\.
GElSON IEZZI
FUNDAMENTOS DE
'"
MATEMATICA ELEMENTAR GEOMETRIA ANALíTICA
68 exercícios resolvidos com resposta 289 exercícios propostos com resposta 216 testes de vestibular com resposta
AAAl
EDITORA
7
Capa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo
APRESENTACÃO I
Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo Artes Atual Editora Ltda. Fotolitos Marka Silk Screen Ltda. Rua Albuquerque Maranhão. 272 - S. Paulo Impressão e acabamento Companhia Melhoramentos de São Paulo Indústrias de papel Rua Tito. 479 - S. Paulo CIr-Brasil. Catalogação-na-Fonte câmarc_ IIl-3silcüa do Livro, S1'
977 .1-7
Fundamentos de matemática elementar (por) Gelaon leui (e outros) são Paulo, Atual Ed .• 1977-7& Co-autores: Carlos Murakami. Osvaldo DoIee e 5amuel Hazzan ô a autoria dos vohDlles individuais varia entre os 4 aut.ores. Conteúdo: v.l. Conjuntos. funções. 1977.-v.2. Logaritmos. 1977,-v.3. TrigoTIOllletria. 1978,v.4. SequUências, matrizes determinantes. sistemas. 1977. -v. 5. C(mlbínatôria, probabilidade. 1977.v.6. Complexos, polinômios, equações. 1977.-v.7. Geometria analítica. 1979.
1. Matematica (29 grau) I. Dolce, Osvaldo, 193811. Iezzi, Gelson, 1939- 111. Hazzan, Samuel, 1946IV. Murakami. Carlos, 1943CDD-510
77-1473 fndic~
psra catálogo sistE'rnãtico: 1. Matematica 510
Todos os direitos reservados a ATUAL EDITORA LTOA Rua José Antônio Coelho, 785 Telefones: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil
"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, ao n (vel da escola de 'Z? grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interressados na "rainha das ciências". No desenvolvimento dos inúmeros cap(tulos dos livros de "Fundamentos" procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exerc(cios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e asim, ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido. /'; última parte de cada volume é constitu(da por testes de vestibulares até 1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada. Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind(vel para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e sua obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostar(amos de receber dos colegas professores uma apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crl'ticos, os quais agradecemos. Os autores
,
INDICE
CAPITULO I - COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO I. 11. 111. IV. V. VI. VII. V111.
Noções básicas Posições de um ponto em relação ao sistema Distância entre dois pontos Razão de secção Coordenadas do ponto divisor Condição para alinhamento de três pontos Complemento-Cálculo de determinantes Demonstração de teorema de geometria plana
. . . . . . . .
l-G 3-G 6-G 10-G 12-G 18-G 21-G 24-G
. . . . . .
25-G 30-G 31-G 38-G 43-G 45-G
. . . . . .
51-G 53-G 56-G 58-G 61-G 70-G
CAPITULO 11 - EQUAÇAO DA RETA I. 11. 111. IV. V. VI.
Equação geral Intersecção de duas retas Posições relativas de duas retas Feixe de retas concorrentes Feixe de retas paralelas Formas da equação da reia
CAPfTULO 111 - TEOREMA ANGULAR I. Coeficiente angular 11. Cálculo de m 111. Equação de uma reta passando por P(xo'Yo) IV.. Condição de paralelismo V. Condição de perpendicularismo VI. Ângulo de duas retas
RESPOSTAS
CAPITULO IV - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA I. 11. 111. IV. V. VI. VII.
Translação de sistema . Distância entre ponto e reta . Área do triângu lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variação de sinal da função E(x, y) = ax + by + c . Inequações do 1'? grau . Bissetrizes dos ângulos de duas retas . Complemento-Rotação de sistema .
77-G 78-G 83-G 87-G 90-G 93-G 98-G
CAPITULO V - CIRCUNFERENCIA I. 11. 111. IV. V. VI. VII.
Equação reduzida Equação normal Reconhecimento Ponto e circunferência Inequações do 2'? grau Reta e ci rcunferência Duas circunferências
I 11 I11 IV V VI VII
183-G 184-G 185-G 188-G 190-G 191-G 194-G
TESTES _
'
: . . . . . . .
99-G 100-G 100-G 106-G 108-G 112-G 117-G
CAPITULO VI - PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERENCIAS I. Problemas de tangência 123-G 11. Determinação de circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 129-G 111. Complemento 140-0
CAPITULO VII - CONICAS I. 11. 111. IV. V. VI.
Cap(tulo Cap(tulo Capl'tulo Capl'tulo Capl'tulo Capfwlo Cap(tulo
Ell'pse Hipérbole Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Reconhecimento de uma cônica Intersecções de cônicas Tangentes a uma cônica :..
143-G 148-G 153-G 158-G 164-G 165-G
CAPITULO VIII - LUGARES GEOMETRICOS l. Equação de um L.G , 171-G 11. -I nterpretação de uma equação do 2'? grau . . . . . . . . . . . . . . . .. 176-G
Ponto e reta Circunferência Cônicas Lugares geométricos Respostas
195-G 209-G 216-G 221-G 229-G
René Descartes (1596 - 1650)
Geometria e Ãlgebra fazem as pazes CAPÍTULO I René Descartes nasceu na França, de famllia nobre, recebeu suas primeiras instruções no colégio jesulta de La Fleche, graduando·se em Direito, em Poitier.
COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
Foi participante ativo de várias campanhas militares como a de Maurice, o Prlncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano I da Baviera e a do exército francês no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores sábios da época como Faulhaber, Desargues e Mersenne e é considerado o "Pai da F ilosofia Moderna". Em 1637 escreveu seu mais célebre tratado, o "Discurso do Método" onde expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento e qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela matéria contigua. Esta teoria só foi superada pelo raciocinio matemático de Newton. Suas idéias filosóficas e cientificas eram muito avançadas para a época mas sua matemática guardava caracterlsticas da antigüidade tendo criado a Geometria Analltica numa tentativa de volta ao passado. Durante o perlodo em que Descartes permaneceu com o exército bávaro, em 1619, descobriu a fórmula sobre poliedros que usualmente leva o nome de Euler: v + f = a + 2 onde v,f e a são respectivamente o número de vértices, faces e arestas deum poliedro simples. Em 1628 já estava de posse da Geometria Cartesiana que hoje se confunde com a Analltica, embora os objetivos do autor fossem diferentes tanto que em seu "Discurso" se mostra imparcial quando discute os méritos da Geometria e da Álgebra. Seu objetivo era por processos algébricos libertar a Geometria da utilização de tantos diagramas que fatigavam a imaginação, e dar significado às operações da Álgebra, tão obscura e confusa para a mente, através de interpretações geométricas. Descartes estava convencido de que todas as ciências matemáticas partem do mesmo principio básico e aplicando seus conceitos conseguiu resolver o problema das três e quatro retas de Pappus. Percebendo a eficiência de seus métodos publicou "A Geometria", que consta de três livros, onde dá instruções detalhadas para resolver equações quadráticas geometricamente, por meio de parábolas; trata das.ovais de Descartes importantes em Óptica e ensina como descobrir raizes racionais e achar solução algébrica de equações cúbicas e quadráticas. Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Acade· mia de Ciências em Estocolmo e como nunca gozou de boa saúde não suportou o inverno escandinavo, morrendo prematuramente em 1650.
I.
NOÇÕES BÁSICAS
1. Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano 0'. Dado um ponto P qualquer, P E conduzamos por ele duas retas: x'
y
y'
x
0',
li x e y' Ii y
Denominemos P 1 a intersecção de x com y' e P2 a intersecção de y com x'.
o Nestas condições definimos: a) abscissa de P é o número real
xp = OP [
b) ordenada de P é o número real Yp = OP 2 c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indicados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde Xp é o primeiro termo. d) eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox) e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy) f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o sistema xOy. g) origem do sistema é o ponto O h) plano cartesiano é o plano O'
1-G
2.
2? Parte
Exemplo
0(-3,4),
Vamos localizar os pontos 5
E(-7, -3),
F(4, -5),
Dado o par ordenado de números reais P2 E Y tais que OP, = xp e OP 2 = yp. Se construirmos x' /I x por P2 em P. Assim, a todo par (xp, yp)
G("2'
no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número representa a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. y
--f---~-L I
f----
--
I
rI I
I
._-1--1---
j
t
I I
---+----+---+---+--) I
--1
t I I
t
i
I
i --e
o
A
x
,
5.
t
-f--e-+ I
I I
-!----------t--- -----I
B
.
H
3.
-
--
'-
---
Demonstração la Parte As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci, cor responde um único par de pontos (P" P2 ) sobre os eixos x e y respectivamente e, ~rtanto, um único par ordenado de números reais (xp, yp) tais que xp ~ OP, e yp ~ OP 2 .
2-G
+--_~____L_~
J
_ x
O
(b, a)
A principal conseqüência do teorema do item 3 é que em Geometria Ana-
F
I
(P"
i
c) todo ponto P procurado representa duas incógnitas (xp e yp) .
---
Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívoca.
------>
--- i--- -"1 14.21
b) "pedir um ponto P" significa pedir o par de coordenadas (xp, yp);
11.
P
j""
a) "dar um ponto P" significa dar o par ordenado (xp, yp);
__ 1-
Teorema
Esquema:
*-
'\
P
lítica Plana:
;
-~
P2 ) ~
!
I
I
(a, b)
--t--------
P, E x e
I
I I I
(PI,
existem
e y' /I y por P essas retas vão concorrer " corresponde um único ponto P, P E Ci.
4. Notemos que os pares ordenados (4, 2) e (2, 4) não são iguais. Eles se diferenciam pela ordem de seus termos e, portanto, não representam o mesmo ponto do plano cartesiano. De maneira mais geral, se a e b· são números reais distintos, então:
c
1--
Esquema: (xp, yp) ~
(xp, yp),
P2 )
------>
(xp, yp)
POSiÇÕES DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA
6. Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões angulares chamadas quadrantes, que recebem os nomes indicados na figura. É evidente que: PE 1<:> quadrante PE 2<:> quadrante PE 3<:> quadrante P E 4<:> quadrante
== == == ==
y 29 quadrante
xp ;;;. O e yp ;;;'0
lI? quadrante
x
O
xp ';;;0 e yp ;;;'0 xp ';;;0 e yp ';;;0
3<'> quadrante
49 quadrante
xp ;;;'0 e yp ,;;; O
3-G
7. Um ponto pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada é nula: P E Ox
=
yP
~
O
10. Um ponto pertence à bissetriz dos 'quadrantes pares se, e somente se, tiver coordenadas simétricas:
Isto significa que o eixo das abscissas é o conjunto dos pontos de ordenada nula: Isto significa que a bissetriz b 24
Ox ~ {(a, O) I a E IR}
é o conjunto dos pontos de coordenadas
_L_....L_--.l._-Cl
-..,.----,--,ri-
simétricas. Notemos que, para todo número real a, o ponto (a, O) pertence ao eixo das abscissas.
a.
Um ponto pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa é
b 24 ~ {(a, -a) I a E IR}
ponto
Notemos que, para todo a real, o (a, -a) pertence à bissetriz b24 •
nula: P E Oy
=
xp ~ O
11. Se uma reta é paralela ao eixo das abscissas, então todos os Seus pontos têm a mesma ordenada.
Isto significa que o eixo das ordenadas é o conjunto dos pontos de abscissa nula:
Se uma reta é paralela ao eixo das ordenadas, então todos os seus pontos têm a mesma abscissa.
Oy ~ {(O, b) I b E IH}
Notemos que, para todo número real b, o ponto (O, b) das ordenadas.
Também valem as reciprocas dessas duás propriedades. pertence ao eixo
EXERC(CIO
9.
Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes (mpares se, e somente se, tiver coordenadas iguais: P E b 13
=
xp
YP
G.l
Dados os pontos: A1500, 5001 61-600, -600)
ElO, O)
C1715, -7151
GiO, -517)
01-1002,1002)
H 1-321, O)
F1711,01
Pergunta-se quais são pertencentes:
Isto significa que a bissetriz b 13 é o conjunto dos pontos de coordenadas iguais: b 13 ~ {(a, a) I a E IR}
a) ~o primeiro quadrante;
bl ao segundo quadrante; c) ao terceiro quadrante; d) ao quarto quadrante;
e) ao eixo das abscissas; f) ao eixo das ordenadas;
Notemos que, para todo a real, o ponto (a, a) pertence à bissetriz b 13 .
4-G
g) à bissetriz dos quadrantes ímpares; h) à bissetriz dos quadrantes pares.
5-G
111.
13. Exemplo
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
1
Calcular a distância entre os pontos A(-2, 5) e B (4, -3).
12. Dados dois pontos A(x" yIl e B(X2' Y2), calculemos a·distância dentre eles. 1~
Caso:
AB li Ox
YI
d = dA, BI = I X2 - XI I
~
01
A
•,
B
I
I
AI
B,
Y B2
Caso: AB li Oy
•,
..
X
d
d
:f? Caso:
AB
*'Iox
=
onde O
X
O
V(XI-X2)2+(YI-Y2)'
'11 (-2 - 4)2 + (5 + 3)2 '11 36 + 64 = 10
X
--------
B
14. Convém observarmos que, como a ordem dos termos nas diferenças de abscissase ordenadas não influi no cálculo de d, uma forma simples da fórmula da distância é:
Y
O
Y
A
X
e AB »:IOY
..
= =
AI ---------- A O
=
Observemos que, se mudarmos a ordem das diferenças, d não se altera:
T
d = d A2 B2 = IY2 - YII
'11 (X2 - xIl 2 + iY2 _ y,)2 = '11 (4 + 2)2 + (-3 - 5)2 = '11 36 + 64 = 10 =
X
X2 - XI
ou
Llx = X, - X2
(é indiferente)
LlY=Y2-Y,
ou
Lly
(é indiferente)
Llx
=
=
Y, - Y2
Temos inicialmente: AC Ii Ox BC Ii Oy
=
=
YC Xc
= =
YI} X2
=
C(X2, yIl
De acordo com ·os casos iniciais, temos: d AC dBC
=
Ixc - xA I
=
=
I YB - Yc I
=
I X2 - xII I Y2 - YI I
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC temos: d 2 = dic + d~c = (X2 - xIl 2 + (Y2 _ y,)2
EXERCICIOS
G.2
Calcular a distância entre os pontos A(1, 31 e Bl-l, 41.
G.3
Calcular a distância do ponto PI--6, BI à origem do sistema cartesiano.
G.4
Calcular a distância entre os pontos Ala - 3, b + 4) e Bla + 2, b - 8).
G.5
Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A12, 1), B(-I, 31 e C14, -2).
então:
6-G
7-G
G.6
Provar que o triângulo cujos vértices são A12, 2), BI-4, -6) e C(4, -12) é retângulo.
G)
Para demonstrar que um triângulo é retângulo basta provar que as medidas dos seus lados verificam a relação de Pitágoras: "o quadrado da medida do' maior lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados". 2
dAB
1&)2 + (i'>y)2
(2 + 4)2 + 12 + 6)2 = 100
d~C
1&)2'+ 16v)2
(4 + 4)2 + 1-6 + 12)2
dtA entao
=
(3)
1&)2 + (6V)2 (2 - 4)2 + 12 + 12)2 = 200 2 2 2 d CA = d AB + d BC
G.7
Determinar x de modo que Bll, 1) e Clx, 41.
O
G.8
Se P(x, V) x e V?
AI-3, 71
eqüidista de
e
B(4, 3),
-7V
(1)
-19
t - lSv
+ Sl
(2)
De 121, temos x ~ 7V - 19 31 7 v - 191 + 4v = 18
que substituindo em (1) dá: 25V = 75 V ~ 3
=
qual é a relação ..xistente entre
R""posta: Ix + 31 2 + Iv - 7)2
lS
Ix + 41 2 + Iv + 5)2 ~ Ix + 6)2 + Iv - 91 2 ~ + Sx + 16 + V2 + 10V + 25 = x 2 + 12x + 36 + -4x + 2Sv ~ 76 = -
x
triângulo ABC seja retângulo em B. São dados: AI4,5),
Ix + 41 2 + Iv + 5)2 ~ x 2 + Sx + 16 + V2 + lOV + 25
r - 22x + 121
3x + 4V
100
~
Ix - 8)2 + Iv - 111 2 ~ - 16x + 64 + -24x - 32v ~ -1441
Solução
=
=
x
7, 3 - 19
=
2
P(2, 3).
(x - 4)2 + Iv - 3)2
G.13
Dados os pontos seja equilátero.
14V + 49 = x 2 - Sx + 16 + V2 - 6v + 9 = == 16x - 14V +" 49) - I-Sx + 16 - 6v) = O 14 K - 8v + 33 = O
G.14
Dados os pontos B12, 3) e CI-4, 11, determinar o vértice A do triângulo ABC, sabendo que ê o ponto do eixo y do qual se vê BC sob ângulo reto.
dpA = dpB
==>
então' ~ + 6x + ~ +
Resposta:
Y: -
14x - 8v + 33
=
e NIO, a), determinar P de modo que o triângulo MNP
Y
Solução
O A(x, V) {1) .2)
Alx, 5),
Mia, O)
G.9
Dados B e C.
B(-2, 3) e C14, 11, obter x de modo que A seja eqüidistante de
G.10
Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscIssas. sabendo que é eqüidistante dos pontos AIl, 31 e B(-3, 5).
G.ll
Determinar o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que eqüidista de A(8, -8) e B(12, -2).
A E v AC 1 AB
==>
={11 x 2 = O 2 2) d AC + d AB
2 d BC
B
C x
De (2) temos: Ix + 41 2 + Iv - 1)2 + Ix - 2)2 + Iv - 3)2
12 + 41 2 + 13 _ 1)2
Levando em Conta que x =- O, temos: G~2
Dados os pontos gulo ABC.
AIS, 11),
BI-4, -5)
e
C(-6, 9),
obter o -circuncentro do triân16 + (V2 - 2V + 1) + 4 + (V2 - 6v + 91 = 36 2V2 - Sv - 10 = O
==>
V2 - 4v - 5
Solução
o
circuncentro (centro da circunferência circunscrita ao triângulo) é um ponto P
eqüidistante dos três vértices.
Plx, vi (1) dpA = dPB l<'J dpB = dpC
8-G
Resposta: I
B~f'
Ú
<
I
·~sv
A(O, -1)
ou
=
O
t
==> V ~ -1
4 ou
V= 5
AlO, 5)
G.15
Dados A(-2, 4) e outros dois vértices.
G.16
Dados AIS, 7) e C(-2, -31, extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos vértices B e O, sabendo que xB xO"
J
B(3, -1)
vértices consecutivos de um quadrado. determinar os
>
9-G
IV.
RAZÃO DE SECÇÃO
17. Uma pergunta importante é "como se poderia calcular o valor de r quando \ são dadas as coordenadas de A, B e C?"
Uma primeira idéia seria escreVer: 15. Dados três pontos--salineares A, B e C (com A cF B cF C), chama-se razão de secção do segmento AB pelo ponto C o número real r tal que:
r
AC ---~
CB
V (X3 V (X3
x,I' + (y] _ YI)' - x,)' + (Y3 - y,)'
mas esta não é uma boa saI"da pois:
sempre
Exemplo
AC
IACI dAC isto é, a fórmula acima daria CB dCB ' ICB I r;:" O e quando C é exterior a AS incorrerlamos em erro.
1'?) r
~ ~ e não
2'?) é muito trabalhosa por causa da fórmula da distância. Para esclarecermos a definição dada, consideremos sobre um eixo e os pontos C, D, E, F, G, H, I, J tais que os segmentos
ciS, DE, EF. FG, GH, HI e
jJ têm
3 0 ) dados A, B e r, não é possI"vel determinar C pois ten'amos duas incógnitas (xc' YC) e uma só equação.
comprimento ~. Tomemos A ~ F e B ~ H e calculemos as razões (ABC), (ABD), (ABE), (ABF), (ABG), (ABH), (ABI), (ABJ). .~
~~A~
F
E
C
1
(ABD)
2
1
(ABE)
3~
O
(ABF)
H
O sinal da razão
(ABH)
(ABJ)
O
r
(ABG)
(ABI)
3
~
H
G
3 5
(ABC)
16.
~B~
18. e
J AG
~
AH
2~
HB
O
la Caso:
IB AJ JB
AB
não é paralelo a Ox e nem a Oy.
Aplicando o teorema de Tales às transversais AB e A, B, do feixe de paralelas AA" BB" CC, e notando que
~~~-~ GB ~
ÃI
Contornamos essas dificuldades com a seguinte teoria
----+
(não existe)
----+
se AC e CB concordam ou não em sen--+
-3
temos: I
-2
(11
----+
não depende da orientação do eixo que contém AB
A, B,
oi
A,
c,
Aplicando analogamente o Teorema de Tales para as transversais do feixe de paralelas AA" BB" CC" temos:
H,
,
AB e
----+
...
nem do sistema cartesiano; depende de uma camparação de sentidos entre AC
(21
e CB. Podem ser verificadas facilmente as seguintes propriedades da razão de secção.
I)
r> <
O
=
111) r
O
= =
IV)
1
=
11)
V) 'V C,
10-G
--+
tido o mesmo ocorre com A,C, e C,B"
O
r
->
C é inteiror a AB
-+
C é exterior a C~A
AB
Se tivermos
A(x"
VI), B(x"
y,l e C(x-" V]),
então teremos a partir de
(1) e (2):
->
C é médio de AB
1- -1.
11-G
;IJ caso:
-+ AB é paralelo a Ox
Neste caso, temos
Y3 - YI r = --Y2 - Y3
=
r· Y2 - r • Y3 = Y3 - Y,
=
Y3
+r
• Y3 = Y,
+r
• Y2
==
e somente podemos escrever:
Y, = Y2 = Y3
Exemplo
P caso:
-+ -+
AB é paralelo a Oy
Neste caso, temos
x, = X2 = X3
e somente podemos escrever:
A
Obter as coordenadas do ponto C que divide AB (1, 5) e B(4, 17). X,
+
r
x2
+ r Y3
YI
+
5
Y2
r
1 + r
+ 2 4 9 =3 + 2 + 2 17 39 1 + 2 3
na razão 2, quando
3
} -
CI3, 131
13
Exemplo
19.
21.
No caso particular de C ser o ponto médio de AB então r
=
1 é:
Dados A(3, 7), B(5, 11) e C(6, 13) calculemos a razão (ABC): pelas projeções no eixo Ox
6 - 3
=--=-3
)(3
5-6
2 __1 . X_l_+_X_2
1. Y3
=
2 Y_l_+_Y_2_
.....
pelas projeções no eixo Oy Exemplo
13 - 7 11-13=-3
Y3 - YI r = --'....::_-'-'Y2 - Y3
Obter o ponto médio do segmento AB quando A = (7, -1) e B = (-3,11).
É evidente que só poder(amos obter resultado~ iguais. X3 =
Y3
V.
COORDENADAS DO PONTO DIVISOR
20.
Dados A(X" yd, B(X2' Y2) e'r(r
X,
+ X2 2
Y,
+ Y2 2
+ (-3) 2 (-1) + (11) 2 (7)
2 } -
CI2,51
5
*
-1), calculemos as coordenadas (X3' Y3) -+ do ponto C que devide AB na razão r. Temos:
r
~
X3 - x, X2 - X3
=
r • X2 - r •
"j
= "3 - Xl
==
X3
+ r·
X3 = Xl
+ r·
X2
=
EXERC(CIOS
G.17· Calcular a razão IABCI sendo dados os pontos ==>
12-G
G.t8
A(2, 31, B(1
-21 e C(
~,
--}-I,
Dados A(4. 31 e BI2, 1), seja C a intersecção da reta AB com o eixo das abscissas, Calcula\ a razão (ABCl.
13-G
G.19
o comprimento
Determinar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais, sabendo que A ~ (-1, 71 e B ~ (11, -B), Solução
Resposta: ,,-G.23
d AM
da mediana AM é a distância entre A eM:
~
5
Dados os vértices consecutivos, AI-2, 1) e B14, 4), de um paralelogramo, e o ponto intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices.
E (3, -1), ~
C divide o segmento AB na razão
Xc
YC
H)
xA + r xB 1 + r
1
2:
G.24
9 2
+ 1+1(11)
(7) + (.!.) 1-8) 2 1 1 + 2
YA + r ' YB 1 + r
.----.
2 0 ) Ao'/-
o
2 ~3~
2
1-1) + 2 • 11 1 + 2 7 + 2 • (-8)
YA + r' • YB 1
'-oB
+ r'
1 + 2
111) + (3) 2
2
~ ~ ~ 3
Resposta:
C13, 2)
e
YO
~
YB + YC 2
1-8) + 2 2
7 + (-1) ~ 3 --2-
4 + YB -2-
=
YB ~ O
~
O
XN
~
YN
~
xB + Xc -----r- = YB + YC --2-
-1
=
O + xC ~-2-
~ 2
c
=
Xc ~ -2
=
YC ~ 2
V(2 - 0)2 + 14 - 0)2 + Y'i-0"'+'-'-2)-2-+-10---2-)2 + V12 .Ji.O + Vã + .Ji.O ~ 4V5 + 2v2 ~ 212V5 + v2)
AI+1, -1 I e BI4, 51
2 12V5 + v2)
deve ser prolongado
G.26
Calcular as coordenadas do baricentro do triângulo ABC cujos vértices são Alxl, YII, B(X2, Y2) e C(X3, Y31.
~4 B L._-#-_.L..._!!-----'-C
M
+ 2)2 + (4 - 2)2
Se M12, 1), N(3, 3) e P(6, 2) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, res' pectivamente, de um triângulo ABe, determinar as coordenadas de A, B e C.
O ponto M é tal que:
YB + YC 2
~
xB
G.25
Solução
3+5
2
=
(-1, -3)
Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos AIO, O), B13, 71 e CI5, -1),
-2-
=
~
para qLie seu comprimento triplique?
XB + xC 2
YA + YB 2
Resposta:
Até que ponto
G.22
~
~
-3
017, -3)
segmento de extremos
YM
2 + xB -2-
3 0 ) perímetro ~ d AB + d BC + d CA ~
G.21
O
~
portanto, CI-2, 21
Determinar os pontos que dividem AB em quatro partes iguais quando A e B ~ 123, 33),
M,
1
-9
G.20
no sentido
=
7
~""3 ~-3
7
xA + xB 2
2':') N é o ponto'médio de BC então:
Observemos também que D é ponto médio de BC: XO ~ xB + xC
~
portanto, B (O, O)
O
+ r' • xB. 1 + r'
XM 2
~
AB na razão 2:
YO ~
10) M é o ponto médio de AB então:
6
----~ -----o~
D divide o segmento
XO
Solução
2
C
XA
3
""3
1 +2
Do triângulo ABC são dados: o vértice A(2, 4), o ponto M(l, 2) médio do lado AB e o ponto NI-l, 1) médio do lado BC. Calcular o perfmetro do triângulo ABC.
Solução O baricentro G é a intersecção das medianas do triângulo. Tomando um triângulo ABC e construindo as medianas AM e BN, formamos os triângulos ABG e MNG que são semelhantes, portanto: AG AB . 2 GM MN - Q ,-
.K.-.
B
C
2
14-G
15-G
AM"
isto é, G divide a mediana
na razão 2.
x 2 + 14 - V3x12 _ 16 = x 2 + 16 - 8V3x + 3x 2 - 16 4x 2 - 8V3x ~ O = x - O ou x = 2v'3 ===> Y = 4 ou y = -2 (respectivamente)
Aplicando a fórmula do ponto divisor, temos:
xG
xA + 2xM 1 + 2
YG
YA + 2YM 1 + 2
XI +
=
2 x2 + x3 2 2
xI + x2 + x3 3
2 Y2 + Y3 2 3
YI + Y2 + Y3 3
YI + =
Resposta:
G.30
= =
BI2V3, 21 e CiO, 41 ou C12v3. -21
Num triângulo ABC são dados:
Ii A12, Oi 111 MI-l, 41
ponto médio de AB
III1 dAC = 10 IVI dBC .-
1OV2
Resposta:
Obter o vértice C do triângulo. A conclusão tirada no problema anterior, isto é, o fato de que "as coordenadas do baricentro são as médias aritméticas das coordenadas dos vértices" poderá ser utilizada
G.31
doravante em outros problemas de Anal ítica. G,27
G.28
O baricentro de um triângulo é Determinar o terceiro vértice.
A(a, b), Bk, d),
Solução
e dois de seus vértices são A12, 5) e B14, 71.
1?) Aplicando a fórmula do ponto médio determinemos M, N, P e Q:
5 .• I ' GI 4 4) O baricentro de um trlangu o e - 3' "3 ' o ponto médio do lado BC é NI- 2' -1 e o ponto médio do lado AB é
G,29
GI1,6)
Provar que os pontos médios dos lados do quadrilátero de vértices C(e, fi e O(g, h) são vértices de um paralelogramo.
MIO,
B !
c+e
1
21.
N
I--~
MI a +2 c, b +2 d I;
I
/~ /
R.
\
M!~! s.. "~,,\,P ,/i
Determinar os vértices A, B, C.
NI - 2 - ' d ; f ); e+g ~). PI-2- , 2 '
Determinar os vértices B e C de um triângulo equilátero ABe, sabendo Que o ponto médio do lado AB é MIV3. 1) e A é a origem do sistema,
__C
/ "
,
"'"
,"
\
\ \
a+ g ~) Ol 2 ' 2 .
_'V--
!
Ai-
JD
C
Solução
2?l Provemos que as diagonais do Quadrilátero MNPQ se cortam ao meIO, Isto é, os 10 1 Obter
B
seus pontos médios,
xA + xB
XM
2
=
xB =
_ YA + YM 2
=
=
v'3 = O + xB
-2-xN
2";-:; YB =
+
xO
R e S,
c + e +~ 2
2
0+ YB
d + f
--2-
2
YN + YO
M
A
B
+
b + h
b+d+f+h 4
2
2
2
a+c+e+g
XM + xp Ternos
Q = d AB 1) dAC Clx, vi { 21 dBC
Q Q
=
=
V 12V3 -
s {
4
0)2 + 12 - 0)2
{ 11 Ix - 0)2 + Iv - 0)2 16 21 Ix -2,,;31 2 + Iy - 21 2 = 16
que substituindo em (1) dá:
16-G
16 - 4V3x - 4y
YS
= R
O
=
Y
--------
4
2 b + d
16 x2 + y 2 => { 11 21 x 2 + V2 - 4V3x - 4Y = O De 11) em (2) resulta:
xS
4 - V3x
G,32
S
=
+ f + h
2
VM + yp
2 2
2
MNPO
a+c+e+~
4
2
2
YB =2
são coincidentes:
b+d+f+h -----4
é paralelogramo
O quadrilátero de vértIces
e DIO , - 2. 2 1 é um pa-
ralelogramo? Justifique.
17-G
VI.
;!! parte:
22.
Teorema
Tese
Hipótese
CONDiÇÃO PARA ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
10=0
I
=
IA, 8, C
coHneare$1
Preliminar: transformemos a hipótese para uma forma mais conveniente:
Três pontos A(x[, YI), B(X2' Y2), C(X3' Y3) são colineares se, e somente se,
D
~
O
=
X3(YI - Y2) - Y3(XI - X2) + (XIY2 - X2yt! ~ O
= (H)
O.
D
Demonstração Hipótese
1? parte :
Consideremos os 3 casos possl'veis:
Tese
IA. B, Ccolinllare$
19 caso:
Demonstração de (H), temos
Consideremos os 3 casos possíveis:
19 caso:
dois dos pontos coincidem (C
_ {XI entao YI
=
D ~ O
(X3 - xt! • (Y2 - Y3) ~ O então
ou
X3 - Xl ~ O
ou
Y2 - Y3
=
(tem 1~ e 3~ linhas iguais)
2'? caso: os três pontos são distintos e pertencem a uma reta paralela a um
ou
X3 - XI
Y2 ~ Y3
=
=
O =
O e
dos eixos (# Ox, por exemplo) então Y[
X3 ~ Xl ~ X2 = A, B, C pertencem à mesma reta paralela a Oy, isto é, A, B, C são colineares.
A, por exemplo)
Y2 ~ Y3 B ~ C existe uma reta contendo A. B, C são colineares.
B ~ C e A, isto é,
=
Y2 - Y3 ~ O B ~ C e A, B, C pertencem à mesma reta para leia a Oy. isto é, A. B, C são colineares.
D ~ O (tem 2~ e 3~ colunas proporcionais)
:f? caso: os três pontos são distintos e pertencem a uma reta não paralela a Ox nem a Oy. Seja r a razão em que C divide AB(r r ~
X3 - XI X2- X3
Y3 - YI Y2-Y3
~ (X2 - X3) (Y3 - yt!
=
=
=
*'
de (H),temos (X3 - xt! • (Y2 - Y3) ~ O então:
-1). Temos:
ou
(X3 - xt! (Y2 - Y3) ~
X3 - Xl ~ O
=
X3Y2 - XI Y2 + Xl Y3 -X2V3 + X2YI - X3Yl = O
X3(Yl - Y2) - Y3(XI - X2) + (XIY2 - X2yt! ~ O
=
lo = 01
=.
ou
Y2 - Y3 ~ O
ou
X3 - Xl ~ O e
D (segundo leorema de Laplacel
Ver nota sobre o teorema de Laplace no final deste capítulo.
A ~ C e B, isto é,
A. B. C são colineares.
v
18-G
X3 ~ Xl = A ~ C existe uma reta contendo
Y2 ~ Y3 ~ YI = A, B, C pertencem à mesma reta paralela a Ox, isto é, A, B, C são colineares.
Y2 - Y3 ~ O = A ~ C . e A, B, C pertencem à mesma paralela a Ox, A, B, C são colineares.
isto é,
19-G
jJ caso:
de (H) temos
I
X2 - Xl *- Oe
I
V3 - VI *- O
(X3 - XI) • (Y2 - Y3) *- O
VII.
COMPLEMENTO -
CALCULO DE DETERMINANTES
Um determinante de 2~ ordem
= { X3 - XI *- O
V2 - Y3 *- O
(X3 - xd (Y2 - Y3) ~ (X2 - X3) (Y3 - yd
ainda de (H),
vem:
é calculado pela fórmula:
X3 - XI ~ V3 - YI *--1 X2- X3 Y2-Y3
(1 )
chamemos de r a estes dois quocientes iguais e consideremos o ponto C'(X4, Y4) ---> que divide AB na razão r. Pelo item 18, temos:
Exemplo
o
~
I: -~ I~
1 • 7 - (-5) • 4
~
7 + 20
~
27
(2)
Um determinante de 3~ ordem comparando (1) e (2), temos: X4 - XI -- r X2 - X4
X3 X2
~
=
X3
~
XI X3
e
X4
e
Y4 - YI = Y2 - V4 Y3 = Y4
~
=
uma vez que A, B, C' são colineares e
23.
r
C
C',
=
Y3 - YI Y2 - Y3 C = C'
ali a21 a31
O
==
a12 ~2
a32
al3 a23 a33 da seguinte maneira:
de acordo com o Teorema de
então A, B, C são colineares.
Exemplos l?)iMostrarque A(-l,l), B(l,3) e C(7,9) sãocolineares. Xl X2 X3
O
+
YI Y2 Y3
I~ ~ I ~
1 1 1
~
1-
1 1 7
+6 + 6 - 12
I -31 ~ I - x ~
2O-G
=
O
x os pontos
A, B, C colineares
x •
=
-I~ ~I
- I~
11
I
mejro fator em cada produtoj 4?) somam-se os três produtos obtidos. +
Exemplos
A, B, Ccolineares
l?)'Desenvolvimento de
2?) Para que valores de colineares?
O
1 3 9
=
O =
I~
8x - 16
I ~
A(x, x), B(3, 1) e C(7, -3),
O
+
I~
I~
~
x 1 -3 1 -3
x
~
I~ 2
~I
são
al31 + (-1) • a 32 ja l l a23 a21 ~
=
O
4x + 4x - 16
O pela 3~ linha:
a31 (a12 • a23 - an
al31 + (+1) • a331 ali a23 a21
a121 = a22
a13) - a32(all • a23 - a21 • a13) + a33(all • a22 - a21 • a12)
2?) Calcular O
o
1
3
2
2
5
2
4
3
1
21-G
Temos, pela 1~ linha:
G.39
+1 (5 • 1 - 3 . 2) - 3(2 . 1 - 4 • 2) + 2(2 . 3 - 4 • 5) 1 (5 - 6) - 3(2 - 8) + 2(6 - 20) ~ -1 + 18 - 28 ~ -11
EXERC(CIOS
G.4D
Dados A(2, -3) e 8(8, 1 l, obter o ponto em que a reta AS intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares.
G.41
Dados A(7,4) e B{-4, 2), obter o ponto em que a reta AS intercepta a bissetriz dos quadrantes pares.
G.42
Dados AI-3,41, BI2,91, C12, 71 e 014, 51, obter a intersecção das re.tas AB e CO. Solução
Calcular os determinantes:
2 7 14
~I
Y 1 O
G.34
Os pontos
G.35
Determinar y para que os pontos
C
All,3), B12,5) e C149,100)
7 O -6
O
Seja P(x, y) a intersecção das retas.' Como P, B, A colineares, temos:
lI
I
são col ineares?
AI3, 5), BI-3, 81 e C14, y)
sejam colineares.
Solução
I-~
==
li
5 8 y
=415 - 8) - yl3 + 3) + 124 + 151 9 = 6 y = 27 Y°"2
o
o
4
=
5x - 5y + 35
=
O
x
==
O
-12 - 6y + 39
o
O
2 4
==
1
9
y
"2
G.37 Se· AIO, ai,
Bla, -41
e Cll, 21,
Y 7
=0
2x + 2y - 18 = O =
a E IR
A, B, C
xA
YA
a
xB
YB yc
-4
então l-a
2x
2
=
x
=====>
2
-412
=
-ala - 1I + 12a + 41 a real,
=
O
=
Plx, y)
O
a cf -1
Dados All, 11 e B(10, -21, abscissas.
e
=
O donde
{
De (2):
I
a 2 - 3a - 4
-1
ou
a
1) Ix - 01 2 + Iy - 0)2
-14x - 2y - 50
===:>
a cf 4.
Resposta: G.45
=
2) P, A, B colineares
~
O
==
4
obter o ponto em que. a reta AB intercepta o eixo das
y
8
colinear simultaneamente com AI-l, -21 e B12, 1 I e com
x2 + (-7x -.25)2 = 25 = 50x 2 + 350x + 600
a
==
9
1 +y
P11, 81
Solução
não são colineares. Impondo o
. Ia1
121
Determinar o ponto P da reta AB que está á dlStáncia 5 da origem. Dados A(O, -25) e BI-2, -111.
para que valores de a existe o triângulo ABC'
e os pontos
x +Y=9
G.44
isto é:
22-G
=
li
Existe o triângulo se
G.38
111
Determinar Plxo, vol CI-2, 11 e 011, -4).
alinhamento:
Resposta:
-7
G.43
Solução
Xc
o
5
Resposta:
Mostrar que Ala, 2a - 1), Bla + 1, 2a + 1) e Cla + 2, 2a + 3) são colineares para todo valor real dado a a.
0=
O= x - y
o
Somando 111 e (2). vem:
=
G.36
; ~ ~Ioo ==
-3
Como P, C. O colineares, temos:
A, B, C col ineares
Resposta:
ponto em que a reta AS intercepta o eixo das orde-
O
nadas.
D~+l·l~ ~1-3·1~ ~1+2'1~ ~I
G.33
Dados A(3, 1) e 8(5, 5), obter
y
=-4
y = +3
ou
PI-3, -4)
ou
= o
(
y
o
21
I
x O -2
-7x - 25
V -25 -11
1 1
I
=
o
25
O
1
que substituindo em 111 dá:
x 2 + 49x 2 + 350x + 625 = 25 = O = x = -3 ou x = -4 = (respectivamente)
PI-4, 3)
Determinar na reta AS os pontos eqüidistantes dos eixos cartesianos. DadOS:
A(-1,5)
e B14, -21
23-G
VIII.
DEMONSTRAÇÃO DE TEOREMAS DE GEOMETRIA PLANA
19) Faz-se a figura correspondente ao teorema
CAPÍTULO II
29) Escolhe-se um sistema cartesiano em posição conveniente 39) Fixam-se as coordenadas dos pontos da figura impondo as hipóteses 49) Faz-se a demonstraçi\o
EQUAÇÃO DA RETA
EXERCICIOS G.46
Demonstrar que a mediana relativa
à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual
à metade da hipotenusa. A(Q. O),
I.
Y
Coordenadas:
Bla, OI,
C
C(Q, b)
Temos:
25. XB + Xc
xM
YM =
2
2 b
UA toda reta r do plano cartesiano está associada ao menos uma equação da forma ax + bV + c = O onde a, b, c são números reais, a =1= O ou b =1= O, e (x, V) representa um ponto genérico de r
-
U
2
•
Demonstração
d SC G.47
=
,---------
j
d AM =
b Va 2 + b 2 11-- 0 )2+1"2- 0 )2= 2
V la - 0)2 + (Q - b)2 = Va 2 + b 2
}-
Demonstração AM
Sejam Q(X" V,) e R(X2, V2) dois pontos distintos do plano cartesiano. Isto significa que X" Vl, X2, V2 são números reais (constantes) conhecidos.
BC 2
Demonstrar que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais.
Coordenadas
Seja r a reta definida pelos pontos e R. Se P(x, V) é um ponto que percorre r, então x e V são variáveis. Como P, Q, R são colineares temos necessariamente:
y
Alo, O),
Bla, O).
Clb, c)
e
D(a - b. c)
Q
Demonstração d
d
AC BD
= V'(b---0-')2'--+-(-c-_-0-)-=-2 = V b2 + c2 =
V la AC
G.48
G.49
G_50
24-G
Teorema
a
YB + YC
2
EQUAÇÃO GERAL
- b - a)2 + (c - 0)2 =
}
~
=?
x
= BD
A
B
Provar analiticamente que o segmento, cujas extremidades são os pontos médios dos lados de um triângulo, é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste. (EPUSP-47) Demonstrar que, num trapézio, os pontos médios das bases, a intersecção das diagonais e o ponto de intersecção dos lados não paralelos são colineares. IEPUSP-44) Derr:onstrar que, num quadrilátero ABCD, os pontos médios das diagonais e o ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos de intersecção de dois lados opostos são colineares.
x,
x
X2
o
X
V O
V, V2
Desenvolvendo esse determinante pela regra de Laplace, temos: x -
I
V, V2
1\ - V • 1
(Vl - V2) - x '--.,----J a
I x,
I x, X2
1+
X2
x,) (X2 +'--.,----J b
V
V, V2
+(X,V2' -
I
=
X2V,)
O O
-y-------/
c
25-G
ponto
Fazendo YI - Y2 = a, X2 - XI = b e XI Y2 - X2VI P E r deve verificar a equação
ax + by
+c
=O
=
2
c, decorre que todo
Devemos escolher dois pontos dados para montar o determinante juntamente com o ponto (x, V) variável. Se escolhermos (2, 1) e (1, O) vem:
I
chamada equação geral de r.
X
2 1
26.
V 1 O
0 = x-y-1
O
Comentários Se escolhermos
1
'*
'*
Isto significa que a toda reta r do plano cartesiano está associado um conjunto de equações equivalentes entre si. 3 0 ) Os coeficientes a e b não podem ser simultaneamente nulos pois:
e Q
y
gura.
'* R
a b
0= =
O
=
(4,3) e (O, -1)
X
V
4
3
O
-1
= O
vem:
=
4x - 4V - 4
que é equivalente à anterior. Assim, a equação da reta é mais simples) ou qualquer equação equivalente a esta.
7 3
~
4x + 4V - 28
'*
'*
====>
== ===>
ax I
aX2 aX3
-bVI -bY2 -bV3 -
C
C C
Temos ainda:
=
O
~
X
+ V - 7
O
isto é, todo ponto da reta QR deve apresentar soma das coordenadas igual a sete.
26-G
O (a
'*
aXI + bYI + c = O aX2 + ·bY2 + c O aX3 + bY3 + c O
x
O
=
Faremos a demonstração apenas para o caso geral em que a O e b O. Sejam P"X" vd, P 2(X2, Y2) e P 3(X3, Y3) três pontos dois a dois distintos que satisfazem a equação dada. Então temos:
1
O 4
Y- 1
'*
Exemplos
Y
-
"A toda equação da forma ax + bV + c = O, com a, b, c E IR, a O ou b O, está associada uma única reta r do plano cartesiano cujos pontos P( X, V) são as soluções da equação dada".
Y, X2
por hipótese.
X
X
28. Teorema
Demonstração 27.
O
(-bV3 - c) - (-bYI - c) (-bV2 - c) - (-bV3 - c)
X3 - X, X2 - X3 Y3 - YI Y2 - V3 portanto P
"
P2 e P3 são colineares.
27-6
Está provado que todo ponto P 3 (variável), que satisfaz a condição ax + by + c = O, pertence necessariamente à reta P,P 2 (que existe e é única),· à qual daremos o nome r.
29.
31. O anulamento de um dos coeficientes da equação geral da reta revela uma propriedade especial da reta. Assim, temos: I) a = O ===> YI - Y2 = O ===> YI = Y2 ===> r li x
Comentários
1'?) Este teorema mostra que, dada a equação ax + by + c to dos pares (x, y) que a satisfazem é uma reta.
=
O, o conjun-
Exemplo
Construir o gráfico dos pontos que verificam a equação x + 2y - 6 = o.
isto é, quando a equação não tem o termo 9x - 4 = O), a reta é paralela ao eixo das 111) c = O ===> ax + by = O ===> a • O + b • O = O ===>
=O
x
=6
== == == =
O + 2y - 6 y =3
=O
6 + 2y - 6 = O
em Y (exemplos: 7x -f 5 = O, ordenadas. (O, O) satisfaz a equação pois (O, O) E r
isto é, quando a equação não tem o termo independente (exemplos: 3x + 4y = O, 2x - 13y = O), a reta passa pela origem .
y
. Como já sabemos, o grafico é uma reta e, para localizá-Ia, basta localizar dois de seus pontos. Assim, temos:
x
O,
isto é, quando a equação não tem o termo em x (exemplos: 3y - 4 7y + 11 = O), a reta é paralela ao eixo das abscissas. 11) b = O ~ xi - Xl = O ===> XI = X2 ===> r li Y
Já vimos que a = O e b IV) (a = O e c = O) V) (b = O e c = O)
== ==
x = O, y = O,
Assim:
y = O isto é, os pontos (O, 3) e (6, O) definem a reta.
=
= =
7x = O, 5y = O,
O é impossível, mas é possível: (r li x e (O, O) E r) ==> r = x (r li y e (O, O) E r) ==> r y
Y2.
x = O são equações do eixo dos y. -513y = O são equações do eixo dos x.
EXERCfclOS
2'?) Este teorema mostra também que SÓ os pontos que satisfazem à equação ax + by + c = O pertencem à reta, portanto, um ponto está sobre uma reta somente se suas coordenadas verificam a equação da reta.
G.51
Determinar as equações das retas suportes dos lados do triângulo cujos vértices são
A(O, O), B(l, 3)
e
C(4,01.
Solução Cada reta é definida por dois vértices:
Exemplo
reta
Verificar se x + 2y - 6 = O.
A(2,2), B(4, 1) é'" C(7, -1) pertencem à reta r de equação
Basta substitu ir x e y na equação dada pelas coordenadas de cada ponto e verificar se a igualdade obtida é verdadeira ou falsa: A ---+ B ---+ C ---+
(2) + 2(2) - 6
O (verdadeira) (4) + 2( 1) - 6 = O (verdadeira) (7) + 2(-1) - 6 = O (falsal =
AEr
B E r
C ~
r
AB
x
y
1
3
O
O
a) b)
28-G
"dar uma reti}' significa dar uma das equações da reta;
"pe~ir uma reta" significa pedir uma das equações da reta.
O => 3x - y = O
=
O => 3x + 3y - 12
=
O => 4y = O ~ Y = O
BC
reta
x 1 4
y
3
=
O ~ x + y - 4
=
O
O CA
reta
30. A principal conseqüência dos teoremas dos itens 25 e 28! é que em Geometria Analítica Plana:
~
x
y
4 O
O O
Resposta: 3x - y = O,
x + y - 4 = O,
y = O.
29-G
GJ2' Determinar a equação da reta definida pelos pontos
AI
2
~
C13,
41.
2'
2
I
e
BI-
~
2'
-
2)
Vamos resolver o sistema pelo mé-
2'
todo da ad ição: G.53 /
AI a, OI e BIO , bl
A reta determinada po r . trt'!
~A
a e
passa por
Oual é a relação en-
b?
+
,eta determinada por
A(p,
ql e B(3, -21
passa pela origem. Qual é a relação
p e q?
entrp.
Provar
que
x - V+
O
(D
2x + V - 2
O
®1
3x
os
pontos
A(a; b +
el,
B(b; a + c)
e
e(e; a + b)
1
são colineares e
(D.!.-V+1
dctcrminnr a equação da feta Que os contém.
3
Dodos A(-5. -51. B(l, 51, C(19, OI e (r)5x - 3y baricentro do triângulo ASC.
O,
verificar se r
passa pelo
O
=
-
X
O=
3
V
~
4
3'
~) Logo a intersecção de r com s é P( .!. 3' 3
Solução Conforme vimos no G.26. as coordenadas do baricentro são:
XG
YG Substituindo
G(5, O)
xc
1-51t (1) + (191
3
3
YA+YB+YC
(-51 + (51 + (O)
XA + XB +
na equação de
5151 - 3(01 ~ O
Rf~sposta: G
O
3
3 r,
111. POSiÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
5
~
temos:
=
(falsal
G
fi{ r
ti r
Desenhar no plano cartesiano as retas cujas equações são dadas abaixo: ai Y
di
~
x •
2x
Y+ 3
Dadas duas retas r e s cujas equações são:
33.
~
O
cl x - Y + 5
bl x + Y = 5 2y + x = O
fi
e)
=
elas podem ocupar apenas três posições relativas no plano cartesiano. Essas posições são definidas com base no número de pontos comuns às retas, isto é:
O
r e s concorrentes ==> um único ponto comum r e s paralelas e distintas ==> nenhum ponto comum r e s coincidentes ==> infinitos pontos comuns
x-y-4=Õ
Y
Y
Y
11. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS
32. Todo ponto de intersecção de duas retas tem de satisfazer às equações de ambas as retas, portanto, obtemos o ponto comum P(x o , Vo) a duas retas concorrentes resolvendo o sistema formado pela suas equações: (5) )(r) a, . x + b, • t(s) az' x + b z .
~
+ c, ~ O V + Cz ~ O
30-G
r
~
s
Com o símbolo r X s indicaremos que r e s são concorrentes; com r n s ~ 1> indicaremos que r e s são paralelas e distintas; com r ~ s indicaremos que r e s são coincidentes (ou paralelas coincidentes).
Obter a intersecção das retas: ~
x
O
r X s
Exemplo
(r) x - y + 1
x
o
O e
(s) 2x + y - 2
O
Notemos que
r li s significa
r n s
~
1> ou
r
~
s. 31-G
34.
Todo ponto comum a r e s é solução do sistema o sistema (2::) pelo método da adição, temos:
(Dx @x CDx @x
= (-b j ) = b2
(- a2) aj
(2::).
* O,
=1
ai a2
bl b2
Dl
=I
c, C2
bl b2
D2
=I :~
Cl
D
8
(ai b 2 - a2 bdv
Quando a2
}8
= c l b2 -a2 b jX - b l b 2 V = -c2 b j + (ai b2 - a2 b dx = lei b 2 - c2bd -ala 2 x - b l a 2V = -C l a 2} ala2x + a l b 2 v = alc 2 a l b 2 x + b l b2 V
= =
Resolvendo
b2
e
C2
* O,
temos:
O <==>
a l b2
= a2 b l
<==>
I
O <==>
Cj b 2
= ~bl
<==>
1=
O <==>
a,~
= a2 Cl
<==>
ai az
bl
I
~
*O
ai a2
bl b2
bj b2
CI C2
ai
Cl
~
~
-
e a teoria pode ser simplificada para:
(al~ - a2 cd
Fazendo: ai b 2 - a 2 b l
b,
a2
b2
cl
Cl b 2 - c 2 b l
~
ai
at c2 - a2 c I
a2 o sistema
(2: )
r)(s
aj
D
j
bl b2
I
I
cl c2
Dl r=s =
36.
D·V
Dl D2
<==>
*
ai a2
=
ai a2
=
bz
E.L b2
*
J2.
=
b2
CI ~
CI ~
D2
fica reduzido a:
(~)e'x
<==>
@) @
Exemplos
1~) As retas (r) x + 2V + 3 = O e
cuja discussão é imediata.
=
(s) 2x + 3V + 4
O
são concorren-
tes pois isto
35.
São possíveis três casos:
2~) As retas e dL;tintas pois
I'? caso: D
*O
<==>
(2::)
tem uma única solução
r X s
<==>
(r) x + 2V + 3 = O e
~ a2
2? caso:
3~) As retas
*
O}
<==>
(l:)
não tem solução
<==>
r
n
(l:)
tem infinitas solu~3es <==>
r = s
b2
*..:..J... ~
1
isto é,
O e
3
-
=
2 6
O são paralelas
3
*
1
(s) 2x + 4V + 6
=
O são coinciden·
tes pois s
4~)As retas <==>
~
(r) x + 2V + 3
ai a2
:P. caso:
=
(s) 3x + 6V + 1
=
bl
(r) x - 2
D=
_
1l;' =
CI ~'
O e
isto é (s)
1
2 4
-
-
2
3 6
V + 4 = O são concorrentes pois
:~ I I~ ~ I
=
1
*0
32-G
33-6
5?)As retas
+
(ri x
-
para para
m m
2,
'* 2
y
+ m
~
bl
aI a2
isto é,
~'
+ 2
y
1 1
-
(coincidentes) temos r n s ~ r/J
temos e mE IR,
+
(s) x
O e
-
O são paralelas pois
G.ij1
Demonstrar que as retas
Irl x - 2y = O,
1 1
(s) x + 2y - 8
são concorrentes no mesmo ponto P,
1?)
Obtemos a intersecção de
r l
EXERCICIOS IMAPOFE 1- 741 Determinar a intersecção das retas As retas suportes dos lados do triângulo
ABC
IBC) x + y - 7 ~ O e (CAI 4x - 3y Mostrar que ABC é um triângulo isósceles.
x + 2y
são
3
o
e
(AB) 3x - 4y
2x + 3y o
5.
n
{B}
n
AB
CA
G.6,2
/
{3X - 4y
----;.
----;.
{C}
BC
n
CA
----;.
x
4
c
y
2
1t G.65
+ y - 7 = O
Y - 7 = O {"+ 4x - 3y o O
11 + kl4 + 2 (1 - k)2- 8 4 + 4k + 4 - 4k - 8 = O, V k E IR
O
Demonstrar que as retas de equações 2x + 3y = O, 12k + 1 Ix + 13k - 2)y + 5 x _ 2y + 5 :;::. O são concorrentes no mesmo ponto, qualquer Que seja k.
O
5x - y - 1
=
2°1
o
14, 3)
C
c
Calculemos as medidas dos lados
o
Oual é a equação da reta que passa por P13, 11, intercepta Irl 3x - y = O em A e (5) x + 5y =: O em B tais que P é médio do segmento AB.
Se A E r, então as coordenadas verificam a equação de r. Fazendo xA ;:.: a, decorre:
13, 4)
de
A
YA
=
AB
~60
Provar que as retas de equações concorrem na mesmo ponto P.
2~
O e 3x + 4y - 1
o, x + y
+ 3y - 1
O.
3'?)
xp =
Determinemos P, intersecção da 1~ com a 2~ {2X + 3y - 1
-
O
resolvendo -+
x + y 2'?)
=
-1
e
yp y
+1 ----> P(-l. +11
O
Pro'Jemos que 3xp + 4yp - 1
34-G
x
P
pertence à 3~ reta 31-11 + 4(+11 - 1 _. -3 + 4
, - n
XA + x8 2 YA + Y8
~3
~1
a - 5b 2
I
,
121
2
Resolvendo o sistema formado por
A equJçJo da reta AB é:
11 I
~a-5b=6
~~3a + b = 2
2
A _ 11, 3) c 8 ~ (5. -11.
4C:l
/
/
P é ponto médio de AB, então:
Solução
1°)
/
Se B E s, então as coordenadas verificam a equação de s. Fé.!YB = b, decorre: xB ~ -5Y8 :::::} x8
-
=o AC
o
.-
3 xA ~ y A ~ 3a ~ Ala, 3al
Ai;! e AC
dABOv'(Q-412+(0-3)2~5} ~-2 => 2 dAC v' lO - 31 + lo - 41 = 5 ~
O
O definam um tr'lângulo.
1?)
8
=
m de modo que as retas de equações 3x + y - m = O, 3x - y +
Solução
Resolvendo os três sistemas formados, temos: A " lO, O),
P(4, 2)
4
O
O. ax - Y - 3
e
{3X - 4y = O x
=
Determinar a para que as retas de equações x + 2y - 2a e 2x - 2y - a = O sejam concorrentes no mesmo ponto.
Determinar
4x - 3y = O BC
+ 2y - 8
e
O
=
resolvend~
O
=
O,
O.
o
Cada vértice do triângulo é a intersecção de duas retas suportes: {A} = AB
E IR.
r e s
(1 + k)x p + 211 - klyp - 8
Solução
1?)
Vk
O
Provamos que P E t
2°1
G.59
(t) 11 + klx + 211 - kly - 8
Solução
(paralelas distintas)
Xx - 2y
/
O e
=
(1) e (2),
x 1 5
Y 3
temos a -= 1 e b
_ O
~
=
-1, portanto,
4x + 4y - 18
O
-1
~x+y-4=O
35-G
It
AO, 2), determine as coordenadas de dois pontos G.66 (EPUSP-63) Dado o ponto P e a, situados respectivamente sobre as retas y ~ x e y ~ 4x, de tal modo que A seja o ponto médio do segmento PQ
G.73
Discutir a posição relativa das retas
(r) (m - lIx + my - 1
=
O e
(5) (1 - m)x + (m + lIy + 1
O
Solução ~G.67
G.68
Determinar o ponto B da bissetriz do 2? e 4? quadrantes de tal forma que o ponto médio do segmento AB pertença à reta r. São dados: A(+3, +1) e (ri x - 2y + + 1 ~ O. Determinar o ponto
G.69
2y - 3x + 1
~
rn - 1
m
1 - rn
m
(m 2 _ 11 - m(l - ml ~ 2m 2
O
B da reta
5
de tal forma que o segmento
a reta r no ponto C que o divide na razão (s)
Calcu lemos D e os valores de m que anulam O:
2-. 2
AB
intercepte
São dados: A(-3, +1), (r) x + y
O
o =>
0=>m~1±v9
2m 2 - m - 1
4
É evidente que, quando m E IR, m
O.
*'
* O,
D
as retas são concorrentes então:
1
Por outro lado, quando
Solução
trocamos m pelos valores cdticos
O = O,
nas equações iniciais e verificamos O
=A(3,
= li C E AC => xC + 2yC - 3 C(xC, ycl { 21 C E BC => xC - yc = O
dAB + dBC + dCA = ";'3-'-+-0-'2=-+
3 + Y2 Resposta:
G.to
O
(r) y - 1 ~ O => { (5) 2y + 1 = O
m
==<> C(l, 11
~ + V2 2
+"\/"5
1 2
G.74
3 x + 1 y + 1 2 2
(5)
=
~
O
==<> r
~
s
O
e p a posição relativa das retas
m
(r) mx + y - p ~ O
3+Y2+V5
Num triângulo
Solução ABC
sabe-se que:
m
Calculemos as rafzes de O:
O
É evidente que:
m
O ~ O,
Quando
(r)
Determinar y de modo que P(3, y) seja ponto interior do triângulo definido pelas retas 2x - y = O, x + y ~ O e 7x + y - 36 = O
m
Determinar a posição relativa das seguintes retas, tomadas duas a duas:
Resposta:
(r) 2x - y + 3 = O ,(tI 2x - y + 5 ~ O (v) 3x - 6y ~ -3
36-G
~['"
3 x-..!.-y-l 2 2
Discutir em função de e (5) 3x + 3y - 7 = O.
Calcular o perfmetro do triângulo ABC.
G.72
que ocorre:
O
B(O, O)
I. A pertence ao eixo das abscissas 11. B pertence à bissetriz b13 111. a equação da reta AC é x + y + 5 = O IV. a equação da reta BC é 2x - y - 2 = O
G.71
(1 e - ..!.-) 2
O) m~
pedmetro
1
2
ABC que verifica as seguintes condições:
a) o vértice A pertence ao eixo dos x; b) o vértioo B pertence ao eixo dos y; c) a reta BC tem equação x - y = O; d) a reta AC tem equação x + 2y - 3
m - 1
~ O, e
O
Determinar o perfmetro do triângulo
-
+ 1
(5) X - 2y
+ 3
=
O
(u) 2x + 4y + 3 = O (z) 4x - 2y ~ -6
=>
{
m E IR,
3m - 3
*'
O => m
1
temos: x +
Y
P
~
O então
(5) 3x + 3y -
mE IR, m
7 =O
*'
1
=> r X 5 7 => r = 3
m
e
p
m
e
p*, ~ => r 3
~
n
S
s
1J
37-G
G.75
Discutir a paSlçaa relativa das retas em função de
G.76
(r) 3mx - my - 4 = O
e
(s) 12x - 4my - m
=
O
G) X (-4) @ X (-1)
m.
Discutir em função de m a posição relativa das retas (r) 2x - y + 2
=O
e
Is) 3x - my + 2m
=
~
-4x + 4y - 4
O
~
-2x -
y + 4
O
-6x + 3y = O
(v)
O.
-6(1) + 3(2)
Substituindo P, vem. G.77
IMAPOFEI-74) Para que valores de 4x + (k + lly - 1 = O são paralelas?
k as retas
(k-llx+6y+l =0
G.lS
Discutir em função dei a e b (s) 2x + 9y - 1 = O.
G.79
(EPUSP-65) Entre os triângulos OAB com O vértice O na origem e os outros dois vértices A e B, respectivamente, nas retas y = 1 e y = 3 e alinhados com 0, ponto P{7. O) determinar aquele para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados.
a posição relativa das retas
(r) ax
+ 3y - b
=
O
e
As três novas retas obtidas também passam por P. Será que isso foi por acaso, isto é, será que isso aconteceu por causa dos multiplicadores escolhidos? Ou será que a nova reta passará por P, quaisquer que sejam os multiplicadores? A teoria seguinte vai explicar.
38.
Um feixe de concorrentes fica definido por seu centro duas de suas retas.
Consideremos as retas (r) x - y + 1 = O e (s) 2x + y - 4 retas são concorrentes e seu ponto de intersecção é P(l, 2).
2x - 2y + 2 = O 6x + 3y - 12 = O
}
P(x o, Yo)
ou por
Consideremos o feixe definido pelas retas:
O.
Essas (r) a1x + bly + CI = O }
(s) azx + bzy +
Vamos agora repetir a mesma experiência três vezes; vamos multiplicar as equações de r e s por números reais (arbitrários e não ambos nu los), somar os resultados obtidos e analisar como é a nova reta em relação a P.
(t)
Definição
Feixe de retas concorrentes é um conjunto de retas coplanares, concorrentes num único ponto P(xo, Yo).
Exemplo preliminar
G)X 2 --+ "Il! X 3--+
O ==PEv
e
IV. FEIXE DE RETAS CONCORRENTES
37.
}
Cz
=
O.
concorrentes em
P(xo, Yo)
Temos:
y
P E r
~
P E s
~
ai • Xo + b l • Yo + az • Xo + b z • Yo +
CI
= O
(1 )
Cz
=
O
(2)
Co nsideremos a equação:
8x + y - 10 = O
Substituindo P, vem: 8(1)+(2)-10=0
=PEt onde
G)X @X
l. ~-~---,,JL-----I'-::-~+--\--~-
-+ 5x - 5y + 5 = O (-2)-+ -4x - 2y + 8 = O
5
(u)
f
x - 7y + 13 = O
38-G
(k]al + k2a2)X + (klb 1 + k 2 b 2 )y + (klc] + k 2 cz) = O O ponto
P(x o , Yo)
pertence a essa reta pois:
k 1 (aI Xo + b] Yo + c 1) + k 2 (az xo + bzyo + cz)
Substituindo P, vem: (1) - 7(2) + 13 = O
k 1 E IR, k z E iR e k l 0/= O ou k z 0/= O. Esta equação representa uma reta pois, desenvolvendo e ordenando, temos:
== PEu
~
'~~~~y~~~~_/
veja (1)
veja (2)
39-G
Isto significa que a equação (3), para cada valor atribuído a k, e k 2 , representa uma reta t passando por P. Variando k, e k 2 , essa reta t se "movimenta" descrevendo o feixe de centro P. A equação (3) representa, pois, o feixe de retas concorrentes em P.
EXERCfclOS
2x + y + 1 + t(x - 2y - 71 ~ O,
d.80 (MAPOFEI-741 O que representa a equação sendo t uma variável real?
39.
Exemplos
1?l As retas (r) x - y + 1 = O e de retas concorrentes cuja equa,l:ão é:
(s) 2x + y - 4'
k, e k 2
Determinar o centro do feixe de retas concorrentes cuja equação é:
G.82
Determinar a equação da reta que pertence ao feixe definido pela equ'ação:
O definem um feixe I
k, (x - y + 1) + k 2 (2x + y - 4) = O onde
G.in
(7x + 3y - 151 + k • (3x - 3y - 51
são reais e não nulos simultaneamente. G.83
2?)iO feixe de concorrentes cuja equação é:
(21
k, (2x - 3y) + k2 (x + 3y - 9) = O
=
1
k2
e
2
~
1? I
~
k,
2
e
k2
3
~
~
(2x - 3y) + (2x + 6y - 18) 4x + 3y - 18 = O (4x - 6y) + (3x + 9y - 27) 7x + 3y - 27 = O
e, resolvendo o último sistema, temos
x
=
3, y
=
O
2'?)
~
k,
•
(x + 3y - 9)
~
(x + y + 11 + 1 • (x - y - 31 = O (x + y + 11 + O • (x - y - 3) ~ O
Analogamente para o p
O
~
e, resolvendo o sistema, vem
=
f~ixe
~ 2x + 3y - 5
O
p = -3
~
-10x + 10
~
x
'=
1
e
~ ~
2x - 2 ~ O x + y + 1 = O
y = -2.
(21:
= O
O}
e
==>x=1
y
~
1
~
3°}
A reta comum aos dois feixes é aquela definida pelos pontos (1, -2) e (1, 1): x
2.
y
-2
=
O
~
-3x + 3 = O
~
x =1
1
Resposta:
'*
k2
Determinerros o centro do feixe (1), achando a intersecção de duas retas:
m = 1 m= O
3?) É comum apresentar-se a equação de um feixe em função de um só parâmetro (k) em vez de dois (k, e k2 ). No exemplo anterior, supondo k, O e dividindo por k" temos: (2x - 3y) +
11 + m • (x - y - 3) = O (2x + 3y - 51 + p • (4x + y - 51 = O
(x + y +
Solução
O e
(r) 2x - 3y
Esse ponto pode também ser determinado, achando a intersecção de duas retas quaisquer do feixe:
k,
O
Determinar a equação da reta comum aos feixes: (1)
tem centro no ponto de intersecção das retas (s) x + 3y - 9 = O, isto é, P(3, 2).
~
e que passa pela origem do sistema cartesiano.
x == 1
G.89'/ São dados os feixes de retas concorrentes:
x + y -+ 1 + k(x - y + 11 = O 2x + 2y + 6 + Q(2x - 2y + 11
O
=
O
Obter a equação da reta comum aos dois feixes.
e fazendo
k2
k,
=
k,
resulta:
Gyêa,cu,ar (2x - 3y) + k • (x + 3y - 9)
a re1a
40-G
=
O
Notemos, porém, que está última equação exclui uma reta do feixe: x + 3y - 9 = O, correspondente a k, = O.
/
o vaior de
m para que os três feixes definidos pelas equações:
x - Y T 1 + k, (mx - y + 1I ~ O x - y - 1 + k2 (3x - y - 31 ~ O mx - my + K3(4x - my - 1) = O tenham urna reta comum.
41-G
. 7
Demonstrar que as retas de equações
V. FEIXE DE RETAS PARALELAS ~
(m + 2)x - my - 4 + m onde
m e uma variável real
O
passam por um mesmo ponto.
40.
Solução 1 A equação dada representa um conjunto de retas pois
m
é variável. Tomemos
Como poderíamos construir a equação de uma reta paralela a
duas retas particulares do conjunto:
m ~ O
m
~
(r) 3x + 4y + 1
=> 2x - 4 ~ O } => 2y - 6 ~ O
-2
A intersecção dessas retas á o ponto
P(2, 3).
Provemos que P pertence a qualquer
reta do conjunto, substituindo-Q na equação dada:
(m + 2) • xp - m' yp - 4 + m
Exemplo preliminar
(m + 21 • 2 - m • 3 - 4 + m ~ ~ 2m + 4 - 3m - 4 + m ~ O, "fi m E IR
=
O?
Uma paralela a r deve ter coeficientes a e b respectivamente proporcionais a 3 e 4; em particular se a = 3 e b = 4 fica garantido o paralelismo. Assim, são paralelas a r as retas: 3x + 4y = O, 3x + 4y + 500 = O; 3x + + 4y -
Y2 =
O, 3x + 4y
5
3
=
O, 6x + 8y + 1
=
O,
etc,
a ~ o termo independente pode ser 3 4' qualquer número real que o paralelismo já está garantido. Como vemos, desde que
Solução 2 Desenvolvendo a equação dada, temos: mx + 2x - my - 4 + m = O
(x - y + 11m + (2x - 4)
~ O
isto é,
que á a equação de um feixe de concorrentes.
Solução 3
41.
Definição
Temos: mx + 2x - my - 4 + m
=
o
Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares, todas paralelas a uma reta da"da (logo paralelas entre si).
(x - y + l)m + 12x - 4) = O impondo que o polinômio do 1 ~ membro, na variável temos:
l
{l
x2X
- y + 1 - 4
~
~
O
resolvendo
x~2
m,
e
seja idêntico a zero,
Um feixe de paralelas está determinado quando conhecemos uma de suas retas (ou sua direção). Consideremos o feixe de retas paralelas determinado pela reta r de equação
y=3
geral:
O
Portanto o ponto PI2, 3) anula-t> la membro "f m E IR, isto é, ele pertence a todas as retas cujas equações são obtidas atribuindo valores a m, logo, todas es:sas retas passam pelo mesmo ponto P. Demonstrar que as retas de equações (2m + l)x + (1 - 3m)y - 1 é uma variável real, passam por um mesmo ponto. G.88 Demonstrar que as retas de equações (m + 2)x - my - 4 + m / / uma variável real, passam por um mesmo ponto.
ax+by+c'=O
2 2 (m + 6m + 3)x - (2m + 18m + 2)y - 3m + 2 = O onde m é uma variável real, passam pelo mesmo pon·to.
G.90 (MACK-70) Dadas as retas r m : (2m + l)x - (3m -lly + 3m -1 é um nÚmero real qualquer, pergunta-se: a) As retas passam por um ponto fixo? b) Existe m para o qual rm coincide com um dos eixos? Justifique as respostas.
42-G
~
O,
I
(c' E IR)
onde m é
~ Provar que as retas de equações -
Consideremos a equação:
O onde m
O
y
a·x+b·y+c=O
onde
m
Para cada valor atribuído a c' esta equação representa uma reta s paralela a r, pois: D
I:: ::11::\
o =
x
O
Variando c', essa reta s se "movimenta" descrevendo o feixe de paralelas a r. A equação ax + by + c' = O representa, pois, o feixe de retas paralelas à reta r. 43-G
42.
Exemplos
VI. FORMAS DA EQUAÇÃO DA RETA (r) 3x + 4y - 2
1?) A equação do feixe de paralelas à reta 3x + 4y + c' = O onde c' E IR.
O é 43.
Pertencem a esse feixe, por exemplo, as retas (s) 3x + 4y + 1 = O e
Vimos no item 25 que, dada uma reta r, podemos determinar pelo menos uma equação do tipo
(t) 3x + 4y - 5 = O (r) 5x + 11y - 51
2?)A equação do feixe de paralelas à reta 5x + 11y + c' = O onde c' E IR.
Em particular a paralela a r passando por P(2, -1) 5(2) + 11(-1) + c' portanto sua equação é 5x + 11 y + 1
=
=
O => c'
=
Forma geral
O é
I
é tal que:
ax+by+c=O
1
O.
denominada equação geral da reta r, a qual é satisfeita por todos os pontos P(x, y) pertencentes à reta r.
EXERCfclOS G.91
Dada a equação da reta r: 7x + 3y +
v'2 =
O,
pede-se:
44.
a) a equação do feixe de paralelas a r; b) a equação da paralela a r pela origem; c) a equação da paralela a r por P19, -10),
Forma reduzida Dada a equação geral da reta r,
ax + by + c
=
O, se
b
*-
O,
temos:
Solução a) Para construir a equação do feixe basta copiar independente: 7x + 3y + c = O, c E IR.
a e b e deixar "Iivre" o termo
by
-ax -
C
(-
=> y
~)x + b
~
b) A reta do feixe que passa pela origem apresenta é 7x + 3y = O.
c = O,
portanto sua equação
m
(- ~) =>
b
~
q
c) O ponto P deve verificar a equação da paralela, logo: 7xp + 3yp
+ c = 7' (91 + 31-101 + c =
logo sua equação é
que é denominada equação reduzida da reta r.
O => c = -33
Conforme veremos, m é o coeficiente angular da reta (item 53) e a medida do segmento que r define no eixo Oy (item 45).
7x + 3y - 33 = O. 3x - 5y + 1
G.92
Determinar a equação do feixe de paralelas à reta
G.93
Determinar a reta do feixe kl' Ix + 3y - 81 + k2 • (5x - 7y + 4) = O que é paralela à reta (r) 11 x - 5y + 7 = O.
G.94
Dois dos lados de um paralelogramo acham-se sobre as retas (r) 2x + 3y - 7 = O e (s) x - 3y + 4 = O. Obter as equações das retas suportes dos outros dois lados, sabendo que um dos vértices do paralelogramo é o ponto (3; 2),
G.95 Demonstrar
que
os
equação sen(x - y)
=
=
O.',
pontos do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem a O constituem um feixe de retas paralelas.
G.96 Demonstrar que os pontos do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem à equação t9 x = t9 Y constituem um feixe de retas paralelas.
44-G
q é
Exemplo Se uma reta r passa por A(O, 3) e 6(-1, O) qual é sua equação reduzida? x
Y
O
3 O
-1
=
O
=>
3x - y + 3 = O '---------v---equação geral
==>
y = 3x + 3 ~
equação reduzida
45-G
45.
c) A equação segmentária é obtida a partir da equação geral da seguinte maneira:
Forma segmentá ria
ai Consideremos uma reta r que intercepta os eixos cartesianos nos pontos 0(0, q) e P!p, O), distintos.
y
~
ax + by + c
O 00>
-c 00> - ~
ax + by
b c
-- y
X
C
A equação dessa reta é:
x O p
y
O 00>
q O
x
Exemplo
oo>qx+ py- pq~ 000> 00> qx + py ~ pq 00>
(r) 7x + 11 y + 3
Obter a equação segmentária da reta
00>
7x + 11 y
1_;_+__~__
~
- 3 00> -
2 3
.!..!
x -
3
y
~ 1 00>
~+
- -3 7
1_
denominada equação segmentá ria.
46.
Exemplo Obter a equação geral da reta que intercepta os eixos em P(2, O) e 0(0, -3).
~
O.
..L 3 -11
Forma paramétrica
As equações geral, reduzida e segmentá ria relacionam diretamente entre si as coordenadas (x, y) de um ponto genérico da reta. As equações paramétricas dão as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer da reta em função (geralmente função linear) de uma terceira variável t (parâmetro).
A equação segmentária é -><"+..L~1 e a equação geral é obtida eli-
2
minando os denominadores:
b e
-3
3x - 2y - 6
~
e
O.
*'
b) Consideremos uma reta r de equação geral ax + by + c ~ O com a O, para que a reta corte os eixos em pontos distintos P(p, O) 0(0, q). Determinemos p e q:
*' O e c *' O
A partir das equações paramétricas obtém-se a equação geral da reta eliminando o parâmetro 1.
Exemplo P E r
oo>a,p+b,o+c~Ooo>l p~-:
I
Temos OCr
=c>a·O+b·q+c
O =c>
1
q~-
:\
t + 1
Oual é a equação geral da reta em que x
t
~ 2x - 1 e t ~ ~ 3
2x - 1
Y+ 2
3
=
2
e
y
3t - 2,7
então:
6x - 3
y + 2 =c> 6x - y - 5
O
47-G
47.
o
Como norma geral, no caso em que é dada a equação de uma reta na forma e pede-se a forma
G.101 (MAPOFEI-75) Achar as coordenadas do ponto de intersecção das retas
®, devemos usar o esquema
01
----+
{X
r
Iequação geral 1---. ®
V
isto é, devemos começar obtendo a equação geral.
=
3t
~
2t
t
V
2
(r) 2x + V = O
G.103 Obter uma reta paralela a cuja área é 16.
- u
=
3
~
2 +
(r) ~ + ~
G.102 Oual é a posição relativa das retas
Exemplo
{X
s
e
E IR
4
=
u
E IR
U
1 e
(s) x ~ at, V = 1 - 16t?
e que define com os eixos um triângulo
Solução
Obter a equação segmentária da reta cujas equações paramétricas são x ; 3t + 1 e y; 4t + 5. t;
Temos:
t;
y}~ ~; Y - 5
y - 5
+ 11 O '----v~---
- - => 4x - 3y
4
3
4 4x - 3y
1 =*
x 11
+
-""4
então
Y 11 3
O.
2
c 4
geral
4 3 -11=*--x+ 11 Y 11
2x + y + c
A equação da paralela tem a forma Como a área é 16, temos: 1_ c I. 1_ ~ 2 s~ 2 16 c2
=
64
=> c ~ ±a
Resposta: 2x + V + a
~ O
2x + V - a =
ou
o.
G.104 Provar que se uma reta se desloca de modo que a soma das medidas p e q dos segmentos determinados por ela sobre os eixos seja igual ao produto dessas medidas, então a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano.
EXERCfclOS
Solução G.97 Determinar a equação reduzida da reta AB quando G.98
Dados
A(-.l, 1) e B(7, 25).
A(3, 10) e B(-6, -5), detarminar a equação segmentãria da reta AB.
A
reta tem equação segmentária
x
+ ~
p
=
q
reais mas
G.99 Determinar a equação geral das retas abaixo:
1 onde
p + q
Vamos eliminar
v
v
p e q são variáveis ~
o
pq,
por hipótese.
parâmetro
q
da
equação da reta, usando a hipótese: ~
p
x
V P
+
p
+
(p
-
1)v
p
1 =* x
+ Ip - llv
p
(1)
~ Dando a p dois valores arbitrários e diferentes de O e 1, temos: p ~ 2
x
x
x
=* x +
V
~
2
(r)
p ~
3 =* x + 2v
~
3 (s)
r e S, concorrentes em (1, 1 li são elementos do conjunto de retas dado 111, que é um feixe de concorrentes em 11, 1) pois
As f'etas
por
(1) + (p -1)(1) = p, 'iP E IR - {O, 1}
+
G.105 (EPUSP-56) Provar que se uma reta se desloca de modo que a soma dos inversos G.1oo Dadas es equações paramétricas de uma reta sua equação segmentária.
48-G
(r) x
= 5t -
3 e V = 2t + 4,
obter
das medidas dos segmentos por ela determinados sobre os eixos seja
(constante).
então a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano.
49-0
Os conjuntos invadem a geometria David Hilbert nasceu em Konigsberg, na Prússia Oriental.
CAPÍTULO 111
Dinâmico e com idéias notavelmente originais, participou de quase todos os Congressos internacionais de Matemática que, a partir de 1893, passaram a ser realizados com freqüência.
TEORIA ANGULAR
Em 1899 publicou os "Fundamentos da Geometria", que exerceu grande influência sobre a Matemática do século XX. Hilbert percebeu que nem todos os termos podem ser definidos e por esta razão iniciou sua Geometria com três objetos não definidos - ponto, reta e pIano - e seis relações não definidas - estar sobre, estar em, estar entre, ser congruente, ser paralelo e ser contínuo -, formulando vinte e um postulados conhecidos como Axiomas de Hilbert. A Teoria dos Conjuntos passa a invadir a Geometria num grau crescente de generalização e abstração. Em 1900, Hilbert já era afamado professor em Gottingen, Alemanha, e depois de muito analisar as pesquisas dos fins do século XI X, durante sua participação no Congresso de Paris, apresentou e propôs vinte e três problemas os quais, segundo acreditava, ocupariam a atenção dos matemáticos do século XX, numa tentativa de prenunciar os rumos que tomaria o progresso neste século. Dizia ele: "se quisermos ter uma idéia do desenvolvimento provável do conhecimento matemático no futuro imediato devemos fazer passar por nossas mentes as questões não resolvidas e olhar os problemas que a Ciência de hoje coloca e cujas soluções esperamos no futuro. Destes problemas, o primeiro trata de Teoria dos Conjuntos, o segundo é sobre os axiomas da Matemática, e os outros são sobre Topologia, Equações Diferenciais, Cálculo das Variações e demais campos. Pode-se afirmar que muitos deles ainda não estão resolvidos e que a Matemática neste sécl!lo se desenvolveu em muitas direções não previstas como disse o próprio Hilbert: "Enquanto um ramo da Ciência oferece uma abundância de problemas, ele está vivo". Depois do Congresso de 1900, os matemáticos se agruparam em duas escolas, dependendo da sua linha de pensamento: os "formalistas" liderados por Hilbert, e os "Iogicistas" tendo à frente Russel. Hilbert interessou-se por todos os aspectos da Matemática Pura, contribuindo para a Teoria dos Números, Lógica Matemática, Equações Diferenciais e também para a F ísica Matemática, sendo considerado uma figura importante de transição entre os séculos XIX e XX.
I. COEFICIENTE ANGULAR
48. Dada uma reta r, fixemos em r dois pontos distintos A e B. Se YA ~ ~ YB, r é paralela ao eixo x; neste caso, adotaremos como sentido positivo da reta r o sentido positivo do eixo x.
y A
B
*
Se YA YB, então YA > YB ou YB > YA; neste caso, adotaremos como sentido positivo da reta r aquele em que se parte do ponto de menor o ordenada (A ou B) e se chega ao ponto de maior ordenada (B ou A, respectivamente). y
y
x
o
x
51-G
~
49. Ângulo que uma reta r forma com o eixo x é o ângulo rx assim definido:
se se onde
/'.
r li x,
rx
é nulo;
r 'fi.. x, és é o ângulo convexo formado pelas semi-retas é o ponto de intersecção de r com x,
São evidentes as seguintes propr iedades do coeficiente angular:
1~)
se
2~)
se
Ix e Ir,
y
rx rx
é agudo, então m é positivo é obtuso, então m é negativo
~
3~)
se rx é nulo, então m é nulo
4~)
se rx é reto, então não se defi ne m
~
5~) dar o declive de uma reta equivale a dar a direção da reta; assim, quando dizemos que uma reta r tem declive m = 1 r forma com o eixo Ox um ângulo de 45°, portanto r é qualquer ret~ do feixe de paralelas da figura; analogamente, se o declive de r é m = -1, então = 135°, portanto r pode ser qualquer reta do outro feixe de paralelas.
rx
x
rs
agudo
o
"2
x
,..
obtuso
!!.
2
y
y
y
x
o
x
x ~
(S reto
rs
retas com
nulo
m
=
1
retas com
m
-1
a ~ " 2
De acordo com esta definição, a medida do ângulo rx, que chamaremos
a, na unidade radiano, é tal que
O";;;
a < "
50. Coef iciente angu lar ou decl ive de u ma reta eixo das abscissas (-) é o número real m tal que:
não perpendicular ao
11. CÃLCULO DE m
51. Só é possível calcular o coeficiente angular de uma reta quando dela se conhece: 1?)
Im
=
tg a
2C!) 3?)
(-lt) Doravante em vez de "perpendicular ao eixo das abscissas" diremos s6 que r é "vertical".
52-G
dois pontos distintos; ou a equação geral; ou a direção '(por exemplo, sabe-se que a reta é paralela a uma reta dada).
53-G
52. Vamos calcular o coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos conhecidos: A(x l , yd e B(x 2, y 2l.
Lembremos que, dados equação geral é:
y
y
53. Vamos calcular o coeficiente angular de uma reta cuja equação geral é conhecida: ax + by + c = O. pertencentes à reta, a
A(x l , yd e B(X2' Y2)
y
O
=
YI Y2 isto é,
x
Como vimos
~
m
portanto resu Ita:
Projetemos AB sobre os eixos do sistema cartesiano e apliquemos o teorema da projeção: sôbre.x AI B I = AB· cos a sobre Y A 2B 2 = AB • cos(3
= AB. cos (90
(b
0 -
AB· sen a
a)
*
O)
Temos:
AS. sen a AB • cos a mas
Assim, por exemplo, o coeficiente angular da reta (r) V3x - 3y + K tga = m
m
=
m=-- =---= b -3
Notemos ,que o termo independente de m, isto é, retas como V3x - 3y + 1 o mesmo declive.
Y2 - VI
x2
v'3
a
logo:
A2 B2 = Y2 - YI
O
é:
- XI
Y3
3
não tem influência no cálculo O e Y3x - 3y + 500 = O têm
K =
Preferimos a notação
(llx
*
54. No item 44 do capítulo 11 demonstramos que a equação reduzida de uma reta é O)
onde llx e lly são, respectivamente, a diferença de abscissas e a diferença de ordenadas entre A e B, calculadas no mesmo sentido. Assim, por exemplo, o declive da reta que passa por
A(-5,4) e B(l, 10)
é: m=
54-G
(10) - (4)
(4) - (10)
(1) - (-5)
(-5) - (1)
y = mx + q
portanto, sempre que uma reta tiver equação reduzida' (isto é, expressarmos y em função de x o coeficiente de x é m.
b
*
O).
ao
Exemplo Dada a equação geral 2 1 é y x + 7"' logo, 7
2x - 7y + 2 m= 7
O,
temos que a equação reduzida
55-G
56.
EXERCfclO
Conduzir por P(5, 4) retas que formam com o eixo dos x os seguintes ân-
G.l06 Calcular o coeficiente angular das retas:
ui x - 3y + 4 - O bl 5x
cl y
di
eI
~
x
5
fi x
1 - 3y
-~
gl 2y
-3x + 4 y ~ 1 -2
~
11
hj 2x + 3y
~
O
o
=:;
1)
~
4 ~ l(x - 5) isto é: x - y - 1
O
7
b) x
{Ala; b) k)
v~
O
I I,
4
-1 (x - 5) isto é: x + y - 9 ~ O
c) y
contém
1 - 7t
5
O
B(b; ai
d) y - 4 ~
V3
!
(x - 5)
isto é: V3x - y + 4 - 5 V3 e) y - 4
~
isto é:
111.
EQUAÇÃO DE UMA RETA PASSANDO POR
55. Seja P(x o , yol um ponto conhecido. Se quisermos obter a equação de uma reta que, entre outras propriedades, tem ã propriedade de passar por P, podem ocorrer dois casos:
~
~
O
57. Se fizermos, na equação (1 I, m assumir todos os valores reais, para cada m teremos a equação de uma reta passando por P e formando com o eixo dos x um ângulo cuja tangente é m; assim, a equação (1 I representa um conjunto de infinitas retas que passam por P, contidas no plano cartesiano. Só não pertence a esse conjunto a reta s, que não tem coeficiente angular. O feixe de retas conoorrentes em P é:
y
{r C
CI<
I
P E r e '3 m r } U {s C
I
CI<
P E s e
;;í ms }
portanto a equação do feixe é:
x
Xo
Y - Yo = m(x - xo)
o
x
G.107 Determinar a equação da reta que passa por
P
(m variável real)
Xo
EXERCfclOS
y - Yo ~ m(x - xo)
(1)
essa reta (s) é perpendicular ao eixo dos x, portanto sua equação é:
x = Xo
ou
x
Neste caso, a equação da reta é:
56-G
(x - 5)
3 4x + 3y - 32
y - Yo
onde (x, y) representa um ponto genér ICO Q, pertencente à reta.
20 )
4
~
-
O
P(x o. Yo)
10) essa reta Irl não é perpendicular ao eixo dos x, portanto, existe o coeficiente angular de r que é
m
3
a) y -
il !llx + 2y - 11 + Àlx - y +
4t
, y
i)
gulos; a) 45°; b) 90°; c) 135°; d) 60°; e) are tg (-
-3
il x • cos 30 + Y sen 30°
r
Exemplo
(21
e tem inclinação O< em relação
aO eixo dos x nos casos segu intes: P(-l, -3) e CI< ~ 45°
4°1
P(-l, + 31 e CI<
2°)
PI+2, -4) e CI< ~ 60°
5°)
P(7, 21 e CI< - 0°
3?)
PI-l, -4) e CI< = 90°
6':')
PI-l, +51 e a : : are tg 2
G.10S Qual é a equação do feixe de retas concorrentes em
~
are sen
1 ?)
3
"5
P(5, 2l?
57-G
60.
IV. CONDiÇÃO DE PARALELISMO
Exemplos (r) 3x + 6y - 1 = O e (s) 2x + 4y + 7 = O são paralelas pois:
1?) 58.
Teorema
t~
~
3 6
- 1
ms
~
2 4
- -1
m,
"Duas retas r e s, não verticais, são paralelas entre si se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais". \.
b1
2 :=;>
=
b2
mr = ms
2
e também: b
Demonstração
1
b2
y
2?)
(r) 500x - 1
=
I
=
3 1
embora
f 59.
e
·rtsl
<=>
a,
=
as
<=> Ig a, = Ig
as
<=>
r~\""'s\il
61.
:5l
No item 35 do capItulo 11 vimos que: "duas retas (r) ai x + b l Y + CI (s) a2 x + b2 Y + C2 = O são paralelas (distintas ou não) se, e somente se,
O são paralelas pois:
500 I
=
1
71
m, e ~ ms'
Construção importante
=
O
Por exemplo vamos resolver este problema quando r tem equação 5x + 7y + 1
m,
l
=
O
= =
a)b2
=
a2 b )
é:
=
Nos casos em que r li s li Oy só vale a condição D os coeficientes angulares m, e ms'
=
O pois não existem
a
b
O e P
=
(6, - 5):
5 7
Como s passa por P, vamos aplicar a teoria ....do item 55; a equação de s .... .....
y - (-5) = -
[ffitr",ms
= -
=
5 s li r => ms = m, = - 7
Nos casos em que r e s não são verticais, vamos provar que as condições de paralelismo D = O e m, = ms são equivalentes. Lembrando que b l ' " O e b2 '" O, temos:
58-G
=
Obter uma reta S que passa por um ponto P (dado) e é paralela a uma reta r (dada, não vertical).
Observação
I\\ori'" 0<1= a)b2 - a2b
4
O e (s) 71 x - 13
l
bb 2
6\ = 12 - 12 = O
2
5 (x - 6)
-
7
7(y + 5)
=
-5(x - 6)
7y + 35
=
-5x + 30
..... -....(
....
.... ....
.....
..... s
5x + 7y + 5 = O 59-G
62.
Vimos no item 44 que a equação reduzida de uma reta y
onde
=
V. CbNDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO
mx + q
a
m
r é
é o coeficiente angular de b to onde r corta o eixo Oy.
r e q
c b
é a ordenada do pon-
63.
"Duas 'retas r e s, não verticais, são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é -1".
Supondo m constante e q variável, a equação reduzida passa a representar um conjunto de retas paralelas (mesmo declive), isto é, um feixe de retas paralelas. Assim, por exemplo, y com coeficiente angular 3.
3x + q
Teorema
é a equação do feixe de retas paralelas
r 1
5
-
mt'
m. '"
-1
===:::>
mr . ms '"
-1
Demonstração EXERCfclOS
r
0.109 Determinar a equação da reta (s) que contém P(-5, +4) cujas equações paramétricas são x = 3t e y = 2 - 5t.
e é paralela à reta (r)
1 s
.
Solução
y
y
la)
coeficiente angular de t
=
-
~
x
3 a b
mr
2")
= _
= =
Resposta:
6 - 3y
=
=
5x + 3y - 6 = O
2
(s)
sllr= m s 5
5x
3
equação de
P E
=
5
(r)
5 3
mr
=
Y- 4
=
3y - 12 (s)
=
x
y - 4 = - ~ (x + 5) => 3 -5x - 25 => 5x + 3y + 13 = O
ms(x + 5)
=
Conforme o caso, das figuras acima tiramos:
5x + 3y + 13 = O a2 = a)
G.110 Determinar a equação da reta que passa por P(-5, 2) e é paralela à reta definida por A(
~
2'
.§.) e 5
B(
~
2'
-
~).
rr
+ 2
ou
lo ângulo externo é igual â soma dos internos não adjacentes]
5
então: G.ll1 Determinar a equação da reta u que passa pelo ponto de intersecção das retas r e t e é paralela à reta s. Dados: (r)
•
~ + Y = 1. 2 2
(5)
x
=
3t e y = 2 + 3t
e
60-G
(r) y
=
=
(t) 3x + 4y = O.
G.112 Dois lados de um paralelogramo ABCD estão contidos nas retas (si x = 2y. Dado o vértice A(5, 4), determinar B, C e D.
tg a2
= 2x
tg (a) +
!!..) 2
tg a) • tg a2
==>
tg a2
-1 =>
=
cotg (-ad ==>
tg a2
=-
tg a)
=>
m r · m s = -1
e
-1
=-
t 1
s
I 61-G
m,.. ms
1!?)
1
= -
mr
=>
v
= -
ms isto é, mr '1= ms portanto as retas r e s são concorrentes e formam um ângulo e tal que
65.
Comentãrio
Existe uma condição de perpendicularismo que vale também no caso de uma das retas ser vertical. Deixamos como exercício a sua demonstração: "Duas retas (r) aI x + b, y + CI = O e (s) a2 x + b 2 Y + C2 culares se, ~ somente se, aI a2 + b 1 b 2 = O". Assim, por exemplo as retas
o 2!?)
x
aI a2 + b 1 b 2
=3 e y =
-1
O são perpendi-
são perpendiculares pois:
= 1 • O + O • 1 = O.
Temos:
66.
@
CD
Comparando
e
@: e =
;
Construção importante
Obter uma reta s que passa por um ponto P (dado) e é perpendicular a uma reta r (dada, não horizontal). Por exemplo vamos resolver este problema quando r tem equação
r rsJ
5x + 7y + 1 = O
r
=>
s1 r 64.
x
=
a
5
b
7
=>
Exemplos
1
ms
P = (6, -5):
7
5
mr
e
5
7 1!?) (r) 3x + 2y - 1 bl
pois:
e
6
2!?)(r) 3x - 11 y + 4 = O e _
1~
ai
mr
-
ms
= _ a2
-~
11
(s) 4x - 6y + 3
=
+~
-~ b2
ms
.d
3 2
-.!!
mr
=O
}=
=O
e
(s) y = -1
y - (-5) =
m,. m, .-,
5(y
m r • ms
+ 5)
5y + 25
() 11 + 3 - r;:;2 ' s x y - V Lo = O são perpendiculares
55; a equação de
~
(x - 6)
= 7(x - 6) =
7x - 42
= -1
- perpend'ICU Iares pois r /I y e s /I x. sao Notemos que neste último caso nao - va Ie a re1açao m r • ms = -1 uma vez que r é vertical. 3!?)(r) x = 3
vamos aplicar
s é:
-3
b2
Como s passa por p.
são perpendiculares pois
EXERCICIOS G.
~'3 Demonstrar
que
Ir) ~ +
7
.x9
~ 1
e
Isl ~ ~
9
J... 7
são retas perpendiculares.
G."4 Determinar p de modo que as retas Ir) p2 x + py + 2 ~ O e (si 3x + (p + 11v -7 ~ O sejam perpendiculares.
62-G 63-G
G.115 Dentre os seguintes pares de retas, qual não é formado por retas paralelas ou perpendiculares?
20
o
3x - 5V + 4
1'?)
x + Y.... 3 5
e
1 {x = 4t - 1 V ~ 4 - 2t
e
G. l.~ "f0 Determinar o ponto Q, simétrico de P em relação à reta (c). Dados • e Ir) x + V .- 1 ~ O.
P(-3, +2)
Solução
4x - 2V + 7
1~)
O
s, por P, perpendicular a r
P
a
I
mr "" - - "" -1 ==> b
3'?1
e
3x + 4 = O
5v - 3 = O
1
=
=>ms""--
40 )
x
~
v3
e
x =
la+lIx+la·-lIy
Y2
P E s=
la-1Ix~(a+1Iy
O e
G.\16 Determinar a equação da reta (ri 2x + 3y = O.
mr
que contém
S
IrI x ,,2t.
PI-7, 15)
=
M
't.- "" 3x = 2y 3
3 --2 -
"" y - 15 =
~
O
=
O
3
a 3 ) Q
O
M é o ponto médio de
por P
YM
2 3
Ix + 7)
==
lrI 3x - 2V { Isl 2x + 3y
==
e
y
3,
portanto
xp + xQ 2
"" xQ
---
PQ. =
então:
2 xM - xp
yp + YQ ~ YQ = 2YM - YP
-4+3=-1 6 - 2
4
2
G.121 (MAPOFEI-74) Em um sistema cartesiano ortogonal xOV são dados os pontos A, · +1 , e B sobre Oy de ordenada +2. Calcular as coordenadas do sobre Ox d e ab SClssa ponto P simétrico da origem O em relação à reta AB. . étrlca ' d e (r) x - Y + 1 ~ O em relação a (ti 2x + Y + 4 = O. G.122 Determinar a reta s, sim
s
Solução
O = 31 =
M( 62
-2
M
1~)
Resolvendo o sistema, obtemos
Resposta:
x
Resposta: Q(-1,4)
2x + 3y - 31 = O
3~) intersecção de r com
x
62
13'
intersecção de r com t
93 y
I'I
13
{
93)
13' 13
G\18 Determinar o pé da perpendicular baixada de
1ii
x - y + 1 2x + y + 4
= =
O O
Resolvendo o sistema, obtemos
P(2, 6)
sobre
(ri x + y - 2
(MAPOFEI-75) São dados a reta r: x - y + 1 = O e o ponto P , .minar as coordenadas da projeção ortogonal de P sobre a reta r.
64-G
1 + 5
y -
1-2, 3)
P
s 1 r,
- 15 = ms(x + 7)
_2
=
xM
mr
== y
== 3x - 2v
-32
2~1 equação de s tal que
G.1~
+
x - y
Resolvendo o sistema, obtemos
a b
~
x
Y = 3t.
1a) coeficiente angular de r
P E s
O
=
i ntersecção de r co m s
lrI { (s)
sobre a reta
Solução
t ~ -"2
==
e é perpendicular à reta 2~)
G.1\v Determinar a projeção ortogonal do ponto
Y - 2 = llx + 3)
x - y + 5
PI3, 41
+1
~
(3,2).
=
O. Deter-
portanto
R
66-G
2~) tomar
P E r
tal que
*
P
G,126 Determinar a simétrica da reta
R
(r) Y = x
+ 1, portanto yp
=
Fazendo
xp = O,
vp = 1,
3~1 equação de
mt
:=
-
~
u 1 t, =
b
P E u
~
obtemos
isto é,
a) ao eixo dos x; b) ao eixo dos y; cl à re~a (51 2x - 3y - 7
P = (O, 11
por P
-2 ==> m u
y - 1
xp + 1
= -
1
2
= -
mt
2
=
Dados:
(u) x - 2y + 2
1~)
Resolvendo o sistema, obtemos x = -2
y = O,
e
xp + xQ => -2 = O + XO 2 --2--=>xO =
yp + yo => O
2
portanto
O
6~1 5 é·a reta
A(O, -3),
mh
portanto,
=
1 + vO - 2 - =vO
-4
B(-4, O)
e
C(2, 1)
_1_ = -6 mBC
A
E
~
6x + y + 3
ha ~ y
+ 3 =
=
O
-6(x - O) ~ (h a )
2 a ) equação de hb tal que ~y
-1
=
= -
a
hb 1 CA por B.
1 + 3
B E hb ~ Y - O
=
_.!.. (x
-..::.:.....-_ _~::L_-~C
2
~ 2y
+ 4)
2
B
1
mCA = ~x ="""2=() = 2 ~ mhb =
(-4, -1)
=
O.
=
equação de h a tal que h a 1 BC, por A. 1. - O 1 YC - YB mBC = ~ = 2 + 4 6" ~x xC - XA
(-2, Q)
5~) Q, simétrico de P em relação a t
YM
O em relação:
Solução
lu) x - 2y + 2 = O { (t) 2x + y + 4 = O
=
=
O
i ntersecção de u co m
M
x - 8y + 16
G.127 Determinar as equações das alturas do triângulo ABC e provar que elas concorrem no mesmo ponto H (ortocentrol.
~
(x - O)
(r)
-x - 4 ~ x + 2y + 4
=
=
O (hb)
RO x
y
XR
YR
xo
YQ
~
x
3
o=>
x 5 3 -4
Y 2 3 -1
3 a l equação de h c tal que
=
O
mAB =
~y
AX
3
0+3
= -4 - O
C E hc ~ y - 1
=
34
h c lAB, por C
4
3
-4=mh c
(x - 2) ~ 3y - 3 = 4x - 8 ~ 4x - 3y - 5
O
7y _ 1 = O
3
4 a ) Provemos que existe
{} H
x - 7y - 3 = O
=
ha
n
\
G.123 Determinar a equação da reta s simétr"ca da reta à bissetriz do 2? quadrante.
(r ) x + 2v - 3
=
O em relação
H E hc
pois
H E ha
n
hb
6X + y + 3 = O hb { x + 2y + 4 = O
n
hc
resolvendo •
4xH _ 3YH - 5 = _ 8 + 63 - 5 11 11
H(-~
11'
_11) 11
-8 + 63 - 55 11
O
G.128 Determinar o ortocentro H do triângulo ABC cujos vértices slio A(1- 3). B(2, 1) G,124 (MAPOFEI-75) Escrever a equação cartesiana da reta simétrica da reta 2x - y - 4 em relação à reta 4x - 2y + 3 = O. G.125 Dados ai b) c) dI
66-G
P(-3, -3)
equação o ponto o ponto a reta t
e
(r)
4x + 5y - 14
=
O,
pede-se:
de 5 perpendicular a r por P; M pé da perpendicular a r por P; O simétrico de _ P em relação a r; simétrica de r em relação a P.
=
O
e C(4, 51. G.129 Dados os pontos A(Q, OI, B(4, 4) e C(-l, 3), determinar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e BCD, onde O éo pé da altura do triângulo ABC, traçada por C, G.130 Dados
H(O, O),
(r) x + 2y - 6
=
O "
(s) x + y + 3 = O,
obter a reta t que
determina com r e s um triângulo cujo ortocentro é H.
67-G
G.131 Demonstrar que o quadrilátero de vértices A(a. b),
B(a t 4, b + 3),
.
triângulo é 6, temos:
Cla + 7, b + 7)
e
Dia + 3, b + 4)
é um losango.
B
15-1· 15-1 6
4 I 2
3
~
12
c2 12
144
~c =
±12
Solução Uma das maneiras de provar que ASCO é losango é mostrar que seus lados são paralelos dois a dois e suas diagonais são perpendiculares. ~y
Lh
mCD
=
~y ~x
Ib + 71 - Ib + 41 = la + 7) - (a + 3)
mBC
=-
~y
Ib + 71 - Ib + 3) la + 71 - la + 4)
mAD
=
~x ~y
Ib + 41 - b la + 3) - a
~x ~y
mAC
(b + 7) - b la + 7) - a
~x
mBD
=
~y
4 3
=
1
Ib + 4) - Ib + 3) la + 3) - la + 4)
~
A 1IÇ-----f'L----~c
J~
Ib + 3) - b =~ la + 4) - a 4
=
mAB
Resposta:
~l
~
l
G.134 (EESCUSP-69)
D AB iCD
Bci AD
=
4 ~ -'3
ms
=
A equação reduzida da reta s é:
Fazendo
4q
=
C,
a equação geral de
s é:
3x - 4y + c A reta (O , ~I 4
68-G
=
A13, 1) e a reta r cuja equação é y = 2x, traçam-se AC 1 r, onde B e C são respectivamente os pés das Provar que a reta determinada pelos pontos médios de BC.
G.138 Dados AI4, 2), B(O,4), C(3, O) e aos lados do triângulo ABC. Pede-se:
PI3, 4),
traçam-se por P as perpendiculares
a) obter os pés das perpendiculares
bl O,
provar que são colineares.
G.139 (MAPOFEI-701
(r) 4x + 3y = O e que defina com os eixos coorde-
+-ª-4
Encontrar a equação da reta que é perpendicular a reta x + y - 3 = O
G.135 (EPUSP-51I Dados os pontos Ala, O) e BIO, bl, tomemos sobre a reta AB um ponto C de modo que BC = m • AB (m =F O real). Pede-se a equação da reta perpendicular a AB, a qual passa pelo ponto médio do segmento AC.
(O
mr
O
G.137IEPUSP-54) Dados o ponto por A as retas AB 1 x e perpendiculares AB e AC. OA e BC é perpendicular a
Aelo'
ai A está no eixo dos y, está no eixo dos x, cl a diagonal AC está contida em Ir) 2x + y - 3 d) as diagonais se interceptam em E Ix, 11.
Solução
=
G.136IMAPOFEI-73) O ponto P = 12, 4) é o centro de um feixe de retas no plano cartesiano. Pede-se determinar as equações das retas desse feixe, perpendiculares entre si, que interceptam o eixo Ox nos pontos A e B, e tais que a distância entre eles seja 10.
b) B
nados um triângulo de área 6.
±. 12
e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 8 unidades de área, de modo que este triângulo tenha intersecção não vazia com a reta x - 2y = 1.
G.132 Obter os vértices de um losango ABCD tal que:
G.133 Obter uma reta perpendicular a
3x - 4y
y
Pelo ponto
< Q < ~ < :lI.) 2
P de coordenadas cartesianas' ortogonais cos~, sen
passam duas retas r e
ai Determinar as coerdenadas das intersecções de r e s com a circunferência x 2 + y2 = 1.
S
Q
paralelas aos eixos coordenados (ver figuraI. y
5
bl Determinar a equação da reta PM, onde M é o ponto médio do segmento AB. cl Demonstrar analiticamente que as retas CD e PM são perpenéJiculares.
O
s corta os eixos nos pontos c e 1- 3"; OI. Como a área do
G.140 (EPUSP-42) Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, traçam-se as retas PC e PD; pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. rrovaf que BF e PD são perpendiculares.
69-G
VI. ÂNGULO DE DUAS RETAS
Unificando as duas possibilidades, temos:
Dadas duas retas (r) a,x + b, y + c, = O vamos calcular os ângulos que elas determinam.
67.
Se r li s ou casos de lado.
(s) a2x + b 2 y + C2
e
Resumo Dadas r e s, se uma delas não tem coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo r,s é o módulo do inverso do declive da outra.
2f! caso: nenhuma das retas é vertical
É ev idente que O, e O2 são suplementares, portanto, quem conhece a medida de um deles, automaticamente tem a medida do outro. Também é evidente que tg O2 são simétricas, isto é, tg O,
Calculemos O"
O,
r 1 s o problema é imediato, portanto, deixaremos esses dois
Quando duas retas são concorrentes, elas determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelos vértices (congruentes).
68.
=
=
tgO, e -tg O2 . o
ângulo agudo formado por r e s:
O
1f! caso: uma das retas (s, por exemplo) é vertical.
o
O,
=
1T
2
- a,
tg O
O,
=
tg (!!..- - a,) 2
tg O,
tg O,
cotg a,
tg O,
=
=
•
tg O = tg (a, - a2)
tg (a2 - a,) tg a2 - tg a, 1 + tg a2 • tg a,
tg O
ms - m, 1 + ms • m,
tg O
tg a, - tg a2
1 + tg ~2 • tg a I
Portanto, em qualquer situação, temos:
x
a, _
1T
2
tg O,
O = a, - a2
a2 - a,
tg O
o
x
tg O,
70-G
tg O
l
y
=
=
tg (aI - -!!..-)
Nas duas situações, se obtivermos se tg O < O, então calculamos tg O2 troca de sinal.
tg O > O. teremos calculado a tg O, ; e, ~ara obtermos tg O" bastará uma
2
-cotg aI
Resumo Dadas r e s, se as duas têm coeficiente angular, a tangente do ângulo é o módulo da diferença dos declives dividida por 1 somado ao agudo produto dos declives.
rs
m,
m,
71-G
69.
Exemplos
71.
Construção importante
agudo
Obter uma reta s que passa por um ponto P (dado) e forma ângulo (dadJ) com uma reta r (dada, não vertical).
1?) Calcular o ângulo agudo formado pelas retas (r) 3x - Y + 5
~
O
e
(s) 2x + Y + 3
~
O. rr 4
e
Por exemplo, vamos resolver este problema com os seguintes dados: P(6, -5)
2?) Calcular o ângulo formado pelas retas cujas equações são (r) 2x + 3y - 1 m2
~
~
O
e
3
+-
2
(s)
=
6x - 4y + 5
m, m2 = -1
=
=
{
O.
r1s
=
e
e=
45°
. (r) 5x
+ 7y + 1
O
=
rr
2
a
mr
5 7
b
5
3?) Calcular o ângulo agudo formado pelas retas (r) 4x + 2y - 1 = O
:'
~,;
02 } _
e
tg
(s) 3x - 4 = O
I:,I I~ I
'" O
m,
ms
70.
~
~O ~
~
O
e
} _ }
~
(s) 10x + 4y - 7
m
ms r
~
r li s
1 ~ 2
e
arc tg
~
2
5
O
~e
~
1 =
1
~
24m; + 140ms - 24 ~ O => ms = -
1 6
ou
51 ~
7ms
+ 7 - 5m s
49 - 70m s + 25m; = 49m; + 70m s + 25
1 =
~
m s = -6
2~
O
Deixamos como exercício a sua demonstração: "O ângulo agudo formado pelas retas (s)a2x+b2y+c2~0
i-
y - (-5) =
y
(x - 6)
(-5) = -6(x - 6)
6(y + 5) = (x - 6)
y + 5
-6(x - 6)
6y + 30 = x - 6
y + 5
-6x
I
e
(7m s + 5)2 (7 - 5m s )2
~
Comentãrio
(r)a,x+bty+c,=O
~
~~---
Como s passa por P, vamos aplicar a teoria do item 55; existem duas possibilidades para a equação de s:
Existe uma fórmula para calcular o ângulo agudo entre duas retas que s6 não é válida se as retas forem perpendiculares.
72-G
e
1 + m (--) s 7
4?)Calcular o ângulo formado pelas retas (r) 5x + 2y
m - (--) s 7
!liX+ Y -31=O
ou
x-6y-36=Ô
+ 36
EXERCICIOS G.141 Calcular o ângulo agudo formado pelas seguintes retas:
1?
caso:
(ri x +
y
+ 1 = O e 151 4x -
2? caso:
(ri ~ + 'L = 1
3?
caso:
() r X
4?
caso:
IrI .". + 'L
2
5
e
(s)
4
o
cos 45 + y sen 45
-3
= 1
e
3y
+ 1 = O
{Xy=- 2tl --t 5 o r :: = 5 e Isl 2y - y 3
(5) 3x - 4
=
O
=O
73-G
G.142 (EESCUSP-69) Em um plano, munido de um sistema cartesiano ortogonal de referência, são dados os pontos A(2; 3), B(9; 4) e M(5, kl. Determinar o valor de
\~.143 Dados
os pontos A(3, O), internos do triângulo ABC.
B(l, OI
e
C(4 +
vS,
1 +
8 =!T-
G.144 Conduzir por PIO, O) as retas que formam ângulo
4
vS I
Para obter m vamos impor que essa reta forme ângulo tg 8 -
I
m - m1
1 + mml
então:
1 - 3m = m + 3
isto é:
m =
-..!..
ou
I
~ 1 -
-
G.145 Dados o ponto retas por P:
y - O = ml x - OI,
e = 45
Q
isto é,
com r:
P(5, 4)
(u) (v)
y - 4 = O
(z)
x - 5 = O
_..!. • (x
y - 4
- 51
7
1~ caso:
PIO, O)
8
2~ caso:
Pll, 1)
8 = 30°
(r) 6x + 3y - 1 = O
3~ caso:
PIO, O)
8 = are t9 3
(r) x - y
=
45°
(r) x -
2y + 4
8
+ 2
= O
=
O
G.147 Determinar a reta s, simétrica de (r) x - y + 1 = O em relação a (ti 2x + y + 4
=
O.
Soluç,o 1~) intersecção de r com t
m = 2
x + 2y = O ou
- 51 2 y - 4 = -1 • Ix - 5) ou
G.146 Determinar as equações das retas sI e s2 que passam por P q formam ângulo com a reta r nos seguintes casos:
I 1m+ -ml-3) 1-3) I
2 As retas procuradas têm eqtJações: Resposta:
_1. . (x
com (ri 6x + 2y - 3 = O.
1 - 3m = - (m + 3)
ou
"
calcular os ângulos
Solução A equação de uma reta qualquer passando por Pé: mx - y = O.
2 • Ix - 5)
It I y - 4
BÂM = 45°.
k para o qual o ângulo
y - 4
(si
Resposta:
1
-"'2x - y = O ou
2x - y
5
Já vimos no G.122 que é R(-3"'
O
2x - y = O
e a reta
paralela a
2~) ângu lo agudo
(r) 2x - y
+ 7 = O, pede-se conduzir as seguintes
r
perpendicular a
8
2 -"3)
rt
mr - mt tg 8 = 11 + mr • rnt
I
= 11
+
- 1-2) (1) • (-21
3 a ) declive da reta s
r
u
formando
v
paralela ao eixo
= are tg 3 Ox
z
paralela ao eixo
Oy
com
r
t9
8
=
I 1 ms+ ms- mt I ~ 3 = I 1 ms+ m• mt
~ 9(1 - 2m s l2
Ims + 21 2 =
(-21 s ' 1-2)
I ~ 3 = I 1 m- s2+• m2 I
35m; - 40ms + 5
~
s
0 = ms
ou
ms
Solução A principal finalidade deste problema é mostrar que as retas S, t, u, v são retas que passam por P e têm coeficiente angular, portanto, suas equações são da forma: y - 4 = m • (x - 5)
1
=
7
4~) equação de
Como
ms
1
7
Ipois
não convém uma vez que acarreta
ms
r
s) e
R E s, a equação de s é:
y-(-~)=.!..(x-(-É-I)
e o que as distingue é o valor de m.
3
7
3
~
x - 7y - 3. = O
Assim, temos: Resposta:
s /I r
=
ms
tlr=>mt=
~ v
=
arc tg 3 ==> 3
/I Ox
2
mr = 1
=> mv ~ O
G.14s Conduzir pelo ponto e (s) x ~ 2y.
1
-"2 =
mu - 2
I1 +
mu
·2
I
-1
ou
mu
A reta z passa por P e não tem declive, portanto, sua equação é: x -
74-G
(s) x - 7y - 3
5 = O
1 7
=
O
P(3, O) uma reta igualmente inclinada em relação a (ri y = 2x
Solução Seja m o declive da reta t procurada. Temos: então tgrt=tgst
75-G
m -
I
m - 2
I 1 + 2m
1 +
1
2
rrl 2
I
12m - 11 2 12 + m)2
Im - 2)2 11 + 2m)2 donde vem:
Im + 2)21m - 2)2 Resposta:
=
12m + 11 2 12m - 11 2
~ 15m 4
15
~ m
CAPÍTULO IV
±1
y - O = ±1 Ix - 3)
G.149IMACK-701
Determine as equações das retas que contêm os lados de um triângulo,
DISTÂNCIA DE PONTO
conhecendo-se:
A RETA
o seu vértice A de coordenadas 10, li, a reta r: 3x - 4y + 41 = O, que contém uma altura, a reta s: x + 2y - 7 = O, que contém urna bissetriz, sendo a altura e a bissetriz relativas a dois vértices distintos. G.'50 Demonstrar que, em um triângulo retângulo, a reta determinada pélo vértice do ângulo
reto e o centrO do quadrado construído sobre a hipotenusa, externamente ao triângulo,
é a bissetriz do ângulo reto. G.151 No retângulo
ASCD
traçam-se por
A
e
C as perpendiculares à diagonal
Demonstrar que os pés das perpendiculares, A
BD.
I. TRANSLAÇÃO DE SISTEMA
e C formam um paralelogramo.
72. Sejam P(x, y) e O'(xo, Yo) dois pontos referidos a um sistema cartesiano xOy. Se x'O'y' é um x' li x, y' li y e x', y' mente o mesmo sentido y, dizemos que x'O'y' uma translação de xOy.
v
sistema tal que P2 tem respectivapositivo de x, foi obtido por
v
-------
I I
I I
I
-- - -- - +-
02
Nosso problema é estabelecer uma relação entre as coordenadas de P no "novo" sistema x'O'y' e n~ ant igo" xOy.
---------~p
00', +
, I I
O
O',
aí P, =
+ ·x·
x=
Xo
y
Yo + y'
No eixo dos y, temos: OP 2
76-G
~
OOí + 0íP 2
=
---<~
x
, , ,
No eixo dos x, temos: ~
I
O',
lI
OP,
-"__
I
P,
x
73. Consideremos, por exemplo, a reta de equação x + y - 7 ~ O. E is alguns pontos que pertencem a essa reta:
A(1,6), 0(4, 3),
8(2,5),
C(3,4),
E(5, 2),
F(6, 1).
(1)2
(2)2 ~ (bx' _ ay)2 ~ 0 2 (ax + by)2 + (bx - ay)2 ~ c 2 ~,
y'
e, finalmente temos a fórmula: y'
lorigem 0'1
(antigal
Inovai
c2
d2
2
x
-
a 2 x 2 + 2<j.bxy' + 1i.Y2 + b2 x 2 - 2abxy' + a 2 y2 --a2 (x 2 + y2) + b2(X2 + y2) ~ c2 c2 (a 2 + b2) (x 2 + y2) ~ c2 = d2 ~ '--y-----' a2 + b2
Se é dada uma translação no sistema xOy de modo que a nova origem seja O' (2, 1), todos os pontos citados mudam de coordenadas, obedecendo à lei: x'
~ (ax + by)2 ~ (_C)2} +
y
portanto, temos: A(-1,5),
8(0,4),
C(1,3),
0(2,2),
E(3, 1),
F(4, O).
Assim, por exemplo, a distância da reta é dada por: =t----~---- O' x'
A equação da reta no sistema x'O'y' é obtida a partir de x + y - 7 ~ O, assim: x + y - 7
O
cc>
(x' + 2) + (y' + 1) - 7
---+- ..... _ .... _ .... - ..... - .... _ .... - --- ....... o', , ~
O
cc>
' ~ I vi a2 c+
do r
b2
I
25
5
(r) ax
II..DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Calculemos a distância entre a origem O e uma reta r cuja equação geral é: ax + by + c
~
O·
~ O
O à origem
5
y
O.
A idéia é transformar P em origem do sistema e, então, aplicar a fórmula já deduzida no item anterior.
ax + by + c
~
o
0 = a(x' + xo) + b(y' + Yo) + c =
Se resolvêssemos o sistema formado pelas equações (1) e (2), obteríamos o(x, y) ponto de intersecção de r com s.
78-G
c ~
II
(2)
O flue nos interessa, no entanto, é a distância então operamos assim:
+ by +
Dando uma translação no sistema xOy de modo que P seja a origem do sistema x'Py', a equação da reta no novo" sistema é:
(1)
A reta s, perpendicular a r passando por O tem equação geral: bx - ay
~
O
x' +" y' - 4
75. Calculemos a distância entre um ponto P(xo, Yo) e uma reta
74.
(r) 3x + 4y - 25
ax' + by' + (axo + byo + c)
x
~
0=
~
O
'------v------c'
Conforme vimos no item 74, a distância da origem {P} à reta r é: d
00
vi x2
+ y2,
dP,r
79-G
2?)
donde vem a fórmula .important(ssima:
dp r
' Resumo
a distância de P até r é: ~
dp, r
=1 axo + bYll + cl Va2+b2
=
I
axo\. + byo + c \
I
=
Va 2 + b 2
(-c') + c \
~b2
então vem a fórmula:
I
Calculamos d substituindo as coordenadas de P. no primeiro membro da equação de r E dividindo o resultado por Va 2 + b 2 • Assim, por exemplo, a distância do ponto P(2, -3) à reta (r) 3x - 4y + 2 é dada por: axo + byo + c
d
76.
I vi a2
I
3(2) - 4(-3) + 21
+ b2
1
vi 32
+ 42
I
~I 5 I
O
=
G.152 Calcular a distância da origem à reta
4
Solução
dor ~ Resposta:
Observações 1~)
EXERCICIOS
c I~
Ir) ax + by +
II~I = vil + I = b2
G.153IMAPOFEI-7S) Achar a distância da reta
A fórmula deduzida no item 74 (distância de r à origem) passa a ser um caso particular da fórmula deduzida no item 75. (r) ax + by + c
I a . ~ :2\" ~2 + c I
d
=
O ao ponto
I vi a2 :
P
(O, O)
é:
b21
1
r
X
=
-2 + 3t
( . t( = -7
r'
I'? I
PI-3: -1 I
e
Ir) 3x - 4y + 8 = O
2'?)
PI+3: +2)
e
30 1
PI+1; -21
e
Ir) 5x. - 5y + 2 = O Ir) x + = 1 12 5
Uma aplicação notável da fórmula da distância entre ponto e reta é o seguinte problema: calcular a distância entre as retas paralelas
+ by + c
=
+ by + c'
=
O O
y
e
seja PE s
80-G
P(xo, Yo)
It E IRI
a orif':.m.
4'?1
PI-2;
~I
e
Ir)
5'?1
PH; -21
e
IrI x • CQs!!.- + y • sen !!.. 3 3
{X
=
7t - 1
y = 24t + 1 ~
5
G.155 Calcular comprimento da altura AH, do triângulo de vértices e CIS, 81.
AI-3, OI,
BIO, OI
Solução
1'?) equação geral da reta BC
I~
Como sabemos, a distância entre r e s é igual à distância de um ponto qualquer P E s até a reta r, então: 1?)
+ 2t
"-
°
77.
(r) ax (s) ax
O.
G.154 Calcular a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos:
2~)
De fato, a distância de
=
1
A distância d é, em qualquer caso, um número real não negativo, isto é:
d ;;;, O quaisquer que sejamP e r.
~
axo + byo + c'
=>
axo + byo
=
-c'
=
O
:I
= O
1
= 8x4x -- Sy3y
= O =
O --+-L-
8 •
2'?1 AH 1 .= dA, BC
pertencente a s
=
y
8 O
AH 1
=
41-31 - 310)
dA, BC =
=
1
x
Resposta:
AH I
C
H,
~
I
1-~21
12 5
12 5
81-G
G.156 Calcular a altura do trapézio cujos vértices são A(O, O), B(7, 1), C(6,5) e 0(-8,3). O ponto P ~ 12, -5) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a P sobre a reta x - 2y - 7 O. Qual é a área
G.163 Determinar as equações das perpendiculares à reta estão à distância \3 unidades do ponto P( 1; O)'
(r) 7x - 24y + 1
O,
as quais
G.157 (MAPOFEI-741
=;
do quadrado?
G.164 Determinar a equação de uma reta que passa por P(3; O) e dista 2 unidades da origem.
G.158 Calcular a distância entre as retas (r)
3x + 4y - 13
~
O
Isl 3x + 4y + 7
e
~
O.
111. AREA DO TRIÂNGULO
Solução ,Distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto P, pertencente a uma delas, até a Outra.
1'.') Tomemos
P E r =<> 3xp + 4yp - 13 xp
~
-1 =<> YP
portanto
~
O
A(X"
13-3(-1) 4
~
~
d r, s
~
área 1
3 (-1) + 4(4) + 71
~
s
4
G.160 Determinar os pontos da reta (r) y
=
O e ax
t
by - c
.~
O.
do ponto
=;
dPr
.J2,
=
~
I c - 11
Resposta:
2
• BC • AH
BC ~
x
O
-J (X2
- X3)2 + (Y2 -'Y3 )2
(111) A equação geral da reta BC é:
a b
=
=
o
Y3
(IV) A distância do ponto A à reta BC
J
A(X" YI) (BC) ax + by + c ~ O
O.
então:
I = -J2
2 ='> c - 1
-I =
(ri I x - y + 3
G.162 Obter uma reta paralela a
82-G
~
Y
45° ==> m r = +1
)31 - (41 + c
=>
C
Y2
x - y + c
I
1 • base • altura
y
P(3, 4).
Façamos a ~ 1 e b = -1, então a equação de (r) é
Mas
B
2
= 2x que estão à distância 2 da reta (si 4x + 3y = O.
Solução
r;
C(X3, Y3).
(11) Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos:
G.161 Determinar as equações das retas que formam 45° com o eixo dos x e estão à
.J2
e
temos:
G.159 Calcular a distância entre as retas cujas equações são ax + by + c
distância
B(x2' Y2)
(I) Lembrando a fórmula da área do triângulo da Geometria Plana:
dr,s ~ dp,s ~ Resposta: d r, s
ytl,
y
4
P(-1, 4)
2'.'1 Calculemos
A
78. Calculemos a área do triângulo cujos vértices são
P E r
I -J?-
~ = -J2
±2 ='> c =
O
O
(r)
ou
=
-1
x
então:
ou
=
~ I aXI + bYI + c I .-J a 2 + b 2
='>
c = 3
(r2) x - y - 1
x + y + 6
==> d
=
AH~d~ I (YrY3)XI+(X3- X2)Yl+(X2Y3- X3Y2)
O
O e distante
-J2
do ponto
C(1,1).
-J (YrY3)2 + (X3-X2)2
I
X,
VI
1
X2 X3
Y2 Y3
1 1
•
83-G
G.167 Calcular a área do quadrilátero ABCO, dados: AIO, O), B14, -21, C16,81 e 010,41. (V) Indicando
DABC
,
temos:
\
Solução 10 )
y
área do Ll.ABC
OABC =
C
I: j
~ \=
-44
donde vem a fórmula: SABC
=
10ABCI -2-
=
o
22
O
8
Assim, por exemplo, a área do triângulo cujos vértices são B(-2, 3) e C(O, -6) é: xA xB
Xc S ~ -
79.
YA YB Yc
=;
1 • I DABCI 2
4
1
-2
3
A(4, 1),
3 0 ) SABCO = SABC + SACO
36 + 2 + 12
50
O -6 1 50 _. 2
22 + 12 = 34
25 G.169 Calcular a área do pentágono ABCOE, dados: AIO, OI, BIO, -1), CI-2, -5), 01-4, O) e EI-2, +31.
Para todo triângulo ABC, a área é um número real
G.170 Determinar y de modo que tenha área 6. S
>
O.
Solução
Se A, B e C são colineares, isto é, se não existe o triângulo ABC, DABC ~ O e S ~ O.
3~) A unidade de área, raramente indicada nos problemas de Anal ítica, é o quadrado da unidade de comprimento utilizada nos eixos.
°ABC S
=
I OABC I ==>6
=
2
Resposta: y = 9 ou
=
EXERCICIDS
G.165 Calcular a área do triângulo cujos vértices são Ala, a + 31, Bla - 1, a) e Cla + 1, a + 1I. G.166IFAUUSP-68) Determine a área do triângulo ABC onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo MI-1, -5), N11,31 e P17, -51.
° triângulo
I~ ~ ~ I
13y - 151 ==> 4 2
de vértices
AI1,4),
B14, 1)
e CIO, y)
= 3y - 15
Iy _ 51 ==> y _ 5
=
=
± 4 ==> y
=
5 ±4
v = 1.
G.171 Dados os pontos A11, 4), triângulo ABC seja 10.
84-G
=
Resposta: S = 34.
2~) temos
x
G.168 Calcular a área do quadrilátero cujos vértices são AI-1, 1I, BIS, OI, C17, 31 e 0(3, -111. ~
Observações 1~)
A
4
B(3, -2)
e
C12, yl.
calcular y para que a área do
G.172 Num triângulo ABC, temos: 1~1 AS" C 2 0 1 AC C 30 1 BC C 4~1 a área
r tal que Ir) y = 3x s tal que Is) x = 3y t tal que til u e lul x + y do triângulo ABC é 4.
=
O
Obter a equação da reta t.
85-G
u
Solução Seja x + y + c = O a equação da reta t /I u. Falta apenas determinar o coeficiente c. 1':'1
determinemos y = 3x { x = 3y
2':'1
determinemos
{x = 3y x + y + c 4°)
O -+ AlO. O)
y
•
c a
x
e
G.182IMAPOFEI-691 São dados, num plano, as duas retas ri, de equação y r2 com equações paramétricas x = -2 + À e y = 1 + 2À e ° ponto A
y
)
3c 4
y
x=: - - e
c c
1, e 11,2) .
a) Entre as retas que passam por A, determinar a reta r para a qual as distâncias de A às intersecções com r i e r2 são iguais. b) Satisfeita a condição do item anterior, determinar a área do triângulo formado pelas retas r, ri e r2'
s n t
O
O que defina com as bissetrizes
G.1Sl Obter uma reta que passe por P(-4, 6) e defina com os eixos coordenados um triângulo de área 6, no primeiro quadrante.
r nt
resolvendo =
vértices são os pontos médios de seus lados. G.1S0 Determinar uma reta perpendicular a (r) 3x + 4y dos quadrantes um triângulo de área 28 unidades.
resolvendo {y d x ,x+y+c=O
3°)
G.179 Demonstrar que a área de um triângulo é o quádruplo da área do triângulo cujos
r n s
resolvendo ----__+. x
determinemos
G.178 Demonstrar que uma mediana de um triângulo divide-o em partes equivalentes.
determinemos c
dABC
O c 4 3c
-4
O 3c 4 c 4
c2 16
c2 2
9c 2 16
IV. VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO
E(x, y)
ax + by +
C
16=>cc±4
80. Resposta:
Consideremos
It) x + y ± 4 = O
E(x, y)
O
trinômio:
ou
E(P}
=
ax + by + c
(a
=F O ou
b =F O)
G.173 Calcular as coordenadas do vértice C do triângulo ABC de área 6, sabendo que A = lO, 21, B é a intersecção da reta Ir) x - y - 4 = O com o eixo dos x e C E r.
função de duas variáveis x e y cujo domínio é o conjunto dos infinitos pares ordenados (x, y), isto é, é o conjunto de pontos P do plano cartesiano.
G.174IFAUUSP-69)
Sabemos que os pontos P(xo, Yo) para os quais. E(P) estão todos sobre a mesma reta r do plano cartesiano.
Determinar a área do triângulo ABC sabendo·se que:
=
a) A (1, -11 e B =' 1-3, 21 b) y = -x - 1 é a equação do lado BC cl o coeficiente angular da reta AC é 1 G.175 Determinar o vértice C de um triângulo ABC, de área igual a 1,5, no qual A12, -3), B(3, -2) e cujo baricentro está sobre a reta 3x - y - s = o.
= axo + byo + c = O
Consideremos dois pontos O(XI, YI) e R (X2' Y2), não pertencentes á reta r, os quais determinam a reta s concorrente com r em M(x, V). --;.
G.176 Num triângulo ABC, onde
AIO, OI,
B(5, 1)
e
CI1,51,
tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na razão
toma-se M na reta BC
±
Calcular as coorde-
AIO OI,
B17, 111
e
C(S, 11.
Pede-se:
ai obter o baricentro G do triângulo. b) mostrar que os triângulos ABG, ACG e BCG têm a mesma área.
86-G
na
k, então:
x
nadas de M. G.177 Os vértices de um triângulo são
O ponto M divide OR
Y
e
Yl + k • Y2 1 + k
x
87-G
Por outro lado, M pertence à reta. r então deve satisfazer sua equação:
a.
l Xl ~k"---X2 I
1'?) Determinemos o conjunto dos pontos que anulam E: E = O ==<> 2x + Y - 2 = O ----> r
+ b. [~k 'lL] + c ~ O
l+k
l+k
a(x\ + k· X2) + b· (y\ + k· Y2) + c· (1 + k)
=
2 0 ) Determinemos o sinal de E no semi·plano da origem
O
E(O) = 2 • O + O - 2
donde tiramos: k
ax, + aX2
+ bY2 +
c
··2
3'?) condu ímos que, para todo ponto do semi·plano m, temos E > O e, de r/3, temos E < O (veja figura).
E(O) E(R)
b~
y
x
Finalmente temos: 1'?) exterior a de mesmo
2. Estudar a variação de sinal de
Se O e R estão no mesmo semi·plano em relação a r, então M é ----> OR o que implica k < O, isto é, ax\ + bYI + c e aX2 + bY2 + c sinal. Em símbolos
l
O num semi-plano R no mesmo semi-Plano}
--=
E(O) • E(R)
>
O
=
E(O) • E(R)
<
O
x - Y
10)
E
O=x-Y=O------+r
29)
E(1, O) = 1 - O = 1
39)
Conclusão: PE r PEra P E r/3
2'?) Se O e R estão em semi-planos opostos em relação a r então M é ----> interior a OR o que implica k > O, isto é, aXI + bYt + c e aX2 + bY2 + c de sinais contrários. Em símbolos: O num semi'Plano} R" no outro
E
83.
=
= =
>
O x
E(P) = O E(P) > O E(P) < O
Regra prática
Do estudo da varlaçao de sinais do trinômio podemos tirar a seguinte regra prática:
81.
P(xo, Yo) E r anulam
E(x, V);
2) o conjunto de pontos O(X" YI) pertencentes a um mesmo semi-plano e não pertencentes a (r) tornam E(x, y) > O e 3) o oonjunto de pontos não pertencentes a (r) tornam
R(X2, Y2) pertencentes ao outro semi-plano e E(x, y) < O.
Exemplos 1. Estudar a variação de sinal de
88-G
E(x, y)
ax + by + c,
Resumo 1) o conjunto de pontos
82.
y
E
2x + Y - 2.
1'?) Dado o trinômio E(x, y) = ax + by + c, buscamos os pontos que o anulam (pontos da reta r de equação ax + by + c = O); 2'?) Calculamos o sinal de E na origem 0(0, OI. Este sinal é o de c, pois ElO) = a • O + b • O + c = c. Aplicamos a teoria concluindo que o sinal E(O) é o sinal de E em qualquer ponto do semi-plano onde está' O. 3'?) Atribuímos a E, nos pontos do semi·plano oposto ao anterior, sinal contrário ao de c. Observamos que, se a reta r contiver O, o raciocínio anterior não é válido. Neste caso, em vez de O, temos de tomar P qualquer, fora de r. (Por exemplo num quadrante onde não pa~:a a reta r).
89-G
G.184 Resolver a inequação 2x + 3y ;;. 6.
V. INEQUAÇÕES DO 19 GRAU
Solução 1<;»
84. A principal aplicação do estudo de sinais ora concluído é na resolução de inequações do primeiro grau a duas incógnitas, as quais só admitem solução gráfica.
E
Exemplos
1. Resolver x -y+1>0 1
equação de r
E 2C?) 3C?)
y
~
ElO) E
<
Resposta:
O ~
/
=>x-y+1~0
/
/
2':')
+1
r~
/
/
·1
/ O
2x + 3y - 6
=
x
y
ponto
O
2
A
3
O
8
O
E ,.; O no semi-plano r/3 E ;;. O no semi-plano rU
x
/
3':')
/(1)
valor de E na origem E(O) = 2(0) + 3(01 - 6 = -6
..
/
região ru
=
/(1)
/
1>0 =>E>O em ru
O em
//r
y
equação de r
E(x,
yl ;;.
=>
O
(x,
y) E rU
Resposta: semi-plano rU (incluindo r)
1
ai 2x + 3y + 1 c) 2x - y O
<
equação de r
E ~ O => 2x + 2C?)
G.185 Resolver graficamente as inequações:
2x + Y ;;. O
2. Resolver
y
~
E
Resposta:
em
f)
G.186 Resolver a inequação x
5x + y - 5 ,.; O
x - y + 2 ;;. O. x+y-2
Solução 1':')
3C?)
b) 3x - 4y - 6
d) 2x - 4y + 4 ;;. O
el 3x + 4y ;;. O
O
E(1, 1) E( 1, 1) ~ 2 • 1 + 1 ~ 3 > O então E > O em ru
>O
r~
Variação de E1
~
E1 = x - y
O => x - y + 2
~
+ 2 O (r)
(=)
El(01~+2>0
m U r 2':')
variação de
E2 = x + y. - 2
E2 "= O => x + y - 2 ~ O (si E2 (O) = -2 O
<
EXERCICIOS 3':')
G.183 Estudar a variação de sinais dos trinômios:
ai E = x + y bl E = 2x - 3y cl E = -x + 2y di E' = 3x + 2y el E = 4x + 3y
9O-G
2
+ 6 + 4 + 12
Resposta: a inequação é. satisfeita pelos pontos (x, yl dos dois ângulos opostos pelo vértice da figura, com exceção dos pontos da reta s.
(=)
91-G
P(x, yl
G.187 Determinar os pontos condição: 1~
x - y + 1 < O x + 3y O 3~ caso: y;;:' 1 4~ caso: 6x + 3y - 6 <; O
e
5~ caso:
Caso:
<
2 0 caso:
2x - 5y < 10
do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem à
x+y+2<0
VI. BISSETRIZES DOS ÃNGULOS DE DUAS RETAS
e
x;;:' O
e e
x-2>0 3x + 6v ;;:. -12
e
y;;:' 2
85. G.188 Resolver a inequação
Vamos obter as equações das bissetrizes dos ângulos definidos pelas retas concorrentes (r)' ai x + b [y + c[ = O e (s) a2 x + b 2 Y + C2 = O.
Ix + yl <; 1.
Solução 1~)
ix+yl<;1
2~)
variação de
<= Ix+y)2<;1 EI
<=
A reta r divide o plano em dois semi-planos nos quais o trinômio E I = = ai x + b[ x + c[ assume valores numéricos de sinais contrários, excluídos os pontos de r. Analogamente, a reta s divide o plano em dois semi-planos nos quais o trinômio E2 = a2 x + b 2'Y + C2 assume valores de sinais contrários, excluldos os pontos de s.
Ix+y+11Ix+y-11<;0
x + y +
E[ _ O => x + y + 1
~
O
E[(OI = 1 >0 3?l
variação de
E2 = x + y -
E2 - O => x + y - 1 - O (s)
E2 WI = -1
40 )
E[' E 2 <; O =>
Admitamos, para raciocinar, que a distribuição de sinais seja a da figura.
El e E2 com sinais contrários ou E I - O ou E2 = O
f
x
Verificamos que sempre r e s determinam dois ângulos opostos pelo vértice (assinalados na figura) onde E[ e E2 assumem valores numéricos de mesmo sinal e determinam dois outros ângulos opostos pelo vértice onde E I e. E2 assumem sinais contrários.
Resposta: a inequação é satisfeita pelos pontos Ix, yl da faixa de plano compreendida entre r e s, incluindo as retas r e s.
Temos então: G.189 Determinar os pontos P do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem as desigualdades: 1? caso:
Ixl > 1
2?
caso:
Ix + yl
3? caso:
Ix! + y
<1 >1
G.19D Determinar os pontos
4? caso: 5? caso:
Ixl + Iyl <;1 y - 2 > O e
6? caso:
1 < Iy I < 2
1?)
I x I <; e
1 <
Se
P(x, y) E t 2 então
dpr = dps,
isto é,
1
I x.l
EI (P)
< 3
I ..j ai
+
alx + bly +
CI
P do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem as desi-
E2 (P)
b;
..j a~ + b~
I I =
I
gualdades: 1? caso:
2?
caso:
3? caso:
13x - y + 6) (2x + 4y - 12) < 14x + 2y + 4) Ix - y - 1) ;;:. O x+y-l >-0 2x - y + 2 -
o. 4? caso:
x+ y -2<;Oey;;:'0 x - y
+ 1
G.191 Assinalar no plano cartesiano o conjunto no qual estão contidas todas as retas de equação x + y + c = O com c :(;-1.
92-G
2
..j a1 + que é a equação da reta
b2I .
= a2 x + b 2Y+C2
..j a1 + b~
t2.
93-G
Se
2'?)
P(x, V) E t,
então
dpr
=
dps,
isto é,
EXERCfclOS
E, (P)
G.192 Obter as equações das bissetrizes dos ângulos formados por Isl 8x - 6v - 1 = O.
I .J a~ + b~ sendo E, (P) . E2 (P)
<
(r) 3x + 4v
O e
Solução
O então
Pela teoria, temos: 3x + 4y
~
alx"+ bly + CI' ;_82 X + b 2Y+C2
Y64+36
2(3x + 4v) ± 18x - 6V - 1) = O 16x + 8vl ± (8x - 6V - 1) = O
.Ja~+b~
.J ai + bi
± 8x - 6y - 1 = O
Separando as equações, vem:
que é a equação da reta t,
(6x + 8vl + (8x - 6v - 1) = O ou [ 16x + 8v) - (8x - 6v - 11 = O
Resumo As equações das bissetrizes são
Resposta: 14x +
14x + 2v - 1 = O
~
-2x + 14v + 1 = O
- 1 = O e 2x - 14V - 1 = O
G.193 Determinar as equaçães das bissetrizes dos ângulos formados por (r) 3x + 3V - 1 = O e (s) 2x - 2v + 1 = O.
ai x+ b l Y + CI ± 82 X + b 2y+ C2 .0 ..ja~+b~ .Jat+ bf 86.
~
~
Exemplo
G.194 Oual é a equação do lagar geométrico dos pontos (r) 4x - 3V - 10 = O e (sl 12x + 5V - 13 = O.
P(x, V)
equidistantes das retas
G.195 Qual é a equação do lugar geométrico dos pontos (r) 3x + 4v - 15 - O e Isl 24x + 7v + 25 = O.
f'(x, vi
equidistantes das (etas
OLter as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas (r) 3x + 4V - 1 = O
G.196.Qual ;, a bissetriz do ângulo agudo formado pelas re.as (s) 3x + 2v + 1 = 07
(s) 12x - 5V = O
e
As equações são:
~0 ~--=--l. ±
vr9+16
=>
3x
4
4 'L-=---l ± li
12x - 5V
Y 144
O
~~
1;} -77 11 -21
94~G
-
3
obtemos as duas bissetrizes 2x + 3y - 1 + 3x + 2y + 1 = O
+ 25
12x - 5V 13
= _
1':')
=>
..,f4;9
O O ou
=>
13(3x + 4V -1) ± 5(12x - 5V) -21x + 77y - 13
Observemos que as bissetrizes são perpendiculares: _
O e
Solução
Resposta: 99x + 27V - 13
m,
Ir) 2x + 3v - 1
-
vs:;:4
(2x + 3v - 1) ± (3x + 2v + 1) = O • {Itll 2x + 3v - 1 + 3x + 2V + entao lt 2 ) 2x + 3V - 1 - 3x - 2v -
O 2':')
=0 =0
~x+v=O ~x-v+2=0 bis5
determinemos qual delas é a bissetriz do ângulo agudo. Para isso tomamos qualquer P E r e calculamos dPtl e dPt2' A menor distância corresponde
à
bissetriz do ângulo agudo.
95-G
PE r=
'* yp
2xp + 3yp - 1 - O
Como
xp.::.: 2
resulta
P12, -1 I E r.
Itjl x + V
121 + 1-11 1_1-1 ,
~
Vi 21_1
-'-
Vi
1
~ 1- J;-f
G.201 Dados
e
(r) x
-I-
5y
O e
O.
2°1
I
x 5 O
B13, OI
AlO, OI,
l?l
e
CiO, 41,
obter o centro da circunferência inscrita no A
B13,41 e C112, -51,
Aplicando determinante, obtemos
A,
no triângulo de vértices
IABI 4x - 3v = O,
AIO, O)
ICAI 5x
c
P
B
IBCI x + V - 7 = O,
12y = O
+
2':')
As equações das bissetrizes por A são:
5x + 12y V25 + 144
Y
6 O
- O =6x - 2v - O =1 ==> '3x _ V c O
1 O
B
C
+
3?)
13(4x _ 3vI ± 515x + 12v)
O
O O
c
Fazendo
E = 11 x + 3y,
O
então a bissetriz interna é
4?l
A intersecção de t2
_ {Itll 13v13 + V5lx - 1,j13 + 5V5lv - O entao r-:-= r:: r-:-= C It2) 13V 13 - V5)x - IV13 - 5V51v = O
f
uma diferença básica entre as duas bissetrizes é que a interna deixa B e C em semi-planos opostos enquanto a externa deixa no mesmo semi-plano. Tomando a bissetriz tI e fazendo
A distância AP
13V13 + V5lx - IV13 + 5V5'")v,
temos:
EIIBI - 13V13 + VSI·2 - 1V13 + 5v51·6 = -2SV5
temos:
EIB) = 11131 + 314) = 45 EICI = 111121 + 31-510 117
Interna ~
,j13 13x - vi ± V5 Ix - 5yl = O
E1ICI
'*
- 0 = x - 5v - O
equações das bissetrizes
EI
O
o
=
donde vem V
v10 - v26
96-G
C14, -31.
exlCrn;l
3x-y
3?l
estão em semi-planos
Solução
C15, 11? A
I
e C
as equações dos lados do triângulo:
equações de AB e AC x 2 O
B
terna AP do triângulo ABC.
Solução 1°I
têm sinais opostos,
calcular o comprimento da bissetriz in-
O
G.198 Qual é a equação da bissetriz interna, por
B12, 6)
e
G,200 Dados AIO, OI, triângulo ABC.
G.197 Determinar a bissetriz do ângulo agudo definido pelas retas
Isl4x - ~
E I (C)
G.199 Obter a equação da bissetriz interna, por B, do triângulo cujos vértices são A(5,4),
Temos:
1121~+ Resposta:
e
Yp - -1.
B11, 1) [
E 1 (B)
opostos em relação a t 1 .
_ 1 - 2xp 3
Fazendo
Seia
'*
1V13+ 5v51·1 = 14V13>0
3X - 11 V = O
x+v-7=0
=
(t2) 3x - 11 y
O
com BC é a solução do sistema
x
=
~
2'
V =
~ '* 2
PI
~ 21 2'2
V130 2
v130
Resposta:
2
G.202 Calcular o comprimento da bissetriz interna AS do triângulo cujos vértices são A(O, O),
8112, 51
e
eiS, 151.
97-G
VII. COMPLEMENTO -
87.
Seja
P.(x, V)
ROTAÇÃO DE SISTEMA
CAPÍTULO V
um ponto referido a um sistema cartesiano ortogonal xOV.
Se XOY é um sistema ortogonal com mesma origem que xOV e o ângulo entre os eixos x e X é a, dizemos que XOY foi obtido por uma rotação de xOV. y Nosso problema é estabelecer uma relação entre as coordenadas de P no novo sistema (XOY) e no antigo (xOV).
-v
x = OP I ,
x = OP 3
I
V
OP 2
I
I
Temos 1?)
OP
~
=
---->
P,
OP 3 + P3 P
Projetando os três segmentos sobre Ox, temos: ~
\
\
\ 88.
= P4 P, Y = OP 4 = P3 P
~
I. EQUAÇÃO REDUZIDA
\
Notemos que:
CIRCUNFERÊNCIAS
Dados um ponto C, pertencente a um plano a, e uma distância r não nula, chama-se circunferência o conjunto dos pontos de a que estão à distância r do ponto C" {P E a I PC = r}
circunferência
-----+
~
Definição
proj. OP = proj. OP 3 + proj. P3 P OP, = OP 3
-
•
rr
cos a + P3 P. cos(- + a)
2
À
Um ponto P(x, V) pertence a À se, e somente se, a distância PC é igual ao raio r.
X - cos a - Y - sen a
li =
89. Consideremos a circunferência de centro C(a, b) e raio r.
y
b
2?)
Projetando os três segmentos sobre OV, temos: ~
proj.OP OP 2
-
OP 4
=
y
-----+
~
=
proj. OP 4 + proj. P4 P •
-
o 2
+ Y - cos a
x
rr
cosa + P4 P. cos(- - a)
= X -sen Q
a
Chama-se equação da circunferência aquela que é satisfeita por todo ponto P(x, V) pertencente à curva. É imediato que um ponto genérico P E À verifica a condição PC = r, portanto temos: P E À <=>
PC
=
r
<=>
-J (x
- a)2 + (V - b)2
e, dar, vem a equação reduzida da circunferência
(1 )
98-G
99-G
Assim, por exemplo, a circunferência de centro C(5, 6) e raio r ~ 2 tem equação (x - 5)' + (y - 61' ~ 4; a circunferência de centro CI-l, -2) e raio r '" 3 tem equação (x + 1)' + (y + 2)2 '" 9; a circunferência de centro CIO, O) e raio r '" 4 tem equação x' + y' '" 16. Inversamente, toda equação da forma (I), com r' > O, representa em um sistema cartesiano ortogonal uma circunferência de centro Cla, b) e raio r.
1) quais são as condições que A, que ela represente uma circunferência?
B, C, D, E,
F devem obedecer para
2) quais são as coordenadas do centro? 3) qual é o raio?" Para resolver o problema, comparemos as equações: x' + y' - 2ax - 2by + (a' + b' - r') '" O
Assim, por exemplo, a equação (x·· 21' + (y .. 3)' '" 1 representa uma circunferência de centro C12, 3) e raio r '" 1; a equação (x + 21' + (y + 31' = 1 representa uma circunferência de centro C(-2, -31 e raio ~ 1; a equação x' + y' ~ 1 representa uma circunferência de centro CIO, OI e raio r '" 1.
x' + -
(11)
B C D E F y' + - xy + - x + - Y + A A A A A
O
(111')
Notemos que (111 é certamente a equação de uma circunferência e (111'1 foi obtida dividindo (111) por A (suposto não nulo), portanto (111') equivale a (111). Para que as equações 111) e (111 ') representem a mesma curva Icircunferência), devem ser satisfeitas pelos mesmos pares ordenados (x, V), isto é, devem ser equivalentes e, para isso, devem apresentar coeficientes respectivamente iguais:
11. EQUAÇÃO NORMAL
90.
Desenvolvendo a equação reduzida 111, obtemos:
(x' - 2ax + a') + (y' - 2by + b'l
--+ -
B A
termo xy
--+
-
termo x
--+ - -
termo y
--+ -
r'
isto é.
o
(111
chamada equação normal da circunferência. Assim, por exemplo. a equação uma circunferência de centro C( 1, 1)
termo y'
x' + y' .. 2x - 2y .. 7 ~ O representa e raio r '" 3 pois equivale a
C A D A
-2a= a
D 2A
E
E '" -2b= TI A
termo independente
--+
2A
F A
a' + b' _ F
A
F
Ix - 1)' + (y .. 11' '" 9.
A
Notemos que r é número real positivo então D' + E' .. 4AF
111. RECONHECIMENTO
>
r'
>
D'+E'-4AF 4A'
O portanto
O
é condição necessária para a existência da circunferência.
91.
Vamos examinar agora um problema importantíssimo: "dada uma equação do 2 0 grau, em x e y, com coeficientes reais.
Vamos responder as três perguntas feitas pelo problema:
I) \ B
Ax' + By' + Cxy + Dx
pergunta·se:
100-G
+ Ey + F
O
±
A 4= 0,
C '" 0,
D' + E' - 4AF
>
O \
(111) Quer dizer que uma equacao do 2 0 grau só representa circunferência se x' e y' tiverem coeficientes iguais, se não existir termo misto xy e se
101-G
for real e positivo
2)
o
e
Solução a) não, porque
A ~ 1 e
b) não, porque
C
~
1
(x 2 e V2 não têm coeficientes iguais)
B ~ 3
(existe termo misto XV)
centro (- 2A' - 2A} c) não, porque D2 + E2 - 4AF ~ 16 + 36 - 180 (o rajo seria um número complexo)
D2 + E2 - 4AF ~ 4 + 4 - 8 ~ O (o raio seria nulo)
d) não, porque
rei sim, porque A ~ B ~ 2, C ~ O, D2 + E2 92,
-138
4AF ~ 16 + 36 + 24 ~ 76> O
-
Observações 1~)
Se uma das três condições necessárias (A ~ B O, C ~ O, D2 + E2 - 4AF > O)
*'
não for satisfeita, a equação Ax 2 + BV2 + CXV + Dx + EV + F ~ O não representa circunferência mas pode representar uma cônica ou a reunião de duas retas ou um ponto ou o conjunto vazio. Sobre este assunto deve-se ler o item 159 deste livro. 2~) Quando a equação de uma circunferência apresenta x 2 e V2 com coeficientes unitários (A ~ B ~ 1) as coordenadas do centro e o raio podem ser calculados assim:
a
E 2'
b
3~1 Outro processo prático, quando A ~ B ~ 1, para obter centro e raio é passar a equação para a forma reduzida (x - a)2 + (V - b)2 ~ r2 , onde a leitura de a, b, r é imediata.
93.
Exemplos
102-G
Solução Temos a
A D
2
Resposta:
~ B ~
1,
1,
D
~
E
b
2
centro (1, -
-2,
1,
E
F
~
-1,
então:
r2 ~ a2 + b 2
1 2'
~
O
-
F
~
1
+ -..l + 1 4
3 2
~) e raio 2
3?) Obter o centro e o raio da circunferência À cuja equação é 4x 2 + 4 V2 - 4x - 12V + 6 ~ O Solução Dividimos a equação por 4: 3 x 2 + V2 - x - 3V + 2
O
e aplicamos as fórmulas simplificadas:
1?) Qual das equações abaixo representa uma circunferência? a) x 2 + 3V2 - 5x - 7V - 1 c; O b) x 2 + V2 + xV - 4x - 6V - 9 ~ O c) 3x 2 + 3 V2 + 4x - 6V + 15 ~ O d) x 2 + V2 - 2x - 2V + 2 ~ O el 2x 2 + 2 V2 - 4x - 6V - 3
2?) Achar centro e raio da circunferência À cuja equação é x 2 + V2 - 2x + V - 1 ~ O
a
2
;,
b~-~
a2 + b2 - F
r2
Resposta: centro
D
~
1
(2'
-ª-) 2
e raio
1 +~ 4 4 ~
1
3
2 3 2
9 4
EXERCfclOS
G.213 Determinar
a, {3
e 1 de modo que a equação
ax 2 +
y2 + (3XY + 6x + 8y + 'Y = O
represente uma circunferência de raio 6.
Solução G.203 Determinar a equação da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos:
1°)
CIO, O)
e
3
4°1
CI2,4)
2°1
C12, O)
e
4
5°)
CIO, -3)
3°)
CI-l, -21
e
r = 5
e e
CI.2- ~I 2' 2
6°1
1'?1
r =
A C
r = 2 e
r =4 2':'1
G.204 Qual é a equação da circunferência de centro
Cll, 21
que passa por
(x, y)
1°1 3°)
=
6,
Resposta:
a
4°1
2x 2 + 2 y2 - 8x - 6y = O
5°)
3x 2 + 3y2 - 6x + 12y + 14
temos:
= 1, (3 = O e
36
=<> 1 = 36 + 64 - 144
4
'Y
4
-11
-11.
1';»
Para que a circunferência passe pela origem, o pJnto (O, O) 1? membro da equação, portanto: 02 + 02 - m • O - n • O + P = O = p O
2';)
Para que a circunferência exista, devemos impor: 2 2 O + E - 4AF = m 2 + n2 - 4 • 1 • O = m 2 + n2 > O
Resposta: G,209IMAPOFEI-761 Se Ax 2 + Ay2 + Bx + Cy + O uma circunferência, determinar o centro e o raio. G.210 Para que valores de uma circunferência?
m e k a equação
O
IA
1= OI
mx 2 + y2 + 4x - 6y + k
o
representa Solução
A=B=m=l 0 2 + E2 _ 4AF > 0 = 16 + 36 - 4mk > O = ==> k e
m 2 + n2 > O
G.215 Qual deve ser a relação entre m, n, p para que a circunferência de equação x 2 + y2 _ mx - ny + p = O tenha centro na origem?
1?)
m = 1
p =O e
deve anular o
é a equação de
Solução
k
<'g 4
=
k
Para que a circunferência tenha centro na origem devemos impor: a
16 + 36> 4k==> b
< 13
< 13.
2?)
2A
m = 0= m = O 2
E 2A
2
O
Resposta:
mx 2 + y2 + 4x + 6y + k = O mx 2 + 2y2 + 2x + 8y - k = O mx 2 + y2 + 2x - 4y + k ~ O
G.212 Determinar a, b, c de modo que a equação represente uma circunferência.
n
0=
n
O
Para que a circunferência exista, devemos impor: 0 2 + E2 - 4AF = 0 2 + 0 2 - 4 • 1 • p > 0 = p
G.2t1 Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
104-G
36 + 64 - 41
Solução
O
G.20S IMAPOFEI-74) Determinar ° centro e ° raio da circunferência cuja equação é 4x 2 + 4 y2 - 12x + 12y - 7 = O.
2°) 3':')
1
G.214 Qual deve ser a relação entre m, n, p para que a circunferência de equação x 2 + y2 - mx - ny + p = O passe pela origem?
G.207IMAPOFEI-761 Achar a equação da reta que passa pelo centro da circunferência Ix - 31 2 + Iy - 21 2 ~ 8 e é perpendicular à reta x - y - 16 = O.
1°I
=
(3 = O
do plano cartesiano representem uma circunferência.
x 2 + y2 - 6x + 4y - 12 = O x2 + y2 - 8x + 7 = O x2 + y2 + 8y + 6x = O
Resposta:
r
a
B ==<> O==>
0 2 + E2 - 4AF 4A2
G.20G Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências:
2°)
Se
PIS, SI?
G.205IMAPOFEI-74) Indicar as condições que devem ser satisfeitas pelos coeficientes da equação ax 2 + by2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f ,--- O, para que os pontos de coordenadas
Vamos impor duas condições necessárias para que a equação represente circunferência:
m = n = O e
p
G.216 Dada a circunferência de equação x 2 + y2 - mx - ny + p = O pede-se a relação entre m, n e p para que a circunferência tangencie os eixos. 2x 2 + ay2 + bxy + 3x + 4y + c
O
G.217 Um quadrado tem vértices consecutivos AIS, OI da circunferência circunscrita ao quadrado.
e B(-l, OI. Determinar a equação
105-G
Podemos resumir esta teoria assim: dada a circunferência À de equação x 2 + y2 -_ 2ax - 2by + a2 + b 2 - r2 ~ O, seja f(x, y) o polinômio do primeiro membro, isto é:
IV. PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
94. Vamos resolver o problema: "dados um ponto P(xo, Yo) e uma circunferência À de equação (x - a)2 + (y - b)2 ~ r 2 , qual é a posição de P em relação a À7" Calculemos a distância de
P(xo, Yo)
até o centro C(a, b)
e comparemos
f(x, y)
~
(x - a)2
+ (y - b)2 _ r2
Quando é dado P(xo, Yo), cuja posição em relação a determinar, substituímos (xo, Yo) em f, isto é, calculamos:
À
queremos
fIxo, yol ~ (xo - a)2 + (Yo - b)2 - r2
com o raio r. São possíveis três casos: 1? caso:
então, conforme vimos: f(xo, yol
P é exterior a À
>O
<=
f(xo, Yo) ~ O <=
Isto ocorre se e somente se
f(xo, Yo) PC> r isto é
<=
P exterior a À PE À P interior a À
o (xo - a)2
ou melhor
>
+ (Yo - b)2
l
(xo - a)2
+
r2
(Ylf - b)2 - r2
95.
>O
I
Exemplos 1?) Qual é a posição de Temos
P(2, 3)
(À) x 2 + y2 - 4x ~ 07
e
f(x, y) ~ x 2 + y2 - 4x
então:
2? caso: P pertence a À
f(2, 3) ~ 2
2
+ 3 2 - 4(2)
5
>
O ""
P exterior a À
I sto ocorre se, e somente se PC
~
r
--.
isto é (xo - a)2
+ (Yo - b)2
~ r2
o
--~--
2':1) Qual é a posição de Temos
P(O, O)
f(x, y) ~ x 2 + y2 -
fIO, O)
~ 02 + 02 -
PC
c:
,
isto é (xo - a)2 + (Yo - b)2
ou melhor
106-G
liXO -
<
lo
r2
a)2 + (Yo - b)2 - r2
Temos
-----c-:/.)
vI3 x + v'2 Y ~
07
vI3 x + v'2 Y
V3 . O + v'2 . O ~
3':1) Determinar a posição de
Isto ocorre se, e somente se
(À) x 2 + y2 -
então:
ou melhor
3 0 caso: P é interior a À
e
P(O, 1)
e
O ""
PE À
(À) 2x 2 + 2y2 + 5x + y - 11 ~ O.
f(x, y) ~ 2x 2 + 2y 2 + 5x + y - 11 ~ O
então:
p
fIO, 1)
2(0)2 + 2( 1)2 + 5(0) + 1 - 11 ~ --8
""
P interior a À
.. 96. Notemos que substituir P(xo, Yo) na função f(x, y) é muito mais simples que calcular PC e comparar com o raio r, pois obter C e r é uma Operação trabalhosa principalmente se a equação da circunferência tiver coeficientes irracionais.
107-G
G.219 Determinar~ posição de P em relação à circunferência
1':')
P(2, 11
e
2':'1
PI-4, -51
3':'1
PIO, OI
(Ã) 2x 2 + 2 V2 ~ 9
{X2+
V2
x + V
3
Solução
(ÃI x 2 + V2 + 2x + 2V - 2 : O
e
e
~
G.223 Reso Iver o sistema de inequações:
À nos seguintes casos:
1?)
IÃI x 2 + V2 - V3x + 1TV - 1 : O
G.220 Determinar p de modo que o ponto equação x 2 + V2 - 2x - 2v - p = O.
AP, 9)
.Conforme vimos, o conjunto solu-
ção da inequação f(x, vi ~ x2 + V2 - 9 .;;; O
seja exterior à circunferência de
~ o círculo de centro na origem e raio 3.
Solução
Fazendo
m,91 portanto:
p
2':'1
x 2 + V2_- 2x - 2v - p, devemos ter: fl7, 91> O 7 2 + 9 2 - 2 • 7 - 2 • 9 - p ~ 98 - p > O
f(x, V)
Elx, V)
< 98.
Resposta: -2
;>
p > -2. 3?)
3a l 4al
x2 + V2 .;;; 9 x 2 + V2 ;;. 4
x2 + V2 + 2x + 2V - 7 .;;; O x2 + V2 - 2x - 2V + 1 > O
Como as inequações são simultâ-
é o segmento circular da figura
ao lado.
{ x 2 + V2 ;;. 4
Conforme vimos, o conjunto-solução da inequação
O
Resposta: o conjunto-solução do sistema
x 2 + V2 .;;; 25
§olução 1~)
=
neas, basta fazer a intersecção dos dois conjuntos já obtidos.
v
G.222 Resolver o sistema de inequações:
x + V - 3 .;;; O
x + V- 3
< p < 98.
G.221 Resolver as seguintes inequações: 1ai 2a )
=
é o semi-plano que contém a origem, definido pela reta
Para a existência da circunferência, devemos ter
0 2 + E2 - 4AF = 4 + 4 + 4p > O
Também vimos no capitulo V que o conjunto-solução da inequação
G.224 Resolver os seguintes sistemas:
5
+V 2 ;;'1
+
V2 .;;; 9
x2 + V2 .;;; 25 3':') { x2 + V2 _ 12x + 20 ;;. O
fi x, vi = x 2 + V2 - 25 .;;; O é o círculo de centro na origem e raio 5. 2':')
40 1
Também vimos que o conjunto-sa=
x 2 + V2 - 4 ;;. O
é o plano cartesiano menos o conjunto dos pontos interiores à circunferência de centro na origem e raio 2. 3'?)
Como as condições são simultâneas, basta fazer a intersecção dos
dois conjuntos já obtidos. Resposta: o conjunto-solução do sistema é a coroa circular da figura ao
lado.
""
G.225 IMAUÁ-651
Achar a região do plano de pontos P, cujas coordenadas (x, li) satisfazem as relações x + y ~ 2 e x 2 + y2 ~ 16. Pede-se fazer o gráf ico da solução.
lução da inequação
glx, V)
x2 + V2 ,,;;: 1 { x+V;;'l
x
G.226 Dados os conjuntos: A ~ {Ix, vi I x2 + V2 .;;; 25} B = {Ix, V) I x 2 + V2 - 2x + k .;;; O} determinar k para que 8 seja subconjunto de A. G.227 (MACK-71) São dados os conjuntos: A B
I x 2 + V2 - 4x + 6V .;;; 3} {(x, V) I x + 3v .;;; k}
{Ix, V)
a) Determine os valores de k para os quais A é um subconjunto de B. b) Determine os valores de k para os quais A e B são disjuntos.
111-G 110-G
A interpretação geométrica que podemos dar a estes exemplos é clara:
VI. RETA E CIRCUNFERÊNCIA
99.
s e À são secantes e À silo tangentes e e À são exteriores
Intersecção (s) Ax + Bv + C ~ O e uma circunferência achar a intersecção de r com À é determinar os que pertencem às duas curvas.
Dadas uma reta
(À) (x - a)2 + (v - b)2 ~ r2 .
pontos
P(x, v)
É imediato que
P E r e
r
P E À,
101. Posições relativas A posição relativa de uma reta (s) Ax + Bv + C ~ O e uma circunferência é determinada pesquisando o número de soluções do sistema: Ax + Bv + C ~ O 2 . [ (x - a)2 + (v - b)2 ~ r
portanto, P satisfaz o sistema:
(À) (x - a)2 + (v - b)2 ~ r2
Ax + Bv + C ~ O lJx - a)2 + (v - b)2 ~ r2 que pode ser resolvido facilmente por substituição.
Conforme vimos, aplicando o método da substituição, a equação da circun· ferência se reduz a uma equação do 2? grau a uma incógnita.
100. Exemplos 1?)Obter a intersecção de
(s) v
x
É o discriminante (6) dessa equação que define o número de soluções do sistema e, portanto, a posição da reta e da circunferência.
(À) x 2 + V2 ~ 2.
com
Substituindo, temos:
1
6
v
~
>O
y
sacantes
<=
2= -1
Os pontos comuns a s e À são
P(1, 1)
~
v
I
Resposta: s n À ~ {( 1, 1), (-1, -1)} 2?) Obter a intersecção de
(t) v ~ x -. 2
com
O <= tangentes
6
e 0(-1, -1).
(À)
x 2 + V2 ~ 2.
Substituindo, temos: x2 + (x - 2)2 ~ 2=> 2x 2 - 4x + 2 ~ O=> x ~ 1 = v
-1
6
<= exteriores
I
o
x
102. Exemplos
Só há um ponto comum a t e À, que é P( 1, -1) 1?) A reta V ~ 2x + 1 e a circunferência x 2 + V2 - 2x ~ O são· exteriores pois, substituindo v, temos: x 2 + (2x + 1)2 - 2x ~ O ~ 5x 2 + 2x + 1 ~ O 6 ~ b 2 - 4ac ~ 4 - 20 ~ - 16 < O
Resposta: t n À ~ {( 1, -1)} 3?) Obter a intersecção de (e) v (À) x 2
~
x - 3
+ V2
~
com 2.
Substituindo, temos: x 2 + (x - 3)2 ~ 2 = ~ 2x 2 - 6x + 7 ~ 0 =
e
j
x E IR
2?l A reta 3x + 4v ~ O e a circunferência secantes pois, substituindo v, temos: x 2 + (_ 3x ):;
4
Não há ponto comum a e e À Resposta: e n À ~ flÍ 112-G
6
~
T
X
+ (_ 3x) - 1 ~ O
4
=
x 2 + V2 + x +·v - 1 ~ O são 25x 2 + 4x - 16 ~ O
4 2 - 4(25)(-16) ~ 1616> O
113-0
103. A posição relativa de uma reta lu) Ax + By + C ~ O e uma circunferência C\) (x - a)2 + (y - b)2 r 2 pode ser determinada com mais facilidade, comparando a distância entre o centro e a reta com o raio. São possíveis três casos:
lI? caso Aa + Bb + C
.J A2
<
+ B2
r
<=>
(%'
secantes
R
Aa + Bb + C
.J A2
<=>
Aa + Bb + C A2 + B2
.J
I
>
r
<=>
exteriores
então u
.J 32
<
r é:
(ri 3x + 2y + 17
o
O e a circunferência (;\1 x 2 + y2 + 6x + 8y + 12 b)
o
O,
a intersecção de r com À x 2 + y2 - 5x + 4y + 4 ~ O
encontra o eixo dos x. x 2 + y2 + 4x + 6y = O encontra
G.232 Determinar os pontos P e Q onde a circunferência a reta cuja equação é 3x + 2y + 12 = O.
G.233 Dadas a circunferência
2
G.234 Determinar
<3
rência
Ix - 1)2 + y2
+ 42
c
de
o
4
(ri
modo que a reta
(ÀI x 2 + y2 - 2x - 2y + 1
e a reta
x
para que valores de k
k
o
4x - 3y + c = O
seja exterior
à circun.fe-
O.
Solução 1 y = 4x 3+ c
G.228 Calcular a distância do centro da circunferência
x 2 + y2 + 5x - 7y - 1
O.
IrI 4x + 3y
O em relação à circunferência O? x 2 + y2 + 5x _ 7y _
G.229 Qual é a posição da reta
o
à reta
O
donde vem: 25x 2 + (8c - 421x + (c2 - 6c + 9) o O cujo discriminante é ['; o (8c - 421 2 - 100lc2 - 6c + 91 ~ -.36c2 - 72c + 864 Para que r seja exterior a À devemos impor [';
o
o
2~:
e substituímos na
<2 + I 4x + C)2 _ 2x _ 2( 4x + c I + 1 3 3
EXERCfclOS
o
:::::=: 4,4.
r é secante.
R,
Da 1 ~ equação tiramos
-36c 2 - 72c + 864
<
O "" c2 + 2c - 24
< O,
portanto:
< -6
>O
"" c
(x -
11 2 + (y - 11 2 - 1
ou
c
>4
Solução 2
Solução 1 Da 1~ equação
x -= - 3
y
4
;
A circunferência À. tem equação reduzida
substituindo na segunda:
(_ 3Y)2 + y2 + 51- 3y I _ 7y _ 1 4 4
portanto seu centro é C( 1, 1) o
O
der
>
Solução 2 A circunferência tem centro
isto é, C(-
%'~)
e raio
e seu raio ê
R
o
Resposta: c
~
1
4111 - 3(11 + c I ~
lé + 1)2
< -6
ou
> 25 c
o
O
1.
Para que a reta r seja exterior a À devemos impor
9 y2 + 16y2 - 60y - 112y - 16 o O 25y2 - 172y - 16 ~ O "" ['; ~ b 2 - 4ac O "" r é secante
114-G
v'iã -2-
+ 1
G.231 Determinar. os pontos P e Q onde a circunferência
e À são secantes.
4x + 3y
~
25 + 4
a reta intercepta a circunferência em pontos distintos?
3(0) + 4(0) -
duC ~
j
ai a posição relativa de r e À
lu) 3x + 4y - 1O ~ O e da
Assim, por exemplo, qual é a posição da reta circunferência (À) x 2 + y2 9?
d
G.230 Dadas a reta pede-se:
!G/~
39 caso
o
d
C~'
tangentes
+ B2
+ b2 - F
A distância do centro à reta
Como
21? caso
~ .J a 2
der>
R,
portanto:
I~I > 1 5
"" c 2 + 2c - 24
>O
"" c
< -6
ou
c
>4
> 4. 115-G
G.235 Dadas a reta
(r) x + V + c = O e a circunferência de modo que r seja exterior a i\.
G.236 Determinar as equações das paralelas à reta rência x 2 + V2 = 25.
0>.1 x2 + V2 - 2x
O, obter c
G.241 Determinar o comprimento da corda determinada pela reta x - y
ferência
o
3x - 4v + 1
exteriores à circunfe-
:o;
O sobre a circun-
Ix + 2)2 + Iv - 21 2 = 16.
G.242 Determinar o comprimento da corda determinada pela reta circunferência de centro
C(1, 1)
e raio
2
x + y - 2
O sobre a
V2.
G,237 IEPUSP-59) Quais são as equações das retas paralelas ao eixo dos x e tangentes à circunferência (x - 1)2 + (V _ 21 2 = 9?
G.243 Determinar as áreas dos triângulos isósceles inscritos na circunferência (À) x 2 + e que têm base sobre a reta Irl 3x - 4V + 30 = O.
G.238 IFAUUSP-68) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação 2x 2 + 2 V2 + 4x + 1 = O e é perpendicular à reta de equação x + 2v - 1 = O.
G.244 Determinar os vértices do triângulo retângulo inscrito na circunferência de equação x2 + y2 _ 2x + 4y = O o qual tem hipotenusa paralela à reta 2x + y - 1 O e
CI-2. +1)
=
100
o;:
um cateto paralelo "à reta
G.239 Obter a equação da .circunferência de centro equação 4x + 3V = O.
y2
x - 4
-=
O.
e que tangencia a reta de
G.240 Qual é o comprimento da corda que a reta (s) 7x - 24V - 4 circunferência IÀl x 2 + V2 - 2x + 6V - 15 = O.
O determina na
G.245 IMACK-721 Dadas a circunferência x2 + y2 - 4x - y + 1 = O e a reta 3x + 2y - 500 - O. determinar a área de um triângulo inscrito na circunferência e com lados paralelos aos eixos cartesianos e à reta dada.
Solução 1 Vamos resolver o sistema formado pelas equações de s e À:
2x ~
25x 2 - 8x - 368
=
O
~
x
=
l 4
ou
,
em
G)
V
=
7x - 4 - - portanto 24
x =4 x
6i ~ I - 15 24 92 x:=; - 25 T
~
92
= __ 25
V= ~
V
=-
=
O ~
VII. DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
104. Intersecção
31 25
Dadas duas circunferências Assim. os pontos de Intersecção de r com À são logo:
A14. 11 200 25
Solução 2 A circunferência À tem equação redu·
zida:
Ix - 11
2
+ Iv + 31
2
então seu cer.tro é raio é r 5.
-
25 .~ O Cll. -3)
Pelo teorema de Pitágoras: Q2 4
+
d 2 = r2
Resposta: Q = 8
116-G
Bl- 92 _ 31 ) 25' 25' 8
P''i )( x - a,) 2 +
e seu
=..2? 25
3
(y -- b,) 2 = r~
e (À 2 )(x - a2)2
+ (y - b 2 )2
= r~
achar a intersecção de À, com À2 é determinar os pontos P(x, y) que pertencem às duas curvas. Se
=;;
dCs =/7(1) - 241-3) - 41 ,.149+576
e
Plx, y)
pertence a À, e À2 , então
f
(x (x
2 ad a2)2
+ +
(y (y
P satisfaz o sistema:
2 bd b 2 )2
r~
2 r2
que pode ser resolvido assim: I) subtrai-se membro a membro as equações; 11) isola-se uma das incógnitas da equação do 1 C? grau obtida e substitui-se em uma das equações do sistema.
117-G
105. Exemplo Obter a intersecção da circunferência de centro C, (O, 2) com a circunferência de centro C 2 (1, O) e raio r2 ~ 1. Temos: (X-0)2+(V 2)2~4 "" { (x - 1) 2 + (V - O) 2 oc 1
X2 + V2 - 4V { x 2 + V2 - 2x
-41 + 2x ~ O "" x Substituindo na 1a ci unferência vem:
Subtraindo, vem:
(2V - 0)2 + (V - 2)2 ~ 4
donde{~u~ 0 = V
y
29 caso:
4 -
5
=
~
""
e raio
2 pois
O
--
O
2V
5 V2 - 4V
ci rcu nferências tangentes exter iormente
3 0 caso:
O
o
x
y
O
x
2V
x ~ 2V
\d=lrl-rzl
8 5
;\, n;\2 ~
~
d
Assim, as circunferências têm dois pontos em comum: P(D, O) Resposta:
r,
e O(
~
~)
5' 5
8 4 {(D, O), (-, ~)} 5
pois p
C, P - PC 2 L...y..-J
,,----..-.-J
rI
r2
--t------------------
circunferências tangentes interiormente
O
x
5
4'? caso: 106. Posições relativas
I
Ir, - rzl < d < rI +rz
y
pois
A posição relativa de duas circunferências (;\I)(X - a,)z + (V - b,)z ~
d
e
(;\2)(X - az)z + (V - b 2 1z ~ r~
é determinada comparando a distância C, C 2 entre os centros com a soma rI + r2 ou com a diferença r, - r 2 dos raios. I
1
d
Calculada a distância entre os centros:
~
C, P, + P, C 2
~
L.y.:.J
r,
>
r,
-
r2
>0
o
circu nferências secantes
x
são poss(veis seis casos distintos: y
5'? caso: I'? casa:
y
O";;d< I rt - -r 2 1
pois
pois d
C,P, + P,P 2 + P 2 C Z ~
r,
~
-> O
d
~
C I P, - C 2 P2 -- P, P2
'------.,---J
rI + r2
r,
'-r-' r2
circunferências exteriores
118-G
>
o
x
'------v---' '2
<
r, - r2
'------.,---J
>O
circunferência de menor raio é interior ---:--t---------O
..
à outra.
119-G
6 0 caso:
G.247 Qual é a posição relativa de IÀI e IÀ'I nos seguintes e IÀ') x2 + y2 1°) IÀI x 2 + y2 ~ 36 2 O 2x + 2y2 4x e IÀ'I x 2 + y2 2°1 IÀI 2 + y2 IÀ) IÀ') x 8 e x2 + y2 + 3°1 2 y2 ; t 8x 6y IÀ'I x 2 + y2 O e 4°1 IÀI x
y
o
d
circunferências concêntricas (é caso particular do
50}
IÀ) x 2 + y2
49
casos:
6x - 8y + 21 2x - 3 O
~
O
6x + 6y + 17 - O
2x ~ O IÀ') x 2 + y2 + 6x + 8y + 21
e
O
5':» G.248 Obter a intersecção das circunferências
o
x
107. Exemplo
x 2 + y2
(À,)
~
49
(À 2
e
)
x 2 + y2 - 6x - 8y
-
Ix 2 + y2 _ 1001 - I x 2 + y2 - 12x - 12y + 681
11
O?
->
À2 dC,
c2
centro
C, (O, O)
e raio
r,
7
centro
C 2 (3, 4)
e raio
r2
6
~
r
V (3 - 0)2 + (4 - 0)2
Comparando com a soma dos raios: r, + r2,
conclulmos que
À,
o
O =
O
y
~
14 - x
À,
e À 2 não podem ser concêntricas, uma
(C, C 2
<
com
2x 2 - 28x + 96
100 =
14x + 48 _ O
~ ou
Resposta:
À
n
8
x
=
y
o
0=
14 - 6
8
14 - 8
6
À: = {16, 81,18,61}
r] + r2 r]
e
C] C 2
+ r2 ou com
x 2 + y2 _ 8x _ 2y + 7 - O
e
x2 + y2 - 6x - 4y + 9 _ O,
achar seus pontos de intersecção.
G,250 IFAUUSP-691 As circunferências de equação
À] e À 2 são secantes,
Notemos que este é o caso que exige mais cuidado pois são necessárias duas C] C 2
c
G,249IMAPOFEI-741 Dadas as circunferências
conclu Imos que
Por exclusão, comparações
O => x + y - 14
l
C, C 2 ~ 5 e r] + r2 ~ 13 portanto e À2 não podem ser exteriores, nem
interior á outra ou tangentes interiormente,
comparar
~
rx=6= y
5
Comparando com a diferença dos raios: C, C 2 ~ 5 e r, - r2 ~ 1 portanto r, - r2,
x 2 + 114 - x)2 :::::) xl -
tangentes exteriormente,
>
12x + 1 2y - 168 Substituindo y em À:
À,
C, C 2
O.
Subtraindo membro a membro, temos:
Temos:
<
IÀ') x 2 + y2 - 12x - 12y + 68
e
Solução
Qual é a posição das circunferências
C, C 2
IÀI x 2 + y2 _ 100
>
r, - r2);
r] - r2,
nos demais casos, ao
já podemos tirar a conclusão.
x 2 + y2 - 6x - 2y + 6 - O x 2 + y2 - 8x - 4y + 10 ~ O interceptam-se nos pontos A e B. Determinar a distância do centro da circunferência de raio maior à feta AB.
G.251 Obter as circunferências de centro x2
EXERCfclOS
+
Y2
C(3. 1)
+ 2x + 6y
e tangentes à circunferência
= O,
G.246 Qual é a posição relativa das circunferências
x 2 + y2
49
x2 + y2 - 6x - 8y + 21
e
O?
Solução
Ternos:
x'
+ y2
c
49
=>
C, la, O)
'1
7
x 2 , y2 _ 6x - 8y + 21 O => C 213, 41 e 2 dC,C, '\/C;-3 - 01 + 14 - 01 2 ~ 5 - " - '2 Resposta:
120-G
'2
c
2
tanqentes inter iormente
121-G
CAPÍTULO VI
PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS Há duas coleções de problemas clássicos sobre circunferências que merecem um destaque especial: problemas de tangência (entre reta e circunferência) e problemas de determinação de circunferências.
I. PROBLEMAS DE TANGÊNCIA
108. lI? Problema
"Canduzir as tangentes a uma circunferência dada". v '(X) (x - a)2 + (y.- b)2 = r 2 dados (s) Ax + By + C = b
~ada,
paralelas a uma reta
t
paralelas a s obter: tI e t2 { ta ngentes a X Solução I) Consideremos a equação do feixe de retas paralelas a s (veja item 41):
Ax + By + k
=
O
o
x
11) às retas tI e t2 desse feixe correspondem dois valores particulares de k na equação do feixe. Para determinar esses dois valores (k l e k2 ), devemos impor. a condição de tangência:
dCtl
dCt2
123-G
Logo
G.253 (MAPOFEI-75) Escrever as equações das retas tangentes à circunferência x 2 + y2 _ 8x - 8y + 24 = O, paralelas à reta y = x.
~r
·IA.a+B'b+kj + B2
v'iJ
G.254IMAPOFEI-741 Determinar as equações das retas tangentes à circunferência x2 + y2 - 2x - 2y + 1 O e perpendicular à reta x = -v.
(Aa + Bb + k)2
o-
donde vem: k2 + 2(Aa + Bblk + (A 2 a 2 + B2 b 2 _ A 2 r2 _ B2 r2 )
o
G.255 Obter as equações das retas (t) tangentes à circunferência (À.I e que formam àngulo com a reta (r) nos seguintes casos:
e
equação do 2'? grau cujas ra Izes são k, e k 2 .
(À.I x 2 + V2 - 4x - 6y - 12 - O.
1'?1
f) _ 90°
Ax + BV + k 1 O e Ax + BV + k 2 ~ O
Resposta:
G.256 Obter a equação de uma reta paralela a
109. Aplicação
(À.I x 2 + y2 _ 25
e
(ri x + 2y - O
e
Iri x + 3y - O
e
I ri 3x + y - 7 - O
(r) y = 3x
uma corda de comprimento
que determine na circunferência
Q - 6.
Determinar as equações das retas t que são paralelas a (s) 12x + 5y + 1 ~ O e tangentes a IÀ.) x 2 + V2 - 2x - 4V - 20 ~ O. Solução 1'?)
IÀ.)
2l?)
110. 2l? Problema
centro e raio de À.
é (x - 1) 2 + (V - 2) 2 - 25
0==
C(1,2)
e
dada".
equação de t t
# s == (t) 12x + 5V + c
dCt
~
r "'"
c + 22 Resposta:
IllUL
~
í (À.I (x - a)2 + (V - b)2
O
+ 5(2) + c
dados
I
5
V144 + 25
I c + 221 ~
~
"Conduzir por um ponto dado as retas tangentes a uma circunferência
5
P(
Xo, Vo
)
passando por P obter tI e t 2 , { tangentes a 1\
65
± 65 "'" c ~ 43
t
ou
c
12x + 5V + 43 ~ O ou
~
-87
12x + 5V - 147
Solução
O
Utilizando a teoria do item 94, verificamos inicialmente qual é a posição P em relação a À.. Existem três casos posslveis: EXERCICIOS G.252 Determinar as equações das retas reta (ri nos seguintes casos:
(ti
tangentes à circunferência
1°)
(À.) x 2 + y2 - 4
e
2°)
(À.) x2 + y2 _ 6x + 4y _ O IÀ.I x 2 + y2 + 4x - 10y ~ 4 - O
e
y I r1 ~ + 2 2 (r) y - 3x
e
IrI 5x + 2y + 7 _ O
3°1
124-G
(À.I
e paralelas à
<
tI? caso:
r 2 --> Po o problema não tem solução.
21? caso:
(xo - a)2 + (Vo - b)2 ~ r2 --> Po
(xo - a)2 + (Vo - b)2
é interior à circunferência e
o problema tem uma única solução:
pertence à circunferência: tI ~ t2'
125-G
y
y
y
It I
//-,) -I) l . '. l\:(~'b~ Polxo, yol
(/
Cla, b)
•....._
..
I
x
=
se
Xo
11)
se
Yo = b--+
111)
se
a
--+
a equação tangente é
m
y
'"t
Resposta:
=
..
=
Ix
x
Yo
I = x~]
a
Determinar as equações das retas t que passam por P(2,3) e são tangentes (;\) x 2 + y~ - 2x - 2y - 3 = O, Solução 10)
Xo - a
~ Yo - b
centro e raio de' Ã (Ã)
30)
(x - 1)2 + (y
é
=
vi (2
- 1)2
a equação da tangente é [.
3
>
a - Xo Yo - b
(xo - a)2 + (Yo - b)2 r 2 --> P o problema tem duas soluções.
I) Consideremos
+ (3 - 1)2
3 - 1 2 - 1
6y
=
2 =
--- =
6x
=
C(l, 1)
e
r =
V5
V5 = r =-
P E Ã ==> 1 solução
t, por P, perpendicular a CP mcp = - -
y - Yo
1)2 - 5 = O ==>
número de soluções dcp
impondo a condição de tangência:
Yo - b
e
111. Apl icação
2<;»
m(x - xo)
tlPoC=>m=-
y-yo=ml(x-xol y - Yo = m2(x - xol·'
~---_.-/
o
I = r
equação do 2':1 grau (geralmente) donde se tiram mj e- m2 (")
consideremos o feixe de retas de centro Po : y - Yo
e determinemos
I
a equação da tangente é
Xo = a e Yo = b,
Cla, b)
I
o
+ (yo - m • Xo) vi m2 + 1
1
"
ç:):'"'
Polxo, yol
para satisfazer a condição de tangência:
m . a - b
"
:
I)
Calculemos os valores de m
,If
11
1
mt
mCp
2
(x - xo)
PE t
1 2
é exterior à circu nferência: o
°
feixe de retas concorrentes- em P o , Sua equaçãO" é:
Resposta:
(t)
é y - 3
x + 2y - 8
- .!
2
(x - 2)
==
x + 2y .. 8
O
O
EXERCfclOS
G.257 Obter as equações das retas It} tangentes à circunferência lÃ) conduzidas pelo ponto P nos seguintes cas?s:
y-Yo
m·(m-xo)
isto é, mx - y + (yo - mxo) = O
11) As retas tI e t 2 constituem retas particulares desse feixe que obedecem à condição de tangência:
10) 2°) 3°) 4°)
lÃ) x 2 + lÃ) x2 + lÃ) x2 + lÃ) x2 +
y2 y2 y2 y2
= -
25 6x + 2y - 15 = O 12x - 12y + 47 = O 4x - 5 = O
P{-3, 4)
e
e
PI6, 3) P16, 13)
e
PI-', 7)
(*) Pode ocorrer que a equação acima seja do 1? grau: isto significa que uma das tangentes
é perpendicular ao eixo Ox e, portanto, não tem coeficiente angular. Sua equação é:
Ix 126-G
e
- Xo
I 127-G
>
G.258 (MAPOFEI-711 É dada a circunferência x 2 + V2 + 2av ~ O, a O, e a reta x + a = O. Seja P um ponto do eixo Ox de abscissa À. Por esse ponto conduzem-se as tangentes à circunferência. a)
Exprimir as coordenadas dos pontos de tangência em função de À e de a.
b) Provar que os pomos de tangência e o ponto
a,
de ordenada
"A,
da reta x
+a
== O,
estão ai inhados.
11. DETERMINAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS
112. Em Geometria Analítica, "obter" ou "construir" ou "determinar" uma circunferencia significa obter a sua equação:
(x - al 2 G.259 Determinar as tangentes à circunferência de abscissa 1.
x2
+
V2
+ 4x + 6v + 9
O
À(x + 2y) + p(x - 3y) = O tangentes à circunferência
P(-2, 3)
e são
12x +
x 2 + V2 - 6x - 4v + 12 = O
+ y2 + 5x + 4y + a
xl
ser resolvida.
o
113. Não devemos, na resolução desses problemas, esquecer os seguintes três v
1 0 1 Um ponto Plx o, Vol pP.rtence a urna circunferência li de centro C(a, bl e raio se, e somente se, a distância entre C e P ê igual ao raio.
2v + 36 = O
e
G.264 A circunferência
,.2
A maioria dos problemas de determinação de circunferencia apresenta como Incógnitas a, b e r, portanto, necessita de tres equações independentes para
tópicos da teoria já dada:
G.263 Determinar as equações das retas pela origem externas às circunferências V2 -
c
~ O.
G.262 Determinar o coeficiente angular das retas que passam pejo ponto externas à circunferência xl + y2 - 2x + 4y = O,
x2 +
Iv - bl 2
pois, tendo-se a equação, estão determinados o centro Cla, b) e o raio r e, aSSim, a circunferencia está localizada perfeitamente no plano cartesiano.
G.260 (MAUA4361 Determinar as retas do feixe: À(3x + 4V - 101 + MI3x - v-51 tangentes à circunferência de equação x 2 + y2 + 2x - 4y == o. G.261 Determinar as retas do feixe
4
x 2 + y2 + 6x - 6y - 7 = O nos seus pontos
o
determina no eixo Ox uma corda de
comprimento 3. Calcular a.
-x
G.265 Obter a equação de uma reta que passe pela origem e determine na circunferência (À)
(x -
+ Iv +
1)2
1)2 = 4
uma corda de comprimento Q
G.266 Obter a equação de uma reta que contenha
(11.1 x2 +
V2
?(2, 3)
=
2V3.
e determine na circunferência
uma corda de comprimento Q = 2.J5.
=9
G.267 IMACK4381 A reta
2x + V
=
O
contém o diâmetro de uma circunferência. Uma
reta, que forma ângulo de 45° com a primeira e tem declive positivo, corta a circunferência no ponto (1, 1) e determina sobre a'mesma uma corda de comprimento
v!1õ
20 ) Urna reta (si Ax + BV + C = () é tangente a uma circunferencia li de
v
centro C(a, b) e raio r se, e somente se, a distância entre s e C é igual ao rala.
unidades. Estabelecer as equações da segunda reta e da circunferência. G.268 Obter a equação da reta que contém P(l, 21 e determina na circunferência de equação x 2 + y2 = 25 uma corda cujo ponto médio é P.
s tg À <=>
I
~
r
o
x
G.269 Determinar a área da superfície delimitada pelos eixos e pela tangente à circunferência xl + y2 = 8 no seu ponto (2, 2). G.270 Obter as equações das tangentes comuns às (x -
3§.1 2 + 3
128-G
V2
c
9.
circunferências
xl
+ y2
64
e
3'?) Uma circunferência 11. 0 de centro Co (ao, b o ) e raio r o ê tangente a outra circunferencia li de centro C(a, b) e raio r se, e somente se, a distância entre
Co e C
é igual à soma ou á diferença dos raios,
129-G
115. 2? Problema "Determinar uma circunferência À que passa pelos pontos Plx" y,) e tem raio r (dado)".
e
Solução
y
y
P I (XI, YI)
P I EC À P2 EC À
o
sistema
@,
<==
IXI
<=
Ix,
S)
resolvido, dá os valores de
a e b
lincógnitos).
Exemplo
o
x
-l-------=:::::==:::::::..---x
O
Determinar a equação da circunferência que contém
A(-3, Oi
e BIO, 31
e tem raio 3.
Vejamos agora alguns problemas clássIcos.
A EC À
<==
(a
+ 3)2 + Ib - 0)2 ~ 9
(DI
B EC À
<==
(a - O)' + (b - 3)' ~ 9
®J
Desenvolvendo e subtraindo membro a membro, obtemos:
6a + 6b
114. 1? Problema
e
"Determinar uma circunferência P, (x 2 , y,) e P 3 (X 3, Y3)".
À
que passa pelos pontos
p\ (x \, VI I,
Substituindo
@
Solução
em
=O
(D,
~
a
vem:
(a + 3)' + (-a - O)'
p\ EC À <==
(a - xd' + (b - YI)' ~ r'
P, EC À <==
(a
P 3 EC À <==
la - X3)' + (b - Yl)' ~ r'
x,)' + (b
y,)' ~ r'
Este sistema é equivalcnte ao seg\Jinte: XI (-2a) + VI (-2b) + l(a' + b' - r 2) - (xt + X2 (-2b) + Y, (-2bl + l(a' + b' - r')
=
donde
y1 I
f
= O ou a ~ -3
Resposta:
-b
=
~
b
~
O
~
CIO, O)
~
b
~
3
~
CI-3, 3)
x' + y'
9 ou
9
~
2a' + 6a
Ix + 3)' + (y - 3)'
O
9
-(xª+yª)
x 3 1-2c) + V3(-2b) + 1(a' + b' - r') ~ -(x~+y~) cujas incógnitas são
-2a, -2b, a' + b' - r 2
Resolvido o sistema, tiramos
a, b, r.
Um exemplo deste problema é o G.12 do cap(tulo I.
130-G
116. 3? Problema "Determinar uma circunferência À de centro Cla, b) a reta
dado, que é tangente
Is) Ax + By + C ~ O dada".
131-G
Exemplo Solução 1 Ax + 8y + C ~ O -->
f
® (x-a )2 + (y- bl2
Obter uma circunferência que passa por à reta (s) x + y + 1 ~ O
equação da reta tangente 2
~r-->
[eqUaçãO de uma circunferência de centro C e ra io r
AEÀ BEÀ
Por substituição obtemos uma equação do 2'? grau em x ou em y. A condição de tangência é que !', ~ O . nessa equação. Impondo essa condição, calculamos r (única incógnita). Solução 2
s tg À
= = =
r =
2a - 2b
@) @)
I
~
e 8(1, O) e é tangente
(a - 0)2 -r (b - 1)2
~
r2
G)
(a - 11 2 + (b - 0)2
~
r2
®
(a
Desenvolvendo e subtraindo
Notamos que r é a distância de C à reta dada, isto é:
A(O, 11
CD
e
~
b
G)"",
em
@"'"
@
::::: r2
YT
O "'" a
em
r
+ b + 1
@
membro a membro temos:
®
a 2 + (a - 1) 2
~
r
(a + a + 1
r2
:-:- r 2
V2
Donde vem: Exemplo
a 2 + (a - 1)2 ~ ( 2a + 1 \ 2
Obter uma circunferência de centro no ponto (si x - y + 3 ~ O. r
C{ 1, 2)
"'"
v'2 Resposta: (x - 1)2 + (y - 21 2
2a 2
2a + 1
~
4a 2 + 4a + 1
?
Y2 )
e tangente à reta
2
~
.~
a
Q
1
"'"
8
/---\
1
--
b
8
~)
1 64
r2
"'"
-
+
49 64
25 32 -
25 32
Resposta:
2
118. 5'? Problema 117. 4'? Problema
e
"Determinar uma circunferência À que passa pelos pontos P I P2 (X2' Y2) dados e é tangente à reta (si Ax + By + C ~ O dada". Solução
(XI,
yll
"Determinar uma circunferência À que passa por P{x I, y, I dado e é tangente às retas (si AI x + B I Y + C, ~ O e (t) A 2 x + B2 Y + C2 ~ O dadas". Solução
+ (b - y 11 2 ~ r 2
PEÀ
=
s tg À
=
A I a + B 1 b + C1
t tg À
=
A a + 8 b +
®
-
X I) 2
) 2
~ r2
V Ai + B; . 2
2
C2) 2 ~ r2
2 2 y / A 2 + B2
Resolvido o sistema (SI, obtemos as incógnitas Resolvido o sistema
a, b. r.
(S), o.btemos as incógnitas a, b, r.
133-G 132-G
Exemplo
119. 6<:' Problema P(O, O)
Obter uma circunferência que passa por (s) 3x + 4y + 2 ~ O e (t) 4x - 3y + 1 ~ O. P E À
=
s tg À
<=c
G)
~ + 21
@
3a +
t tg À
Ç::=:?
Comparando
@
I 4a - 3: + 1
~
~
I
"Determinar uma circunferência À tangente às retas dadas (s) A1x + B,y + C 1
(a - 0)2 + (b - 0)2 ~ r 2
=
e é tangente às retas
r
O,
=
s tg À
t tg À
S)
vem:
<===:- ~->
=
a
3a + 4b + 2 ~ - (4a - 3b + 1)
=
3a + 4b + 2
~
4a - 3b + 1
7b + 1
(l0
=
u tg À
ou 2a)
®
Substituindo
@'
em
13QIJ--+ 1~ + 4b + 2
~ r
b
- 7a - 3
decorre: 2 25b + 4b O
=
+ B~
( A2 a + B2 b + C2 \ 2
!A3 a \ J
+
-)
B~
-
+ B,b + C \l .'
I,
A 2-' + B2-'
r2
r2
'I
,/
"Determinar uma circunferência À que tem centro em C(a, b) dado e é tangente à circunferência (Àol (x - a o )2 + (y - b o l 2 ~ r5 dada,"
(D,
e em 2 (7b + 1)2 + b ~ (5b + 1)2
C3~
120. 7 0 Problema
r ~ 15b + 11
=>
(u) A 3 x + B 3 y +
cYJ
decorre:
8,
®
Substituindo
V A~
J Ai
Temos então, duas possibilidades: 1a I
O e
A,atB1b+
@
r
~
(t) A,x + B2 y + C2
Solução
.~
@'
e
~
Solução Vamos impor a condição de tangência:
(la solução) ou
b
~
-
4@
a
=;>
~
-
25 Por outro lado, substituindo
3G)
25
(j)
~
em
1 5
r::::
@'
Dessa equação tiramos r que é a única incógnita, (2 a solução) Exemplo
decorre:
Obter uma circunferência À de centro
@
fi)
a
Resposta:
134-G
,ri-
IR
pois
D,
< O,
(x - 1)2 + y2 ~ 1
isto é, ou
tangente a
(Ào)(x - 1)2 + (y - 1)2 ~ 4.
Q)
Substituindo e em decorre: 2 a 2 + (7a + 31 2 ~ (5a + 2)2 "" 25a + 22a + 5 ~ O donde
C(4, 5)
À tg Ào
não há soluça0, (x +
l ) 2 + (y + 25
então 4 )2 25
1 25
=
(r ± 2) 2 ~ 25 Resposta:
""
dcC o ~ r ± ro
=
r ± 2 ~ 5
""
r ~ 7
~ 49
ou
(x - 4)2 + (y - 5'l
(4 - 1)2 + (5 - 1)2 ou
r ~ 3
(x - 4)2 + (y - 5)2
9
135-G
O."
122. 9l? Problema
8!l Problema
121.
"Determinar uma circunferência À de raio r dado que tangencia a circunferência (Ào)(x - ao)2 + (V - b o)2 ~ r~ dada no ponto P(xo, Vo) dado".
"Determinar uma circunferência À que passa por P I (XI, VI) e P2 (X2' V2) e (À o ) (x - ao)2 + (V - b O )2 ~ rf,".
é tangente a
Solução
Solução Para obter das soluções do usar a teoria da ~ C divide Co P
os centros (C ou C') problema é conveniente razão: na razão
® P~ {
P
~
À EC À
Ào tg À
r2 (a - X2) 2 + (b - Y2)2 ~ r2 (a - ao) 2 + (b - bol 2 ~ (r ± ro )2 (a - X d 2 + ,b -
= = =
Resolvido o sistema
C'
~
divide CoC' C'P
~ -r
Obter uma circunferência À que passa por é tangente a (À o ) x 2 + y 2 ~ 1.
Exemplo
Ào tem centro
Co (O, O)
e raio
na razão
CoP CP
~
divide
O+ a
~~
{" O
Obter uma circunferência de raio no ponto P(4, 3).
C
CoP
.~ 3
~
1 +
·4
a
2 3
5
C' divide
CoP
na razão
3
que tangencia
b
-
-
3
-.2 3
~
25
P2 E À =<> Ào tg À ==>
(a - 0)2 + (b
Comparando
5 - 3
O+ e
(À o ) x 2 + V2
r ~ 5. 2 3
(I)
@
Comparando
3 -
6. 5
i
a'
~
1 + (-
Resposta:
136-G
(x -
-ª-) 3 ~)2
32 5
0+ (e
a
5 + 3 .--3
CoC' C'P
+ (b - 3)2
b'
~
1 + (-
3
a 3
24 5
-
--ª-)
e
e
Ii @
01 2 ~ (r 1: 1)2
®
resu Ita:
~ i + (b - 3)2 => a ~ b + 1
®, @
e
P2 (O, 3)
'--~
~
resulta:
~ a2 + b 2 ± 2r - 1 => r ~ ± (3b - 5)
([2)
e
em
Q)
@
resulta:
(b - 3)2 + (b + 1)2 ~ (3b - 5)2 => 7b 2 - 26b + 15 ~ O
~
~)·3
@
e
(a - 4)2 + (b + 11"
então
2 1 + 3
a
O + (- - ) . 4 3
a, b, r.
P1(4, -1)
(a - 4)2 + (b + 1)2 ~ r 2 (a - 0)2 + (b - 3) 2 ~ r 2
Substituindo ---+
(S), obtemos as incógnitas
Exemplo
na razão
CoP
yd 2 ~
3
+ (V - ~)2 ~ 9 ou (x _ B )2 + (V 5 5 5
então
r
3
=>a~4
=>
r
12 7
=>
~
4
ou b
Resposta:
~ ~ 7
=>
a
~
-
r
(x - 4)2 + (V - 3)2 ~ 16
1 7
~-
ou
(x _ g)2 + (V
7
137-G
EXERCICIOS
123. lO? Problema "Determinar uma circunferência À que passa por P I (XI, YI) e é tangente às circunferências {Àol (x a o )2 + (y b O )2 rõ e (À,)(x - a,1 2 + (y - b l )2 ~ ri."
,G.271 Determinar O omtrQ e o ralO da circunferência que passa pelos pontos de intersecção das retas x + y + 1 = 0, x = O e y O. G.272 Determinar a circunferência circunscrita ao triângulo de vértices
"
A(5, 4), 8(6, 1)
CI-3. -21.
Solução (a - xd 2 + (b - yd 2
= = =
PI E À
(i) { Ào tg À ÀI tg À
G.273 'Obwr uma circunferf'!ncia de raio 3 que tem centrO na bissetriz do 1? e 3? Quadrantes
r2
e tanqP.ncia a reta
(a - ao)2 + (b - b o )2 (a - aI) 2 + (b - bI! 2
(r ± r o l (r ± rI) 2
Resolvido o sistema (S), obtemos as incógnitas
G.2740bwr uma circunferência,
às retas
a, b, r.
(Àol(x - 3)2 + (y - 4)2 ~ 9
e é tangente a
P(O, 2)
(Àt!(x - 3)2 + (y + 4)2 ~ 9.
e
'" '" '"
(a _ 0)2 + (b _ 2)2
G)
r2
~
(a _ 3)2 + (b - 4)2
{r ± 3)2
(a - 3)2 + (b + 4)2
(r ± 3)2
O,
a usando -
e -
usando + e
-
a usando - e +
a
b
sabendo que é tangente
x,
o.
lOque são tanqentes à feta
G.277 Achar as equações das circunferências tangentes aos eixos a reta x - 3y -+- 4 O.
G.280 Obter a equação da circunferência que passa por x + y O na origem.
@
e
Q!.y:
~
O e r
~
4x + 3y - 70
~
=
O no
cujo:; centros estão sobre
~
O e
··2
2- _- .4_ Y7 - - ,b 3
lnão serve)
-2 - 2
Y7,
r
8 +8
Y7
3
obtemos
3
Y7
P(6, 8)
e
b
-2 + 2
e é tangente à reta
P'(24, 32)
G.283 IMACK-69) As retas r, s, t são tais que:
obtemos:
2 + 4
G.281 Achar as circunferências que passam por a reta It) y o o.
A(6, O)
e são tangentes
G.282 Achar a equação da circunferência que tangencia o eixo dos y no ponto e determina no semi-eixo negativo dos x uma corda de comprimento 24.
2
, obtemos:
O, b
a
4a )
centro está no eixo dos
x - V - 1 -'--
0;0
usando + e + e resolvendo, obtemos:
3?)
CUJO p
G.279 (EPUSP-64) Achar a equação da circunferência de raio não unitário que passa pelo ponto A(1, -2) e tanÇlencia as retas x O e y O.
® ®
Há quatro possibilidades por causa dos duplos sinais em
2~)
O
G.278 Obter a equação da circunferência que passa pela oriÇ)em e é tangente às retas Ir) 2x + 3v o O e Isl 3x + 2v + 2 o O.
Solução
À1 tg À
O.
G.276 Obter a equação da circunferência que passa pela oriqem, tem centro na reta y '-' 2 e tanqencla a rpta (I) x + y - 8 "" O.
Obter uma circunferência À _que passa por
Ào tg À
x + y - 3
G.275 Achar as circunferências de raio ponto 110. la}.
Exemplo
P E À
3x + 4y + 1
2
V7.
r
-8 + 8 3
Y7
x + y + 1 =O
1':')
A equação de r é
2°)
As retas r e s formam
3°)
s passa pela origem
4°)
t passa por
5°)
s é perpendicular a t
Um
ângulo de
7T
4
rad
11, 2)
Pede-se: ai a equação de s b) a equação de t cl a equação de uma das circunferências tangentes a r, s, 1.
(O, 5)
G.284 Achar as circunferências de raio 3 que são tangentes a
P(S, 8), G.285 Achar as circunferências de centro
eIS, 12)
0
2
x +
y2
'=
100 no ponto
2
e tangentes a x + V2
G.286 Determinar as equações das circunferências tangentes à circunferência no ponto (4, 3) e que têm raio unitário.
2
+
y2
= 25
0
Se
P(x, V)
I
G.287 Achar as circunferências que passam por P(Q, 3) e P'(4, -1) e são tangentes externas
a
ri
x + V2 ~ 1 2
é ponto do eixo radical, então
(x - ad 2 + (V - bd 2 -
ri
=
kl
=
k 2,
G.289 (MACK-71) Mostre que existem duas circunferências, C 1 e Cl, de centros fora do eixo Ox, raio 12, passando pela origem e tangentes à circunferência C ,de equação x 2 + y2 _ 40x + 384 = O. Determine as coordenadas dos centros e as coordenadas dos pontos de contacto de C com Cl e de C com C2. G.290 Escrever a equação da circunferência que tangencia a reta 2x + y + 4 '= O no ponto 2 de ordenada 2 e determina na circunferência x + y2 '= 1 uma corda paralela ao eixo dos x.
2 G.291 Provar que as circunferências Ix - 1)2 + Iv - 21 _ S e Ix + 21 + Iv - 1)2
=
S são or-
isto é:
(x - a2)2 + (V - b 2 )2 - r~
donde vem:
G.288 Obter a equação da circunferência tangente à reta 3x + 4y - 12 = O e à circunferência x 2 + V2 + 2x - 8 ~ O no ponto P(2, OI.
2
= r~,
chama-se eixo radical o conjunto dos pontos do plano cartesiano que são equipotentes em relação às duas.
1. x
125. Dadas duas circunferências não concêntricas (À,)(x - al)2 + (V - bd 2 = e (À 2 )(x - a2)2 + (V - b2 )2
o
*
*
que é a equação do eixo radical. Como a2 aI e b 2 b, pois as circunferências não são concêntricas, está provado que o eixo radical é uma reta.
126. Assim, por exemplo, o eixo radical das circunferências (x - 1)2 + (V - 1)2 = 4 tem equação: x 2 + V2 - 9
togonais, isto é, as retas que ligam cada centro a um ponto de intersecção das circunferências são perpendiculares.
=
x 2 + V2
9 e
(x - 1)2 + (V - 1)2 - 4
donde vem:
2x + 2V - 7
O
111. COMPLEM ENTO 124 Dados um ponto P(xo, Vo) e uma circunferência (ÀI (x - a)2 + (V - b)2 chama-se potência de P em relação a À o número real
=
2 r ,
Confrontando com a teor ia do item 94, observamos que: a) se P é exterior a À, então b) se P pertence a À, então c) se P é interior a À, então
14D-G
k k
=
k
>O O
Matemático foge para a religião Blaise Pascal, francês, tinha como o pai, Etienne Pascal, inclinação para a Matemática. Pascal, aos doze anos, participava com seu pai de reuniões informais na Academia de Mersenne em Paris, onde conheceu as idéias de Desargues. Baseado nelas, aos dezesseis anos publicou "Ensaio para as Cônicas" com apenas uma página mas a de maior importância para a História. Nela estava o Teorema de Pascal sobre hexágonos inscritos numa cônica, a partir do que deduziria muitos corolários como, por exemplo, o que dá a construção da tangente a uma cônica por um ponto dela. Aos dezoito anos Pascal dedicou-se à construção de uma máquina de calcular e no ano seguinte vendeu aproximadamente cinquenta delas. Em 1648 interessou-se por hidrostática do que resultaram experiências sobre peso do ar e pressão de fluidos. Em 1654 voltou à Matemática com o trabalho "Obra Completa sobre Cônicas", que não chegou a ser publicada mas onde, segundo Leibniz, se utilizava de métodos sintéticos pois, Pascal não dava a merecida atenção e importância ao uso da álgebra simbólica e suas notações, estando neste aspecto bem atrasado em relação a seu tempo. Em uma carta enviada a Fermat, Pascal dá o ponto de partida real para a moderna teoria das probabilidades, ligando este assunto ao triângulo aritmético de Cardan, que, desde então, é conhecido como "triângulo de Pascal", descobrindo algumas novas propriedades. Em 1654, com habilidade excepcional no esclarecimento de conceitos, torna-se responsável, com Fermat e outros, pelo desenvolvimento dos métodos intuitivos ou "indução matemática A 23 de novembro de 1654 Pascal abandona a Matemática e Ciência, dedicando-se inteiramente à Teologia sobre a qual escreveu a obra "Cartas Provinciais" e "Pensamentos"_ Mas, numa noite de 1658, impedido de dormir por uma dor de dentes ou malestar e, para distrair-se, começou a estudar as ciclóides, achando volumes, áreas e centros de gravidade. A dor passou milagrosamente e Pascal tomou isso como sinal de aprovação de Deus ao seu estudo da Matemática. Esta foi a última notícia Blaise Pascal que se tem da obra deste matemático ex(1623 - 1662) tremamente religioso.
CAPÍTULO VII
CÔNICAS I. ELIPSE
127. Definição Dados dois pontos distintos 2c a distância entre eles.
F 1 e F z,
per t encen t es a um i pano ",' se]!!
Elipse é o conjunto dos pontos de ". cuja soma das distâncias a FI e F z é a constante 2a(2a > 2c). 8,
I
elipse = {p E "
PF 1 + PF z
2a}
Assim, temos: QF,+QF z =2a RF I + RF z = 2a SF I + SF z = 2a AIF I + AIF z = 2a BIF I + BIF z = 2a Az F I +A z Fz =2a BzF I + BzF z = 2a Notemos que
AI Az = 2a
AIFI+AIF z
•
o
--00_-
~~---
pois:
82 2c - - - - - I
2a~~~_·1
AzF z + AzF I
então x
porta nto
x
+ (x + 2c)
y + (y + 2c)
y.
143-G
128. Elementos principais
a2 x 2 _ c 2 x 2 + a 2 y2 = a 4
8,
FI e F 2 -> focos O -> centro A 1 A 2 -> eixo maior B, B2 -> eixo menor A, 2c -> distância focal 2a -> medida do eixo maior 2b -> medida do eixo menor c -> excentricidade
b2 x 2 + a2y 2 = a2b 2
relação notável:
I
a = b
2
+c
2
x2 a2
A,
82
I
y2
-t W = 1
Assim, por exemplo, uma elipse com eixo maior 10 e distância focal 6 apresenta:
a
2
a2c
_
(a 2 _ C2 )X 2 + a2y2~= a 2 (a 2 _ c 2 )
a
y
=
a2
-
c2
=
25 - 9
=
16
x
c = 129. Equação reduzida Se a posição da elipse é a indicada na figura, isto é,
Tomemos um sistema cartesiano ortogona I ta I que
A 1 A2 Lx
e
y
A, A 2 C x
B I B2 C y.
É evidente que os focos são os
e
B j B 2 C y,
x
F 2 (c, O)
Nestas condições, chama-se equação reduzida da elipse a equação que P(x, V), ponto genérico da curva, vai verificar.
130, Analogamente ao que vimos no item 129, se a elipse apresentar y
A dedução é imediata: P E elipse <== PF I + PF 2 = 2a
PF 1 + PF 2 = 2a ~_ 0)2 + (y + C)2 + y'r-(-x-_-0-)72-+-(y-_-C~)2 =
então:
.J (x
+ C)2 + y2 = 2a -
.J (x - C)2 + (y .J (x _ C)2 + y2
=
- 0)2
2a
(x + C)2 + y2 = 4a 2 _ 4a y' (x _ C)2 + y2 + (x _ C)2 + y2 )1.2 + 2cx + f-2 + '12 =; 4a 2 - 4a
I
6
temos:
y' (x + C)2 + (y - 0)2 +
82
1-.----- lo~-1
2
x + y2 25 16
pontos: F j (-c, O)
e
então sua equação é:
.J (x
- C)2 + y2 + ~2 - 2cx +
==>
a2 (x_c)2+ a 2 y2
rl + ,i
2a
(notemos que esta relação é a mesma que se obtém permutando x com y na relação inicial do item 129) e, daí, decorre a equação da elipse:
x
4cx - 4ª2 = -_~:j (x _ C)2 + y2 ay'(x-c)2+ y 2=a 2 -cx
(a 2 _cx)2
1
- 4-f--"_,('. 144-G
145-G
Assim, por exemplo, uma elipse que tem centro no ponto 0'(7,8) semi-eixo maior a = 5 e semi-eixo menor b = 4 apresent;; equação:
Assim, por exemplo, uma elipse com eixo maior 10 e eixo menor 8, na posição indicada na figura, isto é, A,A 2 C Y e 8,8 2 C x, tem equação:
(x' - 7)2" ---
25
2
~ + x 16 25
+
16
ou (x - 7)2
16
16
(y _ 8)2
10
ou ainda: x2
+
+
(y _ 8)2
25
L
25
EXERCfCIQS
A, B
_i
G.292 Determinar as equações das elipses seguintes: a)
b)
131. Se uma elipse tem centro no ponto O'(xo Yo) e A, A2 li x, sua equação em relação ao sistema auxiliar x'O'y' é: -+cc--*--~-o-+--
y
portanto, de acordo com as fórmulas da translação vistas no item 72, sua equação relativamente ao sistema xOy é: Yo
d) 14,31
1
,
~
o
X
Xo
(4, -])
y
f)
-6
1
y
Yo
+
e)
A2 ,
Analogamente, se uma elipse tem centro no ponto O'(Xo, Yo) e A , A 2 li y, sua equação relativamente ao sistema xOy é:
+y'
82
S
~
1
,
~
O
lo
,
~
A,i
,
'o 146-G
~
x
147-G
G.293 Determinar as coordenadas dos focos de cada elipse do problema anterior.
Assim, temos: G.294 (MAPOFEI-76) O ponto C = (3, 2) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coorde· nados. Se os eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados, escreva a equação
OF, - OF 1
2a
da elipse.
RF, - RF I
2a
G.295 (MAPOFE 1-75)
As
metades do
eixo
maior
SFI-SF2~2a
e da distância focal, de uma elipse
10 em e 6 cm, e seu centro é o ponto (4, -2). Se o eixo menor é paralelo ao eixo coordenado Ox, escrever a equação reduzida dessa medem, respectivamente,
el ípse.
2a C\) 25x 2 + 169y2
G.296 Calcular a distânda focal e a excentricidade da elipse
= 4225.
G.297 Determinar a equação da elipse Com centro na origem, que passa pelo ponto P(1, 1) e tem um foco
FI 1-
ví3 2
OI. ,
G.298 Cunstruir o gráfico da cênica cuja equação é 25x'" + 16y dos focos.
G.299 Determinar os focos da cônica de equação
Ix -
, - 400
e obter as coordenadas
Notemos que o módulo é abolid0 desde que façamos a diferença da maior para a menor distância. Se um ponto X está no ramo da direita, temos: XF j Se
1)'
-
XF,
~
2a
25
>
I--- 2a-1
XF,
X está no ramo da esquerda, 2a
G.299 Determinar os focos da cênica de equação
XF 1
temos:
25
Ix _ 11 2
pois
pois
XF,
>
XF j
•
Iy - li' - - - - 4. 9
133. Elementos principais G.300 Qual é a equação do conjunto dos pontos F 1 lo, -6) e F (O, 10) é 34?
P{x, y)
cuja soma das distâncias a
o
-+ centro
AI A, -+ eixo real ou transverso 8 1 8, -+ eixo imaginário 2c -+ distância focal 2a -+ medida do eixo real 2b -+ medida do eixo imaginário
11. HIPERBOLE
c -+ excentricidade
a
relação notável:
132. Definição
Dados dois pontos distintos F I e F" pertencentes a um plano a, seja 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos de a cuja diferença (em valor absoluto) das distâncias a F, e F, é a constante 2a (O < 2a < 2c). hipérbole ~ {P E a II PF j
148-G
-
PF,I ~ 2a}
Notemos que, sendo a hipérbole uma curva aberta, o significado geométrico do eixo imaginário B18, é, por enquanto, abstrato.
149-G
135. Analogamente ao que vimos no item 134, se a hipérbole apresentar A,A 2 C V e 8,8 2 C x" temos: v
134. Equação reduzida Tomemos um ortogonal tal que A, A 2 C x
PF, - PF 2 = ±2a
sistema cartesiano
J (x - 0)2 + (V + C)2 - J(x - 0)2 + (V - C)2 = ± 2a e
8, 8 2 C V.
(notemos que esta relação é a mesma que se obtém permutando x com V na relação inicial do item 134) e, daí, decorre a equação da hipérbole:
É evidente que os focos são os pontos:
F, (-c, O)
e
F2 (c, O)
Nestas condições, chama-se equação reduzida da hipérbole a equação que P(x, V), ponto genérico da hipérbole, vai verificar. A dedução é imediata: P E hipérbole ~ [PF, - PF 21
=
ar
+ C)2 + (V - 0)2 + C)2 + V2 =
,j (x
J (x - d
+ (V - 0)2 = ± 2a
- C)2 + V2 ± 2a r------,:-_;:_
J (x
_ C)2 + V2 + 4a 2 ~--~---=.1cx - .1a 2 = ±.4.a ,j (x - C)2 + V2 => ex - a 2 = ±a ,j (x _ C)2 + V2 (ex - a 2 )2 = a 2 • (x _ C)2 + a2 v2 (x + C)2 + V2
=
(x _ C)2 + V2 ± 4a
c 22 x - 2a 2 ex + a 4 = a 22 x - 2a 2 ex + a 22+ c a 22 V 2 2 (c2 _ a2 )x 2 _ a2 v2 = é(c2 ~ a 21 ~ b x - a 2 v2
- 1)2x
:;;:
1
Assim, por exemplo, uma hipérbole com eixo real 6 e distância focal 10, na posição indicada na figura, isto é, AI A 2 C V e B,8 2 C x, tem equação
então:
J (x J (x
2
y2
2a
x
f. 9
que evidentemente não é equivalente a:
= a2 b2 136. Se uma hipérbole tem centro no ponto O'(xo, Vo) e A, A 2 1/ x, sua Y equação em relação ao sistema auxiliar x'O'V' é:
Assim, por exemplo, uma hipérbole com eixo real 6 e distância focal 10, apresenta: b2 = c' - a2 = 25 - 9 = 16 Se a posição da hipérbole é a indicada na figura, isto é, AI A 2 C x e 8,8 2 C V, então sua equação é: 2
x 9
150-G
_
L
=
1
(X')2
7
(V')2
- 7
=
1
portanto, sua equação relativamente ao Yo sistema xOV é: x
o
Xo
x
16
151-G
y
Analogamente, se uma hipérbole tem centro no ponto O'(x o, Vo) e AI A 2 li v, sua equação relativamente ao sistema xOV é:
G.302 Obter a distância focal da hipérbole cuja equação é , G.303
lar a excentricidade da hipérbole cuja equação é
Yo
------------~---------
O':
2
9x 2 - 25/ ~ 1.
G.30S Determinar as coordenadas dos focos da hipérbole cuja equação é 9y2 - 16x
Assim, por exemplo, uma !JUe tem centro no ponto semi-eixo real a = 4 ~ imaginário b 3 apresenta (x - 7)2
(V - 8)2
16
9
(V _ 8)2
(x - 7)2
16
9
hipérbole 0'(7, 8). semi-eixo equação: O
2
'" 144.
x'
G.306 Obter os focos da cônica cuja equação é
Ix _
1)2
---
7
Iy - 1 )2
_ 1
2
G.307 Determinar a equação da hipérbole que tem as seguintes propriedades: seu centro é a origem b) um de seus focos é FI lO. -2) cI um de seus pontos é Pll. V3i a)
xo
x
se
AI A 2 li x
111. PARÁBOLA
se
AI A 2 li V
137. Definição Dados um ponto F. e uma reta d, pertencentes a um plano 0:, com F d, seja p a distância entre F e d. Parábola é o conjunto dos pontos de o: que estão a mesma distância de F e de d.
ri-
EXERCíCIOS G.301 Determinar as equações das hipérboles seguintes: a)
36
I
Iy - y o l2
ou
2
G.304 Construir os gráficos das cônicas 1:\) x 2 - y2 ~ 1 e (:\') y2 - x2 _ 1. São coincidentes?
I A2
8
('..a leu
x
b)
parábola
{P E o: I P F
Assim, temos: VF = VV' PF = PP' OF = 00' RF = RR' 5F = 55'
Pd}
=
d
P'
Q'
'l
138. Elementos principais V'
di
x
~
4
F -+ foco d -+ diretriz p -+ parâmetro V --+ vértice reta VF -+ eixo de simetria relação notáve I:
R'
.J
S'
.J p
--I
o 152-G
153rG
140. Analogamente
139. Equação reduzida
ao
que vimos no
v
item 139, se a parabola awesentar vértice Tomemos um sistema cartesiano ortogonal com origem no vértice da parábola e eixo das abscissas passando pelo foco. É evidente que o foco é F(
~
na origem e foco no eixo das ordenadas,
d P'
temos: h--+-~
PF • PP'
, O)
e a diretriz d tem equação
x
p
x
2
(notemos que esta relação é a mesma que se obtém permutando
x
com
V
v
na relação inicial do item 139); e, daí,
Nestas condições, chama-se equação reduzida da parábola a equação que P(x, V), ponto genérico da curva, vai ver if icar.
decorre a equação da parábola
x
A dedução é imediata: P E parábola
~
PF
=
d
PP' Assim, por exemplo, uma parábola
então:
com parâmetro p
=
v
2, vértice na origem
e foco no eixo V tem equação: x 2 ~ 4V,
se
F
acima de
V
ou x 2 ~ -4v,
y2 = 2px
se
F
abaixo de
V
141, Se uma parábola tem vértice no v
ponto Assim, por exemplo, uma parábola com parâmetro p e foco no eixo dos x, tem equação:
2, vértice na origem
em relação ao sistema auxiliar x'VV' é: (V')2 = 2px'
d
d
V(x o, Va) e VF li x, sua equação
vo ---
-x'
portanto, sua equação relativamente ao
v
x
x
sistema
xOV
é: d
4x
154-G
se F à direita de V
ou
-4x
se F à esquerda de
V
o
x
155-G
Analogamente, se uma parábola tem vértice no ponto V(xo, Yo)
cl Y
d
VF li y,
e
sua equação relativamente ao sistema xOy é:
v
x
Yo
"------
I I
2p(y - yol
.........
V
õ~--I-,- _.
, , I
Assim, por exemplo, uma parábola de vértice V(7, 8) e parâmetro 3 - = 0 + - - - - - - - - L - - + - - Xo x apresenta equação: 8)2
(y
=
6(x
(x - 7)2 = 6(y
7) se VF li x e F à direita' de V ou 8) se VF li y e F acima de V
Notemos ainda que uma parábola de vértice V(7, 8) e parâmetro 3 apresenta equação (y - 8)2
=
f)
y d
..
-6(x - 7) 0,
se VF li x ou
e
F
à esquerda de V
G.309 (MAPOF E 1- 761 Achar as coordenadas do foco parábola / ~ -8x.
(x - 7)2 = -6(y - 8) se
VF li y
e
F abaixo de
G.31U Determinar o foco e o vértice da parábola
Yo
F
e a equação da diretriz da
1;\1 (y - 3)2 ~ 8(x- 1).
V G.311 Achar a equação da diretriz da parábola representada pela equação
o
Xo
x
y
= (x - 3)2
G.312 Achar a equação da parábola que tem eixo de simetria vertical e passa pelos pontos
A(O, O), 6(2, 21, C(-4, 201. EXERCICIOS
G.313 Obter a equação da parábola cuja diretriz é
(di x ~ O e cujo foco é
G.30S Determinar as equações das parábolas seguintes:
G.314 Qual é a equação do conjunto dos pontos
P(x, y)
a)
b)
Id) y
=
5
e do ponto
F(2, 2).
que são eqüidistantes da reta
F(O, OI.
G.315IMAPOFEI-741 Achar a distância do ponio pontos de intersecção da função
f(x)
= x - x
P
=
12, 4)
â reta determinada pelos
com a sua inversa.
G.316 (MAPOFEI-75) Representar graficamente o conjunto dos pontos 2 que satisfazem a inequação: (y - x 1(x + y - 2) ~ O.
(x, y)
do plano
G.317 IMAPOFEI-751 Obter a equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são os vértices das parábolas y c x 2 + 4x + 6 e y ~ x 2 - 4x + 2. G.318IMAPOFEI-761 Dada a parábola de equação
x
2
= Y
6y + 8,
determinar as
coordenadas do vértice.
. 156-G
157-G
144. Desenvolvendo as equações do item 141, temos:
IV. RECONHECIMENTO DE UMA CÔNICA
x ~ 142. Comparando entre si as equações do item 131: (x - XO)2
(y - YO)2
+
a2 (y - Yo)2
-f2.. .
y +
Y5
p
1
2pxo 2p
T
xf, + 2pyo 2p
b2
1?) uma equação do 2? grau nas incógnitas x e y representa uma parábola com eixo paralelo a Ox ou Oy se, e somente se, for redutível às formas:
D
1?) uma equação do 2? grau nas incógnitas x e y representa uma elipse com eixo maior paralelo a Ox ou Oy se, e somente se, for redutível à forma:
(0
x
ay2 + by + c
(a
y
ax 2 + bx + c
(a /
2?)
quando redutível à forma
2?) rizontal: )
a quando
k,
<
k2 , k, ~ b 2 e
k2
a 2,
)
(x o , Yo)
30
+
(y - YO)2
a2
1 2p
O)
a par1Í bola tem eixo horiLontal e c
Y5
+ 2p x o 2p
quando redut ível à forma ~Jj, a pa rábola tem eixo vertical e a
40
ou
.,\
--"'pº--
b
O)
"
)
é o centro da elipse.
143. Comparando entre si as equações do item 136: (x - x o )
~
'* '*
U.J,
portanto, o eixo maior é ver,
tical; 40
(parábola com eixo vertical)
1 (elipse com eixo maior vertical)
conclu ímàs que:
30
(parábola com eixo horizontal)
Comparando as duas, concluímos que:
+ (x - XO)2
a2
y2 _
2p
(elipse com eixo maior horizontal)
b2
1 2p
)
(x o , Yo)
~
1 2p
b
~
-
Xo p
c
~
xÕ + 2pyo 2p
é o vértice da parábola.
(hipérbole com eixo real horizontal)
_b2
145. Aplicações (x - Xo )2
+
(y - YO)2
-b2
1 (hipérbole com eixo real vertical)
a2
concluímos que: 1?) uma equação do 2? grau nas incógnitas x e y representa uma hipérbole com eixo real paralelo a Ox ou Oy se, e somente se, for redutível á forma: (x - XO)2 k,
0
Dividindo por 36, temos: 4x 36
k2
2?1 quando k, > O e k2 o eixo real é horizontal; 3 ) quando k j o eixo real é vertical;
<
O e k2
< >
O, O,
temos
temos
k, kj
a 2 e k2 ~ _b 2 ,
-
b 2 e k2
a 2,
portanto,
portanto,
4
158-G
)
(x o, Ya)
é o centro da hipérbole
2
+ 9y2 36
a2
~
9'1
""
c
Y
36 36
portanto a cônica é uma elipse com centro na origem e eixo maior horizontal tal que:
\
0
~
36
Solução
+ (y - yo)2
k, e k2 têm sinais 'contrários:
onde
4x 2 + 9 y2
1?) Caracterizar a cônica representada pela equação esboçar seu gráfico.
~-il
x
';-5
b 2 ~ 4J "
159-G
2?) Caracterizar a cônica representada pela equação esboçar seu gráfico.
e
36
Solução
y
Solução
1?
50) Quais são os focos da cônica cuja equação é
y2 - -- =
1
portanto a cônica é uma hipérbole com centro (O, O), eixo real horilOntal po is a di fe re nca é f e ita d e x 2 pa ra y 2 e ----:c--+-:---+----1f-'-C'-
1
A cônica é uma hipérbole com centro (O, O) e eixo real hirozontal tal que:
x
portanto os focos são 3 0 ) Qual é a cônica representada pela equação co.
d
y2 = 6x? Esboçar seu gráfi-
FI
(-Vi
O)
e
F 2 (.j2, O)
y
Solução y2 ~ 6x
~
y2 = 2. 3 . x
9x 2 + f6 y 2
6?)Qual é a cônica representada pela equação x
portanto a cônica é uma pa rábola com vértice na origem, eixo horizontal e parâmetro p = 3.
+ 481 =
07
-
90x - 160y +
Esboçar seu gráfico:
Solução Tendo os termos
x 2 e y2,
é evidente que a equação só pode representar
elipse ou hipérbole. 4?) Qual é a distância entre os focos da cônica cuja equação é
2
9x + 4y2
=
Vamos identificá· la com a equação teórica
36 7
Solução y
isto é,
A cônica é uma elipse com centro (O, O) e eixo maior vertical tal que:
a2 b
2
=
=
9 4
1=
c
.J a2
-
b2
.j5
x
k 2 = 9, k, = 16, 2k 2 Xo = 90, 2k I Yo = 160, k 2 x6 + k I Y6 - k l k 2 ~ 481
.J
portanto os focos são
FI (O, -
V5)
e
donde vem:
F 2 (O,
../5)
e a distância entre eles é 2c = 2
160-G
Temos coeficientes respectivamente iguais aos da equação dada, portanto:
V5
16,xo=5,Yo
5
161-G
Como k, > k 2 > O, a equação representa uma elipse com eixo maior horizontal, centro (5, 5), sendo
a
2
e b
16
=
2
Solução
y
Tendo os termos elipse ou hipérbole.
9.
=
A equação reduzida é (x -
51 2 +
l,
é evidente que a equação só pode representar
Se identificarmos a equação dada com a teórica
(y _ 5)2
(x - XO)2
9
16
x2 e
o
y
+
k]
x
2
obteremos:
7':» Caracterizar a cônica representada pela equação x
1 2 1 5 -y --v +4 2 4
e esboçar seu gráfico. Solução Evidentemente a equação representa uma parábola com eixo horizontal. Identificando-a com a equação teó-
1 • y2 _ Yo • y + 2p p
Y5
1
2'
o
x
4
2p
146. Estamos observando que a teoria dos itens 142, 143 e 144 só permite caracterizar a cônica representada por uma equação do 2 0 grau do tipo. Ax 2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = O
11.11
1.'f.2.. "4' p
Como k 1 < O e k2 > O, a equação representa uma hipérbole com eixo real vertical, centro (4, 4), sendo a 2 = 4 e b2 = 1.
(y _ 4)2 ---
d=V
decorre:
1 2p
2
A equação reduzida é
rica
+ 2p x o
14,41
k 1 = -1, k 2 = 4, Xo = 4, yo = 4
y~ + 2p x o 2p
v
5
4
com C
~
O, isto é, sem o termo xv·
x
o
Para discutir o caso quando
C cf O
é preciso ver o capitulo seguinte.
donde tira mos: p = 2, Yo = 1, Xo = 1 EXERCICIOS
Assim, a parábola tem vértice (1,1) e parâmetro
p
=
G.319 Caracterizar a cônica representada por cada uma das equações abaixo:
2.
ai 3x 2 + 2 y2 - 12x - 4y + 8 = O bl 2y ~ x2 + 2x + 7 cl 4x2_3y2+6y-15~O
A equação reduzida é: (y - 1)2 = 4(x - 1)
8':» Qual é a conlca representada pela equação 4x 2 - y2 - 32x + 8y + 52 Esboçar seu gráfico.
162-G
di x _ y2 + y + 1 oi 4x' + 9y' - 8x - 36y+ 4 = O =
O?
G.320 Uma cônica tem equação
x 2 + 2y 2 - 4x + 2
;=
O. Caracterizar a cônica, determinar
seus focos e sua excentricidade.
1G3-G
V.
INTERSECÇOES DE CONICAS
VI.
147. É regra geral na Geometria Analítica que, dadas duas curvas f(x, y) = O e g(x, y) O, a intersecção delas é o conjunto dos pontos que satisfazem f) sistema:
TANGENTES A UMA CÔNICA
149. Vamos resolver dois problemas clássicos de tangência entre uma cônica e uma reta:
f(x,y)~O
1? Problema: obter as retas (t) tangentes a urna dada cônica (À) e parale-
g(x, y) =0 Já aplicamos este conceito para achar a intersecção de duas retas (item 32), de uma reta e uma circunferência (item 99) e de duas circunferências (item 103;. O mesmo conceitQ se aplica para obter a intersecção de uma reta e uma cônica, de uma circunferência e uma cônica, de duas cônicas, etc.
148.
Aplicação Achar os pontos comuns à reta
(r) x - y
O e a parábola (À) y
2
las a urna dada reta (r).
2 0 Problema: obter as retas (t) tangentes a uma dada cônica (À) e passando por um dado ponto (P). Para a resolução desses dois problemas é fundamental notar que urna reta t e uma cônica )\, coplanares, são tangentes se, e somente se, têm único ponto comum. I··}
X .
A reta Solução
(t)ax + by + k
O e a cônica (À)f(x, y)
=
Vamos resolver o sistema de equações
fx ly
=
x
2
®
Substituindo y
=
f
ax + by + k
(I)
= y
(y)2
[Y'
ou O y = 1
Resposta:
=
O têm um único ponto
comum se o sistema de equações:
v
I,D em
=
l
~
x
@'
~ O
f{ x, y) = O
resulta.
admitir urna única solução
CD @
(xo, Yo)·
Seja (\, o discriminante da equação do 20 grau resultante da substituição da
- y cO=
incógnita y de O
te se: 1\
=
CD ern8J). A reta
t e a cônica À são tangentes se, e somen-
O.
x
===<>
r
n À
X =
1 150.
{(O, O), (1, 1) }
Solução do 1? problema Se a reta dada ê
(r)ax
1
by + c
O e a cônica dada é
(À)f(x, y)
=
O
ternos: EXERCfclOS
10 ) t / r
G.321 Calcular o cor,nprimento da corda que a reta
IN x 2 + 4 y 2 G.322 Achar a mtersecção ela circunferencia G.323 Obter a intersecção da parábola
164-G
(r) y
IÀl y 2
=
x
20
= 20.
(À)x 2 + y2
=>
(t)ax
1
by + k = O
-x define na elipse
17 com a hipérbole (À'}x 2 - y2 - 1.
com a elipse
IÀ'lx 2
como me item 149). ( .. ) No
,
2 y 2 , 3.
)
G1SO
é tangente a À, determinamos k impondo (\,
=
O {confor-
dij Pilliibola deve-se exigir que a reta tenha um único ponto comum com a curva
e n~lo seja p,Hillf~l,l ao eixo da parábola.
165-G
Aplicações
151.
1. Obter as tangentes á elipse (r)y ~ x.
(À)2x 2 + 3 y2
6 que são paralelas á reta
==
.
y
2
~
+ 3l x + k
então (t)y
~
x
Substituindo, temos: 2x 2 + 3(x + k)2 ~ 6 5x 2 + 6kx + (3k 2 -- 6)
=.,.
À
y ~ x -- ~
2. Obter as tangentes á hipérbole (r)y ~ 2x.
~
(À)x 2 _ y2
que são para leias á re·
x2 -- X 3x + k
--
2
À
x
=
fi, ~ O
(-- 4) 2 + 4 • 1 . (k + 2) 4k + 24 = t< ~ --6
=
16 + 4k t 8 ~ (t)y ~ 3x -- 6
k ~ -6
2
2°) sistema
2x + k
(t)y
y ~ [:
__
l ~
2
x +
na equação do 2'?
y
x 2 -- 4x -- (--6 + 2) ~ x2 .. 4x + 4 ~ O =~
=
2, pede-se a
y
4'?) Obtemos ° ponto de tangência fazendo grau em x:
Solução 1°) t li r
[~ :
3'?) t tangente a
fi y ~ x + ~ ou
X --
Substituindo, temos: 3x + k ~ x2 .. X -- 2 O x 2 - 4x - (k + 2)
O
fi, ~ O 2 fi (6k)2 .. 4 . 5 . (3k -- 61 ~ 36k 2 -- 60k 2 + 120 ~ --24k 2 + 120 ~ O ~ 'k c ±~
3°) t tangente a
x 2 --
3x + k
2'?) sistema
ta
_1_ ~ 3 1 3
m,
6
~
c
tangente a À que é perpendicular a r bem como ° ponto de tangéncia.
(t)y ~ x + k
{2X
Udy
e a parábola
y
sistema
Resposta:
2.. x 3
Solução
Solução 1°) t li r
(r)y ~ --
3. Dadas a reta
x
2
Substituindo na equação da reta t, resulta: y
1 k
portanto
P(2,
~
3(2) -- 6
~
O
OI
x
Resposta:
y
3x -- 6
e
P(2, O).
Substituindo, temos: x2 (2x + k)2 ~ 1 3x 2 + 4kx + (k 2 + 1)
~
152.
O
À =
Resposta:
166-G
y ~ 2x +
V3
Se ° ponto dado é P(xo, Yo)
(I, ~
O 2 6 ~ (4k)2 - 4 . 3 . (k + 1) ~ 4k 2 -- 12 ~ O ~
3°) t tangente a
ou
y" 2x --
V3
Solução do 2'? problema
k
±V3
1°) PC t
=>
(t)y·· Yo
~
e a cônica dada é
(À)f(x, y)
O, temos:
m(x .. xo)
2°) como t é tangente a À, determinamos m Impondo me item 1491.
(I, ~
O (confor·
167-G
153.
1. Obter as tangentes à elipse (À)4x 2 + 9 y 2 ~ 36 que passam por P(7, 2). y
Solução 1':»
PC t
2
~
y
=>
= mx
0)'
~
.
. ° sistema e:
'-------:;~,.f_'"""-----~p
Y - 2 ~ m(x ~ 7) 7m + 2
~ 182 • m 2 • 12 .. 7m)2 - 4 . (9m 2 ~
O
576m . (7 - 10m)
portanto (t)
é
À
,j3
y
-2- x ou y m - m' + mm'
tg ()
~
V3
~
admite duas retas, SI e S2, passando pelo seu centro e tangenciando os dois ramos da curva no ponto impróprio (ponto infinitamente afastado da reta). As retas de assíntotas.
+ 4) . 63m . (7m - 41
O ====>
2. Conduzir por lar
° ângulo
7
2 ou y
10
PIO, O)
• x-
29 10
as tangentes à parábola (À)x
SI
e S2 recebem o nome
(S2)Y
y2
j
3
--3-
~
-
b
• x
a
b --. x
a
e calcu· EXERCICIOS G.324 Obter uma reta t
(À)y = x2 - x + 3.
Solução t
=
° sistema
2':»
°
entre elas.
(J
1°) P E
4,.j3
154. Demonstra·se que toda hipérbole
(sdy ~
~
() ~ arc tg 4,.j3
Suas equações, no caso em que centro da hipérbole é a origem, são:
Resposta: y
+V3 - 2
m
2V3 x
~
--3
=
4 Resposta:
t tangente a À====>(\, ~ O
3':»
t:, ~ 3 2 - 4m 2 • 3 ~ 9 - 12m 2
t tangente a
x
mx - 7 + 2 4x2 + 9 y 2 c 36
Substituindo, temos: 4x 2 + 9(mx ~ 7m + 2)2 ~ 36 4x 2 + 9(m 2 x 2 + 49m 2 + 4 - 14m 2 x - 28m + 4mx) ~ 36 (9m 2 + 4)x 2 + 18m(2 - 7m) . x + 63m(7m - 4) ~ O
t:,
O
4':»
[y ~
=
t:,
3':»
Aplicações
(t)y ~ mx
é {:.
~
G.325 Obter uma reta t perpendicular'à reta (À)5x2 ~ y2 = 1.
mx
y2 + 3 3
à bissetriz dos quadrantes Achar o ponto T de tangência.
paralela
ímpares e tangente à parábola
(rlx + 2y + 1
O e tangente à hipérbole
=
G.326 Conduzir por PIO,OI as retas t que são tangentes à elipse (À)x 2 + 2 y 2 - 8y +6 - O. x
G.327 Conduzir por P(O, 31 as retas t que são tangentes à hipérbole IÀ)x 2 - y2 = 1. Substitu indo, temos:
x
~
m 2 x2
168-G
m 2 x2 + 3 3 -
3x + 3 - O
G.328 Obter as equações das retas t que passam por INx = _y2.
P(5. O)
e são tangentes à parábola
G.329 Achar as equações das assintotas da hipérbole (N9x 2 - 3 y2
=
1.
169-G
G.330 (EESCUSP-69) Achar as coordenadas de quatro pontos da curva b 2 x 2 + a 2 y 2 com
a
> 0,
b
> o.
=
a2b2
de modo que eles sejam os vértices de um quadrado cujas diago-
nais passam pela origem.
CAPÍTULO VIII G.331 (MAPOFE 1-69) Determinar a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole 9x 2 - 16 y 2 ~ -144 e cuja excentricidade é o inver-
LUGARES GEOMÉTRICOS
so da excentricidade da hipérbole dada.
G.332 (MAPOFEI-70) É dada a parábola de equação y ==' xl em coordenadas cartesianas ortogonais. Sendo A = (a, a2 ), B = ib, b 2 1 e X = (x, xl) três pontos distintos da parábola: a) determinar a área do triângulo ABX. bl para cada x, distinto de a e de b, seja f(x) a área (positival do triángulo ABX, esboçar o gráfico da função f. c) determinar o valor de x para o qual f(x) é máximo local (ou relativo).
I.
155,
EQUAÇÃO DE UM L.G.
Definição
Uma figura é um lugar geométrico (I.g.) de pontos quando todos os seus pontos, e apenas eles, têm uma certa propriedade comum.
156.
Exemplos
1,?)Sejam A e B dois pontos distintos de um plano CI. O lugar geométrico dos pontos de CI eqüidistantes de A e 8 é a mediatriz do segmento AB.
P /",,--
A ":"/_ _-4'r."-'_,--'..:..' B
Isto significa que, no plano CI todos os pontos que estão à mesma distânm cia de A e de B pertencem necessaria· mente à mediatriz m, e reciprocamente, todo ponto de m é equidistante de A e B. 2'?l Seja O um ponto pertencente a um plano
CI
e r
*-
O uma distância.
O lugar geométrico dos pontos de CI que estão à distância r de O é a circunferência de centro O e raio r. Isto significa que, no plano CI, todos os pontos que estão a distância r de O pertencem necessariamente à circunferência À, e reciprocamente, todo ponto de À está a distância r de O.
170-G
171-G
157. Em Geometria Analitica, "obter um lugar geométrico" significa obter a equação que representa o I.g. e interpretar a equação, isto é, dizer qual é a curva por ela representada.
6. Determinar o I.g. dos pontos do plano cartesiano dos quais as tangentes conduzidas à circunferência (x - a)2 + (V - b)2 ~ r2 tem comprimento Q. Solução
Os problemas de I.g. devem ser resolvidos pelo seguinte processo: 1?) Colocam-se no plano cartesiano os dadus do problema;
2'?) Toma-se um ponto
P(X, Y)
Sejam P(X, Y) na circl'llferência:
pertencente ao I.g. e
Po(xo. Vo)
O
ponto de tangência
pertencente a I.g.;
3?) Impõe-se analiticamente que P obedeça as condições válidas para qualquer ponto do I.g.;
então: / /
/
,p
/ /
4?) Obtém-se a equação do I.g., na qual devem figurar apenas as variáveis (X e Y) e os parâmetros indispensáveis do problema;
/
\ \
I I I
I I
I
5?) Caracteriza-se a curva representada pela equação do I.g.
I
,,
I \ \
\
158.
Aplicações
I
,, ,
!
' 'I
equação do I.g.
1. Veja item 25 do capitulo 11.
Conclusão
2. Veja item 85 do capitulo IV.
O lugar geométrico é a circunferência de centro O(a, b) e raio k
3. Veja item 89 do capitulo V. 4. Veja itens 129, 134 e 139 do capitulo VII.
5. Determinar o I.g. dos pontos do plano cartesiano situados à distância d da reta Ax + BV + C ~ O. 7. Determinar o I.g. dos pontos cuja soma das distâncias aos eixos coordenados é igual ao quadrado da distância até a origem.
Solução Se P(X, Y) pertence ao I.g., isto é, está à distância deve obedecer â condição: AX + BY + C A 2 + B2
I V
I~
d
da reta dada, Solução Seja
d
=
-
(AX + BY + C) 2
~
d 2 (A 2 + B2 )
=
P( X, Yl
então:
pertencente ao I.g. y
AX + BY + C - dV A 2 + B2 ~ O
=
ou 2 2 AX + BY + C + dV A + B
O
[VI + IXI
equação do lugar geométrico.
o
Conclusão O lugar geométrico é a reunião das retas paralelas à reta dada, à distância d.
172-G
x
equação do I.g.
173-G
Temos, então quatro possibilidades: 1~)
X~O
quando IXI ~ X e
IY\
y
Y~O,
e
EXERCICIOS
Y,
então a equação fica:
X2 + y
2 _
2 a ) quando equação fica:
X2 +
y
G.333 Determinar o I.g. dos pontos equidistantes de Ala, bl e SIc, d) com A
X - Y
O
X,,;; O e
Y
~
Isi ax + by + c'
O a x
2
+
X- Y~ O
quando X,,;; O e Y";; O, X2 + y 2 + X + Y ~ O
4~)
quando 2
X + y
temos
2
-
distância à
i=
'=
O e
c'.
I~a
u0S
pontos cuja distância à reta
Isl4x - 3y + 5
=
(r)3x + 4y - 5 = O é o triplo da
O. F (O, O)
e da reta
6.338 Determinar o 1.9. dos pontos dos quais se vê o segmento AB sob ângulo de 45°. Dados: AI-5, 01 e SI+5, Ol.
r ~ r(m)
e
s ~ sIm)
duas retas, cujas posições dependem da
(r)X - 2Y + 12m
G.339 Determinar o 1.9. dos pontos dos quais se vê o segmento Dados: AIO, 01 e SI20, O). 6.340 Determinar o 1.9. dos pontos P que ligados a Q(O, O)
AB
sob ângulo de 30°.
determinam retas que intercep-
tam (rlx + y + 1 = O em pontos R tais que PO/QR = 1.
variável m, dadas pelas equações ~
(s)5X - Y - 3m
O e
O
G.341 Determinar o 1.9. dos pontos' P que ligados a 010, 3) determinam retas que interceptam a circunferência x 2 + y2 = 1 em pontos R tais que PO/OR:= 1.
Qual é o I.g. das intersecções de r com s7
G.342 Determinar o I.g. dos pontos P que ligados a OW, O) determinam retas que intercep-
Solução
tam a parábola y = x2 - x em pontos R tais que PO/OR = 2.
P(X, Y)
um ponto de intersecção de r com s. Temos: P E r P E: s
= =
X - 2Y
-12m
CD
5X - Y
3m
@
G.343 São dados os pontos A'S'
m m
paralela a AB.
010, O), A(l, O) e S(O, 11
e considera-se uma reta variâvel
Determinar o I.g. dos pontos I de intersecção das retas variáveis
AS' e A'S, sabendo que S E OS e A' E DA.
Resolvendo o sistema I, li, obtemos X ~ 2m e Y ~ 7m. A equação do I.g. relaciona X e Y entre si, portanto, vamos eliminar m:
G.344 Num plano são dados uma reta r e um ponto O cuja distância a r é maior que um número dado d. Sobre a circunferência que passa por O e tem diâmetro d conside· remos o ponto M mais próximo de r. Oual é o I.g. dos pontos M?
G.345 (MAPOFE 1-72) Consideremos um sistema cartesiano retangular e nele os pontos
X
2
Y 7
=
7X - 2Y
O = (O, O), A(3, OI e Plx, vi. Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) tais que OP = 2 • AP.
O
G.346 IEPUSP-52) Dados o centro CI2, O), o raio r = 2 de uma circunferência e a reta de equação x = -2, seja P um ponto qualquer dessa circunferência e Q a intersecção
Conclusão 7
O lugar geométrico é a reta que passa pela origem e tem declive 2'
174-G
c
Id) 3x + 4y - 10 = O.
O lugar geométrico é a reunião de 4 arcos de circunferência com a origem.
Seja
O com
6.337 Determinar o I.g. dos pontos eqüidistantes do ponto
X ~ O e Y";; O, X + Y ~ O
Conclusão
8. Sejam
=
S.
G.335 Determinar o 1.9. dos pontos cuja distância ao eixo dos x é o dobro da distância ao eixo dos y. 6.336 Determinar o 1.9·
3~)
temos
(rlax + by + c
6.334 Determinar o 1.9. dos pontos eqüidistantes das retas
i=
da paralela por P ao eixo. com a reta dada. Determinar a equação do I.g. descrito pelo ponto médio M do segmento PO, quando P descreve a circunferência.
175-G
x2 + 4 y 2 4, determinar o I.g. dos pontos M externos à elipse tais que as tangentes à elipse, traçados por M, sejam perpendiculares.
G.347 Dada a elipse
G.348 IEPUSP-50) Os vértices de um triângulo ABC têm para coordenadas AlO, O), BIO, 4) e C(2, O). Sendo P um ponto do plano ABC tal que a reta AP encontre a mediana BM, relativa ao lildo AC, num ponto O, determinar a equação do I.g. de P quando Q
AO
PO.
percOI re a mediana, sabendo-se que a relação simples
A equação x ~ y é satisfeita por tod09 os pontos cuja abscissa é igual à ordenada, isto é, por todos os pontos pertencentes à bissetriz do 1 0 e 3'? quadrantes. A equação
x
2
INTERPRETAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2'? GRAU
159.
é equivalente à
T'
o
11.
~ y'
1
=
(x
+
y) (x - y)
0=
portanto ela é satisfeita por todos os pontos da bissetriz do 1 0 e 3'? quadrantes ou da bisssetriz do 2'? e 4'? quadrantes.
Uma equação do 2'? grau nas incógnitas x e y: Ax' + By 2 + Cxy + Ox + Ey + F ~ O
pode representar varlos tipos de curvas: circunferência, reunião de duas retas, elipse, hipérbole, parábola, ponto ou conjunto vazio.
x
x
160. Já vimos que no item 91 que essa equação representa uma circunferência se forem obedecidas três condições: A ~ B
* O,
C ~ O,
O' + E' - 4AF
>
O
161. Uma equação em x e y, do 2'? grau, representa a reunião de duas retas se, e somente se, o primeiro membro for fatorável num produto de dois polinômios do 1 0 grau com coeficientes reais: (a,x + b1y + ct!(a2x + b 2y + c 2 1
~
O
pois, nesse caso, temos a equivalência entre a equação Ax 2 +
Bl
+ Cxy + Ox + Ey + F ~ O
e () sistema
Resposta: As equações não representam o mesmo I.g,
2'?) Provar que a equação retas concorrentes. Solução Temos:
x 2 _ xy + x 2 _ y' + x - y ~ O x(x - y) + (x + y) (x - y) + (x - y) ~ O (x - y)(x + x + y + 1) ~ O (x - y)(2x + y + 1) ~ O x - y ~ O ou 2x + y + 1 ~ O ~
162.
Exemplos
10 ) As equações x ~ y e x 2 ~ y2 representam o mesmo lugar geométrico? Solução
176-G
2x' - xy + x - y2 - Y ~ O representa duas
x
'-----v------' x
Os pontos que satisfazem a equação dada pertencem a r ou s que são concorrentes pois: 1 2
-1 +1
= 177-G
163. A equação Ax' + By' + Cxy + Dx + Ey + F ~ O (11 da como equacão 2 0 grau em x: Ax' + ICy + Dlx + (B/ + Ey + FI
pode ser encara-
Para
m
1,
temos: fi, ~ 49y' - 14y
3x' + (5y + 1)x - (2y' - 2y)
A· (x - x,I' Ix - x,l
~
O
VI-::
-b ± 2a
+ D)' - 4 . A . IBy' + Ey + F) 2A
Conclulmos, então, que a equação (1) é fatorável num produto de dois polinômios do 1':' grau se, e somente se, XI e x, forem polinômios do 1':' grau em y. Isto também poderia ser dito assim: "A equação (1) representa a reunião de retas se, e somente se, o discriminante fi, ~ (Cy + D)' - 4 . A . (By' + Ey + F) for polinômio quadrado perfeito."
-(5y + 1) 6± (7y - 1)
Exemplos
-C
-( 5y + 1) - (7y - 1) 6 -( 5y + 1) + (7y - 1) 6
XI
x, XI ~
donde vem
-2y
y - 1 -3-
e
A forma fatorada da equação do 2':' 3( X
-
X
d (x
- x,) ~ O
~) ~
3(x + 2y)(x -
3
(x + 2y)(3x - y + 11 164.
O
são calculadas pela fórmula clássica:
onde x, e x, são as raizes da equação calculadas pela fórmula:
V (Cy
~ (7y - 1)'
As raizes da equação do 2 0 grau em x:
O
A forma fatorada dessa equação é:
-(Cy + D) ±
+ 1
~
O
O X
e, finalmente, obtemos as equações das retas:
10) Determinar m de modo que a equação 3x' - 2/ + 5xy + mx + 2y ~ O represente a reunião de duas retas.
X
+ 2y
~
O ou 3x - y + 1
cujos gráficos são r e
S
~
O
respectivamente.
Solução Temos: 165. Já vimos nos itens 142, 143 e 144 que a equação
3x' + 15y + m)x - (2/ - 2y) ~ O + m)' + 4 . 3 . 12y' - 2yl (25y' + 10my + m') + (24y' - 24yl 49y' + (10m - 24)y + m'
fi, ~ (5y
Ax' + By' + Cxy + Dx + Ey + F ~ O pode representar uma cônica (elipse, hipérbole ou parábola) mas não vimos ainda como fazer o reconhecimento dessa cônica nos casos em que C*' O.
Este último polinômio é um quadrado perfeito somente se o seu discriminante for nulo: fi,
(10m - 24)' - 4 . 49 . m' - -96m' - 480m + 576 ~ -96( m' + 5m - 6) ~ O =
Resposta:
m
~
1 ou
m
~
m
ou
m
Consideremos uma equação da forma acima e que não representa nem circunferência nem reunião de duas retas. Sejam:
-6
2A
C
C
2B E
D
-6
D
E , 13 ~ 4AB - C' 2F
e
'Y
~ A + B
Usaremos, sem demonstração, o seguinte resultado: 2 0 ) No problema anterior, achar as equações das retas e esboçar o seu gráfico, para m c. 1. Solucão
178-G
Cl' Cl' Cl'
*' O, 13 *' O, 13 *' O, 13
> < ~
O e O O
Cl''Y
== ==
==
a equação representa uma elipse a equação representa uma hipérbole a equação representa uma parábola
179-G
166.
167. Ainda de acordo com a notação do item 165, vamos aceitar o resultado:
Exemplos
O<
1?)üual é a cônica representada pela equação
xv
5?
O,
D = E
A = B
C
1,
F
-5,
então:
2
O O
O O
1
O<
O portanto
O<
>O
Resposta:
O O
1
e
{3
4 • O . O- 1
-2
= -1,
x 2 + 4 V2
-
Temos' A = 1, B = 4, C
<
(3
4 • 1 • 3 - (-2) 2
8,
r
1 + 3
4
Assim, por exemplo, a equação x' + V2 = O representa o ponto (O, O); a equação (x - 1)2 + (V - 2)2 = O representa o ponto (1, 2) e a equação 2(x - 1)2 + 3(V + 4)2 = O representa o ponto (1, -41.
07
4xV - 3V - V - 1
-4 8 -1
-3 -1 -2
-98 e
-1, F
-3, E
-4, D
{3
-1
4· 1 . 4 - (- 41
2
portanto EXERCICIOS
O, G.349 Demonstrar que a equação x 2 - y2 + x + y = O representa duas retas concorrentes.
G.350 (MAPOFEI-741 Mostrar que a equação V2 - xv - 6x 2 = O representa um par de retas concorrentes na origem de um sistema cartesiano ortogonal.
O e {3 = O
Resposta:
12,
9
168. F inalmente, a equação do 2C? grau em x e V representa um ponto se for redutível à forma k, (x - XO)2 + k 2 (V - VOl 2 = O com k j > O e k 2 > O, pois só o ponto (xo, Vo) verifica esta equação.
Solução
O<
-2 -6
O.
2?)Qual é a cônica representada pela equação
isto é:
O 6 -6
a equação representa o conjunto vazio. x 2 + 3V2 - 2x - 6V + 9 = O representa o
dada.
hipérbole.
2 -4 -3
o O =
e
Isto significa que nenhum ponto tem coordenadas que verifiquem a equação
-10
<
{3
e
10
2
>O
Assim, por exemplo, a equação conjunto vazio pois:
Solução Temos
cF O, {3
parábola.
G.351 Esboçar o gráfico cartesiano dos pontos P(x, Y)
Que verificam a condição
x 2 + 2xV + V2 - 4 = O.
3C?) Qual a cônica representada pela equação G.352 Provar que a equação
x2 + 3V2 + XV - 2x + 4V - 5
O?
G.353 Calcular o ângulo formado pelas retas representadas pela equação:
Solução
1
-2
164 -2 4 -10 isto é:
O<
< O,
Resposta:
180-G
{3
>
O e
elipse.
-182,
{3 = 4 . 1 • 3 - 1
2
11,
r
1 + 3
bl x 2 - V2 + x + 5v - 6 =
ai 5x 2 + 5xv - 9x + V - 2 = O cl x 2 + V2 + 2xv + x + V = O
Temos A=l, B=3, C=l, D=-2, E=4, F=-5 portanto
2
2x 2 - 2 y 2 + 3xy = O representa um par de retas perpendiculares.
4
G.354 Obter m de modo que a equação: represente a reunião de duas retas.
x2
-
G.355 Caracterizar a cônica definida pela equação
ar <
O
G.357 Qual é o gráfico da relação
R = {(x, vi
my2 + xy + 5x - my + 4 = O
xy
co;
1.
x 2 - y2 - xy
G.356 Qual é a curva representada pela equação
I
O
co;
O?
x 2 + 4 V2 + 2mxV - 1 = O}?
181-G
RESPOSTAS CAPITULO I G.l
A, E, F, I, J, L b) O, E, H, I
G.33 A = O B = x - 2y
a)
cl B. E, G, H di C, e) E, f) E, gl A,
G.2
E, F, G, B,
C = -6
F, G, K H I E, L
hl C, O, E, K
O = -125 G.34 Não G.38 (4,01 G.39 lO, -51 G.40 1-13, -131
d ~
G.41
(_
G.43
1-"2' -"2 1
V5
G.3
d = 10
G.4
d
=
13
~ I 13
30 13'
'1
3
(%' %I
G.5
2v'Í3+5Y2
G.45
19, -91
G.7
x = -3
G.9
x
G.52 G.53 G.54 G.55 G.57
x-y-l=O 3b + 4a - a,b = O
11. 11
c
2
G.l0 PI-3, OI G.ll
PI-5, 51
G.13 PI a + a 2 PI a - a
V3 V3
2 G.15
a + a
'
V3 I ou
2p + 3q
=
O
x+y-(a+b+cI=O
2 a - a
'
V3)
2
clS, 41 e 013, 91 { CI-2, -61 e 01-7, -1 I
G.16
BiS, -31 e 01-2, 71
G.17
(ABCI = 2
G.18
IABCI
G.20
15,61,111,151 e 117,241
G.58
G.21
PilO, 1 li.
G.62 a
G.23
CIS, -31 e 0(2. -61
G.25
AI5, OI, BI-l, 21, CI7, 41
G.64 m G.66 PI
G.27
CI-3, 61
G.28
All, 61, B(-l, -51. C(-4, 31
-3
G.30 C(10. 61 ou CI-6, -61 G.32
e
=
2
ou
a
7
e
m
i ,~
I
*'
G.67
3 3 81-1, 11
G.68
BI ~
11 + 4
5'
Nilu pois as diagonais não se oortam
G.70
Y53
ao rnelo
G.71
.-3
f'
3 =
2
-
c: Q(
IR
3. . ~ 3
I
3
5
Y2 + 3 V5
G.72
paralelas e distintas
r e t, s e v, t e
l,
coincidentes
r e
concorrentes
r e S, r e U, r e v, 5_ e t, G.l06 a) 1 seu,sez,teu,tev, 3 u e V, u e Z, vez
rTl
1::::::>
rn
O
=>
rlls
b) ~ 3
1Jr
*
m EC IR, m
G.76
m
G.77
~
m"
r _
::::::>
2
ou
'"
2
G.~
23 "'"
r X s
2-,
b1'
3
belR
e b .,--1=>r
3 3 A15,1I e B(1,31 Representam uma família de reJas ,concorrentes no ponto
G.81 G.82
Pl-l
x - 6y
5x - 3y + 5
G.85
m - 2
G.90
ai Sim, 10, 11
O
1 3
3x - 5y + c = O,
G.93
11 x - 5y - 12
G.94 2x + 3y - 12
c E
O ~
O e
, - 3, + 3 = O 3x + 4
-3
G.99
+
r.5 =
O,
x - 2y - 2
~
O,
3x + 2y + 4 = O +
y
=
1
26 5
G.l0l 13, 21 G.l02 paralelas e ulstintas
184-G
3x - 4y + 15 = O
5°)
y - 2 - O
O
5'
IR
25
G.164 y
64 1 25'
-
~
O
4
G.175 11, -11
are tg 7 are t9
G.176 1 ~,
3 4
5
5
are t9
2'
Ci2, -1), 0(3, 2) G.134x-y-4 .. 0
.2.! 5
1-2. -101.
I ou
=
(_ 2..
3'
19
3
O
G.181 3x + 4y - 12 = O G.182 ai x + 2y - 5 =0
k =
3
b)
4
G.183 ai
7T
6' 12
'
G.146101
3x - y
2°)
=
O ou
x + 3y
=
O
IV3 - 61x - (3 + 2 V3)y + 9 + V3
=
O ou
(V3 + 61x + (3 - 2 V3ly 9+V3=0 3°1 2x + y = O ou x + 2y G.1494x + 3y - 3 = O, y - 5 = O, 3x + 7y - 7 = O
O
CAPITULO 111 G.153 17
y' 13 cl
13 O
~
G.154 1°1
G.132 AIO, 31, BI-1, O).
ou 7T
G.143 37T 4
11 4
G.1292.. 3 G. 130 4x - 3y - 2
G.142 k = 7
ou
G.l77 G15, 41 G.1804x - 3y ± 14 3
2-
• (x - 3)
G.1742.
4
G. 125 Is i 5x - 4y + 3 = O Mil: 21 '. Q(5, 71 Itl 4x + 5y + 68 = O G.126101 x + 8y + 16= O 2°1 x + 8y - 16 = O 7x - 4y - 44 ~ O 3°1
2
2
2
4°)
~I
±
G.165~
5
(3 - a . eosl{3 + ai
COS
2O
=
O
=
V5
~I
c
G.114p _ -
99
O
G.1668 G.139al A(eosO', senO'I, Blcos{3, sen{3) G.16844 CI-eosO'., senO'I, Oleos{3, -sen{3) G.16917 O'+{3 O'+{3 bl eos - 2 - • x - sen - 2 - • Y G.171 y = 11 ou y = -9 G.173 16, 21 ou (2, -2)
6°1 2x· y + 7 = O G.l08 y - 2 = mlx - 51 V x - 5 = O G.ll02x+y+8=0 G.lll x - y - , 4 O G.112 B14, 21. CiO, OI, 011, 2)
G.128 HI
3x - 2y + 6
G.l00 -"-13
4°1
• 5' 5 G.123·isl 2x + y + 3 = O G.124 kl 2x - y + 7 = O
G.92
G.98 ~
O =
~
G.138al(23,~1(27
1~
V3' x - y - 12 V3 ' 41 x + ,. O
G.121PI~
bl srm, m=
y
2
G.1161s1 3x -,,2y - 1 G.118 1-1,3) G.119 (2,31
O
G.84
G.97
- V3
G.115nenhulTl
11
c
(si 2x + y - 8
li
5 '
x - y -
2°1 3°)
(ri x - 2y + 6 ~ O e
kl -1
4
~
-
,
11, -31.
G. 107 1 ° I
2 3
1J
5
11 + u 11 - 2u
jl
rrls=á>
a=2
G.79
5
= -5
k
e
3
rXs
2
G.78 a EC IR , a cf ao
"'"
m1'~""'rXs
EC IR,
k - 5
1, m1'O
hl -
91 O
fi
G.160 (1,2) e 1-1. -2) G.162 x + y = O ou x + y - 4 = O G.163 24x + 7y + 51 = O ou 24x + 7y -
G.136 1ri 2x - y ~ O e ~I x + 2y - 10 ~ O
cl -3 7 4
el
5
~
mlJ ~ O
Z,
d) 2
G.75
G.1591_~2C_1
G.1352ax - 2by + lb 2 (1 + ml _ a 2 (1 _
CAP(TULO 11
40)
G.156 29
2°)
38 5':') 25
7
Y2
30)
10
79 13
2y"3+11 2
v2
10
185-G
,I ' ,,
"
,
,
, '
,,
/ 'l ' ,
'
/
"'.
e)
5':')
------L-, _J'
G.185a)
:
2
1------
I
, ~ ,
'
'
1
G.18710)
-
,:
I
-,--
,'
6':')
,
G.1891':')
,, ,,
I
I
_.,: ~ 1 .-1-.... ,
, , ,,, I
2':')
2':')
-i-----~-I r
-: + :-3
.1'
I
I
,
'
~-----J-
2 __ I
1 1 ~
-r-I I --..,----
.'
tI
:
:-----+ I 1
I I I
,~
I I I
1i------1I I l r--I---I---' I 2 I ----f,
,1
G.190 1':')
--186-G
187-G
2?)
CAPITULO IV G.20310)
3':')
x 2 + V2
2':')
(x - 2) 2 + V2 = 16
3°)
Ix + 1)2 + (V + 2)2
4°) 5°1
Ix - 2)2 + (V - 4)2 = 1 2 x + (v + 3)2 = 4.
6°)
(x _ 2.)2 + (V _
G.204 Ix - 11
=
25
~)2 = 2
2
2
+ Iv - 21 2 = 25
G.205 a = b =F o. c = O, d 2 + e2 - ai G.206 1°) CI3, -2) e r - 5 2°) CI4, O) e f = 3 3°) CI-3, -4) e r = 5 4°)
C(2,~) e
5':')
Cll
G.208 CI
-21
,
~
=
Y3 3
=
\
C(-l, -1)
r =
3
16
>O
r
O
G.225
y
G.2241?1
- ~ I 2 '2
raio A
,,
2
e
~
-
5 2
=
f
~
G.209 Centro O 1-
G.226 k ;;;. -15
~ )
2a' 2A 2 2 = YB + C _ 4AD
·3
G.227 a) k;;;' -7 + 4 y'iQ
3
b) k
2°1
m=2
e
G.230 a) ,ecante,
3':')
m
1
e
G.2123 = 2,
=
b
=
O, c
.>
k>k
<5
<
25
I I I I
17 2
8
G.216 m = n =F O e m 2 = 4p G.217 (x - 2)2 + Iv ± 3)2 = 18
bl [H, -7), (-5,-1)} G.231 Pll, O)
," , \
\ \
G.202 14
v'22i 15
188-G
e
QIO, -6)
\
G.236 3x - 4V + c 25
=
G.237 V = 5
ou
V
> - 1 + V2 onde c < - 25 ou c
ou O
c>
G.193 12x + 1 ~ O ou 12V - 5 = O G. 194 112x - 14v - 195 = O ou
O
QI4, O)
6.233-1
~~"?I~
=
e
G.232 PI-4, OI \
\
G.219 1?> exterior 2?) exterior 3?) interior
G.1973x - 15 + y'iQ)y G.199 x + 7V - 8 = O G.200 (1.1)
YiO
- 4
G.2282.10
<
G.211 1':')
8x + 64v + 65 = O G.19539x + 27y - 50 = O ou 9x - 13v + 100 = O
< -7
2A 2 2 B + C - 4AD o. m = 1 e k 13
com
G.191
f=
2
G.207 x + V - 5
49)
9
=
=
-1
G.238 2x - V + 2 = O ClO. O)
r = 3
"~ CiO, O)
f
=
2
G.239 (x
~ 10
+ 2)2 +
G.241 4
Y2
G.2424
V2
6.243 128
e
(V - 1)2 = 1
32
G.244 AlO, OI, B(2, -41 C(2, OI
e
ClO, -4)
ou
189-G
G.245 10 1 secantes 2?) ooncêntricas 3?) exteriores 4?) secantes 5?) tangentes interiormente G.249 11. 2). 13.4)
Y2
G.2502
G.268 x + 2v - 5 = O G.2698 G.270 3x - 4V - 40 = O ou G.271
14
ou
±
x + V
20 )
v V=
Y2 =
2
20 1 30 )
3x - V + 4
Y2
± 5 y5 - O ± 2 y'1Q = O
2x - V ± 10 V5 = O ou
G.284 Ix x + 2v ± 10 V5
O
G.256 3x - V ± 4 y'1Q = O G.257 1 I 3x - 4V + 25 = O 3x + 4v - 30 = O 20 )
°
30 )
20x + 21V - 127
G.258 ai AIO. O)
e
BI
=
- 61
G.288 Ix _ x + 1 = O
ou ou
In
=
O e
G.292 ai
x2
9 x2
c)
4
9
~ 12 + Iy +
6 )2 25
ou
Ix _ ~ )2 + Iy _
52 625
=
~)2 = 9
5
= 144 ou
~)2
Ix - 51 2 + Iy ou
5
Ix _
24 12
5
12)2
5
=
,,/ -
196
1!3 5
12
~
16
± 48)
contactos
5
x
=
Ix
e)
Ix +
2
2- 12 5
+ Iv + 1..1 5
~ )2 + Iv 5
(84
5
± ~) 5
45
4
4
+
y
2
4
y2
+
Ix - 41 5
13 2
+
=
1
=
1
2
= 65
25 ~)2 _ 73 5 5
2 y2 x + = 1 25 9 2 2 Ix - 41 di + '!...-. = 1 16 9 2 2 Iy - 51 Ix + 61 + fi 16 9 bl
Iy - 4)2 1
= 1
G.293a) F]I-y5, O) e F 2 1V5, OI
G.267 { 3x - V - 2 = O e
Ix +
CAPitULO VI
V3
3 +
I 36 5'
2
O<m< 3-V3 4
3x - V - 2
=
5
2
~)2 + y2 =
O
onde
>
G.264 a = 4 G.265 x = O ou V =.0 G.266 5x - 12V - 20 = O ou
190-G
=
4
y = rnx
+ Iy - 121 12 + Iy _
G.290 x 2 + Iy _ l...-)2 =
m> ~+ v'i4"5
ou
4
ou
1J'5 .
G.289 centros
-2a;>? ) ,,2 + a2
G.259 4x + 3v - 22 = O ou 4x - 3v - 4 G.260 x - 2V = O ou 2x + V - 5 = O G.261 5x - 12v = O ou x = O
G.263 x :..- O
G.285 Ix - 51
2
52)2
4
O ou
~.
< ~~- vi 145
ou
G.287 Ix - 41 2 + Iy - 3)2 = 16
,,2 + a2
G.262,n
7
Y2
39)2 + Iy _
5 G.286 Ix _
V24 . Ix 5
±
V - 13 =
40 1
1J'. 12 - 9
G.279 Ix - 5)' + Iy c 5)2 = 25 G.280 Ix - 31 2 + Iy - 3)2 = 18 G.281 Ix _ 201 2 + Iy _ 65 12 = 65)2 ou Ix + 20)2 + Iy _ 185 12 = I 185 12 4 4 4 4 G.282 Ix + 1 3)2 + I y - 5) 2 = 1 69 G.283 a) x - O ou y = O bl y = 2 ou x = 1 2 c) Ix + 11 + Iy + 2)2 = 12 _ v'21 2
ou
= O.
2x - V - 1
2.
25
3x - 11 - ~
± Y2
1J'.)2 + Iv +
7
G.278 Ix - 4)2 + Iv - 61 2 = 52
V29
V
Ix +
G.275 Ix -181 2 +lv- 151 2 = 100 ou Ix - 2)2 + Iy - 41 2 = 100 G.276 Ix - 21 2 + Iv - 2)2 = 8 ou Ix + 141 2 + Iy - 2)2 = 200 G.277 Ix - 2)2 + Iv - 2)2 = 4 ou Ix+l)2+ ly _ 11 2 I
30 1 5x + 2v ± 5 = O G.253 x - V + 4 = O e x - V - 4 = O. G.254 x -
2
25 9 ou
2
O
3x - 1 1 + ~
G.2551 0 )
v'2
2'
G.274 Ix _ 2)2 + V2 =
CAPitULO V G.252 10)
2. - 2- I
el-
e 2 G.272 Ix - 1)2 + Iv - 11 2 2 2 G.273 Ix - 21 ; Iv - 21
V2 - ViQ)2 IViQ + 4 Y2)2
G.251 Ix _ 31 2 + Iv - 1)2 IX-31 2 ; Iv - 11 2
3x + 4V
cl F] 10, -3) e F 2 10, 3)
bl F I I-4, OI e F 2 (4. O) d) FI (4 - V7, O) e F 2 14 +
el
f)
F 1 12, 41 e F 2 16, 4) 2 2 G.294~ + ~
9
G.295 Ix - 4) 64
2
4
+
V-C;,
OI
F 11-6, 5 - V71 e F 2 1-6, 5 + V71
1.
2
~ 100
191-G
G.296 2c ~ 24, e ~ x2 y2 G;297- + -
3
~
3
G.314 x 2 ~ -10y + 25
~ 13
G.315V2.
1
G.316
2
G.298 FI lO, -31 F2 10, 31
v
G.317 y ~ x. G.318 vértice ~ (-7, 1)
G.299 FI
e F2
2
~
5
cl ~2 1 ~
G.302 2c G.303 e
G,319 a) elipse,
2
G.300 ~ + (y - 2) = 1 225 289 x2 y2 G,301 a) - ~ 1
4
~
~
(-I, 3)
a
=
parâmetro
y2 8
bl parábola,
V3.
V2,
b ~
V(-l
p = I,
2
bl
di
:L 4
c) hipérbole,
12
(x - 4)2
d) parábola,
_
a =
V3, 1
2'
p =
1
e) elipse, a = 3,
20
1
p =
2
5
"
31
centro (2, 1) F(-l
2-)
'2
b = 2, 3
centro lO, 1) 1 V("4' - 2)' F(l,- -.!-I 2
b = 2, b ~ I,
a = V2,
G.320 elipse,
V34
G.304
V
19,11
centro lI, 2) centro (2, O)
eixo maior horizontal
-.j2 F l ll,Ol,F 2 (3,O), e-- -2v
G.3214
V2
G.322 À G.323 À
n n
À' = {13, 2 v'2i, 1-3, -2 V2), (-3, 2 V2I, 13, -2 À' = {(l, li, (1, -1)}
G.324 (tI x - y + 2
~
y."2Ü
T (I, 3)
O
G.3251J G.326 y G.305 F 1 (O, -5) e F 2 (O, 51 G.306 FI (-2, 11 e F 2 (4, 1) G.307 y2 _ x 2 = 2 b) x
G.308 a) y2 = 8x cl x 2 ~ -8y el Ix - 3)2 = 4 • Iy - 2) G.309 F(-2, O),
x
=
2.
G.310 VII, 3) e FI3, 31 G.311 y = G.312 y
=
.!.-
4 x2 - x
G.313 (y - 21 2
192-G
=
G.327 2
~. 12y
d) Iy - 3)2 = 4 • Ix - 3) f)
Ix - 1)2 = -8, (y - 2)
~
y =
G.328 y =
G.329 y = ±
20
5)
V3' x
G.330 ( a b
ab
~~
ab ( ~b2 x2
4 • Ix - 11
v6 . x 2 ± Y1õ . x + 3 ± ..J2õ . (x -
±
G,331625 16
ab
a5
)
~
( )
(
~
ab
)
~
ab
+
193-G
G.332 a) flx) ~ cl x
[Ib - a)(x - a)(x - b) I 2 b + a
~
2
OI
~I ~. a
b
TESTES
x
CAPITULO VII G.333 21c - alx + 21d - bly + (a 2 + b 2 - c 2 _ d 2 1 ~ O G.3342ax + 2by + Ic + c'l G.335 y2 ~ 4x 2
~
O
PONTO E RETA
G.336 \9x - 13y + 20)(3x - y - 2) ~ O 2 G.337 16x + 9y2 - 24xy + 60x + SOy - 100 ~ O 2 G.338 { x + y2 - 10y - 25 ~ O, se y O O x 2 + y2 + 10y _ 25 ~ O, se y 2 G.339 {x + y2 - 20x - 20 V3y ~ O. se y O O x 2 + y2 _ 20x + 20 V3y ~ O, se y
> <
TG.l
a) 3 0 e 1?
> <
G.340
x
+
ICESCEM-761 O ponto la, -bl pertence ao interior do 2? quadrante. Os pontos (-a, b) e (-a, -b) pertencem, respectivamente, aos quadrantes: bl 3 0 e 4 0
cl 4? e 3 0
TG.2 IFFCLUSP-66) A distância do ponto
y - 1 ~ O
a) -2
G.341 Ix - 61 2 + y2 ~ 1 G.3422y = _x 2 - 2x
bl 2
c)
d) 4 0 e 1?
1-2,31
ao eixo das ordenadas é:
d) 5
1
el (O, -11
TG.3 ICESCEA-74) O ponto do eixo x equidistante de
G.343 Ix - y I(x + y - 11 = O G.344 x2 + y2 Id - yoly + yÕ - dyo
b) (1, O)
ai 1-1, 01 =
O
sendo
r
=
c)
TGA IPUC-70) Sendo este triângulo é:
G.347 x 2 + y2 ~ 5
12, O)
A(3, 11,
B14, -4)
e
y - 3x
~
O e
y + 2x
=
O,
cuja in-
el não sei
CI-2, 2)
vértices de um triângulo, então
di triângulo isósceles não retângulo
TG.5 (E.E. LINS-6S) Dados os vértices
Pll,1I,
Q13, -4)
e
RI-5,2) de um triângulo,
o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é:
b) 10
cl 15
d) Y221 2
e) nenhuma das respostas anteriores.
TG.6 ICESCEA-6S) Dado o segmento AB de extremidades as coordenadas do ponto C que o divide na razão
b)
4
!!.. 2
G.354 m ~ 2 G.355 hipérbole G.356 reunião de duas retas G.357 se m -2 ou m 2, hipérbole se -2 m 2, elipse se m:: -2 ou m = 2, duas retas
<:
< <
194-6
>
é:
el nenhuma das respostas anteriores
ai 12
G.353 a) 1T
14,3)
bl triângulo retângulo e isósceles
a) triângulo retângulo e não isósceles c) triângulo equilátero
G.3484x + y - 12 = O representa as retas
e
d) 13, O)
Vi3
OE y
x e
G.345,,2 + y2 _ Sx + 12 ~ O G.346 4x 2 + y2 = 4
G.350 (y - 3x)(y + 2x) = O e tersecção é lO, Ol. G.351
e) 1'! e 3 0
cl O
a)
I-~
5'
~) 5
b) I~ 5'
29) 5
c)
11, S)
CB d)
==
1-4, 11
= 4
são:
A
AC
I~,
41
e)
e
==
15, 7)
19, 61
TG.7 (EPUSP-661 Seja C o ponto de encontro das medianas do triângulo ângulo reto A. Sendo O ~ (O, OI e A(3, OI, a abscissa de C ai é inferior a 1 b) é 1 d) só pode ser conhecida se for dada a ordenada de B e) nenhuma das respostas anteriores
B
OAB
de
c) é 1,5
195-G
TG.B
ICESCEA-721 Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades A e C == (3, 3). As coordenadas dos outros dois vértices do quadrado são: a) 12, 31 di 15, 21
TG.9
e e
13, 21
b) 13, 1) e e) não sei
(4, 1)
IMACK-76l Se os pontos então k é igual a:
12, -3),
b) -6
ai -12
m
14, 3)
-1
15,
~)
e
cl m
=
e) nenhuma das respostas anteriores
AI!' 2),
1
°
°
°
°
então
Ax + By + C
° °
Ax + By + C = dos eixos Ax + By + C =
=
°
p ;;:; (1, -4) e corta os eixos coordenados OA ~ J.., então, a equação da reta é: OB 2
pon~
ai 2x + y + 4 ~ cl 2x + y - 1 = el 2x + y - 2 =
° °
bl 2x + y + 1 = d) 2x + y + 2 =
°
° °
ai 3x - 4y + 9 = di 2x + 8y - 6 ~
°
°
°
bl 8x - y - 24 = c) x - 7y + 3 e) nenhuma das respostas anteriores
°
é a equação de uma reta pela
cl -3
b) -2
ai 2
TG.19ICESCEA-771 As retas 2x + 3y = 2 Então a + b é igua I a:
é a equação de uma reta pela origem, a)
l
b)
3
°
°
1
el
2
x - 3y = 1
e
5
c)
1
d)
=
e eqüidistante dos
y = 2x +
TG.18IMACK-761 A abscissa do ponto, pertencente à reta pontos la, OI e 12, -21, é:
2
TG.ll (CESCEA-681 Sejam A, B e C números reais quaisquer. Dada a equação Ax + By + C O, assinale dentre as afirmações abaixo a correta. ai se A * e B * origem bl se B*O e C = O, não paralela a nenhum e C * O, cI se A = eixo Ox d) se A *0, B = e e) se A = O, B *0 e
Uma reta passa pelo
TG.17 IE.E. L1NS-67) A equação da reta suporte de um segmento que tem centro P13, OI e extremidade em cada uma das retaS 2x - y - 2 ;;:; O e x + y + 3 = é:
18
e)
TG.16IPUC-77)
nos pontos A e B. Sabendo que
estão numa mesma reta,
di 12
°
11, 1)
11, 4)
é interno a um dos lados do triângulo
bl m =
di m
c) 13, 01
e
cl 6
TG.l0 IEPUSP-671 O ponto P13, m) B13, 1) e C15, -41. Então: a)
11, 3)
==
3
passam pelo ponto
e)
d) 1
la, bl.
2 3
3
é a equação de uma reta paralela ao TG.20 (CESCEA-75) A intersecção das retas r e s abaixo
C C
= =
O, O,
Ax + By + C Ax + By + C
é a equação do eixo Oy O é a equação do eixo Oy
°
y
TG.12 (FEI-671 Para cada número real m, considere-se a reta rIm) de equação mx + y - 2 = O. a) existem ml e m2, com ml =1= m2. tais que r(mt) e r(m2) são paralelas existe um valor de m para o qual a reta rim) é paralela ao eixo dos y cl qualquer que seja m, a reta rim) passa pelo pontó (2, -1) d) qualquer que seja m, a reta rIm) passa pelo ponto (O, 2) e) nenhuma das afirmações é verdadeira b)
TG.13 (GV-761 Dados, num sistema de coordenadas cartesianas. os pontos A;;:; (1, 2), B = 12, -21 e C = (4, 31, a equação da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento BC é: ai 3x + 4y el x + 2y
~
=
bl 4x +
11
5
l
2
cI x + 3y
y = 11
TG.14ICESCEA-73) A reta que passa pelo ponto de P em relação à origem, é: ai 2y
=
3x
b)
y
= 3x - 3
cI
y =
P = 12, 31 2x - 1
=
di 3x + 2y
7
a,
e pelo ponto
=
7
simétrico
x
é: a)
bl 13 , ~I 2
(24 ~) 7' 7
reta de equação ai y di Y
196-G
=
x + 3 2x + 1
A equação da reta que passa pelo ponto y = -x +
num ponto B, tal que bl y - 5 = -Ix - 21 e) não sei
A
==
AB = 3
cI
12, 5)
V2.
°.;;
e que corta a TG.22 (MACl<-771 A reta
é:
y - 5 ~ 3( x -
21
1)
d) (3,2)
a) para todo cl se
a - b
(a, b)
>1
y
=
x -
tal que
e)
I~
ou
li
6 ' 6
y = alx + 21
cl a';; -2
bl a .;; 1 el a;;'-2
dla';;-l TG.15ICESCEA-721
3'
TG.21 (GV-761 Para que valores de a a intersecção da reta y = -x + 2 se dá no quadrante x ~ O, y ~ O? ai 1 .;; a .;; 2
di não sei
cl I!Q
com a reta
a;;' 2
intercepta o segmento de extremos (O, O) e (a, b): a * b di se
a - b
bl se
<1
a + b> 1 el não sei
197-G
TG.23 (CESCEM-741 As retas de equações
ax + V
~
a + 2
e
4x +
av
4 - a2
TG.3D (MAUAI Dado o feixe de retas adx - 2V + 42) + 13( 12x + V + 54) = O pergunta-se: As equações' das retas desse feixe que formam com os eixos coordenadas ortogonais um triângulo retângulo de área igual a 9 unidades são
são
a) concorrentes, qualquer que seja o valor de a =1= O
bl par~lelas. qualquer que seja o valor de a cl paralelas, se a = 2 di concorrentes, para todo a * 2 aJ concorrentes, para todo a =1= 4
ai 21x + 8V - 18 = O e l1x + 3V + 12 = O bl 2x + V - 6 = O e 9x + 2v + 18 = O cl 18x + V - 18 ~ O e x + 18V - 18 = O dI nenh uma das respostas anteriores
TG.24 (MACK-731 A representação gráfica do conjunto solução do sistema 3X + 6V = 9 { 2x + PV
a) p
= 6
I~
é uma reta. Então:
2
~
bl p = 3 cl p e) não existe p nessas condições
di p é indeterminado
4
di 2
e
e
:l.
bl
..!-
3
el
~ e 3
2
-2'
2
2
e
3
cl 2 e
kx - V - 3 ~ O
ai x - V - 5
J.. x
di V
2
2
bl é retângulo
x - 1
O,
V
x
Pode~se
3x + 2
cl V
el x - V = 1
V
x = a.
J.. 3
'" "'-"'-
/
-..!-
/
3
cl 3 e -1 di
D
B
I/
e 1
A
C x
O
el -3 e 1
afirmar que:
ai (O, OI pertence a S bl lO, OI pertence a S cl (O, OI pertence a S di (O, O) não pertence el não sei
qualquer que seja a *
TG.33 (CESCEA-7l11 O coeficiente angular da reta de equações paramétricas O
se a>O se a O e a *-1 a S, qualquer que seja a*O
<
a) t e u são paralelas d) r e s se interceptam
2t - 1 -3t + 4
é: ai
TG.2a (GV-73) A reta t intercepta as retas r e s nos pontos (O, 31 e (O, 51 respectivamente. A reta u intercepta r e s nos pontos (4, -1) e (4, 1). respectivamente. Então podemos dizer que: b) t e u coincidem c) t e u se interceptam el nenhuma das alternativas
TG.29 (MACK-74) O conjunto dos pontos P = (·x, vi cujas coordenadas satisfazem a condição sen x "" sen y, é constituído pelos pontos: a) de uma reta b) de duas retas concorrentes, mas não perpendiculares cl de duas retas perpendiculares d) de uma famflia de retas paralelas e) de duas famílias, com direções distintas, de retas paralelas
198-G
b) x = 3V + 2
O
..!..2
ai 3 e
cl é obtusângulo
e) está inscrito numa circunferência de centro na origem
y:: -ax - a;
=
-
mente,
TG.27 (MACK-771 Seja S a região do plano cartesiano limitada pelas retas
= ax + a;
O
=
TG.32 (CESCEM-76) Os coeficien\es angulares das retas AB e CO são, respeetiva·
b) 3 e
y
I
3
2
TG.26 (CESCEM-72) O triângulo determinado pelas retas de equações e x+V-4=0 a) é equilátero d) é acutângulo
V 2 -11 O 1
a sua expressão sob a forma reduzida é:
TG.25IGV-771 Os valores de k para os quais as retas x + 2v - 2k = O, e 2x - 2y - k = O são concorrentes num mesmo ponto, são: ai -2
TG.31 (CESCEA-68) Dada a reta de equação
1
bl
2
cl -2
.jj
TG,34 (CESCEM-771 O cosseno do ângulo que a semi-reta forma com a parte positiva do eixo dos x é
bl..!..2
c)v5 5
di
2 .1
e) não sei
x' 1
el _
V3 2
2
TG.35 (CESCEM-72) De todas as retas que passam pela origem somente não tem equação y = mx, m real: a) a bissetriz dos quadrantes 1? e 3? c) a bissetriz dos quadrantes 2? e 4? el o eixo dos V
b) o eixo dos x dI a reta de equação
x
2V
199-G
TG.36IGV-73) Considere o gráfico:
TG.42ICESCEM-'691 A equação da reta paralela à reta determinada pelos pontos de coorde· nadas (2; 3) e (1, -4) passando pela origem é: ai y di y
~
c) 7y = x b) y = 3x - 4 el nenhuma das respostas anteriores
x 7x
TG.43ICESCEA-731 Se x
ai Ab - aB
A equação da reta r é: ai y
~ V3x +
d) 3y + V3x
1
~
b)
y
x
+
cl 3y - V3x
3
el y + x
1
ai y
=
bl y =
4x
TG.38 (GV-75)
-l. y'"; 2
As retas r e 5
x
cl y
di y
1
"2
~
log x
el y = 2x
O e 4x + 3y + 12 4x + 3y - 12 4x + 3y - 24 O e 4x + 3y + 24 3x + 4y - 12 O e 3x + 4y + 12 3x + 4y - 24 ~ O e 3x + 4y + 24 nenhuma das alternativas anteriores
~
~
= =
-3 4"
Suas equações são:
O O O O
b) 3b - 5
7 3
el b 3
di -3b + 7
cl 3b - 7
bl y = -x - 7 el 3x + 6y 33
y - x ~ 1
di 2y - 7
~
x - 2
TG.41 (CESCEA-731
c)
y+x-7~0
200-G
~
O
d)
não sei
O;
di 3x - y =
~
O
"2
1
-.!..x+y ~ 9 3 el nenhuma das respostas anteriores
2'
bl 2y - x
TG.45ICESGRANRIO-761 O valor de são perpendiculares é bl
2
Ci
para o qual as retas 2y - x - 3
cl 5
2
~
2
di
O e 3y + Cix e)
3
-
2
~
O
3 2
MIO. OI,
NIO, 31,
Pia, a + 31
e
Ola, ai
com
a
c) 4y - x
2
di não sei
> o.
Assinale a assertiva cor·reta. ai Se a
3v2 2
IMNPO) é um losango
bl Se a
2.../3 3
IMNPQI é um losango
cl.Se a 1. IMNPQI é um losango d) Se a 3, IMNPOI é um losango e) (MNPQ) não é um paralelogramo, logo não pode ser losango para nenhum valor de O
ai 4x - 5y + 40 = O di 4x + 5y + 9 = O
bl 5x - 4y + 41 el 4x + 5y = O
~
O
(-5, 41
ai 2x + 2y + 5 = O d) 5x + 5y - 4 ~ O
bl -2x + 2y - 5 = O e) 5x + 5y - 6 = O
e é perpendicular à
cl 5x + 4y + 9
TG.48 (MACK-75) A equação da reta perpendicular à reta y = x secção das retas 2x - 3y - 1 = O e 3x - y - 2 O é:
Então, a equação da reta 2
-x - y = O 1 -2x Y 2 cl x + 2y + 13 = O; -x + 1 Y =
b) y = 2x + 2;
TG.47IMACK-761 A equação da reta. que passa pelo ponto reta 5x - 4y + 7 ~ O, é: x
-l.
cl bA + aB
O
a>
No gráfico abaixo, a reta r é paralela à reta s. y
ai y - x =
=
TG.46ICESCEM-73) Uma condição necessária e suficiente para que um paralelogramo seja um losango é que suas diagonais sejam perpendiculares. Considere-se o quadrilátero MNPQ em que as coordenadas cartesianas ortogonais dos vértices são:
TG.40 ICESCEA-691 A equação da reta que passa pelo ponto 13, 4) e é paralela à bissetriz do 2f? quadrante é: a)
bl Aa + Bb
TG.44 (CESCEM-701 Qual dos pares de retas abaixo são de retas perpendiculares?
ai 6
TG.39ICESCEM-771 Para que a reta x - 3y + 15 ~ O seja paralela à reta determinada pelos pontos Ala, bl e 8(-1,21, deve-se ter a = ai -3b + 5
retas perpendiculares,
5$0
formam com os eixos coordenados triângulos de 6 unidades
de área. Os coeficientes angulares dessas retas são iguais a a) bl cl d) el
O
a) x + y - 1
TG.37ICESCEM-731 A equação da reta cujo coeficiente angular é igual à metade do valor absoluto da raiz quadrada do logaritmo de dezesseis na base dois e que passa pela origem é:
Ax + By + C = O
e
então:
O
e que passa pela inter-
c) 7x + 7y - 6
~
O
201-G
TG.49ICESCEM-771 Os pontos de intersecção dos eixos coordenados com a reta y = ~ + 2 determinam um segmento. A mediatriz deste segmento é a reta 2
a) 2x + y - 4 d) 2x + y + 3
=
O
=
O
TG.50 ICESCEM-72)
bl 2x + y - 3 el 2x + y + 4
O ponto
diagonal contida na reta
AI-4. 5)
é
O
= =
O O
cl 2x + y - 2
=
O
vértice de um quadrado que possui uma
7x - y + 8 = O. A equação da reta suporte da outra diagonal é:
a) 3x - 8y - 4
c) x + 7y - 14 = O
bl x + 7y - 8 = O el x - -;y - 8 = O
= O di x + 7y - 31 = O
TG.51 ICESCEM-76) As equações y kx c 2, k E IR, representam retas de um feixe. A equação da reta deste feixe, perpendicular à reta de equação 2x + y - 5 = O, é bl 2x - y + 3 = O el x - y + 3 _ O
ai 2x - y - 3 = O di x - 2y - 6 = O
cl x + 2y + 6 = O
TG.52ICESCEA-721 O ponto de encontro das alturas do triângulo de vértices A=' (1, 4), 8 =' lO, 11 e C =' 13, 11 é a)
11~) , 3
cl (1 , 25 1
bl 11,3)
di 12, 31
e)
não sei
TG.57ICESCEA-72) A tangente de um dos ângulos formados pelas retas 3x + 2y + 2 = O e -x + 2y + 5 = O é:
a) 112 _1§.1 15' 15
b) 112 ~I 15' 15
d) 1 37 ~I 15' 15
el não sei
TG.54ICESCEM-72)
cl 1_ 37
15'
_ ~I 15
cl 5 2
b) 8
di
2
e) não sei
7
TG.58ICESCEM-73) Dados os pontos de coordenadas cartesianas ortogonais alo, O), 811, 21 e CI2, 11, o ângulo
1
3
'2
bl tg:f 2
cl
3
=
di
30°
e)
TG.59IEPUSP-671 A cotangente do ângulo agudo formado pelas retas x = 13y + 9 é: a)
bl 8
4
d) 14
cl 10
x
=
3y + 7
e
e) nenhuma das respostas anteriores
TG.60 ICESCEM-761 A reta r passa pelos pontos 11, OI e la, -2) e forma com a reta
5
l!.
um ângulo de
orientado
4
como na figura. O coeficiente angular
de TG.53 ICESCEA-71 I A projeção perpendicular do ponto 12, 3) sobre a reta 3x - 6y + 5 = O é o ponto de coordenadas:
1 2
a)
5
é x
ai 1 3
bl -3
cl -2
di _ 1 3
e) -1
TG.61ICESCEA-73) Considere o gráfico abaixo:
Entre os pontos da reta de equação x + 3y - 8 = O existe um ponto P = (1, 2) é mínima. As coordenadas do ponto Q são:
Q cuja distância ao ponto
ai
l.!.l
23) 10' 10
bl 12,2)
cl 18, OI el 11, 21 TG.55IGV-731 y
x
Oado o ponto
P
12, 31,
o ponto simétrico de P com relação à reta
= x - 3 é:
ai 11,4)
bl14,1I
c)
(-1, 6)
d) 16,
-11
el 14, 61
TG.56 ICESCEA-71) A tangente de um dos ângulos formados pelas retas não perpendicu· lares a 1 x + b 1Y + c I = O e a2 x + b 2 Y + C2 := O é:
A equação da reta r é: a)
2y
= x
+ 5
TG.62IEESCUSP-661
bl 3y
=
x + 2y + c
a) aj b 2 - a2 b l a1a2 + blb2
bl al a 2 - b 1 b2 ala2 + b 1 b2
ai perpendicular à reta 2x b) paralela à reta 2x - 4y cl concorrente com a reta d) cuja distância ao ponto
di aI b 2 + a2 b l ala2 - b l b2
e) não sei
e) formando um ângulo
202-G
f
x + 5 =
cI
y =
-3 + 5
d) não sei
O é equação de uma reta
+ y + c =O + c = O 3x + 6y + 2 l-c, 11
= O é igual a O
com a reta
3x + y + c
O
203-G
TG.63 (CESCEA-681
Seja
P o ponto de coordenadas (4. 31 num sistema cartesiano ortogonal oxy. Se OXY é um novO sistema de coordenadas, obtido do anterior por uma translação da origem de o para O == (2, -11, então as coordenadas de P no novo sistema serão: ai (6, 2)
bl (6,41
(v:' -
TG.64 (CESCEA-691 nadas
d) (2,4)
(3, 1)
c)
e)
As coordenadas de p num outro sistema, ob!ido do anterior
a
JXJr uma rotação de
1f
4'
a)~
--ª--I
(2.
_ sao:
b) (~ ...i.-) 15' 15
15' 15
d) (O, O)
e)
c)
(_l.15'
_~)
a)
15
TG.65 (PUC-76) A altura do triângulo ABC, relativa ao vértice A, onde B ~ 11, -31 e C o 1-4, -11 é: ai
V29
cl
V29
e)
2
C
A
1
A
(3, 2),
3
e
-2
a) O ou
cl
V;
e) Y2 ou
11, 21
e
B
(2, 1).
b) 6
di 12
cl 9
diagrama abaixo, vale:
P(30, 600)
e a família de retas
y
~
mx,
o valor
de m, a fim de ,que a distância de P à reta seja mínima, é: a)
30
cl
bl 20
TG.68 (CESGRANRIO-76) (O,
2Y2)
a)
1 +
di 0,05
O círculo C tem centro na reta
em comum com a reta y ~ x + 2Y2.
Y2 2
b)
2V2
cl
bl
.J5
c)
16
V2
y
o
x e somente o ponto
e)
4x - 2 e
d) 2
3
2 1
1 2 3
x
4
TG.76 (CESCEM-761 A área do trapézio determinado pelas retas de equações y ~ 5, y ~ x + 1 e pelo eixo dos y é a) 7,5
di 1
v'1õ
y
bl 7
cl 6,5
d) 6
x
3,
el 5,5
el O
Então, o raio de C é
TG.69 (CESCEA-72) A distância entre as retas paralelas 3y a) 10
O
4 -------
ai 4,0 b) 3,5 cl 3,0 di 5,0 e) 4,5
di Y2 ou 2
Dado o ponto
e)
o
A distância do centro do
2Y2
TG.67 (CESCEM-73)
e) 4 e 2
d) 2 e -5
cl 6 e -1
3
bl 1 ou 2 ou 2
C ~ (O, -1), sabendo
e
TG.74 (MACK-75) A área do triângulo determinado pelas retas y ~ x, x ~ 4 e x + y - 2 é: a) 4
V29
bl 5 e -4
TG.75 (GV-761 A área da figura hachurada, no TG.66 (CESCEM-741 Sabe-se que A quadrado ABCD à origem é
e) não sei
5
TG.73 (PUC-77) Dados os pontos A ~ (O, -kl, B ~ (k, 11 que a área do triângulo ABC é 10, então k é igual a:
15
(_.2.. _ ~I 15'
d)~
cl 6
B
ai 48 b) 24 c) 12 d) 6 e)
a)
b) -2
5
TG.72 (GV-73) A área do triângulo ABC da figura ao lado é:
(2, 2)
Num sistema cartesiano ortogonal xOy, um ponto p tem coor~e y[1.
TG.71 (CESCEA-72) Há dois pontos sobre a reta y ~ 2 que distam 4 unidades da reta 12y ~ 5x + 2. A soma das abscissas desses pontos é:
TG.77 (FUVEST-77) Na figura, A ~ (3, 41, M ~ (9, 121, AB#MN e AC#MP. A área do triângulo ABC é 8. A área do triângulo MNP é:
2
3y
~
4x + 8 é:
e) não sei
a)
-ª-9
b)
.!!.
y
IN
3
cl 24 TG.70 (CESCEM-731 As retas x + 2y ,- 3 = O e x + 2y + 5 da reta paralela eqüidistante dessas duas é:
a) x + 2y + 1 di x + 2y + 2
o
O
bl x + 2y - 1
=
O
e) x + 2y
=
O
-"35 ~
O
=
O são paralelas.
A equação d) 36v3
cl x + 2y - 2
~
O
x
e) 72
20S-G 204-G
TG.78 (GV:-77) Os pontos do plano que satisfazem sim~ltaneamente as inequações x - 3y';; O e 3x + y ;;;. O, podem ser representadas pela figura: aI
TG.82 (CESGRANRI0-76) A região S indicada na figura y
c)
b)
x representa o conjunto solução do sistema a) {
di
x + y;;;' O 2x + 2y ;;;. 7 x .;; O
bl {
x + V;;;' O 2x + 2y .;; 7
e) {
x + y';; O 2x + 2y .;; 7
x;;;'O
e)
d) {
x + y;;;' O 2x + 2y .;; 7
x;;;'O
x';;O
TG.83 (GV-75) A parte sombreada do gráfico
y
ao lado representa o conjunto de pontos (x, y) satisfazem cujas coordenadas
simultaneamente a três das inequações
6
abaixo. Quais?
(1)6x+y;;;'6 (2) x + 3y ;;;. 6 (313x + 2y .;; 12 (412x + 3y .;; 12 (5) x + 6y ;;;. 6 16) 3x + y ;;;. 6
TG.79 (CESGRANRIO-77) O conjunto solução do sistema y {
y
> 2x >4 -
x
está contido na união dos quadrantes a) I e 11
b) II
e 111
d
111 e IV
dI IV e I
5
e) I e III
TG.80 (MACK--69) O conjunto dos pontos do plano cartesiano que satisfazem a sentença Ixl 5 é:
>
a) b) c) d) e)
(1), (2) (1). (4) (2), (4) (3), (5) (4), (5)
e e e e e
4 3 2
(3) (5) (5) (61 (6)
2
3
4
5
x
6
a) um par de retas paralelas TG.84 (MACK-74) As desigualdades de área:
b) um segmento de reta c)
aI indefinida
uma faixa do plano
bl 1
y';; 4, c)
x';; 1 e
y + 2x ;;;. O definem uma região d) 9
7
el 13
d) a reunião de dois semi-planos
TG.85 (CESCEM-741 As regiões do plano definidas por: e) o plano todo TG.81IMACK-771 A representação gráfica dos pontos (x, y) tais que y + 2 x-3 a) um semi-plano
bl um segmento c) o interior de um ângulo agudo d) o interior de dois ângulos opostos pelo vértice a·)
2OG-G
não sei
<1
XI + 2X2 .;; 2, 2xI + X2 .;; 2,
é:
XI;;;' O X2;;;' O
determinam um quadrilátero, no qual está definida a função y = Xl + X2. Sabendo-se que o máximo desta função está num dos vértices deste quadrilátero, o seu valor é a)
.! 3
b)~ 3
cl2.3
d) O
e)
_ 1
3
207-G
TG.89IMACK-76) A figura ao lado é o gráfico de: TG.86 ISANTA CASA-77) Da região definida pela intersecção dos semi-planos dados através das inequações
a)
Ix
+ 4
b)
IX I
cI
x2
y ,;;; -x
y ,;;; x + 2 y ;;.
2x - 4
ai
o ponto de maior ordenada é:
8
14, O)
b)
cI (1, 3)
d) 10, 41
16. 8)
e)
aI
cl
TG.87 (ITA-75) Seja S o conjunto das soluções do sistema de desigualdades:
um quadrilátero para qualquer
onde m é real
m
>O
b) um triângulo isósceles para qualquer
d) S é o conjunto vazio para el
m
m < O ou
.)
m
>
~
é:
y
m < 4
= 3
=
9
e
1-3, O) IYI
Ix I + Iy I
x
13, O)
3
IX-YI=3
lO, -3) IXI
+ IYI <1
representa:
interior de um circulo interior de um quadrado
b) interior de um triângulo d) uma coroa circular
2x + y =O a 9 x = e y = 12 -32x + 16y + 25 -16x + 16y + 15 = não sei
pelas reias
x - 2y + 1 = O 1
16 O e O e
8x + 16y - 5 = O 16x + 16y - 11 O
TG.92IEESCUSP-681 A bissetriz interna do ângulo agudo formado pelas retas 3x + 4y + 1 = O e 3x - 4y - 1 = O é 4
é melhor representado por:
y
b)
b) cI d) e)
I
2.'k 3
(x, y),
nenhuma das anteriores
TG.88 ISANTA CASA-771 O gráfico de a)
3
TG.91 (CESCEA-72l As equações das bissetrizes dos ângulos formados 3x + 4y - 2 = O a -6x + 8y + 5 = O são:
A representação geométrica -de S, em coordenadas cartesianas ortogonais
cI um triângulo retângulo para
+ y2
eJ um quadrante de círculo
> <
2x + y - 3 O x - 2y + 1 O y - 3 O x + my - 5 < O,
a)
= 3
I YI
TG.90IFFCLUSP-661
4
3':3
<
+
di IX I
y;;'O y;;'O
a)
+ YI
y
10,3)
ai 4x + 1 = O bl x = O e) nenhuma das respostas anteriores
y
cI
TG.93 (CICE-681 Sejam 4
NI-2, 51
e
=O
pIO. O)
di y
O
pontos do plano, dados em
coordenadas cartesianas. Assinale qual o número de lista abaixo que mais se aproxima do comprimento da bissetriz do ângulo P no triângulo MNP.
4 4
-4
MI-5, 2),
cI 3x - 1
x
a)
4
~ 10
bl
42. 2
c)
3
!.-
10
d) 4
e)
4 3 10
-4
CIRCUNFERÊNCIA di
y
e)
y
TG.94ICESCEA-68) Assinale dentre as alternativas abaixo a correta: x 2 + y2 + Ax + By + C = O representa uma circunferência quaisquer que sejam A, B e C b) a equação x 2 + y2 + Ax + 8y + C = O representa uma circunferência se A2 + B2 - 4C o. cl a equação x 2 + y2 + 1 = O representa uma circunferência de raio 1 e centro no ponto P == lO, O) di os pontos A == lO, O), B == 11, 3) e C == 12, OI estão sobre a circunferência de equação x 2 - 10x + y2 = O a) a equação
4
4 __
4 ___
~L-_+_---'---
-4
---
>
e) uma circunferência de centro na origem e raio unitário passa pelo ponto A
== (1,
1)
209-G 20S-G
TG.95 (PUC-71) Os valores de m e k para os quais a equação mx 2 + y2 + 4x - 6y + k = 0representa uma circunferência real são:
ai m di m
1
e
2
e
TG.96 (EESCUSP-66)
< 10 k < 1
k
< 13
b) m
e
k
el m
e
k = 1
c)
m
2
k
e
3
TG.103 (CESCEM-741 A reta r não tem coeficiente angular. As retas s e t são distintas, perpendiculares a r, tangentes à circunferência x 2 + V2 = 1 e concorrentes com a reta
y=
x +
ai 1
Qual das seguintes equações representa uma circunferência com
V7 respectivamente bl Vi c) 2
a) x 2 + Iy - 1)2 = 9 d) (x - 21 2 + (y - 91 2 = 16
bl x 2 + y2 = 7 el x 2 + 12y - 3)2 = 1
12 é dada por
x 2 + y2 x 2 + y2
13 é dada por
x 2 + y2
14 é dada por
x 2 + y2
11 é dada por
1 - x2
c)
y2
TG.97 (GV-73) A equação da reta que passa pelo centro da circunferência 2x 2 + 2 y2 - 8x - 16y + 24 = O e é paralela à reta a)
y
di y
=
. . . . . . . . . . .. . . . . . .
-8x + 2y - 2 = O é:
2x 3x - 2
bly=4(x-11 el y = 4x - 1
TG.98 (MACK-75) São dadas a reta r de equação
c)y
x + 2y - 1 = O e a circunferência de
2x 2 + 2 y2 + 4x + ~ = O. A reta s passa pelo centro da circunferência 2 e é perpendicular à reta r. A área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo Ox é igual a: bl ~ 5
c)
dl~
1
e) 5
4"
3
TG.99 (EPUSP-671 O ponto simétrico da origem com relação ao centro da circunferência x 2 + y2 + 2x + 4y = r2 b)é(1,2) c)é(2,4) e) nenhuma das respostas anteriores
ai é (-2, -4) d) depende de
TG.100 IE. E. LI NS-68) A circunferência simétrica de x 2 + y2 - 3x - 5y - 7 ao eixo das ordenadas tem por equação: ai x2 + y2 + 3x - 5y - 7 = O cl x 2 + y2 _ 5x + 3y - 7 = O el nenhuma das respJstas anteriores TG.101 (CESCEA-711 A distância do ponto x 2 + y2 _ 16x - 6y + 24 = O é: ai 19
bl 7
cI 12
bl x 2 + y2 + 3x + 5y - 7 d) x 2 + y2 - 3x + 5y - 7
(-4,
3)
ai 14. -3)
b) (4, -4)
14, -1 I
di (4, -2)
c)
el (3, -3)
210-G
O em relação
O O
à circunferência de equação
d) 5
TG.102ICESCEM-73) O ponto da circunferência (x - 41 2 + (y + 31 máxima é:
=
e) não sei 2
iln)n € N
A distância PQ mede
Vi
el
V7
tal que
2x 3x 7 -x 2 15 x 4
... . . . . . . .
tende para uma circunferência I cuja equação é:
x+2
equação
a) 3 4
d) 2
TG.104 (MACK-77) A seqüência de circunferência
centro sobre um dos eixos mas não na origem?
a.
nos pontos P e
ai x 2 + y2
4x
b) x 2 + y2 = 16x
cl x 2 + y2
4
d)
x 2 + y2 = 6x
e) não sei
TG.105 (CESCEM-74) Quer-se obter a circunferência x 2 + y2 = 1 como reunião disjunta dos gráficos de duas funções y = f(xl e y = g(xl. Domfnios convenientes para tais funções são ai ]-1; 1[ e
]-1; 1[
bl ]-1; 1]
e
]-1; 1]
d) '\.-1; 1]' e
[-1; 1]
el [-1; 1]
e
]-1; 1[
c) [-1; 1] e
]-1; 1]
TG.106 (CESCEM-67) Qual das circunferências abaixo passa pela origem? a) (x + al 2 + (y - al 2 = a 2 bl x 2 + Iy _ a)2 = a 2 d) x2 + y2 = a 2 c) (x - al 2 + y2 = 4a 2 e) (x - c)2 + (y - cl 2 = 4a 2 TG,107 (CESCEA-73) O valor de m para que a circunferência passe pelo ponto (O, 11, é' a) -5
b) -3
TG.108 (FEI-65) a ponto A(1, está situado:
V2)
c) -4
x 2 + y2 + 4x - my - 6 = O d) não sei
em relação à circunferência x 2 + y2 - 4x - 4y + 4 = O
a) no centro b) interno ao cfrculo, fora do centro
=
1 que tem ordenada
c) na curva d) externo ao drculo, mas na reta
y =
V2 x
e) nenhuma das respostas anteriores TG.109 (CESCEM-77) A área do disco de equação a) 511
bl 811
c) 1011
x 2 + y2 - 4x + 6y + 8 .;;; O é di 2511
el 6411
211-G
TG.ll0 (FFCLUSP-69) A representação gráfica do sistema no plano cartesiano (eixos ortogonais) é:
x 2 + y2 > 9 ou x 2 + y2 <25 TG.116 (GV-761 A reta
a) a parte do plano compreendida entre as circunferências de centro na origem e de raios 3 e 5 b) duas circunferências concêntricas
c) o conj unto vazio
di o plano todo e) nenhuma das respostas anteriores
x-y=l
I x 2 + y2 _ 6x - 7 = O} e S
*0.
(a, bl um ponto qualquer do conjunto A = {(x, y) E R2 I x 2 + y2 < 1} B = {(x, .yl E R2 1 (x - al 2 + (y - bl 2 < r 2 , r> O}.
e seja
aI B C A,
cI B
n
para todo
A = B, .para
d) B :::l A,
para
b) B U A = A,
r > O
para
ai -2 ~ p ~ 6 Então: O< r < 1
O< r ~ 1 - ~
r;;;' 1 - ~
1:
al encontram·se nos pontos 11, OI e lO, -11 bl encontram-se nos pontos (1, 01 elO, 11 cl encOntram-se nos pontos (-1, O) e lO, 1) d) não têm pontos em comum e) são tais que a reta é tangente à circunferência TG.117IMACK-731 Sejam C = {Ix, yl p E R}. Sabe-se que C n S
TG.lll (CESCEA-71) Seja
x 2 +y2
eacircunferência
bl -1 ~ p ~ 7
=
I x = p.
{Ix, y)
Portanto p é tal que:
cl p
>O
dI -3
~ p ~
3
~ p ~
el -2
1
TG.118ICESCEA-771 A reta x + 2y - 7 = O é tangente a uma circunferência de centro 1-2, 21. Então, a equação desta circunferência é: ai Ix + 21 2 + Iy - 2)2 = 5 bl Ix + 21 2 + Iy - 21 2 = ti Ix + 2)2 + Iy - 2)2 = 9 d) Ix - 21 2 + Iy + 21 2 = 5 2 2 el Ix - 21 + IY + 21 = 9
Y5
e) não sei
TG.119IMACK-731 A reta TG.112IMACK-75) Dados os pontos A = 12,3), B = 14, -1) e C = Ix, 1), o valor de x, para que a área do triângulo ABC seja 5 e b 'ponto C soja externo ao cfrculo x 2 + y2 ~ 25, é: ai 6
b) 11
c) 7
2
TG.113IMACK-73) Os pontos
P(x, yl
d) 9
e)
-6
cujas coordenadas satisfazem o sistema
x 2 + y2 {x + y
=
4
~ 1
+
di a2 +
e) existem e são em número finito TG,114 (GV-761 Seja C uma circunferência de equação Ix - 11 2 + (y - 1)2 ~ 8, e seja r a reta de equação x + y = 6. Com relação à posição de C e r, podemos afirmar: ai C e r são secantes b) C e r são tangentes cl C e r são externas uma à outra dI r passa pelo centro de C e) C e r se interceptam no ponto 14, 2) TG.115ICICE-68) Em coordenadas cartesianas, sejam P = la, b) e Q = Ic, d) os pontos em que a reta 3x - 2y ~ O corta a curva x 2 + 6x + y2 - 4y - 12 = O. O pro· duto da distância de P ao ponto R = 12, 3) pela distância de Q ao mesmo ponto R vale: b) 1 e)
21 a
c) 2ab + 3cd - c
I+
é tangente à circunferência x 2 + y2
1
b)
1 b2
el
b2
1
;;2
+
1 b2
cI
2
a2
+
1. Pode-se
1
-1
b2
l'
1 ;;2 - b 2
TG.120 (MACK-761 A circunferência (x - 1)2 + Iy - 31 2 = r 2 é tangente à reta 5x + 1 2y O valor de r é:
ViO
bl 25 13
c)
13 12
c
60.
el 19 13
di 60 13
TG.121ICESCEM-721 A equação da reta que passa pelo ponto 11, OI e é tangente à circun· ferência de centro no ponto (2, 2) e raio unitário, com ponto de tangência pertinente ao semi-plano x ~ 2 é:
di não existem
212-G
1
';;2
x + y = 1
c) sao pontos de um arco de circunferência
ai O di Y'I-a-_-c-IA2-+-(b---d--:)2
a)
ai
a) são colineares
bl são eqüidistantes da reta
afirmar que:
x + Y a b
3 • I b - di
ai x = 2
bl x
=
1
c)x+y=l
di
y = 1
el
y
2
TG.122IEESCUSP-68) Dada a circunferência x 2 + y2 r 2 e um ponto Ixo, yol pertencente à mesma, assinalar qual das equações abaixo representa a reta que passa por (xo. Yo) e é tangente à circunferência dada: a) xXo + Yo = r 2 dI x + yYo = r2
bl xXo + yYo = r 2 oi xxo + y = r2
c)
Yxo + xyo
TG.123ICESCEM-67) Qual das circunferências abaixo tangencia o eixo dos x e o eixo dos y? b) x 2 + Iy - al 2 := a 2 a) Ix + a)2 + Iy + al 2 = a2 cl Ix _ a)2 + y2 = 4a 2
di x2 + y2
=
a2
el Ix _ al 2 + IY - a)2 = 4a 2
213-G
TG.124ICESCEM-691 A equação da circunferência com centro no ponk 13,41 e tangente aos eixos coordenados é: bl X2 + V2 - 6x - 6v + 9 o O di x2 + Vl - 6x - 8v + 49 _ U
ai x 2 + V2 - 6x - 8v + 25 - O cl x 2 + V2 - 8x - 8v + 16 ~ O e) nenhuma das respostas anteriores
TG.132ICESCEA-701 Uma circunferência está inscrita num triângulo cujos vértices são lO, OI, 14, O) e lO, 4l. Então, a distância do vértice lO, OI aos pontos de tangência situados sobre os eixos coordenados é: ai 4 + 2V2
bl 4V2
TG.133ICESGRANRI0-771 TG.125ICESCEM-6Sl A equação da circunferência que tangenc;a os eixos Ox e Ov e cujo centro está na reta x + y - 2 = O é: 2 2 ai x 2 + y2 - 21x + yl - -1 bl Ix - 2-1 + Iy - 2-1 2 2 cl x 2 + y2 - 21x + yl di x 2 + V2 ~2Ix-yl
c) 4 - 2V2
TG.126IPUC-771 A equação da circunferência, situada no 1? quadrante, tangente à reta de equação 3x - 4y + 30 = O e aos eixos coordenados, é: bl x 2 + V2 10x - 10y + 25 di x 2 + y2 - 5x + 10y + 25
ai x 2 + V2 5x - 5y + 25 ~ O cI x 2 + y2 - 10x + 5y + 25 ~ O e) x 2 + y2 - 5x + 5y + 25 ~ O
c
O O
TG.127 (ITA-77) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação da circunferência que passa pelos pontos PIlO, -31 e P l 14, O), e cujo centro está sobre a reta x + 2y = O, é: ai 51x 2 + y 2 1 + 2x + 3y ~ O cl x 2 + y2 + 4x - 2y - 15 O e) nenhuma das anteriores
bl 51 x 2 + y'l - 14x + 7y - 24 di x 2 + y2 - 2x + y + 5 = O
No plano são dados uma circunferência de raio 5 e um ponto
P
distante 13 unidades do centro da circunferência. Uma reta passando por P intercepta a circunferência nos pontos M e N. O produto das distâncias PM e
PN é: c) 6511
b) 144
ai 169
ai Ix _ 31 2 + y2 = 25 cl Ix 61 2 + Iy + 61 2 = 100 10 el Ix -121 2 +lv+41 2
O
612 + y2 912 + y2
bl Ix di Ix
v17
cI
4v - 3x + 2
O
16 25
TG.135IPUC-761 A distância dos centros das circunferências de equações: e x 2 + y2 _ 2x - y - 1 = O é:
-J5
b)
5
-J5 2
cI
V20
di
ví8
ai 2x 2 + 2 y2 - 4x - 4y = O cI x 2 + V2 - 4x - 4y ~ O e) não sei
bl x 2 + y2 - 2x - 6y di x 2 + V2 + 4x + 4y
4
e)
~ ~
x + V
O O
~
x;
ai + y2 - 4x - 4v o O cl x 2 + y2 - 6x - 6y _ O e) nenhuma das anteriores
214-G
y
x 2 + V2
di
.j5
e
.j5
x 2 - 6x + y2 = -8
b) exteriores e) tangentes exteriormente
a) secantes d) tangentes interiormente
el
3
c)
O
são:
interiores
O
e
a) b) c) d) e)
nunca se cortam se cortam nos pontos P == 11, 51 e Q(2, OI se cortam em pontos pertencentes à reta x = 1 se cortam em pontos pertencentes à reta y:= 3 são sempre tangentes
TG.138IFEI-73) A equação da circunferência concêntrica com: contém o ponto 11, Oi é:
x 2 + y2 - 2x - 4v
4
a) Ix - 1)2 + Iy - 21 2 ~ 4
TG.131IMACK-731 A equação da circunferência que passa pelas intersecções das retas V
-J5 4
x2 + y2 -
TG.137ICESCEA-681 Dadas as circunferências de equações x 2 + y2 - 2bV + b' - 4 ~ O e x 2 + y2 _ 4x - 2by + b 2 = O onde b é um número real Qualquer, podemos afirmar que as circunferências:
TG.130 ICESCEA-741 A equação da circunferência que tangencia as retas x + V = 8 e que passa pelo ponto lO, OI é:
x2
96
podemos a1 irmar que:
ai
TG.129ICESCEA-751 As retas V x e y = -x tangenciam uma circunferência respectiva· mente nos pontos 13, 31 e (3, -3), O raio dessa circunferência vale: bl
e)
di 4511
ai DE é um diâmetro da circunferência b) DE é uma corda da circunferência mas não contém o centro c) E>E intercepta a circunferência em um único ponto d) DE não intercepta a circunferência e) 5t intercepta a circunferência em dois pontos mas não é corda
TG.136ICESCEM-721 As circunferências TG.128 ISANTA CASA-77) A equação da circunferência tangente à reta no ponto (6, 4) e centro na reta y::: O, é:
V12
el 4 - V2
TG.134IMACK-751 É dada a circunferência x2 + y2 _ 8x - 4y - 5 = O e os pontos D = 1-1, 21 e E = 18, 5l. DeSignando por DE o segmento fechado de extremidades D e E,
el nenhuma das respostas anteriores
ai
di 2V2
~
O;
x = 4,
é: bl x 2 + y2 - 8x - 8v = O di x 2 + y2 - 10x - 10y = O
bllx+11 2 +ly-2)24
cI Ix -
1)2 + Iv + 21 2
4
+ Iy + 21 2
4
d) Ix + 1)2
e) nenhuma das respostas anteriores
215-G
e
TG.139 (ITA-76) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. considere P 1 a circunferência de equação: 2x 2
+ 2V2
+ 6v - S
- 11x
O
=
Então, a equação da circunferência que é tangente ao eixo das abscissas e com o mesmo centro de P I é dada por: ai (x +
~12 +
(v _ )2 = ~ 249
cI (x -
2 !.! 1 4
!.!
+ IV +
22 12
b) (x
~
=
+
d) 2x 2
4
.i. 1
2
11
+ Iv _ 21
2
~
=
3
+ 2V2 - 11x + 6v - ~ S
e) nenhuma das respostas anteriores TG.140(E.E. L1NS-67) As circunferências de raio 15 tangentes à circunferência x 2 + V2 = 100 no ponto (6, SI têm centros nos pontos: (-3,4) e (15, -20) d) (-8, 32) e (S, -32) a)
b) (3, -4)
e (-9, 12)
a) 4x 2 + 9 V2 bl 9x 2 + 4 V2 c) 4x 2 + 9 V 2 dI 4x 2 + 9V2 el 4x 2 + 9 V2
c) (-12, 16) e (9, -12)
36y + 36 = O 36y + 16 = O 36v + 16 = O
- 16x - 16x - 16x - 36x - 1Sx -
..
-I--+-=:::_-±--r"'-~-:-----
16V + 16 = O Sv + S = O
-1
A equação da elipse de centro no ponto
TG.146 (CESCEA-721 O
=
v
TG.145 (GV-761 A equação da elipse da figura ao lado é:
TG.141 (MAUÁ-6S) A intersecção das curvas V
-..J
= -1
=3 -
..J 9 - V2 - 4V
é constituída por: aI um conjunto de dois pontos c) um conjunto de um ponto e) nenhuma das respostas anteriores
é:
2a = 30
V2i6
e) nao sei .
TG.147 (CESCEA-75)
Sabendo-se que a elipse
pelos pontos
(2, 31
5Y2
b)
a)
b) um conjunto vazio d) um conjunto de quatro pontos
de distância focal
2c = 2v'2i6 e cujo eixo maior, paralelo a OV, tem comprimento (x - 2)2 Iv + 61 2 (x - 2)2 (V + 6)2 b) - - 9 - + a) + 216 590 225 (V + 6)2 (x - 2)2 (x + 6)2 (V - 2)2 + di cI - - - + 225 9 15
e) nenhuma das respostas anteriores 19 - x 2 - 2x e x
(2, -6),
x
TG.148 (CESCEA-69)
e
(O,3Y2),
5Y4
x'.l -;2 +
r.. b2
a + b
então
==
a
1,
>O
> O,
passa
vale: e) 12
d) 6Y2
c) 2...[2
e b
As coordenadas dos focos da elipse de equação
9x 2 + 25 v2 = 225
são: TG.142 (CESCEM-73)
Considere as circunferências de equações: x 2 + V2
=1
e
Ix _ V2)2 + V2
=
a)
1.
(1.
2'
O)
d) (4, O)
e
(-
-!
2'
OI
e (-4, O)
b) (2, OI
e
(-2, O)
e)· (O, 2)
e
(O, -2)
cl (O, 41
e
(O, -4)
A área da intersecção dos drculos determinados por estas circunferências é: a)
~ (E:. 3
2
cI 2(E. -
b) 2(E. + 11 4
11
d)
1)
4
.!i... -
el
2
E:. + 2
A equação 9x 2 + 4 V2 - 1Sx - 16v - 11 semi-eixo's maior e menor medem:
TG.149 (PUC-71)
TG.150 IEESCUSP-69) (x - 2)2 4
CÔNICAS TG.143 (CESCEM-6S)
x2 A equação ~
V2
+ b2
= c2 ;
(a' b • c
1=
O e a
1=
b)
a) 24
d) x 2 - 4 V 2 = 4
e)
2
L
4
x2
+ V2 =
e) 3 e
o eixo maior a e o eixo menor b da elipse
são dados por:
b) 36
TG~52 (CESCEA-69) A reta V
A equação da elipse que passa pelos pontos b) x 2 +
(xo, vol.
= 1
é de uma elipse. Os
b) xo = O, d) xo = 1,
Vo = O, Vo = 2,
a = 2, b = 1 a = 10, b = 5
TG.151 (MACK-77) Se A = (10, O) e B = (-5, V) são pontos de uma elipse cujos focos (S, OI, o per (metro do triângulo BF 1 F 2 é: são FI (-S, O) e F2
s6 é a equação de uma elipse se c = 1 é a equação de uma circunferência é a equação de uma parâbola se c = O é a equação de uma elipse e) nenhuma das respostas anteriores
a) x 2 + 4 V2 = 4
O centro
(V - 3)2 16
a) xo = 4, Vo = 16, a = 3, b = 2 c) xo = -2, Vo =. -3, a = 16, b = 4 el xo = 2, Vo = 3, a = 4, b = 2
ai bl c) d)
TG.144 (GV-731
+
O
d) 3 e 2
cl 4 e 1
b) 4 e 2
aI 4 e 3
=
= 1
(2, O),
(-2, O)
cI 2x 2 _ 4 V2
e
(O, 1) é:
aI
m;;;' V5
dI
-Y5 ,;;; m,;;; Y5
ou
c) 40 = x
+
m';;;-V5
dI 60
e) não sei 2
rT,l
intercepta a elipse ~ + V2 = 1 se e somente se: 4
b) m;;;' O e) m =
Y5
ci-Y5<m
ou
4
217-G 216-G
TG.153 (PUC-76) Um dos pontos P de intersecção da reta r que passa por Q ~ (1, 1) e é perpendicular à reta s de equação x + V ~ O, com a elipse de equação 2x 2 + V2 + 2v - 1 ~ O é: ai P di P
~
(-1, -1)
b) P
(-1, 2)
e)
(1, 1)
P
~
V2 =
(2, -11
bl x 2 + V2 e) não sei
V2 = 1
que satisfazem o sistema
x2 + V2 = 1 { x 2 _ V2 = 1
c)P~(1,21
TG.154 (CESCEA-71) A equação da circunferência com centro na origem e cujo raio é igual ao semi-eixo menor da el ipse x 2 + 4 y 2 == 4 é:
a) x 2 + d) x 2 +
xv
TG.160 (EPUSP-681 O conjunto dos pontos do plano
=
cl x 2 + V2
16
TG.155 (GV-73) Dados: a circunferência C == x2 + V2 e o pontO P == (1, 11, a afirmação correta é:
4, a elipse
==
E
ai é a reunião de uma elipse com uma hipérbole bl é a intersecção de uma circunferência com uma hipérbole c) é formado por quatro pontos di é vazio e) nenhuma das respostas anteriores
4
9x 2 + V2
9
TG.161 (EESCUSP-68) O gráfico ao lado reprosenta aproximadamente uma das equa~ ções abaixo. Assinale-a. ai x 2 + V b) x 2 - V c) x - V2
a) P é ponto interior de C e exterior de E bl P é ponto exterior de C e interior de E
='
O
=
O O O
=
d) V2 + x = V = log x
V
x
e)
c) P é ponto interior de C e interior de E d) P é ponto exterior de C e exterior de E
TG.162 (FFCLUSP-67) A parábola simétrica relativamente ao eixo dos V e que passa pelos ' pomos de intersecção da reta x + y == O com a clrcun faranels x 2 + Y2 + 8V -~ O tem por equação: o
e) P está sobre E e é exterior a C TG.156ICESCEM-72) As elipses 9x 2 + 16V 2 a) não têm ponto em comum c) têm 2 pontos comuns e) têm 4 pontos comuns
25 e
16x 2 + 9 V 2 = 25:
b) têm 1 ponto em comum d) têm 3 pontos comuns
TG.157ICESCEA-691 A equação de uma das assíntotas à hipérbole a)
V = 2x - 1
b) V = 4x
cl V
~ x
d) V =
~ -
,
e
O)
c) (4, O)
e
1_ 20 3' (_ 20
_-ª.) 3 -ª.)
3 ' 3
d) V
é:
= 1
64
e) V
=
2x
com a hipérbole
bl (4, O)
e
I 20 !l.-I 3 ' 3
d) (4, O)
e
(_ 20
3'
218-G
c) V
4x 2
1 2 --x 4
=
e) nenhuma das respostas anteriores
a)
(1, -2)
c)
b) (-1, O)
d) (O,
(-1, 2)
(-1, 2)
-11
11, 11
e)
são, respectivamente:
bl ~
e) 3 e 1
d) 2 e 1
c) 2 e 2
bl 3 e 2
TG.165 (CESCEM-74) Os gráficos de x 2 + V = 10 dois pontos; a distância entre esses pontos é
3
O,
TG.164 (PUC-77) Os valores de a e b, de modo que a função y = 2x 3 + ax 2 + b, tenha a) 1 e 2
_-ª.)
=
c) 1
e
x + V
di 2
10
interceptam-se em
el maior do que 2
1-2~, 11, (-1, -2V2)}
TG,166 (GV-771 Uma parábola de equação y = ax 2 + bx + c contém a origem do siste~a de coordenadas e é tangente à reta de equação y = 4, no ponto (2, 41. Entao, s + b + c vale: e) -3 d) 1 c) -1 b) -2 a) 3
(1 - 2V2), (-2V2, -11}
TG.167 (MACK-77)
\.11, -11, (2v2, -2V2), (-1, 11, (-2v2, 2V2)}
{12~, 11, (-1, 2~), c) {(1, 2~1, 12~, -11, d) {11, 2~), 1-1, 2V2I, e) {(2~, 1), (2V2, -11,
x2
=
são:
a) menor do que 1
TG.159 ICESCEA-69) O conjunto de pontos em que a hipérbole a circunferência x 2 + y2 = 9 é:
b)
bl V
máximo no ponto de coordenadas
e) não sei
a)
~X2 + 1 8 4 x2 4
TG.163 lPUC-77) As coordenadas do vértice da parábola de equação 2x 2 + 4x + 3v - 4
V2 -
16 2x + 1
TG.158 (CESCEA-71I Os pontos de intersecção da reta x 2 - 4 V 2 = 16 são: a) 1-4
a) V
o
-2~l) 1-2V2, 1), (-2~, -11} (1, -2V2), (-1,
- 4 V2
4
intercepta
A reta y = ax + b é tangente à parábola de abscissa 1. Os valores de b e c são tais que:
a) c _ b = 3
b) c + b ~ 3
c) c - b
=
-3
y = 3x
2
+ c no ponto
di c + b ~ -3 e) não sei
219-6
TG,168 (FUVEST-77) A equação da reta que é tangente à curva de equação ponto (-I, -l), é: a) y = 2x d) y = -2x "
bl y = -2x - 1 e) y = 2x + 1
c)
y
= -2x
y = xixi, no
TG.174ICESCEM-731 Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem as desigualdades 2x2 + 2y2 - 1 .,;; O y - 2x 2 ;;.. O
- 3
Y .,;;
TG.169 (CESCEA-771 A parábola y = _x 2 + 8x - 15 intercepta o eixo dos x nos pontos A e B; o vértice da parábola é C. A área do triângulo ABC é: b) 2
ai
TG.170 (CESCEA-70) Os y x 2 + x - 12. o terceiro vértice y = x 2 + x - 12, ;o;
a) 49 8
c)
Vi.
d)
-J3
2
vértices de um triângulo estão sobre a parábola de equação Sabendo-se que dois dos vértices estão sobre o eixo dos x e que tem .coordenadas (x, y) onde x é o ponto de mfnimo de então a área do triângulo vale:
b) 343 8
d) 171 4
c) 147
e)
TG.171 (CICE-68) A circunferência x2 + y2 - 4y + 3 = O e a par.bola têm: a) quatro pontos em comum c) dois pontos em comum e) nenhum ponto em comum TG.172 ICESCEA-72) com a elipse a) y = -x
1
e)
2
Pode-se afirmar que:
ai bl c) di el
C C C C C
é é é é é
limitado por um arco de parábola e por um segmento vazio
limitado por um arco de parábola e por um arco de circunferência ilimitado limitado por um segmento e por um arco de circunferência
-ª-8 3x 2 - y + 1
O
LUGARES GEOMÉTRICOS TG.175IMACK-741 O conjunto de pontos tais que a distância de cada ponto à reta y = 3 é igual à diferença entre a abscissa x e a ordenada y do ponto é:
b) três pontos em comum d) um ponto em comum
a) um par de semi-retas não colineares c) uma circunferência e) um conjunto finito de pontos
A reta que passa pelos pontos de intersecção da parábola (x - 2)2 + ~ = 4 16
é:
b) y = 2x + 1
c) y
y
b) um losango di uma reta
y TG.176 (ITA~751 Uma equação do lugar geométrico das intersecções das diagonais dos retângulos inscritos no triângulo ABC e com um lado em AB· (figura abaixo) é:
=
2x
d) y = 3x
e) não sei
a) x +
TG.173 (MACK-751 Os pontos do plano que verificam a desigualdade (y2 _ x) (x 2 + y2 _ 9) .,;; O estão hachurados em: a)
.!-
b)
x
x
2(a + b) y = a + b c
Y
CIO, c)
b) x+~y=~ c 2 a + c cl ax + 3(b + cly 2 di x + ey + ab = O el nenhuma das anteriores
x
>
cl
TG.177IGV-74) Considere os pontos A = l-K, OI e B = IK, OI, com K O. Por A traça-se uma reta r que intercepta o eixo Oy no ponto C. Por B traça-se uma reta 5, perpendicular a r. A intersecção de r cqm 5 é O ponto P. Quando r varia em volta de A, P descreve uma e) reta d) circunferência cl hipérbole b) parábola a) elipse
d)
x
e) nenhuma das anteriores
22D-G
TG.178 (FFCLUSP-671 O I.g. de pontos de encontrO de pares de reta, a primeira passando pela origem com coeficiente an~ular m, e a segunda passando pelo ponto lO, 21 e declive m2 tal que mi + m2 = 1 é: a) uma reta b) uma circunferência de centro no eixo dos y cl uma parábola d) uma hipérbole e) nenhuma das respostas anteriores
221-G
TG.179 (GV-73) Num sistema cartesian o ortogona l a equação do lugar geométr ico dos pontos que equidista m do eixo Oy e do ponto (4. O) é: a) y2 = 8(x - 1) d) y2 = 81x - 21
TG.180 (FUVES T-77) fixos (-1; O) de ordenada . a) O e 2
o e b)
y2 e) y2 b)
=
41x - 21 2x - 1
±V2
a) 5x - 2y = O d) x 2 - xy = O
c) ±3
di
±V5
e)
TG.187 (FFCLU SP-67) O número de intersecç ões das curvas de equações y = x 2 e y = x 312 é:
±.J3
a)
b) 3x - 2y = O e)
3x - y
=
cl x 2 + y2 - x
=
O
O
TG.183 (PUC-701 Pelo ponto Q(2. 1 I conduz-s e uma reta r qualquer . a qual intercept a os eixos coordena dos x e y respectiv amente em A e B. Se M é o ponto médio de AB, toma-se sobre r o ponto P simétrico de Q em relação a M. Então a equação do lugar geométr ico descrito por P ao variar r é: b) x2 + y~ = 2
2
y2 x2 + 2 4
=
1
d)~ 2
-
.r.4
e) nenhuma das respostas anteriore s TG.184 (PUC-77 )
Um segment o de comprim ento 5 se desloca no plano, mantend o seus extremo s P e Q sobre os eixos coorden ados x e y, respectiv amente. A equação do lugar geométri co descrito pelo ponto M, interno a PQ e situado a 3 unidades de P, é:
ai 4x 2 + 9 y 2
- 1 = O
b) 4x 2 + 9 y 2 - 6 = O cl 4x 2 + 9 y 2 - 36 = O
1
b) 2
cl
TG.185 (E ESCUSP -66) Um segment o de comprim ento 2a desloca-s e no plano de modo que uma de suas extremid ades se mantém sobre o eixo y e o ponto médio se mantém sobre o eixo x. O lugar geométri co descrito pela outra extremid ade é: b) elipse c) hipérbol e e) nenhuma das respostas anteriore s
O
d) 3
e) 4
TG.188 (MACK- 76) Os pontos de intersecç ão de xy = 12 e 2 x + y2 = 25 são os vértices de: a) um trapézio b) um quadrado c) um retângul o não quadrad o d) um paralelog ramo não retângulo e) nenhum dos anteriore s TG.189 (CESCEM -73) No plano xy a equação (x - y + 1)2 + (2x + 2y - 11 2 a) uma circunfer ência
b) um único ponto
d) duas retas paralelas
e} o conjunto vazio
TG.190 (SANTA CASA-7 7) O gráfico da equação a) uma elipse c)
duas retas concorre ntes
O represen ta
x 2 + y2 + 4x - 10y + 29
O é:
d) duas retas coincide ntes
e) um ponto TG.191 (CESCEM -67) A equação
=
c) duas retas perpendi culares
b) uma circunfer ência
x 2 - 4x + y2 + 4y + 11
O represen ta: a) circunfer ência de centro (2, -2) e raio b) circunfer ência de centro (2. -2) e raio cI uma parábola do 2? grau d) um par de retas paralelas el nenhum ponto do plano cartesian o satisfaz a equação acima
.J3
v'3
TG.192 (FFCLU SP-69) A represen tação gráfica do plano cartesian o (eixos ortogona is) de: x 2 + y2 _ 2x - 6y + 14 = O é: a) b) c) e)
uma circunfer ência de centro l-I, -3) e raio 1 uma circunfer ência de centro (1, 3) e raio 1 o conjunto vazio d) uma elipse nenhuma das respostas anteriore s
TG.193 (CESCEM -68) O gráfico da equação
di 9x 2 + 4 y 2 -' 6 = O el 9x 2 + 4 y 2 ~ 36 = O
a) circunfe rência d) parábola
os valores da altura do cilindro, então o lugar geométri co dos pontos do plano a que correspo ndem cilindros cujas superfíci es laterais têm a mesma área é: a) um arco de circunfer ência bl um ponto c) uma semi-reta d) um ramo de hipérbol e e) um arco de el ipse
lugar geométr ico dos pontos cuja soma das distância s aos pontos (1; O) é sempre igual a 4. intercept a o eixo dos y em pontos
TG.182 (PUC-71 ) Oados três pontos A(O, O), B(1. OI e ClO, 1) então a equação do lugar geométri co dos pontos P(x. y) tais que a área do triângulo de vértices P, A e B seja 3 vezes a área do triângulo de vértices P, A e C é:
c)
no eixo das abscissas os valores do raio da base de um cilindro e no eixo das ordenada s
cI y2 = 4x - 2
TG.181 (E. E. LI NS-681 O lugar geométri co dos pontos P(x. y) tais que a soma dos quadrado s das distância s aos pontos P 1 (r. O) e P (-r, O) é 4r 2 tem por equação : 2 a) x 2 + y2 = 2r 2 bl x 2 + y2 = r 2 cI X = O d) y ::= O e) nenhuma das respostas anteriore s
a) xy
TG.186 (CESCEM -68) Se num sistema de coordena das cartesian as ortogona is represen tarmos
y2 = 2xy - x 2
a) uma circunfer ência bl uma parábola d) um conjunto de duas retas perpendi culares
é: c) uma reta el uma elipse
TG.194 (CICE-6 8) Em coordena das cartesian as, a equação x2 - 3xy + 2 y 2 = O represen ta: a) o ponto (O. O) b) uma circunfer ência uma hipérbol e e) duas retas distintas
c)
d) duas retas coincide ntes
222-G 223-G
TG.195 (MAUÁ-681 A equação
x 2 + 2xy + y2 - 1 ~ O representa: b) duas retas paralelas cl duas retas concorrentes e) nenhuma das respostas anteriores
TG.203IEPUSP-65) O conjunto dos pontos do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem à equação I x - y I o 1
TG.196 (FEI-67) O conjunto dos pontos do plano xy cujas coordenadas satisfazem a equação x 2 - ~x + 8 ~ O é:
a) é uma reta b) é formado por duas retas concorrentes c) é formado por duas retas perpendiculares d) é uma circunferência el nenhuma das respostas anteriores
a) uma circunferência d) duas retas coincidentes
ai uma circunferência
d) duas retas ortogonais
bl uma parábola cl duas retas paralelas e) nenhuma das respostas anteriores
TG.197 (GV-77) O conjunto dos pontos como representação gráfica:
(x, V)
tais que
2x 2 - xy + x - y2 - Y
o
TG.204IFFCLUSP-691
Consideremos num plano cartesiano leixos ortogonaisl a cônica C
tem
ai se m
a) uma hipérbole bl duas retas concorrentes e não perpendiculares c) duas retas concorrentes e perpendiculares d) uma circunferência
e) duas retas paralelas
< -4,
x 2 _ y2
+
x + V
o
(x, V) O
a) uma circunferência c) duas retas perpendiculares entre si e) nenhuma das respostas anteriores
que satisfazem à equação
é:
uma elipse
el se
C é uma parábola
Ix, yl
-4
y - 2x 2 - 7x + 8
é um número real. Qual
O representa:
aJ uma reta perpendicular ao eixo dos x bl uma elipse cl uma hipérbole di uma parábola
bl uma hipérbole d) formado por duas retas paralelas
c
'*
1= -4, C é uma elipse
TG.205 (CESCEA-681 A equação
TG.199 (E.E. L1NS-681 O lugar geométrico dos pontos Plx, vi cujas coordenadas satisfazem a equação 4x 2 - 9 y 2 o O é:
TGJ.OO (CESCEA-741 A representação gráfica dos pontos P
m
e) nenhuma das respostas anteriores
b) uma hipérbole dI duas retas paralelas entre si
a) uma elipse e) formado por duas retas concorrentes el nenhuma das respostas anteriores
onde
C é uma hipérbole
> O, C é O < m < 4,
bl se m
d) para todo m
TG.198 (E. E. L1NS-67) O conjunto de pontos
~
+ __ y2_ = 1 9 4 + m das alternativas abaixo é verdadeira? de equação reduzida
tais que x' - xy2
O
e) uma circunferência
TG.206 (EPUSP-681 As equações !(x, V) ~ O e glx, yl ~ O representam dois subconjuntos A e B do plano cuja intersecção A n B é não vazia. Se !(x, vi - glx, vi ~ ax + by + e la 1= OI, a equação flx, y) o g(x, ·yl representa sempre: A n B uma reta uma reta uma reta nenhuma
ai bJ cl d) e)
que que que das
contém todos os pontos de A n B contém pontos de A n B, mas não necessariamente todos enCOntra A e B mas não encontra A n B respostas anteriores
é: a) uma reta
TG.207IMACK-741 O conjunto dos pontos
bl duas retas
c) três retas d) um ponto e) uma circunferência TG.201 (EPUSP-661 Os pontos do plano sen(x - y) :;; O constituem:
xv
cujas coordenadas satisfazem à equação
TG.202IEPUSP-681 Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação é a reunião de duas retas então:
cI
o
Ia I
O
bl
0< lal < 1 di
lal
>1
el nenhuma das respostas ·anterlores
224-G
tais que
~
V13
é:
a) uma reta bl uma semi-circunferência c) uma circunferência d) um segmento de reta
a) uma reta b) um sen6ide c) uma elipse dI um feixe de retas paralelas e) nenhuma das respostas anteriores
a) a
Plx, vi
V(x - 11 2 + Iy + 21 2 + Vlx - 31 2 + Iv - 11 2
x2
+
V2
+ 2axy
e) uma parábola O
O gráfico, em coordenadas cartesianas, de uma curva, cujas equações
TG.20a (MACK-761
paramétricas são x
==
sen 2 t
e
y:-:: 2 cos t,
a) uma parábola e) um arco de parábola e) parte de uma senóide
O ~ t ~ 27(,
é:
bl um ramo de hipérbole di uma elipse
225-G
TG.209IMACK-741
As coordenadas cartesianas de um ponto
M
Ix. yl
são definidas em
ai bl cl di
a cos 1Tt A trajetória descrita por
TG.213IGV-731 Considere os gráficos A, B e
C dados
função do tempo, na forma
~IO
y
lado e as equações:
x 2 + y2 ~ 16 9x 2 + 16y2 - 144 = O x 2 + y2 - 8x + 7 = O x 2 + 4 y 2 = 12
M é:
As únicas associações corretas estão na a) um seÇlmento de reta
alternativa:
bJ uma circunferência
ai IA, bl; bl IA, ai; cl IC, cl; di IB, cl; el IC, el;
c)
um arco de circunferência
d) uma parábola e)
um arco de parábola
TG.210 IMACK-731
{~:- ~1-+C~Sc~st' a)
TG.214IGV-731
A curva de equações paramétricas
uma circunferência
c) uma parábola
O
~ t < 1r,
IB, IB, IB, IC, IB,
ai; bl; di; ai; ai;
IC, IC, IA, IA, IA.
x
di di bl bl bl
Assinale a afirmação falsa:
ai o gráfico da equação
y +
~
= O é:
é:
e) um segmento de reta
=O
III x - 2y = O IIII x 2 _ y2 = O A afirmação:
"dS
e e e
x 2 + 2xy + y2 = O x 3 _ 2x 2 y + xy2 _ 2 y 3 x 4 _ y4 = O
TG.212IGV-761
bl o gráfico da equação
-
x2
,O
Dadas as equações
I
cl II e III somente
bl I e III somente
r
e) nenhum par
í.'
0 (2) @ 8)
®
Iy + 11 2 Ix + 21 2 =1 + 49 33 Sy2 _ 4x 2 - 10y + 16x - 31 - O y2 - 8x
cl
o ÇJráfico da equação
x
-0-.
y2
bl cl
CD (31 ,~ 3")
~x
O
y
x 2 + y2 + 6x - 8y + 9 Ix + 41 2 16
Iy + 21 2 36
O
=
di o gráfico da equação
=
1
x2 4
+r. 1
é:
-2 -1
representa uma elipse com diâmetro maior igual a 11 representa uma elipse com focos em
226-G
(2
r
12.41 e 12, -21
representa uma circunferência com centro em
12, OI
di !\~"I representa uma parábola com foco em 1-3,41 e)
x
\---f---1 .
é:
Então:
ai
-t ;
_+1 L--
O é:
1
O
duas equações do par têm o mesmo gráfico" é verdadeira para:
a) I e II somente di I, II e III
x
-1
TG.211IMACK-741 São dados três pares de equações:
Ii x + y
1
y
f - --I
b) um arco de circunferência d) uma reta
t . y -1
representa uma hipérbole com focos em
12, 81 e 12, -21
e) o gráfico da equação
x 2 _ 2xy + y2
O é: -
, _Y1~
, I '~------..
I
1
x
227-G
RESPOSTAS
TG.215 (MACK-73) A representação gráfica do conjunto de pontos Ix, V) tais que
x-2~~;;"O é: a) y
I
b)
c)
V
x
2
x
y
r
x
'I
d)
el
x
x
TG.216 (FUVEST-77) O gráfico que melhor se adapta ao lugar geométrico de equação (Ixl- 11 2 + Ilvl- 1)2 1 é: y
a)
b)
x
c)
d)
x
\ e)
\. V
x
228-G
y
TG.l d TG.2 b TG.3 d TG.4 d TG.5 d TG.6 b TG.7 e TG.8 b TG.9 d TG.l0a TG.ll d TG.12d TG.13 a TG.14a TG.15a TG.16d TG.17b TG.18 c TG.19d TG.20a TG.21 b TG.22 c TG.23 C TG.24 c TG.25d TG26b TG.27b TG.28 a TG.29 e TG.30b TG.31 d TG.32 c TG.33 a TG.34 e TG.35 e TG.36 c TG.37 c TG.38 C TG.39 C TG.40 C TG.41 b TG.42d TG.43c
TG.44 e TG.45a TG.46 a TG.47 e TG.48 c TG.49d TG.50d TG.51 d TG.52 a TG.53d TG.54 a TG.55d TG.56 a TG.57b TG.58 a TG.59 a TG.60b TG.61 b TG.62 e TG.63d TG.64 e TG.65 a TG.66 e TG.67b TG.68 e TG.69d TG.70a TG.71 a TG.72d TG.73b TG.74 c TG.75 e TG.76 a TG.77 e TG.78 a TG.79 a TG.80d TG.81 d TG.82 e TG.83 a TG.84d TG.85 a TG.86 c
TG.87 c TG.88 c TG.89b TG.90 c TG.91 b TG.92 a TG.93 a TG.94b TG.95b TG.96 a TG.97b TG.98b TG.99 a TG.l00a TG.l0l d TG.l02d TG.l03d TG.l04 a TG.l05 e TG.l06 b TG.l07 a TG.l08b TG.l09 a TG.ll0d TG.lll c TG.112 b TG.113c TG.114 b TG.115b TG.116a TG.117b TG.118 a TG.119 a TG.120 e TG.121 b TG.122b TG.123a TG.124e TG.125 a TG.126b TG.127 b TG.128d TG.129d
TG.130c TG.131 a TG.132 c TG.133 b TG.134b TG.135b TG.136b TG.137 c TG.l38 a TG.139 c TG.140 e TG.141a TG.142d TG.143d TG.l44a TG.145 c TG.146d TG.147 a TG.l48d TG.149d TG.150e TG.151 b TG.152 d TG.153a TG.154d TG.155a TG.156e TG.157e TG.158d TG.159e TG.160b TG.161 c TG.162 c TG.163 c TG.164e TG.165 b TG.166a TG.167 a TG.168e TG.169 a TG.170 b TG.171 b TG.172 c
TG.173 a TG.174a TG.175 a TG.176b TG.177d TG.178d TG.179b TG.180 e TG.181 a TG.182 e TG.183a TG.184c TG.l85 b TG.186d TG.187 b TG.l88 c TG.189 b TG.190 e TG.191 e TG.192 c TG.193c TG.194e TG.195 b TG.196c TG.197b TG.198 c TG.199 c TG.200c TG.201 d TG.202d TG.203e TG.204a TG.205d TG.206 b TG.207d TG.208c TG.20ge TG.210 e TG.211 d TG.212 a TG.213 e TG.214c TG.215b TG.216 d
229-G
FUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR Vol 1 - Conjuntos e Funções 1. noções de lógica, 2. conjuntos, 3. conjuntos numéricos, 4. relações, 5. funções, 6. funções do 1'? grau, 7. funções do 2'? grau, 8. função modular, 9. função composta e função inversa_ Vol 2 - Logaritmos 1. potências, 2. função' exponencial, 3. função logarítmica, 4. equações e inequações logarítmicas, 5. logaritmos decimais. Vai 3 - Trigonometria 1. ciclo trigonométrico, 2. funções circulares, 3. principais identidades, 4. transformações, 5. equações, 6. funções circulares inversas, 7. inequações, 8. triângulos. Vol 4 - Seqüências, Matrizes, Determinantes, Sistemas 1. seqüências e progressões, 2. matrizes, 3. propriedades dos determinantes, 4. sistemas lineares: método do escalonamento. Vol 5 - Combinatbria, Binômio, Probabilidade 1. princípios fundamentais da contagem, 2. arranjos, 3. permutações, 4. combi· nações, 5. desenvolvimento binomial, 6. probabilidade em espaço amostrai finito . •Vol 6 - Complexos, Polinômios, Equações 1. números complexos, 2. polinômios, 3. equações polinomiais, 4. transformações, 5. raízes múltiplas. Vol 7 - Geometria Analftica 1. o ponto, 2. a reta, 3. a circunferência, 4. as cônicas, 5. lugares geométricos. Vol 8 - Limites, Derivadas, Noções de Integral 1. definição de limite, 2. propriedades operatôrias, 3. definição de derivadas, 4. cálculo de derivadas, 5. estudo de funções, 6. noções de integral definida. Vol 9 - Geometria Plana 1. triângulos, 2. paralelismo, 3. perpendicularismo, 4. circunferência, 5. semelhança, 6. relações métricas, 7. áreas das figuras planas. Vol 10 - Geometria Espacial 1. Geometria de posição: paralelismo, perpendicularismo, diedros, t(iedros, poliedros; 2. Geometria Métrica: prisma, pirâmide, cilindro, cone, sólidos semelhantes, superHcie e sólidos de revolução, sólidos esféricos.
