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tematlcamente competente · ••.• , Para Ir Pablo Flores
I Antonio J. Moreno
Pablo Flores Martínez (
[email protected]), profesor de la Facultad de Educación en la Universidad de Granada, en el área de didáctica de la matemática. Interesado en formación de profesores y en recursos didácticos manipulativos y evocadores para la enseñanza de las matemáticas. Autor de artículos sobre humor y matemáticas, entre ellos la obra Humor gránco en el aula de matemáticas (Granada, 2004). Antonio Javier Moreno Verdejo (
[email protected]), profesor de matemáticas de secundaria y actualmente coordinador de prácticas del máster de formación del profesorado de secundaria y bachillerato de la Universidad de Granada. Autor de diversos trabajos sobre los aspectos culturales de las matemáticas entre los que cabe mencionar el libro Ideología y educación matemática (Barcelona, 2004).
Matemáticamente competentes ... Para reí r
Matemáticamente competenteS ... Para reír Pablo Flores
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Antonio J. Moreno
MICRO-MACRO REFERENCIAS
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Colección Micro-Macro Referencias Serie Didáctica de las matemáticas / Comunidad educativa © Pablo Flores Martínez, Antonio J. Moreno Verdejo © Viñetas: javier Aguilera Vela, Maximiliano Leonel Aguirre, josé javier Aós Garralda (Mirarte), Xabier Azkarate (Duson), Toni Batllori,]osé Bibiloni Palmer (Bibi), Alberto Blesa Sánchez (Pareja), Miguel Brieva Estrada, Enrique Bonet Vera, Pablo Calvo Barrios (klanklon),julio Cebrián (Cebrián), Fernándo Cortés Blancafort (Nando), Luis Dávila Malvido, Federico del Barrio ]iménez (Caín), Mauro Entrialgo, Andrés Faro Lalanne (Faro), Martín Andrés Favelis, Daniel Fresno (Daniel Paz),]osé]ulio Gómez Sanz (Pareja) ,josé Manuel Esteban Guijarro (Esteban), Ramón Gutiérrez Díaz (Ramón), Santiago Gutiérrez Cómez (Santy), Felipe Hernández Cava (Caín),]. Carlos Hernández Sánchez (Orceman), Máximo Hierro Madrid (Max Hierro), Aureliano ]iménez Romero (Aure) , Fernando Krahn, Ricardo Liniers Siri (Liniers), Rodolfo López Franco (Rodolfo), Noelia López Sierra (Node), Pablo Rodríguez]iménez- Bravo (Pan), Máximo San]uan Arranz, María Inés Márquez Rodríguez, Luis Balbuena,]osé Manuel Puebla Ros (Puebla), Germán Michelena Vizuete, juan Ramón Mora,joseba Morales, juan Antonio Moreno Cabrera (McFly),josé Luis Padilla Morilla (Padylla), Eduardo Pelegrín Martínez de Pisón (Calpurnio), Adriana Mosquera Soto (Nani),joaquim Paneque Figuerola (Quim), ÁIvaro Saez Peña,josé María Pérez González (Peridis), Enrique Pérez Penedo (Enrique), Francisco Periago (Xim),joan Antoni Poch Goicochea (JAP), Antonio Postigo Ovejero (Postigo), Melchor A. Prats González (Mel), Ángel Rodríguez Idígoras y Francisco Javier Rodríguez Idígoras (Idígoras y Pachi), José Ángel Rodríguez López (Gogue),
Alejandro Romero Reche (Romero), Carlos Romeu (Romeu), Francesc Rovirajarque, Antonio Sabín Anca (Tonisavski), Carlos Sacristán Salarrullana (Tris), Armando Salas (Salas), Mikel Santos Martín (Belatz),]ordi Sierra i Fabra, Andrés Soria Moreno, Guillermo Soria Ortega,josep Antoni Tassies, josé Antonio Vaca Cerezo (Toño), Rafael Vega (Sansón),josé Luis Vilar Leonés.
© de esta edición: Editorial GRAÓ, de IRIF, S.L.
el Hurtado, 29. 08022 Barcelona www.grao.com l.' edición: octubre 2011
ISBN:
97~49980-360-9
D.L.: 8-33.081-2011
Diseño de la colección: Maria Tortajada Carenys Impresión: Imprimeix
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Indice Presentación l.
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Matemáticas. cultura
y humor gráfico
«iEso es lógico!». Racionalismo
13
14
17
«Tengo la mente cuadriculada». Objetismo «Si lo dicen las mates ... ». Control
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«Esto se resuelve con matemáticas. Seguramente». Progreso «Dos y dos son cuatro», Apertura
25
28
«Las matemáticas no son lo mío», Misterio
2.
Matemáticas para vivir. matemáticas para reír
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«Las matemáticas son de pensarl>. Pensar y razonar «iElemental. querido Watson!». Argumentar y justificar
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37
40
«Un danding es un kambón", », Comunicar «El hombre de Vitruvio», Modelizar
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42
«¿Por qué se suicidó el libro de matemáticas?». Plantear y resolver problemas «El medio es el mensaje». Representar
3.
46
«iMatematracas!», Utilizar lenguaje y símbolos. fórmulas y operaciones
49
«iTIC-TAC,TIC-TAC!», Emplear herramientas y soportes tecnológicos
52
Los conceptos matemáticos pueden ser objeto de humor «Abra cadabra. pata de cabra», Fórmulas «Rodeados de formas», Geometría
44
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59
61
«iNo hay noticia que se precie sin su gráfica!» «Yo tengo más, Pues yo tengo .. , iinfinitos!»
64
66
s
«El tamaño sí cuenta». Magnitudes
68
«¡Un seis y un cuatro, aquí tienes tu retrato!». Números «Creced y multiplicaos». Operaciones
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73
«¡Hay afirmaciones ciertas, falsas y estadísticos!»
77
«¡Pues tú eres el doble! ... ¡Pues tú el quíntuple!. .. Pues ... ¡anda que tú!». Proporcionalidad «Si no se le entiende. .. ¡es matemático!»
4.
Símbolos matemáticos en los chistes
81
85
«El ocho es un cero con cinturón». Cifras y acotaciones «¡Llamémosle equis!»
89
«Cuarto y mitad de chistes fraccionarios» «- x -
5.
91
= +». Operaciones y signos matemáticos
Las «mates» en la escuela
9]
97
«El temible (ya veces odiado) profesor de matemáticos» Las matemáticas escolares
6.
86
99
10]
«¡Es que pinta usted unas cosas ... !». Los chistes sugieren matemáticas
109
La suerte del azar
«Nuestro amor, ¿es infinito?». Situaciones que sugieren el infinito Deformaciones elásticas. Razonamientos topológicos
11]
Las matemáticas son bellas. Regularidades y abusos matemáticos
Epílogo. A reír tocan
1 17
Información complementaria Referencias bibliográficas Bibliografía web
6
1]2
129
121
111
115
107
79
Presentación
La OCDE ha creado el término «alfabetización matemática»
para lla-
marnos la atención sobre la necesidad de que todos los ciudadanos dispongan de una serie de destrezas matemáticas para actuar de manera responsable en la sociedad. Al igual que estar «literalmente alfabetizado» significa conocer las letras y saber leer, pero sobre todo saber interpretar lo leído, lo que reclama la OCDE es que los ciudadanos tienen que conocer los conceptos matemáticos, pero sobre todo, saber aplicarlos para vivir en sociedad; es lo que llama ser matemáticamente competente. En este libro partimos de esa premisa y queremos ir más allá, mostrar que hay que ser matemáticamente competente para entender el humor gráfico de los medios de comunicación, es decir, matemáticamente competentes para reír.
y
es que la matemática tiene una función social y cultural, tal como des-
tacan numerosos autores, aunque su interpretación y difusión no ha sido todo lo amplia que merecía. ' La OCDE (2005) le da a esta consideración una importancia general, y los recientes decretos de mínimos en la educación primaria y secundaria (MEe, 2006a y 2006b) se hacen eco de ello.
Una de las formas de mostrar el papel social y cultural de las matemáticas consiste en observar cómo se hacen necesarias para desenvolverse
I.Véase Bishop (1994), D'Ambrosio (1980). Davis y Hersh (1989) Y Skovsmose (1994), preferentemente.
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en el entorno. A este menester se han dedicado numerosos artículos y libros, pero su difusión se restringe a los especialistas.
También podemos observar cómo se utilizan las matemáticas en el entorno
f~ándonos
en cómo aparecen en los medios de comunicación.
Los peIiódicos recogen noticias, publicidad, opiniones, etc., que reflejan acciones de los ciudadanos. U na de las secciones más llamativas y universales es la dedicada al humor, con viñetas humorísticas. En la mayoría de los periódicos las encontramos en la sección de opinión, ya que los humoristas son periodistas que emplean la expresión gráfica y literal para darnos una visión de los acontecimientos cotidianos. Reflejan por tanto las preocupaciones de la sociedad, tratándolas de una manera evocadora, ridícula, exagerada a veces. En este libro recogemos algunas de las múltiples viñetas humorísticas de los periódicos, que emplean matemáticas; con ello apreciamos que las matemáticas tienen un papel importante en la sociedad, tanto para comunicar ideas como para resolver situaciones que se reflejan en el humor gráfico.
El libro está destinado preferentemente a los profesionales de las matemáticas y de la educación matemática; profesores 2 de matemáticas de cualquier nivel educativo, estudiosos de didáctica de las matemáticas. Pero también está destinado a los demás componentes de la comunidad educadora, administradores, padres y los propios niños, que pue-
2. Siguiendo las indicaCiones de la Nuevo Gramótico de lo Lengua Españolo (RAE, 2009), usamos «en plural los sustantivos masculinos de persona para deSignar todos los individuos de la clase o el grupo que se menCionen, sean varones o mUJeres» (p. 85).
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den disfrutar de historietas humorísticas y atisbar algunos de los importantes papeles que desempeñan las matemáticas en la sociedad.
El libro se
compone de una serie de historietas gráficas, clasificadas
según la función que la matemática desempeña en ellas, con lo que nos dan pie para mostrar el papel social de las matemáticas, los requisitos que necesitamos para ser matemáticamente competentes para entender el mensaje humorístico ... para reír.
A lo largo de los últimos ocho años hemos recogido más de 5.000 historietas gráficas humorísticas que están relacionadas con las matemáticas, analizando el papel que la matemática desempeñan en ellas, tanto en el lado humorístico como en el propio lenguaje gráfico. Para este libro nos hemos centrado en humoristas que aparecen en periódicos y revistas editados en español, mayoritariamente en España, cuyas viñetas reflejan su visión de los acontecimientos recientes. Para evitar que estos acontecimientos estén lejos en el tiempo y se pierda la calidad de sus aportes, hemos seleccionado mayoritariamente viñetas aparecidas en el año 2008, agrupadas usando dimensiones que venimos empleando en otros estudios (véase Flores, 2003 y 2006a, b, e y el).
El libro se compone de seis capítulos y un epílogo. Comenzamos presentando el papel cultural de las matemáticas en la sociedad y cómo éste se refleja en el humor gráfico. El papel cultural repercute y se ve influenciado por la ideología, que hemos estudiado en Moreno (2004) y que resume como primera dimensión y primer capítulo (p. 13).
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Los siguientes capítulos reflejan el papel que las matemáticas tienen en el mensaje humorístico. Muchas historietas muestran de manera fehaciente el papel funcional de las matemáticas, retratando situaciones en las que se afrontan y resuelven problemas y situaciones del medio social. Cuando los humoristas presentan estas situaciones ejemplifican competencias matemáticas que requieren los ciudadanos para comprenderlas y resolverlas, o bien ponen en juego sus propias competencias matemáticas para transmitir sus análisis de la realidad. Los ciudadanos debemos ser matemáticamente competentes para entender estos pequeños ensayos que son los chistes gráficos. En el capítulo 2 (p. 31) clasificamos los chistes utilizando las componentes de la competencia matemática que emplea e! conocido estudio PISA de la OCDE: pensar y razonar, argumentar, comunicar, modelizar, plantear y resolver problemas, representar, utilizar lenguaje simbólico, fórmulas y términos, y emplear soportes y herramientas tecnológicos.
En otros casos los propios conceptos, nombres y objetos matemáticos tienen una difusión social tan amplia que los humoristas aluden a ellos para hacer humor. Estos chistes se agrupan en e! capítulo 3 (p. 57), que hemos organizado clasificándolos según los contenidos matemáticos que tratan (números, álgebra y funciones, geometría, medida, estadística y azar, ete.).
Sin aludir explícitamente a los objetos matemáticos, muchas historietas humonsticas emplean elementos del lenguaje matemático para hacer humor. Estas viñetas forman e! capítulo 4 (p. 85), en el que agrupamos los chistes según los símbolos usados y el pape! que le hacen desempeñar.
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Nadie duda que las matemáticas sean llamativas en el ámbito escolar, prueba de ello es la cantidad de viñetas humorísticas sobre la enseñanza en las que aparecen las matemáticas escolares. Hacen alusión a diversos mensajes como su dificultad, la cantidad de suspensos, el papel en el fracaso escolar, el rendimiento en matemáticas como indicador de inteligencia, etc. Las historietas nos han permitido observar algunos tópicos sociales respecto al papel que desempeñan las matemáticas en la escuela, que recogemos en el capítulo 5 (p. 97). Una última categoría de historietas que ha despertado nuestra atención es la de aquellas que realizan razonamientos que tienen similitud con los que se hacen en matemáticas, que agrupamos en el capítulo 6 (p. 107). Esta categoría es menos evidente para profanos, pero no por ello menos interesante. Cerramos con un breve epílogo y completamos datos para los interesados en el apartado "Información complementaria» (p. 121)/ donde se recoge una ampliación de los contenidos del libro que, por su extensión, no aparecen a pie de página.
3. El cierre del libro ha coincidido con la apariCión en las librerías de un texto que consideramos próximo. José Del Río, profesor de matemáticas salmantino, ha recogido en su obra También los novelistas saben matemáticos muchas apariciones de las matemáticas en textos narrativos de la literatura universal.
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I Matemáticas, cultura y humor gráfico La cultura se define por los valores que la caracterizan. En este capítulo mostraremos los valores de la cultura occidental [1] 4 que impregnan las matemáticas, vistos a través de las viñetas de los humoristas. Valores como racionalismo, construcción de objetos, control, progreso, apertura y miste-
rio, que son inherentes a la cultura matemática. 5
las matemáticas establecen conexiones lógicas entre ideas que de otra forma pueden estar desconectadas o conectadas de manera incongruente. Desarrollan un planteamiento racionalista del mundo. Por otro lado, y como complemento, las matemáticas proponen una visión del mundo dominada por objetos e imágenes materiales. Llamaremos a este valor: construcción de objetos, nbjetismo [2].
La búsqueda del conocimiento y las explicaciones de los fenómenos naturales, humanos y sociales, están asociadas con el deseo de predecir. La capacidad de predicción es un valor apreciado en esta ciencia y en la cultura occidental. Las matemáticas aparecen por tanto como un instrumento para el control del entorno. Este valor atribuido a las matemáticas no impide que al mismo tiempo supongan progreso porque permiten la exploración de alternativas [3].
4. Recordamos que los números entre corchetes indican notas en el apartado «Información complementaria» (pp. 121 Y ss.). S. El trabajO de Bishop (1999) nos sirve de punto de partida para el estudio de los valores aportados por las matemáticas. Este autor distingue tres componentes culturales: ideología, sentimiento y SOCiología. Asociados con estos componentes Identifica seis conjuntos diferentes de ideales y valores formando pares complementarios.
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En general, las verdades, las proposiciones y las ideas matemáticas están abiertas al examen de cualquier persona. En este sentido consideramos el valor de apertura de las matemáticas. Pero a su vez, la abstracción matemática choca con la intuición de la percepción natural y consecuentemente las matemáticas tienen poco significado para la mayoría de las personas. Esto implica un sentimiento de misterio como pocas disciplinas tienen [4].
En las siguientes páginas observaremos cómo los humoristas reflejan estos valores en sus viñetas. «¡Eso es lógico!». Racionalismo
«¡Eso es lógico!». Pocas expresiones habituales son tan breves y categóricas. La empleamos para asentir las afinnaciones de nuestro interlocutor y para reafinnar la veracidad de las nuestras. Las matemáticas despiertan esta afinnación y por eso se las define como racionalistas. Se caracterizan por desechar la inconsistencia en la argumentación. Centran su actividad en criterios lógicos y coherentes.
La contribución de esta ciencia al desarrollo social es tan reconocida que la misma sociedad se ha contagiado de este carácter racionalista. Los debates se establecen como combates de lógica donde las argumentaciones se llevan a cabo sobre ideas, sobre «abstracciones» separadas de las personas y los objetos, donde vence quien consigue completar un esquema racional, una estructura «lógica».
La viñeta 1 de Santy ejemplifica cómo el uso de las matemáticas sirve para fraguar una conexión lógica entre dos ideas que hasta ese momento permanecían desconectadas. El lenguaje «
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iniciar un debate. El aumento de la media de unas calificaciones aparece como
<~ustificación
ló-
gica» para argumentar la mayor inteligencia del hijO.6
Las matemáticas trabajan esencialmente sobre abstracciones y la demostración es la forma de explicación matemática. La belleza de teorizar, de conseguir una demostración consistente es innegable y además atractiva. La viñeta 2 manifiesta la belleza de la abstracción para resaltar lo poco que se lee en proporción a lo que se edita. Lo explica Mauro Entrialgo en Público, utilizando la notación de conjuntos. Es decir, argumenta utilizando una lógica consistente (la teoría de conjuntos) y apelando a la belleza, a la plasticidad de la representación de esa abstracción.
6. Otro eJemplo podemos verlo en la viñeta 15 (p. 38) de Mel, en la que un niño intenta librarse de una reprimenda por una travesura en la playa empleando una argumentación científica que requiere matemáticas. 7. Las viñetas 67 (p. 94) de Toño y 68 (p. 95) de Postigo utilizan el signo «=» para construir su visión sobre la l-ealidad de la igualdad de género.
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«Tengo la mente cuadriculada». Objetismo Las sociedades industriales, complejas, están en continua evolución. Todo lo relacionado con lo humano ya no es previsible ni ordenado. Sin embargo, en las cosas inanimadas es más fácil encontrar el orden y la simplicidad perdida. En esto consiste el objetismo o la creación de objetos, que se realiza en matemáticas. Una visión del mundo dominada por imágenes de objetos materiales.
El racionalismo se ocupaba de teorías separadas de las personas que las crean y el objetismo se ocupa de objetos inanimados. Las abstracciones se convierten en objetos y en matemáticas se tratan como si fueran objetos. Por tanto puede afirmarse que las matemáticas defienden una visión de la realidad más objetiva que subjetiva.
Un ejemplo de cómo construimos objetos para el análisis y explicación de abstracciones lo encontramos en la viñeta 3 de Andrés Soria. La circunferencia está formada por puntos que representan distintas ideologías. Cada uno de estos puntos debería situarse a la misma distancia del centro. Para el autor, aunque el político afirma estar en el centro, no está a la misma distancia de todos los puntos. Es decir, ha utilizado un objeto matemático, el centro de una circunferencia, para representar y reflexionar sobre el significado de «centro político».
El humorista Pareja construye en la viñeta 4 directamente un objeto simbólico, la balanza, representativa del equilibrio y justicia. Cuando representa a la ley electoral aparece desequilibrada.
Las matemáticas poseen un fuerte instrumento para la objetivación: la representación simbólica. El conjunto de representaciones simbólicas aprendidas en la vida escolar nos proporciona una realidad «concreta» para analizar. 7
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Viñeta 3
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Viñeta 4
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«Si lo dicen las mates ... }). Control ¿Quién no se ha sentido incómodo ante una situación cuya evolución es impredecible? El caos, la inseguridad, la inestabilidad nos produce desasosiego. Sin embargo, el conocimiento de las situaciones, la información, nos genera tranquilidad porque nos permite predecir.
Las matemáticas nos suministran instrumentos para controlar el entorno. El deseo de predecir nos lleva a buscar el conocimiento y la explicación de fenómenos naturales, humanos y sociales. La capacidad de predicción es un conocimiento poderoso. A todos nos parece importante el valor de controlar una situación y nos produce desazón la incertidumbre de no poder predecir, por ejemplo, un terremoto.
Los humoristas han empleado conocimientos matemáticos para predecir o explicar el comportamiento humano y social. Emplean las matemáticas para encontrar explicaciones racionalmente aceptables (viñeta 2, p. 15).8
Los humoristas crean sus viñetas para poner de manifiesto que hay situaciones que ni las matemáticas son capaces de resolver, pese a la sensación de control que tienen en nuestro imaginario. Máximo, en una historieta publicada en El País, utiliza una expresión algebraica para explicar el problema de Palestina, introduciendo como variables «territorios semiocupados», «asentamientos proliferados» y «localizaciones dispersadas». El resultado del cálculo con estas variables es, para Máximo, un «imposible ciempiés cojo».
8. En un sentido de denunCia, los personajes de la Viñeta de Michelena y Villar (viñeta 21, p. 43) intentan «tranquilizarnos» sobre algunas Inquietantes resolUCiones judiciales con la sensación de control que aportan las matemáticas.
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Caín, en la viii.eta 5, aparecida en La Razón, recurre a la estadística para realzar un falso control de la situación social: la pena de muerte no resuelve el problema de la delincuencia.
El personaje que dibuja Aguilcra en El Faro de Vigo (viii.eta 6), utiliza una representación gráfica para tomar una decisión que a la vista de la predicción matemática parece «incontestable». Éste es un maravilloso ejemplo de cómo los chistes recurren a despertar emociones placenteras a través de formas de presentaciones sutiles de un contenido que sin duda no lo es.
Viñeta 5
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Viñeta 6
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«Esto se resuelve con matemáticas. Seguramente». Progreso
La sensación de que las matemáticas nos sacan de la ignorancia sobre determinados fenómenos ha favorecido su desarrollo. En nuestra cultura está asentada la idea de que las matemáticas permiten abordar problemas desconocidos y buscar la manera de resolverlos.
Un aspecto del valor cultural de las matemáticas surge cuando desaparece el aparente control. Cuando un estudiante, que sabe que el resultado de multiplicar dos números naturales es mayor que cualquiera de los factores, se enfrenta a una multiplicación con números decimales menores que uno en los que observa que el resultado es inferior a los factores, necesita del profesor para que, mostrándole los nuevos conocimientos, ponga orden en ese aparente caos. Este desafío también lo aceptan los humoristas aunque de modo irónico. 9
Como consecuencia de esta sensación de progreso aparece el reconocimiento y la apreciación de alternativas. Aunque las ideas matemáticas aportan control y seguridad, están abiertas al cambio y desarrollo como cualquier otra idea. Esto es, no obstante, más aceptado por los matemáticos que por el conjunto de los ciudadanos.
9. Así. por ejemplo, en la Viñeta de Belatz en Lo Kodorniz (viñeta 19, p. 41) la situación de Insegundad de la denta se provoca por la confrontación entre el deseo del objeto y su alto precIo. Una engañosa opel-ación matemática le devuelve la tranquilidad y la seguridad por una equivocada comparación de cantidades. En la viñeta se utiliza una simple división para poner de manifresto nuestra incultura como consumidores.
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Quizás por ello los humoristas utilizan las matemáticas en sus viñetas para incorporar el potencial control que ofrecen más que el valor de progreso. En este sentido resulta interesante la viñeta de Ramón (viñeta 7). Un modelo matemático permite controlar la inflación, su representación por medio de una gráfica permite a los personajes apreciar que la inflación ha bajado porque no se compra. Pero ante la falta de poder adquisitivo y la incertidumbre sobre el futuro, ni las matemáticas les proporcionan confianza para comprar. Los personajes de alguna forma presentan objeciones al modelo matemático presentado.
Viñeta 7
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Romeu, en El País del 28 de julio de 2008, utiliza los razonamientos matemáticos para expresar el sentimiento de progreso, la capacidad de comprender que aportan las matemáticas, indicando que el precio del barril del petróleo llegará a 500 USD, y ¡como no acompailen la paridad del euro y los sueldos ... ! (viñeta 8).
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«Dos y dos son cuatro».Apertura Las verdades, las proposiciones y las ideas matemáticas, en general, están abiertas a cualquier persona. Es una parte de nuestra cultura que se ocupa de unos principios que se pueden comprobar.
¿Quién se atreve a refutar una afirmación matemática? Existe la creencia de que las matemáticas no están sometidas a opiniones. Las matemáticas se articulan en torno a proposiciones y teoremas que se pueden demostrar y por tanto sus principios son verdaderos y están abiertos a cualquiera que desee comprobarlos.
Algunas viñetas ponen de manifiesto que las verdades matemáticas están abiertas a todos y pertenecen a todos, se comparten.
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La formalización hace que un teorema o un algoritmo deje de estar implícito y oculto y pase a ser compartido y, por tanto, aceptado. De este modo las matemáticas se convierten en una materia compartida y, en consecuencia, abierta a la crítica y al análisis. Un conjunto de axiomas abierto y compartido, al igual que un teorema, hace las veces de una constitución en un Estado o de los estatutos en una asociación. Son principios compartidos por los miembros de la sociedad o la asociación y están abiertos a la crítica. Al ser el conocimiento matemático abierto e impersonal se refuerzan y estimulan los sentimientos de democracia y de liberación de nuestras sociedades.
! O. Uno de los personajes de Michelena y Villar de la viñeta 21 (p. 43), por ejemplo, a~rma que «el caso Malaya nos demuestra que en Justicia los años de cárcel son Inversamente proporcionales al dinero robado». El gesto de quien lo dice, al lado de una pizarra llena de ecuaciones matemáti-
cas parece decir al otro personaje: «compruébalo tú mismo».
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La viñeta 9 de Nando alude al hecho de que en mate máticas hay verdades que tomamos como incuestionables porque han estado abiertas al análisis y demostración de quien se quiera acercar a ellas. De ahí que «dos y dos son cuatro» se presenta como verdad independiente y con ironía se pregunta si en otro idioma será algo distinto, para aludir al debate sobre «educación para la ciudadanía» en la Comunidad Valenciana.
Idígoras y Pachi, en El Mundo, muestran al presidente Aznar haciendo cálculos para expresar los presupuestos generales del Estado. Argumenta que las matemáticas son una ciencia exacta, pero corrige y dice que lo son «aproximadamente », cuando el entonces president Pujol extiende la mano en situación de pedir (viñeta 10). Aquí queda patente también que las matemáticas tienen la consideración de infalibles, asimilado a exactas, en nuestra cultura. El término «aproximadamente» es lo que provoca la contradicción en el lector generando la risa [5]. Viñeta 9
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Viñeta 10
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«Las matemáticas no son lo mío». Misterio
Pocas asignaturas escolares parecen más opacas y generan mayor sensación de ignorancia que las matemáticas. Esta sensación de misterio que se asocia a esta materia es compartida por muchas personas. Tantas que no se tiene pudor al afirmar que «las matemáticas nunca han sido mi fuerte» o «yo siempre suspendía matemáticas».
La presentación de los teoremas y principios matemáticos de forma despersonalizada ha contribuido aún más al desconocimiento del matemático. Conocemos el Teorema de Tales pero conocemos muy poco de la persona que lo enunció. Si antes decíamos que las matemáticas constituyen una rama del conocimiento abierta a cualquier persona, la realidad es que el trabajo del matemático sólo es inteligible para pequeños grupos de especialistas.
La viñeta 11 de Mirarte es un buen ejemplo que ilustra esta idea. Por un lado se emplea el recurso de las matemáticas como forma de buscar una explicación a un problema inesperado: la posibilidad de que Osasuna baje a segunda división. Al Bamar «aficionado» a Einstein se ironiza sobre el hecho de que sólo un matemático es capaz de descifrar y explicar esta «compleja» situación.
La viñeta 12 de Cebrián también ilustra la idea de que el conocimiento matemático está asociado a cocientes de inteligencia no habituales (un tópico, naturalmente). Cuando el maestro
b~a
su cociente de inteligencia salen de su cerebro, entre otras cosas, conceptos de matemáticas.
Los números naturales, las formas geométricas y algunas ideas matemáticas como medir o localizar son fáciles de comprender; por el contrario, la mayoría de los conceptos matemáticos son de
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difícil comprensión. A medida que las matemáticas se han ido desarrollando, ha aumentado su grado de abstracción, su dificultad de comprensión, y por tanto su misterio. 11
Sin embargo, hay que reconocer que las explicaciones aportadas por la ciencia han sustituido a las relacionadas con fuerzas sobrenaturales y leyendas. Esto significa que de alguna manera hemos sustituido un tipo de misterio por otro. Viñeta 11
Viñeta 12
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l. La viñeta 40 (p. 67) de KlanKlon permite Ilustrar eSTa afirmación. En el Id ~e presenta un diálogo sobre el concepto de infinito. La conversación terrrina con una frase qLe pone de manifiesto la difcultad de comprender este conceDto: «Irfin:to según el sistema a boleo internacional de medidas». i
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2 Matemáticas para vivir, matemáticas para reír Cada «dos por tres» se nos muestra que las matemáticas son necesarias, que no podemos vivir en el mundo actual sin emplear, en alguna forma, conceptos matemáticos. Con esta «regla de tres» no es de extrañar que los humoristas presenten situaciones en las que se utilizan las matemáticas, cuyos chistes representan todo un repertorio de estas situaciones.
D e las diversas formas en que las matemáticas aparecen en el humor diario una dimensión importante es la que muestra su utilidad para resolver problemas. En muchas historietas se ponen de manifiesto situaciones en que los conceptos matemáticos ayudan a resolver problemas del entorno. Los números para afrontar problemas de recuento, de medida; la proporcionalidad como una relación y modelo en numerosas situaciones, que requieren la famosa «regla de tres»; los gráficos y las medidas estadísticas para resumir y transmitir información son algunos conceptos que aparecen en los chistes porque la sociedad los necesita. A estos chistes y situaciones nos referimos en este capítulo. Para organizarlos aludimos a las competencias matemáticas, un término muy actual. Las competencias requieren de alguien (personaJes, lector, autor) con capacidad y disposición para resolver los problemas (matemáticos) del entorno (o los problemas del entorno, empleando matemáticas).
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La crisis económica internacional que vivimos en este momento ha llenado los periódicos de noticias, de informaciones y de opiniones. Ha sido muy comentado el desliz de una famosa novelista, comentarista de un destacado periódico nacional, quien al dividir millones de euros entre millones de personas, obtenía ... millones de euros por persona. Al día siguiente aparecía una carta al director disculpándose de su error de cálculo, y explicando que «las matemáticas siempre se le han dado maJ". Se declaraba, sin decirlo, una incompetente en matemáticas. Aunque los cálculos que hacía eran erróneos, la noticia reflejaba que los gastos que se han emprendido para subsanar los errores bancarios son descomunales. No ocurre lo mismo con los fondos destinados a la crisis alimen ticia, tal como seii.ala Dávila (2008), l~ quien calcula que con el fondo destinado a la ayuda a la crisis alimentaria los pobres del planeta tocan a ¡¡un donuts!! por cabeza. Este humorista ha hecho correctamente la división, eligiendo una noticia digna de «hacer cuentas», ha estimado el resultado, ha buscado un referente para darle realce a su argumento (el dinero destinado al gasto alimentario es insuficiente para la cantidad de personas que pasan hambre). En otras palabras, el humorista es «matemáticamente competente».
Los decretos actuales de enseñanza señalan que el fin de ésta es hacer que los alumnos sean competentes, y una de las competencias que tienen que desarrollar es la competencia matemática. El Real Decreto (MEe, 2006b) dice que la competencia matemática: [ ... ] consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información como para amPliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral. (Véase el cuadro 1.)
12. Dávila, en El Foro de Vigo del 30 de mayo de 2008, pone de maninesto en una historieta que SI se destinan 733 millones de euros a la crisis alimentaria y hay 850 millones de personas que pasan hambre, tocan a noventa céntimos por cabeza (vamos, ipara un donuts ').
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Cuadro l. Competencia matemática
• Producir e interpretar • Números. • Operacio nes.
información. ~
• Símbolos. • Formas de expresión. • Razonamiento matemático.
• Ampliar conocimiento sobre realidad. • Resolver problemas cotidianos
y laborales.
Los humoristas nos ayudan a aclarar la idea de competencia matemática. Frato (Francesco Tonucci, 1983), genial pedagogo cuyos libros son antologías de viñetas, muestra en una historieta a un niño camino de la escuela haciendo balance de sus conocimientos «<Sé saltar, jugar a cartas, comprar, construir cometas ... »). A1llegar a la escuela le preguntan si sabe qué es un sumando, y el niño cae aplastado (el globo de las palabras del profesor le cae como un mazo), por el desconcierto entre lo que sabe «<sé hacer cosas ... »), y 10 que le están exigiendo o enseñando «
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competente en la compra debe tener unos conocimientos (valor del dinero, valor real de los productos, dominar operaciones matemáticas básicas, etc.) , unas destrezas (realizar una previsión de lo que necesita y de su liquidez, saber calcular precios y vueltas, formar las cantidades con el dinero, etc.), y saber hasta qué punto llega su competencia como comprador (realizando las compras que estén a su alcance, no lanzándose a cambios o compras que no puede controlar). Analizando estas componentes podemos comprender la importancia de todos los elementos en conjunto, y con ello percibir la competencia con sus tres componentes: conocimiento, destreza y actitud de aplicar conocimiento a las destrezas, metacognición.
El humor gráfico
nos muestra que los humoristas son competentes, matemáticamente compe-
tentes (especialmente para reír), pero también para denunciar o presentar situaciones matemáticas del entorno. ¿Somos los lectores competentes para comprender el mensaje de los chistes, para reír, para vivir?
Vamos a presentar una serie de historietas que reflejan situaciones en las que se pone de manifiesto competencia o incompetencia matemática. Las hemos clasificado empleando las competencias que el informe PISA (OCDE, 2005) ha establecido que caracterizan a la competencia matemática:
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o
Pensar y razonar.
o
Argumentar y justificar.
o
Comunicar.
o
Modelizar.
o
Plantear y resolver problemas.
o
Represen taro
o
Utilizar lenguaje y símbolos, fórmulas y operaciones.
o
Emplear soportes y herramientas tecnológicos.
«Las matemáticas son de pensar». Pensar y razonar Eso dice mucha gente cuando se refieren a ellas: «Las matemáticas son de pensar». Con ello están aludiendo a que en matemáticas no basta con memorizar, sino que hay que comprender los conceptos para aplicarlos a nuevas situaciones, a problemas que no pueden automatizarse. Como veremos en los chistes, el acto de pensar está presente en muchas situaciones que implican matemáticas [7].
En el informe PISA (OCDE, 2005; Rico, 2005), se relaciona la competencia de pensar y razonar con las capacidades de: • Plantear cuestiones propias de las matemáticas (cuántos hay; cómo encontrarlo; si es así, entonces ... ). • Conocer los tipos de respuestas que dan las matemáticas a estas cuestiones. • Distinguir entre tipos de enunciados (definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos, etc.). • Entender y utilizar conceptos matemáticos.
En diversas historietas humorísticas encontramos personajes que disponen de estas capacidades. Ramón (viñeta 13) retrata en la edición del Ideal de Granada del 22 de febrero del 2008 a ciudadanos que emplean la proporcionalidad para interpretaciones políticas.
Mauro Entrialgo (viñeta 14), en la edición de Público del 23 de enero de 2008, muestra abusos estadísticos que se cometen en las encuestas, utilizando incluso a ciudadanos que razonan y son reacios a participar.
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Viñeta 13
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Viñeta 14
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«¡Elemental, querido Watson!».Argumentar y justificar Cinco de cada diez matemáticos están de acuerdo en que son la mitad de diez.
Desde la época griega, los argumentos forman parte de los razonamientos para obtener propiedades y teoremas matemáticos. Los Elementos de Euclides son un modelo de argumentación geométrica que ha servido durante mucho tiempo como paradigma de argumentación. Desde entonces, la relación ente la lógica y las matemáticas ha sido muy estrecha.
Los humoristas reflejan esta faceta argumentativa y lógica de las matemáticas [8]. Sin embargo, como dice Perich en A utopista (1970), no toda la matemática es tan lógica: «El área del cuadrado es igual alIado al cuadrado. En cambio, el área del triángulo no es el lado al triángulo. ¡Para que luego digan que las matemáticas son lógicas!».
Se considera que alcanza la competencia en argumentar y justificar quien desarrolla las siguientes capacidades (OCDE, 2005; Rico, 2005): • Conocer lo que son las pruebas y demostraciones matemáticas y cómo se diferencian de otros razonamientos. • Seguir y valorar cadenas de argumentos matemáticos. • Disponer de sentido para la heurística (qué puede ocurrir y por qué). • Crear y expresar argumentos matemáticos.
En relación con estas capacidades podemos ver ejemplos en los chistes gráficos. Mel en El Diario de Cádiz y http://elchistedemel.blogspot.com (viñeta 15), presenta a unos niños que siguen una cadena de argumentos matemáticos y físicos para justificar su desaguisado.
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En la edición de Diario Información de Alicante del 14 de septiembre del 2008, los telespectadores de McFly (viñeta 16) crean y expresan un argumento matemático basado en la proporcionalidad para hacer una lectura crítica de la actualidad política.
Martín A. Favelis (viñeta 17) desarrolla un argumento matemático para poner de manifiesto inconsistencias en la interpretación del número que se utiliza en occidente para representar el año y e! origen de medida de! tiempo.
Viñeta 15
Viñeta 16
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Viñeta 17
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«Un danding es un kambón ... }}. Comunicar «Un danding es un kambón si cada trotick del calamento sólo tiene un ploud, por ejemplo, el danding que danda cada número en su lume mínimo tombaje es un kambón.» De esta forma mostraba Orton (1990) la dificultad de entender el enunciado de un teorema para todos los que no comprenden los términos matemáticos, los cuales ha cambiado en esta frase por palabras sin sentido.
Los profesores no solemos tener mucho éxito con nuestra comunicación matemática, a los alumnos le suena a chino. Comunicar el mensaje matemático, expresarlo con precisión y sencillez, es uno de nuestros mayores retos. Pero además tenemos que lograr que ellos también se expresen adecuadamente.
Sydney Harris, en su colección de chistes científicos muestra ejemplos de las características, a veces ridículas, de la comunicación entre matemáticos [9].
Rico (2005), indica que la competencia de comunicar matemáticas está relacionada con las capacidades para: • Expresar de manera oral y escrita las matemáticas. • Comprender e interpretar los enunciados orales o escritos de otras personas.
La comunicación matemática se aprecia en las viñetas cuando los humoristas emplean formas diversas de representar los conceptos con intención de reforzar sus mensajes. Martín A. Favelis coloca las letras y palabras de una frase haciendo una forma que realza el guarismo 2, mientras alude a la mitad (viñeta 18).
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Pero también se pone de manifiesto cuando utilizan un ardid matemático para lograr sus fines. Belatz (viii.eta 19) muestra en La Kodorniz (23 de octubre del 2008, pero también en ADN, de Navarra) la manipulación que hace el marketing, en el que personajes hábiles al comunicar datos numéricos llegan a confundir a otros que no lo son tanto.
«
¡Aquí alguien está engañando a al-
guien!», como diría Gila. Viñeta 18
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«El hombre de Vitruvio». Modelizar Para estudiar problemas complejos, como cuáles son las proporciones más estéticas entre las partes del cuerpo, los matemáticos buscan o inventan modelos, a costa de simplificar algunas cualidades. Leonardo da Vinci estableció un modelo de estética de proporciones entre ciertas dimensiones del cuerpo, que resumió en «El hombre de Vitruvio».
Si los modelos se pueden aplicar a muchos y variados problemas, estarán en camino de convertirse en teorías matemáticas. Por tanto la creación de modelos, la modelización, es una de las actividades más interesantes de la actuación matemática.
Si bien es frecuente que los humoristas aludan a los modelos matemáticos más populares
[10],
también hay ejemplos de reflexiones sobre el proceso de modelización matemática. Bob Thaves (1924 y 2006), en la serie «Frank & Ernest» (www.frankandernest.com/comics/index.html:). identifica el modelo euclidiano como el que Dios utilizó para construir el mundo. En su historieta, cuando los ángeles se encontraban con dificultades, se quejaban y preguntaban a Dios si se podría emplear otro modelo.
P ara que los alumnos sean competentes para modelizar (Rico, 2005), deben reunir las siguientes capacidades: • Estructurar y analizar las situaciones y problemas . • Expresarlas en términos matemáticos. • Construir o usar modelos matemáticos para resolver problemas . • Interpretar los resultados en términos del problema. • Analizar y criticar ese modelo y sus resultados.
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Veamos algunos ejemplos de modelos.1 3 Viñeta 20
Gogue, en El Faro de
Vigo del 3 de noviembre
útANQUIlO QUE SACAA A MUEU SON SINCO MINUTOS NADA MAIS ....
~
del 2008 (viñeta 20), iro-
,
TJlESSENTOS EUROS POR SINCO MINUTOS be TltA'AU.O ...
1
niza sobre la pertinencia de aplicar en el caso del dentista el modelo de proporcionalidad entre el tiempo empleado y el precio de la consulta. Tranquilo que sacar la muela son sólo 5 minutos. / 300 eur-os por 5 minutos de trabajo ... / Pues dile que te la saque a cámar-a lenta.
Viñeta 21 fI. CASO MAU.YA NOS DEMUfSllL'A
QU~ EN .JUSTICIA LOS AROS OE ~ca.
SON INVeRSAMeNTe ~OPOQCIONALf:6 AL OINfQO roSAOO
Michelena yVillar (viñeta 21), en
La Opinión de Málaga del 3 de abril de 2008, se valen del modelo de la proporcionalidad inversa en el ámbito jurídico para expresar el desconcierto ciudadano. L
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I3.Tns (viñeta 88. p. I 16) lleva al extremo la regulación de velocidad. para extenderla
hasta
la veiocldad de lectu'a. El modelO de velocidad (y su limi-
tación) no es siempre válido.
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«¿Por qué se suicidó el libro de matemáticas?». Plantear y resolver problemas La competencia de plantear y resolver problemas es bien conocida en matemáticas. Recordemos que «el libro de matemáticas se suicidó por estar lleno de problemas». Parece que la relación entre problemas y matemáticas es evidente. Einstein, sin embargo, decía que «Dios no se preocupa de los problemas matemáticos. Integra todo
empÍricamente».'~
En el informe PISA (OCDE, 2005; Rico, 2005) se considera que esta competencia está relacionada con las siguientes capacidades: • Plantear, formular y definir diferentes tipos de problemas. • Resolver distintos tipos de problemas mediante diversas vías.
Las viñetas suelen presentar problemas, situaciones cotidianas que, para solucionarlas, requieren: analizar los datos, buscar relaciones para interpretarlos y relacionarlos con la solución buscada, planificar y ejecutar un plan y obtener la solución. Sin embargo, el término problema parece estar relacionado con la escuela, pues es en chistes escolares en los que más se utiliza la palabra. Presentamos ejemplos que muestran problemas lejos de la escuela, en situaciones concretas. Dusón (viii.eta 22) retrata en El Mundo del País Vasco del 3 de enero del 2008 al presidente resolviendo de manera falaz un problema económico.
14. Quesada. en El Faro de Vigo de 19 de enero del 2009 alude a los problemas matemáticos escolares clásicos: «Pepito, SI tengo 100 euros en el bol· sillo y me caen 50 ¿qué Tengo1 ... ¡Un agujero!». Numerosos chistes tratan los problemas, tanto los reales, los que todo el mundo tiene, como los que creamos los profesores de matemáticas a nuesTros alumnos. «¡Pobres l». como d¡rla Mafalda.
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Por el contrario, en El Faro de Vigo de diciembre de 2008 Luis Dávila (viñeta 23) muestra la utilidad de las matemáticas para resolver un problema: localizar un lugar en una espalda «amplia».
PARAE1. 2008 PROMereRt MESES DE QUINCE DíAS
Viñeta 23
~
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«El medio es el mensaje». Representar Las matemáticas tratan sobre conceptos abstractos que no podemos manejar directamente. Para aludir a ellos, para emplearlos y compartirlos, utilizamos representaciones. Por tanto representar e interpretar representaciones es una tarea fundamental en matemáticas. Las viñetas humorísticas han reflejado bien el papel que juegan las representaciones en la sociedad en general y en las matemáticas en particular. Valiéndose de la forma como René Magritte (1898-1967) distinguía entre una manzana y la mancha en el lienzo que representa una manzana (Ceci n 'est pas une pomme) , Elisabeth Marie, en Le Monde de l'Education allá por el año 2000 dibujaba una figura, pero nos advertía que «esto no es una esfera». Efectivamente, había dibujado una mancha en el papel que nos sugiere una forma circular, de la que algunos indicadores nos hacen pensar en que la autora ha querido representar una figura tridimensional con forma esférica. El concepto de esfera está lejos de coincidir con esta mancha, que, en el mejor de los casos, estaría representando una forma esférica. 15 Las formas son algo más que los dibujos, e incluso que los clásicos modelos en madera que se utilizan en la escuela para enseñar los poliedros y cuerpos redondos. Pero tampoco la ecuación algebraica es la esfera. Todo son representaciones del concepto de esfera.
La OCDE (2005) relaciona la competencia de representar con las siguientes capacidades: • Decodificar y codificar información . • Interpretar y distinguir tipos de representaciones de objetos matemáticos. • Interrelacionar las distintas representaciones . • Escoger y relacionar distintas formas de representación, según el fin de la situación.
15. También LUIs F. Sanz. en el año 2005, dibujaba en
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El País un cubo, pero nos advertía que «no es un cubQ».
Siempre que aparecen las matemáticas en los chistes es por medio de alguna de sus representaciones. Las cifras, los nombres de los elementos geométricos, las líneas que representan un polígono, los símbolos de operaciones o de conceptos, etc. son representaciones de estos conceptos. Una de las más importantes formas de representación en matemáticas es por medio de gráficas (tanto las representaciones geométricas curvas en los ejes coordenados como los gráficos estadísticos). Las gráficas son muy frecuentes en los chistes, especialmente en la época de crisis, en la que los humoristas tienen que aludir, criticar, reírse, ayudarnos a tomar distancia de los indicadores de crisis y de la forma en que se está abordando por parte de todos los agentes sociales. Un gráfico decreciente era indicador de que el chiste se refiere a la crisis. Ir,
Sin embargo, las representaciones van más allá de las gráficas. Una de las más importantes es la representación geométrica. Las figuras son representaciones de conceptos, no son el mismo concepto, tal como decía Magritte. Salas, en El Diario del Ferrol de 22 de junio de 2008 (viñeta 24), representa un movimiento en el plano para mostrarnos cómo percibe el giro al centro del PP. También son representaciones los iconos que nos rodean. El ciudadano tiene que ser competente para decodificarlos. Mel (viñeta 25), en El Diario de Cádiz del 23 de julio de 2008, alude a la temperatura del verano explotando la codificación que suponen las seIi.ales de tráfico.
16, Carlos representa en Lo Provmcio de Los Palmos (10 de enero de 2009) la gráfica del paro como una serpiente que ahoga al presidente del Gobiemo.
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Viñeta 24
Viñeta 25
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«¡Matematracas!». Utilizar lenguaje y símbolos, fórmulas y operaciones
¿Esoterismo o matemáticas? El lenguaje matemático es un mal necesario. Emplear lenguaje matemático en forma de símbolos, fórmulas y operaciones está ligado desde siempre a la idea de matemáticas que todos tenemos. El lenguaje matemático se erige en herramienta fundamental para el progreso de la ciencia. Sidney Harris presentaba en una viñeta clásica a un fraile operando con números romanos, para luego, en un alarde de dominio, pasar a realizar la misma operación en «la nueva matemática», que suponía emplear el sistema decimal de numeración. Si intentásemos realizar la operación en números romanos percibiríamos la dificultad de ello y la importancia que para la matemática ha tenido nuestro sistema de numeración. Para la OCDE (2005), la competencia de usar símbolos matemáticos está relacionada con las capacidades siguientes: • Decodificar e interpretar el lenguaje simbólico y formal y relacionarlo con el natural. • Traducir desde el lenguaje natural al simbólico y formal. • Manejar enunciados y expresiones con símbolos y fórmulas. • Utilizar variables, resolver ecuaciones y comprender los cálculos. Aunque parezca extraño, en muchas ocasiones los humoristas emplean lenguajes y símbolos, fórmulas y operaciones. '7 17. Miki & Duarte se hacen eco en Granada Hoy (18 de febrero de 2008) del eslogan electoral que empleó el PSOE en Andalucía, Denuncian con humor que «+ y"" (suma y sigue)>> se podr(a aplicar también al aumento del número de parados en la región, Ortirus juega en El Mercamil ValenCIano (24 de abril de 2009) con los significados de los términos y dice: «Si las tres cuartas partes de los valencianos están preocupados por el medio ambiente, ya tenemos "tres cuartos" de ambiente»,
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Hemos dejado para otros apartados chistes sobre lenguaje formal, como el ligado a la famosa «x» (equis). Caín (viñeta 62, p. 90) Y Pau (viñeta 63, p. 90) son algunos ejemplos. El empleo de símbolos se puede apreciar en todo el capítulo 4. También aparecen fórmulas en los chistes, tal como se refleja en «"Abra cadabra, pata de cabra". Fórmulas» (p. 59).
Miguel Brieva en El País del 28 de agosto de 2008 presenta a un profesor que en plena calle logra demostrar m-a-t-e-m-á-t-i-c-a-m-e-n-t-e que «el capitalismo es incompatible con la democracia ... », empleando fórmulas y símbolos matemáticos (viñeta 26). Viñeta 26
50
Alejandro Romero (viñeta 27), en El Batracio Amarillo, muestra a un niño que maneja enunciados y expresiones con símbolos y fórmulas.
Viñeta 27
2 (l)
E
~
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«¡TIC'8-TAC, TIC-TAC!». Emplear herramientas y soportes tecnológicos En la sociedad actual, tan tecnificada, es imprescindible que los alumnos sean competentes en el uso de herramientas y soportes tecnológicos. Los ordenadores personales, las calculadoras gráficas y científicas, el vídeo y sus aplicaciones didácticas, están incorporándose a todos los ámbitos de la sociedad y también a las matemáticas. Estos soportes son herramientas para aplicar matemáticas y también medios de enseñanza y aprendizaje para comprenderlas. La competencia tecnológica relacionada con las matemáticas implica el empleo de las TIC para resolver y su manejo para estudiar. Una página web alemana presentaba una calculadora digital de cinco dígitos; se trataba de una tabla del tamaño de la mano, en la que cinco huecos permiten sacar las yemas de los dedos, aludiendo al «contar con los dedos». Pero la calculadora era completa, tenía un borrador adjunto, un cuchillo y memoria, un cordelito para atar en alguno de los dedos. La calculadora, que fue el primer representante de las TIC, se hizo imprescindible con la implantación del euro, cuando muchísimos chistes reflejaban la dependencia que adquirimos en ese momento. '9 A la calculadora le ha seguido el ordenador, que forma parte de nuestra vida cotidiana y, por tanto, de las matemáticas, así como otros medios audiovisuales.
18. Los soportes y herramientas tecnológicos se recogen bajo las siglas TIC: tecnologías de la información y la comunicación. 19. Mesamadero imaginaba en el Ideal de Granada que hasta el niño Jesús del belén del año 200 I tenía una calculadol-a para los euros. La aparición de otras tecnologías está extendiéndose y es preciso desarrollar la competencIa para sacarle el partido necesario.
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En la OCDE (2005) se considera que la competencia para emplear soportes y herramientas tecnológicas se relaciona con las siguientes capacidades: • Conocer diferentes soportes y herramientas . • Utilizar herramientas de las tecnologías que ayudan en la actividad matemática. • Conocer limitaciones de esas herramientas y de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC).
Aure (viíi.eta 28) mostraba el 24 de junio de 2008 cómo hasta la calculadora percibe la crisis, en la web http://comicsenblog.blog!>pot.com
Esteban (viñeta 29) se hace eco en Granada Hoy (2004) de la utilización mayoritaria que los niños hacen de las herramientas tecnológicas.
Jap (viñeta 30), en una viíi.eta clásica aparecida en El Punt de Girona, muestra las condiciones matemáticas perfectas para situarse frente al ordenador.
Por último, compaíi.eros profesores de Canarias, encabezados por M: Inés Márquez y Luis Balbuena (viñeta 31), aventuran en El Día de Tenerife que las nuevas tecnologías aportarán sobre todo rapidez.
y
para profundizar más en cómo se representan las competencias en el humor, veánse las notas
en el apartado del final del libro «Información complementaria» (p. 124) [11].
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Viñeta 28
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3 Los conceptos matemáticos pueden ser objeto de humor Hemos visto en los capítulos anteriores que los humoristas emplean las matemáticas en sus viñetas porque la sociedad lo requiere, dado que en muchas situaciones cotidianas se necesitan las matemáticas para expresarse, para resolver situaciones. Podríamos decir que los humoristas se ven impelidos a emplear las matemáticas por «requerimiento social y cultm"al».
Ls matemáticas aparecen en la sociedad hasta tal punto que los conceptos matemáticos forman parte de la cultura social, razón por la cual los humoristas los utilizan en sus chistes. Ya hemos visto cómo aparecen los conjuntos (viñeta 2, p. 15), las fórmulas, (viñeta 10, p. 27), las gráficas (viñeta 6, p. 21), etc.
En los capítulos 1 y 2 las matemáticas eran un medio en el mensaje humorístico para expresar otras ideas. En este capítulo las matemáticas adquieren protagonismo, sus conceptos son los sujetos del humor. En las situaciones que presentamos apenas se requieren elementos matemáticos, pero los humoristas, que son matemáticamente competentes, recurren a ellos para reforzar el mensaje y de paso los convierten en el blanco de su humor. En los chistes de este capítulo el papel de los
conceptos matemáticos excede a la funcionalidad práctica para convertirse en objeto de chanza. 2(\ 20. El libro de Millás y Forges (2000), Números pares, Impares e idiotas es un compendio de chistes en que los personajes son los números y donde se bromea sobre conceptos matemátiCOS.
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En numerosas páginas web de matemáticos encontramos chistes sobre conceptos matemáticos. Recomendamos dos páginas por la actualidad y la regularidad de sus autores: www.xkcd.com/es una página de «romance, sarcasmos, matemáticas y lenguaje», elaborada por Randall Munroe, está versionada en español (http://es.xkcd.com/xkcd-es). Sharpie Fumes crea y mantiene la página
http://brownsharPie.courtneygibbons.org en la que introduce al menos dos chistes nuevos cada semana. 21
Sin llegar a tratar los chistes matemáticos clásicos, en los que los personajes son los conceptos matemáticos (<<¿Qué le dice un vector a otro? ¿Tienes un momento?»; «¿Por qué no te integras? -le dice una función a otra en una fiesta de funciones. ¿Para qué, si yo soy exponencial?- le responde la otra», etc.), también en los medios de comunicación diarios encontramos chistes que utilizan los conceptos matemáticos, que se ríen con los conceptos matemáticos, que se ríen de y con las matemáticas.
Hemos clasificado los numerosos chistes sobre esta temática, según los contenidos matemáticos tratados: • Fórmulas.
• Operaciones.
• Geometría.
• Fracciones.
• Gráficas.
• Estadística y probabilidad.
• Infinito.
• Proporcionalidad.
• Magnitudes.
• Matemáticos.
• Números.
21. AndrewV,ner. en su I,bro Venn that tune, escenifica canciones de éxito por medio del lenguaje conjuntista de los diagramas de Venn. Jessica Hagy, en su página http://thisistndexed.com/obout coloca cada día un chiste empleando el lenguaje de los conjuntos o de las gráficas.
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«Abra cadabra, pata de cabra». Fórmulas El Diccionario de la Real Academia E.spañola de la Lengua presenta varios significados de
'fór-
mula'. «Medio práctico propuesto para resolver un asunto controvertido o ejecutar algo difícil», es la expresión social que también se aplicaría a la fórmula mágica: «¡Ábrete sésamo!». En matemáticas, señala: «Ecuación o regla que relaciona objetos matemáticos o cantidades» (RAE, 2001). En los diccionarios de matemáticas, la palabra 'fórmula' se considera tan utilizada y conocida que no se define. Tenemos que irnos a tratados de lógica o de metamatemática para encontrar alusiones. Kleene (1974, pp. 63-64), nos dice: «Los símbolos en un lenguaje simbólico corresponderán, usualmente, a palabras completas en lugar de letras; las secuencias de símbolos que corresponden a sentencias se denominarán "fórmulas"».
Las fórmulas son algo más que las expresiones que teníamos que aprender para aprobar los exámenes de matemáticas. Forman parte de nuestro entorno. Sirven para expresar ideas, y por eso las emplean los humoristas [12]. Ya hemos visto cómo las fórmulas le surgen al maestro del chiste de Cebrián (viii.eta 12, p. 29), o las que utilizan Idígoras y Pachi para explicar los presupuestos generales del Estado (viñeta 10, p. 27).
Pero hay más ejemplos, como la antológica
«La fórmula del profesor Pintagorras» de Enrique
Bonet (viñeta 32), publicada en La Opinión de Granada del 10 de agosto del
~008.
Max Hierro establece en Muy Interesante (2004) fórmulas para descubrir a su padre (viñeta 33).
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Viñeta 32
La corriente alterna
Enriq ue Bonel
Fórmula del Funcionamiento del Estado español del profesor Pita gorras
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Viñeta 33 Por AUIIR'I'D P. CANCIR,
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Los nuevos modelos de familia, que a YeCeS carecen de una
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«Rodeados de formas». Geometría Los conceptos geométricos aparecen sin remedio en los chistes. El entorno está compuesto por figuras geométricas. Como se temía Manoli to en la tira de Mafalda (Quino, 1997), la lata de guisantes es un cilindro, el caldo está en cubitos, etc. Pero además las formas, las relaciones geométricas y los nombres geométricos se prestan al humor. 22
El humorista que más se ha divertido con la geometría es el genial Perich. En Nacional 11 y en otras obras encontramos su magnífica geometría humorística. Ya decía él que «las matemáticas se inventaron antes de inventar el bachillerato». Los ángulos y las figuras como personajes son el ejemplo de la interpretación alegórica y cotidiana de los elementos geométricos.
Enrique Bonet (viñeta 34) se ríe en La Opinión de Granada de los conos, eternos conos (aún tiene otros chistes sobre el tema), que nos han acompañado desde hace tiempo inmemorial a los granadinos que bajábamos o subíamos a la costa en los fines de semana de verano, y que se colocaban para convertir una carretera nacional en una triple vía. Los conos son un símbolo del tiempo que se ha tardado en construir la autovía de la costa.
Node (viñeta 35) alude en La Kodomiz de mayo del 2009 a la crisis mostrando a un triángulo pluriempleado en el Tetris.
22. En el año 2000, Pablo Carbonell pr"esentó en El País Semanal el «Teorema de Pitagol», ilustrado de manera humor"ística por Vera d'Augusta. Bob Thaves presentaba a Pitágoras explicando su teorema a sus discípulos, qUienes le decian: «Puede que tu teorema sea verdad. Pero se van a reír un montón cuando llames a eso hipotenusa». ¡Yeso que en la Gr"ecla antigua no llamarían «catetos» a los otros lados!
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Viñeta 34
La corriente alterna
Enrique Sane!
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Antonio Sabín Anca, que firma Tonisavski (viñeta 36), alude en Diario de Ferrol al famaso círculo vicioso, que tanto se presta a chanza.
Calpurnio emplea muchos elementos geométricos en sus chistes. Destacamos la histo-
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rieta de 20 minutos del 8 de septiembre de 2008 (viñeta 37), donde la viñeta es un rec-
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tángulo áureo, con la espiral correspondiente: «En busca del tebeo perfecto».
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«¡No hay noticia que se precie sin su
gráfica!»
Las gráficas se han convertido en un referente necesario para realzar las noticias. Los periódicos las utilizan con profusión para expresar índices, comparaciones temporales, relaciones entre acontecimientos, etc. Con la introducción del color en los periódicos, han aparecido magníficas gráficas que presentan de manera más plástica la información. A veces, lo mejor de la noticia es precisamente la gráfica.
En matemáticas las gráficas aparecen en dos situaciones algo distintas: en las funciones y en estadística. Las gráficas son elementos socorridos que dan una imagen más técnica y plástica del mensaje que se quiere criticar, por lo que los humoristas han recurrido a ellas para hablar de la crisis. La gráfica decreciente (supuestamente de la economía, en gráficos estadísticos temporales) y creciente (del paro) han llenado los periódicos y la colección de chistes matemáticos. Pero además algunos han bromeado con las gráficas, convirtiéndolas en personajes de los
chistes.~:l
Hemos escogido dos ejemplos especialmente significativos. Xim (viñeta 38), en La Verdad, presenta la gráfica decreciente que puede ayudar a explicar la crisis. Por otro lado, Andrés Soria (viñeta 39) muestra en La Opinión de Granada de septiembre del 2008 dónde puede llegarnos la crisis.
23. Zulet mostraba en Ideal de Granado (17 de septiembre de 2008) la grá~ca temporal de los índices bursátiles con I~ fOl"m~ de bolos que van cayendo en cadena. En la Viñeta de José Orcajo en Siglo XXI (26 de abnl de 2009), un grá~co representa el número de parados mediante una gr-á~ca lineal creciente, pero acompaña un pictograma de monigotes, los últimos sin extr-emidades. representando suicidios.
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a corriente alterna
Andrés Soria
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«Yo tengo más. Pues yo tengo ...
¡infinitos!»
El infinito está presente en la sociedad desde tiempo inmemorial... (!!) Gogol decía que «la matemática es una guerra entre lo finito y lo infinito» y Hilbert: «¡El infinito, no hay ninguna cuestión que haya conmovido tan profundamente el espíritu del hombre!» (Guirado, 2007). Los niños lo manejan como si fuera una cantidad muy grande.
¿Qué se entiende por infinito en la sociedad? ¿Cómo se refleja en el humor de los diarios? Es una cuestión interesante para la educación. Nos ayuda a comprender qué entiende la comunidad educativa por infinito. Aunque hay muchos autores que han hecho chistes sobre el infinito,24 el humorista español que ha realizado aportes más destacados a la idea de infinito es Chumy Chúmez. Ha viajado al infinito, sopesado entre 10 infinitamente grande y 10 pequeño, etc., empleándolo siempre de forma evocadora. 2ó
En fin, sin que las alusiones «lleguen al infinito», podemos decir que son muy numerosas y nos sugieren algunos significados y propiedades que la gente atribuye a la idea de infinito.
Pablo Calvo, KlanKlon, muestra en su página web www.klanklon.com qué es el infinito según el
sistema a boleo internacional de medidas (viñeta 40).
24. Según el Roto. en El País. en el año 2005 «enlatan el infinito para que ocupe menos SitiO». En el periódico argentino La Nación del 20 de sep· tiembre del 2008. Panchueco. el personaje de Llniers. inventó el infinito construyendo una escalera al cielo y tirándola a un pozo sin fondo. Para Ramón. en El País digitol (26 de junio de 2009). «el universo es una charca Sin orillas». lo cual es una buena metáfora del infinito. 25. Hacia finales del Siglo xx en el suplemento semanal de los actuales periódicos de Vocento. distinguía el Infinito de la eternidad. Por esa época, en Blanco y Negro decía: «La media entre el infinito y la nada es el hombre». También en Blanco y Negro se señala que el Infinito es muy grande «sobre todo por la parte de arriba». Pero él, puesto a decidirse entl-e lo infinitamente grande y lo pequeño, se queda con lo «infinitamente mediano». Otra vez en el suplemento semanal, la mUjer le pide al hombre: «uúrame que no has estado en el infinito con otra mujer,».
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Joseba Morales en La Kodorniz yen su blog (candelaycia.com), emplea el infinito para hablar de amor (viñeta 41). Viñeta 40
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«El tamaño sí cuenta». Magnitudes Las magnitudes se ubican escolarmente en las ciencias de la naturaleza, en las ciencias experimentales (<
Quim (viñeta 44) saca partido en una tira aparecida en diversas publicaciones (Siglo XXI Digi-
tal, La Kodorniz, Irreverendos, etc.) a los ángulos y su medida a partir del parabrisas del coche.
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«¡Un seis y un cuatro, aquí tienes tu retrato!». Números Las cifras y los números forman parte de nuestra sociedad, hasta el punto de que son personajes familiares que vemos en nueslro entorno. Los pequeños cantan «El uno es un soldado, haciendo la instrucción, el dos ... » para referirse a la forma de las cifras. «¡A la vi, a la va, el cero no vale na», entonaban unos niños de 2 años como canción escolar, para despertarle el odio al terrible «cero», con el que tanta gente ha soñado cuando estudiaba matemáticas. De esta forma no es extraño que Felipe, en las tiras de Mafalda, de Quino, se sienta amedrentado al verse rodeado de números por todas partes.
Las cifras del año nuevo y del viejo se convierten en personajes de las historietas gráficas de muchos humoristas, en los periódicos, tal como veremos en el capítulo 4 del libro (p. 85). Pero no podíamos dejar este apartado sin mencionar varios chistes sobre números.
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(viñeta 45), en su página web http://elchistedemel.blogspot.comdel 23 de junio de 2008, así
como en otras fuentes, presenta a los números como personajes de un chiste.
Otro punto de vista lo da Nani, Adriana Mosquera Soto. Esta humorista colombiana refleja cómo los números marcan la vida de las mujeres (viñeta 46). Este tema es recurrente en Nani, no sólo lo trata en su libro Sobreviviendo en pareja (2007), sino también en Cuestión de hormonas (2009), donde irónicamente nos muestra que las
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«no entienden de números».
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Viñeta 46
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«Creced y multiplicaos». Operaciones «Creced y multiplicaos» es un precepto bíblico que muestra que las operaciones aparecen en el lengu~e
y la vida cotidiana. Tonisavski, en la versión digital de Diario de Ferrol, utilizaba las ope-
raciones para expresar un debate público. Mirando ese precepto, el
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reconocía que
sobre ese asunto «estamos divididos». La multiplicación de los panes y los peces, la Summa Teoló-
gica (¡perdón!, esto va de otra cosa), etc., hacen referencia a las operaciones aritméticas como asuntos que sobrepasan el ámbito escolar.
Un aspecto básico referido a las operaciones es el famoso «2 + 2 = 4». Con el Grupo LaX hemos analizado qué papel desempeña el «2 + 2» en los medios de comunicación, especialmente en el humor gráfico (Grupo LaX, 2009). El artículo lo llamamos «2 + 2 con un canuto», y es que el «2
+ 2» es el límite del analfabetismo matemático (como «hacer la O con un canuto», según una expresión que se ha quedado antigua, ya que ahora se hace «pulsando la tecla del ordenador»). Los autores emplean el «2 + 2» en numerosos chistes (teníamos censados en esa época más de cincuen ta y la colección ha aumen tado desde en tonces) .26
Veamos algunos ejemplos de chistes sobre operaciones. Toni Batllori (viñeta 47), en La Vanguardia del 9 de julio de 2009, emplea el «2 + 2» como elemento de la negociación entre autonomías.
o tros chistes realizan un uso evocador de las operaciones. Peridis (viñeta 48) emplea en El País del 9 de abril de 2008 los términos matemáticos de la división para referirse al bipartidismo español. 26. Granda pone en duda en Siglo XXI (mayo de 2009) que dos más dos sean cuatro, ya que los de la sindicatura de cuentas tampoco se han puesto de acuerdo al respecto. Un sacerdote, dibujado por Montoro en Lo Rozón de junio de 2009, en plena controversia por la educación I-eligiosa, frente a «2 + 2 = 4» escrrto en la pizarra, dice a un alumno reticente: «Admirable su sagaCidad joven. Pero, aparte de "porque lo dicen los obispos", ¿cuenta usted con algún argumento razonable para refutar lo que he escrito en el encerado?».
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También Max Aguirre (viñeta 49) utiliza en el periódico argentino La Nación los términos matemáticos de operaciones de manera metafórica. Quim, con su acostumbrada imaginación, relaciona las operaciones de suma y división con aspectos sociales (viñeta 50). Entre los números y las operaciones, las fracciones ocupan un lugar destacado. El empleo de fracciones es frecuente en el humor gráfico [13] para referirse a los nombres, especialmente el término «medio»27 o a su expresión con la «rayita». Álvaro Peña bromea sobre los medios (viñeta 51) en el Siglo XXI digital del 10 de noviembre de 2008. También se encuentran fracciones como personajes de viñetas, especialmente referidas a la enseñanza. Yes que las fracciones están en las pesadillas de muchos niños y adultos.
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27. Con el término «medio» ha jugado ampliamente el humorista belga Philippe Geluck, que hace numerosas alusiones en su tira «El gato filósofo» (Geluck, 2003). Peña y Lumacaifallos (http://Iumacoifacollos.blogspotesl/) juegan con la palabra «medios». aplicada a mitades. a comunicación y el ambiente: «Es preocupante que los medios no hayan alcanzado aún la categoría de enteros» (Peña). «Cuando estaba entero lo llamábamos nora y fauna. Ahora lo llamamos medio ambiente» (Lumacaifallos).
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«¡Hay afirmaciones ciertas, falsas y estadísticas!» La estadística, los estadistas, los cálculos y gráficos, etc. son o~jetos frecuentes en los medios de comunicación y, por tanto, en el humor. Forges presentaba el monumento a la estadística erigido por un gobierno agradecido (no importa qué gobierno). Un estadístico podría meter la cabeza en un horno y sus pies en hielo y decir que en promedio se encuentra bien. Estadísticamente podríamos decir que la estadística es la rama de las matemáticas que más se presta al humor [141. Así, ~artín A. Favelis (viñeta 52) bromea sobre la estadística en el blog Puzzle Favelis en El País (26/6/07): laromunidad.elpais.com/martinlavelis/2007/6/26/serie-1-18
Por otro lado, Carlos Hernández (viúeta 5~) alude al origen y la determinación del azar en Ideal de Granada de 1999. Viñe:a 52
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«¡Pues tú eres el doble!. .. ¡Pues tú el quíntuple!. .. ¡Pues ... anda que tú !». Proporcionalidad La proporcionalidad está tan presente en la sociedad que ha aparecido de manera profusa en los medios y en el humor. Si agrupáramos los más de cinco mil chistes de la colección por el contenido matemático, sin duda se llevarían la palma los chistes relacionados con la proporcionalidad. Al hablar de competencias ya hemos aludido a la utilización que se hace de la proporcionalidad (a veces de manera abusiva), para presentar situaciones comerciales y jurídicas (capítulo 2).
En este apartado nos referimos a su aparición como objeto de humor. Dos ejemplos. Dusón (viñeta 54), en El Mundo del País Vasco, emplea la proporcionalidad entre deudas y odios. Romeu (viñeta 55) se lamenta en El Paú de la proporcionalidad y desproporcionalidad entre el hambre y los contratos multimillonarios. Viñeta 54
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«Si no se le entiende ... ¡es
matemático!»
Los matemáticos aparecen en el humor con cierta frecuencia. Claudi Alsina y otros (1996) nos decían que «Los matemáticos no son gente seria», y lo mostraban reuniendo en su libro una buena colección de anécdotas. Por tanto se puede uno reír con y de los matemáticos. Pachi afirmaba a finales del 2000 en el Ideal de Granada que los matemáticos sólo son noticia si se pueden fotografiar desnudos. Aunque Gabriela Novakova lo arregla, pues para ella el matemático se desnuda quitándose fórmulas. Hay muchas otras alusiones a los matemáticos en el humor [15].
Hemos traído a esta sección alusiones a Pitágoras. Ya hemos comentado algo sobre el famoso Teorema de Pitágoras, pero hay mucho más, y aquí tenemos algunas muestras. 2H
Krahn (viñeta 56) juega en La Vanguardia con el enunciado del teorema.
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Gogue (viñeta 57), en El Faro de Vigo, bromea con el nombre del matemático griego.
Quim (viñeta 58) juega con la palabra «teorema» y con sus autores, los matemáticos.
28, Gato y Lola, en El Batracio Amarillo núm, 1, año VIII, presentan la escenificación de una de las «perlas matemáticas» de un alumno de 1.° de ESO: «Pltágoras el'a un hombre al que le encantaba la música, pOI' eso se hizo cantante», Forges, en 1999, lo traduce en el Teorema de los MediOS de Comunicación: «El cuadrado de la audiencia es la suma de los catetos»,
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4 Símbolos matemáticos en los chistes +
que ayer pero que mañana
Ésta es una expresión que se coloca en los regalos de los enamorados. Ellengueye de los mensajes telefónicos también utiliza signos matemáticos. Este empleo es taquigráfico. Los humoristas son más creativos al emplear signos matemáticos en sus chistes, aunque no siempre tienen intención matemática.
M ientras en el capítulo 2 presentábamos historietas que emplean las matemáticas para resolver situaciones y en el capítulo 3 humor a partir de los conceptos matemáticos, en este capítulo hacemos mención a chistes que emplean elementos del lenguaje matemático.
Si consideramos que «punto»
es un término matemático, el chiste que dice que «un asterisco es
un punto con peinado a lo afro» servirá para este capítulo.
Máximo es uno de los humoristas que
m~ior representa este apartado. Ha utilizado símbolos ma-
temáticos en sus chistes para expresar su visión esquemática y sintética de la situación política y
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social de cada momento. Las expresiones matemáticas, las fórmulas, las acotaciones, las figuras geométricas, etc. le han servido para hacer una crítica política y social a lo largo de su historia como humorista. No siempre es fácil comprender su mensaje, pero es admirable el empleo que realiza de estos símbolos y lo evocadoras que resultan sus viñetas.
Agrupamos los chistes según los símbolos que aparecen: • Cifras y acotaciones. • Equis. • Fraccionarios. • Operaciones y signos matemáticos.
«El ocho es un cero con cinturón». Cifras y acotaciones Es frecuente que las cifras sean personajes de las viñetas. Todos los finales y principios de año aparecen numerosas viñetas aludiendo a las cifras que componen el nuevo año. 29
El chiste que mejor representa esta sección es un clásico de Hart. La forma de las cifras mueve al humor, y Johnny Hart, en su serie BC, ambientada en la prehistoria (befare Christ) , realiza una historieta antológica. En un campeonato de patinaje sobre hielo la patinadora prehistórica realiza el «ocho», la forma de ocho tan socorrida en patinaje. Pero como en la época de antes de Cristo
29. Carlos jugueteaba en La Provincia de Las Palmas (2 de enero de 2008) con el 8 en fonma de antifaz, augurando un año de carnaval.
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el sistema de representación de números es el romano, la patinadora tiene que esforzarse para realizar un recorrido en forma del VIII, tan extraño, sin giros, abierto, etc. También hay otros humoristas que se ríen de las cifras. 3D
Por ejemplo Juan Antonio Moreno, alias McFly, presenta (viñeta 59) una sugerente representación de las cifras del nuevo año en Diario Información de Alicante (enero de 2008). Rodolfo Franco (viñeta 60) recita su poema visual «¿ocho = 8?», aparecido en Álhum de Cromos, publicado por la Diputación de Badajoz en 2004, en el que separa el nombre de la cifra del símbolo.
Otra forma de usar las cifras es para acotar un dibujo, táctica usual de los que tienen que hacer un prototipo, representar una proyección o diseñar una pieza. Sin embargo también podemos encontrar acotaciones en los chistes, para delimitar las dimensiones de su mensaje.:lI Jap se vale en la viñeta 30 (p. 55) de las acotaciones para indicarnos la posición correcta para sentarse frente al ordenador.
El maestro Máximo San Juan los emplea con frecuencia. En la revista Quevedos del 2007, representando trazos por la igualdad, utiliza las acotaciones para delimitar la igualdad, libertad y fraternidad entre mujer y hombre (viñeta 61). No es el único chiste de Máximo sobre las acotaciones, que emplea como indicadoras de las dimensiones del tema planteado.
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3D. Jap relata en El BatraCIO Amarillo los abusos que cometemos al identificar a los autobuses con sus números. Finalmente viene el 7, pero es un 7 llevando un carrito. Pablo García como dibujante y Rogelio Román como guionista krran en El None de Costillo, adoptando el seudónimo colectiVO «La Tira y Afloja», una viñeta en la que las CIfras del I I (porcentaje de subida propuesta por la Comisión de Energia), son patillas del enchufe de la máquina que produce euros. 3 I . Manel Fontdevila representa en Público (22 de junio de 2008) uno de los debates electorales mantenidos entre los dos candidatos de los partidos mayoritariOS, acotando a cada uno de ellos mediante diversas medidas.
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«¡ Llamémosle equis!» La x aparece con frecuencia en los chistes. Los matemáticos solemos adueñarnos de ella aunque no se refiera a la incógnita. A la pregunta «¿Qué pasa cuando x tiende a infinito?» el chiste clásico contesta: «Que infinito se seca». Con ello se le da a la x una personificación para poder «tender algo» (en lugar de «tender hacia», que es lo que ocurre en matemáticas). Una nueva versión dice que cuando x tiende a infinito, ¡se queda sin pinzas!
El término x nos ha inspirado a un grupo de profesores de matemáticas de Granada para constituirnos en un grupo de innovación en educación matemática. El nombre del grupo es LaX, aludiendo con ello al símbolo que tan relacionado está con las matemáticas, pero también a la cafetería en la que nos constituimos como grupo, LAX (salmón, en sueco). Los autores somos miembros del grupo.
ASÍ que aceptemos que la x es un símbolo matemático que forma parte de los discursos cotidianos, por lo que aparece en los chistes. Sydney Harris mostraba a unos matemáticos perplejos, mirando la x, sin decidirse a decir nada al respecto. También la emplean otros humoristas. 32 Caín (viñeta 62) mezcla la x de cromosomas con la que «se despeja» en La Razón del 4 de julio de 2008.
32. Máximo emplea con frecuencia la x en sus análisis de la realidad. En El País del 6 de junio de 2006 hace equivaler todo su razonamiento con la soconrida y enigmática x. El 7 de agosto del mismo año dice que «la memoria histórica x es el resultado de sumar o restar las memorias históncas o y b». Granda, en El Comercio Digital del 25 de septiembre de 2008, cuando preguntan si un politico local volvel-á a ser candidato recurre al famoso: «Llamé mas le equis». En el libro de Liliana Dn (2007), Facundo, alumno de 7.° en 2002, responde al profesor que la x para él es ... «¿El srtio donde está el tesoro?».
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Por su parte, Pau (viñeta 63) muestra en el Diari de Mallorca del 12 de diciembre de 2008 cómo la x puede representar las convicciones o el programa de un partido político, con las que luego ... Viñeta 62
Viñeta 63
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«Cuarto y mitad de chistes fraccionarios» Las fracciones son objetos matemáticos de pleno derecho. Pero además forman parte de la vida cotidiana, por lo que es lógico que haya muchos chistes de fracciones, muchos «cuarto y mitad» de chistes.
Lo curioso es que los autores emplean diversas formas de representarlas. En algunos casos se presentan por su nombre, en forma verbal, como es el caso de Guillermo Soria (viñeta 64) en Ideal de Granada del 9 de junio de 2008 (antes de que la selección española lo contradijese proclamándose campeona de
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En otros chistes la fracción aparece en su forma clásica de fracción (el par de números separados con la rayita), algunos de los cuales ya han aparecido en otros
capítulos.~4
Para una alumna de Li-
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Una representación familiar y cotidiana de las fracciones es su expresión como porcentaje. Salas (viñeta 65) presentaba el crecimiento en forma de porcentaje en su sección «La Tira y Afloja» del 31 de julio de 2008 de El Ideal Gallego.
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con menos frecuencia aparecen expresadas en forma de número mixto. Jean-Lolc Bellomme,
en el libro colectivo Todo el mundo ríe con el fútbol, editado en Bogotá, presenta a un jugador de
33, Ortlfus y otros ya indicados emplean la representación verbal de las fl-aCClones, véanse las notas 17 y 27, 34, La Información complementaria núm. 13 presenta situaciones que juegan con fracciones en fOI-ma clásica, especialmente Drr (2007) y Poskitt (2000),
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fútbol con el dorsal 3 1;2, para indicar su tamaño. El presentador Juan y Medio refleja en su nombre artístico su estatura. Desgraciadamente, los números mixtos están desapareciendo en las matemáticas escolares, ya sólo queda el kilo y medio o la hora y tres cuartos. Wieta 64
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+». Operaciones y signos matemáticos
Los signos matemáticos son muy socorridos, tanto para simplificar una expresión, como por la familiaridad que tienen en nuestro entorno.
La forma de suma es la preferida por OCH, «manero» mexicano que publica historietas que consisten en sumas imaginativas. Sus viñetas se pueden encontrar en el siguiente blog:
http://moneros. uni. ce/ ?tag=oeh [16]. Ya hemos presentado la fórmula del Profesor Pintagorras, de Enrique Bonet (viñeta 32, p. 60), que emplea operaciones. Y es que las operaciones aparecen con frecuencia en los chistes. KlanKlon (viñeta 66), utiliza operaciones para reforzar la igualdad entre hombre y mujer en La Ka-
domiz de noviembre del 2008.
El signo igual ha sido muy empleado para representar las relaciones entre hombre y mujer. En la revista Quevedos de 2007, dedicada a trazos por la igualdad, aparece con frecuencia. José Antonio Vaca Cerezo, Toña (viñeta 67), YPostigo (viñeta 68) son buenos ejemplos. Juan R. Mora, presenta en su blog www.jrmora.com/bloguna suma curiosa y crítica (viñeta 69).
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5 Las «mates» en la escuela La matemática es una ciencia que quita la paciencia
y las ganas de estudiar. Dicho infantil (aplicable a otras «ciencias»)
Nadie duda de que las matemáticas sean una asignatura escolar llamativa, prueba de ello es la cantidad de viñetas humorísticas sobre la escuela en las que aparecen las matemáticas. Se las acusa de difíciles, se habla de muchos suspensos en «mates» y se afirma que provocan fracaso escolar. Se usa el rendimiento en matemáticas para medir la inteligencia, a veces la inteligencia abstracta e inútil «<Usted debe ser matemático, por lo preciso e inútil de su respuesta», decía el clásico chiste), etc.
En el Florido Pensil (Sopeña, 1994), Andrés Sopeña presentaba algunos tópicos sobre las matemáticas en la escuela nacional-católica. Juan Berrio se ha inspirado en el texto de los problemas escolares para ilustrar la aritmética (Berrio, 2006). Si en el texto de Sopeña las ilustraciones pintorescas eran las propias de los libros de la época, Berrio las
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a partir de lo que le sugieren
los enunciados de los problemas aritméticos. Las «mates» se prestan aljuego, a la evocación. Han sido parte de la historia escolar de todos los niños, a la vez que han representado las dimensiones que hemos indicado en el capítulo 1 (matemática como ciencia cultural).
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Las historietas que aparecen en los periódicos nos han llevado a observar algunos tópicos sociales respecto del papel de las matemáticas en la escuela y la sociedad. Los hemos agrupado en dos partes, el profesor y la asignatura de matemáticas . • El profesor de matemáticas es: - Odiado y desgraciado, abusivo. - Paradigmático. - Culpable para los padres. - Clásico. - Desesperado.
• Las matemáticas: - Se odian. - Acosan a los niños. - Se atragantan. - Son inútiles. - Son ininteligibles. - Son soporíferas. - Son exactas, no negociables. - Son repelentes. - Son relativas. - Tienen los libros más caros.
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«El temible (y a veces odiado) profesor de matemáticas» ¡Pobre profesor de matemáticas! Su vida parece abocada a ser o~jeto de odios, miedos, envidias, etc. Cuando muchos adultos recuerdan su vida escolar, se acuerdan con mucha frecuencia de su profesor de matemáticas. Ha tenido un papel importante en su historia escolar. Para bien o para mal. Los chistes nos ayudan a comprender esta relación con el profesor de matemáticas, un poco mejor [17].
A
continuación ilustramos con chistes algunas de las cualidades enumeradas anteriormente.
Puebla (viñeta 70) aludía en El Batracio Amarillo en 2006 (núm. 134) a la inseguridad de los profesores en la enseñanza actual y, naturalmente, el profesor representado es el de matemáticas. El profe de mates es el prototipo, el profesor paradigmático.
Sansón (viñeta 71) retrata en El Norte de Castilla (octubre de 2006) la relación de los padres con la escuela. El profesor de matemáticas es el blanco de las iras de padres y alumnos.
Enrique (viñeta 72) retrata en su tira «Ticita» de Diario Información de Alicante (2008) al profesor de matemáticas empleando (¿?) los recursos tecnológicos.
Krahn (viñeta 73) representa en La Vanguardia a la profesora de matemáticas desconcertada ante la respuesta del alumno. El significado de los términos matemáticos, especialmente cuando se usan en el lenguaje cotidiano, genera interpretaciones abusivas, que podemos encontrar en las antologías del disparate matemático. Andrés Faro (viñeta 74) presenta en su blog «Faro»
(ww71J.e_faro.es) a otro profesor desesperado por la comprensión de los alumnos. ¿Será eso el porcentaje? [18]
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Viñeta 70. Ei profesor de matemáticas es el paradigma ae los docentes actuales, que siente Inseguridad ante los alumnos
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Viñeta 71 . El profesor es culpable para los padr'es
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Viñeta 72. El profesor clásico Creo que Ticita no ha entendido bien lo del uso del videojuego como elemento didáctico
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Las matemáticas escolares i Virgen santa, Virgen pura, haz que me aprueben esta asignatura!
[Oración que se copiaba en las páginas de los libros de texto]
Las «matracas» -actualmente las «mates»- representan la escuela porque son «la asignatura por excelencia». Despiertan pasiones (de todo tipo), difícilmente dejan indiferente al alumno y a sus padres. Cuando se alude a las calificaciones, las matemáticas marcan un punto de inflexión (para bien o para mal). Esto hace que se recurra a ellas para hablar de los contenidos escolares. Los humoristas no son indiferentes a esta situación y las retratan en sus chistes [19]. Se utilizan las matemáticas para criticar el protagonismo excesivo de los niños. Así, Daniel Paz (viñeta 75) retrata al niño que tiene manía a las mates y se siente con poder para decidir sobre ellas. Enrique (viñeta 76), en Diario Información de Alicante, muestra a un niño que se siente acosado por las matemáticas.
Jordi Sierra i Fabra y Francesc Rovira (viñeta 77), en Pequeño País de septiembre de 2008, nos dicen que a muchos niños las matemáticas les parecen chino (ininteligibles).
En la guerra de la educación para la ciudadanía, Esteban (viñeta 78) emplea en La Razón (como Fontdevila en otra viñeta citada) a las matemáticas como asignatura de contraste (innegociables).
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Por último, Bibi (viiieta 79) aventura en su blog www.bibicaricalures.com que los libros de matemáticas pueden ser más caros y voluminosos. Viñeta 75, Los niños odian las matemáticas
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Viñeta 76, Las matemáticas acosan a los niños
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6 «¡Es que pinta usted unas cosas ... !». Los chistes sugieren matemáticas Mirar la realidad con ojos matemáticos es una actitud. Ian Stewart la promueve en su Laberinto Mágico (Stewart, 2001), descubriendo situaciones que pueden interpretarse matemáticamente. Francisco Martín (2006) propone lo mismo en su fascículo «Mirar el arte con ojos matemáticos». En la revista Épsilon, la sección «Reflejos Matemáticos» persigue la misma idea (Flores, 2004). Se trata de estimular la sensibilidad matemática, la competencia matemática para contemplar el mundo. Esta actitud nos ha llevado a ver las matemáticas en el humor. Por eso esta última sección se dedica a mostrar chistes que, sin presentar las matemáticas de una manera tan explícita como en los anteriores capítulos, las sugieren.
y
es que hay historietas que han despertado nuestro interés por realizar razonamientos o pre-
sentar situaciones gráficas que se asemejan a las realizadas en matemáticas. Esto resulta menos evidente para los profanos, pero no por ello es menos interesante. En realidad nos ocurre como en el chiste clásico: en una escuela llaman al padre de un alumno adolescente para quejarse de que su hijo ve elementos obscenos en todo lo que el profesor escribe en la pizarra. Al presentarle los objetos que despiertan la libido del chico, el padre exclama «¡Es que pintan ustedes unas cosas!». Para los que tienen una libido matemática, el mundo «¡pinta unas cosas!»; sin esta actitud, la disposición a ver matemáticas en el entorno, la colección de chistes y este libro no tendría sentido.
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Sin embargo, hay que reconocer que ciertos chistes parecen hechos para que veamos matemáticas (<<¡pintan unas cosas!»). Este apartado presenta algunos ejemplos de estas viñetas.
Hay muchas creencias implícitas sobre el origen y significado de determinados temas científicos y sociales, no siempre bien fundamentadas. El azar se le identifica con desconocimiento de causas o con el destino. También aparece frecuentemente en conversaciones y razonamientos el concepto de infinito, pero ¿qué se entiende por infinito? Se iguala a distancias muy largas o con situaciones ligadas a cantidades. Y qué decir de lo infinitamente pequeño, los infinitésimos y las alusiones a la división infinita de una cantidad finita, al infinito «actual». Los razonamientos topológicos parecen menos frecuentes, pero la tofJología aparece en los chistes de manera implícita, ya que afecta a problemas cotidianos. Algunas historietas emplean imágenes que tienen un interesante significado matemático, como las que encierran simetrías y regularidades, perspectivas bien logradas, etc., aunque los autores sólo hayan querido realzar la belleza. Por último llamamos la atención sobre situaciones que emplean o denuncian conceptos matemáticos abusivos, como a veces sucede con la idea de proporcionalidad, empleada de manera desproporcionada.
En resumen, en este capítulo presentaremos chistes sobre: • El azar y lo aleatorio. • Ideas sobre el infinito o que sugieren el infinito, de manera figurada. • Razonamientos topológicos . • Regularidades y abusos sobre conceptos.
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La suerte del azar Caracterizar qué es el azar es un tema recurrente, importante en la ciencia y la vida. Determinar qué acontecimientos proceden del azar, hasta qué punto estamos llamando azar a lo que desconocemos, si es realmente la realidad azarosa o si todos los acontecimientos tienen una razón de ser, unas causas que desconocemos; éstas son reflexiones que se hace la filosofía de la ciencia. Mario Livio (2009) dice que «las expectativas de un universo totalmente determinista pecan de exceso de optimismo. De hecho, la física moderna ha demostrado que no era posible predecir el resultado de todos los experimentos, ni siguiera en principio. La teoría puede únicamente predecir las probabilidades de distintos resultados» (Livio, 2009, p. 120).
Por otro lado, Jan Stewart (2003) se pregunta: «Juega Dios a los dados?". Diversos chistes aluden al azar, y, sin ánimo de realizar planteamientos filosóficos, reflejan posturas que nos sugieren matemáticas, animan a pensar sobre el fascinante tema del azar [20].
Carlos Hernández (viñeta 80) responde en Ideal de Granada (1999) a la pregunta que se hacía Stewart y tantos otros matemáticos: definitivamente, «¡Dios juega a los dados!». Mientras, Quim (viñeta 81) relacionaba en La Kodorniz (www.lakodorniz.com/nacional) en 2007 los dados con la suerte de la humanidad ... entre dos hongos de bombas.
Pero no todo el azar está en los dados. Mauro Entrialgo reflexiona en Público (noviembre del 2009) sobre el papel de la suerte. El personaje tiene la suerte de «no creer en la suerte» (viñeta 82).
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«Nuestro amor, ¿es infinito?». Situaciones que sugieren el infinito
Ya hemos hablado del infinito y su aparición explícita en viñetas. La idea de infinito como una secuencia en la que hay un proceso autorreferente, lo que no tiene fin, suministra un concepto más plástico. La imagen en espejos paralelos, que se refleja de manera indefinida, las vías de tren que se unen al final de nuestro círculo de visión, la perspectiva con uno o dos puntos de fuga que representan esa unión de los raíles de la vía, etc. son imágenes plásticas de infinito. Britton y Bello, autores mexicanos, presentan los decimales periódicos por medio de imágenes en perspectiva que dan mayor idea de la repetición indefinida del periodo. Los chistes también ayudan a crear estas imágenes, o muestran creencias sobre el infinito que tienen los niños o que aparecen en la sociedad. 35 Liniers (viñeta 83) presenta en el periódico argentino La Nación un proceso iterativo que sugiere el infinito, ya que en el gorro de cada duende hay otro duende que a su vez ...
En otra viñeta de Liniers (viñeta 84), aparecida en la revista Qué Leer de noviembre del 2008, la intuición sobre el infinito surge la primera vez que se ve el mar.
El concepto de infinito también está relacionado con la división infinita, con la aproximación infinitesimal, con lo infinitamente pequeño. Algunos chistes nos sugieren estas ideas [21].
35. Para Matías, personaje de Sendra, en el periódico Clarín de Argentina, la distancia a la Luna es muy grande, pero más pequeña si se sube a un banquito. Sin hablar de infinito, el niño nos llama la atención sobre la proporción entre la distancia entre la Tierra y la Luna, y la altura de un banquito. Es especialmente significativa al emplear esta distancia como una medida del amor por su madre.
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Viñeta 84
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Deformaciones elásticas. Razonamientos topológicos
«Un topólogo es un científico que confunde una taza de café con un donuts», dice un chiste matemático clásico. Y es que la topología es la geometría del elástico, y estudia aquellas propiedades que permanecen inalterables cuando se deforman los cuerpos por medio de transformaciones continuas (Stewart, 1977). O, en palabras de Hogben (1966), la topología estudia todo lo que se puede transformar cuando no se conservan las relaciones métricas ni la forma visible. En lenguaje cotidiano diríamos que la topología estudia las relaciones que se mantienen cuando se deforman los cuerpos sin cortarlos ni unir trozos separados. Por tanto, una de las propiedades topológicas es el número de partes de una figura [22]. Otra de las características topológicas es el número de bordes de la figura, ya que las curvas o las superficies que delimitan los bordes, separan las partes de la figura. Realizar planos del metro de las ciudades que sean fáciles de leer, deformándolos sin alterar las posiciones relativas, es asunto de la topología.
En las historietas se presentan situaciones que ponen de manifiesto cualidades topológicas [23]. Calpurnio (viíi.eta 85) muestra un desfile con una trayectoria imposible, topológicamente imposible, y es que están siguiendo una curva no simple, que se interseca a sí misma.
Por su parte Hlssies, en El Periódico de Cataluña (2009), nos hace dudar sobre el concepto de
fuera y dentro. Cuando se traza una curva (como la reja) el plano queda dividido en dos partes. ¿Cuál es la mejor? (viñeta 86) .36
36. Cuando se comenzó a constr"uir el muro en Israel, Ricar"do se preguntaba en El Mundo (2004) quién era el que estaba encerrado.
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Viñeta 85
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Viñeta 85
Viñeta 86
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Las matemáticas son bellas. , . matematlcos
Regularidades y abusos
Las matemáticas se encargan de simplificar la realidad para poder estudiarla. Para ello se valen de modelos que prescinden de los datos superfluos para quedarse con lo esencial. En ese proceso de modelización se puede producir belleza o monstruos.
El modelo de la simetría facilita la estética. En matemáticas se estudia por su regularidad y por constituir una transformación del plano o del espacio. Las regularidades de la simetría permiten estudiar con más facilidad las leyes de la reflexión en el espejo. Sin embargo, muchos chistes juegan con la simetría para romper sus leyes y manifestar situaciones inesperadas. Esta ruptura se convierte en un elemento evocador. 37 Profundizando en la simetría y las regularidades, diversas historietas son de una gran plasticidad, presentando imágenes con gran carga estética [24]. Jim Davis tiene la costumbre de encabezar sus historietas largas de Garfield (compuestas por dos filas de viñetas, aparecidas los domingos) con encabezamientos que encierran regularidades diversas, entre ellas una simetría central.
Max Aguirre (viñeta 87) dibuja en La Nación una viñeta que se puede mirar desde los dos extremos y tener la misma imagen, ya que representa una bonita simetría respecto al centro del cerrado de la viñeta. El autor homenajea así al artista holandés Escher, que tanto se ha relacionado con las matemáticas.
37. La simetna nos da sorpresas, especialmente cuando se rompen sus leyes, como nos señala Cole (1999). Ibáñez, en La Nación de Argentina. muestra un paciente en el psiquiatra que se ve reflejado en el espejo como una langosta (de plaga). Zuiet presenta en el Sur de Málaga (2008) la oposición entre dos personajes de actualidad, mediante una slmetría respecto a un punto. Lo titula «encuentro en distinto plano».
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Pero la aplicación abusiva de modelos matemáticos puede generar situaciones perversas. Uno de los modelos que más se prestan a ello es la proporcionalidad. Ya lo vimos en la viñeta de Cogue (viñeta 20, p. 43), donde se aplica indebidamente al cálculo de los honorarios del dentista si se hace en relación con el tiempo [25]. Tris (viñeta 88), en el periódico de La Riojadejunio de 2008 (www.larioja.com), se refiere al exceso de velocidad, que no siempre es una proporcionalidad socialmente negativa.
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Epílogo. A reír tocan De la revisión realizada, la colección de más de cinco mil chistes gráficos relacionados con las matemáticas y, por supuesto, de las viñetas presentadas en este libro, extraemos la conclusión de que los humoristas son matemáticamente competentes para reír y para hacernos reír.
Para que los lectores puedan sacar jugo a las viñetas, para comprender su mensaje humorístico, deben ser matemáticamente competentes. En el sistema educativo recae la responsabilidad de lograr que sus ciudadanos adquieran esta competencia. Para ello todos tenemos que ser partícipes de las cualidades del mensaje humorístico, percibir sus beneficios y disfrutarlo. Aunque es cierto que el mensaje humorístico no siempre despierta simpatías, como aparece en la historieta de Frato, donde los profesores esperan ansiosos la nueva historieta del autor y se enfadan cuando se sienten retratados en situaciones que ellos perciben como ridículas.
N o caigamos en la situación del profesor, personaje de la historieta de Frato, sintiéndonos agredidos por la visión ridícula que a veces se hace de algunos de nuestros actos. Como jáuregui (2007) nos dice [25], el humor trata de ridiculizar la parte menos racional de nuestro comportamiento. Por tanto, el humorista realza las partes menos racionales de la vida social y las pone de manifiesto exagerándolas para manifestar su irracionalidad. La ridiculización nos debe mover hacia la creatividad, cuando al hacernos conscientes de nuestras creencias inconscientes, es-
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tamos en condiciones de examinarlas, de percibir su grado de ridiculez o de racionalidad. Partiendo del hecho de que la mayoría de los humoristas son periodistas de opinión, hay que aceptar que sus chistes reflejan creencias populares valiéndose de mensajes compartidos con sus lectores. Al destinar sus chistes al gran público, tienen que buscar alusiones que compartan la mayoría de sus lectores. Si emplean los conceptos matemáticos o aluden a la enseñanza de las matemáticas es porque forman parte de la cultura popular. Por tanto, los chistes son un buen referente para que investiguemos qué significado atribuye la sociedad a las matemáticas, a sus objetos y a su enseñanza. Aceptemos que las matemáticas y su enseñanza se prestan a la critica. Sólo los que adoptan posturas rigidas reaccionan ante el humor con una actitud hostil. Por tanto tengamos una actitud abierta hacia el humor. Los humoristas
nos ayudan a ver las necesidades matemáticas de la sociedad, a percibir
los códigos matemáticos que forman parte de la vida, nos sugieren conceptos matemáticos. Esperamos que todo ello nos lleve a ver que tenemos que ser «matemáticamente competentes para reír». Para ello hemos de abrir nuestra mente a otras formas de ver el mundo, a otras formas de ver las matemáticas, a formas nuevas de enseñar que lleguen a nuestros alumnos. /
Queremos infundir ánimos a partir del humor para llegar a ser: MATEMÁTICAMENTE COMPETENTES PARA REÍR.
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Siempre con la intención de ser MATEMÁTICAMENTE COMPETENTES PARA VIVIR. Nuestro agradecimiento a los humoristas, verdaderos protagonistas y autores de este libro. Sin ellos no tendría sentido. Reconozcamos el esfuerzo que realizan los profesionales del humor y démosles las gracias disfrutando de sus esfuerzos y haciendo que todos podamos lograr este disfrute.
¡¡Muchas gracias!! Aguilera, Altuna, Álvaro Peña, Amend, Argote, Armengol, Aure, Barceló, BatIlori, Belatz, Bernabé, Bonet, Brieva, Caín, Calpurnio, Candela, Carlos, Cathy, Cebrián, Celes, Chúmy, CoIl, Contreras, Corominas, Daniel Paz, Dávila, Davis, Dusón, El Roto, El Tío Pencho, Elgar, Elrich, Eneko, Enrique, Entrialgo, Esteban, Faro, Favelis, Fernández, Ferreres, Fontdevila, Forges, Frato, Fumes, Gato, Gila, Geluck , Gogue, Goscini, Granda, Harrys, Hart, Hernández, Ibáñez, Idígoras y Pachi, Jap, Khami, Kap, Khram, KlanKlon, Liniers, Lola, Love, Lumacaifacallos, Man, Márquez y Balbuena, Martínez del Vas, Martín Morales, Más Madera, Max Aguirre, Máximo, McFly, Medina, Mel, Mena, Mesamadero, Michelena, Miki & Duarte, Millás, Mingote, Mirarte, Montt, Montoro, Mora, Morgan, Munroe, Nando, Nestor, Nik, Node, Novakova , Orcajo, Oroz, Ortifus, PadyIla, Pareja, Parker, Pau, Perich, Peridis, Petit, Puebla, Quesada, Quim, Ramón, Ricardo, Roberto Franco, Romeu, Romero, Rovira, Rubio, Salas, Sansón, San ti Orue, Santy, Sendra, Serra i Fabra, Soria (Guillermo y Andrés), Tasio, Thaves, Thyne, Tonisavski, Toño, Tris, Urdezo, Vázquez, Vergara, Vilar, Vinner, Watterson,
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Zulet, etc., etc.
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38. Durante el proceso de edición de esta obra, concretamente el 10 de julio, Francisco Periago (Xim), autor de algunas de las viñetas que aparecen en este libro. falleció. Sirvan estas líneas para manifestar nuestra condolencia.
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Información complementaria l. Kroeber y K1uckhohn en Culture: A Critical Review 01 Concepts and Dejinitions (1952) citaron 164 definiciones del término «cultura». Todas deben tener elementos comunes en su enunciado cuando en multitud de textos se habla de cultura sin especificar una definición, pero serán sus características distintivas lo que determinarán su relación con las matemáticas. Gellner (1994, pp. 14-15) afirma que «una cultura es una manera distinta de hacer las cosas que caracteriza a una determinada comunidad y que no viene dictada por la dotación genética de sus miembros. Las culturas pueden definirse aproximadamente como sistemas de conceptos o ideas que guían el pensamiento y la conducta». Bajo esta perspectiva, el individuo necesita vivir necesariamente dentro de alguna cultura y ayudándose de ella. Es un elemento integrador. El individuo pasa a formar parte de una comunidad cuando asimila su cultura. Ésta es una idea dinámica de cultura, en la que la reproducción cultural se realiza por transmisión social y los conceptos son compartidos por el grupo. Una idea diferente, aunque no necesariamente antagónica, es la defendida por Gimeno (1998, p. 186), quien la atribuye a las sociedades occidentales. «Cultura es una representación consciente de "un" legado aceptado como tal, que puede ser implícito respecto a muchos de sus contenidos, que se plasma en la selección de obras de referencia, textos fundamentales, libros de texto y, una vez que los Estados intervinieron en la organización del sistema escolar, también en las disposiciones legales». Desde esta visión, los hechos culturales no se transmiten socialmente sino que se reproducen como algo externo al ser humano. En el mundo occidental postmoderno se tiende a imponer la idea de cultura con carácter antropológico: la cultura lo incluye todo (Gimeno, 1998). La forman todos los contenidos que constituyen los modos de vida de una sociedad: conocimiento, creencias, expresiones folclóricas, tecnologías, usos de la vida cotidiana, formas de comportamiento colectivo, el derecho, reglas morales, etc. Con esta perspectiva, la idea de cultura se impregna de un sentido esencialmente relativista y dinámico. Stenhouse (1967) afirma que «la cultura consiste en un complejo de comprensiones compartidas que actúa como medio por el que las mentes individuales interaccionan para comunicarse entre SÍ». Esto significa que cuando las personas comparten un complejo de comprensiones pertenecen a la misma cultura, pero además un complejo de comprensiones compartidas por un grupo de personas se convierte en cultura. Las matemáticas son algo más que un lenguaje. Son ideas, ideas sobre ideas, abstracciones, un enonne complejo de comprensiones que comparten los individuos. Ideas como contar, medir, etc. son compartidas por los miembros de nuestra sociedad. De hecho, la institución escolar se encarga de enseñarlas para sumergir en su cultura a todos sus miembros.
Kroeber y K1uckhohn (1952, p. 340) afirman que «los valores proporcionan la única base para una comprensión totalmente inteligible de la cultura, porque la verdadera organización de todas las culturas se da, fundamentalmente, en función de sus valores» (p. 340). Debemos tratar de conocer los valores de la cultura matemática si queremos comprenderlos antes de transmitirlos a nuestros alumnos.
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l. Relacionados con la componente ideológica los valores culturales se agrupan en torno al par complementario racionalismo-objetivismo. El racionalismo es e! valor que mejor resume e! poder y la autoridad de las matemáticas. Este valor influye en todos los aspectos de la vida social y moral de una persona, establece coherencia en las actuaciones personales y en las relaciones interpersonales. Un aspecto muy destacado de las matemáticas es la separación que establece entre el objeto y la idea. Bishop explica esta tesis: "El racionalismo sólo hace referencia directamente a argumentos, inferencias, relatos y explicaciones: el racionalismo sólo se transfiere a personas y objetos mediante la explicación de esos fenómenos concretos. Para nosotros una persona sólo se comporta lógicamente si podemos encontrar una expliI , cación lógica de su comportapIiynto» (p. 89). El objetismo o creación de objetos supone tratar las ideas como si fueran objetos. Este valor coloca la base para atomizar el conocimiento y por tanto para comprender de forma intuitiva el razonamiento axiomático.
l. La segunda componente de la cultura es e! sentimiento. El par complementario que aglutina los valores asociados es control-progreso. Por un lado, la matemática es el instrumento con el que se controlan fenómenos naturales y últimamente, también los sociales. El conocimiento matemático, por tanto, provoca en quien lo posee un sentimiento de control y seguridad. Pero este mismo control despierta la sensación de que es posible comprender más, de que lo desconocido se puede llegar a comprender. Se establece de este modo el valor progreso en el que se encuentran los sentimientos de crecimiento, desarrollo y de cambio.
4. Vinculado a la componente sociología encontramos el par apertura-misterio. El primero de los valores se refiere al hecho de que las verdades, las proposiciones y las ideas matemáticas en general, están abiertas al examen de cualquier persona. El segundo por el contrario se refiere al hecho de que para muchas personas las matemáticas son un misterio y los matemáticos son seres misteriosos.
5. El libro de Fernández Berrocal y Ramos (2002), Corazones inteligentes, recoge en el capítulo "El arte de la intuición y la intuición de! arte» de Adrián y Adrián algunas consideraciones sobre cómo e! humor y los chistes recurren a provocar emociones en el lector generando una contradicción entre la forma en que se presenta y el contenido que encierra. La clave es que la forma de presentación debe sugerir mediante la sorpresa, la paradoja o la contradicción, pero sin hacer explícitos los contenidos de! mensaje. 6. Frato (Francesco Tonucci, 1983) es un pedagogo italiano que se expresa mediante historietas gráficas. Sus dibujos son mundialmente conocidos. En España, además de por sus libros, lo conocemos por haber ilustrado durante mucho tiempo los artículos en la revista Cuadernos de Pedagogía. En la historieta a la que aludimos se pone de manifiesto la controversia entre la escuela y el entorno. Aparte de su crítica intachable, el escenario nos permite ir más allá para mostrar cómo la idea de competencia permite conjugar los saberes escolares con los extraescolares. Coincidiendo con Frato en la crítica de la enseñanza que no toma en cuenta los conocimientos externos de! niños, debemos buscar qué expectativas se hace la sociedad respecto a los niños, para qué debe ser competente el niílo, todos los niños. Convirtiendo estas expectativas en objetivos de nuestra enseñanza podremos resolver la controversia, conjugando saber hacer y saber, además del «saber qué destrezas se dominan».
7. BiIl Watterson en una de sus historietas presenta a Calvin pensando con tanta intensidad para resolver un cálculo, que e! zumbido de su <,UHMMMM» se convierte en e! ruido de un cohete. Gus, el personaje adolescente de Horacio Altu-
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na en su serie Familia TiPo, duda de que los hombres sólo dediquen el 70% de su pensamiento al sexo. ¿En qué otra cosa podrían pensar? Matías, personaje infantil de Sendra, en el periódico Clarín, de Argentina, dice que el verbo divorciar es irregular, el pasado es «amé» y el futuro «reclamaré alimentos». Cuando la maestra le da un 5 aunque se merece un 10, Matías comprende que los otros 5 son «bienes gananciales». Matías entiende y utiliza conceptos matemáticos, piensa con y sobre ellos. Elgar, en el periódico malagueño Sur del 23 de octubre de 2008, presenta una típica conversación española, en la que los interlocutores razonan y se preguntan: «si uno de cada tres españoles en edad de trabajar está en paro, uno de cada tres no da golpe y uno de cada tres no es español ¿quién trabaja en este país?».
8. Bob Thaves, humorista americano, en uno de sus chistes matemáticos sobre el origen del mundo, muestra a Dios dándole a Moisés las tablas de la Ley. Incluyen una indicación sobre los ángulos que Él mismo reconoce que estaba destinada a Euclides. Los postulados de Euclides son el origen de la argumentación matemática. El matemático de Jason Love llega mediante argumentación a la conclusión de que su compañero no existe. Máximo, en El País del año 2002, concluía su argumento diciendo: «Quizás el problema de ETA no sea sólo de técnica político-matemático-penal». Ferreres, en El Periódico de Cataluña, dibuja nativas africanas lamentándose del consumo de agua en Europa si lo comparas con el agua en la república saharaui. Realizando cálculos y razonamientos matemáticos cuantitativos, Forges, en una de sus viñetas de El País, ridiculiza los argumentos de los políticos cuando analizan las votaciones: «Extrapolando la intención de voto de los mayores de 40 años a los teóricos votantes [ ... J, nos encontramos con que ganamos en Chinchón». La disposición a crear y expresar argumentos matemáticos falaces es una habilidad de los personajes que denuncia el autor. 9. La competencia comunicativa encierra dos capacidades: emitir mensajes matemáticos adecuados e interpretar los mensajes matemáticos. Diversos humoristas muestran su capacidad para transmitir mensajes matemáticos interesantes. Sydney Harrys, humorista americano, es un especialista en chistes científicos y lo citaremos reiteradamente. Se pueden encontrar sus chistes en su página web (http://theflowfieldunity.com/tag/science).Calpurnio, en 20 minutos, refleja que el lenguaje ancestral de los indios se vale de humo en forma de cifras cuando tienen que comunicar el número del móvil. La comunicación matemática por excelencia es la numérica. Enrique, en Información (Alicante) del 5 de mayo de 2009, relaciona «la ciudad y las matemáticas», expresando el número de la casa mediante un cálculo complejo. Pau, en Diari de Mallorca del 25 de mayo de 2009, denuncia técnicas de marketing del vendedor que consigue más compradores de coches publicitando el precio en la forma 16.000 - 2.000, en lugar de informar directamente del precio (14.000 EUR). Habilidad perversa en la comunicación matemática. Sin embargo Khami, en la revista Quevedos de 2008, representa un ciclo que muestra cómo los desechos se vuelven contra nosotros. La simetría de la sombra hace que el cubo de la sombra sea receptor de lo que acabas de tirar. La competencia comunicativa y plástica del autor se tienen que ver acompañada de una capacidad interpretativa del lector para admirar esta metáfora basada en la simetría. Idígoras y Pachi en El Mundo del 2 de marzo de 2008, muestran a los candidatos Rajoy y Zapatero en plena campaña electoral, intercambiando mensajes mediante gráficos en un ring de boxeo. Los personajes son matemáticamente competentes para comunicarse. Asimismo Martín Morales, en el ABC del 1 de julio de 2008, retrata al presidente del Gobierno mostrando un gráfico decreciente (de la situación económica), junto a otro creciente (de los éxitos de la selección española de fútbol). Para el hábil comunicador Zapatero, el primer gráfico procede de factores externos, mientras que el segundo es debido al apoyo del Gobierno.
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10. Elrich, en El País digital del 12 de abril de 2008, muestra a una pareja desigual. El tamaño del hombre encaja bajo el pecho de la mujer. La mujer reconoce que más que un acople perfecto entre ellos hay una «asimetría». La asimetría le sirve para modelizar la relación en la pareja. De nuevo Gus, adolescente de Horacio Altuna en Familia tipo (Altuna, 2008), trata de convencer al profesor de matemáticas para que devuelva una parte de su sueldo ya que no ha logrado que él aprenda. El modelo de proporcionalidad le vale aljoven para dar argumentos a las reclamaciones adolescentes. Man, en La Verdad del 2 de agosto de 2008, aplica el modelo de proporcionalidad directa a la felicidad. Si casarse da la felicidad, para ser más feliz hay que casarse varias veces. 11. Los autores de estos chistes son competentes para presentar situaciones en las que algún personaje muestra competencia o incompetencia matemática. Analizando las componentes de las competencias en los chistes, siguiendo la caracterización que hemos indicado al principio del capítulo 2, observamos que el contenido matemático más frecuente es la proporcionalidad. Le siguen las operaciones. También aparece la estadística, algunos aspectos geométricos y de medida.
Las destrezas matemáticas en los chistes son las necesarias para manejar los conceptos anteriores, cuando hay que resolver o interpretar situaciones problemáticas de la vida cotidiana. A veces se emplean de manera perversa, prueba de que los humoristas tienen tal grado de competencia que pueden jugar con las matemáticas. Observamos, pues que los humoristas tienen disposición a emplear las matemáticas para resolver situaciones cotidianas. Yen muchos casos son críticos, poniendo en cuestión una aplicación matemática falaz, superficial, perversa. En otros, sugieren un razonamiento matemático para mostrar la ridiculez de las decisiones o soluciones adoptadas. Un caso aparte y digno de mención se da en la historieta de Aguilera del capítulo 1 (viñeta 6, p. 21). En una primera lectura, parece que el autor critique que una meseta en la gráfica de beneficios sea la causante del despido de un trabajador. Con ello recuerda la historieta de Thyne (1978), profesor de didáctica americano, autor de un libro clásico, PrinciPios y técnicas de examen, que ilustra muchos de sus razonamientos mediante viñetas. En una de ellas, un profesor les decía a sus alumnos: «En el próximo examen quiero que todos estéis por encima de la media". Parece que el empresario de la historieta de Aguilera quiere mantener el crecimiento de beneficios, para lo que debe prescindir de un gasto, el sueldo del empleado. Los comentarios de algunos profesores de matemáticas en las XIV JAEM de Girona nos han hecho ver que el chiste puede encerrar un error matemático: Aguilera ha colocado los años en el eje de ordenadas y los beneficios en el de abscisas. De esta forma> la gráfica horizontal indica que en el año 2007 se produce un crecimiento furibundo de beneficios. Si se interpreta de esta forma, no se encuentran razones para despedir a García. 12. Hasta para definir el humor se ha establecido una fórmula. The Comedy Research Project establece: G = (e + S)/nP. Matemáticamente dice que la gracia de un gag (G) es inversamente proporcional al número de palabras (nP) y directamente proporcional a la suma de la comicidad del momento (C) y el factor sorpresa (S).
El humorista español que recurre a las fórmulas con mayor frecuencia en sus chistes es Máximo. Las fórmulas para expresar la esencia de Dios, la situación política, la relación de fuerzas, las intenciones de los gobiernos, etc., han aparecido en sus viñetas en El País. También Forges emplea con frecuencia las fórmulas. En un chiste explica por qué la selección española de fútbol no pasa de cuartos en la Copa de Europa de naciones (¿?) (18 de mayo de 2008). Elgar, en el diario Surde Málaga del 22 de febrero muestra cómo cálculos algebraicos complejos llevan a la conclusión de que
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ganará el PP. Sixto Cámara, explicaba en 2005
CII
hlhTvilí
1.. (;1'111111 ..
miento (rojo) + berenjena + ajo = escalibada; pscalibru[a-lwwlljf'llfl = 1Ji.\to sirvl! en patena).
lII¡íf.{ica del presidente, en su EZPaña: tomate + pi-
lIumdlPI{0
y pisto / escalibada = zorongo extremeño (que se
11. Con motivo de la muerte de Diana de Gales. 1111 ciudadallo dibujado por Forges frente a un quiosco de prensa, pedía «cuarto y mitad de Lady Di". Y con motivo dd primer IÍscar de Almodóvar, el mismo Forges le asignaba a cada español una "treintamillonésima» de éste. El libro de l'oskilt (~009), t:sas insignificantes fracciones, de la serie "Esa horrible ciencia», incluye ilustraciones humorísticas protaf.{(mizadas por fracciones. Fuera del ámbito de los medios de comunicación, Liliana Dri, profesora argentina, ha rccopilado los chistes realizados por sus alumnos de sexto y séptimo de la Escuela núm. 5 del DE de Buenos Aires (Dri, ~007). Son tan interesantes los dedicados a fracciones que en un artículo conjunto (Dri y Flores, 2008) hemos analizado la variedad de aspectos que manifiestan los niños. 14. Forges comienza en otro chiste con la típica frase: «Si la estadística no miente», a lo que otro personaje le dice: «¡miente!». Recientemente, en La Nación de Argentina, Nik decía que «la estadística piensa en futuro, pero los gobernantes de ahora piensan en las encuestas». Para Caín, en La Razón, «los grandes estadistas son los que saben concentrar todas sus mentiras en una sola». Candela, en La Kodorniz yen su blog http://candelaycia.blogspot.com en mayo de 2009, muestra a dos chicas analizando el porcentaje de chicos de diversos tipos, para calcular las posibilidades de conseguir uno que valga la pena. Alberto Montt, en su página, www.dosisdiarias.com dice que no cree en las estadísticas, desde que sabe que u'es de cada diez son falsas. Paulos (1996), relata situaciones estadísticas que aparecen al leer el periódico, algunas de las cuales despiertan la sonrisa (otras son más dramáticas). El libro de Gonick y Smith (1999), La estadística en cómic, es siempre recomendable. En las páginas web www.cartoonstock.com/directory/s/statistic.asp de Ed Beardwell y http://offthemark.com/search·1'f'sults/key/statistic de Mark Parisi se pueden encontrar viñetas humorísticas en inglés, que utilizan o bromean sobre la estadística. Una recopilación de páginas y blogs sobre humor con la estadística aparece en la página del Rice Virtual Lab in Statistics de David Lane (http://davidmlane.com/hyperstat/hu1llmfhtml'¡.
15. La mejor colección de chistes sobre matemáticos es obra de Sidney Hanis, humorista americano que dedica su atención a la ciencia, en general, y a la matemática en particular. Su colección de chistes sobre matemáticos es memorable (se puede consultar su página en: www.sciencecartoonsplus.com/index.php). Forges retrata a jóvenes matemáticos ligando en el último congreso internacional ICM celebrado en Madrid en 2006. 16. El 28 de septiembre del 2008, OCH representaba "Tío Sam + mendigo = Bush». EI12 de octubre "Pelícano + Wall Street = pollo asado». El 9 de noviembre del mismo año «Cassius Clay + Kennedy = Obama», etc. Se pueden encontrar todos los chistes de OCH en su página web (http://moneros.uni.cc/?lag=och). RecieI1lemeIlle, Mario Virgilio (o Mario Bonet, neoartista conceptual, como él mismo se titula), en el blog www.irreve1.f.ndos.com/realiza una suma simbólica entre person
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ganan la fama, abusan de su poder y papel. Martínez del Vas, en sus historietas en la Gaceta Universitaria, critica que ciertos profesores guardan gran distancia entre lo que dicen y lo que hacen. El profesor de cálculo matemático anuncia una enseñanza divertida, para lo que hace gestos de un conocido humorista «< ¡Pecadorrrl»), mientras escribe las interminables fórmulas. 18. Este mismo error sobre el porcentaje lo vemos en Matematicalia, con dibujo de Morgan e idea de Rafael Flores, en la que los alumnos reclaman al profesor que no pueden suspender e! 60 %, ya que ¡¡no son tantos!!
En la página de País de locos (www.paisdelocos.com/humor-f!7ajico) un conductor se queja de una multa, dice: «No puedo ir a 190 kilómetros por hora, si sólo llevo 10 minutos al volante». 19. Aquí tenemos algunos ejemplos de lo que significan las matemáticas para los niños y la sociedad:
Nando, en El Periódico de Cataluña del 27 de septiembre de 2008, compara las matemáticas y la fruta. El niño dice: «Las matemáticas se me atragantan, pero las frutas y verduras ... ¡Es que no las trago!». Los adolescentes de Horacio Altuna consideran inútiles las matemáticas, por lo que no tienen escrúpulos en emplear los apuntes de matemáticas como papel higiénico. Manuel Fontdevilla, en Público de enero de 2008, muestra a los padres decidiendo sobre e! currículo escolar del niño: «No le enseñe Educación para la Ciudadanía. Pero tampoco logaritmos neperianos, que no los usamos en casa». Steve Breen, en El Pequeño País de! 25 de junio de 2006, presenta a un niño durmiéndose en clase de matemáticas. El niño que dibuja Groso Quim, en La Kodorniz de julio de 2008, compone la «Z» que en los chistes simboliza el sueño con libros de álgebra (soporíferas). Quim, en El Periódico de la Fannacia de julio 2009, muestra el papel repelente de las matemáticas. Un niño recitando conceptos matemáticos es el mejor repelente de mosquitos. En 2006, Capdevila demostraba en El 9 Nou (www.el9nou.cat) que algunos conceptos son interpretables según las condiciones: «un cuarto puede ser mayor que un medio si e! cuarto es de elefante y el medio de pollo».
lO. El autor estadounidense Ziggy se imagina en la tira de cómic diaria (www.gocomics.com/jeatures#spanish_comics) que pulsando un botón se producirá un evento al azar. Quino, en Esto no es todo (2001), muestra cómo Dios planifica los sucesos sacando una bola de un bombo para decidir sobre quién caerá una cornisa. Chumy Chúmez se juega en otra historieta la existencia de Dios a cara o cruz, como ya hiciera Adolfo Marsillach, representando un personaje de la obra de Arrabal, El arquitecto y el emperador de Asiria, que se jugaba la existencia de Dios al jukebox. 11. El infinito se presenta en dos formas, como la secuencia indefinida de números naturales, que corresponden al infinito potencial, o como el infinito ligado a la división ilimitada de lo finito, que es e! infinito actual. El infinito potencial les permite a los niños competir sobre quién tiene más juguetes (o canicas o dinero, según proceda), con los clásicos diálogos: «yo tengo mil; pues yo un millón; pues yo mil millones; entonces yo infinito; yo infinito más mil», etc. El infinito actual es el generador de las famosas paradojas de Aquiles y la tortuga, que tanto juego han dado en filosofía y matemáticas, especialmente tratada por Lewis Carroll en Matemática Demente (1999). Desde la concepción de límite a partir de infinitésimos, ligados a la idea de infinito actual, la matemática ha evolucionado para evitar una idea intuitiva que no satisfacía a los formalistas. La definición de límite de Cauchy salva el escollo estableciendo una correspondencia entre la cota y la aproximación. Con ello se genera un diálogo entre quien fIJa la cota y el que puede obtener el término (en sucesiones), o la aproximación de la variable independiente (en funciones). Esta situación se emula en
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viñetas deJim Davis, en su serie Garfield. La complicada relación entre Garfield y su amo pone aJon en situaciones en que ruega de manera reiterada. En una de ellas trata de identificar cuánto lo estima Garfield, quien le promete que reconocerá la cota cuando se acerque a la cantidad de aprecio. En otra historieta el límite lo sugiere la cantidad de veces que tiene que rogar "por favor» a una chica para que salga con él.
22. El número de partes conexas, es decir, regiones formadas por punlOs de la figura tales que dos cualesquiera de ellos se puedan unir por curvas que están en su interior, es una propiedad importante de la topología. El número de partes conexas de un donuts es el mismo que el de una taza de café, de ahí su identificación topológica. De entre los numerosos libros interesantes de divulgación de la topología destacamos uno clásico, editado por Time Life (Bergamini, 1969), con un capítulo dedicado a los orígenes de la topología. En espai'iol es recomendable Aventura topológica, de Carlavilla y Fernández (1994). 23. Mena presenta en ABCuna situación topológicamente imposible. Sin levantar los esquís del suelo no se puede hacer pasar una pierna a cada lado de un árbol notablemente más largo que las piernas. Néstor muestra en Siglo XXI, durante el verano de 2008, a una persona perpleja mirando dos flotadores cerrados entrelazados. Dos curvas simples rígidas como son los flotadores no pueden enlazarse a menos que se hayan fabricado de esta forma. Es la situación que observamos en los taburetes de madera de la artesanía africana elaborados a partir de troncos de árbol, pero entrelazados desde su construcción. Claro que a veces, como nos represellla Liniers en el periódico argentino La Nación, parece haber un genio que se encargue de enredar los cables del auricular de los teléfonos fijos, pues no nos explicamos cómo se llega y si es posible el lío que presentan. 24. Otras historietas juegan con los recursos pictóricos para realzar su efecto. Una historieta antológica de BilI Amend describe la rocambolesca carrera que realiza un adolescente. El chico, adormecido al estudiar trigonometría, pasa a sentarse en el comedor de casa, un piso por debajo, en el intervalo de tiempo que va desde que la madre dice «Chicos piz ... », hasta que termina la frase «Chicos piz ... za». Para enfatizar esta carrera sorprendente, el autor se vale de perspectivas, emplea angulaciones y encuadres fantásticos, que prodiga a través de 12 viñetas. La calidad pictórica y narrativa del autor ha despertado nuestra admiración, por lo que hemos estudiado la historieta matemáticamente (Flores, 2008). A partir de su estudio hemos elaborado una propuesta de enseñanza encaminada a desarrollar la visualización y promover que los alumnos se familiaricen con el lenguaje gráfico.
25. Si bien hay que reconocer que no siempre se factura adecuadamente y que son numerosos los abusos en cobros como en las reparaciones, no podemos emplear el modelo de proporcionalidad para calcular todo. El chiste clásico sobre el tema es clarificador: el usuario se queja al técnico informático que le ha cobrado 150 euros por una reparación en su ordenador particular, en la que ha empleado 10 minutos. El informático (o el notario, o el dentista, o ... ),le dice que a esos 10 minutos hay que añadir el tiempo que ha empleado en prepararse para saber dónde tiene que pulsar para localizar la avería, para repararla, para dar fe, para extraer la muela, etc. La proporcionalidad en cuestiones comerciales tiene que estar bien definida, y no siempre es respecto al tiempo. 26. El humor es una cualidad que encierra muchas interpretaciones y sentidos. En algunos casos se destaca que el sentido del humor es una cualidad exclusivamente humana, con lo que se hace alusión a la cualidad intelectual del humor. Sin ánimo de hacer un estudio exhaustivo sobre el significado del humor, queremos destacar que diversos autores
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han llamado la atención sobre su pape! psicológico, social y didáctico. Las teorías sobre el sentido del humor se clasifican en tres categorías (Martin, 2000). La primera lo identifica como superioridad/denigración y supone que la respuesta de humor surge de los defectos, errores y fallos propios o ajenos. La segunda, centrada en la incongruencia, considera que el humor se produce por la asociación inesperada de dos situaciones que no están unidas habitualmente, pero que pueden asociarse en algún sentido. Por último, la tercera línea de teorías enfatiza que e! humor surge como alivio en situaciones emocionales concretas. Nos posicionamos en la interpretación que Eduardo Jáuregui hace del humor (2007). Jáuregui retoma las ideas de ridiculización que ya iniciara Bergson (1973) desde una perspectiva más antropológica. Con ello abarca a las teorías de la incongruencia y evita el papel de negatividad que parece asignarle Bergson al humor. Desde esta perspectiva, el humor trata de ridiculizar la parte menos racional de nuestro comportamiento. Para ello el humorista pone de manifiesto las partes menos racionales de la vida social mediante situaciones en las que se exageran para manifestar su irracionalidad. La ridiculización es más eficaz cuando está acompañada de creatividad, dando lugar a una forma de presentación que lleva a los receptores a percibir como posibles otras forma de razonamiento que no tomamos en cuenta cuando incurrimos en el ridículo (Grupo LaX, 2009). Desde esta perspectiva, los humoristas destacan elementos risibles del entorno para hacerlos visibles a los demás. Para ello se valen de elementos compartidos por los grupos sociales. De esta forma el humor crea un ambiente lúdico, en e! que las actitudes defensivas están menos patentes, por lo que podemos recibir otras formas de percibir la realidad aunque estén alejadas de nuestra postura. Por tanto e! humor se puede emplear para mirar con distancia, para vivir de forma más sana. Pero también para facilitar la comunicación entre educadores (Flores, 1996 y 1998), para generar ideas más completas, en las que e! mensaje cognitivo se vea reforzado por un mensaje emocional (Dri y Flores, 2008).
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Colección Micro-Macro Referencias: Comprender el dolor infantil Niños y niñas que sufren emocionalmente M. Schenetti La pedagogía del caracol Por una escuela lenta y no violenta G. Zavalloni Primero batir los huevos ... Cocina creativa para jóvenes principiantes A. Parellada No se lo digas a mamá Escritos de abuelas y abuelos educadores M.J. Comellas. E. Sánchez. 1. Cabanellas. 1. González. J. Cela. J. Funes. j. Asensi. M.e. Díez. M.o. Villuendas. M. Rojas. P. García. P. jiménez. P. Torres. R. González. R. Guitart Las ranas y el efecto Pigmalión 43 relatos para una escuela y una sociedad inclusivas J. Garrido Landívar Los márgenes de la moral Una mirada ética a la educación j.-e. Mélich.A. Boixader (coords.) Educar en tiempos revueltos Crónicas sobre la realidad educativa J. Ballesta Pagán La vida escolar en un curso
J. Carbonell.A. Serra Un lugar llamado escuela E. Bosch
Este libro está destinado preferentemente a los profesionales de las matemáticas y de la educación matemática, así como al resto de la comunidad educadora, y su intención es mostrar, a través de una selección de viñetas humorísticas, el papel que desempeñan las matemáticas en nuestra sociedad. Así, una de las formas de mostrar la función social y cultural de las matemáticas consiste en apreciar cómo se hacen imprescindibles y necesarias en nuestro entorno. No por otro motivo se viene utilizando el término «alfabetización matemática» para llamar la atención sobre la necesidad de que los ciudadanos conozcamos los conceptos matemáticos, pero sobre todo de que sepamos aplicarlos para vivir en sociedad; es lo que se llama ser matemáticamente competente. Para lograr su objetivo, los autores de este libro, que han recopilado a lo largo de los últimos diez años viñetas relacionadas con las matemáticas, han hecho una selección entre las publicadas en periódicos españoles. Estas viñetas nos muestran cómo los humoristas, periodistas gráficos de profesión, son capaces de reflejar «matemáticamente» las preocupaciones de la sociedad.
A
partir de los seis capítulos que configuran este libro se ha trazado un recorrido con paradas en apartados de tanta importancia y variedad como el racionalismo, el objetivismo, el progreso, el pensar y razonar, el argumentar, el comunicar, el plantear y resolver problemas, las fórmulas, la geometría, las magnitudes, el infinito, los números, las operaciones y las estadísticas, la proporción, las cifras,las fracciones así como las operaciones y los signos.Todo ello para darnos cuenta de que debemos ser matemáticamente competentes, incluso para reír.
ISBN 978-84-9980-360-9
9188499 803609
