Funktionentheorie: Eine Einführung, Sechste Auflage (Springer-Lehrbuch)

Springer-Lehrbuch

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Klaus Tanich

Funktionentheorie Eine Einfiihrung

Sechste Auflage Mit loo Abbildungen

Springer

Prof. Dr. Klaus Janich Universitat Regensburg Fakultat fiir Mathematik 93040 Regensburg Deutschland e-mail: [email protected]

Mathematics Subject Classification (2000):30-01

Die 1. und r. Auflage erschienenin der Reihe Hochschulten mit dem Titel EinfUhrungin die Funktionentheorie

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Vorwort zur sechsten Auflage

Wieder konnte ich nach freundlichen Hinweisen meiner Leser und Horer einige Ausbesserungen vornehmen, vom h l , in einer Bildunterschrift, das ein f l , sein musste his zur Verwandlung eines z in z , aber zu wirklichen Veranderungen oder Erganzungen konnte ich mich auch diesmal nicht entschlieflen. Regensburg, im Dezember 2003

K. Janich

Vorwort zur vierten Auflage Im vorigen Sommer habe ich wieder ein~nalFunktionentheorie gelesen, fur Mathematikstudenten im vierten Semester, und dabei dieses Buch zugrunde gelegt. Dank der dabei von meinen Horern und mir auf den Text gerichteten Aufmerksamkeit kann ich die vierte Auflage nun mit grofler Zuversicht, die durch die allgemeine Lebenserfahrung nur ganz wenig gedampft ist, zur druckfehlerfreien Zone erklaren. Die ubungsaufgaben habe ich revidiert und vermehrt, die in der dritten Auflage leeren halben Seiten am Ende der Kapitel sind deshalb jetzt auch bedruckt. Allen Lesern einen freundlichen Grufl! Regensburg, im Juni 1996

K. Janich

vi

Vorwort

Vorwort zur dritten Auflage Unter Funktionentheorie - wenn man ein Vorwort dazu benutzen darf, direlct zum kunftigen Leser zu spreehen, anstatt darin die Kenner gleichsam um Erlaubnis fur das Buch zu bitten - unter Funktionentheorie also versteht man nicht die "Theorie der Funktionen" schlechthin, vielmehr ist Funktionentheorie der traditionelle Name fur die Theorie der lcomplexwertigen analytischen oder holomorphen Ffi~ktioneneiner kornplexen Veriinderlichen. Diese Funktionen sind einerseits sehr gewohnlich, in den1 Sinne namlich, daB man ihnen in vielen mathematischen Gebieten begegnet. Polynome sind zum Beispiel holomorph, ebenso Sinus und Cosinus, die Exponentialfunlction, der Logarithmus usw., wenn man sie als von einer komplexen Variablen abhangig auffaBt. Andererseits haben die holomorphen Funktionen erstaunliche Eigenschaften und gehorchen merkwurdigen strikten Gesetzen, die man nicht ahnen kann, wenn man diese Funktionen nus so im reellen Gewande der Analysis daherlcommen sieht . Noch zu ~neinerStudienzeit machten die Mathematikst,udenten meist erst in1 Hauptstudium mit der Funktionentheorie Bekanntschaft. Heute gehort zumindest eine Einfuhrung in die Funlctionentheorie zur Grundausbildung, und als eine solche Einfuhrung ist der vorliegende Text gedacht. Er heiBt zwar dritte Auflage, ist aber eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfaBtes Buch. Beim Schreiben habe ich mir meine Leser als 2\lIathe1natiiistudei1ttl11im hitter1 oder viertell Semester vorgestellt, die, wie ich aus meiner Lehrerfahrung weiB, durchaus keine begrifflichen Schwieriglceiten mit der Funlctionentheorie haben, denen aber in ihrer Studiensituation naturgemaB die Zeit fehlt, bereits ein uinfangreiches Sllerlc durchzuarbeiten. Ich hoffe, daB dieser schinale Band nit seine~nziigigen Tempo einige Freunde finden w i d . -

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Regensburg, in1 November 1992

Klaus Janich

Inhalt sverzeichnis

.

1 Holomorphe Funktionen

1.1 Komplexe Differenzierbarkeit .................1 1.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. 1.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.4 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.5 Hinweise zu den Ubungsaufgaben .............9

.

2 Der Cauchysche Integralsatz

. 2.1 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 2.2 Der Cauchysche Integralsatz . fiir ein Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Cauchyscher Integralsatz fiir Bilder von Rechtecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.5 Hinweise zu den ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . .18

.

3 Erste Folgerungen

aus dem Cauchyschen Integralsatz 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Die Cauchyformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Der Potenzreihenentwicklungssatz . . . . . . . . . . .21 Satz von Morera und Spiegelungsprinzip . . . . . 24 Nullstellen holomorpher Funktionen . . . . . . . . . 26 Identitatssatz und Gebietstreue ..............29 . Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Hinweise zu den Ubungsaufgaben ............33

...

vlll

Inhalt sverzeichnis

.

4 Isolierte Singularitaten

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Die drei Typen isolierter Singularitaten . . . . . .35 Meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 . Laurentreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Laurentreihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Anwendung auf isolierte Singularitaten . . . . . . 42 . Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 Hinweise zu den Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . .45

.

5 Analytische Fortsetzung

Analytische Fortsetzung langs Kreisketten . . . 46 Der komplexe Logarithmus als Beispiel . . . . . . 48 Analytische Fortsetzung langs Wegen . . . . . . . .50 Analytische Fortsetzung . und Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . Homotopie von Wegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Der Monodromiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 . Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Hinweise zu den ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . .63

.

6 Die Umlaufszahlversion

des Cauchyschen Integralsatzes 6.1 Die Frage nach einer allgemeinen Fassung des Cauchyschen Integralsatzes . . . . . . . . . . . . . .64 . 6.2 Die Umlaufszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.3 Die Umlaufszahlversion des Cauchyschen Integralsatzes . . . . . . . . . . . . . .69 6.4 Cauchyformel und Residuensatz . . . . . . . . . . . . .72 6.5 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 6.6 Hinweise zu den Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . .76

.

7 Der Residuenkalkiil 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

. Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Integrale uber die ganze reelle Achse . . . . . . . . .78 . Hauptwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Integrale iiber die positive reelle Halbachse . . 83 Integrale iiber ein Interval1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

Inhaltsverzeichnis

7.6 7.7 7.8

ix

Das Null- und Polstellen zahlende Integral . . 85 Ubungsaufgaben ............................88 Hinweise zu den Ubungsaufgaben ...........90

.

8 Folgen holomorpher Funktionen

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

. Kompakte Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Blatterzahlen von Grenzfunktionen . . . . . . . . .92 . Lokal beschrankte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 . Der Satz von Monte1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 Hinweise zu den Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . .98

.

9 Satz von Mittag-Leffler

und WeierstraBscher Produktsatz 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Der Satz von Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . .99 Die Partialbruchzerlegung von l/sin z . . . . 100 Unendliche Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 Der Weierstraflsche Produktsatz . . . . . . . . . . .104 . Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Hinweise zu den Ubungsaufgaben . . . . . . . . . 108

.

10 Der Riemannsche Abbildungssatz

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

. Der Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erster Beweisschritt 112 Zweiter Beweisschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 Dritter Beweisschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 . Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Hinweise zu den ubungsaufgaben . . . . . . . . . 118

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

. Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

1

Holomorphe Funktionen

1.1 Komplexe Differenzierbarlteit Eine Funktion f : U t C auf einer offenen Teilmenge U C C heifit komplex diflerenzierbar an der Stelle 20 E U , wenn lim 2-20

f ( 2 ) - f ( 2 0 ) =: f l ( a ) 2-20

existiert. 1st f uberall in U komplex differenzierbar, so nennt man f holomorph. Die holo- Fig. 1. Komplexwertige Funkoffenem UC@ morphen Funktionen sind der Gegenstand dieses Buches. Ersichtlich ist eine holomorphe Funktion immer stetig, und wie in der reellen Analysis nennt man f' die Ableitung von f und f eine S t a m m f i n k t i o n von f ' . Fur die Ableitung gelten die ublichen Summen-, Produkt-, Quotientenregeln: Sind f , g : U t C holomorph, so auch f g und f . g und, falls g keine Nullstellen hat, auch f l g , und die Ableitungen sind

+

(f

+ 9)' = f' + g' +f

( f . d 1= f 1 . 9

. 9'

Auch die Kettenregel finden wir wie zu erwarten vor: Sind f U -+ V 4 C holomorph, so auch g o f , und es gilt

2

K a ~ i t e l1. H o l o m o r ~ h eFunktionen

Selbst die Beweise sind die gleichen wie in der Differentialrechnung einer reellen Veranderlichen, man braucht beim Lesen nur an komplexe statt an reelle Variable zu denken. Da konstante Funktionen und die Identitat z H z holomorph sind, sind es auch alle durch Polynome mit komplexen Koeffizienten gegebenen Funktionen, ferner auch alle durch rationale Funktionen (Quotienten von Polynomen) gegebenen Funktionen U -t Q1 , sofern in U keine Nullstellen des Nenners liegen. Damit haben wir schon eine groBe Menge Beispiele holomorpher Funktionen. Eine weitere groBe Klasse liefern uns die konvergenten Potenzreihen.

1.2 Pot enzreihen

Wie man sich erinnert oder hier erfahrt, ist die Menge der Konvergenzpunkte einer Potenzreihe C:=o a n z n "kreisformig" in dem Sinne, daB ein p E [0, m] existiert (der sogenannte "Konvergenzradius"), so daB die Reihe fur lzl < p gewiB kon- und a & , so fiir lzl > p gewifi divergiert. Konvergiert namlich Cr=o bilden die Summanden ja jedenfalls eine Nullfolge, und deshalb wird C:=o a n z n, das ist C;==, anz;($-)" , durch die geometrische Reihe in 1 $- 1 majorisiert und konvergiert also fur lzl < 1201 auch, sogar absolut. Auf diese Weise folgt auch, dafi die Reihe fiir jedes 0 5 r < p auf Fig. 2. Ein einziger Konvergenzpunkt mit I ro > r {Z Iz 1 5 r } gleichmiiBig konvergiert und sichert gleichmaflige Icon- deshalb insbesondere auf {z lzl < p } , vergenz auf ganz I<, also im Innern des Konvergenzkreises, eine stetige Funktion darstellt. Es gilt aber sogar:

1

1

Lemma: Sei C = ;o anzn eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius p . Dann ist die durch f ( z ) = C;=o a n z n gegebene Funktion f : {zl Izl < p } -+ Q1 holomorph, und die Ableitung kann gliedweise gebildet werden: f ' ( 2 ) = CFTlna,,zn-' .

1.2 Potenzreihen

3

Beweis: Die "formale Ableitung" Cz=P=l nanzn-' hat jedenfalls keinen kleineren Konvergenzradius als die Reihe selbst, weil fur 0 0 < 1 auch Endn-' konvergiert (Quotientenkriterium), und sie stellt deshalb in {zl lzl < p ) eine stetige Funktion dar. (Sie hat, nebenbei gesagt, auch keinen groBeren Konvergenzradius, weil nt1 ja auch C konvergiert). Wir haben nun zu beweisen, dai3 f komplex differenzierbar ist und seine formale Ableitung als wirkliche Ableitung hat. Dazu betrachten wir die Differenz zwischen Differenzenquotient und formales Ableitung:

<

Es ist wohl klar, dafl man sich um den einzelnen Summanden

kummern mui3. Nach dem binomischen Lehrsatz ist das gerade

Dieser Ausdruck laBt sich aber leicht abschatzen. Es ist namlich

denn links ist der Koeffizient von I hlkF2lzln-k gerade rechts ist er n(n - I)(;:;) = k(k - I)(:) 2 .

(L) , und

aR:::; (L)

Radius 6

Fig. 3.

Wir wahlen nun S > 0 so klein, daB S =: r < p ist und benutzen ( c ) zu dem vorgesehenen Zwecke, namlich den Betrag der Differenz zwischen Differenzenquotient und formaler Ableitung

+

Kapitel 1. Holomorphe Funktionen

4

abzuschatzen. Fiir 0 < Ihl < S gilt:

00

5 Ihl

C (n - l)nlanlrn-2 n=2

(vergl. Fig. 3).

Wegen der absoluten Konvergenz von C r = 2n(n - l)anrn-2 (zweite formale Ableitung) folgt daraus aber

und das Lemma ist bewiesen.

Wir haben, nebenbei bemerkt, hier Potenzreihen in z oder urn d e n Nullpunlct betrachtet, aber aus dem Lemma folgt nun natiirlich auch, dai3 die Potenzreihe a an(z - Z O )um ~ zo im Innern ihres Konvergenzkreises, also auf {zl IZ - zo I < p ) , eine holomorphe Funktion darstellt und gliedweise Fig. 4. Konvergenzkreis urn 20 abgeleitet werden kann.

1.3 Die Cauchv-Riemannschen Differentialaleichunaen

5

Korollar und Definition: Die Exponentialfunktion,

ist auf ganz C holomorph und d exp(z) = exp(z) , ebenso sind die (komplexen) trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus, namlich OC)

sinz :=

C (-1)"

n=O

z2n+l

(2n

+ I)!

holomorph auf ganz C und ihre Ableitungen sind d cos z = 0 -sinz und &d s i n z = cosz. Funktionen, die auf ganz C definiert und holomorph sind, nennt man ganze Funktionen. Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus sind also ganze Funktionen.

1.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

+

Wenn wir vermoge IR2 5 C , (z, y ) I+ a: i y , die komplexe Zahlenebene einmal als den IR2 ansehen und eine komplexe Funktion dementsprechend als Abbildung f : U + IK2, wobei U c IR2 offen, so konnen wir auch von der reellen Differenzierbarkeit einer komplexen Funktion sprechen. Bekanntlich heiBt eine Abbildung f : U + IR2 differenzierbar an der Stelle p E U , wenn es eine (und dann nur eine) lineare Abbildung A : IR2 -+ IR2 mit

und lim,,o v(v) = 0 gibt. Die lineare Abbildung A heiBt das Differential von f an der Stelle p , wird mit df, bezeichnet und ist

6

Kapitel 1. Holomorphe Funktionen

als Matrix durch die Jacobi-Matrix von f an der Stelle p gegeben. ( A ist die "beste" lineare Approximation von f nahe p ) . Was hat diese reelle Differenzierbarkeit mit der komplexen zu tun?

Lemma: Sei U c Q1 offell, zo E U . Eine Funktion f : U + C! ist genau dann komplex differenzierbar an der Stelle zo , wenn f dort reell differenzierbar und das Differential, aufgefaBt als reell-lineare Abbildung C -+ @. , die Multiplikation mit einer komplexen Zahl (namlich mit f ' ( z o ) )ist. Beweis: "+": Aus limb-0 f(zoSh)-f(zo) h = f 1 ( z 0 ) folgt sofort f ( 2 0 h ) = f ( z o ) f l ( z o ) . h \ h J p ( h )mit p ( h ) -t 0 fiir h + 0 , weil wir nur

+

+

+

zu setzen brauchen. "

-+" : 1st w

cL+"

0

diese komplexe Zahl, so ist

Jede reell-lineare Abbildung C --+ C ist aber durch eine reelle 2 x 2-Matrix gegeben, z.B, die Identitat durch die Einheitsmatrix, die komplexe Konjugation r : C! -+ @ , Y z H 2 durch (I-') und die Multiplikation C -+ C mit a ib durch

+

Fig. 5 . Die Spaltenvektoren der Multiplikationsmatrix

weil (a+ib)(x+iy) den Realteil ax-by und den Imaginarteil 6s ay hat.

+

1.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

7

Ob also die Jacobi-Matrix

einer reel1 differenzierbaren Funktion f : U -t C mit Realteil u : U -+ R und Imaginarteil v : U -+ R an jeder Stelle die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ist, erkennt man daran, ob die sogenannten Cauchy-Riemannschen Diflerentialgleichungen du dv - dx dy du du - - -dx erfiillt sind.

a~

Korollar: Sei U c C offen. Eine Funktion f : U -+ C ist genau dann holomorph, wenn sie reell differenzierbar ist und Realund Imaginarteil die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichun0 gen erfiillen. An den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen kann man schon einige interessante Eigenschaften holomorpher Funktionen direkt ablesen, zum Beispiel daf3 eine holomorphe Funktion auf einem zusammenhangenden Definitionsbereich U durch ihren Realteil bereits bis auf Addition einer Konstanten eindeutig festgelegt ist. Haben namlich die holomorphen Funktionen h , g : U + C denselben Realteil, so hat die Differenz f := g - h , deren Realteil ja nun Null ist, nach den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen konstanten Imaginarteil. Setzen wir von einer holomorphen Funktion f noch voraus, daB sie (reell) zweimal stetig partiell differenzierbar ist - und das ist keine Einschrankung, wir werden bald sehen, daB jede holomorphe Funktion sowieso CCO ist - so ergibt sich aus den CauchyRiemannschen Differentialgleichungen auch, daf3 Real- und Imaginarteil harmonisch sind, d.h. die Laplace-Gleichung A u = 0 bzw. Av = 0 erfiillen. Aus u, = uy und u y = -u, folgt d a m namlich u,, = uyxund u y y= -uxy,also u,, u y y= 0 , analog f"ur u.

+

Kapitel 1. Holomorphe Funktionen

8

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sagen ja nichts weiter, als dafl die Jacobi-Matrix (t: : y ~ ) von der Gestalt

( i -:)

ist. Eine solche Matrix aber definiert eine (orientierungserhaltende) ~hnlichkeitstransformation,eine "Drehstreckung" (falls a ib # 0 ) , denn wenn wir v w ' =: r setzen, ist

+

cos y b/r

-

sincp

a/r

bewirkt also eine Drehung um einen Winkel cp zusammen mit einer Streckung um den Faktor r . Zum Beispiel ist die Multiplikation mit i gerade die Drehung ) um 90'. Die holomorphen Funktionen mit nirgends verschwindender Ableitung sind also gerade diejenigen reel1 differenzierbaren Abbildungen U -+ C , die lokal in erster Naherung Drehstreckungen sind, die eine "infinitesimalen Figur (falls Sie sich darunter etwas vorstellen konnen) nicht verformen, sondern nur drehen und strecken. Man sagt von diesen Funktionen deshalb, sie seien lokal konform.

+

AUFGABE1 : Man zeige, daB e Z z = cos z i sin z fur alle z E C gilt und leite daraus ab: (a) cos2 z sin2 z = 1 fur alle z E (C . (b) cos(z 27r) = cos z und sin(z 27r) = sin z fur alle z E (C . (c) Sinus und Cosinus haben nur reelle Nullstellen. (d) GleichmaBig in x gilt lim I cos(x it)l = cc und lim I sin(x it)l = m .

+ +

+

+

t-*m

t-hC-2

+

AUFGABE2 : Man zeige, daB eine holomorphe Funktion mit zusammenhangendem Definitionsbereich, die nur reelle Werte annimmt, konstant sein mu& AUFGABE3: Man gebe an, fur welche a , b E R das Polynom x2 2axy by2 Realteil einer holomorphen Funktion auf C ist und bestimme fur jedes solche (a, b) alle diese holomorphen Funktionen.

+

+

1.5 Hinweise zu den ubungsaufgaben

9

AUFGABE4: Man beschreibe die durch eZ gegebene Abbildung des Rechtecks {x + i y I 0 5 x 5 1, 0 5 y 5 T ) in C . AUFGABE5: Es sei p > 0 und f : { z E C I lzl < P } -, C durch a,zn gegeben. Man zeige, daB eine konvergente Potenzreihe CrZo=, f eine Cm-Abbildung ist. AUFGABE6: Man beweise exp(~;=,(-1)"-'$1 z E C mit 1z1<1.

=I

+ z fur alle

1.5 Hinweise zu den ubungsaufgaben ZU AUFGABE1:Die Aufgabe sol1 an Beispielen zeigen, wie einfach man die Grundeigenschaften des komplexen Sinus und Cosinus aus den Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion und des reellen Sinus und Cosinus ableiten kann. Als bekannt wird dabei vorausgesetzt, daB die Formel eZ1 f 2' = e z l . eZ2 fiir alle zl, zz E C gilt. Der Beweis (Stichwort: Multiplikation absolut konvergenter Reihen) verlauft ja fur komplexe Exponenten genau so wie fur reelle. ZU AUFGABE2: Wer die Funktionentheorie schon kennt, wiirde sich vielleicht auf den Satz von der Gebietstreue berufen, aber hier ist gemeint, direkt aus einer der im Kapitel 1 angegebenen Eigenschaften holomorpher Funktionen zu schlieflen, z.B. aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.

ZU AUFGABE 3: Man benutze die Charakterisierung der Holomorphie mittels der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. ZU AUFGABE4: Die Aufforderung, eine Abbildung zu "beschreiben", ist freilich keine sehr prazis gestellte Aufgabe, man muB sie sich noch ausgestalten. Was zum Beispiel ist die Bildmenge? ZU AUFGABE5: Aus der reellen Differentialrechnung in mehreren Variablen (und dorthin gehort ja der Begriff Cm-Abbildung) weif3 man, daB eine stetige Abbildung, deren partielle Ableitungen erster Ordnung vorhanden und C k sind, eine Ck+'-Abbildung ist.

2 2.1

Der Cauchysche Integralsatz

Kurvenint egrale

Die in der Funktionentheorie meist vorkommenden Integrale sind die in folgender Weise definierten "Kurvenintegrale" :

f

U

Definition: Sei U eine Teilmenge von C , sei f : U -+ C @ stetig und y : [ t o , t l ] -+ U eine C 1-Kurve, d.h. eine stetig differenzierbare Kurve. Dann nennt man t1

Fig. 6. Die auf U definierte Funktion f sol1 langs y integriert werden

das (Kurven-) Integral uber f lungs y . Aus der Substitutionsregel folgt die Unabhangigkeit des Integrals von der Art der Durchlaufung des Weges von zo nach zl . 1st namlich T : [ s o ,s l ] -+ [to,t l ] eine stetig differenzierbare Funktion rnit .r(so) = t o und ~ ( 3 1 = ) tl , SO gilt J y o r f (z)dz = JY f(z)dz.

Fig. 7. Zur Substitutionsregel fiir Kurvenintegrale

2.2 Rechteck

11

Kehrt r jedoch die Durchlaufungsrichtung um, d.h. gilt r(s0) = t l und r ( s l ) = t o , so kehrt auch das Integral bei der Substitution das Vorzeichen urn: ST,, f(z)dz = - f (z)dz . rl

Erganzung der Definition: 1st y nur stiickweise C , d.h. y : [to,tl] -+ U ist stetig und es gibt to = TO . . . T, = t l , so dafl 7; := T 1 [ ~ ; - 1 ,T;] jeweils C' ist, dann ist natiirlich

<

20

Fig. 8. Stiickweise stetig differenzierbare Kurve 7

<

zu verstehen.

2.2

Der Cauchysche Integralsatz fiir ein Rechteck

1st Q c @ eine achsenparallele abgeschlossene Rechteckflache vom Umfang e, so wollen wir die in der linken unteren Ecke beginnende Kurve y : [0,e] -+ @ , die in der naheliegenden Weise den Rand von Y I . = tl Q einmal im mathematisch positiven Sinne durchlauft, die Randkurve von Fig. 9. Randkurve von Q Q nennen. Es ist wohl nicht notig, Formeln dafiir hinzuschreiben. In seiner einfachsten Form, deren Beweis aber schon die ganze Idee enthalt, lautet der Cauchysche Integralsatz so:

ITQ

Cauchyscher Integralsatz fiir ein Rechteck: Sei U c C offen, f : U -+ @ holomorph, Q eine ganz in U gelegene achsenparallele abgeschlossene Rechteckffache und y ihre Randkurve. Dann ist f (z)dz = 0 .

J Y

Kapitel 2. Der Cauchvsche Intenralsatz

12

BEWEIS:Der Satz ist fur eine bestimmte Art von holomorphen Integranden trivialerweise richtig, und zwar fiir alle diejenigen f , die eine Stammfunktion F besitzen. 1st namlich f die Ableitung einer holomorphen Funktion F : U + cG und a : [a, b] + U eine C1-Kurve in U , so gilt

denn Jab F 1 ( a ( t ) ) h ( t ) d t= Jab & F ( a ( t ) ) d t . Deshalb ist also das Integral uber jede geschlossene C1- oder stuckweise- C1-Kurve Null, insbesondere uber die Randkurve eines Rechtecks. Betrachten wir nun den allgemeinen Fall. Wir werden zeigen, dafl I J7 f(z)dzl kleiner als jede positive Zahl, also Null ist. Die Idee dazu ist folgende. Fur jedes zo E U konnen wir doch f ( z ) = f ( 2 0 ) f l ( z o ) ( z - zo) ~ ( zmit ) einem nahe zo "kleinen" , namlich x(z) = 0 lim ----2-20 Iz - z,, I

+

+

erfullenden Fehlerterm ~ ( z schreiben, ) das besagt die komplexe f ( z ) d z = x ( z ) d z , weil Differenzierbarkeit von f . Dann ist der konstante Term f ( z o ) und der lineare Term f ' ( z o ) ( z - z o ) als Funktionen von z naturlich Stammfunktionen besitzen. Fur kleine Rechtecke in der Nahe von zo konnten wir also die Kleinheit von x zu einer Abschatzung des Integrals ausnutzen. Nun ist unser Rechteck zwar nicht klein, aber wir konnen es in viele kleine Rechtecke unterteilen! Diese Idee setzen wir nun in die Tat um. Sei also E > 0 . Wir unterteilen das Rechteck durch vertikales und horizontales Halbieren zunachst in vier gleiche Teile. Sei Q1 dasjenige dieser vier Rechtecke, fur welches das Integral uber den Rand den groBten Betrag annimmt, und sei yl seine Randkurve. Dann ist jedenfalls zo

Fig. 10. Die inneren Integralanteile heben sich weg

1 J f(z)dzl< 41 J f ( z ) d z l , 7

71

2.2 Rechteck

13

denn die Summe der vier Randintegrale ist gerade JY f (z)dz. Indem wir induktiv so fortfahren, erhalten wir eine Folge von Recht-

Fig. 11. Die Rechteckfolge

ecken Qi

> Q:! > - ..

Q 1> Q Z > Q 3 >

...

mit Randkurven yl,ya,. . . , und es gilt

Die Mittelpunkte der Rechtecke bilden eine Cauchyfolge, sei zo deren Grenzpunkt, der dann also in jedem der Rechtecke Q, enthalten ist. Nun nutzen wir die komplexe Differenzierbarkeit von f bei zo aus und wahlen ein 6 > 0 so klein, daB Ix(z) 1 < e . lz - zo I fur alle z mit Iz-zo I < S . 1st p der Durchmesser und l der Umfang des Rechtecks Q , so ist 2-"0 der Durchmesser und 2-"l Rader Urnfang des Rechtecks Q, . WBhle Fig. 12. ICreis dius 6 urn den Grenznun n so grofi, dafl 2-"p < 6.Dann punkt der Rechteckfolge ist der Integrand x uberall langs y, dem Betrage nach kleiner als e . 2-"p, und weil y, die Lange 2-,4 hat, gilt:

also JY

I JY

f (z)dzl

f (z)dz = 0.

< e . p . l fur beliebig vorgegebenes e , also 0

Die damit bewiesene Rechteckfassung des Cauchyschen Integralsatzes ist noch ein biBchen zu speziell fur die Anwendungen, aber im folgenden Abschnitt werden wir nach derselben Idee eine schon erstaunlich vielseitige Verallgemeinerung herleiten.

14

Kapitel 2. Der Cauchysche Integralsatz

2.3 Cauchyscher Integralsatz f i r Bilder von Rechtecken Cauchyscher Integralsatz fiir Bilder von Rechtecken: Sei f : U --+ C holomorph und Q ein Rechteck in C wie oben, mit Randkurve y , aber anstelle der Voraussetzung Q C U sei jetzt eine C1-Abbildung y : Q --+ U gegeben. Dann ist

Fig. 13. Zum Cauchyschen Integalsatz fiir Rechteckbilder

BEWEIS:Wir konstruieren wieder Q1

> Q2 > . . .

wie oben, so

ist. Jetzt mussen wir aber Durchmesser und Umfang von cp(Q,) abschatzen. Dazu wahlen wir eine Schranke C fur die Norm des Differentials von cp, so daB also )Idyp)l 5 C fur alle p E Q . Das ist moglich, da Q kompakt und y eine C1Abbildung- ist. Dann ist Fig. 14. Zum Beweis der Durchmesser von y(Q,) nicht groBer als p . C .2-'% und die Lange von y o y, nicht groBer als 1 . C . 2-n.

15

2.3 Bilder von Rechtecken

Sei nun E > 0 . Diesmal bezeichne zo das Bild des Grenzpunkts der Rechteckfolge unter cp. Wir wahlen S > 0 wie im vorigen Beweis, aber n wahlen wir jetzt so, dafl p . C . 2-n < 6.Dann gilt

also

fdzl

< C 2 4 . p .Wrjedes ~

E

>0

Wir werden spater den Cauchyschen Integralsatz noch einmal verbessern. Die jetzt erreichte Version ist aber schon sehr brauchbar und wir werden eine ganze Reihe wichtiger Satze als Korollare erhalten. Zunachst aber seien ein paar Beispiele von solchen Rechteckabbildungen cp angegeben, um die Reichweite des Satzes zu illustrieren. Sind z.B. a , /3 : [to,t l ] -+ U zwei C1-Wege und liegt fur jedes t die Verbindungsstrecke von a ( t ) und P(t) ganz in U , dann ist h1

fdz-/

fdz hl

- J fdr =0, ff

3

wobei hi : [ O , l ] + U fiir i = 0 , l die Verbindungswege h,(r) := (1- r)a(t;) r/3(ti) sind, denn cp : ( t , ~ H ) (1 - ~ ) a ( t ) rP(t) definiert die im Satz geforderte Abbildung cp : [to,tl] x [O,1] -+ U . Liegt zum Beispiel eine Dreiecksflache samt Rand ganz in U , und durchlaufen wir zwei der Seiten als a und p , so erhalten wir JY fdz = 0 fiir jede einmal den Rand des Dreiecks durchlaufende Kurve. - Erfiillen zwei Kurven a und /3 die obige Verbindungsstreckenbedin- Fig. 16. J f d z = o Y gung und gilt Jho fdz - Jhl fdz = 0 aus irgendwelchen zusatzlichen Grunden, so folgt also Fig. 15. Wichtiger Anwendungstyp

+ +

mu

16

K a ~ i t e l2. Der Cauchvsche Integralsatz

Zum Beispiel ist das der Fall, wenn die beiden Kurven einen gemeinsamen Anfangspunkt und einen gemeinsamen Endpunkt haben, weil dann ho und hl konstant sind. Es gilt aber auch, wenn a und p geschlossene Kurven sind, denn dann ist hl das ruckwkts durchlaufene ho und die Integrale uber ha und hl heben sich gerade weg.

Fig. 17. Gemeinsame Anfangsund Endpunkte, Verbindungsstrecken in u+Jmf d z = J p f d z

Fig. ven,

18. Geschlossene KurVerbindungsstrecken in

u-J,

fdz=Jp fdz

Haufig kommen Integrale uber Kreislinien vor, und fiir diese gibt es in der Funktionentheorie eine besondere Schreibweise, es bezeichnet namlich

/f

(z)dz

1z-zo1=7.

Fig. 19. Zur StandardPararnetrisierung der Kreislinie

das Integral uber die einmal im mathematisch positiven Sinne durchlaufene

+

Kreislinie, also etwa iiber die durch t H zo reit gegebene Kurve a : [0,2n] -+ @ . Als Spezialfall des Cauchyschen Integralsatzes fur Rechteckbilder haben wir in dieser Notation also:

Cauchyscher Integralsatz fiir den Kreisring: 1st f : U -+ @ holomorph, und liegt der Kreisring { z r 5 lz - zo 1 5 R ) ganz in U , dann ist

1

Iz-z0l=r

Iz-zol=R

Fig. 20. Spezialfall von Fig.18

0

Fur r = 0 wird daraus:

Cauchyscher Integralsatz fiir die Kreisscheibe: 1st f : U + C holomorph und liegt die Kreisscheibe {zl lz - z o 1 < R } ganz in U , dann ist Fig. 21. Spezialfall von Fig. 20

0

AUFGABE1: Unter der Lunge einer stetig differenzierbaren Kurve y : [to, t l ] + C versteht man bekanntlich die Zahl

Es sei f : U -t C eine stetige, durch eine Konstante C dem Betrage nach beschrankte Funktion und y : [to, t l ] + U eine stetig differenzierbare Kurve. Man beweise die im Text schon benutzte Abschatzung

/J

f

W

Z

4 L(7). C .

Y

AUFGABE2: Fur stetige Funktionen f und g auf U c IK2 und eine stetig differenzierbare Kurve y : [to,tl] + U wird in der reellen Analysis das Kurvenintegral durch

Kapitel 2. Der Cauchysche Integralsatz

18

definiert, wobei y(t) =: (x(t), y(t)) geschrieben ist. Nach einem bekannten Lemma, das wir hier aber als Definition lesen wollen, ist fur geschlossene Kurven

der von y umlaufene Flacheninhalt. Was bedeutet demnach das Kurvenintegral Zdz fur eine geschlossene Kurve in C ?

ly

AUFGABE3: Man zeige, dafl

5

in cC \ O

keine Stammfunktion

besitzt.

AUFGABE 4: Es sei f holomorph auf { z E C I lz - zoI < r } und f (20) = 0 , aber fl(zo) # 0. Man beweise, dafl fur genugend kleine

AUFGABE5: Es sei G ein konvexes Gebiet, f : G + C holomorph und y : [to,t l ] + G eine stuckweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve. Man schliefie f (z)dz = 0 aus dem Cauchyschen Integralsatz fiir Bilder von Rechtecken.

2.5

Hinweise zu den ubungsaufgaben

Um Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes geht es im nachsten Kapitel, die obigen drei ubungsaufgaben handeln einfach vom Begriff des Kurvenintegrals.

ZU AUFGABE 1: Der Text des Kapitels geht davon aus, dafl der Leser, dem ja bisher vielleicht nur Integrale :J u(t)dt rnit reellwertigen Integranden u(t) begegnet waren, keine Bedenken hat, auch komplexwertige Integranden zu akzeptieren, und gutwillig

2.5 Hinweise zu den ~ b u n ~ s a u f ~ a b e n

19

interpretieren wird. Hierauf muB man im Zweifelsfalle auch zuruckgehen, wenn man Tatsachen aus der reellen Integralrechnung auf den Fall komplexer Integranden verallgemeinern will. Bei der vorliegenden Aufgabe fuhrt die blof3e Anwendung der Dreiecksungleichung auf diese Summe nicht sofort zum Ziel. Bequem und ohne "Trick" gelingt es mit der Berufung auf Riemannsche Summen. ZU AUFGABE2: Bei dieser Aufgabe ist mehrere Male damit zu argumentieren, daf3 - wo nehme ich eine neutrale Notation her, t sagen wir - aus cp(to)= naturlich Stol (j(t)dt = 0 folgt, auch schon bei der uberlegung, was wohl STydx mit STrdy zu tun haben mag. Noch ein Anhaltspunkt: JyZdz ist jedenfalls eine rein imaginare Zahl. ZU AUFGABE3: Im Beweis des Cauchyschen Integralsatzes fur ein Rechteck kommt eine Bemerkung uber Stammfunktionen und geschlossene Kurvenintegrale vor, die fiir die Aufgabe nutzlich ist. Man muB aber auch einmal ein Integral I T fur ein geeignetes y explizit ausrechnen.

%

ZU AUFGABE4: Dies ware ein einfacher Spezialfall des Residuensatzes, siehe das Korollar auf S. 78 - wenn dieser schon zur Verfugung stunde! So aber heiBt es, mit den im zweiten Kapitel gebotenen Mitteln auszukommen, wodurch die Aufgabe interessant wird. ZU AUFGABE5: Im Text sind schon mehrere Folgerungen aus dem in Fig. 15 skizzierten Anwendungstyp gezogen worden, dies ist eine weitere.

3

Erste Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz

3.1 Die Cauchyformel In diesem Kapitel geht es Schlag auf Schlag. Ausgehend vom Cauchyschen Integralsatz fur Rechteckbilder leiten wir funfzehn grundlegende Satze der Funktionentheorie her, den Anfang macht die Cauchyformel:

Satz 1 (Cauch~scheIntegralformel fiir eine Kreisscheibe): Sei f holomorph in einer die Kreisscheibe { z l lz - zol 5 T ) enthaltenden offenen Menge. Dann gilt fiir jedes a im Innern der Kreisscheibe

u

I

f ( a ) = --

.

27r2

Fig. 22

z -a

BEWEIS:Aus dem Cauchyschen Integralsatz fur Rechteckbilder folgt, daB .

.

z-a

z-a

fur genugend kleine E gilt. Also ist dieses Integral unabhangig von E , insbesondere ist es gleich

am

€ 3 0

/

It-a/=&

fodz

= lim

-

E'O

z

a

/

Iz-al=~

z-a

~

i23,~~ ~, ~ ~ i ~ l f ~ l l Fig. 18

van

~ - + o It-al=c

3.2 Der Potenzreil~enentwicklun~ssatz

21

Der erste der beiden Grenzwerte auf der rechten Seite ist Null, weil der Integrand beschrankt bleibt, den zweiten miissen wir ausrechnen: Fiir y ( t ) := a haben wir j"y m d z zu berechnen, das z-a ist

+

und die Cauchyformel ist bewiesen.

Satz 2 (Mittelwertsatz): Sei f : U + C holomorph und {zl Iz - ZOI r } c U .Dann ist der Wert von f an der Stelle zo der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Rande des Kreises:

<

nach der Cauchyformel fiir a := zo. Da steht's schon.

0

3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz Satz 3 (Potenzreihenentwicklungssatz): Sei f : U -+ C holomorph, zo E U . Dann gibt es genau eine Potenzreihe M c,(z - ~ 0 mit ) ~ positivem Konvergenzradius, die in einer Umgebung von zo die Funktion darstellt. Fiir die Koeffizienten c, gilt die Cauchysche Koefizientenformel

I

<

sofern nur { z lz - zo I r } c U ist, und die Potenzreihe konvergiert auf jeder ganz in U gelegenen Kreisscheibe um zo und stellt dort die Funktion f dar.

Kapitel 3. Erste Folgerungen

22

BEWEIS:Wenn es eine solche Potenzreihe gibt, dann ist f in einer offenen Umgebung von zo beliebig oft komplex differenzierbar (weil konvergente Potenzreihen diese Eigenschaft haben), und 1 n!f ( n )(zo) = c,. Deshalb kann es hiichstens e i n e solche Potenzreihe geben, das ist klar. Zur Existenz: OBdA sei zo = 0 . Falls { z 12 - zol 5 r ) c U , gilt fur lzl < r nach der Cauchyformel

1

Der Ausdruck 1/(1- g) aber, der jetzt als Faktor im Integranden C steht, ist fiir I z / ( = Izl/r < 1 der Grenzwert der geometrischen Reihe Er=o( f ) f Diese Reihe konvergiert fiir festes z absolut und gleichmaflig auf (C( = r , also konvergiert auch die Reihe

-'

~

Fig. 24. Mindestbereich, auf dem die Potenzreihe die Funktion darstellt

gleichmaflig, weil f (C) stetig von

C

abhangt. Folglich gilt weiter

Damit ist der Satz bewiesen. Das ist also der Satz, nach dem sic11 holomorphe Funktionen "in Potenzreihen entwickeln lassen". Da wir schon wissen (Lemma in 1.2), wie man konvergente Potenzreihen ko~nplexdifferenziert, haben wir nun als Korollar den

Satz 4 (Satz von Goursat): Jede holomorphe Funktion ist be0 liebig oft komplex differenzierbar (insbesondere CW). Die Integralformel fur die Koeffizienten, die der Potenzreihenentwicltlungssatz mitgeliefert hat, impliziert eine wichtige Abschatzung:

3.2 Der Potenzreihenentwicklun~ssatz

23

Satz 5 (Cauchysche Abschatzung fiir die Taylorkoeffizienten): Sei f : U + C holomorph und {zl l z - z o I 5 r ) c U . Sei I f ( z ) l 5 M fiir alle z mit lz - zol = r und sei C;=, c n ( z - z o ) n die Potenzreihenentwicklung von f um zo . Dann gilt lcnl

M

5 -. r

BEWEIS:In der Cauchyschen Koeffizientenformel (Satz 3) ist jetzt M1, und der der Integrand dem Betrage nach beschrankt durch .+ Integrationsweg hat die Lange 27rr, also:

Satz 6 (Satz von Liouville): Jede beschrankte ganze Funktion ist konstant. BEWEIS:Sei ( f ( z ) l 5 M auf ganz C . Dann ist f durch eine uberall konvergente Potenzreihe gegeben, deren Koeffizienten die

fur jedes r > 0 erfullen und daher abgesehen von co alle ver0 schwinden mussen, also f ( z ) = co = const.

Satz 7 ("Fundamentalsatz der Algebra"): Jedes Polynom von einem Grade 2 1 hat mindestens eine Nullstelle in C .

+

+

BEWEIS:Sei f ( z ) = a,,zn . . . ao , an # 0, n 2 1 , ein solches Polynom. Wegen f ( z ) = zn(an a n - l , 1 . . a0 $) gilt limlZl+, If ( z ) l = co , d.h. fur jedes M E R gibt es r so, daf3 I f ( z ) l 2 M fur alle z mit lzl 2 r . Hatte deshalb f keine Nullstelle, so wire eine beschrankte ganze Funktion, also konstant, Widerspruch. 0

+

+ +

&

Durch gewohnliche Polynomdivision folgt induktiv daraus naturlich weiter, dafl f ( z ) ein Produkt aus n Linearfaktoren ist.

24

Kapitel 3. Erste Folgerungen

3.3 Satz von Morera und Spiegelungsprinzip Satz 8 (Satz von Morera, "Umkehrung" des Cauchyschen Integralsatzes): Sei U c C offen und f : U + C stetig, und

fur jede einschliefllich Rand in U gelegene Dreiecksflache gelte

fur die Randkurve y des Dreiecks. Dann ist f holomorph.

i':

BEWEIS:Es genugt naturlich, den Satz fur eine Kreisscheibe U zu beweisen, weil Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist. Sei oBdA U = {zl lzl < r ) . Setze a , ( t ) := t z . Dann ist F ( z ) := f ( < ) d < eine Stammfunktion von f ( z ) , denn fiir zo E U und /3,(t) := ( 1 - t ) z o + t z ist

-

0

Fig. 26. Bestimmung von F 1 ( z o )

z

- zo

l l f ( ( l -t

Fig. 25. F(z)

)

:=Sa, f ( 0 d C

+ ~t z ) . ( z - zo)dt

= ~ ( z o )und , daher ist f Ableitung einer holomorphen Funktion, also nach dem Satz von Goursat selbst holomorph. 0

Eine schone Anwendung des Satzes von Morera ist das Schwarzsche Spiegelungsprinzip.

3.3 Spiegelungsprinzip

25

Satz 9 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip): Sei U eine in der Teilraumtopologie der abgeschlossenen oberen Halbebene {z I I m z 2 0) offene Menge. Auf U sei eine stetige Funktion f gegeben, die auf U 0 := {z E U I Imz > 0) holomorph ist und Fig. 27. auf U n EX nur reelle merte annimmt. Dann ist die auf U U durch

wohldefinierte Funktion holomorph.

u

BEWEIS: Beachte, dafl der QuerFig. 28. strich - hier die Wirkung der komplexen Konjugation r bezeichnet, nicht die abgeschlossene Hulle. Auf dem Spiegelgebiet U 0 von U 0 ist durch r o f o r gegeben, also jedenfalls dort holomorph, denn das Differential an einer Stelle p ist ja dann r o dfF o r , also komplex-linear. Nun betrachte eine in U U gelegene Dreiecksflache. Wir zerlegen das Randintegral in

7

gemafl der Zerlegung des Dreiecks durch die reelle Achse in einen oberen und einen unteren Bereich. Dann

wobei yl, den Bereich berandet, den {z I Imz > E} von dem Dreieck abFig. 29. schneidet. Das erste "=" gilt namlich aus Stetigkeitsgrunden, das zweite nach dem Cauchyschen Integralsatz; analog fur yz . Also folgt die Holomorphie nach dem Satz 0 von Morera.

26

Kapitel 3. Erste Folgerungen

3.4 Nullstellen holomorpher Funktionen Es sei zo Nullstelle einer holomorphen Funktion f . 1st f l ( z o ) # 0 , so nennt man zo eine einfache Nullstelle von f . Allgemeiner heifit die kleinste natiirliche Zahl k mit f ( k ) ( z o )# 0 die Ordnung oder Vielfachheit der Nullstelle - falls es namlich so eine Zahl gibt. Andernfalls sagt man, die Ordnung der Nullstelle sei unendlich. Wir wollen wissen, wie sich eine holomorphe Funktion in der Nahe einer k-fachen Nullstelle verhalt. Ganz einfach ist das fiir k = ca,denn dann verschwinden alle Ableitungen von f an der Stelle zo , und deshalb ist nach dem Potenzreihenentwicklungssatz die Funktion in einer Umgebung von zo identisch Null. 1st dagegen zo eine einfache Nullstelle von f , so ist f nach dem Umkehrsatz der Differentialrechnung in zwei reellen Variablen lokal diffeomorph bei zo, d.h. es gibt offene Umgebungen Uo von zo und Vo von f ( z o ), die durch f lUo bijektiv und in beide Richtungen CCoaufeinander abgebildet werden. In unserem Falle folgt dann, dafi ( f lUo)-' ebenfalls holomorph ist, denn sein Differential bei f ( z ) ist einfach die Multiplikation mit l /f l ( z ) . Holomorphe Funktionen sind daher an jeder einfachen Nullstelle, wie iiberhaupt an jeder Stelle mit f 1 ( z o ) # 0, lokal biholomorph. Wie steht es aber mit 1 < k < co? Aus der Produktregel folgt sofort: Hat h ( z ) eine einfache Nullstelle bei zo, so hat f ( z ) = ( h ( ~ )eine ) ~ k-fache Nullstelle bei zo . Diese Aussage lafit sich gewissermafien auch umkehren:

Satz 10 (Verhalten holomorpher Funktionen in der Nahe von Nullstellen): Hat die holomorphe Funktion f bei zo eine 1, so gibt es eine in einer Umgebung Uo k-fache Nullstelle, k von zo holomorphe Funktion h mit einer einfachen Nullstelle bei zo , SO daf3 f(z) =( h ( ~ ) ) ~

>

fiir alle z E Uo . Man kann daher auch sagen: Bis auf eine lokale biholomorphe Transformation verhalt sich eine holomorphe Funktion in der Nahe einer k-fachen Nullstelle so wie die k-te Potenz in der Nahe von 0.

3.4 Nullstellen

27

BEWEIS:OBdA sei zo = 0. Wir entwickeln f um 0 in eine Potenzreihe. Die ersten k - 1 Ableitungen bei 0 verschwinden nach Voraussetzung , und die Potenzreihe fangt erst mit dem von Null verschiedenen Term k-ter Ordnung an, wir kijnnen also zk ausklammern und erhalten

in einer Umgebung {z / lzl < p ) , wobei g holomorph und g(0) von Null verschieden ist. Die Idee ist nun natiirlich, f als

# 0 hatte h dann eine einfache Nulldarzustellen. Wegen stelle, vorausgesetzt namlich, dafi iiberhaupt als holomorphe Funktion in einer Umgebung von zo = 0 zu erklaren ist. Wir konnen nicht einfach " h(z) := z . "als .B 2rii fieZrt7T eine Definition ausgeben. USW. Zwar kann man aus jeder komplexen Zahl die k -te fiei; Wurzel ziehen, aber sie ist usw. abgesehen von := 0 fiei $ + ( k - ~ ) y nicht eindeutig bestimmt. Radius fi Schreiben wir eine von Null verschiedene Zahl w E C in Polarkoordinaten als Fig. 30. Die k-ten Wurzeln einer Zahl 2u = r e i B w = r(cos 0 i sin 6) = reio mit r > 0 und 6 E IW; so sehen wir, daB w genau die k Zahlen

@

+

als k-te Wurzeln hat. Wollen wir daher definieren, so haben wir fur jedes z eine der Wurzeln von g ( ~ auszuwahlen, ) und es ist zunachst nicht klar, ob das auf holomorphe Weise moglich ist. Eine Funktion @, die auch bei z = 0 holomorph ware, gibt es fur k > 1 zum Beispiel nicht, denn die Nullstelle zo = 0 einer solchen Funktion mufite ja eine Ordnung n haben, und dann

Kapitel 3. Erste Folgerungen

28

hatte ( G)k = z bei 0 eine Nullstelle kn-ter Ordnung, was wegen kn # 1 offenbar nicht sein kann. Soweit das Problem, und nun seine Losung: Die k-te Potenz, als Funktion z H zk , ist aui3er bei 0 iiberall lokal biholomorph, & weil ihre Ableitung kzk-I nur bei Null verschwindet. 1st insbesondere zl eine der k-ten Wurzeln w von unserem g(O), so gibt es offene Umgebungen Ul von zl und Fig. 31. Lokale UmkehrfunkVl von g(O), so dai3 Ul durch tion der k-ten Potenz die k-te Potenz biholomorph auf Vl abgebildet wird. Bezeichne w : Vl + Ul die (also ebenfalls holomorphe) Umkehrung. Das ist die holomorphe k-te Wurzelfunktion, die wir gesucht haben! Um sie auf glUo anwenden zu konnen, brauchen wir nur @vl die Nullumgebung Uo so klein zu wahlen, dai3 g(Uo) c Vl, was wegen der Stetigkeit von g natiirlich vld auch moglich ist. Dann hat also die durch h(z) := z . w(g(z)) auf Uo definierte holomorphe Funktion h die gewiinschte Eigenschaft f ( z ) = Fig. 32. Lokale holomorphe Wurzel aus der Funktion g ( l ~ ( z ),)und ~ der Satz ist bewiesen. 0

fl>

,

@

Satz 11 (Blatterzahl bei einer Nullstelle einer holomorphen Funktion): Sei zo eine k-fache Nullstelle einer holomorphen Funktion f . Dann gibt es zu jedem geniigend kleinen E > 0 eine offene Umgebung U, von zo , die durch f auf die Kreisscheibe {w IW I < E } abgebildet wird und zwar so, dal3 f lU, jeden Wert w mit 0 < Iwl < E genau k-ma1 und den Wert 0 genau bei zo annimmt .

1

BEWEIS: OBdA sei zo = 0. Fiir den Spezialfall f ( z ) = z k ist der Satz offenbar richtig. Fur den allgemeinen Fall wenden wir )~ wobei Satz 10 an und diirfen also f(z) = ( h ( ~ ) voraussetzen, h holomorph mit h(0) = 0 und hl(0) # 0 ist. Insbesondere ist

3.5 Identitatssatz und Gebietstreue

29

h also lokal biholomorph bei 0 , d.h. es gibt offene Umgebungen U und V von 0 , so daf3 hlU : U + V u@< bijektiv, holomorph und (hl U)-' ebenfalls holomorph (hlU)-' % ist. 1st nun E > 0 so klein, daf3 {CI ICI < %I C V liegt, so hat das Urbild U, dieser Kreisscheibe unter hlU die gewiinschte EigenFig. 33. Zuriickfiihrung von schaft.

@

vE$l

f auf

zk

3.5 Identitatssatz und Gebietstreue Eine zusammenhangende offene Teilmenge von (C nennt man ein Gebiet. Wir werden jetzt meist auf Gebieten definierte holomorphe Funktionen betrachten. Das ist keine grof3e Einschrankung, denn jede offene Teilmenge von C! ist eine Vereinigung von disjunkten Gebieten. Der folgende erstaunliche "Identitatssatz" offenbart eine Starrheit der holomorphen Funktionen, die wir von den Funktionen der reellen Differentialrechnung nicht kennen: zwei auf einem Gebiet G holomorphe Funktionen, die dort nur ein bif3chen iibereinstimmen, sind gleich ganz und gar identisch. Genauer: Satz 1 2 (Identitatssatz): Sei G ein Gebiet und f , g : G + (C zwei holomorphe Funktionen, die auf einer Teilmenge von G , welche in G einen Haufungspunkt besitzt, ii bereinstimmen. Dann gilt f = g aufganz G .

BEWEIS:Sei zo ein solcher Haufungspunkt. Dann hat h := f - g bei zo eine Nullstelle unendlicher Ordnung, denn sonst gabe es nach Satz 11 eine Umgebung, die keine weiteren Nullstellen

30

Kapitel 3. Erste Folgerungen

enthalt ("Die Nullstellen endlicher Ordnung liegen isoliert"). Die Menge M der Nullstellen unendlicher Ordnung von h ist also nicht leer. Sie ist offen nach dem Potenzreihenentwicklungssatz. Aber auch ihr Komplement G \ M ist offen, denn ist f (p) # 0 , so hat f in einer geeigneten Umgebung gar keine, und ist p Nullstelle endlicher Ordnung, keine weiteren Nullstellen. Also sind M und G \ M offen und M nicht leer. Da G zusammenhangend ist, folgt daraus M = G . 0

Fig. 34. Ein in G gelegener Haufungspunkt (a) der Ubereinstimmungsmenge impliziert schon f z g . Enthalt sie sogar (b) eine kleine Strecke, 2.B. (c) den nichtleeren Durchschnitt mit einer Geraden, oder gar (d) eine nichtleere offene Teilmenge von G , dann hat sie natiirlich m viele Haufungspunkte in G und der Satz ist erst recht anwendbar.

Satz 13 (Gebietstreue): 1st f holornorph und nicht konstant auf dem Gebiet G , so ist f (G) ebenfalls ein Gebiet. BEWEIS: f ( G ) ist trivialerweise zusammenhangend als stetiges Bild einer zusammenhangenden Menge. Zur Offenheit: Sei wo = f ( z o ) . Wir haben zu zeigen, daf3 es um wo eine kleine Kreisscheibe gibt, die noch ganz in f ( G ) liegt. Da f nicht konstant ist, hat f i z ) := f ( z ) - wo bei zo eine Nullstelle endlicher Ordnung, denn sonst w k e f in einer ganzen Umgebung und nach dem Identitatssatz dann iiberall Null. Dahergibt es nach Satz 11 ein E > 0 , so daB jedes w mit Iwl < E von f bzw, jedes wo w von f angenommen wird, also ist die offene E-Kreisscheibe um wo in f ( G ) enthalten. 0

-

+

Satz 14 (Maximumprinzip): Eine nichtkonstante holornorphe Funktion auf einem Gebiet G kann kein Betragsmaximurn haben.

3.5 Identitatssatz und Gebietstreue

BEWEIS:Ware I f(z)l 5 If(zo)l fur ein zo E G und alle z E G , so ware f ( G ) in der abgeschlossenen Kreisscheibe K vom Radius I f (zo)l um den Nullpunkt enthalten, konnte also keine noch so kleine Umgebung von f ( z o ) enthalten, im Widerspruch zur Gebietstreue von f . 0

31

f(zo)

u

Wie wir schon beim Identitatssatz gesehen haben, sind die holomorphen Funk- Fig. 35. Maximumprinzip aus Gebietstreue tionen gleichsam in ihrer "Bewegungsfreiheit" stark eingeschrankt, weshalb uber sie oft aus unscheinbaren Voraussetzungen erstaunlich weitgehende Schlusse gezogen werden kijnnen. Ein weiteres Bespiel dafur ist das aus dem Maximumprinzip folgende Schwarzsche Lemma.

Satz 15 (Schwarzsches Lemma): Sei f : E -+ E eine holomorphe A bbildung der Einf ( ~ ) heitskreisscheibe in sich f mit f ( 0 ) = 0 . Dann gilt Ift(0)l 51 und lf(Z)l 5 I4 fur alle z . Tritt ferner an E E einer Stelle zo # 0 das Fig. 36. E : = { z ~l r ( < l ) Gleichheitszeichen ein, d.h. ist If (zo)l = 1 . ~ ~ 1 , oder gilt 1 f'(0)I = 1, SO ist f einfach eine Drehung, f ( z ) = eie . z fur ein 0 E IR und alle z .

-

BEWEIS: Nach dem Potenzreihenentwicklungssatz ist f ( z ) = CO cnzn = z Er=lc,,zn-I =: zg(z) mit holomorphem g . Die Produktregel gibt f t ( 0 ) = g(0). Fur lzl = r < 1 gilt (f(z)I = Izl lg(z)I = rlg(z)I 5 1 nach Voraussetzung, also Ig(z)I 5 1/r fur alle z auf der Kreislinie lzl = r . Nach dem Maximumprinzip gilt das dann aber auch fiir alle z in der Kreisscheibe IzI r . Indem wir r gegen 1 gehen lassen, sehen wir, dafi daraus Ig(z)I 5 1 fur alle z folgt. Das ist der erste Teil der Behauptung. Tritt das Gleichheitszeichen ein, so ist irgendwo Ig(zo)l = 1 , nach dem Maximumpinzip ist dann g konstant, also g(z) = eie, und daher f (z) = zeie . 0

<

Kapitel 3. Erste Folgerungen

32

AUFGABE1: Es sei f (z) := (z- 1 - i)-2 sin z und c, := $ f (,)(o). 00

Man bestimme den Konvergenzradius von

AUFGABE2: Man berechne

S

C c,zn

~

n=O

zP4 sin z dz .

lr-ll=2 3: Man beweise, daB in einem sternformigen Gebiet jede AUFGABE holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt. AUFGABE4: Sei f eine ganze nichtkonstante Funktion. Man beweise, daB die Bildmenge f (@ ) dicht in @ liegt. AUFGABE5: Es sei n c N , und r und c seien zwei positive reelle Zahlen. Fur die ganze Funktion f gelte die Abschatzung If (z)l 5 cjzln fiir alle z E @ mit /zl r . Man zeige, daB dann f ein Polynom hochstens n-ten Grades ist.

>

AUFGABE6: Sei zo eine Nullstelle der holomorphen Funktion f . Man zeige: Genau dann kann man aus f lokal bei zo die k-te Wurzel ziehen (d.11. eine in einer Umgebung von zo holomorphe Funktion h mit ( h ( ~ )=) ~f ( z ) finden), wenn F die Ordnung der Nullstelle teilt . AUFGABE7: Sei Uo C R offen in R und fo : Uo + R reell analytisch, d.h. iiberall in Uo lokal in eine Potenzreihe entwickelbar. Man zeige, daB es eine in C offene Menge U mit U n R = Uo und eine holomorphe Funktion f : U + C mit f lUo = fo gibt. Kann man im Falle Uo = (-1,l) im~nerU := {zl lzl < 1) wiihlen? AUFGABE8: Sei f eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einem Gebiet G c C . Man beweise, daB das Maximumprinzip nicht nus fur I f ( z ) l , sondern zum Beispiel auch fur (Ref ( z ) ) ~ (Imf ( z ) ) ~gilt.

+

3.7 Hinweise zu den ubungsaufgaben

33

AUFGABE9: Man schliefie aus dem Schwarzschen Lemma, daB eine biholornorphe, d.h. bijektive und in beiden Richtungen holomorphe Abbildung der offenen Einheitskreisscheibe auf sich, welche auBerdem den Nullpunkt festlaBt, eine Drehung sein muB. AUFGABE10: Sei G ein Gebiet in C und I{ c G eine kompakte Teilmenge mit nichtleerem Inneren KO. Man zeige: Jede nichtkonstante holomorphe Funktion auf G , deren Betrag auf dem Rande I? := I<\ I<" konstant ist, hat eine Nullstelle in I<. AUFGABE11: Man gebe ein Beispiel zweier auf einem Gebiet G holomorpher Funktionen f und g , deren Ubereinstimmungsmenge { Z E G I f(z) = g ( z ) ) einen Haufungspunkt besitzt, obwohl f und g nicht in ganz G ubereinstimmen. Weshalb widerspricht das nicht dem Identitatssatz?

3.7 Hinweise zu den ubungsaufgaben ZU AUFGABE1: Aus dem Potenzreihenentwicklungssatz erhalt man zunachst nus eine Abschatzung des Konvergenzradius von unten. Um einzusehen, dafi der Konvergenzradius nicht noch groBer sein kann, muB man nus daran denken, was in der Nahe des Punktes 1+ i geschieht. ZU AUFGABE2: Spates wird der sogenannte Residuensatz fiir solche Berechnungen zustandig sein, hies ist aber einfach gemeint, die Cauchysche Formel fiir die Taylorkoeffizienten zu benutzen und sich aus dem Kapitel 2 die Berechtigung fur die Verwendung des exzentrischen Integrationsweges zu holen. ZU AUFGABE3: Beweisidee wie beim Satz von Morera. ZU AUFGABE4: Wenn f ( C ) nicht dicht in C ware, gabe es irgendwo eine kleine Kreisscheibe, die keinen Bildpunkt von f enthalt. Mit etwas Phantasie kann man hierin eine ~hnlichkeit mit der Voraussetzung im Satz von Liouville erblicken, wo es ja

34

Kapitel 3. Erste Folgerungen

gewissermaflen eine "Kreisscheibe um den Punkt cc " gibt, die keinen Bildpunkt enthalt. Was mufl man tun, um den Satz von Liouville wirklich anwenden zu konnen? ZU AUFGABE5: Die Behauptung verallgemeinert den Satz von Liouville, deshalb wird man versuchen, dessen Beweis entsprechend allgemeiner zu fiihren. Das ist auch der ~ b u n ~ s z w e cder k Aufgabe! Ab dem vierten Kapitel wurde man freilich stattdessen zunachst in C \ O definiert, betrachten. gleich g ( z ) :=

9,

ZU AUFGABE6: Dem Verhalten holomorpher Funktionen in der Nahe von Nullstellen ist ja ein eigener Abschnitt (3.4) gewidmet, aus dem man alles entnehmen kann, was zur Losung gebraucht wird. Dem wenn auch trivialen Fall einer unendlichfachen Nullstelle sollten auch zwei Zeilen vergonnt werden. ZU AUFGABE7: Um jeden Punkt xo E Uo eine Potenzreihe! Auf den ersten Blick etwas zuviel des Guten fur die Definition eines f : U t C . Identitatssatz anwenden. ZU AUFGABE8: Das ist, wie schon das ubliche Maximumprinzip, aus der Gebietstreue zu folgern. In dem Exponenten 4 ist kein besonderes Geheimnis verborgen, cp(Ref ,Imf ) gehorcht fiir viele reellwertigen Funktionen cp von zwei reellen Variablen dem Maximumprinzip, wenn auch nicht gerade fur alle. ZU AUFGABE9: Schon der kleinste Hinweis kann diese seifenblasenzarte Aufgabe zum Platzen bringen. Ich mache deshalb nur die kryptische Bemerkung, dafl 1 die einzige positive Zahl ist, die samt ihrem Kehrwert nicht griifler als 1 ist. ZU AUFGABE10: Das ist eine "Maximumprinzips-Aufgabe." ZU AUFGABE11: Experimentiere mit sin $

4 4.1

Isolierte Singularit at en

Die drei Typen isolierter Singularit at en

1st U C C offen und f : U t C eine holomorphe Funktion, so heiBen die isolierten Punkte des Komplements C \U die isoliert e n Singularitaten von f . Eine isolierte Singularitat ist also ein Punkt zo, an dem f zwar nicht definiert ist, um den es aber eine kleine offene Kreisscheibe gibt, worin er der einzige nicht zum Definitionsbereich U gehorige Punkt ist. Ein punktformiges Loch im Definitionsbereich, sozusagen. Man unterscheidet drei Typen von isolierten Singularitaten:

Hebbare Singularitat

Pol

wesent~ichkSingularitat

Fig. 37. Sinnbildliche Veranschaulichung der drei Singularitatstypen

Definition: Eine isolierte Singularitat zo einer holomorphen Funktion f : U t @ heifit hebbar, wenn f durch geeignete Festsetzung von f(zo) zu einer holomorphen Funktion auf U U {zo} wird, sie heifit ein Pol von f , wenn sie nicht hebbar ist, aber ein

36

Kapitel 4. Isolierte Singularitaten

m 2 1 existiert, so daB (z - zo)mf(z) eine hebbare Singularitat bei z0 hat. Das kleinste derartige m heifit die Ordnung des Poles. 1st die isolierte Singularitat zo von f weder hebbar noch ein Pol, so heiBt sie eine wesentliche Singularitat von f . 0 Zu den hebbaren Singularitaten braucht man wohl keine Beispiele zu geben: Immer wenn man einen Punkt aus dem Definitionsbereich einer holomorphen Funktion herausnimmt, hat man eine hebbare Singularitat erzeugt. ~ h n l i c hfur Pole: 1st g eine auch bei zo holomorphe Funktion mit g(z0) # 0, so hat die durch

definierte Funktion dort einen Pol m-ter Ordnung. Ein Beispiel fur eine wesentliche Singularitat liefert uns die auf C \O holomorphe Funktion f(z) := s i n ( i ) . Sie hat bei 0 eine wesentliche Singularitat, denn da sich ihre Nullstellen dort haufen, muBte andernfalls f (z) selbst oder zmf (z) fur ein m 2 1 nach dem Identitatssatz uberall Null sein, was ja nicht der Fall ist.

4.2

Meromorphe Funktionen

1st eine Funktion f bis auf Pole holomorph in U , so heiBt sie meromorph in U. Die Bezeichnung "meromorph" (=bruchformig) kommt daher, daB die meromorphen Funktionen gerade diejenigen sind, die sich lokal als Quotienten holomorpher Funktionen darstellen lassen. DaB jede meromorphe Funktion lokal Quotient holomorpher Funktionen ist, geht direkt aus der Definition hervor: man kann sogar stets (z - zo)" bzw. 1 als Nenner wahlen. Umgekehrt gilt fur zwei auf einem Gebiet G holomorphe Funktionen g und h , wovon h nicht konstant Null ist, dafl aus g(z)/h(z) durch Hebung aller hebbaren Singularitaten in G eine meromorphe Funktion entsteht. Genauer:

37

4.3 Laurentreihen

Lemma: Hat h ( z ) bei zo eine Nullstelle der Vielfachheit m und g ( z ) eine Nullstelle der Vielfachheit k (bzw. ist g ( z o ) # O und k = 0 ) , so ist die isolierte Singularitat zo der Funktion

im Falle m > k ein Pol der Ordnung m - k , im Falle m = k hebbar durch ein f ( z o ) # O und im Falle m < k hebbar zu einer ( k - m ) -fachen Nullstelle von f ( 2 ) .

BEWEIS:Wir schreiben also

-

h ( z ) = ( z - ~ o ) ~ h (und z ) g(z)= ( z - z ~ ) ~ z ( z ) ,

mit holomorphen K(z) und T ( z ) , die bei zo nicht verschwinden (Potenzreihenentwicklungssatz). Dann ist

woran die fallunterscheidende Aussage des Lemmas direkt ablesbar ist . 0 Man sieht auch (nun oder sowieso): Hat eine Funktion f ( z ) bei zo einen Pol der Ordnung K , so hat l /f ( z ) dort eine Nullstelle der Vielfachheit k und umgekehrt. Definiert man Summe f +g und Produkt f .g auf einem Gebiet G meromorpher Funktionen, indem man sie zunachst auflerhalb der Polstellen in der iiblichen Weise bildet und dann alle hebbaren Singularitaten in G hebt, so wird dadurch die Menge M ( G ) der meromorphen Funktionen auf G zu einem Korper ( M ( G ) , , . ) .

+

4.3 Laurentreihen Um eine isolierte Singularitat laflt sich eine holomorphe Funktion zwar im allgemeinen nicht in eine Potenzreihe, wohl aber, wie wir

Kawitel 4. Isolierte Sinnularitaten

38

sehen werden, in eine sogenannte Laurentreihe entwickeln. Unter einer Laurentreihe um no versteht man eine Reihe der Form

oder eigentlich genauer das Paar der beiden Reihen 02

CO

C c-,(z

n=l

-

und

C cn(z - zo)n, n=O

welche Haupt- und Nebenteil der Laurentreihe genannt werden. Dementsprechend heiBt eine Laurentreihe konvergent (bzw. absolut konvergent, gleichmaaig konvergent etc.), wenn das fiir beide Teilreihen zutrifft. Im Falle der Konvergenz beider Reihen bezeichnet

allerdings auch die Summe

ihrer Grenzwerte. Der Nebenteil einer Laurentreihe ist also einfach eine Potenzreihe in (z - no). Der Hauptteil ist eine "Potenzreihe in Aus den bekannten allgenleinen Konvergenzeigenschaften von Potenzreihen konnen wir daher Schlusse uber das Konvergenzverhalten von Laurentreihen ziehen. OBdA wollen wir jetzt zo = 0 setzen:

A".

Notiz: 1st $ E [0, co] der Konvergenzradius von CF=to=l c-,Cn und R E [0, m] der Konvergenzradius des Nebenteils C r = o cnzn, so konvergiert die Laurentreihe C;=-, cnzn fur alle z mit r < In1 < R und stellt dort eine holomorphe Funktion dar; sie divergiert (d.h. Haupt- oder Nebenteil divergiert) falls lzl < r oder lzl > R ist. Fur r < pl < p2 < R ist die Konvergenz auf dem Kreisring {z I pl lzl 5 p2 ) sogar gleichmaf3ig. 0

<

4.3 Laurentreihen

39

Fig. 38. (a) Der Nebenteil konvergiert innerhalb der offenen Kreisscheibe vom Radius R , (b) der Hauptteil auBerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe vom Radius r = l / p , (c) die Laurentreihe folglich im Kreisring zwischen T und R

~ b e das r Konvergenzverhalten auf dem Rande lzl = r oder R lafit sich keine so allgemeine Aussage machen. Falls r > R ist, konvergiert die Laurentreihe natiirlich nirgends. Konvergente Laurentreihen darf man in ihrem Konvergenzkreisring { z I r < Izl < R) gliedweise differenzieren, das folgt fur den Nebenteil direkt, fiir den Hauptteil mittels der Kettenregel aus der entsprechenden Erlaubnis fur konvergente Potenzreihen. Will man aber in derselben formalen Weise eine Stammfunktion herstellen, so stellt der Summand C - ~ Z - ' , falls c-1 # 0 , ein Hindernis dar. Wegen

fiir jedes p > 0 hat namlich die Funktion in keinem Ixreisring um 0 eine Stammfunktion, sonst miifite dieses Integral iiber eine geschlossene Kurve ja Null sein. Die anderen Summanden machen keine Schwierigkeiten: 1st c-1 = 0, so hat die konvergente Laurentreihe C;=-, c,zn die Stammfunktion

die in demselben Kreisring konvergiert. 1st aber c-1 # 0 , so hat die Laurentreihe in ihrem Konvergenzkreisring eben keine Stammfunktion.

Kapitel 4. Isolierte Sinaularitaten

40

Lemma (Cauchyformel fiir die Laurentkoeffizienten): Konvergiert Cr=-, c,zn in dem Kreisring {zl r < IzI < R } und stellt dort die Funktion f dar, so gilt

fur alle n und jedes p mit r

< p < R.

BEWEIS:Wegen der gleichmafligen Konvergenz konnen wir gliedweise integrieren. Da alle Summanden von

aufler

5 Stammfunktionen besitzen, ist z

4.4

Laurentreihenentwicklung

Bisher haben wir immer eine konvergente Laurentreihe als gegeben angenommen. Wirklich kann man aber jede in einem Kreisring holomorphe Funktion in eine Laurentreihe entwickeln:

Satz 16 (Laurentreihenentwicklungssatz): Sei f in dem Kreisring {z r < lz - zo1 < R } holomorph. Dann ist dort

I

wobei fur r

< p < R (wie wir dann schon wissen) gilt:

BEWEIS:OBdA zo = 0 . Sei z aus dem Kreisring: - r < lzl < R . Dann gilt fur .----geniigend kleine positive E und / 6 nach der Cau- j chyschen Inte- 'x, gralformel fur (aj'.---_---' die Kreisschei- Fig. 39. (a) Zuerst f(z) als (-Integral mittels Caube und nach chyformel darstellen, sodann den Integrationswe dem cauchy- dieses (-Integrals in rwei Schritten (b) und ,

,

(cT

mittels des Cauchyschen Integralsatzes verandern

schen Integralsatz, mit dessen Hilfe wir zu den Kreislinien mit den Radien r und R - 6 weitergehen:

+6

(Beachte das nicht vergessene, sondern im Nenner des zweiten Summanden untergebrachte Minuszeichen). Mit diesen beiden Integralen verfahren wir nun wie beim Beweis des Potenzreihenentwicklungssatzes, d.h. im Integranden des ersten entwickeln wir (1 - $ ) - I in die geometrische Reihe in f und erhalten den Nebenteil, und im zweiten verfahren wir analog mit (1- $)-I , wobei sich der Hauptteil der Laurentreihe ergibt. Auch die Cauchyforme1 fiir die Laurentkoeffizienten bekommen wir dabei noch einmal 0 mitgeliefert . Als Korollar haben wir wie beim Potenzreihenentwicklungssatz

Satz 17 (Cauchysche Abschatzung fiir die Laurentkoeffizienten): 1st ferner If(z)l 5 M fiir alle z mit lz - zoI = p , so gilt fiir Ale n :

Kapitel 4. Isolierte Singularitaten

42

Anwendung auf isoliert e Singularit at en

4.5

1st zo isolierte Singularitat von f , so ist fur geniigend kleine > 0 der zur punktierten Kreisscheibe entartete "Kreisring" { z 0 < IZ - zo I < E ) im Definitionsbereich von f enthalten, und wir konnen f dort in seine Laurentreihe entwickeln. Der Hauptteil

E

I

der Laurentreihe heii3t dann auch der Hauptteil von f an der isolierten Singularitat zo . Am Hauptteil laBt sich der Typ der Singularitat ablesen. Die Laurentkoeffizienten sind ja durch die Funktion eindeutig bestimmt, und deshalb ist die Singularitat genau dann hebbar, wenn der Hauptteil verschwindet und genau dann ein Pol, wenn der Hauptteil nicht Null aber "endlich" ist, d.h. nur endlich viele von Null verschiedene Koeffizienten hat. Genau in den verbleibenden Fallen, also wenn unendlich viele Hauptteilkoeffizienten nicht verschwinden, ist die Singularitat wesentlich.

Satz 18 (Riemannscher Hebbarkeitssatz): 1st f in einer Umgebung einer isolierten Singularitat beschrankt, d.h. gibt es M und E > 0 mit If(z)l 5 M fiir alle z mit 0 < lz - zoI < E , SO ist die Singularitat hebbar.

BEWEIS: lcnl 5 $ fur alle r mit 0 < < 0 , d.h. der Hauptteil ist Null.

n

I-

< E , also c,

= 0 fur

0

Satz 19 (Satz von Casorati-Weierstran): Ist zo eine wesentliche Singularitat von f : U -t C , dann ist das Bild jeder beliebig kleinen punktierten e-Kreisscheibe (z10 < lz - zol < E ) c U unter f dicht in C .

BEWEIS: Angenommen es gabe eine offene Kreisscheibe von einem Radius S > 0 um ein wo E C , die keinen Punkt dieses Bildes enthalt. Dann Mittelpunkt wo, ist zo eine hebbare Radius Singularitat der durch Fig. 40. Die Abbildung w-(w-wo)-' , die 1

f (2) - wo

=: h(z)

wir dem f nachschalten, urn h zu bilden. wirft das " ~ o m ~ l e m e des n t kleinen Kreise; um wo ins Innere eines Kreises, also ist h beschrankt

auf der punktierten Kreisscheibe (21 0 < lz - zol < E } definierten holomorphen Funktion h , namlich nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz. Aber dort gilt dann auch

und somit ware zo eine hebbare Singularitat von f oder ein Pol von f , im Widerspruch zur Voraussetzung. 0 Der Satz von Casorati-WeierstraB zeigt also, daB jede noch so winzige Umgebung einer wesentlichen Singularitat durch die Funktion uber die ganze Zahlenebene explosionsartig "verstreut" wird. In der Tat gilt sogar eine noch scharfere Aussage (Satz von Picard, siehe [ 2 ] , S.490): Hochstens ein einziger Punkt a E C kann in den Bildern beliebig kleiner punktierter Umgebungen der wesentlichen Singularitat fehlen, wie zum Beispiel a = 0 im Falle von f (z) := e l l Z .

1 AUFGABE1: Fur die holomorphen Funktionen & , e$ , cos 5 und auf E \ 0 behandle man die isolierte Singularitat 0

9

44

Kapitel 4. Isolierte Singularitaten

so: 1st die Singularitat hebbar, so hebe man sie, ist sie ein Pol, bestimme man den Hauptteil, und ist sie wesentlich, so bestimme man fiir alle geniigend kleinen E > 0 das Bild von (210 < lzl < E } unter der Funktion.

AUFGABE2: Man bestimme die Laurententwicklung von f ( z ) := r ( z - l ) ( z - ~ ) in den drei Gebieten, die durch 0 < lzl < 1 , 1 < 121 < 2 bzw. 2 < lzl beschrieben werden. AUFGABE3: Man beweise, daB es eindeutig bestimmte ganze Funktionen J, gibt, so dafl fur alle ( z ,C) E C x ( C \0) die Gleichung exp

( $ ( c - i))= En=-, J,(z)Cn 00

gilt

AUFGABE4: Es sei G c C ein beschranktes Gebiet ohne isolierte Randpunkte und S c G eine Teilmenge, die keinen Haufungspunkt in G hat. Man zeige, daB sich jede biholomorphe Abbildung f : G\S -t G \ S zu einer biholomorphen Abbildung von G auf sich erganzen 1aBt. AUFGABE 5: Es sei zo eine isolierte Singularitat von f ( z ) . Man zeige, daB zo kein Pol von e f ('1 ist. AUFGABE 6: Man bestimme die A u t o m o r p h i s m e n d e r k o m plexen Ebene, d.h. die biholomorphen Abbildungen von C auf sich.

AUFGABE 7: Man bestimme die A u t o m o r p h i s m e n d e r Riem a n n s c h e n Zahlenkugel C U cc. Zur Vorbereitung: Sei U c C offen. Eine Abbildung f : U + @. U co heifle holomorph, wenn es um jedes zo E U eine E-Umgebung K,(zo) C U gibt, auf der f ( z ) oder holomorph ist. Man zeige, daB die nichtkonstanten f(z) meromorphen Funktionen auf einem Gebiet G c C gerade den nichtkonstanten holomorphen Abbildungen G + @ U cc entsprechen. Eine Teilmenge U c C Ucc heiBe offen in C Urn, wenn U f E offen ist und im Falle m E U ein R mit { z E C I lzl > R } c U existiert. Eine Abbildung U -+C U cc heiBe holomorph, wenn sie auf U n C holomorph ist und im Falle cc E U auch f ( k ) auf < $1 holomorph ist. {z E C I Nun die eigentliche Aufgabe: Man bestimme die biholomorphen Abbildungen von C U cc auf sich.

4.7 Hinweise zu den ubungsaufgaben

45

4.7 Hinweise zu den ubungsaufgaben ZU AUFGABE1: Harmlose, jedenfalls ohne Heimtucke ausgesuchte Beispiele. Bei der dritten Funktion an 2 cos z = e i z e-iz denken.

+

&

&

ZU AUFGABE2: Es wird vorgeschlagen, und "1s Grenzwerte geometrischer Reihen aufzufassen. Beachte aber, dafi z.B. 1 = - C z n nur fur lzl < 1 gilt und man fur lzl > 1 zu -.I I iibergehen mufi. Man kann dann die Reihen multiplizieren z

1-$

oder, bequemer, f (z) in Partialbruche zerlegen. ZU AUFGABE3: Laurententwicklung. Die Frage ist nur, woher man wissen soll, dafi die J , holomorph sind. ZU AUFGABE4: Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz wird es schon etwas zu tun haben. Ziehe auch f-' zu Rate. Weshalb aber bleibt nach der Hebung das Bild von S in G ? Das ist der springende Punkt. ZU AUFGABE5 : Zur eleganten Losung dieser Aufgabe braucht man einen kleinen Trick, namlich die Beobachtung, dafi an jeder Polstelle (und ebenso ubrigens an jeder endlichfachen Nullstelle) einer Funktion g(z) die sogenannte logarithmische Ableitung gl(z)lg(z) jedenfalls einen Pol erster Ordnung hat. Man beweise das, um es auf unser g = e f anwenden zu durfen. Dann steht man vor einem anderen Problem: Kann eine Ableitung einen Pol erster Ordnung haben? Laurentreihe! ZU AUFGABE6: Weshalb kann f ( $ ) am Nullpunkt keine wesentliche Singularitat haben? Das uberlegt man sich mit Hilfe des Satzes von Casorati-Weierstrafi zuerst. Dann ist man nahe an der Losung, denn welche Polynome f (z) konnen schon eine bijektive Abbildung der ganzen Zahlenebene auf sich bewirken? ZU AUFGABE7: Weshalb man C U r n eine Kugel nennt, steht auf einem anderen Blatt (Stichwort "stereographische Projektion" ) und hat nichts mit der Aufgabe zu tun. Man sollte Aufgabe 7 im Anschlufi an Aufgabe 6 losen und daran denken, dafi jedenfalls einen Automorphismus der Zahlenkugel bewirkt. Man nennt die Automorphismen von C U ca auch Mobiustransformationen oder - aus welchem Grunde, wird nach dem Losen der Aufgabe klar sein - gebrochen lineare Transformationen.

5

Analytische Fortsetzung

5.1 Analytische Fortsetzung langs Kreisketten Eine endliche Folge ( K O ,... , I(,) von offenen Kreisscheiben in C sol1 eine Kreiskette heiflen, wenn fur i = 1,. . . ,n die Mittelpunkte von und Il; im Durchschnitt Ki-1 n Il; enthalten sind. Auf den Kreisscheiben seien nun nachbarlich vertragliche holomorphe Funktionen f ; : I<; --+ @ , d.h. solche mit fi-l lKi n = fi[Ici fI I
5.1 Kreisltetten

47

eine holomorphe Funktion f o , von der wir nur wissen, dafi sie langs jcder Kreiskette in G analytisch fortsetzbar ist. Folgt daraus bereits, dafl fo von einer auf ganz G holomorphen Funktion f stammt, die dann naturlich durch analytische Fortsetzung langs Kreisketten in G aufzufinden ware? Folgt nicht! Analytische Fortsetzung von fo zur selben Endkreisscbeibe kann vom Verlauf der Kreiskette abhangen, wodurch die Fu~llttionf , die wir zu konKm = I L , struieren trachaber moglicherweise ten, mehrdeu7m # fn tig wurde. Das ist an und fur sich ein sehr interessantes Phanomen, aber je

dem, was Voraussetzung man mit der f o = fo Funktion f vorhatte, kann es Fig. 42. Analytische Fortsetzung kann vom "Weg" abhangen, den die Kreiskette nimmt auch eine Gefahr sein. In diesem Kapitel werden wir jedoch den sogenannten Monodromiesatz kennenlernen, der diese Gefahr in vielen Fallen bannt. Das folgende Lemma gibt ein oft nutzliches Kriterium fur die Existenz der analytischen Fortsetzung an. Lafit sich fo fortsetzen, so naturlich auch f; . Es gilt aber auch die Umkehrung: llach

Lemma: Sei ( K O , . . ,117,) eine Kreiskette und fo eine holomorphe Funktion auf K O .Lafit sich die Ableitung f; langs der Kreiskette analytisch fortsetzen, so auch fa selbst.

BEWEIS:Seien gi : Ki -+ C die Funktionen, die f; =: go analytisch langs der Kreiskette fortsetzen. Sei 0 5 k < n . Wir machen die (fur k = 0 trivialerweise zutreffende) Induktionsannahme, dafi sic11 fo durch Funktionen f o , . . . ,f k langs der Kette (KO,. . . ,I
48

Kapitel 5. Analytische Fortsetzung

Gk+l von gk+l. Das ist moglich, da ja gk+l durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Auf dem Durchschnitt K k n I(k+l verschwindet dann Gk+l - fk , also ist Gk+l - f k dort gleich einer Konstanten c , und wir brauchen auf I(k+lnur fkS1 := Gk+l - c zu setzen und haben die analytische Fortsetzung von fo induktiv um eine Kreisscheibe weitergefiihrt. 0 Bevor wir weitere allgemeine Aussagen iiber die analytische Fortsetzung machen, wollen wir ein konkretes Beispiel fur ihre mogliche Mehrdeutigkeit ansehen.

5.2

Der ltomplexe Logarithmus als Beispiel

Es sei G := C\O und ICo eine ganz in G gelegene offene Kreisscheibe um den Punkt zo = 1. Wir setzen go(z) := $ in KO und definieren fo : K O -+ C als die Stammfunktion von go mit f o ( l ) = 0 (Potenzreihen!). Dann ist f: langs jeder Kreiskette in G analytisch fortsetzbar, namlich durch die ja in ganz G holomorphe Funktion $, das Lemma ist also anwendbar. W k e durch das Kreisltettenverfahren aber eine holomorphe Funlttion f : G -+C wohldefiniert, so muflte das eine Stammfunktion von sein, aber eine solche Stammfunktion gibt es bekanntlich nicht, i d z = 2ai nicht verschwindet. weil j'z,=r Dieses Beispiel ist nun nicht irgendeines, sondern ein ganz grundlegendes, das oft indirekt im Spiele ist, wenn "mehrdeutige" holomorphe FunlttioY nen auftauchen. Wir + haben es hier namlich ( m + a)i mit dem lcomplexen ,( - ,Ii In z Logarithmus zu tun. I Aus dem MechanisFig. 43. Definition eines Logarithmuszweiges mus der Polarkoordinaten und dem Verhalten der reellen e-Funktion ist leicht zu verstehen, was die Exponentialfunktion eZ = ex(cos y i sin y) als Abbildung tut: sie bildet jeden 2+-breiten offenen Horizontalstreifen { z I a - + < y < a + } bijektiv auf die geschlitzte

+

+

5.2 Komplexer Logarithmus Ebene {re2p ( r > 0, a - T < p < definiert rezp

H

CY

-+ T

)

49

ab, und ersichtlich

lnr +icp

fur diese r und cp die Umkehrung. Dai3 diese Umkehrfunktion ebenfalls holomorph ist, brauchen wir nicht erst nachzurechnen, es folgt aus der Holomorphie der e-Funktion iri und dem Umkehrsatz - ~i der Differentialrechnung. Man nennt die des~Logarithmus ~ ~ einen zvreig ~ kFig. 44. Der ~ Hauptzweig i ~ des (komplexen) Logarithmus, fiir a = 0 den Hauptzweig. Notieren wir einen solchen Logarithmusf o ( z ) = In z zweig einmal (Hauptzweig) als ln z , so folgt &US elnz = z Fig. 45. Fortsetzung des Hauptzweiges, 1. Schritt und der ~ ~ und nun sehen wir auch, was tenregel wie im Reellen ln z = das alles mit dem obigen Beispiel zu tun hat. Unser fo ist die Einschrankung des Logarithmushauptzweiges, und f k = '"'Iik da sich die Gleichung efo(') = z nach dem Identitatssatz auch auf die durch analytische Fortsetzung entstehenden fi, iibertragt, ist jedes fk durch einen geeigneten Logarithmuszweig fn = l $ ~ ~ gegeben. Solange die Kreiskette in der Unegativ ge- Fig. 46. 2. Schritti Auf der oberen schlitzenn ~b~~~ bleibt, ist Halbebene gilt ln=ln , auf der unteren ln(r)=ln(z)+2?ri,wobei h ( z ) den zu naturlich der Hau~tzweig a=, gehiirigen Zweig auf der positiv selbst geeignet, und jeden- geschlitzten Ebene bezeichnet falls kommt man stets mit Zweigen auf der negativ oder positiv geschlitzten Ebene aus (d.h. mit CY E 271. Z oder a E 71. 27r Z ) ,weil I

i,

-

+

t

-

50

Kapitel 5. Analytische Fortsetzung

eine Kreisscheibe in C \O nicht die positive und die negative reelle Halbachse gleichzeitig treffen kann. Daruber ist im konkreten Falle leicht Buch zu fiihren, und wenn man weifl, in welchem Zweig man ist, dann kennt man ja f k ganz explifa zit und formelmiiflig. Fuhrt die Kreiskette z.B. einmal im mathematisch positiven Sinne um den Nullpunkt herum, bis sie bei IT, = ITo wieder ankommt, so ist aus fn = In IKn + 2ai dem Hauptzweig fo der soFig. 47. Ergebnis: Fortsetzung des Haupt- genannte erste Nebenzweig zweiges von oben uber den Schlitz hinweg f n = fo 2 ~ geworden. i fuhrt zum ersten Nebenzweig

+

5.3 Analytische Fortsetzung langs Wegen Sei y : [to,tl] + cC ein stetiger Weg. Wir sagen, eine Kreiskette ( K O , .. . , I<,,) verlaufe langs y , wenn es eine Unterteilung 5 rn = tl des Parameterintervalls gibt, so dafl to = TO 5 jeweils y ( r i ) der Mittelpunkt von K i ist und der Wegabschnitt n Ki verlauft. Die analytische Forty I [ri-1, ri] ganz in setzung langs Kreisketten langs Wegen hangt dann nur vom Weg und nicht von der Kreiskette ab, genauer: Lemma: Sei y : [to,tl] -+ C ein stetiger Weg, I< eine offene Kreisscl~eibeurn y(to) und I<'eine offene Kreisscheibe urn y(tl). Die holoinorphen Funktionen g , F : I<' + C rnogen aus f : I< -+ C durch analytische Fortsetzung langs Kreisketten langs y hervorgehen. Dann gilt g = F.

BEWEIS:Es seien (TO,.. . ,m) die Unterteilung und (fo,. . . ,fn) die Funktionen der ersten Fortsetzung. Fur t E [riWl,r;] bezeichne

5.3 Fortsetzung langs Wegen

51

die Potenzreihe um y(t), die man durch Potenzreihenentwicklung n I 0 , so dafl man fur It - t'l < E die Potenzreihe Ptl durch Potenzreihenenttvicklung von Pt an der Stelle y(tl) erhalt. Wir wollen diese Eigenschaft die lolcale Vertraglichkeit der Potenzreihenfamilie ( P t ) , nennen. - Die Anfangspotenzreihe Pt, stellt f , die Endpotenzreihe Pt, stellt g dar. Analog Ft fur die andere 5rtsetzung. Nun betrachten wir die Teilmenge M := { t I Pt = Pt) c [to, t l ] . Diese Menge ist nicht leer, weil sie to enthalt. Wegen der lokalen Vertraglichkeit ist sie relativ offen in [ t o , t l ] , aus demselben Grunde aber auch abgeschlossen, denn ist t ein Haufungspunkt von M , so hat Pt - Ft bei y(t) eine m-fache Nullstelle, die beiden Potenzreihen Pt und Pt stimmen also uberein. Da Intervalle zusammenhangend sind, 0 folgt nun M = [to,t l ] , insbesondere Pt, = Pt, .

,

-

Dieses Lemma berechtigt uns, von analytischer Fortsetzung l u n g s des W e g e s zu sprechen, namlich zu sagen, die holomorphe Funktion g bzw. deren Potenzreihe um y(tl) entstehe aus f durch analytische Fortsetzung langs y . Das in 5.1 als Lemrna bewiesene Fortsetzbarkeitskriterium gilt

dann auch fur Wege: Korollar: Sei y ein stetiger Weg und fo : K O-+ @ eine holomorphe Funktion auf einer Kreisscheibe unl den Anfangspunkt. LaBt sich die Ableitung f ; langs y analytisch fortsetzen, so auch f o selbst. 0

SJerlauft ein Weg y ganz in einem Gebiet G (oBdA # cC ), so gibt es stets auch Kreisketten langs y , die ganz in G liegen. Denn wegen der Kornpaktheit von [to, tl] ist auch y([to, tl]) kompakt und hat daher einen positiven Abstand r von der abgeschlossenen Menge @. \ G , und y ist gleichmaBig stetig, insbesondere gibt es ein E > 0 mit ly(t) - y(tl)l < r sofern nus It -tll < E , und deshalb erhalten wir eine Kreiskette langs y in G , wenn wir die Unterteilung des Intervalls feiner als E wahlen und den Kreisscheiben den Radius r erteilen.

52

Kapitel 5. Analytische Fortsetzung

Eine langs aller Kreisketten in G fortsetzbare Funktion ist also auch langs aller Wege in G fortsetzbar und umgekehrt sowieso. Nach dem Lemma in 5.1 ist das schon dann der Fall, wenn es fur die Ableitung zutrifft, wie zum Beispiel fiir jede Funktion die Exponentialfo : K O --+ C , die auf einer Kreisscheibe funktion umkehrt (sofern nur 0 $ G), weil ja dann f r ( z ) = $ gilt. Inwiefern die analytische Fortsetzung vom Verlauf des Weges abhangt, wird uns in diesem Kapitel noch beschaftigen. Einstweilen nehmen wir nur einen trivialen Aspekt der Frage vorweg, indem wir festhalten:

Notiz: Es sei [to,tl] 3 C stetig, und fl entstehe aus fo durch 'P analytische Fortsetzung langs y . 1st dann [so, s l ] --+ [to, t l ] stetig und monoton mit cp(s0) = to und cp(s1) = tl (bzw. cp(s0) = tl und cp(sl) = to), so entsteht f l auch aus fo (bzw. fo aus f i ) durch analytische Fortsetzung langs y o cp . 0 Man verwendet einfach dieselbe bzw. die umgekehrte Kreiskette, fur die man nur die Teilungspunlcte s o = a 0 5 . . . 5 a, = s l geeignet neu festzusetzen hat. - Diese einfache Beobachtung erlaubt uns oft, bei Betrachtung der analytischen Fortsetzung langs Wegen oBdA das Einheitsintervall [ O , l ] als Definitionsbereich des Weges zugrunde zu legen.

5.4 Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale Hat eine holomorphe Funktion f eine Stammfunlction F : G -+ C , und ist y : [to,tl] --+ G stuckweise C1, so ist das Kurvenintegral durch Jy f(z)dz = F(y(tl)) - F(y(t0)) gegeben. Zwar hat nicht jede holomorphe Funktion f auf G eine Stammfunktion, aber wir konnen stets eine Stammfunktion von f ]KOwahlen und langs y analytisch fortsetzen und so das Integral bestimmen:

Notiz: Ist f : G --+ C holomorph, y : [to,tl] + G stiickweise C1 und ist Fl durch analytische Fortsetzung langs y aus einer

53

5.4 Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale

Stammfunktion Fo von f /I
(1st namlich to = r o I: . . . 5 r,, = tl die Unterteilung einer Kreislcette langs y , langs der die Fortsetzung von Fo zu Fl geschehen kann, so gilt

weil die Beitrage an den inneren Teilu~lgspunkteneinander aufheben.) Die analytische Fortsetzung macht aber keinen Gebrauch von der stuckweisen Fl Differenzierbarkeit von y und bietet uns daher eine Moglichkeit, das Kurvenin- Fo tegral holomorpher I1ltegrandell auf den Fig. 48. Holornorphe Funktion f lings eines Fall Kurvel1 stetigen, aber nicht differenzierbaren, vielleicht nicht einmal 'rektifizierbaren' Weges

7

verallgemeinern, integrieren? Kein Problem: Lokale StammOhne als Ersatz fur funktion Fo von f langs zu FI fortsetzen, das Integral ist d a m F I( 2 1 )-Fo(zo) die stuckweise Differenzierbarkeit eine schwachere Bedingung wie "Rektifizierbarkeit" ("beschrankte Variation") einfuhren zu mussen: 211

Definition (Integration holomorpher Integranden langs stetiger Wege): 1st f : G -+ C holomorph und y : [to,tl] + G stetig, so setzt man

wenn Fl durch analytische Fortsetzung aus einer Stammfunlction Fo von f /I
54

Kapitel 5. Anal~tischeFortsetzung

-

Das Integral ist auf diese Weise wohldefiniert, denn sind FOund Fl ande_re Wahlen :on Fo und Fl in obiger Definition,so ist Fo(Ii'n Ii' = FoII{n K + wo (Stammfunktion) und FI1 I<' n I<' und Fl IIi" n k" + wo sind beides analytische Fortsetzungen von dieser Funktion langs y , also nach dem Eindeutigkeitslemma in 5.3 identisch, und somit ist Fl (y(t1)) - Fo(y(to)) = Fl(y(t1)) - Fo(y(to)).

5.5 Homotopie von Wegen Dieser Abschnitt ist ein kleiner Exkurs in die Toplogie, von dem wir einige Begriffe und Redewendungen mit nach Hause bringen wollen, die mit Wegen zu tun haben. Bisher haben wir "Weg" und "Kurve" synonym gebraucht, jetzt wollen wir die Bezeichnung "Weg" fiir Kurven mit dem Definitionsbereich [ O , 1 ] reservieren. Genauer:

Sprechweise ab jetzt: Sei X ein topologischer Raum (zum Beispiel ein Gebiet G in C ). Unter einem W e g in X verstehen wir 0 eine stetige Abbildung a : [O,1] + X . Definition (Zusammensetzung von Wegen, inverser Weg): Sei X ein topologischer Raum, a und @ Wege in X und a(1) = P(0). Dann versteht 41) = P(0) man unter der Z u s a m m e n s e t z u n g a@den Weg a@(t)=

{

o&

a(2t) @(at-1) $ < t < l . 4 0 ) Fig. 49. Zusammensetzung

,a ( l )

Unter dem zu a i n v e r s e n Weg versteht man den durch a-(t) := a ( l - t)

40)

Fig. 50. Inverser Weg

gegebenen Weg a- in X

5.5 Homotopie von Wegen

55

Einen Weg a mit a(0) = a(1) nennt man geschlossen. Sind a und ,B geschlossene Wege mit gleichem Anfangspunkt, dann sind naturlich auch a,B und a- geschlossen.

Fig. 51. Geschlossener Weg

Fig. 52. Zusammensetzung geschlossener Wege

crp

Definition (Homotopie von Wegen): Sei X ein topologischer Raum. Zwei Wege a,,B mit gemeinsamem Anfangspunkt xo und gemeinsamem Endpunkt X I in X heiBen homotop, geschrieben a E ,B, wenn es zwischen ihnen eine Homotopie gibt, d.h. eine stetige Abbildung h : [O, 11 x [O, 11 + X , (t, r ) H h(t, r ) mit der Eigenschaft, daB fur die einzelnen Wege hT : [O, 11 + X , t H h(t, r ) gilt: ho = a und hl = ,B, und alle h r haben den 0 Anfangspunkt so und den Endpunkt X I .

kl

=r

Anschaulich sol1 man sich vorstellen, daB homotope Wege bei , "I ( festgehaltenen Endpunkten durch "Deformation" auseinh(O, T ) ander hervorgehen. - Wie iiblich bei eiFig. 53. Eine Homotopie h zwischen und p nem neu eingefuhrten Begriff notieren wir seine einfachsten Eigenschaften: T

A

Lemma: Durch E ist eine ~~uivalenzrelation auf der Menge aller Wege in X definiert.

BEWEIS:Die Reflexivitat a 1: a ist klar (setze einfach hT := a fiir alle T ), die Symmetric a 1: p ,B 1: a auch: zu gegebener Homotopie a ci p setze hr := h l - ~ .zur T~ansztivztat:

-

h

56

Kapitel 5. Analytische Fortsetzunn

Sind a E ,6' E y gegebene Homotopien, so definieren wir h

k

Beachte, daB

x

: [O, 11 x [ O , l ] + X dann wirklich stetig ist.

Fig. 54. Zur Transitivitat der Homotopierelation

Mit [a] bezeichnen wir die ~~uivalenzklasse von a bezuglich E , die sogena.nnte Homotopielclasse von a . Die Homotopieklassenbildung ist mit dem Zusammensetzen von Wegen vertraglich. Endet namlich a am Anfangspunkt von P und ist a ? a' und

/3

E PI,

k

dann erhalten wir durch

?IT

:= h r k r (Stetigkeit!) eine

Homotopie zwischen a/3 und a1/3'.Wir konnen also nicht nur einzelne Wege, sondern auch Homotopieklassen von Wegen zusammensetzen, wofur wir die Notation [a][P]:= [cup] einfuhren wollen.

Fig. 5 5 . Zusammensetzung von Homotopieklassen

Eine weitere niitzliche Bemerkung besagt, daf3 die Homotopieklasse invariant gegenuber Umparametrisierung in dem folgenden Sinne ist:

5.5 Homotopie von Wegen

57

Notiz: Fiir ein stetiges cp : [0,1] -+ [O, 11 mit cp(0) = 0 und cp(1) = 1 gilt stets a 2 a o cp, man erhalt eine Homotopie ganz einfach durch h(t, T ) := a((1 - r ) t + rcp(t)). 0 Korollar 1: Sind a , P , y in dieser Reihenfolge zusammensetzbar, dann gilt (a/?)y 2 a(&), die Zusammensetzung von Homotopieklassen ist also assoziativ. 0 Korollar 2: Bezeichnet X I auch den konstanten Weg bei X I , so 0 gilt ax1 2 a, d.h. [a][xl]= [a]. Korollar 3: Es gilt stets aa- z xo, also [a][&-] = [xo].

0

Das sieht schon fast so aus, als wollten die Homotopieklassen von Wegen in X eine Gruppe bilden, aber es lassen sich ja nicht je zwei zusammensetzen, denn dazu muB der Endpunkt des ersten der Anfangspunkt des zweiten Weges sein. Wahlen wir jedoch einen festen Punkt xo in X und betrachten nus die bei xo beginnenden und endenden geschlossenen Wege, die sogenannten Schleifen bei xo, so bilden deren Homotopieklassen in der Tat eine Gruppe:

Definierendes Lemma (Fundamentalgruppe): Sei X ein topologischer Raum, xo E X . Durch die Zusammensetzung von Homotopieklassen als Verkniipfung wird die Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege in X mit dem Anfangspunkt xo zu einer Gruppe T I (X, xo) , der sogenannten Fundamentalgruppe von X mit dem Basispunkt xo. 0

58

Kapitel 5. Analvtische F o r t s e t z u n ~

Ein topologischer Raum hat also im allgemeinen und streng genommen nicht nur eine, sondern sehr viele Fundamentalgruppen. 1st jedoch y ein Weg in X von xo nach 2 1 , so ist durch y* : m ( X , x o ) [a1

-

'I

.irl(X,~l) [y-I[aI[yI,

'

0

Fig. 59. Zur Illustration von y-my

wie man sich leicht uberzeugt, ein Gruppenisomorphismus gegeben. In einem wegweise zusammenhangenden Raum, zum Beispiel einem Gebiet der Zahlenebene, sind also alle Fundamentalgruppen isomorph. Das berechtigt uns zwar immer noch nicht, einfach von der Fundamentalgruppe eines wegzusammenhangenden Raumes zu sprechen - was sollten denn die Gruppenelemente sein - , aber solange es nur um isomorphieinvariante Eigenschaften der Fundamentalgruppe geht, w k e diese laxe Sprechweise schon akzeptabel.

Definition: Ein geschlossener Weg a heiBt nullhomotop, wenn [a] = 1, d.h. a z xo ist. Ein wegweise zusammenhangender topologischer Raunl heiBt einfach zusammenhangend, wenn alle geschlossenen Wege nullhomotop sind, a d.h. wenn fiir einen (und damit fur jeden) Basispunkt xo E X die Fundamentalgruppe 7r1 (X, xo) trivial ist. Jedes sternformige Gebiet in C ist zum Beispiel einfach zusammenhanFig. 60. Nullhomotopie gend, denn ist G sternformig beziigsternformigen einer Scllleife Gebiet in einem G lich zo, so ist jeder geschlossene Weg (hier in der geschlitzten a mit Anfangspunkt zo nullhomotop Ebene) durch h ( t ,T ) = (1 - ~ ) a ( t ) rzo. Mit dieser letzten Bemerkung sind wir auch aus der Topologie wieder in die Funktionentheorie heimgekehrt, wo wir nun den sogenannten Monodromiesatz beweisen werden, der unter bestimmten Voraussetzungen die Wegunabghangigkeit der analytischen Fortsetzung sichert.

+

5.6 Der Monodromiesatz

59

5.6 Der Monodromiesatz Monodromiesatz (Homotopieinvarianz der analytischen Fortsetzung): Es sei h eine Homotopie zwischen zwei Wegen a und 6 in C , es sei ferner IT eine offene Kreisscheibe um den gemeinsamen Anfangspunkt und f o : IT + C langs eines jeden hT analytisch fortsetzbar. Dann gilt: Entstehen f l , f; : IT' -+C a_us fo durch analytische Fortsetzung langs a bzw. 6 , so ist f l = fi . BEWEIS:Es entstehe f i r

aus fo durch analytische Fortsetzung langs hT . Um nicht die moglicherweise verschiedenen Definitions- / ~ @ . bereiche f ~ ~ der flT benennen zu mussen, betrachten wir die Taylorreihe T ( r ) von f i r an der Stelle a ( 1 ) . Zu zeigen ist T ( 0 ) = T ( 1 ) . K Dazu wiederum genugt es zu zeigen, dafi T lokal konstant ist, Fig. 61. Analytische Fortsetd.h. dafi zu jedem ein 6 > 0 zung langs hr fiihre zu flT . Dann ist f l o = f l l (Monodromit T ( 7 ) = T ( T ~ ) mit mle) IT - TOI < S gefunden werden kann. Sei also durch die Unterteilung 0 = A. 5 . . . 5 A, = 1 und die Radien ri > 0 , i = 0 , . . . , n eine Kreiskette langs hTo beschrieben, langs derer sich fo durch fo = g o , g l , . . . , g n V l , g , = flTo fortsetzen lafit. Die Beweisidee ist nun naturlich diese: Fur kleine 6 ist hT so nahe an hTo, dafi man nur die Radien etwas zu verkleinern braucht, urn rnit derselben Unterteilung eine Kreiskette langs hT zu erhalten, deren Kreisscheiben K , ( r ) jeweils Kreis der ro-Kette in ITi(r0) enthalten sind und l durch g i ( ~ ):= g i ( ~ o )ITZ(r) dann naturlich eine Fortsetzung langs Izr mit dersel- Fig. 62. Zu der Idee, die g o , . . , g , ben Endpotenzreihe T ( r ) = der Fortsetzung lings hro auch zur T ( T o ) liefern. ~ ~ ~ ist ~ Fortsetzung l i langs ~ h.r ~ zu hbenutzen (Y

der Beweis damit eigentlich schon fertig. Urn aber doch die Details

60

Kapitel 5. Analytische Fortsetzung

der Idee auszufuhren, beginnen wir mit einer kleinen Vorbemerkung uber Kreise. Sei II eine offene Kreisscheibe um einen Punkt p , und fur q E K bezeichne II(q) die groBte offene Kreisscheibe in Ii' um q. Behauptung: 1st A c II eine kompakte Teilmenge, dann gibt es ein E > 0, so daB K(q) fiir alle q mit Ip - ql < E die EUmgebung { z 1 32' E A mit 12 - 2'1 < E } =: U, von A enthalt.

IC(d

Fie. 63. Zur Notati& ~ ( q )

Beweis: Als kompakte Teilmenge der offenen Kreisscheibe hat A zum Rand I;' einen Abstand a > 0. Setze E := f . Dann folgt die Behauptung aus der Dreiecksungleichung. Ende der Vorbemerkung uber Kreise. Nun wenden wir die Bemerkung auf II := IIi(ro) und A := hr,,([Xi-l,Xi+l]) fur i = 0 , . . . , n an, wobei := 0 und XnS1 := 1 gesetzt ist. Sei ~i > 0 jeweils wie in der obigen Behauptung gewahlt, setze E := min ~ i . 2

Wahle nun S > 0 so, da8 IhT(t) - hTo(t)l < E fur alle (t, r ) mit IT - roTg < 6. Warum ist das moglich? Wegen der Stetigkeit von h gibt es zu jedem t ein St > 0 , so da8 I hT(tl) - hro(t)l < E fur alle (t', T) mit It' - tl < St, IT - ~ 0 < 1 St. Da [O, 1 1 x TO kompakt ist, wird es bereits durch endlich viele {(t, T ) I It -tjl < Stj , IT < Stj } , j = 1,.. . ,m uberdeckt. Dann hat aber 6 := minj Stj die h gewunschte Eigenschaft .

-

G

Fur IT - TO1 < S enthalt nun die gro8te noch in I ~ ~ ( T o ) enthaltene Kreisscheibe mit Fig. 64. Zur Existenz von 6 : typidem Mittelpunkt hT(Xi), also sches Kompaktheitsargument IIi(r) := IIi(~o)(hr(Xi))in obiger Notation, den ganzen Wegabschnitt hT([Xi-1, Xi+1]), was die Wahl von S ja auch gerade bewirken sollte. Wir haben damit die gesuchte Kreiskette langs h r , deren Kreisscheiben in denen der gegebenen Kette langs hTo enthalten sind, gefunden und den 0 Monodromiesatz damit bewiesen. TO

1%

5.6 Der Monodrorniesatz

61

Der Monodromiesatz zeigt insbesondere, dal3 in einfach zusammenhangenden Gebieten die Gefahr der Mehrdeutigkeit bei der Konstruktion holomorpher Funktionen durch analytische Fortsetzung nicht besteht, denn wurde analytische Fortsetzung von einem fo langs zweier y e g e a und /? von zo nach zl zu verschiedenen Ergebnissen f l ,f l : I<' + (C fuhren, so hatten wir ein Beispiel nichttrivialer analytischer Fortsetzung (von fi zu ) liings der nullhomotopen Schleife a-/? an zl , im Widerspruch zum Monodromiesatz:

A

Korollar 1: 1st G einfach zusammenhangend, K c G eine offene Kreisscheibe und lafit sich die holomorphe Funktion fo : I< + cC langs jeden Weges in G analytisch fortsetzen (2.B. weil sie Stammfunktion einer holomorphen Funktion auf G ist), dann ist fo Einschrankung genau einer holomorphen Funktion f auf G . 0 Man nennt f dann den Zweig von fo auf G . Beim Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes im Kapitel 10 werden wir dieses Korollar zum Beiin einfach zus. spiel anwenden.

Fig. 65. f o G uneingeschrankt fortsetzbar +-fo=flK fiir ein holomorphes f:G-C , Wichtige Methode der Funktionenkonstruktion.

AUSdem Monodromiesatz folgt nun nach 5.4 auch die Homotopieinvarianz des Integrals:

Korollar 2: 1st f : G -+ (C holomorph und sind a G homotope Wege, so gilt f(z)dz = Jp f(z)dz.

E

/? zwei in 0

Nach der Schlul3notiz in 5.3 gilt das naturlich entsprechend auch fur Kurven mit einem anderen Definitionsintervall als gerade [O, 11. Wir sehen jetzt auch, daB das Integral invariant gegenuber stetigen Parametertransformationen ist, die nicht notwendig monof(z)dz, gilt bereits, wenn q : [so,s ~ -+] ton sind: J'f(z)dz = J 7o'P [to,t l ] stetig ist und die Randpunkte richtig abbildet, q(si)= t i , denn fur die a f i n e Parametertransformation po : [so, sl]-+ [to, t l ]

62

Kapitel 5 . Analytische Fortsetzung

+

ist das richtig, und p r := (1 - r ) y o r y stiftet eine Homotopie zwischen y o po und y o y . Der Monodromiesatz zeigt schliefllich auch, dafl der Cauchysche Integralsatz nicht nur fur differenzierbare, sondern auch fur blofl stetige Abbildungen eines Rechtecks richtig ist, weil die Randumlaufskurve naturlich nullhomotop in G ist. Im nachsten Kapitel wollen wir uns mit einer noch allgemeineren Version des Cauchyschen Integralsatzes befassen.

AUFGABE 1: Sei y : [to,tl] + C ein stetiger Weg, K eine offene Kreisscheibe urn y(to) und fa : K -+ @ holomorph. Man definiere r : [to, t l ] + [0, co] wie folgt: 1st fo langs y 1 [to,t] analytisch fortsetzbar, so bezeichne r(t) den Konvergenzradius der Taylorreihe einer durch die Fortsetzung entstehenden Funktion an der Stelle y(t), sonst setze man r(t) = 0. Man zeige, dafl r(t) entweder fur jedes oder fur kein t unendlich ist und dafl in letzterem Falle r : [to,tl] + [0, co) stetig ist. AUFGABE 2: Sei X ein einfach zusammenhangender topologischer Raum und xo, X I E X . Man zeige, dafl alle Wege von xo nach xl homotop zueinander sind. AUFGABE 3: Sei G c C \ O ein einfach zusammenhangendes Gebiet. Man zeige, dafl es eine holomorphe Funktion f : G -+ C mit ef(') = r fiiralle z E G gibtunddafldann { f + 2 & k I k E Z) die Menge aller holomorphen Funktionen auf G mit dieser Eigenschaft ist ("Zweige des Logarithmus" auf G). AUFGABE 4: Man formuliere und beweise eine analoge Aussage iiber die holomorphen Funktionen f rnit ef(") = g(z) fur eine gegebene nirgends verschwindende holomorphe Funktion g auf G .

5.8 Hinweise zu den ubungsaufgaben

63

5.8 Hinweise zu den ubungsaufgaben ZU AUFGABE1: Fur 0 < r(to) < m geht es zum Beispiel um folgende geometrische Situation: Urn r(t) Man betrachtet um $to) einen Kreis I< mit einem Radius Um ?,(to) r(to), fiir t nahe bei to den jeweils groBten Kreis um y(t), der -,(,) -dl0) in I< liegt (dessen Radius also r ( t o )- ly(t) - y(to)) ist) und den kleinsten, der I< umfafjt (Radius r(t0) ly(t) - y(t0)l). Was hat bedingung das mit r(t)zuund tun?der StetigkeitsFig. 66. Zu Aufgabe 1

+

a

ZU AUFGABE2: Man kann natiirlich die Homotopie h(t, T ) , welche die Schleife a@- in den konstanten Weg xo deformiert, zum Auffinden einer Homotopie zwischen ai und ,B verwenden. Aber eben diese Art von Arbeit nehmen uns die ff P Korollare auf Seite 57 ab. Statt der geometrischen xo Betrachtung genugt nun gesucht gegeben eine einfache Rechnung mit Fig. 67. Zu Aufgabe 2 Homotopieklassen. ZU AUFGABE3: Das ist in der Hauptsache eine Anwendung des Korollars 1in Abschnitt 5.6. Die Konstruktion ist wichtig, sie wird spater auch noch im Text ausgefuhrt, wenn auch nicht mit allen bei der Liisung einer ubungsaufgabe geforderten Details. ZU AUFGABE4: Beachte, dafj g(G) nicht in einer einfach zusammenhangenden Teilmenge von C \ 0 enthalten zu sein braucht und man deshalb nicht einfach das Ergebnis der vorangegangenen Aufgabe anwenden kann, sondern die Herleitung imitieren muB.

6

Die Umlaufszahlversion des Cauchyschen Integralsatzes

6.1 Die Frage nach einer allgemeinen Fassung des Cauchyschen Integralsatzes Die Antwort hangt davon ab, wie man die Frage stellt. Fur unsere Wahl der Fragestellung wollen wir nicht nur Integrale uber einzelne geschlossene Kurven oder oBdA Wege, sondern ein wenig allgemeiner Integrale uber sogenannte Zylceln betrachten. Unter einem Zylcel in einem Gebiet G c C verstehen wir eine formale Linearkombination y = X I yl . . . Anyn von geschlossenen Wegen yi in G mit ganzzahligen Koeffizienten X i E Z . 1st nun f : G + C holomorph, so schreiben wir

+ +

Wem der Ausdruclc "formale Linearkombination" nicht formal genug ist, der denke sich y als Element der von der Menge R aller geschlossenen Wege in C erzeugten freien abelschen Gruppe Z(R), das ist die Gruppe der Abbildungen X : R -+ Z , die fur fast alle Elemente von R den Wert 0 haben, mit der naheliegenden Addition. Eine Veranlassung, nicht nur einzelne geschlossene Wege zu betrachten, ergibt sich daraus, daB in W Anwendungsfallen nicht selten uber den Rand eines kompakten Teilbereichs von G integriert werden soll, und solche Rander bestehen oft aus mehreren Komponenten, beim Kreis- Fig.68. Y : = Y ~ - Y ~ - Y ~ - Y ~ 'Randzykel' "On ring zum Beispiel aus zweien. Dem

6.2 Die Umlaufszald

65

mathematischen Inhalte nach stellen die Integrale uber Zykeln aber keine wesentliche Verallgemeinerung dar: die Koeffizienten X i konnten wir durch \ X i 1 -faches Vorwarts- bzw. Ruckwartsdurchlaufen von yi zu Eins normieren und die n Einzelwege durch Verbindungen, deren Beitrage zum Intgeral sich per Saldo wegheben, zu einer einzigen geschlossenen Kurve zusammenfassen. Zykeln sind nus eleganter. Die Frage nach einem allgemeinen Cauchyschen Integralsatz prazisieren wir nun so:

Frage: Sei G ein Gebiet in C . Fur welche Zykeln y in G gilt

fur alle holomorphen f : G

4

C?

0

Der Monodromiesatz gibt uns eine unseren bisherigen Cauchyschen Integralsatz einschliefiende Teilantwort: 1st y eine in G nullf (z)dz = 0 fur alle holohomotope geschlossene Kurve, so gilt morphen f : G 4 C . Fur die volle Antwort brauchen wir jedoch den Begriff der Umlaufszahl.

ST

6.2

Die Umlaufszahl

Die Umlaufszahl uT(a) E Z gibt an, wie oft eine geschlossene Kurve odes ein Zyltel y in C \{a) den Punkt a im mathematisch positiven Sinne "umlauft". Betrachten wir oBdA den Fall a = 0 . Um die genaue Definition von uy(0) anzugeben, fuhren wir zunachst eine Notation fur den Drehwinkel -n < 9 < n ein, der einen gegebenen Halbstrahl R+ZO in einen gegebenen anderen, dem ersten nicht diametral entgegengesetzten Halbstrahl IRSzl iiberfiihrt: Sind zo, zl E C \ 0 und

Kapitel 6. Umlaufszahl

66

so gibt es, da durch 6 t+ eis eine bijektive Abbildung zwischen dem offenen Interval1 ( - T , T ) und der bei -1 punktierten Eingegeben ist, genau einen Winkel 6 =: k t ; heitskreislinie S1\{-1) zwischen -T und T mit , i ~ "0

IzoI

- '1 -

1211 '

1st nun -y : [ t O , t l ]+ @ \ 0 eine beliebige stetige Kurve, so nennen wir eine Unterteilung

to

=

To

' ' '

T n = t 1 fein Fig. 69. Drehwinkel B>o bzw. O
<

d:j:!) fur q - 1 t 5 t 1 5 Ti stets erklart ist. Eine solche Unterteilung konnen wir stets finden, und dann schreiben wir

Da sich d y bei Verfeinerung der Unterteilung nicht andert, ist es iiberhaupt unabhangig von der Unterteilung wohldefiniert, weil zwei Unterteilungen stets eine gemeinsame Verfeinerung haben. Fig. 70. Wegabschnitt ~ / [ r ,r,] ; - ~ in einer Halbebene

Lemma und Definition: 1st y : [ t o , t l ]--t @ \ 0 eine geschlossene stetige Kurve, so ist dy ein ganzzahliges Vielfaches von 2 ~ :

Die Zahl v,(O) E Z hei8t die Umlaufszahl von y urn den Punkt 0 . Ist allgemeiner y eine stetige Kurve in C \a und bedie urn -a verschobene Kurve, zeichnet /? : [ t o , t l ]+ C\0 p ( t ) := y ( t ) - a , so hei8t u y ( a ) := v p ( 0 ) die Umlaufszahl von y um a . Fur einen Zykel y = X l yl . . . A?, in @ \a schlieBlich definieren wir v , ( a ) := X l v,, ( a ) . . . X,vYn ( a ).

+ + + +

6.2 Die Umlaufszahl

BEWEISDER

GANZZAHLIGKEIT: Fur Qi := d

67

~ j ~ist ~also l j

und weil y geschlossen ist, folgt daraus d y = C Bi = 27rk fur ein k c Z. 0 Not iz: Die Umlaufszahl is t in folgendem Sinne homotopieinvariant: 1st h : [O, 11 x [to,tl] 4 C \ a stetig und jedes einzelne h, : [to,tl] -+ (C \ a geschlossen, so hangt vh,(a) stetig und des0 halb wegen der Ganzzahligkeit gar nicht von r ab. Daraus folgt insbesondere, dafl vy,,(a) = vy(a) fur stetiges p : [so,sl]+ [to,tl] mit p(si) = ti gilt. Durchlauft man y ruckwarts, so kehrt die Umlaufszahl ihr Vorzeichen um, und beim Zusammensetzen geschlossener Wege addieren sich die Umlaufszahlen. Nutzlich ist auch die Bemerkung, daf3 die Umlaufszahl, bei fester Kurve y als Funktion

@ -2

vy : C \Bild(y)

-

Z

Fig. 71. Umlaufszahl im jeweiligen Bereich konstant

des zu umlaufenden Punktes a betrachtet, stetig und daher lokal konstant ist. Die Umlaufszahl andert sich bei festem y also nus dann, wenn der variabel gedachte Punkt a die Kurve uberquert. Man uberlegt sich leicht, dafl dabei die folgende Verkehrsregel gilt: Hat bei der Uberpuerung der P u n k t a Vorfahrt ('rechts vor links ') vor der Umlaufszahl k + 1 Kurve, so waclwt die Umlaufszahl urn 1, hat dagegen die Kurve Vorfahrt, so fallt die Umlaufszahl urn 1. Umlaufszahl k Da die Umlaufszahl 'weit drauBen', Fig, 72, Die Vorfahrtsregel fur groBe a , Null sein muB, ist die Umlaufszahl in konlcreten Beispielen mit dieser Regel meist a m schnellsten zu bestimmen. Man mu6 sie aber mit Verstand und gutem Willen anwenden, wir haben das "uberquerenn nicht f6rmlich

Kapitel 6. Umlaufszahl

68

definiert und aufierdem stillschweigend vorausgesetzt, daB die Kurve dort regular und einfach durchlaufen ist. Wir wollen uns deshalb auch bei Beweisen auf die Regel nicht berufen.

Fig. 73

Fig. 74

Fig. 75

Die Umlaufszahl hat nun aber eine Interpretation als Kurvenintegral:

Lemma: Fur geschlossene Kurven und folglich fur Zykeln gilt

BEWEIS:OBdA a = 0. Wir bestimmen das Integral durch analytische Fortsetzung einer lokalen Stammfunktion Fo des Integranden $ langs einer Kreiskette in C \O lings y , wie in 5.4 beschrieben. Die Unterteilung ist dann gleichzeitig auch fein genug zur Winkelmessung, die einzelnen Funktionen der Fortsetzung sind durch Logarithmuszweige reip H In r + i p auf Halbebenen gegeben, und deshalb ist jeweils

und da die Kurve geschlossen ist, ergibt sich durch Aufsummieren

6.3 Die Umlaufszal~lversion

69

Wir wollen sagen, daB ein Punkt a von einem Zykel y in C \a umlaufen wird oder daB y den Punkt umlauft, wenn vy(a) # 0 ist. Ein Zykel y in einem Gebiet G , der fur alle dort holomorphen Funktionen Jy f ( z ) d z = 0 erfullt, darf nach dem Lemma also keinen Punkt auBerhalb von G umlaufen, denn fur a E C \ G ist z - a holomorph auf G . Im niichsten Abschnitt werden wir sehen, daB diese Bedingung in der Tat auch hinreichend ist.

6.3 Die Umlaufszahlversion des Cauchyschen Integralsatzes Cauchyscher Integralsatz (Umlaufszahlversion): Sei G ein Gebiet in C . Ein Zykel y in G erfullt genau dann

fur alle holomorphen Funktionen f auf G , wenn y keinen Punkt des Komplements von G umlauft. BEWEIS:Erfulle also y die Umlaufbedingung und sei f holomorph. Wir fuhren den Beweis von Jy fdz = 0 in vier Schritten, indem wir der Reihe nach zeigen: 0

0 0 0

Statt fur Zykeln, genugt es die Behauptung fur geschlossene Wege zu beweisen. Der Weg darf als Kantenweg (s.u.) angenommen werden, ja sogar als Kantenweg, der gar keinen Punkt umlauft. Geschlossene Kantenwege, die keinen Punkt umlaufen, durchlaufen jede ihrer Kanten in beiden Richtungen gleich oft.

+ +

1. SCHRITT:Sei also y = Xlyl . . . Anyn. Wahle zo E G und Wege cui in G von zo zu den Anfangspunkten yi(0). Setzen wir dann X A, Q ~ , Y I ~ , Q Y ,,Q' n. r' Y n r a n

in dieser Reihenfolge sukzessive zu einem geschlossenen Weg zusammen (wobei die Notation yXi als die [Ail-fache sultzessive

70

Kapitel 6. Umlaufszahl

Zusammensetzung von yi bzw. y i mit sich selbst zu lesen ist), so erhalten wir einen geschlossenen Weg 7 in G , der ebenfalls keinen Punkt von C \ G umlauft und J=,f (z)dz = f(z)dz fur jedes f erfullt. Also genugt es, geschlossene Wege zu betrachten.

yfj,py3

2. SCHRITT:Zu zo 6 C und E > 0 be20 trachte das Gitter der achsenparallelen Geraden, die von zo um ein ganzzahFig. 76. Zusammenfasliges Vielfaches von E entfernt sind. sung des Zykels zu einer Sei nun y ein geschlossener Weg in einzigen Schleife G mit Anfangspunkt zo .Wir wahlen zunachst ein E > 0 SO klein, daB jeder Punkt der (kompakten!) Menge y([0, 11) von C \G mindestens den Abstand 3e hat und ein n so groB, daB ly(t) - y(t')l < E sofern nur It - t'l < $ ist. Dann ist Y erstens das Gitter sehr fein, namlich so fein, daB fur jedes Block Bi t nicht nur das abgeschlossene Gitterquadrat, zu dem y(t) gehort, sondern auch noch die Fig. 77. acht angrenzenden Quadrate ganz in G liegen, und zweitens ist die aquidistante Unterteilung von [0,1] in n Teilintervalle so fein, daB jeweils yI[ri-I, T ; + ~ ] in einem in G gelegenen Block Bi aus 3 x 3 Gitterquadraten verlauft. - Ein stetiger -----Weg K in unserem E-Gitter sol1 ein E-Kantenweg heiBen, wenn es eine Unterteilung 0 = so < ... < s, = 1 gibt, ~ l [ % - l~, i + l ] so daB K ~ [ S ~ -sj] ~ , eine affin parametrisierte Strecke zwischen identischen oder benachbarten Eckpunkten ist. Fur Hoi = 0 , . . . , n bezeichne nun ei einen Fig. 78. Gradlinige findet jeweils dem Punkt ~ ( q nachstgelegenen ) Git- in B ; ,also jedenfalls tereckpunkt und 7 einen Kantenweg in in

I_/

6.3 Die Un~laufszal~lversion

71

unserem Gitter, so daf3 immer 71[T;-~,T;] die Punkte e;-1 und e; in B; verbindet. Dann sind y und y in G homotop, namlich durch gradlinige Homotopie, h, := (1 - r ) y ry, also umlauft auch 7 keinen Punkt auBerhalb G und es gilt f(z)dz = Jy f (z)dz. Der zweite Schritt ist abgeschlossen.

+

3. SCHRITT:Sei also y nun als geschlossener Kantenweg in G vorausgesetzt. Seien a l , . . . ,a, diejenigen Mittelpunkte von Quadraten des Gitters, die von y umlaufen werden, bl,.. . , b, die zugehorigen linken unteren Ecken. Diese Quadrate liegen ganz in G , weil auch die Randpunkte entweder auf y liegen odes umlaufen werden. Wahle nun fur k = 1 , . . . ,r Kantenwege a k in G von zo zu b k und bezeichne mit pk einen Kantenweg auf dem Rand des Quadrates um ak , der den Mittelpunkt -vy(ak) ma1 von bk aus umlauft. Die Wege a k in G zu wahlen ist moglich: Liegt bk auf y , so kann man auf y entlanggehen, wenn nicht, so wird es umlaufen, deshalb werden auch alle Punkte umlaufen (und gehoren deshalb zu G), die auf einem Kantenweg von br, aus liegen, solange dieser y nicht trifft, also gibt es dann einen Kantenweg in G von bk zu einem (Eck-) Punkt von y in G . Setzen wir nun ak, pk und cvk in dieser Reihenfolge zu einem Kantenweg Pk zusammen, so ist dieser nullhomotop in G , umlauft also we20 der Punkte des Komplements Fig. 79 noch tragt er zum Integral bei. Die Zusammensetzung von y mit PI, . . . ,P, zu einem geschlossenen Kantenweg 7 erfullt aber Jy f (z)dz = f (z)dz und umlauft keinen einzigen Punkt von C . Ende des dritten Schrittes.

; ,,

4. SCHRITT:Wir brauchen jetzt nus noch zu zeigen, daB ein geschlossener Kantenweg y , der keinen Punkt umlauft, jede seiner Kanten in beiden Richtungen gleich oft durchlauft, woraus dann natiirlich J f dz = 0 folgt. Sei also eine oBdA senkrechte Kante; sie werde von der Kurve a ma1 von unten nach oben und b ma1 von oben nach unten durchlaufen. Zu zeigen ist a = b. Wir andern y zu einem Kantenweg 7 , indem wir jede Durchlaufung von k nach oben durch eine Umleitung uber die drei Kanten des rechten und analog jede Durch-

2

Kapitel 6. Umlaufszahl

72

laufung von k nach unten durch eine Umleitung uber die drei Kanten des linken angrenzenden Quadrats ersetzen. Diese Umleitungen bewirken zweierlei. Erstens gilt fur die Mittelpunkte zl und z2 des linken bzw. rechten Quadrats 9 jetzt u = , ( z ~= ) U,(Z~) b=b u=,(z2) = u,(zz) + a = a (u,(z;) = 0 , weil y keinen Punkt umlauft!),

$

@-0

+

und zweitens durchlauft 7 die Kante k gar nicht mehr. Da aber die Abbildung v=, : C \ Bild(7) + Z lokal konstant ist, muB u=,(zl) = uy(z2) gelten, 0 also a = Z, wie behauptet, und der Satz ist bewiesen. Fig. *O. Umleitungen

6.4

Cauchyformel und Residuensatz

Cauchysche Integralformel (Umlaufszahlversion): Sei G ein Gebiet in C und y ein Zykel in G \ a , der keinen Punkt des Komplements von G umlauft. Dann gilt

fiir jede holomorphe Funktion f : G --+ C .

+

BEWEIS:Fur genugend kleines E > 0 setze P ( t ) := a €eZTit. Aus der Cauchyschen Integralformel fiir die Kreisscheibe (Satz 1 in 3.1) wissen wir schon

Dasselbe Integral statt uber P uber den Zykel y-u,(a)P erstreckt ergibt aber Null, weil dieser Zykel weder a noch einen Punkt des Komplements von G umlauft und deshalb die soeben bewiesene

6.4 Cauchyformel und Residuensatz

73

Umlaufszahlversion des Cauchyschen Satzes anwendbar ist. Die Behauptung folgt. 0 Ganz analog gelangt man zum sogenannten Residuensatz:

Definition: Hat die holomorphe Funktion f bei zo eine isolierte Singularitat, so heifit der fur genugend kleine E > 0 wohldefinierte Wert f ( z ) d z =: Res,, f 2ni

' J

das Residuum von f an der Stelle zo . Entwickelt man f um zo in eine Laurentreihe

so liefert nur der Summand fur n = -1 einen Beitrag zu diesem Wert, weil die anderen Summanden Stammfunktionen in cC \zo besitzen, und dieser Beitrag ist c-1. Das Residuum ist also auch gleich dem (- 1)-ten Koeffizienten c-1 der Laurententwicklung von f in einer punktierten Kreisscheibe um zo , wie natiirlich auch aus der Cauchyformel fur die Laurentkoeffizienten (Lemma in 4.3) ersichtlich ist.

Residuensatz: Es sei f eine bis auf isolierte Singularitaten in einem Gebiet G holomorphe Funktion und S c G die Menge dieser Singularitaten. Sei ferner y ein Zykel in G , der S nicht trifft und keinen Punkt auBerhalb G umlauft. Dann umlauft y nur endlich viele Punkte aus S und es gilt die Residuenformel

BEWEIS:Angenommen, y umliefe unendlich viele Punkte von S . Da die Menge der uberhaupt von y umlaufenen Punkte beschrankt ist, mufite es dann einen Haufungspunkt a0 der Menge der umlaufenen Singularitaten geben. Nun kann S zwar

74

Kapitel 6. Umlaufszahl

Haufungspunkte haben, aber nicht innerhdb von G , und deshalb wiirde a0 von y jedenfalls nicht umlaufen und weil vY lokal konstant ist, auch die Punkte einer geniigend kleinen Umgebung von a0 nicht, im Widerspruch zu unserer Annahme, dafj sich bei a0 die von y umlaufenen Singularitaten haufen. Seien nun also a1 , . . . ,a , die von y umlaufenen Singularitaten. Fur k = 1,.. . ,r und ein geniigend kleines E > 0 e setzen wir Pk(t) := ak ~ Dann umlauft der Zykel

+

7:= 7 -

r

k=l

uy(ak)Pk

\G

in G \ S weder eine Singularitat noch einen Punkt des Komplements von G , also gilt nach der Umlaufszahlversion des Cauchyschen Satzes, angewandt auf das Gebiet G \ S , @

Fig. 81. Zum Residuensatz

woraus die Behauptung folgt.

0

Das nachste Kapitel handelt von der Anwendung des Residuensatzes bei der Berechnung von Integralen.

AUFGABE1: Fur gegebene n, k E Z und 0 < r # 1 bestimme man die Umlaufszahl der durch y ( t ) := eint reikt definierten geschlossenen Kurve y : [0,2 ~ --+] C \ O um den Nullpunkt.

+

AUFGABE2: Sei y : [ t o , t l ]+ C\O eine geschlossene, an einem Punkt der positiven reellen Halbachse beginnende Kurve. fiir die Fiir k E N werde die Auswahl eines Wertes

~

~

6.6 Hinweise zu den ~bungsaufgaben

75

k-te Wurzel von y(t) durch > 0 und die Stetigkeit von fi : [to,tl] --+ C festgelegt. Man berechne das dementsprechend aufgefaBte Integral

J, w. aus k, $to) und der Umlaufszahl ~ ~ ( 0 ) . AUFGABE3: Man beweise, daB die Umlaufszahl um 0 einen Isomorphism~~

stiftet. AUFGABE4: Gibt es eine stetige geschlossene Kurve y in C mit der Eigenschaft, daB die Abbildung

unendlich viele Werte annimmt? AUFGABE5: Es sei zo ein Pol zweiter Ordnung von f und

die Laurententwicklung von f um zo. Wie berechnet man das Residuum Res,, f ( z ) ~von f bei zo aus den Laurentkoeffizienten C - 2 , C-1, co und cl ? AUFGABE6: Es sei f ( z ) = x r = o a n z n die Potenzreihenentwicklung einer ganzen Funktion. Fur jedes n E Z bestimme man das Residuum

AUFGABE7: Welche Werte kann das Integral J; $$ fur geschlossene Kurven y in C \ {&) annehmen?

76

Kapitel 6. Umlaufszahl

6.6 Hinweise zu den Ubungsaufgaben ZU AUFGABE1: Die Homotopieinvarianz der Umlaufszahl la& sich hierbei gut verwenden: man deformiere die Kurve stetig in (C \ O in eine andere, deren Umlaufszahl man sofort erkennt. Dabei braucht man, wie in 6.2 angegeben, nicht einmal darauf zu achten, daB der Anfangspunkt wahrend der Deformation fest bleibt, wenn nur jedes einzelne h7- geschlossen ist. ZU AUFGABE2: Die Integration sol1 man hier mit Hilfe analytischer Fortsetzung einer lokalen Stammfunktion durchfuhren. Die Wurzelfunktionen ist ja mittels des Logarithmus definiert, dessen analytische Fortsetzung langs geschlossener Wege wiederum mit der Umlaufszahl zu tun hat. Das gesuchte Ergebnis ahnt man so ziemlich schnell, die sorgfaltige Ausfuhrung der Argumente kostet etwas mehr Arbeit. ZU AUFGABE3: DaB die Abbildung wohldefiniert, ein Homomorphismus und surjektiv ist, geht mehr oder weniger direkt aus dem Text des Abschnitts 6.2 schon hervor, beweisbedurftig ist aber die Injektivitat. Bedenke, wie ein geschlossener Weg a : [0, 11 + (C \ O mit Hilfe der durch B(t) := d(al [O,t]) und r(t) := la(t)l gegebenen Funktionen geschrieben werden kann. ZU AUFGABE4: Die geschlossenen Kurven, denen man in der Funktionentheorie gewohnlich begegnet, scheinen diese Eigenschaft jedenfalls nicht zu haben. Man kann aber ein solches pathologisches Beispiel konstruieren. ZU AUFGABE5: Die Formel ist durch heuristisches Rechnen leicht genug zu finden, man muB aber auch begrunden konnen, weshalb man so rechnen darf. ZU AUFGABE6: Unproblematisch, weil hier die Reihen nur addiert werden. ~ b u n ~ s z w e cder k Aufgabe ist es zu erleben, wie und warum der Exponent im Nenner auf das Residuum EinfluB nimmt. ZU AUFGABE 7: Noch eine Umlaufiibung, zugleich aber ein erstes Ausprobieren des Residuensatzes.

7

Der Residuenkalkul

7.1 Vorbemerkungen Unter dem Residuenkalkd im engeren Sinne versteht man die Anwendung des Residuensatzes zur Berechnung gewisser reeller bestimmter Integrale. Dabei sind jeweils Voraussetzungen zu prufen und Residuen auszurechnen. Zu diesen beiden Arbeitsgangen hier zwei kleine Vorbemerkungen. 1.) Bei den Voraussetzungen wird mehrmals vom Verhalten einer Funktion f(z) im Unendlichen oder am Punkte m

die Rede sein. Wir wollen hier vereinbaren, daf3 in Abwesenheit bei 0 gemeint naherer Erkliirungen damit das Verhalten von f sein soll. Eine holomorphe Funktion f (z) hat also z.B. bei m eine isolierte Singularitat oder einen Pol oder eine k-fache Nullstelle, wenn f ( i ) am Nullpunkt eine isolierte Singularitat bzw. einen Pol bzw. eine k-fache Nullstelle hat.

(i)

2.) Das Residuum von f ( z ) bei zo ist ja der (-1)-te Koeffizient der Laurententwicklung. 1st die Singularitat zo , wie meist im Residuenkalkul, ein Pol von f , so braucht man zur Residuenbestimmung nicht zu integrieren, sondern kann das Residuum durch Differenzieren ermitteln. Sei die Polordnung nicht grofier als lc . Multiplikation von f (z) mit ( z - zo)k macht dann die Singularitat hebbar und riickt gleichzeitig alle Laurentkoeffizienten um k Indices nach rechts: der Koeffizient c-k von f(z) bei zo wird der 0-te Taylorkoeffizient der bei zo holomorphen Funktion (z-z0)Ic f (z) , entsprechend c-k+l der erste usw., und das gesuchte c-1 wird also der (k - 1)-te Taylorkoeffizient von (z - zo)kf(z) und folglich gilt:

78

Kapitel 7. Der Residuenkalkiil

Notiz: Hat f (z) bei ist

7 0.

einen Pol hochstens k -ter Ordnung, so

Besonders einfach wird diese Formel, wenn f (z) schon als Quotient zweier bei zo holomorpher Funktionen vorgegeben ist, von denen der Nenner eine einfache Nullstelle bei zo hat. Dann ist namlich k = 1 und wir erhalten als Spezialfall der Notiz das

Korollar (Residuenbestimmung bei einfachen Nennernullstellen): Sind g(z) und h(z) bei zo holomorph und hat h(z) dort eine einfache Nullstelle, so gilt g(z) - d z o ) Res,, h(z) - hl(z,)

'

Bei der Residuenbestimmung in den Anwendungsbeispielen kommt gerade diese einfache Situation auch am haufigsten vor.

7.2 Integrale iiber die ganze reelle Achse Wir beginnen mit der einfachsten Beispielklasse, gleichsam dem Prototyp fur die Anwendungen des Residuenkalkuls auf reelle Integrale.

Anwendung 1: Sei R(z) eine rationale Funktion, die bei cc von mindestens zweiter Ordnung verschwindet und keinen Pol auf der R(x)dx = 27ri E I m a > , ResaR(z) . reellen Achse hat. Dann gilt Jrrn BEWEIS: Fur r > 0 bezeichne a , den Halbkreisbogen in der oberen Halbebene von r nach - r , genauer a,(t) := reiTt fur

Fig. 8

-r

2

0

m ~vega7

r

7.2 Inte~raleuber die aanze reelle Achse

79

t E [O,l]. Da es nur endlich viele Pole gibt, so gilt fur genugend groBes r > 0 nach dem Residuensatz

Weil aber R(z) bei m von zweiter Ordnung verschwindet, ist Ja7 R(z)dz = 0, und daher lim,,,

/

R(x)dx = lim r-co

/

R(x)dx = 27ri

C

Ima>O

Res, R(z) .

Da in der oberen Halbebene leiZl 5 1 gilt, ist dieselbe Argumentation auch auf den Integranden R(z)eZZanwendbar. Das ist zum Beispiel deshalb interessant, weil fur reelles R die Integrale 03

Lm 03

R(z) cos zdx

und

R ( r ) sin zdz

Real- und Imaginarteil von Jrm R(x)eiZdx sind und auf diese Weise dem Residuenkalkiil zuganglich werden. In der Tat verbessert der Falctor eiZ sogar das Konvergenzverhalten des Integrals iiber den Hilfsbogen a,, und man braucht nicht zu fordern, daB die Nullstelle von R(z) bei m mindestens doppelt sei (verliert bei nur einfacher Nullstelle allerdings die absolute Konvergenz, Vorsicht):

Anwendung 2: Die rationale Funktion R(z) habe keine Pole auf der .reellen Achse und eine Nullstelle bei m . Dann ist

/ r

lim T 1 0 3

R(r)r"dr = 27ri

C

~es.~(z)e".

Ima>O

BEWEIS:Statt eines Halbkreises ist jetzt ein Rechteck bequemer: Fur alle geniigend groBen r > 0 gilt nach dem Residuensatz

80

Kapitel 7. Der Residuenkalkiil

in wohl unmiBverstandlicher Notation. Da f(z) eine Nullstelle bei oo hat, existiert das Supremum s, := supl,12, IR(z)l fur genugend groBe r nicht- nur, sondern es geht auch fur r -t m gegen Null. Der zweite und der vierte un-r+ir serer vier Integralsummanden lassen sich aber jeweils dem Betrage nach durch ~ , J , ' e - ~ d t 5 s,, der dritte durch 2re-'sT abschatzen, sie konver-r o r gieren fur r + co also gegen Null, und Fig. 83. die Behauptung ist bewiesen. 0 +

7 . 3 Hauptwerte Wir sehen, daB die gerade beschriebene Methode zum Beispiel nicht ohne weiteres auf J-mm 9 d x anwendbar ist, weil der zu Hilfe zu nehrnende Integrand i e i z bei 0 einen Pol hat, wenn auch der eigentlich vorgegebene Integrand dort harmlos ist. In dieser Situation liefert der Residuenkalkul aber trotzdem noch etwas, namlich den sogenannten "Haupt+E wert" des Integrals Jrm $dx , der uns ebensogut zur Berechnung von Jymy d x verhilft. Es sei I c R v ein endliches oder unendliches Inter26 vall, p ein Punkt im Inneren von I Fig. 84. Zur Definition und f : I\p--t C! eine Funktion. Der des Hauptwertes Hauptwertbegriff handelt vom Integralverhalten der Funktion f in der Nahe der "Singularitat" p . Wir setzen namlich voraus, daB fur jedes E > 0 zwar das Integral Jl,(p-e,p+E) f(x)dx existiert, das (uneigentliche) Integral ::;J f (x)dx aber m6glicherweise nicht, wie etwa in dern einfachen Beispiel I := [-I, 11, p := 0 und f(x) := $. Falls dann fur ein ,

(und somit jedes) genugend kleine

E

> 0 der Grenzwert

existiert, so heiBt er der Hauptwert des Integrals von f uber das Intervall von p - E bis p E und dementsprechend

+

der Hauptwert des Integrals von f uber ganz I. Analog fur den Fall, daB f an endlich vielen Stellen p l , . . . , p T im Innern von I nicht definiert ist. Offenbar ist P l i E = 0 . 1st daher allgemeiner f ( z ) eine holomorphe Funktion mit einem einfachen Pol bei p E IR, also f ( z ) = c - (z ~ -p)-' g(z) fur ein bei p holomorphes g ( z ) , so gilt fur genugend kleines E > 0

9

+

Damit konnen wir die beiden im vorigen Abschnitt betrachteten Anwendungen des Residuensat,zes so verallgemeinern, dafl wir der rationalen Funktion R(z) einfache Pole auf der reellen Achse gestatten durfen: Anwendung 3: Die rationale Funktion R(z) habe aufier einfachen Polen bei pl < . . . < p, keine weiteren Pole auf der reellen Achse und bei cc eine Nullstelle. Sei entweder (1) f ( z ) = R(z)e2" oder (2) f ( z ) = R(z) und die Nullstelle bei cc mindestens cloppelt. Dann gilt

lim

r+co

P

1

f ( x ) d i = 2ri

-T

Ima>O

Res, f (z)

+ ni k=l 5Reap, f(z) .

Kapitel 7. Der Residuenkalkiil

82

BEWEIS:Wir wahlen ein geniigend kleines 5 > 0 und modifizieren fur groBe r den Integrationsweg von - r+ir r+ir -r nach r auf der reellen Achse dadurch, dafi wir fur k = 1,.. . ,n jeweils anstelle des Teilintervalls [pk-6, pk +S] Radius b ' den dariiberliegenden Halbkreisbogen -T r durchlaufen. Dieser neue Integrationsweg, llennen wir ihn w,,& , hangt nun Fig, g5, D~~ gescl,losserle also von den beiden Parametern r und \%4 ~ r . 8 S ab. ~ a l t e nwir zunachst S fest, so ergibt sich, wie in dern Fall ohiie Pole auf der reellen Achse,

LZJ /

f (r)dr = 2ai Ima>O

Res, f (2)

+

Sei nun p eines der pk. Wir schreiben f(z) = 5 g(z) z-P mit bei p holoinorphem y(z). Das Integral uber den durch Y6(t) = p + fiir t E [O, 11 gegebenen kleinen Halbkreisbogen y& ist dann

und a,ls Grenzwert erhalten wir also

f (z)cEz = -aiRes, f (a)

Deshalb gilt

lim

610

/

f (r)dr = P

f (x)dr - ~i

5Respkf(z),

k=l

und die als Anwendung 3 formulierte Behauptung folgt.

0

7.4 Integrale uber die positive reelle Halbachse

7.4

83

Integrale uber die positive reelle Halbachse

Jr

Manche Integrale von 0 bis m, wie etwa = J-mm *, lassen sich aus Symmetriegrunden auf die schon behandelten Falle zuruckfuhren, aber wenn das nicht geht, sind wir in einer ganz anderen Situation, weil wir den Integrationsweg nicht einfach "im Unendlichen schliefien" konnen. Auch dafur wollen wir als Kostprobe einen Beispieltyp betrachten. Wir wahlen dazu Integranden der Form f(x) = X'R(X) mit 0 < X < 1 und rationalem R(x). Die in G bis auf isolierte Singularitaten holomorphe Funktion f ( z ) , auf die wir den Residuensatz anwenden werden, definieren XE mit Hilfe des wir fur die positiv geschlitzte Ebene G := C \ : durch ln(reip) := l n r icp fur r > 0 und 0 < cp < 27r gegebenen Logarithmuszweiges In : G -+ C , indem wir namlich

+

und dementsprechend f (z) := z X ~ ( zsetzen. ) Mit diesen Verabredungen ergibt sich dann: Anwendung 4: Sei 0 < X < 1, und sei R(z) eine rationale Funktion ohne Pole auf der positiven reellen Halbachse, mit einer mindestens doppelten Nullstelle bei m, die bei 0 holomorph ist oder dort allenfalls einen Pol erster Ordnung hat. Dann ist

BEWEIS:Fiir groBes r betrachten wir eine geschlossene Kurve in der positiv geschlitzten Ebene G , die zuerst die Strecke von nach r $ durchlauft, dann auf dem grofien r+: Kreisbogen a , in G um 0 nach r - +, T- 4 -6 r von dort auf der Strecke nach - ge7' langt und schliefilich auf dem kleinen linlten Halbkreisbogen P, zuriick nach

+

$

Fig. 86

Kavitel 7. Der Residuenkalkiil

84

fuhrt. Anwendung des Residuensatzes auf f ( z ) und diese geschlossene Kurve liefert

Alle vier Integrale konvergieren fur r + co,namlich das erste gegen das uns eigentlich interessierende Integral

das zweite und das vierte gegen Null, aber das dritte gegen

und so erhalt man die behauptete Formel.

7.5 Integrale iiber ein Interval1 Schliefilich betrachten wir noch einen ganz anderen Typ von Beispielen. 1st f ( z ) eine rationale Funktion ohne Pole auf der Einheitskreislinie lzl = 1, so gilt nach dem Residuensatz natiirlich

J

Izl=l

f (z)dz =

P

f(eie)ieied6

.

0

+

Aber eie = cos 0 i sin 0, und daher ~ i 87.~ id^^^^^^^^ . ist der Integrand & R ( + ( z + + ) , & ( z - + ) ) in

f (eie)ieie =: R(cos 0, sin 6 )

ergibt

E

& SZRR(cos 8,sin @ ) d B

7.6 Das Null- und Polstellen zahlende Integral

85

eine rationale Funktion in den beiden Variablen cos 0 und sin 0. Wegen ,i8

cos 0 =

ei8 - e-i8

+ ,-i8

und

2

sin4 =

2i

gibt uns diese Formel aber auch an, wie man umgekehrt bei gegebenem R(cos 6, sin 6) eine zugehorige rationale Funktion f (z) berechnen kann. Daraus ergibt sich dann die

Anwendung 5: Sei R(x, y ) eine rationale Funktion in zwei Variablen und R(cos 0, sin 0) fiir alle 0 E [O, 27r] erklart. Dann gilt R(cos 0, sin 6)d0 = 27ri 0

C

Res, &R(;(Z

+ i), $(z - i)) .

lal
7.6 Das Null- und Polstellen zahlende Integral Nach diesen Beispielen zum Residuenkalkul im engeren Sinne wenden wir uns nun noch einer fur die Theorie wichtigen Anwendung des Residuensatzes zu. Es sei f eine in einem Gebiet G meromorphe, nicht identisch verschwindende Funktion. Wir wollen die aus naheliegendem Grunde so genannte logarithmische A bleitung f'(z)/ f (z) von f betrachten. AuBerhalb der Null- und Polstellen von f ist sie natiirlich holomorph, und es sei deshalb nun zo E G eine Nulloder Polstelle von f . In einer genugend kleinen punktierten Kreisscheibe ist dann, wie die Entwicklung in eine Potenz- bzw. Laurentreihe zeigt,

mit einer auch bei zo holomorphen Funktion g(z), die bei zo (und daher oBdA in der ganzen Kreisscheibe) von Null verschieden ist.

86

Kapitel 7. Der Residuenkalkiil

War zo eine Nullstelle von f , so ist k > 0 , und k ist die Vielfachheit dieser Nullstelle, wahrend im Falle einer Polstelle k < 0 gilt, und I k 1 die Polordnung ist. Aus

ist nun aber ersichtlich, daB die logarithmische Ableitung von f bei zo einen Pol erster Ordnung nit clem Residuum k hat! Damit ist schon abzusehen, wie man den Residuensatz, angewandt auf die logarithmische Ableitung, zum "Zahlen" der Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion wird verwenden konnen. Zur bequemeren Formulierung wollen wir vorher nur noch eine fur solche Zahlaufgaben nutzliche Sprechweise einfuhren. Wir sagen nandich, daB ein Zykel y eine ( d a m offene) Teilmenge A c C berandet, wenn fur alle a c A die Umlaufszahl u,(a) = 1 ist und y keinen Punkt Fig. 88. 73-71-72 berandet das schraf- aufierhalb A umlauft. Dann folgt also aus fierte Gebiet dem Residuensatz der

Satz vom Null- und Polstellen zahlenden Integral: Sei f n~eromorphin einem Gebiet G . Sei y ein Zykel in G , der keine Nullstelle und keinen Pol von f trifft und der eine Teilmenge A C G berandet. Dann gilt

wobei N A die Anzahl der Nullstellen und PA die Anzahl der Pole (jeweils ge111al3 Vielfachheit bzw. Ordnung gezahlt) von f in A hezeichnet. 0 Kurvenintegrale uber die logarithmische Ableitung hahen aber auch noch eine andere, mehr geometrische Bedeutung. 11mner wenn eine, nicht notwenig geschlossene, Kurve y i ~ nDefinitionsbereich G einer meromorphen Funktion f keine der Null- und Polstellen trifft, gilt

Y

for

87

7.6 Das Null- und Polstellen zahlende Integral

Wegen (f o y)'(t) = fl(y(t))j(t) ist das fur stetig differenzierbare y klar, es gilt aber auch fur nus stetige Wege. 1st namlich y : [to,tl] -+ (C so "kurz", dafl f o y ganz in einer geschlitzten Ebene U verlauft, und wahlen wir einen Logarithmuszweig In auf U , so ist In z Stammfunktion von sowieso, aber auch In f (z) auf f - ' ( U ) eine Stammfunktion der logarithmischen Ableitung von f (2) - daher kommt ja der Name. Also sind in diesem Falle beide Integrale gleich In f (?itl)) - In f ($to)). Eine lange Kurve y aber konnen wir in so kurze Stucke unterteilen. Fur geschlossene Wege y ist aber o7 die Umlaufszahl von f o y um 0 , und so wird der Satz vom Null- und Polstellen zahlenden Integral zum

i,

& Sf

9

Satz von der Null- und Polstellen zahlenden Umlaufszahl: Berandet der Zykel y in G eine Teilmenge A c G und trifft keine der Null- und Polstellen der in G meromorphen Funktion f , so ist die Differenz N A - PA der Null- und Polstellenzahlen (mit Vielfachheiten) in A gleich der Umlaufszahl ufoy(0) des Bildzykels f o y von y unter f um den Nullpunkt. 0

Fig. 89. Hat f zum Beispiel drei einfache Nullstellen in dem von -y berandeten Gebiet, so umlauft die Bildkurve f o-y dreimal die Null

Als eine Anwendung beweisen wir damit den

Satz: 1st R(z) eine nichtkonstante rationale Funktion, so hangt die Anzahl (mit Vielfachheiten) der a-Stellen von R in (C U cc nicht von a E (C U cc ah.

BEWEIS:Wir brauchen nus zu zeigen, dafl R in @ U cc gleich viele a - und Polstellen hat, und dazu durfen wir oBdA a = 0 setZen (sonst betrachte R - a ). Ferner durfen wir annehmen, da13 cc keine Null- oder Polstelle von R(z) ist (sonst betrachte R(zo $) fur ein zo, welches keine Null- oder Polstelle von R(z) ist). Der

+

Kapitel 7. Der Residuenkalkiil

88

geschlossene Weg y, berande die Kreisscheibe vom Radius r urn den Nullpunlct. Fur geniigend groBes r ist dann u~~~~( 0 ) die Differenz der Null- und Polstellenzahlen von R , aber fiir r + cc konvergiert R o y, gleichmafiig gegen den konstanten Weg Rim) in C \O, u~nlauftalso die Null fur grofie r nicht. 0 Als ein weiteres Korollar erhalten wir den wichtigen

Satz von Rouch6: Sei 7 ein Zykel in einern Gebiet G , der eine Teilmenge A c G berandet, und seien f und g holomorph auf G mit Ig(z)l < If ( z ) l f i r alle z auf y . Dann haben f und f + g gleich rriele Nullstellen in -4. BEWEIS:Fur jede einzelne der am Zykel beteiligten Sclileifen 71; sind d a ~ i nf o yk und ( f

+

g ) o yk gradlinig, d.11. durch ( t ,T ) H f ( y l ; ( t ) ) ~ g ( y k ( t )in ) C \O homotop und haben deshalb dieselbe Umlaufsza.hl um 0 . 0

+

In den Anwendungen ist A oftmals einfach eine Kreisscheibe. Die Anzahl der Nullstellen auf der Kreisscheibe andert sich dann also nicht, wenn man von der vielleicht ganz iibersichtliclien Funktion f ( z ) zu einer ltomplizierten Funlction f ( z ) g ( z ) iibergeht, solange nur I g ( z )1 < If ( z ) l auf dem Rande des Kreises gilt. We~idetman den Satz von Rouchi: zum Beispiel auf die Funk. . a0 und eine sehr tionen f ( z ) := z n und g ( z ) := a n - l z n - l grofie Kreisscheibe A an, so erhalt man den Fundamentalsatz der Algebra.

+

+. +

AUFGABE1: Man berechne mit Hilfe des Residuenkalkuls: 00

00

(a'):

(c):

J z4+&22+13dx

(b):

J -dx,

0

0

00

DC1

J -dx, 0

a

>0

(d): J e d x 0

a

>o

AUFGABE2: Fur rationale Funktionen R(z) ohne Pole auf der abgeschlossenen positiven Halbgeraden und mit einer mindestens doppelten Nullstelle bei cc leite man eine Residuenformel R(x) dx her, indem man den Residuensatz auf R(z) ln z fur in der positiv geschlitzten Ebene geeignet anwendet.

IW;

Som

AUFGABE3: Hat die rationale Funktion R(z) keine Pole auf der reellen Achse und bei oo eine einfache Nullstelle, so existiert der Grenzwert rr

immer noch (weshalb?), aber er stimmt nicht mehr mit

S R(x) d x - 2 ~Ima>O i x Res, R(z) ? -,. T

uberein. Was ist die Differenz lim T-00

AUFGABE4: Seien wl,wz E C reell-linear unabhangig und f eine auf C meromorphe nichtkonstante doppelt periodische Funktion mit den Perioden w l und w2 , d.h. mit der Eigenschaft f ( z wl) = f (z w2) = f (z) fur alle z . Man zeige, daB f auf dem "Fundamentalbereich" F := {Xlwl Xzwz I 0 5 Xi < 1) ebenso viele Polstellen wie Nullstellen hat (gezahlt jeweils mit Vielfachheiten).

+

+

+

AUFGABE 5: Was sagt uns der Satz von Rouchk iiber die Lage der Nullstellen eines Polynoms zn bzk c , wobei 0 < k < n und b # 0, c # 0 gelten soll? Gilt IznI > lbzk+cl fur alle z mit lzl = R und Icl > Izn bzkI fur alle z mit lzl = r , so liegen die Nullstellen nach dem Satz von Rouchk in dem durch r < lzl < R beschriebenen Kreisring (weshalb?). Was ist aber aus 1 bzk1 < Jzn cl bzw. Ibzk1 > >zn CI fur alle z mit lzl = rl zu schliefien? Bestimme die Anzahl der Nullstellen (mit Vielfachheiten) von z8 - 3z2 1 mit IzI > 1, von z7 - 5z3 7 mit 1 < IzI < 2 und von 3z4 - 72 2 mit 1 < 121 <

+

+

+

+

i.

+

+ +

+

AUFGABE6: Es sei zo eine isolierte, nicht hebbare Singularitat von f ( z ). Kann dann zo hebbare Singularitat von ef(z) sein?

90

Kapitel 7. Der Residuenkalkiil

7.8 Hinweise zu den ubungsaufgaben ZU AUFGABE 1: Unproblematische Beispiele zu den im Text beschriebenen Anwendungstypen des Residuensatzes. ZU AUFGABE 2: Man geht mit dem Integranden R(z) in z so vor, wie in 7.4 fur zXR(z) geschildert. Man sieht dann schon, weshalb man dabei keine Formel fur Som R(z) In x dx , sondern eine R(z) dz m erhalt. fur lo

-

ZU AUFGABE3: Modifiziere R(z) durch Subtraktion einer moglichst einfachen Funktion zu einem R(z), das bei m eine doppelte Nullstelle hat. ZU AUFGABE 4: Man sol1 die Differenz der Anzahlen der Nullund Polstellen naturlich mit dem Null- und Polstellen zahlenden Integral zahlen. Achtung beim Integrieren: Weg nicht iiber Null- oder Polstellen fuhren. Weshalb darf man oBdA. annehmen, dafl auf dem Rande des FundamentalFig. 90. Null- oder Polstellen auf dem bereichs keine Null- oder Rande des Fundamentalbereichs? Polstellen liegen? ZU AUFGABE 5: Direkte Anwendung des Satzes von Rouchk. Man muf3 nur beim Zahlen der Nullstellen von zn c nicht gleich ' L n" hinschreiben, sondern auch bedenken, auf welcher Kreisscheibe man zahlt.

+

6: Die Aufgabe kann auf verschiedene Weisen gelost ZU AUFGABE werden. Hat man sich iiberlegt, weshalb die Singularitat von e f ( ~ ) wenn iiberhaupt, dann hochstens durch den Wert Null gehoben werden kann, so erbietet sich unser Kapitel 7, diese Nullstelle zu "zahlen" .

8

Folgen holomorpher Funktionen

8.1 Kompakte Konvergenz Eine Folge holomorpher Funktionen auf einem Gebiet G heiflt kompakt konvergent, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge von G gleichmaflig konvergiert oder, was damit gleichbedeutend ist, wenn sie Iokal gleichmapig konvergiert, d.h. wenn es um jeden Punkt von G eine Umgebung gibt, auf der die Konvergenz gleichmaflig ist. Mit diesem Konvergenzbegriff wollen wir uns im gegenwktigen Kapitel beschaftigen. Aus der Analysis wissen wir, dafl die Grenzfunktion dann stetig ist. Hier gilt vie1 mehr: Weierstrafischer Konvergenzsatz: Die Grenzfunktion einer kompakt konvergenten Folge holomorpher Funktionen ist auch holomorph. BEWEIS:Seien fn : G --t @ die Funktionen der Folge und f die Grenzfunktion. Nach dem Satz von Morera (in 3.3) genugt es zu zeigen, dafl ST f(z)dz = 0 fur die Randkurve y einer jeden samt Rand in G gelegenen Dreiecksflache gilt. Aber wegen der kompakten Konvergenz ist

und daher Null nach dem Cauchyschen Integralsatz.

0

Eine weiteres Beispiel fiir das Wohlverhalten, welches die holomorphen Funktionen - sehr im Gegensatz zu den CCO-Funktionen der reellen Analysis - an den Tag legen, ist die automatische ubertragung der kompakten Konvergenz auf die Ableitungen:

92

Kapitel 8. Folgen holomorpher Funktionen

Satz iiber die kompakte Konvergenz der Ableitungen: Konvergiert die holomorphe Folge (f,),?] auf G kompakt gegen f , so konvergiert auch (fA)n21 kompakt gegen f' .

BEWEIS: Sei zo E G und r > 0 so klein, daB die abgeRadius 2r schlossene Kreisscheibe vom Radius 2r um zo noch ganz in G liegt. Wir benutzen die Cauchyformel fur den ersten Taylorkoeffizienten, um die Werte der Ableitungen in der in der kleinen kleineren Kreisscheibe vom

Fig. 91. Fiir die z Kreisscheibe berechnen wir f '(2) aus den f(C) mittels der Cauchy-Formel

Radius aus den werten auf der Kreisliniemit dem gro8eren Radius zu berechnen. Fur alle z mit lz - zo I < r

= 2r folgt somit ( mit I< fur alle {zl IZ - zo I < r } , und daher impliziert die gleichmafiige Konvergenz von (fn),>] gegen f auf der Kreislinie vom Radius 2r die gleichmiiBige-~onvergenz von ( f A ) n 2 1 0 gegen f' auf der Kreisscheibe vom Radius r .

Aus

If ( C )

-

f,(<)l

< e fur alle

I f ' ( 2 )- f;(z)l <

8.2 Blatterzahlen von Grenzfunktionen Mit dem aus der ~ b e r l a ~ e r u n ~ s t h e oentlehnten rie Wort Blattereahl einer holomorphen Funktion f : G + C uber a E C ist hier einfach die mit Vielfachheiten gezahlte Anzahl der a-Stellen von f (Nullstellen von f - a ) gemeint. Bei kompakter Konvergenz kann die Bliitterzahl beim ubergang zur Grenzfunktion nicht anwachsen, genauer:

93

8.2 Blatterzahlen von Grenzfunktionen

Satz von der Blatterzahl der Grenzfunktion: Sei a E C und sei (fn),>l eine auf dem Gebiet G kompakt gegen f konvergierende F&-e holomorpher Funktionen. Wenn fiir jedes f , die (mit Vielfachheiten gezahlte) Anzahl der a-Stellen hochstens m ist, dann ist die Grenzfunktion f entweder konstant a oder hat auch hochstens m a-Stellen.

+

BEWEIS:OBdA a = 0 . A~lgenommen,f hatte mindestens m 1 Nullstellen und sei nicht identisch Null. Seien zl, .., ze die verschied e n e n solcher m 1 Nullstellen. Nach dem Identitatssatz liegen die Nullstellen von f isoliert, und deshalb gibt es einen kleinen Radius r > 0 , so daB die ! abgeschlossenen Kreisscheiben

+

@

K i= {z] IZ

-

5 r}

Fig. 92. Samtliche Nullstellen der Grenzfunktion werden in kleine Kreisscheiben eingesperrt. Fiir jede

~ i l

alle in G liegen und I<;keine Nullstelle auBer z; enthdt, insbesondere ~~~~~~~~n ~ ~ ~ keine Nullstelle auf dem Rand S; von f und f, (fiir groBe n ) I<;liegt. Wghle nun ein E > 0 und ein angewandt 12 so, dafi auf der lcompakten Menge S1U.. . U St die Abschatzung

+

gilt. Dann hat die Funktion f , = f ( f , - f ) nach dem Satz von Rouchk in K 1 U . . . U lie ebensoviele Nullstellen wie f , also zu viele, Widerspruch. Injelctive holomorphe Funktionen nennt man in klassischer Ter~ninologieschlichte Funktionen. Aus d e ~ nsoeben bewiesenen Satz iiber die Blatterzahl erhalten wir das folgende Korollar, von dem wir beim Beweis des Riemannschen ilbbildungssatzes Gebrauch machen werden:

Korollar: Ist ( f , ) eine kompakt gegen f konvergierende Folge schlichter Funktionen auf einem Gebiet G , so ist f entweder kon0 stant oder ebenfalls schlicht.

C

h

~

94

Kapitel 8. Folgen holomorpher Funktionen

8.3 Loltal beschrankte Folgen Wir wissen ja alle, wie nutzlich der Satz von Bolzano-Weierstrafl ist, wonach jede beschrankte Zahlenfolge eine konvergente Teilfolge besitzt. Schade, daB er nicht auch fiir Funlctionenfolgen gilt! Es gehort zu den Annehmlichkeiten des funktionentheoretischen Schlaraffenlandes, dafl der Satz von Bolzano-Weierstrafl fur Folgen holomorpher Funktionen und kompakte Konvergenz doch richtig ist. Er heiBt dann Satz von Montel, wir werden ihn im folgenden Abschnitt beweisen. Die eigentliche Arbeit dafur leisten wir aber jetzt, indem wir zeigen:

Hilfssatz: Eine lokal beschrankte Folge (fn)n>l von auf dem Gebiet G holomorphen Funktionen, die auf einerin G dichten Teilmenge punktweise konvergiert, konvergiert sogar kompakt auf G . BEWEIS:Um die lokal gleichmaflige Konvergenz der Folge zu beweisen, genugt es zu zeigen, daB das Cauchy-Kriterium lokal gleichmaflig erfullt ist, d.h. daB es zu jedem zo E G ein r > 0 gibt, so dafl sic11 zu jedem E > 0 ein no finden laflt, fur welches Ifn@) - f,(z)l < E fur alle n , m 2 no und alle lz - zol < r zugleich gilt. Sei also zo E G gegeben. Wenn wir die Voraussetzung ausnutzen wollen, dafl beliebig nahe an jedem z ein Konvergenzpunkt a zu finden ist, mussen wir jedenfalls von

ausgehen. Dafl der mittlere Summand fur grofle n, m klein wird, folgt dann aus der Konvergenz bei a . Die Abschatzung der anderen beiden Summanden hat ersichtlich etwas mit der Stetigkeit der f n bei zo zu tun, aber die Stetigkeit einer einzelnen Funktion f n geniigt uns nicht, die Stetigkeitsabschatzung muB fur alle (groflen) n zugleich gelten, wir brauchen die beziiglich n gleichgradige und beziiglich z gleichmaflige Stetigkeit der Funktionen der Folge in einer Kreisscheibe um zo. Diese folgt mittels der Cauchyformel aus der lokalen Beschranktheit. Details:

8.3 Lokal beschrankte Folgen

95

Zuerst nutzen wir die lokale Beschranktheit aus und wahlen r > 0 so klein und C so grofi, dafi die abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius 2r um zo noch ganz in G liegt und Ifn(z)l 5 C fur alle n und alle z mit lz - zo 5 2r gilt. Fur alle n und alle z, z' in der Kreisscheibe vom kleineren Radius r ist dann nach der Cauchyformel

I

und daher

Sei nun E > 0 gegeben. Wahle endlich viele Konvergenzpunkte a l , . . . ,ak in {zl - zol < r } SO,dai3 jedes z mit lz - zol < r um hochstens g . & von einem der a l , . . . ,ak entfernt ist. Das ist moglich, weil die Menge der Konvergenzpunkte dicht liegt und wir die r-Kreisscheibe mit endlich vielen Kreisscheiben vom Radius - . - . -& uberdecken konnen. Wahle ferner no so, daij

IZ

fur alle n, m 2 no und i = 1,.. . , k gilt. Dann ist fur alle diese n, m und lz - zo < r fur ein jeweils geeignetes i :

I

und der Hilfssatz ist bewiesen.

Cl

96

Kapitel 8. Folgen holomorpher Funktionen

8.4 Der Satz von Montel Satz von Montel: Jede lokal beschrankte Folge holomorpher Funktionen auf einem Gebiet G besitzt eine kompakt konvergente Teilfolge. BEWEIS:Sei {al, az, . . . } eine abzahlbare dichte Teilmenge des Gebiets G . Wegen der lokalen Beschranktheit gibt es eine Teilfolge

von (f,),>l duktiv

, die an der Stelle

a1 konvergiert. Bestimme nun in-

f i l , f i ~ , f i 3 r ... als Teilfolge von (f,-l,,),>l so, dai3 (fin),>l auf ai konvergiert. Dann' konvergiert die "Diagonalfolge" (f,;),>l auf der dichten Teilmenge {al, az, . . . } , nach dern Hilfssatz i n 8.3 also kornpakt auf ganz G . 0 Sind gewisse Zusatzbedingungen erfiillt, folgt aus dem Satz von Montel sogar die kompakte Konvergenz der Folge selbst. Wir betrachten zwei Beispiele solcher Bedingungen, die wir Hiufungspunkt-Kriterium und Ableitungskriterium nennen wollen.

Korollar (Haufungspunkt-Kriterium): Sei ( f,),>l eine lokal beschriinkte Folge holomorpher Funktionen auf einem Gebiet G , deren Konvergenzmenge einen Haufungspunkt in G hat. Dann konvergiert die Folge kompakt. BEWEIS:Nach dem Hilfssatz brauchen wir nur die punktweise Konvergenz zu zeigen. Nach dem Satz von Montel konvergiert jedenfalls eine Teilfolge gegen eine holomorphe Grenzfunktion f . Angenommen, es gabe ein a E G , so da!3 (f,(a)),>] nicht gegen f (a) konvergiert. Dann besitzt diese beschrankte-~ahlenfol~e eine Teilfolge (fn,)k>l, die gegen eine andere Zahl w # f (a) konvergiert. Andererseits konvergiert nach dem Satz von Montel eine

Funktionen-Teilfolge (f,,, )j21 kompakt gegen eine holomorphe Funktion g , aber nach Voraussetzung hat {z E G I f (z) = g(z)) einen Haufungspunkt in G , also f = g nach dem Identitatssatz, 0 im Widerspruch zu g(a) = w # f (a). Satz (Ableitungskriterium): Sei (fn),>1 eine lokal beschriinkte einem Punkt zo E G holomorphe Folge auf einem Gebiet G . mGge fiir jedes k 0 die Folge (fLk)(zo))n>l - der k -ten Ableitungen konvergieren. Dann konvergiert (fn)n21 kompakt.

>

BEWEIS:Nichtkonvergenz an einer Stelle a impliziert wie oben nach dem Satz von Monte1 die Existenz von kompakt konvergenten Teilfolgen mit Grenzfunktionen f und g und f (a) # g(a). Aber

nach dem Satz uber die kompakte Konvergenz der Ableitungen (angewandt auf diese Teilfolgen). Also (f - g)(k)(zo)= 0 fur alle k und deshalb f = g , im Widerspruch zu f (a) # g(a) . 0

AUFGABE1: Es sei G ein beschranktes Gebiet, und bezeichne dessen abgeschlossene Hulle. Auf sei eine Folge (fn)n21 stetiger, auf G sogar holomorpher Funktionen gegeben, welche auf c \ G gleichmaflig konvergiert. Man zeige, dai3 dann die Folge auf ganz gleichmaflig konvergiert.

c

c

AUFGABE 2: Man zeige, dai3 fur Re z > 1 durch

eine holomorphe Funktion gegeben ist und gebe eine Reihendarstellung fur ('(2) an.

98

K a p i t e l 8. F o l g e ~ lholomorpher Funktionen

AUFGABE 3: Nach dem Satz uber die Blatterzahl der Grenzfunktion kann die Blatterzahl bei kompakt konvergentem Grenzubergang nicht anwachsen. Man zeige aber, da13 sie fallen kann. Genauer: Fur jedes k E N Urn konstruiere man ein Beispiel einer auf der Einheitskreisscheibe E kompakt konvergenten Folge (f,),>l holomorpher Funktionen mit nichtkonstanter Grenzfunktion f , bei der jedes f n (mit Vielfachheiten gezahlt) genau k , die Grenzfunktion aber keine Nullstellen hat. AUFGABE 4: Sei (f,),>l eine Folge holomorpher Funktionen auf dern Gebiet G , die an einer Stelle zo E G konvergiert und deren kompakt konvergiert. Man beweise, dai3 Ableitungsfolge (f;)+l dann auch die Folge selbst kompakt konvergiert.

8.6 Hinweise zu den ubungsaufgaben ZU AUFGABE1: Maximumprinzip. ZU AUFGABE 2: Das ist eine Anwendung der Satze aus dem Abschnit t 8.1. (Die Funktion ist die beruhmte Riemannsche Zetafunktion. Sie laat sich zu einer in ganz @ meromorphen Funktion fortsetzen, die bei z = 1 einen Pol erster Ordnung hat und sonst holomorph ist, worauf wir hier aber nicht eingehen.) ZU AUFGABE 3: Man braucht nur mit Bauteilen wie den Potenzen von z und der Funktion sin $ ein bifichen zu experimentieren. ZU AUFGABE 4: Auch ein direkter Beweis analog zum entsprechenden Satz fiir stetig differenzierbare Funktionen einer reellen Veranderlichen ware nicht aufwendig. Mit den Satzen des vorliegenden Kapitels bequemer. Das Ableitungskriterium (zusammen mit dem Satz uber die Konvergenz der Ableitungen aus 8.1) ist aber nicht sofort anwendbar, weil die lokale Beschranktheit der Folge ( nicht explizit vorausgesetzt ist.

9

Satz von Mittag-Leffler und Weierstraflscher Produktsatz

9.1 Der Satz von Mittag-Leffler Zum Aufsuchen von Stammfunktionen rationaler Funktionen benutzt man in der Integralrechnung einer reellen Variablen die sogenannte Partialbruchzerlegung. Funktionentheoretisch gesehen ist das weiter nichts als die Darstellung einer rationalen Funktion R(z) durch die Summe

aus den Hauptteilen hl, . . . , h, ihrer Pole und einem zusatzlichen - h,(z), der dann eine Summanden P(z) := R(z) - hl(z) rationale Funktion ohne Pole, also ein Polynom ist. Analog ist eine beliebige meromorphe Funktion, sofern sie nur endlich viele Pole hat, die Surnrne aus deren Hauptteilen und einem zusatzlichen holomorphen Summanden. Im allgemeinen hat eine meromorphe Funktion aber abzahlbar unendlich viele Pole, und die Summe der Hauptteile braucht nicht zu konvergieren. Naturlich bleibt immer noch wahr, d& eine meromorphe Funktion f auf G durch ihre Hauptteile bis auf einen holomorphen Summanden bestimmt ist: {f h I h : G + C holomorph) ist die Menge aller auf G meromorphen Funktionen mit denselben Hauptteilen wie f . Gibt es aber zu vorgegebenen Hauptteilen (an Stellen, die sich in G naturlich nicht haufen diirfen) immer eine meromorphe Funktion? Diese Frage beantwortet der Satz von Mittag-Leffler mit "ja". Fur den Spezialfall G = C wollen wir diesen Satz jetzt beweisen.

+

100 K a ~ i t e 9. l Satze von Mittan-Leffler und Weierstraa

Satz von Mittag-Leffler fiir die Ebene: Sei ( a n ) n 2 l eine Folge paarweise verschiedener Punkte in @ , die keinen Haufungswert hat. Zu jedem n sei ferner ein Polynom P, positiven Grades und o.hne konstanten Term gegeben. Dann gibt es eine auf C meromorphe Funktion f , die genau an den Stellen a, Pole hat, und ist. deren Hauptteil an jedem an gerade h,(z) := P,(&-) BEWEIS:Wir konnen nicht erwarten, dafl CF=l h n ( z ) stets konvergieren wird. Deshalb fuhren wir "konvergenzverbessernde" Summanden ein: Wahle zu jedem n ein Polynom T , (z.B. ein genugend hochgradiges Taylorpolynom) mit I h n ( z )-T , ( 2 )1 5 2-, fur alle z mit lzl < f l a n l Weil ( a n ) n 2 l keine Haufungswerte hat, muB limn,, a , = m sein. Also gibt es zu jedem r > 0 ein no so, daB lan] > 2r fur alle n 2 no, und deshalb konvergiert DC)

C

n2no

(hn - Tn)

gleichm5Big auf {zl lzl < r ) und stellt dort also eine holomorphe Funktion dar. Also konvergiert

Fig. 93. Wirksamkeitsbereich der Konvergenzverbesserung des n-ten Summanden. Wegen la, 1-co auf jeder Kreisscheibe fiir fast alle n wirk-

OC,

C (hn - Tn) =: f

n=l

auf ganz @ \{a, I n 2 1 ) kompakt, Sam sogar gleichmiiflig auf {zl z # a,, lzl 5 r } , und stellt eine meromorphe Funktion auf C mit den Hauptteilen h , bei a, dar. 0

9.2

Die Partialbruchzerlegung von 1/sin z

Es gibt naturlich auch Falle, wo die Reihe C hn der Hauptteile schon selbst kompakt konvergiert. Das ist z.B. der Fall bei der meromorphen Funktion l / s i n 2 z . Glatterer Formeln wegen betrachten wir aber stattdessen 7r2

sin2 .irz

'

9.2 Die Partialbruchzerlenuna von 1/sin2 z

101

Diese Funktion hat genau an den Punkten von Z C C Pole, der Hauptteil an der Stelle 0 ist ho := zP2und wegen der Periodizitat ist also der Hauptteil bei n c Z gerade

Clnl>r

- fur festes r > 0 auf der Wie man leicht sieht, ist Kreisscheibe Izj < r kompakt konvergent, und daher definiert

auf C \ Z eine meromorphe Funktion auf C mit denselben Polen und Hauptteilen wie .ir2/sin2~ z Die . Differenz 7r2

E-

1

g(z) := 7 sin .irz ,=-rn(z - n ) 2 ist somit eine game Funktion. Welche? Jedenfalls hat diese Funktion g ( z ) , wie die beiden meromorphen Funktionen, deren Differenz sie ist, die Periode Eins. Aus ( e i ~ e --~ e-i" eY ) sieht man sofort, Sin = $ (eiz - e-iz) = & 22 dafi .ir2/sin2.irzfiir jyj + cc gleichmafiig in x gegen Null geht. Dasselbe wollen wir auch von CF=-, l / ( z - n ) 2 nachweisen, denn dann wissen wir aus dem Satz von Liouville, dafi die Differenz g(z) konstant und dann naturlich Null sein muf3. Wegen der Periodizitat geniigt es, den Streifen {z I 0 rc 1) zu betrachten. Dort gilt aber Fig. 94.

< <

1 1 > 1:

und folglich fiir y

102 K a ~ i t e l9. Satze von Mittan-Leffler und WeierstraB

welch letzteres wegen der Konvergenz von C l / n 2 mit lyl -+ m gegen Null geht. Also ist wirklich g(z) = 0 , und wir haben gezeigt

Satz (Partialbruchzerlegung von n2/sin2 nz): Es gilt

in kompakter Konvergenz auf @ \ Z . n2 1 1 1 Korollar: - = 1 + - + - + - + 8 32 52 72

9.3 Unendliche Produkte

Um eine meromorphe Funktion mit vorgeschriebenen endlich vielen Hauptteilen zu erhalten, braucht man nur diese Hauptteile zu addieren. Dieselbe Aufgabe fur unendlich viele Hauptteile fuhrt auf den Ansatz, die unendliche Reihe der Hauptteile zu bilden, die nach Hinzufugung "konvergenzverbessernder Summanden" auch wirklich konvergiert. Das etwa war das Programm des MittagLefflerschen Satzes. ~ h n l i c hlafit sich das Programm des Weierstrakhen Produktsatzes beschreiben: Um nun eine holomorphe Funktion mit vorgeschriebenen endlich vielen Nullstellen a l , . . . ,a n (mehrfache Nullstellen entsprechend oft aufgefuhrt) zu erhalten, braucht man nur das Produkt (z - a l ) . . . . . (z - a,) zu bilden. Dieselbe Aufgabe fur unendlich viele Nullstellen fuhrt zum Ansatz eines unendlichen Produkts, das nach Hinzufiigung "konvergenzverbessernder Faktoren" auch wirklich konvergiert. Im nachsten Abschnitt wollen wir dieses Programm ausfuhren. Da aber unendliche Produkte nicht ebenso wohlbekannt wie unendliche Reihen sind, schicken wir zunachst einige Definitionen und Bemerkungen iiber unendliche Produkte voraus.

9.3 Unendliche Produkte

103

Ein unendliches Pmdukt nr=to=l w, von komplexen Zahlen w, sol1 konvergent heiflen, wenn hochstens endlich viele der Faktoren Null sind und die Folge der Teilprodukte der iibrigen Faktoren einen von Null verschiedenen Grenzwert hat. Fur ein konvergentes Produkt bezeichnet n r = l w, dann auch limn-+, Ilk1wk. Die Faktoren eines konvergenten unendlichen Produkts streben gegen 1, denn wenn wir oBdA annehmen, dai3 kein Faktor Null w k / n ; r : wk ist, dann haben ZShler und Nenner von w, = den gleichen von Null verschiedenen Grenzwert.

n;=,

Im folgenden sol1 nun In : @ \ R i + @ den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnen, also ln(reie) := In r+iO fur -x < 0 < x.

Lemma (Logarithmuskriterium fiir die Konvergenz unendlicher Produkte): Sei n r = l w, ein unendliches Produkt ohne negative oder Nullfaktoren. Dann ist die Konvergenz des Produktes aquivalent mit der Konvergenz der Reihe Cr=lIn w, .

Beweis: Wenn die Reihe konvergiert, so konvergiert auch die

ny=pk,

Folge exp(Cr=l ln wk) = und zwar gegen den von Null verschiedenen Grenzwert e ~ p ( C r In = ~w,), also konvergiert das Produkt. Sei nun umgekehrt das Produkt als konvergent vorausgesetzt. Wir konnen nicht einfach analog mit der Anwendung von In argumentieren, selbst wenn die Partialprodukte P, := n;=l wk alle in der geschlitzten Ebene C \ n$- blieben, weil dort nicht immer die Gleichung 1n(zz1)= In t In z' gilt, sondern durch einen Summanden f2ri verletzt sein kann. Wir brauchen aber auch nur die In wn fiir irgend ein no zu zeigen. Wahle Konvergenz von Cr=no no SO, daf3

+

fur alle n, m 2 no. Das ist moglich, weil P, := lim P, nicht verschwindet und es deshalb ein no geben muf3, so daf3

104 Kavitel 9. Satze von Mittag-Leffler und Weierstrafl

."

,

fur alle n , m

2 no.

Dann liegen aber samtliche Produkte

n wr, k=n+1

fur m > n 2 no, darunter die Faktoren selbst, in der Kreisscheibe vom Radius !j um den Punkt 1 , insbesondere in der rechten Halbebene, fur deren Elemente z, z' ja 1n(zzr) = In z In z' wirklich gilt. Deshalb ist ln(n:=,o wk) = CEzno In wk , und aus der vorausgesetzten Konvergenz des Produktes fur n -+ m folgt die der Summe.

+

n

Definition: Ein konvergentes Produkt wk hei8t absolut konIn wk absolut konververgent, wenn fur ein no die Reihe CEno giert. Lemma (Kriterium fiir die absolute Konvergenz unend+ a k ) konlicher Produkte): Ein unendliches Produkt vergiert genau dann absolut, wenn lal,[ konvttrgiert.

nEl(l

Beweis: Am Punkte 1 hat der Hauptzweig des Logarithmus eine Nullstelle und seine Ableitung den Wert Eins. Also ist lim -= 1. Fiir alle geniigend kleinen z gilt daher 2-0

+

Sowohl die Konvergenz von n ( l a,) als auch die von C a , implizieren aber, da8 (a,),>l- eine Nullfolge ist und fur gro8e n demnach 1 3 -Ian1 < lln(l +%,)I < IIa.lI 2 gilt, woraus das Lemma folgt. 0

9.4

Der Weierstraflsche Produktsatz

Wie den Satz von Mittag-Leffler wollen wir auch den Weierstra8schen Produktsatz hier nur fur die Ebene beweisen. Es sei also (a,),>l- eine Folge ohne Haufungswert in cC . Wir suchen

9.4 Der Weierstraflsche Produktsatz

105

eine ganze Funktion f(z) mit Nullstellen genau an diesen Punkten, wobei mehrfache Nullstellen so oft in der Folge aufgefuhrt sind, wie ihrer Vielfachheit entspricht. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit durfen wir a, # 0 fur alle n voraussetzen, d a man ja bei Bedarf zu zmf (z) ubergehen kann. Unendliche Produkte haben nur Aussicht auf Konvergenz, wenn die Faktoren schliefllich nahe bei 1 sind, deshalb kann man die Linearfaktoren naturlich nicht in der Form (z - a,) gebrauchen, sondern wird

als den naivsten Ansatz versuchen. Aber da wir von der Folge (an)n2l in C \O aufler limn,, a, = cm nichts vorausgesetzt haben, sagen uns die Konvergenzkriterien aus dem vorigen Abschnitt sofort, dafl dieses unendliche Produkt im allgemeinen nicht konvergieren wird. Um geeignete konvergenzverbessernde Faktoren zu finden, stellen wir folgende uberlegung an. Die konvergenzverbessernden Faktoren mussen naturlich auf ganz C holomorphe, also ganze Funktionen sein, und sie durfen keine zusatzlichen Nullstellen einschleppen. Diese beiden Voraussetzungen werden zum Beispiel von den Funktionen der Form eP(') rnit einem Polynom P(z) im Exponenten erfiillt. Da es sich nun darum handelt, gegebene Faktoren der Form (1 - &) naher an 1 zu bringen, ist die Bemerkung

am Platze, wobei In wieder den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet. Es wird dadurch nahegelegt, ep.(') fur ein geniigend hochgradiges Taylorpolynom P,(z) von - ln(1- $-) zur Verbesserung des n-ten Faktors zu verwenden. Da nun - ln(1 - z) bei z = 0 verschwindet und fur lzl < 1 Stammfunktion der geometrizk = 1-2 1- ist, haben wir schen Reihe CEO

fur lzl < 1 , und dementsprechend sehen die konvergenzverbessernden Faktoren im Weierstraflschen Produktsatz dann auch aus:

106 Kapitel 9. Satze von Mittag-Leffler und Weierstran

WeierstraBscher Produktsatz fur die Ebene: Sei eine Folge von Null verschiedener komplexer Zahlen mit lim,,, = oo . Dann konvergiert fur geeignete Wahl ganzer Zahlen m, das unendliche Produkt

a,

20

u berall und stellt eine auf C holomorphe Funktion dar, die genau an den Stellen a, verschwindet, und zwar jeweils mit der Vielfachheit, mit der a n in der Folge vorkommt.

BEWEIS:Wahle m, so, dal) das m,-te Taylorpolynom von - ln(1 - z) die Funktion auf der Kreisscheibe vom Radius 112 mit der Genauigkeit 2-" approximiert:

fur lzl < 112. Wir beobachten nun das unendliche Produkt auf einer offenen Kreisscheibe K, := { z lzl < r } mit einem festen, aber beliebig grol) gewahlten Radius. Sei la,/ > 2r fur alle n 2 no. Dann ist die erst beim Index no beginnende Reihe

I

I 1 3

auf K , gleichmkflig konvergent (weil dort $- < ist und obige Abschatzung greift) und stellt daher dort eine holomorphe Funktion go(z) dar. Daraus ergibt sich durch Anwenden von exp, dafi auf K , auch das beim Index no beginnende Produkt

gegen ego(') konvergiert und daher das gesamte, bei n = 1 beginnende Produkt gegen die holomorphe Funktion

deren Nullstellen offenbar die in h,' gelegenen Punkte der Folge mit den gewiinschten Vielfachheiten sind. Das alles gilt zwar nur auf K T , weil aber r beliebig groi3 gewahlt werden kann, ist der Satz damit bewiesen. 0 Als eine Folgerung aus dem WeierstraBschen Produktsatz ergibt sich zum Beispiel, daB jede auf C meromorphe Funktion Quotient zweier ganzer Funktionen ist ("Der Korper der meromorphen Funktionen auf C ist der Quotientenkorper des Ringes der ganzen Funktionen"): Zu einer gegebenen meromorphen Funktion h(z) auf @ konstruieren wir eine ganze Funktion g ( z ) , die an den Polstellen von h Nullstellen entsprechender Vielfachheit hat. Dann wird f := g . h nach Hebung der Singularitaten eine ganze Funktion

AUFGABE1: Aus der Partialbruchentwicklung fiir - leite man her. dai3

in kompakter Konvergenz auf C \ Z gilt.

AUFGABE 2: Seien wl, w2 E C reell-linear unabhangig. Man zeige, dai3 es bis auf Addition einer Konstanten genau eine doppelt periodische meromorphe Funktion mit den Perioden wl und wz gibt, die aui3er einem Pol bei 0 mit dem Hauptteil 1/z2 keinen weiteX2w2 I 0 5 Xi < 1) ren Pol im Fundarnentalbereich F := {Xlwl hat.

+

AUFGABE 3: Wie im WeierstraBschen Produktsatz sei eine Folge (an)n2l in C \ O mit limn,,an = m gegeben. Ferner seien ( c ~ ) und ~ > (~ E ~ ) Folgen , ~ ~ positiver Zahlen mit Cr=P=l cn < m und limn,, cnlanl = m . Man beweise: Werden die m n 2 0 so gewahlt, dai3

108 K a p i t e l 9. S a t z e von Mittag-Leffler und Weierstrafl fur alle z mit lzl < E, gilt, so konvergiert das zugehorige Weierstrafiprodukt gegen eine ganze Funktion mit dem vorgeschriebenen Nullstellenverhalten, und die Konvergenz der Folge der Teilprodukte ist ubrigens kompakt auf ganz C . AUFGABE4: Man zeige, dafi jede ganze Funktion f (z), die einfache Nullstellen an den ganzen Zahlen und sonst keine Nullstellen hat, eine Produktdarstellung

mit einer geeigneten ganzen Funktion g(z) besitzt. AUFGABE5 : Beweise

9.6

Hinweise zu den ubungsaufgaben

ZU AUFGABE1: Eine Anwendung der Aufgabe 4 des vorigen Kapitels.

ZU AUFGABE2: Fiir die Eindeutigkeit ist der Satz von Liouville zustandig, die eigentliche Aufgabe ist die Konstruktion, die durch Mittag-Leffler-Darstellung mit konvergenzverbessernden Summanden moglichst niedrigen Grades gelingen soll. Wird die additive Konstante durch die Forderung normiert, dafi der konstante Term der Laurententwicklung am Nullpunkt verschwinden soll, so erhalt man die sogenannte WeierstraJIsche p -Funktion p(z). ZU AUFGABE3: Beim Beweis des Weierstrafischen Produktsatzes haben wir nicht versucht, die mn moglichst niedrig zu halten,

9.6 Hinweise zu den ijbungsaufgaben

109

sondern der Einfachheit halber universe11 wirksame konvergenzverbessernde Faktoren gewahlt. Folgte man aber diesem Rezept in konkreten Beispielen, so wurde man oft unnotigen Aufwand fur die Konvergenzverbesserung treiben. Die Aufgabe zeigt, wie man sich fur eine vorgegebene Nullstellenfolge ( U , ) , ~ I die Grade m, maflschneidern kann. ZU AUFGABE4: Zuerst m d man argumentieren, weshalb die rechte Seite wirklich eine ganze Funktion mit den richtigen Nullstellen ist und dann die Aufgabe 4 aus dem 5. Kapitel zu Hilfe nehmen. ZU AUFGABE5: Zur Bestimmung der oben g ( z ) genannten Funktion in diesem Anwendungsbeispiel gibt es einen Trick: Man bildet auf beiden Seiten die logarithmische Ableitung und vergleicht mit der in Aufgabe 1 gegebenen Mittag-Leffler-Darstellung des Cotangens. Dann kennt man gf(z) und kann die noch fehlende Information daraus entnehmen, dai3 die Ableitung von sin 7rz am Nullpunkt 7r ist. Auszurechnen ist das schnell - solange man sich nicht darum kummert, weshalb man diese Prozeduren mit dem unendlichen Produkt so durchfuhren darf, als sei es ein endliches. Das mufl aber natiirlich jeweils begrundet werden.

10

Der Riemannsche Abbildungssatz

10.1 Der Satz Eine bijektive und in beiden Richtungen holomorphe Abbildung f :G + zwischen zwei Gebieten nennt man konform oder biholomorph. Leider wird in der alteren Literatur das schone Wort /Conform oft dafiir gebraucht, wofiir wir heute lieber lokal /Conform sagen, weshalb wir also vielleicht die Bezeichnung bzholomorph bevorzugen sollten. Unbedenklich ist es aber, zwei Gebiete konform aquivalent zu nennen, wenn sie biholomorph aufeinander abgebildet werden konnen. Zu wissen, ob zwei gegebene Gebiete konform aquivalent sind, ist wichtig, weil sie dann gewissermafien "dieselbe Funktionentheorie" haben. Zum Beispiel stiftet f(z) := ( z - i ) / ( z i ) eine biholomorphe Abbildung von der oberen Halbebene H := { z I Imr > 0) auf die Einheitskreisscheibe E := { z I lzl < 1). Dagegen ist die ganze Ebene nicht konform aquivalent zur Einheitskreisscheibe, weil nach dem Satz von Liouville jede holomorphe Abbildung f : @ + E konstant ist. Der Riemannsche Abbildungssatz gibt genau an, welche Gebiete zur Einheitskreisscheibe E konform aquivalent sind. Natiirlich kommen iiberhaupt nur einfach zusammenhingende Gebiete in Frage, weil namlich E selbst einfach zusammenhangend ist und deshalb auch jedes zu E homo"omorphe, erst recht jedes zu E konform aquivalente Gebiet. Von den Gebieten mit einer vertrauten geometrischen Gestalt sind viele sternformig und deshalb auch einfach zusammenhangend, zum Beispiel ovale Gebiete, dreieckige Gebiete, geschlitzte Ebenen, Viertelebenen und andere Sektoren der Ebene,

+

10.1 Der Satz

111

Streifen von endlicher oder unendlicher Lange und viele andere mehr. Einfach zusammenhangende Gebiete konnen aber auch sehr kompliziert ausgefranFig. 95. 'Geschlitzte' Ebene mit einer in den ste R&nder haben, Schlitz eingebauten Schikane: einfach zusamsich nach co hin im- menhangend mer mehr verzweigen oder sonstwie vertrackt sein. Denkt man sich fur ein konkretes solches Beispiel vor der Aufgabe, beweisen zu sollen, daB das Gebiet zur Einheitskreisscheibe konform aquivalent ist, so wird man kaum vie1 Optimismus verspiiren, zumal in Anbetracht der durch den Identitatssatz ausgedriickten Unflexibilitat holomorpher Funktionen: die Wahl von f auf einem kleinen Teil von G , auf dem kleinFig. 96. Einfach zusamrnenhangend sten Strichlein, legt die gesamte Abbildung schon unkorrigierbar fest. Um so erstaunlicher ist die Behauptung des Riemannschen Abbildungssatzes:

Riemannscher Abbildungssatz: Jedes von ganz C verschiedene einfach zusammenhangende Gebiet ist konform aquivalent zur offenen Einheitskreisscheibe. Fur den Beweis werden wir beinahe alle unsere bisher entwickelten Hilfsmittel heranziehen miissen. Aus dem Satz uber die Blatterzahl an mehrfachen Nullstellen (Satz 11 in 3.4) wissen wir schon, daB injektive holomorphe Funktionen iiberall von Null verschiedene Ableitung haben (ware fl(zo) = 0, so hatte f ( 2 ) - f(zo) bei zo eine mehrfache Nullstelle und konnte nicht injektiv sein). Eine injektive holomorphe oder in klassischer Sprechweise: schlichte Funktion f : G -+ C definiert also stets eine biholomorphe Abbildung auf das Bildgebiet f (G) , die Umkehrabbildung ist automatisch holomorph. Wir

112

Kapitel 10. Der Rieinannsche Abbildungssatz

brauchen also nur zu zeigen, dal3 es eine schlichte surjektive Abbildung f : G + E gibt. Der Beweis verlauft in drei Schritten: 0

In einem ersten Beweisschritt zeigen wir, dal3 man fur ein einfach zusammenhangendes G # @ stets eine schlichte Abbildung G -+ E finden kann, weshalb wir dann G c E und oBdA auch 0 E G voraussetzen durfen.

0

Im zweiten und raffiniertesten Schritt betrachten wir die Menge der schlichten Abbildungen f : G + E mit f ( 0 ) = 0 und stellen eine Beziehung zwischen dem infinitesimalen Streckungsfaktor 1 fl(0)l am Nullpunkt und der Grol3e des Bildes von f her, indem wir namlich beweisen, dal3 fur ein nicht-surjektives f der Faktor 1 fl(0)l noch nicht maximal sein kann.

0

Im dritten und letzten Schritt losen wir dann durch einen Grenzprozess die verbleibende Aufgabe, ein schlichtes f mit maximalem 1 f ' ( 0 )1 zu konstruieren.

10.2 Erster Beweisschritt

Sei also G # @ ein einfach zusammenhangendes Gebiet. Wenn das Komplement @ \G eine Kreisscheibe enthalt, sagen wir vom Radius r um einen Mittelpunkt a , dann wird G bereits durch f(z) := -&biholomorph auf ein Teilgebiet von E abgebildet. Im allgemeinen Fall genugte es daher, auf G eine schlichte Funktion zu finden, deren Bildgebiet zu irgend einer kleinen Kreisscheibe disjunlct ist. Das wollen wir mit einer holomorphen QuaFig. 97. Idee ist, G erst einmal aufzuklapdratwurzelfunktion zu pen, damit man im Komplement eine Kreiserreichen suchen. scheibe finden kann

10.2 Erster Beweisschritt

113

Nach Voraussetzung ist das Komplement von G nicht leer, oBdA sei 0 # G. Wir wollen nun auf G einen "Zweig" des Logarithmus, d.h. eine holomorphe Funktion In : G -+ C mit elnZ = z konstruieren. Einen solchen Logarithmus auf G ohne Theorieanwendung, ad hoc aus den Logarithmuszweigen auf den geschlitzten Ebenen zusammenstiicken zu wollen, wiirde bei kompliziertem G sicher eine unangenehme Aufgabe sein. Ganz einfach geht es aber mit dem Monodromiesatz (spezieller mit dessen Korollar 1 in 5.6): Wir wiihlen zu irgend einem zo E G ein wo mit ewO = zo und invertieren die Exponentialfunktion lokal bei wo auf einer kleinen Kreisscheibe K := {zl lz - zol < E } c G durch ein lo: K -+ @ . Dann ist wegen eeo(') = z auch

und somit eb(z) = $. Als Stammfunktion von $ ist to langs jeden Weges in G analytisch fortsetzbar, und d a G einfach zusammenhangend ist, Einschrankung einer holomorphen Funktion e : G -+ C , die dann wegen des Identitatssatzes Gberall in G die Gleichung ee(') = z erfiillt, nicht nur in K . Setze In := 1 . Dieser Logarithmus ermoglicht es uns nun, eine holomorphe Quadratwurzel v '- : G -+ C durch

: G -+ @ ist wirklich injektiv, zu definieren. Die Abbildung denn aus 6= folgt fi2 = fi2, also zl = 2 2 . Aber auch 6 wiirde zl = 2 2 aus 6= folge& wegen 0 # G kiinnen daher niemals w und -w zugleich im Bildgebiet @ sein. Fiir jede Kreisscheibe K c @ ist also die am Nullpunkt gespiegelte Kreisscheibe -K disjunkt zu &:die Quadratwurzelfunktion Fig. 98. Die gewiinschte Kreisleistet uns also den gewiinschten scheibe im Komplement Dienst. 0

Jzz

114

K a ~ i t e l10. Der Riemannsche Abbildunnssatz

10.3 Zweiter Beweisschritt Es sei also G c E einfach zusammenhangend, und obgleich wir G zuletzt 0 !j G angenommen hatten, sol1 jetzt 0 E G gelten, was wir ja durch Translation und Verkleinerung mit E dem Faktor jederzeit erreiFig. 99. OBdA G c E und o E G chen konnen.

@

Behauptung: 1st f : G -+ E eine schlichte finktion mit f (0) = 0 , die nicht surjektiv ist, sogibt es eine schlichte Funktion F : G -+ E mit F ( 0 ) = 0 und IF'(O)I > 1 fl(0)l.

Die Behauptung implizierte also, daf3 die Maximalitat von 1 fl(0)l in der Menge der schlichten f : G -+ E mit f(0) = 0 ein Surjektivitatskriterium ware. Beim Beweis werden wir von der Tatsache Gebrauch machen, daB die Transformationen der Gestalt

fur lzol < 1 die Einheitskreisscheibe biholomorph auf sich abbilden. Damit uns niemand nachsagt, wir hatten im Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes eine Liicke gelassen, wollen wir diese Aussage gleich hier an Ort und Stelle nachprufen: IZ - zo I < 11 - Fozl ist gleichbedeutend mit

also mit ( 1 - zZ)(1 - zozo) > 0 , woraus ersichtlich ist, daB fiir festes zo E E die angegebene Transformation w = w(z) jedenfalls genau die Punkte von E wieder nach E abbildet, und d a die Transformation w zo z(w) := 1 Fow

+

+

die Umkehrung angibt, ist E -+ E , z H w(z) als biholomorphe Abbildung der Einheitskreisscheibe auf sich nachgewiesen.

10.3 Zweiter Beweisschritt

115

Nun zum Beweis des Surjektivitatskriteriums. Gegeben sei also eine nicht surjektive schlichte Abbildung f : G -+ E mit f (0) = 0 und zo E E\ f ( G ) . Es bezeichne yo : E -+ E die durch

gegebene biholomorphe Abbildung. Dann enthalt das Bildgebiet G von yo o f : G -+ E die Null nicht, und da es als biholomorphes Bild von G naturlich auch einfach zusammenhangend ist, konnen wir wie im ersten Beweisschritt darauf eine holomorphe '- : -+ E definieren. Es sei nun y l : E -+ E Quadratwurzel v eine biholomorphe Abbildung, die dm Bild zl := der Null unter o yo wieder auf Null zuruckwirft, also etwa

v'-

J-zo

Fig. 100. Schematische ~ b e r s i c h tiiber die im zweiten Beweisschritt benutzten Abbildungen yo, J , 91h , F und f

Die Zusammensetzung F = y l o 'v o yo o f : G -+ E fassen wir nun als "Konkurrenz" zu f ins Auge. Jedenfalls ist F immer noch schlicht, und F(0) = 0. Ferner ist aber durch h(z) := y ~ 1 ( ~ ~ 1 ( zeine ) 2 ) holomorphe Abbildung E -+ E mit h(0) = 0 gegeben, fiir die h o F = f gilt. Nach dem Schwarzschen Lemma ist Ihl(0)( 5 1, ja sogar lhl(0)l < 1, weil h keine bloBe Drehung um den Nullpunkt sein kann. Also 0 If1(0)l = Ihl(0) . F1(0)l < IF1(0)I.

116

Kavitel 10. Der Riemannsche Abbildungssatz

10.4 Dritter Beweisschritt

Nach wie vor sei G c E einfach zusammenhangend und 0 Zu beweisen bleibt jetzt nus noch die Behauptung: Unter den schlichten Funktionen f : G f (0) = 0 gibt es eine mit groBtem Wert 1 f '(0) 1 .

-+

E

G.

E mit

Dafi die Menge der moglichen 1 fl(0)l uberhaupt beschrankt ist, folgt aus der Cauchyformel fur die Ableitung: 1st { z 121 5 E c G , so gilt

>

1

fur jede holomorphe Funktion f : G

-+

E , wegen

If

(2)

1 < 1 also

also existiert jedenfalls das Supremum

/

so := sup{ 1 f1(0)1 f : G + E schlicht mit f (0) = 0 }.

Sei nun (fn)n>l - eine Folge solcher Funktionen mit lim,,, 1 fA(0) 1 = so. Dann ist (f,)n21 beschrankt (durch I ) , also gibt es nach dem Satz von Monte1 eine kompakt konvergente Teilfolge, deren Grenzfunktion f genannt werden soll. Dann ist auch f(0) = 0 (trivialerweise) und 1 f'(0)I = so nach dem Satz uber die Konvergenz der Ableitungen, insbesondere ist f nicht konstant und deshalb sogar schlicht nach dem Satz von der Blutterzahl der Grenzfunktion, zu dessen Beweis, wie wir uns erinnern, man wiederum den Satz von Rouche', also das Nullstellen zahlende Integral und somit den Residuensatz braucht. Da schliefilich nach Konstruktion If (z)l 5 1 fur alle z E G gilt und f (G) nach dem Satz von der Gebietstreue offen ist, nlufJ f ( G ) c E sein. Damit ist auch der dritte und letzte Beweisschritt fur den Riemannschen Abbil0 dungssatz ausgefuhrt.

AUFGABE1: Man beweise die folgende Verscharfung des Riemannschen Abbildungssatzes: S e i G # @ e i n e i n f a c h z u s a m m e n h i i n g e n d e s G e b i e t u n d zo E G . D a n n gibt es g e n a u e i n e bihol o m o r p h e A b b i l d u n g f : G -+ E m i t f(zo) = 0 u n d fl(zo)> 0 . AUFGABE2 : Man beweise, dafi durch w(z) := c a 8 , 0 E R, zo E E die Automorphismen d e r Einheitskreisscheibe, d.h. die biholomorphen Abbildungen von E auf sich gegeben sind. AUFGABE3: Man beweise, dafi die durch z H $ gegebene Abbildung C U m 4 C U m "kreistreu" in dem Sinne ist, dafl sie Kreise und Geraden in Kreise oder Geraden abbildet. AUFGABE4: Nach dem Riemannschen Abbildungssatz ist der Kreissektor E g := { r e i 4 I 0 < y < 0 < r < 1) biholomorph auf E abbildbar. Man gebe eine solche Abbildung explizit an.

5,

AUFGABE5: Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung des ersten Quadranten { x i y I x, y > 0) auf die Viertelkreisscheibe { x iy I x , y > 0, x 2 y 2 < 1 ) .

+

+

+

AUFGABE6: Man zeige, dafi C \[-1, l] zu EO \ aquivalent ist.

biholomorph

7: Nach dem Satz von Liouville ist die Ebene nicht zur AUFGABE Einheitskreisscheibe konform aquivalent. 1st sie iiberhaupt nur zu sich selbst konform aquivalent? AUFGABE 8: Gibt es aufier C noch andere Gebiete, die zu keinem Teilgebiet von E biholomorph aquivalent sind? AUFGABE9: Mufi ein Gebiet G # C mit der Eigenschaft, daB es auf jedem zu G biholomorph aquivalenten, die Null nicht enthaltenden Gebiet eine holomorphe Quadratwurzel gibt, automatisch zu E biholomorph aquivalent sein?

118

Kapitel 10. Der Riemannsche Abbildungssatz

10.6 Hinweise zu den ubungsaufgaben Z U AUFGABE 1: Schwarzsches Lemma. Z U AUFGABE 2: Hatte sich auch nach Kapitel3 schon lijsen lassen, hier motiviert durch das Auftreten dieser Abbildungen im Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes. Z U AUFGABE 3: Die Aussage ist deshalb interessant, weil sie sich offenbar auf alle Mijbiustransformationen z H ad - bc # 0 (vergl. Aufgabe 7 in Kapitel 4) ubertragt, insbesondere auch auf die Automorphismen von E , wenn wir sie als Abbildungen C U ca + C U m lesen. Wie rechnet man die Behauptung nach? Die Kreisgleichung (z - zo)(z - zo) = r2 und die Geradengleichung Re(a - i b ) ( x + iy) = c lassen sich offenbar in der Form zZ + w Z + E z = X bzw. w z + wz = p schreiben. Z U DEN AUFGABEN 4 U N D 5: Der Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes hilft zum Auffinden einer konkreten Abbildung wenig. Man kennt ja aber viele einfache Beispiele von biholomorphen Abbildungen. Die Abbildung w(z) = z2 biegt zum Beispiel die Viertelebene biholomorph zur Halbebene und die Viertelkreisscheibe zur Halbkreisscheibe auf, analog andere Potenzen za fur andere Sektoren. Mit einem Logarithmuszweig kann man Sektoren der Ebene biholomorph in Streifen, Kreissektoren in Halbstreifen, Ringsektoren in Rechtecke verwandeln, die gebrochen lineare Transformation w = bildet die Kreisscheibe biholomorph auf die obere Halbebene ab, um nur einige zu nennen. Durch Kombination solcher Bauteile laBt sich schon vieles erreichen. Z U AUFGABE 6: Kihnte auch explizit ausgerechnet werden, hier aber als Anwendung des Riemannschen Abbildungssatzes gedacht. Aus zo E G und G E E folgt G \ z o E E\O, das ist ziemlich klar, aber leider ist unser Gebiet ersichtlich nicht von der Gestalt G\zo ! Kann man es in diese Gestalt 'bringen' ? Z U DEN AUFGABEN 7 U N D 8: Einfache Aufgaben zum Durchdenken der Begriffe. Z U AUFGABE 9: Sol1 dazu anregen, den ganzen Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes noch ein~naldurchzugehen und dabei genau zu beobachten, welche Rolle die in der Aufgabe genannte Eigenschaft darin spielt .

s,

Literaturverzeichnis

[I] AHLFORS,L.V.: Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 2. Auflage 1966 [2] BEHNKE,H.; SOMMER,F.: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veranderlichen, Studienausgabe vorn Nachdruck der 3. Auflage, Springer-Verlag 1976 [3] CARTAN,H.: Elementare Theorie der analytischen Funktionen einer oder mehrerer komplexen Veranderlichen, BI-Hochscliultaschenbucll 112, Bibliographisches Institut, Mannheim-WienZiirich 1966 [4] CONWAY, J.B.: Functions of One Complex variable, korrigiertes Nachdruck der 2. Auflage, Springer-Verlag 1986

[5] DIEDERICH,I<.; REMMERT,R.: Funktionentheorie I, Heidelberger Taschenbiicher Band 103, Springer-Verlag 1972

[6] REMMERT,R.: Funktionentheorie I, Springer-Verlag, 3. Auflage 1992 [7] REMMERT,R.: Funktionentheorie II, Springer-Verlag 1991

Register

Abbildungssatz 111 Ableitung 1 - , logarithmische 45, 85 - , formale 3 Ableitungskriterium 97 absolut konvergentes unendliches Produkt 104 analytische Fortsetzung - langs einer Kreiskette 46 - langs eines Weges 51 Automorphismen - der Einheitskreisscheibe 117 - der komplexen Ebene 44 der Riemannschen Zahlenkugel 44 -

Basispunkt 57 bei m (am Punkte cm)77 berandender Zykel 86 biholomorph 33, 110 - , lokal 26 Blatterzahl 28, 92

C1-Abbildung 14 Casorati-Weierstrafl, Satz von 42 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 7 Cauchysche Abschatzung - fur die Laurentkoeffizienten 401 - fiir die Taylorkoeffizienten 23

Cauchysche Integralformel fur eine Kreisscheibe 20 - Umlaufszahlversion 72 Cauchysche Koeffizientenformel - fiir Laurentreihen 40 - fur Potenzreihen 21 Cauchyscher Integralsatz - fur Bilder von Rechtecken 14 - fur den Kreisring 16 - fur die Kreisscheibe 17 - fur ein Rechteck 11 - "Umkehrung" 24 - Umlaufszahlversion 69 Cosinus 5

-

Differential 5 differenzierbar - komplex 1 - reel1 5 df, 5 doppelt periodische Funktion 89 Drehstreckung 8 e -Funktion (Exponentialfunktion) 5 einfach zusammenhangend 58 erster Nebenzweig 50 Exponentialfunktion 5

Register

formale Ableitung 3 Fundamentalgruppe 57 Fundamentalsatz der Algebra 23 ganze Funktionen 5 Gebiet 29 Gebietstreue 30 gebrochen lineare Transformationen 45 geschlitzte Ebene 48, 49 geschlossener Weg 55 Gitter 70 Goursat. Satz von 22 Haufungspunkt 29 Haufungspunkt-Kriterium 96 harmonisch 7 Hauptteil - einer Funktion an einer isolierten Singularitat 42 - einer Laurentreihe 38 Hauptwert 81 Hauptzweig des Logarithmus 49 hebbare Singularitat 35 Hebbarkeitssatz 42 holomorphe Funktion 1 - Quadratwurzel 113 homotop 55 Homotopie 55 Homotopieklasse 56 Homotopierelation 56 -

Identitatssatz 29 Integral 10, 53 .&-iOl=r f ( z ) d z 16 isolierte Singularitat 35

121

Jacobi-Matrix 6 Kantenweg 70 kompakt konvergent 91 komplex differenzierbar 1 konform 110 - aquivalent 110 - , lokal 8 Konvergenzpunkt 2 - kreis 2 - radius 2 Kreiskette 46 - , langs einer Kurve 50 k-te Wurzel 27 Kurvenintegral 10 - der reellen Analysis 17 - langs nur stetiger Wege 53 Lange einer Kurve 17 Laplace-Gleichung 7 Laurentreihe 38 - , Hauptteil 38 - , Nebenteil 38 Laurentreihenentwicklungssatz 40 Liouville, Satz von 23 logarithmische Ableitung 85 Logarithmuskriterium 103 Logarithmuszweig 49 lokal - beschrankt 94 - biholomorph 26 - diffeomorph 26 - gleichmafiig konvergent 91 - konform 8 lokale Vertraglichkeit 51 Maximumprinzip 30 meromorph 36

Register

Mittag-Leffler, Satz von 100 Mittelwertsatz 21 Mobiustransformation 45, 118 Monodromiesatz 59 Montel, Satz von 96 Morera, Satz von 24 Multiplikationsmatrix 6 Nebenteil einer Laurentreihe 38 Nebenzweig 50 nullhomotop 58 Nullst elle - einfache 26 - k -fache 26 - , Ordnung 26 - , Vielfachheit 26 Null- und Polstellen - zahlende Umlaufszahl 87 - zahlendes Integral 86 Partialbruchzerlegung 99 Picard, Satz von 43 Pol 35 - , Ordnung 36 Polarkoordinaten 27 Potenzreihe 2 - um den Nullpunkt 4 - um zo 4 Potenzreihenentwicklungssatz 21 Produktsatz von WeierstraB 106 Quadratwurzel, holomorphe 113

Randkurve eines Rechtecks 11 rationale Funktionen 2 reel1 analytisch 32 Residuenbestimmung 78 Residuenformel 73 Residuensatz 73 Residuum 73 Riernannscher - Hebbarkeitssatz 42 - Abbildungssatz 111 Rouchk. Satz von 88 Satz von Casorati-WeierstraB 42 - von Goursat 22 - von Liouville 23 - von Mittag-Leffler 100 - von Montel 96 - von Morera 24 - von Picard 43 - von Rouchk 88 - uber das Null- und Polstellen zahlende Integral 86 - iiber die Null- und Polstellen zahlende Umlaufszahl 87 - uber das Verhalten bei Nullstellen 26 - uber die Blatterzahl - - bei einer Nullstelle 28 - - der Grenzfunktion 93 - uber die Gebietstreue 30 - iiber die Homotopieinvarianz der analytischen Fortsetzung 59 -

Register

uber die kompakte Konvergenz der Ablei tungen 92 Schleife 57 schlichte Funktion 93 Schwarzsches - Lemma 31 - Spiegelungsprinzip 25 Singularitat, isolierte 35 - , hebbare 35 - , wesentliche 36 Sinus 5 Spiegelungsprinzip 25 Stammfunktion 1 sternformig 58 stuckweise C1 11 Substitutionsregel 10 -

~bereinstimmun~smenge 30 umlaufen 69 Umlaufszahl 66 Umlaufszahlversion - der Cauchyschen Integralformel 72 - des Cauchyschen Integralsatzes 69 unendlich 77 unendliches Produkt 103

123

Verbindungsstrecke 15 Verbindungsweg 15 Verhalten im Unendlichen 77 Vorfahrtsregel 67 Weg 54 - , geschlossener 55 - , inverser 54 - , Zusammensetzung 54 Weierstrahche @-Funktion 108 WeierstraBscher Konvergenzsatz 91 - Produktsatz 106 wesentliche Singularitat 36 Winkel 66 Winkelmessung 66 Wurzel 27 zusammenhangend 29 , einfach 58 Zusammensetzung - von Wegen 54 - von Homotopieklassen 56 Zweig - des Logarithmus 49 - einer Funktion 61 Zykel 64 -