Mathematik 2: Lehrbuch fur ingenieurwissenschaftliche Studiengange, 6. Auflage (Springer-Lehrbuch)

c) Flächeninhalt der von einer Lemniskate begrenzten Fläche (vgl. Beispiel 1.10). Durch r=aJcos2

S~ a 2 cos2
-~

2

2

_~

a 2 . =-[1-(-1)]=a 2

4

Ist der Flächeninhalt eines Gebietes zwischen den Schaubildern von r = f1 (
48

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

bestimmen, dann müssen analog zum Vorgehen bei kartesischen Koordinaten zunächst die Schnittpunkte der Berandungskurven bestimmt werden.

y

x

x, Bild 1.37: Fläche zwischen zwei Schaubildern

Für den in Bild 1.37 dargestellten Fall dreier Schnittpunkte gilt z.B.:

A = -i

~2

J (f

~3

2 1 (CP)

- f 22 (cp))dcp

+ i S(f22 (CP) -

f((cp)) dep.

~1

Auch im Falle, daß ein Gebiet von einer geschlossenen Kurve C umrandet ist, wird der Flächeninhalt für beide Koordinatensysteme auf analoge Weise bestimmt (vgl. Bild 1.38). Für den dargestellten Fall gilt z.B.: ~2

A = i S(f12 (ep) - f;(ep))dcp

~3

~4

+ i S(f12 (ep) -fl(ep)) dcp + i S(f;(ep) -

f 42 (ep))dcp.

Aus (1.50) kann eine entsprechende Formel für den Fall abgeleitet werden, daß die Berandungskurve in Parameterdarstellung gegeben ist. Bezeichnen wir die Ableitungen nach dem Parameter t mit einem Punkt, so gilt entsprechend dem Zusammenhang zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten für differenzierbare Koordinatenfunktionen: x

= r(t)' cos ep(t) => x = f·cos cp - r' (jJ' sin ep => Y' x = r,f, sin ep'cos ep - r2 . (jJ' sin 2 ep

Y = r(t)· sin ep (t) => Y = f· sin cp + r' (jJ , cos ep => x . y = r' f, sin ep' cos ep + r 2 • (jJ . COS 2 ep,

und daraus folgt: • • 2, 2 2" 2 2 dep X'Y-Y'x=r 'cp'cos ep+r 'cp'Sln ep=r'dt

1.1 Geometrische Probleme

y

49

f,

Xl

Bild 1.38: Fläche innerhalb einer geschlossenen Kurve C

Unter Berücksichtigung dieser Gleichheit lautet Satz 1.4 1 ): Satz 1.5 (Sektorformel)

Besitzt ein ebenes Gebiet als Berandung eine glatte Jordankurve C: x = q.>(t), Y = 'P(t), tE [t], tz ] und zwei Strahlen durch den Nullpunkt und P(tl ) bzw. P(tz), dann gilt für den Flächeninhalt dieses Gebietes:

=+ f (q.>(t) JjJ(t) - eilet) 'P(t) )dt. 12

A

(1.51 )

tl

Bemerkung:

Entsprechend der Orientierung der Winkel erhält die Berandung eine Orientierung (vgl. Bild 1.39). Beispiel 1.33 Flächeninhalte von Gebieten, deren Rand in Parameterdarstellung gegeben ist a) Flächeninhalt der von einer Ellipse berandeten Fläche Durch x = a-cos t, y = b· sin t mit tE [0, 2n] wird eine Ellipse beschrieben (vgl. Beispiel 1.21b)). Nach (1.51) gilt für den Flächeninhalt: Zn a.bZn A = 1 S [a'cos t(b'cos t) - ( - a'sin t)b'sin t] dt = ~ S (COS Z t + sin Z t) dt = n-ab. o 2 0

1) Man beachte, daß nun

50

Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

y

o x Bild 1.39: Fläche, deren Berandung in Parameterdarstellung gegeben ist

b) Flächeninhalt der von einem Zykloidenbogen und der x-Achse berandeten Fläche Durch x = R(t - sin t), y = R(1 - cos t) mit tE [0, 2nJ wird ein Zykloidenbogen beschrieben (vgl. Beispiel 1.5). Für den Flächeninhalt unter diesem Bogen gilt (man beachte dabei die Orientierung!): o

A = ~ S [R(t - sin t)R sin t - R(1 - cos t)R(1 - cos t)J dt 2n R2 0 = - S (t. sin t - sin 2 t - 1 + 2 cos t - cos 2 t) dt 2 2n R2 0 R2 = - S [t·sin t + 2(cos t - 1)J dt = - [sin t - t·cos t + 2 sin t - 2tJ~n 2 2n 2

R2 = - [ - (- 2n - 4n)J = 3nR 2 . 2

c) Flächeninhalt der von einem kartesischen Blatt berandeten Fläche 3at 3at 2 Durch x = - 3 - - ' Y = - 3 - - mit tE wird ein Teil des kartesischen Blattes beschrieben (vgl. t +1 t +1 Beispiel1.13f). Für den Flächeninhalt gilt:

[R;

A -1 -2

oos

[~. 6at - 3at t 3 +1 (t 3 +1)2

0

3t 2

3a 2 00

==

2

4

S

0

3

(t + 1)

3

(2 - t 3

3~2.!~~ [_(t ~ 1) 3

-

I

3 2 3at .3a - 6at ]dt t 3 +1 (t 3 +1)2 3a 2 k 3t2 1 + 2t 3 )dt = - lim S 3 2 dt 2 k~oo o(t + 1)

_

= -

3~2 !~~ [(k3 ~ 1) -1] = 1a

2 •

Durch x = cos t, Y = sin t mit tE[O, 2nJ wird der Einheitskreis beschrieben. Ebenso beschreibt x = cosh t, y = sinh t die» Einheitshyperbel«. Während beim Einheitskreis die Bedeutung von

1.1 Geometrische Probleme

51

t als Bogenmaß offensichtlich ist, fehlt eine äquivalente Deutung bei der Hyperbel. Man kann t am Einheitskreis aber auch anders deuten (vgl. Bild 1.40).

y

y

x

x

Bild 1.40: Deutung des Parameters t an Einheitskreis und Hyperbel to

Am Einheitskreis gilt: A = ~

J (cos

2

t + sin 2 t) dt = t o. D.h. t o kann als Flächeninhalt eines

-to to

Sektors gedeutet werden. Für die Einheitshyperbel gilt: A

= ~

J (cosh

2

t - sinh 2 t) dt = t o.

-to

Auch hier entspricht dem Parameter ein Sektorflächeninhalt. Wegen x = cosh t und y = sinh t heißen die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen »Area-Funktionen«, denn »area« bedeutet Fläche, und t bezeichnet den Flächeninhalt der Fläche, deren cosinus hyperbolicus gleich x ist bzw. deren sinus hyperbolicus gleich y ist (vgl. Band 1, Abschnitt 4.5).

1.1.7 Volumen und Oberflächeninhalt von Rotationskörpern In diesem Abschnitt befassen wir uns ausschließlich mit Körpern, die dadurch entstehen, daß eine ebene Kurve oder ein ebenes Kurvenstück um eine Achse rotiert, die in der gleichen Ebene liegt. Andere Körper werden im Abschnitt 3 behandelt. Rotationskörper sind uns aus dem Alltag bekannt: Vasen, Gläser, gedrechselte Figuren usw. Bild 1.41 zeigt einige spezielle Typen von Rotationskörpern. Wie wir bei der Berechnung des Flächeninhalts von bereits bekannten Flächeninhalten (Rechteck-bzw. Kreissektorinhalt) ausgingen, so werden wir bei der Bestimmung von Rauminhalten auf bekannte Volumen aufbauen. Aus der Schulmathematik ist uns das Volumen eines Zylinders (Grundfläche mal Höhe) bekannt. Indem wir einen Rotationskörper durch mehrere zylindrische Körper annähern, erhalten wir die Summe der Zylindervolumen als Näherungswert für das Volumen des Rotationskörpers.

52

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Rotation eines Geradenstücks:

~

r-----1

I

I

---+----+-I

---+-+~

I

L_--3

I ""-.J

--~-

--{]])Zylinder

Kegel

Doppelkegel

Kegelstumpf

Rotation eines Teiles eines Kegelschnitts: Kreis

Halbkreis

Halbparabel

Halbellipse

Hyperbelteil

~---L /

/

/

\

\

\

\

-(J)-Ringflache (Torus)

Kugel

Paraboloid

Ellipsoid

elnschaliges

zwelschaliges

Hyperboloid

Bild 1.41: Spezielle Rotationskörper

Der Rotationskörper sei durch das rotierende ebene Kurvenstück - Meridian genannt - und die in der gleichen Ebene liegende Rotationsachse gegeben. Legt man in der Ebene ein kartesisches Achsensystem so, daß die Rotationsachse mit der x-Achse zusammenfällt, dann möge y = f(x) mit XE Ca, bJ die explizite Beschreibung des Meridians sein (vgl. Bild 1.42). Durch eine Zerlegung des Intervalls Ca, bJ zeichnen wir Teilpunkte

a = Xo <

Xl

< ... <

Xk- l

<

Xk

< ... <

Xn

Xi

(i = 0, ... , n) aus mit

= b.

Indem wir in jedem Teilintervall [X k- 1, xkJ eine Zwischenstelle ~k wählen und die Meridiankurve in diesem Intervall durch f( ~k) ersetzen, nähern wir den Rotationskörper durch n Zylinder an (vgl. Bild 1.43).

1.1 Geometrische Probleme

53

y

y

a

b

x

Bild 1.42: Rotation eines Meridians um die x-Achse

y

y

I I

~1

~2

a

b

x

Bild 1.43: Annäherung eines Rotationskörpers durch Zylinder

Die Summe der Zylindervolumen ist ein Näherungswert für das Volumen des Rotationskörpers:

I

k=l

Vk =

I

nf2(~k)·(Xk-Xk-l)=n·

k=l

Ist I auf [a, b] stetig, so ist auch 9 = Grenzwert V = lim n· dZ~O

I

f2(~k)~Xk"

k=l

I

k= 1

nl 2 auf [a, b] stetig. Nach Satz 9.5, Band 1 existiert dann der b

f2(~k)~Xk

= n Sf2(x)dx, a

den wir entsprechend der geometrischen Deutung benennen:

54

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Definition 1.8

f: Ca, b] ~ ~ sei stetig und beschreibe einen Meridian, der um die x-Achse rotiert und so einen Rotationskörper erzeugt. Dann heißt (1.52) das Volumen, das durch die Rotationsfläche und die Ebenen x = a und x = b begrenzt wird.

Bemerkung: Die Benennung der Achse kann anders erfolgen. Bei Rotation einer explizit durch x = g(y) auf [Yl' Y2] gegebenen Kurve um die y-Achse gilt z.B.:

Beispiel 1.34 Volumen von Rotationsflächen a) Kegelvolumen Durch ~ + ~ =

R

h

°

mit XE [0, h] wird ein Geradenstück beschrieben (vgl. Bild 1.44). Bei Rotation um

R die x-Achse beschreibt y = - - x den Meridian eines Kegels mit der Höhe h und dem Radius R. h Nach (1.52) gilt für das Kegelvolumen:

2

2

hR 2 dx=nR [X3Jh V=nS-x =l n R 2 h. o h2 h2 3 0 3 Das Volumen eines Kegels ist damit ein Drittel des Produktes aus Grundfläche und Höhe. Bei einem Kegelstumpf sei der Meridian durch y =

R -R 2

h

1X

+ R 1 beschrieben (vgl. Bild 1.44).

Für das Volumen gilt:

v=nl(R2-R1X+Rl)2 dx=n[ h (R 2 -R 1X +R 1)3Jh o h 3(R 2 - R 1 ) h 0 nh 3 3 nh 2 2 - - - - ( R 2 -R 1 )=-(R 2 +R 1 R 2 +R 1 )· 3(R 2 - R 1 ) 3 b) Volumen eines Rotationsellipsoids b -Die durch y = - a2 - x 2 mit XE [ - a, a] beschriebene Halbellipse (vgl. Bild 1.44) rotiere um die a x-Achse. Für das Volumen gilt: 2 2 2 3 b 2 - X 2 )dx=nb [ 2 X Ja 2nb 2 3 =-nab. 4 2 V=n Sa -(a a X-=--·-a 2 3 -a -a a a2 a2 3 3

J

1.1 Geometrische Probleme Bei Rotation um die y-Achse ist x =

a

55

--y2 eine Beschreibung des Meridians, und für das

bJb 2 -

Volumen gilt V = ~na2b. c) Volumen des Körpers, der durch Rotation der Kettenlinie entsteht x

Die durch y = a'cosh - auf [0, xoJ beschriebene Kettenlinie möge um die x-Achse rotieren (vgl. a Bild 1.44). Für das Volumen gilt:

[a

Xo X Xo X x x x JXo V=n S a 2 cosh 2 -dx= na 2 Scosh 2 -dx=na 2 -sinh-cosh-+° a ° a 2 a a 2 °

2

Xo xoJ . =na- [ xo+a'sinh-'cosh2 a a

x

Weil die Bogenlänge dieser Kettenlinie s = a'sinh ~ beträgt, gilt für das Volumen: a

y

y

y

y

/1 // /

/ /

/

I I

h

Rz

R,

I

/

/

I

I

0

h X

R

I

I I I

I l--

I I I I ....J

X

/ .,./

X

I

IXo I

L...

"\

x

I \

I \ I \I

\1 ~

Bild 1.44: Meridiane zu Beispiel 1.34

Ist der Meridian eines Rotationskörpers nicht explizit in kartesischen Koordinaten beschrieben, können die (1.52) entsprechenden Formeln (1.53) und (1.54) zur Berechnung herangezogen werden.

56

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung Die durch x = ep(t), Y = tjJ(t), tE[t l' t z] beschriebene stetige Kurve C sei das Schaubild einer Funktion J:[ep(t 1 ), ep(tz)J -t IR. Rotiert C um die x-Achse, dann gilt für das Volumen, das durch die Rotationsfläche und die Ebenen x = ep(t 1) und x = ep(t z ) begrenzt wird:

(1.53)

Beispiel 1.35 Volumen des Körpers, der durch Rotation der Astroide entsteht Der durch x = a'cos 3 t, y = a'sin 3 t mit tE[O, n] beschriebene Teil der Astroide rotiere um die x-Achse (vgl. Bild 1.18b». Für das Volumen gilt: 0

V

=

0 3 7

n Sa Z sin 6 t'a'3cos z t( - sint)dt = na

3

6

0

.

5

2na

3

4

-

3na

Ssin

0 3

t·cos z tdt =

3na

-

·H sin

7

t dt

3

0

.

8na z

3

0

3Z

3

= -3"d sm tdt = -~7-'5 Ssm tdt = -35'"3[ -cos t]" = T05 na . " " J: [epl' ep2] ->IR sei stetig und beschreibe in Polarkoordinaten den Meridian eines Rotationskörpers, dessen Achse die Polgerade ist. Dann gilt für das Volumen, das durch die Rotationsfläche und die Ebenen x = J(epl) COSepl und x = J(ep2) COS ep2 begrenzt wird:

V = nllp(ep)sin Z ep(f'(ep)cos ep - J(ep) sin ep)dep

I.

(1.54)

Beispiel 1.36 Volumen einer Kugel Durch r = R für alle epE[O, n] wird ein Halbkreis mit dem Radius R in Polarkoordinaten beschrieben. Bei Rotation um die x-Achse entsteht eine Kugel mit dem Volumen o

V

=

0

n SR Z sin 2 ep(O - R sin ep)dep =

-

nR 3 Ssin 3 ep dep

3

cos epJO,,= - nR 3 [( - 1 +"3) 1 1 = - nR 3[ - cos ep + ~3~ - (1 -"3)] ="34 nR 3 . Aus der Geometrie ist bekannt, daß der Inhalt der Oberfläche eines Rotationskegels die Hälfte des Produkts aus Mantellinienlänge und Grundkreisumfang ist, denn ein Kegel läßt sich »abwickeln« (vgl. Bild 1.45). Entsprechend ist der Inhalt der Oberfläche eines Kegelstumpfes das Produkt aus Mantellinienlänge und mittlerer Kreislänge: 0= 2n

R 1 +R z 2

m.

Diese Kenntnis werden wir bei der Berechnung des Oberflächeninhalts eines Rotationskörpers

1.1 Geometrische Probleme

57

m 2rr R2 +R, 2

2rrR

Bild 1.45: Oberflächeninhalt bei Kegel und Kegelstumpf

verwenden. Der Rotationskörper sei wie oben durch Rotationsachse und Meridian gegeben. Y = f(x) mit xE[a, b] beschreibe den Meridian. Eine Zerlegung des Intervalls Ca, b] zeichne die Teilpunkte Xi (i = 0, ... ,n) aus mit a=

X o < Xl

< ... <

<

Xn - l

Xn =

b.

Diesen Argumenten entsprechen auf dem Meridian Punkte (Xi' Yi), deren geradlinige Verbindung die Kurve als Streckenzug annähert. Bei Rotation dieses Streckenzugs um die x-Achse entstehen n Kegelstümpfe. Die Summe der Oberflächeninhalte ist ein Näherungswert für den Oberflächeninhalt des Rotationskörpers (vgl. Bild 1.46):

y

Xo=Q I

Xi-1

I

I

I

I

I I

I

I

I

x· I

xn=b x

I I

I I I I I

I I

Bild 1.46: Annäherung der Oberfläche durch einen rotierenden Sekantenzug

Unter der Voraussetzung, daß f auf Ca, b] stetig differenzierbar ist, läßt sich durch Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung (Satz 8.25, Band 1), einer geeigneten Zerlegung der Summe (s.z.B. [3]) und Anwendung von Satz 9.5, Band 1 beweisen, daß der folgende Grenzwert

58

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

existiert: n

lim

n

I

0i = !im 2n

dZ---t 0 i=l

dZ--+O

I

b

f((J.JI +r (~y ~Xi

=

2n S f(x)JI

+ f'(xfdx.

a

i=l

Wir benennen ihn entsprechend der geometrischen Deutung: Definition 1.9

f sei stetig differenzierbar auf Ca, b] und beschreibe einen Meridian, der um die x-Achse rotiert und so einen Rotationskörper erzeugt. Dann heißt b

0= 2n S If(x)l· JI

+ (f'(x))2dx

(1.55)

der Oberflächeninhalt des Rotationskörpers. Beispiel 1.3 7 Oberflächeninhalt einer Ringfläche (Torus) Durch f lex) = R + Jr 2 - x 2 und durch f2(X) = R - Jr 2 - x 2 mit XE[ -r,r] und r < R wird ein Kreis als Meridian einer Ringfläche beschrieben (vgl. Bild 1.47a). Bei Rotation entsteht ein Torus. Für dessen Oberflächeninhalt gilt:

-r

-r

S [(R +Jr 2 -X 2).JI

=2n

-r

= 4nR

r

SJ -r

2r

r -x

+~+(R-Jr2-X2).JI+~JdX r - x r -x

[xJr

2dx = 4nRr· arcsin -

r

= 4n 2Rr.

-r

Ist ein glatter Meridian durch eine Parameterdarstellung x = cp(t), Y = ljJ(t), tE [tl' t 2] in kartesischen Koordinaten gegeben, dann berechnet man den Oberflächeninhalt entsprechend (1.11):

Beispiel 1.38 a) Oberflächeninhalt einer Kugel Durch x = cp(t) = R·cost, Y = ljJ(t) = R·sint, tE[O,n] wird ein Halbkreis beschrieben (vgl. Bild 1.47b). Bei Rotation um die x-Achse entsteht eine Kugel. Für deren Oberflächeninhalt gilt wegen ciJ(t) = -R·sint, ~(t)=R·cost: n

0= 2n SR·sintJR 2 sin 2t + R 2cos 2tdt = 2nR 2[ -cost]~ = 2nR 2[1-( -I)] = 4nR 2. o

1.1 Geometrische Probleme

59

b) Oberflächeninhalt des Körpers, der durch Rotation einer Astroide entsteht Durch x=a·cos 3 t, y=a·sin 3 t, tE[O,n] wird die Hälfte einer Astroide beschrieben (vgl. Bild 1.47c)). Bei Rotation um die x-Achse entsteht ein Körper, dessen Oberflächeninhalt zunächst n nicht nach (1.56) berechnet werden kann, da die Astroide bei t = - nicht glatt ist. Unter 2 Ausnutzung der Symmetrie (oder durch Zerlegung in zwei glatte Kurvenstücke) gelingt jedoch die Berechnung:

a)

b) y

cl y

d) y

Y

20 I

~

----""I

(

j

I

I

X

/

\ \

I

....

--~

./

/

/

\ '---

/

Bild 1.47a-d: Zu den Beispielen für Oberflächeninhalte von Rotationskörpern

Ist ein Meridian durch r = f(qJ) mit qJE[qJj, qJ2] in Polarkoordinaten beschrieben, dann ist x = f( qJ) cos qJ und y = f( qJ) sin qJ eine Parameterdarstellung mit dem Parameter qJ. Für den Oberflächeninhalt gilt in diesem Fall entsprechend (1.56):

Beispiel 1.39 Oberflächeninhalt der Rotationsfläche einer Kardioide Durch r = a(l + cosqJ) mit qJE[O, n] wird eine Hälfte einer Kardioide beschrieben (vgl. Bild 1.47d)). Bei Rotation dieser Kurve um die x-Achse entsteht ein Rotationskörper mit dem

Meridian C

Oberflächeninhait eines Rotationskörpers mit dem

Volumen eines Rotationskörpers mit dem Meridian C

Flächeninhalt einer Fläche mit dem Rand C

Krümmung in PaEC

Bogenlänge zwischen ~,~EC

Anstieg in f>aEC

Geometrischer Begriff

b

b

a

2n S If(x)IJ(l + (f'(x)fdx

a

n S(f(X))2 dx

a

S f(x)dx

b

(Jl + (f'(X O))2)3

(ljJ(t))lc,i>(t)dtl


)3

t1

S It/J(t) IJ ep2(t) + ~2(t)dt

b

I!'

2n

:n;

t1

1S [cp(t)~(t) -

t2

(J(
2

2(f'(CPo))2 - f(CPo)f"(cpo) + (f(CPo))2

2

cP(to)l;i(to) - ~(to)ip(to)

f"(x o)

t1

a


fl(

S If(

I I

2n

:n;


1 S (f(cp))2dcp

(J(f'(cpO))2 + (f(cpO))2)3

S J(f'(cp))2 + (f(cp))2dlp
S J

t2

f'(cpo) sincpo + f(cpo)coscpo f'(cpo)coscpo - f(cpo)sincpo

~(to)
b

Polarkoordinaten

Parameterdarstellung

Beschreibung der Kurve C

SJl + (f'(X))2dx

f'(x o)

kartesische Koordinaten

Zusammenstellung wichtiger Formeln aus Abschnitt 1.1

o

0\

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

1.1 Geometrische Probleme

61

OberflächeninhaIt

0= 2n Sa(l

+ cosqJ)sinqJJa 2 sin 2 qJ + a2 (1 + 2cosqJ + cos 2 qJ)dqJ

o n

n

= 2na 2 S(1 + cosqJ)sinqJJ2 + 2cosqJdqJ = 2J2na 2 S( J1 + COSqJ)3 sinqJdqJ o

0

= -!J2na [(Jl + cosqJ)sJ~ = -!J2na (O - (J2)S) = 3s2 na 2. 2

2

Aufgaben Zu Kurven in der Ebene: 1. Beschreiben Sie explizit die durch 2x = ln(1

+ 2y·e

X )

implizit gegebene Kurve.

2. Zeichnen Sie die durch eine Parameterdarstellung gegebene Kurve: a) x = 1 - t, Y = t 2 - 1 c) x = 2t + 4, y = t 2 + 2t e) x = t 2, Y = it 3 - t

b) x = t 2 , Y = - t 2 d) x = t 2, Y = !t 3

3. Geben Sie zu y = x 2 zwei verschiedene Parameterdarstellungen so an, daß die Orientierungen unterschiedlich sind. 4. Beschreiben Sie implizit oder explizit in kartesischen Koordinaten:

t 1 b) X=-,y=1- t t

a) x=jt,y=jt=! c)

X=

-4t3,y=!(1 +6t 2)

e) x = t 2, Y = !t 3

d) x=cx+a·cost,y=ß+b·sint

f)

3t X -

- 1+

t3'

3t 2 Y - - -3 - 1+ t

5. Man zeige, daß die durch (2a - X)y2 = x(x - a)2 implizit gegebene Kurve auch durch die Parameterdarstellung 2at 2

at(t 2 - 1)

X=1+t2'y=~

rational beschrieben werden kann! 6. Geben Sie zu den Paaren (qJ, r) kartesische Koordinaten an: (n,2),

7. Geben Sie zu den Paaren kartesischer Koordinaten die Polarkoordinaten an: ( -1,3),

(1,3),

(-3, -1),

(1, -3).

8. Skizzieren Sie die Kurve: a) r =

qJ

b) r = 1 - cos qJ

1

c) r=-

d) r = 1 + 2 cos qJ

qJ

2 + cos 3qJ

e) r

=

6 + 6cosqJ

f) r = 3 - 2sin2qJ

g) r

i) r

=

la·sin3qJl n

k) r = la·sin2qJl

1) r= 3

n)

qJ =

=

h) r = 1 - sin 3 qJ 1 m) r=-.slnqJ

4

9. Beschreiben Sie den Kreis mit dem Radius a und dem Mittelpunkt (0, a) in einem

qJ,

r-System.

62

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

10. Beschreiben Sie in einem q;, r-System: y 2xy b) arctan-= ~,x>O x V x 2 + y2

c) x 3

+ y3 =

3xy

11. Welche Kurven 2. Ordnung werden beschrieben?

9 5 - 4cosq;

a) r = - - - -

9 b) r = - - - -

9 c) r = - - -

1 - cosq;

4 - 5cosq;

12. Beschreiben Sie die Kurven in kartesischen Koordinaten: a) r = a(1 + cosq;)

1 1 b) r = 2 - - -

d) r = 2a·sinq;

e) r=a-

a c) r = - -

1 - sinq;

cosq;

~

~~

f) r = sin ( cp +

~)

13. Auf jeder Geraden durch den Pol eines q;, r-Systems wird durch die Kardioide r = a(1 +cosq;) eine Strecke begrenzt. Auf welcher Kurve liegen die Mittelpunkte dieser Strecken? *14. a) Astroide: Die Endpunkte der Strecke AB = a gleiten auf den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems. Die Geraden, die durch A und B parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, schneiden sich in einem Punkt C, von wo aus auf AB das Lot gefällt wird. Es trifft die Strecke AB in P. Beschreiben Sie die Kurve der Punkte P. b) Lemniskate: Für alle Punkte P(q;, r) einer ebenen Kurve gelte: Das Produkt der Abstände von den festen Punkten F 1(O,c) und F 2(n, c) ist gleich c 2. Beschreiben Sie die Kurve in Polarkoordinaten und in kartesischen Koordinaten! (Hinweis: Verwenden Sie den Kosinussatz!) c) Kardioide: Ein Kreis vom Durchmesser d rollt, ohne zu gleiten, auf der Außenseite eines Kreises mit gleichem Durchmesser ab. Beschreiben Sie die Kurve, die von einem Punkt P auf dem Umfang des rollenden Kreises durchlaufen wird, wenn man als Pol und Anfangslage des Punktes P den Berührpunkt beider Kreise wählt und die Polgerade durch den Mittelpunkt des rollenden Kreises in der Anfangslage. *15. Ein Kreis vom Radius r rollt innen auf einem Kreis vom Radius 2r ab. Auf der Kreisfläche befindet sich der Punkt P im Abstand a vom Mittelpunkt. Man beweise, daß die Bahnkurve von P eine Ellipse mit den Halbachsen (r + a) und (r - a) ist. 16. In einem Getriebe bewegt sich eine Stange der Länge AB = s so, daß die Endpunkte A und B in zwei senkrecht aufeinander stehenden Schienen gleiten. Welche Kurve beschreibt der Punkt P mit AP = a? Zur Kurventangente und Kurvennormale: d2y dy 17. Man bestimme - und - 2 für: dx dx a) x

=

2 + t, Y = 1 + t 2

1 b) x=t+-,y=l+t t e) x = In t, y = t 2

f) x = 2·sin t, y = cos2t

t

18. Man bestimme die Steigung von C: x = e- cos2t, y = e- 2t sin2t im Punkte P(O). 19. Man bestimme in einem kartesischen Koordinatensystem den höchsten Punkt von C: x = 16t, y = 16t - 4t 2 . 20. Bestimmen Sie jeweils die Steigung der Kurve im angegebenen Punkt: n a) r = 1 - cosq;, q; =2

b) r = cos3q; im Pol (und skizzieren Sie die Kurve)

1.1 Geometrische Probleme

63

21. Man bestimme Schnittpunkte und Schnittwinkel eines jeden Kurvenpaars: b) r = sin2qJ und r = cOSqJ a) r = 3 cos qJ und r = 1 + cOSqJ c) x = -1 + Jr, y = ,.)3-r und x = 2cost + cos2t, Y = 2sint - sin2t 22. Man zeige, daß sich die folgenden Kurvenpaare unter einem rechten Winkel schneiden: b) r = 4·cosqJ und r = 4·sinqJ a) r = a·e qJ und r = b·e-qJ c) r = 1 + cos qJ und r = 1 - cos qJ 23. Man bestimme den Schnittwinkel der Tangenten an r = 2 - 4· sin qJ im Pol. 24. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten an die genannten Kurven in den angegebenen Punkten?

b) x = a(cost + t·sint), y = a(sint - t·cost), c) x = t 2

-

t - 1, y = t 2

+ t + 1,

P(-1,3)

d) x = 3cosht, Y = 3sinht,

P(3,0)

e) r = - 10·cosqJ,

ra=

(4.)5, qJa = n - arctan!

25. Man berechne Tangenten- und Normalengleichung in den angegebenen Punkten:

b) x = cost, Y = 2sint,

1

d) r=-,

qJ

26. Man gebe für die Kurve C: x = t 2 - 1, y = t 3 - t die Punkte mit achsenparallelen Tangenten an. Wo und unter welchem Winkel schneidet die Kurve sich selbst? 27. Man gebe für die Kurve C: x = t 2 + 2t, Y = t 2 die Kurve implizit.

-

2t - 1 Horizontal- und Vertikaltangenten an. Man beschreibe

28. Man skizziere r = 1 + sinqJ und bestimme Punkte mit Tangenten parallel und senkrecht zur Polgeraden. 29. Zeigen Sie, daß für alle Punkte der Kardioide r = a( 1 - cos qJ) der Winkel, den der Radiusvektor mit der Kurve bildet, halb so groß ist wie der, den er mit der Polgeraden bildet. 30. Zeigen Sie, daß die Kurve r = eaqJ alle Radiusvektoren ihrer Punkte unter gleichen Winkeln schneidet. 31. Welche Tangente der Astroide

X

2/3

+ y2 / 3 = a2/3 ist vom Koordinatenursprung am weitesten entfernt?

32. Zeigen Sie, daß alle Normalen der Kurve x = a(cost + t·sint), y = a(sint - t·cost) gleichen Abstand vom Ursprung besitzen. *33. Man diskutiere folgende in Parameterdarstellung gegebenen Kurven:

34. Man diskutiere folgende implizit beschriebenen Kurven, indem man zu einem qJ, r-System übergeht:

64

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

35. Für die folgenden Kurven sind in den angegebenen Punkten die Längen von Tangente, Normale, Subtangente und Subnormale anzugeben:

b) x d) x g) r 2

=

t 2 - t -1, y = t 2 + t + 1, t o = 1

= y

+ In y, Yo

=

c) x 3 + y3

1

=

3xy, X o = Yo

=

i

2

TC e) x = 1 - cost, Y = sin t, t o =-

sin

3

= a 2 .
36. Geben Sie jeweils die Gleichung der Wendetangente an: a) y = x 3

+ 3x 2

b) x = y2 - eY

1

d) x = t + 1, y = t 3 - 6t 2 + 2

c) r = 1 + - cos
37. Wo und von welcher Ordnung berühren sich die Kurvenpaare? a) y = x -1 und 4y = x 2 c) y = x

2

-

2x und x

2

b) 4y = - x 2

+ y2 -

2x + Y + 1 =

°

+ 6x + 3 und y2 = 4x

1

d) y = - - und y = - x 5 l+x

12

1 1- X e) y = - -2 und y = - 1+x 1 + x2

+ x4 -

x3

+ x2 -

X

+1

38. Geben Sie eine ganzrationale Funktion 2. Grades an, die die Sinuskurve in ( ~, 1) von der Ordnung 2 berührt. TC 39. Man nähere die Kurve y = sin x durch eine Parabel 3. Grades an der Stelle X o = - an. 6 40. Man bestimme die Schmiegeparabel4. Grades zur Kurve y = ln(x 1

+ 2) an der Stelle X o = 0.

dx

41. Das Integral S ~ ist nicht leicht zu berechnen. Man nähere daher den Integranden durch die 3 0 1+ x2 Schmiegeparabel 3. Grades in

Xo =

0,5 an und integriere dann.

42. Geben Sie den Kreis mit dem Radius a an, der das Cartesische Blatt x 3

+ y3 = 3axy bei X o = 1a berührt.

Zur Bogenlänge: 43. Berechnen Sie die Bogenlänge x

a) der Kettenlinie y = 4cosh-, xE[0,4] 4 6

b) eines Zykloidenbogens x = a(t - sint), y = a(l- cost)

4

t t c) der Kurve x = -, y = 2 - - zwischen den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen 6 4 d) der Kurve r = cos 2 T.. 2 44. Geben Sie die Länge der Kurve im genannten Intervall an:

x{~6'4~J

a) y=~xfi,

xE[O,l]

b) y = ln(cosx),

c) x=i(y-3)jY,

YE[O,l]

d) y=ln - , eX + 1

e) x=3 y 3/2-1,

YE[0,4]

f) x

g) x=sint,y=l-cost,

tE[~,nJ

h) x = etcost, y = etsint,

tE[0,4]

i) r = 1 - cos

j) r = 2
~E[o,~J

(e 1)

=

t - sin t, y = 1 - cos t,

xE[2,4]

tE[0,2n]

1.1 Geometrische Probleme

65

45. Wie lang ist die Kurve y2 = x 3 zwischen den Schnittpunkten mit der Geraden x = 1? 46. Ein Punkt ist zur Zeit t bei x = 0,5t 2 , Y = !(6t + 9)3/2. Man bestimme den Weg, den er von t = Obis t = 4 zurücklegt. Zur Krümmung: 47. Berechnen Sie die Krümmung allgemein und speziell im angegebenen Punkt. Wo liegt der Krümmungskreismittelpunkt? c) y = In(l - x 2 ), X o = d) y2 = 4x, X o = 1

e) y = cosx, X o =

g) r = a(l + cos
°

h) r = e({),
n j) x=a·cos 3t,y=a·sin 3t, t O =4

n

4

°

f) x·y=4,x o =2

°

n

i) r = 3sin

k) x=a(t - sint),y=a(l - cost), t o = n

1) x = cost, Y = 1 + sint, to=O

48. Wo liegen die Scheitelpunkte der folgenden Kurven? a) y

=

b) x=ln(1- y 2)

Inx

d) r=a·cosO

e) x = 4cost - cos(4t), Y = 4sint - sin(4t)

49. Geben Sie die Krümmungsradien folgender Kurven an: a) y = x 3 in (1, 1)

x b) y = a·cosh- in (0, a) a

c) y

d) r = a(l

e) r 2

=

In(cosx) in (0,0)

= a 2 cos(2
f) x

in (0, a)

g) x = a(t - sint), y = a(l- cost) in

=

+ cosqJ)

in

(~, a )

a(cost + t·sint), y = a(sint - t·cost) in (a,O)

p(~)

50. Wo sind die folgenden Kurven konvex, und wo haben sie Wende- oder Flachpunkte (mit y"(x o) = y"'(x o) = O)? 3 a) y = x 3 - 4x + 7 c) x = cost, Y = sint b) x + y3 - 3xy =

°

d) x- 2 - t

2t

+ 1'

1 - t2 y -2- - t +1

e) x=}t(6-t),y=it 2 (6-t)

f) r=e-({)

cos(2
66

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

54. Zeigen Sie, daß folgende Kurven S kubische Spline-Kurven sind. Welche Kurve ist eine natürliche Spline-Kurve? Geben Sie die einzelnen Kurvensegmente in der Form y = fi(X) an und skizzieren Sie die Kurven S.

xo(t) = ( t ~ -a) S:

x\(t) =

xz(t) =

1) 2t

-1) C3 _;t~~ + 1)

(_

mit tE[O, 1].

2t3 + ;tZ + t t

mit tE[O, 1].

b) S:

55. Interpolieren Sie f:

x~sinxmitxE[0,2JrJmit

TC

Hilfe einer kubischen Spline-Kurve an den StützsteIlen 0, -, Jr, 2

3 -Jr und 2TC. Verwenden Sie 2

a) natürliche Randbedingungen; b) die Randbedingungen, die f an den RandsteIlen besitzt (einseitige Ableitungen). Erstellen Sie eine Skizze beider Kurven. 56. Interpolieren Sie die Kurve y2 = x mit Hilfe einer kubischen Spline-Kurve zu den Knoten (4,2), (2, fi), (0,0), (2, -fi), (4, -2). Verwenden Sie a) natürliche Randbedingungen; b) die Randbedingungen, die die vorgegebene Kurve in den Randknoten besitzt. Erstellen Sie eine Skizze beider Kurven. 57. Wie lautet die Matrix P (siehe (1.45)) für 7 Knoten Pi = (Xi'

yJ, i = 0, 1, ... ,6, wenn man

a) natürliche Randbedingungen, b) feste Randbedingungen vorgibt? 58. Gegeben ist das kartesische Blatt (siehe Beispiel 1.13 f)) "[2 _

x(r) =

(

"[ _ 2r 2 + r3 )

"[3

1 - 3"[ + 3r

2'

1 - 3r + 3r

2

mit rElR.

Interpolieren Sie diese Kurve an den Stellen "[ = - 1,0, i,!, i, 1,2 mit Hilfe einer kubischen Spline-Kurve. Verwenden Sie natürliche Randbedingungen und skizzieren Sie beide Kurven.

1.1 Geometrische Probleme

67

Zum Flächeninhalt: 59. Geben Sie den Flächeninhalt der von folgenden Kurven begrenzten Gebiete an. a) x 4 + y4 = x 2 + y2 c) x = 2a(cost + cos(2t)), y = 2a(sint - sin(2t)) e) r = a'cos(2
b) d) f) h)

x = a'cos 3 t, y = a'sin 3 t r = a'cos

60. Wie groß ist der Flächeninhalt des Gebietes, das von den beiden angegebenen Kurven begrenzt wird? a) x 2 +y2=4axund y 2=2ax b) y=x 2 undx=y2 c) y=log2xund6x-7y=10 61. Wie groß ist der Flächeninhalt des Gebietes a) innerhalb von r = cos

Rotation um die x-Achse

b) (y - 2f + x 2

Rotation um die x-Achse

=

1,

c) (y-3)2+3x=0, -3~x~0,

d) y = sinx,

°

~

Rotation um die x-Achse

x ~ 2n,

Rotation um die x-Achse

y2 = 4, - 2 ~ y ~ 2, 1 n n f) y = - - mit --<x<-, cosx 4 4

Rotation um die y-Achse

g) y=~fi(3-x),0~x~'3,

Rotation um die x-Achse (Stromlinienkörper)

e) x 2

-

h) x = a(t - sint), y = a(l- cost) mit i) r

=

Rotation um die x-Achse

°

~

t ~ 2n,

4cos
Rotation um die x-Achse Rotation um die Polgerade

j) r = 1 + cos
Rotation um die Polgerade

64. Man berechne den Flächeninhalt des Gebietes, dessen Berandung gegeben ist. Wie groß ist das Volumen des Körpers, der bei Rotation um die x-Achse entsteht? a) y=2x 2,y=x+1

b) y=2x 2,y= -3x 2 +6x+27

c) y=4x 2,x=0,y=16

d) y=x 2,y=4x-x2

°

65. Durch Rotation der- Kurve y = 6x 2 - 4, ~ x ~.j3 um die y-Achse entsteht ein Körper in Form eines Kelchglases. Wie groß ist dessen Volumen und das Volumen zwischen y = - 4 und y = 5 ? 66. Wir betrachten das Flächenstück zwischen der Kurve y = 1 - cosx und der x-Achse im Bereich [0,2n]. Wie groß ist das Volumen des Drehkörpers, wenn das Flächenstück a) um die x-Achse,

b) um die y-Achse rotiert?

67. Eine Kurve ist in kartesischen Koordinaten in Parameterdarstellung gegeben: C:x = 4cost, y

=

2sin(2t).

a) Beschreiben Sie die Kurve implizit. b) Wie groß ist der Flächeninhalt des von der Kurve berandeten Gebietes? c) Wie groß ist das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn das Gebiet um die x-Achse rotiert?

68

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

68. Rotiert die Kurve y= -2x 4 +x 2 +2 um die y-Achse, dann entsteht eine muldenförmige Vertiefung. Man berechne deren Volumen. 69. Man bestimme das Volumen, das entsteht, wenn das durch die Kurven x+y=3 und y= -x 2 -3x+6 berandete Flächenstück a) um die x-Achse,

b) um die Gerade x = 3 rotiert.

70. Wie groß ist das Volumen, das entsteht, wenn die Ellipse ( a) um die x-Achse,

~

y (~y +

=

I

b) um die y-Achse rotiert?

71. Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt des Körpers, der durch Rotation des angegebenen Meridians um die genannte Achse entsteht. a) y b) y

=

mx, 0 ~ x ~ 2

=

ix

3

,

Rotation um die x-Achse

0~x~3

Rotation um die x-Achse

c) 8y 2 = x 2(1- x 2), 0 ~

X

~

1

Rotation um die x-Achse

= In x, 1 ~ x ~ 7 x e) y = a'cosh-, - a ~ x ~ a a f) x 2 + y2 = r 2, - a ~ x ~ a und 0< a < r

Rotation um die y-Achse

g) y2 + 4x = 2lny, 1 ~ y ~ 3

Rotation um die x-Achse

d) y

n h) x = et cos t, y = et sin t, 0 -~ t -2 ~i) x = a'cos 3 t, y=a'sin 3 t j) x = t 2, y=1t(t2 - 3), 0 ~ t ~ j3

k) r

= a( 1 +

Rotation um die x-Achse Rotation um die x-Achse

Rotation um die x-Achse Rotation um die x-Achse Rotation um die x-Achse Rotation um die Polgerade

cos
n Rotation um die Gerade

1) r 2 = a 2 cos (2
1.2 Anwendungen in der Physik 1.2.1 Schwerpunkte

Wir betrachten im Raum ein System von n Massenpunkten (X1'Y1,z1), ... ,(xmYmzn) mit den Massen Am 1, . .. , Amn- Bezeichnet r k den Abstand des k-ten Massenpunktes von einer Bezugsebene, dann versteht man unter dem statischen Moment (oder Drehmoment) bez. dieser Ebene die Summe

I k=l

r k·Amk1). Für welchen Hebelarm r s liefert die Gesamtmasse

I k=1

Amk das gleiche

Moment bez. dieser Ebene? Offensichtlich gilt: rs'

I k=1

Am k =

I k=1

rk'Am k,

d.h.

rs =

1) Liegen die Punkte auf verschiedenen Seiten der Bezugsebene, erhalten die Summanden unterschiedliche Vorzeichen.

1.2 Anwendungen in der Physik

69

Man bezeichnet den Punkt des Raums, für den die Gesamtmasse bez. der drei Koordinatenebenen das gleiche statische Moment wie die Teilmassen liefert, als Schwerpunkt der n Massenpunkte. Für die Koordinaten des Massenschwerpunktes gilt:

(1.58)

1. Volumenschwerpunkt Anstelle der Massen-»Punkte« stellen wir uns nun Teilmassen ~mk(k= 1, ... , n) vor, deren Schwerpunkte die Punkte (x b Yk' Zk) sind. Besitzen alle Teilmassen dieselbe Dichte p (z.B. bei einem homogenen Körper), so läßt sich wegen ~mk = p. ~ V k (wobei ~ V k das zu ~mk gehörige Volumen bezeichnet) der gemeinsame Faktor p »ausklammern« und kürzen. Man spricht dann vom Volumenschwerpunkt. Für dessen Koordinaten gilt:

I

Xs

I

I

Xk·~Vk Yk·~Vk Zk·~Vk k=l k=l k=l =- - - , Ys = - - - , Zs = ---

(1.59)

Betrachten wir speziell einen Rotationskörper, dessen Rotationsachse mit der x-Achse zusammenfällt, dann können wir (wie in Abschnitt 1.1.7) den Körper durch n zylindrische Scheiben mit dem Volumen ~ Vk annähern (vgl. Bild 1.48.).

y

y

I I

~1

~2

b

a

x

Bild 1.48: Annäherung des Rotationskörpers durch Zylinder

Die Schwerpunkte der einzelnen Zylinder liegen bei (~k' 0, 0). Beschreibt Y = f(x) mit XE Ca, bJ den Meridian, dann erhalten wir aus (1.59) für den Gesamtschwerpunkt:

I

~knf2(~k)(Xk - X k - 1)

x s =k=l

I k=l

,

nf2(~k)(Xk - x k - 1)

ys=O,Zs=O.

70

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Bei immer feinerer Zerlegung des Intervalls Ca, b] (d.h. für dZ ->0) existieren für stetiges f nach Satz 9.5, Band 1 die Grenzwerte der Summen, und für die Schwerpunktskoordinaten eines homogenen Rotationskörpers gilt:

Bemerkung: Die Zahl im Nenner entspricht dem Volumen des Rotationskörpers (vgl. (1.52)). Beispiel 1.40 a) Schwerpunkt eines Kegels

R Der durch y = -' x mit h

XE [0,

h] beschriebene Meridian rotiere um die x-Achse (vgl. Bild 1.44).

Dadurch entsteht ein Kegel mit der Höhe h und dem Grundkreisradius R. Für die Koordinaten des Kegelschwerpunktes gilt Ys = Zs = 0 und

h Der Schwerpunkt hat von der Grundfläche den Abstand 4'

b) Schwerpunkt der Hälfte eines Rotationsellipsoides Der Schwerpunkt des gesamten Rotationsellipsoides liegt natürlich im Mittelpunkt. Durch b Rotation des durch y = a2 ~ x 2 mit XE [0, a] beschriebenen Meridians um die x-Achse a entsteht die Hälfte eines Ellipsoids (vgl. Bild 1.51). Für deren Schwerpunktkoordinaten gilt: Ys = Zs = 0 und

-J

Damit ist insbesondere bewiesen, daß der Schwerpunkt einer Halbkugel vom Radius R im Abstand ~R vom Mittelpunkt liegt.

1.2 Anwendungen in der Physik

71

2. Flächenschwerpunkt Besitzen in (1.59) alle Teilkörper mit den Volumen ~ Vk eine konstante Höhe h (z.B. bei einer Scheibe), dann gilt ~ Vk = h· ~Ak (wobei die ~Ak die Grundflächen der Volumenteile ~ Vk bezeichnen), und der gemeinsame Faktor h kann gekürzt werden (vgl. Bild 1.49).

z

y

Bild 1.49: Volumenschwerpunkt Sv und Flächenschwerpunkt SF

Der Schwerpunkt liegt dann stets im Abstand

h

"2 von der Grundfläche. Man spricht vom

Flächenschwerpunkt mit den Koordinaten

Betrachten wir nun eine Scheibe der (konstanten) Dicke h, deren Grundfläche in der x, y-Ebene liegt und durch die x-Achse, die Geraden x = a und x = b, sowie durch den Graphen einer auf Ca, b] stetigen Funktion f begrenzt wird. Dann kann man wie in Abschnitt 9.1.3, Band 1 vorgehen und die Grundfläche durch Rechteckstreifen mit ~Ak = f(~k)(Xk - Xk- 1) annähern (vgl. Bild 9.5, Band 1). Die Schwerpunkte der Teilflächen liegen dann bei (~k' ~f(~k)). Bei immer feinerer Unterteilung des Intervalls Ca, b] (dZ -> 0) erhält man für den Flächenschwerpunkt:

Bemerkung:

Die Zahl im Nenner entspricht dem Flächeninhalt.

72

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Beispiel 1.41 a) Schwerpunkt eines Dreiecks Das in Bild 1.50 gezeichnete rechtwinklige Dreieck wird durch die x-Achse und die Geraden x = b h und Y = b· x begrenzt. Nach (1.62) gilt für die Koordinaten des Flächenschwerpunktes:

y

y h

b--r----

.s

h

3"

b

a

x

Bild 1.50: Schwerpunkt eines Dreiecks

b h

SX -

x dx

XS=Ob:

S- x dx

ob

b

Bild 1.51: Teil einer Ellipse

b h2

b3 -

S x 2 dx

1

S-

=-Ob--=:2=%b, Ys= 2~~2

SX dx

b3 -

x 2 dx

=;b:2=f h.

S- X dx

2

°

x

2

ob

Der Abstand des Schwerpunktes von einer Seite beträgt damit ein Drittel der zugehörigen Höhe. Dies gilt auch bei nicht rechtwinkligen Dreiecken. Der Schwerpunkt liegt andererseits (aus Symmetriegründen) im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Nebenbei wurde also bewiesen, daß der Abstand des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden von den Seiten gleich einern Drittel der entsprechenden Seitenhöhen ist. b) Schwerpunkt einer» Viertelellipse« Durch die Achsen und den Graphen von y =

b --J a x mit XE[O, a] wird die in Bild 1.51 a 2

2

-

gezeichnete Fläche umrandet. Für die Koordinaten des Flächenschwerpunktes gilt: a b --S x-Ja 2 -x 2 dx ° a [_~(~)3]~ ~a3 4a X s = ab --2 2 J a - x dx [ xJa2- x 2 + a2 arcsin a2 - 0 ] 3n'

~~

~

~! ~(a2 -x )dx ~G 2

Ys =

a

b

---

S-Ja 2 -x 2 dx oa

~

y!

2 2 (a - x )dx

I ~[ ~

=~(a3 _a3)= 4b.

b 2 n -·a .a 4

na 3 4R

Für a = b = R (Viertelkreis) gilt speziell: X s = Ys = - . 3n

3

3n

1.2 Anwendungen in der Physik

73

Besteht eine Fläche oder ein Volumen aus mehreren Teilen, so kann (1.61) bzw. (1.59) verwendet werden: Beispiel 1.42 a) In Bild 1.52 a) ist ein Rotationskörper gezeichnet, der sich aus der Hälfte eines Rotationsellipsoids und einern aufgesetzten Kegel zusammensetzt. Für die Schwerpunktskoordinaten und die Volumen gilt: Ellipsoid:

X s '=

Ys

Kegel:

xs=Ys=O,

=

0,

Zs =

- 3

-g-b und V

2

= 3na

2

b

na 2 h

h

zS=4 und V=-3-

Für den Gesamtschwerpunkt gilt damit nach (1.59): x s = Ys = 3 2 2 h na h --·b·-na b+-·-8 3 4 3

Zs=

2

na h lna 2 b+-3

°

und

2

2

3

--b 4

2b

2

h +4

h2

-

3b 2

4(h + 2b)

+h

3

b)

y JQ+----I

b

A,

s·

" '+

X

IA 3 r--

o

x6

I

I I

A2

I

b

Q

X

y Bild 1.52a,b: Zusammengesetzte Rotationskörper und Flächen

b) Eine Fläche sei durch die Achsen und die Geraden x = a, Y = a, x + y = a + b berandet. Teilt man wie in Bild 1.52 b) diese Fläche in drei Teile, so gilt für die Flächeninhalte und Schwerpunktskoordinaten: b und X s =-, 2 a+b undx s = - - , 2 a-b a-b und X s = b +--, ys=b+--· 3 3

74

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung Für den Schwerpunkt der gesamten Fläche gilt nach (1.61):

b a+b (a- W (2b+a) ab·-+b(a-b)--+--2 2 2 3 Xs = ab + b(a - b) + ~(a - W W (2b+a) (a- ab-a + b(a - b)·-b + -2 2 2 3 Ys=

ab+b(a-b)+~·(a-W

a3 + 3a 2 b - b3 3(a 2 + 2ab - b 2 )

a3 + 3a 2 b - b3 3(a 2 +2ab-b 2 )·

Wegen der Symmetrie muß X s = Ys gelten. 3. Kurvenschwerpunkt In der x,y-Ebene möge y=f(x) mit xE[a,bJ explizit eine Kurve beschreiben. Denken wir uns jeden Kurvenpunkt-wie in Bild 1.53 veranschaulicht-als Schwerpunkt eines senkrecht zur Kurve stehenden Rechtecks der Breite [ und der Höhe h, so liegt der Schwerpunkt des betrachteten Volumens bei Zs = O. Für die anderen Koordinaten dieses Kurvenschwerpunktes erhält man durch Annäherung des Volumens i1Vk (ähnlich wie in Bild 1.25) mit i1Vk = [·h·i1s k (wobei i1s k = j i1x; + i1y; gilt) und anschließende Grenzwertberechnungen aus (1.59):

z

y

Bild 1.53: Zum Kurvenschwerpunkt

Bemerkungen:

1. Die Zahl im Nenner entspricht der Bogenlänge. 2. Ist die Kurve durch eine Parameterdarstellung x 12

Xs =

=


12

S
S ljJ(t)j(q;(t))2 + (~(t))2 dt

I,

t,

12

, Ys=

12

S j(~(t))2 + (~(t))2dt

S j(q;(t))2 + (~(t))2 dt

"

I,

(1.64)

1.2 Anwendungen in der Physik

75

Beispiel 1.43 Kurvenschwerpunkt eines Halbkreisbogens Durch x = R . cos t, Y = R . sin t, tE [0, n] wird ein Halbkreis beschrieben. Wegen x( t) = - R . sin t und y(t) = R 'cos t gilt für den Kurvenschwerpunkt (x s, Ys):

n

S RsintJR 2 sin 2 t+R 2 cos 2 tdt

Ys=

o

=

wR

2 R .[ -cost]~ 2 =-R. n·R n

Oft ist die Berechnung des Volumens und der Oberfläche eines Rotationskörpers sehr einfach. Ist z.B. der um die x-Achse rotierende Meridian explizit durch Y = f(x) mit xE[a, b] gegeben, so gibt b

n Sf2(x)dx das Volumen des Rotationskörpers an. Diese Zahl spielt bei der Berechnung des a

Flächenschwerpunktes der durch die x-Achse, x = a, x = bund y = f(x) begrenzten Fläche ebenfalls eine Rolle, und es gilt: b

-H (f(X))2 dx Ys

=

b

1

b

1

= 2nA' n S (f(X))2 dx = 2nA' V.

Sf(x)dx

Fürdas Volumen erhält man deshalb V = 2nys' A, wobei Ys die Ordinate des Flächenschwerpunktes ist und A der Flächeninhalt (vgl. Bild 1.54). Satz 1.6 (1. Guldinsche Regel)

Beispiel 1.44 a) Volumen einer Ringfläche Für das Volumen der in Bild 1.47 a) skizzierten Ringfläche (Torus) gilt: V = 2nR'nr 2 = 2n 2Rr 2. b) Volumen eines Rotationskegels Für das Volumen des in Bild 1.44 skizzierten Kegels gilt: V

=

R hR 2 h 2n'-'- = nR '323

76

Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Bild 1.54: Zur 1. Guldinschen Regel

Bild 1.55: Zur 2. Guldinschen Regel

Der bei der Rotation entstehende Körper hat nach (1.55) den Oberflächeninhalt b

0= 2n- Sf(x)J 1 + (f' (X))2 dx. Diese Zahl spielt auch bei der Berechnung des Kurvenschwera

punktes des rotierenden Meridians eine Rolle. Es gilt: b

1 Sf(x)J1 + (f'(X))2 dx -,0 Ys

= "---;b-------

S J1 + (.f'(x))Zdx

2n

S

wobei s die Bogenlänge des Meridians bezeichnet. Für den Oberflächeninhalt erhält man deshalb 0 schwerpunktes ist (vgl. Bild 1.55).

=

2nys's, wobei Ys die Ordinate des Kurven-

Satz 1.7 (2. Guldinsche Regel)

Beispiel 1.45 a) Oberflächeninhalt einer Ringfläche Für den Oberflächeninhalt der in Bild 1.47 a) skizzierten Ringfläche gilt:

o = 2nR' 2nr = 4n z , Rr.

1.2 Anwendungen in der Physik

77

b) Oberflächeninhalt eines Rotationskegels Für den Oberflächeninhalt des in Bild 1.44 skizzierten Kegels gilt:

wenn m die Länge der Mantellinien bezeichnet. 1.2.2 Momente

1. Massenträgheitsmoment Dreht sich ein Massenpunkt der Masse m im Abstand r um eine Rotationsachse, so gilt für den Weg s = (Xr und für die Geschwindigkeit v =s = cir = wr, wobei w = ci die Winkelgeschwindigkeit bezeichnet. Für die kinetische Energie gilt:

Betrachten wir nun ein System von n Massenpunkten der Massen L1m i (i = 1, ... , n), die mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit w um eine Achse rotieren, so gilt für die kinetische Energie: n

w=

A

(

)2

2

n

timiwr i =~ I r~·L1mi· i~l 2 2 i~l

I

Der Vergleich mit einer geradlinig bewegten Masse zeigt: Der Geschwindigkeit v entspricht die Winkelgeschwindigkeit w, und der Masse entspricht bei der Rotation die Summe L: r~ L1m i. Sie wird Massenträgheitsmoment genannt:

Beispiel 1.46 Trägheitsmoment von Hohl- und Vollzylinder Wir betrachten den in Bild 1.56 a) skizzierten Vollzylinder der Höhe h. Er möge homogen sein, d.h. die Dichte p soll überall gleich sein. Nun denken wir uns den Zylinder-wie im Bild angedeutetin n Hohlzylinder der Dicke Mi zerlegt. Für deren Volumen gilt: L1 Vi :::::0 2nr i·L1r i ·h. Ist L1r i » klein «, dann haben alle Massenpunkte eines Hohlzylinders nahezu den gleichen Abstand ri von der Drehachse, und es gilt: 1:::::0

I

r~L1mi=

I

r~·p·L1Vi:::::OP·

i=l

i=l

I

r;'2nr i·L1r i·h=2nph

i=l

I

r;L1r i·

i=l

Nach immer feinerer Unterteilung (L1r i --+ 0) besitzt die Summe den Grenzwert: 1vz = 2nph

R

R4

R2

R2

o

4

2

2

S r 3 dr = 2nph- =-·p·h·nR 2 =-mvz ,

wobei mvz die Masse des Vollzylinders bezeichnet. Entsprechend gilt für den in Bild 1.56b)

78

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

gezeichneten Hohlzylinder: Ra nph 4 I HZ = 2nph S r 3 dr = -(R 2 a

-

R~) 1

=

(R 2 a

+ R2) 2

i

·pnh(Ra2

-

R~) 1

Ri

wobei mHZ die Masse des Hohlzylinders bezeichnet.

a}

b} h

Bild 1.56a,b: Voll- und Hohlzylinder

Zum Schluß wollen wir noch überlegen, welcher der beiden Zylinder schneller eine schiefe Ebene hinunter rollen wird, wenn die Außenabmessungen und beide Massen gleich sind (was natürlich nur möglich ist, wenn die Dichte des Hohlzylinders größer ist). Wie bei der geradlinigen Bewegung die äußere Kraft gleich der zeitlichen Änderung des Impulses ist, so ist bei der Rotationsbewegung das äußere Moment M gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses. Nun ist M für beide Zylinder gleich (m NZ = mHZ)' und es gilt: (1.66)

Wegen R;

+ Rf > R; ist 1HZ > 1yz . Nach Gleichung (1.66) muß dann wHZ < WYZ gelten. D.h. der 2

2

Vollzylinder dreht sich schneller. Betrachten wir nun einen beliebigen Rotationskörper, der durch Rotation des Meridians y = f(x) mit xE[a, bJ um die x-Achse entsteht, und denken wir uns den Körper durch n Zylinder der Höhe L\xk = Xk - Xk- 1 angenähert (vgl. Bild. 1.43). Entsprechend dem letzten Beispiel gilt für das Massenträgheitsmoment 1=

n

f2( ~k)

k= 1

2

I

-_·p·nf2(~k)·(Xk-Xk-l)·

Bei immer feinerer Unterteilung des Intervalls [a, bJ existiert der Grenzwert für stetiges f, und wir erhalten:

1.2 Anwendungen in der Physik

79

Beispiel 1.47 Massenträgheitsmoment einer Kugel Durch Rotation des Meridians y=JRz-x z mit Kugel. Für deren Massenträgheitsmoment gilt: pn 1=-

2

XE[ -R,R]

R pn [ R 4 x-2R z ,-+x x JR S (Rz-xzfdx=-

-R

2

3

5

3

5

_R

um die x-Achse entsteht eine

=..!i.- np R 5 =lR z p±nR3 =lRzm. 15

5

3

5

2. Flächenträgheitsmomente In der Festigkeitslehre, besonders in der Biegetheorie, spielt das Flächenträgheitsmoment oder Flächenmoment eine bedeutende Rolle. Es steht in keinem physikalischen Zusammenhang mit dem Massenträgheitsmoment, kann aber formal als Sonderfall aus (1.65) abgeleitet werden (indem man Massenpunkte betrachtet, die alle in derselben Ebene liegen). Eine Fläche in der x, y- Ebene sei durch die Geraden x = a, x = b und die Graphen von y = fl (x) und y = fz(x) mit xE[a, b] berandet (vgl. Bild 1.57a).

a)

b)

y

y

d

c x Bild 1.57a,b: Zum Flächenträgheitsmoment

Die Fläche wird durch n Rechtecke mit den Flächeninhalten I1F k = (f1 (~k) - fz( ~k) )l1xk angenähert. Für eine sehr kleine Breite I1x k besitzen alle Punkte eines Rechteckes nahezu denselben Abstand ~k von der y-Achse. Jedes einzelne Rechteck hat dann bez. der y-Achse das Trägheitsmoment ~; ·I1Fk , und das Trägheitsmoment der Fläche, die aus allen Rechtecken gebildet ist, hat den Wert

I k=1

~;(fl(~k) -fz(~k))l1xk'

80

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Bei immer feinerer Unterteilung des Intervalls Ca, bJ existiert für stetige Berandungenil undiz der Grenzwert dieser Summe.

Entsprechend hat das Flächenträgheitsmoment bez. der x-Achse für eine durch die Geraden Y = c, Y = d und die Graphen von x = gl(Y) und x = gz(y) begrenzte Fläche (s. Bild 1.57b) den Wert d

Ix

=

SyZ(gl(Y) -

gz(y)) dy.

Beispiel 1.48 a) Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks bez. der Symmetrieachsen Für das in Bild 1.58 a) skizzierte Rechteck der Breite b und der Höhe h gilt:

0) y

b)

c)

y

y

h

b

2

b

b

-2

"2

Ys-=C

x

-

~

s

h

h

-2

x Bild 1.58a-c: Zu Flächenträgheilsmomenten

b) Flächenträgheitsmoment einer Kreisfläche Der in Bild 1.58b) skizzierte Kreis wird durch y = il(X)

=

YM

+ jr z -

(x - XM)2 und Y = iz(x) = YM - jr z - (x - xM)Z

o=xs

x

1.2 Anwendungen in der Physik

81

mit XE[X M- r, XM+ r] begrenzt. Für das Flächenträgheitsmoment bez. der y-Achse gilt: nr 4

xM+r

Iy

=

x,,~r x 2 '2Jr z - (x - xM)Z dx

Entsprechend gilt Ix = nrZy~

=

nrzx~ + 4 (nach längerer Rechnung).

+ inr 4 . Für X M=

YM = 0 gilt insbesondere Ix = I y =

nr 4

4

c) Trägheitsmoment eines Rechtecks bez. einer zur Seite parallelen Achse Für das in Bild 1.58c) skizzierte Rechteck der Breite b und der Höhe h gilt:

z+ -hb.3 I a+~J [( + -h) - (h)] c~dx h[x3]a+~ hba 2 2 3 12 =

y

X

Z

=

C

a-"

=

b

a- 2

2

Die Ergebnisse in Teil c) lassen sich einfacher durch Anwendung des folgenden Satzes gewinnen. Satz 1.8 (Satz von Steiner)

Bild 1.59a) veranschaulicht den Satz von Steiner.

Beweis: Wir führen den Beweis bez. der y-Achse und verwenden die Bezeichnungen von Bild 1.59 b). Mit x - X s gilt:

x=

b

I y=

JX2(fl(X) -

b

J

fz(x)) dx = (x + XS)2(fl(x) -f2(X)) dx

b

I y = xi

b

J(fl(X) -

f2(x))dx b

I y = xi' A

+ 2xs J(x -

+ 2xs Jx(fl(X) -

b

f2(x))dx

+ JX2(fl(X) -

f2(x))dx

b

J

XS)(fl(X) -f2(X)) dx + (x - XS)2(fl(X) - fz(x)) dx.

(1.68)

Das letzte Integral ist das Trägheitsmoment bez. der Parallelen durch den Schwerpunkt der

82

Anwendungen der Differential- tLnd Integralrechnung

a)

b)

p

Y

d

9 I

)(-1 I

a

Xs

x b

x

Bild 1.59a,b: Zum Satz von Steiner

Fläche. Für die Schwerpunktsabszisse gilt: b

JX(f1(X) Xs =

f2(X)) dx

ab

J(f1(X) -

b b ' also X s · J(f1 (x) - f2(X)) dx = JX(f1 (x) - f2(X)) dx,

f2(X)) dx

•

+ Ip

weshalb der zweite Summand in (1.68) verschwindet. Es gilt: I y = x~ .A 1.2.3 Arbeit einer Kraft

Wirkt eine konstante Kraft F auf einen Körper, der von einem Punkt P 1 aus geradlinig nach einem Punkt P 2 bewegt wird (vgl. Bild 1.60) und bezeichnet s den Weg, so leistet F die Arbeit (s. Band 1, Abschnitt 7.1.3) W

= F·s = IFI·lsl·cos1: (F, s) = 1;;·lsl.

Welche Arbeit wird aber geleistet, wenn sich die wirkende Kraft längs des geradlinigen Weges stetig ändert? Wir betrachten den Fall, daß eine variable Kraft F in Richtung des geradlinigen Weges wirkt. Dann gilt W = F·s = F·s. Für den Fall, daß die Kraft F nicht in Richtung der Geraden wirkt, ist F durch die Komponente 1;; der Kraft in Richtung der Geraden zu ersetzen.

5

r

-

-

-

R

-2,/,,/

~===-=~--=-~f-.---~" I ....~ _ ~ L...-;,. _ _ ?"',...J

()

Bild 1.60: Arbeit einer konstanten Kraft

(J

Ik

/ -' 0

•

a I

Xo

I

x··· 1

tAXkj Xk - 1

xk

•••

I

xn -1

b I xn

•

X

Bild 1.61: Zur Arbeit einer variablen Kraft

Wir bezeichnen mit x den Abstand des Angriffspunktes der Kraft von einem festen Punkt 0 der Geraden. Die stetige Änderung der Kraft sei durch x~F(x) gegeben. Welche Arbeit leistet diese Kraft, wenn der Kraftangriffspunkt von x = a nach x = b verschoben wird?

1.2 Anwendungen in der Physik

83

Wir zerlegen das Intervall Ca, b] in n Teilintervalle I k = [x k_ I' x k] (k = 1, ... , n) mit den Längen L1x k (vgl. Bild 1.61) und setzen die Kraft in jedem Teilintervall konstant: F(x)

=

F((k) mit (kE [X k-

I,

x k] für alle xEl k.

Dann gilt für die auf dem Intervall I k geleistete Arbeit L1Wk = F((k)·tU k

und für die Arbeit auf Ca, b]:

I

L1Wk =

k=1

I

F((k)L1X k·

k=1

Für stetiges F existiert der Grenzwert bei immer feinerer Zerlegung, und wir erhalten:

Beispiel 1.49 Arbeit bei Dehnung (oder Stauchung) einer Feder Bekanntlich bewirkt die Dehnung einer Feder (nach dem Hookeschen Gesetz) eine Zugkraft F1 in der Feder, die (innerhalb gewisser Grenzen) proportional zur Ausdehnung und dieser entgegengerichtet ist. Bezeichnet 0 den Endpunkt der Feder vor der Ausdehnung und x die Dehnung (vgl. Bild 1.62), so heißt das:

1';

=

-k·x.

Dabei ist k die für die Feder charakteristische Federkonstante. Die zur Dehnung nötige Kraft F hält in jedem Augenblick der Zugkraft das Gleichgewicht: F = - 1';. Für die Arbeit bei einer Dehnung bis zur Stelle x = s gilt also nach (1.69): S

W=

S

k

S F(x)dx= S k·xdx=-s2. o

0

2

F Bild 1.62: Dehnung einer Feder

84

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Beispiel 1.50 Arbeit bei Ausdehnung eines Gases Wir betrachten ein Gas in einem Zylinder. Es werde durch einen Kolben begrenzt (vgl. Bild 1.63) und habe das Volumen V und den Druck p. Entsprechend der Zustandsgleichung für ideale Gase gilt: p·V=n·R·T,

(1.70)

wobei T die absolute Temperatur, n die in Kilomol angegebene Stoffmenge und R die allgemeine Gaskonstante bezeichnen. Der Flächeninhalt des Zylinderquerschnitts sei A. Bei Ausdehnung des Gases bewegt sich der Kolben nach rechts. Wie groß ist die dabei geleistete Arbeit? Auf den Kolben wirkt die Kraft F Arbeit

=

p. A, so daß bei einer Verschiebung des Kolbens um Llx die

LlW = p·A·Llx

geleistet wird. Für eine Verschiebung von

Xl

nach

X2

erhalten wir:

Xz

W=A· S pdx.

I ~­

A

1--

I

Bild 1.63: Ausdehnung eines Gases

Bezeichnet X die Entfernung des Kolbens von der Ausgangsstellung, so kann wegen V = A· X bzw. 1 dx 1 x = - V das Volumen V als neue Variable dienen. Für die Arbeit gilt wegen - = - : A dV A vZ

W= S pdV

(1.71)

Ist der Druck als Funktion des Volumens bekannt, so kann hieraus die Arbeit berechnet werden. Wir betrachten zwei Prozesse: a) isothermer Prozeß Man führt dem Gas von außen Energie in Form von Wärme so zu, daß die Temperatur des Gases c bei Ausdehnung konstant bleibt. Aus (1.70) folgt dann: p. V = c (konstant), d.h. p = -, und für die V Arbeit erhalten wir: W=

C

V2

1

V

V

v!

V

VI

VI

S -dV = c·(ln V2 -ln VI) = c·ln-2 = PI Vl·ln-.2

1.2 Anwendungen in der Physik

85

b) adiabatischer Prozeß Bei diesem Prozeß wird dem Gas weder Energie zugeführt noch entzogen. Die Temperatur des Gases nimmt dann bei Ausdehnung ab. Entsprechend dem Poissonschen Gesetz gilt in diesem Fall p. V = k (konstant), wobei K > 1 eine für das Gas charakteristische Konstante ist. Aus (1.71) folgt für die Arbeit bei Ausdehnung des Gases: V V 21- K- V1-K V2 kV-2 K- V 1 kV-1 K P2 V2 - Pl V 1 1 W= S kV KdV=k = =. K

2

1-K

V1

1-K

1-K

Beispiel 1.51 Arbeit eines Wechselstroms Sind in einem Stromkreis Spannung u und Stromstärke i konstant: u = V, i = I, so hat die während der Zeit.T geleistete Arbeit den Wert W= V·I·T

Wir betrachten nun einen Stromkreis, in dem Stromstärke und Spannung zeitlich veränderlich sind und interessieren uns für die in der Zeit T geleistete Arbeit. Dabei verwenden wir das schon häufig gebrauchte Verfahren und zerlegen das Intervall [0, TJ in Teilintervalle I k der Breite ~tk und setzen sowohl i als auch u in den Teilintervallen konstant: i(t) = i(~k)' u(t) = U(~k) mit ~kE [t k- 1 , tkJ für alle tElk. Dann erhalten wir als Näherungswert für die im Intervall I k = [t k- 1 , tkJ geleistete Arbeit: ~ W k = u(~k)i(~k)· ~tk

und als Grenzwert für die vom Strom i geleistete Arbeit: T

W

=

S u(t)i(t) dt. o

Eine Wechselspannung u(t) = Uo sin (cut), die den Strom i(t) = io sin (cut + ep) bewirkt, leistet dann 2n z.B. während der Zeit einer Periode T = - die Arbeit cu T

W = SUo sin (cut)i o sin (cut + ep) dt o

bzw. mit cut = x: u i 2n W

U

i

2n

= --.2...Q S sin x sin (x + ep) dx = --.2...Q S (sin 2 x cos ep + sin x cos x sin ep) dx cu

cu

0

0

= uoio lcos ep (x _ sin 2X) _ sin ep cos 2XJ21t = uoio cos qJ 2n, 2

cu

also ist W

T = -

2

2

22

0

cu2

uoi o cos ep.

1.2.4 Mittelwerte

Für eine auf

Ca, bJ stetige

Funktion

f existiert nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung b

(Satz 9.12, Band 1) mindestens eine Stelle ~E[a,bJ, für die Sf(x)dx=(b-a)f(~) gilt. Der

86

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

entsprechende Funktionswert f(~) wird linearer Mittelwert von f auf [a, bJ genannt: 1 b m1 = - - Sf(x) dx. b-a a Unter dem quadratischen Mittelwert der Funktion f auf Ca, bJ versteht man die Zahl 1 b -S(f(x))2dx. b-a a

Diese Mittelwerte besitzen u.a. in der Wechselstromlehre eine Bedeutung. Für die durch Wechselspannungen u(t) = U o sin(wt) erzeugten Wechselströme i(t) = io sin (wt + cp) erhält man in m 1 und m 2 zeitunabhängige Größen, mit deren Hilfe die Wirkung des Wechselstroms gut beschrieben werden kann. Der lineare Mittelwert über eine Periode heißt Gleichrichtwert, der quadratische Mittelwert über eine Periode wird Effektivwert genannt. Beispiel 1.52 Gleichrichtwert eines Einweggleichrichters 2n Der Strom des in Bild 1.64 a) skizzierten Einweggleichrichters habe die Periode T = - und werde w durch n io sin wt für 0 -~ t~­ -w i(t) = n 2n für -< t
w

W

c)

c)

U1~ U

b)

R

~

2t

b) i io

TI

1iJ

Bild 1.64a,b: Einweggleichrichter

t

1t

W

Bild 1.65a,b: Doppelweggleichrichter

t

1.2 Anwendungen in der Physik

87

beschrieben (s. Bild 1.64b)). Der Gleichrichtwert für diesen Strom ist: 1

W

T

Ig=-Ji(t)dt=-·i o· T° 2n

n/w

wi [-coswtJn/w i i J sinwtdt=-o. =~(1-(-1))=~. ° 2n w ° 2n n

Für den in Bild 1.65 skizzierten Doppelweggleichrichter erhält man auf die gleiche Weise: 2i o I =9 n

Beispiel 1.53 Effektivwert eines Wechselstroms Der durch eine Wechselspannung u(t) = U o sin(wt) erzeugte Strom i(t) = io sin(wt +
1

T

!(i(t»2 dt = T

1[

"Z

W

T

-2 i6 Jsin 2(wt n °

+
sin 2XJ"'+ 211: io x--=-2 qJ 2~

J

wi6 qJ+2n . 2 dx Sin x -

-2n qJJ

w

mit wt +

2 sin 2(

Entsprechend gilt für den Effektivwert der Spannung: U eff =

J2

J21 uo'

Nach dem Ergebnis aus Beispiel 1.51 hat die vom Wechselstrom geleistete Arbeit und damit die Wärmewirkung einen Wert, der zu diesen beiden Effektivwerten proportional ist:

2n U o io W = -J-J-cos

1.2.5 Durchbiegung eines Balkens Ein Balken werde auf Biegung beansprucht. Denkt man sich den Balken als ein Bündel von parallelen Drähten (Balkenfasern), so werden diese Drähte aufder einen Seite des Balkens gedehnt und auf der anderen Seite gestaucht. Dazwischen muß eine Faserschicht liegen, die weder gestaucht noch gedehnt wird. Man nennt sie die neutrale Faserschicht. Wir bezeichnen die Durchbiegung der Punkte der neutralen Faserschicht mit y (vgl. Bild 1.66a)). Vorbemerkung 1: Für die Krümmung in den Punkten der neutralen Faser gilt:

Ist

ly'l klein gegen

1, so ist y,2 sehr klein gegen 1, und es gilt:

1

IKI = -

p

~

ly"l.

88

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

z a)

b)

w

w=f,{z)

z, / =g't::.'P

Balkenquerschnitt

1+1::./ = (9 +Z)I::. 'P

Bild 1.66a-c: Zur Durchbiegung eines Balkens

Vorbemerkung 2: Durch die Biegung wird ein im Abstand z von der neutralen Faserschicht befindlicher Bogen der Länge 1 um ein Stück J1.1 gedehnt. Bezeichnet O"n(z) die Zugspannung parallel zur neutralen Faserschicht, so gilt nach dem Hookeschen Gesetz (vgl. auch Bild 1.66b)): J1.1 (p O"n(z) = E-e(z) = E-- = E 1

+ z)J1.cp p-J1.cp

p- J1.cp

z p

= E--

und wegen Vorbemerkung 1: O"n(z) ~ E· z-IY" I_

Der Balken möge einen Querschnitt wie in Bild 1.66c) besitzen_ Die auf das eingezeichnete Flächenelement J1.A wirkende Zugkraft liefert dann ein Teilmoment J1.M b mit:

und wegen Vorbemerkung 2: J1.M b ~ Ely"lz 2-(f1(Z) - f2(Z))-J1.z.

Die Biegespannungen über den gesamten Querschnitt ergeben das Schnittmoment Mb(x): Mb(x) ~ IJ1.M b ~ Ely"II z2(f1(z) - f2(Z))·J1.z,

wobei über alle J1.z von

Zl

bis

Z2

zu summieren ist, und als Grenzwert erhalten wir:

1.2 Anwendungen in der Physik

89

Das Integral ist uns bereits als Flächenträgheitsmoment I bez. der w-Achse bekannt, weshalb Mb(x)

=

Ely"II

bzw.

ly"l

1

=

EI Mb(x)

gilt. Entsprechend der gewählten Belastung (vgl. Bild 1.66a)) und der Orientierung der y-Achse ist y" > 0, falls Mb(x) < ist, d.h. es gilt:

°

-1

(1.72)

y"=Ei M b(X)l). Man nennt diese Gleichung die Differentialgleichung der Biegelinie. Beispiel 1.54

Wir betrachten den in Bild 1.67a) gezeichneten Balken der Länge l. Die Belastungsdichte oder Streckenlast q sei konstant (z.B. Eigengewicht). Auch sein Querschnitt sei für alle x der gleiche, d.h. I ist konstant. Dann wirken in y-Richtung die Auflagerkräfte F 1 und F2 und F = ql als Resulq ·1 tierende der Belastung in der Trägermitte. Wegen der Symmetrie gilt: F 1 = F 2 = . 2

y

b)

a)

I-x

x

F

x q(l-x)

~I

1=;1

Bild 1.67a,b: Balken mit konstanter Belastung

Wir bestimmen das Moment Mb(x) mit Hilfe von Bild 1.67b). Die Auflagerkraft F 2 besitzt den l-x Hebelarm (l- x). Die Resultierende q.(l- x) wirkt mit dem Hebelarm - - . Wählt man wie 2

üblich die Orientierung so, daß ein Moment positiv ist, wenn die Balkenunterseite auf Druck beansprucht wird, so gilt: Mb(x)

=

(l-x) q·(l-x) q q.(l- x ) - - - ~.(l- x) = (l- x -l) =-(x 2 -lx). 2 2 2

1) Häufig wird die y-Achse entgegengesetzt orientiert (die Durchbiegung soll positiv sein). In diesem Fall gilt: 1 y" = EI Mb(x).

90

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Entsprechend (1.72) gilt dann: - 1q

2

y"= EI'"2(x -1x),

2 3 - 1 q (x 1x ) Y'=EI'"2 3-2+ Cl

und für die Durchbiegung: - 1 q (x

4

3

) 1x Y=EI'2 12-6+Clx+C2 .

(1.73)

Wegen der Auflagebedingungen ist klar, daß y an den Stellen x = 0 und x = 1 verschwindet. Die Integrationskonstanten Cl und C2 müssen diesen »Randwerten« entsprechend gewählt werden:

Für die Durchbiegung gilt also: Y=

-

-q- (x 4 24EI

-

21x 3 + 13 x)

und

y' =

-

-q- (4x 3 24EI

-

61x 2 + 13 )

mit 0 ~ x ~ 1. - -

Interessiert man sich für die extreme Durchbiegung, dann bestimmt man zunächst die Stellen Xi' für die y' = 0 gilt. Das führt auf: 4x 3 - 61x 2

+ 13 = O.

1 Aus Symmetriegründen muß in der Mitte des Balkens bei Xl = - ein Extremwert liegen. D.h. der 2

Faktor ( x -

~)

kann aus dem Polynom ausgeklammert werden:

( 1)

X-"2 (4x 2 -41x-21 2 )=0.

Die Lösungen X 2 und beträgt also:

X3

liegen nicht im Intervall [0, 1J. Die extreme Durchbiegung des Balkens

1.2.6 Bewegung im Schwerefeld

Im Raum betrachten wir die Bewegung eines Massenpunktes der Masse m, auf den die Schwerkraft wirkt. Das kartesische x, y, z-Koordinatensystem wählen wir so, daß die Schwerkraft entgegen der z-Richtung wirkt. Nach dem Newtonschen Beschleunigungsgesetz ist die Summe der äußeren Kräfte gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung und das in allen Richtungen. Bezeichnen .. di(t) d 2x(t) .. t = dy(t) = d 2y(t) .. di(t) d 2z(t) x(t)=dr-=df' y() dt dt 2 ' z(t)=dt=d(2

1.2 Anwendungen in der Physik

91

die Beschleunigungen in x-, y- bzw. z-Richtung (vgl. Abschnitt 8.1.4, Band 1), dann heißt das: m·x(t)=O,

m·y(t) =0,

m·z·(t) = -mg

bzw. x(t)

= 0, y(t) = 0, z·(t) = - g.

1. Bewegungen in Nähe der Erdoberfläche Hier kann g als konstant angesehen werden, woraus für die Geschwindigkeiten folgt: x(t) = Cl'

y(t)

= Cb

i(t)

= - gt + C 3

und für die Koordinaten: (1.74)

Die Integrationskonstanten sind dabei so zu bestimmen, daß die jeweiligen Anfangs- oder Endbedingungen der Bewegung erfüllt sind. Beispiel 1.55 Schiefer Wurf Aus der Höhe h werde eine Masse m mit der Anfangsgeschwindigkeit Va unter dem Winkel a gegen die x-Achse gestartet (vgl. Bild 1.68). Zu bestimmen ist die Wurfweite s und die Wurfhöhe H. Die Bewegung soll ganz in der x, z-Ebene verlaufen. Entsprechend diesen »Anfangswerten « gilt zur Zeit t = 0: x(O) x(O)

= 0, z(O) = h, = vax = va ·cos a, i(O) = Vaz = Va ·sin rJ..

Diese vier Angaben gestatten die Bestimmung der Integrationskonstanten Cl' D l' C 3' D 3 in den obigen Bewegungsgleichungen (1.74)

°

x(O) = =>D 1 x(O) = Va cos a=> Cl

z(O)=h

= 0, = Va

cos a,

=>D 3 =h

i(O) = Va sin a => C 3 = Va sin a.

Die Bewegung wird also beschrieben durch: x(t)

t2

= (va cos a)t, z(t) = - g2 + (va sin a)t + h für

°

~ t ~ T.

z

5

Bild 1.68: Schiefer Wurf

X

92

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Im Endpunkt des Wurfes gilt z(T) = 0, wenn T die Wurfzeit bezeichnet. Aus dieser Gleichung kann die Wurfdauer berechnet werden:

T2 -g-+vosina·T+h=O bzw. 2

T2 _ 2vosina T _ 2h = O. g g

Eine der beiden Lösungen dieser Gleichung scheidet wegen T2 < 0 aus, weshalb _vosina T1 - - + J(VoSina)2 -g g

2h +g

die Wurfdauer angibt. Für die Wurfweite s gilt: vocosa s = x(T1 ) =---(v o sina + g

J v~ sin a + 2hg). 2

Für h = 0 (Wurf oder Schuß aus der Höhe Null) gilt: s =

v 2 sin 2a 0

g

•

Diese Weite ist für a = 45°

extremal. Bezeichnet T 3 die Zeit, in der die Masse m die größte Höhe erreicht hat, so gilt i(T3 ) = O. Daher ist v

Slna

i(T3) = - g T 3 + Va sin a = 0, woraus T 3 = _0_ _ folgt. Die Wurfhöhe H = z(T3) beträgt deshalb g H

g (v o sin a)2

= - 2. - g -

H=h+

(v o sin a)2 2g

Va sin a

+ (va sin a)·-g- + h, d.h.

.

v2

Für den senkrechten Wurf (a = 90°) gilt: H = h + ~ und schnell weglaufen. 2g 2. Einfache Schwingung Beispiel 1.56 Ein Massenpunkt der Masse m rolle in einer Kugelschale (vgl. Bild 1.69). Wir bezeichnen den Winkel zwischen der Richtung der (konstanten) Erdanziehung und der Richtung vom Mittelpunkt der Kugel zum Massenpunkt mit cp(t), den Kugelradius mit R und den zurückgelegten Weg mit s. Die Anfangslage zur Zeit 0 sei durch cpo = cp(O) gekennzeichnet. 'P

Bild 1.69: Kugel der Masse m in einer Schale

R

1.2 Anwendungen in der Physik

93

Vernachlässigt man die Reibung, so wirkt als einzige äußere Kraft die Erdanziehung, die wir in zwei Komponenten zerlegen. Die eine Komponente bewirkt, daß die Kugel gegen die Schale gedrückt wird, die andere, daß die Kugel die periodische Bewegung des Hin- und Herrollens ausführt. Wir betrachten zunächst nur eine halbe Periode, damit die Funktion
s=

=;)-

R<jJ und § = Ri{j und damit:

m§=mRi{j= -mg·sin
(1.75)

a) Unter der Annahme, daß die Winkel I

eine Gleichung, in der neben der gesuchten Funktion

2~

g d
R dt

Für <jJ bedeutet das: ·2
g 2+C -R

=

(1.76)

Cl wird aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Nehmen wir an, daß der Massenpunkt zur

Zeit 0 die Geschwindigkeit Null hat, so gilt
-

~
folgt: Cl = ~
bedeutet. Das Minuszeichen steht, weil mit kleiner werdendem Winkel die Geschwindigkeit wächst. Für die maximale Geschwindigkeit smax im tiefsten Schalenpunkt gilt danach:

Islmax = RI
t 1,

t1

t1

=

RJ~
in der die Masse von
dt

lp1

1

Sdt = S dd

°


lpo




(1.77)

94

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung In diesem speziellen Fall erhalten wir ein uneigentliches Integral:

A·

- hm
t1 = -

g t/ll
d
J qJ~ -

= -

A. [ .

- hm arCSIn -qJ ]
qJ2


t/I

Für die Schwingungsdauer T heißt das: 01 T=4 S ~dqJ= -4 <po qJ

A

-(arcsinO-arcsin1)=2n g

Man nennt die Zahl v =

A -. g

2-T = ~ fi die Frequenz der Schwingung. 2n~R

b) Auch wenn wir in (1.75) nicht sin qJ durch

Aus ..

qJ

g. = --SIn qJ R

folgt nach Multiplikation mit 2ep: dep2 2g. dqJ - = --SInqJdt R dt und daraus .2

qJ

2g = - cos qJ + Cl. R

Die Integrationskonstante wird wieder aus den Anfangsbedingungen bestimmt: 2g Cl = --cosqJo· R Es ist also

ep = -

2g - (cos qJ - cos qJo), R

und für die maximale Geschwindigkeit im tiefsten Punkt gilt:

Iv Imax = R Iep Imax = J2gR(1 - cos qJo)· Die Schwingungsdauer hat nach (1.77) den Wert T/4 0 1 T = 4· S dt = 4·lim ~dqJ = - 2 o t/llq>o t/I qJ

J

t: J -

dqJ

R

0

g

-r=============== <po Jcos qJ - cos qJo

Zu diesem Integranden existiert keine »elementare« Stammfunktion - es ist ein elliptisches Integra1. In der Literatur findet man Reihenentwicklungen und Tabellen zu solchen Integralen.

1.2 Anwendungen in der Physik

95

3. Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit Die Oberfläche einer Flüssigkeit steht immer senkrecht zu den an den Molekülen angreifenden Kräften. Bei Rotation einer Flüssigkeit in einem Zylinder steht sie also senkrecht zu der Resultierenden aus Erdanziehung und Zentrifugalkraft (vgl. Bild 1.70). Bezeichnen m die Masse eines Moleküls an der Oberfläche, w die (konstante) Winkelgeschwindigkeit der Rotation, g die Erdbeschleunigung und x den Abstand des Moleküls von der Drehachse, so gilt für die Steigung eines Meridians der Oberfläche mw 2 x w 2 x w2 y' = tanrx = - - = - - , woraus y = - Jxdx mg g g

folgt. Für x = 0 sei y = O. Dann gilt Cl paraboloid mit dem Meridian

=

2

w =ig

X2

+ Cl

O. Die Oberfläche der Flüssigkeit ist ein Rotations-

y

m

x Bild 1.71: Fadenpendel

Bild 1.70: Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit

4. Fadenpendel Eine Masse m hänge an einem unelastischen (masselos gedachten) Faden der Länge 1(vg1. Bild 1.71). Nach einer Auslenkung um den Winkel ({Jo wird sie zur Zeit t = 0 losgelassen. Die Erdanziehung wird wie in Beispiel 1.56 in zwei Komponenten zerlegt, von denen die eine den Faden straff hält und die andere die Schwingung bewirkt. Die Bewegungsgleichungen stimmen mit denen in Beispiel 1.56 überein, wenn man nur berücksichtigt, daß jetzt 1 statt R steht. Für kleine Auslenkungen ({Jo gilt: maximale Geschwindigkeit: Schwingungsdauer: T = 2n

Vrnax =

jig.

Jgz

({Jo

96

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

1.2.7

Weitere Anwendungen

1. Planetenbewegung Nach dem ersten Keplerschen Gesetz bewegt sich ein Planet auf einer elliptischen Bahn um die Sonne, die in einem Brennpunkt der Ellipse steht (vgl. Bild 1.72). Wir legen ein Polarkoordinatensystem so, daß der Pol mit diesem Brennpunkt und die Polgerade mit der Richtung der großen Halbachse zusammenfallen. Die Ellipse wird dann durch r

=

p

1 + S cos qJ

PE~+ und 0< s < 1

mit

beschrieben (vgl. (1.6), wobei der Pol des Polarkoordinatensystems hier, im Gegensatz zu Beispiel 1.9, im anderen Brennpunkt der Ellipse gewählt wurde). Für die zwischen qJo und qJ überstrichene Fläche gilt nach Satz 1.4: A

qJ

qJ (

= 1 S r 2 dt/J = 1 S 2

2

qJa

P 1 + S cos t/J

qJa

)2 dt/J = L2S _ _d.!' qJ

\fJ_ _

2

qJa

(1

+ s cos t/J)2·

Nach dem zweiten Keplerschen Gesetz überstreicht der Leitstrahl in gleichen Zeiten gleiche ~A dA Flächen, d.h. ~A = k· ~t (k konstant). Daraus folgt - = k und für ~t ~ 0 erhält man: - = k. Bei ~t dt Kenntnis dieser Konstanten k kann die Winkelgeschwindigkeit w berechnet werden:

dA _ dA. dq> _ pZ

1

dt - dqJ dt - 2 (1

+ S cos qJ)2

'OJ _

k

d.h.

-,

OJ

= 2k(1 + czeos q»z. P

Bild 1.72: Planetenbahn

2. Rakete im kräftefreien Feld Aus einer Rakete der Masse mo (beim Start) werde mit der Austrittsgeschwindigkeit VA (relativ zur Rakete) Masse ausgestoßen. Die im Zeitintervall ~t ausgestoßene Teilmasse ~m soll gerade so ~m

groß sein, daß jederzeit -

~t

= k (k konstant) gilt.

Nach einem Satz aus der Mechanik ist die zeitliche Änderung des Impulses gleich der Summe der äußeren Kräfe F i : d(mv) dt

= ~ F .. ~

1

1.2 Anwendungen in der Physik

97

Für eine Rakete im kräftefreien Raum bleibt danach der Gesamtimpuls zeitlich konstant, und es gilt: in·V = (m - 1\m)(v + 1\v) + 1\m(v - VA) 1\m·1\v = m·1\v - 1\m·vA.

N ach Division durch die Zeit 1\t gilt: 1\m 1\v 1\m -1\v=m---v. 1\t 1\t 1\t A Betrachten wir die Grenzwerte für 1\t ~ 0 und beachten, daß 1\m die abgestoßene Masse, m aber 1\m die Raketenmasse bezeichnet, so erhalten wir mit rh = - lim - = - k und wegen 1\v ~ 0 für dt~O 1\t 1\t~O;

O=m·v+rh·vA bzw.

k v=-vA. m

N ach der Kettenregel (Satz 8.14, Band 1) folgt wegen

v 1 dv dv dt - = _ . _ = --= --VA dm dt dm k m und damit nach der Substitutionsmethode (Satz 9.25, Band 1) für die Geschwindigkeit der Masse m i : Vi mi dv mi 1 Im I Vi = Sdv= S -dm= -VA S-dm= -vA·ln ----..!.. o mo dm mom mo

Die Geschwindigkeit

Vi

wird dementsprechend erreicht von der Masse

3. Seilreibung Wir betrachten eine zylindrische Trommel über die ein Seil geführt wird. Das Seil möge längs des Bogens AB anliegen (s. Bild 1.73). Wirken an den Seilenden die Kräfte ~ und F;. mit ~ f:- F;., dann

Bild 1.73: Zur Seilreibung

Bild 1.74: Zur Seilreibung

98

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

kann das Gleiten des Seiles innerhalb gewisser Grenzen durch die Reibungskraft F verhindert werden, Wir wollen diese bestimmen. Bezeichnen ((JA und ((JB die in Bild 1.73 eingezeichneten Winkel, dann zerlegen wir das Intervall [ ((JA' ((JB] in n Teilintervalle der Länge ~((Jk und betrachten zunächst nur ein solches Teilintervall (Bild 1.74). Für die in diesem Teilintervall auf die Trommel wirkende Normalkraft ~N gilt: ~N

~qJk

,

= Sk' sln

2

.

~qJk

+ (Sk + ~Sk)'sln2'

wobei Sk in dem durch qJk-l festgelegten Punkt der Trommel und Sk + ~Sk in dem durch ((Jk festgelegten Punkt wirkt. Die Zerlegung des Intervalls [qJ A' qJB] bewirkt also eine Zerlegung des Intervalls [~, F;] in Teilintervalle der Breite ~Sk = Sk+ 1 - Sk' .. kl' A ~((Jk' was F ur eIne W'Ink e1 ß((Jk gl'1' t Sin 2~((Jk ~ 2

ergibt. Setzen wir ferner

~qJk

~Sk

so klein voraus, daß

sehr viel kleiner als

Sk

ist, dann gilt:

~N ~ Sk' ~qJk'

Für die Reibungskraft, die proportional zur Normalkraft ist, bedeutet das: ~R

= f.1·~N ~ f.1·Sk·~qJk'

Aus der Gleichgewichtsbedingung (senkrecht zur Normalenrichtung) folgt: ~Sk = ~R ~ f.1·Sk·~((Jk

~Sk

bzw. -

= f.1·~((Jk·

Sk

Für den gesamten Bogen gilt entsprechend: n

I

~S

n

_k k=l Sk

=

I

f.1·~qJk'

k=l

Daraus erhalten wir für F 2 dS ({JB

S-

= f.1

~((Jk ~ 0

und damit auch

S dqJ~lnF; -ln~ =

~Sk ~ 0:

F,

f.1(qJB -

qJ A)~-.3. =

S ({JA ~ Die gesamte Reibungskraft ist gleich der Differenz F;

eJl«({JB-({JA)~F;

= ~ ·eJl«({JB-({J).

F1

F; -

~

-~:

= ~ (e Jl «({J2-({Jl) - 1).

4. Barometrische Höhenformel Wir wollen den Luftdruck P in Abhängigkeit von der Höhe h über dem Meeresspiegel angeben. Der Luftdruck in Meereshöhe (h = 0) sei Po' Wir betrachten eine zylindrische Säule mit der Querschnittsfläche A und teilen diese in Scheiben der Höhe ~Xk (vgl. Bild 1.75). Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte gilt: Pk Po

Pk Po'

1.2 Anwendungen in der Physik

99

wobei Pk bzw. Pk die Dichte bzw. den Druck in der Höhe X k und Po die Dichte in Meereshöhe bezeichnen. Die Gewichtskraft des Volumens ~ Vk verändert den Druck zwischen Xk und Xk + ~Xk um ~Pk

Pkg~Vk

= ---- = A

. ~Pk D.h. es gl1t: Pk

Pog

=- -

Pkg·~Xk

=

Pk

-_·POg·~Xk·

Po

~Xk.

Po

h

- -

t xk

l1Xk

l1Vk

- -

t

Bild 1.75: Zur Herleitung der barometrischen Höhenformel

Für das gesamte Volumen von der Höhe Null bis zur Höhe h gilt p(h) dp P gh dem Grenzwert S - = - _0_ Sdx. p(O) P Po 0

Daraus folgt In p(h) -lnp(O)

I

I1Pk = - po·g

k=l Pk

Po· gh

p(h)

Po

p(O)

= - - - bzw. -

I

Po k=l

I1x k mit

= e-pogh/po.

Für den Druck in der Höhe h gilt deshalb die barometrische Höhenformel p(h) = Po ·e-pogh/po. Aufgaben 1. Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der bei Rotation des beschriebenen Flächenstücks um die genannte Achse entsteht. a) y = x 2 , Y = 9, x = 0 b) Y =x 2 , y=9, X= 0 c) y=x(4-x),y=x d) y=x(4-x),y=x

e) x 2 - y2

= 16, y = 0, x = 8

Rotation um die y-Achse Rotation um die x-Achse Rotation um die x-Achse Rotation um die y-Achse Rotation um die x-Achse

100

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung f) x 2 - y2 = 16, y = 0, x = 8 g) 3x + 4y = 8, x = 0, y = 0, x = 2 h) y = i(x 2 + 4), x = 0, y = 5 i) y=16-x 2 ,x=-2,x=2,y=0

Rotation Rotation Rotation Rotation

um die um die um die um die

y-Achse x-Achse y-Achse x-Achse

2. Man berechne den Schwerpunkt einer Kugelschicht der Höhe h, wenn der untere Abschlußkreis den Kugelradius R besitzt. 3. Man berechne die Lage des Schwerpunkts eines Kegelstumpfes der Höhe h mit den Abschlußkreisradien r undR. 1 4. Der Graph von f mit f(x) = - rotiere um die x-Achse. Wo liegt der Schwerpunkt des entstehenden x Rotationskörpers der durch x = 1 und x = a > 1 begrenzt wird? Existiert der Grenzwert fiir a ----7 oo? 5. Man bestimme den Schwerpunkt des Flächenstücks, dessen Berandung nachstehend gegeben ist: a) y = x 3 - 8, x = 2, x = 3, y = c) y = x(3 - x), y = e) y =

-fi, y = x

g) Y = x, Y = x

°

°

°

0,

b) y = x = 0, x = 2, y = d) y = cosh x, x = 0, x = X o, Y = 0 f) y = 4 - x 2 , X = 0, y =

°

2

TC

2

h) y = 2sin(3x), x = 0, x =3"' y =

i) y = sin 2 x, x = 0, x =

TC,

°

k) y=x 2 ,y=x+2

Y=0

*1) x = a·cos 3 t, y = a·sin 3 t und x = 0, y = 0

1 m) r = - - , cos qJ

n

TC

qJ

= - -, 4

qJ

=-

3

6. Um die Endpunkte einer Strecke der Länge 5 cm werden Kreisbögen vom Radius 5 cm beschrieben. Wo liegt der Schwerpunkt der Spitzbogenfläche? *7. Wo liegen die Schwerpunkte der folgenden Flächenstücke? a) Fläche im I. Quadranten innerhalb von r = 4 sin 2 qJ b) Fläche im I. Quadranten innerhalb von r = 1 + cos qJ

8. Wo liegt der Schwerpunkt des beschriebenen Kurvenstücks?

+ y2 = 25, x ~ 0, y ~ O b ) x~ + y~ = a~, x ~ 0, y ~ 0 *c) x = a(t - sin t), y = a(l - cos t), ~ t ~ 2n d) x = a·cos 3 t, y = a·sin 3 t, x ~ 0, y ~ a) x 2

e) r = 2 sin qJ

+ 4 cos qJ,

°

~ qJ ~

°

°

TC

"2

9. Man bestimme mit Hilfe der 1. Guldinschen Regel:

a) b) c) d)

den Schwerpunkt einer Viertelkreisfläche den Schwerpunkt des von der x-Achse und 4y = x 2 - 36 berandeten Gebietes das Volumen des geraden Kreiskegels mit der Höhe h und dem Grundkreisradius R das Volumen der Ringfläche, die durch Rotation von 4(x - 6)2 + 9(y - 5)2 = 36 um die x-Achse entsteht.

10. Man bestimme mit Hilfe der 2. Guldinschen Regel a) den Kurvenschwerpunkt eines Viertelkreises b) den Oberflächeninhalt der Ringfläche mit dem Meridian x 2 + (y - r)2 = r 2 bei Rotation um die x-Achse c) den Oberflächeninhalt des Körpers, der entsteht, wenn sich ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a um eine Achse dreht, die im Abstand c vom Schwerpunkt des Dreiecks entfernt ist d) den Oberflächeninhalt des Körpers, der entsteht, wenn sich ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b um eine Achse dreht, die im Abstand c (a, b < c) vom Schwerpunkt des Rechtecks entfernt ist. 11. Wie muß man die Halbachsen a und b einer Ellipse wählen, damit der Schwerpunkt des Teils im I. Quadranten in (4,2) liegt?

12. Von einem Parallelogramm falle eine Seite mit der x-Achse zusammen. Beweisen Sie, daß der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Diagonalen liegt.

1.2 Anwendungen in der Physik

101

13. Geben sie das Trägheitsmoment des gegebenen Flächenstücks bezüglich der genannten Geraden an. *a) y = 4 - x 2, X = 0, y = 0 bezüglich x-Achse, y-Achse und x = 4 b) y = 8x 3 , Y = 0, x = 1 bezüglich x-Achse und y-Achse c) y2 = 4x, x = 1 bezüglich x-Achse, y-Achse und x = 1 *d) y = 0, 5'eX, x = 0, x = 2, y = 0 bezüglich x-Achse und y-Achse 2 e) y = x ,x = 2,y = 0 bezüglich y-Achse 14. Wie groß ist das Trägheitsmoment eines Kreises vom Radius r bezüglich einer Geraden, die vom Mittelpunkt die Entfernung a hat? 15. Das angegebene Flächenstück rotiert um die genannte Achse. Geben Sie das Trägheitsmoment des Rotationskörpers bezüglich der Rotationsachse an. a) y = 4x - x 2, Y = 0 Rotation um x-Achse und y-Achse b) 4x 2 + 9 y 2 = 36 Rotation um x-Achse und y-Achse c) y = sin(3x) ( 0

~ x ~ ~), y = 0

Rotation um die x-Achse

16. Man bestimme das Massenträgheitsmoment des Rotationsparaboloids mit dem Grundkreisradius R und der Höhe h bezüglich der Rotationsachse. 17. Wie groß ist das Trägheitsmoment eines Kegelstumpfes mit der Höhe h und den Grundkreisradien rund R bei Rotation um seine Symmetrieachse? 18. Wie groß ist das Trägheitsmoment einer Halbkugel bei Rotation um die Symmetrieachse? 19. Geben Sie das Trägheitsmoment einer Hohlkugel an (innerer Radius R i , äußerer Ra)' die um einen Durchmesser rotiert. 20. Aus einem zylindrischen Becken mit dem Grundkreisradius 2m wird Wasser gepumpt. Der Austritt liegt 1 m höher als der Wasserstand (Höhe 2,5 m) zu Beginn im Becken. Welche Arbeit muß geleistet werden, um das Becken leer zu pumpen? 21. Ein nach oben offenes Rotationsparaboloid ist bis zum Rand mit Wasser gefüllt. Seine Abmessungen sind: oberer Radius 2 m, Höhe 4 m. Welche Arbeit muß man leisten, um das Wasser in die Höhe des oberen Randes zu pumpen? 22. Welche Arbeit muß bei Aufgabe 21 entsprechend verrichtet werden, wenn das Gefäß ein nach oben offener Kreiskegel ist? 23. Beweisen Sie, daß die Arbeit, die geleistet werden muß, um einen stehenden zylindrischen Tank leerzupumpen, gleich der Arbeit ist, die geleistet wird, wenn man den Inhalt vom Schwerpunkt bis zur Austritthöhe hebt. 24. Welche Arbeit muß man leisten, um eine Masse von 1kg in eine Höhe von 1000 km über der Erdoberfläche zu bringen? (Man beachte: Die Erdbeschleunigung ist nicht konstant.) 25. Wie groß ist die Arbeit, die gegen die Schwerkraft geleistet wird, wenn eine Rakete von 1000 kg Masse in eine Höhe von 300 km gebracht wird? 26. Welche Arbeit wird geleistet, wenn man 100kg Kohle aus 55m Tiefe über ein Seil hebt, das 30N/m wiegt? 27. Ein Safe von 7000 N Gewicht wird durch ein 30 m langes Seil, das 70 N/m wiegt, 24 m hochgezogen, wobei das Seil aufgewickelt wird. Welche Arbeit wird geleistet. 28. Eine Kraft von 300 N dehnt eine Feder von 2 m auf 2,2 m. Man bestimme die Arbeit, die geleistet wird, um die Feder auf 2,5 m auszudehnen. 29. Die Federkonstante in einem Prellbock beträgt 4.10 6 N/m. Man berechne die Arbeit, die zu leisten ist, um die Feder um 2 cm zusammenzudrücken. 30. Ein Kolben schließt einen mit Luft gefüllten Zylinder ab. Bei einem Druck von 1000 N/m 2 ist das Volumen 2,5 m 3 . Geben Sie die Arbeit an, die man leisten muß, wenn die Luft auf 0,6 m 3 zusammengedrückt werden soll. a) Nehmen Sie dabei p' V = konstant an. b) Nehmen Sie dabei p' V1. 4 = konstant an.

102

1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

31. Ein sich ausdehnendes Gas bewegt in einem Zylinder einen Kolben so, daß das Volumen des eingeschlossenen Gases von 200cm 3 auf 400cm 3 wächst. Man bestimme die geleistete Arbeit unter der Annahme, daß p. V1.4 = k gilt. 32. Welche Arbeit ist für die adiabatische Verdichtung von Luft des Volumens O,2m 3 und des Drucks 100000N/m 2 auf ein Volumen von O,05m 3 nötig? (K ~ 1,4.) 33. Den linearen Mittelwert bezeichnet man bei Kurven y diese

=

f(x), a ~ x

~

b als mittlere Ordinate. Bestimmen Sie

J

a) für einen Halbkreis y = a 2 - x 2 , - a ~ x ~ a b) für die Parabel y = 4 - x 2 , - 2 ~ x ~ 2 c) für einen Zykloidenbogen x = a(t - sin t), y = a(l - cos t), 0 ~ t ~ 2n. 34. Beim freien Fall gilt s = ! gt 2 und v = gt = yI2is. Zeigen Sie, daß der lineare Mittelwert von v auf dem Intervall 0 ~ t ~ t 1 gleich der halben Endgeschwindigkeit ist. 35. Ein Teilchen bewege sich nach dem Gesetz x = cos t - 1, y = 2 sin t + 1, wobei t die Zeit (in Sekunden) angibt. Welche Geschwindigkeit hat das Teilchen in

p( 5;) und p( 531r)? Wo hat es die größte und wo die kleinste

Geschwindigkeit? 36. Welche Weglänge durchfällt ein Körper, der mit der Geschwindigkeit va horizontal abgeschossen wird und auf den um h tieferen Boden fällt? 37. Ein Gefäß von der Form einer Halbkugel wird mit einem konstanten Wasservolumen pro Zeiteinheit Va gefüllt. Bestimmen Sie die Steiggeschwindigkeit des Wassers, wenn dieses bei Beginn bereits die Höhe h a aufweist. *38. Ein Balken werde, wie in Bild 1.76 veranschaulicht, auf Biegen beansprucht. a) Geben Sie die Durchbiegung der Punkte der neutralen Faser an. b) Wie groß ist die maximale Durchbiegung?

q

q.[

Bild 1.76: Gesamtlast P =

-

2

2

Reihen

2.1 Zahlenreihen 2.1.1 Definitionen und Sätze

Gegeben sei eine Folge (an> = a I , a 2 , a 3 , Folge mit Sn' also

•••

Bezeichnen wir die Summe der ersten n Glieder dieser

= av = a 1 + a2 , S3 = a 1 + a 2 + a 3 ,

Sl

S2

Sn = a 1 + a 2

+ a3 + ... + an =

I

k=l

ak,

so erhalten wir eine neue Folge

nämlich die Folge der Partialsummen von
Sn=1+~+···+(~t-1=

I

(~)k-1=2(1-(~t).

k=l

Man nennt diese Folge <sn> eine geometrische Reihe. Allgemein definiert man: Definition 2.1

Gegeben sei eine Folge< ak ). Dann heißt die Folge <sn) ihrer Partialsummen Sn = zu der Folge < ak ) gehörende unendliche) Reihe.

I k=l

ak (die

104

2 Reihen

Bemerkungen:

1. Die Zahlen

Sn nennt man Teilsummen der unendlichen Reihe <sn> =

(tl

ak ) . die Zahl a k

heißt das k- te Reihenglied.

(~o a

2. Ist noEN o, so bezeichnet man auch

als Reihe.

k)

Beispiel 2.2 a) Arithmetische Reihe Es sei a 1 ElR und dElR\ {O}, dann erhält man aus der arithmetischen Folge mit ak = a 1 + (k -l)d, die arithmetische Reihe <sn> mit n

Sn =

I

k= 1

(al + (k - l)d)

n

=

-(2a l + (n - l)d) 2

n

=

-(al + an)' 2

b) Geometrische Reihe Es sei a l ElR und qElR\ {O; 1}, dann erhält man aus der geometrischen Folge< ak>mit ak = al'qk-l die geometrische Reihe <Sn mit

>

Sn=

1- qn al·qk-l=a 1 · - - · k= 1 1- q

I

c) Harmonische Reihe 1

Aus der Folge mit ak = k erhalten wir die harmonische Reihe <sn> mit Sn =

~ 1 ~

- = 1 + 21 + "31 + ... + -1 .

k= 1 k

n

Es ist beispielsweise Sl = 1; S2 = 1,5; S3 SSO = 4,49 ... ;SlOO = 5,18 ...

1,83 ... ;S4 = 2,08 ... ; Ss

=

=

2,28 ... ; SlO

=

2,92 ... ;

Da eine Reihe eine Folge (von Partialsummen) ist, können alle Begriffe, die wir von den Folgen her kennen, direkt auf Reihen übertragen werden, insbesondere der der Konvergenz.

Definition 2.2

Konvergiert die Reihe< sn> mit Sn = konvergent und besitze die Summe s.

Schreibweise: S =

I k=l

ak = lim n~oo

I k=l

I k=l

ak gegen s, so sagen wir, die (unendliche) Reihe sei

ak = a l

+ a2 + ....

2.1 Zahlenreihen

105

Bemerkungen: 1. Eine Reihe ist demnach genau dann konvergent gegen die Summe s, wenn es zu jedem c > 0 ein

no gibt, so daß für alle nEN mit Schreibweise

n~no gilt:

IS-Snl=IS-

i

f: a verwenden, folgt aus I f: a I< c für alle nE k

k

k=l

akl
Wenn wir für

N mit n

~ no die Konvergenz

k=l

k=n+1

s die

der Reihe. 2. Existiert der Grenzwert der Reihe< sn nicht, so heißt die Reihe divergent. Ist< sn bestimmt

>

>

C1J

C1J

I

divergent, so schreibt man symbolisch

ak =

00

bzw.

k=l

3. Mit

I

ak = -

00.

k=l

n~l an = s bezeichnen wir den Grenzwert der Reihe (sn> = \ktl ak). Wir wollen nun C1J

eine bequemere Schreibweise für Reihen einführen und das Symbol

I

an auch zur

n=l

Bezeichnung der Reihe selbst verwenden. Dasselbe Symbol bezeichnet daher einerseits eine Folge und hat einen Sinn, unabhängig davon, ob diese Folge konvergiert oder nicht, andererseits aber auch den Grenzwert dieser Folge und hat dann nur einen Sinn, wenn die

I

Folge konvergent ist. Die Schreibweise

an = S soll demnach stets bedeuten, daß die Reihe

n=l

I

an konvergent ist mit dem Grenzwert s.

n=l

4. Die Addition ist kommutativ und assoziativ, daher ist die Summe endlich vieler Zahlen unabhängig von der Reihenfolge der Summanden, bzw. unabhängig davon, ob Klammern gesetzt werden oder nicht. Für unendliche Reihen gilt dies i.allg. nicht, wie folgendes Beispiel C1J

zeigt. Die Reihe

I

(1 - 1) = (1 - 1) + (1- 1) + ... besitzt wegen

n= 1

Sl

= S2 = ... = 0 den Grenz-

C1J

wert Null, wohingegen die Reihe I (- 1t- 1 = 1 - 1 + 1 - 1 ± ... wegen Sl usw. divergent ist. n=1

= 1, S2 = 0, S3 = 1

In Beispiel 2.25 zeigen wir, daß auch die Reihenfolge der Summanden die Summe beeinflussen kann. Beispiel 2.3 Die geometrische Reihe ist für Iq I < 1 konvergent. Es gilt (vgl. Band 1, Seite 88, (3.7)): C1J a I a 1 ·qk-1 = _ 1 _ für Iql < 1. k= 1

1-

q

±

So ist beispielsweise 1 + i + + %+ ... =

I

(i)k-1

= 2.

k=l

Beispiel 2.4 C1J

Wir untersuchen die Reihe

I

1

---auf Konvergenz. n= 1 n(n + 1)

111 Dazu zerlegen wir das n-te Glied dieser Reihe in Partialbrüche und erhalten - - - = - - - - . n(n

+ 1)

n

n

+1

106

2 Reihen

Es ist also

s = n

1 In (1- -1 -) = In -In

k=l

k

k+1

k=lk

1 n -=1+ I k=lk+1 k=2k

1 1 1 In --=1--. k=2k n+1 n+1

Daher ist die Folge <sn> konvergent mit dem Grenzwert 1, also 1

I

--=1. n= 1 n(n + 1) Beispiel 2.5 n

Die harmonische Reihe <sn> mit Sn =

1

I - ist divergent.

k=l k

Wir zeigen, daß <sn> nicht beschränkt ist. Aufgrund von Band 1, Satz 3.3 ist <sn> dann auch nicht konvergent. Es sei n ~ 4 und n E N. Dann liegt n zwischen zwei benachbarten Potenzen von 2, d.h. es gibt ein k E N mit 2 k + 1 ~ n < 2 k + 2 • Wir erhalten: 1

1

1

1

sn = 1 + 2 + "3 + ... + 2k+ 1 + ... + ~

1 + (1 + ... + -) 1 + ... + (1- + ... + - 1 ) + ... +-1 = 1 + -1 + (-1+1-) + (-1 + ... + -) 2 3 4 5 8 9 16 2k + 1 2k + 1 n

Ersetzen,wir in jeder Klammer alle Summanden durch den dort auftretenden kleinsten (z.B. in

(~+ ... +~) durch ~) und vernachlässigen wir die nach verkleinern wir offensichtlich, und es ergibt sich: 2

;+1 auftretenden Summanden, so

1

S n

> 1 +.12 + 2·.14 + 4·.18 + 8·-.L + ... + 2k .2_ _ = 1 +.12 +.12 +.12 +.12 + ... +.12· 16 k+1 k + 1 Summanden

k k+3 Daher 1st S > - + - = - - . n 2 2 2 .

3

Die Folge <sn> ist also nicht beschränkt, und es gilt 00

1

n= 1

n

I - = CIJ. Beispiel 2.6 n Ein Kreis mit Radius r ist in Kreisausschnitte mit den Mittelpunktswinkeln - geteilt. Vom 6

Endpunkt eines Radius ist das Lot auf den nächsten gefällt, von diesem wiederum das Lot auf den nachfolgenden usw. (vgl. Bild 2.1). Wie groß ist die Summe der Längen aller Lote? Übernehmen wir die Bezeichnungen von Bild 2.1, so ergibt sich für das (n + 1)-te bzw. n-te Lot: an + 1 n an n an + 1 n 1 - - = sin -, - = tan -, woraus - - = cos - = 2 3 folgt. Die an bilden daher eine geometrische rn 6 rn 6 an 6

J-

2.1 Zahlenreihen

107

Bild 2.1: Zu Beispiel 2.6

n

r

-

Folge mit a 1 = r'sin"6 = 2 und q = ~j3. Wir erhalten also für die Summe der Längen der Lote: Cf)

S= I

n~l

Cf)

an=

I

r

r

-

-(~j3rl =-j_=(2+ j 3)r=r.3,73 ....

n~12

2-

3

Da Reihen spezielle Folgen sind, lassen sich entsprechende Sätze über Folgen auf Reihen übertragen. So erhalten wir z.B. Satz 2.1

Beispiel 2.7 3n+ 1 _ 2n+ 1 konvergent? Gegebenenfalls ist der Grenzwert zu berechnen. n n= 1 6 3k+1 _ 2k+1 Es ist = 3· (~)k - 2· (t Da die (geometrischen) Reihen I (~)" - 1 und I (t)" - 1 nach k 6 n= 1 n= 1 Beispiel 2.3 konvergent sind, folgt mit Satz 2.1: 3n + 1 _ 2n + 1 I 6n =3-I (~)"-2-I (t)"=3-1=2. Cf)

Ist die Reihe

I

Cf)

t

Cf)

Cf)

Cf)

n=l

n=l

n=l

Es gilt auch folgender Satz.

108

2 Reihen

Satz 2.2

Das Abändern endlich vieler Glieder oder das Hinzufügen bzw. Weglassen endlich vieler Glieder einer Folge hat keinen Einfluß auf den Grenzwert dieser Folge (vgl. Band 1, Abschnitt 3.2). Bei Reihen gilt folgender

Satz 2.3

Bemerkung:

Der Satz besagt, daß endlich viele Glieder keinen Einfluß auf das Konvergenzverhalten der Reihe haben. Die Änderung endlich vieler Glieder beeinflußt i. allg. den Grenzwert, was bei Folgen nicht der Fall ist.

2.1.2 Konvergenzkriterien Bei Reihen ergeben sich (wie auch bei Folgen) zunächst zwei Hauptfragen, nämlich erstens die Frage nach der Konvergenz und, falls diese positiv beantwortet werden kann, zweitens die Frage nach der Summe der unendlichen Reihe. Ist der Grenzwert bekannt, so ist die Konvergenz offensichtlich. Nicht immer ist es möglich (wie in den Beispielen 2.2a), b) und 2.4) die Partialsummen geschlossen darzustellen und daraus (durch Grenzwertbildung) die Summe der Reihe direkt zu bestimmen. Oft ist nur die Frage nach der Konvergenz von Interesse bzw. kann aufgrund der Konvergenzaussage die Summe der Reihe ermittelt werden. In diesem Abschnitt stellen wir Kriterien zusammen, mit Hilfe derer die Konvergenz (bzw. Divergenz) einer Reihe nachgewiesen werden kann, ohne den Grenzwert zu bestimmen. Zunächst formulieren wir das Cauchysche Konvergenzkriterium. Dieses hat den Vorteil, daß 00

nicht der» Reihenrest«

I

a k (mit unendlich vielen Gliedern) abgeschätzt werden muß, sondern

k=n+l

»nur« der Term

I k=n+l

ak mit endlich vielen Summanden.

2.1 Zahlenreihen

109

Satz 2.4 (Cauchysches Konvergenzkriterium)

Bemerkung:

Setzt man m = n + p, so lautet das Cauchysche Konvergenzkriterium: Die Reihe giert genau dann, wenn es zu jedem 8 > 0 ein noE N gibt, so daß

I

niP akl

I

an konver-

n= 1

= + +... + la n+1

an+pl < 8 für alle nEN mit n ~ no und alle pEN ist.

an+2

k=n+l

Beispiel 2.8 00

1

n=l

n

I (- 1)"+ 1._ = 1 -! + t - ±± .. ·ist konvergent.

Die Reihe

Für den Beweis verwenden wit das Cauchysche Konvergenzkriterium und setzen zunächt p als gerade voraus.

niP

Ik=n+1

(_lr1·~I=I±(_1

n+1

k

1_+_1

n+2

n+3

1_±... __1_)1

n+4

n+p

=IC~l-n~2)+C~3-n~4)+···+C+~-1 n~p)l. Alle Klammerausdrücke sind positiv, daher können die Betragsstriche weggelassen werden. Es ist

nf

Ik~n+1

(_1)k+1·~I=_1 __ (_1 k

n+1

n+2

1_)_ ... __1_~_1_<8 n+3 n+p n+1

1 für alle n ~ n o > - - 1 und alle pE N, da sich auch für ungerades p die gleiche Abschätzung ergibt. 8

Es sei darauf hingewiesen, daß Klammern gesetzt bzw. weggelassen werden konnten, da es sich immer nur um endlich viele Summanden handelte. Wir geben nun eine notwendige Bedingung für die Konvergenz von unendlichen Reihen an.

Satz 2.5

110

2 Reihen

Bemerkung: Die Bedingung !im

an =

0 ist nur notwendig und nicht hinreichend für die Konvergenz, wie das

Beispiel der harmonischen Reihe (vgl. Beispiel 2.5) zeigt.

Beweis:

<sn >mit sn = I k

ak

sei gegen S konvergent, d.h. es gelte lim

1

Dann folgt (w:gen

Sn = S

und damit auch lim

n--+ CIJ

an

=

I

ak -

k~l

nIl

ak

= Sn -

Sn _

n--+

Sn _ 1 =

s.

Cf)

1):

k~l

• Die Kontraposition des Satzes 2.5 lautet:

Beispiel 2.9

k- )k ist divergent, da lim ( -k)k >mit Sn = k~In ( - = k +1 k~w k + 1

(1)1 +-

k= - # 0 k e ist. Die nach Satz 2.5 notwendige Bedingung für die Konvergenz ist nicht erfüllt, daher ist die Die Reihe< Sn

1

Reihe divergent, also (da< Sn

>monoton wachsend ist) Iw ( -n- )n = n~ 1

n+1

lim

k~w

1

00.

Im folgenden geben wir hinreichende Bedingungen für Konvergenz bzw. Divergenz von Reihen an. Von besonderer Bedeutung sind dabei die sogenannten Vergleichskriterien. Man vergleicht dabei die zu untersuchende Reihe mit einer zweiten, deren Konvergenzverhalten bekannt ist. Satz 2.6 (Majoranten- und Minorantenkriterium) a) Majorantenkriterium w

Gegeben sei die Reihe

L n=

~,

1) Die Reihe ist dann sogar absolut konvergent (vgl. Bemerkung 2 zu Satz 2.11).

2.1 Zahlenreihen

111

Bemerkungen: 1. Die Reihe

00

I n=1

Cn in Teil a) heißt eine Majorante von

00

I

an und die Reihe

n=l

I

n=1

dn in Teil b) eine

I ann=l 2. Es genügt, daß lanl ~ Cn bzw. an ~ dn erst ab einer Stelle noE N gilt. 3. Teil b) gilt entsprechend für bestimmte Divergenz gegen - 00. Minorante von

Beweis von Satz 2.6: 00

a)

I

n=l

ist konvergent, d.h. zu jedem e > 0 existiert aufgrund des Cauchyschen Konvergenz-

Cn

kriteriums (Satz 2.4) ein n 1 = n 1(e)E N, so daß Wegen Ck > 0 für alle kEN folgt:

Ik=~+

1

akl;;;

k=~+

lakl ;;;

1

k=~+

1 C

1

I

ckl < e für

alle m, n mit m> n

k=n+1

~ n 1 ist.

k< e

für alle m, n mit m ~ n ~ n 1. Mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium(Satz 2.4) folgt daraus die Behauptung. b) Wegen Sn =

I

ak ~

00

I

k=1 k=1 also bestimmt divergent.

dn für alle nEN ist die Folge <sn> nicht beschränkt, die Reihe

I

n=l

an

•

Die folgenden Beispiele demonstrieren die Anwendung des Majoranten- und Minorantenkriteriums. Beispiel 2.10 00

Die Reihe

I

1

2: ist konvergent. n= 1 n

1 ~ - -1- . Nach Beispiel 2.4 ist die Reihe I00 --1 Für alle nE N mit n > 1 gilt nämlich 2: n - n(n - 1) n= 1 n(n + 1) 1

1

00

konvergent und daher auch die Reihe 00

von

I

1

I ---. Damit haben wir eine konvergente Majorante

n=2 (n - l)n 1 2: gefunden, und nach dem Majorantenkriterium ist

n=1 n

00

Wir werden in Abschnitt 2.3 (Beispiel 2.67) zeigen, daß

I

1 2:

n=1 n

00

I

1 2: konvergent.

n=1 n 2

= ~ ist. 6

Beispiel 2.11 00

Wir untersuchen die Reihe

I

1 3/- mit Hilfe des Minorantenkriteriums.

n=1y'n

112

2 Reihen

Für alle nE N gilt

3

1 1 r;;: -. Da

yn

1 3 r= y n

00

gilt:

I

n~1

00

1

I - bestimmt divergent ist (vgl. harmonische Reihe, Beispiel 2.5)

n~ln

n

00.

Beispiel 2.12 00

Mit Hilfe des Majorantenkriteriums zeigen wir die Konvergenz der Reihe

1

I -. n= 1 n!

I

n~1

00

(~)n -

1

ist also eine konvergente Majorante (geometrische Reihe mit q = ~), daher ist

1

I -

n=1 n!

konvergent. Wie wir in Abschnitt 2.2 zeigen werden (s.(2.17)) ist 1 1 1 -= 1 + 1 +- +-+ n=O n! 2! 3! 00

I

... =e = 2,718281828 ...

Diese Reihe konvergiert »schnell«, es ist z.B. 52 = 2,5; 53 = 2,666 ... ; 55 = 2,716 ... ; = 2,71828180 ... ; 5 10 stimmt, wie man sieht, bereits auf 7 Stellen hinter dem Komma mit e überein. 5 10

00

Als Vergleichsreihen werden oft die Reihen

I

1

~

mit IXE~ herangezogen.

n= 1 n

Für

IX

~ 0 ist die notwendige Bedingung ( n-tlim ~ = 0) nicht erfüllt, und daher ist für IX ~ 0 die n 00

Reihe divergent. Für 0 <

IX

~

1 1 1 gilt ~;;: - für alle n

n

00

Minorante), ist auch

I

n~1

Für IX > 2 folgt:

00

nE

1

~ für 0

n

N. Da die harmonische Reihe

1

I - divergent ist (divergente

n=ln

< IX ~ 1 divergent.

I~a I ~ ~2 für alle nE N. Damit haben wir eine konvergente Majorante (vgl. Beispiel

2.10). 00

In Beispiel 2.20 zeigen wir, daß

I

1

~ auch konvergent ist für 1 <

n= 1 n

erhalten wir also:

IX

~ 2. Zusammenfassend

2.1 Zahlenreihen

113

Beispiel 2.13

~

Die Reihe

VnJ +n +n 2 5

13

3

~

1..-

n~1 Vn 5 +n 3 - l _

I

1

J2n

~ 3/ ~

n5

=

ist konvergent. Für alle

nEI'J

mit n ~ 2 gilt nämlich:

J-2'716' 1 Nach (2.1) haben wir daher eine konvergente n

(IX=i>

1)

Majorante. Satz 2.7 (Quotientenkriterium)

Bemerkungen: 1. Das

(I

Quotienten~iteriumist hinreichend. Ist also die Folge a~: 11) nicht konvergent, so

kann die Reihe

I

an trotzdem konvergent sein (vgl. Beispiel 2.17).

n=1

2. Ist der Grenzwert IX = 1, so macht das Quotientenkriterium keine Aussage. Die Reihe kann dann entweder konvergent oder divergent sein. So ist z.B. die harmonische Reihe 00 001 00 001 I an = I -n divergent (vgl. Beispiel 2.5), jedoch die Reihe I bn = I 2n konvergent, n=1 n=l n=1 n=l obwohllim

n~oo

ianan+ 1 = J

lim

_n_=

n~oon+l

1 und lim

n~oo

Ib n +

1 (_n_)2 1

bn

=

lim

n~oo

n+l

=

1 ist.

Beweis:

lim 1an + 11 = IX bedeutet, daß zu jedem 8 > 0 ein no existiert, so daß 11 an + 11- IX 1< 8 ist für alle nE I'J an an mit n ~ no, d.h. es ist n-oo

IX -

e<

Ia~: 1 I < IX + e

für alle

nE I'J

mit n

~ no'

') Die Reihe ist dann sogar absolut konvergent (vgl. Bemerkung 2 zu Satz 2.11).

(2.2)

114

2 Reihen 1-~

Zu a) Es ist 0 ~ ~ < 1, daher gibt es zu B == -2- > 0 ein noE N, so daß a n +-11 < a + B == ~ +-1 == q < o< -

2

l an

a)

1 für alle n ~ no ist (vgl. Bild 2.2a).

b)

1- cx -2-=€

cx -1 -2-=E ~

~

I

I

0

CX

I

•

I

cx+ 1 -2-

I

1+cx -2-

0

I

CX

•

Bild 2.2a,b: Zum Beweis des Quotientenkriteriums

Daraus ergibt sich Ian + 11 <

q'l an I für

alle nE N mit n ~ no, woraus z.B. mit Hilfe der

vollständigen Induktion la nI < Ian.!" qn - no = Ia:: I"qn für alle n ;;;:; no folgt. Wegen 0 < q < 1 q

00

I

ist die Reihe

qn konvergent, und aufgrund des Majorantenkriteriums (Satz 2.6a)) ist in

n=l 00 diesem Fall

I

an konvergent.

n=l a - -1 > 0 ein n , so daß 1 < a +-1 == q < Ian +-1 I für alle Zu b) Ist a > 1, so gibt es wegen (2.2) zu B == o

2

2

~

nE N mit n ~ no gilt, d.h. es ist an+ 11> lanl > ... > la no I> 0 für alle n ~ no (vgl. Bild 2.2b)). • Also ist die notwendige Bedingung (s. Satz 2.5) lim an == 0 nicht erfüllt. 1

n-+

00

Beispiel 2.14 00

Die Reihe

n2

I ----;; ist konvergent, denn wir erhalten:

n= 1 3

1( 1)2 ==3< 1 1,

n . i an + 1 (n+1)2'3 . hm - - == hm n+1. 2 == hm 3 1 +n-+ 00 an n-+ 00 3 n n-+ 00 n 1

.

woraus mit dem Quotientenkriterium (Satz 2.7) die Konvergenz folgt. Beispiel 2.15 00

Die Reihe

I

3n n ist divergent. Es ist nämlich

--5

n= 1 2 'n

1)5 == 23> 1,

n 1 n 5 n 1 . . la hm - +- == hm +31 + ·2 ·n5 == hm 2 1- -n-+ 00 an n-+ 00 2 n . (n + 1) .3n n-+ 00 n+ 1 1

.

woraus die Divergenz folgt.

3(

2.1 Zahlenreihen

115

Beispiel 2.16 5n

00

Die Reihe

I -

n=ln!

konvergiert wegen lim

5n+ 1 ·n!

n~00(n+1)!·5n

5

= lim - - = 0 < 1. n~oon+l

Wie man dem Beweis des Quotientenkriteriums entnehmen kann, benötigt man als Voraussetzung nur, daß es eine Zahl q gibt mit

la::11~q<1 bzw·la::11~q>1 fürallen~no. Die Existenz des Grenzwertes lim 1an + 11 n~oo an

-=1=

(2.3)

1 impliziert zwar eine dieser Ungleichungen, jedoch

kann eine Ungleichung wie in (2.3) bestehen, ohne daß die Folge \

I

a:: 11) konvergent ist.

In Fällen, in denen dieser Grenzwert nicht existiert, kann also die Konvergenz bzw. die Divergenz eventuell aufgrund von (2.3) nachgewiesen werden. Dazu folgendes Beispiel. Beispiel 2.17

00

Die Reihe

I

an mit an =

n=l

J3

3 (n-1)

1

J3

3n

-

4

für ungerades n für gerades n,

i

also 1 + + ~ + ~ + ft + ~ + ... ist auf Konvergenz zu untersuchen. Es ergibt sich

J~

la:: 11 =

J3

J~ 1

J3

Die Folge \

1

1

3 (n+1)-4

3n

9

3 für ungerades n für gerades n.

a:: 11) = 1, i, 1, i, 1, i,··· konvergiert offensicht~ich nicht. Aufgrund obiger Bemer-

kung ist trotzdem eine Konvergenzaussage über die Reihe

I

an möglich, da für alle

nE N

gilt:

n=l

Wie schon bemerkt wurde, ist eine Aussage über die Konvergenz der Reihe I an mit Hilfe des a n= 1 Quotientenkriteriums nicht möglich, wenn lim ~ = 1 ist. In einigen Fällen kann die Konvern~ 00 an genzfrage eventuell dann mit Hilfe des Wurzelkriteriums beantwortet werden (vgl. Beispiel 2.19) 1

J

2 Reihen

116

Satz 2.8 (Wurzelkriterium)

Der Beweis dieses Kriteriums erfolgt ähnlich wie der des Quotientenkriteriums (Satz 2.7) mit Hilfe des Majoranten- bzw. Minorantenkriteriums (Satz 2.6). Bemerkungen:

1. Ebenso wie beim Quotientenkriterium genügt für den Nachweis der Konvergenz bzw. der Divergenz, daß es eine Zahl q gibt mit y/~:;2; q < 1 bzw. y/~ ~ q > I für alle nEN mit n~no'

2. Das Wurzelkriterium ist in der Handhabung oftmals schwieriger als das Quotientenkriterium, dafür jedoch, wie oben schon erwähnt, weitreichender (vgl. Beispiel 2.19). 3. Ist der Grenzwert lim y/~ = 1, so kann mit Hilfe dieses Satzes über die Konvergenz von 00 n-+CIJ 00 1 I_ an keine Aussage gemacht- werden. Es gilt z.B. für die divergente harmonische Reihe I_ -n n-1

(vgl. Beispiel (2.5): !~~ lim n--t

00

nJn1

Jl

n

CD 1 n-1 ~ = 1, für die konvergente Reihe n~l n 2 (vgl. Beispiel 2.10):

1.

2 =

CD

Es gibt also divergente und konvergente Reihen

I

an' für die lim

n=1

Beispiel 2.18 a) Die Reihe

I -n1- ; ist konvergent, da oc

lim

n=l

n-+oo

JT~

n

n

=

n--+oo

lim -1 = 0 ist. n-oon

CD

b) Die Reihe

I

(y/"2 - l)n ist konvergent, da

n=1

lim Y/ry/2- l ln n--+oo

=

lim (y/"2-1) = 0 ist. n-ClJ

1) Die Reihe ist dann sogar absolut konvergent (vgl. Bemerkung 2 zu Satz 2.11).

y/~ = 1 ist.

2.1 Zahlenreihen

5n

00

c) Die Reihe

I

--4

n=l

n

4 ·n

5 ist divergent, da lim

n~oo

n /

4· V n 4

117

= ~ > 1 ist.

Folgendes Beispiel belegt die Bemerkung 2 zum Wurzelkriterium (Satz 2.8). Beispiel 2.19 1 1 1 Wir betrachten - + - + - 3 3 52 3 1

I

an mit a n.=

n=l

1

1

falls nungerade

3n '

00

1

+ -54 + -3 5 + -56 + ... ' also die Reihe

1

5n '

falls n gerade.

Wir versuchen, die Konvergenz mit Hilfe des Quotientenkriteriums (Satz 2.7) zu beweisen und bilden dazu a 2n + 1 l

a2n

1

=~=1.(~)2n 2n+ 1 3 3 3

bzw.

(~)2n

Da nicht beschränkt ist, gibt es kein n o und kein q, so daß n ~ no gilt (vgl. 2.3)).

lan + 11 ~ q < 1 für alle nEN mit an

Die Konvergenz läßt sich also nicht mit Hilfe des Quotientenkriteriums beweisen. Untersuchen wir jedoch ~~, so ergibt sich

-#

2~-1a 2-1_ - 2n n

_ = _1

52n

5

{l =~

bzw.

J

=~

1 ist, gibt es ein no und ein q, so daß 32n - 1 Z/~ ~ q < 1 ist für alle nEN mit n ~ no. Aufgrund der Bemerkung 1 zum Wurzelkriterium (Satz 2.8) ist die vorgelegte Reihe konvergent. Da sowohl lim

2n

n~oo V~

als auch lim

n~oo

2n-1

00

Man kann die Summe einer unendlichen Reihe

I

an auch geometrisch veranschaulichen. Wir

n=l

zeigen das für den Fall, daß alle an > 0 sind. Dazu trägt man in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte P n(n, an) ein und erhält daraus, wie in Bild 2.3 ersichtlich, eine» Treppenfläche«. Der Flächeninhalt dieser (nach rechts nicht beschränkten) Treppenfläche veranschaulicht den 00

Grenzwert der unendlichen Reihe

I

an-

n= 1

Diese geometrische Veranschaulichung legt es nahe, mit Hilfe eines uneigentlichen Integrals die Konvergenz bzw. Divergenz einer unendlichen Reihe nachzuweisen. In der Tat gilt folgender

118

2 Reihen

tIn) 0,

3

2

5

4

6

n

Bild 2.3: Geometrische Veranschaulichung der Summe einer unendlichen Reihe.

Satz 2.9 (Integralkriterium)

Bemerkungen: 1. Ist das uneigentliche Integral divergent, so divergiert die unendliche Reihe.

2. Während bei den bisherigen Kriterien die Glieder positiv oder negativ sein konnten, ist das Integralkriterium nur anwendbar, wenn alle Glieder nichtnegativ sind. 3. Der Satz gilt entsprechend für das Intervall [k, 00). Beweis:

Da

J monoton fallend ist, gilt für alle nEN: J(n

+ 1) ~ J(x) ~ J(n)

mit

n ~ x ~ n + 1.

Aufgrund der Monotonie des Integrals (vgl. Band 1, Satz 9.10) folgt dann n+1

S

n+1

J(n + l)dx ~

S

n+1

J(x)dx ~

S

J(n)dx,

d.h.

n+1

J(n

+ 1) ~ S

J(x)dx ~ J(n)

für alle nE N.

Durch Addition ergibt sich daraus J(2) + ...

+ J(n) ~ SJ(x)dx ~ J(I) + ... + f(n 1

1).

2.1 Zahlenreihen Bezeichnen wir die Teilsummen mit Sm d.h. Sn

=

I

119

f(k), so ergibt sich (vgl. Bild 2.4)

k~l

Sn - f(1) ~ S f(x)dx ~ Sn~ 1

(2.4)

für alle nEN.

1

w

Ist das uneigentliche Integral

S f(x)dx konvergent, so folgt wegen 1

o ~ Sn -

f(l) ~

S f(x)dx 1

~

S f(x)dx für alle nE N 1

die Beschränktheit der Folge <sn>' Weiterhin ist <sn> monoton wachsend, daher ist <sn> konvergent. Wenn umgekehrt die Reihe <sn> gegen S konvergiert, dann gilt sn Ungleichung von (2.4) folgt dann

~

sfür alle nEN. Aus der rechten

[,]+ 1

o~

S f(x)dx 1

~

S f(x)dx =

S[']

~

S

für alle t ~ 1,

1

w

d.h.

•

S f{x)dx existiert, da der Integrand nichtnegativ ist. 1

a)

b)

fIx)

fIx) f(1)

'(2)

2

3

4

5

6x

2

3

Bild 2.4a,b: Abschätzung einer Reihe mit Hilfe eines uneigentlichen Integrals

Beispiel 2.20 w

Es sei rx > O. Wir untersuchen die unendliche Reihe

I

n~ 1

1 Wir setzen an = -a = f(n), d.h. f: [1, (0)---+ ~ mit f(x) n

1

~

n

1

=-.

xa

auf Konvergenz.

4

5

6x

120

2 Reihen

f ist wegen f'(x) = -

(X

< 0 für alle xE[l, (0) monoton fallend, weiter ist f(x)

---;+1

x

~

0 für alle

(0). Damit erfüllt f die Voraussetzungen des Integralkriteriums. Wie in Band 1 mit Beispiel 00 dx 9.68 gezeigt wurde, ist das uneigentliche Integral divergent für (X ~ 1 und konvergent für 1 X 00 1 (X > 1. Aufgrund des Integralkriteriums ist damit auch die unendliche Reihe ~ divergent für (X ~ 1 und konvergent für (X > 1. n= 1 n

XE [1,

J---;

I

Beispiel 2.21 Für welche

(XE

00

1

n=2

n·(lnnt

I --- konvergent, für welche divergent?

~ ist die Reihe

1

1 Wegen an = f(n) = - - - wählen wir f: [2, (0) ~ ~ mit f(x) = . n'(lnn)a x'(lnx)a

Wie man leicht nachweisen kann, erfüllt

f

die Voraussetzungen des Integralkriteriums. Wir 00 dx untersuchen daher das uneigentliche Integral Mit Hilfe der Substitution t = In X 2 x'(Inxt

J

( dt =

.

~) erhalten wir dx

R

InR dt

Jx'(lnx)~ = J ~. 2

Für

(X

In2

#- 1 ergibt sich: 1 1 J -a = -_. tl-alInR = -_. ((lnR)l-a -

InR dt

t

In 2

Für

1-

(X

1-

In 2

> 1 konvergiert also

dx

00

J

(ln2)1-a).

(X

'

wohingegen für x·(lnxt uneigentliche Integral divergiert. Für (X = 1 erhalten wir (X

(X

< 1, wegen lim (In R)l - a = R~oo

2

InR dt

J-

t

In2

00,

dieses

= In t I~~ ~ = In (In R) - In (In 2),

d.h. das uneigentliche Integral

00

dx

2

x·lnx

J- - existiert nicht.

Zusammenfassend ergibt sich: 1

00

I

---a

n=2

n·(lnn)

ist konvergent für

(X>

1 und divergent für

(X

~ 1.

Zum Abschluß geben wir noch ein Kriterium an, das sich aufReihen anwenden läßt, deren Glieder abwechselnd negativ und positiv sind. Man nennt solche Reihen alternierend. Für alternierende 00

Reihen

I

n=l

an gilt also

2.1 Zahlenreihen

121

Beispiel 2.22 1

00

Die Reihe< sn) mit Sn = I (_1)k + I Reihe. k~ I

.

k = 1 - ±+ t -:t + - ... + (-1 r

1 I '-

ist eine alternierende

n

Satz 2.10 (Leibniz-Kriterium)

Bemerkung:

Dieses Kriterium läßt sich selbstverständlich auch auf Reihen anwenden, die erst ab einer Stelle alternierend sind. Dasselbe gilt, wenn die Folge< Ian I) erst ab einem n o E N eine monoton fallende Nullfolge ist. noE N

Beweis:

Es sei a l > 0 (für a l < 0 läuft der Beweis entsprechend). Da die Reihe alternierend ist, gilt: a 2m - 1 >

°

und

a 2m

< 0 für alle mEN.

Aus der Monotonie der Folge< lanl) folgt a 2m + a 2m + I ~

° und

a 2m -

1

+ a 2m ~ 0

für alle

mE N.

(2.5)

Wir betrachten nun die zwei Folgen <s2m-l) und <S2m)' Die erste ist monoton fallend, die zweite monoton wachsend, denn für alle mE N gilt wegen (2.5):

Wir zeigen nun, daß beide Folgen beschränkt sind. Aufgrund der Monotonie beider Folgen ist SI eine obere Schranke von <S2m-l) und S2 eine untere Schranke von <S2m)' Weiterhin gilt

daher ist S2 auch eine untere Schranke von

<S2m-l)

und SI eine obere Schranke von< S2m)'

Die Folgen <S2m-l) und <S2m) sind danach beschränkt und monoton und daher konvergent (vgl. Band 1, Satz 3.8). Es ist also lim SO -

S2m-l

s' = lim

= s' und lim

S2m -

lim

S2m

S2m-l

= SO. Daraus folgt

= lim

(S2m -

S2m-l)

= lim a 2m = 0, m---"'oo

da nach Voraussetzung< Ia m I) und somit auch < am ) eine Nullfolge ist. Die beiden Folgen <S 2m _ 1) und < S 2m) streben also gegen den gleichen Grenzwert, die Folge < sn) ist daher konvergent. •

122

2 Reihen

Beispiel 2.23 1

00

a) Die Reihe "~1 (-1)"+ 1. ~ = 1 -


(\ ( -1)" + 1

.

~

I)

=

i + ~ - ~ + ~ =+= ... ist konvergent, da die Folge

(~) eine monoton fallende Nullfolge ist. 00

In Beispiel 2.44 zeigen wir, daß

I

1 (-1 + 1 . - = In 2 ist.

t

n

n= 1

1t + 1 ist eine alternierende Reihe. Die Folge ( I(- l)n + 1 I) = ( -1- ) ist 2n - 1 2n - 1 2n - 1 1 monoton fallend, und es gilt lim - - = 0, woraus mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums die n~oo 2n - 1 Konvergenz folgt.

b) Die Reihe

I

00

(-

n= 1

00

Es ist (vgl. Beispiel 2.45)

I

(-l)n+ 1

n= 1

2n-1

1

n

=- . 4

/1) eine monoton fallende Nullfolge ist.

c) "~O (-1)"·;;l ist konvergent, da \;;l 00

00

Ist s =

I

an eine alternierende Reihe, die die Voraussetzungen des Leibniz-Kriteriums erfüllt, so

n=l

gilt folgende Fehlerabschätzung:

ISn - si ~ la n + 11 für alle nEN.

(2.6)

In Bild 2.5 ist diese Ungleichung veranschaulicht.

~I- - - - - - - - - - - - - - - - -

~

1-. :.

:

-

:

-

-

-

-

-

10,1 - - - - - - - - - - - -.....~I 10 II_O_21

I

I

I

I

I

--I:

10311041 ~ 106 1----i

: I -- - - -

I

~1

-tl ...

I

I

I

I

I

:

: I

I

Diese Fehlerabschätzung erhalten wir aus dem Beweis des Leibniz-Kriteriums (Satz 2.10). Wie dort sei a 1 > 0, d.h. a2m -

1

>0

und

>

a 2m
für alle mEN.

Die Folgen< S 2m _ 1 und< s 2m> sind daher monoton, haben den gleichen Grenzwert, und es gilt ~ S ~ S2m-1 für alle mE N.

S2m

2.1 Zahlenreihen Daraus schließt man für alle

mE N:

IS2m-1-sl=s2m-1-s~s2m-1-s2m=

IS 2m- si = s -

123

und

-a 2m =la 2m l

S2m ~ S2m+1 - S2m = a 2m +1 =

la 2m + 1 1,

also gilt die Abschätzung (2.6). Beispiel 2.24 00

Wieviel Glieder der Reihe

I

1 (-lt+ 1. - müssen mindestens addiert werden, damit der Grenzn

n=l

wert In 2 auf 4 Stellen nach dem Komma genau ist?

si ~ la n + 11 =

1

< 0,5 .10- 4 , wozu n > 2.10 4 -1 genügt. Man muß n+1 also 20000 oder mehr Summanden addieren, um die geforderte Genauigkeit zu erreichen. Man sagt, die Reihe konvergiere »langsam«, sie eignet sich also nicht gut zur Berechnung von In2.

Aus (2.6) erhalten wir

ISn -

--

2.1.3 Bedingte und absolute Konvergenz

Bei der Definition der Summe einer unendlichen Reihe (Definition 2.2) haben wir mit Bemerkung 4 bereits darauf hingewiesen, daß die Reihenfolge der Summanden die Summe beeinflussen kann. Folgendes Beispiel belegt dies. Beispiel 2.25 00

Wir betrachten die nach Beispiel 2.23 a) konvergente Reihe

I

1 (-lt+ 1. - . Es ist also

n= 1

1-

n

-! + ~ - i + i-i + ~ - i + - ... = s.

Diese Reihe ordnen wir nun um und zwar so, daß jeweils auf einen positiven Summanden zwei negative folgen, also 1-

-! - i + ~ - i-i + i - {o -

{2 + ~ -

114 -

/6

+ - ...

Setzen wir Klammern, so ergibt sich (1 -

i) - i + (~- i) - i + (i -

{o) -

/2 + (~- /4) - {6 + - ...

und daraus .1 _ .1 2

4

+ .1 _ .1 + --.L _ 6

8

10

--.L 12

+ --.L _ 14

--.L 16

+ _ ... = ~ (_ l)n + 1 . ~ n~l

2n·

Die letzte Reihe ist aufgrund des Leibniz-Kriteriums (Satz 2.10) konvergent. Der Faktor ~ kann also vor die Summe gezogen werden. 1 00 1 (-lt+ 1·-=i· (-lt+ 1·-=i· s. n= 1 2n n= 1 n 00

I

I

124

2 Reihen 1

00

Durch die vorgenommene Umordnung der Reihe

I

n~1

(_1)"+1._ mit der Summe s erhielten wir n

also eine wiederum konvergente Reihe, jedoch mit der Summe ~. s. Definition 2.3

Eine gegen s konvergente Reihe heißt bedingt konvergent, wenn es eine Umordnung gibt, so daß die umgeordnete Reihe entweder divergent ist oder gegen eine von s verschiedene Summe konvergiert. Es gibt Reihen, die bei jeder Umordnung konvergent sind und auch die gleiche Summe besitzen. Man nennt diese Reihen auch unbedingt konvergent. Wie man zeigen kann, sind dies genau die 00

Reihen

00

I

an' für die auch

n=l

I

lanl konvergent sind.

n=l

Definition 2.4 00

I

Eine Reihe

an heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

I

lanl konvergent ist.

n=l

n=l

Bemerkung:

Konvergente Reihen, die nur nichtnegative Glieder besitzen (d.h. an ~ 0 für alle nE N), sind, wegen an = Ian I, absolut konvergent. Beispiel 2.26 00

Die Reihe

I

n= 1

1 2 ist nach Beispiel 2.10 konvergent und gleichzeitig absolut konvergent.

n

Satz 2.11

Der Beweis erfolgt mit dem Majorantenkriterium. Bemerkungen: 00

1. Die Umkehrung dieses Satzes ist nicht richtig, wie die Reihe

I

1

(-1)"+ 1._ zeigt. Diese Reihe n~ 1 n

ist (obwohl sie konvergent ist) nicht absolut konvergent, denn wir erhalten mit

001

I001 (-1)"+ 1._11 = I - die divergente harmonische Reihe. n=1

n

n~ln

2. Wird die Konvergenz einer Reihe mit dem Majoranten-, Quotienten- oder Wurzelkriterium bewiesen, so ist die Reihe sogar absolut konvergent.

2.1 Zahlenreihen

125

Wie oben schon angedeutet wurde, besteht ein Zusammenhang zwischen den unbedingt konvergenten und den absolut konvergenten Reihen. In der Tat läßt sich folgender Satz beweisen. Satz 2.12

Bemerkung:

Aufgrund dieses Satzes dürfen absolut konvergente Reihen umgeordnet werden; der Grenzwert ändert sich dabei nicht. Will man zwei konvergente unendliche Reihen

I

I

an und

n=l

bn miteinander multiplizieren, so

n=l

treten dabei folgende Summanden auf:

Die Summe dieser Produkte ist (wie man zeigen kann) unabhängig von der Reihenfolge dieser 00

Summanden, wenn beide Reihen

I

n= 1

00

an und

I

bn absolut konvergent sind. In diesem Fall wählt

n= 1

man als Anordnung zweckmäßig »Schrägzeilen« also: a l b l + (al b2 + a 2 b l ) + (al b 3 + a 2 b 2 + a 3 b l ) + (al b4 + ... + a4 b l ) + .... Bezeichnenwiralb[ =c[,a l b 2 +a 2 b[ =c 2 ,also

I

akb n- k+ l =cmsostelltsichdieFrage,obdas

k= [ 00

Produkt zweier unendlicher Reihen sich durch die Reihe

I

n~

läßt. Dazu folgender Satz 2.13

Cn mit Cn = [

I k~

akbn-k+ [ berechnen [

126

2 Reihen

Aufgaben 1. Bestimmen Sie den Grenzwert nachstehender Reihen

<sn>

mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (vgl.

Beispiel 2.4). b) s n -

d)

sn =

5

~

k~l (k

.

+ 5)(k + 6)'

1 - - - mit mEN; k=l k(k + m) n

I

2. Welche der nachstehenden Reihen sind nach Satz 2.5 divergent? 00

a)

I

b)

I

n= 1

I

00

- n )zn.

(

n=l

n=l y n 00

d)

1 n ;:;

n-1 (-lt·-; n+1

n+1 1

00

e)

'

I--;

1

I

f)

n= 1 arctan n

1) ;

n-l - n·ln ( 1 +~

3. Mit Hilfe des Majoranten-bzw. Minorantenkriteriums (Satz 2.6) sind folgende Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen:

I

00

a)

~

I;=I

2n-1

00

-y-z n _- .1; n=l n + 1

b)

I - 31; n=l +

c)

n

00

1

n=Z

fi2=1

I--;

V

z n 4 Z/n +I ; ~ ~~ 7 + z . 5 n=ln'Vn +n-1 n=lVn +3n -2

I

4. Verwenden Sie das Quotienten- bzw. Wurzelkriterium (Satz 2.7 bzw. 2.8) um die Konvergenz oder die Divergenz der nachstehenden Reihen zu zeigen. a)

I (~-lt mit n=l

b)

aE[R+;

I (Y;;; -lt; n=l

n' c) I . ; n= 1 2·4·6··· 2n

00 n-2 d) I (i)n._; n=l n+ 2

00 100n e) I - , ; n=l n.

00 n5 f) I , ; n=l n.

00 n! g) I 9 ; n=l n

h) I n4'(fo)n; n=l

00 3n 00 ( i)I -1- )" ' j) I~· n= 1 arctan n ' n=l n

5. Prüfen Sie das Konvergenzverhalten der alternierenden Reihen mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums. 00

a)

d)

(_l)n+ 1

00

(_l)n+ l ' n

(-It'n

I--;

b)

I

e) !ln(ln2)-iln(ln3)± ....

n=l 2n + 1

n=l

(-lt+l(I-~);

I

n=l

n

Z

+1

;

c)

I ( )Z ; n=4n-3 +1

n 00 (-lt+ 1 6. Wieviel Glieder müssen mindestens addiert werden, wenn - durch die unendliche Reihe I - - - auf 4 n= 1 2n-1 3 Stellen nach dem Komma genau berechnet werden soll?

2.1 Zahlenreihen 7. Berechnen Sie die Summe (-lt+

00

a)

I

1

00

b)

- - 2- ;

n= 1

n

I

n= 1

127

der ersten vier Glieder von

S4

(-lt 1 -,-=--1, n. e

und schätzen Sie den Fehler

Is - s41 ab.

8. a) Es sei an ~ 0 für alle nEN und die Reihe I an konvergent. Zeigen Sie, daß dann auch die Reihe I a~ konvergiert. n= 1 n= 1 b) Geben Sie ein Beispiel an, durch das gezeigt wird, daß die Bedingung an ~ 0 für alle nEN nicht fortgelassen werden kann. 9. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz: a)

I

n=

+ 1)3

J(n 2 1 V(n 4

+

n2

+ 1)5

;

00 (n+ 1t d)I~; n=l n

g)

b)

e)

1

I

.

n= 3 n(ln n)(ln In n)P' ( _l)n'n

I

n=l (n

00

c)

n= 1 n 00

.

f)

+ l)(n + 2)'

n!

I-;;; (n!)2

I-'

n=l (2n)!'

00 sin2n i)In n=l 3

I

n=l

10. Für welche CiElR konvergieren die Reihen

00

11.

a) Zeigen Sie, daß die Reihe n~l

(

l)n

j;;

zwar konvergent,j:dOCh nichtooabsolut konvergent ist.

*b) Für das Produkt zweier absolut konvergenter Reihen

I

an und

n=l

I n=l

bn gilt:

Zeigen Sie, daß diese Gleichung i.allg. nicht mehr richtig ist, wenn keine der beiden Reihen absolut konvergiert. Wählen Sie dazu die Reihen mit

an

= bn = (- ~n und beweisen Sie, daß dann yn

I

Cn

divergiert.

n=l

1 2 mit a, zeigen Sie, daß dann gilt: n=l n 00

12. Bezeichnen wir die Summe der absolut konvergenten Reihe

I

1 1 3 l+-+-+ .. ·=-a. 32 52 4

13. Zeigen Sie, daß für alle Iq I < 1 gilt: 1

00

a)

I

n=l

n·qn-l

=--2;

(l-q)

2 n(n+ l)·qn-l = - - 3 . n=l (l-q) 00

b)

I

14. Nach Bild 2.6 werden Halbkreise so aneinandergesetzt, daß eine Spirale entsteht. Der Radius des ersten Kreises sei a, der Radius des jeweils folgenden Halbkreises sei -i mal so groß. Berechnen Sie die Länge s der gesamten Spirale. *15. Homog.ene Ziegelsteine der Länge I sollen mit einem Überhang gestapelt werden (s. Bild 2.7) Wie groß kann dieser Uberhang T maximal werden, wenn genügend Steine vorhanden sind und labiles Gleichgewicht noch zugelassen wird?

128

2 Reihen

Bild 2.6: Zu Aufgabe 14

I..

"I

..t::===::1:::::::::==::::=..T- - Bild 2.7: Zu Aufgabe 15 *16. Beweisen Sie:

Sind

L n= 1

an

und

L 11=

bn konvergente Reihen, dann gilt die

1

Schwarzsehe Ungleichung:

17. Gegeben ist die Punktfolge
(tl

(i)k-t, ktl

(_i)k-l).

a) Skizzieren Sie die ersten vier Punkte PI' P 2' P 3 und P 4· b) Ist