Mathematik fuer Ingenieure und Naturwissenschaftler

y,

Die Basisvektoren (Einheitsvektoren) e r und e

.

-I>

-I>

(1-225)

e

-I>

•

-I>

-I>

(

-

sin cp ) cos cp

96

I Vektoranalysis

Diese Transformationsgleichungen lassen sich unmittelbar aus Bild 1-74 ablesen. Denn die Projektion von r auf die x- bzw. y- Richtung ergibt cos ip bzw. sin sp. Analog fuhrt die Projektion von e

e

_e; . _e = (cos.qJ) . ( - sin tp ) = - cos

qJ .

. . SIn qJ + sIn qJ • cos

Der Ubergang von der "alten" Basis ex, eyzur "neuen" Basis en folgt durch eine Transformationsmatrix A beschreiben: sin tp ) cos qJ

qJ

=0

e

(~x) = A (~x) ey

(1-226) auch wie

(1-227)

ey

A

Sie ist wegen detA =

cos qJ sin qJ I = cos" tp . I SIn qJ cos qJ

. tp = + sin?

(1-228)

1

sogar orthogonal. Die Matrix A entspricht dabei der Transformationsmatrix, die man bei einer Drehung des ebenen x, y-Koordinatensystems urn den Winkel qJ urn den Nullpunkt erhalt, Dies jedoch ist kein Zufall, denn das "neue" Basisvektorensystem er , e

y

~

er

/ /

Bild 1-75 Zusammenhang zwischen den kartesischen Basisvekund y und den toren Basisvektoren ey und eqJ des Polarkoordinatensystems

/ / /

ex

-o-

er

x

e

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

97

Umgekehrt lassen sich auch die "alten" Basisvektoren ex, e y durch die "neuen" Basisvektoren er , eq> ausdrucken: - sin qJ) cos qJ

(~r) = A-I (~r) eq>

(1-229)

eq>

A-I ist dabei die inverse Matrix von A. Vektordarstellung in Polarkoordinaten

Wir wollen jetzt einen im kartesischen Koordinatensystem gegebenen Vektor

(1-230) im Polarkoordinatensystem beschreiben. Dort besitzt dieser Vektor, bezogen auf die neuen Basisvektoren e r und eq>' die folgende Darstellung:

(1-231)

y

8r

Bild 1-76 Darstellung eines Vektors im Polarkoordinatensystem

r

x

Dabei sind a, and aq> die mit einem Vorzeichen versehenen Projektionen des Vektors Q auf die beiden Basisvektoren r und eq> (Bild 1-76) 10). Mit anderen Worten: Die (positiven oder negativen) Grollen a, und aq> sind die Vektorkoordinaten oder skalaren Vektorkomponenten des Vektors Q, bezogen auf die Basis r , eq>' Uns interessiert nun natiirlich, wie sich die neuen Vektorkoordinaten an aq> aus den alten (kartesischen) Vektorkoordinaten ax, "» berechnen lassen.

e

e

10)

Beziiglich des Vorzeichens gilt die gleiche Vereinbarung wie bei der kartesischen Vektordarstellung.

98

I Vektoranalysis

Aus diesem Grund driicken wir in Gleichung (1-224) die alten Basisvektoren ex, e y mittels der Transformation (1-229) durch die neuen Basisvektoren eq> aus:

en

a== ax ex + a

ey

y

==

ax (cos cp e r

==

ax . cos cp e r

==

(ax' cos tp

==

sin cp eq»

-

+ ay (sin tp e r + cos

cp eq»

==

ax . sin cp eq> _+ a; . sin cp e r + ay • cos cp eq>

-

+a

y '

sin cp) e r

+ (-ax'

sin cp

+a

y '

==

cos cp) eq>

(1-232)

a, Wir erhalten somit die folgenden Transformationsgleichungen:

a,

==

aq>

== -

+ ay • sin cp ax . sin cp + ay • cos cp

ax . cos cp

(1-233)

Oder - in der Matrizenform -: (1-234) A

Die Transformationsmatrix A ist dabei die gleiche wie bei der entsprechenden Transformation der Basisvektoren. Die Vektorkoordinaten eines beliebigen Vektors transformieren sich somit beim Ubergang von den kartesischen Koordinaten zu den Polarkoordinaten in der gleichen Weise wie die Basisvektoren!

a

Umgekehrt lassen sich auch die kartesischen Vektorkoordinaten ax, ay durch die Vektorkoordinaten an aq> im Polarkoordinatensystem ausdrucken. Die Transformation erfolgt dabei iiber die zu A inverse Matrix A-I:

a

(a

r ) - sin cp ) ( r ) == A-I cos cp aq> aq>

Wir fassen die wichtigsten Ergebnisse wie folgt zusammen:

(1-235)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

99

Anmerkung

Die Riicktransformation, d. h. der Ubergang von den Polarkoordinaten zu den kartesischen Koordinaten, erfolgt tiber die zu A inverse Matrix A-I. Sie lautet: A-I =

(c~s cp SIn

•

cp

- sin cp) cos cp

(1-239)

Beispiel

In einem kartesischen Koordinatensystem ist das folgende Geschwindigkeitsfeld definiert: _ v

=

_() v x; y

=

1 x

2

+y

( 2

-

_ _) Y ex + x ey

Es besitzt im Polarkoordinatensystem die Darstellung v = v(r; cp) = u,

e + v

I Vektoranalysis

100

Die neuen Vektorkoordinaten », und Vcp lassen sich dann aus den Gleichungen (1-238) wie folgt berechnen:

o, ==

Vx •

cos

tp

1

+ vy • sin cp ==

x

2

+

. cp . cos cp + r . cos == -12 ( - r . SIn

y

2 (-

. qJ . Slf]

r

v == - vx . sin cp cp

==

+ vY . cos qJ ==

y . cos cp

+ x . sin qJ) ==

cp ) == 0

1

x2

+ y2 (Y . sin qJ + x . cos cp) ==

1 1 1 2" (r . sin? cp + r . cos ' cp) == - (sin' qJ + cos? cp) == r

r'-v-" 1

r

Dabei haben wir die Transformationsgleichungen x == r . cos

y

qJ,

==

r .

sin

qJ,

benutzt. Das Geschwindigkeitsfeld besitzt somit nur eine tangentiale Komponente: _ _ v == v(r;

_

qJ)

1_

== 0 er + - ecp r

1_ ecp

:Z: -

r

(r > 0)

•

6.1.3 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Polarkoordinaten Die Differentialoperationen Gradient, Divergenz und Rotation sowie der Laplace-Operator lassen sich auch durch Polarkoordinaten ausdriicken. Sie besitzen dann die folgende Gestalt 11):

11)

Auf die Herleitung dieser Ausdriicke wollen wir verzichten und verweisen den an Einzelheiten interessierten Leser auf die Spezialliteratur (siehe Literaturverzeichnis).

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

101

Anmerkung

Der in Polarkoordinationen ausgedriickte Laplace-Operator enthalt auch eine leitung im Gegensatz zur kartesischen Darstellung.

•

j

0

Ab-

Beispiele (1)

Wir berechnen die Divergenz des ebenen Ortsvektors Radialkomponente r besitzt:

r = r er, der nur eine

10 10 1 dlvr=dlv(r er)=-o-(ror)=-o-(r 2 )=-02r=2 0_

0

_

r or

r or

r

Zum gleichen Ergebnis kamen wir bereits in der kartesischen Darstellung (Beispiel (2) aus Abschnitt 5.102)~ (2)

Wir wollen zeigen, daB das Geschwindigkeitsfeld _ v

=

_() v x; y

=

1

x

2

+y

( 2

quellen- und wirbelfrei ist.

-

_ _) Y ex + x ey

102

I Vektoranalysis In Polarkoordinaten besitzt dieses Vektorfeld die folgende, besonders einfache Darstellung: _

_

1_ (r > 0)

v == v(r; r

(siehe hierzu das Beispiel im vorherigen Abschnitt 6.1.2). Fur die Divergenz und Rotation des Geschwindigkeitsfeldes erhalten wir dann:

. _ . (1r _)q> == -1r . -o
div v == div - e

- [ (1 -)J == -'1r -or0( 1r ) == -1r . -or0(1) == 0

[rot v]z == rot - e r q>

v

r' -

z

=>

rot

v == 0

v

Wegen div == 0 und rot == 6 handelt es sich in der Tat urn ein quellen- und wirbelfreies Geschwindigkeitsfeld. (3)

Wir interessieren uns nun fur diejenigen Losungen der Laplace-Gleichung i1¢ == 0, die Rotationssymmetrie besitzen, d. h. nur von der Abstandskoordinate r abhangen: ¢ == 1(r). Die Laplace-Gleichung lautet in diesem Fall wie folgt:

Diese Differentialgleichung 2. Ordnung konnen wir auch in der Form 1

+ -' ¢'(r) == 0

¢"(r)

(cP/(r) =

r

~~)

schreiben. Wir losen sie mit Hilfe der Substitution u == ¢' (r),

u' == ¢" (r)

durch "Trennung derVariablen" (Band 2, Abschnitt V.2.2):

+ ~ . u == 0

u'

du dr

f

u

du

r

u

dU --; == - fdr --;:

In u

du dr

=>

u r

-+-==0

oder

r

dr r In u == - In r

+ In r == In (u r) == In C 1

+ In C 1

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

103

Rucksubstitution und anschlieBende unbestimmte Integration ergeben dann: u = ep'(r) = C 1 r

Die rotationssymmetrischen Losungen der LapIace-GIeichung sind somit (im ebenen Fall) durch die logarithmischen Funktionen cjJ (r) = C 1 . In r

+ C2

(r > 0)

•

gegeben (C 1 , C 2 ElR).

6.1.4 Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor bei einer glelchformlgen Kreisbewegung Ein MasseteiIchen bewege sich gleichfiirmig, d. h. mit der konstanten WinkeIgeschwindigkeit co auf einer Kreisbahn mit dem Radius R (BiId 1-77). Wir beschreiben diese Bahn durch den zeitabhdngigen Ortsvektor -+

r(t)

fur t

~

=

R· cos(wt) ex + R· sintoir) ey - + .

-+

t))

(COS(W R.. . sint«i t)

=

0 (Anfangslage zur Zeit t = 0: Punkt A).

y

A

x Bild 1-77 Gleichformige Kreisbewegung

(1-246)

I Vektoranalysis

104

Durch Differentiation nach dem Zeitparameter t erhalten wir daraus den Geschwindigkeitsvektor

~

-+

v(t)=r(t)=R

(-w,sin(wt)) (-sin(wt)) =Rw co . cos(wt) cos(wt)

(1-247)

Das Teilchen besitzt somit die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten Vx

= - Rw' sin(wt)

"» = Rei cos(wt)

und

Wir interessieren uns jetzt fur die Darstellung des Geschwindigkeitsvektors koordinaten, d. h. fur eine Darstellung in der Form

(1-248)

v in Polar(1-249)

Beim Ubergang von den kartesischen Koordinaten zu den Polarkoordinaten transformieren sich die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten V x und vy nach Gleichung (1-234) bzw. (1-238) wie folgt: (1-250)

Wir setzen noch fur V x und "» die Zeitabhangigkeiten ein und beachten ferner, daB bei der gleichformigen Kreisbewegung die Beziehung cp = cot gilt: Vr (

vq>

) =(

cos(wt) - sin(wt)

= Rw (

Sin(wt))RW(-sin(wt))= cos(wt) cos(wt)

cos(w t) - sin(wt)

sin(w t)) ( - sin(w t) ) cos(wt) cos(wt)

(1-251)

Nach Durchfuhrung der Matrizenmultiplikation erhalten wir fur die gesuchten Geschwindigkeitskomponenten u, und vq> dann die folgenden Ausdrucke: v, = Rio [- cos(wt)· sin(wt)

vq> = Rio [sin2(wt)

+ sin(wt)· cos(wt)] = 0

+ cos 2(wt)] =

Rw

(1-252)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

105

Das Masseteilchen besitzt also nur eine (konstante) tangentiale Geschwindigkeitskomponente vq> = Reo, in Ubereinstimmuug mit unseren Uberlegungen in Abschnitt 1.6. Der Geschwindigkeitsvektor lautet somit in der Polarkoordinatendarstellung wie folgt (Bild 1-78): (1-253)

y

x

Bild 1-78 Geschwindigkeitsvektor bei einer glcichformigen Kreisbcwegung, dargestellt im Polarkoordinatensystem

6.2 Zylinderkoordinaten 6.2.1 Definition und Eigenschaften der Zylinderkoordinaten Zylinderkoordinaten werden vorzugsweise bei raumlichen Problemen mit Axial- oder Zylindersymmetrie bzw. Rotationssymmetrie verwendet. Wir haben sie bereits in knapper

Form in Band 2 (Abschnitt IV.3.2.2.2) kennengelernt und beschranken uns daher auf eine kurze Zusammenfassung ihrer wichtigsten Eigenschaften.

106

12)

13)

I Vektoranalysis

Die Zylinderkoordinate (l gibt den senkrechten Abstand des Raumpunktes P von der z-Achse an und ist daher nicht zu verwechseln mit dem Abstand r desselben Punktes Yom' Koordinatenursprung 0, d.h. mit der Lange des Ortsvektors r = GP. Urn solche Verwechslungen zu vermeiden, verwenden wir hier ausschliefilich das Symbol (l fur die Abstandskoordinate. Fur die Punkte der x, y- Ebene besteht allerdings kein Unterschied zwischen r und (l. Daher hatten wir auch bei den Polarkoordinaten der Ebene das Symbol r fur den Abstand eines Punktes vom Koordinatenursprung gewahlt. Dieser Eigenschaft verdanken die Zylinderkoordinaten ihren Namen.

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

107

z

Z

4.

"

",I

.,.'"

,

p = canst.

."..,.

"-

--- - r

!iiiii·~-~r---

qJ

......... .........

p

y

Y

I

.

...........

~

x

x

Bild 1-80

Bild 1-81

Koordinatenflache (Zylindermantel)

Q=

const.

Koordinatenflache tp = const. (Halbebene, begrenzt durch die z-Achse)

z

,

I I I I I I

Bild 1-82

."..,.----t--- . . . .

"

}-- - "-+--~

/

x

= canst.

y

Koordinatenflache z = const. (zur x, y-Ebene parallele Ebene)

108

I Vektoranalysis

p-Linie

t------I--

z- Lln ie Bild 1-83

Koordinatenlinien des Zylinderkoordinatensystems

x

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

z

dqy

dz dA

= p do dz

pdqy

y

x

Bild 1-84 Flachenelement dA auf dem Zylindermantel

109

I Vektoranalysis

110

z

Volumenelement dV = dA dz = P ikp do dz dz

dA=pdcpdp dcp

p dtp

x

y

p+dp dA =pdcpdp

Bild 1-85 Volumenelement dV in Zylinderkoordinaten

6.2.2 Darstellung eines Vektors in Zylinderkoordinaten In einem raumlichcn kartesischen Koordinatensystem wird ein Vektor

ain der Form (1-260)

ex, e

e

dargestellt. Dabei sind y und z Einheitsvektoren in der positiven x, y- und z-Richtung. Sie bilden die Basis fur diese Vektordarstellung. Unsere Aufgabe besteht nun darin, den Vektor in Z ylinderkoordinaten darzustellen. Dazu benotigen wir aber zunachst drei geeignete Einheitsvektoren als Basisvektoren.

a

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysterne

111

Basisvektoren in Zylinderkoordinaten

Wir iibernehmen die beiden Basisvektoren der Polarkoordinaten, also die Einheitsvektoren eQund e
eQ: Tangenteneinheitsvektor an die Q-Koordinatenlinie (axial nach auj3en gerichtet)

e
z Bild 1-86

y

Basisvektoren im Zylinderkoordinatensystem

x

Wahrend sich die Einheitsvektoren e(J und e

e

Die Basisvektoren (Einheitsvektoren) e(J' e

- sin cp )

elfJ = -

14)

sin

qJ

ex + cos qJ ey + 0 ez = .(

CO~ qJ

(1-261)

Den Basisvektor er der Polarkoordinaten bezeichnen wir jetzt aus den bereits genannten Grunden mit

s;

I Vektoranalysis

112

Denn die Basisvektoren e g und eq> sind ebene Vektoren (sie liegen in einer Ebene parallel zur x, y-Ebene und sind mit den Basisvektoren des Polarkoordinatensystems dieser Ebene identisch), wahrend der Basisvektor z auf dieser Ebene senkrecht steht. Die Basisvektoren e g , eq> und ez sind daher orthogonal, d. h. sie stehen paarweise senkrecht aufeinander.

e

e

e

Der Ubergang von der kartesischen Basis ex, ey, z zur "neuen" Basis e g , eq>' z laBt sich wie bei den ebenen Polarkoordinaten durch eine orthogonale Transforrnationsrnatrix A wie folgt beschreiben:

(. ~ee

eq>

)

=

(

c~s tp

-

(1-262)

SIn
0

z

A

Auf die gleiche Matrix staBt man, wenn man das raumliche kartesische Koordinatensystem urn die z-Achse dreht (Drehwinkel:
Umgekehrt konnen auch die "alten" Basisvektoren ex, e y, e z ausden "neuen" Basisvektoren e{l' eq>' e z bestimmt werden. Die Transformationsmatrix ist in diesem Fall die zu A inverse Matrix A-I:

(1-263)

Vektordarstellung in Zylinderkoordinaten

Ein im kartesischen Koordinatensystem gegebener Vektor (1-264) laBt sich in Zylinderkoordinaten, bezogen auf die Basis e g , eq>' e z ' wie folgt darstellen: (1-265) Dabei sind ag , aq> und az der Reihe nach die mit einem Vorzeichen versehenen Projektionen von auf die drei Basisvektoren e g , eq> und e z • Diese (positiven oder negativen) skalaren Groben sind die Vektorkoordinaten oder skalaren Vektorkomponenten des Vektors im Z ylinderkoordinatensystem. Sie lassen sich wie folgt aus den kartesischen Vektorkoordinaten ax, ay und a, bestimmen:

a

a

ag = ax . cos

ip

+ ay • sin qJ (1-266)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

113

Die ersten beiden Transformationsgleichungen haben wir direkt von den Polarkoordinaten iibernommen, wahrend die dritte Vektorkoordinate a, unverdndert bleibt (denn sie wurde ja aus der kartesischen Darstellung iibernommen). Die Transformationsgleichungen (1-266) lassen sich auch in der M atrizenform darstellen:

c~s qJ sin tp a; ) ( aqJ = - SIn tp cos tp ( az 0 0

(1-267)

A

Wie bei den Polarkcordinaten gilt auch hier: Die Vektorkoordinaten eines beliebigen Vektors transformieren sich beim Ubergang von den kartesischen Koordinaten zu den Zylinderkoordinaten in der gleichen Weise wie die Basisvektoren. Umgekehrt erfolgt der Ubergang von den skalaren Vektorkomponenten a(J' aqJ' az des Zylinderkoordinatensystems zu den kartesischen Komponenten ax, ay , a z mit Hilfe der zu A inversen Matrix A-I:

a

(1-268)

Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:

114

1 Vektoranalysis

Anmerkung

Die Riicktransformation, d. h. der Ubergang von den Z ylinderkoordinaten zu den kartesischen Koordinaten, erfolgt iiber die zu A inverse Matrix A-I. Sie lautet:

0)

- sin cp~ cos cp

(1-272)

o •

Beispiel Wir wollen das im kartesischen Koordinatensystem gegebene Vektorfeld

in Zylinderkoordinaten, d. h. in der Form F == F(Q; o; z) == Fg e g

darstellen (x

2

+ y2

+ FqJ

eqJ

+ r;

ez

#- 0).

Die gesuchten Vektorkoordinaten Fg , FqJ und F; lassen sich unter Verwendung von x == Q . cos sp •

y

==

Q.

sin cP,

z == z,

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

1t5

aus den Gleichungen (1-271) wie folgt berechnen: . F Q == Fx . cos cp + Fy • SIn cp ==

1

Jx2 1

== -

(Q .

cos" cp

+ y2

+ Q . sin? cp) == cos"

cp

. (x . COS cp + Y . SIn cp) ==

+ sin'

cp == 1

Q

F

1

+ Fy • cos cp == Jx2

1

== - (-

Q.

cos cp . sin

qJ

+ y2

(- x . sin cp + Y . cos cp) ==

+ Q . sin qJ . cos cp) == 0

Q

(unverandert) Das Vektorfeld besitzt somit in axialer Richtung die konstante Komponente FQ == 1, wahrend die tangentiale Komponente F

F == F(z) == 1 e + 0 e

Q

•

6.2.3 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten Die Differentialoperationen Gradient, Divergenz und Rotation sowie der Laplace-Operator besitzen in Z ylinderkoordinaten das folgende Aussehen:

I Vektoranalysis

116

Anmerkung Der in Zylinderkoordinaten ausgedriickte Laplace-Operator enthalt auch eine 1. Ableitung, da der in Gleichung (1-278) auftretende 1. Summand (1-279) ergibt (im Unterschied zum kartesischen Fall).

•

Beispiele (1)

1

-+

Das axialsymmetrische Vektorfeld F = -

Q

ell ist quellen- und wirbelfrei. Denn

sowohl die Divergenz als auch die Rotation dieses Feldes verschwindet. Mit 1 F{! = -, Fcp = 0 und F, = 0 folgt namlich: Q

-+ of{! -+ 1 of{! -+ -+ -+-+ rot F = oz ecp - -Q . -oqJ ez = 0 ecp - 0 ez = 0

1

(die partiellen Ableitungen von F{! = - nach

qJ bzw.

z verschwinden beide).

Q

Wegen rot i! = 0 ist i! ein Gradientenfeld: i! = grad ¢. Dieskalarc Funktion ¢ ist somit eine Losung der Laplace-Gleichung, die wir nun bestimmen wollen. Dabei beriicksichtigen wir, daB ¢ wegen der Zylindersymmetrie nur von Q

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

117

abhangen kann: cjJ = cjJ (g). Die Laplace-Gleichung lautet dann:

11¢ = ! . ~ (e . o¢) = Q oQ

oQ --..,--

°

const. Die in dieser Gleichung enthaltene partielle Ableitung kann nur Null werden, v . ocjJ. wenn Q . oQ e1ne Konstante ist: ocjJ g . - = const. == C 1

og

Wir losen diese einfache Differentialgleichung 1. Ordnung nach o¢ = ¢'(e) auf und integrieren anschlieBend: og ¢'(e) = C 1

e

·f~de=Cl·lne+C2.

¢(e)=C 1

Die Konstante C 1 konnen wir aus der Bedingung Fe =

o¢ = ! ermitteln: oQ

ocjJ

-

oQ

== C 1

1 . -

Q

1

=-

~

Q

Q

C 1 == 1.

Die zweite Konstante dagegen bleibt unbestimmt. Das gesuchte skalare Feld lautet damit: cjJ == cjJ (g) == In {} (2)

+ C2

Ein homogener EIektronenstrahi mit der Stromdichte i == io ringformiges Magnetfeid mit der magnetischen Feldstdrke

(Bild 1-87). Wir bestimmen die Rotation dieses Feides. Mit den FeIdkomponenten H(J == 0, Hq> == nach Gleichung (1-277) zunachst:

oHq> rot H == - e OZ (J -+

-+

1 0

+ -g .-oQ ({} . H q> )

-+

e

z

1

2 io g

und Hz =

e erzeugt ein z

°

erhalten wir

118

I Vektoranalysis z

ririqtormiqes Magnetfeld

Bild 1-87

Ringformiges Magnetfeld eines homogenen Elektronenstrahls mit der Stromdichte 7

Da H qJ von z unabhdngig ist, verschwindet die erste der beiden partiellen Ableitungen. Fur die zweite erhalten wir:

Somit ist

-la _ 1 __ rot H = -g . -ag (g . H qJ ) eZ = -g . i0 g eZ = i0 eZ = i Diese Beziehung besitzt allgemeine Giiltigkeit und reprasentiert eine der vier M axwellschen Grundgleichungen der Elektrodynamik.

•

6.2.4 Zylindersymmetrische Vektorfelder Ein zylindersymmetrisches Vektorfeld vom allgemeinen Typ

F =f(g)

e

(1-280)

g

ist fur g > 0 stets wirbelfrei. Denn das Feld besitzt nur eine einzige skalare Vektorkomponente in axialer Richtung und diese wiederum ist nur von g abhangig: (1-281) Die Rotation dieses Feldes verschwindet daher nach Gleichung (1-277): rot F = rot (f (g)

e =0

(1-282)

g)

(alle partiellen Ableitungen sind gleich Null). I

Dagegen ist ein zylindersymmetrisches Vektorfeld im allgemeinen nicht quellenfrei. Denn aus Gleichung (1-276) erhalten wir fur die Divergenz des Vektorfeldes den folgenden Ausdruck: . div F

~

1

a (g . F) = -1 . -a (g . f

- .-

g ag

e

g ag

(g))

(1-283)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme Er kann nur dann verschwinden, wenn das Produkt (2 .

f

((2)

= const.

oder

f

((2)

(2 .

119

f((2) eine Konstante ist, also

= const.

(1-284)

(2

gilt. Dieser Sonderfall tritt also genau dann ein, wenn der Betrag des Feldvektors umgekehrt proportional zum Abstand (2 ist.

•

F

Beispiel Ein Musterbeispiel fur ein wirbel- und quellenfreies Vektorfeld mit Zylindersymmetrie liefert das elektrische Feld in der Umgebung eines homogen geladenen Zylinders (Bild 1-88).

Aquipotentialflache Bild 1-88

Zylinderquerschnitt

I Vektoranalysis

120 Fur die elektrische Feldstdrke

E gilt namlich 15):

_ QeI R 2 1_ E==E(Q)==--'- e

2 Go

Q

(Q ~ R)

g

Ladungsdichte; R: Zylinderradius; Go: elektrische Feldkonstante). Das E-Feld ist wegen der Zylindersymmetrie wirbelfrei und wegen

(QeI:

auch quellenfrei.

•

6.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor eines Massenpunktes in Zylinderkoordinaten Ein Massenpunkt bewege sich auf einer rdumlichen Bahnkurve mit dem zeitabhdngigen Ortsvektor

r(t) == x(t)

ex + y(t) e + z(t) e == x ex + y e + z e y

z

z

y

(1-288)

Der zugehorige Geschwindigkeitsvektor (1-289) mit den kartesischen Geschwindigkeitskoordinaten Zylinderkoordinaten, d. h. in der Form

Vx

==

x, vy == y und v; == i

solI nun in (1-290)

dargeste11t werden. Beim Ubergang zu den Zylinderkoordinaten gelten die Transformationsgleichungen (1-271). Sie lauten hier:

+ vy • sin

==

Vx .

cos tp

(1-291)

Wir driicken nun x und y durch die Zylinderkoordinaten Q und

Q.

cos
~

x == Q. cos

Y ==

15) 16)

Q.

sin
~

sin
. sin tp

Y== Q. sin

Vgl. hierzu auch das Anwendungsbeispiel in Abschnitt 5.1.3. Die Zylinderkoordinaten sind ebenso wie die kartesischen Koordinaten zeitabhdngig.

(1-292)

(1-293)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

121

ve

vlp

Damit nehmen die gesuchten Geschwindigkeitskomponenten und die folgende Gestalt an (die Geschwindigkeitskomponente Vz ist in beiden Koordinatensystemen gleich: Vz == i): ve

== X . cos

qJ

== (Q . cos

+ Y. sin Q cP

qJ -

2

==

Q. cos

==

Q. (cos"

Q cP

qJ qJ

+

qJ

. sin . sin

sirr'

== qJ) . qJ .

qJ) ==

\,

cos cos

qJ tp

+ (Q

. sin

+ Q. sin

qJ

2

qJ

+ Q cP . cos + Q cP . cos

qJ) • sin qJ qJ .

sin

==

tp ==

Q

(1-294)

I

x. sin qJ + Y. cos qJ ==

v qJ == == -

(Q . cos

== -

Q. cos

Q cP

qJ -

qJ • sin qJ

== Q cP (sin ' qJ

+ cos '

. sin

qJ) .

sin

+ Q cP . sin 2

+ (Q . sin. qJ + Q cP . cos qJ) . cos qJ == qJ + Q. sin qJ . cos qJ + Q cP . cos 2 qJ == qJ

(1-295)

qJ) == QcP

Somit ist

v == veee + vlp elp + u, ez == Q ee + (Q cP) elp + i ez

(1-296)

der gesuchte Geschwindigkeitsvektor in Zylinderkoordinaten. Sein Betrag ist

v== Jv; +!!v; + v; == J

Q2

+ (Q cP)2 + i 2

(1-297)

Konkretes Beispiel: Ein Massenpunkt bewege sich auf einer Schraubenlinie mit dem zeitabhangigen Ortsvektor

r(t)

==

R . cos(wt)

ex + R . sin(wt) e + ct e

z

(1-298)

== ct

(1-299)

y

(Bild 1-89). Mit x == R . cos(wt),

y == R . sin (w t ),

z

erhalten wir aus den Transformationsgleichungen (1-256) die zugehorigen zeitabhdngigen Z ylinderkoordinaten: Q

== Jx 2 + y2 == JR 2. cos 2(wt) + R 2. sin2(wt) ==

tan

JR

2

qJ ==

yR'sin(wt) - == x R . cos(wt)

z == ct

[cos 2 ( w t)

==

+ sin 2 ( w t )] == R == const. (1-300) ==

tan(wt) =>

qJ

==

cit

122

I Vektoranalysis z

Bild 1-89 Bewegung eines Massenpunktes auf einer Schra ubenlinie

((t) y

x

Die benotigten Ableitungen der Zylinderkoordinaten Q

=R,

qJ =

cot;

z

= ct

(1-301)

nach der Zeit t lauten dann:

g = 0,

cP = w,

i=c

(1-302)

Damit erhalten wir den folgenden Geschwindigkeitsvektor, ausgedruckt in Z ylinderkoordinaten: (1-303)

Der Betrag der Geschwindigkeit ist konstant. Wir erhalten das bereits aus Abschnitt 1.3 (Beispiel (2)) bekannte Ergebnis:

v=

/;1 = J g2 + (QcP)2 + i 2 = JR 2 w 2 + c

2

(1-304)

6.3 Kugelkoordinaten 6.3.1 Definition und Eigenschaften der Kugelkoordinaten Kugelkoordinaten werden vorzugsweise bei raumlichen Problemen mit Kugel- oder Radialsymmetrie verwendet. Sie bestehen aus einer Abstandskoordinate r und zwei Winkelkoordinaten {) und qJ (Bild 1-90). Wir geben jetzt eine exakte Definition der Kugelkoordinaten und beschreiben ihre wichtigsten Eigenschaften, soweit sie fur unsere weiteren Uberlegungen von Bedeutung sind.

6 Spezielle ebene find raumliche Koordinatensysteme

17)

Dieser Eigenschaft verdanken die Kugelkoordinaten ihren Namen.

123

I Vektoranalysis

124

z

z

r= canst.

,-.

I

1---

iJ = canst.

y

y

x

x

Bild 1-91

Bild 1-92

Koordinatenflache r = canst. (Kugelschale)

Koordinatenflache :) = canst. (Kegelmantel)

z

"

"

" qJ=

co nst. Bild 1-93

'""

y

qJ

x

"

Koordinatenflache qJ = canst. (Halbebene, begrenzt durch die z-Achse)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

125

I Vektoranalysis

126

z r . siniJdcp

r

diJ

y x Bild 1-97 Flachenelement dA auf der Kugeloberflache r· sin i» dcp

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

127

z dV = dA dr = r 2 . siniJdrdiJdcp

dA

=r 2 . siniJ diJ dcp

r diJ

y

x

Bild 1-98

Volumenelement dV in Kugelkoordinaten

Anmerkungen

(1)

Die Kugelkoordinaten werden manchmal auch als rdumliche Polarkoordinaten bezeichnet.

(2)

Fiir die beiden Winkelkoordinaten sind auch folgende Bezeichnungen iiblich:

9-: Breitenkoordinate qJ:

(3)

Ldngenkoordinate

Die durch 9- = 90 oder 9- = 0

~ festgelegte x, y-Ebene heiBt auch Aquaiorebene.

1 Vektoranalysis

128

6.3.2 Darstellung eines Vektors in Kugelkoordinaten

a

Urn einen beliebigen Vektor in Kugelkoordinaten darstellen zu konnen, werden zunachst drei geeignete Einheitsvektoren benotigt, die als Basis fur die gesuchte Darstellung dienen konnen. Basisvektoren in Kugelkoordinaten (Bild 1-99)

Wir wahlen als Basisvektoren die Tangenteneinheitsvektoren der drei Koordinatenlinien

e

Tangenteneinheitsvektor an die r-Koordinatenlinie (radial nach aufien gerichtet, steht senkrecht auf der Kugeloberflache r == const.)

es :

Tangenteneinheitsvektor an den Ldngenkreis, d. h. an die 9-Koordinatenlinie (steht senkrecht auf der Koordinatenflache 9 == const., d. h. auf dem Kegelmantel mit dem Offnungswinkel 29)

r:

eq>: Tangenteneinheitsvektor an den Breitenkreis, d. h. an die cp-Koordinatenlinie

(steht senkrecht auf der Koordinatenflache tp == const.)

z

y

Bild 1-99 Basisvektoren im Kugelkoordinatensystem

x

Die Lage der drei Basisvektoren verdndert sich dabei von Punkt zu Punkt. Sie besitzen im kartesischen Koordinatensystem die folgende Darstellung (ohne Beweis):

e, =

sin 9 . cos

qJ

ex + sin 9 . sin qJ e + cos 9 ez =

e» =

cos 9 . cos

qJ

ex + cos 9 . sin qJ e

e", =

~ sin qJ

y

y -

ex + cos qJ e + 0 e = y

z

sin 9

e= z

- sin cp ) (

co~ qJ

sin 9 . cos cp ) sin 9 . sin tp ( cos 9 9 . cos cp ) cos 9 '.sin qJ - SIn 9

COS (

(1-310)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

129

Wirkonnen den Ubergang von der kartesischen Basis ex, e y , e z zur "neuen" Basis e r , e 9 , eq> auch durch eine orthogonale Transformationsmatrix A wie folgt beschreiben:

er )

( ~.9eq>

(Sin:) . cos q> = cos 9 '. cos tp - SIn q>

sin 9 . sin q> cos:) . sin q> cos q>

(1-311)

A

Umgekehrt lassen sich die "alten" Einheitsvektoren aus den "neuen" Einheitsvektoren mittels der zu A inversen Matrix A-I bestimmen: ex ) (

~y

ez

(Sin 9 . cos q> =. sin 9 . sin qJ cos:)

cos 9 . cos q> cos S . sin qJ - sin 9

Vektordarstellung in Kugelkoordinaten

Ein im kartesischen Koordinatensystem gegebener Vektor (1-313)

HiBt sich in Kugelkoordinaten, bezogen auf die Basis e r , e 9 , eq>' wie folgt darstellen: (1-314)

Dabei sind a., a9 und aq> der Reihe nach die mit einem Vorzeichen versehenen Projektionen des Vektors auf die drei Basisvektoren e r , e 9 und eq>. Diese (positiven oder negativen) skalaren Groben sind die Vektorkoordinaten oder skalaren Vektorkomponenten des Vektors im Kugelkoordinatensystem. Sie lassen sich wie folgt aus den kartesischen Vektorkoordinaten ax, ay und az bestimmen:

a

a

+ ay • sin 9 . sin tp + az . cos 9 a9 = ax . cos 9 . cos qJ + ay • cos:) . sin qJ - az • sin :) aqJ = - ax . sin qJ + ay • cos qJ a, = ax . sin 9 . cos tp

(1-315)

Diese Transformationsgleichungen lauten in der Matrizenform:

(

a; ) a9

a.;

(Sin 9 . cos = . cos t) .. cos

- sm

tp

qJ qJ

sin 9 . sin tp cos:) . sin qJ cos qJ

(1-316)

A

a

Auch fur die Kugelkoordinaten gilt: Die Vektorkoordinaten eines beliebigen Vektors transformieren sich beim Ubergang von den kartesischen Koordinaten zu den Kugelkoordinaten in der gleichen Weise wie die Basisvektoren.

I Vektoranalysis

130

Umgekehrt erfolgt der Ubergang von der Darstellung in Kugelkoordinaten zur kartesischen Darstellung mit Hilfe der zu A inversen Matrix A -1 :

(

aax) == A - ( asa; ) y

a,

1

aqJ

cos 9 . cos qJ ( sin 9 . cos qJ == sin 9 . sin tp cos 9 . sin qJ - sin 9 cos 9v

A -1

Wir fassen nun die wichtigsten Ergebnisse zusammen:

- sin qJ) cos qJ

o

(

a; ) as aqJ

(1-317)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

131

Anmerkung Die Riicktransformation, d. h. der Ubergang von den Kugelkoordinaten zu den kartesischen Koordinaten, erfolgt tiber die zu A inverse Matrix A-I. Sie lautet: A-I ==

•

(

sin 9 . cos

qJ

.sin 9 . sin

qJ

cos 9 . cos qJ cos 9 . sin qJ - sin 9

cos 9

- sin qJ) cos tp

(1-321)

o

Beispiele (1)

Wie lautet die Darstellung des Feldvektors

F == F(x; y; z) == x ex + y ey + ez in Kugelkoordinaten?

Liisung: Der gegebene Feldvektor soll in der Form

F == F(r; 9; qJ) == F,.

+ t;

er

eij + F({J e({J

dargestellt werden. Die gesuchten Vektorkoordinaten F',., Fij und F({J lassen sich dann unter Verwendung von x

==

y == r . sin 9 . sin

r . sin [) . cos qJ,

qJ,

z == r : cos [)

aus den Gleichungen (1-320) wie folgt berechnen: F, == F; . sin [) . cos

== x . sin 9- . cos == r . sin 2 ==

2

[) .

qJ

+ F; . sin 9 . sin tp + F, . cos 9 ==

qJ +

cos 2

qJ

Y . sin [) . sin

+ r . sin 2 [)

2

2

r . sin 9 (cos qJ + sin qJ)

.

qJ +

sin 2

1 . cos 9- ==

+ cos [) ==

qJ

+ cos [) ==

r . sin 2

[)

+ cos 9-

1

Fij == F; . cos 9- . cos qJ + F; . cos [) . sin qJ - Fz . sin [) ==

== ==

x . cos [) . cos qJ + Y . cos r . sin

9- . cos [) . cos

== r . sin 9 . cos [)(cos 2

2

qJ qJ

9- . sin

+r

qJ -

1 . sin 9 ==

. sin [) . cos

+ sin 2 qJ) -

9- . sin 2

qJ -

sin [) ==

sin 9 ==

1

== r . sin [) . cos [) - sin 9- == (r . cos 9- - 1) . sin 9F({J == - Fx . sin qJ, + Fy • cos

== - r . sin [) . cos

qJ

qJ • sin qJ

== - x . sin

qJ

+ Y . cos qJ ==

+ r . sin [) . sin qJ . cos qJ == 0

132

1 Vektoranalysis Somit ist

ff = (r . sin 2 [) + cos [)) er + (r . cos [) -

1) . sin [)

e:J

die gesuchte Darstellung des Feldvektors in Kugelkoordinaten. Man beachte, daB diese Darstellung unabhdngig vom Winkel tp ist und keine Komponente in Richtung des Breitenkreises besitzt. (2)

Ein Massenpunkt bewege sich auf dem Breitenkreis einer Kugel mit dem Radius r (Bild 1-100). Die Bahn ist dann durch Angabe der Breitenkoordinate [) eindeutig festgelegt. Wir interessieren uns nun fur den Geschwindigkeitsvektor v des Teilchens, ausgedriickt in Kugelkoordinaten.

z

Breitenkreis

y

Bild 1-100 Zur Bewegung eines Massenpunktes auf dem Breitenkreis 9- = canst.

x

r

Dabei gehen wir zunachst von kartesischen Koordinaten aus. Ortsvektor und Geschwindigkeitsvektor lauten dann (beide sind zeitabhiingig):

v

r=r(t)=x v=v(t)=x

ex+y ey+z ez ex+Y ey+i ez

Der Geschwindigkeitsvektor

v besitzt in Kugelkoordinaten die Darstellung

Zwischen den "alten" und den "neuen" Geschwindigkeitskomponenten bestehen dabei nach den Gleichungen (1-320) die folgenden Beziehungen:

o, = = Vs

+ vy • sin [) . sin tp + Vz • cos [) = x. sin [) . cos qJ + Y. sin [) . sin qJ + i . cos [) Vx •

sin [) . cos tp

= o; . cos [) . cos qJ + vy . cos [) . sin qJ -

Vz .

sin [) =

x. cos [) . cos qJ + Y. cos [) . sin qJ - i . sin [) VqJ = - V sin qJ + v cos qJ = - x. sin qJ + Y. cos qJ =

x .

y •

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

133

Wir driicken nun x, y und z mittels der Transformationsgleichungen (1-305) durch die Kugelkoordinaten r, :) und qJ aus und differenzieren die Gleichungen anschlieBend nach der Zeit t. Da auf dem Breitenkreis r und :) feste Grobe sind, gilt = 0 und :) = o. Unter Beriicksichtigung dieser Bedingungen erhalten wir dann:

r

x = r . sin :) . cos qJ

--+

y = r . sin :) . sin tp

--+

x = - r . sin :) . sin qJ . cP Y = r . sin :) . cos tp . cP

z = r . cos :)

--+

i

=

0

Damit nehmen die gesuchten Geschwindigkeitskomponenten Vr' V s und v({J die folgende Gestalt an: X . sin S . cos (p,+ Y. sin S . sin

Vr =

qJ

+ i . cos:) =

= - r . sin 2 :) . sin qJ • cos qJ • cP +

+r Vs

=

.

sin 2

:) •

sin

qJ • cos tp .

cP

+ 0 . cos :) =

x. cos:) . cos qJ + Y. cos:) . sin qJ -

= -

r . sin S . cos :) . sin

qJ • cos qJ •

cP

+ r . sin :) . cos :) . sin qJ • cos qJ • cP v({J

= -

0

i . sin S =

+ - 0 . sin :) = 0

x. sin qJ + Y. cos qJ =

+ r . sin :) . cos 2 qJ • cP = = r . sin :) . cP (sin2 tp + cos 2 qJ) = r . sin :) . cP

=

r . sin :) . sin 2

qJ • cP

Das Teilchen bewegt sich somit auf dem Breitenkreis mit dem Geschwindigkeitsvektor

v = r . sin [) . cP

e({J

Erfolgt die Bewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit OJ, so ist qJ = OJ t und cP = OJ und wir erhalten das bereits aus Abschnitt 6.1.4 bekannte Ergebnis

v=

r . sin S . OJ e({J ,=

OJ r

. sin S e({J

= ROJ e({J

Dabei ist R = r . sin S der Radius des Breitenkreises aus Bild 1-100.

•

134

I Vektoranalysis

6.3.3 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Kugelkoordinaten Die Differentialoperationen Gradient, Divergenz und Rotation sowie der Laplace-Operator besitzen in Kugelkoordinaten das folgende Aussehen:

6 Spezielle ebeneund raumliche Koordinatensysteme

135

Anmerkung Der in Kugelkoordinaten ausgedriickte Laplace-Operator enthalt auch partielle Ableitungen 1. Ordnung (im Unterschied zum kartesischen Fall):

(1-328)

a¢. a2¢ a9a (a¢) sin 9. a9 = cos 9. a9 + SIn 9. a9 2 •

Beispiele (1)

Wir bestimmen den Gradient des skalaren Feldes ¢ = ¢(r; 9;
a¢

a¢ a a;: = ar (r + 9 +
-=1

a
Somit gilt: _ grad ¢ = e, (2)

1 _

+-

r

efj

1_

+ --.-0 r . SIn cr

eqJ

Eine Kugel mit dem Radius r rotiere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit co urn die z-Achse (Bild 1-101). Unser Interesse gilt zunachst dem Geschwindigkeitsfeld auf der Kugeloberflache, z

z OJ

Bild 1-101 Gleichformige Rotation einer Kugel urn einen Durchmesser (z-Achse)

Bild 1-102 Der Punkt P bewegt sich auf einem Breitenkreis mit dem Radius (] = r . sin S

I Vektoranalysis

136

Dazu betrachten wir einen beliebigen .Punkt P auf der Kugeloberflache. Er bewegt sich bei der Drehung der Kugel auf einem Breitenkreis mit dem Radius Q == r . sin 9, wie man aus Bild 1-102 leicht entnehmen kann. Der Geschwindigkeitsvektor ist dabei tangential zum Breitenkreis orientiert und besitzt daher nur eine tp-Komponente

v

vq> ==

W Q

==

r . sin 9

W

Das Geschwindigkeitsfeld auf der Kugeloberflache hangt somit nur von der Winkelkoordinate 9 ab: v == v(9) == vq> eq> == oir : sin 9 eq>.

Fur die Rotation des Feldvektors

verhalten wir dann nach Gleichung (1-326):

1 (a rot _ v == - - . - - (sin 9 . vq» r . SIn 9 a9

)_e, - -l(a-a· (r· .)_ vq» es ==

.2)-

== - -1. - (a - (wr . SfIl 9) er r . SIn

9 a9

1 r . SIn 9

== --.-. wr(2· sin

9· cos 9)

r

-

r

l(a- (wr r ar

-

2.)- == . SIn 9)

es

_1_ e, - _. w· sin 9· (2r) es == r

Der in der Klammer stehende Vektor ist aber nach Gleichung (1-312)genau der Einheitsvektor z . Somit gilt:

e rot v == 2 co e == 2 OJ . Dabei ist OJ == co e der in der positiven z-Achse liegende Vektor der Winkelgez

z

schwindigkeit. Das Geschwindigkeitsfeld auf einer rotierenden Kugel ist somit ein Wirbelfeld, ein Ergebnis, das wir bereits von einer rotierenden Scheibe her kennen (vgl. hierzu Abschnitt 5.2.2).

•

6.3.4 Kugelsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder) Ein kugel- oder radialsymmetrisches Vektorfeld, in den naturwissenschaftlichen Anwendungen meist als Zentralfeld bezeichnet, vom allgemeinen Typ (1-329) ist fur r #- 0 stets wirbelfrei. Denn das Feld besitzt nur eine Komponente in radialer Richtung und diese wiederum ist nur von r abhangig, nicht aber von den beiden Winkelkoordinaten 9 und tp:

F,. == f (r),

(1-330)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

137

Daher verschwinden in dem Formelausdruck (1-326) fur die Rotation samtliche partiellen Ableitungen, d. h. es gilt rot

F == rot (f (r)

e

r ) ==

0

(1-331 )

Ein Zentralfeld ist somit immer wirbelfrei. Es ist dagegen im allgemeinen nicht quellenfrei, da die Divergenz des Feldes nur in Sonderfdllen verschwindet. Nach Gleichung (1-325) gilt namlich fur die Divergenz: div F

10 2 . - (r . F,.) r 2 or

== -

10 2 . - (r . f (r)) r 2 or

(1-332)

== -

e

Die Divergenz des Zentralfeldes F(r) == f(r) r kann daher nur dann den Wert Null annehmen, wenn das Produkt r2 . f(r) eine Konstante ist, d.h. r 2 . f (r) == const.

oder

f( r)

const.

==2

r

(I-333)

gilt. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Betrag des Feldvektors F umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r ist.

Wir fassen zusammen:

138

•

I Vektoranalysis

Beispiele (1)

Das Gravitationsfeld der Erde ist ein wirbel- und quellenfreies Zentralfeld. Nach dem Gravitationsgesetz von Newton erfahrt eine Einheitsmasse (m == 1) die folgende Anziehungskraft: -

M_ e,

(r > 0)

F == - y 2 r

(M: Erdmasse; y: Gravitationskonstante; Bild 1-103).

Fur den Betrag dieser Kraft gilt somit:

-I -_ M _ 1F Y r

y M _ const.

2 -

r

2-

r

2'

Bild 1-103

Gravitationsfeld der Erde (ebener Schnitt durch den Erdmittelpunkt)

(2)

Das elektrische Feld in der Umgebung einer (positiven) Punktladung Q ist ein wirbel- und quellenfreies Zentralfeld mit der elektrischen Feldstarke

Q E==---e 2 4n 8 0 r

(r > 0)

r

(Bild 1-104). Denn der Feldstdrkebetrag ist dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional:

Q- == -Q- . -1 == (const.) . -1 == const. 1E-I == 4 8 r 4 tt 8 r r r tt 0

2

2

0

2

2

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

139

-+-

E

•

Bild 1-104 Radialsymmetrisches elektrisches Feld in der Umgebung einer posiliven Punktladung Q (ebener Schnitt durch die Punktladung)

+Q

• 6.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Potential und elektrische Feldstarke in der Umgebung einer geladenen Kugel Eine homogen geladene Kugel mit dem Radius R und der (positiven) Ladung Q erzeugt in ihrer Umgebung ein kugel- oder radialsymmetrisches elektrisches Feld, dessen Potential U = U (~) der Laplace-Gleichung I1U

=

I1U(r)

=0

(r

~ R)

(1-337)

geniigt (Bild 1-105).

geladene Kugel

Bild 1-105 Radialsymmetrisches elektrisches Feld in der Umgebung einer positiv geladenen Kugel (ebener Schnitt durch den Kugelmittelpunkt)

I Vektoranalysis

140

Unter Beriicksichtigung der Kugelsymmetrie lautet diese Differentialgleichung 2. Ordnung dann wie folgt:

(2

au)

dU =

au). or

-12 . -a r . r or or

( u '(r) =

dr

== -1 . -d

r2 dr

2

(r . U (r) == 0 I

(1-338)

Die in dieser Gleichung auftretende Ableitung kann nur dann

verschwinden, wenn das Produkt r2 . U' (r) eine Konstante ist, d. h. wenn r2 • U (r) == const. I

==

C1

(1-339)

gilt. Wir losen diese Gleichung nach U (r) auf und integrieren anschlieBend unbestimmt: I

U'(r) = C21 r

U(r)

== C 1 ·

1 r

C1 r

f

2. dr == - -

+ C2

(1-340)

Das Potential wird dabei iiblicherweise so festgelegt, daBes im Unendlichen verschwindet. Aus der Bedingung U (r == 00) == 0 folgt dann:

U (r

==

00) == 0

C2

=>

==

0

(1-341)

Somit ist

C1

U(r)== - -

(1-342)

r

Die Konstante C 1 UiBt sich aus der Kapazitat C == 4ns oR der Kugel bestimmen (R: Kugelradius; so: elektrische Feldkonstante). Aus der Definitionsformel der Kapazitat

Q

C == - - == 4 tt Eo R U(R)

(1-343)

folgt dann fur das Potential U (R) auf der Kugeloberfldche: U(R)==-Q-

(1-344)

4nsoR

Zusammen mit der Gleichung (1-342) erhalten wir daraus eine Bestimmungsgleichung fur die Konstante C 1 : U(R)==

C1

Q

R

4ns oR

--==--

=>

(1-345)

6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme

141

Das Potential im Auj3enraum der Kugel wird somit durch die kugelsymmetrische Funktion

Q U=U(r)=-4ne or

(r

~

R)

(1-346)

beschrieben. Die elektrische Feldstdrke E ist der negative Gradient des Potentials. Wegen der Kugelsymmetrie gilt dann nach Gleichung (1-324)

-

E = - grad U = -

au _

a;:

e, = -

dU _ e,

a;:

(1-347)

Mit der Ableitung dU

d (

a;: = dr

Q)

4 n Eo r

Q d -1 Q -2Q = 4 n Eo . dr (r ) = 4 n Eo ( - r ) = - 4 n Eo r 2

(1-348)

erhalten wir schlielilich den radial nach auj3en gerichteten Feldstarkevektor dU _ Q_ E=--e=---e dr r 4neor2 r

(r

~

(1-349)

R)

Der Betrag der Feldstarke nimmt dabei mit zunehmender Entfernung r vom Kugelmittelpunkt ab und zwar umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes (Bild 1-106).

E(r)

E(R)

Bild 1-106 Verlauf der elektrischen Feldstarke in der Umgebung einer positiv geladenen Kugel

R

r

142

I Vektoranalysis

7 Linien- oder Kurvenintegrale 7.1 Ein einfiihrendes Beispiel Wir fiihren den Begriff eines Linien- oder Kurvenintegrals in anschaulicher Weise am Beispiel der physikalischen Arbeit ein, die von einer Kraft bzw. einem Kraftfeld beim Verschieben eines Massenpunktes verrichtet wird. Schrittweise gehen wir dabei wie folgt vor: Verschiebung lings einer Geraden durch eine konstante Kraft (Bild 1-107)

Der Massenpunkt wird durch eine konstante Kraft F langs einer Geraden urn den Vektor s verschoben. Die dabei verrichtete Arbeit ist definitionsgemaf das skalare Produkt aus dem Kraftvektor Fund dem Verschiebungsvektor s:

W=F's=P's'cosqJ

(1-350)

(vgl. hierzu auch Band 1, Abschnitt 11.3.3.5).

s

Bild 1-107 Zum Begriff der Arbeit einer konstanten Kraft beim Verschieben langs einer Geraden

Verschiebung lings einer Geraden durch eine ortsabhangige Kraft (Bild 1-108) Frs)

s

dss +ds

s

Bild 1-108 Zum Begriff der Arbeit einer ortsabhdngigen Kraft beim Verschieben langs einer Geraden

Die auf den Massenpunkt einwirkende Kraft ist jetzt von Ort zu Ort verschieden: F = F(s). Wir zerlegen das geradlinige Wegstiick in eine groBe Anzahl von sehr kleinen Wegelementen, Iangs eines jeden Wegelementes darf dann die einwirkende Kraft als nahezu konstant betrachtet werden. Die bei einer infinitesimal kleinen Verschiebung des Massenpunktes urn ds verrichtete Arbeit betragt dann definitionsgemaf

dW = F (s) . ds = F;;(s) ds

(1-351)

~(s) ist dabei die Kraftkomponente in Wegrichtung. Durch Integration erhalten wir die insgesamt von der Kraft F(s) langs des (geradlinigen) Weges von Sl nach S2 geleistete Arbeit.

143

7 Linien- oder Kurvenintegrale Sie fuhrt uns zu dem Arbeitsintegral

f ff

S2

W=

f

S2

dW =

S2

(s) . ds =

(1-352)

Fs(s) ds

(vgl. hierzu auch Band 1, Abschnitt V.l0.6) Allgemeiner Fall: Verschiebung lings einer Kurve in einem Kraftfeld (Bild 1-109)

Die bisher betrachteten Verschiebungswege waren ausschlieBlich geradlinig. Diese Einschrankung lassen wir nun fallen, wir wenden uns dem allgemeinen Fall zu: In einem ebenen Kraftfeld F(x; y) solI ein Massenpunkt vom Punkt ~ aus langs einer Kurve emit dem Ortsvektor r == r(t) in den Punkt ~ verschoben werden (t 1 ~ t ~ t 2 ) . Welche Arbeit wird dabei vom Kraftfeld an der Masse verrichtet? y

Bild 1-109 Zum Begriff der Arbeit in einem (beliebigen) ebenen Kraftfeld

x

Bei der Berechnung der Arbeit miissen wir beriicksichtigen, daB die auf den Massenpunkt langs der Kurve C einwirkende Kraft von Ort zu Ort variiert. Wir gehen daher analog vor wie in Fall 2 und zerlegen die Kurve C zunachst in eine groBe Anzahl von Wegelementen, wobei wiederum langs eines jeden Wegelementes eine nahezu konstante Kraft angenommen werden darf. Beim Verschieben des Massenpunktes von P aus urn ein infinitesimal kleines Wegelement dr in den Punkt Q verrichtet das Kraftfeld die Arbeit - _ (Fx(X; y)) . (dX) ==Fx(x;y)dx+F(x;y)dy dW==F·dr== Fy(x; y) dy y

(1-353)

(Bild 1-110). Die bei einer Verschiebung auf der Kurve C von ~ nach ~ insgesamt vom Kraftfeld aufzubringende Arbeit erhalten wir dann durch Integration: W=

f ff . f dW =

c

d'f =

c

(Fx(x; y) dx

c

+ Fy(x~ y) dy)

(1-354)

I Vektoranalysis

144 y

c

Bild 1-110 Zur Herleitung des Arbeitsintegrals

x

Da die Integration langs einer bestimmten Kurve, auch Weg oder Linie genannt, erfolgt, bezeichnet man ein solches Integral als Linien- oder Kurvenintegral und schreibt verabredungsgemaf das Kurvensymbol (hier: C) unten an das Integralzeichen. Bei der Berechnung des Integrals ist dabei zu beachten, daB das Kraftfeld noch von den Koordinaten x und y des Kurvenpunktes P abhangt. Diese jedoch sind keineswegs voneinander unabhangig, sondern tiber die Kurvengleichung miteinander verkniipft. Fiir die Koordinaten x und y setzt man daher die Parametergleichungen x (t) bzw. y(t) der Integrationskurve C ein. Die langs dieses Weges wirkende Kraft hangt dann nur noch yom Kurvenparameter tab. Das Wegelement dr ersetzen wir noch durch den Tangentenvektorr = ;(t) und das Differential dt des Parameters t. Es ist ~ dr r=-

und somit

dt

_

~ d r = r dt =

Das Arbeitsintegral (Linienintegral)

(x(t)) Y(t) dt

(1-355)

f

F . dr geht schlieBlich mit Hilfe dieser Substitu-

c tion in ein gewohnliches Integral iiber:

W=

t2

f

f

C

t1

F . dr =

(11 . -;) dt =

t2

=

f

fFx(x(t); y(t))· x(t) + Fy(x(t); y(t)) . y(t)) dt

(1-356)

t1

•

Beispiel

Wir berechnen die Arbeit, die das ebene Kraftfeld F(x; y) =

G~2)

Massenpunkt bei einer geradlinigen Verschiebung von Pi = (0; 0) nach verrichtet (Bild 1-111).

an einem ~

= (1;

1)

7 Linien- oder Kurvenintegrale

145

y

c Bild 1-111

x

P t = (0;0)

Der Integrationsweg C lautet in vektorieller Darstellung:

c: Fur

F, ;

r(t) =

C~:;) = (:)

und das Skalarprodukt

(0 ~ t ~ 1)

F.; erhalten wir dann:

Die vom Kraftfeld geleistete Arbeit betragt somit nach der Integralformel (1-356): 2

W

==

f t

t1

-.

~

(F· r) dt

==

fi (t 3 + t 2 ) dt ==

[1 t + -1t ] 7 -

4

4

3

3

1

0

== -

12

•

0

7.2 Definition eines Linien- oder Kurvenintegrals Die Berechnung der Arbeit eines ebenen Kraftfeldes an einer punktformigen Masse fiihrte uns zu dem Begriff eines Linien- oder Kurvenintegrals. Wir iibertragen diesen Begriff nun auf ein rdumliches Vektorfeld.

146

I Vektoranalysis

Anmerkungen (1) Das Linien- oder Kurvenintegrai (1-357) lautet in ausfiihrlicher Schreibweise wie folgt: t2

f

[FAx; y; z) dx

+ Fy(x; y; z) dy + FzCx; y; z) dz]

C

=

f

(Fx x + FyY

+ Fzz) dt

t 1

(1-358)

F(x; y) und

(2)

Die Definition (1-357) gilt sinngemaf auch fur ein ebenes Vektorfeld eine ebene Kurve == r(t).

(3)

Man beachte, daB der Wert eines Linien- oder Kurvenintegrals i. a. nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges, sondern auch noch vom eingeschlagenen Verbindungsweg abhangt.

(4)

Wird der Integrationsweg C in der umgekehrten Richtung durchlaufen (symbolische Schreibweise: - C), so tritt im Integral ein Vorzeichenwechsel ein:

r

fl.

dr

= -

-c (5)

fl.

(1-359)

dr

c

Fiir ein Kurvenintegral langs einer geschlossenen Linie C verwenden wir das Symbol

fl.

dr oder auch

fl.

dr (Bild 1-112). Ein so1ches Kurvenintegral wird

c in den physikalisch-technischen Anwendungen auch als Zirkulation des Vektorfeldes F langs der geschlossenen Kurve C bezeichnet.

BUd 1-112 Geschlossener Integrationsweg C mit dem Anfangs- und Endpunkt Pi

c (6)

fl. fl. f(I.T)

Das Kurvenintegral

dr HiBt sich auch wie folgt ausdriicken:

c

dr

c

=

ds

(1-360)

c

Dabei ist T der Tangenteneinheitsvektor und ds das Linienelement der Kurve C (Bild 1-113). Integriert wird dann tiber die Tangentialkomponente des Vektorfeldes F langs der Kurve C.

147

7 Linien- oder Kurvenintegrale

Kurve C

Tang~ntialkomponente

von F

Bild 1-113 Zur Integration tiber die Tangentialkomponente des Vektorfeldes F

Analog HiBt sich auch ein Kurvenintegral tiber die N ormalkomponente von langs des Weges C definieren:

F

(1-361)

N ist dabei der

Hauptnormaleneinheitsvektor der Kurve C.

7.3 Berechnung eines Linien- oder Kurvenintegrals Die Berechnung eines Linien- oder Kurvenintegrals wird wie folgt vorgenommen:

148

•

I Vektoranalysis

Beispiele (1)

Wir berechnen das Linienintegral f (y . eX dx

+ eX dy)

langs des parabel-

c [iirmigen Verbindungsweges C: x = t, Y = t 2 der beiden Punkte 0 = (0; 0) und P = (1; 1) (Bild 1-114). y P

= (1 ;1)

Bild 1-114 Parabelformiger Integrationsweg C

o

x

Langs dieses Weges gilt: x = t,

.

x

dx dt

=- =1

dx = dt

'

. dy Y=dt=2t,

dy=2tdt

::s; t ::s; 1). Durch Einsetzen dieser Ausdriicke in das Linienintegral erhalten wir dann:

(0

1

f (y. e" dx

+ eX dy) =

C

f (t 2 • e' dt

+ e t • 2t dt) =

0 1

=

f (t 2 • c'

+ 2t· e') dt =

o 1

=

=

f t

1 2

•

c' dt

+ 2 . ft.

o

0

[(t2 - 2t + 2)·

etI

= (e - 2) + 2(0

c' dt =

+ 2[(t -

+ 1) = e -

2

1)·

etI

+ 2 = e = 2,7183

Die anfallenden Integrale haben wir dabei der I ntegraltafel der Formelsammlung entnommen (IntegraleNr. 313 bzw. Nr. 314).

7 Linien- oder Kurvenintegrale (2)

149

Welchen Wert besitzt das Linienintegral des raumlichen Vektorfeldes F(x; y; z) =

(2:2::2)

langs der Kurve C, die durch den Ortsvektor

x+z

r(t)

=(;2)

mit 0 :::;: t:::;: 1 beschrieben wird?

Liisung :

Es ist x = t, Y =

und z = t und somit

t? 4

_ F

=

(2t+t t5

)

,

2t

= (2 t + t 4 ) . 1 + t 5 . 2 t + 2 t . 1 = 2 t'' + t 4 + 4 t 87

35

•

Bei einem ebenen Problem, d. h. einem Linienintegral in der Ebene, liegt der Integrationsweg C haufig in Form einer expliziten Funktionsgleichung y = f (x) vor. Die Berechnung des Linienintegrals

fi

0

dr wird dann wie folgt vorgenommen: Man ersetzt

C

die Koordinate y durch die Funktionf(x) und das Differential dy durchf'(x)dx und erhalt auf diese Weise ein gewohnliches Integral mit der Integrationsvariablen x (die Integrationsgrenzen sind dabei die Abszissenwerte der beiden Kurvenrandpunkte):

fi

0

dr =

c

f

(FAx; y) dx

+ Fy(x; y) dy) =

c

f

X2

=

•

[FAx;f(x))

+ Fy(x;f(x)) of'(x)] dx

Beispiel Wir berechnen das Kurvenintegral

f

(x y2 dx

+ x y dy) fur

(1-362)

die in Bild 1-115 skiz-

c zierten Verbindungswege der Punkte 0 = (0; 0) und P =(1; 1).

150

I Vektoranalysis y P

= (1;1)

y=x 3 Bild 1-115

Drei verschiedene Verbindungswege der Punkte 0 = (0; 0) und P = (1; 1)

x

0=(0;0)

Integrationsweg C 1: Y = dy == 1 dx '

X,

0

~ X ~

1

dy == dx 1

f

(X

y2 dx

+ X Y dy) =

C1

f

1 (X .

2

x dx

+ X . X dx) =

0

f (x

3

+ x 2) dx

0

Integrationsweg C 2 : Y = x 3 , 0 ~

X

~

1

dy == 3x 2 dx 1

f(

x y2 dx

+ xy dy) =

C2

f

(X .

x" dx

+ X . x 3 • 3x 2 dx) =

0 1

f

[

== (x7 + 3 x 6 ) dx == -1 x 8 + -3 X 7 .

o

Integrationsweg C 3

= Ci + c;*

Teilweg Cf ldng« der y-Achse von 0 nach Q:

x == 0,

f Cf

dx == 0, 1

(X

y2 dx

+ X Y dy) =

f

0 dy = 0

0

8

7

J1 == -3156 0

=

151

7 Linien- oder Kurvenintegrale Teilweg Cj* ldngs der Geraden y = 1 von Q nach P: dy = 0,

y = 1,

Langs des Gesamtweges C 3 gilt somit:

Wir stellen fest: In diesem Beispiel hangt das Linienintegral nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, sondern auch noch von dem eingeschlagenen Verbindungsweg selbst abo Wir erhalten fur jeden der drei Verbindungswege einen anderen Wert.

•

7.4 Wegunabhangigkeit eines Linien- oder Kurvenintegrals. Konservative Vektorfelder Wir untersuchen in diesem Abschnitt die Voraussetzungen, unter denen der Wert eines Linien- oder Kurvenintegrals nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg der heiden Punkte abhangt, wobei wir uns zunachst auf ebene Vektorfelder beschranken wollen. Ein Linienintegral vom Typ

fi . f dr =

c

(FAx; y) dx

+ Fy(x; y) dy)

(1-363)

c

ist wegunabhdngig, wenn die lineare Differentialform

p. dr = Fx(x; y) dx + Fy(x; y) dy

(1-364)

vollstdndig ist, d. h. das totale oder vollstdndige Differential d¢ einer ortsabhangigen Funktion <jJ(P) = <jJ(x; y) darstellt: d¢ = F; dx

+ F; dy =

o¢

o¢

ox dx + oy dy

(1-365)

Dann namlich gilt:

fi . f dr =

c

(Fx dx

c

+ Fy dy) =

f(~~ c

P2

dx

+ ~~ dy) =

f

d¢ = [¢(P)J; =

Pt

(1-366)

152

1 Vektoranalysis

Das Linienintegral hangt in diesem Fall nur vom Anfangspunkt ~ == (Xl; Y1) und dem Endpunkt ~ == (x 2; Y2) des Integrationsweges abo Ein Vektorfeld mit dieser Eigenschaft wird in den Anwendungen als konservatives Feld oder Potentialfeld, die Funktion ¢(x; y) als Potentialfunktion oder kurz als Potential des Feldes bezeichnet.

Woran aber kann man nun erkennen, ob ein vorgegebenes (ebenes) Vektorfeld F(x; y) mit den skalaren Komponenten Fx(x; y) und Fy(x; y) konservativ ist oder nicht? Die Beantwortung dieser Frage ist in der Praxis von groBer Bedeutung. Falls F(x; y) konservativ, d. h. ein Potentialfeld ist und ¢ (x; y) die zugehorige Potentialfunktion 18), so gilt jedenfalls:

a¢

F ==x

ax

und

a¢

F ==y

ay

(1-367)

Die skalaren Komponenten des Feldvektors F(x; y) sind in diesem Fall die partiellen Ableitungen i.Ordnung der Potentialfunktion ¢(x; y), d.h. der Feldvektor F(x; y) ist der Gradient der Potentialfunktion ¢(x; y):

F(x; y) == grad ¢(x; y) ==

(1-368)

Die Wegunabhdngigkeit eines Linienintegrals bedeutet also, daB das Vektorfeld als Gradient einer Potentialfunktion darstellbar ist. Unter den Voraussetzungen des Schwarzschen Satzes gilt dann weiter: und somit

(1-369)

Diese Bedingung ist notwendig und zugleich hinreichend fur die Wegunabhangigkeit eines Linienintegrals vom Typ (1-363). Sie laBt sich auch durch die Gleichung rot

F == 0

beschreiben.

18)

Die Potentialfunktion ist bis auf ein konstantes Glied eindeutig bestimmt.

(1-370)

7 Linien- oder Kurvenintegrale

153

Denn bekanntlich verschwindet bei einem ebenen Feld F == F(x; y) sowohl die x-Komponente als auch die y-Komponente des Vektors rot F automatisch, wahrend die z-Komponente

-

oPy - -oPx ox oy

(rot P) == z

(I -371)

offensichtlich genau dann Null wird, wenn die Bedingung (1-369) erfullt ist:

-

(rot P)

oPy - -oP ox oy

== z

x

==

0

<=>

oPy == -oP ox oy

-

x

(1-372)

Fur ein rdumliches Verktorfeld ergeben sich analoge Beziehungen zwischen den partiellen Ableitungen 1. Ordnung der skalaren Vektorkomponenten. Auch in diesem Fall ist rot F == 0 eine notwendige und hinreichende Bedingung fur die Wegunabhdngigkeit.

I Vektoranalysis

154 Anmerkungen

(1)

Ein Bereich heiBt einfach-zusammenhiingend, wenn sich jede im Bereich gelegene geschlossene Kurve auf einen Punkt "zusammenziehen" HiBt. Ein ebener einfachzusammenhangender Bereich wird von einer einzigen geschlossenen Kurve begrenzt. Beispiele sind in Bild 1-116 dargestellt (rechteckiger bzw. kreisformiger Bereich).

,

.

".

-

"

J I I

.

.

'\

I

.

.

..

.

v

~

- -----x

x b)

a)

Bild 1-116 Eitifach-zusammenhangende Bereiche a) Rechteckiger Bereich b) Kreisformiger Bereich

innerer Rand iiuBerer Rand

Bild 1-117

Bild 1-118

Zweifach-zusammenhangender Bereich

x, y-Ebene mit einem "Loch" im Koordinatenursprung

Besteht der Rand eines Bereiches jedoch aus mehreren geschlossenen Kurven, so liegt ein mehrfach-zusammenhdngender Bereich vor. Bild 1-117 zeigt einen (ebenen) zweifach-zusammenhdngenden Bereich. Auch die x, y-Ebene ohne den Nullpunkt stellt einen zweifach-zusammenhdngenden Bereich dar (Bereich mit einem sog. "Loch"; Bild 1-118).

7 Linien- oder Kurvenintegrale

155

(2)

Die Bedingung (1-373) bzw. (1-374) wird auch als Integrabilitiitsbedingung bezeichnet.

(3)

Im FaIle der Wegunabhangigkeit verschwindet das Linienintegral langs einer geschlossenen Kurve. Sind namlich C l und C 2 zwei verschiedene Verbindungswege der Punkte Ii und ~ (Bild 1-119), so ist wegen der Wegunabhiingigkeit

f F' dr f F' dr

(1-378)

=

C1

C2

Bild 1-119 Im Falle der Wegunabhdngigkeit verschwindet das Linienintegral langs des geschlossenen Weges C l - C2 (C l und C 2 sind zwei von Pi nach P 2 orientierte Verbindungswege)

Fur die geschlossene Kurve C l - C 2 , die zunachst von Ii langs der Kurve C l nach P2 und von dort Iangs der Kurve - C 2 zuriick nach Pl fiihrt, gilt dann unter Beriicksichtigung der Gleichung (1-378):

fF .dr f F. dr f F' dr + f F' dr f F' dr - f F' dr =

=

C1

-

C2

=

-C 2

C1

(1-379)

=0

=

C1

C2

Wir hatten bereits erkannt, daB ein Linien- oder Kurvenintegral

fF. dr

genau dann

C

wegunabhiingig ist, wenn das (ebene oder raumliche) Vektorfeld ff als Gradient einer ortsabhangigen Funktion ¢, Potentialfunktion genannt, darstellbar ist: ff = grad ¢. Da die konservativen Vektorfelder in Naturwissenschaft und Technik eine iiberragende Rolle spielen, wollen wir ihre wichtigsten Eigenschaften wie folgt zusammenstellen:

156

•

I Vektoranalysis

Beispiele (1)

Das ebene Vektorfeld Potentialfeld, da

F(x; y) == 3 x 2 y

oF 0 2 2 - x == - (3 x y) == 3 x

oy

oy

ex + x 3 ey ist konservativ, d. h. ein

und

und somit die lntegrabilitdtsbedingung (1-373) erfiillt ist:

oFx

st;

-==-==3x

oy

2

ox

Das Linienintegral

ff . f

(3 Xl Y dx

dr =

C

c

+ x 3 dy)

7 Linien- oder Kurvenintegrale

157

ist daher wegunahhdngig, wobei C einen beliebigen Verbindungsweg zweier Punkte ~ und ~ bedeutet, d.h. es gilt: Pz

ff . f

+ x 3 dy)

2

(3 x y dx

dr =

~

C

Wir bestimmen nun die Potentialfunktion ¢(P) = ¢(x; y), deren partielle Ableitungen 1. Ordnung wir bereits kennen. Denn es gilt

F = grad ¢ und somit o¢

-

ox =

F = 3x Z y

und

x

o¢

- = F =X

oy

3

y

Wir integrieren oel> und beachten dabei, daB die Integrationskonstante noch

ox

von der Variablen y abhangen kann:

Durch partielle Differentiation nach y und unter Beriicksichtigung von o¢ = x3 erhalten wir daraus schlieBlich:

oy

o¢ =

-

oy

X

3

+ K ' (y) =

x

3

K'(y) = 0 ~ K(y) = const. = K o

Die Potentialfunktion lautet daher: ¢(x;y)=x 3 y + K o

Fiir einen beliebigen, von tionsweg C gilt somit:

(2)

~

= (Xl; Yl) nach

~

= (x z; yz) fiihrenden Integra-

Wir betrachten das folgende, in Polarkoordinaten definierte Vektorfeld: -+

-+

-+

F=F(r;({J)=r er

({J

+-

r

eq>

(r > 0)

158

I Vektoranalysis Die Rotation dieses Feldes verschwindet in jedem Bereich, der den Koordinatenursprung nicht enthalt, Denn mit

F,.

und

== r

folgt nach Gleichung (1-244) fur die z-Komponente der Rotation (die x- und y-Komponenten verschwinden bei einem ebenen Feld bekanntlich automatisch): (rot F) z

=;:1 . or0 (r . F'fJ) -

1 sr; ;: . ocp

=;:1 [0or (cp) -

0 ocp (r)

J=

0

Das Vektorfeld Fist somit fur r > 0 wirbelfrei. Jetzt berechnen wir das Linienintegral dieses Feldes langs des Mittelpunktskreises K mit dem Radius r (Bild 1-120).

y

-,

r

x

Bild 1-120 Zur Integration Iangs eines Mittelpunktskreises mit dem Radius r

Kreis K

Da der Vektor dr hier tangentiale Richtung hat und somit zum Tangenteneinheitsvektor (Basisvektor) eqJ parallel verlauft, laBt er sich in der Form

dr

==

ds eqJ

==

(r dqJ) eqJ

darstellen 19). Damit erhalten wir fur das Skalarprodukt druck

- d-r == (r -e; + -;: qJ F· eqJ) . d-r == (r -e, ==

r2 de: (er ' eqJ)

+ qJ dqJ

~

o 19)

ds = r dip ist das Linienelement des Kreises.

+ -;:qJ

eqJ) . (d r qJ -) eqJ

(eqJ' eqJ) == qJ dip '-...---'

1

F' ==

dr den Aus-

7 Linien- oder Kurvenintegrale

159

Das Linienintegral langs des Kreises K besitzt damit den folgenden Wert:

Wir erhalten somit langs der geschlossenen Kreislinie einen von Null verschiedenen Wert, obwohl die Rotation des Vektorfeldes F verschwindet. Diesen nur scheinbaren Widerspruch losen wir jetzt wie folgt auf: Die Integrationskurve K umschlieBt eine Singularitdt, namlich den N ull== 0, in dem der Feldvektor F nicht definiert ist. Unsere Kreislinie liegt somit nicht - wie im Kriterium (1-373) gefordert - in einem einfachzusammenhdngenden Bereich, sondern in einem zweifach-zusammenhdngenden Bereich (gesamte x, y-Ebene mit Ausnahme eines "Loches" im Nullpunkt). Diese Aussage gilt im iibrigen auch fiirjede andere geschlossene Kurve urn den Nullpunkt. Mit anderen Worten: Die Kreislinie K liegt in einem Bereich, in dem die Bedingung rot F == 0 nur fur r > 0 erfiillt ist. Das Kriterium fur die Wegunabhangigkeit eines Kurven- oder Linienintegrals ist somit in unserem konkreten Fall nicht anwendbar. punkt r

• 7.5 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 7.5.1 Kugelsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder) Wie bereits bekannt, verschwindet die Rotation eines kugelsymmetrischen Vektorfeldes oder Zentralfeldes F == f (r) r in jedem Bereich, der den Nullpunkt r == 0 nicht enthalt:

e

rot

F == 0

(r > 0)

(1-384)

Daher ist ein Zentralfeld in jedem einfach-zusammenhangenden Gebiet, das den Nullpunkt ausschlieBt, konservativ. Da aber der Nullpunkt die einzige singulare Stelle im Raum ist, lafit sich jede geschlossene Kurve C ober- oder unterhalb des Nullpunktes auf einen Punkt zusammenziehen. Der Raum ohne Nullpunkt stellt also fur ein Zentralfeld einen einfach-zusammenhangenden Bereich dar. Somit gilt fur jede geschlossene Kurve C, die nicht durch den Nullpunkt verlauft: (1-385)

Mit anderen Worten: Ein kugel- oder radialsymmetrisches Vektorfeld (Zentralfeld) ist stets konservativ.

I Vektoranalysis

160

•

Beispiel

Sowohl das Gravitationsfeld der Erde als auch das elektrische Feld einer Punktladung sind Zentralfelder und somit konservative Vektorfelder.

•

7.5.2 Magnetfeld eines stromdurchflossenen linearen Leiters In der Umgebung eines stromdurchflossenen linearen Leiters existiert ein ringfiirmiges Magnetfeld mit der magnetischen Feldstdrke 1-+ H==-- e -+

2ng

(Q > 0)

(1-386)

qJ

(in Zylinderkoordinaten; I: Stromstarke; o: senkrechter Abstand des Punktes P von der Leiterachse; Bild 1-121). z

rinqtormiqes Magnetfeld

i~ I

magnetische Feldlinie K

elektrischer Leiter

Bild 1-121 Ringformiges Magnetfeld in der Umgebung eines stromdurchflossenen linearen Leiters

Bild 1-122 Zur Integration langs einer kreisformigen magnetischen Feldlinie

Wir interessieren uns nun fur das geschlossene Linienintegral

fifo dr liings

einer

K

kreisfiirmigen Feldlinie K urn den Leiter (Berechnung der "Zirkulation"; Bild 1-122).

7 Linien- oder Kurvenintegrale

161

Der differentielle Verschiebungsvektor dr liegt dabei in der Kreistangente und ist somit in der Form

== ds

dr

(1-387)

e
darstellbar, wobei ds das Linienelement bedeutet. Daher gilt: -

-+

H . dr

~ I == -I- ds \e . e ) == - - ds -+

2nQ