Lineare Optimierung: Modell, Losung, Anwendung

Thomas Unger | Stephan Dempe Lineare Optimierung

Thomas Unger | Stephan Dempe

Lineare Optimierung Modell, Lösung, Anwendung STUDIUM

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Dr. Thomas Unger Zhaoqing University Department of Mathematics Guangdong Province 526061 Zhaoqing City Volksrepublik China E-Mail: [email protected] Professor Dr. Stephan Dempe Technische Universität Bergakademie Freiberg Institut für Numerische Mathematik und Optimierung 09596 Freiberg E-Mail: [email protected]

1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow Vieweg +Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8351-0139-5

Vorwort

In diesem Buch werden einige grundlegende Aussagen und Methoden, allen voran der Simplexalgorithmus, zur L¨ osung linearer Optimierungsaufgaben zusammengetragen. Das mathematische Teilgebiet der linearen Optimierung behandelt Probleme, in denen eine von n Ver¨anderlichen abh¨ angige lineare Funktion, die Zielfunktion, unter Einhaltung linearer Restriktionen, den Nebenbedingungen, zu minimieren oder maximieren ist. Dies kann als die Suche einer im Sinne der Zielfunktion optimalen Entscheidung unter Vorgabe gewisser Bedingungen interpretiert werden. Derartige Aufgaben lassen sich stets in eine Normalform u uhren, die mit einer m¨berf¨ zeiligen, n-spaltigen Matrix A und Vektoren b, c und x passender Dimensionen als min c x u.d.B. Ax = b x≥0 ausgedr¨ uckt werden kann. Der Vektor x enth¨ alt die Entscheidungsvariablen, bez¨ uglich derer zu minimieren ist. Die Abk¨ urzung u.d.B.“ steht f¨ ur unter den Bedingungen“. Obige Auf” ” gabe dr¨ uckt also aus, dass unter allen Vektoren x, die die Bedingungen Ax = b und x ≥ 0 erf¨ ullen, diejenigen zu bestimmen sind, die den kleinsten Wert der Funktion c x zulassen. Die systematische Untersuchung linearer Optimierungsaufgaben begann in den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts zun¨ achst durch L. V. Kantorovich, der daf¨ ur im Jahre 1975 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet wurde. Er beschrieb in der Monographie Matematicheskie ¨ ” Metody Organizatsii i Planirovania Proizvodstva“[20] (in deutscher Ubersetzung: Mathe” matische Methoden der Organisation und der Planung der Produktion“) ein Problem der Aufteilung eines Rohmaterials so, dass dadurch die Produktivit¨at gewisser Maschinen maximiert wird. Dieses Buch wurde leider außerhalb der Sowjetunion erst durch die Ver¨offent¨ lichung seiner englischen Ubersetzung im Jahre 1960 in der Zeitschrift Management Science bekannt. Mathematisch war dieses bei der Untersuchung einer speziellen Anwendungsaufgabe entstehende Problem eine Aufgabe der Maximierung einer linearen Funktion unter Beachtung linearer Nebenbedingungen. Kantorovich beschrieb damals auch eine Methode zur L¨osung der linearen Optimierungsaufgaben, die Methode der aufl¨osenden Multiplika” toren“. Jahre sp¨ater begann die Untersuchung dieser Probleme durch G. B. Dantzig, der nicht selten der Vater der linearen Optimierung genannt wird. Er erkannte zun¨achst, dass sich die Restriktionen der meisten ¨ okonomischen und milit¨arischen Entscheidungsfindungsprozesse durch Systeme linearer Gleichungen und Ungleichungen formulieren lassen. Eine im

vi Sinne gewisser Grundregeln gute Entscheidung zu treffen, wurde durch ihn mit Hilfe einer expliziten Zielfunktion ausgedr¨ uckt. Sein Hauptverdienst ist schließlich die Erfindung der Simplexmethode, eines Algorithmus zur L¨ osung linearer Optimierungsprobleme, die mehr als 40 Jahre lang die einzige praktisch einsetzbare L¨osungsmethode f¨ ur diesen Aufgabentyp war. Andererseits erwies sich die Simplexmethode auch als ein starkes Instrument zum Beweis von Theoremen der linearen Optimierung. Ein Nachteil der Simplexmethode besteht darin, dass sie unter bestimmten Umst¨anden eine bez¨ uglich der Anzahl n von Entscheidungsvariablen exponentielle Anzahl von Iterationen ben¨ otigt, um eine optimale L¨ osung zu finden, was 1972 durch ein akademisches Beispiel von V. Klee und G. J. Minty belegt wurde. Auch wenn dieses Ph¨anomen bei Aufgabenstellungen aus der Praxis nicht (genauer: bisher sehr selten) beobachtet wurde, stellte sich nun die Frage, ob dieses Verhalten der Simplexmethode zuzuschreiben ist oder generell in der Aufgabenklasse der linearen Optimierung begr¨ undet ist. Die Frage wurde 1979 bzw. 1984 durch die Arbeiten von L. G. Khachian und N. Karmarkar beantwortet, die mit v¨ollig neuen Algorithmen nachwiesen, dass die lineare Optimierung polynomiale Komplexit¨at besitzt. In der Folge hat sich die Forschung auf dem Gebiet der linearen Optimierung weitestgehend auf diese so genannten Innere-Punkte-Methoden verlagert. Grundlegende Ideen sowie ein Prototyp solcher Algorithmen werden im Kapitel 6 dargelegt. Lineare Optimierung wird oft auch als lineare Programmierung“ bezeichnet; vor allem in ” der englischsprachigen Literatur ist der Begriff linear programming“ weit verbreitet. Diese ” Bezeichnung geht auf die Anf¨ ange der linearen Optimierung zur¨ uck. In den Jahren des zweiten Weltkrieges war G. B. Dantzig in der Planungsabteilung des Pentagon angestellt; seine erste Ver¨offentlichung zum Gegenstand der linearen Optimierung besch¨aftigte sich mit einem Luftwaffenplanungsproblem. Das Milit¨ar bezeichnet seine Pl¨ane u ¨blicherweise als program“, womit der Begriff des programming in a linear structure“ geboren war, ” ” welcher sp¨ater zu linear programming“ verk¨ urzt wurde. Der Begriff eines Programms f¨ ur ” eine Folge von Anweisungen an einen Computer wurde erst wesentlich sp¨ater gepr¨agt. Wird Dantzigs L¨osungsverfahren nicht im n-dimensionalen, mit den Entscheidungsvariablen x bzw. den Zeilenvektoren des oben genannten Problems verbundenen Raum betrachtet, sondern im m-dimensionalen, mit den Spaltenvektoren verbundenen Raum, dann kann es als eine wiederholte Bewegung von einem Simplex – einer verallgemeinerten pyramidenartigen Struktur im H¨oherdimensionalen – zu einem benachbarten Simplex interpretiert werden. Dies f¨ uhrte schließlich zur Bezeichnung Simplexmethode“. ” In der linearen Optimierung betrachtet man meist ein Paar zueinander geh¨orender Aufgaben – die primale und die duale Aufgabe. W¨ahrend der Begriff dual“ im Sinne eines ” zugeordneten Objekts in vielen Gebieten der Mathematik verwendet wird, wurde auf die primale Aufgabe lange als die urspr¨ ungliche Aufgabe, deren Duale . . . ist“ verwiesen. ” Um diese Referenz abzuk¨ urzen, wurde von Dantzigs Vater der Begriff primal“ gepr¨agt. ” Die Dualit¨atstheorie ist gemeinsam mit der Frage der Datenabh¨angigkeit linearer Optimierungsaufgaben Gegenstand des Kapitels 5. Dieses Buch ist zu großen Teilen der Simplexmethode gewidmet; dabei k¨onnen nat¨ urlich nicht alle Details angesprochen werden. F¨ ur weiterf¨ uhrende Informationen, etwa zu speziell angepassten Algorithmen f¨ ur bestimmte Aufgabenklassen, zur Implementierung und zu numerischen Aspekten der Simplexmethode, sei auf die im Literaturverzeichnis angegebenen

vii Quellen verwiesen. Das Lehrbuch enth¨ alt viele durchgerechnete Beispiele zur Illustration der beschriebenen Algorithmen, Vorgehensweisen und theoretischen Aussagen. Des Weiteren sind eine Reihe von Aufgaben formuliert, die den interessierten Leser anregen sollen, selbstst¨andig sein Wissen zu vertiefen und die dargelegten Methoden zu testen. F¨ ur einige der Aufgaben sind im Kapitel 9 vollst¨ andige L¨ osungen oder detaillierte Hinweise zu L¨osungen angegeben. Wichtig ist auch die korrekte Nachpr¨ ufbarkeit der angegebenen Aussagen. Deshalb werden diese zum Teil durch Erl¨ auterungen im Text begr¨ undet, zum Teil im Kapitel 8 bewiesen. Wir danken dem Verlag Vieweg+Teubner f¨ ur die M¨oglichkeit der Ver¨offentlichung dieses Buches in der Reihe Studienb¨ ucher Wirtschaftsmathematik und insbesondere Frau SchmicklerHirzebruch, Lektorin f¨ ur Mathematik, und dem Herausgeber der Reihe Studienb¨ ucher Wirtschaftsmathematik, Herrn Prof. Dr. Bernd Luderer, f¨ ur die stets angenehme und motivierende Zusammenarbeit. Bedanken m¨ ochten wir uns auch bei unseren Kollegen und Promovenden, und ganz speziell bei Dr. Heiner Schreier und Dipl.-Math. Sebastian Lohse, die durch konstruktive Kritik und sorgf¨ altiges Lesen des Manuskripts sehr zum Entstehen des vorliegenden Lehrbuches beigetragen haben. Freiberg (Sachsen, Deutschland), Shanghai (China), November 2009

Stephan Dempe Thomas Unger

Inhalt

1

Modellierung linearer Optimierungsaufgaben

1

2

Grafische L¨ osungsverfahren

9

2.1

Zwei Entscheidungsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Zwei Restriktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3

Fourier-Motzkin-Elimination

19

4

Primale Simplexmethode

25

4.1

Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.2

Primale Simplexmethode in vektorieller Form . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4.3

Primale Simplexmethode in Tableauform . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.4

Zwei-Phasen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.5

Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5

Dualit¨at

45

5.1

Duale Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.2

Starke Dualit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.3

Duale Simplexmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4

Sensitivit¨at und Postoptimalit¨ at . . . . . . . . . Probleme mit parameterabh¨ angiger Zielfunktion Probleme mit parameterabh¨ angiger rechter Seite Aufnahme einer neuen Variablen . . . . . . . . . Auftreten einer neuen Nebenbedingung . . . . .

51 52 54 56 57

6

Innere-Punkte-Methode

59

6.1

Komplexit¨ at linearer Optimierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2 6.2.1 6.2.2

Newton-Algorithmus zur L¨ osung nichtlinearer Gleichungssysteme . . . . . . L¨osung nichtlinearer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L¨osung nichtlinearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 65

6.3

Anwendung auf Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben . . . . . . . .

67

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x

Inhalt

6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4

Das ungest¨ orte Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der zentrale Pfad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung des Newton-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zur Berechnung einer Startl¨ osung f¨ ur den Kurz-Schritt-Algorithmus

7

Ausgew¨ahlte Anwendungen

77

7.1

L¨osbarkeit von Matrixspielen in gemischten Strategien . . . . . . . . . . . .

77

7.2 7.2.1 7.2.2

Transportprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Modell und seine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein L¨osungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 88

7.3 7.3.1 7.3.2

. . . . . . . .

93 93

7.3.3

Lineare Optimierung mit mehreren Zielfunktionen . . . . . . . . . . Pareto-optimale L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung aller Pareto-optimaler L¨ osungen bei Aufgaben mit zwei Zielfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Fall von mehr als zwei Zielfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

97 98

7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4

Optimierung u ¨ber Graphen . Gerichtete Graphen . . . . . K¨ urzeste Wege . . . . . . . . Fl¨ usse maximaler St¨ arke . . . (q − s)-Fl¨ usse mit minimalen

. . . . .

8

Notwendige Beweise

107

8.1

Begr¨ undung des Simplexalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

8.2

Begr¨ undung des Newton-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

9

Hinweise und L¨ osungen

119

10

Testklausur

129

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosten

. . . . .

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67 69 71 72

100 100 101 103 106

Literaturempfehlungen

137

Literaturverzeichnis

139

Sachverzeichnis

141

1

Modellierung linearer Optimierungsaufgaben

Lineare Optimierungsaufgaben treten auf nat¨ urliche Weise in vielen Anwendungen auf, wie zun¨ achst an einer klassischen Situation demonstriert wird. Ein Unternehmen stelle die Produkte P1 , P2 , . . . , Pn aus den Rohstoffen R1 , R2 , . . . , Rm her. Entscheidungen u ¨ber die herzustellenden Mengen und die zu verwendenden Technologien sind u ¨blicherweise sehr komplex und erfordern h¨aufige Anpassungen aufgrund sich ver¨ andernder Bedingungen. An dieser Stelle soll daher nur ein stark vereinfachtes Modell zu einem fixierten Zeitpunkt untersucht werden. Zu diesem Zeitpunkt seien im Unternehmen b1 , b2 , . . . , bm Einheiten der Rohstoffe vorhanden. Außerdem seien die Preise r1 , r2 , . . . , rm bekannt, zu denen jeweils eine Einheit dieser Rohstoffe am Markt gehandelt wird. Weiterhin bezeichne aij die Menge an Rohstoff Ri , die zur Herstellung einer Einheit des Produkts Pj ben¨otigt wird. Die hergestellten Produkte k¨onnen am Markt zum Preis von p1 , p2 , . . . , pn pro Einheit verkauft werden. Dabei werde angenommen, dass das untersuchte Unternehmen keine marktbeherrschende Stellung hat, insbesondere die Marktpreise sowohl f¨ ur Rohstoffe als auch f¨ ur Endprodukte nicht beeinflussen kann. Dem Produktionsleiter obliegt die Entscheidung, wie die vorhandenen Rohstoffe m¨oglichst gewinnbringend einzusetzen sind. Dazu werden Entscheidungsvariablen x1 , x2 , . . . , xn eingef¨ uhrt, die die zu produzierenden Mengen der einzelnen Endprodukte bezeichnen. Bei der Berechnung des erwarteten Gewinns sind neben dem Verkaufspreis auch die Kosten der eingesetzten Rohstoffe ucksichtigen; der Gewinn pro Einheit des Produkts Pj ist damit m zu ber¨ = pj − i=1 aij ri zu berechnen. Das Ziel der Gewinnmaximierung stellt sich nun als als cj  n max j=1 cj xj dar, wobei jedoch Restriktionen zu beachten sind. So unterliegen die hergestellten Mengen der Forderung der Nichtnegativit¨at: x1 , x2 , . . . , xn ≥ 0. Weiterhin sind die Kapazit¨atsbeschr¨ ankungen bez¨ uglich der vorhandenen Rohstoffe einzuhalten. Werden , x2 , . . . , xn hergestellt, so werden von Rohstoff Ri dazu die Endprodukte in den Mengen x 1  insgesamt nj=1 aij xj Einheiten ben¨ otigt; diese Gr¨oße ist nach oben durch die vorhandene Menge bi beschr¨ankt. Als einfaches Modell der optimalen Ressourcenaufteilung erh¨alt man also die lineare Optimierungsaufgabe max u.d.B.

n  j=1 n  j=1

cj xj aij xj ≤ bi ,

xj ≥ 0,

i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n.

2

1 Modellierung linearer Optimierungsaufgaben

Die Einf¨ uhrung der Vektoren x = (x1 , x2 , . . . , xn ) f¨ ur die herzustellenden Mengen, c = (c1 , c2 , . . . , cn ) f¨ ur die Gewinnkoeffizienten, b = (b1 , b2 , . . . , bm ) f¨ ur die vorhandenen erm¨ o glicht eine kompakte SchreibRohstoffe und der Technologiematrix A = (aij )m,n i=1,j=1 weise dieser Aufgabe als max c x u.d.B. Ax ≤ b x ≥ 0. Der optimale Zielfunktionswert dieser Aufgabe, also der maximal erreichbare Funktionswert f¨ ur die lineare Funktion c x bei Einhaltung aller Nebenbedingungen Ax ≤ b, x ≥ 0, wird mit max{c x : Ax ≤ b, x ≥ 0} bezeichnet. Dieselbe Situation kann anstatt aus der Sicht des Produktionsleiters auch aus der Sicht des Rechnungspr¨ ufers betrachtet werden. Dessen Aufgabe ist es, den vorhandenen Rohstoffen Werte w1 , w2 , . . . , wm pro Einheit zuzuweisen. Ist ein Konkurrent bereit, Rohstoffe zu mindestens diesen Preisen aufzukaufen, so wird das Unternehmen diese verkaufen; die ur den Lagerhaltung von bi Einheiten des Rohstoffs Ri ist also virtuellen Kosten von bi wi f¨ verpassten Verkaufserl¨ os gleichzusetzen. Um eine gute Gesamtbilanz zu erzielen, wird der Rechnungspr¨ ufer die Rohstoffwerte so ansetzen, dass derverpasste Verkaufserl¨os m¨oglichst klein ausf¨allt; sein Ziel ist somit die Minimierung von m i=1 bi wi . Auch hier sind gewisse Restriktionen zu beachten. Der einem Rohstoff zugewiesene Wert muss mindestens dem Marktpreis entsprechen, anderenfalls k¨ onnte ein Konkurrent zu einem niedrigeren als dem Marktpreis kaufen. Also ergibt sich die Forderung wi ≥ ri f¨ ur alle i = 1, 2, . . . , m. Andererseits muss der zugewiesene Gesamtwert der pro Einheit eines Endproduktes Pj eingesetzten Rohstoffe auch mindestens dem Verkaufspreis dieses Produktes entsprechen, da im entgegengesetzten Fall der Konkurrent vom betrachteten Unternehmen Rohstoffe aufkaufen, das Produkt Pj selbst herstellen und zu einem geringeren als dem Marktpreis verkaufen k¨onnte, was sicher  nicht im Interesse des betrachteten Unternehmens ist. Dies dr¨ uckt sich in der m ur j = 1, 2, . . . , n aus. Zusammengefasst stellt sich das Problem Forderung i=1 aij wi ≥ pj f¨ des Rechnungspr¨ ufers als min u.d.B.

m  i=1 m  i=1

bi wi aij wi ≥ pj ,

wi ≥ ri ,

j = 1, 2, . . . , n i = 1, 2, . . . , m

dar. Substituiert man yi = wi − ri f¨ ur alle i, ergibt sich die a¨quivalente Aufgabe min u.d.B.

m  i=1 m  i=1

b i yi aij yi ≥ pj −

yi ≥ 0,

m  i=1

aij ri = cj ,

j = 1, 2, . . . , n i = 1, 2, . . . , m,

3

1 Modellierung linearer Optimierungsaufgaben

m

bei der in der Zielfunktion die additive Konstante i=1 bi ri , die den fixierten Marktpreis der vorhandenen Rohstoffe repr¨ asentiert, vernachl¨assigt wurde. Mit dem Wertvektor y = (y1 , y2 , . . . , ym ) sowie den bereits eingef¨ uhrten Bezeichnungen lautet eine kompakte Schreibweise der Aufgabe min b y u.d.B. A y ≥ c y ≥ 0. Dieses Optimierungsproblem enth¨ alt dieselben Daten A, b, c wie das oben betrachtete, und es wird sich zeigen, dass zwischen beiden Aufgaben ein enger Zusammenhang besteht. Die Entscheidungsvariablen x bzw. y werden h¨aufig als Aktivit¨ aten bezeichnet. Lineare Optimierungsaufgaben erf¨ ullen gewisse Annahmen, die sie von anderen Optimierungsproblemen unterscheiden. Dies sind: 1. Proportionalit¨ at: Wenn eine Einheit der Aktivit¨at j den Einsatz von aij Einheiten der Ressource i erfordert, dann sind f¨ ur xj Einheiten der j-ten Aktivit¨at aij xj Einheiten von i n¨otig. Analog dazu betragen die Kosten oder Gewinne f¨ ur xj Einheiten der j-ten Aktivit¨at cj xj , falls die Kosten oder Gewinne f¨ ur eine Einheit cj betragen. 2. Additivit¨ at: Werden f¨ ur xj1 Einheiten der j1 -ten Aktivit¨at aij1 xj1 Einheiten der i-ten Ressource und f¨ ur xj2 Einheiten der j2 -ten Aktivit¨at aij2 xj2 Einheiten dieser Ressource ben¨otigt, so betr¨agt der Gesamtaufwand der Ressource i f¨ ur diese beiden Aktivit¨aten aij1 xj1 + aij2 xj2 Einheiten. Analog summieren sich die Kosten bzw. Gewinne cj1 xj1 und cj2 xj2 zu cj1 xj1 + cj2 xj2 . 3. Stetigkeit: Die Aktivit¨ aten k¨ onnen jeden Wert innerhalb eines gewissen Bereichs annehmen, sie sind insbesondere nicht auf eine endliche Menge beschr¨ankt. Als lineare Optimierungsaufgabe wird jede Aufgabe der Form max / min c x u.d.B. Ax  b bezeichnet, wobei  in jeder Zeile der Nebenbedingungen f¨ ur eines der Relationszeichen ≤, = oder ≥ stehen kann. Liegt eine lineare Optimierungsaufgabe, etwa max c x u.d.B. Ax ≤ b x ≥ 0, vor, so werden konkrete Werte x  der Entscheidungsvariablen zul¨ assig oder zul¨ assige L¨ osung genannt, wenn x  alle Restriktionen erf¨ ullt, in diesem Fall also bei A x ≤ b, x  ≥ 0. Falls es keine zul¨assigen L¨ osungen gibt, wird die Aufgabe als unzul¨ assig bezeichnet. Eine zul¨assige L¨osung x∗ wird optimal genannt, wenn sie unter allen zul¨assigen Punkten den

4

1 Modellierung linearer Optimierungsaufgaben

bestm¨oglichen – in diesem Beispiel also gr¨ oßtm¨oglichen – Zielfunktionswert liefert. Dieser wird dann als Optimalwert bezeichnet. Ist eine Aufgabe zul¨assig, hat aber keinen endlichen Optimalwert, so nennt man sie unbeschr¨ ankt. Die Funktion z = c x wird im Weiteren als Zielfunktion mit den Zielfunktionskoeffizienten cj bezeichnet, w¨ahrend die Zeilen des Ungleichungssystems Ax ≤ b (oder auch eines entsprechenden Systems mit anderen Relationszeichen) Nebenbedingungen genannt werden. Lineare Probleme sind unter allen Optimierungsaufgaben die einfachsten, sowohl was theoretische Aussagen als auch was effektive L¨ osungsmethoden betrifft. Neben den beiden oben vorgestellten klassischen Problemstellungen der Unternehmensplanung k¨onnen viele andere Situationen oder innermathematische Anwendungen derart modelliert werden, dass sie auf lineare Optimierungsprobleme f¨ uhren. Beispiel 1.1. In verschiedenen Schnittebenenverfahren zur L¨osung konvexer Optimierungsaufgaben tritt das Problem auf, dass das Minimum der oberen Einh¨ ullenden von linearen Funktionen (c1 ) x + γ1 , (c2 ) x + γ2 , . . . , (cn ) x + γn unter linearen Restriktionen Ax ≤ b bestimmt werden muss. Die obere Einh¨ ullende ist dabei eine Funktion, deren Funktionswerte f¨ ur jedes Argument nicht kleiner als die Funktionswerte aller der n linearen Funktionen sind. Es ist also die Aufgabe min

max {(cj ) x + γj }

1≤j≤n

u.d.B. Ax ≤ b mit einer nichtlinearen Zielfunktion zu bearbeiten. Mit Einf¨ uhrung einer neuen Variablen aquivalent als x0 = max {(cj ) x + γj } kann obige Aufgabe ¨ 1≤j≤n

min x0 u.d.B. x0 ≥ (cj ) x + γj , Ax ≤ b

j = 1, 2, . . . , n

geschrieben werden. Die Gesamtheit der Ungleichungen x0 ≥ (cj ) x + γj , j = 1, 2, . . . , n garantiert dann x0 ≥ max {(cj ) x + γj }; durch die Minimierung von x0 wird im Optimum der Fall 1≤j≤n

x0 > max {(cj ) x + γj } ausgeschlossen. 1≤j≤n

Bei dieser ¨aquivalenten Formulierung handelt es sich um ein Problem der linearen Optimie rung mit den Entscheidungsvariablen x und x0 . Beispiel 1.2. Ebenfalls in Schnittebenenmethoden der konvexen Optimierung, aber auch in Ellipsiodverfahren zur L¨ osung diskreter linearer Optimierungsaufgaben, stellt sich das Problem, dass das Zentrum einer kompakten polyedralen Menge P = {x : Ax ≤ b} = {x : Ai x ≤ bi , i = 1, 2, . . . , m} bestimmt werden muss. Hierbei bezeichnet Ai die i-te Zeile von A.

5

1 Modellierung linearer Optimierungsaufgaben

Als Zentrum dieser Menge kann der Mittelpunkt der gr¨oßten Kugel verstanden werden, die in die betrachtete Menge einbeschrieben werden kann. Der Abstand r eines beliebigen Punktes y ∈ P zu der die Menge begrenzenden Hyperebene Ai x = bi ist r = A1i  (bi − Ai y). Das gesuchte Zentrum ist folglich derjenige Punkt, der diesen Abstand f¨ ur alle begrenzenden Hyperebenen maximiert; er kann mittels der linearen Aufgabe max r u.d.B. Ai y + rAi  ≤ bi ,

i = 1, 2, . . . , m

mit den Entscheidungsvariablen y und r bestimmt werden.



Beispiel 1.3. Zwischen den Ver¨ anderlichen t und y bestehe ein Zusammenhang y = f(t), welcher mit einfachen Ansatzfunktionen f1 (t), f2 (t), . . . , fn (t) durch eine Funktion n j=1 xj fj (t) approximiert werden soll. Aus experimentellen Untersuchungen seien Wertepaare (t1 , y1 ), (t2 , y2 ), . . . , (tm , ym ) bekannt. Auf der Grundlage dieser Werte sollen die Koeffizienten xj derart bestimmt werden, dass der Approximationsfehler in einem gewissen Sinne minimal wird. n Als G¨ utemaß f¨ ur die Approximation j=1 xj fj (t) kann etwa die Summe der Abweichungen der Werte dieser Funktion an den Stellen t1 , t2 , . . . , tm von den gemessenen Werten y1 , y2 , . . . , ym verwendet werden. Die Koeffizienten x1 , x2 , . . . , xn sind dann L¨osung des nichtlinearen Optimierungsproblems    m  n     xj fj (ti ) . min yi −   i=1 j=1 Nach Einf¨ uhrung der Variablen zi = |yi − als die lineare Aufgabe min

m  i=1

n

j=1

xj fj (ti )| kann dieses Problem ¨aquivalent

zi

u.d.B. −zi ≤ yi −

n  j=1

xj fj (ti ) ≤ zi ,

i = 1, 2, . . . , m

in den Entscheidungsvariablen x1 , x2 , . . . , xn und z1 , z2 , . . . , zm formuliert werden.



Beispiel 1.4. In vielen Anwendungsaufgaben, etwa der k¨ unstlichen Intelligenz, der Medizin und Biologie, der Psychologie und der Werbung ist es erforderlich, Mengen von Punkten im n-dimensionalen Raum (die die Auspr¨ agungen gewisser Eigenschaften von Objekten charakterisieren) durch eine Hyperebene bestm¨ oglich (in einem sp¨ater zu definierenden Sinne) so zu trennen, dass die Zuordnung von neuen Objekten zu den Mengen einfach durch Berechnung bestimmter Funktionswerte m¨ oglich wird. F¨ ur n = 2 ist eine solche Situation in der Abbildung 1.4 dargestellt, bei der eine Trennung der zwei Punktmengen durch eine Hyperebene nicht gelingen kann. Die Koordinaten der Punkte in zwei zu trennenden Punktmengen A ⊂ Rn , B ⊂ Rn , |A| = k, |B| = l seien als Zeilenvektoren in zwei Matrizen A

6

1 Modellierung linearer Optimierungsaufgaben

und B entsprechender Dimensionen eingetragen. Wenn eine vollst¨andige Trennung gelingt, so gibt es eine Hyperebene {x : w  x = t} mit w ∈ Rn und t ∈ R, so dass Aw ≤ tek , Bw ≥ tel , wobei eq = (1, 1, . . . , 1) ∈ Rq den q-dimensionalen summierenden Vektor bezeichnet. Um eine strengere Trennung zu erhalten, werden der Vektor w und die Zahl t so normiert, dass die Ungleichungen Aw ≤ tek − ek , Bw ≥ tel + el

(1.1)

gelten. Wenn keiner der Punkte der Mengen auf der Hyperebene {x : w x = t} liegt, so gelingt das immer.

0 0

x

x

x

0 0

x

0

x 0

x

x

0

0 x 0

x x

wTx = t-1

wTx = t+1 wTx = t

Abb. 1.1 Versuch der Trennung zweier Punktmengen, gekennzeichnet mit x“ und 0“, durch eine ” ” Hyperebene {x : w  x = t}. Die Trennung gelingt nicht ohne einen falsch einsortierten Punkt.

Gelingt eine solche Trennung nicht, so kann die Verletzung der Bedingung Aw ≤ tek − ek durch einen neuen Vektor y ∈ Rk mit y ≥ (Aw − tek ) + ek , y ≥ 0 bestimmt werden. Analog misst der Vektor z ∈ Rl mit z ≥ −(Bw − tel ) + el , z ≥ 0 die Verletzungen der Bedingungen  Bw ≥ tel +el . Die mittlere Verletzung der Bedingungen f¨ ur eine Trennung ist e k y/k+el z/l, die Qualit¨at einer Trennung wird durch den Wert der mittleren Verletzung definiert. Damit kann zur bestm¨oglichen Trennung eine lineare Optimierungsaufgabe zur Bestimmung einer Hyperebene, die die beiden Mengen A und B mit m¨oglichst kleiner mittlerer Verletzung der Bedingungen (1.1) trennt, formuliert werden:  min e k y/k + el z/l u.d.B. y ≥ (Aw − tek ) + ek , z ≥ −(Bw − tel ) + el , y, z ≥ 0, w, t frei.

1 Modellierung linearer Optimierungsaufgaben

7

Dabei wird eine fehlende Nichtnegativit¨ atsbedingung r ≥ 0 an eine Variable r durch r frei“ ” gekennzeichnet.  F¨ ur die mathematische Modellierung von Entscheidungsfindungsprozessen gibt es keine allgemein g¨ ultigen Vorschriften. Als Orientierung k¨onnen die folgenden generellen Fragen dienen: 1. 2. 3. 4.

Was sind die Entscheidungsvariablen? Welches Ziel wird verfolgt? Welche Restriktionen sind zu beachten? Ist eine ¨aquivalente einfachere Formulierung m¨oglich?

¨ Die folgenden Aufgaben sollen den interessierten Leser anregen, eigene Uberlegungen zur Modellierung linearer Optimierungsaufgaben anzustellen. Die L¨osungen zu einigen der Aufgaben sind im Kapitel 9 enthalten. ¨ Aufgabe 1.1. Eine Druckerei will vorhandene Uberkapazit¨ aten zum Druck von Werbematerialien nutzen. Es liegen zwei Angebote vor, die durch die folgenden Daten gekennzeichnet sind: 1. Angebot 2. Angebot Papierverbrauch pro 1 000 St¨ uck 4,8 kg 19,2 kg Maschinenzeit pro 1 000 St¨ uck 12 min 36 min Gewinn pro 1 000 St¨ uck 20 $ 72 $ Im betrachteten Zeitraum stehen eine Maschinenzeit von 3 000 Stunden sowie 80 Tonnen Papier zur Verf¨ ugung. Angebot 1 kann in unbegrenzter Anzahl abgesetzt werden, f¨ ur Angebot 2 besteht Bedarf an h¨ ochstens 4 Millionen St¨ uck. Es ist ein Modell zur Gewinnmaximierung zu erstellen. Aufgabe 1.2. Eine Brauerei produziert an drei Standorten, deren Kapazit¨aten a1 , a2 , a3 Hektoliter pro Tag betragen. Sie beliefert f¨ unf Getr¨ankegroßh¨andler, deren Mindestbedarf oßen dij , i = 1, 2, 3, j = 1, . . . , 5, geben die Kosten pro Tag b1 , . . . , b5 Hektoliter ist. Die Gr¨ f¨ ur den Transport eines Hektoliters vom Brauereistandort i zum Großh¨andler j an. Eine wichtige Aufgabe ist die Bestimmung solcher Liefermengen von den Produktionsstandorten an die Großh¨andler, f¨ ur die die gesamten Transportkosten minimal sind. Wie kann diese Aufgabe mathematisch modelliert werden? Aufgabe 1.3. Eine mittelst¨ andische Kaffeer¨ osterei stellt zwei Sorten Kaffee her, die sie zu p1 bzw. p2 Euro pro Zentner verkaufen kann. Dazu werden die Rohkaffeesorten Arabica, Liberica und Robusta eingesetzt, deren Einkaufspreise r1 , r2 bzw. r3 Euro pro Zentner betragen. Sie unterscheiden sich sowohl in ihrem S¨auregehalt s1 , s2 , s3 (in Prozent) als auch im Koffeingehalt k1 , k2 , k3 (in Prozent). Kurzfristig sind diese Sorten in den Mengen a1 , a2 bzw. a3 Zentner verf¨ ugbar. Der S¨auregehalt der ersten Kaffeemischung soll zwischen su und so Prozent liegen; die zweite Mischung soll einen S¨ auregehalt von h¨ ochstens s Prozent haben. Der Koffeingehalt soll bei den Mischungen mindestens ku,1 bzw. ku,2 Prozent betragen.

8

1 Modellierung linearer Optimierungsaufgaben

Es ist ein Modell zu erstellen, welches der R¨ osterei unter den gegebenen Bedingungen die Maximierung des Gewinns gestattet. Aufgabe 1.4. Ein Handwerksbetrieb erh¨ alt einen Auftrag, der die Lieferung gewisser Mengen Endprodukte zu festgelegten Terminen vorsieht. Die momentan besch¨aftigten Arbeitskr¨afte sind nicht in der Lage, den Auftrag in vollem Umfang zu erf¨ ullen, so dass sich die Einstellung von Zeitarbeitern erforderlich macht. Bevor diese in der Fertigung eingesetzt werden k¨onnen, m¨ ussen sie zun¨ achst angelernt werden. Anschließend k¨onnen sie ihrerseits neu eingestellte Zeitarbeiter anlernen oder den Produktionsprozess aufnehmen. Werden Produkte vor dem vereinbarten Auslieferungstermin fertiggestellt, m¨ ussen sie gelagert werden, was gewisse Kosten verursacht. Gesucht ist ein Plan f¨ ur die Anstellung von Zeitarbeitskr¨aften sowie f¨ ur Produktion und Lagerung, der die Gesamtkosten f¨ ur den Handwerksbetrieb minimiert. Es ist von folgenden Daten auszugehen: Der Auftrag sieht vor, am Ende der ersten bis dritten Woche r1 , r2 , r3 Einheiten des Endproduktes zu liefern. Ist der Betrieb nicht in der Lage, diese Mengen zu liefern, kann er Fehlmengen bei einem Konkurrenten leihen, diese am Ende der folgenden Woche zur¨ uckgeben sowie eine Leihgeb¨ uhr von p Geldeinheiten pro Einheit zahlen. Am Ende der dritten Woche muss der Auftrag vollst¨ andig aus eigener Produktion erf¨ ullt sein. Vor dem vereinbarten Liefertermin fertiggestellte Produkte erfordern Lagerkosten von s Geldeinheiten pro Woche und Einheit. Am Beginn der ersten Woche verf¨ ugt der Betrieb u ¨ber g Angestellte sowie h Einheiten des Endproduktes. Jeder Arbeiter, der in der Produktion eingesetzt ist, kann pro Woche k Einheiten herstellen. Sein Lohn betr¨ agt m Geldeinheiten. Diesen Lohn erh¨alt er auch, wenn ihm keine Aufgabe zugewiesen wird. Jeder Arbeiter, der zum Anlernen neuer Arbeitskr¨afte eingesetzt wird, kann in einer Woche p − 1 Zeitarbeitskr¨afte ausbilden; am Ende dieser Woche stehen also p gelernte Arbeiter zur Verf¨ ugung. Der Lohn des Ausbilders und die Verg¨ utung der p−1 Auszubildenden betragen zusammen n Geldeinheiten pro Woche. Die Entlassungskosten eines Arbeiters betragen f Geldeinheiten.

2

Grafische Lo¨sungsverfahren

Im Allgemeinen wird neben einem Verfahren zur L¨osung eines linearen Optimierungsproblems zur Bew¨altigung des Rechenaufwands ein Computer ben¨otigt. Die Ausnahme bilden sehr kleine Probleme – Aufgaben mit wenigen Entscheidungsvariablen und wenigen Restriktionen – sowie Aufgaben mit besonderer Struktur, f¨ ur die spezielle L¨osungsmethoden Anwendung finden k¨ onnen. Dar¨ uber hinaus k¨ onnen zwei Klassen linearer Probleme auch grafisch gel¨ost werden: diejenigen, die genau zwei Entscheidungsvariablen haben, und diejenigen, die neben Nichtnegativit¨ atsforderungen (-bedingungen) genau zwei Restriktionen enthalten. Dies wird im Folgenden anhand von Beispielen beschrieben.

2.1

Zwei Entscheidungsvariablen

Beispiel 2.1. Es werde das Problem max x1 u.d.B. 2x1 x1 −x1

+ x2 − 2x2 + 2x2 + 3x2 x1 , x2

≤ ≤ ≤ ≥

4 7 6 0

betrachtet. Zur grafischen L¨ osung dieser Aufgabe wird zun¨achst die Menge der zul¨assigen Punkte veranschaulicht. Anschließend wird die Lage der Zielfunktion z0 = x1 + x2 durch andert, dass die Niveaulinie den zul¨assigen unterschiedliche Wahl des Niveaus z0 so weit ver¨ Bereich mit dem gr¨ oßtm¨ oglichen Wert von x0 schneidet. Jede der Ungleichungen ai1 x1 + ai2 x2 ≤ bi beschreibt eine Halbebene: die Menge aller Punkte, die auf einer Seite der Begrenzungslinie ai1 x1 + ai2 x2 = bi liegen. Die Menge der zul¨assigen L¨osungen ist der Durchschnitt aller dieser Halbebenen, in der Skizze in Abbildung 2.1 dick umrandet dargestellt. Nachdem die zul¨assige Menge identifiziert ist, wird eine Niveaulinie der Zielfunktion z = c1 x1 + c2 x2 dargestellt und anschließend so weit wie m¨oglich in Optimierungsrichtung, bei Maximierung also in Richtung wachsenden Niveaus, verschoben. Auf diese Weise kann die Lage der optimalen L¨ osung erkannt werden. Das ist in Abbildung 2.2 dargestellt. Die optimale L¨osung in diesem Beispiel ist der Schnittpunkt der beiden Begrenzungslinien 5 ∗ asst sich leicht als x∗1 = 11 2x1 − 2x2 = 4 und x1 + 2x2 = 7 und l¨ 3 , x2 = 3 berechnen. Der 16 ∗ optimale Zielfunktionswert ist demzufolge z0 = 3 . 

10

2 Grafische L¨ osungsverfahren

x2

1

x1

1

Abb. 2.1 Darstellung des zul¨ assigen Bereichs im Beispiel 2.1. Der zul¨ assige Bereich ist schraffiert dargestellt.

x2

1 x1+x =16/3 2

1 x1+x2=1

x1+x2=3

x1

Abb. 2.2 Neben dem zul¨ assigen Bereich der Aufgabe im Beispiel 2.1 sind noch drei Niveaulinien der Zielfunktion zu den Niveaus 1, 3 und 16/3 gestrichelt angegeben. Der optimale Zielfunktionswert ist 16/3 .

Das allgemeine Vorgehen bei der grafischen L¨ osung eines linearen Optimierungsproblems mit zwei Variablen l¨ asst sich wie folgt zusammenfassen. Grafische L¨ osung linearer Optimierungsaufgaben mit zwei Variablen 1. Grafische Darstellung des zul¨ assigen Bereichs M . Wenn M leer ist, stopp. Die Aufgabe ist nicht l¨osbar, der zul¨ assige Bereich ist leer. 2. Grafische Darstellung einer Niveaulinie der Zielfunktion. 3. Ver¨anderung des Zielfunktionsniveaus in Optimierungsrichtung so weit wie m¨oglich, ohne den zul¨assigen Bereich zu verlassen. Wenn die Zielfunktion unbeschr¨ankt verschoben werden kann, stopp. Die Aufgabe ist nicht l¨ osbar, da die Zielfunktion u ¨ber dem zul¨assigen Bereich in Optimierungsrichtung unbeschr¨ ankt ist. 4. Identifizierung der optimalen L¨ osung(en) als Schnittpunkt(e) von (jeweils) zwei Geraden, als die Punkte auf der Strecke zwischen diesen Schnittpunkten, beziehungsweise als alle Punkte auf einer unbeschr¨ ankten Kante des zul¨assigen Bereiches beginnend in einem Schnittpunkt. 5. L¨osen des entsprechenden Gleichungssystems. 6. Berechnung des zugeh¨ origen Zielfunktionswertes. Die im Punkt 4 des obigen Algorithmus als m¨ogliche optimale L¨osungen identifizierten Schnittpunkte zweier Geraden sind Eckpunkte des zul¨assigen Bereiches. Diese entsprechen den im Kapitel 4 wesentlich verwendeten Basisl¨osungen. Gleichzeitig werden hier auch schon die verschiedenen M¨ oglichkeiten f¨ ur die L¨osbarkeit einer linearen Optimierungsaufgabe deutlich: Wenn der zul¨ assige Bereich der Aufgabe nicht leer ist (vgl. Punkt 1) und

11

2.1 Zwei Entscheidungsvariablen

die Zielfunktion u assigen Bereich beschr¨ankt ist (siehe Punkt 3), so besitzt die ¨ber dem zul¨ Aufgabe entweder eine einzige (und das ist eben ein Eckpunkt des zul¨assigen Bereiches) oder aber unendlich viele optimale L¨ osungen. Im letzten Fall gibt es unter den optimalen L¨osungen aber auch einen optimalen Eckpunkt. Des Weiteren ist die Zahl der Eckpunkte des zul¨assigen Bereiches endlich. Beispiel 2.2. Im Lehrbuch [8] wird die folgende Aufgabe u ¨ber einen Nebenjob eines Professors beschrieben: Professor Milchmann und seine Familie betreiben ein Gesch¨aft, in dem sie Milchprodukte verkaufen, die sie aus der Milch der drei K¨ uhe Daisy, Ermentrude und Florence herstellen. Die drei K¨ uhe geben zusammen pro Woche 22 Fass Milch, aus denen Professor Milchmann und seine Familie Speiseeis und Butter herstellen, die sie in ihrem Gesch¨aft verkaufen. Zur Herstellung von einem Kilogramm Butter werden 2 Fass Milch und zur Produktion von einem Fass Speiseeis werden 3 Fass Milch ben¨otigt. Nat¨ urlich k¨onnen auch beliebige kleinere Teilmengen an Speiseeis und Butter hergestellt werden. Familie Milchmann besitzt einen sehr großen K¨ uhlschrank, so dass eine beliebig große Menge an Butter aufbewahrt werden kann, jedoch ist der Gefrierschrank wesentlich kleiner und fasst h¨ochstens 6 Fass Speiseeis. Prof. Milchmanns Familie kann pro Woche h¨ ochstens 6 Stunden f¨ ur die Produktion von Speiseeis und Butter aufwenden. In einer Stunde sind sie in der Lage, entweder 4 Fass Speiseeis oder ein Kilogramm Butter herzustellen. Prof. Milchmanns Produkte werden so nachgefragt, dass alle hergestellten Produkte zu beliebigen Preisen verkauft werden k¨ onnen. Er bestimmt die Preise so, dass er einen Profit von 5 e pro Fass Speiseeis und 4 e pro Kilogramm Butter macht. Wie viel Speiseeis und wie viel Butter soll er herstellen, so dass sein Gewinn maximal ist? Um das Problem zu modellieren werden zun¨ achst Variable fixiert: x1 ist die Menge an produziertem Speiseeis [in Fass] und x2 die Menge an Butter [in Kilogramm]. Dann ergibt sich die folgende lineare Optimierungsaufgabe: max z= u.d.B.

5x1 x1 0, 25x1 3x1

+ + +

4x2 x2 2x2 x1 , x 2

≤ ≤ ≤ ≥

6 6 22 0

In der Abbildung 2.3 ist die grafische L¨ osung der Aufgabe im Beispiel 2.2 abzulesen. Wenn Prof. Milchmann mit dem erhaltenen Gewinn nicht zufrieden ist, wird er vielleicht den Preis f¨ ur die Butter erh¨ ohen, so dass sich jetzt ein Gewinn von 4,5 e pro Kilogramm Butter ergibt. Dann ¨andert sich die Zielfunktion des Problems von z = 5x1 +4x2 zu z = 5x1 +4, 5x2 . In der grafischen L¨ osung dreht sich die Niveaulinie der Zielfunktion, wie in der Abbildung 2.4 ersichtlich. Kehren wir nun zum urspr¨ unglichen Gewinn von 4 e pro Kilogramm Butter zur¨ uck und untersuchen eine etwas andere Fragestellung. Der Nachbar von Prof. Milchmann, Herr Kuhhirt, schl¨agt Prof. Milchmann vor, ihm zu einem Preis von 1 e pro Fass Milch zu verkaufen.

12

2 Grafische L¨ osungsverfahren x2 3 x1 + 2 x2 < 6 =

0.25 x 1 + x2 < 6 =

T

5 x1 + 4 x2 = 40 x1 < =6

1 1

5 x 1 + 4 x 2 = 10

x1

Abb. 2.3 Grafische L¨ osung des Beispiels 2.2. Dargestellt sind schraffiert der zul¨ assige Bereich, zwei verschiedene Niveaumengen der Zielfunktion zu den Niveaus z = 10 und z = 40 sowie die optimale L¨ osung im Punkt (4, 5) .

Soll Prof. Milchmann auf diesen Handel eingehen und Milch von seinem Nachbarn kaufen und wenn ja, wie viel? Durch den Zukauf von Milch ¨ andert sich Prof. Milchmanns dritte Nebenbedingung zu 3x1 + 2x2 ≤ 22 + c, falls er c Fass Milch von Herrn Kuhhirt kauft. Diesem Zukauf von Milch entspricht eine Parallelverschiebung der Geraden 3x1 + 2x2 ≤ 22 nach oben. Gleichzeitig urlich auch sein Gewinn, da er nun c Euro von seinem Gewinn abziehen muss. ¨andert sich nat¨ F¨ ur fixiertes c bleibt der Anstieg der Niveaumengen der Zielfunktion gleich, die optimale L¨osung liegt also f¨ ur kleine c auch weiterhin auf dem Schnittpunkt der Geraden 0, 25x1 3x1

+ +

x2 2x2

= =

6 22 + c.

Die L¨osung ist (x1 ; x2 ) = (4 + 0, 4 c; 5 − 0, 1 c) mit einem Gewinn von z = 5x1 + 4x2 − c = 5(4 + 0, 4 c) + 4(5 − 0, 1 c) − c = 40 + 0, 6 c. Damit ist es sicher f¨ ur Prof. Milchmann vom Vorteil, etwas Milch von seinem Nachbarn zu kaufen, da sein Gewinn um 0,6 e pro gekauftem Fass Milch steigt. Aus der Grafik ist ersichtlich, dass, wenn c zu groß wird, die optimale L¨osung des Problems von Prof. Milchmann auf dem Schnittpunkt der Geraden x1 0.25x1

+

x2

= =

6 6,

also im Punkt (x1 ; x2 ) = (6; 4, 5) liegt. Dann ist auch der Gewinn von Prof. Milchmann unabh¨angig von einem weiteren Zukauf von Milch. Prof. Milchmann wird also nur so viel

13

2.1 Zwei Entscheidungsvariablen x2 0.25 x 1 + x2 < 6 =

3 x1 + 2 x2 < 6 = T

optimale Losung (4,5)

5 x1 + 4,5 x 2 = 42,5 x1 = <6

1 1

5 x1 + 4,5 x2 = 10

x1

Abb. 2.4 Durch die Ver¨ anderung des ersten Zielfunktionskoeffizienten von c1 = 5 auf c1 = 5, 5 drehen sich die Niveaumengen der Zielfunktion. Die optimale L¨ osung der Aufgabe bleibt unver¨ andert.

Milch kaufen, bis auch die Gerade 3x1 + 2x2 = 22 + c durch den Punkt (x1 ; x2 ) = (6; 4, 5) verl¨ auft. Das ist f¨ ur c = 5 der Fall. Prof. Milchmann kauft also 5 Fass Milch und macht anschließend bei einer optimalen Produktion von (x1 ; x2 ) = (6; 4, 5) einen Gewinn von 43 e.  Mit der folgenden Aufgabe lassen sich die verschiedenen L¨osungsf¨alle f¨ ur lineare Optimierungsaufgaben illustrieren. Solche Aufgaben k¨ onnen im L¨osbarkeitsfall entweder eine oder unendlich viele L¨osungen besitzen. Aufgabe 2.1. Durch grafische L¨ osung ist zu verifizieren, dass 1. die Aufgabe min x1 u.d.B. − x1 + x2 ≤ 1, 2x1 + x2 ≤ 2, x2 ≥ 0 eine eindeutige optimale L¨ osung besitzt; 2. die optimalen L¨ osungen von min 3x1 − 3x2 u.d.B. − x1 + x2 ≤ 1, 2x1 + x2 ≤ 2, x2 ≥ 0 eine Strecke bilden; 3. die optimalen L¨ osungen von min 3x1 − 3x2 u.d.B. − x1 + x2 ≤ 1, 2x1 + x2 ≥ 2, x2 ≥ 0 einen Strahl bilden; 4. die Aufgabe max x1 u.d.B. − x1 + x2 ≤ 1, 2x1 + x2 ≥ 2, x2 ≥ 0

14

2 Grafische L¨ osungsverfahren

unbeschr¨ankt ist; 5. die Aufgabe max x1 u.d.B. − x1 + x2 ≥ 1, 2x1 + x2 ≥ 2, x2 ≤ 0 unzul¨assig ist. Aufgabe 2.2. Kann eine lineare Optimierungsaufgabe exakt 13 verschiedene optimale L¨osungen besitzen?

2.2

Zwei Restriktionen

Beispiel 2.3. Es werde die Aufgabe + x3 − x4 + x6 min −x1 u.d.B. x1 + x2 + 6x3 + 2x4 + 4x5 = 4 3x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 + 3x5 + 3x6 = 6 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0 mit zwei Gleichungsrestriktionen in sechs nichtnegativen Variablen betrachtet. Hier gelingt keine grafische Darstellung in analoger Weise zum obigen Beispiel. Im Folgenden wird demonstriert, wie diese Aufgabe als die Suche eines speziellen Punktes einer gewissen zweidimensionalen Menge umformuliert werden kann. Eine andere M¨oglichkeit, auf die hier nicht weiter eingegangen wird, w¨ are die Ausnutzung der Dualit¨at (vgl. Kapitel 5) und die grafische L¨osung der dualen Aufgabe. Mit zwei Gleichungsnebenbedingungen und der Zielfunktion treten drei interessierende Gr¨oßen auf. Da mit vertretbarem Aufwand nur zwei Dimensionen grafisch veranschaulicht werden k¨onnen, macht es sich zun¨ achst erforderlich, eine dieser Gr¨oßen so umzuformulieren, dass ihr Erf¨ ulltsein auf einfache Weise dargestellt werden kann. Dazu wird die Gleichung 3x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 + 3x5 + 3x6 = 6 derart skaliert, dass alle Koeffizienten 1 sind. Dies geschieht durch Division der Gleichung durch 6 und die anschließenden Substitutionen 12 x1 = y1 , 12 x2 = y2 , x3 = y3 , 13 x4 = y4 , 12 x5 = y5 , 12 x6 = y6 . Damit ist die Aufgabe min −2y1 + y3 − 3y4 + 2y6 u.d.B. 2y1 + 2y2 + 6y3 + 6y4 + 8y5 = 4 y 1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 = 1 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 ≥ 0

(2.1)

zu bearbeiten. Die einfachen Bedingungen y1 + y2 + · · · + y6 = 1 und y1 , y2 , . . . , y6 ≥ 0 erlauben es, die Variablen y1 , y2 , . . . , y6 als Gewichte zu interpretieren. Das Optimierungsproblem besteht nun darin, diese Gewichte so zu bestimmen, dass das gewichtete Mittel der Koeffizienten der ersten Gleichung den Wert der rechten Seite ergibt und andererseits

15

2.2 Zwei Restriktionen y

0

v

6

1

v

5

b

v

4

Abb. 2.5 Die Lage der Punkte vi im Beispiel 2.3 und ihre konvexe H¨ ulle

das gewichtete Mittel der Zielfunktionskoeffizienten minimal wird. Die gewichteten Mittel k¨onnen als die konvexe H¨ ulle der Koeffizientenvektoren  v1 =  v4 =

2 −2 6 −3

 ,  ,

  2 , 0   8 v5 = , 0 v2 =

  6 , 1   0 v6 = 2 v3 =

veranschaulicht werden. Die Abbildung 2.5 zeigt diese Koeffizientenvektoren als Punkte und die Menge der zul¨assigen gewichteten Mittel b = 2y1 + 2y2 + 6y3 + 6y4 + 8y5 y0 = −2y1 + y3 − 3y4 + 2y6 als deren konvexe H¨ ulle. Die optimale L¨osung der betrachteten Aufgabe ist durch denjenigen Punkt dieser Menge bestimmt, der bei b = 4 einen minimalen Wert y0 aufweist. Die Punkte mit b = 4 sind in der Abbildung 2.6 durch die vertikale Gerade gekennzeichnet. Damit ist zu erkennen, dass der die optimale L¨osung charakterisierende Punkt auf der Verbindungsstrecke der Punkte v1 = (2, −2) und v4 = (6, −3) liegt, die zu den Variablen y1 und y4 geh¨oren. Alle anderen Variablen sind somit null, die Werte y1∗ und y4∗ lassen sich aus den beiden Gleichungen y1 + y4 = 1 und 2y1 + 6y4 = 4 als y1∗ = y4∗ = 12 berechnen. Nach R¨ ucksubstitution erh¨ alt man die optimale L¨ osung x∗1 = 1, x∗2 = 0, x∗3 = 0, x∗4 = 32 , x∗5 = 0, 5 ∗ ∗ x6 = 0 und den Optimalwert z0 = − 2 . 

16

2 Grafische L¨ osungsverfahren y

0

b=4 v

6

1

v

( y4* ) 0

5

b

v

4

Abb. 2.6 Die Lage der Nebenbedingung 2y1 + 2y2 + 6y3 + 6y4 + 8y5 = 4 der Aufgabe (2.1) und der optimalen L¨ osung.

Nicht jedes Optimierungsproblem mit zwei Restriktionen l¨asst sich auf diese Weise bearbeiten. Ein wesentlicher Gedanke des beschriebenen Vorgehens ist, im Problem min c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn u.d.B. a1 y1 + a2 y2 + · · · + an yn = b y1 + y2 + · · · + yn = 1 y1 , y2 , . . . , yn ≥ 0 n die Entscheidungsvariablen y1 , y2 , . . . , yn aufgrund der Bedingungen j=1 yj = 1 und ulle der Koy1 , y2 , . . . , yn ≥ 0 als Gewichte zu interpretieren und folglich die konvexe H¨ effizientenvektoren       a1 a2 an v1 = , v2 = , · · · , vn = c1 c2 cn zu betrachten. Damit diese Bedingungen in der transformierten Aufgabe tats¨achlich vorliegen, muss die urspr¨ ungliche Aufgabe Nichtnegativit¨atsforderungen sowie eine Gleichungsnebenbedingung, in der s¨ amtliche Koeffizienten positiv sind, enthalten. Eine derartige Gleichung kann unter Umst¨ anden durch eine Linearkombination aus den beiden gegebenen Gleichungen gefolgert werden, etwa wenn alle auftretenden Koeffizienten nichtnegativ sind, was in vielen Anwendungen der Fall ist. Beispiel 2.4. Das Gleichungssystem + x4 = 2 3x1 + x2 =1 x1 + 2x2 + x3

2.2 Zwei Restriktionen

17

kann ¨aquivalent geschrieben werden als + x4 = 2 3x1 + x2 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3 . In dieser Form sind alle Koeffizienten der zweiten Gleichung, die die Summe der beiden Gleichungen des urspr¨ unglichen Systems ist, positiv.  Falls eine Gleichung mit positiven Koeffizienten formuliert werden kann, l¨asst sich das weitere Vorgehen der grafischen L¨ osung einer Aufgabe mit zwei Restriktionen mit folgendem Schema beschreiben. Grafische L¨ osung linearer Optimierungsaufgaben mit zwei Nebenbedingungen 1. Durchf¨ uhrung einer geeigneten Substitution, um alle Koeffizienten und die rechte Seite der Gleichung mit positiven Koeffizienten auf 1 zu normieren. 2. Grafische Veranschaulichung der Vektoren, die die Koeffizienten der anderen Gleichung und der Zielfunktion enthalten, sowie ihrer konvexen H¨ ulle. 3. Grafische Veranschaulichung der L¨ osungsmenge der anderen Gleichung als Gerade. 4. Identifizierung der die optimale(n) L¨ osung(en) charakterisierenden Punkte. 5. Aufstellen und L¨ osen des zugeh¨ origen Gleichungssystems. 6. R¨ ucksubstitution. Aufgabe 2.3. Die folgenden linearen Optimierungsprobleme sind grafisch zu l¨osen: a) min 2x1 + 3x2 + x3 + 5x4 u.d.B. 4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 5 3x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 10 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 ; b) max 5x1 − 3x2 + 2x3 u.d.B. x1 + x2 + x3 ≤ 1 5x1 + 3x2 + x3 ≤ 2 x1 , x2 , x3 ≥ 0 . Aufgabe 2.4. Ist es m¨ oglich, dass die Aufgabe min c y u.d.B. a y = b  yj = 1 y≥0 a) unzul¨assig ist; b) unbeschr¨ankt ist; c) mehrere optimale L¨ osungen besitzt?

3

Fourier-Motzkin-Elimination

Neben den beschriebenen grafischen L¨ osungsm¨ oglichkeiten k¨onnen kleine lineare Optimierungsprobleme – Aufgaben mit wenigen Variablen und Ungleichungsnebenbedingungen – algebraisch mit der Fourier-Motzkin-Elimination gel¨ost werden. Bei dieser Methode wird in jeder Iteration eine Variable eliminiert, allerdings kann dabei die Anzahl der zu betrachtenden Ungleichungen zum Teil erheblich wachsen. Die Fourier-Motzkin-Elimination macht sich zunutze, dass aus zwei Ungleichungen mit demselben Relationszeichen durch Addition eine neue g¨ ultige Ungleichung gewonnen werden kann. Falls in den beiden Ungleichungen die Koeffizienten einer Variable dabei unterschiedliche Vorzeichen haben, k¨ onnen geeignete positive Vielfache der Ungleichungen so gefunden werden, dass in deren Summe der Koeffizient dieser Variable verschwindet. Dies ist f¨ ur jedes Paar von Ungleichungen, bei denen die Koeffizienten der ausgew¨ahlten Variable verschiedene Vorzeichen aufweisen, m¨ oglich. Auf diese Weise kann eine Variable aus den Nebenbedingungen entfernt werden, nicht aber aus der Zielfunktion. F¨ ur eine vollst¨andige Elimination einer Variable macht es sich also erforderlich, eine ¨ aquivalente Aufgabe zu formulieren, in der die zu eliminierenden Variablen nicht in der Zielfunktion auftreten. Beispiel 3.1. Es wird erneut das Beispiel aus Abschnitt 2.1 betrachtet, also die Aufgabe max x1 u.d.B. 2x1 x1 −x1

+ x2 − 2x2 + 2x2 + 3x2 x1 , x2

≤ ≤ ≤ ≥

4 7 6 0.

Durch eine geeignete Umformulierung werden zun¨achst die Variablen x1 , x2 aus der Ziel¨ funktion eliminiert. Dazu wird die neue Zielfunktion max z eingef¨ uhrt und die Aquivalenz zur urspr¨ unglichen Aufgabe durch die zus¨ atzliche Restriktion z ≤ x1 + x2 hergestellt: max z u.d.B. z − x1 2x1 x1 − x1 x1

− − + +

≤ ≤ ≤ ≤ ≥ x2 ≥

x2 2x2 2x2 3x2

0 4 7 6 0 0.

20

3 Fourier-Motzkin-Elimination

Aus dem System der Nebenbedingungen soll nun die Variable x1 eliminiert werden. Dazu werden die Ungleichungen in eine Form gebracht, in der alle dasselbe Relationszeichen aufweisen. Bez¨ uglich x1 teilt sich das Ungleichungssystem in drei Gruppen auf: Ungleichungen mit positivem, negativem bzw. verschwindendem Koeffizient bei x1 . Durch Multiplikation mit einer geeigneten positiven Zahl k¨ onnen die nichtverschwindenden Koeffizienten auf +1 bzw. −1 normiert werden: x1 x1 z − x1 − x1 − x1

− + − +

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − x2 ≤ x2 2x2 x2 3x2

2 7 0 6 0 0.

Aus jedem Paar, bestehend aus einer Ungleichung mit positivem und einer mit negativem Koeffizient bei x1 , kann eine neue g¨ ultige Ungleichung gewonnen werden, die x1 nicht mehr enth¨alt. So erh¨alt man etwa durch Summation von x1 − x2 ≤ 2 und z − x1 − x2 ≤ 0 die Folgerung z − 2x2 ≤ 2. F¨ ur die Elimination der Variable x2 im n¨achsten Schritt ist es g¨ unstig, die von 0 verschiedenen Koeffizienten bei x2 jeweils wieder auf den Betrag 1 zu normieren, obige Ungleichung also in der Form 12 z − x2 ≤ 1 zu schreiben. Aus den sechs Ungleichungspaaren, bei denen die Koeffizienten von x1 unterschiedliche Vorzeichen haben, sowie der Ungleichung −x2 ≤ 0, die x1 nicht enth¨alt, ergibt sich folgendes System: 1 z 2

− x2 x2 − x2 z + x2 x2

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

1 4 2 7 13 5 7 2

x2 ≤ − x2 ≤ 0 Die Ungleichungen x2 ≤ 4 und x2 ≤ 72 sind schw¨ acher als x2 ≤ 13 onnen im Weiteren 5 und k¨ vernachl¨assigt werden. Dies trifft auch auf −x2 ≤ 2 zu, da diese Ungleichung aus −x2 ≤ 0 folgt. Aus dem verbleibenden System z + x2 ≤ 7 x2 ≤ 13 5 1 2 z − x2 ≤ 1 − x2 ≤ 0 wird auf analoge Weise die Variable x2 eliminiert, was auf das Ungleichungssystem 3 2z

≤ 8, z ≤ 7, 12 z ≤

18 5 ,

0≤

13 5 ,

3 Fourier-Motzkin-Elimination

21

f¨ uhrt, welches letztlich zu z ≤ 16 aquivalent ist. Offensichtlich endet der Eliminationsprozess 3 ¨ an dieser Stelle, folglich wird mit der R¨ uckw¨ artsrechnung begonnen. sagt aus, Das Ziel besteht in der Maximierung von z; die verbleibende Ungleichung z ≤ 16 3 dass der maximale Wert z ∗ = 16 ist. Bei dieser Wahl folgt aus dem Ungleichungssystem 3 in den Variablen x2 und z nun 53 ≤ x∗2 ≤ 53 , also x∗2 = 53 . Schließlich ergibt sich aus dem 11 11 ∗ ∗ urspr¨ unglichen System die Einschr¨ ankung 11 3 ≤ x1 ≤ 3 , d. h. x1 = 3 , was die bereits mit der grafischen Methode gefundene eindeutige optimale L¨osung best¨atigt.  Bei diesem Vorgehen kann die neu eingef¨ uhrte, die urspr¨ ungliche Zielfunktion repr¨asentierende Variable z nie eliminiert werden, da sie im Nebenbedingungssystem der ¨aquivalenten Formulierung genau einmal mit nichtverschwindendem Koeffizient auftritt und damit auch in allen folgenden Ungleichungssystemen nie Koeffizienten mit verschiedenen Vorzeichen auftreten, die sich gegenseitig ausl¨ oschen. Sind alle anderen Variablen eliminiert, kann also der kleinste bzw. gr¨ oßte zul¨ assige Wert von z stets leicht gefunden werden. Die Unzul¨assigkeit einer Aufgabe wird an einer widerspr¨ uchlichen Ungleichung der Form 0 ≤ b mit b < 0 erkannt. Beispiel 3.2. Bei Anwendung der Fourier-Motzkin-Elimination auf max x1 u.d.B. −x1 + x2 ≥ 1 2x1 + x2 ≥ 2 x2 ≤ 0 ist zun¨achst das Ungleichungssystem x1 − z − x1 − x1 −

x2 ≤ −1 ≤ 0 1 x 2 2 ≤ −1 x2 ≤ 0

zu betrachten, welches nach Elimination von x1 in x2 ≤ 0 z − x2 ≤ −1 − x2 ≤ − 43 uchliche System u ¨bergeht und nach Elimination von x2 schließlich in das widerspr¨ z ≤ −1 0 ≤ − 43 .  Die Unbeschr¨anktheit einer Aufgabe wird daran erkannt, dass in einer gewissen Iteration das Ungleichungssystem f¨ ur beliebige Werte von z erf¨ ullt werden kann.

22

3 Fourier-Motzkin-Elimination

Beispiel 3.3. Es wird die Aufgabe max x1 u.d.B. −x1 + x2 ≤ 1 2x1 + x2 ≥ 2 x2 ≥ 0 untersucht. Diese f¨ uhrt auf das Ungleichungssystem z − x1 − x1 + − x1 − −

≤ 0 x2 ≤ 1 1 2 x2 ≤ −1 x2 ≤ 0 .

In diesem System kann x1 nicht wie beschrieben eliminiert werden, da kein positiver Koeffizient auftritt. Andererseits k¨ onnen die ersten drei Ungleichungen bei fixierten Werten von ullt werden, so dass im Weiteren nur noch x2 und z stets durch geeignete Wahl von x1 erf¨ das aus einer Ungleichung bestehende System −x2 ≤ 0 betrachtet werden muss. Aus diesem ur fixiertes z kann das System durch geeignete System kann x2 nicht eliminiert werden. F¨ Wahl von x2 stets erf¨ ullt werden. Damit kann f¨ ur z ein beliebiger Wert, insbesondere ein beliebig großer Wert, gew¨ ahlt werden. Geeignete x2 und x1 generieren stets eine zul¨assige  L¨osung. Um diese Situation zu charakterisieren wird z ∗ = +∞ gesetzt. Zum L¨osen eines linearen Optimierungsproblems mittels Fourier-Motzkin-Elimination sind die folgenden Schritte durchzuf¨ uhren. L¨ osung linearer Optimierungsaufgaben durch Fourier-Motzkin-Elimination 1. Einf¨ uhren einer neuen Variablen z, der neuen Zielfunktion max /min z sowie einer neuen Nebenbedingung z ≤ / ≥ cτ x bei Maximierung / Minimierung der urspr¨ unglichen Zielfunktion cτ x. 2. Umformulieren aller Nebenbedingungen als Ungleichungen mit einheitlichem Relationszeichen. 3. Iterative Elimination der Variablen x1 , x2 , . . . xn nach dem oben beschriebenen Schema, solange dies m¨oglich ist. 4. Test auf Zul¨assigkeit bzw. bestm¨ ogliche Wahl eines zul¨assigen z und R¨ uckw¨artsrechnung zur Bestimmung der Werte der Entscheidungsvariablen. Diese Methode ist nur bei Problemen mit wenigen Variablen und Nebenbedingungen sinnvoll einsetzbar. Liegen anf¨ anglich etwa m Ungleichungen in n Variablen vor und die Koeffizienten alfte positiv und negativ, besteht das zu untersuchende Ungleichungsvon x1 sind je zur H¨ 2 system nach Elimination von x1 aus m4 Ungleichungen, deren Anzahl im weiteren Verlauf in gleichem Maße steigen kann. Aufgabe 3.1. Die nachstehenden Optimierungsprobleme sind mit Fourier-Motzkin-Elimination zu l¨osen:

3 Fourier-Motzkin-Elimination

a) max u.d.B.

x1 x1 x1 10x1

+ − + +

3x2 x2 2x2 x2 x2

≤ ≤ ≥ ≥

23

1 4 5 0;

b) max x1 − x 2 u.d.B. 2x1 + x2 − x3 ≤ 8 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ; c) min u.d.B.

4x1 − 2x2 + x3 x1 − x2 + 2x3 ≥ 1 −2x1 − x2 + x3 ≤ −2 + 2x3 ≤ 3 4x1 x1 ≥ 0.

Aufgabe 3.2. Es ist zu zeigen, dass bei Anwendung der Fourier-Motzkin-Elimination auf ein Optimierungsproblem mit n Variablen und m Ungleichungsnebenbedingungen die Anzahl der Ungleichungen auf 22

1

n

−2



m 2

2n

anwachsen kann. Dabei werde angenommen, dass im Verlauf des Eliminationsprozesses erzeugte redundante Ungleichungen nicht vernachl¨assigt werden.

4

Primale Simplexmethode

Eine Aufgabe der Form max / min u.d.B.

c x Ax  b,

wobei  in jeder Zeile der Nebenbedingungen f¨ ur eines der Relationszeichen ≤, = und ≥ stehen kann, wird lineares Optimierungsproblem genannt. Die effektive Anwendung der bisher vorgestellten L¨ osungsmethoden setzt zus¨ atzliche strukturelle Forderungen – bez¨ uglich der Anzahl der Variablen oder Anzahl und Art der Nebenbedingungen – voraus. Im Weiteren soll eine universell einsetzbare Methode entwickelt werden. Daf¨ ur ist es g¨ unstig, eine spezielle Form obiger Aufgabe zu betrachten, welche jedoch keine Einschr¨ankung des allgemeinen Falls darstellt.

4.1

Normalform

Als Normalform eines linearen Optimierungsproblems wird min c x u.d.B. Ax = b x≥0 bezeichnet – eine Aufgabe, deren Zielfunktion zu minimieren ist, in der alle Variablen vorzeichenbeschr¨ankt sind und s¨ amtliche Nebenbedingungen in Gleichungsform vorliegen. Zus¨atzlich wird gefordert, dass b nur nichtnegative Komponenten und die m-zeilige Matrix A vollen Zeilenrang hat. Folglich ist die Dimension n des L¨osungsvektors x mindestens m; u ¨blicherweise gilt n > m, so dass das System der Gleichungsnebenbedingungen Ax = b unterbestimmt ist. Die Forderung vollen Zeilenrangs der Matrix A ist im Wesentlichen technischer Natur. Falls A keinen vollen Zeilenrang hat, sind f¨ ur die mit dem Vektor b erweiterte Systemmatrix (A, b) zwei F¨alle m¨oglich: 1. rang(A, b) > rang(A): In diesem Fall existieren keine L¨osungen des Gleichungssystems Ax = b. Damit ist die Optimierungsaufgabe unzul¨assig und eine weitere Untersuchung nicht von Interesse. 2. rang(A, b) = rang(A) < m: Dann enth¨ alt das System Ax = b eine oder mehrere Gleichungen, die aus anderen Gleichungen des Systems folgen und damit ohne Ver¨anderung

26

4 Primale Simplexmethode

der L¨osungsmenge vernachl¨ assigt werden k¨ onnen. Es ist zu bemerken, dass auch in diesem Fall die Unzul¨assigkeit des Optimierungsproblems m¨oglich ist, da s¨amtliche L¨osungen des Gleichungssystems die Nichtnegativit¨ atsbedingungen verletzen k¨onnen. Im Abschnitt 4.4 wird gezeigt, wie auf die Voraussetzung vollen Zeilenrangs verzichtet werden kann. Liegt eine Aufgabe zun¨ achst nicht in Normalform vor, kann sie leicht in diese u uhrt ¨berf¨ werden. Falls f¨ ur eine Entscheidungsvariable xj urspr¨ unglich nicht die Forderung der Nichtnegativit¨at besteht, aber xj durch eine einfache Ungleichung der Form xj ≥ d oder xj ≤ d + beschr¨ankt ist, kann durch die Substitution x+ j = xj − d bzw. xj = d − xj die Aufga+ be a¨quivalent mit der nichtnegativen Variablen xj formuliert werden. Eine Variable xj , bez¨ uglich derer die Aufgabe keine expliziten Schranken aufweist, l¨asst sich als Differenz − + − ucken. Diese Substitutionen xj = x+ j − xj der nichtnegativen Variablen xj und xj ausdr¨ sind in allen Nebenbedingungen sowie der Zielfunktion durchzuf¨ uhren. Ungleichungsnebenbedingungen Ai x ≤ bi oder Ai x ≥ bi k¨onnen durch Einf¨ uhrung von nichtnegativen Schlupfvariablen xi auf Gleichungsform Ai x + xi = bi bzw. Ai x − xi = bi gebracht werden. In der Zielfunktion werden diese Schlupfvariablen mit dem Koeffizient null versehen. Sind einzelne Komponenten von b negativ, werden die entsprechenden Gleichungen mit −1 multipliziert. Im Sinne der Gleichheit der Menge der optimalen L¨osungen ist die Maximierung von c x der Minimierung von (−c) x ¨ aquivalent. Beispiel 4.1. Die Aufgabe min 3x1 + 5x2 − x3 u.d.B. x1 + 2x2 − x3 2x1 + x3 x2 x3

= 0 ≥ 4 ≤ 0 ≥ −1

ist in Normalform darzustellen. − + − + Dazu werden die Substitutionen x1 = x+ 1 − x1 mit x1 , x1 ≥ 0 sowie x2 = −x2 und x3 = +  x3 − 1 vorgenommen und die Schlupfvariable x1 in die erste Ungleichungsnebenbedingung eingef¨ uhrt.

Es ergibt sich die ¨ aquivalente Aufgabe − + + min 3x+ 1 − 3x1 − 5x2 − x3 +1 + − + u.d.B. x1 − x1 − 2x2 − x+ = −1 3 −  + x+ 5 2x+ 1 − 2x1 3 − x1 = − + +  x+ , x , x , x , x ≥ 0 1 1 1 2 3 − + +  mit den Entscheidungsvariablen x+ 1 , x1 , x2 , x3 , x1 .

4.2 Primale Simplexmethode in vektorieller Form

27

Wird jetzt noch die erste Gleichung mit −1 multipliziert, ergibt sich eine ¨aquivalente lineare Optimierungsaufgabe in Normalform. Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe kann die additive Konstante +1 in der Zielfunktion vernachl¨assigt werden. Ist die optimale L¨osung − + +   (x+ der ¨ aquivalenten Aufgabe gefunden, sind zur Angabe der optimalen 1 , x1 , x2 , x3 , x1 ) L¨osung (x1 , x2 , x3 ) und des optimalen Zielfunktionswertes der urspr¨ unglichen Aufgabe s¨amtliche Substitutionen r¨ uckg¨ angig zu machen.  Aufgabe 4.1. Wie lautet eine m¨ ogliche Normalform von a) max x1 + u.d.B. x1 − x1 + x1 −

x2 x2 2x2 3x2 x2

≤ 2 ≤ 7 ≥ −6 ≥ 0;

b) min c x u.d.B. Ax ≤ b; n  c) min |xj | j=1

u.d.B. Ax = b ? Aufgabe 4.2. Als Normalform eines linearen Optimierungsproblems kann auch die Aufgabe mit Ungleichungsnebenbedingungen min c x u.d.B. Ax ≤ b x≥0 definiert werden. Wie kann eine gegebene Aufgabe min c x u.d.B. Bx = d x≥0 mit m Gleichungsnebenbedingungen Bx = d in dieser Normalform dargestellt werden, so dass sie a) 2m Ungleichungen; b) m + 1 Ungleichungen enth¨ alt?

4.2

Primale Simplexmethode in vektorieller Form

F¨ ur Optimierungsprobleme in Normalform soll nun ein universell einsetzbares algebraisches L¨ osungsverfahren – die Simplexmethode – entwickelt werden. Grundlage dieses Verfahrens ist eine besondere Struktur der optimalen L¨ osungen linearer Optimierungsaufgaben.

28

4 Primale Simplexmethode

Die im Beispiel 2.3 betrachtete Aufgabe min −x1 + x3 − x4 + x6 u.d.B. x1 + x2 + 6x3 + 2x4 + 4x5 = 4 3x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 + 3x5 + 3x6 = 6 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0 liegt bereits in Normalform vor; ihre optimale L¨osung wurde im Abschnitt 2.2 als x∗ = (1, 0, 0, 32 , 0, 0) bestimmt. Die Normalform des im Beispiel 2.1 betrachteten Problems ist min −x1 − u.d.B. 2x1 − x1 + −x1 +

x2 2x2 + x1 2x2 + x2 3x2 + x3  x1 , x2 , x1 , x2 , x3

= = = ≥

4 7 6 0.

5 ∗ Aus den bereits in Abschnitt 2.1 bestimmten Optimalwerten x∗1 = 11 3 und x2 = 3 lassen 14    sich die zugeh¨origen Werte der Schlupfvariablen x1 = 0, x2 = 0, x3 = 3 bestimmen. Die 5 14  optimale L¨osung der Aufgabe in Normalform ist somit durch den Vektor ( 11 3 , 3 , 0, 0, 3 ) gegeben.

Die L¨osungen dieser beiden Beispielaufgaben weisen eine Besonderheit auf: Viele, genauer n−m Variablen haben im Optimum den Wert null, wobei wie bisher n die Anzahl der Unbekannten und m die Anzahl der Gleichungsnebenbedingungen bezeichnet. Anhand der grafischen Darstellung aus Beispiel 2.1 l¨ asst sich leicht u ¨berlegen, dass bei beliebiger Zielfunktion die Menge der optimalen L¨ osungen stets einen oder mehrere Eckpunkte des zul¨assigen Bereichs enth¨alt. Einen exakten Beweis dieser und anderer Aussagen enth¨alt Kapitel 8. Diese Eckpunkte sind dadurch gekennzeichnet, dass gewisse Ungleichungen der urspr¨ unglichen Aufgabe – einschließlich der Nichtnegativit¨ atsbedingungen – als Gleichung erf¨ ullt werden, folglich die entsprechenden zur Erzeugung der Normalform eingef¨ uhrten Schlupfvariablen – bzw. die entsprechenden urspr¨ unglichen Variablen selbst – null sind. Bei der Suche nach optimalen L¨ osungen einer Aufgabe min c x u.d.B. Ax = b x≥0 in Normalform sind also insbesondere Eckpunkte der zul¨assigen Menge {x : Ax = b, x ≥ 0} zu betrachten. Wie oben vereinbart bezeichne n die Dimension des Entscheidungsvektors x und m die Anzahl der Gleichungsnebenbedingungen. Werden n−m Variablen derart ausgew¨ahlt, dass die zu den restlichen m Variablen geh¨orenden Spalten der Matrix A linear unabh¨angig sind – aufgrund der Annahme rang(A) = m existieren m linear unabh¨angige Spalten –, lassen sich die Werte dieser anderen Variablen eindeutig aus dem Gleichungssystem bestimmen.

4.2 Primale Simplexmethode in vektorieller Form

29

angigen Die Variablen x1 , x2 , . . . , xn werden also in zwei Klassen aufgeteilt: die n−m unabh¨ oder Nichtbasisvariablen, deren Wert beliebig – insbesondere auf den Wert null – fixiert werden kann, und die m abh¨ angigen oder Basisvariablen, die sich nach Fixierung der Nichtbasisvariablen als L¨ osung des Gleichungssystems ergeben. Mit B werde die Basis – die Menge der zu Basisvariablen geh¨ orenden Indizes – bezeichnet; N = {1, 2, . . . , n} \ B bezeichnet entsprechend die Menge der nicht der Basis angeh¨orenden Indizes. Damit sind die in das Optimierungsproblem eingehenden Daten aufgeteilt in x = (xB , xN ) , A = (AB , AN ), c = (cB , cN ) . Die lineare Unabh¨angigkeit der Spalten der Basismatrix AB impliziert deren Invertierbarkeit. Aus dem System der Nebenbedingungen b = Ax = AB xB +AN xN folgt die Darstellung der Basisvariablen −1 xB = A−1 B b − AB AN xN

in Abh¨angigkeit der Nichtbasisvariablen. Wird Letzteren der Wert xN = 0 zugewie−1 osung sen, ergibt sich xB = A−1 B b. Ist der Vektor AB b nichtnegativ, ist die Basisl¨ −1 x = (xB , xN ) = (AB b, 0) zul¨ assig f¨ ur das betrachtete Problem; B wird dann zul¨ assige Basis genannt. Zun¨ achst werde angenommen, dass eine zul¨assige Basis bekannt ist. Wie eine solche gefunden werden kann, wird im Abschnitt 4.4 erl¨autert. ¨ Nun soll untersucht werden, ob durch den Ubergang zu einer benachbarten, das heißt durch den Austausch genau eines Basiselements erzeugten, zul¨assigen Basisl¨osung der Zielfunktionswert verbessert werden kann. Um die Auswirkung einer derartigen Ver¨anderung auf den Zielfunktionswert zu analysieren, wird dieser mittels der unabh¨angigen Variablen xN dargestellt: c x = = =

 c B xB + cN xN

−1 −1  c B (AB b − AB AN xN ) + cN xN

−1 −1   c B AB b + (cN − (AB AN ) cB ) xN .

Wegen der Nichtnegativit¨ atsforderung ist f¨ ur die Nichtbasisvariablen, ausgehend vom bisherigen Wert xN = 0, eine Vergr¨ oßerung, aber keine Verkleinerung ihrer Werte zul¨assig. Falls der Vektor der Optimalit¨ atsindikatoren oder reduzierten Kosten r  = cN − (A−1 zN B AN ) cB

nichtnegativ ist, kann der zu dieser Basisl¨ osung geh¨orende Zielfunktionswert offensichtlich nicht mittels einer zul¨ assigen Ver¨ anderung von xN verkleinert werden; die aktuelle Basisl¨osung ist optimal. j0  Ist anderenfalls f¨ ur ein j0 ∈ N der zu xj0 geh¨ orende Koeffizient zjr0 = cj0 − (A−1 B A ) cB negativ, kann durch Vergr¨ oßerung von xj0 auf einen Wert t > 0 und Beibehaltung des Wertes 0 der u ¨brigen Nichtbasisvariablen ein kleinerer Zielfunktionswert erzielt werden. Dabei bezeichnet Aj0 die j0 -te Spalte von A und im Folgenden ej0 den j0 -ten Einheitsvektor. −1 Aus der Darstellung xB = A−1 B b − AB AN xN wird ersichtlich, dass sich durch die Wahl von −1 j0 xj0 = t bzw. xN = tej0 die Werte der Basisvariablen um tΔxB := tA−1 B AN ej0 = tAB A

30

4 Primale Simplexmethode

ullen, wodurch osung muss die Forderung A−1 ¨andern. Die so gewonnene L¨ B b − tΔxB ≥ 0 erf¨ die m¨ogliche Vergr¨ oßerung t nach oben beschr¨ ankt sein kann. Bei Indizes i mit Δxi ≤ 0 tritt keine Verletzung der Nichtnegativit¨atsbedingung auf. Falls insbesondere Δxi ≤ 0 f¨ ur alle i ∈ B, ist die durch xB (t) = A−1 B b − tΔxB , xN (t) = tej0 erzeugte L¨osung x(t) f¨ ur alle t ≥ 0 zul¨ assig. Da f¨ ur wachsendes t der Zielfunktionswert −1 r r c x(t) = c allt, ist das Optimierungsproblem in diesem B AB b + tzj0 wegen zj0 < 0 linear f¨ Fall unbeschr¨ankt. xi F¨ ur Indizes i ∈ B mit Δxi > 0 muss t der Forderung t ≤ Δx gen¨ ugen. Die f¨ ur dieses x(t) i xi : i ∈ B, Δxi > 0}. maximale zul¨assige Vergr¨ oßerung von xj0 ist folglich tx = min{ Δx i Dieses Minimum werde durch den Index i0 realisiert.

Nach der Erh¨ohung von xj0 = 0 auf xj0 = tx gilt dann offensichtlich xi0 = 0; also weist xi0 die Eigenschaft der Nichtbasisvariablen auf. Da B eine Basis und somit AB invertierbar ist, ist das Gleichungssystem AB ΔxB = Aj0 eindeutig l¨osbar, wobei gem¨aß der Definition von i0 f¨ ur diese L¨osung Δxi0 > 0 gilt. Somit ist Aj0 von den Vektoren {Ai : i ∈ B \ {i0 }} linear unabh¨angig und die Indexmenge B \ {i0 } ∪ {j0 } bildet ebenfalls eine Basis, die aufgrund der Wahl von tx zul¨ assig ist. Wird die Definition der reduzierten Kosten auf die Basisvariablen ausgedehnt, kann die Berechnung der zur neuen Basis B \{i0 }∪{j0 } geh¨ orenden Optimalit¨atsindikatoren vereinfacht  A) c sei analog in Basis- und Nichtbasiskomponenten werden. Der Vektor z r = c − (A−1 B B aufgeteilt. Dann ist

zr

r r = (zB , zN )  = (cB , cN ) − (A−1 B (AB , AN )) cB −1  = (0, cN − (AB AN ) cB ),

also verschwinden die zu Basisvariablen geh¨ orenden Komponenten von z r ; insbesondere gilt r dies f¨ ur den neu aufgenommenen Index j0 . Die reduzierten Kosten zN ver¨andern sich durch r  Entfernen von i0 aus der Basis um ein Vielfaches von ΔzN = −(A−1 B AN ) ei0 , das heißt r r r zN (s) = zN − sz ΔzN . Aus der Bedingung zjr0 (s) = 0 kann dieser Faktor als sz =

bestimmt werden.

zjr 0 Δzjr

0

Das Aufnehmen von j0 in die Basis und Entfernen von i0 aus der Basis bewirkt also ei¨ ne Ver¨anderung von xB in Richtung −ΔxB mit der Schrittweite tx sowie eine Anderung r r von zN in Richtung −ΔzN mit der Schrittweite sz . Anschließend liegen wiederum eine zul¨assige Basisl¨osung und zugeh¨ orige reduzierte Kosten vor – eine zum Ausgangspunkt die¨ ser Betrachtung analoge Situation. Damit k¨ onnen obige Uberlegungen f¨ ur die neue Basis wiederholt werden. Der Algorithmus der primalen Simplexmethode l¨asst sich wie folgt zusammenfassen:

31

4.2 Primale Simplexmethode in vektorieller Form

Primaler Simplexalgorithmus Gegeben sei die zul¨ assige Basis B: es gelte xB = A−1 B b ≥ 0 sowie N = {1, 2, . . . , n} \ B −1 r und zN = cN − (AB AN ) cB . r 1. Falls zN ≥ 0, dann ist x = (xB , 0) optimale L¨osung. Stopp. 2. Bestimmung des in die Basis eintretenden Index, d. h. Wahl eines j0 mit zjr0 < 0. j0 Berechnung von ΔxB = A−1 B A . 3. Falls ΔxB ≤ 0, dann ist die Aufgabe unbeschr¨ankt. Stopp. xi 4. Berechnung der Schrittweite tx = min { Δx : i ∈ B, Δxi > 0} und Bestimmung des die i Basis verlassenden Index, d. h. Wahl eines i0 , welches dieses Minimum realisiert. zjr r  0 5. Berechnung von ΔzN = −(A−1 B AN ) ei0 und sz = Δz r . j0

6. xj0 := tx xB := xB − tx ΔxB zi0 := sz r r r zN := zN − sz ΔzN B := B \ {i0 } ∪ {j0 } N := N \ {j0 } ∪ {i0 } Fortsetzung bei 1. Beispiel 4.2. Die Simplexmethode wird an der Normalform der Aufgabe aus Beispiel 2.1 demonstriert. Zur u ¨bersichtlichen Darstellung werden die Schlupfvariablen x1 , x2 , x3 als x3 , x4 , x5 bezeichnet. Das lineare Optimierungsproblem mit den Entscheidungsvariablen x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ist dann gekennzeichnet durch den Zielfunktionsvektor c = (−1, −1, 0, 0, 0) , die Systemmatrix ⎛ ⎞ 2 −2 1 0 0 A=⎝ 1 2 0 1 0⎠ −1

3

0

0

1

und den Vektor der rechten Seite b = (4, 7, 6) . Offensichtlich ist durch B = {3, 4, 5} eine zul¨assige Basis gegeben, f¨ ur die xB = (x3 , x4 , x5 ) = (4, 7, 6) , r zN = (z1r , z2r ) = (−1, −1) gilt. Weil insbesondere z1r < 0 ist, kann x1 als in die Basis aufzunehmende Variable gew¨ahlt werden; es ergibt sich ΔxB = (2, 1, −1) . Die Schrittweite ist bestimmt durch tx = min{ 42 , 71 } = 2, wobei das Minimum bei i0 = 3 angenommen wird; also wird x3 aus r = (−2, 2) , sz = −1 = 12 und der Basis entfernt. Damit ist ΔzN −2 (x3 , x4 , x5 ) = (4, 7, 6) − 2 · (2, 1, −1) = (0, 5, 8) , (z1r , z2r ) = (−1, −1) − 12 · (−2, 2) = (0, −2) .

32

4 Primale Simplexmethode

Mit der neuen Basis B = {1, 4, 5} sind xB = (x1 , x4 , x5 ) = (2, 5, 8) , r zN = (z2r , z3r ) = (−2, 12 ) verbunden. Wegen z2r < 0 tritt x2 in die Basis ein, folglich werden ΔxB = (−1, 3, 2) r und tx = min{ 53 , 82 } = 53 mit i0 = 4 berechnet. Schließlich ergibt sich ΔzN = (−3, 12 ) , −2 2 sz = −3 = 3 und 14  (x1 , x4 , x5 ) =(2, 5, 8) − 53 ·(−1, 3, 2) = ( 11 3 , 0, 3 ) , 1  2 1  1  r r  (z2 , z3 ) = (−2, 2 ) − 3 · (−3, 2 ) = (0, 6 ) . r = Da f¨ ur die neue Basis B = {1, 2, 5} die eben berechneten reduzierten Kosten zN (z3 , z4 ) = ( 16 , 23 ) nichtnegativ sind, endet der L¨osungsprozess mit der damit verbundenen , 5 , 0, 0, 14 ) .  optimalen Basisl¨osung x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = ( 11 3 3 3

Es sei B eine zul¨assige Basis, und die dadurch erzeugte L¨osung xB = A−1 B b, xN = 0 sei r optimal, also zN ≥ 0. Falls zj = 0 f¨ ur ein j ∈ N , kann aus der Darstellung −1 r c x = c B AB b + zN xN

gefolgert werden, dass weitere optimale Basen oder weitere optimale L¨osungen existieren k¨onnen. Beispiele dazu sind im folgenden Abschnitt 4.3 angegeben. Eine wichtige Voraussetzung f¨ ur die L¨ osbarkeit von linearen Optimierungsaufgaben mit der Simplexmethode ist der Fundamentalsatz der linearen Optimierung: Ist der Optimalwert einer linearen Optimierungsaufgabe endlich, so besitzt sie eine optimale Basisl¨osung. Anderenfalls ist die Aufgabe unzul¨assig oder unbeschr¨ankt.

4.3

Primale Simplexmethode in Tableauform

Die Beschreibung der Simplexmethode in vektorieller Form eignet sich besonders f¨ ur die Umsetzung in einem Computerprogramm. Sollen kleine Beispielaufgaben von Hand gerechnet werden, ist die Darstellung in Tableauform g¨ unstiger. Das Tableau enth¨ alt alle f¨ ur einen Basiswechsel ben¨otigten Daten, also insbesondere die r Basismenge B, die Werte der Basisvariablen xB = A−1 B b, die reduzierten Kosten z = −1 −1  c − (AB A) cB sowie die Matrix AB A. Die Wahl des in die Basis aufzunehmenden Index erfolgt anhand der reduzierten Kosten; zur Bestimmung der die Basis verlassenden Variablen xi mit Δxi > 0 angef¨ ugt werden. Es ergibt sich das folgende k¨onnen die Quotienten Δx i Tableau: B i1 .. . im

x1

x2

···

xn

xB

t

A−1 B A

A−1 B b

xB ΔxB

−1 c − c B (AB A)

−z

33

4.3 Primale Simplexmethode in Tableauform

Die Zahl z ist der Zielfunktionswert der aktuellen Basisl¨osung. Die zu Basisvariablen geh¨orenden Spalten des Tableaus enthalten Einheitsvektoren, die zusammengesetzt sind atsindikator mit aus einem m-dimensionalen Einheitsvektor aus A−1 B A und dem Optimalit¨ dem Wert null. Nach der Bestimmung der in der Basis auszutauschenden Indizes erfolgt die Umrechnung der −1 −1  Koeffizienten von A−1 B A, AB b und c− (AB A) cB durch einen Gauß-Jordan-Schritt. Dabei wird durch elementare Zeilenoperationen die zur neu aufgenommenen Variablen geh¨orende Spalte – inklusive des Optimalit¨ atsindikators – in den Einheitsvektor u uhrt, der ¨berf¨ urspr¨ unglich in der Spalte enthalten ist, die zu der die Basis verlassenden Variable geh¨ort. In das Starttableau k¨ onnen zus¨ atzlich zu den genannten Gr¨oßen die Zielfunktionskoeffizienten eingetragen werden. Dies erleichtert die Berechnung der zur Startbasis geh¨orenden Optimalit¨atsindikatoren. Beispiel 4.3. Zur Demonstration der Simplexmethode in Tableauform wird erneut die Beispielaufgabe min −x1 − u.d.B. 2x1 − x1 + −x1 +

x2 2x2 + x3 2x2 + x4 3x2 + x5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5

= = = ≥

4 7 6 0

aus dem vorangegangenen Abschnitt herangezogen. Als Startbasis wird B = {3, 4, 5} ugte Einheitsmatrix, so dass gew¨ahlt. Folglich ist AB die durch die Schlupfvariablen angef¨ −1 A−1 A = A und A b = b gilt. B B

B x3 x4 x5

cB 0 0 0

x1 x2 x3 x4 −1 −1 0 0 2 −2 1 0 1 2 0 1 −1 3 0 0 −1 −1 0 0

x5 0 0 0 1 0

xB 4 7 6 0

t 2 7 −

Die zur Startbasis geh¨ orenden Optimalit¨ atsindikatoren j  zjr = cj − (A−1 B A ) cB

werden als Differenz aus den Eintr¨ agen cj der ersten Zeile und den Skalarprodukten aus dem Vektor cB und dem jeweiligen j-ten Spaltenvektor von A−1 B A berechnet. Durch Erwei terung dieser Berechnungsvorschrift auf die Spalte xB wird durch −(A−1 B b) cB der zu dieser Basisl¨osung geh¨orende, mit −1 multiplizierte Zielfunktionswert berechnet, der entsprechend in der letzten Zeile eingetragen wird. Aufgrund des negativen Optimalit¨ atsindikators z1r = −1 wird x1 als die in die Basis aufzunehmende Variable ausgew¨ ahlt. Die mit t gekennzeichnete Spalte enth¨alt die f¨ ur die Auswahl

34

4 Primale Simplexmethode

xi der die Basis verlassenden Variable maßgeblichen Quotienten Δx mit Δxi > 0. Das Mii nimum dieser Quotienten tritt in der zu x3 geh¨orenden Zeile auf, damit verl¨asst x3 die Basis.

F¨ ur das zur neuen Basis B = {1, 4, 5} geh¨ orende Tableau muss in der x1 -Spalte durch Zeilenoperationen ein Einheitsvektor erzeugt werden. Dies geschieht durch Division der x3 -Zeile durch 2 und Addition geeigneter Vielfacher dieser Zeile zu den u ¨brigen Zeilen, inklusive der die Optimalit¨ atsindikatoren und den mit −1 multiplizierten Zielfunktionswert enthaltenden Zeile. Die t-Spalte ist von dieser Rechnung auszuschließen. Das Resultat dieses und des n¨ achsten Basistauschs sind in den folgenden Tableaus dargestellt: B

x1

x2

x3

x4

x5

xB

t

1 2 − 12 1 2 1 2 1 3 − 16 5 3 1 6

0 1

0 0

2 5

−

0 0

1 0

8 2

4

1 3 1 3 − 23 2 3

0 0 1 0

11 3 5 3 14 3 16 3

x1 x4

1 0

−1 3

x5

0 0

2 −2

x1 x2 x5

1 0 0 0

0 1 0 0

5 3

Die im letzten Tableau angegebene Basis B = {1, 2, 5} und die zugeh¨orige L¨osung x = , 5 , 0, 0, 14 ) sind optimal, da die reduzierten Kosten z r nichtnegative Werte aufweisen. ( 11 3 3 3 Insbesondere sind die den unabh¨ angigen Variablen x3 , x4 zugeordneten z3 , z4 positiv, folglich existieren keine weiteren optimalen L¨ osungen. Zu bemerken ist noch, dass −16/3 der optimale Zielfunktionswert ist. Der mit −1 multiplizierte Zielfunktionswert der den Tableaus entsprechenden Basisl¨osungen steht in der letzten Zeile dieser Tableaus in der zu xB geh¨ orenden Spalte.  An einfachen Beispielen wird nun erl¨ autert, wodurch nichteindeutige optimale L¨osungen gekennzeichnet sind. Beispiel 4.4. F¨ ur alle zul¨ assigen L¨ osungen des Problems min x1 + x2 + 2x3 u.d.B. x1 + x3 = 1 x2 + x3 = 2 x1 , x2 , x3 ≥ 0 ist der Zielfunktionswert offensichtlich 3. F¨ ur die Basis B = {1, 2} gilt z3 = 0; die Aufnahme von x3 in die Basis bewirkt also keine Ver¨anderung des Zielfunktionswertes. Der anschließende Basistausch ist im nachstehenden Tableau dargestellt, dem zu entnehmen ist,

4.3 Primale Simplexmethode in Tableauform

35

dass B (1) = {1, 2}, B (2) = {2, 3} optimale Basen und entsprechend x(1) = (1, 2, 0) , x(2) = (0, 1, 1) optimale L¨ osungen sind: B

x1

x2

x3

xB

t

x1 x2

1 0 0

0 1 0

1 1 0

1 2 −3

1 2

x3 x2

1 −1 0

0 1 0

1 0 0

1 1 −3

Aufgrund der Linearit¨ at der in das Problem eingehenden Funktionen sind neben den beiden Basisl¨osungen auch alle ihre affinen Linearkombinationen, und wegen der Nichtnegativit¨atsforderung nur die nichtnegativen unter diesen, optimal. Die L¨osungsmenge obiger Aufgabe ist damit {tx(1) + (1 − t)x(2) = (t, 1 + t, 1 − t) : 0 ≤ t ≤ 1}. Wird im Tableau zur Basis B (2) die Variable x1 in die Basis aufgenommen, ergibt sich hier wieder die Basis B (1) . F¨ ur andere Aufgaben kann so eventuell eine weitere neue Basis konstruiert werden. Durch konsequente Fortf¨ uhrung dieses Prozesses ist es m¨oglich, alle optimalen Basisl¨osungen einer linearen Optimierungsaufgabe zu konstruieren.  amtliche optimalen Basisl¨osungen von min{c x : Allgemein gilt: Sind x(1) , x(2) , . . . , x(k) s¨ Ax = b, x ≥ 0}, dann besteht die L¨ osungsmenge aus allen konvexen Linearkombinationen k k der optimalen Basisl¨ osungen, also { l=1 tl x(l) : t1 , t2 , . . . , tk ≥ 0, l=1 tl = 1}. Beispiel 4.5. Es wird folgendes Problem betrachtet: min x1 + x2 + 2x3 u.d.B. x1 + x3 = 0 x2 + x3 = 2 x1 , x2 , x3 ≥ 0 . Hier sind ebenfalls B (1) = {1, 2}, B (2) = {2, 3} optimale Basen: B

x1

x2

x3

xB

t

x1 x2

1 0 0

0 1 0

1 1 0

0 2 −2

0 2

x3 x2

1 −1 0

0 1 0

1 0 0

0 2 −2

Ausgehend von B (1) betr¨ agt bei Aufnahme von x3 in die Basis die Schrittl¨ange tx = 0, so dass beide Basen dieselbe L¨ osung (0, 2, 0) erzeugen. Dieser Fall wird als Entartung bezeichnet; Bemerkungen dazu finden sich im u  ¨bern¨achsten Abschnitt 4.5.

36

4 Primale Simplexmethode

Beispiel 4.6. In der Aufgabe min x1 + x2 − 2x3 u.d.B. x1 − x3 = 1 x2 − x3 = 2 x1 , x2 , x3 ≥ 0 ist B = {1, 2} eine optimale Basis mit der zugeh¨origen L¨osung (1, 2, 0) . Das Tableau B

x1

x2

x3

xB

t

x1 x2

1 0 0

0 1 0

−1 −1 0

1 2 −3

− −

¨ zeigt wegen z3 = 0, dass der Wert von x3 ohne Anderung des Zielfunktionswertes vergr¨oßert werden kann. Die zul¨ assige Schrittweite tx ist dabei nach oben unbeschr¨ankt, so dass x3 = t und folglich x1 = 1 + t, x2 = 2 + t f¨ ur alle t ≥ 0 optimal sind. Die L¨osungsmenge ist also  {(1 + t, 2 + t, t) : t ≥ 0}, jedoch ist B = {1, 2} einzige optimale Basis. Allgemein: Ist f¨ ur eine optimale Basis B f¨ ur ein j0 ∈ N der Optimalit¨atsindikator zjr0 = cj0 − −1 −1 −1  (AB Aj0 ) cB = 0, und ist dabei ΔxB = A−1 B Aj0 ≤ 0, dann ist xB −tΔxB = AB b−tAB Aj0 f¨ ur alle t ≥ 0 ebenfalls optimale L¨ osung. Aufgabe 4.3. In der beschriebenen Variante der Simplexmethode f¨ ur die Aufgabe r min{c x : Ax = b, x ≥ 0} dient die Berechnung der reduzierten Kosten zN und die Wahl eines j0 mit zj0 < 0 der Verkleinerung des Zielfunktionswertes; die Berechnung der Schrittweite tx und die Bestimmung des Index i0 dient der Einhaltung der Nichtnegativit¨atsforderung x ≥ 0. Es werde nun eine Aufgabe betrachtet, in der die Entscheidungsvariablen x zus¨atzlich nach oben beschr¨ ankt sind, also min c x u.d.B. Ax = b 0 ≤ x ≤ u, wobei u ein Vektor mit positiven Komponenten sei. Die Ungleichungen x ≤ u k¨onnen durch Einf¨ uhrung nichtnegativer Schlupfvariablen x in Gleichungsform x + x = u u uhrt ¨berf¨ werden; so dass die Simplexmethode in der obigen Form angewendet werden kann. Dabei verdoppelt sich die Anzahl der Variablen. Eine effizientere M¨oglichkeit besteht in einer entsprechend angepassten Wahl von j0 und i0 . Wie kann dies realisiert werden?

4.4

Zwei-Phasen-Methode

In den vorangegangenen Abschnitten wurde angenommen, dass eine zul¨assige Startbasis bekannt ist. Das ist etwa dann der Fall, wenn eine Aufgabe mit ausschließlich Ungleichungsnebenbedingungen zu bearbeiten ist, also min{c x : Ax ≤ b, x ≥ 0} mit b ≥ 0, die durch

4.4 Zwei-Phasen-Methode

37

die Addition von Schlupfvariablen x in die Normalform

 min c x bzw. min (c , 0 ) xx

 u.d.B. (A, I) xx = b u.d.B. Ax + x = b

x ≥0 x, x ≥ 0 x mit den Entscheidungsvariablen x, x u uhrt wird. Werden hier die Schlupfvariablen x ¨berf¨ als Basisvariablen und entsprechend die an die urspr¨ ungliche Systemmatrix A angef¨ ugte  Einheitsmatrix als Basismatrix gew¨ a hlt, dann liefert die Aufteilung x = x , x = x die B N

  zul¨assige Basisl¨osung xx = 0b , mit der die Simplexmethode gestartet werden kann.

Liegt das lineare Optimierungsproblem hingegen bereits in der Normalform min{c x : Ax = b, x ≥ 0} vor, ohne dass eine zul¨ assige Basis bekannt ist, kann eine solche durch das Einf¨ ugen k¨ unstlicher Variablen w gewonnen werden. Daf¨ ur werden die f¨ ur die betrachtete Aufgabe zul¨assigen L¨osungen {x : Ax = b, x ≥ 0} in die Menge {(x, w) : Ax + w = b, x ≥ 0, w ≥ 0} eingebettet. Ein Element (x, w) dieser Menge liefert eine zul¨assige L¨osung x genau dann, wenn w = 0. Zun¨achst muss also ein derartiges Paar (x, w) gefunden werden. Das kann durch Betrachtung des Problems min e w u.d.B. Ax + w = b x, w ≥ 0

(4.1)

mit den Entscheidungsvariablen x und w erfolgen, wobei e einen Vektor bezeichnet, dessen Komponenten alle den Wert eins haben. Offensichtlich besitzt diese Hilfsaufgabe eine zul¨assige Basis; als Basisvariablen werden die k¨ unstlichen Variablen w gew¨ahlt, die die

x 0 = b liefern. zul¨assige Basisl¨osung w Andererseits ist der Optimalwert dieser in Normalform vorliegenden Aufgabe genau dann null, wenn die Menge {x : Ax = b, x ≥ 0} nicht leer ist, wenn also die urspr¨ unglich zu bearbeitende Aufgabe zul¨ assig ist. Sind in diesem Fall alle k¨ unstlichen Variablen aus der optimalen Basis der Hilfsaufgabe entfernt worden, kann mit dieser zul¨assigen Basis die Simplexmethode zur L¨ osung von min{c x : Ax = b, x ≥ 0} gestartet werden. Beispiel 4.7. Zum Auffinden einer zul¨ assigen Basis der Aufgabe min 2x1 + 3x2 + x3 + 5x4 u.d.B. 4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 5 3x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 10 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 wird zun¨achst folgende Hilfsaufgabe untersucht: min w1 + w2 u.d.B. w1 + 4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 5 w2 + 3x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 10 w1 , w2 , x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 .

(4.2)

38

4 Primale Simplexmethode

Die Simplexmethode wird mit den Basisvariablen w1 , w2 gestartet. B

w1

w2

x1

x2

x3

w1 w2

1 0 0

0 1 0

4 3 −7

x1 w2

1 4 − 34 7 4

0 1

1 0

0

0

−4

5 4

1 3 − 13

− 19

5 9 16 9

8 9 − 59

1

1

1 0 0

0

0

x1 x4

4 9

4 7 −11

x4

xB

3 1 −4

1 3 −4

5 10 −15

3 1 4 4 − 54

1 4 9 4 − 94

5 4 25 4 − 25 4

0 1 0

5 9 25 9

t 5 4 10 3

5 25 9

0

Aus dem letzten Tableau ist eine erste zul¨ assige Basisl¨osung der Aufgabe ablesbar. Damit kann zur L¨osung der Aufgabe (4.2) u ¨bergegangen werden. Nach Streichung der zu den k¨ unstlichen Variablen geh¨ orenden Spalten ergibt sich das folgende Tableau. Zur Berechnung der Optimalit¨atsindikatoren m¨ ussen nat¨ urlich die Zielfunktionskoeffizienten der Aufgabe (4.2) verwendet werden. Nach einem weiteren Basistausch wird die optimale L¨osung x = (0, 1, 0, 1) gefunden. B

x1

x2

x3

x1 x4

1 0 0

5 9 16 9

8 9 5 −9

x2 x4

9 5 − 16 5 63 5

1 0 0

8 5 − 17 5 66 5

−7

2

x4

xB

t

0 1 0

5 9 25 9

−15

25 16

0 1 0

1 1 −8

1

 Beispiel 4.8. Zur Bestimmung einer zul¨ assigen Basis f¨ ur die Nebenbedingungen x1 + x2 − x3 − x4 2x1 + 3x2 − x3 − 2x4 x2 + 2x3 x1 , x2 , x3 , x4

= = = ≥

4 9 3 0,

eines Optimierungsproblems wird die Hilfsaufgabe min w1 + w2 + w3 u.d.B. w1 + x1 + x2 − x3 − x4 + 2x1 + 3x2 − x3 − 2x4 w2 w3 + x2 + 2x3 w1 , w2 , w3 , x1 , x2 , x3 , x4

= = = ≥

4 9 3 0

39

4.4 Zwei-Phasen-Methode

betrachtet. Ausgehend von der Basisvariablen {w1 , w2 , w3 } kann das nachstehende optimale Tableau gefunden werden: B

w1

w2

w3

x1

x2

x3

x4

xB

w1

1

− 12

0

− 14

0

0

x1

0

0

−1

x3

0

0

1

0

0

3 2

1 4 1 4 1 2 3 4

0

0

1 4 21 4 3 2 − 14

1 2

1 0 0

7 4 1 2 1 4

Das Tableau zeigt, dass die Basis {w1 , x1 , x3 } optimal ist. Jedoch ist der Optimalwert der Hilfsaufgabe 14 > 0, woraus die Unzul¨ assigkeit des urspr¨ unglichen Problems gefolgert werden kann.  Es wird nun die Situation untersucht, dass der Optimalwert der Hilfsaufgabe min{e w : Ax + w = b, x ≥ 0, w ≥ 0} null ist, sich unter den Basisvariablen in einer beliebigen optimalen L¨osung aber immer k¨ unstliche Variable befinden. Also bildet keine Auswahl von Spalten der Matrix A eine zul¨ assige Basis, woraus folgt, dass A nicht vollen Zeilenrang aufweist. Da andererseits die Menge {x : Ax = b, x ≥ 0} nichtleer ist, enth¨alt somit das System Ax = b Gleichungen, die Folgerungen aus anderen Gleichungen dieses Systems sind. Beispiel 4.9. Die zul¨ assige Menge sei durch das System −x1 + 2x2 −3x1 + x2 + 3x3 −2x1 − x2 + 3x3 x1 , x2 , x3

= = = ≥

4 6 2 0

beschrieben. Zur Bestimmung einer zul¨ assigen Basis werden k¨ unstliche Variablen w1 , w2 , w3 eingef¨ uhrt und die Hilfsaufgabe min w1 + w2 + w3 u.d.B. w1 − x1 + 2x2 w2 − 3x1 + x2 + 3x3 w3 − 2x1 − x2 + 3x3 w1 , w2 , w3 , x1 , x2 , x3

= = = ≥

4 6 2 0

untersucht. Ausgehend von der Startbasis {w1 , w2 , w3 } kann u ¨ber die Basis {w1 , w2 , x3 } das folgende Tableau erzeugt werden, das die optimale Basis {x2 , w2 , x3 } enth¨alt. B

w1

x2 w2 x3

1 2

−1 1 6

2

w2

w3

x1

x2

x3

xB

t

0 0 − 12 1 −1 0 1 5 0 − 3 6 0 2 0

1 0 0 0

0 0 1 0

2 0

− − −

4 3

0

40

4 Primale Simplexmethode

Obwohl die Aufnahme von x1 in die Basis m¨ oglich w¨are – der zugeh¨orige Optimalit¨atsindikator z1 verschwindet –, kann kein Basistausch erfolgen, da keine die Basis verlassende Variable gefunden werden kann. Die in der Basis verbleibende k¨ unstliche Variable w2 hat jedoch ebenso wie die Nichtbasisvariablen w1 und w3 den Wert null. Der interessierende x-Anteil der zweiten Nebenbedingung beschreibt somit die triviale Gleichung 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 und kann vernachl¨ assigt werden. Die zu l¨osende Aufgabe kann also mit den Basisvariablen x2 , x3 und dem folgenden Tableau gestartet werden. B

x1

x2

x3

x2 x3

− 12 − 56

1 0

0 1

xB 2 4 3

 Der Prozess zur L¨ osung eines linearen Optimierungsproblems umfasst im Allgemeinen also zwei Phasen: In der ersten Phase wird mittels einer Hilfsaufgabe die Zul¨assigkeit des Problems u uft und gegebenenfalls eine zul¨ assige Basis bestimmt; im letzteren Fall wird in ¨berpr¨ der zweiten Phase mit dieser Basis das urspr¨ ungliche Problem bearbeitet. Die Schritte dieses als Zwei-Phasen-Methode bezeichneten Vorgehens zur L¨osung einer Aufgabe min{c x : Ax = b, x ≥ 0} lassen sich wie folgt zusammenfassen. Zwei-Phasen-Methode zur L¨ osung linearer Optimierungsaufgaben 1. Einf¨ uhrung von k¨ unstlichen Variablen w; Bearbeitung der Hilfsaufgabe min{e w : Ax + w = b, x ≥ 0, w ≥ 0}. 2. Wenn der Optimalwert der Hilfsaufgabe positiv ist, dann ist die urspr¨ ungliche Aufgabe unzul¨assig. Stopp. 3. Entfernen aller k¨ unstlichen Variablen aus der Basis; gegebenenfalls Vernachl¨assigung redundanter Nebenbedingungen. 4. Falls noch eine k¨ unstliche Variable (mit dem Wert null) in der Basis ist, so muss diese noch aus der Basis entfernt werden. 5. Start der Simplexmethode f¨ ur min {c x : Ax = b, x ≥ 0} mit der optimalen Basis der Hilfsaufgabe. Gegebenenfalls ist es nicht m¨ oglich, mit einer Iteration (analog zum dualen Simplexalgorithmus, vgl. Abschnitt 5.3) noch in der Basis vorhandene k¨ unstliche Variablen zu entfernen. In diesem Fall kann man auch wie folgt vorgehen: Man entfernt alle zu den k¨ unstlichen Variablen geh¨orenden Spalten aus der Koeffizientenmatrix; startet mit der Matrix AB , die orenden Spalten der Matrix A besteht und erg¨anzt nur aus den zu den Basisvariablen xB geh¨ diese durch weitere Spalten der Matrix A. Dabei ist darauf zu achten, dass die Spalten der entstehenden Matrix AB linear unabh¨ angig sind und AB letztendlich quadratisch ist. Der Vektor, der zu den Spalten der entstehenden Matrix AB geh¨ort, werde mit xB bezeichnet. Dieses Vorgehen ist m¨ oglich, da die maximale Anzahl linear unabh¨angiger Spalten gleich

41

4.4 Zwei-Phasen-Methode

der maximalen Anzahl linear unabh¨ angiger Zeilen und diese wiederum gleich dem Rang der Matrix A ist. Die zu den neu eingef¨ ugten Spalten geh¨orenden Variablen haben in der optimalen L¨osung der Aufgabe (4.1) den Wert null. Da die Matrix AB regul¨ar ist, hat das Gleichungssystem AB xB = b eine eindeutige L¨ osung. Damit ist (xB , xN ) eine zul¨assige Basisl¨osung mit der Basismatrix AB . Beispiel 4.10. Das folgende Beispiel zeigt, dass der Verbleib einer k¨ unstlichen Variablen in der optimalen Basis der Hilfsaufgabe auch dann m¨oglich ist, wenn eine zul¨assige Basisl¨osung f¨ ur die Ausgangsaufgabe existiert. Diese k¨ unstliche Variable hat dann nat¨ urlich den Wert null. −x2 +x3 −5x2 +x3 −6x2 +x3 −10x2 +2x3 x2 , x3

−x1 3x1 −7x1 6x1 x1 ,

min u.d.B.

=4 =4 =8 ≥ 0.

Die L¨osung der Hilfsaufgabe ist in dem folgenden Simplextableau ablesbar: B

w1

w2

w3

x1

x2

x3

xB

t

w1 w2 w3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

3 −7 6 −2

−5 −6 −10 21

1 1 2 −4

4 4 8 −16

4 4 4

x3 w2 w3

1 −1 −2 4

0 1 0 0

0 0 1 0

3 −10 0 10

−5 −1 0 1

1 0 0 0

4 0 0 0

Damit ist die L¨osung optimal, es gibt eine zul¨ assige Basisl¨osung f¨ ur die Ausgangsaufgabe: x = (0 0 3) , es ist aber noch keine entsprechende Basismatrix berechnet worden, da noch zwei k¨ unstliche Variablen in der Basis sind. Bei genauerer Betrachtung stellt es sich heraus, dass die Koeffizientenmatrix der Ausgangsaufgabe nur den Rang rang (A) = 2 besitzt. Es wird also die dritte Gleichung gestrichen. Danach wird, ausgehend von der zu orenden Spalte (1 1) durch Hinzunahme einer weiteren linear der Basisvariablen x3 geh¨ unabh¨angigen Spalte der Matrix A eine Basismatrix erzeugt. Sei dies die Matrix AB mit der inversen Matrix A−1 B :  AB =

−5 −6

1 1



A−1 B =



1 6

−1 −5



Durch Multiplikation der erweiterten Koeffizientenmatrix f¨ ur das Gleichungssystem Ax = b (nach Streichung der dritten Gleichung) ergeben sich die Daten f¨ ur das Simpextableau:      1 −1 3 −5 1 4 10 1 0 0 (A b) = = A−1 B 6 −5 −7 −6 1 4 53 0 1 4

42

4 Primale Simplexmethode

Dann kann mit B x1 x2 10 x3 53 −44 x1 x3

1 0 0

dem x2 1 0 0

0,1 -5,3 4,4

primalen Simplexalgorithmus eine optimale L¨osung berechnet werden: x3 xB t 0 0 0 4 1 4 53 0 4 0 1 0

0 4 4

Damit ist die Aufgabe gel¨ ost, die (eindeutige) optimale L¨osung ist x∗ = (0 0 4) .



Wenn das Problem min{c x : Ax = b, x ≥ 0} zul¨assig ist, wird durch die angegebene Hilfsaufgabe eine zul¨ assige Basis gefunden. Um jedoch eine im Sinne der Minimierung der Zielfunktion c x gute Basis zu bestimmen und damit eventuell den in der zweiten Phase n¨ otigen Aufwand zu verringern, kann in der ersten Phase stattdessen die Hilfsaufgabe min c x + M e  w u.d.B. Ax + w = b x, w ≥ 0 mit einem M > 0 betrachtet werden. Wird dabei die Konstante M hinreichend groß gew¨ahlt, gilt f¨ ur jede optimale L¨ osung (x, w) dieser Aufgabe w = 0 und die k¨ unstlichen Variablen w k¨onnen wie oben beschrieben aus der Basis entfernt werden. Diese Variante der ZweiPhasen-Methode wird Groß-M-Methode genannt.

Aufgabe 4.4. Mit der Zwei-Phasen-Methode sind zu l¨osen: a) min x1 + 7x2 + 5x3 + x4 + 6x5 u.d.B. x1 + 2x2 + 2x3 + 5x4 + 4x5 = 20 3x1 + 6x2 − 2x3 + x4 − x5 = 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0; b) min 2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 + x5 u.d.B. 2x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + 3x3 + 2x4 2x1 x2 − 2x3 − x4 + x5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 c) min 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 u.d.B. 4x1 − 3x2 + x3 − x4 = 2 5x1 + 6x2 + 2x3 + x4 = 1 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0;

= = = ≥

10 6 4 0;

43

4.5 Entartung

d) min x1 − x2 + x3 − x4 u.d.B. 2x1 − 4x2 + x3 − x4 x1 − 6x2 − x3 + 2x4 x1 + 10x2 + 5x3 − 8x4 x1 , x2 , x3 , x4

4.5

= 6 = −1 = 15 ≥ 0.

Entartung

Die vorangegangenen Kapitel geben Auskunft dar¨ uber, wie in der primalen Simplexmethode zur L¨osung einer Aufgabe in Normalform min{c x : Ax = b, x ≥ 0} die Unzul¨assigkeit oder Unbeschr¨anktheit dieser Aufgabe bzw. die Optimalit¨at einer Basis erkannt wird. Es bleibt die Frage zu beantworten, ob eine derartige zum Abbruch f¨ uhrende Entscheidung stets nach einer endlichen Anzahl von Basiswechseln getroffen werden kann. Es werde dazu angenommen, dass in Phase 2 – analoge Bemerkungen gelten f¨ ur Phase 1 – ur jeden Basiswechsel vom Algorithmus die Folge B (1) , B (2) , . . . von Basen erzeugt wird. Ist f¨ (k) von B (k) zu B (k+1) die entsprechende Schrittweite tx positiv, dann gilt r(k)

c x(k+1) = c x(k) + t(k) x zj0

< c x(k) ;

die durch die Basen festgelegte Folge von Zielfunktionswerten ist also streng monoton fallend. Offensichtlich kann damit keine Basis mehrfach auftreten. Die Anzahl der Entscheidungsvariablen werde erneut mit n und die Anzahl der Gleichungsnebenbedingungen mit m bezeichnet. Eine Basis ist mit der Auswahl von m Spalten der Matrix A verbunden. ist folglich durch den Bino n  Die Anzahl verschiedener zul¨assiger Basen(1) mialkoeffizient m nach oben beschr¨ ankt. Somit ist die Folge B , B (2) , . . . endlich und die

n Simplexmethode bricht in diesem Fall nach h¨ ochstens m Iterationen ab. Als Resultat wird nach endlich vielen Iterationen eine optimale Basis gefunden oder die Unbeschr¨anktheit des Problems erkannt. Geometrisch entsprechen zul¨ assigen Basisl¨osungen den Eckpunkten des zul¨assigen Bereiches, ihre Anzahl ist endlich. Ist andererseits im Verlauf des L¨ osungsprozesses die Schrittweite tx = 0 – aufgrund der Definition von tx bedeutet dies, dass eine Basisvariable den Wert null hat, was als primale Entartung bezeichnet wird –, wird in der entsprechenden Iteration ein Basiswechsel vorgenommen, jedoch die zugeh¨ orige L¨ osung x nicht ver¨andert. Tritt dies in mehreren aufeinander folgenden Iterationen auf, kann eine bereits untersuchte Basis erneut auftreten. Es kommt dann zu einem Kreisen der Simplexmethode, die somit nicht mehr nach endlich vielen Iterationen mit einer optimalen Basis oder der Erkenntnis der Unbeschr¨anktheit des Problems abbricht. Dies kann mit geeigneten Auswahlregeln f¨ ur die auszutauschenden Basisvariablen verhindert werden, etwa durch zuf¨ allige Wahl der austretenden Basisvariablen oder St¨orung der rechten Seite. Eine weitere einfache M¨ oglichkeit ist die Regel von Bland:

44

4 Primale Simplexmethode

1. Unter allen Variablen mit negativen reduzierten Kosten wird diejenige mit dem kleinsten Index als in die Basis aufzunehmende Variable gew¨ahlt, also j0 = min{j : zjr < 0}. 2. Im Entartungsfall tx = 0 wird unter allen Basisvariablen mit dem Wert null die mit dem kleinsten Index als die austretende Variable gew¨ahlt, also i0 = min{i ∈ B : xi = 0, Δxi > 0}. Wird ein Kreisen der Simplexmethode verhindert, so ergibt sich aus der Endlichkeit der Anzahl verschiedener Basisl¨ osungen einer linearen Optimierungsaufgabe seine Endlichkeit: der (primale) Simplexalgorithmus endet nach endlich vielen Schritten entweder mit der Berechnung einer optimalen Basisl¨ osung oder mit der Erkenntnis, dass die lineare Optimierungsaufgabe nicht l¨ osbar ist. Aufgabe 4.5. Mit der primalen Simplexmethode ist die Aufgabe min −2x1 − 3x2 + u.d.B. −2x1 − 9x2 + 1 x + x2 − 3 1

x3 + 12x4 x3 + 9x4 + x5 = 0 1 x − 2x + x = 0 3 4 6 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

zu bearbeiten, wobei als Startbasis B = {5, 6} gew¨ahlt wird. Der Basistausch soll nach folgenden Kriterien erfolgen: a) Als in die Basis eintretende Variable ist die mit dem kleinsten Optimalit¨atsindikator zu w¨ahlen; also j0 so, dass zjr0 = min{zjr }. Als austretende Variable ist (wegen b = 0 ist stets xB = 0) der erste Basisindex i0 zu w¨ ahlen, f¨ ur den Δxi0 > 0. b) Es ist die Regel von Bland anzuwenden. c) Die Auswahl der austretenden Variablen erfolgt zuf¨allig.

5

Dualit¨at

Eine lineare Optimierungsaufgabe ist vollst¨ andig durch ihre Daten – Zielfunktionskoeffizienten, Koeffizientenmatrix und rechte Seite der Nebenbedingungen – charakterisiert. Mit denselben Daten kann ein weiteres Optimierungsproblem konstruiert werden, das wichtige zus¨atzliche Informationen zum Ausgangsproblem liefert. Die Untersuchung dieses Paares von Aufgaben und der zwischen ihnen bestehenden Zusammenh¨ange ist Gegenstand der Dualit¨atstheorie.

5.1

Duale Aufgabe

Es wird das Optimierungsproblem in Normalform min{c x : Ax = b, x ≥ 0}

(5.1)

mit n Variablen und m Gleichungsnebenbedingungen betrachtet. Oftmals ist es wichtig, eine Absch¨atzung u ute einer zul¨ assigen L¨osung – im Sinne der Abweichung vom ¨ber die G¨ Optimalwert – zu kennen. Obige Aufgabe beschreibe zum Beispiel das Problem der optimalen Ressourcenaufteilung. Hier kann die Produktion mit einem bestehenden Plan fortgesetzt werden, falls die durch die Umstellung auf einen optimalen Produktionsplan erzielbare Verbesserung bekanntermaßen den dazu n¨otigen Aufwand aus Zeit- oder Kostengr¨ unden nicht rechtfertigt. F¨ ur die gew¨ unschte G¨ uteabsch¨ atzung muss eine untere Schranke f¨ ur den Optimalwert bestimmt werden. Neben den Zielfunktionskoeffizienten c legen die Nebenbedingungen den Optimalwert wesentlich fest. Aus den Gleichungsrestriktionen Ax = b k¨onnen durch Linearkombinationen weitere g¨ ultige Gleichungen gefolgert werden; f¨ ur jede zul¨assige L¨osung x und jeden Vektor y = (y1 , y2 , . . . , ym ) gilt b y = (Ax) y. Um daraus eine untere Schranke f¨ ur den Zielfunktionswert c x zu gewinnen, sei y so gew¨ahlt, dass c ≥ A y gilt. Aus x ≥ 0 folgt dann c x ≥ (A y) x = y  Ax = (Ax) y = b y. Die beste – d. h. gr¨ oßte – untere Schranke wird durch dasjenige y erzeugt, welches den Wert b y maximiert. Dies f¨ uhrt auf das lineare Optimierungsproblem max b y u.d.B. A y ≤ c,

(5.2)

welches die zum Ausgangsproblem duale Aufgabe oder kurz Duale genannt wird. Das Ausgangsproblem selbst wird dann als primale Aufgabe oder Primale bezeichnet.

46

5 Dualit¨ at

Durch Schlupfvariable werden die Ungleichungsrestriktionen der Dualen in Gleichungen u uhrt, wodurch die ¨ aquivalente Normalform der Dualaufgabe ¨berf¨ max b y u.d.B. A y + z = c z≥0 mit den m + n Entscheidungsvariablen y und z entsteht. F¨ ur jede primal zul¨ assige L¨ osung, also x mit Ax = b, x ≥ 0, und jede dual zul¨assige L¨osung, d. h. (y, z) mit A y + z = c, z ≥ 0, gilt aufgrund der Konstruktion des Dualproblems c x ≥ b y. Daraus folgt unmittelbar die als schwache Dualit¨ at bezeichnete Ungleichung min{c x : Ax = b, x ≥ 0} ≥ max{b y : A y + z = c, z ≥ 0}.

(5.3)

¨ Zu einer nicht in Normalform vorliegenden Aufgabe kann die Duale durch Uberf¨ uhrung des Problems in eine entsprechende Normalform gefunden werden. So ist etwa die Aufgabe mit Ungleichungsnebenbedingungen min{c x : Ax ≤ b, x ≥ 0} zu der Aufgabe in Normalform

 min (c , 0 ) xx

 u.d.B. (A, I) xx = b

x ≥0 x aß den obigen Ausf¨ uhrungen ¨aquivalent, deren Duale gem¨ max b y

 u.d.B. (A, I) y ≤ 0c

bzw.

max b y u.d.B. A y ≤ c y≤0

¨ ist. Andererseits l¨ asst sich die Duale direkt – ohne den Umweg der Uberf¨ uhrung in Normalform – ermitteln. Dazu wird erneut die Zielsetzung verfolgt, eine Schranke f¨ ur den Optimalwert der Primalen zu finden. Aus den Ungleichungen Ax ≤ b k¨onnen durch Linearkombinationen mit vorzeichenbeschr¨ ankten Koeffizienten andere g¨ ultige Ungleichungen gefolgert werden, f¨ ur y ≤ 0 etwa (Ax) y ≥ b y. Gilt außerdem c ≥ A y, kann wegen x ≥ 0 die gew¨ unschte Absch¨ atzung f¨ ur den primalen Zielfunktionswert gefunden werden: c x ≥ (A y) x = y  Ax = (Ax) y ≥ b y. Die gr¨oßte untere Schranke wird schließlich durch die bereits angegebene Dualaufgabe max b y u.d.B. A y ≤ c, y ≤ 0 bestimmt. Auf analoge Weise kann die Duale dieser Dualen gefunden werden. Aus A y ≤ c k¨onnen mit nichtnegativen Multiplikatoren x neue Ungleichungen y  Ax = (A y) x ≤ c x gewonnen werden; wird x so gew¨ ahlt, dass Ax ≤ b gilt, bestimmt sich wegen y ≤ 0 die kleinste obere

5.1 Duale Aufgabe

47

Schranke f¨ ur b y durch die Aufgabe min{c x : Ax ≤ b, x ≥ 0}. Folglich ist die Dualaufgabe der dualen Aufgabe zur Primalen ¨ aquivalent. Ist eine Aufgabe unzul¨ assig, wird der Optimalwert bei Minimierung als +∞, bei Maximierung als −∞ vereinbart. Falls ein lineares Optimierungsproblem unbeschr¨ankt ist, dann ist das dazu duale aufgrund der schwachen Dualit¨ at unzul¨assig. Die Umkehrung gilt jedoch nicht; es ist m¨oglich, dass in einem primal-dualen Paar von Aufgaben beide unzul¨assig sind. Beispiel 5.1. Die Aufgabe min −x1 − x2 u.d.B. x1 − x2 ≤ −1 −x1 + x2 ≤ −1 x1 , x 2 ≥ 0 und das dazu duale Problem max −y1 − y2 u.d.B. y1 − y2 ≤ −1 −y1 + y2 ≤ −1 y1 , y2 ≤ 0 sind unzul¨assig. Der Optimalwert +∞ der Primalen ist hier gr¨oßer als der Optimalwert −∞ der Dualen; die schwache Dualit¨ atsungleichung gilt als echte Ungleichung.  Das Beispiel zeigt, dass – zumindest im Falle der Unzul¨assigkeit – die optimalen Zielfunktionswerte des primalen und des dualen Problems verschieden sein k¨onnen. Die Differenz dieser beiden Werte wird als Dualit¨ atsl¨ ucke bezeichnet. Im folgenden Abschnitt 5.2 wird es sich zeigen, dass das Auftreten einer Dualit¨ atsl¨ ucke in der linearen Optimierung immer mit der Unl¨osbarkeit der Aufgabe verbunden ist; f¨ ur l¨osbare lineare Optimierungsaufgaben ist die Dualit¨atsl¨ ucke gleich null. ¨ Aufgabe 5.1. Ohne Uberf¨ uhrung in Normalform ist die Dualaufgabe zu den folgenden Problemen herzuleiten: a) min c x u.d.B. Ax = b 0 ≤ x ≤ u; b) max c x u.d.B. Ax = b Bx ≥ d.

48

5 Dualit¨ at

Aufgabe 5.2. Durch Untersuchung der Dualen ist die Unzul¨assigkeit des Problems max 2x1 − u.d.B. 2x1 − x1 − −x1 + x1

3x2 x2 ≤ −1 x2 ≤ 1 x2 ≤ 0 ≤ 0 x2 ≥ 0

nachzuweisen.

5.2

Starke Dualit¨at

Zur Untersuchung der Dualit¨ atsl¨ ucke wird das in Normalform vorliegende Paar min c x u.d.B. Ax = b x≥0

und

max b y u.d.B. A y + u = c u≥0

zueinander dualer Aufgaben betrachtet. Es werde angenommen, dass die primale Aufgabe l¨osbar ist; folglich existiert eine optimale r atsindikatoren zN = cN − Basisl¨osung xB = A−1 B b, xN = 0 mit nichtnegativen Optimalit¨ −1  (AB AN ) cB .

 Werden die reduzierten Kosten gem¨ aß z r = c − (A−1 B A) cB auf die Basisvariablen ausgedehnt, kann aus dieser Festlegung einerseits offensichtlich z r ≥ 0 und andererseits −1   A (A−1 B ) cB + u = c gefolgert werden. Somit bildet y = (AB ) cB zusammen mit u eine f¨ ur die Dualaufgabe zul¨ assige L¨ osung.

Außerdem ist der zugeh¨ orige duale Zielfunktionswert wegen xN = 0 dem primalen gleich: −1     b y = b (A−1 B ) cB = (AB b) cB = xB cB = c x.

Da letzterer aufgrund der schwachen Dualit¨ at eine obere Schranke f¨ ur den dualen Zielfunktionswert darstellt, folgt daraus die Optimalit¨ at von (y, u) im Dualproblem. Durch eine optimale Basis der primalen Aufgabe wird also gleichzeitig eine optimale L¨osung der dualen Aufgabe bestimmt. Dieses Resultat wird als starke Dualit¨ at bezeichnet: Eine lineare Optimierungsaufgabe ist – im Sinne eines endlichen Optimalwertes – l¨osbar genau dann, wenn ihre Dualaufgabe l¨ osbar ist. In diesem Fall stimmen ihre Optimalwerte u ¨berein. Es seien nun x und (y, u) beliebige primal bzw. dual zul¨assige L¨osungen. Unter Verwendung von A y + u = c und Ax = b kann c x = (A y + u) x = y  Ax + u x = b y + u x

5.3 Duale Simplexmethode

49

gefolgert werden. Die Gleichheit von primalem und dualem Zielfunktionswert – und als Konsequenz aus der schwachen Dualit¨ at auch die Optimalit¨at der zul¨assigen L¨osungen x bzw. (y, u) – ist somit ¨ aquivalent zu u x = 0. Wegen x ≥ 0 und u ≥ 0 gilt u x = 0 dann und nur dann, wenn uj xj = 0 f¨ ur alle j = 1, 2, . . . , n, weswegen diese Charakterisierung Komplementarit¨ atsbedingung genannt wird: Die primal bzw. dual zul¨ assigen x bzw. (y, u) sind optimale L¨osungen f¨ ur ihre jeweiligen Probleme genau dann, wenn u x = 0. Eine andere Formulierung dieser Aussage ist die folgende: Die f¨ ur die Aufgaben (5.1) und (5.2) zul¨ assigen Punkte x bzw. y sind optimale L¨osungen ihrer Aufgaben genau dann, wenn ihre Zielfunktionswerte u ¨bereinstimmen, d.h. c x =    b y, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn x (A y − c) = 0 gilt. Angewendet auf das Paar min c x u.d.B. Ax ≤ b x≥0

(5.4)

max b y u.d.B. A y ≤ c y≤0

(5.5)

und

lautet diese Aussage folgendermaßen: F¨ ur beliebige zul¨assige L¨ osungen x und y der Aufgaben (5.4) und (5.5) ist c x ≥ b y. Diese zul¨assigen L¨ osungen sind optimal genau dann, wenn c x = b y gilt, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn x (A y − c) = 0 und y  (Ax − b) = 0 gleichzeitig gelten.

5.3

Duale Simplexmethode

Starke Dualit¨at bildet die Grundlage der dualen Simplexmethode. Bei dieser werden – im Gegensatz zur primalen Simplexmethode, die mit primal zul¨assigen Basen arbeitet – dual zul¨assige Basen daraufhin untersucht, ob ein Wechsel der Basis eine Verbesserung des Zielfunktionswertes bewirkt. F¨ ur das oben eingef¨ uhrte Paar zueinander dualer Aufgaben (5.1) und (5.2) in Normalform sei B eine dual zul¨assige Basis, d. h. es gilt z r ≥ 0 f¨ ur die von B erzeugte L¨osung −1  r  y = (A−1 B ) cB , z = c − (AB A) cB .

Diese beiden Formeln wurden gerade bei der Herleitung der starken Dualit¨at verwendet. r  Insbesondere ist zB = cB − (A−1 B AB ) cB = 0. Dies legt – in Analogie zur primalen Simr plexmethode, wo xN = 0 gilt – nahe, zB als unabh¨angige Variablen zu betrachten und die

50

5 Dualit¨ at

r ¨ Auswirkung einer zul¨ assigen Anderung von zB auf den Zielfunktionswert zu untersuchen. r r Dazu werden zN und y in Abh¨ angigkeit von zB ausgedr¨ uckt.





 r A Aus A y + u = c bzw. AB y + zzBr = ccBN folgt die Darstellung N

N

−1  r  y = (A−1 B ) cB − (AB ) zB

−1 −1 r   r zN = cN − A N y = cN − (AB AN ) cB + (AB AN ) zB

und f¨ ur den (zu maximierenden) Zielfunktionswert schließlich −1  r    r b y = (A−1 B b) cB − (AB b) zB = xB cB − xB zB .

Falls xB ≥ 0 gilt, ist somit keine Verbesserung des dualen Zielfunktionswertes durch Verr m¨ oglich; falls f¨ ur ein i0 ∈ B hingegen xi0 < 0 gilt, ist durch Vergr¨oßerung gr¨oßerung von zB r von zi0 auf einen positiven Wert s ein gr¨ oßerer Zielfunktionswert erzielbar. r r = sei0 (mit ei0 als i0 -tem Einheitsvektor) ver¨andert sich zN um Durch die Wahl von zB −1 r  das s-Fache von ΔzN = −(AB AN ) ei0 . Um die duale Zul¨assigkeit zu erhalten, ist s so zu w¨ahlen, dass r  r (s) = cN − (A−1 zN B AN ) cB − sΔzN ≥ 0. r Im Fall ΔzN ≤ 0 kann s unbeschr¨ ankt vergr¨ oßert werden, womit die Dualaufgabe unber positiv, ergibt sich schr¨ankt und die Primale unzul¨ assig ist. Ist eine Komponente von ΔzN daraus eine obere Schranke f¨ ur die zul¨ assige Wahl von s. Diese maximale Schrittweite sz und die Vorschrift zur Wahl des in die Basis eintretenden Index k¨onnen wie in der primalen Simplexmethode hergeleitet werden.

Der Fall sz = 0 wird als duale Entartung bezeichnet. Zusammenfassend kann die duale Simplexmethode zur L¨osung von min{c x : Ax = b, x ≥ 0} wie folgt beschrieben werden. Duale Simplexmethode f¨ ur Aufgaben in Normalform: Gegeben sei die dual zul¨ assige Basis B; weiterhin gelte xB = A−1 B b und r  = cN −(A−1 zN B AN ) cB .

1. Falls xB ≥ 0, dann ist B optimale Basis. Stopp. 2. Bestimmung des austretenden Index, d. h. Wahl eines i0 ∈ B mit xi0 < 0; Berechnung r  von ΔzN = −(A−1 B AN ) ei0 . r 3. Falls ΔzN ≤ 0, dann ist die Aufgabe unzul¨ assig. Ende. zjr 4. Berechnung der Schrittweite sz = min{ Δzr : j ∈ N, Δzjr > 0}; Bestimmung des in die j Basis eintretenden Index, d. h. Wahl eines j0 , welches dieses Minimum realisiert. r r r := zN − sz ΔzN 5. zN zi0 := sz B := B \ {i0 } ∪ {j0 } xB := A−1 B b Fortsetzung bei 1.

5.4 Sensitivit¨ at und Postoptimalit¨ at

51

In der primalen Simplexmethode sind alle verwendeten Basen primal zul¨assig. Sind in einer Iteration die reduzierten Kosten nichtnegativ – d. h. die duale L¨osung ist zul¨assig –, so ist die aktuelle Basis optimal. Im Gegensatz dazu verwendet die duale Simplexmethode dual zul¨assige Basen und findet eine optimale Basis, sobald in einer Iteration auch primale Zul¨assigkeit vorliegt. Beispiel 5.2. Zu l¨ osen sei die folgende Aufgabe, in der die Zielfunktion mit positiven Zielfunktionskoeffizienten zu minimieren ist, aber die Koeffizienten der rechten Seite nicht vorzeichenbeschr¨ankt sind. In dieser Aufgabe ist es folglich einfach, eine dual zul¨assige L¨osung zu finden. Diese ist allerdings nicht zul¨ assig. min x1 + x2 u.d.B. −3x1 − x2 ≤ −2 x1 + 3x2 ≤ 1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. B

x1

x2

x3

x4

xB

x3 x4

−3 1 1

−1 3 1 1

1 0 0 -

0 1 0 -

-2 1 0

1 3 8 3 2 3

− 13

0 1 0

2 3 1 3 − 23

1 3

x1 x4

1 0 0

1 3 1 3

In der ersten Iteration wird die erste Zeile der Tabelle ausgew¨ahlt, da der Koeffizient der zr rechten Seite in ihr negativ ist. Die Quotienten Δzj r sind in der letzten Zeile des Tableaus j eingetragen. Unter ihnen wird der kleinste Wert unter der Bedingung, dass Δzjr > 0 ist, ausgew¨ahlt. Dieser bestimmt den in die Basis aufzunehmenden Index. 

mit einem optimalen ZielfunktiDie optimale L¨osung dieser Aufgabe ist x = 23 0 0 13 onswert von 23 . Aufgabe 5.3. Die duale Simplexmethode ist unter Verwendung des Simplextableaus zu formulieren. Die Darstellung des Tableaus ist die gleiche wie bei der primalen Simplexmethode. Diese wird jetzt aber durch eine neue Zeile erg¨anzt, die zur Berechnung der zr Komponenten j r verwendet werden kann. Δzj

5.4

Sensitivit¨at und Postoptimalit¨at

In vielen Anwendungen der Optimierung sind die in ein konkretes Problem eingehenden Daten Ver¨anderungen unterworfen – Preise k¨onnen schwanken, neue Ressourcen zur

52

5 Dualit¨ at

Verf¨ ugung stehen, eine Verknappung auftreten. Unter Umst¨anden sind verwendete Gr¨oßen nur Sch¨atzungen, weil die tats¨ achlichen Informationen zum Zeitpunkt der Entscheidungsfindung (noch) nicht zur Verf¨ ugung stehen. In solchen Situationen ist es wichtig zu wissen, ¨ welche Konsequenzen sich aus der Anderung gewisser Daten eines Optimierungsproblems ergeben. Dies ist Untersuchungsgegenstand der Sensitivit¨ ats- oder Postoptimalit¨ atsanalyse.

5.4.1

Probleme mit parameterabh¨angiger Zielfunktion

Es werde ein Problem mit ver¨ anderlichen Zielfunktionskoeffizienten min (c + tc ) x u.d.B. Ax = b x≥0 betrachtet, f¨ ur das B bei t = 0 eine optimale Basis sei. Die Nebenbedingungen sind vom Parameter t unabh¨ angig; B ist somit f¨ ur alle t zul¨assig. Folglich ist diese Basis f¨ ur alle jene t optimal, f¨ ur die die reduzierten Kosten r   (t) = cN + tcN − (A−1 zN B AN ) (cB + tcB )

−1     = cN − (A−1 B AN ) cB + t(cN − (AB AN ) cB ) r

r = zN + tz  N

nichtnegativ sind. Dies ist ¨ aquivalent zu zr

r

zr

r

max{− zjr : j ∈ N, z  j > 0} ≤ t ≤ min{− zjr : j ∈ N, z  j < 0}, j

j

wobei eine (oder beide) dieser Schranken auch unbeschr¨ankt sein kann (k¨onnen). F¨ ur diese Parameterwerte betr¨ agt der Optimalwert der betrachteten Aufgabe (cB +tcB ) xB = (cB +tcB ) A−1 B b. Falls insbesondere die Basis B dual nichtentartet ist, d. h., f¨ ur alle j ∈ N ist zjr > 0, ist ¨ sie damit optimal in einer Umgebung von t = 0, also f¨ ur hinreichend kleine Anderungen in beliebiger Richtung c . Um den optimalen Zielfunktionswert z(t) := min{(c + tc ) x : Ax = b, x ≥ 0} und eine optimale L¨ osung x(t) ∈ Ψ(t) mit Ψ(t) := {x : Ax = b, x ≥ 0, (c + tc ) x = z(t)} zu berechnen, kann man die Eigenschaft verwenden, dass l¨osbare lineare Optimierungsaufgaben stets auch optimale Basisl¨ osungen besitzen. Zul¨assige Basisl¨osungen sind Eckpunkte

5.4 Sensitivit¨ at und Postoptimalit¨ at

53

Abb. 5.1 Gestalt der Optimalwertfunktion z(t) f¨ ur eine lineare Optimierungsaufgabe mit einem Parameter in der Zielfunktion

des zul¨assigen Bereiches, ihre Anzahl ist endlich. Es sei {x1 , x2 , . . . , xp } die Menge der Eckpunkte des zul¨assigen Bereiches. Dann ist sicherlich z(t) = min{(c + tc ) x : x ∈ {x1 , x2 , . . . , xp }} = min{(c + tc ) x1 , (c + tc ) x2 , . . . , (c + tc ) xp }. Damit ist z(t) gleich dem (punktweisen) Minimum der (affin-) linearen Funktionen fi (t) =  c xi + tc xi f¨ ur i = 1, . . . , p (vgl. Abbildung 5.1). Das Intervall [t1 , t2 ] in Abbildung 5.1 ist gleich der Menge aller Parameter t, f¨ ur die Optimierungsaufgabe l¨osbar ist. Die uckweise (affin-) Optimalwertfunktion z(t) ist u ¨ber diesem Intervall [t1 , t2 ] konkav und st¨ linear. Das Intervall [t1 , t2 ] wird unterteilt in Intervalle [ui , ui+1 ], i = 0, . . . , p mit u0 = t1 , up+1 = t2 , u ¨ber denen die Optimalwertfunktion z(t) (affin-) linear und gleich einer der Funktionen fi (t) ist. Die Menge optimaler L¨ osungen Ψ(t) ist u ¨ber den Intervallen (ui , ui+1 ) konstant. ulle der Menge Ψ(v) ∪ Ψ(v  ) Im Eckpunkt dieses Intervalls t = ui umfasst sie die konvexe H¨  mit ui−1 < v < ui < v < ui+1 , falls i ∈ {1, 2, . . . , p}. F¨ ur i = 0 ist Ψ(u0 ) eine konvexe ur i = p + 1 ist Ψ(up+1 ) eine konvexe ObermenObermenge von Ψ(v) mit u0 < v < u1 und f¨ ge von Ψ(v) mit up < v < up+1 . Ein formaler Nachweis dieser Aussagen l¨asst sich durch Anwendung der Formel z(t) = min{(c + tc ) x : x ∈ {x1 , x2 , . . . , xp }}, Ausnutzung der Eckpunkteigenschaft optimaler L¨ osungen linearer Optimierungsaufgaben und der Konvexit¨at der Menge optimalen L¨ osungen f¨ uhren. Er sei dem interessierten Leser u ¨berlassen. Interessant ist auch eine graphische Illustration der linearen Optimierungsaufgabe mit einem Parameter in der Zielfunktion. Hierbei ist zu erkennen, dass eine Variation des Parameters t in der Zielfunktion einem Drehen der Niveaulinie der Zielfunktion entspricht. Das erkl¨art auch, warum die untersuchte Aufgabe nicht f¨ ur alle Parameterwerte t ∈ R l¨osbar sein

54

5 Dualit¨ at

muss. F¨ ur t ∈ [t1 , t2 ] hat sie eine u ¨ber dem zul¨assigen Bereich nach unten unbeschr¨ankte Zielfunktion. Dabei ist t1 = −∞ beziehungsweise t2 = ∞ durchaus m¨oglich. Speziell ist die Aufgabe f¨ ur alle t ∈ R l¨ osbar, wenn der zul¨ assige Bereich kompakt ist. Wird die allgemeinere parametrische lineare Optimierungsaufgabe min c x u.d.B. Ax = b x≥0

(5.6)

onnen die Optimalwertfunktion mit dem Parameter c ∈ Rn betrachtet, so k¨ z(c) := min{c x : Ax = b, x ≥ 0} und der Stabilit¨atsbereich  = z(c)} R( x) := {c : c x f¨ ur zul¨assige L¨osungen x  (d.h. A x = b, x  ≥ 0) betrachtet werden. F¨ ur eine Basisl¨osung x  zur optimalen Basis B ist c ∈ R( x) genau dann, wenn  cN − (A−1 B AN ) cB ≥ 0

ist. Damit sind die Stabilit¨ atsmengen R( x) konvexe abgeschlossene Mengen. Sie sind stets nicht leer, da 0 ∈ R(x) f¨ ur alle zul¨ assigen L¨ osungen x. Ihre Vereinigung ist gleich der Menge all der Parametervektoren c, f¨ ur die die lineare Optimierungsaufgabe l¨osbar ist. Auch diese Menge ist konvex und abgeschlossen. Zu bemerken ist, dass die Menge optimaler L¨ osungen der Aufgabe (5.6) f¨ ur c = 0 mit der Menge zul¨assiger L¨ osungen dieser Optimierungsaufgabe u ¨bereinstimmt. F¨ ur die Optimalwertfunktion kann analog zu den Untersuchungen f¨ ur Aufgaben mit einem Parameter in der Zielfunktion gezeigt werden, dass sie konkav und st¨ uckweise (affin-) linear u ur die sich die Aufgabe als l¨osbar erweist. ¨ber der Menge aller der Parameter ist, f¨

5.4.2

Probleme mit parameterabh¨angiger rechter Seite

F¨ ur ein Problem mit ver¨ anderlicher rechter Seite min c x u.d.B. Ax = b + tb x≥0 ¨ k¨onnen analoge Uberlegungen durchgef¨ uhrt werden. Bei t = 0 bezeichne erneut B eine r  optimale Basis; folglich ist xB = A−1 b ≥ 0 und zN = cN − (A−1 B B AN ) cB ≥ 0. Da die r angig sind, sind sie f¨ ur alle Parameterwerte nichtnegativ; reduzierten Kosten zN von t unabh¨ B ist also stets dual zul¨ assig. Optimalit¨ at der Basis B liegt somit f¨ ur solche t vor, f¨ ur die −1 −1    xB (t) = A−1 B (b + tb ) = AB b + tAB b = xB + txB ≥ 0

55

5.4 Sensitivit¨ at und Postoptimalit¨ at

gilt, also f¨ ur max{− xxi : i ∈ B, xi > 0} ≤ t ≤ min{− xxi : i ∈ B, xi < 0}, i

i

wobei eine (oder auch beide) der oberen und unteren Grenzen wieder unbeschr¨ankt sein kann (k¨onnen). Aufgrund der starken Dualit¨ at stimmen primaler und dualer Optimalwert u ¨berein; demzufolge ist f¨ ur die oben ermittelten Parameterwerte der Optimalwert gleich  (b + tb ) y = (b + tb ) (A−1 B ) cB .

Ist B f¨ ur t = 0 primal nichtentartet, kann die Optimalit¨at von B f¨ ur beliebige, hinreichend ¨ kleine Anderungen der rechten Seite gefolgert werden. Analog ergeben sich unter Verwendung der Aussagen im Abschnitt 5.4.1 die Eigenschaften der Optimalwertfunktion und der Menge optimaler L¨osungen im Abh¨angigkeit vom Parameter. Hier ist die Zielfunktion u ur die die Aufgabe ¨ber dem Bereich aller Parameterwerte, f¨ l¨osbar ist, st¨ uckweise (affin-) linear und konvex. Speziell ist z(t) = min{c x : Ax = b + tb , x ≥ 0} = max{(b + tb ) y : A y ≤ c} = max{(b + tb ) y : y ∈ {y 1 , . . . , yq }}

(5.7)

= max{(b + tb ) y 1 , . . . , (b + tb ) y q }, assigen Bereiches {y : A y ≤ c} der dualen Aufgabe wobei y 1 , . . . , y q die Eckpunkte des zul¨ sind. Es sei [t1 , t2 ] die Menge der Parameter, f¨ ur die der zul¨assige Bereich nicht leer ist. Dann ist die lineare Optimierungsaufgabe mit dem Parameter in der rechten Seite entweder f¨ ur alle ur kein t l¨ osbar: Wenn der zul¨assige Bereich M (t) := {x : Ax = t ∈ [t1 , t2 ] l¨osbar oder aber f¨ ur t = t0 , aber die Optimierungsaufgabe nicht l¨osbar ist, so muss es b + tb , x ≥ 0} = ∅ f¨ eine solche Richtung d = 0 geben, dass lim c (x0 + αd) = −∞ und x0 + αd ∈ M (t0 ) f¨ ur α→∞

alle α ≥ 0 sind. Dabei ist x0 ∈ M (t0 ) beliebig. Dann muss Ad = 0, c d < 0 gelten. Damit ist aber auch f¨ ur alle t mit M (t) = ∅ und x  ∈ M (t) der Strahl { x + αd : α ≥ 0} ⊂ M (t) x + αd) = −∞. und lim c ( α→∞

Wenn die L¨osbarkeitsmenge der linearen parametrischen Optimierungsaufgabe gleich [t1 , t2 ] ist, so gibt es wiederum solche Punkte u0 = t1 < u1 < . . . < up < up+1 = t2 , dass die Optimalwertfunktion auf den Intervallen [ui , ui+1 ] (affin-) linear ist. Jedem Intervall (ui , ui+1 ) entsprechen optimale Basen Bi , die f¨ ur alle t ∈ (ui , ui+1 ) optimale Basisl¨osungen N ) mit x B (t) = (ABi )−1 (b + tb ) generieren. Die optimalen L¨osungen h¨angen x  = ( xB (t), x jetzt von t ab, die Menge optimaler L¨ osungen ist weiterhin konvex. F¨ ur t = ui sind alle Basen der angrenzenden Parameterintervalle optimal.

56

5 Dualit¨ at

Wird der Parameter t auf das Intervall (ui , ui+1 ) eingeschr¨ankt, so ergibt sich aus (5.7): z(t) = min{c x : Ax = b + tb , x ≥ 0} = max{(b + tb ) y : A y ≤ c} t)b y : y ∈ ΨD ( t)} = max{(b +  tb ) y + (t −    t)} + max{(t −  t)b y : y ∈ ΨD ( t)} = max{(b +  tb ) y : y ∈ ΨD (  t)}, =z( t) + max{(t −  t)b y : y ∈ ΨD (

(5.8)

wobei ΨD ( t) die Menge der optimalen L¨ osungen der dualen Aufgabe f¨ ur t =  t und t,  t∈   (ui , ui+1 ) sind. Wenn b gleich dem k-ten Einheitsvektor und ΨD (t) einelementig sind, wenn also nur die k-te Komponente der rechten Seite ver¨andert wird, so steigt (oder f¨allt) der optimale Zielfunktionswert um das t −  t-fache der k-ten Komponente der optimalen L¨osung der dualen Aufgabe. Deshalb werden die Komponenten der optimalen L¨osung der dualen ¨ Aufgabe in der Okonomie als Schattenpreise bezeichnet. Ist die optimale L¨osung der dualen Aufgabe nicht eindeutig, so ist der Schattenpreis u ¨ber (5.8) zu berechnen. Das ist speziell so, ur t ∈ (ui−1 , ui+1 ) wenn  t = ui ist, wobei dann sogar t ∈ (ui−1 , ui+1 ) gew¨ahlt werden kann. F¨ gilt die Formel (5.8) nat¨ urlich nur n¨ aherungsweise. t) im Falle der Einelementigkeit den Gradienten und Mathematisch gesehen definiert ΨD ( im Falle der Mehrelementigkeit den Subgradienten der Funktion z(t) an der Stelle t =  t. Interessant ist die Veranschaulichung des parameterabh¨angigen Problems f¨ ur Aufgaben mit nur zwei Variablen, vgl. Beispiel 2.2. Die Variation des Parameters bewirkt dann eine Parallelverschiebung der den zul¨ assigen Bereich beschr¨ankenden Geraden. Dadurch werden auch die Schnittpunkte dieser Geraden, also die Eckpunkte des zul¨assigen Bereiches mit verschoben. Bei dieser Verschiebung kann sich die Basisdarstellung eines Eckpunkts a¨ndern, ein Eckpunkt kann sich in mehrere Eckpunkte verzweigen oder aber, es k¨onnen mehrere ¨ Eckpunkte zu einem einzigen verschmelzen. Alle diese Anderungen gehen einher mit dem ¨ Ubergang von einem Parameterintervall [ui , ui+1 ] zu einem benachbarten. Die Illustration dieser F¨alle mit Hilfe kleiner grafisch gel¨ oster Beispielaufgaben sei dem interessierten Leser u ¨berlassen. Die Verallgemeinerung obiger Aussagen auf Probleme mit allgemeinen Ver¨anderungen des Vektors der rechten Seite erfolgt analog zu den Aufgaben mit mehreren Parametern in der Zielfunktion. Der interessierte Leser ist aufgefordert, sich dies im Detail zu u ¨berlegen.

5.4.3

Aufnahme einer neuen Variablen

Mitunter ergibt sich nach L¨ osung einer linearen Optimierungsaufgabe min c x u.d.B. Ax = b x≥0

(5.9)

5.4 Sensitivit¨ at und Postoptimalit¨ at

57

osung von mit x ∈ Rn die Notwendigkeit der L¨ min c x + cn+1 xn+1 u.d.B. Ax + An+1 xn+1 = b x ≥ 0, xn+1 ≥ 0,

(5.10)

bei der eine neue Variable auftritt. Ein Anwendungsbeispiel ist die Frage, ob die Aufnahme eines neuen Produktes in den Produktionsprozess eines Unternehmens rentabel ist. Um ausgehend von einer optimalen Basisl¨ osung x  zur Basismatrix AB der Aufgabe (5.9) schnell zu entscheiden, ob die Aufnahme der Variablen xn+1 in die Basis zu einem besseren Zielfunktionswert f¨ uhrt (ob die Aufnahme des neuen Produktes also rentabel ist), muss nur der Optimalit¨atsindikator r  zn+1 = cn+1 − (A−1 B An+1 ) cB

f¨ ur die neue Variable berechnet werden. Ist dieser Optimalit¨atsindikator nicht negativ, so ist der Wert der neuen Variablen in einer optimalen L¨osung der Aufgabe (5.10) null. Ist der Wert des Optimalit¨ atsindikators negativ, so f¨ uhrt die Aufnahme von xn+1 in die Basis eventuell zu einer Verkleinerung des optimalen Zielfunktionswertes. Ein Vergleich der Zielfunktionswert¨anderung mit den Kosten der Einf¨ uhrung des neuen Produktes in die Produktion kann dann zur Beantwortung der Frage, ob sich die Aufnahme des neuen Produktes rechnet“, verwendet werden. Zur Berechnung der neuen optimalen L¨osung wird der primale ” Simplexalgorithmus verwendet.

5.4.4

Auftreten einer neuen Nebenbedingung

Zum Beispiel bei der L¨ osung ganzzahliger linearer Optimierungsaufgaben mit Hilfe des Schnittprinzips ergibt sich die Notwendigkeit, lineare Optimierungsaufgaben zu l¨osen, deren zul¨assiger Bereich durch immer mehr Ungleichungsnebenbedingungen beschr¨ankt wird. Wird beispielsweise zu der linearen Optimierungsaufgabe min c x u.d.B. Ax ≤ b x≥0

(5.11)

mit der optimalen Basisl¨ osung x  eine neue Nebenbedingung a x ≤ d hinzugef¨ ugt, so wird der Punkt x  im Allgemeinen nicht mehr zul¨assig f¨ ur die entstehende Aufgabe sein. Falls er zul¨ assig bleibt, also die neue Nebenbedingung erf¨ ullt, so bleibt er auch optimal. Wird die Aufgabe (5.11) dualisiert, kann die Vorgehensweise aus Abschnitt 5.4.3 u osung der Aufgabe (5.11) die neue Nebenbedingung ¨bertragen werden. Wenn die optimale L¨ nicht erf¨ ullt, so bleibt seine Basis dual zul¨ assig (es wird lediglich eine neue Dualvariable hinzugef¨ ugt, die zun¨ achst nicht in der Basis der dualen Aufgabe ist): die optimale L¨osung der dualen Aufgabe bleibt (dual) zul¨ assig nach Aufnahme der neuen Variable in der dualen Aufgabe. Durch Anwendung des dualen Simplexalgorithmus kann schnell eine neue optimale L¨ osung der neuen Aufgabe berechnet werden.

58

5 Dualit¨ at

Aufgabe 5.4. Die Aufgaben mit einem Parameter in der Zielfunktion und einem Parameter in der rechten Seite sind anhand kleiner selbst gew¨ahlter linearer Optimierungsaufgaben grafisch zu illustrieren. Aufgabe 5.5. Zu l¨ osen ist die Aufgabe min z u.d.B.

= −5x1 5x1 x1 x1

+ + + +

(4t − 8)x2 2x2 ≤ 24 5x2 ≤ 24 x2 ≤ 6 x ≥ 0

f¨ ur alle Parameterwerte t ∈ R. Aufgabe 5.6. Zu l¨ osen ist die Aufgabe min z u.d.B.

= −5x1 4x1 2x1 x1

− 8x2 + 2x2 + 4x2 + x2 x1 , x2

≤ ≤ ≤ ≥

24 24 t 0

f¨ ur alle Parameterwerte t ∈ R. Aufgabe 5.7. Es werde die in Aufgabe 1.1 eingef¨ uhrte Situation betrachtet. Die Druckerei hat nun jedoch die M¨ oglichkeit, zus¨ atzliches Papier zu erwerben. Bei welchen Zusatzmengen bleibt die in der Ausgangssituation optimale Basis optimal? Welcher H¨ochstpreis ist in diesem Fall f¨ ur den Kauf von Papier akzeptabel?

6

Innere-Punkte-Methode

6.1

Komplexit¨at linearer Optimierungsaufgaben

Die Komplexit¨atstheorie untersucht die Frage, wie lange ein Computer zur L¨osung einer Aufgabe ben¨otigt und ob er (theoretisch) in annehmbarer Zeit auch gr¨oßere Aufgaben zu l¨osen vermag. Da die Rechenzeit eines Algorithmus von den Daten, von der Darstellung der Zahlen im Computer und manchmal auch vom Zufall abh¨angt, wollen wir uns auf den schlechtestm¨oglichen Fall beschr¨ anken. Zur Berechnung der Rechenzeit addiert man zun¨achst die elementaren Rechenoperationen, also die Anzahl der Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen, Divisionen, Speicheroperationen und Vergleiche, die der Computer im Laufe seiner Arbeit ausf¨ uhren muss. Werden zum Beispiel n Zahlen ihrer Gr¨oße nach sortiert, so wird ein einfacher Algorithmus aus den n Zahlen zun¨achst die gr¨oßte heraussuchen (das sind n − 1 Vergleiche) und sich diese merken (das ist eine Speicheroperation). Danach wird er aus den restlichen n − 1 die gr¨oßte ausw¨ahlen und diese in den Speicher schreiben. Insgesamt ergeben sich n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 1 = n(n + 1)/2 Operationen. Dieser Rechenaufwand h¨ angt also von der Gr¨ oße der zu l¨osenden Aufgabe (hier von der Anzahl der zu sortierenden Zahlen, oft auch von der Gr¨oße der Zahlen selbst, allgemein von der L¨ange der Darstellung der Aufgabe im Speicher des Computers) ab. Uns soll jetzt die Messung des Rechenaufwands in Abh¨ angigkeit von der Anzahl der Daten oder genauer der Dimension der Aufgabe reichen. Diese Vereinfachung ist erlaubt, wenn die Daten der Aufgabe in ihrer Gr¨ oße beschr¨ ankt sind. Um dann die Rechenzeit des Algorithmus selbst zu bestimmen, wird die Anzahl der Rechenoperationen durch die Rechengeschwindigkeit des Computers (also die Anzahl der Rechenoperationen, die dieser pro Sekunde ausf¨ uhren kann) dividiert. Die konkrete Rechenzeit des Computers zur L¨ osung einer Aufgabe h¨angt nun von den Daten selbst ab. Um bei obigem Beispiel zu bleiben: Sind die Daten vor der Eingabe in den Computer schon sortiert worden, so hat der Computer nichts zu tun und ben¨otigt nur n Speicheroperationen. Sind sie genau verkehrt herum sortiert, so ist der Arbeitsaufwand des Computers n(n + 1)/2 Operationen. Uns soll der Rechenaufwand f¨ ur die ung¨ unstigste Konstellation der Daten interessieren, wenn lediglich die Dimension der Aufgabe fixiert ist. Im Rahmen der Komplexit¨ atstheorie reicht die Angabe der Gr¨oßenordnung des Rechenaufwands O(f (n)) in Abh¨ angigkeit von der Dimension n der Aufgabe aus, wobei f : N → R und O(f (n)) ≤ cf (n) f¨ ur eine endliche positive Zahl 0 < c < ∞ und alle hinreichend großen n gilt. Die Bezeichnung O(f (n)) steht also f¨ ur eine Funktion, die f¨ ur große n nicht gr¨oßer als das endliche Vielfache der Funktion f (n) ist.

60

6 Innere-Punkte-Methode

Betrachtet man den maximalen Rechenaufwand eines Computeralgorithmus zur L¨osung eines Problems, so spricht man vom Aufwand im schlechtesten Fall. Untersucht man nun, ob ein Computer eine gegebene Aufgabe schnell oder eben nicht schnell l¨osen kann, so wird eigentlich der schnellste Algorithmus zur L¨ osung dieses Problems gesucht. Der in diesem Sinne schnellste derzeit bekannte Algorithmus zur Sortierung von n Zahlen ben¨otigt O(n log2 n) Rechenoperationen. Da die Suche nach neuen Algorithmen nie endet, wird der schnellste Algorithmus im Allgemeinen nicht bekannt sein. Wir umgehen diese Problematik durch eine Klassifizierung der Probleme. Dazu sei zun¨achst die Wachstumsgeschwindigkeit von Funktionen betrachtet: Tab. 6.1 Unterschied von polynomialer und exponentieller Rechenzeit wobei von einer Rechengeschwindigkeit von 109 Rechenoperationen pro Sekunde ausgegangen wird.

n n2 2n

20 4 · 10−7 Sek. 1 · 10−3 Sek.

40 2 · 10−6 Sek. 18 Minuten

60 4 · 10−6 Sek. 37 Jahre

80 6 · 10−6 Sek. 38 · 106 Jahre

100 1 · 10−5 Sek. ?!

In der Tabelle 6.1 wird der Unterschied zwischen polynomialen Algorithmen, bei denen die Anzahl der Rechenoperationen von der Ordnung O(p(n)) f¨ ur ein Polynom p(n) ist, und den exponentiellen Algorithmen, bei denen die Anzahl der Rechenoperationen die Ordnung O(f (n)) f¨ ur eine Exponentialfunktion (wie zum Beispiel f (n) = 2n ) hat, deutlich. Kann eine Aufgabe mit einem polynomialen Algorithmus gel¨ost werden, so ist sie auch f¨ ur große Dimensionen noch handhabbar“, was bei anderen Algorithmen nicht der Fall ist. Daran ” ¨andert auch die schnellere Rechenzeit eines Computers der Zukunft nichts, wie die Tabelle 6.2 zeigt. Tab. 6.2 Zunahme der m¨ oglichen Problemgr¨ oße von Aufgaben, die durch einen Algorithmus mit dem Rechenaufwand g(n) innerhalb einer Stunde gel¨ ost werden k¨ onnen

g(n) n2 2n

Umfang bei 109 Op./Sek. 1 897 367 42

Umfang bei 1010 Op./Sek. 6 000 000 45

Umfang bei 1012 Op./Sek. 60 000 000 52

Gut und auch im Falle gr¨ oßerer Aufgaben in vern¨ unftiger Zeit l¨osbare Probleme sind nun solche, die einen polynomialen Aufwand haben, f¨ ur die also ein Polynom p(n) = np mit m¨oglichst kleinem Exponenten p existiert, so dass die Anzahl der vom Computer ben¨otigten Rechenoperationen bei der Verwendung eines bekannten Algorithmus gleich O(np ) ist. Diese Aufgaben geh¨oren zur Klasse P der polynomial l¨osbaren Probleme. Die Klassifikation der anderen Aufgaben und insbesondere die wichtige Frage, ob es Aufgaben gibt, die nicht mit einem polynomialen Aufwand gel¨ ost werden k¨ onnen, soll hier nicht weiter verfolgt werden. Der interessierte Leser sei auf das Lehrbuch [6] verwiesen. Lange Zeit wurden mit der Anwendung des Simplexalgorithmus zur L¨osung linearer Optimierungsaufgaben gute Erfahrungen gemacht, bis im Jahre 1972 V. Klee und G.J. Minty [22] Aufgaben ver¨offentlichten, die einen exponentiellen Rechenaufwand des Simplexalgorithmus aufzeigten.

61

6.1 Komplexit¨ at linearer Optimierungsaufgaben

Ein exponentielles Beispiel Betrachtet wird die Aufgabe min u.d.B.

−2n x1 x1 4x1 8x1 .. .

−

2n−2 x2

+ +

x2 4x2

+

2 n x1

+

2n−1 x2

+

−

...

x3 ...

− 2xn−1

.. . + 4xn−1

−

+

xn

≤ ≤ ≤ .. .

5 25 125 .. .

xn ≤ x ≥

5n 0.

Die (eindeutige) optimale L¨ osung in diesem Beispiel ist x∗ = (0, 0, . . . , 0, 5n ) mit dem opti∗ malen Zielfunktionswert z = −5n . Um die Aufgabe in Normalform zu transformieren und uhrt. Die den Simplexalgorithmus anwenden zu k¨ onnen, werden Schlupfvariable xi eingef¨ folgende Tabelle schildert den Verlauf des Simplexalgorithmus f¨ ur vier Variable (n = 4), wenn in jeder Iteration die Nichtbasisvariable in die Basis aufgenommen wird, die die kleinsten reduzierten Kosten hat. Dabei wird mit der Basisl¨osung xN = x = 0 und xB = x = (5, 25, . . . , 5n ) gestartet. Iteration 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Zielfunktionswert 0 40 60 100 150 190 210 250 375 415 435 475 525 565 585 625

aufgenommene BV

ausgeschlossene BV

x1 x2 x1 x3 x1 x2 x1 x4 x1 x2 x1 x3 x1 x2 x1

x1 x2 x1 x3 x1 x2 x1 x4 x1 x2 x1 x3 x1 x2 x1

In dieser Rechnung werden 15 = 2n − 1 mit n = 4 Iterationen ben¨otigt, bevor der Simplexalgorithmus mit der optimalen L¨ osung stoppt. Dieser ung¨ unstige Verlauf l¨asst sich auch f¨ ur gr¨oßere n zeigen. ¨ Ahnliche Beispiele wurden auch f¨ ur andere Regeln zur Wahl der aus der Basis auszuschließenden Variablen gefunden. Sie gelten immer nur f¨ ur ganz bestimmte Auswahlregeln. Es kann gezeigt werden, dass bei einer zuf¨ alligen Wahl (entsprechend einer Gleichverteilung)

62

6 Innere-Punkte-Methode

der aus der Basis auszuschließenden Variablen unter allen Variablen mit negativen reduzierten Kosten der Simplexalgorithmus im Mittel nach etwa n2 Iterationen endet. Etwas genauere Untersuchungen in dieser Richtung f¨ uhren zur Analyse von L¨osungsalgorithmen im Mittel. F¨ ur diese Untersuchungen kann zum Beispiel eine spezielle Variante des Simplexalgorithmus verwendet werden, die Methode der Schattenecken, die eng mit der parametrischen linearen Optimierung verbunden ist. Zur Beschreibung dieser Methode f¨ ur eine lineare Optimierungsaufgabe der Form max c x u.d.B. Ax ≤ b

(6.1)

sei eine erste zul¨assige Basisl¨ osung f¨ ur diese Aufgabe bekannt. Zu dieser Basisl¨osung geh¨ore die Basis B. Dann kann eine k¨ unstliche neue Zielfunktion c mit cN =(1 · · · 1) , cB =(0 · · · 0) bestimmt werden, f¨ ur die diese Basisl¨ osung optimal f¨ ur die Aufgabe (6.1) mit c = c ist. Um dann eine optimale L¨ osung der eigentlich zu l¨osenden Aufgabe zu berechnen, kann die parametrische lineare Optimierung mit der Zielfunktion z(c) = (1 − λ)c x + λc x, beginnend mit λ = 0 f¨ ur λ ↑ 1 angewendet werden. F¨ ur λ = 1 ergibt sich eine (im Falle der Entartung) spezielle optimale L¨ osung der Aufgabe (6.1). Diese Methode wird als Methode der Schattenecken bezeichnet und ist eine spezielle Realisierung des Simplexalgorithmus, da sie zu einer speziellen Auswahl der neu in die Basis aufzunehmenden Variablen f¨ uhrt. Wird die Methode der Schattenecken auf eine lineare Optimierungsaufgabe (6.1) mit b = (1 . . . 1) angewendet und sind alle Zeilenvektoren der Matrix A sowie der Zielfunktionsvektor unabh¨ angig und gleich verteilt in der Menge Rn \ {0} (und ist die Verteilung symmetrisch unter Rotation), so ist der Erwartungswert der Anzahl der Iterationen der Methode der Schattenecken nach oben beschr¨ ankt durch 17n3 m1/n−1 . Dieses und auch das folgende Ergebnis wurden durch K. H. Borgwardt [2] erhalten. Betrachtet werde die lineare Optimierungsaufgabe (6.1), wobei die Koeffizienten zuf¨allig so gew¨ahlt seien, dass das Problem (6.1) nichtentartet ist und die Nebenbedingungen  a i x ≤ bi und − ai x ≤ −bi

mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Wenn die Methode der Schattenecken von einer zuf¨alligen zul¨assigen Startbasisl¨ osung aus gestartet wird und ein so genannter ko-optimaler Weg existiert, so ist die erwartete Anzahl von Iterationen der Methode der Schattenecken nach oben beschr¨ankt durch n·

m−n+2 . m+1

6.2 Newton-Algorithmus zur L¨ osung nichtlinearer Gleichungssysteme

63

Zur Definition und zu Eigenschaften ko-optimaler Wege wird auf die Originalliteratur Borgwardt [2] verwiesen. Dennoch f¨ uhrten die Beispiele von Klee und Minty zu der Frage, ob das Problem der linearen Optimierung zur Klasse P geh¨ ort oder nicht. Diese Frage konnte mit Hilfe des Ellipsoid-Algorithmus von Khachiyan [19] positiv beantwortet werden. Allerdings war dieser Algorithmus in der praktischen Anwendung in den meisten F¨allen dem Simplexalgorithmus unterlegen. Diese Situation ¨anderte sich mit dem Aufkommen der Innere-Punkte-Algorithmen von N. Karmarkar [21]. Im Folgenden soll nun eine Realisierung der Idee von Karmarkar dargestellt werden.

6.2

Newton-Algorithmus zur L¨osung nichtlinearer Gleichungssysteme

6.2.1

L¨ osung nichtlinearer Gleichungen

Zur Anwendung der Innere-Punkte-Algorithmen in der linearen Optimierung wird das Problem der linearen Optimierung mit Hilfe der Dualit¨at (siehe Kapitel 5) in ein nichtlineares Gleichungssystem u uhrt, dieses wird dann unter Anwendung des Newton-Verfahrens ¨berf¨ gel¨ost. Zun¨achst soll das Newton-Verfahren zur Berechnung von Nullstellen f¨ ur nichtlineare Funktionen f : R → R einer Variablen betrachtet werden. Wenn die Funktion f (x) differenzierbar ist, so ist g(x) := f (x0 )+f  (x0 )(x−x0 ) die Tangente an den Graphen gph f := {(x, f (x)) : x ∈ R} im Punkt x = x0 , vergleiche Abbildung 6.1. Im Newton-Algorithmus wird dann eine Nullstelle x = x1 der Tangente g(x) = f (x0 ) + f  (x0 )(x − x0 ) = 0, d.h., x1 = x0 −

f (x0 ) f  (x0 )

bestimmt und danach mit der Berechnung einer Nullstelle f¨ ur die Tangente im Punkt x1 fortgesetzt. Damit ergibt sich das folgende Verfahren: Newton-Algorithmus zur Berechnung einer L¨ osung von f (x) = 0 W¨ ahle x0 hinreichend nahe an der zu berechnenden Nullstelle. k−1 ) . F¨ ur k = 1, 2, . . . berechne xk = xk−1 − ff(x k−1 (x ) Zur Illustration des Verfahrens soll das folgende kleine Beispiel dienen: Beispiel 6.1. Zu bestimmen sei eine Nullstelle der Funktion f (x) = x3 − 4x2 − 7x + 10 mit dem Newton-Verfahren. Es ist leicht einzusehen, dass x = 1, x = 5 und x = −2 Nullstellen dieser Funktion sind.

64

6 Innere-Punkte-Methode

y=f(x) 1

1

g(x)=f(x1 )+f'(x )(x-x ) 0

0

0

g(x)=f(x )+f'(x )(x-x ) x

1

2

x x

0

x

Abb. 6.1 Tangente an den Graphen einer Funktion und Newton-Iteration

Wir beginnen mit x0 = −3, konstruieren die Tangente g(x) = f (x0 ) + f  (x0 )(x − x0 ) mit f  (x) = 3x2 − 8x − 7 und erhalten mit f (−3) = −32, f  (−3) = 44 den neuen Punkt x1 = −3 − −32 44 = −2, 273. Insgesamt ergibt sich der folgende Verfahrensablauf: xk −3 −2, 273 −2, 029 −2, 00040

f (xk ) −32 −6, 4913 −0, 626 −0, 0084

f  (xk ) 44 26, 667 21, 59 21, 008

xk+1 −2, 273 −2, 029 −2, 00040 −2, 000000078



Im Beispiel ist ersichtlich, dass das Newton-Verfahren sehr schnell gegen eine Nullstelle konvergiert. Man kann das Verfahren zum Beispiel dann abbrechen, wenn f¨ ur einen vorgeullt ist, da dann die gesuchte Nullstelle gebenen Fehler ε > 0 die Ungleichung |f (xk )| ≤ ε erf¨ fast gefunden wurde. Außer in Ausnahmef¨ allen wird es nicht m¨oglich sein, die gesuchte Nullstelle exakt zu bestimmen. F¨ ur die Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens gilt: Es sei die Funktion f : R → R zweimal stetig differenzierbar, f (x) = 0 und f  (x) = 0. ur Dann gibt es eine offene Umgebung U des Punktes x, so dass das Newton-Verfahren f¨ jeden Startwert x0 ∈ U quadratisch gegen die Nullstelle x konvergiert. Dabei bedeutet die quadratische Konvergenz, dass es eine Konstante c < ∞ und einen Index k0 gibt mit |xk+1 − x| ≤ c|xk − x|2 ∀ k ≥ k0 . Zur Begr¨ undung dieser Aussage wird der Mittelwertsatz der reellen Analysis zweimal angeur die f  (x) = 0 wendet: Da f, f  stetige Funktionen sind, gibt es eine Umgebung U von x, f¨

6.2 Newton-Algorithmus zur L¨ osung nichtlinearer Gleichungssysteme

65

ist f¨ ur alle x ∈ U . Dann ist      k+1      f (xk ) f (xk ) − f (x) x  − − x = xk −  k − x = xk − x   k f (x ) f (x )       k f  (η)(xk − x)   k f  (η)     = x − x −  = x − x 1 − f  (xk )  f  (xk )     k    f (x ) − f  (η)   k   f  (ξ)(xk − η)   k         = x −x  = x −x   f  (xk ) f  (xk )     2  f (ξ)  ≤ xk − x   k  f (x ) mit |xk − ξ| < |xk − η| < |xk − x|. Da f zweimal stetig differenzierbar und f  (x) = 0 sind, kann die Umgebung U so bestimmt werden, dass |f  (x)| ≥ α und |f  (x)| ≤ β f¨ ur alle x ∈ U sowie f¨ ur ein α > 0 und ein β < ∞ gelten. Daraus folgt |f  (x)|/|f  (x)| ≤ β/α < ∞ f¨ ur alle x ∈ U , weshalb die quadratische Konvergenz korrekt ist. Wird das Newton-Verfahren von einem Startpunkt aus gestartet, der zu weit von der gesuchten Nullstelle entfernt liegt, so muss es nicht konvergieren; das Verfahren ist lediglich lokal konvergent. Ein Beispiel, in dem der Newton-Algorithmus nicht konvergiert, ist das folgende: Beispiel 6.2. Es werde eine Nullstelle der Funktion f (x) = x3 − 2x + 2 gesucht. Wird der Newton-Algorithmus im Punkt x0 = 0 gestartet, ergibt sich mit f  (x) = 3x2 − 2 der neue Punkt x1 = x0 −

2 f (x0 ) =0− = 1. f  (x0 ) −2

Der n¨achste Iterationspunkt x2 = x 1 −

f (x1 ) 1 =1− =0  f (x1 ) 1

f¨allt mit dem Startwert x0 zusammen. Damit erzeugt das Newton-Verfahren eine iterierende Folge von Punkten mit den zwei H¨ aufungspunkten x = 0 und x = 1, die beide keine Nullstellen der Funktion sind. Das Verfahren konvergiert nicht. 

6.2.2

L¨ osung nichtlinearer Gleichungssysteme

Es sei nun f : Rk → Rk eine nichtlineare vektorwertige Funktion, f¨ ur die eine Nullstelle x ∈ Rk gesucht wird. Die Komponentenfunktionen fi : Rk → R, i = 1, . . . , k, seien stetig partiell differenzierbar. Durch Verallgemeinerung der Tangentengleichung f¨ ur Funktionen einer Ver¨anderlichen auf den Fall von k Funktionen mit k Variablen ergibt sich f (x) ≈ f ( x) + Df ( x)(x − x ),

66

6 Innere-Punkte-Methode

wobei Df ( x) die Jacobi-Matrix der Funktion f : Rk → Rk an der Stelle x = x  ist. Diese Matrix besteht zeilenweise aus den Gradienten der Funktionen fi (x), i = 1, . . . , k. Analog zur Idee des Newton-Algorithmus f¨ ur die Bestimmung von Nullstellen reeller Funktionen in der Menge der reellen Zahlen wird auch hier die Bestimmung von x mit f (x) = 0 durch die iterative L¨ osung des linearen Gleichungssystems f ( x) + Df ( x)(x − x ) = 0 ersetzt. Wenn vorausgesetzt wird, dass die quadratische Matrix Df ( x) regul¨ar ist, so hat dieses lineare Gleichungssystem eine eindeutige L¨osung. Damit ergibt sich das folgende Newton-Verfahren zur L¨osung von f (x) = 0 : Newton-Algorithmus zur L¨ osung von f (x) = 0 mit f : Rk → Rk : 0 W¨ahle x hinreichend nahe an der zu berechnenden Nullstelle. osung des linearen Gleichungssystems F¨ ur k = 1, 2, . . . berechne xk als L¨ f (xk−1 ) + Df (xk−1 )(x − xk−1 ) = 0.

(6.2)

Wenn die Matrix Df (x) in der gesuchten L¨ osung regul¨ar ist, so ist sie bei vorausgesetzter Stetigkeit der Jacobi-Matrix in einer Umgebung von x regul¨ar, also in den Iterationspunkten invertierbar und die Berechnung der n¨ achsten Iterierten in obigem Algorithmus ist

−1 f (xk−1 ). Diese Formel ist das Analogon zur Kona¨quivalent zu xk = xk−1 − Df (xk−1 ) struktion der n¨achsten Iterierten im Newton-Algorithmus f¨ ur f (x) = 0 mit f : R → R. Vom rechnerischen Aufwand ist die Benutzung dieser expliziten Formel aber schlechter als die Berechnung der n¨achsten Iterierten durch L¨ osung obigen linearen Gleichungssystems, ohne die inverse Matrix zu berechnen. Lineare Gleichungssysteme mit regul¨aren quadratischen Koeffizientenmatrizen sind auch f¨ ur sehr viele Variablen und Gleichungen mit modernen Verfahren der Numerik effizient l¨ osbar. Wenn f : Rk → Rk eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, die an der Nullstelle x der Funktion f (x) = 0 eine regul¨ are Jacobi-Matrix Df (x) besitzt, so ist das NewtonVerfahren in einer Umgebung U der Nullstelle x anwendbar und konvergiert bei einem Start im Punkt x0 ∈ U quadratisch gegen die Nullstelle x. Quadratische Konvergenz bedeutet auch hier wieder, dass f¨ ur alle Iterationspunkte die folgende Ungleichung gilt: ur alle k ≥ k0 xk − x ≤ cxk−1 − x2 f¨ f¨ ur eine endliche Konstante c und einen Iterationsindex k0 .

6.3 Anwendung auf Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben

6.3

Anwendung auf Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben

6.3.1

Das ungest¨orte Gleichungssystem

67

Die zur linearen Optimierungsaufgabe in Normalform min c x u.d.B. Ax = b, x ≥ 0

(6.3)

duale lineare Optimierungsaufgabe ist max b y u.d.B. A y ≤ c.

(6.4)

Aus den Aussagen im Abschnitt 5.2 ergibt sich, dass eine zul¨assige L¨osung x der Aufgabe (6.3) genau dann optimal ist, wenn es eine zul¨ assige L¨osung y f¨ ur die duale Aufgabe (6.4) gibt, so dass die Komplementarit¨ atsbedingungen erf¨ ullt sind. Damit kann die Suche nach einer optimalen L¨osung der Aufgabe (6.3) durch die L¨osung des folgenden Gleichungs- und Ungleichungssystems ersetzt werden: Ax = b 

A y+s=c x≥0 s≥0

(6.5)

x s = 0. Dabei ist s ein Schlupfvariablenvektor. Das Gleichungs- und Ungleichungssystem ist nichtlinear, da die Komplementarit¨ atsbedingung x s = x (c − A y) = 0 eine nichtlineare Gleichung ist. Zu bemerken ist noch, dass 0 = x s = x (c − A y) = x c − x A y = c x − y  Ax = c x − y  b gilt. Damit ist die Komplementarit¨ atsbedingung genau dann erf¨ ullt, wenn die Zielfunktionswerte der zul¨assigen L¨ osungen x und y f¨ ur die primale und die duale Aufgabe u ¨bereinstimmen. Zur L¨osung dieses nichtlinearen Ungleichungssystems wird eine Folge von (f¨ ur dieses System unzul¨assigen) Punkten konstruiert, die im Grenzwert gegen eine zul¨assige L¨osung konvergieren sollen. Aus dieser L¨ osung wird dann das gesuchte Optimum f¨ ur die Aufgabe (6.3) bestimmt. Zun¨achst werden im Gleichungs- und Ungleichungssystem (6.5) die Ungleichungen x ≥ 0 und s ≥ 0 weggelassen. Sie werden im Weiteren implizit ber¨ ucksichtigt. Damit ergibt sich ein nichtlineares Gleichungssystem Ax = b 

A y+s=c 

x s = 0.

(6.6)

68

6 Innere-Punkte-Methode

Dieses Gleichungssystem wird mit dem Newton-Algorithmus gel¨ost. Dazu seien X = diag (x1 , x2 , . . . , xn ) und S = diag (s1 , s2 , . . . , sn ) die aus den Vektoren x und s gebildeten Diagonalmatrizen mit den angegebenen Variablen als Elementen der Hauptdiagonale. Da atsbedingungen ¨aquivalent zu xi si = 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , n x s = 0 wegen der Nichtnegativit¨ ist, ist die Komplementarit¨ atsbedingung auch ¨ aquivalent dazu, dass das Produkt der Diagonalmatrix X mit dem Vektor s gleich dem Nullvektor ist. Damit kann das nichtlineare Gleichungssystem auch wie folgt geschrieben werden: Ax = b 

(6.7)

A y+s=c Xs = 0.

Um den Newton-Algorithmus zur L¨ osung dieses Systems anwenden zu k¨onnen, definieren wir die Funktion F : Rn+m+n → Rm+n+n : ⎞ ⎛ Ax − b (6.8) F (x, y, s) := ⎝ A y + s − c ⎠ Xs und l¨osen die Gleichung F (x, y, s) = 0. Im Newton-Algorithmus werden die Nullstellen der Tangentialhyperebenen an die Funktion F an einer Folge von Punkten bestimmt. Die Tangentialhyperebene im Punkt (x, y, s) hat die Gleichung F (x, y, s) = F (x, y, s) + DF (x, y, s)((x, y, s) − (x, y, s) ). Dabei ist

⎛

A ⎝ DF (x, y, s) = 0 S

0 A 0

⎞ 0 I ⎠ X

die Jacobi-Matrix der vektorwertigen Funktion F , und I bezeichnet die Einheitsmatrix mit n Zeilen und n Spalten. Die Matrix DF (x, y, s) ist quadratisch und regul¨ar, wenn xi > 0, i = 1, . . . , n, si > 0, i = 1, . . . , n und die Zeilen der Matrix A linear unabh¨angig sind. Die Regularit¨at ist allerdings verletzt, wenn eine der Komponenten der Vektoren x oder s null ist, speziell also, wenn (x, y, s) f¨ ur das nichtlineare Gleichungssystem (6.7) zul¨assig ist. Zum Nachweis der Regularit¨ at der Matrix DF (x, y, s) wird gezeigt, dass das lineare Gleichungssystem DF (x, y, s)(u, v, w) = 0 die eindeutige L¨osung (u, v, w) = 0 besitzt, wenn obige Voraussetzungen erf¨ ullt sind: Wird die zweite Gleichung A v + w = 0 von links mit u multipliziert und die erste Gleichung Au = 0 in sie eingesetzt, so erhalten wir u A v + u w = 0, u w = −v  Au = 0. Umformung der letzten Gleichung Su+Xw = 0 und Ausnutzung der Regularit¨at der Matrix S bei si > 0, i = 1, . . . , n, ergibt u = −S −1 Xw =⇒ 0 = u w = −w  S −1 Xw,

69

6.3 Anwendung auf Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben

woraus (wegen der Regularit¨ at der Matrix S −1 X) w = 0 folgt. Daraus ergibt sich durch  Einsetzen u = 0 und aus A v = 0 wegen der linearen Unabh¨angigkeit der Zeilen der Matrix A auch v = 0.

6.3.2

Der zentrale Pfad

Die Problematik bei der Anwendung des Newton-Algorithmus zur L¨osung des nichtlinearen Gleichungssystems (6.7) besteht darin, dass die gesuchte L¨osung auf dem Rand des Bereiches Ω := {(x, s) ∈ R2n : xi > 0, si > 0, i = 1, . . . , n} liegt, in dem der Newton-Algorithmus gut arbeitet (in dem also die Jacobimatrix der Funktion F regul¨ar ist). Deshalb wird das Gleichungssystem (6.7) regularisiert (gest¨ ort) und f¨ ur μ > 0 das nichtlineare Gleichungssystem Ax = b 

A y+s=c Xs = μe

(6.9)

betrachtet, wobei e = (1, . . . , 1) ∈ Rn der n-dimensionale summierende Vektor ist. Zu bemerken ist, dass nμ =

n 

xi si = c x − b y

i=1

ost. Damit ist nμ gleich der Dualit¨atsl¨ ucke gilt, wenn (x, y) das Gleichungssystem (6.9) l¨ im Ergebnis der Wahl von (x, y) . Da die Jacobi-Matrix des nichtlinearen Gleichungssystems (6.9) mit der des Systems (6.7) u ar auf der Menge Ω, wenn die Zeilen der Matrix A linear ¨bereinstimmt, ist sie regul¨ unabh¨angig sind. Im Ergebnis folgt aus dem bekannten Satz u ¨ber die implizite Funktiur jedes μ > 0 on, dass die L¨osung (x, y, s) des nichtlinearen Gleichungssystems (6.9) f¨ (lokal) eindeutig bestimmt ist, dass es also Funktionen x : {μ ∈ R : μ > 0} → Rn , y : {μ ∈ R : μ > 0} → Rm , s : {μ ∈ R : μ > 0} → Rn gibt, so dass (x(μ), y(μ), s(μ)) eindeutige L¨osung von (6.9) ist, falls dieses System u ¨berhaupt l¨osbar ist. Dieser Vektor von μ > 0 abh¨angigen Funktionen wird der zentrale Pfad genannt. Damit das System (6.9) l¨ osbar ist, muss zumindest ein Punkt ( x, y) existieren, f¨ ur den x  ∈ X := {x : Ax = b, xi > 0, i = 1, . . . , n} und y ∈ Y := {y : (A y − c)i < 0, i = 1, . . . , n} gelten, da sonst xi (c − A y)i = μ > 0, i = 1, . . . , n, nicht erf¨ ullbar ist. Ungl¨ ucklicherweise muss letztere Bedingung f¨ ur eine l¨osbare lineare Optimierungsaufgabe nicht gelten, wie das folgende Beispiel zeigt.

70

6 Innere-Punkte-Methode

Beispiel 6.3. Betrachtet werde die Aufgabe min 5x1 − 2x2 u.d.B. x1 + x2 = 0, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Dann ist X = ∅. Das Problem ist aber l¨ osbar, da der Punkt x = (0, 0) die einzige zul¨assige L¨osung ist. Gleiches l¨ asst sich auch f¨ ur allgemeinere Aufgaben zeigen, wenn zum Beispiel  eine Gleichung xi = 0 aus Ax = b, x ≥ 0 folgt. Um die Existenz einer L¨ osung des nichtlineare Gleichungssystems (6.9) plausibel zu machen, werden die nichtlinearen Optimierungsaufgaben 

min c x − μ

n 

log2 xi u.d.B. Ax = b, xi > 0, i = 1, . . . , n

(6.10)

i=1

und max b y + μ

n 

log2 si u.d.B. A y + s = c, si > 0, i = 1, . . . , n

i=1

betrachtet. Ein exakter Beweis der Existenz erfolgt im Kapitel 8.2. Die Zielfunktion der ersten Aufgabe ist streng konvex. Wenn sie eine zul¨assige L¨osung besitzt, wenn also X = ∅ ist, dann besitzt diese Aufgabe h¨ ochstens eine optimale L¨osung. Sind sowohl X = ∅ als auch Y = ∅, so kann man zeigen, dass die Zielfunktion der Aufgabe (6.10) nach unten beschr¨ankt ist, die Aufgabe also eine eindeutige L¨osung x(μ) hat. Da der Logarithmus ur xi → 0 gegen minus Unendlich strebt, sind in der optimalen L¨osung die strengen log2 xi f¨ Nichtnegativit¨atsbedingungen xi > 0 auch dann erf¨ ullt, wenn diese Nebenbedingungen in der Aufgabe (6.10) durch xi ≥ 0 ersetzt werden. Diese Nebenbedingungen sind dann in der optimalen L¨osung immer inaktiv. Da x(μ) genau dann eine optimale L¨ osung dieser Aufgabe ist, wenn die Karush-KuhnTucker-Bedingungen erf¨ ullt sind, muss es Lagrange-Multiplikatoren γ geben, so dass (x(μ), γ) die folgenden Bedingungen erf¨ ullen: c − μ(X(μ))−1 e − A γ = 0 Ax(μ) = b xi (μ) > 0, i = 1, . . . , n.

(6.11)

Wenn s = s(μ) = μ(X(μ))−1 e und y(μ) = γ gesetzt werden, so ist si > 0, i = 1, . . . , n, und es sind offensichtlich alle Bedingungen im nichtlinearen Gleichungssystem (6.9) erf¨ ullt. Das System hat also eine L¨ osung. Die L¨ osbarkeit der Aufgabe (6.10) ist unter der Voraussetzung, dass sowohl X = ∅ als auch Y = ∅ gelten, ¨ aquivalent zur L¨osbarkeit des Systems (6.9). Analog kann man zeigen, dass dies auch f¨ ur die Aufgabe max b y + μ

n 

log2 si u.d.B. A y + s = c, si > 0, i = 1, . . . , n

i=1

zutrifft. Damit sind auch diese beiden Aufgaben hinsichtlich ihrer L¨osbarkeit ¨aquivalent.

6.3 Anwendung auf Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben

6.3.3

71

Anwendung des Newton-Verfahrens

Zur L¨osung des Gleichungssystems (6.9) wird das Newton-Verfahren angewendet. Dazu sei ⎛

⎞ ⎛ ⎞ Ax − b 0 Fμ (x, y, s) := ⎝ A y + s − c ⎠ = ⎝ 0 ⎠ Xs − μe 0

(6.12)

zu l¨osen, wir suchen eine Nullstelle der vektorwertigen Funktion Fμ (x, y, s). Es ist ⎛

⎞ Ax + AΔx − b ⎠ Fμ (x + Δx, y + Δy, s + Δs) = ⎝ A y + A Δy + s + Δs − c Xs + XΔs + SΔx + ΔXΔs − μe ⎛ ⎞ Ax + AΔx − b ≈ ⎝ A y + A Δy + s + Δs − c ⎠ . Xs + XΔs + SΔx − μe Damit ist Fμ (x + Δx, y + Δy, s + Δs) ≈ Fμ (x, y, s) + DFμ (x, y, s)(Δx, Δy, Δs) und in einem Punkt (x, y, s) mit x > 0, s > 0, Ax = b, A y + s = c ist in den Iterationen des Newton-Algorithmus das lineare Gleichungssystem ⎛

A ⎝ 0 S

0 A 0

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δx 0 0 ⎠ I ⎠ ⎝ Δy ⎠ = ⎝ 0 X Δs −r := −Xs + μe

(6.13)

zu l¨osen. Vergleichen wir die regularisierte Gleichung (6.12) mit der eigentlich zu l¨osenden Gleichung (6.7), wird sichtbar, dass der Regularisierungsfehler gleich r ist. Dabei wird die Euklidische Norm verwendet. Es kann gezeigt werden, dass dieser Regularisierungsfehler nach jedem Schritt des beschriebenen Newton-Verfahrens quadriert wird, das Verfahren kann also wiederum als quadratisch konvergent charakterisiert werden. Außerdem l¨asst sich zeigen, dass mit der L¨osung (Δx, Δy, Δs) von (6.13) und x > 0, s > 0 auch x + Δx > 0 sowie s + Δs > 0 gelten (siehe [17]). Damit ergibt sich der folgende Kurz-Schritt-Algorithmus: Kurz-Schritt-Algorithmus zur L¨ osung linearer Optimierungsaufgaben: Es seien x0 > 0, y 0 , s0 > 0 mit Ax0 = b, A y 0 + s0 = c, X 0 s0 − μ0 e = r 0 sowie r0 /μ0 ≤ 1/2 gegeben. W¨ ahle eine Abbruchgenauigkeit ε > 0 und setze k := 0. Schritt 1: Bestimme eine L¨ osung (Δxk , Δy k , Δsk ) des linearen Gleichungssystems k (6.13) mit r = r und setze (xk+1 , yk+1 , sk+1 ) = (xk , y k , sk ) + (Δxk , Δy k , Δsk ). Schritt 2: Verkleinere μk+1 := μk (1 −

1 √ ), 6 n

berechne r k+1 und setze k := k + 1.

Schritt 3: Falls μk ≤ ε/n, so beende den Algorithmus, sonst gehe zu Schritt 1.

72

6 Innere-Punkte-Methode

In [17] wird gezeigt, dass die spezielle Wahl von μk+1 bewirkt, dass die Voraussetzung r k /μk ≤ 1/2 f¨ ur alle k erf¨ ullt ist. Der Kurz-Schritt-Algorithmus endet nach sp¨ atestens √ nμ0 6 n ln ε Iterationen mit einer L¨ osung x, y, s, f¨ ur die x > 0, s > 0, Ax = b, A y + s = c sowie c x − b y ≤ 2ε gilt. In der Tat, μk ≤ ε/n aquivalent zu ln μk ≤ ln(ε/n). Mit der Formel f¨ ur μk ergibt sich √ ist ¨ daraus ln((1 − 1/(6 n))k μ0 ) ≤ ln(ε/n). Anwendung der Rechenregeln f¨ ur den Logarithmus ergibt √ k ln(1 − 1/(6 n)) + ln μ0 ≤ ln(ε/n). Wegen ln t ≤ t − 1 ist diese Ungleichung sicher erf¨ ullt, wenn √ √ k(1 − 1/(6 n) − 1) + ln μ0 = −k/(6 n) + ln μ0 ≤ ln(ε/n) oder √ √ nμ0 k ≥ 6 n[− ln(ε/n) + ln μ0 ] = 6 n ln ε ist. Aus c x − b y =c x − (Ax) y = x (c − A y) = x s = e Xs = e (μe + r) =nμ + e r ≤ nμ + er ≤ nμ + nμ/2 ≤ 2nμ ≤ 2ε ergibt sich die Absch¨ atzung der Dualit¨ atsl¨ ucke. Dabei wurde der Iterationsindex k zur Vereinfachung der Schreibweise weggelassen. Zu bemerken ist noch, dass obige Aussage zusammen mit der L¨osbarkeit linearer Gleichungssysteme in polynomialer Zeit wesentlich f¨ ur den Nachweis ist, dass lineare Optimierungsaufgaben zur Klasse P der polynomial l¨ osbaren Probleme geh¨oren. Auf detaillierte Aussagen dazu sei hier verzichtet, der interessierte Leser kann sie in [17] nachlesen.

6.3.4

Zur Berechnung einer Startl¨osung fu ¨r den Kurz-Schritt-Algorithmus

Zum Start des Kurz-Schritt-Algorithmus wird ein Vektor (x, y, s) ben¨otigt, der den Bedingungen x ∈ X := {x : Ax = b, xi > 0, i = 1, . . . , n}, y ∈ Y := {y : (A y − c)i < 0, i = 1, . . . , n}

6.3 Anwendung auf Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben

73

ugt. Um einen solchen Vektor zu berechnen, k¨onnen spezielle lineaund s = A y − c gen¨ re Optimierungsaufgaben und der folgende Satz von Goldman und Tucker [14] verwendet werden. Jedes Paar von dualen linearen Optimierungsaufgaben (5.1) und (5.2), das endliche optimale L¨osungen besitzt, besitzt auch strikt komplement¨are optimale L¨osungen, das sind solche, bei denen xi = 0 ist genau dann, wenn (A y − c)i < 0 gilt. Betrachtet werden jetzt eine schiefsymmetrische Matrix C, f¨ ur die also C = −C  erf¨ ullt ist, und eine lineare Optimierungsaufgabe min{a x : Cx ≥ −a, x ≥ 0} = min{a x : Cx − s = −a, x ≥ 0, s ≥ 0} x

x,s

(6.14)

mit einem Vektor a ≥ 0. Wegen a ≥ 0 und der Nichtnegativit¨atsbedingung x ≥ 0 ist x = 0 die optimale L¨osung dieser Aufgabe, der optimale Zielfunktionswert der Aufgabe (6.14) ist null. Die duale lineare Optimierungsaufgabe ergibt sich als max{−a y : C  y ≤ a, −y ≤ 0} = − min{a y : (−C)y ≤ a, y ≥ 0} = − min{a y : Cy ≥ −a, y ≥ 0}. Damit ist y = 0 die optimale L¨ osung der dualen Aufgabe, ihr optimaler Zielfunktionswert ist null. Da die primale und die duale lineare Optimierungsaufgabe ¨aquivalent sind, sie die gleichen optimalen L¨ osungen und den gemeinsamen optimalen Zielfunktionswert null besitzen, werden sie selbstduale Aufgaben genannt. Nach dem Satz von Goldman und Tucker besitzen sie strikt komplement¨ are optimale L¨osungen. Ziel soll nun die Bestimmung solcher strikt komplement¨ aren optimalen L¨ osungen x, s sein, die im Kurz-Schritt-Verfahren verwendet werden k¨ onnen. F¨ ur diese ist x + s > 0 f¨ ur s = Cx + a, da xi = 0 die Ungleichung si > 0 impliziert.  und zwei Vektoren b,  F¨ ur eine Matrix A c soll das Paar  ≥ b, x ≥ 0 min  c x u.d.B. Ax

(6.15)

 y ≤  max b y u.d.B. A c, y ≥ 0

(6.16)

und

linearer Optimierungsaufgaben betrachtet werden. F¨ ur beliebige positive Vektoren x0 , u0 ∈ n 0 0 m R , y , s ∈ R seien die Vektoren  0 + s0 , c :=   y 0 − u0 b := b − Ax c−A definiert sowie die (selbstduale!) lineare Optimierungsaufgabe min

βθ

x,y,θ,τ

u.d.B.

 y −A  −b y b y

 Ax

+ −

bθ cθ

− bτ +  cτ − ατ

+ c x −  c x + αθ y ≥ 0, x ≥ 0, θ ≥ 0, τ ≥ 0

≥ 0 ≥ 0 ≥ −β ≥ 0

(6.17)

74

6 Innere-Punkte-Methode

Hierbei sind α= c x0 − b y 0 + 1, 

β = α + b y 0 − c x0 + 1 feste Zahlen. Wegen ihrer Wahl sind x0 , y0 , θ = τ = 1 zul¨assige L¨osungen dieser Aufgabe mit nur positiven Komponenten. Da der optimale Zielfunktionswert selbstdualer linearer Optimierungsaufgaben null ist, muss in einer optimalen L¨osung x∗ , y ∗ , θ∗ , τ ∗ dieser Aufgabe θ∗ = 0 sein. Da nach dem Satz von Goldman und Tucker strikt komplement¨are optimale L¨osungen existieren, sei angenommen, dass (x∗ , y ∗ , θ∗ , τ ∗ ) eine solche strikt komplement¨are L¨osung ist. Dann ist wegen θ∗ = 0:  ∗ − bτ ∗ > 0 y ∗ + Ax  y ∗ +  x∗ − A cτ ∗ > 0 

−b y ∗ + c x∗ − ατ ∗ + β > 0 τ ∗ + b y −  c x > 0.

(6.18)

Damit gilt: 1. Wenn τ ∗ > 0 ist, so ist x∗ /τ ∗ , y ∗ /τ ∗ eine strikt komplement¨are optimale L¨osung der Probleme (6.15) und (6.16). Die Optimalit¨ at folgt dabei aus der schwachen Dualit¨at (5.3) und der letzten Ungleichung in (6.18). Die strikte Komplementarit¨at ergibt sich aus den ersten beiden Ungleichungen in (6.18).  ∗ ≥ 0, A  y ∗ ≥ 0 und b y ∗ −  c x∗ > 0. Das ist aber nur m¨oglich, 2. Ist τ ∗ = 0, so sind Ax wenn entweder (6.15) oder (6.16) keine zul¨ assige L¨osung besitzt. Damit lassen sich aus einer strikt komplement¨ aren optimalen L¨osung des Problems (6.17) strikt komplement¨ are L¨ osungen der Aufgaben (6.15) und (6.16) konstruieren. Zur Bestimmung einer strikt komplement¨ aren L¨osung der Aufgabe (6.17) kann die Kenntnis der strikt zul¨assigen Punkte x0 , y 0 , θ 0 = τ 0 = 1 verwendet werden, wenn man das Kurz-Schritt-Verfahren selbst auf das Problem (6.17) anwendet: Dieses kann nur strikt komplement¨are optimale L¨ osungen als H¨ aufungspunkte der konstruierten Folge erzeugen.  und der Vektoren b sowie  Die konkrete Gestalt der zu verwendenden Matrix A c h¨angt von der Struktur der zu l¨ osenden linearen Optimierungsaufgabe ab. F¨ ur die Aufgabe (6.3) k¨onnen     A b    c = c, A = und b = −A −b gew¨ahlt werden. Aufgabe 6.1. Betrachtet werde die lineare Optimierungsaufgabe [13] min x1 + x2 u.d.B. x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 1, x2 ≥ 1. 1. Bestimmen Sie alle L¨ osungen von (6.19).

(6.19)

6.3 Anwendung auf Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben

75

2. Bestimmen Sie f¨ ur jedes μ > 0 die L¨ osung (x(μ), y(μ), s(μ)) des linearen Gleichungssystems (6.9). 3. Was gilt f¨ ur lim (x(μ), y(μ), s(μ))? μ→0

7

Ausgew¨ahlte Anwendungen

In diesem Abschnitt soll vorgestellt werden, wie mittels der Theorie der linearen Optimierung Probleme mit zus¨ atzlichen Forderungen gel¨ost oder Fragestellungen aus anderen Gebieten beantwortet werden k¨ onnen.

7.1

Lo ¨sbarkeit von Matrixspielen in gemischten Strategien

Spiele in strategischer Form k¨ onnen als Tupel G = (S1 , S2 , . . . , SN ; f1 , f2 , . . . , fN ) gegeben werden, wobei 1. N Entscheidungstr¨ ager gleichzeitig Elemente aus den Mengen Si , i = 1, . . . , N, w¨ahlen, deren Qualit¨at anschließend mit Hilfe der Funktionen fi bewertet wird. Die Entscheidungstr¨ager werden hier, wie allgemein u ¨blich, Spieler genannt; ur den Spieler i und 2. Si ⊆ Rni die Menge der Alternativen f¨ 3. fi : S → R die Auszahlungsfunktion des Spielers i sind und S := S1 × S2 × . . . × SN gesetzt sei. Ziel der Spieler sei die Minimierung ihrer Auszahlungsfunktionen u ¨ber der Menge ihrer Alternativen. Alle Spieler treffen ihre Entscheidungen gleichzeitig. Da in solchen Spielen N Entscheidungstr¨ ager agieren, wird dieses Spiel als N -Personen-Spiel in strategischer Form bezeichnet. Beispiel 7.1. In einem bekannten Knobelspiel zeigen zwei Spieler gleichzeitig durch Handzeichen Stein“, Schere“ oder Papier“. Dabei gelten die Regeln Schere schneidet Papier“, ” ” ” ” Papier wickelt den Stein ein“ und Stein schleift die Schere“. Der das jeweils erstgenannte ” ” Objekt Zeigende besiegt den anderen und erh¨ alt von ihm zum Beispiel ein Streichholz. In diesem Spiel sind Si = {Stein, Schere, P apier} die Mengen der Alternativen beider Spieler. Die Auszahlungsfunktion, f¨ ur die hier f1 (x1 , x2 ) = −f2 (x1 , x2 ) f¨ ur alle (x1 , x2 ) ∈ S1 × S2 gilt, kann in einer Tabelle

1. Spieler

Stein Schere Papier

Stein 0 1 −1

2. Spieler Schere Papier −1 1 0 −1 1 0

78

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

oder ¨aquivalent, in der so genannten Auszahlungsmatrix dargestellt werden: ⎛

0 ⎝ A= 1 −1

−1 0 1

⎞ 1 −1 ⎠ . 0

Sie gibt an, ob der erste Spieler an den zweiten zahlt (aij = 1) oder umgekehrt (aij = −1). In der Auszahlungsmatrix sei vereinbart, dass der erste Spieler immer einen Zeilenindex und der zweite also einen Spaltenindex w¨ ahlt. Haben beide Spieler ihre Wahl getroffen, erfolgt die Auszahlung entsprechend dem Wert der Auszahlungsfunktion. Zwei-Personen-Spiele (in diesen Spielen ist N = 2) mit der Eigenschaft, dass f1 (x1 , x2 ) = −f2 (x1 , x2 ) f¨ ur alle (x1 , x2 ) ∈ S1 × S2 gilt, werden Nullsummenspiele genannt. In diesem Fall wird nur noch eine (gemeinsame) Auszahlungsfunktion f (x1 , x2 ) betrachtet und angenommen, dass der erste Spieler diese bez¨ uglich x1 ∈ S1 minimiert, w¨ahrend der zweite Spieler die Funktion f (x1 , x2 ) u ¨ber x2 ∈ S2 maximiert. Zwei-Personen-Spiele, bei denen die Auszahlungsfunktion durch eine Auszahlungsmatrix angegeben werden kann, bei denen also die Mengen der Alternativen endlich sind, werden Matrixspiele genannt. Ziel des ersten Spielers, der also eine Zeile i in der Auszahlungsmatrix A w¨ahlt und dann aij Geldeinheiten an den zweiten Spieler, der die Spalte j der Auszahlungsmatrix A gew¨ahlt hat, ist die Minimierung des zu zahlenden Betrages, er berechnet also min aij . i

Analog wird der zweite Spieler die Aufgabe max aij j

l¨ osen. Damit wird offensichtlich, dass die L¨ osungen beider Spieler von der Wahl des jeweiligen Gegenspielers abh¨ angen. Als Optimalit¨atsprinzip f¨ ur Matrixspiele dient das Nash’sche Gleichgewicht: Ein Punkt x = (x1 , x2 ) ∈ S ist ein Nash’sches Gleichgewicht des Zwei-PersonenNullsummenspieles G = (S1 , S2 ; f, −f ) in strategischer Form, wenn f (x1 , x2 ) ≤ f (x1 , x2 ), f (x1 , x2 ) ≥ f (x1 , x2 ) ∀ x1 ∈ S1 , ∀ x2 ∈ S2

(7.1)

gilt. Ein solches Nash’sches Gleichgewicht wird im allgemeinen nicht existieren. Der Leser m¨oge sich davon u ¨berzeugen, dass es in obigem Beispiel kein Nash’sches Gleichgewicht gibt. Allgemein kann die folgende Existenzaussage f¨ ur Nash’sche Gleichgewichte formuliert werden:

79

7.1 L¨ osbarkeit von Matrixspielen in gemischten Strategien

Das Zwei-Personen-Spiel G = (S1 , S2 ; f1 , f2 ) erf¨ ulle die folgenden Voraussetzungen: 1. die Strategiemengen S1 und S2 sind nicht leer, konvex und kompakt, ur i = 1, 2 stetig und 2. die Auszahlungsfunktionen fi : S → R sind f¨ 3. die Reaktionsmengen B1 (x2 ) := {x1 ∈ S1 : f1 (x1 , x2 ) = min{f1 (z1 , x2 ) : z1 ∈ S1 }} und B2 (x1 ) := {x2 ∈ S2 : f2 (x1 , x2 ) = min{f2 (x1 , z2 ) : z2 ∈ S2 }} sind einelementig. Dann besitzt G mindestens ein Nash’sches Gleichgewicht. Zum Nachweis dieser Aussage werden die kompakte konvexe Menge K := S1 × S2 und die Funktion g(x) := (B1 (x2 ), B2 (x1 )) definiert. Dann kann man sich (durch Anwendung von Ergebnissen der parametrischen Optimierung) davon u ¨berzeugen, dass g : K → K eine stetige Funktion ist, die wegen des Brouwer’schen Fixpunktsatzes einen Fixpunkt x besitzt. Dieser Fixpunkt ist ein Nash’sches Gleichgewicht des Zwei-Personen-Spieles. Eine analoge Aussage gilt auch bei mehr als zwei Spielern. Die Konvexit¨at der Strategiemengen ist im Falle von Matrixspielen nicht erf¨ ullt, da die Strategiemengen nur endlich viele Elemente, die so genannten reinen Strategien, enthalten. Um ein l¨osbares Spiel zu erhalten, werden die Strategiemengen wie folgt erweitert. Zumindest beim Knobeln“ (also obigem Stein-Schere-Papier-Spiel) w¨ahlt jeder Spieler ” beim einmaligen Spiel mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit eine der Strategien und wird sich davor h¨ uten, dem anderen Spieler durch Wahl immer der gleichen reinen Strategie einen Vorteil zu verschaffen. Das ist auch allgemein in Matrixspielen anwendbar. Dazu seien die Auszahlungsmatrix A vom Typ (m, n) mit m Zeilen und n Spalten, x ∈ Rm , y ∈ Rn zwei Vektoren mit xi ≥ 0, i = 1, . . . , m, yj ≥ 0, j = 1, . . . , n,

m 

xi = 1,

i=1

n 

yj = 1.

j=1

Die Werte xi , (yj ) werden gemischte Strategien genannt und lassen sich als Wahrscheinlichkeiten interpretieren, mit denen der erste (zweite) Spieler eine Zeile (Spalte) der Auszahlungsmatrix w¨ahlt. Treffen beide Spieler ihre Entscheidungen mit diesen Wahrscheinlichkeiten, so ergibt sich eine Auszahlung in H¨ ohe von x Ay des ersten Spielers an den zweiten. Die Aufgabe des ersten Spielers ist es nun, einen solchen Vektor x ∈ X := {x :

m 

xi = 1, xi ≥ 0, i = 1, . . . , m}

i=1

zu w¨ahlen, f¨ ur die x Ay m¨ oglichst klein ist: min x Ay u.d.B. x ∈ X. x

(7.2)

80

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

Analog ist die Aufgabe des zweiten Spielers die L¨osung der Aufgabe max x Ay u.d.B. y ∈ Y := {y : y

n 

yj = 1, yj ≥ 0, j = 1, . . . , n}.

(7.3)

j=1

W¨ahlen beide Spieler in einem Matrixspiel ihre Entscheidungen durch L¨osung der Aufgaben (7.2), (7.3), so spricht man von einem Matrixspiel in gemischten Strategien. Im Gegensatz dazu heißt die Wahl genau eines Elementes einer der Mengen Si eine reine Strategie. Die Strategiemengen X und Y der beiden Spieler sind jetzt konvex und kompakt. ur alle Strategien (x, y) einelementig sind, so kann mit Wenn die Reaktionsmengen Bi (·) f¨ obiger Aussage auf die Existenz eines Nash’schen Gleichgewichts in gemischten Strategien geschlossen werden. Ein etwas gr¨ undlicherer Blick auf die Aufgaben (7.2) und (7.3) zeigt jedoch, dass dies parametrische lineare Optimierungsaufgaben sind, die im Abschnitt 5.4.1 untersucht wurden. Wenn die Optimalmenge einer solchen Aufgabe stets einelementig ist, so ist diese Optimalmenge vom Parameter unabh¨angig. Davon kann man sich leicht zum Beispiel anhand einer grafischen Darstellung u urde f¨ ur ein Matrixspiel in ¨berzeugen. Das w¨ gemischten Strategien bedeuten, dass einer der Spieler nicht mehr am Spiel teilnimmt. Also sollte diese Voraussetzung nicht verwendet werden. Dennoch kann durch Verallgemeinerung obiger Aussage der Nachweis erbracht werden, dass Matrixspiele in gemischten Strategien immer Nash’sche Gleichgewichte besitzen. Zur Berechnung eines Nash’schen Gleichgewichts in gemischten Strategien sind die Aufgaben (7.2) und (7.3) gleichzeitig zu l¨ osen. Dazu seien zun¨achst weitere Aufgaben f¨ ur die beiden Spieler eingef¨ uhrt: Die neue Aufgabe des ersten Spielers ist v1 = min max x Ay, x∈X y∈Y

(7.4)

die Aufgabe des zweiten Spielers ist v2 = max min x Ay. y∈Y x∈X

(7.5)

Beide Aufgaben k¨onnen so interpretiert werden, dass der erste Spieler anstatt seinen Verlust zu minimieren jetzt seinen zu erwartenden minimalen Verlust bei maximaler Gegenwehr des zweiten Spielers berechnet. Er rechnet also mit einem maximalen Schaden, den ihm sein Gegenspieler zuf¨ ugen kann und minimiert diesen. Analog verf¨ahrt der zweite Spieler. Die durch L¨osung dieser beiden Aufgaben berechneten Strategien werden als konservativ bezeichnet. Einleuchtend ist, dass der Verlust des ersten Spielers bei optimaler Wahl seiner Strategie durch L¨osung der Aufgabe (7.2) nicht gr¨ oßer sein kann als v1 , unabh¨angig davon, welche Wahl der zweite Spieler trifft. Analog ist v2 der durch den zweiten Spieler zu erwartende Mindestgewinn. Wir wollen jetzt zeigen, dass v1 = v2 ist und dazu die lineare Optimierung verwenden. Damit erhalten wir auch eine Best¨atigung f¨ ur die Existenz eines Nash’schen Gleichgewichts f¨ ur Matrixspiele in gemischten Strategien. Dazu sei zun¨achst die Innere der Aufgabe (7.5) f¨ ur fixiertes y ∈ Y betrachtet. Das ist eine lineare Optimierungsaufgabe in Normalform, sie hat also eine optimale Basisl¨osung.

7.1 L¨ osbarkeit von Matrixspielen in gemischten Strategien

81

Basisl¨osungen von X sind die Einheitsvektoren ei , i = 1, . . . , m. Unter Beachtung der Gleichheiten   m   min x Ay : xi ≥ 0, i = 1, . . . , m, xi = 1 x

i=1 i

=

min{e Ay : i = 1, . . . , m}

=

max{α : Ai y ≥ α, i = 1, . . . , m}

i

α

kann die rechte Seite von (7.5) in die folgende lineare Optimierungsaufgabe transformiert werden: max

α

u.d.B.

Ai y n  yj

≥

α, i = 1, . . . , m

=

1

yj

≥

0, j = 1, . . . , n.

α,y

j=1

(7.6)

Hier wird die Abk¨ urzung Ai f¨ ur die Zeilen der Matrix A und Aj f¨ ur die entsprechenden Spalten verwendet. Aufgabe (7.6) ist die Aufgabe des zweiten Spielers. Zu bemerken ist noch, dass diese Transformation nur wegen der (unten bewiesenen) L¨osbarkeit der Aufgabe (7.6) G¨ ultigkeit hat. Die Aufgabe des ersten Spielers kann analog hergeleitet werden. Dabei ergibt sich min β,x

u.d.B.

β Aj x m  xi

≤

β, j = 1, . . . , n

=

1

xi

≥

0, i = 1, . . . , m.

i=1

(7.7)

Die beiden Aufgaben (7.6) und (7.7) sind zueinander duale lineare Optimierungsaufgaben (vgl. Abschnitt 5). Damit sind auch ihre optimalen Zielfunktionswerte v1 = v2 gleich. Beide Aufgaben sind auch l¨ osbar: Wird in der Aufgabe (7.7) eine beliebige L¨osung x ∈ X gew¨ahlt, so sind die Ungleichungen f¨ ur einen hinreichend großen Wert von β erf¨ ullt. Analoges gilt auch f¨ ur die Aufgabe (7.6). Damit haben die zueinander dualen Aufgaben beide nicht leere zul¨assige Bereiche. Sie sind also wegen der schwachen Dualit¨atsungleichung auf Seite 46 und der L¨osbarkeitsaussage f¨ ur lineare Optimierungsaufgaben auf Seite 32 l¨osbar. Bei der L¨osung dieser Aufgaben zum Beispiel mit dem primalen oder mit dem dualen Simplexalgorithmus ist zu beachten, dass die Variablen α und β nicht vorzeichenbeschr¨ankt sind. Eine Vereinfachung dieser Aufgaben ist noch dadurch m¨oglich, dass die Variablen α und β eliminiert werden. Dazu ist es notwendig, dass der Wert des Spieles (also der gemeinsame optimale Zielfunktionswert der Aufgaben (7.6) und (7.7)) positiv ist. Um das zu erreichen,

82

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

kann man notfalls einen positiven Wert γ zu allen Elementen der Matrix A hinzu addieren. Wegen n m  

xi yj (aij + γ) = x Ay + γ

i=1 j=1

erh¨oht dies den Wert des Spieles (oder die optimalen Zielfunktionswerte v1 und v2 der Aufgaben beider Spieler) gleichzeitig um den gleichen Wert. Diese Erh¨ohung beeinflusst nicht die optimalen L¨osungen der Aufgaben (7.6) und (7.7). Damit k¨onnen ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit v1 > 0 und v2 > 0 angenommen werden. Im Ergebnis k¨onnen wir die Variablen xi und yj ersetzen durch xi =

xi yj beziehungsweise yj = . β α

Wegen m 

xi =

i=1

m  xi i=1

β

=

1 β

ergibt sich dann die Maximierung der Summe der Variablen als neues Ziel in der Aufgabe (7.7) des ersten Spielers und es entsteht max x

u.d.B.

m 

xi i=1   A x xi

≤ ≥

e 0, i = 1, . . . , m.

(7.8)

Hier ist e = (1, 1, . . . , 1) wieder der summierende Vektor. Durch entsprechende Transformationen ergibt sich als die Aufgabe des zweiten Spielers min y

u.d.B.

n  j=1

yi

Ay  yj

≥ ≥

e 0, j = 1, . . . , n.

(7.9)

Aufgabe 7.1. Es werde das Spiel mit der Matrix ⎛ ⎞ −2 2 1 ⎜ 0 −1 3⎟ ⎟ M =⎜ ⎝ 2 1 −1 ⎠ −1 3 0 betrachtet. Man u achst, dass dieses Spiel nicht in reinen Strategien l¨osbar ist. An¨berzeuge sich zun¨ schließend sind die optimalen Strategien nach der oben angegebenen Vorgehensweise zu bestimmen.

83

7.2 Transportprobleme

7.2

Transportprobleme

7.2.1

Das Modell und seine Eigenschaften

Manche, insbesondere auch f¨ ur die Praxis relevante lineare Optimierungsaufgaben sind von einer speziellen Struktur, die viele Vereinfachungen der Theorie und der L¨osungsalgorithmen gestatten. Dazu geh¨ oren speziell die Transportaufgaben, die eine wichtige Rolle in Logistik und Serviceindustrie spielen. Zun¨achst sei folgendes Beispiel betrachtet: Beispiel 7.2. An drei Standorten (den so genannten Quellen) ist ein Gut vorhanden, welches zu vier Standorten (den Senken) transportiert werden soll. Die jeweils vorhandenen Mengen an den Quellen beziehungsweise die erforderlichen Mengen an den Senken sind in der folgenden Abbildung veranschaulicht; zum Beispiel sind an der mit S3 bezeichneten Quelle 16 Einheiten vorhanden, und die mit D1 bezeichnete Senke ben¨otigt mindestens 11 Einheiten. Es sei außerdem gefordert, dass das Gut unteilbar ist, also ganze Einheiten transportiert werden m¨ ussen.  12

2

16

 - D 11 1 *     

S1 H  @ J HH  J@ H H HH   @ J H j H J @ S2 H *   @ J  H  @ H  @ J  @ H H J H@   @ H@  R @ H j H  @ J S3 H J @  H HH @J HH@J JJ H@ ^ R @ H j H

 D2 4   8 D3   D4 7 

Die folgende Tabelle fasst die Kosten des Transports einer Einheit des Gutes zwischen den verschiedenen Quellen und Senken zusammen.

S1 S2 S3

D1 4 1 2

D2 3 5 3

D3 5 3 5

D4 3 6 4

Ziel ist es, den gesamten Transport kostenminimal durchzuf¨ uhren. Es sind also die Mengen xij zu bestimmen, die von Quelle Si zu Senke Dj zu transportieren sind, die die geringsten Gesamtkosten verursachen.

84

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

Damit ergibt sich folgende Optimierungsaufgabe zur Berechnung des optimalen Transportplans: min 4x11 +3x12 +5x13 +3x14 +x21 +5x22 +3x23 +6x24 +2x31 +3x32 +5x33 +4x34 u.d.B. x11 + x12 + x13 + x14 ≤12 ≤ 2 x21 + x22 + x23 + x24 x31 + x32 + x33 + x34 ≤16 +x21 + x31 ≥11 x11 x12 + x22 + x32 ≥ 4 + x23 + x33 ≥ 8 x13 x14 + x24 + x34 ≥ 7 x11 , x12 , x13 , x14 , x21 , x22 , x23 , x24 , x31 , x32 , x33 , x34 ≥ 0 x11 , x12 , x13 , x14 , x21 , x22 , x23 , x24 , x31 , x32 , x33 , x34 ∈ Z  Im allgemeinen Transportproblem gibt es n Quellen S1 , S2 , . . . , Sn , an denen a1 , a2 , . . . , an Einheiten des Gutes vorhanden sind, sowie m Senken D1 , D2 , . . . , Dm mit Bedarfsmengen b1 , b2 , . . . , bm . Es sei m¨ oglich, die G¨ uter von jeder Quelle Si zu jeder Senke Dj zu transportieren, wobei der Transport einer Einheit Kosten in H¨ohe cij verursacht. Wie bereits im obigen Beispiel vereinbart, bezeichne xij f¨ ur i = 1, 2, . . . , n und j = 1, 2, . . . , m die von Si nach Dj zu transportierende Menge, welche ganzzahlig sein sollen. Der kostenminimale Transportplan wird also durch das Optimierungsproblem

min u.d.B.

m n   i=1 j=1 m  j=1 n  i=1

cij xij

xij ≤ ai ,

i = 1, 2, . . . , n

xij ≥ bj ,

j = 1, 2, . . . , m

xij ≥ 0, xij ∈ Z,

(7.10) i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m

beschrieben. Zun¨achst sei das Problem (7.10) ohne die Ganzzahligkeitsforderungen an die Variablen betrachtet. Auf diese zus¨ atzlichen Forderungen wird sp¨ater zur¨ uckgekommen. Wenn im Problem (7.10) die Transportkosten nicht negativ sind, so sind in einem optimalen Transportplan ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit die Nebenbedingungen n  xij ≥ bj als Gleichungen erf¨ ullt. i=1

Diese Eigenschaft folgt sofort daraus, dass im Falle einer strengen Ungleichung

n  i=1

eine der Variablen xij verkleinert werden kann ohne die Zul¨assigkeit zu verletzen.

xij > bj

85

7.2 Transportprobleme

Aus den ersten beiden Nebenbedingungen der Aufgabe (7.10) folgt sofort, dass nur dann eine L¨osung dieses Problems existieren kann, wenn das Gesamtangebot mindestens der n m   Gesamtnachfrage entspricht, also die Bedingung ai ≥ bj erf¨ ullt ist. i=1

j=1

Falls f¨ ur die gegebenen Mengen ai und bj in dieser Bedingung die strenge Ungleichung n m   ai − bj eingef¨ uhrt gilt, kann eine k¨ unstliche Senke Dm+1 mit dem Bedarf bm+1 = i=1

j=1

werden (das entspricht der Einf¨ uhrung von Schlupfvariablen). Weil ein Transport zu dieser k¨ unstlichen Senke tats¨ achlich aber gar nicht stattfindet, k¨onnen die Kostenkoeffizienten c1,m+1 , c2,m+1 , . . . , cn,m+1 null gesetzt werden. n  ai = Damit kann ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit davon ausgegangen werden, dass m  j=1

bj gilt. Dann sind aber in der Ungleichungskette

n  i=1

n m  

ai ≤

j=1 i=1

xij ≤

m  j=1

i=1

bj =

n 

i=1

ai

alle Ungleichungen als Gleichungen erf¨ ullt; schließlich m¨ ussen dann auch die Ungleichungen m n   xij ≤ ai und xij ≥ bj f¨ ur jeweils alle i beziehungsweise j als Gleichheit erf¨ ullt j=1

i=1

sein. Folglich kann das Problem in ¨ aquivalenter Weise mit Gleichungsnebenbedingungen beschrieben werden: min u.d.B.

m n   i=1 j=1 m  j=1 n  i=1

cij xij

xij = ai ,

i = 1, 2, . . . , n

xij = bj ,

j = 1, 2, . . . , m

xij ≥ 0,

(7.11)

i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m.

Diese Aufgabe hat die Form einer linearen Optimierungsaufgabe in Normalform. Das klassische Transportproblem (7.11) ist l¨ osbar genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: ai ≥ 0, i = 1, . . . , n, bj ≥ 0, j = 1, . . . , m,

n  i=1

ai =

m 

bj .

(7.12)

j=1

Wenn x  eine optimale L¨ osung des klassischen Transportproblems (7.11) ist, so kann man sich durch Einsetzen dieser L¨ osung in die Nebenbedingungen der Aufgabe (7.11) leicht davon u ullt sind. ¨berzeugen, dass die Bedingungen (7.12) erf¨ Es seien nun die Bedingungen (7.12) erf¨ ullt. Dann ist die L¨osung x mit ai bj ai bj xij =  =  f¨ ur alle i, j n m ai bj i=1

j=1

86

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

offensichtlich zul¨assig. Der zul¨ assige Bereich der Aufgabe (7.11) ist also nicht leer. Er ist auch kompakt, da die Nebenbedingungen die G¨ ultigkeit von 0 ≤ xij ≤ min{ai , bj } implizieren. Damit ergibt sich die L¨ osbarkeit der Aufgabe (7.11) aus dem bekannten Satz von Weierstraß. Unter den optimalen L¨ osungen linearer Optimierungsaufgaben in Normalform gibt es immer auch eine Basisl¨osung. Zur Berechnung der Werte der Basisvariablen ist die rechte Seite der Nebenbedingungen mit der inversen Basismatrix zu multiplizieren. Die Koeffizientenmatrix des Nebenbedingungssystems der Aufgabe (7.11) hat die Gestalt ⎛ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎝

e 0 ..... 0 E

⎞ 0 ..... 0 e ..... 0 ⎟ ⎟ ..... ..... ..... ⎟ ⎟,   ⎠ 0 ..... e E ..... E

(7.13)

wobei e = (1, 1, . . . , 1) der summierende Vektor, 0 = (0, 0, . . . , 0) der Nullvektor mit jeweils m Komponenten und E die m-reihige Einheitsmatrix sind. Hier sind x = (x11 , x12 , . . . , x1m , x21 , x22 , . . . , x2m , . . . , xn1 , xn2 , . . . , xnm ) , c = (c11 , c12 , . . . , c1m , c21 , c22 , . . . , c2m , . . . , cn1 , cn2 , . . . , cnm ) , a = (a1 , a2 , . . . , an ) , b = (b1 , b2 , . . . , bm ) gesetzt worden. Die Matrix A wird in der Graphentheorie als Knoten-KantenInzidenzmatrix bezeichnet. F¨ ur m = 4, n = 3 hat ⎛ 1 1 ⎜ 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 ⎜ ⎜ A=⎜ 1 0 ⎜ ⎜ 0 1 ⎜ ⎝ 0 0 0 0

sie die folgende Gestalt: 1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Der Rang der Koeffizientenmatrix A ist kleiner als m + n, da die Summen der ersten n und der letzten m Zeilen jeweils eine Zeile aus lauter Einsen ergeben. In jeder der Spalten der Matrix A stehen genau zwei Einsen und sonst nur Nullen. Streicht man eine beliebige der Zeilen der Matrix A ergibt sich die Matrix A . Jede der quadratischen Teilmatrix dieser Matrix hat die Determinante 0, 1, oder −1: Eine quadratische Teilmatrix Q hat die Determinante null, wenn es in keiner ihrer Spalten nur eine Eins gibt. Gibt es nur eine Eins in einer der Spalten der Matrix Q, so kann die Determinante nach dieser Spalte entwickelt werden. Entsprechend dem Laplace’schen Entwicklungssatz f¨ ur die Berechnung der Determinanten sind dann in Q genau eine Zeile und eine Spalte zu streichen und die Suche nach

87

7.2 Transportprobleme

einer Spalte mit nur einer Eins erfolgt erneut. Ist die Suche in allen Schritten erfolgreich, so ist die Determinante der Matrix Q gleich 1 oder −1. Basismatrizen der Matrix A haben damit die Determinante 1 oder −1. Wenn die Angebote und Nachfragen im Transportproblem alle ganzzahlig sind und Q eine Basismatrix der onnen die Werte der Basisvariablen xB = (xij )B durch L¨osung des Matrix A ist, so k¨ linearen Gleichungssystems QxB = r mit dem aus den Werten ai , bj gebildeten Vektor r berechnet werden. F¨ ur diese Rechnung kann die Cramer’sche Regel verwendet werden, nach der der Wert der Basisvariablen xij gleich xij =

det Qij det Q

ist. Hier entsteht die Matrix Qij durch Verschieben des Vektors r in die Spalte der Matrix Q, die zur Variablen xij geh¨ ort. Da die Koeffizienten in der Matrix Qij bei Anwendung der Cramer’schen Regel auf das Transportproblem mit ganzzahligen Angebots- und Bedarfsmengen alle ganzzahlig sind und det Q ∈ {1, −1}, ergibt sich f¨ ur xij ein ganzzahliger Wert. Damit haben wir das folgende Ergebnis erhalten: Wenn die Angebotsmengen ai und die Bedarfsmengen bj alle ganzzahlig sind, so hat das konvexe Polyeder P , das den zul¨ assigen Bereich der Aufgabe (7.11) darstellt, nur ganzzahlige Ecken. Im Ergebnis dieser Aussage kann auf die Ganzzahligkeitsforderung in klassischen Transportproblem verzichtet werden, sie ist f¨ ur Basisl¨ osungen automatisch erf¨ ullt. Das klassische Transportproblem kann also als eine lineare Optimierungsaufgabe gel¨ost werden. Beispiel 7.3. Die Cramer’sche Regel soll an folgendem kleinen Beispiel illustriert werden. Zu l¨ osen ist das lineare Gleichungssystem x1 2x1

+ +

2x2 x2

= =

4 6

Die Determinante der Koeffizientenmatrix   1 2 A= 2 1 ist −3. Wird die rechte Seite an die entsprechenden Stellen der Koeffizientenmatrix geschoben, ergeben sich die Matrizen     4 2 1 4 Q1 = und Q2 = 6 1 2 6 mit den Determinanten det Q1 = −8 und det Q2 = −2. Damit ergibt sich 8 2 det Q1 det Q2 = , x2 = = det A 3 det A 3 als eindeutige L¨osung. x1 =



88

7.2.2

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

Ein L¨ osungsalgorithmus

Die Erzeugung einer ersten zul¨ assigen Basisl¨ osung kann f¨ ur das Transportproblem konstruktiv erfolgen, indem der Reihe nach m + n − 1 Basisvariable xij mit Werten belegt werden. Sinnvollerweise erfolgt das in einer Matrix mit m + 1 Zeilen und n + 1 Spalten. In die letzte Zeile und die letzte Spalte werden zun¨ achst die Angebots- und Bedarfsmengen eingetragen. Dann wird der folgende allgemeine Algorithmus angewendet: Verfahren zur Erzeugung einer ersten zul¨ assigen Basisl¨ osung f¨ ur das klassische Transportproblem: 0. Die Felder (i, j), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, enthalten keine Eintragungen und sind ungestrichen. 1. W¨ahle ein beliebiges ungestrichenes Feld (k, l) aus. 2. Setze xkl = min{ak , bl } . xkl wird Basisvariable. (a) ak < bl : Streiche die Zeile k und ersetze bl durch bl − ak . Weiter mit 1. (b) ak > bl : Streiche die Spalte l und ersetze ak durch ak − bl . Weiter mit 1. (c) ak = bl : i. Die Tabelle enth¨ alt genau eine ungestrichene Zeile und eine ungestrichene Spalte. Streiche die Zeile k und die Spalte l. Weiter mit 3. ii. Die Tabelle enth¨ alt mehr als zwei ungestrichene Zeilen und Spalten. Streiche entweder die Zeile k und ersetze bl durch 0, oder streiche die Spalte l und ersetze ak durch 0, so dass noch mindestens eine Zeile und eine Spalte ungestrichen sind. Weiter mit 1. 3. Den Variablen der nichtbesetzten Felder wird der Wert 0 zugeordnet. Diese Variable sind Nichtbasisvariable. 4. Berechne die Gesamtkosten z. Um obigen Algorithmus zu vervollst¨ andigen, ist noch eine Regel anzugeben, nach der im Schritt 1 ein ungestrichenes Element ausgew¨ ahlt wird. Es sollen hier nur zwei Regeln betrachtet werden. Bei der Methode des minimalen Elementes wird unter den ungestrichenen Elementen eines mit dem kleinsten Zielfunktionskoeffizienten ausgew¨ahlt. Bei der Nord-WestEckenregel wird das nordwestlichste ungestrichene Element in obiger Matrix ausgew¨ahlt. F¨ ur andere Regeln sei auf die Literatur verwiesen. Beispiel 7.4. Betrachtet werde ein Transportproblem mit n = 3 Verbrauchsorten und m = 4 Angebotsorten. In der folgenden Tabelle sind die Transportkosten f¨ ur den Transport einer Mengeneinheit von einem Angebots- zu einem Bedarfsort, die Angebots- und Bedarfsmengen angegeben:

Fabrik 1 Fabrik 2 Fabrik 3 Angebot

1 630 710 340 80

Lager 2 3 150 320 380 600 250 170 65 70

4 310 400 420 85

Bedarf 75 125 100

89

7.2 Transportprobleme

Die Transportmengen seien unteilbar. Es ist ein Plan zu ermitteln, der die Transportmengen zwischen den Angebots- und Bedarfsorten so festlegt, dass die gesamten Transportkosten minimiert werden. Mit z seien die insgesamt anfallenden Transportkosten bezeichnet. Zur Modellierung werden die folgenden Variablen mit den zugeh¨ origen Einschr¨ankungen verwendet: xij ≥ 0, (ganzzahlig), i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4: Anzahl der Mengeneinheiten, die vom Angebotsort i zum Bedarfsort j zu transportieren sind. Die drei Restriktionen f¨ ur den Abtransport und die vier Restriktionen zur Anlieferung des Transportgutes ergeben das folgende speziell strukturierte lineare Gleichungssystem: x11 + x12 + x13 + x14 x21 + x22 + x23 + x24 +x21

x11 x12

+x22 +x23

x13 x14

+x24

x31 + x32 + x33 + x34 +x31 +x32 +x33 +x34

= = = = = = =

75 125 100 80 65 70 85

Die lineare Zielfunktion min z

= 630x11 + 150x12 + 320x13 + 310x14 + 710x21 + 380x22 + 600x23 + 400x24 + 340x31 + 250x32 + 170x33 + 420x34

beschreibt die Minimierung der insgesamt anfallenden Transportkosten. Bei dem nach der Nord-West-Eckenregel zu erzeugenden Transportplan werden die Felder in der Reihenfolge (1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 4) besetzt. Der in der nachfolgenden Tabelle dargestellte Transportplan zeigt den typischen Weg der besetzten Felder von der Nordwestecke zur S¨ udostecke. xij 1 2 3 bj

1 2 75 5 65 80

3

4

55 15 85 65 70 85

ai 75 125 100

Die Gesamtkosten f¨ ur diesen Transportplan betragen z = 146 750 . Ausgehend von obiger Kostenmatrix werden bei der Methode des minimalen Elementes nacheinander die Felder (1, 2), (3, 3), (1, 4), (3, 1), (2, 4), (2, 1) besetzt. In den ersten vier Iterationen findet man das zu suchende Gesamtminimum jeweils in einer anderen Zeile als auch in einer anderen Spalte. Die letzten beiden Felder werden dabei zwangsweise ausgew¨ahlt, da hier die Zeile 2 die einzig noch verbliebene ungestrichene Zeile ist. Damit erh¨alt man den folgenden Transportplan mit den Gesamtkosten z = 100 450 :

90

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

xij 1 2 3 bj

1 50 30 80

2 65

65

3

70 70

4 10 75

ai 75 125 100

85 

Nachdem eine erste zul¨ assige Basisl¨ osung konstruiert wurde, muss diese auf Optimalit¨at untersucht werden. Wie in der linearen Optimierung erfolgt das mit Hilfe der dualen Aufgabe, genauer gesagt, mit Hilfe des Satzes u ¨ber die strenge Dualit¨at. Die duale Aufgabe zum klassischen Transportproblem (7.11) ist min

m  i=1

a i ui +

n 

bj vj

j=1

(7.14)

u.d.B. ui + vj ≤ cij ∀ i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. ur das klassische Transportproblem und (u, v) f¨ ur die duale Zwei zul¨assige L¨osungen x f¨ Aufgabe zum klassischen Transportproblem sind optimal f¨ ur die jeweiligen Aufgaben, wenn xij (cij − ui − v j ) = 0 ∀ i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. F¨ ur die Basisvariablen ergibt sich aus diesen Gleichungen das lineare Gleichungssystem ur alle Basisvariablen. ui + vj = cij f¨

(7.15)

Dieses lineare Gleichungssystem hat m+n Unbekannte und m+n−1 Gleichungen, genau eine Variable ist frei w¨ahlbar. Zum Beispiel kann u1 = 0 gesetzt werden. Das Gleichungssystem liegt schon in aufgel¨ oster Form vor, die Werte f¨ ur die Variablen k¨onnen der Reihe nach berechnet werden. Die Komponenten der L¨ osung dieses Gleichungssystems werden auch Potentiale genannt. ur die duale AufWenn die L¨osung (u, v) dieses linearen Gleichungssystems (7.15) zul¨assig f¨ gabe (7.14) ist, wenn also ui + v j ≤ cij f¨ ur alle i und j ist, so ist die aktuelle Basisl¨osung optimal. Im entgegengesetzten Fall gibt es ein Paar (k, l) von Indizes mit Δkl := ckl − uk − v l < 0. Wie in der linearen Optimierung wird dann die Variable xkl in die Basis aufgenommen. Erh¨alt sie einen positiven Wert, muss eine andere Variable xkj1 in der gleichen Zeile der L¨osungsmatrix um den gleichen Wert verkleinert werden, damit die Nebenbedingungen des klassischen Transportproblems auch weiterhin erf¨ ullt werden. Daf¨ ur muss xkj1 eine Basisvariable sein. Dann muss eine andere Variable in der Spalte j1 vergr¨oßert werden. Da wir nur genau eine Nichtbasisvariable in die Basis aufnehmen wollen, muss diese Variable Basisvariable sein. Und so weiter. Nach endlich vielen Schritten muss sich der Kreis schließen“, ” dieser Prozess muss also mit der Vergr¨ oßerung der Variablen xkl enden. Eine der Basisvariablen muss dabei den Wert null erhalten, sie verl¨asst die Basis. Daraus ergibt sich der

91

7.2 Transportprobleme

Wert, um den die einzelnen Variablen vergr¨ oßert beziehungsweise verkleinert werden, als der kleinste Wert einer zu verkleinernden Variablen. Insgesamt ergibt sich der folgende Algorithmus: Verfahren zur Erzeugung eines optimalen Transportplans f¨ ur das klassische Transportproblem: 0. Erzeuge mit dem Er¨ offnungsverfahren einen Transportplan x mit der zugeh¨origen Basis B und den Gesamtkosten z. 1. Setze u1 = 0 und berechne die weiteren Potentiale durch L¨osen des linearen Gleichungssystems ui + vj = cij f¨ ur alle Basisvariable. ur alle Nichtbasisvariable. 2. Berechne die Optimalit¨ atsindikatoren Δij = cij − (ui + vj ) f¨ 3. Abbruchkriterium: Gilt Δij ≥ 0 f¨ ur alle Nichtbasisvariable, so liegt ein optimaler Transportplan vor. 4. W¨ahle eine Nichtbasisvariable xkl mit Δkl < 0. 5. Bestimmung des Austauschzyklus: Markiere alle Basisvariable und xkl in der L¨osungsmatrix. Streiche alle Zeilen und Spalten in der L¨osungsmatrix, in denen allein ein markiertes Element steht. Wiederhole diesen Prozess, bis keine Streichungen mehr m¨oglich sind. Die u ¨brig bleibenden markierten Variablen bilden den Austauschzyklus. 6. Unterteile diese Variablen in: B + : Variable xkl und jede weitere zweite Variable des Zyklus, B − : nicht zu B + geh¨ orende Variable des Zyklus. oße d durch die Vorschrift 7. Bestimme eine Variable xpq und die Gr¨ d = xpq = min{xij | xij ∈ B − } . 8. Ab¨anderung des Transportplans (Turmzugprinzip): xij := xij + d , xij ∈ B + xij := xij − d , xij ∈ B − z := z + Δkl d, B := (B \ {(p, q)}) ∪ {(k, l)} Weiter mit 1.

Beispiel 7.5. (Erzeugung eines optimalen Transportplans f¨ ur Beispiel 7.4) Ausgangspunkt der Betrachtungen sei die Datentabelle zum Beispiel 7.4 mit der Kostenmatrix C und der mit der Methode des minimalen Elementes erzeugte Transportplan mit den Gesamtkosten z = 100 450.

cij 1 2 3 bj

1 630 710 340 80

2 150 380 250 65

3 320 600 170 70

4 310 400 420 85

ai 75 125 100

xij 1 2 3 bj

1 50 30 80

2 65

65

3

70 70

4 10 75

ai 75 125 100

85

Um den vorliegenden Transportplan auf Optimalit¨at zu testen, m¨ ussen zuerst die Potentiale berechnet werden. Das zugeh¨ orige lineare Gleichungssystem f¨ ur die gegebene Basismenge

92

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

B = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} lautet wie folgt: u1 + v2 = 150, u2 + v1 = 710, u3 + v1 = 340,

u1 + v4 = 310 u2 + v4 = 400 u3 + v3 = 170

Als frei w¨ahlbare Variable wird u1 = 0 fixiert. Das lineare Gleichungssystem l¨asst sich an Hand der folgenden Tabellen veranschaulichen, wobei die Variable u1 mit dem Vorgabewert Null in der linken Tabelle bereits eingetragen wurde. In ihm l¨asst sich sukzessive stets eine Gleichung finden, bei der nur noch eine Variable unbekannt ist. Aus u1 = 0 folgt sofort v2 = 150 und v4 = 310. Aus v4 = 310 erh¨alt man u2 = 90. Mit dem nun bekannten Wert f¨ ur u2 kann v1 = 620 bestimmt werden. Aus v1 = 620 folgt u3 = −280 und letztlich mit diesem Wert auch v3 = 450. Diese Rechnungen lassen sich analog in der rechten der folgenden Tabellen nachvollziehen und f¨ uhren zur Eintragung aller Potentiale: ui + vj 1 2 3 vj

1

2 150

3

710 340

4 310 400

ui 0

ui + v j 1 2 3 vj

170

1 710 340 620

2 150

150

3

170 450

4 310 400

ui 0 90 −280

310

Die mit diesen Potentialen u ¨ber Δij = cij − ui − vj berechneten Optimalit¨atsindikatoren sind in der nachfolgenden Tabelle angegeben. Der zu den Optimalit¨atsindikatoren der Basisvariable geh¨orende Wert null ist hervorgehoben: Δij 1 2 3

1 10 0 0

2 3 0 −130 140 60 380 0

4 0 0 390

Der vorliegende Transportplan wird wegen Δ13 = −130 < 0 nicht als optimal erkannt. Da der Transportplan nicht degeneriert ist, ist er tats¨achlich auch nicht optimal. Die Nichtbasisvariable x13 muss in die Basis aufgenommen werden und wird vorerst mit der Unbekannten d besetzt. Zur Ermittlung der umzulagernden Transportmenge d und der ausscheidenden Basisvariable ist der Austauschzyklus zu bestimmen. Dabei ist nur die Spalte 2 zu streichen, da sie genau ein markiertes Element enth¨ alt. Die Transportmengen der markierten Elemente in den verbliebenen Zeilen und Spalten werden alternierend um d erh¨oht beziehungsweise um d vermindert. Die folgende Tabelle zeigt diesen Vorgang. xij 1 2 3 bj

1 50 − d 30 + d 80

2 65

3 d

65

70 − d 70

4 10 − d 75 + d 85

ai 75 125 100

93

7.3 Lineare Optimierung mit mehreren Zielfunktionen

Um die Gesamtkosten zu minimieren, muss der Wert d m¨oglichst groß werden. Um die Zul¨assigkeit des neuen Transportplans zu gew¨ ahrleisten, darf d nur so groß werden, dass die Bedingungen 10 − d ≥ 0, 50 − d ≥ 0 und 70 − d ≥ 0 erf¨ ullt werden. Damit ist der Wert d = 10 eindeutig durch die Basisvariable x14 bestimmt. Diese verl¨asst die Basis. Alle Variablenwerte sind alternierend um den Wert d = 10 zu ¨andern. Es entsteht die linke der folgenden Tabellen. Die Gesamtkosten des neu erzeugten Transportplans verbessern sich gegen¨ uber dem urspr¨ unglichen Plan auf z = 100 450 + (−130) · 10 = 99 150. Der Ablauf des Verfahrens wiederholt sich nun. Der neue Transportplan ist auf Optimalit¨at zu testen. Die rechte der folgenden Tabellen vereint die dazu ben¨otigten Potentiale und die daraus berechneten Optimalit¨ asindikatoren: xoij 1 2 3 bj

1 40 40 80

2 65

3 10

65

60 70

4 85

ai 75 125 100

85

Δij 1 2 3 vj

1 140 710 340 490

2 150 10 250 150

3 320 60 170 320

4 130 400 390 180

ui 0 220 −150

Alle Optimalit¨atsindikatoren sind nichtnegativ. Damit stellt der zuletzt erzeugte Plan einen optimalen Transportplan mit minimalen Gesamtkosten in H¨ohe von z = 99150 dar. Er ist zugleich der einzige optimale Transportplan, da die Optimalit¨atsindikatoren der Nichtbasisvariablen s¨amtlich positiv sind.

7.3

Lineare Optimierung mit mehreren Zielfunktionen

7.3.1

Pareto-optimale L¨osungen

In Anwendungsaufgaben der linearen Optimierung sind oftmals mehrere Zielfunktionen gleichzeitig zu beachten. Beispiele daf¨ ur sind die gleichzeitige Maximierung des Gewinnes und Minimierung der Kosten bei der Herstellung mehrerer Produkte. Beispiel 7.6. In einem Unternehmen werden zwei Produkte auf drei Maschinen hergestellt. Die Nebenbedingungen in der folgenden Aufgabe sollen die Einhaltung der Maschinenzeitfonds beschreiben. Der Verkauf der produzierten Erzeugnisse auf dem Markt kann zu Preisen ur das erste und p2 = 2 Geldeinheiten f¨ ur das zweite Produkt erfolgen. W¨ahrend p1 = 3 f¨ zur Herstellung des ersten Produktes importierte Rohmaterialien im Wert von c1 = 2 Geldeinheiten ben¨otigt werden, kann ein bei der Produktion des zweiten Produktes anfallendes Nebenprodukt auf dem internationalen Markt zu einem Preis von c2 = 1 Geldeinheiten verkauft werden. Die Aufgabe besteht in der Bestimmung eines solchen Sortiments, welches mit einem maximalen Erl¨ os auf dem Markt verkauft werden kann und mit dem gleichzeitig der Beitrag zur internationalen Zahlungsbilanz (Differenz aus dem Erl¨os und den Kosten

94

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

auf dem internationalen Markt) maximiert wird. Damit ergibt sich die folgende Aufgabe: max“ ” max“ ” u.d.B.

f1 (x) := 3x1 f2 (x) := −2x1 3x1 x1 x1

+ 2x2 + x2 + x2 + x2 + 3x2 x1 , x2

≤ ≤ ≤ ≥

3 2 3 0

(7.16)

Eine grafische Veranschaulichung dieser Aufgabe ist in Abbildung 7.1 dargestellt.

Abb. 7.1 Illustration der Aufgabe 7.16. Dargestellt sind der zul¨ assige Bereich, die zwei Zielfunktionen und die Menge der Pareto-optimalen (effizienten) L¨ osungen

In Abbildung 7.1 wird ersichtlich, dass es im Allgemeinen nicht m¨oglich sein wird, einen zul¨assigen Punkt zu finden, der gleichzeitig alle Zielfunktionen optimiert. Damit entsteht die Aufgabe, einen besten“ Kompromiss zu finden. Die allgemeine lineare Optimierungs” aufgabe mit mehreren Zielfunktionen oder lineare Vektoroptimierungsaufgabe ist min“ ” u.d.B.

Cx x ∈ M := {z : Az ≤ b, z ≥ 0} .

(7.17)

Hier sind x ∈ Rn , b ∈ Rm , A eine m×n-Matrix und C eine k ×n-Matrix. Es sind also k ≥ 1 Zielfunktionen gleichzeitig zu minimieren. Eine m¨ogliche Kompromissl¨osung x ist sicher dann gegeben, wenn es keinen Punkt x0 gibt, der in allen Zielfunktionen gleichzeitig bessere Werte als x erzielt oder in mindestens einer Zielfunktion einen besseren Wert erreicht, ohne die anderen zu verschlechtern. Eine zul¨assige L¨osung x ∈ M der Aufgabe (7.17) heißt Pareto-optimal oder effizient, wenn es keine zul¨assige L¨ osung x0 ∈ M gibt, f¨ ur die Cx ≥ Cx0 und Cx = Cx0 gelten.

7.3 Lineare Optimierung mit mehreren Zielfunktionen

95

Der interessierte Leser ist aufgefordert, sich zu u ¨berlegen, dass jede der folgenden Definitionen ¨aquivalent zur Pareto-Optimalit¨ at von x ist: 1. Aus Cx0 ≤ Cx, x0 ∈ M folgt Cx = Cx0 . 2. Wenn es f¨ ur x0 ∈ M einen Zeilenindex i0 mit Ci0 x0 < Ci0 x gibt, so existiert auch ein Zeilenindex j0 mit Cj0 x0 > Cj0 x. 3. Es sei f (M ) := {z ∈ Rk : ∃x ∈ M mit z = Cx} die Bildmenge des zul¨ assigen Bereiches der Aufgabe (7.17) bez¨ uglich der Zielfunktionen. Dann ist f (M ) ∩ {Cx + Rk+ } = {Cx}. Die letzte Definition ist in der Abbildung 7.2 grafisch illustriert.

Abb. 7.2 Illustration der Aufgabe 7.16. Dargestellt sind in der z-Ebene die Menge f (M ) der Funktionswerte zul¨ assiger Punkte, die Menge der Zielfunktionswerte effizienter Punkte sowie ur einen effizienten Punkt x. die Menge Cx + R2+ f¨

Eine direkte L¨osung von Vektoroptimierungsaufgaben erscheint zumindest schwer m¨oglich. Deshalb wird eine Ersatzaufgabe mit nur einer Zielfunktion f¨ ur dieses Problem erstellt und gel¨ost, aus deren optimaler L¨ osung eine Pareto-optimale L¨osung der Aufgabe (7.17) abgelesen werden kann. Eine solche Aufgabe ist min λ Cx u.d.B. x ∈ M := {z : Az ≤ b, z ≥ 0}

(7.18)

f¨ ur ein λ ≥ 0. Damit sich die Optimierungsrichtung einer der Zielfunktionen nicht ¨andert, muss λ ≥ 0 sein. Die Wahl von λ = 0 hat offensichtlich wenig Sinn, weshalb ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit auch λ = 1 gefordert werden kann.

96

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

Es seien Ψ(λ) die Menge der optimalen L¨ osungen der Aufgabe (7.18) und Ψeff die Menge der Pareto-optimalen L¨ osungen der Vektoroptimierungsaufgabe (7.17). F¨ ur λ ∈ Rk mit λi > 0, i = 1, . . . , k ist Ψ(λ) ⊆ Ψeff . In der Tat, wenn x0 ∈ Ψ(λ) f¨ ur ein λ ∈ Rk mit λi > 0, i = 1, . . . , k keine Paretooptimale L¨osung sein sollte, so m¨ usste ein x  ∈ M existieren mit C x  ≤ Cx0 und C x  = Cx0 . 0 Multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung C x  ≤ Cx von links mit λ, beachten die Bedingungen an λ und C x  = Cx0 , so ergibt sich  < λ Cx0 . λ C x Da diese Ungleichung der Bedingung x0 ∈ Ψ(λ) widerspricht, erhalten wir obige Inklusion. Die Menge Ψ(λ) ist eine Seite des konvexen Polyeders M . Damit umfasst die Menge Paretooptimaler L¨osungen die Vereinigung gewisser Seiten von M . Eine Seite des konvexen Polyeders ist dabei der Durchschnitt der Menge M mit einer Hyperebene {x : a x = d}, f¨ ur die entweder a x ≤ d oder a x ≥ d f¨ ur alle x ∈ M gilt. Die folgende Aussage impliziert, dass Ψeff gleich dem Durchschnitt der Menge M und der Vereinigung solcher Hyperebenen ist. F¨ ur x ∈ Ψeff gibt es ein λ ≥ 0 mit x ∈ Ψ(λ). Es sei x ∈ Ψeff . In der Abbildung 7.2 ist ersichtlich, dass es eine Hyperebene {z : a z = d} mit a = 0 gibt, f¨ ur die a z ≤ d f¨ ur alle z ∈ f (M ) und a z ≥ d f¨ ur alle z ∈ f (x) + Rk+ gilt. Dabei ist f (x) = Cx und f (M ) = {z : ∃x ∈ M mit z = Cx}. Setzen wir diese Gleichungen ein, so ergibt sich a Cx ≤ d ≤ a Cx + a w ∀ x ∈ M, ∀ w ≥ 0.  ∈ M in die linke Seite dieser Ungleichung Mit w = 0 folgt x ∈ Ψ(a). Wird ein fester Vektor x eingesetzt und ai < 0 angenommen, so ergibt sich mit wi → ∞ ein Widerspruch, da die rechte Seite dieser Ungleichung dann gleichzeitig gegen −∞ konvergiert und nach unten durch eine Konstante beschr¨ ankt ist. Damit ist a ≥ 0 und die Aussage ergibt sich mit λ = a. Mit Hilfe der parametrischen linearen Optimierung (vgl. Abschnitt 5.4.1) l¨asst sich folgendes nachweisen: Die Menge Pareto-optimaler L¨ osungen einer linearen Optimierungsaufgabe mit mehreren Zielfunktionen (7.17) ist zusammenh¨ angend und es gilt  Ψeff = Ψ(λ). λ>0,λ=1

97

7.3 Lineare Optimierung mit mehreren Zielfunktionen

7.3.2

Berechnung aller Pareto-optimaler L¨ osungen bei Aufgaben mit zwei Zielfunktionen

Wenn k = 2 ist k¨onnen wir λ1 = t, λ2 = 1 − t w¨ahlen und erhalten als Ersatzaufgabe f¨ ur die zwei-kriterielle lineare Optimierungsaufgabe 

C 1x C 2x x ∈ M := {z : Az ≤ b, z ≥ 0}

min“

” u.d.B.

die parametrische lineare Optimierungsaufgabe mit einem Parameter t in der Zielfunktion 

1 min tC + (1 − t)C 2 x u.d.B. x ∈ M := {z : Az ≤ b, z ≥ 0} . Um alle Pareto-optimalen L¨ osungen der zwei-kriteriellen Optimierungsaufgabe zu berechnen ist diese parametrische Optimierungsaufgabe f¨ ur alle 0 < t < 1 zu l¨osen. Beispiel 7.7. Betrachtet werde das Beispiel vom Beginn dieses Abschnittes: max“ ” max“ ” u.d.B.

f1 (x) := 3x1 f2 (x) := −2x1 3x1 x1 x1

+ 2x2 + x2 + x2 + x2 + 3x2 x2 x1 ,

≤ ≤ ≤ ≥

3 2 3 0

(7.19)

Als Ersatzaufgabe ergibt sich max u.d.B.

(−2 + 5t)x1 3x1 x1 x1

+ + + +

(1 + t)x2 x2 x2 3x2 x

≤ ≤ ≤ ≥

3 2 3 0

(7.20)

Das optimale Simplextableau f¨ ur t = 0 ist BV u1 u2 x2

cB 0 0 1+t

−2 + 5t x1

7 3

8 3 2 3 1 3

−

14 3 t

1+t x2 0 0 1 0

0 u1 1 0 0 0

0 u2 0 1 0 0

0 u3 − 13 − 13 1 3

1 3

+ 13 t

b 2 1 1 1+t

Die entsprechende Basisl¨ osung (x1 , u1 ) = (0, 1, 2, 1, 0) ist f¨ ur 0 < t < 0, 5 die einzige optimale L¨osung. F¨ ur 0, 5 < t < 1 ergibt sich das optimale Simplextableau

98

BV x1 u2 x2

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

cB −2 + 5t 0 1+t

−2 + 5t x1 1 0 0 0

1+t x2 0 0 1 0

0 u1

3 8 1 4 − 18 − 78 + 74 t

0 u2 0 1 0 0

0 u3 − 18 − 14 5 8

3 8

− 14 t

b 3 4 1 2 3 4

− 34 + 92 t

Die entsprechende Basisl¨ osung (x2 , u2 ) = ( 34 , 34 , 0, 12 , 0) ist f¨ ur 0, 5 < t < 1 optimal. Damit ist f¨ ur die vollst¨ andige Berechnung der Menge aller Pareto-optimalen L¨osungen nur noch zu erg¨anzen, dass f¨ ur t = 0, 5 die konvexe H¨ ulle der soeben berechneten Basisl¨osungen gleich der Menge aller optimalen L¨ osungen ist, wodurch sich    1 3 3  Ψeff = conv , , 0, , 0 , (0, 1, 2, 1, 0) 4 4 2 ergibt, was auch in der Abbildung 7.1 zu erkennen ist (vgl. Abschnitt 5.4.1).

7.3.3

Der Fall von mehr als zwei Zielfunktionen

Wenn x ∈ M eine Pareto-optimale Basisl¨ osung des Problems (7.17) ist, so gibt es ein λ > 0, so dass x ∈ Ψ(λ) ist. Unter Verwendung der Tableauform der Simplexmethode kann man dann schreiben:

B i1 .. . im

x1

x2

···

xn

A−1 B A C1 − C1B (A−1 B A) C2 − C2B (A−1 B A) .. . Ck − CkB (A−1 B A)

xB

t

A−1 B b

xB ΔxB

(7.21)

und es ist λ (C − CB A−1 B A) ≥ 0. Hier ist Ci die i-te Zeile der Matrix C und CB der zu den Basisvariablen geh¨ orende Teil der Matrix C. Um eine weitere Pareto-optimale Basisl¨osung des Problems (7.17) zu berechnen ist ein Basistausch auszuf¨ uhren, der wieder zu einer optimalen Basisl¨osung f¨ ur eines der Probleme (7.18) f¨ uhrt. Entsprechend der Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 4.2 ist es dazu notwendig, dass der Optimalit¨atsindikator einer Nichtbasisvariablen verschwindet. Da die Optimalit¨ atsindikatoren von den Vektoren λ abh¨angen ist damit zun¨achst ein solches λ ≥ 0 gesucht, f¨ ur das der Optimalit¨atsindikator einer Nichtbasisvariablen null ist. Eine solche Nichtbasisvariable wird effiziente Nichtbasisvariable genannt. Die folgende Aufgabe (7.22) kann benutzt werden, um eine effiziente Nichtbasisvariable

99

7.3 Lineare Optimierung mit mehreren Zielfunktionen

auch ohne explizite Berechnung der Zielfunktionsgewichte λi zu finden. Die Kenntnis dieser Variablen gestattet die sukzessive Berechnung aller Pareto-optimalen Basisl¨osungen, die wiederum zur Konstruktion der Menge aller Pareto-optimalen L¨osungen verwendet werden k¨onnen. Zur Abk¨ urzung soll die Matrix R = C−CB A−1 B A verwendet werden. Eine Nichtbasisvariable xj ist effizient genau dann, wenn das System R λ ≥ 0 Rj λ = 0 Eλ ≥ e λ≥0 l¨osbar ist beziehungsweise das Problem der Minimierung der Zielfunktion 0 λ u ¨ber der L¨osungsmenge dieses Systems den optimalen Zielfunktionswert null hat. Durch Formulierung der Dualen zu dieser linearen Optimierungsaufgabe ergibt sich die folgende Aussage: F¨ ur eine optimale Basismatrix AB f¨ ur das Problem (7.18) ist xj eine effiziente Nichtbasisvariable genau dann, wenn die lineare Optimierungsaufgabe max u.d.B.

e v Rz − Rj δ + Ev = 0 z, δ, v ≥ 0

(7.22)

den optimalen Zielfunktionswert null hat.

Beispiel 7.8. Betrachtet wird wieder die Aufgabe (7.16) vom Beginn dieses Abschnittes. F¨ ur diese hatten wir die Pareto-optimale Basisl¨ osung (0, 1) berechnet. Das entsprechende Tableau (7.21) ist: BV u1 u2 x2

x1

8 3 2 3 1 3 − 73 7 3

x2 0 0 1 0 0

u1 1 0 0 0 0

u2 0 1 0 0 0

u3 − 13 − 13 1 3 2 3 1 3

b 2 1 1

F¨ ur j = 1 ist max u.d.B.

e  v 7 −3

0 0 7 0 0 3 z, δ, v ≥ 0

0 0

2 3 1 3



 z−

− 73 7 3

 δ + Ev = 0

die zum Test, ob x1 eine effiziente Nichtbasisvariable sein kann, zu l¨osende Aufgabe (7.22). Der optimale Zielfunktionswert dieser Aufgabe ist null, x1 ist eine effiziente Nichtbasisvariable, was durch die Rechnung im Beispiel 7.7 best¨atigt wird.

100

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

F¨ ur j = 5 ergibt sich max u.d.B.

e  v 7 −3

0 0 7 0 0 3 z, δ, v ≥ 0

0 0

2 3 1 3



 z−

2 3 1 3

 δ + Ev = 0

als Aufgabe (7.22). Die Aufgabe ist nicht l¨ osbar, da die Zielfunktion u ¨ber dem zul¨assigen Bereich nach oben unbeschr¨ ankt ist. Die Variable u3 ist keine effiziente Nichtbasisvariable.

7.4

Optimierung u ¨ber Graphen

7.4.1

Gerichtete Graphen

Ein gerichteter Graph ist ein Paar G = (V, E), bestehend aus einer endlichen Menge V = ∅ und einer Menge E ⊆ V × V geordneter Paare von Elementen aus V . Die Elemente von V heißen Knoten, die Elemente e = (v, w) ∈ E sind die Pfeile oder B¨ogen. Der Knoten v ist der Anfangs- und w der Endknoten des Pfeils e = (v, w). Ein gerichteter Graph ist vollst¨andig, wenn E = (V × V ) \ {(v, v) : v ∈ V }. Zur Abspeicherung von Graphen im Speicher eines Computers verwendet man unter anderem Inzidenzmatrizen. Die Inzidenzmatrix I eines gerichteten Graphen kann durch ⎧ ⎨ ive =

1, −1, ⎩ 0

wenn Knoten v ∈ V Anfangsknoten der Kante e ∈ E ist wenn Knoten v ∈ V Endknoten der Kante e ∈ E ist sonst

definiert werden. Viele Optimierungsaufgaben u ¨ber Graphen sind kombinatorische Optimierungsaufgaben. Damit sie als lineare Optimierungsaufgaben gel¨ost werden k¨onnen ist es notwendig, dass ihre Basisl¨osungen ganzzahlige Komponenten haben. Nach der Cramer’schen Regel ist das gew¨ ahrleistet, wenn die Determinanten von Basismatrizen die Determinante ±1 besitzen. Matrizen, deren quadratische Teilmatrizen alle die Determinante 0, 1 oder −1 besitzen, werden total unimodular genannt. Inzidenzmatrizen I gerichteter Graphen sind total unimodular. In der Tat, alle Elemente einer Inzidenzmatrix I haben den Wert 0, 1 oder −1. Es sei nun M eine quadratische Teilmatrix von I der Ordnung k > 1, f¨ ur die gem¨aß dem Verfahren der vollst¨andigen Induktion vorausgesetzt wird, dass die obige Aussage korrekt ist. Wir unterscheiden drei F¨ alle: 1. Die Matrix M enth¨ alt eine Spalte mit ausschließlich Nullen. Dann ist die Determinante von M null.

7.4 Optimierung u ¨ber Graphen

101

2. M hat eine Spalte mit exakt einem von null verschiedenen Element. Dann kann M nach Umsortierung der Zeilen und Spalten geschrieben werden als  M=

±1 0

b B

 ,

wobei B  eine quadratische Teilmatrix von I der Dimension k − 1, b ein bestimmter Zeilenvektor und 0 ein Nullvektor sind. Dann ist die Determinante von M gleich ±1 det (B  ) ∈ {0, 1, −1} wegen der Induktionsvoraussetzung. 3. Jede Spalte der Matrix M enth¨ alt zwei Elemente, die ungleich null sind, also genau eine 1 und eine −1, w¨ahrend alle anderen Elemente null sind. Dann ist die Summe aller Zeilen der Matrix M null, also ist ihre Determinante auch null.

7.4.2

Ku ¨rzeste Wege

Ein Kantenzug in einem gerichteten Graphen G = (V, E) ist eine Folge S = (e1 e2 . . . ep ) von Pfeilen des Graphen, f¨ ur die es Knoten v0 , v1 , . . . , vp gibt mit ei = (vi−1 , vi ) ∈ E, i = 1, . . . , p. In diesem Falle sagt man, der Kantenzug verlaufe vom Knoten v0 zum Knoten vp . Dabei ist es m¨oglich, dass sich einzelne Kanten des Kantenzuges wiederholen. Eine solche Wiederholung ist in einem Weg nicht zugelassen. Man spricht von einem einfachen Weg, alt. wenn der Weg keinen Knoten vi mehrfach enth¨ Eine Kantenbewertung ist eine Funktion c : E → R. Wird zu einem Graphen eine Kantenbewertung hinzugef¨ ugt, so spricht man von einem kantenbewerteten Graphen. F¨ ur einen kantenbewerteten Graphen ist es zur Speicherung des Graphen im Computer oftmals ausreichend, die Kantenbewertungen in einer Matrix C zu speichern. Ist S ⊆ E eine Teilmenge der Pfeile in einem kantenbewerteten gerichteten Graphen, so heißt c(S) =



c(e)

e∈S

die L¨ange oder das Gewicht der Menge S.

Abb. 7.3 Der nebenstehende Beispielgraph wird in diesem Abschnitt zur Illustration des sp¨ ater beschriebenen Modelles verwendet.

102

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

Beispiel 7.9. Die Inzidenzmatrix I und die Matrix C der Kantenbewertungen des Graphen in Abbildung 7.3 sind ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 0 0 0 0 1 2 ∞ ⎜−1 ⎜∞ 0 −1 1 0 ⎟ 0 ∞ 2 ⎟ ⎟, ⎟. I=⎜ C=⎜ ⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ 1 0 1 ∞ −3 0 1 ⎠ 0 0 0 −1 −1 ∞ ∞ ∞ 0 Damit kann nun das Problem des k¨ urzesten Weges in einem kantenbewerteten Graphen formuliert werden: Problem des k¨ urzesten Weges von q ∈ V nach s ∈ V: Gegeben seien ein kantenbewerteter gerichteter Graph G = (V, E) mit der Kantenbewertung c : E → R sowie zwei Knoten q, s ∈ V . Gesucht ist ein einfacher gerichteter Weg W vom Knoten q zum Knoten s mit minimaler L¨ ange. Als Beispiel f¨ ur ein solches Problem sei das folgende aus [26] zitiert: Ein Handelsschiff soll von einem Hafen q zu einem Hafen s fahren, wobei die Fahrtroute (mit Zwischenstationen) frei gew¨ahlt werden kann. Alle m¨ oglichen Fahrtrouten werden als Pfeile in einem gerichteten Graphen interpretiert und der mit einer Fahrt vom Hafen a zum Hafen b verbundene Profit als Kantenbewertung in diesem Graphen. Diese Profite k¨onnen positiv (wenn gen¨ ugend Waren von a nach b transportiert werden) und auch negativ (wenn das Schiff zum Beispiel eine Leerfahrt unternehmen muss) sein. Gesucht ist eine Fahrtroute f¨ ur das Schiff, f¨ ur die der zugeh¨orige Gesamtprofit maximal (oder der negative Profit minimal) ist. Im folgenden Modell wird zur Beschreibung eines Weges eine Funktion x : E → {0, 1} verwendet, f¨ ur die x(e) = 1 genau dann ist, wenn der Pfeil e ∈ E zum Weg geh¨ort. Die totale Unimodularit¨at der Inzidenzmatrix gerichteter Graphen gestattet die Vernachl¨assigung der Ganzzahligkeitsbedingungen. Im Anschluss an das Modell wird gezeigt, dass optimale Basisl¨osungen dieser linearen Optimierungsaufgabe tats¨achlich k¨ urzeste Wege beschreiben. Problem des k¨ urzesten Weges von q ∈ V nach s ∈ V in einem gerichteten Graphen  c(e)x(e) min e∈E  u.d.B. x(e) − x(e) = g(v) ∀ v ∈ V (7.23) e∈Γ+ (v)

e∈Γ− (v)

x(e) wobei ⎧ ⎨ 0, g(v) = 1, ⎩ −1,

falls v ∈ {q, s} f¨ ur v = q f¨ ur v = s.

Im Modell ist Γ+ (v) := {e = (v, w) ∈ E : w ∈ V }

≥ 0

∀ e ∈ E,

103

7.4 Optimierung u ¨ber Graphen

die Menge der Pfeile mit dem Anfangsknoten v und Γ− (v) := {e = (w, v) ∈ E : w ∈ V } die Menge der Pfeile mit v als Endknoten. Gerichtete Kreise in einem gerichteten Graphen sind gerichtete Wege, die im gleichen Knoten enden, in dem sie begonnen haben (d.h. es ist v0 = vp ). Es ist leicht einzusehen, dass das Problem des k¨ urzesten Weges keine optimale L¨osung besitzt, wenn es einen Kreis mit negativer L¨ange im Graphen gibt: setzt man x (e) = 1 genau dann, wenn der Pfeil zum Kreis geh¨ort und null sonst und ist x0 eine zul¨ assige L¨osung des Problems (7.23), so ist  eine zul¨ assige L¨ osung, die aber einen kleineren Zielfunktionswert besitzt als auch x0 + x x0 . Daraus folgt, dass durch erneutes Durchlaufen des Kreises der Zielfunktionswert erneut sinkt, und so weiter. Das Problem (7.23) ist also nicht l¨osbar. Haben alle gerichteten Kreise eine positive L¨ange, so wird keiner dieser Kreise in einer optimalen L¨osung durchlaufen werden. Damit sind alle Komponenten einer optimalen Basisl¨osung null oder eins. Folglich wird auch kein Knoten mehrfach erreicht, der berechnete Weg ist also einfach. Beispiel 7.10. Wenn im Beispiel 7.9 ein k¨ urzester Weg vom Knoten 1 zum Knoten 4 gesucht ist, so ergibt sich die folgende Aufgabe: min z =

u.d.B.

x12 + 2x13 − 3x32 + 2x24 + x34 ⎛ ⎛ ⎞ 1 1 0 0 0 ⎜ ⎜−1 ⎜ 0 −1 1 0 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ 0 −1 1 0 1 ⎠⎜ ⎝ 0 0 0 −1 −1 x≥0

x12 x13 x32 x24 x34

⎞

⎛ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎞ 1 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠ −1

Die eindeutige optimale L¨ osung dieser Aufgabe ist

x12

x13

x32

x24

x34



=

0 1

1

1

0



mit dem optimalen Zielfunktionswert 1, sie entspricht dem Weg vom Knoten 1 u ¨ber die Knoten 3 und 2 zum Zielknoten 4.

7.4.3

Flu ¨sse maximaler St¨arke

Gegeben seien ein gerichteter Graph G = (V, E) mit der Kantenbewertung a : E → R+ sowie zwei Knoten q, s ∈ V . Der Knoten q wird als Quelle und der Knoten s als Senke bezeichnet. Die Werte a(e) sind in diesem Zusammenhang Kapazit¨aten der Pfeile. Ein Fluss von q nach s ist eine Funktion f : E → R+ , die die Kapazit¨atsbeschr¨ankungen f¨ ur die Pfeile 0 ≤ f (e) ≤ a(e) ∀e ∈ E,

104

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

und die Flusserhaltungsbedingungen   f (e) = f (e) ∀v ∈ V \ {q, s} e∈Γ+ (v)

e∈Γ− (v)

einh¨alt. Die St¨arke des Flusses f von q nach s ist die Differenz   f (e) − f (e), e∈Γ+ (q)

e∈Γ− (q)

also die Gr¨oße des aus q hinausfließenden Flusses. Es ist leicht einzusehen, dass     f (e) − f (e) = f (e) − f (e) e∈Γ+ (q)

e∈Γ− (q)

e∈Γ− (s)

e∈Γ+ (s)

ist. Maximalflussproblem Gegeben sind ein gerichteter Graph G = (V, E), zwei fixierte Knoten q, s ∈ V und eine Kantenbewertung a : E → R+ . Gesucht ist ein Fluss von q nach s mit maximaler St¨arke. Dieses Problem hat eine Vielzahl von Anwendungen: Die Lieferung eines Produktes vom Produzenten an verschiedene Warenh¨ auser oder die Belieferung von Kunden aus Warenh¨ausern, der Transport von Rohmaterial und Zwischenprodukten in einer Werkhalle, Verkehrsstr¨ome auf Straßen einer Stadt, die Durchleitung eines Telefonanrufs durch das Telefonnetz und vieles andere mehr lassen sich als Maximalflussprobleme modellieren. Die Quelle und die Senke des Graphen sind teilweise nicht gegeben und m¨ ussen k¨ unstlich angef¨ ugt werden. Manchmal ist es auch notwendig, Flussprobleme zu betrachten, bei denen mehrere verschiedene G¨ uter gleichzeitig transportiert werden (Mehrg¨ uterflussprobleme). Maximalflussproblem   f (e) − f (e) max f e∈Γ+ (q) e∈Γ− (q)   u.d.B. f (e) − f (e) e∈Γ+ (v)

=

0

e∈Γ− (v)

0 ≤ f (e) ≤

a(e)

∀ v ∈ V \ {q, s}

(7.24)

∀ e ∈ E.

Da das Problem die zul¨ assige L¨ osung f (e) = 0 f¨ ur alle e ∈ E besitzt und der zul¨assige Bereich f¨ ur a(e) < ∞ f¨ ur alle e ∈ E beschr¨ ankt ist, besitzt das Problem eine optimale L¨osung. Direkt aus der totalen Unimodularit¨ at der Inzidenzmatrizen gerichteter Graphen ergibt sich die Ganzzahligkeit von optimalen Basisl¨ osungen des Problems (7.24) und damit der berechneten Fl¨ usse maximaler St¨ arke bei ganzzahligen Kapazit¨aten. Satz 7.1. Wenn die Kapazit¨ aten eines gerichteten Graphen mit der Quelle q und der Senke s ganzzahlig sind, so gibt es einen ganzzahligen Fluss maximaler St¨ arke.

105

7.4 Optimierung u ¨ber Graphen

Abb. 7.4 Beispiel 7.11 eines Maximalflussproblems. Angegeben sind in den Klammern die Kapazit¨ aten der B¨ ogen sowie beispielhaft ein Fluss der St¨ arke 7 vom Knoten 1 u ¨ber die Knoten 2 und 3 zum Knoten 8.

Beispiel 7.11. Betrachtet sei der Graph in Abbildung 7.4. Dann liest sich das Maximalflussproblem wie folgt: min u.d.B.

−f x12 −x12 −x14

−x17

+x23 −x23 −x24 −x35 −x26

+x14 +x24 +x34 −x34

+x17 +x26 +x35

−x46 −x38

+x38 +x46 −x56 +x56

+x67 −x67 −x58 −x68 ..., x11 ,

Der optimale Fluss ist in Abbildung 7.5 dargestellt.

Abb. 7.5 Optimaler Fluss im Beispiel 7.11.

+x58 +x68 +x78 −x78 x78

=f =0 =0 =0 =0 =0 =0 = −f ≥ 0.

106

7.4.4

7 Ausgew¨ ahlte Anwendungen

(q − s)-Flu ¨sse mit minimalen Kosten

Gesucht ist jetzt ein Fluss einer gegebenen St¨ arke mit minimalen Kosten. Es sei f ein Fluss im gerichteten Graphen G = (V, E) und c : E → R+ eine Kostenfunktion. Dann bezeichnet  c(e)f (e) c(f ) = e∈E

die Kosten des Flusses f . Kostenminimaler (q − s)-Fluss Gegeben sind ein gerichteter Graph G = (V, E), zwei fixierte Knoten q, s ∈ V , zwei Kantenbewertungen a : E → R+ und c : E → R+ und eine Flussst¨arke f ∗ . Gesucht ist ein Fluss von q nach s der St¨ arke f ∗ mit minimalen Kosten. Auch dieses Problem l¨ asst sich mit reellen Variablen formulieren, wobei das Modell des Maximalflussproblems abgewandelt wird. Kostenminimaler (q − s)-Fluss 

min u.d.B.

 e∈Γ+ (v)



e∈Γ+ (q)

f (e) − f (e) −

c(e)f (e)

e∈E

f (e)

=

0

f (e)

=

f∗

e∈Γ− (v)



∀v ∈ V \ {q, s} (7.25)

e∈Γ− (q)

0 ≤ f (e) ≤ a(e)

∀ e ∈ E.

Eventuelle Ganzzahligkeitsforderungen k¨ onnen wieder vernachl¨assigt werden, da die Koeffizientenmatrix des Maximalflussproblems wieder total unimodular ist. Satz 7.2. Wenn alle Kapazit¨aten a(e) sowie die Flussst¨arke ganzzahlig sind und es einen Fluss der St¨arke f ∗ gibt, so gibt es auch einen ganzzahligen Fluss dieser St¨arke mit minimalen Kosten.

8

Notwendige Beweise

8.1

Begru ¨ndung des Simplexalgorithmus

In diesem Kapitel sollen einige notwendige Beweise f¨ ur Aussagen zu Eigenschaften linearer Optimierungsaufgaben erarbeitet werden. Im Zusammenhang mit dem Simplexalgorithmus betrifft dies vor allem folgende Aussagen: 1. die Eckpunkteigenschaft optimaler L¨ osungen, die bei der Herleitung des primalen Simplexalgorithmus auf Seite 28 verwendet wurde. 2. die L¨osbarkeit einer linearen Optimierungsaufgabe, die eine u ¨ber dem zul¨assigen Bereich nach unten beschr¨ankte Zielfunktion besitzt. Das wurde auf Seite 32 als Fundamentalsatz der linearen Optimierung bezeichnet. Die folgende Aussage l¨ asst sich zum Beispiel mit Hilfe der Dualit¨at linearer Optimierungsaufgaben beweisen: Lemma von Farkas: Von den folgenden zwei Systemen hat genau eines eine L¨osung:    Ax = b A y≤0 und (8.1)  x≥0 b y>0 In der Tat, das linke System hat genau dann keine L¨osung, wenn die folgende lineare Optimierungsaufgabe l¨ osbar ist: max{b y : A y ≤ 0}. Diese Aufgabe hat entweder den optimalen Zielfunktionswert null oder eine unbeschr¨ankte Zielfunktion. Wenn diese Aufgabe l¨ osbar ist, so ist auch ihre duale Aufgabe l¨osbar, hat also insbesondere eine zul¨ assige L¨ osung. Damit gibt es ein x ≥ 0 mit Ax = b. Beide Systeme k¨onnen nicht gleichzeitig l¨ osbar sein. Denn w¨aren x und y L¨osungen beider Systeme, so ergibt sich durch Einsetzen sofort: 0 < b y = x A y ≤ 0, wobei die zweite Ungleichung aus x ≥ 0, A y ≤ 0 folgt. Eine andere Beweisvariante des Lemmas von Farkas benutzt einen Trennungssatz. Das Lemma von Farkas ist in der Abbildung 8.1 illustriert. In dieser Abbildung ist auch erkennbar, dass ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit die L¨osung y = d des linken Ungleichungssystems rang{a1 , . . . , at , b } − 1 der Ungleichungen ai x ≤ 0 als Gleichung erf¨ ullt,

108

8 Notwendige Beweise

wobei ai die Zeilen der Matrix A bezeichnen. In Abbildung 8.1 ist rang{a1 , . . . , at , b } = A rang = 2 und die Aussage ergibt sich durch Drehung des Vektors d. Allgemein entb spricht dies der Basisdarstellung einer L¨ osung des linken Ungleichungssystems. Die folgende Variante des Lemmas von Farkas ist also ebenfalls g¨ ultig: 

 A = p + 1 gibt b es stets entweder einen Vektor x ≥ 0, so dass Ax = b gilt, oder aber es gibt einen Vektor angiger Zeilenvektoren der Matrix A, so dass y und eine Teilmenge a1 , . . . , ap linear unabh¨ ai y = 0, i = 1, . . . , p, Ay ≤ 0, b y > 0 gelten. Beide Vektoren k¨onnen nicht gleichzeitig existieren. F¨ ur eine beliebige Matrix A und einen beliebigen Vektor b mit rang

d a2

a2

a3

a1

a

b

a3

a1

a

4

4

b

Abb. 8.1 Illustration des Lemmas von Farkas: Gegeben seien 4 Ortsvektoren a1 , . . . , a4 sowie ein weiterer Ortsvektor b. Dann gibt es f¨ ur die Lage des Ortsvektors b genau eine der beiden dargestellten M¨ oglichkeiten. In der linken Abbildung ist der Vektor y = d eine L¨ osung des Ungleichungssystems Ay ≥ 0, b y < 0, der Vektor y = −d l¨ ost das linke Ungleichungssystem in (8.1). In der rechten Abbildung ist der Vektor b eine nichtnegative osbar. Linearkombination der Vektoren ai , es ist also das rechte System in (8.1) l¨

Ein konvexes Polyeder ist definiert als der Durchschnitt von endlich vielen Halbr¨aumen M = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} f¨ ur eine (m, n)–Matrix A und einen Vektor b ∈ Rm . Zul¨assige Bereiche von linearen Optimierungsaufgaben sind konvexe Polyeder, wie in Kapitel 2 beschrieben wurde. F¨ ur Punkte x1 , . . . , xk ∈ Rn heißt die Menge  z : ∃λi ≥ 0, i = 1, . . . , k,

k  i=1

λi = 1, z =

k 

 λi xi

i=1

konvexes Polytop. Konvexe Polytope sind beschr¨ankte konvexe Polyeder. Sie sind gleich der Menge aller konvexen Linearkombinationen von endlich vielen Punkten.

109

8.1 Begr¨ undung des Simplexalgorithmus

Die konvexe H¨ ulle B einer Menge M ist die bez¨ uglich Inklusion kleinste konvexe Menge, die die Menge M umfasst:  K. B= K⊇M K ist konvex

Damit ist ein konvexes Polytop gleich der konvexen H¨ ulle von endlich vielen Punkten. Die Menge  z : ∃λi ≥ 0, i = 1, . . . , k, z =

k 

 λi x

i

i=1

ist ein konvexer polyedraler Kegel. Der Koordinatenursprung geh¨ort immer zu einem konvexen polyedralen Kegel. Ein konvexer polyedraler Kegel ist gleich der Menge aller nichtnegativen Linearkombinationen von endlich vielen Punkten. Die (Minkowski-)Summe zweier Mengen A ⊂ Rn und B ⊂ Rn ist die Menge C = A + B := {z ∈ Rn : ∃x ∈ A, ∃y ∈ B mit z = x + y}. Die Summe zweier Mengen ist also als die Menge aller Summen von Elementen dieser beiden Mengen definiert. Abbildung 8.2 zeigt die Summe zweier konvexer Polytope. Abb. 8.2 Die Minkowski-Summe der Mengen A und B ist die Menge A + B, A, B, A + B ⊂ R2 . Die Menge A ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung, die Menge B ist ein Rechteck. Ist eine der Mengen A oder B (sagen wir die Menge A) ein Polytop, so kann die Minkowski-Summe dadurch konstruiert werden, dass die Menge B zu allen Eckpunkten des Polytops addiert und die konvexe H¨ ulle der entstehenden Menge betrachtet wird. Das ist in dieser Abbildung illustriert.

A B A+B

Die Aussage der Abbildung 8.3 ist, dass der zul¨ assige Bereich einer linearen Optimierungsaufgabe, also ein konvexes Polyeder, immer als Minkowski-Summe eines konvexen Polytops und eines konvexen polyedralen Kegels dargestellt werden kann. Eine Menge M ist ein konvexes Polyeder genau dann, wenn es ein konvexes Polytop P und einen konvexen polyedralen Kegel K gibt mit M = P + K. Zum Beweis dieser Aussage ben¨ otigen wir zun¨ achst folgenden Hilfssatz: Die Menge T = {z : Az ≤ 0} ist ein konvexer polyedraler Kegel; und f¨ ur jeden konvexen polyedralen Kegel K gibt es eine Matrix A so, dass K = {z : Az ≤ 0}.

110

8 Notwendige Beweise

konvexes Polyeder

Polytop

konvexer Kegel

Abb. 8.3 Ein konvexes Polyeder kann ¨ aquivalent als Minkowski-Summe eines konvexen Polytops und eines konvexen Kegels dargestellt werden.

Zum Beweis des zweiten Teiles dieser Aussage ist f¨ ur einen konvexen Kegel K die Existenz ur eine mit Hilfe der Vektoren ai konstruierten von Vektoren ai so zu zeigen, dass K = T ist f¨ Matrix A. Anschließend wird gezeigt, dass T ein konvexer polyedraler Kegel ist. Es seien x1 , . . . , xk beliebige fixierte Vektoren, von denen genau t = Rang(x1 , . . . , xk ) linear unabh¨angig sind, und   k  i λi x K = z : ∃λi ≥ 0, i = 1, . . . , k, z = i=1

ein konvexer polyedraler Kegel. F¨ ur eine beliebige Teilmenge {xij , j = 1, . . . , t − 1} von t − 1 linear unabh¨angigen Vektoren aus der Menge {xi : i = 1, . . . , k} sei das Gleichungssystem 

xij z = 0, j = 1, . . . , t − 1, z = 1,

(8.2)

betrachtet. Wegen der Wahl von t und der linearen Unabh¨angigkeit der Vektoren xij ist die L¨osungsmenge des Gleichungssystems xij  z = 0, j = 1, . . . , t ein eindimendionaler linearer Unterraum und das System (8.2) hat genau zwei L¨osungen. Von diesen zwei L¨osungen erf¨ ullt h¨ochstens eine die Ungleichungen xi z ≤ 0, i = 1, . . . , k. Dies sei der Punkt al . Durch verschiedene Wahl der linear unabh¨ angigen Vektoren {xij : j = 1, . . . , t − 1} lassen sich so l verschiedene Vektoren a konstruieren. S sei die Menge aller so konstruierbaren Vektoren; A die Matrix, deren Zeilenvektoren gleich al , l = 1, . . . , q sind; und T = {z : Az ≤ 0}. Jetzt wird gezeigt, dass K = T ist. Es sei z ∈ K. Dann ist das System λ ≥ 0, z =

k  i=1

λi xi l¨osbar. Dann m¨ ussen nach dem

Lemma von Farkas die L¨ osungen y des linearen Gleichungs- und Ungleichungssystems xij  y = 0, j = 1, . . . , t − 1, xi y ≤ 0, i = 1, . . . , k,

(8.3)

die Ungleichung z  y ≤ 0 erf¨ ullen, wobei {xij , j = 1, . . . , t − 1} eine beliebige Teilmenge von t − 1 linear unabh¨angigen Elementen aus der Menge {xi , i = 1 . . . , k} ist (da das System mit der entgegengesetzten Ungleichung nicht l¨ osbar ist). Wegen der Wahl der Menge S muss damit f¨ ur jedes Element al der Menge S die Ungleichung al z ≤ 0 gelten. Es ist also Az ≤ 0 oder ¨aquivalent z ∈ T und damit K ⊆ T .

111

8.1 Begr¨ undung des Simplexalgorithmus

Um die entgegengesetzte Inklusion zu zeigen, werde nun z ∈ K angenommen. Dann ist k  das System λ ≥ 0, z = λi xi nicht l¨ osbar und, nach dem Lemma von Farkas, das i=1

osbar. Damit gibt es wenigstens eine Teilmenge System xi y ≤ 0, i = 1, . . . , k, z  y > 0 l¨ ur die die linear unabh¨angiger Vektoren {xij , j = 1, . . . , t − 1} ⊆ {xi , i = 1, . . . , k}, f¨ eindeutige L¨osung al des Systems (8.3) die Ungleichung al z ≤ 0 nicht erf¨ ullt. Damit ist z ∈ {x : al x ≤ 0, l = 1, . . . , q.}. Folglich ist K = {x : aj x ≤ 0, j = 1, . . . , q.}. Damit ist der zweite Teil obiger Aussage bewiesen. Kommen wir nun zum ersten Teil der Aussage. Es sei T = {x : Ax ≤ 0} betrachtet und wir m¨ ussen zeigen, dass diese Menge einen konvexen polyedralen Kegel darstellt. Dazu verwendet man den zweiten Teil der Aussage. F¨ ur den konvexen polyedralen Kegel K1 := {z : ∃ λ ≥ 0, A λ = z} (gebildet aus der Menge der nichtnegativen Linearkombinationen der Zeilenvektoren der Matrix A) gibt es eine Menge b1 , . . . , bq mit {z : ∃ λ ≥ 0, A λ = z} = K2 := {z : bj z ≤ 0, j = 1, . . . , q}. Es sei K3 = {y : ∃ μj ≥ 0 mit y =

q  j=1

(8.4)

μj bj }. Zum Nachweis der Aussage wird nun gezeigt,

dass K3 = T ist. Spalten der Matrix A , also Zeilen al , l = 1, . . . , m, der Matrix A, sind Elemente der Menge ahlt wird). Sie erf¨ ullen also die Ungleichungen K2 (wenn λ gleich einem Einheitsvektor gew¨ bj al ≤ 0, j = 1, . . . , q, l = 1, . . . , m in der Definition der Menge K2 . Damit sind alle Vektoren bj ∈ T, j = 1, . . . , q, also auch ihre nichtnegativen Linearkombinationen. Folglich ist K3 ⊆ T. Um die gew¨ unschte Aussage durch Kontraposition zu zeigen wird nun T ⊆ K3 angenommen. Dann gibt es ein y ∈ T mit y ∈ K3 . Damit ist f¨ ur dieses y ∈ T das System μ ≥ 0, y =

q 

μj bj

j=1

nicht l¨osbar. Nach dem Lemma von Farkas gibt es dann eine L¨osung w des Systems w  bj ≤ 0, j = 1, . . . , q, w y > 0.

(8.5)

Aus (8.4) folgt aus den linken Ungleichungen die Existenz eines Vektors λ ≥ 0 mit w = A λ. Wegen y ∈ T ergibt sich jetzt ein Widerspruch zur rechten Ungleichung in (8.5): 0 < w  y = λ Ay ≤ 0 f¨ ur λ ≥ 0. Dieser Widerspruch beweist die Hilfsaussage. Nun zum Nachweis, dass M = P + K gilt. Dazu sei M = {x : Ax ≤ b} eine konvexes Polytop. Wegen der Schritte zur Transformation einer linearen Optimierungsaufgabe in Normalform schr¨ankt diese spezielle Wahl des konvexen Polytops die Allgemeinheit nicht ein. Wir schreiben das konvexe Polytop um: x ∈ M ⇐⇒ (x, 1) ∈ {(x, ξ) : Ax − ξb ≤ 0, ξ ≥ 0}.

112

8 Notwendige Beweise

Die Aussage wird dadurch gezeigt, dass obige Hilfsaussage auf die Menge {(x, ξ) : Ax−ξb ≤ 0, ξ ≥ 0} angewendet wird. Diese Menge ist ein konvexer polyedraler Kegel und es gibt also Vektoren (ci , di ) , di ∈ R, ci ∈ Rn , i = 1, . . . , q, so dass {(x, ξ) : Ax−ξb ≤ 0, −ξ ≤ 0} = {(x, ξ) : ∃λi ≥ 0 mit (x, ξ) =

q 

λi (ci , di ) }.

i=1

Damit sind alle Elemente der Menge {(x, ξ) : Ax − ξb ≤ 0, −ξ ≤ 0} nichtnegative Linearkombinationen der Vektoren (ci , di ) , speziell sind di ≥ 0. Damit kann man sie ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit als normiert ansehen, d.h. di ∈ {0, 1} (dazu sind eventuell die Koeffizienten λi mit geeigneten Zahlen zu skalieren). Folglich ist 



{(x, ξ) : ∃λi ≥ 0, i = 1, . . . , q, mit (x, ξ) =

q 

λi (ci , di ) }

i=1

={(x, ξ) : ∃λi ≥ 0, i = 1, . . . , q, mit (x, ξ) =

q1 

λi (ci , 1) +

i=1

q 

λi (ci , 0) }

i=q1 +1

ur q1 = 0 ist b = 0 und M ein konvexer Kegel, f¨ ur q1 = q ist M ein mit 0 ≤ q1 ≤ q (F¨ konvexes Polytop). Damit gibt es f¨ ur jedes x ∈ M Zahlen λ1i ≥ 0, i = 1, . . . , q1 , und Zahlen λ2i ≥ 0, i = q1 + 1, . . . , q mit (x, 1) =

q1  i=1

λ1i (ci , 1) +

q 

λ2i (ci , 0) .

i=q1 +1

In der letzten Zeile dieser Gleichung steht

q1  i=1

x ∈{y : ∃λ1i ≥ 0, i = 1, . . . , q1 , mit

λ1i = 1. Damit ist

q1 

λ1i = 1, y =

i=1

+{z : ∃λ2i ≥ 0, i = q1 + 1, . . . , q, mit z =

q 

q1 

λ1i ci }

i=1

λ2i ci }

i=q1 +1

oder M = P + K. Die Gegenrichtung zeigt man analog. Eine wichtige, im Abschnitt 4.2 verwendete Aussage ist, dass eine l¨osbare lineare Optimierungsaufgabe eine optimale Basisl¨ osung besitzt. Zul¨assige Basisl¨osungen sind Eckpunkte des konvexen Polyeders, welches den zul¨ assigen Bereich der linearen Optimierungsaufgabe darstellt. Mit der eben erhaltenen Aussage gibt es ein konvexes Polytop P und einen konvexen Kegel K, so dass der zul¨ assige Bereich einer linearen Optimierungsaufgabe in Normalform min c x u.d.B. Ax = b, x ≥ 0 die Darstellung M = {x : Ax = b, x ≥ 0} = P + K

113

8.1 Begr¨ undung des Simplexalgorithmus

besitzt. Wegen der Definitionen eines konvexen Polyeders und eines konvexen Kegels gibt es Punkte d1 , . . . , dp ∈ Rn und k1 , . . . , kq ∈ Rn , f¨ ur die P = {y : ∃λi ≥ 0, i = 1, . . . , p, mit y =

p  i=1

i

λi d ,

p 

λi = 1}

i=1

und K = {z : ∃μi ≥ 0, i = 1, . . . , q, mit z =

q 

μi k i }.

i=1

F¨ ur den Zielfunktionswert einer zul¨ assigen L¨ osung x der Aufgabe in Normalform ergibt sich damit  p  q p q       i i λi d + μi k = λi c di + μi c k i . c x=c i=1

i=1

i=1

i=1

Damit ist der minimale Zielfunktionswert gleich −∞, wenn es einen Vektor ki gibt mit c k i < 0 (da die Werte μi nach oben unbeschr¨ ankt sind). Gibt es keinen solchen Vektor, so sind ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit alle μi = 0, i = 1, . . . , q. Damit ist dann der kleinstm¨ogliche Wert der Zielfunktion gleich dem kleinsten Wert aller c di . Der minimale Zielfunktionswert wird also in einem Eckpunkt des zul¨assigen Bereiches angenommen, da die Vektoren di die Ortsvektoren der Eckpunkte des konvexen Polytops P sind. Unter den optimalen L¨ osungen einer l¨ osbaren linearen Optimierungsaufgabe in Normalform gibt es immer auch optimale Eckpunkte des zul¨assigen Bereiches. Eine l¨osbare lineare Optimierungsaufgabe in Normalform hat stets auch optimale Basisl¨osungen. Die n¨achste wichtige Aussage ist, dass eine lineare Optimierungsaufgabe mit einem nicht leeren zul¨assigen Bereich und einer nach unten beschr¨ankten Zielfunktion stets l¨osbar ist. Der Beweis dieser Aussage erfolgt indirekt. Es sei M := {x : Ax = b, x ≥ 0} = ∅ und α = inf{c x : Ax = b, x ≥ 0} > −∞. Im Widerspruch zu der Behauptung sei das System Ax = b c x = α x ≥0    A b , nicht l¨osbar. Setzt man A = b = , so ist das System Ax = b, x ≥ 0 nicht c α l¨osbar und aus dem Lemma von Farkas folgt die Existenz eines Vektors (u, v) mit 





A (u, v) = A u + vc ≤ 0, b (u, v) = b u + αv > 0. Wenn angenommen wird, dass v = 0 ist, so ergibt sich wieder mit dem Lemma von Farkas ein Widerspruch zu M = ∅.

114

8 Notwendige Beweise

Es sei v > 0; dann folgt c ≤ − v1 A u und damit wegen x ≥ 0 und der Eigenschaft von α = inf{c x : Ax = b, x ≥ 0}: 1 1 α ≤ c  x ≤ − x A  u = − b  u v v oder b u + vα ≤ 0 < b u + αv. Das ist nicht m¨oglich. Wenn v < 0 ist, so ergibt sich c ≥ − v1 A u und wiederum aus x ≥ 0: 1 1 c  x ≥ − x A  u = − b  u v v f¨ ur alle x ≥ 0 mit Ax = b. Damit muss diese Ungleichung auch f¨ ur den kleinsten Wert von c x G¨ ultigkeit haben. Es ist also wegen α = inf{c x : Ax = b, x ≥ 0} auch α ≥ − v1 b u. Mit v < 0 ergibt sich daraus b u + αv ≤ 0 < b u + αv. Auch diese Ungleichungskette ist nicht m¨ oglich. Es sei M := {x : Ax = b, x ≥ 0} = ∅ und α = inf{c x : Ax = b, x ≥ 0} > −∞. Dann ist die lineare Optimierungsaufgabe min{c x : Ax = b, x ≥ 0} l¨osbar. Aufgabe 8.1. Zu beweisen ist das Lemma von Farkas ohne Verwendung der starken Dualit¨at.

8.2

Begru ¨ndung des Newton-Verfahrens

In diesem Abschnitt werden drei Aussagen begr¨ undet: 1. Der f¨ ur die Konstruktion des linearen Gleichungssystems (6.2) notwendige Satz von Taylor im Rk , 2. die quadratische Konvergenz des Newton-Algorithmus, 3. die L¨osbarkeit der Aufgabe (6.10). Satz von Taylor: Es sei V ⊆ Rk eine offene Menge, f : V → Rk eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Des weiteren seien x ∈ V und ein ε > 0 so gegeben, dass {z : z − x∞ < ε} ⊂ V . Dann gibt es eine endliche Zahl 0 < M < ∞ (die von ε abh¨angt) so, dass f¨ ur alle Δx mit Δx∞ < ε die Absch¨atzungen f (x + Δx) = f (x) + Df (x)Δx + o(Δx) mit o(Δx)∞ ≤ M Δx2∞ gilt, wobei Df (z) die Jacobi-Matrix der vektorwertigen Funktion f im Punkt z ist.

115

8.2 Begr¨ undung des Newton-Verfahrens

Es seien t ∈ Rk ein beliebiger Vektor, Δx mit Δx∞ < ε gegeben. Betrachtet sei die Funktion g(λ) := t f (x+λΔx). Diese Funktion ist wegen der Voraussetzungen an ε korrekt definiert f¨ ur 0 ≤ λ ≤ 1. Des weiteren ist g : R → R zweimal stetig differenzierbar und es gilt nach der Kettenregel: g  (λ) = t Df (x + λΔx)Δx =

k 

ti ∇fi (x + Δx)Δx

i=1

sowie g  (λ) =

k 

ti (Δx) ∇2 fi (x + λΔx)Δx,

i=1

wobei fi (x) die i-te Komponente der Vektorfunktion f : V → Rk , ∇fi der Gradient und ∇2 fi die Hesse-Matrix der Funktion fi sind. Nach dem Satz von Taylor f¨ ur Funktionen aus der Menge der reellen Zahlen in sich selbst gibt es 0 < ξ < 1 mit 1 g(λ) =g(0) + λg  (0) + λ2 g  (ξ) 2 k 1  ti (Δx) ∇2 fi (x + ξΔx)Δx. =t f (x) + λt Df (x)Δx + λ2 2 i=1

Speziell folgt f¨ ur die Einheitsvektoren ⎛ f1 (x + Δx) ⎜ .. f (x + Δx) = ⎝ .

t = ei und λ = 1: ⎞ ⎟ ⎠

fk (x + Δx) ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ f1 (x) ∇f1 (x)Δx (Δx) ∇2 f1 (x + ξ1 Δx)Δx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ .. .. = ⎝ ... ⎠ + ⎝ ⎠+ ⎝ ⎠. . . 2  2 fk (x) ∇fk (x)Δx (Δx) ∇ fk (x + ξk Δx)Δx ⎛

Dabei ist o(Δx)∞ =

1 max (Δx) ∇2 fi (x + ξ1 Δx)Δx ≤ M Δx2 2 i

mit M := max i

max x − x ≤ ε u : u = 1

u ∇2 fi (x)u.

Die Endlichkeit der Zahl M folgt aus der vorausgesetzten zweimal stetigen Differenzierbarkeit der Funktion f .

116

8 Notwendige Beweise

Wenn f : Rk → Rk eine dreimal stetig differenzierbare Funktion ist, die an ihrer Nullstelle x  eine regul¨are Jacobi-Matrix Df ( x) besitzt, so ist das Newton-Verfahren im Abschnitt 6.2.2 in einer Umgebung U der Nullstelle x  anwendbar und konvergiert bei einem Start von einem Punkt x0 ∈ U quadratisch gegen die Nullstelle x . Da f dreimal stetig differenzierbar ist folgt, dass die Jacobi-Matrix Df (x) und auch ihre Determinante stetig von x abh¨ angen. Damit ist die Jacobi-Matrix in einer hinreichend kleinen Umgebung U von x  regul¨ ar. Außerdem ist ein Punkt x genau dann eine Nullstelle der Funktion f (x), wenn er ein Fixpunkt der Abbildung Φ(x) := x − (Df (x))

−1

f (x), Φ : Rk → Rk

ist, d.h., wenn x = Φ(x) gilt. Wie auf Seite 66 beschrieben, wird im Newton-Algorithmus ur alle k konstruiert. eine Folge von Iterationspunkten {xk } mit xk+1 = Φ(xk ) f¨ Da f dreimal stetig differenzierbar und Df (x) regul¨ar sind, ist Φ zweimal stetig differenzierbar in U . Dabei gilt   −1 −1 DΦ(x) = E − (Df (x)) Df (x) − D (Df (x)) f (x). Daraus folgt DΦ( x) = 0. Nach dem Satz von Taylor gibt es eine endliche Zahl 0 < M < ∞, so dass Φ(x) = Φ( x) + DΦ( x)(x − x ) + o(x − x ) = Φ( x) + o(x − x ) in einer hinreichend kleinen Umgebung (ohne Einschr¨ankung sei dies U ) von x  gelten mit o(x − x ) ≤ M x − x 2 . Daraus folgt sofort xk − x  = Φ(xk−1 ) − Φ( x) ≤ M xk−1 − x 2 . Wenn X = {x : Ax = b, xi > 0, i = 1, . . . , n} = ∅ und Y = {y : (A y − c)i < 0, i = 1, . . . , n} = ∅ sind, so ist die Aufgabe min{c x − μ

n i=1

log2 xi : Ax = b, xi > 0, i = 1, . . . , n}

f¨ ur jedes μ > 0 l¨osbar. F¨ ur den Nachweis der Aussage verwenden wir die Menge Y  = {(y, s) : (A y − c)i + si = 0, si > 0, i = 1, . . . , n}, die aus Y durch Erg¨anzung von Schlupfvariablen entsteht. Es urzung der Schreibweise wird die sei ( x, y, s) mit x  ∈ X und ( y , s) ∈ Y  gegeben. Zur Abk¨ Funktion fμ (x) = c x − μ

n 

log2 xi

i=1

definiert. Betrachtet wird die Abschließung der Niveaumenge der Zielfunktion der zu l¨osenden Aufgabe T := {x : Ax = b, x ≥ 0, fμ (x) ≤ fμ ( x)}.

117

8.2 Begr¨ undung des Newton-Verfahrens

Dann gilt f¨ ur x ∈ X , (y, s) ∈ Y  : fμ (x) = c x − μ

n 

log2 xi

i=1

= c x − y (Ax − b) − μ

n 

log2 xi

i=1 n 

= c x − y Ax + b y − μ

i=1 





= c x − x (c − s) + b y − μ = x s + b y − μ

n 

log2 xi n 

log2 xi

i=1

log2 xi .

i=1

Damit ist fμ (x) ≤ fμ ( x) ¨ aquivalent zu x s + b y − μ

n 

log2 xi ≤ fμ ( x)

i=1

oder n 

( si xi − μ log2 xi ) ≤ fμ ( x) − b y =: τ.

i=1

Dabei ist τ von der L¨ osung der Aufgabe unabh¨ angig. Beachtet man nun noch, dass wegen si > 0 die Funktion xi → si xi − μ log2 xi f¨ ur xi → ∞ und auch f¨ ur xi → 0 gegen Unendlich strebt, so ergibt sich einerseits die Aussage, dass die Menge T beschr¨ ankt, also auch kompakt ist, und andererseits, dass in einer beliebigen optimalen L¨ osung der Optimierungsaufgabe xi > 0 sein muss. Da nach dem bekannten Satz von Weierstraß stetige Funktionen u ¨ber kompakten Mengen ihre Minima annehmen, ergibt sich die L¨ osbarkeit der Optimierungsaufgabe unter der vorausgesetzten Annahme wie gew¨ unscht.

9

Hinweise und Lo¨sungen

Zu Aufgabe 1.1 Mit x1 , x2 werde die Menge (in 1 000 St¨ uck) der zu druckenden Werbematerialien bezeichnet. Ein Produktionsplan zur Gewinnmaximierung kann mit folgender Aufgabe bestimmt werden: max 20x1 + 72x2 u.d.B. 4,8x1 + 19,2x2 ≤ 80 000 12 36 60 x1 + 60 x2 ≤ 3 000 x2 ≤ 4 000 x1 , x 2 ≥ 0. Eigentlich muss gem¨ aß der Aufgabenstellung noch gefordert werden, dass die Variable nur ganzzahlige Werte annehmen d¨ urfen. Das geht allerdings u ¨ber den Inhalt dieses Buches hinaus, wird also im Weiteren nicht ber¨ ucksichtigt werden. Dies ist – ebenso wie die in Aufgabe 1.3 beschriebene Situation – ein Mischungs- bzw. Ressourcenaufteilungsproblem. Zu Aufgabe 1.2 F¨ ur i = 1, 2, 3, j = 1, . . . , 5 bezeichne xij die vom Standort i zum H¨andler j transportierte Menge in Hektoliter. Ein kostenminimaler Transportplan kann gefunden werden durch min u.d.B.

5 3   i=1 j=1 3  i=1 5  j=1

dij xij

xij ≥ bj , j = 1, 2, . . . , 5 xij ≤ ai , i = 1, 2, 3

xij ≥ 0,

i = 1, 2, 3, j = 1, 2, . . . , 5.

Es handelt sich um ein Transportproblem. Zu Aufgabe 1.4 Die Entscheidungsvariablen repr¨asentieren den Umfang der sechs Aktivit¨aten – 1: Ausbildung, 2: Produktion, 3: Unt¨atigkeit, 4: Entlassung, 5: Lagerung, 6: Ausleihe – in jeder der zu betrachtenden drei Wochen. Da der Auftrag am Ende des Zeitraums vollst¨andig aus eigener Produktion zu erf¨ ullen ist, entf¨allt in der letzten Woche die Aktivit¨at Ausleihe; am Ende der dritten Woche ist der Auftrag durch die Entlassung aller Arbeitskr¨afte zu beenden. Demzufolge enth¨ alt das Optimierungsproblem 18 nichtnegative, ganzzahlige Entscheidungsvariablen xij , die den Umfang der Aktivit¨at j in Woche i angeben.

120

9 Hinweise und L¨ osungen

Die Nebenbedingungen umfassen am Beginn jeder der drei Wochen sowie am Ende der dritten Woche jeweils Bilanzgleichungen f¨ ur Arbeitskr¨afte und Produkte, insgesamt also acht Gleichungen. Als zu minimierende Zielfunktion werden die Gesamtkosten der Aktivit¨aten betrachtet. Es bezeichne x = (x11 , . . . , x16 , x21 , . . . , x26 , x31 , . . . , x35 , x44 ) , c = (n, m, m, f, s, p, n, m, m, f, s, p, n, m, m, f, s, f ) , b = (g, h, 0, −r1 , 0, −r2 , 0, −r3 ) , ⎛ 1 1 1 1 ⎜ 1 ⎜ ⎜ -p -1 -1 1 1 1 ⎜ ⎜ -k -1 -1 ⎜ A=⎜ ⎜ -p -1 -1 ⎜ ⎜ 1 -k ⎜ ⎝

⎞ 1 1 1

1

1

-1 -1 -p -1 -1 1 -k

1 1

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 ⎠

-1

wobei fehlende Eintr¨ age in A den Wert null haben. Es ergibt sich schließlich das Modell min c x u.d.B. Ax = b xij ∈ {0, 1, 2, . . .}. Zu Aufgabe 2.4 a) Ja, z. B. bei a = e, b = 0. b) Nein. Falls die Aufgabe zul¨ assig ist, ist die Menge  der zul¨assigen L¨osungen und folglich ur alle j. Die auch die Zielfunktion beschr¨ ankt: aus y ≥ 0 und yj = 1 folgt 0 ≤ yj ≤ 1 f¨ Minimierung der stetigen Funktion c y u ¨ber einer kompakten Menge ist nach dem Satz von Weierstraß stets l¨osbar. c) Ja, wenn auf der die Optimall¨ osung charakterisierenden Strecke mehr als zwei Koeffizientenvektoren liegen. Zu Aufgabe 3.2 Es bezeichne mk die Anzahl der Ungleichungen nach Elimination von k Variablen. Falls in der H¨ alfte der Ungleichungen der Koeffizient der n¨achsten zu eliminierenden Variable positiv und in der anderen H¨ alfte negativ ist, dann ist mk+1 = ( m2k )2 . Das angegebene Resultat l¨ asst sich dann leicht mittels Induktion u ¨ber die Anzahl der Variablen zeigen. Zu Aufgabe 4.1 b) Die Einf¨ uhrung nichtnegativer Schlupfvariablen x und die Substitution x = x+ − x− mit x+ , x− ≥ 0 erzeugt die Normalform min c x+ − c x− u.d.B. Ax+ − Ax− + x = b x+ , x− , x ≥ 0. c) F¨ ur j = 1, 2, . . . , n werden die zus¨ atzlichen Variablen zj sowie die Forderungen −zj ≤

9 Hinweise und L¨ osungen

121

uhrt. Dann ist xj ≤ zj eingef¨ n 

min

j=1

zj

u.d.B. Ax = b −z ≤ x ≤ z der gegebenen Aufgabe ¨ aquivalent, da f¨ ur jede optimale L¨osung (x, z) dieses Problems uhrung zj = max{xj , −xj } = |xj | ≥ 0 gilt. Durch die Substitution x+ = x + z und die Einf¨ von Schlupfvariablen x in die Ungleichungsbedingungen x ≤ z wird folgende Normalform erhalten: n 

min

zj

j=1 +

u.d.B. Ax − Az = b x+ + x − 2z = 0 x+ , x , z ≥ 0. Andere Normalformen sind m¨ oglich, etwa wenn anstelle x+ = x + z die Substitution x = + − + uhrt wird. x − x mit nichtnegativen x , x− durchgef¨ Zu Aufgabe 4.2 a) Bx ≤ d, −Bx ≤ −d; b) Bx ≤ d, −e Bx ≤ −e d. Zu Aufgabe 4.3 Basisl¨ osungen (xB , xN ) f¨ ur diese Aufgabe sind bestimmt durch xB = −1 A−1 b − A A x , wobei jede unabh¨ a ngige Variable den Wert einer ihrer Schranken anN N B B ur alle j ∈ N . Es sei N0 = {j ∈ N : xj = 0} und nimmt, d. h. xj = 0 oder xj = uj f¨ Nu = {j ∈ N : xj = uj }. Aus der Darstellung c x = =

−1 −1   c B AB b + (cN − (AB AN ) cB ) xN −1  c B AB b + zN xN

ergibt sich unmittelbar, dass eine zul¨ assige Basisl¨ osung (xB , xN ) optimal ist, falls zjr ≥ 0 f¨ ur r alle j ∈ N0 und zj ≤ 0 f¨ ur alle j ∈ Nu . Im Falle der Nichtoptimalit¨at ist die Bestimmung der eintretenden Variable also durch folgende Regel zu ersetzen: 2. Wahl eines j0 ∈ N0 mit zjr0 < 0 oder j0 ∈ Nu mit zjr0 > 0. Die durch die ver¨anderte Wahl von xj0 erzeugte L¨ osung muss zul¨assig bleiben; damit ergeben j0 sich Schranken f¨ ur die m¨ ogliche Schrittl¨ ange t in Richtung ΔxB = A−1 B A . Um diese zu bestimmen, sei  1 f¨ ur j0 ∈ N0 δ= −1 f¨ ur j0 ∈ Nu definiert. Wegen der Forderung 0 ≤ xj0 + δt ≤ uj0 ist t durch tj0 = uj0

122

9 Hinweise und L¨ osungen

beschr¨ankt. F¨ ur die Basisvariablen k¨ onnen in Analogie zu Kapitel 4.2 folgende Schranken f¨ ur t ermittelt werden: xi t0 = min{ δΔx : i ∈ B, δΔxi > 0}, i ui −xi : i ∈ B, δΔxi < 0}. tu = min{ −δΔx i

Die Berechnung der maximalen zul¨ assigen Schrittweite tx und die Wahl des austretenden Index i0 erfolgen also nach der Vorschrift: 4. Berechnung von tx = min {tj0 , t0 , tu }; Wahl eines i0 , f¨ ur welches dieses Minimum angenommen wird. ¨ Anschließend werden die entsprechenden Anderungen in den Werten von x, z r , B, N0 sowie Nu vorgenommen und die Rechnung mit der so erzeugten neuen Basis B \ {i0 } ∪ {j0 } fortgesetzt. ¨ Dabei ist i0 = j0 m¨ oglich; in diesem Fall stellt die zul¨assige Anderung von xj0 die st¨arkste Einschr¨ankung der Schrittweite dar. Folglich bleibt die Basis – jedoch nicht die zugeh¨orige L¨osung – unver¨andert; lediglich der Index j0 wechselt von N0 zu Nu oder umgekehrt. Zu Aufgabe 4.4 d) In der ersten Phase wird erkannt, dass eine Gleichungsbedingung aus den beiden anderen folgt und somit gestrichen werden kann. In Phase 2 wird die eindeutig bestimmte optimale L¨ osung x = (5, 1, 0, 0) ermittelt. Zu Aufgabe 4.5 a) Der Algorithmus kreist mit der Folge von Basen {5, 6}, {5, 2}, {1, 2}, {1, 4}, {3, 4}, {3, 6}, {5, 6}, . . . b) Nach der Startbasis {5, 6} wird die Basis {1, 5} bestimmt und die Unbeschr¨anktheit des Problems erkannt. c) Die Methode endet nach endlich vielen Basiswechseln. Zu Aufgabe 5.1 Die Dualaufgaben sind a) max

b y (1) + u y (2)

u.d.B. A y (1) + y (2) ≤ c y (2) ≤ 0; b) min

b y (1) + d y (2)

u.d.B. A y (1) + B  y (2) = c y (2) ≤ 0. Zu Aufgabe 5.2 Die Dualaufgabe zum gegebenen Problem ist min −y1 + y2 u.d.B. 2y1 + y2 − y3 ≤ 2 y1 + y2 − y3 ≤ 3 y1 , y2 , y3 ≥ 0, in welcher y = (t, 0, 2t) f¨ ur jedes t ≥ 0 zul¨ assig ist. Dies zeigt die Unbeschr¨anktheit der Zielfunktion der dualen Aufgabe und wegen der schwachen Dualit¨at (5.3) die Unzul¨assigkeit der Primalen.

123

9 Hinweise und L¨ osungen

Abb. 9.1 Abbildungen f¨ ur einparametrische lineare Optimierungsaufgaben mit einem Parameter in der Zielfunktion beziehungsweise der rechten Seite

Zu Aufgabe 5.4 Es ergeben sich zum Beispiel die Abbildungen 9.1, vgl. die Aufgaben 5.5 und 5.6. Zu Aufgabe 5.5 Es ergibt sich die folgende parameterabh¨angige L¨osung: ⎧ (0, 24/5) ⎪ ⎪ ⎨ (3/2, 9/2) x∗ (t) = ⎪ (4, 2) ⎪ ⎩ (24/5, 0)

f¨ ur t < − 17 4 f¨ ur − 17 4 32

3 4

Die optimale L¨osung ist also konstant u ur die Parame¨ber offenen Parameterintervallen. F¨ 3 3 , , } ist die optimale L¨ o sung nicht eindeutig, alle Punkte in der konvexen terwerte t ∈ {− 17 4 4 2 H¨ ulle der optimalen L¨ osungen f¨ ur die angrenzenden Parameterintervalle sind optimal. Der optimale Zielfunktionswert ist

z ∗ (t) =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨

192 96t 5 − 5 87 2 − 18t

⎪ 36 − 8t ⎪ ⎩ 24

f¨ ur t ≤ − 17 4 f¨ ur − 17 4 ≤t≤ f¨ ur 34 ≤ t ≤ 32 f¨ ur t ≥ 32 .

3 4

Der Verlauf der Optimalwertfunktion z ∗ (t) ist in Abbildung 9.2 dargestellt. Zu Aufgabe 5.6 Es ergibt sich die folgende optimale L¨osung: ⎧ ⎨

(0, t) x (t) = (2t − 12, 12 − t) ⎩ (4, 4) ∗

f¨ ur 0 ≤ t ≤ 6 f¨ ur 6 ≤ t ≤ 8 f¨ ur t ≥ 8.

F¨ ur t < 0 ist die Aufgabe nicht l¨ osbar, da der zul¨assige Bereich leer ist.

124

9 Hinweise und L¨ osungen

Abb. 9.2 Der Verlauf der Optimalwertfunktion in Aufgabe 5.5. Zu sehen ist die konvexe, st¨ uckweise affin-lineare Gestalt.

Anders als in der Aufgabe mit der parameterabh¨angigen Zielfunktion ist die optimale L¨ osung in diesem Beispiel stets eindeutig. Der optimale Zielfunktionswert ist ⎧ 8t f¨ ur 0 ≤ t ≤ 6 ⎨ z ∗ (t) = 36 + 2t f¨ ur 6 ≤ t ≤ 8 ⎩ 52 f¨ ur t ≥ 8. Die Optimalwertfunktion ist also wieder st¨ uckweise (affin-) linear, jetzt jedoch konkav. Zu Aufgabe 5.7 Eine Normalform der Aufgabe lautet min −20x1 − 72x2 u.d.B. 4,8x1 + 19,2x2 + x1 12 x + 36 x + x2 60 1 60 2 x2 + x3  x1 , x2 , x1 , x2 , x3

= 80 000 = 3 000 = 4 000 ≥ 0.

Durch den Zukauf von Papier wird die rechte Seite b um ein Vielfaches von b = (1, 0, 0) vergr¨oßert. Also wird die Aufgabe mit rechter Seite b + tb betrachtet, deren optimale Basis alt; der Optimalwert ist in diesem Fall −320 000. Es bei t = 0 die Variablen x1 , x2 , x3 enth¨ ist zu beachten, dass zur Erzeugung der Normalform die Zielfunktion mit −1 multipliziert wurde. Die Berechnung der Parameterwerte t, f¨ ur die diese Basis optimal ist, erfolgt nach der im Abschnitt 5.4 angegebenen Formel. Es ist 

5 000 7 000  xB = A−1 , B b = 10 000, 3 , 3

5 5  −1  5   xB = AB b = − 8 , 24 , − 24 , so dass der Bereich −8 000 ≤ t ≤ 11 200 ermittelt werden kann. Folglich bleibt die Basis {x1 , x2 , x3 } bei einer zus¨ atzlichen Papiermenge von bis zu 11,2 Tonnen optimal. Diese Basis 5   liefert die Dualvariable y = (A−1 B ) cB = (− 2 , −40, 0) . Der Optimalwert der betrachteten Aufgabe in Abh¨angigkeit des Parameters t ist −320 000+ ty  b = −320 000 − 52 t; der Gewinn ist entsprechend mit −1 zu multiplizieren und steigt somit pro zus¨atzlichem Kilogramm Papier um y1 = 52 $. Dies ist demzufolge der h¨ochste

125

9 Hinweise und L¨ osungen

akzeptable Preis. Aus diesem Grund werden im Modell optimaler Ressourcenaufteilung die Dualvariablen y h¨aufig als Schattenpreise bezeichnet. Zu Aufgabe 7.1 Weil max min mij = −1 < 2 = min max mij ist, besitzt dieses Spiel keine i

j

j

i

optimalen reinen Strategien. Durch Addition des konstanten Werts 3 zu allen Auszahlungen wird die modifizierte Matrix ⎛

1 ⎜ 3 M = ⎜ ⎝5 2

5 2 4 6

⎞ 4 6⎟ ⎟ 2⎠ 3

mit ausschließlich positiven Eintr¨ agen erzeugt. F¨ ur den Zeilenspieler ergibt sich damit die Aufgabe

min x1 + u.d.B. x1 + 5x1 + 4x1 +

x2 3x2 2x2 6x2

+ x3 + x4 + 5x3 + 2x4 + 4x3 + 6x4 + 2x3 + 3x4 x1 , x2 , x3 , x4

≥ ≥ ≥ ≥

1 1 1 0;

f¨ ur den Spaltenspieler max y1 + u.d.B. y1 + 3y1 + 5y1 + 2y1 +

y2 + y3 5y2 + 4y3 2y2 + 6y3 4y2 + 2y3 6y2 + 3y3 xy1 , y2 , y3

≤ ≤ ≤ ≤ ≥

1 1 1 1 0.

Man erh¨alt die optimalen L¨ osungen x1 = 0, x2 = 3 und den gemeinsamen Optimalwert 11 .

1 , x3 10

=

13 , x4 110

=

3 , y1 55

= y2 = y3 =

1 11

11x

i ergeben sich damit die optimalen gemischten Mit den Substitutionen pj = 3 j und qi = 11y 3 13 1  1 1 1  Strategien p = (0, 11 , , ) und q = ( , , unglichen Spiels ist 30 30 5 3 3 3 ) . Der Wert des urspr¨ 11 2 − 3 = . 3 3

Zu Aufgabe 8.1 Zu beweisen ist zun¨ achst, dass beide Aufgaben   Ay ≤ 0 Ax = b und b y > 0 x≥0

(9.1)

nicht gleichzeitig l¨osbar sind. Ausgehend von der gegenteiligen Aussage sei angenommen, osung des rechten Systems sind. Dann kann das dass y eine L¨osung des linken und x eine L¨ Gleichungssystem Ax = b von links mit y multipliziert und f¨ ur die Vektoren x = x, y = y

126

9 Hinweise und L¨ osungen

berechnet werden. Dann ergibt sich y  Ax = y  b = b y > 0, da y das erste System l¨ost. Andererseits sind y  A ≤ 0 und x ≥ 0. Damit ist y  Ax ≤ 0. Zusammensetzen beider Ungleichungen ergibt den Widerspruch 0 < 0, der die erste Aussage beweist. Um zu zeigen, dass von den zwei Systemen stets eines eine L¨osung besitzt, sei die folgende lineare Optimierungsaufgabe (vgl. Aufgabe der ersten Phase) betrachtet: e w

min x,w

u.d.B.

Ax + Dw = b x ≥ 0, w ≥ 0,

mit dem Vektor e = (1, 1, . . . , 1) und der Matrix D, die eine Diagonalmatrix mit dii = 1, wenn bi ≥ 0 sowie dii = −1 im entgegengesetzten Fall ist. Diese lineare Optimierungsaufgabe ur alle i eine zul¨assige L¨osung und andererseits ist stets l¨osbar, da einerseits x = 0, wi = |bi | f¨ der Zielfunktionswert nach unten durch null beschr¨ankt ist. Der optimale Zielfunktionswert ist entweder null oder positiv. Wenn der optimale Zielfunktionswert null ist, so muss in der optimalen L¨osung (x, w) der osbar. Vektor w = 0 sein, das rechte System ist also l¨ Wenn der optimale Zielfunktionswert positiv ist, so ist das rechte System nicht l¨osbar. Insbesondere ist b ∈ W := {z : ∃x ≥ 0 mit z = Ax}. Die Menge W ist ein konvexer polyedraler Kegel, der Punkt b hat einen positiven Abstand von W . Es sei z ∈ W der Punkt mit dem kleinsten Abstand vom Punkt b. Betrachtet sei die Hyperebene E, deren Normalenvektor b − z und in der z enthalten ist (vgl. Abbildung 9.3).

Kegel W

E _ . z

b

Abb. 9.3 Darstellung des Kegels W , der Projektion des Punktes b auf den Kegel W und der Hyperebene E.

Die Gleichung dieser Hyperebene ist E = {z : (z − z) (z − b) = 0}. Aus den Eigenschaften einer Projektion an eine konvexe Menge (wie zum Beispiel W ) ergibt sich, dass alle Punkte aus W entweder die Ungleichung (z − z) (z − b) ≥ 0 ∀ z ∈ W oder die Ungleichung (z − z) (z − b) ≤ 0 ∀ z ∈ W

9 Hinweise und L¨ osungen

127

erf¨ ullen. Der Punkt b erf¨ ullt dann gerade die jeweils entgegengesetzte Ungleichung strikt, da er nicht auf der Hyperebenen und nicht in W liegt. Es sei ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit die erste Ungleichung erf¨ ullt. Da z ∈ W und W ein Kegel ist, sind die Punkte z = λz ∈ W f¨ ur alle λ ≥ 0. Setzt man diese Punkte in die Ungleichung ein, ergibt sich z  (z − b) = 0, also liegt der Punkt z = 0 ebenfalls auf dieser Hyperebene und es gilt 0 ≤ (z − z) (z − b) = z  (z − b) − z  (z − b) = z  (z − b) ∀ z ∈ W, b (z − b) < 0 oder mit der Darstellung der Punkte in W : x A (z − b) ≥ 0 ∀ x ≥ 0, b (z − b) < 0. Die erste dieser Ungleichungen ist f¨ ur alle x ≥ 0 nur dann g¨ ultig, wenn A (z − b) ≥ 0 ist. Damit l¨ost der Punkt z − b das linke Ungleichungssystem in (9.1), womit die Aussage bewiesen ist.

10

Testklausur

Aufgabe 1. Das lineare Optimierungsproblem min 10x1 + x2 + 2x3 + 4x4 − 2x5 u.d.B. 4x1 + 9x2 + 12x3 + 3x4 + 6x5 = 3 4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 4x5 = 1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 ist grafisch zu l¨ osen. Zu diesem primalen Problem ist die duale Aufgabe zu konstruieren und ebenfalls grafisch zu l¨ osen. Die G¨ ultigkeit der Komplementarit¨atsbedingungen (y  A−c) x = 0 ist nachzuweisen. Bei der primalen Aufgabe handelt es sich um eine Aufgabe mit zwei Gleichungsnebenbedingungen und f¨ unf Variablen; f¨ ur die grafische L¨ osung wird wie im Abschnitt 2.2 beschrieben vorgegangen. Um s¨ amtliche Koeffizienten der zweiten Gleichung auf 1 zu skalieren, werden die Substitutionen x1 = 4x1 , x2 = 2x2 , x3 = 2x3 , x4 = x4 , x5 = 4x5 vorgenommen. Damit ergibt sich die ¨ aquivalente Aufgabe min u.d.B.

5  x 2 1 x1 x1

+ + +

1  x 2 2 9  2 x2 x2

1  x 2 5 3    6x3 + 3x4 + 2 x5 x3 + x4 + x5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5

+ x3 + 4x4 − + +

= 3 = 1 ≥ 0,

in der die Entscheidungsvariablen x als Gewichte interpretiert werden k¨onnen. Die optimale L¨osung der Aufgabe bestimmt sich nun als dasjenige gewichtete Mittel der Koeffizientenvektoren v1 =

  1 5 2

     3 6 3 2 , v4 = , v5 = , v3 = , 1 4 − 12

9 , v2 =

2 1 2

dessen zweite Komponente x0 , die die Zielfunktion repr¨asentiert, minimal ist, wenn die erste Komponente den Wert b = 3 hat. Der grafischen Darstellung ist zu entnehmen, dass dieses Optimum auf der die Punkte v2 , v3 , v5 enthaltenden Strecke liegt.

130

10 Testklausur

x0

6

v4 r   @@

 @ v1  r @ E @ E @ v E 3 @ r E   r E  v2  E  1 E r  b b=3 v5

1

Die optimalen L¨osungen sind somit durch x1 = x4 = 0 und 9  2 x2 x2

3  2 x5  x3 + x5 x2 , x3 , x5

+ 6x3 +

=3

+

=1 ≥0

charakterisiert. Die L¨ osungsmenge dieses Systems ist x2 = 2 − 3t, x3 = −1 + 2t, x5 = t,

1 2

≤ t ≤ 23 .

Nach R¨ ucksubstitution ergibt sich f¨ ur jedes t ∈ [ 12 , 23 ] eine optimale L¨osung x =

 3 1 1  0, 1 − 2 t, − 2 + t, 0, 4 t mit dem Optimalwert 0. Es handelt sich also um eine Optimierungsaufgabe, bei der die Menge der optimalen L¨osungen die Verbindungsstrecke der bei  

den Extremalpunkte bzw. Basisl¨ osungen 0, 14 , 0, 0, 18 und 0, 0, 16 , 0, 16 , die den Werten t = 12 bzw. t = 23 entsprechen, ist. Die duale Aufgabe des gegebenen Problems lautet max y1 + u.d.B. 4y1 + 2y1 + 2y1 + y1 + 4y1 +

3y2 4y2 9y2 12y2 3y2 6y2

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

10 1 2 4 −2.

In nachstehender Skizze sind die zul¨ assigen Punkte als die dick umrandete unbeschr¨ankte Menge dargestellt sowie die den Optimalwert realisierende Niveaulinie der Zielfunktion als gepunktete Linie.

131

10 Testklausur

H y2 @ HH J6 @ HH J .... .... @ HH J PP .......@ H J X PP....@ XX 1 HH JH .P XX P.X .X ..X .s...X 1 J P @ HH ....X P ....X @ P @P JXXHH y1 ....X P P X . @ . X P @ ...J. P H XH X . P . X @ X X @ J...... PPHH H @ @ J ........ PP P .... @ @ J .... .... @ @ J . @ @ J @ @ J @ @J @ @J @ @J @ @ J @ J J@ Der grafischen Darstellung wird entnommen, dass die optimale L¨osung durch den Schnittpunkt der drei Geraden 2y1 + 9y2 = 1, 2y1 + 12y2 = 2, 4y1 + 6y2 = −2 bestimmt ist und folglich als (−1, 13 ) berechnet werden kann. Der zugeh¨orige Optimalwert null stimmt mit dem der primalen Aufgabe u ¨berein. Wird die optimale L¨ osung der dualen Aufgabe in die Nebenbedingungen dieser Aufgabe eingesetzt ergibt sich, dass die erste und die vierte Nebenbedingung als echte Ungleichungen erf¨ ullt sind. Aus der Komplementarit¨ atsbedingung folgt damit, dass x1 = x4 = 0 in der optimalen L¨osung der primalen Aufgabe sein m¨ ussen. Optimal sind alle L¨osungen des Systems 4x1 + 9x2 + 12x3 + 3x4 + 6x5 = 3 4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 4x5 = 1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 mit x1 = x4 = 0. Die Basismatrix



9 2

12 2



 ist nicht zul¨ assig. Die Basismatrix

9 2

6 4

Basisl¨osung zu dieser Basismatrix ist (0, 14 , 0, 0, 18 ) . Zur Basismatrix schließlich die optimale L¨ osung (0, 0, 16 , 0, 16 ) .

 

ist zul¨assig. Die  12 6 geh¨ort 2 4

132

10 Testklausur

Aufgabe 2. Das primale Problem aus Aufgabe 1 ist mit der Zwei-Phasen-Methode von Hand zu l¨osen. In Phase 1 wird die Hilfsaufgabe aus Abschnitt 4.4 bearbeitet: B

w1

w2

x1

x2

w1

1

0

4

2

w2

0 0

1 4 9 12 3 6 3 0 −8 −11 −14 −4 −10 −4

1 x1 4 w2 −1

x1 x2

x3 x4 2

1

1 2

1 2

1 4

7

10

2

0 1

1 0

0 −7 −10 −2

2

0

9 28 − 17

1 − 14 1 7

1

1

1

0

0 0

1 0

x5 xB 4

1 2

1

1 4

2

t 1 4 3 4 1 2 2 7

−2 −2

3 − 14 10 7

3 28 2 7

6 7 2 7

3 28 2 7

0

0

0

0

Mit der zul¨assigen Basis {1, 2} wird Phase 2 gestartet; dort werden die optimalen Basen {2, 5}, {3, 5} mit den bereits in Aufgabe 1 angegebenen Basisl¨osungen gefunden: B x1 x2

x1 x2 1

x3 x4

x5

xB

t

10 7 19 7 − 14 3 2

3 28 2 7 37 14 1 8 1 4

6 7 2 7 − 76 7

3 28 2 7 − 19 14 1 8 1 4

1 8

0

4

0

0

3 0 − 14

0

1

0

0

7 x5 6 x2 − 13

0 1

38 3 10 x5 9 x3 − 29 38 3

0

1 0

1 6 2 3

0 1

1 6 1 6

1 0

1 6 1 6

0

0

4

0

0

1 − 1 6

133

10 Testklausur

Aufgabe 3. Der Optimalwert von min{c x : Ax = b, x ≥ 0} sei endlich. Es ist zu zeigen, ¨ dass das durch Anderung der rechten Seite entstehende Problem min{c x : Ax = b , x ≥ 0} entweder unzul¨assig ist oder eine endliche Optimall¨osung besitzt. Ein Beweis kann unter Verwendung der Dualit¨ atstheorie erbracht werden. Da die Aufgabe osbar ist, ist ihre Duale max{b y : A y ≤ c} ebenfalls l¨osbar, min{c x : Ax = b, x ≥ 0} l¨ insbesondere zul¨assig. Die duale Zul¨ assigkeit ist von b unabh¨angig, folglich ist auch die assig. F¨ ur jede zul¨assige L¨osung (y, z) dieses Problems ist Aufgabe max{b y : A y ≤ c} zul¨ jedoch b y eine untere Schranke f¨ ur den Optimalwert der dazu dualen Aufgabe min{c x : Ax = b , x ≥ 0}, diese ist somit nicht unbeschr¨ ankt. Ein alternativer Beweis ist der folgende: Angenommen, die Aufgabe min{c x : Ax = b , x ≥ 0} ist unbeschr¨ankt. In der primalen Simplexmethode wird die Unbeschr¨anktheit erkannt; also existiert eine zul¨ assige Basis B sowie ein Index j0 ∈ N , so dass mit den in Abschnitt 4.2 −1 j0 j0  eingef¨ uhrten Bezeichnungen zjr0 = cj0 − (A−1 B A ) cB < 0 und ΔxB = AB A ≤ 0 gilt. j0  Es sei Δx = ej0 − (ΔxB , 0) = ej0 − (A−1 B A , 0) .

Die vorausgesetzte L¨ osbarkeit von min{c x : Ax = b, x ≥ 0} impliziert insbesondere ihre Zul¨assigkeit; es sei x  eine zul¨ assige L¨ osung. Dann ist f¨ ur jedes t ≥ 0 auch x  + tΔx zul¨assig, da j0  A( x + tΔx) = A x + tA(ej0 − (A−1 B A , 0) )

j0  = b + t(Aj0 − (AB , AN )(A−1 B A , 0) )

= b j0  und x  + tΔx = x  + t(ej0 − (A−1 B A , 0) ) ≥ 0. Es gilt

x + tΔx) c (

= =

j0  c x  + tc (ej0 − (A−1 B A , 0) )

j0  c x  + t(cj0 − (A−1 B A ) cB ),

j0  anktheit von min{c x : Ax = woraus wegen zjr0 = cj0 − (A−1 B A ) cB < 0 die Unbeschr¨ b, x ≥ 0} folgt, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht.

134

10 Testklausur

Aufgabe 4. Es seien a, b, c Vektoren derselben Dimension; es werde min a x − b y u.d.B. x− y =c x, y ≤ 0 betrachtet. Durch Untersuchung des Dualproblems sind hinreichende und notwendige Bedingungen f¨ ur a und b zu finden, so dass die gegebene Aufgabe einen endlichen Optimalwert hat. Wie lautet in diesem Fall eine optimale L¨ osung? ur j Die primale Aufgabe ist stets zul¨ assig: f¨ ur Indizes j mit cj ≤ 0 sei xj = cj , yj = 0; f¨ mit cj > 0 sei xj = 0, yj = −cj . Folglich hat diese Aufgabe einen endlichen Optimalwert genau dann, wenn ihre Duale zul¨assig ist. F¨ ur die Zul¨ assigkeit des Dualproblems max c z u.d.B. z ≥ a z≤b ist a ≤ b hinreichend und notwendig. Wenn diese Bedingung erf¨ ullt ist, ist eine offensichtliche Optimall¨osung z ∗ der Aufgabe  max{c z : a ≤ z ≤ b} gegeben durch  bj , falls cj ≥ 0 zj∗ = aj , falls cj < 0. Aus den Komplementarit¨ atsbedingungen kann dann eine primale Optimall¨osung bestimmt werden:   0, −cj , falls cj ≥ 0 ∗ ∗ xj = yj = 0, falls cj < 0. cj , Ohne Dualit¨atstheorie kann durch Untersuchung der durch die Elimination y = x − c entstehenden a¨quivalenten Aufgabe min (a − b) x + b c u.d.B. x ≤ 0 x≤c dieselbe Charakterisierung der L¨ osbarkeit gefunden werden.

135

10 Testklausur

Aufgabe 5. Ein Lagerhaus h¨alt ein Produkt zum Verkauf bereit. Die Lagerkapazit¨at betr¨agt 200 Einheiten dieses Produkts, wobei die Quartalskosten f¨ ur die Lagerung eine Geldeinheit pro Einheit des Produkts betragen. Der Einkaufspreis ist gleich dem Verkaufspreis, jedoch von Quartal zu Quartal verschieden; er betr¨ agt im ersten bis vierten Quartal 5, 3, 6 bzw. 7. Durch den Einkauf zu einem niedrigen Preis und den Verkauf zu einem hohen Preis kann folglich Gewinn erzielt werden. Es ist ein Modell zur Minimierung der Lagerkosten f¨ ur einen Zeitraum von einem Jahr zu erstellen, wobei davon auszugehen ist, dass zu Jahresbeginn bereits 60 Einheiten gelagert werden. Die Entscheidungsvariable xij gebe den Umfang der Aktivit¨at j – Verkauf 1, Einkauf 2, Lagerung 3 – im Quartal i = 1, 2, 3, 4 an. F¨ ur jedes Quartal ist die Summe der neu beschafften und der aus dem Vorquartal u ¨bernommenen Produkte gleich der Summe der verkauften und der zu lagernden Produkte: xi2 + xi−1,3 = xi1 + xi3 . Dabei entspricht x03 dem Anfangsbestand 60. Es ist die Lagerkapazit¨ at einzuhalten: xi3 ≤ 200. Weiterhin unterliegen alle Entscheidungsvariablen der Nichtnegativit¨ atsforderung. In der Zielfunktion sind die aus Einkauf und Lagerung entstehenden Kosten, vermindert um den Erl¨os der verkauften Produkte, zu betrachten. Damit kann folgende lineare Optimierungsaufgabe formuliert werden: min

u.d.B.

−5x11 − 3x21 − 6x31 − 7x41 +5x12 + 3x22 + 6x32 + 7x42 + x13 + x23 + x33 + x43 x11 −x13 + x21 −x23 + x31 −x33 + x41

− x12 + x13 − x22 + x23 − x32 + x33 − x42 + x43 x13 , x23 , x33 , x43 x11 , . . . , x43

= 60 = 0 = 0 = 0 ≤ 200 ≥ 0.

Literaturempfehlungen

Zum Gegenstand der linearen Optimierung ist eine Vielzahl von B¨ uchern erschienen, die sich an verschiedenste Leserkreise wenden. Eine umfassende und nach wie vor aktuelle Referenz zur Theorie der linearen Optimierung und zur Simplexmethode bietet Dantzigs Klassiker von 1963, k¨ urzlich in einer unver¨anderten Neuauflage [3] erschienen. Das zweib¨ andige Werk [4, 5] stellt zus¨atzlich zu klassischen Resultaten auch die neueren Innere-Punkte-Methoden vor. Die mitgelieferte Software erm¨oglicht es, die beschriebenen Algorithmen selbst zu testen. Eine moderne Darstellung aller Aspekte der linearen Optimierung findet sich in [30]; außerdem werden darin konvexe sowie diskrete Optimierung angesprochen. Die Onlineversion [31] stellt zus¨atzlich zahlreiche Programme – unter anderem eine Simulation der Tableauform – zur Verf¨ ugung und ist insbesondere zum Selbststudium geeignet. Neben einer ausf¨ uhrlichen Beschreibung des Simplexalgorithmus und der Innere-PunkteMethoden enth¨alt das Lehrbuch [8] MatLab-Codes f¨ ur diese Algorithmen. Des Weiteren werden quadratische Optimierungsaufgaben und Komplementarit¨atsprobleme beschrieben. Die Lehrb¨ ucher [15, 13, 17] beschreiben alle Gebiete der kontinuierlichen Optimierung, speziell den Simplex-Algorithmus, Innere-Punkte-Methoden und Anwendungen f¨ ur lineare Optimierungsaufgaben. Eine unterhaltsame Einf¨ uhrung in die Modellierung und grafische L¨osung vieler Problemstellungen des Operations Research bieten [11, 25]; theoretische und numerische Aspekte der Methoden werden in [12] bereitgestellt. Ausf¨ uhrliche Betrachtungen zum durchschnittlichen Laufzeitverhalten der Simplexmethode sind in [2] enthalten, eine umfassende Darstellung der Sensitivit¨atsanalyse in [10]. Zur Bearbeitung konkreter Optimierungsprobleme k¨onnen die auf [32] zur Verf¨ ugung gestellten L¨oser Anwendung finden. Es sei erw¨ ahnt, dass bei Verwendung der hier angef¨ uhrten oder kommerzieller Software zur L¨ osung linearer Optimierungsaufgaben die im Text ¨ beschriebene Uberf¨ uhrung in Normalform nicht notwendig ist. Das Lehrbuch [18] ist eine gute Einf¨ uhrung in die Graphentheorie. In den Monographien [29] werden neben einer Vielzahl von Optimierungsaufgaben u ¨ber Graphen auch deren Modelle als (lineare oder kombinatorische) Optimierungsaufgaben beschrieben und Aussagen u ¨ber L¨ osungsm¨oglichkeiten und deren Komplexit¨ at formuliert.

Literaturverzeichnis

[1] Basar, T., Olsder, G. S. Dynamic Noncooperative Game Theory, Academic Press, New York, 1982. [2] Borgwardt, K. H.: The Simplex Method: A Probabilistic Analysis. Springer Verlag, Berlin et al., 1987. 6.1, 10 [3] Dantzig, G. B.: Linear Programming and Extensions. Princeton University Press, Princeton, 1998. 10 [4] Dantzig, G. B., Thapa, M. N.: Linear Programming 1: Introduction. Springer 1997. 10 [5] Dantzig, G. B., Thapa, M. N.: Linear Programming 2: Theory and Extensions. Springer 2003. 10 [6] Dempe, S., Schreier, H.: Operations Research – Deterministische Modelle und Methoden. Teubner Verlag, Wiesbaden, 2006. 6.1 [7] Ehrgott, M.: Multicriteria Optimization. Springer Verlag, Berlin et al., 2005. [8] Ferris, M. C., Mangasarian, O. L., Wright, S. J.: Linear Programming with MATLAB. MPS-SIAM Series on Optimization, 2007. 2.2, 10 [9] Forsgren, A.: An elementary proof of optimality conditions for linear programming.Tech. Report TRITA-MAT-2008-OS6, Department of Mathematics, Royal Institute of Technology, Stockholm, Schweden, 2008. [10] Gal, T.: Postoptimal Analyses, Parametric Programming, and Related Topics. Second Edition. Walter de Gruyter 1994. 10 [11] Gass, S. I.: An Illustrated Guide to Linear Programming. Reprint Edition. Dover Publications 1990. 10 [12] Gass, S. I.: Linear Programming: Methods and Applications. Fifth Edition. Dover Publications 2003. 10 [13] Geiger, C., C. Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, Berlin et al., 2002. 6.1, 10 [14] Goldman, A. J., A. W. Tucker: Theory of linear programming. In: H. W. Kuhn, A. W. Tucker (Herausg.): Linear Inequalities and Related Systems. Annals of Mathematical Studies, 38(1956)53-97. North-Holland, Amsterdam. 6.3.4 [15] Griva, I., S. G. Nash, A. Sofer: Linear and Nonlinear Optimization. Second Edition. SIAM, 2009. 10 [16] Hubbard, J. H., D. Schleicher and S. Sutherland: How to find all roots of complex polynomials by Newton’s method. Investitiones Mathematicae, 146(2001). [17] Jarre, F., Stoer, J.: Optimierung. Springer-Verlag, Berlin et al., 2004. 6.3.3, 10 [18] Jungnickel, D.: Graphen, Netzwerke und Algorithmen. Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1994. 10 [19] Khachiyan, L. G.: A polynomial algorithm in linear programming. Soviet Mathematics

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Literaturverzeichnis

Doklady 20(1979)191-194. 6.1 [20] Kantorovich, L. V.: Matematicheskie Metody Organizatsii i Planirovania Proizvodstva, ¨ Leningradskii Gos. Univ. Publ. 1939 (engl. Ubersetzung: Mathematical Methods in the Organization and Planning of Production, Management Science, 6(1960)366-422). (document) [21] Karmarkar, N.: A new polynomial-time algorithm for linear programming. Combinatorica 4(1984)373-395. 6.1 [22] Klee, V., Minty, G. J.: How good is the simplex algorithm? In: Sisha, O. (ed.): Inequalities. Academic Press, New York, 1972, pp. 159-175. 6.1 [23] Kantorovich, L. V.: Autobiographie. nobelprize.org/nobel prizes/economics/laureates/1975/kantorovich-autobio.html [24] Koopmans, T. C.: Concepts of Optimality and Their Uses. The American Economic Review, Vol. 67, No. 3 , pp. 261-274. [25] Koop, A., Moock, H.: Lineare Optimierung. Eine anwendungsorientierte Einf¨ uhrung in Operations Research. Springer-Verlag, Berlin et al., 2008. 10 [26] Lawler, E.L.: Combinatorial Optimization: Networks and Matroids. Holt, Rinehart and Winston, New York, 1976. 7.4.2 [27] Padberg, M.: Linear Optimization and Extensions. Springer Verlag, Berlin et al., 1995. [28] Schrijver, A.: Theory of Linear and Integer Programming. J. Wiley & Sons, Chichester et al., 1987. [29] Schrijver. A.: Combinatorial Optimization, Vol. A, B, C. Springer Verlag, Berlin, 2003. 10 [30] Vanderbei, R. J.: Linear Programming – Foundations and Extensions. Second Edition. Springer Verlag, Berlin et al., 2001. 10 [31] www.princeton.edu/∼rvdb/LPbook/index.html 10 [32] www-neos.mcs.anl.gov/neos/server-solvers.html LP 10

Sachverzeichnis Basis, 29 -l¨osung, 29 -matrix, 29 -variable, 29 zul¨assige, 29 duale Aufgabe, 45 Dualit¨at -sl¨ ucke, 47 schwache, 46 starke, 48 Entartung duale, 50 primale, 43 Fluss, 103 St¨arke, 104 Fourier-Motzkin-Methode, 22 Fundamentalsatz, 32

konvexer polyedraler Kegel, 109 konvexes Polyeder, 108 konvexes Polytop, 108 Kreisen, 43 L¨osung dual zul¨assige, 46 effiziente, 94 optimale, 3 Pareto-optimale, 94 primal zul¨assige, 46 zul¨assige, 3 Matrix totel unimodular, 100 Matrixspiel, 78 Matrixspiel in gemischten Strategien, 80 Methode der Schattenecken, 62 Minkowski-Summe, 109

Grafische L¨osung zwei Restriktionen, 17 zwei Variablen, 10 Graph gerichtet, 100 kantenbewerteter, 101 Groß-M-Methode, 42

Nash’sches Gleichgewicht, 78 Nebenbedingungen, 4 Nichtbasisvariable, 29 Nichtbasisvariable, effiziente, 98 Nichtnegativit¨atsbedingung, 7 Normalform, 25 der Dualaufgabe, 46

H¨ ulle, konvexe, 109

Optimalit¨atsindikator, 29 Optimalwert, 4 Optimalwertfunktion, 52 Optimierungsaufgabe lineare, 3 mit mehreren Zielen, 94 selbstduale, 73 unbeschr¨ankte, 4 unzul¨assige, 3

Kantenbewertung, 101 Kantenzug, 101 Kegel, konvexer polyedraler, 109 Klee-Minty-Beispiel, 61 Knoten, 100 Komplementarit¨at, 49 konvexe H¨ ulle, 109

142 Pfeil, 100 Polyeder, konvexes, 108 Polytop, konvexes, 108 primale Aufgabe, 45 Problem K¨ urzester Weg, 102 Maximalflussproblem, 104 Minimalflussproblem, 106 polynomial l¨osbar, 60 Quelle, 103 Rechenzeit im Mittel, 62 in schlechtesten Fall, 60 reduzierte Kosten, 29 Regel Bland’sche, 43 Cramer’sche, 87 Ressourcenaufteilung, 1, 119 Schattenpreis, 56 Schattenpreise, 125 Schlupfvariable, 26 Senke, 103 Sensitivit¨atsanalyse, 52 Simplexmethode duale, 50 mit oberer Schranke, 36

Sachverzeichnis

primale, 30 Tableauform, 32 Vektorform, 30 Spiel Matrixspiel, 78 Nullsummenspiel, 78 strategische Form, 77 Stabilit¨atsbereich, 54 Startbasisl¨osung Methode des minimalen Elementes, 88 Nord-West-Eckenregel, 88 Strategie gemischte, 79 reine, 79 Variable abh¨angige, 29 Entscheidungs-, 3 k¨ unstliche, 37 unabh¨angige, 29 Vektoroptimierungsaufgabe, 94 Weg, 101 einfacher, 101 zentraler Pfad, 69 Zielfunktion, 4 Zwei-Phasen-Methode, 40