e n è un intero. Il segnale di riferimento in ingresso al correlatore sarà +A cos wct oppure -A cos wct, a seconda che si stia cercando di rivelare rispettivamente il livello logico 1 oppure O.Poiché le suddette forme d'onda sono identiche, eccetto che per le costanti:l:l possiamo usare semplicemente cos wct come riferimento. Di conseguenza, quando in ingresso è presente il segnale binario corrispondente al simbolo l, in uscita otterremo (in assenza di rumore) un valore di tensione pari a 4AT. Analogamente, il simbolo binario O determinerà una tensione in uscita pari -4AT. In conclusione, nel caso di segnale binario BPSK più rumore, otteniamo il correlatore mostrato in Figura 6-19. La struttura risultante è molto simile a quella ben nota del rivelatore sincrono, ma adesso il filtro passa-basso è stato sostituito da un integratore con scarica controllato dal segnale di sincronizzazione di clock. Grazie a questa successiva fase di elaborazione, il rivelatore sincrono diventa di fatto un filtro adattato. Si capisce che per implementare questo rivelatore è necessaria una sincronizzazione di bit (per l'integratore) e di portante (per il mixer). Lo schema di Figura 6-19, può essere considerato come una sorta di generalizzazione di quello del filtro adattato a integrazione e scarica di Figura 6-17.

Filtro adattato trasversale Vediamo come progettare un filtro adattato con la struttura trasversale rappresentata in Figura 6-2013.La progettazione consiste nel determinare i coefficienti del filtro {ai; i = l, 2, ..., N} che massimizzano il rapporto s6(to)/n5(t). Il segnale di uscita all'istante t = to è

so(to) = als(tO) + a2s(to - T) + a3s(to - 2T) + ... + aNs(to - (N - I)T) ovvero N

so(to)

I

=

aks(to

-

(k - 1) T)

(6-168)

akn(t

-

(k - I)T)

(6-169)

k=1

Analogamente, per il rumore di uscita, N

no(t)

=

I

k=l

La potenza media di rumore risulta N

N

I I

k=1 1=1

akaln(t - (k - l)T)n(t - (l - I)T)

13Quando il ricevitore viene realizzato mediante componenti DSP (Cap. 4), il filtro trasversale si riduce a un semplice filtro FIR (Finite Impulse Response).

6-8 r(/)

=

Il filtro adattato

s(t) + n(/)

U'

..

Integratore Reset

7'(1)

~

PSK.

447

ro(1)

e tenuta

B

t

1.

.

.... Campionamento

C

Clock

Clock

cos( Wc1) (dal circuito di sincronizzazione di portante)

D Segnale di cIock (dal circuito di sincronizzazione

di bit)

Segnale in A (PSK + rumore)

1Segnale in E (sincronizzazione

1-

di portante)

Segnale in B

1Segnalein C

Segnalein D (cIock)

1Figura 6-19 Rivelazione di un segnale BPSK tramite COITe1atore (filtro adattato).

ovvero N

nJ(t)

=

N

I I

k=1

GkG/Rn(kT

- lT)

(6-170)

/=1

dove Rn(T) è la funzione di autocorrelazione del rumore di ingresso. Perciò, il rapporto segnale-rumore è

(6-171)

448

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale r(t) = s(t) + n(t)

Ritardo T

Ritardo T

Figura 6-20 Filtro adattato trasversale.

Possiamo calcolare i valori ak che massimizzano l' SNR attraverso un problema di massimo vincolato, da risolvere con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange: massimizziamo il numeratore mantenendo costante il denominatore [Olmsed, 1962, p. 518]. Di conseguenza, dobbiamo massimizzare la funzione

N

-

À

N

I I

k=\

aka/Rn(kT

dove À è il moltiplicatore di Lagrange. Il massimo si ottiene quando aM /aai i = 1,2, ..., N. Dunque,

aM

-

aai

(6-172)

- lT)

/=\

= Oper ogni

N

= O= 2

I aks(to [k=\

(k - I)T)

]

s(to - (i - I)T)

N

- 2À

I

akRn(kT - iT)

(6-173)

k=\

per i

= 1,2, ..., N. Ma I-t'=\ aks(to - (k - I) T) = so(to),che è una costante.Inoltre,

si ponga À = so(to). Otteniamo così la condizione richiesta, N s(to

-

(i - I)T)

=

I

k=\

akRn(kT - iT)

(6-174)

per i = I, 2, . . ., N. Si tratta di un sistema di N equazioni lineari in N incognite che determina gli ak ottimi. Definiamo Si

£ s[to

- (i - I) T],

i = l, 2, . . ., N

(6-175)

6-9

Riepilogo

449

e rik

= RII(kT -

i = l,...,

iT),

N

(6-176)

In notazione matriciale, la (6-174) diventa

s = Ra

(6-177)

dove il vettore (noto)relativoal segnaleutile è

(6-178)

La matrice di correlazione (anch'essa nota) per il rumore di ingresso è

R

rtl

rl2

r21

r22

... ...

=::

rlN r2N

:

[ rNI

rN2

...

(6-179)

rNN ]

mentre il vettore dei coefficienti incogniti del filtro trasversale risulta

(6-180)

I coefficienti del filtro adattato trasversale si ottengono formalmente come segue: a

= R-I

s

(6-181)

dove R-t è l'inversa della matrice di correlazione del rumore, mentre s è il vettore (noto) relativo al segnale utile.

6-9 RIEPILOGO Un processo aleatorio è un'estensione del concetto di variabile aleatoria ai segnali aleatori. Un processo aleatorio x(t) è caratterizzato da una densità di probabilità congiunta di ordine N (con N arbitrario), dove le variabili aleatorie sono date da XI = X(tl), X2 = X(t2), ..., XN = X(tN). Se la densità di probabilità, per qualunque N, è invariante rispetto a uno spostamento dell'origine dei tempi, il processo è stazionario in senso stretto. La funzione di autocorrelazione di un processo aleatorio x( t) è RxCtt, t2) = X(tl)X(t2) = f>O -= fX> -= X\X2!x(XI, X2) dxl dx2 In generale, per valutare RxCtt, t2) è necessaria la densità di probabilità congiunta di x( t) del secondo ordine. Se il processo è stazionario, RxCtt, t2) = X(tl)X(tt + 'T) = RxC'T) dove'T = t2 - tt.

450

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

Se x(t) è una costante e se Rx(tl, t2) = Rx( r), il processo è stazionario in senso lato. Se un processo è stazionario in senso stretto, allora è anche stazionario anche in senso lato, ma il viceversa, in generale, non è vero. Un processo è ergodico se le medie temporali coincidono con le corrispondenti medie statistiche coincidono. Se un processo è ergodico, è anche stazionario, ma l'inverso non è generalmente vero. Per i processi ergodici, il valor medio temporale è pari a Xdc

=

x(t) mentre il valore efficace risulta pari a Xeff = ~X2(t).

La densità spettrale di potenza,
=


~[Rx( T)]

Questa grandezza è una funzione reale non negativa e, nel caso di processi reali, risulta simmetrica (pari) attorno a f = O. La densità spettrale di potenza può anche essere ottenuta applicando l'operatore di media statistica a una opportuna funzione delle trasformate di Fourier delle funzioni campione troncate. La funzione di autocorrelazione di un processo reale stazionario in senso lato è reale e pari attorno a r = O. Inoltre, Rx(O) rappresenta la potenza media normalizzata, e il massimo di Rx( r). Un processo di rumore bianco ha una densità spettrale di potenza costante e quindi funzione di autocorrelazione pari a una delta di Dirac applicata in r = O. Il rumore bianco non è fisicamente realizzabile, poiché ha potenza infinita, ma è un'idealizzazione matematica molto utile in varie applicazioni. La funzione di correlazione incrociata di due processi reali congiuntamente stazionari x(t) e y(t) è Rxy(r)

= x(t)y(t + r)

e la densitàspettraledi potenzaincrociatarisulta I due processi sono incorrelati se Rxy(r)

= [x(t)][y(t)]

per ogni r. Sono invece ortogonali se

per ogni r. Indicando con y( t) e x( t) i processi rispettivamente di ingresso e di uscita di un sistema lineare stazionario con risposta impulsiva h(t), si ha Ry( r) = h(-r)

* h(t) * Rx( r)

e

= ~[h(t)]. La bandaequivalentedi un sistemalineare è definitacome oo l

dove H(f)

B

=

-,,~

Jo

IH(f)J2df

6-10

Appendice: dimostrazione

della disuguaglianza

di Schwarz

451

dove H(J) è la risposta in frequenza del sistema e fo è in genere scelta come la frequenza in corrispondenza della quale si ha il massimo di IH(J)I. Analogamente, la banda equivalente di un processo aleatorio x( t) è l oo RAO) B = g>Afo) o g>Af) df = 2g>Afo)

f

Se l'ingresso di un sistema lineare è un processo Gaussiano, l'uscita è ancora un processo Gaussiano. Un processo reale stazionario passa-banda può essere rappresentato come v(t) = Re{g(t)ej(wct+8c)} dove l'inviluppo complesso g( t) è opportunamente legato alle componenti in fase/quadratura x(t) e y(t). Le componenti passa-basso di un processo passa-banda godono di numerose e utili proprietà, che sono state elencate nel Paragrafo 6-7. Ad esempio, x(t) e y( t) sono processi Gaussiani indipendenti quando la densità spettrale di potenza di v( t) è simmetrica attorno a f = fc, f > O e v(t) risulta Gaussiano. Altre proprietà sono caratteristiche dei processi aleatori SSB. I1ftltra adattato è un filtro lineare che massimizza la potenza istantanea della componente utile in uscita, rispetto alla potenza media statistica del rumore. Nel caso di rumore bianco, la risposta impulsiva del filtro adattato è h(t) = Cs(to - t) dove s(t) è la forma d'onda nota del segnale, C è una costante reale e to è !'istante di tempo in corrispondenza del quale la potenza del segnale in uscita è massima. Il filtro adattato può essere realizzato in vari modi, ad esempio con la tecnica a integrazione e scarica, e anche nella forma di filtro trasversale.

6-10 APPENDICE: DIMOSTRAZIONE DELLA DISUGUAGLIANZA DI SCHW ARZ La disuguaglianza di Schwarz è (6-182) If:f(t)g(t) dtl2 :S f:lf(t)12 dove il segno di uguale vale se e solo se f(t)

dt f:lg(t)12

= Kg*(t)

dt (6-183)

è K è una costante arbitraria reale. f(t) e g(t) possono assumere valori complessi. Si ipotizza inoltre che f(t) e g(t) abbiano energia finita, (6-184) --vaIg(t)12 dt < 00 Dimostrazione. La disuguaglianza di Schwarz è equivalente alla disuguaglianza

foo --vaIf(t)12 dt

< 00

e

f':>O

(6-185)

452

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale Inoltre,

If:f(t)g(t)

dtl:5 f:lf(t)g(t)1

dt

= f:'f(t)"g(t)1

(6-186)

dt

e il segno di uguaglianza vale solo se è verificata la (6-183). Quindi, dobbiamo dimostrare che (6-187)

Joo --00Ig(t) 12 dt

Per semplificare la notazione, poniamo

a(t) = If(t)1

(6-188a)

b(t) = Ig(t)1

(6-188b)

e

Allora, è necessario dimostrare che {b a(t)b(t)

dt < ~f:a2(t)

dt ~f:b2(t)

dt

(6-189)

A questo scopo, rappresentiamo a(t) e b(t), su una base di sviluppo ortonormale. Poniamo quindi (6-190a) e (6-190b) dove, come spiegato nel Capitolo 2, a = (al ,a2) e b = (bl ,b2) rappresentano a(t) e b(t), rispettivamente. Le suddette relazioni sono illustrate in Figura 6-21.

a21

~a I I I I I l I I I I I I

~

(J

I I

b

ì Rappresentazione vettoriale di a(t) e b(t). ,:.'

'Pl

6-11

Esercizi di approfondimento

453

Allora, con riferimento alla figura, otteniamo

ovvero

cos O=

a .b

(6-191)

T3TTb I

Inoltre, il prodotto scalare è equivalente al prodotto interno: a

. b = foo-00

a(t)b(t)

dt

(6-192a)

(Per dimostrarlo, basta sostituire a(t) = I.ajfPit) e b(t) = 'LbkfPk(t)nell'integrale, dove le fPj(t) e fPk(t) sono funzioni ortonormali.) Le norme dei vettori sono

laI = ~af + a~= ~a.a = '\/foo-00 a2(t) dt

(6-192b)

e

Ibl = ~bf + b~= ~b.b = '\/foo-00b2(t) dt

(6-192c)

e poiché Icos 01 :5 l, abbiamo

I

J:a(t)b(t)

dt

I

:5

~ J:a2(t)

(6-193) dt

dove l'uguaglianza si ottiene quando

. a = Kb Dalla (6-188), troviamo che anche la (6-194) risulta soddisfatta quando f(t) quindi l'uguaglianza è verificata, c.v.d.

(6-194)

= Kg*(t),

6-11 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO EA6-1 Densità di probabilità di una variabile aleatoria ottenuta per trasformazione lineare di una variabile Gaussiana Si consideri il processo aleatorio y( t) = Acos (10171)dove A è una variabile aleatoria Gaussiana con media nulla e varianza 01. Qual è la densità di probabilità del primo ordine di y(t)? y(t) è SSL? Soluzione

y(t) è una funzione lineare di A. Quindi, y(t) è (marginalmente) Gaussiano in

quanto A è Gaussiana (Par. 6-6). Visto che A m)'

= o,

= y(t) = Acos(10171) = O

(6-195a)

e (6-195b)

454

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale Dunque, la densità di probabilità di y( t) risulta (6-195c)

dove O; è data dalla (6-195b). Inoltre, y(t) non è SSL, poiché Ry(O) = O; + m; = ~ cos2(1O?Tt) è funzione di t. EA6-2 Valor medio in uscita da un filtro Ricavare l'espressione del valore medio in uscita da un filtro lineare stazionario, quando in ingresso è presente un processo stazionario in senso lato. Soluzione

L'uscita del filtro è y(t)

= h(t)

* x(t)

dove h(t) è la risposta impulsiva del filtro. Valutando i valori attesi, otteniamo

my = y(t) = h(t) * x(t) = h(t) * x(t) = h(t) * mx

= Joo -00 h(A)mxdA = mx Joo -00 h(A)dA

(6-196)

La risposta in frequenza del filtro è H(f) quindi H(O)

= ~[h(t)] = Joo-00

h(t) e-j21Tjt dt

= f~ h(t) dt. Allora,la (6-196)diventa (6-197)

EA6-3 Potenza media in uscita da un derivatore È dato il processo y(t) = dn(t)/dt, dove n(t) è un processo di rumore bianco con densità spettrale di potenza pari a <1Pn(f) = No/2 = 10-6 WlHz. Valutare la potenza normalizzata di y(t) su di una banda pari a B = 10Hz a partire dalla continua. Soluzione <1Py(f)= IH(f)l2<1Pn(f), dove per il derivatore, dalla Tabella 2-1, si ha H(f) = j21Tf. Pertanto:

Py =

J~ <1Py(f) df = J~

(21Tf)2 ~o df

= 8~ (~o)B3

ovvero

8r Py =

3

(10-6) (103)

= 0.0263 W

(6-198)

6-11

EA6-4 Densità spettrale di potenza di un processo passa-banda cesso passa-banda

dove y( t)

= x( t)

455

Esercizi di approfondimento

È assegnato il pro-

è un processo SSL con la densità spettrale di potenza mostrata in Figura

6-22a. neè una variabilealeatoriaindipendenteunifonnementedistribuitasu (O,271").Trovare la densitàspettraledi potenzadi v(t). Soluzione Dalla (6-130)sappiamoche v(t) è un processopassa-bandaSSL,con CfPv(f) dato dalla (6-I33d). Perciò,dobbiamodetenninareCfP g(f). Inoltre, v(t) = Re{g(t)ej(w,t+8,)} dove g(t) = x(t) + jy(t) = x(t) + jx(t) = (I + j)x(t). Abbiamoquindi Rg( T)

= g*(t)g(t + r) = (l=- jf(1 + j)x(t)i(t + T) = (I + I)Rx(T) = 2Rx(T)

Pertanto: (6-199) Sostituendo la (6-199) nella (6-I33d), otteniamo l CfPv(f) = 2" [CfPX(f- le) + CfPx(-f - fe)]

(6-200)

CfPv(f)è rappresentata in Figura 6-22b, con riferimento alla CfPx(f)di Figura 6-22a.

2

(a) Densità spettrale di potenza di x(t)

-le - 2

-le

-le + 2

(b) Densità speurale di potenza di v(t)

Figura 6.22

1-

le

le + 2

1-

Densità spettrale di potenza per l'esercizio di approfondimento EA6-4.

456

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

ESERCIZI PROPOSTI 6-1

È dato il processo aleatorio

= At

x(t)

+ B

(a) Rappresentare alcune funzioni campione nell'ipotesi che B sia costante e A unifonnemente distribuita fra -l e + l. (b) Rappresentare alcune funzioni campione nell'ipotesi che A sia costante e B uniformemente distribuita fra O e 2.

6-2

È dato il processo aleatorio x(t)

=A

cos(ùJQt + 8)

dove A e ùJQsono costanti e 8 è una variabile aleatoria con f (8)

= ~. I O,

6-3

6-4

Os8S-

7T

2

altrove

(a) Valutare x(t). (b) Sulla base del risultato del punto precedente, cosa è possibile dire sulla stazionarietà del processo? Considerando ancora il processo aleatorio dell'Esercizio 6-2, (a) Valutare (x2(t ». (b) Valutare X2(t). (c) Sulla base dei risultati dei due punti precedenti, detenninare se il processo è ergodico rispetto a tali grandezze statistiche. Un voltmetro per tensioni alternate ha lo schema circuitale riportato in Figura EP6-4. L'ago dell'indicatore si muove in modo proporzionale alla corrente media rettificata che vi scorre. La scala dell'indicatore è opportunamente quotata in modo da fornire in lettura il valore efficace della tensione sinusoidale. Si supponga che questo strumento venga impiegato per misurare il valore efficace di una tensione di rumore, modellabile come un processo Gaussiano, ergodico e a media nulla. Qual è il valore della costante per la quale si deve moltiplicare la lettura del voltmetro per ottenere il vero valore efficace del rumore Gaussiano? (Suggerimento: Il diodo è un cortocircuito quando la tensione di ingresso è positiva ed è un circuito aperto quando la tensione di ingresso è negativa.) r

" +

I

...R

ho..

' Vo!tmetroAC ,

'I I I

Amperometro 50pA

Caveui di test

:

I I I

,,

r--

I

I

I

J Figura

6-5

:

EP6-4

È dato il processo aleatorio x( t) = Ao sin (ùJQt+ 8) dove 8 è una variabile aleatoria uniformemente distribuita fra O e 27T. mentre Ao e ùJQsono costanti. (a) Dimostrare che x(t) è stazionario in senso lato.

Esercizi proposti

457

(b) Detenninare Rx( r). (c) Verificare che Rx( r) soddisfa le proprietà delle funzioni di autocorrelazione. 6-6

6-7

sono costanti. Per ipotesi, n(t) è È dato il segnale r(t) = Ao cos CùQt+ n(t), dove Ao e CùQ un processo di rumore stazionario in senso lato a media nulla e funzione di autocorrelazione Rn( r). (a) Trovare r(t) e dire se r(t) è stazionario in senso lato. (b) Detenninare Rr(tl, t2)' (c) Valutare (Rr(t, t + r)}, dove tI = t e t2 = t + r. È dato il processo aleatorio r(t) = s(t) + n(t). = R.( r) + Rn( r) + Rsn(r) + Rns(r). (b) Semplificare il risultato del punto precedente nel caso in cui s(t) e n(t) siano indipendenti e il rumore risulti a media nulla. (a) Dimostrare che Rr( r)

6-8

Si consideri un processo dato dalla somma di due processi ergodici: n(t)

= nl(t)

+ n2(t)

La potenzanonnalizzatadi nt(t) è 5 W, quelladi n2(t) è lOW, il valorein continuadi nl(t) è -2 V, mentrequello di n2 è +1 V. Trovarela potenzanonnalizzatadi n(t) nei seguenti casi: (a) nl(t) e n2(t) sono ortogonali. (b) nl(t) e n2(t) sono incorrelati. (c) La correlazione incrociata di nl(t) e n2(t) è pari a 2 per r 6-9

Dato il processo ergodico x(t) si ponga x(t)

= mx

= O.

+ y(t), dove mx

= x(t)

è il valore at-

teso di x(t) mentrey(t) è la componentea media nulla di x(t). Dimostrareche (a) Rx(r) = m; + Ry(r). (b) limT--+ooRx(r)

6-10

=

m;.

(c) È possibile ricavare il valore in continua di x(t) a partire da Rx( T)? Dire se le seguenti funzioni soddisfano le proprietà delle funzioni di autocorrelazione: (a) sin CùQ r. (b) (sin CùQr)j(CùQr). (c) cos CùQr+ 8(r). (d) e-alTI, dove a < O. (Nota: ~[R( r)] deve anche essere una funzione non negativa.)

=5 +

6-11

Un processo aleatorio x(t) ha funzione di autocorrelazione Rx( r) (a) il valore efficace di x( t); (b) la densità spettrale di potenza di x(t).

Se-3ITI.Ricavare:

6-12

La funzione di autocorrelazione di un processo aleatorio è Rx( r) = 4e-r + 3. Rappresentare la densità spettrale di potenza di x(t) e calcolarne la banda efficace.

6-13

Dimostrare che due processi aleatori x(t) e y(t) sono incorrelati (cioè, Rxy(r) = mxmy) se risultano indipendenti

6-14

Se il processo x(t) contiene componenti periodiche, dimostrare che (a) Rx( r) presenta componenti periodiche.

6-15

Trovare la densità spettrale di potenza del processo aleatorio descritto nell'Esercizio 6-2.

6-16

Dire se le seguenti funzioni possono rappresentare densità spettrali di potenza di un processo reale:

(b) CfJ> x(f) contienefunzionidelta.

(a) 2e-21Tlf-451. (b) 4e-21T(j2-16].

458

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale (c) 25 + S(f (d) lO + S(f). 6-17

16).

La densità spettrale di potenza di un processo ergodico x(t) è

f!/'A/)

se III $B = ~ (B - 1/1), altrimenti

I O, dove B > O.Calcolare: (a) il valore efficace di x( t); (b) Rx(r). 6-18

Con riferimento alla tecnica descritta nell'Esempio 6-3, valutare la densità spettrale di potenza di un segnale PCM che adotta la codifica Manchester NRZ (Fig. 3-15). I dati assumono i valori an = :f:l, e risultano indipendenti ed equiprobabili.

6-19

Si vuole misurare la risposta in ampiezza di un sistema lineare stazionario con l'apparecchiatura di laboratorio mostrata in Figura EP6-19. Dire come è possibile ottenere IH(f) Ia partire dai risultati della misura. Sorgente di rumore bianco

x(t)

Sistema lineare con H(f)

y(t)

incognita

di spettro (misura f!/'y(f) )

f!/'xCf)= No/2

I

Analizzatore

Figura EP6-19 6-20

La Figura EP6-20 mostra un sistema lineare stazionario con risposta in frequenza H(f) incognita sotto misurazione. (a) Trovare la relazione che consente di esprimere h(t) a partire da Rxy(r) e di No. (b) Trovare la relazione che consente di esprimere H(f) a partire da f!/'xY(I) e di No.

Sorgente di rumore bianco f!/'x(f)

= No/2

x (t)

Sistema lineare con H (f) incognita

y(t)

x (t)

Figura EP6-20 6-21

L'uscita di un sistema lineare è legata all'ingresso dalla relazione y(t) = h(t) * x(t), dove x(t) e y(t) sono congiuntamente stazionari in senso lato. Dimostrare che (a) Rxy(r) = h(r) * RA r). (b) f!/'xy(f)

(c) RyAr)

= H(f)f!/'AI).

= h(-r)

* Rx(r). AI). (d) f!/'yx(f) = H*(f) f!/' [Suggerimento: Ricorrere alla (6-86) e alla (6-87).]

6-22 Un processodi rumore bianco ergodicocon densità spettraledi potenzaq}n(f) = No/2è applicato in ingresso a un integratore ideale con guadagno K, tale cioè che H(f) = K/(j21TI). (a) Determinare la densità spettrale di potenza dell'uscita. (b) Ricavare il valore efficace del rumore di uscita.

Esercizi proposti 6-23

459

Un sistema lineare ha la risposta in potenza IH(f)12 riportata in Figura EP6-23. L'ingresso x(t) è un processo Gaussiano con densità spettrale di potenza data da f!/'x(f)

se !/I ~2B = 4No, altnmentI { °,

(a) Determinare la funzione di autocorrelazione dell'uscita y(t). (b) Trovare la densità di probabilità dell'uscita y(t). (c) Sotto quali ipotesi le variabili YI = y(t.) e Y2 = y(t2) risultano indipendenti?

-B

!-

B

Figura EP6-23 6-24

Un filtro lineare valuta la media mobile del segnale d'ingresso su di un intervallo di T secondi. L'uscita y(t) è data cioè da l

y(t)

=-

T

l+(172)

f1-(172)x(u) du

dove x(t) è il segnale di ingresso. (a) Dimostrare che la risposta impulsiva è h(t) (b) Dimostrare che

(c) Se Rx( T)

=

e-ITI e T

=

= (l/T)

Il(t/T).

I s, tracciare il grafico di Ry( T), e confrontarlo

con quello di

Rx( T). 6-25

Nell'Esempio 6-5 abbiamo dimostrato che il rapporto segnale-rumore in uscita da un filtro passa-basso RC è dato dalla (6-95) quando l'ingresso è un segnale sinusoidaIe disturbato da rumore bianco. Trovare il valore del prodotto RC che massimizza il rapporto segnale rumore in uscita.

6-26

Un segnale sinusoidale con ampiezza di picco pari ad Ao e frequenza/o, disturbato da rumore bianco con densità spettrale di potenza f!/'n(f) = No/2, è applicato in ingresso a un filtro avente risposta in frequenza

H(f)

=

~ (B

! O, 6-27

- 1/1),

se

III <

B

altrimenti

Trovare il rapporto segnale-rumore in uscita dal filtro. Per il processo aleatorio x( t) avente la densità spettrale di potenza della Figura EP6-27, determinare,

460

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale

+5 kHz

-5 kHz

!-

Figura EP6-27

6-28

(a) la banda equivalente; (b) la banda efficace. Se x(t) è un processo reale passa-banda stazionario in senso lato, dimostrare che la definizione di banda efficace della (6-100) è equivalente a Beff

6-29

= 2..[P -

(fO)2

dove j2 è data dalla (6-98) o dalla (6-99), mentre lo è data dalla (6-102). Nella definizione di banda efficace di un processo aleatorio passa-banda compare la frequenza, lo. Dimostrare che Il -

l

dRx(r»

o - 21TRx(0) ( ~

)1 7=0

dove Rx( r) è la trasformata di Hilbert di Rx( r). 6.30 Tra due filtri RC passa-basso identici in cascata viene interposto un amplificatore di isolamento (buffer) con guadagno di tensione pari a lO. (a) Trovare la risposta in frequenza complessiva della rete in funzione di R e C. (b) Determinare la banda a 3 dB in funzione di Re C. 6-31 Due variabili aleatorie vengono estratte da un processo Gaussiano x( t) ai due istanti tI e t2: XI = X(tl) e X2 = X(t2)' Le due variabili aleatorie hanno varianza rispettivamente ai e ai e media mI e m2. Il coefficiente di correlazione è p

=

(XI

-

ml)(x2 - m2)/(oW2)

Adottando la notazione matriciale per la densità di probabilità congiunta di ordine 2, dimostrare che l'equazione per la densità di probabilità di x si riconduce alla densità di probabilità Gaussiana congiunta in forma scalare (B-97). 6-32 Un processo Gaussiano bianco limitato in banda ha funzione di autocorrelazione espressa dalla (6-125). Dimostrare che, quando B -7 00, la funzione di autocorrelazione diventa Rn( r) = ~No8(r). 6-33 Sono dati due processi aleatori congiuntamente Gaussiani x(t) e y(t) a media nulla (cioè (X" X2, ..., XN, Yl, Y2, ..., YM) ha densità di probabilità Gaussiana di ordine (N + M». La funzione di cross-correlazione dei due processi è Rxy(r)

=

x(t.)y(t2)

=

lO sin (21Tr)

= X(tl) e Y2 = y(t2) sono indipendenti? (b) Dire se i processi x(t) e y(t) sono o non sono indipendenti.

(a) Sotto quali ipotesi le variabili Xl

6-34

Con riferimento alla (6-121), dimostrare che Cy = HCxHT

I

461

Esercizi proposti

(Suggerimento: Ricordare la proprietà, AA -I = A-lA = I, dove I è la matrice identica.) 6-35

È dato il processo aleatorio x(t)

= Ao cos(wet

+ O)

dove Ao e ùI()sono costanti e Oè una variabile aleatoria uniformemente distribuita sull'intervallo (O, 7T/2). (a) Dire se x(t) è stazionario in senso lato. (b) Trovare la densità spettrale di potenza di x(t). (c) Ripetere a) e b) con Ouniformemente distribuita su (O, 27T). 6.36

Il processo SSL v(t) nella forma (6-129a) ha la densità spettrale di potenza di v(t) della Figura EP6-36, dovele = l MHz. Usando MATLAB o MathCAD, (a) tracciare l'andamento di rg> x(f); (b) tracciare l'andamento di rg> xy{f).

rg> vCn

t 1.0

-2

Figura EP6-36 6-37

Il processo SSL v(t) avente densità spettrale di potenza come in Figura EP6-37 è inviato a un rivelatore sincrono. La portante di demodulazione è 5 cos (wet + (0), dove le = l MHz e 00 è una variabile aleatoria indipendente uniformemente distribuita su (O, 27T). Usando MATLAB o MathCAD, tracciare il grafico della densità spettrale di potenza dell'uscita del rivelatore di prodotto.

3.0

2.0

1.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.25

0.5

0.75

1.0 1.25

1.5

!-

MHz

Figura EP6.37

.. 462

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale 6.38

Un processo passa-banda SSL v(t) è inviato in ingresso a un rivelatore sincrono come mostrato in Figura 6-11, dove 8e = O. (a) Ricavare l'espressione delI'autocorrelazione di Wl(t) a partire da Rv( T) e dire se WI(t) èSSL. (b) A partire dalla funzione Rw,( T) del punto precedente, detenninare l'espressione di '8'WI (f). (Suggerimento: Applicare il teorema di Wiener-Khintchine.)

6-39

Un segnale USSB ha la seguente espressione v(t)

6-40

=

lO Re{[x(t)

+ jx(t)]ej(0J,t+8c>}

dove (Jeè una variabile aleatoria unifonnemente distribuita su (O, 21T). La densità spettrale di potenza di x(t) è quella riportata in Figura EP6-27. Detenninare (a) La densità spettrale di potenza di v(t). (b) La potenza totale di v(t). Dimostrare che (a) R;(T)

= Rx(T)

e

(b) Rx.\'(T) = Rx( T), dove il simbolo "cappuccio" indica la trasfonnata di Hilbert. 6-41

Un segnale aleatorio passa-banda è del tipo s(t)

= x(t)

cos(wet

+

(Je)

-

y(t) sin(Wet + 8e)

dove la densità spettrale di potenza di s(t) è riportata in Figura EP6-4l, e (Jeè una variabile aleatoria indipendente, unifonnemente distribuita su (O, 21T).Nell'ipotesi/3 - h = h - fl, ricavare la densità spettrale di potenza di x(t) e y(t) per i seguenti casi (a) le = Il (segnaleUSSB,cony(t) = x(t». (b) fc = h (segnali USSB e LSSB indipendenti e con differenti modulazioni) (c) Il < le < h (segnale a banda vestigiale (VSB». (d) In quale di questi casi x(t) e y(t) sono eventualmente ortogonali? Cfl'.(f) A

h

h

!-

Figura EP6-41 6-42

Con riferimento al'Esercizio 6-41(b), quali sono i segnali modulanti ml(t) e m2(t) dei due segnali indipendenti a banda laterale unica? Detenninare la densità spettrale di potenza di tali segnali, indicando con mi (t) la modulazione della componente USSB di s(t), e con m2(t) quella della componente LSSB .

6-43

Per un processo aleatorio passa-banda, dimostrare che (a) La (6-133m) è verificata (Proprietà 13). (b) La (6-133i) è verificata (Proprietà 9).

6-44

Con riferimento all'Esempio 6-9, ricavare la densità spettrale di potenza di un segnale BPSK

Esercizi proposti con codifica Manchester (Fig. 3-15). I dati assumono i valori an ed equiprobabili.

463

= ::1:1 e sono indipendenti

6.45

L'ingresso di un rivelatore di inviluppo è un processo di rumore Gaussiano ergodico a valor medio nullo e con valore efficace pari a 2 V. Per un rivelatore di inviluppo con guadagno di tensione pari a lO determinare: (a) la componente continua della tensione di uscita; (b) il valore efficace della tensione di uscita.

6.46

Un segnale disturbato da rumore Gaussiano a banda stretta è del tipo

dove A cos (wct + Oc)è la portante sinusoidale, mentre i restanti termini rappresentano un processo passa-banda con componenti l e Q Gaussiane indipendenti. Il rumore passa-banda ha valore efficace pari a u e media nulla. Dimostrare che la densità di probabilità in uscita da un rivelatore di inviluppo con r( t) in ingresso è

R
~

!:. ,-[(""')/(''''''lo (::),

R
dove

lo(z) ~ -

27T

1

27T

f

o

eZ cosedO

è la funzione di Bessel modificata del primo tipo e di ordine zero. f(R) è chiamata densità di probabilità di Rice 6.47

Il segnale

s(t)

=

;

t coswct, altrove

( O,

viene disturbato da rumore bianco additivo. (a) Ricavare il filtro adattato a s(t). Disegnare delle forme d'onda analoghe a quelle riportate in Figura 6-16. (b) Tracciare le forme d'onda relative al correlatore di Figura 6-18. 6-48

Un sistema di comunicazione digitale in banda base utilizza una segnalazione polare con velocità di bit pari a R = 2000 bit/s. Gli impulsi trasmessi sono rettangolari e la risposta in frequenza del filtro di canale è Hc(f) dove B

=

=

B

6000 Hz. Gli impulsi filtrati si presentano in ingresso a un ricevitore a integrazione

e scarica, come in Figura 6-17. Si chiede di valutare l'ISI all'uscita dell'integratore. In particolare, (a) disegnare l'andamento dell'uscita quando viene trasmesso il simbolo binario "l"; (b) disegnare l'andamento dell'uscita dell'integratore nel caso di canale non distorcente e confrontare i risultati con quelli ottenuti al punto precedente.

464

Capitolo 6 - Processi aleatori e analisi spettrale 6-49

Con riferimento alla Figurs 6-19 per la rivelazione di segnali BPSK, si supponga che il segnale in ingresso sia 7 r(l)

=

S(l)

=

I

dnP(t - nT)

n=O

dove

p(l)

6.50

e-t COS(lùcl),

= °, {

°< l < T altrove

mentre la stringa degli 8 simboli binari dn è data da {+1, -1, -l, + l, +1, -1, + l, -I}. Usando MATLAB o MathCAD (a) disegnare l'andamento del segnale di ingresso r(l); (b) disegnare l'andamento del segnale in uscita dall'integratore ro(l). Per il filtro adattato di Figura EP6-50, (a) determinare la risposta impulsiva; (b) determinare la forma dell'impulso al quale il filtro è adattato (nel caso di rumore bianco).

Integratore H(f) = 1/( j21Tf)

Ritardo di Ts

Figura EP6.50 6.51

Un segnale FSK S(l) viene applicato in ingresso al ricevitore a correlazione di Figura EP6-51. Il segnale FSK è

Integratore

r(t)

Reset

= s(t)

Segnale FSK

Integratore

t

Reset

Segnale di clock (sincronizzazione di bit)

Figura EP6-51

ro(t)

Esercizi proposti

dove tI

= te +

A cos (CUI t ),

( ) s t

=

M' e

h = !c

{ A cos (lù2t),

465

quando è inviato il simbolo binario 1 quando è inviato il simbolo binario O

- M'. M' è fissata in modo da soddisfare

la condizione

della

segnalazione MSK, e cioè M' = 1/( 4T ). T è il tempo impiegato per trasmettere un bit e l'integratore viene inizializzato ogni T secondi. Si fissi inoltre A = l,fe = 1000Hz, e M' = 50 Hz. (a) Nell'ipotesi di trasmettere il simbolo binario 1, disegnare il grafico di v.(t), V2(t) e ro(t) su intervallo di T secondi. (b) Con riferimento alla Figura 6-16, ricavare l'espressione che descrive l'uscita di un filtro adattato al segnale FSK quando si trasmette il simbolo binario 1 e disegnare l'uscita del filtro. (c) Valutare se i grafici ottenuti per i due punti precedenti sono consistenti fra loro oppure no. 6-52

Dato il segnale FM a banda larga

dove g(t)

= AeejDjl'-oom(A) dA

e m(t) è il processo aleatorio modulante (a) Dimostrare che Rg(r)

= A;[ejDjTm(t)]

quando l'integrale f:h m(A) dA può essere approssimato con rm(t). (b) Tenendo conto dei risultati del punto precedente, dimostrare che la densità spettrale di potenza del segnale FM a banda larga è data dalla (5-66) (teorema di Woodward):

CAPITOLO

7

Punti principali

. .

Probabilità di errore dei sistemi binari (unipolari, polari, bipolari, OOK, BPSK, FSK e MSK) Rapporto segnale-rumore d'uscita dei sistemi analogici (AM, SSB, PM ed FM)

INFLUENZA DEI DISTURBI SULLE PRESTAZIONI DEI SISTEMI DI COMUNICAZIONE

Come già accennato nel Capitolo l, il progetto di un sistema di comunicazione si basa principalmente sui seguenti punti. l. La banda necessaria per trasmettere il segnale attraverso il canale di comunicazione. Tale banda è già stata valutata sia per i segnali digitali che per quelli analogici utilizzando le varie definizioni dei capitoli precedenti. 2. Le prestazioni del sistema in presenza di rumore. Le prestazioni dei sistemi digitali vengono normalmente quantificate attraverso la probabilità d'errore al decisore, mentre per i sistemi analogici si adotta il rapporto segnale-rumore (SNR, Signal to Noise Ratio) d'uscita. L'informazione utile, cioè il flusso dati per i sistemi digitali e il segnale modulante per quelli analogici, può essere ricavata dal segnale ricevuto in vari modi. Alcuni ricevitori hanno prestazioni ottime ma risultano complicati, mentre altri sono sub-ottimi ma spesso presentano una minore complessità, e perciò un minore costo, mantenendo contemporaneamente buone prestazioni. Lo scopo di questo capitolo è dunque quello di analizzare le prestazioni sia dei ricevitori ottimi che di quelli sub-ottimi.

468

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

7-1 PROBABILITÀ D'ERRORE DELLE SEGNALAZIONI BINARIE Risultati generali L!.Fig..!:!.ra 7-1 riparta il diagfJunma a bl.occhidi un generico sistema di.£QIQWJicazione ~il1aria.,Ilse~naLe.,!l!'iJ:!gres.sa del ricevitare r(t) C.illl§istenellasamma del segnale trasmesso s(t) e del rumare di canale n(t). Nel casa di trasmissi.one in banda base. il ricev1iOre"Si basa su un filtro passa-bassa seguita da .opp.ortunaaml!,lificazi<2,.ne, mentre nel c~ di tra-, smissione..pass.a.;?Janda, carne per i segnali OOK, BPSK e FSK, il ricevit.oreè di tipa supereterodina ed è castituita da un mescalat.ore (mixer), un amplificat.oreIF e un rivelatare. In entrambi i casi si ha in uscita un segnale analagic.o in "bandabase, indicata nellbSè1ie": ma c.onro(t). Ad esempi.o,in un sistema BPSK un rivelatare tipica è quella basata sul rivelatare sincron.oseguita da un integrat.ore, carne descritta nel Paragrafa 6-8 e illustrato nella Figura 6-19. La f.ormad'.onda ro(t) viene pai campi.onata agli istanti t = to + nT e i carrispandenti campiani ro(to + nT), sana inviati a un disp.ositiv.oa s.oglia (un c.omparat.ore),che a sua v.oltaf.orniscein uscita il segnale dati m(t). Ricaverem.oin questa paragraf.ouna proc~dura g~l1erale.. p~U1.calçQIQpell~proh~ bilità che un simb.ol.odUnfprm3J:i.one-deci~.o~ja errata; questa probabilità viene indicata c.onl'acronÌIp.Qiq!ernazi.onaleBER (Bit-Error Rate, tassò d'err.ore~llt bit) ed~~app'~ la.J!!i~urastand~d delle prestazi.onidi un sistema ~i cQmunic~19!!e digitale. Utilizzere~ p.oinelle seZi.onisuccessive la tecnica di calcola pr.op.ostaper .ottenere"l'espressi.onedella

BER in alcunicasi specifici(OOK,BPSKe FSK). Cerchiam.odunquedi .ottenereuna f.ormulageneraleper la BER di una segnalazioCanale Rumore :ngresso digitale

m

s(t)

Trasmettitore

Ricevitore

--I1

1------------------------------------------I1 I I

1 ,(t

+ n(t):

I 1

Circuiti di elaborazione del segnale

I 1 I

1

Figura 7-1

Uscita analogica in banda base Campionamento e tenuta 'o(t) ali' istante to

Decisore a soglia

m

'o(to)

O

t

I

: :

VT

;0-1

a~

Schema generale di un sistema di comunicazione binario.

Uscita digitale

I~ 1 m 1 I i

1 1

I

1

7-1

Probabilità d'errore delle segnalazioni binarie

469

ne binaria. Indichiamo con T l'intervallo necessario per la trasmissione di un simbolo; il segnale trasmesso sull'intervallo di segnalazione (O, T) è allora s(t) =

Sl(t), { sz(t),

O < t:5 T, O < t :5 T,

per il simbolo binario l per il simbolo binario O

(7-1)

dove SI(t) e Sz(t) sono le forma d'onda utilizzate per trasmettere rispettivamente il simbolo binario l e O. In particolare, se SI(t) = -sz(t), s(t) si parla comunemente di segnali antipodali. Il segnale all'ingresso del ricevitore, somma del segnale binario di informazione e del rumore, produce all'uscita del ricevitore la forma d'onda indicata con ro( t )

=

rOi(t), { roz(t),

O< t :5 T, O< t :5 T,

se è stato trasmesso il simbolo 1 se è stato trasmesso il simbolo O

(7-2)

dove rOi(t) e r02(t) rappresentano i segnali in uscita in corrispondenza della trasmissione rispettivamente del simbolo binario 1 e O. A questo proposito si tenga presente che se il ricevitore utilizza circuiti di elaborazione di tipo non lineare, come un rivelatore d'inviluppo, non vale il principio di sovrapposizione degli effetti per le componenti di segnale e di rumore in uscita. Il segnale analogico ro(t) viene campionato a un opportuno istante to all'interno dell'intervallo di segnalazione O < to :5 T, che nel caso di filtro adattato è di solito pari a T. Il campione risultante è r ( ) o to

=

rOi(to), { roz(to),

se è stato trasmesso il simbolo 1 se è stato trasmesso il simbolo O

(7-3)

È chiaro che, essendo il segnale ricevuto disturbato da un processo di rumore aleatorio, ro(to) è una variabile aleatoria con distribuzione continua. Per semplificare la notazione indicheremo d'ora in poi ro(to) con ro e cioè ro

= ro( to) =

rOi' se è stato trasmesso il simbolo 1 { roz, se è stato trasmesso il simbolo O

(7-4)

denominandola variabile di decisione o statistica sufficiente. Per il momento, supponiamo di essere in grado di valutare le densità di probabilità per le due variabili aleatorie ro = rOIe ro = roz. Tali densità di probabilità sono condizionate in quanto dipendono rispettivamente dall' aver trasmesso il simbolo binario 1 o O. In altre parole, quando ro = rOI la densità di probabilità è f(rolsltrasmesso), quando ro = roz la densità di probabilità è f(rolsz trasmesso). Tali densità di probabilità sono illustrate qualitativamente nella Figura 7-2, dove per fissare le idee si è scelto una forma che richiama l'andamento Gaussiano. Naturalmente, le densità di probabilità dipendono dalle particolari caratteristiche del disturbo introdotto dal canale, dai filtri e dal rivelatore utilizzati, nonché dal tipo di segnale binario trasmesso. Troveremo nei prossimi paragrafi queste densità di probabilità per vari sistemi di trasmissione mediante la teoria illustrata nel Capitolo 6. Ricordando che il nostro obiettivo è quello di ottenere una formula generale per la BER, supponiamo che nel caso di solo segnale (rumore assente) presente all'ingresso del ricevitore si abbia ro > VT per il simbolo trasmesso 1 e ro < Vr per il simbolo trasmesso O.

470

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

t f

rop (errore

Figura 7-2

I S2 trasmesso)

Probabilità di errore per segnalazione binaria.

Quando all'ingresso del ricevitore assieme al segnale utile si ha anche il rumore, gli errori si originano in due modi diversi. Si ha errore quando, avendo trasmesso il simbolo l, si ha ro < VT. La probabilità che accada questo evento è: P(errorels)

trasmesso)

=

f

VT

f(rolsl) dro

(7-5)

-00

che corrisponde all'area tratteggiata in Figura 7-2 a sinistra della soglia VT. Analogamente, si può avere errore quando, avendo trasmesso il simbolo O,si ottiene ro > VT e questo evento si verifica stavolta con probabilità P(errorels2 trasmesso)

=

VT f(rols2)

foo

(7-6)

dro

La BER è quindi trasmesso)P(SI trasmesso)+ P(eITOrels2 trasmesso)P(S2trasmesso) (7-7) Pe = P(eITOrels) dove abbiamo sfruttato il teorema della probabilità totale (App. B) che richiamiamo brevemente: la probabilità di un evento E composto dall 'unione di più eventi disgiunti è data da 2

P(E)

=I

i=l

2

P(E, Si) =

I

P(Elsi)P(Si)

i=l

Combinando le (7-5), (7-6) e (7-7), si ottiene la formula generale per la BER di un sistema di comunicazione binario

Pe = P(s)

trasmesso)

f

~

-00

oo

f(rolsJ) dro + P(S2 trasmesso)

f

f(rols2) dro

(7-8)

VT

Le quantità P(s) trasmesso) e P(S2 trasmesso) sono le cosiddette probabilità a priori (o statistiche della sorgente) cioè le probabilità di presentazione dei due livelli logici all'u-

!:I 'I l.,

7-1

Probabilità d'errore delle segnalazioni binarie

471

scita della sorgente di informazione digitale. In molte applicazioni queste probabilità sono uguali, cioè

= P( SI trasmesso) = ! in simbolo O) = P(S2 trasmesso) = !

P( trasmesso in simbolo l)

(7-9a)

P(trasmesso

(7-9b)

Salvo diversa indicazione, manterremo quest'ipotesi di simboli equiprobabili nel resto del capitolo. Per quanto riguarda invece le densità di probabilità condizionate, queste dipendono dalla modulazione impiegata, dal rumore di canale e dal tipo di elaborazione effettuata nel ricevitore. Risultati

per rumore Gaussiano

Facciamo ora l'ipotesi che il rumore introdotto dal canale sia modellabile come un processo Gaussiano stazionario in senso lato a media nulla, e inoltre che il ricevitore, a eccezione del dispositivo di decisione, sia lineare. Ricordiamo allora che, per un sistema di elaborazione lineare, a un processo Gaussiano in ingresso corrisponde un processo Gaussiano in uscita (Cap. 6). Questo risultato si applica banalmente a una trasmissione in banda base, dove il ricevitore consiste semplicemente di un filtro lineare con opportuno guadagno, ma vale anche per una trasmissione passa-banda, dove abbiamo, come dimostrato nel Capitolo 4, un circuito supereterodina (composto da un mescolatore, filtro/amplificatore IF e rivelatore sincrono) anch'esso lineare. Quando invece si usano circuiti di controllo automatico di guadagno (AGC, Automatic Gain Control) o limitatori di ampiezza, il ricevitore è non lineare, e pertanto i risultati di questo paragrafo non sono più applicabili. Stessa cosa se si utilizza un dispositivo di rivelazione non lineare come il rivelatore d'inviluppo, in quanto il rumore in uscita non è più Gaussiano. Per un ricevitore lineare, il campione in uscita è dato da ro = So + no

(7-10)

utilizzando per brevità la notazione ro(to) = ro. La componente di disturbo no(to) = no è una variabile aleatoria Gaussiana a media nulla, mentre so(to) = Soè una costante che dipende dal segnale trasmesso, e cioè So =

SOl. se è stato trasmesso il simbolo l { S02, se è stato trasmesso il simbolo O

(7-11)

dove Sal e S02sono costanti note ogniqualvolta, per un dato ricevitore, sono fissate le forma d'onda d'ingresso SI(t) e S2(t). Dato che il campione di rumore no è una variabile alea(oria Gaussiana a media nulla, il campione ro è anch'esso Gaussiano con valor medio SOlOS02,a seconda che venga trasmesso il simbolo binario l o O.Tutto ciò è illustrato nella Figura 7-2, dove il valor medio di ro è mrOl= Sal nel caso di trasmissione del simbolo l, e mr02= S02 per il simbolo O. In conclusione, le densità di probabilità condizionate sono (7-12)

472

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

e l j(rols2) =.~

"V27T 0"0

dove 05

=

~ = n5(to)

=

n5(t) rappresenta

(7-13)

e-(ro-so2)2/(2ai)

la potenza media del campione di rumore

all'uscita del ricevitore. Sostituendo le (7-12) e (7-13) nella (7-8), si trova dunque che l'espressione della BER è (con simboli equiprobabili) l Pe

= -2

f

VT

-=

l

l

~27T0"0 e-(ro-sOl)2/(2ai)dro

+ -2

f

l

oo

~

VT 27T0"0 e-(ro-so2)2/(2ai) dro

(7-14)

Possiamoriassumerequesto risultatousando la funzione Q(z) definitanel ParagrafoB-7 (App. B) e tabulata nel Paragrafo A-IO (App. A). Con il cambio di variabile À = -(ro - SOl)/O"O nel primo integrale e À

=

(ro - S02)/0"0 nel secondo, si ottiene

ossia Pe

l

=-

2

Q

l Vr - S02 +- Q ) 2 ( 0"0 )

-Vr + SOl

(

0"0

(7-15)

A questo punto possiamo trovare un opportuno valore della soglia del comparatore Vr, in modo che la probabilità d'errore del ricevitore sia minima. Imponiamo quindi dPe/dVr = Oe usiamo la regola di derivazione di Leibniz delle funzioni integrali (par. A-2) nella (7-14), ottenendo

cioè

il che implica la condizione

Di conseguenza, otteniamo la minima probabilità d'errore scegliendo per la soglia del comparatore il valore

= SOl +2 S02

Vr

(7-16)

Sostituendo la (7-16) nella (7-17), si ottiene anche l'espressione della probabilità d'errore minima nel caso di trasmissione binaria con rumore Gaussiano e soglia ottima (7-16): Pe

=Q

SOl

(

-

S02

20"0

)

=Q

(SOl

(

405

s02f

)

(7-17)

7-1

Probabilità d'errore delle segnalazioni binarie

473

dove SOl> Vr > S02.1Cerchiamo adesso di agire anche sul progetto del filtro di ricezione.

Risultati per rumore Gaussiano e ricezione con filtro adattato

bianco

Se si ottimizza anche il filtro di ricezione (contenuto nei circuiti di elaborazione della Fig. 7-1) la BER data dalla (7-17) può essere ulteriormente ridotta. Infatti, tenendo conto della Fig. B-7, per minimizzare Pe, occorre massimizzare l'argomento della funzione Q. Pertanto, per raggiungere il nostro scopo dobbiamo trovare quel particolare filtro che massimizzi il rapporto [SOl(tO) - S02(t0)]2 - [Sd(tO)]2

~

-

~

ove abbiamo introdotto il segnale differenza Sd(tO) £ SOI(tO) - S02(tO) Il numeratore sJ(to) rappresenta proprio la potenza istantanea del segnale differenza all'istante t = to. Ricordando il risultato fondamentale del Paragrafo 6-8, osserviamo che il filtro lineare che massimizza la potenza istantanea di uscita all'istante t = to rispetto alla potenza di rumore = n5Ct) è il filtro adattato. In particolare, se all'ingresso del ricevitore il processo di rumore è bianco, il filtro risulta adattato al segnale differenza Sd(t) = SI(t) - S2(t), per-

~

tantoha rispostaimpulsiva (7-18) dove SI(t) è il segnale che si ha all'ingresso del ricevitore quando si trasmette il simbolo 1, S2(t) è quello relativo al simbolo O,e C è una costante reale. Utilizzando la (6-161), il rapporto tra la potenza di picco di segnale e la potenza media di rumore in uscita al filtro adattato diventa [Sd(tO)]2- 2Ed

~

-

No

dove No/2 la DSP del rumore, ed Ed è l'energia del segnale differenza all'ingresso del ricevitore (7-19) Per concludere, la BER di una segnalazione binaria con rumore Gaussiano bianco e ricezione mediante filtro adattato e soglia ottima è (7-20)

I Se SOl

<

VT

<

S02. il risultato è

dove il decisore di Figura 7-1 deve essere modificato

> VT (ro < VT.)

in modo che si scelga il simbolo binario O (I) quando ro

474

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

Useremo questo risultato per valutare la BER di vari tipi di sistemi binari con ricevitore a filtro adattato.

Risultati per rumore Gaussiano colorato e ricezione con filtro adattato La tecnica che abbiamo appena illustrato per valutare la BER di un sistema binario con rumore bianco può essere estesa al caso di rumore colorato. Il ricevitore è quello della Fig. . 7-3, dove, rispetto al caso di rumore bianco, si ha ora all'ingresso del ricevitore un filtro sbiancante, la cui risposta in frequenza è (7-21) in modo tale che il rumore d'uscita, ii(t), sia bianco. Abbiamo quindi ricondotto il caso di rumore colorato a quello, già risolto, di rumore bianco. Il filtro di ricezione deve ora essere adattato ai segnali filtrati

s(t) = SI(t) = Sl(t) * hp(t) s(t)

= S2(t) = S2(t)

* hp(t)

(simbolo binario l)

(7-22a)

(simbolo binario O)

(7-22b)

dove hp(t) = ~-l[Hp(f)]. All'uscita del filtro sbiancante troviamo ora i segnali Sl(t) e S2(t), che hanno in generale una durata maggiore dell'intervallo di segnalazione T. Si deve perciò valutare l'influenza di due tipi di possibile degradazione delle prestazioni:

.

l'energia relativa alla porzione del segnale filtrato che si estende oltre l'intervallo di durata T potrebbe non essere utilizzata dal filtro adattato per massimizzare l'energia del segnale in uscita;

.

la parte di segnale che eccede l'intervallo

di segnalazione va a interferire con il se-

gnale successivo producendo ISI (Cap. 3). Entrambi questi effetti possono essere ridotti scegliendo opportunamente la durata del segnale originale.

1 1

I I

:1 I

r(t) = s(t) + n(t) 1 dove n(t)

= rumore colorato

1 1 1 1 1

:

Filtro sbiancante

r(t)

/

H (f) = -L-. p v n(f) dov.enU) è la. densità spettrale di potenza del rumore

= s(t)

+ n(t)

Circuiti di elaborazione del segnale

/

r (t) o

. CamplOn. e tenuta all'istante r (t ) lO o o

colorato diingresso, n(I)

I I !I

7-3

.:

Declsore

-

a soglia

;4=

m

O

VT r

o-

Clock

Figura

1

. U l . .sclta ana oglca m banda base

Filtro adattato per rumore colorato.

1 1 1

1 1

1 1

iìi

:

1 11 1

7-2

Prestazioni dei sistemi binari in banda base

475

7-2 PRESTAZIONI DEI SISTEMI BINARI IN BANDA BASE Segnalazione

unipolare

Comesi vede nella figura 7-4b,le due fOfl!l~9'Ond1!.in banda-~a~ corrispondentirispettiyamente .!lisimboli binari

~e Osono

Sl(t)

= +A,

O
(simbolo binario l)

(7-23a)

S2(t)

= O,

O
(simbolo binario O)

(7-23b)

dove A > O. All'ingresso del ricevitore troviamo questo segnale uqipplare cui si somma rumore Gaussiano bianco. -

-

'(I)

= s(t)

,(I)

=

-

+ n(l) Decisore a soglia

St(l)

o

(I)

Filtro passa-basso

( Sz(l) ) dove '1J'n(f)

'0(1)

o adattato H(f)

= No 2

Campionamento

e tenuta

'0(10)

mJ-ç o VT '0-

(a) Ricevitore

'~

c1-

~-_c

1-

(b) Segnalazione unipolare

S(I)

,(I)

1(c) Segnalazione polare

Figura 7-4

Ricevitore per segnalazioni binarie in banda base.

m

476

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

!~

Consideriamo ora ri~vi.!9re che utilizza un filtro ..Eassa-ba~sEH(f), con gua~ gno unitario. Dob.!lliLIUO-fissarB-una-banda del filtro abbastan~a larga in modo che il segnale utiJe uDi~lare non venga apJ>rezzabilmente distorto, ad e_sempioB > 2/T, ma abbastanza stretta i.!Ll!!odoche allo stesso tempo la componente di rumore abbia una p0=tenza ridotta.2 !n ,gue..stomodo possiamo in prima approssimazionesupp~YlJ,.:.iHtervallo di segnalazione SOl(tO)= A e S02(tO) O.La potenza di rumore all'uscita
=

~

~ ..

sto ricevitore risulta

r(

V'50J ,S'L Il 4 \l'o'

(filtro passa-basso)

(7-24a)

Le prestazioni del ricevitore che utilizza il filtro adattato si possono.ricavare cia1h (7-20), sceghendocome istante di camPlona1!!.entoto = J. ~energia del s~nale differenza è

Ed = A 2T ._~

9J.linciila RPR è

(filtro adattato)

(7-24b)

dove §,Q==A 2T/2 è l'energia media di segnale ricevuta per ogni bit trasmesso. visto che i'Va:ioridell'energ~ £~gl'impulii Iei~tivi ai simboli l2i!1Wile.O.sonQ..1:ispett~~nte A-z-r e O. La...Eigura7-5~rappresentala

curva di BER del ricevitore per segnalLunipolari

d~-

la .G.:24b).~P~rl'im'pulso rettangolare, è facile dimostrare che il filtro aciattato è un inte.~at£re, e_co~s.:guentementela soglia ottima è T AT SOl + S02 I =A dt + O =Vr = ) 2 2 o 2

-

(f

S.eso è conveniente espIjme[e la BER in funzione del rapporto p.I2/No.l.. tra l'energia media riceyuta per ogni bit di informazione e la densità monolatera ill1!!'!1~ (bianco) di canale. Usando questo parametro si possono agevolmente confrontare le prestazioni di differenti sistemi di trasmissione. Segnalazione

polare

L~ forme d'onda possibili per una segnalazione polare (Fig. 7-4c) sono ,S\(t) = +A,

S2(t) = -A, Visto che Sl(t)

= -S2(t)

O< t s T O< t S T

(simbolobinario l) (simbolobinarioO)

(7-25a) (7-25b)

il segnale polare è chiamato anche antipodale.

2 Dalla (3-39b), lo spettro di potenza di un segnale unipolare con impulso rettangolare è proporzionale a [sen( 7TfT)/( 7TfT)]2, e quindi la banda aI secondo nullo è pari a 2/T. Negli Esercizi EA7-1 e EA7-2 si mostra che il segnale ali 'uscita di un filtro passa-basso di banda maggiore di 2/T. consiste in impulsi pressoché rettan-

I

golari con valore di picco approssimativamente pari ad A. ti

I

Il I

I

7-2

Prestazioni dei sistemi binari in banda base

O

5

1.0 0.5

\O

10-1

:E :i'"

per segnalazioni unipolari in banda base, OOK coerente e FSK coerente

10-2 a filtro

adattato per segnalazioni polari in banda base, BPSK e QPSK

l

'i5 :E '" e c.. Il

15

Ricevitore a filtro adattato

Ricevitore

gQ)

477

[0-4

Q..,"

10-5

10-6

10-7 -I

o

Figura 7-5

2

3

4

5

6

7

8

9

\O

\I

12

13

14

15

Pe del ricevitore a filtro adattato per diversi schemi di segnalazione binaria.

Le prestazioni del ricevitore COI1fHtro passa-basso sLpo$sono ricllvare in base alla (l;ll). 'Neil 'ipotesi che tale filtro abbia banda B ~Q1/T, P~Levitare eccessive djstorsioni, i c~plonl dlsegna:Ieiiiiiiciti aIPIsta~t~SOl(to) = A sono S02(tO) = - A e t = to, e 'inoltre, 0<1= NoB. In questo caso, la soglia ottima.è pari a Vr = O,.quindila BER è. "-:; ...

(filtro passa-basso)

(7-26a)

dove B è la~_eg!!ivalente.pel filtro. ~&...mestazionid~l.ricevitore a filtro adattato .siposs°'1° allcora ott£:nerecta!}a(7-2°2 tenendo conj2 ch~-!o =...l.l!.filtro adatt~to (a integr~~one e sc.!!i.ca)relativQ.a.u~n~17 pola~jUR§.trat2-.n!illa_F~~r~ 6-17. 1;.enel1dQ conto 2he st~volta ~nergia del segn!l~ferenza è pari a Ed = (2A)2T, la BER risulta _DJ

--

~e

=Q

(~) = Q-(~)

(filtro adattato)

(7-26b)

478

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

Il grafico della BER per le segnaIazioni unipolari.e pplari è qu~llo.ddl.flE!g~ra.1:5. A parità di BER, il sistema con segnalazione uQipolare ha prestazionLpeggioJiin..qua11W

~. dciiiedeun rapporto§b/No più grandedi 3 dB rispettoa quello richiestoper la segpalazione polare Pe. Segnalazione

bipolare

Per la segnlllllzione'bjpQlare, il.simbolç>bl!}ario l viene rappr~.§entatomediante un impuls;-con ampiezza alternativamente positiva e;egativa, mentre per il simbolo O si adotta ~empre il livello nul~o.Dun'lue (simbolo binario l) (7-27a) SI(!2 = :I:A, O
s~Jt) = -O,

O
(simbolo binario O)

(7-27b)

cQ!!4.. > O...R~tto ai sistemi fl~ttifu!.2 !..9!Iesto punto, abbiamo.d~di...de.ci. sione sui livelli, +b...£. -:VT, come mostrato nella Figura 7-6. L'espressione...deU>tRER per canale Gaussiano si può calcolare in base a quanto illustrato in Figura-7-tib.,-ottenen-

40- - --

Pe = P( eITOrel+Atrasmesso) P( +A trasmesso) + P( eITorej:;-Atrasmesso) P( -A trasmes~o) + P (errore IS2 trasmesso) P (S2 tr~smesso)

e cioè

S)(t)

r(t) =

o + n(t) ( s2(t) )

Uscita digitale m

Decisore a soglia

.

ro(t) , Filtro passa-basso o adattato

. CamplOnamento e tenuta

(a) Ricevitore

t [(rol - A trasmesso)

f [(rol + A trasmesso)

-A P (errore 1- A trasmesso) (b) Densità di probabilità

+A

= Q[(A -

Vi)/lTo]

P (errore I + A trasmesso)

condizionate

Figura 7-6 Ricevitore per segnalazioni bipolari.

ro=

Q[(A

-

VT)/lTO]

7-3

Rivelazione coerente di segnali passa-banda binari

479

che a sua volta diventa Pe:::::: Q

VT

+!Q

( 0"0 )

A - VT

(

2

)

0"0

Con alcuni facili passaggi, lasciati per esercizio al lettore, si trova la soglia ottima che garantisce la minima BER: VT = A + 0"6ln2. Quando la probabilità di errore è "ragio2 A nevolmente" piccola, ci9è il r~.p°rto segnalt<.-rumOIf:.è "ragi!)nev 0"0,VT .... = A/2, quindi la BER risùlta Pe Per un ricevitore con filtro passa-basso,

=i

2

Q

~ ( 20"0)

oi5 = NoB, e la BER è

(7-28a)

- ---- -- (p~f~(i;b:~dtto _a-basso) ..-

Se ivvece si utilizza il ricevitore a filtro adattato, il rapporto SIN di uscita, in base alla

(6-16ì~

- -- - -

. -,-- -. S

n

A2

.

- --_o

_.

2Ed

(li ) Qui = oi5 = No Usandç impulsi x:ettangolariNRZ,

l'energia,d~tsegnale

differenza èEd

v~ EJ!è l~ener~a media ~r bit !iç.~v!lta,quinQila ~~R.~il.ri~jtose 3 b Pe = - Q (filtro adattato) No -2 .,--

= A2.r = 2Eb do-,

a filtro adattatooè (7-28b)

0*J

Sempre .£.er~a s~g!,al~~ne b!JL°!are,ma c_onimy\!lsj, Ed = A 2T/4 = -2Eb,od' espress~g~ BER è ancora data dalla (7-28b). Dai risultati ottenuti .si Pl!ò_cpl}cl!ld~Ie£he 111BpJ:3.~i una se~alazìone bipolare è pari a ~ quella relativa ~ una§egnal_a~i2.n~llnipQlare .c!ata~1!.l.Q:-24b).

7-3 RIVELAZIONE COERENTE DI SEGNALI PASSA-BANDA BINARI Modulazione OOK (On-Off Keying)

ASK

Come si può osservare dalla Figura 5-19c,.l'n...s~gI:!a~OgK ~ descritto da

~-

-

SI (t)

= A cos(wet + ne), -...

o<

--..

t

:5

T (simbolo binario l)

(7-29a)

oppure o < t :5 T (simbolo binario O) (7-29b) La rivelazione coerente del segnale ()QIç si.~eJ!lliU1~..elatw:~C!:o.J!O del]aFfg~~ 7-7 .-in praÙca, si us~p~~a u.!:!. mixer per riportare il segnale a RF ricevuto

480

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

alla frequenza intermedia (IF); si utilizza poi un amplificatore seLettivocon un certo gu.~; d;gno,e infine si riporta il segnale in"1:>anda~ base con iLri~Lato(e. J..,aF!gur~ 7-7-considera per sem.l?liçitàjl sistema equivalent~ jn cui sia)l seg~ale utile she il..,gImoresorio~ traslati ç!jr~tt~I~1enteinbillJ.gi!..b~sesenzapassare dalla IF. Il rumore bianco Gaussiano passa-banda che accompagna il segnale OOK all'ingresso del..rl£.tiyitore (e avente DSPrzJ>n(f)= No/2) può essererappresentato~IIle (si vedail Cap. 6)

= x(t)

n(t)

cos(wct + (Jn)y(t) sin(wct +",...",..,.(Jn) -. ,-..,..,---,

1

r(t)

r(t)

Sj(t) + n(t) = s(t)

=(

o

)

1

1Ricevitore

Decisore a soglia

i

+ n(t):

s2(t) dove Q]>n(f) =

N.

Filtro 1

ro(t)

Campiono ro(to)

o adattato passa-basso

1

e tenuta

O

I

-f :

H(f)

1 1

t

~n

VT

ro

. Uscita analogica

: ::_--------------------------------

in banda base

: : : 1

I

;;; Uscita digitale

i

I I

1

2 cos (wct + IU

-

I(riferimento coerente)

- -- - -- - - : J

(a) Ricevitore S(t)

(r(t)

t(b) Segnalazione

OOK

S(t)IJ

r(t) -

I

[ rv

L "JU.,IUVVV

~nnn~ t-

(c) Segnalazione BPSK

Figura

I Il

7-7

(-

Rivelazione coerente per segnalazioni OOK e BPSK.

7-3

481

Rivelazione coerente di segnali passa-banda binari

d2-veBnè una fase aleatoria unifonnemente distribuita e indipendente da Be. Il-fIltro H(f) di~Ri.gma-7~7può ess~!~ un flltrQ..~ssa-basso °1?I2!!!~n filtro adattato. È s.,hiaro£he utjliz?::m.!!oil Jilt~o ~dat1i!tQ..ilJ:~~91:~..bU>.!!t~a~oniottime nel senso cJ~ fornisce l~ Pr minima.

-

Valutiamo dapprima le prestazioni qel ricevitore con filtro Dass~basso a guada~~ filtro B sia sufficiel1te~ente larga~ peI in- continua unitario. ~ell 'ipotesi c-geJa haru:Jg..d~ e~[I1yjo~B ;?; 2/T, l'inviluppo del segnale OOK subisce una distorsione in prima apPrPSsirpJ!É,o.netrasc1!rabile,e alla sua u.scita ~i ottien~

-

A, O< t :5 T, { O, O< t :5 T,

dove x.(t)3 la cgmpo~-

di rumore iIl1J~.nd
p.Qtenza di rumore è 32(0.

= ai = - n2(t) =

ro( t ) -

S02

simbolo binario l + x (t ) simbolo binario O} 2{No/2).(2B)

=

2NoB.

(7-30)

Dato che Sal

=A

e

= O,la soglia ottima è VT = A/2 e quindi in base alla (7-17), la BER risult.a Pe = .Qi1~~:lJ)

(7-31)

(filtro passa-basso)

La larghezza di b~da del ricevitore p~ssa-banda è di conseguenza Bp = 2B.

x:~ -prestazio!lid~lriceyjtOl::ea tUtro adattato si ricavanoinvece dalla (7-20).Te-

h

n~o

conto che l'energia del ~~n~I~2if~e!enza all'ingresso del ricevitore3 è

f

Ed = - --:..0

A~

T

= 2-

(7~~

(filtro adattato)

(7-33)

[A cos(wet + Be) - 0]2 dt ~

la BER -~- data da

qQV~Eb =A2T/4 è l'energia media di segnaleper ogni bit ricevuto.Nel nostro caso il segnale SI(t) ha inviluppo rettangolare; il filtro adattato è un irite"gratoree il valore ottimo della soglia è VT = che si riduce a VT

Sal + S02

= AT/2

2

l

l

2

2

= -SOl = -

T

[fo 2A COS2( wet+

Be)dt

]

sefe }> R. Osserviamo che la BER del ricevitore per segnali

OOK è esattamente la stessa di quella che si ha con segnalazione unipolare in banda base, come indicato nella Figura 7-5.

Modulazione BPSK (Binary Phase Shift Keying) Con "'--riferimentoalla Figura7-7, --- - il-segnaleBPSKè -- .......---....-SI(t) -..--=--= A cos(wet. + Be), 3

A rigore, la frequenzate

per ottenere

esattamente

A 2T /2

mentedall'avere!e = nR/2.

O< t

:5

T (simbolobinario l)

(7-34a)

dovrebbe essere multiplo intero della metà del tasso di informazione, per Ed.

In ogni

modo,

poiché

te

;!> R, in pratica

Ed = A 2T /2,

R = l/T,

indipendente-

482

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

e (7-34b) ~2~) = -A COs(wet + Oe), O < t ::5 T (simbolo binario O) quindi, essendo SI(t) = -S2(t) è di tipo antipQdale. AiiCOniuna-volta, valutiamo prima di tutto le p'restazioni del ricevitore che utilizza un filtro-passa-6asso con guadagno unitario e banda B -~ 2/rJ..:uscii; irih~ncliìruise è

- A,

ro(t ) dove x2(t)

=

~ = n2(t)

O< t ::5T simbolo binario l + x (t ) O< t ::5T, simbolo binario O}

{ -A,

=

(7-35)

2NoB. Dato che in questo caso SOl = -1 e S02 = -A, la so-

glia ottima è VT = O. Pertanto, dalla (1-17) si ottiene (7-36)

(filtro passa-basso)

Consideriamo ora fissato il livello di densità spettrale No del rumore di can~~et1Q.al-

la modulazioneOOK,un sistemaBPSKhà le stesseprestazioQiin-terminidi Pe con ben 6 dB in_men~2!-potenZ! di Jis.co,
--

Ed

=

f

T

o

[2A COS (wet

+

Oe)]2dt

= 2A 2T

(7-37)

.

,quindi la B~R è Pe

-~

=Q

.ffl (

~N;)

= ~ ..

) ~L~N;;)) QG~

(filtro adattato)

(7-38)

dove l'energia media per bit è Eb = A 2T/2 e VT = O. Le prestazioni della modulazione BPSK.sono le stesse.della segnalazionepOlare in banda base, e sono superiori di 3 dB ri-

spett~a queÙefornitedalsistemaOOK(Fig.7-5).

- -- --

Modulazione FSK (Frequency Shift Keying) li s~nale FSK può essere rivelatoin modo coerente facendousandodue rivelatorisincroni,come si vede dalla Figura7-8. I due filtri p~R!)~-bas.sQ all'uscitagei riYela~ono statLsastituiti (vista la linearità del circuitq2 da un unico filtro. ~sewali.a~ciati bolobinario l (mark)e al simboloO(space)sono rispettivamente O
-

,

S2(t) = A cos(l1J2t + Oe), Il l!

dove 2 !1F

= Il - h,

con

A >.12,

O
(simbolo O)

al sim(7-39a) (7-39b)

è la deviazione
reni.Qle_prestaz:IOn(delricevitore quando la ricezione è disturbata da rumore bianco Gauss~o. La Figura 7-8b rappresenta gli spettri dei due segnali (7-39) e-del rumore-passa-banda. ~-

7-3

483

Rivelazione coerente di segnali passa-banda binari

V~iamo innan~itutto le prestazioni geIJjc!
nl(t) + n2(t),ove,sfruttando la({),.130),

~ - -

-

.-(7-40a)

-- - -

n2(t) = X2(t) COS(£ù2t+ (Jc)- Y2(t) sin(£ù2t + (Jc)

(7-40b)

La deviazione di frequep.za 211f > 2B viene.geqeralme.ntesse!!.a...w..!!!£.dQ..CJ;1Use&~ali_re"latlviai simboli.. 1 e ° no!! in~rfe£scano (segnali ortogonali) e possano essere agevQ!.IJ1~nte..§'~E'!fat[QarfiJtI;O. Il segnale che passa sul ramo superiore del ricevitore di Figu-

ra1-8a , è allora --

-

Sl(t),

r.ft)

- "'" - -

.~- -- -

simbolo binario l

( = { O, . . sImbolo bmario °} + ---nl t) mentrequellorelativoal ramo inferioreè

~

O, r2 t = ~( ) {S2(t),

simbolo binario l + n2 t simbolo binario ° } ( )

-

(7-41)

(7-42)

con r(t) = rt(t~ t D(£). Nello stesso tempo, la potenza di rumore di nl(t) e n2(t) è dala da nl (t) = n2(t) = (No/2)(4B) = 2NoB. Pertanto, il segnale di uscita è ~

( ) r.mt

+A,° < t :5 T, {-A,

simbolo binario l

. +not( ) 0< t:5 T, simbolo binano ° }

(7-43)

dove S~H= +A,S02. = -A eno(t) = XI(t) - X2(t). Consid~r-'oal)dQla §immetria.gel p'rob~a: si.J!!mostrafa..cilm.!n~ ilv~lor~o!tim(ul~l!~~~ è-YT = O.Inoltre, i processi (Gaussiani) passa.:tjanda nl(t) e n2{t) sono indipendenti, in q,uaI}to,avendòDSP djverse dJ!~() su b-andefrequenziali non sovrapposte (Fig. 7-8), risultano incorrelati (si veda l~sercizio i- 29).1!! conclusione, a.!lçh£< ij,roce~~jp haQda.base XI(t) e X2(t) sono indipendenti, e la potenza totale di rumore in uscita è -....

n5(t)=~=xf(t)+x~(t)=nf(t)+n~(t)=~B

(7-44)

Sost~U~!l~to le e§Jlres~ioni di SOl, S02, e 0'0 nella (7-17), otteniamo infine (filtro passa-basso)

(7-45)

....

--

-

""

nI»

,

1

"'O

Canale superiore

:

I

rCt)

= sCt)

I

+ nCt)

I

SI Ct) r(t)

=

O + nCt) (s2 Ct))

N dove g>nCf)

=

I 1 I

I I I

I

I

I

I

:

1-- - t - - - J

I

I I

Ricevitore

:

I

~

I I I

Decisore . l a sog la

I

2 cos w) t + C

() e

)

Filtro

~

passa-basso o adattato

roCt) Campionam

ro(to)

e tenuta .

C~~a~e ~~:.ri~~e -

!

I

I

:

::

II

I

I

Ln

:

t

I I

I

L

2 cos

H Cf)

C

£112

_n:

I Uscita analogica in banda base

I

ro-

.

I I :

:

I

II

: II

t +

(}e)

I

~

Spettro

di s2Ct)

..l

I» Q..

. e: '" 8" S: '"

g.

ro

"'O @ '"

..... I» N

2. e:

(") o :3 e. (") I» N o'

g

le I

(b) Densità spettrali di potenza per frequenze positive Rivelazione

di n) Ct)

-R = T

No/2

7-8

digitale

.

'"

di s) Ct)

Spettro

Figura

Uscita

w' ..... ro

di n2Ct)

f2

m

: Q.. .

2!!.F Spettro

:fF VT

g:

:

:

(a) Ricevitore

Spettro

:

-t

O

5" "I I

1

(comparatore)

+

--.£...

2

g"

1 I I

coerente

Bp~2B

di un segnale

FSK.

I

7-3

Rivelazione coerente di segnali passa-banda binari

485

C~ontando i sistemi FSK, BP~K- ~ QQK a..Q.aritàp,gtenza di picco, si può osservare che la modulazione FSK richiede 3 dB di potenza in più ris~etto alla BPSK per garantire I~LTjdg 10meno rIspetto alla OOK.lnvece, a parità di potenza media: ìaFSK fo,wisce presiiiZiOniinferiori di 3 dB rispetto al BPSK ed Nuivtllenti rispetto alla OQIç. Le prestazioni della FSK con ricezione a filtro adattato si calcolano mediante la (7-20).L'energia del segnaledifferenzaè

Ed = JOT [A

COS(Wlt

+

Oc)

= {T[A 2 cos 2( Wl t +

- A

COS(£ù2t

(Jc) - 2A 2 cos

+ Oc)]2dt

( Wl t + (Jc)

x COS(£ù2t+ (Jc)+ A2 coS2(£ù2t+ (Jc)]dt il che equivale a scrivere4 Ed ]'reI caso in cui 2M

= ~A2T -

= f1 - h =

A2 fTo (7-46) [COS(W!- £ù2)t]dt + ~A2T n/(2T)

= nR/2, l'integrale

corrispondente

al doppio

prodotto è nullo, che è poi la condizione richiesta per l' ortogonalità di SI(t) e S2(t). Di conseguenza SI(t) contribuisce al segnale di uscita solo per il ramo inferiore (Fig. 7-8) e viceversa, esattamente come ipotizzato nel caso del ricevitore a filtro passa-basso. Si verifica questa stessa condizione anche se (tI - h) ~ R, in quanto SI(t) e S2(t) Sono comunque approssimativamente ortogonali (in quanto il valore dell'integrale nella (7-46) è trascurabile rispetto al termine A 2T..§otto l 'ipotes~ di.2rtogo~~ Ed = A 2'{.e la BER per il sistema FSK è data da

-

-

(filtro adattato)

(7-47)

dove l'energia media per bit è Eb = A 2T/2. Le prestazioni della modulazione FSK sono ~Tviiienti a quelle 3èlf""s>.9R[a parità di potenza media) e inferiori -di.3"dB rispetto a quelle della HPSK3flg. 7-5). Pet effettuare in pratica una rivelazione coerente, il ricevitore richiede un riferidi portante w mento ~ --. - coerente - in- fase con quello di trasmissione. ...TaleJiferimento viene nor, malryente ricava~o dal segnale ricevuto, ma per effetto dei disturbi non è perfettamente come des iderat~; CiÒ cOl1}Porta Ul1certo peggioramento delle pre~t!lzi£l!i.~ett9 O erente '. ' C . . . . . .ai valori (ideali) pl;ltidalk ~§pressioni precedent~(cioè comporta un certo aumento dei valori della Pe.Tenendo conto che i circuiti che ricostruiscono il riferimento di portante sono sp~~o c°r!Plicati e.per~iò cQs!o~i,a vQlte_~~uò optare'per ~ s~teE11!. dj ri.£~zion..e !!Q.ll. c~ente. La rivel~zionen~n coeren,teè infeQ()(~~ ~ella co~er£.Qte, ma spesso 1[1misu.!:,a n..9nrileyante. In compenso, con un ricevttore non coerente si ottiene una sig!!i!ic~!Lva. ~emJ?lificazionedel ricevitore e una conseguente di.mipw;iwl~Lcos.n.

-

,

. .

Ul'

4 Per integrali del tipo Il'A 2 cos2( Wl t + Oc) dt = !A2 dt + Il' COS(2Wlt + 20c) dt], il secondo in. tegrale a destra è trascurabile rispetto al primo (lemma di Riemann-Lebesque [Olmsted, 19611).

486

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

7-4 RIVELAZIONE NON COERENTE DI SEGNALI PASSA-BANDA BINARI Un ricevitore non coerente per segnali passa-banda necessita di una portante di riferimento per la demodulazione che risulti sincrona in frequenza ma non in fase con quella di trasmissione. Il calcolo della BER per questi ricevitori, è notevolmente più difficoltoso di quello svolto per i ricevitori coerenti. D'altro canto, i ricevitori non coerenti sono di solito più semplici rispetto a quelli basati sulla rivelazione coerente. Ad esempio, nei sistemi di comunicazione in fibra ottica ad altissima velocità di bit (fino a lO Gbit/s) è comunemente utilizzata la modulazione OOK con rivelazione non coerente. In questo paragrafo, valuteremo la BER di due ricevitori non coerenti, uno per la ricezione di segnali OOK e l'altro per quelli FSK. Per quanto riguarda invece i segnali BPSK, sappiamo dal Capitolo 5 che non possono essere rivelati in modo non coerente. La DPSK (PSK con codifica differenziale) può però essere demodulata con una tecnica cosiddetta quasi-coerente o differenziale che non necessita di un riferimento coerente. Modulazione

OOK (On-Off

Keying)

Il ricevitore non coerente per la rivelazione di segnali OOK è illustrato in Figura 7-9. Assumendo di avere all'ingresso del ricevitore assieme al segnale utile un processo di rumore Gaussiano bianco, all'uscita del filtro troveremo un processo di rumore sempre Gaussiano ma a banda limitata. Pertanto, il segnale risultante all 'uscita può essere scritto come r(t)

=

rt(t), { r2(t),

O< t ::5T, O< t ::5T,

se è stato trasmesso il simbolo binario l se è stato trasmesso il simbolo binario O

(7-48)

Se la banda del filtro è Bp, con Bp almeno pari alla banda del segnale OOK trasmesso, l'inviluppo del segnale all'uscita del filtro subirà una distorsione trascurabile; pertanto, in corrispondenza del simbolo binario l, essendo St(t) = A COS(lLIet+ ne), si ha O
= [A

+ x(t)] COS(lLIet+ ne) - y(t) sin(lLIet + ne),

O < t ::5 T (7-49)

Invece per il simbolo binario O, S2(t) = Oe (7-50)

O< t ::5 T

,I

:

( )

più rumore II Segnale I

rt

II

Filtro passa-banda

di mgresso o

o

~ I

: i

Ricevitore

= s(t)

+ n(t) R

o

(Bp =banda equivalente)

o

Decis~re

tt

Ive01 a ore dOo po I mVIup

r (t)

ro(t) Campiono e tenuta

I

o o

-

asogha

I

:I

+-£= :

I

L______------------------------------------------------I Uscita analogica

m

O

I

VT ro-

m

o

I Uscita digitale I I

]

Figura 7-9 Rivelazione coerente di un segnale OOK.

...L

7-4

Rivelazione non coerente di segnali passa-banda binari

487

La BER è calcolata applicando la (7-8), che per segnali equiprobabili si può scrivere oo

VT

Pe

=

~

f(rolsl) dro +

J

~

(7-51)

f(rolsz) dro

J

~

VT

A questo punto occorre valutare l'espressione le densità di probabilità condizionate, f(ro ISI)e f(ro Isz), relative all'uscita del rivelatore di inviluppo. Quando si trasmette sz(t) l'ingresso del rivelatore di inviluppo è soltanto rumore Gaussiano a banda limitata [si veda la (7-50)]. Nell'Esempio 6-10 si dimostra che in questo caso l'inviluppo del segnale ha distribuzione di Rayleigh, quindi, indicando l'uscita campionata del rivelatore di inviluppo con ro = ro(to) = roz, si ha

f(rolsz)

=

~

e-rò /(Z0-2) r > O

'

UZ

[ O,

(7-52)

0altrove

La varianza del rumore all'ingresso del rivelatore è uZ = (No/2) (2Bp) = NoBp, dove No/2 è la DSP del rumore bianco all'ingresso del ricevitore. Quando invece si trasmette s](t) l'ingresso al rivelatore di inviluppo è dato dalla (7-49). Poiché n(t) è un processo Gaussiano a valor medio nullo, allora la componente in fase A + x(t), è anch'essa Gaussiana ma con valore medio A. La densità di probabilità dell'inviluppo ro = R = rOIsi può calcolare applicando la tecnica descritta nell'Esempio 6-10 e il risultato citato nell'Esercizio 6-46:

f(rolsd

=

~

uZ [ O,

e-(rò +A2)/(Z0-2) lo

ro;::: O

( uZ )

(7-53)

altrove

che è una densità di probabilità di Rice, dove 1 lo(z)

roA

£-

21T

Z7T

f

ezcos6dfJ

o

è la funzione di Bessel modificata del primo tipo di ordine zero. Le due densità di probabilità condizionata, f(rolsz) e f(rols]), sono illustrate nella Figura 7-10. Si tenga conto che f(rolsz) è un caso particolare della f(rolsd valutata per A = O. Infatti, in quest'ultimo caso all'ingresso del rivelatore si ha solo rumore e la (7-53) si riduce alla (7-52). Altri due grafici della (7-53) sono illustrati rispettivamente per A

=

1 e A = 4. Si nota che per A/ u ~ 1 la moda della distribuzione

(cioè il valore per

il quale la densità di probabilità è massima) si ha per f(rols]). In queste stesse condizioni A/ u ~ 1, la densità di probabilità f(rolsl) tende a una densità di probabilità Gaussiana (come sarà dimostrato successivamente). La BER per il ricevitore OOK non coerente si ottiene allora sostituendo le (7-52) e (7-53) nella (7-51): 1 1 VT ro -' roA 2 2 Pe = - e- (ro+A)/( Zu-) lo dro + 2 o uZ u2 2 ( )

f

oo

ro

2

-' /( Zu-) dro

JVT-u2 e-ro

(7-55)

La sogliaottimaè il valoredi VTin corrispondenzadel qualela Pe è minima.PerA/ u ~ 1, la soglia è con buona approssimazione pari a VT = A/2, pertanto per semplificare la

488

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

f f

0.75 f(rolsz) (A = O) a=l

0.50

0.25

O

roFigura 7-10 Densità di probabilità condizionate per ricezione OOK non coerente.

trattazione useremo di seguito tale valore.5 L'integrale contenente la funzione di Bessel non può essere valutato in forma chiusa; si può però adottare l'approssimazione Io(z) = eZ/~27TZ,che è valida per z ~ l e cioè ancora se A/(7' ~ l. Usando quest'approssimazione si ottiene

~ 2

f

VT

~

o

e-(rij+A2)/(20-2)lo

(7'2

roA

( (7'2)

dro

=~ f A/2 . ~ 2 o .~~

e(ro-A)2J(2a2)dro

Osservando poi che la funzione integranda assume valori non trascurabili solo per ro vicino ad A, il limite inferiore di integrazione può essere esteso a -00, e ~ro/(21Tu2A) può essere sostituito con ~1/ (21T(7'2).Così facendo, si ha l

-

2

v

f

o

T

ro

-

2

roA

2

l

e-(ro+A)/(20-2) lo (

(7'2

(7'2 )

dro = -

2

f

VT

l

-

(7-56)

--00 ~(7'

Sostituendo il risultato ottenuto nella (7-55), la BER diventa

Pe

=

l -

2

f

A/2

l

l

.r;;-:

e-(ro-A)2/(20-2) dro + -

--ooV21T(7'

2

oo

f

r~ e-rij/(2a2)dro

A/2 (7'

ossia

p e

=lQ Z

~ ( 2(7' )

+

le-A2/(8a2) z

(7-57)

Utilizzando l'approssimazione Q(z) = e-z2/2/~27TZ2valevole per z ~ l, si ottiene poi Pe =

l ~(A/(7')

e-A2/(8a2)+

5 La condizione AI a j!> 1 è quasi sempre verificata in pratica.

!e-A2/(80-2)

7-4

Rivelazione non coerente di segnali passa-banda binari

489

dove il primo tennine è trascurabile rispetto al primo visto che A/ (1"}> 1, In conclusione, l'espressione approssimata della BER per il rivelatore OOK non coerente è

ovvero Eb -}>No

TBp 4

(7-58)

dove, per riassumere, l'energia media per bit è Eb = A2T/4 e (1"2= NoBp. R

=

l/T è la

velocità d'infonnazione (velocità di bit) del segnale OOK e Bp è la banda del filtro passa-banda che precede il rivelatore di inviluppo. La (7-58) indica che la BER decresce all'aumentare della banda del filtro passa-banda, ovviamente finché l'ISI rimane trascurabile. La banda minima pennessa è Bp = 2B = R = l/T, e il corrispondente grafico della BER (che è anche quello ottenibile con il filtro adattato) è mostrato in Figura 7-14.

Modulazione

FSK (Frequency

Shift Keying)

Il ricevitore non coerente per la rivelazione di un segnale FSK è quello di Figura 7-11. L'ingresso consiste nella somma del segnale FSK descritto dalla (7-39) e da un processo di rumore Gaussiano bianco con DSP pari a No/2. La DSP del segnale FSK e quella edel rumore sono qualitativamente rappresentate in Figura 7-8b. Faremo l'ipotesi Che viazione di frequenza, 2M' = ti - h, sia scelta in modo da non fare interferire g spettri relativi ai segnali SI(t) e S2(t). La BER è al solito valutata a partire dalla (7-8). Se all'ingresso del ricevitore osse presente solo segnale, all 'uscita del sommatore illustrato in Figura 7-11 avremmo ro(t) = +A in corrispondenza del simbolo binario l e ro(t) = -A per il simbolo binario O. Se poi i due filtri passa-banda hanno caratteristiche identiche attorno alle rispettive frequenza centrali, le componenti di rumore in uscita dei filtri hanno stessa potenza. Sulla base di queste considerazioni, possiamo concludere che i) essendo i simboli equiprobabili,

~

"- - - - - - -

: ;... :: I

Canale superiore ("mark")

Filtro passa-banda

:

Rivelatore

centrato suti (Bp

- - - -- - -ì

: :

diinviluppo

=banda efficace)

~

-

Segnale FSK di ingresso

, I

I

;... II

vu(t) ,o(to)

+ Campiono e tenuta

-- Lowerchannel (space) Filtro passa-banda

centrato suh

(Bp=bandaefficace)

I 1

-----

Decisore a soglia

\ II

vT~

: I

Rivelatore I

di inviluppo II vL (t )

Uscita analogica

I 1

Figura 7-11

mi

Rivelazione non coerente di segnali FSK.

iìi Uscita digitale

490

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

la soglia ottima è per simmetria VT = O, e ii) la densità di probabilità di ro(t) condizionata a SIe quella condizionata a Sz sono tali che f(rolsd

= f(-rolsz)

(7-59)

Sostituendo la (7-59) nella (7-8), si trova che la BER è

Pe

=~

Pe

=

f: f(rolsl) dro +

~ {YO

f(rolsz) dro

ovvero

f"f(rolsz)

(7-60)

dro

Come mostrato nella Figura 7-11, ro(t) è positivo se l'uscita del ramo superiore vu(t) è maggiore dell'uscita del ramo inferiore VL(t), quindi (7-61) Nel caso di trasmissione del simbolo binario O,sappiamo che l'uscita del filtro passa-banda del ramo superiore è solo rumore Gaussiano, quindi l'uscita del rivelatore di inviluppo Vu è una variabile aleatoria con distribuzione di Rayleigh: f( vulsz) =

Vu e-vU(Zu2), Vu ~ O (1"z ! O, Vu < O

(7-62)

= NoBp. L'uscita VL del rivelatore d'inviluppo del ramo inferiore ha invece distribuzione di Rice:

dove (1"z

f( VLIsz) =

.!!.!:..e-(Vl+A2)/(Zu2) lo

(1"z

VLA

( (1"Z)

[ O,

,

v ~ O L VL <

(7-63)

O

dove anche in questo caso (1"z= NoBp. Sostituendo la (7-62) e la (7-63) nella (7-61) si ot-

tiene

Pe

=

f" ~~ e-(vi+A2)/(Zu2)lo (v~~)

[Jv~

~ e-v&/(Zu2) dVu]

dVL

Calcolando l'integrale interno, la BER diventa

(7-64) che può essere calcolato in forma chiusa utilizzando la tabella dell'Appendice A. In conclusione, la probabilità di errore sul bit nella rivelazione non coerente di un segnale FSKè l' l, I

7-4

Rivelazione non coerente di segnali passa-banda binari

491

o anche (7-65) dove, riassumendo, l'energia media per bit è Eb = A2T/2, a2 = NoBp,No/2 è la DSP del rumore all'ingresso e Bp è la banda dei filtri passa-banda (Fig. 7-11). Confrontando la (7-65) con la (7-58) si vede che i sistemi FSK e OOK hanno prestazioni equivalenti a parità di Eb/No (cioè di potenza media ricevuta). Il grafico della (7-65) è riportato nella Figura 7-14 per un ricevitore avente la banda del filtro passa-banda pari al valore minimo consentito Bp = R = l/T, in modo da non avere ISI (ed è anche la curva della rivelazione con filtro adattato). Per concludere, osserviamo che il ricevitore FSK non coerente richiede un rapporto Eb/No superiore a quello necessario al coerente di meno di 1 dB quando la Pe è dell'ordine di 10-4 o meno. Visto che il ricevitore non coerente è molto più semplice del coerente, in quanto non richiede il recupero della fase della portante, la maggiore parte dei ricevitori FSK utilizza in pratica la rivelazione non coerente. Modulazione

DPSK (Differential

Phase Shift Keying)

I segnali PSK non possono essere demodulati in modo non coerente, in quanto la modulazione associa l'informazione proprio alla fase della portante. Il recupero di tale informazione richiede quindi necessariamente un riferimento di fase certo, cioè la coere a del ricevitore. Si può però utilizzare una tecnica detta quasi-coerente o parzialmente oerente nella quale come riferimento di portante per la ricezione del segnale in un certo. tervallo di segnalazione si adotta semplicemente l'andamento del segnale ricevuto nell'intervallo di segnalazione precedente. La Figura 7-12 illustra questo particolare ricevitore che si basa sulla moltiplicazione tra il segnale ricevuto e una versione dello stesso ritardata di un simbolo, cioè in pratica su di una demodulazione differenziale. Infatti, nell'ipotesi che all'ingresso del ricevitore si trovi il solo segnale BPSK (in assenza quindi di rumore) è facile verificare che l'uscita del circuito di campionamento e tenuta, ro(to), è positiva (simbolo binario 1) se il simbolo attuale e quello precedente sono uguali, negativa (simbolo binario O)altrimenti. Di conseguenza, se i simboli di informazione relativi al segnale BPSK sono codificati in modo differenziale (si faccia riferimento alla Tab. 3-4), all'uscita di questo ricevitore si ottengono direttamente i simboli decodificati. Questa tecnica di trasmissione basata sul trasmettere un segnale BPSK con codifica differenziale e su di un ricevitore differenziale a ritardo e moltiplicazione è chiamata DPSK. La BER dei ricevitori DPSK si ricava facilmente nelle seguenti ipotesi:

~

. .

il rumore di canale è additivo, bianco e Gaussiano; l'oscillatore che nel trasmettitore fornisce la portante di modulazione è sufficientemente stabile in modo che la fase di riferimento sia pressoché uguale a quella nell'intervallo di segnalazione precedente.

La Figura 7-12 riporta lo schema del ricevitore ottimo DPSK [Couch, 1978]. Il filtro passa-banda di ricezione è un filtro adattato in banda passante avente risposta impulsiva t

h(t)

= II

(

- O.5T T ) cos (wct)

(7-66a)

£-

_.~

li» \O N n ~ 'g. .... o O'1 I

Decisore a soglia

Filtro passa-banda adattato Segnale DPSK di ingresso più rumore

Filtro passa-basso ro(t) I Campiono e tenuta a larga banda

t-O.5T

h(t)

= TI(---:r- ) cos (lùct)

ro(to)

iii

mt~

v;t-ro-

Ritardo di un bit, T

f Sincronismo di bit (dai circuiti di sincronizzazione)

Figura 7-12

Demodulazione

DPSK.

~ ~ (!) ~ ~ O~. OIii' eg

Uscita digitale

'" E.. -(!) "O '"f (!) '" .... ~ N o' i:!. O~. g). '" ft §. &. l''> o S ~ i:!. l''> ~ N O' :J (!)

7-5

Modulazione QPSK e MSK

493

e avente decisore a soglia con soglia (per simmetria) VT = O. La corrispondente BER è (7-67) La curva della BER di questo ricevitore è anch'essa riportata nella Figura 7-14. Confrontando questa curva con quella della modulazione BPSK con rivelazione ottima, si nota che il sistema DPSK richiede un rapporto Eb/No maggiore al più di l dB rispetto alla BPSK coerente per ottenere una Pe = 10-4 o meno. In pratica, lo schema DPSK, non richiedendo il circuito di sincronizzazione di portante, può essere utilizzato al posto del BPSK in modo da avere un ricevitore semplificato.

7-5 MODULAZIONE QPSK (QUADRATURE PHASE-SHIFT KEYING) E MSK (MINIMUM SHIFT KEYING) CQme già accennatQ.neLParagrafo 5-10, per la segnala~io1]~.QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) si utilizza una "costellazione" di L = 4 possibili segnali, quindi in ogni inter.yallo di segnalazione-(dI durata T) vengono trasmessi 2 bit d'informazione. Il segnale QPSK ha la forma s(t).

=

(:I:A)COS(lùct+ 8c) - (:I:A)sin(lùct + 8c),

O < t ::s T (7-68)

dove i due termini-(:I:A)che moltiplicano sia l'oscillazione cosinusoidale che quella sinus~le, c2-rrispondoES!og,..nuno.~UQ!>i!.di il1for.:m~gione.Come di consueto, il rumore in ingresso al ricevitore è

- --

n(t) = x(t) COS(lùct+ 8n) - y(t) sin(lùct + 8n) Si nota che il segnale QPSK è equivalente alla sovrapposizione di due segnali BPSK su due portanti ip quadratura. !'er la rivelazione si utilizza il ricevitore coerente illustrato nella-Fiiuri!-.7..:.!),~he è un rivelatore l/Q a due rami come quello della Figura 4-31. Poiché ~ia il ramo superi~e qu~lloinferiore sono essenzialmente dei ricevitOljBPSK, la BER per la se_g~l~ione QPSK è la stessa di quella calcolata per il BPSK, pertanto dalla (7-38).&..ha (7-69) che è rappresentata nella Figura 7-14. Anche se la BpR delle modulazioni BPSK e QPSK ~sono identiche, le bande occupate a paJjtà di velocità d'informazione

R sono

diverse. In-

attI, p~.run fissato bit-rate Rb, la banda del segnale QPSK è la metà di quella del segnae BPSK. Nel Capitolo 5 abbiamo dimostrato che la modulazione MSK è equivalente alla QPSK con l'unica differenza che le componenti in fase e in quadratura x(t) e y(t) sono traslate temporalmente di metà intervallo di segnalazione, e che l'impulso, invece di essere rettangolare, è un arco di coseno. Il segnale modulato risulta allora a inviluppo costante, e ha uno spettro di potenza con lobi laterali di ampiezza inferiore rispetto alla QPSK. Il ricevitore ottimo MSK è simile a quello QPSK (Fig. 7-13), a parte il fatto di dover utilizzare un filtro adattato all' impulso cosinusoidale, e di dover campionare a istanti

-

--

"'" I.D "'" () ~

'"8. .... o 6" '.:J I §: t:

(1)

~ ~ Q:l:A

+ x(t)

'

~.

Decisore

I Integrazione

e scarica I

-I

a soglia

Q-

00. 8"

Digitale Rj2) (data rate

§:

;

Sincronismo

Segnale QPSK

di +portante t 2=(wcf (dai 'cl circuiti di

più rumore (data rate;

fJ)

R)

Rotaz. di fase +900

h

sincronizzazione di portante)

-

Conversione

di bit (dai circuiti di sincronizzazione S.,="mo di portante)

parallelo-serie

I :l:A + y(t)

Integrazione e scarica 1

-I

Uscita digitale (data rate; R)

S

ro

"'O

... (1) fJ) .... ~

N

o.

-2 sin(wct + Bc)

I

in

Decisore a soglia

Digitale (data rate ; R/2)

=' .... Q(1) .... fJ) 00. .... (1) §. e: ,.., o !3 ~. ,.., ~ N o. =' (1)

Figura 7-13

Rivelazione di un segnale QPSK con filtro adattato.

7-6

495

Confronto tra i vari sistemi di trasmissione digitale

1.0 0.5

10-1 J... e -( II2)(Eb!NO) 2 -

OOK non coerente, o FSK non coerente

10-2

:E

'3 '" o "I::

'6

Q(,2(E.IN) Polare in banda base, BPSK,QPSK,

10-3

oMSK

g

L

:g .o

gp., 10-4 Il "

10-5

I

I

eDPSK

5

6

-(Eh! NO)

IQ-6

10-7 -I

O

2

3

4

7

8

9

lO

11

12

13

14 15

(Eh/ No) (dB)

Figura 7-14 Confronto fra le probabilità di errore sul bit per diversi schemi di segnalazione digitale.

"sfalsati" le componenti in fase e in quadratura. Di conseguenza la probabilità d'errore della MSK è ancora data dalla (7-69), e la relativa curva coincide con quella della QPSK/BPSK in Figura 7-14. Se i simboli di informazione sono opportunamente codificati, la MSK può essere demodulata mediante un rivelatore per segnali FM, anche non coerente. Ricordiamo infatti che il segnale MSK può essere interpretato come un segnale modulato in frequenza con la minima deviazione frequenziale che rende i due segnali SI(t) e S2(t) ortogonali.

7-6 CONFRONTO TRA I VARI SISTEMI DI TRASMISSIONE DIGITALE BER e banda Lwbella 7-1 riporta l'espressione dclla RRJLili tutti i sistemi di trasmissione descritti QFecedentemente,insieme con.J£ I.lli!!i!ll~bande di trasmissione. ,£:scludendQla MS]5:~ ly. ~K, la banda minima è teoricament~ r~gg!ung.ipi!eguanQ
TABELLA

7-1

CONFRONTO

FRA V ARIE TECNICHE Minima

DI SEGNALAZIONE

"'" \,O Q'\

DIGITALE

banda

n

di trasmissione richiesta" (R è il bit rate)

Tipo di segnalazioni digitale

1\1

'g. .....

Probabilità di errore

-o

O-

'-J I

Segnalazioni in banda base Unipolare

4R

(5-105)

Polare

4R

(5-105)

Bipolare

4R

(5-105)

(7-24b)

Q[]

g: 1\1

Q[]

(7-26b)

%Q[]

(7-28b)

o.. (E. e: g(J)

Segnalazioni in banda passante

Rivelazionecoerente

I

(5-106)

I

g (J)

É:

rt> "O ....

Rivelazione non coerente

rt>

OOK

R

Q[]

(7-33)

Q[]

(7-38)

I

Q[]

(7-47)

Non usata in pratica

!2 e-(1/2)(E.INo)

,

No >! 4 (Eb)

(7-58)

(J) .....

I» N

o' i:!.

BPSK

FSK

R

(5-106)

2M' + R dove 2M'

=h

(5-89)

- il

è la deviazionedi frequenza R

(5-106)

I

QPSK

4R

(5-106)

I Q[]

(7-69)

I

(7-69)

J.5R(Bandaal primonullo)

.

Le specifiche di banda assegnate da ITU sono tipicamente ---

---

(5-115)

Richiede una rivelazione coerente

o.. (E. (J)

DPSK

MSK

--

I

4e

4

-( 1/2)(E.INo)

e -(E.INo)

(7-65) (7-67)

Richiedeullarivelazionecoerente

/n' @'

§. e: no

S

n. o' 16

Q[]

più ampie di questi valori minimi [Jordan. 1985].

4

e -(1/2)(E.INo)

(7-65)

7-6

Confronto tra i vari sistemi di trasmissione digitale

497

Nella Figura 7-14 riportiamoanche le curve di BER ottenutedalle espressionidi Tabella l-L Tutte le curve, a eccezione di quelle relative alla rivelazione non coerente, .si rjferiscono al caso di ricezione con filtro adattato. Occorre tenere presente però che nella pratica si possono raggiungere buoni risultati anche con filtri diversi (più semplici) del filtr? adattato. Ad esempio, mediante simulazione al calcolatore si può verificare che in un ricevitore BPSK con un filtro di Butterworth a tre poli e banda Pali alla velocità ~i segnalazione si assiste a parità di_BER a un aumento delrap.pQrto Eh/No pU;oli 0.4 dB risp~n() al filtro adattato (perlomeno per tassi d'errore maggiori di 10-12). Pe.r quanto riguarda la banda occupata, i sisteqti QPSK e MSK forniscono le mi- gliori Rr~stazioni in quanto per una fissata velocità di segnalazione richiedono la minima bançla(segnalazioni multilivello) e,sono caratterizzate dalla minimaf'e per un daio Eb/No. lìrièe.vitore QESK è però gi realizzazione piÙ-co~piessa perché necessita della rivelazi~ne,coerente ed è di tipo l/Q. La Figura 7-14 mostra anche che, a parità di Pe, la DPSK con ucevit.Q[enon coerente richiede circa l dB in più in Eb/No rispetto al QPSK o BPSK, per tassi d'errore pari a 10-4 o inferiod; guesta è proprio la ragione per laguale seesso nelle ~IJc~ioni viene utilizzata la DPSK al po~è1ia BPSKCòii-ricezione;o_~rente. Anche lC4lte&.taz,ioni della FSK non coerente sono abbastan?:aviciQe a quelle della FSK coerel!.t~ e p_ertantola versione non coerente è la più utilizzata nelle applicaziolJi. IJ1..mQ!ti sistemi di rad~otrasmissione (ad esempio i sistemi cellulari) la propagazione delJ>egnale tra jl ~smetti~ore e ricevitore avviene secondo diversi modi, cioè si ha il fenom.eno deÙ:am'!.!inimultipli (c2!l~i12.ath)~f riflessioni del segu.a!e~ ostacoli. li! ~~t~ c~.2~i creano fenomeni dUadi,!g (cioè eVan~s.fenza).?u~antei 9.uaIUa~el se..m.~~~2bastanza vel
-

durre notevolmenteil valore della Pe e dunque della "qualità" della comunicazione,mediante la codifica di canale. Questo concetto, già illustrato nel Capitolo l, si basa sulla fonnula della capacità di canale di Shannon, secondo la quale teoricamente è possibile ridurre a zero la Pe con un'opportuna codifica, purché il rapporto Eb/No si mantenga maggiore di un valore-limite pari a -1.59 dB. Nei casi pratici, con sistemi QPSK e BPSK, si riscontrano guadagni di codice fino a 9 dB. In altre parole, per una data BER le tecniche di codifica pennettono di utilizzare valori di Eb/No inferiori di circa 9 dB rispetto a quelli indicati in Figura 7-14, aumentando però in qualche misura la banda di trasmissione del segnale. Probabilità d'errore sul simbolo per trasmissioni multilivello

e sul bit

La valutazione della probabilità d'errore sul bit (detta anche. tasso d'elTor.e,o-BER).pex.. i sistemi multiliye}[Qè piiLc.omplicata..diquellaI~Ij!t~a ~i §.i§!etnLhinRri.QJlest.Q.spiega. il perché in Tabella 7-1 nOI1ab_bim.:no Qportat9 i risultatiqiliER p~)utti i sistemi multilivello ma solo l'e)".il.~asa..PllI1!.cQ~redel QJ:>~l}: (che come già discusso ne1':Par.'7-5 consiste in pratica di due segnali BPSK con portanti in quadratura). N.!ltl,lral.IJ).,çn~$l_..BERper i sistemi multiliveUq,può e§.~ereottenuta per siII.!.ulazioneo mediante ~I! ~erimentali.

(

498

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

In alcuni casi, è possibile calcolare semplicemente una maggiorazione della probabilità d'errore su di un sinibolo. Ad-esempio, làmaggiorazibne
La maggiorazione è fortunatamente molto vicina al valore esatto (cioè è abbastanza "stretta") per valori tipici di M e Eb/No ad esempio M = 8 e (Eb/No)db = lO dB. Per la segnalazione QAM su canale AWGN, la maggiorazione è [Wilson, 1996]

[~2(~)

P(E) S; 4Q 17MJ. per MQAM dove il fattore di efficienza 17Mè-4 dB per la 16 QAM, -6 dB per la 32 QAM, -8.5 dB per la 64 QAM, -10.2 dB per la 128 QAM e -13.3 dB per la 256 QAM. La probabilità d'errore sul simbolo (detta anche WER, ovvero Word Error Rate, oppure SER, Symbol Error Rate) è legata alla BER da una relazione in generale complicata. Anche in questo caso, è possibile utilizzare delle limitazioni come ad esempio [Couch, 1993]

~ PE K (

)

P

s;

s;

e

(M /2) P (E ) a" 1

dove Pe è la BER, P(E) è la SER e M = 2K.Teniamo anche conto che quando la probabilità d'errore è bassa (ad esempio Pe < 10-3), e si commette un errore di decisione, la maggior parte delle volte si sceglie uno dei simboli immediatamente adiacenti a quello effettivamente trasmesso. D'altronde, è buona norma usare in trasmissione una codifica di Gray (Tab. 3-1) per la quale le parole binarie associate a simboli adiacenti nella costellazione differiscono soltanto per un bit; allora a ogni simbolo sbagliato corrisponde un solo bit errato e la BER tende ad assumere assume un valore molto vicino al limite inferiore. Ad esempio, se M = 128 (K = 7), allora 0.143 P(E)

s;

Pe

s;

0.504 P(E)

Se la BER è bassa, diciamo Pe< 10-3, si ha dunque Pe ::::: 0.143 P(E) per M

=

128.

Sincronizzazione C9me abbiamo già accennato. nei sistemi di comunicazione digitale sono necessari tre livelli di sincronizzazione: 1. sincronizzazion~-di bit; 2. sIncronizzazione di trama, ofrc:.me; 3. STncro~;azione di portante. Le sincronizzazioni di bit e di trama sono state già discusse nel Capitolo 3. La sincronizzazione di portante è necessaria nei ricevitori coerenti. Nel caso in cui lo spettro del segnale contiene componenti discrete alla frequenza portante, come nella l

7-7

Rapporto segnale-rumore

di uscita nei sistemi PCM

499

segnalazione OOK con simboli equiprobabili, si può usare un circuito PLL per ricostruire un riferimento di portante direttamente a partire dal segnale ricevuto, come descritto nel Capitolo 4 e illustrato in Figura 4-24. Tutti gli altri segnali binari studiati in questo capitolo non contengono però nessuna componente discreta, ma hanno uno spettro simmetrico rispetto alla frequenza portante. Per ricavare il sincronismo di portante con questi segnali si può allora usare l'anello di Costas o l'anello quadratore rispettivamente delle Figure 5-3 e E5-51. Questi sincronizzatori generano un riferimento con un'ambiguità pari a 1800(Par. 5-4) che deve essere risolta per non introdurre errori sistematici sui simboli decisi. Per il QPSK, il riferimento di portante può essere ricavato con un anello di Costas generalizzato o equivalentemente con un anello basato su una quarta potenza [Spilker, 1977]. Questi circuiti hanno un'ambiguità di fase di 900 o multipli, che anche in questo caso deve essere risolta. Si capisce ancora una volta che le tecniche di ricezione non coerenti (utilizzabili per OOK, FSK e DPSK) permettono di semplificare la struttura del ricevitore. Il circuito di sincronizzazione di bit (Fig. 3-20) è necessario al ricevitore per fornire l'informazione di temporizzazione ai circuiti di campionamento e tenuta, e/o al filtro adattato. Tutte le espressione della BER di questo capitolo sono state calcolate supponendo che nel ricevitore si abbia una sincronizzazione di bit e di portante ideali. In realtà i sincronismi devono essere ricavati dal segnale ricevuto, e pertanto i riferimenti risultano disturbati dal rumore di canale e dalla stessa modulazione impressa sul segnale, contribuendo

così al peggioramentodellaPe' Il terzo tipo di sincronizzazione tipicamente necessaria nei sistemi digitali è la sincronizzazione di trama o di parola, che permette di distinguere l'inizio di ogni trama dati. Ad esempio, nei sistemi con codici a protezione d'errore, la sincronizzazione di blocco è fondamentale per il circuito di decodifica. Tale tipo di sincronizzazione è inoltre necessaria nei sistemi con multiplazione a suddivisione di tempo TDM (Fig. 3-37). Esistono anche livelli superiori di sincronizzazione, come la sincronizzazione di rete, che risultano necessari quando i dati sono ricevuti da diverse sorgenti, come nei sistemi di comunicazione via satellite illustrati nel Capitolo 8.

7-7 RAPPORTO SEGNALE-RUMORE DI USCITA NEI SISTEMI PCM Nei paragrafi precedenti abbiamo studiato la dipendenza della Pe dall'energia media per bit Eb del segnale di ingresso e dal livello della densità spettrale del rumore di ingresso No/2 per i vari sistemi di comunicazione digitali. Consideriamo ora l'influenza del rumore sulla trasmissione di un segnale analogico con codifica digitale PCM. Il segnale viene cioè dapprima codificato PCM, e quindi la relativa sequenza binaria viene trasmessa mediante un sistema digitale caratterizzato da una certa Pe (Fig. 7-15). Come tecnica di trasmissione, si può utilizzare uno qualsiasi degli schemi studiati nei precedenti paragrafi. Per esempio, s( t) potrebbe essere un segnale FSK con ricezione non coerente. Il segnale PCM all'uscita del ricevitore ha in sé alcuni bit errati a causa del rumore di canale, e pertanto il segnale analogico in uscita al decodificatore PCM sarà disturbato da

500

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

una componente di rumore addizionale rispetto a quello di quantizzazione intrinseco alla codifica PCM. Il problema che si presenta è ora quello di calcolare il rapporto (S/N)out tra la potenza di picco del segnale e la potenza media di rumore in uscita. Se il segnale analogico di ingresso ha una densità di probabilità costante nell'intervallo tra -Ve +Ve il quantizzatore unifonne ha M intervalli, si ottiene

S

3M2

(7-70)

( N ) pkoUI =

risultato che è stato già utilizzato nel Paragrafo 3-3. Vediamo adesso il ragionamento che conduce alla (7-70). Come mostrato in Figura 7-15, i campioni Xk sono ricavati campionando il segnale analogico agli istanti t = kTJ. Ogni campione è quantizzato al valore Q(Xk), cioè uno degli M possibili valori che il quantizzatore può fornire, e tale valore è codificato in una parola PCM di n-bit PCM (ak\ , ak2, ..., akn), con M = 2n, che nel caso di rappresentazione polare assumono valori +1 e -I. Dunque la parola PCM è legata al valore del campione quantizzato dalla relazione6 n

Q(Xk)

=

V

I

(7-71)

akj (!)j

j=\

Ad esempio, se la parola PCM relativa al k-esimo campione è (+1, +1, ..., +1), allora il campione quantizzato sarà 1

Q(xd

l

V

l

l

l

l

= V -2 + -2 + ... + -2n = -2 1 + -2 + -4 + . .. +-2n-1 (

)

(

)

1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --I 1

Segnale analogico di ingresso

.

Codificatore

PCM

:(convertitore analogico-digitale) Q(Xk)

Filtro passa-basso

i

1 1 1 I

. CamplOn.

\

xk Quantizzatore (M livelli)

1

Segnale PCM

:

(fonna d'onda polare)

i/

.

Codlfic. ~

1 1 1

I

.

Trasmettitore

I

s(t)

1 Canale

1

1

n(t)

1 1

1 1 I

~

~:

r(t)

Ricevitore

Segnale PCM ricostruito

:_-------------~. Decodificatore (convertitore

mi PCM

analogico-digitale)

. Campione

analogico di uscita (S/Mou! viene misurato in questo punto

Figura 7-15

6 Per semplicità,

bella 3-1.

Sistema di comunicazione PCM.

nella (7-71) è utilizzata una codifica binaria naturale anziché la codifica Gray di Ta-

7-7

Rapporto segnale-rumore di uscita nei sistemi PCM

501

la cui somma è (App. A)

v

(Dn

V

- l

Q(Xk) = I 2 [ 2- l ] Indicando con {)il passo del quantizzatore

si ha V

Q(xd

= V - -2n

=

({)/2)2 n, e quindi

~2

=V-

Ne segue che la parola PCM (+ l, + l, . . ., + l) codifica il massimo valore possibile in uscita dal quantizzatore, come illustrato nella Figura 7-16. Allo stesso modo si ottiene la corrispondenza tra parole PCM e valori quantizzati. Con riferimento alla Figura 7-15, il campione in uscita al sistema PCM al k-esimo istante di campionamento è pari a Yk

= Xk +

nk

dove Xk è la componente di segnale ed è uguale al valore del campione di ingresso, e nk

t M = 2n = numero di livelli V = (8(2)2n = livello di picco

" "" " " V

~1"

V-8/2

""

in ingresso Per questa figura è:

M

=8

V

= 48

-48

"

-38

-/

-28

"

"

-"""

-"" ""

,

,

,

,

8

28

38

48

1- 2V

V

" "" " "" " "" "" Figura 7-16 Caratteristica del quantizzatore uniforme per M (con n = 3 bit per ciascuna parola di codice).

=8

/

502

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

è il disturbo totale. Il rapporto tra la potenza di picco del segnale e la: potenza media di rumore in uscita è allora !...

( N ) pk QUi

=

[(Xk);ax]2 nk

(7-72)

= v: nk

= V, come si vede dalla Figura 7-16. Analogamente al procedimento adottato nel Capitolo 3, facciamo l'ipotesi che nk sia scomponibile in due componenti ineorrelate: dove (Xk)max

. .

il rumore di quantizzazione: eq =

Q(Xk)

-

(7-73)

Xk

il rumore dovuto agli errori di decisione causati dal rumore di canale:

(7-74) Di conseguenza, si ha (7-75) Valutiamo innanzitutto la potenza del rumore di quantizzazione. Nell'ipotesi ehe il segnale abbia una distribuzione simmetrica e il numero di livelli di quantizzazione sia sufficientemente elevato, il rumore di quantizzazione ha con ottima approssimazione una distribuzione uniforme nell'intervallo (-8/2, 8/2), Così, ricordando che M = 2 n = 2V/8 (Fig. 7-16), si ha oo

8/2

l

82

V2

~ = J-00e~f(eq) deq = J-8/2 e~"8deq= 12 = 3M2

(7-76)

La potenza di rumore dovuta alle decisioni sbagliate è invece, dalla (7-74) (7-77) dove Q(xd è dato dalla (7-71). Il campione Yk viene ricostruito a partire dalla parola PCM ricevuta utilizzando una formula simile alla (7-71). Indicando con (bk I, bk2, . . ., bkn) la k-esima parola PCM ricevuta, si ha n

Yk

=

V

I

(7-78)

bkjWj

j=1

Tenendo conto degli errori di decisione, i valori dei bit b e Q saranno in generale diversi. Utilizzando ie (7-71) e (7-78), la (7-77) diventa n

"o

-:2" eb

=

J" V2 [ ;2: (bkj - Qkj )(2)J ] J=I

= V2 li

iI Il

i i(

j=1 e=1

2

bkjbU - Qkjbke - bkjQu + Qkjake

)

2-j-e

(7-79)

7-7

Rapporto segnale-rumore

di uscita nei sistemi PCM

503

dove bkj e bkl sono i bit rispettivamente trasmessi e ricevuti nelle posizioni j e f all'interno di una parola. Ricordiamo che la codifica PCM produce bit a valor medio nullo e anche indipendenti per j # f dunque bkjbk€ = bkjbk€ = O per j # f. Tenendo conto di questa proprietà, la (7-79) diventa n

2 eb

=

y2

I

J=l

Valutando le medie in quest'ultima

LT

(

bkj

-

-

-:::Z-'

2akjbkj

(7-80)

+ akj 2 2J

)

equazione si ha 7

b~j = (+l)2P(+IRx) + (-1)2p(-lRx)

=1

;;; = (+l)2P(+1Tx)

+ (-l)2P(-lTx) = l akjbkj = (+l)(+l)P(+lTx, +IRx) + (-l)(-I)P(-1Tx, +(-l)(+1)P(-1Tx,

+lRx) + (+l)(-l)P(+lTx,

-IRx) -lRx)

= [P(+ITx, +lRx) + P(-lTx, -lRx)] - [P(-lTx, +lRx) + P(+1Tx, -IRx)] = [l - Pe] - [Pe]= 1 - 2Pe e la (7-80)si riducea n

e~

=

4y2Pe

I

(W

j=l

che, in base all'Appendice

A, diventa

Pertanto: 2 -:! 2 M2 - l eb - 3Y Pe M2

(7-81)

Sostituendo le (7-76) e (7-81) nella (7-72), con l'aiuto della (7-75) si trova

S

V2

( N )pkout = che si può semplificare ottenendo la (7-70). La formula (7-70) è rappresentata in forma grafica nell'insieme di curve della Figura 7-17. Da queste si vede che il rapporto (S/N)out di un sistema PCM con errori di trasmissione dipende ovviamente dalla BER del sistema di comunicazione utilizzato.

Se p e < 1/ (4M2),con M numerodei livellidi quantizzazione,la causaprincipaledi degradazione è rappresentata dal rumore di quantizzazione, e si ha approssimativamente (S/N)out = 3M2, mentre quando Pe > 1/(4M2), l'uscita è prevalentemente disturbata dal rumore di canale e si ha approssimativamente (S/N)out= 3/(4Pe). 7 La notazione sì per + IRx o -IRx.

+ 1Tx o -I Tx indica che è stato trasmesso rispettivamente

il simbolo binario 1 e °, e co-

504

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione 80

70, ,-...

M

/'

=

4096 (n

=

12)

iii'

:::!,

5 'u '" :> .8 1:: o

a 2

:e '" :e .,

60

50

a

'" N C

B o c.. :> '" .,

I

M = 64 (n = 6)

I

M = 8 (n = 3)

I

M

40

'"c

b/) .,'" "'"O ot)

30

t)

'6. :e '" N

20

c.,

oc..

-Il= o "'" Q.

= 4 (n = 2)

lO

o 10-7 Pe-

Figura 7-17 (S/N)ouI di un sistema PCM in funzione di Pe e del numero di livelli M del quantizzatore.

Per concludere, osserviamo che la (7-70) rappresenta il rapporto tra la potenza di picco del segnale e la potenza media di rumore. Il rapporto tra la potenza media di segnale e di rumore si ottiene facilmente con un procedimento similare, ed è (~ )OUI= (~2

~

=

~ = ~ (~

tkout

= V2/3 supponendo che Xk sia uniformemente distribuito tra -v e +V. Dalle (7-72) e (7-70) si ottiene infine

dove

M2 S ( N ) out = l + 4(M2 - I)Pe

(7-82)

7-8

Rapporto segnale-rumore

di uscita nei sistemi analogici

505

7-8 RAPPORTO SEGNALE-RUMORE DI USCITA NEI SISTEMI ANALOGICI Nei Capitoli 4 e 5 abbiamo studiato diverse tecniche di modulazione e demodulazione analogiche: AM, DSB-SC, SSB, PM e FM, e ne abbiamo valutato le rispettive bande di trasmissione. Ricaviamo ora il rapporto segnale-rumore in uscita dai ricevitori di questi sistemi in funzione sia del rapporto segnale-rumore di ingresso che dei vari parametri in gioco. 1\nche in questo caso, la trattazione matematica necessaria per valutare le prestazioni dei sistemi non coerenti è molto più complicata di quella relativa ai sistemi coerenti, e spesso, per ottenere un risultato utile, dovremo introdurre delle approssimazioni. Anche nei sistemi analogici la ricezione non coerente è utilizzata assai spesso, in quanto il costo del ricevitore è sicuramente inferiore. Ciò è particolarmente vero per i sistemi di radiodiffusione audio AM o FM e televisiva, nei quali si ha un solo trasmettitore e migliaia o addirittura milioni di ricevitori. Esaminando per semplicità il caso di canale di trasmissione con rumore additivo Gaussiano bianco (AWGN), l'ingresso del ricevitore è r(t)

= s(t)

+ n(t)

Per un sistema passa-banda con banda occupata BT, il segnale ricevuto è r(t)

= Re{gs(t)ej(Wc'+8c)} + Re{gn(t)ej(Wc'+8c)} = Re{[gs(t)

+ gn(t)]ej(wct+8c)}

e cioè (7-83a) dove

gT(t) ~ gs(t) + gn(t)

= [xs(t) + xn(t)] + j(ys(t) + Yn(t)] = XT(t) + jYT(t) = RT(t)ej9r(t)

(7-83b)

In quest'espressione, gT(t) è l'inviluppo complesso del segnale ricevuto, pari alla somma dell'inviluppo complesso del segnale utile e del rumore. Le proprietà dell'in viluppo complesso del rumore Gaussiano sono illustrate nel Capitolo 6, mentre gli inviluppi complessi gs(t) dei vari tipi di segnali modulati sono riassunti in Tabella 4-1. Sistemi

in banda

base e in banda

passante

Come valutare le prestazioni dei vari sistemi analogici passa-banda? La maniera più significativa è quella di valutare il rapporto segnale-rumore all'uscita del ricevitore, (S/N)out. nell'ipotesi che all'ingresso del ricevitore si abbia il segnale utile modulato disturbato da rumore. Per poter effettuare dei confronti, la potenza del segnale ricevuto avrà lo stesso valore per tutti i sistemi considerati, così come la densità spettrale di potenza del rumore, bianco e Gaussiano, all'ingresso sarà sempre pari a No/2.

506

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

Sempre per poter confrontare meglio l'efficienza dei vari sistemi di modulazione, il rapporto segnale-rumore (S/N)out verrà a sua volta espresso in funzione di un altro rapporto S / N: il rapporto tra la potenza di segnale ricevuto Ps e la potenza di rumore calco-

lata nella banda base del segnale trasmesso. Quest'ultimo rapporto rappresenta in pratica lo (S/N)out di un (ipotetico) sistema di trasmissione in banda base che utilizzi la stessa potenza di segnale Ps di quello in banda passante e sia soggetto allo stesso disturbo additivo bianco, come illustrato in Figura 7-18. Riassumendo, posto

S Ps = ( N ) banda-base NoB

(7-84)

le prestazioni dei differenti sistemi saranno valutate calcolando (S/N)out in funzione di (Ps/NoB)

=

(S/N)banda-base.Si noti che nella (7-84) B è la banda del segnale modulante

in banda base. Infatti, se anziché B avessimo usato la banda del segnale modulato all'ingresso del ricevitore, BT, il paragone tra i diversi sistemi sarebbe difficoltoso, visto che ad esempio i segnali AM e FM hanno valori di No/2 molto diversi e darebbero quindi luogo a valori di (S/N)banda-base diversi. A ogni modo, il rapporto segnale-rumore all'ingresso del ricevitore può essere scritto come

(~ L =

N~~T

(7-85)

= (~ Lnda.base (:J

Passiamo ora al calcolo di (S/N)out per le varie modulazioni analogiche.

Sistemi AM con rivelazione

sincrona

La Figura7-19 rappresentalo schemadel ricevitoreAM (AmplitudeModulation)con rivelazionecoerente(o sincrona).In basealla(5-3),l'inviluppocomplessodel segnaleAMè

Pertanto l'inviluppo complesso del segnale ricevuto è (7-86) e l'uscita del rivelatore sincrono, tenendo conto della (4-71), è

Canale 1-- - - - - - - -- - -1 1 n(t) r;p = No :

: :

:

I

m(t) = s(t) Segnale informativo (modulazione) B = banda di m(t)

I 1

~:s 1 1

~

n

2

Ricevitore

1

1

0---1

1

1 JI

Filtro passa-basso di banda = B

m(t) = s(t) + n(t) Ps (S/N)banda-base = NrfJ

Figura 7-18

Sistema in banda base.

7-8

Rapporto segnale-rumore

r(t) = s(t) + n(t) = Re{gT(t) ei(", ,t +,~)L--_R~V.:~~~~~P!:~~t.!.o Segnale modulato di ingresso più rumore

Filtro a IF 2B, per AM e DSB-SC Banda =

( B, per SSB

\

)

~

I I

I I I

Filtro: passa-basso

di banda =B

I

: ~

I I

I

I I I I I

507

di uscita nei sistemi analogici

t 2 cos(ùJct + 8c)

-

m(t) = Re{gr(t)}

I :

(S/N)out

.

I I I I I

II

Ricevitore coerente.

Figura 7-19

Nell'ultima equazione il tennine Ac rappresenta la tensione continua relativa alla portante AM,8 Acm( t) è il segnale modulante e xn(t) è la componente di rumore. Il rapporto segnale-rumore di uscita è !...

( N ) out

= A;f1l2(t) = A;f1l2(t) x~(t) 2NoB

(7-87)

dove, dalla (6-133g),si ha x~ = fi2 = 2(No/2) (2B). La potenzadi segnalein ingressoè A2

Ps

=

A2-

T [l + m(t)J2 = T [l

+ m2J

nell'ipotesi che m(t) = O e cioè che il segnale modulante abbia valor medio nullo. Pertanto, il rapporto segnale-rumore d'ingresso è (A;/2)(1 + fn2) 2NoB

(7-88)

Dalle (7-87) e (7-88) si ottiene (S/N)out (S/N)in

= 2/iìl

(7-89)

l + mz

Ad esempio, per una AM con un segnale modulante sinusoidale e con profondità del 100%, si ha m2 = !, per cui (S/N)out/(S/N)in = ~. La (7-87) può essere poi valutata in funzione di (S/ Nhanda-base sostituendo l'espressione della Ps: (S/N)out (S /N)banda-base

/iìl l + /iìl

(7-90)

Con un segnale modulante sinusoidale e con una profondità pari al 100%, si ha (S/N)out/(S/N)banda-base= ~. Il sistema AM è quindi di 4.8 dB peggiore rispetto a un sistema in banda base che utilizza la stessa potenza di segnale, come è illustrato in Figura 7-27; la ragione risiede nel fatto che parte della potenza trasmessa è utilizzata per la portante.9 8 Questa tensione è spesso utilizzata per il controllo automatico di guadagno (AGC, Automatic trai) degli stadi RF o IF. 9 La portante AM non fornisce nessuna informazione

plessità basati sul rivelatore d'inviluppo.

.

ma permette

Gain Con-

l'uso di ricevitori di limitata com-

508

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

Sistemi AM con rivelatore di inviluppo Il rivelatoredi inviluppoforniscein uscita il segnaleKRT(t) pari a

dove K è una costante di proporzionalità. Sostituendo la (7-86) al posto di g.,(t) + gli(t) si ottiene (7-91) La potenza media del segnale ricevuto è quindi

r'7~

/.,,~

=

K2A~{[l + m(t) + X~~)r + [y~:)r}

(7-92)

Quando il rapporto (SIN);n è abbastanza elevato, (YIIIAc)2 ~ l, e la potenza diventa (7-93) dove (KAc)2 è il termine utilizzabile dal circuito AGC, K2A~ fn1 è la potenza del segnale demodulato, e K2~ rappresenta la potenza della componente di rumore. Pertanto, per alti rapporti(SIN)in si ha

~ ( N ) oul

=

A~ fn1 x2Il

= A~fn1 2NoB

(7-94)

Tenendo conto della (7-87), si vede che per alti (SIN);n il ricevitore con rivelatore di inviluppo ha prestazioni identiche a quelle del ricevitore con rivelatore sincrono. Invece, per bassi (SIN);n, le prestazioni del rivelatore di inviluppo sono di gran lunga inferiori. Con riferimento alla (7-91), l'uscita del rivelatore si può scrivere come

Per (SIN)in < l, la Figura 7-20 suggerisce che il modulo di gT(t) si approssima con KRT(t)

= K{Ac[1

+ m(t)J cos 811(t)+ RII(t)}

(7-95)

Se il rumore di canale ha distribuzione Gaussiana, l'uscita del rivelatore di inviluppo consiste in una componente di rumore RII(t), con distribuzione di Rayleigh a cui si somma il segnale moltiplicato per il termine aleatorio cos 811(t).Quest'ultimo termine causa una degradazione maggiore di quella provocata dal fattore additivo con distribuzione di Rayleigh. Tutto ciò si traduce in un effetto di soglia: (SIN)out diventa molto piccolo quando (SIN);n < 1. Si può dimostrare che in queste condizioni (SIN)ouI è proporzionale al quadrato del rapporto (SIN)in [Schwartz, Bennett e Stein, 1966]. Anche se il rivelatore di inviluppo fornisce per (SIN)in < l prestazioni notevolmente inferiori rispetto a quelle del rivelatore moltiplicativo, nelle applicazioni di radiodiffusione AM commerciale questo problema è irrilevante, in quanto tipicamente l'utente è interessato soltanto alle stazioni AM con un buon rapporto segnale-rumore, per esempio (SIN)ouI ~ 25 dB e in queste ipotesi i due rivelatori hanno prestazioni quasi identiche. Il

7-8

Rapporto segnale-rumore

di uscita nei sistemi analogici

509

t Asse immaginario

gN(t)

= RII(t)ei8(t)

AsserealeFigura 7-20 Diagrammavettorialedi un segnaleAM, (SIN)in ~ 1. rivelatore di inviluppo è però molto semplice, non richiede un riferimento di portante coerente, e per queste ragioni è molto usato nei ricevitori AM. Per altre applicazioni, come la trasmissione dati, è comunque preferito il rivelatore sincrono proprio per evitare il fenomeno della soglia.

Sistemi DSB-SC Come indicato nel Capitolo 5, il segnale DSB-SC (Double Side Band-Suppressed Carrier) è in pratica un segnale AM in cui non è presente la portante. Il segnale modulante m(t) deve allora essere recuperato mediante rivelazione coerente, come mostrato in Figura 7-19. Per questa modulazione si ha (7-96) Ripetendo i passaggi che hanno portato alla (7-89), si ottiene (SIN)out = 2 (SI N)in

(7-97)

(S/N)ouI

(7-98)

per cui, dalla (7-90),

= l

(S / N) banda-base

Le prestazioni di un sistema DSB-SC sono uguali a quelle di un sistema in banda base, pur essendo doppia la banda richiesta per la trasmissione (cioè, BT = 2B).

Sistemi SSB Il ricevitore SSB (Single Side Band) è ancora quello (sincrono) di Figura 7-19, dove la banda IF è BT = B (pari alla metà di quella necessaria per la AM o la DSB-SC). L'inviluppo complesso del segnale SSB è (7-99)

510

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

dove con il segno superiore si ottiene la USSB (Upper Single Side Band) e con quello inferiore la LSSB (Lower Single Side Band). L'inviluppo complesso del segnale ricevuto è dunque (7-100) cosicché l'uscita del rivelatore sincrono è (7-101) Di conseguenza, il rapporto segnale-rumore è

=

( SI N )out

A~

mz(tj = A~ m'{t) N oB

xn f) t

(7-102)

dove:ç = fi'2 = 2(No/2) (B). Utilizzando la (6-133g), la potenza del segnale modulato è A2 Ps

=

!lgs(t)12

=

-t

[m2 + (riì)2]

=

A~fn2

(7-103)

e quella di rumore è (SjN)out

=

l

(7-104)

= l

(7-105)

(SjN)in

Nello stesso tempo si ottiene che (SjN)out (S j N) banda-base

La conclusione è che il sistema SSB è esattamente equivalente a un sistema in banda base sia per quanto riguarda le prestazioni in termini di rapporto segnale-rumore, sia per la banda occupata (cioè, BT = B). Inoltre, le (7-98) e (7-105) mostrano che la DSB, la SSB e la segnalazione in banda base sono tutte equivalenti per quanto riguarda il rapporto segnale-rumore di uscita.

Sistemi PM La Figura 7-21 indica che un segnale PM (Phase Modulation) può essere demodulato utilizzando un rivelatore (coerente) di fase; nel Capitolo 4 abbiamo anche dimostrato che si può realizzare un rivelatore di fase quando /3pè piccolo mediante un limitatore seguito da un rivelatore moltiplicativo. Il segnale PM ha inviluppo complesso gs(t)

= Acej8,(t)

(7-106a)

dove (7-106b)

Pertanto, l'inviluppo del segnale all'ingresso del rivelatore, somma del segnale utile e del rumore, è gT(t) = IgT(t)lej8r(t) = [gs(t) + gn(t») = Acej8,(t) + Rn(t)ej8.(t)

(7-107)

7-8

Rapporto segnale-rumore ro(t)

Segnale modulato d'angolo di ingresso più rumore

\

di uscita nei sistemi analogici

511

=/ gr (t), per PM

d/gr(t) ro(t) = -,perFM

Filtroa IF di banda

= BT

\

Rivelatore (PM o FM)

\ -

\"

Filtro passa-basso di banda = B

m(t)

Figura 7-21 Ricevitore per segnali modulati d'angolo.

dove, se la componente di rumore all'ingresso è Gaussiana, Rn(t) ha distribuzione di Rayleigh e 8n(t) ha distribuzione uniforme, come si dimostra nell'Esempio 6-10. L'uscita del rivelatore di fase è proporzionale a £ìr(t): ro(t)

= K IgT(t)

= K£ìr(t)

dove K è il guadagno del rivelatore. Se (SIN)in, è sufficientemente elevato, possiamo usare il diagramma fasoriale della Figura 7-22 per approssimare l'argomento di gT(t). Se Ac ;?>Rn(t), allora si ha

= K {8s(t)

ro(t) = K£ìr(t)

+ R~~) sin[Bn(t)

-

Bs(t)]}

(7-108)

Nel caso di assenza di modulazione, quindi, allorché all'ingresso del rivelatore è presente solo la portante non modulata, la (7-108) si riduce a K ro(t)

dove, in base alla (6-127a) Yn(t)

=

Ac Yn(t),

= Rn(t)

8.(t) = O

(7-109)

sin 8n(t). Si può quindi concludere che la pre-

senzadellaportantenon modulata(all'ingressodel ricevitorePM)ha sull'uscitaun effetto di silenziamento,purchéla potenzadel segnaledi ingressosia superiorea un opportuno livello,detto valoredi soglia (cioèquando (SIN)in ;?>1).Se il segnaleè modulato,e per

t

Asse immaginario

Asse reale Figura 7-22

Diagramma vettoriale di un segnale modulato d'angolo, (SIN);n ;s:. 1.

'Il!'

512

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione (S/N)in ;p l, il tennine Rn(t) sin [Bn(t)

-

Bs(t)] può essere sostituito con Rn(t) sin Bn(t).

Infatti, per t fissato il valore, 8s(t) è una quantità nota (cioè determinata), quindi 8n(t) - 8s(t) ha la stessa distribuzione unifonne su di un intervallo di ampiezza 27Tche è caratteristica di Bn(t). Pertanto, per elevati (S/N)in;P l, l'uscita del rivelatore PM risulta approssimativamente ro(t) = so(t) + no(t)

(7-110)

dove so(t)

= K8s(t) = KDpm(t)

(7-1 11a)

K no(t)

(7-1l1b)

= Ac Yn(t)

Supponendo per semplicità che la DSP del rumore all'ingresso del filtro IF sia pari a no(t) sulla banda del filtro e nulla esternamente, otteniamo facilmente dalla (6-133) la DSP del processo di rumore K2 ~no(f)

=

A~ No, se 111 ::5 BT/2 altrimenti

(7-112)

! O,

Questa relazione è illustrata in Figura 7-23a, dove la parte dello spettro di rumore che si ritrova all'uscita del filtro passa-basso è rappresentata in grigio. L'uscita del ricevitore è in pratica una versione filtrata di ro(t), e poiché il segnale so(t) ha banda non superiore a quella del filtro, si ottiene

m(t) = so(t) + iio(t)

(7-113)

dove iio(t) è il processo di rumore avente la DSP ombreggiata nella Figura 7-23a, e avente potenza media (7-114)

Il

a A questo punto, possiamo calcolare il rapporto segnale-rumore di uscita attraverso le (7-11la) e (7-114):

S2 o

A2D2mz c p

~=

(S) N QUi =

2NoB

Ricordiamo ora che, dalle (5-46) e (5-47), la costante del modulatore PM è D

p

=

f3p Vp

dove f3p è l'indice di modulazione e Vp è il valore di picco del segnale modulante m(t). In conclusione, il rapporto segnale-rumore di uscita è A;f3~(m/Vp)2 2NoB I I

(7-115)

7-8

Rapporto segnale-rumore

di uscita nei sistemi analogici

-B

B

!-

-B

B

!-

513

(a) Rivelatore PM

-BT T (b) Rivelatore FM

Figura 7-23 Densità spettrale di potenza del rumore in uscita a un ricevitore per segnali modulati d'angolo.

Invece, il rapporto segnale-rumore di ingresso è S

A2/2

( N ) in = 2(N:/2)BT

A2

=

2NocBT

(7-116)

dove BT è la banda occupata dal segnale PM trasmesso. Tale banda, che è uguale alla banda del filtro a IF, è data dalla formula di Carson (5-61). BT

= 2({3p +

l)B

(7-117)

514

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

dove f3pè l'indice di modulazione PM [che è anche uguale al valore di picco della deviazione di fase, come indicato alla (5-47)]. Riscriviamo allora la (7-117) come

~

( Nm) .

=

(7-118)

A;

Da quest'ultima equazione e dalla (7-115), il rapporto tra lo SIN di uscita e quello di ingresso risulta dunque !!!... (S/ N)ou, = 2f3~(f3p + l) ( Vp ) (S/N)in

2

(7-119)

Infine, esprimiamo il rapporto SIN di uscita in funzione di quello relativo al sistema in banda base sostituendo la (7-84) nella (7-115), dove Ps = A;/2:

-

(S/N)ou, = f32 !!!...

(S/ N)banda-base

p ( Vp )

2 (7-120)

Notiamo dalla (7-120) che il miglioramento delle prestazioni di un sistema PM conseguibile rispetto a uno in banda base dipende dal valore della deviazione di fase utilizzato, e quindi dal valore di f3p. All'aumentare dell'indice di modulazione possono però subentrare vari problemi. Uno di questi è rappresentato dal fatto che, se la deviazione di fase eccede 7Tradianti è necessario un circuito di "dipanamento della fase" (phase-unwrapping) per avere in uscita l'effettivo valore di fase, e non il valore ridotto all'intervallo (-7T,7T).Limitare la deviazione di fase al valore 7Tsignifica imporre che Dp m(t) = !3p, m(t)/Vp < 7T.Il lettore può verificare che con modulazione sinusoidale questo vincolo limita il miglioramento del rapporto SIN a 6.9 dB. Ricordiamo per concludere che l'espressione di (SIN)oul ha significato solo se la potenza di ingresso è superiore al valore di soglia [cioè quando (SIN)in > l]. Infatti, all'aumentare di !3pcontemporaneamente cresce anche la banda occupata e con essa la banda del filtro di ingresso, pertanto diminuisce il rapporto (SIN)in, facendo avvicinare il funzionamento del ricevitore al punto di soglia.

Sistemi FM La procedura che utilizzeremo per ricavare il rapporto SIN in uscita di un ricevitore FM è la stessa di quella impiegata per il sistema PM. L'unica differenza è che l'uscita di un rivelatore FM è proporzionale a dOr(t)ldt, mentre per quello PM l'uscita è proporzionale a Or(t). Il rivelatore della Figura 7-21 è ora un rivelatore FM. L'inviluppo del segnale FM è dato da (7-121a) dove 8s(t) = DJ

r

-= m(A)

dA

(7-121h)

7-8

Rapporto segnale-rumore

di uscita nei sistemi analogici

515

e l'uscita del rivelatore FM è proporzionale alla derivata dell'argomento del segnale d'ingresso:

d li!J!) = ~ d8r(t) ro(t) = ~ dt ( 27T) dt ( 27T)

(7-122)

dove K è il guadagno del rivelatore FM. Usando la stessa procedura che ci ha permesso di ricavare le (7-108), (7-110) e (7-111), l'uscita del rivelatore si può approssimare con

= so(t)

ro(t)

+ no(t)

(7-123)

dove, per la FM, dOs(t) = KDI m(t) so(t) = ~ ( 27T ) ( 27T) dt

(7-124a)

e no(t)

=

~ ( 27TAc)

dYn(t) dt

(7-124b)

Questo risultato vale solo se la potenza del segnale d'ingresso è al di sopra del valore di soglia [cioè quando (S/N)in ~ l]. A differenza del ricevitore PM, il termine derivante dal rumore di canale nella (7-124b) compare derivato temporalmente, quindi la DSP del disturbo all'uscita del ricevitore FM è

cioè

(~YNof2,

C;;no(f) =

( O,

se Ifl < BTi2 altrimenti

(7-125)

e assume una forma parabolica, come illustrato nella Figura 7-23b. L'uscita del ricevitore è in pratica la versione filtrata passa-basso di ro(t). In particolare, la potenza di rumore è

=

f

2

B

-B C;;no(f)df="3

K

2

( Ac ) NoB3

(7-126)

per cui il rapporto segnale-rumore in uscita si calcola utilizzando le (7-124a) e (7-126)

~ ( N ) QuI Dalle (5-44) e (5-48) si ha che

=

~ [iioF

=

3A;[DI/(27TB)]2f1i2 2NoB

516

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

dove Vp è il valore di picco del segnale modulante m(t). Allora, il rapporto segnale-rumore in uscita diventa !..-

= 3A;,81(mIVp)2

( N ) ou!

(7-127)

2NoB

Invece, il rapporto segnale-rumore in ingresso è

(~t =

. --

(7-128)

. _A;

Mediante le (7-127) e (7-128), si ottiene il rapporto tra lo SIN di uscita e quello di ingresso: (SIN)ou! = 6,8}(,8f + 1) (SIN);n

.!!!.-

( Vp )

2

(7-129)

dove ,8f è l'indice di modulazione di frequenza e Vp è il valore di picco del segnale modulante m(t). Possiamo ora esprimere il rapporto segnale-rumore in uscita in funzione del rapporto segnale-rumore equivalente in banda base sostituendo la (7-84) nella (7-127), e tenendo conto che Ps = A;/2, m 2 (SIN)ou! - 3,8Z (SIN)banda-base f ( Vp ) I I I

I .

i Il I~

I

(7-130)

Per un segnale modulante sinusoidale, (mIVp)2 = ~, e la (7-130) diventa

~

(SI(SIN)ou! Nhanda-base= 2 ,8}

(modulazione sinusoidale)

(7-131)

Da questo risultato sembrerebbe che le prestazioni di un sistema FM possano essere migliorate senza alcun limite semplicemente aumentando l'indice di modulazione ,8[. Bisogna però tener conto che all'aumentare di ,8[ la banda del segnale trasmesso aumenta e conseguentemente (SIN)in diminuisce. D'altronde, l'espressione di (SIN)oul che abbiamo appena ricavato vale solo nell'ipotesi (SIN)in ;.:. 1 ipotesi che viene sicuramente a cadere quando la banda del segnale modulato è così grande che la potenza di rumore a IF No, BT sovrasta quella di segnale. Pertanto, (SIN)ou! non aumenta indefinitamente con,8[ come ci si potrebbe aspettare; anzi, per valori di ,8[grandi, si assiste a un progressivo aumento del valore di soglia al di sopra del quale vale la (7-131), come si nota chiaramente in Figura 7-24, nella quale questa relazione è rappresentata dalla linea tratteggiata. Dopo l'analisi pioneristica dell'effetto di soglia [Rice, 1948; Stumpers, 1948], Taub e Schilling [1986] hanno indicato come generalizzare la (7-131) per descrivere l' andamento di (SIN)ou! nei pressi del valore di soglia. Nel caso di segnale modulante sinusoidale, si dimostra che (7-132)

Il

I

7-8

Rapporto segnale-rumore

di uscita nei sistemi analogici

517

60

50

40

.." s

o

~'f -

30

~ \

l

.. .."

20 .."

...."

...."

....." .. .. . ..."

.."

"

.."

.."

.." ..........

....

Bandabase

",,'I/;""'" .".,"","; .,,' .,' .. .. ..

lO

.." OL..""" O

.."

.."

5

.."

.."

.."

lO

15

20

25

30

35

(S /N)banda-base(dB)

Figura '-24 Prestazioni di un discriminatore FM con modulazione FM in presenza di rumore Gaussiano (senza filtro di deenfasi).

nell'ipotesi di non usare alcun sistema di deenfasi. Le curve a linea continua in Figura 7-24 sono propriotracciatesulla base di questarelazione,che indicachiaramentequando e quanto le prestazioni di un sistema FM possano essere migliori di quelle di un sistema in banda base. Per esempio, per f3f = 5 e (S/N)banda-base = 25 dB, le prestazioni in termini di S/Nout del sistema FM sono 15.7 dB migliori di quelle di un sistema in banda base. Queste prestazioni possono esser ulteriormente migliorate utilizzando la tecnica di preeenfasi/deenfasi, come verrà illustrato nei prossimi paragrafi. Sistemi

FM con riduzione

della soglia

Si possono usare tecniche diverse rispetto a quella che prevede un rivelatore (discriminatore) di frequenza analizzata nel paragrafo precedente, con lo scopo di diminuire il valore della soglia, ad esempio un demodulatore con PLL. D'altra parte, quando il rapporto segnale-rumore di ingresso è elevato, tutte le tecniche di demodulazione FM forniscono approssimativamente le stesse prestazioni, indicate dalle (7-129) o (7-130). La Figura 7-25 illustra una possibile tecnica di "riduzione della soglia" realizzata mediante un ricevitoreFM con reazione (FMFB, Frequency Modulation Feed Back). Il ricevito-

518

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

Segnale FM di ingresso vin(t)

e(t)

e(t)

Filtro IF

Discriminatore FM

Uscita demodulata m(l)

vco Figura 7-25 Ricevitore FMFB.

re FMFB riduce la soglia diminuendo in pratica l'indice di modulazione del segnale FM applicato all'ingresso del discriminatore: l'indice di modulazione del segnale e(t) è più piccolo di quello del segnale Vin(t), quindi la soglia è inferiore a quella indicata nella Figura 7-24. Il calcolo esatto del grado di riduzione della soglia introdotto dal ricevitore FMFB è abbastanza complicato [Taub e Schilling, 1986]. Dimostriamo però che la tecnica FMFB effettivamente riduce l'indice di modulazione del segnale FM all'ingresso del discriminatore. Il segnale all'ingresso del ricevitore FM nella Figura 7-25 è

=

Vin(t)

Ae cos[wet + 8i(t)]

dove

8i(t)

= DJ

r

--00 m(À) dÀ

L'uscita del VCO è

Vo(t) = Ao cos[Wot + 80(t)] con

80(t)

= Dv

r

--00

m(À) dÀ

Pertanto, l'uscita del moltiplicatore (mixer) è e(t)

=

AeAo cos[wet + 8i(t)] cos[Wot + 80(t)]

=

! AeAo

cos[(we - Wo)t + 8i(t) - 80(t)]

+!AeAo cos[(we + Wo)t + 8i(t) + 80(t)] Naturalmente il filtro IF è progettato in modo da far passare soltanto le componenti centrate attorno alla frequenzafir ~ le - lo, quindi il suo segnale d'uscita è

-

AeAo

e(t) = - 2

cos [ Wift + 8i(t) - 80(t)]

(7-133a)

ovvero (7-133b) ,I

,

7-8

Rapporto segnale-rumore

519

di uscita nei sistemi analogici

L'uscita del discriminatore FM è proporzionale alla derivata della deviazione di fase: d m(t)

=~ 21T

{f

-00

}

[DJ m(A) - Dvm(A)] dA dt

Calcolando la derivata e ricavando quindi m(t), si trova m(t) =

(

KDJ

21T+ KDv

)

m(t)

Sostituendo questa espressione nella (7-133), si ha infine DJ l m(A) dA è(t) = AcAo COS UJift + ] 2 ( 1 + K 21T Dv ) -00 [

(~)

I

(7-134)

Si vede chiaramente che l'indice di modulazione del segnale è(t) è ridotto rispetto a quello del segnale ricevuto Vin(t) di un fattore l + (K/2-rr)Dv.La riduzione della soglia che si raggiunge con questa tecnica, rispetto a un discriminatore FM convenzionale, è di circa 5 dB, mentre con un ricevitore a PLL è dell'ordine di 3 dB. Nonostante il miglioramento non sia eccezionale, è sicuramente significativo per tutti quei sistemi il cui punto di lavoro è vicino alla soglia, come sono stati ad esempio i primi sistemi analogici di comunicazione via satellite.

Sistemi FM con deenfasi Le prestazioni di un ricevitore FM possono essere migliorate entatìzzando al trasmettitore le componenti ad alta frequenza del segnale modulante e contemporaneamente riducendole (de-enfatìzzando) in ricezione. Il miglioramento si giustifica facilmente se si tiene conto che la DSP del rumore all'uscita del rivelatore FM è parabolica, come illustrato in Figura 7-23b. Infatti, la deenfasi in ricezione ripristina il corretto valore delle componenti ad alta frequenza nello spettro del segnale utile, ma contemporaneamente abbatte notevolmente le componenti di rumore che alle stesse frequenze sono particolarmente rilevanti. La Figura 7-21 indica che l'operazione di deenfasi al ricevitore è effettuata utilizzando un filtro passa-basso all'uscita del discriminatore; la risposta in frequenza di tale filtro è l H(f)

= 1 + j(f/ft)

(7-135)

sulla banda poi a B Hz del segnale modulante. P~r la radiodiffusione FM commerciale si usa un filtro di deenfasi con costante di tempo 50 !-tS(75 J.LSnegli Stati Uniti), in modo chetI = 1/[ (21T)(75 X 10-6)] = 2.1 kHz. Utilizzando al (7-125), la potenza di rumore all'uscita del ricevitore con deenfasi è

per cui (7-136)

520

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

Nelle tipiche applicazioni, B/ il ~ l, quindi tan -l (B / id "" 7r/2 è trascurabile rispetto a B / il. La (7-136)alloravale approssimativamente

c- , ,,~

=2

(7-137)

(~r Noi~B

La potenza di segnale all'uscita del ricevitore invece è la stessa che si ha senza preeenfasi/deenfasi, in quanto all'uscita del ricevitore si ottiene comunque il segnale modulante m( t).l0 Il rapporto segnale-rumore di uscita, tenendo conto delle (7-137) e (7-l 24a), risulta

~

=

( N ) oul

~ = AnDf/(27ril)]2fn2 n6

2NoB

Poiché poi, Df/(27rB) = /3f/Vp, lo S/NouIsi riduce a

~

= A;{3?(Bjil)2 (mjVp)2

(7-138)

( N ) oul Utilizzando la (7-128), si ha (Sj N)ouI = 2 /3} (/3r+-l) (SjN)in

~

2

2

!!!...

( il ) ( Vp)

(7-139)

dove /3fè l'indice di modulazione, B è la banda base.!. è la banda a -3 dB del filtro di deenfasi, Vp è l'ampiezza di picco del segnale modulante m(t), e (m/Vp)2 è il quadrato del valore efficace di m(t)/Vp. Possiamo infine esprimere il rapporto segnale-rumore di uscita del rapporto segnale-rumore equivalente in banda base sostituendo la (7-84) nella (7-138): (SjN)oul

= /32

(SjN)banda-base

f

~ ( il )

2

2

!!!...

( Vp )

(7-140)

Se come segnale modulante si considera un tono di prova sinusoidale, (m/Vp)2 =

(7-140)diventa (SjN)oUI

-

I 2

(SjN)bande-base - 'i/3f

B

! e la

2

(y;) (modulazione sinusoidale)

(7-141)

Naturalmente, tutti questi risultati ottenuti valgono solo se il segnale FM d'ingresso ha potenza superiore al valore di soglia.

lOPer paragonare "lealmente" i sistemi FM con o senza preenfasi, è necessario che la deviazione di picco M' sia la stessa per entrambi i sistemi. Si può però affermare che per un programma audio tipico, la preenfasi non incrementa apprezzabilmente M' dato che il contenuto significativo di m(/), è concentrato alle basse frequenze, e quindi l'analisi qui svolta risulta attendibile. Invece, se m(t) ha spettro piatto, il guadagno del filtro di preenfasi deve essere ridotto in modo da ottenere uguale deviazione di picco con e senza preenfasi. In quest'ultimo caso il miglioramento di prestazioni conseguente all'uso del sistema della preenfasi è ridotto.

l

7-9

Confronto delle prestazioni dei sistemi di trasmissione analogici

521

È interessante valutare le prestazioni della preenfasi per i sistemi FM commerciali. Come abbiamo indicato in Tabella 5-4, per la radiodiffusione FM standard f3f = 5,B = 15 kHz, eh = 2.1 kHz. Nell'Esercizio EA7-4 vedremo che con questi parametri si ha un miglioramento nel rapporto segnale-rumore di uscita pari a 10.2 dB.

7-9 CONFRONTO DELLE PRESTAZIONI DEI SISTEMI DI TRASMISSIONE ANALOGICI La Tabella 7-2 riassume le prestazioni di tutti i sistemi analizzati nei precedenti paragrafi. Si nota che le modulazioni d'angolo (non lineari) permettono un significativo miglioramento delle prestazioni purché la potenza del segnale d'ingresso porti il demodulatore a lavorare sopra soglia. D'altra parte, questo miglioramento è ottenuto in generale al costo di una maggiore occupazione di banda. Se il rapporto segnale-rumore d'ingresso è basso, i sistemi lineari sono in generale migliori di quelli non lineari. La minima occupazione di banda è naturalmente garantita dalla modulazione SSB. Dunque l'adozione di un particolare sistema è dettata da varie esigenze, come la banda disponibile e lo SIN disponibile all'ingresso del ricevitore. Le prestazioni dei sistemi analogicifm qui considerati sono ulteriormenteriassuntenella Figura 7-26, ove si è preso Vp = I e mz = !. Per i sistemi non lineari si è scelto un fattore di espansione dibanda pari a BT IB = 12 corrispondente al valore f3r = 5 tipico dei sistemi FM commerciali. Eccettuato il sistema AM in cui parte della potenza trasmessa è "sprecata" per la portante, tutte le modulazioni lineari, in particolare la SSB e la DSB, hanno le stesse prestazioni del sistema in banda base. A parità di potenza di picco del segnale modulato, la SSB presenta un (SIN)out migliore di 3 dB rispetto al DSB e addirittura 9 dB rispetto alla AM con modulazione al 100%, come dimostreremo nell'Esercizio 7-34. Tutte le modulazioni non lineari, beninteso con demodulatore sopra soglia, hanno naturalmente prestazioni migliori delle lineari, ma richiedono anche una banda di trasmissione più ampia.

Prestazioni

del sistema ideale

Quali sono le migliori prestazioni teoricamente raggiungibili? E ancora, perché aumentando la banda di trasmissione si possono ottenere migliori prestazioni? La risposta a queste domande si può trovare nel teorema di Shannon sulla capacità di canale. Con un certo grado di arbitrarietà, che non staremo qui a discutere, definiamo come sistema ideale quello per il quale non si ha nessuna perdita di capacità nel processo di rivelazione: (7-142) dove Cin è la capacità del canale (passa-banda) e Coutè la capacità dopo rivelazione (passa-basso). Approssimando il disturbo in banda base in uscita al rivelatore come Gaussiano bianco e usando la formula della capacità di canale (l-IO) nella (7-142) si ha (7-143)

VI N N TABELLA 7-2

CONFRONTO FRA VARIE TECNICHE DI SEGNALAZIONE ANALOGICA

a

() PJ 11. ..... o O' "I I

(SIN )OUI Tipo di segnalazione

Linearità

(SIN)banda.base

Banda richiesta b

Banda base

L

B

AM

U

2B

DSB-SC SSB

L L

2B B

PM

NL

2(f3p + I)B

Commenti

l

(7-84)

Senza modulazione

1+

(7-90)

Valida per ogni (SIN)in con rivelazione coerente; valida al di sopra della soglia necessaria per la rivelazione d'inviluppo e per Im(t)1 s: l Necessaria la rivelazione coerente Necessaria la rivelazione coerente

(7-98) (7-105) 2

(7-120)

Necessaria la rivelazione coerente; prestazioni identiche al sistema in banda base

(7-130)

Necessaria la rivelazione coerente; valida per (S/N)inal di sopra della soglia

(7-140)

Valida per (SI N)in al sopra della soglia

!!!...

132 P ( Vp )

~ ~ ro ~ PJ

2

FM

NL

2(f3[ + I)B

3 132 !!!...

FM con deenfasi

NL

2(131+ I)B

f3J(~r (~r

PCM

NL

a 8, banda

quantizzatore frequenza,

assoluta

del segnale

modulante;

1 ( Vp )

d M2

tI> banda

a 3 dB del segnale

(7-82)

I (SI N)banda-base

con deenfasi;

L, lineare;

m

=

m(t)

Valida per (SIN)in al di sopra della soglia (cioè, Pe ~ O) è il segnale

modulante;

con n numero di bit per ciascuna parola PCM; NL, non lineare; Vp, valore di picco di m(t); /3p, indice di modulazione

b Le specifiche di banda assegnate da ITU sono tipicamente più ampie di questi valori minimi [Jordan, 1985]. c In senso stretto, la segnalazione

AM non è lineare per la presenza della portante.

d La banda dipende dal tipo di sistema digitale (ad esempio, OOK e FSK),

M = 2", è il numero

di livelli

di fase; /31, indice di modulazione

del

di

O(E. e: '" eg '" Ero 'ij il! '" S' N o' ~, O(E. [!l. '" ..... ro 2. e: I"') O S § :=;. PJ N o' ~ Il)

7-9

523

Confronto delle prestazioni dei sistemi di trasmissione analogici

70

FM con deenfasi (3{= 5, (BT/B) = 12

60 Ideale (BT/B)= 12 50

40

PCM con segnalazione

30

Banda base

(BT/B)

BPSK

= 12

20 AM (rivelazione di inviluppo)

lO

o

O

lO

5

20

15

25

30

35

(S /N)banda-base(dB)

Figura 7-26

Confronto tra le prestazioni dei sistemi analogici in presenza di rumore.

dove BT è la banda del segnale passa-banda all'ingresso del ricevitore e B è la banda del segnale in banda base all'uscita del ricevitore. Ricavando (S/N)ouIda questa relazione, si ottiene

S

-

S

( N ) OUI

= l+ [

( N ) in ]

BrlB

-l

(7-144)

Inoltre, utilizzando la (7-84), si può scrivere (7-145) e la (7-144) diventa S

-

( N ) oul

=

BrlB B S l + -l ( BT ) ( N ) banda-base] [

(7-146)

524

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

che è proprio la curva con la dicitura "ideale" della Figura 7-26. Questa curva, per la quale abbiamo fissato Br!B = 12 (FM commerciale), rappresenta una sorta di limite invalicabile che non è neanche uguagliato da alcuno dei sistemi studiati. Le modulazione non lineari funzionanti vicino alla soglia (come PM e FM) approssimano abbastanza bene le prestazioni del sistema ideale. Come esercizio, il lettore può calcolare il valore-limite di (S/N)out che si raggiunge ipotizzando di far crescere illimitatamente la banda di trasmissione (risposta: exp{ (S/N)banda-base}-l).

7-10 RIEPILOGO Lo studio delle prestazioni dei sistemi di comunicazione digitali e analogici, riassunto rispettivamente nei Paragrafi 7-6 e 7-9, ha evidenziato il fatto che purtroppo non esiste un sistema ottimo che può essere adottato universalmente. La soluzione migliore dipende da vari fattori come la banda disponibile, le prestazioni richieste in termini di rapporto segnale-rumore (o BER) di uscita, e in generale dallo stato della tecnologia che può favorire in alcuni casi un sistema piuttosto che un altro. Occorre inoltre tenere presente che le prestazioni dei sistemi considerati sono state valutate per un disturbo di tipo Gaussiano bianco additivo. Per disturbi con altre distribuzioni, o per rumore moltiplicativo, i risultati sono in generale diversi.

7-11 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO EA7-1 BER di un ricevitore con filtro passa-basso ideale Analizzare il caso di segnale unipolare con disturbo Gaussiano bianco in ingresso a un ricevitore con filtro bassa basso, tenendo presenti il Paragrafo 7-2 e le Figure 7-4 (a) e (b). Nelle ipotesi che hanno condotto alla (7-24a), la BER del ricevitore che utilizza al posto del filtro adattato un filtro passa-basso è data approssimativamente da Pe

=Q

, dove A è il valore di picco del A2 ) ( ~ 4NoB segnale di ingresso, No/2 è la DSP del rumore, e B è la banda del filtro passa-basso. L'ipo-

tesi fattaper ottenerequestorisultatoè che il campionedi segnale,SOl(to), corrispondenteal simbolo binario l, sia approssimativamente pari ad A, e che l'interferenza intersimbolica (ISI) sia trascurabile. Se il ricevitore utilizza un filtro ideale (rettangolare) con H(f)

dimostrareche l'approssimazioneSOI(tO)

(7-147)

= TI(~)

= A è validase B 2: 2/T.

Soluzione I grafici della Figura 7-27 illustrano la soluzione ricavata con MATLAB. In particolare,la Figura 7-27a mostra l'impulso dati non filtrato di ampiezza A = l e durata T = l, mentre le Figure 7-27b, 7-27c, 7-27d sono relative all'impulso filtrato utilizzando una banda pari rispettivamente a B = l/T, B = 2/T, e B = 3/T. Per B 2: 2/T, campionandoil segnale a metà dell'intervallo di segnalazione si ottiene un campione pari con ottima approssimazione a A, con A = l. Inoltre, sempre per B 2: 2/T, è trascurabile. In corrispon-

=

SOl(to)

stituendo nella formula della BER il valore

1.2A ottenuto per B

SOl(to)

=

1.2.

l

=

denza di B = l/T, come indica la Figura 7-27b, si ha invece

1.2A. So-

= l/T,

sembrerebbedi poterottenereunaprobabilitàdi erroresul bit inferiorea quellaottenibilecon

7-11

Esercizi di approfondimento

525

1.5

0.5

O O

5

-

(a) Impulso non filtrato con ampiezza A

=

2

3

4 I(S)

6

7

8

9

lO

l e durata dell'impulso T = l

1.5

-

~

~

0.5

O

-0.5 O

9

(b) Impulso filtrato con banda equivalente B

Figura 7-27

=

l/T

=

lO

l Hz

Soluzione dell'Esercizio EA7-1: effetto di un filtro passa-basso rettangolare (ideale).

( 526

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione 1.5

~ ....

~

0.5

r

o

-0.5 O

2

8

9

lO

(c) Impulso filtrato con banda equivalente B = 2/T = 2 Hz 1.5

~ ....

~

0.5

( O

-0.5 O

2

3

5

4 t(s)

-

6

7

8

(d) Impulso filtrato con banda equivalente B = 3/T = 3 Hz

Figura 7-27

(seguito).

9

lO

!

7-11

Esercizi di approfondimento

527

il filtro adattato. Quest'affennazione è naturalmente falsa, perché quando B = l/T, la seconda ipotesi di validità della fonnula, e cioè che nSI sia trascurabile, non è verificata. EA7-2 BER di un ricevitore con filtro passa-basso RC Riconsiderare l'Esempio EA7l utilizzando come filtro passa-basso il filtro RC con risposta in frequenza l H(f)

dove B3dB

=

filtro RC è B

=

I+J

(7-148)

. f ( B3dB )

1/(27TRC). Notare che, in base alla (6-104), la banda equivalente di rumore del

= (7T/2) B3dB.

Soluzione

La soluzione ricavata con MATLAB è illustrata nei grafici di Figura 7-28. In = l e durata T = l, mentre le Figure 7-28b, 7-28c, 7-28d sono relative all'impulso filtrato utilizzando una banda pari rispettivamente a B = l/T, B = 2/T, e B = 3/T, perB = l/T, SOI(tO) = l = A solo se l'istante di campionamento, to, è scelto alla fine dell'impulso dove esso è massimo. Questo però richiede un sincronizzatore di bit molto accurato, e inoltre l'impulso crea forte ISI. Se invece B 2: 2/T si ha SOI(tO)= l = A, la scelta dell'istante di campionamento non è eccessivamente critica (in quanto l'impulso filtrato è piatto su una porzione significativa della durata dell'impulso), e l'ISI è trascurabile (si veda l'Esercizio 7-9d). Di conseguenza, la (7-24a) fornisce una buona approssimazione se B 2: 2/T. particolare, la Figura 7-28a mostra l'impulso non filtrato di ampiezza A

EA7-3 Confronto tra le BER dei ricevitori con filtro passa-basso RC e filtro adattato Si confrontino ora le prestazioni di un ricevitore che utilizza un filtro passa-basso RC con quelle del ricevitore a filtro adattato (MF, Matched Filter). Con riferimento alla Figura 7-4a, il segnale all'ingresso del ricevitore è la somma di un segnale dati unipolare con cadenza di bit pari a R = 9600 bitfs e valore di picco A = S, e di un processo di rumore Gaussiano bianco con DSP <11'n(f) = 3 X 10-5.

(a) Valutiamo il rapporto segnale-rumore all'uscita del filtro di ricezione per il ricevitore con filtro RC avente banda equivalente di rumore B = 2/T = 2R, e calcolarepoi la BER di tale ricevitore; (b) Ripetere (a) nel caso B = l/T = R; (c) Ripetere (a), ma con il filtro adattato; (d) Confrontare le BER dei due ricevitori. Soluzione L'energia media per bit relativa al segnale all'ingresso del ricevitore è = (A2/2)T = A2/(2R). <11'n(f)= No/2 = 3 X 10-5 la DSP di rumore è No = 6 X 10-5, quindi

Eb

(a) Per il ricevitore con un filtro RC avente B ta è Pn

=

= 2/T

(No/2) (2B); il rapporto segnale-rumore

~ ( N )dB

= 2R, la potenza di rumore in uscidi uscita è quindi

Ps

~

= lO IOg = lO 10g ( Pn ) ( 2NoB )

che, per B = 2/T = 2R, vale

~ ( N ) dB

= lO 10g ~ 4NoR

( )=

10.4 dB

(7-lS0)

.

. 528

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione 1.5

0.5

O O

2

3

4

5 1(5)

-

(a) Impulso non filtrato con ampiezza A

6

=

7

8

1 e durata T

9

lO

=l

1.5

-

~

S

~

0.5

O

-0.5

5

O

1(5)

-

(b) Impulso filtrato con banda equivalente B

Figura 7-28

lO

= l/T

= l Hz

Soluzione dell'Esercizio EA7-2: effetti del filtraggio passa-basso Re.

(

7-11

Esercizi di approfondimento

1.5

O

"'{}.5

o

2

3

5

4

1(5)

-

6

7

8

9

lO

9

lO

(c) Impulso filtrato con banda equivalente B = 2/T = 2 Hz 1.5

-

~

~

0.5

O

"'{}.5 O

2

3

4

5 1(5)

-

6

(d) Impulso filtrato con banda equivalente B

Figura 7-28

(seguito).

7

8

= 3/T = 3 Hz

529

530

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione La BER del ricevitore con filtro RC si ottiene sostituendo nella (7-24a) SOI(tO)"'"A e B = 2/T = 2R.

(.rA2 ) - Q(~

p = Q e

YSiVoR -

(5)2 (9600) 8( 6 X 10-5)

) = 99.

X 10-3

(b) Per il ricevitore con filtro RC, ma con banda B = l/T = R, otteniamo:

~

!... ( N ) dB e, ancora dalla (7-24a) con B

= 13.4dB = lO IOg ( 2NoR )

= l/T = R.

= 49 p = Q . r-A2 - Q ) - (~ 4(6 X 10-5) (5)2 (9600) ) ( Y4N;;R e .

X 10-4

(c) Per calcolare il rapporto segnale-rumore all'uscita del filtro adattato occorre prima di tutto valutame la banda equivalente. Per la (6-155), la risposta in frequenza del filtro adattato all'impulso rettangolare s(t) = 5IT(t/T) è H(f) dove C

= 5K/(No/2).

, sin 1TTI S"(f) e-l'ufo= CT e-l'ufo Cfl'n(f) ( 1TT! ) ,

= K-

Dalla (2-192), la banda equivalente del filtro adattato è OO

B

=

Con la sostituzione x B

f

I IH(O)12

oo -00

=

IH(f)12dl

fo (

sin1TTI

1TT! )

2 d!

= 1TT!si ha (App. A)

=~

OO

sinx

f (x

1TT o

)

2 dx

=

~

1T

( 1TT)( 2 )

=~ =~ R 2T

2

(7-151)

Usando ancora la (7-150) con B = R/2 si ottiene

~

!... = lO IOg = 16.4 dB ( N )dB ( NoR )

r

e la BER, dalla (7-24b), è

=Q

( ~ 2(6 X 10-5)(9600) (5)2 )

=

16 X 10-6

Possiamo verificare questo valore di BER sulla curva della segnalazione unipolare in Figura 7-14 in corrispondenza di (Eb/No)dB = 13.4 dB. (d) Nella soluzione dell'Esercizio EA7-2 abbiamo visto che usare un semplice filtro RC con B = 2R non comporta particolari vincoli di precisione sul sincronizzatore di bit. AI punto (a) abbiamo anche visto che questo ricevitore dà una BER pari a 9.9 X 10-3. Se si desiderano prestazioni migliori (BER inferiore), la banda del filtro deve essere ridotta a B = R, ma in questo caso è necessario un sincronizzatore di bit più preciso; così facendo si arriva a una BER pari a 4.9 X 10-4, come ricavato in (b).

,-

7-11

531

Esercizi di approfondimento

Le migliori prestazioni (BER minima pari a 1.6 X 10-6, del punto (c)) sono naturalmente fornite dal filtro adattato, che in generale è più complicato di un filtro passa-basso. Infatti il filtro adattato un filtro a integrazione e scarica (Fig. 6-17), che necessita di un circuito di sincronizzazione per il reset dell 'integratore e il comando del campionatore. Quando non ci sono particolari necessità di ottimizzazione (come nei sistemi in fibra ottica nei quali il rumore è trascurabile) può essere sufficiente pertanto un semplice filtro passa-basso con B = 21T = 2R come quello discusso al punto (a). EA7-4 Miglioramento del rapporto SIN di uscita per un sistema FM con preenfasi In un sistema FM, si utilizza la tecnica di preenfasi del segnale modulante all'ingresso del trasmettitore e la conseguente deenfasi ali'uscita del ricevitore per migliorare il rapporto segnale-rumore di uscita. Per una preenfasi a 60 J.tSla frequenza di taglio a -3 dB del filtro di deenfasi è/l = 1/(27T75f..Ls) = 2.12 kHz. La banda del segnale audio è B = 15 kHz. Trovare una formula per il fattore di miglioramento, IdB, definito come il rapporto tra gli SIN di uscita per i sistemi rispettivamente con e senza preenfasi. Calcolare poi il valore del parametro IdB per Il = 2.12 kHz e B = 15 kHz. Soluzione Facciamo riferimento alle (7-121)-(7-127) per il calcolo del rapporto SIN del sistema FM senza preenfasi, e alle (7-135)-(7-7-138) per il sistema con preenfasi. Allora,

~ I = (SIN) con (SIN)senza

preenfasi

preenfasi

=

(

~)

~ ( ~)

con preenfasi

(7-152)

senza preenfasi

Dal Paragrafo 5-6 e dalla Figura 5-15 si desume che l'utilizzo di due filtri, uno di deenfasi al ricevitore, Hd(f), e uno di preenfasi al trasmettitore, Hp(f), non ha alcun effetto sulla risposta in frequenza (e sulla potenza) del segnale di uscita so(t), in quanto Hp(f)

Hd(f)

=

l

sulla banda utile, B, con B
= (~) senza deenfasi (

~)

con

(7-153)

deenfasi

L'uso al ricevitore del filtro di deenfasi fa sì che la potenza di rumore venga ridotta rispetto al caso del ricevitore senza deenfasi, in quanto il filtro attenua le componenti alle alte frequenze, mentre il filtro di preenfasi ovviamente non ha alcun effetto sul rumore ricevuto. Utilizzando la (7-126) per (~)senzadeenfasi e la la (7-136) per (~)condeenfasj,la (7-153) diventa

ovvero

1=

(7-154)

532

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione Essendo IdB

=

lO log(I), si ha (7-155)

Per fl = 3.18 kHz e B = 15 kHz, la (7-155) fornisce I = 10.2 dB come precedentemente riportato nel testo.

ESERCIZI PROPOSTI 7-1

In un sistema di comunicazione binario la variabile di decisione del ricevitore, ro(to)

= ro,

I

consiste nella somma di un segnale polare e di rumore. La componente di segnale assume i valori SOl = +A e S02 = -A, mentre il rumore ha distribuzione Laplaciana

l f(no) = ~ e-,)2lllol/uo ,,2 0'0

7-2

dove 0'0 è il valore efficace del campione di rumore. (a) Trovare la probabilità d'errore Pe in funzione di A/O'o per il caso di segnali equiprobabili con soglia Vr ottima. (b) Disegnare Pe in funzione di A/O'o espresso in dB. Confrontare il risultato ottenuto con quello dato dalla (7-26a) relativo al canale Gaussiano. Utilizzando la (7-8), dimostrare che la soglia ottima per segnali antipodali con rumore additivo Gaussiano bianco è Vr

7-3

7-4

c?o = -In

2so1

p (S2 trasmesso) [

P(SI trasmesso)]

La varianza del rumore in uscita al filtro del ricevitore è C?O, SOlrappresenta il campione di segnale relativo al simbolo binario l, mentre P(SI trasmesso) e P(S2 trasmesso) sono le probabilità di trasmettere rispettivamente i simboli l e O. In un sistema di comunicazione digitale in banda base si utilizza un segnale polare e un ricevitore a filtro adattato. La probabilità di trasmettere il simbolo l è p, mentre quella di trasmettere il simbolo Oè 1 - p. (a) Disegnare in scala logaritmica il grafico di Pe, in funzione di p per Eb/No = lO dB. (b) Con riferimento alla (1-8), disegnare il grafico dell'entropia, H, in funzione di p. Confrontare la forma delle due curve trovate. Un sistema di comunicazione binario può essere modellato in modo molto astratto come un canale di trasmissione dell'informazione mediante lo schema di Figura EP7-4. Trovare l'espressione per le quattro probabilità di transizione P (in Im), dove sia in che m possono essere i simboli binari l o O. Per far questo, si ipotizzi che la variabile di decisione sia una funzione lineare dell'ingresso del ricevitore, e che all'ingresso del ricevitore si abbia rumore additivo Gaussiano bianco. [Suggerimento: Tenere presente la (7-15)].

,-

Esercizi proposti

Simbolo

P(m

binariol m

= 11m= 1)

~::;~~

P(iii~

P(m

in

11m= O) Simbolo} binarioO

{ Simbolo

binarioO

533

P(m = Olm= O) Figura EP7-4

7-5

Un sistema di comunicazione digitale in banda base utilizza una segnalazione unipolare con impulso rettangolare

Q

-

.EI!IDI\

7-6

[Q

7-7

7-8

e rivelazione a filtro adattato. La cadenza di bit è R

=

9600 bit/s.

(a) Trovare l'espressione della probabilità d'errore (BER) P" in funzione del rapporto segnale-rumore (S/N)out ove la potenza di rumore è misurata all'uscita del filtro adattato. [Suggerimento: Trovare l'espressione di Eb/No in funzione di (S/N)out.] (b) Disegnare il grafico di P, in funzione di (S/N)ou, nell'intervallo tra Oe 15 dB. Ripetere l'Esercizio 7-5 per il caso di segnalazione polare. Esaminare la dipendenza delle prestazioni di un sistema di comunicazione digitale in banda base dal tipo di filtro di ricezione. In particolare, la (7-26a) esprime la BER nel caso di filtro bassa basso con banda tale che il livello di segnale all'uscita del filtro è SOl= +A oppure S02= -A. Supporre invece che il ricevitore utilizzi un filtro passa-basso RC di banda a -3 dB pari a io come descritto nella (2-147), e che la durata di un impulso dati sia T = l/io = 27TRC. Fare inoltre l'ipotesi che il filtro venga "scaricato" prima dell'inizio di ogni intervallo di bit. (a) Trovare l'espressione di P, in funzione di Eb/No. (b) Disegnare in scala logaritmica la P, in funzione di Eb/ No nell'intervallo tra Oe 15 dB. (c) Confrontare questo risultato con quello relativo al ricevitore a filtro adattato di Figura 7-5. Un sistema di comunicazionedigitale in banda base utilizza una segnalazionepolare con impulso rettangolare il ricevitore di Figura 7-4a. Il filtro di ricezione è un passa-basso di Butterworth del secondo ordine con banda a -3 dB io

= Il T,

dove T è la durata dell'impulso utilizzato per tra-

smettere un bit. La risposta impulsiva e la risposta in frequenza di questo filtro sono date rispettivamente da

l H(f) dove

Wo

=

(a) Trovare l'espressione . intervallo

7-9

= Ui/io)2 + fiui/io)

+l

21T/o.

di P, in funzione di Eb/No(il filtro viene scaricato all'inizio di ogni

di bit). (b) Disegnare in scala logaritmica il grafico di P, ricavata al punto (a) considerando Eb/No nell'intervallo tra Oe 15 dB. (c) Confrontare questo risultato con quello del ricevitore a filtro adattato mostrato in Figura 7-5. Il ricevitore di un sistema di comunicazione digitale unipolare in banda base con simboli equiprobabili usa un filtro passa-basso RC con costante tempo RC = T dove T = T ove l/T rappresenta la cadenza di bit. Contrariamente alla situazione negli esercizi precedenti. Il filtro non viene scaricato all'inizio di ogni intervallo di segnalazione

534

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

(a) Valutare il caso peggiore di rapporto segnale/lSI approssimato (in dB) che si ha all'uscita del filtro RC agli istanti di campionamento t = (o = nT, con n intero. (b) Valutare il rapporto segnale/lSI in dB come sopra in funzione del parametro K, essendo ( = (o = (n + K)T con O < K :5 l. (c) Qual è l'istante di campionamento ottimo che rende massimo il rapporto segnale/lSI all'uscita del filtro RC? (d) Ripetere (a) con un filtro RC di banda di rumore 2/T. 7-10 Un sistema di comunicazione digitale in banda base polare con simboli equiprobabili lavora in condizioni di rumore di canale del tutto trascurabile. 11ricevitore utilizza un filtro passabasso RC con costante tempo T = RC, e senzascaricaall'iniziodi ogniintervallobit. Valutare il caso peggiore di rapporto segnale/lSI approssimato (in dB) che si ha all'uscita del filtro RC agli istanti di campionamento ( = (o = nT, con n intero (il risultatoè significativosolo per T/T > ~). Disegnare la curva ottenuta in funzione di T/T per ~:5 T/T :5 5. 7-11 Considerare il sistema in banda base unipolare descritto nell'Esercizio 7-9d, incluso anche il rumore additivo Gaussiano bianco di canale. (a) Trovare l'espressione di Pe in funzione di Eb/No nel caso che l'istante di campionamento sia s ( = (o = nT. (b) Confrontare la BER ottenuta al punto (a) con quella ottenuta utilizzando il filtro adattato. Disegnare entrambe le curve di BER in funzione del rapporto (Eb/No)dBnell'intervallo tra O e 15 dB. 7-12 7-13

I

Ripetere l'Esercizio 7-11 nel caso di segnalazione in banda base polare. Per una segnalazione bipolare, dal ragionamento che conduce alla (7-28) si trova che la soglia A 2 ottima del ricevitore è Vr = - + Uo In 2. 2 A (a) Dimostrare che questo valore dà effettivamente la soglia ottima. (b) Dimostrare che A/2 approssima la soglia ottima quando Pe < 10-3. 7-14 Per una segnalazione unipolare, come quella descritta dalla (7-23), (a) Trovare la risposta in frequenza del filtro adattato e dimostrare che questo filtro può essere realizzato mediante un filtro a integrazione e scarica. (b) Dimostrare che la banda equivalente del filtro adattato è Beq = 1/(2T) = R/2. 7-15 In un sistema di comunicazione in banda base di tipo polare i simboli sono equiprobabili. All'ingresso del ricevitore si ha un processo di rumore Gaussiano bianco con DSP pari a No/2 W/Hz sommato a un segnale polare con valore di picco A. Nel ricevitore si utilizza un filtro adattato con guadagno di ampiezza pari a 1000. (a) Trovare l'espressione della Pe in funzione di A, No, T, e Vr, essendo R = l/T il tasso di informazione e Vr la soglia di decisione. (b) Disegnare il grafico di Pe in funzione di Vr per il caso A = 8 X 10-3 V, No/2

7-16

7-17

=

4 X 10-9 W2/Hz, e R = 1200 bit/s.

In un sistema di comunicazione digitale in banda base polare disturbato da rumore Gaussiano e con rivelazione a filtro adattato, la probabilità di trasmettere un simbolo binario l è P( l) mentre quella di trasmettere il simbolo Oè P(O). Trovare l'espressione della Pe in funzione del livello di soglia Vr nell'ipotesi che, all'uscita del filtro adattato, il livello di segnale sia A, e la varianza del rumore sia U 2 = No/(2T), doveR = l/T è la cadenzadi bit e No/2 è la DSP del rumore Gaussiano bianco d'ingresso. Considerare un ricevitore per segnalazione bipolare RZ con valore di picco A = 5 V. 11filtro di ricezione è passa-basso RC e la cadenza di bit è 2400 bit/s. (a) Disegnare lo schema a blocchi del ricevitore. (b) Fornire i valori per i parametri R, C e VT. (c) Calcolare il livello massimo della DSP del rumore No in modo che la Pe sia inferiore a 10-6.

Esercizi proposti

535

7-18

Un sistema OOK disturbato da rumore Gaussiano additivo bianco deve funzionare alla velocità R = lO Mb/s con una BER pari a 10-5. (a) Trovare la minima banda di trasmissione richiesta. (b) Trovare il minimo valore di Eh/No necessario in ingresso al ricevitore coerente con filtro adattato. (c) Ripetere il punto (b) nel caso di rivelazione non coerente.

7-19

Ripetere l'Es. 7-18 nel caso di segnalazione FSK con 2M = h - fl = 1.5R.

7-20

Abbiamo ricavato la BER per il ricevitore BPSK nell'ipotesi che il riferimento di portante (si faccia riferimento alla Fig. 7-7) sia esattamente in fase (coerente) con il segnale ricevuto. Si supponga ora che tra il riferimento di portante e il segnale BPSK di ingresso vi sia un errore di fase Oe.Trovare le espressioni della Pe in funzione sia di Oe,e del rapporto Eh/No. In particolare: (a) Trovare una nuova espressione che sostituisca la (7-36). (b) Trovare una nuova espressione che sostituisca la (7-38). (c) Disegnare il grafico in scala logaritmica della Pe ottenuta al punto (b) in funzione del parametro 8e sull'intervallo -TT < Oe< TTe per Eh/No = lO dB.

7-21

In un collegamento digitale BPSK sono utilizzati nove ripetitori più un ricevitore. La Pe di ogni ripetitore (rigenerativo, Par. 3-5) è pari a 5 X 10-8, e il disturbo di ogni tratta è additivo Gaussiano bianco. (a) Trovare la Pe dell'intero sistema. (b) Se ogni ripetitore è sostituito con un amplificatore ideale (e cioè tale da non introdurre né rumore né distorsione), qual è la Pe dell'intero sistema? Si vuole usare la rete telefonica per effettuare un collegamento dati i mediante un sistema BPSK. Lungo il collegamento, di lunghezza totale pari a 960 km, sono impiegati ripetitori rigenerativi con spaziatura 80 km. Tra ogni ripetitore, la linea è equalizzata nella banda da 300 a 2700 Hz, e all'ingresso di ogni ripetitore si ha un rapporto Eh/No dovuto a rumore Gaussiano pari a 15 dB. (a) Trovare la massima cadenza di bit che può esser raggiunta senza ISI. (b) Trovare la Pe per tutto il sistema di trasmissione (si tenga conto anche del ricevitore alla fine del collegamento). Un segnale BPSK è dato da

7-22

7-23

s(t)

7-24

7-25

=A

sin[wct + Oc+ (:I::1),Bp],

O
I simboli binari sono rappresentati con i livelli :i:1; (+ 1) è utilizzato per trasmettere il simbolo binario 1, mentre (-1) per il simbolo O. Il parametro ,Bprappresenta l'indice di modulazione di fase, secondo la (5-47). (a) Dimostrare che questo segnale BPSK diventa quello descritto dalla (7-34) per ,Bp= TT/2. (b) Dimostrare che se O < ,Bp< TT/2,oltre al segnale BPSK dato dalla (7-34) si ha anche una componente discreta alla frequenza portante. Per il segnale BPSK descritto nell'Esercizio 7-23: (a) Trovare l'espressione di Pe in funzione di A, ,Bp,No, e B per il ricevitore che utilizza un filtro passa-basso. (b) Ripetere per il ricevitore che utilizza un filtro adattato. Per il segnale BPSK descritto nell'Esercizio 7-23: (a) Disegnare lo schema a blocchi del ricevitore nel caso in cui il riferimento per la demodulazione coerente è ottenuto dal segnale BPSK ricevuto mediante un PLL. (b) Spiegare perché, usando il ricevitore con recupero di portante come al punto (a), è conveniente usare un codice di linea Manchester (suggerimento: Considerare lo spettro della codifica Manchester).

536

Capitolo 7 - Influenza dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione 7-26

Per calcolare la Pe di una segnalazione FSK con rivelazione coerente, è necessario calcolare il valore dell'energia Ed del segnale differenza, come illustrato dalla (7-46). Per la segnalazione FSK ortogonale, si è trovato che in tale calcolo l'integrale relativo al doppio prodotto è nullo. Nell' ipotesi che li '/2, e T siano scelti in modo da rendere massima Ed. (a) Trovare la condizione che rende massima la Edin funzione di tI, fz e T. (b) Trovare l'espressione di Pe in funzione di Eb/No per questo tipo di segnalazione FSK. (c) Disegnare sia il grafico della Pe trovata al punto precedente che quella relativa alla segnalazione FSK ortogonale data dalla (7-47). 7-27 Un segnale FSK con R = Il kbit/s viene trasmesso attraverso un canale RF che introduce rumore Gaussiano bianco. Il ricevitore è di tipo non coerente e ha cifra di rumore pari a 6 dB. L'impedenza di ingresso dell'antenna è 50 Q, il livello di segnale all'ingresso del ricevitore risulta essere 0.5 /LVe il livello di rumore è No = kTo, dove To = 290 K e k è la costantedi Boltzmann(si facciariferimentoal Par. 8-6).Trovarela Pe all'uscita del ricevitore. 7-28 Ripetere l'Esercizio 7-27 nel caso di segnalazione DPSK. 7-29

7-30

7-31

Nell'analisi delle componenti di rumore sui due rami di un ricevitore FSK che precede la (7-44), si è affermato che i processi nl(t) e n2(t) sono indipendenti poiché sono Gaussiani e presentano DSP non sovrapposte. Dimostrare questo risultato. [Suggerimento: n.(t) e n2(t) possono essere modellati come le uscite di due filtri con risposte in frequenza non sovrapposte aventi all'ingresso lo stesso processo Gaussiano bianco]. In un collegamento digitale, si richiede che la BER sia inferiore a 10-5. Trovare il minimo valore di Eb/No necessario per soddisfare questa specifica per le seguenti segnaiazioni. (a) Polare in banda base. (b) OOK. (c) BPSK. (d) FSK. (e) DPSK. Un flusso dati deve essere trasmesso attraverso una linea telefonica equalizzata tra 300 e 2700 Hz, e caratterizzata da un rapporto segnale-rumore (rumore Gaussiano) di 25 dB. (a) Tra tutte le modulazioni digitali studiate in questo capitolo, scegliere quella che permette la massima velocità di bit per Pe

7-32

I~I I I

I

7-33

= 10-5.

Qual è il valore di tale velocità R?

(b) Confrontare il risultato ottenuto con quello di un ipotetico sistema "ideale" che raggiunge il valore della capacità di Shannon dato dalla (l-IO). Un segnale analogico in banda base ha una densità di probabilità uniforme e una banda pari a 3500 Hz. Questo segnale è campionato alla velocità di 8000 campioni/s, quantizzato in modo uniforme, e codificato PCM con parole a 8 bit. Il segnale PCM così ottenuto viene trasmesso mediante un sistema DPSK attraverso un canale che introduce un disturbo additivo Gaussiano bianco. Il rapporto segnale-rumore all'ingresso del ricevitore è 8 dB. (a) Trovare la Pe del segnale PCM ricostruito. (b) Trovare il rapporto in dB tra la potenza di picco di segnale e la potenza media di rumore all'uscita del sistema PCM. Le modulazioni a spettro espanso (S5, 5pread Spectrum) sono usate in presenza di interferenza a banda stretta e laddove è richiesto un certo grado di sicurezza. In particolare, il segnale 5S con espansione a sequenza diretta è (Par. 5-13)

s(t)

= Acc(t)m(t)

cos(wct + Oc)

dove fJcè la fase della portante, m(t) è il segnale modulante in banda base che trasporta l'informazione, e cCt) è la forma d'onda di espansione, ad esempio una sequenza pseudocasuale PN (Pseudo Noise). Tale sequenza PN è formata da una successione di N chip, cioè

f

537

Esercizi proposti

simboli binari che non trasportano alcuna informazione ma servono soltanto per alternare molte volte i livelli l o O nell'ambito di un intervallo di bit di m(t) in modo da effettuare l'espansione dello spettro. Il codice di espansione di lunghezza N viene poi ripetuto periodicamente, ma poiché N è elevato, tale sequenza di chip relativa a c( t) assomiglia a una "sequenza di rumore" digitale. La sequenza PN si ottiene mediante un registro a scorrimento a r stadi con reazione e in modo che N = 2' - l. La funzione di autocorrelazione di una sequenza PN sufficientemente lunga è

dove Te è la durata di un intervallo di chip. Per realizzare l'espansione spettrale Te ~ Tb, dove Tb è la durata di un bit. (a) Trovare l'espressione della DSP del segnale SS s(t). [Suggerimento: Considerare m(t), c(t), e (Jeindipendenti. Tenere anche conto che la DSP di m(t) può essere approssimata con una funzione delta perché la sua banda è molto, molto più stretta di quella del codice di espansione c(t).] (b) Disegnare lo schema a blocchi del ricevitore ottimo coerente, che prevede ricezione coerente del segnale espanso c(t)m(t) seguita da rivelazione ottima dei dati in m(t), mediante correlatore. (c) Trovare l'espressione di Pe(rumore Gaussiano bianco).

7.34 Studiare le prestazioni di un sistema di comunicazione AM con rivelatore sincrono. Disegnare il grafico del rapporto [(S/N)out/(S/N)in] in funzione della profondità di modulazione nel caso di modulazione con un tono sinusoidale.

.-mi 7-35

In un sistema AM, la modulante è un tono sinusoidale con profondità pari al 40% e il disturbo è additivo Gaussiano bianco. Valutare le prestazioni del sistema in termini di rapporto segnale-rumore di uscita, e determinare di quanti dB tale sistema è inferiore al DSB-SC.

7.36

La Figura EP7-36 raffigura un possibile ricevitore SSB (come già visto nell'Esercizio 5-18). (a) Dire se il ricevitore è lineare o meno. (b) Determinare l'espressione del rapporto SIN all'uscita del ricevitore quando il segnale in ingresso è un segnale SSB sommato a rumore Gaussino bianco con DSP pari a No/2.

B ,

Filtro passa-basso l,

se

c

Itl< Bo

H (f) = { O, altrimenti }

Segnale passa banda di ingresso r(l) A

D I AOCOS[Wel + /le]

Oscillatore locale

+

~

:t

Trasformata di Hilbert

F

Filtro passa-basso IG I, seltl
I

Figura EP7-36

H2(f)

O ={ -.j,f> J,f < O }

scita

m(t)

k

H

l

538

Capitolo 7 7-37 7-38

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

Con riferimento al'Esercizio 7-36, considerare un ricevitore consistente del solo ramo superiore del circuito, in modo che il punto C ne rappresenti l'uscita. Trovare (S/N)out. Il segnale in ingresso al ricevitore di Figura EP7-38 è di tipo DSB-SC disturbato da rumore Gaussiano bianco con DSP pari a No/2. Il valore medio del segnale modulante è nullo. (a) Nell'ipotesi che Ao sia elevata, dimostrare che il funzionamento del ricevitore è equivalente a quello con rivelatore sincrono. (b) Trovare (S/N)out in funzione di Ac. fii'l, No, Ao, e BT nell'ipotesi che Ao assuma un valore elevato.

Segnale passa-banda di ingresso r(t) = s(t) + n(t).

.

+

Ftltro passa-banda H (f)

Rivelatore di inviluppo +

Uscita m(t)

I \ Condensatore

.

(lascia passare solo la componente alternata)

IH(!)I Oscillatore -fc

fc

fFigura EP7-38

7-39

Confrontare le prestazioni dei sistemi AM, DSB-SC e SSB nell'ipotesi che il segnale modulante sia un processo Gaussiano a valor medio nullo. Per semplicità, si faccia conto che tale processo abbia approssimativamente valore di picco Vp = l, con Vp = 4um. Disegnareil grafico di (S/N)oUlin funzione di (S/N)banda-base per le tecniche di modulazione (a) AM (b) DSB-SC (c) SSB

7-40

Considerando le modulazioni lineari a parità di potenza di picco del segnale trasmesso, dimostrare che (a) Il sistema SSB ha un (S/N)out migliore di 3 dB rispetto al sistema DSB. (b) Il sistema SSB ha un (S/N)out migliore di 9 dB rispetto al sistema AM. [Suggerimento: Vedere l'Esercizio 5-8]

7-41

Utilizzando la (7-142), disegnare il grafico di (S/N)oul in funzione di (S/N)baseband per un demodulatore FM utilizzando i parametri relativi al sistema audio FM dello standard televisivo italiano, cioè M

= 25

kHz e B

=

15 kHz.

7-42

Un ricevitore FM ha banda IF di 25 kHz e banda base di 5 kHz. La cifra di rumore del ricevitore è 12 dB, e viene utilizzato un circuito di deenfasi a 50 JLS.Il segnale FM è disturbato da un processo di rumore Gaussiano bianco con DSP No/2 = kT/2 dove T = 290 K (si faccia riferimento al Par. 8-6). Trovare il minimo livello del segnale di ingresso (in dBm) che permette un rapporto SIN di uscita di 35 dB nel caso di segnale modulante sinusoidale.

7-43

Un sistema radiomobile FM full-duplex utilizza i parametri /3/ = l e B = 5 kHz (Tab. 5-4). (a) Trovare (S/N)out senza preenfasi/deenfasi. (b) Trovare (S/N)out con preenfasi/denfasi ail = 2.1 kHz (standard statunitense), e tenendo conto che in questa applicazione il non assume un valore molto più elevato rispetto a B.

Esercizi proposti

539

7-44

In questo esercizio si studiano le prestazioni di un sistema FM al variare del tipo di preenfasi/deenfasi. Ponendo f3f = 5, (m/v,,)2 = ~,B = 15kHz e con disturboGaussianobianco, calcolare (S/N)ouI in funzione di (S/N)banrh-base per: (a) Preeenfasi/deenfasi a 50 f.LS. (b) Preeenfasi/deenfasi a 75 f.LS.

7-45

Un segnale in banda base avente distribuzione delle ampiezze Gaussiana, valor medio nullo e valore di picco Vp = 4 (J'mrappresenta il segnale modulante all'ingresso di un trasmettitore FM. Il segnale FM con f3f = 3 e B = 15 kHz, viene trasmesso attraverso un canale additivo Gaussiano bianco. Determinare (S/N)ouI in funzione di (S/N)banda-base quando (a) Non è utilizzato nessun sistema di deenfasi. (b) È utilizzato un sistema di deenfasi a 50 f.LS.

7-46

Nella radiodiffusione FM, la banda del segnale è B = 15 kHz e vengono impiegati un filtro di preenfasi all'ingresso audio del trasmettitore, e un filtro di deenfasi all'uscita del ricevitore per migliorare il rapporto SIN di uscita. Per una preenfasi a 50 f.LSecla banda a 3 dB del filtro di deenfasi del ricevitore è 3.18 kHz. Il fattore di miglioramento l è definito come come 1=

(S/ N)ou, con preenfasi/deenfasi

(S/ N)ouI senza preenfasi/deenfasi

Disegnare l'andamento di questa quantità (in dB) in funzione del rapporto Bljl con 50 Hz
Nella radiodiffusione FM, benché si prescriva di utilizzare la preenfasi in trasmissione, si mantiene

il valore di M'

=

75 kHz come corrispondente

al 100% di modulazione.

Dimo-

strare che queste due affermazioni sono incompatibili. Per fare ciò, si parta con un tono sinusoidale a l kHz che fornisca il 100% di modulazione, e cioè M' = 75 kHz. (a) Se la frequenza

del tono viene portata a 15 kHz, qual è il nuovo valore di M' (fl

=

2.1 kHz)?

Qual è la percentuale di modulazione? (b) Spiegare perché in realtà questo fenomeno non causa eccessivi problemi quando si ha la trasmissione di programmi audio tipici. 7-48

Abbiamo esaminato la trasmissione FM nel Paragrafo 5-7. Al trasmettitore, il canale di sinistra, mL(t), e quello di destra, mR(t), sono filtrati con una rete di preenfasi a 3.18 kHz. I segnali così ottenuti sono convertiti nel segnale composito in banda base mb(t), come mostrato in Figura 5-17. Al ricevitore, il demodulatore FM fornisce come uscita il segnale composito a cui si somma l'effetto del rumore di canale. Tale segnale è demultiplato nei due segnali, L(t) e mR(t), che sonopoi filtratidai filtridi deenfasicon frequenzadi taglioa 3.18kHz.Le componenti di disturbo che si sommano ai due segnali audio derivano dal rumore in uscita al discriminatore FM rispettivamente sulle bande da O a 15 kHz, e da 23 a 53 kHz (la frequenza della sottoportante è pari a 38 kHz). Nell'ipotesi che il rapporto SIN di ingresso sia elevato, dimostrare che il sistema FM stereo è 22.2 dB più rumoroso del sistema FM mono.

m

749

La Figura EP7-49 rappresenta schematicamente lo spettro di un segnale FDM mb(t), composto da cinque canali Cl, C2, ..., C5 ciascuno di larghezza 4 kHz. Tale segnale, che è stato ottenuto modulando USSB (SSB a banda laterale superiore) cinque segnali telefonici, viene trasmesso con un trasmettitore DSB-SC attraverso un canale additivo Gaussiano bianco. Al ricevitore la potenza media del segnale DSB-SC è Ps mentre la DSP del rumore è No /2. (a) Disegnare lo schema a blocchi del ricevitore che fornisce in uscita i cinque canali. (b) Calcolare il rapporto SIN all'uscita di ogni canale.

540

Capitolo 7

- Influenza

dei disturbi sulle prestazioni dei sistemi di comunicazione

CI -5

5

lO

15

20

25

30

f(kHz) -

Figura EP7-49 7-50

7-51

Ripetere l'Esercizio 7-49 nell'ipotesi che il segnale FDM moduli in frequenza una portante. Indicare con Meff la deviazione efficace della portante e considerare i cinque segnali indipendenti. Non è utilizzato alcun sistema di deenfasi. Con riferimento alla Figura 7-26, (a) verificare l'esattezza della curva per il sistema PCM; (b) trovare la curva nel caso si faccia uso della modulazione QPSK; (c) confrontare le prestazioni dei sistemi PCM/QPSK e PCM/BPSK con quelle del caso ideale, disegnando nei due casi il grafico di (S/N)out.

)

-, Punti principali

. . . . .

Sistemi telefonici,

linee digitali d'abbonato, collegamenti in fibra ottica Sistemi di comunicazione satellitari Bilancio energetico

dei collegamenti (linkbudget) Sistemi cellulari

di radiocomunicazione Televisione analogica e digitale

SISTEMI DI COMUNICAZIONE VIA RADIO E VIA CAVO

8-1 LO STRAORDINARIO SVILUPPO DELLE TELECOMUNICAZIONI Lo straordinario sviluppo dei sistemi di telecomunicazione via cavo e via radio (wireless) che si è verificato nell'ultimo decennio è dovuto alla richiesta sempre crescente di servizi a larga banda per la trasmissione di voce, video e dati, e alla contemporanea realizzazione di dispositivi elettronici integrati a basso costo. A tale sviluppo hanno contribuito, oltre ai sistemi "tradizionali" per voce, video e dati, tanti altri servizi innovativi, come la telefonia cellulare, la posta elettronica e l'accesso a Internet. Lo scopo di questo capitolo è quello di illustrare (finalmente!) il funzionamento di alcuni sistemi di comunicazione, applicando le nozioni apprese nei capitoli precedenti. Vedremo anche il modo nel quale vengono applicati i vari standard industriali, e come i sistemi più raffinati siano spesso il risultato di una lenta evoluzione di sistemi più semplici. Esamineremo con un certo dettaglio i sistemi telefonici, i sistemi cellulari di comunicazione personale, i sistemi via satellite e su fibra ottica, nonché i sistemi televisivi (sia analogici che digitali). Illustreremo infine l'analisi del bilancio energetico di un collegamento radio (il cosiddetto link budget), che consiste nel progettare un sistema definendo

542

Capitolo 8

- Sistemi

di comunicazione via radio e via cavo

i principali parametri (ad esempio la potenza trasmessa, il guadagno delle antenne di trasmissione e di ricezione, la cifra di rumore del ricevitore) con lo scopo di raggiungere opportune specifiche di funzionamento, come la probabilità d'errore per i sistemi digitali e il rapporto segnale-rumoreper i sistemi analogici.

8-2 SISTEMI TELEFONICI Il servizio telefonico, che si basa sui sistemi telegrafici e telefonici ideati e sviluppati nell'800, è attualmente erogato a un elevato numero di utenti mediante i vari fornitori di servizi di telecomunicazione a livello nazionale o regionale. Questa situazione si è prodotta per effetto della deregolamentazione del settore della fine degli anni '90. Prima di allora, la rete telefonica era gestita in Italia come negli altri paesi europei da una singola società monopolista pubblica a livello nazionale. I vari fornitori di servizio sottostanno a un insieme di regole che garantiscono la fornitura all'abbonato e che sono dettate e fatte osservare in Italia dall' Autorità del Garante per le Telecomunicazioni (http://www . agcom.it). Sulla rete telefonica commutata (la cosiddetta PSTN, Public Switched Telephone Network) transitano, oltre che naturalmente conversazioni vocali, anche una quantità ormai non indifferente di comunicazioni dati sotto forma di e-mail, accessi Internet ecc. L'informazione è trasmessa sulla rete utilizzando principalmente la tecnica di multiplazione a suddivisione di tempo (TDM), oppure mediante la trasmissione di dati a pacchetto (ad esempio ATM, come descritto nell'App. C). Nonostante i sistemi telefonici siano stati ideati storicamente per riprodurre segnali vocali prodotti a distanza, oggigiorno sono di gran lunga più sofisticati. Basti pensare all'elevato numero di calcolatori che sono utilizzati nelle centrali telefoniche per ridirigere il traffico e contemporaneamente controllare il funzionamento del sistema. Ormai la PSTN soddisfa utenze vocali tradizionali e anche utenti orientati alla trasmissione dati sulla base di tre tipologie-base di collegamento: i) circuiti commutati che connettono l'abbonato domestico o di tipo "affari" con abbonamento standard; ii) circuiti dedicati che servono utenti di tipo "affari" o comunque grosse organizzazioni con necessità di capacità maggiori del normale (ad esempio una linea El a 2048 Mbit/s); iii) connessioni a pacchetto del tipo "sempre accese" (always on) con tariffazione sulla base dell'effettivo numero di pacchetti scambiati.

Cenni storici I sistemi telefonici odierni derivano dal semplice circuito analogico, inventato indipendentemente da Alexander Graham BelI e Alessandro Meucci nella seconda metà dell'800, illustrato in Figura 8-1, secondo il quale i due apparecchi telefonici sono collegati da una linea (coppia ritorta o doppino telefonico) e alimentati da una batteria collocata in centrale. Si tenga conto che, storicamente, il collegamento tra i due utenti avveniva attraverso un operatore che in centrale assolveva il compito materiale di "commutare" la richiesta di connessione. La batteria produce una corrente continua che scorre attraverso la linea in entrambi gli apparecchi telefonici ognuno con un microfono a carbone. Quest'ultimo consiste semplicemente in una "capsula" contenente granuli di carbone e avente una faccia flessibile chiamata diaframma. La pressione sonora esercitata dalla voce sul diaframma si traduce in una proporzionale compressione dei granuli di carbone che,

8-2 Centrale telefonica

Apparecchio

telefonico I---------ì I Auricolare

)f""

I

I I I I I I

i(t)

a carbone. Microfono)

-

(\

Il

I

/

I Linea .-- I telefonica

telefonico

I

!

I

I I I I I I

I I I I I I

I

I I I

.111111

Batteria

L______---

543

Apparecchio

I---------ì I I

Il . . Il

.

Sistemi telefonici

1---------1 I

I

/\ I I I I I I

I

I I I I

Linea telefonica

i(t)

Voce

Silenzio

f-

Figura8-1

Schema del primo sistema telefonico.

modificando la propria resistenza elettrica, causano una variazione della corrente di linea che si sovrappone al valore continuo, come mostrato in figura. Nell'apparecchio telefonico oltre al microfono troviamo anche un altro dispositivo collegato in serie, che consiste in un elettromagnete avente al suo interno un elemento paramagnetico collegato a un altro diaframma. La corrente di linea produce una variazione di campo magnetico, e perciò una corrispondente vibrazione del diaframma, permettendo la conseguente riproduzione del suono. Il sistematelefonicomostrato in Figura 8-1 ha tre importantivantaggi:(1) è economico; (2) i telefoni, essendo alimentati dalla centrale attraverso la linea telefonica stessa, non richiedono alcuna alimentazione locale; (3) il collegamento è full-duplex.' Utilizzando una linea a due fili, il principale svantaggio è che non possono essere impiegati amplificatori, in quanto questi ultimi amplificano il segnale in una sola direzione. Di conseguenza, quando occorre coprire lunghe distanze ed è quindi necessario amplificare il segnale, vengono impiegate linee a quattro fili, una coppia per trasmettere il segnale e l'altra per ricevere.

Sistemi telefonici moderni Lo schema semplificato di una linea d'abbonato analogica (localloop), che è la base del servizio telefonico POTS (Plain Old Telephone Service) offerto fino ad alcuni anni fa prima dell'introduzione degli odierni circuiti digitali, è illustrato in Figura 8-2. La centrale di commutazione pone in collegamento due diversi apparecchi telefonici mediante una I Quando il collegamento è full-duplex entrambi gli utenti possono contemporaneamente parlare e ascoltare.

544

Capitolo 8

- Sistemi

di comunicazione via radio e via cavo Apparecchio

telefonico

d'utente

1-----------------------------------------------------1 1 1 I

: 1 1

:1

: :

1 1

Pulsanti

Auricolare

composizione numero

D

o Cornetta

:

appoggiata

1 1 1 1

Cornetta sollevata

:

:

1

Cornetta:

deltelefono 1 Corne!ta

Microfono 1 a carbone 1

.

:

appoggiata 1 O Cornetta 1 sollevata

D

Il

1

:

Suonena

1

1

1

Linea telefonica su doppino intrecciato verso l'utente

Centrale telefonica locale

,-----------------------------------------------------------

i~

Sp..'" ,'ip)200

li'

Anello(ring)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1

~III

n ~

~ "le:

...

:

~i"""O ,
.

Anello (ring) -: "

Linea telefonica su doppino intrecciato verso l'utente

Apparecchio telefonico d'utente

: I 1

1 Cornetta

1

:

O

1 1 1

Cornetta:.

1

sollevata

1 1

1 1

appoggiata

1

I 1

:

:

~u!santl

composIzIOne

numero

O

Cornetta Cornetta 1 del telefono appoggiata I

:suonena Il

Cornetta sollevata

1 1 1

1 O 1 1

1 1 1

Auricolare

:

.

1

Microfono

O

1 1 1 1 1

a carbone ~

Figura 8-2

Linea telefonica d'abbonato analogica (semplificata).

connessione hardware tra le due linee degli utenti. Il collegamento consiste nel collegare in serie entrambi i telefoni (microfono e auricolare) con la batteria collocata in centrale. Per realizzare la connessione di ogni linea utente, dalla centrale escono due fili corrispondenti rispettivamente alla polarità positiva e negativa, detti tip (spinotto) e ring (anello), nomi storicamente in uso quando la commutazione era effettuata manualmente in centrale attraverso il collegamento in un quadro di due spinotti simili a quelli in uso oggigiorno per le cuffie stereo. Quando il ricevitore telefonico (apparecchio di Fig. 8-2 in alto) viene sollevato, si

8-2

Sistemi telefonici

545

chiudono i contatti (ricevitore in posizione off) e inizia a fluire una corrente di valore costante (tipicamente 40 mA) sulla linea. Dopo che quest'ultima è rivelata in centrale, viene inviato il segnale di linea libera all 'utente chiamante, che a questo punto inizia a comporre il numero. Se l'apparecchio utilizza la tecnica di segnalazione impulsiva decadica, la corrente costante di linea è interrotta tante volte in base al numero da inviare (a una velocità di lO impulsi/s). Ad esempio, 5 interruzioni della corrente di linea corrispondono alla pressione del tasto 5. Una volta che è inviato il numero dell'utente da chiamare, la centrale collega alla corrispondente linea il generatore per la chiamata che fa squillare il telefono. Quando l'utente chiamato solleva il ricevitore la corrente di linea segnala alla centrale di scollegare il generatore di chiamata, e le linee dei due utenti vengono quindi collegate mediante i circuiti di commutazione in centrale. In definitiva, le linee dell'utente chiamante e quella dell'utente chiamato sono collegate mediante due circuiti a trasformatore, come mostrato in Figura 8-2. Quando ciascun interlocutore parla, le vibrazioni sonore fanno variare la resistenza del microfono a carbone che induce sulla linea una proporzionale variazione della corrente. Il segnale viene trasmesso sul circuito secondario del trasformatore e riproduce all'apparecchio dell'utente chiamato, a meno dei disturbi eventualmente presenti, il suono originario. Si consideri che questo sistema funziona in modo full-duplex, e cioè entrambi gli utenti possono contemporaneamente parlare e ascoltare. Nei telefoni odierni il microfono a carbone è in genere sostituito con un microfono a condensatore e un amplificatore integrato alimentato dalla corrente di linea, ma almeno in linea di principio le operazioni descritte sono le stesse. Inoltre, il metodo di segnalazione decadico è stato sostituito da quello multifrequenza, in cui ogni cifra viene trasmessa sulla linea utilizzando la combinazione di due toni con frequenze prestabilite scelte in modo che siano difficilmente presenti nel segnale vocale. Questa tecnica permette di ottenere una velocità di segnalazione maggiore (fino a circa lO cifre al secondo) rispetto a quella decadica con una riduzione del tempo medio di occupazione del sistema di controllo di centrale. Il sistema descritto nella Figura 8-2 risulta soddisfacente finché la resistenza della linea non diventa troppo elevata. Ciò limita la distanza alla quale possiamo porre gli apparecchi telefonici rispetto la centrale, che tipicamente è di qualche km. Dedicare a ogni utente una linea fino alla centrale è però molto costoso; laddove si ha un elevato numero di utenti raggruppati geograficamente i costi sono notevolmente ridotti utilizzando dei concentratori, come illustrato in Figura 8-3, che permettono inoltre di poter collocare gli utenti a qualsiasi distanza dalla centrale. Il circuito relativo a un concentratore è riportato schema- ticamente in Figura 8-4. Le schede POTS forniscono sia la tensione per la corrente di linea che quella per la chiamata dell'utente, mentre il circuito a due fili, che è utilizzato sia per trasmettere verso l'utente che per ricevere dall'utente il segnale telefonico, viene convertito mediante un circuito ibrido (chiamato anche forchetta telefonica) in un circuito a quattro fili, la cui funzione è quella di trasmettere e ricevere due segnali simplex, e cioè unidirezionali. Il circuito ibrido è basato su uno schema a trasformatore bilanciato (oppure su un equivalente circuito elettronico) e provvede anche a isolare il segnale trasmesso da quello ricevuto. Nella Figura 8-4 si nota che il segnale telefonico, dopo codifica PCM, viene multiplato in suddivisione di tempo con i segnali degli altri utenti collegati al concentratore. Il segnale TDM così ottenuto è quindi trasmesso verso la centrale con formato DS-IE ad esempio mediante due doppini telefonici (uno per ogni direzione). In modo del tutto simile, il segnale DS-lE ricevuto dalla centrale viene demultiplato e

I I.

546

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione via radio e via cavo

Centrale telefonica

Linee EI o fibre ottiche

Linee EI o fibre ottiche

Figura 8.3

Sistema telefonico con concentratori.

decodificato per fornire i segnali telefonici dei vari utenti. Se il collegamento con la centrale fosse realizzato senza concentratore sarebbero necessarie 30 linee telefoniche per 30 utenti, mentre con il concentratore si ha il vantaggio che le linee telefoniche necessarie sono solo 2. Il concentratore può inoltre essere collocato a qualsiasi distanza dalla centrale in quanto la trasmissione verso quest'ultima è digitale, quindi possono essere impiegati ripetitori rigenerativi. Per il collegamento con la centrale sono utilizzate anche le fibre ottiche che, oltre a una elevata capacità trasmissiva, ad esempio 565 Mbit/s (per ogni direzione) corrispondenti al trasporto di 7680 canali telefonici (formato DS-5E), non richiedono ripetitori se la distanza è dell'ordine di qualche decina di chilometri. Fino a un paio di decenni fa, per effettuare la connessione fisica tra due utenti, venivano utilizzati nelle centrali di commutazione dei commutatori analogici basati su relè. A partire dalla seconda metà degli anni '80, le compagnie telefoniche hanno progressivamente sostituito le schede con commutatori analogici aventi schede equivalenti digitali, controllabili via software. In particolare, nelle odierne centrali digitali la funzione di commutazione viene eseguita spostando il flusso dati PCM proveniente dall'utente chiamante verso altri slot temporali TDM diretti all'utente chiamato, con una tecnica detta a scambio di slot temporali (TSI, Time Slot Interchange). La commutazione eseguita mediante tecniche digitali rispetto a quella analogica tradizionale risulta essere sicuramente meno costosa se riferita al singolo utente, e comunque rende possibile un elevato numero di servizi aggiuntivi, come ad esempio la multiplazione dei canali PCM relativi a segnali telefonici con segnali dati e video digitali. Le centrali di commutazione sono a loro volta collegate attraverso canali digitali di trasmissione ad alta capacità (dorsali telefoniche) basate su tecniche di multiplazione a suddivisione di tempo TDM oppure su trasmissione dell'informazione a pacchetto. Il

Trasmissione del segnale DS-I verso la centrale telefonica Multiplatore a divisione di tempo

Scheda d'abbonato j I :

I I I I I I

I

Spinotto (tip)

~ I1 li

Linea I d'utente (verso il telefono)

I

wo

~

I 30 linee

90 V, 20 Hz

:

G.ener~tore di tensIOne

:

per la suoneria

I I I

-=-48 V +

-=

(da 2 a 4 fili)

n .2ffi ~~~~~

~~---

Rete di

:

Codificato PCM I

I

~

I..

:

:

I ::

I

~

~

I

L

.

Circuito ibrido

Riceve

I

I I I

Segnale DS-O PCM (64 kbit/s) I I I I I I Segnale DS-O PCM I Decodif. (64 kbit/s)

--o:::H PCM I I

J

~~~~~~~~

IlI

I I I

J 30 DS-O

xxx::x:: xxx::x:: xxx::x::

. DS-O

Ricezione del segnale DS-I dalla centrale IDemultiplatore telefonica

a divisione di tempo

00 I N

W. fJJ ..... lO §. ..... lO ro O' =' 5:

Figura 8-4

Scheda d'abbonato nel concentratore

(.TI >l'> 'I

548

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione via radio e via cavo

mondo delle telecomunicazioni tradizionali, basato sulla trasmissione telefonica e la rete PSTN si sta lentamente avvicinando e fondendo con quello delle comunicazioni tra computer. L'architettura che si va delineando per una rete digitale di telecomunicazione a grande distanza prevede una rete di accesso che raccoglie e distribuisce i segnali (analogici o digitali) verso gli utenti finali, e che si interconnette direttamente con una rete di trasporto ad altissima velocità in tecnologia SDH o ATM basata su collegamenti dorsali in fibra ottica. È interessante tenere in considerazione il fatto che il costo dei sistemi di trasmissione a grande capacità per le dorsali telefoniche, incluso il mezzo trasmissivo, è pari soltanto a circa il 5% del costo di un 'intera rete telefonica; il restante 95% è assorbito dal costo delle centrali e dei vari dispositivi necessari per la commutazione.

8-3 LINEE DIGITALI D' ABBONATO StabilitO-chela rete telefonica analogica PSTN sta evolvendo in una rete universale digitale con esigenze di capacità sempre crescenti, si pone il problema di come fomir~conomicamente i vari servizi digitali supportati dalla rete, come l'accesso Internet veloce, la videotelefonia o addirittura la televisione, mediante tecnologie basate sull'utilizzo_di me;' zi di trasmissione via cavo. Il flusso aggregato dei dati di utente dal concentrat01:ealla centrale non pone particolari problemi trasmissivi, visto che si appoggia sulla fibra.ottica..JI vero problema consiste nel gestire il flusso dati di utente nel cosiddetto ultimo miglio, cioè sulla distanza che mediamente intercorre dal concentratore alla postazione d'abbonato. Infatti,non è certamenteeconomicoinstallareuna fibra oppureun cavo coassialeper ciascun utente. La soluzione probabilmente più conveniente economicamente e tecnicamente è quella di utilizzare a questo scopo i vari doppini d'abbonato già installati, che, pe!iqmt
(Symmetrical Digital Subscriber Loop) è la versione a singolo doppino di HDSL. F2rnisce collegamento full duplex a 768 kbit/s nelle due direziQni_me.dian-

8-3

Linee digitali d'abbonato

549

te separare i dati trasmessi da quelli ril'-' un .c![Guitojbrido, o cancellatore d'eco, per .. -.0:..1,..~evutl. 4. MDSL (AsLm..metrical Digital Subscriber Loop) utili~za un_unico doppino e fornisce fino a 6' Mbit/s verso l'utente (direzione downstream) e JiUQ.f\ 640 kbit/s verso la c~ntrale (upstream) per una distanza al massimo pari a 3.6 km. Lo spettro del se: gnale ADSL è contenuto in un intervallo al di sopra di 25 kHz, e la banda inferiore a 4"ffiz è utilizzata per il traffico telefonico convenzionale. S.\l VDSL (Very-high-bit-rate Digital Subscriber Loop) è in pratica- un perfezionamen}O dell' AD SL che, I)tilizzando ancora un SingOlOd oPPino, ~ornisce in downstream

-

,22 M~~er ~istap~e~al concentra!ore fino a l km e 5! Mb!t/~fin.o~ 300 m, e fiIl no a 3.2 Mbit/s in upstream. .

Esempio

.

.

.

.

di sistema

..

.

.

ADSL

La Figura 8-5a rappresenta lo schema di un collegamento ADSL. Si nota che viene usato un dispositivo, chiamato splitter, costituito in pratica da un filtro passa-basso in parallelo a un filtro passa-alto, che permette di limitare le interferenze tra il segnale telefonico POTS e il segnale dati ADSL. La modulazione utilizzata per la trasmissione dati è la DMT2 Splitter ,:

Segnale a frequenza vocale e segnale DMT Doppino telefonico dal concentratore

I I I I

L

i:J

c

~

~

~

Filtro passa-basso '

I

Filtro passa-alto 26 kHz

4 kHz

I

Segnale a frequenza

I I I I I I :

I

vocale

Segnale ADSL

I J

ADSL lato utente

spettro del segnale a f requenza voca le

/

"k

,::--

:

I I i

(a) Collegamento

,

. , ' ' . . , ", , T om muti l lzzatl per l e partlco lan con d IZlom d e Il a l mea

Flusso portanti verso la centrale

]

I

Flusso portanti verso l'utente

Q. '"

,,::; ';;j

c"

Q

o 4

26

138

1100

f(kHz) -

(b) Spettro segnale vocale e ADSL

Figura 8-5 Linead'abbonatodigitale, 2 DMT è una versione della modulazione plexing) descritta nel Par. 5-12,

multi portante OFDM (Orthogonal

Frequency

Division Multi-

550

Capitolo 8

- Sistemi

di comunicazione via radio e via cavo

(Discrete Multi Tone) che utilizza 256 portanti ognuna modulata con simboli appartenenti a una costellazione QAM. Si possono raggiungere capacità fino a 6.1 Mbit/s per il canale downstream e 640 kbit/s per l'upstream fino a distanze dell'ordine di 3-4 km (valori tipici in Italia sono in realtà 640/128 kbit/s per l'abbonato residenziale). Le portanti per l'upstream sono allocate tipicamente nella banda 26-138 kHz, mentre quelle per il traffico in downstream nella banda 138-1100 kHz. La modulazione DMT si basa su una trasmissione che si adatta in tempo reale alla condizione della linea. In altre parole, le portanti corrispondenti alle frequenze dove la risposta del canale ha dei nulli (dovuti alle riflessioni) oppure dove il livello del rumore è elevato, non vengono trasmesse. La scelta delle portanti "attive" e della costellazione QAM da usare su ogni portante ha luogo in fase di instaurazione del collegamento. In particolare, il ricevitore misura il rapporto segnale/rumore su ogni sotto-portante in una fase iniziale di trasmissione di un preambolo, e comunica i vari risultati al trasmettitore. Ciò permette buone prestazioni in termini di BER alle velocità di trasmissione prima indicate, e realizza una tecnica a basso costo per un accesso a Internet a larga banda.

Video on Demand (VOD) La tecnologia VDSL rende possibile alle compagnie telefoniche di fornire servizi TV mediante doppino telefonico, come ad esempio un segnale HDTV (High Definition TV) che dopo compressione richiede comunque una velocità di informazione considerevolmente elevata (si faccia riferimento al Par. 8-9 per maggiori dettagli). Con la tecnologia VOD, l'abbonato seleziona mediante un dispositivo chiamato set-top box (STB, il familiare decoder delle emittenti televisive a pagamento) un particolare programma. Il fomitore del servizio invia i dati relativi a tale scelta via VDSL, e il STB converte i dati nel segnale video corrispondente. In questo modo l'abbonato ha la possibilità di accedere a un numero pressoché illimitato di canali TV e di altri servizi video interattivi.

ISDN La rete digitale a servizi integrati ISDN (/ntegrated-Services Digital Network) è stata sviluppata per le esigenze dell'abbonato in materia di (1) telefonia; (2) video conferenza; (3) trasmissione dati. Si hanno due categorie di ISDN: (1) ISDN a banda stretta o N-ISDN (Narrowband ISDN); (2) ISDN a banda larga o B-ISDN (Broadband ISDN). La B-ISDN supporta una capacità di 1536 Mbit/s e consiste in 23 canali B (ognuno a 64 kbit/s) e un canale D (64 kbit/s). Ogni canale B trasporta i dati utente, ad esempio dati PCM per audio o video codificato, mentre il canale D è utilizzato per la segnalazione, e cioè per l'instaurazione, la gestione e la disconnessione della chiamata, e anche per l'instradamento dei 23 canali B. La schema standard di una linea N-ISDN è illustrato nella Figura 8-6. L'abbonato N-ISDN è collegato al concentratore della compagnia telefonica attraverso un doppino che deve essere di lunghezza inferiore a circa 5 km per un tasso di informazione complessivo pari a 160 kbit/s. Il flusso dati disponibile all'utente N-ISDN risulta però essere di 144kbit/s, formato da due canali B a 64 kbit/s e un canale D a 16 kbit/s (formato 2B + D), mentre il flusso rimanente è riservato alla compagnia telefonica, e in particolare 12 kbit/s per il sincronismo di frame e 4 kbit/s dedicati alla gestione della rete. Il flusso dati globale è quindi 160 kbit/s full duplex. La linea proveniente dal concentratore, o direttamente dalla centrale, termina con un'interfaccia U nel sito d'utente, come illustrato in Figura 8-6. Gli

8-3

Linee digitali d'abbonato

551

I I :

I : :

-

ToCO

:

I I

:

I I I I I I I I I I I I I I I ,

InterfacciaS (4 fili)

(2 fili)

/

/I

""

Interfaccla

T (4 fih)

/

I

:

Di proprietà della compagnia telefonica

InterfacciaU

~

8us di trasmissione a 192kbit/s

codice di linea bipolare) Interfaccia R

/

~

8us di ricezione

a 192 kbit/s .-' (codice di linea bipolare)

Figura 8.6

Linee multiple RS-232 verso altre apparecchiature

Di proprietà dell'utente

Resistenze

di terminazione

del bus

Sistema N-ISDN lato utente.

apparati lato utente consistono per prima cosa di una unità NTI (Network Termination l) comprendente un circuito ibrido per la conversione tra l'interfaccia U a due fili e l'interfaccia T a quattro fili. L'unità NTl è in pratica un ricetrasmettitore (transceiver) che si sincronizza con il clock del segnale digitale sull'interfaccia U, trasferisce i dati 2B + D dall'interfaccia U a quella T, e poi elabora anche il flusso di bit addizionali dedicati alle funzioni di indirizzamento, controllo e supervisione degli apparati d'utente, fornendo un flusso dati totale presente sulle linee T di trasmissione e di ricezione pari a 192 kbit/s. L'unità NT2 può non essere necessaria in quanto serve a supportare un eventuale gruppo di più terminali d'utente o a interfacciarsi direttamente con una rete dati locale (LAN) per fornire connettività verso l'esterno. L'interfaccia T (se il NT2 non viene usato) o la S (se si usa il NT2) usa un connettore standard RJ45 a 8 fili per connettersi direttamente con i terminali utente (telefono, videotelefono) o con un ulteriore adattatore (TA) che consente la connessione di terminali non-ISDN (come interfacce seriali standard per PC). Si può anche convertire direttamente un PC in un terminale ISDN usando una scheda PCI audio/video che si connette direttamente all'interfacc:.iaU. Il servizio N-ISDN utilizza come portante un doppino telefonico per distanze dal concentratore fino a 5 km, e adotta una segnalazione multilivello. Infatti, con riferimento alla Figura 5-33, per R = 160 kbit/s con una segnalazione a 4 livelli (cioè f

= 2 bit)

la banda di primo nullo è 80 kHz, [invece di

160 kHz relativo al caso binario (f = l)], e questa può essere supportata da un doppino di lunghezza non superiore a circa 5 km. Il codice di linea impiegato è il codice differenziale 2BIQ mostrato in Figura 8-7, che come particolarità ha il vantaggio che, se per un errore di collegamento i due fili del doppino della linea sono invertiti, la sequenza binaria decodificata non cambia. Il principale vantaggio dell'ISDN è quello di fornire all'utente un canale dati TDM affidabile e a capacità costante. Purtroppo la diffusione dei servizi ISDN è stata in un primo

552

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione via radio e via cavo Livello 2B1Q precedente +10 +3

-10-3

Parola binaria corrente

Livello 2BIQ presente +1 +3 -l

r r

01 IO Il

-3 -l -3 +1 +3

01 IO Il

(a) Tabella codifica 2Bl Q differenziale DATI BINARI O

I

l

O

I

O

I I I . I (b) FOIma d'onda segnale dati binario (160 lIbitls) I II +3

+1

I I I

I I I I I I I I I I I I

I

-3

I I I I I I I I I

I I I I I I I I I

I I I I I I

I I I -1

t-

t-

I

I

I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I I I

I

I I I ,

I I I

(c) Forma d'onda segnale 2B l Q (80 kbaud)

F~rn~

Codice di linea 2Bl Q.

momento ostacolata in Italia dall'alto costo, e successivamente, una volta reso il costo accettabile anche da utenti domestici, dalla concorrenza della tecnologia ADSL che offre capacità maggiori.

8-5

Sistemi di comunicazione via satellite

553

8-4 CAPACITÀ DELLA RETE TELEFONICA PUBBLICA COMMUTA TA Abbiamo già menzionato che attualmente la stragrande maggioranza dei collegamenti ad alta capacità tra centrali di una rete telefonica (che costituiscono la cosiddetta rete di trasporto digitale) si svolge su fibra ottica. Per dare un'idea dello sviluppo delle varie tecnologie che hanno preceduto (e che ancora oggi in qualche caso affiancano) la fibra, riportiamo in Tabella 8-1 la capacità in termini di canali telefonici e il corrispondente tasso di informazione di alcuni sistemi a larga banda di uso corrente o usati nel passato. I primi sistemi telefonici con multiplazione utilizzavano segnali FDM/SSB su linee formate da cavi sospesi e collegati attraverso isolatori di vetro a pali come quelli utilizzati per il telegrafo. In seguito, sono stati utilizzati cavi coassiali in rame a più :::onduttorie ponti radio a microonde. Oggigiorno i cavi in fibra ottica si sono rapidamente imposti per l'elevatissima capacità e il costo per canale relativamente basso. Come mostrato in Tabella 8-1, tali sistemi sono in continua evoluzione tecnologica. Infatti, mentre nel 1995 si avevano in esercizio al massimo sistemi con una singola portante ottica modulata OOK a 2.5 Gbit/s, equivalente a 32 000 canali telefonici, in pochi anni si è passati a capacità notevolmente superiori utilizzando la tecnica DWDM (Dense Wavelength Division Multiplexing), dove coesistono sulla stessa fibra portanti ottiche a più lunghezze d'onda, come in un multiplex FDM elettrico. Ne è un esempio il sistema DWDM WaveStar di Lucent che con 40 portanti fornisce 400 Gbit/s corrispondenti a 6.5 milioni di canali telefonici. Addirittura la capacità trasmissiva delle fibre ottiche è in questo momento sovrabbondante rispetto alla limitata capacità delle reti di abbonato. È indubbio che attualmente le fibre ottiche rappresentano il mezzo di comunicazione predominante, ma hanno la limitazione di poter collegare solo punti fissi. Viceversa, i sistemi di comunicazione via satellite e via radio, descritti in dettaglio nei prossimi paragrafi, possono connettere qualsiasi punto del globo sia fisso che mobile e per questo sono una risorsa fondamentale per lo sviluppo di nuovi servizi.

8-5 SISTEMI DI COMUNICAZIONE

VIA SATELLITE

Il numero dei sistemi di comunicazione satellitari è aumentato notevolmente negli ultimi anni rendendo possibile sia la trasmissione transoceanica di segnali telefonici, video e dati, sia soprattutto la radiodiffusione di programmi televisivi direttamente all'utente. La maggior parte dei satelliti sono di tipo GEO (Geostatiof1G1YEarth Orbit), cioè percorrono un'orbita circolare sul piano equatoriale a un'altezza di circa 37 000 km, chiamata geostazionaria. Per quest'orbita infatti il periodo uguaglia quello di rotazione della Terra, quindi il satellite appare a un osservatore come localizzato in un punto fisso del cielo (Fig. 8-8). Ciò permette di utilizzare nelle stazioni di Terra antenne che sono puntate verso una direzione fissa, a differenza dei sistemi con satelliti in orbita polare (cioè giacente su di un piano che passa per i poli terrestri) dove le antenne modificano il puntamento per poter seguire la posizione variabile del satellite. Allo scopo di evitare che la posizione del satellite tenda nel tempo a discostarsi dalla relativa orbita nominale si applicano tecniche di stabilizzazione del veicolo spaziale, come la stabilizzazione per rotazione

U1 U1 "'"

TABELLA 8-1 CAPACITÀ DELLE RETI TELEFONICHE COMMUTATE () Numero

Mezzo trasmissivo

Nome

Produttore

Anno inizio di canali funzionamento telefonici

Distanza

Bit rate (Mbit/s)

Modulazione"

Frequenza

fra ripetitori funzionamento (km) (MHz)

D/A

Tecnica

0.005-0.025 0.005-0.030 0.036-0.140 0.036-0.143 0.003-0.300

A A

FDM/SSB FDM/SSB

A A

FDM/SSB FDM/SSB

0.012-0.060 0.012-0.060 0.044-0.260 0.172-0.268

A A A A D D D

FDM/SSB FDM/SSB FDM/SSB FDM/SSB Bipolare 4 livelli B6ZS

'E. .....

o O00 I (f)

Coppia di cavi sospesi

A C J

Doppino intrecciato

K Nl N3 Tlb TlGb TIb

Cavo coassiale

Cavo in fibra ottica

Beli Beli CCITI Ben CCITT

1918 1924

Ben CCITI Ben Ben Ben AT&T Ben

1938

1938

1950 1964 1962 1985

4 3 12 12 28 12 12 12 24 24 96 96

LI L3 L4 L5 T4b T5b

Ben Ben Ben Ben Ben Ben

1941 1953 1967 1974

FT3

Ben Brit. Telcom Sask. Telcom Nippon AT&T AT&T Microtel AT&T AT&T Lucent

672 1981 1984 1985 1985 1985 1344 1986 6048 1985 6048 1987 24 192 1995 32 256 1999 6.25X 106

F-400M FT3C-90 FT4E-432 LaserNet FTGl. 7 FT-2000 WaveStar

600 1860 3600 lO 800 4032 8064

241.35 80.45 80.45 27.35 30.57

1.544 (DS-1) 6.312 (DS-2) 6.312 (DS-2)

274.176 (DS-4) 560.16 (DS-5)

1.6 3.7 12.87 6.43 3.21 1.6 1.6 1.6

3.07 44.763 (DS-3) 140 9.65 45 9.65-28.9 400 19.3 90.254 (DS-3C) 25.7 25.7 432 (DS-432) 417.79 (9DS-3) 40.22 46.66 1668 (36DS-3) 160.9 2488 (OC-48) 400 000 40.22

0.006-2.79 0.312-8.28 0.564-17.55 3.12-60.5

0.82 ttm 1.3 J.Lm 0.84 e 1.3 J.Lm 1.3 J.Lm 1.3 J.Lm 1.3 J.Lm 1.3 J.Lm 1.3 J.Lm 1.5 e 1.3 J.Lm

A A A A D D

FDM/SSB FDM/SSB FDM/SSB FDM/SSB Polare Polare

D D D D D D D D D D

TDM/OOK TDM/OOK TDM/OOK TDM/OOK TDM/OOK TDM/OOK TDM/OOK TDM/OOK TDM/OOK DWDMd

1jj' ft §. Q.. .... r') o :3

e. r') N

o' <: S' ...

o..

o' (I)

<: S' r') <:

o

Cavo transoceanico

Ponti radio a microonde

Collegamento

TAT-l (SB) TAT-3 (SD) TAT-5 (SF) TAT-6 (SO) TAT-8 (3 fibre) TAT-9 (3 fibre) TAT-lO (6 fibre) TAT-12 (6 fibre) OALW160 TAT-14 (4 fibre)

Bell Bell Ben Bell

A1catel A1catel

1956 1963 1970 1976 1988 1991 1992 1995 2000 2001

48 138 845 4200 8000 16 000 80 000 200 000

32.18 17.69 9.65 4.82 280 565 e

TD-2 TH-l TD-3 TN-l AR6A 180274 6090 110135 6G 135 MDR-2306 RD-6A TN-X/40

Bell Bell Bell Ben Bell NEC NEC NEC NEC Collins Nortel Nortel

1948 1961 1967 1974 1980 1974 1979 1980 1983 1983 1984 1996

600 (1954) 2400 (1979) 1800 (1979) 1800 6000 4032 1344 2016 2016 2016 2016 4032

Intelsat IV

COMSAT

1970

8000

satellitare

565

0.024-0.168 0.108-1.05 0.564-5.88 0.5-30 1.3}.1m 1.55 ILm 1.55 ILm 1.48 ILm 1.55 ILm 1.55 ILm

A A A A D D D D D D

FDM/SSB FDM/SSB FDM/SSB FDM/SSB TDM/OOK TDM/OOK TDM/OOK TDM/OOK DWDM DWDM

5000 160 000 640 000

48.27 56.31

più 1.544c

48.27 48.27 48.27 48.27 48.27 48.27 48.27 48.27 48.27 48.27 48.27 48.27

3700-4200 5925-6245 3700-4200 K banda 180Hz 5925-6425 180Hz 60Hz Il GHz 6 GHz 60Hz 6 GHz 6 GHz

A A A A A D D D D D D D

FDM/FM FDM/FM FDM/FM FDM/FM FDM/SSB 4PSK 16 QAM 16 QAM 64 QAM 64 QAM 64 QAM 512 QAM

358

6 GHz uplink/

A/D

FDM/FM

A/D

QPSK/ sCPC FDM/FM QPSK/ SCPC

A/D

FDM/FM

più 1.544c più 1.544c più 1.544C 274.176 (DS-4) 90 (2DS-3) 135 (3 DS-3) 135 (3 DS-3) 135 (3 DS-3) 135 (3 DS-3) 310 (2 STS-3)

IntelsatV

COMSAT

1980

25 000

358

Intelsat VI

COMSAT

1986

80 000

358

40Hz downlink 6/4 e 14/11 OHz

6/4 e 14/11 GHz

Intelsat VIII

COMSA T

1998

112 500

358

6/4 e 14/11 GHz

a A-analogico; D-digitale; DWDM-dense wavelenght division multiplexing. b Si veda la Tabella 3-9 per maggiori dettagli sul sistema T. c Nel 1974 è stato aggiunto al sistema FDM un canale dati a 1.544 Mbit/s (DS-l). d 40 portanti ottiche (lunghezze d'onda) a IO Gbit/s per fibra. e Capacità (in canali telefonici) con multiplexing statistico.

QPSK/ SCPC

A/D

FDM/FM QPSK/ SCPC

00

o, (fJ

U). ..... (1)

2. e: o S ('j

§.

('j

I» N

o' ::s (1) <: S' Cf> I» Cb t=

(J'J (J'J (J'J

556

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione

via radio e via cavo

Stazione trasmittente

terrestre

Satellite

Stazione ricevente terrestre

Figura 8-8

Satellite per telecomunicazioni in orbita geostazionaria.

o quella rispetto ai tre assi. La prima tecnica è tipicamente applicata a satelliti cilindrici, nei quali il cilindro esterno del satellite viene fatto ruotare per creare un effetto giroscopico che stabilizza il satellite; la stabilizzazione a tre assi è invece applicata a grossi satelliti di forma irregolare, si basa sulle indicazioni di alcuni giroscopi interni che rilevano il movimento del satellite e ne stabilizzano la posizione regolando opportunamente la spinta di alcuni motori a getto. La banda più utilizzata per i sistemi di comunicazione satellitari è intorno ai 6 GHz per la tratta "in salita" Terra-satellite (uplink) e ai 4 GHz per la tratta "in discesa" satellite-Terra (downlink). In questo intervallo di frequenze, gli apparati non sono particolarmente costosi, il rumore cosmico raccolto dalle antenne ha un livello sufficientemente basso, l'attenuazione del segnale dovuta alla pioggia è trascurabile, e inoltre l'attenuazione per scintillazione ionosferica e per assorbimento atmosferico, causata dall'eccitazione molecolare dei gas ivi contenuti, è limitata [Spilker, 1977]. Le bande relative ai 4 GHz e 6 GHz sono però anche assegnate da tempo ai collegamenti terrestri, e pertanto i vari enti hanno posto un limite per la potenza trasmessa dal satellite. Inoltre, l'antenna ricevente di una stazione di terra collegata a un satellite deve essere dislocata in maniera opportuna onde evitare interferenze sui sistemi terrestri operanti nelle stesse bande di frequenza. La banda 6/4 GHz (detta banda C) è stata rapidamente saturata dai vari sistemi satellitari. Per questo motivo i sistemi più recenti vengono fatti funzionare a frequenze più elevate, come ad esempio la banda Ku, dove si ha 14 GHz per il collegamento Terra-satellite e Il GHz per il collegamento satellite-Terra. I satelliti in banda Ku hanno a bordo amplificatori di potenza che erogano fino a 120-240 W all'antenna trasmittente, rendendo possibile la ricezione dei canali televisivi direttamente all'utente mediante una parabola di piccolo diametro (60 cm, o meno) semplice e poco costosa. In Europa, la grande maggioranza dei canali televisivi satellitari è distribuita attorno agli Il GHz, con alcuni canali che si estendono fino ai 12 GHz. Ogni satellite per telecomunicazioni contiene a bordo un certo numero di transponder che ricevono il segnale trasmesso dalla stazione di terra e lo ritrasmettono dopo una conversione di frequenza verso un'altra stazione ricevente di terra. Un esempio è ri-

8-5

Sistemi di comunicazione via satellite

557

portato nello schema di Figura 8-9, dove il transponder è non rigenerativo, e cioè non demodula in banda base il segnale ricevuto per elaborarlo, ma agisce come semplice ripetitore traslandolo in frequenza su una nuova banda e amplificandolo con un amplificatore di potenza. La maggiore parte dei transponder sono progettati per avere una banda utile di 33, 36, 54 o 72 MHz, essendo 36 MHz il valore standard di banda per i canali televisivi in banda C (6/4 GHz). Con il progredire delle tecnologie digitali, anche i satelliti si sono evoluti, e sempre più spesso per raggiungere migliori prestazioni si realizza a bordo sia la rigenerazione del segnale digitale che anche alcune funzioni di commutazione. A ogni satellite geostazionario è assegnata una prefissata orbita e una fissata banda di frequenza. Nella banda 6/4 GHz ad esempio è standard una banda pari a 500 MHz suddivisa tra 24 transponder da 36 MHz ciascuno. La banda del satellite è partizionata tra 12 transponder funzionanti in polarizzazione verticale e gli altri 12 in polarizzazione orizzontale3, come è illustrato in Figura 8-10 relativamente a una tipica disposizione per un satellite nella banda 6/4 GHz dedicata alla trasmissione di canali video analogici. Trasmissione

analogica

e digitale

di programmi

televisivi

I canali televisivi (TV) possono essere trasmessi via satellite sia mediante tecniche analogiche che digitali. Nella trasmissione analogica via satellite dei segnali TV, il segnale video composito in banda base relativo a un singolo canale modula in frequenza una portante del singo- . lo transponder, come illustrato in Figura 8-11. Come vedremo nel Paragrafo 8-9, il segnale video composito è costituito dal segnale di luminanza, dalla sottoportante di crominanza relativa al colore, dai segnali di sincronismo, e dal segnale audio che modula a sua volta in frequenza una opportuna sottoportante ed è multiplato con il segnale video. La banda del segnale modulato FM può essere valutata applicando la regola di Carson. La deviazione di picco del segnale composito è infatti 10.5 MHz, mentre quella relativa alla sottoportante del segnale audio è 2 MHz, fornendo in totale una deviazione di picco pari a

Convertitore di frequenza verso il basso

,

6 GHz

~~~ Segnali

tratta

in salita

1

I

4 GHz

I

~ :

Filtro

passa-banda

I I

Amplificatore:

a bassa cifra

I

:

I I I

I I I I

di rumore:

:

Oscillatore:

I

locale:

~ Figura 8.9

Segnali tratta in discesa

J

Schema a blocchi semplificato di un transponder satellitare.

3 Il segnale polarizzato verticale corrisponde a un campo elettrico orientato verticalmente e parallelo all'asse di rotazion~ terrestre, mentre per la polarizzazione orizzontale il campo elettrico è orizzontale.

558

Capitolo 8

- Sistemi

di comunicazione via radio e via cavo 500MHz

36

-j

MHzH 4200 f(MHz) 3720 3760 (a) Polarizzazione

3840

3880

3920

3960

4040

4080

4]20

4]60

orizzontale"

3700

I I

f(MHz) 3740

3780

3820

3860

3940

3980

4020

4]40

4060

I

4]80

I

(b) Polarizzazione

verticale"

"Si fa riferimento alle po]arizzazioni

impiegate dal satellite Galaxy. Altri satelliti adottano polarizzazioni

opposte. 'j

Figura 8-10 Esempio di schema di allocazione delle frequenze di un satellite nella banda 6/4 GHz.

12.5 MHz. La banda del segnale modulante in banda base è approssimativamente 6.8 MHz, pertanto la banda del segnale trasmesso è BT

= 2(M'

+ B)

= 2( 12.5 +

6.8)

=

38.6 MHz

(8-1)

che è paragonabile al valore di 36 MHz relativo alla banda del transponder. Nella trasmissione digitale invece, il segnale video in banda base è per prima cosa campionato e quantizzato. L'informazione viene poi compressa attraverso algoritmi di elaborazione del segnale digitale. La compressione si effettua in pratica eliminando la ridondanza presente in ogni singolo quadro del segnale video, e anche quella esistente tra un quadro e il successivo, per ridurre la velocità di informazione del segnale digitale e dunque anche la banda di trasmissione del segnale. Come vedremo in maggiore dettaglio ancora nel Paragrafo 8-9, nello standard europeo di radiodiffusione video satellitare DVB-S, il segnale video in banda base relativo a ogni canale TV viene compresso mediante lo standard MPEG-2 (Motion Pictures Experts Group) [Pancha e Zarki, 1994], e produce mediamente un flusso dati con velocità 3-6 Mbit/s a seconda della qualità video desiderata e alla minore o maggiore presenza di scene in rapido movimento. I flussi relativi a più canali TV (video più audio multicanale) sono multiplati TDM e sono trasmessi attraverso un transponder usando la modulazione QPSK [Thomson, 1994]. Maggiori dettagli riguardo

l

l l

8-5

Sistemi di comunicazione via satellite

559

Al satellite Segnale televisivo composito di ingresso (con banda pari a 5 MHz)

+

Trasmettitore le

+

Segnale audio di ingresso (banda pari a 15 kHz)

FM

= 6 GHz

(t!.F )video = 10.5 MHz (t!.F )sc = 2 MHz

Generatore di sottoportante FM Isc =5.5 MHz t!.F = 50 kHz

Figura 8-11 Trasmissione di segnale video analogico da una stazione di terra.

il sistema di comunicazione possono essere trovati negli Esercizi EA8-1 e EA8-2, mentre la codifica per la TV digitale è discussa nel Paragrafo 8-9. Sistemi

ad accesso multiplo

per comunicazioni

telefoniche

e dati

I satelliti possono essere utilizzati come ripetitori per canali dati e canali telefonici in modo del tutto simile a quanto avviene nei collegamenti terrestri a microonde. Infatti, i segnali dati possono essere multiplati nel tempo con i formati DS-IE, DS-2E ecc., e trasmessi mediante modulazione digitale via satellite. In alternativa, i segnali dati possono essere anche multiplati in frequenza e organizzati secondo la vecchia gerarchia telefonica in gruppi, supergruppi ecc., per poi essere trasmessi via satellite mediante modulazione analogica FM. I sistemi di comunicazione satellitare differiscono però dai corrispondenti collegamenti terrestri in quanto un singolo transponder è tipicamente utilizzato mediante tecniche di accesso multiplo da più stazioni a Terra. Tali tecniche si possono distinguere in: 1. accesso multiplo a suddivisione di frequenza FDMA (Frequency Division Multiple Access), simile al sistema FDM; 2. accesso multiplo a suddivisione di tempo TDMA (Time Division Multiple Access), simile al sistema TDM; 3. accesso multiplo a suddivisione di codice CDMA (Code Division Multiple Access); 4. accesso multiplo a suddivisione di spazio SDMA (Space Division Multiple Access), dove il diagramma di irradiazione dell'antenna è puntato nelle varie direzioni corrispondenti alle stazioni di terra. L'accesso può anche essere di tipo fisso o variabile. 1. Accesso multiplo con assegnamento fisso FAMA (Fixed-Assignment Multiple Access), con una delle tecniche FDMA, TDMA e CDMA. È l'analogo di una linea telefonica "dedicata" al 100% del tempo a un singolo utente.

560

Capitolo 8

- Sistemi

di comunicazione via radio e via cavo

2. Accesso multiplo con assegnamento a richiesta DAMA (Demand-Assignment Multiple Access), con una delle tecniche FDMA, TDMA e CDMA. È l'analogo della linea "commutata" che viene attivata solo su richiesta. Nella modalità FAMA, i formati delle trame o dei canali/codici TDMA, FDMA, e CDMA non vengono modificati neanche se la richiesta di traffico delle varie stazioni di terra cambia. Ad esempio, le stazioni di terra generano molto più traffico telefonico durante le ore del giornorispettoalle ore dopo la mezzanotte(con riferimentoall'ora locale). Poiché però l'assegnamento è fisso, molti canali del satellite dedicati alla telefonia sono sicuramente inutilizzati nelle prime ore del mattino, e potrebbero essere utilizzati per trasmissioni dati. Nella modalità DAMA invece, i formati dell 'accesso multiplo vengono modificati in base alla domanda di traffico delle stazioni di terra. Pertanto, l'uso del satellite è più efficiente, ma in genere più costoso sia da realizzare che da gestire. Con la tecnica di accesso CDMA, a differenza del FDMA o TDMA dove agli utenti sono assegnati slot di frequenza o temporali differenti, gli utenti condividono simultaneamente la stessa banda. A ogni utente CDMA è assegnata una sequenza di codice ({}j(t) ortogonale a quella assegnata agli altri utenti (Parr. 2-4 e 5-13). I dati sono poi modulati utilizzando queste sequenze, quindi trasmessi attraverso il canale di comunicazione. Ad esempio, se l'utente j-esimo trasmette il bit mj, mediante la sequenza di codice ({}j(t),il segnale composito CDMA ricevuto è il contributo degli utenti attivi ed è w(t) Al ricevitore

il dato relativo

al j-esimo

utente è ricavato

calcolando

=

mj

H; w( t) ({}j{ t) dt

1

I

L I

I

J. I

({}j(t).

= mj,

dove T è la durata temporale del segnale ({}j(t).Un tipo di sequenze di codice spesso utilizzate è rappresentato dai codici di Gold. Esempio

8-1 ACCESSO MULTIPLO AD ASSEGNAMENTO FISSO CON FORMATO

FDMA Un esempio significativo riguardante una tecnica di accesso multiplo ad assegnamento fisso è il fonnato FDM/FM in uso nei satelliti della serie lntelsat. Facciamo l'ipotesi che la stazione A condivida un transponder di banda 36 MHz in modo FDM con le stazioni B, C, D, E, F e G attraverso l'assegnamento dei canali illustrato in Figura 8-12a. Alla stazione A è assegnata la banda da 6237.5 MHz a 6242.5 MHz su cui trasmette 60 canali telefonici (capacità di un supergruppo) utilizzando la multiplazione FDM. Supponiamo poi che il traffico. della stazione A sia così suddiviso: 24 canali per la stazione B, 24 per la stazione D e 12 per la stazione E. La configurazione della parte trasmittente relativa alla stazione di terra A è illustrata nella Figura 8-12b. La parte rimanente della banda del transponder è divisa, sulla base di un assegnamento fissato, tra le altre stazioni di terra in accordo alle diverse esigenze di traffico.

j

I Esempio

8-2 SISTEMA SPADE

La serie dei satelliti lntelsat può anche funzionare in modalità DAMA utilizzando un fonnato FDMA in cui ogni canale telefonico è trasmesso su una portante con modulazione QPSK. In questo tipo di segnalazione, denominato SCPC (Single Channel Per Carrier), 800 segnali QPSK occupano l'intera banda del transponder, come illustrato in Figura 8-13a. Ogni segnale QPSK deriva da un segnale telefonico codificato PCM a 64 kbit/s (studiato nell'Esempio 3-1).

.

I I I l

J

8-5 Trasponditore

Sistemi di comunicazione

via satellite

561

satellitare con banda di 36 MHz

Spettro trasmesso dalla stazione C stazione A

6237.5

6242.5

(a) Allocazione delle frequenze per il trasponditore Grupppo di ingresso (12 canali vocali ciascuno)

Dalla

-...

stazione B { -.... Dalla

AI satellite

-...

stazione D { -...

Segnale FDM in banda base 60 canali vocali mb( t)

Multiplexer a divisione di frequenza per il supergruppo

te

r

Dalla stazione E

FM

= 6 GHz

/IS(f)1

G

240 kHz

f te

o 12kHz

= FDM/FM

s(t) Trasmettitore

=16240f

6237.5 252 kHz

-

6242.5

f(MHz)

(b) Apparato trasmissivo della stazione A di terra

Figura 8-12

Formato FDMA ad assegnamento fisso.

La tecnica SCPC-DAMA illustrata in Figura 8-13 viene indicata con l'acronimo SPADE (Single channel per carrier, Pulse code modulation, multiple Access, Demand assignement Equipment) [Edelson e Werth, 1972]! L'assegnamento della frequenza portante per ogni segnale QPSK relativo all'uplink di una particolare stazione di terra è realizzato a richiesta mediante una segnalazione TDM contenuta nel canale di segnalazione comune CSC (Common Signaling Channel), come è mostrato in Figura 8-13a. Il canale CSC consiste di un segnale PSK a 128 kbit/s condiviso nel tempo tra tutte le stazioni di terra mediante il formato TDMA di Figura 8-13c. PA indica il preambolo per la sincronizzazione presente all'inizio di ogni trama di 50 ms, mentre A, B, ecc. indicano gli slot temporali di durata 1 ms riservati per la trasmissione delle stazioni A, B ecc. In questo modo, all'interno della trama del canale CSC possono trovare posto fino a 49 slot relativi ognuno a una diversa stazione di terra. Ad esempio, se la stazione B intende inviare una chiamata verso la stazione D, seleziona una frequenza portante QPSK da quelle non in uso e perciò disponibili, e trasmette l'informazione relativa a questa frequenza unitamente all'indirizzo della stazione di destinazione D nel proprio slot TDMA. Se la frequenza (Continua)

562

Capitolo 8

- Sistemi

di comunicazione via radio e via cavo 36 MHz

Canale di segnalazione comune (CSC)

Portante

Segnali QPSK

3

4

5

6

400 7

/

pilota

403

800

t 38 kHz

7 kHz (banda di guardia)

(a) Allocazione delle frequenze del trasponditore

Segnale telefonico a frequenza vocale (0-4 kHz, analogico)

Codifica PCM

Segnale telefonico freauenza vocal e ,-

----,

-co)

Al satellite

PCM 64 kbit/s

PCM

di un trasmettitore

Segnale QPSK

l

QPSK

64 kbit/s

PCM

(b) Possibile configurazione

Trasmettitore

J: '\"..1\'1.

Codifica

kHz-

--1~

""""011Ilol......

Trasmettitore

QPSK J

QPSK

QPSK SCPC

1-1 l ms

f-

l trama = 50 ms (c) Formato di segnalazione

Figura 8-13

~I

TDMA CSC

Sistema di comunicazione satellitare SPADE per trasmissione telefonica. I

prescelta non viene selezionata da un'altra stazione per un'altra chiamata, la stazione D confermerà la richiesta nel proprio slot TDMA. La conferma verrà ricevuta dalla stazione B dopo circa 600 ms dall'inizio della sua richiesta in quanto occorre tenere in conto l'intervallo di propagazione dalla stazione al satellite, il ritardo dei vari componenti, e il ritardo intercorrente tra lo slot assegnato alla stazione D rispetto a quello relativo alla stazione B. Se in questo intervallo di tempo un'altra stazione seleziona la stessa frequenza, allora la stazione B riceverà il segnale di frequenza occupata e inizierà di nuovo la procedura provando con un'altra frequenza disponibile. Quando la chiamata è finita, nello slot TDMA vengono trasmessi i segnali per la disconnessione e la frequenza prima utilizzata ritorna a essere disponibile per una nuova connessione. Dato che la segnalazione CSC è a 128 kbit/s e ogni slot ha durata di 1 ms, sono disponibili 128 bit per ogni stazione che accede al servizio, che so-

j

'f

8-5

Sistemi di comunicazione via satellite

563

no dedicati alla trasmissione di varie infonnazioni, come l'indirizzo, la frequenza prescelta, la richiesta di disconnessione ecc. In pratica, poiché nella trama TDMA sono disponibili soltanto 49 slot, un certo numero di frequenze SCPC sono riservate alla modalità di assegnamento fisso.

Con la tecnica di accesso FDMA, le varie portanti sono utilizzate in base alla richiesta di traffico, quindi il segnale composito di banda 36 MHz in uscita dal transponder presenta una notevole variabilità in potenza. Il segnale deve essere amplificato prima della ritrasmissione verso terra dall'amplificatore di potenza (HPA, High-Power Amplifier) realizzato con TWT. Pertanto, il punto di lavoro dell'amplificatore TWT deve essere scelto a una certa distanza (il back-off) dalla saturazione, in modo che il funzionamento sia in regime pressoché lineare e i prodotti di intermodulazione si possano ritenere di livello trascurabile. Se si usasse un unico segnale ad ampiezza costante (come ad esempio un segnale FM) l'amplificatore potrebbe essere utilizzato in modo più efficiente ricavando la massima potenza di saturazione senza alcuna distorsione del segnale. La tecnica TDMA è invece simile alla multiplazione TDM, e si basa sul fatto che le varie stazioni inviano verso il satellite (uplink) alcuni pacchetti di dati contenenti l'informazione utile. Pertanto, durante lo slot temporale dedicato a una stazione, quest'ultima accede all'intera banda del transponder (Fig. 8-14). Poiché ogni stazione di terra trasmette con una modulazione QPSK e nei vari slot temporali il transponder è attraversato da un unico

...

. = Stazione

...-

di teITa

Figura 8-14

Interallacciamento dei burst per un satellite TDMA.

564

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione via radio e via cavo

segnale, i prodotti di intermodulazione generati sono di gran lunga trascurabili rispetto a quelli che si hanno con la tecnica FDMA prima descritta. Così, lo stadio di potenza del TWT può fornire una potenza assai più vicina al livello di saturazione, senza o quasi necessità di back-off. Questo indubbio vantaggio del TDMA rispetto al FDMA viene controbilanciato da uno svantaggio. Infatti, il problema maggiore del sistema TDMA è che le stazioni devono essere sincronizzate tra loro per evitare che i vari pacchetti (burst) ricevuti dal satellite possano interferire l'uno con l'altro. In altre parole, il burst di una particolare stazione deve arrivare al satellite esattamente nello slot temporale assegnato a quella stazione, in modo da evitare che tale segnale interferisca con i burst di altre stazioni cui sono assegnati gli slot adiacenti. Le stazioni sono però situate a differenti distanze dal satellite e fanno uso di apparati diversi, cosicché i ritardi di propagazione tra ogni stazione e il satellite sono diversi. Di ciò si deve tenere in debito conto quando per ogni stazione viene calcolato l'istante iniziale di trasmissione. Inoltre, il satellite può muoversi rispetto alla stazione di terra e questo complica ulteriormente le cose in quanto i ritardi di trasmissione variano nel tempo. Un altro svantaggio della tecnica TDMA consiste nel fatto che a ogni stazione trasmittente arriva tipicamente traffico da linee terrestri sincrone, mentre le trasmissione TDMA è tipicamente "intermittente". Occorrono allora delle memorie (cosiddette elastiche) in cui il traffico in ingresso viene memorizzato a bassa velocità, e dalle quali si possono poi rileggere i dati ad alta velocità quando occorre trasmettere al satellite il pacchetto. II formato tipico di una trama TDMA (contenente i dati provenienti da tutte le stazioni trasmittenti e che sono smistati dal satellite alle varie stazioni riceventi di terra) è quello di Figura 8-15. In questo esempio, la stazione B invia dati alle stazioni A, E, G e H. II riferimento temporale necessario alle altre stazioni per calcolare l'istante temporale per la trasmissione dei propri burst dati (la cosiddetta sincronizzazione di trama) viene fornito a tutte la stazioni da una singola stazione di terra che funge da "master". Nella seconda metà della Figura 8- l 5 è illustrato il formato del burst inviato da una stazione. I periodo

Dalla stazione A

Dalla stazione B

Dalla stazione C

di trama

Dalla stazioneE

Intervallo Sincronismo di guardia di portante e di bit

Dalla stazione F

Dalla stazione G

Dalla stazione H

Identificazione

e indirizzo

Figura 8-15 Fonnato della trama TOMA per un collegamento satellitare.

1

8-5

Sistemi di comunicazione

via satellite

565

Questo consiste di due parti: il preambolo e i dati da inviare alle altre stazioni. Il preambolo include un intervallo di guardia all'interno del quale non si ha trasmissione e, quindi, una stringa di bit nota utilizzata per la sincronizzazione di portante e di simbolo alla stazione ricevente. La fine del preambolo di solito contiene una parola che identifica il burst come proveniente da una determinata stazione, e che eventualmente indica anche gli indirizzi delle stazioni di destinazione. Una tecnica di accesso multiplo simile al TDMA ma concettualmente differente è la tecnica ALOHA [Larn, 1979] per la trasmissione a pacchetto. Gli utenti trasmettono i propri burst di dati, chiamati pacchetti, non appena li hanno disponibili, senz'alcuna sincronizzazione con gli altri utenti della rete (contrariamente a quanto accade nel TDMA). Quando due o più burst si sovrappongono nel tempo si ha una collisione, e gli utenti interessati ritrasmettono i loro pacchetti dopo un ritardo scelto in maniera aleatoria e indipendente sperando che non vi sia un 'ulteriore collisione. Se ciò accade di nuovo, viene ritentata la trasmissione del pacchetto e così via. Questa tecnica ha il vantaggio di essere molto semplice da realizzare, e funziona assai bene con terminali di utente che generano traffico sporadico piuttosto che continuo, ma presenta prestazioni scadenti in condizione di traffico elevato, in cui il satellite si satura con pacchetti continuamente in collisione, e la velocità "netta" di trasmissione totale all'interno della rete tende pericolosamente a O. In questo caso, le collisioni possono essere risolte inibendo ogni ulteriore nuova trasmissione e incrementando la lunghezza dell'intervallo in cui viene scelto aleatoriamente l'istante della nuova trasmissione. Una tecnica più sofisticata è la slotted ALOHA, dove i pacchetti non vengono ritrasmessi in modo puramente casuale, ma solo in determinati slot temporali condivisi da tutta la rete per evitare almeno la parziale sovrapposizione dei pacchetti. I terminali cosiddetti VSAT (Very Small Aperture Terminai) consistono in stazioni di terra con antenne di dimensioni relativamente contenute (circa 1-2 m), amplificatori a stato solido (1-2 W), convertitori di frequenza a basso costo, e una sofisticata elaborazione del segnale realizzata in banda base mediante circuiti VLSI. Sono diventati molto diffusi con la recente disponibilità dei satelliti in banda Ku e lo sviluppo della tecnologia che ha permesso di contenere i costi di realizzazione e di gestione. L'obbiettivo dei terminali VSAT è quello di fornire alle utenze commerciali, come banche, compagnie petrolifere, hotel, grandi magazzini e aziende in generale, la possibilità di un sistema di trasmissione per dati e voce a basso costo. Tipicamente i sistemi VSAT forniscono alta qualità del servizio (BER inferiore a lO -7 per il 99.5% del tempo di esercizio) a velocità che vanno da 100 bit/s fino a 64 kbit/s [Chakraborty, 1988; Maral, 1995]. Molti utenti condividono un unico transponder mediante tecniche SCPC, TDMA o CDMA, in modo che il costo per l'utente sia inferiore a quello relativo allo stesso servizio offerto dalle compagnie telefoniche pubbliche. [Dorf, 1993, p. 2201; Maral, 1995; Rana, McCoskey e Check, 1990]. Comunicazioni

personali

via satellite

Sono stati recentemente sviluppati anche sistemi satellitari per fornire servizi di telecomunicazione direttamente verso dispositivi di comunicazione personale PCS (Personal Communication System), come telefoni portatili, e terminali dati mobili. In generale, i dispositivi PCS impiegano antenne piccole e non direzionali con guadagno limitato. Pertanto, il livello di segnale all'utente proveniente dal satellite deve essere sufficientemente

566

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione via radio e via cavo

TABELLA 8-2

SISTEMISATELLITARIPER LA COMUNICAZIONEPERSONALE Sistema Globalstar

ICO

Produttori

LoraIj Qua1comm

Costo del sistema (miliardi di $) Orbita

2.5 LEO 1415.9 48 6 52° 1.6/2.4 2400 CDMA/FDM CDMA/QPSK 0.5 1250 2.4 0.50 2000

ICO Global Comm. Ltd. 4.6 MEO lO 378 lO 2 45° 2.0/2.2 4500 TDMA/FDM QPSK 0.625 25.2 36 1.25 2001

Altezza orbita (in km) Numero di satelliti Numero di piani orbitali Inclinazione dei piani Frequenze salita/discesa (GHz) Numero di canali vocali per satellite Tecnica di accesso Modulazione Potenza a RF (W) (sistema PCS) Banda (kHz), Tx PCS Bit rate (kbit/s). Tx PCS Costo/minuto per canale vocale ($) Anno inizio funzionamento

Iridiumt Motorola/ SATcom 4.7 LEO 780.39 66 6 86.4° 1.6/1.6 1100 TDMA/FDM DQPSK 0.45 31.5 50 2.00 1998

t

elevato, e ciò può essere ottenuto utilizzando satelliti non geostazionari in orbita bassa (LEO, Low Earth Orbit), posti cioè a una distanza relativamente modesta, intorno a 600-2000 km. Soluzioni sub-ottimali sono anche i satelliti MEO (Medium Earth Orbit) e HEO (Highly-Elliptical earth Orbit), posti rispettivamente alla distanza di circa 8300 km e 16 000 km [Balduino, 1995; Wu, Miller, Pritchard e Pickholtz, 1994]. La Tabella 8-2 mostra alcuni dei sistemi LEO/MEO/HEO progettati per servizi PCS. In questi sistemi la copertura globale planetaria per servizi tipo voce, dati e facsimile, è realizzata mediante una rete di satelliti distribuiti attorno al globo in orbite collocate su piani inclinati rispetto all'equatore. Per realizzare l'accesso al servizio da parte di un elevato numero di utenti, viene utilizzata una tecnologia simile a quella cellulare descritta nel Paragrafo 8-8. Ad esempio, in ogni satellite del sistema Iridium è utilizzato un sistema d'antenna con ben 48 fasci (analoghi alle celle di un sistema terrestre) per garantire il servizio fino a 1100 utenti. In analogia con il sistema cellulare terrestre GSM, un canale FDM è condiviso in TDMA da 8 utenti con trame per la trasmissione e la ricezione di durata 45 ms. I dispositivi PCS (in pratica i "telefonini" satellitari) sono progettati in modo da cercare per prima una connessione con la rete cellulare terrestre, quindi per collegarsi al servizio satellitare se il servizio cellulare locale non è disponibile. Questi sistemi PCS basati su satellite non hanno avuto un grosso successo commerciale per varie ragioni, tra le quali la più rilevante è l'insostenibile concorrenza con i sistemi cellulari terrestri.4 Questi ultimi, che forniscono servizi a basso costo praticamen1 Il servizio telefonico satellitare Iridium è terminato mancanza di un numero sufficiente di clienti. 4

nel marzo 2000 per motivi economici

dovuti alla

8-6

567

Bilancio energetico di un collegamento

te in tutte le aree popolate del globo, si sono sviluppati a una velocità fenomenale e non prevedibile al tempo in cui furono progettati e preliminarmente dispiegati i sistemi PCS satellitari, che res!ano comunque insostituibili per alcuni servizi come le comunicazioni marittime.

8-6 BILANCIO ENERGETICO DI UN COLLEGAMENTO Ricaveremo in questo paragrafo la relazione intercorrente tra il rapporto segnale-rumore all'ingresso del ricevitore e alcuni parametri tipicLdel sistema di comunicazione, come la potenza isotropica equivalente irradiata EIRP (Effective Isotropic Radiated Power), l'attenuazione dello spazio libero, il guadagno dell'antenna di ricezione e la cifra di rumore del ricevitore. Il risultato ottenuto permette di valutare la qualità del collegamento in termini di probabilità d'errore per un sistema digitale oppure di rapporto segnale-rumore per un sistema analogico. Potenza

del segnale

ricevuto

In tutti i sistemi di comunicazione, il livello di potenza del segnale ricevuto rappresenta un parametro molto importante nell'economia del sistema, in quanto la qualità del servizio (cioè le prestazioni del collegamento) dipende fortemente da questa grandezza media. Lo schema a blocchi di un tipico sistema di radiocomunicazione nello spazio libero è quello di Figura 8-16. Il guadagno di potenza complessivo è dato da PR..

=

PT..

'--

GA-rGAR LSL

(8-2)

dove PT.. è la potenza di segnale all'antenna trasmittente, PR.. rappresenta la potenza di segnale all'ingresso del ricevitore, GATe GARsono i guadagni d'antenna rispettivamente dell' antenna di trasmissione e di quella di ricezione, e infine LSL è l'attenuazione dello spazio libero. Il concetto di guadagno d'antenna usato nella (8-2) ruota attorno a quello di antenna isotropica (che emette cioè nello stesso modo lungo tutte le direzioni dello spazio) e di potenza isotropica equivalente irradiata EIRP [Kraus, 1986]: (8-3)

Canale 1

Segnale

:

in banda base

I

di ingresso

:

m(t)

~

~

Trasmettitore:

PTx

Figura 8-16

Guadagno

Attenuazione

Guadagno

antenna

dello spazio

antenna:

in trasmissione

libero

~

GAT p

~~

GFS

1

in ricezione I

GAR

Segnale in banda base

1

l PRx

di uscita

I

Trasmettitore m(t) . AlI'utilizzatore

Schema a blocchi di un sistema di comunicazione con propagazione in spazio libero.

568

Capitolo 8

- Sistemi

di comunicazione via radio e via cavo

Il guadagno d'antenna è allora definito come segue: densità superficiale di potenza dell'antenna nella direzione di massima irradiazione densità superficiale di potenza dell' antenna isotropica avente stessa potenza in ingresso La densità di potenza (misurata in W1m2) può essere misurata o calcolata a una distanza generica d per entrambe le antenne. Riportiamo in Tabella 8-3 i guadagni di alcune tipiche antenne utilizzate in pratica. Valutiamo dunque la densità di potenza alla distanza d di un'antenna isotropica: .,

..

denslta dI potenza a dIstanza d

=

potenza trasmessa superficie di una sfera di raggio d

PEIRP

= ~47Td

(8-4)

Spesso si preferisce, soprattutto nelle normative, fare riferimento all' intensità di campo elettrico,
- -- 377. :;:-- - ~ X
densità di potenza = -

_\L. r-m2

\.(

A

-

l'fr? (8-5)

:;...

dove 377 Q è l'impedenza dello spazio libero. Collocando l'antenna ricevente a una distanza d da quella trasmittente, essa funziona come se "intercettasse" la densità di potenza del campo emesso dall'antenna trasmittente su di un'area equivalente (Ae)Rx (m2), fornendo in uscita la potenza PTx

PRx =

GAT

( 47Td2 )

(8-6)

(Ae)Rx

dove abbiamo usato il guadagno, GAT,dell'antenna trasmittente valutato rispetto all'antenna isotropica. Così facendo, resta inteso che l'antenna ricevente è puntata lungo la direzione di massima irradiazione dell'antenna trasmittente, quella cioè che dà luogo proprio al guadagno GAT. Il guadagno di un' antenna è legato alla sua propria area equivalente (nella direzione di massima irradiazione) come segue: (8-7) TABELLA 8-3

GUADAGNO DI ANTENNA E AREA EQUIVALENTE Guadagno d'antenna, GA (adimensionale)

Tipo di antenna

Isotropica Dipolo o anello di dimensioni infinitesime Dipolo a A/2 Antenna a tromba ("Hom", ottimizzata), area apertura, A Parabola ("dish"), superficie di illuminazione, A A croce (due dipoli incrociati con alimentazione sfasata di 90°)

/

Area equivalente, Ae (m2)

I 1.5 1.64

A2j 47T

IOA/ A2 7.0Aj A2

0.8IA 0.56A

I.l5

I.5A 2 / 47T 1.64A 2 /47T

8-6

Bilancio energetico di un collegamento

569

dove A = c/i è la lunghezza d'onda, c è la velocità della luce (3 X 108 m/s) e f è la frequenza portante misurata in Hz. La Tabella 8-3 fornisce sia il guadagno sia l'area equivalente di alcune antenne. La (8-7) è giustificata dal fatto che l'antenna è un dispositivo reciproco, e che quindi il guadagno non dipende dall'essere essa utilizzata in trasmissione o in ricezione. Sostituendo la (8-7) nella (8-6), si ottiene 2

A

PRx

PTx = GAT ( 41Td ) GAR

(8-8)

dove compare l'attenuazione dello spazio libero 41Td 2 LSL

= (T

(8-9)

)

Il guadagno totale di canale espresso in dB si ottiene applicando la funzione lO log [.] a entrambi i membri della (8-2) (Gcanale)dB = dove l'attenuazione

(GAT)dB

-

(LsddB + (GAR)dB

dello spazio libero5 espressa in dB è

41Td

(LsddB = 20 log (T 1.

(8-10)

) dB

(8-11)

Ad esempio, l'attenuazione dello spazio libero a 4 GHz relativa a un satellite in orbita geostazionaria rispetto la Terra (37000 km) è pari a ben 195.8 dB. Sorgenti

di rumore

termico

Uno dei principali contributi alle componenti di rumore all'uscita di un ricevitore è rappresentato dalle sorgenti di rumore termico. In un qualsiasi elemento conduttore di resistenza R (misurata in Q) gli elettroni liberi si muovono in modo caotico se la temperatura è superiore allo zero assoluto. Questo movimento di agitazione termica produce una tensione di rumore di ampiezza in generale molto limitata, che può però diventare significativa quando tale disturbo si trova a essere sovrapposto a un segnale utile anch'esso di ampiezza piccola. Se per assurdo nei sistemi non avessimo alcuna componente di rumore, il segnale utile potrebbe essere amplificato senza alcuna degradazione, quindi si potrebbe comunicare a distanza pressoché illimitata con una potenza infinitesima. Un elemento resistivo può essere modellato mediante un circuito equivalente che consiste in un resistore ideale non rumoroso in serie con un generatore di tensione di rumore (Fig. 8-17). Attraverso considerazioni di meccanica quantistica si può dimostrare che tale processo di rumore ha una densità spettrale di potenza normalizzata [Van der Ziel, 1986]

hlil

çpv(f)

= 2R [ 2

hlfl + ehlfl/(kT) - l ]

5 L'espressione dell'attenuazione dello spazio libero si può modificare opportunamente del canale multipath tipico di un ambiente urbano [si faccia riferimento alla (8-67)].

(8-12)

per tenere conto

570

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione via radio e via cavo

Resistore ideale Resistore fisico

R Generatore di tensione di rumore equivalente

(a) Elemento circuitale dissipativo caratterizzato dalla sua resistenza

(b) Circuito equivalente di Thevenin per l'elemento dissipativo

Figura 8-17 Sorgente di rumore termico. dove

R è il valore della resistenza (ohm)

h

= 6.62 X lO-34

k

=

1.38 X lO -23 J/K è la costante di Boltzmann

T

=

62 è la temperatura assoluta della resistenza (kelvin)

J . s è la costantedi Planck

Alla temperatura ambiente e per frequenze inferiori a 1000 GHz si ha [hlfl/(kT)] quindi, con l'approssimazione eX = l + x, la (8-12) si riduce a ~ v(J)

< l/S,

= 2RkT

(8-13)

Useremo nel testo esclusivamente questa relazione semplificata che è più che accurata per i casi pratici di frequenze RF al di sotto dei 100 GHz e temperature abbastanza lontane dallo zero assoluto. Il valore efficace della tensione di rumore prodotta da una resistenza R e misurata a circuito aperto sulla banda B è allora [si ricordi la (2-67)]

Veff = ~

Caratterizzazione

= ~2

{B~v(J)

df

= -V4kTBR

(8-14)

energetica delle sorgenti di rumore

Possiamocaratterizzareuna sorgentedi rumoremediantela massimapotenzadi disturbo che può esseretrasferitaa un carico. DEFINIZIONE.La potenza di rumore disponibile è la massima6 potenza che può essere ottenuta da una sorgente di disturbo, mentre la densità spettrale di potenza disponibile è la massima densità spettrale di potenza che può essere ottenuta da una 6 La massima potenza o la massima densità spettrale di potenza che può essere trasferita a un carico si ha quando ZL(j)

sorgente.

= Z~(j),

dove ZL(j) è l'impedenza

del carico e Z~(j) è il valore coniugato dell'impedenza

della

8-6

Bilancio energetico di un collegamento

571

RL=R CjJ>a(f)

Figura

8-18

Sorgente di rumore con carico adattato.

sorgente. Le potenze in gioco in questa definizione devono intendersi non nonnalizzate. La densità spettrale di potenza disponibile per una sorgente di rumore tennico si calcola facilmente usando la Figura 8-18 e la (2-142): (8-15) Pertanto, la potenza disponibile relativa a una banda B è data da B

Pa

B

1

= J-B llPa(J) di = J-B 2.kT di

e cioè pa

= kTB

(8-16)

Quest'ultima equazione indica che la potenza disponibile per una sorgente di rumore termico non dipende dal valore della resistenza R, a differenza della tensione a circuito aperto data dalla (8-14). La potenza di rumore disponibile per una generica sorgente di rumore può essere specificata mediante la temperatura di rumore. DEFINIZIONE.

La temperatura di rumore di una sorgente è T=-

Pa kB

(8-17)

dove Pa è la potenza disponibile della sorgente in una banda pari a B. Riguardo quest'ultima definizione, si tenga presente che se si ha una sorgente di rumore tennico la temperatura T rappresenta la temperatura fisica del dispositivo espressa in kelvin, mentre per altri tipi di sorgente di rumore la grandezza T non ha nessun legame con la temperatura fisica del dispositivo.

Sistemi lineari rumorosi Un sistema lineare avente all'interno sorgenti di rumore può essere modellato come in Figura 8-19, e cioè come un sistema ideale privo di rumore con guadagno di potenza Ga(J)

572

Capitolo 8

- Sistemi

di comunicazione via radio e via cavo

la cui uscita si somma a quella di una sorgente di rumore fittizia che tiene conto dell'effetto delle sorgenti interne e delle caratteristiche del sistema. Tipici sistemi lineari che seguono questo modello sono le linee di trasmissione, gli amplificatori RF, i convertitori di frequenza e gli amplificatori IF. DEFINIZIONE.

Ga( f )

=

Il guadagno di potenza disponibile di un sistema lineare è

densità spettrale di potenza disponibile in uscita dal sistema

= !!fao(f) !!fas(f) (8-18)

Quando si deve ricavare sperimentalmente la quantità Ga(f), bisogna misurare la densità spettrale di potenza disponibile Ga(f) all'uscita del sistema. Per fare ciò, la potenza della sorgente di rumore all'ingresso deve essere fissata a un livello sQfficientemente elevato in modo che il suo contributo in uscita sia nettamente preponderante rispetto al contributo dato dalle altre componenti. Notiamo esplicitamente che queste densità si riferiscono a potenze non normalizzate. Si può poi dimostrare che Ga(f) dipende sia dall'impedenza della sorgente che dagli elementi contenuti nel sistema, ma non dall'impedenza del carico. Inoltre, se le impedenze della sorgente e del carico sono uguali, si ha Ga(f) = IH(f)l2, dove H(f) è la risposta in frequenza del sistema. Per quantificare le prestazioni di un sistema in termini di rumorosità interna, si utilizzano due parametri del tutto equivalenti, la cifra di rumore e la temperatura equivalente di rumore. DEFINIZIONE.La cifra di rumore di un sistema lineare si ottiene collegando una sorgente di rumore termico di temperatura To in ingresso e un carico adattato in uscita (Fig. 8-19), e risulta pari a densità spettrale di potenza disponibile in uscita dal sistema reale densIta spettrale dI potenza dIspombIle In uscIta da un sIstema Ideale con lo stesso guadagno cioè F (f) s

=

!!fao(f)

(kTo/2)Ga(f)

=

(kTo/2)Ga(f)

+ !!fAf) > l

(kTo/2)Ga(f)

Modello del dispositivo reale I I I I

~ +

I I I I

: I I I

L

Figura 8-19

I I I

l

I I I I

+

: Dispositivo lineare

II

~

n(t):

non rumoroso Sorgente di rumore fittizia con: densità spettrale di potenza, ~X
: I I I J

Modello per la valutazione del rumore in uscita da un sistema reale.

(8-19)

8-6

Bilancio energetico di un collegamento

573

Il valore di Rs è relativo alla stessa resistenza utilizzata per valutare Ga(f) mentre come valore di temperatura standard si pone To = 290 K, come indicato dalle norme IEEE [Haus, 1963]. La cifra di rumore Fs(f) è una funzione della frequenza, ed è sempre maggiore dell'unità per un dispositivo reale (è unitaria per un dispositivo ideale). Fs(J) è anche una funzione della temperatura della sorgente To, e di solito viene valutata in corrispondenza della temperatura standard To = 290 K. La cifra di rumore media viene invece misurata su una banda B specificata. DEFINIZIONE.

La cifra di rumore media è F

=

Paa /o+8/2 kTo Ga(f) . /0-8/2

I

(8-20) df

dove /o+8/2

p ao = 2

I/0-8/2

I!Pao(f)

df

è la potenza di rumore disponibile in uscita su di una banda B centrata attorno afo.

Se il guadagno di potenza disponibile è costante e pari a Ga(f) = Ga sull'intervallo di frequenza (Jo - B/2) s; f s; (Jo + B/2), la cifra di rumore diventa Pao

F

=

(8-21a)

kToBGa

ed è spesso specificata in dB come Paa FdB

=

lO 10g(F)

=

lO log ( kToBGa)

(8-21b)

Come semplice esempio numerico, consideriamo un preamplificatore a RF con cifra di rumore indicata dal costruttore pari a 2 dB. Ciò significa che la potenza di rumore che si ha in uscita è di fatto 1.58 volte la potenza che si avrebbe per il solo effetto dell'amplificazione della sorgente a 290 K posta all'ingresso. (Si veda al proposito la Fig. 8-20.) DEFINIZIONE.La temperatura equivalente di rumore Tes(f) di un sistema lineare è pari alla temperatura addizionale che si dovrebbe sommare alla temperatura della sorgente d'ingresso Ti per produrre in uscita da un sistema ideale privo di sorgenti interne la stessa densità spettrale di potenza disponibile del sistema reale. Essa resta dunque definita dalla relazione k I!Pao(f)

= GiJ) "2 [Ti + Tes(f)]

(8-22)

dove I!Pao(f) è la densità spettrale di potenza disponibile ali 'uscita del dispositivo

rumoroso quando all'ingresso si ha una sorgente di temperatura Ti.

574

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione via radio e via cavo Modello del dispositivo reale

~---------

I W'as(f)

k:

= TT;

W'(f) = I I

,I Rs

+

~[Ti + Tes(f)]

: :

~

.

~

CJa(f)

+

:

Dispositivo l"meare non rumoroso

n (t )

I l

I I

I

Sorgente di rumore fittizia

:

:

con densità spettraIe di potenza,

:

:

W'Af)

1- Te.(f)

:

I

:

I

Figura 8-20

I II

I

:

Sorgente di rumore termico

I

.

~I

Modello alternativo per la valutazione del rumore in uscita da un sistema reale.

La temperatura equivalente di rumore media Te è poi definita come /o+ B/2

Pao

= k(T;

+ Te)

f

Ga(f) df

(8-23)

/0-B/2

dove la potenza disponibile misurata in uscita sulla banda B è data da Pao

= 2

f

/()+ B/2

rg>ao(J)df

(8-24)

/0-B/2

Poiché il guadagno di potenza disponibile Ga(J) dipende dall'impedenza della sorgente di ingresso e dal sistema stesso, anche Te(J) dipenderà da questa quantità, ma risulterà indipendente da T;. Usualmente si conviene di pore T; = To = 290 K. Quando il guadagno di potenza è costante sulla banda, Ga(J) = Ga, la temperatura equivalente di rumore è data semplicemente da T

e

= Pao -

kT;GaB

kGaB

(8-25)

Si noti cheTes(J)e Te sono entrambemaggioridi zero, ma se il dispositivosi può considerare ideale (e cioè le sorgenti interne si ritengono trascurabili), tali valori sono approssimativamente nulli. La definizione (8-23) di temperatura equivalente richiede di utilizzare una sorgente con temperatura T{. Quando il dispositivo è effettivamente utilizzato in un apparato e la temperatura della sorgente è diversa da T;, la potenza disponibile in uscita è diversa. Consideriamo ad esempio un preamplificatore RF collegato a un'antenna. La potenza disponibile in uscita all'amplificatore è data7 da (8-26) 7

Il valore di Pao nella (8-26) e (8-27) è differente da quello relativo alle (8-23), (8-24) e (8-25).

8-6

575

Bilancio energetico di un collegamento

dove c;Pas(f) è la densità spettrale di potenza disponibile in uscita relativa alla sorgente (cioè all'antenna), mentre Te è la temperatura equivalente (media) dell'amplificatore valutata usando una sorgente d'ingresso con la temperatura standard Ti. Se il guadagno dell'amplificatore si può ritenere approssimativamente costante sulla banda, si ottiene Pao = GaPas + kTeB Ga

(8-27)

dove la potenza disponibile della sorgente (antenna) è Pas oppure, considerando (8-17):

=2

f

lO+ 8/2 c;Pas(f)

df

(8-28)

10-8/2

la temperatura equivalente di rumore della sorgente, Ts, e usando la Pas

= kTsB

(8-29)

In una stazione di terra per comunicazioni satellitari, la temperatura equivalente di rumore dell'antenna potrebbe essere dell'ordine di Ts = 32 K a 4 GHz. Questo dato si riferisce a un'antenna parabolica per la quale il disturbo è dovuto in parte al rumore cosmico captato dal lobo principale, e in parte dal rumore raccolto dal terreno ricevuto attraverso i lobi laterali (e perciò attenuato rispetto al cosmico). Si tenga presente che la Terra si comporta come una sorgente termica con temperatura T = 280 K. Da questa discussione si capisce che la temperatura equivalente di rumore dell'antenna Ts è se mai legata alla resistenza di radiazione dell'antenna, e non ha niente a che fare né con la resistenza di perdita (ohmica) della stessa, né con la temperatura fisica dell'antenna. Per ricapitolare, abbiamo definito due parametri di merito: la cifra di rumore e la temperatura equivalente di rumore. Combinando la (8-19) e la (8-22), dove Ti = To, si ottiene (8-30a) Utilizzando invece la (8-2Ia) e la (8-25), si ottiene la corrispondente relazione per le quantità medie: Te

= To(F

(8-30b)

- 1)

Esempio 8-3 Te E F DI UNA LINEADI TRASMISSIONE Valutiamo ora la temperatura equivalente di rumore Te, e la cifra di rumore F di una linea di trasmissione. Colleghiamo dunque una resistenza di sorgente e una di carico pari all'impedenza caratteristica della linea Ro entrambe alla temperatura h come illustrato in Figura 8-21. La linea di trasmissione è un sistema passivo con guadagno Ga= l/L, dove L è l'attenuazione in potenza. L'impedenza "vista" dall'uscita della linea è resistiva e pari a Ro, visto che la terminazione in ingresso è pari a sua volta a Ro. Supponendo che anche la temperatura fisica della linea sia TL, la potenza disponibile in uscita è Pao

=

kTLB (adattamento perfetto), quindi

dalla (8-25) si ha

(Continua)

576

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione via radio e via cavo

----

1 Sorgente

Ro

L -~~e:: ~~~:~~~:

Impedenza caratteristica

=~

L

Figura 8.21

~rdite 1 Ro Carico ~

Misura della cifra di rumore di un dispositivo passivo.

La temperatura equivalente di rumore per la linea è dunque Te

= TdL

(8-31a)

- l)

Se la temperatura fisica della linea è invece To, si ottiene (8-3Ib)

Te = To(L - l)

Combinando la (8-30b) e le (8.31) otteniamo anche l'espressione della cifra di rumore della linea: F=

TL l +-(L-l) To

(8-32a)

dove TL è la temperatura fisica (in kelvin), To = 290 e L è l'attenuazione. Se la temperatura fisica è 290 K la (8-32a) si riduce a l F=-=L Ga

(8-32b)

Dunque se una linea di trasmissione ha un'attenuazione di 3 dB, la sua cifra di rumore sarà 3 dB a 290 K, mentre sarà ad esempio pari a 2.87 dB per una temperatura pari a 73 K.

Sistemi rumorosi in cascata In un apparato per telecomunicazioni troveremo in generale un certo numero di dispositivi rumorosi collegati in cascata, come indicato in Figura 8-22. In un ricevitore potremmo avere un preamplificatore RF connesso mediante una linea di trasmissione a un convertitore di frequenza e a un amplificatore IF, tutti caratterizzati da un certo guadagno di potenza e da una certa cifra di rumore. Per valutare le prestazioni del ricevitore occorre Sistema superiore Ga, F, Te

ì

i

1 1 1 1 1 1 I I

I I I 1

Dispositivo l

Dispositivo 2

Dispositivo 3

Dispositivo 4

Gai

Ga2

Ga3

Ga4

,

.FI

F2

F3

F4

Te2

Te3

Te4

1 I 1 I

Tel

1 1

I J

Figura 8-22

Cascata di quattro sistemi.

8-6

Dispositivo2

-- -

r

:

I

,

"'002P

''':

I I I I l I I L

V

Figura 8-23

' : :

I I I l I I I ~

r P

xI

577

Bilancio energetico di un collegamento

>--

1

V

' ' '

:

i

i , , ,

Px2

~------------------'

:

~

Modello per la valutazione del rumore in uscita da due sistemi in cascata.

calcolare il guadagno di potenza e la cifra di rumore complessivi a partire dai corrispondenti parametri dei singoli dispositivi. Il guadagno di potenza complessivo è dato da (8-33) visto che, ad esempio per un sistema a quattro stadi, si ha Ga(f) = ~a,,4 = ~{/s

TEOREMA.

~a"l

(

~as

~aoz ~ao3 ~a04 ) ( ~aol ) ( ~aoZ ) ( ~a"3 )

La cifra di rumore complessiva di ulla cascata di sistemi lineari è8

+ ...

(8-34)

come indicato in Figura 8-22 (per un sistema a quattro stadi). Dimostrazione. Questo risultato può essere ricavato utilizzando per ogni stadio il modello di Figura 8-19. Nel caso particolare del sistema a due stadi di Figura 8-23, la cifra di rumore complessiva è PaoZ

F

=

- Pxz + PaolGaZ

(PaoZ)ideale

Gai GaZPas

che diventa F

=

P.d

+ Gaz(Pxt + GalPas)

(8-35)

Gai GaZPas

dove Pas = kToB è la potenzadisponibiledella sorgentedi rumoretermico.Le potenze PxI e Pxz possono essere ricavate utilizzando la cifra di rumore dei singoli dispositivi in Figura 8-19, in modo tale che per l'i-esimo dispositivo si ha

S Questa relazione è nota come fonnula di Friis.

578

Capitolo 8

- Sistemi

di comunicazione via radio e via cavo

e cioè Pxi

= GaiPas(Fi

-

l)

(8-36)

Sostituendo nella (8-35) i valori di P.d e Px2, si ottiene

che è identica alla (8-34) valutata nel caso particolare di due stadi. In modo del tutto simile, si può dimostrare che la (8-34) è vera per un numero qualsiasi di stadi. Come commento riguardo la (8-34), occorre mettere in evidenza che se i termini GaI, GaIGa2, GaIGa2Ga3,e così via hanno un valore sufficientemente elevato, allora FI sarà il termine dominante. Pertanto, nel progetto di un ricevitore è importante che il primo stadio abbia una cifra di rumore bassa e un guadagno di potenza elevato, in modo che la cifra di rumore dell'intero ricevitore sia la più piccola possibile. Valutiamo ora la temperatura di rumore equivalente totale della cascata di più sistemi. TEOREMA.

La temperatura equivalente di rumore complessiva di una cascata di

sistemi è (8-37)

II I

I

come mostrato in Figura 8-22. Lasciamo la dimostrazione di questa relazione come esercizio per il lettore. Per ulteriori informazioni riguardo la temperatura equivalente di rumore e la cifra di rumore, si consiglia la monografia Mumford e Scheibe [1968]. Bilancio

energetico

di un collegamento

(link budget)

Le prestazion,idi un sistema di comunicazione dipendono dal rapporto segnale-rumore all'ingesso del demodulatore utilizzato nel ricevitore. In particolare, distinguiamo tra il rapporto portante-rumore C/N (CNR, Carrier to Noise Ratio) prima della demodulazione e il rapporto segnale-rumore SIN (SNR, Signal to Noise Ratio) all'uscita del demodulatore. Lo scopo di questo paragrafo è quello di definire il bilancio energetico del collegamento, il cosiddetto link budget, e cioè esprimere il rapporto C/N all'ingresso del demodulatore in funzione dei parametri del collegamento, come il livello di EIRP utilizzato in trasmissione, l'attenuazione dello spazio libero, il guadagno dell'antenna ricevente, e la temperatura equivalente del ricevitore. Consideriamo dunque il sistema di comunicazione delineato nella Figura 8-24. La parte di ricevitore compresa tra l'uscita dell'antenna ricevente e l'ingresso del rivelatore/demodulatore si può schematizzare come un unico blocco lineare comprendente la cascata della linea di trasmissione, dell'amplificatore a basso rumore LNA (Low Noise Amplifier), del convertitore di frequenza, e dell'amplificatore a IF. Quest'unico blocco è descritto dal guadagno di potenza disponibile complessivo e dalla temperatura equivalente di rumore complessiva, che possono essere ricavati come descritto nel paragrafo precedente.

8-6

579

Bilancio energetico di un collegamento

Il CNR all'ingresso dell'amplificatore ideale in Figura 8-24 (avente guadagno Ga) è anche quello che si ha all'ingresso del demodulatore, in quanto l'amplificatore ideale amplifica sia il segnale che il rumore in ingresso senza introdurre ulteriori componenti dovute alle sorgenti interne. Il rapporto portante/rumore vale dunque (8-38) dove i rapporti C/N a cui si fa riferimento sono indicati in Figura 8-24. Dalle (8-2) e (8-3), la potenza di segnale ricevuto è C Rx--

PEIRPGAR L SL

(8-39)

dove PEIRPè la EIRP del trasmettitore, LSL è l'attenuazione dello spazio libero, e GARè il guadagno dell' antenna ricevente. In base alla (8-17), la potenza di rumore disponibile all'ingresso dell' amplificatore di Figura 8-24 è N = kTsystB

(8-40)

r

~

!o.('"

Rumore cosmico

'W"

-'/

nt(t)

~

J

m (t)

.

''J

Antenna Trasmettitore

Guadagno in spazio libero GSL

in trasmissione GAT

I

I Antenna in ricezione GAR

, ,

I

I

I

I

I

I

:

I

I

I

r(t)

= s(t) + n(t)

.. k

C

(NRx)

I: : I I I :

: I I I I

I: :

I

I

L

:

I : :

--~ 8-24

n2( t) Sorgente di rumore fittizia al ricevitore

I

1 I

~

I I

I

Ga

I

\

C

()

Rivelatore

I :

Stadio lineare: non rumoroso I I I I

: I I I I

: I

: ,

Modello del ricevitore costituito da tre stadi

in cascata: LNA, linea di trasmissione, convertitore di frequenza verso il basso e amplificatore a IF

-

I m (t)

:NDet.

~

Ricevitore

I

1

Px = kT,JJ

I

Figura

+

I :

I : :

I J

Modello di un sistema di comunicazione per la valutazione del bilancio del collegamento (link budget).

580

- Sistemi

Capitolo 8

di comunicazione via radio e via cavo

dove B è la banda IF. La temperatura equivalente di rumore del sistema ricevente comprendente l'antenna e il ricevitore vero e proprio è dunque (8-41) dove TARè la temperatura di rumore dell' antenna (dovuta al rumore cosmico e alla radiazione di corpo nero della Terra) e Te è la temperatura equivalente di rumore del ricevitore. Combinando le (8-39) e (8-40), il rapporto C/N all'ingresso del rivelatore è C N

PEIRPG AR

(8-42) kTsystB'

LSL

o, in dB, (8-43)

dove I

I

(PEIRP )dBw

=

lO log (PEIRP)è la EIRP del trasmettitore in dB rispetto a l W

(LFS)dB

=

20 log[(41Td)/À]

è la perdita di propagazione9

kdB = lO log (1.38 X lO-23) BdB = lO log(B) Il

I I

= -228.6

(B è la bandaIF misuratain Hz)

Per i sistemi analogici, il rapporto SIN all'uscita del demodulatore si può esprimere in funzione del rapporto CIN all'ingresso in base al tipo di demodulatore usato e alla corrispondente modulazione, come descritto nel Capitolo 7 e come riassunto in Tabella 7-2 e nella Figura 7-27. Applicheremo la (8-43) nell'Esempio 8-4 per valutare le prestazioni di un sistema ricevente satellitare. Le prestazioni di un sistema digitale sono indicate dalla BER in funzione del rapporto Eb/No. Quest'ultimo è a sua volta legato al rapporto CIN attraverso una relazione che ricaveremo nel prossimo paragrafo. Negli Esercizi EA8-1 e EA8-2 viene ricavata la BER di un sistema satellitare per segnali televisivi. Bilancio

energetico

per un sistema

digitale

Nei sistemi digitali il valore della probabilità d'errore sul bit Pe detta anche BER (Bit Error Rate), rappresenta l'indice di qualità del collegamento. Questa quantità dipende a sua volta dal tipo di modulazione e dal rapporto tra l'energia media per bit ricevuta e la densità spettrale di potenza del rumore (Eb/No), misurato all'ingresso del demodulatore, come mostrato in Tabella 7-1 e in Figura 7-14. Valutiamo dunque il rapporto Eb/No in funzione dei parametri del collegamento. L'energia per bit è data da Eb = CTb, dove C è la potenza di segnale ricevuta e Tb è l'intervallo di tempo necessario per inviare un bit. Utilizzando la (8-40), la densità spettrale di potenza monolatera di rumore è No = kTsys\,quindi

£ = Eb/Tt, = EbR N

NoB

(8-44)

NoB

.'

9 L'espressione

-,,'" dell'attenuazione

tipath tipico dell'ambiente

urbano.

di spazio libero può essere modificata per tenere conto del canale mu/J

/:..

ç...,

'\

(~

. (,

'\""'.J>:!.JI'i\S' '\>. ~.)iL. -==-.

'-

L

-

\::.~.~

l,.

C'

8-6

dove R

=

Bilancio energetico di un collegamento

581

l/Th è la velocità di trasmissione in bit/s. Sostituendo la (8-44) nella (8-42), si ha Eh = PEIRPGSLGAR No kTsystR

(8-45)

quindi la relazione cercata è Eh -

( No ) dB

= (PEIRP)dBw

GAR

- (LFs)dB + -

( Tsyst) dB

- kdB - RdB

(8-46)

= lO log (R) (R misurato in bit/s). Come esempio, si consideri un sistema BPSK con ricevitore ottimo. Allora, per ottenere una Pe = 10-4 si richiede (Eh/No)dB= 8.4 dB, come si può ricavare dalla Figura 7-14. Utilizzando la (8-46), si possono scegliere i parametri di sistema per soddisfare il valore di (GAR/Tsyst)dB richiesto. Maggiore è la velocità di trasmissione, maggiore dovrà essere la potenza trasmessa oppure il rapporto (GAR/Tsyst)dB. Il rapporto G/T rappresenta dunque un parametro di qualità dell'apparato ricevente indicato come specifica. Negli Esercizi di approfondimento EA8-l e EA8-2 viene valutato illink budget per un sistema digitale relativo alla trasmissione di un segnale televisivo. dove (R )dB

Perdita

di propagazione

(path 1055) per ambiente

urbano

L'attenuazione relativa alla propagazione elettromagnetica in uno spazio non completamente libero come l'ambiente urbano, dove si possono incontrare edifici, alberi ecc., è di difficile valutazione. Nei sistemi cellulari di radiocomunicazione il segnale ricevuto, è costituito da una componente diretta o in visibilità (fine oJ sight), accompagnata da un'insieme di componenti riflesse e attenuate dovute ad esempio alla propagazione attraverso le foglie degli alberi e/o i muri degli edifici. Sono stati sviluppati numerosi modelli, verificati poi mediante misure sperimentali, per predire il livello del segnale ricevuto. Per lo spazio libero l'attenuazione varia con il quadrato della distanza, e si ha quindi un esponente n

=

2 nella relativa formula (8-9); viceversa, quando si è in presenza di ostacoli,

come edifici urbani, l'esponente n è compreso tra 2 e 6, ed è tipicamente pari a n = 4. Esprimendo la perdita di propagazione tra il trasmettitore e il ricevitore in dB, si ha un modello logaritmico del tipo proposto in Rappaport [1996] e Sklar [1997]: (8-47a) dove LSLdB( do)

= 2010g

[( 47Tdo)/ À]

(8-47b)

LdB(d) è la perdita di propagazione totale per una distanza d tra le antenne e"LSLdB(do) rappresenta l'attenuazione dello spazio libero alla distanza di riferimento do dal trasmettitore (che convenzionalmente si assume pari a 1 km per un tipico sistema cellulare urbano, 100 m per un sistema microcellulare, e 1 m per un sistema radio in ambienti interni). Il termine XdBè una variabile aleatoria Gaussiana a valore medio nullo che rappresenta le variazioni dell'attenuazione dovute alle riflessioni multiple (attenuazione lognormale).

582

Capitolo 8 - Sistemi di comunicazione via radio e via cavo

Come applicazione della (8-47), valuteremo nell'Esercizio EA8-3 illink budget e le prestazioni di un sistema cellulare. Esempio 8-4 VALUTAZIONE DEL LINK BUDGET PER UN RICEVITORE TELEVISIVOSATELLITAREANALOGICO Un ricevitore per TV satellitare è piazzato nel punto avente coordinate 38.8° N e 77° W (Washington, DC, USA); il satellite è in orbita geostazionaria a 134° W sull'equatore, mentre le specifiche relative al ricevitore utilizzato sono riassunte in Tabella 8-4. Come discusso nel Paragrafo 8-5, il segnale video è trasmesso da terra al satellite modulando in frequenza una portante a 6 GHz e viene ritrasmesso verso il televisore traslando la portante a 4 GHz. La copertura del satellite è rappresentata in Figura 8-25 che illustra la cosiddetta impronta a terra (footprint) del satellite. L'impronta è una serie di curve tracciate sulla rappresentazione dell'area geografica di copertura aventi EIRP costante e quotate in dBW. In corrispondenza di Washington si nota una EIRP di circa = 36 dBW, come è indicato in Tabella 8-4. Si può dimostrare che per l'antenna ricevente del terminale televisivo [Davidoff, 1984, Cap. 9] l'angolo di elevazione è

(8-48a) dove f3 =

COS-I[coS

(8-48b)

rp COS À]

À è la differenza tra la longitudine del ricevitore e quella del satellite, rpè la latitudine del ricevitore, R = 6378 km è il raggio terrestre, e h = 36000 km è l'altezza del satellite. La distanza del ricevitore dal satellite si trova applicando il teorema di Carnot della trigonometria: d

= ~(R

(8-49)

+ h) 2 + R2 - 2R (R + h) cos f3

e l'azimuth dell'antenna ricevente è A

= cos-I ( -

tan rp tan f3)

(8-50)

DÙsurato a partire dal nord in senso orario. Per Washington si ha À

f3 = cos-l[cos(38.8) cos(57)]

=

134 - 77 = 57° e

= 64.9°

(8-51)

mentre la distanza dal satellite è d

= ~(42378)2

+ (6378)2 - 2(42378)(6378) cos(64.9)

= 39 887 km

(8-52)

L'angolo di elevazione è

E

= tan-I

l [ tane64.9)

+

6378 (42378) sen(64.9) ]

= 168° .

(8-53)

e l'angolo di azimuth dell'antenna ricevente è A = coS-1 -tan(38.8) [ tan(64.9) ]

= 247.9°

(8-54)

8-6 TABELLA 8-4

Bilancio energetico di un collegamento

583

PARAMETRI PER UN TIPICO SISTEMA DI TRASMISSIONE TELEVISIVO SATELLITARE

Parametro

Valore

Satellite Galaxy l Orbita Posizione (al di sopra dell'equatore) Banda di frequenza dell'uplink Banda di frequenza del downlink

Geostazionaria 134° W longitudine 6 GHz 4 GHz 36 dBW

(PEIRP )dBw

Tenninale TV Coordinate sito Washington D.C., 38.8° N latitudine, 77° W longitudine Antenna Parabola con diametro di 3 m Tipo di antenna Temperatura di rumore 32 K (all'uscita del feeder) per un'elevazione di 16.8° 0.98 Guadagno linea di alimentazione Amplificatore a bassa cifra di rumore (LNA) 40K Temperatura di rumore 50dB Guadagno Ricevitore 2610 K Temperatura di rumore Banda a IF 30 MHz 8 dB CNR Soglia FM

Riassumendo,

gli angoli di puntamento dell'antenna

ricevente verso il satellite sono E

= 16.8°

(elevazione) e A = 247.9° (azimuth). Lo schema a blocchi del ricevitore del sistema è illustra