Fourier Transformation und Wavelets 001

Fourier-Transformation und Wavelets Otto Forster, Joachim Wehler

Vorlesung im Wintersemester 2000/2001, LMU München, Version 1.0

Inhalt

1

HILBERT-RÄUME ...................................................................................................................................... 6 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

2

DEFINITION (PRÄ-HILBERT-RAUM) .......................................................................................................... 6 SATZ (UNGLEICHUNG VON CAUCHY-SCHWARZ) ...................................................................................... 6 DEFINITION (HILBERT-RAUM) .................................................................................................................. 7 DEFINITION (LINEARER OPERATOR) ......................................................................................................... 7 BEMERKUNG (STETIGKEIT UND BESCHRÄNKTHEIT) ................................................................................. 7 DEFINITION (ORTHOGONALITÄT, ORTHONORMALITÄT)............................................................................ 8 DEFINITION (FOURIER-KOEFFIZIENTEN BZGL. EINES ORTHONORMAL-SYSTEMS) ..................................... 8 SATZ (BESTE APPROXIMATION DURCH EIN ORTHONORMAL-SYSTEM) ..................................................... 8 KOROLLAR (BESSEL-UNGLEICHUNG, PARSEVAL-GLEICHUNG) .............................................................. 10 DEFINITION (HILBERT-BASIS)................................................................................................................. 10

L2-RÄUME .................................................................................................................................................. 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

3

2

SATZ (HILBERT-RAUM DER QUADRAT-SUMMIERBAREN FOLGEN) .......................................................... 11 BEMERKUNG (BANACH-RAUM DER P-SUMMIERBAREN FOLGEN) ........................................................... 12 BEMERKUNG (ABSOLUTE KONVERGENZ DURCH Z-INDIZIERTER REIHEN).............................................. 12 ALGORITHMUS (SCHMIDTSCHES ORTHONORMALISIERUNGSVERFAHREN) .............................................. 13 BEZEICHNUNG (RÄUME INTEGRIERBARER FUNKTIONEN)....................................................................... 14 BEISPIEL (LEGENDRE POLYNOME) ......................................................................................................... 15 BEMERKUNG (LEGENDRE POLYNOME)................................................................................................... 16 DEFINITION (HAAR'SCHE FUNKTIONEN) ................................................................................................. 16 SATZ (HILBERT-BASIS DER HAAR'SCHEN FUNKTIONEN) ........................................................................ 17

FOURIER-REIHEN ................................................................................................................................... 20 3.1 DEFINITION (TRIGONOMETRISCHES POLYNOM)...................................................................................... 20 3.2 BEMERKUNG (ORTHONORMAL-SYSTEM DER TRIGONOMETRISCHEN MONOME)..................................... 20 3.3 DEFINITION (FOURIER-REIHE) ................................................................................................................ 21 3.4 LEMMA (VERHALTEN BZGL. TRANSLATION UND DIFFERENTIATION) ..................................................... 21 3.5 DEFINITION (STÜCKWEISE STETIGE DIFFERENZIERBARKEIT) .................................................................. 22 3.6 DEFINITION (DIRICHLET-KERN) ............................................................................................................. 22 3.7 LEMMA (DIRICHLET-KERN) ................................................................................................................... 22 3.8 SATZ (RIEMANN-LEBESGUE LEMMA)..................................................................................................... 23 3.9 SATZ (GLEICHMÄßIGE KONVERGENZ DER FOURIER-REIHE UNTER DIFFERENZIERBARKEITSVORAUSSETZUNGEN) ......................................................................................................................................... 24 3.10 KOROLLAR (WEIERSTRAß'SCHER APPROXIMATIONSSATZ, PERIODISCHER FALL).................................... 26 3.11 KOROLLAR (HILBERT-BASIS DER TRIGONOMETRISCHEN MONOME)....................................................... 26 3.12 KOROLLAR (WEIERSTRAß'SCHER APPROXIMATIONSSATZ) ..................................................................... 27 3.13 KOROLLAR (HILBERT-BASIS DER LEGENDRE-POLYNOME)..................................................................... 27 3.14 BEMERKUNG (FALTUNG, DISTRIBUTION) ............................................................................................... 27 3.15 SATZ (DIFFERENZIERBARKEIT UND KONVERGENZVERHALTEN) ............................................................. 28

4

FOURIER-INTEGRALE ........................................................................................................................... 30 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17

DEFINITION (EXPONENTIALFUNKTION UND SKALIERUNG) ...................................................................... 30 DEFINITION (FOURIER-TRANSFORMATION) ............................................................................................ 30 BEMERKUNG (FOURIER-TRANSFORMATION UND KOMPLEXE KONJUGATION) ........................................ 30 BEISPIEL (FOURIER-TRANSFORMATION DER NORMALVERTEILUNG) ...................................................... 31 LEMMA (STETIGKEIT DER FOURIER-TRANSFORMATION) ........................................................................ 32 BEISPIEL (NICHT INTEGRIERBARE FOURIER-TRANSFORMATION)............................................................ 33 LEMMA (TRANSLATION UND DILATATION BEI FOURIER-TRANSFORMATION) ......................................... 33 LEMMA .................................................................................................................................................. 34 DEFINITION (TEMPERIERTE FUNKTIONEN).............................................................................................. 34 BEMERKUNG .......................................................................................................................................... 35 LEMMA (PRODUKT UND DIFFERENTIATION TEMPERIERTER FUNKTIONEN) ............................................. 35 BEMERKUNG .......................................................................................................................................... 36 SATZ (FOURIER-TRANSFORMATION TEMPERIERTER FUNKTIONEN) ........................................................ 36 LEMMA (STETIGKEIT DER FOURIER-TRANSFORMATION) ........................................................................ 37 SATZ (UMKEHRFORMEL DER FOURIER-TRANSFORMATION) ................................................................... 38 KOROLLAR (FOURIER-TRANSFORMATION ALS ISOMETRIE) .................................................................... 40 SATZ (FOURIER-TRANSFORMATION ALS L2-ISOMORPHISMUS) ............................................................... 40

Inhalt 5

3

DISTRIBUTIONEN.................................................................................................................................... 42 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12

6

DEFINITION (TESTFUNKTIONEN)............................................................................................................. 42 DEFINITION (DIRAC-DISTRIBUTION) ....................................................................................................... 42 DEFINITION (REGULÄRE DISTRIBUTIONEN) ............................................................................................ 43 SATZ (APPROXIMATION DER DIRAC-DISTRIBUTION) .............................................................................. 43 DEFINITION (DISTRIBUTION)................................................................................................................... 43 BEMERKUNG .......................................................................................................................................... 43 DEFINITION (MULTIPLIKATION MIT FUNKTIONEN) .................................................................................. 44 DEFINITION (TRANSLATION UND DILATION EINER DISTRIBUTION) ......................................................... 44 DEFINITION (ABLEITUNG EINER DISTRIBUTION) ..................................................................................... 44 BEISPIEL (ABLEITUNG DER HEAVISIDE-DISTRIBUTION) .......................................................................... 45 DEFINITION (KONVERGENZ VON DISTRIBUTIONEN)................................................................................ 45 BEISPIEL ................................................................................................................................................. 45

FOURIER-TRANSFORMATION TEMPERIERTER DISTRIBUTIONEN........................................ 46 6.1 SATZ (TESTFUNKTIONEN UND TEMPERIERTE FUNKTIONEN) ................................................................... 46 6.2 BEMERKUNG .......................................................................................................................................... 47 6.3 DEFINITION (TEMPERIERTE DISTRIBUTION)............................................................................................ 47 6.4 SATZ (TEMPERIERTE DISTRIBUTION)...................................................................................................... 47 6.5 BEMERKUNG (TEMPERIERTE DISTRIBUTIONEN) ..................................................................................... 47 6.6 DEFINITION (FOURIER-TRANSFORMATION TEMPERIERTER DISTRIBUTIONEN) ........................................ 48 6.7 LEMMA (FOURIER-TRANSFORMATION DER DIRAC-DISTRIBUTION) ........................................................ 48 6.8 LEMMA (TRANSLATION UND DILATATION BEI FOURIER-TRANSFORMATION TEMPERIERTER DISTRIBUTIONEN)............................................................................................................................................... 49 6.9 SATZ (KONVERGENZ DER DIRICHLET-KERNE) ....................................................................................... 49 6.10 FOLGERUNG (POISSON FORMEL) ............................................................................................................ 49 6.11 BEISPIEL (TRANSFORMATIONSFORMEL DER THETA-FUNKTION)............................................................. 50

7

FALTUNG ................................................................................................................................................... 52 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

8

BEMERKUNG (INTEGRIERBARKEIT IM PRODUKTRAUM).......................................................................... 52 DEFINITION (FALTUNG) .......................................................................................................................... 52 SATZ (FOURIER-TRANSFORMATION DER FALTUNG VON FUNKTIONEN) .................................................. 53 DEFINITION (FALTUNG EINER DISTRIBUTION)......................................................................................... 54 BEMERKUNG (FALTUNG EINER DISTRIBUTION) ...................................................................................... 54 LEMMA (FALTUNG EINER REGULÄREN DISTRIBUTION)........................................................................... 54 LEMMA (FALTUNG EINER DISTRIBUTION)............................................................................................... 55 BEISPIEL (FALTUNG DER DIRAC-DISTRIBUTION) .................................................................................... 55 SATZ (FOURIER-TRANSFORMATION DER FALTUNG MIT EINER DISTRIBUTION) ....................................... 55 SATZ (ABTAST-THEOREM VON SHANNON)............................................................................................. 56 BEMERKUNG (ABTASTDISTANZ) ............................................................................................................ 57 BEMERKUNG (ABTASTUNG) ................................................................................................................... 58

KONTINUIERLICHE WAVELET-TRANSFORMATION ................................................................... 60 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12

9 10

ALGORITHMUS (GEFENSTERTE FOURIER-TRANSFORMATION)................................................................ 60 ALGORITHMUS (WAVELET-TRANSFORMATION) ..................................................................................... 60 BEMERKUNG (GEFENSTERTE FOURIER-TRANSFORMATION VERSUS WAVELET-TRANSFORMATION) ...... 61 SCHREIBWEISE (WAVELET).................................................................................................................... 61 DEFINITION (WAVELET UND WAVELET-TRANSFORMATION).................................................................. 62 LEMMA (WAVELET-TRANSFORMATION ALS FALTUNG).......................................................................... 62 BEISPIEL (HAAR WAVELET) ................................................................................................................... 63 BEMERKUNG (WAVELET)....................................................................................................................... 64 LEMMA (ERZEUGUNG VON WAVELETS) ................................................................................................. 64 BEISPIEL (WAVELET MEXIKANER-HUT)................................................................................................. 65 SATZ (WAVELET-TRANSFORMATION ALS ISOMETRIE)............................................................................ 65 SATZ (UMKEHRFORMEL DER WAVELET-TRANSFORMATION) ................................................................. 66

GIBBSCHES PHÄNOMEN ....................................................................................................................... 68 SCHNELLE FOURIER-TRANSFORMATION .................................................................................. 69

Inhalt

4

11

FOURIERTHEORIE UND QUANTENCOMPUTING....................................................................... 70

12

BILDKOMPRESSION ........................................................................................................................... 71

13

WAVELET-FRAME............................................................................................................................... 72

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13.15 14

MULTI-SKALEN-ANALYSE ............................................................................................................... 90

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6

DEFINITION (SKALIERUNGS- UND TRANSLATIONSPARAMETERN) ........................................................... 72 BEMERKUNG (ANFORDERUNG AN DIE DISKRETE WAVELET-TRANSFORMATION) ................................... 73 BEISPIEL (HAAR WAVELET) ................................................................................................................... 73 DEFINITION (FRAME).............................................................................................................................. 74 BEMERKUNG (FRAME) ........................................................................................................................... 74 LEMMA (NORM IN EINEM HILBERT-RAUM) ............................................................................................ 75 SATZ (FRAME-OPERATOR) ..................................................................................................................... 75 DEFINITION (WAVELET-FRAME) ............................................................................................................ 78 LEMMA (STRAFFER FRAME UND HILBERT-BASIS).................................................................................. 78 SATZ (WAVELET-FRAME) .................................................................................................................. 79 DEFINITION (MEYER-WAVELET) ........................................................................................................ 85 BEMERKUNG (MEYER-WAVELET) ..................................................................................................... 85 SATZ (MEYER-WAVELET).................................................................................................................. 86 SATZ (REKONSTRUKTION AUS DEN WAVELET-KOEFFIZIENTEN)......................................................... 87 BEMERKUNG (MEXIKANER-HUT)....................................................................................................... 89

BEISPIEL (SKALIERUNGSFUNKTION) ....................................................................................................... 90 DEFINITION (SKALIERUNGSFUNKTION) ................................................................................................... 91 LEMMA (ORTHOGONALITÄTSRELATION) ................................................................................................ 91 BEMERKUNG (UNTERRAUM-STRUKTUR ZU EINER SKALIERUNGSFUNKTION).......................................... 92 SATZ (MULTI-SKALEN-ANALYSE) .......................................................................................................... 93 SATZ (WAVELETS EINER MULTI-SKALEN-ANALYSE) ............................................................................. 97 BEMERKUNG (WAVELETS EINER MULTI-SKALEN-ANALYSE) ................................................................. 99 LEMMA (SKALIERUNG IM FREQUENZRAUM)......................................................................................... 100 SATZ (KONSTRUKTION VON SKALIERUNGSFUNKTIONEN) ..................................................................... 103 SATZ (EXTREMALPUNKT)................................................................................................................. 104 BEISPIEL (DAUBECHIES-WAVELETS IM ÜBERBLICK) ........................................................................ 104

SCHNELLE WAVELET-TRANSFORMATION .............................................................................. 107 BEZEICHNUNG (SKALIERUNGSFUNKTION UND WAVELET).................................................................... 107 DEFINITION (ZERLEGUNGS-OPERATOREN) ........................................................................................... 107 BEMERKUNG ........................................................................................................................................ 108 ALGORITHMUS (SCHNELLE WAVELET-ANALYSE) ................................................................................ 108 ALGORITHMUS (SCHNELLE WAVELET-SYNTHESE)............................................................................... 110 BEMERKUNG (KOMPLEXITÄT).............................................................................................................. 111

16

ZUSAMMENFASSUNG....................................................................................................................... 112

17

LITERATUR ......................................................................................................................................... 114

Einleitung

5

Einleitung Fourier-Transformation ist die klassische Methode zur Zerlegung eines Signals in seine einzelnen Frequenzen und die anschließende Rekonstruktion aus dem Frequenzspektrum. Die Fourier-Transformation spielt eine wichtige Rolle in vielen Gebieten der Mathematik, der Physik und in ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen. Für letztere ist insbesondere die "Schnelle Fourier-Transformation", eine effiziente numerische Implementierung, wichtig. Auch bei den Algorithmen des Quanten-Computing ist die schnelle Fourier-Transformation ein entscheidendes Hilfsmittel. Daneben ist der Fourier-Transformation in der Praxis ein Konkurrent erwachsen in der Wavelet-Transformation. Wavelets liefern ein mathematisches Verfahren, das aufgrund der zeitlichen Lokalisierung des Frequenzspektrums eine bessere Auflösung bei der Rekonstruktion des Signals ergibt. Hierzu werden die Signale mit zeitlich lokalisierten "kleinen Wellen" (Wavelets) gescannt, statt mit den unendlich ausgedehnten Sinus- oder Cosinusschwingungen der Fourier-Transformation. Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Mathematik beider Arten von Transformationen. Aus theoretischer Sicht beurteilt hat das moderne Gebiet der Wavelet-Theorie die klassische Fourier-Theorie keinesfalls abgelöst. Vielmehr setzen Wavelet-Transformationen die theoretischen Eigenschaften der Fourier-Transformation einschließlich ihrer Anwendung auf Distributionen als selbstverständliche Hilfsmittel voraus. Das vorliegende Script gibt den Stoff wieder, den wir in einer 4-stündigen Vorlesung behandelt haben. An Vorwissen haben wir bei unseren Hörern gute Kenntnisse in der Analysis vorausgesetzt. Es ist geplant, auch den Inhalt der Kapitel 9, 10, 11, 12 unter einem separaten Link auf der Homepage von O. Forster bereitzustellen.

München, April 2001

Hilbert-Räume

6

1 Hilbert-Räume Intergrierbare Funktionen bilden bezüglich der Addition und der Multiplikation mit Skalaren einen komplexen Vektorraum. Seine Dimension ist i.a. nicht mehr endlich. Zum Studium unendlich-dimensionaler Vektorräume verwendet man neben der Linearen Algebra zusätzlich Hilfsmittel aus der Topologie. Mit Hilfe einer oder mehrerer Normen führt man einen Konvergenzbegriff ein. Die einfachste Klasse von unendlich-dimensionalen Vektorräumen dieser Art sind Hilbert-Räume. Bei ihnen leitet sich die Norm aus einem Hermitesches Skalarprodukt ab. Damit ist in Hilbert-Räumen nicht nur die Länge eines Vektors definiert, sondern auch der Winkel zwischen zwei beliebigen Vektoren. Insbesondere hat man einen Orthogonalitäts-Begriff. So lange nichts anderes gesagt wird, werden wir in dieser Vorlesung Vektorräume stets als komplexe Vektorräume voraussetzen.

1.1 Definition (Prä-Hilbert-Raum) Ein Prä-Hilbert-Raum ist ein komplexer Vektorraum X zusammen mit einem Hermiteschen Skalarprodukt < -, - >: X x X → C. Ein Hermitesches Skalarprodukt erfüllt die Bedingungen: •

< x 1 + x 2, y > = < x 1, y > + < x 2, y >

•

< λ x, y > = λ < x, y >

• •

x, y = y, x < x, x > ≥ 0 und es gilt < x, x > = 0 ⇔ x = 0 (positiv definit).

Das Skalarprodukt ist also linear in der ersten und antilinear in der zweiten Komponente.

Die wichtigste Aussage über das Skalarprodukt ist die Abschätzung von Cauchy-Schwarz:

1.2 Satz (Ungleichung von Cauchy-Schwarz) In einem Prä-Hilbert-Raum X gilt für das Skalarprodukt zweier Elemente x, y ∈ X die Abschätzung von Cauchy-Schwarz x, y

2

≤ x

2

y

2

.

Beweis. Wir betrachten für einen Parameter λ ∈ C das Skalarprodukt 0 ≤ x + λy, x + λy = x , x + λ x , y + λ y, x + λ y, y 2

Falls y, y ≠ 0 setzen wir λ := −

x, y und erhalten y, y

Hilbert-Räume

7

0 ≤ x, x −

x, y

2

y, y

x, y

−

2

+

y, y

x, y

2

y, y

d.h. x , x y, y ≥ x , y

2

.

Falls y, y = 0 folgt y = 0, und die Behauptung gilt offensichtlich, QED.

1.3 Definition (Hilbert-Raum) Ein Prä-Hilbert-Raum ( X, < -, - > ) heißt Hilbert-Raum, wenn der Vektorraum X bzgl. der induzierten Norm x :=

x, x

vollständig ist, d.h. wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.

Dabei folgt die Dreiecksungleichung aus der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung.

1.4 Definition (Linearer Operator) Ein linearer Operator zwischen zwei Hilbert-Räumen (X1, < -, - >1 ) → (X2, < -, - >2 ) ist eine C-lineare Abbildung f: X1 → X2. Der Operator heißt isometrisch, wenn er das Skalarprodukt respektiert, d.h. wenn gilt < f(x), f(y) >2 = < x, y >1. Ein surjektiver isometrischer Operator heißt unitär.

1.5 Bemerkung (Stetigkeit und Beschränktheit) Anders als im Falle endlich-dimensionaler Vektorräume sind lineare Operatoren f: X → Y i.a. nicht beschränkt, d.h. es braucht keine Konstante K zu geben mit f (x ) ≤ K x

für alle x ∈ X.

Ein linearer Operator ist genau dann beschränkt, wenn sup f ( x ) < ∞ . x =1

Hilbert-Räume

8

Man nennt dann f := sup f ( x ) x =1

die Operator-Norm von f. Die Beschränktheit ist gleichwertig mit der Stetigkeit des Operators.

Analog zu Definition 1.1 lassen sich auch reelle Hilbert-Räume definieren. Bei ihnen ist der unterliegende Vektorraum euklidisch, und man betrachtet dann R-lineare Abbildungen. Da man in einem Hilbert-Raum über das Skalarprodukt Winkel messen kann, läßt sich auch der Begriff der Orthogonalität einführen. Er verschäft den Begriff der linearen Unabhängigkeit.

1.6 Definition (Orthogonalität, Orthonormalität) Eine Familie (xi)i∈I von Elementen eines Hilbert-Raumes X heißt ein Orthogonal-System, wenn alle Elemente paarweise aufeiander senkrecht stehen, d.h. für alle i ≠ j ∈ I gilt < xi, xj > = 0. Die Familie (xi)i∈I heißt Orthonormal-System, wenn zusätzlich alle Elemente auf die Länge 1 normiert sind, d.h. für alle i, j ∈ I gilt < xi, xj > = δij.

1.7 Definition (Fourier-Koeffizienten bzgl. eines OrthonormalSystems) In einem Hilbert-Raum X sind die Fourier-Koeffizienten eines Elementes x ∈ X bzgl. eines Orthonormal-Systems (xi)i∈I definiert als die Familie der Skalarprodukte

( x, x ) i

i∈I

.

Die Fourier-Koeffizienten erlauben, jedes Element des Hilbert-Raumes nach einem Orthonormal-System zu entwickeln. Der folgende Satz zeigt, daß die endlichen Teilsummen dieser Entwicklung die beste Approximation von x liefern.

1.8 Satz (Beste Approximation durch ein Orthonormal-System) Sei {e1 ,..., e n } ein endliches Orthonormal-System in einem (Prä-)Hilbert-Raum X und sei x ∈ X ein beliebiger Vektor. Es seien γ i := x , e i ∈ C für i = 1,..., n die Fourier-Koeffizienten von x. Dann gilt für jede Wahl von Koeffizienten

(α1 ,..., α n ) ∈ C n

Hilbert-Räume

9

die Abschätzung n

n

i =1

i =1

x − ∑ α i ei ≥ x − ∑ γ i ei . Die Approximation mit den Fourier-Koeffizienten liefert die Differenz 2

n

x − ∑ γ i ei

= x

2

i =1

n

− ∑ γi

2

.

i =1

Beweis. Anschaulich gesprochen handelt es sich um die beste Approximation von x durch einen geeigneten Vektor in dem von {e1 ,..., e n } aufgespannten Unterraum E := span {e1 ,..., e n } . Der Vektor n

∑γ i =1

i

ei

ist die Orthogonalprojektion von x auf E, während n

∑α i =1

i

ei

ein beliebiger Vektor von E ist. Für das Skalarprodukt gilt die Formel von Pythagoras a+b

2

= a + b, a + b = a , a + a , b + b, a + b, b = a

2

+ b

+ 2 Re a , b ,

2

im Falle des Senkrecht-Stehens a ⊥ b also a+b

2

= a

2

+ b

2

.

Diese Formel überträgt sich auf endlich viele Summanden. Man erhält in der Situation des Satzes: 2

n

x − ∑ αi ei i =1

n

n

i =1

i =1

= ( x − ∑ γ i ei ) + ( ∑ γ i e i −

x − ∑ γ i ei i =1

n

2

n

2

n

∑α

i

i =1

n

+ ∑ γ i − α i ≥ x − ∑ γ i ei 2

i =1

=

ei ) 2

.

i =1

Eine weitere Anwendung der Formel von Pythagoras zeigt x

2

n   = ∑ γ iei +  x − ∑ γ iei  i =1 i =1   n

2

n

= ∑ γi i =1

2

n

+ x − ∑ γ i ei i =1

2

, QED.

Hilbert-Räume

10

1.9 Korollar (Bessel-Ungleichung, Parseval-Gleichung) Es sei (ei)i∈I ein Orthonormalsystem eines (Prä-)Hilbert-Raumes X mit abzählbarer Indexmenge I. Dann gilt für jedes Element x ∈ X: •

∑

x, e i

∑

x, e i

2

≤ x

2

2

= x

2

(Bessel-Ungleichung)

i∈I

•

i∈I

(Parseval-Gleichung) ⇔ x = ∑ x, e i e i (Fourier-Entwicklung) i∈I

Beweis. Die Gleichung von Satz 1.8 zeigt, daß für jede endliche Teilfamilie J ⊂ I gilt

∑ i∈J

x, ei

2

≤ x

2

.

Da die rechte Seite unabhängig von J ist, konvergiert die Reihe der Absolutbeträge. Die Ungleichung gilt auch im Limes und stellt die Bessel-Ungleichung dar. Ebenso ergibt die Gleichung von Satz 1.8 im Grenzwert die Äquivalenz der ParsevalGleichung mit der Fourier-Entwicklung, QED.

Dieselbe Bedeutung, die für die endlich-dimensionale Theorie der Begriff der Basis hat, kommt in Hilbert-Räumen dem Begriff der Hilbert-Basis zu. In endlich-dimensionalen Räumen fallen beide Begriffe zusammen, im unendlich-dimensionalen Fall sind sie dagegen verschieden. Hier tritt der Begriff der Basis in seiner Bedeutung zurück, es wird fast ausschließlich mit dem Begriff der Hilbert-Basis gearbeitet. Jede Hilbert-Basis ist auch linearunabhängig. Sie erzeugt jedoch die Elemente des Hilbert-Raumes i.a. nicht mehr als endliche Linearkombinationen, sondern nur als unendliche Reihen.

1.10 Definition (Hilbert-Basis) Ein abzählbares Orthonormalsystem (ei)i∈I von Elementen eines Hilbert-Raumes X heißt Hilbert-Basis, wenn es vollständig ist, d.h. wenn jedes Element x ∈ X die Fourier-Entwicklung hat x = ∑ x, e i e i . i∈I

Der Hilbert-Raum X heißt separabel, wenn er eine abzählbare Hilbert-Basis hat.

L2-Räume

11

2 L2-Räume Im folgenden werden wir nur separable Hilbert-Räume betrachten. Die allgemeinere Theorie von Hilbert-Räumen mit überabzählbarer Hilbert-Basis wird in dieser Vorlesung nicht behandelt. Alle separablen Hilbert Räume sind untereinander isometrisch isomorph. Ein Standardrepäsentant ist der Raum l2 = l2(N) der quadrat-summierbaren Folgen.

2.1 Satz (Hilbert-Raum der quadrat-summierbaren Folgen) Der Prä-Hilbert-Raum l2 = l2(N) der quadrat-summierbaren Folgen { ( z n ) n∈ N ∈ C N : ∑ z n

2

< ∞},

n∈ N

zusammen mit dem Skalarprodukt < (xn)n∈N, (yn)n∈N > :=

∑x

n∈N

n

yn .

ist vollständig, also ein Hilbert-Raum. Die Familie (ei )i∈N mit ei = (0,..., 0, 1, 0,...) mit der i-ten Komponente = 1 ist eine Hilbert-Basis. Beweis. Wir gehen aus von einer Cauchy-Folge (x ν )ν∈N von Elementen x ν ∈ l 2 . Für jedes ε > 0 existiert nach Voraussetzung ein N ∈ N mit xν − xµ

2

∞

= ∑ x ν ,n − x µ, n

2

≤ ε für alle ν, µ ≥ N.

n =0

Wegen der Vollständigkeit der komplexen Zahlen existiert für jedes feste n ∈ N der Grenzwert x ∞ , n := lim x ν, n . ν→∞

Zu zeigen bleibt, daß hierdurch ein Element x ∞ := (x ∞ , n )n∈N ∈ l 2 definiert wird und daß die Konvergenz sogar im l2-Sinne stattfindet. Es gilt für alle m ∈ N und ν, µ ≥ N m

∑ n =0

2

x ν, n − x µ,n

m

≤ ε ⇒ ∑ x ∞,n − x µ,n n =0

Damit existiert für µ ≥ N der Grenzwert ∞

∑ n =0

Wir wählen ein µ ≥ N. Wegen

2

x ∞,n − x µ,n

≤ ε.

2

≤ε.

L2-Räume

12 x ∞ − x µ ∈ l 2 und x µ ∈ l 2

liegt auch die Summe beider Elemente im Vektorraum l2 x∞ = ( x∞ − xµ ) + xµ ∈ l 2 , und obige Abschätzung x∞ − xµ

2

2

∞

= ∑ x ∞,n − x µ,n

≤ ε für µ ≥ N

n =0

bedeutet die Konvergenz im l2-Sinne x ∞ = lim x µ . µ→∞

Daß die kanonischen Einheitsvektoren eine Hilbert-Basis bilden, folgt sofort aus der Parsevalschen Gleichung (Korollar 1.9), QED.

2.2 Bemerkung (Banach-Raum der p-summierbaren Folgen) Allgemeiner definiert man für jedes relle p ≥ 1 den Vektorraum l p = l p ( N ) := { (z n ) n∈N ∈ C N : ∑ z n

p

<∞}

n∈ N

mit der Norm (z n ) n∈ N := p

∑

n∈ N

zn

p

.

Man zeigt, daß hierdurch ein normierter Vektorraum definiert wird, der sogar vollständig, d.h. ein Banach-Raum ist. Es gilt l1 ⊂ l2 und allgemeiner lp ⊂ lq für p < q.

2.3 Bemerkung (Absolute Konvergenz durch Z-indizierter Reihen) Eine durch eine abzählbare Menge I indizierte Reihe komplexer Zahlen

∑z

n

n∈I

heißt absolut-konvergent, wenn die Folge der endlichen Partialsummen der Absolutbeträge in irgendeiner Anordnung konvergiert. In diesem Falle ist die Konvergenz unabhängig von der Anordnung. Im Falle der Indizierung durch die ganzen Zahlen I = Z werden wir im folgenden stets die Folge der symmetrischen Partialsummen

L2-Räume

13 S N :=

N

∑

zn

n=−N

betrachten. Analog zu Satz 2.1 zeigt man, daß der Vektorraum l2(Z) := { ( z n ) n∈Z ∈ C Z :

∞

∑

n = −∞

2

zn

< ∞}

mit dem Skalarprodukt < (xn)n∈Z, (yn)n∈Z > :=

∑x

n∈Z

n

yn

ebenfalls ein Hilbert-Raum ist. Die Familie (ei )i∈Z mit ei = (...,0,...,0,1,0,...) mit der i-ten Komponente = 1 ist eine Hilbert-Basis. Ähnlich definiert man den Hilbert-Raum l2(Z 2) := { ( z m , n ) (m , n ) ∈Z 2 ∈ C Z : 2

∑

(m, n )∈Z

z m, n

2

< ∞},

2

der bei der diskreten Wavelet-Transformation auftreten wird, und allgemeiner für eine beliebige abzählbare Menge I den Hilbert-Raum l2( I ). Alle Hilbert-Räume l2( I ) sind untereinander isometrisch-isomorph, insbesondere kann man als einen Repräsentanten den Hilbert-Raum l2(N) wählen.

2.4 Algorithmus (Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren) Der folgende Algorithmus transformiert eine linear-unabhängige Folge von Elementen eines Hilbert-Raumes X in ein Orthonormal-System: Input. Linear-unabhängige Folge (xi)i∈N von Elementen aus X. Output. Orthonormal-System (ei)i∈N mit: Für alle n ∈ N span < ei: i = 0, 1,.., n > = span < xi: i = 0, 1,.., n >.

L2-Räume

14 n=0 en =

xn xn

n=n+1 n −1

v n := x n − ∑ x n , e i e i i =0

en =

vn vn

Abbildung 1 Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Die kontinuierliche Version der Folgen-Räume l2 sind die Funktionen-Räume L2 aus quadratintegrierbaren Funktionen. Sie bilden ebenfalls separable Hilbert-Räume. Daher sind l2 und L2 vom abstrakten Standpunkt aus betrachtet isomorph. Der Unterschied liegt jedoch in der Representation ihrer Elemente: Folgenräume führen in Kapitel 3 zur Theorie der Fourier-Reihen, die Representation mit Funktionen führt in Kapitel 4 zur Fourier'schen IntegralTransformation.

2.5 Bezeichnung (Räume integrierbarer Funktionen) i) Wir bezeichnen mit L2 = L2(R) den Vektorraum der Klassen von meßbaren Funktionen f: R → C mit

∫

f ( t ) dt < ∞ , 2

R

versehen mit dem Skalarprodukt f , g = ∫ f ( t ) g ( t ) dt . R

Bei der Bildung von Äquivalenzklassen werden zwei Funktionen identifiziert, wenn sie sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden. Man beweist in der Integrationstheorie, daß L2 vollständig, also ein Hilbert-Raum ist ([For1983], §10, Satz 4). ii) Allgemeiner sei I ⊂ R ein abgeschlossenes Intervall und µ: I → R*+ eine meßbare Funktion. Dann bezeichnet L2( I, µ(t)dt ) den Vektor-Raum der Klassen meßbarer Funktionen f: I → C

L2-Räume

15

mit

∫

f ( t ) µ( t ) dt < ∞ , 2

I

versehen mit dem Skalarprodukt f , g = ∫ f ( t ) g ( t ) µ( t ) dt . R

iii) Analog zu Bemerkung 2.2 definiert man für relle p ≥ 1 die Vektor-Räume Lp( I, µ(t)dt ) von Funktionenklassen. Man zeigt, daß sie vollständig, also Banach-Räume sind (für das Standard-Maß µ ≡ 1 siehe [For1983], §10, Satz 4).

2.6 Beispiel (Legendre Polynome) Die Legendre-Polynome Pn ( x ) := D n :=

[

]

1 D n ( x 2 − 1) n , n ∈ N, 2 n! n

dn Differentialoperator, dx n

bilden ein Orthogonal-System von L2( [-1, 1] ). Die ersten Legendre-Polynome sind P0(x) = 1, P1(x) = x, P2 ( x ) =

(

)

(

)

1 1 3 x 2 − 1 , P3 ( x ) = 5 x 3 − 3x . 2 2

Beweis. i) Wir beweisen für die Funktionen

[

g k , m := D k ( x 2 − 1) m

]

durch Induktion über k die Hilfsaussage: Für k < m gilt

(

g k,m = x 2 − 1

)

m−k

Φ ( x ) mit einem Polynom Φ.

Offensichtlich gilt die Aussage für k = 0 mit Φ = 1. Zum Beweis des Induktionsschrittes berechnen wir

(

)

g k +1, m = D g k , m ( x ) = (m − k ) x 2 − 1

(x

2

−1

)

m − ( k +1)

m − ( k + 1)

[ 2x ( m − k ) Φ( x ) + ( x

2

(

)

2x Φ( x ) + x 2 − 1

)

− 1 Φ' (x)

m−k

Φ ' (x ) =

]

ii) Sei n > m. Wir berechnen mit partieller Integration

∫ g n ,n ( x) g m,m ( x) dx = [ g n −1,n g m,m 1

−1

]

1

1 −1

− ∫ g n −1, n ( x ) g m +1, m ( x ) dx . −1

L2-Räume

16

Aufgrund der in Teil i) bewiesenen Formel verschwindet der erste Summand an den Randstellen x = 1 und x = -1. Auf das Integral des zweiten Summanden wenden wir sukzessive weitere partielle Integrationen an und erhalten schließlich 1

∫ g n ,n ( x) g m,m ( x) dx = (− 1)

1

∫g

n

−1

0, n

( x ) g m + n , m ( x ) dx = 0,

−1

da wegen n > m auch m + n > 2m, also

[

g m+ n ,m := D m + n ( x 2 − 1) m

] = 0, QED.

2.7 Bemerkung (Legendre Polynome) Die Legendre Polynome sind durch folgende beide Bedingungen charakterisiert: •

Das n-te Legendre-Polynom ist ein Polynom vom Grad n, das in L2( [-1, 1]) auf allen Polynomen vom Grad ≤ n - 1 senkrecht steht.

•

Es gilt Pn(1) = 1.

Die zweite Bedingung rechnet man nach. Daß durch beide Bedingungen eindeutig ein Polynom bestimmt wird, folgt daraus, daß die Monome (xn)n∈N in L2( [-1, 1] ) eine linear-unabhängige Familie bilden. Der Untervektorraum Vn, der von allen Monomen vom Grad ≤ n aufgespannt wird, hat die Dimension dim Vn = n + 1, sein Unterraum Vn-1 hat also die Codimension 1. Die Legendre-Polynome haben bzgl. der Norm von L2( [-1, 1] ) nicht die Länge 1. Es gilt vielmehr Pn

2

=

2 . 2n + 1

Nach Normierung auf die Länge 1 bilden die normierten Legendre-Polynome sogar ein vollständiges Orthonormal-System, d.h. eine Hilbert-Basis von L2( [-1, 1] ). Wir werden diese Aussage in Kapitel 3 aus dem Weierstraß‘schen Approximationssatz (Korollar 3.13) folgern.

Eine für die Wavelet-Theorie grundlegende Klasse von Funktionen sind die Haar'schen Funktionen.

2.8 Definition (Haar'sche Funktionen) Aus der Funktion

L2-Räume

17  1 0 ≤ t <1 2  ϕ: R →[ − 1, 1 ] , ϕ (t ) := − 1 1 2 ≤ t < 1 0 sonst 

leitet man die skalierten und translatierten Funktionen ϕk, m : R  → [ − 1, 1 ] , ϕ k , m ( t ) :=

 t  ϕ  k − m  , k, m ∈ Z , 2  2

1

k

ab. Sie bilden die Familie ( ϕ k , m )k , m∈Z 2 der Haar'schen-Funktionen.

Der Faktor

1 k

ist so gewählt, daß jede Haar'sche Funktion als Element von L2(R) auf die

2 Länge 1 normiert ist.

2.9 Satz (Hilbert-Basis der Haar'schen Funktionen) Die Familie der Haar'schen Funktionen (ϕk,m)(k,m)∈ZxZ ist eine Hilbert-Basis des HilbertRaumes L2(R). Beweis. i) Zwei Haar'sche Funktionen ϕk,m zu festem Skalierungsparameter k aber unterschiedlichem Translationsparameter m, haben disjunkten Träger bis auf evtl. Randpunkte, sind also orthogonal zu einander. Für zwei Haar'sche Funktionen zu unterschiedlichem Skalierungsparameter m ist eine der beiden konstant auf dem Träger der anderen, also sind sie auch wieder orthogonal. Also bilden die Haar'schen Funktionen ein Orthogonal-System. Nach Wahl des Normierungsfaktors sind sie dann sogar ein Orthonormal-System. ii) Zum Beweis der Vollständigkeit ist eine beliebige Funktion ϕ ∈ L2(R) zu approximieren. Wir nehmen zunächst an, daß ϕ kompakten Träger hat, also o.E. ϕ ∈ L2( [0, 1] ). Wir zeigen: Die gestauchten Haar'schen-Funktionen (ϕ-k,m) zu den Indizes (-k, m), k ∈ N, 0 ≤ m < 2k, also zu negativen Skalierungsparametern, approximieren zusammen mit der konstanten Funktion ϕ 0 :≡ 1 ∈ L2( [0, 1] ) die vorgegebene Funktion ϕ. Jede quadrat-integrierbare Funktion aus dem Raum L2( [0, 1] ) läßt sich über dem kompakten Intervall [0, 1] durch Treppenfunktionen, d.h. stückweise konstante Funktionen, bzgl. der L2-Norm approximieren. Hierbei kann man sich auf dyadische Treppenfunktionen beschränken, sie sind konstant jeweils auf den dyadischen Intervallen

L2-Räume

18  m m + 1 I − k , m :=  k , k , m ∈ N und 0 ≤ m < 2k . 2  2

Wir bezeichnen mit V-k, k ∈ N, den endlich-dimensionalen Vektorraum der dyadischen Trep1 penfunktionen zu den Konstanzintervallen der Länge 2 − k = k 2 I-k,m, 0 ≤ m < 2k. Die Vektorräume bilden eine aufsteigende Folge V0 ⊂ V-1 ⊂ ... ⊂ V-k ⊂ V-(k+1) ⊂ ... Es gilt die Dimensionsformel dim V0 = 1, dim V-1 = 2, ..., dim V-k = 2k. Anderseits gilt für die Vektorräume der translatierten Haar'schen Funktionen zum Skalenfaktor k W-k := span < ϕ-k,m: 0 ≤ m < 2k >, k ∈ N, und W-1 := C ϕ0. die Dimensionsformel dim W-k = 2k, k ∈ N. Offensichtlich gilt W-(k+1) ⊂ V-k, k ∈ N. Damit folgt die Gleichheit von Vektorräumen k −1

⊕ W− i = V− k

i =1

aus der Abzählung ihrer Dimensionen k −1

k −1

dim ⊕ W− i = 1 + ∑ 2i = 1 + i =1

i=0

2k − 1 = 2 k = dim V− k . 2 −1

Da sich jede Funktion aus L2([0, 1]) durch Elemente aus den Vektorräumen V-k approximieren läßt, läßt sie sich auch durch Elemente aus den Vektorräumen W-k approximieren. Damit ist die erste Behauptung bewiesen. iii) Nun beweisen wir die Vollständigkeit für den allgemeinen Fall. Bekanntlich kann jede quadrat-integrierbare Funktion aus L2(R) durch quadrat-integrierbare Funktionen mit kompaktem Träger approximiert werden ([For1983], §10, Satz 3). Es genügt also, eine Funktion mit kompaktem Träger, o.E. mit Träger in [0, 1], zu approximieren. Nach Teil ii) läßt sie sich durch die Haar'schen Funktionen und die konstante Funktion ϕ 0 :≡ 1 approximieren. Daher bleibt zu zeigen, daß ϕ0 im Raum L2(R) durch die Haar'schen Funktionen approximiert werden kann. Hierfür verwenden wir die gestreckten Haar'schen Funktionen ϕk,m zu positivem Skalierungsparameter k ∈ N. Wir definieren für k ∈ N die Funktionen

L2-Räume

19  1 δk : R  → C , g k ( t ) :=  2 k  0

[

t ∈ 0, 2k

[

sonst

Für ihre L2-Norm gilt 2k

δk

2

=

∫ 0

2

1  1  k  dt = k , 2 2 

sie bilden also eine Nullfolge. Durch Induktion über k zeigt man k

ϕ0 = ∑ i =1

1 2i

ϕi , 0 + δ k

weil δk =

1 2 k +1

ϕk +1, 0 + δ k +1 .

Hieraus folgt im Grenzwert k → ∞ die Behauptung, QED.

Die im Beweis von Satz 2.9 durchgeführte Approximation der konstanten Funktion durch Funktionen, die symmetrisch zur x-Achse sind, zeigt daß die Approximation bzgl. der L2Norm der Anschauung widersprechen kann.

Fourier-Reihen

20

3 Fourier-Reihen Wir verstehen in diesem Kapitel unter einer periodischen integrierbaren Funktion eine Funktion f :R → C mit der Periode 2π, d.h. f ( x + 2π) = f ( x ) für alle x ∈ R , deren Einschränkung auf das abgeschlossenen Intervall [ -π, π ] integrierbar ist im Sinne von Lebesgue. Periodische Funktionen f :R → C mit der Periode 2π entsprechen bijektiv den Funktionen f : R/2 πZ  → C auf dem Kreis S1 ≅ R / 2πZ . Das Hauptresultat dieses Kapitels ist die gleichmäßige Approximation einer periodischen, stetigen Funktion mit geeigneten Differenzierbarkeitseigenschaften durch ihre Fourier-Reihe. Aus diesem Ergebnis folgt eine Reihe bekannter Aussagen, unter anderem der Weierstraß'sche Approximationssatz.

3.1 Definition (Trigonometrisches Polynom) Ein trigonometrisches Polynom N-ten Grades, N ∈ N, ist eine Funktion der Gestalt pN : R  → C , p N ( x ) :=

N

∑c e

n=−N

n

inx

mit komplexen Koeffizienten cn ∈ C.

Spezielle trigonometrische Polynome sind die trigonometrischen Monome en ( x ) = ei n x , n ∈ Z .

3.2 Bemerkung (Orthonormal-System der trigonometrischen Monome) Die trigonometrischen Monome bilden ein Orthonormal-System des Hilbert-Raumes dt   L2  [− π, π],  , 2π   d.h. des Raumes L2( [ -π, π ] ) der quadratintegrablen Funktionen mit dem Skalarprodukt π

1 f, g = f ( t ) g ( t ) dt . 2π −∫π

Fourier-Reihen

21

3.3 Definition (Fourier-Reihe) Die Fourier-Reihe einer periodischen integrierbaren Funktion f ist die formale Reihe

∑ c [f ] e

F [f ] :=

n

n∈ Z

n

trigonometrischer Polynome mit den Fourier-Koeffizienten c n [f ] := f , e n

π

1 = dt f ( t ) e n ( t ) , n ∈ Z . 2π −∫π

Man nennt die endlichen Summen FN [f ] :=

∑ c [f ] e , N ∈ N

n ≤N

n

n

die N-ten Partialsummen der Fourier-Reihe.

3.4 Lemma (Verhalten bzgl. Translation und Differentiation) Es sei f eine periodische integrierbare Funktion und F [f ] :=

∑ c [f ] e

n∈Z

n

n

ihre Fourier-Reihe. i) Wir bezeichnen mit fa die mit dem Translationsoperator τa um den festen Wert a verschobene Funktion, d.h. f a := τa (f ) : R → C, τa (f )( x ) := f ( x − a ) . Für ihre Fourier-Koeffizienten gilt: c n [f a ] = e − n (a ) c n [f ] (Phasenfaktor der Fourier-Koeffizienten). ii) Wenn f sogar stetig-differenzierbar ist, so gilt für die Fourier-Koeffizienten der Ableitung f ': c n [f ' ] = i ⋅ n ⋅ c n [f ] (Multiplikation der Fourier-Koeffizienten). Beweis. ad i) Wir wenden auf die Berechnung der Fourier-Koeffizienten die Substitutionsformel der Integration für Parametertransformation an: c n [f a ] =

π

π

1 1 1 f a ( t ) e −int dt = f ( t − a ) e −int dt = ∫ ∫ 2π − π 2π −π 2π

π+ a

∫

f (τ) e −in ( τ+ a ) dτ =

]

+

− π+ a

π

e − ina f (τ) e −inτ dτ 2π −∫π

mit der Substitution t = τ - a. ad ii) Der Beweis beruht auf der partiellen Integration cn [ f ' ] =

π

[

1 1 f ' ( t ) e − int dt = f ( t ) e − int ∫ 2π − π 2π

π

−π

π

i⋅n f ( t ) e − int dt , QED. ∫ 2π − π

Fourier-Reihen

22

Das Hauptresultat dieses Kapitels ist Satz 3.9 über die Konvergenz der Fourier-Reihe im Falle einer stetigen, stückweise stetig-differenzierbaren Funktion.

3.5 Definition (Stückweise stetige Differenzierbarkeit) Eine Funktion f: I → C auf einem abgeschlossenen Interval I ⊂ R heißt stückweise stetig-differenzierbar, wenn es eine endliche Zerlegung von I in abgeschlossene Intervalle Ik, k = 1,...,n gibt, die jeweils nur die Randpunkte gemeinsam haben, so daß gilt: Im Innern jedes Intervalles ist die Einschränkung von f stetig-differenzierbar, und an jedem Randpunkt x0 eines Intervalles existieren die halbseitigen Grenzwerte •

der Funktion f + ( x 0 ) := lim f ( x ) und f − ( x 0 ) := lim f ( x )

•

und ihrer Ableitungen f ' + ( x 0 ) := lim

x ↓x 0

x ↑x 0

x ↓x 0

f (x ) − f + (x 0 ) f (x) − f − (x 0 ) und f ' − ( x 0 ) := lim . x↑x0 x − x0 x − x0

Grundlegende Bedeutung für die Theorie der Fourier-Reihen hat die unendliche Reihe aller trigonometrischen Monome. Wir approximieren sie durch ihre endlichen Partialsummen.

3.6 Definition (Dirichlet-Kern) Der N-te Dirichlet-Kern ist die N-te Partialsumme der trigonometrischen Monome D N :=

∑e

n ≤N

n

→ C . :R

3.7 Lemma (Dirichlet-Kern) Für den Dirichlet-Kern gilt 1 sin ( N + ) x 2 , x∈R. DN (x) = x sin 2 Die Funktion ist gerade, sie hat die Periode 2π, und es gilt π

1 D N ( t ) dt = 1 . 2π −∫π Beweis. Der Beweis beruht auf der Formel für die endliche geometrische Reihe

Fourier-Reihen

23 N

∑qn = n =0

q N +1 − 1 q −1

und der Euler-Formel e ix = cos x + i sin x , x ∈ R. Es gilt D N ( x ) :=

2N

∑ e inx = e −iNx ∑ e inx = e −iNx

n ≤N

n =0

Wir erweitern den Bruch mit e

−i

x 2

e i ( 2 N +1) x − 1 e i ( N +1) x − e − iNx = e ix − 1 e ix − 1

und erhalten

e i ( N +1) x − e −iNx e = e ix − 1

1 i( N+ ) x 2 i

−e

x 2

e −e

1 −i ( N + ) x 2 −i

x 2

1 sin [ ( N + ) x ] 2 = . x sin 2

Die übrigen Aussagen des Lemmas sind leicht nachzurechnen, QED.

Der folgende Satz 3.8 ist der Schlüssel im Konvergenzbeweis von Satz 3.9.

3.8 Satz (Riemann-Lebesgue Lemma) Es sei I ⊂ R ein abgeschlossenes Intervall und g ∈ L1( I ) eine integrierbare Funktion. Dann gilt lim

x →∞

∫ g( t ) e

ixt

dt = 0 .

I

Beweis. i) Jede Funktion g ∈ L1( I ) läßt sich bzgl. der L1-Norm durch stetig-differenzierbare o

Funktionen mit kompaktem Träger im offenen Kern I approximieren ([For1983], §10, Corollar zu Satz 3). Man reduziert daher die Behauptung des Satzes auf den Fall eines kompakten Intervalls I = [ a, b ] o

und einer stetig-differenzierbaren Funktion g mit Träger in I . ii) Wir berechnen mit partieller Integration für jedes feste x ∈ R b

∫ a

Wegen des Faktors

b

b  eixt  1 e g( t ) dt =  g( t ) − ∫ eixt g' ( t ) dt .  ix a i x a ixt

1 folgt die Behauptung ix

Fourier-Reihen

24

lim

x →∞

∫ g( t ) e

ixt

dt = 0 , QED.

I

3.9 Satz (Gleichmäßige Konvergenz der Fourier-Reihe unter Differenzierbarkeits-Voraussetzungen) Wenn die periodische Funktion f: R → C stetig und stückweise stetig-differenzierbar ist, so konvergiert ihre Fourier-Reihe gleichmäßig und absolut und hat die gegebene Funktion als Grenzwert. Beweis. ad i) Wir zeigen zunächst die punktweise Konvergenz der Fourier-Reihe π

1 c n [f ] e n mit c n [f ] = dt f ( t ) e −int ∑ ∫ 2π − π n∈Z gegen die Funktion. Hierzu stellen wir die N-te Partialsumme als die "Faltung" mit dem N-ten Dirichlet-Kern dar: FN [f ] (x ) :=

∑ c n [f ] einx =

n ≤N

∑(

n ≤N

π

π

1 1 f ( t ) e − int dt ) einx = ( ∑ f ( t ) e − int einx ) dt = ∫ ∫ 2π − π 2π − π n ≤ N

π π  1  1 in ( x − t )  f ( t ) e dt = ∑ ∫πD N ( x − t) f ( t ) dt  2 π −∫π  2 π n ≤N − 

Wir behandeln zunächst die Konvergenz im Nullpunkt x = 0. Nach evtl. Abziehen einer Konstante dürfen wir f(0) = 0 annehmen. Nach Voraussetzung ist f stetig im Nullpunkt, und es existieren dort die halbseitigen Ableitungen f ' + (0) und f ' − (0) . Daher läßt sich f ebenso wie die Sinus-Funktion in einer Umgebung des Nullpunktes durch lineare Funktionen approximieren. Wegen f(0) = sin (0) = 0 ist die Funktion g( t ) :=

f (t) t sin 2

in einer Umgebung des Nullpunktes beschränkt, insbesondere also integrierbar. Im Komplement der Nullumgebung ist die Funktion

Fourier-Reihen

25 1 sin

t 2

stetig-differenzierbar, also g(t) ebenfalls integrierbar. Satz 3.8 und Lemma 3.7, angewendet mit 1 1 sin [ ( N + ) t ] = Im exp [ i ( N + ) t ] , 2 2 liefern π

lim ∫ f ( t ) D N ( t ) dt = lim

N→ ∞

N→ ∞

−π

π

f ( t) 1 sin [ ( N + ) t ] dt = 0 . t 2 − π sin 2

∫

Insgesamt haben wir damit gezeigt π

1 f ( t ) D N ( t ) dt = 0 = f (0) . N → ∞ 2π ∫ −π

F [f ](0) = lim

Zum Beweis der punktweisen Konvergenz an einer beliebigen festen Stelle x wenden wir auf die translatierte Funktion f-x die Aussage von Lemma 3.4, Teil i) an. Es folgt mit der bereits bewiesenen Konvergenz im Nullpunkt: f ( x ) = f − x (0) = lim FN [f − x ] (0) = lim N →∞

N →∞

∑ c [f ] = lim ∑ e

n ≤N

n

−x

N →∞

n ≤N

inx

c n [f ] = lim FN [f ] ( x ) . N →∞

ad ii) Wir zeigen, daß die formale Fourier-Reihe absolut und gleichmäßig konvergiert. Dann folgt nach Teil i) die Behauptung, da sie punktweise gegen f konvergiert. Zunächst zeigen wir, daß die Familie der Fourier-Koeffizienten der Funktion f summierbar ist, d.h. daß die Partialsummen

∑ c [f ] n

n ≤N

, n ∈ N,

konvergieren: Da f ' ∈ L2([-π, π]) folgt aus der Besselschen Ungleichung im Hilbert-Raum dt   L2  [− π, π],  (Korollar 1.9) die quadratische Summierbarkeit 2π  

∑

n∈Z

γn

2

≤ f'

2

<∞

der Fourier-Koeffizienten von f' γ n := f ' , e n

π

1 = f ' ( t ) e n ( t ) dt 2π −∫π

bzgl. des Orthonormal-Systems der trigonometrischen Monome

(e Nach Lemma 3.4, Teil ii) gilt

n

(x ) = ei n x

)

n∈Z

.

Fourier-Reihen

26 γ n = i n c n [f ] für alle n ∈ Z.

Mit der Ungleichung von Cauchy-Schwarz (Satz 1.2) folgt die absolute Sumierbarkeit

∑ c [f ] = ∑

n∈Z

n

n∈Z

( n c n [f ] ) 1 = ∑ γ n 1 ≤ n n∈Z n

∑

n∈Z

γn

2

∑

n∈Z

1 n

2

<∞.

Aus der Summierbarkeit der Fourier-Koeffizienten folgt die absolute und gleichmäßige Konvergenz der Fourier-Reihe

∑ c [f ] e

n∈Z

n

n

, QED.

3.10 Korollar (Weierstraß'scher Approximationssatz, periodischer Fall) Jede stetige periodische Funktion f: R → C läßt sich gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximieren. Beweis. Zunächst approximieren wir f gleichmäßig durch stetige, stückweise-lineare Funktionen: Wegen der Kompaktheit des Intervalles [ -π, π ] ist die stetige Funktion f gleichmäßig stetig. Zu vorgegebenem ε > 0 finden wir eine Intervall-Länge δ > 0, so daß f auf allen Teilintervallen der Länge δ um höchstens den Betrag ε schwankt. Wir zerlegen [ -π, π ] in endlich viele Teilintervalle der Länge ≤ δ und approximieren f auf jedem Teilintervall durch die Gerade durch die Funktionswerte am linken und rechten Rand. Die resultierende Funktion g ist stetig und stückweise-stetig differenzierbar. Nach Satz 3.9 konvergiert die Fourier-Reihe von g gleichmäßig gegen g. Also läßt sich auch f gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximieren, QED.

3.11 Korollar (Hilbert-Basis der trigonometrischen Monome) Die Familie der trigonometrischen Monome

(e

n

(x ) = ei n x

)

n∈Z

ist eine Hilbert-Basis des Hilbert-Raumes dt   L2  [− π, π],  , 2π   d.h. des Raumes L2( [ -π , π ] )mit dem Skalarprodukt π

1 f, g = f ( t ) g ( t ) dt . 2π −∫π Beweis. Es bleibt die Vollständigkeit des Orthonormal-Systems der trigononometrischen Monome zu zeigen.

Fourier-Reihen

27

Jede stetige periodische Funktion läßt sich nach Korollar 3.10 gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximieren. Die Approximation gilt dann insbesondere im L2-Sinne. Da sich andererseits jede Funktion aus dt   L2  [− π, π],  2π   im L2-Sinne durch stetige Funktionen approximieren läßt ([For1983], §10, Satz 3), ist das Orthonormal-System der trigonometrischen Monome vollständig, also eine Hilbert-Basis, QED.

3.12 Korollar (Weierstraß'scher Approximationssatz) Über einem kompakten Intervall I ⊂ R läßt sich jede stetige Funktion f: I → C gleichmäßig durch Polynome approximieren. Beweis. Wir nehmen o.E. an I = [ -π, 0 ] und setzen die gegebene Funktion zu einer periodischen Funktion der Periode 2π F: R → C fort: Zunächst spiegeln wir die Funktion f an der Geraden t = 0, dann setzen wir sie mit der Periode 2π fort. Die stetige periodische Funktion F läßt sich nach Korollar 3.10 gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximieren. Jedes dieser trigonometrischen Polynome läßt sich auf dem kompakten Intervall [ -π, π ] gleichmäßig durch die Partialsummen seiner Taylor-Reihe, also durch Polynome approximieren, QED.

3.13 Korollar (Hilbert-Basis der Legendre-Polynome) Die Familie der normierten Legendre-Polynome  2n + 1 1  dn n n 2 n   D [( x 1 ) ] , D : = , −   2 2 n n! dx n   n∈ N ist eine Hilbert-Basis des Hilbert-Raumes L2([-1, 1]). Beweis. Zur Normierung und der Orthogonalität vgl. Beispiel 2.6 und Bemerkung 2.7. Zum Beweis der Vollständigkeit approximieren wir eine gegebene integrierbare Funktion zunächst im L2-Sinne durch stetige Funktionen. Nach Korollar 3.12 läßt sich jede stetige Funktion über dem kompakten Intervall [-1, 1] gleichmäßig durch Polynome approximieren. Der von den Polynomen eines Grades ≤ n aufgespannte Teilraum von L2([-1, 1]) stimmt aus Dimensionsgründen mit dem von den ersten n+1 Legendre Polynomen aufgespannten Teilraum überein. Insgesamt läßt sich jede integrierbare Funktion im L2-Sinne durch die Legendre-Polynome approximieren, QED.

3.14 Bemerkung (Faltung, Distribution) i) Im Beweis von Satz 3.9 tritt der Ausdruck

Fourier-Reihen

28 π

1 D N ( x − t ) f ( t ) dt 2π −∫π

auf. Man nennt die hierdurch an der Stelle x ∈ R definierte Funktion die Faltung DN * f: → C der Funktion DN mit der Funktion f. Damit läßt sich die N-te Partialsumme der Fourier-Reihe kompakt schreiben als Faltung mit dem N-ten Dirichlet-Kern FN [f ] = D N * f .

ii) Wüßte man bereits, daß der Dirichlet-Kern als Distribution auf geeigneten Testfunktionen, zu denen f gehört, gegen die Delta-Distribution δ0 konvergiert 1 D N ( x ) = δ0 ( x ) N →∞ 2 π lim

und daß Summation und Integration vertauschen, so erhielte man sofort F [f ] (x ) = lim FN [f ] (x ) = N →∞

π

π

1   D N ( x − t ) f ( t ) dt = ∫ δ0 ( x − t ) f ( t ) dt = f ( x ) . ∫− π Nlim → ∞ 2π  −π

Der wesentliche Teil des Beweises von Satz 3.9 ist die Rechtfertigung dieser Heuristik. Wir werden in Kapitel 5 eine Einführung in die Theorie der Distributionen geben.

Im Beweis von Satz 3.9 wurde aus der Existenz der Ableitung die Summierbarkeit der Fourier-Koeffizienten abgeleitet. Diese Aussage ist der Spezialfall eines allgemeinen Zusammenhanges zwischen dem Grad der Differenzierbarkeit einer Funktion und der Summierbarkeit ihrer Fourier-Koeffizienten.

3.15 Satz (Differenzierbarkeit und Konvergenzverhalten) Die periodische integrierbare Funktion f: R → C sei k-mal stetig-differenzierbar. Dann gibt es eine Konstante M, so daß alle Fourier-Koeffizienten von f die Abschätzung erfüllen c n [f ] ≤

M n

k

, n∈Z .

Beweis. Durch Induktion über k. Für k = 0 folgt die Behauptung über die Beschränktheit der Fourier-Koeffizienten cn [ f ], n ∈ Z, aus der Abschätzung c n [f ]

1 = 2π

π

∫ f (t) e

−π

−int

1 dt ≤ 2π

π

∫

f ( t ) dt := M .

−π

Im Induktionsschritt k a k+1 wendet man die Induktionsvoraussetzung auf die k-te Ableitung von f ' an. Es gilt nach Lemma 3.4:

Fourier-Reihen

29 c n [ f ' ] = i n c n [f ] ,

also c n [f ] ≤

cn [ f ' ] n

≤

M n n

k

, n ∈ Z , QED.

Fourier-Integrale

30

4 Fourier-Integrale In diesem Kapitel erweitern wir die Klasse der betrachteten Funktionen, indem wir auf die Voraussetzung der Periodizität verzichten. Für integrierbare Funktionen führen wir in Verallgemeinerung der Fourier-Reihe das Fourier-Integral ein. Während in der Fourier-Reihe nur ein diskrete Folge von Frequenzen auftritt, wird bei einem Fourier-Integral über das Kontinuum aller rellen Frequenzen integriert. Ausgehend von der Definition des Fourier-Integrals für integrierbare Funktionen konstruieren wir die Fourier-Transformation auf dem Hilbert-Raum der quadrat-integrierbaren Funktionen. Der Hauptsatz dieses Kapitels ist die Umkehrformel der Fourier-Transformation (Satz 4.15).

4.1 Definition (Exponentialfunktion und Skalierung) Wir bezeichnen für festes a ∈ R mit ea: R → C, ea(t) := eiat die Exponentialfunktion. Sie stellt die Aufnahme eines Phasenfaktors dar. Wir bezeichnen für festes a ∈ R* mit θa f : R → C , (θa f ) ( t ) := f (

t ) a

die um den Faktor a skalierte Funktion. Sie stellt für a > 1 eine Streckung und für a < 1 eine Stauchung dar.

4.2 Definition (Fourier-Transformation) Wir definieren die Fourier-Transformation einer integrierbaren Funktion f ∈ L1 = L1 (R ) als die Funktion 1 1 fˆ : R → C , fˆ ( ω) := f(t) e ù ( t ) dt = f(t) e- iωt dt . ∫ ∫ 2π R 2π R

Manchmal faßt man die Variable t ∈ R als die Zeit auf. Dann beschreibt f(t) ein Signal und die Fourier-Transformation fˆ (ù ) das zugehörige Frequenzspektrum.

4.3 Bemerkung (Fourier-Transformation und komplexe Konjugation) Es gilt

Fourier-Integrale

31

( )

fˆ (ω) = f

(− ω)

^

und für eine relle Funktion f fˆ ( ω) = fˆ ( − ω) .

4.4 Beispiel (Fourier-Transformation der Normalverteilung) Die standardisierte Normalverteilung ist die Funktion t2

1 −2 e . f: R → R, f (t ) := 2π Es handelt sich um eine Wahrscheinlichkeitsdichte wegen der Normierung 1 2π

∫e

−

t2 2

dt = 1 .

R

Für die Berechnung dieses nicht-trivialen Integrals siehe [For1976], §20.8. Die standardisierte Normalverteilung geht bei Fourier Transformation in sich über, d.h. fˆ = f . Zum Beweis berechnen wir g(ω) := ∫ e

−

t2 2

−

t2 2

e − iωt dt .

R

Wir setzen h ( t , ω) := e

e − iωt .

Für die partielle Ableitung t2

− ∂ h ( t , ω) := − it e 2 e − iωt ∂ω

gilt die Abschätzung t2

− ∂ h ( t , ω) := t e 2 . ∂ω

Also ist die Ableitung ebenfalls integrierbar. Nach dem Satz über die Differenzierbarkeit eines Integrals nach einem Parameter ([For1983], §11, Satz 2) folgt − d ∂h (t, ω) g' (ω) := h(t, ω) dt = ∫ dt = − i ∫ t e 2 e − iωt dt . ∫ dω R ∂ω R R t2

Zur Berechnung des letzten Integrals verwenden wir partielle Integration

Fourier-Integrale

32 R

∫t e

−

t2 2

R

R t  −t  − dt = − e 2 e − iωt  − iω ∫ e 2 e − iωt dt .   − R -R 2

e

-R

− iωt

2

Der Grenzübergang R → ∞ liefert für die gesuchte Funktion g die lineare Differentialgleichung g ' (ω) := − ω g(ω) . Separation der Variablen liefert dg = − ω dω g also g(ω) = e

−

ω2 2

g (0) .

Aufgrund der Normierung gilt g(0 ) = 2π , also 1 1 − fˆ (ω) = g (ω) = e 2π 2π

ω2 2

= f (ω) , QED.

4.5 Lemma (Stetigkeit der Fourier-Transformation) Die Fourier-Transformation einer integrierbaren Funktion ist eine stetige, beschränkte Funktion: Für f ∈ L1 (R ) gilt 1 fˆ ( ω) ≤ f 2π

L1

für alle ω ∈ R .

Es gilt lim fˆ ( ω) = 0 .

ω→ + / − ∞

Beweis. Die Stetigkeit folgt aus dem Satz über die stetige Parameterabhängigkeit des Integrals ([For1983], §11, Satz 1), die Beschränktheit aus der Gleichung e − i ωt = 1 . Die Aussage über das Grenzwertverhalten im Unendlichen folgt aus Satz 3.8, QED.

Fourier-Integrale

33

Wie folgendes Beispiel zeigt, ist die Fourier-Transformierte einer integrierbaren Funktion i.a. nicht mehr integrierbar. Vielmehr hängt das Abklingverhalten bzgl. der Frequenzen im Unendlichen von den Differenzierbarkeitseigenschaften des Ausgangssignals ab.

4.6 Beispiel (Nicht integrierbare Fourier-Transformation) Die charakteristische Funktion des kompakten Intervalls [-1, 1] 1 t ∈ [−1, 1] f : R → R, f ( t ) :=  sonst 0 hat die Fourier-Transformation fˆ : R  → R, fˆ (ω) =

2 sin ω . π ω

Diese Funktion ist nicht integrierbar. Beweis. Wir berechnen fˆ (ω) =

1

1 1 f (t ) e −iωt dt = f (t ) e −iωt dt = ∫ ∫ 2π R 2π -1

1 2π

1

 e −iωt  i [e −iωt − e iωt ] =  − iω  =   −1 ω 2π

2 sin ω π ω

Daß die Funktion fˆ nicht-integrierbar ist, liegt an der Divergenz der harmonischen Reihe 1

∑ n , QED. n ≥1

In Analogie zu Lemma 3.4, Teil i), untersuchen wir das Verhalten der Fourier-Transformation bei Translation.

4.7 Lemma (Translation und Dilatation bei Fourier-Transformation) Für die Fourier-Transformation einer integrierbaren Funktion f ∈ L1 (R ) gilt: •

Bezüglich der Translation τa mit festem a ∈ R (ô a fˆ) = e -a fˆ (e a f ˆ) = τ a fˆ

•

Bezüglich der Skalierung mit festem a ∈ R* (θ a f ˆ) = a ⋅ θ a −1 fˆ .

Beweis. ad i) Der Beweis beruht auf der Substitution s = t – a bei der Integration

Fourier-Integrale

(ô a f )^ (ù ) =

34

1 (τa f ) (t ) e − iùt dt = 1 ∫ f(t - a) e − iùt dt = ∫ 2π R 2π R

(ea f )^ (ù ) =

( )

1 1 f(t) e − i( ù − a ) t dt = τa fˆ (ω) . e iat f (t ) e − iùt dt = ∫ ∫ 2π R 2π R

ad ii) Der Beweis beruht auf der Substitution s =

(θa f )^ (ù ) =

1 f(s) e − iùa e − iωs ds = e − a (ω) fˆ (ω) 2π ∫R

1 t f   e − iùt dt = ∫ 2π R  a 

t bei der Integration a

a

f( s ) e 2π ∫

− iùsa

( )

ds = a θa −1 fˆ ( ω) , QED.

R

Das folgende Lemma wird im Beweis von Satz 4.15 verwendet.

4.8 Lemma Für zwei integrierbare Funktionen f , g ∈ L1 (R ) gilt die Formel

∫ f ( t ) gˆ( t ) dt = ∫ fˆ ( t ) g( t ) dt . R

R

Beweis. Man wendet den Satz von Fubini an auf die integrierbare Funktion zweier Veränderlicher f ( x ) g( y ) e − ixy , QED.

Der Weg von der Fourier-Transformation für integrierbare Funktionen zur Fourier-Transformation quadrat-integrierbarer Funktionen führt über die Teilklasse der schnell abfallenden (temperierten) Funktionen. Einerseits führt Fourier-Transformation nicht heraus aus dieser Teilklasse, andererseits ist die Klasse groß genug, um alle quadrat-integrierbaren Funktionen zu approximieren. Auf dem Raum der temperierten Funktionen führen wir eine Topologie ein. Da die Funktionen differenzierbar sind, sollte die Topologie nicht nur die Funktionen, sondern auch die Größe ihrer Ableitungen messen. Daß die Funktionen schnell abfallen, bedeutet, daß jede Funktion und jede ihrer Ableitungen im Unendlichen schneller abfällt als jedes Polynom. Daher definieren wir die Topologie durch eine Folge von Semi-Normen: Die Semi-Norm n , k mißt das Wachstum der k-ten Ableitungen im Vergleich zu dem Monom n-ten Grades.

4.9 Definition (Temperierte Funktionen) Auf der Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen führen wir eine Folge von SemiNormen ein: Für f ∈ C ∞ ( R) sei

Fourier-Integrale

35 f

n ,k

:= sup ( 1 + t

) f ( )( t ) n

t∈R

k

, n, k ∈ N.

Der Vektorraum S = S(R) der temperierten Funktionen (oder Schwartz-Raum) ist die Menge { f ∈ C ∞ ( R) : f

n ,k

< ∞ für alle n , k ∈ N }

der beliebig oft differenzierbaren Funktionen, die selbst und deren jede Ableitung schneller abfallen als jede inverse Potenz, versehen mit der Addition und der Multiplikation mit komplexen Skalaren. Auf S führen wir folgenden Konvergenzbegriff ein: Eine Folge (f ν ) ν∈N von temperierten Funktionen konvergiert gegen Null f ν → 0, S wenn für alle Semi-Normen gilt: lim f ν

ν→∞

n,k

= 0 , n, k ∈ N.

4.10 Bemerkung i) Wegen der binomischen Formel n n ( 1 + t ) n = ∑   t ν ν =0  ν 

sind die Abschätzungen von sup (1 + t ) n ⋅ f (k ) ( t ) für jedes Paar n, k ∈ N t∈R

gleichwertig zu entsprechenden Abschätzungen von sup t n ⋅ f (k ) ( t ) < ∞ für jedes Paar n, k ∈ N, t∈ R

ii) Der Schwarz-Raum ist vollständig. Die Topologie läßt sich durch auch die abzählbare Familie von Normen beschreiben (Fréchet-Raum) f

p

:= sup sup k≤p

t ∈R

(1+

t

)

p

f (k ) ( t

)

, p ∈ N.

4.11 Lemma (Produkt und Differentiation temperierter Funktionen) i) Beliebige Ableitungen und Produkte temperierter Funktionen sind wieder temperiert. ii) Das Produkt einer temperierten Funktion mit einer Funktion, für die jede Ableitung höchstens polynomial wächst, ist wieder temperiert.

Fourier-Integrale

36

4.12 Bemerkung Temperierte Funktionen sind integrierbar, d.h. S ⊂L. 1

Zum Beweis verwendet man die Abschätzung

∫

R

f ( t ) dt = ∫ ( 1 + t ) 2 f ( t ) R

1 ( 1+ t )

2

dt ≤ sup ( 1 + x ) 2 f ( x ) x∈ R

∫

R

1 ( 1 + t )2

dt < ∞ .

In Analogie zu Lemma 3.4, Teil ii), untersuchen wir das Verhalten der FourierTransformation bei Differentiation. Gemäß dem folgenden Satz 4.13 werden Differentiation und Multiplikation jeweils ineinander übergeführt.

4.13 Satz (Fourier-Transformation temperierter Funktionen) Gegeben sei eine temperierte Funktion f ∈S

und ein Polynom P(t) einer Veränderlichen. Wir bezeichnen mit D=

d dx

den Differentialoperator. •

Dann ergeben sich die Fourier-Transformationen der Ableitungen von f durch Multiplikation aus der Fourier-Transformation von f:

(P(D ) f )^ (ω) = P(iω) fˆ (ω) •

Die Fourier-Transformation von f gehört wieder zu S. Die Ableitungen der FourierTransformation von f sind die Fourier-Transformationen von Multiplikationen von f: P(i D ) fˆ = (P ⋅ f )^ .

Man hat also zwei kommutative Diagramme

d

− it − it ⋅ f f →

dt f → f'

^↓

↓^

und

iω fˆ → iω ⋅ fˆ

Beweis. Es genügt, die Behauptung für ein Monom

^↓

fˆ

↓^ d dω

→ iωfˆ

Fourier-Integrale

37 P(t) = tk

und hier nur für den Fall k = 1 zu beweisen. Die Behauptung durch Einsetzen der Definition und partielle Integration bzw. Differentiation nach einem Parameter:

(f ')^ (ω) =

[

1 1 f ( t ) e − iωt f ' ( t ) e − iωt dt = ∫ 2π 2π R

]

∞ −∞

1 f ( t ) (− iω) e − iωt dt = iω fˆ (ω) ∫ 2π R

−

und i

dfˆ (ω) = dω

i d dt f ( t ) e − iωt = 2π dω ∫R =

i f ( t ) ( −it ) e − iωt dt 2π ∫R

d − iωt i e dt = f (t) ∫ dω 2π R 1 2ð

∫

t f(t) e-iωt dt = ( P f )^ ( ω) .

R

Zum Beweis, daß die Fourier-Transformation wieder temperiert ist, sind die Suprema sup ù n fˆ (k) (ω) , n, k ∈ N, ω∈R

abzuschätzen. Wir setzen für vorgegebenes k ∈ N ϕ(t) := tk f(t). Dann gilt nach der bereits bewiesenen zweiten Formel angewendet auf f: ϕˆ (ù ) = i k fˆ ( k ) (ω) , also für vorgegebenes n ∈ N ù n fˆ (k) = ù n ϕˆ . Weiter gilt nach der bereits bewiesenen ersten Formel angewendet auf ϕ:

(iω)n ϕˆ (ù ) = (ϕ(n ) )^ (ω) , also ù n ϕˆ = (ϕ (n) ˆ) . Nach Lemma 4.5 ist die Fourier-Transformation (ϕ (n) ˆ) beschränkt, da ϕ(n) als temperierte Funktion integrierbar ist. Also gilt sup ù n fˆ (k) (ω) ≤ ω∈R

1 ϕ(n ) 2π

L1

< ∞ , QED.

4.14 Lemma (Stetigkeit der Fourier-Transformation) Die Fourier-Transformation F: S → S , f a fˆ ist eine stetige lineare Abbildung auf dem Raum der temperierten Funktionen.

Fourier-Integrale

38

Beweis. Nach Satz 4.13 ist die Abbildung wohldefiniert. Zum Beweis der Stetigkeit genügt es, den Fall einer Nullfolge (f ν ) ν∈N von temperierten Funktionen zu betrachten. Mit ϕν ( t ) := t k f ν ( t ) folgt analog zu Satz 4.13, Teil i) die Abschätzung 1 ( k) (n) (n ) ϕ ν ( t ) dt sup ù n fˆν ( ω) = sup (ϕ ν )ˆ ( ω) ≤ ∫ ω ∈R ω ∈R 2π R ≤ sup t∈ R

(ϕ

(n) ν

( t ) ( 1 + t )2

)

1 2π

∫

R

1 ( 1 + t )2

dt

Wegen ϕν (t ) = t k f ν (t ) und der Leibniz-Formel ϕν

(n )

(t ) = ∑ 

n  D j t k f ν ( n − j) j= 0  j  n

konvergieren nach Voraussetzung die Suprema (k) sup ù n fˆν (ω) ω∈R

gegen Null, also konvergiert fˆν → 0 , QED. S

Die Aussage von Lemma 4.14 läßt sich wesentlich verschärfen.

4.15 Satz (Umkehrformel der Fourier-Transformation) Die Fourier-Transformation F: S → S , ϕ a ϕˆ , ist ein Homöomorphismus. Die Umkehrabbildung hat die Gestalt F

-1

: S → S , F -1 (ψ )( t ) =

1 ψ( ω) eiωt dω . ∫ 2π R

Beweis. Die Abbildung G : S → S , G (ψ )( t ) =

ist wohldefiniert, analog zu Bemerkung 4.12. i) Wir zeigen zunächst die Gleichheit

1 ψ(ω) e iωt dω ∫ 2π R

Fourier-Integrale

39 id = G o F.

Sei ϕ ∈ S vorgegeben und ϕˆ := F (ϕ) gesetzt. Die Gleichheit der Funktionswerte an der Stelle x = 0 ϕ(0) = ( G o F )(ϕ)(0) bedeutet ϕ(0) =

1 dω ϕˆ ( ω) 2π ∫R

Wir beweisen diese Aussage als die Gleichheit zweier Grenzwerte. Wir approximieren die Dirac-Distribution durch einen Grenzwert von Integralen: Sei 1 e µ( x ) = 2π

−x2 2

die standardisierte Normalverteilung. Nach Lemma 4.8 gilt mit der Dilatation θa, a ∈ R+*, die Gleichung

∫ ϕ(ω) (θ µ ) (ω) dω = ∫ ϕˆ (ω) (θ µ)(ω) dω . ^

a

a

R

R

Für die linke Seite dieser Gleichung folgt nach Lemma 4.8 und wegen µ = µˆ (Beispiel 4.4)

∫ ϕ(ω) (θ µ ) (ω) dω = ∫ ϕ(ω) a (θ µˆ ) (ω) dω = ∫ (θ ϕ )( y) µˆ ( y) dy = ∫ (θ ϕ)( ω) µ(ω) dω ^

a −1

a

R

a

R

a

R

R

Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz ([For1983], §9, Satz 2) ergibt sich der Grenzwert der linken Seite als lim ∫ (θa ϕ )( ω) µ( ω) dω = ∫ lim (θa ϕ)( ω) µ(ω) dω = ϕ(0) ∫ µ( ω) dω = ϕ(0) .

a →∞

R

R

a→∞

R

Wiederum mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz ergibt sich der Grenzwert der rechten Seite als lim ∫ ϕˆ ( ω) ( θαµ )( ω) dω = ∫ ϕˆ (ω) lim ( θ αµ )( ω) dω = a →∞

R

R

a→∞

1 ϕˆ ( ω) dω 2π ∫R

Die Gleichheit beider Grenzwerte bedeutet ϕ(0) =

1 ϕˆ ( ω) dω . 2 π ∫R

Aus Lemma 4.7, angewendet auf die Fourier-Transformation einer Translation, folgt hieraus für beliebiges festes Argument x ∈ R die Behauptung: ϕ( x ) = ( τ − x ϕ)(0) =

1 (τ − x ϕ)^ (ω) dω = ∫ 2π R

1 eiωx ⋅ ϕˆ (ω) dω = (G o F ) (ϕ)( x ) . ∫ 2π R

Fourier-Integrale

40

ii) Die Gleichheit bei umgekehrter Kompositionreihenfolge id = F o G folgt - zunächst wieder für x = 0 - aus der Tatsache (F o G)(ϕ)(0) = (G o F)(θ-1 ϕ)(0), und der bereits bewiesenen Aussage (G o F)(θ-1 ϕ)(0) = (θ-1 ϕ)(0) = ϕ(0). Hieraus folgt wie oben durch Translation der Fall eines beliebigen Argumentes x ∈ R. iii) Die Stetigkeit von F wurde in Satz 4.14 gezeigt; analog folgt die Stetigkeit von G, QED.

Obiger Satz 4.15 erlaubt nun die Fortsetzung der Fourier-Transformation zu einem isometrischen Isomorphismus des Hilbert-Raumes L2. Wir verwenden an dieser Stelle nur die Aussage über die Umkehrfunktion. Die Stetigkeit der Fourier-Transformation bzgl. der Schwarz-Topologie werden wir erst Kapitel 6 bei der Definition temperierter Distributionen und ihrer Fourier-Transformation benutzen.

4.16 Korollar (Fourier-Transformation als Isometrie) Die temperierten Funktionen bilden einen dichten Teilraum des Hilbert-Raumes L2, auf dem die Fourier-Transformation eine Isometrie ist: Für zwei temperierte Funktionen f, g ∈ S gilt: < f , g > = < fˆ , gˆ > . Beweis. Die beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger, also eine Teilmenge von S, liegen bereits dicht in L2 ([For1983] §10, Corollar zu Satz 3). Mit Satz 4.15 und Bemerkung 4.3 folgt  1 < f , g > = ∫ f ( t ) g ( t ) dt = ∫ g ( t )  fˆ (ω) e ∫ 2 π R R R   1 = ∫ fˆ (ω)  ∫ g( t ) e R  2π R

iωt

iωt

 dω  dt 

( )

−  ^ dt  dω = ∫ fˆ ( ω) θ−1 g ( ω) dω = ∫ fˆ ( t ) gˆ dω = < fˆ , gˆ > , QED. R R 

4.17 Satz (Fourier-Transformation als L2-Isomorphismus) Die Fourier-Transformation läßt sich zu einem isometrischen Isomorphismus F :L → L 2

2

von Hilbert-Räumen fortsetzen. Beweis. Zunächst ist die Abbildung auf dem dichten Teilraum der temperierten Funktioen wohldefiniert

Fourier-Integrale

41 F :S → L

2

und bildet diesen Teilraum nach Korollar 4.16 isometrisch auf sich ab. Als Hilbert-Raum ist L2 vollständig, so daß eine eindeutige stetige Fortsetzung F :L →L 2

existiert. Diese ist ebenfalls eine Isometrie, QED.

2

Distributionen

42

5 Distributionen Distributionen sind eine Erweiterung des Begriffes der Funktion. Die erste Erweiterung dieser Art ist die von Dirac eingeführte Delta-Distribution. Sie selbst ist keine Funktion, kann aber in einem geeigneten Sinne als Grenzwert von Funktionen aufgefaßt werden. Während Funktionen im einfachsten Fall reelle Zahlen als Argument haben, leben Distributionen auf einer höheren Ebene: Ihr Definitionsbereich enthält als Argumente ganze Funktionen, sogenannte Testfunktionen. Man nennt Distributionen daher auch Funktionale. Jede integrierbare Funktion läßt sich als Distribution auffassen, indem man sie als Integraloperator auf die Klasse der Testfunktionen anwendet. Die Bedeutung der Distributionen für die Analysis liegt darin, daß man Distributionen beliebig oft differenzieren kann und sie generell gute Eigenschaften bzgl. der Grenzwertbildung zeigen. Für Distributionen mit temperierten Funktionen als Testfunktionen läßt sich die Fourier-Transformierte definieren. Ein etwas kleinerer Definitionsbereich für Distributionen sind ist der Raum D aller der Testfunktionen mit kompaktem Träger. In Analogie zum SchwarzRaum S führen wir auch auf D eine Topologie ein, die ihn zu einem vollständigen topologischen Vektorraum macht.

5.1 Definition (Testfunktionen) ∞

Der Vektorraum D = D(R) der Testfunktionen ist die Menge Cc ( R) der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger, versehen mit der Addition und der Multiplikation mit komplexen Skalaren. Auf D führen wir folgenden Konvergenzbegriff ein: Eine Folge (ϕ ν ) ν∈N von Testfunktionen konvergiert gegen eine Testfunktion ϕ , ϕν  → ϕ D •

wenn eine kompakte Menge K ⊂ R existiert mit supp (ϕ ν ) ⊂ K für alle ν ∈ N,

•

so daß für jedes k ∈ N die Folge der k-ten Ableitungen (k )

ϕν , ν ∈ N , gleichmäßig konvergiert auf K gegen die k-te Ableitung ϕ(k ) .

5.2 Definition (Dirac-Distribution) Das lineare Funktional δ : D→ C, δ a [ ϕ ] := ϕ(a) mit einer festen Stelle a ∈ R heißt Dirac-Distribution (oder Delta-Distribution) an der Stelle a.

Distributionen

43

5.3 Definition (Reguläre Distributionen) Jede lokal-integrierbare Funktion f definiert ein lineares Funktional auf den Testfunktionen: Tf : D→ C, Tf [ ϕ ]:= ∫ f (t) ϕ(t) dt . R

5.4 Satz (Approximation der Dirac-Distribution) Für jede integrierbare Funktion f ∈ L1(R) mit

∫ f ( t) dt = 1 R

approximieren die regulären Distributionen Tfa : D → C , die von den skalierten Funktionen f a :=

1 θa f , a > 0, a

erzeugt werden, bzgl. des Grenzübergangs a → 0 die Dirac-Distribution δ0, d.h. für jede Testfunktion ϕ ∈ D gilt: lim Tfa [ ϕ ] = δ 0 [ ϕ ] = ϕ(0). a →0

Beweis. Wir berechnen für festes a > 0 mit der Substitution t = a x Tfa [ϕ] = ∫

R

1 t f   ϕ(t ) dt = ∫ f (x ) ϕ ( a x ) dx . a a R

Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz ([For1983], §9, Satz 2) darf man Integration und Limesbildung vertauschen und erhält lim Tfa [ ϕ ] = lim ∫ f (x ) ϕ(a x ) dx = ∫ f (x ) lim ϕ(a x ) dx = ∫ f (x ) ϕ(0 ) dx = ϕ(0) , QED. a →0

a →0

R

R

a →0

R

5.5 Definition (Distribution) Eine Distribution ist eine lineares Funktional auf dem Raum der Testfunktionen T : D→ C , das stetig ist bzgl. der Topologie von D. Wir bezeichnen mit D ' den komplexen Vektorraum der Distributionen.

5.6 Bemerkung i) Die Dirac-Distribution ist eine Distribution im Sinne von Definition 5.5. ii) Jede reguläre Distribution Tf ist eine Distribution im Sinne von Definition 5.5. Zum Beweis beachte man, daß nur über ein festes Kompaktum integriert werden muß und hier die

Distributionen

44

Konvergenz der Testfunktionen sogar gleichmäßig ist. Durch den Übergang zur Distribution erhält man eine kanonische Abbildung L2  → D' , f a Tf , vermöge derer sich jede L2-Funktion auch als Distribution auffassen läßt. Der Kern dieser Abbildung sind diejenigen quadrat-integrierbaren Funktionen, die fast überall Null sind. iii) Die Dirac-Distribution ist nicht regulär.

Viele aus der Analysis bekannte Operationen überträgt man auf Distributionen, indem man sie auf ihre Argumente anwendet - also auf die Testfunktionen.

5.7 Definition (Multiplikation mit Funktionen) Das Produkt einer Distribution T : D→ C mit einer beliebig oft differenzierbaren Funktion g ∈ C∞ ist definiert als die Distribution g ⋅ T : D→ C, (g ⋅ T ) [ ϕ ] := T [ g ϕ ] . Das Produkt ist wohldefiniert, da für jede Testfunktion ϕ ∈ D auch das Produkt g ⋅ϕ wieder kompakten Träger hat.

5.8 Definition (Translation und Dilation einer Distribution) Für eine Distribution T ∈ D definiert man die Translation um die Strecke a ∈ R als die Distribution τa T : D  → C , (τ a T ) [ ϕ ] := T [τ −a ϕ ] und die Dilation um den Faktor a ∈ R* als die Distribution θa T : D  → C , (θa T ) [ ϕ ] := T

[

]

[

]

a ⋅ θa −1 ϕ = a ⋅ T θa −1 ϕ .

5.9 Definition (Ableitung einer Distribution) Die Ableitung einer Distribution T ∈ D‘ ist definiert als das Funktional T‘: D → C, T‘[ ϕ ]:= - T[ ϕ‘ ]. Offensichtlich ist die Ableitung wieder ein stetiges Funktional, also eine Distribution.

Das negative Vorzeichen in Definition 5.9 ist motiviert durch die Ableitung von regulären Distributionen Tf mit einer stetig-differenzierbaren Funktion f. Durch partielle Integration erhält man unter Berücksichtigung der Tatsache, daß Testfunktionen kompakten Träger haben:

Distributionen

45

(Tf )' [ ϕ ] = − Tf [ ϕ' ] = − ∫ f ( t ) ϕ' ( t ) dt = [ − f ( t ) ϕ( t ) ] ∞−∞ + ∫ f ' (t) ϕ(t) dt = R

R

Tf ' [ ϕ ] , also in diesem Fall

(Tf ) ' = Tf '

.

5.10 Beispiel (Ableitung der Heaviside-Distribution) Die Heaviside'sche Sprungfunktion ist definiert als 0 t < 0 . H: R → C, H( t ) :=  1 t ≥ 0 Sie hat – aufgefaßt als reguläre Distribution TH – als Ableitung die Dirac-Distribution δ0. Beweis. Sei ϕ ∈ D eine Testfunktion. Dann gilt ∞

TH ' [ ϕ ] = − TH [ ϕ' ] = − ∫ H ( t ) ϕ' ( t ) dt = − ∫ ϕ' ( t ) dt = − [ ϕ( t ) ] 0 = ϕ(0) = δ 0 [ ϕ ], QED. R

∞

0

5.11 Definition (Konvergenz von Distributionen) Eine Folge von Distributionen Tn ∈ D‘, n ∈ N, konvergiert gegen eine Distribution T ∈ D‘, Tn → T, D' wenn sie auf allen Testfunktionen konvergiert, d.h. wenn für jede Testfunktion ϕ ∈ D gilt: lim Tn [ ϕ ] = T [ ϕ ] . n →∞

In diesem Sinne konvergieren die in Satz 5.4 betrachteten Funktionen –aufgefaßt als Distributionen – gegen die Dirac-Distribution.

5.12 Beispiel Der Grenzwert

∑ δ 2 πn := lim

N∈ Z

N →∞

N

∑δ

n=− N

2 πn

existiert als Grenzwert von Distributionen. Zum Beweis beachte man, daß eine Aussage über Testfunktionen zu zeigen ist. Diese haben nach Definition kompakten Träger, so daß sich beide unendlichen Reihen auf eine endliche Summe reduzieren. Wir werden diese Distribution noch einmal in Satz 6.9 berechnen.

Fourier-Transformation temperierter Distributionen

46

6 Fourier-Transformation temperierter Distributionen In diesem Kapitel übertragen wir die Fourier-Transformation, die wir bisher für Funktionen aus den Klassen L1 und L2 kennen, auf die größere Klasse der Distributionen. Allerdings werden wir nicht den allgemeinsten Fall, sondern nur den Fall temperierter Distributionen betrachten. Als Hauptsatz dieses Kapitels berechnen wir den Grenzwert der Dirichlet-Kerne und folgern daraus mit der Fourier-Transformation temperierter Distributionen die PoissonFormel.

6.1 Satz (Testfunktionen und temperierte Funktionen) Die Inklusion D→ S

der Testfunktionen in die Klasse der temperierten Funktionen •

ist stetig, d.h. ϕν  → ϕ impliziert ϕ ν → ϕ, D S

•

und hat dichtes Bild, d.h. zu jeder temperierten Funktion ϕ ∈ S existiert eine Folge von Testfunktionen (ϕ ν ) ν∈N , ϕ ν ∈ D , mit ϕ ν → ϕ. S

Beweis. ad i) Für die Stetigkeit ist zu zeigen, daß eine Nullfolge von Testfunktionen in D auch eine Nullfolge in S ist, d.h. bzgl. der Familie der Semi-Normen f

n ,k

:= sup t∈R

( 1+

t

) f ( )( t ) n

k

, k, n ∈ N,

gegen Null konvergiert. Nach Voraussetzung haben alle Testfunktionen einer gegebenen Nullfolge ihren Träger in einem festen Kompaktum. Die gleichmäßige Konvergenz gegen Null aller Ableitungen auf diesem Kompaktum impliziert die Konvergenz gegen Null in jeder Semi-Norm. ad ii) Um zu zeigen, daß D eine dichte Teilmenge von S ist, wählen wir eine C∞-Funktion ϕ: R → C mit ϕ | [− 1, 1] ≡ 1 und supp (ϕ) ⊂ [ -2, 2 ] und bezeichnen mit θ N ϕ , N ∈ N*, die um den Faktor N gestreckte Funktion θN ϕ : R  → C mit θ N ϕ | [− N, N ] ≡ 1 und supp (θNϕ) ⊂ [ -2N, 2N ]. Zu einer gegebenen temperierten Funktion f ∈ S bilden wir die Folge

Distributionen

47

(f N := f ⋅ θ N ϕ)N∈N

*

von Testfunktionen mit kompaktem Träger. Aus der Leibniz-Formel k D k (f − f N ) = D k [ ( 1 − θ N ϕ ) ⋅ f ] = ∑   D i (1 − θ N ϕ) D k −i f i =0  i  k

erhalten wir unter Berücksichtigung von Di ( 1 − θN ϕ ) =

1 ⋅ (D i ϕ ) , i ≥ 1, und Ni

supp ( 1 − θ N ϕ ) ⊂ R − [ − N, N

]

die gesuchten Grenzwerte lim f − f N

k ,n

N →∞

= 0 , k, n ∈ N, QED.

6.2 Bemerkung Die in Definition 5.1 angegebene Topologie von D ist echt feiner als die von S induzierte Unterraumtopologie. Insbesondere ist D bzgl. der Unterraum-Topologie nicht vollständig.

6.3 Definition (Temperierte Distribution) Eine Distribution T ∈ D‘ heißt temperiert, wenn sie auch bezüglich der gröberen von S auf D induzierten Topologie stetig ist.

6.4 Satz (Temperierte Distribution) Jede temperierte Distribution T läßt sich eindeutig zu einer stetigen linearen Abbildung Ttemp auf S fortsetzen. D

S

T

Ttemp C

Hierdurch entsprechen die temperierten Distributionen genau den stetigen linearen Funktionalen auf dem Vektorraum der temperierten Funktionen. Beweis. Eine temperierte Distribution ist stetig bzgl. jeder der in der Definition von S auftretenden Semi-Normen. Als lineare Abbildung ist sie in jeder dieser Semi-Normen gleichmäßig stetig. Da D nach Satz 6.1 ein dichter Teilraum von S ist, kann man T stetig nach S fortsetzen, und diese Fortsetzung ist eindeutig bestimmt, QED.

6.5 Bemerkung (Temperierte Distributionen) i) Die Dirac-Distribution ist temperiert. ii) Jedes Polynom P definiert durch Integration gemäß Bemerkung 5.6 eine reguläre Distribution TP. Diese Distribution ist temperiert.

Distributionen

48

6.6 Definition (Fourier-Transformation temperierter Distributionen) Die Fourier-Transformation einer temperierten Distribution T: S → C ist definiert als die Komposition Tˆ := F [ T ] := T o F : S  → C , d.h. für eine temperierte Funktion ϕ ∈ S ist definiert:

( F [ T ] ) [ ϕ ]:= T [ F [ ϕ ] ]. Wegen der Stetigkeit der Fourier-Transformation temperierter Funktionen (Satz 4.14) F :S  → S

ist die Fourier-Transformation einer temperierten Distribution wieder eine temperierte Distribution.

6.7 Lemma (Fourier-Transformation der Dirac-Distribution) i) Die Fourier-Transformation der Funktion eia - aufgefaßt als reguläre Distribution - ist die Dirac-Distribution, genauer: Es gilt

(e ia ) ^ =

2π δa

als Aussage über temperierte Distributionen. ii) Die Fourier-Transformation der Dirac-Distribution ist die Exponentialfunktion

(δ a )^

=

1 e −ia . 2π

Beweis. ad i) Nach der Umkehrformel, Satz 4.15, gilt für eine temperierte Funktion ϕ

(T ) [ ϕ ] = (T ) [ ϕˆ ] = ∫ e ^

e ia

e ia

iaω

ϕˆ ( ω ) dω = 2π ϕ( a ) = 2π δ a [ ϕ ] .

R

ad ii) Nach Definition gilt für eine temperierte Funktion ϕ ∈ S

(δa ) ^ [ ϕ ] = δa [ ϕˆ ] = ϕˆ (a ) =

1 ϕ(t ) e −ia (t ) dt = 2π ∫R

1 Te [ ϕ ], QED. 2π −ia

Wir beweisen als eine weitere Anwendung des Permanenz-Prinzips, daß sich unter FourierTransformation Translation und Skalierung bei temperierten Distributionen genauso verhalten wie bei Funktionen.

Distributionen

49

6.8 Lemma (Translation und Dilatation bei Fourier-Transformation temperierter Distributionen) Es sei T ∈ S ' eine temperierte Distribution. Dann gilt

(τ a T )^

= e −a T und (θa T ) = a θa −1 Tˆ . ^

Beweis. Der Beweis besteht in der Anwendung von Lemma 4.7 auf die Definition 5.8, QED.

6.9 Satz (Konvergenz der Dirichlet-Kerne) Die in Definition 3.6 eingeführten Dirichlet Kerne DN, N ∈ N, konvergieren als Distribution: lim

N →∞

1 D N = ∑ δ 2 πn . 2π n∈Z

Beweis. Sei ϕ ∈ D eine vorgegebene Testfunktion. Wir führen die Behauptung auf den periodischen Fall zurück: Wir definieren die periodische C∞-Funktion Φ:R  → C , Φ(t ) := ∑ ϕ( t + 2πn ) . n∈Z

Die Funktion ist wohldefiniert, da ϕ kompakten Träger hat. Wir setzen zur Abkürzung (vgl. Beispiel 5.12) T := ∑ δ 2 πn . n∈Z

Einerseits gilt T [ ϕ ] = ∑ δ 2 πn [ ϕ ] = ∑ ϕ( 2πn ) = Φ ( 0 n∈Z

n∈Z

)

.

Andererseits gilt N N 1 1 1 int ( ) DN [ ϕ ] = ∑ e t dt ϕ = ∑ ∑ ∫ 2π n = − N 2π R n = − N 2π k∈Z

=

N

∑

n =− N

1 2π

2π

int ∫e 0

∑ ϕ( t + 2kπ ) dt = k∈Z

2 π ( k +1) int

∫e

2 πk N

∑

n =− N

2π

N

1 e int ϕ(t + 2πk ) dt ϕ(t ) dt = ∑ ∑ ∫ 2 π n =− N k∈Z 0

1 2π

2π

int ∫ e Φ( t ) dt = 0

N

∑c [ Φ ] .

n =− N

Mit Satz 3.9 folgt: lim

N →∞

1 D N [ ϕ ] = ∑ c n [ Φ ] = Φ ( 0 ) = T [ ϕ ] , QED. 2π n∈Z

6.10 Folgerung (Poisson Formel) Es gilt folgende Aussage als Gleichheit temperierter Distributionen  1   2π

^

 δ n  = ∑ δ 2 πn . ∑ n∈Z n∈Z 

n

Distributionen

50

Beweis. Wir stellen die linke Seite der Gleichung von Satz 6.9 1 δ 2 πn ∑ e in = n∑ 2π n∈Z ∈Z als Fourier-Transformation temperierter Distributionen dar: Nach Lemma 6.7, Teil ii) gilt 1 e in = δˆ − n . 2π Wir erhalten  1   2π

^

 δn  = ∑ n∈Z 

1 2π

∑ δˆ

n∈Z

−n

=

∑δ

n∈Z

2 πn

, QED

6.11 Beispiel (Transformationsformel der Theta-Funktion) Wir wenden die Poisson-Formel auf eine bestimmte temperierte Funktion an, nämlich auf die Gauss-Funktion f: R → C , f (t ) := e − at

2

mit festem, aber beliebigem Parameter a > 0. Mit Folgerung 6.10 erhalten wir: 1 2π

∑ fˆ ( n) = ∑ f (2πn) .

n∈Z

n∈Z

Für die Gauss-Kurve g: R  → R, g (t ) := e

−

t2 2

gilt nach Beispiel 4.4 gˆ = g . Es ist 1 . 2a

f = θ b g mit b = Es folgt nach Lemma 4.7

fˆ = b θb−1 gˆ = b θb−1 g = b θb−2 f . Wir erhalten 1 2π

∑ fˆ ( n)

=

n∈Z

b 2π

∑ f ( b n ) = ∑ f ( 2 πn ) , 2

n∈Z

n∈Z

d.h. b 2π

∑e

n∈Z

−a ( b2 n ) 2

=

∑e

n∈Z

− a ( 2 πn ) 2

Distributionen

51 1 2 πa

∑e

−

n2 4a

n∈Z

= ∑ e −a 4 π n

2 2

n∈Z

Mit τ := 4πa > 0 folgt für die Theta-Funktion Θ( τ) := ∑ e − τπn , τ > 0, 2

n∈Z

die Transformationsformel − 1 e ∑ τ n∈Z

π n2 τ

= ∑ e−τ π n , 2

n∈Z

d.h. 1 1 Θ ( ) := Θ ( τ), τ > 0 . τ τ

Faltung

52

7 Faltung In diesem Abschnitt definieren wir die Faltung zweier Funktionen und erweitern die Definition auf die Faltung einer Distribution mit einer Funktion. Wir beweisen den Faltungssatz über die Fourier-Transformation einer Faltung. Das Hauptresultat dieses Kapitels ist das AbtastTheorem von Shannon für frequenzbeschränkte Signale.

7.1 Bemerkung (Integrierbarkeit im Produktraum) Für zwei integrierbare Funktionen f , g ∈ L1 ist die Funktion zweier Veränderlicher R 2 → C , ( x , y) a f ( x ) g ( y) integrierbar, ebenso die Funktion R 2 → C , ( x , y) a f ( x ) g ( y − x ) . Nach dem Satz von Fubini ([For1983], § 7, Satz 7) ist - bis auf eine Nullmenge - für jedes feste y ∈ R die Einschränkung R → C , x a f ( x ) g( y − x ) integrierbar, und das Integral definiert eine integrierbare Funktion R → C , y a ∫ f ( x ) g( y − x ) dx . R

Aufgrund von Bemerkung 7.1 kann man die Faltung mit einer L1-Funktion definieren:

7.2 Definition (Faltung) Eine integrierbare Funktion g ∈ L1 definiert eine C-lineare Abbildung, die Faltung mit g, L1 → L1 , f a f * g mit (f * g ) ( ω) := ∫ f ( t ) g(ω − t ) dt . R

Offensichtlich ist das Faltungsprodukt kommutativ, d.h. es gilt f * g = g *f .

Distributionen

53

Der Vektorraum L1 bildet bzgl. Addition und Faltung von Funktionen eine kommutative C-Algebra ohne 1-Element. Die Fourier-Transformation überführt die Faltung in ein Produkt. Da das Produkt zweier integrierbarer Funktionen nicht notwendig wieder integrierbar sein muß, setzen wir bei der Umkehrung beide Faktoren als temperiert voraus.

7.3 Satz (Fourier-Transformation der Faltung von Funktionen) i) Für die Fourier-Transformation der Faltung zweier integrierbarer Funktionen f , g ∈ L1 (R ) gilt die Formel

(f * g )^ =

2 π fˆ ⋅ gˆ .

ii) Umgekehrt gilt für zwei temperierte Funktionen f, g∈S die Formel ^ 2 π (f ⋅ g ) = fˆ ∗ gˆ

Beweis. ad i) Die angegebene Formel folgt durch explizites Einsetzen der Definition, die Substitution t-y=s und die Anwendung des Satzes von Fubini:

(f ∗ g )^ (ω) =

1 (f ∗ g )( t ) e −iωt dt = 1 ∫∫ f ( y) g( t − y) e −iωt dt dy ∫ 2π R 2π R2

1 1 f ( y) g(s) e −iω( s + y ) ds dy = f(y) e −iωy dy ⋅ ∫ g(s) e −iωs ds = 2 π fˆ ( ω) gˆ( ω) . ∫∫ ∫ 2π R2 2π R R Die Faltung zweier integrierbarer Funktionen ist wieder integrierbar, ihre FourierTransformierte ist stetig nach Lemma 4.5. Daher macht Teil i) eine Aussage über die Gleichheit zweier stetiger, aber nicht notwendig integrierbarer Funktionen. ad ii) Das Produkt zweier temperierter Funktionen ist wieder temperiert, also insbesondere integrierbar. Daher ist die Fourier-Transformierte wohldefiniert. Wir führen den Beweis auf die Aussage von Teil i) zurück, indem wir als Korollar des Umkehrsatzes 4.15 die Formel verwenden ˆ hˆ ( x ) = h ( − x ) = (θ−1h ) ( x ) . Nach Teil i) gilt

(fˆ * gˆ)

^

ˆ ^^ = 2π fˆ ⋅ gˆˆ = 2π (f ⋅ g ) .

Die Fourier-Transformation temperierter Funktionen ist ein Isomorphismus nach Satz 4.15, also gilt auch

Distributionen

54 ^ fˆ * gˆ = 2 π (f ⋅ g ) , QED.

7.4 Definition (Faltung einer Distribution) Es sei T ∈ D ' eine Distribution und g ∈ D eine Testfunktion. Dann definieren wir als die Faltung von T mit g die Funktion (T ∗ g ) : R → C mit (T ∗ g ) ( x ) := T [ (τ x g ] , wobei ( ( τx g : R  → C , (τ x g )(y ) := g (x − y ) .

7.5 Bemerkung (Faltung einer Distribution) i) Die in Definition 7.4 eingeführte Faltung

(T ∗ g ) : R → C ist eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Sie heißt die Regularisierung der Distribution T durch die Funktion g. ii) Analog zu Definition 7.4 kann man die Faltung einer temperierten Distribution mit einer temperierten Funktion definieren. iii) Im Falle von Distributionen mit kompaktem Träger wie der Dirac-Distribution, kann man auch Faltungen mit Funktionen aus den größeren Funktionenklassen C∞ oder der Klasse C der stetigen Funktionen definieren. Definition 7.4 verallgemeinert die in Definition 7.2 eingeführte Faltung integrierbarer Funktionen. Es gilt:

7.6 Lemma (Faltung einer regulären Distribution) Im Falle einer regulären Distribution T = Tf mit einer lokal-integrierbaren Funktion f gilt für die Faltung mit einer Testfunktion g die Gleichheit von Funktionen Tf ∗ g = f ∗ g . Beweis. Es gilt

(f * g ) (ω) := ∫ f ( t ) g(ω − t ) dt , R

andererseits ist

(Tf ∗ g ) (ω) = Tf [ τ( ω g] = ∫ f ( t ) g (ω − t ) dt , QED. R

Distributionen

55

7.7 Lemma (Faltung einer Distribution) Es seien T ∈ S ' eine temperierte Distribution und g∈ S eine temperierte Funktion. Dann gilt für die Anwendung auf eine Testfunktion ϕ ∈ S

(T ∗ g ) [ ϕ ] = T [ (θ−1g ) ∗ ϕ ] . Beweis.

(T ∗ g ) [ ϕ ] = ∫ T [ (τ t g ] ⋅ ϕ( t ) dt = ∫ Ty [ g( t − y) ] ⋅ ϕ( t ) dt = ∫ Ty [ g( t − y) ϕ( t ) ] dt R

R

R

Wir verwenden - ohne Beweis - als Folgerung aus der Stetigkeit der Distribution, daß wir die Integration und die Anwendung der Distribution vertauschen dürfen. Wir erhalten 







∫ T [ g( t − y) ϕ( t ) ] dt = T  ∫ g( t − y) ⋅ ϕ( t ) dt  = T  ∫ (θ g )( y − t ) ⋅ ϕ( t ) dt = T [ (θ g ) ∗ ϕ ] y

y

R

R



y

R

−1



−1

7.8 Beispiel (Faltung der Dirac-Distribution) Die Regularisierung der Dirac-Distribution mit einer Testfunktion g ∈ S ist die translatierte Testfunktion: δa ∗ g = τa g . Insbesondere wirkt die Dirac-Distribution im Nullpunkt δ 0 als Einheit bezüglich des Faltungsproduktes. Beweis. Es gilt

(δ a ∗ g )( t ) = δa [ (τ t g ] = g ( t − a ) = (τ a g ) ( t ) , QED. Der Faltungssatz 7.3 läßt sich auf die Faltung einer Distribution erweitern.

7.9 Satz (Fourier-Transformation der Faltung mit einer Distribution) Es sei T ∈ S ' eine temperierte Distribution und g ∈ S eine temperierte Funktion. Dann gilt

(T ∗ g )^ =

1 ˆ ^ T ∗ gˆ . 2π Tˆ ⋅ gˆ und (T ⋅ g ) = 2π

Beweis. ad i) Sei ϕ ∈ S eine temperierte Testfunktion. Wir berechnen die linke Seite mit Lemma 7.7

(T ∗ g )^ [ ϕ ] = (T ∗ g ) [ ϕˆ ] = T [ (θ −1g ) ∗ ϕˆ ] Für die rechte Seite gilt mit der Faltungsformel für Funktionen, Satz 7.3,

( )

2 π Tˆ ⋅ gˆ [ ϕ ] = Tˆ

[

] [

2 π gˆ ⋅ ϕ = T

2 π (gˆ ⋅ ϕ )

^

] = T [ (θ

−1

g ) ∗ ϕˆ ] .

Distributionen

56

Die Formel des zweiten Teils folgt wie im Beweis von Satz 7.3 aus dem ersten Teil, QED.

Die Bedeutung des folgenden Theorems 7.10 liegt darin, daß es die Rekonstruktion einer Funktion aus einem diskreten Satz von Funktionswerten erlaubt - unter der Voraussetzung, daß die Fourier-Transformation der Funktion nur Frequenzen aus einem beschränkten Intervall enthält.

7.10 Satz (Abtast-Theorem von Shannon) Gegeben sei eine stetige, quadratintegrierbare Funktion f ∈ L1 ∩ L2 mit endlicher Bandbreite, d.h. die Fouriertransformation fˆ ∈ L2 habe kompakten Träger, o.E. supp fˆ ⊂ [− π, π] . Dann ist die Funktion bereits durch die Folge ( f (n) )n∈Z ihrer Funktionswerte bestimmt, es gilt punktweise f (t ) =

∑ f (n )

n∈Z

sin ( π(t − n ) ) , t ∈ R. π(t − n )

Beweis. Wir bezeichnen mit χ: R  → [ 0, 1 ] die charakteristische Funktion des Intervalles [ -π, π ] im Frequenzbereich. Hier gilt nach Voraussetzung fˆ = fˆ ⋅ χ . Wegen der Integrierbarkeit von f ist die Fourier-Transformierte fˆ stetig (Lemma 4.5). Wegen fˆ ( − π) = fˆ ( π) = 0 können wir die Einschränkung fˆ | [ − π, π

]

zu einer periodischen stetigen Funktion F auf R fortsetzen. Sie hat nach Korollar 3.11 die Fourier-Reihe F( x ) =

∑ c [F] e

n∈Z

inx

n

mit Fourier-Koeffizienten 1 c n [F] = 2π Nach dem Umkehrsatz 4.15 gilt

π

∫ F(ω) e

−π

− inω

dω .

Distributionen

57

f (t) =

1 2π

∞

π

1 2π

iωt ∫ fˆ ( t ) e dω =

−∞

iωt ∫ fˆ ( t ) e dω =

−π

1 2π

π

∫ F( t ) e

iωt

dω .

−π

Diese Gleichheit der Funktionswerte gilt zunächst bis auf eine Nullmenge. Da beide Seiten jedoch stetige Funktionen sind, stimmen sie punktweise überein, insbesondere gilt c n [F] =

1 f ( − n ) , n ∈ Z. 2π

Auf die Gleichung  1 fˆ = fˆ ⋅ χ =   2π

∑ f ( −n ) e

n∈Z

in

 χ = 

1 2π

∑ f (n) ( e

n∈Z

−in

⋅χ)

wenden wir die Fourier-Transformation an. Einerseits gilt ˆ fˆ ( t ) = f ( − t ) . Andererseits fassen wir die beiden Funktionen e-in und χ nach Bemerkung 5.6 als temperierte Funktionen auf und berechnen nach Satz 7.3, Teil ii), Lemma 6.7 und Lemma 7.8: 1 eˆ −in * χˆ = δ − n * χˆ = τ − n χˆ . 2π

( e −in ⋅ χ ) ^ =

Überträgt man Beispiel 4.6 auf das Intervall [ -π, π ], so gilt: χˆ ( x ) = 2 π

sin( πx ) . πx

Insgesamt erhalten wir f (−t) =

1 sin( π( t + n ) ) f(n) 2 π , ∑ π( t + n ) 2π n∈Z

also f ( t ) = ∑ f(n) n∈Z

sin( π( t − n ) ) , QED. π( t − n )

7.11 Bemerkung (Abtastdistanz) Falls die Fourier-Transformierte ihren Träger im Intervall [-Ω, Ω], Ω ∈ N, hat, gilt analog zu Satz 7.10 f (t) = ∑ f ( n∈Z

π sin ( Ωt − πn ) n) . Ω Ω t − πn

Distributionen

58

Bei einem größeren Frequenzbereich muß also die Abtastdistanz um den Faktor α :=

π verΩ

ringert werden. Beweis. Wir reduzieren die Behauptung durch Skalierung auf Satz 7.10. Wir betrachten die skalierte Funktion g := α (θα −1 f ) . Ihre Fourier-Transformation lautet nach Lemma 4.7 gˆ = α

( )

1 θα fˆ = θα fˆ α

und hat kompakten Träger supp gˆ ⊂ [ − π, π ]. Wir wenden Satz 7.10 auf die Funktion g an der Stelle s ∈ R an und erhalten f ( α s) =

∑ f( α n)

n∈Z

sin( π(s − n ) ) , π( s − n )

bzw. mit t := α s die Behauptung f ( t ) = ∑ f( α n) n∈Z

sin( Ωt − πn ) , QED. Ω t − πn

Als direkte Folgerung aus der Poisson-Formel und der Faltungsformel läßt sich eine anschauliche Darstellung des Abtastvorganges in Satz 7.10 geben.

7.12 Bemerkung (Abtastung) Zu einer gegebenen Signalfunktion f nennt man die temperierte Distribution f S := f ⋅ ∑ δ n n∈Z

die Abtastung (Sampling) von f. Durch Fourier-Transformation erhält man mit der Faltungsformel (Satz 7.9) unter etwas allgemeineren Voraussetzungen, der Poisson-Formel (Folgerung 6.10) und Lemma 7.8 ^

fˆS :=

1 ˆ   f ∗  ∑ δ n  = fˆ ∗ ∑ δ 2 πn = ∑ τ 2 πn fˆ , 2π n∈Z n∈Z  n∈Z 

d.h. fˆS (ω) = ∑ fˆ (ω − 2πn ) . n∈Z

Distributionen

59

Falls f bandbeschränkt im Intervall [ -π, π ] ist, gilt fˆ = fˆS ⋅ χ . Hieraus folgt, da die Funktion χˆ gerade ist, f =

1 f S ∗ χˆ , 2π

d.h. man kann die bandbeschränkte Funktion f aus ihrer Abtastung fS gewinnen.

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

60

8 Kontinuierliche Wavelet-Transformation In diesem Kapitel beginnen wir mit der Wavelet-Theorie. Die Wavelet-Transformation kann in Analogie zur Fourier-Trnasformation gesehen werden. In beiden Fällen werden 1dimensionale zeitliche Signale f(t) in ihr Frequenzspektrum zerlegt. Diese Zerlegung geschieht ohne Informationsverlust, so daß sich das Ausgangssignal aus seinem Frequenzspektrum wieder zurückgewinnen läßt. Die Fourier-Transformation liefert die Frequenzanalyse fˆ ( ω) ohne Information über den genauen Zeitpunkt, zu dem die einzelnen Frequenzen auftreten. Dennoch enthält die FourierTransformierte die volle Information, denn mit Hilfe der inversen Fourier-Transformation kann man das Signal gemäß dem Umkehrsatz ja wieder rekonstruieren. Eine Wavelet-Transformation liefert die Information besser voneinander abgegrenzt: Man erhält sowohl die Frequenzanalyse als auch die Zeitpunkte des Auftretens der einzelnen Frequenzen. Folgendes Beispiel illustriert den Sachverhalt: Der Komponist bringt die Musik in Form einer Wavelet-Transformation (Partitur) auf das 2-dimensionalen Notenpapier, das Orchester macht daraus in einer inversen Wavelet-Transformation hörbare Musik. Zwischen beiden Arten der Signaltransformation steht die von D. Gabor eingeführte "gefensterte" Fourier-Transformation, die zu jedem Zeitpunkt nur ein kleines Zeitfenster des Signals betrachtet und für diesen Ausschnitt eine Fourier-Analyse durchführt. Unter einem Zeitfenster verstehen wir dabei eine auf der Zeitachse definierte Funktion, die nur in einer kleinen Umgebung von t = 0 von Null verschieden ist. Nach der Definition der Wavelet-Transformation stellt die Umkehrformel für die WaveletTransformation (Satz 8.11) das Hauptresultat dieses Kapitels dar.

8.1 Algorithmus (Gefensterte Fourier-Transformation) Input. Signal f, Zeitfenster ψ. Output. Familie von Fourier-Tranformierten fˆψ , b zu zeitverschobenen Zeitfenstern τbψ, b ∈ R.

Für jeden Zeitpunkt b ∈ R Bilde Fourier-Transformation des Zeitfensters bei b 1 fˆψ ,b ( ω) := f ( t ) ⋅ ψ( t − b) ⋅ e −iω t dt ∫ 2π R Abbildung 2 Gefensterte Fourier-Transformation

8.2 Algorithmus (Wavelet-Transformation) Input. Signal f, Zeitfenster ψ.

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

61

Output. Familie von Wavelet-Tranformierten von f zu skalierten und zeitverschobenen Zeitfenstern 1 a

τ b (θa ψ ) , (a, b) ∈ R* x R.

Für jeden Zeitpunkt b ∈ R und Skalenparameter a ∈ R* Bilde Wavelet-Transformation W [f ] (a , b) ∝

1 a

∫ f ( t ) (τ θ ψ) ( t ) dt b

a

R

Abbildung 3 Wavelet-Transformation

8.3 Bemerkung (Gefensterte Fourier-Transformation versus Wavelet-Transformation) Bei der gefensterten Fourier-Transformation erfaßt jede Abtastfunktion t a ψ( t − b) ⋅ e − iω t ein Fenster der festen Größe supp ψ um den Zeitpunkt b und überstreicht dieses Fester mit harmonischen Schwingungen der variablen Frequenzen ω. Bei der Wavelet-Transformation erfaßt jede Abtastfunktion ta

1 a

(τ

b

)

θa ψ ( t ) =

 t−b ψ   a  a

1

ein Fenster der variablen Größe 1 supp(ψ) a um den Zeitpunkt b und überstreicht dieses Fenster mit einer Schwingung des skalierten Wavelets ("kleine Welle") θa ψ .

8.4 Schreibweise (Wavelet) Für die Komposition der Operationen Translation, Skalierung und Normierung bei einer Funktion ψ:R  → C führen wir die Schreibweise

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

62

ψ b,a :=

1

ψ b,a ( t ) =

1

a

τ b θa ψ ,

ein. Es gilt also

Der Faktor

1 a

 t − b ψ .  a  a

stellt sicher, daß ψ und ψ b,a dieselbe L2-Norm haben.

8.5 Definition (Wavelet und Wavelet-Transformation) Ein Wavelet ist eine quadrat-integrierbare Funktion ψ ∈ L2, deren Fourier-Transformation ψˆ sogar logarithmisch quadrat-integrierbar ist, d.h. 0 < c ψ := 2π ∫

R

ψˆ (ω) ω

2

dω < ∞ (Zulässigkeitsbedingung).

Die Wavelet-Transformation einer quadrat-integrierbaren Funktion f ∈ L2 mit dem Wavelet ψ ist die Funktion

Wψ[ f ]: R* x R → C, Wψ [ f

] (a, b):=

1 f ( t ) ψ b,a ( t ) dt . c ψ ∫R

Die Wavelet-Transformation einer Funktion sollte in Analogie zur Fourier-Transformation in Definition 4.2 gesehen werden. Ein wesentlicher Unterschied zwischen beiden Transformationen ist die Tatsache, daß die Wavelet-Transformierte eine Funktion zweier Veränderlicher ist.

8.6 Lemma (Wavelet-Transformation als Faltung) Für jeden festen Skalenfaktor a ∈ R* ist die Wavelet-Transformation bezüglich der zeitlichen Translation eine Faltung: Wψ [ f

] ( a, b ) =

1 a cψ

(f *θ

−a

)

ψ ( b) .

Ihre Fourier-Transformation bzgl. des Argumentes b hat die Gestalt

( W [ f ] ) (a, ω) = ^

ψ

2π a ˆ ^ f ( ω )⋅ ψ ( − a ω ). cψ

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

63

^ Als Fourier-Transformation der L1-Funktion fˆ ψ ist für jedes feste a ∈ R* die Funktion

b a Wψ [ f ] (a, b) stetig und erfüllt lim Wψ [ f ] (a , b) = 0.

b→ + / − ∞

Beweis. ad i) Wψ [ f

=

] (a, b) = 1 a cψ

1

1 ∫ f ( t ) ψ b,a ( t) dt = cψ R

∫ f ( t) (θ

−a

a cψ

)

ψ ( b − t ) dt =

R

∫ f ( t ) ψ( R

1 a cψ

(f *θ

t−b ) dt = a

−a

)

ψ ( b)

ad ii) Nach Satz 7.3 folgt aus Teil i)

( W [ f ] ) (a, ω) = ^

ψ

2π a cψ

( fˆ ⋅ ( θ

( −a )−1

ψ

^

) )( ω ) =

2π a ˆ ^ f ( ω )⋅ ψ ( − a ω ) . cψ

Die letzte Aussage folgt aus Lemma 4.5, QED.

8.7 Beispiel (Haar Wavelet) Die Haar'sche-Funktion (Definition 2.8)  1 0 ≤ t <1 2  ψ:R →[ − 1, 1 ] , ψ(t ) := − 1 1 2 ≤ t < 1 0 sonst  ist quadrat-integrierbar. Sie hat die Fourier-Transformation ψˆ : R  → C , ψˆ (ω) =

−i i sin(x )  ω  ω e 2 sin  sinc  mit sinc(x ) := , x 2π 4 4 ω

und es gilt ψˆ (ω) 2π ∫ dω ω −∞ ∞

2

< ∞.

Also ist die Haar'sche Funktion ein reelles Wavelet. Beweis. Bezeichnet χ = χ [−1,1] die charakteristische Funktion des Intervalles [-1, 1], so gilt ψ = θ 1 τ1 χ − θ 1 τ 3 χ , 4

4

also mit Lemma 4.7 ω

3ω

−i 1 1 −i ω ψˆ ( ω) = θ4 [(e −1 − e −3 ) χˆ ] (ω) = [e 4 − e 4 ] χˆ ( ) . 4 4 4

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

64

Es ist [e

−i

ω 4

−e

−i

3ω 4

]=

e

−i

ω 4

−e e

−i

3ω 4

e

ω i 2

i

ω 2

=e

−i

ω 2

2i sin

ω , 4

und nach Beispiel 4.6 gilt ω χˆ ( ) = 4

2 ω sinc . π 4

Die Abschätzung ∞

2π ∫

−∞

ψˆ (ω) ω

2

dω < ∞.

folgt aus der Abschätzung des Integranden ˆ (ω) ψ ω

2

≤

sin 4 (ω) , ω3

der sowohl für ω → 0 also auch für ω → ∞ integrierbar ist, QED.

8.8 Bemerkung (Wavelet) Die Fourier-Transformierte eines Wavelets ψ ∈ L1 ist stetig (Lemma 4.5); also gilt wegen der logarithmischen Quadrat-Integrierbarkeit ˆ (0) = ∫ ψ( t ) dt , 0=ψ R

d.h. der Mittelwert des Wavelets verschwindet.

8.9 Lemma (Erzeugung von Wavelets) Wenn die k-te Ableitung, k ≥ 1, einer quadrat-integrierbaren Funktion ϕ existiert und wiederum quadrat-integrierbar ist, d.h. ϕ (k ) ∈ L2 , so ist sie ein Wavelet ψ := ϕ (k ) . Beweis. Für die Fourier-Transformation gilt nach Satz 4.13 ψˆ ( ω) := (iω) k ϕˆ ( ω) . Es folgt - da die Fourier-Transformation nach Satz 4.17 eine Isometrie ist -

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

∫

R

∫

ψˆ (ω) ω ϕˆ ( ω)

ϕˆ (ω) ω

2

dω = ∫ ω

2k

R

2

dω +

∫

ω

ϕˆ ( ω)

2k

2

65

dω =

∫

ω

2k

−1

2

dω = ϕˆ

2

L2

ω ≥1

R

ϕˆ ( ω) ω

1

2

+ ϕˆ (k )

∫

dω +

ω

2k

ω ≥1

2 L2

= ϕ

2 L2

ϕˆ ( ω) ω

+ ϕ(k )

2

dω ≤

2 L2

, QED.

8.10 Beispiel (Wavelet Mexikaner-Hut) Die Funktion t d2  − ψ: R → R, ψ(t ) := − γ 2  e 2 dt 

t 1  − −  = γ (1 − t 2 ) e 2 mit γ := 2 π 4 ,  3 

2

2

heißt Mexikaner-Hut. Sie ist durch den Faktor γ so normiert, daß ψ

= 1.

L2

Ihre Fourier-Transformation berechnet sich nach Satz 4.13 und Beispiel 4.4 als ψˆ ( ω ) = γ ω e 2

−

ω2 2

mit der Zulässigkeitsbedingung

∫

ˆ ( ω) ψ

R

ω

∞

2

dω = γ

2

∫

ω e 3

− ω2

dω = 2 γ

2

R

∫ω

3

e

− ω2

dω = 2 γ

∞ 2

0

∫ω

2

(ωe ) dω = − ω2

0

∞

∞

2 ∞  −ω   − ω2 e − ω  2 2 2 − ω2 2γ   + 2 γ ∫ ω e dω = γ  − e 2  = γ . 2  0  0 0   2

2

Also ist der Mexikaner-Hut ein reelles Wavelet.

Beim Beweis der Isometrie-Eigenschaft und der Umkehrformel für die WaveletTransfomation benötigen wir, daß das Wavelet die Zulässigkeitsbedingung erfüllt.

8.11 Satz (Wavelet-Transformation als Isometrie) Für ein Wavelet ψ ∈ L2(R) ist die Wavelet-Transformation  

Wψ : L ( R)  → L  R * x R, 2

2

da db   a2 

eine Isometrie. Beweis. Wir setzen Zur Abkürzung für die beiden Hilbert-Räume da db   X := L2 ( R) und Y := L2  R * x R, 2  . a  

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

66

Wir berechnen die Norm des Bildes, indem wir auf die zweite Veränderliche die FourierTransformation anwenden und ausnutzen, daß diese eine Isometrie ist (Satz 4.17). Außerdem wenden wir Lemma 8.6 an und die Gleichheit (Bemerkung 4.3) ^

ψ ( − a ω) = ψˆ (a ω) . Wir erhalten Wψ [ f

2π cψ ∫R

]

2 Y

 ∫ a  R

 = ∫  ∫ Wψ [ f R R ^

ψ ( −a ω)

] ( a, b )

2

 da db  2 = ∫ R a

2  da 2π fˆ (ω) dω 2 = cψ ∫R a

2

 ψ ˆ ( τ)   ∫R τ 

2π cψ ∫R ψˆ ( − τ) 2π = ∫ cψ R τ

2

2

  ∫ Wψ [ f  R

 ∫ a  R

] ^ ( a, ω)

 da dω  2 = a

2 da  ˆ  f (ω) dω = 2  a 

2

ψˆ (a ω)

2

 2 dτ  fˆ (ω) dω =  

dτ ∫ fˆ (ω) dω = fˆ 2

R

2 X

= f

2 X

, QED.

8.12 Satz (Umkehrformel der Wavelet-Transformation) Für die Wavelet-Transformation  

Wψ : L ( R)  → L  R * x R, 2

2

da db   a2 

mit einem Wavelet ψ ∈ L2(R) gilt die Umkehrformel f (t ) =

1 cψ

∫

Wψ [ f

] (a, b) ψ b,a (t ) da 2db a

R*xR

für alle f ∈ L2(R).

Beweis. Der folgende Beweis beruht auf der Formel von Calderon. Wir setzen

∫ W [ f ] (a, b) ψ

1 cψ

F( t ) :=

ψ

b,a

R2

(t)

da db . a2

Dann gilt F( t ) :=

1 cψ

1 cψ





∫  ∫ W [ f ] (a, b) (θ ψ )( t − b) db  a ψ

R

a

R

∫ ( W [ f ] (a, − ) ∗ (θ ψ ) ) ( t ) ψ

da 2

a

R

da a a

2

=

1 cψ

∫ ( f * (θ

−a

a

)

Anwendung des Faltungssatzes 7.3 und der Formel aus Bemerkung 4.3 ^

)

ψ ∗ (θa ψ ) ( t )

R

ψ ( − a t ) = ψˆ (a t )

=

da a a2

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

67

liefert 2π Fˆ( t ) = fˆ ( t ) cψ

∫

a

2

(θ

−a

)

ˆ ) (t) ψ ⋅ (θa −1 ψ ^

−1

R

2π fˆ ( t ) cψ

∫

R

ψˆ (a t )

2

2π da = fˆ ( t ) 2 cψ a a

da ˆ 2π = f (t) cψ a

∫

R

∫

a

2

^

ˆ (a t ) ψ ( −a t ) ψ

R

ψˆ ( ω) ω

2

dω = fˆ ( t ) .

Da die Fourier-Transformation ein Isomorphismus ist (Satz 4.17), folgt F = f, QED.

da = a a2

Gibbsches Phänomen

9 Gibbsches Phänomen

68

Schnelle Fourier-Transformation

10 Schnelle Fourier-Transformation

69

Fouriertheorie und Quantencomputing

11 Fouriertheorie und Quantencomputing

70

Bildkompression

12 Bildkompression

71

Wavelet-Frame

72

13 Wavelet-Frame Die Wavelet-Transformation transformiert eine Funktion einer Veränderlichen f(t) in eine Funktion zweier Veränderlichen Wψ[ f ] (a, b). Aus dieser läßt sich nach Satz 8.12 das Ausgangssignal zurückgewinnen. Somit enthält die Wavelet-Transformierte viel redundante Information. In diesem Kapitel geht es darum, diese Redundanz zu verringern. Wir werden in (Satz 13.10) ein Resultat von der Art des Abtast-Theorem von Shannon beweisen: Unter geeigneten Voraussetzungen enthält bereits eine diskrete Folge (a, b) ∈ R* x R von Skalierungsparametern a und zugehörigen Translationen b die vollständige Information eines beliebigen Signals.

13.1 Definition (Skalierungs- und Translationsparametern) i) Wir wählen einen festen Zoom-Faktor a>1 und betrachten als Folge von Skalierungsparametern die Potenzen ak := ak, k ∈ Z. Außerdem wählen wir eine feste Translations-Distanz b>0 und betrachten zu jedem festen Skalierungsparameter ak, k ∈ Z, die Folge von Translationen bk,m := m ⋅ b ⋅ ak, m ∈ Z. deren Länge ein Vielfaches von b ⋅ ak ist. Durch die Abhängigkeit von ak wird sichergestellt, daß die Translationsschritte zu verschiedenen Skalierungen ineinander enthalten sind. ak

a = a1 = 2 a0 = 1

a-1 = 0.5 b= 1

Abbildung 4 Gitter zum Wavelet-Sampling mit a=2, b=1

bk,m

Wavelet-Frame

73

ii) Für ein Wavelet ψ setzen wir unter Verwendung von Schreibweise 8.4 zur Abkürzung ψ k , m := ψ b k ,m ,a k , (k, m ) ∈ Z 2 , also ψ k, m ( t ) =

1 ak

(τ

b k ,m

)

 t − m b ak ψ  ak ak 

1

θa k ψ ( t ) =

  = 

1 ψ ( a − k t − m b ) , (k, m ) ∈ Z 2 . ak

Nach der Umkehrformel (Satz 8.11) kann man jede Funktion aus ihrer Wavelet-Transformation rekonstruieren.

13.2 Bemerkung (Anforderung an die diskrete WaveletTransformation) i) Welche Voraussetzungen müssen ein Wavelet ψ, der Zoom-Faktor a und die TranslationsDistanz b erfüllen, damit die Wavelet-Transformation einer beliebigen Funktion f ∈ L2 bereits durch die Folge ihrer Wavelet-Koeffizienten

( W [ f ]( a ψ

m

, bm,n )

)

( m , n )∈ Z 2

festgelegt ist? Wann läßt sich in diesem Falle das Ausgangssignal stetig aus seinen WaveletKoeffizienten rekonstuieren? ii) Um diese Frage zu formalisieren, fassen wir die Wavelet-Transformation mit ψ als ein Skalarprodukt im Hilbert-Raum L2(R) auf: Wψ [ f

] ( a, b ) =

1 1 f ( t ) ψ b, a ( t ) dt = < f , ψ b,a > ∫ cψ R cψ

und betrachten für einen festen Zoom-Faktor a und eine feste Translations-Distanz b die hierdurch definierte lineare Abbildung T : L2 ( R)  → C Z , T(f ) := (< f , ψ m ,n > )m ,n∈Z 2 . 2

Dann heißen die in Teil i) formulierten Fragen: Unter welchen Voraussetzungen liegt das Bild dieser Abbildung im Hilbert-Raum l2(Z2), wann ist T eine stetige Abbildung zwischen Hilbert-Räumen und wann ist die Abbildung injektiv mit stetiger Umkehrung?

13.3 Beispiel (Haar Wavelet) Nach Satz 2.9 ist die aus dem Haar'schen Wavelet ψ mit Zoom-Faktor a = 2 und TranslationsDistanz b = 1 abgeleitete Folge

(ψ )( m ,n

m , n )∈Z 2

,

Wavelet-Frame

74

eine Hilbert-Basis des Hilbertraumes L2(R). Insbesondere gilt für alle f ∈ L2(R)

∑< f , ψ

f=

m,n

> ψ m, n .

( m , n )∈ Z 2

Nach der Parseval'schen Gleichung (Korollar 1.9) 2

f

=

∑

( m ,n ))∈Z 2

< f , ψ m ,n >

2

ist die Abbildung T : L2 ( R)  → l 2 ( Z 2 ), T(f ) := (< f , ψ m ,n > )( m ,n )∈Z 2 ein isometrischer Isomorphismus von Hilbert-Räumen, insbesondere also stetig mit stetiger Umkehrabildung.

Dieses Beispiel wird im folgenden verallgemeinert. Zuächst wird die Parseval'sche Gleichung für eine Hilbert-Basis zu einer Abschätzung für einen Frame verallgemeinert.

13.4 Definition (Frame) Eine Folge (xi)i∈I von Elementen eines Hilbert-Raumes X heißt ein Frame von X, wenn es Konstanten 0
≤ ∑i∈I < x , x i >

2

2

≤B x

2

.

Man nennt A und B ein Paar von Frame-Konstanten. Falls man A = B wählen kann, so heißt der Frame straff.

13.5 Bemerkung (Frame) i) Jeder Frame eines Hilbert-Raumes X ist ein Erzeugendensystem, d.h. für einen Frame (xi)i∈I gilt span < x i : i ∈ I > = X. Zum Beweis genügt es zu zeigen, daß der Orthogonalraum nur aus dem Nullvektor besteht, d.h. = 0 für alle i ∈ I ⇒ y = 0 .

y, x i

Diese Aussage folgt aus der linken Seite der Frame-Abschätzung wegen 0 < A: A y

2

≤ ∑i∈I < y, x i >

2

, QED.

ii) Jede Hilbert-Basis (xi)i∈I ist ein straffer Frame mit Frame-Konstanten

Wavelet-Frame

75 A=B=1

wegen der Parseval-Gleichung (Korollar 1.9) x

2

= ∑i∈I < x , x i >

2

.

Wir erinnern an die Berechnung der Norm in einem Hilbert-Raum, insbesondere für beschränkte, symmetrische Operatoren.

13.6 Lemma (Norm in einem Hilbert-Raum) i) In einem Hilbert-Raum X kann man die Norm eines Elementes x ∈ X berechnen als x = sup x , y . y =1

ii) Für eine lineare stetige Abbildung zwischen zwei Hilbert-Räumen f: X → Y existiert die Operator-Norm f := sup f ( x ) < ∞ x =1

und berechnet sich als f = sup

x =1, y =1

< f ( x ), y > .

Wenn f zusätzlich symmetrisch ist, d.h. < f ( x ), y > = < x , f ( y) > für alle x ∈ X, y ∈ Y, so gilt bereits f = sup < f ( x ), x > . x =1

Beweis. ad ii) vgl. [Heu1986], Satz 29.5.

13.7 Satz (Frame-Operator) Ein Frame (xi)i∈I in einem Hilbert-Raum X mit Frame-Konstanten A und B definiert eine lineareAbbildung T:X  → l 2 (I ) , T( x ) = (< x , x i > )i∈I . i) Diese Abbildung ist stetig und injektiv mit Norm T ≤ B . Die Umkehrabbildung T −1 : T ( X )  → X

Wavelet-Frame

76

ist ebenfalls stetig mit Norm 1 . A

T −1 ≤ ii) Bezeichnet

T* : l 2 ( I )  → X , den adjungierten Operator und wählt man speziell B := T

1

und A :=

2

T

−1 2

,

so hat der Frame-Operator S :=

2 (T * o T ) : X → X A+B

des Frames folgende Eigenschaften: •

Für jedes x ∈ X berechnet sich 2 ∑ x, x i x i A + B i∈I

S( x ) = •

Für den Abstand von der Identität gilt: id − S ≤

•

B− A . A+B

Der Frame-Operator eines straffen Frames ist die Identität S=

1 (T * o T ) = id X . A

Beweis. ad i) Die Frame-Bedingung T( x )

2

= ∑ < x, x i >

2

≤B x

2

<∞

i∈I

zeigt, daß T wohldefiniert und durch

B beschränkt ist. Für x ≠ 0 folgt aus

0
2

≤ T( x )

2

,

daß T(x) ≠ 0. Also ist die lineare Abbildung T injektiv. Die Umkehrabbildung auf dem Bild T −1 : T (X)  → X erfüllt für alle y = T(x) ∈ T(X): T −1 ( y) also ist T-1 durch

2

= T −1 (T( x ))

1 beschränkt. A

2

= x

2

≤

1 T(x ) A

2

=

1 y A

2

,

Wavelet-Frame

77

ad ii) Als stetiger Operator hat T einen adjungierten Operator T*, der durch die Eigenschaft < T( x ), y > = < x , T * ( y) > für alle x ∈ X, y ∈ l2(I) charakterisiert ist ([HS1971], Definition 22.1). Der adjungierte Operator ist ebenfalls stetig mit gleicher Norm. O. E. sei I = N. Für beliebiges x ∈ X ist die Folge N    s N := ∑ x, x i x i  i=0   N∈ N

eine Cauchy-Folge: Für M ≥ N ist nach Lemma 13.6 s N − sM M

∑

i = N +1

2

= sup < s N − s M , z >

2

z =1

< x, x i >

2

M

sup

∑

z =1 i = N +1

∑ < x, x

= sup z =1

< xi , z >

2

M

i = N +1

≤

2

M

∑

i = N +1

i

> < xi , z >

< x, x i >

2

≤

⋅B.

Da die Reihe

∑

< x, x i >

2

≤B x

2

i∈N

konvergiert, läßt sich der Reihenrest M

∑

i∈N +1

< x, x i >

2

beliebig klein abschätzen. Da der Hilbert-Raum vollständig ist, wird durch die unendliche Reihe 2 ∑ x, x i x i A + B i∈N ein Element von X definiert. Andererseits ist für jedes Element e ∈ X A+B < S( x ), e > = < T( x ), T(e) > = 2

∑ < x, x i∈N

i

(< x, x i > )i , (< e, x i > )i

=

> < e, x i > = ∑ < x , x i > < x i , e > , i∈N

also S( x ) =

2 ∑ x, x i x i . A + B i∈N

Insbesondere gilt S( x ), x =

2 2 < x, x i > < x i , x > = ∑ ∑ < x, x i > A + B i∈N A + B i∈N

Mit den Frame-Bedingungen folgt hieraus

2

.

Wavelet-Frame

78 2A x A+B

2

≤ < S( x ), x > ≤

2B x A+B

2

und 2B   1 −  x  A + B

2

2A   ≤ < (id − S) ( x ), x > ≤ 1 −  x  A + B

2

,

also mit Lemma 13.6: id − S ≤

B− A , QED. A+B

13.8 Definition (Wavelet-Frame) Ein Tupel (ψ, a, b) mit einem Wavelet ψ ∈ L2(R), einem Zoom-Faktor a > 1 und einer Translations-Distanz b > 0 heißt Wavelet-Frame, wenn die erzeugte Folge

(ψ )( m ,n

m , n )∈Z 2

quadrat-integrierbarer Funktionen einen Frame im Hilbert-Raum L2(R) bildet. Ist dieser Frame straff, so spricht man von einem straffen Wavelet-Frame.

Man kann zeigen, daß eine beliebige quadrat-integrierbare Funktion ψ ∈ L2(R) bereits dann ein Wavelet ist, d.h. zusätzlich logarithmisch quadrat-integrierbar ist, wenn das Tupel (ψ, a, b) die Frame-Bedingung von Definition 13.4 erfüllt ([LMR1998], Lemma 2.1.3). Denn dann gilt mit jedem Paar von Frame-Konstanten (A, B): ψˆ (ω) π A≤ ∫ b ⋅ ln a R ω

2

dω ≤ B .

Insbesondere definiert das Haar-Wavelet ψ einen straffen Wavelet-Frame (ψ, 2, 1), der zugehörige Frame ist sogar eine Hilbert-Basis.

13.9 Lemma (Straffer Frame und Hilbert-Basis) Für ein normiertes Wavelet ψ ∈ L2(R), d.h. ψ =1, erzeugt jeder straffer Wavelet-Frame (ψ, a, b) mit Frame-Konstanten A = B = 1 eine HilbertBasis von L2(R). Beweis. Jedes Element des Frames ψ m,n :=

1 τ b θa ψ ∈ L 2 ( R), (m, n ) ∈ Z 2 , a m m ,n m

Wavelet-Frame

79

hat dieselbe L2-Norm wie ψ, also sind auch alle Elemente des Frames auf die Länge 1 normiert. Zum Nachweis der Orthogonalität berechnen wir für ein gegebenes Frame-Mitglied ϕ := ψm,n ϕ

2

= ∑(k,l ) < ϕ, ψ k ,l > ϕ

2

= < ϕ, ϕ >

2

+ ∑(k ,l )≠ (m,n ) < ϕ, ψ k ,l >

+ ∑(k ,l )≠(m,n ) < ϕ, ψ k ,l >

2

2

2

=

.

Die Aussage 0 = ∑(k ,l )≠ (m,n ) < ϕ, ψ k ,l >

2

liefert die Orthogonalität des Frames. Die Frame-Bedingung folgt aus der Parseval'schen Gleichung f

2

= ∑(m ,n )∈Z 2 < f , ψ m ,n >

2

,

und damit ist der Frame auch vollständig, d.h. für alle f ∈ L2(R) gilt f = ∑(m,n )∈Z 2 < f , ψ m,n > ψ m,n , QED.

Der folgende Satz 13.10 zeigt, unter welchen Voraussetzungen ein Wavelet ψ bei einem geeigneten Zoom-Parameter a für verschiedene Translations-Distanzen b einen Wavelet-Frame (ψ, a, b) bildet.

13.10 Satz (Wavelet-Frame) Gegeben sei ein Wavelet ψ und ein Zoom-Faktor a > 1. Wir setzen voraus: 0 < m( ψ , a ) := inf

ω ∈[1,a

]∑

ψˆ (a m ω)

2

, M ( ψ , a ) := sup

∑ ]

ω ∈[1,a m∈Z

m∈Z

ψˆ (a m ω)

2

< ∞.

i) Es gebe Konstanten K, α > 0, so daß β(s ) := sup

∑ ψˆ (a ω) ⋅ ψˆ (a

ω ∈[1,a ] m∈Z

m

m

ω + s)

gleichmäßig in s ∈ R die Abschätzung 1

 1 2 β( s ) ≤ K  2  1+ s 

+α

erfüllt. Dann existiert eine Schranke bmax > 0, so daß für alle Translations-Distanzen 0 < b < bmax das Tupel (ψ, a, b) ein Wavelet-Frame ist. ii) Im Falle a = 2 (Verdopplung) ist (ψ, 2, b) ein Wavelet-Frame, wenn die TranslationsDistanz b die Abschätzung

Wavelet-Frame

80

∞

1

m(ψ, 2) > 2 ∑ l=0

  2π  2   2π  β1  ( 2l + 1 ) ⋅ β1  − ( 2l + 1 )     b   b

mit β1 ( s ) := sup

∑ ∑ ψˆ (2 ]

ω∈[1, 2 m∈Z

m+n

n∈N

ω) ψˆ (2 n (2 m ω + s )) < ∞

erfüllt. In diesem Fall gelten für jedes Paar von Frame-Konstanten (A, B) die Abschätzungen 1   ∞ 2 2 π 2π    2π    ( 2l + 1 )   ≤ A m(ψ, 2 ) − 2 ∑  β1  ( 2l + 1 ) ⋅ β1  − b     b   b l =0    1   ∞ 2   2π π 2  2π    ( 2l + 1 )   . M (ψ, 2 ) + 2 ∑  β1  ( 2l + 1 ) ⋅ β1  − B≤ b     b   b l =0   

Beweis. ad i) 1. Wir berechnen für eine gegebene Funktion f ∈ L2 unter Benutzung der IsometrieEigenschaft der Fourier-Transformation (Satz 4.17) 2

< f , ψ m ,n >

= < fˆ , ψˆ m ,n >

∫ fˆ ( y) ψˆ

m,n

R

2

= < fˆ , ψˆ m,n > ⋅ < ψˆ m ,n , fˆ , > =

( y ) dy ∫ ψˆ m , n ( ω) fˆ ( ω) dω R

Nach Lemma 4.7 gilt − ib ω ψˆ m,n ( ω) = a m e m ,n ⋅ ψˆ (a m ω)

und ib y ψˆ m,n ( y ) = a m e m ,n ⋅ ψˆ (a m y ) .

Wir erhalten < f , ψ m ,n >

2

=

  ib ( y − ω) a m ∫ fˆ ( y) ψˆ (a m y)  ∫ ψˆ (a m ω) fˆ ( ω) e m ,n dω dy = R R  am

∫

R

  ˆ (a m y)  ∫ ψˆ ( a m ( y − z ) ) fˆ ( y − z ) einba m z dz  dy fˆ ( y) ψ R 

Wir verwenden Satz 6.9 - nach Anwendung der Skalierung θρ −1 , ρ = b a m , -

∑e

n∈Z

inρ z

=

2π ∑ δ 2π : ρ k∈Z ρ k

Wavelet-Frame

81

Also

∑

n∈ Z

2

< f , ψ m,n >

∑ a ∫ fˆ ( y) ψˆ (a

=

n∈ Z

m

m

R

  ˆ (a m ( y − z )) fˆ ( y − z ) e inba m z dz  dy = y )  ∫ ψ  R 

  2π 2π ˆ 2π ˆ k )  dy . k) f ( y − f ( y) ψˆ (a m y)  ∑ ψˆ (a m y − ∫ b am  b b R  k∈Z Insgesamt erhalten wir

∑

< f , ψ m,n >

2

=

( m , n )∈ Z 2

2π 2π ˆ 2π ψˆ (a m y ) ψˆ (a m y − k ) dy . k ) f ( y ) fˆ ( y − ∑ ∑ ∫ b am b b k∈Z m∈Z R

2. Der Summand für k = 0 ist

∑∫

m∈ Z R

ψˆ (a m y)

2

fˆ ( y )

2

dy .

Wir schätzen ihn ab durch

∑∫

m∈ Z R

ψˆ (a m y)

2

fˆ ( y ) dy = ∫

2

R m∈ Z



∑ ∫ sup [ ] R

∑

y∈ 1,a

m∈Z

ψˆ (a m y )

2

ψˆ (a m y )

2

2

fˆ ( y ) dy ≤

2  ˆ  f ( y ) dy = M ( ψ, a ) f 

2

bzw.

∑∫

m∈ Z R

ψˆ (a m y)

2

2

fˆ ( y )

 ˆ (a m y) dy ≥ ∫ inf  ∑ ψ y∈[1, a ]  m∈Z R

2

2  ˆ  f ( y ) dy = m( ψ, a ) f 

2

3. Die übrigen Summanden für k ≠ 0 werden betragsmäßig abgeschätzt, indem wir die Ungleichung von Cauchy-Schwarz zunächst auf das Integral und dann auf die Summation über den Index m anwenden: y ) ψˆ (a m y −

2π ˆ 2π k ) f ( y ) fˆ ( y − k ) dy ≤ b b am

ψˆ (a m y ) ψˆ (a m y −

2π ˆ 2π k ) f ( y ) fˆ ( y − k ) dy = b b am

∑ ∑ ∫ ψˆ (a

k∈Z * m∈Z R

∑ ∑∫

k∈Z * m∈ Z R

∑ ∑∫

k∈Z * m∈ Z R

m

2π k) ψˆ (a m y) ψˆ (a m y − b

∑

k∈Z*

1 2

fˆ ( y)

2π k) ψˆ (a m y ) ψˆ (a m y − b

 2π  ˆ ˆ ψ ( a y ) ψ ( a y − k) ∑ m m ∫  m∈Z b  R

1 2

2π fˆ ( y − k ) dy ≤ b am 1

2 fˆ ( y ) dy  ⋅  2

Wavelet-Frame

82  ˆf ( z ) dz       

 2π  ∑ ∫ ψˆ (a m z ) ψˆ (a m z + k)  b  m∈Z R

1 2

2

Dabei haben wir im zweiten Integral bei festem (k, m) die Substitution z = y−

2π k b am

vorgenommen. Bei der äußeren Summation über den Index k schätzen wir jeden Summanden ab

∑∫

ψˆ (a m y) ψˆ (a m y −

m∈Z R

∫∑

R m∈Z

ˆ (a m y − ψˆ (a m y) ψ

2π k) b

2

2π k) b

fˆ ( y) dy ≤ ∫ sup R

∑

y∈[1,a ] m∈Z

 2π  β − k f  b 

2

fˆ ( y ) dy = ψˆ (a m y ) ψˆ (a m y −

2π k) b

2

und analog

∑∫

m∈Z R

ψˆ (a m y) ψˆ (a m y +

2π k) b

fˆ ( y )

2

 2π  dy ≤ β  k f  b 

Zusammen also

∑

k∈Z*

 2π  ˆ (a m y − k) ψˆ (a m y ) ψ ∑ ∫   m∈Z b R  

 2π  ∑ ∫ ψˆ (a m z ) ψˆ (a m z + k)  b  m∈Z R

1

2 fˆ ( y ) dy  ⋅  2

1  2  fˆ ( z ) dz   ≤     2

1

f

2

∑

k∈Z*

2π 2π  2  k) β ( k)  . β ( b b  

Nach Voraussetzung konvergiert die Reihe 1

∑

k∈Z*

2π 2π  2  k) β ( k )  =: C(b ) . β ( b b  

4. Wegen lim C( b) = 0 . b→ 0

existiert eine Konstante bmax > 0 mit

2

.

fˆ ( y )

2

dy ≤

Wavelet-Frame

83 m(ψ, a ) − C( b) > 0 für alle 0 < b < bmax.

Für jede dieser Translation-Distanzen b ist (ψ, a, b) ein Wavelet-Frame mit 2π ( m(ψ, a ) − C( b) b

)

2

f

≤

∑

( m , n )∈Z 2

< f, ψ m ,n >

2

≤

2π ( M ( ψ , a ) + C( b ) b

)

f

2

.

ad ii) Wir schätzen die in obigem Beweis, Teil 3 auftretende Summe S :=

∑ ∑ ∫ dy ψˆ (2

m

y) ψˆ (2 m y −

k∈Z* m∈Z R

2π ˆ 2π −m k ) f ( y) fˆ ( y − 2 k) b b

schärfer ab: Jeder Summationsindex k ∈ Z* läßt sich eindeutig zerlegen in ein Produkt k = 2 n j mit n ∈ N und ungeradem j ∈ Z. Bei der Summation

∑ ∑ ... = ∑ ∑ ∑...

k∈Z *m∈Z

j ungerade n∈N m∈Z

substituieren wir m=n+l und erhalten die Abschätzung S=

∑ ∑ ∑ ∫ ψˆ (2

n+l

j ungerade n∈N l∈Z R

∑ ∑ ∫ ∑ ψˆ (2

j ungerade l∈Z R

n +l

n∈N

∑ ∑ ∫ ∑ ψˆ (2

j ungerade l∈Z R n∈N

n+l

2π  ˆ  2 n  2 l y − y) ψ b  

2 π −l  j  fˆ ( y ) fˆ ( y − 2 j) dy ≤ b 

2π   ˆ 2π −l   y) ψˆ  2 n  2 l y − j  f ( y ) fˆ ( y − 2 j) dy = b  b  

2π   ˆ 2 π −l   y) ψˆ  2 n  2 l y − j  ⋅ f ( y ) fˆ ( y − 2 j) dy = b  b  

  ψˆ ( 2 n +l y ) ψˆ  2 n  2 l y − 2 π j     ∑ ∑ ∫ ∑ b  j ungerade l∈Z R n∈N     2π   ˆ ( 2 n + l y )ψˆ  2 n  2 l y − ψ j  ∑ b  n∈N  

1 2

1 2

fˆ ( y )

 ˆf ( y − 2π 2 −l j)  dy ≤  b 

 2π      j  ψˆ ( 2 n +l y ) ψˆ  2 n  2 l y − ∑ ∑ ∑ ∫   b   j ungerade l∈Z  R n∈N  

2  fˆ ( y ) dy   

1 2

Wavelet-Frame

84

 2π     ∑ψ ˆ (2 n +l y) ψ ˆ  2 n  2 l y + j  ∫  n∈N b    R 

1  2  ˆf ( y ) dy  ≤      2

  2π    n l n +l j  ∑  ∫ ∑ ψˆ ( 2 y) ψˆ  2  2 y − ∑ b   j ungerade  l∈Z  R n∈N     ∑ ψˆ ( 2 n + l y ) ψˆ  2 n  2l y + 2 π j  ∑ ∫ b  l∈Z  R n∈N  

1

2 ˆf ( y ) dy    2

1  2  ˆf ( y ) dy       2

Wieder schätzen wir bei der äußeren Summation über j ∈ Z jeden Summanden einzeln ab: 

∑  ∫ ∑ ψˆ (2 l∈Z

 R n∈N

∫ ∑ ∑ ψˆ (2

n +l

R l∈Z n∈N

∫

R

sup

∑ ∑ ψˆ (2 ]

ω∈[1, 2 l∈Z

n+l

n∈N

2π   y ) ψˆ  2 n  2 l y − b  

 j  

 2 fˆ ( y ) dy  =  

2π   y ) ψˆ  2 n  2 l y − b  

 j  

fˆ ( y )

n +l

2π    ˆ  2 n  2 l ω − ω) ψ j  b   

2

dy ≤

2  2π  fˆ ( y ) dy ≤ β1  − j f  b 

2

und analog 

∑  ∫ ∑ ψˆ (2 l∈Z



R n∈N

n +l

2π   y) ψˆ  2 n  2 l y + b  

 j  

 2  2π fˆ ( y) dy  ≤ β1    b 

 j f 

2

.

Zusammen erhalten wir 1

  2 π   2π   2 S ≤ ∑  β1  j β1  − j  f  b   b  j ungerade 

1

  2π 2   2π  2 = 2 ∑  β1  (2 j + 1) β1  − (2 j + 1)  f  b   b  j= 0  ∞

2

.

Also ist (ψ, 2, b) ein Wavelet-Frame für alle Translations-Distanzen b mit ∞

m(ψ, 2 ) > 2 ∑ l =0

1

2   2π   2π ( 2l + 1 )  .  β1  ( 2l + 1 ) ⋅ β1  −   b    b

In diesem Fall erfüllen die Wavelet-Konstanten (A, B) die oben genannten Abschätzungen, QED.

Das Haar'sche Wavelet hat kompakten Träger, aber es ist nicht differenzierbar. Wir benutzen Satz 13.10 zur Konstruktion eines weiteren Wavelets, des Meyer-Wavelets, mit entgegengesetzten Eigenschaften: Das Meyer-Wavelet ist zwar differenzierbar, aber es hat keinen kompakten Träger. In beiden Fällen erzeugt der Wavelet-Frame (ψ, 2, 1) eine Hilbert-Basis von L2(R).

Wavelet-Frame

85

13.11 Definition (Meyer-Wavelet) Das Meyer-Wavelet ψ ∈ L2 ist über seine Fourier-Transformierte ψˆ ∈ L2 definiert: Mit der Hilfsfunktion 0   3 ν :R  → [ 0, 1 ] , ν( x ) := 10 x − 15x 4 + 6x 5  1 

x≤0 0 ≤ x ≤1 1≤ x

definieren wir ψˆ : R  → C , ψˆ ( ω) :=

iω

1 e 2 [ w( ω) + w ( − ω)] , 2π

mit π 3ω 2π 4π   sin [ 2 ν( 2π − 1) ] 3 ≤ ω ≤ 3  4π 8π π 3ω w( ω) := cos [ ν( − 1) ] ≤ω≤ 2 4π 3 3  0 sonst   und definieren ˆˆ (− t ) , ψ:R  → C, ψ (t ) := ψ über die inverse Fourier-Transformierte von ψˆ .

Da ψˆ kompakten Support hat 8 2 2 8 supp ψˆ ⊂ [ − π,− π] ∪ [ π, π] , 3 3 3 3 ist ψˆ logarithmisch-quadratintegrierbar, also ψ ein Wavelet.

13.12 Bemerkung (Meyer-Wavelet) Entscheidend bei der Wahl der Hilfsfunktion ν in Definition 13.11 ist, daß sie 2-mal stetig differenzierbar ist mit •

Randverhalten ν (x) = 0 für x ≤ 0 und ν (x) = 1 für 1 ≤ x

•

1 1 und Symmetrie bzgl. des Punktes  ,  2 2 ν (x) = 1 - ν (1 - x) .

Wavelet-Frame

86

13.13 Satz (Meyer-Wavelet) Das Meyer-Wavelet ψ ∈ L2 ist beliebig oft differenzierbar. Das Tupel (ψ, 2, 1) ist ein Wavelet-Frame, der sogar eine Hilbert-Basis von L2 ist. Beweis. i) Da die Funktion ψˆ ∈ L2 kompakten Träger hat, ist ihre Fourier-Transformation beliebig oft differenzierbar. Ihre Ableitungen können analog zu Satz 4.13 berechnet werden. ii) Um Satz 13.10, Teil ii) anzuwenden, zeigen wir m(ψ, 2 ) = M (ψ, 2 ) =

∑

m∈Z

ψˆ (2 m ω)

2

=

1 : 2π

Sei ω ∈ [ 1, 2 ] vorgegeben, o. E. ω ∈ [ 1, 2 ] . Dann gibt es •

entweder genau ein k ∈ Z mit 2π 4π 8π < 2 k ω< < 2 k +1 ω 3 3 3 In diesem Falle gilt 3 k 3 k +1 2 ω= 2 ω, 2π 4π also

∑

m∈Z

•

ψˆ (2 m ω)

2

=

1 2π

 2 π  3 k 3  π   sin  ν 2 ω − 1 + cos2  ν 2 k +1 ω − 1    2  2π  2  4π 

 1  =  2π

oder es gibt ein genau ein k ∈ Z mit 2k ω =

4π . 3

In diesem Falle gilt

∑

m∈Z

ˆ (2 m ω) ψ

2

=

1  2  π  3 2π   π  3 4π   π  3 8π    sin  ν − 1 + sin 2  ν − 1 + cos 2  ν − 1 2π      2  2π 3  2  2π 3  2  4π 3 1  2 π 1 2 π . + cos 2  =  sin 0 + sin 2π  2 2  2π

iii) Mit den Bezeichnungen von Satz 13.10 gilt β1 ( 2π ( 2l + 1 ) ) = 0 , l ∈ N: Denn für jedes ω ∈ [1, 2] gilt

  = 

Wavelet-Frame

87

ψˆ ( 2 n + m ω ) = 0 oder ψˆ ( 2 n + m ω + 2 n ⋅ 2π ⋅ (2l + 1) ) = 0 für l, n ∈ N, m ∈ Z. Nach Satz 13.10, Teil ii), ist (ψ, 2, 1) ein Wavelet-Frame mit den Frame-Konstanten 1 1 ≤ A ≤ B≤ , b b also A = B = 1. iv) Das Meyer-Wavelet ist normiert: ψ 2 2π 2 π 3

2

ˆ = ψ

2

=

2 π  3 π  3   cos2  ν y − 1 dy = sin 2  ν y − 1 dy + ∫ 2π 4 π 8π    2  2π  2  4π 4π ≤ y≤ ≤ y≤

∫

3

3

3

4 2 π  π  sin 2  ν(z ) dz + ∫ cos2  ν(z ) dz = ∫ 30 30 2  2  1

1

1  π 2 1 + ∫ cos2  ν(z ) dz   2   3  0 

Wegen der Symmetrie 1    1  ν ( x ) + ν ( 1 − x ) = 1, d.h. ν  x +  = 1 − ν  − x  , 2 2     gilt 1

π

1 2



∫ cos  2 ν(z ) dz = ∫ cos 2

0

1 2

2

0

1 2

π

π  1   2π   2 ν(z ) dz + ∫ cos  2 1 − ν  2 − z   dz =    0 1 2



∫ cos  2 ν(z ) dz + ∫ sin 2

0

2

0

1 π   2 ν(z ) dz = 2 .

Es folgt ψ

2

= ψˆ

2

=

2 3 ⋅ = 1. 3 2

Nach Lemma 13.9 definiert der Wavelet-Frame (ψ, 2, 1) eine Hilbert-Basis, QED.

13.14 Satz (Rekonstruktion aus den Wavelet-Koeffizienten) Es seien (ψ, a, b) ein Wavelet-Frame mit Frame-Operator S: L2 → L2 und f ∈ L2 ein Signal.

Wavelet-Frame

88

i) Wenn der Frame eine Hilbert-Basis ist, so gilt

∑ W [ f ]( a

f = cψ

ψ

(m , n )

m

, b m , n ) ⋅ ψ m, n .

ii) Im Falle eines straffen Frames mit Frame-Konstanten A = B gilt f=

cψ A

∑ W [ f ]( a ψ

(m, n )

m

, b m , n ) ⋅ ψ m, n .

iii) Im Falle allgemeiner Frame-Konstanten 0 < A ≤ B gilt f=

2 cψ

(A + B) (∑ m,n )

Wψ [ f

] ( a m , bm, n ) ⋅ S−1 (ψ m, n ) .

Dabei kann S-1 durch die Partialsummen der geometrischen Reihe S −1 =

∑ ( id − S )

k

k∈N

approximiert werden, deren Konvergenzgeschwindigkeit vom Verhältnis B− A <1 B+A abhängt. Beweis. Alle Aussagen folgen aus Satz 13.7, Teil ii). Zum Beweis von Teil iii) verwenden wir die Darstellung S (f ) =

Wψ [ f ] ( a m , b m , n ) ⋅ ψ m , n . (A + B) (∑ m, n )

2 cψ

Man zeigt ([Heu1986], Satz 12.4), daß aus der Abschätzung id − S ≤

B−A < 1 B+ A

die Konvergenz der Neumann'schen Reihe F :=

∑ ( id − S )

k

k∈N

in der Operator-Norm folgt. Dann gilt: ∞

(id − S) F = ∑ ( id − S ) k = F − id k =1

∞

und F (id − S) = ∑ ( id − S k =1

also F - S F = F - id und F- F S = F - id, d.h. S F = id und F S = id. Es folgt

) k = F − id ,

Wavelet-Frame

89 F = S-1

und f = (S−1 S) (f ) =

W [ f ]( a (A + B) (∑)

2 cψ

ψ

m

, b m , n ) ⋅ S−1 (ψ m , n ) , QED.

m, n

13.15 Bemerkung (Mexikaner-Hut) Der Mexikaner-Hut ψ aus Beispiel 8.10 definiert einen Wavelet-Frame (ψ, 2, π) mit den Wavelet-Konstanten A ≈ 3.223 und B ≈ 3.596, also

B− A ≈ 0.0547 . B+ A

Multi-Skalen-Analyse

90

14 Multi-Skalen-Analyse Die Multi-Skalen-Analyse zerlegt ein Signal in seine Bestandteile wachsender Detailgöße. Jede Skala hat eine feste Genauigkeit, durch Verdopplung des Skalierungsparamter erhält man Details doppelter Genauigkeit. Mathematisch gesehen stellt sich der gesamte Prozeß als eine sukzessive Projektion des Ausgangssignals auf abgeschlossene Unterräume des HilbertRaumes dar. In diesem Kapitel beziehen wir alle aus einer Funktion ϕ ∈ L2 durch Skalierung und Translation abgeleiteten Funktionen ϕ k , m ∈ L2 , (k, m ) ∈ Z 2 , mit ϕ k , m ( t ) :=

1 2

k

(τ

m⋅2 k

θ2 k ϕ ) ( t ) =

 t − m ⋅ 2k ϕ  2k 2k 

1

 1  = ϕ ( 2− k t − m ) k 2 

auf den festen Zoom-Parameter a = 2 (Verdopplung) und die feste Translations-Distanz b = 1. Basis der Multiskalen-Analyse ist eine Skalierungsfunktion ϕ, die bezüglich der Verdopplung selbstähnlich ist.

14.1 Beispiel (Skalierungsfunktion) Die einfachste Skalierungsfunktion ist die charakteristische Funktion ϕ = χ [0, 1] ∈ L2 . Sie erfüllt die "Skalierungsgleichung" ϕ = h 0 ϕ −1,0 + h 1 ϕ −1,1 mit h 0 = h1 =

1 , 2

denn ϕ −1, 0 = 2 χ [0, 1 2 ] und ϕ −1,1 = 2 χ [1 2, 1] .

Multi-Skalen-Analyse

0.5

91

1

0.5

1

ϕ-1,0

ϕ

0.5

1

ϕ-1,1

Abbildung 5 Skalierungsfunktion

14.2 Definition (Skalierungsfunktion) Eine Funktion ϕ ∈ L2 heißt Skalierungsfunktion, wenn sie mit geeigneten Koeffizienten h m ∈ C , k ∈ Z , eine Gleichung ϕ=

∑h

m∈Z

m

ϕ −1,m (Skalierungsgleichung)

erfüllt, d.h. wenn für alle x ∈ R gilt ϕ (x ) = 2 ⋅ ∑ h m ϕ (2 x − m ) . m∈Z

Die Skalierungsfunktion ϕ heißt orthonormal, wenn die Folge ihrer Translationen ( τ m ϕ) m∈Z ein Orthonormal-System im Raum L2 ist.

Offensichtlich ist die Skalierungsfunktion von Beispiel 14.1 orthonormal.

14.3 Lemma (Orthogonalitätsrelation) Es sei ϕ ∈ L2 eine orthonormale Skalierungsfunktion. i) Die Skalierungskoeffizienten hm ∈C, m ∈ Z, aus der Skalierungsgleichung erfüllen die Orthogonalitätsrelationen

Multi-Skalen-Analyse

92

∑h

m

m∈Z

h m+ 2n = ä 0,n für jedes n ∈ Z .

ii) Wenn ϕ zusätzlich kompakten Träger hat, so sind nur endlich viele Skalierungskoeffizienten hm , m ∈ Z , von Null verschieden. Beweis. ad i) Nach Voraussetzung gilt 2 ⋅ ∑ h m τ m θ 1 ϕ, 2 ⋅ ∑ h s τ − n τ s θ 1 ϕ =

δ0, n = ϕ, τ − n ϕ =

∑

m ,s ∈Z

m∈ Z

2 ⋅ h m τ m θ 1 ϕ, h s τ − 2 n + s θ 1 ϕ = 2

2

2

2

2

∑

m , j ∈Z

s∈ Z

2

2

2

h m h j+ 2 n 2 τ m θ 1 ϕ, τ j θ 1 ϕ = 2

2

2

2

∑h

m ∈Z

m

hm +2n .

ad ii) Zusammen mit ( τ m ϕ) m∈Z bilden auch die skalierten Funktionen (ϕ −1,m = 2 ⋅ τ m θ 1 ϕ) m∈Z 2

2

ein Orthonormal-System. Aus der Skalierungsgleichung ϕ=

∑h

m∈Z

m

ϕ −1,m

folgt für jedes k ∈ Z ϕ, ϕ −1,k =

∑h

m∈Z

m

ϕ −1,m , ϕ −1,k = h k .

Im Falle eines kompakten Trägers supp ϕ sind für große Werte von k die Träger disjunkt supp ϕ ∩ supp ϕ −1,k = ∅, also hk = 0, QED.

14.4 Bemerkung (Unterraum-Struktur zu einer Skalierungsfunktion) Für eine gegebene Skalierungsfunktion ϕ faßt man den Unterraum V0 := span C ϕ 0,m : m ∈ Z ⊂ L2 als den Raum der Signale mit Details der Mindestgröße 2 0 = 1 auf, der in den Raum V−1 := span C ϕ −1,m : m ∈ Z ⊂ L2

Multi-Skalen-Analyse

93

der Signale mit Details der Mindestgröße 2 −1 =

1 eingebettet ist. Die Orthogonalprojektion 2

V-1 → V0 projiziert auf den niederfrequenten Teilraum der Signale mit Details doppelter Mindestgröße. Das orthogonale Komplement ⊥

W0 := V0 ⊂ V−1 1 erfassen. Wir iterie2 ren das Verfahren, die niederfrequenten Anteile herauszuprojizieren, und setzen für beliebiges k ∈ Z:

ist der Raum der Signale, welche die Details der genauen Größe 2 −1 =

Vk := span C ϕ k ,m : m ∈ Z ⊂ L2 der Unterraum der Signale mit Details der Mindestgröße 2 k und ⊥

Wk := Vk ⊂ Vk −1 , der Unterraum der Signale mit Details der genauen Größe 2k-1. Das Ergebnis ist eine aufsteigende Folge von Unterräumen von Signalen:

0 ⊂ ... ⊂ V2 ⊂ V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 ⊂ V−2 ⊂ ... ⊂ L2 Hinzunahme feinerer Details zu höheren Frequenzen  → ←  Re duktion auf gröbere Details zu niedrigeren Frequenzen

Wir zeigen, daß diese Unterraum-Struktur bereits unter einer schwachen Zusatzvoraussetzung an die Skalierungsfunktion eine separable Ausschöpfung des gesamten Hilbert-Raumes liefert.

14.5 Satz (Multi-Skalen-Analyse) Eine orthonormale Skalierungsfunktion ϕ ∈ L2 ∩ L1 mit ϕˆ ( 0 ) ≠ 0 erzeugt eine Multi-Skalen-Analyse, d.h. die aufsteigende Folge 0 ⊂ ... ⊂ V2 ⊂ V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 ⊂ V− 2 ⊂ ... ⊂ L2 von abgeschlossenen Unterräumen des Hilbert-Raumes L2 Vk := span C ϕ k ,m : m ∈ Z , k ∈ Z , ist eine separable Ausschöpfung: 0 = I Vk und L2 = U Vk . k∈Z

k∈Z

Multi-Skalen-Analyse

94

Beweis. i) Die Skalierungsgleichung liefert V0 ⊂ V−1 , und durch weitere Skalierung folgt Vk+1 ⊂Vk für alle k ∈ Z. ii) Zum Beweis der Ausschöpfungseigenschaft ist zu zeigen, daß der Orthogonalraum von L2 = U Vk k∈Z

nur die Null enthält. Wir bezeichnen mit Pk : L2  →V k , k ∈ Z , die Orthogonalprojektion und betrachten ein beliebiges Element f ∈ L2 mit Pk (f ) = 0 für alle k ∈ Z. Zu vorgegebenem ε > 0 wählen wir eine Funktion g ∈ L2, deren Fourier-Transformation gˆ kompakten Träger hat supp gˆ ⊂ [− R , R ], R ∈ R, und die Fourier-Transformation von f approximiert fˆ − gˆ < ε. Dann gilt auch f − g < ε. Es folgt Pk (g ) = Pk (g ) − Pk (f ) = Pk ( g − f

)

und Pk (g ) = Pk ( g − f

)

≤ g −f < ε.

Für jedes k∈ N ist die Folge   1  ϕ k ,m = τ θ k ϕ m 2   2k 2   m∈Z eine Hilbert-Basis von Vk, also gilt Pk (g )

2

=

∑

m∈Z

g, ϕ k ,m

2

=

∑

m∈Z

gˆ, ϕˆ k ,m

Unter Verwendung von ϕˆ k ,m ( ω ) = 2 k e − im 2

k

ω

ϕˆ ( 2 k ω )

2

.

Multi-Skalen-Analyse

95

gemäß Lemma 4.7 berechnen wir

∫ gˆ( ω ) ϕˆ ( 2 ω ) e

R

gˆ, ϕˆ k ,m = 2 k

k

im 2 k ω

dω =

−R

k 2 k −1 gˆ( ω ) ϕˆ ( 2 k ω ) e im 2 ω dω . ∫ π −R

R

2π ⋅ Für den Grenzübergang

k → -∞   dω 2 betrachten wir die Hilbert-Räume L − 2 − k π, 2 − k π , k −1  2  π  der trigonometrischen Monome

[

   , in denen jeweils die Folgen   

]

(e

im 2 k ω

)

m∈ Z

nach Satz 3.11 eine Hilbert-Basis sind. Das feste Integrationsintervall

[ − R, R ] ist für große Werte von -k enthalten in den Intervallen

[−2

−k

]

π, 2 − k π .

Damit ist gˆ, ϕˆ k ,m bis auf den Faktor

2π der m-te Fourier-Koeffizient der Funktion   dω 2 gˆ ⋅ θ2 −k ϕˆ ∈ L − 2 − k π, 2 − k π ,  2 k −1  π 

[

]

Es gilt also für große Werte von -k

∑

m∈Z

gˆ, ϕˆ k ,m

2

= 2 π ⋅ gˆ ⋅ θ2 − k ϕˆ

und insgesamt Pk (g )

2

= 2 π gˆ ⋅ θ2− k ϕˆ

Wegen ϕ ∈ L1

2

.

2

  .   

Multi-Skalen-Analyse

96

ist nach Lemma 4.5 die Fourier-Transformierte ϕˆ stetig. Da gˆ außerdem kompakten Träger hat, folgt im Grenzübergang lim gˆ ⋅ θ 2 − k ϕˆ = gˆ ⋅ ϕˆ ( 0 ) ,

k → −∞

also ε ≥ lim Pk ( g ) = lim 2π gˆ ⋅ θ 2 − k ϕˆ k → −∞

2

= 2π gˆ

k → −∞

⋅ ϕˆ ( 0

2

)

2

und 2

g

= gˆ

2

≤

ε 2π ϕˆ ( 0

)

2

.

Aus der Abschätzung ε

f ≤ f −g + g ≤ ε+

2π ϕˆ ( 0

)

2

folgt die Behauptung f = 0. iii) Es sei eine Funktion f ∈ I Vk k∈Z

vorgegeben. Zu vorgegebenem ε > 0 wählen wir als Approximation von f eine stetige Funktion fε ∈ L2 mit kompaktem Träger supp f ε ⊂ [− R , R ] , R ∈ R, und f −fε <ε. Es folgt für alle k ∈ Z f = Pk ( f

)

=

Pk ( f ) − Pk ( f ε

( P ( f ) − P ( f ) )+ P ( f )

≤

)

,

ε

k

ε

k

+ Pk ( f ε

k

)

< ε + Pk ( f ε

)

da für die Orthogonalprojektion Pk gilt Pk = 1. Wir berechnen Pk ( f

ε

)

2

=

∑

m∈Z

ε

f , ϕ k ,m

2

R

=

∑ ∫ f ( x ) ⋅ ϕ ( x ) dx ε

k ,m

m∈Z

−R

2

≤

Multi-Skalen-Analyse

97 R

∑∫

f

ε

(x )

2

R

m∈Z − R

f

∑

f

2

∑

2

2

dx =

dx ≤

∫

−R

2− k R − m

∫

ϕ ( 2 −k x − m)

R

2 −k

m∈Z

ε

)

−R

2

ε

ϕ k ,m ( x

∫

dx

ϕ(z

)

2

ε

dz = f

2

m∈Z − 2 − k R − m

∑ ∫

ϕ(z

)

2

dz

m∈Z I k , m

mit Intervallen

[

]

I k , m = − 2 − k R − m, 2 − k R − m , die für großes k bzgl. m paarweise disjunkt sind:

∑ ∫

ϕ(z

)

2

∫

dz ≤

m∈Z I k , m

ϕ(z

)

2

dz .

U I k,m

m∈Z

Da die Länge der Intervalle im Grenzwert k→∞ verschwindet, folgt aus dem Satz von der majorisierten Konvergenz lim ∑ k →∞

∫ ϕ(z )

2

dz = 0 ,

2

=0

m∈Z I k , m

also insgesamt lim Pk ( f ε k →∞

)

und f ≤ ε. Da ε > 0 beliebig ist, folgt f = 0, QED.

Die Multi-Skalen-Analyse hat die wichtige Eigenschaft, daß sie über ihre Skalierungsfunktion ein Wavelet liefert. Und dieses Wavelet ψ erzeugt sogar einen Wavelet-Frame (ψ, 2, 1), der eine Hilbert-Basis ist.

14.6 Satz (Wavelets einer Multi-Skalen-Analyse) Es sei ϕ ∈ L2 ∩ L1 mit ϕˆ ( 0 ) ≠ 0 eine orthonormale Skalierungsfunktion mit Skalierungsgleichung ϕ =

∑h

m∈ Z

m

⋅ ϕ −1, m .

Multi-Skalen-Analyse

98

Definiert man die folgenden Koeffizienten g m : = ( −1) m h1− m ∈ C , m ∈ Z , so gilt: i) Die Funktion

∑g

ψ :=

m∈ Z

m

⋅ ϕ −1, m ∈ L2

ist ein Wavelet. ii) Bzgl. der zu ϕ gehörigen Multi-Skalen-Analyse ist für jedes k ∈ Z die Familie   1  ψ k , m = τ k θ k ψ ⋅ m 2 2  2k  m∈Z  eine Hilbert-Basis des Orthogonalraumes ⊥

Wk := Vk ⊂ Vk −1 . Insbesondere ist das Tupel (ψ, 2, 1) ein Wavelet-Frame, der sogar eine Hilbert-Basis von L2 liefert. Beweis. Die Funktion ψ :=

∑g

m

m∈Z

⋅ ϕ −1,m ∈ L2

ist wohldefiniert, weil die Folge (ϕ −1,m ) m∈Z ein Orthonormal-System ist und die Koeffizienten (gm)m∈Z quadrat-summierbar sind nach Lemma 14.3

∑

m∈ Z

gm

2

=

∑

m∈ Z

hm

2

=1< ∞.

Es genügt, die Hilbert-Basis Eigenschaft für k = 0 zu zeigen. Nach Definition gilt ψ ∈ V−1 . Zunächst steht ψ auf allen Translationen τmϕ, m ∈ Z, der Skalierungsfunktion senkrecht steht: Wir berechnen - unter Verwendung von τ m ϕ −1,k = ϕ −1, 2 m+ k ψ, τ m ϕ =

∑g

k , s∈ Z

k

h s ϕ −1, k , τ mϕ −1,s =

∑ (− 1)

s∈ Z

s

∑g

k , s∈Z

k

h s ϕ −1, k , ϕ −1, 2 m + s =

h1− 2 m − s h s = ∑ h1− 2 ( m + s ) h 2 s − s∈ Z

∑h

λ∈ Z

1+ 2 λ

h −2 ( m+λ ) −

∑h

−2 ( m+s )

∑h

1 − 2 ( m + s ) −1

s∈ Z

h 1+2 s = 0 .

s∈ Z

Also gilt ⊥

ψ ∈ W0 := V0 ⊂ V−1 .

∑g

k , s∈ Z

h 2 s +1 =

k

h s δk , 2 m + s =

Multi-Skalen-Analyse

99

Die Folge (τ m ψ )m∈Z ist ein Orthogonalsystem: τ m ψ, τ n ψ =

∑ (− 1)

k

k∈Z

∑g

k ,l∈Z

k

g l ϕ −1, 2 m + k , τ m ϕ −1, 2 n + l =

∑g

k ,l∈Z

k

g l δ 2 m + k , 2 n +l =

h 1−k (− 1) h1−2( m− n ) −k = ∑ h κ h κ −2 ( m −n ) −k = δ 0,m− n . k

κ∈Z

Die Folge (τ m ψ )m∈Z ist vollständig im Unterraum W0 - oder gleichwertig: Die Folge

(τ m ψ )m∈Z

∪ (τ m ϕ )m∈Z

ist vollständig im Unterraum V−1 = V0 ⊕ W0 . Hierfür ist nur die Darstellbarkeit der Funktion ϕ-1,0 zu zeigen. Wie verwenden die Parsevalsche Gleichung (Korollar 1.9):

∑

m∈Z

∑ ∑g

m∈Z

∑ ∑gδ

m∈Z

k∈Z

k

k∈Z

+

2 k

2 0, 2 m + k

2

ϕ −1,0 , τ m ψ

+

ϕ −1,0 , ϕ −1, 2 m + k

∑h

k∈Z

∑h

+

k∈Z 2

k

ϕ −1, 0 , τ m ϕ

δ 0, 2 m + k

=

∑

m∈Z

2

= 2

k

ϕ −1,0 , ϕ −1, 2 m+ k

h 1+ 2 m

2

+ h −2 m

=

2

=

∑

m∈Z

hm

2

=1

nach Lemma 14.3. Andererseits gilt ϕ −1,0

2

=1.

Nach Satz 14.5 schöpfen die Räume (Vk )k∈Z und damit auch die Räume (Wk )k∈Z den gesamten Hilbert-Raum L2 aus. Die Zulässigkeitsbedingung folgt aus dem bereits in Kapitel 12 erwähnten allgemeinen Sachverhalt ([LMR1998], Lemma 2.1.3), daß ein fester Frame (ψ, a, b) mit Frame-Konstante A die Zulässigkeitbedingung cψ = 2π ∫ R

ψˆ ( ω ω

)

2

dω = 2 ⋅ A ⋅ b ⋅ ln a < ∞

erfüllt. Daher ist (ψ, 2, 1) ein Wavelet-Frame, der sogar eine Hilbert-Basis von L2 liefert, QED.

14.7 Bemerkung (Wavelets einer Multi-Skalen-Analyse) Die orthonormale Skalierungsfunktion aus Beispiel 14.1 definiert über ihre Multi-SkalenAnalyse das Haar-Wavelet. Es gibt jedoch Wavelets, die nicht über eine Multiskalenanalyse gewonnen werden können, vgl. [LMR1998], Kapitel 2.2.

Multi-Skalen-Analyse

100

Nach Satz 14.6 erhält man ein Wavelet, wenn man von einer orthonormalen Skalierungsfunktion ausgeht, die eine schwache Zusatzvoraussetzung erfüllt. Das aus der Folge ihrer Skalierungs-Koeffizienten (h k )k∈Z konstruierte Wavelet liefert einen Frame, der sogar eine HilbertBasis ist. Welche Voraussetzungen muß umgekehrt eine Folge von Koeffizienten

(h k )k∈Z erfüllen, damit sie als Skalierungs-Koeffizienten eine solche Skalierungsfunktion definieren? Wir betrachten die Frage im Frequenzraum und formulieren eine notwendige Bedingung:

14.8 Lemma (Skalierung im Frequenzraum) i) Eine Funktion ϕ ∈ L2 erfüllt genau dann die Skalierungsgleichung

∑h

ϕ=

m∈Z

m

ϕ −1,m ,

wenn für ihre Fourier-Tranformierte ϕˆ gilt ϕˆ ( ω ) = H (

ω ω ) ϕˆ ( ) 2 2

mit der trigonometrischen Reihe H ( ω ) :=

1 h m e −ikω , ∑ 2 m∈Z

dem Fourier-Filter der Skalierungs-Koeffizienten (h m )m∈Z . ii) Eine Skalierungsfunktion ϕ ∈ L2 ist genau dann orthonormal, wenn für ihre Fourier-Transformation gilt

∑ ϕˆ (ω + k 2π)

2

k∈Z

=

1 für fast alle ω ∈ R. 2π

Für eine orthonormale Skalierungsfunktion ϕ ∈ L1 ∩ L2 mit ϕˆ ( 0 ) ≠ 0 gilt bereits ϕˆ ( 0

)

=

1 und ϕˆ ( k 2 π ) = 0 für k ≠ 0. 2π

iii) Das Fourier-Filter einer orthonormalen Skalierungsfunktion ϕ ∈ L1 ∩ L2 mit ϕˆ ( 0 ) ≠ 0 erfüllt die Orthogonalitätsbedingung

Multi-Skalen-Analyse

101 H( ω )

2

+ H( ω + π

)

2

= 1, ω ∈ R .

Insbesondere gilt H( 0 ) = 1 und H( π ) = 0, d.h.

∑h

m∈ Z

m

∑( − 1 )

= 2 und

hm = 0 .

m

m∈ Z

Beweis. ad i) Zum Beweis wenden wir auf die Darstellung ϕ = 2 ⋅ ∑ hm τm θ1ϕ m∈Z

2

2

die Fourier-Transformation und die Formeln von Lemma 4.7 an: ϕˆ (ω) = 2 ⋅

−i ω 1  ω h m e 2 ⋅ ϕˆ   . ∑ 2 m∈Z 2 m

Die umgekehrte Richtung folgt aus der Tatsache, daß die Fourier-Transformation ein Isomorphismus ist. ad ii) Für eine orthonormale Skalierungsfunktion ϕ gilt δ o,m = ϕ, τ − m ϕ = ϕˆ , e m ϕˆ = ∫ ϕˆ (ω) e −imωdω = 2

R

π

∫ ∑ ϕˆ (ω + k 2π)

2

e −imωdω .

− π k∈Z

Die periodische Funktion R → C , ω a

∑

ϕˆ (ω + k 2 π )

2

k∈ Z

hat also den m-ten Fourier-Koeffizienten δ 0,m . 2π Aus Satz 3.11 folgt die Behauptung

∑ ϕˆ (ω + k 2π)

2

=

k∈Z

1 für fast alle ω ∈ R. 2π

In der umgekehrten Richtung erhält man aus der Berechnung der Fourier-Koeffizienten die Orthonormalität. Nun sei ϕ ∈ L1 ∩ L2 orthonormal mit ϕˆ ( 0 ) ≠ 0 . Wir wählen eine Funktion g ∈ L2, g ≠ 0, mit supp gˆ ⊂ [ − 1, 1 ] . Analog zum Beweis von Satz 14.5 gilt für große Werte von -k Pk g Nach Satz Satz 14.5 gilt

2

= Pk gˆ

2

=

∑

m∈Z

gˆ, ϕ k ,m

2

= 2 π gˆ ⋅ θ 2− k ϕˆ

2

.

Multi-Skalen-Analyse

102 2

lim Pk g

k → −∞

= g

2

= gˆ

2

,

andererseits 2

lim 2π gˆ ⋅ θ 2 − k ϕˆ

k → −∞

= 2 π ϕˆ ( 0

)

2

gˆ

2

.

Es folgt ϕˆ ( 0

)

=

2

1 . 2π

Da die Fourier-Transformierte ϕˆ stetig ist, gilt die Gleichung

∑ ϕˆ (ω + k 2π)

k∈Z

2

=

1 2π

für alle Argumente ω ∈ R, insbesondere also für ω = 0. Hieraus folgt ϕˆ ( k 2 π ) = 0 für k ≠ 0. ad iii) Aus der Skalierungsgleichung im Fourier-Raum folgt nach Teil i) unter der Voraussetzung ϕˆ ( 0 ) ≠ 0 die Gleichung H(0) = 1. Zum Beweis der Orthogonalitätsbedingung des Fourier-Filters berechnen wir nach Teil i) und ii) 1 = ∑ ϕˆ ( ω + 2 kπ 2 π k∈ Z

∑

k∈ Z

 ω  H  + 2 kπ   2   ω H   2 

2

2

∑

k∈Z

)

2

∑

=

k∈ Z 2

 ω  ⋅ ϕˆ  + 2 kπ   2 

+

∑

k∈ Z

 ω  ϕˆ  + 2 kπ   2 

2

 ω H   2 

2

2

 ω  H  + kπ   2 

 ω  ⋅ ϕˆ  + kπ   2 

 ω  H  + π + 2kπ   2 

 ω  + H +π   2 

2

∑

k∈Z

1   ω + H +π  2π   2

2

2

2

=

 ω  ⋅ ϕˆ  + π + 2 kπ   2 

 ω  ϕˆ  + π + 2kπ   2 

2

2

=

1 2π

also  ω H   2 

2

 ω  + H +π   2 

2

= 1 für alle ω ∈R, QED.

Der folgende Satz formuliert hinreichende Bedingungen dafür, daß eine Koeffizientenfolge als Folge von Skalierungskoeffizienten von einer Skalierungsfunktion stammt.

=

Multi-Skalen-Analyse

103

14.9 Satz (Konstruktion von Skalierungsfunktionen) Gegeben sei ein Fourier-Filter H ∈ L2 , H ( ω ) := •

Orthogonalitätsbedingung H( ω )

•

1 h m e − imω , mit ∑ 2 m∈Z

2

+ H( ω + π

)

2

= 1 für alle ω ∈ R

Normierung H(0) = 1

•

Hölderstetigkeit im Nullpunkt, d.h. es gibt C, ε > 0 mit H (0) − H ( ω) < C ω

•

ε

für alle ω ∈ R

und "Cohen-Bedingung", d.h.  π π ohne Nullstelle im Intervall  − ,  .  2 2

Dann konvergieren die Funktionen ( ϕˆ m )m∈Z ϕˆ m ( ω ) :=

1 2π

m

 ω  χ m m (ω) 2 j  [− 2 π, 2 π ]

∏ H  j=1

im Hilbert-Raum L2 gegen eine Funktion ϕˆ , deren inverse Fourier-Transformation ϕ∈ L2 eine orthonormale Skalierungsfunktion ist. Beweis. [LMR1998], Satz 2.4.7.

Wir studieren nun Fourier-Filter H, welche die Voraussetzungen von Satz 14.9 erfüllen. Dabei beschränken wir uns auf trigonometrische Polynome mit reellen Skalierungskoeffizienten: H ∈ L2 , H ( ω ) :=

1 N h k e −ikω , h k ∈ R für k = 0,..., N . ∑ 2 k =0

Die Beschränkung auf Polynome bewirkt, daß die resultierenden Skalierungsfunktionen kompakten Träger haben. Da die Skalierungskoeffizienten reell sind, ist die Funktion q := H

2

∈ L2

wegen H ( ω )= H ( −ω ) ein gerades trigonometrisches Polynom q ( ω )= q ( −ω ) mit

Multi-Skalen-Analyse

104 q ≥ 0, q ( 0 ) = 1 und q (ω ) + q ( ω + π ) = 1.

Die Fourier-Reihe eines geraden trigonometrischen Polynoms mit rellen FourierKoeffizienten enthält nur cos-Terme. Wegen der Periodizitätsbedingung enthält die FourierEntwicklung von q zudem nur ungerade Koeffizienten. Also gehört q zur Menge der trigonometrischen Reihen 1 1   K :=  f ∈ L2 [ 0, 2π ] : f ≥ 0, f ( ω) = + ∑ a k cos ( 2 k − 1) ω, ∑ a k =  . 2 k ≥1 2   k ≥1 Diese Menge ist konvex, ihre endlich-dimensionalen Teilmengen trigonometrischer Polynome  1  1 N K N :=  f ∈ L2 [ 0, 2 π ] : f ≥ 0, f ( ω) = + ∑ a k cos (2 k − 1) ω , ∑ a k =  , N ∈ N, 2 2 k =1  k ≥1 sind konvexe und beschränkte Teilmengen von RN. Damit lassen sie sich als konvexe Kombination ihrer Extremalpunkte darstellen:

14.10 Satz (Extremalpunkt) Für jede konvexe und beschränkte Menge N 1 N 1   K N :=  f ∈ L2 [ 0, 2π ] : f ≥ 0, f ( ω) = + ∑ a k cos (2 k − 1) ω , ∑ a k =  , N ∈ N, 2 k =1 2  k =1 

ist die Funktion ω

q N ∈ K N , q N ( ω) := 1 −

∫ sin

2 N −1

∫ sin

2 N −1

0 π

t dt t dt

0

ein Extremalpunkt von KN. Beweis. Vgl. [LMR1998], Lemma 2.4.21. Man konstruiert qN als Durchschnitt von N-1 StützHyperflächen und der durch die Gleichung N

∑a k =1

k

=

1 2

definierten Hyperfläche. Dieses System von N linear-unabhängigen linearen Gleichungen in N Veränderlichen hat eine eindeutig bestimmte Lösung.

14.11 Beispiel (Daubechies-Wavelets im Überblick) Die Extremalpunkte aus Satz 14.10 liefern eine Folge von Wavelets, die DaubechiesWavelets ψN, N ≥ 2. Ihre Bedeutung liegt darin, daß sie kompakten Träger haben und mit wachsendem N immer bessere Differenzierbarkeitseigenschaften. Außerdem liefert jedes ψN über den Wavelet-Frame (ψN, 2, 1) eine Hilbert-Basis von L2. Wir gehen aus von dem Extremalpunkt für N = 2.

Multi-Skalen-Analyse

105 ω

∫ sin

q 2 ∈ K 2 , q 2 (ω) := 1 −

3

t dt

0 π

∫ sin

. 3

t dt

0

Es ist ω

∫ sin

3

t dt = −

0

3 1 2 cos ω + cos 3 ω + , 4 12 3

also π

∫ sin

3

t dt =

0

4 3

und q2 ( ω ) =

1 9 1 + cos ω − cos 3ω . 2 16 16

Für das Fourier-Filter machen wir den Ansatz 3

H 2 ( ω ) = ∑ h k e iωk mit h k ∈ R, k = 0, 1, 2, 3. k =0

Die Gleichung q= H

2

liefert über einen Koeffizientenvergleich das folgende System von vier quadratischen Gleichungen: •

h 0 + h1 + h 2 + h 3 = 1

•

h1h 0 + h 2 h1 + h 3 h 2 =

•

h 2 h 0 + h 3 h1 = 0

•

h 3h 0 = −

2

2

2

2

9 16

1 . 16

Es hat die eindeutige Lösung h0 =

1− 3 3− 3 3+ 3 1+ 3 , h1 = , h2 = , h3 = . 4 2 4 2 4 2 4 2

Das Fourier-Filter H ist als trigonometrische Polynom Hölder-stetig und hat - wie sein Quadrat q - keine Nullstelle im Intervall  π π  − 2 , 2  .

Multi-Skalen-Analyse

106

Nach Satz 14.9 konvergieren die Funktionen ( ϕˆ m )m∈Z ϕˆ m ( ω ) :=

1 2π

m

 ω  χ m m (ω) 2 j  [− 2 π, 2 π ]

∏ H  j=1

gegen die Fourier-Transformation einer orthonormalen Skalierungsfunktion ϕ. Das zugehörige Wavelet ψ2, heißt 2-tes Daubechies-Wavelet. Sein Wavelet-Frame (ψ2, 2, 1) ist eine Hilbert-Basis von L2 aus stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Die allgemeine Konstruktion für beliebiges N ∈N liefert das N-te Daubechies-Wavelet ψN, dessen Frame (ψN, 2, 1) ebenfalls eine Hilbert-Basis ist. Das N-te Daubechies-Wavelet hat kompakten Träger. Seine Differenzierbarkeitsklasse Ck wächst linear mit N; bereits für N = 5 ist ψ5 stetig differenzierbar.

Schnelle Wavelet-Transformation

107

15 Schnelle Wavelet-Transformation Unter der schnellen Wavelet-Transformation versteht man Algorithmen zur schnellen Berechnung der diskreten Wavelet-Transformation. Die Analyse berechnet die Folge der WaveletKoeffizienten eines gegebenen Signals, die Synthese rekonstruiert aus den WaveletKoeffizienten das Ausgangssignal. Alle vorgestellten Algorithmen beruhen auf der Multi-Skalen-Analyse und benutzen als wesentliche mathematische Operationen Faltungsoperatoren im Hilbert-Raum l2(Z).

15.1 Bezeichnung (Skalierungsfunktion und Wavelet) Wie legen in diesem Kapitel eine feste Multi-Skalen-Analyse zugrunde, die von einer orthonormalen Skalierungsfunktion ϕ ∈ L2 ∩ L1 mit ϕˆ ( 0 ) ≠ 0 und Skalierungsgleichung ϕ=

∑h

m∈Z

m

ϕ −1,m

erzeugt wird. Es sei ψ das gemäß Satz 14.6 erzeugte orthonormale Wavelet ψ=

∑g

m∈Z

m

ϕ −1,m ∈ L2 mit g m : = ( −1) m h1− m ∈ C , m ∈ Z .

Da ψ einen Wavelet-Frame (ψ, 2, 1) bildet, ist ein beliebiges Signal bereits durch seine Wavelet-Koeffizienten bzgl. des Frames festgelegt. Diese Koeffizienten sind die Fourier-Koeffizienten, da der Frame sogar eine Hilbert-Basis von L2 ist. Die zu analysierenden Signale werden als Elemente des Grundraumes f ∈ V0 := span C ϕ 0,m : m ∈ Z , k ∈ Z , vorausgesetzt und dort durch ihre Fourier-Koeffizienten < f, ϕ 0,m >, m ∈ Z, beschrieben. Allgemein bezeichnen wir mit Vk := span C ϕ k ,m : m ∈ Z , k ∈ Z , den Raum der Signale mit Details der Mindestgröße 2k und mit Wk := span C ψ k ,m : m ∈ Z ⊂ Vk −1 , k ∈ Z , den Raum der Signale mit Details der genauen Größe 2k, das orthogonale Komplement von Vk in Vk-1.

15.2 Definition (Zerlegungs-Operatoren) Für eine summierbare Folge

Schnelle Wavelet-Transformation

108

(h m )m∈Z ∈ l 1 (Z ) von Skalierungskoeffizienten definieren wir auf dem Hilbert-Raum l2 = l2(Z) die linearen Operatoren: •

"Faltung" mit den Skalierungskoeffizienten H: l2 → l2, H (c) m :=

•

∑h

n - 2m

n∈ Z

c n und H*: l2 → l2, H * (c) m :=

∑h

n∈ Z

m - 2n

cn

und "Faltung" mit den abgeleiteten Koeffizienten G: l2 → l2, G(c) m :=

∑g

n∈ Z

n - 2m

c n und G*: l2 → l2, G * (c) m :=

∑g

n∈ Z

m - 2n

cn .

15.3 Bemerkung i) Die beiden Operatoren G und H sind durch die l1-Norm von (hn)n∈Z bzw. (gn) n∈Z beschränkt. ii) Die Paare (H, H*) und (G, G*) sind jeweils zueinander adjungiert: < H(x), y > = < x, H*(y) > und < G(x), y > = < x, G*(y) >. iii) Die Operatoren haben im Unterschied zur üblichen Faltung einen Faktor 2 bei der Verschiebung des Index.

Der folgende Algorithmus berechnet die Wavelet-Koeffizienten eines Signals f ∈ V0 aus dem Grundraum auf einer Anzahl von Skalen mit immer gröberen Details bezüglich der orthogonalen Zerlegung K

V 0 = VK ⊕ ∑ Wk , K ≥ 1. k =1

Er ermittelt die Fourier-Koeffizienten von f •

in den Räumen Wk der Details der genauen Größe 20,21,...,2K-1

•

und im Raum VK der Details der Mindestgröße 2K.

15.4 Algorithmus (Schnelle Wavelet-Analyse) Input. •

Signal f ∈ V0 , repräsentiert durch seine Fourier-Koeffizienten c0m := < f, ϕ 0,m >, m ∈ Z.

•

Anzahl der gewünschten Skalen K ≥ 1

Output. •

Fourier-Koeffizienten der Projektion von f auf VK

Schnelle Wavelet-Transformation

109 cKm := < f, ϕ K,m >, m ∈ Z,

•

Wavelet-Koeffizienten aus Wk von f dkm := < f, ψ k,m >, m ∈ Z, k = 1,...,K.

Algorithmus.

k=1 k≤K dk = G (ck-1) ck = H (ck-1) k=k+1 Abbildung 6 Schnelle Wavelet-Analyse

Beweis. Wir definieren dk := (dkm)m∈Z mit dkm := < f, ψ k,m > und ck := (ckm)m∈Z mit ckm := < f, ϕ k,m >, m ∈ Z, k ∈ Z, und zeigen für alle k ≥ 1: ck = H (ck-1) und dk = G (ck-1). Aus der Skalierungsgleichung ϕ 0,0 = ∑ h n ϕ −1,n n∈Z

folgt ϕ k ,m = ∑ h n ϕ k −1,n + 2 m , n∈Z

also c k m = f , ϕ k ,m = ∑ h n f , ϕ k −1,n + 2 m = ∑ h n c k −1 n + 2 m = ∑ h n-2m c k −1n = H (c k −1 ) m . n∈Z

n∈Z

n∈Z

Mit der Definition des Wavelet ψ 0,0 = ∑ g n ϕ −1,n n∈Z

folgt d k m = f , ψ k ,m = ∑ g n f , ϕ k −1,n + 2 m = ∑ g n c k −1 n + 2 m = ∑ g n-2m c k −1 n = G(c k −1 ) m , QED. n∈Z

n∈Z

n∈Z

Schnelle Wavelet-Transformation

110

Der folgende Algorithmus rekonstruiert die Funktion f ∈ V0 := span C ϕ 0,m : m ∈ Z ⊂ L2 . aus ihren Wavelet-Koeffizienten zu Skalen mit Details verschiedener Größe gemäß der orthogonalen Zerlegung K

V 0 = VK ⊕ ∑ Wk , K ≥ 1. k =1

15.5 Algorithmus (Schnelle Wavelet-Synthese) Input. •

Fourier-Koeffizienten der Projektion von f auf VK cKm := < f, ϕ K,m >, m ∈ Z.

•

Wavelet-Koeffizienten aus Wk von f dkm := < f, ψ k,m >, m ∈ Z, k = 1,...,K.

Output. •

Signal f ∈ V0 , repräsentiert durch seine Fourier-Koeffizienten c0m := < f, ϕ 0,m >, m ∈ Z.

Algorithmus.

k=K k≥1 ck-1 = H*(ck) + G*(dk) k=k-1 Abbildung 7 Schnelle Wavelet-Synthese

Beweis. Aufgrund der orthogonalen Zerlegungen V k −1 = Vk ⊕ Wk und bzgl. der ausgezeichneten Hilbert-Basen dieser Räume gilt

∑

m∈Z

f , ϕ k −1,m ϕ k −1,m = ∑ f , ϕ k ,i ϕ k ,i + ∑ f , ψ k ,i ψ k ,i i∈Z

i∈Z

also

∑c

m∈ Z

∑c

m∈Z

k −1

m

k −1

m

ϕ k −1, m = ∑ ( c k i ϕ k ,i + d k i ψ k , i i∈ Z

)

ϕ k −1,m = ∑∑ ( c k i h j ϕ k −1, j+ 2 i + d k i g j ϕ k −1, j+ 2i ) . i∈Z j∈Z

Schnelle Wavelet-Transformation

111

Durch Koeffizientenvergleich bei j + 2i = m, d.h. j = m - 2i folgt c k −1 m = ∑ ( c k i h m− 2 i + d k i g m − 2i ) = H * (c k ) m + G * (d k ) m , QED. i∈Z

15.6 Bemerkung (Komplexität) Im Falle •

von Signalen f mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Fourier-Koeffizienten (c 0 m ) m∈Z der Anzahl n

•

und der Verwendung einer festen Skalierungsfunktion mit nur endlich vielen Skalierungskoeffizienten der Anzahl N << n

hat die schnelle Wavelet-Analyse die Komplexität O(n). Beweis. [LMR1998], Kapitel 2.3. Entscheidend ist, daß sich bei jedem Skalenübergang k a k+1 die Anzahl der von Null verschiedenen Koeffizienten (c k m ) m∈Z in etwa halbiert.

Zusammenfassung

16 Zusammenfassung •

Kapitel 1 Hilbert-Räume

Satz (Beste Approximation durch ein Orthonormal-System) •

Kapitel 2 L2-Räume

Satz (Hilbert-Raum der quadrat-summierbaren Folgen) Satz (Hilbert-Basis der Haar'schen Funktionen) •

Kapitel 3 Fourier-Reihen

Satz (Gleichmäßige Konvergenz der Fourier-Reihe unter DifferenzierbarkeitsVoraussetzungen) Korollar (Hilbert-Basis der trigonometrischen Monome) •

Kapitel 4 Fourier-Integrale

Satz (Umkehrformel der Fourier-Transformation) Satz (Fourier-Transformation als L2-Isomorphismus) •

Kapitel 5 Distributionen

Definition (Distribution) •

Kapitel 6 Fourier-Transformation temperierter Distributionen

Satz (Konvergenz der Dirichlet-Kerne) •

Kapitel 7 Faltung

Satz (Fourier-Transformation der Faltung von Funktionen) Satz (Abtast-Theorem von Shannon) •

Kapitel 8 Kontinuierliche Wavelet-Transformation

Definition (Wavelet und Wavelet-Transformation) Satz (Umkehrformel der Wavelet-Transformation) •

Kapitel 9 Gibbsches Phänomen

•

Kapitel 10 Schnelle Fourier-Transformation

•

Kapitel 11 Fouriertheorie und Quantencomputing

•

Kapitel 12 Bildkompression

•

Kapitel 13 Wavelet-Frame

Satz (Wavelet-Frame) Satz (Rekonstruktion aus den Wavelet-Koeffizienten) •

Kapitel 14 Multi-Skalen-Analyse

112

Schnelle Wavelet-Transformation Satz (Wavelets einer Multi-Skalen-Analyse) Satz (Konstruktion von Skalierungsfunktionen) •

Kapitel 15 Schnelle Wavelet-Transformation

Algorithmus (Schnelle Wavelet-Analyse) Algorithmus (Schnelle Wavelet-Synthese)

113

Literatur

114

17 Literatur [AAG2000] Ali, Syed Twareque; Antoine, Jean-Pierre; Gazeau, Jean-Pierre: Coherent States, Wavelets and their Generalizations. Springer, New York 2000 [Bla1998] Blatter, Christian: Wavelets - Eine Einführung. Vieweg, Wiesbaden 1998 [Bur1998] Burke Hubbard, Barbara: The World According to Wavelets. A K Peters, Natick, Massachusetts, 2ed 1998 [BNB2000] Bachmann, Georg; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward: Fourier and Wavelet Analysis. Springer, New York et al. 2000 [Dau1992] Daubechies, Ingrid: Ten Lectures on Wavelets. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics; 61. SIAM, Philadelphia 1992 [For1983] Forster, Otto: Analysis 3. Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1983 [For1985] Forster, Otto: Fourierreihen und andere Orthogonalentwicklungen der Mathematischen Physik. Vorlesung Wintersemester 1973/74. Nachdruck Mathematisches Institut der LMU, München 1985 [Heu1986] Heuser, Harro: Funktionalanalysis. Teubner, Stuttgart 1986 [HS1971] Hirzebruch, Friedrich; Scharlau, Winfried: Einführung in die Funktionalanalysis. Bibliographisches Institut, Mannheim et al. 1971 [LMR1998] Louis, Alfred; Maaß, Peter; Rieder, Andreas: Wavelets. Theorie und Anwendungen. Teubner, Stuttgart 1998 [Rud1973] Rudin, Walter: Functional Analysis. Tata McGraw-Hill. New Delhi 1973 [Wei1976] Weidmann, Joachim: Lineare Operatoren in Hilberträumen. Teubner, Stuttgart 1976 [Woj1997] Wojtaszczyk, P.: A Mathematical Introduction to Wavelets. Cambridge University Press, Cambridge 1997