Grundlagen der Ephemeridenrechnung (Astro Praxis)

Grundlagen der Ephemeridenrechnung Oliver Montenbruck Grundlagen der Ephemeridenrechnung 7. AuÀage Wichtiger Hinwe...

Author: Oliver Montenbruck

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Grundlagen der Ephemeridenrechnung

Oliver Montenbruck

Grundlagen der Ephemeridenrechnung 7. AuÀage

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5 4 3 2

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikrover¿lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektorat: Katharina Neuser-von Oettingen, Anja Groth Layout: Oliver Montenbruck Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu–Ulm Titelfotogra¿e: Photodisc ISBN 978-3-8274-2291-0

VI

Vorwort

astronom ischen JahrbUchern. Dem Leser werden dabei alle erforderlichen Werkzeuge und Daten zur Verfügung gestellt: • die grundlegenden Deflnitionen wichtiger Begriffe. insbesondereder verschiedenen Koordinatensysteme. • die notwendigen Formeln und Beziehungen und • die erforderlichen Zahlenwerte, wie Bahnelemente, Massen und astronomische Konstanten. Auf Ableitungen der Fonneln wurde irn Wesentlichen verzichtet, urn die Übersichtlichkeit und den Zusammenhang der Darstellung nicht zu verlieren. Im Anhang istjedoch eine knappe Ableitung des Zweikörperproblems gegeben, die dem interessierten Leser ein tieferes Verständnis und den Einstieg in die weiterführende Literatur ermöglichen. Anstelle fertiger Program me bietet das Buch zahlreiche Beispie1e, die Schrilt fur Schritt die einzelnen Rechenwege illustrieren und den Nutzern von Taschenrechner und Tabellenkalkulation ebenso zu Gute kommen, wie fortgeschrittenen Computernutzern und Softwareentwicklern. FUr die vorliegende Neuauftage wurde das Buch in weiten Teilen Uberarbeitet. Die Zahlenwerte im Text sowic im umfangreichcn Tabellentei l wurden durchgängig aktualisiert und an die derzeit gängigen Standards angepasst. Im gleichen Zuge wurden eine Vielzahl von Beispielen neu gestaltet und fUr aktuelle Epochen umformuliert. Ergänzt wird das Buch dureh ein Glossar. das wichtige Begriffe in kurzer und prägnanler Form erläulerl und mit freundlie her Genehmigung des Springer Verlags, Heidelberg. aufgenommen wurde. HeITn Dr. M. Neumann und Frau B. Wehner vom Verlag Sterne und Weltraum danke ich fUr das Interesse arn Erscheinen dieser Neuauftage und die tatkräftige UnterstUtzung bei der graphischen Gestaltung. Weite Teile des ursprUnglichen Manuskripts wurden dankenswerter Weise von Herrn R. Götz in ~TEX erfasst. FUr die trotz sorgfältiger Durchsieht des Te,({es verbliebenden Schreib- und Reehenfehler liegt die Verantwortungjedoch alleine auf Seiten des AUlors. der hiermit alle Leser urn Verständnis bittet und entsprechende Hinweise gerne entgegennimmt. München, Mai 2001

Oliver MOlltenbruck

Inhaltsverzeichnis

1 Koordinatensysteme 1.1 Grundlagen . . . 1.2 Die verschiedenen astronomischen Koordinatensysteme . 1.2.1 System der Bahnebene .. . . . . . . . . . . . 1.2.2 Heliozentrisches ekliptika les Koordinatensyslem 1.2.3 Geozentrisches ekliplikales Koordinatensystem l.2.4 Geozemrisches äquatoriales Koordinalensyslem . 1.2.5 Topozentrisches äquatoriales Koordinatensystem l.2.6 Horizontales Koordinutensystem . 1.3 Transformation der verschiedenen Systeme

1 1 3 5 6 7 8 9 10 11

1.3.1 8ahnebene - heliozentrisch ekliptikal 1.3.2 Heliozentrisch ekliptika! - geozentrisch ekliptika] . 1.3.3 Geozcntrisch ekliplikal - geozentrisch aquatorial. 1.3.4 Geozentrisch äquatorial - topozentrisch äqualorial 1.3.5 Äquatorial- horizontal . 1.3.6 Refraktion . 1.3.7 Auf- und Untergangszeiten. 1.4 Präzession und Nutation . 1.4. 1 Präzession 1.4.2 NUialion 1.5 Aberration und Lîchtlaurzeit Rechenbeispiele .

11 13 14 15 16 17 18 21 21 28 30 33

2 Zeitrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Das l ulianische Datum . 2.1 .1 Bestimmung des Julianischen Datums . 2.1.2 Bestimmung des Kalenderdatums aus dem Julianischen Datum . . . . 2.2 Die verschiedenen Zeitdefinitionen . . . 2.2. 1 Internationale Atomzeit . . . 2.2.2 Ephemeridenzeil und Dynamische Zeil 2.2 .3 Weltzeit .

41 41 42

43 43 43 43 45

VIII

JnhaJtsverzeiclmis

2.2.4 Koordinierte Weltzeit . 2.2.5 Stemzeit 2.3 Standardepochen und Besseljahr Rechenbei spiele .

46 46 48 49

3 Das Zweikörperproblem 3.1 Der Ort im Zweikörperproblem . 3. l.! Elliptische Bahn . . 3.1.2 Parabolische Bahn 3.1.3 HyperbolischeBahn 3. 1.4 GeradJinige Bahn . 3.1.5 Reihenentwicklungen 3.2 Die zeitliche Änderung des Ortes im Zweikörperproblem 3.2 .1 Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . 3.2.2 Vis-v jva-Sa{z 3.2.3 Geschwindigkeitsvektor 3.3 Beslimmung der Bahnelemente aus Ort und Geschwi ndigkeit 3.3. 1 Die Lage de r Bahnebene 3.3.2 Die Bahnform 3.3.3 Perihellänge 3.3 .4 Perihelzeit Rechenbeispiele . .

51 51 52 58 61 64 65 67 67 67 68 69 70 71 72 74 77

4 Das Mehrkörperproblem 4.1 Analytische Methoden . 4.1.1 Grundlagen . . 4.1.2 Die Newcombsche Sonnentheorie 4.1.3 Planetentheorien . . . 4.2 Numerische Integration 4.2. 1 Berechnung der Beschleunigungen Rechenbeispiele .

81 81 81 83

5 Die Mondbahn 5.1 Die mittlere n Längen . . . . . . . 5.2 Die wahre ek lipcikale Länge . 5.3 Die e kl iptikale Breite des Mondes 5.4 Entfemung, Halbmesser und Parallaxe 5.5 Die Lage des Erdmittelpunktes Rechenbeispiele . .

95 95

87 87 89 92

96 97 97 98 100

Inllallsverzeicllnis

6

Physische Ephemeriden . . . . . . . . .

101

6.1 Durchmesser... . . . . . . . . . . . . 6.2 Elongation und Positionswinkel der Sonne 6.3 Beleuchtung der Scheibe 6.3.1 Phasenwinkel . . . . 6.3.2 Phase 6.3.3 Beleuchtungsdefekt. 6.4 Rotation 6.4.1 Lage der Rotationsachse 6.4.2 Lage des Nullmeridians 6.4.3 Positionswinkel der Achse 6.4.4 Planetographische Koordinaten, Zentralmeridian 6.5 Scheinbare HeIligkeiten . Rechenbeispiele .

101 102 103 103 104 104 105 lOS 105 108 109 1i1 112

Anhang .

115

AI A2 A3 A.4

Grundformeln zur Berechnung sphärischer Dreiecke . Aufstell ung von Transformationsformeln liber Drehmatrizen Ableitung der Kegelschnittsgleichungen . . Ableitung der Gesetze der Zweikörperbewegung. . A4.1 Mathematische Hilfsmittel . . . A4.2 Schwerpunktsatz und Übergang ins Relativsystem A.4.3 Bahnform und Energiesatz . . A.4.4 Zeitabhängigkei t der Bewegung . . . A.5 Tabelle des lulianischen Datums von 1900 bis 2075 A.6 Tabel le der Differenz TT- UT . . . . . . . . . . . A.7 Mittlere Bahnelemente der inneren Planeten . . . A.S Oskulierende Bahnelemente der äuBeren Planeten A.9 Bahnelemente periodischer Kometen A.I0WichtigeZahlenwcrte .

liS 116 119 123 123 124 126 128 132 136 137 140 151 158

Glossar

161

literaturverzeichnis

167

Sachwortverzeichnis

171

IX

1 Koordinatensysteme

1.1 Grundlagen

Urn den Ort eines Körpers im Raum zu beschreiben. benötigt man ein Koordi natensystem, das du reh einen Nullpunkt. eine Bezugsrichtung und eine Bezugsebene festgeJegt is\. Man unterscheidet zwischen kartesischen (rechtwinkligen) Koordinaten und sphärischen Koordinaten (Polarkoordi natcn).

, ,

Null

unkt;O'E - - - -i----,f.+ y

,

-

NuIlPun:~~,t;;;:::b::--i-:T~ Bezugsrichtung

Abb. 1.1: Dan;tellung eines Punkies in kartesischen Koordinalcn

Abb.1. 2: Darstcllung cincs Punkies in I'olarkoordinalen

Grundlagedes kartesischen Systems sind diedrei Koordinatenachsen (x-, y- und z-Achse), die sich im Nullpunkt schnciden. Bezugsrichlung

is! die x-Achse, Bezugsebene die x-y-Ebene. Die Koord inaten x. y und Z, die ei nen bestimmten Pu nkt beschreiben, sind die Ulngen der Projektion des Punkies uuf die entsprechenden Achsen. Im Polarkoordinatensystem werden der Winkel zwischen der Grundebcne und der Verbindung Nullpunkt-Punkl ({3), der Winkel zwischen der Projektion dieser Verbindung uuf die Grundebene und de r Bezugsrichtung (.>') sowie die Entfern ung r des Punktes vom Nullpu nkl angegeben. lm Pri nzip sind beide Darstellungen des Ortes eines Punkies im Raum völlig gleichwertig, die sphärischen Koordinaten bielen aber gerade in der Astronomie den Varteil. dass man sich auf die Angabe van zwei Koordinaten beschränken kann, wenn man nichts über die Entfer-

8

I

Koordinatensysteme

1.2.4 Geozentrlsches äquatorlales Koordlnatensystem

Gibt man den Ort des Planeten vom Erdmittelpunkt aus gesehen in Bezug auf den Himmelsäquator an, dann erhält man die in der Astronom ie al lgemein Ublichen Koordinaten Rektaszension und Deklinariolt. Urspnmg: Bewgsebene: Bezugsrichlllng: Koordinale/l:

Erdmittelpunkt Äquator eines festen Äquinoktiu ms Frühlingspunkt eines festen Äquinoktiums Ll: Entfemung von der Erde ó: Deklination; Winkel zwischen der Linie ErdePlanct und dem Himmeisliquator. gemessen van Süden (_90°) nach Norden (+90~). Rektaszension: Winkel zwisehen dem Frühlingspunk! und der Projcktion der Linie Erdc-Planct auf den Äqualor. gemessen von Oh bis 2
Pole:

Die positive z -Achse weist in Richtung des Nordpols der Erde. PunkIe mit ó > 0 (z > 0) liegen nördlich des Äquators.

z = Llsin(ó)

Àquator

18"

Narden

~

l-Aehse

12" Ekliplik

Abb.1.7:

...

x-Aehse

......

Frilhllngspunkt y

y-Aehse

DaJSteUung cines Punktes in geozcntrischen äquatoriaJen Koordinaten

6n

1.2

Die verscbiedenen astronomiscben Koordinalensyslcme

1.2.5 Topozentrlsches äquatoriaies Koordinatensystem

Unter einem lopozentrischen Koordinatensyslem verSlehl man ein Koordinatensyslem, dessen Ursprung auf der Oberfläche der Erde liegt. Als Bezugsebene wird eine Ebene verwendet, die parallel zum Äquator liegt und durch den ausgewählten Punkt der Erdoberfl äche gehl. Bezugsrichtung ist wieder der Frühlingspunkt. Das topozentrische Koordinatensystem ist damit bis auf die Verlagerung des Nullpunktes mit dem geozentrischen äq uatorialen System identisch. Abgesehen van sehr kleinen Erdentfernungen (Mond, Satelliten) unterscheiden sich auch die Koordi naten eines Objektes in den beiden Systemen nur unwesentlich. In jedem Fal! sind in Abschn. 1.3.4 die entsprechenden Transformationen zu fi nden. Man sollte sich allerdings klar darüber sein, dass man zur Berechnung der horizontalen Koordinaten (siehe Absch n. 1.2.6) eigentl ich van topozentrischen Koordi naten ausgehen muss. In diesem Zusammenhang sollen hier noch einige Punkte bemerkt werden: • die Dekli nation des Zellits (d .h. des Punktes senkrecht über dem Beobachter) ist (topozentrisch und geozentrisch) gleich der geographischen S reite des Seobachters, wenn man ei nmal van der leichten Abplattung der Erde absicht: • die Rektaszension des Zenits hängt dagegen von der geographischen Länge und der Uhrzeit, nicht aber von der Breite des Bcobachters ab. Man kann damit die wichtigen Begriffe Sternzeit und Stundenwinkel einführen: • Die Stemzeit () iSI die auf den momentanen Frühlingspunkt und Äquator bezogene Rektaszension des Zenitpunktes. Zu einem bestimmten Zeitpunkt hat sie fUr alle Beobachter auf gleicher geographischer Länge de n gleichen WeTt. • Der StulldellwillkeJ t is! die Differenz zwischen der Sternzeit und der auf den momentanen Frühlingspunkt und Äquator bezogenen Rektaszension eines Sterns: t = () - Q. Die Slernzeil ist damil der Stundenwinkel des Früh lingspunktes (vg!. Abb. 1.2.5). Die Grölkn () und t werden wie Q im ZeitmaB gemessen. Meridlan

Osten --jI==i==~.~'Si,,~·~=~"~==;·~'Y'T-westen Abb. l .8: Zusammenhang l:wischen Slcrmcil (0), Rektaszcnsion (cr) und Smndcnwinkel (t)

9

14

1 Koordina!Cnsysleme

1.3.3 Geozentrlsch ekllptlkal- geozentrlsch äquatorlal

Mit Hilfe der folgenden Formeln lassen sich geozentrische e kliptikale Koordinaten in äquatoriale verwandein. Daw benötigt man noch den Wert der sa genannten Schiefe der Ekliptik, die die relative Lage van Äquator und Ekliplik fesllegl: e Winkel. unter dem sich Äquator und Ekliptik schneiden. Der Winkel ist zeitlich veränderlich und muss entsprechend dem Äq uinoktium der Ausgangsdaten berechnet werden. Z .B. is! eB1950 = 23°26'44~'86, eJ2000 = 23°26'21 ~'45.

HilfsgröfJeli T ~ (JD - 2451545.0)/36525 e = 23 0 26'21 ~'45 ~ 23~439291

46~/82T

- 0'013004 T

Ekliptikaf jn äquarorial

co,(ó) co,(a) ~ cos(P) co,(.\) cos( ó) sin(o:) = COg(g) cos{fj) sin(..\) - sin(g) sin(fj) = sin(g)cos(fj)sin(..\)+cos(e)sin{fj) sin(ó) Äqualorial

jn

ekliptika!

co'(P)co,(.\) ~ co,(ó)co,(a) cos({3) sin(..\) = COS(e) cos{ó) sin(a) + sin(e) sin(ó) sin({3) = Cos(e)sin(ó) -sin(e) cos(ó) sin (a) JD T e a, Ij

..\, {3

Julianisches Datum des Äquinoktiums Jahrhunderte scil 1. Jan. 2000, 12 h Ekliptikschiefe; muss fUr das Äquinoktium der Ausgangsdaten berechnet werden äquatoriale geozentrische Koordinalen ekliplikale geozentrische Koordinaten

Ll bezeichnet in beiden Systemen die Entfernung vam Erdmittelpunkt und wird nichl lransformiert. Das Äquinoktium der Ausgangsdaten ist gleich dem der lransformierten Werte.

I.) Transformaûon der verschiedencn Systeme 1.3.5 Refraktlon

Beim Eintritt in die optisch dichtere Erdatmosphäre wird das Licht eines Himme lskörpers zur Lotrichtung hin abgelenkt. Diese als Refrakriol! bezeichnete Lichtbrechung fUhrt dazu, dass die vam Boden aus beobachtete Höhe über dem Horizon! immer gröBer als die geometrische Höhe des Objektes is!. Beobachtungsrichtung

Uchtweg

Abb. l .14: Li chtablenkung in der Atmo· sph:!re (Refraktion)

Beobachter

Aufgrund des längeren Lichtwegs iSI die Refraktion in Horizontnähe arn gröBlen. Sie beträgl hier rund ein halbes Grad und verändert so auch maBgeblich den Zeitpunkl des Auf- und Untergangs. Der genaue Wen der Refraktion häng! vom jeweiligen Brechungsindex der Atmosphäre und damit van Temperatur und Lufld ruck ab. TaOOllo1.1: Normatrdrakûon tion der scheiDbaren Höhe h'

h'

r

0 36'36" 0

}O

20 30

25'37" 19'07" 14'59"

r

5 10'15" 0

100 200 30 0

5'30" 2'44" 1'44"

.1, Funk·

h'

r

50° 0'50" 70° 0'22" 90° 0'00"

r P [3.430289(Z' - arcsin[O.9986047 sin(O.9967614z')]) - 273 + T -O.Oll15929z'

h, h'

z'

T p r

1

Geometrische und scheinbare Höhe über dem Horizont Scheinbare Zenitdistanz in Grad (z' = 90° -h') Temperatur am Boden in (0C] Luftdruck in (hPa (= mbar)] Refraktion (r = h'-h) in Bogenminuten

Für Höhen über 5° kann auch die einfache Näherung r = I' /tan(h') verwendet werden.

17

18

I

Koordinalensyslerne

1.3.7 Auf- und Untergangszeiten Der Stundenwinkel, bei dem ein Himmelskörper gegebener Deklination eine bestÎmmte Höhe h tiber dem Horizont erreicht, lässl sich durch Aunösung der obigen Gleichung fUr sin(h) nach cos(t) ermitteln. Bei der Berrechnung von Auf- und Untergangszeiten ist allerdi ngs zu beachten, dass das Sichtbarwerden eines Gestirns von seinem Durchmesser, der Refraktion und de r Parallaxe am Horizont abhängt. Man verwendet übl icherweise fo lgende WeTte: h = -0°50' Sonnenauf- oder -untergang h = + ooOS' Mondauf- oder -untergang h = - 0°34' bei Sternen oder Planeten astrOl/omische Dämmerung h = _ 180 h = _ 12 0 nautische Dämmerung h = _ 60 bürgerliche Dämmerung Die Uhrzeit, zu der ein Himmelskörper ei ne bestimmte Höhe Uber dem Horizont crreicht, lässt sich nur näherungsweise berechnen, wenn sich seine Rektaszension und seine Dekl ination im Laufe der Zeil verände mo Hierzu eignet sich das folgende Schema:

Bezeiclmungen

>., 'P h

T, 8, a i.ói

geographische Länge und Breile des Beobachtungsortes gesuchte Höhe Uber dem Horizont i-te Näherung fUr die lokale Uhrzeit (z.B. Mitteleuropäische Zeit), zu der der Himmelskörper die Höhe h über dem Horizont erreicht zugehörige Ortssternzeit (mittlere genug\) Rektaszension und Deklination zur Zeit Ti bezogen auf das Äquinoktium des Datums

AnfalJgsnäherulIgel1

Ta = 6 h Ta = 12 h Ta = IS h

Sonnenaufgang. Morgendämmeru ng Auf- und Untergang von Sternen und Planeten Sonnenuntergang. Abenddämmerung

Verbesse rUI/gsschritt

• Berech nung der Sternzeit Oi aus der Uhrzeit Ti, dem Datum und der geographischen Länge >. (siehe Abschn. 2.2.5). Ab dem zweiten Schrin genUgt die Formel

Oi = Oi_ 1 +1.0027379· (Ti - Ti_I)

1.3

Transforrnation der verschiedenen Sysleme

• Berechnung der Koordinaten O'i und 6i ohnehin konstant sind (Fixsterne).

ZUT Zeit Ti, soweit

diese nicht

• Berechnung des Stundenwinkels Ti , den der Himmelskörper zur Zeil Ti hat: T;

= 0; -

0' ;

Durch Addition oder Subtraktion von 241> sorgt man dafüT, dass zwischen _ 12 h und + 12h liegt.

Ti

• Berechnungdes Stundenwinkels t i , den der Himmelskörper bei einer Deklination Ói hal, wenn er in der Höhe h liber dem Horizont steht: sin (h ) - sin(rp) sin (6;)

x ti

CO,(",) co, (b,)

=

±

Cl;o)

arccos(x)

Das Vorzeichen van t i ist positiv für Ereignisse in der westlichen Himmelshälfte (Untergänge, Abenddämmerung) und negativ fUr Ereignisse in der östlichen Himmelshälfte. • Berechnung der zeitlichen Änderung des Stundenwi nkcls: n = 1.0027379 Sterne n = 1.0 Sonne n = 1.0027 - (dajdT ) Mond, Planeten. Beim Mond setzt man im eTsten Schriu da j dT = 0.0366, bei den Planeten da j cfI' = O. In allen weiteren Schrilten wählt man do a i - O'i_ 1 dT ti - T i _ 1 • Hiermit ergibl sich schlieBlich der verbessene Wen Ti+l

ti - Ti

= Ti + ---

n

fUr die gesuchte Auf- bzw. Untergangszeit. Isi Ti im Laufe der Iteralion negaliv oder gröBer als 24 h, so findet das gesuchte Ereignis am Vortag bzw. am nächslen Tag statt. Gegebenenfalls kann man einen urn 24 h /n vergröBerten oder verkleinerlen Werl von T; zur Fortsetzung der Iteralion verwenden. Bei Sternen lierert bereits die erste Iteration die gesuchte Zeil T . da hier keine Bewegung in Deklination slalfindet. Bei anderen Himmel skörpern genUgen - von Ausnahmen (Mond! ) abgcsehen - meisl zwei Iterationen.

19

20

I

KoordillalclIsysteme

Problemfiille

• Ist während der heration die Grö!3e Ix;! in einem der Rechenschrilte gröBer als Eins, dann bedeutet dies, dass der Himmelskörper die gesuchte Höhe bei einer Deklination Ói nicht erreichen kann. Beispiele hierzu sind Polartag und Polarnacht. Da sich die Deklination von Sonne, Mond und Planeten im Laufe eines Tages verändert. kann das gesuchte Ereignis aber möglîcherweise den noch stattfinden. Es empfiehlt sich dann, einen anderen Startwert To zu verwenden . • Die Zeit zwischen zwei Sternauf- ader -untergängen ist mil 23 11 56'" etwas kürzer als 24 h , so dass das gleiche Ereignis an einem Kalendertag zweimal auftreten kann. • Die Zeit zwischen zwei Mondauf- ader -untergängen beträgl im Miltel elwa 25 h. Aus diesem Grunde gibt es im All gemeinen in jedem Monat einen Tag, an dem kein Mondaufgang stattfi ndel, und einen weiteren Tag, an dem der Mond nicht untergeht.

22

I

Koordin31ensysleme

Die Bewegung des Äquators

Die Erdachse weicht der aufrichlenden Kraft van Sonne und Mond auf den Äqualorwulst der Erde aus und dreht sich in 26000 Jahren einmal rückläufig um den miltleren Pol der Ekliptik. Der Erdäqualor schlie!lt dabei mit der Ekliptik van 12000 den nahezu festen Winkel

w = 23°26'21"

+ O~'05 . T 2

ein. Allerdings ist der Schnittpunkl i' 1 zwischen dem Äqualor (t) und der Ekliplik(J2000) gegenüber dem Schnittpunkt i' 0 van Äqualor(12000) und Ekliptik(12ooo) um den Winkel

1/1 =

5038~'8· T - l~'l· T 2

zurückgewandert. Man bezeichnel ihn allgemein als Lllllisolarpräzes5;0/1.

Die Bewegung der Ekiiptik

Ursache für die Verschiebung der Ekliptik sind nicht wie bei der des Äq uators Sonne und Mond , sondern die Planelen. Sie bewirken durch ihren wechselnden Einftuss ei ne Schwingung der Ekl iplik um die mi ttlere Lage mit einer Periode van 41000 Jahren und einer Auslenkung van etwa Q?85 . Über einige Jahrhunderte hinweg Jässt sich die Neigung der Ekliptik(t) gegenilber der Ekliptik von 12000 jedoch durch die vereinfachte Beziehung 1T

= 47~'OO· T - O~'03· T 2

darste[[en. Die Schningerade Ekliptik(12000)-Ekliptik(t) schlie!ll mit dem FrOhlingspunkl i' 0 van 12000 dabei den veränderlichen Winkel

17 = 174°52'35" -

869~'8·

T

ein. FUr T > 0 bezeichnet [[ den Punkl. in dem die Erde im jeweiligen lahr die Ekliptik van J2000 im aufsteigenden Sinn durchquert. fUr T < oentsprechend den Punkt des absteigenden Durchgangs. Weltere OröBen

Obwohl die Lage der verschiedenen Ebenen durch die obigen vier Winkel bereits eindeutig festgelegt iSI, gibl es eine Reihe weiterer Grö!len für den praktischen Gebrauch in den nachfolgenden Transformationsformeln. Besanders wichtig ist hierbei der Winkel é

= 23°26'21" - 46~'8 2· T

1.4

Präzession und Nutation

zwischen Ekliptik(t) und Äquator(t). Weiterhîn kann man den Betrag der (rechtläufigen) Verschiebung des Schnittpunktes T von Eklîptik(t) und Äquator(t) gegenüber dem Schnittpunkt Tl von Ekliptik(J2000) und Äquator(t) angeben. Da diese Verschiebung durch die Bewegung der Ekliptik bewirkt wird, deren Ursache wiederurn die Planeten sind. bezeichnet man den Winkel

x=

1O~'55 . T - 2~'38· T 2

auch als pfallerare Präzessioll. daraus ergibt sich schlieBlich der Begriff der allgemeill€1I Präz€ssioll illliillge. unter dem man die Differenz p= A-

n=

5029~'1O· T + 1~/l1· T 2

der Winkel LNT0 und L NT versteht. In Abb. 1.15 sind darüberhinaus noch einige weiter GröBen gekennzeichnet, die in den folgenden Transformationsformeln Verwendung finde n. 8 bezeichnet dabei den Winkel zwischen dem Äquator von J2000 und dem Äquator(t), 90° - ç den Winkel L MT 0 und 90° + z den Winkel L MT.

23

30

1 Koordinatcnsystcme

1.5 Aberratlon und lIchtlaufzelt

Aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit stimmen die bisher betrachteten geomerrischen Koordinaten eines Planeten nicht mit den tatsächlich beobachteten und am Fernrohr gemessenen Koordinaten überem.

Aberratio,,: Bisher wurde der Beobachter als im Bezugssystem der Sonneruhend angenommen. Er nimmtjedoch an der täglichen Drehung der Erde und ihrem Umlaufum die Sonne tei l. Somit ist der Beobachter in jedem Momenl relativ zur Sonne in Bewegung. Das hat zur Folge, dass er eine andere Einfallsrichtung des Lichts feststellt. Man kann dies mit einem FuBgängerbei Regen vergleichen,der seinen Schirm im Laufen etwas nach vorne neigt, während er ihn im Stehen senkrecht nach oben hält. Lichtlaufzeir: Während sich das vom Planeten reflektierte Licht zur Erde ausbreitet. bewegt sich der Planet bereits weÎter. Der Planet wird also nicht dort beobachtet. wo er sich zum Beobachtungszeitpunkt befindet, sondern dort, wo er sich zum Zeitpunkt der Lichlaussendung befand. Will man die beobachtete Position eines Planeten zum Zeitpunkt t berechnen, dann sind fol gende Schritte nötig: I. Berechnung der heliozentrischen Position der Erde zum Beobachtungszeitpunkt t. 2. Berechnung der helîozentrischen Position des Planeten zum Zeitpunkt t ~ T der Uchtaussendung. Hierzu muss durch schrittweise Verbesserung der Wert der Lichtlaufzeit T beslimml werden. FUr ihn gilt, dass die Entfernung des Planelenortes zur Zeil t ~ T vom Erdort zur Zeil t gleich der Strecke ist, die das Licht in der Zeit T zurUck legt. In erster (und meist ausreichender) Näherung is! die Lichtlaufzeil T gleich dem Verhältnis aus der geometrischen Entfernung L1(t) des Planeten von der Erde und der Lichtgeschwindigkeit c= I73.14AEjd. 3. Die geozentrischen Koordinaten des Planelenorles zurZeit t ~ T (bezogen auf den Erdort zur Zeit t) geben die Richtung an, aus der das Licht des Planeten auf die Erde triff!. Diese Koordinaten sind nun wegen jährlicher und läglicher Aberration zu korrigieren. Durch BerUcksichtigungder Lichtlaufzeit im zweiten Schriu erhält man die so genannlen astromerrÎschell Koordinaten des Planeten. Bei passender Wahl des Äquinoktiums (z. B. 12000) können diese direkt in ei ne Sternkarte eingezeichnct ader mit katalogisicrten Sternpositionen verglichen werden. Die zusätzliche BerUcksichtigung der jährl ichen und

32

Koordinat<:os)'steme

I

JiihrlÎche Aberration

Llaj ~ (A + A,)! co,(ó) Llój ~ (D + D.) mil

A ~ -20!'49·[,'n(L 0 ) "n(a) + cos(L0 ) oo,(a) cos«)[

Ae

= +O~J343·[si n (w) sin(o) + oos(w) oos{o) cos(e)]

D =

De =

-2 0~149·[sin {ó)

cos(O') sin(L0 )

+(,'n«) co,( ó) - 00'«) ,'n(ó) "n(a)) oo,(L 0 )] +O~1343·[sin(ó) 005(0) sin{w)

+(sin«) 005(6) - cos«) , 'n (ó) " n(a)) 00'("')[ Tägliche AberratÎOfI

LlO: t =

+ O~132·cos(rp)

oos(O-o:)/ cos(ó)

L1Ót = +O~132 · sin(ó ) cos(rp) sin(O-o:)

jährliche Aberralion; Korrektur der aquatorialen Koordinaten flir einen mil de m Erdminelpunkt mitbewegten Beobachter L\():t. L1Ót tägliche Aberration; Korrektur der äquatorialen Koordinaten rUr e inen Beobachter. der an der täglichen Erddrehung teilnimmt o. ó Rektaszension und Deklination L0 Ekliplikale Länge der Sonne tv Perihelllinge der scheinbaren Sonnenbahn (tv ~ 283°) é Ekliptikschiefe (e ~ 23~44) rp geographische Bre ile des Beobachters Sternzeit am Beobachtungsort zum Zeitpunkt der Beobachtung L10j. L1 Ój

o

Rechenbeispie!e

Rechenbeispiele zu Kapitel1

Die Nummern der einzelnen BeispieIe beziehen sich auf die entsprechenden Abschniue des Kapitels. Zu 1.1: Transformation sphärischer und karteslscher Koordinaten

(a) Gegeben seien). = 120°, (3 = 60° und r die karlesischen Koordinaten x, y und z.

W'(À) sin (>.)

=

= 5 AE. Man bestimme

,o,( ~) ~ + 0.500000 sin((3) = + 0.866025

-0.500000 + 0.866025

x = - 1.250000AE Y = + 2.165064AE z = + 4.330127 AE

(b) Gegeben seien die kartesischen Koordinaten x = - l.O AE, Y = - 2.5 AE und z = + 0.5 AE. Man bestimme die zugehörigen sphärischen Koordi naten.

x 2 = + 1.000000AE2

+ 6.250000AE2 = + 0.250000 AE 2

folgt:

y2 = z2

zi p = + 0.185695

(3

= + 1O?5197

r.p

=

Wegen x

r = 2.738613 AE p =

2.692582 AE

10°31'11/1

-68?1986

< 0 folgt:

>. = 248? 1986 = 248° 11 '55/1.

Zu 1.3.1: Reduktlon auf die EklIptik

(a) Ei ne Bahnebene sei urn i = 20° gegen die Ekliptik geneigt, die Knotenlänge sei n = 30°. Man bestimme die ekliptikale Länge und Breite des umlaufenden Körpers, wenn das Argument der Breite u = 210° beträgt. cos( b) cos(l - !7) = - 0.866025 cos(b)sin(I - !7) = - 0.469846 sin (b) = -0.171010 b = - 9?8466 l = 238?4812

1 - fI

~

208e4812

33

34

I

Koordinatensysteme

(b) wie lauten die kartesischen Koordinaten des Körpers, wenn die Sonnenentfernung 5 AE beträgt (Ubrige Daten wie im obigen Beispiel)?

x = 1'·( - 0.750000 + 0.234923) = - 2.5754AE ~ r·( - 0.433013 - 0.406899) ~ -4.1996 AE Z = 1'·(-0.171010) = -0. 8551AE

Y

(c) Die Koordinaten eines Planeten in seiner Bahn seien r·cos(v) = - 4.330127 AE und r·sin (v) = + 2.50000 AE (entsprechend r = 5 AE und v = 150°) . Das Argument des Perihels sei w = 60°, die Bahnneigung i = 20° und die Länge des aufsteigenden Knotens fl = 30°. Man berechne die kartesischen ekliptikalen Koordinaten unter Verwendung der GauBschen Vektoren.

Q. ~ - 0.984923 QlI = - 0.0261 14 Q, ~ + 0.171010

Px = + 0.026 11 4

Py = + 0.954769 Pz = + 0.296198

x = - 2.5754 AE Y = - 4.1996 AE z = - 0.8551 AE

Zu 1.3.2: Hellozentrlsche und geozentrlsche Koordinaten

Die ekliptikalen heliozentrischen Koordinaten der Erde seien L = 150°. B = 0° und R = 1 AE. die des Jupiter 1 = 100°. b = 1':'3 und r = 5 AE. Man bestimme die geozentrischen ekliptikalen Jupiterkoord inaten.

- 0.868017 AE ~ -0.866025 AE + Ll·co,(P) co,(.\) +4.922771 AE = + 0.500000 AE + Ll· cos(J3) sin(.\) +0.113437 AE ~ + 0.000000 AE + Ll ·,in(p) .\

~

90' 0258

J3 = + 1':'4692

Ll = 4.424226 AE

Zu 1.3.3: Ekliptikale und äquatorlale Koordinaten

(a) Man bestimme Rektaszension und Deklination eines Sterns mit ekliptikalen Koordinaten >. = 290° und f3 = 50° arn I. Januar 1982 (JO

2444970.5) . - 6574.5(36525

T

~

é

= +23':'441633

~

-0 .1 8000

cos(ó) cos(ct) = +0.219846 cOS(Ó)SÎll(ct) = - 0.858914 sin (ó) = +0.462530 ct = 284':'3571 = l Sh57rn 268 Ó = + 27':'5505 = 27°33'02/1

36

1 Koordinatcnsystcme

Zu 1.3.7: Aut- und Untergangszeilen (a) Man berechne den Zeitpunkt des So nnenuntergangs und des Endes der astronomischen Dämmerung am 21. Juni (Deklination der Sonne Ó = +23~ 4) fUr e ine geographische Sreite von 48°. Die Sonne kuIminiere um 12 11 . SOlllteltulltergallg

hj =

-O ~8333

tj

120 ~ 2841 =

=

cos(td = -0.504288 8b Ol m

Dämmerultg

h 2 = - 18~O COS(t2) = - 0.983810 t 2 = 169%759 = n b19!n t j und t2 sind die Stundenwinkel der Sonne zu den betreffenden Ereig-

nissen. Im Falie eines Sternes wären sie gleich der seit dem Meridiandurchgang verfiossenen Sternzeit. Da sich die Rektaszension der Sonne jedoch täglich urn 4 Minuten vergröBerl, entsprechen t j und t2 der seit dem Meridiandurchgang vergangenen Sonnenzeit (Weltzeit). Man erhlilt aloo: Zeitpunkt des Sonnenumergangs: Zeitpunkt des Dämmerungsendes: (b) Man berechne den Zei tpunkt des Mondaufgangs (h = +0°08') fUr eÎnen Ort der geographischen Länge >. = + 15° (östl. von Greenwich) und einer geographische n 8reile 'P = +50° am 16. Januar 2001 in Mitteleuropäischer Zeit (MEZ=UT+ 1h).

MEZ

UT

ó

12~000 11 ~OOO 19~730

-

0.015 0.196 0.199 0.199

-

1.015 1.196 1.199 1.199

7.682 7.501 7.498

131.'707 13.295 13.288 13.288

T

n

- 5 ~ 026 +6~'023 -5~585 0.9661

- 2.500 - 5.613 - 5.7870.9684 - 2.461 - 5.787 - 5.7900.9682 - 2.460 - 5.790 - 5.7900.9682

Die Iteration liefert somit fUr den Zeitpunkt des Mo ndaufgangs den 15. Januar 200 I, 23 h 4S m. Geh! man dagegen vom Startwert 17. Januar, 1211. aus, dann erhält man als Aufgangszeilpunkt 1hOI'° dieses Tages. Am 16. Januar lindet kein Mondaufgang stalt. Allm.: Die 8erechnung der $temzeit und der Mondkoordinaten ist in

Abschn. 2.2.5 und Kap. 5 beschrieben.

Rechcnbeispiele

Zu 1.4.1.2: Präzession in äquatorialen Koordin aten

Man transformiere die Koordinaten 0'0 = 4 h und 60 = 500 (Äquinoktîum 81950.0 = JO 2433282.423) ins Äquinoktium J2ooo.0 (JO

245 1545.0).

To = - 0.500002

T = + 0.500002

( = + 1152~'842 = +0~320234 z = +1153~'041 = + 0~320289 () = + 1002~'261 = + O~278406

cos(ó)cos(a - z) = + 0.314551 cos(ó)sin(a - z) = + 0.558458 sin{ó) = + 0.767582

ó=

+50~ 1372

0: -

z=

+60~6096

o=

+ 60 ~ 9299

Die Näheru ngsformelliefert ein geringfilgig abweichendes Ergebnis: a - ao=

+0~ 9279

6 - óo =

+ 0~1392

.

Zu 1.4.1.3: Präzession in ekllptikalen Koordinaten

Man transformiere die Koordinaten Ao = 2100 und /30 = 50 (Äquinoktium 12000.0 = JD 2451545.0) ins Äquinoktium B1950.0 (JD 2433282.423).

Ta = 0.0

T = - 0.500002

Jl = =

+174 ~ 99719

1r

- O ~ 006531

P =

-0~ 69 841l

cos(f3)cos(Jl + p - A) = + 0.816007 cos(f3) sin (Jl + p - A) = - 0.571424 sin(f3) = + 0.087221

IJ =

+5~ 0037

IJ + P - A =

A=

- 35 ~ 0023

+ 209 ~ 3011

Das gleiche Ergebnis erhält man in diesem Fait auch mit Hilfe der Näherungsformel : A - Ao =

- 0~6989

iJ- Ilo =

+ 0~0037

.

37

38

I

Koordinalcnsysteme

Zu 1.4.1.3: Transformation von Bahnelementen

Die miuleren Bah nelemente des Merkur zur Epoche 1950.0 bezagen aufFrUhlingspunkl und Ekliptik van 12000.0 lauten: io =

7~0078

n=

4 8~ 394

tv

= 77 ~ 3761

Man transform iere die Elemente ins Äquinoktium B 1950.0 (Werte van n, 11" und p wie im obigen Beispiel).

f30

À o = - 41 ~ 606

Wo = 28 ~ 9821

~ 82 ~ 9922

cos(fJ) co,(il + p - À) ~ - 0.097943 cos(j3) sin(fl + p - À) = - 0.072634 sin (,B) = fl =

À

= - 42~2617

+ 47~7383

(J = i =

+ 0.992538

+82 ~ 9961

+ 7 ~ 0039

sin{i ) cos(w - wo) = + 0. 121937 sin{i) sin{w - wo) = - 0.000092

w - Wo =

w=

- 0~ 0430

+ 28~9391

tv

=

+ 76~6774

Die Näherungsformelliefert nahezu identische Ergebnisse:

i = +7':'0039 fI ~ +47~7382 w = + 28':'9391

tv

= + 76':'6774

Zu 1.4.1.5: Transformatlonsmatrlzen

(a) Man führe die Rechnung aus Beispiel 1.4.1.2 in kartesischen Koordinaten durch. A =

+0.9999257080 -0.0111789373 - 0.0048590033) +0.0111789373 +0.9999375134 -0.0000271626 ( +0.0048590033 -0.0000271579 +0.9999881946

x=

+ 0.321394) + 0.556670 ( + 0.766044

x' = B191'>O

+0 .311425) +0.560208 ( +0.767582

J20Q0

(b) Man führe die Rechnung aus Beispiel 1.4. 1.3 in kartesischen Koord inaten durch.

A =

+ 0.9999257079 + 0.0121892775 +0 .0000113228) - 0.0121892787 + 0.9999257016 + 0.0001134152 ( - 0.0000099395 - 0.0001135448 +0 .9999999935

Rechenbeispielc:

x=

- 0.862730) - 0.498097 ( + 0.087156 J2000

- 0.868736) - 0.487534 ( + 0.087221

x' =

B I950

Zu 1.4.2: Nutatlon

(a) Man bestimme die Lage des mittleren Frühli ngspunkles bezogen auf den wahren Frühlingspunkl sowie die wahre Ekliptikschiefe am I. Januar 2005 (JD 2 453 37 1.5).

T = +0.050007 I' F

D fI

~

~

~

~

+ 357.724 + 136.681 + 244.253 + 28.325

ó

c,,p c,ó

ó'

~

+ 23"26'19;'11

~ - 7~'40 ~

~

+ 7;'60 + 23"26'26;'71

(b) Mil den obigen Werten bestimme man die wahren äqualorialen Koordinaten eines Slerns, dessen miltlere äqualoriale Koordinaten 0:' = 4 h und ó = 30" sind.

Ll1jJ ·1.116 - Llé ·0.289 = &' - ó = .11jJ ·0.199 + Llé ·0.866 =

et'-et =

ei =

+ 3h59m59 ~ 30

&' =

+30" OO'05~'l1

- 10~'45

+ 5;'11

Zu 1.5: Aberration

Die geometrischen Koordinaten der Erde und des Planeten Jupiter am 2. und 3. Februar 2003 Ueweils Oh TI) lauten: Heliozentr.

x [AE[ y [AE[

,[AE[

Geozentr.

a ; C, [AE[

Erde Feb. 2.0 Feb. 3.0

- 0.668008 -0.680836 + 0.664692 + 0.653825 + 0.288175 + 0.283464

Jupiter Feb. 2.0

- 3.624933 + 3.536817 + 1.604263 Feb. 2.0

Feb. 3.0 - 3.630544 + 3.532353 + 1.602486 Feb. 3.0

+9h03m20 ~ 03 + 9h02m47~93

+ 17"42'23;'9 + 4.327192

+ 17" 44'47~'4

+ 4.327415

Alle Angaben beziehen sich auf den Äquator und Frühlingspunkt van

J2ooo.

39

2 Zeitrechnung

2.1 Oas Julianische Datum Das l ulianische Datum is! definiert als die Anzahl der Tage, die seit dem eTsten Januar des Jahres 4713 v. Chr. 12 UhT Wel!zcit vergangen sind. Bis zum vieTten Oktober 1582 n. Chr. galt der l ulianische Kalender, demzufolge in denjenigen Jahren ein 29. Februar als Scha[ttag eingefügt wurde. deren astronomische Jahreszahl dureh vier teilbar war (Anm.: das astronomische l ahT - 4712 entspricht dabei dem lahT 4713 v. Chr., das Jahr Odem l ahT I. v. Chr.; darauffolgen die Jahre nach Christi Geburt, die in der astronom ischen unrl in der chrisiliehen Zählung gleieh lalllen, z.S . l ahT 1 unrl lahT I n. Chr.). Am Miltag des vierten Oktobers waren also insgesamt 2 299 160.0 lulianische Tage vergangen. Die gregorianische Kalenderreform lieG auf diesen Tag safari den 15. Okiober 1582 fa lgen, dessen Beginn somit auf das l ulianische Dalum 2299160.5 tieL Sei! diesem Zeitpunkt gilt die bekannte Schaltjahresregel: Sch al ~ ahr istjedes Jahr, dessen Jahreszahl - durch vier, aber nicht durch hunden - ader durch vierhunden te ilbar is!.

In diesen Jahren wird zwische n 28. Februar und I. Märzein 29. Februar als Schalttag eingeschoben . Für die im Folgenden verwendeten Transformationsformeln geiten die hier angegebenen Bezeichnungen:

m y

M D UT int(x) 8oor(x)

Jul ianisches Datum Jahr Monat

Tag Weltzeit ganzzahl iger Teil einer Zahl (int(1.3) = 1.0; int( - 1.3) = - 1.0) gröBte ganze Zahl , die kleiner ader gleich x ist (800r(1.3) = 1.0; 800r( - 1.3) = -2.0)

44

2

Zeitrecbnung

hels) der Sonne als

L = 279"41'48~'04

+ 129 602 768~'13·T + 1 ~'089·T2

T bezeichnet darin die Anzahl der lahrhunderte seit dem Mittag des nullten Januar 1900. Da die obige Formel eine direkte Folgerung aus dem Gravilationsgesetz darstellt, ist T eine unabhängige Variabie der zugrunde liegenden Theorie. Man kann deshalb den Ausdruck für L benutzen, urn mit seiner Hilfe die so genannte Ephemeridenzeit (die Zeit. die die Grundlageder Ephemeridenrechnungbi ldet) zu definieren. Ausgangspunkt der Zählung ist der als Jan. 0., 1900 12 h Ephemeridenzeit (ET) bezeichnete Moment, in dem die miulere Uinge der Sonne 279"41'48~'04 beträgl (T = 0) . Die Änderung dLj dT beträgt zu diesem Zeitpunkt 129602768~'13. Defi niert man femer die Einheit von T als 100 Ephemeridenjahre à 365.25 Ephemeridentage à 86400 Ephemeridensekunden , insgesamt also 3155760000 Ephemeridensekunden. dann vergingen 360·3600" 129 602 768~'13 . 3 155760 000 s = 31 556 925.9747s Ephemeridenzeit, bis sÎch die Sonnenlänge urn 360" geändert hätte, falls die obige Geschwindigkeit konstant wäre. Da es sich hierbei um einen Umlauf von FTÜhlingspunkt zu Frühlingspunkt handelt, entspricht dieser Zeitraum einem tropischen lahr. Ausgehend von den angeführten Überlegungen gelangl man schlieB· lich zu der folgenden, von der lAU verabschiedeten, Detlnilion der Ephemeridensekunde: Eine Ephemeridensekunde is! der 31 556 925.9747-te Teil der Länge eines tropischen Jahres am Jan. 0,1900 12 h Ephemeridenzeit. Eine Ephemeridensekunde hat praktisch die gleiche Länge wie eine SISekunde, so dass sich ET und TAl im Wesentlichen nur urn ei ne Konstante unterscheiden. ET = TAl

+ 32.184s

Seit 1984 werden stalt der Ephemeridenzeit die Terrestrische (Dynamische) Zeil (TI) und die Baryzentrische Dynamische Zeit (TDB) verwende!. Einheit der TI ist die SI-Sekunde und aus Gründen einer kontinuierlichen Zeilzählung wird TT = TAI + 32.184s

2.2

Die vcrschiedcllcn Zcitdcfillitiollell

gesetzt. Zur Darstellung von auf den Schwerpunkt des Sonnensystems bezogenen Bewegungen wird die TDB verwendet, da aufgrund relativistischer Effekte ein Beobachter auf der Erde eine andere Eigenzeit (TI) misst. TDB und TI unterscheiden sich urn maximal 0.002 s, was im Rahmen der meisten Rechnungen vemachlässigt werden kann. 2.2.3 Weltzelt

Im Gegensatz zur Atom- und Ephemeridenzeit ist die im Folgenden besprochene Weltzeit kein gleichförmiges ZeitmaB. Ihr Ziel ist vielmehr. langfrisli g in gutem Einklang mit der täglichen und jährHchen Bewegung der Sonne zu stehen. Der Lauf der Sonne als Ursache van Tag und Nacht ist ja immer noch das bestimmende Element unseres Lebens. Würde sich die Sonne nicht vor dem Stemenhintergrund verschieben, dann wäre die Stemzeit ein Mail, das den gewünschten Zweck erfül len würde. Urn die Zeit dem Son nenlauf anzupassen, ging man folgenden Weg: Die Bewegung der wahren Sonne wurde zuerst durch eine so genannte mittlere Sonne mit definiener, gleichförmig anwachsender Rektaszension A ersetzl. Als mittlere Sonnenzeit definierte man dann den urn I2 h vergTÖBerten Slundenwinkel dieser mitderen Sonne, da der Moment des Meridiandurchgangs (Stundenwinkel Oh) mit dem Mittag (l2 h) zusammenfallen sollte. Durch die Einführung der mittleren Sonne erhielt man ein ZeitmaB, das von kurzen Schwankungen (sog. Zeitgleichung) durch die Projektion der Sonnenbahn auf den Äquator und die elliptische Bahn befTei! war. Die mittlere Sonnenzeit war damit annähernd gleichförmig und an den Sonnenlauf angepaSSI. Da urn I2 h Sonnenzeit der Stundenwinkel der miltleren Sonne Oh betrug, war in diesem Moment der Stundenwinkel des Frühlingspunkles (also die Slemzeil) gleich der Rektaszension A der miltleren Sonne. Aus diesen Überlegungen heraus kam man sch lieBlich zur heuligen Wellzeit. Nach Definition der lAU von 1981 iSI die mittlere Slernzeil von Greenwich (siehe 2.2.5) urn Oh Weltzeit (UT) gegeben durch:

+ 8640 1 84~812866·T + 0~093104 · T2 - 0~0000062·T3

e(UT = Oh) = 24110~54841

Dabei iSI T die seit dem ersten lanuar 2000, 12 h UT (ID 245 1545) vergangene Zeit, gemes sen in lahrhunderten zu je 36525 Tagen Weltzeit. Da die Greenwich-Slemzeit aus Beobachlungen von Meridiandurchgängen bestimmbar iSI. lässt sich durch diese Beziehung auch die Wellzeil in jedem Augenblick berechnen. Die Definition der Terrestrischen

45

46

2 Zeitrechnung

Zeit wurde sa auf die der Weltzeit abgestimmt, dass die Differenz .tJ.T = TT - UT zu Beginn dieses Jahrhunderts annähemd gleich Null war. Der genaue Wert .tJ.T ist nur im nachhinein hestimmbar. Es ist jedoch der allgemeine Trend festzustellen , dass .tJ.T um etwa 0.5 bis I Sekunde pro Jahr zunimmt. Dieser Wert entspricht der Verzögerung der Erdrotation durch die Gezeitenreibung. Der restliche Betrag ist nicht vorhersehbar und wird wahrscheinlich durch Massenverschiebungen im Erdinneren sowie durch den Einfluss der Atmosphäre verursacht. Eine Tabelle der bisherigen Werte ist irn Anhang A.6 gegeben. FUr Zeiträume zwischen 1825 und 2000 kano man darUberhinaus die nachfolgenden Approximationen verwenden, die jeweils Abschnitte von 25 Jahren mit einer typischen Genauigkeit von I s abdecken. Tabelle2.1: Polynomapproximationen der DilTerenz tlT = TI - UT von Terrestrj· scherZeÎt und Wcl lUÎ1 (T::: (JO - 2451545)/36525)

.:lT_TT

UT

ZeiU'llum 1825 - 1850 1850 - 1875 1875 - 1900 1900 - 1925 1925 - 1950

1O~4- 80~8 t +413~9t2- 572~3t3 6 ~ 6+ 46~3t-358 ~4t2+ 18 ~8e3 -3~ 9 - 1O ~8t-1 66 ~ 2t2 + 867 !4t 3 - 2 ~ 6+ 114 ! lt+327~5t2_1467~4t3 24 ~ 2- 6~3t- 8~2t2+ 483~4t3

1950 - 1975

29~3+ 32~5t-

1975 - 2000

3~8t2+ 550~ 7 t3

45 ~ 3+ 130~5t-570~5t2

+15 t 6 ~7t3

Argumenl t_T+i.75 t = T +1.50 t=T+1.25 t=T+l.oo t=T+0.75

t=T+O.sO t=T+O.25

2.2.4 Kootdinierte Weltzeit

Als Verknüpfung von UT und TAl wurde die UTC eingeführt, die vo n den Zeitzeichensendern ausgegehen wird. Sie weicht von der TAl urn ganze Sekunden und von der UT urn nicht mehr als 0.9 s ab. Dies wird durch Schallsekunden erreicht, die bei Bedarf Ende Juni oder Ende Dezernher eingelegt werden. Die UTC ist somit die Zeil, die eine »richtiggehende« Uhr anzeigt, wenn man die entsprechende Zeitzone berücksichtigt. 2.2.5 Sternzeit

In 1.2.6 wurde die Sternzeit definiert als die auf den momentanen Frühlingspunkl bezogene Rektaszension des Zenitpunktes. Anstelle des Zenitpunktes kann dabei natilrlich auch jeder andere Punkt des Meridians treten. In Strenge unterscheidel man zwischen wahrer und mittlerer Stemzeit.je nachdem, ob man sich auf den wahren oder mittleren Frühlingspunkt bezieht (vgl. 1.4.2). Der Unterschied zwischen e"pp (apparent sidereal time) und ergibt sich entsprechend aus der Differenz der Rektaszensionen von wahrem und mittlerem Frühlingspunkt.

e

48

2

Zeitrechllullg

Anmerkung

24 h Sternzeit entsprechen nicht exakt der Zeit einer (siderischen) Erdumdrehung. Da der Frühlingspunkt an einem Tag etwa 0.008s in Rektaszension zurückwandert. vergehen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Meridiandurchgängen des FfÜhlingspunktes (ein Sterntag) 0.008s weniger. als die Erde für eine Umdrehung benöligl.

2.3 Standardepochen und Besseljahr In der astronomischen Zeitrechnung hat sich besonders bei der Angabe von Äq uinoktien die Verwendung bestimmter Standardepochen eingebürgerl. Sie unterscheiden sich um ganze 1ulianische 1ahrhunderte zu je 36525 Tagen und sind durch den Vorsatz »h gekennzeichnel. Zur Zeit is! im Wesentlichen die Epoche 12000 in Gebrauch: 11900: 12000:

10 24 15020.0=lan.O<:l5,1900 JO 2 451 545.0 = Jan. 1~5, 2000

Die julianischen Standardepochen ersetzen das früher gebräuchliche Besseljahr. Es ist definiert als die Zeil dnes Umlaufs der fiktiven mi ttleren Sonne (vg!. 2.2.3) und beginnt, wenn deren Rektaszension gleich 18 h40 m is!. Für praktische Rechnungen kann die Länge dnes Besseljahres gleich der eines tropischen Jahres gesetzt werden. Die kleineren Unterschiede entstehen durch eine schwache langfristige Beschleunigung des Sonnenumlau fs, während die mittlere Sonne definitionsgemäB mit konstanter Geschwindigkeit vor dem Sternenhintergrund bewegt is!. Zur Unterscheidung vom normalen 1ahresbeginn verwende! man den Vorsatz »B«. So bedeutet also B 1950 den Beginn des Besselschen Sonnenjahres 1950. Das lulianische Datum des Beginns dnes beliebigen Besseljahres YB erhält man aus der fo lgenden Formel:

JO

=

2415020.31352 + 365.242198781·(Ys - 1900)

Es ist also also zum Beispiel: B1950: 81982:

JO 2 433 282.423 = Jan. 0<:1923, 1950 102444970.174=:)an.O<:l674, 1982

Reçhçnbeispicle

Rechenbeispiele zu Kapitel 2 Die Nummern der Beispiele beziehen sich auf die entsprechenden Abschniue des Kapiteis. Zu 2.1.1: Bes1immung des Jullanischen Datums Man berechne das lulianische Datum am 18. Januar 1983, 7 h 12 m UT.

Y M

= 1983 = 1 D = 18 UT = 7~20

y = 1982 m = 13

B = 4 - 19 = -15

JO = 723925 + 428 - 15 + 1 720996.5 + 18 + 0.3 = 2445352.8 Zu 2.1.2: Bestimmung des Kalenderdatums Wann beginnt das Besseljahr B 1950 (JD 2 433 282.423)? a = 2433282

b ~ 15 c = 2434 819 d ~ 6665 e = 2434391

f

~

D M

~

~

Y

~

31.923 12 1949

13

Der Beginn des Besseljahres fál lt damit auf de n 31. Dezember 1949 22 h09 m UT beziehungsweise auf den O. Januar 1950, 22 h09'" UT. ZU 2.2.5: Sternzeit

Man bestimrne die wahre und die rnittlere $ternzeit arn 1 Januar 1982 urn 1h MEZ für München (..\ = + 11 ° 36~5, .1..\ = - 15~'4 76. e = 23 0 26'27/1) .

l h MEZ = Oh UT JD (UT) ~ 2444970.5 t11jJcose =

- O ~ 947

= 6h41m17 ~ 3 = 6h41m16 ~ 3

= 7h27m43~3 = 7h27m 42 ~ 3

(mittlere Greenwich-$ternzeit) (wahre Greenwich-$ternzeit) (rnilliere $ternzeit München) (wahre Sternzeit München)

49

3

Das Zweikörperproblem

3.1 Der Ort Im Zweikörperproblem Die Ursache der Planetenbewegung liegt in der Gravitation. Zwei Körper zienen sich mil cincr Kraf! an, die proportional zu den Massen der Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes ist. Dureh das Gravitationsgesetz is! d ie Bewegungei nes Systems von Mas-

senprodukten eindeutig festgelegt, jedoch meistens nicht direkt berechenbar. Im Allgemeinen is! man auf Näherungslösungen oder numerische Verfahren angewiesen. Bei der Beschrankung auf zwei Körper

trelen diese Schwierigkeiten nicht auf und es

iSI

möglich, analytische

Ausdrücke für die Bewegung der beiden Körper für beliebige Anfangs-

bedingungen anzugeben. Als wichtigste Folgerungen aus dem Gravitationsgesetz ergeben sich: • Aus der Sicht des Schwerpunktes der beiden Massen. der sich im Raum mit gleichrörmiger Gesehwindigkeit bewegt. verläuft die Bewegung beider Körper in einer gemeinsamen . resten Ebene . • Jeder der Körper bewegt sich aur einer Bahn urn den Schwerpunkt. die die Farm eines Kegelschnitts hat. Da das Yerhältnis der Abstände vom Sehwerpunkt nur von den Massen abhlingt und somit rest ist. sind beide Bahnen ähnlich und die Bahn des einen Körpers relativ zurn anderen ist ebenralls ein Kegelschnitt. In diesem Kapitel soli gezeigt werden, wie die relative Bewegung von zwei Massen im Sonnensystem im Rahmen des Zweikörperproblems im einzelnen beschrieben werden kann. Oblicherweise wird dahei einer der Körper die Sonne sein. Als zweiter Körper kommen auBer Planeten auch Asteroiden und Kometen in Betracht. Urn ein mögliehst vollständiges Bild der möglichen Bahnen zu erhalten. werden neben elliptischen und parabol ischen aueh hyperbolische und geradlinige Bahnen diskutiert. Der Natur der Saehe nach wird jede Anwendung des Zweikörperproblems aur das Sonnensystem nur eine Näherung der tatsächlichen Verhältnisse sein. Es bleibt jedoch häufig die Grundlage und erste Näherung für die Lösung des Mehrkörperproblems. Einige Wege zu einer besseren Beschreibung der tatsächlichen Bahnen werden in Kapitel 4

52

3

Das Zweikörperproblem

vorgesteltt. Zuletzt sei noch auf die Ableitung der Kegelschniusgleic hungen und der wichtigsten Beziehungen des Zweikörperproblems im Anhang hi ngewiesen. 3.1.1 Elliptische Bahn 3.1.1 .1 Geometrie der Ellipse

p

11 ,,~ :: ~ groBe Halbachse b:: ~ kleine Halbachse p :: Bahnparameter e Exzentrlzität

F1P4

Abb. 3.1: Geometrie der Ellipse

Als Grundgleichungen der Ellipse erh:tlt man :

a Für e = 0 geht die Ellipse in dnen Kreis über. 3.1.1.2 DIe Elllpse als Planetenbahn

Faits die Bewegungsenergieeines Körpers nicht ausreichl, urn das Gravilalionsfeld der Sonne zu verlassen, dann bewegt er sich in ei ner geschlossenen Bahn urn die Son ne. Die Bahnform ist dann in den meisten Fällen eine Ellipse. denk bar isl aber auch eine Kreisbah n. In dnem der Brennpunkte steht immer die Sonne. Man nennl: Perihel Aphe/ Apsidenlinie Wahre Anomalie

sonnennächster Punkt sonnenfernster Punkt Verbi ndungslinie van Aphel und Perihel Wi nkel zwischen dem Perihel und dem momentanen Planetenort von der Sonne aus gesehen.

Zur Besch reibu ng eines Planelenortes in der Bahn verwendet man die wahre Anomalie (v) und die Sonnenentfernung (r).

J.l

Der On im Zweikörpcrproblcm

Die Differenz zwisehen wahrer und miltlerer Anomalie wird aueh als Miuelpunktsgleiehung bczeiehnet. Eine n Überbliek tiber die Werte der Miuelpunktsgleichung fUr versehiedene Exzentrizitaten gibt die folgende Abbildung.

0"

Abb.3.5: 0.20)

20"

40"

60"

80'

100'

120'

140'

160'

180'

Die Miuelpunktsgl eichung (e = 0.01. 0.02, 0.03. 0.04, 0.05. 0.10, 0.15.

3.1.1.5 Reduktlon auf die EkliptIk Naehdem man die heliozentrisehen Koordinaten bezogen auf die Bahnebcne und das Peri hel kennt, fo lgt als letzter Schritt die Umrechnung auf ekliptikale Koordinaten. Dazu bereehnet man zuerst das Argument der Breite (u) , das den Winkel zwisehen aufsteigendem Knoten und Planeten angibt.

u = w+v

u Argument der Breile (Winkel Knoten-Planet) w Argument des Perihels (Winkel Knoten-Perihel ) v wahre Anomalie (Winkel Perihel-Planet)

n

Mil Hil fe der verbleibenden Bahnelemente und i crhält man daraus die ekliptikalen Koordinaten des Planeten (vg!. Absehn. 1.3.1). Das Äquinoktium dieser Koordinaten isl gleieh dem der Bahnelemente.

57

58

3

Das Zweikörperproblem

p

P Parabelpunkt F Brennpunkt L

p I

Leltlinle Paramet8l' leitlinienabstand

L Ab b.3.6; Geometrie der l'arabel

3.1.2 Parabolis che Bahn 3.1 .2.1 Geometrie der Parabel Die Parabel ergibt sich als Menge aller Punkte, deren Abstand vam Brennpunkt gleich ihrem Abstand von der Leitlinie ist. Als Parameter bezeichnet man die Entfernung desjenigen Parabelpunktes vom Brennpunkl. der auf der ParaIleien zur Leitlinie durch den Brennpunkt liegt. Die Ex:zentrizität der Parabel ist gleich Eins. 3.1.2.2 Die Parabel als Bahn im Sonnensys tern Ein Körper bewegt sich genau dann auf einer Parabel urn die Sonne, wenn seine Bewegungsenergie gerade ausreicht, um ihr Gravitationsfeld zu verlassen. Dies ist zum Beispiel bei vielen Kometen der Fall. Die Definition der GröBen in Abb. 3.7 entspricht der in Abschn. 3.1.1.2. Die Parabelbahn ist nicht mehr geschlossen, es gibt also kein Aphel. Im Gegensatz zur Hyperbel durch läuft v aber noch alle WeTte von - 180" bis + 180".

cA:;:; p ' IO dO ' "C"""'O ' _ _..,,,,,,,,,'-l.._+P C~=·':::eI Abb. 3.7; sys lcm

Parabel als Bahn im Sonnen-

64

3

Das Zweikörperprob!em

Wahre Anomalie und Radius

Aus der Hilfsg röBe H fo lgen nun unmittelbar die wahre Anomalie und die Entfernung van der Sonne. 7' Entfernung von der Sonne r ·cos(v) = lal·(e - coshH) r·sin(v) = lah;ez=I·sinh(H ) v wahre Anomalie

v tan - = fe+1 tan H 2 V~ 2 r ~ lal·(e,c05hH -1)

H HilfsgröBe (siehe oben) e Exzentrizität a groBe Halbachse

3.1.3.4 Reduktion auf die Ekliptik

Die Berechnung ekliptikaIer Koordi naten erfolgt wie bereits bei der elliptischen Bahn beschrieben. Aus der wahren Anomalie und der Entfern ung von der Sonne (bzw. aus den GröBen 7··cos(v) und r·sin(v) berechnet man zunächst mit Hilfe der Formeln in Abschn. 1. 3.1 die heliozentrischen ekliptikalcn Koordi naten des Himmelskörpers. Hieraus fo lgen dann mit Hilfe der Position der Erde relativ zur Sonne die geozentrischen Koordinaten. 3.1.4 Geradllnlge Bahn

Als mehr theoretischer Spezialfal! kann im Zweikörperproblem die Bewegung in einer Geraden auftreten. Je nachdem, wie gTOB die Energie des zweiten Körpers ist, kann man zwischen einer entarteten Ellipse, einer entarteten Parabel oder einer entarteten Hyperbel unterscheiden. Man erhält die Gerade aus dem e ntsprechenden Kegelschnitt, wenn man die kleine Halbachse bzw. den Bahnparameter gegen Nul! gehen lässt. Die ExzentrizitlH nimmt dabei in allen Fallen den Wert Eins an. Durch die Bewegung in der Gerade ist keine Bahnebene mehr definiert. Anstelle der Bahnelemente i, f] und w treten zwei GröBen, heliozentrÎsche Lange und Breite. Som it verbleiben die Halbachse a (im Falie der elliptischen und der hyperbolischen Gerade), die Masse m des zweiten Körpers und die Perihelzeit ta, urn die Entfernung 7' vam Zentralkörper zu bestimmen . unter dem Zeitpunkt des Periheldurchgangs ist dabei der Moment zu verstehen, in dem die gegenseilige Entfernung gleich Nuit war oder sei n wird. Abgesehen van der parabolischen Geraden können die bekannten Formeln fü r die Berechnung des Bahnortes verwendet werden. wenn man e = 1 setzt.

3.2

Die 1.eitJiclie Ändcmng des Ooes im ZweikOrperpmblem

3.2 Die zeitliche Änderung des Ortes im Zwelkörperproblem

Mil den in diesem Abschnilt behandelten Formeln lassen sich zusätzlich zum Ort eines Planeten auch seine Geschwindigkeit und seine Winke lgeschwindigkeit bestimmen. Bezugspunkt ist dabei immer der Sonnenmittelpunkt und nicht der Schwerpunkt. Zwischen den gebräulichen Einheite n der Geschwindigkeit geiten die Umrechnungen: 1 AEJd = 1731.456829 kmIs I km/s = O.OOO57754833AE1d 3.2.1 Winkelgeschwindigkeit

Aus der Konstanz der Flächengeschwindigkeit (2. Keplersches Gesetz) ergibl sich bei bekannter Entfemung fUr die zeitl iche Änderung der wahTen Anomalie: Winkelgeschwindigkeit (Änderungder wahren v = r12 . JG.(M0 +m)·P Anomalie; BogenmaB) G = 2.959122083.10- 4AE 3M01d-2 M0 Sonnenmasse m umlaufende Masse p Bahnparameter l' Sonnenentfernung G GravitalionskonSlante 1;

3.2.2 Vis-viva-Satz

Führt man in den Energiesatz belOgen auf den Schwerpunkt von Sonne und Planel die relalive Entfernung ein. dann erhält man die folgende Beziehung zwischen Bahngeschwindigkeit, Entfernung und grofier Halbachse:

v 2 G·(M +m) · (2;: - 1) =

0

~

Geschwindigkeit Enlfemung a groBe Halbachse /110 Sonnenmasse m umlaufende Masse G GravilationskonSlante v r

--

FUr parabolische Bahnen is! I/a gleien Nul! zu seizen.

67

3.3

Beslimmung der Bahnclemcntc aus On und Gcschwindigkeit

3.3 Bestimmung der Bahnelemente aus Ort und Geschwindigkeit

Im ersten Teil dieses Kapitels wurde gezeigl. wie sich jede mögliche Bahn im Zweikörperproblem durch sieben Bahnelemenle beschreiben lässt. Der Vorteil der dort verwendelen GröBen (a, e, m, to, i, w, a) liegt in der Möglichkeit, mil einem Blick BahngröBe, Bahnform und Bahnlage zu erkennen. Dem gegenübcr stehl der Nachleil , dass die Formeln zur Berechnung des Bahnones vom Bahntyp abhängen und nicht unmittelbar auf mehrere Körper übertragbar sind. Besonders für numerische Verfahren ist deshalb die Verwendung kartesischer Orls- und Geschwindigkeitskoordinaten angebrachler. Hat ein Körper gegebener Masse m in einem Punkt r seiner Bahn die Geschwindigkeil v, dann gibl es dazu genau dnen Satz von sieben klassischen Bahnelementen. der die Bewegung des Körpers in diesem Punkt nach dcm Zweikörperproblem beschreibt. Falls man es mil einer ungeslörten Bahn zu lun hat, dann lässt sich diese fUr alle Zeil d urch die obigen Elemente darstellen. Im Mehrkörperproblem hingegen ändern sich die zugeordneten Bahnelemenle sländig. Man spricht dann von oskulierenden Elementen Cvg\. Anhang A.8). In diesem Abschniu soli nun gezeigt werden. wie sich aus dem Ortsund Geschwindigkeilsveklordie zugehörigen klassischen Bahnelemente bestimmen lassen. Dabei sind folgende PunkIe zu beachten: • Ursprung des Koordinatensystems ist die Sonne. nicht der Schwerpunkt des Systems Sonne-Planet. • Die errechneten Bahnelemenle beziehen sich auf die selbe Grundebcne und Bezugsrichtung wie die kartesischen Koordi naten, insbesondere auf das selbe Äquinoktium. Die in der Literatur häufig anzutreffenden äquatorialen Koordinaten sind deshalb gegebenenfalls auf ekliptikale umzurechnen, falls man an den üblichen Bahnelementen interessiert is!. lm Folgenden bezeichne G die Gravitationskonstante, (x, y. z) seien die Koordinaten des Ortsvektors und (i, iJ, t) die Koordinaten des Geschwi ndigkeitsvektors. T und v seien die Beträge dieser Vektoren.

G = 2.959122083·1O- 4AE 3 M0"'d - Z

r

=

v =

JxZ+yZ+Z2 J±z+:!?+zz

69

3.3

Bestimmung der DahtIClcmcnte aus Ort und Geschwindigkcit

Af = E - e·sill(E)

(Bogenma6)

180" M = E- ·e·sin(E)

(Gradma6)

•

Af miulere Anomalie E eXUnlrische Anomalie e Exzentrizitäl

n mittlere lägliebe Bewegung a groBe Halbachse Jvf0 Sonnenmasse m

(Gradma6)

G

umlaufende Masse Gravitationskonstante

to Perihelzeit

M l o = t - __ ld

Berechnungszeitpunkt M mittlere Anomalie n mittlere tägliche Bewegung t

"

Parabel

# 0) erhält man den Zeitpunkt des Periheldurchgangs dureh Auflösung der Barkerschen Gleiehung:

FUr die nicht entartete Parabel (q

to = tto

t

u

(J

M0 m G

2q3 G(M 0 +m) -

(1'3- 31)'2 + '2v) tan

Zeitpunkt des Periheldurchgangs Berechnungszeitpunkt wuhre Anomalie Perihelabstand Sonnenmasse um laufende Masse Gruvilationskonstanle

t nn

75

Rech.ellbeispic:le

Rechenbeispiele zu Kapilel 3

Die Nummern der einzelnen Beispiele beziehen sich auf die enfsprechenden Abschnitte des KapiteIs. Zu 3.1.1.4: Elliptische Bahn

Man bestimme die wahre Anomalie und die Sonnenenlfern ung des Jupiter am 25. März 1982 Oh.OOmUT (ID 2 445 053.5) unler Verwendung fo lgender 8ahnelemente:

a = 5.204491 AE

e = 0.047837

M = 199?7855

.

Die iterative Auflösung der Keplergleichung lieferl bei Rechnung im GradmaB:

Eo E, E,

Fixpunktiteration 199':'785500 198':'857720 198':'899602

Newtonileralion 199':'785500 198':'897683 198':'897788

198~897706

E, E, E,

198 ~8 9778 8

198':'897792 198':'897788 198':'897788

E,

T ' COS(V)

= -5 .172925AE

T·sin(v) = - 1.683705AE

= 5.440038 AE v = 198':'0293 .

T

Zu 3.1.2.4: Parabolische Bahn

Man beslimme die wahre Anomalie und die Sonnenenlfern ung des Komenlen Kohoutek am I . Februar 1974 OhOO'" UT (ID 2 442 079.5) aus den folgenden Bah nelementen: to q e

t-to

= 1973 Dez. 28.431 (JO 2 442 044.931) = 0.142425AE = 1 = 34 ~ 569 .

Setzt man m = O, dann falg! A = 11.734516 und weiier tan(vj2) = 2.515732

v = 136':'6445

T

= 1.043820 AE

77

78

3

Das Zwcikörperprob!em

Zu 3.1 .3.3: Hyperbolische Bahn

Man bestimme die wahre Anomalie und die Sonnenemfernungdes Kometen Sandage am 5. August 1972 O"OOmUT (10 2 441 534.5) aus den Bahnelementen: to q e m

= = = =

1972 Nov. 14.809 (JD 2 44 1 636.309) 4.275707 AE 1.006288

0

Man erhält: a ~ q/( 1 - ,) ~ - 679.9788 AE t- to = - 101 ?809

MI>

= - 0.0000987697

Ho = - 0.0839959 H. ~ -0.0156063 H2 = - 0.0156063 = + 4.192898 AE T·sin{v) = - 1.191970AE

T' COS(V)

T

= 4.359036 AE

v = - 15?8696

Zu 3.1 .5: Relhenentwlcklung

Die minleren Bahnelementeder Sonne bezogen auf den Frühlingspunkt und die Ekliptik des Datums lauten (vgl. Anhang A.7): e = 0.016709 tv = 282?9400 + 1 ?7192· T M = 357?5256 + 35999?0498 ·T mit T = (JD - 2451545 .0)/36525. Man verwende die Reihenentwicklung der Minelpunktsgleichung, um eine einfache Formel fürdie ekliptikale Länge der Sonne au fzustellen (Genauigkeit ca. I' = 0?017 = 0.00029 rad). Wegen e3 = 0.0000047 rad kö nnen al le Terme mit höheren a ls zweiten Potenzen in e sicher vernachlässigt werden und man erhält bei Rechnung im Bogenma!3

v- M

=

0.03342· sin(M ) + 0.00035· 8in(2M )

Für die ekliptikale Länge der Sonne bezogen auf den Frühlingspunkt des Datums ergibt sich dam it der folgende Ausdruck:

>. =

tv

+ M + 1?915 ·sin(M) + 0?020· sin(2M)

.

Rechenbeispiele Zu 3.2.1: Wlnkelgeschwlndigkeit

Man bestimme die grö13te und kleinste täglîche Bewegung der Sonne in der Ekliptik (a = 1 AB, e = 0.0167, me = 0).

Tm"" = a (l +e) = 1.0167 AB Tmin = a(l - e)

p

= 0.9833AB = a (1 - e2 ) = 0.9997 AE

Villa" = 0.01779rad/d =

1 ~ 02 j d

0.01664 rad/d =

0 ~ 95 j d

VlJlin

=

Die Sonne schreitet im Winter (Peri hel) also urn bis zu schneller voran als im Sommer (Aphel).

O~ 07

pro Tag

Zu 3.2.2: Vl s·viva· Satz

Man bestimme die maximale und die mini male Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn urn die Sonne (a = 1 AE, m e = 0, Tm.." = 1.0167 AB, Trni" = 0.9833 AE) . 2

V~"." = 0.000306 AB j d 2 2 v~,a" = 0.000286 AB j d 2

V"'a x Vrn;"

= 0.0175 ABj d = 30.3 km j s = 0.0169ABj d = 29.3km js

Zu 3.2.2: Gesch wlndigkeitsvektor

Man bestimme die Geschwindigkeit der Erde im Perihel in eklipti· kalen Koordinaten unter Verwendung der Bahnelemente a = 1 AE, e = 0.0167, m e = 0, Af = v = Oo, w = 102 ~ 63 , {} = i = 0°. p = a (l -

x~

iJ

Z ~

e2 ) = 0.9997 AE

(0.01720 AEj d )( -0.99210) (0.01720 AEj d )( -0.22231 ) (0.01720AEj d )(+0.00000)

~

~ ~

-29.6 kmj , -6.6 kmj , + O.Okmj ,

79

80

3 Das Zweikörperproblem

Zu 3.3: Bestimmung der Bahnelemente

Man beslimme die oskulierenden Bahnelemente der Plutobahn aus den ekliptikalen heliozentrischen Orls- und Geschwindigkeilskoordinaten:

x = - 26.06710 AE Y = - 11.92126AE z = + 8.80594 AE

:i: = + 0.001633041 AEjd iJ ~ - 0.003103617 AE/cl Z = - 0.000152622 AEjd

Die Plutomasse kann gegen die Sonnenmasse vernachlässigt werden. Positlon und Geschwlndlgkelt 7'

v = 0.003510349 AEjd

= 29.98591 AE

Bahnebene

= + 0.029149711 AE2j d Cv = + 0.01 0402041 AE2 jd " ~ + 0.100370191 AE' / d c = 0.105033724 AE2 jd C:c

i = 17?13764

11

~

109%389

cos u = - 0.082268 sin u = + 0.996610

u

~ 94~71895

Bahnform

I/ a = 0.025055400 j AE a p

e

(Ellipse)

= 39.911 56 AE = 37.28161 AE = 0.256699

Perlhellänge

e·cos(E) = + 0.248691 e·sin(E) = - 0.063617

E = 345?65100

v= 341 ?4091 5

w = 113?30980

w = 222?9487

MltUere Anomalie und tägllche Bewegung

M = 349?29600 n = O?0039089

4

Das Mehrkörperproblem

Betrachte! man n punktförmige Massen mi (i = 1, ... , n) an den Orten Xi> die sich unler dem Einfluss der gegenseitigen Gravitationskräfte bewegen, dann ergeben sich die fo lgenden Bewegungsgleichungen: ..

X i=

"

~

X j- X i

L.. G om;, I "_ , .-". Xj 1-·,' ... •

- Xi

I'

i = 1, .. . ,n

Man hat also insgesamt ein System van (3n) D ifferentialgleichungen zweiter Ordnung zu lösen , was zusammen (6n) Integrationen erfordert. Zehn Integrale davon erhä\t man in Farm des Energiesatzes ( 1 Integral), des Impu lssatzes (6) und des Drehimpu lssatzes (3 Integrale). Im Falie des reinen Zweikörperproblemserhäll man als e lftes Integral die Kegelschnittgleichung (die Bahnform) und als zwölftes Integral die Ke plergleichung, die den Zusammenhang zwischen der Zeil und dem Orl in der Bahn darstellt. Für das allgemeine n- Körperproblem sind bisher keine ähnlichen Lösunge n in geschlossener Form gefunden worden.

Abb. 4.1: Die Graviationskraft zwischenje zwei Kllrpem wi rkt auf die Verbindungslinie dieser Massen

In den beiden folgenden Paragraphen werden zwei verschiedene Wege - analytische und numerische - erläutert. auf denen man das Mehrkörperproblem speziell in seiner Anwendung auf das Planetensystem in sehr guter Näherung behandeln kann.

4.1 Analytische Methoden 4.1.1 Grundlagen

Ausgangspunkt ist hier im AlIgemeinen das so genannte eingeschränkte Dreikörperprobiem. Darin wird untersucht, wie sich ei ne vergieichs-

4.1

Analytische Methoden

4.1 .2 Die Newcombsche Sonnentheorie

FUr eine Reihe van Anwendungen is! es erstrebenswert, eine genauere Position der Erde ader Sonne zu berechnen, als dies mi! den im Anhang gegebenen Bahnelementen nach dem Zweikörperproblem möglich ist. Dazu gehört etwa die Bahnbestimmung, aber auch die Beslimmung einer geozentrischen Ephemeride, in die die Ungenau igkeit der berechneten Erdbahn direkt eingeht . FUr diese und ähnliche Anwendungen fo lg! hier eine gekürzte und aktualisierle Version der von Simon Newcomb enlwickellen Theorie der scheinbaren Sonnenbewegung. Es handelt sich dabei urn eine Entwicklung der Abweichungen der Erdbahn von einer ungeslörten Keplerbahn, die in der oben beschriebenen Weise gewonnen wurde. Bezelchnungen T

L,

C

C, C,

C, C, D A

U ~L

4L, 4L. ~L,

4L, L!.L M

L

"R, "" ~R.,

~'" 4n, L1RM

R B

Juliaoische Jahrhundertc seit 12000 T = (JD(TI)-2451545.0 )/36525 langpcriodische StOrung der minIeren Unge und der minleren Anomalie der Soone minIcre Utnge der Sonne mittlere Anomalie der Sonne minlere Anomalie Venus mittlere Anomalie Mars minlere Anomalie Jupiter minlere Anomalie Satum minlcrer WinkeiabSUInd des Mondes von der Sonne (minlere Mondlängeminlere Sonnenläoge) mini ere Anomalie des Mondes mittleres Argument der Breite des Mondes (AbsUind vom Mondknoten) Differenz zwischen wahrer und minlerer Sonnenlänge nach dem Zweikörperproblem (Minelpunktsgleichung) Ulngenstörung durch Venus Ungenstörung durch Mars Ulngenstörung durch Jupiter Ulngenstörung durch Satum Ulngenstörung durch den Mond wahre Ulnge der Sonne, bezogcn auf den mittleren Frtlhlingspunkt und die minlere Ekliptik des Datums dekadischer Logarithmus des Radius in AE nach dem Zweikörperproblem Störung in Jog R durch Venus StOrung in log R durch Mars Störung in log R durch Jupiter Störung in log R durch Satum Stönmg in Jog R durch den Mond Radius in Astronomisehen Einheiten BTeite der Sonne, tx:zogen auf den mittleren FrUhlingspunkt und die mittJere Ekliptik des Datums

83

84

4

Das Mchrkörperproblem

4.1.2.1 Die miHleren Längen

L1Lp = (1 ~'866 ~ O!'016·T) · sin(207~5 1 + + 6~1400 · sin(251 ~39 + + O~'266·sin(150~80 +

150 ~27 ·T) 20~20·T)

119 ~OO·T)

Lo

= 280~465905 + 36000°·T + 2770~'308·T + 1 ~'089·T2

G

= 357~525433 + 35999°·T + 178~'02·T ~ O~/54 · T2 + L1Lp

G2 G4 G5 G6

= = = =

317~394+ 1221 ~ 794·T

D A U

= 134~954 + 477198~849·T = 93':'276 + 483202~025 · T

~

297?852 + 445267?1l4·T

+O~'202·sin(128~9

49~943

+

893~3·T)

+ L1Lp

+ 5851 7~493·T

19':'557 + 19139?977·T 19~863 + 3034%83·T + 13001/ ·sin(173~58+39~80·T)

4.1.2.2 Terme der Zweikörperbewegung

i1L =

(6892~1817-17:'240·T)·sin{G)

+( +( R.,

~

71 ~'977 1~'054

sin(2G) ). sin(3G)

0~'361·T)·

(+0.00003042-0.00000015·T) +( - 0.00725598+ 0.00001814·T)· cos(G) +(-0.00009092+ 0.00000046·T) . cos(2G) +(-0.00000145 ) . cos(3G)

Terme kleiner als O~'l ocier 0.00000010 si nd darin vernachlässigt.

4.1

4.1.2.3 Stärungen In Länge

.óL2 = +4~'838·cos(299?102+ G2- G) +0~'1 16·cos( 1 48?900+2C2- C) +5 ~'526 ·cos( 148? 313+ 2G 2- 20) + 2~'497 ·cos (315?943+ 2G 2 -3G) +0~'666 ·cos( 17r? 710+302-30)

+ I ~1559·cos(345?253+3G2-40)

+ 1 ~'024·cos(3 1 8? 150+302-5G) +0~'21O·cos(206?200+4G2-40)

+0 ~' 1 44 ·cos( 19S? 400+4G2-S0} +0~'IS2·cos(343?800+4G2-6C}

+0 ~'123· cos( 195? 300+502- 7G) +0~/154 .cos (359? 600+50 2-80) .:1 L4 = +0~1273·cos(2 1 7'?700- G 4 + 0) +2~'043 ·cos(343?888- 20~ +20) +1~1770·cos(200?402-2G4+ C) +0~' 1 29'cos(294?200-304+30) +0~/425'cos(338?880 -304+20)

+0 ~'500· cos( 105? 180- 4C 4 +3C) +0~'585·cos(334?060-4G4 +20)

+0~'204·cos(100?800-5G4+3G)

+0 ~' 1 54 .cos(227'? 400-604+40) +O~'1 01 · cos( 96?300-6G4 +3G) +0 ~' l 06· cos(222? 700- 70.1 +40) .:1L5 = +0~' 1 63 · cos(198?600- G 5+20) +7~'208·cos(179?532- 0:;+ G) +2~'600· cos(263?217- G:; ) +2~'73 1 ·cos( 8r? 145-2G..,+2G) +1~'61O·cos(109':'493-205+ G) +0~' l 64·cos(1 70':' 500-3G 6 +30) +0~1556·cos( 82':'650-306+2G) +0~'21O · cos( 98':'500-306 + 0) .óL6 = +0~'419·cos(lOO':'580- 06+ 0) +0~'320 · cos(269':'460- G6 ) +0~'108·cos(290':'600-2G6+2C)

+0~'l12 ' cos(293':'600-2G6+ C) .:1LM = +6~'454·sin(D) +0:'177·sin(D+A)

-0~'424 · sin(D-A)

+ 0~'1 72·sin(D-0)

Damit berechnet sich die wahre Uinge zu:

Analytische Methoden

85

4.2

Numerische Jntegralion

4.1.2.5 Ekllptlkate Breite der Sonne

B =

-0~121 0 ·cos{151~800+3G2-4G) -0~1166 ·cos(265~500- 20 5 +0)

+0%76'sin U In der obigen Aufstellung sind alle Terme vernach lässigl, die kleiner als 0'.' 1 (Länge und BreiIe) oder kleiner als 0.00000010 (Logarithmus des Radiusvektors) sind. Der gröBte mögliche feh ler betriigt dam it ungefáhr 2" in Länge, 0% in Breite und 0.000005 AE im Radius. Die Terrne, die als Argumente die miuleren Längen der Mondbahn enthalten, entstehen durch die Verschiebung des Erdmitlelpunktes gegenUber dem Schwerpunkt des Systems Erde-Mond (Baryzentrum). Sie werden nicht berechnet , wenn man nur an den Koordinaten des Baryzenlrums interessiert ist. Man beachte hierzu auch Kapitel5. 4.1 .3 Ptanetentheorien

Analytische Darstellungen der Bewegung der Planeten urn die Sonne sind von verschiedenen Astronomen ausgearbeitet worden. Sie erfordern besonders bei den äuBeren Planeten eine Vielzahl von Termen und können aus PlatzgrUnden hier nicht wiedergegeben werden. Ei ne Aufstellung entsprechender Werke findet sich aber im Literaturverzeichnis. 4.2 Numerische Integration

In den numerischen Verfahren wird versuchl. die Bahnen der ei nzelnen Massenpunkte näherungsweise in kleinen Schritten w berechnen. Ausgehe nd von den Orten und Geschwindigkeiten zu einem Zeitpunkt t bestimmt man die Orte und Geschwindigkeiten zu einem etwas späteren Zei tpunkt t + .1t, indem man die Bahn in diesem Zei traum geeignet extrapoliert. Bei den einfachsten Verfahren nähert man die Bahn durch kleine Geradenstücke an, was natUrlich nur fUr sehr kleine .1t ei ne brauchbare Näherung darstellt. Bessere Methoden verwenden w r Berechnung des jeweils nächsten Schrittes mehrere vorangehende und beTÜcksichtigen so auch die Krümmung der Bahn. Die mit numerischer Integration erreichbare Genauigkeit hängt vom verwendelen Verfa hren und der Wah l der Schrittweite .1t ab. lm allgemeinen erzielt man eine höhere Genauigkeit. wenn man .1t kleiner wähll. Da dann jedoch die Anzahl der nmwendigen Rechenschritte zuni mmt, wachsen die Rundungsfehler, die durch die beschränkte Stellenzahl des Rechners entstehen, schneller an. Aus diesem Grunde kommt es darauf an, Ver-

87

88

4

Das Mehrkörperproblem

fahren zu verwenden, die eine mäglichst groBe SchrittweÎte erlauben, wenn man verläBliche Berechnungen über längere Zeiträume durchfUhren wilt. Als Beispiel für eÎne Vielzahl möglicher Integrationsverfahren wurde hier ein Runge-Kutta- Verfahren gewählt. Es zählt zu den so genannten Einschrittverfahren, d.h. es werden nicht mehrere vergangene Schritle gespeichert, urn den jeweils nächsten Schritt zu berechnen. Der Voneil liegt dabei in der besseren Übersichtlichkeit und in der Möglichkeit. die Schrittweile nach jedem Schritl ändern zu kö nnen. Das Verfahren erhebt keinen Anspruch darauf, höchste Genauigkeit in Verbindung mit groBer Schrittweite zu liefern. Es soli hauptsäch lich dazu dienen, das Prinzip der numerischen Integration zu illustrieren. Einen guten Überblick liber sei ne Leistungsfáhigkeit erhält man, wenn man das im AnschluB gegebene Beispiel fti r verschiedene Schrittweiten durchrechnet und mit der analyt ischen Lösung vergleicht. Für die Darstellung weiterer Integrationsverfahren sei auf die Arbeiten im LiteraturverzeÎchnis verwiesen. Ausgangspunkt der Rechnung ist ein System van nMassen, deren Koordinalen in einem kartesischen Koordinatensystem zu einer be-

Slimmlen Zeil t hekannt sind . Do. die zeitliche Entwickl ung dieses Syslems hieraus noch nicht eindeutig bestimmbar ist, werden weiterhin auch die Geschwindigkeiten der einzelnen Massen als bekannt vorausgesetzt. Bezeichnungen

T(t ) ~

'(t)) (*)

v(t) ~

?irt)

a rt) m

G

~

y(t)

i(t) )

( irt) i(t) ) y(t)

( irt)

Ort eines Körpers zur Zeil t

Geschwindigkeit zur Zeit t

Beschleunigung zur Zeil t Masse des Körpers Gravitalionskonstante (G = 2.959122083·1Q- 4AE 3 M0" d - 2)

Der Index i bezeichnet die jeweilige GröBe des i-ten von n Körpern.

Rechenbeispiele

Für die fo lgende Rechnung werden alle Grö/kn in AE als Entfernungseinheit. AEld als Geschwindigkeitseinheit und Sonnenmassen als Masseneinheit ausgedrückt. Man erhält damit dimensionslose Zahlen. Aus den Startwerten wird nun werst der Vektor y (t=O) gebildet:

y

~

+0.800000000000 0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 + 0.013962634020 0.000000000000 ~0.200000000000

0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 ~ 0.003490658504

0.000000000000

} r,

}v,

}r, }v,

Die Berechnung der Beschleunigungen ergibt mil diesen Anfangswerten l

x, ~ - 0.0002436939 X2 = +0 .0000609235

jiJ =Z j = 0 ih=Z2=0

Aus diesen Werten lassen sich nun k a und y ' = y + ~.1t ka berechnen: 0.0000000000 +0.0139626340

+0.8000000000 +0.0139626340 0.0000000000

O.()()()()()(HXM)O

k a. =

~ 0.OOO2436939

~ 0.OOO2436939

0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000

+ 0.0139626340 0.000000000D

~ 0.cH)34906585

0.0000000000 + 0.0000609235 0.0000000000 0.0000000000

,

Y

~

~0.2000000000

-0.0034906585 0.0000000000 +0.0000609235 - 0.0034906585 0.0000000000

Der Vektor y' besteht aus den vier dreidimensionalen Vektoren r'J' v~. r~, v~ . Aus ril und r~ werden nun a~ und a~ berechnet und schlie8lich 1Alle Zwischcnergcbnisse sindjeweHs auf lebn Nachkommastel!en angegeben.

93

100

5

Die Mondbahn

Aechenbeispiele zu Kapitel 5

Man berechne die Stellung des Mondes am 2. August 2005, Oh TI (JO 2453584.5). Zu 5.1; Mlttlere Längen

T Lo =

0.055838467

91?5773 l = 141?0166 l' = 207?6609 F = 74?5319 D ~ 320?8830

Zu 5.2: Wahre ekliptlkale Länge

..\ = Lo + 14346" = Lo Zu

5.3~

+ 3?9850 =

95?5624

Ekllptlkale Breite

{J = 17821" = 4?9504 Zu

5.4~

Entfernung, Halbmesser und Paral1axe

r = 403445km

s = 0?2468

11"

= 0?9058

Zu 5.5: Lage des Erdmlttelpunktes

Aus den heliozentrischen Koordinaten

L = 309.8148

B = 0.0001

R = 1.01487 AE

der Erde für den angegebenen Tag erhä!t man unter Verwendung der oben berechneten Mondkoordinaten die Differenz der heliozentrischen Koordi naten van Erdmittelpunkt und Schwerpunkt Erde-Mond : ,:jL = - 3~'73 ,:jB = -0~'5 7 ,:jR =

+4037 = 0.000027 AE

6.3

Beleuchtung der Scheibc

6.3 Beleuchtung der Scheibe

6.3.1 Phasenwlnkel Der Phasenwi nkel i ist der Winkel, unter dem Sonne und Erde vam Planeten aus erscheinen und ist gleichzeitig ei n MaB für die Beleuchtung der Scheibe. Er wird von 0 0 (voUkammen beleuchtet) bis 180 0 (unbeleuchlel) gemessen. Planet

"--'-'-------;;---'-"-" Erde ~.--R

Sonne

Abb. 6.2:

Phascnw in~cI

(i) und Elongaûon (E)

i ergibt sich wahlweise aus ciner der folge nden Beziehungen:

co,(E)

~

+ co,(L-À) co,(iJ)

cosCO") = - cos(L->') cos{b) i

(0' :s E :s 180') (0° ::; a ::; 180°)

= 1800 -0"-E

ode,

l, b, r À, {3, f).

L,- , R i

E

heliozentnsche ekJiptikale Koordinaten des Planeten geozentrischeekliptikale Koordinaten des Planeten geozentrische ekliptikale Koordinaten der Sonne Phasenwinkel Elongation

Da in dem ersten Gleichungssystem davon ausgegangen wird, dass die ekliptikale Breite der Sonne gleich NuH ist, mUssen sich dort streng genommen atle Koordinaten auf den Frilhl ingspunkt und die Ekliptik des Datums beziehen.

103

106

6

Physische Ephemeriden

,

... Erdàquator 'Û'{}.\cf. ptanetef1~o;

Abb. 6.4:

Lage des Nullmeridians

Oamit ist die Messung von W unabhängig vom tatsächlichen Drehsi nn des Planeten. Für die einzelnen Planeten geIten die in TabelIe 6.3 zusam mengestellten Werte. Darin bezeichnen d = JO - 2451545 .0 und T = d/36525 die Anzahl der seit J2000 vergangenen Tage bzw, Jahrhunderte. Tabelle6.3:

Lage des Nullmeridians der Sonne und der Planeten (lAU 1994, 111 J) W(J2000)

84? 182 329?68 160?20

Sonne Merkur Venus M~,

Jupiter

Satum Uranus Ncptun Pluto

176~901

System I Systcm II System (J( Systcm I System (J( System (J( System [1\

67~1

43?3 284?695 227~ 2037

38?90 203%1 253~ 18

236?77

+ +

6W

14? 1844000d 6? 1385025d 1?4813688d

+1? 222 + 1 ~ 145

+ 1?436

+350~891983Od

+O~620

+ 877?9OOd + 870?27Od

+l ~291

+870~ 536d

+ 1?291

+ 844 ~3OOd + 8\O?7939024d - SOl ? 1600928d + 536~3128492d - 0?48sin(N ) N = 357~85 + 52~ 316T - 56?3623195d

+1~291 -3~ 470

-3?470 + 0?564 + 0%62 +0?413

Dabei ist folgendes zu beachten: • Zur Berechnung des Julianischen Datums ist anslelle der Weltzeit (UT) die Ephemeridenzeit (ET) beziehungsweise Terrestrische oder Baryzenlrische Dynamische Zeil (TI, TDB) einzuselzen (siehe Abschn. 2.1 und 2.2) . • Aufgrund der Lichtlaufzeit ist W für den Zeitpunkl zu berechnen, an dem das Licht vom Planeten ausgesendet wird. Oeht man davon aus, dass sich die Entfernung Erde- Planet (A.) während der Lichtlaufzcit

6.4 Roution

nur unwesentl ich verändert, dann liegt der Zeitpunkt der Lichtaussendung urn (499.005 s) . (LJ. j AE) vor dem der Beabachtung. Beide Punktesind wegen der zum Teil sehr hohen Drehgeschwindigkeit der Planeten für eine genaue Rechnung unhedingl zu berücksichtigen (der Nullmeridian von Jupiter verschieht sich in 50s urn etwa ein halbes Gmd!) Die Werte der Spalte W(J2000) beziehen sich auf die Lage des Erdäquators vom I. Januar 2000, 12 h (J2ooo). Addiert man dazu den Wert LlW, dann erhält man die auf den Erdliquatar des jeweiligen Berechnungszeilpunkls bezogenen WeTte, die fUr d ie spälere Rechnung benötigt werden. Für eine genaue Rechnung gilt:

sin(LlW) = - 8in(8) 8i11(0:0

+ Ç)j C08{JÓ)

8

= 2004~'311·T-O~'427·T2-0~'042·T3

ç

= 2306~'218·T + O~'302·T2 + O~'018·T3

T

Äquinoklium in 1ahrhunderten seit 12000

T ao

~

(JD -245 1545.0 )j36525

Reklaszension der Drehachse (Äquinoktium 12000) Deklination der Drehachse (momentanes Äqu inoktium)

Jó

Bei Jupiter und Saturn sind verschiedene Nullmeridiane im Gebrauch, da nicht alle Bänder mil der gleichen Geschwindigkeit rolieren: System I

Rotalion im Bereich des Äquators

System 1I Rotatian nördlich der Südkomponentedes nördlichen Äquatorialbandes und südlich der Nordkomponente des südlichen Äquatorialbandes System III Rotation von Radioemissionen Auch bei der Sonne giht es keine starre Rotatian. Die angegebene Bewegung des Nullmeridians bezieht sich auf ungefáhr 16° heliographische Breite. FUreinen beliebigen Punktder BTeile B beträgl die tägliche siderische Bewegung einer empirischen Formel zufolge

n

=

14?37 - 2?60.sin 2 (B)

107

6.4

RotaLiol\

6.4.4 Planetographlsche Koordinaten, Zentralmerldlan

Analog zur geographischen Länge und Breite hat man auch fUr andere Planeten so genanme planelOgraphische Koordinaten eingeführt: • Die planetographische 8reite ({) gibt an, um welchen Winkel sich ein Punk! über den Äquator des Planeten erhebt. Sie wird von _90 0 (Südpol) bis + 90 0 (Nordpol) gemessen . • Die planelOgraphische Länge gibt an, um welchen Winkel sich der Meridian durch den betrachteten Punkt vom Nullmerid ian unterscheidet. >. wird von 00 bis 3600 entgegen der Rotationsrichlung gemessen.

Nuflmeridian

'P)1::.::::-:-:7,~~~zentralmeridian 1

Abb.6.6:

Planctographische Koordinatcn eines PunkIes P auf der PlanctcnobcrHlicbc

Von besonderem Inleresse ist die Längedes so genannlen Zentralmeridians, also des Meridians der in einer Ebene mil der Rotationsachse und der Erde auf der der Erde zugewandten Seite liegt. Er erscheint dem 8eobachter als gerade Li nie in der Mitte der Planetenscheibe. Dazu berechnet man zuerst den Winkel I< zwischen dem Sch niupunkt ErdaquatorlPlanetenäquator und dem Sch nittpunkt Zentralmeridian/PlanetenaqualOr (vgl. Abschn. 6.4.2). Die Differenz zwischen K und W ergibt dann die planetographische Länge des Zentralmeridians, wobeijedoch der Rotationssi nn des Planeten zu beachten is!. Daneben erhält man aus der nachstehenden Formel noch die planelographische Breite desjenigen Punkies der PJanetenoberftäche, der auf der Verbindungsl in ie von 8 eobachter und Planetenmillelpunklliegt. sozusagen die Deklination der Erde bezogen auf den Mittelpunkt und den Äquator des Planeten.

109

6.5 Sdleinbare Hclligkei!en

6.5 Scheinbare HeIligkelten

Die scheinbareHetligkeit eines Planeten hängt in erster Linie van seiner Entfemung van Sonne und Erde ab: m = mo m mo r .1

r.L!)2 + 5·!oglO (AE

scheinbare Helligkeit scheinbare Helligkeit bei r = .1 = 1 AE Entfemung Sonne-PJanet Entfernung Erde-Planel

Die Einheitshelligkeit mo iSI allerdings noch van einigen anderen Parametern abhängig. Im AlIgemeinen genügt es dabei, die Phase des Planeten zu berücksichtigen, nUT bei Salurn benötigt man noch Angaben über die planetographischen Koordinaten van Sonne und Erde. Merkur ma =-(1."42+3""80 '(-'-) _T.'73.(_,_)2 +T.'OO'(-'-)' 100°

100°

1000

100°

100°

1000

V'"" mO~-"'40+CI"09'f-'j+",39.(_')' -...".(-')' M~ mo = -1~52 + 1'."60·

,

-'-

UJO'

Jupiter mo = -9!"40 +(1."50· 1000

Salilm ma =

-8~88 -

Uranus ma =_7':"19 Ncptun ma = -6?'87 PJlI!a ma =-I?'Q

mo i D

.1>'

2'."60·lsin D I +

1~25·lsill DI2 + 4~40· 1 100' ," I

scheinbare Helligkeil für R = .1 = 1 AE Phasenwinkel planetographische Breile der Erde (nur bei Satum) Positive Differenz der planetographischen Längen van Sonne und Erde (0 ::;: .1>. ::;: 180°). In erster Näherung kann .1.,\ durch den Belrag des Phasenwinkels ersetzt werden.

111

Rechenbeispiele

Zu 6.3.1: Phasenwinkei (a) cosE = + 0.28ll

(b)

E =

73~68

cosu = + 0.4390 i = 42~37

u = 63~ 96

cos i

1

= + 0.7388

=

42~37

Zu 6.3.2: Phase

k

~

0.87

.

Zu 6.3.3: Beieuchtungsdefekt

d=

0~/9

Zu 6.4.1 : Lage der Rotat ionsach se

Bei einer Entfemung von 1.3135 AB benötigt das Licht rund 655 s vam Mars zur Erde. Die Rotationselemente werden entspreche nd für den

Zeitpunkt der Lichtaussendung (6, Dezember 2001 23 h SOm 10""TT) berechne!: T = +705.493166/ 36525 = + 0.01931535 0"0 = 317 ~ 68 - O ~ OO + 0~ 02 = 317 ~ 69 Jo = 52 ~ 89 - O ~ OO + 0~ 01 = 52 ~ 89 Zu 6.4.2: lage des Nullmeridians

= + 705.493166 W = 176~90+247551 ~ 90 = 247728~81 = 48~81

d

+ 0~01

Zu 6.4.3: Positionswinkei der Achse

cos D cosP = +0 .9098 cosDsinP = - 0.1410

cosD = 0.9206 P = - 8':'81 = 351 ':'19

Zu 6.4.4: Pianetographische Koord inaten, Zentralmeridlan

cosDcosK = - 0,2276 cos Dsin K = + 0.8921 sin D = -0.3904

J( = 104':' 31 D = -22':'98

Der Rotationssinn is! positiv (W = 350':'892/ d > 0). Damit falgt:

>'0

= 304.50

.

Setzt man für 0" und J stat! der geozentrischen Marskoordi naten die heliozentrischen Marskoordinaten ein, dann ergibt sich cosD' coSJ(1 = - 0.7959 cosD' sinJ(1 = + 0.4460 sin D' = - 0.4094

K' = 150.73 D' = - 24.16 ),ó = 258':'07

113

114

6

Physische Ephemeriden

Aó und D' sind die planelOgraphische Länge und Sreile des Punkies der Marsoberftäche, der die Sonne im Zenil slehl. Zu 6.5: Schelnbare HeIligkelt

ma m

=

- 0'.nS4 +if.!49

Anhang

A.1 Grundformeln zur Berechnung sphärlscher Dreiecke Gegeben sei ein sphl1risches Dreieck mil den Seitcn a, b. c und den entsprechenden gegenllberliegenden Winkeln 0, f3 und -y. Dann gellen die Bezichungen: Sinussatz

sinn sinb sin e sina - sin {3 = sin ; Seltencoslnussatz

oosc = cosa· cosb + sin a· sin b· COS; Wlnkelcosinussatz COS,,!

= sin a: . sin p · eose - eosa· cos/3

Sinus..coslnussatz

sina-cosfJ = cosb·sinc-sin b·cosc'oosa sina · cosb = cos,B·sin-y+sin,B·oos'Y,cosa a Abb. A.l : Verbindtl JlWl drci Punkie aur cinl:r KugeloberH:lche

•

durch GroBl:rcise. so crh!lh man CiD sph:lriscbes Dreicek. Es wird bescluicben durch die Winkel (1, b und c. untef denen die Ecl::punl::te vom Kugclmittelpunkt aus erschei·

ncn (kurz "Seitcn~) und die Win· kei Q, fJ und "I unler denen skll die Gro6krcisc in den Eclr.punklcn

sclmeidcn.

116

Anhang

A.2 Aufstellung von Transformationsformeln ûber Orehmatrlzen

Die irn ersten Kapitel vorgestellten Transformationsformel n zwischen den verschiedenen Koordinatensysternen können auBer über sphlirische Dreiecke auch über Drehungen der Koordinatenachsen abgeleitet werden . Dieses Verfahren ist irn Aligerneinen durchsichtiger und liefert sofort alle drei Gleichungen, die fUr eineeindeutige Transformation benötigt werden. Im Aligemeinen genügt es, Drehungen zu betrachten, bei denen ei ne Koordinatenachse erhalten bleibt.

"

,

Abb. A .2:

x(x"')

Drehung eines Koordinalensy-

slems urn die a;-Achse

Gegeben seien zwei Koordinatensysterne mit gerneinsamen Ursprung und gemeinsamer x(x')-Achse. Die y'-Achse gehe aus der yAchse durch eine Drehung urn den Winkel I{) urn die x(x')-Achse hervar. Der Drehsinn entspricht wie in der Abbildung angegeben dern einer Rechtsschraube in x-Richtung. Betrachtet man nur die y-z-Ebene. dann ergeben sich fUr die Punkte (1, 0) und (0, 1) im y'-z'-System die Koordinaten y-z-Systern: y'_z'-Systern:

W

(n (+
COS I{)

Ein beliebiger Punkl hat deshalb die Darstellungen y-z-System: y'-z'-Systern:

Wy + (nz

(+00''') -sinl{)

.y

(+'in,,),

+ + cos I{)

Berücksichtigt man auch die x-Komponenteder Ortskoordinaten, dann

118

A nhang

und

c",(/3) co,(À) cos(fJ) sin (), ) sin(fJ)

= = =

+ cos(ti)cos(a) + cos(e) cos( ó) sin (O') + sin(e) sin (ti) - sin(e) cos( ó) sin(O'} + cos(e} sin (ti)

124

Aohang

Vertallsc/llmg

b ·a=a · b

(AS)

b x a=-a x b

(A .9)

a x a =0

(A. 10)

Gemiscllle Produkte

a x (b x c) ~

b·

(a·c) - c· (a·b)

(A.I I )

a· (b x c) = b · (c x a ) =C' (a x b)

(AI2)

Zeitficlre Ä/lderullg

d dt d

-( a · b) =

a· b + a· b.

(AI3)

.

+a x b

dt (a x b) = ó. x b

(A.14)

A.4.2 Schwerpunktsatz und Übergang Ins Relati vsystem

AddieT! man d ie beiden Bewegungsgleichungen (A.5), dann falg!

m 'Xm+M' XM = 0 , Oa nach Defi nilion de r Ort des Schwerpunktes dureh

s=

m' X m+M' X M

(A I 5)

m+M

S = Q. Die Bewegung des Schwerpunktes erfalg! al50 unbeschleunigt. Dureh Integration erhält man hieraus

gegeben iSI, gilt sarni!

S =a

(A I 6)

S = a ·t+ b

Oabei sind a und b dureh den Anfa ngszustand des Systems bestimmte Konstanten. Defi nien man den PositionsvektoT (A.J7)

r = X m - XM

dan n ralg! aus (A.5) für die Relativbewegung beider Massen die Bewegungsgleichung

C " M . ( XM r.. = +a r

r

-X m

= - G(M +m)" r 3

) + "3 C "m" (X M r

- Xm

) (AIB)

AA Ableitung der Gesetze der Zwei körperbewegung

Verlegt man nun den Ursprung seines Koordinatensystems in den Schwerpunkt, dann folgt aus (AIS) wegen S = 0 die Beziehung m .Xm

+M

. X liI = 0

Durch Einsetzen van (A.17) erhält man hieraus

M

X

m = m+ M· r

XM

=

-m

m+ M· r

(A .19)

Aufgrund dieser beiden Gleichungen ist das Zwe ikörperproblem auf das sa genannte Einkörperproblem reduziert. Hat man aus (AI S) die Bahn van r beSlimmt, dann sind sofort auch X m und XM bekannt. Ferner kann man (AI9) entnehmen. dass m und M ähnl iche Bahnen urn den Schwerpunkt ausführen, da beide Körper auf e iner Geraden durch den Schwerpunkt liegen und das Verhältnis der Schwerpunktsentfernungen gleich dem konstanten Massenverhältnis isL

A.4.2.1 Orehlmpulssatz und Flächensatz MullipJiziert man (A. I8) van links vektoriell mit r, dann folgt wegen (A.IO),

r Xr

r xr

: ;:- -G(M + 171) . - ,,- = 0

AndererseilS gilt

d

-d (r x r ) =

t

( A . 14)

rxr + rxr

=

( A.IO)

rxf + O= O

Die Integration dieser Gleichung liefert die Beziehung r

xr = C

(A.20)

Darin ist C e ine durch die Anfangsbedingungen festgelegte Integrationskonstante. Gleichung (A20) lässt sich fol gendermaBen inlerprelieren: es gibt einen zeitlich unveränderlichen Vektor C , der in jedem Moment senkrecht auf rund r steht, mit anderen WaTten, die Bewegung

c

Abb. A.7: Die vom RadiusveklOr in der Zei! dt Ubers tri · chene FI ~che is! gleich de r halben Parallclogrammfläche

125

126

Anbang

muss in ei ner festen Ebene erfolgen. Ferner stellt Ir x (r·dt) I die Fläche des von den Vektoren rund r ·dt aufgespannten Parallelogramms dar, die gleich der doppelten von r in der Zeit dt überstrichenen Fläche is\. Wegen

Ir x ;'·d'l ~ ICI· d' ist daher auch die vom RadiusveklOr in gleichen Zeiträumen überstri~ chene Fläche ko nstant (2. Keplersches Gesetz). A.4.3 Bahnform und Energlesatz

Aus (A.20) fo lg! durch veklorie lle Multiplikation mit r

C x

r

~ ( A . IS )

_ G(M3+ m) (C r

_ G(M + m) . «r x r) x r )

=

T3

~

G(M + m ) . (;.. (r. T) _ r. (r. r3

(A. II )

Mil r·f =

x r)

r·r und

! (~) :t (~) + ~. ~ = r

1 = r3

.

r

=

r· ( -

;.»

r~ . f) + ~. r

. {r· (r· r ) - r· (r· r ))

gilt damit

+m) ~ (~)

ex r

=

ex r

= - G(M + m ) · - - A

-G(M

d' T Integration mil - A als Integrationskonstanle liefert daraus die Beziehu ng

Wegen

C· (C

r

(A.2 1)

T

xrl.

~

1

0 ~ - G(M + m)- (C·r ) - (C·A )

A. 12;A.iO)

r

~

- C·A

sleht A senkrecht auf C, liegt also in der Bahnebene. Multipliziert man (A.21) mil r , dann erhält man

AA

Ableitung der Gesetze der ZwcikOrperbewegung

eder, mit tl als Winke l zwischen A und r

C 2 =G(M+ m)·r+A · r · cosv

.

Definiert man nun die GräBen p (Bahnparameter) und e (Exzentrizität)

als

C'

A

P~ G(M + m)

e

~ 'G"(M .-i': +-m--)

dann folgt p = r · (1

+ e ·cosv) (A.22)

~ ,--;--=,P,=::

r

1 + e·cos v Die Bahn wird also durch einen Kegelsch nitt der Exzentrizität e und des Parameters p beschrieben. Die Symmetrieachse des Kegelschnitts (Apsidenlinie) wird durch die Richtung von A bestimmt. die Form (Exze ntrizität) des Kegelschnitts durch den Betrag von A. In Richtung von A ist v gleich Null und r minimal (Perihel). Da r senkrecht auf C steht (vgL Abb. A,7), gilt mil 11'1 = v (Geschwindigke it)

IC X r l2

=

C

2

.

Ir l2 = C2 . v2

~ (G(M + m). ~)' + 2.G(M+m)(A- ~) + A' r r

( A.2 1)

=

(G(M+m»2'(1+2.e.cosv + e2)

Daraus erhält man nach Division beider Seite n durch C 2 die Beziehung

v' ~ G(M +m)-1 (2(1 + e cos v) + (e' P

1))

Verwendet man den für Kegelschnitte geItenden Zusammenhang

!!.

= l _ e2 a zwischen groBer Halbachse und Parameter, dann folgt schliel3lich der so genannte vis-viva-Salz 2

v = G(M +m)

(~ - ~)

(A.23)

Für Hyperbeln wird a hier negativ verwendet, fü r Parabeln is! I/a gleich Nul! .

127

128

Anhang

Man beachte, dass der vis-viva-Satz nicht mit dem Energiesatz idenlisch ist. Lelzlerer besagt, dass die Summe aus potentielIer und kinetischer Energie im Schwerpunklssyslem oder jedem anderen gleichförmig bewegten Bezugssystem konstant is!. Der vis-viva-Satz hingegen ist ei ne entsprechende Fonnulierung bezagen auf Ort und Geschwi ndigkeit einer Masse im System der anderen. Aufgru nd der Ähnlichkeit der Bahnen (A.1 9) lässt sich jedoch die Äquivalenz beider Aussagen zeigen. A.4.4 Zeltabhänglgkelt der Bewegung Parabel

Wegen e = 1 giil 1/n = O. Wähil man die Bah nebene als x -y-Ebene und legt die x-Achse in Perihelrichtungdann gilt wegen (A.20) die einfache Beziehung

Ersetzt man darin

x = r·cos v y = r· sin v

+ 1'· cos v

:i;

= -r ' sin v · {;

iJ

= +r· cos v · {;+ i ·sinv

(A.24)

Dann erhäh man d ie Gleichung (A.25)

AndererseilS war nach Definilion des Bahnparameters

C~ JC(M + m)p Unter Verwendung der Kegelschnittsgleichung (mit e = 1) erhält man

ddV = t

~

r

= /C(M +m )p (1 p2 = /C(M+m) p3

! dv ._

+ COS V )2

.(2'COS2 ~2 f

l_ _ 2/C(M + m ) p3 2

2 dt cos4 ~ -

Ablei lun g der GeselZe der Zweikörperbewegung

AA

Diese Differentialgleichung kann du rch die Verwendung des fo lgenden Integrals gelösl werden:

j

1 + du=tanu+- ,tan 3 u+const cos u 3

'

Man erhält als Ergebnis die Barkersche Gleichung

v

1

G.,,(M::..:, +;:-m:l.) , (t = 2. q3

3V

tan'2 + '3,tan '2 =

to )

( A.26)

wobei q = p/2 die Periheldistanz und to den Zeitpunkl des Periheldurchgangs bedeutet. EUlpse

Ersetzt man auch im vis-viva-Satz x und y durch die Po larkoordinaten v und r, dann ergibt sich

v 2 =i;2 +i/

= i

2

+r2 i.? = G(M +m)

(~-~)

oder wegen 7,2 V = C = JG{M +m)p

~ G(M+m) (~ _ ~

,"

r

a

_ a( 1 -

r2

e'l)

Man führt nun die Hil fsgröBe E (exzentrische Anomalie) über fo lgende Beziehung ein: l'

= a·( l - e· casE)

(A.27)

Dann gilt

d,· = a · e · sin E

.

dE

Also iSI

dr dE dE dt

7'=-·-

. ,(dE) I dt r

(a·eslIl E) .

= ~ . 2

(I ,

I = 2"' G(M +m) (ae 2 r

= -

I

r'

Daraus falgt r.

dE ~ dt

/G(M+m) a

V

,)

G(M +m) 2r - -r - a(l -e ) a

. G{M +m) . ae 2

-

ae 2 . cas 2 E) .

. S1Il

2

E)

129

130

Anhang

dE

(l-e · cosE) ·- ~~

dt

(A.28)

mit

,,~ fa(M +m) ~

"V

~~

Oiese Gleichung kann sofort nach der Zeit integriert werden. Als Ergebnis erhält man die bekannte Keplergleichung E - e·sin E = IJ.' (t - tol

(A.30)

Oarin bedeutet IJ. die mittlere Bewegung und to den Zeitpunkt des Periheldurchgangs. Durch Verwendung von (A.30), (A.27) und (A.22) lässt sich der Bahnort zujeder gegebenen Zeit t bestimmen. Es ergeben sich jedoch noch einige weitere GJeichungen, die für die praktische Rechnung von Nutzen sind. Aus a(l - e· cosE)

r =

=

a ( l _ e2 ) ~'-':---"-"- l+e·cosv

folgt a(l_e 2 )

-1'

r . cos v = --'----,-"----

e

und damit

r·cosv=a(cosE-e)

(A.31)

Ferner gilt

r 2 . sin 2 v = r 2 _r 2 . cos 2 v a 2 (l - e· cosE)2 - a 2 (oosE - e 2 ) = a 2(1 - cos 2 E) - a 2e 2(1 - cos 2 E) =

= a 2{1 _ e 2). sin 2{E)

und foJglich r ·sinv = a~ · sinE Verwendet man schJie!3lich noch die Halbwinkelformel v sinv tan - = ;-,C"'''':-c 2 l+cosv

(A32)

132

Anhang

A.5 TabelIe des Julianischen Datums von 1900 bis 2075

Die Tabellen auf den folgenden Seiten geben für den nullten Tag jeden Monats das modifizierte Julianische Datum (MJD) an. Durch Addition von 2400000.5 erhält man daraus das übliche Julianische Datum. Die WeTte beziehen sich jeweils auf den Beginn des Tages (0:00 Uhr). Beispiel:

Für das Julianische Datum am 9. April 1950, 6 h erhält man mit den Daten der Tabelle 2400000.50 33371.00 + 9.25 _2 433380.75 +

JaM

Jan

Feb

MJDO.Apri1 1950 Tage seit O. Apri l

März

Apr

Mai

Juni

Juli

Aug

Scp

Okt

Nov

Dez

1900 15019150501507815109 15139 15170 15200 15231 15262 15292 15323 15353 1901 15384154151544315474155041553515565155961562715657 15688 15718 1902 157491578015808158391586915900 15930 15961 159921602216053 16083 1903 161141614516173162041623416265162951632616357 16387 16418 16448 1904 16479 16510165391657016600 16631 16661 16692 16723 16753 16784 16814 1905 168451687616904 16935 16965 169% 17026 17057 17088 l7l18 17149 17179 1906 17210172411726917300 17330 17361 17391 1742217453174831751417544 19()7 1757517606176341766517695177261775617787 17818178481787917909 19()8 17940 1797118000 18031 18061 18092 18122 18153 18184 1821418245 18275 1909 1830618337183651839618426 18457184871851818549 1857918610 18640 1910 18671 187021873018761 1879 1 18822188521888318914189441897519005 1911 19036190671909519126 19156191871921719248192791930919340 19370 1912 194û1 1943219461 1949219522 19553 19583 1961419645 19675 19706 19736 1913 19767 19798 19826 19857 19887 19918 19948 1997920010 20040 20071 20101 1914 20132 20163 20191 20222 20252 20283 20313 20344 20375 20405 20436 20466 1915 20497 20528 20556 20587 20617 20648 20678 20709 2074û 20770 20801 20831 1916 20862 20893 20922 20953 20983 21014 21044 21075 21106 21136 21167 21197 1917 2 1228212592 12872 1318213482137921409 21440 21471 21501 21532 21562 19 182159321624216522 168321713 21744 21774 21805 21836 21866 21897 21927 1919 21958 2198922017 22048 22078 22109 22139 22170 22201 22231 22262 22292 1920 22323 22354223832241422444 22475 22505 22536 22567 22597 22628 22658 1921 2268922720227482277922809 22S40 22870 2290 1 22932229622299323023 1922 2305423085 23113 23144 23174 23205 23235 23266 23297 23327 23358 23388 1923 23419234502347823509 23539 23570 23600 23631 23662 23692 23723 23753 1924 23784 23815 23844 23875 23905 23936 23966 23997 24û28 24û58 24089 24119 1925 2415024181 24209 24240 24270 2430124331 2436224393244232445424484

134

Anhang

Jam

Jan

Feb

MlIrz Apr

Mai

Juni

Juli

Aug

Sep

OkI

Nov

Dez

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1900 -2.72 1901 -1.54 1902 ·0.02 1903 1.24 2.64 190' 3.86 1906 5.37 1901 6. 14 1908 7.75 1909 9. 13

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2000 2l1li1 2l1li2 2l1li3 2l1li4 2l1li'

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10.46 J 1.53

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1914

16.01

1915

17.20

1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924

18.24 19.06 20.25 20.95 21.16 22.25 22.41 23.03 23.49

1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943

1944 1945

1946 1947 1948 1949

24.00 23.81 23.95 23.86 23.93 23.73

1959

1960 1961

29.15 29.51

31.68 32.18 32.68 33.15 33.59

45.48

<Jó.<Jó

1%2 34.00

1986

54.87

23.92

1987

23.96

1963

34.47

1988

55.32 55.82

35.03

1989

1970 1971 1972 1973 1974

35.73 36.54 37.43 38.29 39.20 40.18 41.17 42.23 43.37 44.49

24.02

24.33 24.83 25.30 25.70 26.24 26.77 27.28 27.78 28.25 28.71

1%4 1%' 1966 1%7 1%8 1969

1990 1991 1992 1993 199.

"" 19% 1997 1998 1999

56.30 56.86 57.57 58.31 59.12 59.99 60.78 61.65 62.30 63.00 63.50

63.83 64.09

64.30 64.47 64.57 64.62

A. 7 Mittlere Bahnelemente der inneren Planeten

A.7 Mittlere Bahnelemente der inneren Planeten

Auf den folgenden Seiten sind die mittleren Bahnelemente der Planeten Merkur bis Mars wiedergegeben. Ihre Änderung lässt sich in guter Näherung durch linear zeitabhängige Glieder darstellen. Bezelchnungen JD T

Julianisches Datum des Berechnungszeitpunktes Julianische Jahrhunderte seit dem I. Jan. 2000, 12 h TT T ~ (JO - 2451545.0)/36525

a

grofie Halbachse

e

Exzentrizität

i

Bahnneigu ng bezogen auf die Ekliptik des Datums

io

Bahnneigung bezogen auf die Ekliptik von J2ooo.0

n

Länge des aufsteigenden Knotens (Äquinoktium des Datums)

f10

Lange des aufsleigenden Knotens (Äquinoktium J2ooo.0)

tv

Länge des Perihels (Äquinoktium des Datums)

tvo

Länge des Perihels (Äquinoktium 12000.0)

M

minlere Anomalie

L

miulere Länge (Äquinoktium des Datums)

Lo

mittlere Länge (Äquinoktium J2ooo.0)

L=M+tv Lo= M +tvo Anmerkungen • FUT T < 0.5 bezeichnet io im Falie der Erde die negalive Bahnneigung und f10 den absteigenden KnOlen der Bahn bezogen auf die Ekliptik von 12000. Rechnerisch bewirkt dies keine Unterschiede, man vermeidet aber den plötzlichen Sprung in der Darstellung der Elemente . • Die Umlaufszeit und die Periheldurchgangszei! sind nicht angegeben, da sie bereits durch die Angabe der miuleren Anomalie erSeLZt si nd.

137

138

Anhang

Merkur

a

e i

= 0.387099 AE = 0.205634 + 0.000020· T = 7?0048 + 0~0019·T

io =

7~ 0048 ~

0?0059·T

n =48 ~ 331 + 1 ~ 185·T no = 48 ~ 331 ~ 0?126·T

+ 1 ~ 5555·T + 0 ~ 1582·T I74 ~ 7947 + 149472?5153·T 252~2499 + 149474?0708· T 252?2499 + 149472?6738·T

tv = 77 ~4 552 tvo = 77 ~ 4552

M = L =

Lo = Venus

a e

= 0.723332 AE

i

=

= 0.006773 ~ O.000048 ·T 3~3946

+ O~0010·T

io = 3 ~ 3946 ~ O?0009·T

n = no =

tv = wO

=

M = L = Lo =

+ O?900·T 76 ~ 680 ~ O?278·T 131?5718 + 1?4080-T 131?5718 + O?OllO·T 50?4071 + 58517?8039·T 18 1?9790+58519?2119·T 181?9790 + 58317~8149·T 76 ~ 680

A .7

Mittlere Bahnelemente der inneren Planeten

EM.

a e

= 1.000000 AE

i

=

io

=0~0 +0~ 0131 ·T

= 0.016709 - 0.000042·T

n = no =

W

=

O~ O

(nicht definiert)

(O~O)

174 ~876-0~242·T 102~9400+ 1 ~ 7192·T

+ 0 ~3222·T M = 357~5 256 + 35999 ~0 498 ·T L = 100 ~ 4656 + 36000 ~7690.r Lo = 100 ~ 4656 + 35999?3720·T

Wo = 102 ~ 9400

Mars

= 1.523692 AE

a e

=

i

=1 ~849 6 - 0 ? 0007·T

io =

0.093405 + 0.000092·T 1 ~84 96

-

O~0083·T

n =49~557+0~771·T no= 49~557 - 0~ 295-T

+ 1~8408·T 'G) = 336 ~0590 + 0~4438-T M = 19~3879 + 19139~8585 · T L = 355 ~ 4469+ 1 9141%993·T Lo = 355 ~44 69 + 19140 ~ 3023·T

Wo = 336~0590

139

144

Anllang

Saturn Datum

"

2000102126 9.58 1886 2001104101 9.583859 2002105106 9.585629 2003/06110 9.581141 2004107114 9.573466 2005108118 9.562904 2006109m 9.551250 2007110121 9.539039 2008/11130 9.528006 20]1}I() 1104 9.520556 2011102108 9.518299 2012103/14 9.52 1679 2013104118 9.529811 2014105123 9.541064 2015f06121 9.552877 2016101131 9.563574 2011109/04 9.572240 2018/ 10/09 9.5183 13 2019/11/13 9.580611 2020/ IU11 9.580940 202UOl121 9.581011 2023/0U25 9576662 2024103131 9 .566631 2025105105 9.553604 2026I06I09 9 .540048 2027107/14 9.530277 2028/08/11 9.522183 202910912 1 9.516761 203011006 9514905 203111 1130 9.511412 203310 1103 9.524182 20341OU01 9.535 180 2035103/14 9549276 2036104111 9.563745 2037105122 9.574599 2038/06126 9.579870 203910713 1 9.519120 2040109103 9.575511 204 1/10/08 9.574474 204U 1lf12 9.513458 20431IUI1 9.568040 2045/01120 9.558092 204&02124 9 .5449 18 2047/03131 9 .531669 2048/05/04 9.521709 2049/06108 9 .516478

, 0.055873 0.057066 0.057732 0.057481 0.056631 0.055539 0.054509 0.053776 0,053559 0 ,053928 0.054627 0.055209 0.055277 0.054730 0.05315 1 0.052601 0.051568 0.050902 0.050934 0.051639 0.052645 0.053808 0.054809 0.05531 1 0.055255 0.054754 0.054024 0.053295 0.052832 0.052861 0.053471 0 .054602 0.055931 0.056976 0.057308 0.056839 0.055616 0.054025 0.0523 14 0.05 ]] 28 0.050168 0.051283 0.052521 0.053974 0.055045 0.055439

M

n

322.0087 0.0332345 333.9590 Q.Q332243 346.1125 0.0332151 358.5311 0.0332353 11.3605 0.0332784 24.7205 0.0333335 38.6342 0.0333946 53.0421 0.033 4587 67.6391 0.0335168 81.9443 0 ,0335562 95.5533 0.0335681 108.3850 0.0335503 120.71190.0335073 132.921 4 0.0334481 145.4152 0.0333860 158.4295 0.0333300 172.0711 0.0332848 186.3 120 0.033253 1 201.0341 0.0332412 216.0305 0.0332395 230,7037 0.0332388 244.3306 0.0332611 256.9074 0.0333141 268.9 16 1 0.0333822 280.9 11 1 0.0334492 293.2507 0.0335049 306.0553 0.0335476 319.3512 0.0335763 333. 1118 0.0335861 347.1832 0.0335728 1.2204 0.0335370 14.83 14 0.0334790 21.7594 0.0334049 40. 1061 0 ,0333291 52.3047 0.0332725 64.7961 0.0332450 77.9258 0.0332489 91.6652 0.0332677 105,5681 0.0332731 11 9.6976 0.0332784 134.2350 0.0333067 148.8443 0.0333587 163.0403 0.0334278 116.5222 0.0334915 189.3714 0.0335501 201.9718 0.0335778

n

w

2.4853 113.6410 89.8684 2.4856 13.6288 91.4251 2.4857 13.6263 92.7200 2.4851 13.6260 93.6946 2,4860 13.6248 94.2362 2,4865 13.6252 94.2392 2.4812 13.6294 93.6859 2.4878 13.6310 92.6371 2.4880 13.6422 91.3987 2.4879 13.6384 90.4472 2.4877 13.6228 90. 1834 2.4876 13.6008 90.6943 2.4877 135822 91.7172 2.4879 13.5728 92.8648 2.4818 13.5140 93.1334 2.4815 13.58 14 94.0877 2.4869 13.5891 93.8264 2.4864 113.5942 92.9844 2.4862 113.5950 91.6948 2.4863 113.595290.1 77 2 2,4863 113.5957 88.9757 2.4867 113.6009 88.7735 2.4873 11 3.613289.5848 2 .4818 113.6266 90.9444 2.4879 11 3.633092.3112 2.4879 113.6287 93.3323 2.4879 113.6166 93.8902 2.4882 113.6007 93.9608 2.4886 113.5864 93 .5696 2.4890 113.5768 92.8635 2.4892 113.574392. 1861 2.4889 113.5755 91.9333 2.4881 113 .5746 92.3677 2.4873 113.5688 93.3891 2.4869 113.5626 94.5685 2.4868 113.5604 95.4752 2.4868 ]]3.5601 95.78 14 2.4866 113.5473 95.5344 2.4865 113.5281 95. 1422 2.4865 113.5253 94.4787 2.4864 11353 17 93.3660 2.4864 113.5330 92.1569 2.4867 113.5262 91.3426 2.4815 113.5161 91.2292 2.4884 113.5086 91.7377 2.4891 113.5063 92.4903

146

Anhang

Uranus Datum

a

,

Af

n

n

w

2000'02126 19.223525 0.044654 143.8608 0.0116940 0.1725 73.9808 170.2773 2001I04I01 2002105106

2003106110

2004107fl4 2005f08/18 2()()(i/09122 2007/100:7

2008111130 201001104

2011102108

20[2103/ [4 2013/04118 2014105123 2015106127 2016101131 2011/09/04 2018/1lV09 2019/11/\3 2020112117 2022J01121 2023102125 2024103/31 2025105105 2026I06I09 2027107/14 2028/08/17 2029/09121 20301 10126 2031111/30 2033101103 2034102107 2035103114 2036104117 2037105122 2038/06126 2039107/31 2040109/03 2041/10108 2042/11/12 2043f12l17 2045101120 2046102/24 2047103f31 2048f05f04 2049/06J08

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A.8 Oskulierendc Bahnelemente der liuBeren Planeten

Neptun Datum

a

,

J9491HWll 30,082988 0,007473 19S(VI IIIS 30.020709 0.009666 1951112120 29.993562 0.010919 1953/01123 30.014039 0.010744 1954102127 30.074869 0.009295 19S5f04l03 30.151972 0.007236 1956105/07 30.221226 0 .00518 1 1957106fll 30.265237 0.003436 1958107/16 30.277531 0.002198 1959/08120 30.255359 0.002527 196G'09123 30.198789 0.004560 1961IJOO8 30.115603 0 .007347 1962112102 30.028088 0.010125 1964101f06 29.967200 0.011988 1965/02109 29.953830 0.0\2330 1966/03/16 29.985552 0.011252 1967/04120 30.045399 0.009271 1%8105124 30.113849 0.006985 1%9/06128 30. 175045 0.004958 197{V(}8/02 30.214293 0.003919 1971f09f06 30.220735 0.004362 197211WIO 30.190697 0.005860 1973/111 14 30.128005 0.007911 ]974112119 30.04936\ 0.010046 ]976101123 29.980250 0.011689 1977102126 29.948733 0.012158 ]978104102 29.964930 0.011208 1979/05107 30.020737 0.009125 ]980l06I10 30.096665 0.006588 1981107115 30.1 73735 0.004507 1982108119 30.238587 0.004026 1983109123 30.278324 0.005162 198411007 30.281370 0.006607 1985112101 30.239603 0.007850 198710 1105 30.163179 0.009018 [988102109 30.079669 0.010057 1989103/15 30.020680 0.010505 1990l04I19 30.002215 0.0 10033 1991105124 30.023!»O 0.008783 [ 992106127 30.073721 0.007239 1993f08lO1 30.140901 0.006248 1994109105 30.208060 0.006606 1995f10110 30.258193 0.007984 1996111113 30.276023 0.009477 1997/12/18 30.251419 0.0\0542 1999/01122 30.1840290.011044

M

n

160.146 1 0,0059736 1.7704 162.6366 0.0059922 1.7707 160.1168 0.0060(:>03 1.7706 155.0416 0.0059942 1.1703 148.0800 0,0059760 1.1699 139.6441 0.0059531 1.7696 130.9378 0.0059326 1.7694 127.2731 0.0059197 1.7694 143.3462 0.005916\ ],7694 182.6655 0.0059226 1.7695 196.5351 0.0059392 1.7696 195.6517 0.0059639 1.7696 191.4236 0.0059900 1.7696 186.6893 0.0060082 1.7696 182. 1874 0.0060122 1.7697 178.4425 0.0060027 1.7699 176.3529 0.0059848 1.7701 177.5530 0.0059644 1.7702 185 .5494 0.0059463 \.7702 203.7905 0.0059347 1.7700 221.3315 0.0059328 1.76% 225.339\ 0.0059416 1.7692 220.6010 0.0059602 1.7687 213.1073 0.0059836 1.7685 205.7%5 0.0060043 1.7687 200.3003 0.0060138 1.7693 197.1816 0.0060089 1.7701 197.3410 0.0059922 1.7708 203.1187 0.005%95 1.7712 221.5323 0.0059466 1.7713 254.5052 0.0059275 1.7709 274.8245 0.0059159 1.7702 276.8843 0.0059150 1.7694 268.0219 0.0059272 1.7687 254.2534 0.0059498 1.7684 241.0756 0.0059746 1.7688 231.8164 0.0059922 1.7697 227.3017 0.0059977 1.7708 228.4285 0.0059915 1.7717 237.6186 0.0059763 1.7720 257.1547 0.0059564 1.7718 279.6003 0.0059365 1.7712 292.5026 0.0059218 1.7701 294.9251 0.0059165 1.7689 289.9292 0.0059237 1.7678 279.5034 0.0059436 1.7675

n 131.8345 131.8512 131.8479 131.8211

131.7793 131.7391 131.7135 131.1096 131.7234 !3J.7521 131.7894 131.8288 131.8529 131.8503 131.8213 13 1.7835 131.7528 131.7365 131.7369 131.7530 131.7854 131.8230 131.855 1 131.8666 131.8553 131.8258 131.7894 \31.7581 \31.7391 131.7379 13] .7503 131.77 18 131.7945 131.8135 131.8211 131.8134 131.7940 131.7727 131.7583 131.7532 131.7559 131.7635 131.7749 131.7863 131.7945 13\.7964

ro

35.2149 35.0405 39.8]89 47.1524 56.4215 67.2358 78.3847 84.5409 70.9885 34.1904 22.8114 26.1257 32.7062 39.7191 46.4629 52.4672 56.8734 58.0577 52.5037 36.7444 21.7092 20.2054 27.4104 37.2953 46.9116 54.6604 6(l.O288 62.1573 58.7227 42.7166 12.2110 354.4046 354.8764 6.2546 22.4846 38.0405 49.6016 56.3813 57.5315 50.6614 33.4986 13.4813 3.0612 3.1641 10.6969 23.6187

147

148

Anhang

Neptun Datum

a

2000102126 30.091742 200Il04ffi\

30.006761

, om 1221

om 1207

M

n

n

w

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2002105/06 29.955146 0.010792 245.5282 0.0060119 1.1704 131.7813 64.6\31 2003106J 1Q 29.946862 2004107114 29.974915 20051081[8 30.029459 2006109n2 30.098695 2007/1007 30.170014

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69. 1188

66.7699 55. 1681

36.0%4 20.5320 14.8423

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A.8

Oskulierellde Bahm:lemente der !l.u6erell Planeten

Pluto Datum 1949/ 10111

, " 39.395126 0.249145

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~

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149

150

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Pluto Da\l,lm

" 39.256164

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2017100/04 2018/IUI09

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,

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M

15.2837 17. 1228 18.7731 20.2167 21.5168 22.7565 24.0189 25.38]8 26.9240 28.7140 30.7118 32.7535 34.6196 36,2082 37.5456 38.7154 39,8123 40.9367 42.2207 43.7837 45.6895 47.8668 50. 1090 52.1774 53.9342 55.3682 56.5648 57.6488 58.1591 60.0202 61.5603 63.4735 65.1036 68.0130 70,0961 7 1.8098 73.166 1 74.2714 75.2327 76.1715 77.2573 78.6635 80.5039 82.6894 84.9699 87.0698

n

0.0040012 0.0040098 0.0039996 0.0039809 0,0039594 O.cXI39404 0.0039278 0.0039242 0.0039307 0.0039473 0.0039686 0.0039865 0.0039933 0.0039880 0.0039742 0.0039562 0.0039382 0.0039235 0.0039164 0.0039200 OJXl39347 0.0039563 0.0039773 0.0039911 0,0039946 0.0039887 0,0039761 0,0039609 0,0039411 0.0039381 0.0039373 0.0039466 0.0039643 0.0039840 0.0039978 0.0040023 0.0039915 0.0039858 0.0039698 0.0039525 0.0039383 0,0039315 0.0039354 0.0039483 0.0039652 0,0039795

{I

ro

17. 1534 110.2811 223.9929

17.1666 110.2441 223.5976 110,2303 223.4083 110.2390 223.4757 110.2616 223.7422 110.2894 224.1250 llO.3l48 224.5334 110.3323 224.8775 ] 10.3376 225.0465 110.3293 224.9311 110.3122 224,5357 110.2951 224.0157 110.2855 223.6193 1 ]0.28-W 223,490\ 110.2876 223.6429 110.2925 224,0173 110.2962 224.5286 1]0.2975 225.07] 1 110.2969 225.5007 110.2970 225.6767 110.30\0 225.4953 110.3]04 224.9766 1 10.3230 224.2967 110.3333 223.7115 1 10.3363 223.-W73 110.3296 22).4385 110,3144 223.7451 110.2943 224.2178 110,2752 224.7282 110.2636 225.1542 110,2667 225.3443 110.2892 225.1603 110.3266 224.6006 110.3649 223.8692 110.3865 223.2764 ! 10.3832 223.0005 110.3565223.0751 110.3144 223.4319 110.2662 223.9937 110.2224 224.6494 110. 1970 225.2347 110,2024 225.5639 110.2432 225.4873 110.3053 225.0290 110.3625 224.3816 110.3922 223.81-W

17.1121 17.1682 17.1572 17.1425 17.1276 17.116J 17.1123 17.1195 17.1361 ]7. 1555 17.1686 17. 1708 17. 1626 17.1471 17.1282 17. 1104 17.0990 17.0986 17.1112 17.1331 17.1562 17,1719 17.1759 17. ]687 17. 1539 17.1363 17. 1212 17.1128 17.1148 17. 1284 17. 1496 17.1699 17. 1807 17. 1792 17.1676 17. 1503 17,1315 17.1155 17.1066 17,1083 17,1210 17.1395 17.1557 17. 1638

A.9

Bahllelemente periodischer Kometen

A.9 Bahnelemente periodischer Kometen

Auf den folgenden Seiten sind die oskulierenden Bahnelemente der nummerierten periodischen Kometen wiedergegeben. Bezelchnunge n

q

Periheldistanz (in AE)

e i

Exzentrizität Bahnneigung (in Grad)

w fJ

Länge des aufsteigenden Knotens (in Grad)

to

Perihelzeit

Argument des Perihels (in Grad)

Die Lagee1emente der Bahn beziehen sich auf die Ekliptik und den FrUhlingspunkt van J2000.0. Die Epoche gibt zusätzlich an, zu welchem Zeitpunkt die Bahn durch die jeweiligen Elemente exakt dargesteIl! wird (Quelle: DASTCOM Dlltenbank, JPL).

151

152

Anhang

Name

q

lP/Halle)'

0.58710375

2P/Ellcke 4PIFaye 6P/d'Arrest ?P/Pons- Winnecke

0.33139601 1.65701493

1.25589097

8prruttJc

0.99773385

9prrempell

20D/Weslphal 21 P/Giacobini-Zinner

I.S()()()4820 1.48168018 0.18077931 1.17550118 2.41262942 1.03555710 1.84333196 2.16549097 1.2929283 1 1.36512421 1.25404305 1.03373176

22P/KopfT 23P/Brorscn· Metcalf 24P/Schaurnasse 25D/Neujmin 2 26P/Grigg-Skjellerup 27P/Crommelin 28P/Neujmin 1 29P/Schwassnmnn·Wacbmann I 30P/Reinmuth 1 3lP/Scbwassnmnn· Wacbmann 2 32PfComas Sola 33PIDanie1 34DfGalc 35PfHerscbel· Rigoliet 36PIWhippie 37PIForbes 38P/Stcphan·Otenna 39PfOterma .wPNaisa!a 1 41 prruttle·Giacobini·Krt:sak 42PINeujmin 3 43PIWolf·Harrington 44P/Reinmuth 2 45P/Honda-Mrkos-l'ajdusakova 46PIWinanen 47 Pf Ashbrook·Jact5on 48P/Johnson 49P/Arend-RigauJ; 50PfArend 51 PfHarrington 52 PfHarrington·Abcll

\.57957412 0.47875135 1.20500491 1.27003833 0.99681083 0.74787245 1.55205765 5.72358 128 \.87360216 2.07025825 1.84635906 2. 151 19131 1.2 1310362 0.74848998 3.093818 14 1.44601&43 1.57435631 5.47072799 1.78301698 1,06530912 2.00125543 1.58183173 1.88972383 0.53204950 \.06376390 2.30536317 2.30830945 1.36859041 1.91669599 1.57188950 1.7559&485

JOprrempel2 12P/Pons- Brook.s 13P/OlbeTs J4 PIWolf 15PfFinlay 16PfBrooks 2

I7 P/Hoimes

18PfPenine·Mrkos 19PfBorrelly

1.34581356

, 0.%727725 0.8500\315

162.24220 11.92939

0.56825174

9.04903

0.61404600

0.63442466

19.52380 22.3014 1

0 .82408794 0.51895320

54.69256 \0.54133

0.52281689

1\.97668

0.95460366 0.93029461

74.19157 44.66567

0.40714946

27.52265

0.71030386

3.67366 5.54133 19. 18783

0.49073052 0.41202082 0.63858409

17.83226

0.62280412

30.27069

0.91982904

40.88769

0.70641162

31 .85878 4.72104 19.33387 1\.75149 5.36530 2 1.08677 28.95677 14. 18533 9.39208 8.12912 3.75301 12.91631 22.40938 10.13319 64.20652 9.92710 7. 16275 17.98170 1.94317 11 .59603 9.22518 3.98666 18.51039 6.98177 4.24849 11 .72252 12,51340 13.66434 18.29066 19. 17919 8.65568 10.21845

0.54407125 0.97195133 0.70480955 0.58685073 0.66380542 0.91874173 0.77562607 0 .04416951 0 .50249143 0.39874936 0.56779170 0.46360542 0.15813562 0.97405000 0.25871336 0.568 12131 0.85999159 0.24457825 0.63411468 0.65636466 0.58603109 0.54398150 0.46451763 0.82423731 0.65674830 0.39609280 0.36725844 0 .61154094 0 .53035191 0.56133966 0.54290942

A9 w

n

] 11.86560

58.86005

186.27258 204.97524 178.04972 172.31408

334.7209 \ 199.33888 138.98942 93.42742

206.70267

210.54812

178.91110

68.96648 J 18.21143 255.85603 85.84794

195.02291 198.99022 64.4 1250 162.36362 323.54008 197.98867 23.3481 4

166.54165 353.35833

57.11521 172.54254 162.83731 129.61071 57.87410 214.90346 359.33163 195.91956 346.919 11 48.9565 1 13.28898 358.2 1799 45.16331 18.98807 215.45125 29.29806 201.81491 310.10465 358.18136 56.363% 47.38325 61.61971 141.01171 181.133 18 46.10315 326.05112 356.34154 348.88444 207.99095 330.56153 48.99424 233.45528 138.89917

204.12078 42.04585 176.94642 328.01007 240.62930

75.42373 347.99706 195.39825 120.90701 31 1.58542 79.83 112 307.83184 2\3.30919 250.63831 347.03356 312.71555 119.74 10 1 126.24709 60.81264 66.58 180 59.94009 355.98052 182.49566 334.36668 79. 19065 33 1.5851 4 135.07123 141 .49752 150.42422 254.75605 2%.06846 89.15810 82.20579 2.60214 117.35392 121.12925 355.38243 119.26289 337.28174

" 1986102109.45896

Balloclemcnte pcriodischer Kometen Epoche

1997/OSn3.59864

1986102119 1997/06101

1999105106.1 1290 1995107127.32271 1996101102.4548 ] 1994/06125.28953 2000l01102.6167 1 1999109108.42105 2024104120.99937 2024106130.45818 2()()(v1 1121 .07352 199510SJ()S.04014 1994109/0] .07970

1995107/22 1995/12129 1994106111 2000l0 1117 1999109/19 2024/05110 2024106119 2000112102 1995105103 1994109105

2000105111.82290

2000l05/16

1995112106.04972 199411110 1.49420 19\311 1126.83786 1998/1112L3 1949 1996107102.19154 1989/09/11.93747 2001105/02.65714 1998/01107.29938 1997108130.30345 201 1108103.80578 2002112127.38308 2004f07/10.83161 1995/09/03.329 11 1994101123.91694

1995111119

1996/06110.41706

2QOO106123.46680

1999/05/22

1994110115 19 ])111 /09

1998/ 11/03 1996107116 1989/1(l/{/1 2001105/ 11 1998/0 1121 1991108120

I_ 20 11107/18

2003101101 2004f07I14 1995108/31 1994101108

2000l06I25

1999105104.18905

1992112104 1939108105 1995/01/03 1999/05122

1980112105.16473

1980111/ 17

2002112121.71785 1993/04129.16994

2003/01101 1993/05/ 13 1995/01122

1992112111.60366

1939108/09.46400 1994112122.42660

1995107128.19951

1993/11113.05387 1997/09129.21103 2001/02119.99123

2001/02120

1995/12125.98449

1995/12129

1997/03/ 14.15002 2001/01106.49502

1997103113 2001/01111

1997/1013 1.84929

1997fl l /OS

1998107112.59465 1999/08103 .76817 1994108123.23467 1999/01127 .87603

199!!t07/06

1993/11129 1997/09129

1999/08110 1994109/05

1999/01122

OP

2P 4P OP

7P SP OP

to, t2, t3, to'

." tO,

t7' t8, t9,

200 2t ,

22P

23' 24'

250

26P

H' 2SP

2"

30' )t, Jl ' )J, 340

JS'

36' 37P 3SP 3"

40'

ot P 42P

43' 44' 4SP 46' 47P 4SP 4"

50'

St ,

52P

153

A.9

w

fl

134.09602 1.92895

149.00451 359.01752 235.25865

172.49713 44. 10969

115.21631 200.35246 127.44844 203.18564 216.62312 22.16942 167.990W 92.4û571

196.81886 257.25207 11.38692 154.54340 355.37078 1.96380 208.84901 337.57734

198.76757

346.44414

188.98507 160.71772 313.03570

288.20028 166.88042 96.8\038 358.52474 306.13857 68.51776

22.21415 51.00618

175.54315 108.85883 119.29&70 59.72341 36.38849 69.94798

86.65410

77.15564

175.69502

269.68263 84.12491

0.07329

195.79668 192.76727 251.61457 338.40500 4L76822

227.94866

15.65624 210.62761 309.23867 260.00658

136.15622 239.68930

333.89432 216.418 10 22.32553 179.16198

226.43788 112.48941

24. 14562 234.91139 249.16953 28.19647 353.43056 163.04976 74.49277 93.27039 339.55367 339.05440 14,58611 229.58626 147.80085 174.78643 118.93282

182.20751 57.66571 42.53741 13.52836 248.67176 182.34979 340.01965 70.%938 209.38454 209.39345 94.53202 186.43453 124.84583 28,77290 38.90295

14.41821 72.61291

" 2003/10109.43374

1995J04J09.46602 1998102I28.Q9665

1993106122.42612 1996103105.70949

Bahnelemente pcriodischer Kometen Epoche 2003110108

1995103124 199!!103f08 1993106122 1996103/]8

1995/1(W()6.60813

1995/10110

1999/09/16.34812 1999/03/08.1 S432 200 1/05109.00811 1998/04119.05 11 6 1999112/27.08150 2000'04121.87447 1996107124.39643 2003/08128.23357 1996101117.65583 1998105/01.66535 1997112/12.25982

1999/(1)/19

2000l09114.83901

1995105131.09694 1996105129.79508 1995109122.88943 200lfOlfI5.63012 2001102/27.34220 2000I06I01 .25454 199511(1109.31165 1997f08!07.G4097 1997/11114.51802 1998108111.64160

1997/05/06.62725 2001109/03.06823 19981osnS.72314 1999/08125.13062 1997/04117.70423 2001106118.60223 20001 12129.75714 1998109127.18721 19941100:7.30711 2002l06J23.01762

1999/03103 2001/05111

1998/04117 1999/12I0lI

1000/04106 1996107/ 16

2003/08129 1995/ 12129

1998104117 19971121[8

2000l091\3 1995106112

63P 64P 6SP 66P 61P 6SP 6" 70P 7tP

J9961Q61Q6

71P 73P-C

200 110 1/11

2001102120 2000l05/16 1995/11)'10

1991/08/20 199711 1108

1998/08/15 1997104122 2001109108 1998/08/15 1999108/10 1991104122

2001106120

2001101/11 1998109124 1994110115

2002106115 1997/11108

2002109123,04985

2002/10113

1998110114.15081 1997102103.49856 1996102114.74598

1998111103

200 1104110.072641998/11107.99052 1992103/13.90485

1997102101 1996102107 2000l09/13 19961 10104 200 1/04f{) 1 1998111103 1992102128

1997105/28.51702

1997106101

1996102J04.54957

62'

1995/1&10

1997/ 11/19.21980

1996110115.06967

53P 54P 55P 56P 57P SSP 59P 60P Ol p

74P 75P

16P 77P

78P 79P SOP BlP

81P

SJp 84P

85P 86P 87P 88P 89P 90' 91P

91P 93P 94P 95P 95' 96P 97P 98P

99P ,oop

155

156

Anbang Name

q

, 0.59350790

108PICiffreo I09PISwift·Tuttle 110PIHartJey 3 111 P/Helin-Roman-Crocken

2.35630412 1.97940467 1.03172160 \.39662318 2.03237173 1.5497 1878 1.00031171 \.00078521 1.71335324 0.95821707 2.47831597 3.48961042

I ll PfUrata-Niijima

1.45786108

0.13871044 0.58777370

11 3PISpilaler 114PIWisema n·Skiff 115P/Maury

2.12126540 1.56943289 2.02629221 1.98906393 3.71 482994 2.02 113554 3.04521902 2.73949392 2.664301&4 0.65889162 2.13296820 1.41289710 1.53990821 1.70268556 2.15349554 3.04703240 3.04703191 2.81735061 2.11629214 2.41214312 1.91001764 2.62770933 2.57535068 2.72118832 3.01061466 1.86857554 1.69719759 3.381 45202 1.97187717 0.74893260 0.74900569 2.49686285 2.54681859

0.42354477 0.55649625 0.52236358 0.40780165 0.17569993 0.42051116 0.29059619 0.33737490 0.33672829 0.96273793 0.44778 187 0.55424925 0.50908891 0.69659009 0.37047307 0.32 127328 0.32 127373 0.24790538 0.40411257 0.34389905 0.531652 14 0.16744375 0.58718787 0.28945857 0.288685 14 0.57970436 0.53112112 0.24832883 0.69176166 0.75106967 0.75106241 0.50022878 0.40901696

101 PfChemykh

I02 PIShoemaker I l03 PfHartJey 2 HW PfKowal 2 105PISinger Brewster I06 PISchustcr lO7 PfWilson -Hanington I Q7 PlWilson·HarrÎngton

116PIWild 4

I17PlHelin-Roman-Alu 1 118P/Sboemaker-L.evy 4 119P1Parkcr-Hanley 120PIMueller 1 12lP/Shoemaker-Holt 2 122P/de Vico 123PlWesl-HanJcy 124PIMrkos 125P/Spacewalch 126P/IRAS 127 PlHolt-Olmslead 128P-BIShoemakcr- Holt 1 128P-NShoemakc:r-Holl 1 129PfShoemaker-L.evy 3 130PfMcNaughl-H ughes 131 PlM uel1er2 132PlHelin-Roman-Alu 2 133P!Elsl-Piurro 134PfKowa1-Vavrova 135PIShoemaker-Levy 8 136PlMueller 3 137PIShoemakcr-Levy 2 I38PIShoemaker- Levy 7 139PIVaisala-Olerma 14OPfBoweJ I-SkifT 141 P-AlMachho1z 2 141p·DfMachho1z 2 142P/Ge-Wang 143P/Kowal-Mrkos

0.47151968 0.70037482

0.58520734 0.41275702 0.58792150 0.62156791 0.62149539 0.54263506 0.96358925 0.31464957

i

5.07784 26.26095 IJ.61887 15.48913 9.18710 20.1387 1

2.78401 2.78391

]3.()9292

113.42664 ! 1.68880 4.23106 24.20414 5.77657 18.29090 11.69444 3.71953 9.74249 8.47343 5.185&4 8.79590 17.69677 85 .391 11 15.34605 31.47086 9.96901 45 .96159 14.40685 4.36165 4.36151 5.00840 7.30336 7.35552 5.77565 1.3&459 4.34523 6.05041 9.41417 4.65703 10.08889 2.33224 3.83583 12.81129 12.81 184 12.17508 4.68384

A.9 w

263.24423 18.67806 180.72205 [91.89261 46.80297 355.85844 90.88933 91.08202 358.05136 15HXll45 167.93904

10.13244

21.45770 50.06483 172.82059 119.82790 170.74758 215.07756 301.97989 181.09764 29.91667 6.12711 ]2.97676 102.97197 180.52177 87.27065 356.88696 6.25568 210.21858 2 10.21448 181.37991 224.36812 179.64101 220.95867 133.33319 18.71140 22.58748 225.41738 142.02050 95.52264]65.54388 173.08677 149.30141 149.29181 177.38692 320.58924

n 130.39269 339.97426 219.95455 246.14722 192.54589 50.58926 270.96368 270.82844 53.72153 139.44437 287.75268 91.98915 31.94394 14.52492 271.06991 176.83123 22.06611 73.47247 152.09630 244.22589 4.56194 99.71992 79.61803 46.66582 1.65278 153.36891 357.70071 14.06122 214.52744 214.52731 303.71 ]64 89.97252 214.28455 178.47978 160.26282 202.28583 213.31730 137.96646 234.75339 309.51807 242.46835 343.45646 246. 13713 246. 13363 177.14413 245.49860

'"

Bahnelememe periodischer Kometen Epoche

19921OlnS.45100

1992101/19

1999/03/ 16.99393

1999103103 1997112118

1997/ lln2.01729 1998103102.15305

1999I04I06.44980 1999/12116.22599 1996112106.33108 2001103126.62427 2000l04I18.42384 1992112112.32401 2001103/2 1.41596 19961HV31 .78357 2000l03104.39203 2001102125.87042 2000l01111.73424 [994103118.72144 1996108131.23072 1997103126.87674 1997101112.11273 1996106124.79693 1996104124.65006 1996108/20.04616 1995/llV06.02376 1996105/12.89519 1996/11109.07464 1996/07/ 14.58836 1996/IM9.99471 1997102106.65591 1997/1 ]120.2953 1 1997/11120.27779 1998/03104.88600 1998/02123,78367 1997/1 ]122 .20838 1997/11110.09267 1996/04118.48249 1998/1 1/18.85455 1999/12110.51499 1999/03120.34454 2000/02105.82397 1998/08/24.56588 1998109128.78887 1999/05/14.81193 1999/12109.27433 19991\2109.95528 1999/06121.46102 2000l07/01.79764

1998103/08 \999/04112 1999112108

1996112123

10IP I02P I03P

I<>

2000'09/13 2llOO1ll4106 1992112104

107P

2001104101 1996111113 2000102126 2001102120 2000l01117

IlOP llJP ll2P lIJP 114P

J994103n9 19%108/25 1997103/13 1997102101

19%106106

1996/04127 1996108/25 1995/1lVIO 1996/04127 1996/11/13 1996/07116 1996/11/13 1997102101 19971\ 1108 1997/11108 1998/03108 1998/03108 1997/11108 1997/11/08 1996/04127 1998/11103 1999/ 12108 1999/03/03 2000'01117 1998108/15 1998109124 1999105122 1999112108 1999/12108 ]999107101 2lXlll106i25

I08P I09P

IIS P 116P 11 7P 118P 119P 120P 121P 122P 123P 124P 12SP 126P 127P 128P-B 128P-A 129P 130P 13IP 132P 133P 134P l35P 136P I37P

138P 139P

1.oP

141P-A 141P-D 142P 143P

157

158

Anhang

A.10 Wichtige Zahlenwerte Elnheiten

In der Epherneridenrechnung werden anstelle der Grundeinheiten rn, kg und s rneist die folgenden Einheilen verwendet: Zeit

Tag (d) zuje 86400 SI-Sekunden

Masse

Sonnenrnasse (M0

Entrernung

Astronomische Einheit (AE)

)

Die genaue Definition der AE erfolgl ind irekt über das Gravitations· gesetz. Sei m die Masse eines urn die Sonne umlaufenden Planeten, n die zeitliche Änderung der mittleren Anomalie in rad/do a die grofie Halbachse der Bah n in AE. dann gilt: n 2a3 = k 2 (l

+ m)

Dari n iSI k d ie so genannle GauBsche Gravitationskonstanle, die als

k

~

0.01720209895

definiert ist. Für die Erde erhält man aufgrund dieser Definition eine grafie Halbachse von a = 1.000000031 AE. Aligemeine GröBen Lichtgeschwindigkeit Erdradius (Äquator) ASlTOnomische Einlleit Gravitationskonstante Sonnenmasse SonnenmasselErdmasse MondmasselErdmasse

c re

299 792 458 mis 6378.137km AE 149597870 km G 6.672(59).JO-l!m 3 kg- 1ç2 MO = 1.9891·J030 kg M o/M e = 332946.0 IJ = 0.01230002 = = = =

A. \0

Wichtige Zahlenwerte

Planetenmassen Angegeben ist das Yerhältnis der Sonnenmasse zu den Massen der Planeten einschlieBl ich ihrer Monde (Quelle DE405 f35]). Planet

Molm

Merkur Venus

6023600 408523.71 328900.56 3098708 1047.3486 3497.898 22902.98 19412.24 [35000000

"d,

Mm Jupiter Satum Uranus Neptun Plmo

Radlen Angegeben sind der Äquatorradius und - bei ahgeplaueten Planetender Radius am Pol. Die Werte fur d ie Riesenplaneten beziehen sich auf eine Referenzfläche mit einem Druck von 1 bar (nach [41 D. Plane!

R Ä qU Ikm]

Sonne Mcrkur Venus

Enk Mond

Mm Jupiter Satum Uranus Nep!un Pluto

R pol ]km]

6%000 244Q

605[ .893 6378.137 1 738 3397 71492 60 268 25559 24766 1 137

6356.75 3375 66 854 54364 24973 24342

159

Glossar

Aberration: Die aufgrund der endlichen Li chtgeschwindigkeil auftretende Verschiebung des sclleinbaren Ortes eiDes Sterns oder Pl aneten gegenUber dem geometrischen On. ( __ slellare Aberration; - Lichtlaufzeit). ÄquRlor: Die Schnittlinie der Erdkugel mil einer Ebene durch den Erdmittelpunkl, die senkrechl auf der Rotationsach.se steh!. Entsprech.end bezeichnet der Himmels1l.quator

dnen Gro6kreis, der die nördliche uud die sUd liche Himmelshalblmgcl voneinander trennL Er bilde! die Bezugsebenc ruT das aquatoriale Koordinalensystem mil den Ka-

ordinaten - Rektaszension und - Deklination.

Äquinoktium: Referenzzeitpunkt zur genaucn Deli llilion VIIO Äqualor, Ekliplik und

Frtlhlingspunkt und zur BerUcksichligung der - Präzession bei der Angabe astronomi scher Koordinalen. Am hliufigsten werden das Äquinoktium des Datums und das Äquinoktium ..... J2000 verwendet. aslromctrische Koordinalen: Koordinaten von Planeten und KleinkOrpem im Sonnensystem, die direkt mit katalogisicnetl Stempositionen verglichcn werden können. Sic bertIeksichtigen die _Lichtlaufzeit und beziehetl sich meist auf Äquator und Frtlhlingspunkt der resten Standardepoche - J2000. Astronomische Einhcil: Eine Ulngcneinhcit, die zur Angabc von Enlfcmungen im Sonnensystem verwendel wird. Eine Astronomische Einheit (AE) ist nllhcrungsweise gleich der mittJeren Entfemung zwischen der Erde und der Sonne und bclrllgt etwa 149.6 Mi]lionen km. aufsleigender Knoten: Oeljenige Bahnpunkt, in dem ein Himmclskörper die Ekliptik von SUden nach Norden durchquen. Azimut: Eine Koord inate im - Horirontsystem. Das Azimut gibt den von SUden ans tllIch Westen pos iti v gez:lhlten Winkel der Richtung an. in der cin Beobachter ein Gestim sieht. B1950: Beginn des Besseljahres 1950 (B1950 = JO 2433282.423 = Jan 0~923. 1950). Lange Zeil gebr:tuchlieher Bezugspun kt in der astronomischen Zeitzlihlung. der heute durch die Standardepoche _ J2000 abgelöst is\. Deklinalion : Der reehlwinkJig zum _Äquator gemcsscne Winkel zwischen einem Gestim und dem Äquator. Die Deklination bildet zusammen mit der - Rektaszension die Koordinalen des liquatorialen Koordinatensystems. ( _ Äquinoklium) Dynamische Zeil (TOB, TDT): Physikal isches Zeitmall. das zum BeispieJ durch Alom · uhren realisiert werden kann . Die Dynamische Zeit ist wie die ..... Ephemeridenzeit eine glcichförmige Zeitzllhlun g, die jedoch dem Zusammenhang von Raum und Zeit in der Relativitlltstheori e Rechnung IrlIgt. Wlihrend die Baryzentrische Dynamische Zeit (TOB) die Zeil angibt. die ein Beobachter im Schwerpunkl des Sonnensyslems messen wUrde,

162

Glossar gi bt die Terrcstrische Dynat1Ûsçhe Zeit (TDT) die Zeil an, die tine Uhr im Erdmiltcl· punkl anzeigen wllnle. Beide Zeildefinitionen umerscheiden sich untereinander und von der ..... Ephemeridenzeit nur urn wenige Millisekunden. Ekliptik: Dtljenige gedachte GroBkreis. der als Schniltlinie der Erdbahnebene mil der Himmclskugel enlSleht. Von der Erde aus gesehen wanden die Sonne im Laur eines Jahres einmaJ durch die Ekliptik. Die Ekliptik dient als Bezugsebene fUr das ekli pti· kale Koordinatensystem mil den Koordinalen ekliptikale Ulnge und ek liptika le Breite (-ekliptikale Koord inaten). tkliptikale Koordinaten: Der Ort eines Gestims relativ zur _ Eklipti k wird durch die Koordinaten Ul nge und Breite sowie das dazugehörige _Äquinoktium festge1cgl. Die ekliptikale Ulnge wird vem - Frtlhlingspunkl aus längs der Ekliptik nach Osten positiv gezählt. Die ek liptikale Breile iSI der senkrechl zur Ekliptik gemessene Winkel zwisçhen cinem Gestim und der Eldiptik. Elongation: Der Winkel, unter dem ein Beobacbtcr zwei Gestime sieht. Ephcmcride: Eine TabeHe. in der di e Koordinaten eines Planeten. Kometen oder Aste· roiden fUr einen heslimmten Zeitraum angegeben sind. Ephemeridenzeit (ET): Eint gleichfönnig ablaufende ZeilUlhlung. die zur Berechnung der Koordinaten ei nes Planeten. Kometen oder ASleroidcn herangezogen wird. Die Ephe· meridenzcit wurde eingefUhrt. urn von den unregelm:1Bigen und nicht vorhersagbaren Schwank ungen der Erdrotation, die di e Grundlage rur die Zlihlung der _Weltzeit bildet. unabMngig zu sein. Die Differcnz zwischen der Weltzeit (UT) und der Ephemeridenr.eit (ET) versehwand de6nitionsgemäB zu Beginn des 20. Jahmunderu und betrllgt gegc n· wärtig etwa eine Minute. Fruhlingsptmkt: Derjenige Schnittpunkt der - EkJiptik mit dem _ Äquator, in dern die Sonne auf ihrer scheinbaren jllhr!iehen Bahn den Äqua!or von Silden nach Nordc n Uber· schreitet. Dies ist gegenwärtig urn den 2!. Mllrz jeden Jahres der Fal!. Der genaue Ze i!· pu nk t dieses Ereignisses definiert den Beginn des Frtlhl ings. Der Frtlhlingspunkt bi!det die Bezugsrichtu ng r.ur Zählu ng der ek!iptikalen Ulnge (-ekliptika!e Koordinaten) und der _Rektaszension. gcographisehe Koordinaten: Zwei GröBcn (geographische Ulnge und geographische Breite), die einen On auf der ErdoberHäche eindeutig rest!egen. Als Bezugsebene der geographisçhen Koordi nalcn dient der Erd~qua!or, w~hrend als Ausgangspun k! der Uln· genUlh!ung nach internationaler Obereinkunft der _ Meridian von Grcenwich verwende! wird. geuzentrisehe Koordinaten: Aur den Erdrnillel pun kt beLOgene Koordi natcn. halber Tagbogen: Di e Hlilfte dcsjcnigen WinkeJbogcn s einer Gestirnsbahn, die liber dem _ HoriLOnt des Beobachters verläufl. Drtlckt man den balben Tagbogen lrn ZehmaB aus , sa gibt er die in ~Stemzeh gemessene Zei t vorn Aufgang bis zur _ KuJmination oder von der Kulminatien bis zurn Umergang des Gestims an . heliogrnph ische Koordinalen: AnaJog zu den - geographischen und planetographi· schen Koordina!en definierte GröBcn zur eindeutigen Festlegung von Orten an der Ober· ft:lehe der Sonne. heJiozenlrische Koordi naten: Auf den Mille!punkt der Sonne bezogene Koordinaten.

Glossar lIöhe: Daruntcr versteht man in der sphllrischen Astronomie den von einem Bcobachter auf der Erdoberfl3che ge mcssenen Winkel zwischen einem Gcstim und dem _Horizont. Die tatsächliche Höhe eincs Gcstims wcicht infolgc dcr - Refrakiion von seiner beob· achteten Höhe urn bis zu 35' ab. Horizon t: Die gedachte Schnittlinie einer Tangentialebene an die Erdobertlllche im Standpunkt des Beobachtcrs mit dcr Himmclskugel. Der Horizont dient als Bezugsebenc fIlr das _ Hori zontsystcm mit den Koordinaten _Azimut und _ Höhe. Horuonlsyslem: Ein Koordinatcnsystem. das sich auf den lokalen Horizont des Beob· ach ters bezieht und in dem das _Azimut und die ~Höhe als Koordinaten verwendet werden. Das Horizontsystem lindet beispielsweise bei der Berechnung von Auf- und Untergangszeiten der Gestime Vcrwendung. Zur Angabe von Ephemeriden in einem Jahrbuch ist cs jedoch ungceignet. weil Aûmut und Höhe eines Gestims vom Beobachtungsort abhängen und sîch infolge der Erddrrhung sClndig vcrllndem. J 2000: Standardcpochc. auf die in der astronomischen Zeitzählung immer wieder Bezug genommen wird. Sic flUIt mit dem Mitug des ersten Januars 2000 (1.5 Jan 2000 '" JO 2451545.0) zusammen. Der Buchstabe ,.h kennzeîcbnct, dass es sich urn dne julianische Staodardepoche handelt. Aufeinanderfolgende julianische Standardepochen unterscheiden sicb llblicherweise urn vone julianische Jahrhunderte zu je 36525 Tagen (z.B. J 1900 '" 10 2415020.0). (-81950) Keplerproblem: Andere l1ezcichnung rur das _ Zweikörperproblem. Kulminalion: Der Moment, in dem cin Gestim seine gröBte (oder kleinste) Höhe llber dem _ Horizont erreicht. Die Ku!mination findet stalt. wenn das Gestim den _ Mcridian passiert. Lichtlaufzeit: Während der Zeit, die das Licht benöligt. urn die Strecke zur Erde zurtIekzulegen (499 Sekunden pro Astronomische Einheit). bewegtsieh ein Planet in seiner l1ahn cin kleines Stllck weitcr. Der beobachtctc Ort entsprieht deshalb nicht dem talSäeh· licben Ort des Planeten zur lkobachtungszeil. Mehrkörperproblcm: Die Aufgabe. die Bewegung von mchr als zwei Körpcm unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen AnziehungskrMte zu berechnen. Wnhrend sich das Zweikörperproblem geschlosscn lösen lässt. ist dies beim Mehrkörperproblem im Allgemeinen nicht möglich. Zur mathematischen Behandlung verwendet man neben analytischen Nllherungen (Reihenentwicklungen) meist numerische Methoden. Meridi an: [n der Astronomie bezeichnet man so tineo GroBkreis an der Himmelskugel. der durch deo __ Zenit des Beobachters llluft und den _ Horizont im Nordpunkt und im Slldpunkt schoeidel (----. Kulmination). In der Geogmpbie bezeichnet der l1egriff »Meridian * ci nen Gro6kreis auf der Erdoberflllehe. in dessen Ebene die Erdachse liegt. Alle Mcridiane verlaufen durch die Erd pole und sehneiden den Erdllquator unter einem rechten Winkel. Meridiane dienen zur Angabe der geogmphischen Uinge eines Ortes auf der Erde. Nu Umeridia n: Derjenige Längengrad im System -planctographischer Koordinaten. der als Referenzmeridian der Längcnllihlung definiert wurde. Nutation: Eine der -Pr:tzession Uber!agerte Schwingung der Erdacbse urn ihre mÎttlere Lage. Die Periode der Nutation betrilgt 18.6 Jabre und wird durch den Umlauf des aufsteigenden Knntens der Mondbahn bestimmt.

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Zweikörperproblem Theoretische Grundlagen: t> [6J, [32J, !J6J Keplergleichung: t> [9] [34]. [40]

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Sachworlverzeichnis

Abernuion 30 -E-Tenne 3\ Äqualor 3,8 -wahrrr 28 Äquinok.tium 4,24 Anomalie

-euentrische 55 -rninlcrc 55 -wahre 52 Aphe152

Apsidenlinie 52.127 Argument der BTeite 5 Astronomische Einheit 3,158 Atornreit 43

Aufgang 18 auFsteigender Kooten 53 Azimut 10 8195024 Bahnebene 5.70 Bahnclemente -~u6ere Planeten 140 -Ellipse 53 -Hyperbel 62 -innere Planeten 137 -oskulierende 69 -Parabel S9 Bahnneigung 53 -Mond 96 8arkersehe Gleichung 59 Bary~entrische Dynamische Teit 44 Beleuchtungsdefekt 104 Bcschlcunigung 89

BewegungsglcictlUng 81 BogcnmaB 3 Smhe 96

Bfeile -Argument der 5 -d:.liptikale 6.7 Brennpunkt 52,121 Caesium 43

D!1mmenmg 18 Dcklination 8

Differentialg1eichung 81 DrehimpulssalZ 81.125 DrchmalrÎx 116

Durchme5scr 18.101 Dynamische Zeil 44 Ekliptik 3,6.7 -Schiere der 14.28 EJlipse 52 Elongalion 102 Encrgiesatz 61.8\ Enlfemung 1.52 Ephemeridenzeil 44 Erdachse 3 ET 44 Eveklion 96 exzentrische Anomalie 55 Exzentrizicu 53 -Mondbalm 96 Fixpunktiteration 56 Fl3chengeschwindigkeil 61.10 Flächensatz 125 Frtlhlingspunkl 3.46 -Stundenwinkel des 9 -wahrer 28 Gau8sche Yckloren 12 Geradlinige Bahn 64 Geschwindigkeil 61 Gleichung -Barkerschc 59 -Keplersche 55.63 -paraJlaktische 96 GradmaB 3 Gravitalion 51 Gravitationskonstante 69 -GauBsche 158 Gravil3tionskraft 81 Greenwich 45 Gro6e Halbachse 53.62

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Sachwortverzeichnis

-Erde 158

-geographische 9 Leitlinie 58

Ha!bachse 53,62

Lichtlaufzeit 30,106

HaJbmesser 98,101 HeJligkeit 11 J Herbstpunkt 3 Himmelsäqualor 3 Höhe JO -bei Auf·/Uulergang 18 Horizontalparallaxe 15,18,98 Hyperbel 61 Hyperfeinoiveau 43 lmpulssatz 81 lncrtiaJsyslem 91 Integral 81 J2000 4,24

j!lhrliche Ungleîchheil 96 Julianisches Datum 41 -TabelIe 132

Kalender -gregorianisch 41

-lulianisch 41 Kegelschniu 51,119 Kegdschniusgleichung 60 -Brennpunktsform 12 1 -Mittelpunktsform 122 -Scheitelpunktsform 120 Keplersche Gleichung 55,63 Konvergenz 56.65 Koordinaiene Wcltzeit 46 Koordinaten -astrometrische 30 -Bahnsystem 5 -ekliptikale 6.7 -goomctrische 30 -goozentrische 7 -heliozentrische 6 -horiwntale 10 -kanesischc 1 -planetographische 109 -scheinbare 31 -sph:lrische I -topozentrische 9 Ulnge -des aufsteigenden KnOlcns 11 -ekliptikale 6,7

Matri~

-Drchung 116

-Pr:Iression 27 Mellrkörperproblcm 51.8 [ Mcridiandurchgang 45 Minelpunktsgleichung 57,65,96 minlere Anomalie 55 -Hyperbel 63 Mond -HoriwntalparaHaxe IS Mondbahn 95 Ncwcomb 43.83 Newtonverfahren 56

Norden 10 Nordpol

--der Erde 8 -d:liptikaler 6.1

Nullmmdian \05 numerische ["tegnnion 87

NUlalion 28 oskuJierende Bahnelemente 69 Parabel 58 parallaktische Gleictmng 96 Parallaxe 15,18 Parameter 58 Peri hel 125253 -Ulnge des 54 Perihe1abstand 59 Periheldrehung 82 Periheldurchgang 53 Phase 104 Ph.ascnwinke! 103 Positionswinkcl -der Achse 108 -der Sonne 102 Prä7.tSsion 21 -Bahnelemente 26 -Matri~schreibweise 27 rechtHlufig 11 Refraktion 17,18 Reihenentwkklung 65.96 Rektaszension 8