Сибирский математический журнал Июль—август, 2006. Том 47, № 4
УДК 512.554
(H, R)–КОАЛГЕБРЫ ЛИ И (H, R)–БИАЛГЕБРЫ ЛИ Л. Чжан Аннотация: По любой (H, R)-коалгебре Ли и некоторому правому коциклу T строится (H, RT )-коалгебра Ли T ; здесь (H, R) — треугольная алгебра Хопфа. Доказано, что существует биекция между множеством (H, R)-коалгебр Ли и множеством обычных коалгебр Ли. Также показано, что если (L, [ , ], , R) является (H, R)-биалгеброй Ли обычной алгебры Ли, то (LT , [, ], T , RT ) будет (H, RT )биалгеброй Ли обычной алгебры Ли. Ключевые слова: (H, R)-коалгебра Ли, треугольная алгебра Хопфа, правый коцикл, (H, R)-биалгебра Ли.
§ 1. Введение и предварительные результаты Коалгебры Ли недавно вновь стали объектом интереса вследствие связи между биалгебрами Ли и квантовыми группами. Дуальная теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта для коалгебр Ли доказана Михаэлисом [1]. В случае, когда k — алгебраически замкнутое поле, структура коалгебры Ли на W10 определена Николсом [2]; здесь W1 = Derk (k[X]) — алгебра Ли дифференцирований многочленов от одной переменной X над полем k. Определение (треугольной кограничной) биалгебры Ли предложено Дринфельдом [3]. Биалгебры Ли изучались с различных сторон. Разнообразные структуры биалгебры Ли на алгебрах Витта и Вирасоро рассматривались Тафтом [4]. Михаэлисом найден класс бесконечномерных биалгебр Ли, содержащих алгебры Вирасоро [5]. Недавно Бахтурин, Фишман и Монтгомери ввели понятие (H, R)-алгебры Ли [6], которое является обобщением алгебры Ли, где (H, R) — треугольная алгебра Хопфа. В этой статье мы вводим понятие (H, R)-коалгебры Ли, которое является дуальным к понятию (H, R)-алгебры Ли. Одна из наших мотиваций — получить дуальные результаты к случаю (H, R)-алгебр Ли, другая мотивация — ввести понятие (H, R)-биалгебры Ли, построить (H, R)-биалгебры Ли и установить биекцию между множеством всех (H, R)-биалгебр Ли обычных алгебр Ли и множеством всех стандартных биалгебр Ли. Статья организована следующим образом. В § 2 введено понятие (H, R)коалгебры Ли, построена (H, RT )-коалгебра Ли при помощи правого коцикла T и доказано, что существует биекция между множеством (H, R)-коалгебр Ли и множеством обычных коалгебр Ли. В § 3 введено понятие (H, R)-биалгебры Ли, построена (H, R)-биалгебра Ли и показано, что если (L, [ , ], , R) является The author was supported by National Natural Science Foundation of China (10571153), Postdoctoral Science Foundation of China (2005037713) and Postdoctoral Science Foundation of Jiangsu (0203003403).
c 2006 Чжан Л.
(H, R)-коалгебры Ли и (H, R)-биалгебры Ли
933
(H, R)-биалгеброй Ли обычной алгебры Ли, то (LT , [ , ], T , RT ) будет (H, RT )биалгеброй Ли обычной алгебры Ли. Все рассмотрения проводятся над фиксированным полем k и в терминологии, касающейся алгебр, алгебр Ли, модулей, коалгебр и алгебр Хопфа, представленной в книге Монтгомери [7]. Напомним некоторые используемые понятия. • Коалгебра — это k-пространство C совместно с двумя k-линейными отображениями, коумножением C : C → C ⊗ C и коединицей εC : C → k такими, что выполняются следующие равенства: (C ⊗ IC )C = (IC ⊗ C )C ,
(εC ⊗ IC )C = IC = (IC ⊗ εC )C .
В дальнейшем образ P элемента c ∈ C под действием коумножения C записывается в виде C (c) = c1 ⊗ c2 . • Пусть H — одновременно алгебра и коалгебра. Если ее коумножение H и коединица εH являются гомоморфизмами алгебр, то H называется биалгеброй. • Предположим, что H — биалгебра. Если существует такое линейное отображение SH : H → H, что SH ∗ IH = µH εH = IH ∗ SH , т. е. X X SH (h1 )h2 = εH (h)1H = h1 SH (h2 ) для всех h ∈ H, то H называется алгеброй Хопфа P с антиподом SH . • Пусть H — алгебра Хопфа и элемент R = Ri0 ⊗Ri00 ∈ H ⊗H обратим с обратным R−1 . Элемент R называется косовой парой на H, если R удовлетворяет следующим условиям: P 0 P 0 (R1) (H ⊗ IH )R = R13 R23 , т. е. P Ri1 ⊗ Ri2 ⊗ Ri00 = P Ri0 ⊗ ri0 ⊗ Ri00 ri00 , 00 00 (R2) (I )R = R13 R12P , т. е. Ri0 ⊗ Ri1 ⊗ Ri2 = Ri0 ri0 ⊗ ri00 ⊗ Ri00 , PH ⊗ H 0 00 0 00 (R3) εH (Ri )Ri = 1H = Ri εH (Ri ). • Предположим, что R является косовой парой на H. Если R−1 = τ R, то R называется кососимметрическим бихарактером на H [6], где τ означает обычное отображение перестановки сомножителей. • Предположим, что R — кососимметрический бихарактер на H. Если (H, R) почти кокоммутативна, т. е. τ (H (h)) = RH (h)R−1 для всех h ∈ H, то (H, R) называется треугольной алгеброй Хопфа. • Пусть H — биалгебра и A является одновременно алгеброй и правым H-модулем с модульной структурой «·». Если X (ab) · h = (a · h1 )(b · h2 ), 1A · h = εH (h)1A для всех a, b ∈ A, h ∈ H, то A называется правой H-модульной алгеброй. • Пусть H — биалгебра и C является одновременно коалгеброй и правым H-модулем с модульной структурой «·». Если C (c · h) = C (c) · H (h),
εC (c · h) = εC (c)εH (h)
для всех c ∈ C, h ∈ H, то C называется правой H-модульной коалгеброй. Определение 1.1. Пусть — векторное пространство над k. Если существует такое линейное отображение : → ⊗ , что Im ⊆ Im(I − τ ),
( 1)
(I + ξ + ξ 2 )(I ⊗ ) = 0,
( 2)
934
Л. Чжан
то ( , ) называется коалгеброй Ли [8], где ξ, ξ 2 : ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ , ξ : x ⊗ y ⊗ z 7→ y ⊗ z ⊗ x, ξ 2 : x ⊗ y ⊗ z 7→ z ⊗ x ⊗ y. Будем использовать всегда следующее обозначение: X (t) = ti ⊗ tj , t ∈ . Замечание 1.1. Если характеристика χ(k) поля k отлична от 2, то ( 1) может быть заменено на = −τ . ( 10 ) К примеру, если C является коалгеброй (не обязательно с коединицей), т. е. существует такое линейное отображение C : C → C ⊗ C, что (C ⊗ IC )C = (IC ⊗ P Ли, полагая C )C , то на C мы можем задать структуру коалгебры P (c) = [c1 ⊗ c2 − c2 ⊗ c1 ] для всех c ∈ C, где C (c) = c1 ⊗ c2 . Определение 1.2. Пусть (L, [, ]) — алгебра Ли и (L, ) — коалгебра Ли. Если выполнено условие [x, y] = x · (y) − y · (x),
x, y ∈ L,
(LB)
где действие «·» задается посредством x·(a⊗b) = [x, a]⊗b+a⊗[x, b], то (L, [ , ], ) называется биалгеброй Ли [4, 5]. § 2. (H, R)-коалгебры Ли Определение 2.1. Пусть (H, R) — треугольная алгебра Хопфа. (H, R)коалгебра Ли — это правый H-модуль вместе с коскобкой Ли : → ⊗ , которая является таким H-модульным морфизмом, что для всех x ∈ выполняются P (1) R-антикокоммутативность: (x) = − xj · Ri0 ⊗ xi · Ri00 , т. е. (x) = −(τ (x)) · R, (2) R-котождество Якоби: X xii · Ri00 ⊗ xij ⊗ xj · Ri0 + xij ⊗ xj · Ri0 ⊗ xii · Ri00 + xj · Ri0 ⊗ xii · Ri00 ⊗ xij = 0. Симметрическая форма этого тождества: X 0 0 00 00 xii ⊗ xij ⊗ xj + xij · Ri1 ⊗ xj · Ri2 ⊗ xii · Ri00 + xj · Ri0 ⊗ xii · Ri1 ⊗ xij · Ri2 = 0, где (x) =
P
xi ⊗ xj и R =
P
Ri0 ⊗ Ri00 .
Пример 1. Пусть (H, R) — треугольная алгебра Хопфа. (1) Если ( , ) — коалгебра Ли, то легко проверяется, что ( , ) является (H, 1H ⊗ 1H )-коалгеброй Ли. P 0 (2) Пусть C — правая H-модульная коалгебра, R = Ri ⊗ Ri00 ∈ H ⊗ H. Определим X : C → C ⊗ C, c 7→ [c1 ⊗ c2 − c2 · Ri0 ⊗ c1 · Ri00 ]. Если (H, R) — коммутативная треугольная алгебра Хопфа, то (C, ) является (H, R)-коалгеброй Ли. В дальнейшем она обозначается через (CR , ). Доказательство. (1) Проверяется непосредственно.
(H, R)-коалгебры Ли и (H, R)-биалгебры Ли
935
(2) Для всех c ∈ C имеем X (τ (c)) · R = (c2 ⊗ c1 − c1 · Ri00 ⊗ c2 · Ri0 ) · R X = (c2 · ri0 ⊗ c1 · ri00 − c1 · Ri00 ri0 ⊗ c2 · Ri0 ri00 ) X X = (c2 · Ri0 ⊗ c1 · Ri00 − c1 ⊗ c2 ) = −(c) (R = r = ri0 ⊗ ri00 ). С другой стороны, для всех c ∈ C выполняется X X X cii ⊗ cij ⊗ cj = (ci ) ⊗ cj = [(c1 ) ⊗ c2 − (c2 · Ri0 ) ⊗ c1 · Ri00 ] X 0 0 = [(c1 ⊗ c2 − c2 · Ri0 ⊗ c1 · Ri00 ) ⊗ c3 − (c2 · Ri1 ⊗ c3 · Ri2 X =
0 0 0 00 − c3 · Ri2 ri ⊗ c2 · Ri1 ri ) ⊗ c1 · Ri00 ] 0 0 [c1 ⊗ c2 ⊗ c3 − c2 · Ri0 ⊗ c1 · Ri00 ⊗ c3 − c2 · Ri1 ⊗ c3 · Ri2 ⊗ c1 · Ri00
X =
0 0 0 00 + c3 · Ri2 ri ⊗ c2 · Ri1 ri ⊗ c1 · Ri00 ]
[c1 ⊗ c2 ⊗ c3 − c2 · Ri0 ⊗ c1 · Ri00 ⊗ c3 − c2 · Ri0 ⊗ c3 · ri0 ⊗ c1 · Ri00 ri00 X ˘ 0 r00 ⊗ c1 · R ˘ 00 R00 ](R = ˘0 ⊗ R ˘ 00 ). + c3 · Ri0 ri0 ⊗ c2 · R R i i i i i i
Таким образом, по предыдущему равенству и R−1 = τ R имеем X X cii · Ri00 ⊗ cij ⊗ cj · Ri0 = c1 · Ri00 ⊗ c2 ⊗ c3 · Ri0 − c2 · Ri0 ri00 ⊗ c1 · Ri00 ⊗ c3 · ri0 − c2 ⊗ c3 · ri0 ⊗ c1 · ri00 + c3 · ri0 ⊗ c2 · Ri0 ri00 ⊗ c1 · Ri00 ; X
cij ⊗ cj · Ri0 ⊗ cii · Ri00 =
X
c2 ⊗ c3 · Ri0 ⊗ c1 · Ri00 − c1 · Ri00 ⊗ c3 · ri0 ⊗ c2 · Ri0 ri00
− c3 · ri0 ⊗ c1 · ri00 ⊗ c2 + c2 · Ri0 ri00 ⊗ c1 · Ri00 ⊗ c3 · ri0 ; X
cj · Ri0 ⊗ cii · Ri00 ⊗ cij =
X
c3 · Ri0 ⊗ c1 · Ri00 ⊗ c2 − c3 · ri0 ⊗ c2 · Ri0 ri00 ⊗ c1 · Ri00
− c1 · ri00 ⊗ c2 ⊗ c3 · ri0 + c1 · Ri00 ⊗ c3 · ri0 ⊗ c2 · Ri0 ri00 . Тогда X
cii · Ri00 ⊗ cij ⊗ cj · Ri0 + cij ⊗ cj · Ri0 ⊗ cii · Ri00 + cj · Ri0 ⊗ cii · Ri00 ⊗ cij = 0
и (CR , ) является (H, R)-коалгеброй Ли. P Пусть H — алгебра Хопфа и T = Ti0 ⊗ Ti00 ∈ H ⊗ H — обратимый элемент с обратным T −1 . Если элемент T удовлетворяет соотношениям X X 00 0 00 00 0 0 0 00 Ti0 ⊗ Ti1 ti ⊗ Ti2 ti = Ti1 ti ⊗ Ti2 ti ⊗ Ti00 , (CT ) X X Ti0 εH (Ti00 ) = 1H = εH (Ti0 )Ti00 , P то он называется правым коциклом на H [9], где T = t = t0i ⊗ t00i ∈ H ⊗ H. • Предположим, что T является правым коциклом на H с обратным T −1 = P 0−1 Ti ⊗ Ti00−1 . Тогда легко доказать, что X X 00−1 00−1 0−1 00−1 0−1 Ti0−1 ⊗ t0−1 ⊗ t00−1 Ti2 = t0−1 Ti2 ⊗ Ti00−1 , i Ti1 i i Ti1 ⊗ ti (CT −1 ) X X Ti0−1 εH (Ti00−1 ) = 1H = εH (Ti0−1 )Ti00−1 ,
936
Л. Чжан
P где T −1 = t−1 = t0−1 ⊗ t00−1 . i i • Пусть H — алгебра Хопфа и T — правый коцикл на H с обратным T −1 = P 0−1 Ti ⊗ Ti00−1 . Для всех h ∈ H определим X e (h) = Ti0−1 h1 Ti0 ⊗ Ti00−1 h2 Ti00 , e является алгеброй Хопфа [9], которая обозначается через H. e тогда (H, ) Предложение 2.1. Пусть H — коммутативная и кокоммутативная алгебра Хопфа с правым коциклом T и R — Pкососимметрический бихарактер на H. Положим RT = (τ T −1 )RT , т. е. RT = Ti00−1 Ri0 t0i ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i . Тогда e (1) RT — кососимметрический бихарактер на H; e RT ) также треугольная. (2) если (H, R) треугольная, то (H, Доказательство. (1) Запишем RT в виде X X 0 00 Ri ⊗ Ri = Ti00−1 Ri0 t0i ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i . P P 0 0 00 00 Легко проверяется, что εH (Ri )Ri = 1H = Ri εH (Ri ). Для элемента RT имеем X X e ⊗ I)RT = e 0i ) ⊗ R00i = e 00−1 Ri0 t0i ) ⊗ T 0−1 Ri00 t00i ( (R (T i i X 0−1 00−1 0 0 ¯0 00−1 00−1 0 0 ¯0 ¯00 = ti Ti1 Ri1 ti1 ti ⊗ ti Ti2 Ri2 ti2 ti2 ti ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i P (T = t = t¯0i ⊗ t¯00i ) X 00−1 0 0 00−1 00−1 0 00 0 = t0−1 Ti2 Ri2 ti1 Ti ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i2 Ti00 i Ti1 Ri1 ti ⊗ ti X = X = и
X
0
(T — правый коцикл) 0−1 0 0 t00−1 Ti2 Ri1 ti i
⊗
0 00 0 Ti00−1 Ri2 ti1 Ti
⊗
0−1 00 00 00 t0−1 i Ti1 Ri ti2 Ti
(по (CT −1 )) 00−1 0 00 0 0 0 00 00 00 Ti00−1 t0−1 Ri2 ti1 Ti ⊗ Ti0−1 t0−1 i2 Ri1 ti ⊗ ti i1 Ri ti2 Ti
00
Ri ⊗ r¯i0 ⊗ Ri r¯i00 =
X
00 ¯00 Ti00−1 Ri0 t0i ⊗ t00−1 ri0 t¯0i ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i t0−1 i i r i ti .
Таким образом, достаточно доказать, что X X 00−1 00 0 0 00 00 ¯00 t0−1 ti1 Ti ⊗ t0−1 t0i ⊗ t00−1 t¯0i ⊗ t00i t0−1 i2 ti ⊗ ti i1 ti2 Ti = i i ti , для того чтобы показать равенство e ⊗ I)RT = (
X
0
00
Ri ⊗ r¯i0 ⊗ Ri r¯i00 .
Действительно, поскольку T — правый коцикл, то X X 00−1 00−1 0−1 00−1 0−1 Ti0−1 ⊗ t0−1 ⊗ t00−1 Ti2 = t0−1 Ti2 ⊗ Ti00−1 . i Ti1 i i Ti1 ⊗ ti По предыдущему равенству несложно доказать, что X X 0−1 0 00−1 0−1 00 00 1 ⊗ t0−1 ⊗ t00−1 = t0−1 Ti2 Ti1 ⊗ Ti00−1 Ti2 i i i Ti1 Ti ⊗ ti X X 0−1 0 0−1 00 ¯00 00 ¯0 ¯00 =⇒ t0i ⊗ t00−1 t¯0i ⊗ t00i t0−1 Ti1 Ti ⊗ Ti00−1 Ti2 ti ⊗ Ti2 Ti1 ti . i i ti =
(H, R)-коалгебры Ли и (H, R)-биалгебры Ли
937
Таким образом, по кокоммутативности H X X 00−1 00 0 0 00 00 ¯00 t0i ⊗ t00−1 t¯0i ⊗ t00i t0−1 t0−1 ti1 Ti ⊗ t0−1 i i ti = i2 ti ⊗ ti i1 ti2 Ti . e T = P R0i r¯0 ⊗ r¯00 ⊗ R00i . Подобным образом мы можем доказать, что (I ⊗ )R i i Более того, легко видеть, что RT−1 = T −1 R−1 (τ T ), т. е. R−1 = τ R влечет e RT−1 = τ RT , и RT является кососимметрическим бихарактером на H. −1 e e (2) Согласно (1) мы должны доказать только то, что τ (h) = RT (h)R T . Действительно, для всех h ∈ H имеем X −1 e RT (h)R Ti00−1 Ri0 t0i ti0−1 h1 t¯0i Tei0−1 Ri0−1 t˜00i ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i t00−1 h2 t¯00i Tei00−1 Ri00−1 t˜0i i T = X = Ti00−1 Ri0 h1 Ri0−1 t˜00i ⊗ Ti0−1 Ri00 h2 Ri00−1 t˜0i X e = Ti00−1 h2 t˜00i ⊗ Ti0−1 h1 t˜0i = τ (h) (R(h) = (τ (h))R). P 0 Определение 2.2. Пусть — (H, R)-коалгебра Ли и T = Ti ⊗ Ti00 — T правый коцикл на H. Определим совпадающей с как правый H-модуль и зададим коумножение T : → ⊗ при помощи равенства X T (x) = (x) · T = xi · Ti0 ⊗ xj · Ti00 , P где (x) = xi ⊗ xj ∈ ⊗ . Пример 2. Пусть H = kZ2 = k{1, g} и char k 6= 2. Тогда по [7] (H, R) — треугольная алгебра Хопфа, где нетривиальный элемент R задан равенством 1 (1 ⊗ 1 + 1 ⊗ g + g ⊗ 1 − g ⊗ g). 2 Пусть C = k{X, Y, Z, E} — коалгебра, на которой коумножение и коединица заданы соответственно равенствами R=
C (X) = X ⊗ X,
C (Y ) = Y ⊗ Y,
C (Z) = Z ⊗ Z,
C (E) = E ⊗ E,
εC (X) = εC (Y ) = εC (Z) = εC (E) = 1. Определим структуру правого H-модуля: X · 1 = X, X · g = Y, Y · 1 = Y, Y · g = X, Z · 1 = Z, Z · g = Z, E · 1 = E, E · g = E. Тогда легко проверяется, что C — правая H-модульная коалгебра. (1) Из примера 1 получаем (H, R)-коалгебру Ли (C, ), на которой коскобка Ли задана равенствами (X) =
1 (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ), 2
1 (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ), (Z) = (E) = 0. 2 (2) Очевидно, что R — правый коцикл на H. Тогда по определению 2.2 имеем 1 R (X) = (X) · R = (X ⊗ Y − X ⊗ X − Y ⊗ Y + Y ⊗ X) = −(X), 2 1 R (Y ) = (Y ) · R = (X ⊗ Y − X ⊗ X − Y ⊗ Y + Y ⊗ X) = −(Y ), 2 R (Z) = R (E) = 0. (Y ) =
938
Л. Чжан
Предложение 2.2. Пусть (H, R) — коммутативная и кокоммутативная треугольная алгебра Хопфа. Если ( , ) — (H, R)-коалгебра Ли и T — правый коцикл H с обратным T −1 , то ( , T ) является (H, RT )-коалгеброй Ли, где Pна00−1 RT = Ti Ri0 t0i ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i . Доказательство. Во-первых, T (x) = −(τ T (x)) · RT . Действительно, по определению 2.2 X − τ T (x) · RT = − (xj · Ti00 ⊗ xi · Ti0 ) · (Ti00−1 Ri0 t0i ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i ) X X =− (xj · Ti00 Ti00−1 Ri0 t0i ⊗ xi · Ti0 Ti0−1 Ri00 t00i ) = − (xj · Ri0 t0i ⊗ xi · Ri00 t00i ) X X xj · Ri0 ⊗ xi · Ri00 ) · T = ( xi ⊗ xj ) · T = T (x), = (− P P где T −1 = Ti0−1 ⊗ Ti00−1 и T = t0i ⊗ t00i . Во-вторых, P докажем справедливость RT -котождества Якоби. Обозначим ¯i ⊗ x T (x) через x ¯j , тогда X X X 0 0 ¯ii ⊗ x x ¯ij ⊗ x ¯j = T (xi ·Ti0 )⊗xj ·Ti00 = (xii ·Ti1 )·t0i ⊗(xij ·Ti2 )·t00i ⊗xj ·Ti00 X 0 0 0 00 = xii · Ti1 ti ⊗ xij · Ti2 ti ⊗ xj · Ti00 . (∗) Заметим, что является гомоморфизмом правых H-модулей. P 0 P 0 00 0 00 Запишем RT в виде Ri ⊗Ri . Тогда по предложению 2.1 Ri1 ⊗Ri2 ⊗Ri = P 0 00 Ri ⊗ r¯i0 ⊗ Ri r¯i00 , поэтому X X 0 0 00 0 0 00 ¯ij · Ri1 ⊗ x x ¯j · Ri2 ⊗ x ¯ii · Ri = (¯ xij ⊗ x ¯j ⊗ x ¯ii ) · (Ri1 ⊗ Ri2 ⊗ Ri ) (∗) X 0 00 00−1 0 ˜0 0 0 0−1 00 ˜00 0−1 00 ¯00 = xij · Ti2 ti ti ri ti ⊗ xj · Ti00 Ti00−1 Ri0 t¯0i ⊗ xii · Ti1 t i ti r i ti T i R i ti P P (T = t¯i ⊗ t¯00i = t˜i ⊗ t˜00i ) X 0 00 00−1 ˜0 0 0 0 0−1 0−1 00 ¯00 00 ˜00 = xij · Ti2 ti ti ti ri ⊗ xj · Ti00 Ti00−1 Ri0 t¯0i ⊗ xii · Ti1 t i ti T i R i t i r i t i (H коммутативна)
X =
xij · X
=
X = и X
⊗ xii ·
0 Ti1 Ti0−1 Ri00 t¯00i ri00 t˜00i
(H кокоммутативна) xij ·
Ti0 ri0
xij ·
Ti0 ri0
⊗ xj ·
00 00 00−1 0 ¯0 Ti2 t i T i R i ti
⊗ xj ·
00 ¯0 0 Ti1 ti R i
⊗ xii ·
00 0 0−1 00 00 ¯00 Ti1 ti T i R i ri ti
(T — правый коцикл)
X =
⊗ xj ·
Ti00 Ti00−1 Ri0 t¯0i
0 0 ˜0 0 ˜00 0−1 00 00 ˜00 xij · Ti1 ri ti ⊗ xj · Ti00 Ti00−1 Ri0 t¯0i ⊗ xii · Ti2 ti T i R i ri ti
X =
0 0 ˜0 Ti2 ri ti
⊗ xii ·
00 ¯00 00 00 Ti2 ti R i ri
0 0 0 0 00 0 xij · Ti1 ti ri ⊗ xj · Ti2 ti Ri ⊗ xii · Ti00 Ri00 ri00
0 00 00 (∗) X 0 00 00 0 0 0 00 xii · Ri1 ⊗¯ xij · Ri2 = (xj · Ti00 ⊗xii · Ti1 ti ⊗xij · Ti2 ti ) · (Ri ⊗Ri1 ⊗Ri2 ) x ¯j · Ri ⊗¯ X 0−1 00 ˜00 0 0 0 00 00 ¯00 = (xj · Ti00 ⊗ xii · Ti1 ti ⊗ xij · Ti2 ti ) · (Ti00−1 Ri0 t˜0i t00−1 ri0 t¯0i ⊗ t0−1 R i ti ) i i ri ti ⊗ T i X 0 0 0−1 00 ¯00 0 00 0−1 00 ˜00 = xj · Ti00 Ti00−1 Ri0 t˜0i t00−1 ri0 t¯0i ⊗ xii · Ti1 ti ti ri ti ⊗ xij · Ti2 ti T i R i ti i X 00 00 00−1 0 ˜0 00−1 0 ¯0 00 ¯00 00 0 0−1 00 ˜00 = xj · Ti2 ti Ti Ri ti ti ri ti ⊗ xii · Ti0 t0−1 R i ti i ri ti ⊗ xij · Ti1 ti Ti
(H, R)-коалгебры Ли и (H, R)-биалгебры Ли X = X = X = X =
939
(T — правый коцикл) 00 0 0 ˜0 00−1 ¯0 00 ¯00 00 00 ˜00 xj · Ti2 Ri ri ti ti ti ⊗ xii · Ti0 t0−1 i ri ti ⊗ xij · Ti1 Ri ti 00 ˜0 0 0 00−1 ¯0 00 ¯00 00 ˜00 00 xj · Ti1 ti Ri ri ti ti ⊗ xii · Ti0 t0−1 i ri ti ⊗ xij · Ti2 ti Ri 0 00 0 0 00−1 ¯0 0 0 0−1 00 ¯00 xj · Ti2 ti Ri ri ti ti ⊗ xii · Ti1 ti ti ri ti ⊗ xij · Ti00 Ri00 0 ¯0 0 0 0 ¯00 00 xj · Ti1 ti Ri ri ⊗ xii · Ti2 ti ri ⊗ xij · Ti00 Ri00 .
Следовательно, по R-котождеству Якоби X X 0 0 00 ¯j · Ri2 ⊗ x ¯ii · Ri x ¯ii ⊗ x ¯ij ⊗ x ¯j + x ¯ij · Ri1 ⊗ x X 0 00 00 x ¯j · Ri ⊗ x ¯ii · Ri1 ⊗ x ¯ij · Ri2 + X 0 0 0 00 = xii · Ti1 ti ⊗ xij · Ti2 ti ⊗ xj · Ti00 X 0 0 0 0 00 0 + xij · Ti1 ti ri ⊗ xj · Ti2 ti Ri ⊗ xii · Ti00 Ri00 ri00 X 0 0 0 0 0 00 00 + xj · Ti1 ti Ri ri ⊗ xii · Ti2 ti ri ⊗ xij · Ti00 Ri00 X = (xii ⊗ xij ⊗ xj + xij · ri0 ⊗ xj · Ri0 ⊗ xii · Ri00 ri00 0 0 0 00 + xj · Ri0 ri0 ⊗ xii · ri00 ⊗ xij · Ri00 ) · (Ti1 ti ⊗ Ti2 ti ⊗ Ti00 ) X 0 0 = (xii ⊗ xij ⊗ xj + xij · Ri1 ⊗ xj · Ri2 ⊗ xii · Ri00 00 00 0 0 0 00 + xj · Ri0 ⊗ xii · Ri1 ⊗ xij · Ri2 ) · (Ti1 ti ⊗ Ti2 ti ⊗ Ti00 ) = 0.
Пример 3. (1) Пусть H = kZ2 = k{1, g}, char k 6= 2, и (H, R) — треугольная алгебра Хопфа из примера 2. Легко показать, что T = g ⊗ 1 + 1 ⊗ g − g ⊗ g — правый коцикл на H с обратным T −1 = 31 (1 ⊗ g + g ⊗ 1 + 2 ⊗ 1 − g ⊗ g). Таким образом, по предложению 2.2 имеем (a) пусть ( , ) — (H, R)-коалгебра Ли, тогда T является (H, RT )-коалгеброй Ли, где RT = (τ T −1 )RT =
1 (1 ⊗ 1 − 5g ⊗ g + 3g ⊗ 1 + 5 ⊗ g); 6
(b) пусть C — правая H-модульная коалгебра, тогда в силу примера 1 (C, ) является (H, R)-коалгеброй Ли, на которой коскобка задана равенством X (c) = (c1 ⊗ c2 − c2 · Ri0 ⊗ c1 · Ri00 ). Поэтому (C T , T ) является (H, RT )-коалгеброй Ли, на которой коскобка Ли задана правилом X T (x) = xi · Ti0 ⊗ xj · Ti00 , P где (x) = xi ⊗ xj и RT = (τ T −1 )RT =
1 (1 ⊗ 1 − 5g ⊗ g + 3g ⊗ 1 + 5 ⊗ g). 6
(2) Пусть (H, R) — коммутативная и кокоммутативная треугольная алгебра Хопфа. Тогда H является правой H-модульной коалгеброй с умножением алгебры H и (H, ) — (H, R)-коалгеброй Ли с коскобкой Ли (h) = H (h)(1 ⊗ 1 − R) в силу примера 1.
940
Л. Чжан
Легко видеть, что R — правый коцикл на H, поэтому в силу (CT −1 ) мы зна−1 ем, что R−1 также является правым коциклом на H и (H R , R−1 ) — (H, R−1 )коалгеброй Ли с коскобкой Ли R−1 (h) = (h)R−1 = H (h)(R−1 − 1 ⊗ 1). Заметим, что H R
−1
= H является правым H-модулем и
RR−1 = (τ (R−1 )−1 )RR−1 = τ R = R−1 . Следующая лемма проверяется непосредственно. Лемма 2.1. Пусть H — коммутативная алгебра Хопфа, C — правая Hмодульная коалгебра и T — правый коцикл на H. Определим C (T ) : C → P C ⊗ C, c 7→ c1 · Ti0 ⊗ c2 · Ti00 , тогда (C, C (T )) также является правой Hмодульной коалгеброй. Предложение 2.3. Пусть (H, R) — коммутативная и кокоммутативная треугольная алгебра Хопфа и T — правый коцикл на H. Тогда (CR , , RT ) ∼ = (C T , T , R) для любой правой H-модульной коалгебры C, где коскобка Ли коалгебры (CR , , RT ) задана в примере 1, а коскобка Ли коалгебры (C T , T , R) — в определении 2.2. Доказательство. По лемме 2.1 и примеру 1 коскобка Ли коалгебры Ли (CR , , RT ) задана так: X 0 00 ¯1 ⊗ x (x) = x ¯2 − x ¯2 · Ri ⊗ x ¯1 · Ri P P 0 00 ¯1 ⊗ x ¯ 2 , RT = R i ⊗ R i ) (C (T )(x) = x X 0 00 = [x1 · Ti0 ⊗ x2 · Ti00 − (x2 · Ti00 ) · Ri ⊗ (x1 · Ti0 ) · Ri ] P (C (T )(x) = x1 · Ti0 ⊗ x2 · Ti00 ) X = (x1 · Ti0 ⊗ x2 · Ti00 − x2 · Ti00 Ti00−1 Ri0 t0i ⊗ x1 · Ti0 Ti0−1 Ri00 t00i ) X = (x1 · Ti0 ⊗ x2 · Ti00 − x2 · Ri0 t0i ⊗ x1 · Ri00 t00i ), и по определению 2.2 и примеру 1 коскобка Ли коалгебры Ли (C T , T , R) задана соотношениями X T (x) = (x) · T = (x1 ⊗ x2 − x2 · Ri0 ⊗ x1 · Ri00 ) · (Ti0 ⊗ Ti00 ) X = (x1 · Ti0 ⊗ x2 · Ti00 − x2 · Ri0 t0i ⊗ x1 · Ri00 t00i ). Поэтому (CR , , RT ) ∼ = (C T , T , R). Теорема 2.1. Пусть (H, R) — коммутативная и кокоммутативная треугольная алгебра Хопфа. Если существует правый коцикл T на H такой, что R = (τ T )T −1 , то существует биекция между множеством (H, R)-коалгебр Ли и множеством обычных коалгебр Ли. Доказательство. Пусть — (H, R)-коалгебра Ли. Тогда по предложению 2.2 T является (H, RT )-коалгеброй Ли и X X 0−1 0 RT = Ti00−1 Ri0 t0i ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i = Ti00−1 (Ti00 t0−1 (Ti0 t00−1 )t00i = 1 ⊗ 1. i )ti ⊗ Ti i
(H, R)-коалгебры Ли и (H, R)-биалгебры Ли
941
Поэтому T — обычная коалгебра Ли по примеру 1. Обратно, если — обычная коалгебра Ли, т. е. (H, 1 ⊗ 1)-коалгебра Ли, то P T −1 0 00−1 является (H, (1⊗1)T −1 )-коалгеброй Ли, где (1⊗1)T −1 = Ti00 t0−1 = i ⊗Ti ti T −1 R, т. е. будет (H, R)-коалгеброй Ли. Заметим, что T −1 — правый коцикл на H в силу (CT −1 ). Таким образом, согласно рассуждениям, проведенным выше, для любой −1 коалгебры Ли имеем ( T )T = , а для любой (H, R)-коалгебры Ли > будет −1 (>T )T = >. § 3. (H, R)-биалгебры Ли Определение 3.1. Пусть (H, R) — треугольная алгебра Хопфа. Согласно [6] (H, R)-алгебра Ли — это правый H-модуль L вместе с R-скобкой Ли [ , ]R : L ⊗ L → L, являющейся H-модульным морфизмом и удовлетворяющей P (1) свойству R-антикоммутативности [x, y]R = − [y · Ri00 , x · Ri0 ]R , т. е. [ , ]R (x ⊗ y) = −[ , ]R (τ ((x ⊗ y) · R)), (2) R-тождеству Якоби X ([x, [y, z]R ]R + [z · ri00 Ri00 , [x · ri0 , y · Ri0 ]R ]R + [y · Ri00 , [z · ri00 , x · ri0 Ri0 ]R ]R ) = 0. К примеру, предположим, что A — правая H-модульная алгебра. Если P взять [a, b]R = ab − (b · Ri00 )(a · Ri0 ), то пара (A, [ , ]R ) становится R-алгеброй Ли, как доказано в [6]. Предложение 3.1. Пусть (H, R) — коммутативная треугольная алгебра P 0 Хопфа, (L, [ , ]R ) — R-алгебра Ли и T = Ti ⊗ Ti00 — правый коцикл на H такой, что X X t0i ⊗ Ti0 t00i1 ⊗ Ti00 t00i2 = Ti0 t00i1 ⊗ Ti00 t00i2 ⊗ t0i . (3.1) P Тогда если положить [x, y]RT = P[x · Ti0 , y · Ti00 ]R , то пара (LT , [ , ]RT ) является (H, RT )-алгеброй Ли, где RT = Ti00−1 Ri0 t0i ⊗ Ti0−1 Ri00 t00i и LT = L как правый H-модуль. P P 0 Доказательство. Представим RT = Ti00−1 Ri0 t0i ⊗Ti0−1 Ri00 t00i в виде Ri ⊗ P 00 00 0 Ri . Во-первых, докажем, что [x, y]RT = − [y · Ri , x · Ri ]RT . Действительно, для всех x, y ∈ LT = L по определению 3.1 имеем X X 00 0 − [y · Ri , x · Ri ]RT = − [y · Ti0−1 Ri00 t00i , x · Ti00−1 Ri0 t0i ]RT X X =− [y · Ti0−1 Ri00 t00i Ti0 , x · Ti00−1 Ri0 t0i Ti00 ]R = − [y · Ri00 t00i , x · Ri0 t0i ]R X = [x · t0i , y · t00i ]R = [x, y]RT . Во-вторых, докажем справедливость RT -тождества Якоби. Действительно, для всех x, y, z ∈ LT получим X [x, [y, z]RT ]RT + [z · ri00 Ri00 , [x · ri0 , y · Ri0 ]RT ]RT + [y · Ri00 , [z · ri00 , x · ri0 Ri0 ]RT ]RT X = [x · t0i , [y · Ti0 t00i1 , z · Ti00 t00i2 ]R ]R + [z · t0i ri00 Ri00 , [x · Ti0 t00i1 ri0 , y · Ti00 t00i2 Ri0 ]R ]R X =−
00 00 00 0 0 + [y · Ti0 Ri00 , [z · t0i Ti1 ri , x · t00i Ti2 ri Ri ]R ]R
[z · Ti00 t00i2 ri00 Ri00 , [x · t0i ri0 , y · Ti0 t00i1 Ri0 ]R ]R − [y · Ti0 t00i1 Ri00 , [z · Ti00 t00i2 ri00 , x · t0i ri0 Ri0 ]R ]R
00 00 00 0 0 + [z · t0i ri00 Ri00 , [x · Ti0 t00i1 ri0 , y · Ti00 t00i2 Ri0 ]R ]R + [y · Ti0 Ri00 , [z · t0i Ti1 ri , x · t00i Ti2 ri Ri ]R ]R
942
Л. Чжан X
=−
[z · t0i ri00 Ri00 , [x · Ti0 t00i1 ri0 , y · Ti00 t00i2 Ri0 ]R ]R − [y · t0i Ri00 , [z · Ti0 t00i1 ri00 , x · Ti00 t00i2 ri0 Ri0 ]R ]R
00 00 00 0 0 + [z · t0i ri00 Ri00 , [x · Ti0 t00i1 ri0 , y · Ti00 t00i2 Ri0 ]R ]R + [y · Ti0 Ri00 , [z · t0i Ti1 ri , x · t00i Ti2 ri Ri ]R ]R = 0.
Первое из этих равенств следует из R-тождества Якоби, а последнее — из (3.1). Пример 4. Пусть (H = kZ2 , R) — коммутативная треугольная алгебра Хопфа из примера 2, а T = g ⊗ 1 + 1 ⊗ g − g ⊗ g — правый коцикл на H, заданный в примере 3. Легко видеть, что правый коцикл T удовлетворяет (3.1). Тогда по предложению 3.1 для любой R-алгебры Ли (L, [ , ]R ) пара (LT , [ , ]RT ) является также (H, RT )-алгеброй Ли, где RT = 61 (1 ⊗ 1 − 5g ⊗ g + 3g ⊗ 1 + 5 ⊗ g). Определение 3.2. Пусть (L, [ , ]R ) — (H, R)-алгебра Ли и (L, ) — (H, R)коалгебра Ли. Если для всех x, y ∈ L [x, y]R = x ·R (y) − y ·R (x),
(LB)
то (L, [ , ]R , , R) называется (H, R)-биалгеброй Ли, где действие «·» задано равенством x ·R (a ⊗ b) = [x, a]R ⊗ b + a ⊗ [x, b]R . Если (L, [ , ]R ) — обычная алгебра Ли и (L, ) — (H, R)-коалгебра Ли такая, что она является (H, R)-биалгеброй Ли, то (L, [ , ], , R) называется (H, R)биалгеброй Ли обычной алгебры Ли; если (L, ) — обычная коалгебра Ли и (L, [ , ]R ) — (H, R)-алгебра Ли такая, что она является (H, R)-биалгеброй Ли, то (L, [ , ]R , , R) называется (H, R)-биалгеброй Ли обычной коалгебры Ли. Пример 5. Пусть (H = kZ2 , R) — треугольная алгебра Хопфа и C = k{X, Y, Z, E} — правая H-модульная коалгебра, приведенная в примере 2. (1) Пусть [X, Y ] = Z = −[Y, X], [Y, Z] = X = −[Z, Y ], [Z, X] = Y = −[X, Z], [E, ·] = 0 = [·, E] и [c, c] = 0 для всех c ∈ C. Тогда легко показать, что (C, [ , ]) является алгеброй Ли. В соответствии с примером 2 (C, ) является (H, R)-коалгеброй Ли с коскобкой Ли, заданной соотношениями (X) = (Y ) =
1 (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ), 2
1 (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ), 2
(Z) = (E) = 0.
Однако (C, , [ , ], R) не является (H, R)-биалгеброй Ли обычной алгебры Ли, поскольку [Z, X] = (Y ) =
1 (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ) 2
и Z · (X) − X · (Z) = Z · = =
1 (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ) − X · 0 2
1 [Z · (X ⊗ X) − Z · (X ⊗ Y ) − Z · (Y ⊗ X) + Z · (Y ⊗ Y )] 2
1 (Y ⊗ X + X ⊗ Y − Y ⊗ Y + X ⊗ X + X ⊗ X − Y ⊗ Y − X ⊗ Y − Y ⊗ X) 2 1 = X ⊗ X − Y ⊗ Y 6= (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ). 2
(H, R)-коалгебры Ли и (H, R)-биалгебры Ли
943
(2) В [10] авторы ввели понятие квантовой расширенной (1 + 1)-алгебры Галилея g˜ (= C): это четырехмерная действительная алгебра Ли, порожденная элементами X (ускорение), Y (сдвиг времени), Z (сдвиг пространства) и E (масса частицы в свободной кинематике). Скобка Ли алгебры g˜ задается равенствами [X, Y ] = Z,
[X, Z] = E,
[Y, Z] = 0,
[E, ·] = 0.
Используя коскобку Ли из примера 2, можно показать, что (˜ g, ) является (H, R)-коалгеброй Ли. Но (˜ g, , [ , ], R) не является (H, R)-биалгеброй Ли обычной алгебры Ли. Действительно, [X, Z] = (E) = 0 и X · (Z) − Z · (X) = X · 0 − Z · (X) = −Z · (X) 1 = −Z · (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ) 2 1 = [Z · (X ⊗ Y ) + Z · (Y ⊗ X) − Z · (X ⊗ X) − Z · (Y ⊗ Y )] 2 1 = {−E ⊗ Y − Y ⊗ E + E ⊗ X + X ⊗ E} = 6 [X, Z]. 2 (3) Пусть [X, Y ] = Z = −[Y, X], [Z, ·] = 0 = [·, Z], [E, ·] = 0 = [·, E]. Тогда (C, [ , ]) — алгебра Ли и (C, , [ , ], R) является (H, R)-биалгеброй Ли обычной алгебры Ли. Действительно, [X, Y ] = (Z) = 0 и 1 X · (Y ) − Y · (X) = X · (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ) 2 1 −Y · (X ⊗ X − X ⊗ Y − Y ⊗ X + Y ⊗ Y ) 2 1 = [X · (X ⊗ X) − X · (X ⊗ Y ) − X · (Y ⊗ X) + X · (Y ⊗ Y )] 2 1 − [Y · (X ⊗ X) − Y · (X ⊗ Y ) − Y · (Y ⊗ X) + Y · (Y ⊗ Y )] 2 1 = {−[X, X] ⊗ Y − X ⊗ [X, Y ] − [X, Y ] ⊗ X − Y ⊗ [X, X] + [X, Y ] ⊗ Y + Y ⊗ [X, Y ]} 2 1 − {[Y, X] ⊗ X + X ⊗ [Y, X] − [Y, X] ⊗ Y − X ⊗ [Y, Y ] − [Y, Y ] ⊗ X − Y ⊗ [Y, X]} 2 1 1 = (−X ⊗Z −Z ⊗X +Z ⊗Y +Y ⊗Z)− (−Z ⊗X −X ⊗Z +Z ⊗Y +Y ⊗Z) = 0, 2 2 поэтому [X, Y ] = X · (Y ) − Y · (X). Легко показать, что [Y, Z] = Y · (Z) − Z · (Y ) и [Z, X] = Z · (X) − X · (Z). Заметим, что [E, P ] = 0 = E · (P ) − P · (E) для всех P ∈ {X, Y, Z}. Таким образом, (C, , [ , ], R) является (H, R)-биалгеброй Ли обычной алгебры Ли. Теорема 3.1. Пусть (H, R) — коммутативная и кокоммутативная треугольная алгебра Хопфа и (L, [ , ], , R) — (H, R)-биалгебра Ли обычной алгебры Ли. Если существует правый коцикл T на H такой, что X X [−, x · Ti0 ] ⊗ Ti00 = [−, x] · Ti0 ⊗ Ti00 (3.2)
944
Л. Чжан
для всех x ∈ L, то (LT , [ , ], T , RT ) является (H, RT )-биалгеброй Ли обычной алгебры Ли. Доказательство. По предложению 2.2 (LT , T ) является (H, RT )-коалгеброй Ли, поэтому мы должны только показать, что T [x, y] = x · T (y) − y · T (x). Для всех x, y ∈ LT имеем T [x, y] = ([x, y]) · T = (x · (y) − y · (x)) · T X = ([x, yi ] ⊗ yj + yi ⊗ [x, yj ] − [y, xi ] ⊗ xj − xi ⊗ [y, xj ]) · T X = ([x, yi ]·Ti0 ⊗yj ·Ti00 +yi ·Ti0 ⊗[x, yj ]·Ti00 −[y, xi ]·Ti0 ⊗xj ·Ti00 −xi ·Ti0 ⊗[y, xj ]·Ti00 ) X = ([x, yi ·Ti0 ]⊗yj ·Ti00 +yi ·Ti0 ⊗[x, yj ·Ti00 ]−[y, xi ·Ti0 ]⊗xj ·Ti00 −xi ·Ti0 ⊗[y, xj ·Ti00 ]) = x · T (y) − y · T (x), поэтому (LT , [ , ], T , RT ) является (H, RT )-биалгеброй Ли обычной алгебры Ли. Если в теореме 3.1 (L, [ , ], ) — обычная биалгебра Ли, т. е. (H, 1 ⊗ 1)биалгебра Ли, то легко получаем Следствие 3.1. Пусть H — коммутативная и кокоммутативная треугольная алгебра Хопфа и (L, [ , ], ) — обычная биалгебра Ли. Если существует правый коцикл T на H такой, что для всех x ∈ L выполняется (3.2), то (LT , [ , ], P T , R) является (H, R)-биалгеброй Ли обычной алгебры Ли, где R = (1 ⊗ 1)T = Ti00−1 t0i ⊗ Ti0−1 t00i . Из теорем 2.1 и 3.1 вытекает Следствие 3.2. Пусть (H, R) — коммутативная и кокоммутативная треугольная алгебра Хопфа и T — правый коцикл на H такой, что R = (τ T )T −1 . Пусть LT −inv — множество всех (H, R)-биалгебр Ли обычной алгебры Ли (L, [, ]) таких, что для всех x ∈ L выполнено (3.2). Тогда существует биекция между LT −inv и множеством всех обычных биалгебр Ли. Данная работа была частично выполнена во время визита автора в университет г. Siudad (Аргентина). Автор хотел бы также поблагодарить профессора Никол´ ас Андрускиевич за его любезное гостеприимство и профессора Динг Нанкин за его поддержку. ЛИТЕРАТУРА 1. Michaelis W. The dual Poincar´ e–Birkhoff–Witt theorem // Adv. Math.. 1985. V. 57, N 1. P. 93–162. 2. Nichols W. D. The structure of the dual Lie algebra of the Witt algebra // J. Pure Appl. Algebra. 1990. V. 68, N 3. P. 359–364. 3. Drinfel’d V. G. Quantum groups // Proc. Intern. Congress of mathematicians. California: Berkeley, 1987. P. 798–820. 4. Taft E. J. Witt and Virasoro algebras as Lie bialgebras // J. Pure Appl. Algebra. 1993. V. 87, N 3. P. 301–312. 5. Michaelis W. A class of infinite-dimensional Lie bialgebras containing the Virasoro algebra // Adv. Math.. 1994. V. 107, N 3. P. 365–392. 6. Bahturin Y., Fischman D., Montgomery S. Bicharacters, twistings, and Scheunert’s theorem for Hopf algebras // J. Algebra. 2001. V. 236, N 1. P. 246–276. 7. Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993. (Regional Conference Series in Mathematics; V. 82).
(H, R)-коалгебры Ли и (H, R)-биалгебры Ли
945
8. Michaelis W. Lie coalgebras // Adv. Math.. 1980. V. 38, N 1. P. 1–54. 9. Gurievich D., Majid S. Braided groups and Hopf algebras by twisting // Pacific J. Math.. 1994. V. 162, N 1. P. 27–43. 10. Ballesteros A., Celeghini E., Herranz F. J. Quantum (1+1) extended Galilei algebras: from Lie bialgebras to quantum R-matrices and integrable systems // J. Phys. A. 2000. V. 33, N 17. P. 3431–3444. Статья поступила 21 марта 2005 г. Zhang Liang-yun (Чжан Лян-Юнь) Department of Mathematics, Nanjing Agricultural University, Nanjing 210095, P.R.China Department of Mathematics, Nanjing University, Nanjing 210008, P.R.China
[email protected]
