Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych

Andrzej Gawęcki

MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska 2003 r. Alma Mater

SPIS TREŚCI

Andrzej Gawęcki MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

Przedmowa

Okładka

1

Í

Î

SPIS TREŚCI CZĘŚĆ PIERWSZA. PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNOWAGI. SYMETRIA TENSORA NAPRĘŻENIA 1.5. TRANSFORMACJA SKŁADOWYCH STANU NAPRĘŻENIA. DEFINICJA TENSORA 1.6. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE 1.7. ROZKŁAD TENSORA NAPRĘŻENIA NA AKSJATOR I DEWIATOR 1.8. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA 1.9. PRZYKŁADY

2. STAN ODKSZTAŁCENIA 2.1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA 2.2 TENSOR ODKSZTAŁCENIA. ZWIĄZKI KINEMATYCZNE 2.3. RÓWNANIA NIEROZDZIELNOŚCI 2.4. WŁASNOŚCI TENSORA ODKSZTAŁCENIA 2.5. PŁASKI STAN ODKSZTAŁCENIA 2.6. PRZYKŁADY

3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ 4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZANYCH 4.1. PRÓBA ROZCIĄGANIA 4.2. ZJAWISKO BAUSCHINGERA 4.3. HISTEREZA 4.4. WPŁYW PRĘDKOŚCI ODKSZTAŁCENIA 4.5. PEŁZANIE I RELAKSACJA 4.6. WYTRZYMAŁOŚĆ DŁUGOTRWAŁA 4.7. WPŁYW CZYNNIKÓW ZEWNĘTRZNYCH 4.8. WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 5.1. ZWIĄZKI MIĘDZY ODKSZTAŁCENIAMI I GŁÓWNYMI NAPRĘŻENIAMI 5.2. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ IZOTROPOWYCH 5.3. ZMIANA OBJĘTOŚCI 5.4. INNE POSTACIE ZWIĄZKÓW FIZYCZNYCH 5.5. IZOTROPIA I ANIZOTROPIA. JEDNORODNOŚĆ I NIEJEDNORODNOŚĆ 5.6. ZESTAWIENIE I DYSKUSJA RÓWNAŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 5.7. PRZYKŁADY

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 6.1. PRACA SIŁ ZEWNĘTRZNYCH 6.2. TWIERDZENIE CLAPEYRONA 6.3. ENERGIA SPRĘŻYSTA WŁAŚCIWA 6.4. ZASADA WZAJEMNOŚCI DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 6.5. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA CIAŁ SPRĘŻYSTYCH 6.5.1. Zasada minimum energii potencjalnej 6.5.2. Zasada minimum energii dopełniającej

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE 7.1. UWAGI WSTĘPNE 7.2. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA MATERIAŁÓW CIĄGLIWYCH 7.2.1.Warunek plastyczności Hubera-Misesa-Hencky'ego 7.2.2. Warunek plastyczności Treski - Guesta 7.2.3. Porównanie warunków plastyczności HMH i TG 7.2.4. Dalsze uwagi i uogólnienia 7.3. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA MATERIAŁÓW PLASTYCZNO - KRUCHYCH 7.3.1. Hipoteza ekstremalnych naprężeń głównych 7.3.2. Hipoteza największego odkształcenia głównego 7.3.3. Hipotezy wywodzące się z warunku O.Mohra 7.4. HIPOTEZA BURZYŃSKIEGO 7.5. WSPÓŁCZYNNIK BEZPIECZEŃSTWA 7.6. PRZYKŁADY

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

SPIS TREŚCI

Andrzej Gawęcki MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

2

CZĘŚĆ DRUGA. MECHANIKA ELEMENTÓW PRĘTOWYCH 8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLASYFIKACJA ZASADNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI 8.2. ZASADA DE SAINT VENANTA 8.3. SIŁY WEWNĘTRZNE 8.4. ZAKRES OBLICZEŃ KONSTRUKCJI

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ 9.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE 9.2. NAGŁE ZMIANY PRZEKROJU. KONCENTRACJA NAPRĘŻEŃ

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO 10.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE 10.1.1. Kinematyka. Hipoteza płaskich przekrojów 10.1.2. Obliczanie naprężeń w prętach liniowo-sprężystych 10.1.3. Obliczanie odkształceń w prętach liniowo-sprężystych 10.1.4. Wyznaczanie przemieszczeń pręta liniowo-sprężystego. Równanie różniczkowe linii ugięcia 10.1.5. Zakres stosowania wyprowadzonych wzorów 10.1.6. Zależności energetyczne 10.2. METODY WYZNACZANIA LINII UGIĘCIA I ZASTOSOWANIA RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO LINII UGIĘCIA 10.2.1. Postacie równania różniczkowego linii ugięcia. Warunki brzegowe 10.2.2. Całkowanie równania II rzędu 10.2.3. Metoda obciążenia krzywiznami 10.2.4. Obliczanie belek statycznie niewyznaczalnych. Belki na podłożu sprężystym

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ 11.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE 11.1.1. Obliczanie naprężeń 11.1.2. Obliczanie odkształceń 11.1.3. Obliczanie przemieszczeń 11.1.4. Zależności energetyczne 11.2. ŚCINANIE W BELKACH ZŁOŻONYCH 11.3. STAN NAPRĘŻENIA W BELKACH OBCIĄŻONYCH POPRZECZNIE 11.4. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE W BELKACH 11.5. ŚRODEK ŚCINANIA

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 12.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE 12.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych 12.1.2. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym 12.1.3. Skręcanie prętów o przekrojach kołowych i pierścieniowych 12.1.4. Skręcanie pręta o przekroju w kształcie trójkąta równobocznego 12.1.5. Obliczanie naprężeń i kąta skręcania dla prętów o dowolnym przekroju. Przekrój prostokątny 12.1.6. Uwagi o skręcaniu nieswobodnym 12.1.7. Zależności energetyczne przy skręcaniu swobodnym 12.2. ANALOGIA BŁONOWA I ANALOGIA HYDRODYNAMICZNA 12.3. SKRĘCANIE SWOBODNE PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH 12.3.1. Profile zamknięte 12.3.2. Profile otwarte 12.3.3. Porównanie skręcania swobodnego prętów cienkościennych zamkniętych i otwartych

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA 13.1. JEDNOCZESNE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ I MOMENTU ZGINAJĄCEGO 13.1.1. Obliczanie naprężeń. Oś obojętna 13.1.2. Rdzeń przekroju 13.1.3. Warunek projektowania. Obszar dopuszczalny 13.2. PODSTAWY TEORII PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH W.Z.WŁASOWA 13.2.1. Wprowadzenie 13.2.2. Zależności kinematyczne 13.2.3. Naprężenia normalne. Bimoment 13.2.4. Główne współrzędne wycinkowe 13.2.5. Naprężenia styczne. Moment giętno-skrętny 13.2.6. Równania różniczkowe funkcji bimomentu i funkcji kąta skręcenia. Warunki brzegowe 13.2.7. Zależności energetyczne 13.2.8. Przykłady 13.3. PRĘTY SILNIE ZAKRZYWIONE 13.3.1. Zależności kinematyczne 13.3.2. Wyznaczanie naprężeń 13.3.3. Zależności energetyczne 13.3.4. Przykład

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

SPIS TREŚCI

Andrzej Gawęcki MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

3

CZĘŚĆ TRZECIA. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 14. WIADOMOŚCI OGÓLNE 14.1. WARUNKI RÓWNOWAGI UKŁADU SIŁ 14.2. PODPORY PRĘTÓW 14.3. CZYNNIKI ZEWNĘTRZNE POWODUJĄCE DEFORMACJĘ KONSTRUKCJI. OBCIĄŻENIA 14.4. DEFINICJE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH 14.5. KLASYFIKACJA UKŁADÓW PRĘTOWYCH 14.6. OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH. ZASADA ZESZTYWNIENIA 14.7. KONSTRUKCJE STATYCZNE WYZNACZALNE I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 14.8. RÓWNANIA PRACY WIRTUALNEJ DLA KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 14.9. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA PRĘTÓW SPRĘŻYSTYCH 14.9.1. Twierdzenie Clapeyrona 14.9.2. Twierdzenie o minimum energii potencjalnej 14.9.3. Twierdzenie o minimum energii dopełniającej. Zasada Castigliano 14.10. O KINEMATYCE I STATYCE UKŁADÓW CIAŁ IDEALNIE SZTYWNYCH 14.10.1. Małe przemieszczenia tarczy sztywnej 14.10.2. Warunek geometrycznej niezmienności i kinematyka układu tarcz sztywnych 14.10.3. Warunek statycznej wyznaczalności i równowaga układu tarcz sztywnych 14.11. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNOWAGI PRĘTÓW 14.11.1. Pręty o osi prostoliniowej 14.11.2. Pręty o osi zakrzywionej

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 15.1. WARUNEK KONIECZNY STATYCZNEJ WYZNACZALNOŚCI PŁASKICH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 15.2. OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH 15.2.1. Przykłady zastosowania metody statycznej 15.2.2. Przykłady zastosowania metody kinematycznej. Linie wpływu wielkości statycznych 15.3. OBLICZANIE PRZEMIESZCZEŃ KONSTRUKCJI LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH 15.3.1. Wiadomości ogólne 15.3.2. Przykłady zastosowania równania pracy wirtualnej do wyznaczania przemieszczeń

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 16.1. METODA SIŁ 16.1.1. Obliczanie sił wewnętrznych 16.1.2. Ogólne sformułowanie metody sił dla konstrukcji prętowych 16.1.3. Obliczanie przemieszczeń konstrukcji liniowo-sprężystych. Kontrola kinematyczna 16.2. METODA PRZEMIESZCZEŃ 16.2.1. Ogólny opis metody 16.2.2. Globalne i lokalne układy współrzędnych 16.2.3. Zależności między reakcjami prętów i przemieszczeniami węzłów. Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym 16.2.4. Macierz sztywności pręta w układzie globalnym 16.2.5. Uwagi o obliczaniu kratownic 16.2.6. Przybliżona metoda obliczania ram 16.2.7. Kanoniczna postać równań metody przemieszczeń 16.2.8. Kanoniczna postać równań metody przemieszczeń 16.2.9. Przykład liczbowy 16.2.9.1. Metoda ścisła 16.2.9.2. Metoda przybliżona 16.3. O ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA BETTIEGO W TEORII UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH 16.3.1. Twierdzenie o wzajemności reakcji 16.3.2. Linie wpływu wielkości statycznych w układach statycznie niewyznaczalnych

PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

CZĘŚĆ CZWARTA WYBRANE PROBLEMY NIELINIOWE I NIESPRĘŻYSTE 17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI WYKONANYCH Z MATERIAŁU LINIOWO-SPRĘŻYSTEGO 17.1. RAMA Z LUZAMI KĄTOWYMI NA PODPORACH 17.2. KRATOWNICA MISESA 17.2.1. Zadanie kinematycznie liniowe 17.2.2. Zadanie kinematycznie nieliniowe 17.2.3. Przykład liczbowy 17.3. CIĘGNO OBCIĄŻONE SIŁĄ SKUPIONĄ Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

SPIS TREŚCI

Andrzej Gawęcki MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

4

18. PRĘTY WYKONANE Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO 18.1. MATERIAŁ NIELINIOWO-SPRĘŻYSTY 18.2. MATERIAŁ SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNY 18.2.1. Działanie siły normalnej 18.2.2. Zginanie 18.2.3. Zginanie ze ścinaniem 18.2.4. Skręcanie 18.3. PODSTAWY TEORII KONSTRUKCJI PLASTYCZNYCH. NOŚNOŚĆ GRANICZNA KONSTRUKCJI 18.3.1. Podstawy teorii plastyczności 18.3.2. Podstawowe zależności teorii plastycznych konstrukcji prętowych 18.3.3. Dwa podstawowe twierdzenia nośności granicznej konstrukcji 18.3.4. Warunki plastyczności wyrażone przez naprężenia uogólnione 18.3.5. Przeguby plastyczne. Obliczanie obciążenia granicznego 18.3.6. Wyznaczanie nośności granicznej metodą superpozycji mechanizmów podstawowych 18.3.7. Ogólna metoda obliczania nośności granicznej ram płaskich 18.4. O PRZYSTOSOWANIU KONSTRUKCJI SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNYCH 18.4.1. Istota problemu 18.4.2. Przystosowanie belek i ram 18.4.3. Przykład 18.5. MATERIAŁY O WŁASNOŚCIACH REOLOGICZNYCH 18.5.1. Wprowadzenie 18.5.2. Elementarne modele reologiczne 18.5.3. Liniowe materiały lepkosprężyste 18.5.4. Materiały sprężysto - plastyczne 18.5.5. Materiały sprężystolepkoplastyczne

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI 19.1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE 19.1.1. Bifurkacja stanu równowagi 19.1.2. Zagadnienie Eulera 19.1.3. Uwzględnienie dużych przemieszczeń 19.1.4. Wpływ sił poprzecznych i skrócenia osi pręta 19.1.5. Wpływ imperfekcji 19.1.6. Wpływ obciążeń poprzecznych 19.1.7. Rozciąganie mimośrodowe 19.1.8. Definicja stateczności. Punkty graniczne i punkty bifurkacji 19.2. PODEJŚCIE ENERGETYCZNE 19.2.1. Uwagi wstępne 19.2.2. Matematyczna interpretacja zasady minimum energii potencjalnej 19.3. STANY POKRYTYCZNE 19.3.1. Wiadomości ogólne 19.3.2. Klasyfikacja punktów bifurkacji 19.3.3. Wpływ imperfekcji 19.4. WYZNACZANIE OBCIĄŻEŃ KRYTYCZNYCH I FORM UTRATY STATECZNOŚCI W PRĘTACH PROSTYCH 19.4.1. Wyboczenie giętne przy ściskaniu 19.4.2. Przestrzenna utrata stateczności prętów prostych 19.4.2.1. Kinematyka i równania różniczkowe stateczności 19.4.2.2. Utrata płaskiej postaci zginania (zwichrzenie) 19.4.2.3. Wyboczenie skrętne i wyboczenie giętno-skrętne 19.4.2.4. Wyboczenie śrubowe przy skręcaniu 19.4.3. Stateczność przy obciążeniach złożonych 19.4.3.1. Ściskanie ze zginaniem 19.4.3.2. Ściskanie ze skręcaniem 19.4.3.3. Wzór Dunkerleya 19.4.4.Uwagi o lokalnej (miejscowej) utracie stateczności prętów cienkościennych

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

DODATEK 20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI 20.1. WIADOMOŚCI OGÓLNE 20.2. WARUNKI WYTRZYMAŁOŚCIOWE 20.2.1. Ograniczenie naprężeń w punkcie 20.2.2. Ograniczenie sił wewnętrznych na poziomie przekroju 20.2.3. Ograniczenie obciążeń konstrukcji 20.3. WARUNKI SZTYWNOŚCIOWE 20.4. WYMIAROWANIE 20.5. PRZEGLĄD METOD SPRAWDZANIA BEZPIECZEŃSTWA KONSTRUKCJI 20.5.1. Metoda naprężeń dopuszczalnych 20.5.2. Metoda naprężeń granicznych 20.5.3. Metoda odkształceń plastycznych 20.5.4. Metoda nośności granicznej 20.5.5. Metoda stanów granicznych Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

SPIS TREŚCI

Andrzej Gawęcki MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

5

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 21.1. ZAPIS WSKAŹNIKOWY I WZÓR GREENA-OSTROGRADSKIEGO-GAUSSA 21.2. O WEKTORACH WŁASNYCH I WARTOŚCIACH WŁASNYCH TENSORA SYMETRYCZNEGO 21.3. FUNKCJA HEAVISIDE'A I FUNKCJA DIRACA 21.4. CAŁKOWANIE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO LINII UGIĘCIA METODĄ A.CLEBSCHA 21.5. CAŁKOWANIE GRAFICZNE 21.6. METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH 21.7. METODA NEWTONA-RAPHSONA

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH 22.1. DEFINICJE 22.2. OSIE ŚRODKOWE, ŚRODEK CIĘŻKOŚCI 22.3. MOMENTY BEZWŁADNOŚCI PRZY PRZESUNIĘCIU I OBROCIE UKŁADU OSI WSPÓŁRZĘDNYCH. KIERUNKI I WARTOŚCI GŁÓWNE 22.4. PARAMETRY GEOMETRYCZNE PRZEKROJU JAKO WIELKOŚCI TENSOROWE 22.5. WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE 22.6. PRZYKŁAD LICZBOWY

LITERATURA

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Przedmowa

Andrzej Gawęcki MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

1

Í

Î

Przedmowa do wydania trzeciego (1998 W.P.P) Podręcznik ten jest pewną modyfikacją mojego skryptu pt. Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, wydanego przez Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej w latach 1984 i 1985. Ma on stosunkowo duży zakres i obejmuje przedmioty wytrzymałość materiałów i mechanika budowli oraz wstępne wiadomości z przedmiotu teoria sprężystości i plastyczności, które są wykładane na wydziałach budowlanych wyższych szkół technicznych w Polsce. Zakres tych przedmiotów odpowiada mechanice materiałów i konstrukcji prętowych. Stąd właśnie pochodzi tytuł podręcznika. Ogólna koncepcja układu treści odpowiada kolejności: punkt materialny, przekrój elementu prętowego (czyli zbiór punktów materialnych), konstrukcja (czyli zbiór elementów prętowych). W podręczniku omówiłem problemy statyki, stateczności elementów prętowych oraz inne zagadnienia mechaniki układów fizycznie i geometrycznie nieliniowych. Zagadnienia dynamiki pominąłem. Wiele uwagi poświęciłem dobieraniu wymiarów przekrojów elementów oraz różnym metodom projektowania konstrukcji. Podręcznik jest adresowany przede wszystkim do studentów wydziałów budowlanych. Sądzę jednak, że będzie on przydatny również dla doktorantów, a nawet dla pracowników dydaktyczno-naukowych. Założyłem, że Czytelnik dysponuje wiadomościami z tradycyjnych kursów matematyki i mechaniki. Dlatego już w pierwszych rozdziałach wykorzystuję na przykład równania równowagi, które szczegółowo omówiłem dopiero w drugiej części podręcznika. Dodam, że ustalenie logicznej sekwencji omawiania poszczególnych problemów jest przysłowiową kwadraturą koła. Spodziewam się zatem, że dużym ułatwieniem dla Czytelnika będzie możliwość korzystania z obszernego skorowidza oraz informacji zawartych w dodatku. Mam świadomość, że bardzo dużo wzorów, rozważań i dygresji zawsze stanowi podstawową przeszkodę w opanowaniu obszernego materiału. Początkującemu Czytelnikowi jest bowiem trudno ocenić, które informacje są mniej ważne, a które bardziej. Z tego właśnie powodu, idąc za sugestią jednego z recenzentów, każdą z czterech części zakończyłem obszernym podsumowaniem, w którym zebrałem najistotniejsze wiadomości i uogólnienia nawiązujące do zasadniczej treści podręcznika. Przy omawianiu poszczególnych zjawisk starałem się uwypuklić przede wszystkim fizyczną stronę zagadnień. Niemniej jednak w pewnych standardowych zadaniach wprowadziłem elementy aparatu pojęciowego, właściwego metodom komputerowym. Jestem zdania, że w nauczaniu podstaw mechaniki układów odkształcalnych zbyt dużo czasu poświęca się metodom rozwiązywania różnych zadań. Zasadniczy wysiłek Studentów jest więc skierowany nie na poznanie rozważanych zjawisk i na matematyczne formułowanie problemów, a na zgłębienie subtelności metod ich rozwiązywania. Wskutek tego odnotowujemy coraz mniejszą liczbę konstruktorów dysponujących autentyczną intuicją i wyobraźnią inżynierską. Procesowi temu sprzyja niestety rozwój elektronicznej techniki obliczeniowej. Uważam zatem, że przygotowaniem do tzw. „mechaniki komputerowej” powinien być dosyć szczegółowy wykład kładący nacisk na interpretację fizyczną oraz matematyczne formułowanie problemów mechaniki materiałów i konstrukcji. Podręcznik niniejszy jest próbą urzeczywistnienia tej koncepcji. Pisanie podręczników jest zajęciem trudnym, niewdzięcznym i wymaga dużej motywacji ze strony autora. Motywacji tej dostarczyli mi moi Studenci, głównie Ci, którzy przestudiowali nieliczne egzemplarze wzmiankowanego wyżej skryptu i wyrażają o nim bardzo pozytywne opinie oraz rozczarowanie z powodu wyczerpania nakładu. Podobne zdania formułowało wiele innych osób, przede wszystkim moi Współpracownicy z Instytutu Konstrukcji Budowlanych. Szczególne wyrazy wdzięczności kieruję do dra hab. Tomasza Łodygowskiego i dra Jacka Pulikowskiego, którzy nieustannie zachęcali mnie do podjęcia prac związanych z wydaniem tego podręcznika. Odpowiedzialność za układ, kolejność poszczególnych zagadnień oraz merytoryczną treść książki spoczywa na autorze. Niemniej jednak na ostateczny kształt podręcznika mają wpływ recenzenci pierwszego wydania skryptu w osobach nieżyjącego już niestety prof. J.A. Königa z Instytutu Podstawowych Problemów Techniki PAN w Warszawie oraz prof. Z. Kończaka z Politechniki Poznańskiej. Ich uwagi pozwoliły uniknąć wielu błędów i nieścisłości. Osobne podziękowania kieruję do prof. M. Kwiecińskiego z Politechniki Warszawskiej, który po zapoznaniu się z pierwszym wydaniem skryptu przekazał mi wiele cennych uwag i sugestii. Wdzięczność wyrażam także prof. M. Kleiberowi z Instytutu Podstawowych Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Przedmowa

Andrzej Gawęcki MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

2

Problemów Techniki PAN i prof. J. Kubikowi z Politechniki Opolskiej, recenzentom obecnej wersji podręcznika. Bardzo dziękuję Prof. A. Garsteckiemu za przejrzenie ostatecznej wersji tekstu, dyskusje i cenne sugestie. Książka ukazuje się po wielu latach starań dzięki życzliwości rektora Politechniki Poznańskiej prof. E. Mitkowskiego. Składam Mu tą drogą podziękowania. Lista osób, które przyczyniły się do wydania, nie byłaby pełna, gdybym pominął moich Współpracowników − mgr Ewę Szymaniak i mgra Jacka Weissa. Poświęcili oni wiele czasu na korektę, organizację tekstu komputerowego i rysunków. Dziękuję również Paniom Danucie Nowak i Jolancie Owsianowskiej za pełną podziwu wytrwałość przy przepisywaniu tekstu podręcznika. Jestem bardzo wdzięczny redaktorowi podręcznika, Pani mgr Renacie Lubawy, dzięki której uświadomiłem sobie, że pierwotny tekst podręcznika zawierał niezliczone wręcz usterki, głównie językowe. Jej zaangażowanie, wiedza, doświadczenie, niespotykana wnikliwość i konsekwencja mają trudny do przecenienia wpływ na ostateczną formę podręcznika. Wszystkim Czytelnikom, a przede wszystkim moim Studentom będę bardzo wdzięczny za nadsyłanie uwag krytycznych oraz wytknięcie nieuniknionych błędów. Andrzej Gawęcki

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻĘNIA

1. STAN NAPRĘŻENIA

1

Í Ï Î

1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V0 ograniczone powierzchnią S0, poddane działaniu sił będących w równowadze (rys. 1.1). Rozróżniamy tutaj dwa rodzaje sił: − siły powierzchniowe, − siły objętościowe (masowe). Ponieważ rozpatrywane ciało jest z założenia ciągłe, na jego powierzchni można wydzielić nieskończenie małe elementy dS0, a z jego objętości nieskończenie małe elementy dV0.

Rys. 1.1

Siłę powierzchniową działającą w danym punkcie na element dS0 określamy jako wektor pdS0. Skoro wielkość pdS0 przedstawia siłę, współrzędne wektora p muszą być wielkościami wyrażonymi w jednost2 kach siły na jednostkę powierzchni, np. [kN/m ]. Wektor p nazywa się czasami gęstością sił powierzchniowych. Przykładami sił powierzchniowych mogą być parcie cieczy na ciało w niej zanurzone lub siły oddziaływania gruntu na mur oporowy. Siłę objętościową działającą w danym punkcie na element dV0 określamy jako wektor GdV0. Wynika 3 stąd, że współrzędne wektora G są wyrażone w jednostkach siły na jednostkę objętości, np. [kN/m ]. Wektor G nazywamy gęstością sił objętościowych. Przykładem sił objętościowych mogą być siły ciężkości lub siły bezwładności, które są proporcjonalne do masy i odpowiednich przyspieszeń. Dlatego siły objętościowe często nazywa się również siłami masowymi.

1.2.WEKTOR NAPRĘŻENIA Pod wpływem sił powierzchniowych i masowych ciało ulegnie odkształceniu. W konfiguracji odkształconej wydzielimy myślowo z ciała objętość V ograniczoną powierzchnią S (rys. 1.2). W ten sposób ciało zostało podzielone na część I o objętości V i część II o objętości V0 − V. Na powierzchni kontaktu tych części wystąpią siły wzajemnego oddziaływania. Ciągłość ośrodka pozwala przyjąć, że rozkład tych sił na powierzchni S leżącej wewnątrz ciała jest również ciągły. Poza tym, stosownie do trzeciej zasady Newtona (zasada akcji i reakcji), wiadomo, że w każdym punkcie odpowiadające sobie siły odniesione do części I i II są liczbowo równe, ale przeciwnie skierowane.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

2

Rys. 1.2

Rozpatrzmy teraz pewien element pola dS, styczny do powierzchni S w punkcie B. Przez n oznaczymy wektor normalny do powierzchni S w tym punkcie. Na element dS działają wypadkowa siła dF i wypadkowy moment dM, będące odpowiednio wynikiem redukcji sił wzajemnego oddziaływania, rozmieszczonych na elemencie dS. Wielkość ∆F dF = (1.1) f ( n) ( B) = lim dS ∆S → 0 ∆S nazywamy wektorem naprężenia w punkcie B, odniesionym do płaszczyzny o normalnej n. Łatwo zauważyć, że omówiona w p. 1.1 gęstość sił powierzchniowych jest po prostu wektorem naprężenia na powierzchni ograniczającej ciało. Zgodnie z rys. 1.3 wektor naprężenia możemy rozłożyć na dwie składowe: normalną s(n) i styczną (n) t do elementu dS o normalnej n. Obliczenie tych składowych objaśniono w p. 1.6.

Rys. 1.3

Wzór (1.1) definiuje wektor naprężenia, będący wynikiem występowania elementarnej siły wypadkowej dF. Podobnie można by zdefiniować wektor wynikający z występowania elementarnego momentu wypadkowego dM: ∆M d M = . dS ∆ S → 0 ∆S

m( n ) ( B) = lim

(1.2)

Dla odróżnienia od wektora naprężeń „siłowych” f(n) symbol m(n) oznacza tak zwany wektor naprężeń „momentowych”. Zarówno f(n), jak i m(n) są funkcjami położenia punktu B na powierzchni dS oraz kierunku o normalnej n do powierzchni S0 w tym punkcie. W większości przypadków granica stosunku ∆M ∆S jest równa zeru, co pozwala całkowicie pominąć istnienie naprężeń momentowych. Wniosek ten wydaje się oczywisty, jeśli uwzględnimy fakt, że wymiary elementu powierzchniowego dS są nieskończenie małe, a zatem ramiona sił wewnętrznego oddziaływania na tym elemencie dążą do zera. Naprężenia momentowe powinny być jednak uwzględnione wtedy, gdy gradienty sił dF w danym punkcie są bardzo duże. Może się wówczas okazać, że granica stosunku ∆M ∆S istnieje i jest różna od zera. Podobna sytuacja zachodzi, gdy z wymiarami elementu powierzchAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

3

niowego ∆S nie można zmierzać do zera wobec skończonych wymiarów cząstek lub ziaren ciała rzeczywistego, traktowanego jako ośrodek ciągły. Mamy wtedy do czynienia z ciałami o pewnej mikrostrukturze, w których odrzucenie naprężeń momentowych może prowadzić do istotnych błędów. Uwzględnienie naprężeń momentowych wymaga uogólnienia klasyfikacji sił działających na ciało oraz wprowadzenia dodatkowych wewnętrznych stopni swobody przy opisie kinematyki ośrodka. Uogólnioną w ten sposób teorię ośrodków ciągłych sformułowali bracia Cosserat już w 1909 roku. W dalszych rozważaniach, stosownie do klasycznej koncepcji ośrodka ciągłego, pominiemy wpływ naprężeń momentowych. Na niektóre konsekwencje przyjęcia modelu ośrodka Cosseratów zwrócimy jednak uwagę w następnych rozdziałach.

1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE Przyjmiemy obecnie, że położenie badanego punktu jest ustalone. Jeśli teraz będziemy zmieniać wewnątrz ciała nachylenie elementu powierzchniowego dS przechodzącego przez ten punkt, to okaże się, że zmianie podlegać będą również współrzędne wektora naprężenia. Jeżeli potrafimy określić wektor naprężenia dla dowolnego danego wektora normalnego n, to mówimy, że znamy stan naprężenia w punkcie. Powstaje pytanie, co jest niezbędne do określenia stanu naprężenia. Okazuje się, że stan naprężenia w punkcie jest znany, gdy znane są wektory naprężenia dla trzech różnych płaszczyzn przechodzących przez badany punkt. Ze względów rachunkowych wygodnie jest, jeżeli są to trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny układu kartezjańskiego. Osie takiego układu oznaczamy zazwyczaj przez x, y, z (zapis tradycyjny) lub − co bardzo uprości wszystkie wzory − przez x1 , x2 , x3 (zapis wskaźnikowy), przy czym x1 ≡ x , x2 ≡ y , x3 ≡ z . W dalszych rozważaniach tej części będziemy stosować będziemy drugi sposób oznaczania, jednakże pewne wyprowadzenia i wzory zapiszemy również sposobem tradycyjnym. Ułatwi to Czytelnikowi z jednej strony zapamiętanie podstawowych formuł, z drugiej zaś pozwoli na konfrontację wyników z podręcznikami, w których stosuje się zapis tradycyjny. Wszystkie rozważania odnoszą się do prawoskrętnego układu współrzędnych. W zapisie wskaźnikowym współrzędne wektorów oznaczamy podobnie jak współrzędne punktów, natomiast wersory, czyli wektory jednostkowe i, j, k oznaczamy odpowiednio przez e1 , e2 , e3 . Dla przykładu zapiszemy wektor A w sposób tradycyjny i wskaźnikowy: − zapis tradycyjny

A = Ax i + Ay j + Az k ,

− zapis wskaźnikowy

A = A1e1 + A2 e 2 + A3e 3 =

3

∑ Ai ei . i =1

W zapisie wskaźnikowym przyjęto więc, że: A1 ≡ Ax , A2 ≡ Ay , A3 ≡ Az , e1 ≡ i , e2 ≡ j , e3 ≡ k .

Przejdziemy obecnie do wyprowadzenia wzorów na obliczenie współrzędnych wektora naprężenia ( n)

f przyporządkowanego płaszczyźnie o danym nachyleniu, określonym jednostkowym wektorem normalnym n.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

4

Rys. 1.4

Rozpatrzmy element czworościenny, przedstawiony na rysunku 1.4 znajdujący się w stanie równowagi po odkształceniu. Element ten jest wycięty w otoczeniu badanego punktu. Ciągłość ośrodka pozwala przyjąć, że elementarny czworościan ma nieskończenie małe wymiary. Interesuje nas wektor f(n) działający na ścianę ABC o polu dS i nachyleniu określonym wektorem n: 3

n = n1e1 + n2 e2 + n3e3 =

∑ n je j . j =1

Z uwagi na to, że wektor n ma długość równą jedności, między jego współrzędnymi zachodzi związek:

n12 + n22 + n32 = 1.

(1.3)

Rys. 1.5

Załóżmy, że w badanym punkcie znamy stan naprężenia, określony przez trzy wektory naprężeń f (1) , f ( 2 ) , f ( 3) działające odpowiednio na ściany dS1 , dS2 , dS3 , prostopadłe do płaszczyzn układu. Pola dS j ( j = 1, 2, 3) obliczamy ze wzorów (por. rys. 1.5a): dS1 = cos( n, x1 ) dS ,

  dS2 = cos(n, x2 ) dS ,  dS3 = cos( n, x3 ) dS . 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(1.4)

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

5

Rys. 1.6

Zwróćmy uwagę na to, że j-ta współrzędna wektora n równa się kosinusowi kąta zawartego między wektorem n a osią xj (por. rys. 1.5b) : n j = cos(n, x j ),

j = 1, 2, 3 .

(1.5)

W związku z tym równania (1.4) można zapisać krócej: dS j = n j dS ,

j = 1, 2, 3 .

Wektory naprężenia f ( j ) ( j = 1, 2, 3), działające na ściany dS j zapiszemy następująco (rys. 1.6):  σ 1i ei ,   i =1  3  (1.6) σ 2i ei , f ( 2) = σ 21e1 + σ 22 e 2 + σ 23e 3 =  i =1  3  ( 3) = σ 31e1 + σ 32 e 2 + σ 33e 3 = σ 3i ei ,  f  i =1 (i) gdzie σ ij (i , j = 1, 2, 3) oznacza j-tą współrzędną wektora naprężenia f . Umawiamy się zatem, że pierwszy indeks i oznacza płaszczyznę (tzn. indeks normalnej do płaszczyzny), a indeks j − kierunek działania składowej (tzn. numer osi współrzędnych, do której jest równoległa dana składowa). Wynika stąd, że naprężenia normalne są równowskaźnikowe ( σ11 , σ 22 , σ 33 ), a naprężenia styczne różnowskaźnikowe (σ 23 , σ 32 , σ 31 , σ 13 , σ 12 , σ 21 ) . Wyjaśnimy jeszcze przyjęte tutaj zasady znakowania naprężeń σ ij . Dodatnie naprężenia normalne f (1) = σ 11e1 + σ 12 e 2 + σ 13e 3 =

3

∑

∑

∑

mają zwroty zgodne ze zwrotem normalnej do płaszczyzny, tzn. wywołują rozciąganie. Znakowanie naprężeń normalnych, jak widać, nie zależy od przyjętego układu osi współrzędnych. Nie zachodzi to jednak w przypadku naprężeń stycznych: na płaszczyznach dodatnich dodatnie naprężenia styczne mają zwrot zgodny ze zwrotami osi układu współrzędnych, na płaszczyznach ujemnych dodatnie naprężenia styczne mają zwrot przeciwny do zwrotu osi układu. Znak płaszczyzny określa zwrot wektora normalnego; jeśli jest on zgodny ze zwrotem odpowiedniej osi układu, to płaszczyzna jest dodatnia, w przeciwnym razie ujemna. Na rysunku 1.4 płaszczyzny 1, 2 i 3 są ujemne, zatem zaznaczone naprężenia styczne są dodatnie, gdyż nie są zgodne ze zwrotami osi układu współrzędnych. Omówione wyżej znakowanie jest znakowaniem matematycznym. Znakowanie inżynierskie, stosowane wyłącznie w zadaniach dwuwymiarowych (płaskich) omówimy w p. 1.8. Dla obliczenia współrzędnych wektora f(n) wykorzystamy równania równowagi rzutów sił na osie x1 , x2 i x3 . Suma rzutów sił na oś x1 w rozważanym czworościanie przedstawia się następująco : f1( n ) dS +

1 G1 dS1 dx1 − (σ11dS1 + σ 21dS2 + σ 31dS3 ) = 0. 3

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

6

Na podstawie zależności (1.4) otrzymujemy f1( n ) dS + skąd

1 G1n1 dS dx1 − (σ11n1 dS + σ 21n2 dS + σ 31n3 dS ) = 0, 3 1 G1n1 dx1. 3

f1( n ) = σ 11n1 + σ 21n2 + σ 31n3 −

Jak widać, składnik zawierający wpływ sił masowych jest małą wielkością wyższego rzędu i może być pominięty. Ostatecznie równanie równowagi rzutów sił na oś x1 prowadzi do zależności: f1( n ) = σ11n1 + σ 21n2 + σ 31n3 =

3

∑ σ j1n j . j =1

Analogiczne równania uzyskujemy przy rzutowaniu sił na pozostałe osie x2 i x3. Komplet poszukiwanych równań przedstawia się następująco: 3  f1( n ) = σ 11n1 + σ 21n2 + σ 31n3 = σ j1n j ,   j =1  3   (1.7) f 2( n ) = σ 12 n1 + σ 22 n2 + σ 32 n3 = σ j 2 n j ,  j =1  3  (n) f 3 = σ 13n1 + σ 23n2 + σ 33n3 = σ j 3n j .   j =1

∑

∑

∑

Równania (1.7), tzw. warunki we wnętrzu ciała, można zapisać jeszcze krócej: fi

(n)

3

=

∑ σ ji n j ,

i = 1, 2, 3.

(1.7a)

j =1

Zależność (1.7a) wykorzystujemy najczęściej do wyrażenia współrzędnych wektora gęstości sił powierzchniowych p przez naprężenia σji występujące we wnętrzu ciała. Ponieważ na powierzchni ciała

p = f ( n ) , zatem 3

pi =

∑ σ ji n j .

(1.7b)

j =1

Warunki (1.7b) noszą nazwę warunków na powierzchni. W zapisie tradycyjnym współrzędne σji oznacza się następująco :

σ 11 = σ x , σ12 = τ xy , σ 13 = τ xz , σ 21 = τ yx , σ 22 = σ y , σ 23 = τ yz , σ 31 = τ zx , σ 32 = τ zy , σ 33 = σ z . Warunki na powierzchni w tym zapisie przyjmują zatem postać (por. [43, 49]): px( n) = σ x cos( n, x ) + τ yx cos( n, y ) + τ zx cos( n, z ),   ( n) p y = τ xy cos( n, x ) + σ y cos( n, y ) + τ zy cos( n, z ),  pz( n) = τ xz cos( n, x ) + τ yz cos( n, y ) + σ z cos( n, z).   Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(1.7c)

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

7

Z równań (1.7) wynika, że stan naprężenia jest określony, gdy znamy 9 współrzędnych σji w danym układzie osi x1, x2, x3. Współrzędne te możemy zapisać w następujący sposób: σ 11 σ12 σ 13  s = σ ji = σ 21 σ 22 σ 23  σ 31 σ 32 σ 33 

[ ]

− płaszczyzna ⊥ do x1, − płaszczyzna ⊥ do x2, − płaszczyzna ⊥ do x3.

(1.8)

Obiekt opisany zależnością (1.8) ma dziewięć składowych tworzących tzw. tensor naprężenia (macierz naprężenia). Wobec tego zależności (1.7) nazywamy niekiedy zależnością wektor-tensor. Podsumowując powyższe rozważania, możemy stwierdzić, że stan naprężenia jest jednoznacznie określony przez tensor naprężenia. Własności i definicję tensora naprężenia omówimy w dalszych punktach tego rozdziału.

1.4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNOWAGI. SYMETRIA TENSORA NAPRĘŻENIA W poprzednim punkcie 1.3 badaliśmy, jak zmienia się wektor naprężenia po zmianie kąta nachylenia płaszczyzny dla ustalonego położenia rozpatrywanego punktu. Obecnie określimy warunki, jakie muszą spełniać składowe stanu naprężenia σij po zmianie położenia badanego punktu. W tym celu ponownie wykorzystamy równania równowagi rzutów sił na poszczególne osie zapisane jednak dla innego elementu.

Rys. 1.7

Rozważmy ciało poddane działaniu sił powierzchniowych i masowych będących w równowadze (rys. 1.7). Pod wpływem tych sił wystąpią naprężenia wewnętrzne a ciało się odkształci, czyli z konfiguracji pierwotnej przed obciążeniem (na rys. 1.7 − linia przerywana) przejdzie do konfiguracji aktualnej po obciążeniu (na rys. 1.7 − linia ciągła). W konfiguracji aktualnej w otoczeniu punktu B wycinamy myślowo prostopadłościan o bardzo małych wymiarach dx1, dx2, dx3. Wydzielenie tak małego elementu całkowicie wypełnionego materią jest możliwe wobec założenia ciągłości materiału. Zbadamy równowagę elementarnego prostopadłościanu, który w powiększeniu przedstawia rys. 1.8. Prostopadłościan jest obciążony siłami objętościowymi GdV, a na wszystkich ścianach siłami wzajemnego oddziaływania między kostką i pozostałą częścią ciała. Na ścianach niewidocznych (płaszczyzny ujemne) występują składowe stanu naprężenia w badanym punkcie σji. Na ścianach widocznych (płaszczyzny dodatnie) występują odpowiednie składowe powiększone o przyrosty dσji wynikające ze zmiany współrzędnych o wartości dxj. Przyrosty te są równe zeru tylko w tym szczególnym przypadku, gdy stan naprężenia jest jednorodny (tzn. taki sam w każdym punkcie badanego ciała).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

8

Rys. 1.8

Ułożymy równanie sumy rzutów sił na jedną z osi, np. na oś x3: − σ 23dx3dx1 + (σ 23 + dσ 23 ) dx3dx1 − σ 13dx2 dx3 + (σ 13 + dσ 13 ) dx2 dx3 − − σ 33dx1dx2 + (σ 33 + dσ 33 ) dx1dx2 + G3dx1dx2 dx3 = 0, a po redukcji wyrazów podobnych:

dσ 23dx1dx3 + dσ13dx 2 dx3 + dσ 33dx1dx 2 + G3dx1dx 2 dx3 = 0 . Obliczymy teraz odpowiednie wyrażenie na przyrosty naprężeń. Zauważmy, że wszystkie współrzędne tensora naprężenia w przypadku ogólnym są funkcjami położenia, tzn. σ ij = σ ij ( x1 , x2 , x3 ) . Wobec tego przyrosty tych funkcji są równe pochodnej cząstkowej względem odpowiedniej współrzędnej xj razy przyrost tej współrzędnej dxj. Ponieważ przyrost dσ23 wynika ze zmiany współrzędnej x2, więc dσ 23 =

∂σ 23 dx 2 . ∂x 2

∂σ13 dx1 , ∂x1

dσ 33 =

W podobny sposób otrzymujemy: dσ 13 =

∂σ 33 dx3 . ∂x3

Po podstawieniu tych wyrażeń do rozważanego równania równowagi mamy:

∂σ 23 ∂σ ∂σ dV + 13 dV + 33 dV + G3dV = 0, ∂x2 ∂x1 ∂x3 gdzie dV = dx1dx2dx3. Ostatecznie po podzieleniu przez dV uzyskujemy równanie różniczkowe cząstkowe:

∂σ13 ∂σ 23 ∂σ + + 33 + G3 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 3

lub

∂σ j3

∑ ∂x j

+ G3 = 0 .

j =1

Rezultat ten można łatwo uogólnić na pozostałe równania rzutów przez zmianę odpowiedzialnego wskaźnika. Wystarczy tylko zamiast indeksu 3 napisać indeks danej osi. Tak więc sumowanie rzutów sił na poszczególne osie równoległe do osi układu współrzędnych prowadzi do równań różniczkowych równowagi o następującej postaci:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

9

 ∂σ11 ∂σ 21 ∂σ 31 + + + G1 = 0,  ∂x1 ∂x2 ∂x3   ∂σ12 ∂σ 22 ∂σ 32 + + + G2 = 0, ∂x1 ∂x2 ∂x3   ∂σ13 ∂σ 23 ∂σ 33 + + + G3 = 0  ∂x1 ∂x2 ∂x3 

3

∂σ ji

∑ ∂x

lub

j =1

+ Gi = 0,

(1.9a)

j

3

∑ σ ji , j + Gi

albo

i = 1, 2, 3

(1.9)

= 0,

i = 1, 2, 3,

(1.9b)

j =1

gdzie przecinek na poziomie wskaźnika oznacza pochodną cząstkową zgodnie z następującą umową:

∂ ∂x j

( ) ≡ ( ), j .

Rys.1.9

Równania (1.9) przedstawiają warunki, jakie muszą spełniać współrzędne tensora naprężenia σ ji ( x1 , x2 , x3 ) po zmianie położenia badanego punktu. Funkcje σji − jak widać − nie mogą być dowolne. Interesujące jest, jakie własności tensora naprężenia wynikają z pozostałych warunków równowagi, a mianowicie z sumy momentów względem trzech osi. Obliczymy przykładowo sumę momentów względem osi równoległej do x2 i przechodzącej przez środek ciężkości elementarnego prostopadłościanu. Na rysunku 1.9 zaznaczono tę oś oraz te składowe stanu naprężenia, które należy uwzględnić w równaniu momentów. Otrzymujemy równanie: − (σ13 + dσ13)dx2dx3

dx1 dx dx dx − σ13dx2dx3 1 + (σ31 + dσ 31)dx1dx2 3 + σ 31dx1dx2 3 = 0. 2 2 2 2

Po podzieleniu tego równania przez dx1dx2 dx3 otrzymujemy: 1 1 σ13 + dσ13 = σ 31 + dσ 31. 2 2

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

10

Składniki dσ13 / 2 i dσ 31 / 2 są małymi wielkościami wyższego rzędu, które można pominąć. Suma momentów względem osi równoległej do x2 prowadzi więc do bardzo ważnej zależności:

σ13 = σ 31 . Sumy momentów względem osi równoległych do x1 i x3 dają odpowiednio: σ 23 = σ 32 oraz σ12 = σ 21 . Tę własność tensora naprężenia można zapisać krótko:

σ ij = σ ji ,

i , j = 1, 2, 3

lub w postaci macierzowej:

(1.10) s = sT .

Symbol T oznacza tutaj znak transpozycji macierzy. Na podstawie zależności (1.10) mówimy, że tensor naprężenia jest symetryczny, tzn. wyrazy macierzy naprężenia są symetryczne względem głównej przekątnej. Z fizycznego punktu widzenia oznacza to, że naprężenia styczne na płaszczyznach wzajemnie prostopadłych i prostopadłe do krawędzi przecięcia tych płaszczyzn są równe (por. rys. 1.10).

Rys. 1.10

Widzimy więc, że spośród 9 współrzędnych tensora naprężenia tylko 6 jest niezależnych. W celu zdefiniowania stanu naprężenia wystarczy zatem podać jedynie wyrazy leżące powyżej głównej przekątnej macierzy naprężenia. Z symetrii tensora naprężenia wynika, że macierz naprężenia s jest równa swej T transpozycji σ : σ 11 σ 12 σ 13  σ 11 σ 21 σ 31    T s = σ 21 σ 22 σ 23  ≡ s = σ 12 σ 22 σ 32 . σ 31 σ 32 σ 33  σ 13 σ 23 σ 33 

(1.11)

Dodać warto, że zależności (1.9) i (1.10) można również wyprowadzić z równań równowagi dowolnego fragmentu ciała albo z zasady zachowania pędu i zasady zachowania momentu pędu. W podsumowaniu należy stwierdzić, że składowe stanu naprężenia nie mogą być dowolne; muszą spełniać równania różniczkowe równowagi wewnętrznej (1.9) oraz wykazywać symetrię względem głównej przekątnej. Ostatnie stwierdzenie jest słuszne jedynie w przypadku, gdy pominiemy naprężenia momentowe. W ośrodku Cosseratów oprócz tensora naprężeń siłowych σij występuje również tensor naprężeń momentowych µij. Równania równowagi (1.9) zachowują wówczas swą postać, a odpowiednikiem zależności (1.10) są równania, z których wynika, że tensor naprężeń siłowych σij nie jest symetryczny. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

11

1.5. TRANSFORMACJA SKŁADOWYCH STANU NAPRĘŻENIA. DEFINICJA TENSORA

Przyjmijmy, że w układzie osi x1, x2, x3 dany jest tensor naprężenia s o współrzędnych

σij. Obróci-

my teraz układ osi do nowego położenia x1' , x2 ' , x3' , przy czym początek obu układów jest wspólny (rys. 1.11). Elementowi prostopadłościennemu wyciętemu myślowo w układzie obróconym będzie odpowiadać tensor naprężenia s′, o współrzędnych σp’k’.

Rys. 1.11

Zadanie, jakie sobie stawiamy, to określenie składowych s′ za pomocą danych składowych s. Osie układu współrzędnych x1' , x2' , x3' tworzą z osiami x1 , x2 , x3 kąty, których kosinusy kierunkowe a p'i = cos( x p' , xi ) przedstawiono w tablicy (por. W.Nowacki [32]):

x1' x2' x3'

x1

x2

x3

a11 ' a2'1 a3'1

a1'2 a 2 '2 a3'2

a1'3 a 2 '3 a3'3

Ponieważ cos(−ϕ) = cosϕ, więc a p'i = aip' . Zwróciliśmy już uwagę na to, że współrzędne wektora o długości jednostkowej są równe kosinusom kątów zawartych między wektorem jednostkowym a osiami układu. Zatem elementy każdego wiersza tablicy możemy traktować jako współrzędne wektorów jednostkowych leżących kolejno na osiach x1' , x2' , x3' . Są to po prostu składowe wersorów nowego układu współrzędnych e1' , e2' , e3' (por. rys. 1.12). Wersory te zapisane za pomocą wersorów układu nie obróconego (pierwotnego) przyjmują postać: 3

e1' = a1'1e1 + a1'2 e 2 + a1'3e 3 = ∑ a1'i e i , i =1

(a)

3

e 2' = a 2 '1e1 + a2'2 e 2 + a2 '3e 3 = ∑ a 2'i e i , i =1 3

e 3' = a3'1e1 + a3'2 e 2 + a3'3e 3 = ∑ a3'i e i , i =1

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

12

lub w postaci macierzowej: (b)

a1'2  a11 '  gdzie A = a2'1 a2'2  a31 a3'2 '

e' = A e ,

a1'3  a2'3  . a3'3 

Macierz A jest macierzą transformacji współrzędnych. Dodajmy, że macierz ta nie jest symetryczna, bo T a p'i ≠ ai ' p . Oznacza to po prostu, że A ≠A. Uwaga ta jest istotna przy wykonywaniu obliczeń za pomocą kalkulatorów umożliwiających wykonywanie operacji macierzowych.

Rys. 1.12

Ponieważ wersory e p' są do siebie prostopadłe, ich iloczyn skalarny jest równy zeru: (c)

e1' ⋅ e 2' = 0;

e 2' ⋅ e 3' = 0;

e 3' ⋅ e1' = 0 .

Mnożenie skalarne każdego z wersorów przez siebie daje z kolei kwadrat ich długości, czyli jedynkę: (d)

e1' ⋅ e1' = 1;

e 2' ⋅ e 2' = 1;

e 3' ⋅ e 3' = 1 .

Po podstawieniu do równań (c) i (d) wzorów (a) na wersory w układzie obróconym otrzymujemy 6 niezależnych równań wiążących kosinusy kierunkowe aip' (i = 1, 2 ,3; p' = 1' ,2' ,3'): 3

∑ a p'i aik '

= δ p' k ' ;

p', k ' = 1', 2', 3'

i =1

lub w postaci macierzowej:

(1.12) A AT = I ,

gdzie δ p ' k ' jest symbolem Kroneckera, zdefiniowanym następująco (por. dodatek): 1, δ p' k ' = e p' ⋅ e k ' =  0,

p' = k ' p' ≠ k '

1 0 0 I = δ p' k ' = 0 1 0 . 0 0 1

[

]

Jeśli powyższe postępowanie zastosujemy do wyrażenia wersorów ei przez wersory ep′ (odpowiednie współrzędne występują wówczas w kolumnach tablicy), to otrzymamy następujące równoważne zależności: 3'

∑ aik 'ak ' j

= δij ,

i , j = 1,2,3

lub A T A = I .

(1.12a)

k ' =1'

Równań (1.12) jest 9, przy czym różniących się od siebie jest tylko 6. Równania (1.12) nie uwzględniają przemienności względem mnożenia, tzn. przykładowo obok równania e2' ⋅ e3' = δ 2'3' pojawia się równanie e3' ⋅ e 2' = δ 3'2' = δ 2 '3' . Są trzy takie dodatkowe równania. Zatem spośród dziewięciu wartości kosinuAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

13

sów tylko 3 są niezależne (9 kosinusów − 6 równań = 3), bo wzajemny obrót układu opisują 3 niezależne wartości kątów. Przypomnimy teraz pewną własność wynikającą z definicji iloczynu skalarnego, stosowaną przy rzutowaniu wektora na dany kierunek: rzut wektora B na kierunek określony wektorem jednostkowym n równa się iloczynowi skalarnemu tych wektorów (rys. 1.13). Rzut wektora B na kierunek n wyraża wzór: 3

B ⋅ n = B ⋅ n = B ⋅ 1 ⋅ cosϕ =

∑ Bi ni . i =1

Rys. 1.13

Rys. 1.14

Współrzędne punktów przy przejściu z jednego układu do drugiego transformują się tak samo jak współrzędne wektorów. Dla przykładu wzory transformacyjne dla płaskich układów współrzędnych, przedstawionych na rys. 1.14, mają postać: x1' = x1 cos( x1 , x1' ) + x2 cos( x2 , x1' ) = x1a11' + x2 a21' , x2' = x1 cos( x1 , x2' ) + x2 cos( x2 , x2' ) = x1a12' + x2 a22' . Wzory te można uzyskać natychmiast, jeśli np. współrzędną x1' potraktujemy jako rzut wektora x = x1e1 + x2 e2 na kierunek x1', opisany wektorem jednostkowym o współrzędnych równych a11' i a21' . Analogiczne wzory transformacyjne możemy napisać dla przypadku przestrzennego (trójwymiarowego): 3  x1' = a11 a1'i xi ,  ' x1 + a1'2 x2 + a1'3 x3 =  i =1  3  x2' = a2'1x1 + a2'2 x2 + a2 '3 x3 = a2 'i xi , (1.13)  i =1  3  x3' = a3'1x1 + a3'2 x2 + a3'3 x3 = ai 3'i xi   i =1 lub w bardziej zwartym zapisie:

∑

∑

∑

3

xk ' =

∑ ak 'i xi , ( k '

= 1', 2', 3'),

i =1

(1.13a)

a w zapisie macierzowym: x ' = A x.

W tym miejscu warto wprowadzić jeszcze dalsze uproszczenie zapisu. Wielokrotnie już do tej pory używaliśmy znaku sumy trzech składników. Zwróćmy uwagę, że sumy te dotyczyły tych wskaźników, które powtarzały się dwukrotnie. W takich przypadkach dla skrócenia zapisu będziemy pomijać znak sumy*). Jest to tzw. konwencja sumacyjna wprowadzona przez Einsteina. Wzory transformacyjne (1.13) zapiszemy więc następująco: *)

Jeżeli jednak nie chcemy sumować, to wskaźniki powtarzające się dwukrotnie ujmujemy w nawiasach. Na

przykład wyrażenie: P(k)u(k) oznacza tylko iloczyn dwóch liczb Pk i uk (por. np. p. 5.1). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

14

x p' = a p'i xi , p' = 1', 2', 3' ; i = 1, 2, 3, x p' = a p'r xr , p' = 1', 2', 3' ; r = 1, 2, 3.

(1.13b)

Widzimy, że wskaźnik, względem którego sumujemy, może być oznaczony dowolną małą literą alfabetu łacińskiego. Jest to tzw. wskaźnik niemy. Pozostałe to wskaźniki żywe. Identyczne wzory stosujemy przy transformacji współrzędnych wektorów. Na przykład wektor B o współrzędnych B1 , B2 , B3 ma w układzie obróconym współrzędne B1' , B2 ' , B3' , które obliczamy na podstawie wzorów:

Bs' = as't Bt ;

s' = 1', 2', 3'; t = 1, 2, 3

lub

B ' = A B.

(1.14)

Podobna zależność obowiązuje przy wyrażeniu współrzędnych w układzie pierwotnym przez współrzędne w układzie obróconym:

Bi = air ' Br ' ;

i = 1', 2', 3'; r ' = 1', 2', 3' lub

B = A T B' .

(1.14a)

Powróćmy do problemu transformacji współrzędnych tensora naprężenia. Przyjmijmy, że jedna z osi układu obróconego − np. oś x2' (por. rys. 1.15) − pokrywa się z wektorem normalnym n. Oznacza to, że ni = a i 2' . Wówczas zgodnie z równaniami (1.7a) wyrażającymi zależność wektor-tensor otrzymujemy: f i( 2') = σ ji n j = σ ji a j 2' = σ1i a12' + σ 2i a 22' + σ 3i a32' .

Rys. 1.15

W celu obliczenia współrzędnych wektora naprężenia na ścianie 2' (tzn. σ 2 '1' , σ 2'2 ' i σ 2 '3' ) trzeba ko(2′) lejno rzutować wektor f o współrzędnych f i( 2') na kierunki osi x1' , x2' i x3' : − rzut wektora f − rzut wektora f − rzut wektora f

(2′)

(2′)

(2′)

3

na oś x1' :

σ 21' ' =

∑ f i(2')ai1' i =1 3

na oś x 2' :

σ 2'2' =

na oś x3' : σ 2'3' =

= f i( 2') a i1' ,

∑ f i(2')ai2'

= f i( 2') a i 2' ,

∑ fi(2')ai 3'

= f i( 2') ai 3' .

i =1 3

i =1

Pamiętamy tu, że wektory jednostkowe odpowiadające tym osiom mają współrzędne a i1' , a i 2' , a i3' . Po przyjęciu w tych wzorach, że f i( 2') = σ ji a j 2' , otrzymujemy:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

σ 2'1' =

3

15

3

∑ ∑ σ ji a j 2'ai1' = σ ji a j 2'ai1' , j =1 i =1

σ 2'2' = σ ji a j 2'ai 2' , σ 2'3' = σ ji a j 2 'ai 3' lub

σ 2' p' = σ ji a j 2'aip' , gdzie j , i = 1, 2, 3 oraz p' = 1', 2', 3'

Uzyskany wynik łatwo można uogólnić na pozostałe płaszczyzny prostopadłe do osi x1′ oraz x3′: σ1' p' = σ ji a j1' a ip' ,

σ 3' p' = σ ji a j 3' a ip' . Otrzymane wyżej równania można przedstawić jednym wzorem:

σ k ' p ' = σ ji a jk 'aip' ,

j , i = 1, 2, 3; k ', p' = 1', 2', 3'.

(1.15)

Jeśli zamienimy wskaźniki nieme i oraz j, to

σ k ' p ' = σ ij aik 'a jp' = ak 'iσ ij a jp' , i , j = 1, 2, 3; k ', p' = 1', 2', 3'.

(1.15a)

Wzory (1.15a) są poszukiwanymi wzorami transformacyjnymi składowych tensora naprężenia przy obrocie układu współrzędnych. Wzory (1.15) można również wykorzystać do transformacji z układu obróconego do pierwotnego: (1.15b) σ ij = σ k ' p 'ak 'i a p' j = aik 'σ k ' p'a p' j . Do transformacji składowych tensora naprężenia wygodnie jest używać operacji macierzowych. W tym przypadku wykorzystamy drugie postacie prawych stron wzorów (1.15a) i (1.15b), przygotowane do zapisu macierzowego. Wynika z nich, że: s' = A s A T oraz s = A T s' A . (1.15c) W celu lepszej ilustracji wzoru (1.15a) obliczymy „ręcznie” współrzędną σ 2'3' , pamiętając o konwencji sumacyjnej:

σ 2'3' = σ ij a i 2' a j 3' = (sumujemy względem wskaźnika i)

= σ 1 j a12© a j 3© + σ 2 j a 22© a j 3© + σ 3 j a32© a j 3© = = (sumujemy kolejno każdy składnik sumy względem wskaźnika j ) = = σ 11a12'a13' + σ12 a12 'a23' + σ13a12'a33' + + σ 21a22'a13' + σ 22 a22'a23' + σ 23a22'a33' + + σ 31a32'a13' + σ 32 a32'a23' + σ 33a32'a33' . Przejdziemy obecnie do definicji tensora. Zestawmy prawa transformacji wektora i tensora naprężenia przy obrocie układu współrzędnych: Br ' = Bi air ' , − prawo transformacji składowych wektora − prawo transformacji składowych tensora σ k ' p ' = σ ij aik 'a jp' . W budowie obu wzorów widzimy duże podobieństwo: po prawej stronie występują iloczyny współrzędnych pierwotnych i kosinusów kierunkowych osi obróconych. Różnice są tylko ilościowe (inna liczba wskaźników i mnożników kosinusowych). Można sobie wyobrazić wielkości o trzech, czterech i więcej wskaźnikach, transformujących się według podobnego prawa: C p 'r ' s',...,t ' = Cijk ,...,l aip'a jr 'aks' ,..., alt ' .

(1.16)

Wszystkie wielkości wielowskaźnikowe, których składowe przy obrocie osi układu transformują się zgodnie ze wzorem (1.16), nazywa się tensorami. Mamy więc tensory pierwszego rzędu (wektory), tensory drugiego rzędu (np. tensor naprężenia) itd. Rząd tensora określa liczba wskaźników. Z kolei liczba współrzędnych takiego uogólnionego tensora wynosi n m , gdzie m jest wymiarem przestrzeni (u nas m = 3), a n jest rzędem tensora (np. wektor ma 31 = 3 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

16

współrzędne, tensor naprężenia 32 = 9 współrzędnych). Weźmy pod uwagę jakąś wielkość skalarną Φ (np. gęstość, temperaturę). Przy obrocie układu osi w danym punkcie skalar nie zmienia swej wartości, czyli prawo transformacji skalara ma postać: Φ' = Φ. Skalar można więc traktować jako tensor rzędu ze0 ro; liczba współrzędnych określających skalar 3 = 1. Pojęcie tensora stanowi więc uogólnienie wielkości fizycznych. Należą do nich m.in. tensor odkształcenia i tensor stałych sprężystości. Momenty bezwładności figur płaskich i brył są również tensorami. Na przykładzie tensora naprężenia omówimy specyficzne własności tensorów symetrycznych drugiego rzędu. Odwołamy się do nich przy omawianiu dalszych zagadnień. Na zakończenie tego punktu podamy kilka uwag na temat używanych opisów matematycznych. Porównując zapis wskaźnikowy oraz zapis macierzowy, można dojść do wniosku, że macierzowe ujęcie jest bardziej przejrzyste, pokazuje ogólną strukturę wzorów i jest łatwiejsze do zapamiętania. Okazuje się jednak, że zapis wskaźnikowy jest bardziej uniwersalny, pozwala bowiem w prosty sposób operować obiektami wielowskaźnikowymi oraz zawiera informacje szczegółowe o wewnętrznej strukturze analizowanego wzoru, niedostępne w zapisie macierzowym. Przejście z zapisu wskaźnikowego do macierzowego, jeśli jest ono wykonalne, nie nastręcza kłopotów, natomiast odwrotna droga jest czasami dosyć ciernista.

1.6. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE Skoro na podstawie wzorów transformacyjnych (1.15a) możemy w danym punkcie obliczyć współrzędne tensora dla dowolnego układu osi prostokątnych, to zachodzi pytanie, czy można dobrać takie kierunki osi układu, by naprężenia styczne na ściankach elementarnego prostopadłościanu były równe zeru. (n) W takim przypadku wektor naprężenia f pokrywa się z kierunkiem normalnej do płaszczyzny (por. rys. 1.16), czyli f i( n ) = σ ni , i = 1, 2, 3, (n)

gdzie σ = |f | oznacza długość wektora naprężenia. Z drugiej strony z zależności wektor-tensor (1.7) wiemy, że f i( n ) = σ ji n j ,

i = 1, 2, 3.

Rys. 1.16

Porównując prawe strony obu wzorów otrzymujemy poszukiwany warunek znikania naprężeń stycznych:

lub

σ ni = σ ji n j i = 1,2,3. σ ji n j − σ ni = 0,

Rozpiszemy powyższe równania dla kolejnych wartości wskaźnika i wykonując sumowanie względem wskaźnika j:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

17

(σ 11 − σ )n1 + σ 21n2 + σ 31n3 = 0,   σ 12 n1 + (σ 22 − σ )n2 + σ 32 n3 = 0,  σ 13n1 + σ 23n2 + (σ 33 − σ )n3 = 0, 

(1.17)

przy czym współrzędne wektora normalnego n, jak wiemy, spełniają równanie:

n ⋅ n = ni ni = n12 + n22 + n32 = 1 .

(1.18)

Równania (1.17) i (1.18) tworzą układ czterech równań o czterech niewiadomych n1 , n2 , n3 oraz σ . Grupa równań (1.17) stanowi układ jednorodnych równań liniowych ze względu na współrzędne n1 , n2 i n3 . Układ taki ma rozwiązanie niezerowe tylko wówczas, gdy wyznacznik utworzony ze współczynników układu jest równy zeru. Otrzymujemy wówczas tzw. problem wartości głównych tensora naprężenia:

σ 11 − σ σ 21 σ 31 σ 12 σ 22 − σ σ 32 σ 13 σ 23 σ 33 − σ

= 0 .

Po rozwinięciu wyznacznika uzyskujemy algebraiczne równanie III stopnia ze względu na σ, zwane równaniem charakterystycznym lub wiekowym (sekularnym):

σ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I3 = 0 ,

(1.19)

gdzie współczynniki I1 , I 2 , I 3 określamy ze wzorów: I1(s) = σ11 + σ22 + σ33 = σrr ,

σ , σ23 σ11, σ13 σ11, σ12 ∂ σij 1 + + = I2 (s) = 22 = σ σ − σijσij , σ32 , σ33 σ31, σ33 σ21, σ22 ∂σ pp 2 kk rr

(

)

(1.20)

σ11 σ12 σ13 I3(s) = det[s] = σ21 σ22 σ23 . σ31 σ32 σ33 Równanie (1.19) ma 3 pierwiastki σ1 , σ 2 , σ 3 . Można wykazać (por. dodatek), że przybierają one zawsze wartości rzeczywiste, jeśli macierz naprężenia jest symetryczna. Pierwiastki te, rzecz jasna, nie mogą być zależne od przyjętego układu osi współrzędnych. Oznacza to, że proporcje poszczególnych współczynników równania III stopnia muszą pozostawać takie same. Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze powinien być równy jedności, to pozostałe współczynniki równania (1.19), czyli I1 ( s),I 2 ( s),I 3 ( s) , dla każdego dowolnie przyjętego układu osi muszą przyjmować takie same wartości. Dlatego współczynniki I 1 ( s),I 2 ( s),I 3 ( s) nazywamy niezmiennikami głównymi tensora naprężenia. (Wektor, jako tensor pierwszego rzędu, ma tylko jeden niezmiennik; jest nim długość wektora). Pierwiastki równania wiekowego (1.19) σ1 , σ 2 , σ 3 nazywamy wartościami głównymi tensora naprężenia lub naprężeniami głównymi. Często wartości główne porządkujemy w ten sposób, że σI = max ( σ1 , σ 2 , σ 3 ), a σIII = min ( σ1 , σ 2 , σ 3 ); naprężenie σII przyjmuje wartość pośrednią. Naprężenia σ I , σ II , σ III nazywamy uporządkowanymi naprężeniami głównymi. Pozostaje jeszcze wyznaczenie kierunków osi odpowiadających poszczególnym naprężeniom głównym. Kierunki te, tzw. kierunki główne tensora naprężenia lub osie naprężeń głównych, określone są przez 3 wektory jednostkowe n(1), n(2), n(3). Każdy z tych wektorów odpowiada innej wartości głównej. Chcąc obliczyć np. współrzędne wektora n(2), podstawiamy σ2 do dowolnych dwóch równań układu (1.17) oraz dołączamy do nich równanie (1.18). Otrzymujemy 3 równania o 3 niewiadomych n1( 2 ) , n2( 2) , n3( 2) : Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

18

(σ11 − σ 2 )n1(2) + σ 21n2(2) + σ 31n3(2) = 0, σ13n1( 2 ) + σ 23n2( 2) + (σ 33 − σ 2 )n3( 2 ) = 0,

[n ] + [n ] + [n ] (2) 1

2

2 (2) 2

2 (2) 3

= 1.

Z tego układu obliczamy współrzędne normalnego wektora jednostkowego określającego płaszczyznę, na którą działa naprężenie σ2. Analogicznie wyznacza się pozostałe wektory n(1) i n(3). Można wykazać, że osie główne opisane wektorami n(1), n(2), n(3) są do siebie prostopadłe. Osie główne w badanym punkcie można więc utożsamiać z pewnym prostokątnym układem osi współrzędnych. Pozwala to na duże uproszczenie rozważań i rachunków. Zwróćmy uwagę na to, że współrzędne ni( k ) ( k = 1, 2, 3) muszą zatem spełniać warunki ortogonalności, analogiczne do równań (1.12), tzn.: n ( k ) ⋅ n ( l ) = ni( k ) ni( l ) = δ kl , i , k , l = 1, 2, 3. Odpowiadając na pytanie postawione na początku tego punktu stwierdzamy, że przez dobranie odpowiedniego układu osi dowolny stan naprężenia można zawsze sprowadzić do stanu odpowiadającego działaniu trzech naprężeń normalnych σ1 , σ 2 , σ 3 na trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny (rys. 1.17). Macierz naprężenia określają wówczas tylko 3 współrzędne: 0  σ 1 0  s = 0 σ 2 0  . 0 0 σ 3 

Rys. 1.17

Liczba informacji potrzebnych do określenia stanu naprężenia wynosi w dalszym ciągu 6, ponieważ oprócz trzech wartości σ I , σ II , σ III trzeba znać położenie głównych osi naprężeń, określone przez 3 kąty. Niezmienniki tensora naprężenia muszą być takie same dla każdego układu współrzędnych, również dla osi głównych. Zgodnie ze wzorami (1.20) I1 = σ rr = σ 1 + σ 2 + σ 3 = const, ∂ σ ij = σ 2σ 3 + σ 3σ 1 + σ 1σ 2 = const, I2 = ∂σ pp I 3 = σ ij = σ 1σ 2σ 3 = const.

      

(1.21)

Załóżmy teraz, że układ osi współrzędnych x1 , x2 , x3 pokrywa się z osiami naprężeń głównych. Ob(n) (n) liczmy naprężenia normalne s i styczne t , działające na dowolną płaszczyznę o normalnej n. Stan naprężenia w układzie osi głównych opisują wzory:

σ 11 = σ 1 ,

σ 22 = σ 2 , σ 33 = σ 3 ; σ 23 = σ 31 = σ 12 = 0 .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

19

(n)

Z warunków (1.7) obliczymy współrzędne wektora f : f i( n ) = σ ij n j , f1( n ) = σ1n1 ,

f 2( n ) = σ 2 n2 , (n)

Naprężenia normalne σ otrzymujemy, rzutując wektor f

f 3( n ) = σ 3n3 .

na kierunek n:

s( n ) = f i( n ) ni = f1( n ) n1 + f 2( n ) n2 + f 3( n ) n3 + σ1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 . Naprężenia styczne obliczymy ze wzoru Pitagorasa :

( ),

2

t( n ) =

f ( n ) − s( n )

2

gdzie f (n)

2

= f1( n )

2

2

+ f 2( n ) + f 3( n )

2

= σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 .

Bardzo sugestywną interpretację wzorów transformacyjnych (1.15a) oraz wartości głównych stanowią tzw. koła Mohra. W celu wykreślenia tych kół obieramy prostokątny układ współrzędnych σ, τ. Na osi σ odkładamy wartości uporządkowanych naprężeń głównych σ I , σ II , σ III i zakreślamy koła o promieniach: 1 (σ I − σ III ), 2

1 (σ I − σ II ), 2

1 (σ II − σ III ). 2

Rys. 1.18

W rezultacie otrzymamy trzy wzajemnie stykające się koła (rys. 1.18). Wykazuje się, że współrzędne punktów obszaru zakreskowanego na rys. 1.18 odpowiadają wszystkim możliwym kombinacjom naprężeń normalnych i stycznych dla wszystkich płaszczyzn przechodzących przez badany punkt. Dowód poprawności konstrukcji kół Mohra oraz inne szczegóły można znaleźć w wielu podręcznikach (np. Stanisławskiego [43], Jakubowicza, Orłosia [20], Krzysia, Życzkowskiego [26]). Konstrukcję koła Mohra dla płaskiego stanu naprężenia omówimy szczegółowo w p. 1.8.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

20

Rys. 1.19

Z konstrukcji kół naprężeń dla przypadku przestrzennego wynikają dalsze własności tensora naprężenia, które podamy bez dowodu: − σI jest największym, a σIII najmniejszym ze wszystkich możliwych naprężeń normalnych występujących w danym punkcie, − ekstremalne naprężenia styczne występują na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45° w stosunku do płaszczyzn głównych. Wartości tych naprężeń równają się promieniowi największego koła Mohra (rys. 1.18 i rys. 1.19):

σ I − σ III , 2

τ max =

(1.22)

a naprężenia normalne na tych płaszczyznach:

σ (τ ) =

σ I + σ III . 2

(1.23)

1.7. ROZKŁAD TENSORA NAPRĘŻENIA NA AKSJATOR I DEWIATOR Każdy symetryczny tensor drugiego rzędu można rozłożyć na dwie części (por. także rys. 1.20):

σ ij = σ ij( o) + σ ij( d ) ,

(1.24)

gdzie

σ ij(o) = σ 0δij ;

σ0 =

1 1 σ11 + σ 22 + σ 33 ) = I1. ( 3 3

W wyrażeniu tym σ ij( d ) jest dewiatorem, a σ ij( o ) aksjatorem. Składowe tych wielkości przedstawiają macierze:

[ ] σ ij( o)

0  σ 0 0  = 0 σ 0 0 , 0 σ 0  0

[ ] σ ij( d )

σ 12 σ13  σ11 − σ 0  =  σ 21 σ 22 − σ 0 σ 23 .  σ 31 σ 32 σ 33 − σ 0 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

21

Rys.1.20

Aksjator, zwany również tensorem kulistym, odpowiada wszechstronnemu rozciąganiu (ściskaniu) średnim naprężeniem normalnym σ0. Aksjator jest więc określony tylko przez jedną wartość σ0. Cechą charakterystyczną dewiatora jest natomiast zerowanie się pierwszego niezmiennika: (d ) (d ) (d ) I1( d ) = σ 11 + σ 22 + σ 33 = = σ 11 − σ 0 + σ 22 − σ 0 + σ 33 − σ 0 = σ 11 + σ 22 + σ 33 − 3σ 0 = 0.

(1.25)

Dewiator ma wobec tego 5 niezależnych współrzędnych, bowiem 6 liczb σ ij( d ) musi spełniać dodatkowo warunek I1( d ) = 0. Rozłóżmy jeszcze tensor naprężenia zapisany w osiach głównych (por. [32]):

[σ ij ]

σ ( d ) 0  σ 0 0  11 = 0 σ 0 0  + 0  0 σ 0  0 0

0 (d ) σ 22

0

  0 . (d )  σ 33  0

(d ) (d ) (d ) = − σ11 − σ 33 . Wobec tego: Ponieważ I1( d ) = 0, więc σ 22

σ ( d ) σ ( d ) 0 0  11  11   (d ) 0  =  0 σ ij( d ) = 0 σ 22  0 0 (d )  0 σ 33   

[ ]

0 (d ) − σ 11

0

0 0 0, 0     (d ) 0 + 0 − σ 33 0  (d )  0 0 0 σ 33   

Widzimy stąd, że dewiator naprężenia można rozłożyć na dwa szczególne przypadki płaskiego stanu naprężenia; są to przypadki czystego ścinania. Omówimy je bliżej w p. 1.8.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

22

Rys. 1.21

W posumowaniu stwierdzamy, że każdy stan naprężenia można rozłożyć na aksjator, czyli wszechstronne równomierne rozciąganie (ściskanie), oraz na dwa czyste ścinania, których suma daje dewiator (por. rys. 1.21). Trzeba dodać, że rozkład dewiatora na dwa czyste ścinania nie jest jednoznaczny, gdyż można go dokonać kilkoma sposobami.

1.8. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA Płaski stan naprężenia zachodzi wówczas, gdy w każdym punkcie ośrodka na wszystkich płaszczyznach o tym samym wektorze normalnym składowe wektora naprężenia są równe zeru. Jeśli przyjmiemy, że płaszczyzny te są prostopadłe do osi x3, to σ3i = 0, a pozostałe składowe tensora naprężenia nie zależą od x3. Przykładem takiego stanu jest stan naprężenia w cienkiej tarczy obciążonej siłami leżącymi w płaszczyźnie tarczy (x1, x2) i równomiernie rozłożonymi na jej grubości (rys. 1.22). W takim szczególnym przypadku naprężenia σ31, σ32 i σ33 są w przybliżeniu równe zeru na całej grubości tarczy. Tensor naprężenia ma wówczas postać: σ 11 σ 12 s = σ ij = σ 21 σ 22  0 0

[ ]

0 0 , 0

(1.26)

a wszystkie składowe σij są tylko funkcjami x1, x2.

Rys. 1.22 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

23

W płaskim stanie naprężenia wzory na niezmienniki są następujące: I1 = σ 11 + σ 22 ,

  σ 11 σ12 2  I2 = = σ 11σ 22 − σ12 , σ 21 σ 22   I 3 ≡ 0.

(1.27)

Wobec tego równanie charakterystyczne, służące do obliczenia wartości głównych (1.19), upraszcza się do postaci:

(

)

2 σ 3 − (σ11 + σ 22 )σ 2 + σ11σ 22 − σ12 σ = 0.

Pierwiastki tego równania − jak łatwo stwierdzić − wynoszą :

σ1  σ11 + σ 22  ±  = 2  σ2 

2

 σ11 − σ 22  2   + σ12 ,   2

σ 3 = 0.

(128 . )

Równania transformacyjne σ k ' p' = σ ij a ik ' a jp' warto zapisać nieco inaczej. Po uwzględnieniu na podstawie rys. 1.23, że

a11' = cos ϕ , a12' = − sin ϕ , a 21' = sin ϕ , a 22' = cos ϕ ,

mamy: σ 11 ' ' = σ ij ai1'a j1' = σ 1 j a11'a j1' + σ 2 j a21'a j1' = σ 11a11'a11' + σ 12 a11'a21' + + σ 21a21'a11' + σ 22 a21'a21' = σ 11 cos2 ϕ + 2σ12 sin ϕ cosϕ + σ 22 sin 2 ϕ ,

σ 2'2' = σ ij ai 2'a j 2' = σ 1 j a12'a j 2' + σ 2 j a22'a j 2' = σ11a12'a12' + σ12 a12'a22' + + σ 21a22'a12' + σ 22 a22'a22' = σ 11 sin 2 ϕ − 2σ12 sin ϕ cosϕ + σ 22 cos2 ϕ ,

σ 1'2' = σ ij ai1'a j 2' = σ 1 j a11'a j 2' + σ 2 j a21'a j 2 ' = σ 11a11'a12' + σ 12 a11'a22 ' + + σ 21a21'a12' + σ 22 a21'a22' = −σ 11 sin ϕ cos ϕ + σ 12 (cos2 ϕ − sin 2 ϕ ) + + σ 22 sin ϕ cosϕ .

x 2’

x2

x 1’ ϕ

x1

Rys.1.23

Wprowadzenie funkcji kąta podwójnego: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

sin 2ϕ =

24

1 − cos2ϕ 1 + cos2ϕ , 2 sin ϕ cosϕ = sin 2ϕ , cos2ϕ = 2 2

prowadzi do wyniku:

σ 11 + σ 22 σ11 − σ 22 + cos 2ϕ + σ 12 sin 2ϕ , σ 11 ''= 2 2 σ + σ 22 σ11 − σ 22 − cos 2ϕ − σ 12 sin 2ϕ , σ 2'2' = 11 2 2 σ − σ 22 sin 2ϕ + σ12 cos 2ϕ . σ 1'2' = − 11 2

(1.29)

Z trzeciego równania (1.29) widzimy, że σ1'2' = 0, gdy ϕ = ϕ0 :

tg2ϕ 0 =

2σ12 . σ 11 − σ 22

(1.30)

Kąt ϕ0 określa położenie głównych osi naprężeń. W praktyce inżynierskiej bardzo użyteczne jest stosowanie wspomnianej już wcześniej konstrukcji koła Mohra (1887 rok). Pełna przydatność tej konstrukcji wymaga jednak wprowadzenia inżynierskiego znakowania naprężeń stycznych. Notację inżynierską opracowano z myślą, by zasada znakowania − podobnie jak dla naprężeń normalnych − była niezależna od przyjętego układu współrzędnych. Według tej zasady dodatnie naprężenie styczne działa na wycięty element konstrukcji zgodnie z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.24b). Znakowanie naprężeń normalnych pozostaje bez zmian („+” rozciąganie, „−” ściskanie). Dodać trzeba, że znakowanie inżynierskie ma sens tylko w płaskim stanie naprężenia.

Rys. 1.24

W celu odróżnienia obu zapisów w notacji inżynierskiej wprowadzamy układ osi x, y, a naprężenia − zgodnie z rys. 1.24 − oznaczamy następująco:

σ y = σ 11 ,

σ y = σ 22 , τ xy = −σ12 ,

τ yx = +σ 21 .

(1.31)

Stosownie do tych oznaczeń równania (1.28), (1.29) i (1.30) przyjmują postać: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

σ1   σx +σy  ±  = 2  σ 2 

25

2

σx −σy  2   + τ xy , 2  

σ 3 = 0,

σx +σy σx −σy cos 2ϕ − τ xy sin 2ϕ , + 2 2 σx +σy σx −σy cos 2ϕ + τ xy sin 2ϕ , σ y' = − 2 2 σx −σy sin 2ϕ + τ xy cos 2ϕ , τ x' y' = 2 σ x' =

tg2ϕ 0 = −

        

(1.32)

(1.33)

2τ xy

. (1.34) σx −σy Koło Mohra wykorzystuje się na ogół do rozwiązania następującego zadania: W przyjętym układzie osi x, y dane są naprężenia σx, σy i σxy. Wyznaczyć naprężenia σx’ i τx’y’ działające na płaszczyznę o normalnej pokrywającej się z osią x', nachyloną pod kątem ϕ w stosunku do osi Rozwiązanie x. tego zadania za pomocą koła Mohra (rys. 1.25) przebiega, jak następuje: 1) przyjmujemy prostokątny układ osi σ, τ, 2) zaznaczamy punkt A o współrzędnych σx, τxy, 3) zaznaczymy punkt B o współrzędnych σx, τ yx = −τ xy, 4) znajdujemy środek koła Mohra (punkt C) jako punkt przecięcia odcinka AB z osią σ, 5) zakreślamy okrąg o promieniu AC = CB, 6) punkt A rzutujemy poziomo (tj. równolegle do osi σ) na przeciwną stronę koła i otrzymujemy punkt 0, będący początkiem układu osi x, y (oś x równoległa do osi σ, oś y równoległa do osi τ), 7) z początku układu xy wyprowadzamy oś x' nachyloną pod kątem ϕ; punkt przecięcia prostej x' z kołem (punkt D) ma poszukiwane współrzędne σx´, τx´y´. Naprężenia na płaszczyźnie prostopadłej do drugiej osi układu y' są wyznaczone przez współrzędne punktu E: σy´, τy´x´ = −τx´y´.

Rys. 1.25

Wyznaczanie naprężeń i kierunków głównych za pomocą koła Mohra (rys. 1.26): 1) wykonujemy czynności z poprzedniego zadania (p. 1 ÷ 6), Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

26

2) kierunki główne 1 i 2 odpowiadają punktom, w których τ = 0; są to punkty F(σ1, 0) i G(σ2, 0).

Rys. 1.26

Z rysunku 1.26 na podstawie znanego twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym stwierdzamy, że płaszczyzny największych naprężeń stycznych są nachylone pod kątem 45° w stosunku do osi naprężeń głównych. Z łatwością odczytujemy też inne własności tensora naprężenia, przytoczone wcześniej przy omawianiu ogólnego, trójosiowego stanu naprężenia.

Rys. 1.27

Podczas wyznaczania ekstremalnych naprężeń stycznych w płaskim stanie naprężenia trzeba pamiętać o tym, że naprężenia główne muszą być uporządkowane. W ogólności mogą wystąpić 3 przypadki przedstawione na rys. 1.27. Rozważmy obecnie kilka szczególnych przypadków stanu naprężenia. Dwukierunkowe równomierne rozciąganie (rys. 1.28) Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

σ11 = σ 22 = σ , σ 33 = 0 ,

27

σ12 = σ 23 = σ 31 = 0 .

W tym przypadku tym na płaszczyźnie x1, x2 kierunków głównych jest nieskończenie wiele, a τ max = σ / 2 .

Rys. 1.28

Wszechstronne równomierne rozciąganie (działanie aksjatora)

σ11 = σ 22 = σ 33 = σ , σ12 = σ 23 = σ 31 = 0 . Aksjator naprężenia nie wyróżnia żadnego kierunku. Dla każdego układu osi współrzędna aksjatora jest taka sama, a τ ekstr = 0 (rys. 1.29). Stąd wniosek, że o kierunkach głównych tensora decyduje tylko dewiator.

Rys. 1.29

Czyste ścinanie

σ11 = σ I = σ , σ 22 = σ III = −σ , σ 33 = σ II = 0 , σ12 = σ 23 = σ 31 = 0 . Z koła Mohra (rys. 1.30) wynika, że na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45° w stosunku do płaszczyzn naprężeń głównych naprężenia styczne wynoszą: 2σ σ I − σ III = = σ, 2 2 natomiast naprężenia normalne na tych płaszczyznach określa wzór:

τ =

σ I + σ III = 0. 2 Na zakreskowany kwadracik działają więc tylko naprężenia styczne. Mówimy wówczas, że występuje w nim czyste ścinanie. Łatwo zauważyć, że I1 = σkk = 0. Wnioskujemy stąd, że czyste ścinanie ma własność dewiatora. σ (τ ) =

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

28

Rys. 1.30

Jednoosiowe rozciąganie

σ11 = σ I = σ , σ 22 = σ 33 = σ II = σ III = 0 , σ12 = σ 23 = σ 31 = 0 Przypadek ten ilustruje rysunek 1.31. Zapamiętajmy, że największe naprężenie styczne przy osiowym rozciąganiu wynosi σ / 2 .

Rys.1.31

1.9 PRZYKŁADY*) Przykład 1 W danym punkcie stan naprężenia jest określony przez tensor o współrzędnych:

σ11 = 1000 MN/m2, σ22 = 500 MN/m2,

σ12 = 300 MN/m2, σ23 = 100 MN/m2,

σ13 = −600 MN/m2, σ33 = −300 MN/m2.

Wyznaczyć wektor naprężenia f(n) na płaszczyźnie określonej normalną n =

2 2 1 e1 + e 2 + e 3 . 3 3 3

Rozwiązanie Tensor naprężenia jest zobrazowany macierzą [σij] i rys. 1.32.  1000 300 − 600 2 σ ij =  300 500 100 [MN/m ].  − 600 100 − 300 Współrzędne wektora f(n) określimy bezpośrednio z warunków (1.7b): *)

Dużo przykładów zawiera podręcznik [28].

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

f i( n ) = σ ji n j ,

29

( i = 1, 2, 3).

W naszym zadaniu: n1 =

2 2 1 , n2 = , n3 = . 3 3 3

Współrzędne jednostkowego wektora normalnego spełniają zależność (1.3):  2 n i ⋅ ni =    3

2

 2 +    3

2

 1 +    3

2

= 1.

i = 1: f1( n) = σ j1n j = σ11n1 + σ 21n2 + σ 31n3 = 2 2 1 = 1000 ⋅ + 300 ⋅ − 600 ⋅ = 667 MN / m2 , 3 3 3 i = 2: f 2( n ) = σ j 2 n j = σ 12 n1 + σ 22 n2 + σ 32 n3 = 2 2 1 = 300 ⋅ + 500 ⋅ + 100 ⋅ = 567 MN / m2 , 3 3 3 i = 3: f 3( n) = σ j 3n j = σ 13n1 + σ 23n2 + σ 33n3 = 2 2 1 = − 600 ⋅ + 100 ⋅ − 300 ⋅ = − 433 MN / m2 . 3 3 3

Rys. 1.32

Rys. 1.33

Zaznaczymy jeszcze ślady płaszczyzny i obliczone współrzędne wektora naprężenia. Jeśli dana płaszczyzna odcina na osiach układu krawędzie o długościach k1, k2, k3, to między tymi wartościami a współrzędnymi n1, n2, n3 zachodzi zależność (rys. 1.33): n1k1 = n2k2 = n3k3. W naszym zadaniu mamy

(2 / 3) k1 = (2 / 3) k2 , (2 / 3) k2 = (1 / 3) k3 , stąd k1 = k2 = k , k3 = 2 k . Rezultaty obliczeń ilustruje rys. 1.34.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

30

Rys.1.34

Na zakończenie przykładu obliczymy składowe normalną σ i styczną τ. Współrzędna σ jest rzutem wektora f(n) na kierunek n, czyli iloczynem skalarnym tych wektorów: 2 2 1 σ = f (n) ⋅ n = f1(n) n1 + f 2(n) n2 + f 3(n) n3 = 667 ⋅ + 567 ⋅ − 433 ⋅ = 678 MN / m2 . 3 3 3 Współrzędną τ obliczymy ze wzoru Pitagorasa:

τ = przy czym

f ( n) =

Zatem

τ =

2

f ( n) − σ 2 ,

f j(n) f j(n) = 667 2 + 567 2 + ( −433) 2 = 977 MN / m2 . 977 2 − 678 2 = 703 MN / m 2 .

Kąt między kierunkiem f(n) a wektorem normalnym n określa zależność: n ⋅ f ( n) = f ( n) cosϕ = σ ,

stąd ϕ = arccos(678 / 977) = 46,04° .

Wielkości σ, τ, ϕ ilustruje rys. 1.34b. Przykład 2 Dany jest stan naprężenia σ ij ( x1 , x2 , x3 ):

[σij ]

3x1x2  = 5x22 0 

5x22 0 2 x3

  2 x3  . 0   0

Sprawdzić, czy w każdym punkcie są spełnione równania różniczkowe równowagi, jeżeli współrzędne sił masowych określają funkcje : G1 = −13x2,

G2 = −2,

G3 = 0.

Rozwiązanie Równanie różniczkowe równowagi określa wzór (1.9b):

σ ji , j + Gi = 0

(i = 1, 2 ,3) .

Po rozpisaniu tego wzoru mamy 3 równania: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

31

i = 1: σ 11,1 + σ 21,2 + σ 31,3 + G1 = 0, i = 2: σ 12,1 + σ 22,2 + σ 32,3 + G2 = 0, i = 3: σ 13,1 + σ 23,2 + σ 33,3 + G3 = 0. Na podstawie macierzy naprężenia σ ji odczytujemy:

σ 11 = 3x1x2 ,

σ 22 = 0,

σ12 = σ 21 = 5x22 , σ 32 = σ 23 = 2 x3 , σ 13 = σ 31 = 0, σ 33 = 0. Obliczymy pochodne cząstkowe występujące w równaniach równowagi:

∂σ 11 ∂σ 21 = 3 x2 , σ 21,2 = = 10 x2 , σ 31,3 = 0, ∂x1 ∂x 2 ∂σ σ 12,1 = 0, σ 22, 2 = 0, σ 32,3 = 32 = 2, ∂ x3 σ 13,1 = 0, σ 23, 2 = 0, σ 33,3 = 0.

σ 11,1 =

Po podstawieniu powyższych rezultatów oraz funkcji Gi do równań równowagi otrzymujemy: i = 1: 3x2 + 10 x2 + 0 − 13x2 = 0, i = 2: 0 + 0 + 2 − 2 = 0, i = 3: 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Stwierdzamy więc, że funkcje σ ij ( x1, x 2 , x3 ) oraz gęstość sił masowych Gi ( x1 , x2 , x3 ) spełniają w każdym punkcie warunki równowagi. Przykład 3 Stan naprężenia w danym punkcie jest opisany macierzą s odniesioną do układu osi prostokątnych x1, x2, x3: 0  2 −2  s = σ ij = − 2 3 0.  0 0 − 3

[ ]

Wyznaczyć współrzędne macierzy s’, związanej z układem osi obróconych x1' , x2' , x3' , opisanych macierzą transformacji [ak’i]:    [ak 'i ] =    

0 1 2 1 2

1 2 1 2 1 − 2

−

1  2  1 . 2 1 −  2

Rozwiązanie Sprawdzimy najpierw, czy wersory w układzie osi obróconych spełniają warunki ortogonalności (1.12): a ik ' ⋅ a ip' = δ k ' p' . W tym celu trzeba wymnożyć przez siebie i zsumować odpowiednie wiersze macierzy [ak’i]: k' = p' = 1' (mnożymy pierwszą kolumnę przez siebie):

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA 2

δ 1' 1 = a11' a11' + a21' a 21' + a31' a31' k' = 1',

32 2

 1   1  =0 +  +  =1,  2  2

p' = 2' (kolumna 1' × kolumna 2'):

δ1'2' = δ 2'1 = a11'a12' + a21'a 22' + a31'a32' = 0 ⋅

1 1 1  1 1 + ⋅ + ⋅−  = 0 , 2 2 2  2 2

k' = 1', p' = 3' (kolumna 1' × kolumna 3'): 1 1 1  1  1  ⋅ + ⋅−  = 0, δ13 + ' ' = δ31 ' ' = 0⋅−  2 2 2 2  2 k' = 2', p' = 2' (kolumna 2' × kolumna 2'): 2

2

 1   1  1 δ 2'2' =   +   + −   2  2  2

2

= 1,

k' = 2', p' = 3' (kolumna 2' × kolumna 3'):

δ 2'3' = δ3'2' = k' = p' = 3'

1  1  1 1  1  1 ⋅−  + ⋅ + −  ⋅−  = 0 , 2  2  2 2  2  2

(kolumna 3' × kolumna 3'): 2

2

2

 1   1  1 δ3'3' =  −  +   +  −  = 1.  2  2  2 Warunki ortogonalności są zatem spełnione. Spełnione muszą być również warunki ortogonalności wersorów w układzie nie obróconym. Sprawdzenie polega tutaj na wymnożeniu kolumn macierzy [ak′i]: ak ′i a k ′j = δij . Wzajemne położenie obu układów współrzędnych ilustruje rysunek 1.35.

Rys. 1.35 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

33

Do wyznaczenia macierzy s′ o współrzędnych σk’p’ wykorzystujemy wzory transformacyjne (1.15a).

σ k ' p ' = σ ij aik 'a jp' = =σ 1 j a1k 'a jp' + σ 2 j a2 k 'a jp' + σ 3 j a3k 'a jp' = = σ 11a1k 'a1 p' + σ 12 a1k 'a2 p' + σ 13a1k 'a3 p' + + σ 21a2 k 'a1 p' + σ 22 a2 k 'a2 p ' + σ 23a2 k 'a3 p' + + σ 31a3k 'a1 p' + σ 32 a3k 'a2 p' + σ 33a3k 'a3 p' . Ponieważ

σ13 = σ 23 = σ 31 = σ 32 = 0, zaś σ11 = 2, σ12 = −2, σ 22 = 3, σ 33 = −3 , więc σ k ' p' = 2a1k 'a1 p' − 2a1k 'a2 p' − 2 2 k ' a1 p' + 3a2 k 'a1 p' − 3a3k 'a3 p' . Wobec tego:

σ 11 ' ' = 2(a11' ) − 2a11'a21' − 2a21'a11' + 3(a21' ) − 3(a31' ) = 2

2

2

2

2

1 1  1   1  − 2⋅ ⋅ 0 + 3  − 3  = 0,  2  2 2 2 σ 1'2' = 2a11'a12' − 2a11'a22' − 2 21' a12' + 3a21'a12' − 3a31'a32' = 1 1 1 1 1 1 1  1 = 2⋅0⋅ − 2⋅0⋅ − 2⋅ ⋅ + 3⋅ ⋅ − 3⋅ ⋅  −  = 11213 , , 2 2 2 2 2 2 2  2 σ 1'3' = 2a11'a13' − 2a11'a23' − 2 21' a13' + 3a21'a13' − 3a31'a33' = = 2 ⋅ 02 − 2 ⋅ 0 ⋅

1 1  1  1 1 1  1  1  = 2⋅0⋅− ⋅− ⋅ − 3⋅ ⋅  −  = 3,1213,  − 2⋅0⋅ − 2⋅  + 3⋅  2 2 2  2 2 2 2  2

σ 2 '2' = 2(a12' ) − 2a12'a22 ' − 2a22'a12' + 3(a22' ) − 3(a32' ) = 2

2

2

2

2

2

1  1   1  1 = 2⋅ + 3  − 3 −  = −0,4142,  − 2⋅2⋅  2  2  2 2 σ 2 '3' = 2a12'a13' − 2a12'a23' − 2 22' a13' + 3a22'a13' − 3a32'a33' = 1  1  1  1 1  1  1 1 = 2⋅ ⋅− ⋅  − 2⋅ ⋅− + 3⋅ ⋅ −  − 2⋅  2  2 2 2  2 2  2 2  1  1 − 3 ⋅  −  ⋅  −  = −1,  2  2

σ 3'3' = 2(a13' ) − 2a13'a23' − 2a23'a13' + 3(a23' ) − 3(a33' ) = 2

2

2

2

2

2

 1   1   1  1 = 2⋅−  − 2⋅2⋅−  + 3  − 3 −  = 2,4142.  2   2 2   2 Ponieważ σ k ' p' = σ p' k ' , więc macierz s′ przyjmuje postać: 1,1213 3,1213   0  σ k ' p' = s' = 11213 − 0,4142 − 1  . , 3,1213 −1 2,4142 

[

]

Potwierdzeniem poprawności otrzymanego rezultatu będą identyczne wartości niezmienników stanu naprężenia. Dla macierzy s mamy:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

34

I1 = 2 + 3 − 3 = 2, 3 0 2 0 2 −2 = −9 − 6 + 6 − ( −2) ⋅ ( −2) = −13 , + + I2 = 0 −3 0 −3 −2 3 2 −2 I3 = − 2 0

3

0 0 = 2 ⋅ 3⋅ (−3) + (−2) ⋅ 0⋅ 0 + (−2) ⋅ 0⋅ 0 − 0⋅ 3⋅ 0 − (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−2) − 2 ⋅ 0⋅ 0 = −6 .

0 −3

Dla macierzy s′ otrzymujemy: I1 = 0 − 0,4142 + 2,4142 = 2, − 0,4142 − 1 0 31213 , 0 11213 , 2 2 I2 = + + = −2 − 31213 , − 11213 , ≈ −13, −1 2,4142 31213 , 2,4142 11213 , − 0,4142

0 1,1213 3,1213 I 3 = 1,1213 − 0,4142 −1 = 0 ⋅ (−0,4142) ⋅ 2,4142+ (−1) ⋅1,1213⋅ 3,1213⋅ 2 − (−0,4142) ⋅ 2 − 3,1213

−1

2,4142

− (−0,4142) ⋅ 3,12132 − (−1) ⋅ (−1) ⋅ 0 − 2,4142⋅1,12132 ≈ −6. Rezultaty obliczeń ilustruje rys. 1.36, na którym uwidoczniono kostki naprężeń w obu układach.

Rys. 1.36

Przykład 4 Dany jest tensor naprężenia o współrzędnych: 2

σ11 = 100 MN/m , 2 σ22 = 50 MN/m ,

2

2

σ12 = 30 MN/m , σ13 = −60 MN/m , 2 2 σ23 = 10 MN/m , σ33 = −30 MN/m , (1 MN/m2 = 10 kG/cm2).

Wyznaczyć wartości i kierunki główne tensora.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

35

Rozwiązanie Tensor naprężenia zapiszemy w postaci macierzy:

[σij ] =

100 30 − 60 30 50

10 [MN/m2].

− 60 10 − 30

Obliczamy niezmienniki (wzory 1.20): I1 = σ11 + σ 22 + σ 33 = 120 MN / m2 , 2 2 2 I 2 = σ 22σ 33 − σ 23 + σ 11σ 33 − σ 13 + σ11σ 22 − σ 12 = − 4100( MN / m2 ) 2 , 2 2 2 I 3 = σ11σ 22σ 33 + 2σ12σ 23σ 31 − σ 22σ13 − σ11σ 23 − σ 33σ12 = −349000( MN / m2 ) 3.

Równanie charakterystyczne (1.19):

σ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I 3 = 0 . Poszukujemy pierwiastków równania III stopnia. Równanie o postaci (por. Bronsztejn, Siemiendiajew [6]): ax3 + bx2 + cx + d = 0 ma 3 rozwiązania: b (i = 1, 2, 3), xi = yi − 3a przy czym charakter rozwiązania zależy od wartości wyróżnika D: D = q 2 + p3 ,

3

3ac − b 2 bc d  b gdzie q =   − 2 + , p= .  3a  2a 6a 9a 2

Jeśli: D < 0, to równanie ma 3 pierwiastki rzeczywiste, D > 0, to równanie ma 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 zespolone, D = 0, to równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste w tym jeden dwukrotny. Przy wyznaczaniu wartości głównych tenora naprężenia wyróżnik D jest zawsze mniejszy od zera. Wówczas dalsze obliczenia przebiegają według następujących wzorów : q r = sgn(q ) p , cos(3ω ) = 3 , r y1 = −2r cosω , y2 = 2r cos( 60o − ω ), y3 = 2r cos(60o + ω ). W naszym zadaniu mamy: 3I 2 − I12 = − 2967 ( MN / m 2 ) 2 , p = 9 3

I I I −I  q =  1  + 1 2 − 3 = 28500 ( MN / m2 ) 3; D = q 2 + p3 = −2,53 ⋅ 1010 ( MN / m2 ) 6 ;  3  6 2 b I1 = − = −σ 0 = −40 MN / m2 , sgn( q ) = +1, 3a 3 q r = +1 ⋅ − 2967 = 54,47 MN / m2 , cos( 3ω ) = 3 = 0,176347 → ω = 26,614 o , r

y1 = −2 ⋅ 54,47 ⋅ cos(26,614 o ) = −97,4MN/m 2 , y 2 = 2 ⋅ 54,47 ⋅ cos(60 o − 26,614 o ) = 91,0MN/m 2 , y3 = 2 ⋅ 54,47 ⋅ cos(60o + 26,614 o ) = 6,4MN/m 2 . Nieuporządkowane naprężenia główne wynoszą: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

36

σ 1 = y1 + σ 0 = −97,4 + 40 = −57,4 MN / m2 ; σ 2 = y2 + σ 0 = 91,0 + 40 = 131,0 MN / m2 ; σ 3 = y3 + σ 0 = 6,4 + 40 = 46,4 MN / m2 . Po uporządkowaniu ( σ I ≥ σ II ≥ σ III ) otrzymujemy poszukiwane wartości główne:

σ I = σ 2 = 131,0 MN / m2 , σ II = σ 3 = 46,4 MN / m2 , σ III = σ1 = −57,4 MN / m2 . kierunki główne możemy wyznaczyć z równań (1.17) i (1.18):

(σ11 − σ )n1 + σ 21n2 + σ 31n3 = 0, σ 12 n1 + (σ 22 − σ )n2 + σ 32 n3 = 0, σ 13n1 + σ 23n2 + (σ 33 − σ )n3 = 0, n12 + n22 + n32 = 1 . Do wyznaczenia któregokolwiek kierunku głównego wykorzystamy pierwsze dwa równania oraz równanie czwarte. Wprowadzimy pomocnicze niewiadome λ2 i λ3: n n λ2 = 2 , λ3 = 3 . n1 n1 Po podzieleniu pierwszych dwóch równań przez n1 otrzymujemy układ dwóch równań o dwóch niewiadomych λ2 i λ3 : σ 21λ2 + σ 31λ3 = σ − σ 11  (σ 22 − σ )λ2 + σ 32 λ3 = −σ 12 ,

(a)

[

]

λ2 = (σ − σ11 )σ 32 + σ 12 ⋅ σ 13 / W   2 λ3 = − σ 12 + (σ − σ11 )(σ − σ 22 ) / W  gdzie W = σ 21σ 32 + σ 31 (σ − σ 22 ) .

(b)

skąd

[

Z czwartego równania obliczymy n1: (c)

n1 = ±

(d)

n2 = λ2n1,

1

1 + λ22 + λ23 co pozwala wyznaczyć pozostałe współrzędne n2 i n3:

]

,

n3 = λ3n1.

Podstawiając we wzorach (b) kolejno σ = σI, σ = σII oraz σ = σIII otrzymamy współrzędne n1( I) ,

I II III

n2( I) , n3( I) ; n1( II) , n2( II) , n3( II) oraz n1( III ) , n2( III ) , n3( III ) . Wyniki obliczeń zestawiono w tablicy:

σ 2 [MN/m ] 131,0 46,4 −57,4

λ2

λ3

n1

n2

0,3270 −4,5446 −0,5003

−0,3524 −1,3796 2,3730

−0,9012 0,2060 0,3812

−0,2947 −0,9364 −0,1907

n3 0,3176 −0,2842 0,9046

Sprawdzamy ortogonalność: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

37

δ I ,II = ni( I ) ⋅ ni( II ) = n1( I ) ⋅ n1( II ) + n2( I ) ⋅ n2( II ) + n3( I ) ⋅ n3( II ) = −0,00005 ≈ 0, δ I,III = ni( I ) ⋅ ni( III ) = n1( I ) ⋅ n1( III ) + n2( I ) ⋅ n2( III ) + n3( I ) ⋅ n3( III ) = 0,00004 ≈ 0, δ II,III = ni( II ) ⋅ ni( III ) = n1( II ) ⋅ n1( III ) + n2( II ) ⋅ n2( III ) + n3( II ) ⋅ n3( III ) = 0,00001 ≈ 0, 2

2

2

δ I,I = ni(I ) ⋅ ni( I ) = n1( I ) + n2( I ) + n3( I ) = 0,99998 ≈ 1, 2

2

2

δ II,II = ni(II ) ⋅ ni( II ) = n1( II ) + n2( II ) + n3( II ) = 1,0000506 ≈ 1, 2

2

2

δ III,III = ni( III ) ⋅ ni( III ) = n1( III ) + n2( III ) + n3( III ) = 0,99998 ≈ 1. Naprężenia główne ilustruje macierz naprężenia: 0 0  131,0  s=  0 46,4 0  .  0 0 − 57,4

Dla kompletu sprawdzimy jeszcze wartości niezmienników. Obliczymy je obecnie w układzie osi głównych: 2

I1 = 131,0 + 46,4 − 57,4 = 120 MN/m . 2 I2 = 46,4·(−57,40 + 131,0·(−57,4) + 131,0·46,4 = −4104 ≈ −4100 (MN/m2) , 3 I3 = 131,0·46,4·(−57,4) = −348900 ≈ −349000 (MN/m2) . Graficzną ilustrację tensora wyjściowego oraz usytuowanie kierunków głównych i kostkę naprężeń głównych przedstawia rys. 1.37.

Rys. 1.37

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

38

Przykład 5 Rozłożyć tensor naprężenia z przykładu 4. na aksjator i dewiator. Obliczyć wartości główne dewiatora. Określić ekstremalne naprężenia styczne. Rozwiązanie Rozkładu na aksjator i dewiator dokonujemy w następujący sposób:  100 30 − 60 σ ij =  30 50 10,  − 60 10 − 30

[ ]

I 120 = 40 MN / m2 , σ0 = 1 = 3 3

40 0 0  60 30 − 60   σ ij =  0 40 0 +  30 10 10 ,  0 0 40  − 60 10 − 70

[ ]

[σ ij ] = [σ ij(o) ] + [σ ij( d ) ] . Obliczamy niezmienniki dewiatora: I1(d) = 60 + 10 − 70 = 0, I2(d) = 10 ⋅ (−70) − 102 + 60 ⋅ (−70) − (−60)2 + 60 ⋅ 10 − 302 = −8900 (MN / m2 )2 , I3(d) = 60⋅ 10 ⋅ (−70) + 30 ⋅ 10 ⋅ (−60) ⋅ 2 − (−60)2 ⋅ 10 − 302 ⋅ (−70) − 102 ⋅ 60 = −57000 (MN / m2 )3. Wartości główne dewiatora wyznaczamy z zależności:

I 3( d ) I 2( d ) 8900 2 2 p= =− = −2967 (MN/m ) , q = − = 28500 (MN/m 2 ) 3 . 3 3 2 Zwróćmy uwagę na to, że obliczone wyżej wartości są identyczne z wartościami obliczonymi dla tensora wyjściowego (por. przykład 4). I1( d ) = σ 0( d ) = 0, 3

Ponieważ więc

(d ) σ 1( d ) = y1 = −97,4 MN / m2 = σ III = σ III − σ 0 ,

σ 2( d ) = y2 = 91,0 MN / m2 = σ I( d ) = σ I − σ 0 , σ 3( d ) = y3 =

6,4 MN / m2 = σ II( d ) = σ II − σ 0 .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

39

Rys.1.38

Ponieważ wszystkie współczynniki w układzie czterech równań, z którego wyznacza się kierunki główne, są takie same jak w tensorze pełnym, więc i kierunki główne dewiatora są identyczne z kierunkami głównymi tensora pełnego (por. przykład 4). Równość współczynników wynika z definicji dewiatora: (d ) σ 11 − σ ( d ) = σ 11 − σ 0 − (σ − σ 0 ) = σ11 − σ , (d ) σ 22 − σ ( d ) = σ 22 − σ , (d ) σ 33 − σ ( d ) = σ 33 − σ .

Podziału dewiatora na dwa czyste ścinania dokonamy w głównych osiach naprężenia:

[ ] σ ij( d )

0  91,0 0 91,0 0    =  0 6,4 0  =  0 − 91,0  0 0 − 97,4   0 0

[σ ] = [σ ′ ] (d ) ij

(d ) ij

+

0 0 0 0    0 + 0 97,4 0  , 0 0 0 − 97,4

[σ ′′ ] . ij

(d )

Tensory składowe σ ij′ ( d ) i σ ij′′ ( d ) przedstawiają dwa czyste ścinania. Tak więc pełny tensor z przykładu 4. można w osiach głównych naprężeń przedstawić jako sumę aksjatora (wszechstronnego rozciągania) oraz dwóch czystych ścinań. Ilustracją tego stwierdzenia jest rys. 1.38.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

40

Rys. 1.39

Rysunek 1.39 przedstawia koła naprężeń dla dewiatora (linie ciągłe). Linią przerywaną zaznaczono położenie największego koła Mohra odpowiadającego tensorowi pełnemu z przykładu 4. Analizując wyniki przykładów 4. i 5. widzimy, że najistotniejsze cechy stanu naprężenia opisuje dewiator. Decyduje on o kierunkach głównych i wartościach maksymalnych naprężeń stycznych. Należy zwrócić uwagę, że z fizycznego punktu widzenia poza naprężeniami głównymi istotne są maksymalne naprężenia styczne. Wartości naprężeń stycznych występujące przy rozkładzie dewiatora na dwa czyste ścinania przytacza się jedynie ze względów pojęciowych; wartości te nie mają żadnego sensu fizycznego. Przykład 6 Dany jest płaski stan naprężenia określony w układzie osi x1, x2 następującymi składowymi: σ11 = −200 MN / m2 , σ12 = σ 21 = −100 MN / m2 , σ 22 = 300 MN / m2 . Wyznaczyć naprężenia główne, maksymalne naprężenia styczne i położenie osi naprężeń głównych za pomocą metod analitycznej i wykreślnej (koło Mohra). Rozwiązanie W metodzie analitycznej naprężenia główne obliczamy ze wzoru (1.28):

σ 1,2 =

2

− 200 + 300 2  − 200 − 300  ±   + (− 100) = 50 ± 269,2 ,   2 2

σ 1 = 50 + 269,2 = 319,2 MN / m2 , σ 2 = 50 − 269,2 = −219,2 MN / m2 , σ 3 = 0. Sprawdzamy wartości niezmienników:

I1 = σ11 + σ 22 = −200+ 300= σ1 + σ 2 = 319,2 − 219,2 = 100,0MN/m2 , I 2 = σ11 ⋅σ 22 −σ122 = (−200) ⋅ 300− (−100)2 = σ1 ⋅σ 2 = 319,2 ⋅ (−219,2) = −70000(MN/m2 )2 . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

41

Uporządkowane naprężenia główne wynoszą:

σ I = σ1 = 319,2 MN / m2 , σ II = σ 3 = 0, σ III = σ 2 = −219,2 MN / m2 . Na podstawie wzoru (1.22) obliczamy τmax:

oraz

σ − σ III 319,2 − ( −219,2) = = 269,2 MN / m2 , τ max = I 2 2 σ I + σ III 319,2 − 219,2 = = 50,0 MN / m2 . σ (τ ) = 2 2

Położenie osi głównych określa kąt ϕ0 (wzór 1.30): tg2ϕ 0 =

2σ12 2( −100) 21,8 = = 0,4 , ϕ 0 = = 10,9° . σ11 − σ12 − 200 − 300 2

Rys. 1.40

W metodzie wykreślnej posłużymy się kołem Mohra przedstawionym na rys. 1.40 (opis konstrukcji tego koła znajduje się w p. 1.8). Zgodnie z inżynierską zasadą znakowania naprężeń mamy:

σ x = σ11 = −200 MN / m2 , σ y = σ 22 = 300 MN / m2 , τ xy = −σ12 = 100 MN / m2 , τ yx = σ 21 = −100 MN / m2 . Z rysunku odczytujemy:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

42

σ 1 = 320 MN / m2 , σ 2 = −200 MN / m2 , ϕ 0 = 11o , τ max = 270 MN / m2 , σ (τ ) = 50 MN / m2 . Na podstawie koła Mohra stwierdzamy, że kąt ϕ0 jest zawarty między osią x i osią 2 (tzn. kierunkiem naprężenia σ2) lub osią y a osią 1 (kierunkiem naprężenia σ1). Obowiązuje tu następująca zasada: − gdy σ11 > σ 22 , to ϕ0 jest kątem pomiędzy osiami (x, 1) lub (y, 2), − gdy σ11 < σ 22 , to ϕ0 jest kątem pomiędzy osiami (x, 2) lub (y, 1).

Przykład 7 Dany jest płaski stan naprężenia określony w układzie osi x1, x2 następującymi składowymi:

σ 11 = −200 MN / m2 , σ 22 = −400 MN / m2 , σ 12 = σ 21 = 150 MN / m2 . Wyznaczyć: − naprężenia główne, maksymalne naprężenia styczne i położenie głównych osi naprężeń, − tensor naprężenia w układzie osi obróconych o kąt ϕ = < (x1, x1′) = 40°. Rozwiązanie W układzie osi x1, x2 stan naprężenia przedstawia macierz s: 150 0 − 200  s =  150 − 400 0 [ MN / m2 ].  0 0 0 I1 = −200 − 400 = −600MN / m2 , I 2 = ( −200) ⋅ ( −400) = 1502 = 57500( MN / m2 ),2

σ 1,2 =

2

− 200 − 400  − 200 + 400  2 ±   + 150 = −300 ± 180,3.   2 2

σ 1 = −300 + 180,3 = −119,7 MN / m2 = σ II , σ 2 = −300 − 180,3 = −480,3 MN / m2 = σ III , σ 3 = σ I = 0. Macierz naprężeń w uporządkowanych osiach głównych ma postać : 0 0  0 2  s = 0 − 119,7 0  [MN/m ] . 0 − 480,3 0 Sprawdzamy niezmienniki:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

43

I1 = 0 − 119,7 = 480,3 = −600 MN / m2 , I 2 = ( −119,7) ⋅ ( −480,3) = 57 491 ( MN / m2 ) 2 ≈ 57 500 ( MN / m2 ) 2 . Maksymalne naprężenie styczne: 0 − ( −480,3) σ I − σ III = = 240,2 MN / m2 , 2 2 σ I + σ III 0 − 480,3 σ (τ ) = = = − 240,2 MN / m2 . 2 2

τ max =

Rys. 1.41

Położenie osi głównych: tg2ϕ 0 =

2 ⋅ 150 56,3 = 1,5 ; ϕ 0 = = 28,15° . 2 − 200 − ( −400)

Ponieważ σ11 > σ22, więc ϕ0 jest kątem pomiędzy osią x a osią 1. Przejdziemy do wyznaczenia tensora naprężenia w układzie osi obróconych o kąt ϕ = 40°. Wykorzystamy tu wzory transformacyjne w postaci (1.29): − 200 − 400 − 200 − ( −400) + ⋅ cos( 2 ⋅ 40° ) + 150 ⋅ sin(2 ⋅ 40° ) = σ x ' = σ 11 '' = 2 2 = − 300 + 17,4 + 147,7 = − 134,9 MN / m2 ,

σ y ' = σ 2 '2 ' = −300 − 17,4 − 147,7 = −465,1 MN / m2 , − τ x ' y ' = σ 1'2 ' =

= 200 − ( −400) ⋅ sin 80o + 150 ⋅ cos 80o = −98,5 + 26 = −72,5 MN / m2 . 2

Niezmienniki są następujące: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

1. STAN NAPRĘŻENIA

44

I1 = −134,9 − 465,1 = −600 MN / m2 , I 2 = ( −134,9) ⋅ ( −465,1) − ( −72,5) 2 = 57 486 ( MN / m2 ) 2 ≈ 57 500 ( MN / m2 ) 2 . Macierz naprężenia w układzie osi obróconych przybiera postać:  − 134,9 − 72,5 0 s' =  − 72,5 − 465,1 0 [MN/m2].  0 0 0 Ilustracją obliczeń zawartych w tym przykładzie jest rysunek 1.41.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

1

Í Ï Î

2. STAN ODKSZTAŁCENIA 2.1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA

Rozważymy ciało odkształcalne wypełnione szczelnie materią (rys. 2.1). Pod wpływem czynników zewnętrznych (sił powierzchniowych, sił masowych, zmiany temperatury itp.) ciało to z konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem) przejdzie do konfiguracji aktualnej (po odkształceniu).

Rys. 2.1

Przypiszemy dowolnemu punktowi materialnemu A ciała nieodkształconego współrzędne x1, x2, x3. Ten sam punkt ciała po odkształceniu przejdzie w położenie a o współrzędnych ξ1, ξ2, ξ3. Wektor

u = (ξ1 − x1 )e1 + (ξ2 − x2 )e2 + (ξ3 − x3 )e3

(2.1)

nazywamy wektorem przemieszczenia. Jego współrzędne mierzymy w jednostkach długości (np. w metrach). Ze wzoru (2.1) wynika, że za wektor u możemy uważać: − wektor wyrażający przemieszczenie punktu materialnego, zajmującego przed odkształceniem położenie A(x1, x2, x3), lub −wektor wyrażający przemieszczenie punktu materialnego, który po odkształceniu ciała zajmuje w przestrzeni położenie pokrywające się z punktem a(ξ1, ξ2, ξ3). W pierwszym przypadku mówimy, że stosujemy opis materialny (tzw. opis Lagrange'a), w drugim − opis przestrzenny (tzw. opis Eulera). W obu opisach trzeba znać funkcje jednoznacznie wiążące ze sobą współrzędne ξi oraz xi:

lub

ξi = ξi ( x1 , x2 , x3 ) ,

i = 1, 2 ,3,

(2.2)

xi = xi (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ,

i = 1, 2 ,3.

(2.3)

Korzystając ze wzorów (2.1), (2.2) i (2.3), możemy napisać: − we współrzędnych materialnych

ui ( x1 , x2 , x3 ) = ξi ( x1 , x2 , x3 ) − xi ,

(2.4)

− we współrzędnych przestrzennych

ui (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = ξi − xi (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) .

(2.5)

Współrzędne wektora przemieszczenia u1, u2, u3 są funkcjami położenia (współrzędnych xi lub ξi). Zatem wektory u tworzą pole wektorowe przemieszczeń.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

2

2.2. TENSOR ODKSZTAŁCENIA. ZWIĄZKI KINEMATYCZNE Rozpatrzymy przemieszczenia dwóch dowolnie wybranych punktów A i B, które w konfiguracji końcowej przyjmą położenia a i b. Jeżeli długość odcinka AB jest równa długości odcinka ab dla dowolnej pary punktów ciała, to ciało przemieszcza się jako bryła sztywna, nieodkształcalna. Odkształcenie ciała charakteryzuje więc zmiana odległości między poszczególnymi punktami ciała. Przyjmijmy zatem, że odległość pomiędzy dwoma punktami materialnymi w konfiguracji nieodkształconej jest nieskończenie mała i wynosi ds0. Wskutek odkształcenia ciała odległość ta zmieni się i wynosi ds. Miarą odkształcenia w danym punkcie jest zatem różnica tych odległości lub − co jest wygodniejsze − różnica kwadratów tych odległości. Rozważmy przykładowo opis materialny pamiętając, że ξk = ξk ( x1 , x2 , x3 ). Wówczas ds2 − ds02 = dξk ( x1 , x2, x3 )dξk ( x1 , x2 , x3 ) − dxr dxr = =

∂ ξ ∂ ξ  ∂ ξk ∂ ξk dxi dx j − δirδ jr dxi dx j =  k ⋅ k − δij  dxi dx j . ∂ xi ∂ xj  ∂ xi ∂ x j 

Stosownie do wzoru (2.3) ξk ( x1 , x2 , x3 ) = uk ( x1 , x2 , x3 ) + xk . Mamy zatem

∂ ξk ∂ uk dxi = dxi + δ ki dxi ∂ xi ∂ xi

oraz

∂ ξk ∂ uk dx j = dx j + δ kj dx j . ∂ xj ∂ xj

Wobec tego  ∂ u  ∂ u ds2 − ds02 =  k + δ ki   k + δ kj  dxi dx j − δij dxi dx j = 2εijG dxi dx j .  ∂ xi  ∂ x j  Wielkość εijG to tensor odkształcenia Greena. Ostateczny wzór opisujący ten tensor otrzymujemy po wykonaniu mnożenia obu nawiasów, uwzględnieniu własności delty Kroneckera jako operatora zamiany wskaźnika oraz redukcji wyrazów podobnych: 1  ∂ ui ∂ u j ∂ uk ∂ uk   . + + ⋅ 2  ∂ x j ∂ xi ∂ xi ∂ x j  Postępując podobnie w przypadku opisu przestrzennego otrzymujemy tensor odkształcenia Almansiego: (a)

εijG = ε G ji =

(b)

εijA = ε jiA =

1  ∂ ui ∂ u j ∂ uk ∂ uk   . + − ⋅ 2  ∂ ξ j ∂ ξi ∂ ξi ∂ ξ j 

Z postaci wzorów (a) i (b) wynika, że oba tensory odkształcenia są symetryczne.

Rys. 2.2

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

3

Pewnego komentarza wymaga interpretacja kinematyczna odkształceń w obu opisach. Przypomnimy najpierw, jak definiowaliśmy stan naprężenia. Elementarną kostkę naprężeń wycinaliśmy myślowo po odkształceniu ciała. Stosowaliśmy więc opis przestrzenny (przed odkształceniem kostka nie była prostopadłościanem). Opis ten ma zastosowanie w mechanice płynów. W teorii konstrukcji bardziej przydatny jest jednak opis materialny, gdyż warunki podparcia ciała (warunki brzegowe) są znane właśnie w konfiguracji nieodkształconej. W opisie tym w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem) elementarna kostka jest prostopadłościanem. Ilustracją powyższych wywodów jest rys. 2.2, na którym przedstawiono sens obu opisów dla elementu płaskiego we współrzędnych prostokątnych ξ1, ξ2 oraz x1, x2 (rys. 2.2a − opis przestrzenny rys. 2.2b − materialny). Wyprowadzone formuły (a) i (b) opisujące tensory Greena i Almansiego odnoszą się do odkształceń dowolnie dużych, czyli tzw. odkształceń skończonych, będących nieliniowymi funkcjami gradientów przemieszczeń, czyli pochodnych ∂ui/∂xj lub ∂ui/∂ξj. Nieliniowość ta jest źródłem bardzo dużych trudności obliczeniowych. Odkształcenia skończone wykazują podatne materiały gumopodobne (np. guma, niektóre tworzywa sztuczne, organiczne tkanki miękkie). W materiałach budowlanych, nie licząc gumowych konstrukcji pneumatycznych i pewnych przypadków konstrukcji cięgnowych, odkształcenia są bardzo małe i stosowanie skończonych miar deformacji nie jest konieczne*). Wówczas iloczyny gradientów przemieszczeń, występujące we wzorach (a) i (b), jako małe wielkości wyższego rzędu można pominąć. Przyjęcie, że gradienty przemieszczeń są małe, nie usuwa niestety kłopotów związanych z nieliniowością. Może się bowiem zdarzyć, że badany układ wykazuje duże przemieszczenia (np. duże ugięcia stalowej żyletki), mimo że odkształcenia materiału są małe. Wtedy zależności między obciążeniem i przemieszczeniem są nieliniowe nadal nastręczają wielu trudności obliczeniowych. Polegają one na tym, że w równaniach równowagi w dalszym ciągu muszą wystąpić człony zawierające funkcje przemieszczeń, co odpowiada bardzo złożonej teorii kinematycznie nieliniowej. Teoria ta w ogólności wymaga wprowadzenia nowych definicji tensora naprężenia (tensory Pioli-Kirchhoffa). Wykracza to poza klasyczny kurs mechaniki ciał odkształcalnych. Dlatego w dalszym ciągu założymy, że przemieszczenia w porównaniu z wymiarami ciała są bardzo małe, tzn. ξi ≈ xi . Wtedy różnice pomiędzy opisem przestrzennym i materialnym znikają, a definicja tensora odkształcenia upraszcza się do postaci:

εijC = εij = ε ji =

1  ∂ ui ∂ u j  1   = (ui , j + u j ,i ). + 2  ∂ x j ∂ xi  2

(2.6)

Wzór (2.6) definiuje tzw. tensor małych odkształceń Cauchy’ego. Tensor ten − podobnie jak tensory Greena i Almansiego − jest symetryczny, a wzór (2.6) przedstawia równania geometryczne (kinematyczne) teorii małych odkształceń. Tensor odkształcenia e = [εij] tworzy pole tensorowe, ponieważ jego współrzędne są funkcjami położenia. Zwróćmy uwagę na to, że zachodzi tożsamość: 1 1 (ui , j + u j ,i ) + (ui , j − u j ,i ) = εij + ωij . 2 2 Widzimy zatem, że tensor małych odkształceń Cauchy’ego εij (dla uproszczenia zapisu pomijamy dalej indeks C) jest symetryczną częścią gradientu przemieszczeń, natomiast symbol ωij jest antysymetryczną częścią gradientu przemieszczeń i nazywa się tensorem obrotu: 1 ωij = −ω ji = (ui , j − u j ,i ). (2.7) 2 Tensor obrotu ωij jest zatem skośnie symetryczny. Jego nazwa pochodzi stąd, że ciało nieodkształcone (εij ≡ 0) może poruszać się jako bryła sztywna wykonując jedynie obrót. Pokażemy teraz, że współrzędne εij rzeczywiście tworzą tensor. Zbadamy najpierw, jak wyrażają się gradienty przemieszczeń uk’,p’ w układzie obróconym x1', x2', x3' przez gradienty przemieszczeń ui,j w układzie pierwotnym x1, x2, x3: ui , j ≡

(c)

*)

Założenie o małych wartościach pochodnych przemieszczeń jest fizycznie usprawiedliwione, gdyż przykładowo wydłużenie pręta stalowego zamontowanego w konstrukcji sięga ułamka procenta. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

4

∂uk ' ∂uk ' ∂x j = . ∂x p' ∂x j ∂x p' Współrzędne uk' transformują się jak współrzędne wektora (tzn. uk ' = ui aik ' ), zatem ∂uk ' ∂ui aik ' = ui , j aik ' . (e) = ∂x j ∂x j uk ', p' =

(d)

Podobnie transformują się współrzędne punktów w obu układach: x j = x p ′ a jp ′ . Wobec tego ∂x j (f) = a jp' . ∂x p' Po podstawieniu równań (e) i (f) do zależności (d) otrzymujemy: uk ', p' = ui, j a ik ' a jp' .

(g)

Widzimy więc, że gradienty przemieszczeń są tensorami drugiego rzędu, bo transformują się tak jak tensor. Z równania (g) wynika również, że u p', k ' = u j ,i a jp' a ik ' .

(h) Stosownie do równań (2.6)

ε k ' p' =

(

(

)

)

1 uk ', p' + u p',k ' . 2 Podstawienie zależności (g) i (h) prowadzi do wyniku 1 (i) ui, j + u j ,i aik ' a jp' = ε ij aik ' a jp' . ε k ' p' = 2 Zależność (i) dowodzi, że składowe stanu odkształcenia εij rzeczywiście tworzą tensor. Z symetrii tensora odkształcenia wynika, że ma on 6 niezależnych współrzędnych. Dodajmy, że wszystkie współrzędne tensora odkształcenia  ε11 ε12 e = ε 21 ε 22 ε 31 ε 32

ε13  ε 23  ε 33 

(2.8)

są bezwymiarowe. W ramach kinematycznie liniowej teorii małych odkształceń współrzędne te mają klarowną interpretację geometryczną. Wykażemy, że współrzędne równo-wskaźnikowe są odkształceniami liniowymi wzdłuż odpowiednich osi, a współrzędne różno-wskaźnikowe są odkształceniami kątowymi mierzonymi w płaszczyznach określonych indeksami współrzędnych. Aby się o tym przekonać, ograniczymy się do analizy płaskiej deformacji i zastosujemy opis materialny. Rozważmy w konfiguracji pierwotnej dwa elementarne prostopadłe do siebie odcinki BC i AB o mające odpowiednio długości dx1 i dx2 (por. rys. 2.3). Po odkształceniu punkty materialne A, B, i C przemieszczą się i zajmą odpowiednio położenia a, b, i c. Wobec tego odcinki BC i AB zmienią swe pierwotne długości i nachylenia w stosunku do układu współrzędnych. Na podstawie rys. 2.3 określimy najpierw względne przyrosty długości boków, czyli tak zwane odkształcenia liniowe. Odkształcenia te wyrażają się stosunkiem przyrostu długości danego boku do jego pierwotnej długości. Obliczymy na przykład odkształcenia liniowe boku równoległego do osi X1 pamiętając, że odkształcenia są małe (tzn. sinα ≈ tgα ≈ α, cosα ≈ 1):

(j)

1  1 ∆ BC bc − BC = =  BC BC dx1  cos α

 ∂ u1   ∂ u1 dx1 − dx1  ≈ = u1,1 = ε11.  dx1 + ∂ x1    ∂ x1

Podobnie można wykazać, że ε 22 = u2,2 oraz − analogicznie w przypadku trójwymiarowym − że

ε 33 = u3,3 . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

5

Wyznaczymy jeszcze całkowity kąt odkształcenia γ = α + β (u1,1 << 1 oraz u2,2 << 1): ∂ u2 ∂ u1 dx2 dx1 ∂ x1 ∂ x2 ∂u ∂u (k) α + β ≈ tgα + tgβ = + ≈ 2 + 2 = u2,1 + u1,2 = 2ε12 . dx u dx1(1 + u11 ∂ x1 ∂ x1 ) ( 1 ) + 2 2,2 , Uogólniając wynik wzoru (k) na pozostałe płaszczyzny układu współrzędnych wnioskujemy, że odkształcenia różno-wskaźnikowe są równe połowie kąta odkształcenia γ danego elementu.

Rys. 2.3

Odkształcenia liniowe i kątowe nie dają pełnej informacji o deformacji. Do kompletu brakuje bowiem kąt obrotu dwusiecznej zawarty między bokami badanego elementu (por. rys. 2.3): (l)

β − α 1  ∂ u1 ∂ u2  1 ≈  −  = ( u1,2 − u2 ,1 ) = ω12 . 2 2  ∂ x2 ∂ x1  2

Wzór (l) potwierdza zatem, że współrzędna tensora w odpowiada kątowi obrotu przekątnej czworoboku utworzonego z odcinków elementarnych. Podobny wniosek dotyczący współrzędnych tensora obrotów można sformułować dla pozostałych płaszczyzn układu. Na koniec powstaje pytanie, dlaczego jako miarę odkształceń kątowych przyjmuje się połowę a nie całkowity kąt odkształcenia γ. Otóż okazuje się, że wielkości zawarte w macierzy  ε11 γ 12 γ 13  γ   21 ε 22 γ 23  γ 31 γ 32 ε 33 

(2.9)

nie transformują się zgodnie z definicją tensora (1.16). Między odkształceniami kątowymi ε12 , ε 23 i ε 31 a całkowitymi kątami odkształcenia γ 12 , γ 23 i γ 31 występują zależności: 1 1 1 ε12 = γ 12 , ε 23 = γ 23 , ε13 = γ 13 2 2 2

(2.10)

W większości starszych podręczników stan odkształcenia opisuje się za pomocą macierzy (2.9), przy czym najczęściej wprowadza się sposób oznaczania składowych analogiczny do tradycyjnego, stosowanego w teorii stanu naprężenia, tzn.:

εx = ε11, εy = ε22 , εz = ε33, γxy = 2ε12, γyz = 2ε23, γzx = 2ε31. Wskaźnikowy zapis tensorowy stosują Nowacki [32], Derski [8], tradycyjny zaś Jastrzębski, Mutermilch i Orłowski [22]. Dodać należy, że obecnie często używa się obu zapisów równolegle (por. Piechnik [34] i Życzkowski [56]).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

6

2.3. RÓWNANIA NIEROZDZIELNOŚCI W równaniach geometrycznych (2.6) trzy ciągłe funkcje ui(x1, x2, x3) opisujące pole przemieszczeń służą do obliczania sześciu funkcji εij (x1, x2, x3) opisujących pole odkształceń. Wynika stąd wniosek, że funkcje εij (x1, x2, x3) nie mogą być zupełnie dowolne i powinny spełniać trzy dodatkowe warunki. Różniczkujemy dwukrotnie równania geometryczne (2.6) i zmieniamy kolejno wskaźniki. W efekcie otrzymujemy: 1 ui , jkl + u j ,ikl , εij , kl = 2 1 uk ,lij + ul , kij , ε kl ,ij = 2 1 ui,kjl + uk ,ijl , ε ik , jl = 2 1 u j ,lik + ul , jik . ε jl ,ik = 2 Następnie pierwsze dwa równania dodajemy stronami, a pozostałe odejmujemy. Po wykorzystaniu własności, że dla funkcji ciągłych różniczkowanie cząstkowe nie zależy od kolejności różniczkowania (np. g,ij = g, ji ) uzyskujemy 34 = 81 równań:

( (

) )

( (

) )

εij , kl + ε kl ,ij − εik , jl − ε jl ,ik = 0,

i , j , k , l = 1, 2, 3.

(2.11)

Z analizy wszystkich permutacji wskaźników i, j, k, l wynika, że spośród tych równań tylko 6 różni się między sobą: 1) i = k = 1, j = l = 2:

2ε12,12 − ε11,22 − ε 22 ,11 = 0,

2) i = k = 2, j = l = 3:

2ε 23,23 − ε 22,33 − ε 33,22 = 0 ,

3) i = k = 3, j = l = 1:

2ε 31,31 − ε 33,11 − ε11,33 = 0 ,

4) i = j = 1, k = 2, l = 3:

ε11,23 + ε 23,11 − ε12,13 − ε13,12 = 0 ,

5) i = j = 2, k = 3, l = 1:

ε 22,31 + ε 31,22 − ε 23,21 − ε 21,23 = 0 ,

6) i = j = 3, k = 1, l = 2:

ε 33,12 + ε12,33 − ε 31,32 − ε 32,31 = 0 .

(2.12)

Sześć niezależnych równań można również uzyskać przez przyjęcie we wzorach (2.11), że l = k: ε ij ,kk + ε kk ,ij − ε ik , jk − ε jk ,ik = 0 . (2.12a) Wówczas dla i ≠ j otrzymujemy równania (2.12)4,5,6, a przypadkom i = j odpowiadają dalsze trzy niezależne równania będące kombinacją liniową równań (2.12)1,2,3. Zapis równań (2.12) można również uprościć przez wprowadzenie trójwskaźnikowego symbolu permutacyjnego eijk (por. p.21.1):

ηij = η ji = eikm e jln ε kl ,mn = 0 .

(2.12b)

Tensor ηij nosi nazwę tensora niespójności. Równania (2.12b) z uwagi na symetrię względem wskaźników i, j przedstawiają tylko sześć interesujących nas równań (2.12). Równania nierozdzielności można także przedstawić w postaci macierzowej: η11 η12 η13  ηij = η21 η22 η23  = 0 . (2.12c) η31 η32 η33  Współrzędne równowskaźnikowe odpowiadają pierwszym trzem równaniom (2.12), pozostałe trzy równania to współrzędne różnowskaźnikowe.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

7

Rys. 2.4

Podstawą powyższych rozważań było założenie ciągłości funkcji ui oraz ich pochodnych. Spełnienie równań (2.12) oznacza, że ośrodek ciągły przed deformacją jest również ciągły po deformacji, a każdemu punktowi materialnemu ośrodka w konfiguracji pierwotnej odpowiada dokładnie jeden punkt w konfiguracji końcowej z zachowaniem sąsiedztwa elementów. Mamy zatem gwarancję, że po odkształceniu w ośrodku nie powstaną „dziury” lub że myślowo wycięte elementy ciała nie będą się przenikały, jak to uwidoczniono na rys. 2.4c. Dlatego równania (2.12) noszą nazwę równań nierozdzielności (zgodności) lub równań spójności. Przypadek przedstawiony na rysunku 2.4b odpowiada sytuacji, w której równania nierozdzielności są spełnione; myślowo wycięte elementy ciała w całym procesie deformacji szczelnie do siebie przylegają. Oznacza to, że współrzędne tensora niespójności ηij są tożsamościowo równe zeru. Powstaje pytanie, dlaczego jest sześć równań nierozdzielności odkształceń, a nie trzy. Okazuje się, że współrzędne tensora niespójności nie są niezależne. Hellinger [16] wykazał, że wystarczy, by wewnątrz ciała były spełnione równania, odpowiadające znikaniu tylko współrzędnych równowskaźnikowych lub tylko różnowskaźnikowych. Natomiast na powierzchni ciała o dowolnych warunkach brzegowych muszą być spełnione wszystkie 6 równań.

2.4. WŁASNOŚCI TENSORA ODKSZTAŁCENIA Z faktu, że wielkości εij są współrzędnymi tensora symetrycznego drugiego rzędu, wynikają wszystkie wyprowadzone własności, takie jak istnienie wartości i kierunków głównych odkształceń oraz niezmienników. Należy tylko zamiast naprężeń normalnych σ11, σ22, σ33 wstawić odkształcenia liniowe ε11, ε22, ε33, a zamiast naprężeń stycznych σ23, σ31, σ12 odkształcenia kątowe ε23, ε31, ε12. Jest oczywiste, że konstrukcja kół Mohra jest taka sama jak dla naprężeń. Wnioskujemy stąd, że dowolny stan odkształcenia (rys. 2.5a) można przedstawić w układzie osi głównych odkształceń w postaci deformacji, w której wszystkie zmiany kątów są równe zeru (rys. 2.5b); poszczególne ściany elementarnej kostki pozostają prostokątami i ulegają tylko przesunięciu równoległemu.

Rys. 2.5

Pokażemy teraz, jak oblicza się zmianę objętości i zmianę postaci. Rozpatrzymy odkształcenie objętościowe elementarnego prostopadłościanu w układzie głównych osi odkształcenia (rys. 2.5b). Pierwotna objętość prostopadłościanu

dV = dxI dxII dxIII . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

8

Objętość prostopadłościanu po odkształceniu

dV + ∆dV = (1 + ε I ) (1 + ε II ) (1 + ε III ) dxI dxII dxIII . Względna zmiana objętości ∆dV = (1 + ε I )(1 + ε II )(1 + ε III ) − 1 = 1 + ε I + ε II + ε III + dV + ε Iε II + ε II ε III + ε III ε I + ε Iε II ε III − 1. Po pominięciu małych wielkości wyższego rzędu (tj. wszystkich iloczynów odkształceń głównych) otrzymujemy: ∆dV ≈ ε I + ε II + ε III = I1 (ε ) = ε11 + ε 22 + ε 33 = 3ε 0 , (2.13) dV gdzie ε0 oznacza średnie odkształcenie liniowe. Względna zmiana objętości (tzw. dylatacja) jest równa pierwszemu niezmiennikowi tensora małych odkształceń I1(ε). Ponieważ I1( d ) = 0 , zatem za odkształcenia objętościowe jest „odpowiedzialny” aksjator tensora odkształcenia. W celu zobrazowania tzw. odkształcenia czysto postaciowego rozważymy deformację elementarnego płaskiego kwadratu. Przyjmiemy szczególny przypadek odkształcenia, w którym ε11 = ε , ε22 = −ε , ε 33 = ε 23 = ε 31 = ε12 = 0 (rys. 2.6). Stan odkształcenia opisuje macierz: 0 0 ε  e =  0 − ε 0  0 0 0

(2.14)

Jest on odpowiednikiem czystego ścinania w teorii stanu naprężenia. Odkształcenie czysto postaciowe z uwagi na to, że I1(ε) = ε − ε + 0 = 0, ma cechę dewiatora.

Rys.2.6

Ponieważ w przyjętym układzie osi odkształcenia objętościowe są równe zeru, więc układ ten jest układem głównych osi odkształcenia. Wobec tego ekstremalne odkształcenia kątowe wystąpią w układzie obróconym o kąt -45° (osie x1´, x2´): 1 ε −ε ε − ( −ε ) = ε, ε1'2 ' = γ max = I III = 2 2 2 a odkształcenia liniowe Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

9

ε I + ε III ε + ( −ε ) = =0. ε11 ' ' = ε 2 '2 ' = 2 2 W układzie osi obróconych x1´, x2´ stan odkształcenia jest wobec tego określony macierzą:  0 ε 0 e' = ε 0 0 .  0 0 0

(2.15)

Macierz ta charakteryzuje odkształcenie czysto postaciowe, w którym różne od zera są tylko dwie współrzędne odkształceń kątowych. Nawiązując do wyników teorii stanu naprężenia, w podsumowaniu stwierdzamy, że dowolny stan odkształcenia składa się ze zmian objętościowych i zmian postaciowych. Zmiany objętościowe opisuje tylko aksjator tensora odkształcenia (równomierne rozszerzenie lub skurczenie). Zmianę postaci wyraża z kolei dewiator tensora odkształcenia, na który składają się dwa odkształcenia czysto postaciowe. Ilustracją tych stwierdzeń są macierze: 0 0 ε I  0 = e =  0 ε II   0 0 ε III  ε I − ε 0 +  0  0

ε 0 0 0  0 ε 0 + 0    0 0 ε 0  AKSJATOR

0 0 0 0  .   − (ε I − ε 0 ) 0 + 0 − (ε III − ε0 ) 0  (ε III − ε 0 )  0 0 0 0 0

odkształcenie czysto postaciowe

odkształcenie czysto postaciowe

DEWIATOR

2.5. PŁASKI STAN ODKSZTAŁCENIA Płaski stan odkształcenia występuje wówczas, gdy w każdym punkcie ośrodka współrzędne εi 3 = ε 3i = 0 (i = 1, 2, 3) , a pozostałe współrzędne tensora odkształcenia zależą tylko od zmiennych x1, x2. Wobec tego tensor odkształcenia odniesiony do współrzędnych kartezjańskich x1, x2, x3 jest zobrazowany macierzą:  ε11 ε12 0 e = ε 21 ε 22 0 , (2.16)  0 0 0 przy czym εij = εji (x1, x2). Wynika stąd, że składowe wektora przemieszczenia są opisane wzorami:

u1 = u1 ( x1 , x2 ), u2 = u2 ( x1 , x2 ), u3 = const.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(2.17)

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

10

Rys. 2.7

Warunki charakterystyczne dla płaskiego stanu odkształcenia występują np. w bardzo długiej ścianie wykonanej z materiału izotropowego i poddanej obciążeniom, które nie zmieniają się wzdłuż osi x3, równoległej do podłużnych krawędzi ściany (rys. 2.7). Grubość wyciętego myślowo „plasterka” ściany w trakcie deformacji pozostaje zawsze taka sama, a oś x3 jest główną osią odkształcenia, odpowiadającą wartości głównej ε3 = ε33 = 0.

2.6. PRZYKŁADY *) Przykład 1 Dane jest pole wektorowe przemieszczeń: u1 ( x1 , x2 , x3 ) = Ax2 x3 + Bx1 , u2 ( x1 , x2 , x3 ) = − Cx1x3 , u3 ( x1 , x2 , x3 ) = Cx1x2 , gdzie A, B, C oznaczają pewne stałe. Wyznaczyć pole tensorowe odkształceń εij (x1, x2, x3) i pole tensorowe obrotów ωij (x1, x2, x3). Rozwiązanie Z równań (2.6) otrzymujemy współrzędne tensora odkształcenia: 1 ∂u1 u11 = B, , + u11 , = ∂x1 2 x 1 1  ∂u ∂u  1 ε12 = u1,2 + u2,1 =  1 + 2  = ( Ax3 − Cx3 ) = 3 ( A − C ), 2 2  ∂x 2 ∂x1  2 2

ε11 =

(

*)

(

)

)

Dużo przykładów zawiera podręcznik [28].

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

ε13 =

11

x 1 1  ∂u ∂u  1 u1,3 + u3,1 =  1 + 3  = ( Ax 2 − Cx 2 ) = 2 ( A + C ), 2 2  ∂x3 ∂x1  2 2 ∂u 1 ε 22 = u2,2 + u2,2 = 2 = 0, ∂x 2 2

(

)

(

ε 23 =

)

1 1  ∂u ∂u  1 u2,3 + u3,2 =  2 + 3  = (− Cx1 + Cx1 ) = 0, 2 2  ∂x3 ∂x 2  2 ∂u 1 ε33 = u3,3 + u3,3 = 3 = 0. ∂x3 2

(

)

(

)

Zatem   B  A−C x3 e=   2 A+C x 2  2

A−C x3 2 0 0

A+C  x2  2  0 .   0 

Współrzędne tensora obrotów obliczamy według zależności (2.10):

ω11 = ω22 = ω33 = 0, ∂u  1  ∂u 1 ω12 =  1 − 2  = −ω 21 = ( A + C ) x3 , 2  ∂x 2 ∂x1  2 ∂u  1  ∂u ω 23 =  2 − 3  = −ω 32 = − Cx1 , 2  ∂x3 ∂x 2  ∂u  1  ∂u 1 ω 31 =  3 − 1  = −ω13 = ( − A + C ) x2 , 2  ∂x1 ∂x3  2 skąd  0   A+C x3 w = ωij =  − 2  − A − C x 2  2

[ ]

A+C x3 2 0 Cx1

A−C  x2  2  − Cx1  .   0 

Przykład 2 Dane są składowe stanu odkształcenia: ε11 = 4‰, ε12 = 2‰, ε13 = 0‰, ε22 = 0‰, ε23 = 1‰, ε33 = −1‰. Obliczyć zmianę objętości oraz maksymalne odkształcenie liniowe i maksymalne odkształcenie kątowe. Rozwiązanie Tensor odkształcenia można przedstawić w postaci macierzy:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

2. STAN ODKSZTAŁCENIA

12

0 4 2  e = 2 0 1 [‰].  0 1 − 1 Największe odkształcenie liniowe to największe odkształcenie główne εI. Do obliczenia wartości głównych służy równanie charakterystyczne (por. teoria stanu naprężenia − p. 1.6, wzór (1.19)):

ε 3 − I1ε 2 + I 2ε − I 3 = 0, gdzie I1, I2, I3 oznaczają niezmienniki tensora odkształcenia: ∆dV = 4 + 0 − 1 = 3 ‰, dV 0 1 4 0 4 2 2 + + = −1 − 4 − 4 = −9 [‰] , I2 = 1 −1 0 −1 2 0 I1 = ε kk = ε11 + ε 22 + ε 33 =

4 2 I3 = 2 0

0

3

1 = 4 ⋅ 0 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 ⋅ 4 − ( −1) ⋅ 2 ⋅ 2 = 0 [‰] .

0 1 −1 Poszukiwana wartość εI jest największym pierwiastkiem równania:

ε 3 − 3ε 2 − 9ε − 0 = 0, skąd

ε (ε 2 − 3ε − 9) = 0 .

Jeden z pierwiastków ε = ε3 = 0, a pozostałe wyliczymy z równania kwadratowego:

ε 2 − 3ε − 9 = 0, 3 ± 32 + 4 ⋅ 9 = 1,5 ± 3,35, 2 ε1 = 1,5 + 3,35 = 4,85 ; ε 2 = 1,5 − 3,35 = −1,85.

ε1,2 =

Uporządkowane wartości główne są następujące:

εI = ε1 = 4,85 ‰, εII = ε3 = 0, εIII = ε2 = −1,85‰, 1 4,85 − ( −1,85) ε −ε = 3,35 ‰. γ max = I III = 2 2 2 Zmiana objętości wynosi więc 3‰, maksymalne odkształcenie liniowe εI = 4,85‰, a największy całkowity kąt odkształcenia γmax = 2·0,00335·180°/π = 0,384°.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ

3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ

1

Í Ï Î

W rozdziale 1. omówiliśmy teorię stanu naprężenia. Wprowadziliśmy tam pojęcia sił powierzchniowych i masowych, tworzących obciążenie ciała. W dalszym ciągu zdefiniowaliśmy wektor i tensor naprężenia oraz wyprowadziliśmy równania różniczkowe równowagi łączące tensor naprężenia i wektor naprężenia lub siły powierzchniowe. Na podstawie równań równowagi momentów wykazaliśmy symetrię tensora naprężenia. W rozdziale 2. omówiliśmy teorię stanu odkształcenia. Zdefiniowaliśmy w nim wektor przemieszczenia i tensor odkształcenia. Wyprowadziliśmy również związki geometryczne (kinematyczne) łączące wektor przemieszczenia z tensorem odkształcenia. Na koniec dodajmy, że wprowadzenie opisanych wyżej pojęć dotyczących stanów naprężenia i odkształcenia było możliwe dzięki założeniu ciągłości materii tworzących badane ciała. Obecnie pokażemy, że stany naprężenia i obciążeń oraz odkształcenia i przemieszczenia są związane pewną bardzo ogólną zasadą, niezależną od rodzaju materiału. Zasada ta ma podstawowe znaczenie w mechanice ciał sztywnych i ciał odkształcalnych. Wyjątkowa doniosłość zasady prac wirtualnych jest głównym powodem wydzielenia omawianej problematyki w osobnym rozdziale. Dalsze rozważania dotyczące szczegółów wyprowadzenia będą prowadzone z założeniem małych deformacji, tzn. przy akceptacji liniowych związków kinematycznych (geometrycznych) definiujących tensor odkształcenia Cauchy’ego. Spośród dowolnych układów funkcji σij (x1, x2, x3) opisujących stan naprężenia można wyodrębnić takie, które spełniają równania różniczkowe równowagi we wnętrzu ciała (σji,j +Gi = 0) oraz naprężeniowe warunki brzegowe na powierzchni ograniczającej ciało (σ ji n j = pi( n) ). Układ naprężeń spełniający te wymagania nazywamy układem statycznie dopuszczalnym. Istotne jest to, że statycznie dopuszczalnych układów σij jest nieskończenie wiele, gdyż do określenia sześciu funkcji σij(x1, x2, x3) dysponujemy tylko trzema równaniami różniczkowymi równowagi wewnętrznej. Pole odkształceń jest kinematycznie dopuszczalne, jeśli spełnia ono związki kinematyczne εij = (ui , j + u j ,i ) / 2 , a przemieszczenia ui(x1, x2, x3) spełniają kinematyczne warunki brzegowe. Rozważmy obecnie ciało o objętości V ograniczone zamkniętą powierzchnią S. Obliczmy pracę określoną wyrażeniem: (a)

∫

∫

∫

∫

I = p ⋅u dS + G ⋅ u dV = pi ui dS + Gi ui dV , S

V

S

V

przy czym wielkości εij(x1, x2, x3) oraz ui(x1, x2, x3) tworzą dowolny układ kinematycznie dopuszczalny, a σij(x1, x2, x3) jest dowolnym statycznie dopuszczalnym polem naprężeń, będącym w równowadze z siłami powierzchniowymi pi(x1, x2, x3) oraz masowymi Gi(x1, x2, x3). Gęstość sił powierzchniowych pi jest wektorem naprężenia na powierzchni ciała. Dla współrzędnych pi obowiązują więc zależności (1.7): pi = σ ji ⋅ n j ,

(b)

gdzie nj (j = 1, 2, 3) są kosinusami kierunkowymi normalnych do powierzchni S0. Pierwszą z całek występujących we wzorze (a) po wykorzystaniu (b) można zapisać w postaci:

(c)

∫ pi ui dS = ∫ (σ ji ui )n j dS = ∫ A j n j dS , S

S

S

gdzie (d)

A j = σ ji ui

i oznacza współrzędne pewnego wektora, określonego na powierzchni ciała. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ

2

Wykorzystamy obecnie znany wzór Greena-Gaussa-Ostrogradskiego na zamianę całki powierzchniowej na objętościową:

∫ A j n j dS = ∫ A j,j dV ,

(e)

S

V

skąd

∫ (σ ji ui )n j dS = ∫ (σ ji ui ), j dV = ∫ (σ ji,j ui + σ ji ui,j )dV .

(f)

S

V

V

Uzyskany rezultat podstawimy do zależności (a): (g)

I=

∫ pi ui dS + ∫ Gi ui dV = ∫ [(σ ji , j + Gi )ui ]dV + ∫ σ ji ui,j dV . S

V

V

V

Wyrażenie w nawiasie σ ji , j + Gi na podstawie równań różniczkowych równowagi (1.9) jest równe zeru. Różna od zera pozostaje zatem tylko druga całka objętościowa. Przekształcimy ją następująco: (h)

∫ σ ji ui , j dV = ∫ σ ji (εij + ωij )dV = ∫ σ ijεij dV .

V

V

V

We wzorze (h) wykorzystaliśmy symetrię tensora naprężenia σij = σji, rozkład gradientu przemieszczeń na tensor odkształcenia i tensor obrotu oraz fakt, że iloczyn tensora symetrycznego i skośnie symetrycznego jest równy zeru, tzn. σijωij = 0 Po podstawieniu wzoru (h) do zależności (a) otrzymujemy poszukiwane równanie pracy wirtualnej, stanowiące esencję zasady pracy wirtualnej:

∫ pi ui dS + ∫ Gi ui dV = ∫ σ ijεij dV . S

V

(3.1)

V

Równanie (3.1) jest bardzo ogólne, gdyż pomiędzy wielkościami statycznymi i kinematycznymi nie musi zachodzić żaden związek przyczynowy. Od pól naprężeń i przemieszczeń wymagamy jedynie, by były odpowiednio statycznie i kinematycznie dopuszczalne. Przy wyborze tych pól mamy zatem bardzo dużo swobody. Zazwyczaj jest tak, że jedno z omawianych pól jest rzeczywiste, a drugie fikcyjne (wymyślone, uprzednio przygotowane), czyli wirtualne. Stąd właśnie pochodzi nazwa zasady. Można przyjąć, że wielkości statyczne pi, Gij oraz σij są wielkościami rzeczywistymi, a wielkości ui oraz εij tworzą pewien dowolnie obrany (wirtualny) układ kinematycznie dopuszczalny. Równanie (3.1) odnosi się wówczas do tzw. wirtualnego stanu przemieszczeń i jest pewną kombinacją równań równowagi służącą do wyznaczania rzeczywistych wielkości statycznych. Wówczas równanie pracy wirtualnej można zapisać w postaci:

∫ pi ui dS + ∫ Gi ui dV = ∫ σijεij dV , S

V

(3.2)

V

gdzie wielkości wirtualne zaznaczono nadkreśleniem. Jeżeli z kolei wielkości kinematyczne ui oraz εij są rzeczywiste, a wielkości statyczne pi, Gi oraz σij tworzą pewien dowolnie przyjęty (wirtualny) układ statycznie dopuszczalny, to równanie (3.1) odnosi się do tzw. wirtualnego stanu naprężeń i służy zazwyczaj do obliczania rzeczywistych wielkości kinematycznych. Wtedy zasadę prac wirtualnych można zapisać następująco: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ

∫ pi ui dS + ∫ Gi ui dV = ∫ σijεij dV . S

V

3

(3.3)

V

Równanie (3.1) może, rzecz jasna, zawierać wyłącznie wielkości rzeczywiste, tzn. naprężenia, przemieszczenia i odkształcenia wywołane przez działanie sił powierzchniowych i masowych. Odpowiada to twierdzeniu Clapeyrona, które będzie przedstawione w rozdziale 6. W końcu oba pola kinematyczne i statyczne, mogą być wirtualne. Przydatność takiej postaci zasady pracy wirtualnej wydaje się jednak znikoma. Podkreślić trzeba raz jeszcze, że postać równania (3.1) jest ważna dla ośrodka ciągłego uformowanego z dowolnego materiału, wykazującego małe odkształcenia i małe przemieszczenia. W przypadku dużych deformacji równanie pracy wirtualnej ma nieco inną postać, uwzględniającą inne miary odkształceń i naprężeń. Zasada prac wirtualnych jest także słuszna, jeżeli zamiast wielkości skończonych wstawimy ich przyrosty lub prędkości, spełniające wymagania dopuszczalności. Na przykład w mechanice ciał plastycznych bardzo użyteczne jest równanie mocy wirtualnej, w którym występują rzeczywiste wielkości statyczne i wirtualne pola prędkości przemieszczeń u&i oraz prędkości odkształceń ε&ij :

∫ pi u&i dS + ∫ Gi u&i dV = ∫ σijε&ij dV . S

V

(3.4)

V

Dla układów ciał sztywnych, których odkształcenia są z założenia równe zeru, prawa strona równania (3.1) znika, co prowadzi do zależności:

∫ pi ui dS + ∫ Gi ui dV = 0

(3.5)

∑ Pk ∆k = 0 .

(3.6)

S

lub

V

k

Wzory (3.5) i (3.6) obowiązują jednak tylko dla bardzo małych przemieszczeń. Iloczyn Pk i ∆k ma sens pewnej pracy (siła × przemieszczenie liniowe lub moment × kąt obrotu). Symbolem Pk oznaczono uogólnione siły wypadkowe, tzn. siły skupione lub momenty statyczne sił, a symbol ∆k oznacza rzut wektora przemieszczenia liniowego (lub kątowego) na kierunek danego wektora wypadkowego Pk . Bardziej ogólna jest postać, w której przemieszczenia są zastąpione prędkościami przemieszczeń. Wówczas przemieszczenia mogą być dowolnie duże. W tym przypadku

∫ pi u&i dS0 + ∫ Gi u&i dV0 = 0 .

S0

lub

(3.7)

V0

∑ Pk ∆&k = 0 .

(3.8)

k

Iloczyn Pk i ∆&k ma teraz sens pewnej mocy (siła × prędkość liniowa lub moment × prędkość kąta obrotu). Symbol ∆& oznacza rzuty wektorów prędkości liniowych (lub kątowych) na kierunek linii działania k

siły Pk. Zakres zastosowań zasady prac wirtualnych jest niezwykle duży. Przekonamy się o tym, studiując dalsze rozdziały.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

1

Í Ï Î

4.

PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZANYCH 2.1. WPROWADZENIE W dotychczasowych rozważaniach dotyczących stanów naprężenia i odkształcenia nie precyzowaliśmy rodzaju materiału, z którego jest wykonane ciało odkształcalne. Jedynymi założeniami, które przyjęliśmy, były ciągłość rozkładu materii oraz małe przemieszczenia i odkształcenia. Równania równowagi i równania geometryczne są słuszne dla każdego ośrodka ciągłego. Równania te nie wystarczają jednak do rozwiązywania zadań mechaniki ośrodka ciągłego. Możliwe jest to dopiero wówczas, gdy znamy prawo fizyczne określające zależności między naprężeniami i odkształceniami. Zależności te nazywamy także związkami fizycznymi lub równaniami konstytutywnymi. Konkretna postać prawa fizycznego zależy od rodzaju materiału. Precyzuje się ją metodą teoretyczno-doświadczalną. Prawidłowo sformułowane prawo fizyczne musi spełniać dodatkowe ograniczenia wynikające z własności funkcji tensorowych oraz zasady zachowania energii ujętej w kategoriach termodynamiki. W ogólnym przypadku prawo fizyczne dla dowolnego ośrodka można przedstawić w postaci: R(Ps, Qe,T) = 0,

(4.1)

gdzie P i Q oznaczają pewne operatory różniczkowe względem czasu t, T − temperaturę, s i e− tensory naprężenia i odkształcenia. W przypadku gdy operatory P i Q są liniowe, wyrażają one następujące operacje: P=

i=k

∑ i =0

ai

di

, dt i

Q=

i =l

∑ i =0

bi

di dt i

( k , l = 0, 1, 2,...),

przy czym ai oraz bi oznaczają w ogólności zmienne w czasie i przestrzeni współ-czynniki materiałowe. Zależność (4.1) jest zatem bardzo skomplikowana. Najprostszą postać tej zależności po pominięciu wpływu czasu i temperatury można zapisać następująco: s = s( e) .

(4.1a)

Celem badań doświadczalnych jest nie tylko ustalenie postaci równań konstytutywnych, ale i kryteriów zniszczenia materiału. W dalszym ciągu podamy najważniejsze spostrzeżenia zebrane w trakcie wieloletnich badań doświadczalnych różnych materiałów.

4.2. PRÓBA ROZCIĄGANIA Próba rozciągania jest podstawowym sposobem określania własności mechanicznych metali. Największy problem doświadczalny polega na tym, że mierzalne są tylko przemieszczenia na powierzchni próbki i całkowita siła zewnętrzna obciążająca próbkę. Dlatego wymiary, kształt próbki i sposób jej obciążania dobiera się tak, by można było założyć, że stany naprężenia i odkształcenia są jednorodne (tzn. jednakowe) przynajmniej w pewnej części, tzw. części pomiarowej. Chodzi więc o to, by w każdym przekroju tej części próbki i w każdym punkcie przekroju (na powierzchni i wewnątrz próbki) występowało takie samo naprężenie i takie samo odkształcenie. Podczas rozciągania warunki te są spełnione w cienkich prętach o stałym przekroju. Podobne warunki występują w części pomiarowej próbki rozciąganej, przedstawionej na rys. 4.1. Powiększenie przekroju przy końcach próbki jest niezbędne do właściwego przekazania sił w uchwytach zrywarki.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

2

Rys. 4.1

W części pomiarowej (rys. 4.1c) w każdym punkcie przekroju α − α możemy przyjąć, że σ11 = σ i σ12 = σ13 = 0, a ponadto, że σ22 = σ33 = σ23 = 0. Wobec powyższego współrzędną σ11 wyznacza się przez podzielenie wypadkowej siły zewnętrznej P przez początkowe pole przekroju próbki w części pomiarowej A0: P σ 11 = = σ. (4.2) A0 Ponieważ tylko jedna współrzędna tensora naprężenia σ11 jest różna od zera, osie układu x1, x2, x3 są osiami głównymi naprężeń. Analizując przemieszczenia, przyjmujemy hipotezę płaskich przekrojów, tzn. zakładamy, że każdy przekrój płaski przed odkształceniem (α − α) pozostaje płaski po odkształceniu (α' − α'). Oznacza to, że w każdym punkcie przekroju występuje identyczne przemieszczenie u1 (por. rys. 4.2). Hipotezę płaskich przekrojów potwierdzają liczne badania doświadczalne.

Rys. 4.2

W trakcie próby rozciągania część pomiarowa próbki ulega wydłużeniu i przewężeniu poprzecznemu (przy ściskaniu*) obserwujemy odpowiednio skrócenie i poszerzenie poprzeczne). Dowolnie obrany we wnętrzu próbki punkt B przechodzi w punkt b (rys. 4.2). Ponieważ próbka w przyjętym układzie współrzędnych nie wykazuje zmiany kątów, tj. ε23 = ε31 = ε12 = 0, więc osie układu x1, x2, x3 są głównymi osiami odkształcenia. Jednorodność odkształceń wynika z intuicyjnego założenia, że każdy dowolnie usytuowany elementarny prostopadłościan o wymiarach dx1, dx2, dx3 podlega identycznej deformacji (rys. 4.3).

*)

Do badań ściskania stosuje się krótkie próbki pryzmatyczne (l0 ≈ d ÷2d) i środki zmniejszające siły tarcia na płaszczyznach czołowych (smar, wytoczenie stożkowe o kącie nachylenia równym kątowi tarcia i in.). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

3

Rys. 4.3

Jeżeli ponadto gradienty przemieszczeń są małe, to możemy napisać, że

ε11 =

∂u1 = ε = const , ∂x1

ε 22 =

∂u2 ∂u = ε 33 = 3 = const < 0. ∂x2 ∂x3

(4.3)

l0

∫

Ze wzorów (4.3) wynika, że du1=ε·dx1, czyli ∆l = u1 (l0 ) = ε dx1 = ε ⋅ l0 , skąd 0

∆l . ε = (4.4) l0 Podczas próby rozciągania i ściskania, wykonując pomiar siły zewnętrznej P (np. za pomocą manometru lub wagi) oraz pomiary średnicy próbki, długości pomiarowej l0 i wydłużenia ∆l (np. za pomocą śruby mikrometrycznej i czujnika zegarowego), za pomocą wzorów (4.2) i (4.4) możemy w każdym momencie obliczyć naprężenie σ i odkształcenie ε. Typowy wykres zależności przy rozciąganiu i ściskaniu przedstawia rys. 4.4.

Rys. 4.4

Na wykresie rozciągania można wyróżnić kilka charakterystycznych punktów, które omówimy niżej. Granica proporcjonalności σH (punkt A) jest największą wartością naprężenia, przy której zależność σ (ε) jest jeszcze liniowa. Granica sprężystości σS (punkt B) jest największą wartością naprężenia, dla której krzywa obciążenia pokrywa się z krzywą odciążenia (por. rys. 4.5a). Pokrywanie się tych krzywych jest cechą tzw. procesów sprężystych.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

4

Rys. 4.5

Granica plastyczności σP (odcinek C'−D) jest to wartość naprężenia, przy którym występują znaczne odkształcenia trwałe bez wzrostu siły; materiał płynie. Górna granica plastyczności σ P (punkt C). Odpowiada ona chwilowemu wzrostowi naprężenia zanim jeszcze występuje płynięcie plastyczne materiału. W praktyce granica proporcjonalności, granica sprężystości i granica plastyczności leżą bardzo blisko siebie. Można więc przyjąć, że: σ H ≈ σ S ≈ σ P i ε H ≈ εS ≈ ε P . Wytrzymałość doraźna σw (punkt E) jest równa maksymalnej wartości naprężenia na wykresie σ (ε). Od tego punktu odkształcenia i naprężenia w próbce przestają być jednorodne, tworzy się wyraźne miejscowe przewężenie, tzw. szyjka (por. rys. 4.6). Dalszy przyrost odkształceń następuje przy malejącej sile rozciągającej. Jeśli jednak uwzględnimy fakt, że pole przekroju próbki ulega wyraźnemu zmniejszeniu*), to okazuje się, iż rzeczywiste naprężenie, wyliczone jako stosunek siły P do najmniejszego pola przekroju szyjki A (σa = P/A), począwszy od punktu E będzie nadal rosło (linia przerywana EG). Odkształcenie graniczne przy zerwaniu εgr (punkt F); próbka ulega zerwaniu w tym przekroju, gdzie powstaje szyjka. Odkształcenie graniczne dla stali budowlanej osiąga wartość około 20 %.

Rys. 4.6

Z wykresu podanego na rys. 4.4 widzimy, że przy niewielkich odkształceniach (ε ≤ εH) zależność σ(ε) jest liniowa. Własność tę wyraża tzw. prawo Hooke'a (1676 rok): (4.5) σ = E·ε , gdzie stałą materiałową E nazywamy modułem sprężystości lub modułem Younga. Moduł Younga jest miarą sztywności materiału (tzn. kąta nachylenia wykresu σ−ε). W procesie obciążenia odnotowujemy również zmiany przekroju poprzecznego próbki. Podczas rozciągania wymiary przekroju poprzecznego ulegają zmniejszeniu, a podczas ściskania zwiększeniu. Występują zatem odkształcenia poprzeczne ε22 i ε33 , których średnie wartości wynoszą ∆R/R. W zakresie liniowo-sprężystym (odcinek OA na rys. 4.4) stosunek odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego ε11 jest stały, czyli:

ε 22 ε33 = = −ν = const , ε11 ε11

ε11 = ε ,

ε ≤ εH .

(4.6)

*)

Zmniejszenie przekroju próbki występuje już na początku procesu rozciągania. Przewężenie to jest jednak bardzo małe i ma charakter sprężysty, tj. znika po usunięciu obciążenia. Gwoli zachowania ścisłości naprężenie σ= P/A0 nazywamy naprężeniem nominalnym, a naprężenie σrz =P/A (A oznacza tutaj aktualny przekrój próbki) nazywamy naprężeniem rzeczywistym. Rozróżnienie to jest konieczne w odniesieniu do materiałów wykazujących duże odkształcenia. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

5

Bezwymiarową stałą materiałową v nazywamy współczynnikiem Poissona, a współczynnik Poissona i moduł Younga nazywamy stałymi sprężystości. Przechodząc do bardziej zaawansowanych stanów obciążenia, zwróćmy uwagę na wielkość Et = dσ / dε , zwaną modułem wzmocnienia lub modułem stycznym. Jeśli w procesie rozciągania przejdziemy do pewnego punktu M (lub M'), w którym |ε| > εS, a następnie rozpoczniemy odciążanie, to okaże się, że krzywa odciążenia MN (lub M'N') jest w przybliżeniu linią prostą, równoległą do linii OA odpowiadającej obciążeniu w zakresie liniowo-sprężystym (w rzeczywistości linia ta nieco odbiega od linii (p) prostej − por. rys. 4.5b). Po całkowitym odciążeniu w próbce pozostaje pewne odkształcenie trwałe ε (p)´ równe odcinkowi ON (lub ε , odcinek ON'). Jeżeli teraz ponownie obciążymy próbkę, to zależność σ(ε) będzie liniowa aż do wartości σ = σM, a dalszy wykres obciążenia pokryje się w przybliżeniu z wykresem dla próbki nieodciążonej (rzeczywisty przebieg tej krzywej podano na rys. 4.5b −linia przerywana). Warto zwrócić uwagę, że w trakcie ponownego obciążania próbka do punktu M zachowuje się liniowosprężyście. Innymi słowy, odciążenie próbki po przekroczeniu granicy plastyczności powoduje niejako zwiększenie granicy sprężystości. W obszarze odkształceń sprężysto-plastycznych całkowite odkształcenie można wyrazić wzorem: σ gdzie (4.7) ε = ε ( s) + ε ( p ) , ε ( s) = . E czyli σ ε = + ε ( p ) , przy czym ε ( p ) = 0, jeśli |ε| ≤ εp ≈ εH. (4.8) E Ze względu na to, że odkształcenia odpowiadające punktowi D są już bardzo duże w porównaniu z odkształceniami czysto sprężystymi, odpowiadającymi punktowi B, wykres σ (ε) z rys. 4.4 bardzo często przybliża się wykresem podanym na rys. 4.7a. Materiał odpowiadający temu wykresowi nazywamy sprężysto-idealnie plastycznym. Wykres rozciągania podany na rys. 4.4 jest typowy dla miękkiej stali budowlanej. Inne rodzaje materiałów, np. stopy aluminium, stale węglowe o wysokiej wytrzymałości mają wykresy zbliżone do rys. 4.5b. W takich przypadkach nie obserwujemy wyraźnej granicy plastyczności. Wprowadzamy wówczas tzw. umowne granice sprężystości i plastyczności. Umowna granica sprężystości odpowiada naprę(p) żeniu, dla którego trwałe odkształcenie plastyczne ε (por. rys. 4.5b) osiąga pewną arbitralnie przyjętą dostatecznie małą wartość, np. 0,05%. Umowna granica plastyczności odpowiada z kolei stosunkowo (p) dużej wartości ε np. 0,2%. Umowne granice w takich przypadkach oznaczamy odpowiednio symbolami σ0,05 oraz σ0,2. Uproszczoną postać zależności σ (ε) z rys. 4.5b przedstawia rys. 4.7b. Taki idealny materiał nazywamy materiałem sprężysto-plastycznym ze wzmocnieniem liniowym.

Rys. 4.7

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

6

Na rysunku 4.8 podano wykresy zależności σ (ε) dla kilku różnych materiałów używanych w budownictwie.

Rys. 4.8

Z analizy próby rozciągania i ściskania różnych materiałów wynika, że podczas ściskania prawie każdy materiał wykazuje znaczne odkształcenia plastyczne. Podczas rozciąganiu ta prawidłowość nie zachodzi. W zależności od tego, jak zachowują się materiały w próbie rozciągania, rozróżniamy materiały ciągliwe (wykazujące duże odkształcenia plastyczne) i kruche, które nie mają prawie żadnych własności plastycznych podczas rozciągania (por. rys. 4.9).

Rys. 4.9

4.3. ZJAWISKO BAUSCHINGERA Omawiane zjawisko występuje w materiałach sprężysto-plastycznych ze wzmocnieniem. W celu uchwycenia jego istoty rozważymy model idealny takiego materiału, podany na rys. 4.7b. Jeżeli po odciążeniu od pewnej wartości naprężenia większego od granicy plastyczności obciążymy próbkę siłą przeciwnego znaku, to odkształcenia plastyczne pojawią się przy wartości mniejszej od początkowej granicy plastyczności σp. Takie zmniejszenie granicy plastyczności w stosunku do obciążenia przeciwnego znaku nazywa się zjawiskiem Bauschingera (por. rys. 4.10). Innymi słowy, zwiększenie granicy plastyczności w jednym kierunku działania siły zmiensza granicę plastyczności w kierunku przeciwnym, przy czym suma granic plastyczności podczas rozciągania i ściskania w przybliżeniu pozostaje stała. Na rysunku 4.10 pokazano, jak realizuje się pewien zamknięty cykl obciążeń materiału wykazującego zjawisko Bauschingera.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

Rys. 4.10

7

Rys. 4.11

4.4. HISTEREZA Przy omawianiu wykresu rozciągania mówiliśmy o tym, że krzywa odciążenia w rzeczywistości nie pokrywa się ściśle z krzywą ponownego obciążenia (rys. 4.5b). Krzywe odciążenia i obciążenia tworzą pętlę, którą nazywamy pętlą histerezy. Zjawisko histerezy (tzn. niepokrywanie się krzywych odciążenia i obciążenia) występuje nawet w obszarze, który uważamy za sprężysty, z tym jednak, że jest ono niezwykle słabo widoczne. Wynika z tego, że realne materiały nigdy nie są idealnie sprężyste, nawet przy bardzo małych odkształceniach. Na rysunku 4.11 przedstawiono zjawisko histerezy w pewnym powiększeniu, by dobrze pokazać szczegóły przebiegu pętli histerezy.

4.5. WPŁYW PRĘDKOŚCI ODKSZTAŁCENIA Jeżeli wykreślimy zależność σ (ε) dla różnych ustalonych prędkości odkształcenia, to dla tego samego materiału otrzymamy różne wykresy dla różnych prędkości. Zjawisko to ilustruje rys. 4.12, na którym symbolem t oznaczono czas, a symbolem ε& prędkość odkształcania próbek w próbie rozciągania. Granica plastyczności wzrasta bardzo wyraźnie ze wzrostem prędkości odkształcenia, przy czym odkształcenie graniczne przy zerwaniu maleje. W zwykłych próbach rozciągania prędkość odkształcenia −4

−1

4

wynosi 10 ÷ 10 1/s. Większe prędkości uzyskuje się przy zastosowaniu młotów (do 10 1/s). Normy badań materiałów określają ściśle prędkości odkształcenia (lub obciążania).

Rys. 4.12

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

8

4.6. PEŁZANIE I RELAKSACJA*) Pełzaniem materiału nazywamy zmianę odkształceń w czasie przy stałym naprężeniu, relaksacją − zmianę naprężeń w czasie przy stałym odkształceniu.

t1+ pręt obciążono σ0. Następnie, w − chwili t = t2 , pręt odciążono. Opisany program obciążenia przedstawia wykres σ (t). Obciążeniu pręta w Rysunek 4.13a ilustruje zachowanie się pręta wykazującego pełzanie. W chwili t = stałą w czasie siłą rozciągającą, odpowiadającą naprężeniu normalnemu o wartości

chwili t = t1+ towarzyszy wydłużenie doraźne, odpowiadające odkształceniu ε0. W miarę upływu czasu, mimo że naprężenie jest stałe i wynosi σ0, obserwujemy przyrost odkształceń ∆ε(t); występuje pełzanie pręta. Gdyby nie usunięto siły rozciągającej, całkowite odkształcenie o nieskończenie długim czasie dążyłoby asymptotyczne do wartości ε∞. Jeśli jednak odciążymy pręt w chwili t = t2, to nastąpi doraźne skrócenie pręta, a w miarę upływu czasu dalszy spadek odkształceń. Dla t > t2 ponownie obserwujemy proces pełzania, gdyż następuje zmiana odkształceń przy stałym naprężeniu, w tym przypadku równym zeru (σ (t) = 0). Dla t → ∞ odkształcenie pręta dąży asymptotycznie do pewnej trwałej wartości na ogół różnej od zera. Opisany przebieg odkształceń w funkcji czasu jest zilustrowany wykresem ε(t) na rys. 4.13a.

Rys. 4.13

*)

Problemy te będą omówione szczegółowo w p. 18.5.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

9

Rysunek 4.13b obrazuje zachowanie się pręta wykazującego relaksację. W chwili t = t1+ wydłużono pręt o wartość ∆l, odpowiadającą odkształceniu ε0 = ∆l/l. Następnie, w chwili t = t2, przywrócono prętowi jego pierwotną długość l, czyli doprowadzono do stanu, w którym ε = 0. Opisany program odkształcenia pręta objaśnia wykres ε(t). Wydłużenie pręta w chwili t = t1 spowodowało wystąpienie naprężenia doraźnego σ0. W miarę upływu czasu, mimo że odkształcenie pręta jest stałe i wynosi ε0, obserwujemy spadek naprężenia ∆σ (t); występuje zjawisko relaksacji. W celu przywrócenia prętowi jego pierwotnej długości w chwili t = t2 trzeba wymusić skrócenie pręta. Towarzyszy temu skok wartości naprężeń i wystąpienie naprężeń ściskających. W miarę upływu czasu odnotowujemy wzrost naprężeń, mimo że odkształcenie ma wartość stałą, równą zeru. Ponownie obserwujemy więc zjawisko relaksacji. Dla t →∞ naprężenie w pręcie dąży asymptotycznie do pewnej wartości trwałej, na ogół różnej od zera. Opisany przebieg zmian naprężenia normalnego w funkcji czasu ilustruje wykres σ (t). Na wykresie tym linia σ = σ∞ jest asymptotą, do której dążą naprężenia, gdy rezygnujemy z przywrócenia prętowi jego pierwotnej długości. Zjawiska pełzania i relaksacji obserwujemy we wszystkich materiałach w większym lub mniejszym stopniu. Szczególnie jaskrawo zjawiska te występują w betonie, tworzywach sztucznych i gruntach. W metalach intensywność pełzania i relaksacji rośnie w miarę wzrostu temperatury. Warto dodać, że pełzanie i relaksację obserwuje się przy naprężeniach i odkształceniach mniejszych od wartości plastycznych, tzn. przy σ0 < σP i ε0 < εP.

4.7. WYTRZYMAŁOŚĆ DŁUGOTRWAŁA Podczas długotrwałych prób rozciągania lub ściskania próbek znajdujących się w stanie pełzania wytrzymałość materiału jest mniejsza od wytrzymałości doraźnej (krótkotrwałej). Fakt ten, stwierdzony doświadczalnie, jest zgodny z podanymi wcześniej rezultatami badań wpływu prędkości odkształcenia na wytrzymałość materiału (por. p. 4.5). Wytrzymałość długotrwałą σt definiuje się jako naprężenie niszczące przy działaniu obciążenia w przeciągu określonego czasu. Wartość stosunku wytrzymałości długotrwałej do wytrzymałości doraźnej zależy w istotny sposób od rodzaju materiału. Na przykład wytrzymałość długotrwała betonu rozumiana jako niszczące naprężenie ściskające dla nieskończenie długiego czasu działania obciążenia, stanowi około 90% wytrzymałości doraźnej (σ∞ ≈ 0,9σw). Wytrzymałość długotrwałą metali uzależnia się nie tylko od czasu działania obciążenia, ale również od temperatury, której wzrost powoduje wyraźne zmniejszenie naprężenia niszczącego. Dla temperatur pokojowych i nieskończenie długiego czasu działania obciążenia zerwanie próbki następuje przy naprężeniu σ∞ ≈ (0,6 ÷ 0,8) σw.

4.7. WPŁYW CZYNNIKÓW ZEWNĘTRZNYCH 4.8.1. Temperatura W zależności od temperatury (równej dla całej próbki) wytrzymałość doraźna σw zmienia się w dość istotny sposób. W zakresie temperatur dodatnich stal charakteryzuje się największą wytrzymałością dla temperatury 200°÷ 300°C. W miarę obniżania się temperatury poniżej 0°C wytrzymałość doraźna rośnie (por. rys. 4.14). Podobnie zachowuje się granica plastyczności, a wydłużenie graniczne wzrasta z temperaturą. Należy podkreślić, że dla stali zwykłych od temperatury 400°÷ 500°C silnie wzrasta efekt pełzania, a granica plastyczności i moduł Younga znacznie maleją. Nierównomierny rozkład temperatur w materiale z reguły zmniejsza wytrzymałość, powstają dodatkowe naprężenia, rozwija się korozja materiału. Temperatura wpływa również na deformacje ciała. Wywołuje ona zazwyczaj zmianę objętości, a odpowiednie współrzędne tensora odkształcenia w materiale termicznie izotropowym określa wzór:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

εij( T ) = α T ⋅ T ⋅ δij ,

10

(4.9)

gdzie αT jest współczynnikiem rozszerzalności termicznej, a T przyrostem temperatury.

Rys. 4.14

4.8.2. Promieniowanie jądrowe W zależności od odporności na wpływ promieniowania rozróżniamy trzy zasadnicze grupy materiałów: metale, materiały ceramiczne i organiczne. Najbardziej odporne na promieniowanie neutronowe są metale. Ogólnie biorąc obserwuje się znaczny wzrost granicy plastyczności i wytrzymałości na rozciąganie, którym towarzyszy spadek ciągliwości. Zmiany tych własności dla stopu aluminium ilustruje rys. 4.15. Materiały ceramiczne, podobnie jak metale, kruszeją przy jednoczesnym wzroście wytrzymałości. Najbardziej wrażliwe na promieniowanie są materiały organiczne, takie jak tworzywa sztuczne, kauczuk i inne polimery niekrystaliczne. Niektóre polimery stają się bardzo kruche (np. kauczuk naturalny), inne zaś stają się miękkie i płynne (np. kauczuk butylowy). Zbrojone tworzywa sztuczne, takie jak żywice epoksydowe wzmocnione szkłem i prasowane żywice fenolowe, wykazują z kolei bardzo dobrą odporność na promieniowanie.

Rys. 4.15

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

11

4.9. WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Wytrzymałość przy obciążeniach okresowo zmiennych jest z reguły mniejsza od wytrzymałości doraźnej przy jednokrotnej próbie obciążenia. Problematykę tę omówimy na przykładzie badań metali.

Rys. 4.16

Obciążenie cykliczne pręta w przypadku działania sił osiowych charakteryzują dwa parametry: naprężenie maksymalne σmax i naprężenie minimalne σmin (rys. 4.16a). Okazuje się, że sposób przejścia między kolejnymi wartościami σmax i σmin nie ma istotnego wpływu na wytrzymałość próbki, jeśli przejście to jest monotoniczne. Stwierdzono również, że w dosyć znacznym zakresie (1÷200 Hz) wpływ prędkości zmian naprężenia można zaniedbać. Po wprowadzeniu tzw. współczynnika asymetrii r = σmin /σmax możemy w równorzędny sposób opisać dany cykl naprężenia parametrami σmax i r. Największe znaczenie praktyczne ma cykl symetryczny, dla którego r = −1. Cykl naprężenia można również przedstawić jako superpozycję stałego w czasie naprężenia średniego σm oraz amplitudy σa (por. rys. 4.16a):

σm = (σmax+ σmin)/2,

σa = (σmax − σmin)/2.

W badaniach zmęczeniowych stosuje się z reguły symetryczne cykle naprężenia. Dla danej próbki ustalamy wartość σmax i notujemy liczbę cykli N, przy której w tych warunkach następuje zniszczenie tej próbki. Różnym wartościom σmax odpowiadają różne liczby N. Z danych tych tworzymy wykres σmax(N), noszący nazwę krzywej Wöhlera (1870 rok). Krzywą tę przedstawia rys. 4.16b. Funkcja σmax(N) jest funkcją malejącą zmierzającą asymptotycznie do pewnej wartości zwanej trwałą wytrzymałością zmęczeniową σzm. Trwała wytrzymałość zmęczeniowa jest zatem największą wartością naprężenia σmax, którą przenosi materiał przy praktycznie nieskończonej liczbie cykli. Za taką liczbę uważa się 108 cykli. Wartości σmax(N) dla N < 108 określają tzw. ograniczoną wytrzymałość zmęczeniową, przy której próbka ulega zniszczeniu po skończonej liczbie cykli. Dla N = 1 naprężenie σmax jest oczywiście równe wytrzymałości doraźnej σw. Zakres od N = 1 do N = 104 odpowiada zniszczeniu niskocyklowemu, w którym naprężenia σmax przekraczają na ogół granicę plastyczności. Dla N > 104 naprężenia σmax(N) są z

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

12

reguły mniejsze od granicy plastyczności. Zniszczenie odpowiadające takiemu zakresowi liczby cykli nazywamy wysokocyklowym. Przy symetrycznych cyklach odkształceń plastycznych o stałej amplitudzie ∆ε(p) dla większości metali jest słuszny wzór Coffina (1959 rok): (4.10) 2∆ε (p) Nµ = εgr = const, gdzie N oznacza niszczącą liczbę cykli, εgr maksymalną wydłużalność materiału, µ stałą wynoszącą dla większości metali 0,5. Wzór Coffina obowiązuje również dla jednokrotnego rozciągnięcia materiału aż do zniszczenia, jeżeli przyjmiemy, że N = 0,25. Z badań niesymetrycznych cykli obciążeń wynika, że nałożenie dodatniej wartości σm na cykl symetryczny (tzn. dodanie stałego rozciągania) zmniejsza bezpieczną amplitudę σa . Przy ujemnych wartościach σm (tzn. dodanie stałego ściskania) obserwuje się zwiększenie bezpiecznej amplitudy σa. Opisane fakty ilustruje tzw. wykres Haigha (rys. 4.16c), w którym na skali odciętych odkłada się naprężenie średnie σm, a na skali rzędnych amplitudę naprężeń σa. Ponieważ naprężenie maksymalne σmax = σa + σm, więc punkt A na wykresie Haigha odpowiada cyklowi symetrycznemu (σm = 0), przy czym σa = σzm. W punkcie B, gdzie σa = 0, średnie stałe naprężenie jest równe doraźnej wytrzymałości materiału, czyli σm = σw. Z warunku, by naprężenie maksymalne σmax = σa + σm było nie większe od granicy plastyczności σP, otrzymujemy nierówność: σa + σm − σP ≤ 0 , wyznaczającą obszar czysto sprężystych deformacji próbki poddanej próbie zmęczeniowej. Granicę tego obszaru wyznacza prosta CD.

4.10. UWAGI O MECHANIZMACH ZNISZCZENIA MATERIAŁÓW W czasie próby rozciągania można zauważyć, że w chwili pojawienia się odkształceń plastycznych na powierzchni próbki występują cienkie prążki, a powierzchnia próbki staje się matowa. Prążki te nazywamy liniami Lüdersa. Linie Lüdersa są nachylone w stosunku do osi próbki pod kątem bliskim 45°, zgodnie z pochyleniem płaszczyzn ekstremalnych naprężeń stycznych. Schemat procesu plastycznego można sobie wyobrazić jako przesuwanie się (ślizganie) oddzielnych płytek nachylonych pod kątem 45° w stosunku do kierunku siły(por. rys. 4.17). Tego typu mechanizm nazywamy mechanizmem poślizgu. Zniszczenie poślizgowe bardzo wyraźnie widać podczas rozciągania monokryształów (por. np. Timoshenko [47], s. 384). Innego typu zniszczenie występuje np. podczas rozciągania kredy lub betonu. Zniszczenie ma tutaj charakter kruchy i występuje dlatego, że naprężenie normalne konieczne do rozdzielenia materiału jest znacznie mniejsze niż naprężenie konieczne do odkształcenia plastycznego (poślizgowego).

Rys. 4.17 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZLNYCH

13

Można więc stwierdzić, że jeżeli wytrzymałość na ścinanie jest większa niż wytrzymałość rozdzielcza, to materiał pęka w sposób kruchy lecz jeżeli wytrzymałość na ścinanie jest mniejsza niż wytrzymałość rozdzielcza, to materiał jest ciągliwy i odkształci się, zanim pęknie. Warto zwrócić uwagę, że kruche pęknięcia materiału są bardzo niebezpieczne, gdyż konstrukcja może ulec zniszczeniu bez widocznych uprzednio oznak (deformacji).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

1

Í Ï Î

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

5.1. ZWIĄZKI MIĘDZY ODKSZTAŁCENIAMI I GŁÓWNYMI NAPRĘŻENIAMI W każdym materiale konstrukcyjnym przy umiarkowanych wartościach naprężeń i odkształceń obserwujemy obszar, w którym podczas jednoosiowego rozciągania lub ściskania zależność σ(ε) jest linio− + . ≤ σ ≤ σH wa, a droga obciążenia pokrywa się z drogą odciążenia. Na rysunku 5.1a jest to obszar − σ H W obszarze tym ciało zachowuje się liniowo-sprężyście. Przyjęcie liniowej zależności σ(ε) jest najprostszym przybliżeniem stosowanym do opisu zachowania się konstrukcji pod obciążeniem.

Rys. 5.1

Niżej przedstawimy sposób budowy związków fizycznych dla ciał liniowo-sprężystych (rys. 5.1b) w ogólnym przypadku trójosiowego stanu naprężenia. Na wstępie przyjmiemy założenie polegające na tym, że kierunki głównych naprężeń i głównych odkształceń się pokrywają. Na rysunku 5.2 kierunki te odpowiadają osiom układu współrzędnych x1, x2, x3. Podczas jednoosiowego rozciągania (ściskania) odkształcenia liniowe w kierunku działania siły określa prawo Hooke'a (4.5): ε = σ / E , a odkształcenia poprzeczne opisuje wzór (4.6):

ε poprz = −ε podł ⋅ ν = −

σ ⋅ν. E

Fakty te wykorzystamy do budowy związków fizycznych w przypadku trójwymiarowym dla materiału izotropowego. Na rysunku 5.2 przedstawiono deformację elementarnego prostopadłościanu pod wpływem jednoczesnego działania trzech naprężeń głównych σ1, σ2, σ3. Każde z tych naprężeń działające z osobna powoduje odkształcenia podłużne (wzór 4.5) i poprzeczne (wzór 4.6). Ostateczne wartości odkształceń ε1, ε2 i ε3 można uważać za sumę efektów działania poszczególnych naprężeń głównych. W ten sposób uzyskano związki fizyczne (5.1). Przy budowie wzorów (5.1) przyjęliśmy zatem zasadę głoszącą, że ostateczny skutek działania kilku przyczyn jest równy sumie efektów działania każdej z przyczyn. Zasadę tę nazywamy zasadą superpozycji skutków. Zasięg jej stosowania jest jednak ograniczony. Zasada superpozycji obowiązuje bowiem tylko wówczas, gdy skutek jest liniową funkcją przyczyny (u nas: współrzędna tensora odkształcenia jest liniową funkcją współrzędnych tensora naprężenia).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

2

Rys. 5.2

1 σ1 E ν ε2 = − σ1 E ν ε3 = − σ1 E

ε1 = +

ν σ2 E 1 + σ2 E ν − σ2 E −

ν 1  σ3 = σ1 − ν (σ 2 + σ 3 )], [ E E  ν 1  − σ 3 = [σ 2 − ν (σ 1 + σ 3 )],  E E  1 1  + σ 3 = [σ 3 − ν (σ 1 + σ 2 )].  E E 

−

(5.1)

Równania (5.1), wiążące wartości główne tensorów odkształcenia i naprężenia, są podstawową formą związków fizycznych. Za pomocą tych równań w p. 5.2 wprowadzimy ogólniejszą postać równań fizycznych dla dowolnego układu współrzędnych.

5.2. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ IZOTROPOWYCH W dowolnym układzie osi współrzędnych stan naprężenia określa 9 składowych σij (rys. 5.3a). Na podstawie zasady superpozycji odkształcenia wywołane przez te składowe można uważać za sumę efektów działania naprężeń normalnych (rys. 5.3b) i naprężeń stycznych (rys. 5.3c), które z kolei składają się z trzech czystych ścinań w płaszczyznach (x1, x2), (x2, x3) i (x3, x1). Efekty działania naprężeń normalnych są opisane równaniami (5.1). Dla określenia wpływu naprężeń stycznych wystarczy analiza deformacji występujących podczas czystego ścinania.

Rys. 5.3

Rozważmy dla przykładu czyste ścinanie w płaszczyźnie (x1, x2) wywołane przez naprężenia σ12 i σ21. Stan czystego ścinania odpowiada − jak wiemy − działaniu naprężeń normalnych, σ11 ' ' = −σ 2 '2 ' = τ w układzie osi x1' , x2' obróconym o kąt 45° w stosunku do osi x1' , x2 (por. rys. 5.4), przy czym σ12 = σ 21 = τ . Osie x1' , x2' są osiami głównych naprężeń, dla których obowiązują wzory (5.1).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

3

Rys. 5.4

Mamy więc (a)

1+ ν σ11  '' −ν σ ⋅τ , ''= 2 '2 ' = ε11 Ε Ε Ε  1+ ν ε 2'2' = σ 2'2' − ν σ11 ⋅τ , ''=−  Ε Ε Ε

skąd widać, że

1+ ν ⋅τ . E Otrzymany wynik odpowiada odkształceniu czysto postaciowemu w układzie osi x1, x2 (patrz rys. 5.4), przy czym ε11 = ε22 = ε. Widzimy więc, że w układzie osi x1, x2 naprężenia styczne σ12 = σ21 = τ wywołują odkształcenia czysto postaciowe: 1+ν 1+ ν (b) ε12 = ε 21 = τ= σ 12 . E E Wzór (b) można zapisać jeszcze inaczej: σ (c) ε12 = 12 , 2G gdzie: E G= . (5.2) 2(1 + ν ) Współczynnik G nazywamy modułem ścinania, modułem odkształcenia czysto postaciowego lub modułem Kirchhoffa. Wzór (c) można łatwo uogólnić na pozostałe płaszczyzny układu przez zamianę wskaźników: σ σ ε 23 = 23 , ε31 = 31 . (d) 2G 2G Podsumowując dotychczasowe rozważania stwierdzamy, że ogólną postać związków fizycznych dla izotropowych ciał liniowo-sprężystych opisuje sześć następujących równań: 1  ε11 = [σ 11 − ν (σ 22 + σ 33 )] + (α T ⋅Τ ),  Ε  1 ε 22 = [σ 22 − ν (σ11 + σ 33 )] + (α T ⋅Τ ),  Ε (5.3)  1  ε 33 = [σ 33 − ν (σ11 + σ 22 ) ] + (α T ⋅Τ ).  Ε  σ σ σ ε12 = 12 , ε 23 = 23 , ε12 = 12 .  2G 2G 2G 

ε11' ' = −ε 2'2' = ε =

W równaniach (5.3) uwzględniono składniki wywołane zmianą temperatury. Składniki te − wobec przyjęcia izotropii termicznej materiału − występują tylko przy odkształceniach liniowych (por. wzór (4.9)) Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

4

Po rozwiązaniu układu równań (5.3) ze względu na naprężenia otrzymujemy drugą, równoważną postać związków fizycznych*): ν E   1+ ν   (ε11 + ε 22 + ε 33 ) −  σ 11 = ε11 + α T ⋅ T  ,     1+ ν  1 − 2ν 1 − 2ν   1 ν ν + E     ( ) σ 22 = ε ε ε ε α + + + − ⋅ T   , 22 11 22 33  1 − 2ν T    1 + ν  1 − 2ν (5.4)  ν E   1+ ν  (ε11 + ε 22 + ε 33 ) −  σ 33 = ε 33 + α T ⋅ T  ,      1+ ν  1 − 2ν 1 − 2ν  σ 12 = 2Gε12, σ 23 = 2Gε 23 , σ 13 = 2Gε13 . 

5.3. ZMIANA OBJĘTOŚCI Względna zmiana objętości (dylatacja) jest sumą wydłużeń względnych εrr. Dylatację możemy obliczyć ze wzorów (5.3), wykorzystując zależność (2.13). Pominiemy przy tym wpływ temperatury. 1 1 − 2ν ⋅ σ pp ε rr = ε11 + ε 22 + ε 33 = [(σ 11 + σ 22 + σ 33 ) − 2ν (σ11 + σ 22 + σ 33 )] = E E lub σ 3(1 − 2ν ) (5.5) ε rr = σ0 = 0 , E K E gdzie K= (5.6) 3(1 − 2ν ) i nosi nazwę modułu ściśliwości. Ze wzoru (5.5) widać, że dylatacja jest zawsze równa zeru, gdy 1−2ν = 0. Tak więc dla materiałów nieściśliwych ν = 1/2. Wartość ta jest największą wartością współczynnika Poissona. Dla ν > 1/2 podczas wszechstronnego ściskania objętość ciała powiększałaby się, co przeczy faktom doświadczalnym. Z drugiej strony minimalny współczynnik Poissona równa się zeru, gdyż dla ν < 0 w próbie jednoosiowego rozciągania powinniśmy obserwować poprzeczne poszerzenie przekroju. Wobec powyższego stwierdzamy, że współczynnik Poissona musi spełniać nierówności: 1 0≤ν ≤ . (5.7) 2 Na marginesie tej kwestii warto jednak dodać, że z rozważań energetycznych wynika, iż współczynnik ν może być nawet ujemny. Materiały takie już wytworzono, ale nie spełniają one warunku ciągłości, gdyż znajdują się w nich stosownie uformowane szczeliny. Dodajmy, że współczynnik odkształcenia poprzecznego w materiałach anizotropowych może być z kolei większy od 1/2.

5.4. INNE POSTACIE ZWIĄZKÓW FIZYCZNYCH W mechanice ośrodków ciągłych spotykamy często skrócony zapis równań fizycznych*) : σ ij = 2µ ε ij + λε kk δ ij lub związki odwrotne:

ε ij = 2µ ' σ ij + λ ' σ rr δ ij ,

(5.8) (5.9)

gdzie µ, λ oraz µ' i λ' oznaczają stałe Lamégo:

wa.

*)

Równania (5.4) mają sens tylko dla ν ≠ 1/2. Gdy ν = 1/2, macierz odwrotna układu równań (5.3) jest osobli-

*)

We wzorach (5.8) i (5.9) pominięto wpływ temperatury.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

E Eν 2ν 2  = G, λ = = G = K − G , 2(1 + ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) 1 − 2ν 3   1+ ν 1 ν 1 λ  µ′ = = , λ′ = − = − ⋅ .  2E 4G E 2 µ 2 µ + 3λ

5

µ=

(5.10)

Z rozdziałów 1. i 2. wiemy, że współrzędne aksjatorów odkształcenia i naprężenia określa się następująco: σ pp ε εij( o) = kk δij , σ ij( o) = δij . (5.11) 3 3 Wobec tego równania (5.5) można uważać za związki fizyczne dla aksjatorów:

ε ij( o ) =

1 − 2ν ( o ) 1 (o) σ ij = σ . E 3K ij

(5.12)

Podobne zależności można zbudować dla dewiatorów odkształcenia i naprężenia. W tym celu wykorzystamy równania (5.9), (5.11) i (5.12):

[

]

ν 1 + ν (d ) 1 − 2ν ( o ) ε ij( d ) = ε ij − ε ij( o ) = σ ij + σ ij( o ) − σ rr δ ij − σ ij = E E E 1 + ν (d ) 1 1 + ν (d ) σ σ . = + [1 + ν − 3ν − (1 − 2ν )]σ ij( o ) = E ij E E ij Otrzymujemy stąd związki fizyczne dla dewiatorów:

ε ij( d ) =

(d ) 1 + ν ( d ) σ ij . σ ij = 2G E

(5.13)

Należy zwrócić uwagę, że izotropowy materiał sprężysty jest całkowicie określony przez dwie stałe sprężystości, np. E i ν, E i G, K i G, λ i µ, λ´ i µ´ itd.

5.5. IZOTROPIA I ANIZOTROPIA. JEDNORODNOŚĆ I NIEJEDNORODNOŚĆ We wszystkich dotychczasowych rozważaniach założyliśmy małe odkształcenia oraz izotropię materiału, oznaczającą, że jego własności mechaniczne są takie same we wszystkich kierunkach. Założenie izotropii materiału pozwoliło przyjąć, że kierunki głównych naprężeń i głównych odkształceń pokrywają się.

Rys. 5.5

Niektóre materiały konstrukcyjne nie wykazują jednak własności izotropii. Dotyczy to np. drewna, w którym wydłużenia w kierunku włókien są przy tej samej sile mniejsze niż w kierunku prostopadłym do włókien (por. rys. 5.5). Materiały, których własności zależą od kierunku, nazywamy anizotropowymi. Najogólniejsza postać związków fizycznych, obejmująca wszystkie możliwe przypadki anizotropii sprężystej (w tym również izotropię), jest następująca: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

σ ij = Eijkl ε kl

(i , j , k , l = 1, 2, 3 )

6

(5.14)

lub

εij = Cijklσ kl ,

(5.15)

gdzie Eijkl oraz Cijkl są tzw. tensorami sprężystości. Pierwszy z nich można traktować jako tensor sztywności, drugi zaś jako tensor podatności sprężystej. Liczba współrzędnych (współczynników) tensorów sprężystości Eijkl lub Cijkl wynosi 81, tworzą one bowiem tensory czwartego rzędu (34 = 81). Obszerne omówienie tensorów sprężystości ciał anizotropowych zawiera wydany niedawno przez Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej podręcznik Litewki [27]. Po wykorzystaniu symetrii tensorów εij i σij oraz pewnych zależności energetycznych liczba niezależnych współczynników sprężystości w tym ogólnym przypadku wynosi 21, podczas gdy dla ciała izotropowego są dwa (E,ν) takie współczynniki (współczynniki G, K, µ, λ , λ´, µ´ można wyrazić przez E i ν). Dla przykładu podamy rozwiniętą postać równań (5.14) w zapisie inżynierskim:

σ11 = b11ε11 + b12ε 22 + b13ε33 + b14ε12 + b15ε13 + b16ε 23  σ 22 = b21ε11 + b22ε 22 + b23ε33 + b24ε12 + b25ε13 + b26ε 23   σ 33 = b31ε11 + b32ε 22 + b33ε33 + b34ε12 + b35ε12 + b36ε 23   σ12 = b41ε11 + b42ε 22 + b43ε33 + b44ε12 + b45ε13 + b46ε 23  σ13 = b51ε11 + b52ε 22 + b53ε33 + b54ε12 + b55ε13 + b56ε 23   σ 23 = b61ε11 + b62ε 22 + b63ε33 + b64ε12 + b65ε13 + b66ε 23 

(5.14a)

Funkcję współczynników Eijkl pełnią tutaj współczynniki brs (r, s = 1, 2, 3, 4, 5, 6), wykazujące własność symetrii brs = bsr. Liczba niezależnych współczynników sprężystości brs wynosi 18, bo od 21 (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21) należy odjąć 3 kąty określające przestrzenną orientację badanej próbki. Konkretne wartości współczynników brs zależą od przyjętego układu współrzędnych w danym punkcie. Ciało izotropowe charakteryzuje się tym, że współczynniki przyjmują zawsze te same wartości w każdym układzie współrzędnych. Wymaganie to spowoduje zerowanie się większości współczynników, a macierz brs przyjmuje postać: 0 0 0 λ λ λ + 2 µ  λ λ + 2µ λ 0 0 0   λ λ λ + 2 µ , 0 0 0 [brs ] =  0  µ 0 0 0 0   0 0 0 0 µ 0   0 0 0 0 µ   0 gdzie µ i λ oznaczają stałe Lamego. Omówiona wyżej cecha charakterystyczna ciał izotropowych stanowi o tym, że tylko w tych ciałach kierunki głównych naprężeń zawsze pokrywają się z kierunkami głównych odkształceń. Dużą rolę w technice odgrywają tzw. materiały ortotropowe. Materiały te wykazują 3 wzajemnie prostopadłe osie symetrii dwukrotnej. Równania fizyczne związane z tymi osiami mają postać:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

σ 11 = b11ε11 + b12ε 22 + b13ε 33 ,  σ 22 = b21ε11 + b22ε 22 + b23ε 33 ,  σ 33 = b31ε11 + b32ε 22 + b33ε 33 ,   σ 12 = b44ε12 ,   σ 13 = b55ε13 ,  σ 23 = b66ε 23 . 

7

(5.16)

Przykładem materiału anizotropowego jest drewno. Osie dwukrotnej symetrii w wybranych punktach pnia zobrazowano na rys. 5.6. Osie symetrii zmieniają swe kierunki zgodnie z krzywoliniowym (cylindrycznym) przebiegiem warstw przyrostów rocznych (słojów). Dlatego mówimy, że drewno charakteryzuje się anizotropią krzywoliniową lub bardziej szczegółowo: ortotropią cylindryczną. W ciele ortotropowym pokrywanie się kierunków naprężeń i odkształceń zachodzi tylko w tych przypadkach, gdy kierunki głównych odkształceń pokrywają się z osiami ortotropii.

Rys. 5.6

Rys. 5.7

Omówimy jeszcze pojęcia jednorodności i niejednorodności materiału. Ciałem jednorodnym nazywamy takie ciało, którego współczynniki materiałowe (np. gęstość, współrzędne tensora sprężystości, współczynniki przewodności cieplnej) nie zależą od położenia badanego punktu. Wszystkie inne ciała nazywamy niejednorodnymi. Przykładem ośrodka niejednorodnego może być podłoże gruntowe, w którym np. moduł ściśliwości partii położonych płytko będzie mniejszy niż partii położonych na dużych głębokościach. W celu lepszego zrozumienia pojęć anizotropii i niejednorodności wyobraźmy sobie płaską płytkę, dla której w dwóch różnych punktach A i B wyznaczamy moduł sprężystości E (rys. 5.7). W obu punktach określamy moduł E dla różnych kierunków działania siły. Otrzymane wyniki zestawiamy na rys. 5.8. Wartość modułu E dla każdego kierunku wyznacza długość odcinka nachylonego pod danym kątem i łączącego środek układu leżący w badanym punkcie z konturem wykresu. Na rysunku 5.8 przedstawiono 4 warianty rezultatów badań. Jeśli wykresy E(ϕ) w punktach A i B są takie same (przystające), to materiał jest jednorodny (przypadki a i b), w przeciwnym razie − niejednorodny (przypadki c i d). Jeśli wykres E(ϕ) jest kołem, to znaczy że moduł sprężystości jest niezależny od kierunku i wobec tego materiał jest izotropowy (przypadki a i c). Przypadki b i d dotyczą ciał anizotropowych.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

8

Rys. 5.8

Drewno możemy uważać za materiał anizotropowy i jednorodny. Wykresy E(ϕ) są przystające, ale obrócone względem siebie zgodnie z kierunkami osi symetrii anizotropii krzywoliniowej w poszczególnych punktach (rys. 5.9).

Rys. 5.9

5.6. ZESTAWIENIE RÓWNAŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI Przy rozwiązywaniu konkretnych zadań powierzchnię rozważanego ciała S możemy podzielić na dwie części Sp i Su . Na powierzchni Sp są dane gęstości sił powierzchniowych pi* , a na powierzchni Su są znane przemieszczenia ui* . Warunki określające wartości pi na S p oraz ui na Su nazywamy warunkami brzegowymi. Poznaliśmy do tej pory: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

− Równania różniczkowe równowagi (3)*) (a) σ ji , j + Gi = ρu&&i ,

9

i = 1, 2, 3 dla x ∈V ,

warunki brzegowe (b)

i = 1, 2 ,3 dla x ∈ S p ; σ ji n j = pi* , − Równania geometryczne (6) 1 εij = (ui , j + u j ,i ) , i = 1, 2 ,3 dla x ∈V , (c) 2 warunki brzegowe ui = ui* , (d) i = 1, 2 ,3 dla x ∈ Su ; − Równania fizyczne (6) i , j , k , l = 1, 2, 3, anizotropia: σ ij = Eijkl ε kl , (e) σ ij = 2 µεij + λε kk δij , i , j , k , l = 1, 2, 3. izotropia: W nawiasach podano liczbę równań. Łącznie mamy 15 równań (3 + 6 + 6), co odpowiada liczbie niewiadomych funkcji, tzn. 3 składowe wektora przemieszczenia + 6 składowych tensora odkształcenia + 6 składowych tensora naprężenia (tensory odkształcenia i naprężenia są symetryczne) = 15 niewiadomych. Symetria tensora odkształcenia wynika ze wzorów (c), a symetria tensora naprężenia wynika z równań równowagi momentów elementu ciała. Z równań teorii sprężystości wynika sześć równań nierozdzielności odkształceń (por. np. wzory (2.12a) lub (2.12b)): eikn e jlmε kl ,nm = 0 ;

(f)

i , j , k , l , m, n = 1, 2 ,3.

Rozróżniamy dwie ogólne grupy metod rozwiązania problemu teorii sprężystości: w przemieszczeniach i w naprężeniach. W równaniach przemieszczeniowych jako niewiadome występują trzy składowe funkcje wektora przemieszczenia u1, u2 oraz u3 . Odpowiednie trzy równania budujemy na podstawie równań różniczkowych równowagi (a). Podstawiamy do nich równania fizyczne (e), w których odkształcenia są wyrażone przez przemieszczenia według związków geometrycznych (c). W efekcie dla zadań statyki ciał jednorodnych otrzymujemy trzy równania przemieszczeniowe Naviera: 1 anizotropia: Eijkl (uk ,lj + ul , kj ) + Gi = ρu&&i , (5.17) 2 µui , jj + ( λ + µ )u j , ji + Gi = ρu&&i . izotropia: W równaniach naprężeniowych występuje sześć niewiadomych składowych tensora naprężenia. Odpowiednie równania budujemy z równań nierozdzielności odkształceń (f) po uwzględnieniu w nich równań fizycznych (e) i równań różniczkowych równowagi (a). W przypadku izotropii po pominięciu efektów dynamicznych otrzymujemy sześć równań naprężeniowych Beltramiego-Michella:

σ ij , kk +

ν 1 σ kk ,ij = − (Gi , j + G j ,i ) − δij Gk , k ; 1+ ν 1− ν

i , j , k = 1, 2 ,3.

(5.18)

Do równań różniczkowych (5.17) i (5.18) należy dołączyć stosowne warunki brzegowe. Jeżeli naprężenia są znane, to funkcje przemieszczeń można wyznaczyć, podstawiając do równań fizycznych równania geometryczne. W efekcie otrzymujemy następujące równania różniczkowe:

anizotropia : ui , j + u j ,i = 2 E −1ijklσ kl ,

izotropia : ui , j + u j ,i = 2(2µ 'σ ij + λ ' σ kk δ ij ).

(5.19)

Równania (5.19) nie znajdują bezpośredniego zastosowania w teorii sprężystości, jednak mają one swoje odpowiedniki w mechanice elementów prętowych (por. część druga).

*)

W przypadkach dynamicznych siły objętościowe należy rozumieć jako różnicę Gi − ρu&&i , gdzie

u&&i = ∂ 2 u / ∂ t 2 oznacza współrzędne wektora przyspieszenia, a ρ gęstość materiału. Składnik − ρu&&i oznacza więc gęstość sił d’Alemberta. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

10

5.7. PRZYKŁADY Przykład 1 Cienka sprężysta płytka jest w jednorodnym stanie naprężenia. Wymiary płytki i wartości sił wypadkowych obciążających jej krawędzie objaśnia rys. 5.10. Wyznaczyć kierunki główne i wartości główne tensora odkształcenia, jeśli wiadomo, że materiał płytki jest izotropowy i liniowosprężysty, a stałe sprężystości są następujące: 1 ν= . E = 200 GPa, 3 Rozwiązanie Jeżeli stan naprężeń jest jednorodny, to siły obciążające muszą być równomiernie rozłożone na krawędziach płytki. Odpowiednie składowe stanu naprężenia w nawiązaniu do układu współrzędnych x1, x2 zaznaczonego na rys. 5.11 wynoszą: 4,8 = 240 MN / m 2 , σ11 = 1,00 ⋅ 0,02 3 = 150 MN / m 2 , σ12 = σ 21 = 1,00 ⋅ 0,02 3,2 = −160 MN / m2 . σ 22 = − 1,00 ⋅ 0,02 Pozostałe składowe są równe zeru. Stan naprężenia jest opisany przez macierz s: 150 0 240  s = 150 − 160 0 [ MN / m2 ].  0 0 0

Rys. 5.10

Rys. 5.11

Kierunki główne i wartości odkształceń głównych można wyznaczyć dwoma sposobami. Pierwszy z nich polega na tym, że najpierw obliczamy odkształcenia na podstawie związków fizycznych (5.3), a potem wartości i kierunki odkształceń głównych. W drugim sposobie wykorzystuje się fakt, że kierunki naprężeń głównych i odkształceń głównych w ciele izotropowym pokrywają się. Wobec tego można najpierw wyznaczyć naprężenia i kierunki naprężeń głównych, a później odpowiednie wartości odkształceń głównych na podstawie równań fizycznych. Zastosujemy tu drugi sposób obliczenia. Na podstawie wzorów (1.28) mamy:

σ 3 = 0, σ 1 =

2

240 − 160  240 − ( −160)  + 1502 = 40 + 250 = 290 MN / m2 , +   2 2  

σ 2 = 40 − 250 = −210 MN / m2 . Kierunki główne obliczamy ze wzoru (1.30): tg2ϕ 0 =

2 ⋅ 150 = 0,75 , 240 − ( −160)

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

11

1 36o52' arctg( 0,75) = = 18o26'. 2 2 Ponieważ σ11 > σ22, kąt ϕ0 jest zawarty między osią x1 a osią naprężenia σ1. Odkształcenia główne są określone przez wzory (5.3): 290 1 ε1 = − ( −210 + 0 ) = 0,0018 = 1,8 ‰, 200000 3 ⋅ 200000 210 1 ε2 = − − ( 290 + 0) = −0,00153 = −1,53 ‰, 200000 3 ⋅ 200000 1 ( 290 − 210) = −0,00013 = −0,13 ‰. ε3 = − 3 ⋅ 200000 Uzyskany rezultat wskazuje, że płaskiemu stanowi naprężenia odpowiada trójwymiarowy stan odkształcenia. Odkształcenie ε3 określa zmianę grubości płytki.

ϕ0 =

skąd

Przykład 2 Pomiary odkształceń drugiej ławy betonowej wykazały, że:

ε11 = -0,100%,

ε22 = 0,024%,

ε33 = 0,

a kąty odkształcenia postaciowego są równe zeru (rys. 5.12). Obliczyć największe naprężenie styczne, jeśli E = 21 000 MN/m2 oraz ν = 1 / 6.

Rys. 5.12

Rozwiązanie Z warunków zadania wynika, że osie x1, x2, x3 są głównymi osiami odkształcenia, a stan odkształcenia jest jednorodny. Wartości naprężeń głównych obliczymy bezpośrednio z równań (5.4): 21000  1  ( −0,001 + 0,00024)  = −21,4 MN / m2 , ⋅  − 0,001 + 1  6 − 2  1+ 6 21000  1  ⋅ 0,00024 + ( −0,001 + 0,00024)  = 0,9 MN / m2 , σ 22 = 1  6−2  1+ 6 21000  1  ⋅ 0+ ( −0,001 + 0,00024)  = −3,4 MN / m2 . σ 33 = 1  6 − 2  1+ 6 Uporządkowane naprężenia główne wynoszą:

σ 11 =

σ I = 0,9 MN / m2 , σ II = −3,4 MN / m2 , σ III = −21,4 MN / m2 . Maksymalne naprężenie styczne: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

12

1 1 , MN / m2 . σ I − σ III ) = ⋅ [0,9 − ( −21,4)] = 1115 ( 2 2 Naprężenia te działają na płaszczyznach prostopadłych do płaszczyzny x1, x2, nachylonych pod kątem 45° w stosunku do osi x1, x2. Warto zwrócić uwagę, że macierzy 0 ε11 0  e =  0 ε 22 0,  0 0 0

τ max =

opisującej płaski stan odkształcenia, odpowiada macierz 0  σ11 0  s =  0 σ 22 0 ,  0 0 σ 33  obrazująca trójosiowy stan naprężenia. Dodamy jeszcze, że płaski stan odkształcenia występuje właśnie w długich ławach lub murach oporowych, w których obciążenie nie zmienia się wzdłuż osi x3 . Duży wymiar ławy w tym kierunku uniemożliwia swobodne odkształcenie (ε33 = 0), co sprawia, że pojawiają się naprężenia σ33.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

1

Í Ï Î

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 6.1. PRACA SIŁ ZEWNĘTRZNYCH

Rozważmy ruch ciała po szorstkiej płaszczyźnie z uwzględnieniem siły tarcia. Ruch ten jest wywołany siłą P wzrastającą od zera do pewnej wartości. Siła tarcia T = µN, gdzie µ oznacza współczynnik tarcia, a N − siłę normalną do płaszczyzny tarcia. Jeśli P < T, ciało pozostaje w spoczynku. Gdy P = Pk = T, rozpoczyna się ruch jednostajny. Z kolei jeśli P. > T, obserwujemy ruch przyspieszony, a siła P jest równoważona przez siłę tarcia T i siłę bezwładności B = − mü, gdzie m oznacza masę ciała, a ü przyspieszenie. Omówione przypadki ilustruje rys. 6.1.

Rys. 6.1

Gdy w ruchu jednostajnym (P = Pk= T) droga przebyta przez ciało osiągnie wartość uk , to pracę siły Pk wyraża wzór*): L = P(k) u(k) .

(6.1)

Pracę L przedstawia zakreskowane pole na rys. 6.1d. Obliczymy teraz pracę, jaką wykona siła P rozciągająca sprężynę (rys. 6.2a). Ponieważ w miarę wzrostu przemieszczenia u rośnie i siła P, więc aby obliczyć pracę, musimy znać zależność P(u). Zależność tę przedstawia rys. 6.2b. Przyrost pracy dL przy wzroście przemieszczenia o bardzo małą wartość du jest następujący: dL = P(u) du .

(6.2)

Gdy przemieszczenie sprężyny osiągnie wartość uk, to całkowitą pracę siły P, stosownie do wzoru (6.2), wyraża zależność: uk

L=

uk

∫ dL = ∫ P(u) du . 0

(6.3)

0

Praca ta jest równa zakreskowanemu polu z rys. 6.2b.

*)

Uwaga: jeżeli indeksy są umieszczone w nawiasach, to nie należy sumować.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

Rys. 6.2

2

Rys. 6.3

Jeśli wykres P(u) jest liniowy, to całkowita praca siły P rosnącej od zera do wartości końcowej P odpowiada polu zakreskowanego trójkąta na rys. 6.3: uk

L=

1

∫ P(u) du = 2 P( k )u( k ) .

(6.4)

0

Współczynnik 1/2 występujący we wzorze (6.4) jest znamienny dla sprężyny o charakterystyce liniowej. Dalej będziemy rozważać przede wszystkim tzw. układy (ciała) Clapeyrona, charakteryzujące się następującymi cechami: − materiał jest liniowo-sprężysty i zależności P(u) są liniowe, − w trakcie odkształcenia nie występują nowe punkty podparcia, − nie ma naprężeń i odkształceń wstępnych oraz zmian temperatury.

Rys. 6.4

Przykładem, który nie spełnia drugiego postulatu, jest belka przedstawiona na rys. 6.4. Podpora B przejmuje reakcję dopiero wtedy, gdy uB = ∆.. Po dalszym wzroście siły P wykres P(u) załamuje się i obserwujemy skokowy wzrost sztywności układu. Z uwagi na nieliniową zależność P(u) przypadek z rys. 6.2 również nie stanowi układu Clapeyrona .

6.2. TWIERDZENIE CLAPEYRONA Rozważmy ciało Clapeyrona o objętości V, ograniczone powierzchnią S oraz obciążone siłami powierzchniowymi i masowymi. Siły te wzrastają od zera do swych końcowych wartości oznaczonych przez pdS i GdV. Końcowy stan obciążeń wywołuje naprężenia σij oraz przemieszczenia ui i odkształcenia εij.

Rys. 6.5 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

3

Stosownie do wzoru (6.4) pracę sił powierzchniowych i masowych na przemieszczeniach u wyraża wzór: 1 1 p ⋅ u dS + G ⋅ u dV . (6.5) L= 2 2

∫

∫

S

V

Po rozpisaniu iloczynów skalarnych za pomocą współrzędnych i zastosowaniu konwencji sumacyjnej otrzymujemy: 1 1 L= pi ui dS + Gi ui dV . (6.6) 2 2

∫

∫

S

V

Przemieszczenia ui(x1, x2, x3) i odkształcenia εij( x1, x2, x3) są kinematycznie dopuszczalne, bo spełniają równania geometryczne. Z kolei obciążenia ciała pi(x1, x2, x3) i Gi(x1, x2, x3) oraz rzeczywiste naprężenia σij( x1, x2, x3) tworzą układ statycznie dopuszczalny, ponieważ spełniają warunki na powierzchni (1.7b) i równania różniczkowe równowagi (1.9). Jeśli wykorzystamy twierdzenie Greena-OstogradskiegoGaussa i postąpimy tak, jak przy wyprowadzeniu równania pracy wirtualnej (3.1), to wyrażenie (6.6) przekształcimy do postaci: 1 2

1

1



∫ pi ui dS + 2 ∫ Gi ui dV = ∫  2 σijεij  dV , S

V

(6.7)

V

stanowiącej treść twierdzenia Clapeyrona. Lewa strona równania (6.7) przedstawia pracę obciążeń (tzw. sił zewnętrznych) L. Prawa strona oznacza pracę wykonaną przez naprężenia, czyli energię sprężystą U, zmagazynowaną wewnątrz ciała. Twierdzenie Clapeyrona głosi, że praca obciążeń równa się energii sprężystej zmagazynowanej wewnątrz ciała: L=U. (6.7a) Równanie (6.7) jest szczególnym przypadkiem zasady pracy wirtualnej, w którym zarówno pole wielkości statycznych, jak i pole kinematyczne, jako pola rzeczywiste, są polami dopuszczalnymi. Istotna różnica polega na tym, że równanie (6.7) odnosi się do ciał Clapeyrona, tzn. do ciał charakteryzujących się liniową sprężystością. Dlatego, stosownie do zależności (6.4), przy wszystkich członach tego równania pojawił się mnożnik 1/2.

6.3. ENERGIA SPRĘŻYSTA WŁAŚCIWA Zgodnie ze wzorem (6.7) całkowita wewnętrzna energia sprężysta U wynosi: 1  U =  σ ij εij  dV . 2 

∫

(6.8)

V

Wyrażenie podcałkowe jest energią sprężystą przypadającą na jednostkę objętości. Energię tę nazywamy energią sprężystą właściwą lub gęstością energii sprężystej i oznaczymy symbolem W: 1 W = σ ij ε ij . (6.9) 2 Gęstość energii jest skalarem i jest oczywiście niezmiennikiem. Tensory σij i εij występujące w definicji energii sprężystej wyrazimy jako sumę aksjatorów i dewiatorów: W=

(

)(

) [

]

1 1 ( o) σ ij + σ ij( d ) ε ij( o ) + ε ij( d ) = σ ij( o ) ⋅ ε ij( o ) + σ ij( d ) ⋅ ε ij( d ) + σ ij( o ) ⋅ ε ij( d ) + σ ij( d ) ⋅ ε ij( o ) . 2 2

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

4

Wykażemy, że σ ij( d ) ⋅ εij( o) = σ ij( o) ⋅ εij( d ) = 0 . Obliczymy na przykład σ ij( d ) ⋅ εij( o) :

1 1 1 1 1 1 σ ij( d ) ⋅ εij( o ) = (σ ij − σ kk ⋅ δij ) ε rr δij = σ ij ε rr δij − σ kk ⋅ ε rr ⋅ δ ij ⋅ δ ij = σ ii ε rr − σ kk ε rr ⋅ 3 = 0. 3 3 3 9 3 9 Analogicznie wykazuje się, że σ ij( o ) ⋅ ε ij( d ) = 0 . Wobec powyższego możemy napisać:

1 1 W = σ ij( o ) ⋅ ε ij( o ) + σ ij( d ) ⋅ ε ij( d ) = W ( o ) + W ( d ) . 2 2

(6.10)

Wykazaliśmy zatem, że energia W składa się z dwóch części: energii aksjatorów i energii dewiatorów, a energie mieszane „aksjatorowo-dewiatorowe” są równe zeru. Energia sprężysta właściwa jest funkcją składowych tensora naprężenia σij i tensora odkształcenia εij . Korzystając ze związków fizycznych (5.12) i (5.13) można ją wyrazić albo tylko przez naprężenia (Wσ) albo tylko przez odkształcenia (Wε). (o) (d) Obliczmy teraz W i W jako funkcje składowych stanu naprężenia. Energia aksjatorów

1 1 1 − 2v ( o ) W ( o ) = σ ij( o ) ⋅ ε ij( o ) = σ ij( o ) ⋅ ⋅ σ ij = 2 2 E 1 − 2ν σ kk 1 − 2ν 1 − 2ν 1 − 2ν σ = (σ kk ) 2 ⋅ 3 = (σ kk ) 2 . ⋅ δ ij ⋅ rr δ ij = σ kkσ rrδ ii = 2E 3 3 18 E 18E 6E Po rozwinięciu wyrażenia σkk

1 − 2ν (σ11 + σ 22 + σ 33 )2 . (6.11) 6E Ponieważ pierwszy niezmiennik tensora naprężenia I1 = σ rr = σ 11 + σ 22 + σ 33 , wzór (6.11) można zapisać następująco: Wσ( o ) =

Wσ( o ) =

1 − 2ν 2 1 ⋅ I1σ = ⋅ I12σ . 6E 18 K

(6.11a)

Gęstość energii dewiatorów wynosi: 1 1 1 (d ) 1 (d ) (d ) Wσ( d ) = σ ij( d ) ⋅ ε ij( d ) = σ ij( d ) ⋅ (a) σ ij = σ σ 2 2 2G 4G ij ij Stosownie do równania (1.20)2 drugi niezmiennik dewiatora naprężenia wyraża się następująco: (b)

I 2( σd ) =

(

)

1 (d ) (d ) 1 (d ) = 0. σ rr σ pp − σ ij( d )σ ij( d ) = − σ ij( d )σ ij( d ) , bo σ rr 2 2

Po porównaniu wzorów (a) i (b) gęstość energii dewiatorów można przedstawić jako funkcję drugiego niezmiennika dewiatora naprężenia: 1 (d ) Wσ( d ) = − I . (6.12) 2G 2σ Doprowadzimy teraz wzór(6.12) do postaci bardziej przydatnej w obliczeniach. − 2 I 2( dσ) = σ ij( d )σ ij( d ) = (σ ij − σ 0δij )(σ ij − σ 0δij ) = = σ ijσ ij − σ 0 (σ ij + σ jj ) + σ 02δii = σ ijσ ij − 6σ 02 + 3σ 02 = 1 2 1 = σ ijσ ij − σ kk = σ 1 jσ 1 j + σ 2 jσ 2 j + σ 3 jσ 3 j − (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 = 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = σ 11 + σ 22 + σ 33 + σ12 + σ 23 + σ 31 + σ 21 + σ 32 + σ 13 = Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

5

1 2 2 2 = (σ11 + σ 22 + σ 33 + 2σ11σ 22 + 2σ 22σ 33 + 2σ 33σ11 ) = 3 1 2 2 = (σ11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 ) 2 + (σ 33 − σ11 ) 2 + 3 ⋅ (σ12 + σ 21 + 3 2 2 2 2 + σ 23 + σ 32 + σ13 + σ 31 )].

[

Wobec tego

Wσ( d ) =

1 [(σ 11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 ) 2 + (σ 33 − σ 11 ) 2 + 3 ⋅ (σ 122 + σ 212 + σ 232 + σ 322 + σ 132 + σ 312 )]. (6.12a) 12G

Wzór (6.12a) można uprościć uwzględniając, że σij = σji:

Wσ( d ) =

1 [(σ 11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 ) 2 + (σ 33 − σ 11 ) 2 + 6 (σ 122 + σ 232 + σ 312 ) ]. ( 6 .12 b ) 12 G

Analogiczne wzory można zapisać dla gęstości energii wyrażającej się wyłącznie przez odkształcenia. Podamy dla przykładu wzór na sumaryczną energię sprężystą właściwą składającą się z energii aksjatorów i dewiatorów:  ν 2 2 2 2 2 2 2 2 2  + ε22 + ε33 + (ε23 + ε31 + ε12 + ε32 + ε13 + ε21 Wε = G  (ε11 + ε22 + ε33 ) 2 + ε11 ). 1 2 ν −   Najistotniejszą cechą gęstości energii jest to, że przybiera ona zawsze wartości dodatnie (nieujemne). Wynika to z postaci równań (6.11) i (6.12a), w których energia W jest kwadratową jednorodną funkcją składowych stanu naprężenia. Dalsza bardzo ważna własność gęstości energii polega na tym, że jest ona potencjałem dla odkształceń lub naprężeń. Oznacza to, że

lub

∂Wσ = ε ij ∂σ ij

(6.13)

∂Wε = σ ij . ∂ε ij

(6.14)

Sprawdzimy przykładowo zależności (6.13) dla współrzędnych ε22 i ε13:

∂Wσ ∂ (Wσ( o) + Wσ( d ) ) = = ∂σ 22 ∂σ 22 1 − 2ν 1 =2 (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) + [2(σ 22 − σ 33 ) − 2(σ11 − σ 22 )] = 6E 12G 1 = (1 − 2ν )(σ11 + σ 22 + σ 33 ) + (1 + ν )(2σ 22 − σ11 − σ 33 ) = 3E σ ν = 22 − (σ 11 + σ 33 ) = ε 22 . E E Do obliczenia pochodnej względem σ13 trzeba użyć wzoru na Wσ( d ) w postaci (6.12)'', która jeszcze nie uwzględnia symetrii tensora naprężenia:

[

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

]

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

6

∂Wσ ∂Wσ( d ) σ 1 = = ⋅ 3 ⋅ 2σ13 = 13 = ε13 . 12G 2G ∂σ13 ∂σ13 Dodatnie wartości gęstości energii i własności potencjału obowiązują również w ciałach anizotropowych. Warto tutaj wspomnieć, że wzory (6.11) i (6.12a), wyrażające gęstość energii sprężystej przez naprężenia, są słuszne tylko dla ciał izotropowych. W odniesieniu do ciał anizotropowych nie da się zapisać osobno związków fizycznych dla aksjatorów, analogicznych do równań (5.12) i (5.13), gdyż w ogólnym przypadku anizotropii wszechstronne równomierne ściskanie powoduje oprócz zmian objętościowych również zmiany postaciowe, natomiast czyste ścinanie powoduje także zmiany objętości.

6.4. ZASADA WZAJEMNOŚCI DLA CIAŁ LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH Rozważmy pręt liniowo-sprężysty rozciągany siłą P1 (rys. 6.6a). Pod wpływem tej siły pręt ulega wydłużeniu δ1. Ponieważ siła P1 rośnie od zera do swej wartości końcowej, więc praca wykonana przez tę siłę (a)

L11 =

1 P1δ 1 . 2

Przyłóżmy teraz jeszcze dodatkowo siłę P2 (siła P1 działa nadal). Wówczas praca siły P2 1 L22 = P2δ 2 . (b) 2 a praca siły P1 na przemieszczeniu δ2 wywołanym przez siłę P2 (c)

L12 = P1δ 2 .

Nie ma tu mnożnika 1/2, bo siła P1 działa cały czas w swej końcowej wartości. Sumaryczna praca sił P1 i P2 (rys. 6.6b): (d)

L = L11 + L22 + L12.

Przyjmujemy teraz, że najpierw działa siła P2, a potem siła P1. Odpowiednie prace tych sił są następujące (por. rys. 6.6c): (e)

L22 =

1 1 P2δ 2 , L11 = P1δ 1 , L21 = P2δ 1 , 2 2

a praca sumaryczna (f)

L = L22 + L11 + L21.

Jest oczywiste, że prace (d) i (f) są równe. Stąd L12 = L21.

(6.15)

W rozważanym zadaniu (g)

P1δ 2 − P2δ1 .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

7

Rys. 6.6

Wzór (6.15) w teorii układów Clapeyrona ma bardzo duże znaczenie i wyraża treść twierdzenia Bettiego czyli twierdzenia o wzajemności: Praca pierwszego układu sił na przemieszczeniach wywołanych przez drugi układ sił L12 jest równa pracy drugiego układu sił na przemieszczeniach wywołanych pierwszym układem sił L21. Twierdzenie to wykazaliśmy na bardzo prostym przykładzie, w którym każdy z układów reprezentował tylko jedną siłę skupioną, a punkt przyłożenia tych sił był ten sam. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla dwóch dowolnych układów sił powierzchniowych i masowych. Jeśli pi′ , Gi′ oznaczają I układ sił wywołujący przemieszczenia ui′ , natomiast pi′′, Gi′′ oznaczają II układ sił wywołujący przemieszczenia ui′′ , to wzór (g) przyjmuje postać:

∫ pi′ ui′′dS + ∫ Gi′ ui′′dV = ∫ pi′′ui′dS + ∫ Gi′′ui′dV . S

V

S

(6.16)

V

Zastosujemy zasadę wzajemności do belek, przedstawionych na rysunku 6.7. Siły P1 i P2 mają charakter bądź sił, bądź momentów skupionych. Ponieważ oba układy są dowolne, więc i punkty przyłożenia sił P1 i P2 są różne. W obu przypadkach belek, zgodnie z twierdzeniem Bettiego, zachodzi zależność: (h)

P1 ∆12 = P2 ∆21 ,

gdzie ∆ik (i,k = 1,2) oznacza przemieszczenie punktu i w kierunku działania siły P1 wywołane przez siłę Pk, działającą w punkcie k.

Rys. 6.7

Gdy siły P1 i P2 są równe jedności, to na podstawie (h) otrzymujemy: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

∆12 = ∆21

lub ogólnie:

∆ik = ∆ki,

8

(P1 = P2 = 1) (Pi = Pk = 1).

(6.17)

Równanie (6.17) przedstawia treść twierdzenia Maxwella. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że zależność (6.17) zawiera błąd, ponieważ z przypadku b) na rys. 6.7 wynika, że kąt obrotu jest równy ugięciu i występuje niezgodność wymiarów. Należy jednak pamiętać, że siła P1 i moment P2 są bezwymiarowe. Wówczas ∆12 (tzn. ugięcie punktu 1 wywołane przez moment P2 = 1) ma wymiar [m/(kN·m)] = [1/kN], a ∆21 (kąt obrotu punktu 2 wywołany przez siłę P1 = 1) ma również wymiar [1/kN]. Widzimy więc, że niezgodność wymiarów ∆12 i ∆21 jest pozorna, a wzór (6.17) jest poprawny. Twierdzenie Maxwella, będące szczególnym przypadkiem twierdzenia Bettiego, ma bardzo duże zastosowanie zarówno w obliczeniach jak i badaniach doświadczalnych konstrukcji sprężystych.

6.5. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA CIAŁ SPRĘŻYSTYCH 6.5.1. Zasada minimum energii potencjalnej Rozważmy ciało sprężyste będące w stanie równowagi statycznej pod działaniem sił masowych i powierzchniowych. Na skutek działania tych sił w ciele pojawiły się przemieszczenia ui odkształcenia εij oraz stowarzyszone z nimi naprężenia σij. Powierzchnię ograniczającą ciało S można podzielić na dwie części Sp i Su. Na powierzchni Sp są dane siły powierzchniowe pidS, a na powierzchni Su są dane przemieszczenia ui , przy czym S = Sp + Su. Przyjmijmy, że przemieszczenia ui doznają przyrostów (wariacji) δui, spełniających warunki ciągłości oraz kinematyczne warunki brzegowe (por. rys. 6.8). Zatem δui jest zawsze równe zeru na powierzchni Su , lecz jest dowolne na powierzchni Sp. Wariacje δui − jak widać − spełniają wymagania stawiane przemieszczeniom wirtualnym. Obliczymy pracę sił powierzchniowych i masowych na wariacjach przemieszczeń:

δL =

(a)

∫ piδui dS + ∫ Giδui dV . S

V

Rys. 6.8

Po zastosowaniu dobrze znanych przekształceń zależność (a) można wyrazić przez pracę naprężeń na wariacjach odkształceń: δεij = (δui , j + δu j ,i ) / 2 . Otrzymujemy więc równanie: (b)

∫ piδui dS p + ∫ Giδui dV = ∫ σijδεij dV .

Sp

V

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

V

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

9

Po lewej stronie występuje tylko praca sił pi.dS na powierzchni Sp, gdyż na powierzchni Su wariacja δui = 0. Jeżeli istnieje taka funkcja energii odkształcenia: W = Wε = W(εkl), że:

∂Wε = σ ij , ∂ε ij

(6.18)

to prawą stronę równania (b) można zapisać następująco:

∂W

∫ σijδεij dV = ∫ ∂εijε δεij dV = δ ∫ Wε dV .

(c)

V

V

V

Symbol δ oznacza wariację względem składowych pola odkształcenia. Po wykorzystaniu związków geometrycznych funkcję W można wyrazić przez przemieszczenia. Wówczas

∫ σijδεij dV

(d)

V

∫

= δ Wu dV , V

gdzie Wu = W [εij(uk)], a symbol δ dotyczy składowych pola przemieszczenia. Lewą stronę równania (b) można również przedstawić w postaci wariacji względem pola przemieszczeń ui, jeżeli siły powierzchniowe i objętościowe są zachowawcze (konserwatywne), czyli wtedy, gdy praca tych sił zależy tylko od konfiguracji pierwotnej i konfiguracji aktualnej (po odkształceniu), a nie zależy od drogi, na której nastąpiło przejście z jednej konfiguracji do drugiej. Oznacza to, że pi = −

∂q ∂Q , Gi = − , ∂ui ∂ui

(6.19)

przy czym funkcje q(u1, u2, u3) i Q(u1, u2, u3) są, odpowiednio, potencjałami sił powierzchniowych i objętościowych. Wówczas     (e) piδui dS p + Giδui dV = −δ  qdS p + QdV .   S p Sp V V

∫

∫

∫

∫

Po wprowadzeniu zależności (d) i (e) do równania (b) otrzymujemy warunek:     δ  qdS p + (Wu + Q)dV  = 0   S p V

∫

lub

∫

δΠ ( ui ) = 0,

(6.20)

gdzie

Π = Π (ui ) =

∫ qdS p + ∫ (Wu + Q)dV .

Sp

(6.21)

V

Funkcjonał Π ( ui ) nazywa się energią potencjalną układu. Najczęściej spotyka się pewien szczególny przypadek obciążeń konserwatywnych, w którym obciążenia pi oraz Gi w ogóle nie zależą od deformacji ciała. Wówczas siły powierzchniowe i masowe nie podlegają wariacji i słuszne są zależności: (f)

piδui = δ ( pi ui ), Giδui = δ (Gi ui ).

Wobec powyższego znak wariacji można wyłączyć przed całki występujące po lewej stronie równania (b), czyli Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

(g)

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

10

    piδui dS p + Giδui dV = δ  pi ui dS p + Gi ui dV .  S p  Sp V V

∫

∫

∫

∫

Po wykorzystaniu tej zależności, wzór na energię potencjalną układu w przypadku, gdy wielkości pi oraz Gi nie zależą od przemieszczeń, przybiera postać:

∫

Π ( e) = Wε dV − V

∫ pi ui dS p − ∫ Gi ui dV .

Sp

(6.22)

V

Energia potencjalna jest liczbą, której wartość zależy od przyjętego pola przemieszczeń ui(x1, x2, x3). Z warunku (6.22) wynika, że w stanie równowagi energia potencjalna osiąga ekstremum. Pozostaje rozstrzygnąć, czy jest to maksimum czy minimum. W tym celu porównamy energię potencjalną Π dla rzeczywistych wartości przemieszczeń ui z energią Π´ dla innego układu przemieszczeń, ui + δui, spełniającego warunek: δui = 0 na Su (h)

δ 2 Π = Π '− Π =

∫ [W (εij + δεij ) − W (εij )]dV − ∫ piδui dS p − ∫ Giδui dV .

V

Sp

V

Rozwinięcie W (ε ij + δε ij ) w szereg Taylora prowadzi do wyniku: 1 ∂ 2W ∂W δε ij + δε ijδε kl +... 2 ∂ε ij ∂ε kl ∂εij

W (ε ij + δε ij ) = W (ε ij ) +

Poprzestając tylko na trzech wyrazach tego szeregu oraz wykorzystując zależność (c) otrzymujemy: W (ε ij + δε ij ) − W (ε ij ) = σ ijδε ij +

1 ∂ 2W δε ijδε kl . 2 ∂ε ij ∂ε kl

Po podstawieniu powyższego do równania (h) oraz uwzględnieniu równania (b) uzyskujemy następujące wyrażenie na drugą wariację energii potencjalnej: 1 ∂ 2W 1 ∂σ ij δ 2Π = δεijδε kl dV = δεijδε kl dV . (i) 2 ∂εij ∂ε kl 2 ∂ε kl

∫

∫

V

V

Zwróćmy uwagę na fakt, że wielkość (∂σ ij / ∂ε kl )δε kl jest równa liczbowo przyrostowi naprężeń wywołanemu przez zmianę odkształceń o δε kl . Dla podkreślenia, że składowe σ ij nie podlegają wariacji, przyrost ten oznaczamy symbolem δσ ij* . Wobec tego (j)

δ 2Π =

1

∫ 2δσ ijδεij dV , *

V

gdzie

δσ ij* =

∂σ ij

δε kl . ∂ε kl Dla izotropowego ciała liniowo-sprężystego wyrażenie podcałkowe jest energią sprężystą właściwą W po zmianie odkształceń i naprężeń o wartości δε ij oraz δσ ij* :

∫

δ 2 Π = W (δσ ij*δεij )dV > 0. V

Energia ta − niezależnie od poziomu rzeczywistych odkształceń i naprężeń − jest zawsze dodatnia. Wobec tego funkcjonał w stanie równowagi osiąga absolutne minimum. Wynika stąd zasada minimum energii potencjalnej: Spośród wszystkich pól przemieszczeń spełniających warunki brzegowe na powierzchni Su równowadze odpowiada to pole, które energii potencjalnej nadaje wartość minimalną. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

11

Zasada minimum energii potencjalnej obowiązuje również dla materiałów nieliniowo-sprężystych*), jeźeli tylko całka występująca w równaniu (i) jest większa od zera. Należy zwrócić uwagę, że istnieją okoliczności, w których druga wariacja energii potencjalnej nie jest większa od zera. Występują tu dwie możliwości: − gdy iloczyn δσ ij* δε ij nie jest dodatnio określony, − gdy zachodzą zasadnicze zmiany w równaniach równowagi. Pierwsza możliwość występuje, gdy materiał staje się niestateczny, czyli gdy dodatniemu przyrostowi odkształcenia towarzyszy ujemny przyrost naprężenia. Rozważymy dla przykładu czyste rozciąganie pręta o charakterystyce σ(ε) przedstawione na rys. 6.9. Zauważmy, że znak iloczynu δσ *δε odpowiada 2 znakowi modułu stycznego Et = dσ/dε. Na krzywej OA moduł styczny Et > 0, czyli δ Π > 0 i obowiązuje zasada minimum energii potencjalnej. W opadającej części wykresu σ·(ε) , moduł 2 Et < 0 i energia potencjalna w stanie równowagi (niestatecznej) osiąga maksimum, bo δ Π < 0 . Punkt A 2 jest punktem granicznym, w którym materiał traci stateczność (δ Π = 0), a funkcja Π(ε) ma punkt przegięcia.

Rys. 6.9

Druga możliwość może zachodzić w różnych okolicznościach. Najczęściej pojawiają się one wskutek występowania skończonych deformacji. Równanie równowagi lub naprężeniowe warunki brzegowe zależą wówczas od przemieszczeń ciała, gdyż zawierają one oprócz wielkości statycznych również wielkości 2 kinematyczne. Równowaga układu odpowiada warunkowi δΠ = 0, ale wartość drugiej wariacji δ Π nie zawsze musi być dodatnia. Ogólnie biorąc, energia potencjalna przyjmuje wartość minimalną wtedy, gdy równowaga układu jest stateczna. Zasygnalizowane tutaj problemy omówimy bliżej w rozdziale 19., poświęconym stateczności konstrukcji. 6.5.2. Zasada minimum energii dopełniającej Rozważmy ciało sprężyste będące w stanie równowagi pod działaniem sił masowych i powierzchniowych. Na skutek tych sił w ciele pojawiły się naprężenia σij, przemieszczenia ui oraz stowarzyszone z nimi odkształcenia εij. Naprężenia σij spełniają równania równowagi wewnętrznej w każdym punkcie objętości ciała σij: xk ∈V , σ ji , j + Gi = 0, (a) oraz warunki brzegowe na powierzchni Sp:

σ ji n j = pi( n) ,

(b)

*)

xk ∈ S p ,

Postać związków fizycznych określona jest zależnością (6.18) i wynika z postaci funkcji energii W.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

12

przy czym k = 1, 2, 3. Przyjmiemy teraz, że rzeczywiste naprężenia σij doznają przyrostów (wariacji) δσij. Ponadto żądamy, aby funkcje σij +δσij spełniały równania równowagi i warunki na powierzchni ciała: (c)

σ ji , j + δσ ji , j + Gi = 0,

xk ∈V ,

(d)

(σ ji + δσ ji )n j = pi( n ) ,

xk ∈ S p .

Po odjęciu równania (a) od równania (c) oraz równania (b) od równania (d) otrzymujemy: (e) xk ∈V , δσ ji , j = 0,

δσ ji n j = 0,

(f)

xk ∈ S p .

Przyrosty wektora gęstości sił powierzchniowych δpi( n ) na powierzchni Su są dowolne i wynoszą: (g)

δpi( n) = δσ ji n j ,

(h)

∫ δσ ji , j ui dV = 0.

x k ∈ Su . Pomnóżmy równanie (e) przez ui i scałkujmy po objętości ciała V: V

Jeżeli wykorzystamy wzór na pochodną iloczynu, własność symetrii tensora σij oraz równania geometryczne, to możemy napisać: δσ ji , j ui = δσ ji ui , j −δσ ji ui , j = (δσ ji ui ) , j − δσ ji ε ji .

(

)

Otrzymujemy stąd równanie:

∫ (δσ ji ui ), j dV − ∫ δσ ji ⋅ ε ji dV = 0.

(i)

V

V

Pierwszą z powyższych całek za pomocą wzoru Greena-Ostrogradskiego-Gaussa można zapisać następująco:

∫ (δσ ji ui ), j dV = ∫ (δσ ji ui )n j dSu .

V

Su

Ponieważ stosownie do wzorów (f) i (g): δpi na Su , δσ ji n j =  0 na S p , więc

∫ (δσ ji ui ), j dV = ∫ δpi ui dSu .

(j)

V

Su

Po podstawieniu zależności (j) do równania (i) otrzymujemy:

∫ δpi ui dSu − ∫ δσ ji ⋅ εij dV = 0.

(k)

Su

V

Jeżeli istnieje funkcja W = W(σij) = Wσ taka, że: ∂Wσ = ε ij , ∂σ ij to (l)

∫

V

δσ ij εij dV =

∫

V

(6.23)

∂Wσ δσ ij dV = δ Wσ dV . ∂σ ij

∫

V

Równanie (k) możemy zatem zapisać w postaci warunku:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE

13

   δ Wσ dV − pi ui dSu  = 0    V Su

∫

∫

δΠ * (σ ij ) = 0 ,

lub

(6.24)

gdzie symbol δ oznacza wariację względem pola naprężeń, a

∫

Π * ( s) = Wσ dV − V

∗

∫ pi ui dSu .

(6.25)

Su

Funkcjonał Π (σij) nazywa się energią dopełniającą (komplementarną) układu. Energia dopełniająca * Π jest liczbą, której wartość zależy od przyjętego pola naprężeń σij(x1, x2, x3). Z warunku (6.24) wyni* ka, że prawdziwe jest to pole naprężeń, które nadaje energii dopełniającej Π (σij) wartość ekstremalną. Podobnie jak dla energii potencjalnej wykazuje się, że wartość ta jest minimalna. Wynika stąd zasada minimum energii dopełniającej: Spośród wszystkich pól naprężeń, spełniających równania różniczkowe równowagi wewnętrznej i warunki brzegowe na powierzchni Sp kinematycznej zgodności odpowiada to pole, które energii dopełniającej nadaje wartość minimalną. Zasada minimum energii dopełniającej obowiązuje również dla ciał sprężystych o nieliniowej zależności między naprężeniami i odkształceniami. Musi jednak istnieć dodatnio określona funkcja Wσ , będąca potencjałem dla odkształceń. Konkretna postać fizyczna, określona zależnością (6.23), zależy od postaci energii Wσ .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

1

Í Ï Î

7.1. UWAGI WSTĘPNE Powróćmy jeszcze raz do wyników próby rozciągania omówionych w rozdziale 4. Jeżeli przyjmiemy, że oś próbki pokrywa się z osią x1, to stan naprężenia w układzie x1, x2, x3 charakteryzuje tylko jedna współrzędna σ11 = σ (por. rys. 7.1a): σ s =  0  0

0 0 0 0. 0 0

(7.1)

Rys. 7.1

W miarę wzrostu naprężenia σ materiał przechodzi kolejno ze stanu liniowo-sprężystego (0 < σ ≤ σH) poprzez stan nieliniowo-sprężysty (σH < σ ≤ σS) do stanu plastycznego (σP < σ ≤ σw) i w końcu próbka ulega zerwaniu (por. rys. 7.1b). Naprężenia σH, σS, σP i σw wyznaczają granice między poszczególnymi stanami mechanicznymi. Przekroczenie każdej z tych granic powoduje jakościową zmianę własności materiału. W zależności od rodzaju materiału i konstrukcji pewne zmiany własności materiału mogą być niebezpieczne, a odpowiadający im stan określamy jako stan niebezpieczny. W materiale ciągliwym za stan niebezpieczny uznaje się zazwyczaj stan plastyczny, związany z dużymi przyrostami odkształceń. W materiale kruchym proces deformacji aż do osiągnięcia wytrzymałości doraźnej jest prawie sprężysty, a stan niebezpieczny odpowiada naprężeniu σn = σW (rys. 7.1c). W próbkach wykonanych z materiału, który nie ma wyraźnych granic sprężystości i plastyczności stan niebezpieczny może odpowiadać wartościom umownym σn = σ0,05 lub σn = σ0,2 , lub punktowi granicznemu σn = σw (rys. 7.1d). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

2

Problemem podstawowym dla inżyniera jest wyznaczenie tzw. współczynnika bezpieczeństwa n, który jest liczbą mówiącą, ile razy aktualne naprężenie σ jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σn. Wobec tego naprężeniu σ odpowiada współczynnik bezpieczeństwa n = σn/σ. Obliczenie współczynnika bezpieczeństwa przy jednoosiowym rozciąganiu (lub ściskaniu) jest więc nader proste. Na bardzo duże trudności natrafiamy jednak, gdy w danym punkcie występuje więcej niż jedna składowa stanu naprężenia lub ogólniej: trójosiowy stan naprężenia opisany macierzą (7.2). σ 11 σ 12 σ13  s = σ 21 σ 22 σ 23 . σ 31 σ 32 σ 33 

(7.2)

Powstaje wówczas pytanie: jak w złożonym stanie naprężenia obliczyć współczynnik bezpieczeństwa? Odpowiedź na postawione pytanie zawierają tzw. hipotezy wytrzymałościowe (wytężeniowe). Część tych hipotez podaje sposób na obliczenie pewnego fikcyjnego naprężenia noszącego nazwę naprężenia zredukowanego (zastępczego) σred. Główna idea hipotez wytrzymałościowych polega na tym, by złożony stan naprężenia opisany macierzą (7.2) sprowadzić do jednoosiowego rozciągania naprężeniem o wartości σred. Pozwala to wyznaczyć współczynnik bezpieczeństwa i określić stan mechaniczny materiału w danym punkcie. Zanim przejdziemy do bliższego omówienia wybranych hipotez wytężeniowych dla ciał izotropowych, zwrócimy uwagę na pewne własności, które musi spełniać naprężenie zastępcze: − ponieważ stan mechaniczny nie zależy od przyjętego układu współrzędnych, więc naprężenie zastępcze może być tylko funkcją niezmienników tensora naprężenia:

σ red = σ red ( I1 , I 2 , I 3 ) ;

(7.3)

− uwzględniwszy fakt, że niezmienniki I1, I2, I3 zależą od wszystkich współrzędnych tensora naprężenia, naprężenie zastępcze można również zapisać jako funkcję tych współrzędnych:

σ red = σ red (σ11 , σ 12 , σ 13 , σ 22 , σ 23 , σ 33 ) ;

(7.4)

− wzór (7.4) jest ważny również dla stanu jednoosiowego rozciągania (ściskania), określonego macierzą (7.1):

σred(σ, 0, 0, 0, 0, 0) = σ ;

(7.5)

− dla zerowej macierzy naprężeń naprężenia zastępcze jest równe zeru:

σred (0, 0, 0, 0, 0, 0) = 0.

(7.6)

Ponieważ najczęściej interesuje nas rozgraniczenie poszczególnych stanów mechanicznych, więc poprzestajemy niekiedy na podaniu postaci tzw. warunku granicznego F(σij) = 0. Podejście takie jest ogólniejsze, ponieważ stan mechaniczny określa czasem więcej niż jeden parametr i przy definiowaniu naprężenia zastępczego σred natrafiamy na duże trudności. Zależność graniczna wiąże ze sobą współrzędne tensora naprężenia odpowiadające osiągnięciu stanu niebezpiecznego w danym punkcie. Pojęcie zależności granicznej będzie wyjaśnione przy omawianiu poszczególnych hipotez wytężeniowych. Dokładniejsze omówienie własności warunku granicznego i pojęcia współczynnika bezpieczeństwa wraz ze stosowną interpretacją geometryczną przedstawiono w p.7.5. Omawiana problematyka jest bardzo złożona, a do tej pory dobrze rozpoznane są tylko materiały izotropowe. W dalszym ciągu omówimy pewne wybrane hipotezy stosowane obecnie do materiałów ciągliwych i plastyczno-kruchych. Szczegółowe omówienie poszczególnych hipotez wytężeniowych można znaleźć w wielu podręcznikach (np. [22, 51, 53]).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

3

7.2. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA MATERIAŁÓW CIĄGLIWYCH 7.2.1. Warunek plastyczności Hubera-Misesa-Hencky'ego (HMH) Dla materiałów ciągliwych przyjmujemy zazwyczaj model ciała idealnie sprężysto-plastycznego (rys. 7.2). W takim modelu granica proporcjonalności σH, granica sprężystości σS i granica plastyczności σP mają tę samą wartość. Przyjmuje się, że osiągnięcie tej wartości, a więc początek uplastycznienia, odpowiada stanowi niebezpiecznemu. Dlatego hipotezy wytrzymałościowe dla materiałów ciągliwych nazywamy bardzo często warunkami plastyczności.

Rys. 7.2

Obecnie powszechnie stosuje się hipotezę polskiego uczonego M.T.Hubera (1904 rok).: Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy gęstość energii odkształcenia postaciowego (tj. energii dewiatorów) osiąga pewną wartość graniczną, charakterystyczną dla tego materiału. Podobne sugestie wysuwał już dużo wcześniej Maxwell w liście do swego przyjaciela Thompsona (Kelvina) w 1856 roku. Hipotezę, w której miarą wytężenia była gęstość całkowitej energii odkształcenia, sformułował Beltrami w 1885 roku. Sens hipotez energetycznych jest intuicyjnie wyczuwalny. Do uplastycznienia konieczne jest bowiem włożenie pewnej pracy mierzonej lokalnie gęstością energii. Hipoteza Beltramiego nie znalazła jednak potwierdzenia w badaniach doświadczalnych. Dlaczego więc decydująca jest tylko część energii, czyli energia dewiatorów? Na pytanie to odpowiadają badania doświadczalne metali poddanych bardzo wysokim ciśnieniom (około 50 000 MN/m2). Badania te dowiodły, że zmiany objętości, które w materiałach izotropowych są wynikiem działania aksjatora naprężenia, mają charakter czysto sprężysty, czyli znikają po usunięciu obciążenia. Oznacza to, że odkształcenia trwałe (plastyczne) są wywołane tylko działaniem dewiatorów. Matematyczne sformułowanie warunku plastyczności Hubera jest więc następujące:

Wσ( d ) = C,

(7.7)

gdzie C jest pewną stałą materiałową. Warunek plastyczności (7.7) jest związany z nazwiskami Misesa i Hencky'ego. Mises w 1913 roku wyprowadził formułę przybliżającą ówcześnie stosowany warunek Treski (por. p. 7.2.2). Okazało się, że postać tego przybliżenia była identyczna z nieznanym na zachodzie Europy warunkiem Hubera. W 1923 roku Hencky stwierdził, że warunek uzyskany przez Misesa ma interpretację energetyczną podaną równaniem (7.7). Dodamy, że Hencky nie znał jeszcze wówczas pracy Hubera z 1904 roku. Wspomniane fakty historyczne zadecydowały o tym, że warunek plastyczności (7.7) nazywa się obecnie warunkiem Hubera-Misesa-Hencky'ego lub w skrócie warunkiem HMH.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

4

Przejdziemy obecnie do bliższej analizy warunku HMH. Ze wzoru (6.12) wynika, że energia Wσ( d ) jest funkcją tylko drugiego niezmiennika dewiatora naprężenia I2( σd ) i wyraża ją wzór: (a)

Wσ(d ) =

[

]

1 2 2 2 (σ11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 ) 2 + (σ 33 − σ11) 2 + 6(σ12 ). + σ 23 + σ 31 12G

Stosownie do uwag zawartych w p. 7.1 wnioskujemy, że warunek plastyczności musi być słuszny dla jednoosiowego rozciągania, tzn. gdy σ11 = σP, a pozostałe współrzędne tensora naprężenia są równe zeru. Uwzględnienie tego we wzorze (a) i podstawienie uzyskanego wyniku do wzoru (7.7) pozwala obliczyć wartość stałej materiałowej C: σ2 1 2 2 σ11 + σ11 = P. C = Wσ( d ) = (b) 12G 6G

(

)

Po podstawieniu wzorów (a) i (b) do równania (7.7) otrzymujemy następującą zależność graniczną: F ( σ ij ) =

1 [( σ 1 1 − σ 2 2 ) 2 + ( σ 2 2 − σ 3 3 ) 2 + ( σ 3 3 − σ 1 1 ) 2 + 2

+ 6 ( σ 122 + σ 223 + σ 321 )] − σ P2 = 0 .

(7. 8)

Jeśli współrzędne σij spełniają tę zależność, to materiał w danym punkcie przechodzi w stan plastyczny. Równanie (7.8) możemy zapisać jeszcze inaczej:

σ red − σ P = 0 , gdzie

σ red =

1 2

2 2 2 (σ 11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 ) 2 + (σ 33 − σ 11 ) 2 + 6(σ 12 + σ 23 + σ 31 )

( 7 .9 )

i oznacza poszukiwane naprężenie zredukowane. Jeżeli σ red − σ P < 0 , to mamy stan sprężysty, a jeżeli σ red − σ P = 0 , to następuje uplastycznienie. Na podstawie rys. 7.2 wnioskujemy, że stan σ red − σ P > 0 jest nierealny. Z postaci wzoru (7.9) widać, że wymagania dotyczące naprężenia zredukowanego z p. 7.1 są spełnione. Naprężenie zredukowane można wyrazić przez drugi niezmiennik stanu naprężenia:

σ red = 6GWσ ( d ) = − 3I 2( dσ) .

(7.9a)

Ponieważ I2( σd ) < 0, więc wartości σred są zawsze rzeczywiste. Jeśli znamy naprężenia główne, to zależność graniczną (7.8) można zapisać za pomocą nieuporządkowanych wartości głównych:

(c)

F (σ1 , σ 2 , σ 3 ) = (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 − 2σ P2 = 0.

Ponieważ występują teraz tylko 3 zmienne σ1, σ2 i σ3, nasuwa się myśl, by warunek (c) przedstawić w trójwymiarowej przestrzeni naprężeń głównych. Obrazem geometrycznym tego równania jest walec kołowy o promieniu (2 / 3) ⋅σ P . Oś tego walca tworzy ten sam kąt z każdą z osi układu współrzędnych σ1,

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

5

σ2, σ3. Jest to tzw. oś aksjatorów. Kosinus tego kąta wynosi 1 / 3 , więc jego wartość

(

)

arccos 1 / 3 = 54,74° (por. rys. 7.3).

Rys. 7.3

Współrzędne punktów wypełniających wnętrze walca odpowiadają sprężystym stanom naprężenia (np. punkt B). Uplastycznienie zachodzi natomiast dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punktom leżącym na pobocznicy walca (np. punkt A). Stany naprężeń zobrazowane punktami leżącymi poza walcem są nierealne. Dla aksjatora wszystkie naprężenia normalne są równe, tzn. σ1 = σ2 = σ3. Warunek ten spełniają współrzędne osi walca, przyporządkowane zawsze stanom sprężystym. Podczas wszechstronnego rozciągania lub ściskania w miarę wzrostu obciążenia przesuwamy się wzdłuż osi aksjatorów i nie jesteśmy w stanie doprowadzić w ten sposób do uplastycznienia materiału. W obliczeniach konstrukcji bardzo często występują płaskie stany odkształcenia i płaskie stany naprężenia. W płaskim stanie odkształcenia, gdzie odkształcenie główne ε3 = 0, oprócz naprężeń głównych σ1 i

σ2 występują również niezerowe wartości naprężenia głównego σ3. Wartości tego naprężenia w sprężystym materiale izotropowym wynikają ze związków fizycznych (5.1) i wyraża je wzór:

σ 3 = ν (σ1 + σ 2 ) . W procesie deformacji czysto plastycznych materiał zachowuje się jak ciało nieściśliwe. Ponieważ dla ciała nieściśliwego współczynnik Poissona ν = 1 / 2 , więc między naprężeniami głównymi σ1, σ2 i σ3 w płaskim stanie odkształcenia zachodzi zależność: 1 σ 3 = (σ1 + σ 2 ). 2 Po podstawieniu tej zależności do równania (a) otrzymujemy warunek plastyczności dla płaskiego stanu odkształcenia: 2 (7.10) σ1 − σ 2 = ± σ p'. 3

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

6

Rys. 7.4

Wobec tego deformacje czysto sprężyste zachodzą wówczas, gdy

σ1 − σ 2 −

2 3

σ p < 0.

Obrazem tej nierówności na płaszczyźnie σ1 i σ2 jest obszar ograniczony dwoma prostymi zaznaczonymi na rys. 7.4 liniami przerywanymi (ε3 ≡ 0). Warto zwrócić uwagę na to, że proste opisujące zależność graniczną (7.10) pokrywają się z rzutem walca Hubera na płaszczyznę σ3 = const. Rzutowanie powierzchni plastyczności na płaszczyznę σi = const w przestrzeni naprężeń jest uniwersalnym sposobem określenia kształtu zależności granicznej, gdy εi ≡ 0. Sposób ten wynika z ogólnej teorii ciał plastycznych i można go stosować dla dowolnego warunku plastyczności. Jeżeli warunek plastyczności jest zapisany w przestrzeni naprężeń głównych, to dla płaskiego stanu odkształcenia (ε3 = 0) zależność graniczną wyraża w ogólności równanie:

σ1 − σ 2 = ±2τ p ,

(7.11)

gdzie τP oznacza granicę plastyczności materiału przy czystym ścinaniu. Jak wiadomo, czyste ścinanie zachodzi, gdy σ1 = − σ2 = − σ. Uplastycznienie materiału w tym przypadku odpowiada zatem punktowi przecięcia prostej σ1 = − σ2 z odpowiednim warunkiem plastyczności. Współrzędne tego punktu są równe właśnie wartości τP (por. rys. 7.4). W płaskim stanie naprężenia zależność graniczną w przestrzeni naprężeń głównych otrzymuje się przyjmując, że odpowiednie naprężenie główne jest tożsamościowo równe zeru (np. σ3 ≡ 0). Obrazem geometrycznym tej zależności jest przekrój powierzchni plastyczności płaszczyzną σ3 = 0. W przypadku warunku HMH przekrój ten daje w rezultacie elipsę zaznaczoną na rys 7.4 linią ciągłą. Ponieważ w dowolnym układzie osi stan naprężenia charakteryzują tylko trzy niezależne składowe tensora naprężenia, warunkowi plastyczności można również nadać interpretację geometryczną w przestrzeni naprężeń σ11, σ22 i σ12. Stosownie do wzoru (7.8) zależność graniczna dla płaskiego stanu naprężenia przyjmuje postać: 2 2 2 F (σ11 , σ 22 , σ12 ) = σ11 − σ11 ⋅ σ 22 + σ 22 + 3σ12 − σ P2 = 0. (7.12) Wprowadzimy oznaczenia: (d)

σ σ σ y1 = 11 , y 2 = 22 , y3 = 12 σP σP σP

Wówczas równanie (7.12) przedstawia się następująco: (e)

y12 − y1 y 2 + y 22 + 3 y32 − 1 = 0.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

7

Jest to w przestrzeni (y1, y2, y3) równanie pewnej powierzchni. Dokonamy obecnie obrotu osi y1, y2, względem osi y3 o kąt 45° (rys. 7.5). Obrót taki charakteryzuje tabela kosinusów kierunkowych:

y1'

y1 1 2

y2 1 2

y2'

1 2

1 2

0

y3'

0

0

0

y3

0

Rys. 7.5

Na podstawie wzorów transformacyjnych yi = yk 'aik ' otrzymujemy  y1 = y1'a11' + y2'a12' ,   y2 = y1'a21' + y2'a22' , y = y . 3'  3 Wobec tego 1   y1 = 2 y1' −  1  y1' +  y2 = 2   y3 = y3' .  

1 y2' , 2 1 y2' , 2

Po uwzględnieniu tych zależności równanie (e) modyfikuje się do postaci: y12'

+

( ) ( 2

2

y 22' 2/3

+

) ( 2

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

y32' 1/ 3

)

2

= 1.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

8

Jest to odcinkowe równanie elipsoidy, którą obrazuje rys. 7.6 (por. Szczepiński [44]). Każdemu punktowi powierzchni odpowiada pewien stan naprężenia: σ11, σ22 i σ12. Osiągnięcie tych wartości oznacza uplastycznienie materiału. Punkty leżące wewnątrz elipsoidy odpowiadają stanom sprężystym.

Rys. 7.6

7.2.2. Warunek plastyczności Treski-Guesta (TG) Podstawą do sformułowania tego warunku była obserwacja linii Lüdersa (por. p. 4.10), które powstają w początkowej fazie uplastycznienia próbki rozciąganej. Ponieważ kąt pochylenia tych linii w stosunku do osi próbki jest bliski 45° i odpowiada płaszczyznom maksymalnych naprężeń stycznych, Tresca w 1872 roku podał następującą hipotezę: Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy maksymalne naprężenie styczne osiągnie pewną graniczną wartość, charakterystyczną dla tego materiału. Maksymalne naprężenie styczne τ max = (σ I − σ III ) / 2, więc treść hipotezy Treski zawiera równanie: 1 (σ I − σ III ) = C1 , (7.13) 2 gdzie C1 jest pewną stałą materiałową, a σI i σIII − największym i najmniejszym naprężeniem głównym. Coulomb w 1776 roku i później Guest (1900 rok) uplastycznienie materiału uzależnili od maksymalnego kąta odkształcenia postaciowego γmax. Jeśli materiał do momentu uplastycznienia jest liniowosprężysty i izotropowy, to między hipotezą Coulomba i Guesta oraz hipotezą Treski nie ma żadnej różnicy. Wniosek ten wynika bezpośrednio z równań fizycznych. Ponieważ nazwisko Coulomba wiąże się z jeszcze inną hipotezą, zależność graniczną (7.13) przyjęto nazywać warunkiem plastyczności TreskiGuesta (TG). Przejdziemy do analizy wzoru (7.13). Wzór ten musi obowiązywać również dla osiowego rozciągania, gdzie σI = σP, a σIII = 0. Pozwala to wyznaczyć stałą C1: 1 C1 = σ P . 2 Wobec tego warunek Treski przyjmuje postać: σ I − σ III = σ P . (7.14) Wnioskujemy stąd, że naprężenie zastępcze σred wynosi:

σ red = σ I − σ III .

(7.15)

Warunek plastyczności Treski można wyrazić za pomocą niezmienników dewiatora I2(d ) , I3(d ) . Warunek ten ma jednak wtedy bardzo złożoną postać (por. [11]): Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

( )

( )

( )

3 2 4 I 2( d ) − 27 I3( d ) 2 − 9σ P2 I 2( d ) + 6σ P4 I 2( d ) − σ P6 = 0.

9

(7.16)

Jeśli przejdziemy do nieuporządkowanych osi głównych naprężeń (σ1, σ2, σ3), to warunkiem, aby w ciele występowały tylko naprężenia sprężyste, jest jednoczesne spełnienie następujących nierówności σ i − σ j < σ P ( i, j = 1, 2, 3). (7.17) Po rozpisaniu ich otrzymujemy:

σ1 − σ 2 < σ P , − σ1 + σ 2 < σ P , σ2 − σ3 < σ P , − σ2 + σ3 < σ P , σ 3 − σ1 < σ P , − σ 3 + σ1 < σ P ,

gdy σ 1 > σ 2 ,  gdy σ 1 < σ 2 ,  gdy σ 2 > σ 3 ,  gdy σ 2 < σ 3 ,  gdy σ 3 > σ1 ,   gdy σ 3 < σ 1. 

(7.17a)

Rys. 7.7

W przestrzeni naprężeń σ1, σ2, σ3 nierówności (7.17a) opisują wnętrze graniastosłupa, którego podstawę jest sześciobok foremny. Oś graniastosłupa − podobnie jak oś walca w warunku Hubera − tworzy równe kąty z osiami układu (por. rys. 7.7). Przecięcie tego graniastosłupa płaszczyzną σ3 = 0 (płaski stan naprężenia) daje obszar płaski. Warunek plastyczności w tym przypadku jest określony nierównościami:

σ1 − σ 2 < σ P , − σ1 + σ 2 < σ P , σ2 < σ P , − σ2 < σ P , σ1 < σ P , − σ1 < σ P ,

gdy σ 1 > σ 2 ,  gdy σ 1 < σ 2 ,  gdy σ 2 > 0,   gdy σ 2 < 0,  gdy σ 1 > 0,   gdy σ 1 < 0. 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(7.18)

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

10

Nierówności (7.18) opisują wnętrze sześcioboku przedstawionego na rys. 7.8. Dla porównania linią przerywaną zaznaczono elipsę Hubera. Z przeprowadzonych rozważań wynika, że graniastosłup Treski jest wpisany w walec Hubera; krawędzie graniastosłupa leżą na pobocznicy tego walca. Obszar sprężysty według Treski jest więc mniejszy niż obszar sprężysty wynikający z warunku Hubera. Znany jest jeszcze inny warunek plastyczności − Iwlewa-Haythornthwaite’a (IH), odpowiadający powierzchni opisanej na powierzchni Hubera. Zgodnie z tym warunkiem materiał przechodzi w stan plastyczny wówczas, gdy ekstremalne naprężenie normalne w dewiatorze osiąga pewną krytyczną wartość, tzn. gdy jest spełnione choćby jedno z następujących równań:

σ11 − σ 0 = σ P ,

σ 22 − σ 0 = σ P ,

σ 33 − σ 0 = σ P .

(7.19)

Warunek IH nie ma interpretacji fizycznej, jest jednak użyteczny, daje bowiem górną ocenę nośności. Trzy pozostałe warunki plastyczności dla płaskiego stanu naprężenia i płaskiego stanu odkształcenia zilustrowano na rys. 7.8a,b.

Rys. 7.8

Dla płaskiego stanu naprężenia (σ3 = 0) warunek plastyczności TG możemy przedstawić również w przestrzeni naprężeń dowolnych (nie głównych). Wzory na naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia mają postać (por. wzór (1.28)): σ 1 σ + σ 22  = 11 ±  2 σ  2

(a)

2

 σ 11 − σ 22  2   + σ 12 .   2

Na razie nie potrafimy powiedzieć, które z naprężeń σ1, σ2, σ3 jest największe, a które najmniejsze. Trzeba rozważyć trzy przypadki (por. rys. 1.27): 1) σ1 > 0, σ2 > 0, 2) σ1 > 0, σ2 < 0, 3) σ1 < 0, σ2 < 0,

wówczas σI = σ1, σIII = σ3 = 0, wówczas σI = σ1, σIII = σ2, wówczas σI = σ3 = 0, σIII = σ2.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

Przypadek 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

11

(σI − σIII = σ1)

Równanie (7.12) ma postać: 2

σ11 + σ 22  σ − σ 22  2 +  11 (b)  + σ12 = σ P .   2 2 Postępując identycznie jak przy analizowaniu warunku Hubera, otrzymujemy równanie: 2

2

 y1 + y 2   y − y2  2 − 1 =  1   + y3  2   2  lub w układzie obróconym o 45° (c)

2

( y2 ' ) 2  1  − 1 = + ( y3' ) 2 . y   2  2 1'  ( 2) Dokonamy jeszcze przesunięcia układu: (d)

y1' = z3 + 2 ,

(e)

y2 ' = z1 , y3' = z2 .

Wówczas zależność (d) przedstawia równanie stożka eliptycznego (por. rys. 7.9): z12

(f)

 1     2

2

+

z 22  1    2

2

−

z32  1     2

2

= 0.

Przypadek 2 (σ I − σ III = σ1 − σ 2 )

Rys. 7.9

Rys. 7.10

2

(g)

 σ − σ 22  2 2  11  + σ12 = σ P .   2

W układzie osi yi otrzymujemy (h)

( y1 − y 2 ) 2 + 4 y32 = 1.

Dla osi obróconych yi' , równanie warunku plastyczności przedstawia walec eliptyczny o osi pokrywającej się z osią y1':

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

(i)

Przypadek 3

( y2 ' ) 2

( y3' ) 2

 1     2

 1    2

+ 2

2

12

= 1.

(σ I − σ III = −σ 2 )

Analiza tego przypadku przebiega identycznie jak przypadku 1. W efekcie otrzymujemy również stożek eliptyczny w odpowiednio przesuniętym układzie współrzędnych. W rezultacie analizy wszystkich przypadków otrzymujemy powierzchnię graniczną przedstawioną na rys. 7.10. Widzimy, że warunek plastyczności Treski w przestrzeni naprężeń σ11, σ22, σ12 składa się z walca eliptycznego i dwóch stożków eliptycznych. Zwróćmy uwagę na to, że elipsoida Hubera z rys. 7.6 zawiera w sobie powierzchnię plastyczności Treski. 7.2.3. Porównanie warunków plastyczności HMH i TG 1. Najistotniejsze różnice ilościowe między warunkami plastycznymi HMH i TG występują dla czystego ścinania, gdzie σ11 = σ22 = 0. Stan ten odpowiada punktowi C, zaznaczonemu na rys. 7.6 i 7.10. Dla warunku HMH mamy: ( P) σ 12 1 1 ( P) , zatem σ 12 = = τP = σ P = 0,58σ P . σP 3 3

Dla warunku TG mamy: ( P) σ 12 1 ( P) = , zatem σ12 = τ P = 0,50 σ P . 2 σP

Różnice te były decydującym argumentem na rzecz hipotezy Hubera-Misesa-Hencky'ego. Z badań laboratoryjnych wynika, że uplastycznienie podczas czystego ścinania zachodzi dla naprężeń stycznych bliskich wartości 0,6σP, a nie 0,5σP jak przewiduje hipoteza Treski. W nawiązaniu do dzisiejszego stanu wiedzy warto dodać, że jeżeli materiał składa się z bezładnie ułożonych kryształów, których warunkiem uplastycznienia jest warunek Treski, to makroskopowo otrzymujemy warunek Hubera-MisesaHencky'ego. Współczesne normy projektowania konstrukcji metalowych są oparte na warunku HMH, najlepiej opisującym zachowanie się materiałów ciągliwych. 2. Drugą istotną cechą różniącą oba warunki plastyczności jest to, że warunek Treski w przeciwieństwie do warunku Hubera nie zależy od wartości pośredniego naprężenia głównego σII. O wytężeniu materiału według hipotezy TG decyduje więc tylko największe koło naprężeń Mohra. 3. Często występują płaskie stany naprężenia, w których jedno z naprężeń normalnych jest zawsze równe zeru (np. σ22 = 0). Zdarza się to w teorii belek. Odpowiedni warunek plastyczności uzyskamy po przecięciu powierzchni plastyczności płaszczyzną σ22 = 0. W efekcie zarówno dla warunku HMH (rys. 7.6), jak i warunku TG (rys. 7.10) otrzymujemy elipsy opisane równaniami:

− warunek HMH

2 2 + 3σ 12 = σP, σ 11

− warunek TG

2 2 + 4σ 12 = σ P. σ 11

Ilustracją tych równań jest rys. 7.11.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

13

Rys. 7.11

4. W pewnych sytuacjach przy stosowaniu warunku HMH do uplastycznienia można doprowadzić przez zmniejszenie bezwzględnej wartości jednej ze współrzędnych tensora naprężenia, podczas gdy pozostałe się nie zmieniają. Fakt ten ilustruje rys. 7.4. Zmniejszenie wartości σ 2 , odpowiada odcinkowi ab. W punkcie a mamy stan sprężysty (F < 0), a w punkcie b występuje stan plastyczny (F = 0). Opisany przypadek często umyka uwadze projektantów konstrukcji. Warto zwrócić uwagę na to, że uplastycznienie materiału jest tym trudniejsze, im tensor naprężenia jest bardziej „kulisty”.

7.2.4. Uwagi o wzmocnieniu plastycznym Do tej pory rozważaliśmy materiały idealnie sprężysto-plastyczne, scharakteryzowane na rys. 7.2. Okazuje się, że uzyskane wyniki można uogólnić na materiały wykazujące wzmocnienie i zjawisko Bauschingera (rys. 7.12a). Efekt Bauschingera odpowiada przesunięciu powierzchni plastyczności jako bryły sztywnej w przestrzeni naprężeń (rys. 7.12b). Dlatego takie wzmocnienie nazywamy wzmocnieniem kinematycznym. Deformacja plastyczna powoduje, że granice plastyczności na ściskanie i rozciąganie w każdym z kierunków głównych są różne. Przesunięcie powierzchni plastyczności ilustruje więc także zjawisko anizotropii plastycznej pojawiającej się wskutek deformacji plastycznej. Stąd wzmocnienie kinematyczne nazywa się czasami wzmocnieniem anizotropowym.

Rys. 7.12

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

14

Warunek plastyczności przy wzmocnieniu kinematycznym zapisuje się w następujący sposób:

[(

) ]

F σ ij − ∆σ ij , σ P = 0,

(7.20a)

gdzie ∆σij oznacza współrzędne wektora przesunięcia powierzchni plastyczności w przestrzeni naprężeń.

Rys. 7.13

Poza koncepcją wzmocnienia anizotropowego posługujemy się również koncepcją wzmocnienia izotropowego. Dla rzeczywistych metali początkowo obserwuje się wzmocnienie kinematyczne. Dla różnych odkształceń dominuje wzmocnienie izotropowe. Tak więc obie koncepcje wzmocnienia są jedynie elementami pewnej hipotezy wzmocnienia. Wzmocnienie izotropowe odpowiada równomiernemu „puchnięciu” powierzchni plastyczności (por. rys. 7.13). Warunek plastyczności dla wzmocnienia izotropowego można zapisać następująco:

[

]

F σ ij , σ P ( χ ) = 0,

(7.20b)

gdzie współczynnik χ oznacza tzw. parametr wzmocnienia.

7.3. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA MATERIAŁÓW PLASTYCZNO - KRUCHYCH 7.3.1. Hipoteza ekstremalnych naprężeń głównych Omówimy teraz niektóre hipotezy wytrzymałościowe dla materiałów o charakterystyce przedstawionej na rysunku 7.14. Podczas ściskania materiały te wykazują cechy plastyczne, podczas rozciągania zachowują się liniowo-sprężyście, aż do momentu osiągnięcia wytrzymałości na rozciąganie σr, w którym następuje kruche pęknięcie. Tak przyjęty model dość dobrze opisuje tzw. materiały plastycznokruche. Do materiałów tych można zaliczyć beton, skały oraz ośrodki gruntowe. Ponieważ określenie stanu mechanicznego zależy teraz od większej liczby parametrów, poprzestaniemy na podaniu zależności granicznych. W roku 1632 Galileusz poddał myśl, że o wytrzymałości materiału decyduje największe naprężenie rozciągające. Łatwo stwierdzić, że hipoteza ta zawodzi już dla osiowego ściskania. Myśl Galileusza podAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

15

jęli jednak Rankine (1856 rok) i Clebsch (1862 rok), którzy ograniczyli także wartość ściskających naprężeń normalnych. Według tych badaczy stan bezpieczny określają nierówności:

− σ P ≤ σi ≤ σ r

(i = 1, 2, 3),

(7.21)

gdzie σP i σr oznaczają odpowiednio naprężenia niszczące przy ściskaniu i rozciąganiu a σ1, σ2 i σ3 − naprężenia główne. Obszar bezpieczny opisany nierównościami (7.21) przedstawia rys. 7.15. Zależność graniczna (7.21) bywa czasami stosowana do materiałów kruchych.

Rys. 7.14

Rys. 7.15

W materiałach kruchych dobre wyniki daje hipoteza największego odkształcenia głównego, stosowana już przez Ponceleta i de Saint-Venanta w połowie XIX wieku. W myśl tej hipotezy bezpieczne wartości odkształceń głównych spełniają nierówności:

εi ≤ ε r

(i = 1, 2, 3) ,

(7.22)

gdzie εr > 0 i oznacza graniczną wartość odkształcenia, charakterystyczną dla danego materiału (por. rys. 7.14).

Rys. 7.16

Fakty doświadczalne wykazują, że graniczne wydłużenie nie zawsze jest związane z kierunkiem działania siły. Podczas ściskania próbki betonowej między dwoma sztywnymi płytami (rys. 7.16) zniszczenie następuje wskutek przekroczenia granicznych wartości odkształceń w kierunku prostopadłym do kierunku ściskania. Efekt ten występuje wówczas, gdy powierzchnie docisku płyt są pokryte warstwą parafiny i nie przenoszą sił tarcia. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

16

Aby zapisać zależność graniczną w przestrzeni naprężeń głównych, wykorzystamy fakt, że materiały kruche aż do zniszczenia zachowują się sprężyście. Jeśli materiał jest izotropowy, to dla osiowego rozciągania ważny jest wzór:

σ εr = r , E

(a)

gdzie σr oznacza naprężenie zrywające, a E − moduł Younga. Po podstawieniu wzoru (a) oraz związków fizycznych (5.3) do zależności (7.22) otrzymujemy następujące nierówności:

σ 1 − ν (σ 2 + σ 3 ) − σ r ≤ 0,  σ 2 − ν (σ 1 + σ 3 ) − σ r ≤ 0, σ 3 − ν (σ 1 + σ 2 ) − σ r ≤ 0,

(7.23)

gdzie ν jest współczynnikiem Poissona.

Rys. 7.17

Nierówności (7.23) przedstawiają pewien obszar w przestrzeni nieuporządkowanych naprężeń głównych σ1 , σ2 i σ3. Wnętrze tego obszaru odpowiada stanom sprężystym. Bliższa analiza nierówności (7.23) wskazuje, że badany obszar jest ostrosłupem, którego oś pokrywa się z prostą równo nachyloną do osi układu współrzędnych σ1, σ2 i σ3. Przekroje płaszczyznami prostopadłymi do osi ostrosłupa dają trójkąty równoboczne. Środki ciężkości tych trójkątów leżą na osi ostrosłupa. Obszar graniczny ilustruje rys. 7.17. Konkretne wymiary obszaru sprężystego w istotny sposób zależą od współczynnika Poissona. Dla ν = 0 otrzymujemy warunek Galileusza (rys. 7.18a), a dla ν = 0,5 uzyskujemy graniastosłup o podstawie trójkątnej (rys. 7.18b). Wpływ współczynnika Poissona na kształt i wymiary obszaru w płaskim stanie naprężenia ilustruje rys. 7.18c. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

17

Rys. 7.18

7.3.3. Hipotezy wywodzące się z warunku Mohra Warunek Mohra obejmuje obszerną klasę tych hipotez, w których zniszczenie materiału nie zależy od wartości pośredniego naprężenia głównego σII. Szczególnym przypadkiem warunku Mohra jest więc hipoteza Treski. Myśl przewodnia hipotezy Mohra jest następująca. Doświadczenie pokazuje, że zarówno zniszczenie poślizgowe, jak i rozdzielcze występuje na pewnych określonych powierzchniach. Dlatego uzasadnione jest założenie, że o zniszczeniu decyduje wektor naprężenia (tzn. naprężenie normalne σ i styczne τ) na tych właśnie powierzchniach (rys. 7.19). Można więc przyjąć, że wytężenie materiału jest określone pewną funkcją f(σ, τ). Gdy funkcja ta, wyznaczona doświadczalnie, osiągnie wartość graniczną, to materiał ulega zniszczeniu. Wartości σ i τ, odpowiadające granicznej wartości funkcji f(σ, τ), tworzą dla różnych stanów naprężenia pewną krzywą graniczną w przestrzeni (σ, τ), zwaną obwiednią Mohra i stanowiącą granicę obszaru bezpiecznego. Zniszczenie materiału następuje najpierw w tym punkcie i tej płaszczyźnie, dla których naprężenia σ i τ osiągną wartości wyznaczone punktami obwiedni. U podstaw hipotezy Mohra leży analogia związana ze zjawiskami tarcia. Pokonanie sił tarcia w spoczynku zależy od siły przesuwającej i od nacisku normalnego do powierzchni tarcia (rys. 7.19a). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

Rys. 7.19

18

Rys. 7.20

W myśl warunku Mohra wszystkie graniczne stany naprężenia przedstawia się za pomocą największych kół naprężeń na płaszczyźnie (σ, τ). Środki tych kół wyznacza wartość p, a ich promienie wartość q: 1 (σ I + σ III ), 2 1 q = (σ I − σ III ). 2 p=

(7.24) (7.25)

Dla wybranego granicznego koła Mohra stan niebezpieczny osiąga się przy pewnej wartości σ i τ (punkt A na rys. 7.20a). Ponieważ zniszczenie nie może zależeć od znaku naprężenia stycznego, stan niebezpieczny musi wystąpić również dla wartości σ i −τ (punkt A' na rys. 7.20a). Wnioskujemy stąd, że obwiednia Mohra jest symetryczna względem osi σ. Obwiednię Mohra ilustruje rys. 7.20b. Obwiednia jest styczna do największych kół Mohra, a współrzędne punktów styczności odpowiadają granicznym wartościom naprężeń σ i τ, dla których występuje zniszczenie materiału. Wszystkie koła styczne do obwiedni w punkcie R określają stany naprężeń, dla których pojawia się zniszczenie rozdzielcze. Pozostałe punkty obwiedni odpowiadają zniszczeniu poślizgowemu. Najprostsza postać warunku Mohra składa się z dwóch prostych (por. rys. 7.21):

τ = c − σ ⋅ tgϕ ,

(7.26)

gdzie c i ϕ są stałymi materiałowymi. Warunek (7.26) sformułował już w 1776 roku Coulomb. Hipoteza Coulomba-Mohra znalazła zastosowanie w mechanice gruntów. Wówczas c i ϕ są odpowiednio: spójnością (tzn. wytrzymałością na ścinanie bez nacisku normalnego) i tzw. kątem tarcia wewnętrznego. Prostą interpretację mechaniczną wzoru (7.26) objaśnia rys. 7.21a. Przedstawiono na nim płaski element połączony z pewną płaszczyzną za pośrednictwem spoiwa o średniej wytrzymałości na ścinanie równej c. Wówczas graniczna wartość siły stycznej do płaszczyzny połączenia T1 = Ac, gdzie A oznacza pole powierzchni kontaktu. Jeżeli element jest dodatkowo dociskany siłą S, to graniczna wartość siły powodującej przesunięcie elementu wzdłuż styku powiększy się o siłę T2 pochodzącą od tarcia, czyli T2 = S tgϕ, Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

19

gdzie ϕ jest kątem tarcia. Zatem całkowita wartość graniczna siły stycznej T = T1 + T2, co po podzieleniu przez pole kontaktu A odpowiada równaniu obwiedni granicznej dla τ > 0:

τ = τ1 + τ2 = c − σ tgϕ . Symbol σ = S/A oznacza naprężenie normalne (znak minus wynika ze znakowania naprężeń i oznacza ściskanie). Na płaszczyźnie naprężeń σ i τ warunek (7.26) stanowi prostoliniową obwiednię kół Mohra, przedstawioną na rys. 7.21. Z rysunku wynika, że

(σ I − σ III ) + (σ I + σ III ) sin ϕ − 2 cosϕ = 0.

(7.27)

Rys. 7.21

Po przejściu do nieuporządkowanych naprężeń głównych otrzymujemy 6 równań: (σ i − σ j ) + (σ i + σ j )sin ϕ − 2c cos ϕ = 0 ( i, j = 1, 2, 3).

(7.27a)

Szczegółowa analiza tych równań pozwala stwierdzić, że obszar bezpieczny odpowiada wnętrzu ostrosłupa o osi pokrywającej się z prostą σ1 = σ2 = σ3 oraz o wierzchołku w punkcie σ1 = σ2 =σ3 = c ctgϕ. Obszar ten obrazuje rys. 7.22. Przekroje ostrosłupa są nieregularnymi sześciobokami o trzech osiach symetrii. Dla kąta tarcia wewnętrznego ϕ = 0 obszar ten modyfikuje się do graniastosłupa, którego przekroje są sześciobokami foremnymi. Jest to po prostu warunek Treski, w którym kohezja oznacza naprężenia styczne powodujące uplastycznienie: c = τP = 0,5σP.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

20

Rys. 7.22

Przekrój ostrosłupa płaszczyzną σ3 = 0 daje warunek Coulomba dla płaskiego stanu naprężenia (por. rys. 7.23).

Rys. 7.23

Z hipotezy Coulomba nie wynikają różnice w mechanizmach zniszczenia dla naprężeń ściskających i rozciągających. Najprostszym warunkiem uwzględniającym te różnice jest tzw. zmodyfikowany warunek Coulomba, zilustrowany rysunkiem 7.24. Symbol σ r' oznacza tam wytrzymałość na równomierne trójosiowe rozciąganie lub na rozciąganie osiowe, jeżeli σ r ' ≤ 2c cos ϕ / (1 + sin ϕ ), [19]. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

21

Rys. 7.24 Ogólniejszą klasę hipotez wynikających z warunku Mohra opisuje równanie:   τ β σ = σ r 1 −   ,   τo    

(7.28)

gdzie τ0 oznacza wytrzymałość na ścinanie dla σ = 0 (por. rys. 7.20), przy czym 1 < β ≤ 2. W przestrzeni naprężeń głównych otrzymujemy wówczas ostrosłup krzywoliniowy. Przypadkowi β€= 3/2 odpowiada hipoteza Caquota (1949 rok), bardzo dobrze opisująca zniszczenie betonu. Gdy β = 2, otrzymujemy warunek paraboliczny, stosowany głównie do oceny wytrzymałości skał.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

22

7.4. HIPOTEZA BURZYŃSKIEGO W latach 1928-1929 Burzyński sformułował warunek wytężenia obejmujący te hipotezy, które w przestrzeni naprężeń głównych odpowiadają obrotowym powierzchniom granicznym. W myśl hipotezy Burzyńskiego materiał ulega zniszczeniu wówczas, gdy suma energii dewiatorów i pewnej części energii aksjatorów osiąga wartość graniczną C2, tzn. gdy

Wσ( d ) + η ⋅ Wσ( o ) = C2 ,

(7.29)

gdzie 0 ≤ η ≤ 1. Współczynnik η zależy od stanu naprężenia i własności materiału. Konkretną postać warunku (7.29) ustala się doświadczalnie. Jeżeli na podstawie prób rozciągania, ściskania i ścinania ustalono odpowiednie wytrzymałości σr, σc i τ0, to warunek Burzyńskiego można zapisać w postaci:  σ σ  σ ⋅σ − c 2 r I 2( d ) +  1 − c 2r  I12 + (σ c − σ r ) I1 − σ c ⋅ σ r = 0. τ0 3τ 0   W przestrzeni naprężeń głównych równanie to przedstawia elipsoidę lub hiperboloidę obrotową o osi pokrywającej się z osią aksjatorów (σ1 = σ2 = σ3). Gdy τ 0 = σ c ⋅ σ r / 3 , otrzymuje się paraboloidę obrotową. Stożek kołowy uzyskujemy, jeśli

τ 0 = 2σ cσ r /

[

]

3(σ c + σ r ) . W przypadkach, gdy

σ r = σ c = σ P oraz τ 0 = σ P / 2(1 + ν ) otrzymujemy pewien szczególny przypadek elipsoidy opisującej warunek Beltramiego (η = 1). Z kolei, jeżeli τ 0 = σ P / 3 , to dostajemy warunek Hubera-MisesaHencky'ego (η = 0) przedstawiający powierzchnię walcową. Dzięki dużej różnorodności kształtów powierzchni granicznych hipotezę Burzyńskiego można zastosować zarówno do materiałów ciągliwych, jak i plastyczno-kruchych. Z powyższego wynika, że hipoteza ta zajmuje pozycję analogiczną do warunku Mohra. Zasadnicza różnica geometryczna polega na tym, że powierzchnie Burzyńskiego są obrotowe i gładkie, a w warunku Mohra powierzchnie graniczne są nieobrotowe; ich elementy składowe tworzą w ogólności krzywoliniowy ostrosłup o sześciu krawędziach i wierzchołku leżącym na osi aksjatorów.

7.5. WSPÓŁCZYNNIK BEZPIECZEŃSTWA Wspólną cechą omówionych zależności granicznych jest to, że punkty leżące na brzegu obszaru granicznego odpowiadają niebezpiecznym stanom naprężenia. Jest oczywiste, że chcąc uniknąć zniszczenia materiału, musimy wymagać, by stany naprężenia w każdym punkcie konstrukcji spełniały nierówność ostrą:

[

]

F σ ij ( x1 , x2 , x3 ), σ n < 0.

(7.30)

W jednoparametrowych warunkach wytrzymałościowych odpowiada to wymaganiu, by naprężenie zredukowane było mniejsze od wartości niebezpiecznej:

σ red ( x1 , x2 , x3 ) < σ n . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(7.31)

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

23

W bezpiecznie zaprojektowanej konstrukcji jest zachowana odpowiednio duża „odległość” aktualnego stanu naprężenia od stanu niebezpiecznego, określonego naprężeniem σn. Miarą tej odległości jest tzw. współczynnik bezpieczeństwa n. Omówione zależności graniczne dla ciał ciągliwych i plastyczno-kruchych służą do opisu większości materiałów konstrukcyjnych. Jeżeli charakterystyki fizyczne rozważanych materiałów odpowiadają rys. 7.2 (materiały ciągliwe) i rys. 7.14 (materiały plastyczno-kruche), to wnętrze obszaru granicznego odpowiada stanom sprężystym.

Rys. 7.25

Rozważmy obecnie stan naprężenia reprezentowany przez punkt A w przestrzeni naprężeń (rys. 7.25). Jeżeli stan ten jest bezpieczny, to punkt A leży wewnątrz obszaru granicznego. Zwróćmy uwagę na to, że naprężenie zastępcze jest funkcją jednorodną pierwszego stopnia względem współrzędnych stanu naprężenia. Rozumiemy przez to, że σ red (n ⋅ σ ij ) = n ⋅ σ red (σ ij ), czyli n-krotny wzrost składowych stanu naprężenia wywołuje również n-krotny wzrost naprężenia zredukowanego. Dzięki tej własności współczynnik bezpieczeństwa możemy zdefiniować jako stosunek długości odcinków OB i OA (por. rys. 7.25): OB n= > 1. (7.32) OA Współczynnik bezpieczeństwa jest liczbą większą od jedności, mówiącą, ile razy naprężenie zredukowane σred jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σn: n=

( B) σ red

( A) σ red

=

σn

( A) σ red

> 1.

Minimalne wartości współczynnika bezpieczeństwa n0 podane są w normach projektowania konstrukcji. Dodajmy tu, że wartości n0 mogą być różne dla różnych stanów naprężenia. Na przykład w materiałach plastyczno-kruchych w zakresie naprężeń rozciągających współczynnik bezpieczeństwa n0 jest na ogół większy niż dla naprężeń ściskających. Bezpiecznie zaprojektowana konstrukcja powinna zatem spełniać warunek: (7.33) n ≥ n0. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

24

Jeżeli wartości n0 są dane, to określają one w przestrzeni naprężeń tzw. obszar dopuszczalny (rys. 7.25), którego granice odpowiadają wartościom σ red = σ n / n0 . Iloraz σ n / n0 nazywa się naprężeniem dopuszczalnym: σ σ dop = n . (7.34) n0 Wobec powyższego nierówności (7.33) można nadać następującą postać:

σ red ( x1 , x2 , x3 ) ≤ σ dop .

(7.35)

Nierówność (7.35) stanowi treść najprostszej metody projektowania, zwanej metodą naprężeń dopuszczalnych. Ma ona charakter lokalny i jest oparta na założeniu, że osiągnięcie w pewnym punkcie konstrukcji naprężenia niebezpiecznego oznacza zniszczenie całej konstrukcji. Jest to zasadnicza wada tej metody. Obserwujemy bowiem wiele takich konstrukcji, w których lokalnemu uplastycznieniu bądź pęknięciu towarzyszą obciążenia znacznie mniejsze od obciążeń niszczących. Co więcej, w pewnych konstrukcjach dla obciążeń eksploatacyjnych z góry zakłada się lokalne zniszczenie materiału (np. w konstrukcjach żelbetowych). Problemy projektowania są dokładniej omówione w dodatku.

7.6. PRZYKŁADY Przykład

1

Dany jest stan naprężenia w punkcie 100 80 100  s = 100 − 200 0 [ MN / m2 ]. 0 − 100  80 Obliczyć współczynnik bezpieczeństwa na podstawie warunku HMH, jeśli: σP = 550 MN/m2. Rozwiązanie Rozwiązanie polega tutaj na obliczeniu naprężenia zredukowanego i porównaniu go z wartością σP. Naprężenie zredukowane określa wzór (7.9):

σ red =

1 2

[100 − ( −200)]2 + [− 200 − ( −100)]2 + ( −100 − 100) 2 + 6(1002 + 802 ) = = 345 MN/m2, n=

skąd

Przykład

550 = 1,59. 345

2

Dla danych naprężeń niszczących przy ściskaniu σc i rozciąganiu σr obliczyć wytrzymałość betonu na ściskanie τ0 za pomocą zmodyfikowanego warunku Coulomba. Rozwiązanie Jako wytrzymałość na bezpośrednie ścinanie rozumiemy tutaj rzędną obwiedni Mohra dla σ = 0. Trzeba więc wyznaczyć długość odcinka OA na rys. 7.26. Z rysunku tego odczytujemy:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

sin ϕ =

25

σc σr , = σ σr   c   2 + x  2 x −   2   2

skąd x=

2 σc ⋅σr σc ⋅σr σ − σr oraz sin ϕ = c i cosϕ = . σc − σr σc + σr σc + σr

Rys. 7.26

Poszukiwana wytrzymałość na ścinanie

τ 0 = xtgϕ =

σc ⋅σr σc − σr 1 σc ⋅σr . = ⋅ σc − σr 2 σc ⋅σr 2

Wzór ten jest często cytowany w podręcznikach konstrukcji betonowych. Wytrzymałość betonu na ściskanie jest na ogół 10 razy większa od wytrzymałości na rozciąganie. Po uwzględnieniu tego faktu otrzymujemy: 1 10 σ r = 1,6 σ r . τ0 = 2 Normy konstrukcji betonowych przyjmują, że τ0 = 2σr. Rezultat ten jest potwierdzony wieloma doświadczeniami. Wynika stąd, że przyjęty pierwotnie kształt obwiedni jest niewłaściwy. Odpowiednią korektę uwidoczniono na rysunku 7.26 linią przerywaną. Punkt A' należy obrać w ten sposób, by odcinek OA' był równy 2σr.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

1

Í Ï Î PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI Wytrzymałość Materiałów opiera się na założeniu ciągłości materii. Założenie to leży u podstaw tzw. mechaniki ośrodków ciągłych, wywodzącej się z mechaniki klasycznej, zbudowanej na trzech zasadach dynamiki Newtona. Stan naprężenia • Rodzaje sił działających na ciało − obciążenia a) siły powierzchniowe pdS ; gęstość sił powierzchniowych:

p = pi (x), x ∈ S ;

pi [ N / m2 ] ;

b) siły objętościowe (masowe) GdV ; − gęstość sił masowych:

G = Gi (x), x ∈V ;

Gi [ N / m3 ] .

• Definicja wektora naprężenia Wektor naprężenia zależy od położenia punktu i nachylenia płaszczyzny. Wielkość ∆F dF = f ( n) ( B) = lim dS ∆S → 0 ∆S nazywamy wektorem naprężenia w punkcie B, odniesionym do płaszczyzny o normalnej n: f ( n) ( B) = f ( x, n); n = (n1 , n2 , n3 ); n ⋅ n = n j n j = 1 . • Stan naprężenia w punkcie x s = σ ij (x) = f j( ni ) (x), x ∈V ;

p = pi( n) (x) = f i( n) (x), x ∈ S ; − warunki wewnątrz ciała (w objętości ciała V):

f i( n ) = σ ji n j , i , j = 1, 2 ,3; x ∈V − warunki na powierzchni ciała S:

pi = σ ji n j ,

i , j = 1, 2 ,3; x ∈ S

Stan naprężenia jest jednoznacznie określony przez tensor naprężenia s, opisany przez 9 liczb (współrzędnych) σji w danym układzie osi x1, x2, x3: σ 11 σ12 σ 13  s = σ ji = σ 21 σ 22 σ 23  σ 31 σ 32 σ 33 

[ ]

− płaszczyzna ⊥ do x1, − płaszczyzna ⊥ do x2, − płaszczyzna ⊥ do x3.

• Naprężenie normalne σ i naprężenie styczne τ na płaszczyźnie o normalnej n=(n1, n2, n3)

σ ( n) = f i( n) ni = σ ji n j ni ; τ ( n) =

f i ( n ) f i ( n ) − σ ( n )σ ( n ) .

• Równania różniczkowe równowagi (sumy rzutów sił na kolejne osie układu xi)

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

σ ji , j + Gi = 0, gdzie

∂ ∂x j

( ) ≡ ( ), j ,

2

i,j = 1, 2, 3.

• Symetria tensora naprężenia (sumy momentów sił względem osi układu xi)

σ ij = σ ji ,

i , j = 1,2,3 lub

s = sT .

Symbol „T” oznacza znak transpozycji macierzy. Liczba niezależnych współrzędnych tensora naprężenia wynosi zatem 6. • Transformacja współrzędnych tensora naprężenia przy obrocie układu współrzędnych fizycznych z położenia x do położenia x′ Kosinusy kątów pomiędzy osiami układów x i x′ a p 'i = aip ' = cos( x p ' , xi ) spełniają warunki ortogonalności: a p ′i aik ′ = δ p ′k ′ lub a p ′i a jp ′ = δij ; i,j = 1, 2, 3; p ′, k ′ = 1′ ,2′ ,3′ , gdzie δij jest symbolem Kroneckera. Wzory transformacyjne składowych tensora naprężenia przy obrocie układu współrzędnych σ k ' p ' = σ ji a jk 'aip' = a k ' jσ ji aip' ,

σ ij = σ k ′p'a k ′i a p ′j = aik ′σ k ′p ′ a p ′j , gdzie j , i = 1, 2, 3 ; k ′, p ′ = 1′ , 2 ′ , 3′. Postać macierzowa:

lub

s′ = A s A T lub s = A T s′ A , gdzie macierz transformacji: a1'2  a11 '  A = a2 '1 a2'2 a31 a3'2 '

a1'3  a2'3  . a3'3 

• Definicja tensora Każdy obiekt podlegający transformacji według prawa C p 'r ' s',...,t ' = Cijk ,...,l aip'a jr 'a ks' ,..., alt ' jest tensorem. Liczba wskaźników m to rząd lub walencja tensora. Tensor naprężenia jest tensorem drugiego rzędu, wektor − tensorem pierwszego rzędu, skalar − tensorem zerowego rzędu. Liczba współrzędnych tensora w przestrzeni m 3-wymiarowej wynosi 3 . • Naprężenia główne Każdy stan naprężenia można przedstawić w postaci trzech naprężeń normalnych σ1 , σ 2 , σ 3 (tzw. naprężeń głównych), działających na trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach, opisanych wektorami normalnymi pokrywającymi się z tzw. kierunkami głównymi. Naprężenia główne i kierunki główne wyznacza się z układu czterech równań: i = 1, 2, 3. σ ji n j − σ ni = 0,

n ⋅ n = ni ni = n12 + n22 + n32 = 1 . Z układu tego wynika, że naprężenia główne σ1 , σ 2 , σ 3 są pierwiastkami równania trzeciego stopnia, tzw. równania charakterystycznego:

σ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I3 = 0 , gdzie I1 , I 2 , I 3 są tzw. niezmiennikami głównymi tensora naprężenia: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

I1 ( s) = σ kk ;

I 2 ( s) =

(

)

1 σ kk σ rr − σ ijσ ij ; 2

3

I 3 ( s) = det[σ ij ] .

Niezmienniki zachowują swe wartości przy obrocie układu współrzędnych. W układzie osi głównych tensor naprężenia przyjmuje postać 0  σ 1 0  s = 0 σ 2 0  . 0 0 σ 3  Pierwiastki równania charakterystycznego są liczbami rzeczywistymi, co zachodzi zawsze wtedy, gdy tensor naprężenia jest symetryczny. Uporządkowane naprężenia główne: σ I ≥ σ II ≥ σ III , przy czym

σI=max ( σ1 , σ 2 , σ 3 ), σIII = min ( σ1 , σ 2 , σ 3 ), a naprężenie σII przyjmuje wartość pośrednią. Geometryczną interpretacją wzorów transformacyjnych i problemu naprężeń głównych są tzw. koła Mohra. • Maksymalne naprężenia styczne

σ I − σ III . 2 Ekstremalne (tj. maksymalne i minimalne) naprężenia styczne występują na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45° w stosunku do płaszczyzn głównych. Naprężenia normalne na płaszczyznach ekstremalnych naprężeń stycznych: τ max =

σ ( τ) =

σ I + σ III . 2

• Rozkład tensora naprężenia na aksjator i dewiator Każdy symetryczny tensor drugiego rzędu można rozłożyć na dwie części:

σ ij = σ ij( o) + σ ij( d ) , gdzie σ ij( o) = σ 0δij ; σ 0 =

1 1 σ11 + σ 22 + σ 33 ) = I1. ( 3 3

W wyrażeniu tym σ ij( d ) jest dewiatorem, a σ ij( o ) − aksjatorem. Aksjator odpowiada wszechstronnemu rozciąganiu (ściskaniu) średnim naprężeniem normalnym σ0. Aksjator jest więc określony tylko przez jedną wartość σ0. Cechą charakterystyczną dewiatora jest natomiast zerowanie się pierwszego niezmiennika: (d ) (d ) (d ) + σ 22 + σ 33 =0. I1( d ) = σ 11

Dlatego dewiator ma 5 niezależnych współrzędnych. O nachyleniu płaszczyzn głównych tensora decyduje tylko dewiator. • Płaski stan naprężenia W płaskim stanie naprężenia (w płaszczyźnie x1, x2) tensor naprężenia ma postać: σ 11 σ 12 0 s = σ ij = σ 21 σ 22 0 ,  0 0 0

[ ]

a wszystkie składowe σij są tylko funkcjami x1, x2. Równania transformacyjne przy obrocie osi układu o kąt ϕ:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

4

σ 11 + σ 22 σ11 − σ 22 cos 2ϕ + σ 12 sin 2ϕ , + σ 11 ''= 2 2 σ + σ 22 σ11 − σ 22 − cos 2ϕ − σ 12 sin 2ϕ , σ 2'2' = 11 2 2 σ − σ 22 sin 2ϕ + σ12 cos 2ϕ . σ 1'2' = − 11 2 Naprężenia główne wyrażają wzory: σ1  2 σ 11 + σ 22   σ − σ 22  2 ±  11  + σ 12 , σ 3 = 0.  =   2 2 σ 2  Kąt ϕ0 opisujący położenie głównych osi naprężeń: tg2ϕ 0 =

2σ 12 . σ11 − σ 22

Po zastosowaniu znakowania inżynierskiego:

σ x = σ11 , σ y = σ 22 , τ xy = −σ12 , τ yx = +σ 21 , według którego dodatnie naprężenie styczne ma obrót zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, wzory transformacyjne oraz wzór na kąt nachylenia osi głównych naprężeń wyraża się następująco:

σx +σy σx −σy cos 2ϕ − τ xy sin 2ϕ + 2 2 σx +σy σx −σy cos 2ϕ + τ xy sin 2ϕ σ y' = − 2 2 σx −σy sin 2ϕ + τ xy cos 2ϕ τ x' y' = 2 σ x' =

    ,     

tg2ϕ 0 = −

2τ xy

σx −σy

.

• Czyste ścinanie Czyste ścinanie jest szczególnym przypadkiem płaskiego stanu naprężenia. Zachodzi ono wtedy, gdy na ściankach elementarnego czworokąta występują wyłącznie naprężenia styczne τ. W układzie osi nachylonych pod kątem 45o odpowiada to elementowi np. rozciąganemu naprężeniem σ = τ w kierunku osi x1 oraz ściskanemu naprężeniem σ = −τ w kierunku osi x2. Czyste ścinanie jest stanem dewiatorowym i ma duże znaczenie przy wyprowadzaniu związków fizycznych. Stan odkształcenia

• Definicja wektora przemieszczenia We współrzędnych materialnych (Lagrange’a):

ui ( x1 , x2 , x3 ) = ξi ( x1 , x2 , x3 ) − xi . We współrzędnych przestrzennych (Eulera):

ui (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = ξi − xi (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) , gdzie położenie danego punktu materialnego przed odkształceniem opisane jest współrzędnymi x1 , x2 , x3 , a po odkształceniu − współrzędnymi ξ1 , ξ2 , ξ3 . • Tensor małych odkształceń - równania geometryczne (kinematyczne) Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

5

Odkształcenie ciała występuje wówczas, gdy zmieniają się odległości między poszczególnymi punktami ciała. Jeżeli gradienty przemieszczeń i składowe wektora przemieszczenia są małe, to opisy Lagrange’a i Eulera prowadzą do identycznych związków kinematycznych (zwanych również związkami geometrycznymi), łączących przemieszczenia u i odkształcenia e. Są to tzw. wzory Cauchy’go: 1 ui , j + u j ,i , i , j = 1, 2, 3. εij = ε ji = 2 Wszystkie współrzędne tensora e:

(

)

 ε11 ε12 e = ε 21 ε 22 ε 31 ε 32

ε13  ε 23  ε 33 

są bezwymiarowe. Współrzędne równowskaźnikowe są odkształceniami liniowymi wzdłuż odpowiednich osi i mają sens względnego wydłużenia, tzn. stosunku przyrostu długości elementarnego odcinka do jego długości przed odkształceniem. Współrzędne różnowskaźnikowe są odkształceniami kątowymi mierzonymi w płaszczyznach określonych indeksami współrzędnych (np. ε23 jest połową sumy kątów odkształcenia w płaszczyźnie x2, x3). W większości starszych podręczników stan odkształcenia opisuje się za pomocą odkształceń liniowych ε x , ε y , ε z i całkowitych kątów odkształcenia γij, tzn.: εx = ε11, εy = ε22 , εz = ε33, γxy = 2ε12, γyz = 2ε23, γzx = 2ε13. Jednak wyszczególnione wyżej tradycyjne składowe stanu odkształcenia niestety nie tworzą współrzędnych tensora. • Transformacja składowych tensora odkształcenia Współrzędne tensora małych odkształceń transformują się identycznie jak współrzędne tensora naprężenia, stosownie do zależności:

ε p' k ' = εij aip'a jk '

lub w postaci macierzowej: e' = A e A T .

• Odkształcenia główne Każdy stan odkształcenia można przedstawić w postaci trzech odkształceń liniowych ε1 , ε 2 , ε 3 (tzw. odkształceń głównych), działających w trzech wzajemnie prostopadłych kierunkach (tzw. kierunkach głównych). Odkształcenia główne i kierunki główne wyznacza się z układu czterech równań:

ε ji n j − ε ni = 0,

i = 1, 2, 3.

n ⋅ n = ni ni = n12 + n22 + n32 = 1. Odkształcenia główne ε1 , ε 2 , ε 3 są pierwiastkami równania charakterystycznego:

ε 3 − I1ε 2 + I 2ε − I 3 = 0 , gdzie I1 , I 2 , I 3 są tzw. niezmiennikami głównymi tensora odkształcenia: 1 I1 ( s) = ε kk ; I 2 ( s) = ε kk ε rr − εij εij ; I 3 ( s) = det[εij ] . 2

(

)

W układzie osi głównych tensor odkształcenia przyjmuje postać: ε1 0 e = 0 ε 2 0 0

0  0  ε 3 

. • Tensor obrotów (spin) Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

ωij =

(

)

1 ui , j − u j ,i ; 2

ωij = −ωij ;

6

i , j = 1, 2, 3.

Tensor obrotu jest tensorem skośnie symetrycznym (antysymetrycznym) o zerowych składowych na głównej przekątnej. Tensor ten nie wpływa na wartości naprężeń. • Rozkład gradientu przemieszczenia na tensory odkształcenia i obrotu ui , j = εij + ωij . • Maksymalne odkształcenia kątowe

τ max =

ε I − ε III . 2

Ekstremalne (tj. maksymalne i minimalne) odkształcenia kątowe występują w kierunkach nachylonych pod kątem 45° w stosunku do kierunków głównych. • Rozkład tensora odkształcenia na aksjator i dewiator

εij = εij( o) + εij( d ) ,

1 1 gdzie εij(o) = ε 0δij ; ε 0 = (ε11 + ε 22 + ε 33 ) = I1 , 3 3

gdzie ε0 = εkk i oznacza średnie odkształcenie liniowe. • Równania nierozdzielności Funkcje εij (x1, x2, x3) nie mogą być zupełnie dowolne i powinny spełniać tzw. równania nierozdzielności. Spełnienie równań nierozdzielności oznacza, że po odkształceniu w ośrodku nie powstaną „dziury” lub że myślowo wycięte elementy ciała nie będą się przenikały. Równań tych jest sześć i odpowiadają one zerowaniu się współrzędnych tensora niespójności ηij:

ηij = η ji = eikm e jln ε kl ,mn = 0 . Okazuje się, że wystarcza, by wewnątrz ciała znikały tylko trzy równania równowskaźnikowe lub tylko trzy różnowskaźnikowe. Na powierzchni ciała o dowolnych warunkach brzegowych muszą być natomiast spełnione wszystkie (tzn.6) równnia. • Względna zmiana objętości ∆dV = ε I + ε II + ε III = I1 (ε ) = ε11 + ε 22 + ε 33 = 3ε 0 . dV Ponieważ I1( d ) = 0, zatem za odkształcenia objętościowe jest „odpowiedzialny” aksjator tensora odkształcenia. • Płaski stan odkształcenia W płaskim stanie (w płaszczyźnie x1, x2) tensor odkształcenia ma postać: ε11 ε12 e = εij = ε 21 ε 22  0 0

[ ]

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

0 0 , 0 Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

7

a wszystkie składowe εij są tylko funkcjami x1, x2. Równania transformacyjne przy obrocie osi układu o kąt ϕ:

ε11 + ε 22 ε11 − ε 22 + cos 2ϕ + ε12 sin 2ϕ , ε11 '' = 2 2 ε +ε ε −ε ε 2'2' = 11 22 − 11 22 cos 2ϕ − ε12 sin 2ϕ , 2 2 ε −ε ε1'2 ' = − 11 22 sin 2ϕ + ε12 cos 2ϕ . 2

Odkształcenia główne wyrażają wzory:

ε1  ε11 + ε 22  ±  = 2 ε 2 

2

 ε11 − ε 22  2   + ε12 ,   2

ε 3 = 0.

Kąt ϕ0, opisujący położenie głównych osi naprężeń: tg2ϕ 0 =

2ε12 . ε11 − ε 22

• Odkształcenie czysto postaciowe Odkształcenie czysto postaciowe jest szczególnym przypadkiem płaskiego stanu odkształcenia, w którym nie ma zmian objętościowych. Zachodzi ono wtedy, gdy elementarny czworokąt wykazuje wyłącznie o odkształcenia kątowe. W układzie osi nachylonych pod kątem 45 odpowiada to elementowi o odkształceniu liniowym ε (wydłużenie) w kierunku osi x1 oraz odkształceniu liniowym −ε (skrócenie) w kierunku osi x2. Odkształcenie czysto postaciowe jest stanem deformacją izochoryczną (dewiatorową) i ma duże znaczenie przy wyprowadzaniu związków fizycznych. Jest ono odpowiednikiem czystego ścinania. • Odkształcenia objętościowe i postaciowe Dowolny stan odkształcenia składa się ze zmian objętościowych i zmian postaciowych. Zmiany objętościowe opisuje tylko aksjator tensora odkształcenia (równomierne rozszerzenie lub skurczenie). Zmianę postaci wyraża z kolei dewiator tensora odkształcenia, na który składają się dwa odkształcenia czysto postaciowe.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

8

Zasada pracy wirtualnej

• Pola statycznie i kinematycznie dopuszczalne Pole naprężeń σ ij ( x1 , x2 , x3 ) jest statycznie dopuszczalne, jeśli spełnia ono równania statyki, tzn. różniczkowe równowagi we wnętrzu ciała, σji,j +Gi = 0, oraz naprężeniowe warunki brzegowe na powierzchni ograniczającej ciało, σ ji n j = pi( n) . Pole odkształceń jest kinematycznie dopuszczalne, jeśli spełnia ono związki kinematyczne εij = (ui , j + u j ,i ) / 2 , a przemieszczenia ui ( x1 , x2 , x3 ) spełniają kinematyczne warunki brzegowe.

• Równanie pracy wirtualnej dla ciał odkształcalnych

∫ pi ui dS + ∫ Gi ui dV = ∫ σ ijεij dV , S

V

V

gdzie odkształcenia εij ( x1 , x2 , x3 ) są dowolnym kinematycznie dopuszczalnym polem odkształceń, a σ ij ( x1 , x2 , x3 ) jest dowolnym kinematycznie dopuszczalnym polem naprężeń. Ważne jest, że pomiędzy wielkościami statycznymi i kinematycznymi nie musi zachodzić żaden związek przyczynowy. Zasada pracy wirtualnej obowiązuje dla dowolnego materiału. Ma ona podstawowe znaczenie dla mechaniki ciał sztywnych i ciał odkształcalnych. Zazwyczaj jest tak, że jedno z omawianych pól jest rzeczywiste a drugie fikcyjne (wymyślone, uprzednio przygotowane), czyli wirtualne. Wirtualny stan naprężenia służy do obliczania rzeczywistych przemieszczeń, a wirtualny stan odkształcenia − do wyznaczania rzeczywistych wielkości statycznych. • Równanie mocy wirtualnej

∫ pi u&i dS + ∫ Gi u&i dV = ∫ σ ijε&ij dV , S

V

V

gdzie kinematyczna dopuszczalność dotyczy tutaj prędkości przemieszczeń u&i i odkształceń. Równanie mocy wirtualnej ma duże zastosowanie w mechanice ciał plastycznych i lepkich. • Równania pracy i mocy wirtualnej dla ciał sztywnych

∑ Pk ∆k = 0 ,

∑ Pk ∆&k = 0 .

k

k

Siły skupione Pk oraz przemieszczenia ∆k mają sens uogólniony (tzn. mogą być siłami lub momentami oraz przesunięciami lub kątami obrotu). Podobnie prędkości ∆&k oznaczają albo prędkości przesunięć, albo prędkości kątów obrotu. Układ sił Pk jest w równowadze (tzn. ich wypadkowe są równe zeru), a przemieszczenia ∆ i prędkości przemieszczeń ∆& są kinematycznie dopuszczalne, tzn. zgodne z kinemak

k

tyką ciała sztywnego. Iloczyny Pk i ∆k oraz Pk i ∆&k muszą mieć odpowiednio sens pewnej pracy lub sens pewnej mocy.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

9

Podstawowe rezultaty badań doświadczanych

• Próba rozciągania próbki izotropowej i jednorodnej Nominalne naprężenie rozciągające σ = σ11 oblicza się ze wzoru: P . A0 gdzie P jest siłą rozciągającą próbkę, a A0 jest początkowym polem przekroju próbki w części pomiarowej przed odkształceniem. Do obliczenia odkształceń przyjmujemy hipotezę płaskich przekrojów i jednorodność deformacji na długości części pomiarowej l0. Wtedy

σ =

∆l , l0 gdzie ∆l oznacza wydłużenie części pomiarowej mierzone w kierunku długości próbki. W obszarze liniowo sprężystym zależność pomiędzy naprężeniem a odkształceniem nosi nazwę prawa Hooke’a: σ = Eε ,

ε = ε podł =

gdzie E jest stałą sprężystości, zwaną modułem sprężystości lub modułem Younga. Stosunek odkształceń liniowych w kierunku poprzecznym i podłużnym w obszarze sprężystym jest stały i odpowiada współczynnikowi Poissona ν : ε poprz ∆R ∆l ν=− =− : = const , R0 l0 ε podł gdzie ∆R/R oznacza przewężenie względne próbki równe odkształceniu poprzecznemu εpoprz. Współczynniki E i ν są podstawowymi stałymi sprężystości dla ciała izotropowego. W obszarze odkształceń sprężysto-plastycznych całkowite odkształcenie jest sumą odkształcenia sprężystego i plastycznego: σ gdzie ε = ε ( s) + ε ( p ) , ε ( s) = . E Odkształcenia plastyczne mają charakter trwały. Odciążenie w tym zakresie przebiega sprężyście. • Pełzanie i relaksacja Pełzaniem materiału nazywamy zmianę odkształceń w czasie przy stałym naprężeniu:

∂σ ∂ε = 0, ≠ 0. ∂t ∂t Relaksacją materiału nazywamy zmianę naprężeń w czasie przy stałym odkształceniu: ∂σ ≠ 0, ∂t

∂ε = 0. ∂t

• Wpływ temperatury Temperatura w materiale termicznie izotropowym wywołuje zmianę objętości. Odkształcenia określa wzór: εij( T ) = α T Tδij , gdzie σT jest współczynnikiem rozszerzalności termicznej, a T przyrostem temperatury. • Wytrzymałość zmęczeniowa Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

10

Wytrzymałość zmęczeniowa jest równa największej amplitudzie naprężenia w symetrycznym cyklu 8 obciążeń przy liczbie cykli N ≥ 10 . Zmęczenie niskocyklowe zachodzi przy dosyć dużych amplitudach naprężenia, gdy oprócz deformacji 4 sprężystych występują deformacje plastyczne. Zniszczenie tego typu zachodzi dla N ≤ 10 cykli. Zmęczenie wysokocyklowe zachodzi wtedy, gdy największa amplituda naprężeń nie przekracza granicy spręży4 stości. Odpowiada to liczbie cykli N > 10 . Przy symetrycznych cyklach odkształceń plastycznych o stałej amplitudzie ∆ε(p) dla większości metali obowiązuje wzór Coffina: ∆ε ( p) N =

1 ε gr , 2

gdzie εgr oznacza odkształcenie graniczne przy zerwaniu. • Podstawowe mechanizmy zniszczenia materiałów Rozróżnia się dwa rodzaje mechanizmów zniszczenia: poślizgowy i rozdzielczy, Mechanizm poślizgu jest efektem rozwoju deformacji plastycznych. Występuje on w materiałach ciągliwych (w większości metali). Mechanizm rozdzielczy obserwujemy w materiałach kruchych (beton, ceramika, skały). Jeżeli wytrzymałość na ścinanie jest większa niż wytrzymałość rozdzielcza, to materiał pęka w sposób kruchy, lecz jeżeli wytrzymałość na ścinanie jest mniejsza niż wytrzymałość rozdzielcza, to materiał jest ciągliwy i odkształci się, zanim pęknie. Warto zwrócić uwagę, że kruche pęknięcia materiału są bardzo niebezpieczne, gdyż konstrukcja może ulec zniszczeniu bez widocznych uprzednio oznak (deformacji). Równania fizyczne dla ciał liniowo-sprężystych

• Zasada superpozycji Ostateczny skutek działania kilku przyczyn jest równy sumie efektów działania każdej z przyczyn. Zasięg jej stosowania jest jednak ograniczony. Zasada superpozycji obowiązuje bowiem tylko wówczas, gdy skutek jest liniową funkcją przyczyny. • Równania fizyczne dla ciał izotropowych Jeśli wykorzystamy zasadę superpozycji oraz opis czystego ścinania i odkształcenia czysto postaciowego, to otrzymamy odpowiednik prawa Hooke’a dla naprężeń stycznych:

τ = Gγ ;

G=

E . 2(1 + ν )

gdzie G oznacza moduł ścinania lub moduł Kirchhoffa. Związki fizyczne dla sprężystego ciała izotropowego, tzw. uogólnione prawo Hooke’a, można zapisać w postaci:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

1 [σ11 − ν (σ 22 + σ 33 )], Ε 1 ε 22 = [σ 22 − ν (σ 11 + σ 33 )], Ε 1 ε 33 = [σ 33 − ν (σ 11 + σ 22 )], Ε σ σ σ ε12 = 12 , ε 23 = 23 , ε12 = 12 . 2G 2G 2G

11

ν   (ε11 + ε 22 + ε 33 ) , σ 11 = 2G ε11 + − 1 2 ν   ν   (ε11 + ε 22 + ε 33 ) , σ 22 = 2G ε 22 + 1 − 2ν   ν   (ε11 + ε 22 + ε 33 ) , σ 33 = 2G ε 33 + − 1 2 ν   σ 12 = 2Gε12 , σ 23 = 2Gε 23 , σ 13 = 2Gε13 .

ε11 =

lub

• Względna zmiana objętości: ∆ dV 3(1 − 2ν ) σ = ε rr = σ0 = 0 , dV E K

gdzie

K=

E . 3(1 − 2ν )

Współczynnik K nosi nazwę modułu ściśliwości. Dla materiałów nieściśliwych ν = 0,5 ; wtedy ∆dV / dV = 0 . Współczynnik Poissona dla materiałów izotropowych i spełniających postulat ciągłości materii spełnia nierówności: 0 ≤ ν ≤ 0,5 . • Inne postacie związków fizycznych

Izotropia: − zapis wskaźnikowy

σ ij = 2µ ε ij + λε kk δ ij

lub ε ij = 2µ ' σ ij + λ ' σ rr δ ij ,

gdzie µ, λ oraz µ' i λ' oznaczają stałe Lamégo:

µ = G, λ =

2ν G, 1 − 2ν

µ' =

1 , 4G

λ' = −

ν ; E

− związki pomiędzy aksjatorami i dewiatorami:

εij( o) =

1 ( o) 1 (d ) σ σ . ; εij( d ) = 3K ij 2G ij

Sprężystość izotropowa jest całkowicie określona przez dwie stałe sprężystości. Anizotropia: σ ij = Eijkl ε kl lub εij = Cijklσ kl , gdzie Eijkl oraz Cijkl są odpowiednio tensorami sztywności i podatności sprężystej, mające w przypadku ogólnym po 18 niezależnych współrzędnych. • Równania zbiorcze teorii ciała liniowo sprężystego − 3 równania równowagi

σji,j + Gi = ρüi , − 6 związków kinematycznych (geometrycznych) 1 εij = ui , j + u j ,i , 2 − 6 równań fizycznych

(

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

)

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

12

σij = Eijklεkl. Te 15 równań wiąże ze sobą 15 niewiadomych funkcji: u1, u2, u3 ; σ11, σ12, σ13, σ22, σ23, σ33 ; ε11, ε12, ε13, ε22, ε23, ε33 oraz warunki brzegowe: − dla naprężeń σ ji n j = pi* na S p ,

ui = ui*

− dla przemieszczeń:

na Su .

Wyszczególnione wyżej równania i warunki brzegowe służą do rozwiązywania zadań teorii sprężystości. Podstawy energetyczne

• Układy Clapeyrona Układy Clapeyrona charakteryzują się tym, że zależności P(u) są liniowe. Zachodzi to wtedy, gdy: materiał jest liniowo-sprężysty, w trakcie odkształcenia nie zmieniają się warunki podparcia, gdy nie ma naprężeń i odkształceń wstępnych oraz zmian temperatury. • Twierdzenie Clapeyrona Praca obciążeń L równa się energii sprężystej U, zmagazynowanej wewnątrz ciała: L = U , gdzie L =

1 2

1

∫ pi ui dS + 2 ∫ Gi ui dV ; S

V

 1 U =  σ ij εij  dV . 2 

∫

V

• Energia sprężysta właściwa (gęstość energii sprężystej) Charakterystyczne cechy energii sprężystej właściwej są następujące: − jest sumą energii aksjatorów i dewiatorów: 1 1 1 W = σ ij εij = σ ij( o) ⋅ εij( o) + σ ij( d ) ⋅ εij( d ) = W ( o ) + W ( d ) ; 2 2 2 − można ją wyrazić jako funkcję naprężeń lub odkształceń Wσ = Wσ( o ) + Wσ( d ) ; Wσ( o ) = Wσ( d ) =

1 − 2ν 1 (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 = ⋅ I12σ , 6E 18 K

1 (σ 11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 ) 2 + (σ 33 − σ 33 ) 2 + [ 12G 1 (d ) 2 2 2 2 2 2 + 3 ⋅ (σ 12 + σ 21 + σ 23 + σ 32 + σ13 + σ 31 )] = − Iσ . 2G

 ν 2 2 2 2 2 2 2 2 2  + ε 22 + ε 33 + (ε 23 + ε 31 + ε12 + ε 32 + ε13 + ε 21 Wε = G  (ε11 + ε 22 + ε 33 ) 2 + ε11 )  1 − 2ν 

− jest kwadratową jednorodną funkcją naprężeń lub odkształceń, jest zatem określona dodatnio; − energia wyrażona przez naprężenia jest potencjałem dla odkształceń, a energia wyrażona przez odkształcenia jest potencjałem dla naprężeń

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

∂Wσ = ε ij , ∂σ ij

13

∂Wε = σ ij . ∂ε ij

• Zasada wzajemności Bettiego Praca pierwszego układu sił na przemieszczeniach wywołanych przez drugi układ sił L12 jest równa pracy drugiego układu sił na przemieszczeniach wywołanych przez pierwszy układ sił L21:

∫ p'i u"i dS + ∫ G'i u"i dV = ∫ p"i u'i dS + ∫ G"i u'i dV . S

V

S

V

Twierdzenie Maxwella: Przemieszczenie punktu i wywołane przez jednostkową siłę przyłożoną w punkcie k jest równe przemieszczeniu punktu k wywołanemu przez siłę jednostkową przyłożoną w punkcie i:

∆ik =∆ki. • Zasada minimum energii potencjalnej

∫

Π ( e) = Wε dV − V

∫ pi ui dS p − ∫ Gi ui dV → min.

Sp

V

Spośród wszystkich kinematycznie dopuszczalnych pól odkształceń równowadze odpowiada to pole, które energii potencjalnej nadaje wartość minimalną. Jeżeli zachodzi minimum, to równowaga jest stateczna. W przypadku maksimum równowaga jest niestateczna. Oba przypadki równowagi rozdziela stan krytyczny, odpowiadający punktowi siodłowemu. Zasada minimum energii potencjalnej obowiązuje również dla materiałów nieliniowo-sprężystych, jeśli tylko istnieje dodatnio określony potencjał sprężysty Wε€. • Zasada minimum energii dopełniającej

∫

Π * ( s) = Wσ dV − V

∫ pi ui dSu → min.

Su

Spośród wszystkich statycznie dopuszczalnych pól naprężeń kinematycznej zgodności odpowiada to pole, które energii dopełniającej nadaje wartość minimalną. Zasada minimum energii dopełniającej obowiązuje również w odniesieniu do ciał nieliniowosprężystych, jeśli tylko istnieje dodatnio określony potencjał sprężysty Wσ .

Hipotezy Wytrzymałościowe

• Współczynnik bezpieczeństwa − hipotezy wytrzymałościowe Hipotezy wytrzymałościowe służą do określenia współczynnika bezpieczeństwa w złożonym stanie naprężenia. Jest to najważniejszy problem nauki o wytrzymałości materiałów. Współczynnik bezpieczeństwa jest liczbą, przez którą należy pomnożyć współrzędne aktualnego stanu naprężenia, by osiągnąć stan niebezpieczny. Za stan niebezpieczny uważa się zazwyczaj uplastycznienie lub pęknięcie materiału. Współczynnik bezpieczeństwa n jest stosunkiem odległości punktu niebezpiecznego od stanu s = 0 , do odległości aktualnego punktu od stanu s = 0 . Współrzędne punktów niebezpiecznego i aktualnego są odmierzane w przestrzeni naprężeń. Punkty niebezpieczne tworzą w tej przestrzeni pewną powierzchnię, Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

14

opisaną przez tzw. zależność graniczną F(s, k) = 0, gdzie k oznacza zbiór parametrów opisujących dla danego materiału stan niebezpieczny. Jeżeli wytrzymałość materiału (stan niebezpieczny) jest opisana tylko przez jeden parametr, to można wprowadzić pojęcie naprężenia zredukowanego (zastępczego) σred, będącego funkcją współrzędnych aktualnego stanu naprężenia, właściwie jego niezmienników. Wówczas współczynnik bezpieczeństwa oblicza się z zależności: σ n= n , σ red gdzie σn oznacza naprężenie niebezpieczne w jednoosiowym stanie naprężenia. Celem hipotez wytrzymałościowych jest budowa wzorów opisujących zależności graniczne i − jeżeli jest to możliwe − wzorów na naprężenia zredukowane. Omawiana problematyka jest bardzo złożona, a do tej pory dobrze są rozpoznane tylko materiały izotropowe. • Hipotezy wytrzymałościowe dla materiałów ciągliwych Dla materiałów ciągliwych przyjmuje się model ciała idealnie sprężysto-plastyczne-go Stan niebezpieczny odpowiada osiągnięciu granicy plastyczności σP. Dlatego hipotezy wytrzymałościowe dla materiałów ciągliwych nazywają się warunkami plastyczności. − Warunek plastyczności Hubera-Misesa-Hencky’ego (HMH) Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy gęstość energii odkształcenia postaciowego (tj. energii dewiatorów) osiąga pewną wartość graniczną, charakterystyczną dla tego materiału:

Wσ( d ) = C, gdzie C jest pewną stałą materiałową. Zależność graniczna przyjmuje postać: 1 2 2 2 F (σij ) = [(σ11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 )2 + (σ 33 − σ11)2 + 6(σ12 )] − σ P2 = 0 , + σ 23 + σ 31 2 a naprężenie zredukowane:

σ red =

1 2 2 2 (σ11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 ) 2 + (σ 33 − σ11 ) 2 + 6(σ 12 + σ 23 + σ 31 ). 2

W przypadku uplastycznienia wskutek czystego ścinania, gdy jedynym niezerowym naprężeniem jest σ12 = τ P , znajdujemy σ red = σ P = 3 ⋅ τ P , skąd można wyznaczyć granicę plastyczności przy czystym ścinaniu: τ P = σ P / 3 . Zależność graniczną można zapisać za pomocą nieuporządkowanych wartości głównych: F (σ1 , σ 2 , σ 3 ) = (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 − 2σ P2 = 0. Obrazem geometrycznym tego równania jest walec kołowy o promieniu

(2 / 3) ⋅σ P . Oś tego walca (tzw.

oś aksjatorów) tworzy taki sam kąt z każdą z osi układu współrzędnych σ1, σ2, σ3. W płaskich stanach naprężenia (σ3 = 0) warunek plastyczności otrzymujemy w wyniku przecięcia powierzchni granicznej płaszczyzną σ3 =W głównych osiach naprężeń uzyskujemy wówczas elipsę:

F (σ1 , σ 2 ) = σ12 − σ1 ⋅ σ 2 + σ 22 − σ 2P = 0. W płaskich stanach odkształcenia (ε3 = 0) warunek plastyczności uzyskuje się przez rzutowanie powierzchni granicznej na płaszczyznę σ3 = const. W przypadku głównych osi naprężeń odpowiada to obszarowi ograniczonemu dwoma równoległymi prostymi: 2 σ1 − σ 2 = ± σ p = ±2τ p . 3 − Warunek plastyczności Treski-Guesta (TG) Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

15

Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy maksymalne naprężenie styczne osiągnie pewną graniczną wartość, charakterystyczną dla tego materiału: 1 τ max = (σ I − σ III ) = C1 , 2 gdzie C1 jest pewną stałą materiałową, a σI i σIII − największym i najmniejszym naprężeniem głównym. Zależność graniczna ma postać:

σ I − σ III = σ P . Jej obrazem geometrycznym w przestrzeni naprężeń głównych jest graniastosłup o podstawie sześcioboku foremnego i osi pokrywającej się z osią aksjatorów. Graniastosłup Treski jest wpisany w walec Hubera, a krawędzie graniastosłupa leżą na pobocznicy walca. Naprężenie zredukowane σ red = σ I − σ III . W płaskim stanie naprężenia zależność graniczna w osiach głównych jest sześciobokiem, a w płaskim stanie odkształcenia − dwoma równoległymi liniami prostymi:

σ1 − σ 2 = ±2τ P , gdzie τ P jest granicą plastyczności przy czystym ścinaniu, która w przypadku hipotezy Treski określona jest wzorem: τ P = τ TP = σ P / 2 = 0,50σ P . Granica plastyczności według warunku Hubera jest nieco większa: τ PH = σ P / 3 ≈ 0,58σ P i lepiej odpowiada wynikom doświadczalnym. − Wzmocnienie plastyczne Wzmocnienie kinematyczne (anizotropowe) odpowiada przesunięciu powierzchni plastyczności w przestrzeni naprężeń jako bryły sztywnej o wektor ∆σ ij . Warunek plastyczności można wówczas zapisać następująco:

[(

) ]

F σ ij − ∆σ ij , σ P = 0 . Wzmocnienie kinematyczne służy do opisu zjawiska Bauschingera. Wzmocnienie izotropowe odpowiada równomiernemu homotetycznemu „puch-nięciu”. Warunek plastyczności w tym przypadku można zapisać następująco:

[

]

F σ ij , σ P ( χ ) = 0, gdzie χ oznacza tzw. parametr wzmocnienia. • Ważniejsze hipotezy wytrzymałościowe dla materiałów plastyczno- kruchych − Hipoteza największych odkształceń głównych

εi ≤ ε r

(i = 1, 2, 3) ,

gdzie ε r > 0 oznacza graniczną wartość odkształcenia, charakterystyczną dla danego materiału. Odkształcenie to można wyliczyć z prawa Hooke’a, bo w trakcie próby rozciągania materiał kruchy zachowuje się sprężyście: εr = σ r / E . Zależność graniczna odpowiada brzegowi obszaru określonego nierównościami:

σ 1 − ν (σ 2 + σ 3 ) − σ r ≤ 0, σ 2 − ν (σ 1 + σ 3 ) − σ r ≤ 0, σ 3 − ν (σ1 + σ 2 ) − σ r ≤ 0. Zależność graniczna przedstawia ostrosłup o podstawie trójkąta równobocznego. Oś ostrosłupa pokrywa się z osią aksjatorów. Zależność tę opisują dwa parametry σ r i ν (wytrzymałość na rozciąganie i współczynnik Poissona). Dlatego nie posługujemy się tutaj naprężeniem zredukowanym. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

16

− Hipoteza Coulomba-Mohra Z doświadczenia wiadomo, że zniszczenie poślizgowe lub rozdzielcze występuje na pewnych określonych powierzchniach. Hipoteza Mohra zakłada zatem, że o zniszczeniu materiału decyduje wektor naprężenia (tj. naprężenie normalne σ i styczne τ) na tych właśnie powierzchniach. Wartości σ i τ, odpowiadające granicznej wartości funkcji f(σ, τ), tworzą dla różnych stanów naprężenia pewną krzywą w przestrzeni (σ, τ), stanowiącą granicę obszaru bezpiecznego. Ponieważ każdemu stanowi naprężenia można przypisać pewne koło Mohra, krzywa graniczna jest pewną obwiednią różnych kół, dla których występuje zniszczenie materiału. Najprostsza obwiednia, zwana obwiednią Coulomba-Mohra, składa się z dwóch prostych:

τ = c − σ tgϕ , gdzie c i ϕ są stałymi materiałowymi. W przypadku gruntów, w odniesieniu do których obwiednia ma praktyczne zastosowanie, c oznacza spójność (kohezję), tzn. wytrzymałość na ścinanie bez nacisku normalnego, a ϕ − kąt tarcia wewnętrznego. Obszar bezpieczny odpowiada wnętrzu ostrosłupa o osi pokrywającej się z osią aksjatorów. Przekroje ostrosłupa są nieregularnymi sześciobokami o trzech osiach symetrii. Dla kąta tarcia wewnętrznego ϕ = 0 obszar ten modyfikuje się do graniastosłupa, którego przekroje są sześciobokami foremnymi, co odpowiada warunkowi Treski, w którym kohezja oznacza naprężenia styczne powodujące uplastycznienie: c = τP = 0,5σP. − Hipoteza Burzyńskiego W myśl hipotezy Burzyńskiego materiał ulega zniszczeniu wówczas, gdy suma energii dewiatorów i pewnej części energii aksjatorów osiąga wartość graniczną C2, tzn. gdy

Wσ( d ) + η ⋅ Wσ( o ) = C2 , gdzie 0 ≤ η ≤ 1. Współczynnik η zależy od stanu naprężenia i własności materiału. Dzięki dużej różnorodności kształtów powierzchni granicznych hipoteza Burzyńskiego znajduje zastosowanie zarówno do materiałów ciągliwych, jak i plastyczno-kruchych. Z powyższego wynika, że hipoteza ta zajmuje pozycję analogiczną do warunku Mohra. Zasadnicza różnica geometryczna polega na tym, że powierzchnie Burzyńskiego są obrotowe i gładkie w przeciwieństwie do zależności Mohra, gdzie powierzchnie graniczne są nieobrotowe, a ich elementy składowe tworzą w ogólności krzywoliniowy ostrosłup o sześciu krawędziach i wierzchołku leżącym na osi aksjatorów. • Warunek projektowania wytrzymałościowego Aby uniknąć zniszczenia materiału musimy wymagać, by stany naprężenia w każdym punkcie konstrukcji spełniały nierówność ostrą:

[

]

F σ ij ( x1 , x2 , x3 ), k < 0.

W jednoparametrowych warunkach wytrzymałościowych odpowiada to wymaganiu, by naprężenie zredukowane było mniejsze od wartości niebezpiecznej:

σ red ( x1 , x2 , x3 ) < σ n . W poprawnie zaprojektowanej konstrukcji musi być zachowana odpowiednio duża „odległość” aktualnego stanu naprężenia od stanu niebezpiecznego. Miarą tej odległości jest współczynnik bezpieczeństwa n. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 1

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI

17

Zwróćmy uwagę, że naprężenie zastępcze jest funkcją jednorodną pierwszego stopnia względem współrzędnych stanu naprężenia. Rozumiemy przez to, że:

σ red (nσ ij ) = nσ red (σ ij ) .

Minimalne wartości współczynnika bezpieczeństwa n0 podane są w normach projektowania konstrukcji. Bezpiecznie zaprojektowana konstrukcja powinna zatem spełniać warunek: n ≥ n0. Wartości n0 pozwalają określić w przestrzeni naprężeń obszar dopuszczalny, którego granice odpowiadają wartościom naprężenia zastępczego σ red = σ n / n0 . Iloraz σ n / n0 nazywa się naprężeniem dopuszczalnym σ dop . Warunek projektowania wytrzymałościowego ma zatem postać:

σ σ red ( x1 , x2 , x3 ) ≤ σ dop = n . n0 Nierówność ta stanowi treść najprostszej metody projektowania, zwanej metodą naprężeń dopuszczalnych. Ma ona charakter lokalny i jest oparta na założeniu, że osiągnięcie w pewnym punkcie konstrukcji naprężenia niebezpiecznego oznacza zniszczenie całej konstrukcji. Jest to zasadnicza wada tej metody. Obserwujemy bowiem wiele takich konstrukcji, w których lokalnemu uplastycznieniu bądź pęknięciu towarzyszą obciążenia mniejsze od obciążeń niszczących. Wadą metody naprężeń dopuszczalnych jest również to, że współczynnik bezpieczeństwa nie zależy od charakteru oddziaływań (obciążeń).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

8. MECHANIKA ELEMENTÓW PRĘTOWYCH – WIADOMOŚCI WSTĘPNE

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

1

Í Ï Î

8.1. KLASYFIKACJA ZASADNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny ciała.

Rys. 8.1

Pręt to bryła geometryczna wypełniona materiałem, której jeden wymiar (długość) jest zdecydowanie większy od dwóch pozostałych. Po linii regularnej ograniczonej punktami B1 i B2 przemieszcza się środek ciężkości pola figury płaskiej*) o powierzchni A (stałej lub zmiennej) w ten sposób, że płaszczyzna figury jest prostopadła do linii B1B2. Wtedy kontur figury opisuje bryłę geometryczną, która wypełniona materiałem tworzy pręt (rys. 8.1). Linia B1B2 nazywa się osią pręta. Jeśli linia ta jest prostą, to mówimy, że pręt jest prostoliniowy. Gdy linia B1B2 jest krzywą płaską, to pręt nazywamy płaskim. Symbolem A oznaczamy pole przekroju poprzecznego pręta (przekrój pręta). Przekrój pręta może być stały lub zmienny. Pręt prostoliniowy o stałym przekroju nazywamy prętem pryzmatycznym (rys. 8.1b). Powłoka to bryła geometryczna wypełniona materiałem, której jeden wymiar (grubość) jest zdecydowanie mniejszy od dwóch pozostałych. Po ograniczonej powierzchni regularnej S przemieszcza się środek prostoliniowego odcinka o długości h (stałej lub zmiennej) w ten sposób, że odcinek ten jest zawsze prostopadły do powierzchni S. Wtedy jego końce wyznaczają dwie powierzchnie Sg i Sd ograniczone powierzchnią brzegową C. Bryłę ograniczoną powierzchniami Sg, Sd i C nazywamy powłoką (rys. 8.2a). Powierzchnię S nazywamy powierzchnią środkową, a długość odcinka h − grubością powłoki (stałą lub zmienną). Jeśli powierzchnia S jest płaszczyzną, to taką powłokę nazywamy płytą lub tarczą (rys. 8.2b, c). Nazwę tarcza rezerwuje się dla płyt obciążonych w swej płaszczyźnie środkowej.

*) Środek ciężkości figury płaskiej zdefiniowano w dodatku. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

8. MECHANIKA ELEMENTÓW PRĘTOWYCH – WIADOMOŚCI WSTĘPNE

2

Rys. 8.2

Blok to bryła geometryczna wypełniona materiałem, której trzy wymiary są tego samego rzędu (rys. 8.3a). Jeżeli wymiary bloku są nieskończenie duże, to otrzymujemy pewną przestrzeń fizyczną wypełnioną materią. Półprzestrzeń to bryła o wymiarach nieskończenie dużych ograniczona powierzchnią lub płaszczyzną (rys. 8.3b).

Rys. 8.3

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

8. MECHANIKA ELEMENTÓW PRĘTOWYCH – WIADOMOŚCI WSTĘPNE

3

8.2. ZASADA DE SAINT-VENANTA Jedną z podstawowych zasad, którą przyjmujemy w obliczeniach konstrukcji, jest zasada de SaintVenanta (1855 rok): Jeżeli dany układ sił działających na niewielki obszar ciała będącego w równowadze zastąpimy innym układem sił statycznie równoważnym*) i działającym bezpośrednio na ten obszar, to w odległości większej od jego wymiarów powstają jednakowe stany naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia.

Rys. 8.4

Sens tej zasady objaśnia rys. 8.4. Przedstawiono na nim trzy identyczne słupy ściskane osiowo trzema statycznie równoważnymi układami sił: wypadkowa obciążeń we wszystkich przypadkach jest taka sama. Naprężenia normalne w odległości (1,0÷1,5)a od płaszczyzny przyłożenia obciążenia są jednakowe i wynoszą P/A (a − wymiar poprzeczny przekroju, A − przekrój słupa, P − wypadkowa siła ściskająca). Zasada de Saint-Venanta wynika z przesłanek intuicyjnych i jest potwierdzona wieloma doświadczeniami. Jak dotąd nie znalazła jednak ogólnego uzasadnienia teoretycznego. Przydatność praktyczna tej zasady jest niewątpliwa, pozwala bowiem na pewne idealizacje i uproszczenia w rozwiązywaniu konkretnych zadań. Obliczenia obszaru zaburzeń w uzasadnionych przypadkach (np. strefa zakotwienia kabli w konstrukcjach wstępnie sprężonych, punkty podparcia belek) traktuje się zazwyczaj jako oddzielne zadanie.

8.3. SIŁY WEWNĘTRZNE Rozważmy pręt będący w równowadze i przetnijmy go myślowo płaszczyzną α−α prostopadłą do osi pręta (rys. 8.5). Na płaszczyźnie przekroju wystąpią rozłożone w sposób ciągły wektory naprężenia, które zastąpimy w środku ciężkości przekroju wypadkową siłą i wypadkowym momentem. Obie części pręta muszą być również w równowadze. Jeśli znamy wszystkie siły powierzchniowe i masowe, to z sześciu równań równowagi ułożonych dla jednej z odciętych części pręta można wy*)

Układy statycznie równoważne to układy, które mają takie same wypadkowe wektory siły i momentu.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

8. MECHANIKA ELEMENTÓW PRĘTOWYCH – WIADOMOŚCI WSTĘPNE

4

znaczyć sześć współrzędnych wektorów siły i momentu. Siły T1, T2, T3 i momenty M1, M2, M3 nazywamy siłami wewnętrznymi (przekrojowymi) lub uogólnionymi naprężeniami.

Rys. 8.5

Jeżeli oś x1 pokrywa się z normalną do płaszczyzny α−α , to poszczególne siły wewnętrzne nazywamy następująco: T1 = N − siła normalna, T2 = Q2 − siła poprzeczna w kierunku osi x2, T3 = Q3 − siła poprzeczna w kierunku osi x3, M1 = M − moment skręcający, M2 − moment zginający względem osi x2, M3 − moment zginający względem osi x3.

Rys. 8.6 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

8. MECHANIKA ELEMENTÓW PRĘTOWYCH – WIADOMOŚCI WSTĘPNE

5

Siły wewnętrzne można wyrazić przez współrzędne wektora naprężenia za pomocą następujących wzorów definicyjnych (rys. 8.6):  M = (σ13 x2 − σ12 x3 )dA, N = σ 11dA,  A A   Q2 = σ 12 dA, M 2 = σ11x3dA,  (8.1)  A A   Q3 = σ13dA, M 3 = σ11x2 dA.  A A  Analogiczne wzory obowiązują również dla płyt i powłok o małej krzywiźnie, przy czym siły wewnętrzne odnosi się do przekroju o jednostkowej szerokości, mierzonej wzdłuż śladu powierzchni środkowej (rys. 8.6b).

∫

∫

∫

∫

∫

∫

8.4. ZAKRES OBLICZEŃ KONSTRUKCJI Celem obliczeń konstrukcji jest wyznaczenie w każdym punkcie współrzędnych tensorów naprężenia i odkształcenia oraz wektora przemieszczenia. Ścisłe obliczenie tych wielkości na podstawie równań równowagi, równań geometrycznych i równań fizycznych przy danych warunkach brzegowych w większości przypadków natrafia jednak na duże trudności natury matematycznej. W wytrzymałości materiałów, której zadaniem jest podanie rozwiązań do bezpośredniego wykorzystania w praktyce, wprowadza się wiele założeń upraszczających, ograniczających zakres stosowania gotowych wzorów bądź przybliżających poszukiwane wartości. W zależności od przyjętych równań fizycznych ścisłe rozwiązania podają: teoria sprężystości, teoria plastyczności i reologia. Każda poprawnie zaprojektowana konstrukcja musi spełniać warunki wytrzymałościowe i sztywnościowe. Najprostszą koncepcją projektowania jest metoda naprężeń dopuszczalnych, w której oprócz znanego już warunku wytrzymałościowego

σred (x1, x2, x3) ≤ σdop

(8.2)

wprowadza się ograniczenie wartości przemieszczeń:

u( x1 , x2 , x3 ) ≤ udop .

(8.3)

Warunek (8.3) jest warunkiem sztywnościowym. Ostatecznym efektem obliczeń konstrukcji jest podanie takich wymiarów elementów (przekroje prętów, grubości płyt, ilości zbrojenia itp.), które gwarantują bezpieczne przeniesienie obciążeń zewnętrznych. Proces obierania wymiarów konstrukcji nazywa się wymiarowaniem. W zakres obliczeń konstrukcji wchodzą następujące czynności: 1° wyznaczenie sił wewnętrznych, 2° obliczenie naprężeń na podstawie znanych już sił wewnętrznych, 3° obliczenie odkształceń ze związków fizycznych, 4° obliczenie przemieszczeń ze związków geometrycznych, 5° sprawdzenie warunków wytrzymałościowych i sztywnościowych oraz ewentualna korekta wymiarów. W dalszym ciągu tej części skryptu omówimy szczegółowo etapy 2°÷4°, przyjmując, że siły wewnętrzne są znane. Problem wymiarowania zawarty w etapie 5° jest tematem zajęć z przedmiotów konstrukcyjnych (konstrukcje metalowe, betonowe, murowe, drewniane itd.). Tutaj omówimy tylko pewne zasadnicze elementy projektowania konstrukcji. Możemy jednak już w tym miejscu stwierdzić, że wymiarowanie konstrukcji jest na ogół procesem kolejnych przybliżeń, gdyż trudno jest za pierwszym razem obrać takie wymiary elementów konstrukcji, by były spełnione jednocześnie wymagania bezpieczeństwa (warunki wytrzymałościowe i sztywnościowe) oraz wymagania ekonomiczne. Względy bezpieczeństwa Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

8. MECHANIKA ELEMENTÓW PRĘTOWYCH – WIADOMOŚCI WSTĘPNE

6

skłaniają na ogół do powiększania wymiarów (tzw. przewymiarowania), natomiast racje ekonomiczne wymagają, by wymiary elementów konstrukcji (koszty) były możliwe najmniejsze. Dalsze szczegółowe rozważania będą dotyczyć prętów liniowo-sprężystych. Warunki uzyskane dla konstrukcji prętowych mają charakter podstawowy, w teorii płyt i powłok przyjmuje się bowiem analogiczne założenia i przybliżenia jak w teorii prętów; zwiększa się jedynie liczba zmiennych i wydłużają wzory. Z uwagi na liniowy model fizyczny w etapach 2°÷ 4° można stosować zasadę superpozycji skutków. Wobec tego w dalszych rozdziałach omówimy kolejno skutki działania poszczególnych sił wewnętrznych: siły normalnej, momentu zginającego, siły poprzecznej i momentu skręcającego.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

1

Í Ï Î

9.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE Przyjmiemy, że materiał pręta jest jednorodny i izotropowy. Jeśli ponadto założymy, że pręt jest pryzmatyczny, to słuszne są wzory podane przy omawianiu próby rozciągania i ściskania dla zakresu liniowo-sprężystego. Przyjęliśmy wówczas hipotezę płaskich przekrojów i założenie o pokrywaniu się głównych osi naprężeń i odkształceń z układem osi przechodzących przez geometryczną oś pręta. Zanim przejdziemy do wzorów na naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia, wprowadzimy zamiast układu osi x1, x2, x3 układ osi x, y, z. Współrzędne wektora przemieszczenia u1, u2, u3 oznaczymy odpowiednio u, v, w.

Rys. 9.1

Rozważymy pręt o długości l, poddany czystemu rozciąganiu (rys. 9.1). Oznacza to, że na długości pręta wykres sił normalnych jest stały, a pozostałe siły wewnętrzne są równe zeru. Zgodnie z zasadą de Saint-Venanta nie precyzujemy bliżej sposobu przyłożenia siły N i pominiemy analizę ewentualnych zaburzeń na końcach pręta. Założymy ponadto, że oś pręta na lewym końcu jest unieruchomiona, a na końcu prawym może się przesuwać tylko wzdłuż osi x. Geometrię odkształcenia ilustrują linie przerywane na rys. 9.1a, d. Stosownie do wzorów (8.1) siłę normalną definiujemy następująco: def

N =

∫ σ x ( y, z )dA,

gdzie σ x = σ11 .

(9.1)

A

Definicja ta jest słuszna dla dowolnego prawa rozkładu naprężeń normalnych σx. Jeśli jednak obowiązuje hipoteza płaskich przekrojów, a materiał pręta jest jednorodny, to ze związków fizycznych wynika równomierny rozkład naprężeń σx w obrębie przekroju A. Wobec tego σx można wyłączyć przed znak całki:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

2

∫

N = σ x dA = σ x ⋅ A, A

N . (9.2) A Pozostałe współrzędne tensora naprężenia są równe zeru, a stan naprężenia związany z osiami x, y, z obrazuje macierz:

σx =

stąd

σ x s =  0  0

0 0 0 0 0 0

(9.3)

Ponieważ osie x, y, z są głównymi osiami odkształceń, więc odkształcenia kątowe są równe zeru, a odkształcenia liniowe oblicza się ze związków fizycznych (wzory (4.3)): N σ , (9.4) εx = x = E EA νN . (9.5) ε y = ε z = −ν ⋅ ε x = − EA Iloczyn EA nazywa się sztywnością rozciągania (ściskania) przekroju. Macierz e ma postać: ε x e =  0  0

0 − νε x 0

0  0  . − νε x 

(9.6)

Przemieszczenia obliczymy ze związków geometrycznych. Z hipotezy płaskich przekrojów wnioskujemy, że współrzędna u1 = u jest tylko funkcją x. Wobec tego mamy:

εx =

∂u( x ) du , = dx ∂x

εy =

∂v , ∂y

εz =

∂w , ∂z

stąd: N ⋅ x + C1 , EA νN ⋅ y + C2 ( x , z ), v = v ( x , y , z ) = ε y dy + C2 ( x , z ) = − EA νN ⋅ z + C3 ( x , y ). w = w( x , y , z ) = ε z dz + C3 ( x , y ) = − EA

∫

u = u( x ) = ε x dx + C1 =

∫ ∫

Stałe całkowania trzeba obliczyć z warunków brzegowych oraz przyjętej kinematyki odkształcenia. Najbardziej interesują nas oczywiście przemieszczenia u(x). Ponieważ u(0) = 0 (lewy koniec pręta jest unieruchomiony), więc C1 = 0. Okazuje się, że stałe C2 i C3 też są równe zeru. Ostatecznie otrzymujemy: N  ⋅ x,  EA  N  v ( x , y , z ) = v ( y ) = −ν ⋅ y,  EA  N  w( x , y , z ) = w( z ) = −ν ⋅ z. EA  u( x , y , z ) = u ( x ) =

(9.7)

Pełne wyprowadzenie wzorów (9.7) zawiera podręcznik Piechnika [34].

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

3

Rys. 9.2

Wszystkie podane wyżej zależności są ścisłe tylko dla pręta pryzmatycznego. W przypadku prętów o zmiennym przekroju nie są spełnione warunki brzegowe dla naprężeń. Łatwo się o tym przekonać, układając równania równowagi dla elementu położonego przy krawędzi przekroju (rys. 9.2b). Warunki na powierzchni (pi = σjinj) wymagają, by w pobliżu krawędzi pręta występowały również naprężenia styczne τxz i normalne σz (rys. 9.2c). Przy łagodnej zmianie przekroju wartości te są jednak pomijalnie małe, a wykres naprężeń normalnych σx jest prawie równomierny (por. rys. 9.2c). Przejdziemy obecnie do zagadnień energetycznych. Obliczymy najpierw wartość całki objętościowej z iloczynu tensorów naprężenia i odkształcenia przy działaniu siły normalnej. Jeśli przyjmiemy, że w każdym punkcie dowolnego przekroju pręta występują tylko naprężenia normalne σ11 = σx, to całkę tę można zapisać następująco:

∫ σ ij εij dV = ∫ σ xε x dV .

V

V

Całkę względem objętości V zamienimy na całkę iterowaną:   σ ij εij dV =  σ x ε x dA ds,    V sA

∫

∫∫

gdzie s jest długością pręta (może to być również pręt słabo zakrzywiony), a ds − elementem łuku mierzonym na osi pręta. Gdy obowiązuje prawo płaskich przekrojów, to odkształcenie εx w obrębie danego przekroju jest stałe, co pozwala wyłączyć je przed całkę względem A. Zatem:     σ ij εij dV = ε x  σ x dA ds = λ  σ x dA ds ,     A   V s s A

∫

∫ ∫

∫ ∫

gdzie λ = εx, i oznacza wydłużenie względne osi pręta. Całka w nawiasie, stosownie do definicji (9.1), jest siłą normalną N. Należy podkreślić, że definicja ta jest słuszna dla zupełnie dowolnego rozkładu naprężeń normalnych σx (s, y, z). Wobec tego Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

∫ σijεij dV = ∫ N ( s)λ ( s) ds .

V

4

(9.8)

s

Aby powyższe równanie było prawdziwe, wystarcza tylko, że jest spełniona hipoteza płaskich przekrojów. Materiał pręta może być nieliniowo-sprężysty lub niesprężysty i w obrębie przekroju niejednorodny. Wielkości N i λ są w ogólności zmienne na długości pręta. Obliczymy teraz energię sprężystą U, zmagazynowaną wewnątrz pręta. Stosownie do wzoru (6.8) oraz na podstawie wzoru (9.8) otrzymujemy: 1 1  U =  σ ij εij  dV = 2  2

∫

V

∫ Nλ ds .

(9.9)

s

Przy działaniu siły normalnej na jednorodny, izotropowy pręt sprężysty odkształcenie εx = λ możemy wyrazić przez siłę N oraz sztywność EA według wzoru (9.4). Wówczas UN =

1 2

∫ s

N2 ds EA

Uλ =

lub

1 EAλ2 ds. 2

∫

(9.10)

s

Zależność (9.8) służy również do obliczenia pracy rzeczywistej siły N na wirtualnym wydłużeniu λ (por. prawa strona wzoru (3.2)):

∫ σijεij dV = ∫ Nλ ds .

V

(9.11)

s

Podobnie uzyskujemy wyrażenie na pracę wirtualnej siły N na rzeczywistym odkształceniu εx = λ:

∫ σ ij εij dV = ∫ Nλ ds.

V

(9.12)

s

9.2. NAGŁE ZMIANY PRZEKROJU. KONCENTRACJA NAPRĘŻEŃ W przypadku nagłych zmian przekroju pręta przyjęcie równomiernego rozkładu naprężeń normalnych σx jest już niewłaściwe. W miejscach zmian przekroju składowe naprężeń stycznych i normalnych w pozostałych kierunkach są znaczne. Na krawędziach otworów i wcięć powstają bardzo duże naprężenia normalne σx (rys. 9.3), wielokrotnie większe od naprężeń średnich, obliczonych dla równomiernego rozkładu. Obliczenia dla takich prętów należy przeprowadzać na gruncie teorii sprężystości i plastyczności. Wpływ promienia krzywizny zaokrąglenia krawędzi w miejscu zmiany przekroju ilustruje rys. 9.3b c.

Rys. 9.3

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

5

Gdy R = 0 (krawędź ostra), to naprężenia σx dążą do nieskończoności. Warto o tym pamiętać podczas projektowania konstrukcji. Zmniejszenie naprężeń uzyskujemy nawet wówczas, gdy „osłabimy” przekrój przez nawiercenie otworów na krawędzi zmiany przekroju (por. rys. 9.3d).

Rys. 9.4

Jeżeli materiał pręta jest kruchy, to po osiągnięciu przez naprężenia normalne wytrzymałości na rozciąganie następuje pęknięcie rozdzielcze i nagłe zniszczenie konstrukcji. Jeżeli materiał jest ciągliwy, to obszar koncentracji naprężeń stopniowo uplastycznia się w miarę wzrostu siły (por. rys. 9.4). Widzimy więc, że dla materiału ciągliwego osiągnięcie przez naprężenia granicy plastyczności nie oznacza jeszcze zniszczenia. Jako zniszczenie przyjmuje się osiągnięcie tzw. nośności granicznej (N = NP), kiedy nastąpi uplastycznienie całego przekroju osłabionego otworem lub wcięciem. Trzeba jednak pamiętać, że pod wpływem obciążeń dynamicznych materiał ciągliwy zwiększa swą kruchość. W tych przypadkach nieuwzględnienie koncentracji naprężeń może prowadzić do niespodziewanego zniszczenia. Na zakończenie możemy sformułować następujące uwagi: − w miejscach nagłych zmian przekroju występuje spiętrzenie naprężeń, które jest groźne dla materiałów kruchych lub obciążonych dynamicznie materiałów ciągliwych, − gdy materiał jest ciągliwy, to przy statycznym obciążeniu następuje wyrównywanie naprężeń, a zniszczeniu towarzyszą widoczne deformacje, − przekroje osłabione wcięciami (otworami) mają mniejszą zdolność do przenoszenia obciążeń, a o nośności pręta decyduje najmniejszy przekrój, − duże złagodzenie efektu koncentracji uzyskuje się wówczas, gdy zmiana przekroju przebiega w sposób płynny, a zaokrąglenia mają możliwie duży promień krzywizny. Wnioski dotyczące gwałtownych zmian przekroju mają charakter ogólny i obowiązują również podczas działania innych sił wewnętrznych.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

6

Rys. 9.5

Problem spiętrzenia naprężeń wiąże się z pojęciem wypukłości zbioru. Cechą zbioru wypukłego jest to, że odcinek łączący dwa dowolne punkty zbioru leży wewnątrz zbioru. Jeżeli można znaleźć takie odcinki, które nie mają tej własności, to dany zbiór jest niewypukły. Przykłady zbiorów wypukłych i niewypukłych podano na rysunku 9.5. Ogólnie biorąc, koncentracji naprężeń można się spodziewać tam, gdzie zbiór punktów tworzących ciało jest niewypukły. Do takich przypadków oprócz otworów lub wcięć zaliczamy również miejsca przyłożenia obciążeń skupionych. Wynika to stąd, że obciążenia skupione przekazywane są na niewielkich obszarach przez inne części konstrukcji (lub narzędzia), tworzące łącznie z daną konstrukcją zbiory niewypukłe.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

1

Í Ï Î

10.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE 10.1.1. Kinematyka. Hipoteza płaskich przekrojów Rozważymy czyste zginanie jednorodnego pręta pryzmatycznego wywołane przez moment zginający Mg (por. rys. 10.1a). Mając na uwadze zasadę de Saint-Venanta, rozważania ograniczymy do przekrojów dostatecznie oddalonych od końców pręta i pominiemy ewentualne zaburzenia wynikające ze sposobu realizacji obciążeń. Pod wpływem momentu zginającego (wektor Mg leży w płaszczyźnie przekroju) część włókien pręta jest ściskana, a pozostała część rozciągana. Włókna ściskane ulegają skróceniu, a rozciągane wydłużeniu. Granicę obu części pręta stanowi pewna powierzchnia utworzona z tzw. włókien obojętnych, których odkształcenia liniowe (wydłużenia lub skrócenia względne) są równe zeru. Na rys. 10.1a przedstawiono rozważany pręt w konfiguracji początkowej. Efektem kinematycznym działania momentu Mg jest wygięcie pręta. Wyniki eksperymentów pozwalają stwierdzić, że przekrój płaski i prostopadły do włókien pręta w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem) pozostaje nadal płaski i prostopadły do wygiętych włókien pręta w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). Stwierdzenie to jest treścią tzw. hipotezy płaskich przekrojów. Hipotezę tę, mającą podstawowe znaczenie w teorii zginania prętów, po raz pierwszy postawił Bernoulli w 1694 roku. Liczne badania doświadczalne elementów zginanych potwierdziły jej słuszność w całym obszarze odkształceń, zarówno sprężystym jak i niesprężystym, aż do zniszczenia pręta. Bliższe obserwacje wykazują, że przekrój α−α w procesie deformacji zmienia swój kształt, ulega przemieszczeniu, obraca się o kąt ϕ i przyjmuje po odkształceniu położenie α'−α' (rys. 10.1b). Ponieważ rozważany pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc osie obrotu każdego dowolnie obranego przekroju są do siebie równoległe. Tak więc w konfiguracji aktualnej każde włókno przekroju jest płaską krzywą równoległą do tzw. płaszczyzny zginania. Płaszczyzna ta tworzy z wektorem momentu pewien kąt η (rys. 10.1a). Wybierzemy w konfiguracji początkowej dowolny punkt materialny A, należący do włókna obojętnego (rys. 10.1a). W konfiguracji aktualnej rozważane włókno jest wygięte i punkt A zajmuje położenie a. Rysunek 10.1c ilustruje wygięcie tego włókna w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny zginania oraz oba położenia wybranego punktu materialnego. Ponieważ długość włókna obojętnego nie zmienia się, więc po odkształceniu cięciwa bd jest krótsza od odcinka BD = l. Wytnijmy myślowo element belki o pierwotnej długości dX, ograniczony dwoma płaskimi przekrojami (rys. 10.2a). Po odkształceniu przekroje te wyznaczają w płaszczyźnie zginania środek krzywizny pręta, przy czym odcinek włókna obojętnego nie zmienia swej długości (ds = dx). Wynika stąd, że powierzchnia obojętna w konfiguracji aktualnej jest powierzchnią walcową i przecina się z płaszczyzną przekroju pręta wzdłuż pewnej prostej, zwanej osią obojętną.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

2

Rys. 10.1

Oś obojętna jest zawsze prostopadła do płaszczyzny zginania. Ilustracją konfiguracji aktualnej jest rys. 10.2b. Z rysunku tego wnioskujemy, że podczas czystego zginania wygięte włókna pręta tworzą łuki kołowe, których wspólny środek leży w punkcie C. Rozważmy odkształcenie pewnego włókna przechodzącego przez punkt G przekroju pręta. W konfiguracji aktualnej włókno to zajmuje położenie g (por. rys. 10.2a, b), a jego długość wynosi ds + ∆ds. Z podobieństwa wycinków koła wynika, że (a)

ds + ∆ds r + e' = , ds r

skąd ∆ds e' = . ds r Lewa strona równania (b) przedstawia odkształcenie liniowe εx, a e' − odległość badanego włókna od osi obojętnej. Po uwzględnieniu, że krzywizna powierzchni obojętnej κ = 1 / r , otrzymujemy podstawowy związek kinematyczny teorii zginania, obowiązujący w konfiguracji aktualnej: (b)

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

ε x = κ ⋅ e'.

3

(10.1)

Odkształcenia εx rosną więc proporcjonalnie do odległości od osi obojętnej. Funkcja (10.1) w obszarze przekroju pręta przedstawia pewną płaszczyznę (tzw. płaszczyznę odkształceń). Ogólne równanie tej płaszczyzny w dowolnym lokalnym układzie osi środkowych (y, z), związanym z konfiguracją aktualną, można zapisać następująco (por. rys. 10.2b):

ε x ( y , z) = a0 + a1 y + a2 z,

(10.1a)

gdzie a0, a1, a2 oznaczają pewne stałe.

Rys. 10.2

Hipoteza płaskich przekrojów zapisana w postaci (10.1a) służy do wyznaczania naprężeń normalnych w ogólnym przypadku zginania prętów sprężystych i niesprężystych. Wzór (10.1a) jest słuszny również dla dużych przemieszczeń i dużych odkształceń; obowiązuje np. dla materiałów gumopodobnych. Trzeba jednak pamiętać, że położenie osi obojętnej, określone równaniem εx(y, z) = 0, zależy w istotny sposób od przyjętego prawa fizycznego.

Rys. 10.3

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

4

Najczęściej przyjmujemy, że przemieszczenia i odkształcenia są bardzo małe. Wówczas rozróżnianie konfiguracji początkowej i aktualnej nie jest konieczne, a dalsze istotne konsekwencje takiego założenia są następujące: − zmiany kształtu i wymiarów przekroju w procesie odkształcenia są pomijalnie małe, − osie obojętne w obu konfiguracjach są liniami prostymi i pokrywają się, − odległość e' = e, − długość cięciwy odkształconej linii obojętnej bd według rys. 10.1c jest w przybliżeniu równa długości pręta BD, a wektor przemieszczenia punktu A jest prostopadły do nieodkształconych włókien pręta (rys. 10.3a), − kąty obrotu przekrojów są bardzo małe (sinϕ ≈ tanϕ ≈ ϕ), a składowa przemieszczenia punktu G równoległa do osi pręta wynosi (rys. 10.3b): u = − e ·ϕ .

(10.2)

Wyznaczenie przemieszczeń pręta zginanego omówimy w p. 10.1.4.

10.1.2. Obliczanie naprężeń w prętach liniowo-sprężystych Przyjmijmy, że liniowo-sprężysty pręt pryzmatyczny o dowolnym przekroju jest poddany czystemu zginaniu momentem Mg o składowych My i Mz, przy czym osie y i z są dowolnymi osiami środkowymi (por. rys. 10.4). Zgodnie ze wzorami (8.1) składowe My i Mz definiuje się następująco: def

My =

∫ σ x ( y, z ) ⋅ z dA,

(10.3)

∫

(10.4)

A

def

M z = − σ x ( y , z ) ⋅ y dA. A

Rys. 10.4

Ze wzorów (10.3) i (10.4) nie wynika prawo rozkładu naprężeń normalnych w obrębie przekroju pręta. Możemy jedynie wykorzystać fakt, że siła normalna N, która również zależy od naprężeń, jest równa zeru: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

∫

N = σ x ( y , z ) ⋅ dA = 0.

5

(10.5)

A

Wzory (10.3) ÷ (10.5) obowiązują w konfiguracji aktualnej, a całkowanie należy prowadzić w obszarze A, oznaczającym zdeformowany przekrój pręta. W dalszym ciągu założymy, że odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe, co pozwala przyjąć, że obszar A odpowiada pierwotnemu przekrojowi pręta (przed odkształceniem). Do określenia funkcji σx (y, z) wykorzystamy hipotezę Bernoulliego. Jeżeli stan naprężenia podczas zginania opisuje macierz s: σ x s =  0  0

0 0 0 0 , 0 0

(10.6)

to ze związków fizycznych dla ciała liniowo-sprężystego otrzymujemy, że σx = E σx = Eεx . Z budowy wzoru (10.1a), zawierającego matematyczną treść hipotezy płaskich przekrojów, wynika więc następująca postać funkcji σx (y,z):

σ x ( y , z ) = b0 + b1 ⋅ y + b2 ⋅ z ,

(c)

gdzie b0, b1, b2 oznaczają pewne stałe. Po podstawieniu zależności (c) do wzorów (10.3) − (10.5) otrzymujemy liniowy układ równań na obliczenie stałych b0, b1, b2:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

b0 zdA + b1 yzdA + b2 z 2 dA = M y , A

A

A

− b0 ydA − b1 y 2 dA − b2 zydA = M z ,

(d)

A

A

A

∫

b0 dA + b1 ydA + b2 zdA = 0. A

A

A

Ponieważ osie y, z są osiami środkowymi, więc momenty statyczne*) Sz =

∫ ydA = S y = ∫ zdA = 0. A

A

Pozostałe całki oznaczają momenty bezwładności przekroju i pole przekroju A. Z równania (d)3 wynika zatem, że b0 = 0. Z kolei stałe b1 i b2 można określić z pozostałych dwóch równań układu (d): b1 J yz + b2 J y = M y ,

(e)

b1 ( − J z ) + b2 ( − J yz ) = M z ,

skąd b1 = −

M y J yz + M z J y , 2 J y J z − J yz

b2 =

M y J z + M z J yz . 2 J y J z − J yz

(f)

Po podstawieniu wartości stałych b1 i b2 do równania (c) otrzymujemy poszukiwane wyrażenie na σx (y, z): *) Momenty statyczne i momenty bezwładności zdefiniowano w dodatku. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

σ x ( y, z ) = −

M y J yz + M z J y J yJz −

J 2yz

⋅y+

M y Jz + Mz J y J y J z − J 2yz

6

⋅z .

(10.7)

Jest to ogólny wzór na naprężenie normalne wywołane momentem zginającym o składowych My i Mz w układzie dowolnych osi środkowych. Zależność (10.7) uprości się znacznie, jeżeli osie y i z będą głównymi osiami bezwładności. Wówczas moment dewiacyjny Jyz = 0, a naprężenia σx (y, z) określamy ze wzoru: My M ⋅ z. (10.7a) σ x ( y, z ) = − z ⋅ y + Jy Jz Jeśli przyjmiemy, że σx (y, z) = 0, to otrzymamy równanie prostej. Wzdłuż tej linii naprężenia i odkształcenia są równe zeru. Równanie: σx (y, z) = 0 jest więc równaniem osi obojętnej, dzielącej przekrój na część ściskaną i rozciąganą. Dla dowolnego układu osi y, z na podstawie wzoru (10.7) otrzymujemy: z=

M y J yz + M z J y M y J z + M z J yz

⋅ y.

(10.8)

Równania (10.7) i (10.8) ilustruje rys. 10.4. Na rysunku 10.5 pokazano, że naprężenie obliczone według wzoru (10.7a), zgodnie z zasadą superpozycji, jest sumą efektów działania momentów My i Mz.

Rys. 10.5

Jeżeli osie y, z są głównymi osiami bezwładności (Jyz = 0), to równanie osi obojętnej upraszcza się do postaci: Mz J y z= ⋅ y. (10.8a) M yJz Z równań (10.8) wynika, że podczas zginania prętów sprężystych oś obojętna przechodzi zawsze przez środek ciężkości przekroju. Trzeba podkreślić, że oś obojętna w ogólności nie pokrywa się z kierunkiem wypadkowego momentu zginającego Mg (rys.10.4). Linie te pokrywają się tylko w tych przekrojach, w których oba główne momenty bezwładności są takie same (np. przekrój kołowy, kwadratowy). Ten ważny wniosek wynika bezpośrednio ze wzoru (10.8a). Na rysunku 10.4 widzimy, że jednakowe naprężenia normalne występują w punktach leżących na liniach równoległych do osi obojętnej, a ekstremalne naprężenia normalne występują we włóknach najbardziej oddalonych od osi obojętnej. Najczęściej mamy do czynienia z przypadkami, w których występuje tylko jedna współrzędna momentu zginającego. Przyjmijmy więc, że Mg = My ≠ 0, a Mz = 0. Wówczas naprężenia σx (y, z) w układzie osi głównych wyraża wzór: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

σ x ( y, z ) = σ x ( z ) =

My Jy

⋅ z,

7

(10.9)

a oś obojętna pokrywa się z kierunkiem wektora Mg (por. rys. 10.4). Ekstremalne naprężenia normalne obliczamy z zależności:

σx =

M Wd

lub σ x =

−M , Wg

(10.9a)

gdzie M = My, a Wd = Jy/zd i jest tzw. wskaźnikiem wytrzymałości włókien dolnych, zaś Wg = Jy/zg i jest wskaźnikiem wytrzymałości włókien górnych. Przez zd i zg oznaczono odpowiednio odległości dolnych i górnych włókien od osi obojętnej (por. rys. 10.6). We wzorach (10.9) zwrot wektora momentu zginającego M = My pokrywa się ze znakiem osi y.

Rys. 10.6

Wymiarowanie na podstawie warunku wytrzymałościowego polega na przyjęciu takiego przekroju pręta, by była spełniona nierówność: σ red = σ x ≤ σ dop . Jeżeli przyjmiemy, że wartość σdop nie zależy od znaku naprężenia σx (jest tak na przykład w konstrukcjach stalowych), a wskaźnik wytrzymałości oznaczymy przez W = min (Wd, Wg), to warunek wytrzymałościowy przy uwzględnieniu zależności (10.9) ma postać:

σx =

M W

≤ σ dop ,

(10.10)

skąd wskaźnik wytrzymałości przekroju W ≥ Wmin =

M

σ dop

.

(10.11)

Na podstawie tej zależności można obrać przekrój pręta o odpowiednio dużym wskaźniku wytrzymałości. Bardzo przydatne są tutaj tablice do projektowania konstrukcji (np. Boguckiego i Żyburtowicza [5]), zawierające wartości wskaźników wytrzymałości dla najczęściej stosowanych przekrojów. Jeśli występują obie składowe momentu zginającego w układzie głównych osi bezwładności y, z, to warunek projektowania jest bardziej złożony. Najczęstsze są przekroje, w których warunek wytrzymałościowy upraszcza się do postaci (rys. 10.7a): Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

σx =

My Wy

+

Mz Wz

≤ σ dop ,

8

(10.12)

i przyjęcie odpowiedniego przekroju przebiega zazwyczaj w kilku próbach. W innych przypadkach (np. rys. 10.7b) obliczanie wartości naprężeń ekstremalnych nie jest szablonowe i wymaga dodatkowej analizy.

Rys. 10.7

10.1.3. Obliczanie odkształceń w prętach liniowo-sprężystych Wyznaczenie stanu odkształcenia dla znanego już stanu naprężenia nie nastręcza żadnych trudności. Ze związków fizycznych dla materiału liniowo-sprężystego otrzymujemy M y J z + M z J yz   σ 1  M y J yz + M z J y ⋅ y + ⋅ z , εx = x =  2 2  E E  J y J z − J yz J y J z − J yz   ε y = ε z = −νε x . 

(10.13)

Wobec założenia płaskich przekrojów odkształcenia kątowe znikają a tensor odkształcenia obrazuje macierz e: ε x e =  0  0

0 − νε x 0

0  0  . − νε x 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(10.14)

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

9

10.1.4. Wyznaczanie przemieszczeń pręta liniowo-sprężystego. Równanie różniczkowe linii ugięcia Rozważymy szczegółowo zagadnienie liniowe, w którym można stosować zasadę superpozycji. Zagadnienie to występuje wówczas, gdy poza hipotezą płaskich przekrojów przyjmuje się dodatkowo, że materiał pręta jest liniowo-sprężysty, a przemieszczenia i odkształcenia są bardzo małe. W wyznaczaniu przemieszczeń sprawą najważniejszą jest określenie składowej prostopadłej do osi pręta, czyli tzw. ugięć osi ciężkości belki. Z punktu 10.1.2 wiemy, że oś obojętna przechodzi zawsze przez środek ciężkości przekroju, a z punktu 10.1.1 wynika, że krzywiznę powierzchni obojętnej mierzoną w płaszczyźnie zginania wyraża się następująco (por. wzór (10.1)):

κ=

εx , e

(10.15)

gdzie e jest odległością włókien pręta od osi obojętnej (por. rys. 10.8).

Rys. 10.8

Wykorzystując fakt, że εx = σx/E, otrzymujemy:

κ=

σx . Ee

(10.15a)

Dla dowolnych osi środkowych y, z naprężenia σx określa wzór (10.7). Z rysunku 10.8 wynika, że:  M y = M g cos ηg ,   M z = M g sin ηg ,   y = − e sin η0 , z = e cosη . 0 

(g)

gdzie ηg jest kątem zawartym między wektorem Mg i osią y, a η0 oznacza kąt między osią obojętną i osią y, przy czym stosownie do wzoru (10.8)

(h)

tgη0 =

z M y J yz + M z J y J yz cos ηg + J y sin ηg . = = y M y J z + M z J yz J z cos ηg + J yz sin ηg

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

10

Po uwzględnieniu wzorów (g) we wzorze (10.7) i podstawieniu otrzymanego rezultatu do zależności (10.15a) otrzymujemy następujący podstawowy związek między krzywizną k i momentem zginającym Mg:

κ=

Mg E( J z J y − J zy2 )

[sinη (J 0

yz

]

cosηg + J y sinηg ) + cosη0 ( J z cosηg + J yz sinηg ) .

(10.16)

Jeżeli osie y i z są głównymi środkowymi osiami bezwładności (Jyz = 0), to zależność (10.16) upraszcza się do postaci:

κ=

Mg EJ y J z

( J y sin η0 sin η g + J z cosη0 cosη g ).

(10.16a)

Wzór (10.16a) uprości się znacznie, gdy wektor momentu Mg pokrywa się z jedną z głównych osi bezwładności. Jeżeli na przykład Mg = My (Mz = 0), to ηg = 0, stąd na podstawie wzoru (h) η0 = 0. Oznacza to, że oś obojętna jest współliniowa z kierunkiem wektora momentu, a płaszczyzna zginania jest prostopadła do tego wektora. Wówczas zależność (10.16a) przyjmuje postać:

κ =κ y =

My EJ y

.

(10.17)

Zależności (10.16) i (10.16a) nie znajdują na ogół zastosowania praktycznego z uwagi na dość złożoną postać i brak prostej interpretacji fizycznej. Wad tych nie wykazuje wzór (10.17), mający podstawowe znaczenie w teorii zginania. Wynika z niego, że krzywizna jest wprost proporcjonalna do momentu zginającego, a odwrotnie proporcjonalna do iloczynu EJy, zwanego sztywnością zginania przekroju. W przypadku tzw. dwukierunkowego (ukośnego) zginania, gdy występują obie składowe momentu zginającego My i Mz, zamiast korzystać ze wzoru (10.16a) stosuje się zasadę superpozycji. Krzywiznę ky wyznacza się ze wzoru (10.17), a krzywiznę kz ze wzoru (10.17a)':

κz =

Mz . EJ z

(10.17a).

Wypadkowa krzywizna k jest sumą wektorową krzywizn κy i κz.

Rys. 10.9 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

11

Przejdziemy obecnie do szczegółowej analizy wzoru (10.17), służącego do wyznaczenia tzw. linii ugięcia, czyli przemieszczeń punktów osi ciężkości pręta w płaszczyźnie zginania. Rozważymy przypadek przedstawiony na rys. 10.9, przy czym dla uproszczenia zapisu przyjmiemy, że Mg = My = M, a Jy = J. Płaszczyzna zginania pokrywa się z płaszczyzną xz, a linię ugięcia opisuje funkcja: w0(x) = w(x,0,0). Na podstawie rys. 10.9c możemy napisać:

κ y =κ =

(i)

1 dϕ = , r ds

przy czym (j) Ponieważ

2

ds = 1 + w0' ⋅ dx. w0' =

dw0 = tgϕ lub ϕ = arctgw0' , dx

więc dϕ = d (arctgw0' ) =

(k)

w0''

gdzie w0'' =

⋅ dx , 1 + w0'2

d 2 w0 dx 2

.

Po podstawieniu zależności (j) i (k) do wzoru (i) otrzymujemy:

w0'' κ= . (1 + w0'2 ) 3 / 2

(10.18)

Jest to dokładny wzór na dowolnie dużą krzywiznę krzywej w0(x). Podstawienie wzoru (10.18) do zależności (10.17) daje następujące nieliniowe równanie różniczkowe linii ugięcia: w0''

2 (1 + w0' ) 3/ 2

=

M EJ

.

(10.19)

Moduły we wzorze (10.19) są konieczne, dopóki nie ustalimy zgodności znaków lewej i prawej strony. Równanie (10.19) jest słuszne dla małych odkształceń (zmiany wymiarów przekroju są pomijalnie małe), ale dowolnie dużych przemieszczeń. Jeżeli przyjmiemy, że kąty obrotu są bardzo małe, to

ϕ = arctgw0' ≈ w0' oraz 1 + w0'2 ≈ 1. Wówczas linię ugięcia określamy z liniowego równania różniczkowego: w0'' =

M . EJ

(10.19a)

Zanalizujemy jeszcze znaki wielkości w0'' i M. Zazwyczaj przyjmuje się, że dodatni moment rozciąga dolne włókna pręta; zwrot momentu M = My jest więc dodatni i prawa strona równania (10.19a) jest większa od zera, bo EJ > 0. Znak lewej strony ustalimy według rys. 10.10. Na rysunku 10.10a oś w0 jest skierowana w dół i dodatniemu momentowi odpowiada ujemna wartość drugiej pochodnej w0'' . Przeciwny znak otrzymujemy, gdy oś w0 jest skierowana w górę. Wobec tego równanie różniczkowe linii ugięcia ma postać: − dla osi w0 skierowanej w dół (rys. 10.10a)

EJ w0'' = − M , przy czym

k=

(10.20)

−w0'' ,

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

12

− dla osi w0 skierowanej w górę (rys. 10.10b).

EJ w0'' = M ,

(10.20a)

κ =w . '' 0

przy czym

Rys. 10.10

Zastosujemy obecnie równanie (10.20) do obliczenia linii ugięcia pręta poddanego czystemu zginaniu (rys. 10.9). Ponieważ EJ = const i M = const, więc

EJ w0' = − Mx + C1 EJ w0 = − M

oraz

x2 + C1 x + C2 . 2

Stałe C1 i C2 wyznaczymy z następujących warunków brzegowych:

w0 ( 0) = 0,

stąd

w0 (l ) = 0,

stąd

C2 = 0, Ml C1 = . 00 2

Wobec tego linia ugięcia jest parabolą II stopnia o równaniu: (l)

w0 ( x ) =

M ( lx − x 2 ). 2 EJ

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

13

Największe ugięcie (tzw. strzałka ugięcia) występuje w połowie rozpiętości: 2  l M l ∆ = w0   = .  2  8 EJ

Ściśle biorąc linia ugięcia w rozważanym zadaniu jest fragmentem łuku koła, a nie parabolą II stopnia. Postać przedstawiona wzorem (l) jest rozwiązaniem równania liniowego (10.20). Rozwiązanie ścisłe otrzymamy po zastosowaniu równania nieliniowego (10.19). Warto dodać, że dla małych ugięć różnice rozwiązań równań liniowego i nieliniowego są bardzo małe.

Rys. 10.11

Wyznaczenie wszystkich współrzędnych wektora przemieszczenia dla każdego punktu pręta jest bardziej złożone, ale ze względów praktycznych niekonieczne, ponieważ przemieszczenia u(x, y, z) i v(x, y, z) są bardzo małe, a w(x, y, z) ≈ w(x, 0, 0) = w0(x). Dla zobrazowania tej sprawy rozważymy jednak pręt o przekroju prostokątnym. Ściskana część przekroju ulega poprzecznemu poszerzeniu, a rozciągana − zwężeniu (por. rys. 10.11). Krawędzie boczne są liniami prostymi, a krawędzie dolna i górna są łukami kołowymi. Opisane deformacje przekroju poprzecznego łatwo można zaobserwować przy zginaniu pręta gumowego. Szerokość skrajnej górnej krawędzi przekroju wyraża w przybliżeniu wzór:

h νh b + bνε = b(1 + νκ ) = b(1 + ). 2 2r Jeśli przyjmiemy dalej, że średnia odległość krawędzi od osi obojętnej w trakcie deformacji nie ulega zmianie i wynosi h/2, to możemy obliczyć krzywiznę linii przechodzącej przez odkształconą oś pręta. Z proporcji: νh h r0 + b(1 + ) 2 = 2r r0 b otrzymujemy, że: r r0 = . (m) ν Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

14

Gdy ν = 0 oraz r0 →∞, wymiary przekroju poprzecznego nie ulegają zmianie. Wyczerpujące omówienie sposobu obliczania przemieszczeń u(x, y, z), v(x, y, z) i w(x, y, z) dla liniowego problemu zginania znajduje się w książce Piechnika [34]. W rozważanym przez nas czystym zginaniu pręta z rysunku 10.9 funkcje te mają następującą postać: M l ∂w( x ,0,0)  ( x − )z = −z , EJ x 2  M  v ( x , y , z ) = −ν ⋅ yz ,  EJ  M  2 2 2 w( z , y , z ) = lx − x + ν ( y − z ) .  2 EJ  u( x , y , z ) =

[

(10.21)

]

10.1.5. Zakres stosowania wyprowadzonych wzorów

Wszystkie dotychczas omówione rezultaty liniowej teorii zginania są ścisłe dla czystego zginania izotropowych i jednorodnych prętów pryzmatycznych, jakkolwiek stosujemy je również w następujących przypadkach: a) do prętów ortotropowych (np. drewnianych), jeżeli kierunek główny anizotropii (kierunek włókien) jest zawsze równoległy do osi pręta, b) do prętów podłużnie niejednorodnych, czyli prętów, w których współczynniki sprężystości zmieniają się wzdłuż osi pręta (np. E = E(x)), c) do prętów o łagodnej zmianie przekroju, d) do prętów cienkich, poddanych działaniu momentu zginającego, zmieniającego się wzdłuż osi pręta, e) do prętów słabo zakrzywionych. Stosowanie liniowej teorii zginania w przypadkach a) i b) daje wyniki dokładne. W prętach o zmiennym przekroju (przypadek c)) − podobnie jak przy działaniu siły normalnej − poza naprężeniem σx występują również inne składowe stanu naprężenia. W przypadku d), gdy moment zginający zmienia się wzdłuż osi pręta (np. M = M(x)), zgodnie z równaniem różniczkowym równowagi (por. wzór (14.25)) musi wystąpić również siła poprzeczna Q(x) = dM/dx. Obecność deformacji wywołanych siłą poprzeczną (por. rozdz. 11.) prowadzi do wniosku, że hipoteza Bernoulliego jest niesłuszna. Jeżeli jednak wymiary poprzeczne pręta są wyraźnie mniejsze od jego długości (pręt jest cienki), to wpływ sił poprzecznych na wartości ugięć można pominąć*). Wobec powyższego uogólniona postać równania różniczkowego linii ugięcia, obejmująca również przypadki b), c) i d) jest następująca:

E( x ) ⋅ J ( x )

d 2 w0 dx 2

= − M ( x ).

(10.22)

Zakrzywienie osi pręta prowadzi do nieliniowego rozkładu naprężeń normalnych w obrębie przekroju. Problematyka prętów silnie zakrzywionych, w których nieliniowy rozkład naprężeń wprowadza istotne różnice ilościowe, będzie omówiona w rozdziale 13.

*)

Patrz rozdz. 11.1.3.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

15

10.1.6. Zależności energetyczne Wyznaczymy wartość całki objętościowej z iloczynu tensorów naprężenia i odkształcenia przy zginaniu pręta. Jeśli przyjmiemy, że jedyną niezerową współrzędną tensora naprężenia jest σ11 = σx, otrzymamy:    σ ij εij dV = σ x ε x dV = σ x ε x dA ds,   V V s A 

∫

∫

∫∫

gdzie s jest długością pręta (może to być również pręt słabo zakrzywiony), a ds elementem łuku mierzonym na osi pręta.

Rys. 10.12

Dla bardzo małych odkształceń, zgodnie z hipotezą płaskich przekrojów, ε x = κ ⋅ e. Jeżeli ograniczymy się do przypadków, w których wektor momentu zginającego M g = M y = M i pokrywa się z główną osią bezwładności, to e = z + c, przy czym c jest odległością osi obojętnej od osi ciężkości (por. rys. 10.12). Wobec tego

∫σ

V

    ε dV = ∫ κ  ∫ σ x ( z + c) dA ds = ∫ κ  ∫ σ x zdA + c ∫ σ x dA ds. V s A A  A 

ij ij

Ponieważ

∫ σ x zdA = M y = M

oraz

A

∫ σ x dA = N = 0, A

więc

∫σ

V

ε dV = ∫ M ( s )κ ( s ) ds.

ij ij

(10.23)

s

Wzór (10.23) jest słuszny również dla nieliniowej zależności σx(εx), przy czym w przypadku ogólnym moment zginający M i krzywizna mogą się zmieniać wzdłuż osi pręta. Z wyprowadzonej zależności wynika, że moment zginający wykonuje pracę na przyrostach kąta obrotu: dϕ = kds. Wnioskujemy stad, że skupiony moment zginający (np. moment zewnętrzny działający na końcowy przekrój pręta) wykonuje pracę na kącie obrotu przekroju ϕ. Jeśli pręt jest liniowo-sprężysty, to energia sprężysta, zawarta wewnątrz pręta

U=

1 M κ ds. 2 ∫s

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

16

Ponieważ krzywizna κ = M/(EJ), więc U =UM =

1 2

∫ s

M2 ⋅ ds EJ

(10.24)

lub

U =Uk =

1 EJ κ 2 ⋅ ds. ∫ 2s

(10.24a)

Zależność (10.23) służy również do obliczenia wewnętrznych prac wirtualnych:

∫σ

ij ij

∫σ

ij ij

V

V

ε dV = ∫ M ⋅ κ ⋅ ds ,

(10.25)

ε dV = ∫ M ⋅κ ds .

(10.26)

s

s

Wielkości wirtualne oznaczono nadkreśleniem.

10.2. METODY WYZNACZANIA LINII UGIĘCIA I ZASTOSOWANIA RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO LINII UGIĘCIA 10.2.1. Postacie równania różniczkowego linii ugięcia. Warunki brzegowe Pręt zginany nazywamy krótko belką, a przez ugięcie rozumiemy przemieszczenie punktów osi ciężkości w płaszczyźnie zginania. W dalszym ciągu dla skrócenia zapisu ugięcie belki będziemy oznaczać przez w(x), z pominięciem indeksu "0". Z rozważań zawartych w p. 10.1 wiadomo, że równanie różniczkowe linii ugięcia (wzór (10.22)) ma postać: EJ w" = −M(x).

(10.27)

Po zróżniczkowaniu tego równania względem x otrzymujemy: (EJ w")' = −Q(x).

(10.28)

Ponowne zróżniczkowanie równania (10.28) prowadzi do wyniku: (EJ w")" = q(x).

(10.29)

W wyprowadzeniu powyższych równań skorzystaliśmy ze związków różniczkowych między momentem zginającym, siłą poprzeczną i obciążeniem (por. wzór (13.25)): M ( x )' = Q( x ),  Q( x )' = − q ( x ).

(10.30)

Zależności (10.27) ÷ (10.29) przedstawiają 3 postacie równania różniczkowego linii ugięcia. W przypadku równania (10.27) trzeba znać funkcję momentów M(x), co ogranicza stosowanie go do układów statycznie wyznaczalnych. Równanie (10.28) rzadko służy do wyznaczania ugięć, jest natomiast użyteczne w formułowaniu warunków brzegowych. Najogólniejszą postacią równania różniczkowego linii ugięcia jest równanie (10.29). Znajduje ono zastosowanie również w układach statycznie niewyznaczalnych, bo do rozwiązania wystarczy znać tylko funkcję obciążenia q(x).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

17

Rys. 10.13

Stałe całkowania, których liczba jest równa rzędowi równania, wyznaczamy z warunków brzegowych. Dla równania drugiego rzędu (10.27) warunki te sprowadzają się do podania znanych wartości ugięcia w lub kąta obrotu ϕ = w'. I tak na przykład: dla podpory przegubowej ( rys. 1013 . a ), w=0  w = 0, w' = 0 dla utwierdzenia ( rys. 10.13b). 

(10.31)

W równaniu (10.29) podaje się po 2 warunki brzegowe na każdym końcu belki (razem 4 warunki do wyznaczenia czterech stałych). Przykładowo, jeśli EJ = const, to − dla podpory przegubowej obciążonej znanym momentem M0 (rys. 10.13c): w=0

  M 0 , w'' = − EJ 

(10.32a)

w = 0, , w' = 0.

(10.32b)

− dla utwierdzenia (rys. 10.13d):

− dla końca swobodnego obciążonego znanym momentem M0 i znaną siłą poprzeczną Q0 (rys. 10.13e): M0  , EJ   Q w''' = − 0 .  EJ 

(10.32c)

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

w'' = −

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

18

10.2.2. Całkowanie równania drugiego rzędu Wyznaczymy linię ugięcia belki swobodnie podpartej o stałym przekroju (EJ = const), poddanej działaniu obciążenia równomiernego q (x) = q = const (rys. 10.14). Moment zginający jest opisany funkcją: M(x) =

ql x2 x−q . 2 2

Wobec tego równanie (10.27) przyjmuje postać: EJw'' = −

(a)

ql x2 x+q , 2 2

a warunki brzegowe są następujące (b)

w(0) = 0,

w(l) = 0.

Rys. 10.14

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Rys. 10.15

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

19

Dwukrotne całkowanie równania (a) daje kolejno: ql 2 q 3 x + x + C1 , 4 6 ql q 4 EJw = − x 3 + x + C1 x + C2 . 12 24

EJw' = −

Z warunków brzegowych mamy: w(0) = 0 : C2 = 0, w(l ) = 0 : C1 =

ql 3 . 24

Wobec tego

(c)

3 4  ql 4  x   x  x  w( x ) =   − 2  +   ,  l  l  24 EJ  l      2 3  ql 3   x  x  1 6 4 = = − + ( x ) w '( x ) ϕ .        l l  24 EJ    

Z równań (c) otrzymujemy strzałkę ugięcia ∆ = wmax oraz kąt obrotu na podporze ϕ(0):

(d)

 5 ql 4  l , ∆ = w = w =    max  2  384 EJ    ql 3 ( 0 ) . = = ϕ ϕ  max 24 EJ

Warto zwrócić uwagę, że jeżeli znamy linię ugięcia w(x), to określone są zarówno wielkości kinematyczne, jak i statyczne. Kąt obrotu ϕ, moment zginający M, siłę poprzeczną Q i obciążenie q uzyskujemy w wyniku kolejnego różniczkowania funkcji w(x) według schematu: ϕ = w' ,  M = − EJϕ ' , (10.33) . Q = M',   q = − Q'. Wykresy wymienionych wielkości podano na rys. 10.14. Wyznaczymy teraz linię ugięcia belki wspornikowej przedstawionej na rys. 10.15. Równania momentów są następujące: Pl l M1 ( x ) = − + P x , − w przedziale I 0 ≤ x ≤ 6 2 l Pl M2 ( x) = − w przedziale II = const. ≤x≤l 3 2 Ponieważ funkcję M(x) określają 2 wzory, więc trzeba rozwiązać 2 równania różniczkowe:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

EJ w1'' =

Pl − Px , 6

EJ w2'' = −

Pl , 3

EJ w1' =

Pl x2 x−P + C1 , 6 2

EJ w2' = −

Pl x + C2 , 3

EJ w1 =

Pl 2 x3 x −P + C1x+D1 , 12 6

EJ w2 = −

Pl 2 x + C2 x + D2 . 6

oraz

20

Powstaje więc problem wyznaczenia czterech stałych całkowania (po dwie stałe w każdym z przedziałów). Warunki brzegowe dla funkcji w1(x) zgodnie z zależnością (10.31) są następujące: 1) w1(0) = 0, 2) ϕ ( 0) = w'1 ( 0) = 0. Funkcję w2(x) dobieramy tak, by linia ugięcia była funkcją ciągłą wraz z pierwszą pochodną, tzn. by 3) w1 (l / 2) = w2 ( l / 2), 4) w'1 ( l / 2) = w'2 ( l / 2). Wykorzystanie warunków 1) i 2) daje C1 = D1 = 0. Z kolei z warunków 3) i 4) otrzymujemy:  l w1  = 0,  2

skąd

3  1 l  l   Pl w2   =  − + C2 + D2  = 0,  2   24 2  EJ

Pl 2  l w'1   = − ,  2 24 EJ

skąd

2  1 Pl 2  l   Pl w'2   =  − . + C2  =−  2  6 3EJ  EJ

Wobec powyższego C2 =

Pl 2 8

oraz

D2 = −

Pl 3 . 48

Rozwiązanie zadania jest następujące:

(e)

 Pl 3  12 EJ w( x ) =   Pl 3   48 EJ

3  x  2  x    − 2  , l   l  

0≤ x ≤

  x2  x   − 8  + 6  − 1,  l    l  

l ≤ x ≤ l, 2

l , 2

a jego ilustracją jest rys. 10.15. Z przebiegu rozwiązania tego zadania wynika, że gdy obciążenie nie jest ciągłe (większa liczba przedziałów), wyznaczenie linii ugięcia staje się kłopotliwe, bo określenie stałych całkowania wymaga rozwiązania dosyć dużego układu równań liniowych. Liczba tych równań jest równa podwójnej liczbie przedziałów (np. w zadaniu z rysunku 10.16 mamy 2 × 4 = 8 równań). Jeżeli jednak obciążenie zapiszemy w postaci dystrybucji, to zadanie sprowadza się zawsze do wyznaczenia tylko dwóch stałych. Taki sposób całkowania obmyślił już w XIX wieku Clebsch (1833-1872), nie znając teorii dystrybucji. Sposób Clebscha polega na takim zapisie równania momentów, by stałe Ci oraz Di (i = 1, 2, 3, ..., n) w każdym z n przedziałów były sobie równe. Bardzo ogólną metodą numeryczną rozwiązania Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

21

równań różniczkowych jest tzw. metoda różnic skończonych. Opis i zastosowania tych metod przedstawiono w dodatku.

Rys. 10.16

10.2.3. Metoda obciążenia krzywiznami*) Równanie różniczkowe linii ugięcia w postaci (10.27): M(x) (f) w"( x ) = − E( x ) J ( x ) jest bardzo podobne do równania różniczkowego równowagi, wiążącego moment zginający M z obciążeniem q: (g) M"(x) = −q (x). Równanie (g) otrzymuje się przez zróżniczkowanie pierwszego z równań (10.30) i dodanie do drugiego. Jeśli w równaniu (f) przyjmiemy, że: M(x) q *( x ) = k ( x ) = , (10.34) E( x ) J ( x ) a ugięcie w(x) oznaczymy przez M*(x): w(x) = M*(x),

(10.35)

to otrzymujemy następujące równanie różniczkowe: M*(x)" = −q*(x).

(h)

Jeżeli pominiemy gwiazdki, to równanie (h) jest identyczne z równaniem równowagi pręta (g). Wnioskujemy stąd, że kształt wykresu momentów M*(x) pochodzących od obciążenia krzywizną q*(x) = k(x) odpowiada kształtowi linii ugięcia. Po raz pierwszy na fakt ten zwrócił uwagę Mohr w 1868 roku. Należy jednak podkreślić, że identyczność dwóch równań różniczkowych prowadzi tylko wówczas do identycznych rozwiązań, gdy warunki brzegowe w obu zadaniach są takie same. W związku z tym musimy wprowadzić pewne fikcyjne warunki brzegowe. Belka fikcyjna poddana obciążeniu q*(x) musi być tak obrana, by odpowiadała rzeczywistym warunkom brzegowym dla funkcji ugięcia. Trzeba tu pamiętać, że *)

Metoda ta jest nazywana również metodą momentów wtórnych.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

22

zgodnie ze wzorem (10.35) ugięcie w(x) jest równe fikcyjnemu momentowi M*(x), a kąt obrotu ϕ(x) jest równy fikcyjnej sile poprzecznej Q*(x):

ϕ(x) = Q*(x), bo

(10.36)

ϕ(x) = w'(x) = M*'(x) = Q*(x).

Rys. 10.17

Relacje między różnymi wariantami podparcia belek rzeczywistych i belek fikcyjnych przedstawia rys. 10.17. Dla objaśnienia przytoczymy przykładowo sposób rozumowania dotyczący przypadku e). W belce rzeczywistej występuje podpora pośrednia, dla której ugięcie jest równe zeru, a kąt obrotu z lewej strony podpory ϕl jest równy kątowi obrotu z prawej strony podpory ϕp. Wobec tego belce fikcyjnej należy przypisać taki punkt, w którym wielkości statyczne: M* = 0 oraz Ql* = Q*p . Własności takie ma przegub pośredni.

Rys. 10.18

Na podstawie rysunku 10.17 schematowi belki rzeczywistej można bez trudu przyporządkować schemat belki fikcyjnej (por. rys. 10.18). Zwróćmy uwagę na to, że rzeczywistej belce statycznie wyznaczalnej odpowiada zawsze statycznie wyznaczalna belka fikcyjna. Relacje między warunkami brzegowymi zachodzą w obu kierunkach, tzn. jeśli rzeczywistemu schematowi A odpowiada fikcyjny schemat statyczny B, to rzeczywistemu schematowi B odpowiada fikcyjny schemat A. Jeśli układ rzeczywisty jest statycznie niewyznaczalny, to układ fikcyjny jest geometrycznie zmienny i na odwrót. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

23

Rys. 10.19

W podsumowaniu rozważań stwierdzamy, co następuje. Aby wyznaczyć ugięcia w(x) i kąty obrotu belki ϕ(x) należy: − narysować schemat statyczny i obciążenia belki rzeczywistej, − sporządzić wykres momentów zginających w belce rzeczywistej, − narysować schemat statyczny belki fikcyjnej i obciążyć ją krzywiznami

q * ( x) = κ ( x) =

M ( x) + κ 0 ( x), E ( x) J ( x)

gdzie k0(x) oznacza krzywiznę pochodzącą od innych wpływów niemechanicznych (np. od nierównomiernego ogrzania, skurczu) lub technologicznych (np. zakrzywienie spowodowane błędami wykonania), − wyznaczyć siły poprzeczne Q*(x) i momenty zginające M*(x) dla belki fikcyjnej (ugięcia belki w(x) = M*(x), a kąty obrotu ϕ(x) = Q*(x)). Przedstawimy jeszcze przykłady zastosowań metody Mohra. Pierwszy przypadek dotyczy belki o stałej sztywności. Obciążenie i schemat statyczny oraz wykresy Q(x) i M(x) dla belki rzeczywistej podano na rys. 10.19a. Rysunek 10.19b przedstawia obciążenie q* i schemat statyczny belki fikcyjnej oraz wykresy fikcyjnej siły poprzecznej Q*(x) = ϕ(x) i fikcyjnego momentu zginającego M*(x) = w(x). Na rysunku 10.20a zestawiono rezultaty obliczeń belki wspornikowej o skokowo zmiennej sztywności. Do wykonania belki z rys. 10.20b zamiast prętów prostoliniowych użyto dwóch skrajnych prętów wstępnie zakrzywionych o stałej krzywiźnie κ 0 = 1 / r0 = const, a pręt środkowy jest załamany pod kątem:

ϕ 0 = 3l /( 2 r0 ) = 3κ 0 l / 2. Chodzi o obliczenie aktualnego położenia osi belki w odniesieniu do projektowanej osi prostoliniowej. Rozwiązanie tego zadania jest bardzo proste, bo znana jest z góry stała krzywizna k0 a kąt ϕ0 jako krzywizna skoncentrowana jest siłą skupioną. Krzywizna κ0, i kąt ϕ0 stanowią obciążenie belki fikcyjnej. Rezultaty obliczeń przedstawiono na wykresach.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

24

Rys. 10.20

Metoda obciążenia krzywiznami ma duże znaczenie w mechanice budowli, gdzie z pewnymi modyfikacjami stosuje się ją również do obliczenia ugięć kratownic i łuków (tzw. metoda ciężarków sprężystych) oraz do wyznaczania funkcji prędkości ugięć przy badaniu nośności granicznej konstrukcji prętowych i powierzchniowych. Metoda Mohra jest ogólną metodą rozwiązania równania różniczkowego y" = f(x), przy czym f(x) może być również dystrybucją.

10.2.4. Obliczanie belek statycznie niewyznaczalnych. Belki na podłożu sprężystym W układach statycznie wyznaczalnych do określenia sił wewnętrznych wystarcza wykorzystać tylko równania równowagi: liczba więzów podporowychi wewnętrznych jest równa liczbie równań statyki. Jeżeli liczba więzów jest większa od liczby równań równowagi, to mamy do czynienia z tzw. układami statycznie niewyznaczalnymi. Do obliczenia sił wewnętrznych w takich układach oprócz równań równowagi wykorzystuje się jeszcze równania ciągłości przemieszczeń. Teoria układów statycznie niewyznaczalnych jest bardzo rozbudowana i dobrze znane są ogólne metody rozwiązywania takich układów. W pewnych przypadkach dogodne jest jednak bezpośrednie zastosowanie równania różniczkowego linii ugięcia czwartego rzędu w postaci (10.29). Poniżej przedstawimy rozwiązania dwóch zadań o dużym znaczeniu praktycznym.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

25

Przykład 1 Rozważymy belkę przedstawioną na rys. 10.21. Warunki brzegowe na funkcję w(x) są następujące (por. wzory (10.32)): 1) w(0) = 0,

2) w' (0) = 0,

3) w(l) = 0,

4) w"(l) = −

M0 . EJ

Rys. 10.21

Rozwiązanie Wykonamy całkowanie równania różniczkowego linii ugięcia: EJw IV = q , EJ w III = q x + C1 , (i)

EJ w' ' = q

x2 + C1 x + C2 , 2

EJ w' = q

x3 x2 + C1 + C2 x + C3 , 6 2

EJ w = q

x4 x3 x2 + C1 + C2 + C3 x + C4 . 24 6 2

Z warunków brzegowych 1) i 2) wynika, że C3 = C4 = 0. Stałe C1 i C2 obliczymy z pozostałych warunków brzegowych: ql 4 l3 l2 + C1 + C2 = 0, 24 6 2

3) w(l ) = 0 : 4) w"( l ) = −

M0 : EJ

ql 2 l + C1 + C2 = − M 0 . 2 2

Rozwiązaniem tego układu są wartości:

(j)

5 3 M0 , C1 = − ql − 8 2l 1 1 C2 = ql 2 + M 0 . 8 2

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

26

Po ich podstawieniu do równań (i) otrzymujemy: 4 3 2  l4   x  3 M0   x  M0   x   1 5  w( x ) = q ⋅   − 4 q + 2    + 12 q + 2     , 8 8 24 EJ   l   2l   l  2l   l     3 2  l3   x  3M  x  M  x 5 1 q ⋅   − 3 q + 20    + 6 q + 20     , ϕ ( x ) = w'( x ) = 8 8 6 EJ   l  2l   l  2l   l     (k)  2  M0   3 M0   x  l2   x  1 5  M ( x ) = − EJ = − EJw" = − q ⋅   − 2 q + + + q 2 ,     2  l  2  8 8 2   l 2 2 l l       x  5 3 M0    Q( x ) = M '( x ) = − l q ⋅  l  −  8 q + 2  . 2l   

Rozważymy teraz trzy przypadki szczególne a) b)

q = 0, q ≠ 0,

M0 ≠ 0 M0 = 0

c)

q ≠ 0,

M0 = −

(rys. 10.22), (rys. 10.23), ql 2 12

(rys. 10.24).

Rys. 10.22 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

27

W przypadku a) niezależnie od wartości obciążenia dla x = l/3 moment zginający jest równy zeru, a w miejscu utwierdzenia jest równy −M0/2. W przypadku b) charakterystyczne jest to, że reakcja na podporze utwierdzonej wynosi 5ql/8 i jest 2 większa od ql/2 , a maksymalna bezwzględna wartość momentu równa się ql /8 i jest taka sama jak w belce swobodnie podpartej. Wynika stąd, że utwierdzenie belki na jednej podporze z punktu widzenia wytrzymałości nie daje żadnej korzyści, redukuje jednak w istotny sposób ugięcie (strzałka ugięcia jest około 2,4 razy mniejsza niż w belce swobodnie podpartej). Zwróćmy uwagę na to, że dla belki dwuprzęsłowej o podporach przegubowych reakcja na środkowej podporze jest o 25% większa od reakcji obliczonej dla dwóch oddzielnych belek swobodnie podpartych. Warto o tym pamiętać podczas projektowania tej podpory.

Rys. 10.23 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

28

Przypadek c) jest rozwiązaniem belki obustronnie utwierdzonej. W belce tej największa bezwzględna 2 wartość momentu zginającego występuje na podporach i wynosi ql /12 , a strzałka ugięcia jest 5 razy mniejsza niż w belce swobodnie podpartej. Każdy z rozważanych przypadków można uważać za rozwiązanie belki dwuprzęsłowej obciążonej symetrycznie.

Rys. 10.24

Przykład

2

Rozważymy belkę (np. ławę fundamentową, rurociąg) spoczywającą na podłożu gruntowym (rys. 10.25). Pod wpływem obciążenia q(x) belka wykazuje ugięcie w(x). Równowaga belki jest spełniona dzięki wystąpieniu reakcji podłoża qr(x), rozłożonej w sposób ciągły. Jeżeli dla uproszczenia przyjmiemy, że podłoże składa się z wielu bardzo blisko siebie położonych sprężynek o sztywności R, to zgodnie z rys 10.25 reakcję podłoża określa wzór: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

29

qr(x) = R · w(x).

(10.37)

Rys. 10.25

Rozwiązanie Sztywność R zależy od szerokości belki b w poziomie kontaktu z podłożem i własności gruntu: 2

R = b C [MN/m ],

(10.38)

3

gdzie C [MN/m ] oznacza tzw. współczynnik podłoża (np. dla drobnego piasku wynosi on około 3 3 50 MN/m , a dla iłu zwartego około 2000 MN/m ). Opisany wyżej model podłoża nazywamy podłożem sprężystym lub podłożem Winklera (1835-1888). Jego cechą charakterystyczną jest to, że przemieszczenia rozważanego punktu zależą tylko od wartości obciążenia w tym punkcie. Zasadnicze przybliżenie polega więc na założeniu, że ugięcia poszczególnych sprężynek są od siebie niezależne. Do rozwiązywania belek na podłożu sprężystym wykorzystamy bezpośrednio równanie różniczkowe linii ugięcia czwartego rzędu z uwzględnieniem, że obliczeniowe obciążenie belki (l)

q0(x) = q(x) − qr(x).

Wobec tego równanie różniczkowe linii ugięcia belki pryzmatycznej ma postać: EJ

(m)

d 4w dx 4

= q( x ) − R ⋅ w( x )

lub po uporządkowaniu: EJ

d 4w dx 4

+ R ⋅ w( x ) = q( x ).

(10.39)

W dalszych obliczeniach wygodne jest wprowadzenie zmiennej bezwymiarowej x , L dx = L·dξ,

ξ=

skąd

4

4

(10.40) 4

dx = L dξ , Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

30

gdzie L oznacza pewną stałą o wymiarze długości. Dla ułatwienia obliczeń długość L obieramy tak, by RL4 = 4, EJ

czyli L = 4

4 EJ . R

(10.41)

Równanie (10.39) przyjmuje ostatecznie następującą postać: w IV + 4 w =

4q , R

gdzie w IV =

d 4w dξ 4

.

(10.42)

Rozwiązanie tego równania składa się z całki szczególnej równania niejednorodnego ws(ξ) oraz całki ogólnej równania jednorodnego w0(ξ): (n) w(ξ) = ws(ξ) + w0(ξ). Funkcja w0(ξ) jest rozwiązaniem następującego równania różniczkowego:

w0IV + 4 w0 = 0.

(o) tξ

Jeżeli w0 = e , to w0IV = t 4 etξ , zatem równanie charakterystyczne 4

(p) ma pierwiastki: (q)

t +4=0 t1,2 = 1 ± i , t3,4 = −(1 ± i ),

i = − 1.

Całkę ogólną w0(ξ) określa więc zależność: (r)

w0 (ξ ) = C1eξ eiξ + C2 eξ e −iξ + C3e −ξ e −iξ + C4 e −ξ eiξ .

Po wykorzystaniu wzoru Eulera (s)

e ±iξ = cos ξ ± i ⋅ sin ξ

rozwiązanie równania różniczkowego (10.42) można zapisać następująco:

w(ξ ) = ws (ξ ) + e −ξ ( D1 cos ξ + D2 sin ξ ) + eξ ( D3 cos ξ + D4 sin ξ ).

(10.43)

Całkę szczególną ws(ξ) wyznaczamy każdorazowo w zależności od sposobu obciążenia belki. Gdy warunki brzegowe, z których wyznaczamy stałe całkowania, są podane za pośrednictwem sił wewnętrznych należy pamiętać, że EJ d 2 w RL2 d 2 w  = − ⋅ = − ⋅  4 dξ 2  dx 2 L2 dξ 2 . d 3w EJ d 3w RL d 3w  Q(ξ ) = − EJ 3 = − 3 ⋅ 3 = − ⋅ 4 dξ 3  dx L dξ M (ξ ) = − EJ

d 2w

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(10.44)

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

31

Rys. 10.26

Rozwiążemy teraz konkretny przykład belki o nieskończonej długości, zilustrowany rys. 10.26. Obciążenie belki jest równomierne (q(x) = q = const), lewy jej koniec belki opiera się przegubowo na niepodatnej podporze, a prawy leży w nieskończoności. Warunki brzegowe na lewym końcu belki są następujące: 1) w(0) = 0.

2) M(0) = 0,

skąd w" (0) = 0.

Na końcu prawym, gdy x → ∞, belka nie wykazuje już kątów obrotu i zakrzywienia. Wobec tego 3) w' (∞) = 0, 4) w" (∞) = 0. Całkę szczególną przyjmujemy w postaci: q = const, R która, jak łatwo sprawdzić, spełnia równanie (10.42). Obliczymy jeszcze pochodne w'(ξ ) i w"(ξ ): (t)

(u)

(w)

w s (ξ ) =

w' (ξ ) = w' s (ξ ) + e −ξ [− D1 (cos ξ + sin ξ ) + D2 (cos ξ − sin ξ ) ] + + eξ [ D3 (cos ξ − sin ξ ) + D4 (cos ξ + sin ξ )],

w''(ξ ) = w'' s (ξ ) + 2e −ξ ( D1 sin ξ − D2 cos ξ ) + 2eξ ( − D3 sin ξ + D4 cos ξ ).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO

32

Warunki brzegowe 3) i 4) będą spełnione, jeśli D3 = D4 = 0. Z warunków 1) i 2) mamy: q + D1 + D3 = 0, R 2) w"(0) = 0: − 2D2 + 2 D4 = 0, 1) w( 0 ) = 0:

skąd

D1 = −

skąd

D2 = 0.

q , R

Po podstawieniu wartości stałej D1 oraz całki szczególnej ws(ξ) do rozwiązania (10.43) oraz zależności (10.44) otrzymujemy wzory na ugięcie (reakcję podłoża), moment zginający i siłę poprzeczną. Wzory te łącznie z wykresami przedstawiono na rys. 10.26.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

1

Í Ï Î

11.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE 11.1.1. Obliczanie naprężeń Rozważymy działanie siły poprzecznej Qz na pręt pryzmatyczny przedstawiony na rysunku 11.1. Z równowagi tego pręta wynika, że siła poprzeczna nie może występować samodzielnie, gdyż zawsze musi jej towarzyszyć zmiana momentu zginającego o wektorze prostopadłym do wektora siły poprzecznej. Wniosek ten wypływa również z zależności różniczkowej (por. wzór (14.25)): Qz =

dM y dx

.

(11.1)

Rys. 11.1

W rozważanym przypadku muszą więc wystąpić zarówno naprężenia styczne τxz, jak i normalne σx, wynikające z działania momentu zginającego My. Przyjmujemy zatem, że jedynymi siłami wewnętrznymi są Qz i My i stosownie do równań definicyjnych (7.1) otrzymujemy:   Qz = τ xz dA , Qy = τ xy dA = 0,  A A   M y = σ x z dA, M z = − σ x y dA = 0,   A A  N = σ x dA = 0 , M = (τ xz ⋅ y − τ xy ⋅ z )dA = 0.  A A 

∫

∫

∫

∫

∫

(11.2)

∫

Macierz naprężeń w pierwszym przybliżeniu można przedstawić następująco: σ x s =  0 τ zx

0 τ xz  0 0  . 0 0 

(11.3)

Na wstępie trzeba stwierdzić, że ścisłe obliczenie współrzędnych tensora naprężenia w przypadku dowolnego kształtu przekroju pręta jest bardzo trudne. Jeśli jednak znamy rozkład naprężeń normalnych σx, to dobre przybliżenie można uzyskać, analizując równowagę pewnych fragmentów pręta. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

2

Rys. 11.2

Załóżmy, że osie y i z są głównymi osiami bezwładności przekroju i zbadajmy równowagę elementu przedstawionego na rys. 11.2c. Ułożymy równanie równowagi sił równoległych do osi x. Przyrost naprężenia normalnego dσx musi być zrównoważony siłą poziomą wynikającą z naprężeń stycznych τzx, działających na pole o wymiarach b dx (por. rys. 11.2c):  bl    (a) dσ x dA =  τ zx dy  dx.  −b p  A' Symbolem A' oznaczono tutaj zakreskowaną część przekroju na rys. 11.2a. Z teorii zginania prętów pryzmatycznych podanej w p.10.1.2. wynika, że:

∫

(b)

∫

σ x = σ x ( x , z1 ) =

M y ( x) Jy

⋅ z1 ,

gdzie z1 (z ≤ z1 ≤ zd) oznacza odległość badanego włókna od osi y. Przyrost naprężenia dσx wynikający ze zmiany współrzędnej x

(c)

dσ x =

dM y ( x) ∂σ x ⋅ dx = ⋅ dx ∂x

z1 dx = Qz ⋅ Jy

z1 ⋅ dx. Jy

Uzyskany wynik podstawimy do równania (a):

(d)

  bl ( z )   Qz    dx. = dy dx z dA τ zx  1   Jy   −b p ( z )  A'  

∫

∫

Całka występująca po prawej stronie wzoru (d) jest momentem statycznym pola A' względem osi y, przy czym jego wartość zależy od współrzędnej z. Wielkość tę oznaczymy przez Sy(z): S y ( z) =

∫ z1 dA.

(11.4)

A'

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

3

Na podstawie zależności (d) otrzymujemy: bl ( z)

∫

τ zx dy =

Qz ( x) S y ( z)

−b p ( z )

Jy

.

(11.5)

Rys. 11.3

Ze wzoru (11.5) nie można jednoznacznie określić naprężeń τzx. Zazwyczaj zadowalamy się średnią wartością tego naprężenia τ zx na aktualnej szerokości przekroju b(z) (por. rys. 11.2a): 1 τ zx = τ xz = b( z )

bl ( z )

∫

τ zx dy =

−b p ( z )

Qz ( x ) S y ( z ) J y b( z )

.

(11.6)

Macierz naprężeń (11.3), w której τzx jest określone wzorem (11.6), przedstawia w sposób ścisły stan naprężenia jedynie w pręcie liniowo-sprężystym o przekroju prostokątnym. W tym przypadku (rys. 11.3) 2   h   h 1  h   b  h  S y ( z) = b − z ⋅  − ⋅  − z  = ⋅   − z2 ,  2   2 2  2   2  2   

Jy =

bh 3 , 12

co po podstawieniu do wzoru (11.6) prowadzi do rezultatu: Qz τ zx = τ xz = 2   bh 3 

(e)

  2z  2  ⋅ 1 −   .   h  

Wykres naprężeń jest paraboliczny, a największa wartość τxz występuje w środku ciężkości przekroju*).

*)

Warto dodać, że wzór (e) można łatwo wyprowadzić z równań różniczkowych równowagi ośrodka ciągłego (1.9) przy wykorzystaniu warunków brzegowych (1.7b). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

4

Rys. 11.4

Wzór (11.6) stosuje się również do innych kształtów przekroju. W przypadkach tych pojawiają się dodatkowe naprężenia τxy. Wniosek ten wynika z równań na powierzchni ograniczającej pręt. Wybierzmy punkt B leżący na pobocznicy pręta o przekroju kołowym (rys. 11.4). W punkcie tym współrzędne wektora naprężenia są równe zeru, tzn. pi = σji nj = 0 (i = 1, 2, 3). Wykorzystamy pierwsze z tych równań (i = 1): σ 11n1 + σ 21n2 + σ 31n3 = 0 . Ponieważ n1 = nx = 0, n2 = ny = cos α0, n3 = nz = sinα0 ,więc τxy cosα0 + τxz sinα0 = 0, skąd y τ xy = −τ xz tgα 0 = −τ xz ⋅ 0 . zc − z

(11.7)

Kąt α0 jest kątem między osią z a styczną do konturu przekroju. Wzór (11.7) wskazuje na to, że wypadkowy wektor naprężenia stycznego na płaszczyźnie o normalnej współliniowej z osią z, tx = txy + txz , jest zawsze styczny do konturu przekroju. Zależność (11.7) rozszerza się również na wewnętrzne punkty przekroju; dla naprężeń τxz przyjmuje się wzór (11.6), a zamiast kąta α0 wprowadza się kąt α (por. rys. 11.4). Wówczas Qz S y ( z ) Qz S y ( z ) y τ xy = − ⋅ tgα = − ⋅ (11.8) . J y ⋅ b( z ) J y ⋅ b( z ) zc − z Wobec powyższego stwierdzamy, że dla przekrojów nieprostokątnych macierz naprężeń w rozważanym zadaniu ma bardziej złożoną postać: σ x s = τ yz τ zx

τ xy τ xz  0 0  . 0 0 

Dobry pogląd na stosowane do tej pory przybliżenia daje rozwiązanie dla liniowo-sprężystego pręta pryzmatycznego o przekroju kwadratowym, podane przez Jakubowicza i Orłosia [20]. Wektor siły poprzecznej Qy pokrywa się z przekątną kwadratu (rys. 11.5). Dokładne wartości naprężeń τ x ' y ' i τ x ' z ' , wywołane przez składowe Qy ' i Qz ' , można wyznaczyć ze wzoru (e). Następnie, korzystaAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

5

jąc z zasady superpozycji i dokonując obrotu układu współrzędnych, otrzymuje się wzory na naprężenia τ xy i τ xz : yz τ xy = −τ 0 ⋅ 2 , a

(f)

(g)

 2( y 2 + z 2 )  τ xz = τ 0 ⋅ 1 − , a2  

gdzie a jest bokiem kwadratu, a τ 0 = 3Qz / (2a 2 ) i oznacza maksymalne naprężenie styczne w przekroju prostokątnym. Wzory (f) i (g) są ścisłe. Łatwo można sprawdzić, że są spełnione zarówno równania różniczkowe równowagi i warunki na powierzchni pręta, jak i równania nierozdzielności odkształceń. Ze wzorów (f) i (g) wynika, że w narożach przekroju naprężenia są równe zeru, a na aktualnej szerokości przekroju b(z) naprężenia styczne nie są rozłożone równomiernie.

Rys. 11.5

Omówimy jeszcze inny sposób szacowania wartości naprężeń τxy. Równanie sumy rzutów sił na oś x dla elementu zakreskowanego na rys. 11.6 prowadzi do zależności:   hd ( y )   (h) dσ x dA =  τ xy dz dx.   − hg ( y ) A'' Postępując analogicznie jak przy wyprowadzaniu wzoru (11.6), otrzymujemy:

∫

∫

hd ( y )

(i)

Q

∫ τ xy dz = J yz S y ( y),

− hg ( y )

gdzie Sy(y) jest momentem statycznym pola zakreskowanego A'' względem osi y. Wzór (i) może służyć do obliczenia naprężenia średniego τxy na wysokości h(y): 1 τ xy = h( y )

hd ( y )

∫

Q S y ( y) . τ xy dz = z J y h( y )

(11.9)

− hg ( y )

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

6

Zależność (11.9), choć słuszna, jest bezwartościowa dla przekrojów wypukłych, których osią symetrii jest oś y. Wówczas bowiem Sy(y) = 0 i średnie naprężenia τ xy są zawsze równe zeru. Przykładem takiego przekroju jest rozważany wyżej przekrój kołowy lub kwadratowy, w którym wyznaczone na innej drodze naprężenia styczne τxy mają wartości porównywalne z naprężeniami τxz.

Rys. 11.6

Omówiony tutaj sposób szacowania naprężeń τxy daje jednak bardzo dobre rezultaty w przekrojach cienkościennych, powszechnie stosowanych w budownictwie metalowym. Dla ilustracji przeanalizujemy naprężenia τxz i τxy występujące w przekroju dwuteowym (rys. 11.7). Do obliczenia naprężeń τxz stosujemy wzór (11.6). Wykres tych naprężeń wzdłuż osi z ma charakterystyczny kształt kapelusza (rys. 11.7b). Półki przekroju przenoszą tylko niewielką część siły poprzecznej, ponieważ naprężenia τxz są tam bardzo małe. Dlatego w praktyce projektowej bardzo często przyjmuje się, że całą siłę poprzeczną przenosi środnik, przy czym rozkład naprężeń τxz jest równomierny (por. rys. 11.7c):

τ xz ≈

Qz = const. Aśr

(11.10)

We wzorze (11.10) Aśr = bh i oznacza pole środnika. Wzór ten służy również do kontroli obliczeń według wzoru (11.6). Rzeczywisty rozkład naprężeń τxz wzdłuż osi I−I ilustruje rys. 11.6c. Silne koncentracje naprężeń występują na poziomie połączenia półek ze środnikiem. Efekt spiętrzenia naprężeń można złagodzić przez zaokrąglenie wklęsłych naroży przekroju możliwie dużym promieniem krzywizny. Powierzchnie boczne przekroju dwuteowego są z reguły wolne od naprężeń stycznych. Z symetrii tensora naprężenia wynika więc, że w każdym punkcie konturu przekroju składowe naprężeń stycznych prostopadłe do konturu są równe zeru. Uzasadnione jest zatem uproszczenie polegające na całkowitym pominięciu tych składowych w obrębie całego przekroju cienkościennego.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

7

Rys. 11.7

Naprężenia τxy w półkach przekroju oblicza się z równowagi elementów odciętych płaszczyzną y = const (por. rys. 11.7a). Rozważymy jeden z tych elementów, np. element dolny. Zakładamy, że naprężenia τxy na grubości półki są rozłożone równomiernie, i otrzymujemy wzór analogiczny do zależności (11.9):

τ dxy =

Qz S yd ( y ) Jy ⋅t

,

(11.11)

gdzie S yd ( y ) oznacza moment statyczny zakreskowanego pola Ad względem osi y.

Rys. 11.8

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

8

Wobec tego (j)

B  H t  S yd ( y ) = t  − y  −  , 2  2 2

skąd widać, że naprężenia τ dxy są liniową funkcją współrzędnej y. Odpowiednie naprężenia w półce górnej τ gxy = −τ dxy , bo S yg ( y ) = − S yd ( y ) . Średnie naprężenia τ xy są, rzecz jasna, równe zeru. Wykresy naprężeń τxy przedstawiono na rys. 11.7e. Dla −b/2 < y < b/2 wzór (11.11) traci sens. Na podstawie wzorów (11.6) i (11.11) można przekonać się, że dla dwuteowników walcowanych maksymalne naprężenia τxy są około 3÷5 razy mniejsze od największych naprężeńτxz . Ze względu na złożony stan naprężenia występujący przy działaniu siły poprzecznej, której towarzyszy z reguły moment zginający, sprawdzaniu warunku wytrzymałościowego trzeba poświęcić nieco więcej uwagi. Pogląd na tę sprawę daje analiza wartości naprężenia zastępczego σred w przekroju dwuteowym. Na rysunku 11.8 przedstawiono przebieg naprężeń stycznych i normalnych oraz wykresy naprężeń zastępczych σred , obliczonych według hipotezy HMH. Analizując ten rysunek widzimy, że największe naprężenia występują w punktach A, B, C i D oraz w miejscu połączenia środnika belki z półkami (włókna a−a i b−b). Ponieważ przyjęliśmy, że środnik przejmuje tylko naprężenia τxz a półki tylko naprężeniaτxy, więc obliczenie naprężenia zastępczego przebiega jak dla płaskiego stanu naprężenia, a warunek wytrzymałościowy ma postać:

σ red = σ x2 + 3τ x2 ,

(11.12)

gdzieτx oznacza w zależności od badanego punktu naprężenia τxz lub τxy.

11.1.2. Obliczanie odkształceń Odkształcenia ε13 = εxz oraz ε12 = εxy spowodowane wyłącznym działaniem siły poprzecznej Qz oblicza się bezpośrednio ze związków fizycznych dla materiału liniowo-spężystego: 1 τ  ε xz = γ xz = xz ,  2 2G  τ xy  1 ε xy = γ xy = , 2 2G  przy czym wyraźnie większe są tutaj odkształcenia εxz.

(11.13)

Macierz odkształceń dla łącznego działania siły poprzecznej Qz i momentu zginającego My ma więc postać:  εx e = ε yx  ε zx

ε xy − νε x 0

ε xz  0  . − νε x 

(11.14)

Wartość εx obliczamy ze wzorów (10.15). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

9

11.1.3. Obliczanie przemieszczeń Przemieszczenia wywołane przez siłę poprzeczną są na ogół bardzo małe. Ograniczymy się tutaj do określenia wpływu siły poprzecznej na ugięcie pręta. Rozważmy deformacje odcinka belki prostokątnej o długości dx, spowodowane tylko działaniem siły poprzecznej Qz. Powierzchnię tego odcinka (tzn. prostokąt ABCD) podzielimy myślowo na elementarne kwadraty o boku dx.

Rys. 11.9

Największe odkształcenia postaciowe elementów, stosownie do wykresu εxz (rys. 11.9c), występują w sąsiedztwie osi ciężkości przekroju. W miarę oddalania się od tej osi odkształcenia εxz maleją, by we włóknach skrajnych osiągnąć wartości zerowe, a wydzielone tam myślowo elementy są w dalszym ciągu kwadratami. Wobec powyższego stwierdzamy, że pierwotnie płaski przekrój belki wygina się w kształcie litery S (por. rys. 11.9d). Jeżeli przyjmiemy, że po deformacji punkty AB leżą nadal na linii pionowej, to w efekcie końcowym odnotowujemy względne przemieszczenia sąsiednich cięciw AB i CD, określone pewnym kątem β (rys. 11.9e). Gdyby odkształcenia εxz na wysokości przekroju były stałe, to kąt β równałby się kątowi 2εxz. W ogólnym przypadku 0 < β < 2εxz. Powstaje pytanie, jak określić kąt β. Najbardziej uzasadnione jest ustalenie tego kąta na podstawie rozważań energetycznych. Zgodnie z twierdzeniem Clapeyrona dla układów liniowych przyjmiemy, że praca siły poprzecznej Qz (traktowanej jako siła zewnętrzna) na przemieszczeniu dwQ = β dx ma być równa energii sprężystej zmagazynowanej wewnątrz rozważanego odcinka belki. Żądamy więc, by:   1 1 Qz ⋅ β ⋅ dx =  σ ij ε ij dAdx ,  2  2 A  skąd

∫

∫ σijεij dA = Qz β .

(k)

A

W naszym przypadku  Qz S y   Qz S y  1 Qz2 S y2  ⋅ = 2 2 . σ ij ⋅ εij = σ 13 ⋅ ε13 + σ 31 ⋅ ε 31 = 2τ xz ⋅ ε xz = 2    J y b   J yb  2G J y b G Wobec tego (l)

Qz ⋅ β =

Qz2

GJ y2

S y2 ( z )

∫ b2 ( z)

dA.

A

Ze wzoru (l) otrzymujemy wyrażenie na średni kąt ścinania: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

β=

Qz ⋅ k, GA

10

(11.15)

gdzie A k= 2 Jy

S y2 ( z )

∫ b2 ( z) ⋅ dA.

(11.16)

A

Współczynnik k jest bezwymiarowy i zależy od kształtu przekroju. Dla prostokąta wynosi 1,2, a dla przekrojów dwuteowych waha się od 2,4 (dla I 80) do 2,0 (dla I 500). Wyznaczenie wartości k dla dowolnych przekrojów dwuteowych jest dosyć kłopotliwe. Jeżeli jednak akceptujemy równomierny rozkład naprężeń τxz w przekroju środnika, τ xz = Qz / Aśr , to Q Q A τ . β = 2ε xz = xz = z = z ⋅ (m) G GAśr GA Aśr Z porównania tego rezultatu ze wzorem (11.15) wnioskujemy, że (n)

k=

A . Aśr

Wartości obliczone ze wzoru (n) są nieco większe od wartości obliczonych z kryterium energii. W celu uwzględnienia wpływu siły poprzecznej na ugięcie skorzystamy ze wzoru (11.15): dwQ Qz β= = ⋅ k. (o) dx GA Całkowite ugięcie jest sumą ugięcia wM(x) wywołanego przez moment zginający My oraz ugięcia wQ(x), wywołanego przez siłę poprzeczną Qz: w( z ) = w M ( x ) + wQ ( x ).

(11.17)

Równanie różniczkowe funkcji wM(x) ma postać: (p)

w' ' M ( x ) = −

My EJ y

,

a na podstawie równania (o) można napisać (EJ = const):

(r)

w' ' Q ( x ) = β ' ( x ) =

dQz k k . ⋅ = −q( x ) dx GA GA

Po dodaniu stronami równań (p) i (r) otrzymujemy:  My q  " w"( x ) = w"M ( x ) + wQ ( x ) = − k  . + (11.18)  EJ y GA  Równanie (11.18) jest równaniem różniczkowym linii ugięcia pręta pryzmatycznego uwzględniającym wpływ sił poprzecznych. Wpływ ten jest na ogół niewielki; przyjmuje się, że jest on istotny jedynie dla belek grubych, gdzie stosunek wysokości belki h do jej rozpiętości l jest większy od 0,2. Należy zwrócić uwagę na to, że uwzględnienie wpływu sił poprzecznych na ugięcie oznacza odstąpienie od hipotezy Bernoulliego; przekroje nadal pozostają płaskie, lecz nie są prostopadłe do wygiętej osi belki. W konsekwencji warunki brzegowe dla utwierdzenia są następujące (por. rys. 11.10): Qx (0) ⋅ k . GA Dla innych sposobów podparcia różnice w formułowaniu warunków brzegowych nie występują. (s)

w(0) = 0, w'(0) = β (0) =

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

11

Rys. 11.10

W celu zilustrowania wpływu sił poprzecznych na ugięcie rozwiążemy dwa zadania stosując metodę obciążenia krzywiznami. W pierwszym zadaniu wyznaczymy ugięcie wspornikowej belki prostokątnej o szerokości b i wysokości h (rys. 11.11a). Materiał belki charakteryzują dwie stałe sprężystości E i ν, przy czym ν = 1 / 3 . Obciążenie belki fikcyjnej odpowiada prawej stronie równania (11.18): q* =

M ( x) q( x) ⋅ k + . EJ GA

(11.19)

Rys. 11.11

Jako obciążenie q(x) należy rozumieć wszystkie siły (czynne i bierne) obciążające belkę, a fikcyjne schematy statyczne przyjmuje się zgodnie z rys. 10.17. Maksymalne ugięcie belki: (t)

∆ = M * (l ) =

1 2 2 1 ql 2 ql 2 qlk qk 1 2 ⋅l ⋅ ⋅ ⋅l − ⋅l ⋅ ⋅ ⋅l + ⋅l − ⋅ l . 2 EJ 2 3 8 EJ 3 2 GA GA 2

Wzór (t) ułożono z wykorzystaniem wzorów na pole i położenie środka ciężkości paraboli II stopnia (por. dodatek). Po uporządkowaniu i uwzględnieniu, że G = E / [2(1 + ν )] = 3E / 8 oraz k = 1, 2, otrzymujemy: (u)

2 ql 4  4 kEJ  ql 4   h  ∆= 1 + 1,07   . 1 + =  l  8 EJ  l 2 GA  8 EJ   

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

12

2

Składnik 1,07⋅(h/l) opisuje wpływ sił poprzecznych. Jeśli na przykład h/l = 0,10, to przyrost ugięcia stanowi 1,07% wartości ugięcia spowodowanego przez moment zginający. Dla h/l = 0,20 wpływ ten sięga 4,28%. Drugie zadanie dotyczy belki swobodnie podpartej z rys. 11.11b. Dla przekroju prostokątnego i identycznej wartości współczynnika Poissona maksymalne ugięcie w połowie rozpiętości belki 2 Pl 1 l  l 1 l  Pk l Pl 3   h  ∆= ⋅ ⋅  − ⋅ + ⋅ = (w) 1 + 3,2  .  l  4 EJ 2 2  2 3 2  GA 4 48 EJ    Wpływ sił poprzecznych na ugięcie jest tutaj 3 razy większy niż w z zadaniu pierwszym. 11.1.4. Zależności energetyczne Problem energii poruszono już w p. 11.1.3. Zgodnie z podanymi tam wynikami można napisać, że:

∫ σijεij dV = ∫ Q( s)β ( s) ds,

V

Q = Qz .

(11.20)

s

Jeżeli pręt jest liniowo-sprężysty, to energię sprężystą U wyraża się następującymi zależnościami: 1 (11.21) U= Q( s) β ( s) ds, 2

∫ s

UQ =

1 Q2 Q , ds, bo β = (GA / k ) 2 (GA / k )

∫

(11.22)

s

Uβ =

1 (GA / k ) ⋅ β 2 ds. 2

∫

(11.23)

s

Wyrażenie GA/k występujące w powyższych wzorach nazywamy sztywnością ścinania przekroju. Zgodnie ze wzorem (11.20) składniki wewnętrznych prac wirtualnych mają postać:

∫ σ ij εij dV = ∫ Q( s)β ( s) ds ,

(11.24)

∫ σijεij dV = ∫ Q ( s)β ( s) ds .

(11.25)

V

V

s

s

11.2. ŚCINANIE W BELKACH ZŁOŻONYCH Naprężenia styczne mają bardzo duże znaczenie w projektowaniu tzw. belek złożonych. Rozważmy najpierw belkę drewnianą. Ponieważ wymiary przekroju poprzecznego takich belek są ograniczone średnicą pnia, więc dla większych obciążeń jesteśmy zmuszeni zastosować belkę złożoną z dwóch lub trzech belek o mniejszych wysokościach (rys. 11.12). Obciążenie luźno ułożonych na sobie belek składowych wywołuje deformację układu przedstawioną na rys. 11.12b. Obie belki przylegają do siebie, jednak wzdłuż powierzchni kontaktu ulegają względnym przesunięciom. Efekt jest więc taki, jakby każda belka pracowała oddzielnie. Aby w pełni wykorzystać własności wytrzymałościowe celowe jest połączenie obu belek w taki sposób, by zlikwidować wzajemne przesunięcia w płaszczyźnie połączenia. W tym celu stosuje się kliny z drewna twardego umieszczone jak na rys. 11.12c. Każdy z klinów musi przejąć siłę poziomą H. Siłę tę można uważać za wypadkową naprężeń stycznych τzx obliczonych jak dla belki jednolitej i działających na pole o wymiarach b·e, przypadające na dany klin. Bardzo sugestywne jest wprowadzenie pojęcia tzw. siły rozwarstwiającej tR, czyli siły poziomej przypadającej na jednostkę długości belki wzdłuż płaszczyzny połączenia:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

t R = τ zx ⋅ b =

Qz S y Jy

13

.

(11.26)

Rys. 11.12

Jeśli klin "i" ma przyjmować siłę poziomą Hi dla xi ≤ x ≤ xi+1 (rys. 11.12c), to xi +1

(a)

Hi =

∫ t R ( x) dx.

xi

W rozważanym zadaniu z rysunku 11.12 siły Hi są takie same dla każdego klina i wyraża je wzór: (b)

H = e⋅

Qz S y Jy

=

Qz ⋅ e, 2   bh 3 

gdzie h jest całkowitą wysokością belki. Wyznaczona wartość siły H jest punktem wyjścia do dalszych obliczeń belki złożonej. Trzeba tu sprawdzić wytrzymałość klina na bezpośrednie ścinanie, wytrzymałość belek składowych na docisk klinów oraz ścinanie tych belek w płaszczyźnie γ −γ. Połączenie belek klinami pozwala traktować belkę złożoną jako belkę jednolitą. Trzeba jednak pamiętać, że belka złożona jest osłabiona wcięciami na kliny, co uwzględnia się przez przyjęcie w obliczeniach momentu bezwładności przekroju netto (przekrój zakreskowany na rys. 11.12e).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

14

Rys. 11.13

Podobne obliczenia prowadzi się dla belek złożonych wykonanych z innych materiałów, np. dla belek stalowych. Najczęściej mamy do czynienia z obliczaniem połączenia pasa ze środnikiem w blachownicach (rys. 11.13). Jeżeli stosujemy połączenie na śruby lub nity, to największa siła rozwarstwiająca przypada na łącznik poziomy C. Przy obliczaniu tej siły należy przyjąć moment zakreskowanej części przekroju na rys. 11.13a. Łączniki A i B projektuje się, przyjmując moment statyczny pasa względem osi y (por. rys. 11.13b).

11.3. STAN NAPRĘŻENIA W BELKACH OBCIĄŻONYCH POPRZECZNIE Do tej pory przy ustalaniu stanu naprężenia przyjmowaliśmy, że obciążenie belki q(x) jest równe zeru. Wpływ tego obciążenia oszacujemy dla belki prostokątnej przedstawionej na rys. 11.14. Jeśli belka jest nieważka, to obciążenie q(x) na powierzchni z = zg = − h/2 wywołuje naprężenia normalne σz = −q(x)/b, natomiast jeśli z = zd = h/2, to σz = 0. Na podstawie równania różniczkowego równowagi (a)

σ ji , j = 0

oraz wzoru (11.6) na naprężenie styczne σ13 i analizy warunków brzegowych otrzymuje się zależność: 3 q( x)  3  z  1  z    − 2  − . σ 33 = σ z = (11.27)  h b 2  h 2   Przebieg funkcji σz ilustruje rys. 11.14.

Rys. 11.14 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

15

Wobec powyższego macierz naprężeń przy zginaniu poprzecznym ma postać: σ x s = τ yz τ zx

τ xy τ xz  0 0  0 σ z 

(11.28)

Łatwo się przekonać, że naprężenia σz są zazwyczaj bardzo małe (około 1÷2% wartości σx ) i pominięcie ich nie wpływa w istotny sposób na warunek wytrzymałości i sztywności konstrukcji. Uwaga ta nie dotyczy obciążeń skupionych, w odniesieniu do których sposób przekazania sił na belkę wymaga odrębnej analizy. W uzupełnieniu dodamy jeszcze, że praktyczna przydatność wzoru (11.27) jest znikoma. W praktyce przyjmuje się bowiem, że obciążenie q(x) jest sumą obciążeń powierzchniowych i masowych (ciężar własny belki), co nie jest zgodne z założeniem przyjętym w wyprowadzeniu wzoru (11.27).

11.4. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE W BELKACH Rozważymy belkę wspornikową o przekroju prostokątnym, poddaną działaniu obciążenia skupionego (rys. 11.15). W przekroju α−α występuje siła poprzeczna Qz = P oraz moment zginający My = −P(l − x). Siła poprzeczna wywołuje naprężenia styczne τxz , a moment zginający − naprężenia normalne σx. Stan naprężenia obrazuje macierz:

(a)

gdzie

σ x s =  0 τ zx My σx = Jy

0 τ xz  0 0  0 0  ⋅z

oraz τ xz =

Qz S y ( z ) ⋅ . Jy b

Rys. 11.15

Na wysokości przekroju naprężenia te się zmieniają. Zmieniają się więc także kierunki i wartości naprężeń głównych. Ilustruje to rys. 11.16, na którym linią ciągłą zaznaczono kierunki głównych naprężeń rozciągających, a przerywaną − ściskających. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

16

Rys. 11.16

Jeśli wykonamy identyczne czynności dla kilku przekrojów belki, to możemy narysować tzw. linie izostatyczne. Linie te mają tę własność, że styczne do nich w dowolnym punkcie wskazują kierunek jednego z naprężeń głównych. Linie izostatyczne nazywa się również trajektoriami naprężeń głównych. Są dwie rodziny takich linii: trajektorie naprężeń rozciągających (linie ciągłe) i trajektorie naprężeń ściskających. Linie te są wzajemnie prostopadłe i nachylone pod kątem 45° do osi belki w punktach leżących na osi obojętnej. Przebieg trajektorii naprężeń głównych ilustruje jeszcze rys. 11.17a, na którym przedstawiono belkę swobodnie podpartą, poddaną obciążeniu q(x) = const. Na podstawie tego rysunku możemy wyobrazić sobie, że zginanie odpowiada współdziałaniu ściskanego „łuku” (linia przerywana) i rozciąganych „cięgien” (linia ciągła). Spostrzeżenie to uzasadnia przebieg zbrojenia w belkach żelbetowych. Beton charakteryzuje się dużą wytrzymałością na ściskanie i brakiem wytrzymałości na rozciąganie. Dlatego w konstrukcjach zbrojonych jest następujący podział funkcji: beton przejmuje ściskanie, a pręty stalowe − rozciąganie. W realnych konstrukcjach pręty te mają kształt zbliżony do kształtu trajektorii naprężeń rozciągających (por. rys. 11.17b). Zwróćmy uwagę na odmienny sposób zbrojenia belki wspornikowej (rys. 11.17d); zbrojenie przebiega tam nie w dolnych, lecz w górnych, rozciąganych partiach belki.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

17

Rys 11.17

11.5. ŚRODEK ŚCINANIA Z rozważań zawartych w p. 11.1 wynika, że dokładne obliczenie naprężeń stycznych τxz i τxy w dowolnym przekroju natrafia na duże trudności. Z tego względu nie sprawdzaliśmy do tej pory wymagania, by stosownie do zależności (11.2) siła poprzeczna Qy i moment skręcający M były równe zeru. W przekrojach o dwóch osiach symetrii wymaganie to jest zawsze spełnione. W zakresie przekrojów o jednej osi symetrii najlepsze przybliżenie wartości naprężeń stycznych otrzymujemy w przekrojach cienkościennych. Rozważymy więc dla przykładu przekrój ceowy poddany działaniu siły poprzecznej Qz. Naprężenia styczne wyznacza się identycznie jak w przekroju dwuteowym. Z rysunku 11.18a widać natychmiast, że moment skręcający względem układu osi środkowych jest różny od zera, natomiast siła poprzeczna Qy = 0. Powstaje więc pytanie, gdzie leży punkt, względem którego moment skręcający jest równy zeru. Rozkład naprężeń stycznych wskazuje, że punkt ten leży na osi symetrii przekroju. Przyjmiemy, że całą siłę poprzeczną Qz przenosi środnik. Wypadkową siłę poziomą przenoszoną przez każdą z półek oznaczymy przez H. Wówczas położenie punktu S (por. rys. 11.18b), względem którego moment skręcający jest równy zeru, obliczamy z równania: (a)

M = − Qz e + H h1 = 0,

skąd (b)

e=

H h1 . Qz

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

18

Rys. 11.18

Siła pozioma (rys. 4.18a, b) 1 b0 ⋅ t ⋅ τ xy max , 2 przy czym naprężenia τxy max określa wzór (11.11): (c)

H=

(d)

τ xy max = Qz ⋅

S y max J yt

.

Jeżeli Ap = Bt ≈ b0t i oznacza pole przekroju półki, a Aśr = bh i oznacza pole przekroju środnika, to

(e)

h1 h1  S y max = b0t ⋅ 2 ≈ A p ⋅ 2 ,   2 3 2  J = bh1 + 2 ⋅ b ⋅ t  h1  = h1 ( A + 1 A ). y p śr 0   2 12 2 6

Po podstawieniu tych zależności do wzorów (d) i (b) otrzymujemy: (f)

1 1 e = b0 ⋅ . Aśr 1 2 1+ 6 Ap

Ze wzoru (f) wynika, że e < b0 / 2 ≈ B / 2.

Rys. 11.19

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ

19

Punkt S nazywa się zazwyczaj środkiem ścinania lub środkiem zginania. Ta druga nazwa wynika stąd, że jeżeli płaszczyzna obciążenia przechodzi przez ten punkt, to pręt ulega tylko zginaniu (por. rys. 11.18d). W przeciwnym razie oprócz zginania występuje również skręcanie, a odkształcona oś pręta nie jest krzywą płaską (rys. 11.18c). Pojęcie środka zginania ma bardzo duże znaczenie w teorii prętów cienkościennych, którą omówimy w rozdziale 12. Położenie środka ścinania w innych przekrojach cienkościennych ilustruje rys. 11.19. Warto jeszcze dodać, że w przekrojach zwartych o dowolnym przekroju środek ścinania na ogół nie pokrywa się ze środkiem ciężkości, jednak z uwagi na dużą sztywność takich przekrojów wpływ dodatkowego skręcania przekroju jest w praktyce pomijany.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

12

1


 

DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 12.1. ZALEśNOŚCI PODSTAWOWE 12.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów spręŜystych RozwaŜmy jednorodny, izotropowy, liniowo-spręŜysty pręt pryzmatyczny poddany czystemu skręcaniu (rys. 12.1). Problem skręcania rozwiąŜemy w sposób wskazany w 1855 roku przez de SaintVenanta. Przyjmujemy mianowicie, Ŝe przekroje pręta nie ulegają odkształceniom postaciowym, tzn. w procesie deformacji zachowują swój pierwotny kształt. Zgodnie z powyŜszą hipotezą kinematyczną dwa przekroje oddalone od siebie o x1 obracają się względem siebie wokół podłuŜnej osi pręta o kąt skręcenia ψ. Uwzględnimy jednak moŜliwość deplanacji (spaczenia) przekrojów, które przed odkształceniem były płaskie. Dopuszczamy więc moŜliwość wystąpienia przemieszczeń u1 wzdłuŜ osi pręta x1. Okazuje się, Ŝe przy powyŜszych załoŜeniach uzyskuje się ścisłe rozwiązanie problemu skręcania na gruncie teorii spręŜystości.

Rys. 12.1

Zasadnicze rozwaŜania przeprowadzimy w zapisie wskaźnikowym. Z podanych wyŜej załoŜeń kinematycznych dla bardzo małych wartości kąta skręcenia wynikają następujące związki:

u1 = θ ⋅ t ( x2 , x3 ), u2 = −ψ ⋅ x3 = −θ ⋅ x1x3 , u3 = ψ ⋅ x2 = θ ⋅ x1 x2 .

(12.1)

gdzie t(x2, x3) jest tzw. funkcją deplanacji, kąt θ = dψ / dx1 i nazywa się jednostkowym kątem skręcenia. PoniewaŜ pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc podczas czystego skręcania (M = const) jednostkowy kat skręcenia ma wartość stałą θ = ψ ( l ) / l , gdzie l jest długością pręta. RozwaŜany problem nosi nazwę skręcania swobodnego. Określenie to wiąŜe się z załoŜeniem, Ŝe wszystkie przekroje pręta mają swobodę deplanacji. Dlatego rozwiązanie tak sformułowanego zagadnienia ma charakter przybliŜony. W praktyce istnieje wiele takich przypadków, w których skręcanie swobodne nie występuje. Mamy tu na myśli np. pełne utwierdzenie pręta na podporze, gdzie przekrój musi Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

2

pozostać płaski, tzn. u1 = 0. Podobna sytuacja występuje w środkowym przekroju pręta, który jest obciąŜony skupionym momentem skręcającym w połowie długości. W tych przypadkach powinno się stosować teorię skręcania nieswobodnego. W praktyce efekty skręcania nieswobodnego trzeba uwzględniać tylko w przekrojach cienkościennych. Problematykę tę omówimy w rozdziale 13. (por. równieŜ p. 12.1.6). Wzory (12.1) pozwalają obliczyć odkształcenia ze związków geometrycznych (por. wzór (2.6)):



ε11 = ε22 = ε33 = ε23 = 0,       

1 2 1 ε13 = θ ⋅ (t ,3 + x2 ). 2

ε12 = θ ⋅ (t ,2 − x3 ),

(12.2)

Stan odkształcenia obrazuje macierz:

 0 ε12 ε13  e = ε21 0 0 .   ε31 0 0 

(12.2a)

Z kolei ze związków fizycznych (wzory (5.4)) otrzymujemy napręŜenia:

σ11 = σ 22 = σ 33 = σ 23 = 0,  σ12 = Gθ ⋅ (t ,2 − x3 ),   σ13 = Gθ ⋅ (t ,3 − x2 ), 

(12.3)

a macierz napręŜeń przyjmuje postać:

 0 σ12 σ13  s = σ 21 0 0 .   σ 31 0 0 

(12.3a)

Wykorzystamy jeszcze równania róŜniczkowe równowagi napręŜeń (wzór (1.9)) dla pręta niewaŜkiego (Gi = 0):  σ 111 , + σ 21,2 + σ 31,3 = 0 ,  σ ji , j = 0 :  σ 12,1 + σ22 ,2 + σ 32 ,3 = 0,  σ  13,1 + σ 23,2 + σ 33,3 = 0, które po uwzględnieniu równań (12.3) prowadzą do zaleŜności: σ 21,2 + σ 31,3 = 0,

σ12,1 = 0, σ13,1 = 0.

    

(12.4)

Równania (12.4)2 i (12.4)3 są spełnione toŜsamościowo. Pozostaje więc tylko równanie (12.4)1. Po podstawieniu wzoru (12.3) do (12.4)1 otrzymujemy równanie róŜniczkowe Laplace'a na funkcję deplanacji:

t ,22 + t,33 = 0 lub

∇2 t = 0 ,

gdzie ∇2 =

∂2 ∂ 2 + . ∂x22 ∂x32

(12.5)

Funkcja deplanacji t(x2, x3) jest więc funkcją harmoniczną. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

3

Aby wyznaczyć napręŜenia, wygodnie jest wprowadzić pewną funkcję F(x2, x3), zwaną funkcją napręŜeń. JeŜeli przyjmiemy, Ŝe σ12 = F,3 , (12.6)  σ13 = − F, 2 . to funkcja napręŜeń F(x2, x3) spełnia toŜsamościowo równanie równowagi (12.4)1. Równanie problemu skręcania otrzymujemy na podstawie wzorów (12.6). Po zróŜniczkowaniu równania (12.6)1 względem x3, a równania (12.6)2 względem x2 mamy: σ12,3 = F ,33 = Gθ ⋅ t ,23 − 1 ,

(

)

σ13, 2 = F ,22 = − Gθ ⋅ ( t,32 + 1). Jeśli funkcja deplanacji t(x2, x3) jest ciągła wraz z drugimi pochodnymi, to t ,23 = t ,32 i po dodaniu stronami uzyskujemy poszukiwane równanie skręcania, wyraŜone przez funkcję napręŜeń:

∇2 F = −2 Gθ .

(12.7)

Jest to równanie róŜniczkowe Poissona. NaleŜy jeszcze przeanalizować warunki brzegowe odpowiadające temu równaniu. Warunki te są określone przez warunki na powierzchniach bocznych ograniczających pręt (wzór (1.7b)):

pi(n ) = σ ji n j . Pobocznica pręta jest wolna od napręŜeń, więc p1(n ) = p2( n) = p3(n ) = 0. Zatem p1(n ) = σ 11n1 + σ 21n2 + σ 31n3 = 0,

p2(n ) = σ 12n1 + σ 22 n2 + σ 32 n3 = 0, p3(n ) = σ 13n1 + σ 23n2 + σ 33n3 = 0. PoniewaŜ w pręcie pryzmatycznym n1 = 0, a n2 = ∂x3 / ∂c i n3 = −∂x2 / ∂c (por. rys. 12.2), pozostaje tylko pierwsze z równań:

σ 21n2 + σ 31n3 = 0 .

(12.8)

Rys. 12.2

Z zaleŜności (12.8) wynika, Ŝe napręŜenia σ12 i σ13 muszą przybierać takie wartości, by wypadkowe napręŜenie τ1 było styczne do konturu przekroju. Warto przypomnieć, Ŝe w identyczny sposób ustaliliśmy kierunek wypadkowego napręŜenia t = t *) w punktach konturu przekroju przy omawianiu działa1

x

nia siły poprzecznej (por. wzór (11.7)). Po wprowadzeniu funkcji napręŜeń do warunku (12.8) mamy: *) t ≡ t = t + t . x xy xz 1 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

4

− F,3n2 + F,2n3 = 0 lub

∂ F ∂x3 ∂F ∂x2 ⋅ + ⋅ = 0. ∂x3 ∂c ∂ x2 ∂c Lewa strona powyŜszego równania jest pochodną funkcji F = F [ x2 ( c), x3 (c)] względem zmiennej c, mierzonej wzdłuŜ linii tworzącej kontur przekroju:

dF ∂ F ∂x3 ∂F ∂x2 . = ⋅ + ⋅ dc ∂x3 ∂c ∂x2 ∂ c Warunek ten moŜna zapisać krócej:

dFc = 0, dc gdzie Fc oznacza wartości funkcji F na konturze przekroju pręta. Wynika stąd, Ŝe Fc = const. Funkcja napręŜeń musi na konturze przekroju przyjmować jednakową wartość. Najwygodniej jest przyjąć, Ŝe brzegowa wartość funkcji Fc jest równa zeru: Fc = 0.

(12.9)

Rys. 12.3

Warunek (12.9) jest poszukiwanym warunkiem brzegowym funkcji napręŜeń, spełniającej równanie róŜniczkowe skręcania (12.7). Przebieg funkcji napręŜeń obrazuje rys. 12.3a. Na rysunku 12.3b przedstawiono plan warstwicowy powierzchni F(x2, x3). RozwaŜmy jeszcze pewien punkt warstwicy F(x2, x3) = const. Na krzywej tej przyrost funkcji F jest równy zeru, tzn.

dF ∂F ∂ x2 ∂F ∂x3 = ⋅ + ⋅ = 0, dc1 ∂x2 ∂ c1 ∂x3 ∂c1 ale

∂F = −σ 13 , ∂x2

∂F = σ 12 , ∂x3

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

5

skąd

σ 12 dx2 = . σ 13 dx3 Z ostatniej zaleŜności (por. rys. 12.3c) wynikają następujące wnioski: − wektor napręŜenia t1 = σ12·e2 + σ13·e3 jest w kaŜdym punkcie styczny do warstwicy F(x2,x3) = const; warstwice funkcji F są więc trajektoriami napręŜeń stycznych, − wartość wypadkowego napręŜenia stycznego obliczona z zaleŜności

( F ,3 )2 + ( F ,2 )2

2 2 τ1 = σ 12 + σ 13 =

pozwala traktować to napręŜenie jako moduł gradientu funkcji napręŜeń F,

τ1 = grad ( F ) . Jeśli uda się nam wyznaczyć funkcję napręŜeń, moŜemy obliczyć jednostkowy kąt skręcenia z definicji momentu skręcającego:

M = ∫ (σ13 ⋅ x2 − σ12 ⋅ x3 )dA = ∫ (− F ,2 ⋅x2 − F ,3 ⋅x3 )dA = A

A

∫

∫

A

A

= − F ,2 x2 dx2 dx3 − F ,3 x3dx2dx3. Po wykonaniu całkowania przez części oraz uwzględnieniu, Ŝe Fc = 0 otrzymujemy:

∫

M = 2 F ( x2 , x3 )dA .

(12.10)

A

Moment skręcający równa się więc podwójnej objętości ograniczonej powierzchnią F(x2, x3) oraz płaszczyzną przekroju. JeŜeli do rozwiązania stosujemy funkcję deplanacji t(x2, x3), a nie funkcję napręŜeń F(x2, x3), to warunek brzegowy (12.8) po wykorzystaniu równań (12.3) prowadzi do zaleŜności: t,2 − x3 n2 + t,3 + x2 n3 = 0. (12.11)

(

)

(

)

Funkcja t(x2,x3) musi być tak obrana, by na konturze przekroju spełniała warunek (12.11). Drugi sposób rozwiązania problemu skręcania polega więc na wyznaczeniu funkcji deplanacji t(x2, x3), która spełnia równanie Laplace'a (12.5) i warunek brzegowy (12.11) w kaŜdym punkcie konturu przekroju. 12.1.2. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym Kontur przekroju pręta jest opisany równaniem:

y2

+

z2

− 1 = 0, a2 b2 gdzie a i b (a ≥ b) są głównymi osiami sprzęŜonymi elipsy (por. rys. 12.4). (a)

Rys. 12.4 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

6

Zastosujemy funkcję napręŜeń o następującej postaci:

 y2 z 2  F ( y, z) = m ⋅  + − 1 ,  a2 b2 

(b)

gdzie m jest pewną stałą. Z budowy wzoru (b) wynika, Ŝe warunek brzegowy na konturze przekroju jest spełniony (Fc = 0). Stałą m obliczymy przez podstawienie funkcji F(y, z) do równania róŜniczkowego (12.7):  1 1 ∇2 F = 2m 2 + 2  = −2 Gθ , a b  skąd

m = − Gθ ⋅

a 2b 2 a2 + b2

.

Wobec tego

 y 2 z2   ⋅ + − 1 .  a2 + b2  a 2 b2  Na podstawie wzoru (12.10) otrzymujemy:   a 2b 2  1 1 2 2  M = 2 FdA = 2 Gθ 2 2 dA − 2 y dA − 2 z dA =  a +b  a b A A A A  F ( y, z ) = −Gθ ⋅

(c)

a2b2

∫

∫

∫

∫

a 2b 2  1 1  A− J − Jy . 2 2  2 z a +b a b2  Dla elipsy momenty bezwładności Jy i Jz oraz pole przekroju wynoszą: 1 1 J y = πb 3a , Jz = πba 3 , A = πab , 4 4 co po podstawieniu do równania (d) prowadzi do zaleŜności: (d )

= 2 Gθ

πa 3 b 3 M = 2 2 ⋅ Gθ . a +b

(e)

Gdy uwzględnimy wartość iloczynu G1 obliczoną ze wzoru (e), to na podstawie wzoru (c) otrzymamy ostateczną postać funkcji napręŜeń F(y, z) : M  y 2 z2   F ( y , z ) = − + − 1 . (f) πab  a 2 b 2  NapręŜenia styczne zmieniają się liniowo. Wynika to z zaleŜności (12.6): 2M ∂F  ⋅ z,  τ xy = ∂z = − πab 3 (g)   τ xz = − ∂ F = 2M ⋅ y.  ∂y πa 3b Dosyć istotne dla dalszych rozwaŜań jest to, Ŝe moment skręcający przenoszony przez napręŜenia τxy jest równy M/ 2 . Taką samą część momentu przenoszą oczywiście napręŜenia τxz. Wniosek ten wynika z następującego obliczenia: 2M 2M 1  (z) 2 M (τ xz ) = τ xz ⋅ y dA = 3 y dA = 3 ⋅ J z = 2 M , πa b πa b  A A (h)  M ( y ) τ xy = − τ xy ⋅ z dA = 2 M z2 dA = 2M ⋅ J y = 1 M .  2 πa 3b πab3  A A

∫

( ) ∫

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

∫

∫

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

7

Warto równieŜ zwrócić uwagę, Ŝe pola kaŜdego z wykresów napręŜeń wypadkowych τ x są zawsze jednakowe 2M a 2 M b M Aτ x = 2 ⋅ = ⋅ = . πa b 2 πab 2 2 πab Największe napręŜenia występują więc w punktach konturu leŜących najbliŜej środka cięŜkości przekroju (tzn. w punktach B i D na rys. 12.5). PoniewaŜ a ≥ b, więc

2M M = , πab 2 Ws gdzie Ws = πab2 / 2 i oznacza tutaj tzw. wskaźnik wytrzymałości na skręcanie. Aby wyznaczyć przemieszczenia, trzeba określić funkcję deplanacji t(y, z). Funkcję tę najwygodniej obliczymy z jednego z równań (12.3): ∂ t τ xy 2M a 2 − b2 = +z=− ⋅ + = − ⋅ z. z z ∂ y Gθ Gθπab 3 a 2 + b2 Po scałkowaniu tego równania otrzymamy: a2 − b2 t ( y , z) = − 2 ⋅ yz + C. a + b2 Stałą C wyznaczymy z uwzględnieniem wymagania, by punkty leŜące na osi pręta nie doznawały przemieszczeń. Inaczej mówiąc przyjmujemy, Ŝe oś pręta nie wydłuŜa się i nie skraca. Mamy więc t(0,0) = 0, skąd C = 0. a2 − b2 (j) t ( y , z) = − 2 ⋅ yz . a + b2 Z równania (e) moŜna obliczyć jednostkowy kąt skręcenia: (i)

τ x max =

θ=

M

, G πa 3b 3 / a2 + b2    a ze wzorów (12.1) współrzędne wektora przemieszczenia:   M ⋅ yz ,  u1 = u = θ ⋅ t = −  3 3 2 − b2  G π a b / a      M ⋅ xz ,  u2 = v = −θ ⋅ x1x3 = − (l) Gπa 3b 3 / a 2 + b 2       M ⋅ xy.  u3 = w = θ ⋅ x1 x2 = 3 3 2 + b2   G π a b / a     (k)

(

)

(

)

(

(

)

)

Rys. 12.5

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

8

Warstwice funkcji u(y, z) są hiperbolami. Na rysunku 12.5b warstwice oznaczone liniami ciągłymi odpowiadają wartościom dodatnim, natomiast linie przerywane − ujemnym wartościom przemieszczeń u (y, z). Stosownie do wzoru (k) jednostkowy kąt skręcenia moŜna zapisać jeszcze inaczej:

θ=

M

GJs

,

(12.12)

gdzie GJs jest sztywnością skręcania przekroju, a Js − tzw. momentem bezwładności na skręcanie: πa 3b 3 A4 A4 Js = 2 = ≈ ; (12.12a) a + b 2 4 π 2 Jb 40 Jb przy czym Jb = Jy + Jz i oznacza tu biegunowy moment bezwładności. De Saint--Venant doszedł do wniosku, Ŝe wzór (12.12a) dla innych kształtów przekroju daje równieŜ bardzo dokładne wyniki. MoŜna więc przyjąć, Ŝe sztywność na skręcanie jest równa są sztywności na skręcanie prętów o przekroju eliptycznym o tej samej powierzchni A i tym samym biegunowym momencie bezwładności Jb. Sztywność na skręcanie jest więc odwrotnie proporcjonalna do biegunowego momentu bezwładności, a nie wprost proporcjonalna, jak przyjmowali poprzednicy de Saint-Venanta.

12.1.3. Skręcanie prętów o przekrojach kołowych i pierścieniowych Zwróćmy uwagę na to, Ŝe dla przekroju kołowego (a = b = r) przemieszczenia u(y, z) = 0. Oznacza to, Ŝe podczas skręcania przekrój kołowy nie ulega deplanacji. Wzory na napręŜenia i kąt skręcania są następujące (rys. 12.6a):

τx = θ=

M Jb

M GJs

⋅ ρ,

τ x max =

M Ws

,

Ws =

πr 3 , 2

A4 πr 4 Js = 2 = = Jb . 2 4 π Jb

,

      

(12.13)

Wzory (12.13) obowiązują równieŜ dla przekrojów pierścieniowych, przy czym:

Js = J b =

π 4 4 R −r 2

(

)

oraz

Ws = Js / R .

(12.14)

Dla przekrojów kołowych i pierścieniowych moment bezwładności na skręcanie Js jest liczbowo równy momentowi biegunowemu Jb. Było to źródłem błędnego załoŜenia w dawniej stosowanych teoriach skręcania. W przekrojach pierścieniowych − podobnie jak w przekrojach kołowych − nie występuje deplanacja przekroju.

Rys. 12.6 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

9

12.1.4. Skręcanie pręta o przekroju w kształcie trójkąta równobocznego Ścisłe rozwiązania zamknięte moŜna uzyskać jeszcze dla przypadku, gdy przekrój pręta pryzmatycznego jest trójkątem równobocznym. Funkcja napręŜeń jest iloczynem równań opisujących boki trójkąta (rys. 12.7):

(

F ( y, z) = m 3x − a

(m)

)(

3 y − 3z + 2a

)(

)

3 y + 3z + 2a .

Rys. 12.7

W ten sposób − podobnie jak dla przekroju eliptycznego − funkcja napręŜeń zgodnie z warunkiem brzegowym (12.9) przyjmuje wartości zerowe na konturze przekroju. Stałą m dobieramy tak, by było spełnione równanie skręcania (12.6):

∂2F  a = 18 3m y + ,  3 ∂y2 ∂2F  a  = −18 3m y − . 2  3 ∂z Wobec tego

∇2 F =

∂ 2F ∂ 2F + = 36am = −2 Gθ , ∂ y2 ∂z2

skąd

m=−

(n)

Gθ . 18a

Z zaleŜności (12.10) otrzymujemy:

∫

∫(

A

A

M = 2 F dA = 2m

 3 y − a  3 y + 2a 

)(

)

2

 18a 5m 3 3 − 9 z2  dA = − = Gθa 4 , 5 5 

więc (o)

θ=

gdzie

Js =

M GJs

,

a4 3 . 5

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(12.15) Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

10

NapręŜenia obliczymy z zaleŜności (12.6): ∂F  Gθ  τ xy = ∂ z = −18m 3 y − a z = + a ⋅ 3 y − a z,  (p)   τ xz = − ∂F = −9 3m y2 + 2 a ⋅ y − z2  = 3Gθ  y2 + 2 a − z2  .    2a   ∂y 3 3

(

)

(

)

Po podstawieniu zaleŜności (o) napręŜenia określają są wzory:

M M  3y − a z = 3 y − a z,  τ xy = aJ 5 3 / 5 s a  (q)   τ = 3 M  y 2 + 2 a ⋅ y − z2  = M  y2 + 2a ⋅ y − z 2  .     xz 2 a Js   2a5 / 5   3 3  Wykresy napręŜeń stycznych przedstawia rys. 12.7b. Maksymalne napręŜenia styczne występują w punktach leŜących najbliŜej środka cięŜkości (punkty A, B, C): 2a3  a  M Ws = τ x max = τ xz  ,0 = , . (r) 5  3  Ws

(

)

(

)

(

)

(

)

NapręŜenia w naroŜach są równe zeru. Pola wykresów wypadkowego napręŜenia stycznego τx, odniesionych do dowolnej linii wychodzącej ze środka cięŜkości przekroju, są takie same. Dla przykładu wzdłuŜ linii z = 0 pole dodatnich napręŜeń τx = τxz odłoŜone na odcinku OA jest równe polu ujemnych napręŜeń odłoŜonych na odcinku OD. Deplanację wyznacza się identycznie jak dla przekroju eliptycznego, a odpowiednie równanie funkcji t(y, z) jest następujące: 3  2 z2   y −  ⋅ z. t ( y , z ) = (s) 2a  3  Warstwice funkcji u(y, z) = θ⋅t(y, z) podano na rys. 12.7a. 12.1.5. Obliczanie napręŜeń i kąta skręcania dla prętów o dowolnym przekroju. Przekrój prostokątny Dla prętów o dowolnym przekroju rozwiązanie ścisłe uzyskuje się za pomocą szeregów Fouriera. Istnieją równieŜ przybliŜone metody wyznaczania funkcji napręŜeń lub funkcji deplanacji. Na uwagę zasługuje równieŜ metoda róŜnic skończonych omówiona w dodatku. Bardzo dobre rezultaty daje przybliŜona teoria skręcania swobodnego zbudowana na podstawie teorii płyt grubych [12,36]. Poza tym informacji o charakterze rozkładu napręŜeń dostarczają analogie błonowa i hydrodynamiczna. Omówimy je w p. 12.2. Z punktu widzenia projektanta istotne jest wyznaczenie największego napręŜenia stycznego |τx max | oraz jednostkowego kąta skręcania. Ogólnie biorąc, wartości te oblicza się według wzorów:

τ x max =

M

Ws M θ= . GJs

,

(12.16) (12.17)

Wskaźniki wytrzymałości na skręcanie Ws oraz momenty bezwładności na skręcanie Js dla róŜnych przekrojów zawierają poradniki i tablice do projektowania konstrukcji. Warunek wytrzymałościowy polega na spełnieniu nierówności: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

11

σ red = 3 τ x max ≤ σ dop , skąd

τ x max ≤ τ dop , gdzie

τ dop =

1 σ dop ≈ 0,6 ⋅ σ dop , 3

(12.18)

przy czym σdop oznacza napręŜenie dopuszczalne przy rozciąganiu (ściskaniu), a τdop − dopuszczalne napręŜenia przy ścinaniu. Warunek sztywnościowy polega na ograniczeniu maksymalnego całkowitego kąta skręcenia ψ :

∫

ψ = θ (s)ds ≤ ψ dop .

(12.19)

s

W praktyce poza przekrojami kołowym i pierścieniowym najczęściej stosujemy prostokątny przekrój pręta, dla którego obowiązują następujące zaleŜności przybliŜone:

(t)

 1 4 0,052   Js = 3 b  n − 0,63 + 4  , n   3 W = 1 + n ⋅ J s , przy czym n = h > 1.  s 0,35 + n3 b b 

Rys. 12.8

Rozkłady napręŜeń ilustruje rys. 12.8, a deformacje pręta skręcanego o przekroju prostokątnym − rys. 12.9. Największe napręŜenie styczne występuje na konturze przekroju w punkcie A, usytuowanym najbliŜej środka przekroju, tzn. w połowie dłuŜszego boku. Interesujące jest, Ŝe dla 1 ≤ h / b < 1,4513 funkcja deplanacji t(y, z) wykazuje cztery obszary wartości dodatnich i cztery obszary wartości ujemnych, natomiast dla h / b > 1,451 występują − podobnie jak w elipsie − po dwa takie obszary.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

12

Rys. 12.9

12.1.6. Uwagi o skręcaniu nieswobodnym JeŜeli choć jeden przekrój pręta niekołowego pozostaje płaski, to stan napręŜenia w pręcie skręcanym róŜni się od podanego w poprzednich punktach i odpowiada skręcaniu nieswobodnemu. Dla ilustracji omówimy przykład pręta prostokątnego, w którym z warunku symetrii przekrój x = 0 pozostaje płaski (rys. 12.10).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

13

Rys. 12.10

Aby zapobiec deplanacji, w obrębie przekroju poprzecznego naleŜy rozmieścić napręŜenia normalne σx. W obszarach, w których wystąpiłyby wypukłości, trzeba wprowadzić napręŜenia ściskające, a w pozostałym obszarze − napręŜenia rozciągające. BliŜsza analiza tego problemu prowadzi do wniosku, Ŝe macierz napręŜeń ma wówczas postać:

 σ x τ xy τ xz    s = τ yx 0 τ yz  , τ zx τ zy 0   czyli oprócz napręŜeń normalnych σx pojawiają się napręŜenia styczne τyz. Zaburzenia stanu napręŜenia, gdy jeden przekrój pręta pozostaje płaski, są największe dla x = 0 i szybko zanikają w miarę wzrostu współrzędnej x. Sztywność takiego pręta na skręcanie jest większa niŜ podczas skręcania swobodnego. Wpływ skręcania nieswobodnego jest bardzo istotny w przekrojach cienkościennych. Problematyka ta jest przedmiotem punktu 13.2.

12.1.7. ZaleŜności energetyczne dla skręcania swobodnego Do określenia zaleŜności energetycznych wykorzystamy równania równowagi i hipotezę kinematyczną o nieodkształcalności konturu przekroju pręta. W przypadku skręcania swobodnego mamy:

∫ σ ijεij dV =∫ (σ12 ε12 + σ 21ε21 + σ13ε13 + σ 31ε31)dV . V

V

Stan odkształcenia wyraŜają wzory (12.2) wynikające z przyjętej hipotezy kinematycznej i związków geometrycznych. Po ich podstawieniu do powyŜszej zaleŜności otrzymujemy:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

∫

∫[

14



]

 − σ x + σ x dA ( 12 3 13 2 ) ds +  A 

∫ ∫

σ ij εij dV = θ σ12 ( t,2 − x3 ) + σ13 ( t, 3 + x2 ) dV = θ 

V

V

s

  + θ  (σ12 t ,2 + σ13t ,3 ) dAds.   s A  WyraŜenie w nawiasie kwadratowym w pierwszej całce jest momentem skręcającym, więc   θ  (− σ12 ⋅ x3 + σ 13 ⋅ x2 )dA ds = θ ⋅Mds. (u)   s A s  WykaŜemy teraz, Ŝe

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ (σ12 ⋅ t,2 + σ 13 ⋅ t ,3 )dA = 0.

(w)

A

W tym celu napręŜenia σ12 i σ13 wyrazimy przez funkcję napręŜeń F(x2, x3) spełniającą warunek brzegowy Fc = 0 na konturze przekroju. Wówczas

∫ (σ12 t,2 + σ13t,3 )dA = ∫ ( F,3 ⋅ t,2 − F,2 ⋅ t,3 )dA =∫ F,3 ⋅ t,2dA − ∫ F,2 ⋅ t,3dA. A

A

A

A

Po scałkowaniu przez części pierwszej z całek otrzymujemy: + F,3t,2dA =  F,3 ⋅ t,2dx3dx2 = F ⋅ t ,2 x3− − F ⋅ t,23dx3 dx2 = − F ⋅ t,23dA,   x3  

∫

∫∫

∫

∫

∫

A

A

bo na konturze przekroju

(

) (

)

F x2 , x3− = F x2 , x3+ = Fc = 0. Podobnie wykazuje się, Ŝe

∫

∫

∫

A

A

A

− F,2 ⋅ t,3dA = F ⋅ t ,32dA = F ⋅ t,23dA. Wynika stąd, Ŝe zaleŜność (w) jest prawdziwa. W podsumowaniu stwierdzamy, Ŝe σ ij ⋅ εij dV = M (s ) ⋅θ ( s) ds.

∫

∫

V

s

(12.20)

Wzór (12.20) jest słuszny dla pręta wykonanego z materiału o dowolnej charakterystyce fizycznej. Dla pręta liniowo-spręŜystego energię spręŜystą U moŜna wyrazić następującymi wzorami: 1 U= M( s) ⋅θ ( s)ds, (12.21) 2

∫ s

UM =

1 M2 ⋅ ds, 2 GJs

∫

bo

θ=

s

Uθ =

1 GJs ⋅θ 2 ds. 2

∫

M GJs

,

(12.22)

(12.23)

s

Składniki wewnętrznych prac wirtualnych określają zaleŜności: σ ij εij dV = M ⋅θ ds,   V s  σ ij εij dV = M ⋅θ ds.  V s 

∫ ∫

∫ ∫

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(12.24)

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

15

12.2. ANALOGIE BŁONOWA I HYDRODYNAMICZNA Wyobraźmy sobie płaską jednorodną błonę (np. bańkę mydlaną) rozpiętą na brzegu o tym samym obrysie co przekrój poprzeczny pręta, poddaną równomiernemu rozciąganiu R na brzegu i równomiernemu ciśnieniu p na powierzchni (rys. 12.11). Z równowagi rzutów sił pionowych działających na błonę otrzymujemy: ∂2 f ∂2 f p dy dz + R ⋅ 2 dy dz + R ⋅ 2 dy dz = 0, ∂y ∂z skąd (a)

∂2f ∂2f p + =− . 2 2 R ∂y ∂z

W powyŜszym równaniu róŜniczkowym f(y,z) oznacza rzędne powierzchni wygiętej błony. Na brzegu ugięcia te są równe zeru: (b) fc = 0.

Rys. 12.11

Porównując równanie (a) i warunek brzegowy (b) z równaniem (12.7) i warunkiem (12.9) na funkcję napręŜeń F(y, z) widzimy, Ŝe zaleŜności te są identyczne, jeŜeli przyjmiemy, iŜ f = F oraz p / R = 2 Gθ . Analogię tę zauwaŜył Prandtl w 1903 roku. Z powyŜszego wypływa wniosek, Ŝe kształt powierzchni wygiętej błony jest podobny do kształtu funkcji napręŜeń. Konsekwencją tego są następujące stwierdzenia: − warstwice funkcji f(y, z) są trajektoriami napręŜeń stycznych tx, − moduł napręŜenia tx w danym punkcie jest proporcjonalny do największego spadku (gradientu) powierzchni błony, − moment skręcający M jest proporcjonalny do objętości zawartej między płaszczyzna przekroju a powierzchnią błony. Zastosowanie błony mydlanej rozpiętej na ramce z drutu o kształcie odpowiadającym przekrojowi poprzecznemu pręta pozwala uzyskać w sposób doświadczalny wszystkie niezbędne informacje dotyczące Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

16

problemu skręcania swobodnego. Metodę tę stosuje się do wyznaczania stanu napręŜenia i sztywności skręcania prętów o róŜnych skomplikowanych kształtach przekroju poprzecznego. W prętach wydrąŜonych kształt błony ilustruje rys. 2.11d. W obszarze wydrąŜenia powierzchnia błony jest płaszczyzną (f = const).

Rys. 12.12

Bardzo sugestywne są analogie hydrodynamiczne. Przedstawimy sens jednej z nich − analogii Greenhilla (1910 rok). JeŜeli ciecz idealna krąŜy ze stałym natęŜeniem wiru w rurze o tym samym przekroju co skręcany pręt (rys. 12.12), to z warunku nieściśliwości otrzymujemy: ∂v ∂ w + = 0, (c) ∂y ∂z natomiast warunek stałości natęŜenia wiru przyjmuje postać: ∂w ∂v − = const, (d) ∂ y ∂z przy czym v i w oznaczają tutaj składowe prędkości w danym punkcie*). Wprowadzając funkcję prądu:

v=

(e)

∂Φ , ∂z

w=−

∂Φ , ∂y

spełniamy równanie (c), a z równania (d) znajdujemy:

∂ 2Φ ∂ 2Φ + = const. ∂y 2 ∂z 2 Prędkości v i w odpowiadają napręŜeniom τxy i τxz. Na brzegu prędkość krąŜącej cieczy ma kierunek (f)

styczny do brzegu, tzn. odpowiada warunkowi brzegowemu w postaci (12.9)*). Linie prądu pokrywają się z trajektoriami napręŜeń stycznych τx. Za pomocą analogii Greenhilla bardzo łatwo moŜna ocenić jakościowy wpływ róŜnych czynników na rozkład napręŜeń stycznych. Wpływ otworu kołowego na rozkład napręŜeń stycznych jest taki sam jak wprowadzenie do strumienia cieczy nieruchomego walca o tej samej średnicy co średnica otworu (rys. 12.12b). NapręŜenia (tj. prędkości) w punktach C i D są równe zeru, natomiast w punktach A i B są bardzo duŜe. Podobny wpływ ma półkolisty rowek wycięty równolegle do osi wału. Największe napręŜenie styczne występuje w punkcie E. Analogia hydrodynamiczna pokazuje, jak niebezpieczne dla pręta skręcanego są szczeliny promieniowe, uniemoŜliwiające „przepływ” napręŜeń. Z analogii hydrodynamicznej wynika wprost, Ŝe napręŜenia styczne we wszystkich wypukłych naroŜach są równe zeru, na*)

Wielkości v i w moŜna traktować odpowiednio jako przemieszczenia u2 i u3 w jednostce czasu. Wzór (c) oznacza zatem, Ŝe dylatacja w płaskim stanie odkształcenia jest równa zeru (εkk = 0, por. wzór (2.13)). Ze wzoru (d) wynika, Ŝe tensor obrotu ω23 = u2,3 − u3,2 ma wartość stałą. *) PoniewaŜ wydajność wiru jest stała, więc w jednostce czasu przez róŜne przekroje przepływa ta sama ilość cieczy. Tłumaczy to stwierdzoną wcześniej dla elipsy i trójkąta równość pól wykresów napręŜeń τx. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

17

tomiast w ostrych wklęsłych naroŜach są nieskończenie duŜe (por. punkty F i G). Znaczy to, Ŝe nawet niewielki moment skręcający spowoduje uplastycznienie bądź pęknięcie pręta. NapręŜenia te moŜna wydatnie zmniejszyć przez zaokrąglenie krawędzi (rys. 12.12d). Stosuje się to powszechnie w kształtownikach walcowych.

12.3. SKRĘCANIE SWOBODNE PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH 12.3.1. Profile zamknięte Profile cienkościenne dzielą się na dwie zasadnicze grupy: profile zamknięte (rys. 12.13a) i otwarte (rys. 12.13b). Cechą charakterystyczną tych prętów jest to, Ŝe grubość ścianki jest niewielka w stosunku do pozostałych wymiarów przekroju. Podział na profile zamknięte i otwarte wynika z istotnych róŜnic w rozkładzie napręŜeń i charakterze deformacji.

Rys. 12.13

W profilach zamkniętych przyjmuje się w przybliŜeniu, Ŝe napręŜenia styczne τx na grubości ścianki się nie zmieniają. ZałoŜenie to w sposób naturalny wynika z rozwiązania, uzyskanego dla przekroju pierścieniowego o bardzo małej grubości ścianki, g = R −€r (por. p. 12.1.3 i rys. 12.14).

Rys. 12.14

RozwaŜmy dowolny przekrój cienkościenny przedstawiony na rys. 12.15. Z sumy sił równoległych do osi x, działających na element pokazany na rysunku 12.15c wynika, Ŝe

τ x1 ⋅ g1 = τ x 2 ⋅ g 2 = τ x (c) ⋅ g (c) = const .

(12.25)

Zwróćmy uwagę, Ŝe zaleŜność ta w analogii hydrodynamicznej wyraŜa stałą wydajność przepływu nieściśliwej cieczy. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

18

Obliczymy teraz moment skręcający z uwzględnieniem zaleŜności (12.25):

(a)

∫

∫

c

c

M = τ x (c ) ⋅ g( c) ⋅ h( c) dc =τ x ⋅ g h( c) dc,

gdzie h(c) jest wysokością elementarnego trójkąta o podstawie dc (por. rys. 12.15). Pole tego trójkąta dAc = h( c) dc / 2. Uwzględniwszy ten fakt otrzymujemy:

M = 2τ x gAc , skąd

τx =

M 2 Ac g

,

(12.26)

przy czym Ac oznacza pole ograniczone linią środkową konturu przekroju (rys. 12.15d). Maksymalne napręŜenie styczne τx występuje tam, gdzie g = gmin. Wobec tego

  Ws  Ws = 2 Ac ⋅ g min .

τ x max =

M

,

(12.27)

Rys. 12.15

Pozostaje jeszcze określenie sztywności przekroju na skręcanie. Wykorzystamy tu twierdzenie Clapeyrona ułoŜone dla pręta o długości dx, obciąŜonego zewnętrznym momentem skręcającym M (por. rys. 12.15c):

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

(b)

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

19

  1 1 2 M ⋅θdx = τ x / G dA dx.  2 2 A 

∫(

)

Po uwzględnieniu, Ŝe dA = g dc oraz wzór (12.26) na napręŜenie τx otrzymujemy: (c)

θ=

M 2 ⋅ g dc

1

M

dc

, = ⋅ M ∫ 4 Ac2 g2 G 4GAc2 ∫ g(c) c

c

skąd

θ=

M GJs

,

  dc  gdzie Js = 4 Ac2 :  .  g (c)  c 

∫

(12.28)

12.3.2. Profile otwarte Dowolny profil otwarty moŜna traktować jako przekrój złoŜony z n elementów o kształcie wydłuŜonego prostokąta.

Rys. 12.16

Spróbujemy znaleźć rozwiązanie przybliŜone dla takiego prostokąta. Zastosujemy funkcję napręŜeń dla elipsy, w której b → ∞, przy czym b = h/2 oraz a = g/2 << b (por. p. 12.1.2 i rys. 12.16): (d)

 a 2b 2 F ( y, z ) = − lim Gθ 2 2 b→∞   a +b

 y2 z2    g2     = −Gθ  y 2 −  . + − 1  2   4  a b2   

Tak przyjęta funkcja napręŜeń spełnia warunek brzegowy tylko dla y = ± g / 2. Dla z = ± h / 2 funkcja F jest róŜna od zera (rys. 12.16a). Niemniej jednak okazuje się, Ŝe dla odpowiednio duŜego stosunku h/g błąd w napręŜeniach jest znikomy. Ilustruje to wykres na rys. 12.17 (por. Mutermilch, Kociołek [29], str. 18).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

20

Rys. 12.17

Obliczymy teraz moment bezwładności na skręcanie Js:    g2 g2  M = 2 F dA = −2Gθ  y2 dA − dA = −2Gθ  J z − ⋅ A = (e)   4 4   A A 

∫

∫

∫

 hg 3 g 2  hg 3 = −2 Gθ ⋅  − h ⋅ g = Gθ , 4 3  12  skąd

1 J s = ⋅ h ⋅ g3 . 3

(12.29)

Wobec tego

 g2  M  2 g2   = − y − . F = F ( y ) = −Gθ  y 2 − J s  4  4   NapręŜenia styczne wynoszą: ∂F ∂F 2M τ xy = = 0, τ xz = − = τx = ⋅ y, ∂z ∂y Js

(f)

a maksymalne napręŜenia styczne określa wzór: 2M g M τ x max = ⋅ = ⋅ g. Js 2 Js

(12.30)

(12.31)

PrzybliŜony rozkład napręŜeń stycznych w wydłuŜonym prostokącie obrazuje rys. 12.16b. Nawiązując do wzorów (h) z p. 12.1, zwracamy uwagę na to, Ŝe moment skręcający przenoszony przez napręŜenia τxz jest równy tylko M/2. Drugą połowę momentu przenoszą napręŜenia τxy, które w rzeczywistości pojawiają się tylko w pobliŜu krótszych boków przekroju. NapręŜenia te, stosownie do przybliŜonego kształtu funkcji napręŜeń, przyjmują wartości nieskończenie duŜe, ale działają na nieskończenie małym polu. W efekcie odpowiadające im wypadkowe tworzą nieskończenie małą parę sił o nieskończenie duŜym ramieniu. Moment tej pary sił jest jednak skończony, co wynika z badania symbolu nieoznaczonego. Wartość tego momentu jest równa połowie momentu skręcającego, tzn.

∫ τ xy ⋅ z dA = 21 M. A

Trzeba dodać, Ŝe przyjęte przybliŜenia nie wprowadzają jednak duŜych błędów, jeŜeli chodzi o sztywność skręcania wynikającą ze wzoru (e).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

21

Rys. 12.18

Dla przekroju składającego się z większej liczby wydłuŜonych prostokątów napręŜenia maksymalne w poszczególnych elementach obliczamy według wzoru:

τ xi =

(g)

Mi J si

⋅ gi ,

i = 1, 2, ..., n,

gdzie Mi oznacza moment skręcający przenoszony przez i-ty prostokąt (rys. 12.18). Wykorzystamy teraz fakt, Ŝe jednostkowy kąt skręcania dla kaŜdego z prostokątów tworzących przekrój jest taki sam i równa się jednostkowemu kątowi skręcania całego przekroju złoŜonego. Mamy więc: (h)

θ=

M1 GJs1

=

M2

= ... =

GJs2

Mi

= ... =

GJsi

Mn GJsn

=

M GJs

,

przy czym n

(i)

M = M1 + M2 + ... + Mi + ... + Mn =

∑ Mi . i =1

Z zaleŜności (h) otrzymujemy: (j) skąd

Mi = G1Jsi, n

(k)

M=

∑

n

Mi = Gθ

i =1

Wnioskujemy zatem, Ŝe

n

Js =

i =1

∑ J si i =1

∑ Jsi = GθJs .

1 = 3

n

∑ hi ⋅ gi3 ,

(12.32)

i =1

natomiast z zaleŜności (h) wynika, iŜ

Mi

M

= Gθ = const. J si Js PoniewaŜ wzór (12.32) jest przybliŜony, w zaleŜności od kształtu przekroju stosuje się niekiedy mnoŜnik poprawkowy α bliski jedności. Wtedy n 1 Js = α ⋅ hi gi3. (12.32a) 3 (l)

=

∑ i =1

Uwzględniwszy zaleŜność (l) we wzorze (g) otrzymujemy ogólny wzór na obliczenie napręŜenia maksymalnego w "i-tym" prostokącie

τ xi =

M Js

⋅ gi .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(12.33) Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

22

Maksymalne napręŜenie styczne w całym przekroju

τ x max = Ze wzoru (12.34) wynika, Ŝe

Ws =

M Js

Js g max

⋅ gmax .

(12.34)

.

(12.35)

Oznacza to, Ŝe największe napręŜenia styczne w profilu otwartym występują tam, gdzie grubość ścianki g jest największa.

Rys. 12.19

Na uwagę zasługuje fakt, Ŝe podczas skręcania swobodnego przekroju otwartego deplanacja jest bardzo wyraźnie widoczna. Ilustruje to rys. 12.19. W trakcie montaŜu konstrukcji złoŜonej z prętów cienkościennych trudno jest stworzyć takie warunki, by była swoboda deplanacji. Dlatego teŜ wyprowadzone wyŜej wzory tylko w pewnych szczególnych przypadkach słuŜą do oceny wytrzymałości otwartych prętów cienkościennych. 12.3.3. Porównanie skręcania swobodnego prętów cienkościennych zamkniętych i otwartych Bardzo sugestywnym przykładem ilustrującym róŜnice między skręcaniem swobodnym przekrojów zamkniętych i otwartych jest rura cienkościenna. Rysunek 12.20a przedstawia profil zamknięty, a rys. 12.20b − profil otwarty, uzyskany przez rozcięcie rury wzdłuŜ tworzącej. Na obu rysunkach podano odpowiedni kształt funkcji napręŜeń F(y, z). Zasadnicze róŜnice polegają na: − charakterze rozkładu napręŜeń stycznych na grubości ścianki, − wartości napręŜeń maksymalnych, − sztywności skręcania przekroju.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO

23

Rys. 12.20

Rozkłady napręŜeń róŜnią się jakościowo: w profilach zamkniętych napręŜenia na grubości ścianki są stałe, a w profilach otwartych zmieniają się liniowo przyjmując, wartości zerowe w punktach linii środkowej konturu. W przekrojach zamkniętych największe napręŜenia styczne występują tam, gdzie g = gmin, a w przekrojach otwartych tam, gdzie g = gmax. RozwaŜmy dwa pręty wykonane z rur kolistych o takich samych grubościach ścianek, przy czym jeden z prętów ma przekrój zamknięty a drugi otwarty (rurę przecięto wzdłuŜ tworzącej). Jeśli oba pręty skręcane są takim samym momentem, to stosunki jednostkowych kątów skręcania wynoszą:

θ ( o) J s( z ) = , θ ( z ) J s(o ) a stosunki maksymalnych napręŜeń stycznych:

τ x(o ) Ws( z ) = . τ x( z ) Ws(o ) Moment bezwładności na skręcanie dla rury o profilu zamkniętym wynosi:

1  4 π2 r 4 g Js( z) = 4 Ac2 /  dc = = 2 πr 3 ⋅ g , π g 2 r  

∫

a rury rozciętej (profil otwarty)

J s( o) =

1 3

∑ hi ⋅ gi3 = 3 g3 ∑ hi = 3 g 3 2πr = 3 πr ⋅ g3. 1

1

2

Odpowiednie wartości wskaźników wytrzymałości są następujące:

J (o ) 2 Ws(o ) = s = πrg 2 . g 3

Ws( z) = 2 Ac ⋅ g = 2 πr 2 g , Wobec tego

τ x(o ) τ x( z )

 r = 3   g

oraz

θ(o) θ( z)

2

 r = 3  .  g

Jeśli na przykład r/g = 15, to τ (xo) :τ x( z) = 45 i θ (o ):θ ( z) = 675 (!).Widzimy więc, Ŝe napręŜenia w przekroju otwartym są kilkadziesiąt razy większe, a kąt skręcenia jest aŜ kilkaset razy większy od odpowiednich wartości dla przekroju zamkniętego.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

1

Í Ï Î 13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA 13.1. JEDNOCZESNE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ I MOMENTU ZGINAJĄCEGO 13.1.1. Obliczanie naprężeń. Oś obojętna Ostateczny efekt jednoczesnego działania siły normalnej i momentu zginającego w prętach liniowosprężystych można uzyskać z wykorzystaniem zasady superpozycji. Ograniczymy się jedynie do szczegółowej analizy naprężeń. Zarówno siła normalna, jak i moment zginający w prętach pryzmatycznych wywołują tylko naprężenia normalne σx. Naprężenia te obliczymy z zasady superpozycji, wykorzystując wzory (9.2) i (10.7):

σ x = σ xN + σ xM =

M y J z + M z J yz N M y J yz + M z J y ⋅ z. ⋅y+ − A J y J z − J 2yz J y J z − J 2yz

(13.1)

Jeżeli rozważania odniesiemy do głównych osi bezwładności, to wzory (13.1) uproszczą się do postaci: My N M (13.2) z. σx = − z y + A Jz Jy

Rys. 13.1

Powyższe wzory nie zawierają w zasadzie żadnych nowych elementów. Okazuje się jednak, że równoczesne działanie siły normalnej i momentu zginającego można uważać za działanie siły normalnej nie w osi ciężkości przekroju lecz w punkcie o współrzędnych yN i zN obranych w ten sposób, by momenty zginające My i Mz odpowiadały momentom siły N względem osi y i z (por. rys. 13.1), tzn. by M y = N ⋅ zN ,  (13.3) . Mz = − N ⋅ yN .  Znak minus w drugim wzorze wynika z przyjętej konwencji znaków wektora momentu (dodatni moment jest prawoskrętny). Wobec powyższego wzór (13.2) można zapisać następująco:

σx =

N Ny N Nz + y + N z. A Jz Jy

(13.4)

Ze wzoru (13.4) obliczamy naprężenia dla tzw. mimośrodowego działania siły normalnej. Jeśli N > 0, mamy przypadek mimośrodowego rozciągania; jeśli N < 0 − przypadek mimośrodowego ściskania. Współrzędne yN i zN nazywamy odpowiednio mimośrodami siły normalnej względem osi z i y. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

2

Wzór (13.4) poddamy dalszym przekształceniom: N  y y z z σ x = ⋅  1 + A N + A N  . A  Jz Jy  Jeśli jeszcze uwzględnimy, że J z / A = iz2 J y / A = i 2y , oraz gdzie iz oraz iy oznaczają tzw. główne promienie bezwładności przekroju, to otrzymujemy: N y y z z σ x =  1 + N2 + N2  . A  iz i y 

(13.5)

Równanie osi obojętnej uzyskujemy przez przyrównanie σx do zera: y y z z 1 + N2 + N2 = 0. iz iy

(13.6)

Równanie to wygodnie będzie przedstawić w postaci odcinkowej: y z + = 1, y0 z0 gdzie

(13.7)

i2 y0 = − z , yN

z0 = −

i y2 zN

.

(13.8)

Rozkład naprężeń ilustruje rys. 13.2. Z dotychczasowych rozważań wynikają następujące wnioski: − oś obojętna przy mimośrodowym działaniu siły normalnej nie przechodzi przez środek ciężkości przekroju; − w środku ciężkości przekroju występuje naprężenie σx0 = N/A; − środek ciężkości przekroju leży zawsze między osią obojętną a punktem przyłożenia siły normalnej; wynika to stąd, że y0 i z0 mają przeciwne znaki do znaków yN i zN (por. wzór (13.8)); − im yN i zN są większe, tym oś obojętna jest bliżej środka ciężkości przekroju.

Rys. 13.2 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

3

Widzimy więc, że czyste zginanie można uważać za przypadek graniczny działania nieskończenie małej siły N na nieskończenie dużym mimośrodzie. Wówczas oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju, bo σx0 = 0, przy czym: lim( N ⋅ z N ) N → 0, z N →∞

= My;

− lim( N ⋅ y N ) = M z . N → 0, y N →∞

Z kolei w przypadku osiowego działania siły normalnej (yN = zN = 0) oś obojętna znajduje się w nieskończoności. Opisane zależności ilustruje rys. 13.3.

Rys. 13.3

Pokażemy jeszcze, że pękowi osi obojętnych przechodzących przez dany punkt A odpowiadają punkty przyłożenia siły N leżące na linii prostej. Jeśli każda z osi obojętnych przechodzi przez dany punkt A, to współrzędne tego punktu muszą spełniać równania tych osi, czyli y y z z 1 + A N + A N = 0. 2 iz i 2y Wynika stąd, że między współrzędnymi yN i zN zachodzi zależność liniowa, a punkty (yN , zN) leżą na prostej (por. rys. 13.4): y y z z 1 + A + A = 0. iz2 i 2y W przypadku szczególnym, gdy punkt przyłożenia siły przemieszcza się wzdłuż prostej przechodzącej przez środek ciężkości przekroju, osie obojętne przesuwają się równolegle (por. rys.13.5).

Rys. 13.4

13.1.2. Rdzeń przekroju Oś obojętna jest linią dzielącą przekrój na dwie części: rozciąganą i ściskaną. Tak jest, jeżeli oś obojętna przecina przekrój (prosta p1 na rys. 13.5). Jeżeli oś obojętna nie przecina przekroju (proste p2 i p3), to występują naprężenia jednakowego znaku. Jeśli znamy położenie osi obojętnej, to na podstawie wzoru (13.8) bardzo łatwo możemy wyznaczyć współrzędne punktu przyłożenia siły N: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

i2 yN = − z , y0

zN = −

i y2 z0

,

4

(13.8a)

gdzie y0 i z0 są znanymi odcinkami wyznaczonymi przez oś obojętną na osiach y i z.

Rys. 13.5

W praktyce bardzo często interesują nas przypadki, w których przekrój może przenosić tylko naprężenia jednego znaku. Przypadki te występują w projektowaniu konstrukcji betonowych lub murowych oraz w obliczaniu naprężeń w gruncie na poziomie posadowienia fundamentu. Chodzi wówczas o wyznaczenie takiego obszaru przyłożenia siły normalnej, by naprężenia σx były tego samego znaku (we wspomnianych przypadkach zawsze ujemne). Obszar ten nazywa się rdzeniem przekroju, a jego granice wyznaczają osie obojętne, styczne do wypukłej obwiedni konturu przekroju. Na przykład na granicy rdzenia leży punkt 2 odpowiadający osi obojętnej p2 na rys. 13.5. Wyznaczanie granic rdzenia jest więc nader proste. Dla kilku osi obojętnych, stycznych do wypukłego konturu przekroju, zgodnie ze wzorami (13.8a) wyznaczamy współrzędne yr i zr, odpowiadające punktom leżącym na granicy rdzenia: i y2 iz2 yr = − , zr = − . (13.9) y0 z0 Przyporządkowanie punktów przyłożenia siły poszczególnym osiom obojętnym ilustruje rys. 13.6a (punkt i odpowiada osi pi). Przy dużej liczbie prostych pi można wyznaczyć kształt i rozmiary rdzenia z żądaną dokładnością.

Rys. 13.6

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

5

Rysunek 13.6b ilustruje inny sposób wyznaczania rdzenia przekroju. Sposób ten wynika z następujących rozważań. Równanie osi obojętnej stycznej do konturu przekroju ma postać: 1+

y ⋅ yr iz2

+

z ⋅ zr i 2y

= 0,

(13.10)

gdzie yr i zr są współrzędnymi punktu R leżącego na krawędzi rdzenia. Współrzędne yK i zK punktu K, w którym oś obojętna jest styczna do krawędzi przekroju, również spełniają równanie (13.10). Wynika stąd zależność między współrzędnymi punktów K i R: y y z z 1 + k r + k r = 0. (13.11) 2 iz i 2y Przyjmijmy teraz, że siłę przyłożono w punkcie styczności K. Wówczas odpowiednie równanie osi obojętnej jest następujące: y ⋅ yk z ⋅ zk 1+ + = 0, iz2 i 2y Po podstawieniu do tego równania zamiast y i z współrzędnych yr i zr, odpowiadających punktowi R, otrzymujemy zależność identyczną z równaniem (13.11). Wynika stąd, że w tym wypadku oś obojętna przechodzi przez punkt R leżący na krawędzi rdzenia przekroju. Drugi sposób wyznaczania rdzenia polega więc na tym, że siłę normalną ustawiamy w kilku punktach wypukłego konturu pręta. Osie obojętne odpowiadające tym położeniom siły są styczne do obrysu rdzenia. Dostatecznie duża liczba tych osi pozwala wyznaczyć poszukiwany rdzeń przekroju. W podsumowaniu zwrócimy uwagę na to, że rdzeń przekroju można wyznaczyć, nie precyzując wartości siły N. Obszar rdzenia zależy tylko od geometrii przekroju i jest zawsze wypukły. Przypominamy, że w przytoczonych wyżej wzorach osie y i z są głównymi środkowymi osiami bezwładności przekroju.

Rys. 13.7

Dla przykładu wyznaczymy rdzeń przekroju prostokąta. Kontur prostokąta ograniczają cztery proste pokrywające się z bokami figury. Zgodnie z drugim sposobem wyznaczania rdzenia siłę normalną należy ustawiać w punktach leżących na konturze przekroju. Najwygodniej jest obrać punkty narożne: 1, 2, 3 4 (rys. 13.7a). Dla siły ustawionej w punkcie 1 mamy y1 = b/2, z1 = −h/2, a równanie osi obojętnej p1 jest następujące: y z 1+ + = 0. y 01 z 01 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

6

Ponieważ Jy =

bh3 , 12

Jz =

hb 3 , 12

A = bh,

więc i y2 =

Jy A

=

h2 J b2 , iz2 = z = , 12 A 12

a wartości y01 i z01 są następujące: y01 = − y1 / iz2 = −b / 6;

z01 = − z1 / i y2 = h / 6.

Dla siły ustawionej w punkcie 2 otrzymujemy oś obojętną p2 (y02 = b/6, z02 = h/6). Jeśli siła normalna przesuwa się wzdłuż linii prostej łączącej punkty 1 i 2, osie obojętne obracają się wokół punktu A, będącego narożem rdzenia przekroju. Widać stąd, że podczas wyznaczania obrysu rdzenia wielobocznego konturu przekroju wystarczy ustawiać siłę normalną tylko w punktach wierzchołkowych konturu. Rysunek 13.7b ilustruje pierwszy sposób wyznaczania rdzenia: osie obojętne pokrywają się z liniami obwodzącymi kontur przekroju, a punkty przyłożenia siły wypadają na krawędzi rdzenia. Pęk osi obojętnych przechodzących przez punkt narożny konturu (np. punkt B) odpowiada ustawieniu siły normalnej na prostej stanowiącej bok rdzenia (np. prosta p3 odpowiada punktowi 3). Wnioskujemy stąd, że w trakcie wyznaczania wierzchołków rdzenia wystarczy analizować tylko te osie obojętne, które pokrywają się z bokami konturu pręta. Na zakończenie zwróćmy uwagę na bardzo ważny przypadek występujący w praktyce. Załóżmy, że pręt prostokątny wykonano z materiału nie przenoszącego naprężeń rozciągających*) (por. rys. 13.8e). Na przekrój działa siła ściskająca usytuowana w punkcie A, leżącym poza rdzeniem (rys. 13.8a). Jaki będzie przebieg naprężeń ściskających, jeżeli podczas ściskania materiał zachowuje się liniowo-sprężyście? Według wzoru (13.6) otrzymujemy wykres naprężeń jak na rys. 13.8b. Występują tutaj jednak naprężenia rozciągające. Odrzucenie dodatniej części wykresu byłoby błędne, gdyż naruszylibyśmy warunek równowagi. Każdy poprawny wykres naprężeń musi spełniać dwa warunki: − sumy rzutów sił, tzn. objętość bryły naprężeń równa się sile wypadkowej − sumy momentów, tzn. środek ciężkości bryły naprężeń odpowiada punktowi przyłożenia siły wypadkowej.

Rys. 13.8

*)

Jest to materiał z tzw. więzami jednostronnymi.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

7

Wobec tego jeśli założymy, że wykres naprężeń jest nadal liniowy, to jego kształt musi być trójkątny (rys. 13.8c), a środek ciężkości musi przypadać pod siłą N, tj. w odległości c = h / 2 − z N od zewnętrznej krawędzi przekroju. Podstawa trójkąta naprężeń ma więc długość równą 3c. Skrajne naprężenie normalne wyznaczamy żądając, by objętość bryły naprężeń równała się sile N:

σ min ⋅ 3c ⋅b = N, 2 skąd

σ min =

2N . 3bc

(13.12)

Przy stosowaniu zależności (13.12) trzeba pamiętać, że rozważane zagadnienie jest nieliniowe i nie obowiązuje zasada superpozycji. Nieliniowość ma tutaj charakter fizyczny, bowiem charakterystyka wykresu σ(ε) (rys. 13.8e) dla badanego materiału jest nieliniowa (ściślej: biliniowa). 13.1.3. Warunek projektowania. Obszar dopuszczalny Rozważmy najprostszy przypadek obciążenia, w którym yN = 0. Na przekrój pręta działają zatem tylko dwie siły wewnętrzne: N i M = My = N · zN (rys. 13.9a).

Rys. 13.9

Przyjmijmy, że kryterium projektowania przekroju polega na spełnieniu nierówności: (a) −σdop ≤ σ ≤ σdop . Warunek ten pociąga za sobą ograniczenie sił wewnętrznych, stosownie do wzorów na ekstremalne naprężenia w skrajnych włóknach przekroju (por. rys. 13.9b): N M  Wg = J y / z g , − σ dop ≤ A − W ≤ σ dop ,  g (b)  N M − σ Wd = J y / zd , + ≤ σ dop , dop ≤  A Wd przy czym osie y i z pokrywają się z głównymi osiami bezwładności przekroju. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

8

Zależność (b) wyznacza w przestrzeni sił wewnętrznych obszar ograniczony czterema liniami prostymi (rys. 13.9c). Siły wewnętrzne odpowiadające punktom leżącym w obrębie tego obszaru wywołują naprężenia mniejsze od dopuszczalnych. Opisany obszar nosi nazwę obszaru dopuszczalnego. Gdy występują trzy siły wewnętrzne: N, My i Mx, obszar dopuszczalny w przestrzeni tych sił wewnętrznych jest wielościanem. W materiałach przenoszących tylko naprężenia jednego znaku, np. naprężenia ściskające, obszar dopuszczalny wyznaczamy z warunku: − σdop ≤ σ ≤ 0.

(c)

Rozważmy zatem przekrój prostokątny poddany działaniu siły normalnej N i momentu zginającego M. = My (rys. 13.10a). Jeżeli siła normalna (ściskająca) N = −€P < 0 jest usytuowana w obrębie rdzenia przekroju, czyli gdy z N = M N < h / 6, to kryterium projektowania przyjmuje postać (rys. 13.10b): P M − σ dop ≤ − − ≤ 0, A W (d) P M − σ dop ≤ − + ≤0 A W lub 0 ≤ p + |m| ≤ 1,

(e) gdzie (f)

p = P / Pdop ,

m = M / M dop ,

Pdop = Aσ dop ,

M dop = Wσ dop .

Rys. 13.10 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

9

Obszar odpowiadający nierównościom (d) lub (e) jest czworobokiem, który na rys. 13.10c zaznaczono grubą linią ciągłą. Jeżeli dopuścimy do rozwarcia rys, to dla siły P ustawionej poza rdzeniem kryterium projektowania wynika ze wzoru (13.12): 2P ≤ σ dop , (g) h  3b − z P  2  przy czym M dop m h m M (h) zP = zN = = ⋅ = ⋅ . P Pdop p 6 p Uwzględniwszy oznaczenia (f) nierówność (g) można przekształcić do następującej postaci: (i)

m − 3 p + 4 p 2 ≤ 0.

Brzeg obszaru dopuszczalnego, określonego nierównością (i), składa się z dwóch parabol II stopnia, zaznaczonych na rys. 13.10c cienką linią ciągłą. Obszar dopuszczalny (i) jest zatem większy niż obszar dopuszczalny (e) dla przekroju nie zarysowanego. Maksymalna wartość momentu zginającego |m| = 9/16 i odpowiada sile normalnej n = −p = −3/8 oraz mimośrodowi |zp| = h/4. Dla porównania linią kropkową zaznaczono obszar dopuszczalny w przypadku, gdy materiał przenosi naprężenia rozciągające, stosownie do kryterium (a).

13.2. PODSTAWY TEORII PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WŁASOWA 13.2.1. Wprowadzenie Przedstawimy uproszczoną teorię złożonego obciążenia prętów cienkościennych zaproponowaną w 1940 roku przez Własowa. Teoria ta uwzględnia również przypadki skręcania nieswobodnego. Rozważać będziemy tylko pręty pryzmatyczne o przekroju otwartym. Pręty takie ściślej biorąc są długimi powłokami walcowymi o stałej lub zmiennej grubości g. Założenia teorii odpowiadają założeniom klasycznej liniowej teorii sprężystości, jakkolwiek istnieją również uogólnienia na inne modele fizyczne. Przyjmujemy zatem liniowość fizyczną (tzn. materiał pręta jest liniowo-sprężysty), liniowość geometryczną (tzn. przemieszczenia i odkształcenia są bardzo małe) oraz izotropię i jednorodność materiału.

Rys. 13.11

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

10

Zasadnicze rozważania przeprowadzimy w układzie współrzędnych kartezjańskich x, y, z, pokrywających się z osią ciężkości i głównymi środkowymi osiami bezwładności przekroju. Do identyfikacji punktów leżących na powierzchni środkowej są również dogodne współrzędne krzywoliniowe x, c (rys. 13.11a, b). Rozważany pręt jest nieważki, a jego obciążenie stanowi pole wektorowe naprężeń powierzchniowych p (x, c) o składowych px, py i pz. Teoria Własowa opiera się na dwóch zasadniczych założeniach kinematycznych: 1) linie środkowe przekrojów poprzecznych pręta ulegają deformacji tylko w kierunku osi x (tzw. hipoteza sztywnego przekroju poprzecznego), 2) odkształcenia postaciowe powierzchni środkowej są równe zeru tzn. γ xc = 0 (por. rys. 13.11a). Założenie 1) pokrywa się z założeniem de Saint-Venanta, stosowanym w teorii skręcania swobodnego prętów zwartych. Aby przekroje pręta cienkościennego zachowały swój kształt, wprowadza się różnego rodzaju usztywnienia poprzeczne (por. rys. 13.11c). Założenie 2) znajduje uzasadnienie doświadczalne tylko dla otwartych przekrojów cienkościennych. Geometryczny sens tego założenia obserwujemy np. podczas skręcania rozciętej rurki z kartonu − elementy pobocznicy nie wykazują zmian kątowych (por. np. rys. 11.19). Dokładniejsza teoria prętów cienkościennych o przekroju zamkniętym, w której założenie 2) nie obowiązuje, jest już bardziej skomplikowana. W zastosowaniach praktycznych wystarczające są jednak zazwyczaj zasady obliczeń podane w rozdziałach 9, 10, 11 i 12.3. 13.2.2. Zależności kinematyczne Wyznaczymy obecnie podstawowe zależności kinematyczne wynikające z więzów kinematycznych teorii Własowa. Chodzi przede wszystkim o wyznaczenie wektora przemieszczenia dowolnego punktu leżącego na powierzchni środkowej pręta. Wektor ten określają trzy współrzędne: ux ,uc i un. Składowa ux ma kierunek równoległy do osi pręta, a składowe uc i un są odpowiednio styczne i normalne do linii środkowej przekroju. Na rysunku 13.12 przedstawiono powierzchnię środkową pręta oraz składowe wektora przemieszczenia dowolnego punktu M.

Rys. 13.12

Rys. 13.13

W pierwszej kolejności wyznaczymy przemieszczenia uc i un mierzone w płaszczyźnie przekroju poprzecznego w odległości x od początku układu współrzędnych. Stosownie do pierwszego założenia teorii Własowa wnioskujemy, że przemieszczenia całego przekroju opisują jednoznacznie trzy wielkości: dwie współrzędne wektora przemieszczenia dowolnie obranego punktu R związanego z przekrojem oraz kąt skręcania ψ(x) całego przekroju wokół tego punktu (rys. 13.13). Punkt R po deformacji przyjmuje położenie r, określone współrzędnymi wektora przemieszczenia vR(x) i wR(x). Rozważymy teraz przemieszczenie punktu F, związanego z płaszczyzną przekroju. Punkt ten z położenia F przechodzi w położenie f. Przesunięcie (translację) całego przekroju opisuje odcinek Ff’, a obrót − odcinek f’f. Współrzędne wektora przemieszczenia punktu F : vF(x) i wF(x), można wyrazić przez vR(x), wR(x) oraz ψ(x) następująco: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

v F ( x ) = v R ( x ) − ( z F − z R ) ⋅ ψ ( x ),   wF ( x ) = wR ( x ) + ( y F − y R ) ⋅ ψ ( x ).

11

(13.13)

Rozważymy w końcu przemieszczenie pewnego dowolnego punktu M leżącego na linii środkowej przekroju. W konfiguracji początkowej punkt ten na płaszczyźnie przekroju zajmuje położenie określone współrzędnymi y i z (rys. 13.14). Współrzędne te można zastąpić jedną współrzędną krzywoliniową c, oznaczającą długość linii środkowej, odmierzaną od pewnego ustalonego punktu początkowego O. Zgodnie z wieloletnią tradycją dodatni zwrot współrzędnej c odpowiada kierunkowi ruchu wskazówek zegara względem tzw. bieguna. W rozważanym przypadku biegun umieścimy w punkcie R. Wektor przemieszczenia punktu M opisują współrzędne v(x, c) i w(x, c) w układzie głównych osi bezwładności przekroju y, z lub współrzędne uc (x, c) i un (x, c), odniesione do lokalnego prostokątnego układu osi c, n. Zależności między współrzędnymi tych wektorów wynikają z równań transformacyjnych przy obrocie układu o kąt α(c) lub bezpośrednio z rys. 13.14:

(a)

uc ( x , c) = v ( x , c) cosα (c) + w( x , c) sin α (c),  un ( x , c) = − v ( x , c) sin α ( c) + w( x , c) cosα (c),

gdzie stosownie do równań (13.13):

(b)

v ( x , c) = v R ( x ) − [z ( c) − z R ] ⋅ ψ ( x ),  w( x , c) = wR ( x ) + [ y (c) − y R ] ⋅ ψ ( x ).

Po podstawieniu do równania (b) równań (a) otrzymujemy poszukiwane wyrażenia na przemieszczenia uc (x, c) oraz un (x, c): uc ( x , c) = v R ( x ) cosα ( c) + wR ( x ) sin α ( c) − ψ ( x ) ⋅ h(c),   un ( x , c) = − v R ( x ) sin α (c) + wR ( x ) cosα (c) + ψ ( x ) ⋅ t ( c).

(13.14)

Rys. 13.14 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

12

Wielkości h(c) i t(c) oznaczają odległości bieguna R od stycznej i normalnej do linii środkowej w punkcie M (por. rys. 13.14): h( c) = − ( y − y R ) sin α ( c) + ( z − z R ) cosα ( c),  t ( c) = ( y − y R ) cosα ( c) + ( z − z R ) sin α ( c).

(c)

W celu określenia współrzędnej ux (x, c) posłużymy się założeniem 2) teorii Własowa: ∂u ∂u γ xc = x + c = 0, ∂c ∂x skąd c

ux ( x , c) = −

(d)

∂u

∫ ∂xc dc + ux ( x). *

0

Funkcja

u*x ( x )

odgrywa tutaj rolę stałej całkowania. Pochodną ∂uc ∂x obliczymy wykorzystując zależ-

ność (13.14)1:

∂uc = v R '( x ) cosα (c) + wR '( x ) sin α ( c) − ψ '( x ) h( c), gdzie ∂x Po podstawieniu powyższego rezultatu do równania (d) otrzymujemy: c

(e)

∫

c

∫

d

( )' = dx ( ) . c

∫

ux ( x, c) = −vR '( x) ⋅ cosα (c)dc − wR '( x) ⋅ sin α (c)dc +ψ '( x) h(c)dc + u*x ( x). 0

0

0

Rys. 13.15

Z rysunku 13.15 wynika, że dy = cosα ( c)dc,  (f) dz = sin α (c)dc, dω = h(c)dc,  gdzie dω oznacza podwojone pole elementarnego wycinka (obszar zakreskowany). Uwzględniwszy powyższe spostrzeżenia we wzorze (e) otrzymujemy poszukiwane wyrażenie na współrzędną ux(x, c): ux ( x , c) = u$ x ( x ) − v R '( x ) ⋅ y (c) − wR '( x ) ⋅ z (c) + ψ '( x ) ⋅ ω ( c), (13.15) gdzie Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

(g)

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

13

u$ x ( x ) = u*x ( x ) + v R ' ( x ) ⋅ y ( 0) + wR ' ( x ) ⋅ z( 0) − ψ ' ( x ) ⋅ ω (0). Ostatni składnik prawej strony wzoru (g) jest równy zeru, bo

ω ( 0) = 0.

(h)

Funkcję u$ x ( x ) interpretujemy jako równoległe przemieszczenie całego przekroju wzdłuż osi pręta. Funkcje v R '( x ) i wR '( x ) oznaczają kąty obrotu przekroju odpowiednio względem osi z i y, a ψ '( x ) jest jednostkowym kątem skręcenia przekroju. Wielkości y(c) i z(c) nie wymagają komentarza; wielkość ω(c) nazywamy współrzędną wycinkową badanego punktu M należącego do linii środkowej. Współrzędną wycinkową ω (c) obliczamy z definicji: def c

c

0

0

ω ( c) =

∫ h(c) dc = ∫ dω .

(13.16)

Współrzędna wycinkowa punktu M na rys. 13.15 jest równa podwojonemu polu wycinka wyznaczonego promieniami RM i RO oraz łukiem OM. W punkcie O (c = 0) współrzędna wycinkowa ω jest oczywiście równa zeru (por. również zależność (h)). Dlatego punkt początkowy O nazywamy również punktem zerowym współrzędnej wycinkowej. Ze wzoru (13.15) wynika geometryczna interpretacja współrzędnej wycinkowej; jest ona miarą odchylenia przemieszczeń ux od prawa płaskich przekrojów, czyli deplanacji. Charakterystyczne cechy stanu odkształcenia wynikają z postulatów teorii Własowa. Drugi postulat (γ xc = 0) odpowiada założeniu, że osie lokalne układu współrzędnych x, c, n pokrywają się z głównymi osiami odkształcenia. Odkształcenia εx w punktach leżących na powierzchni środkowej można obliczyć ze znanego równania geometrycznego ε x = ∂ux / ∂x. Wykorzystanie tego równania i uwzględnienie wzoru (13.15) prowadzi do następującego rezultatu:

ε x ( x , c) = ux '( x ) − v R ''( x ) ⋅ y (c) − wR ''( x ) ⋅ z(c) + ψ "( x ) ⋅ ω (c).

(13.17)

Z pierwszego postulatu o sztywnych liniach środkowych wynika, że

ε c ( x , c ) = 0. Zależność tę można również otrzymać analitycznie ze wzorów (13.14), określających przemieszczenia uc(x, c) i un(x, c). W tym celu trzeba jednak wyprowadzić odpowiednią postać równań geometrycznych w krzywoliniowym układzie współrzędnych c, n. Przy szacowaniu odkształceń εn, opisujących zmianę grubości ścianki, uwzględnia się fakt, że w kierunku normalnym do linii środkowej występuje swoboda odkształceń. Jeżeli powierzchnia ścianki jest wolna od obciążeń, to można przyjąć, że w elemencie powierzchni środkowej występuje płaski stan naprężenia. Wartości εn wynikają wówczas z poprzecznego przewężenia ścianki: εx = −νεx. Widzimy zatem, że odkształcenia εn mają znaczenie drugorzędne. Podobnie traktujemy odkształcenia kątowe γnc i γnx − uznajemy, że są pomijalnie małe.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

14

13.2.3. Naprężenia normalne. Bimoment

W celu zdefiniowania sił wewnętrznych rozważymy wyrażenie odpowiadające energii naprężeń normalnych:     ∧ σ x ε x dV = u' x ( x )  σ x dA + v R "( x ) − σ x y ( c)dA −     V l   A  A 

∫

∫

∫

∫

     − wR "( x )  σ x z (c)dA + ψ "( x )  σ xω ( c) dA dx.     A  A 

∫

(13.18)

∫

We wzorze tym odkształcenie εx wyrażono zależnością (13.17). Pierwsze trzy całki występujące w nawiasach kwadratowych po prawej stronie równania (13.18) przedstawiają kolejno znane siły wewnętrzne (por. rys. 13.16a): siłę normalną (N), moment zginający względem osi z (Mz) oraz moment zginający względem osi y (My). Czwarta całka przedstawia nową „siłę” wewnętrzną, charakterystyczną dla pręta cienkościennego. Jest to tak zwany bimoment, oznaczony dalej symbolem B. Bimoment mierzymy w 2 jednostkach siły razy kwadrat jednostki długości, np. [kN⋅m ]. Wielkości kinematyczne jako mnożniki odpowiednich sił wewnętrznych oznaczają kolejno: wydłużenie względne osi pręta λ, krzywiznę ky, krzywiznę kz, oraz „krzy-wiznę skrętną” kω = ψ ". Wymienione wielkości statyczne i kinematyczne zestawiamy niżej:

  A  M y = ∫ σ x zdA [ N ⋅ m] ; κ y = − wR " [m −1 ];   A  −1 M z = − ∫ σ x ydA [ N ⋅ m] ; κ z = v R " [m ]; A   −2 2 B = ∫ σ xωdA[ N ⋅ m ] ; κ ω = ψ ' ' [m ].  A  N = ∫ σ x dA [ N] ; λ = u x ' [−];

(13.19)

Wobec powyższego uogólnioną na pręty o osi zakrzywionej zależność (13.18) można zapisać następująco:

∫σ

V

x

ε x dV = ∫ ( Nλ + M yκ y + M zκ z + Bκ ω )ds.

(13.20)

s

Przy układaniu powyższego wzoru nie precyzowano żadnego prawa fizycznego. Wnioskujemy stąd, że zależność (13.20) jest słuszna dla dowolnego materiału. W dalszym ciągu pozostaniemy przy materiale liniowo-sprężystym, dla którego obowiązują związki fizyczne (por. rys. 13.16b): 1  (σ x − νσ c ),   E  1 ε c = (σ c − νσ x ) = 0.  E

εx =

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(13.21)

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

15

Uwzględniono tutaj, że w badanym elemencie powierzchni środkowej występuje płaski stan naprężenia, tzn. σn = 0. Na podstawie równań (13.21) otrzymujemy:

σ c = νσ x , E

σx =

1− ν 2

gdzie

E1 =

(13.22)

⋅ ε x = E1 ⋅ ε x , E

(1 − ν 2 )

(13.23)

.

Wzór (13.23) po wykorzystaniu zależności (13.17) i oznaczeń (13.19) pozwala obliczyć naprężenia normalne σx w punktach linii środkowej:

σ x ( x, c) = E1 [λ ( x) − κ z y (c) + κ y z (c) + κ ω ω (c)].

(13.24)

Rys. 13.16

W teorii Własowa przyjmuje się, że naprężenia normalne σx na grubości ścianki są stałe (por. rys. 13.16c). Uważamy zatem, że wzór (13.24) określający średnie wartości tych naprężeń obowiązuje również dla punktów nie leżących na linii środkowej przekroju. Wzór (13.24) wykorzystamy teraz w zależnościach (13.19), definiujących siły wewnętrzne. Uwzględnimy fakt, że osie y i z są głównymi środkowymi osiami bezwładności i wówczas

∫

S y = zdA = 0, S z = A

∫ ydA = 0,

J yz =

A

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

∫ yzdA = 0.

(13.25)

A

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

16

W rezultacie otrzymujemy:

 N = ∫ σ x dA = E 1  λ ∫ dA − κ z ∫ ydA + κ A A  A

y

∫

A

 zdA + κ ω ∫ ω dA  = A 

= E 1 A λ + E 1κ ω ∫ ω dA , A

M

y

  = ∫ σ x ⋅ zdA = E 1  λ ∫ zdA − κ z ∫ zydA + κ y ∫ z 2 dA + κ ω ∫ ω zdA  = A A A A  A  = E 1 J y κ y + E 1κ ω ∫ ω zdA , A

M

z

 = − ∫ σ x ⋅ ydA = E 1  λ ∫ ydA − κ z ∫ y 2 dA + κ A A  A

y

∫

A

 yzdA + κ ω ∫ ω ydA  A 

= E 1 J z κ z − E 1κ ω ∫ ω ydA , A

 B = ∫ σ x ⋅ ω dA = E 1  ∫ ω dA − κ z ∫ ω ydA + κ A A A

y

∫ ω zdA + κ ∫ ω ω

A

A

2

 dA  . 

            (13 . 26 )   =        

Powyższe równania uproszczą się znacznie, jeżeli tak obierzemy położenie bieguna R i punktu początkowego O, by były spełnione następujące warunki: Sω = 0; Jωz = Jωy = 0,

gdzie def

Sω =

∫

def

ωdA, Jωz =

A

∫

def

ωzdA, Jωy =

A

∫ ωydA.

(13.27)

A

Wielkość Sω to wycinkowy moment statyczny, a Jωz i Jωy to wycinkowe momenty odśrodkowe (dewiacyjne). Wymaganie, by wielkości te znikały, pozwala określić położenie tzw. bieguna głównego S oraz zerowych punktów początkowych. Punkt zerowy leżący najbliżej bieguna głównego nazywamy głównym punktem zerowym G. Zbiór definicji wycinkowych parametrów geometrycznych przekroju cienkościennego uzupełnia jeszcze tzw. wycinkowy moment bezwładności Jω , określony następująco: def

Jω =

∫ω

2

dA [m6 ] .

(13.28)

A

Uwzględniwszy w równaniach (13.26) wzory (13.27) i (13.28) otrzymujemy bardzo ważne zależności fizyczne obowiązujące dla głównych środkowych osi bezwładności y, z oraz głównych współrzędnych wycinkowych przekroju (tzn. dla bieguna głównego S i głównego punktu zerowego G):

N = E1 Aλ = E1 Auˆ x ' ( x),

 M y = E1 J yκ y = − E1 J y wS " ( x),  M z = E1 J zκ z = E1 J z vS " ( x),   B = E1 J ω κ ω = E1 J ωψ ' ' ( x). 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

17

Zależności te można zapisać również następująco:

   M y ( x)  , κ y ( x) = − wS " ( x) = E1 J y   M z ( x)  , κ z ( x) = v S " ( x) =  E1 J z  B( x)  κ ω ( x) = ψ ' ' ( x) = .  E1 J ω  N ( x) , E1 A

λ ( x) = u x ' ' ( x) =

(13.29)

Po uwzględnieniu tych wzorów w równaniu (13.24) otrzymujemy podstawowy wzór na obliczenie naprężeń normalnych σx w przekroju cienkościennym:

σx =

My N Mz B − ω. y+ z+ A Jz Jy Jω

(13.30)

Ostatni składnik prawej strony wzoru (13.30), charakterystyczny dla prętów cienkościennych, oznaczymy przez σx(ω). Odzwierciedla on naprężenia normalne wynikające z więzów nałożonych na deplanację przekroju. Zwróćmy uwagę na to, że B σ x (ω)dA = ωdA = 0; Jω

∫

∫

A

A

B

∫ σ x (ω) ydA = Jω ∫ ωydA = 0; A

A

B

∫ σ x (ω)zdA = Jω ∫ ωzdA = 0. A

A

Wynika stąd wniosek, że naprężenia normalne wywołane przez bimoment tworzą układ samorównoważący się. Charakteryzuje się on tym, że standardowe siły wewnętrzne (N, My, Mz) pochodzące od naprężeń σx(ω) są tożsamościowo równe zeru. 13.2.4. Główne współrzędne wycinkowe Pewnego komentarza wymaga sposób wyznaczania położenia bieguna głównego S i głównego punktu zerowego G. Zastanowimy się najpierw, jaką wartość przyjmuje współrzędna wycinkowa ω* = ω (R*, 0) po zmianie bieguna z położenia R do położenia R* (rys. 13.17). Jeżeli współrzędna wycinkowa ω punktu M obliczona dla bieguna R jest znana, to współrzędna ω * = ω − 2( pole ∆ MOR − pole ∆ MOR*), tzn. y

z

1

y

z

1

ω * = ω − y0 yR

z0

1 + y0

z0

1.

zR 1

y R*

z R* 1

Po obliczeniu wartości wyznaczników i wykonaniu redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

18

ω * = ω − ( z R * − z R )( y − y0 ) + ( y R* − y R )( z − z0 ).

(13.31)

Rys. 13.17

Jeżeli punkt R* jest biegunem głównym, to R* = S ( y R* = yS , z R* = zS ) oraz Sω * = 0, Jω *z = Jω * y = 0 . Rozważmy najpierw wymaganie, by Jω *z = 0 , które przy wykorzystaniu zależności (13.31) oraz definicji (13.27)2 daje następujące równanie:     Jω *z = ωzdA − ( zS − zR ) ⋅  yzdA − y0 zdA + ( yS − y R ) ⋅  z 2 dA − z0 zdA = 0.     A A A A  A 

∫

∫

∫

∫

∫

Wziąwszy pod uwagę, że osie y i z są głównymi środkowymi osiami bezwładności przekroju (Jyz = Sy = Sz = 0), a

∫z

2

dA = J y , otrzymujemy:

A

J ωz + ( y S − y R ) ⋅ J y = 0. Podobnie wymaganie, by Jω * y = 0 , prowadzi do wyniku

(i)

(j)

J ωy − ( z S − z R ) ⋅ J z = 0.

Równania (i) oraz (j) pozwalają określić współrzędne bieguna głównego yS i zS: J  y S = y R − ωz ,  Jy   Jωy  . zS = z R + J z 

(13.32)

Rys. 13.18

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

19

Następnym zadaniem jest określenie wartości współrzędnej wycinkowej ω dowolnego punktu M po zmianie punktu początkowego z położenia O do położenia O*. Rozwiązanie otrzymujemy bezpośrednio z rys. 13.18: 2 × pole O*MS = 2 × (pole OMS − pole OO*S)

lub

* ( O) , ω ( O* ) = ω ( O ) − ω O

(13.33)

* (O) oznacza współrzędną wycinkową punktu O* przy założeniu, że punkt początkowy przyjęto gdzie ω O w punkcie O. Jeżeli punkt O* jest głównym punktem zerowym G, to musi być jeszcze spełnione ostatnie wymaganie: Sω * = 0 . Z definicji (13.27)1, w której uwzględniona jest zależność (13.31), otrzymujemy:

∫

∫

Sω * = ω ( O*)dA = ω (G )dA = A

A

∫ [ω (O) − ωG (O)]dA = ∫ ω (O)dA − ωG (O) ∫ dA = 0, skąd współrzędna A

A

A

głównego punktu początkowego S ( O) . ω G ( O) = ω A

(13.34)

Wszystkie dalsze rozważania przeprowadzać będziemy tylko dla głównych współrzędnych wycinkowych. 13.2.5. Naprężenia styczne. Moment giętno-skrętny Na wstępie zaznaczymy, że teoria Własowa jest tak samo niekonsekwentna jak klasyczna teoria prętów zwartych, w której założenie płaskich przekrojów Bernoulliego (c = 0) kłóci się z występowaniem naprężeń stycznych τxz. Na podstawie równań fizycznych i drugiego założenienia teorii Własowa (γx = 0) można bowiem wnioskować, że τxc = 0. Bezkrytyczna akceptacja tego wniosku uniemożliwia jednak spełnienie równań równowagi. Wyjaśniamy zatem, że założenia kinematyczne teorii Własowa służą przede wszystkim do wyznaczenia naprężeń normalnych σx oraz przemieszczeń pręta. W odniesieniu do naprężeń stycznych przyjmujemy, że w każdym przekroju τxn = τcn = 0. W celu wyznaczenia naprężeń stycznych τxc = τcx rozważymy równowagę elementu pręta ograniczonego dwoma przekrojami: x oraz x + dx (rys. 13.19). Ułożymy najpierw równanie równowagi sił równoległych do osi x dla całego przekroju poprzecznego ograniczonego wartościami c = −c− oraz c = c+. Na rozważany element działają: − obciążenia px(x, c) odniesione do jednostki pola powierzchni środkowej; − obciążenia q x− ( x ) i q x+ ( x ) odniesione do jednostki długości pręta; są one wypadkowymi naprężeń stycznych τcx rozłożonych odpowiednio na płaszczyznach brzegowych c = −€c− oraz c = c+; − naprężenia normalne σx w przekroju x oraz naprężenia normalne σx + dσx w przekroju x + dx. Wobec powyższego równanie równowagi rzutów sił na oś x przyjmuje postać:  c+  c+  p ( x , c)dcdx + ( q − + q + ) dx + dσ ( x , c) g ( c)dc = 0. x x x x   − −  − c  −c

∫

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

∫

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

20

Pierwsza z całek oznacza obciążenie q xc ( x ) odniesione do jednostki długości pręta i będące wypadkową obciążeń podłużnych działających na całej szerokości przekroju ograniczonej współrzędnymi −€c− oraz c+: c+

q xc ( x ) =

∫ p( x, c )dc.

−c

(13.35)

−

Z uwagi na to, że element pola przekroju pręta dA = g(c)dc, druga całka przedstawia przyrost siły normalnej po zmianie współrzędnej x o wartość dx: c+

dN ( x ) =

∫ dσ x ( x, c )dA(c ).

(13.36)

−c−

Rys. 13.19

Suma rzutów sił na oś x prowadzi zatem do zależności:

[

]

q xc ( x )dx + q x− ( x ) + q x+ ( x ) dx + dN ( x ) = 0, skąd

[

]

dN ( x ) = N '( x ) = − q xc ( x ) + q x− ( x ) + q x+ ( x ) = − q x ( x ). dx

(13.37)

Rys. 13.20 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

21

Przejdziemy teraz do określenia naprężeń stycznych τxc. Zwróćmy uwagę na to, że rozkład tych naprężeń na grubości ścianki nie jest znany. Każdą dowolną funkcję (por. rys. 13.20a) można przedstawić jako sumę funkcji symetrycznej (parzystej) i antysymetrycznej (nieparzystej):

f = fs + fa . Najprostszą funkcją symetryczną jest funkcja fs = const, a najprostszą funkcją antysymetryczną jest jednorodna funkcja liniowa. Przyjmiemy te założenia w odniesieniu do rozkładu naprężeń τxc jako funkcji zmiennej n. Mamy więc:

τ xc ( x , c, n) = τ ω ( x , c) + τ v ( x , n) .

(13.38)

We wzorze (13.38) τω oznacza naprężenie średnie, stałe na grubości ścianki, natomiast τv jest liniową jednorodną funkcją współrzędnej n ( − g (c) / 2 ≤ n ≤ g (c) / 2) :

τ v ( x , n) = nµ ( x ),

(13.39)

gdzie µ(x) jest współczynnikiem kątowym tego liniowego rozkładu. Rozkład naprężeń stycznych τxc ilustruje rys. 13.20b. Liniową zmianę naprężeń τv możemy przypisać skręcaniu swobodnemu otwartego przekroju cienkościennego. Stosownie do wzoru (12.30)2 naprężenia te wyraża zależność: 2Mv ( x ) (13.40) τ v = τ v ( x , n) = − n = nµ ( x ), Js ( x) gdzie Mv jest momentem skręcającym odpowiadającym skręcaniu swobodnemu (tzw. moment de SaintVenanta), a Js jest momentem bezwładności na skręcanie (por. p. 12.3.2). Z zależności (13.40) wynika, że µ(x, c) =µ(x), a ekstremalne naprężenia styczne τv występują na krawędziach n = ± g (c) / 2 :

τ vekstr = τ v

1 n =± g 2

=±

Mv ( x ) g ( c) . Js ( x)

(13.41)

W celu określenia naprężeń τω , stałych na grubości ścianki, rozważymy równowagę części przekroju ograniczonego wartościami c = −€c− i c = c (element zaznaczony linią ciągłą na rys. 13.19). Wziąwszy ponownie sumę rzutów sił na oś x otrzymujemy: c  c   p ( x , c) dc dx + q − ( x ) dx + dσ ( x , c) g ( c) ⋅ dc + τ ( x , c) g ( c) dx = 0. x x x ω   −  − c −  −c Zauważymy, że ∂σ x dσ x = dx oraz g(c)dc = dA. ∂x Wówczas:

∫

∫

c

∫

−c−

px ( x , c)dc + q x− ( x ) +

∫

A1

∂σ x dA + τ ω ( x , c) g (c) = 0, ∂x

przy czym A1 jest częścią przekroju zakropkowaną na rys. 13.19. Na podstawie powyższego równania mamy:   1  ∂σ x  $ (13.42) dA , τω ( x, c ) = τω ( x ) − ⋅  g( c )  ∂ x   A1 gdzie

∫

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

22

 c  1  px ( x , c)dc + q x− ( x ) . τ$ω ( x ) = − ⋅  g ( c)  − − c 

∫

Do obliczenia pochodnej ∂σ x / ∂x wykorzystamy wyrażenie (13.30), określające naprężenie σx(x, c). Uzyskany rezultat podstawiamy do równania (13.42):

τω ( x , c) = τ$ω ( x ) − −

N ' ( x) Ag (c)

M ' ( x)

∫ dA + Jzzg(c) ∫ y(c)dA −

A1

M y ' ( x) J y g ( c)

A1

∫

A1

B' ( x ) z (c)dA − ω (c)dA. Jω g (c)

∫

(13.42a)

A1

Całki występujące w równaniu (13.42a) oznaczymy następująco: A1 =

∫ dA;

A1

S z ( c) =

∫ y(c)dA;

S y ( c) =

A1

∫ z(c)dA;

Sω (c) =

A1

∫ ω (c)dA ,

A1

gdzie Sz(c) i Sy(c) są momentami statycznymi pola A1 względem osi z i y, zaś Sω(c) jest wycinkowym momentem statycznym tego pola względem bieguna głównego. Wielkości N '( x ), M y '( x ), M z '( x ) oraz B '( x ) mają sens statyczny, wynikający z równań równowagi. Pochodną N '( x ) określa wzór (13.37), a na podstawie znanych zależności różniczkowych wiadomo, że M z '( x ) = − Qy ( x ), M y '( x ) = Qz ( x ). Po uwzględnieniu powyższych uwag w równaniu (13.42a) otrzymujemy podstawowy wzór służący do obliczenia naprężeń τω w prętach cienkościennych: Q y ( x ) S z ( c ) Q z ( x ) S y ( c ) B ' ( x ) Sω ( c ) q ( x) τ ω ( x , c ) = τ$ω ( x ) + x − − A1 ( c ) − . (13.43) A ⋅ g (c) J z g (c) J y g (c) Jω g ( c ) Wzór (13.43) stanowi pewne uogólnienie znanego wzoru (11.6) na naprężenia styczne w belkach dwukierunkowo zginanych poprzecznie. Pierwsze dwa składniki wzoru (13.43) występują tylko wówczas, gdy obciążenia osiowe na długości pręta są różne od zera, tj. gdy px ≠ 0, qz− ≠ 0 i qz+ ≠ 0. Obciążenia takie występują niezmiernie rzadko i na ogół można je pominąć. Zasadniczą nowością jest pojawienie się składnika zawierającego pochodną bimomentu B'(x). Sens tej wielkości wyjaśni się podczas obliczania całkowitego momentu skręcającego jako efektu działania naprężeń τxc = τv + τω. Moment skręcający pochodzący od naprężeń τv jest równy tylko połowie momentu skręcania swobodnego (por. p. 12.1 wzór (h) i p. 12.3.2). Mamy więc:

∫

Mv = −2 τ v n dA. A

Znak minus wynika stąd, że przyjęty zwrot naprężeń τv daje moment lewoskrętny.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

23

Rys. 13.21

Wyznaczenie momentu skręcającego spowodowanego naprężeniami τω jest dosyć skomplikowane. Dla uproszczenia obliczeń pominiemy wpływ obciążeń osiowych. Przyjmiemy nadto, że początek układu osi y i z odpowiada pewnemu biegunowi R* (por. rys. 13.21). Wówczas

∫

∫

M (τ ω ) = − τ ω gh dc = − τ ω g dω *. c

c

Zależność tę przetransformujemy do głównego wycinkowego bieguna S o współrzędnych yS, zS. Stosownie do wzoru (13.31) mamy ( y R* = z R* = 0 , y R = yS , z R = zS ):

ω * = ω − yS ( z − zG ) + zS ( y − yG ), gdzie ω* jest główną współrzędną wycinkową, a yG i zG są współrzędnymi głównego punktu zerowego. Różniczkowanie tego wyrażenia daje:

dω * = dω − yS dz + zS dy. Moment M (τω) wyrazimy zatem następująco:

∫

∫

∫

M (τ ω ) = − τ ω g ⋅ dω + yS τ ω g ⋅ dz − zS τ ω g ⋅ dy. c

c

(13.44)

c

Dwie ostatnie całki przedstawiają momenty skręcające sił poprzecznych Qy i Qz względem bieguna głównego S:

∫

∫

∫

− y S τ ω gdz = yS τ ω sin α ⋅ gdc = yS τ xz dA = yS Qz , c

c

∫

c

∫

∫

zS τ ω gdz = − zS τ ω cos α ⋅ gdc = − zS τ xz dA = − zS Qy . c

c

c

Do obliczenia pierwszej całki we wzorze (13.44) wykorzystamy wzór (13.43) przyjąwszy, że τ$ω = q x = 0:

∫

− τω g ⋅ dω = c

Qy ( x ) Jz

∫ Sz ( y)dω + c

Qz ( x ) B '( x ) S y ( z )dω + Sω (c)dω . Jy Jω

∫ c

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

∫ c

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

24

Poszczególne składniki tego wyrażenia scałkujemy przez części:

∫

c+

S z ( y ) dω =

c

 c   y (c ) g ( c )dc dω (c) =    − c −  − c −

∫ ∫

c+

c+

 c  d  = ω (c) y ( c ) g(c)dc − ω ( c) y ( c ) g (c )dc dω =   d ω  − c −  −c− −c −c c

∫

∫

∫

c+

c+

 c  d  dc y(c ) g(c ) dc  dω = = ω (c ) y(c ) g(c ) dc − ω (c ) y(c ) g(c ) dc − ω (c )   dω dc −c−  −c− −c− −c− +

c

∫

∫

= ω (c + ) ydA − A

−

∫

∫

c+

∫ ω (c) y(c) g(c) dc = ω (c

−c

+

∫

∫

) Sz − ωy dA.

−

A

Otrzymaliśmy zatem zależność: (k)

∫ S z ( y ) dω = ω ( c

+

) Sz − Jωy .

+

) S y − Jωz ,

c

Podobnie dochodzimy do dalszych zależności: (l)

∫ S y ( z ) dω = ω ( c c

(m)

∫ Sω (c)dω = ω (c

+

) Sω − Jω .

c

Ponieważ rozważania dotyczą głównych osi środkowych oraz głównych współrzędnych wycinkowych, więc S y = Sz = 0, Sω = 0, Jωy = 0, Jωz = 0. Wobec powyższego

∫

− τ ω ⋅ g ⋅ dω = − B'( x ), c

a wzór (13.44) przyjmuje postać:

M (τ ω ) = − B '( x ) + Qz yS − Qy zs .

(13.45)

Jeśli moment skręcający obliczymy nie względem środka ciężkości przekroju lecz względem bieguna głównego S, to momenty pochodzące od sił poprzecznych będą równe zeru (dω* = dω). Obliczony w ten sposób moment skręcający oznaczymy przez Mω. W podsumowaniu stwierdzamy więc, że całkowity moment skręcający obliczony względem bieguna głównego MS jest sumą momentu od skręcania swobodnego Mv i skręcania skrępowanego Mω :

MS = Mv + Mω ,  Mω = − B' ( x ). 

(13.46)

Moment Mω nazywamy momentem giętno-skrętnym. Znak minus we wzorze (13.46)1 wynika z przyjęcia, że dodatni moment skręcający jest prawoskrętny. Wzór (13.46)2 jest analogiczny do znanej zależności różniczkowej między siłą poprzeczną a momentem zginającym: Qz = M y '( x ). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

25

Z powyższych rozważań wynika, że biegun główny pokrywa się ze środkiem ścinania (zginania) omawianym w p. 11.5. Na koniec przytoczymy najczęściej stosowaną postać wzoru na naprężenia styczne τω, w którym pominięto wpływ obciążeń osiowych i uwzględniono zależność (13.46)1:

τω = −

Qy S z Jzg

Qz S y

−

Jyg

+

Mω S ω . Jω g

(13.47)

13.2.6. Równania różniczkowe funkcji bimomentu i funkcji kąta skręcenia. Warunki brzegowe Omówimy sposób wyznaczania funkcji bimomentu B(x) i funkcji kąta skręcenia ψ(x). Wielkości te są niezbędne do wyznaczenia naprężeń normalnych i stycznych. Z teorii skręcania swobodnego wiadomo, że (n)

Mv = GJ sθ = GJ s ⋅ψ '( x ),

natomiast na podstawie wzoru (13.46)2 i zależności (13.26) otrzymujemy: (o)

Mω = − B'( x ) = − E1 ⋅ J ω ⋅ψ '''( x ).

Wobec powyższego wzór (13.46)1 można wyrazić następująco:

MS ( x ) = − E1 ⋅ Jω ⋅ ψ '''( x ) + GJ s ⋅ ψ '( x ).

(13.48)

Rys. 13.22

Rozważymy obecnie równowagę elementu przedstawionego na rys. 13.22. Symbolem mS(x) oznaczymy rozłożony w sposób ciągły moment skręcający względem środka skręcania S. Moment ten jest efektem działania obciążeń py(x) i pz(x). Z rysunku 13.22 otrzymujemy: dMS = −mS ( x ). dx

(13.49)

Z drugiej strony na podstawie równania (13.48) mamy: dMS GJ s = − E1 ⋅ J ⋅ ψ IV ( x ) + GJ s ⋅ ψ ''( x ) = − B''( x ) + ⋅ B ( x ). dx E1 Jω Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

26

Po połączeniu otrzymanej zależności z równaniem (13.49) uzyskujemy dwa bardzo ważne równania różniczkowe na funkcję bimomentu B(x) i kąta skręcenia ψ(x): B"( x ) − ϑ ⋅ B ( x ) = m S ( x ), GJ s m ( x) , gdzie ϑ 2 = ψ IV ( x ) − ϑ 2 ⋅ ψ ''( x ) = S E1 Jω E1 Jω

  . 

(13.50)

Równanie (13.50)1 stosujemy wówczas, gdy dane są statyczne warunki brzegowe. Przy kinematycznych warunkach brzegowych wykorzystujemy równanie (13.50)2.

Rys. 13.23

Najczęściej spotykane warunki podparcia prętów cienkościennych zestawimy poniżej: − podparcie widełkowe (rys. 13.23a), gdzie

ψ = 0 i B = 0, czyli ψ '' = 0, − sztywne zamocowanie uniemożliwiające deplanację (13.23b):

ψ = 0 i ux = 0, czyli ψ ' = 0, − koniec swobodny, wolny od naprężeń (rys. 13.23c): B = 0, czyli ψ '' = 0 MS = 0, czyli − E1 Jω ⋅ ψ '''+ GJ s ⋅ ψ ' = 0 lub ψ '''−ϑ 2 ⋅ ψ ' = 0. Podane wyżej warunki brzegowe stosujemy do równania IV rzędu na kąt skręcenia ψ (13.50)2.

Rys. 13.24 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

27

Statyczne warunki brzegowe występują w tych nielicznych przypadkach, gdy znamy rozkład naprężeń normalnych na końcu pręta. Jeżeli dla przykładu w punkcie M przekroju początkowego (x = 0) jest przyłożona siła skupiona P równoległa do osi x (rys. 13.24), to wartość brzegowa bimomentu stosownie do definicji (13.19)4

∫

∫

B ( 0) = σ x ( 0) ⋅ ωdA = P δ (c − c M ) ⋅ ωdA = P ⋅ ω M , A

A

gdzie przez δ(c −€cM) oznaczono deltę Diraca, a przez ωM współrzędną wycinkową punktu M. 13.2.7. Zależności energetyczne W prętach cienkościennych do obliczania energii stosujemy wyrażenia (por. wzór (13.20)):

∫ σ ij ε ij dV = ∫ ( Nλ + M y k y + M z k z + Bk ω + Mvθ )ds.

V

(13.51)

s

Wzór (13.51) obowiązuje dla dowolnego materiału, jeśli są spełnione założenia kinematyczne teorii Własowa. Dlatego znikają składniki zawierające siły poprzeczne i moment giętno-skrętny. Składniki wirtualnych prac wewnętrznych uzyskujemy przez wyróżnienie odpowiednich wielkości statycznych lub kinematycznych. Dla materiału liniowo-sprężystego wyrażenia na energię wewnętrzną budujemy z wykorzystaniem wzorów (13.26) lub (13.29):  My2  M y2 1  N 2 M z2 B2  ds  U= + + + + 2  E1 A E1 J y E1 J z E1 Jω GJ s   s  albo (13.52)   1 U= E1 Aλ2 + E1 J y k y2 + E1 J z k z2 + E1 Jω k ω2 + GJ sθ 2 ds. 2  s 

∫

∫(

)

13.2.8. Przykłady Przykład 1 Obliczyć maksymalny kąt skręcenia ψmax oraz wyznaczyć rozkład naprężeń normalnych i stycznych podczas skręcania stalowej cienkościennej rury kołowej przeciętej wzdłuż tworzącej. Oba końce rury są przymocowane do sztywnych płyt uniemożliwiających deplanację przekroju. Tekst zadania i szczegółowe wymiary ilustruje rys. 13.25.

Rys. 13.25 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

28

Rozwiązanie a. Parametry geometryczne przekroju Pole A = 2πgr. 3 Główne momenty bezwładności Jy = Jz = πgr . Moment bezwładności przy skręcaniu swobodnym J s = 2πrg 3 / 3. Współrzędne wycinkowe przekroju dla bieguna leżącego w środku ciężkości (SC) i punktu początkowego O (rys. 13.25b): α

∫

ω (α ) = r dc = r

2

0

α

∫ dα = r

2

⋅α.

0

Wycinkowe momenty odśrodkowe: 2π

∫

∫

Jωz = ωz dA = r 2α (r cosα ) gr dα = 0, 0

A

∫

4

2π

∫

Jωy = ωy dA = r g α sin α dα = −2 πr 4 g. 0

A

Położenie bieguna głównego (środka ścinania S): J yS = − ωz = 0, Jy Jωy

zS =

Jz

=−

2 πr 4 g πr 3 g

= −2 r .

Obliczenie współrzędnej wycinkowej dla bieguna S i punktu początkowego O (punkt R odpowiada środkowi ciężkości, tzn. S.C. = R):

ω ( S ,0) = ω ( R,0) − ( z S − z R ) ⋅ ( y − y 0 ) + ( y S − y R ) ⋅ ( z − z 0 ) = = r 2α − (− 2r − 0) ⋅ ( y − 0 ) + ( 0 + 0 ) ⋅ ( z − r ) = r 2 (α + 2 sin α ). Wycinkowy moment statyczny:

∫

2π

Sω = ω dA = A

∫r

2

(α + 2 sin α )rg dα = 2 π 2 gr 3.

0

Współrzędna wycinkowa głównego punktu zerowego G: S 2 π 2 gr 3 ω G ( S ,0) = ω = = πr 2 . A 2 πgr Punkt G leży zatem na linii łączącej punkty S i SC (por. rys. 13.25b). Główna współrzędna wycinkowa obliczona dla głównego bieguna S i głównego punktu początkowego G:

ω ( S , G ) = ω (α ) = ω ( S ,0) − ω G ( S ,0) = r 2 (α − π + 2 sin α ). Wykres funkcji ω(α) przedstawia rys. 13.26.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

29

Rys. 13.26

Główny wycinkowy moment bezwładności: 2π

2  Jω = ω dA = r 4 (α − π + 2 sin α ) 2 gr dα = πgr 5  π 2 − 4 . 3 

∫

2

∫

A

0

b. Wyznaczenie funkcji kąta skręcania Należy rozwiązać równanie różniczkowe (13.50)2:

ψ IV − ϑ 2ψ '' = 0 dla następujących warunków brzegowych:

ψ (0) = ψ '(0) = ψ '(l ) = 0;

ψ III ( l ) − ϑ 2ψ '(l ) = −

M . E1 Jω

Całką ogólną tego równania jest funkcja:

ψ ( x ) = D1 + D2 x + D3 sinh(ϑx ) + D4 cosh(ϑx ) , gdzie

ϑ=

GJ s = E1 Jω

E (1 − ν 2 ) J s g ⋅ = 2 E (1 + ν ) Jω r 2

1−ν 2 π 2 − 12

.

Do obliczenia stałych całkowania konieczne jest obliczenie pochodnych funkcji ψ(x):

ψ ' ( x ) = D2 + ϑD3 cosh(ϑx ) + ϑD4 sinh(ϑx ), ψ '' ( x ) = ϑ 2 D3 sinh(ϑx ) + ϑ 2 D4 cosh(ϑx ), ψ ''' ( x ) = ϑ 3 D3 cosh(ϑx ) + ϑ 3 D4 sinh(ϑx ). Warunki brzegowe prowadzą do następujących równań:

ψ (0) = 0: ψ '(0) = 0: ψ '(l ) = 0: ψ III (l ) − ϑ 2ψ '( l ) = −

D1 + D4 = 0, D2 + ϑD3 = 0, D2 + ϑ cosh(ϑl ) D3 + ϑ sinh(ϑl ) D4 = 0,

M : E1 Jω

ϑ 2 D2 =

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

M . E1 Jω Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

Wobec powyższego D1 = − D4 = − D2 =

M , GJ s

30

M cosh(ϑl ) − 1 , ⋅ GJ s sinh(ϑl ) 1 M . D3 = − ⋅ ϑ GJ s

a funkcja ψ(x) ma postać:  1  cosh(ϑl ) − 1  ⋅ (cosh(ϑx ) − 1) + ϑx − sinh(ϑx )  , ψ ( x) = ψ 0     (ϑl )  sinh(ϑl ) przy czym ψ 0 = M l/ (GJ s ) i jest całkowitym kątem skręcenia swobodnego. Funkcja zawarta w nawiasie klamrowym zależy od proporcji geometrycznych pręta oraz współczynnika Poissona. Przyjąwszy, że r = 15 g, l = 40 r = 600 g oraz ν = 0,25, otrzymujemy: gl ϑl = 2 r

1− ν 2 π 2 − 12

= 0,83,

sinh(ϑl ) = 0,9288,

cosh(ϑl ) = 1,3648.

Maksymalny kąt skręcenia występuje dla x = l:  1  (1,3648 − 1) 2   + 0,83 − 0,9288  = 0,0536 ⋅ ψ 0 . ψ max = ψ (l ) = ψ 0 ⋅    0,83  0,9288   Widzimy zatem, że kąt ψmax stanowi około 5% wartości kąta przy skręcaniu ze swobodną deplanacją przekrojów końcowych. Wartość ta (675 · 0,0536 ≈ 36) jest kilkadziesiąt razy większa od kąta skręcenia przekroju zamkniętego, tj. rury nie przeciętej wzdłuż tworzącej (por. p. 12.3.3). c. Obliczenie naprężeń W tym celu trzeba wyznaczyć bimoment i moment giętno-skrętny: E J ψ ϑ2 B ( x ) = E1 Jω ⋅ ψ '' ( x ) = 1 ω 0 (ϑl )

 cosh(ϑl ) − 1  ⋅ ⋅ cosh(ϑx ) − sinh(ϑx )  = l sinh( ) ϑ   cosh[0,83(1 − ξ ) − cosh(0,83ξ )] cosh[ϑ (l − x )] − cosh(ϑx ) , =M l⋅ =M l⋅ (ϑl ) sinh(ϑl ) 0,771

gdzie ξ = x/l. Wykres funkcji B(x) przedstawia rys. 13.27.

Rys. 13.27 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Rys. 13.28 Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

31

Moment giętno-skrętny określamy z zależności (13.46)2:

Mω = − B '( x ) = M

sinh[ϑ (l − x )] + sinh(ϑx ) sinh[0,83(1 − ξ ) ] + sinh(0,83ξ ) = . sinh(ϑl ) 0,9288

Na rysunku 13.28 przedstawiono wykresy momentów Mω i Mv = GJs·ψ'(x) = =M - Mω . Obie funkcje są oczywiście symetryczne względem połowy rozpiętości. Jak widać, udział momentu de SaintVenanta jest znikomy i sięga zaledwie 8% wartości momentu całkowitego. Na końcach pręta moment Mv jest równy zeru z uwagi na całkowicie skrępowaną deplanację. Naprężenia normalne i styczne obliczamy ze wzorów (13.30) oraz (13.41) i (13.43) przy uwzględnieniu zależności (13.46)2: B( x) M ( x ) ⋅ Sω (c) 2Mv ( x ) n+ ω . τ xc ( x , c, n) = − ⋅ω , Jω Js Jω ⋅ g Największe naprężenia normalne występują w przekrojach końcowych, gdzie B = Bexstr. Rozkład naprężeń w obrębie tych przekrojów jest proporcjonalny do wykresu współrzędnej wycinkowej ω(α) z rys. 13.28. Z tego rysunku odczytujemy, że największe naprężenie występuje w punkcie K, leżącym tuż przy krawędzi rozcięcia. Do obliczeń przyjmujemy zatem, że B = Bmax = B(0) = 2 M l, ω = ωk = πr :

σx =

σ x ( x , ω ) max = σ x (0, πr 2 ) =

3M l Mc M ⋅ πr 2 = = 15,5 . 3 2 Jω gr (2 π − 12) gr 2

Naprężenia styczne obliczymy w dwóch przekrojach: na lewym końcu pręta (x = 0), gdzie Mω = M i

Mv = 0, oraz w połowie rozpiętości pręta ( x = 0,5l ) , gdzie Mω = 0,92 M oraz Mv = 0,08M. Na wstępie wyznaczymy funkcję wycinkowego momentu statycznego Sω(c). Zamiast zmiennej c przyjmiemy zmienną α: α

Sω (α ) =

∫ ω (α ) dA = ∫ r

A1 (α )

2

(α − π + 2 sin α ) gr dα =

0

α  α 2 1 = gr 3 α 2 − πα − 2 cos α = gr 3  − πα + 2(1 − cos α ) . 2  0  2

Wykres funkcji Sω(α) przedstawia rys. 13.29.

Rys. 13.29 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

32

Ekstremalne naprężenia styczne τω występują w punktach zerowych głównej współrzędnej wycinkowej, czyli tam, gdzie

α − π + 2 sin α = 0 . W przedziale 0° , 180° otrzymujemy dwa rozwiązania (por. rys. 13.26):

α1 = π = 180°

α2 ≈ 71,7°.

oraz

Po podstawieniu tych wartości do wyrażenia na Sω(α) mamy: 3

Sω(α1) = −0,93 g r ,

3

Sω(α2) = −1,78 g r = Sω min.

Dla x = 0

τ xc min = τω min =

M Sω min 1,78 ⋅ 3gr 3M M =− = −0,22 . Jω g gr 2 πgr 5 2 π 2 − 12 g

(

Dla x = l/2

τ v ekstr = ±

)

0,08M ⋅ 3 Mv M ⋅g = ± = ±0,038 2 . 2 Js rg 2 πrg

Ponieważ przyjęliśmy, że g = r/15, więc τv min = − 0,57M / ( gr 2 ) , z kolei

τ ω min = −0,22 ⋅ 0,92 ⋅

M gr

2

= −0,20 ⋅

M gr 2

.

Wobec tego τxc min = τv min + τω min = − 0,77M / ( gr 2 ) . Porównanie uzyskanych rezultatów pozwala stwierdzić, że dominującą rolę podczas nieswobodnego skręcania pręta cienkościennego odgrywają naprężenia normalne. Naprężenia styczne mają wartości wielokrotnie mniejsze. Godne uwagi jest również to, że naprężenia τv są wyraźnie mniejsze od naprężeń τω . Na zakończenie porównamy obliczone wyżej naprężenia z wartościami występującymi podczas skręcania swobodnego przekrojów zamkniętego (z) i otwartego (o) (por. p. 12.3.3) dla r/g = 15.

τ ( z) τ (o)

max max

M M = 0,16 ⋅ 2 , 2 2 πgr gr 3M M = = 7,16 ⋅ 2 , 2 2 πrg gr =

W rozważanym zadaniu τ max = 0,77M / ( gr 2 ),

σ x( z ) = 0, σ x( o) = 0.

σ x = 15,5M / ( gr 2 ).

W przekrojach otwartych wprowadzenie płyt uniemożliwiających deplanację wydatnie zwiększyło sztywność skrętną, ale spowodowało wystąpienie znacznych naprężeń normalnych. Warto jeszcze zwrócić uwagę na to, że naprężenia zredukowane w obu przypadkach nie różnią się jednak w istotny sposób. Dla skręcania swobodnego ( o) = 3 ⋅ τ ( o) = 3 ⋅ 7,16 ⋅ σ red

M M = 12,4 2 , 2 gr gr

a dla skrępowanego (w punkcie K):

M . gr 2 Z powyższego wynika, że podczas skręcania przewaga przekrojów zamkniętych jest niepodważalna. Pręty te wykazują zarówno dużą sztywność, jak i dużą wytrzymałość. σ red = σ x (ω k ) = 15,5

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

Przykład

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

33

2

Wyznaczyć funkcję bimomentu B(x) oraz moment giętno-skrętny Mω(x) podczas skręcania stalowego pręta dwuteowego momentem M. Lewy koniec pręta jest całkowicie utwierdzony (deplanacja równa się zeru), a prawy koniec pręta jest całkowicie swobodny (rys. 13.30).

Rys. 13.30

a. Parametry geometryczne przekroju 2

2

2

Pole A ≈ 2 · 60t + 50t = 170 t . Momenty bezwładności: t (50t ) 3 Jy ≈ + 2 ⋅ 60 ⋅ t 2 ⋅ (25t ) 2 = 85417 t 4 , 12 J z ≈ 2 ⋅ 2t ⋅

[

(30t ) 3 = 9000 t 4 , 12

]

1 J s ≈ ⋅ 2 ⋅ (2t ) 3 ⋅ 30t + t 3 ⋅ 50t = 177 t 4 . 3 Nietrudno się przekonać, że biegun główny S, główny punkt początkowy G i środek ciężkości SC pokrywają się. Sporządzenie wykresu głównych współrzędnych wycinkowych nie nastręcza trudności. Rzędne wykresu (rys. 13.31a) przedstawiają podwojone pola odpowiednich trójkątów; np. współrzędna ωc przedstawia podwojone pole trójkąta SBC. Przy wyznaczaniu wykresu wycinkowego momentu statycznego Sω(c) należy zwracać uwagę na znaki. Obliczanie Sω obejmuje myślowo odciętą część przekroju, przy czym całkowanie rozpoczynamy od krawędzi swobodnych. Ostateczny znak regulują stosownie przyjęte granice całkowania. Jeśli Sω traktujemy jako pole wykresu ω(c) pomnożone przez grubość ścianki, to przed obliczoną wartością (dodatnią lub ujemną, zależnie od znaku współrzędnej ω) stawiamy dodatkowo znak minus, gdy kierunek całkowania i nie pokrywa się z dodatnim (tj. zgodnym z ruchem wskazówek zegara) kierunkiem współrzędnej c (rys. 13.31b). Na przykład na odcinku CB otrzymujemy: c1

Sω ( c1 ) =

c1

∫ ω (c1) dA(c1) = ∫ 25t ⋅ c1 ⋅ 2t ⋅ dc1 = 25t c1 − 5625t

15t

2 2

4

,

15t

4

Sω ( o) = −5625t . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

34

Ponieważ grubość ścianki jest stała, wartość Sω(0) można również obliczyć jako pole wykresu ω(c) odciętej myślowo części przekroju razy grubość ścianki 2t: 1 Sω ( 0 ) = −375 ⋅ t 2 ⋅15t ⋅ ⋅ 2t = −5625t 4 , 2 przy czym znak minus wynika z niezgodności zwrotów i oraz c. Ostateczny wykres funkcji Sω(c) przedstawia rys. 13.31c.

Rys. 13.31

Wycinkowy moment bezwładności Js wyraża wzór:

∫

∫

Jω = ω 2 dA = 2t ω 2 (c) dc, A

c

przy czym całkowanie dotyczy obu pasów. Ponieważ ω(c) jest funkcją liniową, więc można zastosować tutaj całkowanie graficzne (sposób Wiereszczagina): 1 2 Jω = 2t ⋅ 4 ⋅ ⋅ 375t 2 ⋅ 15t ⋅ ⋅ 375t 2 = 5 625 000t 6 . 2 3 b. Równanie różniczkowe kąta skręcania ψ(x) Równanie to jest identyczne z równaniem w przykładzie 1. Odmienne są warunki brzegowe: D1 + D4 = 0, ψ (0) = 0: D2 + ϑ D3 = 0, ψ '(0) = 0: B(l) = 0, czyli ψ ''(l) = 0: D3 sinh( ϑ l) + D4 cosh( ϑ l) = 0, M M ψ0 : D2 = . = ψ '''(l ) − ϑ 2 ⋅ ψ '(l ) = − l E1 Jω GJ s Rozwiązując ten układ otrzymujemy: D1 = − D4 = −

ψ0 tgh(ϑl ), (ϑl )

D2 =

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

ψ0 , l

D3 = −

ψ0 . (ϑl ) Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

35

c. Obliczenie bimomentu i momentu giętno-skrętnego  ψ ψ  B( x ) = E1 Jω ψ ' ' ( x ) = E1 Jω ϑ 2 − 0 sinh(ϑx ) + 0 tgh(ϑl ) cosh(ϑx )  = ( ) ( ) ϑ ϑ l l   sinh[ϑ (l − x )] , = M ⋅l (ϑl ) cosh(ϑl )

Mω ( x ) = − B '( x ) =

cosh[ϑ (l − x )] , cosh(ϑl )

ψ   ψ   ψ  Mv ( x ) = GJ sψ '( x ) = GJ s  0 + ϑ  − 0  cosh(ϑx ) + ϑ  − 0  tgh(ϑl ) ⋅ sinh(ϑx )  =  ϑl   ϑl   l  = M [1 − cosh(ϑx ) − tgh(ϑl ) sinh(ϑx ) ] = M − Mω ( x ).

Wykresy B(x), Mω (x) i Mv (x) podano na rys. 13.32.

Rys. 13.32

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

Przykład

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

36

3

Obliczyć ekstremalne naprężenia normalne i styczne w pręcie dwuteowym obciążonym na płaszczyznach czołowych dwoma podłużnymi siłami skupionymi przyłożonymi na krawędzi pasów (rys. 13.33). Parametry geometryczne przekroju przyjąć z przykładu 2.

Rys. 13.33

Rozwiązanie W postawionym zadaniu mamy do czynienia z czysto statycznymi warunkami brzegowymi. Standardowe siły wewnętrzne są następujące: N(x) = P = const, My (x) = 25 Pt = const,

Mz (x) = −15 Pt = const, M(x) = MS(x) = 0. 2

Ponadto znane są brzegowe wartości bimomentu: B0 = B(0) = B(l) = PωD = 375t P. Do określenia funkcji B(x) wykorzystamy równanie różniczkowe (13.50)1, w którym M 'S = mS = 0:

B ′′( x ) − ϑ 2 B ( x ) = 0 . Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

B( x ) = D1sinh(ϑx ) + D2 cosh(ϑx ) . W ykorzystanie warunków brzegowych prowadzi do zależności: B(0) = B0:

D2 = B0,

B(l) = B0:

D1·sinh( ϑ l) + B0·cosh( ϑ l) = B0, skąd

B [1 − cosh(ϑl ) ] . D1 = 0 sinh(ϑl )

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

37

Wobec tego sinh[ϑ (l − x )] + sinh(ϑx )   1 − cosh(ϑl ) B ( x ) = B0 cosh(ϑx ) + sinh(ϑx )  = B0 . sinh(ϑl ) sinh(ϑl )   Moment giętno-skrętny wyraża funkcja:

Mω ( x ) = − B '( x ) = B0 ⋅ ϑ

cosh[ϑ ( l − x )] − cosh(ϑx ) . sinh(ϑl )

Wykresy funkcji B(x) oraz Mω (x) i Mv (x) przedstawia rys. 13.34.

Rys. 13.34 Ponieważ MS (x) = Mv (x) + Mω (x) = 0, więc Mv (x) = −Mω (x). Największe naprężenia normalne występują w przekroju x = 0. Obliczymy je na podstawie wzoru (13.30):

σx =

My N Mz B P − ⋅y+ ⋅z + ⋅ω = 2 A Jz Jy Jω t

y z ω   1 ⋅ + + + .  170 600t 3417t 15000t 2 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

38

2

Dla punktu A mamy (y = 15t, z = −25t, ω = −375t ): P 1 1 1 1 P σ xA = 2  + − − =− .   t 170 40 137 40 706t 2 Dla punktów C, D i F otrzymujemy kolejno: P 1 1 1 1 P σ xC = 2  − − +  =− , t  170 40 137 40  706t 2 P 1 1 1 1 P + + + = σ xD = 2  , t  170 40 137 40  15,8t 2 P 1 1 1 1 P − + −  =− σ xF = 2  .   t 170 40 137 40 27,2t 2 Obliczymy jeszcze naprężenia styczne w przekroju x = 0. Największe naprężenia τv występują w pasach, bo tam jest największa grubość ścianki:

τ v max =

Mv P 1,206 Pt ⋅ 2t ⋅ 2t = = . Js 177t 4 73,4t 2

Największe wartości bezwzględne naprężeń τω występują również w pasach, gdzie |Sω| = max, czyli w punktach B i F:

M ⋅S 1,206 Pt ⋅ 5625t 4 P . τ ω max = ω ω = = 6 J ω ⋅ 2t 5625000t ⋅ 2t 1660t 2

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

Przykład

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

39

4

Obliczyć naprężenia w przekroju ceowym (por. rys. 13.35) dla dwóch przypadków ustawienia belki zobrazowanych na rys. 13.36a i 13.36b. Rozpiętość belki wynosi 2 m. Oba końce belki są podparte widełkowo

. Rys. 13.35

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

40

Rozwiązanie a. Parametry geometryczne przekroju (wymiary wg rys. 13.35) Pole:

2

A = 2 · 5 · 0,06+10 · 0,06 = 1,2 cm = 1,2 · 10

−4

2

m .

Położenie środka ciężkości: e=

0,6 ⋅ 2,5 = 1,25 cm = 1,25 ⋅ 10− 2 m. 1,2

Główne momenty bezwładności: 10 2 + 0,6 ⋅1 ⋅ 52 = 20 cm 4 = 20 ⋅10 −8 m 4 , 12 52 J z = 0,6 ⋅1,252 + 0,6 ⋅ + 0,6 ⋅1,252 = 31 , cm 4 = 31 , ⋅10 −8 m 4 12 J y = 0,6 ⋅

Moment bezwładności na skręcanie: 1 J s = ⋅ (10 + 2 ⋅ 5) ⋅ 0,063 = 0,00144 cm4 = 0,00144 ⋅ 10−8 m4 . 3 Przyjmujemy, że biegun pomocniczy R i punkt początkowy O pokrywają się i leżą w połowie wysokości środnika. Dla tak przyjętego układu wyznaczono pomocnicze współrzędne wycinkowe ω(R, 0) (rys. 13.35b). Wycinkowy moment odśrodkowy Jωy = 0. Moment wycinkowy Jωz wyznaczymy sposobem Wiereszczagina przez przemnożenie wykresów ω(R, 0) i z (rys. 13.35c): 1 Jωz = ωz dA = g ω (c) z(c) dc = − 0,06 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ ⋅ 25 = −37,5 cm5 = −37,5 ⋅ 10−10 m5. 2

∫

A

∫

C

Rys.13.36

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

41

Położenie środka ścinania określają współrzędne (yR = 1,25 cm, zR = 0): J 37,5 y S = y R − ωz = 1,25 + , cm = 312 , ⋅10 − 2 m, = 312 Jy 20

zS = z R +

J ωy Jz

= 0.

Rys. 13.37

Na rysunku 13.37a przedstawiono wykres głównych współrzędnych wycinkowych ω(S,G). Główny punkt początkowy pokrywa się z uprzednio przyjętym punktem O, co łatwo zauważyć, gdyż

∫ ω dA = Sω = 0. A

Wykres wycinkowego momentu statycznego Sω(c) podano na rys. 13.37b. Wykres ten składa się z parabol, a ekstremalne wartości osiąga w punktach zerowych. Wycinkowy moment bezwładności Jω obliczymy również metodą całkowania graficznego. W tym celu przemnożymy przez siebie wykres ω(S, G):

∫

∫

Jω = ω 2 dA = t ω ⋅ ω ⋅ dc = A

c

9,35 ⋅ 1,8 2 15,65 ⋅ 3,13 2   9,35 ⋅ 5 2 = 2 ⋅ 0,06 ⋅  ⋅ ⋅ 9,35 + ⋅ ⋅ 9,35 + ⋅ ⋅ 15,65 = 3 2 3 2 3   2 = 0,12 ⋅ (145,7 + 54,5 + 255,5) = 54,7 cm6 = 54,7 ⋅ 10−12 m6 . Współczynnik

ϑl = l ⋅

GJ s (1 − ν ) J s (1 − 0,25) ⋅ 0,00144 ⋅10 −8 =l = 2⋅ = 0,63. 2 ⋅ Jω E1 J ω 1⋅ 54,7 ⋅10 −12

b. Obliczenie sił wewnętrznych Obciążenie q jest przyłożone w połowie szerokości półki b. Z rysunku 13.35 odczytujemy: qy = q ⋅ sinα = 0,13 kN/m, qz = q · cosα = 0,48 kN/m. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

42

Poza tym występuje równomiernie rozłożony zewnętrzny moment skręcający względem bieguna głównego (środka ścinania): − w przypadku a: 0,1 h b   0,05  − 0,0125 + 0,0312 = mS = q y ⋅ + qz  − e + yS  = 0,13 ⋅ + 0,43     2 2 2 2 = 0,0065 + 0,021 = 0,0275 kN ⋅ m / m. − w przypadku b: h b  mS = q y ⋅ − qz  − e + yS  = 0,0065 − 0,021 = −0,0145 kN ⋅ m / m.   2 2 Funkcje B(x) i Mω(x) obliczymy po rozwiązaniu równania różniczkowego (13.49) na kąt skręcenia ψ(x). Gdy współczynnik ϑl jest dostatecznie mały, równanie to, można znacznie uprościć, przyjmując, że GJ = 0. Mnożnik GJs pomija się, jeżeli (por. Bielajew, [3]): − dla dwustronnego podparcia widełkowego (ψ = ψ '' = 0), ϑl < 0,75, ϑl < 1,50, − dla obustronnego pełnego utwierdzenia (ψ = ψ ' = 0), − dla jednego końca swobodnego, a drugiego w pełni utwierdzonego ϑl < 0,50. W naszym zadaniu ϑl = 0,63 < 0,75. Przyjmujemy zatem uproszczoną postać równania (13.50)2:

E1 Jω ψ IV = mS ( x ). Całkowanie tego równania jest bardzo proste i przebiega identycznie jak całkowanie równania różniczkowego linii ugięcia: IV

EJ w

= q(x).

Warunki brzegowe w naszym zadaniu (ψ(0) = ψ(l) = 0, ψ ''(0) = ψ ''(l) = 0) odpowiadają warunkom dla belki swobodnie podpartej: w(0) = w(l) = 0, oraz w''(0) = w''(l) = 0. Dzięki tej analogii możemy sporządzić wykresy B(x), Mω(x) oraz ψ(x) bez dodatkowych obliczeń (por. rys. 13.36e). c. Obliczenie naprężeń Największe naprężenia normalne występują w połowie rozpiętości:

σx = − przy czym

My Mz B ⋅y+ ⋅z + ⋅ω , Jz Jy Jω

M z (l / 2 ) = −0,65 kN ⋅ m, M y (l / 2) = 0,24 kN ⋅ m.

W przypadku a: 2 0,0275 ⋅ 2 2  l  m ⋅l = = 0,0138 kN ⋅ m2 . B  = S  2 8 8

W przypadku b: 2

0,0145 ⋅ 2  l = −0,0073 kN ⋅ m2 . B  = −  2 8 Obliczymy naprężenia normalne w punktach A, B, C i D. Przypadek a

σx =

0,065

0,24

0,0138

⋅ω = 3,1 ⋅ 10 20 ⋅ 10 54,7 ⋅ 10−12 = 2097000 y + 1200000 z + 252300000 ω . −8

⋅y+

−8

⋅z +

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

43

2

Punkt A

(y = 0,0375 m, z = − 0,05 m, ω = − 0,001565 m ): 2 σx = 78640 − 60000 − 394830 = − 376200 kN/ m .

Punkt B

(y = − 0,0125 m, z = −€0,05 m, ω = − 0,000935 m ): 2 σx = − 26210 − 60000 + 235620 = 149410 kN/ m .

Punkt C

(y = 0,0375 m, z = 0,05 m, ω = 0,001565 m ): σx = 78640 + 60000 + 394830 = 533470 kN/m2.

Punkt D

(y = − 0,0125 m, z = 0,05 m, ω = − 0,000935 m ): 2 σx = − 26210 + 60000 − 235620 = 331640 kN/ m .

2

2

2

Przypadek b

σx = 2097000·y + 1200000·z − 133455000·ω. 2

Punkt A

(y = − 0,0375 m, z = − 0,05 m, ω = 0,001565 m ): 2 σx = − 78640 − 60000 − 208860 = − 347500 kN/ m .

Punkt B

(y = 0,0125 m, z = − 0,05 m, ω = − 0,000935 m ): σx = 26210 − 60000 + 124780 = 90990 kN/m2.

Punkt C

(y = − 0,0375 m, z = 0,05 m, ω = − 0,001565 m ): 2 σx = − 78640 + 60000 − 208860 = − 227500 kN/ m .

Punkt D

(y = 0,0125 m, z = 0,05 m, ω = 0,000935 m ): 2 σx = 26210 + 60000 − 124780 = − 38570 kN/ m .

2

2

2

Porównanie naprężeń w obu przypadkach jest bardzo pouczające. Stwierdzamy, że odpowiednie ustawienie belki ceowej daje dużą redukcję naprężeń. Najlepiej byłoby tak przyłożyć obciążenie zewnętrzne, by wypadkowa sił obciążających przechodziła przez środek ścinania. Wówczas mS = 0, B = 0, Mω = 0, a wszystkie dodatkowe naprężenia charakterystyczne dla pręta cienkościennego są równe zeru.

Rys. 13.38 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

44

Obliczenie naprężeń stycznych τv pominiemy, gdyż założyliśmy, że GJs = 0. Poprzestaniemy jedynie na analizie naprężeń τω dla przypadku b. Stosownie do wzoru (13.43), w którym jest uwzględniona zależność (13.36)2, mamy:

τω = −

Q y ⋅ S z ( c) J z ⋅ g ( c)

−

Qz ⋅ S y (c) J y ⋅ g ( c)

+

Mω ⋅ Sω (c) . Jω ⋅ g (c)

Z wykresów sił Qy, Qz i momentu Mω wynika, że ekstremalne naprężenia występują w przekrojach podporowych. Rozkład naprężeń stycznych będących składnikami wzoru na τω ilustruje rys. 13.38. Jak widać, znalezienie ekstremalnych naprężeń stycznych τω jest dość skomplikowane. Dla orientacji obliczymy tylko największe wartości poszczególnych składników: 0,13 ⋅ 0,422 ⋅ 10−6

( )

max τ ω Qy =

3,1 ⋅ 10

max τ ω (Qz ) = max τ ω (Mω ) =

−8

⋅ 0,006

0,48 ⋅ 2,25 ⋅ 10−6 20 ⋅ 10

−8

⋅ 0,006

= 296 kN / m2 , = 900 kN / m2 ,

0,0145 ⋅ 2 ⋅ 1,47 ⋅ 10−8 2 ⋅ 54,7 ⋅ 10

−12

⋅ 0,006

= 650 kN / m2 .

Obliczone wartości są bardzo małe. Dlatego wyznaczanie naprężeń stycznych zazwyczaj pomijamy.

13.3. PRĘTY SILNIE ZAKRZYWIONE 13.3.1. Definicje Prętem zakrzywionym nazywamy pręt, którego oś jest krzywą płaską lub przestrzenną. Pręty zakrzywione dzielimy na słabo i silnie zakrzywione. Rozgraniczenie to wynika stąd, że rozkład odkształceń w obrębie przekroju prętów silnie zakrzywionych odbiega w istotny sposób od rozkładu liniowego przyjmowanego w prętach prostych i słabo zakrzywionych. Miarą zakrzywienia jest stosunek h/r, gdzie h oznacza wymiar poprzeczny pręta, a r początkowy promień krzywizny pręta nieodkształconego.

Rys. 13.39 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

45

Rozważania tego rozkładu ograniczymy do prętów silnie zakrzywionych o osi płaskiej. Założymy, że materiał prętów jest liniowo-sprężysty, a ich przekroje są stałe. Przyjmiemy ponadto, że płaszczyzna wyznaczona przez oś pręta pokrywa się z płaszczyzną symetrii przekroju pręta i płaszczyzną obciążenia poprzecznego (por. rys. 13.39). 13.3.2. Zależności kinematyczne Rozwiązania ścisłe teorii sprężystości dla zginania prętów o przekroju prostokątnym oraz wyniki doświadczeń wskazują na to, że również dla silnego zakrzywienia osi pręta obowiązuje zasada płaskich przekrojów. Wykorzystanie tej zasady przy założeniu małych odkształceń pozwala na znalezienie przybliżonego rozkładu odkształceń εs(z).

Rys. 13.40

Rozważmy deformację elementu pręta EFHG odciętego dwoma, nieskończenie blisko poprowadzonymi przekrojami o odciętych ϕ i ϕ + dϕ (rys. 13.40). Po odkształceniu punkty F, B, C oraz H zajmują odpowiednio położenia f, b, c oraz h. Stosownie do hipotezy Bernoulliego, rozkład przyrostów przemieszczeń tych punktów dus(z) jest liniowy. Punkty f, b, c, h leżą zatem na linii prostej, obrazującej aktualne położenie przekroju. Jeżeli przez ∆dϕ oznaczymy kąt między pierwotnym a aktualnym położeniem przekroju, to przemieszczenia dus(z) włókna leżącego w odległości z od osi pręta określa zależność: dus(z) = dus(0) + z∆dϕ,

(13.53)

gdzie dus(0) oznacza przemieszczenie punktu leżącego na osi ciężkości przekroju. Odkształcenie liniowe εs(z) obliczamy jako stosunek przyrostu dus(z) do pierwotnej długości włókna ds(z) = (r+z) dϕ :

ε s ( z) =

dus ( z ) dus ( 0) + z∆dϕ 1  r dus ( 0) r ∆dϕ  = = +z  . ds( z ) ( r + z ) dϕ r + z  r dϕ r dϕ 

Mianownik pierwszego składnika nawiasu kwadratowego jest równy pierwotnej długości osi pręta ds(0) = r · dϕ. Stosunek dus(0)/ds(0) oznacza zatem wydłużenie względem tej osi εs(0) = λ. W drugim składniku wielkość ∆dϕ /rdϕ oznaczymy przez η. Wielkość ta jest względnym przyrostem kąta obrotu przekroju na jednostkę długości osi: ds(0) = r · dϕ. Wobec tego

ε s ( z) =

r+z z z ⋅r z 1 r λ + z r η) = . λ− λ+ η = λ + (r η − λ ) ( r+z r+z r+z r+z r+z

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

46

Rozważymy jeszcze zmianę krzywizny osi pręta 1 1 − , ra r gdzie 1/ ra jest krzywizną aktualną, a 1 / r − krzywizną pierwotną osi pręta. Umawiamy się, że dodatnia zmiana krzywizny odpowiada powiększeniu krzywizny pierwotnej. Aktualny promień krzywizny określimy na podstawie rys. 13.40: k=

ra =

ds(0) + dus (0) ds(0) (1 + λ ) 1+ λ . = =r dϕ + ∆dϕ dϕ (1 + rη) 1 + rη

Wobec powyższego k=

1 1+ η r 1 1 r η − λ . ⋅ − = ⋅ r 1+ λ r r 1+ λ

Ponieważ rozważamy małe odkształcenia, więc 1+λ ≈ 1, skąd k= gdzie

η=

rη−λ , r

∆dϕ ∆dϕ = ds( 0) rdϕ

i

(13.54)

λ = ε s (0).

Po uwzględnieniu zależności (13.54) we wzorze na εs(z) otrzymujemy ostatecznie

εs (z) = λ + k ⋅

r⋅z . r+z

(13.55)

Uzyskana wyżej zależność dowodzi, że rozkład odkształceń na wysokości przekroju jest nieliniowy (hiperboliczny). Jeśli z/r jest małe w porównaniu z jednością, to

ε s ( z) = λ + k

z ≈ λ + z ⋅k, 1 + (z / r)

co pokrywa się ze wzorem na εx(z) w pręcie prostym.

13.3.3. Wyznaczanie naprężeń Poprzestaniemy jedynie na obliczeniu naprężeń normalnych σs(z), odpowiadających odkształceniu εs(z). Dla naprężeń stycznych τsz i τsy przyjmiemy, że wystarczająco dokładne są znane wzory dla pręta o osi prostoliniowej. W odniesieniu do pozostałych naprężeń normalnych σz i σy założymy na razie, że są one równe zeru, a poszukiwane naprężenia σs obliczymy z równania fizycznego:

σ s ( z ) = Eε s ( z ) = Eλ + Ek

r⋅z . r+z

(13.56)

Definicje sił wewnętrznych N i M mają postać:

∫

N = σ s dA

i

∫

M = M y = σ s z dA.

A

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

A

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

47

Obliczymy najpierw moment zginający: rz  r z2  M = E λ + k dA.  z dA = Eλ z dA + Ek  r + z r+z

∫

∫

A

∫

A

A

Pierwsza całka przedstawia moment statyczny całego przekroju względem osi środkowej Sy; jest więc równa zeru. Druga całka jest zmodyfikowanym momentem bezwładności przekroju względem osi y. Moment ten oznaczymy przez J *y lub krócej przez J*: J *y = J * = r

∫

A

z2 dA. r+z

(13.57)

Jeżeli z/r jest małe w stosunku do jedności, to J *y ≈ Jy. Po uwzględnieniu wzoru (13.57) otrzymujemy zależność między momentem zginającym a zmianą krzywizny k : M = EJ*k .

(13.58)

Obliczymy teraz siłę normalną N: rz   N = σ s dA = E  λ + k  dA = EAλ + Ek  r + z

∫

A

∫

A

∫

A

z(r + z − z ) dA = r+z

  1 r z2  = EAλ + Ek z dA − dA.  r r+z  A A 

∫

∫

Pierwsza całka równa się zeru, natomiast druga wynosi J *y / r , skąd N = EAλ − EJ *y

k . r

(13.59)

Ze wzorów (13.58) i (13.59) obliczymy zmianę krzywizny k oraz wydłużenie λ: k=

My EJ *y

,

λ=

My N , + EA r EA

(13.60)

co po podstawieniu do zależności (13.56) daje wzór na naprężenia normalne:

σs(z) =

N My My r z . + + A rA J *y r + z

(13.61)

Wykres naprężeń σs(z) przedstawia rys. 13.41.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

48

Z zależności (13.60) widać, że przy czystym zginaniu (M = const, N = 0) obok zmiany krzywizny k występuje również wydłużenie osi pręta λ = M / (rEA). Towarzyszy temu przesunięcie osi obojętnej w kierunku środka krzywizny pręta oraz pojawienie się naprężeń normalnych w środku ciężkości σ s (0) = M / (rA). Zjawiska te są charakterystyczne dla prętów silnie zakrzywionych. Trzeba dodać, że hiperboliczny rozkład naprężeń σs(z) daje wyniki tylko nieznacznie różniące się od wartości ścisłych.

Rys. 13.41

Powróćmy jeszcze do promieniowych naprężeń normalnych σz. Z rysunku 13.42a wnioskujemy, że równowaga zakrzywionych elementów leżących we włóknach ściskanych i rozciąganych wymaga pojawienia się naprężeń σz(z). Jeżeli moment zginający jest dodatni, tak jak na rys. 13.42, to naprężenia promieniowe są zawsze ujemne (ściskające). Rozkład tych naprężeń na wysokości przekroju ilustruje rys. 13.42b. Największa bezwzględna wartość σz wypada w pobliżu osi obojętnej. Przykładowo, w przekroju prostokątnym dla r/h = 0,4σz min = 0,05σs min, a dla r/h = 1 naprężenie σz min = 0,19σs min (por. Timoshenko, Goodier [49], str. 72).

Rys. 13.42

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

49

13.3.4. Zależności energetyczne W prętach silnie zakrzywionych ścisłe wyrażenie energii przez siły wewnętrzne i wielkości kinematyczne natrafia na pewne trudności (por. np. Huber [17], cz. III). Przekonamy się o tym, rozpisując całkę: 

σ zr

rz 

∫ σ sε s dA = ∫ σ s  λ + k r + z  dA = λ ∫ σ s dA + k ∫ r s+ z dA. A

A

A

A

Pierwsza całka przedstawia siłę normalną N, natomiast druga nie ma odpowiednika w znanych definicjach sił wewnętrznych. Możemy jednak odwołać się do poznanych już wcześniej faktów. Wiemy, że siła normalna N wykonuje pracę na przyroście wydłużenia osi dus(0) = λds, a moment zginający M na przyroście kąta obrotu przekroju ∆dϕ = ηds. Wobec tego można przyjąć, że    σ s ⋅ ε s  dA ds = (Nλ + Mη )ds,   S A S 

∫∫

∫

gdzie stosownie do wzoru (13.54):

η=k +

(13.62)

λ . r

Zależność (13.62) jest słuszna dla dowolnego materiału. W przypadku pręta liniowo-sprężystego możemy zbudować funkcje energii sprężystej właściwej Wσ(N, M) i Wε(λ,η) wykazujące własności potencjału. Funkcje te pozwalają określić energie całkowite Uσ oraz Uε :

∫

Uσ = Wσ ( N , M ) ds, s

∫

U ε = Wε ( λ , η ) ds. s

      

(13.63)

Jeśli w równaniach (13.62) uwzględnimy, że

λ=

1  N M  +  E  A rA 

oraz

η=k+

M  λ 1 M N = ⋅ + + , r E  J * Ar Ar 2 

to otrzymamy: Wσ ( N , M ) =

1 1 σ s ⋅ ε s (σ s )dA = ⋅ [N ⋅ λ ( N , M ) + M ⋅ η( N , M )] = 2 2

∫

A

=

N N M M  M N M  + + 2 .  + +     2 E A rA 2 E J * Ar Ar 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

50

Po uporządkowaniu Wσ ( N , M ) =

2

1  N 2 NM M2 M2 M M2 + + + = N+  + > 0.  2EA EAr 2EAr 2 2EJ * 2EA  2EJ * r

(13.64)

Nietrudno sprawdzić, że istotnie funkcja Wσ(N, M) jest potencjałem dla wielkości kinematycznych λ i η:

∂Wσ N M = + = λ, EA EAr ∂N ∂Wσ M M N = + + = η. 2 EJ * EAr EAr ∂M Podobnie znajdziemy funkcję Wε(λ,η): Wε ( λ , η ) =

1 [ N ( λ , η ) ⋅ λ + M ( λ , η ) ⋅ η] = 2 1  1 EJ *  = ⋅  EAλ − ⋅ k ( λ , η ) ⋅ λ + EJ * ⋅k ( λ , η ) ⋅ η = 2  2 r  =

1  1 EJ *  λ λ  ⋅  EAλ −  η −   ⋅ λ + EJ *  η −  ⋅ η.  2  2 r  r  r

Po uporządkowaniu otrzymujemy ostatecznie Wε ( λ , η ) =

1 1 λ  EAλ2 + EJ *  η −   2 2 r

2

> 0.

(13.65)

Zbadamy jeszcze, czy funkcja Wε jest potencjałem dla sił wewnętrznych N i M:

∂Wε λ 1 k  = EAλ − EJ * ⋅ η −  ⋅ = EAλ − EJ * = N ,   r r r ∂λ ∂Wε λ  = EJ *  η −  = EJ * ⋅k = M .  r ∂η Zwracamy uwagę na to, że obie funkcje energii Wσ i Wε są zawsze dodatnie. Spełniają więc wymagania stawiane funkcjom wyrażającym energię sprężystą właściwą. Rolę uogólnionych naprężeń odgrywają tu siły wewnętrzne N i M, a rolę uogólnionych odkształceń wielkości kinematyczne λ i η. W przypadku uwzględnienia wpływu sił poprzecznych w równaniach (13.62), (13.64) i (13.65) pojawią się dodatkowe człony omówione w rozdziale 4:    σ ij εij dA ds = ( Nλ + Mη + Qβ ) ds,   s A s 

∫∫

Wσ ( N , M , Q ) =

∫

N 2 NM M2 M2 Q2 + + + + , 2 EA EAr 2 EAr 2 2 EJ * 2( GA / k )

(13.66)

(13.67)

2

λ 1 1 1  Wε ( λ , η , β ) = EAλ2 + EJ *  η −  + (GA / k ) β 2 ,   2 2 r 2

(13.68)

gdzie Q jest siłą poprzeczną, G − modułem ścinania, a β − średnim kątem odkształcenia postaciowego. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

51

13.3.5. Przykład

Obliczyć naprężenia normalne w przekroju I−I sprężystego pręta silnie zakrzywionego. Przekrój pręta jest prostokątem o szerokości b i wysokości h, a oś pręta jest łukiem kołowym o promieniu r (rys. 13.43a). Siły wewnętrzne w przekroju I−I: N = P,

M = −P · r (1− cosϕ0),

0° ≤ ϕ0 ≤ 90°.

Naprężenia styczne są równe zeru, a naprężenia normalne σs(z) obliczamy ze wzoru:

σ s ( z) =

P Pr (1 − cosϕ 0 ) Pr (1 − cosϕ 0 )r z P Pr 2 (1 − cosϕ 0 ) − − = ⋅ cosϕ 0 − ⋅ z. A Ar J * ⋅(r + z ) A J * ⋅(r + z )

Pole przekroju A wynosi bh, a zmodyfikowany moment bezwładności J* określa całka:

J* =

∫

A

r ⋅ z2 dA = rb r+z

h/2

∫

−h/2

  z 2 dz 2r + h = br 2 ⋅  r ⋅ ln − h .   r+z 2r − h

Wartości J* dla dowolnych kształtów przekroju wyznacza się najczęściej w sposób przybliżony, przez rozwinięcie wyrażenia podcałkowego w szereg potęgowy:

(a)

J* =

 z  z2  z3  r ⋅ z2 z2 dA = dA = z 2 ⋅ 1 − +   −   + ... dA. z  r r+z  r  r   A A1+ A r

∫

∫

∫

Dla przekroju prostokątnego uzyskujemy wyrażenie:

h/2

J* = b

∫

−h/2

(b )

=

 2 z4  z6 z +  dz = ... + +   r2 r4  

2 4 6  bh 3  3  h 3  h 1  h + + ⋅ 1 +       + ... = J µ ( χ ) 12  20  r  112  r  192  r   

gdzie χ = h/r.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

52

Rys. 13.43

Zbieżność tego szeregu jest tym szybsza, im mniejsza jest wartość stosunku h/r. Na przykład dla h/r =1 cztery wyrazy szeregu dają wartość J* = 1,182 wobec wartości dokładnej J* = 1,183, natomiast dla h/r = 0,25 uwzględnienie tylko dwóch wyrazów prowadzi do wyniku J* = 1,0094, podczas gdy wartość dokładna J* = 1,0095. Poza tym wyraźnie widać, że dla χ → 0, J* → J. Naprężenia normalne we włóknach skrajnych

(c)

12(1 − cos ϕ 0 ) 1   h P  ⋅ , σ s  ±  = ⋅ cos ϕ 0 m  2 A  (2 ± χ )  χ ⋅ µ( χ )

gdzie

µ( χ ) = 1 +

3 2 3 4 χ + χ . 20 112

Przy założeniu liniowego rozkładu naprężeń ekstremalne naprężenia normalne określa zależność:

(d)

 h  N M P  6(1 − cosϕ 0 )  σs±  = m = ⋅ 1 m .  2 A W A  χ 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA

53

Szczegółowe obliczenia przeprowadzono dla χ = h/r = 0,5, ϕ0 = 60°, µ(χ) = 1,039. Naprężenia normalne obliczone według wzoru (c):

σ s min =

P  P 12(1 − 0,5) 1  ⋅ ⋅ 0,5 − = −4,12 ⋅ ,  A  A 0,5 ⋅1,039 2 + 0,5 

σ s max =

P  P 12(1 − 0,5) 1  ⋅ ⋅ 0,5 − = 8,20 ⋅ ,  A  A 0,5 ⋅1,039 2 − 0,5 

a naprężenia obliczone według wzoru (d) przy założeniu rozkładu liniowego:

σ s min =

P  6(1 − 0,5)  P ⋅ 1 − = −5 ,  A  0,5  A

σ s max =

P  6(1 − 0,5)  P ⋅ 1 + = 7 .  A  A 0,5 

Wykresy naprężeń normalnych obliczonych dla rozkładu hiperbolicznego i liniowego podano na rys. 13.43b. Wartości dokładne różnią się o około 17% od wartości przybliżonych. Dla h/r = 0,05 różnice te sięgają tylko 2,5%. Wydłużenie λ, przyrost krzywizny k i odległość osi obojętnej od środka ciężkości przekroju z0 wynoszą: 1 N M P ⋅ + ,  = 0,5 E  A Ar  EA P M 12 Pr , k= =− = −42,2 2 EAr EJ * EAh µ ( χ ) 0,5 ⋅ r λ ⋅r =− = 0,012r = 0,024h. z0 = − 0,5 − 42,2 λ +r k

λ=

Interesujące jest, że w omawianym zadaniu dla ϕ0 = 90° oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju, gdyż N M P P⋅r − = − = 0. A Ar A Ar

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

1

Í Ï Î PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI Wiadomości ogólne • Klasyfikacja elementów konstrukcji

Pręt to bryła geometryczna wypełniona materiałem, której jeden wymiar (długość) jest zdecydowanie większy od dwóch pozostałych. Linia łącząca środki ciężkości przekrojów pręta nazywa się osią pręta. Przekrój pręta może być stały lub zmienny. Pręt prostoliniowy o stałym przekroju nazywa się prętem pryzmatycznym. Powłoka to bryła geometryczna wypełniona materiałem, której jeden wymiar (grubość) jest zdecydowanie mniejszy od dwóch pozostałych. Powłoka jest utworzona przez dwie powierzchnie Sg i Sd ograniczone walcową powierzchnią brzegową C. Grubość powłoki jest równa odległości powierzchni Sg i Sd, zaś symetralna tych powierzchni nazywa się powierzchnią środkową. Blok to bryła geometryczna wypełniona materiałem, której trzy wymiary są tego samego rzędu. Jeżeli wymiary bloku są nieskończenie duże, to otrzymujemy pewną przestrzeń fizyczną wypełnioną materią. Półprzestrzeń to bryła o wymiarach nieskończenie dużych ograniczona powierzchnią lub płaszczyzną. • Zasada de Saint Venanta

Jeżeli dany układ sił działających na niewielki obszar ciała będącego w równowadze zastąpimy innym układem sił statycznie równoważnym i działającym bezpośrednio na ten obszar, to w odległości większej od jego wymiarów powstają jednakowe stany naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia. Zasada de Saint-Venanta wynika z przesłanek intuicyjnych i jest potwierdzona wieloma doświadczeniami. Obliczenia obszaru zaburzeń (np. strefa zakotwienia kabli w konstrukcjach wstępnie sprężonych, punkty podparcia belek) traktuje się zazwyczaj jako oddzielne zadanie. • Siły wewnętrzne

Pręt będący w równowadze przecinamy myślowo płaszczyzną prostopadłą do osi pręta. Na płaszczyźnie przekroju wystąpią rozłożone w sposób ciągły wektory naprężenia, które zastępujemy wypadkową siłą i wypadkowym momentem w środku ciężkości przekroju. Jeśli znamy wszystkie zewnętrzne siły czynne i bierne, to siły z sześciu równań równowagi ułożonych dla jednej z odciętych części pręta wyznaczamy sześć współrzędnych wektorów siły i momentu: siłę normalną N i dwie siły poprzeczne Qy, Qz oraz moment skręcający M i dwa momenty zginające My, Mz. Współrzędne te nazywamy siłami wewnętrznymi (przekrojowymi) lub uogólnionymi naprężeniami. Definicje sił wewnętrznych:

∫

N = σ11dA, A

M = ∫ (σ13 x2 − σ12 x3 )dA, A

∫

M y = M 2 = σ 11x3dA,

∫

M z = M 3 = − σ 11x2 dA.

Qy = Q2 = σ 12 dA,

∫

A

Qz = Q3 = σ 13dA,

A

A

∫

A

• Zakres obliczeń konstrukcji. Projekty dopuszczalne Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

2

Głównym celem obliczeń konstrukcji jest wyznaczenie w każdym punkcie współrzędnych tensora naprężenia, tensora odkształcenia i wektora przemieszczenia. Każda poprawnie zaprojektowana konstrukcja musi spełniać warunki wytrzymałościowe i warunki sztywnościowe. W najprostszym ujęciu projektowania metodą naprężeń dopuszczalnych warunki te zazwyczaj zapisuje się następująco: − warunek wytrzymałościowy: σred (x1, x2, x3) ≤ σdop, u( x1 , x2 , x3 ) ≤ udop. − warunek sztywnościowy: Ostatecznym efektem obliczeń konstrukcji jest podanie takich wymiarów elementów (przekrojów prętów, grubości płyt, ilości zbrojenia itp.), które gwarantują bezpieczne przeniesienie obciążeń zewnętrznych. Proces obierania wymiarów konstrukcji nazywa się wymiarowaniem. W zakres obliczeń konstrukcji wchodzą następujące czynności: 1) wyznaczenie sił wewnętrznych, 2) obliczenie naprężeń na podstawie znanych już sił wewnętrznych, 3) obliczenie odkształceń ze związków fizycznych, 4) obliczenie przemieszczeń ze związków geometrycznych, 5) sprawdzenie warunków wytrzymałościowych i sztywnościowych orazewentualna korekta wymiarów. • Koncentracja naprężeń

Koncentracja naprężeń występuje w miejscach nagłych zmian przekroju. Jest ona szczególnie groźna dla materiałów kruchych lub obciążonych dynamicznie materiałów ciągliwych. Gdy materiał jest ciągliwy, to przy statycznym obciążeniu następuje wyrównywanie naprężeń, a zniszczeniu towarzyszą widoczne deformacje. Przekroje osłabione wcięciami (otworami) mają mniejszą zdolność do przenoszenia obciążeń, a o nośności pręta decyduje najmniejszy przekrój. Złagodzenie efektu koncentracji uzyskuje się wówczas, gdy zmiana przekroju przebiega w sposób płynny, a zaokrąglenia mają możliwie duży promień krzywizny. Ogólnie biorąc, koncentracji naprężeń można się spodziewać tam, gdzie zbiór punktów tworzących ciało jest niewypukły. Do takich przypadków oprócz otworów lub wcięć zaliczamy również miejsca przyłożenia obciążeń skupionych. Wynika to stąd, że obciążenia skupione przekazywane są na niewielkich obszarach przez inne części konstrukcji (lub narzędzia), tworzące łącznie z daną konstrukcją zbiory niewypukłe. Zestawienie równań mechaniki elementów prętowych

Pomiędzy równaniami mechaniki ośrodka ciągłego a równaniami mechaniki elementów prętowych występuje wyraźne pokrewieństwo. Istotna różnica polega na tym, że równania mechaniki ośrodka ciągłego dotyczą punktu, a równania mechaniki elementów prętowych dotyczą przekroju. Okazuje się, że dzięki wprowadzeniu pojęć uogólnionych naprężeń i odkształceń możemy zbudować analogony równań równowagi, równań geometrycznych i fizycznych, z których wynikają podstawowe metody obliczania układów prętowych. Ograniczymy do pryzmatycznych prętów sprężystych o przekrojach zwartych (tzn. niecienkościennych) Uogólnionymi naprężeniami w takich przypadkach są: siła normalna, siły poprzeczne, momenty zginające i moment skręcający. Uogólnione odkształcenia muszą być zgodne z uogólnionymi naprężeniami w sensie energetycznym. Chodzi mianowicie o to, by praca naprężeń na odkształceniach, scałkowana względem objętości pręta V była równa pracy uogólnionego naprężenia na stosownie obranym uogólnionym odkształceniu, scałkowanej po długości pręta l, tzn., by: (a)

∫ σ ij ε ij dV = ∫ Y e dl ,

V

l

gdzie Y i e oznaczają odpowiednio uogólnione naprężenie i stowarzyszone z nim uogólnione odkształcenie. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

3

W celu zilustrowania pokrewieństwa równań teorii ośrodka ciągłego i teorii elementów prętowych przyjmiemy, że pionowa oś przekroju pręta pokrywa się z główną osią bezwładności, a przekrój jest poddany działaniu siły normalnej N, siły poprzecznej Q = Qz, momentu zginającego M = My oraz momentu skręcającego M = Mx. Z powyższymi uogólnionymi naprężeniami są stowarzyszone odpowiednio następujące uogólnione odkształcenia: wydłużenie osi pręta λ, kąt ścinania β, krzywizna osi odkształconej k oraz jednostkowy kąt skręcenia θ. Odkształcenia te będą związane będą z uogólnionymi przemieszczeniami przekroju pręta za pośrednictwem stosownych związków geometrycznych. Budowa związków fizycznych we wszystkich przypadkach ma postać odpowiadającą prawu Hooke'a, w którym miejsce modułu Younga zajmują odpowiednie sztywności przekroju, wg schematu: odkształcenie uogólnione= naprężenie uogólnione/sztywność przekroju. Przy omawianiu efektów poszczególnych naprężeń uogólnionych sprecyzujemy najpierw hipotezę kinematyczną (w przypadku siły poprzecznej − równania różniczkowe równowagi dla ośrodka ciągłego). Następnie podamy konkretną postać zależności całkowej (a) oraz równania: równowagi, geometryczne i fizyczne, mające podstawowe znaczenie w teorii elementów prętowych. Uzupełnimy je wzorami na obliczanie naprężeń w poszczególnych punktach przekroju na podstawie znanych naprężeń uogólnionych. Na zakończenie sformułujemy analogony równań różniczkowych Naviera (5.17) oraz analogony równań (5.19), odnoszących się do teorii ciągłego ośrodka sprężystego. • Działanie siły normalnej

qx(x) N(0)

N(l)

x, u

l

N

qx

x

dx

N + dN

Oznaczenia (definicje): N − naprężenie uogólnione (siła normalna) λ − odkształcenie uogólnione (odkształcenie liniowe osi pręta) q x − obciążenie styczne u −€uogólnione przemieszczenie (wydłużenie osi pręta) EA − sztywność przekroju (moduł Younga × pole przekroju) 1. Podstawowe założenie − hipoteza płaskich przekrojów:

ε x ( x , y , z ) = ε x ( x ,0,0) = λ ( x ) 2. Zależność całkowa:

∫ σijεij dV = ∫ Nλdx

V

l

----------------------------------------------------------------------------------------------------dN 3. Równanie różniczkowe równowagi: + qx ( x) = 0 dx du 4. Równanie geometryczne: λ= dx N 5. Równanie fizyczne: λ= EA -----------------------------------------------------------------------------------------------------6. Obliczanie naprężeń:

σx =

N A

7. Równanie różniczkowe wydłużenia Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

a) postać ogólna:

d  du   EA  + q x ( x ) = 0  dx dx 

b) pręt jednorodny i pryzmatyczny:

EA

c) przy znanej funkcji siły normalnej:

du N ( x ) = dx EA

d 2u dx 2

4

+ q x ( x) = 0

• Działanie momentu zginającego

qz(x)

M(0)

l qz

Q(0) M x

Q

dx

M(l)

x

Q(l) M+dM Q+dQ

z,w Oznaczenia (definicje) M − naprężenie uogólnione (moment zginający) k − odkształcenie uogólnione (krzywizna odkształconej osi pręta) qz − obciążenie poprzeczne w = w M − uogólnione przemieszczenie (ugięcie pręta od momentu zginającego) EJ − sztywność przekroju (moduł Younga × moment bezwładności) 1. Podstawowe założenie − hipoteza płaskich przekrojów Bernoulliego:

ε x ( x, y, z) = ε x ( x, z) = k ( x) ⋅ z 2. Zależność całkowa:

∫ σ ij ε ij dV = ∫ Mk dx

V

l

----------------------------------------------------------------------------------------------------3. Równanie równowagi: 4. Równanie geometryczne:

d2M dx 2 k=−

+ qz ( x ) = 0 d 2w

dx 2 M 5. Równanie fizyczne: k= EJ -----------------------------------------------------------------------------------------------------M z 6. Obliczanie naprężeń: σx = J 7. Równanie różniczkowe linii ugięcia pochodzącego od momentu zginającego d2  d 2w  − qz ( x ) = 0  EJ a) postać ogólna:   dx 2  dx 2  b) pręt jednorodny i pryzmatyczny: c) przy znanej funkcji momentu zginającego:

EJ

d 4w dx 4

d 2w dx 2

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

− qz ( x ) = 0

=−

M(x) EJ Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

5

• Działanie siły poprzecznej qz(x)

M(0)

l qz

Q(0) M x

Q

dx

M(l)

x

Q(l) M+dM Q+dQ

z,w

Oznaczenia (definicje) Q − naprężenie uogólnione (siła poprzeczna) − odkształcenie uogólnione (kąt ścinania) β qz − obciążenie (poprzeczne) w = wQ − uogólnione przemieszczenie (ugięcie belki od ścinania) GA/k

− sztywność ścinania przekroju (moduł Kirchhoffa × pole przekroju/k)

1. Podstawowe założenie − równanie różniczkowe równowagi dla pręta nieważkiego: σ j1, j = 0 2. Zależność całkowa:

∫ σ ij εij dV = ∫ Q β dx

V

l

----------------------------------------------------------------------------------------------------dQ 3. Równanie równowagi: + qz ( x ) = 0 dx dwQ 4. Równanie geometryczne: β= dx Q A S2 ; k= β= dA 5. Równanie fizyczne: ( GA / k ) J 2 b2

∫

A

-----------------------------------------------------------------------------------------------------QS 6. Obliczanie naprężeń: τ xz = Jb 7. Równanie różniczkowe ugięcia pochodzącego od siły poprzecznej dwQ  d  a) postać ogólna:  ( GA / k )  + qz ( x ) = 0 dx  dx  b) pręt jednorodny i pryzmatyczny: c) przy znanej funkcji sił poprzecznych:

d 2 wQ

+ qz ( x ) = 0 dx 2 dwQ Q( x ) = dx ( GA / k )

( GA / k )

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

6

• Działanie momentu skręcającego

m (x) M (0)

M (l)

x, ψ

l M

m

x

M + dM

dx

Oznaczenia (definicje) M θ

m

ψ GJs t

− naprężenie uogólnione (moment skręcający) − odkształcenie uogólnione (jednostkowy kąt skręcenia) − obciążenie (moment skręcający rozłożony w sposób ciągły) − uogólnione przemieszczenie (kąt skręcenia przekroju) − sztywność przekroju (moduł Kirchhoffa × moment bezwładności na skręcanie) − funkcja deplanacji (deplanacja nieskrępowana = skręcanie swobodne)

1. Podstawowe założenie − hipoteza „sztywnych” przekrojów:

u1 = θ t ( x2 , x3 ) = θ t ( y , z );

u2 = − θ x1x3 = −θ xz;

u3 = θ x1x2 = θ xy

∫ σ ij ε ij dV = ∫ M θ dx

2. Zależność całkowa:

V

l

----------------------------------------------------------------------------------------------------dM + m( x ) = 0 3. Równanie równowagi: dx dψ θ= 4. Równanie geometryczne: dx M θ= 5. Równanie fizyczne: GJ s -----------------------------------------------------------------------------------------------------6. Obliczanie naprężeń:

τ xy =

dF dF ; τ xz = − ; przy czym M = 2 F ( y , z ) dA , dz dy

∫

A

gdzie F(y,z) = funkcja naprężeń spełnia równanie z warunkiem brzegowym

∇ 2 F ( y , z ) = −2Gθ ; F ( y, z ) = 0 ; y, z ∈c

7. Równanie różniczkowe kąta skręcenia: a) postać ogólna:

d  dψ   + m( x ) = 0 ,  GJ s dx  dx 

b) pręt jednorodny i pryzmatyczny:

GJ s

c) przy znanej funkcji momentu skręcającego:

d 2ψ

+ m( x ) = 0 , dx 2 M dψ . = dx GJs

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

7

Jednoczesne działanie siły normalnej i momentu zginającego • Obliczanie naprężeń. Oś obojętna

Ostateczny efekt jednoczesnego działania siły normalnej i momentu zginającego w prętach liniowosprężystych można uzyskać z wykorzystaniem zasady superpozycji. W przypadku dowolnych osi środkowych naprężenia wyraża wzór:

σ x = σ xN + σ xM =

M y J z + M z J yz N M y J yz + M z J y − ⋅ y + ⋅z , 2 2 A J y J z − J yz J y J z − J yz

a w przypadku głównych osi środkowych ( J yz = 0 ) wzór upraszcza się do postaci:

σx =

My N Mz − y+ z. A Jz Jy

Wzory powyższe nie zawierają w zasadzie żadnych nowych elementów. Okazuje się jednak, że równoczesne działanie siły normalnej i momentu zginającego można interpretować jako działanie siły normalnej przyłożonej nie w osi ciężkości przekroju, lecz w punkcie o współrzędnych yN i zN obranych w ten sposób, by M y = Nz N ; M z = − Ny N . Wtedy

σx =

N  y y z z 1 + N2 + N2  . A  iz i y 

Jest to wzór na tzw. mimośrodowe działanie siły normalnej. Współrzędne yN i zN nazywamy odpowiednio mimośrodami siły normalnej względem osi z i y, natomiast iz oraz iy oznaczają tzw. główne promienie bezwładności przekroju: iy =

J y / A ; iz =

Jz / A .

Równanie osi obojętnej wynika z przyrównania σx do zera: i y2 y z i2 y y z z . 1 + N2 + N2 = 0 lub + = 1 , gdzie y0 = − z , z0 = − y0 z0 yN zN iz iy Praktyczne uwagi dotyczące mimośrodowego działania siły podłużnej: − oś obojętna przy mimośrodowym działaniu siły normalnej nie przechodzi przez środek ciężkości przekroju, − w środku ciężkości przekroju występuje naprężenie σx0 = N/A, − środek ciężkości przekroju leży zawsze między osią obojętną a punktem przyłożenia siły normalnej. − im yN i zN są większe, tym oś obojętna leży bliżej środka ciężkości przekroju. Można wykazać, że pękowi osi obojętnych przechodzących przez dany punkt A odpowiadają punkty przyłożenia siły N leżące na linii prostej. W przypadku szczególnym, gdy siła przemieszcza się wzdłuż prostej przechodzącej przez środek ciężkości przekroju, osie obojętne przesuwają się równolegle. Spostrzeżenia te jest wykorzystywane do konstrukcji rdzenia przekroju. • Rdzeń przekroju

Oś obojętna jest linią dzielącą przekrój na dwie części: rozciąganą i ściskaną. Tak jest, jeżeli oś obojętna przecina przekrój. Jeżeli oś obojętna nie przecina przekroju, to występują naprężenia jednakowego znaku. Często interesują nas przypadki, w których przekrój może przenosić tylko naprężenia jednego znaku. Chodzi wówczas o wyznaczenie tzw. rdzenia przekroju, tzn. takiego obszaru przyłożenia siły normalnej, by naprężenia σx były tego samego znaku. W celu wyznaczenia rdzenia przekroju należy sporządzić pokrycie wypukłe przekroju. Wówczas punktom przyłożenia siły podłużnej na granicy rdzenia odpowiadają osie obojętne pokrywające się ze stycznymi do tego pokrycia. Są dwa sposoby wyznaczania rdzenia przekroju.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

8

Sposób I (na podstawie definicji rdzenia). Dla osi obojętnych, stycznych do obwiedni konturu przekroju, wyznaczamy współrzędne przyłożenia siły podłużnej yr = − iz2 y0 , zr = − i y2 z0 . Symbole

y0 , z0 odpowiadają tutaj znanym współrzędnym odcinanym na głównych osiach bezwładności przekroju przez poszczególne styczne. Przy dużej liczbie osi obojętnych można wyznaczyć kształt i rozmiary rdzenia z żądaną dokładnością W przypadkach, gdy obwiednia jest wielobokiem, rozpatrujemy tylko osie obojętne pokrywające się z kolejnymi bokami wieloboku. Rdzeń przekroju jest wtedy również wielobokiem, a granicę rdzenia otrzymujemy łącząc liniami prostymi wyznaczone punkty yr , zr . Sposób II (na podstawie liniowości równania osi obojętnej względem y N i z N ). Przykładamy siłę podłużną w punktach leżących na obwiedni przekroju. Punktom przyłożenia siły podłużnej odpowiadają osie obojętne styczne do rdzenia przekroju. Dostatecznie duża liczba punktów przyłożenia siły pozwala wyznaczyć rdzeń przekroju. Gdy obwiednia jest wielobokiem, siłę przykładamy tylko w wierzchołkach wieloboku. Odpowiadające tym położeniom osie obojętne tworzą granicę rdzenia przekroju. Uwagi dotyczące rdzenia przekroju: − pojęcie rdzenia przekroju ma sens w odniesieniu do materiału liniowo-sprężystego, − rdzeń przekroju można wyznaczyć nie precyzując wartości siły podłużnej N, − rdzeń przekroju jest zawsze zbiorem wypukłym, − krzywoliniowej obwiedni odpowiada krzywoliniowa granica rdzenia, − jeśli pokrycie wypukłe przekroju jest wielobokiem, to i rdzeń jest wielobokiem. − rdzeń przekroju symetrycznego jest również symetryczny. • Materiał liniowo-sprężysty przenoszący naprężenia tylko jednego znaku

Jeśli materiał sprężysty jest zdolny do przenoszenia naprężeń tylko jednego znaku, to do obliczenia naprężeń normalnych spowodowanych przez mimośrodowe działanie siły stosuje się inne metody. Jest to przypadek tzw. więzów jednostronnych. Problem taki jest nieliniowy i bardzo trudny. Jego rozwiązanie w ogólnym przypadku wymaga nader wyrafinowanych metod matematycznych. W praktyce zagadnienie takie występuje podczas obliczania naprężeń ściskających bezpośrednio pod fundamentem, gdyż styk fundamentu z gruntem nie przenosi naprężeń rozciągających. Gdy siła leży w rdzeniu, a jej znak odpowiada naprężeniom, które przenosi materiał, to wszystkie przytoczone wyżej wzory są nadal słuszne. Zwróćmy uwagę na to, że poprawny wykres naprężeń normalnych musi spełniać dwa warunki: − sumy rzutów sił, tzn. objętość bryły naprężeń równa się sile wypadkowej − sumy momentów, tzn. środek ciężkości bryły naprężeń odpowiada punktowi przyłożenia siły wypadkowej. Warunki te nabierają szczególnego znaczenia, gdy siła podłużna jest przyłożona poza rdzeniem. W literaturze przedmiotu znane jest tylko rozwiązanie przypadku przekroju prostokątnego o wymiarach b × h, obciążonego siłą N przyłożoną na osi przekroju w odległości c od boku b. Punkt przyłożenia siły leży poza rdzeniem przekroju, tzn. c < h / 2 − h / 6 = h / 3 . Wówczas największe co do modułu naprężenie σ ekstr występuje na krawędzi przekroju: 2N . σ ekstr = 3bc Podczas stosowania tego wzoru trzeba pamiętać, że rozważane zagadnienie jest nieliniowe i nie obowiązuje zasada superpozycji.

• Warunek projektowania. Obszar dopuszczalny

W nawiązaniu do metody naprężeń dopuszczalnych warunek projektowania w obecności wyłącznie naprężeń normalnych polega na spełnieniu nierówności: −σdop ≤ σ ≤ σdop.

Warunek ten w przypadku jednoczesnego działania siły normalnej i momentu zginającego pociąga za sobą ograniczenie sił wewnętrznych, stosownie do wzorów na ekstremalne naprężenia w skrajnych włóknach przekroju: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI − − σ dop ≤

N M + , − ≤ σ dop A Wg

Wg = J y z g ,

− − σ dop ≤

N M + , + ≤ σ dop A Wd

Wd = J y zd ,

9

− + > 0, σ dop >0 przy czym osie y i z pokrywają się z głównymi osiami bezwładności przekroju, a σ dop

oznaczają odpowiednio naprężenia dopuszczalne na ściskanie i rozciąganie. W przestrzeni sił przekrojowych N i M nierówności powyższe ograniczają pewien tzw. obszar dopuszczalny. W zadaniach liniowych jest to równoległobok, którego wnętrze odpowiada różnym parom N i M spełniającym warunek wytrzymałościowy. W zadaniach nieliniowych obszar dopuszczalny może być ograniczony brzegiem krzywoliniowym. Taki przypadek występuje czasami podczas projektowania fundamentu. Zadaniem projektanta jest takie dobranie wymiarów przekroju, by dla wszystkich schematów obciążenia siły przekrojowe mieściły się wewnątrz obszaru dopuszczalnego. Podstawy teorii prętów cienkościennych Własowa

Jeżeli przekrój poprzeczny pręta składa się z elementów (np. prostokątów lub wycinków pierścienia) o grubości dużo mniejszej od gabarytów przekroju, to taki pręt nazywamy cienkościennym. Przekrój cienkościenny powstaje w ten sposób, że wzdłuż pewnej krzywej płaskiej (tzw. linii środkowej) przemieszcza się środek odcinka g (o długości stałej lub zmiennej), prostopadły do tej krzywej. Końce odcinka g tworzą krawędzie ścianek przekroju. Ogólnie biorąc, grubość ścianki może być zmienna, tzn. g = g(c), przy czym c jest współrzędną krzywoliniową odmierzaną od pewnego punktu linii środkowej. Drugą współrzędną, prostopadłą do linii środkowej (wzdłuż grubości ścianki), oznaczamy symbolem n, a trzecia współrzędna x pokrywa się z osią pręta. Niezależnie od powyższego w płaszczyźnie przekroju wprowadza się środkowy układ współrzędnych y i z. Jeżeli linia środkowa jest krzywą zamkniętą, to otrzymujemy przekrój cienkościenny zamknięty; gdy jest krzywą otwartą, to mamy przekrój cienkościenny otwarty. Teoria prętów cienkościennych Własowa jest w istocie rzeczy uproszczoną teorią długich powłok cylindrycznych i w swej standardowej formie dotyczy prętów cienkościennych o przekroju otwartym. Teoria Własowa służy przede wszystkim do uwzględnienia reakcji więzów wynikających ze skrępowanej deplanacji przekroju. • Założenia Teoria Własowa opiera się na dwóch zasadniczych założeniach kinematycznych: 1) przekroje poprzeczne pręta ulegają deformacji tylko w kierunku osi x (tzw. hipoteza sztywnego przekroju poprzecznego − założenie z teorii skręcania swobodnego de Saint-Venanta), 2) odkształcenia postaciowe powierzchni środkowej są równe zeru, tzn. γ xc = 0 . • Charakterystyki wycinkowe przekroju cienkościennego Współrzędna wycinkowa c

∫

ω ( R, O) = h(c )dc [ m2 ] , 0

gdzie h(c) oznacza odległość bieguna R od stycznej do linii środkowej w punkcie o współrzędnej c, odmierzanej od pewnego punktu początkowego O leżącego na linii środkowej, zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Po zmianie bieguna z położenia R ( y R , zR ) do położenia R* ( y R * , z R * ) , przy stałym punkcie początkowym O(y0, z0), współrzędna wycinkowa punktu M(y, z) zmienia się stosownie do zależności:

ω ( R* , O) = ω ( R , O) − ( z R * − z R )( y − y0 ) + ( y R * − y R )( z − z0 ) . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

10 *

Współrzędną wycinkową punktu M po zmianie punktu początkowego z położenia O do położenia O oblicza się według wzoru:

ω ( O* ) = ω ( O ) − ω O * ( O ) , gdzie ω O* (O) jest współrzędną wycinkową punktu O* obliczoną przy założeniu, że punkt początkowy przyjęto w punkcie O. Wycinkowe parametry geometryczne przekroju cienkościennego: − wycinkowy moment statyczny

∫

Sω = ω dA [ cm4 ], A

− wycinkowe momenty odśrodkowe

∫

∫

Jωy = ωy dA [ cm5 ] , Jωz = ωz dA [ cm5 ], A

A

− wycinkowy moment bezwładności

∫

Jω = ω 2 dA [ cm6 ]. A

• Główne współrzędne i charakterystyki wycinkowe przekroju cienkościennego Główne współrzędne wycinkowe odnoszą się do bieguna głównego S, względem którego znikają wycinkowe momenty odśrodkowe (tzn. Jωy = Jωz = 0 ), oraz do głównego punktu początkowego G, dla którego wycinkowy moment statyczny jest równy zeru (tzn. Sω = 0 ). Jeżeli wycinkowe momenty odśrodkowe i wycinkowy moment statyczny są obliczone dla bieguna R(yR, zR) i punktu początkowego O, to współrzędne bieguna głównego yS i zS oraz współrzędną głównego punktu początkowego ω G wyznacza się z zależności: Jωy J Sω . yS = y R − ωz , zS = zR − , ωG = Jy Jz A Biegun główny S pokrywa się ze środkiem ścinania, omówionym w rozdziale 11. • Naprężenia normalne. Bimoment W teorii Własowa przyjmuje się, że naprężenia normalne σx na grubości ścianki są stałe. Jeśli przyjmiemy główne środkowe osie bezwładności y, z oraz główne współrzędne wycinkowe przekroju, to ważne są następujące zależności:

∫

N = σ x dA = E1 Aλ = E1 Au$x' ( x) ; λ = u$x' ( x) = A

N ; E1 A

∫

M y = σ x zdA = E1 J y k y = − E1 J y wS'' ( x) ; k y = − wS'' ( x ) = A

∫

M z = − σ x ydA = E1 J z k z = E1 J z vS'' ( x) ;

k z = vS'' ( x) =

A

B

∫

E1 J y

;

Mz ; E1 J z

= σ xωdA = E1 Jω kω = E1 Jωψ ''( x ) ; kω = ψ ''( x ) = A

My

B E ; E1 = . E1 Jω 1− ν2

W zależnościach tych λ , k y , k z , k ω oznaczają odpowiednio odkształcenie osiowe, krzywiznę względem osi y, krzywiznę względem osi z oraz „krzywiznę skrętną”. Z kolei u$ x , vS , wS , ψ ( x ) oznaczają odpowiednio przemieszczenie głównego punktu zerowego wzdłuż osi pręta, przemieszczenie środka skręAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

11

cania w kierunku osi y, przemieszczenie środka skręcania w kierunku osi z oraz kąt skręcenia. Wielkość B jest tzw. bimomentem, charakterystycznym dla teorii Własowa. Podstawowy wzór na obliczenie naprężeń normalnych σx w przekroju cienkościennym ma postać: My N Mz B − ω. y+ z+ A Jz Jy Jω Ostatni składnik prawej strony tego wzoru, charakterystyczny dla prętów cienkościennych, tworzy układ naprężeń samorównoważących się, tzn. siły normalne i oba momenty zginające, pochodzące od tych naprężeń, są zawsze równe zeru.

σx =

• Naprężenia styczne. Moment giętno-skrętny Naprężenia styczne w teorii Własowa - podobnie jak w teorii prętów zwartych - mają charakter drugorzędny. Są one różne od zera, mimo że z drugiego założenia teorii Własowa (γxc = 0) można by wnioskować, że τxc = 0. Bezkrytyczna akceptacja tego wniosku uniemożliwiłaby jednak spełnienie równań równowagi. Rozkład naprężeń stycznych na grubości ścianki nie jest znany. Wobec powyższego przyjmujemy, że składają się one z najprostszych postaci funkcji nieparzystej τ v i parzystej τω :

τ xc ( x , c, n) = τ ω ( x , c) + τ v ( x , n) , gdzie τω oznacza naprężenie średnie, stałe na grubości ścianki, a τv jest liniową jednorodną funkcją współrzędnej n ( − g (c) / 2 ≤ n ≤ g (c) / 2) :

τ v = τ v ( x , n) = − n

2Mv ( x ) , J s ( x)

gdzie Mv jest momentem odpowiadającym skręcaniu swobodnemu (tzw. moment de Saint-Venanta), a Js jest momentem bezwładności na skręcanie. Dodajmy, że moment skręcający Mv pochodzący od od naprężeń τv, jest równy tylko połowie momentu skręcania swobodnego:

∫

Mv = −2 τ v n dA. A

Znak minus wynika stąd, że przyjęty wcześniej dodatni zwrot naprężeń τv daje moment lewoskrętny. Wzór na naprężenia τω zbudowano na podstawie równania równowagi rzutów sił na oś x, wzoru na naprężenia normalne oraz zależności różniczkowych pomiędzy momentami zginającymi a siłami poprzecznymi. Ostateczna postać tego wzoru jest następująca: Q ( x ) S z ( c) Qz ( x ) S y (c) Mτ ω ( x ) Sω (c) τ ω ( x , c) = τ~ω ( x , c) − y − + , J z g ( c) J y g ( c) Jω g (c) gdzie τ~ω ( x , c) jest naprężeniem stycznym pochodzącym od dość rzadko występujących obciążeń równoległych do osi x, a Mτ ω ( x ) ma sens momentu skręcającego. Znaczenie pozostałych symboli jest analogiczne do wzoru na obliczanie naprężeń stycznych podczas zginaniu; momenty statyczne dotyczą pola odciętego bieżącą współrzędną c. Znaki minus w członach pochodzących od sił poprzecznych wynikają z odmiennej umowy znaków. Moment Mτ ω ( x ) oblicza się z zależności: M (τ ω ) = − B '( x ) + Qz yS − Qy zS . Jeśli moment skręcający obliczymy nie względem środka ciężkości przekroju, lecz względem bieguna głównego S, to momenty pochodzące od sił poprzecznych są równe zeru. Obliczony w ten sposób moment skręcający (tzw. moment giętno-skrętny) oznaczamy przez Mω. Całkowity moment skręcający obliAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

12

czony względem bieguna głównego MS jest zatem sumą momentu pochodzącego od skręcania swobodnego Mv i skręcania skrępowanego Mω :

MS = Mv + Mω ,

przy czym

Mω = −B'( x ).

Znak minus we wzorze wynika z przyjętej umowy znaków. • Równania różniczkowe funkcji bimomentu i kąta skręcenia. Warunki brzegowe

B ''( x ) − ϑ 2 ⋅ B( x ) = mS ( x ), m ( x) GJ s , gdzie ϑ 2 = . ψ IV ( x ) − ϑ 2 ⋅ ψ ''( x ) = S E1 Jω E1 Jω Symbol mS oznacza rozłożone w sposób ciągły obciążenie momentem skręcającym. Pierwsze z równań stosujemy wówczas, gdy dane są statyczne warunki brzegowe, drugie - przy kinematycznych warunkach brzegowych. Najczęściej spotykane warunki podparcia prętów cienkościennych używane w równaniu IV rzędu na kąt skręcenia ψ są następujące: a) podparcie widełkowe:

ψ = 0, B = 0 → ψ '' = 0,

b) sztywne zamocowanie uniemożliwiające deplanację: ψ = 0, ux = 0 → ψ ' = 0, c) koniec swobodny, wolny od naprężeń: B = 0 → ψ '' = 0, MS = 0 → − E1 Jω ⋅ ψ '''+ GJ s ⋅ ψ ' = 0 lub ψ '''−ϑ 2 ⋅ ψ ' = 0. Statyczne warunki brzegowe występują w tych nielicznych przypadkach, gdy znamy rozkład naprężeń normalnych na końcu pręta. Jeżeli w punkcie M przekroju początkowego (x = 0) jest przyłożona siła skupiona P równoległa do osi x, to wartość brzegowa bimomentu stosownie do jego definicji:

∫

∫

B(0) = σ x (0)ωdA = P δ ( c − c M )ωdA = P ⋅ ω M , A

A

gdzie przez δ(c − cM) oznaczono deltę Diraca, a przez ωM współrzędną wycinkową punktu M. • Zależności energetyczne

∫ σijεij dV = ∫ ( Nλ + M y k y + M zk z + Bkω + Mvθ )ds.

V

s

Wzór ten obowiązuje dla dowolnego materiału, jeśli są spełnione założenia kinematyczne teorii Własowa. Dlatego znikają składniki zawierające siły poprzeczne i moment giętno-skrętny. Dla materiału liniowosprężystego otrzymujemy: 1 U= 2

 N2 My2  M 2y M z2 B2   ds , + + + +  E1 A E1 J y E1 J z E1 J ω GJ s   s

∫

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

albo

U=

13

1 ( E1 Aλ2 + E1 J y k 2y + E1 J z k z2 + E1 Jω k ω2 + GJ sθ 2 ) ds. 2

∫ s

Pręty silnie zakrzywione

Prętem silnie zakrzywionym nazywamy pręt, którego pierwotny promień krzywizny jest dostatecznie mały. Miarą zakrzywienia jest stosunek h/r, gdzie h oznacza wymiar poprzeczny pręta (wysokość), a r początkowy promień krzywizny pręta nieodkształconego. Rozkład odkształceń w obrębie przekroju pręta silnie zakrzywionego odbiega w istotny sposób od rozkładu liniowego przyjmowanego w prętach prostoliniowych i słabo zakrzywionych. • Kinematyka

Przyjmiemy, że oś pręta jest krzywą płaską, przekrój pręta jest stały, a płaszczyzna wyznaczona przez oś pręta pokrywa się z płaszczyzną symetrii przekroju pręta i płaszczyzną obciążenia poprzecznego. Z zasady płaskich przekrojów wynika, że rozkład odkształceń liniowych εs(z) na wysokości przekroju jest nieliniowy (hiperboliczny):

εs (z) = λ + k ⋅

r⋅z ∆dϕ 1 1 rη−λ , η= , gdzie k = − = . r+z ra r r ds

W powyższych wzorach λ jest odkształceniem liniowym osi przekroju, k − zmianą krzywizny, r − pierwotnym promieniem krzywizny osi pręta, ra − promieniem krzywizny odkształconej osi pręta, ϕ − krzywoliniową współrzędną kątową punktów osi pręta, ds − elementem długości osi pręta przed odkształceniem, η − przyrostem kąta obrotu przekroju, z − odległością danego punktu od osi pręta w płaszczyźnie przekroju. • Naprężenia

Zakładamy, że materiał pręta jest liniowo-sprężysty. Naprężenia normalne σs(z), odpowiadające odkształceniu εs(z), oblicza się z zależności:

σ s ( z) =

N My My r z + + * , A rA Jy r + z

gdzie J *y = r

∫

A

z2 dA. r+z

Symbolem J *y oznaczono pewien zastępczy moment bezwładności przekroju pręta silnie zakrzywionego. Trzeba dodać, że hiperboliczny rozkład naprężeń σs(z) daje wyniki tylko nieznacznie różniące się od wartości ścisłych, uzyskanych na gruncie teorii sprężystości. Dla naprężeń stycznych τsz i τsy przyjmujemy, że wystarczająco dokładne są znane wzory dla pręta o osi prostoliniowej. W prętach silnie zakrzywionych występują dosyć znaczne promieniowe naprężenia normalne σz. Dla r/h = 1 naprężenie σz może sięgać nawet 20% wartości naprężeń σs. • Zależności fizyczne

Zmianę krzywizny i wydłużenie osi pręta wyrażają wzory:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI

k=

My EJ *y

,

λ=

14

My N , + EA r EA

Z zależności tych widać, że podczas czystego zginania (M = const, N = 0) oprócz zmiany krzywizny k występuje również wydłużenie osi pręta λ. Oznacza to, że towarzyszy temu przesunięcie osi obojętnej w kierunku środka krzywizny pręta oraz pojawienie się naprężeń normalnych w środku ciężkości. Zjawiska te są charakterystyczne dla prętów silnie zakrzywionych. • Zależności energetyczne

Całkową postać iloczynu naprężeń σ ij i odkształceń εij po pominięciu naprężeń σz można zapisać następująco:

∫ σijεij = ∫ ( Nλ + Mη + Qβ ) ds .

V

s

Zależność ta jest słuszna dla dowolnego materiału. W przypadku pręta liniowo-sprężystego możemy zbudować funkcje energii sprężystej właściwej Wσ(N, M) i Wε(λ,η) wykazujące własności potencjału. Funkcje te przybierają postać: Wσ ( N , M , Q ) = Wε ( λ , η , β ) =

N 2 NM M2 M2 Q2 + + + + , 2 EA EAr 2 EAr 2 2 EJ * 2( GA / k ) 2

1 1 1 λ  EAλ2 + EJ *  η −  + (GA / k ) β 2 .   2 2 r 2

Łatwo sprawdzić, że

∂Wσ ∂Wσ = λ, = η, ∂M ∂N

∂Wσ ∂Wε ∂Wε = N, = M, = β oraz ∂λ ∂η ∂Q

∂Wε =Q . ∂β

Obie funkcje energii Wσ i Wε są zawsze dodatnie. Rolę uogólnionych naprężeń odgrywają tu siły wewnętrzne N i M, a rolę uogólnionych odkształceń wielkości kinematyczne λ i η.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

1

Í Ï Î

14. WIADOMOŚCI OGÓLNE 14.1. WARUNKI RÓWNOWAGI UKŁADU SIŁ

Mechanika konstrukcji zajmuje się wyznaczaniem sił wewnętrznych i przemieszczeń w różnego rodzaju układach konstrukcyjnych (belkach, łukach, ramach, kratownicach, płytach, powłokach, układach mieszanych). Główne problemy mechaniki konstrukcji zilustrujemy na przykładach liniowo-sprężystych konstrukcji prętowych o bardzo małych przemieszczeniach. Ograniczymy się tutaj tylko do podania ogólnego sensu metod wyznaczania wielkości statycznych i kinematycznych, gdyż problematyka ta ma bardzo bogatą i ogólnie dostępną literaturę ([4, 10, 31, 33, 35]). Siła jest wektorem będącym miarą mechaniczną oddziaływania ciał materialnych. Konsekwencją tego jest akceptacja algebry wektorów do badania równowagi ciał sztywnych. Z kursu mechaniki teoretycznej (i) wiadomo, że równowaga ta zachodzi, gdy wektor wypadkowy wszystkich sił P (i = 1, 2 , 3,..., n) oraz jednocześnie wektor momentu tych sił względem dowolnie obranego punktu są równe zeru. Jeśli punktem tym jest początek przyjętego układu współrzędnych x, y, z, to analityczna postać warunków równowagi odpowiada sześciu liniowym równaniom algebraicznym ze względu na współrzędne Px(i ) , Py(i ) , Pz(i ) (i)

wektorów P ):

(a)

n n  n  Px(i ) = 0, Py(i ) = 0, Pz(i ) = 0,  i =1 i =1 i =1  n n n  (i ) (i ) M x = 0, M y = 0, M z(i ) = 0,   i =1 i =1 i =1

∑

∑

∑

∑

∑

∑

gdzie M x(i ) , M y(i ) i M z(i ) oznaczają odpowiednio współrzędne wektora momentu sił P y i z:

(b)

(i)

względem osi x,

 M x(i ) = yi Pz(i ) − zi Py(i ) ,   (i ) (i ) (i )  M y = zi Px − xi Pz ,  (i ) (i ) (i )  M z = xi Py − yi Px . (i)

W zależności (b) xi , yi , zi oznaczają współrzędne punktów przyłożenia sił P . Zdecydowana większość zadań z mechaniki konstrukcji dotyczy przypadku szczególnego, w którym (i) wszystkie wektory sił P leżą w jednej płaszczyźnie. Występuje wówczas tzw. płaski układ sił. Jeżeli płaszczyzna ta pokrywa się z płaszczyzną układu współrzędnych x, z, to Py(i ) = yi = 0, skąd M x(i ) = M z(i ) = 0. Mamy wtedy tylko trzy istotne równania równowagi:  n  Px(i ) = 0,  i =1   n (i ) Pz = 0,   i =1  n n  (i ) M y = ( zi Px(i ) − xi Pz(i ) ) = 0.   i =1 i =1

∑

(c)

∑ ∑

∑

Równania równowagi dla płaskiego układu sił mogą być stosowane w następujących trzech wariantach: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

‰ ‰

‰

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

2

suma rzutów sił na dwie dowolne równoległe proste oraz suma momentów tych sił względem dowolnego punktu są równe zeru, suma rzutów sił na jedną dowolną prostą oraz suma momentów tych sił względem dwóch dowolnych punktów nie leżących na prostej prostopadłej do kierunku rzutowania sił są równe zeru, suma momentów sił względem trzech dowolnych punktów nie leżących na jednej prostej są równe zeru.

Zauważmy, że równania (c) są szczególnym przypadkiem pierwszego wariantu (obie proste są do siebie prostopadłe, a momenty sił odnoszą się do punktu przecięcia tych prostych). W metodzie graficznej równania równowagi płaskiego układu sił odpowiadają zamykaniu się wieloboku sił (Σ Px( i ) = 0, Σ Pz( i ) = 0) i zamykaniu się wieloboku sznurowego (Σ M (yi ) = 0).

14.2. PODPORY PRĘTÓW Pełny opis deformacji pręta mamy wówczas, gdy znana jest kinematyka każdego przekroju pręta. Przekrój pręta tworzą wszystkie punkty materialne należące do pręta i płaszczyzny przeprowadzonej prostopadle do osi pręta w konfiguracji pierwotnej (nieodkształconej). Wprowadzenie więzów wewnętrznych powoduje ograniczenie swobody przemieszczeń przekroju. W klasycznej teorii prętów na ruch każdego przekroju pręta nakłada się więzy wewnętrzne takie, że w procesie deformacji przekrój pozostaje płaski i nie zmienia swych wymiarów poprzecznych*). Przyjmujemy zatem, że przekroje pręta zachowują się jak sztywne figury płaskie, mające tylko sześć stopni swobody (rys. 14.1).

Rys. 14.1

Są to trzy składowe wektora przemieszczenia środka ciężkości przekroju (u, v , w) oraz trzy kąty obrotu względem poszczególnych osi układu (ψ ,ϕ y ,ϕ z ) . Składowe te tworzą macierz uogólnionych przemieszczeń:

{di } = {u, v, w,ψ ,ϕ y ,ϕ z },

i = 1, 2,..., 6.

(14.1)

Podparcie pręta w danym punkcie osi oznacza wprowadzenie dalszych dodatkowych więzów, odbierających przekrojowi jeden, dwa lub więcej stopni swobody. Obciążeniu pręta (tzw. siłom czynnym) towarzyszą reakcje więzów podporowych (tzw. sił biernych). W praktyce najczęściej występują układy prętowe ulegające deformacji tylko w pewnej określonej płaszczyźnie. Przyjmijmy, że płaszczyznę tę tworzą osie x, z. Wówczas część stopni swobody każdego przekroju tożsamościowo jest równa zeru, tzn. ψ = ϕz = 0, ν = 0. Przekroje pręta mają zatem tylko trzy stopnie swobody: dwa przesunięcia u, v oraz kąt obrotu ϕy. Można sobie wyobrazić, że podparcie pręta uzyskuje się za pośrednictwem idealnie sztywnych prętów podporowych (rys. 14.2a). Pręt podporowy dopuszcza wystąpienie tylko przemieszczeń prostopadłych do swej osi. Przemieszczenie w kierunku osi

*)

Założenie to nie jest słuszne dla skręcania prętów niekołowych oraz cienkościennych o przekroju otwartym. Dlatego formułowanie sposobu podparcia w tych przypadkach jest bardziej złożone. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

3

pręta podporowego jest niemożliwe, a każda próba przemieszczenia w tym kierunku wywołuje pojawienie się siły biernej.

Rys. 14.2

Pręt podporowy jest więzem, a siła bierna reakcją tego więzu. Kierunek reakcji pokrywa się zawsze z osią pręta podporowego (rys. 14b), gdyż w przeciwnym razie sam pręt podporowy nie byłby w równowadze (rys. 14.2c). Typowe rodzaje podpór w układach płaskich przedstawia rys. 14.3.

Rys. 14.3

Utwierdzenie (rys. 14.3a) odbiera przekrojowi wszystkie stopnie swobody (u = w = 0, ϕy = 0). W związku z tym występują trzy reakcje więzów: dwie siły składowe i moment. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

4

Podpora teleskopowa (rys. 14.3b) pozbawia przekrój dwóch stopni swobody (w = 0, ϕy = 0). Dopuszczalne jest tylko przemieszczenie u. Występują dwie reakcje: moment i siła o kierunku normalnym do podstawy fundamentu. W przypadku prętów cienkich, w których przekrój po odkształceniu jest prostopadły do osi pręta (założenie Bernoulliego), podporę teleskopową można uzyskać za pomocą dwóch równoległych prętów podporowych, prostopadłych do osi pręta zasadniczego. •

•

•

Podpora przegubowa nieprzesuwna (rys. 14.3c) pozbawia przekrój dwóch stopni swobody (u = v = 0) . Dopuszczalny jest obrót przekroju wokół osi y (ϕy = 0). Występują dwie składowe reakcji (dwie siły). Podpora przegubowa przesuwna (rys. 14.3d) pozbawia przekrój jednego stopnia swobody (w = 0). Dopuszczalne jest przemieszczenie u i kąt obrotu przekroju ϕy. Na podporze występuje tylko jedna składowa reakcji o kierunku pokrywającym się z osią pręta podporowego (lub z normalną do podstawy fundamentu). Podpora „ślizgowa” (rys. 14.3e) pozbawia przekrój dwóch stopni swobody (u = 0, ϕy = 0). Dopuszczalne jest tylko przemieszczenie poprzeczne w. Występują dwie składowe reakcji: siła podłużna i moment zginający.

14.3. CZYNNIKI ZEWNĘTRZNE POWODUJĄCE DEFORMACJĘ KONSTRUKCJI. OBCIĄŻENIA Główną przyczyną deformacji konstrukcji są obciążenia, czyli siły czynne (aktywne). Trzeba jednak pamiętać, że deformacja konstrukcji może być wywołana przez wymuszenia kinematyczne (np. przez przemieszczenia podpór) lub zewnętrznymi czynnikami niemechanicznymi, np. przez zmianę temperatury lub skurcz technologiczny (skurcz betonu). Często interesują nas odchylenia konstrukcji rzeczywistej od konfiguracji idealnej spowodowane błędami i niedokładnościami wykonania. Chodzi tu np. o wyznaczenie sił wewnętrznych i odchyleń osi pręta wstępnie zakrzywionego od położenia projektowanego, odpowiadającego prętowi o osi prostoliniowej. Omówimy obecnie tylko obciążenia spowodowane przez siły, natomiast wpływ innych czynników zewnętrznych będzie przedstawiony w dalszych rozdziałach. Na obciążenia zewnętrzne składają się siły powierzchniowe i masowe. Można wprowadzić jeszcze inny podział: na obciążenia rozłożone w sposób ciągły i skupione. Obciążenia skupione stanowią idealizację obciążenia ciągłego rozłożonego na bardzo małym obszarze (rys. 14.4).

Rys. 14.4

W teorii prętów wszystkie obciążenia sprowadza się do punktów osi ciężkości pręta. Jeżeli wypadkowe wszystkich sił zewnętrznych leżą w tej samej płaszczyźnie, to występuje płaski układ obciążenia. Sens podanej wyżej klasyfikacji obciążeń objaśnimy na przykładzie płaskiego układu obciążeń, odniesionego do konfiguracji początkowej (przed odkształceniem). Na rysunku 14.5a przedstawiono obciążenie pręta siłami powierzchniowymi skupionymi i rozłożonymi w sposób ciągły. Po sprowadzeniu tych Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

5

obciążeń do osi pręta otrzymujemy płaski układ sił działający w płaszczyźnie obciążenia π. Jest ona jednocześnie płaszczyzną symetrii pręta. W efekcie uzyskujemy schemat obciążenia przedstawiony na rys. 14.5b.

Rys. 14.5

Z reguły zakłada się, że obciążenia rosną od zera do swych końcowych wartości P1 , P2 ,..., P5 oraz qz ( x ) . Siły te powodują deformację osi pręta. Odnoszenie końcowych wartości obciążeń do nieodkształconej osi pręta nie jest zatem właściwe, upraszcza natomiast ilustrację problemu obciążeń. Dalsze szczegóły dotyczące zachowania się obciążenia w procesie deformacji pręta zawiera p. 14.6. Rysunek 14.6a objaśnia sposób ustalania obciążenia ciągłego podczas działania wektora sił powierzchniowych tworzących kąt ostry z osią belki. Otrzymujemy tu trzy rodzaje obciążeń ciągłych: obciążenie prostopadłe do osi belki q z ( x ) , obciążenie statyczne do osi belki q x ( x ) oraz rozłożony w sposób ciągły moment zginający my ( x ) . Rysunek 14.6b ilustruje sposób uwzględniania sił masowych (na przykład sił ciężkości) przy ustalaniu obciążeń.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

6

Rys. 14.6

W przypadku ogólnym na obciążenie pręta o osi prostej lub zakrzywionej składają się siły q x ( s), q y ( s), q z ( s) oraz momenty mx ( s), my ( s), mz ( s) , odniesione do jednostki długości pręta, przy czym x, y, z oznaczają tu osie lokalnego układu współrzędnych (por. rys. 14.6c). Ogólne obciążenie pręta opisuje zatem macierz wierszowa {Fi } o elementach Fi , będących funkcjami zmiennej s:

{Fi } = {q x , q y , qz , mx , my , mz },

i = 1, 2, 3,..., 6.

(14.2)

Elementy Fi mogą przedstawiać również obciążenia skupione i odcinkowo ciągłe, jeżeli wyrazimy je za pomocą funkcji Heaviside’a H(s) i Diraca δ(s). Funkcje te będą omówione w p. 21.3.

14.4. DEFINICJE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH W celu zdefiniowania sił wewnętrznych*) rozważymy pręt obciążony układem sił zewnętrznych (czynnych i biernych) będących w równowadze. Pod wpływem tych sił pręt się odkształci. W konfiguracji aktualnej (po odkształceniu) w wybranym punkcie osi dokonamy myślowego przekroju pręta płaszczyzną α − α, prostopadłą do jego odkształconej osi (rys. 14.7b). Zwróćmy uwagę, że w ogólności punkty materialne tworzące ten przekrój nie są tymi samymi punktami, które tworzą przekrój w konfiguracji pierwotnej. Identyczność tych punktów zachodzi tylko wówczas, gdy przekrój po odkształceniu pozostaje płaski i prostopadły do wygiętej osi pręta (założenie Bernoulliego).

*)

Określenia: siły wewnętrzne, siły przekrojowe, siły uogólnione, naprężenia uogólnione są synonimami używanymi wymiennie. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

7

Rys. 14.7

Obie wydzielone przekrojem części pręta muszą być w równowadze. Na każdą z nich działają: − siły obciążenia zewnętrznego (siły czynne), − siły reakcji zewnętrznych (siły bierne), − siły wewnętrzne działające na przekrój α − α, czyli wektor siły Tα i wektor momentu Mα (rys. 14.7c). Siły wewnętrzne są zatem wypadkowymi elementarnych wzajemnych oddziaływań obu części pręta oddzielonych przekrojem α − α. Warto odnotować, że zgodnie z trzecią zasadą Newtona o akcji i reakcji − wartości i kierunki wektorów Tα i Mα działających na obie części pręta są takie same, natomiast zwroty − przeciwne. Wektor siły wypadkowej Tα rozkładamy na dwie siły styczne leżące w płaszczyźnie przekroju (tj. poprzeczne w stosunku do osi): Qyα i Qzα oraz siłę normalną do przekroju (tj. podłużną do osi), Nα . Podobnie postępujemy z wektorem momentu Mα . Składowe styczne M yα i M zα nazywamy odpowiednio momentami zginającymi względem osi yα i zα , a składową normalną Mα nazywamy momentem skręcającym. W przypadku ogólnym siły wewnętrzne działające na dany przekrój (tzw. uogólnione naprężenia) są więc określone przez sześć elementów macierzy {Yi } :

{Yi } = {N , Qy , Qz , M , M y , M z },

i = 1, 2, 3,..., 6.

(14.3)

Znakowanie sił wewnętrznych jest związane z przyjętym układem współrzędnych. Założymy, że krzywoliniowa współrzędna s pokrywa się w konfiguracji odkształconej ze styczną do osi pręta, a osie lokalne yα i zα tworzą z nią układ prawoskrętny. Na płaszczyźnie przekroju, dla której zewnętrzny wektor normalny ma zwrot zgodny z osią s (dodatnia strona), dodatnie siły wewnętrzne mają zwroty zgodne ze zwrotami osi s, yα, zα . Na płaszczyźnie przekroju określonej przez normalną zewnętrzną o zwrocie przeciwnym do zwrotu osi s (ujemna strona) dodatnie siły wewnętrzne mają zwroty przeciwne do zwrotu osi s, yα, zα . Według tej, matematycznie spójnej, zasady znakowania wszystkie siły wewnętrzne z rys. 14.7 są dodatnie. Dla wyjaśnienia dodamy, że zwrot momentu zaznaczony podwójną strzałką odpowiada dziaAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

8

łaniu statycznie równoważnej pary sił tworzącej z wektorem momentu śrubę prawoskrętną, tzn. taką, jaką tworzą osie przyjętego układu współrzędnych s, yα, zα . W praktyce dążymy jednak do tego, by zasada znakowania była niezależna od przyjętego układu współrzędnych. Zasadę taką można zastosować tylko do znakowania siły normalnej, której dodatnia wartość oznacza rozciąganie pręta (rys. 14.8a). Znakowanie momentu skręcającego można uzależnić tylko od „krętności” układu współrzędnych. Jeśli przyjmiemy, że wektor dodatniego momentu skręcającego „rozciąga” pręt, otrzymamy zasadę znakowania zilustrowaną na rys. 14.8b. W prawoskrętnym układzie współrzędnych, stosowanym powszechnie w mechanice, dodatni moment skręcający odpowiada przykładowo kierunkowi odkręcania nasadki pióra lub nakrętki śruby. Bardzo duże znaczenie praktyczne mają płaskie układy prętowe, tzn. takie, w których osie wszystkich prętów leżą w tej samej płaszczyźnie. Najczęściej spotyka się zadania, w których siły zewnętrzne (czynne i bierne) leżą w jednej płaszczyźnie, pokrywającej się z płaszczyzną układu prętowego. W tych szczególnych przypadkach − zgodnie z wieloletnią tradycją − zasady znakowania sił poprzecznych i momentów zginających są już ustalone. Przyjmuje się mianowicie, że dodatnia siła poprzeczna usiłuje obrócić odciętą część pręta zgodnie z ruchem wskazówki zegara (por. rys. 14.8c). Umowa ta zależy jednak od tego, z której strony płaszczyzny układu obserwujemy konstrukcję. Dla momentu zginającego przyjmuje się zasadę, że dodatni moment powoduje rozciąganie dolnych włókien pręta (por. rys. 14.8d). W przypadku prętów pionowych i pochyłych przed przystąpieniem do obliczeń zaznacza się linią przerywaną te włókna, które umownie uważamy za „dolne” (rys. 14.8e). Znakowania momentów można całkowicie zaniechać, jeśli rzędne wykresu momentów odnosi się zawsze po stronie włókien rozciąganych. Ten sposób ma wiele zalet i jest stosowany również w tych przypadkach, gdy momenty są zaopatrzone w znak.

Rys. 14.8

14.5. KLASYFIKACJA UKŁADÓW PRĘTOWYCH Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

9

Nazewnictwo konstrukcji prętowych kształtowało się na przestrzeni stuleci. Nic dziwnego, że klasyfikacja układów prętowych nie jest merytorycznie spójna. O nazwie konstrukcji decydują zazwyczaj następujące cechy: − sposób podparcia i połączenia prętów, − kształt geometryczny osi, − sposób obciążenia, − zdolność konstrukcji do przejmowania określonych sił wewnętrznych.

Rys. 14.9

A oto określenia najczęściej spotykanych układów prętowych: •

Kratownica to układ prostoliniowych prętów połączonych ze sobą przegubowo. Obciążenie działa wyłącznie w postaci sił skupionych przyłożonych w węzłach, tj. w punktach połączenia prętów (rys. 14.9a). Przy tych założeniach pręty kratownicy przenoszą wyłącznie siły podłużne.

•

Belka to pręt o osi prostoliniowej, obciążony poprzecznie. Belka podparta swobodnie w dwóch punktach (przegubowo) oraz belka wspornikowa noszą nazwę belek prostych (rys. 14.9b). Na rysunku 14.9c przedstawiono tzw. belki ciągłe (przegubowe i bezprzegubowe). Termin „belka” rezerwuje się dla prętów zginanych.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

10

•

Łuk to pręt o osi zakrzywionej w pewnej płaszczyźnie. W łukach oprócz zginania i ścinania z reguły występują podłużne siły ściskające (rys. 14.9d).

•

Cięgno to pręt mający tylko sztywność rozciągania. Przy obciążeniu poprzecznym równowaga cięgna wymaga zakrzywienia lub załamania osi (rys. 14.9e). Cięgno przenosi wyłącznie siły normalne rozciągające.

•

Rama to układ prętów prostoliniowych połączonych w węzłach w sposób sztywny lub przegubowy (rys. 14.9f).

•

Ruszt to rama płaska obciążona prostopadle do swej płaszczyzny (rys. 14.9g).

Poza tym stosuje się bardziej szczegółowe terminy. Określenie „słup” oznacza pręt pionowy poddany ściskaniu. Rozciągany pręt pionowy nosi nazwę „wieszak”. „Rygiel” to zazwyczaj poziomy element ramy przenoszący momenty zginające.

14.6. OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH. ZASADA ZESZTYWNIENIA Ogólny sposób wyznaczania sił wewnętrznych w przekroju α − α polega na badaniu równowagi jednej dowolnie wybranej części pręta oddzielonej tym przekrojem. Do wyznaczenia sił wewnętrznych za pomocą równań równowagi muszą być dane: − przemieszczenia każdego przekroju pręta, − zachowanie się obciążenia w procesie deformacji, − siły reakcji więzów.

Rys. 14.10

Informacja, że obciążenia rosną od zera do swej końcowej wartości, jest niewystarczająca, gdyż obciążenie związane z danym punktem materialnym może w procesie odkształcenia zachować swój kierunek w przestrzeni (rys. 14.10a) lub nie (rys. 14.10b). W pierwszym przypadku mamy do czynienia z obAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

11

ciążeniem konserwatywnym. Odpowiada ono sytuacjom, w których praca obciążenia zależy tylko od konfiguracji początkowej i końcowej. Drugi przypadek odpowiada obciążeniu niekonserwatywnemu. Jest oczywiste, że w obu przypadkach podanych na rys. 14.10a, b reakcje więzów podporowych i siły wewnętrzne będą różne. Zachowanie się obciążenia w procesie deformacji warunkuje stosowanie twierdzenia o minimum energii potencjalnej − obciążenie musi być wówczas konserwatywne. Ma to duże znaczenie w problemach stateczności. Do obliczenia reakcji podporowych niezbędna jest zazwyczaj znajomość przemieszczenia tylko pewnych przekrojów pręta. Widać to wyraźnie na rys. 14.10a, b. W pewnych przypadkach wymaganie to nie jest konieczne, co pokazuje rys. 14.10d. Niemniej jednak do ścisłego określenia sił wewnętrznych w każdym przekroju musimy znać deformacje całego pręta. Problem wyznaczania sił wewnętrznych upraszcza się znakomicie, gdy przyjmiemy, że przemieszczenia konstrukcji są bardzo małe. Założenie to jest uzasadnione, gdyż w technice wymagamy na ogół odpowiednio dużej sztywności konstrukcji. Wyjątek stanowią tu konstrukcje cięgnowe i pneumatyczne. Założenie małych przemieszczeń pozwala zaniedbać rozróżnianie konfiguracji przed i po odkształceniu, a w równaniach równowagi można pominąć wpływ deformacji. Inaczej mówiąc, przy układaniu równań równowagi pręty traktujemy jak ciała sztywne zajmujące pod obciążeniem konfigurację początkową. Stwierdzenie powyższe stanowi treść tzw. zasady zesztywnienia. Zastosowanie tej zasady do belki z rys. 14.10c umożliwia obliczenie zarówno reakcji, jak i sił wewnętrznych wyłącznie z równań równowagi. Reakcje podpory utwierdzonej V A , H A , M A wyznaczamy na podstawie równań (c) z p. 14.1 (por. rys. 14.11a):

∑ Px(i ) = 0: H A = 0, ∑ Pz(i ) = 0: − V A + P = 0, V A = P, ∑ M y(i ) = ∑ M A = 0: M A + Pl = 0,

M A = − Pl.

Podobnie wyznaczymy siły wewnętrzne N(x), Q(x), M(x), badając równowagę jednej z części odciętej przekrojem x = xα . Przykładowo dla części lewej z rysunku 14.10b mamy:

∑ Px(i ) = 0 : ∑ Pz(i ) = 0 : ∑ M y(i ) = ∑ M B = 0 :

N ( x ) = 0, P = Q( x ) = 0, Q( x ) = P , − Pl − M ( x ) + Px = 0, M ( x ) = − P (l − x ).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

12

Rys. 14.11

Identyczne wyniki uzyskamy za pomocą równań równowagi ułożonych dla części prawej (rys. 14.11c). Wykresy sił wewnętrznych przedstawiają rys. 14.11d, e, f. Zwróćmy uwagę na to, że rzędne wykresu M(x) odłożone są po stronie włókien rozciąganych.

14.7 KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Jeżeli dla dowolnego obciążenia konstrukcji reakcje i siły wewnętrzne można wyznaczyć wyłącznie z równań równowagi, to konstrukcję taką nazywamy statycznie wyznaczalną. Wszystkie inne tworzą zbiór konstrukcji statycznie niewyznaczalnych. W konstrukcjach tych do określenia pola statycznego (tj. reakcji i sił wewnętrznych) oprócz równań równowagi wykorzystuje się dodatkowo informacje o polu przemieszczeń, które zależą m. in. od własności fizycznych materiału. Należy podkreślić, że w ramach teorii kinematycznie nieliniowej, w której nie obowiązuje zasada zesztywnienia, każda konstrukcja jest statycznie niewyznaczalna. W takich przypadkach w równaniach równowagi występują nieznane przemieszczenia, do których wyznaczenia niezbędna jest analiza deformacji konstrukcji. Wniosek ten wynika z rozważań zawartych w p. 14.6. Przykładem konstrukcji statycznie wyznaczalnej jest belka wspornikowa z rys. 14.10c, której rozwiązanie podano na rys. 14.11. Bardzo istotną cechą konstrukcji statycznie wyznaczalnych jest to, że zerowemu obciążeniu odpowiadają zawsze zerowe reakcje i siły wewnętrzne. W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych już tak nie jest, gdyż mogą w nich występować różne od zera reakcje i siły wewnętrzne będące w równowadze z zerowym obciążeniem. Teoria konstrukcji statycznie wyznaczalnych ma znaczenie podstawowe, służy bowiem także do obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych. Na podstawie poprzedniego punktu można wnioskować, że podział na konstrukcje statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne wynika z przyjęcia zasady zesztywnienia. Znaczenie tej zasady wykracza jednak poza konstrukcje o małych przemieszczeniach. Załóżmy, że przy pełnym obciążeniu P konstrukcja wykazuje duże przemieszczenia. Wyobraźmy sobie, że obciążenie przyrasta w czasie skokowo o tak małe wartości ∆P, że przyrosty przemieszczeń konstrukcji są również bardzo małe. Wówczas na każdym kroku obciążenia można przyjąć, że jest słuszna zasada zesztywnienia. Pozwala to na przybliżone obliczenie sił Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

13

wewnętrznych, jeżeli uwzględnimy przemieszczenia konstrukcji skumulowane w krokach poprzednich. Idea metody przyrostowej jest bardzo często stosowana do obliczania konstrukcji wykazujących duże przemieszczenia.

14.8. RÓWNANIA PRACY WIRTUALNEJ DLA KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH Fizyczne podstawy metod mechaniki budowli wywodzą się z równań pracy wirtualnej, stąd fundamentalne znaczenie tych równań. Równania pracy wirtualnej są słuszne dla dowolnego modelu fizycznego materiału. Wynikają z nich zarówno zasady energetyczne, jak i równania równowagi, są bardzo użyteczne podczas wyznaczania przemieszczeń i wielkości statycznych. W dalszych rozdziałach pokażemy niektóre zastosowania tych równań. Dla ciała o objętości V ograniczonego powierzchnią S równania pracy wirtualnej mają postać (por. wzory (3.2) i (3.3)):

∫ pi ui dS + ∫ Gi ui dV = ∫ σ ijεij dV ,

(a)

S

V

V

∫ pi ui dS + ∫ Gi ui dV = ∫ σ ijεij dV ,

(b)

S

V

V

przy czym wielkości wirtualne dla odróżnienia od rzeczywistych zaznaczono nadkreśleniem. Między wielkościami rzeczywistymi a wirtualnymi nie ma żadnego związku przyczynowego. Muszą one jedynie spełniać warunki dopuszczalności statycznej i kinematycznej. W tym punkcie nadamy równaniom (a) i (b) postać przydatną do analizy konstrukcji prętowych. W konstrukcjach prętowych wszystkie siły zewnętrzne są przyłożone do osi pręta, wobec czego różnice między siłami powierzchniowymi i masowymi znikają. Stosownie do ustaleń p. 14.3, traktującego o obciążeniach, lewe strony równań (a) i (b) można zapisać według schematu:  6   ds. pi ui dS + Gi ui dV = (qxu + qyv + qz w + mxψ + myϕy + mzϕz )ds =  Fd i i    S V s s  i =1

∫

∫

∫∑

∫

(14.4)

Wzór (14.4), przedstawiający pracę sił zewnętrznych, oraz wyrażenia na pracę sił wewnętrznych, podane w drugiej części, pozwalają otrzymać ogólną postać równań pracy wirtualnej dla konstrukcji prętowych: − wirtualny stan przemieszczeń:

∫ (q xu + q yv + qz w + mxψ + myϕ y + mzϕz )ds = s

=

∫ Nλ + Qy β y + Qz βz + Mθ + M y k y + M zk z )ds,

(14. 5)

s

lub krócej  6   6   Fi ⋅ di  ds =  Yi ⋅ ei  ds,       s  i =1 s  i =1

∫∑

∫∑

(14.5a)

− wirtualny stan sił: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

14

∫ (q x u + q y v + qz w + mxψ + myϕ y + mzϕ z )ds = s

=

∫ Nλ + Qy β y + Qz βz + Mθ + M y χ y + M z χ z )ds,

(14. 6)

s

lub  6   6   Fi ⋅ di  ds =  Yi ⋅ ei  ds.       s  i =1 s  i =1

∫∑

∫∑

(14.6a)

W równaniach tych λ , β y , βz ,θ , k y , k z oznaczają odpowiednio tzw. uogólnione odkształcenia pręta: wydłużenie względne osi, średnie kąty ścinania oraz jednostkowy kąt skręcenia i krzywizny osi pręta. Wielkości te można uważać za elementy pewnej macierzy odkształceń uogólnionych {ei }:

{ei } = {λ , β y , βz ,θ , k y , k z },

i = 1, 2, ..., 6.

(14.7)

Warto przytoczyć pewien szczególny przypadek równań pracy wirtualnej (14.5). Chodzi o postać tych równań dla układu ciał idealnie sztywnych, w których dopuszczalne przemieszczenia wykluczają występowanie uogólnionych odkształceń. Wówczas prawa strona wzoru (14.5) jest zawsze równa zeru:

∫ (q x u + q y v + qz w + mxψ + myϕ y + mzϕ z )ds − 0

(14.8)

 6   Fi ⋅ di  ds = 0.    s  i =1

(14.8a)

s

lub

∫∑

Równania (14.8) mają duże znaczenie praktyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów i sił wewnętrznych. Równania (14.5) i (14.6) obowiązują również dla prętów silnie zakrzywionych. Trzeba wówczas zamiast zmiany krzywizny k wpisać wyrażenie k +λ/r, gdzie r oznacza początkowy promień zakrzywienia osi pręta. Równania pracy wirtualnej zapisane w postaci (14.5) i (14.6) obowiązują przy założeniu płaskich przekrojów (niekoniecznie normalnych do wygiętej osi pręta) oraz swobodnej deplanacji przekroju podczas skręcania. W innych przypadkach trzeba wprowadzić pewne modyfikacje tych równań. Niemniej ich sens pozostaje ten sam: lewe strony wyrażają pracę sił zewnętrznych, a prawe − pracę sił wewnętrznych. Na przykład w prostoliniowych prętach cienkościennych o przekroju otwartym, podlegających założeniom teorii Własowa, prawe strony równań pracy wirtualnej przybierają postać (por. wzór (13.51)):

∫ ( Nλ + Bkω + Mvθ + M y k y + M zk z )ds,

(14.9)

s

gdzie B i Mv oznaczają odpowiednio bimoment i moment skręcający Saint-Venanta, natomiast krzywizna „skrętna” k ω = θ ' = ψ ′′. W wyrażeniu (14.9) nie występują składniki Qy β y + Qz βz , bo w teorii Własowa zakłada się, że β y = βz = 0.

14.9. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA PRĘTÓW SPRĘŻYSTYCH Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

15

14.9.1. Twierdzenie Clapeyrona Matematyczna treść twierdzeń energetycznych wynika z rezultatów uzyskanych dla ośrodka ciągłego w rozdziale 5. Twierdzenie Clapeyrona dla konstrukcji prętowych wyraża równanie: 1 (q x u + q y v + q z w + mxψ + myϕ y + mzϕ z )ds = 2

∫ s

=

∫ ( s

)

1 Nλ + Qy β y + Qz βz + Mθ + M y k y + M z k z ds, 2

(14.10)

lub 1 2

 6  1 6    Fi ⋅ di ds =  Yi ⋅ ei  ds, i = 1, 2,..., 6 .   2    s  i =1 s  i =1

∫∑

∫ ∑

(14.10a)

Budowa wzoru (14.10) wynika bezpośrednio z rozważań zawartych w p. 14.8. Wzór ten można również traktować jako szczególny przypadek równań pracy wirtualnej, w których wielkości wirtualne utożsamia się z wielkościami rzeczywistymi. Założenie takie jest uzasadnione tym, że wielkości wirtualne są dowolne i dopuszczalne, mogą zatem być także wielkościami rzeczywistymi. Wzór (14.10) obowiązuje tylko dla układów Clapeyrona, czyli układów, w których zależności między obciążeniami i przemieszczeniami są liniowe, a ponadto nie występują wstępne naprężenia lub odkształcenia oraz zmiany temperatury. 14.9.2. Twierdzenie o minimum energii potencjalnej Energię potencjalną definiuje się następująco: (a)

∫ [

]

Π = W εij (uk ) dV − V

∫ pi ui dS − ∫ Gi ui dV ,

Sp

V

przy czym W (εij ) jest funkcją energii odkształcenia sprężystego mającą własność potencjału: (b)

∂W = σ ij . ∂εij

Odpowiednią postać równania (a) dla prętów otrzymamy natychmiast, jeżeli posłużymy się wielkościami uogólnionymi Fi , di , Yi , ei :

∫

Π = Π (di ) = W[ ei (di )]ds − s

 6   Fi di  ,    s F  i =1

∫∑

(14.11)

przy czym

∂W = Yi , i = 1, 2, ..., 6. ∂ei Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(14.12) Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

16

Dla pręta liniowo-sprężystego 6  GA 2 GA 2 βy + βz + GJ sΘ 2 + EJ y k y2 + EJ z k z2 = 1 Di ei2 , W(ei ) = 1  EAλ2 + 2 2 ky kz  i=1

]

∑

(14.13)

gdzie Di oznaczają kolejno odpowiednie sztywności przekroju pręta EA, GA/ky, ..., EJz . Warunkiem stanu równowagi jest osiągnięcie przez energię potencjalną Π(di) wartości ekstremalnej. Równowaga stateczna odpowiada natomiast takiemu kinematycznie dopuszczalnemu polu przemieszczeń, które nadaje energii potencjalnej wartość minimalną:

Π(di ) = min.

(14.14)

Twierdzenie to jest słuszne również dla prętów nieliniowo-sprężystych. Przemieszczenia konstrukcji mogą być dowolnie duże pod warunkiem, że obciążenia są konserwatywne. Omówimy jeszcze jeden bardzo ważny przypadek szczególny, gdy obciążenie składa się również z obciążeń skupionych Pj (j = 1, 2, ..., m). Mogą to być siły lub momenty skupione. Dla jasności zapisu oddziaływania te wydzielimy, przyjmując, że  6   Fi di  ds =    s  i =1 s

∫∑

m  6    Fi di ds + Pj ∆ j ,    i =1  j =1

∫∑ F

∑

gdzie Di oznacza rzut przemieszczenia punktu przyłożenia obciążenia skupionego Pj na linię działania tego obciążenia. Energię potencjalną Π(di, ∆j) wyrazimy więc jak następuje: m  6    Π (di , ∆ j ) = W[ei (d k )]ds − Fi di ds − Pj ∆ j .     = = 1 1 i j s sF

∫∑

∫

(c)

∑

Warunkiem koniecznym występowania stanu równowagi jest zerowanie się pochodnej energii Π względem przemieszczenia ∆j, czyli ∂ Π ∂∆ j = 0, co na podstawie wzoru (c) prowadzi do zależności: Pj =

∂U , ∂∆ j

(14.15)

∫

gdzie U = U (ei , ∆ j ) = W (ei , ∆ j )ds i oznacza całkowitą energię odkształcenia wyrażoną przez wielkości s

kinematyczne.

14.9.3. Twierdzenie o minimum energii dopełniającej. Zasada Castigliano Energię dopełniającą Π* definiuje się następująco: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

∫

Π * = W (σ ij )dV −

(d)

V

17

∫ pi ui ds,

Su

przy czym W(σij) jest funkcją energii naprężeń mającą własność potencjału:

∂W = εij . ∂σ ij

(e)

Dla prętów odpowiednia postać energii dopełniającej Π* przedstawia wzór:  6  Fi di  ds, Π = W (Yi )ds −     s s  i =1

(14.16)

∂W = ek , k = 1, 2, ..., 6. ∂Yk

(14.17)

*

∫∑

∫

d

przy czym

Dla pręta liniowo-sprężystego 2 6 Qy2 1  N2 M 2 M y M z2  1 Qz2 Yi2   = + + + + + W (Yi ) = . 2  EA (GA / k y ) (GA / k z ) GJ s EJ y EJ z  2 D i =1 i  

∑

(14.18)

Twierdzenie o minimum energii dopełniającej głosi, że spośród wszystkich dopuszczalnych pól statycznych (naprężeń uogólnionych i sił zewnętrznych) realizuje się to pole, które nadaje energii dopełniającej wartość minimalną, czyli:

Π * (Yi , Fk ) = min .

(14.19)

Szczególnym przypadkiem tego twierdzenia jest tzw. zasada Castigliano, która ma zastosowanie, gdy poza obciążeniami ciągłymi Fk występują również obciążenia skupione Pj. Wówczas

(f)

m  6    Fi di ds − Pj ∆ j . Π = Π (Yi , Fk , Pj ) = W (Yi , Pj )ds −     1 1 = = i j s sd *

*

∫∑

∫

∑

Warunkiem istnienia ekstremum energii dopełniającej jest znikanie pochodnej energii dopełniającej względem siły Pj, czyli (∂Π * / ∂Pj ) = 0 . Warunek ten zastosowany do równania (f) prowadzi do zależności:

∆j =

∂U , ∂Pj

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(14.20)

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

18

∫

gdzie U = U (Yi , Pj ) = W (Yi , Pj ) ds i oznacza całkowitą energię odkształcenia wyrażoną przez wielkości s

statyczne. Równanie (14.20) stanowi treść wspomnianej wyżej zasady Castigliano.

14.10. O KINEMATYCE I STATYCE UKŁADÓW CIAŁ IDEALNIE SZTYWNYCH 14.10.1. Małe przemieszczenia tarczy sztywnej Problematykę zawartą w tytule tego punktu omówimy na przykładzie układów płaskich. Jako model ciała idealnie sztywnego przyjmiemy nieodkształcalną figurę płaską, czyli tzw. tarczę sztywną. Z mechaniki teoretycznej wiadomo, że dowolny przyrost przemieszczeń ciała sztywnego można traktować jako obrót tego ciała wokół chwilowego bieguna obrotu. Przesunięcie równoległe (translacja) stanowi przypadek szczególny, w którym chwilowy biegun obrotu leży w nieskończoności.

Rys. 14.12

Rozważmy obrót tarczy sztywnej wokół bieguna leżącego w początku przyjętego układu współrzędnych x, y (rys. 14.12a). Jeśli kąt obrotu ϕ jest mały, to można przyjąć, że wektory przemieszczenia poszczególnych punktów tarczy są prostopadłe do kierunku promieni łączących te punkty z biegunem obrotu. Ilustruje to rys. 14.12a, na którym dla wybranego punktu B wektor przemieszczenia ∆ jest prostopadły do promienia r, przy czym

∆ = r ⋅ tgϕ ≈ r ⋅ ϕ

(14.21)

Rzuty przemieszczenia ∆ na osie x i y wynoszą: (a) (b)

u = ∆ sin α = ϕ ⋅ (r sin α ), v = − ∆ cosα = −ϕ ⋅ (r cosα ).

Ponieważ współrzędne punktu B wyrażają się wzorami (c) (d)

x B = r cos α , y B = r sin α ,

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

19

więc zależności (a) i (b) można zapisać w postaci: u = ϕ ⋅ yB ,   v = −ϕ ⋅ x B .

(14.22)

Równanie (14.22) prowadzi do bardzo użytecznego wniosku, a mianowicie: Bezwzględna wartość dowolnej składowej wektora przemieszczenia jest iloczynem kąta obrotu tarczy i odległości tej składowej od bieguna obrotu. Drugie ważne spostrzeżenie dotyczy sposobu wyznaczenia położenia bieguna obrotu (por. rys. 14.12b): Jeżeli znamy kierunki wektorów przemieszczenia dwóch różnych punktów tarczy, to chwilowy biegun obrotu leży w punkcie przecięcia się prostych prostopadłych do tych wektorów. Ponieważ każdy z punktów tworzących tarczę obraca się względem bieguna obrotu o ten sam kąt równy kątowi obrotu całej tarczy ϕ, zatem na podstawie (14.21) otrzymujemy zależność:

∆ ϕ= 1= r1

∆2 =... = r2

∆n = const. rn

(14.23)

W szczególnym przypadku, gdy tarcza podlega wyłącznie translacji, chwilowy biegun obrotu leży w nieskończoności (w punkcie przecięcia się dwóch prostych równoległych − por. rys. 14.12c).

14.10.1. Warunek geometrycznej niezmienności i kinematyka układu tarcz sztywnych Tarcza sztywna na płaszczyźnie ma trzy stopnie swobody. Do jej unieruchomienia niezbędne są zatem co najmniej trzy pręty podporowe (rys. 14.13a). Jest to tylko warunek konieczny, ponieważ tarcza z rys. 14.13b może obracać się wokół bieguna O, leżącego w punkcie przecięcia się wszystkich trzech prętów podporowych. Tarcza ta ma więc jeden stopień swobody i jest chwilowo geometrycznie zmienna.

Rys. 14.13

Dla układu złożonego z większej liczby tarcz warunek konieczny ich unieruchomienia jest następujący: (e)

p = 3t ,

gdzie p jest łączną liczbą prętów podporowych, a t − liczbą tarcz w układzie. Na podstawie równania (e) można sprecyzować trzy przypadki: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

20

1) gdy p < 3t, układ jest geometrycznie zmienny, 2) gdy p = 3t, układ jest geometrycznie niezmienny, 3) gdy p > 3t, układ jest geometrycznie niezmienny i przesztywniony. Powyższy podział jest słuszny, jeżeli wykluczymy z równań przypadki szczególne podane przykładowo na rys. 14.13b, c, 14.14c, d. W każdej poprawnie zaprojektowanej konstrukcji, której elementy − zgodnie z zasadą zesztywnienia − można traktować jak tarcze sztywne, liczba więzów (prętów podporowych) musi spełniać konieczny warunek niezmienności geometrycznej. p ≥ 3t .

(14.24)

Liczba n = p − 3t określa stopień przesztywnienia układu. Warunek dostateczny niezmienności geometrycznej układu sformułujemy w p. 14.10.4.

Rys. 14.14

Omówimy krótko układy geometrycznie zmienne (przypadek 1), które także mają duże znaczenie praktyczne. Chodzi mianowicie o określenie kinematyki takich układów. Liczba s = 3t − p określa liczbę stopni swobody układu geometrycznie zmiennego. Gdy liczba stopni swobody s > 1, to kinematyka wypadkowa jest kombinacją liniową poszczególnych mechanizmów o jednym stopniu swobody. Rozważmy przykładowo układ dwóch tarcz przedstawiony na rys. 14.15. Układ ten ma dwa stopnie swobody ( s = 3 ⋅ 2 − 4 = 2 ). Wprowadzenie dwóch dodatkowych prętów podporowych 1 i 2 powoduje, że układ staje się geometrycznie niezmienny. Pierwszy mechanizm o jednym stopniu swobody uzyskujemy po usunięciu podpory 1, a drugi − również o jednym stopniu swobody − po usunięciu podpory 2. Każdy z mechanizmów jest jednoznacznie określony przez kąt obrotu wybranej tarczy. Przyjmijmy zatem, że kąt ϕ1 określa mechanizm 1, a kąt ϕ 2 określa mechanizm 2.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

21

Rys. 14.15

Dokonamy najpierw analizy mechanizmu 1 (rys. 14.15b). Punkt (I) oznacza biegun obrotu tarczy I. Punkt ten pokrywa się z podporą A. Biegun obrotu tarczy II leży na prostych prostopadłych do znanych kierunków wektorów przemieszczenia dwóch punktów B i C należących do tarczy II. Wzajemny biegun obrotu obu tarcz (I, II) leży w punkcie B. Charakterystyczne jest to, że bieguny (I), (I, II) i (II) leżą na jednej prostej. Z porównania długości wektora ∆B wyznaczonej z kinematyki tarcz I i II otrzymujemy zależność między kątami ϕ I(1) i ϕ II(1) : 3 ⋅ ϕ I(1) = 1 ⋅ ϕ II(1) . Ponieważ ϕ1 = ϕ I(1) , więc dla mechanizmu 1 mamy

ϕ I(1) = ϕ1 , ϕ II(1) = 3ϕ1. W podobny sposób ustalamy położenie bieguna obrotu i zależności między kątami w mechanizmie 2 (rys. 14.15c): 1 ⋅ ϕ I( 2 ) = −2 ⋅ ϕ II( 2) . Ponieważ ϕ 2 = ϕ II(2 ) , więc ϕ I( 2 ) = −2 ⋅ ϕ II( 2) = −2 ⋅ ϕ 2 . Ostatecznie otrzymujemy: (f)

ϕ I = ϕ (1) + ϕ ( 2) = ϕ1 − 2ϕ 2 , I II  (1) (2) ϕ II = ϕ II + ϕ II = 3ϕ1 + ϕ 2 .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

22

Zależność (f) jest ilustracją faktu, że kinematyka układu o dwóch stopniach swobody jest kombinacją liniową dwóch mechanizmów składowych, określonych przez dwa kąty obrotu ϕI i ϕII. Kąty obrotu układu tarcz sztywnych, tworzących mechanizm o jednym stopniu swobody (tzw. łańcuch kinematyczny), można również wyznaczyć analitycznie, bez uciekania się do wyznaczania biegunów obrotu poszczególnych tarcz. Dla ilustracji sposobu analitycznego rozważymy układ trzech tarcz sztywnych o jednym stopniu swobody, przedstawiony na rys. 14.15d. Idea tego sposobu polega na wykorzystaniu równań sumy rzutów przemieszczeń na osie układu współrzędnych x, y. Składowe przemieszczenia punktu D − stosownie do wzoru (14.22) − wynoszą: ∆Dx =   ∆Dy =

(g)

∑ ∆x = l1y ⋅ ϕI + l2 y ⋅ ϕII + l3 y ⋅ ϕIII , ∑ ∆y = −l1x ⋅ ϕI − l2 x ⋅ ϕII − l3x ⋅ ϕIII .

Należy zwrócić uwagę, że dodatnie kąty ϕ I , ϕ II i ϕ III odpowiadają tutaj obrotowi zgodnemu z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, a znaki rzutów długości prętów lix , liy traktuje się jako składowe wektorów AB, BC i CD, czyli: lix = li ⋅ cosαi , l = l ⋅ sin α . i  iy i

(h)

Ponieważ punkt D jest nieruchomy, więc ∆Dx = ∆Dy = 0 , a zależności (g) tworzą układ dwóch równań jednorodnych o trzech niewiadomych ϕ I , ϕ II i ϕ III : l1y ⋅ ϕ I + l2 y ⋅ ϕ II + l3 y ⋅ ϕ III = 0,  l1x ⋅ ϕ I + l2 x ⋅ ϕ II + l3x ⋅ ϕ III = 0.

(i)

Z układu tego można wyznaczyć stosunki niewiadomych kątów. Przyjąwszy przykładowo, że t2 = ϕII ϕI oraz t3 = ϕIII ϕI , otrzymujemy dwa równania o dwóch niewiadomych t2 i t3: l2 y ⋅ t2 + l3 y ⋅ t3 = − l1y ,  l2 x ⋅ t2 + l3x ⋅ t3 = − l1x ,

(j) stąd

ϕ II = t2 ⋅ ϕ I =

l1x l3 y − l1y l3x ⋅ ϕI , l2 y l3 x − l2 x l3 y

ϕ III = t3 ⋅ ϕ I =

l1y l2 x − l1x l2 y ⋅ ϕI . l2 y l3x − l2 x l3 y

Dalsze zastosowania sposobu analitycznego pokażemy na przykładach łańcuchów kinematycznych podanych na rys. 14.15b, c. Dla układu z rys. 14.15b mamy:

∆Cx = 3lϕ I(1) − lϕ II(1) = 0, ∆Cy = − l ⋅ ϕ I (1) − 2l ⋅ ϕ II(1) = ∆C .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

23

Z pierwszego równania otrzymujemy, że 3ϕ I(1) = ϕ II(1) , co pokrywa się z wynikiem uzyskanym wcześniej. Drugie równanie wyraża jedynie związek między wartościami kątów ϕ I(1) i ϕ II(1) a przemieszczeniem

∆C . Dla układu z rysunku 14.15c mamy:

∆Cx = − ∆ A + 3lϕ I( 2) − lϕ II( 2) = 0, ∆Cy = −lϕ I( 2 ) − 2lϕ II( 2) = 0. Interesująca nas zależność pomiędzy kątami ϕ I( 2 ) a ϕ II( 2) wynika z drugiego równania: ϕ I( 2) = −2ϕ II( 2) . Wynik ten jest identyczny z wynikiem uzyskanym za pomocą planu biegunów. 14.10.3. Warunek statycznej wyznaczalności i równowaga układu tarcz sztywnych Statyczna wyznaczalność w przypadku układu tarcz sztywnych oznacza, że reakcje wszystkich więzów (tj. prętów podporowych i prętów łączących tarcze) można obliczyć wyłącznie z równań równowagi. Dla każdej tarczy można ułożyć trzy równania równowagi. Wobec tego liczba składowych reakcji (liczba prętów) w układzie wyznaczalnym wynosi 3t. Wyróżnimy trzy przypadki: 1) gdy p < 3t, układ równań statyki jest sprzeczny, 2) gdy p = 3t, układ jest statycznie wyznaczalny, 3) gdy p > 3t, układ jest statycznie niewyznaczalny. Z powyższego wynika silny związek statyki z kinematyką. Przypadek 1) odpowiada układom geometrycznie zmiennym, przypadek 2) − geometrycznie niezmiennym, a przypadek 3) − układom przesztywnionym. W statyce konstrukcji liczba n = p − 3t nazywa się stopniem statycznej niewyznaczalności układu. Liczba ta jest odpowiednikiem stopnia przesztywnienia w kinematyce konstrukcji. Trzeba dodać, że warunek p = 3t jest tylko warunkiem koniecznym statycznej wyznaczalności. Warunek ten mówi, że liczba równań równowagi jest równa liczbie niewiadomych reakcji (sił w prętach). Może się okazać, że wyznacznik układu równań równowagi jest równy zeru i wówczas nie ma jednoznacznego rozwiązania. Ten szczególny przypadek odpowiada układom geometrycznie zmiennym (por. rys. 14.13b, i rys. 14.14c, d). Badanie wartości wyznacznika równań równowagi jest więc metodą pozwalającą zidentyfikować układy geometrycznie zmienne. Wyjaśnienie pochodzenia tej metody oraz sposobu powiązania statyki z kinematyką układów zawiera p. 14.10.4. Jeżeli p > 3t, to dla tarcz idealnie sztywnych nie można wyznaczyć reakcji więzów. Możliwość taka pojawia się dopiero po odstąpieniu od założenia o idealnej sztywności tarcz. Podczas badania równowagi warto pamiętać o tym, że jeżeli na układ tarcz działają: − tylko dwie siły, to równowaga zachodzi wtedy, gdy linie działania tych sił pokrywają się, wartości są równe a zwroty przeciwne (rys. 14.16a), − tylko trzy siły, to równowaga zachodzi wtedy, gdy linie działania tych sił przecinają się w jednym punkcie (rys. 14.16b).

Rys. 14.16

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

24

14.10.4. Warunek dostateczny geometrycznej niezmienności układu ciał idealnie sztywnych Ruch układu ciał sztywnych następuje wskutek niewystarczającej liczby lub niewłaściwego rozmieszczenia prętów podporowych. Rozważmy płaski układ idealnie sztywnych prętów połączonych ze sobą węzłami przegubowymi (kratownica). Przyjmijmy ponadto, że siły zewnętrzne obciążające układ działają wyłącznie w węzłach (rys. 14.17a). Za pomocą takiego modelu można również analizować dowolny układ tarcz sztywnych. Zakłada się przy tym, że węzły przegubowe występują dodatkowo w punktach przyłożenia sił zewnętrznych. Ponieważ do unieruchomienia węzła na płaszczyźnie niezbędne są co najmniej dwa pręty, zatem warunek konieczny geometrycznej niezmienności rozważanych układów ma postać: (a)

p ≥ 2w,

gdzie p jest liczbą prętów a w − liczbą węzłów wewnętrznych (ruchomych, tzn. węzłów niepodporowych). Jeżeli p > 2w, to układ jest przesztywniony, a stopień przesztywnienia takiego układu n = p − 2w. Układ prętów jest geometrycznie niezmienny, jeżeli przemieszczeniu węzłów towarzyszą zmiany długości przynajmniej niektórych prętów. Inaczej mówiąc, zerowym wydłużeniom (skróceniom) prętów muszą odpowiadać tylko zerowe wartości przemieszczeń wszystkich węzłów. Jest to słowne sformułowanie dostatecznego warunku geometrycznej niezmienności.

Rys. !4.17

Zależności między przemieszczeniami węzłów a wydłużeniem pręta ustalimy na podstawie rys. 14.17b. W konfiguracji pierwotnej punkt A oznacza początek a punkt B koniec pręta o długości li. Oś pręta ma zatem zwrot zgodny z wektorem AB. Po odkształceniu punkt A zajmie położenie A', a punkt B położenie B'. W układzie współrzędnych lokalnych x1, x2 składowe wektorów przemieszczenia punktów A i B oznaczymy odpowiednio przez ui(i ) , u2(i ) i u3(i ) , u4(i ) . Położenie pręta względem globalnego układu (i) współrzędnych X1, X2 jest określone przez wartości kosinusów kierunkowych wektora jednostkowego a którego zwrot jest zgodny ze zwrotem wektora AB: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

25

a (i ) = (a (i ) ,a (i ) ) , 1 2   (i ) (i ) a1 = cos(a , X1 ),  (i ) (i ) a2 = cos(a , X 2 ).

(b)

Składowe wektorów przemieszczenia punktów A i B w globalnym układzie współrzędnych są oznaczone odpowiednio przez U1(i ) , U 2(i ) i U 3(i ) , U 4(i ) . Długość pręta po odkształceniu obliczymy ze wzoru Pitagorasa: li + ∆li =

( c)

= li

(l + u i

(i ) 3

) + (u (u −u +

− u1(i )

u3(i ) 1+ 2

2

(i ) 1

(i ) 4

− u2(i )

(i ) 3

− u1(i )

)= ) + (u 2

2

li

(i ) 4

− u2(i )

li2

)

2

.

Jeżeli przemieszczenia są bardzo małe w porównaniu z długością pręta, to uzasadnione jest uwzględnienie jedynie przyrostu długości jako liniowej funkcji składowych wektorów przemieszczeń: u (i ) − u1(i ) li + ∆li = li 1 + 2 3 = li + u3(i ) − u1(i ) , li skąd (d)

∆li = u3(i ) − u1(i ) .

Wzór (d) wiąże przyrost długości pręta i z przemieszczeniami odmierzonymi w lokalnym układzie współrzędnych x1, x2. Ponieważ (e) więc (f)

u (i ) = U (i ) a (i ) + U (i ) a (i ) , 1 1 1 2 2  (i ) (i ) (i ) (i ) ( i ) u3 = U 3 a1 + U 4 a2 ,

(

)

(

)

∆li = U 3(i ) − U1(i ) a1(i ) + U 4(i ) − U 2(i ) a2(i ) .

Wzór (f) pozwala obliczyć przyrost długości pręta, jeżeli są znane przemieszczenia węzłów odmierzane w układzie globalnym X1, X2. Obliczymy zatem wydłużenia prętów układu przedstawionego na rys. 14.17c. Numery prętów zapisano w kółkach, a zwrot ich osi odpowiada numeracji węzłów; niższy numer oznacza początek danego pręta. Ponieważ układ składa się z pięciu prętów, a liczba węzłów wewnętrznych wynosi dwa, zatem stopień przesztywnienia układu wynosi n = 1. Uwzględniając, że U1 = U 2 = U 7 = U 8 = U 9 = U10 = U11 = U12 = 0 , ze wzoru (f) otrzymujemy: U 3a1(1) + U 4 a2(1) = ∆l1 ,

(U5 − U 3 )a1(2) + (U 6 − U 4 )a2(2) = ∆l2 , − U 5a1( 3) − U 6a2( 3) = ∆l3 , − U 5a1( 4 ) − U 6a2( 4) = ∆l4 , − U 5a1(5) − U 6a2(5) = ∆l5 . Równania powyższe można zapisać w postaci macierzowej: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

(g)

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

26

[C jk ]⋅ {U k } = {∆l j },

gdzie {U k } = {U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 } jest wektorem przemieszczeń węzłów wewnętrznych,

{∆l j } = {∆l1, ∆l2 , ∆l3 , ∆l4 , ∆l5} jest wektorem wydłużeń prętów, a

(h)

 a (1)  1( 2) − a1 [C jk ] =  0   0   0

a2(1)

− a2( 2 ) 0 0 0

0 a1( 2)

− a1( 3)

− a1( 4) − a1(5)

0   a2( 2)   − a2( 3)  − a2( 4 )   − a2(5) 

Macierz [Cjk] nazywa się macierzą zgodności geometrycznej. Liczba wierszy tej macierzy jest równa liczbie prętów (j = 1, 2, ..., p), zaś liczba kolumn jest równa liczbie stopni swobody węzłów wewnętrznych, s = 2w (k = 1, 2, ..., a). Jak stwierdziliśmy wyżej, warunkiem geometrycznej niezmienności układu jest wymaganie, by zerowym wydłużeniom prętów odpowiadały zerowe wartości przemieszczeń węzłów wewnętrznych. Oznacza to, że w konstrukcjach geometrycznie niezmiennych układ równań jednorodnych, (i)

[C jk ]⋅ {U k } = 0 ,

może mieć tylko rozwiązanie zerowe, czyli {Uk} = 0. Stosownie do twierdzenia Sylvestra zachodzi to wówczas, gdy rząd macierzy [Cjk], czyli liczba liniowo niezależnych kolumn, jest równa liczbie stopni swobody: (j)

rz [Cjk] = s.

Jeżeli (k)

rz [Cjk] < s,

to konstrukcja jest geometrycznie zmienna. Przedstawione wyżej kryteria dotyczące problemu geometrycznej niezmienności konstrukcji są opisane szczegółowo w pracy [25]. Usytuowanie prętów tworzących konstrukcję z rys. 14.17c gwarantuje geometryczną niezmienność układu. Jeżeli jednak dla przykładu węzły 1, 2 i 3 leżałyby na jednej prostej, to otrzymalibyśmy układ chwilowo geometrycznie zmienny, bo węzeł 2 może wówczas ulec niewielkiemu przemieszczeniu bez zmiany długości prętów 1 i 2. Sytuacja taka zachodzi, gdy a1(1) = a1( 2) oraz a2(1) = a2( 2) . Wtedy z zależności (h) widać, że rząd macierzy [Cjk] zmniejsza się o jedność, gdyż dwie pierwsze kolumny tej macierzy są proporcjonalne (tzn. liniowo zależne). Wobec powyższego rz [Cjk] = 3 < s = 4. Gdy p = 2w, macierz geometrycznej zgodności [Cjk] jest macierzą kwadratową, a badanie geometrycznej niezmienności konstrukcji sprowadza się do badania wartości wyznacznika tej macierzy. Układ równań (i) ma rozwiązanie trywialne (tj. zerowe) tylko wówczas, gdy wyznacznik tego układu jest różny od zera. Wobec powyższego warunek dostateczny geometrycznej niezmienności ma postać: (l)

det [Cjk] ≠ 0.

Rozważymy obecnie równowagę układu prętów połączonych przegubami. Przyjmijmy, że konstrukcję z rys. 14.17c obciążono siłami przyłożonymi w węzłach wewnętrznych 2 i 3. Pod wpływem tych obciążeń w poszczególnych prętach wystąpiły siły osiowe Zi (i = 1, 2, ..., 5). Sytuację tę objaśnia rys. 14.17d. Z równowagi węzłów 2 i 3 wynikają następujące równania: P1 = Z1a1(1) − Z2 a1( 2) , P2 = Z1a2(1) − Z2 a2( 2) , Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

27

P3 = Z2 a1( 2 ) − Z3a1( 3) − Z4 a1( 4) − Z5a1(5) , P4 = Z2 a2( 2) − Z3a2( 3) − Z4 a2( 4) − Z5a2(5) . Powyższe równania można zapisać w postaci macierzowej:

{Pk } = [Dkj ]⋅ {Z j },

(m)

{ }

gdzie Z j = {Z1 , Z2 , Z3 , Z4 , Z5} jest wektorem sił wewnętrznych w prętach, {Pk } = {P1 , P2 , P3 , P4 } jest wektorem sił węzłowych, a

(n)

a (1)  1(1) a Dkj =  2  0  0 

[ ]

− a1( 2 ) − a2( 2 ) a1( 2) a2( 2)

0

0

0

0

− a1( 3) − a2( 3)

− a1( 4) − a2( 4)

0   0  . − a1(5)  − a2(5) 

Macierz [Dkj] jest macierzą układu równań równowagi. Liczba wierszy tej macierzy równa się 2w, a liczba kolumn jest równa liczbie prętów p. Nietrudno zauważyć, że macierz [Dkj] jest równa transponowanej macierzy geometrycznej zgodności [Cjk]

[Dkj ] = [C jk ]

T

(o)

.

Nie jest to przypadek, gdyż zależność (o) obowiązuje zawsze, niezależnie od rodzaju materiału, jeśli tylko przemieszczenia konstrukcji są na tyle małe, że słuszna jest zasada zesztywnienia. Stwierdzenie powyższe wynika z równania pracy wirtualnej: s

p

k =1

j =1

∑ Pk ⋅U k = ∑ Z j ⋅ ∆l j .

(p)

Podstawiwszy bowiem zależności (i) oraz (m) otrzymujemy: p  p   s    Dkj ⋅ Z j ⋅ U k = Zj C jk ⋅ U k  .       k =1  j = 1 j =1  k =1 s

∑∑

∑ ∑

Wynika stąd, że między elementami macierzy [Cjk] i [Dkj] zachodzi zależność [Cjk] = [Dkj], równoważna równaniu (o). W układach statycznie wyznaczalnych liczba prętów jest równa podwojonej liczbie węzłów 2w, bo dla każdego węzła można ułożyć dwa równania równowagi. W układach tych macierz zgodności geometrycznej [Cjk] jest macierzą kwadratową, gdyż p = 2w − s. Zatem stosownie do zależności (l) warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności jest wymaganie, by det [Cjk] ≠ 0, równoważne wymaganiu: det[C jk ]T = det[ Dkj ] ≠ 0. Wynika stąd słuszność metody identyfikowania układów geometrycznie zmiennych, polegającej na badaniu wartości wyznacznika układu równań równowagi. Na zakończenie zwrócimy uwagę, że w przeprowadzonych wyżej rozważaniach podstawowe znaczenie mają zależności (g) i (m). Okazuje się, że zależności te są szczególnym przypadkiem postaci związków geometrycznych i równań równowagi dla układów dyskretnych: (r)

{e j } = [C jk ] ⋅ {d k },

(s)

{ Pk } = [C jk ] ⋅ {Y j }.

W równaniach (r) symbole {e j } oraz {d k } oznaczają odpowiednio wektory uogólnionych odkształceń i przemieszczeń. W równaniach (s) przez { Pk } oznaczono wektor obciążeń węzłowych, a przez {Y j }wekAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

28

tor uogólnionych naprężeń. Prostokątna macierz [C jk ] = C , występująca w obu równaniach, jest macierzą zgodności geometrycznej. Równania (r) i (s) można zapisać w nieco ogólniejszej, równoważnej postaci: e = C d,

p ×1

p × s s ×1

P = CT Y,

s ×1

s× p

(14.25)

p ×1

gdzie e = {e j } , d = {d k }, P = { Pk }, Y = {Y j }, C = [C jk ] , T oznacza operator transpozycji, a pod symbolami macierzy podano ich wymiary. Liczba p oznacza tutaj liczbę składowych uogólnionych naprężeń (lub odkształceń), a liczba s liczbę uogólnionych przemieszczeń (lub obciążeń). Zależności (14.25) ilustrują dualizm mechaniki: macierz geometrycznej zgodności jest transpozycją macierzy równowagi. Ten fascynujący związek kinematyki i statyki uzasadnił.Sewell dopiero w 1969 roku. Warto pamiętać, że zależności (14.25) zostały wyprowadzone dla konstrukcji wykonanych z dowolnego materiału, wykazujących małe przemieszczenia. Dodajmy, że podobne pokrewieństwo równań równowagi i równań geometrycznych można wykazać również dla ośrodka ciągłego.

14.11. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNOWAGI PRĘTÓW 14.11.1. Pręty o osi prostoliniowej Równania różniczkowe równowagi prętów zostały już wprowadzone w części drugiej. Stanowią one − jak wiadomo − odpowiedniki równań różniczkowych równowagi w ośrodku ciągłym. Są to zależności między uogólnionymi naprężeniami a obciążeniem pręta. Równania te mają charakter ogólny i bardzo często wykorzystuje się je podczas rozwiązywania konkretnych zadań z mechaniki układów prętowych. Rozważania ograniczymy tylko do płaskiego układu sił przy założeniu zasady zesztywnienia. Rozpatrzymy równowagę nieskończenie małego odcinka pręta o długości dx (rys. 14.18):

(a) (b) (c)

∑ Px = N + dN − N + qxdx = 0, ∑ Pz = Qz + dQz − Qz + qz dx = 0, 1 ∑ M B = M y + dM y − M y − Qzdx − my dx + 2 qz (dx) 2 = 0.

Rys. 13.18

Po redukcji wyrazów podobnych oraz pominięciu w równaniu (c) składnika qz ( dx ) 2 / 2 jako małej wielkości wyższego rzędu otrzymujemy:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

dN  = − q x ( x ),  dx  dQz  = − qz ( x ),  dx  dM y  − Qz ( x ) = my ( x ). dx 

29

(14.26)

W praktyce my(x) występuje niezmiernie rzadko. Po przyjęciu, że my(x) ≡ 0, równanie (14.26)3 przybiera postać: dM y dx

− Qz ( x ) = 0.

(14.26a)

Równania (14.26) są poszukiwanymi równaniami różniczkowymi równowagi pręta prostoliniowego. Na podstawie równań (14.26)2 i (14.26a) otrzymujemy często wykorzystywany związek między obciążeniem pręta qz(x) a momentem zginającym My(x): d2 My dx 2

= − q z ( x ).

(14.27)

14.11.2. Pręty o osi zakrzywionej Rozważmy pręt przedstawiony na rys.14.9. Równania równowagi ułożone dla elementarnego odcinka tego pręta o długości ds prowadzą do następujących związków (cos( dα ) ≈ 1, sin( dα ) ≈ α ):

∑ Px = N + dN − N − Qz dα + q x ds = 0, ∑ Pz = Qz + dQz − Qz + N ⋅ dα + qzds = 0,

∑M

B

1 = M y + dM y − M y − Qz ds − m y ds + q z (ds ) 2 = 0. 2

Rys. 14.19

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

14. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

30

Po redukcji wyrazów podobnych i odrzuceniu bardzo małych wielości otrzymujemy poszukiwane równania różniczkowe równowagi dla pręta o osi zakrzywionej: dN Qz − = − q x ( s), ds r dQz N + = − qz ( s), ds r dM y − Qz ( s) = my ( s). ds

(14.28)

W przypadku, gdy r → ∞ i ds → dx powyższe równania przechodzą w równania (14.26) dla pręta o osi prostoliniowej.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

1

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 15.1. WARUNEK KONIECZNY STATYCZNEJ WYZNACZALNOŚCI PŁASKICH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH Na wstępie przypomnijmy, że podział na konstrukcje statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne ma sens tylko wtedy, gdy w równaniach równowagi pomijamy deformacje konstrukcji. Oznacza to, że w tym i w dalszych rozdziałach trzeciej części podręcznika akceptujemy zasadę zesztywnienia. Zasadnicze problemy konstrukcji statycznie wyznaczalnych omówimy przede wszystkim na przykładach płaskich układów prętowych obciążonych w swej płaszczyźnie. W każdej płaskiej konstrukcji prętowej można wyszczególnić trzy rodzaje prętów, różniących się liczbą sił brzegowych. Pierwszą grupę stanowią pręty obustronnie przegubowo połączone z resztą konstrukcji, w których występują cztery nieznane

Rys. 15.1 siły brzegowe (rys. 15.1a). Liczbę tych prętów oznaczymy przez p1. Druga grupa, określona liczbą p2, to pręty z jednej strony połączone przegubowo, a z drugiej utwierdzone, o pięciu składowych siłach brzegowych (rys. 15.1b). Pręty obustronnie utwierdzone w liczbie p3 mają sześć składowych sił brzegowych (rys. 15.1c). Dla każdego z wyszczególnionych prętów można ułożyć trzy równania równowagi. Wobec tego liczbę nieznanych sił brzegowych wyraża zależność:

(4 p1 − 3 p1 )+ (5 p2 − 3 p2 ) + (6 p3 − 3 p3 )= p1+2 p2+3 p3 . Poszczególne pręty są połączone między sobą w węzłach, dla których także można ułożyć równania równowagi. Rozróżniamy dwa rodzaje węzłów. Pierwszy to węzły, w których wszystkie pręty są połączone przegubowo (rys. 15.1d). Dla każdego takiego węzła można ułożyć tylko dwa równania równowagi sił (równanie momentów jest spełnione tożsamościowo). Liczbę węzłów przegubowych oznaczymy przez w1. Drugi rodzaj stanowią wszystkie inne węzły w liczbie w2, w których choćby dwa pręty są między sobą połączone w sposób sztywny (rys. 15.1e, f). Dla każdego takiego węzła można ułożyć trzy równania równowagi (dwie sumy rzutów sił i suma momentów). Ostatecznie liczba niewiadomych sił:

n = p1 + 2 p2 + 3 p3 − 2 w1 − 2 w2 .

(15.1)

Liczba n określa stopień statycznej niewyznaczalności konstrukcji. Trzeba dodać, że w liczbie prętów p1 oraz węzłów w1 i w2 należy uwzględnić wszystkie pręty i węzły podporowe. Przykłady zastosowania wzoru (15.1) podano na rys. 15.2, na którym w nawiasach zaznaczono liczbę prętów podporowych.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

2

Rys. 15.2 W układach statycznie wyznaczalnych liczba n musi być równa zeru (por. np. rys. 15.2b):

n = p1 + 2 p2 + 3 p2 + 2 w1 − 3w2 = 0 .

(15.2)

Stosownie do uwag z p. 14.10 przypominamy, że jest to tylko warunek konieczny. Mechaniczne stosowanie wzorów (15.1) lub (15.2) prowadzi do istotnych błędów. Zdarza się bowiem tak, że w pewnych fragmentach konstrukcja może być przesztywniona (statycznie niewyznaczalna), a w innych − geometrycznie zmienna. Wówczas globalna wartość n dla całej konstrukcji jest różnicą między stopniem statycznej niewyznaczalności fragmentu przesztywnionego n1 a liczbą stopni swobody części geometrycznie zmiennej s1, tzn. n = n1 − s1. Przykłady takich pułapek ilustrują rys. 15.2d, e. Ogólnym sposobem identyfikacji układów geometrycznie zmiennych jest badanie rzędu macierzy zgodności geometrycznej (por. p. 14.10.4). 15.2. OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W tym punkcie zilustrujemy analityczną postać metody statycznej i metodę kinematyczną. W metodzie statycznej wykorzystuje się ogólną zasadę wyznaczania sił wewnętrznych, polegającą na badaniu równowagi jednej myślowo wydzielonej części konstrukcji. Metoda kinematyczna opiera się na równaniu pracy wirtualnej przy wirtualnym stanie przemieszczeń ułożonym dla układu ciał idealnie sztywnych połączonych stosownie dobranymi więzami (równanie (14.8)). Przyczyną pojawienia się reakcji podporowych R i sił wewnętrznych Y są obciążenia F. W równaniach równowagi wielkości te występują zawsze w pierwszej potędze; tworzą zatem funkcje liniowe. Wobec tego dla przyczyny (obciążenia) i skutków (reakcje, siły wewnętrzne) obowiązuje zasada superpozycji: R( F1 ,..., Fm ) = Y ( F1 ,..., Fm ) =

R1 ( F1 ) + R2 ( F2 ) +...+ Rm ( Fm ),  Y1 ( F1 ) + Y2 ( F2 ) +...+Ym ( Fm ), 

(15.3)

przy czym indeksy reakcji i sił wewnętrznych odpowiadają kolejnym numerom obciążeń. Równania (15.3) są słuszne dla dowolnego materiału, również nieliniowego. Jedynym ograniczeniem jest przyjęcie zasady zesztywnienia. Dla jasności trzeba jednak dodać, że zasada superpozycji na ogół nie Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

3

dotyczy naprężeń. Wyjątek stanowią układy kratowe i pewne inne przypadki szczególne. Rozszerzenie zasady superpozycji nie tylko na naprężenia ale i na odkształcenie i przemieszczenie jest słuszne dla materiałów liniowo-sprężystych. 15.2.1. Przykłady zastosowania metody statycznej Przykład 1 Obliczyć siły w prętach kratownicy przedstawionej na rys. 15.3a.

Rys. 15.3 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

4

Rozwiązanie Osie prętów kratownicy tworzą siatkę trójkątną, co przy trzech składowych reakcji świadczy o tym, że konstrukcja jest geometrycznie niezmienna (s = 0) i statycznie wyznaczalna (n = 0). a. Obliczenie reakcji

∑ Px = H 0 − P = 0; H0 = P, ∑ M4 = 3aV0 − 0,5aP − 2,5aP = 0; V0 = P, ∑ M0 = −3aV4 + 2,5 ⋅ 2aP − 0,5aP = 0; V4 = 1,5P. Sprawdzenie:

∑ Pz = 2,5P − V0 − V4 = 0.

b. Obliczenie sił w prętach Podzielimy kratownicę na dwie części przekrojem β − β (rys. 15.3b). Mamy do dyspozycji trzy równania równowagi, z których można wyznaczyć trzy siły: Z2, Z6 i Z9. Zakładamy pierwotnie, że siły te są dodatnie, czyli zwroty ich odpowiadają rozciąganiu prętów. Rozważmy przykładowo równowagę prawej części kratownicy. Ułożymy kolejno równanie równowagi momentów względem punktów 0, 1 i 5. Uzyskamy wówczas rozprzężenie układu równań liniowych względem niewiadomych Z9, Z6 i Z2:

∑ M0 = 3a ⋅ 1,5P − 2a ⋅ 2,5P + Z9 ⋅ r0 = 0,

5  Pa  Z9 =  P,  / r0 =  2  4

∑ M1 = 2a ⋅ 1,5P − a ⋅ 2,5P − Z6 ⋅ r1 = 0,

 Pa  Z6 =   / r = P,  2  1

∑ M5 = a ⋅ 1,5P + Z2 ⋅ r5 = 0,

3 5  3 Pa  Z2 =  − P.  / r5 = −  2  4

Wartość siły Z9 można uważać za iloraz momentu sił zewnętrznych rozważanej części kratownicy względem punktu 0 i ramienia siły Z9 względem tego punktu: Z9 = M0(P)/r0. Punkt 0 jest punktem przecięcia osi pozostałych dwóch prętów przekroju β − β, tzn. prętów Z2 i Z6. Podobnie obliczamy Z6 = M1(P)/r1 oraz Z2 = M5(P)/r5. Ogólnie można zapisać, że Zi =

M k ( P) . rk (i )

(15.4)

Przedstawiony wyżej sposób wyznaczania sił w prętach kratownicy nosi nazwę metody Rittera, a punkt k nazywa się punktem Rittera. Wszystkie siły w prętach kratownicy, łącznie z reakcjami, można również obliczyć z równań równowagi myślowo wyciętych węzłów kratownicy, czyli za pomocą tzw. metody równoważenia węzłów. Jest to najogólniejsza metoda analityczna rozwiązywania kratownic. W naszym zadaniu otrzymujemy (rys. 15.3c): Węzeł "0":

∑ Px = H0 + Z7 + Z1 ⋅ cosα = 0 ∑ Pz = −V0 − Z1 ⋅ sin α = 0,

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

5

∑ Px = − P − Z1 + Z1 ⋅ cosα + Z2 ⋅ cosα + Z9 ⋅ cosα = 0 ∑ Pz = Z8 + Z1 ⋅ sin α − Z2 ⋅ sin α = 0, ∑ Px = − Z2 ⋅ cosα + Z3 + Z11 ⋅ cos 45o = 0 ∑ Pz = Z10 + Z2 ⋅ sin α = + Z11 ⋅ cos 45o = 0, ∑ Px = − Z3 = 0 ∑ Pz = Z4 = 0, ∑ Px = − Z5 − Z5 − Z11 ⋅ cos 45o = 0 ∑ Pz = V4 − Z4 − Z11 ⋅ cos 45o = 0, ∑ Px = Z5 − Z6 − Z9 ⋅ cosα = 0 ∑ Pz = 2,5P − Z10 − Z9 ⋅ sin α = 0, ∑ Px = Z6 − Z7 = 0 ∑ Pz = − Z8 = 0.

Węzeł "1":

Węzeł "2":

Węzeł "3":

Węzeł "4":

Węzeł "5":

Węzeł "6":

W powyższych równaniach występuje jedenaście niewiadomych sił w prętach Zi (i = 1, 2, ..., 11) oraz trzy reakcje podporowe H0, V0 i V0. Łączna liczba równań odpowiada zatem liczbie niewiadomych. Rozwiązanie tego układu istnieje, jeżeli jego wyznacznik główny jest różny od zera. Zerowa wartość tego wyznacznika świadczy o tym, że układ jest geometrycznie zmienny. W rozważanym zadaniu otrzymujemy rozwiązanie jednoznaczne, a obliczane wartości sił w prętach kratownicy zamieszczono w tablicy I (kolumna 4).

Tablica I Nr

li

Ai

Zi

Zi

∆li0

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

[m] 2 3,35 3,35 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 1,50 3,35 3,00 4,24

[m2] 3 2·10−2 2·10−2 2·10−2 2·10−2 3·10−4 3·10−4 3·10−4 2·10−4 2·10−4 3·10−4 2·10−2

[kN] 4 −44,70 33,50 0 0 30,00 20,00 20,00 0 11,20 45,00 −42,40

[−] 5 0 0 −0,707 −0,707 −0,707 0 0 0 0 −0,707 1,000

[m] 6 0 −0,02 0,03 0 0 0 0 0 0 −0,08 0

Ei

Zi ⋅ li Ei ⋅ Ai

Zi ⋅ Zi ⋅ li Ei ⋅ Ai

Zi ⋅ ∆li0

[kN/m2] [m] [m] [m] 7 8 9 10 1·107 0 0 −7,49·10−4 1·107 0 0 −5,61·10−4 0 0 1·107 −212·10−4 0 0 0 1·107 2·108 0 15,00·10−4 −10,60·10−4 2·108 0 0 10,00·10−4 2·108 0 0 10,00·10−4 8 0 0 0 2·10 2·108 0 0 9,38·10−4 2·108 0 22,50·10−4 −15,90·10−4 1·107 9,05·10−4 9,05·10−4 565·10−4 −17,45·10−4 353·10−4

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

Przykład

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

6

2

Wyznaczyć reakcje i siły wewnętrzne w belce przedstawionej na rys. 15.4a.

Rys. 15.4 Rozwiązanie Obciążenie belki określa funkcja ciągła: q z ( x ) = q ( x ) = q1 + q2

(a)

x . l

a. Obliczenie reakcji (rys. 15.4a)

∑ Px = H B 0, l

∑ M B = V Al − ∫ q( x)(l − x)dx = 0, 0

l

VA =

1   q1 + q2 l 

∫

0

∑

1 1 x  (l − x )dx = q1l + q2 l ,  2 6 l l

∫

M A = VB l − q ( x ) x dx = 0, 0

1 1 1 1  1 VB =  q1l 2 + q2 l 2  = q1l + q2 l.   l 2 3 2 3

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

7

Sprawdzenie:

∑

l

l

1  Pz = V A + VB − q ( x )dx = q1l + q2 l −  q1 + q2  2

∫

∫

0

0

x  dx = 0. l

b. Obliczenie sił wewnętrznych (rys. 15.4b) Dokonamy myślowego rozcięcia belki przekrojem α − α, usytuowanym w odległości x od lewej podpory. Na płaszczyznach przekroju występują siły wewnętrzne N(x), Q(x) i M(x). W celu wyznaczenia tych sił zbadamy równowagę jednej z części belki. Przykładowo dla lewej części otrzymujemy równania:

∑ Px = N ( x) = 0, x

∑ Pz = −V A + ∫ q(x ) ⋅ dx + Q( x) = 0, 0

skąd x

 Q( x ) = V A −  q1 + q2 

∫

(b)

0

∑

1 x2 x ,  dx = V A − q1x − q2 2 l l

x

∫

M C = V A ⋅ x − q ( x )( x − x )dx − M (c) = 0, 0

skąd

(c)

1 1 x3 M ( x ) = V A x − q1x 2 − q2 . 2 6 l

Wykresy funkcji Q(x) i M(x) przedstawiono na rys. 15.4c, d. Łatwo zauważyć, że stosownie do wzorów (14.26) wartość bezwzględna funkcji obciążenia q(x) jest pochodną funkcji siły poprzecznej Q(x), a siła poprzeczna Q(x) jest z kolei pochodną funkcji momentu zginającego M(x). Oznacza to, że wykres q(x) jest wykresem tangensa kąta nachylenia stycznej do krzywej Q(x), a wykres Q(x) jest wykresem tangensa kąta nachylenia stycznej do krzywej M(x). Zilustrowano to rysunkami 15.4c, d. Ekstremum funkcji M(x) wypada dla przekroju x = x0, w którym siła poprzeczna jest równa zeru: Q(x0) = 0. Warto zwrócić uwagę, że jeżeli wykres M(x) odłożymy po stronie włókien rozciąganych, to od lewej strony ku prawej wykres M(x) opada, gdy Q(x) > 0, natomiast wznosi się, gdy Q(x) < 0. Jest to ogólna prawidłowość słuszna dla prętów zginanych poprzecznie. W przypadku szczególnym, gdy q2 = 0 i q1 ≠ 0, otrzymujemy rozwiązanie dla belki równomiernie obciążonej (q1 = q = const, por. rys. 15.5a). Dla q2 ≠ 0, q1 = 0 (obciążenie trójkątne) wykresy sił wewnętrznych obrazuje rysunek 15.5b.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

8

Rys. 15.5 Przykład

3

Obliczyć reakcje i siły wewnętrzne w belce wspornikowej, obciążonej siłami skupionymi (rys. 15.6a).

Rys. 15.6 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

9

Rozwiązanie a. Obliczenie reakcji

∑ Px = 0 , ∑ Pz = V0 − P1 − P2 − P3 + P4 = 0; V0 = P + 3P + 2 P − 3P = 3P, ∑ M A = M0 + P1 ⋅ a + P2 ⋅ 2a + P3 ⋅ 3a − P4 ⋅ 4a = − Pa. M 0 = − Pa − 3 P ⋅ 2a − 2 P ⋅ 3a + 3 P ⋅ 4a = − Pa.

b. Obliczenie sił wewnętrznych Równania sił wewnętrznych zmieniają się w punktach przyłożenia sił skupionych. Równania te układamy, dokonując kolejno przekrojów α1 , α 2 , α 3 i α 4 , usytuowanych w poszczególnych przedziałach, w których obciążenie q(x) jest funkcją ciągłą. W rozważanym zadaniu w każdym z tych przedziałów obciążenie to jest równe zeru (q(x) = 0). Ostatecznie otrzymujemy: 0 < x < a: Q( x ) = V = 3 P = const , M ( x ) = M 0 + V0 ⋅ x = P ( − a + 3x ); 0  a < x < 2a:  Q( x ) = V0 − P1 = 2 P = const , M ( x ) = M 0 − P0 + V0 ⋅ x − P1 ( x − a ) = 2 Px; 2a < x < 3a:  Q( x ) = V0 − P1 − P2 = − P = const ,  M ( x ) = M 0 + V1 ⋅ x − P1 ( x − a ) − P2 ⋅ ( x − 2a ) = P ( 6a − x );  3a < x < 4a: Q( x ) = V0 − P1 − P2 − P3 = − P4 = −3 P = const ,   M ( x ) = M 0 + V0 ⋅ x − P1 ( x − a ) − P2 ( x − 2a ) − P3 ( x − 3a ) = 3 P( 4a − x ).

Wykresy funkcji Q(x) i M(x) przedstawiają rys. 15.6b, c. Widzimy, że funkcja Q(x) jest nieciągła, l p gdyż dla x = ka, (k = 1, 2, 3, 4) przyjmuje dwie wartości: lewostronną Q (ka) i prawostronną Q (ka). l p Różnica tych wartości Q (ka) −Q (ka) = Pk i odpowiada sile skupionej przyłożonej w tym punkcie. Moment zginający jako całka z funkcji sił poprzecznych Q(x) jest ciągłą linią łamaną. W związku z tym ekstremalna wartość momentu wypada w tym przekroju, w którym siła poprzeczna zmienia znak, tzn. w punkcie 2:

M max = M ( 2a ) = − Pa + 3 P ⋅ 2a − Pa = 4 Pa . Łatwo zauważyć, że różnica tangensów kątów załamania γk−1 oraz γk wykresu momentu zginającego w punkcie x = ka jest równa sile skupionej przyłożonej w tym punkcie (por. rys. 15.6c). Spostrzeżenie to ma duże znaczenie przy wyznaczaniu przemieszczeń belek sprężystych.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

Przykład

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

10

4

Obliczyć belkę ciągłą przegubową przedstawioną na rys. 15.7a. Rozwiązanie a. Wyznaczenie reakcji podporowych Występuje pięć składowych reakcji podporowych: V1, V4, V8, H8 i M8. Do dyspozycji mamy trzy równania równowagi dla całej belki oraz dwa warunki zerowania się momentów zginających w przegubach 5 i 7: (M5 = M7 = 0). Równania te wystarczają do wyznaczenia niewiadomych reakcji podporowych:

∑ Px = H8 − 30 = 0,

(e)

M5 = V1 ⋅ 7,5 − 20 ⋅ 3 ⋅ 6 − 12 + V4 ⋅ 1,5 = 0, M 7 = V1 ⋅ 11,5 − 20 ⋅ 3 ⋅ 10 − 12 + V4 ⋅ 5,5 − 32 ⋅ 2 = 0,

(f) (g)

∑ M5 = M5 + 32 ⋅ 2 − 45 ⋅ 4 − V8 ⋅ 7 − M8 = 0, ∑ M7 = M7 − V8 ⋅ 3 − M8 = 0.

(h) (i)

Z równań (f) i (g) można wyznaczyć reakcje V1 i V4, a z równań (h) oraz (i) reakcje V8 i M8. Ostatecznie otrzymujemy: V1= 43 kN,

V4 = 33 kN,

V8 = −29 kN,

H8 = 30 kN,

M8 = 87kN⋅m.

Rys. 15.7 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

11

Te same wyniki uzyskamy, jeżeli belkę ciągłą podzielimy na trzy belki składowe. Belka 5−7 opiera się na belkach 1−5 i 7−8. Taka dekompozycja zadania bardzo ułatwia zarówno obliczenie reakcji podporowych, jak i sił wewnętrznych pod warunkiem przestrzegania odpowiedniej sekwencji obliczeń belek składowych: najpierw liczymy belkę 5−7 a następnie belki 1−5 i 7−8 obciążone reakcjami przegubów V5 i V7 (por. rys. 15.7b). Równowaga belki 5−7 wymaga, by V5 = V7 = 16 kN. Dzięki tej informacji wartości V8 i M8 można obliczyć „w głowie”: V8 = V7 − 45 = −29 kN, M8 = − (V7 − 45)·3 = 87kN⋅m. Łatwo sprawdzić, że obliczenie reakcji V1 i V4 dla belki 1−5 prowadzi również do wartości wyznaczonych wcześniej. b. Wyznaczenie sił wewnętrznych Ograniczymy się tylko do obliczenia sił wewnętrznych w charakterystycznych punktach belki. Przebieg funkcji między tymi punktami określimy na podstawie zależności różniczkowych (14.25) i obliczeń pomocniczych. Siły poprzeczne: Q1l = 0;

Q1p = V1 = 43 kN ,

Q2 = Q3 = Q4l = 43 − 20 ⋅ 3 = −17 kN , Q4p = Q5 ; Q6l = −17 + 33 = 16 kN , Q6p = Q7l = 16 − 32 = −16 kN , Q7p = Q8l = −16 + 45 = 29 kN = −V8 , Q8P = 0. Momenty zginające: M1 = 0,

x2 2,152 M ( x0 ) = 43 ⋅ x0 − 20 ⋅ 0 = 43 ⋅ 2,15 − 20 ⋅ = 46,2 kN ⋅ m, 2 2

M 2 = 43 ⋅ 3 − 20 ⋅ 32 ⋅ 0,5 = 39 kN ⋅ m, M 31 = 43 ⋅ 4,5 − 60 ⋅ 3 = 13,5 kN ⋅ m, M 4 = −16 ⋅ 1,5 = −24 kN ⋅ m, M 7 = 0,

M 3P = M 31 − 12 = 1,5 kN ⋅ m, M5 = 0, M 6 = 16 ⋅ 2 = 32 kN ⋅ m,

M8 = 30kN ⋅ m.

Siły normalne: N(x) = H8 = 30 kN = const. Wykresy sił wewnętrznych podano na rys. 15.7c, d, e.

Przykład

5

Wyznaczyć siły wewnętrzne w układzie trójprzegubowym przedstawionym na rys. 15.8. Rozwiązanie a. Obliczenie reakcji podporowych Cztery składowe reakcji V A , H A ,VB , H B obliczamy z trzech równań równowagi dla całego układu oraz jednego równania wyrażającego zerową wartość momentu zginającego w przegubie C (MC = 0).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

∑ M B = V A ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 ⋅ 6 + 20 ⋅ 2 = 0, ∑ M A = −VB ⋅ 8 + 20 ⋅ 2 + 10 ⋅ 4 ⋅ 2 = 0, M C = V A ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 ⋅ 2 − H A ⋅ 4 = 0,

∑ Px = H A − HB + 20 = 0,

12

200 = 25 kN , 8 120 VB = = 15 kN , 8 1 H A = ⋅ (15 ⋅ 4 − 80) = 5 kN , 2 H B = 5 + 20 = 25 kN. VA =

Rys. 15.8 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

13

b. Obliczenie sił wewnętrznych W obliczeniach elementów łukowych i prętów o osi załamanej bardzo użyteczne są wzory wynikające z rys. 15.8b: N = N 0 cosα − Q0 sin α ,  Q = N 0 sin α + Q0 cosα , 

(15.5)

gdzie N0 i Q0 oznaczają siły normalną i poprzeczną, obliczone jak dla belki poziomej. Dla łuku kołowego AC mamy: X = R(1 − sin a ), N 0 = − 5 kN,

Y = R cos a , Q0=VC= V A − qX = 25 − 40(1 − sin a ) = − 15 +40 sin a ,

skąd

(j)

N (α) = −5 ⋅ cosα − (−15 + 40 ⋅ sinα)sinα, Q(α) = −5 ⋅ sinα + (−15 + 40 ⋅ sinα)cosα,   X2 1    M ( ) V X q α = ⋅ − − HA ⋅ Y = R(1 − sinα)VA − qR(1 − sinα) − HAR cosα = A  2 2    = 20 ⋅ [(1 − sinα)(1 + 4sinα) − cosα]. 

Potwierdzeniem poprawności uzyskanego wyniku jest to, że jest spełniona zależność (14.28)3: dM 1 dM =− ⋅ = −5(sin α + 3 ⋅ cos α − 8 ⋅ sin α cos α ) = Q(α ). ds R dα Na odcinku pochyłym CE kąt α = α1 i jest ujemny: cos α1 = 0,80; sin α1 = −0,60. Wobec tego: l N Cp = N D = −5 ⋅ 0,8 − ( −15) ⋅ ( −0,6) = −13 kN , l QCp = QD = −5 ⋅ ( −0,6) + ( −15) ⋅ (0,8) = −9 kN , M C = 0,

N Dp = N El = −25 ⋅ 0,8 − ( −15) ⋅ ( −0,6) = −29 kN , QDp = QEl = −25 ⋅ ( −0,6) + ( −15) ⋅ (0,8) = 3 kN , M D = VB ⋅ 1,3 − H B ⋅ 2 = 15 ⋅ 1,33 − 25 ⋅ 2 = −30 kN ⋅ m.

Na odcinku EB mamy:

QEB = H B = 25 kN = const , N EB = VB = −15 kN = const , M E = − H B ⋅ 1 = −25 kN ⋅ m.

Wykresy sił wewnętrznych przedstawia rys. 15.9.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

14

Rys. 15.9

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

Przykład

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

15

6

Wyznaczyć reakcje podporowe i siły wewnętrzne w płaskim łuku kołowym utwierdzonym całkowicie w punkcie A i obciążonym w punkcie B siłą P, prostopadłą do płaszczyzny łuku. Temat zadania objaśnia rys. 15.10a.

Rys. 15.10

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

16

Rozwiązanie a. Obliczenie reakcji Poszukujemy składowych reakcji w przekroju utwierdzonym. Są to trzy siły RX, RY i RZ oraz trzy momenty CX, CY i CZ, odniesione do globalnego układu osi X, Y, Z. Wykorzystujemy sześć równań równowagi (por. p. 14.1):

∑ PX = − R X = 0, ∑ PY = − RY = 0, ∑ PZ = − RZ + P = 0, ∑ M Xi = −C X + P ⋅ r = 0, ∑ MYi = CY − P ⋅ r = 0, ∑ M Zi = −CZ = 0, skąd

R X = RY = 0, CZ = 0 oraz RZ = P, C X = P ⋅ r , CY = − P ⋅ r . Siły te zaznaczono na rys. 15.10b z uwzględnieniem aktualnych zwrotów. b. Siły wewnętrzne Siły wewnętrzne wyznaczymy z równań równowagi wyciętej części pręta (rys.15.10b). Dodatnie zwroty tych sił pokrywają się ze zwrotami osi lokalnego układu współrzędnych x, y z, względem którego układamy równania równowagi:

∑ Px = N = 0, ∑ Py = Qy = 0, ∑ Pz = Qz − P = 0, ∑ M xi = M − P ⋅ r (1 − cosα ) − P ⋅ r sin α = 0, ∑ M yi = M y − P ⋅ r sin α + P ⋅ r sin α + P ⋅ r cosα = 0, ∑ M zi = M z = 0. Na podstawie powyższego dostajemy: (k)

Qz = P ,   M y = − P r ⋅ cosα ,  M = P r (1 − sin α ).

Pozostałe siły wewnętrzne są równe zeru. Wykresy funkcji M y (α ) i M (α ) przedstawia rys. 15.10d.

15.2.2. Przykłady zastosowania metody kinematycznej. Linie wpływu wielkości statycznych Metoda kinematyczna opiera się na wykorzystaniu zależności (14.8a), przedstawiającej równanie pracy wirtualnej dla układu ciał idealnie sztywnych:

∫ (∑ Fi ⋅ d i )ds = 0. s

Równanie to mówi, że praca obciążeń rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach układu jest równa zeru. Nieodkształcalność elementów tego układu wynika z przyjęcia zasady zesztywnienia. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

17

Rys. 15.11 Dla ilustracji podejścia kinematycznego rozważymy belkę swobodnie podpartą z rys. 15.11, poddaną obciążeniu q(x) = q = const (por. również rys. 15.5a). W przekroju usytuowanym w odległości x od lewej podpory usuniemy więz uniemożliwiający obrót przekroju i jednocześnie jako obciążenie zewnętrzne wprowadzimy reakcję tego więzu, czyli moment zginający M(x). Dzięki temu belka staje się układem dwóch tarcz sztywnych o jednym stopniu swobody, poddanym działaniu obciążenia q i dwóch momentów skupionych M(x) (por. rys. 15.11b). Dopuszczalną kinematykę wirtualną tego układu określa jednoznacznie bardzo małe przemieszczenie ∆ (rys. 15.11c). Pracę obciążeń zewnętrznych na wirtualnych przemieszczeniach można zapisać jako iloczyn momentów tych obciążeń względnych biegunów obrotu obu tarcz i odpowiednich kątów obrotu. Stosownie do równania (14.8a) mamy: 1 1 q ⋅ x ⋅ ⋅ x ⋅ ψ I + q (l − x ) ⋅ (l − x ) ⋅ ψ II − M ( x ) ⋅ ψ I − M ( x ) ⋅ ψ II = 0. 2 2

(l)

Ponieważ przemieszczenie ∆ jest bardzo małe, ψ I = ∆ / x oraz ∆II = ∆ / (l − x ). Wobec tego równanie (l) można zapisać w postaci: 1 1 ∆ ∆ ∆ ∆ q ⋅ ⋅ x 2 ⋅ + q ⋅ (l − x ) 2 ⋅ − M ( x) ⋅ − M ( x) ⋅ = 0, 2 x 2 (l − x ) x (l − x ) skąd po podzieleniu przez ∆ oraz po prostych przekształceniach otrzymujemy wzór na moment zginający: M ( x) =

1 1 1 q x (l − x ) = q lx − q x 2 , 2 2 2

który pokrywa się z równaniem (c) z przykładu 2 dla q2 = 0. Zwróćmy uwagę na interesujące własności metody kinematycznej: ◊ ◊ ◊

w celu obliczenia wybranej wielkości statycznej (siły wewnętrznej lub oddziaływania podpory) należy usunąć ten więz, którego reakcją jest poszukiwana wielkość statyczna; uzyskany w ten sposób układ o jednym stopniu swobody ma kinematykę niezależną od obciążenia; do wyznaczenia wybranej siły wewnętrznej nie potrzeba obliczać reakcji podpór lub innych sił wewnętrznych; otrzymujemy zawsze jedno równanie jednej niewiadomej.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

18

Z powyższego wynika, że równanie (14.8a) stanowi po prostu pewną kombinację liniową równań równowagi. Opisane własności metody kinematycznej wykorzystuje się również w układach statycznie niewyznaczalnych. W dalszym ciągu zastosujemy metodę kinematyczną do wyznaczenia wybranych reakcji podporowych i sił wewnętrznych w przykładach rozwiązanych już w p. 15.2.1, gdzie stosowano metodę statyczną. Obliczymy reakcję podporową V4 w kratownicy z przykładu 1. W tym celu trzeba usunąć pionowy pręt podporowy i przyłożyć reakcję tego więzu, czyli siłę V4. Otrzymujemy jedną tarczę sztywną o jednym stopniu swobody, określonym przez bardzo mały kąt ψ (rys. 15.12a, b). Równanie (14.8a) przyjmuje postać: 1 − P ⋅ ⋅ a ⋅ ψ + 2,5 ⋅ P ⋅ 2a ⋅ ψ − V4 ⋅ 3a ⋅ ψ = 0, 2 skąd V4 = 1,5 P. Łatwo zauważyć, że równanie pracy wirtualnej w tym przypadku odpowiada sumie momentów sił względem punktu 0.

Rys. 15.12 W celu obliczenia siły Z10 trzeba usunąć pręt 2−5. Otrzymujemy w ten sposób układ czterech tarcz sztywnych o jednym stopniu swobody (rys. 15.12c). Określenie kinematyki tego układu wymaga nieco więcej uwagi. Okazuje się, że tarcza III pozostaje nieruchoma, a kinematykę określa przemieszczenie ∆ punktu 5 (rys. 15.12d). Zależność (14.8a) prowadzi do równania:

∆ 1 − P⋅ ⋅a ⋅ + 2,5 ⋅ P ⋅ ∆ − Z10 ⋅ ∆ = 0, 2 2a skąd

Z10 = 2,25 P = 2,25 ⋅ 20 = 45 kN.

Wyznaczymy obecnie siłę poprzeczną w przedziale 2−3 dla belki wspornikowej z przykładu 3. Należy umożliwić tylko pionowe przemieszczenia względne obu części belki w tym przedziale. Odpowiada to wprowadzeniu podpory „ślizgowej” (rys. 15.13a). Kinematykę wirtualną tego układu ilustruje rys. 15.13b. Na podstawie równania (14.8a) możemy napisać: − Q23 ⋅ ∆ + 3 P ⋅ ∆ + 2 P ⋅ ∆ − 3 P ⋅ ∆ = 0,

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

skąd Q23 = 2 P .

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

19

Rys. 15.13 Korzyści metody kinematycznej najlepiej widać na przykładzie belki ciągłej (przykład 4). Na rysunkach 15.14b−h przedstawiono kinematyki wirtualne do wyznaczenia wielkości V4 ,V8 , M 8 , Q3 , Q4 oraz N 45 . Nowym elementem jest podpora teleskopowa, którą wprowadzamy w celu wyznaczenia siły normalnej. Z rysunku 15.14 wynika równanie pracy wirtualnej: 30 ⋅ ∆ = N 45 ⋅ ∆ = 0,

N 45 = 30 kN.

skąd

Omówimy obecnie wykorzystanie faktu, że kinematyki wirtualne obowiązują dla dowolnego obciążenia konstrukcji. Jeżeli przemieszczenia wirtualne przyjmiemy w ten sposób, że mnożnik poszukiwanej wielkości statycznej jest równy jedności, to rzędne przemieszczeń wirtualnych η(x) odpowiadają tzw. linii wpływu tej wielkości statycznej. Linie wpływu są więc odpowiednio przeskalowaną kinematyką wirtualną służącą do wyznaczenia poszukiwanej wielkości statycznej. Dla układów statycznie wyznaczalnych są to zawsze funkcje odcinkowo-liniowe. Linie wpływu zależą tylko od wymiarów geometrycznych i warunków brzegowych. Sens linii wpływu objaśnimy na przykładzie reakcji V4. Stosownie do podanych uwag rzędne linii wpływu reakcji V4 są równe pionowym przemieszczeniom wirtualnym przy założeniu, że ∆ = 1 (rys. 15.4b). Otrzymane w ten sposób wartości funkcji η(x) interpretujemy jako wartości reakcji V4 wywołane przez pionową siłę P = 1, usytuowaną w odległości x od początku układu współrzędnych. Jeśli działa większa liczba sił skupionych Pi, momentów skupionych Mi oraz obciążeń ciągłych q(x) i m(x) rozłożonych odpowiednio w przedziałach (a, b) i (c, d), to wartość siły V4 wynosi: V4 =

∑

Pi ⋅ ηi +

i

∑ j

Mj⋅

dη j dx j

b

∫

d

∫

+ q ( x ) ⋅ η ( x )ds + m( x ) ⋅ a

c

dη dx , dx

gdzie

ηj

- oznaczają rzędne wypadające w punktach przyłożenia sił skupionych Pj ,

dη j dx j

- wartości tangensa kąta nachylenia stycznej do linii η(x) w punktach przyłożenia

momentów skupionych Mj.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

20

Rys. 15.14 Przytoczymy sposoby przeskalowania niektórych dalszych wykresów. Na rysunku 15.14d mnożnikiem momentu zginającego M8 w równaniu pracy wirtualnej jest kąt ϕ = 1. Z proporcji geometrycznej wynika zatem, że rzędna linii wpływu w przegubie 7 wynosi η7 = −3 m. W przypadku momentu M2 wymagamy, by suma kątów ϕ I i ϕ II była równa jedności (ϕ I + ϕ II = 1). Suma ta jest bowiem mnożnikiem momentu M2 w równaniu pracy wirtualnej. Mamy więc:

∆ ∆ + = 1, 3 3

∆ = η2 = 1,5 m.

skąd

Dla siły poprzecznej trzeba tak dobrać Q3 i kąt ϕ , by wzajemne przemieszczenie pionowe obu części belki w punkcie 3 było równe 1, czyli

ϕ ⋅ 4,5 + ϕ ⋅ 1,5 = 1,

skąd

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

1 ϕ = m −1. 6 Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

21

Wobec tego rzędne z lewej i prawej strony punktu 3 wynoszą (rys. 15.14f): 1 η3l = − ⋅ 4,5 = −0,75, 6

1 η3p = ⋅ 1,5 = 0,25. 6

Znaki rzędnych wynikają z umowy znaku siły poprzecznej i definicji rzędnej linii wpływu. Obliczymy teraz wartość Q3 na podstawie linii wpływu z rys. 15.14f: 3

∫

Q3 = − 20 ⋅ 0

0,75 1  1  ⋅ x dx = − ⋅ ( −12) + 32 ⋅  − 0,25 = −17 kN.   4,5 6 2

Warto dodać, że linie wpływu najczęściej wyznacza się jednak metodą statyczną. Dotyczy to przede wszystkim łuków i ram, ponieważ badanie kinematyki wirtualnej układu jest nieco bardziej złożone. Statyczna metoda wyznaczania linii wpływu jest dokładnie omówiona w każdym podręczniku mechaniki budowli.

Rys. 15.15 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

22

Na zakończenie obliczymy jeszcze reakcję poziomą HA i moment zginający ME w konstrukcji trójprzegubowej rozważanej w przykładzie 5. Odpowiednie kinematyki obrazuje rys. 15.15a, b. Dla porządku umówimy się, że dodatnie kąty ψ i dodatnie momenty zginające mają zwroty zgodne z ruchem wskazówek zegara. Z rysunku 15.15a wynika, że ψ I = −ψ II = ψ . Wobec tego równanie (14.8a) przyjmuje postać:

( − H A ⋅ 8) ⋅ ψ I + (10 ⋅ 4 ⋅ 2) ⋅ ψ II ) = 0, skąd HA =

80 − 40 = 5 kN. 8

Przy wyznaczaniu momentu ME zależności między kątami obrotu poszczególnych tarcz sztywnych są następujące:

ψ I = −ψ II = ψ ,

− 7 ⋅ ψ II = 1⋅ ψ III ,

ψ III = 7ψ .

Równanie (14.8a) przyjmuje postać:

10 ⋅ 4 ⋅ 2ψ I + ( −20 ⋅ 6) ⋅ ψ II − M E ⋅ ψ II + M E ⋅ ψ II + M E ⋅ ψ III = 0. Po uwzględnieniu zależności między kątami otrzymujemy:

80 ⋅ ψ + 120 ⋅ ψ + M E ⋅ (ψ + 7ψ ) = 0, skąd M E =

80 + 120 = 25 kN ⋅ m. 8

Widać, że wyznaczone wartości HA i ME pokrywają się z rezultatami przykładu 5.

15.3. OBLICZANIE PRZEMIESZCZEŃ KONSTRUKCJI LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH 15.3.1. Wiadomości ogólne Dysponujemy wieloma metodami wyznaczania przemieszczeń uogólnionych w konstrukcjach liniowo-sprężystych. Są to metody: − całkowania równania różniczkowego linii ugięcia, − obciążenia krzywiznami (metoda Mohra) oraz metody energetyczne wykorzystujące: − twierdzenie Clapeyrona, − twierdzenie o minimum energii dopełniającej (twierdzenie Castigliano (14.20)), − równania pracy wirtualnej przy wirtualnym stanie sił (14.6). Pierwsze dwie metody zilustrowano w rozdziale 9. Tutaj omówimy przede wszystkim zastosowanie równania pracy wirtualnej (14.6), gdyż obowiązuje ono dla największej klasy zadań. Dodamy tu, że twierdzenie Castigliano obejmuje w zasadzie tylko wpływy mechaniczne i prowadzi w końcu do takich samych zależności jak równanie (14.6), natomiast twierdzenie Clapeyrona jest ograniczone do bardzo rzadko występujących przypadków szczególnych. Równanie (14.6) ma postać:

∫ (q x u + q y v + qw + mxψ + myϕ y + mzϕ z ) ds = s

∫

= ( N ⋅ λ + Qy β y + Qz βz + M θ + M y k y + M z k z ) ds, s

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

23

przy czym w układach liniowo-sprężystych rzeczywiste odkształcenia uogólnione opisują wzory:

λ=

N + λ0 , EA

βy =

Qy (GA / k y )

+ β y0 ,

My M θ= + θ 0, k y = + k y0 , GJ s EJ y

βz =

Qz + βz0 , (GA / k z )

M k z = z + k z0 EJ z

      

(15.6)

lub krócej Y ei = i + ei0 , Di

i = 1, 2, ..., 6,

(15.6a)

gdzie Yi oraz Di - oznaczają siły wewnętrzne oraz odpowiednie sztywności przekroju.

Rys. 15.16 Komentarza wymagają dodatkowe człony oznaczone indeksem 0. Człony te wyrażają odkształcenia uogólnione wywołane przez czynniki niemechaniczne (temperaturę, skurcz) lub wstępne deformacje technologiczne (błędami wykonania). Uwzględnienie tych ostatnich służy do wyznaczenia przemieszczeń realnej konstrukcji względem projektowanej (idealnej) konfiguracji osi prętów przy założeniu idealnego wykonania konstrukcji. Omówimy przykładowo wpływ temperatury. Przyjmijmy, że temperatura wszystkich włókien w chwili t1 podczas montażu danego pręta T (t1 ) = Tm (por. rys. 15.16c). Przypuśćmy, że po pewnym czasie, w chwili t2 > t1 , nastąpiła stabilizacja rozkładu temperatur. Temperatura górnych skrajnych włókien na całej szerokości przekroju bg jest stała i wynosi Tg (t2 , z g ). Podobnie temperatura dolnych skrajnych włókien wynosi Td (t2 , zd ) . Rozkład temperatur na wysokości przekroju jest na ogół nieznany. Dlatego zazwyczaj zakłada się, że rozkład ten jest liniowy i nie zależy od współrzędnej y (rys. 15.16d). Liniowy rozkład temperatur spełnia tożsamościowo równanie przewodnictwa cieplnego dla procesu ustalonego w czasie. Przyrost temperatury ∆T ( z ) = T (t2 , z ) − T (t1 ) na wysokości przekroju (rys. 15.16e) można rozłożyć na równomierne ogrzanie całego przekroju o wartości Tc (rys. 15.16f) oraz liniowe nierównomierne ogrzanie, określone różnicą temperatur w dolnych i górnych skrajnych włóknach ∆Tv (rys. 15.16g).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

24

Mamy więc: z ∆ T ( z ) = ∆Tc + ∆Tv ⋅ , h

(15.7)

gdzie Tc = Td ⋅ ζ + Tg ⋅ (1 − ζ ) − Tm ,  Tv = Td − Tg , 

(15.8)

przy czym h jest wysokością przekroju, a ζ = z g / h i określa położenie środka ciężkości przekroju. W materiale izotropowym zmiana temperatury nie wywołuje zmiany kątów odkształcenia postaciowego, lecz jedynie zmianę objętości. Mamy więc:

ε x0 = ε z0 = α T ⋅ ∆Tc + α Tv

(a)

z , h

0 γ xz = 0,

(b) gdzie

αT - oznacza współczynnik rozszerzalności liniowej. Wpływ odkształceń w kierunku prostopadłym do osi pręta ε z0 jest nieznaczny i nie bierze się go pod uwagę. Natomiast z budowy wzorów (a) i (b) wnioskujemy, że:

ε x0 = λ0x + k 0y ⋅ z ,

0 = βz0 = 0, γ xz

(15.9)

gdzie λ0x i κ y - są opisane wzorami: 0

  1 0 κ y = α T ⋅ ∆Tv ⋅ . h

λ0x = α T ⋅ ∆Tc ,

(15.10)

Stosując wzory (15.9) i (15.10), trzeba pamiętać o założeniach upraszczających, które przyjęto przy określeniu pola temperatury. Przy dowolnym rozkładzie temperatur na wysokości przekroju pręta stosowanie klasycznej teorii prętów jest już nieuzasadnione.

15.3.2. Przykłady zastosowania równania pracy wirtualnej do wyznaczania przemieszczeń Do ilustracji obliczania przemieszczeń konstrukcji wykorzystamy przykłady 1−6, zamieszczone w p. 15.2.1. Rozważymy na wstępie belkę swobodnie podpartą z przykładu 2, poddaną działaniu obciążenia równomiernego (por. rys. 15.5a i 15.17a, b, c). Przyjmiemy, że belka ma przekrój stały (A = const, J = const) oraz jest jednorodna (E = const, G = const). Wyznaczymy przemieszczenie pionowe ∆1 punktu 1, leżącego w połowie rozpiętości.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

25

Rys. 15.17 Lewa strona równania (14.6) wyraża pracę wirtualnych sił zewnętrznych na przemieszczeniach rzeczywistych. Ponieważ poszukujemy przemieszczenia rzeczywistego ∆1, trzeba przyjąć takie obciążenie wirtualne, które wykonuje pracę tylko na tym przemieszczeniu. Będzie to siła pionowa P zaczepiona w punkcie 1 (rys. 15.17d). Po prawej stronie równania występują rzeczywiste odkształcenia uogólnione, wyrażone wzorami (15.6), oraz wirtualne siły wewnętrzne, będące w równowadze z obciążeniem P. W układach statycznie wyznaczalnych istnieje tylko jedno statycznie dopuszczalne pole wirtualnych sił wewnętrznych. Są to siła poprzeczna Q ( x ) i moment zginający M ( x ), wywołane przez działanie obciążenia P na rozpatrywaną belkę statycznie wyznaczalną. Wykresy Q ( x ) i M ( x ) podano na rys. 15.17e, f. Równanie (14.6) przyjmuje postać: l

(c)

  Q M   + k 0   dx. ⋅ k + β 0 + M ⋅  P ⋅ ∆1 = Q ⋅   EJ     GA

∫ 0

0

0

Ponieważ na belkę działa tylko obciążenie rzeczywiste q, więc czynniki β i k są równe zeru. Po uwzględnieniu antysymetrii wykresów Q ( x ) i Q( x ) , symetrii wykresów M ( x ) i M ( x ) oraz fakty, że GA = const i EJ = const, otrzymujemy: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

26

l /2 l /2   k 1 P ⋅ ∆1 = 2  Q( x ) ⋅ Q( x ) ⋅ dx + M ( x ) ⋅ M ( x ) ⋅ dx  =  GA  EJ 0 0  

∫

(d )

2⋅

k GA

∫

l /2

∫ 0

1 1 2  P ⋅  ql − qx ⋅ dx + ⋅   2 2 EJ

l /2

1

1

1

∫ 2 Px ⋅  2 qlx − 2 qx

2

 ⋅ dx. 

0

Z budowy wzoru (d) wynika, że obie strony tego równania można podzielić przez P. Po podzieleniu otrzymujemy: (e)

1 ⋅ ∆1 =

2k GA

l/2

∫ 0

1  ql 2  ⋅  − qx dx +   EJ 2 2

1

1

1

∫ x ⋅ 2  qlx − 2 qx 2

2

 dx. 

W zależności (e) celowo pozostawiono nadkreślenia, by zaznaczyć wielkości wirtualne. Widzimy zatem, że dla wygody obliczeń warto przyjąć, iż siła wirtualna P = 1. Ten chwyt rachunkowy można stosować w każdym przypadku, gdyż zależności między obciążeniem wirtualnym a wirtualnymi siłami wewnętrznymi są zawsze liniowe, co wynika z liniowości równań równowagi. Po wykonaniu całkowania równania (e) otrzymujemy: 2k 1 qlx qx 2 1 ⋅ ∆1 = ⋅ − GA 2 2 2 =

2

l/2 0

l /2 2 1 ql x 2 qx 3 + ⋅ − = EJ 2 2 2 6 0

4

kql 5 ql + = ∆1 (Q) + ∆1 ( M ). 8GA 384 EJ

Ten sam wynik otrzymujemy, stosując całkowanie sposobem Wiereszczagina (por. dodatek): 1 ⋅ ∆1 =

2 2 k  ql l 1 1  2  ql 2 l 1 2 l q  l  l 2 l  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅   ⋅ ⋅ ⋅ .  GA  2 2 2 2  EJ  8 2 2 3 4 8  2  2 3 8   

Pierwszy składnik wzoru na ∆1 określa wpływ odkształceń postaciowych (sił poprzecznych) ∆1(Q), a drugi − wpływ zginania (momentów zginających) ∆1(M). Określimy udział obu składników w wartości ugięcia ∆1:

∆1 =

5 ql 4 ⋅ 384 EJ

 48 EJ  96k  ⋅ 1 + = ∆1 ( M ) ⋅ 1 + (1 + ν ) ⋅   5GAl 2  5 

2  i  ⋅   ,  l  

przy czym ν oznacza współczynnik Poissona, a i − promień bezwładności. Jeżeli smukłość pręta s, określona stosunkiem l/i, jest duża, to drugi składnik nawiasu kwadratowego w stosunku do jedności jest mały. Dlatego dla prętów cienkich (smukłych) wpływ odkształceń postaciowych pomijamy. Przy dominującym wpływie momentów zginających przemieszczenia można obliczać z zależności przybliżonej: 1⋅∆ ≈

∫ M ⋅ k ds.

(15.11)

s

Na rysunku 15.17g przedstawiono obciążenie wirtualne, które stosuje się przy obliczaniu kąta obrotu przekroju w punkcie B. Obciążenie to jest momentem skupionym, wykonującym pracę na poszukiwanym kącie obrotu ∆B. Wykres momentów wirtualnych M ( x ) podano na rys. 15.17g. Dla belki z rys. 15.17a według zależności przybliżonej (15.11) otrzymujemy:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE l

1 ⋅ ∆B =

∫

M ( x) ⋅

0

27

M ( x) ql 3 dx = − . EJ 24 EJ

Kąt ∆B jest ujemny, co oznacza, że ma zwrot niezgodny ze zwrotem wirtualnego momentu skupionego działającego na podporze B (por. rys. 15.17a, g). W nawiązaniu do przykładu 6 wyznaczymy kąt skręcania przekroju usytuowanego w punkcie B (por. rys. 15.10). Należy zatem w tym punkcie przyłożyć wirtualny moment skręcający MB = 1 (rys. 15.18a) i wyznaczyć wewnętrzne siły wirtualne. Łatwo stwierdzić, że tylko moment zginający M y (α ) i moment skręcający M (α ) są różne od zera. Z sumy rzutów momentów na lokalne osie x i y otrzymujemy (rys. 15.18b):

M y (α ) = 1 ⋅ cos α ,

M (α ) = 1 ⋅ sin α .

Wobec powyższego, stosownie do równania (14.6), można napisać: π/2

∫

1 ⋅ ∆B = ( M y k y + M θ )ds = s π/2

=r

 M y (α ) M (α )  + M (α ) rdα =  M y (α ) EJ GJ y s   0 

∫

 cosα ( − Pr cosα ) sin α ⋅ Pr (1 − sin α )  +  dα .  EJ GJ y s   0 

∫

Jeżeli pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, to EJy = const i EJs = const. Wówczas π/ 2 π/ 2    π 1 1  π 1  2 ∆B = Pr − ⋅ cos αdα + ⋅ (sinα − sin2 α) dα = Pr2 − + 1 −  ⋅ .  EJ y  4EJ y  4  GJs  GJs   0 0   2

∫

∫

Obliczona wartość kąta skręcania jest ścisła tylko w tych przypadkach, gdy deformacja następuje bez deplanacji przekroju (skręcanie swobodne). Ma to miejsce wówczas, gdy przekrój pręta jest kołowy lub cylindryczny (rurowy). Jeżeli dla przykładu pręt ma przekrój cienkościenny otwarty, to trzeba najpierw określić moment odpowiadający skręcaniu swobodnemu Mv(α), a prawą stronę równania (14.6) zapisać w postaci (14.9). Wpływ czynników niemechanicznych zilustrujemy na przykładzie konstrukcji trójprzegubowej w przykładzie 5 (rys. 15.8a).

Rys. 15.18 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

28

Wyznaczymy poziome przemieszczenie punktu C wywołane kolejno przez: 1) osiadanie podpór, 2) zmianę temperatury, 3) błędy wykonania. Wszystkie te czynniki uwzględniono na rys. 15.19a. W celu wyznaczenia poszukiwanego przemieszczenia obciążamy konstrukcję jednostkową poziomą siłą wirtualną zaczepioną w punkcie C. Obciążenie to łącznie z łatwymi do wyznaczenia reakcjami podpór i wykresem momentów zginających przedstawiono na rys. 15.19b. Wykres sił normalnych N podano na rys. 15.19c. Jak się okaże, wirtualne siły poprzeczne Q nie będą występowały w dalszych obliczeniach.

Rys. 15.19 1. Osiadanie podpór W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje deformacji poszczególnych prętów konstrukcji, czyli wszystkie uogólnione odkształcenia rzeczywiste ei (i = 1, 2, ..., 6) są równe zeru. Zatem prawa strona wzoru (14.6) znika, a po lewej pozostają składniki prac zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach ∆C, uA, vA, uB i VB: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

29

P ⋅ ∆C + H A ⋅ u A + V A ⋅ v A + H B ⋅ uB + VB ⋅ v B = 0. Uwzględniając wartości sił wirtualnych i znanych osiadań podpór otrzymujemy:  1  1 1 1 1 ⋅ ∆ C +  −  ⋅ (0,04) +  −  ⋅ (0,01) + ⋅ 0,01 + ⋅ 0,02 = 0, skąd ∆C = 0,01 m.  2  2 2 2 2. Zmiana temperatury Przyjmijmy, że środek ciężkości wszystkich prętów wypada w połowie wysokości, czyli ξ = 0,5. Wysokości prętów są następujące: hAC = 0,3 m; hCE = 0,25 m;

−5

−1

hBE = 0,20 m. Współczynnik rozszerzalności termicznej αT = 1,2·10 [°C ]. Stosownie do umowy znaku krzywizn otrzymujemy (Td = Tw = 18°C, Tg = Tz = 30°C, Tm = 10°C): Tc = Td ⋅ ξ + Tg (1 − ξ ) − Tm = 18 ⋅ 0,5 + 30 ⋅ 0,5 − 10 = 14 o C, Tv = Td − Tg = 18 − 30 = −12 o C,

λ0 = α T ⋅ Tc = 1.,2 ⋅ 10−5 ⋅ 14 = 1,68 ⋅ 10− 4 , ( −12) k 0AC = α T ⋅ Tv / h AC = 1,2 ⋅ 10− 5 ⋅ = −4,8 ⋅ 10− 4 m−1 , 0,3 ( −12) 0 k CE = 1,2 ⋅ 10− 5 ⋅ = −5,76 ⋅ 10− 4 m−1 , 0,25 ( −12) 0 k BE = 1,2 ⋅ 10− 5 ⋅ = −7,2 ⋅ 10− 4 m−1. 0,20 Równanie (14.6) przyjmuje postać (por. rys. 15.19): π/2

∫

1 ⋅ ∆C = ( Nλ + Mk )ds = s

∫ [ N (α ) ⋅ λ

0

0 5

0

+ N CE ⋅ lCE ⋅ λ

0 + k CE

∫ M ( x2 )dx2 + N BE ⋅ lBE ⋅ λ

0

0

=

1 ⋅ 2

π/2

]

+ M (α ) ⋅ k 0AC Edα +

∫ [ (sin α + cosα ) ⋅1,68 ⋅10

−4

1

0 + k BE

∫ M ( x3 )dx3 = 0

]

+ 4(sin α + cosα − 1) ⋅ ( −4,8 ⋅ 10− 4 ) 4dα +

0

1  1 + ( −0,7 ⋅ 5) ⋅ (1,68 ⋅ 10− 4 ) +  −  ⋅ 5 ⋅ ⋅ ( −5,76 ⋅ 10− 4 ) + ( −0,5 ⋅ 1) ⋅ (1,68 ⋅ 10− 4 ) +  2 2 1  1 +  −  ⋅ 1 ⋅ ⋅ ( −7,2 ⋅ 10− 4 ) = −8,66 ⋅ 10− 4 + 1,23 ⋅ 10− 4 − 2,64 ⋅ 10− 4 = 9,98 ⋅ 10− 4 m.  2 2

3. Błędy wykonania Promień łuku AC jest większy od wartości nominalnej R = 4 m o ∆R = 0,10 m. W związku z tym zmiana krzywizny wynosi Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

k 0AC =

30

1 1 1 1 − = − = 6,09 ⋅ 10− 3 m −1. R + ∆R R 4,10 4

Ponieważ kąt rozwarcia łuku nadal wynosi π/2, to względna zmiana długości:

λ0AC =

( R + ∆R − R ) ∆R 0,10 = = = 0,025. R R 4

Normalnie prosta oś pręta CE jest załamana w połowie długości (punkt D). Kąt załamania ϕ0 = −3o = −0,052 rad . Krzywiznę tego pręta wyraża funkcja: 0 = ϕ0 ⋅ δ ( x2 − a ) = −0,052 ⋅ δ ( x2 − 2,5), k CE

gdzie δ ( x2 − a ) oznacza funkcję Diraca*), a znak minus wynika z umowy znaku krzywizny (rozciągane są górne włókna). Równanie (14.6) przybiera postać: π/2

1 ⋅ ∆c =

∫[ 0

=

1 ⋅ 2

5

N (α ) ⋅ λ0AC

+

M (α ) ⋅ k 0AC

] Rdα + ∫ M ( x ) ⋅ϕ ⋅ δ ( x

π/2

2

0

− a )dx2 =

0

∫ [ (sin α + cosα ) ⋅ 0,025 + 4(sin α + cosα − 1) ⋅ 6,09 ⋅10 0

2

−3

]4dα + M (a) ⋅ϕ . 0

Wartość drugiego składnika stojącego poza całką wynika z własności filtracji funkcji δ. Po wykonaniu całkowania otrzymujemy:  1   π  1 , , m. ∆C = ⋅ 2 ⋅ 0,025 + 4 2 −  ⋅ 6,09 ⋅10−3 ⋅ 4 +  −  ⋅ (−0,052) = 01209 + 0,013 = 01339    4 2  2  Rozważmy teraz belkę wspornikową z rys. 15.20a. Mamy obliczyć ugięcia pionowe punktów 2, 3, 4 i 5. W tym celu należałoby ustawić kolejno w tych punktach siły wirtualne P = 1 i na podstawie równania (14.6) obliczać wartości ∆2 − ∆5 . Istnieje wszelako inna, na ogół mniej pracochłonna możliwość − można obliczyć kąty obrotu cięciw linii ugięcia (rys. 15.20a). Znajomość tych kątów pozwala w sposób czysto geometryczny wyznaczyć linię łamaną odpowiadającą położeniu cięciw po odkształceniu. Uzyskujemy w ten sposób przybliżoną linię ugięcia, przy czym w punktach załamania wartości ugięć są ścisłe. Wyznaczanie kształtu łamanej linii ugięcia można bardzo usprawnić, jeżeli przypomnimy sobie, że różnica tangensów kątów załamania wykresu momentów zginających jest równa sile skupionej działającej na belkę w tym punkcie (por. przykład 3). Dla małych kątów można przyjąć, że tgγ i −1 − tgγ i = γ i −1 − γ i = ψ i . Przybliżony kształt linii ugięcia odpowiada zatem kształtowi wykresu momentów zginających w belce obciążonej „siłami” skupionymi (tzw. ciężarkami sprężystymi) równymi kątom ψi , które można traktować jako skoncentrowane krzywizny.

*)

Informacje o funkcji „delta” zawarto w p.21.3

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

31

Rys. 15.20 Okazuje się zatem, że doszliśmy do pewnej odmiany metody obciążenia krzywiznami (metoda Mohra). W celu spełnienia warunków brzegowych trzeba przyjąć odpowiedni zastępczy schemat statyczny belki, zgodnie z zasadami podanymi w rozdziale 10. Omówiony sposób obliczania ugięć nosi nazwę metody ciężarów sprężystych. Ciężarki sprężyste to różnice kątów obrotu cięciw ψi. Pozostaje jeszcze wyznaczenie wartości ciężarów. Wykorzystuje się tu równanie pracy wirtualnej (14.6). W celu obliczenia kąta obrotu cięciwy i, i−1 należy obliczyć ugięcia ∆i oraz ∆i−1, a następnie różnicę ∆i −∆i−1 podzielić przez odległość sąsiednich punktów a i−1:

γ i −1 =

∆i − ∆i −1 . ai −1

Operacje dzielenia przez ai−1 oraz odejmowania można przeprowadzić wcześniej przez wprowadzenie pary sił wirtualnych o wartościach 1 ai −1 Podobnie obliczamy kąt obrotu sąsiedniej cięciwy: ∆ − ∆i , γ i = i +1 ai co odpowiada przyłożeniu pary sił wirtualnych o wartościach 1 ai . Kąt ψi, odpowiadający dodatniej krzywiźnie (wydłużenie dolnych włókien), wynosi γ i −1 − γ i . Aby wyznaczyć ten kąt, trzeba przyłożyć Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

32

dwie przeciwnie skierowane pary sił o wartościach 1 ai −1 oraz 1 ai . W rezultacie otrzymujemy trzy siły wirtualne: 1 1 1 1 , − + , − . ai −1 ai −1 ai ai Działają one odpowiednio w punktach i − 1, i, i + 1. Obciążenie to wraz z wykresem momentu wirtualnego M i ilustruje rysunek 15.20b. Przy obliczaniu ciężarów uwzględnimy tylko wpływ momentów zginających pochodzących od obciążenia rzeczywistego (rys. 15.20c): 1 1  2 1  ⋅ a ⋅ ⋅  − ⋅ 1,2 − ⋅ 0,9 Pa 2 = −0,55Pa 2 ,  2  3 3 a

EJ ψ1 =

∫M

EJ ψ 2 =

∫ M2 ⋅ M ⋅ dx = a ⋅ a ⋅ 2 ⋅  − 3 ⋅ 1,2 − 3 ⋅ 0,9 − 3 ⋅ 2,7 + 3 ⋅ 3,3 ⋅ Pa

EJ ψ 3 =

∫ M3 ⋅ M ⋅ dx = a ⋅ a ⋅ 2 ⋅  − 3 ⋅ 2,7 − 3 ⋅ 3⋅ 3 + 3 ⋅ 2,7 Pa

EJ ψ 4 =

∫ M4 ⋅ M ⋅ dx = a ⋅ a ⋅ 2 ⋅  − 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2,7 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2,4 Pa

1

⋅ M ⋅ dx =

1

1  1

2

2

1

1  1

2

1



2

1

1  1

1



2

2



1

2

= −0,85 Pa 2 ,

= 2 Pa 2 , = 1,9 Pa 2 .

Ugięcia punktów 2, 3, 4 i 5 w belce zastępczej obliczone jako momenty zginające spowodowane ciężarkami sprężystymi, ilustruje rys. 15.20d.

Rys. 15.21. Na zakończenie obliczymy zbliżenie węzłów 3 i 5 w kratownicy z przykładu 1. Zmiany długości prętów wynikają z działania obciążeń zewnętrznych przyłożonych w węzłach 1 i 5 oraz błędów wykonania: pręt 2 jest o 2 cm za krótki, pręt 3 o 3 cm za długi, a pręt 10 o 8 cm za krótki (por. rys. 15.21a). Ponieważ interesuje nas zbliżenie węzłów 3 i 5, przyjmujemy dwie jednostkowe siły wirtualne zaczepione w tych Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE

33

węzłach. Linie działania tych sił pokrywają się z linią 3−5, a ich zwroty są przeciwne (rys. 15.21b). Jednoczesne działanie tak obranych sił wirtualnych pozwala na bezpośrednie wyznaczenie poszukiwanego przemieszczenia z równania pracy wirtualnej (14.6). Siły wewnętrzne Zi pochodzące od obciążenia wirtualnego zestawiono w tablicy I (kolumna 5). Równanie (14.6) przyjmuje postać: li

1⋅∆ =

li

12

0

i =0

∑ ∫ Ni ⋅ λi ⋅ dx = ∑ Zi ∫ λi ⋅ dx = ∑ Zi ⋅ ∆li , i 0

(15.12)

przy czym ∆li oznacza wydłużenie pręta i: ∆li = ∆li0 +

Zi li , Ei Ai

(15.13)

gdzie ∆li0 jest tutaj wydłużeniem wynikającym z czynników niemechanicznych (np. błędy wykonania, wpływ temperatury), Ai jest przekrojem pręta i, a Ei − modułem sprężystości tego pręta. Po podstawieniu zależności (15.13) do wzoru (15.12) otrzymujemy: 1⋅∆ =

Zl

∑ Zi ∆li0 + ∑ Zi ⋅ EiiAii = ∆ 0 + ∆ P , i

gdzie

(15.14)

i

0

∆ - oznacza przemieszczenie od wpływów niemechanicznych, P ∆ - przemieszczenie wywołane przez obciążenia zewnętrzne. Wzór (15.14) jest charakterystyczną postacią wzoru (14.6), przystosowaną do obliczania przemieszczeń układów kratowych. Sumowanie według wzoru (15.14) zawiera tablica I. Wzajemne zbliżenie węzłów 3 i 5 : 0

∆ = 0,0353 m;

P

∆ = −0,001745 m.

Zatem

∆ = 0,035300 − 0,001745 = 0,033555 m ≈ 0,0336 m.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

1

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 16.1. METODA SIŁ 16.1.1. Obliczanie sił wewnętrznych Z rozważań poprzedniego rozdziału wynika, że istnieje ścisły związek między statyczną wyznaczalnością a geometryczną niezmiennością konstrukcji. Konstrukcja statycznie niewyznaczalna jest układem przesztywnionym, przy czym stopień przesztywnienia jest równy stopniowi statycznej niewyznaczalności, czyli liczbie brakujących równań niezbędnych do określenia pola statycznego. Podstawową metodą obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych jest tzw. metoda sił. Wywodzi się ona z następującego rozumowania. Konstrukcję statycznie niewyznaczalną można przekształcić w wyznaczalną (w tzw. układ podstawowy) przez usunięcie odpowiedniej liczby więzów i dodatkowe jej obciążenie reakcjami tych więzów (tzw. siłami nadliczbowymi). Liczba usuniętych więzów równa się stopniowi statycznej niewyznaczalności, a wartości sił nadliczbowych muszą być takie, by były spełnione kinematyczne warunki ciągłości (zgodności) przemieszczeń.

Rys. 16.1 Rozważymy konstrukcję dwukrotnie statycznie niewyznaczalną, przedstawioną na rys. 16.1a. Przy przyjmowaniu układu podstawowego mamy dużo swobody, gdyż układów takich jest nieskończenie wiele. Przyjmiemy układ podstawowy zobrazowany na rys. 16.1b. Jest on statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny. Reakcje usuniętych więzów oznaczymy przez X1 i X2. Na obciążenie układu podstawowego składają się zarówno obciążenia zewnętrzne q i P, jak i siły nadliczbowe X1 i X2. Ponieważ przyczyny (tzn. siły nadliczbowe) i skutki (siły przekrojowe, reakcje) są powiązane liniowymi równaniami równowagi, niezależnie od charakterystyki fizycznej materiału obowiązuje zasada superpozycji zapisana zależnościami (15.3). Z zależności tych otrzymujemy następujące wyrażenia na wielkości statyczne w układzie niewyznaczalnym:

(a)

R = R0 + R1 X1 + R2 X 2 , N = N 0 + N1 X1 + N 2 X 2 , Q = Q0 + Q1 X1 + Q2 X 2 , M = M 0 + M1 X1 + M 2 X 2 ,

gdzie indeksem 0 oznaczono wielkości statyczne występujące w statycznie wyznaczalnym układzie podstawowym, wywołane przez obciążenie zewnętrzne, natomiast indeksy 1 i 2 odnoszą się do wielkości statycznych w układzie podstawowym wywołanych odpowiednio przez obciążenia X1 = 1 i X2 = 1. Wymienione wyżej wielkości statyczne zestawiono na rys. 16.2. Wzór (a) opisuje nieskończenie wiele statycznie dopuszczalnych reakcji i pól sił wewnętrznych, gdyż wartości nadliczbowe X1 i X2 są na razie niewiadome. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

2

Rys. 16.2 Zwróćmy uwagę, że w układzie statycznie wyznaczalnym stan X1 = 1 jest równoznaczny z występowaniem reakcji podporowych R1 oraz sił wewnętrznych N1, Q1 i M1. W konstrukcji statycznie niewyznaczalnej układ sił R1, N1, Q1, M1 pozostaje zatem w równowadze z zerowym obciążeniem zewnętrznym. Pod wpływem czynników zewnętrznych (obciążenie, temperatura, błędy wykonania, osiadanie podpór) układ niewyznaczalny zdeformuje się. Miarą tej deformacji są rzeczywiste uogólnione odkształcenia λ, β, k i związane z nimi rzeczywiste przemieszczenia uogólnione u, w, ϕ oraz rzeczywiste osiadania podpór ∆*f . Ponieważ siły R1, N1, Q1, M1 są statycznie dopuszczalne, a układ λ, β, k, u, w, ϕ i ∆*f jest kinematycznie dopuszczalny, więc wielkości te spełniają równanie pracy wirtualnej (14.4) w układzie statycznie niewyznaczalnym:

∫ ( N1λ + Q1β + M1k )ds = ∫ (q x1u + qz1w + my1ϕ )ds + ∑f R f 1∆ f . *

s

s

Po uwzględnieniu, że obciążenie zewnętrzne jest równe zeru, tzn. qx1 = qz1 = my1 = 0, otrzymujemy bardzo ważną zależność: (b)

∫ ( N1λ + Q1β + M1k )ds = ∑f R f 1∆ f , *

s

gdzie symbol całkowania dotyczy wszystkich prętów konstrukcji, a sumowanie przedstawia pracę reakcji Rf1 na rzeczywistych przemieszczeniach podpór ∆*f w układzie statycznie niewyznaczalnym. Analogiczną zależność można ułożyć dla stanu X2 = 1. Dysponujemy zatem następującymi równaniami: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

∫ ( Ni λ + Qi β + Mi k )ds − ∑f R fi ∆ f = 0, *

(c)

3

i = 1, 2.

s

Równania (c) są poszukiwanymi równaniami ciągłości lub tzw. warunkami zgodności przemieszczeń. Odnotujmy, że zależność (c) obowiązuje dla każdego materiału pod warunkiem, że jest słuszna zasada zesztywnienia, czyli gdy przemieszczenia są bardzo małe. Aby wyznaczyć wartości sił nadliczbowych, trzeba sprecyzować zależności fizyczne. Dla prętów wykonanych z materiału liniowo-sprężystego zależności te przyjmują postać (por. wzory (15.6)):

 N 1 + λ0 = ⋅ ( N 0 + N1 X 1 + N 2 X 2 ) + λ0 , λ = EA EA  Q k  + β0 = ⋅ (Q0 + Q1 X 1 + Q2 X 2 ) + β 0 , β = GA (GA / k )   M 1 +κ 0 = ⋅ (M 0 + M 1 X 1 + M 2 X 2 ) + κ 0 . κ = EJ EJ 

(d)

Po podstawieniu zależności fizycznych (d) do równań ciągłości (c) otrzymujemy układ równań algebraicznych do wyznaczenia sił nadliczbowych: ∆11 X1 + ∆12 X 2 + ∆10 = 0,

(e)

∆21 X1 + ∆22 X 2 + ∆20 = 0,

gdzie

(f)

 ∆ik =   ∆ =  i0 

 Ni N k QQ M M  + i k + i k  ds, i , k = 1, 2. EA EJ  (GA / k )

∫  s



N

0



Q

∫  Ni  EA0 + λ  + Qi  (GA0/ k ) + β s

 M0  + k 0  ds −  + Mi   EJ  

0

∑ R fi ∆*f . f

Układ równań (e) nosi nazwę równań kanonicznych metody sił. Jest to układ równań liniowych ze względu na niewiadome siły nadliczbowe X1 i X2. Liniowość układu równań kanonicznych wynika z faktu, że materiał wszystkich prętów konstrukcji jest liniowo-sprężysty. Liniowe cechy materiału nadają współczynnikom ∆ik własność symetrii, polegającą na tym, że ∆ik = ∆ki. Własność ta wynika z twierdzenia o wzajemności Bettiego (por. p.5.4), gdyż współczynniki ∆ik mają sens przemieszczeń. Z budowy zależności (f) widać bowiem, że współczynnik ∆ik oznacza przemieszczenie punktu przyłożenia jednostkowej siły nadliczbowej Xi wywołane siłą nadliczbową działaniem Xk = 1 w układzie podstawowym. Wyraz wolny ∆i0 jest natomiast przemieszczeniem punktu przyłożenia siły Xi wywołanym przez działanie czynników zewnętrznych w układzie podstawowym. Każde z równań kanonicznych wyraża zatem fakt, że przemieszczenie względne w kierunku działania danej siły nadliczbowej jest równe zeru. Odnotujmy, że liczba równań kanonicznych (tzn. warunków zgodności przemieszczeń) jest równa liczbie niewiadomych sił Xi. Dla ilustracji obliczeń metodą sił wyznaczymy siły nadliczbowe X1 i X2 oraz sporządzimy ostateczne wykresy sił są wykonane z dwuteowników walcowanych, a ukośny pręt (tzw. zastrzał) połączony przegubowo jest rurą o stałym przekroju (por. rys. 16.1a): − słupy (IPE 140): − rygiel (IPE 220): − zastrzał (rura 100/4):

A = 16,40 · 10−4 m2, J = 541 · 10−8 m4, k = 2,75, A = 33,40 · 10−4 m2, J = 2770 · 10−8 m4, k = 2,80, A = 12,06 · 10−4 m2, J = 139 · 10−8 m4.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

4

Wszystkie pręty są wykonane ze stali o module sprężystości E = 2,0 · 108 kN/m2 oraz module ścinania G = 0,75 · 108 kN/m2. Sztywności poszczególnych przekrojów wynoszą: Słupy

= 32,8 ·104 kN, EA = 2 ·108 ·16,4 ·10−4 GA/k = 0,75 ·108 ·16,4 ·10−4/2,75 = 4,45⋅104 kN, EJ = 2 ·108 ·541 ·10−8 = 0,1082 ·104 kN⋅m2,

Rygiel

Zastrzał

EA = 2 ·108 ·33,4 ·10−4 GA/k = 0,75 ·108 ·33,4 ·10−4/2,80 EJ = 2·108 ·2770 ·10−8

= 66,8 ·104 kN, = 8,95 ·104 kN, = 0,554 ·104 kN⋅m2,

EA = 2·108 ·12,06 ·10−4

= 24,12 ·104 kN.

Współczynniki ∆ik oraz ∆i0 obliczymy według wzorów (f) z wykorzystaniem wykresów sił wewnętrznych podanych na rys. 16.2 (λ0 = 0, β0 = 0, k0 = 0, ∆*f = 0): 104 ∆11 =

0,82 ⋅ 4 0,62 ⋅ 3 12 ⋅ 5 0,62 ⋅ 4 0,82 ⋅ 3 + + + + + 32,8 66,8 24,15 4,45 8,95 2,4 ⋅ 3 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 ⋅ 2,4 2,4 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 + + = 0,1082 0,554 = 0,078 + 0,016 + 0,207 + 0,323 + 0,214 + 53,235 + 13,863 = 67,72 m / kN , ( −0,8)( −0,167)4 0 0 0,6( −0,25)4 + + + + 32,4 66,8 24,12 4,45 0 0 − 2,4 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 + + + = 0,016 − 0,135 − 29,575 = −29694 kN −1 , 8,95 0,1082 0,554

104 ∆12 = 104 ∆21 =

104 ∆22 =

2 ⋅ 0,1672 ⋅ 4 0,252 ⋅ 6 0 2 ⋅ 0,252 ⋅ 4 0,1672 ⋅ 6 + + + + + 32,8 66,8 24,12 4,45 8,95 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 1⋅ 6 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 + + = 0,1082 0,554

= 0,0068 + 0,0056 + 0,1112 + +0,0186 + 24,6457 + 3,6101 = 28,3992 ( kN ⋅ m) −1. 0 0 ( − 0,8 ⋅ 4 ) ⋅ ( − 259 ) ( − 0,6 ⋅ 4 ⋅ 24 ) 10 4 ∆10 = + + + + 32 ,8 66,8 24 ,12 4 ,45 ( − 0,8 ⋅ 3) ⋅ ( − 108 ⋅ 0,5) ( − 96 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 ⋅ 2 ,4 ) + + + 8,95 0,1082 162 ⋅ 3 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 ⋅ 2 ,4 − 36 ⋅ 32 ⋅ 0,125 ⋅ 0,67 ⋅ 3 ⋅ 2 ,4 ⋅ 0,5 = 0,554 = 25,26 − 12 ,94 + 14 ,48 − 2839 ,19 + 529 ,86 = −2282 ,53 m.

+

0 ,167 ⋅ 4 ( 259 − 65) ( − 0 ,25 ⋅ 6 ) ⋅ ( − 2 ,4 ) ( − 0 ,25 ⋅ 4 ) ⋅ ( − 2 ,4 ) + + + 32 ,8 66 ,8 4 ,45 0 ,167 ⋅ 6 ⋅ 0 ,5 ⋅ (151 − 65) 1 ⋅ 4 ⋅ 0 ,5 ⋅ 96 ⋅ 0 ,67 + + + 8 ,95 0 ,1082

10 4 ⋅ ∆20 =

258 ⋅ 6 ⋅ 0 ,67 − 36 ⋅ 6 2 ⋅ 0 ,125 ⋅ 0 ,67 ⋅ 6 ⋅ 0 ,5 = 0 ,554 = 3,94 + 0 ,54 + 4 ,6 + 5,4 + 1182 ,99 + 346 ,57 = 1544 ,24 rad. +

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

5

Układ równań kanonicznych (e) przybiera postać: 67,72 X 1 − 29,69 X 2 = − ∆10 ⋅ 104 , − 29,69 X 1 + 28,40 X 2 = − ∆20 ⋅ 104 , a jego rozwiązanie można wyrazić, jak następuje: 10− 4 ⋅ X 1 =

28,4 ⋅ ( − ∆10 ) − 29,69 ⋅ ∆20

= −0,02726 ⋅ ∆10 − 0,0285 ⋅ ∆20 , 67,72 ⋅ 28,40 − 29,69 2 67,72 ⋅ ( − ∆20 ) − 29,69 ⋅ ∆10 10− 4 ⋅ X 2 = = −0,0285 ⋅ ∆10 − 0,065 ⋅ ∆20 . 67,72 ⋅ 28,40 − 29,69 2 Po podstawieniu wartości ∆10 i ∆20 otrzymujemy siły nadliczbowe: X1 = − 0,02726 ·(−2282,53) − 0,0285 ·1544,24 = 18,2 kN, X2 = − 0,02850 ·(−2282,53) − 0,0650 ·1544,24 = −35,3 kNm. Ostateczne wartości reakcji i sił wewnętrznych można wyznaczyć za pomocą równań (a). Innym sposobem jest ponowne obliczenie układu podstawowego poddanego działaniu obciążeń zewnętrznych oraz znanych już sił nadliczbowych X1 i X2. Reakcje i siły wewnętrzne w układzie niewyznaczalnym podano na rys. 16.3.

Rys. 16.3 Z przytoczonych rachunków widać, że zginanie ma dominujący wpływ na wartości współczynników układu równań kanonicznych. Wniosek ten trzeba stosować z dużą ostrożnością, bo są konstrukcje, w których równie istotny jest wpływ wydłużeń. Do takich konstrukcji należą np. łuki ze ściągiem (rys. 16.4a). Ponieważ ściąg ma na ogół stosunkowo mały przekrój, wpływ jego wydłużenia jest bardzo Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

6

istotny i nie można go pominąć. Podobnie jest w kratownicach (rys. 16.4b), w których wydłużenia prętów są jedyną przyczyną pojawienia się przemieszczeń. Wpływ sił poprzecznych jest z reguły bardzo mały i nieomal zawsze można go pominąć. Wyjątek stanowią belki lub ramy wykonane z bardzo krępych prętów (np. fundamenty ramowe pod turbogeneratory), w których stosunek wysokości przekrojów do rozpiętości jest rzędu 1/10.

Rys. 16.4

16.1.2. Ogólne sformułowanie metody sił dla konstrukcji prętowych W poprzednim podrozdziale sformułowano metodę sił dla konstrukcji płaskich obciążonych w swej płaszczyźnie. W ogólnym przypadku n-krotnie statycznie niewyznaczalnej konstrukcji przestrzennej występuje sześć uogólnionych naprężeń Yj i sześć uogólnionych odkształceń ej (j = 1, 2, ..., 6):

{Yj } = { N , Qy , Qz , M , M y , M z },  {e j } = {λ , β y , βz ,θ , k y , k z }. 

(16.1)

Zasadę superpozycji dla reakcji Rf i sił wewnętrznych Yj można zapisać następująco (por. wzory (a) z p. 16.1.1): n

Rf = Rf 0 +

∑

n

Yj = Yj 0 +

R fi X i ,

i =1

∑ Yji X i ,

(16.2)

i =1

gdzie Rfi oznacza f-tą reakcję, a Yji j-tą siłę wewnętrzną w przyjętym układzie podstawowym, wywołane stanem Xi = 1. Uogólnieniem zależności (c) z p. 16.1.1 są równania zgodności zapisane następująco:   6  Y ⋅ e  ds − R fi ⋅ ∆*f = 0, i = 1, 2, ..., n. ji j    f s  j =1

∫∑

∑

(16.3)

Zależności (16.2) i (16.3) są słuszne dla konstrukcji wykonanych z dowolnego materiału, wykazujących małe przemieszczenia. Wartości sił nadliczbowych można jednak obliczyć dopiero z chwilą określenia własności fizycznych materiału. Dla konstrukcji wykonanych z materiału liniowo-sprężystego związki fizyczne można zapisać następująco (por. wzór (15.6a)): ej =

Yj Dj

+ e0j ,

j = 1, 2, ..., 6,

(16.4)

gdzie Dj oznacza wektor sztywności przekrojów prętów:

{D j } = {EA, GA / k y , GA / k z , GJ s , EJ y , EJ z }, Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(16.5) Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

7

a e0j są uogólnionymi odkształceniami wywołanymi przez wpływy niemechaniczne. Po podstawieniu równania (16.1) do związków fizycznych (16.4) otrzymujemy:

[

]

e j = (Y j 0 + Y ji X i ) / D j + e0j ,

j = 1, 2, ..., 6.

(16.6)

Uwzględnienie tych równań w warunkach zgodności przemieszczeń (16.3) prowadzi do układu równań kanonicznych metody sił: n

∑ ∆ik ⋅ X k + ∆i 0 = 0,

i = 1, 2, ..., n,

(16.7)

i =1

gdzie       6    Yj 0  + e0j  ds − R fi ⋅ ∆*f . ∆i 0 =  Y ji     Dj  f s  j =1  

 6 Y Y  ji jk  ds, ∆ik = ∆ki =   Dj    j = 1 s

∫∑

∫∑

(16.8)

∑

16.1.3. Obliczanie przemieszczeń konstrukcji liniowo-sprężystych. Kontrola kinematyczna Załóżmy, że w statycznie niewyznaczalnym i liniowo-sprężystym układzie prętowym są obliczone siły wewnętrzne Yj , wywołane przez obciążenia zewnętrzne oraz odkształcenia niemechaniczne e0j i przemieszczenia podpór ∆*f . Należy obliczyć uogólnione przemieszczenie ∆k (przesunięcie lub kąt obrotu) przekroju usytuowanego w punkcie k. Do rozwiązania tak sformułowanego problemu wykorzystujemy bezpośrednio równanie pracy wirtualnej (14.6). Warunki zadania pozwalają określić uogólnione odkształcenia układu statycznie niewyznaczalnego: e j = e0j + Y j / D j . Odkształcenia te oraz stowarzyszone z nimi przemieszczenia konstrukcji (w tym przemieszczenia podpór ∆*f i poszukiwane przemieszczenia ∆k) są kinematycznie dopuszczalne, gdyż spełniają warunki ciągłości. Trzeba skonstruować odpowiednie statycznie dopuszczalne wirtualne pole sił. Możliwości jest tu nieskończenie wiele. Najwygodniej jest jednak przyjąć pole odpowiadające układowi statycznie wyznaczalnemu. Układ ten obciążymy uogólnioną siłą wirtualną Pk = 1, wykonującą pracę na poszukiwanym przemieszczeniu ∆k. Stan Pk = 1 wywołuje w układzie statycznie wyznaczalnym siły wewnętrzne Yjk i reakcje podpór R fk . Równanie pracy wirtualnej (14.6) ma zatem postać:

1 ⋅ ∆k +

∑ f

 R fk ⋅ ∆*f =  s

6

∫ ∑Y j =1

  ds, 

jk e j 

lub po wykorzystaniu wyrażenia na ej: 1 ⋅ ∆k =

 6 Y   Y jk  j + e 0j  ds − R fk ⋅ ∆*f . D    j  f s  j =1 

∫∑

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

∑

(16.9)

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

8

Wzór (16.9) stanowi rozwiązanie postawionego zadania. Zwróćmy uwagę na to, że przyjęty układ statycznie wyznaczalny jest zupełnie dowolny i może różnić się od układu podstawowego. Dla ilustracji powyższych wywodów obliczymy przemieszczenia poziome punktu 1 w obliczonej już konstrukcji statycznie niewyznaczalnej z rys. 16.1a. Pole sił wewnętrznych Y j = { N, 0, Q, 0, M, 0} w

{ }

układzie statycznie niewyznaczalnym przedstawiono na rys. 16.3. Odkształcenia

e 0j = 0

oraz

przemieszczenia podpór ∆*f = 0.

Rys. 16.5 Układ statycznie wyznaczalny przyjęty do obliczania przemieszczenia ∆1, jego obciążenie wirtualne P1 , reakcje R f 1 i siły wewnętrzne Y j1 = 0, 0, Q, 0, M ,0 ilustruje rys. 16.5. Siła wirtualna P1 = 1 jest

{

}

zaczepiona w punkcie 1 i ma kierunek poszukiwanego przemieszczenia. Dzięki stosownie przyjętemu schematowi wyznaczalnemu całkowanie obejmuje tylko jeden pręt. Na podstawie wzoru (16.9) otrzymujemy:   Qk   M  1⋅ ∆1 = Q ⋅   + M ⋅   ds =  EJ     GA 

∫ s

=

( −8,8 ⋅ 4) ⋅ ( −1) 4

4,45 ⋅ 10

+

4 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 ⋅ 35,3 4

0,1082 ⋅ 10

= 7,9 ⋅ 10− 4 + 1740 ⋅ 10− 4 = 0,17479 m.

Przemieszczenie to jest bardzo duże i stawia pod znakiem zapytania zarówno stosowalność zasady zesztywnienia, jak i techniczną przydatność konstrukcji. Konstrukcja jest zbyt wiotka. Należałoby więc powtórzyć obliczenia przyjąwszy większe przekroje prętów. Umiejętność obliczenia przemieszczeń konstrukcji statycznie niewyznaczalnej pozwala sprawdzić te obliczenia. Można bowiem skontrolować, czy rzeczywiście są spełnione warunki ciągłości w wybranych punktach konstrukcji. Sprawdzimy przykładowo, czy wzajemny kąt obrotu przekrojów prawego słupa ramy jest równy zeru. W tym celu obierzemy taki schemat wyznaczalny, w którym może wystąpić wzajemny kąt obrotu wybranego przekroju słupa. Przyjmijmy, że przekrój ten jest usytuowany w punkcie C (rys. 16.6). Zatem w punkcie tym należy wprowadzić przegub, a jako obciążenie wirtualne przyjąć dwa momenty skupione PC = 1 działające na obie części konstrukcji, rozdzielone przegubem. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

9

Rys. 16.6 Poszukiwany wzajemny kąt obrotu ∆C obliczymy z równania (16.9), w którym dla uproszczenia uwzględnimy tylko wpływ momentów zginających. Wykres momentów rzeczywistych przedstawia rys. 16.3d, a wirtualnych − rys. 16.6. Mamy więc: 1 ⋅ ∆C = + −

17 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 ⋅ 1,33

+ 0,1082 ⋅ 104 222,7 ⋅ 6 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 ⋅ 1,33 − 36 ⋅ 6 ⋅ 0,125 ⋅ 0,67 ⋅ 6 ⋅ 133 ⋅ 0,5 0,554 ⋅ 104 35,3 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,67 ⋅ 133 0,1082 ⋅ 104

−

= 0,02786 + 0,02950 − 0,05785 = − 0,00049 rad ≈ 0.

Kontrola wykazała zatem, że obliczenia są poprawne. Zwróćmy uwagę, że w przypadku badania innych przemieszczeń, np. kąta obrotu na podporze B, poziomego przesunięcia podpory A lub kąta wzajemnego obrotu dowolnego przekroju prawego słupa, wykresy momentów wirtualnych są geometrycznie podobne do wykresu z rys. 16.6. Przemieszczenia te będą więc także równe zeru. Trzeba jednak dodać, że powyższe sprawdzenie nie gwarantuje, że całość obliczeń jest poprawna, gdyż nie obejmuje ono wszystkich fragmentów konstrukcji i wszystkich możliwych przemieszczeń. Opisana wyżej metoda sprawdzania nosi nazwę kontroli kinematycznej.

16.2. METODA PRZEMIESZCZEŃ 16.2.1. Ogólny opis metody W metodzie przemieszczeń konstrukcję prętową traktujemy jako pewien skończony zbiór węzłów, z których każdy ma określoną liczbę stopni swobody. Za węzły (por. rys. 16.7) uważamy niewielkie fragmenty konstrukcji zawierające zazwyczaj wszystkie punkty załamania osi (np. punkty 2 i 6), punkty w których zbiega się większa liczba prętów (punkt 4) i punkty podporowe (punkty 1, 8 i 9). Niejednokrotnie dogodne jest wyodrębnienie węzłów zawierających punkty nagłej zmiany przekroju (punkt 7) i punkty przyłożenia obciążeń skupionych (punkt 5). Węzłem może być również fragment zawierający dowolnie obrany punkt leżący na osi pręta (np. punkt 3).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

10

Rys. 16.7 Elementy międzywęzłowe nazywamy prętami. Numery prętów ramy z rys. 16.7 zapisano w kółkach. Z uwagi na bardzo małe wymiary węzły można traktować jako bryły (tarcze) sztywne lub punkty materialne. W przypadku konstrukcji płaskiej węzły, w których choćby dwa pręty są połączone w sposób sztywny, są tarczami sztywnymi (węzły 2, 3, 4, 5, 7, 8). Węzły zawierające przeguby są punktami materialnymi (węzły 1, 6, 9). Węzły sztywne na płaszczyźnie mają zatem co najwyżej trzy stopnie swobody (dwa przesunięcia i obrót), a węzły przegubowe − co najwyżej dwa stopnie swobody (dwa przesunięcia). Podpory konstrukcji odbierają węzłom pewną liczbę stopni swobody. Przegubowy węzeł podporowy 1 oraz sztywny węzeł podporowy 8 są więc węzłami nieruchomymi. Przegubowy węzeł podporowy 9 ma z kolei tylko jeden stopień swobody. Pozostałe węzły mają pełną liczbę stopni swobody. Układ więzów przyjęty na rys. 16.7 odpowiada w sumie osiemnastu stopniom swobody (5 · 3 + 1 · 2 + 1 = 18). Po obciążeniu konstrukcji każdy z węzłów się przemieści. Położenie węzłów w konfiguracji po odkształceniu opisują uogólnione przemieszczenia U1, U2,..., U18, odniesione do globalnego układu współrzędnych X, Y i odpowiadające całkowitej liczbie stopni swobody (rys. 16.8). Przemieszczenia te są wielkościami niewiadomymi w omawianej metodzie.

Rys. 16.8 Do wyznaczenia wartości przemieszczeń węzłów wykorzystuje się równania równowagi węzłów. Równania te odpowiadają sumie rzutów sił na kierunki wyznaczone przez wektory przesunięć oraz sumie momentów względem osi kątów obrotu danego węzła. Całkowita liczba równań równowagi pokrywa się zatem z liczbą niewiadomych przemieszczeń. Dla przykładu napiszemy równania równowagi węzła 4 (rys. 16.9): Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

11

Rys. 16.9

∑ PX = 0 : ∑ PY = 0 : ∑ Mz = 0 :

R1( 4) + R1(8) + R4( 3) = P1"4" ,    R2( 4) + R2(8) + R5( 3) = P2"4" ,  R3( 4) + R3(8) = P3"4" .  

(16.10)

W równaniach (16.10) P1"4" , P2"4" i P3"4" są bezpośrednimi obciążeniami węzła 4, a wielkości R (jm) oznaczają reakcje działające na końce pręta m, łączącego się z węzłem 4. Wartość indeksu j ustala się według zasad podanych w następnym punkcie. Opisana metoda ma sens dopiero wówczas, gdy reakcje prętów zapiszemy jako funkcje przemieszczeń sąsiednich węzłów. Postać tych funkcji zależy od usytuowania pręta, wymiarów geometrycznych, własności fizycznych materiału oraz warunków brzegowych danego pręta (por. p. 16.2.3).

Rys. 16.10 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

12

Całkowita liczba niewiadomych stopni swobody węzłów nazywa się stopniem kinematycznej niewyznaczalności konstrukcji. Układem kinematycznie wyznaczalnym jest zatem konstrukcja o zerowej liczbie stopni swobody, czyli konstrukcja, w której wszystkie węzły są nieruchome (tzn. U1 = U2 = ... = Uj = ... = 0). Przykłady konstrukcji kinematycznie wyznaczalnych zamieszczono na rys. 16.10. Kinematyczna wyznaczalność układu z rys. 16.10c wynika z symetrii konstrukcji i obciążenia. W podsumowaniu dodamy, że metody przemieszczeń i sił stanowią dwie podstawowe metody obliczeń konstrukcji. Metoda sił służy do obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, przy czym jako niewiadome występują wielkości statyczne, a równania tej metody wyrażają zgodność przemieszczeń. Metoda przemieszczeń służy do obliczania układów kinematycznie niewyznaczalnych, przy czym niewiadomymi są tutaj uogólnione przemieszczenia węzłów, a równania kanoniczne tej metody mają sens równań równowagi. Warto zwrócić uwagę, że metodą przemieszczeń można obliczyć również układy statycznie wyznaczalne, podobnie zresztą jak i metodą sił oblicza się układy kinematycznie wyznaczalne.

16.2.2. Globalne i lokalne układy współrzędnych Rozważmy pręt prostoliniowy wyodrębniony myślowo z konstrukcji. W konfiguracji pierwotnej końce tego pręta są wyznaczone punktami i, k. Po obciążeniu pręt ulega deformacji, a jego końce przyjmują położenie i', k' (por. rys. 16.11).

Rys. 16.11 Aktualne położenie przywęzłowych przekrojów pręta opisują uogólnione przemieszczenia U1, U2, U3, , U4 U5 i U6, odniesione do globalnego układu współrzędnych X, Y. Na końcu pręta w konfiguracji aktualnej działają reakcje R1, R2, R3, R4, R5 i R6, również odniesione do układu globalnego. Odkształcenia i reakcje pręta można analizować także w lokalnym układzie współrzędnych x, y. Początek tego układu przyjmiemy w punkcie i, przy czym oś x pokrywa się z osią pręta w konfiguracji pierwotnej. Przemieszczenia przekrojów przywęzłowych w układzie lokalnym opisują składowe u1, u2, u3, u4, u5 i u6, a reakcje opisują składowe r1, r2, r3, r4, r5 i r6. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13

Z rysunku 16.11 wynikają następujące zależności między składowymi przemieszczeń w obu układach: u1 = U1 ⋅ cosα + U 2 ⋅ sin α ,  u2 = −U1 ⋅ sin α + U 2 ⋅ cosα ,   u3 = U 3 ,  u4 = U 4 ⋅ cosα + U 5 ⋅ sin α ,  u5 = −U 4 ⋅ sin α + U 6 ⋅ cosα ,  u6 = U 6 . 

(16.11)

Zależność tę można zapisać krócej: 6

uj =

∑ C jm ⋅U m ,

j = 1, 2, ..., 6,

(16.11a)

m =1

gdzie Cjm oznacza elementy macierzy kosinusów kierunkowych. Macierz ta ma postać:  cosα  − sin α   0 [ C jm ] =   0  0   0

sin α

0

0

0

cosα

0

0

0

0

1

0

0

0

0

cosα

sin α

0

0 − sin α

0

0

cosα

0

0

0 0 0  0 0  1

(16.12)

Po wyrażeniu wartości Uj z układu globalnego przez wartości um z układu lokalnego (j, m = 1, 2, ..., 6) otrzymujemy: U1 = u1 ⋅ cosα − u2 ⋅ sin α ,  U 2 = u1 ⋅ sin α + u2 ⋅ cosα ,    U 3 = u3 ,  U 4 = u4 ⋅ cosα − u5 ⋅ sin α , U 5 = u4 ⋅ sin α + u5 ⋅ cosα ,   U 6 = u6 

(16.13)

lub krócej: 6

∑ C jm ⋅ um ,

Uj =

j = 1, 2, ..., 6,

(16.13a)

m =1

[ ]

[ ]

gdzie macierz C jm jest macierzą odwrotną do macierzy C jm :

[C jm ] = [C jm ]−1.

(16.14)

Podobne zależności zachodzą dla reakcji Rj i rm: rj =

6

∑C

jm

⋅ Rm ,

(16.15)

m =1

6

Rj =

∑ C jm ⋅ rm ,

j = 1, 2, ..., 6.

6.16)

m =1

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

14

16.2.3. Wzory transformacyjne. Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym W punkcie 16.2.1 stwierdziliśmy, że budowa związków Rj(Um) zależy od usytuowania pręta, wymiarów geometrycznych, własności fizycznych materiału oraz warunków brzegowych danego pręta. Skoncentrujemy się na analizie zależności rj(um) w układzie lokalnym, co pozwoli zaniedbać chwilowo wpływ usytuowania pręta względem układu współrzędnych globalnych. Jakościowe cechy relacji rj(um) zależą od modelu fizycznego pręta oraz rzędu wartości przemieszczeń. Jeśli materiał pręta jest liniowo-sprężysty, a przemieszczenia węzłów są bardzo małe, to zależności rj(um) są liniowe. Dla dużych przemieszczeń konieczne jest rozróżnienie konfiguracji początkowej i aktualnej oraz sprecyzowanie charakteru obciążeń (konserwatywne lub niekonserwatywne). Funkcje rj(um) są wówczas nieliniowe. Ten sam efekt występuje dla materiałów fizycznie nieliniowych. Największe trudności napotykamy w materiałach, w którym zależności σ(ε) są nieodwracalne (np. w materiałach sprężystoplastycznych). Konieczne są wtedy dodatkowe informacje o obciążeniach konstrukcji (charakter wzrostu obciążenia, kolejność przykładania obciążeń itp.). W dalszym ciągu ograniczymy się do analizy najprostszych przypadków liniowych, odpowiadających następującym założeniom: − pręt jest pryzmatyczny (A, J = const), − materiał pręta jest liniowo-sprężysty i jednorodny (E = const), − przemieszczenia końców pręta (tj. przemieszczenia sąsiednich węzłów) są bardzo małe, − obowiązuje hipoteza Bernoulliego (pręty są dostatecznie smukłe). Rozważymy pręt i−k przedstawiony na rysunku 16.12. Po obciążeniu całej konstrukcji pręt przyjmuje położenie i'−k', a dowolny punkt b leżący w odległości x od początku lokalnego układu współrzędnych x, y przyjmuje położenie b'. Położenie to określają współrzędne wektora przemieszczenia u(x) i v(x). Analizowany problem rozwiążemy za pomocą równań różniczkowych na funkcje u(x) i v(x).

Rys. 16.12 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

15

W myśl równania (14.26)1 mamy: dN = − q x ( x ). dx

(a) Ponieważ

N = EAλ = EA

(b)

du , dx

więc d  du   EA  = − q x ( x ). dx  dx 

(c)

Dla funkcji v(x) obowiązuje równanie różniczkowe linii ugięcia: d2  d 2v   EJ  = q y ( x ). dx 2  dx 2 

(d)

Dla pręta pryzmatycznego i jednorodnego EA = const i EJ = const. Wówczas równania (c) i (d) upraszczają się do postaci: d 2u

q ( x) =− x , EA dx d 4v q y ( x) = . EJ dx 4

(16.17)

2

(16.18)

Równania te uzupełnimy warunkami brzegowymi:

u( 0) = u1 , u(l ) = u4 ,

(16.19)

v (0) = u2 , v (l ) = u5 , v '(0) = u3 , v '(l ) = u6 .

(16.20)

Rozwiązaniem ogólnym równania (16.17) jest funkcja:

u( x ) = u 0 ( x ) + B0 + B1x ,

(16.21)

gdzie u0(x) jest całką równania niejednorodnego, spełniającą jednorodne warunki brzegowe:

u 0 (0) = u 0 (l ) = 0. Wobec tego stałe całkowania B0 i B1 obliczamy z warunków brzegowych (16.19):

B1·l + B0 = u4,

B1·0 + B0 = u1, stąd B1 = (u4 − u1)/l,

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

B0 = u 1 . Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

16

Zatem u −u u( x ) = u 0 ( x ) + u1 + 4 1 ⋅ x. 1

(16.22)

Rozwiązaniem ogólnym równania (16.18) jest funkcja:

v ( x ) = v 0 ( x ) + C0 + C1x + C2 x 2 + C3 x 3 ,

(16.23)

gdzie v0(x) jest całką równania niejednorodnego spełniającą jednorodne warunki brzegowe:

v 0 (0) = v 0 ( l ) = v 0 ' (0) = v 0 ' (l ) = 0. Stałe C0, C1, C2 i C3 obliczymy z warunków brzegowych (16.20): u2 = v (0) − v 0 (0) = C0 , u2 = v '(0) − v 0 '(0) = C1 , u5 = v (l ) − v 0 (l ) = u2 + lu3 + l 2 C2 + l 3C3 , u6 = v '(l ) − v 0 '( l ) = u3 + 2lC2 + 3l 2 C3 , skąd 1 1 u −u  u −u  C0 = u2 , C1 = u3 , C2 = −  2u3 + u6 − 3 5 2  , C3 = 2  u3 + u6 − 2 5 2  . 1  l l  l 

(16.24)

Wykorzystamy teraz znane zależności fizyczne. N = EA ⋅ u'( x ), M = − EJ ⋅ v ''( x ),

   Q = M '( x ) = − EJ ⋅ v '''( x ),

(16.25)

z których obliczymy wartości N, Q i M występujące na końcach pręta. Uwzględnimy przy tym wzory (16.22), (16.23) i (16.24):        u u 2 EJ −   M (0) = − EJ ⋅ v0 ''(0) + 2C2 = M 0 (0) + ⋅  2u3 + u6 − 3 ⋅ 5 2  ,  l  l    u4 − u1  u4 − u1  0 0  , N (l) = EA ⋅ u '(1) + = N (1) + EA ⋅  l  l   u5 − u2  3EJ  0 0  Q(l) = − EJ ⋅ v '''(l) + 6C3 = Q (l) − ⋅ u + u6 − 2 ⋅ , 2  3   l l  u5 − u2   2 EJ  0 0 M (l) = − EJ ⋅ v ''(l) + 2C2 + 6C3l = M (l) − ⋅  u3 + 2u6 − 3 ⋅ . l  l  

u −u  u −u  N (0) = EA ⋅ u0 '(0) + 4 1  = N 0 (0) + EA ⋅ 4 1 , l  l  6EJ  u −u  ⋅ u + u6 − 2 ⋅ 5 2  , Q(0) = − EJ ⋅ v 0 '''(0) + 6C3 = Q0 (0) − 2  3 l  l

[

] ]

[

[

(16.26)

]

[

]

Wielkości statyczne opatrzone indeksem 0 mają sens reakcji brzegowych r10 ,..., r60 , wywołanych w układzie kinematycznie wyznaczalnym przez obciążenie przęsłowe (por. rys. 16.13a). Reakcje te można obliAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

17

czyć kilkoma sposobami: metodą całkowania równań (16.17) i (16.18), metodą sił lub za pomocą twierdzeń energetycznych. Zwróćmy uwagę, że znakowanie reakcji r j0 nawiązuje do przyjętego lokalnego układu współrzędnych x, y.

Rys. 16.13 W związku z tym

{r } = {− N 0 j

0

}

(0), − Q 0 (0), M 0 (0), N 0 (l ), Q 0 ( l ), − M 0 (l ) .

(16.27)

Pozostałe składniki wzorów (16.26) są tzw. s1 ÷ s6, które pojawiają się wyłącznie na skutek występowania przemieszczeń u1 ÷ u6 (por. rys. 16.13b). Na końce pręta działają zatem reakcje brzegowe rj będące sumą reakcji wyjściowych r j0 w układzie kinematycznie wyznaczalnym oraz sił brzegowych sj: r j = r j0 + s j (um ),

j , m = 1, 2 ,..., 6,

(16.28)

przy czym

{r } = {− N (0),−Q(0), M (0), N (l), Q(l),− M (l)}.

(16.29)

j

Wzory (16.28) noszą nazwę wzorów transformacyjnych. Wartości sił brzegowych sj, których dodatnie zwroty nawiązują również do lokalnego układu współrzędnych x, y, ustalamy na podstawie wzorów (16.26):  [ ] EA1 ⋅ u − EA1 ⋅ u ,   12 EJ 66 EJ 12 EJ 6 EJ = −[ Q(0) − Q (0) ] = ⋅u + ⋅u − ⋅u + ⋅ u ,  l l l l

s1 = − N (0) − N 0 (0) = s2

1

0

3

4

2

2

3

5

2

4 EJ 6 EJ 2 EJ ⋅ u2 + ⋅ u3 − 2 ⋅ u5 + ⋅ u6 , 2 l l l l EA EA ⋅ u1 + ⋅ u4 , s4 = N (l ) − N 0 (l ) = − l l 12 EJ 6 EJ 12 EJ 6 EJ s5 = Q(l ) − Q 0 (l ) = − 3 ⋅ u2 − 2 ⋅ u3 + 3 ⋅ u5 − 2 ⋅ u6 , l l l l 6 EJ 2 EJ 6 EJ 4 EJ ⋅ u3 − 2 ⋅ u5 + ⋅ u6 . s6 = − M (l ) − M 0 (l ) = 2 ⋅ u2 + l l l l s3 = M (0) − M 0 (0) =

[

6 EJ

3

]

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

6

           

(16.30)

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

18

Zależności te można zapisać krócej: 6

sj =

∑ k jm ⋅ um ,

j = 1, 2 ,..., 6,

(16.30a)

m =1

gdzie [kjm] = [kmj] = [k] = k nazywa się macierzą sztywności pręta w układzie lokalnym. Budowa tej macierzy wynika z równań (16.30):

0 0  EA / l  0 3 12 EJ / l 6 EJ / l 2   0 6 EJ / l 2 4 EJ / l k=  0 0 − EA / l 3  0 − 12 EJ / l − 6 EJ / l 2  6 EJ / l 2 2 EJ / l  0

− EA / l 0

0 − 12 J / l 3

0 EA / l

− 6 EJ / l 2 0

0 0

12 EJ / l 3 − 6 EJ / l 2

0  2  6 EJ / l  2 EJ / l   0  − 6 EJ / l 2   4 EJ / l 

(16.31)

Macierz sztywności k składa się zatem z czterech podmacierzy:

[ ] [ k ] 

 k (ii )  k=  ( ki ) k 

(ik )

[ ] [

.  k ( kk )  

(16.31a)

]

Warto zwrócić uwagę, że macierz sztywności pręta (16.31) można również zapisać w innej postaci, dogodnej w obliczeniach „ręcznych”: 0 0 a  0 b d   0 d c k=  0 − a 0  0 −b −d  d e  0 gdzie

a = EA/l,

b = 12EJ/l3,

c = 4EJ/l,

−a

0

0

−b

0

−d

a

0

0

b

0

−d

d = 6EJ/l2,

0  d  e   0  − d  c 

(16.32)

e = 2EJ/l.

Wzory transformacyjne (16.30) wykorzystuje się do prętów, które w punktach i oraz k są połączone z węzłami w sposób sztywny (rys. 16.14a). Jeżeli na przykład w punkcie i pręt jest połączony w sposób przegubowy, to należy uwzględnić fakt, że moment zginający w tym punkcie jest równy zeru, czyli r3 = r30 + s3 = 0 (rys. 16.14b). Warunek r3 = 0 można traktować bądź jako dodatkowe równanie,

Rys. 16.14 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

19

bądź jako równanie służące do wyeliminowania kąta u3. W pierwszym wypadku reakcje r30 i macierz sztywności odpowiadają prętowi obustronnie utwierdzonemu, a dla dodatkowego niewiadomego kąta obrotu u3 dochodzi jedno równanie r3(um) = 0 (por. przykład liczbowy w p. 16.2.9). W drugim wypadku liczba niewiadomych pozostaje taka sama, natomiast reakcje r j0 ( j = 1, 2, ..., 6) i macierz sztywności modyfikują się stosowanie do warunków brzegowych. Omówimy tę drugą ewentualność dla przypadku z rys. 16.14b. Ponieważ na podporze przegubowej r30 = 0, więc s3(um) = 0, czyli

3u2 + 2l ⋅ u3 − 3u5 + l ⋅ u6 = 0, skąd u3 =

(e)

1 ⋅ ( −3u2 + 3u5 − l ⋅ u6 ). 2l

Uwzględnienie równania (e) w zależnościach (16.30) prowadzi do wyniku:         EA EA ⋅ u1 + ⋅ u4 , s4 = −  l l  3EJ 3EJ 3EJ s5 = − 3 ⋅ u2 + 3 ⋅ u5 − 2 ⋅ u6 ,  l l l  3EJ 3EJ 3EJ ⋅ u2 − ⋅ u5 + ⋅ u6 .  s6 =  l l l EA EA ⋅ u1 − ⋅ u4 , l l 3EJ 3EJ 3EJ s2 = 3 ⋅ u2 − 3 ⋅ u5 + 2 ⋅ u6 , l l l s3 = 0, s1 =

(16.33)

Jeżeli przegub występuje w punkcie k (rys. 16.14c), to s6(um) = 0, czyli

3u2 + l ⋅ u3 − 3u5 + 2l ⋅ u6 = 0, skąd 1 ⋅ ( −3u2 + 3u5 − l ⋅ u3 ). 2l Zależność (f) służy do wyeliminowania kąta u6 z równań (16.30), które modyfikują się do postaci: (f)

u6 =

EA EA  ⋅ u1 − ⋅ u4 ,  l l  3EJ 3EJ 3EJ s2 = 3 ⋅ u2 + 2 ⋅ u3 − 3 ⋅ u5 ,   l l l  3EJ 3EJ 3EJ s3 = 2 ⋅ u2 + ⋅ u3 − 2 ⋅ u5 ,  l l l   EA EA s4 = − ⋅ u1 + ⋅ u4 ,  l l  3EJ 3EJ 3EJ  s5 = − 2 ⋅ u2 − 2 ⋅ u3 + 3 ⋅ u5 , l l l   s6 = 0. s1 =

(16.34)

W podobny sposób można otrzymywać zależności sj(um) i macierze sztywności dla innych warunków podparcia pręta.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

20

16.2.4. Macierz sztywności pręta w układzie globalnym Wyrazimy obecnie reakcje brzegowe Rj przez przemieszczenia Um, odniesione do globalnego układu współrzędnych. Punktem wyjścia są tu równania (16.16) oraz zależności (16.29): 6

Rj =

∑

6

C jm ⋅ rm =

m =1

∑ C jm (rm0 + sm )

m =1

lub po rozpisaniu

(a)

 R1 = (r10 + s1 ) cosα − ( r20 + s2 ) sin α ,   R2 = (r10 + s1 ) sin α − (r20 + s2 ) cosα ,   R3 = r30 + s3 ,  0 0  R4 = (r4 + s4 ) cosα − ( r5 + s5 ) sin α ,  0 0  R5 = ( r4 + s4 ) sin α + (r5 + s5 ) cosα ,  0  R6 = r6 + s6 .

Siły brzegowe sm można wyrazić przez przemieszczenia brzegowe uj według zależności (16.30), w której uwzględnimy tylko niezerowe elementy macierzy sztywności w układzie lokalnym:

(b)

s1 = k11u1 + k14 u4 , s = k u + k u + k u + k u , 22 2 23 3 25 5 26 6 2 s3 = k32 u2 + k33u3 + k35u5 + k36u6 ,  s4 = k41u1 + k44 u4 , s5 = k52 u2 + k53u3 + k55u5 + k56u6 ,  s6 = k62 u2 + k63u3 + k65u5 + k66u6 .

Przemieszczenia uj odniesione do układu lokalnego można z kolei za pomocą wzorów (16.11) wyrazić przez przemieszczenia Um w układzie globalnym. Po podstawieniu wzorów (16.29) do zależności (b), a tych dalej do zależności (a) otrzymujemy poszukiwane zależności Rj(Um): R j (U m ) = R 0j + S j (U m ),

j , m = 1, 2, ..., 6,

(16.35)

gdzie: R 0j =

6

∑ C jp ⋅ rp0 ,

(16.36)

p =1

6

S j (U m ) =

∑ K jmU m ,

(16.37)

m =1

a Kjm oznacza elementy macierzy sztywności pręta w globalnym układzie współrzędnych. Macierz sztywności jest symetryczna (tzn. Kjm = Kmj ) i przybiera postać:  k11c 2 + k22 s 2 (k11 − k22 )cs − k23s k14c 2 (k14 − k25 )cs − k26s    2 2 2 k23c (k14 − k25 )cs k14 s 2 + k25 c k26c  (k11 − −k22 )cs k11s + k22c  {Kjm}=  − k32 s − k35s k32c k33 k35c k36    k41c 2 + k52s 2 (k41 − k52 )cs − k53s k44c 2 + k55s 2 (k44 − k55 )cs − k56s    2 2 k53c (k44 − k55 )cs k44 s 2 + k55c 2 k56c   (k41 − k52 )cs k41 s + k52c  − k62 s − k65s k62c k63 k65c k66   Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(16.38)

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

21

przy czym s = sin α , c = cosα . Wzory (16.35) są wzorami transformacyjnymi zapisanymi w globalnym układzie współrzędnych X, Y. Macierz (16.38) można zapisać jeszcze inaczej: d * − e* − a * − d * − e*  a*  d* b* f * − d * −b* f *   − e* f * c* e * − f *, g *  {Kjm}=  , a* d* e*  − a * − d * e * − d * − b * − f * d * b * − f *   g* e * − f * e *   − e * f *

(16.38a)

gdzie       4 EJ  EA 12 EJ  , d = (a − b) sin α cosα =  − 3  sin α cosα , c* = c =   l l l   6 EJ 2 EJ  . e* = d sin α = 2 sin α , f * = d cosα , g* = e =  l l

12 EJ EA ⋅ cos2 α + 3 ⋅ sin 2 α , l l 12 EA EJ ⋅ sin 2 α + 3 ⋅ cos2 α , b* = a sin 2 α + b cos2 α = l l a* = a cos2 α + b sin 2 α =

(16.39)

16.2.5. Uwagi o obliczaniu kratownic W układach kratowych wszystkie węzły są węzłami przegubowymi. Jeżeli obciążenia są przyłożone tylko w węzłach, to pręty przejmują tylko siły normalne. Okoliczności te pozwalają na znaczne uproszczenie obliczeń. Jako niewiadome odpadają kąty obrotu węzłów, a w macierzy sztywności pręta jedynymi niezerowymi elementami są składowe k11, k44, k14 i k41:

 EA / l  0   0 k= − EA / l  0   0

0 0 − EA / l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 EA / l 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0

(16.40)

Praktycznie biorąc, macierz sztywności dla elementu kratownicy ma wymiar 4×4, gdyż trzecią kolumnę i trzeci wiersz oraz szóstą kolumnę i szósty wiersz można wykreślić. Uwaga ta dotyczy również zależności (16.38), opisującej macierz sztywności w układzie globalnym.

16.2.6. Macierz sztywności konstrukcji Wykorzystanie wzorów transformacyjnych w równaniach równowagi wszystkich węzłów prowadzi do równań metody przemieszczeń. W celu uzyskania ostatecznej postaci równań tej metody konieczne jest wprowadzenie globalnej numeracji wszystkich składowych wektora przemieszczeń, dokonanie agregacji Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

22

macierzy sztywności poszczególnych prętów, prowadzącej do globalnej macierzy sztywności całej konstrukcji, oraz uwzględnienie warunków brzegowych. Warunki brzegowe można uwzględnić na różne sposoby. Zazwyczaj kolumny i wiersze macierzy odpowiadające zerowym przemieszczeniom usuwa się, a w przypadku statycznych warunków brzegowych uwzględnia się dodatkowe równania, redukujące liczbę niewiadomych. Uzyskana w ten sposób globalna macierz sztywności konstrukcji K jest macierzą liniowego układu równań na poszukiwane przemieszczenia Uj. Macierzową postać równań metody przemieszczeń zapisuje się, jak następuje: K U=P,

(16.41)

gdzie P jest wektorem wyrazów wolnych, wynikającym z reakcji w układzie nieruchomym oraz obciążeń działających bezpośrednio na węzły. Macierz sztywności K jest kwadratowa, symetryczna i ściśle dodatnio określona.

16.2.7. Przybliżona metoda obliczania ram W większości konstrukcji ramowych można pominąć wpływ wydłużeń prętów na wartości sił brzegowych. Odpowiada to przyjęciu, że u1 = u4. W konsekwencji następuje wyraźne uproszczenie obliczeń, gdyż siły poprzeczne i momenty zginające zależą wówczas tylko od kątów obrotu przekrojów przywęzłowych ϕi = u3 , ϕ k = u6 oraz kątów obrotu cięciwy pręta ψik (por. rys. 16.15).

Rys. 16.15 Dalsza, bardzo istotna korzyść polega na tym, że kąty ϕi, ϕk oraz ψik nie zależą od układu współrzędnych. Przyjmują zatem takie same wartości w układach lokalnym i globalnym: Φi = ϕi , Φ k = ϕ k , Ψik = ψ ik ,

(16.42)

przy czym u −u ψ ik = 5 2 . l W omawianej przybliżonej metodzie przemieszczeń wykorzystuje się wzory transformacyjne tylko do wyznaczenia momentów zginających. Wzory te − stosownie do zależności (16.28) i (16.30) − przyjmują postać:

2 EJ  ⋅ (2ϕ i + ϕ k − 3ψ ik ),  l  2 EJ M ki = M ki0 + ⋅ (ϕ i + 2ϕ k − 3ψ ik ).   l M ik = M ik0 +

(16.43)

Dla pręta, w którym podpora i jest przegubowa, a podpora k utwierdzona (rys. 16.14b), według zależności (16.28) i (16.39) otrzymujemy: Mik = 0,

   3EJ 0 M ki = M ki + ⋅ (ϕ k − ψ ik ), l  Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(16.44)

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

23

a dla pręta z rys. 16.14c mamy: Mik = Mik0 + M ki = 0.

3EJ  ⋅ (ϕi − ψ ik ), l  

(16.45)

0 Wartości Mik0 oraz M ki odnoszą się tutaj do pręta kinematycznie wyznaczalnego, przy czym uwzględnia się tutaj obecność przegubów brzegowych (p. i lub k).

Rys. 16.16 Modelem kinematycznym konstrukcji w rozważanej metodzie przybliżonej jest układ tarcz sztywnych połączonych przegubami. Tarczami sztywnymi są tutaj pręty i węzły sztywne. Na przykład przedstawiony na rys 16.16b model kinematyczny ramy ma (3t − p = 3 · 5 − 11 = 4) cztery stopnie swobody. Do unieruchomienia modelu konstrukcji konieczne jest uniemożliwienie obrotów węzłów 2 i 3 oraz wprowadzenie dodatkowych prętów podporowych I i II. Wymienione pręty podporowe zaznaczono na rys. 16.16b liniami przerywanymi. Poszczególne mechanizmy niezależne otrzymujemy przez kolejne usuwanie każdego z węzłów. Na rysunkach 16.16c, d przedstawiono mechanizmy odpowiadające obrotom węzłów 2 i 3. Odnotujmy, że obroty węzłów nie wywołują obrotu prętów. Wynika to stąd, że wymiary węzłów z założenia są bardzo małe. Usunięciu podpory I towarzyszy mechanizm I (lub tzw. I . Kąty obrotu pozostałych prętów można przesuw I − rys. 16.16e), określony przez kąt obrotu ψ I = ψ 23 wyrazić przez kąt ψ I z zależności geometrycznych. Mechanizm II (przesuw II), odpowiadający II . Ogólnie biorąc, kąty obrotu prętów są usunięciu podpory II (rys. 16.16f), określa kąt ψ II = ψ 23 superpozycją kątów obrotu w poszczególnych przesuwach, czyli

ψ ik = ψ ikI + ψ ikII +K+ψ ikL +K+ψ ikN , Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(16.46) Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

24

gdzie N jest liczbą przesuwów. Równania kanoniczne przybliżonej metody przemieszczeń odpowiadają równaniom pracy wirtualnej rzeczywistych sił na wirtualnych przemieszczeniach pokrywających się z niezależnymi mechanizmami modelu konstrukcji. Na przykład obrót węzła i o kąt ϕi prowadzi po prostu do równania równowagi momentów w tym węźle (por. rys. 16.17a):

(∑ Mi ) ⋅ ϕi = 0.

(16.47)

Mechanizm przesuwu L (rys. 16.17b) pozwala zapisać równanie pracy wirtualnej w następującej postaci:

∑ Mik ⋅ ψ ikL + ∑ Pi ⋅ ∆iL = 0,

(16.48)

gdzie znak sumy rozciąga się na wszystkie pręty, a drugi składnik wzoru (16.48) symbolizuje pracę obciążenia zewnętrznego na wirtualnych przemieszczeniach. Liczba równań (16.47) i (16.48) jest równa liczbie niewiadomych kątów obrotu węzłów oraz przesuwów. Warto przypomnieć, że do ułożenia tych równań wystarczają tylko wzory transformacyjne dla momentów zginających.

Rys. 16.17 Siły poprzeczne i normalne obliczamy z równań równowagi dopiero po rozwiązaniu układu równań kanonicznych i wyznaczeniu wartości momentów przywęzłowych. Aby wyznaczyć siły poprzeczne, każdy z prętów obliczamy jak belkę swobodnie podpartą, poddaną działaniu momentów podporowych i obciążenia poprzecznego w obrębie przęsła (rys. 16.17c). Siły normalne obliczamy w ostatniej kolejności na podstawie równań równowagi sił działających na pręty i węzły (rys. 16.17d). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

25

Warto dodać, że w ramach metody przybliżonej można jednak uwzględnić wpływ wydłużeń tych prętów, których sztywność podłużna jest niewielka (np. ściąg). W tym celu należy zbudować odpowiednie mechanizmy i wykorzystać równania pracy wirtualnej w postaci (16.48). Pewnego komentarza wymaga sposób uwzględnienia wpływu wydłużeń prętów wywołanych czynnikami niemechanicznymi (przyrost temperatury ∆Tc , błędy wykonania). To, że pręty konstrukcji mogą się wydłużać, narusza podstawowe założenie metody przybliżonej. Jeżeli jednak wydłużenia są niewielkie, to można przyjąć, że zależności między kątami obrotu prętów ψ ik pozostają takie same. Przyjmuje się zatem, że wydłużenia prętów wpływają jedynie na wartości momentów wyjściowych 0 . Mik0 , M ki Na rysunku 16.17e przedstawiono kinematykę wynikającą ze zmiany długości ramy ∆lik0 w układzie kinematycznie wyznaczalnym. Występują tu tylko wstępne wartości kątów obrotu prętów ψ ik0 , gdyż węzły konstrukcji nie ulegają obrotom (ϕi0 = ϕ k0 = 0). Problem sprowadza się zatem do obliczenia kątów ψ ik0 , wyznaczających wyjściowe wartości momentów przywęzłowych. Momenty te wynoszą: − dla prętów obustronnie utwierdzonych (wzory (16.43)) 0'' Mik0'' = M ki =−

6 EJ 0 ⋅ψ ik , l

(16.49)

− dla pręta utwierdzonego w punkcie k, a przegubowo połączonego w punkcie i (wzory (16.44))

Mik0' = 0,

0' =− M ki

3EJ ⋅ψ ik0 , l

(16.50)

− dla pręta utwierdzonego w punkcie i, a przegubowo połączonego w punkcie k (wzory (16.45))

Mik0' = −

3EJ o ⋅ ψ ik , l

0' M ki = 0.

(16.51)

Całkowite wartości kątów obrotu prętów ψ ikc są więc sumą kątów ψ ik0 i ψ ik : c ψ ikc = ψ ki = ψ ik0 + ψ ik .

(16.52)

Najogólniejszym sposobem wyznaczania kątów ψ ik0 jest metoda analityczna, przedstawiona w p. 14.10.2. Rozważmy pręt i−k, który jednocześnie zmienia swą długość o ∆l 0 i obraca się o kąt ψ 0 (rys. 16.17f). Składowe przemieszczenia punktu k wynoszą:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

∆ x = ∆lx0 + (l y + ∆lx0 ) + l y ⋅ ψ 0 , ∆ y = ∆l y0 − (lx + ∆l y0 ) ⋅ ψ 0 ≈ ∆l y0 − l x ⋅ ψ 0 ,

26

(16.52a)

gdzie ∆lx0 = ∆l 0 cosα , ∆l y0 = ∆l 0 sin α , lx = l cosα , l y = l sin α , przy czym dodatnie wartości ∆l 0 odpowiadają wydłużeniu, a ujemne − skróceniu osi pręta. Stosując wzory (16.52a) w równaniach sumy (ciągłości) przemieszczeń w układzie kinematycznie wyznaczalnym, można obliczyć wszystkie poszukiwane kąty ψ ik0 . Dla ilustracji ułożymy równania do obliczenia wartości ψ ik0 w układzie z rys. 16.17e: ∆4x =

∑ ∆ x = ∆l120 cosα12 + l12 sin α12 ⋅ψ 120 + ∆l230 cosα 23 +

0 0 + l23 sin α 23 ⋅ ψ 23 + ∆l34 cosα 34 + l34 sin α 34 ⋅ ψ 34 = 0,

∆4 y =

∑ ∆ y = ∆l120 sin α12 − l12 cosα12 ⋅ψ 120 + ∆l230 sin α 23 −

0 0 0 − l23 cos α 23 ⋅ ψ 23 + ∆l34 sin α 34 − l34 cos α 34 ⋅ ψ 34 = 0.

Ponieważ pręt 1−2 na skutek zmiany długości nie obraca się (rys. 16.17e), bo jest podparty w punkcie 2, 0 = 0. Po uwzględnieniu ponadto, że α12 = 90o i więc ψ 12 α23 = 0, otrzymujemy następujący układ dwóch równań: 0 0 0 ∆l23 + ∆l34 cos α 34 + l34 sin α 34 ⋅ ψ 34 = 0,  0 0 0 0 ∆l12 − l23 ⋅ ψ 23 sin α 34 − l34 cos α 34 ⋅ ψ 34 + ∆l34 = 0. 0 0 i ψ 34 . Z tego układu można obliczyć poszukiwane kąty obrotu ψ 23

Gdy liczba niewiadomych kątów obrotu prętów jest większa, zawsze udaje się ułożyć dostateczną liczbę równań ciągłości przemieszczeń w układzie kinematycznie wyznaczalnym. Trzeba jednak dodać, że w pewnych przypadkach ram nieprzesuwnych w celu obliczenia momentów wyjściowych wynikających ze zmian długości prętów należy dodatkowo rozwiązać odpowiedni schemat statycznie niewyznaczalny.

16.2.8. Kanoniczna postać równań metody przemieszczeń W przypadku liniowości kinematycznej i fizycznej (liniowa sprężystość, małe odkształcenia i przemieszczenia) równaniom metody przemieszczeń można nadać nieco inną postać, wynikającą z zasady superpozycji. Aby całkowicie unieruchomić poszczególne węzły konstrukcji, musimy wprowadzić pewną liczbę więzów, odpowiadającą liczbie niewiadomych uogólnionych przemieszczeń Uk. (k = 1, 2, 3, ..., n). Wprowadzimy pojęcie uogólnionej reakcji więzu i, powstającej wskutek wymuszenia jednostkowego uogólnionego przemieszczenia w kierunku więzu k. Reakcję taką oznaczymy symbolem rik. Korzystając z zasady superpozycji, wnosimy zatem, że całkowita reakcja więzu i od prawdziwej wartości przemieszczenia Uk wynosi rik⋅ Uk. W układzie podstawowym kinematycznie wyznaczalnym (tzn. w układzie nieruchomym, gdzie Uk ≡ 0) występują reakcje więzów i pochodzące od obciążeń zewnętrznych. Reakcje te oznaczymy symbolem Rip . Równowaga poszczególnych węzłów wymaga, by suma wszystkich reakcji więzu i w układzie była równa zeru. Odpowiada to zależności: k =n

∑ rikU k + Rip = 0 ;

i = 1, 2, 3, ..., n .

(16.53)

k =1

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

27

Równania (16.53) tworzą tzw. układ równań kanonicznych metody przemieszczeń o postaci analogicznej do równań metody sił. Równania te są po prostu równaniami równowagi poszczególnych węzłów, stanowiącymi esencję idei metody przemieszczeń. Bliższe szczegóły tego sposobu budowy równań są zawarte w podręcznikach z mechaniki budowli (por. np. [10]).

16.2.9. Przykład liczbowy Obliczymy ramę przedstawioną na rysunku 16.18a. Przyjmiemy, że materiał ramy jest liniowosprężysty (E = 2·108 kN/m2), a konstrukcja wykazuje małe przemieszczenia. Zaprezentujemy tu zarówno metodę ścisłą, jak i przybliżoną.

Rys. 16.18 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

28

Metoda ścisła Rama jest w zasadzie układem czterokrotnie kinematycznie niewyznaczalnym, a niewiadomymi są przemieszczenia U1, U4, U5 i U6 (rys. 16.18b). Dodatkową niewidomą jest kąt obrotu U3 na podporze przegubowej. Równania służące do wyznaczenia wszystkich wyżej wymienionych niewiadomych są równaniami równowagi węzłów 1 i 2. Dotyczy to także dodatkowego równania, wyrażającego fakt, że moment zginający na podporze 1 jest równy zeru. Mamy zatem układ pięciu równań o pięciu niewiadomych (por. rys. 16.18e, f, g):  R (1)  1  R (1)  3  (1)  R4  (1)  R5  (1)  R6

(a)

= −6, = 0, + R1( 2 ) = 5, + R2( 2 ) = 0, + R3( 2 ) = −45.

W celu ułożenia równań kanonicznych metody przemieszczeń należy wyznaczyć kolejno współczynniki macierzy sztywności oraz reakcje wyjściowe w układach lokalnych i układzie globalnym. Efekt tych wstępnych obliczeń zestawiamy niżej.

Pręt 1 (IPE 260) A = 53,4 ⋅ 10−4 m2 ,

J = 5740 ⋅ 10−8 m4

EA = 106,8 ⋅ 10−4 kN ,

, EJ = 1148 ⋅ 10− 4 kN ⋅ m2 , l = 5,00 m, α = −53,130o ; − współczynniki lokalnej macierzy sztywności (wzory (16.32)): a = 21,3600 ⋅ 10−4 kN / m, b = 0,1102 ⋅ 10−4 kN / m, c = 0,9184 ⋅ 10−4 kN ⋅ m, d = 0,2755 ⋅ 10− 4 kN , e = 0,4592 ⋅ 10− 4 kN ⋅ m; − współczynniki globalnej macierzy sztywności (wzory (16.38a)): a* = 7,76 ⋅ 10−4 kN / m, b* = 13,710 ⋅ 10−4 kN / m, c* = 0,918 ⋅ 10−4 kN ⋅ m, d * = −10,200 ⋅ 10− 4 kN / m, e* = −0,220 ⋅ 10− 4 kN ,

f * = 0,165 ⋅ 10− 4 kN ,

g* = 0,459 ⋅ 10− 4 kN ⋅ m;

r10 R10 R40

− reakcje wyjściowe w układzie lokalnym: = 0, r20 = −20 kN , r30 = −16,67 kN ⋅ m, r40 = 0, r50 = −20 kN , r60 = 16,67 kN ⋅ m; − reakcje wyjściowe w układzie globalnym (wzory (16.36)): = −16 kN , R20 = −12 kN , R30 = −16,67 kN ⋅ m, = −16 kN , R50 = −12 kN , R60 = 16,67 kN ⋅ m.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

29

Pręt 2 (IPE 300) A = 69,1 ⋅ 10−4 m2 ,

J = 9800 ⋅ 10−8 m4 , EA = 138,2 ⋅ 10−4 kN;

EJ = 1,960 ⋅ 10− 4 kN ⋅ m2 , l = 6,325 m, α1 = 18,435o ; a = 21,8511 ⋅ 10− 4 kN / m, b = 0,09297 ⋅ 10− 4 kN / m, c = 1,2396 ⋅ 10− 4 kN ⋅ m; d = 0,2940 ⋅ 10− 4 kN , e = 0,6198 ⋅ 10− 4 kN ⋅ m; a* = 19,675 ⋅ 10− 4 kN / m, b* = 2,269 ⋅ 10− 4 kN / m, c* = 1,240 ⋅ 10− 4 kN ⋅ m; d * = 6,527 ⋅ 10− 4 kN / m, e* = 0,093 ⋅ 10− 4 kN ,

f * = 0,279 ⋅ 10− 4 kN ,

g* = 0,620 ⋅ 10− 4 kN ⋅ m; r10 = −3,16 kN , r20 = −9,49 kN , r30 = −15 kN ⋅ m, r40 = −3,16 kN , r50 = −9,45 kN , r60 = 15 kN; R10 = 0, R20 = −10 kN, R30 = −15 kN ⋅ m, R40 = −10 kN , R60 = 15 kN. Zwracamy uwagę, że reakcje r j0(1) i r j0( 2) ( j = 1, 2, ..., 6) obliczono jak dla prętów obustronnie utwierdzonych (por. rys. 16.18c, d). Po uwzględnieniu obliczonych wyżej wartości oraz związków (16.38a) wzory transformacyjne (16.35) w układzie globalnym dla obu prętów przyjmują postać: R1(1)  − 16  7,760 − 10,200 0,220 − 7,760   (1)   − 10,200 13710   , , 0165 10,200 R2  − 12     (1)   0,220 , 0165 0,918 − 0,220 − 16,67 R + 104 ⋅  (b)  3(1)  =   R  − 16 7,760  − 7,760 10,200 − 0,220   4      10,200 − 13710 , , − 0165 − 10,200 R5(1)  − 12   (1)  16,67  0165 , 0,459 − 0,220  0,220  R6  

0,220  U1     , 0165  U2  − 0,165 0,459  U3  ⋅   − 10,200 − 0,220 U4  13710 , ,  U5  − 0165    , 0,918  U6  − 0165 10,200 − 13710 ,

R(2)   1   0   19,675 6,527 − 0,093 − 19,675 − 6,527 − 0,093 U4  R(2)        2 − 6,527 − 2,269 0,279  U5  6,527 2,269 0,279  − 10,00   R(2)  − 15,00  − 0,093 0,279 1,240 0,093 − 0,279 0,620  U6  + 104 ⋅  (c)  3  =  ⋅    − 19,675 10,200 0,093 19,675 − 10,200 0,093  U7  R(2)   0    4  − 10,00  − 6,527 − 2,269 − 0,279 6,527 2,269 − 0,279 U8  R(2)         5   15,00  0,093 − 0,279 1240 ,  U9   − 0,093 0,279 0,620 R(2)   6 

W zależnościach (b) i (c) macierze kwadratowe oznaczają odpowiednio macierze prętów 1 i 2 w układzie globalnym. Przy podstawianiu wzorów (b) i (c) do równań równowagi (a), należy uwzględnić kinematyczne warunki brzegowe: U2 = U7 = U8 = U9 = 0 (por. rys. 16.18b). Ostatecznie równania (a) przybierają postać równań kanonicznych metody przemieszczeń (16.41):

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

(d)

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

0,220  7,760  0,220 0,918  4 10 ⋅  − 7,760 − 0,220   10,200 − 0,165  0,220 0,459

30

− 7,760 10,200

0,220  U1   10,00  − 0,220 − 0,165 0,459  U 3   16,67      27,435 − 3,673 − 0,313 · U 4  =  21,00  ,  − 3,673 15,979 0,114  U 5   22,00     2,158  U 6  − 46,67  − 0,313 0,114

gdzie macierz kwadratowa jest macierzą sztywności konstrukcji w przyjętym układzie globalnym. Łatwo zauważyć, że macierz ta powstała przez dodanie odpowiednich elementów macierzy sztywności poszczególnych prętów oraz usunięcie kolumn i wierszy odpowiadających zerowym wartościom przemieszczeń brzegowych. We wzorach (b) i (c) zaznaczono te segmenty macierzy K(1) i K(2), które podlegają dodawaniu. Symetria macierzy konstrukcji wynika z symetrii macierzy sztywności poszczególnych prętów. Rozwiązaniem układu równań kanonicznych (d) są następujące wartości przemieszczeń: U1 = −82,30 ⋅ 10−4 m, U 3 = 58,68 ⋅ 10−4 rad , (e) , ⋅ 10− 4 rad , U 6 = −30,67 ⋅ 10− 4 rad. U 4 = −15,54 ⋅ 10− 4 m, U 5 = 5116 Największa bezwzględna wartość przesunięcia odpowiada przemieszczeniu U1:

U1 = −82,30 ⋅ 10−4 m = 0,823 mm, a największy kąt obrotu U 3 = 58,68 ⋅ 10−4 ⋅ 180 / π = 0,3362 o . Jak widać, wartości te, zgodnie z założeniem, można uznać za bardzo małe. Do wyznaczenia pola statycznego wykorzystuje się wzory transformacyjne (b) i (c). Na przykład: R1(1) = −16 + 7,76 ⋅ ( −82,3) − 10,2 ⋅ 0 + 0,22 ⋅ 58,68 − 7,76 ⋅ ( −15,54) + + 10,2 ⋅ 5116 , + 0,22 ⋅ ( −30,67) = −6,06 kN. Ostateczne rezultaty obliczeń reakcji brzegowych podano w zestawieniu: R1(1) = −6,06 kN , (f)

R2(1) = −27,83 kN , R3(1) = 0,

R4(1) = −25,94 kN , R5(1) =

3,83 kN , R6(1) = − 7,68 kN ⋅ m,

R1( 2) = 31,02 kN , R2( 2) = − 3,90 kN , R3( 2) = −37,31 kN ⋅ m, R4( 2) = −31,02 kN , R5( 2) = −16,10 kN , R6( 2) = 11,70 kN ⋅ m.

Do sił brzegowych w układach lokalnych dla każdego pręta dochodzimy na podstawie równań (16.15). Dla przykładu obliczymy tylko wartości r1(1) i r2(1) : r1(1) = R1(1) cosα1 + R2(1) sin α1 = −6,06 ⋅ 0,6 − 27,83 ⋅ ( −0,8) = 18,63 kN , r2(1) = − R1(1) sin α1 + R2(1) cosα1 = 6,06 ⋅ ( −0,8) − 27,83 ⋅ 0,6 = −21,53 kN. Kompletne wyznaczenie sił wewnętrznych w ramie przedstawimy niżej. Zastosujemy nieco inny sposób obliczeń, charakterystyczny dla metody przybliżonej. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

31

Metoda przybliżona Założenie o nieściśliwości prętów ramy prowadzi do wniosku, że układ jest dwukrotnie kinematycznie niewyznaczalny (3t − p = 3 · 3 − (3 · 2 + 1) = 2, rys. 16.19b).

Rys. 16.19 Jako niewiadome występują tu kąt ϕ2 obrotu węzła „2” i kąt ψ23 = ψ obrotu pręta 2−3. Kąt obrotu węzła 3 ϕ3 = 0, a kąt obrotu pręta 1−2 można wyznaczyć z kinematyki przesuwu przedstawionej na rysunku 16.19b: ψ12 = − 2ψ. Równania transformacyjne dla momentów zginających są następujące:

(g)

 3E1 J1 0 ⋅ (ϕ 2 − ψ 21 ),  M12 = 0; M 21 = M 21 + l1   3E 2 J 2 0 ⋅ (2ϕ 2 + ϕ 3 − 3ψ 23 ),  M 23 = M 23 + l2   2 E2 J 2 0 ⋅ (ϕ 2 + 2ϕ 3 − 3ψ 23 ).  M 32 = M 32 + l2 

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy: M 21 = 25 + 0,6888 ⋅ (ϕ$2 + 2ψ$ ),

M 23 = −15 + 0,62025 ⋅ (2ϕ$2 − 3ψ$ ), M 32 = 15 + 0,62025 ⋅ (ϕ$2 − 3ψ$ ),

gdzie ϕ$2 = ϕ 2 ⋅ 104 oraz ψ$ = ψ ⋅ 104 . Na uwagę zasługuje fakt, że momenty Mik0 oblicza się z uwzględnieniem warunków brzegowych. Na 0 = ql12 / 8 = 8 ⋅ 52 / 8 = 25 kN ⋅ m (rys. 16.19c − podpora 1 jest przegubowa). Pręt 2 jest przykład M12 obustronnie utwierdzony, zatem Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

32

0 0 M 23 = − M 32 = Pl2 / 8 = −18,98 ⋅ 6,324 / 8 = −20 ⋅ 6 / 8 = −15 = 25 kN ⋅ m .

Równanie równowagi momentów działających na węzeł 2 jest następujące:

M 21 + M 23 + 45 = 0.

(h)

Równanie pracy wirtualnej przy przesuwie określonym wirtualnym kątem obrotu pręta ψ = ψ 23 = −ψ 12 / 2 (por. wzór (16.48)): M21( − 2ψ ) + ( M23 + M32 )ψ + 6⋅ 5⋅ (− 2ψ ) − 32 ⋅ 3⋅ (− 2ψ ) + 24⋅15 , ⋅ (− 2ψ ) + 5⋅ 2ψ − 20⋅ 3ψ = 0, prowadzi do zależności:

− 2 M 21 + M 23 + M 32 + 10 = 0.

(i)

Uwzględniwszy równania transformacyjne (g) w równaniach równowagi (h) oraz (i) otrzymujemy układ równań kanonicznych o postaci: 1,9293ϕ$2 − 0,48315ψ$ = −55,  − 0,48315ϕ$2 + 6,4767ψ$ = −40.

(j)

Rozwiązaniem tego układu są wartości:

ϕ$2 = −30,63 rad, ψ$ = −8,46 rad. W celu porównania tych wyników z wynikami otrzymanymi metodą ścisłą wyznaczymy jeszcze wartości U$ ,U$ ,U$ ,U$ i U$ U$ = 104 ⋅ U : 1

3

4

5

6

(

j

j

)

U$1 = −5ψ$ 12 = −5 ⋅ ( 2 ⋅ ψ$ ) = −64,6 m, ^

U 4 = 2ψ$ 23 = 2ψ$ = 2 ⋅ ( −8,46) = −16,92 m, ^

U 5 = −6ψ$ 23 = −6ψ$ = −6 ⋅ ( −8,46) = 50,76 m, U$ = ϕ = −30,63 rad. 6

2

Przemieszczenie U$ 3 = ϕ$1 obliczymy z warunku, że M12 = 0: M12 = −

8 ⋅ 52 2 ⋅ 1148 , + (2ϕ$1 + ϕ$2 + 3 ⋅ 2ψ$ ) = 0, 12 5

skąd  1  8 ⋅ 52 5 ⋅ − ( −30,63) − 6 ⋅ ( −8,46)  = 58,84 rad. U$ 3 = ϕ$1 = ⋅  2  12 2 ⋅ 1,148  Zestawimy wartości ścisłe i przybliżone: − wartości ścisłe U$1 = −82,3 m, U$ 3 = 58,68 rad , U$ 4 = −15,54 m, U$ 5 = 5116 , m, U$ 6 = −30,67 rad , − wartości przybliżone U$1 = −84,6 m, U$ 3 = 58,84 rad , U$ 4 = −16,92 m, U$ 5 = 50,76 m, U$ 6 = −30,63 rad , Obliczymy teraz siły wewnętrzne. Wartościom ϕ$2 i ψ$ , zgodnie ze wzorami transformacyjnymi, odpowiadają momenty zginające:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

M 21 = 25 + 0,68880 ⋅ ( −30,63 − 2 ⋅ 8,46)

=

33

7,75 kN ⋅ m,

M 23 = −15 + 0,62025 ⋅ ( −2 ⋅ 30,63 + 3 ⋅ 8,46) = −37,25 kN ⋅ m, M 32 = 15 + 0,62025 ⋅ ( −30,63 + 3 ⋅ 8,46)

= 11,74 kN ⋅ m.

W każdym pręcie obliczymy wartości reakcji jak dla belki obciążonej poprzecznie (rys. 16.20a, b), a do wyznaczenia sił normalnych i reakcji posłużymy się równaniami równowagi sił działających na węzły i pręty (rys. 16.20c).

Rys. 16.20 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

34

Z równania równowagi węzła 1 mamy:

− 6 + N12 ⋅ cos α1 + 21,55 ⋅ sin α1 = 0,

V1 − N12 ⋅ sin α1 + 21,55 ⋅ cos α1 = 0 ,

skąd

− 12,55 ⋅ 0,8 + 6 = −18,73 kN, V1 = 18,73 ⋅ 0,8 + 2155 , ⋅ 0,6 = 27,91 kN. 0,6 Z równowagi pręta 1 wynika, że N21 = N12 = −18,73 kN. Natomiast równowaga węzła 2 prowadzi do zależności: N12 =

∑ Px = 0: skąd Warunek

− N 21 cosα1 + 18,45 ⋅ sin α1 + 5 + N 23 cosα 2 − 13,53 ⋅ sin α 2 = 0,

N 23 = ( −18,73 ⋅ 0,6 − 18,45 ⋅ 0,8 + 13,53 ⋅ 0,316 − 5) / 0,949 = −28,16 kN.

∑ Py = 0 wykorzystamy do sprawdzenia poprawności obliczeń: − 18,73 ⋅ 0,8 + 18,45 ⋅ 0,6 + 13,53 ⋅ 0,949 − 28,16 ⋅ 0,316 = 0,027 ≈ 0.

Siła normalna N32 wynika z równowagi pręta 2:

N 32 = N 23 − 6,32 = −28,16 − 6,32 = −34,48 kN. Wykresy sił wewnętrznych w ramie przedstawiają rys. 16.20d, e, f.

16.3. O ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA BETTIEGO W TEORII UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH 16.3.1. Twierdzenie o wzajemności reakcji Jak wiadomo, twierdzenie Bettiego obowiązuje tylko dla układów liniowo-sprężystych. Omówimy dwa przykłady bardzo użytecznych zastosowań tego twierdzenia. Sens twierdzenia o wzajemności reakcji objaśnimy na przykładzie belki statycznie niewyznaczalnej, przedstawionej na rys. 16.21. Rozważymy dwa stany tego układu. Rysunek 16.21a ilustruje pierwszy stan układu, w którym wymuszono obrót podpory A o kąt ∆i. Na skutek tego obrotu pojawiają się reakcje podpór MAi, VAi oraz VBi. Drugi stan ilustruje rys. 16.21b. W stanie tym wymuszono pionowe przemieszczenie podpory B, ∆k. Przemieszczenie to wywołuje reakcje podporowe MAk, VAk oraz VBk.

Rys. 16.21 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

35

Zastosujemy obecnie twierdzenie Bettiego mówiące, że praca pierwszego układu sił na przemieszczeniach drugiego układu jest równa pracy drugiego układu na przemieszczeniach pierwszego układu. Zachodzi zatem równanie:

M Ai ⋅ 0 + V Ai ⋅ 0 + VBi ⋅ ∆k = M Ak ⋅ ∆i + V Ak ⋅ 0 + VBk ⋅ 0, czyli

VBi ⋅ ∆k = M Ak ⋅ ∆i .

(a)

Wprowadzimy teraz nieco inne oznaczenia, porządkujące dotychczasowe rozważania. Przyjmiemy mianowicie, że VBi = Rki oraz MAk = Rik. Równanie (a) przybiera więc postać:

Rki ⋅ ∆k = Rik ⋅ ∆i .

(b)

Równania (a) i (b) stają się bardzo użyteczne, gdy oba uogólnione przemieszczenia są jednostkowe, tj. gdy ∆i = ∆k = 1. Wówczas VBi = M Ak lub

Rki = Rik .

(16.54)

Równanie (16.54) jest treścią twierdzenia o wzajemności reakcji: Reakcja Rki odpowiadająca k-temu przemieszczeniu i wywołana stanem ∆i = 1 jest równa reakcji Rik odpowiadającej i-temu przemieszczeniu i wywołanej stanem ∆k = 1. Z twierdzenia o wzajemności reakcji wynikają przykładowo dalsze interesujące zależności, które uzyskamy, rozszerzając analizę na trzeci stan układu, w którym wymuszono przemieszczenie pionowe podpory A wynoszące ∆j (por. rys. 16.21c). Z porównania stanów I i III otrzymujemy, że V Ai ⋅ ∆ j = M Aj ⋅ ∆i ,

(d) a dla stanów II i III zachodzi zależność (e)

V Ak ⋅ ∆ j = VBj ⋅ ∆k .

Dodamy jeszcze, że z twierdzenia o wzajemności reakcji wynika bezpośrednio symetria współczynników macierzy konstrukcji w metodzie przemieszczeń.

16.3.2. Linie wpływu wielkości statycznych w układach statycznie niewyznaczalnych Rozważymy belkę ciągłą przedstawioną na rys. 16.22a. Przeanalizujemy dwa stanu układu. Pierwszy stan odpowiada działaniu pionowej siły Pi = 1, usytuowanej w punkcie i leżącym w odległości x od lewego skraju belki. Podpory w tym stanie ulegają przemieszczeniom. Obciążenie siłą Pi = 1 wywołuje reakcje R1i, R2i, ..., Rki, ..., Rni.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

36

Rys. 16.22 W drugim stanie nie ma żadnego obciążenia zewnętrznego, natomiast podpora k ulega jednostkowemu przemieszczeniu ∆k = 1. Pod wpływem przemieszczenia podpory k belka odkształci się, a w punkcie i wystąpi przemieszczenie ∆ik(x). Z twierdzenia Bettiego wynika zatem równanie: (f)

Pi ⋅ ∆ik ( x ) + Rki ( x ) ⋅ ∆k = 0.

Ponieważ Pi = ∆k = 1, więc

Rki ( x ) = −∆ik ( x ).

(16.55)

Z równania (16.55) wnioskujemy, że reakcja podpory k wywołana przez obciążenie Pi = 1 działające w punkcie i odpowiada linii ugięcia belki wywołanej przez jednostkowe przemieszczenie podpory k. Funkcja η( x ) = −∆ik ( x ) jest zatem linią wpływu reakcji podpory k: Rki = −VA. Podobnie można interpretować inne linie wpływu układów statycznie niewyznaczalnych. Chcąc na przykład określić linię wpływu momentu zginającego w przekroju wypadającym w punkcie C, należy w tym punkcie wprowadzić przegub oraz wymusić jednostkowy kąt wzajemnego obrotu. Linia ugięcia tego układu odpowiada linii wpływu momentu zginającego w punkcie C. Sytuację tę ilustruje rys. 16.22b. Opisany sposób wyznaczenia linii wpływu jest analogiczny do metody kinematycznej stosowanej w układach statycznie wyznaczalnych. Zasadnicza różnica polega na tym, że usunięcie odpowiedniego więzu w układzie statycznie wyznaczalnym przekształca konstrukcję w układ tarcz sztywnych o jednym stopniu swobody. Wymuszenie przemieszczenia jednostkowego w takim układzie uzyskuje się bez deformacji prętów składowych. W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych usunięcie jednego więzu prowadzi do układu, którego stopień statycznej niewyznaczalności zmniejsza się o jedność. Jest to zatem w dalszym ciągu układ geometrycznie niezmienny, a wymuszenie przemieszczenia jednostkowego musi pociągać za sobą deformację prętów. Wnioskujemy stąd, że linie wpływu układów statycznie niewyznaczalnych jako linie ugięcia układów sprężystych są funkcjami nieliniowymi.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

1

PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI Wiadomości ogólne • Warunki równowagi układu sił

Siła jest wektorem będącym mechaniczną miarą oddziaływania ciał materialnych. Konsekwencją tego pewnika jest akceptacja algebry wektorów do badania równowagi ciał sztywnych. Równowaga ta (i) zachodzi, gdy wektor wypadkowy wszystkich sił P (i = 1, 2, 3, ..., n) i wektor momentu tych sił względem dowolnie obranego punktu są równe zeru. Analityczna postać warunków równowagi jest następująca: n

∑

Px(i ) = 0,

i =1 n

n

∑

Py(i ) = 0,

i =1 n

n

∑ Pz(i) = 0, i =1 n

∑ M x(i ) = 0, ∑ M y(i ) = 0, ∑ M z(i ) = 0, i =1

i =1

i =1

gdzie M x(i ) = yi Pz(i ) − zi Py(i ) , M y(i ) = zi Px(i ) − xi Pz(i ) , M z(i ) = xi Py(i ) − yi Px(i ) . (i)

Liczby xi , yi , zi oznaczają współrzędne punktów przyłożenia sił P . W płaskim układzie sił pokrywających się z płaszczyzną układu współrzędnych x, z, mamy (i ) Py = 0, yi = 0, oraz M x(i ) = M z(i ) = 0. Wtedy istotne są tylko trzy równania równowagi: n

∑ i =1

Px(i ) = 0,

n

∑ i =1

Pz(i ) = 0,

n

∑

M y(i ) =

i =1

n

∑ ( zi Px(i ) − xi Pz(i ) ) = 0. i =1

Równania równowagi dla płaskiego układu sił mogą być stosowane w następujących trzech wariantach: − suma rzutów sił na dwie dowolne równoległe proste oraz suma momentów tych sił względem dowolnego punktu są równe zeru (postać jak wyżej), − suma rzutów sił na jedną dowolną prostą oraz suma momentów tych sił względem dwóch dowolnych punktów nie leżących na prostej prostopadłej do kierunku rzutowania sił są równe zeru, − suma momentów sił względem trzech dowolnych punktów nie leżących na jednej prostej jest równa zeru. W metodzie wykreślnej równania równowagi płaskiego układu sił odpowiadają zamykaniu się wieloboku sił ( ΣPx(i ) = 0, ΣPz(i ) = 0 ) i zamykaniu się wieloboku sznurowego ( ΣM y(i ) = 0 ).

• Podpory prętów

Przekroje pręta zachowują się jak sztywne figury płaskie, mające tylko sześć stopni swobody:

{di } = {u, v, w,ψ ,ϕ y ,ϕ z }, Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

i = 1, 2, ..., 6. Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

2

Podparcie pręta w danym punkcie osi oznacza wprowadzenie dodatkowych więzów, odbierających przekrojowi jeden, dwa lub wiecej stopni swobody. Obciążeniu pręta (tzw. siłom czynnym) towarzyszą reakcje więzów podporowych (tzw. sił biernych). Typowe rodzaje podpór w układach płaskich (płaszczyzna x, z) to: − utwierdzenie − przekrój nie ma żadnego stopnia swobody (u = w = 0; ϕy = 0); występują zatem trzy reakcje więzów: dwie siły składowe i moment; − podpora teleskopowa − pozbawia przekrój dwóch stopni swobody (w = 0, ϕy = 0), występują dwie reakcje: moment i siła o kierunku normalnym do podstawy fundamentu; − podpora przegubowa nieprzesuwna − pozbawia przekrój dwóch stopni swobody (u = v = 0) ; występują dwie składowe reakcji (dwie siły); − podpora przegubowa przesuwna − pozbawia przekrój jednego stopnia swobody (w = 0), występuje tylko jedna składowa reakcji o kierunku pokrywającym się z osią pręta podporowego; − podpora "ślizgowa" − pozbawia przekrój dwóch stopni swobody (u = 0, ϕy = 0); występują dwie składowe reakcji: siła podłużna i moment zginający. • Czynniki zewnętrzne powodujące deformację konstrukcji. Obciążenia

Na obciążenia zewnętrzne składają się siły powierzchniowe i masowe. Można wprowadzić jeszcze inny podział: na obciążenia rozłożone w sposób ciągły i obciążenia skupione. Obciążenia skupione stanowią idealizację obciążenia ciągłego rozłożonego na bardzo małym obszarze. W teorii prętów wszystkie obciążenia sprowadza się do punktów osi ciężkości pręta. Jeżeli wypadkowe wszystkich sił zewnętrznych leżą na tej samej płaszczyźnie, to występuje płaski układ obciążenia. W przypadku ogólnym na obciążenie pręta składają się siły q x ( s), q y ( s), qz ( s) oraz momenty mx ( s), my ( s), mz ( s) , odniesione do jednostki długości pręta. Obciążenie pręta opisuje macierz {Fi } :

{Fi } = {q x , q y , qz , mx , my , mz },

i = 1, 2, 3, ..., 6.

Elementy Fi mogą przedstawiać również obciążenia skupione i odcinkowo ciągłe, jeżeli wyrazimy je za pomocą funkcji Heaviside’a H(s) i Diraca δ(s). • Siły wewnętrzne w prętach

Ogólnie siły wewnętrzne działające na dany przekrój (tzw. uogólnione naprężenia) są określone przez sześć elementów macierzy {Yi } :

{Yi } = { N , Qy , Qz , M , M y , M z },

i = 1, 2, 3, ..., 6.

W przypadku trójwymiarowym znakowanie sił wewnętrznych jest zgodne z przyjętym układem współrzędnych. Oznacza to, że na płaszczyznach zwroty dodatnich wektorów sił wewnętrznych są zgodne ze zwrotami osi i krętnością układu współrzędnych (np. w układzie prawoskrętnym dodatni moment skręcający odpowiada odkręcaniu nakrętki śruby). W zadaniach płaskich − zgodnie z wieloletnią tradycją − zasady znakowania sił poprzecznych i momentów zginających są już ustalone; dodatnia siła normalna rozciąga pręt, dodatnia siła poprzeczna usiłuje obrócić odciętą część pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara, dodatni moment powoduje rozciąganie dolnych włókien pręta, przyjętych jako „dolne”. Zasady te − jakkolwiek nie nawiązujące do żadnego układu współrzędnych − zależą jednak od położenia obserwatora. Dodajmy jeszcze, że znakowania moAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

3

mentów można całkowicie zaniechać, jeśli rzędne wykresu momentów odnosi się po stronie włókien rozciąganych. • Klasyfikacja układów prętowych

Nazewnictwo konstrukcji prętowych kształtowało się na przestrzeni stuleci. Nic dziwnego, że klasyfikacja układów prętowych nie jest merytorycznie spójna. O nazwie konstrukcji decydują zazwyczaj następujące cechy: − sposób podparcia i połączenia prętów, − kształt geometryczny osi, − sposób obciążenia, − zdolność konstrukcji do przejmowania określonych sił wewnętrznych. A oto określenia najczęściej spotykanych układów prętowych: • • • • • •

Kratownica to układ prostoliniowych prętów połączonych ze sobą przegubowo. Obciążenie działa wyłącznie w postaci sił skupionych przyłożonych w węzłach, tj. w punktach połączenia prętów. Przy tych założeniach pręty kratownicy przenoszą wyłącznie siły podłużne. Belka to pręt o osi prostoliniowej, obciążony poprzecznie. Belka w dwóch punktach podparta swobodnie (przegubowo) oraz belka wspornikowa noszą nazwę belek prostych. Termin „belka” rezerwuje się dla prętów zginanych. Łuk to pręt o osi zakrzywionej w pewnej płaszczyźnie. W łukach oprócz zginania i ścinania, z reguły występują podłużne siły ściskające. Cięgno to pręt mający tylko sztywność rozciągania. Równowaga cięgna obciążonego wymaga zakrzywienia lub załamania osi. Cięgno przenosi wyłącznie siły normalne rozciągające. Rama to układ prętów prostoliniowych połączonych w węzłach w sposób sztywny lub przegubowy. Ruszt to rama płaska obciążona prostopadle do swej płaszczyzny.

Poza tym stosuje się bardziej szczegółowe terminy. Określenie „słup” oznacza pręt pionowy poddany ściskaniu. Rozciągany pręt pionowy nosi nazwę „wieszak”. „Rygiel” to zazwyczaj poziomy element ramy przenoszący momenty zginające. • Obliczanie sił wewnętrznych. Zasada zesztywnienia

Ogólny sposób wyznaczania sił wewnętrznych w przekroju α − α polega na badaniu równowagi jednej dowolnie wybranej części pręta oddzielonej tym przekrojem. Do wyznaczenia sił wewnętrznych za pomocą równań równowagi muszą być dane: − przemieszczenia każdego przekroju pręta, − zachowanie się obciążenia w procesie deformacji, − siły reakcji więzów. Wyznaczanie sił wewnętrznych upraszcza się znakomicie, gdy przyjmiemy, że przemieszczenia konstrukcji są bardzo małe, co pozwala zaniedbać rozróżnianie konfiguracji przed i po odkształceniu. W równaniach równowagi można wtedy pominąć wpływ deformacji. Przy układaniu równań równowagi pręty traktujemy jak ciała sztywne zajmujące pod obciążeniem konfigurację początkową. Stwierdzenie powyższe stanowi treść tzw. zasady zesztywnienia. • Konstrukcje statycznie wyznaczalne i statycznie niewyznaczalne

Jeżeli dla dowolnego obciążenia konstrukcji reakcje i siły wewnętrzne można wyznaczyć wyłącznie z równań równowagi, to konstrukcję taką nazywamy statycznie wyznaczalną. Wszystkie inne tworzą zbiór konstrukcji statycznie niewyznaczalnych. W konstrukcjach tych do określenia pola statycznego (tj. reakcji i sił wewnętrznych) oprócz równań równowagi wykorzystuje się dodatkowo informacje o polu przemieszczeń, które zależą m. in. od własności fizycznych materiału. Należy podkreślić, że w ramach teorii kinematycznie nieliniowej, w której nie obowiązuje zasada zesztywnienia, każda konstrukcja jest statycznie niewyznaczalna. Bardzo istotną cechą konstrukcji statycznie wyznaczalnych jest to, że zerowemu obciążeniu odpowiadają zawsze zerowe reakcje i siły wewnętrzne. W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych już tak nie jest, gdyż mogą w nich występować różne od zera reakcje i siły wewnętrzne pozostaAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

4

jące w równowadze z zerowym obciążeniem. Teoria konstrukcji statycznie wyznaczalnych ma znaczenie podstawowe, służy bowiem także do obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych. • Równania pracy wirtualnej dla konstrukcji prętowych

Równania pracy wirtualnej dla konstrukcji prętowych przyjmują następującą postać: − wirtualny stan przemieszczeń:

∫ (qxu + q yv + qz w + mxψ + myϕ y + mzϕz )ds = s

∫

= Nλ + Qy β y + Qz βz + Mθ + M y k y + M z k z )ds, s

lub krócej  6   6   Fi ⋅ di  ds =  Yi ⋅ ei  ds,       s  i =1 s  i =1

∫∑

∫∑

− wirtualny stan sił:

∫ (q x u + q y v + qz w + mxψ + myϕ y + mzϕz )ds = s

=

∫ Nλ + Qy β y + Qz βz + Mθ + M y χ y + M z χ z )ds, s

lub krócej  6   6   Fi ⋅ di  ds =  Yi ⋅ ei  ds .       s  i =1 s  i =1

∫∑

∫∑

W równaniach tych λ , β y , βz ,θ , k y , k z oznaczają uogólnione odkształcenia pręta, zgrupowane w macierzy e = {ei } :

{

}

e = {ei } = λ , β y , βz ,θ , k y , k z , i = 1, 2, ..., 6. • Twierdzenia energetyczne dla prętów sprężystych

− Twierdzenie Clapeyrona Treść tego twierdzenia dla konstrukcji prętowych wyraża równanie: 1 (q x u + q y v + q z w + mxψ + myϕ y + mzϕ z )ds = 2

∫ s

=

1 ( Nλ + Qy β y + Qz βz + Mθ + M y k y + M z k z ) ds, 2

∫ s

lub 1 2

 6  1  Fi ⋅ di  ds =   2  s  i =1

∫∑

 6   Yi ⋅ ei  ds, i = 1, 2, ..., 6 .    s  i =1

∫∑

Twierdzenie to obowiązuje tylko dla układów Clapeyrona, czyli układów, w których zależności między obciążeniami i przemieszczeniami są liniowe, a ponadto nie występują wstępne naprężenia lub odkształcenia oraz zmiany temperatury. − Twierdzenie o minimum energii potencjalnej Energia potencjalna dla konstrukcji prętowych ma postać: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

5

 6  Π = Π ( d i ) = ∫ W [ ei ( d i )] ds − ∫  ∑ Fi d i   sF  i =1 s przy czym

∂W = Yi ,i = 1,2 ,...,6. ∂ei

Stan równowagi odpowiada sytuacji, w której energia potencjalna Π(di) osiąga wartość ekstremalną. Równowaga stateczna występuje natomiast wtedy, gdy energia potencjalna osiąga wartość minimalną: Π(di ) = min. Twierdzenie to jest słuszne również dla prętów nieliniowo-sprężystych. Przemieszczenia konstrukcji mogą być dowolnie duże pod warunkiem, że obciążenia są konserwatywne. W przypadku pręta liniowosprężystego 6  GA 2 GA 2 βy + βz + GJsΘ 2 + EJ y k y2 + EJz k z2 = 1 W(ei ) = 1  EAλ2 + Di ei2 , 2 2 k k y z  i =1

]

∑

gdzie Di oznaczają kolejno odpowiednie sztywności przekroju pręta:

{Di } = { EA, GA / k y , GA / k z , GJ s , EJ y , EJ z }. Gdy obciążenie składa się również z uogólnionych obciążeń skupionych (sił lub momentów) Pj (j = 1, 2, ..., m): m  6   6   Fi di  ds =  Fi di  ds + Pj ∆ j ,         j =1 s i =1 s i =1

∫∑

∫∑

∑

F

gdzie ∆j oznacza rzut przemieszczenia punktu przyłożenia obciążenia skupionego Pj na linię działania tego obciążenia, to z warunku minimum energii potencjalnej otrzymujemy, że ∂U . Pj = ∂∆ j

∫

W równaniu tym U = U (ei , ∆ j ) = W (ei , ∆ j )ds i oznacza całkowitą energię odkształcenia wyrażoną s

przez wielkości kinematyczne. − Twierdzenie o minimum energii dopełniającej. Zasada Castigliano Energia dopełniająca Π* dla konstrukcji prętowych ma postać:  6  * Π = W (Yi )ds −  Fi di  ds,    s s  i =1

∫

∫∑ d

przy czym

∂W = ek , k = 1, 2, ..., 6. ∂Yk

Spośród wszystkich dopuszczalnych pól statycznych (naprężeń uogólnionych i sił zewnętrznych) realizuje się to pole, które nadaje energii dopełniającej wartość minimalną, czyli:

Π * (Yi , Fk ) = min . Twierdzenie to jest słuszne również dla prętów nieliniowo-sprężystych. W przypadku pręta liniowosprężystego

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

W (Yi ) =

6

2 6 Qy2 1  N2 M 2 M y M z2  1 Qz2 Yi2 =  + + + + + . 2  EA (GA / k y ) (GA / k z ) GJ s EJ y EJ z  2 Di i =1  

∑

Szczególnym przypadkiem tego twierdzenia jest tzw. zasada Castigliano, która ma zastosowanie, gdy poza obciążeniami ciągłymi Fk występują również obciążenia skupione Pj. Wówczas m  6  Fi di  ds − Pj ∆ j . Π * = Π * (Yi , Fk , Pj ) = W (Yi , Pj )ds −      j =1 s s i =1

∫∑

∫

∑

d

Z warunku znikania pochodnej energii dopełniającej względem siły Pj. otrzymujemy: ∂U ∆j = , ∂Pj

∫

gdzie U = U (Yi , Pj ) = W (Yi , Pj ) ds i oznacza całkowitą energię odkształcenia wyrażoną przez wielkości s

statyczne. • Kinematyka i statyka układów ciał idealnie sztywnych

− Małe przemieszczenia tarcz sztywnych Dowolny przyrost przemieszczeń ciała sztywnego można traktować jako obrót tego ciała wokół chwilowego bieguna obrotu. Przesunięcie równoległe (translacja) stanowi przypadek szczególny, w którym chwilowy biegun obrotu leży w nieskończoności. Jeśli kąt obrotu ϕ jest mały, to można przyjąć, że wektor przemieszczenia danego punktu tarczy sztywnej jest prostopadły do kierunku promienia r łączącego ten punkt z biegunem obrotu. Wtedy wektor przemieszczenia ∆ jest prostopadły do promienia r, przy czym ∆ = r ⋅ tgϕ ≈ r ⋅ ϕ . Z analizy płaskich tarcz sztywnych wynika, że: − bezwzględna wartość dowolnej składowej wektora przemieszczenia jest iloczynem kąta obrotu tarczy i odległości tej składowej od bieguna obrotu. − jeżeli znamy kierunki wektorów przemieszczenia dwóch różnych punktów tarczy, to chwilowy biegun obrotu leży w punkcie przecięcia się prostych prostopadłych do tych wektorów. Ponadto podczas obrotu tarczy względem bieguna o mały kąt ϕ dla poszczególnych punktów tarczy zachodzi zależność: ∆ ∆ ∆ ϕ = 1 = 2 =... = n = const. r1 r2 rn − Warunek konieczny geometrycznej niezmienności Jeśli p jest łączną liczbą prętów podporowych, a t − liczbą tarcz w układzie, to mogą wystąpić trzy przypadki: 1) gdy p < 3t, układ jest geometrycznie zmienny, 2) gdy p = 3t, układ jest geometrycznie niezmienny, 3) gdy p > 3t, układ jest geometrycznie niezmienny i przesztywniony. Warunek konieczny kinematycznej (geometrycznej) niezmienności ma postać: p ≥ 3t . Liczba n = p − 3t określa stopień przesztywnienia układu, a liczba s = 3t − p określa liczbę stopni swobody układu geometrycznie zmiennego. Do badania kinematyki tarcz sztywnych sporządza się plan biegunów obrotu lub układa się równania sumy rzutów przemieszczeń na osie układu współrzędnych x, y. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

7

− Warunek konieczny statycznej wyznaczalności i równowaga tarcz sztywnych Statyczna wyznaczalność w przypadku układu tarcz sztywnych oznacza, że reakcje wszystkich więzów (tj. prętów podporowych i prętów łączących tarcze) można obliczyć wyłącznie z równań równowagi. Występują tutaj trzy przypadki: 1) gdy p < 3t, układ równań statyki jest sprzeczny, 2) gdy p = 3t, układ jest statycznie wyznaczalny, 3) gdy p > 3t, układ jest statycznie niewyznaczalny. W statyce konstrukcji liczba n = p − 3t nazywa się stopniem statycznej niewyznaczalności układu. Warunek p = 3t jest tylko warunkiem koniecznym statycznej wyznaczalności. Przy badaniu równowagi warto pamiętać o tym, że jeżeli na układ tarcz działają: − tylko dwie siły, to równowaga zachodzi wtedy, gdy linie działania tych sił pokrywają się, wartości są równe, a zwroty przeciwne, − tylko trzy siły, to równowaga zachodzi wtedy, gdy linie działania tych sił przecinają się w jednym punkcie − Warunek dostateczny geometrycznej niezmienności Układ konstrukcyjny jest geometrycznie (kinematycznie) niezmienny, jeżeli przemieszczeniom układu towarzyszą różne od zera odkształcenia (lub zerowym odkształceniom odpowiadają zerowe przemieszczenia). Jeśli przez e oznaczymy wektor pewnych uogólnionych odkształceń (np. w kratownicach wektor wydłużeń prętów), a przez u odpowiadające im uogólnione przemieszczenia, to wektory te można powiązać zależnością C u = e, gdzie C jest w ogólności macierzą prostokątną, noszącą nazwę macierzy geometrycznej (kinematycznej) zgodności. W układach geometrycznie niezmiennych układ równań Cu = 0 może mieć tylko rozwiązanie zerowe, czyli u = 0. Zachodzi to wtedy, gdy rząd macierzy jest równy liczbie stopni swobody s: rz [C] = s . Jest to warunek konieczny kinematycznej niezmienności konstrukcji. Warunek ten, zgodnie z twierdzeniem Grama, sprowadza się do wymagania, by det [ CT C] ≠ 0 . Gdy rz [C] < 0, to układ jest kinematycznie zmienny. W przypadku konstrukcji statycznie wyznaczalnych, kiedy macierz C jest kwadratowa, warunek ten jest równoważny wymaganiu, by wyznacznik macierzy C był różny od zera, tj. by det [C] ≠ 0 . Podobnie, badając równowagę konstrukcji, otrzymujemy układ równań liniowych łączących wektor uogólnionych obciążeń P z wektorem uogólnionych naprężeń Y (np. siłami w prętach kratownicy): DY=P, gdzie D jest w ogólności prostokątną macierzą, noszącą nazwę macierzy równowagi. Okazuje się, że macierz D jest zawsze równa transpozycji macierzy C, tzn.

DT = C .

• Równania różniczkowe równowagi prętów

− Dla prętów o osi prostoliniowej

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

8

dM y dN dQz = − q x ( x ), = − qz ( x ), − Qz ( x ) = my ( x ). dx dx dx Dodajmy, że zazwyczaj my(x) ≡ 0. Wtedy otrzymujemy, wykorzystywane często w praktyce, zależności: dM y dx

= Qz ( x )

oraz

d2My dx 2

= − q z ( x ).

− Dla prętów o osi zakrzywionej dN Qz dQz N − = − q x ( s), + = − qz ( s), ds r ds r

dM y ds

− Qz ( s) = my ( s).

W równaniach tych r oznacza promień krzywizny pręta, a s − współrzędną krzywoliniową odmierzaną wzdłuż osi krzywoliniowej pręta. Gdy r → ∞ , to ds → dx i równania powyższe upraszczają się do postaci obowiązujących dla pręta o osi prostoliniowej. Konstrukcje statycznie wyznaczalne

• Warunek konieczny statycznej wyznaczalności Stopień statycznej niewyznaczalności n płaskiej konstrukcji prętowej określa wzór:

n = p1 + 2 p2 + 3 p3 − 2 w1 − 2 w2 , gdzie p1 jest liczbą prętów obustronnie przegubowych, p2 − liczbą prętów z jednej strony przegubowych, a z drugiej utwierdzonych, p3 − liczbą prętów obustronnie utwierdzonych, w1 − liczbą węzłów, w których pręty są połączone przegubowo, a w2 − liczbą innych węzłów, w których choćby dwa pręty są między sobą połączone w sposób sztywny. Wzór powyższy jest słuszny pod warunkiem, że układ jest kinematycznie niezmienny. • Obliczanie sił wewnętrznych

Przyczyną pojawienia się reakcji podporowych R i sił wewnętrznych Y są obciążenia F. W równaniach równowagi wielkości te występują zawsze w pierwszej potędze; tworzą zatem funkcje liniowe. Wobec tego dla przyczyny (obciążenia) i skutków (reakcje, siły wewnętrzne) obowiązuje zasada superpozycji: R ( F1 ,..., Fm ) = R1 ( F1 ) + R2 ( F2 ) +...+ Rm ( Fm ), Y ( F1 ,..., Fm ) = Y1 ( F1 ) + Y2 ( F2 ) +...+Ym ( Fm ), gdzie indeksy reakcji i sił wewnętrznych odpowiadają kolejnym numerom obciążeń. Powyższe równania są słuszne dla dowolnego materiału, również nieliniowego. Jedynym ograniczeniem jest akceptacja zasady zesztywnienia. Do wyznaczania reakcji i sił przekrojowych stosujemy dwie metody: statyczną i kinematyczną. W metodzie statycznej wykorzystuje się równania równowagi. Reakcje obliczamy, badając równowagę całej konstrukcji lub jej części, natomiast siły przekrojowe obliczamy z równań równowagi jednej z myślowo przeciętej części konstrukcji. W metodzie kinematycznej reakcje i siły przekrojowe są wyznaczane za pomocą równania pracy wirtualnej dla układu ciał sztywnych, dla którego przyjmuje się odpowiednio dobrany wirtualny stan przemieszczeń. Okazuje się np., że kształt kinematyki wirtualnej odpowiada kształtowi linii wpływu obliczanej reakcji lub siły przekrojowej. Jest to szczególnie użyteczny sposób w odniesieniu do belek prostych i przegubowych. • Obliczanie przemieszczeń konstrukcji liniowo-sprężystych

W odniesieniu do konstrukcji liniowo-sprężystych dysponujemy różnorodnymi metodani wyznaczania przemieszczeń uogólnionych. Są to metody: − całkowania równania różniczkowego linii ugięcia, Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

9

− obciążenia krzywiznami (metoda Mohra) oraz metody energetyczne wykorzystujące: − twierdzenie Clapeyrona, − twierdzenie o minimum energii dopełniającej (twierdzenie Castigliano) − równania pracy wirtualnej przy wirtualnym stanie sił. W mechanice konstrukcji stosuje się przede wszystkim metodę wywodzącą się z równania pracy wirtualnej. W celu obliczenia uogólnionego przemieszczenia punktu i konstrukcję obciąża się uogólnioną siłą wirtualną P = 1 w ten sposób, by iloczyn poszukiwanego przemieszczenia ∆i i siły wirtualnej przedstawiał pracę tego obciążenia na rzeczywistym przemieszczeniu ∆i. Obciążenie wirtualne wywołuje wirtualne reakcje Rk i wirtualne siły przekrojowe N , Qy , Qz , M, M y , M z . Wtedy równanie pracy wirtualnej przybiera postać: 1 ⋅ ∆i +

∑ Rk ⋅ ∆k = ∫ ( N ⋅ λ + Qy β y + Qz βz + Mθ + M yk y + M zk z ) ds , k

s

gdzie symbol całki rozciąga się na wszystkie pręty konstrukcji. Przemieszczenia ∆k oznaczają tutaj rzeczywiste osiadania podpór. Rzeczywiste odkształcenia uogólnione w układach liniowo-sprężystych są opisane zależnościami: λ=

N + λ0 , EA

βy =

Qy (GA / k y )

+ β y0 ,

βz =

Qz + βz0 , (GA / k z )

My M M + θ 0, k y = + k y0 , k z = z + k z0 . GJ s EJ y EJ z Człony zaznaczone indeksem 0 wyrażają odkształcenia uogólnione wywołane przez czynniki niemechaniczne (temperaturę, skurcz) lub wstępne deformacje technologiczne (błędy wykonania). W przypadku kratownic równanie pracy wirtualnej upraszcza się do postaci: θ=

lj

1⋅∆ +

∑ Rk ⋅ ∆k = ∑ ∫ N j λ j dx = ∑ N j ∆l j , k

j 0

j

gdzie ∆lj oznacza rzeczywiste wydłużenie pręta j: ∆l j = ∆l 0j +

N jl j E j Aj

,

przy czym ∆l 0j jest wydłużeniem wynikającym z czynników niemechanicznych (np. błędy wykonania, wpływ temperatury), Ai − przekrojem pręta i, a Ei − modułem sprężystości tego pręta. Równanie pracy wirtualnej można też wykorzystać do obliczenia tzw. ciężarków sprężystych. Ciężarki sprężyste są równe różnicy kątów obrotu cięciw linii ugięcia w poszczególnych punktach belki lub kratownicy. Wykresy momentów zginających wywołanych przez obciążenie ciężarkami sprężystymi odpowiadają przybliżonej linii ugięcia belki. W przypadku kratownic otrzymujemy dokładny kształt linii ugięcia. Konstrukcje statycznie niewyznaczalne • Metoda sił

Konstrukcję statycznie niewyznaczalną można przekształcić w wyznaczalną (w tzw. układ podstawowy) przez usunięcie odpowiedniej liczby więzów i dodatkowe obciążenie jej reakcjami tych więzów (tzw. siłami nadliczbowymi). Liczba usuniętych więzów n równa się stopniowi statycznej niewyznaczalności, a wartości sił nadliczbowych muszą być takie, by były spełnione kinematyczne warunki ciągłości (zgodności) przemieszczeń. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

10

Siły nadliczbowe Xk (k=1, 2, ..., n) są niewiadomymi w liniowym układzie równań kanonicznych metody sił. n

∑ ∆ik ⋅ X k + ∆i 0 = 0,

i = 1, 2, ..., n .

i =1

W przypadku układów płaskich przy braku momentów skręcających współczynniki w równaniach kanonicznych są zdefiniowane wzorami: N N QQ M M  ∆ik = ∆ki =  i k + i k + i k  ds, i , k = 1, 2, ..., n  EA (GA / k ) EJ 

∫ s

 N  Q0   M  + β 0  + Mi  0 + k 0  ds − ∆i 0 =  Ni  0 + λ0  + Qi  R fi ∆*f .      (GA / k )  EA EJ   f s

∑

∫

Indeks 0 dotyczy układu podstawowego, a ∆*f oznacza osiadanie podpory f. W ogólnym przypadku, gdy występuje sześć sił wewnętrznych, współczynniki równań kanonicznych wyrażają wzory:  6 Y Y  ji jk  ds, ∆ik = ∆ki =   Dj   s  j =1

∫∑

 6  Yj 0  + e0j  ds − R fi ⋅ ∆*f , i , j , k = 1, 2, ..., n, ∆i 0 =  Y ji    D  j  f s  j =1 

∫∑

∑

gdzie Yji oznacza j-tą siłę wewnętrzną w przyjętym układzie podstawowym wywołaną stanem Xi = 1, Dj oznacza wektor sztywności przekrojów prętów, a e0j są uogólnionymi odkształceniami wywołanymi przez wpływy niemechaniczne. • Metoda przemieszczeń

W metodzie przemieszczeń konstrukcję prętową traktujemy jako pewien skończony zbiór węzłów, z których każdy ma określoną liczbę stopni swobody. Za węzły uważamy niewielkie fragmenty konstrukcji zawierające zazwyczaj wszystkie punkty załamania osi, punkty, w których zbiega się większa liczba prętów, i punkty podporowe. Niejednokrotnie dogodne jest wyodrębnienie węzłów zawierających punkty nagłej zmiany przekroju i punkty przyłożenia obciążeń skupionych. Węzłem może być również fragment zawierający dowolny obrany punkt leżący na osi pręta. Elementy międzywęzłowe nazywamy prętami. W konstrukcji płaskiej węzły, w których choćby dwa pręty są połączone w sposób sztywny, są tarczami sztywnymi. Z kolei węzły zawierające przeguby są punktami materialnymi. Węzły sztywne na płaszczyźnie mają zatem co najwyżej trzy stopnie swobody (dwa przesunięcia i obrót), a węzły przegubowe − co najwyżej dwa stopnie swobody (dwa przesunięcia). Podpory konstrukcji odbierają węzłom pewną liczbę stopni swobody. Węzły całkowicie unieruchomione (zazwyczaj węzły podporowe) nazywają się węzłami nieruchomymi. Pozostałe węzły to węzły ruchome. Liczba stopni swobody wszystkich węzłów (czyli stopień kinematycznej niewyznaczalności) jest równa liczbie niewiadomych w metodzie przemieszczeń. Układ podstawowy w tej metodzie to układ o wszystkich węzłach nieruchomych, czyli układ o zerowej liczbie stopni swobody. Do wyznaczenia wartości przemieszczeń węzłów wykorzystuje się równania równowagi węzłów. Równania te odpowiadają sumie rzutów sił na kierunki wyznaczone przez wektory przesunięć oraz sumie momentów względem osi kątów obrotu danego węzła. Całkowita liczba równań równowagi pokrywa się zatem z liczbą niewiadomych przemieszczeń. Opisana metoda ma sens dopiero wówczas, gdy reakcje prętów zapiszemy jako funkcje przemieszczeń sąsiednich węzłów. Postać tych funkcji zależy od usytuowania pręta, wymiarów geometrycznych, własności fizycznych materiału oraz warunków brzegowych danego pręta. Dla prostoliniowego pręta sprężystego reakcje brzegowe prętów oblicza się z tzw. wzorów transformacyjnych: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

r j = r j0 + s j (um ),

11

j , m = 1, 2, ..., 6,

gdzie um oznaczają uogólnione przemieszczenia końców pręta, r j0 są reakcjami w układzie nieruchomym (kinematycznie wyznaczalnym), a s(um ) są siłami brzegowymi wywołanymi przez przemieszczenia końców pręta. Siły te oblicza się według zależności 6

sj =

∑ k jm ⋅ um

j = 1, 2, ..., 6,

m =1

gdzie [kjm] = [kmj] = k i nazywa się macierzą sztywności pręta w układzie lokalnym: 0 0  EA / l  0 3 12 EJ / l 6 EJ / l 2   0 6 EJ / l 2 4 EJ / l k=  0 0 _ EA / l 3  0 − 12 EJ / l − 6 EJ / l 2  6 EJ / l 2 2 EJ / l  0

− EA / l 0

0 − 12 J / l 3

0 EA / l 0

− 6 EJ / l 2 0 12 EJ / l 3

0

− 6 EJ / l 2

0  2  6 EJ / l  2 EJ / l  . 0  − 6 EJ / l 2   4 EJ / l 

Równania równowagi poszczególnych węzłów układa się w układzie globalnym, w którym uogólnione przemieszczenia są oznaczone przez Um. Reakcje brzegowe prętów Rj wyraża się wówczas następująco: R j (U m ) = R 0j + S j (U m ),

j , m = 1, 2, ..., 6,

gdzie R 0j =

6

∑

C jp ⋅ rp0 ,

6

S j (U m ) =

∑ K jmU m.

m =1

p =1

Symbol C jp oznacza macierz transformacji z układu lokalnego do układu globalnego. Do wyrażenia sił brzegowych Sj w danym pręcie przez przemieszczenia służy macierz sztywności w układzie globalnym Kjm. Wykorzystanie wzorów transformacyjnych w równaniach równowagi wszystkich węzłów prowadzi do równań metody przemieszczeń. W celu uzyskania ostatecznej postaci równań metody konieczne jest wprowadzenie globalnej numeracji wszystkich składowych wektora przemieszczeń, dokonanie agregacji macierzy sztywności poszczególnych prętów oraz uwzględnienie warunków brzegowych. Warunki brzegowe można uwzględnić na różne sposoby. Kolumny i wiersze macierzy odpowiadające zerowym przemieszczeniom usuwa się, a w przypadku statycznych warunków brzegowych uwzględnia się dodatkowe równania, redukujące liczbę niewiadomych. Uzyskana w ten sposób globalna macierz sztywności konstrukcji K jest macierzą liniowego układu równań na poszukiwane przemieszczenia Uj. Macierzową postać równań metody przemieszczeń zapisuje się, jak następuje: K U=P, gdzie P jest wektorem wyrazów wolnych, wynikającym z reakcji w układzie nieruchomym oraz obciążeń działających bezpośrednio na węzły. Macierz sztywności K jest kwadratowa, symetryczna i ściśle dodatnio określona. Opisana metoda stanowi szczególny przypadek przemieszczeniowej wersji metody elementów skończonych. Metoda ta nie nadaje się jednak do obliczeń „ręcznych”. Tradycyjna metoda przemieszczeń jest Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

12

przystosowana wyłącznie do obliczeń konstrukcji zginanych (ramy, belki ciągłe, łuki). Podstawowe uproszczenie polega na przyjęciu założenia, że pręty są nieściśliwe. W obliczeniach wykorzystuje się jedynie wzory transformacyjne dla momentów zginających, a jako wielkości kinematyczne przyjmuje się kąty obrotów węzłów i kąty obrotu prętów. Wzory te przybierają postać: 2 EJ ⋅ (2ϕi + ϕ k − 3ψ ik ), l 2 EJ 0 Mik = M ki + ⋅ (ϕi + 2ϕ k − 3ψ ik ), l Mik = Mik0 +

0 gdzie ϕi , ϕ k są kątami obrotu węzłów, a ψik kątami obrotu prętów. Symbole Mik0 oraz M ki oznaczają momenty utwierdzenia pręta w układzie nieruchomym. Bardzo istotna korzyść polega na tym, że kąty ϕi , ϕ k oraz ψik nie zależą od układu współrzędnych. Metoda ta jest niezwykle skuteczna wtedy, gdy węzły konstrukcji tylko obracają się. W przypadku węzłów przemieszczających się (przesuwnych) należy zbadać dodatkowe stopnie swobody oraz wyznaczyć zależności pomiędzy kątami obrotu prętów. Równania metody odpowiadają równaniom równowagi momentów w poszczególnych węzłach oraz dodatkowym równaniom równowagi momentów wynikających z kolejnych przesuwów węzłów. Równania kanoniczne obu metod można zapisać jeszcze inaczej: k =n

∑ rikU k + Rip = 0 ;

i = 1, 2, 3, ..., n, ,

k =1

gdzie rik jest uogólnioną reakcją więzu i, powstającą wskutek wymuszenia jednostkowego uogólnionego przemieszczenia w kierunku więzu k, a Rip jest reakcją więzu i w układzie podstawowym kinematycznie wyznaczalnym (tzn. w układzie nieruchomym). Równania kanoniczne odpowiadają wymaganiu, by suma wszystkich reakcji więzu i w układzie była równa zeru. • Obliczanie przemieszczeń konstrukcji liniowo-sprężystych

W celu obliczenia przemieszczenia ∆i punktu i postępujemy tak jak w układach statycznie wyznaczalnych. Statycznie dopuszczalne wirtualne pole naprężeń otrzymujemy z rozwiązania zadania pomocniczego, w którym konstrukcję obciążamy jednostkową siłą wirtualną P = 1 . Konstrukcja obciążona siłą wirtualną nie musi być identyczna z rozważaną konstrukcją niewyznaczalną. Chodzi przecież tylko o to, by siły przekrojowe (uogólnione naprężenia) były w równowadze z przyłożoną siłą wirtualną. Można zatem przyjąć, że konstrukcja ta ma niższy stopień statycznej niewyznaczalności lub że jest po prostu dowolną konstrukcją statycznie wyznaczalną, zbudowaną z konstrukcji niewyznaczalnej przez usunięcie tylu odpowiednich więzów, ile jest stopni statycznej niewyznaczalności. Równanie pracy wirtualnej, służące do obliczenia przemieszczenia ∆i, przybiera zatem postać: 1 ⋅ ∆i +

∑ R fi ⋅ ∆*f = ∫ ( N ⋅ λ + Qy β y + Qz βz + Mθ + M y k y + M zk z ) ds , f

s

gdzie N , Qy , Qz , M , M y , M z i R fi są odpowiednio siłami przekrojowymi i reakcjami podpór spowodowanymi przez obciążenie wirtualne w przyjętej konstrukcji statycznie wyznaczalnej, natomiast λ , β y , βz , θ , k y , k z i ∆*f są odpowiednio rzeczywistymi uogólnionymi odkształceniami w układzie statycznie niewyznaczalnym i osiadaniami podpór. Trzeba tu pamiętać, że odkształcenia te oblicza się z uwzględnieniem odkształceń niemechanicznych. Bardziej szczegółową, ogólną postać równania pracy wirtualnej można wobec tego zapisać następująco:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 3

16. PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

1 ⋅ ∆k =

13

 6 Y   Y jk  j + e 0j  ds − R fk ⋅ ∆*f . D    j  f s  j =1 

∫∑

∑

• Zastosowanie twierdzenia Bettiego w teorii układów statycznie niewyznaczalnych − Twierdzenie o wzajemności reakcji Twierdzenie o wzajemności reakcji jest następujące: Reakcja Rki odpowiadająca k-temu przemieszczeniu i wywołana stanem ∆i = 1 jest równa reakcji Rik odpowiadającej i-temu przemieszczeniu i wywołanej stanem ∆k = 1. − Linie wpływu wielkości statycznych w układach statycznie niewyznaczalnych Z twierdzenia Bettiego wynika jeszcze inny użyteczny wniosek, służący do wyznaczania linii wpływu układów statycznie niewyznaczalnych. Szczególnie przekonywujący jest przykład linii wpływu w odniesieniu do belek ciągłych. Okazuje się bowiem, że kształt linii wpływu danej wielkości statycznej odpowiada linii ugięcia belki ciągłej przy wymuszeniu jednostkowego przemieszczenia, na którym wykonuje pracę badana wielkość statyczna. W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych usunięcie jednego więzu prowadzi do układu, którego stopień statycznej niewyznaczalności zmniejsza się o jeden. Jest to zatem w dalszym ciągu układ geometrycznie niezmienny, a wymuszenie przemieszczenia jednostkowego musi pociągać za sobą deformację prętów. Wnioskujemy stąd, że linie wpływu układów statycznie niewyznaczalnych jako linie ugięcia układów sprężystych są zawsze funkcjami nieliniowymi.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

17.

1

Í Ï Î

WYBRANE PROBLEMY NIELINIOWE I NIESPRĘŻYSTE WPROWADZENIE Mechanika nieliniowa zajmuje się problemami, w których zależności między naprężeniami lub siłami a wielkościami kinematycznymi są nieliniowe. Rozróżniamy dwa zasadnicze rodzaje nieliniowości: kinematyczną (tj. geometryczną) i fizyczną. Nieliniowość kinematyczna pojawia się wtedy, gdy rozważany obiekt wykazuje duże odkształcenia albo duże przemieszczenia, albo duże odkształcenia i duże przemieszczenia jednocześnie (np. konstrukcje cięgnowe, pneumatyczne). Nieliniowość fizyczna wynika z fizycznych własności materiału lub konstrukcji i objawia się wówczas, gdy związki konstytutywne są nieliniowe. Są to np. materiały nieliniowo-sprężyste lub plastyczne. Szczególnego typu nieliniowość fizyczną w zakresie małych przemieszczeń wykazują również konstrukcje wykonane z materiału liniowo-sprężystego, ale nie spełniające postulatów Clapeyrona. Mamy tu na myśli tzw. konstrukcje luzowe, czyli konstrukcje wykazujące niewielkie luzy w połączeniach elementów. W skali makro (na poziomie całej konstrukcji) obecność luzów jest przyczyną „zakleszczania się” (ang. locking), tzn. wzrostu sztywności w miarę wzrostu obciążenia. Zakleszczanie się oprócz sprężystości i plastyczności, można uważać za kolejny prototyp nieliniowego prawa fizycznego. Jest oczywiste, że występują również przypadki bardziej złożone, w których rozważany obiekt wykazuje zarówno nieliniowość kinematyczną jak i fizyczną. Dla wszystkich zadań nieliniowych charakterystyczne jest to, że nie obowiązuje zasada superpozycji skutków. Do konstrukcji niesprężystych zaliczamy takie, których materiał poza cechami sprężystymi wykazuje inne cechy, np. lepkość. Należą do nich konstrukcje (materiały) lepko-sprężyste. Gdy zależność pomiędzy naprężeniem a prędkością odkształceń jest liniowa, to obowiązuje zasada superpozycji względem cykli naprężeń i odkształceń jako funkcji czasu. W odróżnieniu od procesów sprężystych są to jednak procesy, w których obserwujemy dyssypację energii. W kolejnych rozdziałach tej części podręcznika przedstawimy specyfikę zadań nieliniowych i niesprężystych. Na początku omówimy konstrukcje prętowe wykonane z materiału liniowo-sprężystego wykazujące jednak cechy nieliniowe (w tym konstrukcję luzową). Dalej przedstawimy problematykę prętów wykonanych z materiałów fizycznie nieliniowych lub materiałów wykazujących cechy niesprężyste. Na koniec omówimy problemy stateczności.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

2

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI WYKONANYCH Z MATERIAŁU LINIOWO-SPRĘŻYSTEGO 17.1. RAMA Z LUZAMI KĄTOWYMI NA PODPORACH Omówimy efekty zastosowania podpory przegubowej z ograniczeniem kąta obrotu. Jest to tzw. podpora luzowa. Model takiej podpory ilustruje rysunek 17.1a.

Rys. 17.1

Jeśli kąt obrotu pręta jest zawarty w przedziale ( − Φ − ,Φ + ), to mamy do czynienia ze zwykłą podporą przegubową. Dla wartości granicznych Φ = Φ + lub Φ = −Φ − podpora przybiera cechy utwierdzenia*). Charakterystykę fizyczną takiej podpory przedstawiają rysunek 17.1b oraz zależności (17.1):

M = 0, − Φ − < Φ < Φ + ,   M ≥ 0, Φ = Φ + ,   − M ≤ 0, Φ = −Φ . 

(17.1)

Zachowanie omawianej podpory jest wobec tego nieliniowe. Zastosowanie podpór luzowych zilustrujemy na przykładzie ramy portalowej wykonanej z materiału liniowo-sprężystego. Całość rozważań odniesiemy do zakresu małych przemieszczeń. Obciążenie ramy stanowią dwie siły: Px = pxP0 oraz Py = py P0, przy czym px oraz py są bezwymiarowymi intensywnościami obciążeń, a P0 oznacza pewną stałą o wymiarze siły. Zadanie objaśnia rys. 17.2a.

*)

Problem ten należy do mechaniki układów z więzami jednostronnymi.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

3

Rys. 17.2

Wszystkie możliwe warianty schematów statycznych ramy luzowej przedstawiają rys. 17.2c, d, e, f, przy czym dodatnie zwroty momentów podporowych zaznaczono na rys. 17.2b. Przyjęcie podpór nieliniowych sprawia, że schemat statyczny ramy zmienia się wskutek narastania obciążeń. Jest to zatem konstrukcja, która nie spełnia postulatów Clapeyrona; wykresy obciążenie - przemieszczenie są liniami łamanymi, tzn. są nieliniowe. Racjonalne obranie wartości kątów Φ + i Φ − daje efekt „dostosowania” się schematu statycznego do intensywności i charakteru obciążenia. Wymienione cechy konstrukcji nie są bez znaczenia dla praktyki projektowej oraz analizy wpływu luzów podporowych na zachowanie się konstrukcji. Do obliczenia ramy zastosowano metodę sił. Przy wyznaczaniu przemieszczeń uwzględniono jedynie wpływ zmiany krzywizn osi prętów. Przyjęto, że układ podstawowy jest ramą trójprzegubową (rys. 17.3a), a wszystkie pomocnicze wykresy momentów zginających obrazują kolejne rysunku 17.3. Punktem wyjścia są równania kanoniczne metody sił:

(a)

 X1∆11 + X 2 ∆12 + X 3∆13 = − ∆1 p ,   X1∆21 + X 2 ∆22 + X 3∆23 = − ∆2 p ,   X1∆31 + X 2 ∆32 + X 3∆33 = − ∆3 p ,

gdzie

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

(b)

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

4

2 1  EJ∆12 = EJ∆13 = ln,  EA∆11 = 3 l (3 + n), 6  1 1  EJ∆ = EJ∆ = l (1 + 4n), EJ∆ = − l (1 + 2n), 22 33 23  6 6  1 2  EJ∆1 p = − P0l (3 + 2n) p y , 6   1 h  2  EJ∆2 p = − P0l n p y − (2 + 3n) px  , 12 l     1 h  2  EJ∆3 p = − P0l n p y + (2 + 3n) px  , 12 l     h J1 , ∆ik = ∆ki . n = l Jh 

Rys. 17.3 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

5

Kąty obrotu na podporach określają zależności (c)

Φ A = − ( ∆2 p + X 1∆21 + X 2 ∆22 + X 3∆23 ),  Φ B = − ( ∆3 p + X 1∆31 + X 2 ∆32 + X 3∆33 ).

O sztywności ramy decydują wartości przemieszczeń ∆x i ∆y. Przemieszczenia te obliczymy ze wzorów: (d)

∆x = ∆x 0 + X 1∆x1 + X 2 ∆x 2 + X 3∆x 3 , ∆ = ∆ + X ∆ + X ∆ + X ∆ , , y0 1 y1 2 y2 3 y3  y

gdzie

∆x 0 =

∫ s

∆xi =

∫ s

M x M0 ds, EJ

M x Mi ds, EJ

∆y0 =

∫

M y M0

s

∆ yi =

∫ s

M y Mi EJ

EJ

ds,

ds; i = 1, 2, 3.

Momenty M0 w układzie podstawowym statycznie wyznaczalnym pochodzą od obciążenia zewnętrznego, a Mx i My są wywołane odpowiednio siłami Px = 1 (rys. 17.3c) i Py = 1 (rys. 17.3d). Po wykonaniu całkowania otrzymujemy:

(e)

2  1 1  h  h EJ∆x0 = P0l 3(1 + n)  px ; EJ∆x1 = 0; EJ∆x2 = − EJ∆x3 = l 2 (2 + 3n)  ;   l  l 6 12  1 3 1 2 1 2  EJ∆y0 = 6 P0l (1 + n) py ; EJ∆y1 = − 6 P0l (3 + 2n); EJ∆y2 = EJ∆y3 = − 12 l n.

Wzory (c) i (d) są słuszne dla każdego z czterech schematów statycznych przedstawionych na rysunkach 17.2c, d, e, f, pod warunkiem podstawienia odpowiednich wartości momentów nadliczbowych X1, X2, X3. Równania kanoniczne (a) po podstawieniu zależności (b) można doprowadzić do postaci:

(f)

 4(3 + n) X 1 + nX 2 + nX 3 = P0l (3 + 2n) p y ,  1  nX 1 + (1 + 4n) X 2 − (1 + 2n) X 3 = P0l np y − ( 2 + 3n)(h / l ) p x , 2  1  nX 1 − (1 + 2n) X 2 + (1 + 4n) X 3 = 2 P0l np y + ( 2 + 3n)(h / l ) p y .

[ [

] ]

Dla poszczególnych schematów statycznych otrzymujemy następujące rozwiązania tego układu równań:

(g)

schemat I  X = P lb ⋅ p , X = 0, X = 0, 0 1 y 2 3  1 schemat II   X1 = P0l ( − a2 ⋅ px + b2 ⋅ p y ), X 2 = 0, X 3 = P0l ( c2 ⋅ px + d 2 ⋅ p y ),  schemat III  X1 = P0l ( a2 ⋅ px + b2 ⋅ p y ), X 2 = P0l ( − c2 ⋅ px + d 2 ⋅ p y ), X 3 = 0,  schemat IV  X = P lb ⋅ p , X = P l ( − c ⋅ p + d ⋅ p ), X = P l (c ⋅ p + d ⋅ p ). 3 y 0 3 y 2 0 3 x 3 y 3 0 3 x  1

gdzie

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

(h)

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

6

 3 + 2n 6 + 28n + 15n 2 n(2 + 3n)  h b , a2 = ⋅ , = ,   b1 = 2 4( 3 + n) 2(12 + 52n + 15n 2 )  l  2(12 + 52n + 15n 2 )   2( 3 + n)(2 + 3n)  h  3n d2 = ⋅ , , c2 = 2  l  12 + 52n + 15n 12 + 52n + 15n 2   1 2+n (2 + 3n)  h  d3 = . , c3 = ⋅ , b3 = 2( 4 + n) 2( 4 + n) 4(1 + 3n)  l  

Po uwzględnieniu powyższych zależności w równaniach (c) otrzymujemy wzory na kąty obrotu na podporach w schematach I÷III: schemat I ϕ = −α ⋅ p + β ⋅ p , ϕ = α ⋅ p + β ⋅ p , 1 x 1 y B 1 x 1 y  A schemat II (i) ϕ = −α ⋅ p + β ⋅ p , ϕ = 0, 2 x 2 y B  A schemat III  ϕ A = 0, ϕ B = α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y . gdzie: EJ EJ  , ϕ B = ΦB ⋅ 2 , ϕ A = Φ A ⋅ 2 P0l P0l   n 2 + 3n  h  ⋅   , β1 = (j) , α1 =   l 12 8(3 + n)   n(4 + n)(2 + 3n)  h  n( j + 3n) ⋅   , β2 = . α 2 = 2  2(12 + 52n + 15n )  l  12 + 52n + 15n 2 P l3 P l3 Według równań (d) obliczono przemieszczenia ∆x = δ x ⋅ 0 oraz ∆ y = δ y ⋅ 0 : EJ EJ schemat  schemat (k)  schemat schemat  przy czym

(l)

  A1 =     A2 =   A =  4

δ y = D1 ⋅ p y , I: δ x = A1 ⋅ px ; II: δ x = A2 ⋅ px − B2 ⋅ p y ; δ y = − B2 ⋅ px + D2 ⋅ p y , III: δ x = A2 ⋅ px + B2 ⋅ p y ; δ y = B2 ⋅ px + D2 ⋅ p y , δ y = D4 ⋅ p y , IV: δ x = A4 ⋅ px ; 2

3 + 4n j + n  h ⋅   , D1 = ,   6 24(3 + n) l n(12 + 14n + 3n 2

2

n(2 + 3n)  h  h ⋅ , B2 = ⋅ , 2  l  2  l  3(12 + 52n + 15n 0 4(12 + 52n + 15n ) 2

3 + 16n + 15n 2 1+ n n(4 + 3n)  h  . , D4 = ⋅   , D2 = 2 24(1 + 3n)  l  6(4 + n) 6(12 + 52n + 15n )

Ustalimy teraz warunki, w których realizują się poszczególne schematy statyczne. Schemat I, stosownie do rys. 17.2c, realizuje się wówczas, gdy są spełnione nierówności: − γ ⋅ ϕ0 < ϕ A < ϕ0 , − γ ⋅ ϕ0 < ϕ B < ϕ0 , (m) gdzie EJ EJ ϕ0 = Φ + ⋅ 2 , γ ⋅ ϕ0 = Φ − ⋅ 2 . P0l P0l Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

7

W nierównościach tych wyrazimy kąty ϕA i ϕB przez parametry obciążeń px i py. Ostatecznie otrzymujemy cztery nierówności:

(n)

py  px + < 1,    − ϕ 0   ϕ 0    α1   β1   py  px + < 1,  ϕ   ϕ0  0 γ  −γ  β1    α1  

py px + < 1,  ϕ0   ϕ0       α1   β1  py px + < 1.  ϕ0   ϕ0  −γ  −γ  α1   β1  

Granica obszaru wyznaczonego tymi nierównościami jest równoległobokiem zaznaczonym na rys. 17.4, gdzie przyjęto, że γ > 1.

Rys. 17.4

Dla schematu II obowiązują nierówności: (o)

ϕ A < ϕ 0 ; ϕ A > −γ ⋅ ϕ 0 ,  przy czym  ϕ = ϕ , gdy M ≥ 0, lub ϕ = −γ ⋅ ϕ , gdy 0 B B 0  B

M B ≤ 0.

Rozważymy najpierw przypadek taki, że ϕ A < ϕ 0 , ϕ B = ϕ 0 . Kąt ϕA jest sumą dwóch wartości ϕA1 i ∆ϕA. Wartość ϕA1 jest kątem obrotu lewej podpory w chwili, gdy kąt ϕB osiąga wartość ϕ0. Obciążenia px i py przyjmują wówczas wartość px1 i py1 oraz odpowiadają pewnemu punktowi leżącemu na granicy obszaru, w którym realizuje się schemat I (por. rys. 17.4). Wynika stąd, że

ϕ A1 = −α1 ⋅ px1 + β1 ⋅ p y1 , ϕ B = ϕ 0 = α1 ⋅ px1 + β1 ⋅ p y1. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

8

Kąt ∆ϕA realizuje się już w schemacie II. Wobec tego

ϕ A = ϕ A1 + ∆ϕ A = −α1 px1 + β1 p y1 − α 2 ( px − px1 ) + β2 ( p y − p y1 ) < ϕ 0 , skąd − α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y < ϕ 0 + px1 (α1 − α 2 ) − p y1 ( β1 − β2 ). Ponieważ ϕ B = ϕ 0 , więc − α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y <

2α1 − α 2 α1

  α1β2 ⋅  α1 p x1 + ⋅ p y1 . 2α1 − α 2  

Uwzględniwszy wzory (j) stwierdzamy, że

α1 ⋅ β2 = β1 , 2α1 − α 2

(p) co prowadzi do nierówności:

− α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y <

2α1 − α 2 ⋅ ϕ0 α1

lub po przekształceniu py px + < 1.  2α1 − α 2   ϕ0  ⋅ ϕ0    −  α1 ⋅ α 2   β1 

(r)

W analogiczny sposób analizujemy drugi przypadek: ϕ A > −γϕ 0 oraz ϕ B > ϕ 0 . Otrzymujemy wtedy nierówność:

ϕ A = ϕ A1 + ∆ϕA = −α1 ⋅ px1 + β1 ⋅ p y1 − α 2 ( px − px1 ) + β2 ( p y − p y1 ) > −γϕ 0 , którą można przedstawić w postaci: − α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y > −γ ⋅ ϕ 0 + px1 (α1 − α 2 ) − p y1 ( β1 − β2 ). Ponieważ β1 ⋅ p y1 = ϕ o − α1 ⋅ px1, więc − α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y > −γ ⋅ ϕ 0 − ϕ 0 +

2α1 − α 2 ⋅ (α1 ⋅ px1 + β1 ⋅ p y1 ), α1

skąd  α   α  − α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y > −ϕ 0  − γ − 1 + 2 2  =  1 − γ − 2  ϕ 0 . α1   α1   Ostatecznie dla γ > 1 − α 2 α1 otrzymujemy: (s)

py px + < 1.   α2  α2  1 − γ −  ⋅ ϕ0 / α 2 − 1 − γ −  ⋅ ϕ 0 / β2 α1  α1   

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

9

Nierówności (r) i (s) wyznaczają obszar, w którym realizuje się schemat II. Obszar ten oraz wyniki analizy pozostałych przypadków zobrazowano na rys. 17.4. Efekty ilościowe oraz dalsze efekty jakościowe pokażemy na przykładzie ramy przedstawionej na rys. 17.5.

Rys. 17.5

Pręty ramy są wykonane ze stalowych dwuteowników równoległościennych IPE 200 ( E = 2 ⋅ 108 kN / m2 , J = 2770 ⋅ 10−8 m4 ) . Obciążenia Px i Py zmieniają się w granicach:

− 4 kN ≤ Px ≤ 4 kN , 4 kN ≤ Py ≤ 24 kN . Siła Py = 4 kN symbolizuje obciążenia stałe pochodzące od ciężaru własnego konstrukcji. Jeżeli przyjmiemy, że P0 = 4 kN, to na płaszczyźnie obciążeń px i py punkt A o współrzędnych px = 0 i py = 1 odpowiada obciążeniu ciężarem własnym. Dla obciążeń zmiennych mamy: − 1 ≤ px ≤ 1,

1 ≤ p y ≤ 6.

Własności podpór charakteryzują wartości γ = 0 oraz ϕ0 = 0,075 rad. Oznacza to, że kąt Φ − = 0, a kąt P l2 4 ⋅ 42 Φ + = ϕ 0 ⋅ 0 = 0,075 ⋅ = 8,6664 ⋅ 10− 4 rad. EJ 2 ⋅ 2770 Z wymiarów geometrycznych prętów ramy wynika, że n = h/l = 0,75. Na podstawie wzorów (h), (j) i (l) obliczono: b1 = 0,300,

a2 = 0,2011,

b2 = 0,2981,

b3 = 0,289,

c3 = 0,2452,

d 3 = 0,1053,

c2 = 0,4022, d2 = 0,03788,

α1 = 0,2656, β1 = 0,0250, α 2 = 0,09552, β2 = 0,04101, A1 = 0,1641, A2 = 0,05722, A4 = 0,0338, D1 = 0,6667, B2 = 0,1006, D2 = 0,06572, D4 = 0,0614.

Na rysunku 17.6 przedstawiono obszar obciążeń zewnętrznych oraz obszary poszczególnych schematów statycznych. Rama wykazuje cechy konstrukcji fizycznie nieliniowej i wzmacnia się w miarę wzrostu obciążenia. Każdemu punktowi przestrzeni obciążeń px, py można przypisać odpowiednie bezwymiarowe przemieszczenia δ x i δ y . Obliczymy przykładowo przemieszczenia stowarzyszone z punktami A, K, L i G:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

− punkt A

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

( p x = 0,

10

p y = 1):

δ x = 0, δ y = 0,0667 ⋅ 1 = 0,0667. − punkt K

( p x = 0,1279,

p y = 1,6394):

δ x = 0 + 0,1279 ⋅ 0,1641 = 0,02099, δ y = 0,0667 + (1,6394 − 1) ⋅ 0,06667 = 0,1093. − punkt L

( p x = 0,7488,

p y = 4,7439):

δ x = 0,02099 + (0,7488 − 0,1279) ⋅ 0,05722 − (4,7439 − 1,6394) ⋅ 0,01006 = 0,02529, δ y = 0,1093 − (0,7488 − 0,1279) ⋅ 0,01006 + (4.7439 − 1,6394) ⋅ 0,06572 = 0,3070. − punkt G

( p x = 1,

p y = 6):

δ x = 0,02529 + (1 − 0,7488) ⋅ 0,0338 = 0,0338, δ y = 0,3070 + ( 6 − 4,7439 ) ⋅ 0,0614 = 0,3842.

Rys. 17.6 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

11

Rezultaty dla pozostałych punktów zestawiono niżej: B (0,0941; 1): δ x = 0,01544, δ y = 0,0667, C (0,3557; 1): δ x = 0,03041, δ y = 0,0693, E (1; 3,5):

δ x = 0,05219, δ y = 0,0693, δ x = 0,05219, δ y = 0,2228,

F (1; 5,329):

δ x = 0,03380, δ y = 0,3430,

G (1; 6): H ( 0; 6):

δ x = 0,03380, δ y = 0,3842, δ y = 0,3842, δ x = 0,

I ( 0; 3):

δ x = 0,

D(1; 1):

δ y = 0,2000.

Widzimy zatem, że między punktami przestrzeni obciążeń a punktami przestrzeni przemieszczeń istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie. Własność ta pozwala na graficzne przedstawienie poszczególnych dróg obciążenia i schematów statycznych w przestrzeni przemieszczeń δ x i δ y . W rozważanym zadaniu ilustruje to rys. 17.7. Prostokątnemu obszarowi obciążeń odpowiada wielobok ABCDEFGH w przestrzeni przemieszczeń. Dla porównania zaznaczono prostokąty A'D'G'H' i A''D''G''H'', które otrzymujemy odpowiednio dla schematu I i schematu IV. Na zakończenie omówimy jeszcze zmiany energii sprężystej występujące w zamkniętym cyklu obciążenia na drodze ABCDEFGHIA. Energię te obliczymy z zależności: Lc = Lx + Ly =

∫(

P 2l 3 P 2l 3 Px ⋅ d∆x + Py ⋅ d∆ y = 0 ( px dδ x + p y dδ y ) = 0 ⋅ (lx + l y ). EJ EJ

)

∫

Rys. 17.7 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

12

Aktualna wartość energii sprężystej Lc jest zatem sumą pól zawartych pod wykresami Px ( ∆x ) i Py ( ∆ y ). Wykresy te podano na rys. 17.8. Jak widać, linie obciążeń i odciążeń na obu wykresach nie pokrywają się. Dla rozważanego cyklu obciążenia w płaszczyźnie Px , ∆x obserwujemy „produkcję” energii, a na płaszczyźnie Py , ∆ y − „dyssypację” energii. Ponieważ jednak rozważany proces jest sprężysty, suma „produkcji” i „dyssypacji” energii jest równa zeru. Łatwo to sprawdzić rachunkowo. Dla poszczególnych punktów obliczono: A:

lx =

0,

ly = 0,0333,

lc = 0,0333,

B:

lx =

0,0007 ,

ly = 0,0333,

lc = 0,0340,

C:

lx =

0,0041,

ly = 0,0353,

lc = 0,0394 ,

D:

lx =

0,0189 ,

ly = 0,0353,

lc = 0,0542 ,

E:

lx =

0,0189 ,

ly = 0,3818,

lc = 0,4007 ,

F:

lx =

0,0005,

ly = 0,9118,

lc = 0,9123,

G: H:

lx =

0,0005,

ly = 11441 , ,

lc = 11446, ,

lx = − 0,0164 ,

ly = 11441 , ,

lc = 1,277 ,

I: A:

lx = − 0,0164,

ly = 0,3164 ,

lc = 0,300,

lx = − 0,0164 ,

ly = 0,0164 ,

lc = 0.

Rys. 17.8

, ). Gdyby założyć, że w całym zakreNajwiększa energia sprężysta występuje w punkcie G (lc = 11446 sie obciążeń realizuje się schemat I, to energia ta lc = 1,282, a gdy realizuje się tylko schemat IV, to lc = 1,122. Widzimy zatem, że energia sprężysta może być pewną miarą podatności konstrukcji. Im większa energia sprężysta, tym większa podatność. Fakt ten wykorzystuje się czasem do oszacowania globalnej sztywności konstrukcji. W podsumowaniu warto zwrócić uwagę na to, że problemy nieliniowe są z reguły bardzo skomplikowane i wymagają do żmudnych rachunków. Przekonywującym potwierdzeniem tego wniosku jest przedstawiony wyżej problem ramy na nieliniowych podporach. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

13

17.2. KRATOWNICA MISESA 17.2.1. Wprowadzenie Nazwa „kratownica Misesa” odnosi się do kratownicy dwuprętowej, przedstawiona na rys. 17.9. Zbadamy zachowanie się układu pod wpływem symetrycznego obciążenia pionowego siłą P zaczepioną w węźle środkowym.

Rys. 17.9

Jeżeli wyniosłość kratownicy mierzona stosunkiem H0/L0 jest mała, to prawidłowy opis deformacji kratownicy wymaga odstąpienia od zasady zesztywnienia. Innymi słowy, równania równowagi trzeba układać dla konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). Otrzymujemy zatem problem kinematycznie (geometrycznie) nieliniowy. W celu zilustrowania powyższych stwierdzeń zadanie rozwiążemy w dwóch wariantach: liniowym (przy akceptacji zasady zesztywnienia) i nieliniowym. Geometrię odkształcenia opiszemy pionowym przemieszczeniem v punktu przyłożenia obciążenia, przy założeniu, że deformacja konstrukcji jest symetryczna. Przyjmiemy nadto, że odkształcenia liniowe prętów są małe, a materiał prętów kratownicy jest liniowo-sprężysty. Zależność między siłą P a przemieszczeniem v ustalimy na podstawie twierdzenia o minimum energii potencjalnej (por. p. 14.9.2). Pokażemy, że równowaga układu ma miejsce dla takiej wartości v, która ekstremalizuje energię potencjalną Π (v ), określoną wzorem (14.11). Wzór ten w naszym zadaniu przybiera postać: (a)

Π=

1

∫ 2 ⋅ EAλ

2

⋅ ds − P ⋅ v,

s

gdzie λ = ∆L / L i oznacza wydłużenie względne osi prętów, a L = L0 / (sin α 0 ).

17.2.2. Zadanie kinematycznie liniowe W zakresie małych przemieszczeń zależność między zmianą długości prętów ∆L i przemieszczeniem v jest liniowa (por. rys. 17.10b):

(b)

∆L = − v ⋅ cosα 0 .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

14

Rys. 17.10

Wobec tego

λ = −v ⋅

(c)

cosα 0 ⋅ sin α 0 , L0

a energia potencjalna

l

(d)

Π (v ) = 2 ⋅

1 2

 EA



∫ 2 λ EA ⋅ dx − P ⋅ v = EAλ L − Pv = L0 cos α0 ⋅ sin α0 ⋅ v 2

2

2

− P ⋅ v.

0

Ekstremum funkcji Π ( v ) zachodzi, jeżeli ∂ Π ∂ v = 0 :

(e)

 ∂ Π  2 EA = cos2 α 0 ⋅ sin α 0  ⋅ v − P = 0. ∂ v  L0 

Łatwo zauważyć, że druga pochodna energii potencjalnej względem przemieszczenia v jest zawsze większa od zera: ∂ 2 Π ∂ v 2 > 0 , więc stan równowagi określony zależnością (e) odpowiada minimum energii potencjalnej. Zależność (e) można uzyskać także z równania równowagi zapisanego w konfiguracji pierwotnej. Z rysunku 17.10c wynika bowiem następujące równanie równowagi:

P = −2 N cos α 0 . Ponieważ jednak N = EAλ = EA ⋅

 ∆L  EA = − ⋅ cos α 0 ⋅ sin α 0  ⋅ v , L  L0 

więc (f)

 2 EA  P= ⋅ cos2 α 0 ⋅ sin α 0  ⋅ v.  L0 

Wzór (f) pokrywa się z zależnością (e), uzyskaną metodą energetycznej. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

15

17.2.3. Zadanie kinematycznie nieliniowe Gdy uwzględnimy zmiany geometrii układu, wówczas zależność ∆L(v ) jest bardziej złożona. Ze wzoru Pitagorasa otrzymujemy (rys. 17.9): L=

L20 + H02 = L0 / sin α 0 ,

L + ∆L =

L20 + ( H0 − v ) 2 ,

skąd

λ=

(g)

∆L = L

L20 + ( H0 − v ) 2 − L20 + H02 ⋅ sin α 0 . L0

Wobec powyższego energia potencjalna układu L

(h)

Π (v ) = 2

1

EA 

∫ 2 EAλ dx − Pv = L0  0

2

L20 + ( H0 − v ) 2 − L20 + H02  sin α 0 − Pv . 

Warunek ekstremum funkcji Π(v) prowadzi do zależności: L2 + ( H0 − v ) 2 − L20 + H02 ∂Π EA =− ⋅ sin α 0 ⋅ 0 ⋅ ( H0 − v ) − P = 0, L0 ∂v L20 + ( H0 − v ) 2 skąd

(i)

       v  1 P ( v ) = 2 EA ctgα 0 − − sin α 0 .  ⋅ 2 L0        1 +  ctgα 0 − v   L0    

Identyczny wynik otrzymujemy z równania równowagi sił w konfiguracji aktualnej (ryz. 17.11).

Rys. 17.11

Zależność P(v) może odpowiadać równowadze statecznej ( ∂ P ∂ v = P,v > 0 ) lub niestatecznej ( P,v < 0). Z budowy zależności (i) wnioskujemy, że pochodna P,v jest równa drugiej pochodnej energii potencjalnej. Równowaga stateczna występuje zatem wówczas, gdy energia potencjalna osiąga minimum, tzn. gdy ∂ Π ∂ v = 0, ∂ 2 Π ∂ v 2 > 0 , natomiast równowaga jest niestateczna, gdy energia potencjalna osiąga maksimum: ∂ Π ∂ v = 0, ∂ 2 Π ∂ v 2 < 0 . Problem stateczności równowagi zilustrujemy również w przykładzie liczbowym. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

16

17.2.4. Przykład liczbowy*) Obliczenia wykonano dla następujących danych:

L0 = 1,0 m, E = 2,1 ⋅ 108 kN / m2 ,

A = 10−3 m2 , ctgα 0 = 0,1 , P = 40 kN.

W zadaniu liniowym stosownie do wzoru (d), otrzymano:

Π (v ) = 2069 ⋅ v 2 − P ⋅ v Warunek równowagi ∂ Π ∂ v = 0 prowadzi do zależności: P( v ) = 4138 ⋅ v. Gdy P = 40 kN Przemieszczenie pionowe wynosi v = v* = 0,00967 m. Dla zadania nieliniowego obliczono (wzór (h)):

Π (v ) = 208958 ⋅  1 + (0,1 − v ) 2 − 1,01 − Pv .   Równowaga występuje, gdy ∂ Π ∂ v = 0 :  1 ∂Π = −417916 ⋅ 1 − ∂v 1 + (0,1 − v ) 2 

  ⋅ (0,1 − v ) − P = 0 . 

Po podstawieniu P = 40 kN otrzymujemy v = v* = 0,01159 m. Zależność P (v ) odpowiadająca równowadze przybiera postać:  1,01 P( v ) = −417916 ⋅ 1 − 1 + ( 0,1 − v )2 

  ⋅ ( 0,1 − v ). 

O stateczności równowagi mówi znak drugiej pochodnej energii potencjalnej:    1,01 ⋅ ( 0,1 − v ) 2  1,01 dP ∂ 2 Π . = = 417916 ⋅ 1 − + /  dv ∂ v 2 2 3 2 1 + (0,1 − v ) 2  1 + (0,1 − v )  

[

*)

]

Obliczenia do tego przykładu wykonał W. Czarnecki.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

17

Rys. 17.12

Wykresy funkcji Π(v) dla zadania liniowego i zadania nieliniowego zestawiono na rys. 17.12a. Dla siły P = 40 kN minimum funkcji Π(v) odpowiada równowadze statecznej. Odpowiednie wykresy funkcji P( v ) dla umiarkowanych wartości przemieszczeń podano na rys. 17.12b. Wyraźne różnice jakościowe uwidaczniają się dopiero przy większych wartościach przemieszczeń. Ilustruje to rys. 17.13. W zadaniu nieliniowym siła P rośnie do punktu A, kiedy dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 ≥ 0 . W punkcie tym, zwanym punktem granicznym, funkcja P( v ) osiąga lokalne maksimum: dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 = 0 . Przy dalszym powiększaniu siły P obserwujemy zjawisko tzw. przeskoku (ang. snap-through) i ustalenie się nowego położenia równowagi. Na wykresie P( v ) odpowiada to przeskokowi z punktu A do punktu C. Opisane zjawisko umyka uwadze, jeżeli stosujemy podejście liniowe. Przeskok obserwujemy tylko wówczas, gdy czynnikiem sterującym jest obciążenie P. Jeżeli będziemy powiększać przemieszczenie v (sterowanie przemieszczeniem), to zaobserwujemy zmniejszenie reakcji pionowej węzła środkowego zgodnie z przebiegiem krzywej AB: dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 < 0 . Począwszy od punktu B dalszemu wzrostowi przemieszczenia v towarzyszy wzrost reakcji węzła środkowego (krzywa B − C − D: dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 > 0 ).

Rys. 17.13 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

18

Zjawisko przeskoku ma bardzo duże znaczenie w praktyce inżynierskiej. Najczęściej problem ten pojawia się w konstrukcjach powłokowych. Przykład kratownicy Misesa dowodzi, że opis niektórych zjawisk występujących w mechanice wymaga odejścia od zasady zesztywnienia.

17.3. CIĘGNO OBCIĄŻONE SIŁĄ SKUPIONĄ Cięgno jest prętem mającym jedynie sztywność rozciągania. Cechy cięgna wykazują np. cienkie druty i liny. Zależność między siłą normalną a odkształceniem osi cięgna charakteryzuje rys. 17.14. Dla ujemnych odkształceń liniowych (tzn. skróceń) siła normalna jest równa zeru*). Podczas rozciągania cięgno może zachowywać się nieliniowo (rys. 17.14a) lub liniowo (rys. 17.14b). W obu przypadkach mamy jednak do czynienia z fizyczną nieliniowością, gdyż funkcję odcinkowo liniową z rys. 17.14b też zaliczamy do zależności nieliniowych. Wykresy podane na rys. 17.14 nawiązują do odkształcenia zdefiniowanego jako stosunek wydłużenia cięgna do jego pierwotnej długości L0 , λ = ∆L / L0 . Sposób definiowania odkształcenia jest istotny, jeżeli wydłużenia cięgna są bardzo duże.

Rys. 17.14

W dalszym ciągu rozważania ograniczymy do cięgien o liniowej charakterystyce podczas rozciągania. Związek fizyczny, stosownie do rys. 17.14b, można zapisać następująco: kλ , λ ≥ 0, N = 0, λ < 0,

(17.2)

gdzie k oznacza sztywność rozciągania cięgna. Materiałowi cięgna przypisuje się zazwyczaj cechy sprężystości liniowej, co pozwala przyjąć, że k = EA = const. Dla bardzo dużych odkształceń cięgna oznaczałoby to, że moduł sprężystości musi wzrastać, bo przekrój cięgna ulega zmniejszeniu. W zadaniach praktycznych wartości odkształceń są na tyle małe, że założenie stałej sztywności cięgna jest usprawiedliwione. Przyjęciu obciążeń przez układ cięgnowy towarzyszą na ogół duże przemieszczenia. Z tego powodu problemy mechaniki cięgien są z natury rzeczy również geometrycznie nieliniowe. Zasadniczym mankamentem konstrukcji cięgnowych jest ich mała sztywność. Dlatego przed przyłożeniem obciążenia zewnętrznego poszczególne cięgna są poddawane wstępnemu naciągowi. Wpływ naciągu na sztywność układu cięgnowego objaśnimy na przykładzie. Rozważymy nieważkie cięgno o długości swobodnej 2 L0 . Zamocujemy je na nieprzesuwnych podporach A i B, usytuowanych w odległościach 2 L > 2 L0 (rys. 17.15a).

*)

Cięgno jest układem z więzami jednostronnymi.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

19

Rys. 17.15

Zamocowanie wymaga wstępnego wydłużenia o wartość ∆L0 = 2 L − 2 L0 , co odpowiada odkształceniu wstępnemu λ0 = ( L / L0 ) − 1 i wstępnemu naciągowi N 0 = k ⋅ λ0 (rys. 17.15b). Po zamocowaniu cięgna na podporach przyłożymy zewnętrzną siłę skupioną P w połowie rozpiętości. W miarę wzrostu obciążenia cięgno wydłuża się, a gdy siła P osiągnie swą wartość końcową, układ przyjmie konfigurację aktualną przedstawioną na rys. 17.15c. Zadaniem naszym jest ustalenie zależności P( ∆ ) , przy czym ∆ jest pionowym przemieszczeniem punktu przyłożenia siły. Do dyspozycji mamy: − równanie równowagi P = 2 N sin α = 0, sin α =

(a)

∆ , L + ∆L

− równanie geometryczne

( L + ∆L) 2 = ∆2 + L2

(b) − równanie fizyczne (c)

N = k ⋅ ( λ0 + λ ), λ =

∆L . L0

Z równania (b) otrzymujemy związek:     2 2  ∆  ∆ 0    ∆L = L ⋅ 1 +   − 1 = L0 ⋅ (1 + λ ) ⋅ 1 +   − 1 ,    L  L       z którego, po wykorzystaniu równań (a) i (c), wynikają zależności:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

P = 2N ⋅

(d)

( ∆L ) , 2 1 + ( ∆L )

20

  2  ∆ N = k ⋅ (1 + λ0 ) ⋅ 1 +   − 1  L    

oraz poszukiwany funkcję P( ∆ ):

() ()

0 ∆ 2 −1 + ⋅ + λ ( ) 1 1 ∆ L   P( ∆ ) = 2 k ⋅   ⋅ .  L 2 ∆ 1+ L

(e)

Wzory (d) i (e) można zapisać w postaci bezwymiarowej: n = (1 + λ0 ) ⋅ 1 + δ 2 − 1    (1 + λ0 ) ⋅  1 + δ 2 − 1  ,  p = 2δ ⋅  1+ δ 2 

(f)

gdzie n = N / k ,

p = P / k , δ = ∆ / L.

Jeżeli wartość δ 2 jest mała w porównaniu z jednością, to poprzestając tylko na dwóch wyrazach rozwinięcia w szereg potęgowy, otrzymujemy w przybliżeniu: 1 1+ δ 2 ≈ 1+ δ 2, 2

1 1+ δ

2

1 ≈ 1− δ 2. 2

Wówczas wzory (f) upraszczają się do postaci:

(g)

 0 1 2 0 0 1 2 n ≈ λ + 2 δ ⋅ (1 + λ ) ≈ λ + 2 δ ,   p ≈ 2δ ( λ0 + 1 δ 2 ) 1 − 1 δ 2  ≈ 2δ  λ0 + 1 δ 2  .  2    2 2 

Miarą sztywności konstrukcji jest pochodna dp / dδ .

(h)

dp = 2λ0 + 3δ 2 . dδ

Widzimy zatem, że wstępny naciąg, mierzony wartością odkształcenia λ0 , w istotny sposób powiększa początkową sztywność układu cięgnowego. Dla obliczeń numerycznych bardzo korzystne jest również to, że sztywność ta jest różna od zera na początku procesu obciążenia, gdy p = 0. Zależność między bezwymiarowymi wartościami siły normalnej n i obciążenia p a ugięciem δ ilustruje rys. 17.16. W celu poAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

21

równania załączono wykresy dla λ0 = 0,001 i dla λ0 = 0. Z rysunku 17.16 widać wyraźnie, że w układach cięgnowych nie obowiązuje zasada superpozycji, gdyż wykresy n(δ ) i p(δ ) są nieliniowe.

Rys. 17.16

W obliczeniach konstrukcji cięgnowych, wykazujących umiarkowane odkształcenia wstępne ( λ << 1) , stosuje się uproszczenie polegające na tym, że odkształcenia względne odnosi się na ogół nie do długości swobodnej L0, lecz do aktualnej długości cięgna wydłużonego. Oznacza to, że stosujemy przybliżenie: 0

∆L ∆L ≈ . L0 L0 (1 + λ0 )

(17.3)

Zilustrujemy teraz wpływ nieliniowości fizycznej układu cięgnowego na zachowanie się układu w procesie odciążenia cięgna. Rozważymy układ złożony z trzech wstępnie napiętych cięgien (rys. 17.17a). Między siłami wstępnego naciągu występuje zależność wynikająca z równania równowagi węzła C:

2 N10 sin α 0 = N 20 . Jeżeli przyjmiemy, że sztywności cięgien AC i CB są równe i wynoszą k1, a sztywność cięgna CD wynosi k2, to podany wyżej warunek równowagi prowadzi do zależności: k λ02 = 2 1 λ10 ⋅ f , (i) k2 gdzie λ10 oraz λ02 oznaczają odpowiednio wstępne wydłużenie względne cięgien AC i CB oraz CD, zaś f = F / L1.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

22

Rys. 17.17

Jak widać, wstępne wydłużenia cięgien nie mogą być zupełnie dowolne, co sprawia, że ustalenie konfiguracji wstępnej w bardziej rozbudowanych układach stanowi problem sam dla siebie. Uwaga ta nabiera ostrości, jeśli się zważyć że w praktyce wymagamy dodatkowo spełnienia warunku naprężeniowego (σ ≤ σ dop ). Rozważany układ obciążymy pionową siłą skupioną (rys. 17.17b). Z symetrii obciążenia wnioskujemy, że punkt C ulegnie tylko przemieszczeniu pionowemu ∆. Konfigurację aktualną można wyznaczyć tak samo jak w zadaniu poprzednim. Tym razem zastosujemy twierdzenie o minimum energii potencjalnej. Jeśli przyjmiemy przybliżenie (17.3), to wartość całkowita energia potencjalna układu (j)

1 1 Π ( ∆ ) = Π 0 + 2 N10λ1 L1 + N 20λ2 L2 + 2 ⋅ k1 L1λ12 + k2 L2 λ22 − P ⋅ ∆ 2 2

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

23

gdzie Π 0 oznacza energię potencjalną wstępnego naciągu, a λ1 oraz λ2 − wydłużenia cięgien AC i CB oraz CD. Pochodzenie składników Ni0λi Li + ki Li λi0 / 2 wynika

Rys. 17.18

wprost z rys. 17.18. Składniki te wyrażają zmianę energii zmagazynowanej w cięgnach w czasie przejścia z konfiguracji pierwotnej do konfiguracji aktualnej. Zmiana ta jest równa polu zakreskowanego trapezu (zbudowanego z trójkąta i prostokąta) na wykresie Ni ( ∆Li ). Warunkiem ekstremum energii Π jako funkcji przemieszczenia jest znikanie pierwszej pochodnej, tzn. 2 ∂ Π ∂∆ = 0 : 2 N10 L1

(k)

∂ λ1 ∂ λ2 ∂λ ∂ λ2 + N 20 L2 + 2k1L1λ1 ⋅ 1 + k2 L2λ2 ⋅ − P = 0. ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆

Równanie (k) ma sens równania równowagi (sumy rzutów sił na kierunek przemieszczenia ∆) i jest poszukiwaną zależnością P(∆). Jeśli uwzględnimy, że siły wstępnego naciągu N i0 = ki λ0i , to równanie (k) można przedstawić następująco: ∂λ ∂ λ2 P = 2 L1k1( λ10 + λ1 ) ⋅ 1 + L2 k2 ( λ02 + λ2 ) ⋅ . (l) ∂∆ ∂∆ Z rysunku 17.17b wynikają zależności geometryczne: L12 (1 + λ1 )2 = B 2 + ( F + ∆ )2 ;

λ2 = −

∆ , L2

skąd po uwzględnieniu, że L12 = B 2 + F 2 , dostajemy: 1 2  2 λ1 = 1 + 2 fδ + δ − 1 ≈ fδ + 2 δ ,  L λ2 = −δ ⋅ 1 ,  L2

(m)

gdzie δ = ∆ / L1,

f = F / L1. Po podstawieniu tych zależności do równania (l) otrzymujemy ostatecznie:  0 1 2 2( λ1 + fδ + δ )( f + δ ) − 2  P (δ ) =  2( λ0 + fδ + 1 δ 2 )( f + δ ),  1 2

(n)

k2  0  λ2 − δ k1 

L0  0  , λ2 − δ L2 

L1 >0 L2

L λ02 − δ 1 ≤ 0, L2

gdzie p = P / k1. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

24

Funkcja P(δ ) jest opisana dwoma wzorami. Pierwszy dotyczy przypadku, gdy cięgno CD jest jeszcze napięte, tzn. gdy λ02 + λ2 ≥ 0. Drugi odpowiada sytuacji, gdy cięgno napinające CD jest już luźne. „Wyłączenie się” cięgna CD powoduje bardzo wyraźne zmniejszenie sztywności układu. Zjawisko to ilustruje rys. 17.19, na którym zamieszczono wykres p(δ ) opisany zależnością (n). Na uwagę zasługuje fakt, że przemieszczenia badanej konstrukcji cięgnowej są tak małe, iż wpływ zmian geometrii jest prawie niezauważalny.

Rys. 17.19

Omówione wyżej zadania pod względem rachunkowym są elementarne. Obliczenia komplikują się, gdy węzły układu mają większą liczbę stopni swobody. Wystarcza na przykład, by obciążenie węzła C było niesymetryczne. Pojawiają się wówczas niewiadome przemieszczenia ∆1 i ∆2, które trzeba obliczyć z układu równań nieliniowych. Przypadek taki przedstawiono na rys. 17.17c. Wyrażenie na energię potencjalną układu przybiera wtedy postać:

Π ( ∆1 , ∆2 ) = Π 0 + N 10 λ1 L1 + N 20 λ2 L2 + N 30 λ3 L3 + 1 1 1 + k1λ12 L1 + k 2 λ22 L2 + k1λ23 L1 − P1∆1 − P2 ∆2 . 2 2 2 Z warunków ekstremum funkcji Π ( ∆1 , ∆2 ) otrzymujemy

(c)

∂Π ∂∆ = 0;  1   ∂Π = 0; ∂∆2

∂ λ1 ∂λ ∂λ + k2 L2 (λ02 + λ2 ) 2 + k1L1(λ10 + λ3) 3 − P1 = 0, ∂ ∆1 ∂ ∆1 ∂ ∆1 ∂λ ∂λ ∂λ k1L1(λ10 + λ1) 1 + k2 L2 (λ02 + λ2 ) 2 + k1L1(λ10 + λ3 ) 3 − P2 = 0. ∂ ∆2 ∂ ∆2 ∂ ∆2

k1L1(λ10 + λ1)

Związki geometryczne wynikają z rys. 17.17c:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S

25

( L1 + ∆L1 ) 2 = ( B + ∆1 ) 2 + ( F + ∆2 ) 2 , ( L2 + ∆L2 ) 2 = ∆12 + ( L2 − ∆2 ) 2 , ( L1 + ∆L3 ) 2 = ( B − ∆1 ) 2 + ( F + ∆2 ) 2 , skąd

(p)

 λ1 (δ1 , δ 2 ) =    λ2 (δ1 , δ 2 ) =   λ 3 (δ1 , δ 2 ) = 

gdzie η = L1L2 , b = B / L1,

1 + 2bδ1 + 2 fδ 2 + δ12 + δ 22 − 1 = bδ1 + fδ 2 + 2

2

(

(

)

1 2 δ1 + δ 22 , 2

) 1 + (δ 2

  ∆1  1 2 2 ∆  2   +  1 − 2  − 1 ≈ −ηδ 2 + η δ1 + δ 2 , L2  2   L2  1 − 2bδ1 + 2 fδ 2 + δ12 + δ 22 − 1 ≈ −bδ1 + fδ 2

2 1

)

+ δ 22 ,

f = F / L1, δ1 = ∆1L1, δ 2 = ∆2 L1.

Po uwzględnieniu zależności (p) w równaniach (o) uzyskujemy poszukiwany układ dwóch nieliniowych równań algebraicznych ze względu na bezwymiarowe przemieszczenia δ1 i δ 2 :

(r)

  0 1 2 2 2 2 2 k2  0 2  δ1 2λ1 + 2b + 2 fδ2 + δ1 + δ2 + ηλ2 − ηδ2 + η (δ1 + δ2 ) − p1 = 0, k2  2     0 2 2 ( f + δ2 )(2λ1 + 2 fδ2 + δ1 + δ2 ) +  k 1    + 2 ⋅ (−1 + ηδ2 ) ⋅ λ02 − ηδ2 + η(δ12 + δ22 ) − p2 = 0. k1 2    

Budowa tego układu zniechęca do poszukiwania rozwiązania ścisłego. W praktyce liczba stopni swobody jest na ogół duża i dlatego stosuje się metody przybliżone ukierunkowane na wykorzystanie komputera. Najczęściej stosuje się wówczas metodę Newtona-Raphsona, opisaną w dodatku. „Ręczne” rozwiązanie układu tą metodą pozostawimy najbardziej wytrwałym Czytelnikom. W trakcie obliczeń należy zwrócić uwagę, że wyłączenie danego cięgna występuje w momencie, gdy całkowite wydłużenie cięgna jest równe zeru. Powoduje to odpowiednią modyfikację układu równań (r).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

1

18. PRĘTY WYKONANE Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO 18.1. MATERIAŁ NIELINIOWO-SPRĘŻYSTY Największą trudnością w badaniu zagadnień nieliniowych jest to, że nie obowiązuje zasada superpozycji. Jeśli na przykład w przekroju pręta wykonanego z materiału nieliniowego występują jednocześnie siła normalna N i moment zginający M, to przy wyznaczaniu naprężeń i przemieszczeń trzeba rozważać łączne działanie obu sił uogólnionych. Drugą dosyć kłopotliwą okolicznością jest tzw. znakoczułość materiału. Materiały znakoczułe podczas wydłużania zachowują się inaczej niż podczas skracania. W materiałach wykazujących cechy plastyczne wiele trudności sprawia fakt, że odciążenie konstrukcji przebiega po innej drodze niż obciążenie. W olbrzymiej większości przypadków, jak pokazuje doświadczenie, można jednak stosować znane hipotezy kinematyczne (np. hipotezę płaskich przekrojów). Tutaj omówimy zjawiska charakterystyczne dla materiałów fizycznie nieliniowych w zakresie małych odkształceń i przemieszczeń. Rozważymy przykładowo jednoczesne działanie siły normalnej N i momentu zginającego M na przekrój pręta nieliniowo-sprężystego o jednej osi symetrii (rys. 18.1). Dla uproszczenia zapisu przyjmiemy, że εx = ε oraz σx = σ, przy czym osie y i z są głównymi środkowymi osiami przekroju.

Rys. 18.1

Stosownie do hipotezy płaskich przekrojów Bernoulliego mamy:

ε ( z) = kz + λ .

(18.1)

Położenie włókna obojętnego (ε = 0), określa odległość z0: λ z0 = − k

(18.2)

Siły wewnętrzne N i M są zdefiniowane następująco:

∫

∫

N = σdA = σ [ε ( z )]dA( z ); A

A

∫

M = σ [ε ( z )] ⋅ zdA( z ).

(18.3)

A

W celu wyznaczenia naprężeń i przemieszczeń trzeba sprecyzować charakterystykę fizyczną materiału σ (ε) oraz kształt przekroju pozwalający określić funkcję dA(z). Proces sprężysty (również nieliniowy) charakteryzuje się tym, że krzywa obciążenia pokrywa się na wykresie σ(ε) z krzywą odciążenia (rys. 18.2a). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

2

Rys. 18.2

Od charakterystyki σ(ε) wymagamy przede wszystkim, by rozciąganiu odpowiadało wydłużenie, a ściskaniu − skrócenie, tzn. by znak naprężeń odpowiadał znakowi odkształceń, czyli by σ ⋅ ε ≥ 0. Znakoczułość materiału objawia się w ten sposób, że σ(ε) ≠ −σ(−ε). Najprostszy materiał znakoczuły opisuje funkcja σ(ε) składająca się z dwóch różnych zależności liniowych dla ściskania i rozciągania (rys. 18.2b): C + ⋅ ε , ε ≥ 0, C + ≠ C − , σ = − C ⋅ ε , ε ≤ 0. Najczęściej stosuje się potęgowe prawo fizyczne (rys. 18.2c): C + ⋅ ε α , ε > 0,  σ = β − − C ⋅ − ε , ε < 0,

(18.4)

przy czym C + > 0, C − > 0, 0 < α ≤ 1, 0 < β ≤ 1, gdzie α i β oznaczają tzw. wskaźniki wzmocnienia. Z zależności (18.4) jako przypadki szczególne otrzymujemy prawo liniowe (α = β = 1, C + = C − = E ) oraz funkcję schodkową (α = β → 0, C + = C − = σ P ) , która odpowiada zależności:  σ , ε > 0, σ = 0 − σ 0 , ε < 0. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

3

Zasadniczą wadą zależności (18.4) jest to, że dla ε = 0 wartości modułu stycznego Et(0) dążą do nieskończoności: dσ dε ε = 0 = Et (0) → ∞ . Takiej własności nie wykazuje żaden rzeczywisty materiał. Stosowanie zależności (18.4) ma zatem sens tylko dla dostatecznie dużych wartości odkształceń. Bardzo ogólny przypadek nieliniowości fizycznej materiału sprężystego opisuje funkcja:  C1+ ⋅ ε 1 + C2+ ⋅ ε 2 +...+ Cq+ ⋅ ε q =   σ (ε ) =   − 1 − 2 − r C1 ⋅ ε + C2 ⋅ ε +...+ Cr ⋅ ε = 

Ci+

q

∑ C +j ⋅ ε j ,

ε > 0,

j =1

(18.5)

r

∑ C −j ⋅ ε j ,

ε < 0.

j =1

Ci−

oraz muszą być tak obrane, by σ ⋅ ε ≥ 0. Ponieważ wytrzymałość i Współczynniki odkształcalność rzeczywistego materiału są ograniczone, dochodzą jeszcze dodatkowe ograniczenia na współczynniki Ci oraz obszar zmienności ε. Jak widać, dobór odpowiedniej idealizacji równania σ(ε) nie jest rzeczą prosta i wymaga każdorazowo gruntowej analizy. Dla opisu charakterystycznych cech pręta nieliniowo-sprężystego przyjmiemy możliwie najprostszą postać funkcji (18.5), a mianowicie C1+ = C1− = E1 oraz C2+ = C2− = E2 : (a)

σ (ε ) = E1 ⋅ ε + E2 ⋅ ε 2 .

Funkcję tę przedstawia rysunek 18.3. Rozważany materiał jest znakoczuły, bo σ (ε ) ≠ −σ ( −ε ) . Moduł styczny Et jest liniową funkcją odkształcenia: (b)

E t (ε ) =

dσ = E1 + 2 E2ε , dε

z której wynika, że Et (0+ ) = Et (0− ) = E1 . Oznacza to, że dla bardzo małych odkształceń znakoczułość materiału jest niewielka.

Rys. 18.3 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

4

Warunek nieujemności iloczynu σ ⋅ ε prowadzi do nierówności:

σ ⋅ ε = E1ε 2 + E2ε 3 ≥ 0, skąd 1 ε≥− 2, n

(c)

n 2 = E2 / E1.

Największe naprężenie ściskające, jakie może przenieść badany materiał, odpowiada odkształceniu wynikającemu z warunku dσ dε = 0 . Prowadzi on do równania:

E1 + 2 E2ε = 0, z którego orzymujemy: E1 1 =− 2. 2 E2 2n

ε = ε gr = −

Wartość ta odpowiada pewnemu naprężeniu granicznemu σgr: E  1  σ  − 2  = σ gr = − 12 .  2n  4n Każda próba przekroczenia naprężenia granicznego powoduje nagłe załamanie się materiału. Mówimy, że w punkcie granicznym (tj. gdy σ = σ gr ) materiał traci stateczność. Utrata stateczności materiałowej może występować również podczas rozciągania. Zachodzi ona przykładowo dla ε gr = 1 / (2n 2 ) , jeśli przyjmiemy prawo fizyczne w postaci: σ (ε ) = E1 ⋅ ε − E2 ⋅ ε 2 . Stwierdzamy zatem, że stosowalność nieliniowego prawa fizycznego (a) ograniczają warunki: 1  ε ≥ ε gr = − 2 , 2n (d)  σ ≥ σ gr = − E1 . 4n 2  Przejdziemy obecnie do analizy pręta wykonanego z przyjętego materiału nieliniowo-sprężystego. Wyraziwszy naprężenia wzorem (a) oraz przyjąwszy prawo płaskich przekrojów (18.1) możemy określić siłę normalną N i moment zginający M ze wzorów (18.3): N=

∫ [ E1 ⋅ (kz + λ ) + E2 ⋅ (kz + λ )

2

A

] ⋅ dA =

    = E1 k z dA + λ ⋅ dA + E2 ⋅ k 2 z 2 dA + 2kλ z dA + λ2 dA,     A A A  A   A 

∫

M=

∫

∫ [ E1 ⋅ z(kz + λ ) + E2 ⋅ z(kz + λ ) A

∫

2

∫

∫

] ⋅ dA =

    = E1 k z 2 dA + λ ⋅ z dA + E2 k 2 z 3 dA + 2 kλ z 2 dA + λ2 z dA.     A A A  A   A 

∫

Ponieważ

∫

∫

∫

∫

∫ dA = A, ∫ z dA = 0, ∫ z dA = J y = J , więc 2

A

A

A

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

(

5

)

 N = E Aλ + E k 2 J + λ2 A , 1 2       M = E1 Jk + E2 k 2 z 3 dA + 2kλJ .     A  

(e)

∫

Jeżeli dane są siły wewnętrzne N i M, to z układu równań (e) możemy wyznaczyć krzywiznę k(N, M) i wydłużenie osi pręta λ(N, M). Pozwoli to określić odkształcenia ε(z) według wzoru (18.1) oraz naprężenia z prawa fizycznego (a). Dalsze rozważania ograniczymy do prętów o przekroju bisymetrycznym, czyli o przekroju, w którym zarówno oś z, jak i oś y są osiami symetrii. Szerokość przekroju w tych przypadkach jest parzystą funkcją zmiennej z (tzn. b(z) = b(−z)). Wówczas

∫

a

a

∫

z 3 dA = z 3 b( z) dz = −a

A

∫ g( z)dz =0,

−a

przy czym a = h/2 i oznacza połowę wysokości przekroju, a g(z) jest nieparzystą funkcją zmiennej z. Dla przekrojów bisymetrycznych układ równań (e) upraszcza się zatem do postaci: (f)

(

)

[

]

N ( λ , k ) = E1 Aλ + E2 λ2 A + k 2 J = E1 A λ + (nλ ) 2 + ( nki ) 2 ,

(

)

M ( λ , k ) = E1 Jk + 2 E2 Jkλ = E1 Jk 1 + 2n 2 λ ,

gdzie przez i = J / A oznaczono promień bezwładności przekroju. Jeżeli zachowanie się materiału w każdym punkcie przekroju ma być stateczne, to musi być spełniony jeden z warunków (d). Stosownie do prawa płaskich przekrojów największe skrócenia względne występują w skrajnych włóknach przekroju, tj. dla z = ±a. Konsekwencją nierówności (d) jest zatem warunek: ± ka + λ ≥ −

1 2n 2

,

z którego otrzymujemy, że (g)

−

1 1  1 1   λ + 2  ≤ k ≤  λ + 2 .   a a 2n 2n 

Nierówność (g) opisuje pewien obszar dopuszczalny w przestrzeni (λ,k), ograniczony dwoma półprostymi (rys. 18.4).

Rys. 18.4 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

6

Sprawdzimy obecnie, czy istnieje taka funkcją energii odkształcenia W(λ,k), która wykazuje własności potencjału dla sił wewnętrznych, tzn. ∂W = N (λ , k ) i ∂λ

∂W = M ( λ , k ). ∂k

Jeśli tak jest, to z ciągłości funkcji W(λ,k) wynikają zależności: ∂  ∂W  ∂  ∂W   =   ∂λ  ∂k  ∂k  ∂λ  lub ∂M ∂N . = ∂λ ∂k Nietrudno sprawdzić, że nasza teza jest prawdziwa, ponieważ na podstawie wzorów (f) otrzymujemy: ∂M = 2 E2 Jk ∂λ

oraz

∂N = 2 E2 Jk . ∂k

Wobec tego W (λ , k ) =

∫

∂W dλ = ∂k

∫

N ( λ , k )dλ =E1 A

λ2 λ3 + E2 A + E2 Jλk 2 + f1 ( k ) 2 3

i jednocześnie W (λ , k ) =

∫

∂W dk = ∂k

∫

M ( λ , k )dk =E1 A

k2 k2 + 2 E2 Jλ + f 2 ( λ ). 2 3

Porówawszy obie postacie funkcji W(λ,k) stwierdzamy, że f1 ( k ) = E1 Jk 2 / 2 oraz f 2 ( λ ) = E1 Aλ2 / 2 + E2 Aλ3 / 3. Pozwala to określić funkcję W(λ,k):

(h)

W ( λ , k ) = E1 A

λ2 λ3 k2 + E2 A + E2 Jλk + E1 J . 2 3 2

W otoczeniu stanów równowagi funkcja W powinna być dodatnio określona. Warunek W(λ,k) > 0 wyznacza pewien obszar w przestrzeni (λ,k). Jeszcze inny obszar otrzymamy, wymagając, by σ ⋅ ε ≥ 0, co dla uogólnionych naprężeń N i M oraz uogólnionych odkształceń λ i k odpowiada warunkowi:

N ( λ , k ) λ + M ( λ , k ) k ≥ 0. Z nierówności tej wynika, że dla M = 0 znaki wydłużenia i siły normalnej muszą być takie same, a dla N = 0 znaki krzywizny i momentu zginającego muszą być takie same. Można sprawdzić, że najmniejszy obszar odpowiada nierówności (g), gwarantującej stateczne zachowanie się materiału w każdym punkcie przekroju. Przejdziemy obecnie do wyznaczenia zależności λ(N, M) oraz k(N, M) na podstawie równań (f). Zwróćmy uwagę na to, że współczynnik E1 jest początkowym modułem sprężystości, odpowiednikiem modułu Younga w liniowej sprężystości. Stwarza to okazję do wprowadzenia wydłużenia λ1 oraz krzywizny k1, które są zdefiniowane znanymi wzorami teorii liniowej: (i)

λ1 =

N , E1 A

k1 =

M . E1 J

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

7

Wobec tego równania (f) można zapisać w postaci: λ1 = λ + (nλ ) 2 + (nki ) 2 ,  k1 = k (1 + 2n 2 λ ) lub 2  1  1  2 2 λ1 = n 2  λ +  + n (ki ) − 2 , 2    2n 4n  2 2n 1    k1 = i ⋅ (ki ) ⋅  λ + 2  . 2n 

Rozwiązanie tego układu polega na obliczeniu pierwiastków dwóch równań dwukwadratowych: 2  1    k i (nki ) 4 −  λ1 + 2  ⋅ (nki ) 2 +  1  = 0  2   4n    2 4 2   1   1    1    k1i  n n + − + ⋅ ⋅ + + λ λ λ   = 0.  1   2    2   2      2 2 4 2 n n n     

Ostatecznie otrzymujemy:

(j)

  2 1  1    2 k [λ ( N ), k ( M )] ⋅ a = ± a λ λ + + m  1   1  − (k1i ) , 1 2 2  1     in 2 4n 4n   1  k1   λ[λ1( N ), k1( M )] = 2  − 1 =  2n  k     2  1  1  1    2 =  − 1 ± 2n  λ1 + 2  ±  λ1 + 2  − (k1i ) . 2n2  4n 4n    

Rozwiązanie to ma sens tylko wówczas, gdy liczby występujące pod pierwiastkami są nieujemne, tzn. jeśli k1i ≤ λ1 + 1 4n 2 . Z zależności (j) wynikają bezpośrednio wnioski dotyczące czystego rozciągania (M = 0, k1 = 0) oraz czystego zginania (N = 0, λ1 = 0): − M = 0, (k1 = 0) λ=−

1 2n

2

+

1 1 λ1 + 2 ; n 4n

k = 0;

− N = 0, ( λ1 = 0) λ=− k =±

1 2n

2

+

1 1 1 2 ⋅ ± − ( k1i ) ≠ 0, 2 2 2n 4 n 4n

1 1 1 2 m ⋅ − (k 1i ) . 2 2 2ni 4n 4n

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

8

Widzimy zatem, że podczas czystego zginania oś obojętna nie pokrywa się z osią ciężkości przekroju. W przekrojach bisymetrycznych zjawisko to występuje tylko dla materiałów znakoczułych. Łączne działanie siły normalnej i momentu zginającego zilustrujemy przykładem mimośrodowego rozciągania pręta o przekroju prostokątnym siłą N = E1Aλ1 (rys. 18.5).

Rys. 18.5

Przyjmiemy, że wartość siły N jest określona przez wydłużenie λ1 = 0,0002, a mimośród tej siły e = 2a / 3 . Nieliniowość materiału pręta charakteryzuje tutaj współczynnik n = 30. Naprężenia skrajne obliczone jak dla materiału liniowo-sprężystego wyraża wzór: σ0 = Ponieważ dla prostokąta i =

N M N  ea   ea  ± = ⋅  1 ± 2  = E1λ1  1 ± 2  .  A W A  i  i 

J / A = h / 12 = a / 3 , więc  2  σ d0 = E1λ1  1 + ⋅ 3 = 3E1λ1 = 6 ⋅ 10− 4 E1 ,  3 

(

σ g0 = E1λ1(1 − 2) = − E1λ1 = −2 ⋅ 10− 4 E1.

)

Ze wzorów (j) otrzymujemy k1 = M / ( E1 J ) = λ1e / i 2 = 2λ1 / a : 1,5 ka = ⋅ 0,0002 + 3600−1 − 30 λ=

(2 ⋅10

−4

+ 3600

−1

)

2

 2 ⋅ 2 ⋅ 20− 4   −  3  

2

= 3,15 ⋅ 10− 4 ,

1  2 ⋅ 0,0002  − 1 = 1,50 ⋅ 10− 4 .  1800  0,000366 

Odkształcenia skrajnych włókien wynoszą: ε d = ε (a ) = ka + λ = −4,65 ⋅ 10−4 , ε d = ε ( − a ) = − ka + λ = −1,65 ⋅ 10− 4 > ε gr = −

1 2n

2

= −5,56 ⋅ 10− 4 ,

skąd σ d = E1ε d (1 + n 2ε d ) = 6,59 ⋅ 10−4 E1 , σ g = E1ε g (1 + n 2ε g ) = −1,40 ⋅ 10− 4 E1. Położenie osi obojętnej określa wartość z0: z0 = −

λ 1,50 =− ⋅ a = −0,476a. k 3,15

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

9

W materiale liniowo-sprężystym λ z00 = − 1 = −0,500a. k1 Obliczymy jeszcze naprężenia dla każdej z obu sił wewnętrznych działających osobno. Gdy działa tylko siła normalna N = E1Aλ1, otrzymujemy: ( λ ) N = (ε ) N = −1800−1 +

[

1 ⋅ 0,0002 + 3600−1 = 1,73 ⋅ 10− 4 , 30

]

(σ ) N = E1 ⋅ (ε ) N ⋅ 1 + n 2 ⋅ (ε ) N = 2,0 ⋅ 10− 4 E1.

(

)

Gdy działa tylko moment zginający M = E1 Jk1 , ki = 2λ1 / 3 , otrzymujemy:

(ka ) M =

1,5 4 3600−1 − 3600− 2 − ⋅ 0,0002 = 4,535 ⋅ 10− 4 30 3

(λ ) M = −1800−1 +

1 4 3600−1 + 3600− 2 − ⋅ 0,0002 2 = −0,655 ⋅ 10− 4 , 3 30 2

a = 0,144a , ( z0 ) = 04,,655 535

(εd ) M = (4,535 − 0,655) ⋅ 10− 4 = 3,88 ⋅ 10− 4 ,

(ε g ) M = (−4,535 − 0,655) ⋅ 10−4 = −5,19 ⋅ 10−4 > εgr = −5,56 ⋅ 10−4 , (σ d ) M = E1 ⋅ (εd ) M ⋅ [1 + n2 ⋅ (εd ) M ] = 5,23 ⋅ 10− 4 E1,

(σ g ) M = E1 ⋅ ( ε g ) M ⋅ [1 + n2 ⋅ ( ε g ) M ] = −2,77 ⋅ 10− 4 E1. Przeprowadzone wyżej rachunki pokazują, że

(ε ) N + M ≠ (ε ) N + (ε ) M

oraz (σ ) N + M ≠ (σ ) N + (σ ) M ,

co potwierdza fakt, że w problemach nieliniowych zasada superpozycji nie obowiązuje. Wartości naprężeń dla czystego zginania odbiegają dosyć znacznie od wartości obliczonych według teorii liniowej. Wykresy naprężeń przedstawiono na rys. 18.5b, c, d. Na rysunkach 18.5d, e pokazano rozkład naprężeń podczas działania ujemnego momentu zginającego, rozciągającego górne włókna przekroju. Zmiana znaku sił wewnętrznych pociąga za sobą zmianę znaków pierwiastków kwadratowych we wzorach (j). Przyjęcie właściwego znaku wymaga dodatkowej analizy. Warto zwrócić uwagę na to, że kształt wykresów naprężeń normalnych σ(z) odpowiada wykresowi σ(ε) obróconemu o 90°. Podobieństwo tych wykresów zachodzi tylko wówczas, gdy obowiązuje hipoteza Bernoulliego. Stosownie do tej hipotezy z = z0 + ε / k , a funkcja σ ( z ) = σ ( z0 + ε / k ). Wynika stąd, że dla ustalonych wartości λ i k rozkład naprężeń σ(z) jest odpowiednio przeskalowanym wykresem σ(ε). Omówione wyżej zadanie ma charakter czysto akademicki. Niemniej jednak bardzo dobrze ilustruje ono rozległość problematyki pojawiającej się z chwilą odejścia od klasycznego modelu materiału liniowo-sprężystego. Na zakończenie poświęcimy nieco uwagi zginaniu poprzecznemu pręta wykonanego z materiału o charakterystyce potęgowej (por. rys. 18.2d). Przyjąwszy we wzorze (18.4), że C + = C − = Eα , otrzymujemy: (k)

α

σ (ε ) = sgn(ε ) ⋅ Eα ⋅ ε .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

10

Przyjęty materiał nie wykazuje czułości na znak odkształcenia, ponieważ σ(ε) = −σ(−ε). Jeżeli ograniczymy się tylko do przekrojów bisymetrycznych, to podczas zginaniu oś obojętna pokrywa się zawsze z osią ciężkości przekroju. Wówczas (l)

ε(z) = kz

`

oraz α

σ ( z ) = sgn( kz ) ⋅ Eα kz .

(m)

Po uwzględnieniu wzorów (l) i (m) w definicji momentu zginającego otrzymujemy:

∫

M = σz dA = Eα A

∫ kz

α

⋅ z ⋅ sgn( kz )dA = Eα Jα k

α

⋅ sgn k ,

A

gdzie Jα =

(n)

∫z

α +1

dA.

A

Wobec powyższego krzywizna osi pręta: (o)

 M  k = sgn( M )   Eα Jα 

1/ α

.

Wzór (o) jest uogólnieniem znanej zależności wiążącej krzywiznę z momentem zginającym dla materiału liniowo-sprężystego, dal którego α = 1. Rozkład naprężeń σ(z) na wysokości przekroju wynika ze wzorów (l), (m) i (o):

(p)

M α J ⋅z ,  σ ( z) =  α − M ⋅ − z α ,  Jα

0 ≤ z ≤ a, − a ≤ z ≤ 0.

Dla przykładu obliczymy największe ugięcie belki wspornikowej obciążonej na swobodnym końcu pionową siłą P (rys. 18.6).

Rys. 18.6

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

11

W przyjętym układzie współrzędnych x, z krzywizna jest określona zależnością: k=

d 2w

1 d 2 w(ξ ) 1 = ⋅ = 2 ⋅ w''(ξ ), dx 2 l 2 dξ 2 l

gdzie ξ=

x , l

d2

( )'' =

d 2ξ

( ),

a moment zginający M(ξ) = P(1 − ξ).

Po podstawieniu powyższych zależności do wzoru (o) otrzymujemy równanie różniczkowe linii ugięcia:  Pl  ξ ⋅ w ' ' ( ) =   l2  Eα Jα  1

1/ α

1/ α

⋅ (1 − ξ )

lub

w''(ξ ) = Cl (1 − ξ )1/α , gdzie

1/ α

 Pl1+α  C=   Eα Jα 

.

Dwukrotne całkowanie prowadzi do wyniku: w'(ξ ) = − Cl ⋅ w(ξ ) = Cl ⋅

(1 − ξ )1+1/α + D1 , (1 + 1 / α )

(1 − ξ ) 2 +1/α ⋅ D1ξ + D2 . (1 + 1 / α ) ⋅ (2 + 1 / α )

Stałe D1 i D2 obliczymy z warunków brzegowych: − w'(0) = 0 D1 = Cl ⋅

1 , (1 + 1 / α )

− w(0) = 0 D2 = − Cl ⋅

1 . (1 + 1 / α ) ⋅ (2 + 1 / α )

Największe ugięcie występuje dla ξ = 1:

1/ α

α αl  Pl1+α  = ⋅ ∆( P ) = wmax = w(1) = D1 + D2 = Cl  1 + 2α 1 + 2α  Eα Jα 

.

Z budowy wzoru na ugięcie widać, że jeśli P = P1 + P2, to

∆ ( P ) ≠ ∆ ( P1 ) + ∆ ( P2 ).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

12

Wynika stąd, że zasada superpozycji jest niesłuszna, z wyjątkiem przypadku liniowego, gdy α = 1. Odnotujmy jednak, że w odniesieniu do naprężeń normalnych σ zasada ta jest słuszna, gdyż ze wzoru (p) wynika, że:

σ ( P ) = σ ( P1 ) + σ ( P2 ).

Rys. 18.7

Rozkład średnich naprężeń stycznych τ = τ xz otrzymamy z równania równowagi elementu przedstawionego na rys. 18.7: a  ∂σ b( z )τ ⋅ dx =  ⋅ b( z )dz  ⋅ dx.  ∂x  z 

∫

Jeżeli pręt jest pryzmatyczny, to zα ∂σ dM zα = ⋅ =Q , dx Jα Jα ∂x

Po podstawieniu tego rezultatu do równania równowagi otrzymujemy: Q( x ) τ= b( z ) ⋅ Jα

a

∫ b( z ) z

α

⋅ dz.

z

W przekroju prostokątnym b(z) = b = const, Jα = 2baα + 2 / (α + 2), a naprężenia styczne τ określa wzór: a α +1  Q( x ) α + 2   z  Q( x ) α A = bh. ⋅ 1 −   z dz = ⋅ , A α +1   a Jα    z Dla kompletu podamy jeszcze wzór na naprężenia normalne w przekroju prostokątnym:

τ=

∫

σ ( z ) = −σ ( − z ) =

Pl

α

z (α + 2) ⋅ . 2 a 2ab

Wykresy naprężeń σ i τ w belce o przekroju prostokątnym dla α = 1, α = 0,5 oraz α → 0 przedstawia rys. 18.8.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

13

Rys. 18.8

Zauważmy jeszcze, że dla wykładnika potęgowego α → 0 σ max = 2σ 0 max / 3 oraz τ max = 1,5τ 0 max , przy czym σ0max i τ0max oznaczają naprężenia obliczone dla przypadku liniowego (α = 1).

18.2. MATERIAŁ SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNY 18.2.1. Uwagi ogólne W celu zilustrowania charakterystycznych cech procesów sprężysto-plastycznych przyjmiemy najprostszy model materiału sprężysto-idealnie plastycznego bez wzmocnienia (rys. 18.9a).

Rys. 18.9

W modelu takim zakłada się, że granice proporcjonalności (σH), sprężystości (σS) i plastyczności (σP) pokrywają się, a wykresy σ(ε) dla rozciągania i ściskania są identyczne, czyli σ(ε) = −σ(−ε):  E ⋅ ε , σ (ε ) =  σ P ⋅ sgn ε ,

ε ≤ εS ε ≥ εS .

W czasie obciążenia, jeżeli ε ≤ ε S , materiał jest w stanie sprężystym. Przekroczenie odkształcenia εS odpowiada przejściu w stan plastyczny, w którym odkształcenia narastają przy stałej wartości naprężenia σ = σP. Jeżeli odkształcenia nadal rosną, to nie ma żadnej różnicy między materiałem sprężystoAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

14

plastycznym a materiałem nieliniowo-sprężystym. Różnica między nimi uwidacznia się dopiero podczas odciążenia. W materiale nieliniowo-sprężystym krzywa obciążenia OAB (rys. 18.9a) pokrywa się z krzywą odciążenia BAO, a proces ma charakter całkowicie odwracalny. Tymczasem cechą charakterystyczną zjawisk związanych z odkształceniami plastycznymi jest ich nieodwracalność. Odciążenie przebiega wzdłuż linii prostej (odcinek BD) o nachyleniu odpowiadającym początkowemu modułowi sprężystości. Po usunięciu obciążenia pozostają trwałe odkształcenia plastyczne εP. Pole OABD odpowiada energii rozproszonej (tzw. dyssypacji) w procesie odkształceń plastycznych. Proces ponownego obciążenia przebiega wzdłuż linii przerywanej zaznaczonej na rys. 18.9a. Procesowi temu towarzyszą odkształcenia plastyczne wytworzone w czasie pierwszego obciążenia. Przejdziemy do omówienia zachowania się prętów wykonanych z materiału idealnie sprężystoplastycznego. Dla odkształceń liniowych obowiązuje tu nadal hipoteza płaskich przekrojów (ε ( z) = kz + λ ). 18.2.2. Działanie siły normalnej Przypadek działania siły normalnej jest trywialny, gdyż ε = λ, a naprężenia σ są równomiernie rozłożone w obrębie przekroju, czyli N = σA (rys. 18.10). Wobec tego

Rys. 18.10

wykres zależności N(λ) ma taki sam kształt jak wykres σ(ε), (rys. 18.9b). Największa wartość siły normalnej, jaką może przenieść przekrój pręta

N max = N P = σ P ⋅ A . Siła NP odpowiada tzw. nośności granicznej przekroju podczas działania siły normalnej. Osiągnięciu nośności granicznej towarzyszy uplastycznienie wszystkich włókien przekroju. Wydłużenia pręta narastają przy stałej wartości siły normalnej; obserwujemy wówczas tzw. płynięcie plastyczne. Na zakończenie należy stwierdzić, że w procesie osiowego rozciągania (ściskania) występują dwa stany: − sprężysty, gdy λ ≤ λS ,

N ≤ NP,

− plastyczny, gdy λ > λS ,

N = N P.

Zależności powyższe są słuszne tylko podczas obciążenia pręta jeszcze nieodkształconego plastycznie. Ponowne obciążenie − podobnie jak na poziomie punktu (por. p. 18.2.1) − przebiega wzdłuż linii przerywanej zaznaczonej na rys. 18.9b, w obecności trwałych odkształceń plastycznych wytworzonych w trakcie pierwszego obciążenia. 18.2.3. Zginanie Działanie momentu zginającego omówimy na przykładzie pręta o jednej osi symetrii (rys. 18.11a). Osie środkowe oznaczymy przez y, z, przy czym oś z jest osią symetrii przekroju. Proces zginania prześledzimy podczas stopniowego zwiększania momentu M = My . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

15

Rys. 18.11

W obszarze sprężystym, gdy ε < ε S , oś obojętna pokrywa się z osią ciężkości y. Odpowiednie rozkłady odkształceń i naprężeń przedstawia rys. 18.11b. Gdy największe odkształcenie, występujące w skrajnych dolnych włóknach (zd > zg), osiągnie wartość εS, wówczas naprężenie normalne w tych włóknach σ = σP. (rys. 18.11c). Odpowiada temu moment zginający M = MS:

MS = σ P ⋅ W (S ) , (S)

(18.7) (S)

gdzie W oznacza „sprężysty” wskaźnik wytrzymałości dla dolnych włókien przekroju, W = Jy/zd. Powiększanie momentu zginającego powoduje wzrost odkształceń i jednostronne uplastycznienie dolnych włókien przekroju (rys. 18.11d). Z definicji sił wewnętrznych dla czystego zginania:

∫

∫

N = σ dA = 0,

M y = σ ⋅ z dA = M ,

A

A

wynika, że w przekroju o jednej osi symetrii oś obojętna nie pokrywa się już z osią ciężkości (λ ≠ 0). Dalszemu wzrostowi momentu towarzyszy dalszy wzrost odkształceń i zmiana położenia osi obojętnej. Z chwilą, gdy w skrajnych górnych włóknach przekroju odkształcenie osiągnie wartość − ε S ( tzn. ε ( − z g ) = −ε S ) , rozpoczyna się dwustronne uplastycznienie przekroju (rys. 18.11e). Stan sprężysty występuje wówczas tylko w strefie wewnętrznej przekroju, sąsiadującej z osią obojętną. Gdy odkształcenia są duże, strefa sprężysta (tzw. jądro sprężyste) obejmuje niewielką część przekroju (rys. 18.11f). Można wówczas przyjąć, że uplastyczniony jest cały przekrój. W strefie ściskanej występują stałe naprężenia o wartości −σP, a w strefie rozciąganej naprężenia o wartości +σP (por. rys. 18.12). Położenie osi obojętnej ustalamy z warunku, że N = 0:

∫

N = σ dA = A

∫ σ P dA − ∫ σ P dA = 0.

A+

A−

Widzimy zatem, że pole strefy ściskanej A− jest równe polu strefy rozciąganej A+ = A/2 = A−. Wynika stąd, że w chwili osiągnięcia nośności granicznej na zginanie oś obojętna dzieli przekrój na połowy. Nośność ta jest największą wartością momentu zginającego, jaka może przenieść przekrój pręta:

∫

M max = M P = σ ( z ) z dA, A

gdzie Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

16

z0 ≤ z ≤ zd , σ P , σ ( z) =  − σ P , − z g ≤ z ≤ z0 , przy czym z0 oznacza tutaj odległość osi obojętnej od osi ciężkości (por. rys. 18.11g). Wobec tego MP = σP

∫ (z − z0 )dA − σ P ∫ (z − z0 )dA = σ P [ Sn ( A

A+

+

]

) − Sn ( A − ) .

A−

Wielkości Sn ( A + ) i Sn ( A − ) przedstawiają momenty statyczne pól A + i A− względem osi obojętnej n, dzielącej na pół całkowite pole przekroju A = A+ + A− (rys. 18.12).

Rys. 18.12

Nietrudno pokazać, że Sn ( A + ) − Sn ( A − ) = 2 S y ( A + ), gdzie 2Sy(A+) oznacza moment statyczny połowy przekroju względem osi ciężkości y. Stwierdzenie to uzasadnimy rachunkiem: S n ( A + ) − Sn ( A − ) =

∫ ( z − z0 )dA − ∫ ( z − z0 )dA =

A+

=

A−

∫ z dA − z0 ⋅ ∫ dA − ∫ z dA +z0 ⋅ ∫ dA = ∫ z dA − ∫ z dA =

A+

A+

A−

A−

A+

A−

   = z dA − z dA − z dA = 2 z dA = 2 S y ( A + ).   A  A+ A+ A+

∫

∫

∫

∫

W podsumowaniu stwierdzamy, że nośność graniczną przekroju podczas zginania określa wzór:

M P = σ P ⋅ W ( P) ,

(18.8)

W ( P ) = Sn ( A + ) − Sn ( A − ) = 2 S y ( A + ).

(18.9)

gdzie (P)

Przez analogię do wzoru (18.7) W (P) (S) przy czym W ≥ W .

nazywamy plastycznym wskaźnikiem wytrzymałości przekroju,

Z chwilą osiągnięcia granicznego momentu plastycznego MP obserwujemy narastanie kąta obrotu przekroju przy stałej wartości momentu zginającego (M = MP). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

17

Na podstawie rys. 18.11 stwierdzamy, że w procesie zginania przekroju pręta można wyróżnić trzy stany: − sprężysty, gdy M < MS (rys. 18.11b, c), − sprężysto-plastyczny (jedno- i dwustronne uplastycznienie, rys. 18.11d, e), gdy

MS < M < M P ,

− graniczny, gdy M = MP (rys. 18.11f , rys. 18.12). Uzyskane dotychczas rezultaty zastosujemy do badania obciążenia i odciążenia pręta zginanego o przekroju prostokątnym (rys. 18.13).

Rys. 18.13

W przekrojach bisymetrycznych, a więc i w przekroju prostokątnym, uplastycznienie obu skrajnych włókien następuje równocześnie, gdyż σ(ε) = −σ(−ε), a oś obojętna w procesie zginania pokrywa się zawsze z osią ciężkości. Granicę między stanem sprężystym a sprężysto-plastycznym wyznacza moment MS : MS = σ P ⋅W (S ) =

2 b( 2 a ) 2 ⋅ σ P = ba 2 ⋅ σ P , 6 3

któremu odpowiada krzywizna

κS =

(a)

MS σP . = EJ Ea

Graniczny moment plastyczny

M P = σ P ⋅ W ( P) , gdzie 1 W ( P ) = 2 S y ( A + ) = 2ab a = ba 2 = 1,5 ⋅ W ( S ) , 2 skąd

M P = ba 2 ⋅ σ P = 1,5 ⋅ M S .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

18

Momentowi temu towarzyszy nieskończenie duża krzywizna. Przyjmijmy, że na przekrój działa moment zginający M, odpowiadający stanowi sprężysto-plastycznemu (MS < M < MP). Wyznaczymy teraz zależność między momentem M a krzywizną k. Z rysunku 18.13c widzimy, że 1 1 1  1    M = bσ P  2a ⋅ a − 2 ⋅ zS ⋅ zS  = bσ P  a 2 − zS2  ,    2 2 3 3  gdzie zS - określa zasięg jądra sprężystego. Wykorzystując wzory na MS i MP, zależność powyższą można zapisać jeszcze inaczej:

(b)

2   1 z 2 1z   M = M P ⋅ 1 −  S   = M S ⋅ 1,5 −  S  . 2 a     3  a   

Z prawa płaskich przekrojów wynika zależność: k ⋅ zS = ε S =

σP , E

skąd po wykorzystaniu równania (a): (c)

zS =

σ P kS ⋅ a = . k Ek

Z zależności (b) i (c) otrzymujemy poszukiwany związek między momentem a krzywizną w obszarze sprężysto-plastycznym:

(d)

kEJ , k ≤ kS ,   1 k 2 M = S  M P ⋅ 1 − 3  k   sgn(k ), k ≥ k S .    

Obrazem zależności (d) jest rys. 18.14. Na rysunku tym linia OAB odpowiada obciążeniu, a prosta BD − odciążeniu. Odcinek CD przedstawia krzywiznę resztkową (trwałą) k ( r ) , pozostającą po usunięciu momentu zginającego. Bardzo istotne jest jednak to, że po odciążeniu w przekroju pozostają również samorównoważące się naprężenia resztkowe (residualne) σ ( r ) . Naprężenia te pozostają zatem w równowadze z zerowym obciążeniem. Wyznaczenie naprężeń resztkowych w tym przypadku nie jest trudne. Odciążenie, jak wiemy, ma charakter czysto sprężysty. Po obciążeniu momentem M wykres naprężeń jest taki jak na rys. 18.13c. Odciążenie odpowiada dodaniu liniowego wykresu naprężeń spowodowanego działaniem momentu przeciwnego znaku, −M (rys. 18.13d). W efekcie pozostają naprężenia resztkowe przedstawione na rys. 18.13e. Podczas ponownego obciążenia przekroju oprócz odkształceń trwałych trzeba jeszcze uwzględnić naprężenia residualne. Aktualny stan naprężenia zależy zatem od historii obciążenia. Naszkicowane tutaj zjawiska występujące w stanie sprężysto-plastycznym przy obciążeniach zmiennych są przedmiotem badań tzw. teorii przystosowania konstrukcji. Istotę tych problemów omówimy w p. 18.5.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

19

Rys. 18.14

Rozważymy teraz zginanie poprzeczne belek sprężysto-plastycznych. Założymy przy tym, że wpływ sił poprzecznych (naprężeń stycznych) na uplastycznienie przekroju jest pomijalnie mały. Przeanalizujemy belkę wspornikową o przekroju prostokątnym, obciążoną pionową siłą skupioną P usytuowaną na końcu swobodnym (rys. 18.15a). Maksymalny moment zginający wynosi:

M max = P ⋅ l = η( P ) ⋅ M P , przy czym dla zakresu sprężysto-plastycznego musi być spełniona nierówność: 2 < η ( P ) < 1, 3

gdzie η( P) = P ⋅ l / M P .

Równanie momentu zginającego można zapisać następująco: M ( x ) = P ⋅ x = η( P) ⋅ M P

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

x . l

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

20

Rys. 18.15

Gdy η < 2 / 3 , w każdym punkcie belki występuje jeszcze stan sprężysty i M max < M S , natomiast w stanie granicznym, gdy η = 1, M max = M P . Dla pośrednich wartości η uplastycznienie skrajnych włókien zachodzi w przekroju x = xS. Wartość xS wyznaczymy z warunku, że M ( xS ) = M S = 2 M P / 3: 2 x M ( xS ) = P ⋅ xS = η ⋅ M P ⋅ S = M P , 3 l skąd xS =

2 l 2 MP ⋅ = . 3 η 3 P

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

21

W przekrojach odpowiadających odciętej x > xS na podstawie równania (b) otrzymujemy:  1  z 2 x = M P 1 −  S  , 3 a   l  

M ( x) = η ⋅ M P zatem x=

2 l  1  zS   ⋅ 1 −   . η  3 a    

Zależność ta jest równaniem tzw. frontu plastycznego, czyli granicy między strefą plastyczną a jądrem sprężystym. Równanie to przedstawia parabolę drugiego stopnia (rys. 18.15c), której wierzchołek leży poza belką w odległości l / η od swobodnego końca belki. W miarę powiększania siły P rośnie również współczynnik η. Gdy η → 1, tzn. (1 / η ) → 1 , to w przekroju utwierdzenia osiągamy nośność graniczną. Krzywizna w tym przekroju dąży do nieskończoności i rozpoczyna się jednostajny ruch obrotowy całej belki wokół osi obojętnej w przekroju utwierdzenia; belka przekształca się w mechanizm (rys. 18.15d). Obciążenie graniczne towarzyszące osiągnięciu pełnego uplastycznienia przekroju P = PL = MP/l. Jest to największe obciążenie P, jakie może przenieść belka. Obliczymy jeszcze ugięcie belki w stanie sprężysto-plastycznym ((2 / 3) < η < 1). Do tego celu służy wzór (d). Dla małych wartości ugięć w(x) otrzymujemy: 3 x  M ( x) η ⋅ M P  EJ = EJl ⋅ x = 2 ⋅ k S η l , d w  k ( x) = 2 =  1 MP dx k S , = kS 3[ M P − M ( x )] 3[1 − η ⋅ ( x / l )]  2

x ≤ xS , xS ≤ x ≤ l ,

przy czym MS 2 M P . = EJ 3 EJ

kS =

Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego jest następujące: w ( x ), w( x ) =  1 w2 ( x ), gdzie

0 ≤ x ≤ xS xS ≤ x ≤ l ,

1 η w1 ( x ) = − k S x 3 + C1x + D1 , l 4 w2 ( x ) =

2

l  x k S   1 − η ⋅   l  η 3 3 4

3/ 2

+ C2 x + D2 .

Stałe C2 i D2 wyznacza się z warunków brzegowych: w2 (l ) = 0; w2 '(l ) = 0, a stałe C1 i D1 − z warunków ciągłości: w1 ( xS ) = w2 ( xS ); w1 '( xS ) = w2 '( xS ). Kształt linii ugięcia obrazuje rys. 18.15c. Interesujący jest wykres zależności między maksymalnym ugięciem belki ∆ = w(0) a siłą P. Zależność tę ustalimy za pomocą równania pracy wirtualnej, przyjąwszy, że statycznie dopuszczalne pole sił wirtualnych odpowiada obciążeniu swobodnemu końca belki siłą skupioną P = 1 (rys. 18.15e, f): l

1⋅∆ =

∫ M ( x) ⋅ k ( x)dx, o

gdzie M ( x ) = 1 ⋅ x. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

22

Uwzględniwszy wzór na krzywiznę rzeczywistą k(x) otrzymujemy: xS

∆=

∫ 0

x 3 x k Sη dx + l 2

l

1

2

−  l   4  16 2(2 + η) k  η   1 − η  , x S 1 − x 2 dx = k S    +  −  l   η   27  27 3 3 3 xS

∫

przy czym mnożnik 4/27 oznacza udział ugięcia sprężystej części belki

(0 ≤ x ≤ xS ), a

wartość w

nawiasie okrągłym − ugięcia części sprężysto-plastycznej ( xS ≤ x ≤ 1). Zależność ∆(P) można ostatecznie zapisać, jak następuje:  Pl 3 ,   3EJ ∆( P ) =  3  Pl ⋅ 1  20 − 2(2 + η ) 1 − η ,   EJ η 2  27 3 3  

Pl ≤ M S = σ P ⋅ WS M S ≤ Pl ≤ M P ,

gdzie Pl . MP Wykres funkcji ∆(P) wraz z linią odciążenia podano na rys. 18.16. Na rysunku zauważamy, że osiągnięcie nośności granicznej wiąże się z dosyć znacznymi ugięciami. Okoliczność ta sprawia, że podczas projektowania na nośność graniczną sprawdzenie sztywności konstrukcji jest szczególnie ważne. η = η( P ) =

Rys. 18.16

Gdy usuniemy obciążenie w zakresie sprężysto-plastycznym, nie osiągając nośności granicznej ((2 / 3) < η < 1), belka wykaże trwałe ugięcie resztkowe ∆(r ) , a w przekrojach obszaru sprężystoplastycznego (xS < x ≤ 1) pozostaną również naprężenia resztkowe σ ( r ) . Jeżeli badany układ jest statycznie wyznaczalny, to naprężenia te są samorównoważące się. Inaczej jest na ogół w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych, w których po odciążeniu pozostają resztkowe siły wewnętrzne będące w równowadze z zerowym obciążeniem zewnętrznym. Ilustracją tego może być wykres momentów resztkowych przedstawiony na rys. 18.38f. Powracając do problemu frontu plastycznego, warto odnotować, że moduł sprężystości E ma tylko wpływ na wartość ugięcia, natomiast nie ma wpływu na przebieg frontu plastycznego. Postać równania frontu plastycznego zależy w istotny sposób od schematu statycznego belki oraz charakteru obciążenia. W przypadku belki swobodnie podpartej o przekroju prostokątnym i obciążonej równomiernie równanie frontu plastycznego jest hiperbolą. Asymptoty hiperboli odpowiadają osiągnięciu nośności granicznej. Szczegóły tego przypadku podano na rys. 18.17. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

23

Rys. 18.17

18.2.4. Zginanie ze ścinaniem W omawianym przypadku na płaszczyźnie przekroju pręta oprócz naprężeń normalnych σx występują naprężenia styczne τxz. Rozgraniczenie stanów sprężystego i plastycznego zależy zatem od przyjętego warunku plastyczności. W płaskim stanie naprężenia, gdy σ x = σ ≠ 0, σ y = 0 oraz τ xz = τ ≠ 0, stosownie do warunku Treski-Guesta (TG) stany sprężyste określa nierówność:

σ red = σ 2 + 4τ 2 < σ P ,

(18.10)

a dla warunku Hubera-Misesa-Hencky'ego (HMH):

σ red = σ 2 + 3τ 2 < σ P .

(18.11)

Jeżeli charakterystykę σ(ε) z rys. 18.9 uogólnimy w ten sposób, że σ oznacza naprężenie zredukowane, a ε − odkształcenie zredukowane, to dla czystego ścinania obowiązuje związek fizyczny: Gγ , τ (γ ) =  τ P ⋅ sgn(γ ),

γ ≤γS γ ≥γS,

(18.12)

gdzie G jest modułem Kirchhoffa, γ − całkowitym kątem odkształcenia postaciowego, a τ γS = P , G przy czym stosownie do wzorów (18.10) i (18.11): 1  2 σ P τP =   1 σP  3 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

− dla warunku TG , (18.13) − dla warunku HMH .

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

24

Sile poprzecznej − jak wiadomo − towarzyszy zawsze zmiana momentu zginającego. Dlatego udział siły poprzecznej w procesie uplastycznienia przekroju rozważa się zazwyczaj łącznie z działaniem momentu zginającego. Przypadek ten jest niewątpliwie najtrudniejszy, i to głównie z tego powodu, że ścisłe określenie naprężeń w danym przekroju wymaga analizy naprężeń w całym pręcie, gdyż stan naprężenia na długości pręta nie jest jednorodny. Trzeba jeszcze dodać, że trudność samą w sobie stanowi wyznaczenie naprężeń sprężysto-plastycznych przy czystym ścinaniu, wywołanym przez wyłączne działanie siły poprzecznej Q. Dalsze komplikacje wynikają z faktu, że nie obowiązuje już założenie płaskich przekrojów. Wszystkie wyżej wymienione okoliczności sprawiają że nawet dla przekroju prostokątnego dysponujemy tylko rozwiązaniami przybliżonymi. Na wstępie omówimy obciążenia powodujące pierwsze uplastycznienie przekroju prostokątnego. Załóżmy, że obowiązuje warunek plastyczności HMH (18.11). Naprężenia normalne przy zginaniu poprzecznym σ i styczne τ dla stanu czysto sprężystego określają wzory:

σ=

M z, J

τ=

2 3Q   z   1 −   . 2A   a   

Wobec tego stan sprężysty zachodzi wówczas, gdy 2

2 2 2 M   3Q    z   σ red =  z + 3  1 −    < σ P .  J   2 A   a    

Rys. 18.18

Szczegółowa analiza tej nierówności prowadzi do wniosku, że występują dwa istotne przypadki podane na rys. 18.18d, e. Dla bardzo dużych sił poprzecznych i niewielkich momentów zginających pierwsze uplastycznienie zachodzi we włóknach wewnętrznych leżących na osi obojętnej (rys. 18.18d). Gdy na całej długości pręta M < 1,5 Qa oraz Q = const, pierwsze uplastycznienie warstw wewnętrznych powoduje wzajemny poślizg na granicy tych warstw i jednoczesne osiągnięcie nośności granicznej. Warunki takie występują niezmiernie rzadko, i to w belkach bardzo krótkich i bardzo obciążonych.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

25

Rys. 18.19

Omówiony przypadek dowodzi słuszności stwierdzenia, że procesy zginania sprężysto-plastycznego z uwzględnieniem wpływu sił poprzecznych mają charakter globalny, zależą bowiem od stanu naprężenia w całej belce. Drugi przypadek − znacznie częściej występujący w praktyce − odpowiada sytuacji podanej na rys. 18.19, w której moment zginający jest dostatecznie duży. Pierwsze uplastycznienie występuje wówczas w skrajnych zewnętrznych włóknach pręta. Dalsze powiększanie obciążenia powoduje uplastycznienie włókien leżących bliżej osi przekroju. Umowny stan nośności granicznej osiągamy wtedy, gdy naprężenia styczne na osi pręta osiągną wartość τP (rys. 18.19d). Umowność tego stanu polega znowu na tym, że wyczerpania nośności nie można rozpatrywać tylko na poziomie przekroju, gdyż zależy on również od stanu panującego w innych przekrojach belki. Potwierdzeniem tego są badania teoretyczne i doświadczalne [19], które wykazały np., że osiągnięciu nośności granicznej szerokiej belki wspornikowej obciążonej siłą skupioną towarzyszy poślizg na krzywoliniowej krawędzi sprężystego jądra w okolicy utwierdzenia (rys. 18.19f). Naprężenia normalne σ i styczne τ przedstawione na rys. 18.19c, d spełniają warunki statycznej dopuszczalności, czyli spełniają równania różniczkowe równowagi oraz nie naruszają warunku plastyczności ( σ red ≤ σ P ). Charakterystyczne jest to, że naprężenia styczne są przejmowane tylko przez wewnętrzną, nie uplastycznioną część przekroju, a ich rozkład opisuje znany wzór: τ=

QS ' , b( z ) J '

gdzie S ' oraz J ' oznaczają odpowiednio moment statyczny i moment bezwładności sprężystej części przekroju. W celu ujednolicenia sposobu podejścia przyjmuje się czasami, że rozkład naprężeń normalnych i stycznych w chwili osiągnięcia nośności granicznej odpowiada rys. 18.19e. Rozkład naprężeń stycznych wykazuje jednak nieciągłość, która jest statycznie niedopuszczalna. 18.2.5. Skręcanie W stanie sprężystym problem skręcania swobodnego opisuje równanie różniczkowe cząstkowe funkcji naprężeń F(y,z) (por. p. 12): ∂ 2F

∂2F + = −2GΘ , ∂y 2 ∂z 2

(18.14)

przy czym na konturze przekroju pręta funkcja naprężeń musi spełniać warunek brzegowy: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

Fc ( y , z) = 0.

26

(18.15)

Warunek (18.15) wynika z wymagania, by pobocznica pręta była wolna od naprężeń. Naprężenia styczne τ xy i τ xz są powiązane z funkcją naprężeń następującymi zależnościami: τ xy =

∂F , ∂z

τ xz = −

∂F . ∂y

(18.16)

Zależności te gwarantują spełnienie różniczkowych równań równowagi wewnętrznej. Wartość wypadkowego naprężenia stycznego ( τ x = τ xy + τ xz ) wynosi zatem: τx = τx =

2 τ xy

2 + τ xz

2

2

 ∂F   ∂F  =   +   = grad F .  ∂z   ∂y 

(18.17)

Naprężenie τx w danym punkcie (y, z) jest więc równe tangensowi największego kąta nachylenia stycznej do powierzchni F(y, z). Wartość momentu skręcającego, obliczona z równań statyki, odpowiada podwójnej objętości bryły ograniczonej powierzchnią F(y, z) i płaszczyzną F = 0:

∫

M = 2 F ( y , z ) dA.

(18.18)

A

W obszarze odkształceń plastycznych oraz na granicy obszarów sprężystego i plastycznego wypadkowe naprężenie styczne równa się granicy plastyczności przy czystym ścinaniu ( τ x = τ P ). Posługując się nadal koncepcją funkcji naprężeń warunek ten, stosownie do zależności (18.17), prowadzi do nieliniowego równania różniczkowego: 2

2

 ∂F   ∂F  2   +   = τ P.  ∂z   ∂y 

(18.19)

W obszarze plastycznym słuszne są zatem wszystkie podane wyżej zależności, obowiązujące również w obszarze sprężystym, z tą tylko różnicą, że miejsce równania (18.14) zajmuje równanie (18.19). Równanie (18.19) można zapisać w postaci: grad F = τ P = const.

(18.19a)

Oznacza to, że w obszarze plastycznym kąt nachylenia stycznej do powierzchni funkcji naprężeń F(y, z) w każdym punkcie tego obszaru jest stały. Równanie (18.19a) wykazuje analogię do równania opisującego wzgórze usypane z idealnie sypkiego piasku: grad f = tgµ = const, (18.20) przy czym f = f(y, z) oznacza rzędne wzgórza piasku, a µ jest kątem stoku naturalnego. Gdy przekrój pręta jest w pełni uplastyczniony, rzędne funkcji naprężeń F(y, z) odpowiadają rzędnym wzgórza usypanego z piasku na figurze płaskiej o kształcie badanego przekroju. Analogię wzgórza piaskowego zauważył Nadai w 1923 roku. Analogię tę − podobnie jak analogię błonową w stanach sprężystych − wykorzystuje się w badaniach doświadczalnych mających na celu ustalenie nośności granicznej przekrojów o skomplikowanych kształtach. W stanach sprężysto-plastycznych obowiązuje tzw. analogia dachu. Jest to połączenie analogii błonowej z analogią wzgórza piaskowego. Analogię dachu wyobrażamy sobie następująco. Nad konturem rozpinamy przezroczysty „dach” o kształcie wynikającym z analogii wzgórza piaskowego. Na tym samym konturze wewnątrz dachu rozpinamy błonę i poddajemy ją wewnętrznemu ciśnieniu. Początkowo błona nie będzie stykała się z dachem, co odpowiada skręcaniu sprężystemu. Wzrost ciśnienia spowoduje, że w pewnych obszarach (tj. obszarach plastycznych) błona będzie przylegała do dachu. Przyleganie błony na całej powierzchni dachu odpowiada pełnemu uplastycznieniu pręta, czyli osiągnięciu nośności granicznej na skręcanie. Geometryczny sens opisanych analogii dla skręcania pręta o przekroju kołowym ilustruje rys. 18.20. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

27

Stan sprężysty obserwujemy, gdy w skrajnych włóknach zewnętrznych naprężenie τx nie przekracza wartości τP, tzn. gdy M ≤ MS = τ P ⋅ WS( s) , przy czym WS( s) = Jb / R = πR 3 / 2 i oznacza tu tzw. sprężysty wskaźnik wytrzymałości na skręcanie. Graniczna wartość momentu plastycznego odpowiada podwójnej objętości wzgórza piaskowego, które dla przekroju kołowego ma kształt stożka o nachyleniu tworzących wynoszącym τP: MP =

2 2 2 4 πR ⋅ h = πR 2 ( Rτ P ) = τ P ⋅ WP( s) = MS , 3 3 3

gdzie WP( s) = 2πR 3 / 3 = 4WS( s) / 3 i oznacza tzw. plastyczny wskaźnik wytrzymałości na skręcanie.

Rys. 18.20 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

28

W stanie sprężysto-plastycznym wykres naprężeń stycznych jest linią łamaną (por. rys. 18.20b). Po odciążeniu pręta powstają naprężenia resztkowe o przebiegu przedstawionym na rys. 18.21.

Rys. 18.21 Omówiony wyżej sposób postępowania można wykorzystać także do dla innych kształtów przekroju. Rysunek 18.22 ilustruje skręcanie pręta o przekroju trójkątnym. Zakres stref plastycznych przedstawia rys. 18.22a. W chwili osiągnięcia nośności granicznej wzgórze piaskowe ma kształt ostrosłupa o podstawie trójkątnej (rys. 18.22b). Charakterystyczne są tutaj linie nieciągłości naprężeń stycznych, wzdłuż których naprężenia wypadkowe τx gwałtownie zmieniają kierunek (rys. 18.22c).

Rys.18.22 Kształty funkcji naprężeń F(y, z) w chwili osiągnięcia nośności granicznej dla przekrojów prostokątnego i kwadratowego ilustruje rys. 18.23.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

29

Rys. 18.23

18.3. PODSTAWY TEORII KONSTRUKCJI PLASTYCZNYCH. NOŚNOŚĆ GRANICZNA KONSTRUKCJI 18.3.1. Podstawy teorii plastyczności Charakterystykę materiału sztywno-idealnie plastycznego w przypadku jednoosiowym przedstawia rysunek 18.24a.

Rys. 18.24

Materiał ten nie wykazuje wzmocnienia, a jedyną przyczyną deformacji są odkształcenia plastyczne. Modelowi sztywno-plastycznemu poświęcono wiele uwagi i uzyskano bardzo użyteczne rezultaty, wykorzystywane głównie w ocenie nośności granicznej elementów i układów konstrukcyjnych. Jednakże, posługując się tym modelem, warto pamiętać o tym, że nieomal każdy materiał wykazuje w rzeczywistości pewne cechy sprężyste. Koncepcja materiału idealnie plastycznego niesie ze sobą nie tylko pewne uproszczenia, ale również pewne subtelności pojęciowe. Problematyka materiałów i konstrukcji plastycznych jest obszernie omówiona w kilku polskich monografiach (por. [40], [41], [45], [56]). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

30

Na wstępie przedstawimy pewne ogólne informacje dotyczące teorii ciał idealnie plastycznych. Do opisu zachowania się materiału plastycznego wprowadza się naprężenia σij, prędkości (przyrosty) przemieszczeń u&i oraz prędkości odkształceń plastycznych ε&ijP , występujące podczas płynięcia plastycznego. Budowa ogólnej teorii ciał idealnie plastycznych opiera się na definicji płynięcia plastycznego jako procesu, w którym naprężenia nie zależą od skali czasu. Oznacza to np., że w czasie prób jednoosiowego rozciągania przeprowadzanych z różnymi prędkościami odkształceń naprężenia są takie same i równają się granicy plastyczności. W języku matematyki niezależność naprężeń od skali czasu odpowiada przyjęciu, że naprężenia są jednorodną funkcją stopnia zero względem prędkości odkształceń plastycznych. Z teorii funkcji jednorodnych wynika przede wszystkim istnienie warunku plastyczności jako pewnej funkcji skalarnej wiążącej naprężenia, F( s) = 0. Oznacza to, że pojawienie się deformacji plastycznych jest uwarunkowane spełnieniem równania F( s) = 0. Jeżeli ponadto zaakceptujemy założenie, że ∂ σ ij

(a)

∂

ε&klP

=

∂ σ kl , ∂ ε&ijP

które wydaje się oczywiste przynajmniej dla materiałów izotropowych, to można wykazać, że prędkości odkształceń plastycznych wyraża tzw. stowarzyszone prawo płynięcia: ε&ijP = λ&

(b)

∂F , ∂ σ ij

gdzie λ& jest pewnym mnożnikiem skalarnym. Zależność (b) wskazuje, że wektor prędkości odkształceń jest prostopadły do powierzchni opisanej przez warunek plastyczności. „Stowarzyszenie” polega na tym, & odgrywa tutaj funkcja F( s) . Równanie (b) że rolę potencjału dla prędkości odkształceń plastycznych e wiąże naprężenia z prędkościami odkształceń, ma zatem sens równania fizycznego dla ciał plastycznych. Podstawową własnością procesów plastycznego płynięcia jest dyssypacja energii odkształceń plastycznych. Zakłada się więc, że rozpraszana moc na jednostkę objętości d& musi być nieujemna: d& = σ ij ε&ijP ≥ 0 .

(c)

P Jeżeli ponadto materiał idealnie plastyczny jest nieściśliwy (tzn. ε&kk = 0 ), a pomiędzy naprężeniami i odkształceniami występuje związek tensorowo-liniowy, to na podstawie nierówności (c) można łatwo wykazać, że mnożnik skalarny λ& ≥ 0 . Z nieujemności dyssypacji oraz prawa płynięcia wnioskujemy ponadto, że obszar ograniczony warunkiem plastyczności musi być gwiaździsty, tzn. promień-wektor wyprowadzony z początku układu w przestrzeni naprężeń może tylko jeden raz przecinać powierzchnię plastyczności. Dalsze ograniczenie na warunek plastyczności wynika z tzw. postulatu Druckera (1950 rok). Postulat ten głosi, że przyrost pracy wykonanej w cyklu naprężeniowym na nieskończenie małym przyroście odkształcenia jest nieujemny. Sens postulatu Druckera dla jednoosiowego przypadku obciążenia i odciążenia materiału sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem liniowym objaśnimy na wykresie σ−ε (por. rys. 18.24b, [15]). Naprężenie σ odpowiada punktowi powierzchni plastyczności, tzn. F(σ) = 0, a naprężenie σ ′ odpowiada dowolnemu stanowi dopuszczalnemu leżącemu wewnątrz lub na powierzchni plastyczności, tzn. F(σ') ≤ 0. Symbolem dσ oznaczono infinitezymalny przyrost naprężenia, a symbolami Ε

P

dε oraz dε oznaczono odpowiednio przyrosty odkształceń sprężystych i plastycznych wywołane przez przyrost naprężenia dσ. Z rys. 18.24b wynika jasno, że pole prostokąta BCEF jest nie większe niż pole prostokąta ABCD. Nierówność tę można zapisać w następujący sposób (por. [15]):

(σ − σ ′ + dσ )(dε E + dε P ) − (σ − σ ′ + dσ )dε E ≥ 0 lub po redukcji wyrazów podobnych (d)

(σ − σ ′ )dε P + dσ dε P ≥ 0 .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

31

Iloczyn dσ dε P w powyższym wzorze jako mała wartość wyższego rzędu może być pominięta. Wnioskujemy stąd, że (e)

(σ − σ ′)dε P ≥ 0

lub (f)

σ dε P ≥ σ ′ dε P .

Nierówność (e) jest esencją postulatu Druckera. Obowiązuje ona zarówno dla materiałów idealnie plastycznych, jak i materiałów ze wzmocnieniem plastycznym. W przypadku idealnej plastyczności, zgodnie ze wzorem (c) przyrost dyssypacji energii odkształceń plastycznych odpowiada iloczynowi σ dε P . W tym przypadku nierówność (f) wyraża sens hipotezy maksymalnej pracy (mocy) plastycznej, podanej w 1950 roku przez Hilla: spośród wszystkich dopuszczalnych stanów naprężenia rzeczywisty stan naprężenia σ daje największy przyrost dyssypacji. Jeżeli σ = σ ′, to nierówność (d) przybiera postać: (g)

dσ dε P ≥ 0 .

Zależność (g) definiuje stateczność materiału: wzrostowi naprężenia towarzyszy zawsze wzrost odkształceń plastycznych. Znak równości występuje jedynie w przypadku idealnej plastyczności, kiedy przyrostowi odkształceń plastycznych nie towarzyszy przyrost naprężeń. Uzyskane wyżej wyniki można uogólnić na trójosiowe stany naprężeń i odkształceń. Zastąpienie naprężeń σ przez σij, odkształceń ε P przez εijP oraz nieskończenie małych przyrostów przez ich prędkości, tzn.: dσ ij = σ& ij dt i dεijP = ε&ijP dt , pozwala zapisać nierówności (e) i (f) w następujący sposób: (h)

(σ ij − σ ij ')ε&ijP ≥ 0 ,

(i)

σ&ij ε&ijP ≥ 0 . Jeżeli wykorzystamy prawo płynięcia (b), to nierówność (h) można zapisać następująco:

(j)

(σ ij − σij ') ⋅ ∂∂σFij ≥ 0 ,

co dowodzi, że obszar ograniczony warunkiem plastyczności przy akceptacji postulatu Druckera jest wypukły. Wypukłość warunku plastyczności przy danych prędkościach odkształceń plastycznych po spełnieniu stowarzyszonego prawa płynięcia gwarantuje jednoznaczność stanu naprężenia oraz zapewnia stateczność materiału. 18.3.2. Podstawowe zależności teorii plastycznych konstrukcji prętowych W obliczeniach konstrukcji złożonych z elementów prętowych i powierzchniowych (płyty, powłoki) posługujemy się wielkościami uogólnionymi. Rolę uogólnionych naprężeń Yi odgrywają zazwyczaj siły wewnętrzne (siły normalne i poprzeczne oraz momenty zginające i skręcające), a uogólnionymi prędkościami odkształceń e&i są prędkości odpowiednich wielkości kinematycznych (prędkość wydłużeń, kątów ścinania, krzywizn i jednostkowych kątów skręcania). Zależności podstawowe w przypadku elementów konstrukcyjnych otrzymuje się przez całkowanie odpowiednich zależności przytoczonych w p. 18.3.1, obowiązujących na poziomie punktu. Przyporządkowanie wielkości uogólnionych Y = {Yi }

oraz e& = {e&i } wynika z zasady równoważności mocy dyssypowanej:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

∫

D& = σ rsε&rsdA =

∑ Yj e& j ,

32

(18.21)

j

A

odniesionej do jednostki długości pręta lub jednostki powierzchni płyty bądź powłoki. W płaskich ukła& = { N , Q, M , M } oraz e& = λ& , β& , k& ,θ& , jednostkowa moc dyssypowana wynosi: dach prętowych, gdzie Y

{

∫

D& = σ rsε&rsdA = A

}

∑ Yj e& j = Nλ& + Qβ& + Mk& + Mθ& .

(18.21a)

j

Wymaganie nieujemności mocy dyssypowanej odpowiada nierówności D& ≥ 0.

(18.22)

Wprowadzenie uogólnionych naprężeń wymaga określenia warunku plastyczności jako funkcji sił wewnętrznych. Warunek ten w przekroju pręta wyraża funkcja Φ(Yi): (18.23) Φ(Yi) = 0. Jeżeli Φ(Yi) < 0, to dany przekrój jest sztywny, a siły wewnętrzne są − ogólnie biorąc − nieokreślone. W pewnych szczególnych przypadkach można je obliczyć jedynie z równań równowagi danej części konstrukcji. Stowarzyszone prawo można zapisać, jak następuje:  & ∂Φ , ν ⋅ &ei =  ∂Yi 0, 

ν& ≥ 0,

(18.24)

Φ < 0.

Mnożnik ν& , będący odpowiednikiem mnożnika λ& w teorii ośrodka plastycznego, może być funkcją położenia (np. w prętach ν& = ν& ( x ) ). Prawo płynięcia bywa nazywane również prawem normalności, gdyż wynika z niego, że wektory e& są normalne do powierzchni plastyczności (rys. 18.25). Gdy warunek plastyczności ma naroże, wówczas kierunek wektora e& nie jest ściśle określony. Można wówczas stwierdzić tylko tyle, że jest zawarty on między normalnymi do sąsiadujących fragmentów powierzchni plastyczności.

Rys 18.25 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

33

Teoria ciał idealnie plastycznych pozwala oszacować nośność graniczną, tzn. największe obciążenie, jakie może przenieść rozważana konstrukcja. Praktyczne znaczenie teorii nośności granicznej w projektowaniu i ocenie bezpieczeństwa konstrukcji trudno zatem przecenić. Znajomość funkcji Φ(Yi) odgrywa bardzo ważną rolę w tej teorii, gdyż pozwala określić, kiedy materiał przechodzi w stan plastyczny, a ponadto poprzez stowarzyszone prawo płynięcia precyzuje kinematykę płynięcia. 18.3.3. Dwa podstawowe twierdzenia nośności granicznej konstrukcji W teorii nośności granicznej przyjmujemy, że obciążenie konstrukcji Pj jest proporcjonalne do pewnego mnożnika skalarnego µ (jest to tzw. obciążenie proporcjonalne): Pj = µp j , (18.25) gdzie pj oznacza pewne obciążenie porównawcze (np. eksploatacyjne). Przy pewnej wartości mnożnika µ nośność konstrukcji zostanie wyczerpana; konstrukcja przekształca się w mechanizm. Stanowi temu odpowiada obciążenie graniczne wyznaczone przez graniczną wartość mnożnika µ = µ L . Zasadniczym celem teorii nośności granicznej jest ustalenie granicznej wartości mnożnika obciążenia µ. Statycznie dopuszczalne pole naprężeń uogólnionych Yi0 : − spełnia równania równowagi wewnętrznej i naprężeniowe warunki brzegowe (tzn. jest w równowadze z obciążeniami µp j ) , −

nie narusza warunku plastyczności, czyli Φ(Yi0 ) ≤ 0 (por. rys. 18.25b).

Kinematycznie dopuszczalne pole prędkości u& *j : − −

spełnia kinematyczne warunki brzegowe oraz warunki ciągłości, pozwala ze związków geometrycznych e&i* = e&i* (u*j ) otrzymać niezerowe pole odkształceń,

−

określa dodatnią moc obciążeń zewnętrznych L& = µ p j u& *j ds > 0 .

∫

Każdej prędkości odkształcenia

e&i*

musi odpowiadać takie pole uogólnionych naprężeń Yi* , by był

spełniony warunek plastyczności, tzn. Φ(Yi* ) = 0 , gdyż w przeciwnym razie nie zachodziłoby w konstrukcji rozpraszanie (dyssypacja) energii. Dodać trzeba, że wypukłość warunku plastyczności gwarantuje jednoznaczne przyporządkowanie uogólnionego naprężenia Yi* danej prędkości odkształcenia

e&i* . Sytuację tę ilustruje rys. 18.25c. Istotne jest, że naprężenia Yi* nie muszą spełniać warunków równowagi wewnętrznej. Skoro prędkościom przemieszczeń u&*j odpowiadają prędkości odkształceń e&i* , to wewnątrz konstrukcji następuje dyssypacja energii, gdyż Yi*e&i* > 0 . Całkowitą moc dyssypowaną w konstrukcji wyraża się wtedy następująco: D& =

& = σ ε& dV = ∫ Dds ∫ ij ij ∫ (∑ Yi e&i )ds > 0 . *

s

* *

V

s

u& *j

wyznaczyć taką intensywność obciążenia µ K p j , że moc obciążeń Można zatem dla danego zewnętrznych L& będzie równa wewnętrznej mocy dyssypowanej D& ( tzn. L& = D& ) . Mamy więc: µK

∫ p j u& j ds = ∫ ( ∑ Yi e&i )ds = ∫ D& ( Y , e& )ds, *

s

* *

s

*

*

s

skąd otrzymujemy kinematyczny mnożnik obciążenia µ K : Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

34

∫ D& ( Y , e& )ds *

µK = s

∫

*

p j u& *j ds

.

(18.26)

s

Wyznaczenie statycznie dopuszczalnego pola naprężeń i kinematycznie dopuszczalnego pola prędkości odkształceń w chwili osiągnięcia nośności granicznej jest na ogół bardzo trudne. Zazwyczaj stosujemy jedno z dwóch podejść: statyczne lub kinematyczne. W podejściu statycznym poszukujemy takiego mnożnika obciążenia µ = µS , które odpowiada statycznie dopuszczalnemu polu naprężeń Yi0 . W podejściu kinematycznym poszukujemy takiego mnożnika obciążenia µ = µ K , które odpowiada kinematycznie dopuszczalnemu polu prędkości przemieszczeń u& *j .

Niżej przedstawiamy schemat ilustrujący, jakie zależności są spełnione przy obliczaniu mnożników µS , µ K oraz ścisłej wartości mnożnika µ L , odpowiadającego tzw. rozwiązaniu zupełnemu (kompletnemu): równowaga

µS

µL

warunek plastyczności

µK kinematyka (dyssypacja) Ocenimy wartości mnożników µS i µ K w porównaniu z wartością ścisłą µ L . W tym celu przyjmiemy, że rozwiązanie zupełne charakteryzują: obciążenie PL = µ L p , naprężenia uogólnione Y, prędkości przemieszczeń u& oraz stowarzyszone z nimi prędkości odkształceń e& . Dla rozwiązania zupełnego obowiązuje równanie mocy wirtualnej:

∫ (∑ Yi e&i )ds = µ L ∫ p j u& j ds.

(a)

s

s

Dla rozwiązania statycznego również można ułożyć równanie mocy wirtualnej, w którym wprowadzamy statycznie dopuszczalne naprężenia uogólnione Yi0 i prawdziwe wielkości kinematycznie dopuszczalne:

∫ (∑ Yi e&i )ds = µS ∫ p j u& j ds. 0

(b)

s

s

Po odjęciu od siebie równań (a) i (b) otrzymujemy: (c)

∫ [∑ (Yi − Yi )e&i ]ds = (µ L − µS )∫ p j u& j ds. 0

s

s

Na podstawie postulatu Druckera wnioskujemy, że wyrażenie (Yi − Yi0 )e&i ≥ 0 . Widać to wyraźnie na rys. 18.25b, gdyż przedstawia ono iloczyn skalarny dwóch wektorów tworzących ze sobą kąt ostry. Lewa Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

strona równania (c) jest zatem nieujemna. Po prawej stronie tego równania całka

35

∫ p ju& jds przedstawia

wartość proporcjonalną do mocy sił zewnętrznych, która jest zawsze dodatnia. Wobec powyższego różnica mnożników µ L − µS jest zawsze nieujemna, stąd na podstawie równania (c) otrzymujemy:

µS ≤ µ L .

(d)

W rozwiązaniu kinematycznym równanie bilansu mocy dyssypowanej (nie jest to równanie mocy wirtualnej!) dla rozwiązania kinematycznego ma postać:

∫ ∑ Yi e&i ds = µ K ∫ p j u& j ds. * *

(e)

*

s

s

Ponieważ w rozwiązaniu kinematycznym wielkości u*j oraz ei* są kinematycznie dopuszczalne, a wielkości Yi w rozwiązaniu ścisłym są statycznie dopuszczalne, słuszne jest również następujące równanie mocy wirtualnej:

∫ ∑ Yi e&i ds = µ L ∫ p j u& j ds. *

(f)

*

s

s

Po odjęciu równania (f) od równania (e) otrzymujemy:

∫ [∑ (Yi

*

(g)

s

]

− Yi )e&i* ds = ( µ K − µ L ) p j u& *j ds.

∫ s

Ponieważ (Yi* − Yi )e&i* na podstawie postulatu Druckera jest nieujemne oraz

∫ p ju& j ds > 0 , zatem różnica *

µ K − µ L ≥ 0, stąd (h)

µK ≥ µ L .

Z przytoczonych wywodów wynikają dwa bardzo ważne twierdzenia. Twierdzenie o ocenie dolnej (ocena statyczna): Rzeczywista intensywność obciążenia granicznego jest określona przez największy spośród mnożników obciążenia dla wszystkich statycznie dopuszczalnych pól naprężeń, tzn.:

µ L = sup µS .

(18.27)

Twierdzenie o ocenie górnej (ocena kinematyczna): Rzeczywista intensywność obciążenia granicznego jest określona przez najmniejszy spośród mnożników obciążenia dla wszystkich kinematycznie dopuszczalnych pól prędkości przemieszczeń, tzn.:

µ L = inf µ K . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(18.28) Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

36

Twierdzenie o ocenie dolnej wynika ze wzoru (d), a twierdzenie o ocenie górnej − ze wzoru (h). Z obu powyższych twierdzeń wnioskujemy, że zachodzi nierówność jednoczesna: µS ≤ µ L ≤ µ K . (18.29) Z analizy twierdzeń o ocenie dolnej i ocenie górnej wynikają m. in. następujące wnioski praktyczne: − dodanie nieważkiego materiału bez zmiany warunków brzegowych nie prowadzi do zmniejszenia obciążenia granicznego, − podwyższenie granicy plastyczności materiału nie obniża nośności konstrukcji, − osłabienie więzów kinematycznych nie prowadzi do podwyższenia nośności granicznej. 18.3.4. Warunki plastyczności wyrażone przez naprężenia uogólnione Rozważymy jednoczesne działanie siły normalnej i momentu zginającego na przekrój prostokątny (rys. 18.26a, b). Rozkład naprężeń w chwili osiągnięcia nośności granicznej podano na rys. 18.26c. Z definicji sił wewnętrznych N i M otrzymujemy: z0   N = σdA = [(a − z0 ) − (a + z0 )]bσ P = 2z0bσ P = N P a ,  s  2  M = σzdA = (a − z ) 2a − (a − z ) bσ = a 2 − z 2 bσ = M 1 −  z0  ,   [ ] 0 0 P 0 P P    a    s

∫

(a)

(

∫

)

gdzie

N P i M P oznaczają odpowiednio normalną siłę plastyczną i moment plastyczny: N P = Aσ P = 2abσ P ,

M P = W ( P )σ P = a 2bσ P ,

z kolei z0 = − Na / N P i oznacza odległość osi obojętnej od środka ciężkości przekroju (por. rys. 18.26c, d). Po wyeliminowaniu z równań (a) parametru z0 otrzymujemy warunek plastyczności wyrażony przez uogólnione naprężenia: 2

 N  Φ(N , M) = +  − 1 = 0. MP  NP  M

(18.30)

Zależność (18.30) często przedstawia się w postaci bezwymiarowej po wprowadzeniu oznaczeń: n = N / N P oraz m = M / M P . Wówczas Φ (n, m) = m + n 2 − 1 = 0.

(18.30a)

Rys. 18.26

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

37

Rozkład prędkości odkształcenia w obrębie przekroju wynika z hipotezy Bernoulliego: ε = kz + λ . Po & + λ&. Związki między prędkością wydłużenia λ& i prędkością zróżniczkowaniu tej zależności ε& = kz krzywizny k& wynikają ze stowarzyszonego prawa płynięcia: ∂Φ & 2 N λ& = ν& ⋅ =ν⋅ , ∂N N P2

k& = ν& ⋅

∂Φ 1 = ±ν& ⋅ , MP ∂M

skąd 2N M λ& = k& ⋅ 2 ⋅ M P = 2n ⋅ P k& = an k& = z0k& . NP NP Rozkład prędkości odkształceń ε& przedstawia rys. 18.26d, a warunek plastyczności (18.30) oraz interpretację geometryczną prawa płynięcia ilustruje rys. 18.26e. Każdemu punktowi krzywej granicznej Φ ( N , M ) = 0 odpowiada pewna para wartości N i M, która powoduje uplastycznienie przekroju. Punkty leżące wewnątrz obszaru granicznego odpowiadają stanowi sztywnemu (Φ < 0). W punktach A i B występują naroża. Wnioskujemy stąd, że przy wyłącznym działaniu siły normalnej oprócz prędkości wydłużeń mogą również występować dodatnie lub ujemne prędkości krzywizn. Duże znaczenie teoretyczne i praktyczne w badaniach mimośrodowego działania siły normalnej ma idealny przekrój dwuteowy (rys. 18.27a). Całkowite pole przekroju jest skoncentrowane w półkach. Grubość tych półek jest tak mała, że za wysokość przekroju 2a można uważać odległość między środkami ciężkości półek. Wówczas: J = 2 Ap ⋅ a 2 ,

A = 2 Ap ,

W ( S ) = W ( P ) = 2 Ap a ,

oraz N P = 2 Ap ⋅ σ P

i

M P = 2 A p aσ P = N P a ,

gdzie Ap oznacza pole jednej półki. Siłę normalną i moment zginający określają zależności:

( ) M = (σ d − σ g ) ⋅ aAp . N = σ d + σ g ⋅ Ap ,

Gdy N ≠ 0 i jednocześnie M ≠ 0, osiągnięcie nośności granicznej objawia się w ten sposób, że jedna z półek jest sztywna i wokół niej następuje obrót całego przekroju. Na rysunku 18.27c zilustrowano kinematykę tego przypadku: dla N > 0 i M > 0 dolna półka płynie ( σ d = σ P ), a górna jest sztywna ( − σ P < −σ g < σ P ). Rysunki 18.27d, e odpowiadają przypadkom: N = N P , M = 0 (σ d = σ g = σ P ) oraz N = 0, M = M P (σ d = σ P , σ g = −σ P ).

Rys. 18.27 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

38

Rozważymy uplastycznienie idealnego przekroju dwuteowego, gdy N > 0, M > 0 (σ d = σ P , σ g = σ ). Wówczas

N = (σ P + σ ) Ap ,

M = (σ P − σ )aAp .

Po rozpisaniu wyrażenia na moment zginający otrzymujemy:

M = (σ P − σ ) ⋅ A p a = 2σ P A p a − (σ P + σ )aAp = M P − Na i stąd otrzymujemy warunek plastyczności: Φ(N , M) =

M N + − 1 = 0. MP NP

Analiza pozostałych możliwości (N > 0, M < 0; N < 0, M > 0; N <0, M > 0) prowadzi do następującej zależności granicznej: Φ(N , M) =

M MP

+

N NP

−1= 0

lub w postaci bezwymiarowej Φ ( n, m) = m + n − 1 = 0. Zależność tę przedstawia rys. 18.27f. Z prawa płynięcia wynika, że (por. także rys. 18.27c): λ& = k& ⋅ a. Dla jednoczesnego działania dwóch momentów zginających My i Mz ustalenie postaci warunku plastyczności wymaga już nieco dokładniejszej analizy. Ostateczny kształt odpowiedniej krzywej granicznej dla przekroju prostokątnego podano na rysunku 18.28b. Jeżeli na przekrój działa jeszcze siła normalna, to warunek plastyczności w przestrzeni naprężeń uogólnionych (Y1 = N, Y2 = My, Y3 = Mz) jest wypukłą bryłą otaczającą początek układu współrzędnych (rys. 18.28c).

Rys. 18.28

Podamy jeszcze postać krzywej granicznej dla jednoczesnego rozciągania i skręcania pręta o przekroju kołowym (rys. 18.29): Φ (m, n) =

9 2 3 2 1 3 m + n + n − 1 = 0, 16 4 4

gdzie m=M / MS , n = N / N S , przy czym N S = N P . Jeśli występuje większa liczba sił wewnętrznych, powierzchnia plastyczności jest bryłą w przestrzeni o wymiarze odpowiadającym liczbie sił wewnętrznych. Dzieje się tak w prętach dwukierunkowo zginanych, rozciąganych i skręcanych (przestrzeń czterowymiarowa) oraz w płytach i powłokach, w odniesieniu do których warunki plastyczności zapisuje się nawet w przestrzeniach sześciowymiarowych. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

39

Rys. 18.29

Na zakończenie omówimy warunki plastyczności dla prętów wykonanych z materiałów znakoczułych i zbrojonych. Warunki plastyczności dla materiałów znakoczułych nie wykazują symetrii względem układu osi oznaczających siły wewnętrzne. Rozważmy przykładowo pręt wykonany z materiału o charakterystyce fizycznej podanej na rys. 18.30a. Na przekrój pręta działają siła normalna N i moment zginający My = M (rys. 18.30b). Przyjąwszy prawo płaskich przekrojów: ε = kz + λ , otrzymujemy cztery przypadki rozkładu naprężeń normalnych, które odpowiadają następującym siłom wewnętrznym: 1) λ& < 0,

z0 > a: N = −2baσ P− , M = 0,

2) k& > 0,

3) k& < 0,

z0 < a: N = −b(a + z0 )σ P− + b(a − z0 )σ P+ , 1 1 M = b(a + z0 ) ⋅ (a − z0 )σ P− + b(a − z0 ) ⋅ (a + z0 )σ P+ , 2 2 + z0 < a: N = b(a + z0 )σ P − b(a − z0 )σ P− , M = −b( a + z0 )σ P+ − b(a − z0 ) ⋅ (a + z0 )σ P− ,

4) λ& > 0,

z0 > a: N = 2baσ P+ , M = 0.

Wprowadzenie oznaczeń:

(

)

ζ 0 = z0 / a; σ Pśr =

1 + σ P + σ P− , 2

N Pśr = 2baσ Pśr ;

M Pśr = ba 2σ Pśr

∆σ =

σ P+ − σ P−

σ P+ + σ P−

,

pozwala zapisać powyższe równania w nader prostej postaci:  N = N Pśr ⋅ ( ∆σ − ζ 0 )  2  M = M Pśr ⋅ (1 − ζ 0 ),

− 1 ≤ ζ 0 ≤ 1.

Jest to parametryczna postać warunku plastyczności. Po wyeliminowaniu parametru ζ0 otrzymujemy równanie poszukiwanej krzywej granicznej: Φ (m, n) = m + (n − ∆σ ) − 1 = 0, 2

gdzie

(18.30b)

m = M/MPśr, n = N/NPśr.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

40

Krzywą graniczną (18.30b) obrazuje rys. 18.30d. Łatwo zauważyć, że równanie (18.30a) jest szczególnym przypadkiem równania (18.30b). Bardzo duże znaczenie praktyczne mają pręty zbrojone włóknami (wkładkami) wykazującymi tylko sztywność na rozciąganie i ściskanie. Jako materiał rodzimy stosuje się najczęściej tworzywa sztuczne, drewno lub beton. Zbrojenie stanowią włókna węglowe lub cienkie pręty stalowe. Jeżeli materiałowi rodzimemu i włóknom zbrojenia przypiszemy cechy materiału sztywno-plastycznego, to dla takiego kompozytu można ustalić warunek plastyczności. Wymaga to jednak dosyć drobiazgowej analizy. Ostatecznie otrzymuje się dalsze modyfikacje kształtu krzywych granicznych. Przykład takiej krzywej granicznej podano na rysunku 18.31b. Warunek plastyczności dotyczy tu podwójnie zbrojonego przekroju prostokątnego (rys. 18.31a), poddanego jednoczesnemu działaniu siły normalnej i momentu zginającego. Krzywa graniczna w tym przypadku jest opisana dziesięcioma równaniami (por. Janas [17]).

Rys. 18.30 Sposób wyznaczania warunku plastyczności zilustrujemy na przykładzie mimośrodowego działania siły normalnej na przekrój prostokątny, w którym jest tylko jedna warstwa zbrojenia usytuowana na dolnej zewnętrznej warstwie krawędzi przekroju. Przyjmiemy, że granice plastyczności zbrojenia dla rozciągania i ściskania są równe i wynoszą σ z , natomiast w materiale rodzimym dla rozciągania σ P+ = 0 , a dla ściskania σ P− = σ P , stąd ∆σ = −1 (por. rys. 18.31c).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

41

Rys. 18.31 Dla każdego przypadku rozkładu naprężeń stowarzyszonego z deformacjami przekroju otrzymujemy następujące wartości sił wewnętrznych: 1) N = −2abσ P − Azσ z , M = − Az aσ z , 2) N = −2abσ P + Azσ z , M = Az aσ , − σ z ≤ σ ≤ σ z , 1 3) N = − abσ P ⋅ (1 + ζ 0 ) + Az ⋅ σ z , M = ba 2 ⋅ σ P 1 − ζ 02 + Az aσ z , 2 4) N = Azσ z , M = Az aσ z , 1 M = − ba 2 ⋅ σ P 1 − ζ 02 − Az a ⋅ σ z , 5) N = − abσ P ⋅ (1 − ζ 0 ) − Azσ z , 2 6) N = Azσ , M = Az aσ , − σ z ≤ σ ≤ σ z .

(

)

(

)

Na uwagę zasługują przypadki 2) i 6), w których odkształcenie włókien zbrojenia równa się zeru. Naprężenia w zbrojeniu mieszczą się wówczas w przedziale < −σ z , σ z > . Po wprowadzeniu oznaczeń:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

n=

42

N N M M A σ , m= , α= z ⋅ z = = 2 2ab σ P abσ P N Pśr (ba σ P / 2) M Pśr

oraz wyeliminowaniu parametru ζ0 otrzymujemy sześć zależności opisujących krzywą graniczną w postaci bezwymiarowej:

1)

n = − 2(1+α ) , m = − 4α ,

2)

m = 2n + 4 , − 2(1+α ) ≤ n ≤ −2(1 − α ),

3)

m = (2α − n)(2 − 2α+n) + 4α

4)

n = 2α, m = 4a,

5)

m=(2α+n)(2+2α+n)-4α ,

6)

m = −2n, − 2α ≤ n ≤ 2α .

Zależności 1) i 4) wyznaczają punkty, zależności 2) i 6) przedstawiają równania prostych, a zależności 3) i 5) opisują równania parabol drugiego stopnia. Wykres zależności krzywej granicznej podano na rys. 18.31f. Interesujące jest, że maksymalne i minimalne wartości momentu zginającego w przekroju zbrojonym są takie same: Mmax = −Mmin. Wartościom tym odpowiadają jednak różne wartości sił podłużnych.

18.3.5. Przeguby plastyczne. Obliczanie obciążenia granicznego W rozważaniach dotyczących zginania prętów sprężysto-plastycznych zwróciliśmy uwagę na to, że osiągnięciu nośności granicznej w danym przekroju towarzyszą nieskończone krzywizny. Deformacje belki objawiają się w ten sposób, że występuje obrót sąsiednich części pręta względem osi obojętnej rozważanego przekroju (rys. 18.32a). Podobnie jest w materiale sztywno-plastycznym. W przekroju krytycznym obserwujemy bardzo dużą koncentrację odkształceń na bardzo małym obszarze (rys. 18.32b). W celu obliczenia całkowitej wewnętrznej dyssypacji prędkość krzywizny wygodnie jest wyrazić za pomocą funkcji Diraca δ(x−a):

k& ( x ) = ϕ& ⋅ δ ( x − a ) ,

(a)

gdzie ϕ& jest prędkością wzajemnego kąta obrotu sąsiednich części belki. Jeżeli jedyną niezerową prędkością uogólnionego odkształcenia jest właśnie prędkość krzywizny, to stosownie do wzoru (18.21a) i własności filtracji funkcji Diraca otrzymujemy: a

∫

−a

a

D& dx =

a

∫ Mk& dx = ∫ M ( x)ϕ& ⋅ δ ( x − a)dx = M (a) ⋅ ϕ& = M P ⋅ ϕ& ,

−a

(18.31)

−a

gdzie MP oznacza moment plastyczny rozważanego przekroju. Wzór (18.31) można również uzyskać, wykonując przejście graniczne, odpowiadające założeniu, że wymiary obszaru koncentracji krzywizny zmierzają do zera, tzn. ∆x → 0.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

43

Rys. 18.32 Uproszczony mechanizm zniszczenia belki przedstawia rys. 18.32c. Można więc przyjąć, że w przekroju krytycznym powstał pewnego rodzaju przegub. Nosi on nazwę przegubu plastycznego. Przegub plastyczny jest uogólnieniem pojęcia przegubu sprężystego. Przegub sprężysty przenosi bowiem stałą wartość momentu zginającego równą zeru, a przegub plastyczny przenosi stały moment zginający równy momentowi plastycznemu MP. W obu przegubach występuje możliwość obrotu. Koncepcję przegubu plastycznego można rozszerzyć również na pozostałe składowe prędkości odkształcenia. Jeżeli prędkości te są skoncentrowane w przekroju x = a, to można je zapisać następująco: λ& ( x ) = Λ&a ⋅ δ ( x − a ) β& ( x ) = W& ⋅ δ ( x − a ) a

k& ( x ) = ϕ&a ⋅ δ ( x − a ) θ&( x ) = ψ& ⋅ δ ( x − a ) a

      

(18.32)

gdzie Λ&a , W&a , ϕ& a , ψ& a oznaczają odpowiednio prędkości (przyrosty) wzajemnych przesunięć podłużnych i poprzecznych oraz kątów obrotu i skręcenia (por. rys. 18.33).

Rys. 18.33 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

44

Całkowitą moc dyssypowaną w obrębie takiego uogólnionego przegubu plastycznego określa wyrażenie: a+∆ x

& = NΛ& + QW& + Mϕ& + Mψ& > 0 . a a a a ∫ Ddx

(18.33)

a−∆ x

Zwróćmy uwagę, że naprężenia uogólnione N, Q, M i M występujące we wzorze (18.33) muszą spełniać warunek plastyczności Φ ( N , Q, M , M ) = 0. W dalszym ciągu będziemy rozważać tylko płaskie konstrukcje prętowe, w których dominującą rolę w procesie uplastycznienia odgrywają momenty zginające. Wpływ sił normalnych jest zazwyczaj niewielki, a wpływ sił poprzecznych objawia się tylko w bardzo szczególnych, nielicznych przypadkach i jest trudny do oszacowania. W zależnościach kinematycznych pomija się na ogół prędkości wydłużenia Λ&a i poprzecznego przemieszczenia W& . Upraszcza to znakomicie analizę deformacji konstrukcji. Pominięcie a

wydłużeń nie oznacza koniecznie pominięcia wpływu sił normalnych na uplastycznienie; ponieważ można dodatkowo wykorzystać zależność graniczną Φ(N,M) = 0. Jeśli jednak poprzestaniemy tylko na uwzględnieniu momentów zginających, to warunek plastyczności przyjmie postać: |M| = MP.

(18.34)

W celu ilustracji twierdzeń o ocenach dolnej i górnej obliczymy obciążenie graniczne belki pryzmatycznej (MP = const) przedstawionej na rys. 18.34.

Rys. 18.34

Zastosujemy najpierw podejście statyczne. Pole momentów musi spełniać warunki brzegowe i równania równowagi. Wymagają one, by moment był równy zeru na podporze A oraz by był parabolą II stopnia. Poza tym statycznie dopuszczalne pole momentów nie może naruszać warunku plastyczności: − M P ≤ M ( x ) ≤ M P . Statycznie dopuszczalnych wykresów momentów jest więc nieskończenie wiele. Niektóre z nich podano na rys. 18.34a. Zgodnie z twierdzeniem o ocenie dolnej rozwiązanie ścisłe odpowiada największej wartości obciążenia qS. Funkcję M(x), spełniającą równanie równowagi, zapiszemy następująco: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

45

q x2 q l M  M ( x) =  S + B  x − S ,  2 l  2 gdzie MB - oznacza nieznany moment na podporze B. Zadanie polega na znalezieniu qS = qSmax przy spełnieniu ograniczeń: q x2 q l M  − MP ≤  S + B  x − S ≤ MP,  2 l  2

0 ≤ x ≤ l.

Wbrew pozorom tak sformułowany problem nie jest matematycznie elementarny. Jego rozwiązanie można uzyskać metodami wariacyjnymi, metodami programowania matematycznego lub sterowania optymalnego. W rozważanym zadaniu mamy jednak dodatkowe informacje natury fizycznej. Wiadomo, że osiągnięciu nośności graficznej towarzyszy pojawienie się przegubów plastycznych, umożliwiające przejście konstrukcji w mechanizm. Ponieważ układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, do utworzenia geometrycznie zmiennego mechanizmu zniszczenia muszą powstać dwa przeguby. Jeden z nich odpowiada momentowi ujemnemu na podporze B, a drugi − dodatniemu w obrębie przęsła belki. Wobec tego

MB = − M P ,

M max = M ( x0 ) = M P ,

0 < x0 < l .

Wartość x0 obliczamy z warunku M ' (x0) = Q(x0) = 0: x0 =

1 MB 1 MP . + = − 2 qS l 2 qS l

Zatem 2

q l M  1 M  1 1 M  M max = M ( x0 ) =  S − P  ⋅  − P  − q S  − P  = M P ,  2 l   2 qS l  2  2 qS l  skąd otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na qS :

q S2 l 4 − 12q S l 2 M P + 4 M P2 = 0. Dodatni pierwiastek tego równania jest poszukiwanym obciążeniem granicznym qL: qS max = q L = Wartości tej odpowiada x0 = l

(

2MP l

2

(3 + 2 2 ) = 11,66 Ml2P .

)

2 −1 .

Dodajmy jeszcze, że w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych jest tylko jedno statycznie dopuszczalne pole naprężeń i właśnie ono odpowiada ścisłemu rozwiązaniu zadania. Podejście kinematyczne jest bardziej rozpowszechnione. Rozpatruje się tutaj tylko mechanizm zniszczenia konstrukcji. W rozważanym zadaniu nieokreślone jest tylko położenie przegubu przęsłowego. Kinematycznie dopuszczalne pole prędkości przemieszczeń opisują zależności (rys. 18.34b): x & 0 ≤ x ≤ x0 ,  x ⋅ ∆,  0 w& ( x ) =   l − x ⋅ ∆& , x0 ≤ x ≤ l.  l − x0 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

46

Wobec tego równanie mocy dyssypowanej przyjmuje postać: q K x0 ⋅

∆& ∆& ∆& ∆& + q K (l − x0 ) ⋅ = M P ⋅ + 2 M P ⋅ , x0 l − x0 2 2

skąd q K = q K ( x0 ) =

2MP  1 2  ⋅ + . l  x0 l − x0 

Z twierdzenia o ocenie górnej wiadomo, że każdej „złej” kinematyce odpowiada obciążenie graniczne większe od wartości prawdziwej. W celu uzyskania rozwiązania ścisłego trzeba więc obrać takie x0, które minimalizuje wartość qK. Z warunku istnienia ekstremum dq K / dx0 = 0 otrzymujemy:  dq K 2 M P  1 2 = ⋅ − 2 + = 0, 2 dx0 l  x0 (l − x0 )  skąd x02 + 2lx0 − l 2 = 0 oraz x0 = l

(

)

2 − 1 > 0.

Wynik ten pokrywa się z rozwiązaniem ścisłym uzyskanym metodą statyczną. Ponieważ d 2q K

= dx02

 2MP  2 4 > 0, ⋅ 3 + 3 l  x0 (l − x0 ) 

więc q K ( x0 ) = q K min = q L =

2MP l2

(

)

⋅ 3+ 2 2 .

Z rozwiązanego przykładu widać, że wyznaczanie obciążenia granicznego jest stosunkowo łatwe. Dużo większe trudności napotykamy jednak, gdy mechanizmy zniszczenia mają większą liczbę stopni swobody oraz w przypadkach konstrukcji o zmiennych przekrojach, w których MP = MP(x).

18.3.6. Wyznaczanie nośności granicznej metodą superpozycji mechanizmów podstawowych Rozwiązanie zupełne problemu nośności granicznej wymaga: − spełnienia równań równowagi wewnętrznej, − nieprzekroczenia warunku plastyczności (Φ ≤ 0), − przekształcenia konstrukcji w mechanizm. Aby n-krotnie statycznie niewyznaczalna konstrukcja prętowa przekształciła się w mechanizm o co najmniej jednym stopniu swobody, warunek graniczny Φ = 0 musi być spełniony w co najmniej n + 1 przekrojach. W konstrukcji zginanej powinno zatem wystąpić co najmniej r = n + 1 przegubów plastycznych typu „zgięciowego”, jeżeli występuje wyczerpanie nośności konstrukcji jako całości. Gdy r < n + 1, to w pewnych przypadkach może również zdarzyć się, że tylko fragment konstrukcji przekształci się w mechanizm i wystąpi zniszczenie częściowe. W przypadku zniszczenia całkowitego, gdy liczba przegubów (a)

r = n + 1,

wykres momentów zginających jest jednoznacznie określony, bo n + 1 związków pozwala wyznaczyć n wielkości nadliczbowych oraz mnożnik obciążenia granicznego µ. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

47

W przypadku zniszczenia częściowego, gdy liczba przegubów (b)

r < n + 1,

pole sił wewnętrznych jest określone tylko w tych częściach konstrukcji, które przekształciły się w mechanizm. W obszarach sztywnych pole sił wewnętrznych nie jest określone jednoznacznie. Rozważmy ramę zbudowaną z prętów pryzmatycznych. Schemat statyczny i obciążenie ramy przedstawia rys. 18.35a. Łatwo stwierdzić, że rama jest 5-krotnie statycznie niewyznaczalna (n = 5). Pole momentów jest całkowicie opisane, jeżeli są znane momenty zginające w punktach 1, 2, 3, ..., 8. Punkty te określają położenie tzw. przekrojów krytycznych, w których mogą wytworzyć się przeguby plastyczne. Przyjmijmy wstępnie, że we wszystkich przekrojach krytycznych występują przeguby. Uzyskany w ten sposób układ geometrycznie zmienny jest złożony z idealnie sztywnych prętów połączonych między sobą przegubami (por. rys. 18.35b). Układ ten ma trzy stopnie swobody, gdyż właśnie tyle więzów trzeba wprowadzić w celu jego unieruchomienia. Więzy te oznaczono na rys. 18.35b literami a, b i c. Usuwając kolejno każdy z tych więzów otrzymujemy trzy niezależne mechanizmy, zwane mechanizmami podstawowymi. Mechanizmy te przedstawiają rys. 18.35c, d, e. Liczbę mechanizmów podstawowych można ustalić jeszcze w inny sposób. Jeżeli liczba przekrojów krytycznych wynosi r, a stopień statycznej niewyznaczalności jest równy n, to liczba niezależnych mechanizmów wynosi: (c)

s = r − n.

W rozważanym zadaniu s = 8 − 5 = 3, co pokrywa się z rezultatem uzyskanym wyżej. Zasadniczy sens omawianej metody polega na wykorzystaniu spostrzeżenia, że rozwiązanie zupełne problemu nośności granicznej odpowiada pewnemu mechanizmowi zniszczenia, który można przedstawić jako superpozycję niezależnych mechanizmów podstawowych. Na podstawie twierdzenia o ocenie górnej wiadomo, że dla każdej „złej” kinematyki zniszczenia otrzymujemy obciążenie większe od ścisłej wartości granicznej. Wobec tego należy znaleźć taką kombinację liniową mechanizmów podstawowych, by obciążenie niszczące było najmniejsze. Mechanizmy łączymy w taki sposób, aby zamykało się możliwie dużo przegubów przy nie malejącej mocy obciążeń zewnętrznych.

Rys. 18.35

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

48

Rys. 18.35 (tablica)

W metodzie superpozycji mechanizmów podstawowych obciążenia niszczące oblicza się zazwyczaj tabelarycznie, przyrównując moc obciążeń zewnętrznych L& z mocą sił wewnętrznych D& dla poszczególnych mechanizmów podstawowych, a następnie dla mechanizmów złożonych. Obliczymy przykładowo obciążenie niszczące dla mechanizmu a: 3 Pϕ& ⋅

1 = −ϕ& ( − M P5 ) − ϕ& ( − M P 7 ) + 2ϕ&M P8 . 2

Ponieważ MP5 = MP, a MP7 = MP8 = 2MP, zatem P=

M 14 M P = 4,67 P . l 3 l

Komplet obliczeń zawiera tablica zamieszczona na rys. 18.35. W tablicy tej zamiast prędkości kątów obrotu wpisano jedynie współczynniki stojące przy ϕ& . Zasada znakowania prędkości kątów jest taka sama jak zasada znakowania momentów zginających. W ten sposób w każdym przegubie dyssypacji· M Pi ⋅ ϕ&i jest nieujemna. Jak widać z tablicy, najmniejsza wartość obciążenia granicznego odpowiada mechanizmowi zniszczenia będącego superpozycją wszystkich trzech mechanizmów podstawowych a + b + c. Przekonamy się, że jest to rozwiązanie zupełne. W tym celu trzeba sporządzić wykres momentów zginających. Momenty zginające w punktach 1, 2, 3, 4, 6 i 8 są znane, bo ich wartości bezwzględne są równe momentom granicznym, a znaki odpowiadają znakom prędkości kątów obrotu w tych przekrojach. Momenty zginające w punktach 3 i 7 można wyznaczyć z równań pracy wirtualnej lub z równań równowagi. Równanie pracy wirtualnej odpowiadające mechanizmowi a przybiera postać: 1 3 P ⋅ ϕ + M 7 ⋅ ϕ − 2 M 8 ⋅ ϕ + M5 ⋅ ϕ = 0, 2 skąd 3 3 3 M7 = 2 M8 − M5 − Pl = 2(−2 M P ) − (− M P ) − Pl = 5M P − ⋅ 4,40 M P = −16 , MP. 2 2 2 Moment zginający w punkcie 3 obliczymy z równania równowagi węzła: M 3 + M 7 − M 6 = 0, M 3 − ( −1,6 M P ) + ( − M P ) = 0,6 M P . Wartości obliczonych wyżej momentów nie naruszają warunku plastyczności, bo M 7 < M P7 = 2 M P oraz M 3 < M P 3 = M P . Ostateczny wykres momentów zginających przedstawiono na rys. 18.35f, a mechanizm zniszczenia na rys. 18.35g. Jak widać, uzyskane rozwiązanie spełnia wszystkie wymagania stawiane rozwiązaniu zupełnemu. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

49

18.3.7. Ogólna metoda obliczania nośności granicznej ram płaskich Naszkicujemy pewną dość ogólną metodę obliczania nośności granicznej płaskich układów prętowych poddanych zginaniu. Wprowadzimy uproszczenie polegające na tym, że obciążenie konstrukcji stanowią tylko siły skupione. Za węzły obliczeniowe (przekroje krytyczne) będziemy uważać punkty przyłożenia obciążeń, skokowej zmiany przekroju, załamania osi, punkty przywęzłowe oraz przekroje przy podporach utwierdzonych. Odcinki międzywęzłowe składają się z prętów pryzmatycznych. Mnożnik obciążenia granicznego µL, zgodnie z twierdzeniem o ocenie górnej, wynosi: r

∑ M Pi ⋅ ϕ&i

µ L = min i =1s

(a)

,

∑

Pj ⋅ ∆& j

j =1

gdzie MPi jest momentem plastycznym przekroju i, ϕ&i − prędkością kąta obrotu w przegubie i, ∆& j − rzutem prędkości przemieszczenia punktu j na kierunek działania obciążenia skupionego Pj, r − liczbą przekrojów krytycznych, s − liczbą punktów przyłożenia obciążeń Pj. Ponieważ prędkości przemieszczeń ∆& j są kinematycznie dopuszczalne, więc moc obciążeń zewnętrznych musi być dodatnia: s

∑ Pj ⋅ ∆& j > 0.

(b)

j =1

Powyższe sformułowanie można przedstawić jeszcze inaczej: Znaleźć s

∑ Pj ⋅ ∆& j

1 j =1 = max µL M0

(c)

,

przy czym r

M0 =

(d)

∑ M Pi ⋅ ϕ&i . i =1

Zgodnie z zasadą prac wirtualnych: s

(e)

∑

j =1

Pj ⋅ ∆& j =

r

∑ Mi ⋅ ϕ&i , i =1

gdzie Mi oznacza dowolne pole momentów zginających będących w równowadze z obciążeniem Pj. Na przykład może to być układ momentów odpowiadających schematowi statycznie wyznaczalnemu. Wobec równania (e) zależności (c) zapiszemy następująco: r

∑

(f)

Mi ⋅ ϕ&i 1 . = max i =1 M0 µL

Jeżeli rama jest n-krotnie statycznie niewyznaczalna, to można zbudować n niezależnych rozkładów momentów pochodzących od sił nadliczbowych, zwanych również momentami resztkowymi lub własnymi. Momenty te są w równowadze z zerowym obciążeniem zewnętrznym w układzie statycznie niewyznaczalnym. Oznaczymy przez Mik wartość momentu własnego w punkcie i wywołaną działaniem nadliczbowej Xk. Wówczas na podstawie równania pracy wirtualnej dostaniemy n równań zgodności kątów:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

50

r

∑ Mik ⋅ ϕ&i = 0,

(g)

k = 1, 2, ..., n.

i =1

Wprowadzimy wielkości bezwymiarowe: mi = Mi / M Pi ,  mik = Mik / M Pi ,  f = ϕ& ⋅ M / M i Pi 0.  i

(h)

Zadanie obliczania nośności granicznej ram płaskich formułujemy następująco: Znaleźć taki wektor prędkości kątów fi, by r

(i)

∑

r

mi f i → max przy ograniczeniach

i =1

∑

r

mik fi = 0, k = 1, 2, ..., n;

∑ fi = 1. i =1

i=1

Jeżeli przyjmiemy, że  f i = f i + − f i − ,  gdzie f i + ≥ 0, f i − ≥ 0 oraz

(j)

f i + ⋅ f i − = 0,

to sformułowanie (i) da się przedstawić jako zadanie programowania liniowego, mającego bogatą bibliotekę w ośrodkach komputerowych. Zależność: f i + ⋅ f i − = 0 nosi nazwę warunku ortogonalności i należy ją rozumieć jako informację, że w konkretnym wypadku realizuje się bądź kąt f i + bądź kąt f i − . Poszukiwany mnożnik obciążenia granicznego otrzymujemy ze wzoru (f) po wykorzystaniu oznaczeń (h): µL =

(k)

1 r

.

∑ mi ⋅ fi i =1

Jak widać, w celu przygotowania danych do obliczeń trzeba znać rozwiązanie układu podstawowego statycznie wyznaczalnego obciążonego siłami Pj oraz wykresy momentów pochodzących od sił nadliczbowych Xk = 1. W celu zilustrowania przedstawionej metody rozwiążemy przykład liczbowy. Temat zadania oraz wykresy momentów w przyjętym układzie statycznie wyznaczalnym podano na rysunku 18.36. Dla wygody rachunków oraz zachowania zgodności wymiarów przyjęto, że X 1 = M P / l a X 2 = M P . Na podstawie wzorów (h) i rys. 18.36 obliczamy wartości mi oraz mik: m1 =

0,50,

m2 = 0,50,

m3 = 0,

m4 = 0,

m11 = −0,50,

m21 = −0,50,

m31 = −1,

m41 = 0,

m12 = 0,

m22 = 0,25,

m32 = 1,

m42 = 1.

Sformułowanie (i) przybiera postać: Znaleźć max 0,5 (f1 + f2) przy ograniczeniach − 0,5 f1 − 0,5 f 2 − f 3 = 0 0,25 f 2 + f 3 + f 4 = 0, f1 + f 2 + f 3 + f 4 = 1 . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

51

Po weliminowaniu z dwóch pierwszych ograniczeń f 3 i f 4 otrzymujemy: f1 + f 2 + − 0,5( f1 + f 2 ) + − 0,25( f1 + f 2 ) = 1. Zależność powyższa przedstawia szesnaście równań liniowych. Każde z nich odpowiada innej kombinacji znaków wyrażeń występujących pod symbolami wartości bezwzględnych. Analiza tych równań prowadzi do rozwiązania maksymalizującego sumę f1 + f 2 : f1 = 0,

f2 =

1 , 1,75

f3 = −

1 , 3,5

f4 =

1 . 7

Wobec powyższego mnożnik obciążenia granicznego µL, stosownie do wzoru (k) µL =

1 1 0,5 ⋅ 1,75

= 3,5.

Mechanizm zniszczenia ma jeden stopień swobody, bo przegub w punkcie 1 jest zamknięty (ϕ&1 = 0) . Kinematykę tego mechanizmu objaśnia rys. 18.36e.

Rys. 18.36

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

52

18.4. O PRZYSTOSOWANIU KONSTRUKCJI SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYCH 18.4.1. Istota problemu Problem przystosowania (ang. shakedown) pojawia się w konstrukcjach sprężysto-plastycznych poddanych obciążeniom zmiennym. Obciążenia te w rzeczywistości nie zmieniają się proporcjonalnie. W takich przypadkach trzeba uwzględnić fakt, że konstrukcja częściowo uplastyczniona po obciążeniu może ponownie reagować czysto sprężyście.

Rys. 18.37

W celu przedstawienia istoty problemu posłużymy się modelem ciała idealnie sprężysto-plastycznego bez wzmocnienia (rys. 18.37a). Podczas cyklicznego obciążenia odkształcenia plastyczne mogą być przemienne, mogą pojawiać się i znikać w każdym cyklu (rys. 18.37b) lub przyrastać w każdym cyklu, powodując ciągłą kumulację deformacji trwałych, czyli tzw. ratchetting (rys. 18.37c). W efekcie przemiennych odkształceń plastycznych następuje zniszczenie na skutek niskocyklowego zmęczenia plastycznego po niewielkiej liczbie cykli (por. wzór Coffina p. 4.8). Zjawisko to (tzw. alternating plasticity) obserwujemy np. w czasie wielokrotnego zginania cienkiego drutu; po kilkunastu zgięciach, w których powstają deformacje trwałe (plastyczne), drut pęka. Z kolei, gdy w każdym cyklu przyrastają trwałe odkształcenia plastyczne, obserwujemy nieograniczony wzrost przemieszczeń (tzw. incremental collapse), równoznaczny z utratą właściwości użytkowych konstrukcji. Problem ten jest szczególnie widoczny, gdy działają obciążenia stałe, którym towarzyszy cykliczna zmiana temperatury. Zmienne obciążenie konstrukcji jest opisane przez tzw. program obciążenia, czyli siły powierzchniowe i masowe jako funkcje położenia i czasu: pi = pi(x, t),

Gi = Gi(x, t).

(18.35)

Przystosowanie konstrukcji do danego programu obciążenia występuje wtedy, gdy po pewnym czasie ustabilizuje się pewne pole odkształceń trwałych ε ij( r ) . Odkształcenia te powodują wytworzenie się niezmiennego w czasie pola naprężeń resztkowych σ ij( r ) , natomiast reakcja konstrukcji na obciążenia jest czysto sprężysta. Wobec tego, zgodnie z twierdzeniem Melana z 1938 roku przystosowanie ma miejsce wówczas, gdy suma σ ijE ( x , t ) + σ ij( r ) ( x ) nie narusza nigdzie warunku plastyczności, tzn. gdy

[

]

Φ σ ijE ( x , t ) + σ ij( r ) ( x ) ≤ 0.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(18.36)

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

53

Symbolem σ ijE ( x , t ) oznaczono naprężenia wywołane przez dany program obciążenia i obliczone jak dla ciała idealnie sprężystego. Kryterium (18.36) ma charakter statyczny. W podejściu kinematycznym postuluje się, by energia zużyta na odkształcenia plastyczne w całym okresie pracy konstrukcji była wartością skończoną: ∞   σ ij ⋅ ε& p dt  dV < ∞, ij   V 0 

∫∫

(18.37)

gdzie

ε&ijp - oznacza prędkość odkształceń plastycznych, σij - jest polem naprężeń stowarzyszonym z polem prędkości odkształceń plastycznych. Z kryterium kinematycznego (18.37) wynika twierdzenie Neala z 1950 roku*) dotyczące belek i ram zginanych.

18.4.2. Przystosowanie belek i ram Twierdzenia o przystosowaniu zilustrujemy na przykładzie zginanych układów belkowych. Jak wiadomo, po zdjęciu obciążenia w częściowo uplastycznionej konstrukcji sprężysto-plastycznej (r) (r) pojawiają się resztkowe odkształcenia ε i naprężenia σ . W układach statycznie wyznaczalnych w danym przekroju pręta naprężenia resztkowe tworzą układ samorównoważący się (por. p. 18.2). Oznacza to, że resztkowe siły wewnętrzne (momenty zginające, siły normalne itd.) są równe zeru. W układach statycznie niewyznaczalnych zazwyczaj tak nie jest. Prześledzimy obecnie obciążenie i odciążenie pryzmatycznej belki statycznie niewyznaczalnej obciążonej siłą skupioną P = Pa (rys. 18.38a). Przekrój belki jest idealnym dwuteownikiem. W związku z tym moment sprężysty MS jest równy momentowi plastycznemu MP, a wykres zależności M(k) jest podobny do wykresu σ(ε) (rys. 18.38g). Siła Pa jest tak dobrana, by PS < Pa < PL, gdzie PS oznacza siłę wywołującą pierwsze uplastycznienie konstrukcji (na podporze B, por. rys. 18.38b), a PL − obciążenie graniczne układu (rys. 18.38c). W rozważanym zadaniu PS = 2,67MP/L, a PL = 3MP/L. Przyjmiemy, że Pa = 17MP/(6l) = 2,83MP/l. Podczas obciążenia siłą Pa odkształcenia w całej belce są sprężyste, z wyjątkiem przekroju utwierdzonego na podporze B, gdzie na skutek uplastycznienia wystąpił kąt obrotu ϕa (rys. 18.38d). Odciążenie belki jest sprężyste i odpowiada obciążeniu siłą Pb = −Pa = −2,83MP/l. Przebieg momentów zginających pochodzących od odciążenia Mb przedstawia rys. 18.38e. Ostatecznie po odciążeniu (r) (r) pozostaje pole momentów resztkowych M = Ma + Mb i ugięcie resztkowe w = wa + wb (rys. 18.38f). Z omówionego przykładu wynika, że pole momentów resztkowych z uwagi na brak obciążenia jest w równowadze z zerowym obciążeniem, a kształt wykresu odpowiada momentowi pochodzącemu od działania siły nadliczbowej (np. reakcji VA lub momentu utwierdzenia MB). Wniosek powyższy obejmuje również, jako przypadek szczególny, układy statycznie wyznaczalne, w których zerowemu obciążeniu towarzyszy zawsze zerowe pole sił wewnętrznych. W układach o wyższym stopniu statycznej niewyznaczalności resztkowe pole sił wewnętrznych jest kombinacją liniową sił wewnętrznych wywołanych przez poszczególne siły nadliczbowe. *)

Twierdzenie Neala podamy w p. 18.4.2. Twierdzenie to uogólnił na ośrodek ciągły Koiter w 1956 roku.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

54

Rys. 18.38 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

55

W zginanych belkach i ramach o przekrojach idealnie dwuteowych (MS = MP) przystosowanie zachodzi wówczas, gdy po pewnym czasie reakcja konstrukcji będzie czysto sprężysta, tzn. gdy max MiE + Mi( r ) ≤ M P ,   min MiE + Mi( r ) ≥ − M P 

(18.38)

max M iE − min M iE ≤ 2 M p .

(18.39)

i jednocześnie

Spełnienie nierówności (18.38) zabezpiecza przed zniszczeniem przyrostowym, a spełnienie nierówności (18.39) zabezpiecza przed zniszczeniem niskocyklowym (przemiennym). W obu nierównościach max M iE oraz min M iE oznaczają rzędne momentów zginających w przekroju i obliczone jak dla konstrukcji idealnie sprężystej. Układ momentów resztkowych M i( r ) powstaje w cyklach plastycznej deformacji konstrukcji w procesie stabilizacji odkształceń trwałych. W przypadku przystosowania pole momentów resztkowych pozostaje już niezmienne w czasie. Momenty resztkowe są kombinacją liniową momentów pochodzących od sił nadliczbowych Xj (j = 1, 2, ..., n): n

Mi =

∑ X j ⋅ mij ,

(18.40)

j =1

gdzie mij oznacza moment w przekroju i wywołany przez działanie siły nadliczbowej Xj = 1. Zależność (18.38) jest treścią twierdzenia Melana w zastosowaniu do konstrukcji zginanych. Odpowiednikiem tego twierdzenia w podejściu kinematycznym jest twierdzenie Neala: Konstrukcja przystosuje się do danego programu obciążenia, jeżeli istnieje taki mechanizm ruchu plastycznego, że jest spełniona nierówność: r

r

∑

M i* ⋅ ϕ&i ≤

Mi*

max MiE , gdy ϕ&i > 0, = min MiE , gdy ϕ&i < 0.

i =1

∑ M pi ⋅ ϕ&i ,

(18.41)

i =1

gdzie (18.42)

Twierdzenie to dotyczy tylko zniszczenia przyrostowego. Na zakończenie dodajmy, że problem przystosowania konstrukcji jako uogólnienie problemu nośności granicznej można również sformułować w kategoriach programowania liniowego, co pozwala wykorzystać gotowe procedury komputerowe.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

56

18.4.3. Przykład *) Rozważymy pryzmatyczną belkę ciągłą przedstawioną na rys. 18.39a. Przekrój belki jest idealnie dwuteowy.

Rys. 18.39

W praktyce przebieg obciążeń w czasie nie jest bliżej znany. Do rozwiązania zadań przystosowania wystarczy jednak podać tylko granice (amplitudy) zmienności obciążeń w postaci nierówności: Pj− ≤ Pj ≤ Pj+ . W rozważanym zadaniu przyjmiemy, że 0 ≤ P1 ≤ P,

0 ≤ P2 ≤ P.

Obwiednie momentów max MiE i min MiE można ustalić za pomocą tablic dla sprężystych belek ciągłych. Ekstremalne momenty podano w tablicy II. Wykres obwiedni przedstawia rys. 18.39b. Tablica II Obciążenie P1 = P P2 = 0 P1 = 0 P2 = P max MiE

min M iE

*)

i=1 13 Pl 64 3 − Pl 64 13 Pl 64 3 − Pl 64

i=2 6 − Pl 64 6 − Pl 64 0 −

12 Pl 64

i=3 3 − Pl 64 13 Pl 64 13 Pl 64 3 − Pl 64

Przykład ten prezentował J.A.König.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

57

Nośność sprężystą, czyli maksymalną wartość siły P powodującą pierwsze uplastycznienie, wyznaczymy z wykresu obwiedni momentów: max M E =

13 PS L = M S = M P , 64

skąd PS =

64 M P ⋅ = 4,923 M P / L. 12 L

Obciążenie graniczne belki można ustalić, poszukując takiej kombinacji niezależnych mechanizmów zniszczenia I i II (rys. 18.39d), by siła PL była najmniejsza. Ta sama wartość odpowiada wykresowi momentów z rys. 18.39c: PL = 6MP/L. Wyznaczymy teraz największą wartość amplitudy obciążenia P, wynikającą z twierdzeń o przystosowaniu. Dla zniszczenia niskocyklowego według wzoru (18.39) mamy: 13  3  Pl −  − Pl  ≤ 2 M P ,  64  64 skąd P ≤ 8 MP /L. Zniszczenie przyrostowe zbadamy za pomocą twierdzenia Neala (18.41). Przyjmując odpowiedni mechanizm zniszczenia kierujemy, się tym, by moc dysypowana wewnątrz konstrukcji była możliwie najmniejsza. Zachodzi to wówczas, gdy przyjmiemy jeden z niezależnych mechanizmów zniszczenia podanych na rys. 18.39d. Przykładowo dla mechanizmu II otrzymujemy (ϕ&1 = 0, ϕ& 2 = −ϕ& II , ϕ& 3 = 2ϕ& II ): 13  12  Pl ⋅ 2ϕ& II +  − Pl  ⋅ ( − ϕ& II ) ≤ M P ⋅ 0 + ( − M P ) ⋅ ( − ϕ& II ) + M P ⋅ 2ϕ& II ,  64  64 skąd P≤

3 ⋅ 64 M p 38 L

= 5,053 M p / L.

Porównując wartości PS, PL i P, stwierdzamy, że zachodzi nierówność: PS < P < PL.

(18.43)

Nie jest to przypadkowe, gdyż nośność z uwzględnieniem przystosowania z reguły jest nieco większa (lub równa) od nośności sprężystej i − oczywiście − nie może być większa od nośności granicznej.

18.5. MATERIAŁY O WŁASNOŚCIACH REOLOGICZNYCH 18.5.1. Wprowadzenie W latach dwudziestych bieżącego stulecia nastąpił bardzo gwałtowny rozwój przemysłu tworzyw sztucznych. W trakcie badań wytrzymałościowych tych tworzyw zaobserwowano „płynięcie” materiału nawet przy bardzo małych naprężeniach. Początkowo proces ten utożsamiano z płynięciem plastycznym, odpowiadającym tarciu suchemu. Bliższa analiza wyników badań wykazała jednak, że zarejestrowane zjawisko ma cechy płynięcia lepkiego, charakterystycznego dla cieczy. Lepkość szczególnie wyraźnie objawia się właśnie w tworzywach sztucznych oraz w betonie i gruntach. W metalach efekty deformacji lepkich występują przede wszystkim w wysokich temperaturach, aczkolwiek wpływ ich trzeba uwzględniać również w temperaturach pokojowych, np. w betonowych konstrukcjach wstępnie sprężonych. Opisem materiałów wykazujących oprócz innych również cechy ciał lepkich zajmuje się reologia (reo − z Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

58

greckiego: płynąć). Ściślej biorąc, reologia jest syntezą teorii sprężystości, teorii plastyczności i hydromechaniki. Prawa fizyczne w złożonych ciałach reologicznych można zapisać w postaci:

F (σ , σ& , ε , ε& , t , T ) = 0,

(18.44)

gdzie t oznacza czas, T− temperaturę, a kropka − pochodną względem czasu. 18.5.2. Elementarne modele reologiczne Zasadnicze cechy fizyczne materiałów można opisać za pomocą tzw. modeli reologicznych, składających się z trzech modeli elementarnych: − sprężyny opisującej własności sprężyste − model Hooke'a, (rys. 18.40a), − suwaka opisującego własności plastyczne − model de Saint-Venanta, (rys. 18.40b), − tłumika opisującego własności lepkie − model Newtona, (rys. 18.40c).

W modelu Hooke’a opory sprężyny (naprężenia) są proporcjonalne do odkształcenia:

σ H = Eε H .

(18.45)

W modelu de Saint-Venanta opory suwaka, obrazującego tarcie suche są stałe: σV ≤ σ P , ε&V = 0, σV = σ P ⋅ sgn ε&V , ε&V ≠ 0.

(18.46)

W modelu Newtona tłumik składa się z cylindra wypełnionego nieściśliwą cieczą oraz z perforowanego tłoka. Ruchowi tłoka względem cylindra towarzyszy przepływ cieczy przez otwory tłoka. Wobec tego podczas próby nagłego przesunięcia tłumik zachowuje się jak ciało sztywne, gdyż do przepływu cieczy przez otwory tłoka trzeba trochę czasu. Opory tłumika są więc proporcjonalne do prędkości odkształcenia:

σ N = η ⋅ ε&N ,

(18.47)

2

gdzie symbol η [N·s/m ] nazywa się współczynnikiem lepkości dynamicznej.

Rys. 18.40

Uogólnienie modeli elementarnych polega na wprowadzeniu nieliniowej sprężyny, wzmocnienia plastycznego lub nieliniowego tłumika, którego opory zależą od wyższych potęg prędkości odkształcenia. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

59

Dalsze komplikacje pojawią się z chwilą uwzględnienia wpływu temperatury na stałe materiałowe. Wiele materiałów (beton, tworzywa sztuczne) wykazuje zmianę wartości „stałych” materiałowych w miarę upływu czasu. Mówimy wówczas o tzw. starzeniu się materiału, które przebiega niezależnie od obciążeń zewnętrznych w niezmiennych warunkach otoczenia. W dalszych rozważaniach ograniczymy się do omówienia najprostszych modeli złożonych materiałów reologicznych. 18.5.3. Liniowe materiały lepko-sprężyste Modele materiałów lepko-sprężystych powstają przez łączenie modeli materiałów sprężystych (sprężyn) i modeli materiałów lepkich (tłumików). Jeżeli naprężenia i odkształcenia oraz ich pochodne względem czasu występują tylko w pierwszej potędze, to materiał lepkosprężysty nazywamy liniowym. Model materiału liniowego składa się wyłącznie z liniowych sprężyn i tłumików, opisanych wzorami (18.45) i (18.47).

Rys. 18.41

Szeregowe połączenie sprężyny i tłumika (rys. 18.41a) odpowiada modelowi Maxwella. Równanie fizyczne tego modelu wynika ze spostrzeżenia, że w każ dej chwili t całkowite odkształcenie jest sumą odkształcenia sprężyny i odkształcenia tłumika: (a)

ε (t ) = ε H (t ) + ε N (t ) ,

a naprężenia w obu elementach są jednakowe: (b)

σ (t ) = σ H (t ) = σ N (t ) .

Po zróżniczkowaniu równania (a) względem czasu (c)

ε& (t ) = ε&H (t ) + ε& N (t ) ,

z kolei ze wzoru (18.45) oraz wzoru (b) (E = const) uzyskujemy: (d)

ε&H ( t ) =

σ& H σ& = . E E

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

60

Na podstawie zależności (c), (d) i (18.47) otrzymujemy poszukiwany związek fizyczny dla modelu Maxwella: ε& =

σ& σ + E η

(18.48)

lub

tr ⋅ σ& + σ = η ⋅ ε& ,

(18.48a)

gdzie tr = η / E i nosi nazwę czasu relaksacji. Model Maxwella bardzo dobrze opisuje jakościowo zjawisko relaksacji, czyli zmianę naprężeń w czasie przy stałej wartości odkształcenia ε(t) = ε0 = const. Rozważmy dla przykładu pręt wykonany z materiału Maxwella, poddany wymuszeniu kinematycznemu (rys. 18.41d):

(e)

0, ε (t ) = ε 0 ⋅ H (t ) =  ε 0 ,

t < t0 , t > t0 ,

gdzie H(t) jest funkcją skoku jednostkowego Heaviside'a. Realizację tego wymuszenia obrazują rys. 18.41b, c. W pewnej chwili t0 = t pręt rozciągnięto, a jego końce zamocowano. Tuż po rozciągnięciu

w chwili t0+ , w pręcie wystąpiło naprężenie σ (t0+ ) = σ 0 = Eε 0 . W chwili tej wydłużeniu uległa tylko sprężyna, a tłumik nie wykazał odkształceń. W miarę upływu czasu następuje przepływ cieczy w tłumiku; tłumik wydłuża się, a sprężyna ulega stopniowemu skróceniu, co zmniejsza naprężenia w pręcie. Obserwujemy zatem relaksację naprężeń. Gdy czas zmierza do nieskończoności, naprężenia dążą do zera. Całkowity zanik naprężeń jest zasadniczą wadą modelu Maxwella, gdyż w rzeczywistych materiałach w miarę upływu czasu naprężenie dąży do pewnej wartości skończonej, σ(∞) ≠ 0. Przejdziemy do matematycznego opisu zjawiska relaksacji za pomocą modelu Maxwella. W równaniu (18.48) uwzględnimy, że dla t > 0 ε(t) = ε0 = const, czyli ε& (t) = 0. Wynika stąd równanie różniczkowe na funkcję naprężenia σ(t): (f)

tr ⋅ σ& + σ = 0

z warunkiem początkowym

σ (t0+ ) = σ 0 = Eε 0 . Całka ogólna tego równania ma postać:

σ (t ) = C ⋅ e − t / t r , gdzie C jest stałą całkowania. Jeżeli przyjmiemy, że t0 = 0, to wykorzystanie warunku początkowego prowadzi do rozwiązania: (g)

σ (t ) = Eε0 ⋅ e − t / t r = σ 0 ⋅ e − t / tr .

Funkcja σ(t) obrazuje spadek (relaksację) naprężeń w funkcji czasu przy stałej wartości odkształcenia ε= ε0. Na rysunku 18.41e podano wykres tej funkcji. Rysunek 18.41f przedstawia zależność σ(ε) z zaznaczeniem kolejnych etapów badanego procesu. Czas odgrywa tutaj rolę parametru. Wykres σ(ε) wskazuje na to, że mamy do czynienia z procesem nieodwracalnym, w którym następuje rozpraszanie energii przez element lepki (tłumik). Zwróćmy uwagę na pewną użyteczną własność materiałów liniowych. Obowiązuje tu tzw. zasada superpozycji Boltzmanna: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

61

Jeżeli cykl odkształceń ε1(t) powoduje naprężenia σ1(t), a cykl odkształceń ε2(t), powoduje naprężenia σ2(t), to suma cykli ε1(t) + ε2(t) wywołuje sumę naprężeń σ1(t) + σ2(t). Zasada Boltzmanna obowiązuje również dla cykli naprężeń σ1(t) i σ2(t) wywołujących odkształcenia ε1(t) i ε2(t). Zastosowanie zasady Boltzmanna zilustrujemy przykładem, w którym zbadamy odpowiedź materiału Maxwella na wymuszenie kinematyczne określone, jak następuje (rys. 18.42a): 0, t < 0  ε ( t ) = ε 0 , 0 < t < t1 0, t > t . 1  Wymuszenie to można uważać za sumę dwóch cykli opisanych za pomocą funkcji Heaviside'a (rys. 18.42b): ε(t) = ε1(t) + ε2(t),

ε1 ( t ) = ε 0 ⋅ H (t ),

ε 2 (t ) = −ε 0 ⋅ H (t − t1 ).

Do wyznaczenia naprężeń wykorzystamy zasadę Boltzmanna oraz rozwiązanie (g):

σ1 (t ) = σ 0 ⋅ e − t / t r ,

σ 2 (t ) = −σ 0 ⋅ e − ( t − t1 )/ t r .

Postać funkcji σ2(t) wynika z przesunięcia osi czasu w równaniu (g) o wartości t1. Ostatecznie otrzymujemy: σ1 (t ) = σ 0e − t / t r , t0 < t < t1  σ (t ) =  − t / tr t > t1. ⋅ 1 − e − t1 / t r , σ1 (t ) + σ 2 (t ) = σ 0e

(

)

Ilustracją tej zależności są rysunki 18.42c, d. Warto zwrócić uwagę na rys. 18.42e, na którym wykres σ(ε) odpowiadający rozważanemu cyklowi odkształceń przedstawia pętlę histerezy sprężystej (por. p. 4.3). Pole tej pętli jest energią rozpraszaną w procesie przypadająca na jednostkę objętości:

(

)

Wd = σ 0ε0 ⋅ 1 − e − t1 / t r . Omówimy teraz równoległe połączenie sprężyny i tłumika, czyli tzw. model Kelvina (rys. 18.43a). Model ten bardzo dobrze opisuje zjawisko pełzania, czyli zmianę odkształceń w czasie przy stałej wartości naprężenia. Równanie modelu Kelvina wyprowadza się, korzystając z faktu, że w każdej chwili odkształcenia sprężyny i tłumika są jednakowe. Oznacza to, że element poprzeczny łączący oba modele elementarne musi być zawsze poziomy, tzn. może przesuwać się tylko równolegle. Ponadto bierzemy pod uwagę, że naprężenie całkowite jest sumą naprężeń występujących w sprężynie i tłumiku. Mamy więc: (h)

ε (t ) = ε H (t ) = ε N (t )  σ (t ) = σ H (t ) + σ N (t ).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

62

Rys. 18.42

Z tych zależności oraz równań fizycznych ciała Hooke'a (18.45) i ciała Newtona (18.47) otrzymujemy równanie fizyczne modelu Kelvina:

σ = Eε + ηε&.

(18.49)

Rozważymy pręt wykonany z materiału odpowiadającego modelowi Kelvina, poddany stałemu naprężeniu rozciągającemu σ0 (por. rys. 18.43b, e). W chwili t = t0+ , odpowiadającej momentowi przyłożenia obciążenia, pręt nie wykazuje żadnych wydłużeń, bo tłumik zachowuje się jak ciało sztywne (całą siłę przejmuje właśnie tłumik). W miarę upływu czasu następuje przepływ cieczy w tłumiku, co umożliwia wydłużenie pręta. Część naprężeń proporcjonalnych do tego wydłużenia przejmuje sprężyna; naprężenie przenoszone przez tłumik zmniejsza się. Gdy czas obciążenia jest nieskończenie długi, całą siłę przejmuje sprężyna, a wydłużenie pręta dąży do wartości σ0/E. Opisany proces ma cechy pełzania. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

63

Rys. 18.43

Zależność ε(t) ustalimy na podstawie równania (18.49), w którym σ(t) = σ0 : (i)

tr ε& + ε = σ 0 / E .

Równanie to przy warunku początkowym ε(0) = 0 ma następujące rozwiązanie: (j)

(

)

σ ε (t ) = 0 ⋅ 1 − e− t / tr . E

Wykres funkcji ε(t) podano na rys. 18.43c. Funkcja σ(ε), zobrazowana na rys. 18.43d, jest podobna do wykresu σ(ε) dla ciała idealnie plastycznego. Dlatego w początkowych badaniach przeprowadzanych w latach dwudziestych naszego wieku pełzanie utożsamiano z płynięciem plastycznym. Zasadnicza różnica między tymi procesami polega na tym, że prędkość odkształcenia podczas pełzania jest zmienna w czasie, a podczas płynięcia plastycznego jest stała. Na rysunkach 18.43f, g, h przedstawiono funkcję obciążenia σ(t), odpowiadający jej przebieg odkształceń ε(t) i wykres σ(ε). Rozwiązanie tego zadania otrzymuje się bezpośrednio z równania (j) na podstawie zasady superpozycji Boltzmanna. Wykres σ(ε) − podobnie jak w modelu Kelvina − obrazuje histerezę sprężystą. Usunięcie obciążenia po odpowiednio długim czasie prowadzi do zaniku odkształceń. Stąd przymiotnik „sprężysta”, mimo że badany proces jest niesprężysty (nieodwracalny). Jak widać, zanikanie odkształceń po zdjęciu obciążenia nie świadczy o sprężystości materiału. Sprężystość charakteryzuje się bowiem tym, że na płaszczyźnie (σ, ε) droga obciążenia pokrywa się z drogą odciążenia. Model Kelvina nie wykazuje doraźnych cech sprężystych, charakterystycznych dla każdego rzeczywistego materiału. Wady tej nie ma tzw. model standardowy, określony trzema parametrami E0, E, η (rys. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

64

18.44a). Symbolem E0 oznaczono tu moduł sprężystości doraźnej. Model standardowy składa się z szeregowego połączenia modelu Hooke'a i modelu Kelvina. Równanie różniczkowe tego modelu standardowego wynika z następujących zależności: ε = ε H + ε K ,  σ = σ H = σ K ,

(k)

przy czym ε H = σ / E0 , natomiast indeks K dotyczy modelu Kelvina. Wobec tego σ σ& , σ = σ K = Eε K + ηε&K = E (ε − ε H ) + η(ε& − ε&H ) = Eε − E + ηε& − η E0 E0 stąd  E η σ ⋅ 1 + ⋅ σ& = E ⋅ ε + η ⋅ ε&. + E0  E0  Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie:

σ + tr*σ& = E *ε + η*ε&,

(18.50)

gdzie tr* =

EE0 η ηE0 , E* = < E0 , η* = < η. E + E0 E + E0 E + E0

Zauważmy, że model standardowy jest uogólnieniem modeli Maxwella i Kelvina. Pierwszy z nich uzyskamy dla E → 0, drugi − dla E0 → ∞. Zachowanie się modelu standardowego poddanego obciążeniu „prostokątnemu” (rys. 18.44b): σ (t ) = σ 0 [ H (t − t1 ) − H (t )], obrazują rys. 18.44c, d.

Rys. 18.44 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

65

Chcąc zastosować którykolwiek z wyżej omówionych modeli trzeba oszacować parametry tr* , E *i η* , pełniące funkcję stałych materiałowych. Jedną z możliwości jest badanie wymiarów pętli histerezy przy wymuszeniu odkształcenia bądź naprężenia (por. [9]). W maszynach wytrzymałościowych wygodnie jest wymuszać odkształcenie, zmieniające się w czasie według wzoru:

ε (t ) = ε 0 sin(ωt ).

(l)

Równanie różniczkowe modelu standardowego przyjmuje wówczas postać:

σ + tr*σ& = E1ε 0 sin ωt + η*ε 0ω cosωt ,

(m)

przy czym jako warunek początkowy przyjmiemy wymaganie, by σ(0) = 0. Całka ogólna równania (m) jest następująca:

σ (t ) = Ce − t / tr + σ s (t ), gdzie C - jest stałą całkowania, σs(t) - jest całką szczególną równania niejednorodnego o postaci: σs(t) = Asinωt + Bcosωt.

(n)

Wartości A i B muszą być tak dobrane, by równanie różniczkowe (m) było spełnione tożsamościowo. Po podstawieniu zależności (n) do (m) otrzymujemy:

( A − t ωB) sin ωt + (t ωA + B) cosωt = E ε sin ωt + η ε ω cosωt , * r

* r

*

*

0

0

skąd (o)

A=

ε0 *2 1 + tr ⋅ ω 2

(E

*

)

+ tr*η*ω 2 , B =

ε0

1 + tr*2ω 2

(

)

⋅ ω η* − tr* E1 > 0.

Z warunku początkowy σ(0) = 0 wynika, że C = −B, a rozwiązanie równania (m) przybiera postać:

(p)

lub

gdzie

*

σ (t ) = − Be − t / t r + A sin ωt + B cosωt

*

σ (t ) = − Be − t / t r + σ 0 sin(ωt + ϕ ),

σ 0 = A / cosϕ , tgϕ = B / A.

Przebieg funkcji ε(t) i σ(t) przedstawiono na rys. 18.45a, b.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

66

Rys. 18.45

Z rysunków tych oraz ze wzoru (p) widać, że w miarę zwiększania liczby cykli (upływu czasu) zależność σ(t) stabilizuje się i w przybliżeniu można ją określić funkcją: (r)

σ ( t ) ≈ A sin ωt + B cos ωt.

Procesowi stabilizacji towarzyszy wytworzenie się pętli histerezy (rys. 18.45c) na płaszczyźnie (σ, ε). Dla bardzo dużej liczby cykli pętla histerezy przyjmuje postać zilustrowaną na rys. 18.45d. Energia rozpraszana odpowiada tzw. tłumieniu wewnętrznemu. Równanie pętli histerezy otrzymujemy przez wyrugowanie z równań (l) i (r) parametru czasu. Po uwzględnieniu w zależności (r), że sinωτ = ε/ε0, dysponujemy dwoma równaniami: ε = sin ωt ,

σ −ε = cosωt , B

gdzie σ = σ , ε = Aε / ε 0 . Po obustronnym podniesieniu do kwadratu i wykorzystaniu wzoru jedynkowego równania te prowadzą do zależności:

(σ − ε )2 + tg2ϕ ⋅ ε 2 = B 2 . Można się przekonać, że uzyskane równanie przedstawia elipsę, której główne osie pokrywają się z osiami ε1 i σ1 , obróconymi o pewien kąt α (rys. 18.45d). Ostatecznie otrzymujemy równanie: (s)

ε12

σ12 + = 1, a 2 b2

gdzie ε1 = ε ⋅ cosα − σ ⋅ sin α ; σ1 = ε ⋅ sin α + σ ⋅ cos α , tg2α = −2 / tg2ϕ oraz

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

67

(t ,η , E ) = B / (1 + tg ϕ ⋅ cos α − sin 2α ), (t ,η , E ) = B / (1 + tg ϕ ⋅ sin α + sin 2α ) < a .

a 2 = a 2   b 2 = b 2 

(t)

* r

*

*

2

2

2

* r

*

*

2

2

2

2

Pomiar wartości σ0 oraz wymiarów i usytuowania pętli histerezy otrzymanej na podstawie badań doświadczalnych pozwala za pomocą zależności (t) oraz rys. 18.45d oszacować nieznane parametry modelu tr* , η* i E *. Omówimy jeszcze rozciąganie i zginanie pręta wykonanego z materiału standardowego. Podstawą rozważań jest równanie modelu standardowego (18.50) oraz prawo Bernoulliego dla przekroju, w którym oś z jest osią symetrii:

ε ( x , z , t ) = λ ( x , t ) + k ( x , t ) z. Z zależności tej wynika, że ε& ( x , z , t ) = λ& ( x , t ) + k& ( x , t ) z. Podstawienie obu powyższych zależności do równania (18.50) prowadzi do wyniku:

(

)

σ + tr* ⋅ σ& = E * ⋅ ( λ + k ⋅ z ) + η* λ& + k&z .

(u)

Obustronne całkowanie równania (u) po powierzchni przekroju A:

∫ (σ + trσ& )dA = E ∫ (λ + kz)dA + η ∫ (λ& + k&z)dA, *

A

*

A

A

prowadzi do równania różniczkowego wiążącego siłę podłużną z wydłużeniem osi:

N + tr* N& = E * Aλ = η* Aλ&.

(18.51)

Odpowiednie równanie dla momentu zginającego otrzymuje się przez pomnożenie równania (u) przez z oraz scałkowanie po powierzchni przekroju A:

∫ (σz + tr σ&z)dA = E ∫ (λz + kz *

A

*

2

)dA + η*

A

2 ∫ ( λ&z + k&z )dA, A

skąd

& = E * J ⋅ k + η* J ⋅ k& , M + tr* M

(18.52)

gdzie J oznacza moment bezwładności przekroju względem osi y. W celu ilustracji zastosowania uzyskanych wyników obliczymy belkę wspornikową przedstawioną na rys. 18.46a. W chwili t = 0 belkę obciążono siłą skupioną P. Ponieważ ograniczamy się do małych przemieszczeń, a układ jest statycznie wyznaczalny, więc moment zginający ma znaną wartość i nie & = 0 . Wobec tego równanie (18.52) przyjmuje postać: zmienia się w miarę upływu czasu, czyli M (w)

η*k& + E *k =

M ( x) , J

przy czym warunek początkowy dla krzywizny powinien uwzględniać krzywiznę doraźną, pojawiającą się tuż przy przyłożeniu obciążenia, czyli (x)

k ( x ,0) =

M ( x) . E0 J

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

68

Rozwiązaniem ogólnym równania (w) jest funkcja: *

k ( x , t ) = C ⋅ e − t / t r + k S ( x , t ). Całkę szczególną można przyjąć w postaci: k S ( x, t ) = k S ( x) =

M ( x) E*J

.

Wobec powyższego *

k ( x, t ) = C ⋅ e− t / tr +

M ( x) E*J

.

Po uwzględnieniu warunku początkowego (x) otrzymujemy ostatecznie, że

C=−

M ( x)  E*  M ( x)  1 −  = − ⋅ * E0  EJ E J 

oraz k ( x, t ) =

(y)

M ( x)  E * − t / tr   1 −  . ⋅ ⋅e E E*J  

Ponieważ k(x, t) = −w''(x, t), więc równanie różniczkowe linii ugięcia jest następujące: w''( x , t ) = −

M ( x)  E * − t / t r*   1 −  , ⋅ ⋅e E E*J  

M ( x ) = P( l − x ) .

Po scałkowaniu względem x i uwzględnieniu warunków brzegowych: w(0, t) = 0, w'(0, t) = 0, uzyskujemy równanie linii ugięcia w funkcji czasu:

(z)

w(x,t ) =

3 *  E  E Pl 3   x  x   E0  E0 −t / tr  3 − = wspr (x)1+ 0  − 0 e−t / tr ,       ⋅ 1+  − e  6E0 J   l   l    E  E   E  E   

gdzie wspr (x) oznacza funkcję ugięcia belki idealnie sprężystej o sztywności E0J. Ugięcie końca belki wspornikowej w(l, t) = ∆(t) jako funkcja czasu

∆(t ) =

Pl 3 3E0 J

*  E  E ⋅  1 + 0  − 0 ⋅ e − t / t r . E E  

Uzyskane rezultaty obrazują rys. 18.46c, d.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

69

Rys. 18.46

Warto dodać, że rozwiązania zadań liniowej lepkosprężystości składają się zawsze z iloczynu części odpowiadającej rozwiązaniu sprężystemu i pewnej funkcji czasu. Ilustracją tego jest budowa równania (z). 18.5.4. Materiały sprężysto-plastyczne Charakterystyczną cechą materiałów wykazujących własności reologiczne jest lepkość. Materiały sprężysto-plastyczne, jako niewrażliwe na prędkość odkształcenia, nie są zatem ściśle biorąc, materiałami reologicznymi. Niemniej jednak własności mechaniczne materiałów sprężysto-plastycznych wynikają również z analizy zachowania się modeli reologicznych złożonych ze sprężyn i suwaków. Przykładem takiego modelu jest model ciała sprężysto-idealnie plastycznego, przedstawiony na rys. 18.47a. Zachowanie się modelu w trakcie obciążania i odciążania ilustruje rys. 18.47b.

Rys. 18.47

18.5.5. Materiały sprężystolepkoplastyczne Modele tych materiałów mają najbardziej złożoną strukturę, składają się bowiem ze wszystkich rodzajów modeli elementarnych, tzn. sprężyn, tłumików i suwaków. Materiały sprężystolepkoplastyczne dzieli się zazwyczaj na dwie zasadnicze grupy, [34]: − materiały sprężysto/lepkoplastyczne (por. rys. 18.48), − materiały sprężysto-lepkoplastyczne (por. rys. 18.49). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

70

Materiały pierwszej grupy przed uplastycznieniem są wyłącznie sprężyste; lepkość ich pojawia się dopiero po uplastycznieniu. Materiały drugiej grupy wykazują własności lepkie zarówno w obszarze sprężystym, jak i plastycznym. Oba rodzaje modeli ciał sprężystolepkoplastycznych bardzo dobrze opisują znany z eksperymentów wpływ prędkości i obciążenia na charakterystykę wykresu σ(ε). Rozważymy najpierw model Binghama, opisujący materiał sprężysto/lepko-plastyczny (rys. 18.48a). Równanie tego modelu budujemy na podstawie zależności:

σ = σ E = σ N + σV ,

ε = ε E + ε NV .

Gdy |σ| < σP, model zachowuje się czysto sprężyście. Gdy |σ| > σP, to nadwyżkę obciążenia σ − σ P ⋅ sgn ε& przejmuje tłumik. Wobec tego σ& / E , ε& =  (σ& / E ) + (σ − σ P ⋅ sgn ε& ) / η ,

σ < σP, σ > σ P.

(18.53) 2

Rozważymy obciążenie modelu naprężeniem rosnącym jednostajnie z prędkością v [N/(m /s)]: σ(t) = v · t (rys. 18.48b). Wówczas v σ t ≤ P , to ε( t ) = ⋅ t , − gdy E v  v (vt − σ P )  σP v vt 2 σ P , to ε (t ) =  + + = + − dt C t t + C.  v 2η η E η E  Stałą całkowania C wyznaczymy z warunku ciągłości odkształceń w chwili t = σP/v: − gdy

t≥

∫

σ P σ P vσ 2P σ P σ P = + − ⋅ + C, v E E η 2ηv 2 skąd C=

σ 2P . 2vη

Rys. 18.48

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

18. PRĘTY Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO

71

Rozwiązanie zadania jest więc następujące:

(a)

σ v t≤ P, E t , v  ε (t ) =  2  v t 2 +  v − σ P  t + σ P , t ≥ σ P . 2 E η  2ηv v  η

Po wyeliminowaniu czasu t otrzymujemy zależność ε(σ): σ , E  ε (σ ) =  2  σ + (σ − σ P ) ,  E 2ηv

σ ≤σP σ ≥ σ P.

Zależność tę ilustruje rys. 18.48c. Z rysunku widać, że wzrost prędkości obciążenia powoduje podniesienie się krzywej σ(ε). Jeden z najprostszych modeli ciała sprężysto-lepkoplastycznego przedstawia rys. 18.49a. Jest to model czteroparametrowy. Analiza reologiczna tego modelu jest dosyć obszerna. Poprzestaniemy zatem tylko na przedstawieniu wykresu σ(ε) przy wymuszeniu dynamicznym σ(t)= v·t. Okazuje się, że poza zjawiskami występującymi w modelu Binghama rejestrujemy również podwyższenie granicy plastyczności σ *P w efekcie wzrostu prędkości i naprężenia. Tę własność modelu czteroparametrowego ilustruje rysunek 18.49c.

Rys. 18.49

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

1

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI 19.1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE 19.1.1. Bifurkacja stanu równowagi Zagadnienia stateczności należą do najtrudniejszych, a zarazem kluczowych problemów mechaniki. Naszkicujemy je wstępnie na przykładzie idealnie sprężystego pręta pryzmatycznego poddanego działaniu osiowej siły ściskającej (rys. 19.1a). Pod wpływem dostatecznie małej siły ściskającej pręt ulega jedynie skróceniu, a oś pręta pozostaje prostoliniowa (odcinek OB na rys. 19.1b). Z doświadczenia wiemy jednak, że przy większym obciążeniu pojawia się pewien stan równowagi chwiejnej, kryjący w sobie niebezpieczeństwo, że wskutek jakiejś drobnej przyczyny (wstrząs, przypadkowe uderzenie) pręt zmieni nagle swą prostoliniową postać i przyjmuje położenie wygięte. Tę nagłą zmianę nazywamy wyboczeniem pręta. Zjawisko wyboczenia jest jedną z form utraty stateczności. Utrata stateczności może nastąpić wówczas, gdy siła osiowa P osiągnie pewną wartość krytyczną Pkr.. Wartości tej towarzyszą zatem dwa stany równowagi odpowiadające prostoliniowej lub krzywoliniowej osi pręta. Na wykresie P − ∆ (rys. 19.1b) jest to punkt B. W punkcie tym następuje więc „rozwidlenie” stanu równowagi, czyli tzw. bifurkacja.

Rys. 19.1

19.1.2. Zagadnienie Eulera Podejmiemy próbę wyznaczenia siły krytycznej na podstawie analizy wygiętej postaci równowagi pręta. Jedyną przyczyną wygięcia osi pręta jest moment zginający M ( x ) = − P ⋅ [ ∆ − w( x )] (rys. 19.1a), obliczony po odstąpieniu od zasady zesztywnienia. Tak ustaloną funkcję momentu wprowadzimy do równania różniczkowego linii ugięcia. Założymy dodatkowo, że: − krzywizny wygiętej osi pręta są małe, − pomijamy wpływ sił poprzecznych, − pomijamy wpływ skrócenia osi pręta. Wszystkie wyżej wymienione założenia odpowiadają teorii wyboczenia pręta sprężystego, zbudowanej przez Eulera w połowie XVIII wieku. Równanie różniczkowe linii ugięcia przyjmuje zatem następującą postać: EJ ⋅ w'' = − M ( x ) = P( ∆ − w ), skąd (a)

w''+α 2 w = α 2 ∆ ,

gdzie α 2 = P / ( EJ ). Ogólnym rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

w( x ) = C1 cosαx + C2 sin αx + ∆. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

2

Z warunków brzegowych mamy:

Wobec tego

w(0) = 0,

C1 + ∆ = 0,

w'(0) = 0,

C2 = 0.

C1 = − ∆ ,

w( x ) = ∆ ⋅ (1 − cosαx ).

Ponieważ na swobodnym końcu pręta w(l) = ∆, więc musi zachodzić warunek:

∆ ⋅ cos αl = 0. Z równania tego wynika, że albo ∆ = 0, albo cosαl = 0. Jeżeli ∆ = 0, to w ≡ 0, a zatem nie ma wyboczenia. Jeżeli natomiast cosαl = 0, to musi być spełniona zależność: π (b) αl = (2n − 1) ⋅ , n = 1, 2, ... 2 Z tego równania wyznaczymy wartości α, dla których może wystąpić wyboczenie. Ugięcie ∆ pozostaje jednak nieokreślone. Uwzględniwszy, że α 2 = P / ( EJ ) , na podstawie równania (b) otrzymujemy: P(n) π ⋅ l = (2n − 1) ⋅ , EJ 2 skąd (c)

P (n) =

(2n − 1) 2 π 2 EJ 4l 2

.

Otrzymaliśmy zatem nieskończenie wiele rozwiązań. Z praktycznego punktu widzenia interesuje nas (n) jednak tylko najmniejsza siła P , występująca dla n = 1. Jest to poszukiwana siła krytyczna: (d)

Pkr = P (1) =

π 2 EJ 4l 2

.

Wartości tej odpowiada tak zwana pierwsza postać wyboczenia (n = 1), którą określa równanie: πx   w(1) = ∆ ⋅  1 − cos  .  2l  Trzy pierwsze postacie wyboczenia odpowiadające wartościom n = 1, n = 2 i n = 3 ilustruje rys. 19.2.

Rys. 19.2

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

3

19.1.3. Uwzględnienie dużych przemieszczeń Opisana wyżej uproszczona teoria wyboczenia pozwala obliczyć jedynie siłę krytyczną i odpowiadającą jej postać wyboczenia. Jest to tak zwana „liniowa” teoria wyboczenia, gdyż zastosowano liniowe równanie różniczkowe linii ugięcia. Trzeba jednak podkreślić, że problemy stateczności są zawsze nieliniowe i nie obowiązuje tu zasada superpozycji. Odstąpimy obecnie od założenia, że krzywizny są małe i zastosujemy dokładny wzór na skończoną krzywiznę. Ugięcia pręta mogą być wówczas dowolnie duże. Równanie różniczkowe linii ugięcia jest nieliniowe i przybiera postać: w'' t '' lub = −α 2 ⋅ t , (e) = α 2 ⋅ ( ∆ − w) 3 / 2 3 2 / 1 + t '2 1 + w' 2

(

(

)

)

gdzie t = ∆ − w (por. rys. 19.3a). Zauważmy, że zachodzą tożsamości: 1 d ( t 2 ) ≡ t ⋅ t '⋅dx = t ( t ' dx ), 2

1 d ( t '2 ) ≡ t '⋅t ''⋅dx = t ''(t ' dx ). 2

Po pomnożeniu obu stron równania (e)2 przez t'dx otrzymujemy: d ( t '2 )

(1 + t' )

2 3/ 2

skąd po scałkowaniu: (f)

(1 + t' )

2 −1/ 2

= −α 2 ⋅ d ( t 2 ),

=

1 2 2 α ⋅ t + C1. 2

Stałą C1 wyznaczymy z warunków brzegowych na końcu utwierdzonym (x = 0), gdzie w = 0 i w' = 0, czyli ∆ − t = 0 i − t' = 0. Wynika stąd, że dla t = ∆ pochodna t' = 0. Uwzględniwszy ten warunek stwierdzamy, że C1 = 1 − α 2 ∆2 / 2.

Rys. 19.3

Dalsze zadanie polega więc na rozwiązaniu nieliniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu: (g)

1 + t '2 =

1 . 1 2 2 2 1− α ∆ − t 2

(

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

)

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

4

Po prostych przekształceniach równanie to można doprowadzić do postaci:

(

dx = ±

(

α

 1 2 2 2 1 − 2 α ∆ − t  1 ∆2 − t 2 ⋅ 1 − α 2  4

)

) ⋅ dt , (∆ − t ) 2

2

lub po wykorzystaniu równania wyjściowego (g)2 − do postaci: dt

1 + t '2 dx = ±α

(∆ − t ) 2

2

(

)

 1  ⋅ 1 − α 2 ⋅ ∆2 − t 2  4  

.

Lewa strona tego równania przedstawia element długości zdeformowanej osi pręta dl = 1 + t ' 2 ⋅ dx , co po obustronnym scałkowaniu prowadzi do zależności: ∆

l

∫

α dl =

(h)

0

dt . 1 2 2 2 2 2 0 ∆ − t ⋅ 1− α ∆ − t 4

∫

(

)

Ponieważ założenie o nieściśliwości osi pręta jest nadal aktualne, lewa strona równania (h) daje w wyniku wartość αl. Prawą stronę można by przedstawić w postaci nieelementarnej całki eliptycznej (por. np. Timoshenko, Gere [48], Naleszkiewicz [30]). Wybierzemy jednak nieco inna drogę, prowadzącą do postaci nadającej się do bezpośrednich obliczeń (por. np. Ballenstedt [2]). W tym celu zauważmy, że 2

P  π = p⋅  ,  2l  EJ

2

α =

(i)

gdzie p = P / Pkr , przy czym Pkr = π 2 EJ / (2l ) 2 i stosownie do wzoru (d) oznacza siłę krytyczną (tzw. eulerowską) obliczoną według teorii liniowej. Jeżeli składnik α 2 ( ∆2 − t 2 ) / 4 jest mniejszy od jedności, tzn. gdy

(

2

)

(

)

1 2 2 2  π α ∆ − t = p ⋅   ⋅ ∆2 − t 2 < 1,  4l  4 to 1

(

1 1 − α 2 ∆2 − t 2 4

)

= 1+

(

(

2 4 2 1  π 1⋅ 3 2  π  p  ⋅ ∆2 − t 2 + p   ⋅ ∆2 − t 2 + ... 2  4l  2 ⋅ 4  4l 

)

)

Rozwinięcie to pozwala kolejno scałkować składniki prawej strony równania (h). Po scałkowaniu otrzymujemy: αl =

p

2 π π   1   π∆ ⋅ l = 1 +    2l 2   2   4l 

2

2

  1 ⋅ 3   π∆ p +      2 ⋅ 4   4l

4   p  + ... ,  

skąd 2

(j)

 1   π∆ p = 1+     2   4l

2

2

  1 ⋅ 3   π∆ p +   ⋅   2 ⋅ 4   4l

4

 p  + ... 

Wzór (j) określa zależność między siłą P a ugięciem ∆. Jeżeli ∆ = 0, to siła P jest równa eulerowskiej sile krytycznej (p = 1). Większym wartościom siły P odpowiadają ściśle określone dwie wartości przemieszczenia ∆. Dla niedużych wartości ∆/l szereg po Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

5

prawej stronie wzoru (j) jest bardzo szybko zbieżny. Uwzględniwszy jedynie dwa wyrazy tego szeregu otrzymamy: ∆ 8 ≈± ⋅ l π

(k)

p −1 . p

Nietrudno się przekonać, że niewielkiemu zwiększeniu obciążenia towarzyszą znaczny przyrost ugięć i katastrofalny wzrost naprężeń normalnych. Naprężenia te obliczamy ze wzoru na mimośrodowe ściskanie (por. rys. 19.3c, d): P P∆ P = p kr σ max = σ = + A W A

 ∆  ∆  1 +  = σ kr p 1 +  ,   r r

gdzie σ kr = Pkr / A , a r oznacza promień rdzenia przekroju (r = W/A). Zatem σ =

(l)

∆ l σ max  = p 1 + ⋅  .  l r σ kr

Przyjmiemy przykładowo, że wysokość słupa l = 5 m, a przekrój słupa jest rurą o średnicy zewnętrznej 70 mm i grubości ścianki 3 mm. Promień rdzenia przekroju r = 1,606 cm, czyli l/r = 311,4. Dla tych danych ze wzorów (k) i (l) obliczono wartości zestawione w tablicy III. Tablica III p = P/Pkr

1

1,001

1,002

1,003

1,004

∆/l

0 1

±0,0569 18,74

±0,0804 26,10

±0,0984 31,75

±0,1136 36,52

σ

Wykres zależności P(∆) ilustruje rys. 19.3b. Charakterystyczne jest to, że w rozważanym przypadku wykres ten jest symetryczny względem osi P. Obserwowany znaczny wzrost naprężeń po niewielkim przekroczeniu wartości siły krytycznej pozwala stwierdzić, że wyboczenie pręta jest równoznaczne z wyczerpaniem nośności konstrukcji. Z punktu widzenia bezpieczeństwa konstrukcji naprężenie krytyczne traktuje się zatem jako wartość niszczącą. 19.1.4. Wpływ sił poprzecznych i skrócenia osi pręta Omówimy obecnie konsekwencje odejścia od dalszych założeń teorii Eulera. Przedstawimy wpływ sił poprzecznych i skrócenia osi pręta na wartość siły krytycznej. Wpływ siły poprzecznej przeanalizujemy na gruncie teorii liniowej. Z równania równowagi elementu dl, wyciętego w konfiguracji odkształconej (rys. 19.4b) wynika, że Q = P sin ϕ ≈ P ⋅ w'( x ), gdzie w( x) = w M ( x) + wQ ( x ).

Rys. 19.4 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

6

Funkcja w M ( x ) spełnia równanie różniczkowe w M "( x ) = −

M , EJ

a pochodna funkcji wQ ( x ) jest średnim kątem ścinania: wQ ' ( x ) =

k ⋅ Q, GA

skąd wQ "( x ) =

k dQ k ⋅ = ⋅ Pw''. GA dx GA

Ponieważ w" = w M "+ wQ ", więc w''( x ) = −

M P⋅k + ⋅ w''. EJ GA

Po uwzględnieniu, że M = −P(∆ − w), otrzymujemy równanie różniczkowe: (m)

w''+α12 w = α12 ∆ ,

gdzie α12 =

P

. kP   EJ  1 −   GA  Postępując podobnie jak w zadaniu Eulera otrzymujemy warunek: α1l = (2n − 1) ⋅

π , 2

n = 1, 2, ...

Dla n = 1 P (1)  kP (1)   EJ  1 − GA  

=

π2 4l 2

.

Uwzględniając, że siła eulerowska krytyczna wynosi PE = π 2 EJ / (2l ) 2 dostajemy:  kP(1)  , P(1) = PE ⋅ 1 − GA   skąd (n)

Pkr = P (1) =

PE . k 1+ ⋅ PE GA

Ze wzoru (n) wynika, że uwzględnienie wpływu sił poprzecznych powoduje zmniejszenie wartości siły krytycznej. Wartość ta jest zazwyczaj niewiele mniejsza od PE. Istotne różnice mogą wystąpić w prętach złożonych połączonych przewiązkami lub krzyżulcami. Warto dodać, że wzór (n) obowiązuje również dla innych warunków podparcia pręta. W przypadku stosunkowo krótkich prętów wykonanych z materiału o bardzo wysokiej granicy sprężystości istotny wpływ może mieć skrócenie osi pręta przed utratą stateczności (por. Życzkowski, [57]). Ostateczny wzór na siłę krytyczną uwzględniający to skrócenie ma postać:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

Pkr =

(o)

7

2 PE , 4 PE 1+ 1− EA

gdzie PE oznacza siłę krytyczną obliczoną według teorii Eulera. Odnotować trzeba, że dla PE > EA / 4 wyboczenie pręta w ogóle nie występuje.

19.1.5. Wpływ imperfekcji Do tej pory zakładaliśmy, że obciążenie pręta jest przyłożone idealnie osiowo, a oś pręta jest idealnie prosta. W praktyce założenia te nigdy nie są spełnione. Wobec tego konieczne jest wyrobienie sobie poglądu na wpływ wyżej wymienionych imperfekcji. Przyjmijmy przykładowo, że siła P działa na pewnym mimośrodzie e (por. rys. 19.5a). Jeśli ograniczymy się do bardzo małych ugięć, otrzymamy następujące równanie różniczkowe linii ugięcia: EJw'' = P ⋅ ( ∆ + e − w ). Rozwiązanie tego równania ma postać: w( x ) = e ⋅ gdzie α = (p)

1 − cosαx , cosαx

P / ( EJ ). Dla x = l sumę maksymalnego ugięcia ∆ i wstępnego mimośrodu e wyraża wzór: ∆c = ∆ ( P ) + e = e ⋅

1 = e ⋅ f ( P) . cos[α ( P) ⋅ l ]

Wykresy funkcji ∆(P) ilustruje rys. 19.5b (linie przerywane).

Rys. 19.5

Łatwo zauważyć, że ∆ dąży do nieskończoności, gdy cos(αl) dąży do zera, czyli gdy αl dąży do π/2. Widzimy zatem, że asymptotą funkcji P(∆) jest wartość siły P wynikająca z warunku: αl = π/2, skąd

P = PE = π 2 EJ / ( 2l ) 2 . Z powyższego wynika, że gdy siła P działająca na pewnym mimośrodzie jest Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

8

bliska eulerowskiej wartości krytycznej, następuje gwałtowny przyrost poprzecznego ugięcia. Zwróćmy uwagę na to, że całkowite ugięcie ∆c można przedstawić jako iloczyn wstępnego mimośrodu e i pewnej funkcji f(P) uzależnionej od aktualnej wartości siły ściskającej. Powiększanie mimośrodu powoduje jedynie większe ugięcie, nie wpływa ono jednak na położenie asymptoty (por. rys. 19.5b). Bardziej ścisłe rozwiązanie nieliniowe ilustrują wykresy zaznaczone na rys. 19.5b liniami ciągłymi. Warto dodać, że analogiczne wnioski wypływają z analizy ściskania pręta o początkowej krzywiźnie (por. rys. 19.5c). 19.1.6. Wpływ obciążeń poprzecznych Omówimy jeszcze wpływ obciążenia poprzecznego na charakter wykresów P(∆).

Rys. 19.6

Na wstępie wyprowadzimy równanie różniczkowe linii ugięcia dla pręta ściskanego i jednocześnie obciążonego poprzecznie. W tym celu rozpatrzymy równowagę wyciętego elementu belki o długości dx (rys. 19.6b): − warunek równowagi sił pionowych Q − qdx − Q +dQ = 0, skąd q=−

dQ , dx

(19.1)

− warunek równowagi momentów M + qdx ⋅

dx + (Q + dQ) ⋅ dx − ( M + Md ) + P ⋅ dw = 0. 2

Po pominięciu małych wartości drugiego rzędu otrzymujemy: dM dw = Q + P⋅ . dx dx

(19.2)

Równanie różniczkowe linii ugięcia ma postać: EJw" = − M .

(19.3)

Zróżniczkowanie tego równania względem x oraz wykorzystanie równania (19.2) prowadzi do rezultatu: ( EJw")'+ Pw' = − Q. (19.4) Po ponownym zróżniczkowaniu powyższego równania i wykorzystaniu zależności (19.1) otrzymujemy: ( EJw")"+ Pw" = q.

(19.5)

Wzory (19.3), (19.4) i (19.5) przedstawiają trzy postacie równania różniczkowego linii ugięcia pręta mimośrodowo ściskanego o dowolnych warunkach brzegowych. Są one słuszne również dla mimośrodowego rozciągania, jeżeli zmienimy znak siły P. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

9

Dla ilustracji powyższych wywodów wyznaczymy funkcję ugięcia pręta wspornikowego obciążonego na swobodnym końcu dwoma siłami: pionową P i poziomą H (rys. 19.7). Przyjmijmy, że w czasie obciążenia stosunek obu sił jest stały i że

Rys. 19.7

µ = H / P . Wykorzystamy tu równanie różniczkowe linii ugięcia (19.3), gdyż funkcja momentów zginających jest znana: (r)

EJw" = H ( l − x ) + P ( ∆ − w).

Równanie to po przekształceniu można zapisać następująco: w"+α 2 ⋅ w = α 2 ⋅ [ ∆ + µ (l − x )], gdzie α 2 = P / ( EJ ). Rozwiązaniem tego równania jest funkcja (por. Ballenstedt [2]):  sin(αl ) − sin[α (l − x )]  w( x ) = µ ⋅  − x + . α cos(αl )   Największe ugięcie ∆ = w(l) określa wzór:  tg(αl )  ∆( P ) = µl ⋅  − 1.   αl Równanie to opisuje zależność między przemieszczeniem ∆ a siłą P. Przedstawimy je w postaci bezwymiarowej, uwzględniwszy stosownie do wzoru (i), że αl = ( π / 2) P / Pkr = ( π / 2) p :  π    tg 2 p   δ ( p) = µ ⋅  − 1,   π p   2 gdzie δ = ∆ / l. Nietrudno zauważyć, że dla p = 1, czyli dla P = Pkr, przemieszczenie δ → ∞. Widzimy zatem, że obecność obciążenia poprzecznego nie wpływa na wartość krytyczną siły ściskającej P. Wpływ obciążenia poprzecznego na przebieg wykresów P(∆) jest podobny do wpływu imperfekcji. Stwierdzenie to ilustrują dodatkowe wykresy funkcji p(δ) zamieszczone na rys. 19.7b. Na koniec wyprowadzimy jeszcze jeden bardzo użyteczny wzór przybliżony na obliczanie ugięć pręta zginanego i ściskanego. W rozważanym wyżej zadaniu dla P = 0 maksymalne ugięcie pręta wspornikowego

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

∆0 =

10

Hl 3 . 3EJ

Wobec tego 3EJ 12 µ=H/P= 3 ⋅ ∆0 = 2 ⋅ δ 0 , l pPkr π p gdzie δ 0 = ∆0 / l. Po podstawieniu tej wartości do wzoru na δ(p) otrzymujemy:   π  tg p   2  12 δ ( p) = δ 0 ⋅ 2 ⋅  − 1.  π p  π p   2 Wyrażenie w nawiasie można zapisać w sposób przybliżony, jeżeli uwzględnimy trzy wyrazy rozwinięcia funkcji tgϕ w szereg potęgowy: 1 2 tgϕ ≈ ϕ + ϕ 3 + ϕ 5 . 3 15 Wówczas otrzymujemy: π  tg p 2  π2 π 4 p2 2 π2 p  π2 p  π2 p 1  ≈  1 + ⋅ . −1 ≈ 1+ ⋅p+ ⋅ −1= π 12 16 15 12 10  12 1 − p  p 2 Po uwzględnieniu uzyskanego rezultatu we wzorze na δ(p) otrzymujemy przybliżoną formułę służącą do obliczania ugięć pręta z uwzględnieniem siły ściskającej: δ ( p) ≈ δ 0 ⋅

1 . 1− p

(19.6)

Łatwo sprawdzić, że wzór (19.6) daje bardzo dobre przybliżenie nawet dla dużych wartości p. Na podstawie ogólnej analizy można pokazać, że wzór (19.6) ma charakter uniwersalny i obowiązuje dla dowolnych warunków brzegowych (por. Timoshenko, Gere [48]). Symbol δ0 oznacza tu ugięcie bez udziału sił osiowych, a drugi człon f ( p) = 1 / (1 − p) oznacza współczynnik zwiększający, który zależy od stosunku p = P / Pkr . Warto dodać, że współczynnik ten można również stosować do szacowania wpływu imperfekcji, jakkolwiek dokładność takiego oszacowania bywa nieco gorsza (por. np. wzór (p)). 19.1.7. Rozciąganie mimośrodowe Utrata stateczności występuje się z reguły w prętach ściskanych. Siły rozciągające na ogół stabilizują ugięcia. Ilustracją tego zjawiska mogą być wykresy podane na rys. 19.8a. Wykresy te odpowiadają rozwiązaniu równania różniczkowego (r), w którym zmieniono znak siły P.

Rys. 19.8

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

11

19.1.8. Definicja stateczności. Punkty graniczne i punkty bifurkacji Przedmiotem dotychczasowych rozważań było zjawisko bifurkacji stanu równowagi. problem stateczności jest jednak rozumiany znacznie szerzej. Niestateczność definiuje się na ogół jako proces, w którym niewielka zmiana przyczyny powoduje bardzo dużą zmianę skutku. W definicji tej mieści się zjawisko wyboczenia, kiedy niewielka zmiana siły (przyczyny) powoduje dużą zmianę poprzecznego ugięcia (skutku). Zjawisko szerzej pojętej utraty stateczności obserwujemy również w czasie działania siły pionowej na węzeł kratownicy Misesa (por. p. 17.2). Zbliżając się bowiem do punktu granicznego rejestrujemy coraz większe przemieszczenia pionowe. W chwili osiągnięcia obciążenia odpowiadającego punktowi granicznemu, w którym dP / d∆ = 0 , następuje gwałtowny przyrost wartości przemieszczenia świadczący o utracie stateczności. Dalszy wzrost siły po przeskoku odpowiada jednak procesowi statecznemu. W innych przypadkach osiągnięcie punktu granicznego może oznaczać całkowite wyczerpanie nośności konstrukcji.

Rys. 19.9

Ogólnie biorąc, utrata stateczności występuje bądź w punkcie bifurkacji, bądź w punkcie granicznym. Ilustracją tych uwag jest rys. 19.9, na którym przedstawiono punkt graniczny i dwa przypadki bifurkacji stanu równowagi. Odnotować trzeba, że osiągnięcie punktu bifurkacji nie zawsze oznacza utratę nośności konstrukcji. Sytuację taką ilustruje rys. 19.9c, stan pobifurkacyjny jest tutaj nadal stateczny, gdyż dP / d∆ > 0 . Zagadnienia te omówimy dokładniej w dalszych częściach tego rozdziału.

19.2. PODEJŚCIE ENERGETYCZNE 19.2.1. Uwagi wstępne Rozważmy konstrukcję idealnie sprężystą będącą początkowo w stanie równowagi, poddaną działaniu obciążenia konserwatywnego. Układ może odejść od tego stanu równowagi, jeżeli wystąpią pewne siły zakłócające, w następstwie których pojawią się przemieszczenia rozwijające się z określonymi prędkościami. Z zasady zachowania energii wiadomo, że suma energii potencjalnej układu Π i energii kinetycznej Ek jest stała: Π + E k = const. Stan równowagi układu zachodzi, gdy energia potencjalna osiąga ekstremum. Przyjmijmy, że układ jest pierwotnie w stanie równowagi charakteryzującym się minimalną wartością energii potencjalnej. Nadajmy układowi pewną małą prędkość początkową. Wartość energii potencjalnej może jedynie wzrastać, czemu towarzyszy zmniejszenie się energii kinetycznej, stosownie do zasady zachowania energii. Przypadek ten odpowiada stanowi równowagi statecznej. Równowagę stateczną można zobrazować na przykładzie analogii, zilustrowanej na rys. 19.10a, na którym przedstawiono kulkę toczącą się po zakrzywionej powierzchni. Pierwotny stan równowagi

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

12

Rys. 19.10

odpowiada minimum energii potencjalnej; kulka znajduje się w zagłębieniu. Po wyprowadzeniu kulki z pierwotnego położenia równowagi przez nadanie jej małej prędkości początkowej obserwujemy oscylacje kulki w otoczeniu położenia równowagi. W położeniu tym energia potencjalna osiąga minimum, a prędkość kulki jest największa. Prędkość ta zmniejsza się w miarę odchodzenia od pierwotnego położenia równowagi. Rozważmy teraz sytuację, gdy początkowe położenie równowagi nie odpowiada minimum energii potencjalnej. Wówczas, stosownie do zasady zachowania energii, impuls powoduje wzrost energii kinetycznej. Pojawiają się duże przemieszczenia, rozwijające się ze znacznymi prędkościami. Opisany przypadek odpowiada niestatecznemu stanowi równowagi, a jego ilustracją są rys. 19.10b, c. Stan równowagi obojętnej odpowiada toczeniu się kulki na płaszczyźnie poziomej (rys. 19.10d). Bardziej złożoną sytuację przedstawia rys. 19.11, na którym dla małych zaburzeń położenie początkowe można uznać za stateczne. Jeśli jednak zakłócenie jest dostatecznie duże, to kulka może zająć położenie równowagi o niższym poziomie energetycznym. Problem ten występuje w zjawisku przeskoku.

Rys. 19.11

Powyższe uwagi pozwalają zmodyfikować nieco zasadę minimum energii potencjalnej: Układ konserwatywny jest w stanie równowagi statecznej tylko wtedy, gdy wartość energii potencjalnej osiąga minimum względne. 19.2.2. Matematyczna interpretacja zasady minimum energii potencjalnej*) Rozważmy konstrukcję sprężystą, której stan odkształcenia jest całkowicie określony przez parametr T, a obciążenie stanowi stała siła P. Wówczas energię potencjalną można zapisać jako funkcję parametru T: Π = Π (T ). Funkcję tę obrazuje wykres na rysunku 19.12. Naszym celem jest znalezienie

Rys. 19.12 *)

Por. [14, 38, 40, 45, 50].

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

13

punktów równowagi i określenie, czy są one stateczne czy niestateczne. Wybieramy dowolny punkt krzywej Π(T) o współrzędnych Π0, T0. Zbadamy przyrost energii potencjalnej po zmianie współrzędnej T0 o małą wartość t, z wykorzystaniem rozwinięcia w szereg Taylora: Π (T0 + t ) = Π (T0 ) +

∂Π 1 ∂ 2Π 2 ⋅t + ⋅ ⋅ t + ... 2 ∂T 2 ∂T

gdzie pochodne funkcji odnoszą się do punktu T = T0. Rozwinięcie to można zapisać nieco inaczej:

Π 0 + ∆Π = Π 0 + δΠ + δ 2 Π +...,

(19.7)

2

gdzie δΠ, δ Π, ... oznaczają kolejne wariacje energii potencjalnej. Warunkiem koniecznym ekstremum (maksimum lub minimum) energii jest znikanie pierwszej wariacji δΠ. Wobec tego warunek równowagi ma postać: ∂Π = 0 lub δΠ = 0, ∂T

(19.8)

a warunkami minimum energii są zależności: ∂Π ∂ 2Π = 0, > 0 lub δΠ = 0, δ 2 Π > 0 ∂T ∂T 2

(19.9)

dla wszystkich kinematycznie dopuszczalnych wartości t. Wynika stąd kryterium stateczności konstrukcji ∂ 2Π > 0 lub δ 2 Π > 0. ∂T2

(19.10)

Jeżeli ∂ 2 Π / ∂T 2 < 0 , układ jest niestateczny, a jeśli ∂ 2 Π / ∂T 2 = 0 , to w celu ustalenia stateczności układu trzeba zbadać znaki wyższych pochodnych (wariacji) energii potencjalnej. Na przykład, gdy ∂Π / ∂T = 0 i jednocześnie ∂ 2 Π / ∂T 2 = 0 , to ∂ 3Π / ∂T 3 < 0 oznacza układ niestateczny. Jeżeli

∂ 3Π / ∂T 3 byłoby również równe zeru, wtedy

∂ 4 Π / ∂T 4 > 0 oznaczałoby układ stateczny, a

∂ 4 Π / ∂T 4 < 0 − układ niestateczny. Postępowanie to powielamy aż do skutku. Dla ilustracji powyższych stwierdzeń rozważymy pionowy idealnie sztywny pręt o długości l, utwierdzony sprężyście w fundamencie za pośrednictwem sprężyny o sztywności równej c (rys. 19.13). Pręt jest obciążony siłą pionową P. Należy obliczyć wartość krytyczną siły P, dla której pionowe położenie pręta staje się niestateczne. Energia potencjalna w pozycji wychylonej

Rys. 19.13

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

Π = Π (φ ) =

14

1 1 c ⋅ φ 2 − P ⋅ u(φ ) = ⋅ cφ 2 − Pl (1 − cos φ ). 2 2

Rolę parametru odkształcenia odgrywa tu kąt φ. Równowaga zachodzi, gdy ∂Π / ∂φ = 0 , tzn. ∂Π = cφ − Pl sin φ = 0. ∂φ Dla małych przemieszczeń można przyjąć, że sinφ ≈ φ , stąd ∂Π = φ ⋅ (c − Pl ) = 0. ∂φ Równowaga jest możliwa w dwóch przypadkach: φ = 0 lub

c P= . l

Pierwszy z nich odpowiada pozycji nie wychylonej (nie wyboczonej). Drugi określa wartość P, dla której jest możliwy stan równowagi w pozycji wychylonej. Stateczność równowagi określa druga pochodna funkcji Π(φ): > 0 stan stateczny  = c − Pl = 0 stan krytyczny 2 ∂φ < 0 stan niestateczny 

∂ 2Π

Z powyższego wynika, że P = Pkr = c / l i jest wartością krytyczną, poniżej której pionowe położenie pręta jest stateczne. W omówionym wyżej zadaniu energia potencjalna była funkcją jednej zmiennej φ, a warunki równowagi i stateczności były wyrażone przez pochodne cząstkowe funkcji Π(φ). W układach ciągłych trzeba badać wariacje funkcjonału energii potencjalnej. Rozważmy zatem dla przykładu pryzmatyczny pręt wspornikowy obciążony osiową siłą P (rys. 19.14). Przyrost pionowego przemieszczenia punktu przyłożenia siły na skutek wyboczenia przy założeniu nieściśliwości osi pręta można zapisać, jak następuje: l

l

l

1 ( w') 2 dx. ∆u = ( ds − dx ) =  1 + w'2 − 1 dx ≈   2

∫ 0

∫

∫

0

0

Wobec tego przyrost pracy obciążenia zewnętrznego l

2 ∆L = P ⋅ ∆u =

1 P ( w' ) 2 dx. 2

∫ 0

Rys. 19.14 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

15

Zatem energię potencjalną wyboczenia pręta wyraża wzór: l

l

1 1 Π ( w) = ∆U − 2 ∆L = EJ ( w'') 2 dx − P ( w') 2 dx. 2 2

∫

∫

0

(19.11)

0

Funkcję parametru odkształcenia pełni tu ugięcie poprzeczne w(x). Przyrost energii potencjalnej jest wynikiem przyrostu funkcji w(x) o funkcję η · t(x). Funkcja t(x) jest kinematycznie dopuszczalnym przemieszczeniem spełniającym te same warunki brzegowe co funkcja w(x), a η jest stałą o nieskończenie małej wartości. Wtedy energię potencjalną wyraża się następująco: l

Π + ∆Π = Π ( w + ηt ) =

l

1 1 EJ ( w''+ηt '') 2 dx − P ( w'+ηt ') 2 dx = 2 2

∫

∫

0

0

l l l  l  1 1 2 2  = EJ ( w'') dx − P ( w') dx + η EJ w''⋅t '' dx − P w' t ' dx  +   2 2 0 0 0  0 

∫

∫

∫

∫

l l   1 1 2  + η ⋅ EJ (t '') dx − P (t ') 2 dx . 2  2 0 0   2

∫

∫

Z powyższego widać wyraźnie, jaką postać mają wariacje funkcjonału; rząd wariacji odpowiada potędze parametru η: l

∫

δΠ = η ⋅ ( EJw' '⋅t ' '− P ⋅ w'⋅t ' )dx ,

(19.12)

0

1 δ 2Π = η2 ⋅ 2

l

∫ [ EJ (t '')

2

]

− P ⋅ (t ') 2 dx.

0

(19.13)

Stany równowagi odpowiadają równaniu δΠ = 0. Warunek ten rozpiszemy całkując dwukrotnie przez części równanie (19.12) i przyrównując je do zera: EJ ⋅ [ w''(l ) ⋅ t '(l ) − w''( 0) ⋅ t '( 0) − w'''( l ) ⋅ t ( l ) + w'''( 0) ⋅ t ( 0) ] − − P ⋅ [ w'(l ) ⋅ t (l ) − w'(0) ⋅ t (0) ] +

l

∫ ( EJw

IV

)

+ Pw'' ⋅ t ⋅ dx = 0.

0

Dla rozważanego pręta wspornikowego obowiązują następujące warunki brzegowe: x = 0: w( 0 ) = 0, w'( 0 ) = 0 oraz t ( 0 ) = 0, t '( 0 ) = 0, x = l: M ( l ) = 0 i Q( l ) = 0, co według wzorów (19.3) i (19.4) prowadzi do zależności: w''( l ) = 0, EJw'''( l ) + P ⋅ w'( l ) = 0, t ''( l ) = 0, EJt '''( l ) + P ⋅ t '( l ) = 0. Z warunków tych wynika, że suma składników stojących poza całką jest równa zeru. Wobec tego równowaga układu zachodzi wtedy, gdy l

∫ ( EJw

IV

+ Pw'') ⋅ t ⋅ dx = 0.

0

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

16

Jeżeli przyrost ugięcia t(x) jest dowolny i różny od zera oraz spełnia warunki brzegowe zadania, to równowaga jest osiągana, gdy wyrażenie podcałkowe zawarte w nawiasie jest równe zeru. Odpowiada to spełnieniu równania różniczkowego:

EJwIV = Pw'' = 0 lub w IV + α 2 ⋅ w'' = 0, .

(19.14)

gdzie α 2 = P / ( EJ ). Równanie (19.14) pokrywa się z wcześniej wyprowadzonym równaniem różniczkowym linii ugięcia (19.5) dla pręta mimośrodowo ściskanego, jeżeli przyjmiemy w nim, że q = 0. Pozostaje jeszcze odpowiedzieć na pytanie, jakie warunki odpowiadają stanowi krytycznemu, gdy 2 δ Π = 0 . Z równania (19.13) widzimy, że dla P = 0, δ 2 Π > 0 i równowaga jest stateczna. W miarę wzrostu siły P wartość δ 2 Π maleje, by dla P = Pkr osiągnąć wartość zero, czyli 1 δ 2 Π ( Pkr ) = η 2 2

l

∫ [ EJ (t ")

2

]

− Pkr ⋅ ( t ') 2 dx = 0.

0

(19.15)

Ponieważ funkcja t(x) spełnia wszystkie wymagania stawiane funkcji w(x), z równania (19.15) wynika, że przyrost energii potencjalnej w stanie krytycznym jest równa zeru. Zatem l

l

1 1 EJ (t ") 2 dx = Pkr (t ') 2 dx , 2 2

∫

∫

0

(19.16)

0

skąd l

∫ EJ (t")

2

dx

Pkr = 0 l

∫ (t ')

(19.17)

. 2

dx

0

Wzór (19.17) nosi nazwę ilorazu Rayleigha i służy do przybliżonego wyznaczania siły krytycznej przez przyjęcie z góry pewnej funkcji t(x), spełniającej warunki brzegowe zadania. Dla przykładu przyjmiemy, że w pręcie wspornikowym z rys. 19.14 funkcja t(x) ma w przybliżeniu kształt paraboli drugiego stopnia o równaniu: ∆ t ( x) = 2 ⋅ x 2 . l Funkcja ta spełnia warunki brzegowe t(0) =0, t'(0) = 0. Obliczymy całki występujące w równaniu (19.17): l

∫ 0

2

∆2

( t ' ) dx = 4 l

l

∫ 0

4 ∆2 4 x ⋅ dx = , 3l 2

l

∫ 0

2

∆2

( t '') dx = 4 l

l

∫ 0

4dx =

4 ∆2 l3

.

Zatem według równania (19.17) otrzymujemy że Pkr ≈ 3EJ / l 2 , wobec wyniku ścisłego

Pkr = π 2 EJ / (2l ) 2 = 2,467 EJ / l 2 . Dużo lepsze przybliżenie otrzymamy, jeżeli drugą pochodną t''(x), będącą krzywizną wygiętej osi pręta, wyrazimy przez moment zginający: t " ( x ) = − M / ( EJ ) = − P ( ∆ − t ) / ( EJ ). Wówczas Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

1 2

l

17

l

M2 1 dx − Pkr ( t ') 2 dx = 0, EJ 2

∫

∫

0

0

lub Pkr2 ⋅ EJ

l

l

∫ (∆ − t ) dx − Pkr ∫ (t ' ) 2

0

2

dx = 0,

0

skąd l

∫

EJ ( t ') 2 dx Pkr = l 0 = 2,50 EJ / l 2 . ( ∆ − t ) 2 dx

∫ 0

Błąd tego przybliżenia jest teraz bardzo mały i wynosi tylko 1,3%. Ponieważ przybliżona linia ugięcia wymaga nałożenia pewnych więzów na rozwiązanie dokładne (pręt jest sztywniejszy), wartości sił krytycznych są zawsze obarczone błędem przez nadmiar. Jest to zasadnicza wada metody Reyleigha.

19.3. STANY POKRYTYCZNE*) 19.3.1. Wiadomości ogólne W praktyce inżynierskiej do dnia dzisiejszego poprzestaje się z reguły na wyznaczeniu obciążenia krytycznego bez analizy pokrytycznego zachowania się konstrukcji. Wynika to zarówno z dużych trudności matematycznych występujących podczas badania dużych przemieszczeń, jak i trudności fizycznej interpretacji stanów pokrytycznych. Podstawy nowoczesnej teorii stanów pokrytycznych przy obciążeniach konserwatywnych zbudował Koiter w swej pracy doktorskiej ogłoszonej w 1945 roku. Pracę tę przetłumaczono na język angielski dopiero w 1967 roku, gdy pojawiły się już inne, późniejsze publikacje Koitera z zakresu stateczności. Okazuje się, że przyczyny szeregu niepowodzeń konstrukcyjnych oraz wielokrotnie stwierdzanych „błędów” eksperymentalnych tkwią z niedocenianiu wagi problematyki stanów pokrytycznych. Istotę tej problematyki zilustrujemy na kilku przykładach. W analizie stanów pokrytycznych decydujące znaczenie mają pochodne cząstkowe funkcji energii potencjalnej Π względem parametru odkształcenia konstrukcji T. Dlatego dla skrócenia zapisu wprowadzimy oznaczenia: ΠI =

∂Π ∂ 2Π ∂ 3Π , Π II = , Π = ,... III ∂T ∂T 2 ∂T 3

(19.18)

Powrócimy do zadania rozważanego w p. 19.2.2 (rys. 19.13). Przyjmiemy, że parametrem obciążenia jest kąt obrotu pręta, czyli T = φ. Energia potencjalna Π (T , P) =

1 2 cT − Pl ⋅ (1 − cos T ), 2

a warunek równowagi ma postać:

(19.19)

∂Π = cT − Pl ⋅ sin T = 0. ∂T

(19.20)

T=0

(19.21)

Π I (T , P) = Równowaga zachodzi dla dwóch przypadków: lub

*)

Por. [14, 38, 50].

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

P(T ) =

cT . l ⋅ sin T

18

(19.22)

W nie wychylonej pozycji pręta (T = 0) równowaga jest spełniona dla dowolnej wartości siły P. Tak zwana główna (fundamentalna) ścieżka równowagi odpowiada prostej T = 0, a druga ścieżka (pokrytyczna) dana jest wzorem (19.22). Obie ścieżki równowagi na płaszczyźnie (T, P) ilustruje rys. 19.15b.

Rys 19.15

Problem stateczności rozstrzyga badanie znaku drugiej pochodnej energii potencjalnej, wyrażonej wzorem: Π II (T , P ) =

∂ 2Π

∂T 2 Na głównej ścieżce równowagi (T = 0) otrzymujemy

= c − Pl ⋅ cos T .

(19.23)

Π II (0, P) = c − Pl , skąd widać, że dla P < Pkr = c / l , Π II (0, P) > 0, czyli energia potencjalna osiąga minimum i równowaga jest stateczna. Dla P > Pkr, równowaga jest niestateczna, bo Π II (0, P) < 0. Aby wykazać, że druga ścieżka równowagi (19.20) jest stateczna, trzeba udowodnić, że energia na tej ścieżce osiąga lokalne minimum w punkcie bifurkacji. Ponieważ Π I (0, Pkr ) = Π II (0, Pkr ) = 0, poszukujemy wartości następnych pochodnych: skąd Π III (0, Pkr ) = 0, Π III ( T , P ) = Pl ⋅ sin T , Π IV ( T , P ) = Pl ⋅ sin T , skąd Π IV (0, Pkr ) = c > 0. Widzimy więc, że funkcja Π (T , P) na pokrytycznej ścieżce równowagi rzeczywiście osiąga lokalne minimum. Do tego samego wyniku dojdziemy, rozwijając funkcję Π (T , P) w szereg Taylora. Godne uwagi jest to, że podobny jakościowo wynik uzyskaliśmy w p. 19.1.3 (rys. 19.3), gdzie badaliśmy duże przemieszczenie sprężystego pręta wspornikowego.

Rys. 19.16

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

19

Rozważmy obecnie nieco inne zadanie, przedstawione na rys. 19.16. Zbadamy deformacje układu złożonego z pionowego idealnie sztywnego pręta połączonego na jednym końcu z fundamentem za pośrednictwem przegubu. Drugi koniec jest podparty idealnie sprężystym prętem poziomym o sztywności podłużnej równej c. Pręt sprężysty przenosi zarówno ściskanie, jak i rozciąganie, a jego oś podczas deformacji jest zawsze pozioma. Całkowite przemieszczenie poziome punktu przyłożenia siły P wynosi Tl. Energię potencjalną układu zdeformowanego wyraża wzór: Π (T , P) =

1 2 2 cl ⋅ T − Pl  1 − 1 − T 2  .   2

(19.24)

Otrzymujemy stąd warunek równowagi: l

Π I (T , P ) = cl 2 ⋅ T − PT ⋅

1− T

2

=0

(19.25)

oraz drugą pochodną: Π II (T , P ) = cl 2 − Pl ⋅

1 1− T2

− PT 2 ⋅

l  1 − T 2   

3

.

(19.26)

Z warunku równowagi (19.25) wynika, że  P  T  cl − 0.  =  1− T2  Wobec tego albo T = 0,

(19.27)

P = P(T ) = cl ⋅ 1 − T 2 .

(19.28)

albo

Obie ścieżkik (19.27) i (19.28) przecinają się w punkcie krytycznym, gdzie P = Pkr = cl. W punkcie tym

Π II (0, P) = cl 2 − Pl. Widać stąd, że pionowe położenie słupa jest stateczne, jeśli P < Pkr,. Ze wzoru (19.28) i rys. 19.16b wynika natychmiast, że ścieżka pokrytyczna jest w każdym punkcie niestateczna. Ponadto można pokazać, że Π III (0, Pkr ) = 0 oraz Π IV (0, Pkr ) = −3cl 2 < 0, co dodatkowo dowodzi, że obciążenie pokrytyczne jest niestateczne. Zbadamy jeszcze jeden układ, w którym idealnie sztywny pręt połączony przegubowo z fundamentem jest podparty ukośnym prętem sprężystym o sztywności c i nachylonym pod kątem 45° (rys. 19.17a). Energię potencjalną wyraża wzór: Π (T , P ) = cl 2

(

)

2 1 + T − 1 − Pl ⋅  1 − 1 − T 2  ,  

(19.29)

a równowaga zachodzi, gdy 1  l  = 0. Π I (T , P ) = cl 2  1 −  − PT ⋅  1+ T  1− T2

(19.30)

Równanie (19.30) jest spełnione dla T = 0 (główna ścieżka równowagi) przy dowolnej wartości siły P. Stateczność tej ścieżki określa druga pochodna energii potencjalnej:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

Π II (0, P) =

20

1 2 cl − Pl , 2

skąd widzimy, że jeśli P < Pkr = cl / 2 , to występuje równowaga stateczna, a jeśli P > Pkr − równowaga niestateczna.

Rys. 19.17

Warunek równowagi (19.30) jest spełniony także, jeżeli siła P zmienia się według zależności: P(T ) =

cl  ⋅  1 − T 2 − 1 − T  .  T 

(19.31)

Równanie to określa ścieżkę pokrytyczną. Trzecia pochodna energii potencjalnej w punkcie bifurkacji (T = 0, P = Pkr ) 3 Π III (0, Pkr ) = − cl 2 < 0, 4 co wskazuje, że krytyczny stan równowagi jest niestateczny. Pozostaje jeszcze określenie pokrytycznego zachowania się badanej konstrukcji. Dla T = 0 wzór (19.31) jest symbolem nieoznaczonym typu 0/0. W takim przypadku najdogodniej jest rozwinąć funkcję P(T) w szereg potęgowy. Wykorzystamy znany wzór na rozwinięcie funkcji pierwiastkowej: 1± a = 1±

1 1⋅ 1 2 1⋅ 1⋅ 3 3 a− a ± a − ..., 2 2⋅4 2⋅4⋅6

a ≤ 1, ,

co prowadzi do wyniku: 1 11 3  1 3 P (T ) ≈ cl  − T + T 2 − T +... . 2 8  16 128

(19.32)

Ze wzoru (19.32) wnioskujemy, że dla T = 0 P = Pkr =

1 cl 2

oraz 3 dP = − cl < 0. 8 dT

(19.33)

Otrzymaliśmy zatem bardzo ważny rezultat. Okazuje się, że w punkcie bifurkacji ścieżka pokrytyczna ma pochylenie niezerowe. Przebieg ścieżki pokrytycznej objaśnia rys. 19.17b. 19.3.2. Klasyfikacja punktów bifurkacji Zadania rozwiązane w p. 19.3.1. pozwalają na wprowadzenie użytecznej klasyfikacji punktów bifurkacji. W zależności od charakteru wykresów P(T) punkty bifurkacji możemy podzielić na niesymetryczne i symetryczne. Punkty niesymetryczne (rys. 19.18a,b) charakteryzują się tym, że w punkcie bifurkacji Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

21

(dla T = 0) Π III ≠ 0 , a pochodna dP / dT ≠ 0 . W symetrycznych punktach bifurkacji Π III = 0 i dP / dT = 0 , natomiast pochodna Π IV może być dodatnia lub ujemna. Jeżeli Π IV < 0 , to symetryczny punkt bifurkacji jest niestateczny (rys. 19.18c). Symetryczny i stateczny punkt bifurkacji występuje, gdy Π IV > 0 (rys. 19.18d).

Rys. 19.18

19.3.3. Wpływ imperfekcji Omówione w p. 19.3.1 trzy modele wyczerpują charakterystyczne cechy zachowania się konstrukcji w zakresie pokrytycznym. W celu przeniesienia uzyskanych rezultatów na konstrukcje realne trzeba uwzględnić wpływ imperfekcji, określonych parametrem e. Wpływ tego parametru na przebiegi funkcji P(T) ilustruje rys. 19.19.

Rys. 19.19

Model z rys. 19.19a odpowiada ściskaniu sprężystego pręta wspornikowego, a wykresy P(T, e) jakościowo są identyczne z wykresami podanymi wcześniej na rys. 19.5b. Punkt bifurkacji jest tu symetryczny i stateczny. Własności te ma większość konstrukcji prętowych. Z charakteru wykresów P(T, e) wynika, że do bezpiecznej oceny nośności wystarczy tutaj obliczenie obciążenia bifurkacyjnego. Stwierdzenie to nie obowiązuje jednak, gdy symetryczny punkt bifurkacji jest niestateczny. Przypadek ten ilustruje rys. 19.19b, na którym imperfekcje powodują znaczne zmniejszenie obciążenia krytycznego Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

22

(punkt A) w stosunku do obciążenia bifurkacyjnego (punkt B). Wykresy przedstawione na rys. 19.19b są charakterystyczne dla łuków i cienkich powłok. Sytuacje z rys. 19.19c, na którym występuje niesymetryczny punkt bifurkacji, są rzadziej spotykane w praktyce (np. kratownice o węzłach sztywnych, pewne szczególne przypadki ram, zamknięte powłoki kuliste). Z punktu widzenia bezpieczeństwa konstrukcji przypadki te są jednak bardzo ważne, bo i tu obserwujemy utratę stateczności dla obciążenia mniejszego od obciążenia bifurkacyjnego. Na zakończenie należy podkreślić, że konstrukcje charakteryzujące się niestatecznymi punktami bifurkacji (rys. 19.19b, c) wykazują dużą czułość na imperfekcje i wymagają szczególnej uwagi przy szacowaniu ich nośności. Opisane wyżej i przewidziane teoretycznie zjawiska towarzyszące stanom pokrytycznym zostały potwierdzone eksperymentalnie. W zakresie konstrukcji prętowych najszerzej znane są badania doświadczalne, które zapoczątkował w 1965 roku Roorda [37].

19.4. WYZNACZANIE OBCIĄŻEŃ KRYTYCZNYCH I FORM UTRATY STATECZNOŚCI W PRĘTACH PROSTYCH 19.4.1. Uwagi wstępne Ze względu na kinematykę problemy stateczności można podzielić na dwie grupy: − płaska utrata stateczności, w której wygięta oś pręta po utracie stateczności jest krzywą płaską, − przestrzenna utrata stateczności, w której odkształcona oś pręta jest krzywą przestrzenną. Do pierwszej grupy zaliczamy wyboczenie prętów ściskanych, które w teorii liniowej nosi nazwę wyboczenia eulerowskiego. Do grupy drugiej zaliczamy m. in. utratę płaskiej postaci zginania (zwichrzenie), wyboczenie skrętne i wyboczenie giętno-skrętne. Tutaj ograniczymy się do wyznaczania obciążeń krytycznych (bifurkacyjnych) w prętach prostych. Zasadnicze rozważania będą oparte na liniowej teorii stateczności sprężystej. Problemy stateczności w obszarze odkształceń sprężystoplastycznych omówimy dokładniej przy analizie wyboczenia giętnego. 19.4.2. Płaska utrata stateczności prętów ściskanych. Wyboczenie Rozważymy dowolnie podparty prostoliniowy pręt sprężysty o zmiennej sztywności, poddany działaniu idealnie osiowej siły ściskającej P. Do wyznaczenia obciążenia krytycznego w tym dosyć ogólnie sformułowanym zadaniu zastosujemy równanie różniczkowe linii ugięcia w postaci (19.5). Ponieważ obciążenie poprzeczne q nie występuje, równanie to przybiera postać:

[ EJ ( x) ⋅ w"]"+ P ⋅ w" = 0,

(19.34)

gdzie J(x) oznacza jeden z głównych momentów bezwładności przekroju pręta. Po podstawieniu, że J(x) = J1·ζ(x), gdzie J1 = const, oraz α 2 = P / ( EJ1 ) , otrzymujemy:

[ζ ( x) ⋅ w"]"+α 2 ⋅ w" = 0.

(19.35)

Rozwiązanie ogólne tego równania można przedstawić następująco:

w( x ) = C1 ⋅ ϕ1(α , x ) + C2 ⋅ ϕ 2 (α , x ) + C3 x + C4 ,

(19.36)

gdzie ϕ1 (α , x ) i ϕ 2 (α , x ) są funkcjami, których postać zależy od funkcji ζ(x). Dla pręta o stałej sztywności (J(x) = J, ζ(x) = 1) rozwiązanie (19.36) przybiera postać:

w( x ) = C1 ⋅ sin(α , x ) + C2 ⋅ cos(α , x ) + C3 x + C4 .

(19.36a)

Stałe Ci (i = 1, 2, 3, 4) oblicza się na podstawie warunków brzegowych, dwóch na każdym końcu pręta. Dla najczęściej spotykanych sposobów podparcia przyjmujemy następujące warunki brzegowe: − utwierdzenie w = 0, w' = 0, − podpora przegubowa w = 0, M = 0, czyli w'' = 0, Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

− koniec swobodny M = 0, czyli w'' = 0, Q = 0, czyli

[ζ ( x) ⋅ w"]'+α 2 ⋅ w' = 0.

23

(19.37)

Do sformułowania powyższych warunków wykorzystano wzory (19.3) i (19.4) wiążące siły wewnętrzne z funkcją ugięcia. Po podstawieniu rozwiązania (19.36) lub (19.36a) do warunków (19.37) otrzymujemy układ czterech równań liniowych jednorodnych ze względu na stałe Ci: a11C1 + a12 C2 + a13C3 + a14 C4 = 0,  a21C1 + a22 C2 + a23C3 + a24 C4 = 0,  a31C1 + a32 C2 + a33C3 + a34 C4 = 0, a41C1 + a42 C2 + a43C3 + a44 C4 = 0,

(19.38)

gdzie współczynniki aij (i, j = 1, 2, 3, 4) są funkcjami parametru α. Wyznacznik układu (19.38) ma postać: a11 a12 a13 a14 a a Det aij = 21 22 a31 a32

a23

a24

a33

a34

a41 a42

a43

a44

[ ]

[ ]

.

(19.39)

Jeżeli Det aij ≠ 0 , to C1 = C2 = C3 = C4 = 0 . Wówczas rozwiązanie układu (19.38) jest trywialne, co oznacza, że wyboczenie nie występuje, bo w(x) ≡ 0. Aby choć jedna stała całkowania była różna od zera, wyznacznik układu musi być równy zeru. Wtedy oprócz prostoliniowej postaci równowagi pręta mogą wystąpić również krzywoliniowe postacie równowagi. Warunek

[

]

Det aij (α ) = 0

(19.40)

jest zatem kryterium osiągnięcia stanu krytycznego. Rozwinięcie wyznacznika prowadzi do równania przestępnego ze względu na α(P). Najmniejszy rzeczywisty i dodatni pierwiastek tego równania określa najmniejszą siłę krytyczną P (1) = Pkr i pierwszą postać wyboczenia. Pozostałe pierwiastki rzeczywiste i dodatnie określają wyższe siły krytyczne i wyższe postacie wyboczenia. Przedstawione rozumowanie ma sens tylko dla pewnej klasy równań różniczkowych, w których dla jednorodnych warunków brzegowych oprócz rozwiązania trywialnego istnieją jeszcze rozwiązania niezerowe dla stałych całkowania. Własność tę mają zawsze równania różniczkowe stateczności.

Rys. 19.20

W celu ilustracji rozważań obliczymy siłę krytyczną dla pręta pryzmatycznego przedstawionego na rys. 19.20a. Ponieważ EJ = const, więc rozwiązanie równania różniczkowego (19.35) przybiera postać (19.36a). Warunki brzegowe są następujące: w(0) = w(l ) = 0; w'(0) = 0; w"(l ) = 0. Obliczamy pochodne funkcji w(x): Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

24

w'( x ) = − C1α sin αx + C2α cos αx + C3 , w"( x ) = −C1α 2 cosαx − C2α 2 sin αx. Podstawienie warunków brzegowych prowadzi do układu jednorodnych równań liniowych:

w(0) = 0: w'(0) = 0: w(l ) = 0: w"(l ) = 0:

C1 + C4 = 0, C2α + C3 = 0, C1 cos αl + C2 sin αl + C3l + C4 = 0, − C1α 2 cos αl − C2α 2 sin αl = 0.

Kryterium osiągnięcia stanu krytycznego odpowiada zerowaniu się wyznacznika tego układu równań: 1 0   0 α Det aij =   cos αl sin αl  2 2  − α cos αl − α sin αl

[ ]

0 1 1 0 = 0. 1 1  0 0

Po obliczeniu wartości wyznacznika otrzymujemy równanie przestępne ze względu na (αl): −αl + tg(αl) = 0. Równanie to ma nieskończenie wiele pierwiastków (por. rys. 19.20b). Najmniejszy z nich (αl ) (1) ≈ 4,493, czyli P (1) = 4,493, EJ

l skąd P (1) = Pkr =

(4,493) 2 ⋅ EJ l2

=

π 2 ⋅ EJ

π 2 ⋅ EJ ≈ . (0,699l ) 2 (0,70l ) 2

(19.41)

Postać linii ugięcia można określić z dokładnością do jednej stałej: sin α ( l − x )   w( x ) = C ⋅ α ( l − x ) − . cos αl   Zmiana znaku krzywizny tej linii występuje, gdy w''( x0 ) = Cα 2

sin α (l − x0 ) = 0, cosαl

skąd x0 = l −

nπ ; α

n = 0, 1, 2, ...

Wobec tego długość półfali sinusoidy dla n = 1 l − x0 =

π πl = = 0,70l. α (l ) 4,493

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

25

Kształt pierwszej postaci wyboczenia ilustruje rys. 19.20a. Rezultaty przedstawionego wyżej sposobu postępowania dla sprężystych prętów pryzmatycznych (EJ = const) przy najczęściej spotykanych warunkach podparcia zestawiono na rys. 19.21.

Rys. 19.21

Budowa wzorów na obliczanie siły krytycznej nasuwa myśl, by niezależnie od sposobu podparcia pręta siłę tę wyznaczyć z jednego uniwersalnego wzoru. Jest to tzw. wzór Eulera: Pkr =

π 2 EJ lw2

,

(19.42)

gdzie przez lw oznaczono tzw. długość wyboczeniową, uwzględniającą warunki brzegowe. Długość tę określa się zazwyczaj jako iloczyn rzeczywistej długości pręta l i współczynnika długości wyboczeniowej ν :

lw = νl.

(19.43)

Długość wyboczeniowa odpowiada długości półfali sinusoidy przedstawiającej daną postać wyboczenia. Wartości bezwymiarowego współczynnika ν mieszczą się w dosyć szerokim zakresie. Na przykład, dla prętów ram dochodzą do kilkunastu, a nawet kilkudziesięciu. Przypomnieć trzeba, że J we wzorze Eulera oznacza jeden z głównych momentów bezwładności przekroju pręta. Wobec tego siła krytyczna odpowiada mniejszej wartości stosunku J/lw. Jeżeli zatem warunki brzegowe w obu płaszczyznach głównych są takie same (tj. lwI = lwII ), to J = JII = Jmin. Dotychczasowe rezultaty uzyskaliśmy przy założeniu, że pręt jest idealnie sprężysty i ma nieograniczoną wytrzymałość. W rzeczywistości jednak własności mechaniczne materiału pręta zależą od poziomu naprężeń normalnych. Dlatego celowe jest obliczenie naprężenia krytycznego σkr, odpowiadającego sile krytycznej dla pręta o osi prostoliniowej: P σ kr = kr . (19.44) A Ponieważ niewielki wzrost siły ponad wartość krytyczną w krzywoliniowej postaci równowagi powoduje drastyczny wzrost naprężeń normalnych (por. p. 19.1.2), naprężenie krytyczne można traktować jako naprężenie niszczące. Po uwzględnieniu wzoru Eulera (19.42) naprężenie krytyczne π 2 EJ π 2 E P σ kr = kr = 2 = 2 , A lw ⋅ A s

(19.45)

gdzie l s= w , i

i=

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

J . A Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

26

Bezwymiarowy współczynnik s nazywamy smukłością pręta, a i oznacza promień bezwładności przekroju. Zależność (19.45) wskazuje na to, że naprężenie krytyczne zależy od modułu sprężystości i smukłości pręta: σ kr = σ kr ( E , s). Nie jest to zatem stała materiałowa, lecz stała konstrukcyjna. Wykres zależności σ kr ( s) dla ustalonej wartości modułu sprężystości ilustruje rys. 19.22. Jest to tzw. hiperbola Eulera.

Rys. 19.22

Ze wzoru (19.45) wynika, że jeśli smukłość zmierzałaby do zera (pręty bardzo krępe), to naprężenie niszczące (krytyczne) dążyłoby do nieskończoności, czyli σ kr ( E ,0) → ∞. W materiałach o ograniczonej wytrzymałości wniosek ten jest oczywiście niesłuszny, gdyż zniszczenie pręta osiowo ściskanego występuje, gdy naprężenie jest równe granicy plastyczności σP. W najprostszym przypadku, gdy materiał jest sprężysto-idealnie plastyczny (rys. 19.23a), wzór (19.45) obowiązuje tylko dla σ kr ≤ σ P . Wymaganie to określa pewną graniczną smukłość sgr (σ P ): π2 ⋅ E 2 (σ P ) sgr

= σ P,

skąd sgr (σ P ) = π

E . σP

(19.46)

Poniżej tej wartości naprężenie krytyczne jest równe granicy plastyczności (por. prosta AC na rys. 19.22). Mamy więc:  π2 E ,  σ kr ( s) =  s2 σ ,  P

s ≥ sgr (σ P ),

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(19.47)

0 ≤ s ≤ sgr (σ P ).

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

27

Rys. 19.23

Lepszym przybliżeniem funkcji σ(ε) jest wykres z rysunku 19.23b, gdzie granica proporcjonalności σH jest niższa od granicy plastyczności σP. Wzór Eulera obowiązuje oczywiście tylko dla σ kr ≤ σ H . Zatem smukłość graniczna sgr (σ H ) wynosi: sgr (σ H ) = π

E . σH

(19.48)

Powstaje zatem problem wyznaczenia funkcji σkr(s) dla małych smukłości, gdy 0 ≤ s ≤ s gr (σ H ). Nie wnikając bliżej w analizę zakresu sprężysto-plastycznego można przyjąć rozwiązanie najprostsze, a mianowicie zależność liniową odpowiadającą prostej BC na rysunku 19.22a. Wówczas  π2 E  2 ,  σ kr ( s) =  s σ P − (σ P − σ H ) ⋅ s,  sgr (σ H ) 

s ≥ sgr (σ H ), (19.49) 0 ≤ s ≤ sgr (σ H ).

Warto dodać, że wyniki badań doświadczalnych prowadzonych nieprzerwanie od około stu lat układają się w obrębie trójkąta ABC. Pierwsze z nich to obszerne badania Tetmajera, który − podobnie jak Jasiński − zaproponował liniową zależność σkr(s). Inna propozycja pochodzi od Ostenfelda i Johnsona (parabola drugiego stopnia). Propozycje te (przedstawione na przełomie XIX i XX wieku) mają charakter empiryczny. Głębszą analizę teoretyczną tego ciekawego problemu zapoczątkował Engesser w 1889 roku. Metoda Engessera w gruncie rzeczy zakłada, że materiał jest nieliniowo-sprężysty. Wówczas w wyrażeniu na krzywiznę zamiast modułu Younga E wystarczy podstawić wartość pochodnej dσ / dε = Et , czyli tzw. moduł styczny. Wówczas Pkr =

π 2 ⋅ Et ⋅ J lw2

(19.50)

oraz σ kr =

π 2 Et s2

,

0 ≤ s ≤ sgr (σ H ).

(19.50a)

Rozumowanie Engessera w swej oryginalnej wersji dotyczyło materiału sprężysto-plastycznego. Zawiera ono szereg niedociągnięć, gdyż: − moduł styczny jest w rzeczywistości zmienny na długości pręta, Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

28

− długości wyboczeniowe dla przypadków, gdy naprężenia przekraczają granicę proporcjonalności, są inne niż w teorii Eulera, − w krzywoliniowej postaci równowagi we włóknach odciążanych (po stronie wypukłej) moduł sprężystości jest większy i jednocześnie równy modułowi początkowemu. Na trzeci z wyżej wymienionych błędów zwrócił uwagę Karman, wobec czego Engesser przerobił swój wzór wprowadzając pewna inną wartość modułu Er, uwzględniającą odciążenie (tak zwana teoria podwójnego modułu). Okazało się jednak, że poprawka ta prowadzi do zbyt dużych wartości sił krytycznych. Fakt ten zinterpretował w 1947 roku Shanley. Stwierdził on, że przy wzroście siły ściskającej odciążenie włókien po stronie wypukłej nie następuje i dlatego pierwotna teoria Engessera wykazuje dużo lepszą zgodność z doświadczeniem. Podczas wyboczenia w obszarach sprężystoplastycznych pręty zachowują się, jakby były wykonane z materiału nieliniowo-sprężystego. Fakt ten do dnia dzisiejszego nie znalazł jeszcze zadowalającego wyjaśnienia. Omówienie teorii Engessera-Karmana i Engessera-Shanleya wraz z przykładami zawiera wiele podręczników [2, 34, 48, 53, 55]. Dlatego nie przytaczamy tu szczegółów, tym bardziej, że w normach projektowania prętów ściskanych stosuje się jeszcze inne podejście. Praktyczny sposób sprawdzania warunku wytrzymałościowego polega bowiem na spełnieniu nierówności: σ obl =

P σ ≤ σ dop = P , Aϕ ( s ) n0

(19.51)

gdzie ϕ(s) ≤ 1 i jest tzw. współczynnikiem wyboczeniowym, n0 − współczynnikiem bezpieczeństwa większym od jedności i zależnym od smukłości pręta, a σobl oznacza fikcyjne naprężenia obliczeniowe. Wzór (19.51) obowiązuje zarówno w obszarze sprężystym, jak i niesprężystym. Współczynnik zmniejszający ϕ(s) jest ujęty w tablicach lub opisany wzorami empirycznymi. W celu zinterpretowania tego współczynnika rozważmy kryterium wytrzymałościowe przedstawione w postaci nierówności: σ=

P σ kr ( s) . ≤ A n0

Po pomnożeniu obu stron tej nierówności przez granicę plastyczności otrzymujemy: P σ ⋅ σ P ≤ P ⋅ σ kr ( s) A n0 lub

σp P σP ⋅ ≤ = σ dop . A σ kr ( s) n0

Porównując tę nierówność z nierównością (19.51), dochodzimy do wniosku, że współczynnik wyboczeniowy ϕ(s) można interpretować jako stosunek naprężenia krytycznego do granicy plastyczności: σ ( s) ϕ ( s) ≈ kr ≤ 1. σP

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(19.52)

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

29

19.4.3. Przestrzenna utrata stateczności prętów prostych 19.4.3.1. Kinematyka i równania różniczkowe stateczności Wprowadzimy prawoskrętny układ współrzędnych x, y, z pokrywający się z osią ciężkości i głównymi osiami bezwładności przekroju pręta. Kinematykę przestrzennej utraty stateczności obrazuje rys. 19.24.

Rys. 19.24

Podstawowym uproszczeniem jest ograniczenie rozważań do małych przemieszczeń i przyjęcie, że oś pręta jest nieskracalna, czyli u(x, 0, 0) = 0. Ponadto przyjmiemy, że rzut przekroju poprzecznego na płaszczyznę prostopadłą do osi pręta w procesie deformacji nie zmienia swoich wymiarów (założenie „sztywnego” przekroju poprzecznego). Wobec powyższego kinematyka zdeformowanego pręta jest określona jednoznacznie przez trzy funkcje: współrzędne wektora przemieszczenia punktów osi pręta v(x) i w(x) oraz kąt skręcenia całego przekroju względem środka ścinania ψ(x). Przy układaniu równań różniczkowych linii ugięcia na funkcje v(x), w(x) i ψ(x) przyjmuje się, że jedyną przyczyną deformacji osi są momenty zginające M y1 i M z1 oraz moment skręcający M x1 = M. Momenty te oblicza się w konfiguracji odkształconej z uwzględnieniem zmian geometrii. Osie x, y1 i z1 są lokalnymi osiami współrzędnych, związanymi z danym przekrojem pręta (por. rys. 19.24). Równania różniczkowe linii ugięcia pręta idealnie sprężystego opisują znane zależności (wzory (13.29) i (13.48)):

(a)

− E J ⋅ ψ '''+ GJ ψ ' = M , s x1  1 ω  EJ k y = M y1 ,  y   EJ z k z = M z1 .

Pierwsza zależność wynika z teorii prętów cienkościennych Własowa, a dwie pozostałe z teorii zginania prętów cienkich. Zgodność znaków momentów M y1 i M z1 ze znakami krzywizn k y i k z wymaga, by w przyjętym układzie współrzędnych zachodziły związki:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

30

 d 2w k y = − 2 = − w''( x ),  dx  2 d v  k z = dx 2 = v ''( x ). 

(b)

Wobec powyższego równania (a) przybierają postać: − E1 Jωψ '''+ GJ sψ ' = M x1 ,  − EJ yw''( x ) = M y1,   EJ zv ''( x ) = M z1. 

(c)

Trzeba tu zwrócić uwagę, że stosownie do przyjętego układu osi dodatni moment Mz1 według rysunku 19.24b rozciąga „górne” włókna pręta. Należy jeszcze sprecyzować wartości współrzędnych wypadkowego wektora M1 = ( M x1 , M y1 , M z1 ). Wektor ten możemy uważać za sumę dwóch wektorów

M1 = M10 + ∆M1 (v , w,ψ ), czyli (d)

 M x1 = M x01 + ∆M x1 (v , w,ψ ),   0  M y1 = M y1 + ∆M y1 (v , w,ψ ),  0  M z1 = M z1 + ∆M z1 ( v , w,ψ ).

Indeksem 0 oznaczono momenty wynikające w rzutowania momentów Mx, My i Mz, występujących w konfiguracji nieodkształconej na osie lokalnego układu współrzędnych x, y i z w konfiguracji odkształconej:

(e)

 M x01 = M x cos( x , x1 ) + M y cos( y , x1 ) + M z cos( z, x1 ),   0  M y1 = M x cos( x , y1 ) + M y cos( y , y1 ) + M z cos( z, y1 ),  0  M z1 = M x cos( x , z1 ) + M y cos( y , z1 ) + M z cos( z , z1 ).

Symbolem ∆M1 oznaczono dodatkowe momenty pochodzące od obciążeń konserwatywnych i mających charakter sił (tzn. nie-momentów). Te dodatkowe momenty będziemy każdorazowo precyzować w konkretnych zadaniach. Dla przykładu podamy ich wartości w dwóch szczególnych przypadkach podanych na rys. 19.25. W zadaniu z rys. 19.25a mamy: ∆M x1 ≈ 0, ∆M y1 = P ⋅ w( x ), ∆M z1 = − P ⋅ v ( x ), a w zadaniu z rys. 19.25b: ∆M x1 = P ⋅ w( x ), ∆M y1 ≈ 0, ∆M z1 ≈ 0.

Rys. 19.25 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

31

Na uwagę zasługuje fakt, że pominęliśmy wszystkie człony nieliniowe. Dzięki temu część dodatkowych momentów jest równa zeru. Dokładniejsze obliczenie prowadzi do nieliniowych równań różniczkowych, w których należałoby również uwzględnić skończone krzywizny i kąty skręcenia. Wyjaśni się to bliżej, gdy wyznaczymy kosinusy kierunkowe odkształconej osi pręta występujące w równaniach (e). Dla małych kątów przyjmuje się tylko pierwszy wyraz rozwinięciach funkcji trygonometrycznych w szereg Taylora: cos ϕ ≈ 0, sin ϕ ≈ tgϕ ≈ ϕ . Mając to na uwadze i korzystając z rys. 19.24, łatwo możemy zbudować tabelę kosinusów kierunkowych:

x1 y1 z1

x

y

z

1

v' 1

w'

−v' −w'

ψ

ψ 1

Po uwzględnieniu tych wartości wzory (e) przyjmują postać:

(g)

 M x01 = M x + M y v '+ M z w',   0  M y1 = − M x v '+ M y + M zψ ,  0  M z1 = − M x w'− M yψ + M z .

Po podstawieniu równań (f) i (d) do zależności (c) otrzymujemy ogólną postać równań różniczkowych przestrzennej utraty stateczności: E1 Jωψ '''− GJ sψ '+ M x + M y v '+ M z w'+ ∆M x1 ( v , w,ψ ) = 0,  EJ y w''− M x v '+ M y + M zψ + ∆M y1 ( v , w,ψ ) = 0,   EJ z v ''+ M x w'+ M yψ − M z − ∆M z1 ( v , w,ψ ) = 0. 

(19.53)

Równanie (19.53)1 jest słuszne jedynie wówczas, gdy środek ścinania pokrywa się ze środkiem ciężkości przekroju. Jeżeli tak nie jest, to postać tego równania wymaga oddzielnej analizy (por. p. 19.4.3.3). W przypadkach, gdy obciążenie jest przyłożone tylko na końcach pręta, wystarczy w miejsce M x , M y , M z i ∆M x1 podstawić odpowiednio wartości M x( s ) , M (ys ) , M z( s ) i ∆M x( 1s ) odniesione do środka ścinania. Szczególny przypadek takiego obciążenia zawiera analiza wyboczenia giętno-skrętnego osiowo ściskanego pręta cienkościennego w p. 19.4.3.3.

19.4.3.2. Utrata płaskiej postaci zginania (zwichrzenie) Zjawisko zwichrzenia belek odkryli niezależnie od siebie Prandtl i Mitchell w 1899 roku, a zostało ono szczegółowo zbadane przez Timoszenkę w pierwszych latach bieżącego stulecia. Zwichrzenie występuje podczas zginania belek w płaszczyźnie większej sztywności. Najczęściej zjawisko to występuje, gdy sztywność w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny zginania jest bardzo mała. Rozważmy zatem belkę wspornikową o przekroju w kształcie wydłużonego prostokąta, obciążoną na swobodnym końcu momentem zginającym My(l) = M (rys. 19.26). Pod wpływem tego momentu belka ulega wygięciu w płaszczyźnie (x, z). W miarę wzrostu momentu ugięcia belki w tej płaszczyźnie powiększają się. Przy pewnej krytycznej wartości tego momentu następuje gwałtowna zmiana kinematyki i pojawia się nowe położenie równowagi; belka ulega skręceniu i wygięciu w płaszczyźnie (x, y). NastępuAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

32

je zatem utrata płaskiej postaci zginania, czyli zwichrzenie. Jako przyczynę zwichrzenia można upatrywać wyboczenia strefy ściskanej przekroju belki w płaszczyźnie najmniejszej sztywności.

Rys. 19.26

W celu wyznaczenia momentu krytycznego Mkr, posłużymy się równaniami (19.53), w których Jω = 0; M x = M z = ∆M x1 = ∆M y1 = ∆M z1 = 0, a My (x) = −M = const:

(a)

− GJ sψ '− Mv ' = 0,   EJ y w''− M = 0,   EJ z v ''− Mψ = 0.

W dalszych rozważaniach wykorzystamy tylko pierwsze i trzecie z tych równań. Tworzą one układ równań różniczkowych zwyczajnych ze względu na funkcje v(x) i ψ(x). Po zróżniczkowaniu pierwszego z równań względem x i wyeliminowaniu za pomocą trzeciego drugiej pochodnej v'' otrzymujemy równanie różniczkowe na funkcję ψ(x): (b)

GJ sψ ''+

M2 ψ =0 EJ z

lub

ψ ''+α 2ψ = 0, gdzie α 2 = M 2 / ( EJ z GJ s ). Całką ogólną tego równania jest funkcja:

ψ ( x ) = C1 ⋅ sin(αx ) + C2 cos(αx ). Ponieważ kąt skręcenia w utwierdzeniu jest równy zeru i moment skręcający dla x = l jest także równy zeru, zatem warunki brzegowe są następujące:

ψ (0) = 0, Wobec tego C2 = 0 oraz

GJ sψ '(l ) = 0.

C1α ⋅ cos(αl ) = 0.

Z powyższego wnioskujemy, że zwichrzenie występuje, gdy cos(αl ) = 0. Najmniejszy moment krytyczny odpowiada wartości αl = π/2, stąd M kr =

π ⋅ EJ z GJ s . 2l

(19.54)

Postać zwichrzenia określona jest z dokładnością do stałej C1:

 πx  ψ ( x ) = C1 ⋅ sin(αx ) = C1 ⋅ sin  .  2l 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

33

Wzór (19.54) daje poprawną wartość obciążenia krytycznego jedynie w obszarze sprężystym. Poza obszarem sprężystym zwichrzenie występuje dla obciążenia mniejszego od tego, jakie wynika ze wzoru (19.54). W celu określenia zakresu ważności wzoru (19.54) obliczymy naprężenie krytyczne: σ kr =

π M kr = ⋅ EJ z GJ s . 2lWy Wy

Ponieważ dla prostokąta o wysokości h i szerokości b, Wy = bh 2 / 6, J z = b 3h / 12 oraz J s = b 3h / 3 , więc zwichrzenie sprężyste zachodzi, gdy σ kr = πE ⋅

1 b2 ⋅ ≤ σH, hl 8(1 + ν )

gdzie σH jest granicą proporcjonalności. Postępując podobnie jak przy wyboczeniu giętnym, wzór na naprężenie krytyczne można zapisać w nieco innej postaci: σ kr = σ kr ( s) =

π2 E s2

,

(19.55)

gdzie w rozważanym zadaniu (c)

s=

πhl ⋅ 8(1 + ν )

.

b

Współczynnik s można traktować jako smukłość belki na zwichrzenie. Uogólnienie wzoru σkr(s) na obszar niesprężysty jest jeszcze bardziej kłopotliwe niż w przypadku wyboczenia giętnego. Chodzi głównie o to, jaką wartość momentu krytycznego przypisać smukłości s = 0 i jak definiować naprężenia krytyczne. Przyjmiemy, że naprężenie to oblicza się zawsze według wzoru na skrajne naprężenia w pręcie liniowo-sprężystym. Wówczas z warunku, że moment krytyczny dla s = 0 jest równy momentowi plastycznemu, otrzymujemy: M kr (0) = M P = σ P ⋅ Wy( P ) , skąd σ kr (0) <

Wy( P ) = ⋅ . σ P Wy( S ) Wy( S )

M kr (0)

Jest to górna ocena naprężenia krytycznego. Dolną (bezpieczną) ocenę naprężenia krytycznego uzyskamy, przyjmując, że moment krytyczny jest równy momentowi wywołującemu naprężenia skrajne równe granicy plastyczności. Wtedy σ kr (0) =

M kr (0) Wy( S )

= σ P.

W normach konstrukcji stalowych stosuje się zazwyczaj tę drugą ocenę przy założeniu, że w obszarze sprężysto-plastycznym zależność σkr(s) jest liniowa (prosta A1B1 na rys. 19.27f).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

34

Rys. 19.27

Wobec tego  π2 E  2 ,  σ kr ( s) =  s σ P − σ P − σ H ⋅ s,  sgr

s ≥ sgr , (19.56) 0 ≤ s ≤ sgr ,

gdzie sgr = π

E . σH

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

35

Zależność powyższa jest identyczna z zależnością (19.49), stosowaną w problemie wyboczenia giętnego. Przy takim sformułowaniu zagadnienia sprawą podstawową jest określenie smukłości na zwichrzenie, której wartość zależy od sposobu obciążenia i warunków brzegowych. W praktyce możliwość utraty płaskiej postaci zginania uwzględnia się przez zastosowanie współczynnika zmniejszającego naprężenia skrajne, czyli tzw. współczynnika zwichrzenia ϕL. Sprawdzenie warunku wytrzymałościowego polega na spełnieniu nierówności: My Wy( S )

σ ( s) ≤ kr . n0

Nierówność tę można zapisać nieco inaczej: My Wy( S )

σ ( s) σ ≤ kr ⋅ P n0 σP

lub My (S) Wy ⋅ ϕ L ( s)

≤

σp n0

= σ dop ,

(19.57)

gdzie

ϕ L ( s) = σ kr ( s) / σ P ≤ 1. Sens współczynnika ϕL jest zatem taki sam jak współczynnika wyboczeniowego ϕ (por. wzór (19.52)). Przedstawimy obecnie szkice rozwiązań kilku innych przypadków zwichrzenia belek. Rozważymy zginanie belki wspornikowej obciążonej siłą P zaczepioną w środku ciężkości przekroju swobodnego (rys. 19.28). Przyjmiemy, że przekrój belki jest dwuteownikiem, wobec czego wycinkowy moment bezwładności Jω jest różny od zera. Przy układaniu równań (19.53) trzeba uwzględnić, że ∆M x = 0,

M y = − P (l − x ),

M z = 0,

∆M x1 = P[ ∆ − v ( x )], ∆M y1 = 0, ∆M z1 = 0. Wobec powyższego układ równań (19.53) przybiera postać:

E1 Jω ψ ' ' '− GJ sψ '− P(l − x )v '+ P[ ∆ − v ( x )] = 0, EJ y w''− P (l − x ) = 0,

EJ z v ''− P(l − x )ψ = 0.

Rys. 19.28

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

36

Równanie dla kąta skręcenia otrzymuje się przez zróżniczkowanie pierwszego równania względem x i wyeliminowanie pochodnej v'' z równania trzeciego: E1 Jωψ IV − GJ sψ ''−

P 2 (l − x) 2 ψ = 0. EJ z

Po przyjęciu nowej zmiennej t = l − x równanie powyższe przybierze postać: d 4ψ

(d)

dt 4

−

GJ s d 2ψ P2 t 2ψ = 0, ⋅ − E1 Jω dt 2 E1 Jω EJ z

przy czym warunki brzegowe nałożone na funkcję ψ(x) są następujące: − dla t = 1: 1) kąt skręcenia jest równy zeru: ψ(l) = 0, 2) deplanacja jest równa zeru: ψ'(l) = 0, − dla t = 0: 3) moment skręcający jest równy zeru: E1 Jω ⋅ ψ '''(0) − GJ sψ '(0) = 0, E1 Jω ⋅ ψ ''(0) = 0. 4) bimoment jest równy zeru: Równanie (d) można scałkować, przyjmując rozwiązanie w postaci szeregu nieskończonego. Z warunków brzegowych otrzymuje się równanie przestępne, z którego oblicza się krytyczne wartości siły P. Wyniki tych obliczeń można przedstawić w postaci wzoru: Pkr = γ 2 ⋅

(e)

EJ z GJ s l2

,

gdzie γ2 jest bezwymiarowym współczynnikiem zależnym od parametru ξ = l 2 GJ s / ( EJω ). Tablice współczynnika γ2 zawiera monografia Timoszenki i Gere [48]. Przykładowo dla ξ równego kolejno 0,1; 1; 3; 10; 40, współczynnik γ2 wynosi odpowiednio 44,3; 15,7; 10,7; 7,58; 5,64. Dla dostatecznie dużych wartości ξ można stosować wzór przybliżony γ 2 (ξ ) =

4,013  1 1 −  ξ 

2

.

Gdy przekrój belki jest wąskim prostokątem, to Jω = 0 i równanie (d) modyfikuje się do postaci: d 2ψ

(f) gdzie

dt

α12

2

+ α12 t 2ψ = 0.

2

= P / ( EJ z GJ s ). Ogólnym rozwiązaniem tego równania jest funkcja:  α  α  ψ ( t ) = t ⋅ C1 J1/ 4  1 ⋅ t 2  + C2 J −1/ 4  1 ⋅ t 2  ,     2 2 

przy czym J1/ 4 oraz J−1/ 4 są funkcjami Bessela pierwszego rodzaju o wskaźnikach 1/4 i −1/4. Stałe C1 i C2 wyznacza się z wymagania, by kąt skręcenia na podporze utwierdzonej był równy zeru (ψ(l) = 0) oraz by moment skręcający na końcu swobodnym był równy zeru (czyli ψ'(0) = 0). Z drugiego warunku wynika, że C1 = 0, natomiast z pierwszego otrzymujemy: α  C2 ⋅ J −1/ 4  1 ⋅ l 2  = 0.  2 

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

37

Najmniejszy pierwiastek tego równania*) α1l 2 / 2 = 2,0063, skąd Pkr =

(g)

4,013 l2

⋅ EJ z GJ s .

Bliższa analiza rozważanego zadania wskazuje, że bardzo duży wpływ na wartość siły krytycznej ma sposób przyłożenia siły P. Jeżeli siła jest zaczepiona nad środkiem ciężkości przekroju (rys. 19.29a, b), to obciążenie krytyczne jest mniejsze od wartości wynikającej ze wzorów (e) i (g). Przyłożenie siły poniżej środka ciężkości powiększa siłę krytyczną. Dla ilustracji powyższych stwierdzeń podamy przybliżony wzór na siłę krytyczną w belce wspornikowej o przekroju prostokątnym:

Pkr =

(h)

 a EJ z  ⋅ ⋅ EJ GJ 1 − ⋅ , z s GJ s  l2  l

4,013

gdzie a oznacza odległość od środka ciężkości przekroju do leżącego nad nim punktu zaczepienia siły. Wzór (h) można stosować również, gdy siła jest przyłożona w punkcie leżącym poniżej środka ciężkości. Wówczas a jest ujemne i siła krytyczna jest większa od siły odpowiadającej zaczepieniu siły w środku ciężkości przekroju.

Rys. 19.29

Zwichrzenie belki występuje również wtedy, gdy obciążenie jest rozłożone w sposób ciągły. Jeżeli dla przykładu na belkę działa obciążenie poprzeczne qz = q, równomiernie rozłożone wzdłuż osi belki o przekroju prostokątnym, to qkr l =

(i)

12,85 EJ z GJ s l2

.

Widać stąd, że równomierne rozłożenie obciążenia spowodowało około trzykrotny wzrost wartości krytycznej. Na zakończenie wyznaczymy krytyczną wartość momentu My = M. belki pryzmatycznej poddanej czystemu zginaniu. Końce belki są podparte w sposób widełkowy (rys. 19.30).

*)

Wartości funkcji Bessela są stabelaryzowane (por. np. [1])

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

38

Rys. 19.30

Rozważymy dwa przypadki: belkę o przekroju dwuteowym i belkę o przekroju prostokątnym. We wzorze (19.53) należy podstawić: M x = 0, M y = M , M z = 0, M z = 0, ∆M x1 = ∆M y1 = ∆M z1 = 0. Mamy zatem układ równań różniczkowych:  E1 Jωψ '''− GJ sψ '+ Mv ' = 0,   EJ y w''+ M = 0,   EJv ''+ Mψ = 0.

(j)

W dalszych rozważaniach wykorzystamy tylko równania (j)1 i (j)3. Po zróżniczkowaniu pierwszego z nich względem x i wyeliminowaniu pochodnej v'' z zależności (j)3 dochodzimy do następującego równania różniczkowego na kąt skręcenia ψ(x): (k)

ψ IV − 2α1 ⋅ ψ ''−α 2 ⋅ ψ = 0,

gdzie α1 =

GJ s M2 , α2 = . EJ z E1 J ω 2 E1 J ω

Ogólnym rozwiązaniem równania (k) jest funkcja:

ψ ( x ) = C1 sin( β1x ) + C2 cos( β1x ) + C3 ⋅ e β2 x + C4 ⋅ e − β2 x , przy czym β1 i β2 są dodatnimi wielkościami rzeczywistymi: β1 = − α1 + α12 + α 2 , β2 = α1 + α12 + α 2 . Stałe całkowania określimy z warunków na podporach pręta. Ponieważ końce belki nie mogą się skręcać, lecz mają swobodę deplanacji, otrzymujemy po dwa warunki brzegowe dla x = 0 i x = 1: ψ = 0, ψ ''= 0, gdyż bimoment B na podporach jest równy zeru ( B = − E1 Jω ⋅ ψ '' = 0). Z warunków dla x = 0 otrzymujemy, że

C2 + C3 + C4 = 0, − C2 ⋅ β12 + C3 ⋅ β22 + C4 ⋅ β22 = 0. Ponieważ 1 + ( β2 / β1 ) 2 ≠ 0 , więc C2 = 0 oraz C3 = − C4, a funkcję ψ(x) zapiszemy jak następuje:

ψ ( x ) = C1 ⋅ sin( β1x ) − 2C4 ⋅ sinh( β2 x ). Z warunków dla x = l otrzymujemy dwa równania na stałe C1 i C4:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

(l)

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

39

C1 sin( β1l ) − 2C4 ⋅ sinh( β2 l ) = 0,  C1 ⋅ β12 sin( β1l ) + 2C4 ⋅ β22 sinh( β2 l ) = 0.

Po przyrównaniu wyznacznika tych równań do zera otrzymujemy:

(

)

sin( β1l ) ⋅ sinh( β2 l ) ⋅ β12 + β22 = 0. Ponieważ β1 i β2 są wielkościami różnymi od zera, zatem zwichrzenie zachodzi, gdy (m)

sin(β1l) = 0.

Z układu równań na stałe C1 i C4 wnioskujemy więc, że C4 = 0, a postać zwichrzenia określa zależność:

ψ ( x ) = C1 sin( β1x ). Z równania (m) wynika, że β1 ⋅ l = n ⋅ π (n = 1, 2, ...), stąd π2 − α1 + α12 + α 2 = 2 ⋅ n 2 . l Po podstawieniu wyrażenia na α1 i α2 otrzymujemy krytyczną wartość momentu dla n = 1: (n)

M kr =

 E J π2  π EJ z GJ s ⋅  1 + 1 ω ⋅ 2  . l GJ s l  

W przypadku przekroju prostokątnego Jω = 0, wobec czego równanie (k) modyfikuje się do postaci: (o)

ψ ' '+α 22 ⋅ ψ = 0.

Po rozwiązaniu zadania brzegowego (ψ ( 0 ) = ψ ( l ) = 0) otrzymujemy: π ⋅ EJ z GJ s . l Uzyskana wartość wynika również ze wzoru (n), jeśli przyjąć w nim, że Jω = 0. Należy zwrócić uwagę, że wartość momentu krytycznego określoną wzorem (p) można było przewidzieć na podstawie analizy wyniku uzyskanego dla belki wspornikowej (wzór (19.54)).

(p)

M kr =

19.4.3.3. Wyboczenie skrętne i wyboczenie giętno-skrętne Wyboczenie giętno-skrętne można zaobserwować w prętach cienkościennych o przekroju otwartym poddanych mimośrodowemu lub osiowemu ściskaniu. Podstawy teorii wyboczenia giętno-skrętnego zbudowano tuż przed drugą wojną światową. Rozważmy ściskanie cienkościennego pręta pryzmatycznego siłą P przyłożoną w środku ciężkości SC (rys. 19.31a, b). Siła jest przyłożona za pośrednictwem sztywnych przepon czołowych, co gwarantuje, że w stanie podkrytycznym oś pręta będzie prostoliniowa i nie wystąpi skręcanie. Podstawą analizy są w dalszym ciągu równania (19.53), w których uwzględnimy, że środek ścinania nie pokrywa się ze środkiem ciężkości przekroju.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

40

Rys. 19.31

Przemieszczenia osi ciężkości przekroju, stosownie do wzoru (b) w p. 13.2.2 wynoszą: v0 ( x ) = v ( x ) + zS ⋅ ψ ( x ),  w0 ( x ) = w( x ) − yS ⋅ ψ ( x ),

(a)

gdzie v(x) i w(x) oznaczają przemieszczenia środka ścinania, ψ(x) − kąt skręcania przekroju wokół środka ścinania, a yS i zS − współrzędne środka ścinania odmierzone w układzie głównych osi środkowych y, z. Wobec tego w rozważanym zadaniu (b)

 M y1 = ∆M y1 = P ⋅ w0 ( x ) = P ⋅ [ w( x ) − yS ⋅ ψ ( x )],   M z1 = ∆M z1 = − P ⋅ v0 ( x ) = − P ⋅ [ v ( z ) + zS ⋅ ψ ( x ) ].

Pozostaje jeszcze wyznaczenie momentu skręcającego Mx1. Moment ten pojawia się na skutek deplanacji przekroju wywołanej skręcaniem pręta. Na skutek skręcania występuje składowa styczna τ naprężenia σ, równoległego do pierwotnej osi pręta (por. rys. 19.31d):

τ = σ ⋅ϕ .

(c)

Kąt ϕ można obliczyć z kinematyki odkształcenia pręta na podstawie analizy skręcania sąsiednich przekrojów o kąt dψ (rys. 19.31e): ϕ ⋅ dx = ρ ⋅ dψ ,

(d)

gdzie ρ jest odległością badanego punktu od środka skręcania. Z zależności (c) i (d) otrzymujemy: τ = σρ

(e)

dψ = σρ ⋅ ψ '. dx

Obliczone w ten sposób naprężenia styczne dają moment skręcający względem środka ścinania:

∫

∫

∆1 M x1 = − τρ dA = −ψ ' σρ 2 dA = ψ ' (f)

A

P = ψ '⋅ A

A

∫ [( y − yS )

2

P 2

∫ A ρ dA = A

2

]

+ ( z − zS ) dA =ψ '⋅

A

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

P J0 , A Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

41

przy czym

(

)

J0 = J y + J z + A yS2 + zS2 .

(19.58)

Deplanacja przekroju wywołuje jeszcze inne dodatkowe momenty skręcające względem punktu S. W konfiguracji pierwotnej występują bowiem momenty zginające względem tego punktu o wartościach: (g)

M yS = P ⋅ zS i M zS = − P ⋅ yS .

Po wyboczeniu momenty te rzutowane na oś x dają moment skręcający (por. wzór (19.53)): ∆ 2 M x1 = M yS ⋅ v '+ M zS ⋅ w' = PzS ⋅ w' = PzS ⋅ v '− PyS ⋅ w'. Suma momentów skręcających względem osi środków ścinania wynosi więc (h)

J ∆M x1 = ∆1 M x1 + ∆ 2 M x1 = ψ ' 0 ⋅ P + PzS ⋅ v '− Py S ⋅ w'. A

Wobec powyższego równania (19.53) przyjmują postać:

(i)

 E1 Jω ⋅ ψ '''− GJ s ⋅ ψ '+ ( J 0 P / A)ψ '+ PzS ⋅ v '− PyS ⋅ w' = 0,   EJ y ⋅ w''+ P ⋅ w − PyS ⋅ ψ = 0,   EJ z ⋅ v ''+ P ⋅ v + PzS ⋅ ψ = 0.

Wyprowadzony wyżej układ równań nie jest dostosowany do dowolnych warunków brzegowych. Na przykład równania (b) nie są słuszne dla prętów wspornikowych, a równanie (h) nie uwzględnia ewentualnego wystąpienia momentu skręcającego jako reakcji podporowej po wyboczeniu pręta. Dlatego ogólną postać równań stateczności uzyskamy przez jednokrotne zróżniczkowanie pierwszego i dwukrotne zróżniczkowanie dwóch pozostałych równań (i) względem zmiennej x. Ostateczna postać układu równań stateczności giętno-skrętnej przy ściskaniu osiowym jest więc następująca: E1 Jω ⋅ ψ IV − (GJ s − J 0 P / A) ⋅ ψ ' '− Py S ⋅ w' '+ PzS ⋅ v ' ' = 0,   EJ y ⋅ w IV + P ⋅ w' '− PyS ⋅ ψ ' ' = 0,   IV EJ z ⋅ v + P ⋅ v ' '− PzS ⋅ ψ ' ' = 0. 

(19.59)

W przypadku szczególnym, gdy środek ścinania pokrywa się ze środkiem ciężkości przekroju, mamy yS = zS = 0 i równanie (19.59) przybiera postać: E1 Jω ⋅ ψ IV − (GJ s − Jb P / A) ⋅ ψ ' ' = 0,   EJ y ⋅ w IV + P ⋅ w' ' = 0,   EJ z ⋅ v IV + P ⋅ v ' ' = 0, 

(19.60)

przy czym Jb = Jy + Jz i oznacza tutaj biegunowy moment bezwładności przekroju. Układ równań (19.60) stanowi w istocie rzeczy trzy oddzielne równania na poszukiwane funkcje ψ ( x ), w( x ) i v ( x ). Dwa ostatnie równania układu (19.60) prowadzą do eulerowskich sił krytycznych przy wyboczeniu w obu płaszczyznach głównych: Pkry = Py = π 2 EJ y / ( lwy ) 2 , Pkrz = Pz = π 2 EJ z / ( lwz ) 2 . Pierwsze równanie układu (19.60) daje siłę krytyczną odpowiadającą tzw. wyboczeniu skrętnemu. Gdy Jω = 0, równanie to jest spełnione, jeżeli J GJ s − b Pkrs = 0. A Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

42

Stąd siła krytyczna przy wyboczeniu skrętnym wynosi:

Pkrs = Ps = GA ⋅ ( J s / Jb ). Jak widać siła krytyczna nie zależy tu od długości pręta. W przypadkach, gdy Jω ≠ 0, równanie stateczności przy wyboczeniu skrętnym przybiera postać: ψ IV + α 32 ⋅ ψ '' = 0,

(19.62)

(19.63)

gdzie P  α 32 =  Jb − GJ s  / ( E1 Jω ). A  Rozwiązaniem równania (19.63) jest funkcja

ψ ( x ) = C1 sin(α 3 x ) + C2 cos(α 3 x ) + C3 x + C4 .

(19.64)

Kryterium stateczności odpowiada znikaniu wyznacznika układu równań liniowych ze względu na stałe całkowania. Jeżeli oba końce pręta o długości l są podparte widełkowo, to warunki brzegowe są następujące: − kąt skręcania jest równy zeru: − bimoment jest równy zeru:

1) ψ(0) = 0, 3) ψ''(0) = 0,

2) ψ(l) = 0, 4) ψ''(l) = 0,

a warunek stateczności przybiera postać: 0 1 1 1 = 0. 0 0  0 0

0 1   sin(α l ) cos(α 3l ) 3 Det aij =   0 1  2 2  − α 3 sin(α 3l ) α 3 cos(α 3l )

[ ]

Po rozwinięciu tego wyznacznika otrzymujemy:

l ⋅ α 32 sin(α 3l ) = 0, skąd

π ⋅ n, n = 1, 2, ... l Po podstawieniu wyrażenia na α3 otrzymujemy wzór na siły krytyczne: α3 =

Pkr(ns) =

A Jb

  n2 π 2 ⋅  GJ s + 2 E1 Jω  . l  

Najmniejsza wartość jest miarodajną siłą krytyczną przy wyboczeniu skrętnym: A Pkrs = Pkr(1s) = Ps = Jb

 ⋅  GJ s + 

π2 l

2

 E1 Jω  . 

(19.65)

Postacie wyboczenia opisuje funkcja ψ(x):  nπx  ψ ( x ) = C1 sin ,  l 

(19.66)

gdyż C2 = C3 = C4 = 0. Jeżeli oba końce pręta są całkowicie utwierdzone (deplanacja jest równa zeru), to warunki brzegowe 3) i 4) modyfikują się do postaci: 3) ψ '( 0) = 0, 4) ψ '( l) = 0 i wówczas siła krytyczna Pkr(ns) = Ps( n) =

A Jb

  4n 2 π 2  GJ s +  . E J ω 1 l2  

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

43

W podsumowaniu należy stwierdzić, że dla prętów ściskanych osiowo, w których środek ciężkości i środek ścinania pokrywają się, miarodajna jest najmniejsza siła krytyczna spośród wartości Py, Pz i Ps: Pkr = min( Py , Pz , Ps )

(19.67)

W praktycznych przypadkach wyboczenie skrętne ma istotne znaczenie dla prętów krótkich o szerokich półkach. Powrócimy do przypadku ogólnego, opisanego równaniami (19.59). Rozważmy ściskanie osiowe pręta cienkościennego, którego oba końce w obu płaszczyznach są podparte widełkowo. Warunki brzegowe są zatem następujące: v ( 0) = v ( l ) = w( 0) = w( l ) = ψ ( 0) = ψ ( l ) = 0 v ''(0) = v ''( l ) = w''( 0) = w''( l ) = 0; ψ ''( 0) = ψ ''( l ) = 0. Warunki te będą spełnione, jeżeli rozwiązania układu równań (19.59) przyjmiemy w postaci:

v ( x ) = D1 sin( πx / l ); w( x ) = D2 sin( πx / l ); ψ ( x ) = D3 sin( πx / l ). Po podstawieniu tych funkcji do układu (19.59) otrzymujemy trzy równania na stałe scałkowania D1, D2 i D3:

[ [

] ]

 P − π 2 EJ / ( l 2 ) D + Pz ⋅ D = 0, 1 3 z S   2 2  P − π EJ y / (l ) ⋅ D2 + PyS ⋅ D3 = 0,   PzS ⋅ D1 − PyS ⋅ D2 − GJ s − J 0 P / A + π 2 E1 Jω / (l ) 2 ⋅ D3 = 0. 

(j)

[

]

Dla uproszczenia zapisu zwróćmy uwagę na to, że w rozważanym zadaniu brzegowym π 2 E1 Jω  A   GJ s + Py = π 2 EJ y / (l ) 2 , Pz = π 2 EJ z / (l ) 2 , Ps = (19.68) J0  l2  i oznaczają odpowiednio eulerowskie siły krytyczne przy wyboczeniu giętnym w obu płaszczyznach głównych, zaś Ps jest obciążeniem krytycznym przy wyboczeniu wyłącznie skrętnym. Po uwzględnieniu wzorów (19.68) oraz przyrównaniu wyznacznika układu (j) do zera otrzymujemy:  0 ( P − Pz )  0 ( P − Py )   − Py s  PzS

(k)

  − Py S  = 0 J0  ( P − Ps )  A  PzS

lub po rozpisaniu wyznacznika: J0 ⋅ ( P − Ps ) ⋅ ( P − Py ) ⋅ ( P − Pz ) − P ⋅ z S2 ( P − Py ) − P ⋅ y S2 ( P − Pz ) = 0. A

(19.69a)

Otrzymaliśmy równanie trzeciego stopnia ze względu na siłę P. Równanie to po uporządkowaniu względem potęg zapisuje się następująco:

(

) (

 Jb 3  A ⋅ P +  ⋅ Py ⋅ z S2 + Pz ⋅ y S2 − Py + Pz + Ps  ⋅ P 2 + J0  J0  + ( Py Pz + Pz Ps + Ps Py ) ⋅ P − Py Pz Ps = 0.

)

(19.69)

Ponieważ wyznacznik układu (j) jest symetryczny, więc równanie (19.69) ma zawsze trzy pierwiastki rzeczywiste P1, P2 i P3*). Najmniejszy z tych pierwiastków jest poszukiwaną wartością krytyczną:

*)

Por. p. 21.2.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

Pkr = min( P1 , P2 , P3 ) ≤ min( Py , Pz , Ps ).

44

(19.70)

Znak nierówności wskazuje, że siła krytyczna obliczona z uwzględnieniem wyboczenia giętno-skrętnego jest zawsze mniejsza od siły eulerowskiej i od siły wywołującej wyłącznie wyboczenie skrętne. Wniosek ten wynika ze szczegółowej analizy wartości pierwiastków równania (19.69). Wartości krytyczne wyższego rzędu uzyskuje się, jeżeli rozwiązania przyjmiemy w postaci szeregu trygonometrycznego o postaci Dn ⋅ sin(nπx / l ), n = 1, 2, ... Jeżeli pręt jest obustronnie całkowicie utwierdzony, to warunki brzegowe są następujące: v (0) = v (l ) = w(0) = w(l ) = 0; ψ (0) = ψ ( l ) = 0 v (0) = v '(l ) = w'(0) = w'( l ) = 0; ψ ( 0) = ψ ( l ) = 0. Warunki te będą spełnione, jeżeli funkcje v(x), w(x) i ψ(x) przyjmiemy w postaci: v ( x ) = D1 ⋅ [1 − cos(2nπx / l )], w( x ) = D2 ⋅ [1 − cos( 2nπx / l )], ψ ( x ) = D3 ⋅ [1 − cos(2nπx / l )], n = 1, 2, ...

Ostatecznie otrzymujemy ponownie równanie trzeciego stopnia (19.69), przy czym w oznaczeniach (19.68) zamiast π 2 / l 2 trzeba podstawić 4n 2 π 2 / l 2 . W celu ilustracji powyższych rezultatów rozwiążemy przykład liczbowy. Należy wyznaczyć siły krytyczne osiowo ściskanego ceownika podpartego na obu końcach w sposób widełkowy. Wymiary geometryczne i sposób podparcia ilustruje rys. 19.32.

Rys. 19.32

Parametry geometryczne przekroju są następujące (por. p. 13.2.8): A = 1,2 cm2 = 1,2 ⋅ 10−4 m2 , J y = 3,1 cm4 = 3,1 ⋅ 10−8 m4 , J z = 20 cm4 = 20 ⋅ 10-8 m2 , J s = 0,00144cm4 = 0,00144 ⋅ 10− 8 m4 , Jω = 54,7 cm6 = 54,7 ⋅ 10−12 m6 . Współrzędne środka ścinania wynoszą: yS = 0, zS = −3,12 cm. Wobec tego Jb = J y + J z = 23,1 cm4 = 23,1 ⋅ 10−8 m4 ,

(

)

J 0 = J b + A y S2 + z S2 = 231 , + 1,2 ⋅ 312 , 2 = 34,8 cm 4 = 34,8 ⋅10 −8 m 4 . Przyjęto, że materiał pręta (stal) określony jest następującymi stałymi:

E = 2,1⋅10 6 kG / cm 2 = 2,1⋅108 kN / m 2 Mamy więc:

oraz ν = 0,25.

2

EJy = 2,1·3,1 = 6,51 kN · m , 2 EJz = 2,1·20 = 42 kN · m , E1 Jω =

2,1 ⋅ 108 2

(1 − 0,25 )

⋅ 54,7 ⋅ 10−12 = 0,01226 kN ⋅ m4 ,

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

GJ s =

45

2,1 ⋅ 0,00144 = 0,00121 kN ⋅ m2 , 2(1 + 0,25)

Py = π 2 ⋅ 6,51 / (2 2 ) = 16,07 kN ,

Pz = π 2 ⋅ 42 / (2 2 ) = 103,65 kN , 1,2 ⋅ 10−4

 ⋅  0,00121 + −8  34,8 ⋅ 10  Układ równań (19.59) jest następujący: Ps =

 ⋅ 0,01226 = 10,85 kN. 2 

π2 2

J   E1 Jω ⋅ ψ IV −  GJ s − 0 ⋅ P ⋅ ψ ' '+ PzS ⋅ v ' ' = 0,  A  EJ y ⋅ w IV + P ⋅ w' ' = 0, EJ z ⋅ v IV + P ⋅ v ' '+ PzS ⋅ ψ ' ' = 0. Drugie z tych równań nie zależy od ψ i wskazuje, że wyboczenie w płaszczyźnie symetrii jest niezależne od skręcania, a odpowiednie obciążenie krytyczne jest określone wzorem Eulera. Wniosek ten wypływa wprost z równania (19.69a), które przyjmuje postać:  J0 2  A ⋅ ( P − Ps ) ⋅ ( P − Pz ) − Pz S  ⋅ ( P − Py ) = 0.   Jeden z pierwiastków tego równania P1 = Py = 16,07 kN, a pozostałe dwa to pierwiastki równania wynikające z zerowania się nawiasu kwadratowego: Jb 2 ⋅ P − ( Pz + Ps ) ⋅ P + Pz Ps = 0. J0 Po podstawieniu wartości liczbowych 0,6638 P 2 − 114,5 P + 1124,2 = 0, skąd 114,5 + 100,6 P2 = = 162 kN , 2 ⋅ 0,6638 114,5 − 100,6 = 10,5 kN < Ps = 10,85 kN. P3 = Pkr = 2 ⋅ 0,6638 Naprężenie krytyczne P 10,5 = 87500 kN / m2 ≈ 875 kG / cm2 . σ kr = kr = 4 − A 1,2 ⋅ 10

19.4.3.4. Wyboczenie śrubowe przy skręcaniu Rozważymy pręt pryzmatyczny poddany skręcaniu momentami brzegowymi (rys. 19.33). Końce pręta są połączone z podporami za pośrednictwem przegubów kulistych i mają swobodę obrotu w dowolnej płaszczyźnie. Założymy, że przy wyboczeniu wektor momentu skręcającego M zachowuje swój pierwotny kierunek. Dla uproszczenia przyjmiemy, że oba główne momenty bezwładności przekroju są równe, czyli J y = J z = J , natomiast Jω = 0 (na przykład pręt o przekroju kołowym). Pod wpływem skręcania przy dostatecznie dużej wartości momentu M oprócz prostoliniowej może również wystąpić krzywoliniowa (przestrzenna) postać równowagi. Dla ustalenia tej postaci utraty stateczności wykorzystamy ponownie równania (19.53), w których M x = M , M y = M z = 0, ∆M x1 = ∆M y1 = ∆M z1 = 0 : Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

46

GJ s ⋅ ψ '−M = 0, EJw''−M ⋅ v ' = 0, EJv ''+M ⋅ w' = 0.

Rys. 19.33

Do dalszych rozważań wykorzystamy tylko dwa ostatnie równania, które można zapisać następująco: w''−α 4 ⋅ v ' = 0,  v ''+α 4 ⋅ w' = 0,

(19.71)

gdzie α 4 = M / EJ > 0. Warunki brzegowe funkcji v(x) i w(x) przyjmują postać: v(0) = v(l) = w(0) = w(l) = 0. Za pomocą różniczkowania układ (19.71) można sprowadzić do dwóch oddzielnych równań: v ' ''+α 42 ⋅ v ' = 0 (a)  w' ''+α 42 ⋅ w' = 0. Po scałkowaniu tych równań otrzymujemy:

v ( x ) = A1 sin(α 4 x ) + B1 cos(α 4 x ) + C1 , w( x ) = A2 sin(α 4 x ) + B2 cos(α 4 x ) + C2 . Funkcje te muszą spełniać tożsamościowo równania (19.71):

− A2 ⋅ α 42 ⋅ sin(α 4 x ) − B2 ⋅ α 42 ⋅ cos(α 4 x ) − A1α 42 ⋅ cos(α 4 x ) + B1 ⋅ α 42 ⋅ sin(α 4 x ) = 0, − A1 ⋅ α 42 ⋅ sin(α 4 x ) − B1 ⋅ α 42 ⋅ cos(α 4 x ) + A2α 42 ⋅ cos(α 4 x ) − B2 ⋅ α 42 ⋅ sin(α 4 x ) = 0, skąd A2 = B1, B2 = −A1. Wobec tego funkcje v(x) i w(x) zawierają cztery stałe całkowania: (b)

v ( x ) = A1 sin(α 4 x ) + B1 cos(α 4 x ) + C1 ,  w( x ) = B1 sin(α 4 x ) − A1 cos(α 4 x ) + C2 .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

47

Po podstawieniu warunków brzegowych otrzymujemy: v(0) = 0: v(l) = 0:

B1 + C1 = 0, A1 sin(α 4 l ) + B1 cos(α 4 l ) + C1 = 0,

w(0) = 0: w(l) = 0:

−A1+ C2 = 0, B1 sin(α 4 l ) − A1 cos(α 4 l ) + C2 = 0.

Warunek stateczności przybiera postać: 0 1   sin(α l ) cos(α l ) 4 4   1 0   − cos(α 4 l ) sin(α 4 l )

1 0 1 0 =0 0 1  0 1

lub po rozwinięciu wyznacznika: − 2 ⋅ [1 − cos(α 4 l )] = 0. Równanie to ma pierwiastki (α 4 l ) = 2nπ (n = 1, 2, ...), czyli ( n) Mkr = 2πEJn / l.

(19.72)

Najmniejszą wartość momentu krytycznego otrzymujemy dla n = 1: (1) = 2πEJ / l. Mkr = Mkr

(19.73)

Postacie wyboczenia można określić z dokładnością do stałej. Z warunków brzegowych można wyznaczyć stosunki stałych całkowania. Ostatecznie po podstawieniu wartości stosunków tych stałych do równań (b) otrzymujemy: 1 − cos(α 4 l )  v ( x ) = B1 ⋅  ⋅ sin(α 4 x ) + cos(α 4 x ) − 1,  sin(α 4 l )    1 − cos(α 4 l ) w( x ) = B1 ⋅ sin(α 4 x ) − ⋅ [ cos(α 4 x ) − 1]. sin(α 4 l )   Po uwzględnieniu, że [1 − cos(α 4 l )] / sin(α 4 l ) = tg(nπ), równania powyższe można przedstawić w postaci: v ( x ) = − B1 ⋅ [1 − cos(α 4 x )], (19.74)  w( x ) = − B1 sin(α 4 x ).  Z równań (19.74) wynika, że wygięta oś pręta po wyboczeniu jest linią śrubową. Na zakończenie warto dodać, że rozważane zadanie stanowi przypadek obciążenia niekonserwatywnego, ponieważ praca momentu skręcającego zależy od sposobu, w jaki styczna do osi na końcu pręta porusza się podczas wyboczenia. Ilustruje to rys. 19.33b. Styczna do nieznacznie wyboczonego pręta może zająć swe końcowe położenie przez obrót dookoła osi y (od punktu 1 do punktu 2), a potem dookoła osi z (od punktu 2 do punktu 3). Na tej drodze moment skręcający nie wykona żadnej pracy. Do końcowego położenia stycznej można jednak dojść w inny sposób: najpierw wykonujemy obrót wokół osi y (od punktu 1 do punktu 2'), a następnie wokół osi x (od punktu 2' do punktu 3). W tym drugim wypadku moment skręcający wykonuje pracę różną od zera. Widzimy więc, że praca obciążenia zewnętrznego zależy od sposobu przejścia od konfiguracji pierwotnej do konfiguracji aktualnej. Obciążenie w takim wypadku nie jest konserwatywne i w konsekwencji nie obowiązują kryteria energetyczne (twierdzenie o energii potencjalnej). Nie zawsze też wolno stosować równania różniczkowe (19.53) wynikające z równowagi statycznej układu. Rozważany przypadek należy jednak do tej grupy obciążeń niekonserwatywnych, w których metoda statyczna daje wynik poprawny. W ogólnym przypadku obciążenia niekonserwatywnego trzeba stosować tzw. dynamiczne kryterium stateczności, które polega na badaniu małych drgań układu. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

48

19.4.4. Stateczność przy obciążeniach złożonych 19.4.4.1. Ściskanie ze zginaniem Do tej pory rozważaliśmy oddzielnie osiowe ściskanie, zginanie i skręcanie. W praktyce bardzo często występują jednak obciążenia złożone. W celu wyrobienia sobie poglądu na problem obciążeń złożonych omówimy dwa najprostsze przypadki: ściskanie ze zginaniem oraz ściskanie ze skręcaniem. Rozważymy pręt pryzmatyczny o długości l poddany jednoczesnemu ściskaniu siłą P i zginaniu momentem My = M. Przekrój pręta jest wydłużonym prostokątem (b < h), a oba końce pręta są podparte widełkowo (rys. 19.34). Równania (19.53) przyjmują postać:   EJ y ⋅ w''+ M + P ⋅ w = 0,   EJ z ⋅ v ''+ M ⋅ ψ + P ⋅ v = 0.

− GJ s ⋅ ψ '+ M ⋅ v ' = 0,

(19.75)

Rys. 19.34

Drugie z tych równań opisuje deformacje pręta w płaszczyźnie (x, z), a pierwsze i trzecie opisują deformację przestrzenną. Rozwiązanie drugiego równania jest następujące: w( x ) =

M  αl  P cos   2

  αl   αl   cos 2 − αx − cos 2  ,  

(19.76)

gdzie α 2 = P / ( EJ y ). Maksymalne ugięcie w połowie rozpiętości pręta

(a)

2[1 − cos(αl / 2)] Ml 2  l ∆ = w  = ⋅  2  8 EJ y (αl / 2) 2 ⋅ cos(αl / 2)

i przybiera wartość nieskończoną dla αl / 2 = π / 2, czyli dla siły (b)

Pkr = Py = π 2 EJ y / ( l 2 ).

Cechy charakterystyczne zależności (a) przedstawiono już w p. 19.4.2 przy okazji omawiania wpływu obciążenia poprzecznego na przebieg zależności P(∆) (por. rys. 19.35a).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

49

Rys. 19.35

Nowe efekty obserwujemy natomiast analizując dwa pozostałe równania układu. Równania te, po zróżniczkowaniu pierwszego z nich względem x, zapiszemy następująco: M  ψ ' '− ⋅ v ' ' = 0,  GJ s  (19.77)  M P  ⋅ψ + ⋅ v = 0. v ' '+ EJ z EJ z  Funkcje v(x) i ψ(x) przyjmiemy w postaci: (c)

 πx   πx  v ( x ) = C1 sin  , ψ ( x ) = C2 sin  ,  l   l 

co gwarantuje spełnienie warunków brzegowych: (d)

v ( 0) = v ( l ) = ψ ( 0) = ψ ( l ) = 0.

Po podstawieniu zależności (c) do równań (19.77) uzyskujemy układ równań na stałe całkowania:  M  GJ ⋅ C1 − C2 = 0,  s (e)  2   − π + P  ⋅ C + M ⋅ C = 0.   l 2 EJ z  1 EJ z 2  Po przyrównaniu do zera wyznacznika tego układu otrzymujemy: (f)

M2 P π2 + = 2 . GJ s EJ z EJ z l

Ponieważ zwichrzenie belki poddanej wyłącznemu działaniu momentu zginającego zachodzi dla (por. p. 19.4.3.2) π M = M kr = ⋅ GJ s EJ z , l a eulerowska siła krytyczna

Pkr = Pz = π 2 EJ z / (l 2 ), więc wzór (f) można zapisać w bardziej ogólnej postaci: 2

 M   P    +  = 1.  M kr   Pkr  Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(19.78)

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

50

Widzimy zatem, że obecność siły ściskającej zmniejsza wartość momentu, przy którym występuje zwichrzenie belki, i na odwrót: obecność momentu zginającego zmniejsza wartość siły ściskającej, przy której występuje wyboczenie eulerowskie. Wzór (19.78) ilustruje interakcję obu form utraty stateczności wyboczenia eulerowskiego i zwichrzenia. Obrazem równania (19.78) jest linia interakcji przedstawiona na rys. 19.35b. Ze wzoru (19.78) wynika ponadto, że dla ujemnych wartości siły P, tzn. dla rozciągania, stateczność układu na zwichrzenie jest większa. Poza tym stwierdzamy, że znak momentu zginającego nie wpływa na wartość krytyczną siły ściskającej. 19.4.3.2. Ściskanie ze skręcaniem *) W przypadku jednoczesnego ściskania i skręcania pręta pryzmatycznego o przekroju zwartym, nie cienkościennym (rys. 19.36), w którym główne momenty bezwładności są równe (Jy = Jz = J), równania (19.53) przyjmują postać: − GJ s ⋅ ψ '+M = 0, EJw''−M ⋅ v '+ P ⋅ w = 0, EJv ''+M ⋅ w'+ P ⋅ v = 0. Do dalszych rozważań wykorzystamy tylko dwa ostatnie równania, które zapiszemy następująco: w''−α 2 ⋅ v '+α12 ⋅ w = 0, (19.79)  v ''−α 2 ⋅ w'+α12 ⋅ v = 0,  gdzie α1 = P / ( EJ ), α 2 = M / ( EJ ). Za pomocą różniczkowania i po wyeliminowaniu pochodnych równania te można sprowadzić do dwóch oddzielnych równań różniczkowych czwartego rzędu na funkcje v(x) i w(x):

( + (2α

) + α ) ⋅ w' '+α

v IV + 2α12 + α 22 ⋅ v ' '+α14 ⋅ v = 0, w IV

2 1

2 2

4 1 ⋅w =

(19.80)

0.

Rys. 19.36

Podstawienie v ( x ) = r rx prowadzi do równania charakterystycznego czwartego stopnia:

(

)

r 4 + 2α12 + α 22 ⋅ r 2 + α14 = 0, o pierwiastkach urojonych:

r1 = i ⋅ γ 1 , r2 = − i ⋅ γ 1 , r3 = i ⋅ γ 2 , r4 = − i ⋅ γ 2 , gdzie i =

−1 oraz γ 1,2 =

*)

 2  2α12   2α12 + α 22   . ⋅ 1 ± 1 −  2 2  2 α α 2 +    1 2  

Por. [30, 48, 54]

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

51

Identyczne pierwiastki ma równanie charakterystyczne na funkcję w(x). Wobec tego całki ogólne równań (19.80) są funkcjami trygonometrycznymi argumentów γ 1x oraz γ 2 x : v ( x ) = C1 sin(γ 1x ) + C2 cos(γ 1x ) + C3 sin(γ 2 x ) + C4 cos(γ 2 x ),   w( x ) = C5 sin(γ 1x ) + C6 cos(γ 1x ) + C7 sin(γ 2 x ) + C8 cos(γ 2 x ).

(19.81)

Mamy zatem osiem stałych całkowania, a tylko cztery warunki brzegowe: v ( 0) = v ( l ) = w( 0) = w( l ) = 0.

(19.82)

Dodatkowe zależności między stałymi całkowania wynikają z wymagania, by funkcje (19.81) spełniały tożsamościowo układ równań wyjściowych (19.79). Zależności te przyjmują postać: dla równania (19.79)1: γ 2 − α12 ⋅ C6 , C1 = − 1 γ 1 ⋅ α2 C2 =

γ 12 − α12 ⋅ C5 , γ 1 ⋅ α2

γ 2 − α12 ⋅ C8 , C3 = − 2 γ 2 ⋅ α2 C4 =

γ 22 − α12 ⋅ C7 , γ 2 ⋅ α2

dla równania (19.72) 2 : γ ⋅α C1 = − 21 22 ⋅ C6 , γ 1 − α1 C2 =

γ 1 ⋅ α2

γ 12 − α12

⋅ C5 ,

(19.83)

γ ⋅α C3 = − 22 22 ⋅ C8 , γ 2 − α1 C4 =

γ 2 ⋅ α2

γ 22 − α12

⋅ C7 .

Ze związków (19.83) wynika, że γ 12 − α12 = ±1, γ 1 ⋅ α2

γ 22 − α12 = ±1 , γ 2 ⋅ α2

(19.84)

oraz C1 = C6 , C2 = C5 , C3 = C8 , C4 = C7 . Budowa równań (19.84) wskazuje, że γ 1 i γ 2 są pierwiastkami równania kwadratowego: γ 2 ± γ ⋅ α 2 − α12 = 0,

(19.84a)

przy czym znak w drugim składniku nie wpływa na wartość argumentu funkcji trygonometrycznej; może jedynie zmienić znak stałych całkowania. Stwierdzamy zatem, że rozwiązania układu równań (19.79) są następujące: v ( x ) = C1 sin(γ 1x ) + C2 cos(γ 1x ) + C3 sin(γ 2 x ) + C4 cos(γ 2 x ),   w( x ) = C2 sin(γ 1 x ) + C1 cos(γ 1x ) + C4 sin(γ 2 x ) + C3 cos(γ 2 x ), gdzie γ 1 i γ 2 są pierwiastkami równania kwadratowego γ 2 − γ ⋅ α 2 − α12 = 0 o rozwiązaniach: γ 1 = α 2 + α 22 + 4α12 ,   γ 2 = α 2 − α 22 + 4α12 .

(19.85)

(19.86)

Wykorzystanie warunków brzegowych (19.82) prowadzi do kryterium stateczności:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

52

1 0 1   0  sin(γ l ) cos(γ l ) sin(γ l ) cos(γ l )  1 1 2 2   = 0.  1 0 1 0    cos(γ 1l ) sin(γ 1l ) cos(γ 2 l ) sin(γ 2 l )  Po rozpisaniu wartości wyznacznika dochodzimy do równania:

[sin(γ 1l ) − sin(γ 2l )]2 − [cos(γ 1l ) − cos(γ 2l )]2 = 0,

(19.87)

sin(γ 1l ) − sin(γ 2 l ) + cos(γ 1l ) − cos(γ 2 l ) = 0

(19.87a)

sin(γ 1l ) − sin(γ 2 l ) − cos(γ 1l ) + cos(γ 2 l ) = 0.

(19.87b)

które jest spełnione, gdy

albo gdy

Znalezienie pary najmniejszych pierwiastków równania (19.87) wbrew pozorom nie jest łatwe. Najprostszym sposobem uzyskania właściwego rozwiązania jest zastosowanie wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych występujących w równaniu (19.87b):

sin(γ 1l ) + cos(γ 1l ) = sin(γ 2 l )) + cos(γ 2 l ), czyli π π   π   π − 2 sin  ⋅ cos γ 1l −  = 2 sin  ⋅ cos γ 2 l −  ,  4   4  4 4 skąd

γ 1l = γ 2 l + 2nπ, n = 1, 2, ...

(19.88)

Po podstawieniu n = 1 oraz wykorzystaniu wzoru (19.86) na γ 1 i γ 2 otrzymujemy: 4 P 4π2 + = 2 , ( EJ ) 2 EJ l M

lub M2

P + 2 = 1. π EJ 2 π EJ      l  l2 2

(19.89)

Wartości mianowników umieszczone w nawiasach oznaczają odpowiednio krytyczny moment skręcający Mkr (wzór (19.73)) i krytyczną siłę eulerowską Pkr. Zależność (19.89) można zatem zapisać następująco: 2

 M   P    +  = 1.  Mkr   Pkr 

(19.90)

Uzyskana krzywa interakcji jest analogiczna do zależności (19.78), obowiązującej przy jednoczesnym zginaniu i ściskaniu. Ze wzoru (19.90) wynika, że rozciąganie pręta (P < 0) ma działanie stabilizujące; wyboczenie skrętne występuje wtedy przy większej wartości momentu skręcającego.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

53

19.4.4.3. Wzór Dunkerleya Jeżeli obciążenia złożone są konserwatywne, to powierzchnia stateczności (interakcji) w przestrzeni sił wewnętrznych P1, P2, P3, ...., Pn :

f ( P1 , P2 ,..., Pn ) = 0 ,

(19.91)

jest wypukła (por. np. Życzkowski [57]). Wobec tego wzór przybliżony dla dodatnich (ściskających) wartości Pi takich, że n

f ( P1 , P2 ,..., Pn ) =

P

∑ Pikri − 1 = 0,

(19.92)

i =1

jest dolnym (bezpiecznym) oszacowaniem stanu statecznego. Zależność (19.92) nosi nazwę wzoru Dunkerleya. Na rysunku 19.35b wzór Dunkerleya odpowiada prostym zaznaczonym liniami przerywanymi. W przypadku obciążeń niekonserwatywnych może się zdarzyć, że powierzchnia stateczności jest wklęsła i wzór (19.92) nie daje oceny bezpiecznej. 19.4.5.Uwagi o lokalnej utracie stateczności prętów cienkościennych Wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczyły stateczności globalnej. Interesowało nas wygięcie lub skręcenie osi pręta, przy czym zakładaliśmy hipotezę sztywnego rzutu przekroju poprzecznego. W prętach cienkościennych pojawia się nowe zjawisko, tzw. lokalna (miejscowa) utrata stateczności. Polega ona na tym, że w odróżnieniu od stateczności globalnej przekrój poprzeczny deformuje się, a oś pręta pozostaje prostoliniowa. Zjawisko lokalnej utraty stateczności jest charakterystyczne dla powłok, a więc i dla prętów cienkościennych, które w istocie rzeczy są długimi powłokami lub układem długich pasm płytowych. Omawiany problem ilustruje rys. 19.37, na którym przedstawiono postać lokalnej utraty stateczności ściskanego ceownika.

Rys. 19.37

Różnorodność form utraty stateczności przy ściskaniu prętów cienkościennych sprawia, że ograniczenie się do wyboczenia giętnego (eulerowskiego) może prowadzić do znacznych błędów. Jako [przykład niech nam posłuży wykres σkr(s) z podręcznika Brzoski [7] sporządzony dla ściskania równoramiennego kątownika duraluminiowego (rys. 19.38). Wyboczenie giętne w płaszczyźnie najmniejszej sztywności występuje wówczas, gdy smukłość pręta jest dostatecznie duża. Jeżeli smukłość pręta jest mniejsza, to występuje wyboczenie giętno-skrętne. Z kolei utrata stateczności prętów o bardzo małej smukłości odpowiada wyboczeniu lokalnemu. Naprężenie krytyczne przy lokalnej utracie stateczności oblicza się na gruncie teorii płyt i powłok. Zależy ono od wymiarów przekroju poprzecznego. Lokalne naprężenie krytyczne Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

19. PROBLEMY STATECZNOŚCI

54

jest proporcjonalne do grubości ścianki kątownika, a ściślej biorąc, zależy ono od stosunku grubości ścianki do pozostałych wymiarów liniowych przekroju poprzecznego (np. od stosunku g/h).

Rys. 19.38

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

1

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI Uwagi ogólne Mechanika nieliniowa zajmuje się problemami, w których zależności między naprężeniami lub siłami a wielkościami kinematycznymi są nieliniowe. Rozróżniamy dwa zasadnicze rodzaje nieliniowości: kinematyczną (geometryczną) i fizyczną. Nieliniowość kinematyczna pojawia się wtedy, gdy rozważany obiekt wykazuje duże odkształcenia albo duże przemieszczenia albo duże odkształcenia i duże przemieszczenia jednocześnie. Nieliniowość fizyczna występuje nawet przy bardzo małych odkształceniach i przemieszczeniach. Wynika ona z fizycznych własności materiału lub konstrukcji i objawia się wówczas, gdy związki konstytutywne są nieliniowe. Są to np. materiały nieliniowo-sprężyste lub plastyczne. Szczególnego typu nieliniowość fizyczną w zakresie małych przemieszczeń wykazują również konstrukcje wykonane z materiału liniowo-sprężystego, ale nie spełniające postulatów Clapeyrona. Mamy tu na myśli tzw. konstrukcje luzowe, tzn. konstrukcje wykazujące niewielkie luzy w połączeniach elementów. W skali makro (na poziomie całej konstrukcji) obecność luzów jest przyczyną „zakleszczania się” (ang. locking), tzn. wzrostu sztywności w miarę wzrostu obciążenia. Zakleszczanie się, poza sprężystością i plastycznością można uważać za kolejny prototyp nieliniowego prawa fizycznego. Jest oczywiste, że występują również przypadki bardziej złożone, w których rozważany obiekt wykazuje zarówno nieliniowość kinematyczną jak i fizyczną. Dla wszystkich zadań nieliniowych charakterystyczne jest to, że nie obowiązuje zasada superpozycji skutków. Do konstrukcji niesprężystych zaliczamy takie, których materiał poza cechami sprężystymi wykazuje inne cechy, jak np. lepkość. Należą do nich konstrukcje (materiały) lepko-sprężyste. Gdy zależność pomiędzy naprężeniem a prędkością odkształceń jest liniowa, obowiązuje zasada superpozycji względem cykli naprężeń i odkształceń jako funkcji czasu. W odróżnieniu od procesów sprężystych są to jednak procesy, w których obserwujemy dyssypację energii.

Nieliniowe zachowanie się konstrukcji wykonanych z materiału liniowo-sprężystego • Konstrukcje z luzami obrotowymi Konstrukcje prętowe z luzami obrotowymi wykazują nieliniowość fizyczną. Przegubowe połączenia elementów konstrukcji mogą wykazywać ograniczenie kąta obrotu. Są to tzw. połączenia luzowe. Jeśli wzajemny kąt obrotu prętów jest zawarty w przedziale < −Φ − ,Φ + > , to mamy do czynienia ze zwykłym przegubem. Dla wartości granicznych Φ = Φ + lub Φ = −Φ − połączenie przybiera cechy utwierdzenia. Charakterystykę fizyczną takiego połączenia przedstawiają zależności: M = 0, − Φ − < Φ < Φ + ; M ≥ 0,

Φ = Φ +;

M ≤ 0,

Φ = −Φ .−

Przyjęcie luzów kątowych sprawia, że schemat statyczny konstrukcji luzowej w miarę narastania obciążeń zmienia się. Jest to zatem konstrukcja, która nie spełnia postulatów Clapeyrona; wykresy obciążenie−przemieszczenie są liniami łamanymi, tzn. są nieliniowe. Racjonalne obranie wartości kątów Φ + i Φ − daje efekt „dostosowania” się schematu statycznego do intensywności i charakteru obciążenia. Wymienione cechy konstrukcji nie są bez znaczenia dla praktyki projektowej oraz analizy wpływu luzów podporowych na zachowanie się konstrukcji. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

2

Rozwiązanie problemu konstrukcji luzowych polega na obliczaniu kolejnych schematów statycznych za pomocą znanych metod liniowej analizy konstrukcji (metodą sił, metodą przemieszczeń). Należy jednak zwrócić uwagę, że nieliniowość zależności obciążenie−przemieszczenie nie pozwala stosować zasady superpozycji. Aktualny stan mechaniczny konstrukcji jest wynikiem akumulacji zmiennych stanu (tzn. przemieszczeń i sił przekrojowych) obliczonych w poszczególnych schematach statycznych. Obliczenia statyczne konstrukcji luzowych metodami tradycyjnymi są zazwyczaj bardzo uciążliwe, a wyniki obliczeń nie zawsze są poprawne. Najnowsze sformułowanie ogólnego problemu konstrukcji luzowych prowadzi do zadań liniowego dopełnienia lub programowania matematycznego (liniowego i kwadratowego), rozwiązywanych za pomocą gotowych procedur komputerowych.

• Kratownica Misesa Nazwę taką nosi symetryczna kratownica składająca się z dwóch prętów nachylonych pod kątem α w stosunku do poziomu. Obciążenie stanowi siła pionowa P, przyłożona w osi symetrii kratownicy. Jeżeli wyniosłość kratownicy jest mała, to prawidłowy opis deformacji kratownicy wymaga odstąpienia od zasady zesztywnienia, tzn. równania równowagi trzeba układać dla konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). Jest to zatem problem kinematycznie nieliniowy. Zakłada się, że deformacja konstrukcji jest symetryczna. Przyjmuje się ponadto, że odkształcenia liniowe prętów są małe, a materiał prętów kratownicy jest liniowo-sprężysty Przemieszczenie pionowe środkowego węzła v wynika z ekstremum energii potencjalnej Π ( v ) : 1 ⋅ EAλ2 ⋅ ds − P ⋅ v , Π (v ) = 2

∫ s

gdzie λ(v ) = ∆L(v ) / L i oznacza wydłużenie względne osi prętów, a L jest długością prętów kratownicy. W podejściu kinematycznie nieliniowym przyrost długości prętów ∆L trzeba obliczyć w sposób ścisły, używając wzoru Pitagorasa. Równowaga zachodzi, gdy ∂ Π ∂ v = 0 . Z tego warunku wyznacza się funkcję P(v). Obciążenie P(v) może odpowiadać równowadze statecznej ( ∂ P ∂ v = P,v > 0 ) lub niestatecznej

( P,v < 0). Z budowy zależności na energię potencjalną wnioskujemy, że pochodna

P,v jest równa drugiej

pochodnej energii potencjalnej. Równowaga stateczna występuje zatem wówczas, gdy energia potencjalna osiąga minimum, tzn., gdy ∂ Π ∂ v = 0, ∂ 2 Π ∂ v 2 > 0 , natomiast równowaga jest niestateczna, gdy energia potencjalna osiąga maksimum: ∂ Π ∂ v = 0, ∂ 2 Π ∂ v 2 < 0 . Dla umiarkowanych wartości siły P funkcja Π(v) osiąga minimum, co odpowiada równowadze statecznej: dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 > 0 . Gdy dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 = 0 , funkcja P( v ) osiąga lokalne maksimum. Jest to tzw. punkt graniczny. Przy dalszym powiększaniu siły P obserwujemy zjawisko tzw. „przeskoku” (ang. snap-through) i ustalenie się nowego położenia równowagi, które odpowiada ujemnemu kątowi nachylenia prętów. Początkowo pręty kratownicy były ściskane. W nowym położeniu równowagi znak sił w prętach zmienia się − pręty są rozciągane. Przeskok obserwujemy tylko wówczas, gdy czynnikiem sterującym jest obciążenie P. Jeżeli będziemy powiększać przemieszczenie v (sterowanie przemieszczeniem), to począwszy od punktu granicznego obserwujemy spadek reakcji pionowej węzła środkowego. Zjawisko przeskoku ma bardzo duże znaczenie w praktyce inżynierskiej. Najczęściej problem ten pojawia się w konstrukcjach powłokowych. Przykład kratownicy Misesa dowodzi, że opis niektórych zjawisk występujących w mechanice wymaga odejścia od zasady zesztywnienia.

• Układy cięgnowe Cięgno jest prętem mającym jedynie sztywność rozciągania. Cechy cięgna wykazują np. cienkie druty i liny. Dla ujemnych odkształceń liniowych (tzn. skróceń) siła normalna jest równa zeru. Podczas rozciągania cięgno może zachowywać się nieliniowo lub liniowo. Związek fizyczny cięgien o liniowej charakterystyce przy rozciąganiu, można zapisać następująco: kλ , λ ≥ 0 N = 0, λ < 0, Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

3

gdzie k = EA i oznacza sztywność rozciągania cięgna. Przyjęciu obciążeń przez układ cięgnowy towarzyszą na ogół duże przemieszczenia. Z tego powodu problemy mechaniki cięgien są z natury rzeczy zarówno fizycznie, jak i kinematycznie nieliniowe. Zasadniczym mankamentem konstrukcji cięgnowych jest ich mała sztywność. Dlatego przed przyłożeniem obciążenia zewnętrznego poszczególne cięgna są poddawane wstępnemu naciągowi. Wstępne wydłużenia cięgien nie mogą być zupełnie dowolne, ponieważ muszą spełniać warunki: brzegowe, ciągłości, równowagi i naprężeniowe. Ponadto, ze względu na brak sztywności ściskania (jednostronne więzy naprężeniowe) trzeba jeszcze uwzględnić możliwość odciążenia („wyłączenia”) cięgien. Ustalenie konfiguracji wstępnej w bardziej rozbudowanych układach stanowi zatem problem sam dla siebie. Problemy o podobnym stopniu trudności pojawiają się, kiedy układ cięgnowy jest poddany działaniu obciążenia zewnętrznego. W obliczeniach konstrukcji cięgnowych wykorzystuje się równania geometryczne i fizyczne oraz równania równowagi. W tych ostatnich trzeba uwzględnić zmiany geometrii. Inny, równie ogólny sposób polega na wykorzystaniu zasady minimum energii potencjalnej w podejściu kinematycznie nieliniowym. W obu metodach problem sprowadza się do rozwiązania układu algebraicznych równań nieliniowych. W praktyce liczba stopni swobody jest na ogół duża, a więc do rozwiązania tego układu stosuje się metody przybliżone. Najczęściej posługuje się wówczas metodą Newtona-Raphsona. Podczas obliczeń należy zwrócić uwagę, że wyłączenie danego cięgna występuje w momencie, gdy całkowite wydłużenie cięgna jest równe zeru. Powoduje to odpowiednią modyfikację wyjściowego układu równań.

Pręty wykonane z materiału fizycznie nieliniowego Największą trudnością w badaniu zagadnień nieliniowych jest to, że nie obowiązuje zasada superpozycji. Drugą dosyć kłopotliwą okolicznością jest tzw. znakoczułość materiału. Materiały znakoczułe podczas wydłużania zachowują się inaczej niż podczas skracania. W materiałach wykazujących cechy plastyczne wiele trudności sprawia fakt, że odciążenie konstrukcji przebiega po innej drodze niż obciążenie. W olbrzymiej większości przypadków, jak pokazuje doświadczenie, można jednak stosować znane hipotezy kinematyczne (np. hipotezę płaskich przekrojów).

• Materiał nieliniowo-sprężysty Proces sprężysty (w tym i nieliniowy) charakteryzuje się tym, że krzywa obciążenia pokrywa się na wykresie σ(ε) z krzywą odciążenia. Od charakterystyki σ(ε) wymagamy przede wszystkim, by rozciąganiu odpowiadało wydłużenie, a ściskaniu − skrócenie, tzn. by znak naprężeń odpowiadał znakowi odkształceń, czyli by σ ⋅ ε ≥ 0. Ważne jest również, by materiał był stateczny, tzn. by dσ ⋅ dε ≥ 0. Wymagania powyższe w istotny sposób ograniczają klasę możliwych do zaakceptowania nieliniowych funkcji σ(ε). Fizycznie nieliniową sprężystość można też definiować za pomocą stosownie obranej dodatnio określonej funkcji energii sprężystej właściwej wyrażonej przez naprężenia Ws ( s) lub przez odkształcenia We ( e) . Wówczas, wykorzystując własność potencjału funkcji W, związek fizyczny zapisujemy następująco: εij =

∂ Ws ∂ σ ij

lub

σ ij =

∂ We ∂ εij

.

W przypadku liniowej sprężystości energia W jest kwadratową funkcją składowych stanu odkształcenia lub naprężenia. Sprężystość nieliniowa odpowiada funkcjom energii wyższego stopnia, a materiał tak zdefiniowany nazywamy materiałem hipersprężystym. Potencjały sprężyste można budować, używając uogólnione naprężenia (np. siły podłużne N i momenty zginające M) i uogólnione odkształcenia (względne wydłużenia osi pręta λ i krzywizny k). Konkretne postacie tych potencjałów dla danej funkcji σ(ε) otrzymuje się po wykorzystaniu prawa płaskich przekrojów i dokonaniu całkowania w obszarze przekroju pręta. Wówczas zachodzą zależności:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

λ=

∂ W( N , M ) ∂ N

, k=

∂ W(N , M) ∂ M

lub N =

∂ W (λ , k ) ∂ λ

, M=

4

∂ W (λ , k ) ∂ k

.

Znakoczułość materiału objawia się w ten sposób, że σ(ε) ≠ −σ(−ε). W takich przypadkach okazuje się np., że przy czystym zginaniu oś obojętna nie pokrywa się z osią ciężkości przekroju. Uwaga ta dotyczy nawet przekrojów bisymetrycznych. To, że w prętach nieliniowo-sprężystych nie obowiązuje zasada superpozycji, wyrażają zależności:

(ε ) N + M ≠ (ε ) N + (ε ) M

oraz (σ ) N + M ≠ (σ ) N + (σ ) M ,

gdzie indeksy N i M dotyczą odpowiednio siły podłużnej i momentu zginającego. Warto zwrócić uwagę, że kształt wykresów naprężeń normalnych na wysokości przekroju σ(z) odpowiada wykresowi σ(ε), obróconemu o 90°. Podobieństwo tych wykresów występuje tylko wówczas, gdy obowiązuje hipoteza Bernoulliego. Z hipotezy tej wynika, że dla ustalonych wartości λ i k rozkład naprężeń σ(z) jest odpowiednio przeskalowanym wykresem σ(ε). Należy dodać, że zadania mechaniki prętów nieliniowo-sprężystych są bardzo pracochłonne i zawsze wymagają gruntownej analizy poprawności uzyskanych rezultatów. Wydaje się, że przedstawione wyżej uwagi dobrze ilustrują rozległość problematyki pojawiającej się z chwilą odejścia od klasycznego modelu materiału liniowo-sprężystego.

• Materiał sprężysto-idealnie plastyczny Materiał sprężysto-plastyczny charakteryzuje się tym, że w procesie deformacji mogą pojawić się trwałe odkształcenia plastyczne. W najprostszym modelu sprężysto-idealnie plastycznym (bez wzmocnienia) zakłada się, że granice proporcjonalności (σH), sprężystości (σS) i plastyczności (σP) pokrywają się, a wykresy σ(ε) dla rozciągania i ściskania są identyczne, czyli σ(ε) = −σ(−ε). Początkową postać funkcji σ(ε) w tym przypadku można zapisać następująco:  E ⋅ ε , σ (ε ) =  σ P ⋅ sgn ε ,

ε ≤ εS , ε ≥ εS ,

gdzie ε S = σ P / E . W czasie obciążenia, jeżeli ε ≤ ε S , materiał jest w stanie sprężystym. Przekroczenie odkształcenia εS odpowiada przejściu w stan plastyczny, w którym narastają odkształcenia plastyczne przy stałej wartości naprężenia: σ = σP. Przyrostowi odkształceń plastycznych towarzyszy rozpraszanie energii, czyli tzw. dyssypacja. Jeżeli odkształcenia nadal rosną, to nie ma żadnej różnicy między materiałem sprężysto-plastycznym a materiałem nieliniowo-sprężystym. Różnica między nimi uwidacznia się dopiero podczas odciążenia. W materiale nieliniowo-sprężystym krzywa obciążenia pokrywa się z krzywą odciążenia, a proces ma charakter całkowicie odwracalny. Tymczasem cechą charakterystyczną zjawisk związanych z odkształceniami plastycznymi jest ich nieodwracalność. Odciążenie przebiega wzdłuż linii prostej o nachyleniu odpowiadającym początkowemu modułowi sprężystości. Po usunięciu obciążenia pozostają trwałe odkształcenia plastyczne εP. Pole zawarte pomiędzy krzywymi obciążenia i odciążenia odpowiada energii rozproszonej. Ponowne obciążenie pręta odpowiada wykresowi σ(ε) przesuniętemu wzdłuż osi odkształceń ε o wartość równą wytworzonym w danym procesie odkształceniom plastycznym. Widzimy zatem, że aktualny stan mechaniczny zależy od historii deformacji plastycznych.

Działanie siły normalnej Przypadek działania siły normalnej jest trywialny, gdyż ε = λ, a naprężenia σ są równomiernie rozłożone w obrębie przekroju, czyli N = σA. Wobec tego wykres zależności N(λ) ma taki sam kształt jak wykres σ(ε). Największa wartość siły normalnej, jaką może przenieść przekrój pręta

N max = N P = σ P ⋅ A .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

5

Siła NP odpowiada tzw. nośności granicznej przekroju przy działaniu siły normalnej. Osiągnięciu nośności granicznej towarzyszy uplastycznienie wszystkich włókien przekroju. Wydłużenia pręta narastają przy stałej wartości siły normalnej; obserwujemy wówczas tzw. płynięcie plastyczne.

Działanie momentu zginającego Podczas stopniowego zwiększania momentu zginającego M = My działającego na przekrój monosymetryczny (tj. o jednej osi symetrii) obserwujemy najpierw stan, w którym ε < ε S . W stanie tym oś obojętna pokrywa się z osią ciężkości y, a rozkłady odkształceń i naprężeń są identyczne z rozkładami dla materiału sprężystego. Gdy największe odkształcenie, występujące w skrajnych (np. dolnych) włóknach (zd > zg), osiągnie wartość εS, to naprężenie normalne w tych włóknach σ = σP. Odpowiada to momentowi zginającemu:

M = MS = σ P ⋅W (S ) (S)

(S)

gdzie W oznacza „sprężysty” wskaźnik wytrzymałości dla dolnych włókien przekroju, W = Jy/zd . Powiększanie momentu zginającego powoduje wzrost odkształceń i jednostronne uplastycznienie dolnych włókien. W przekroju o jednej osi symetrii oś obojętna nie pokrywa się już z osią ciężkości (λ ≠ 0). Wzrostowi momentu towarzyszy dalszy wzrost odkształceń i zmiana położenia osi obojętnej. Z chwilą, gdy w skrajnych górnych włóknach przekroju odkształcenie osiągnie wartość − ε S ( tzn. ε ( − z g ) = −ε S ) , rozpoczyna się dwustronne uplastycznienie przekroju. Stan sprężysty występuje wówczas tylko w strefie wewnętrznej przekroju, sąsiadującej z osią obojętną (tzw. jądro sprężyste). Przy znacznych odkształceniach jądro sprężyste obejmuje już tylko bardzo małą część przekroju. Można wówczas przyjąć, że uplastyczniony jest cały przekrój. W strefie ściskanej występują stałe naprężenia o wartości −σP, a w strefie rozciąganej naprężenia o wartości +σP . Położenie osi obojętnej wynika z warunku, że N = 0. Jest to zatem linia dzieląca na pół pole przekroju. Pełne uplastycznienie przekroju odpowiada osiągnięciu nośności granicznej przekroju na zginanie. Nośność ta jest największą wartością momentu zginającego, jaka może przenieść przekrój pręta:

M P = σ P ⋅ W ( P ) , przy czym W ( P ) = 2 S y ( A + ) , (P)

(P)

(S)

gdzie W jest tzw. plastycznym wskaźnikiem wytrzymałości przekroju, przy czym W ≥ W . Symbol 2Sy(A+) oznacza podwojony moment statyczny połowy przekroju względem osi ciężkości y. Z chwilą osiągnięcia granicznego momentu plastycznego MP obserwujemy narastanie kąta obrotu przekroju przy stałej wartości momentu zginającego (M = MP). W procesie zginania przekroju pręta można więc wyróżnić trzy stany: − sprężysty, M < MS, − sprężysto-plastyczny (jedno- i dwustronne uplastycznienie), MS < M < MP, − graniczny, M = MP. W przekrojach bisymetrycznych, a więc i w przekroju prostokątnym, uplastycznienie obu skrajnych włókien następuje równocześnie, gdyż σ(ε) = −σ(−ε), a oś obojętna w procesie zginania pokrywa się zawsze z osią ciężkości Dla pręta o przekroju prostokątnym (b × h)

M S = σ P ⋅ W ( S ) , gdzie W ( S ) = bh 2 / 6 , oraz

M P = σ P ⋅ W ( P ) , gdzie W ( P ) = bh 2 / 4 = 1,5W ( S ) . Momentowi granicznemu towarzyszy nieskończenie duża krzywizna. Jeśli na przekrój działa moment zginający M, odpowiadający stanowi sprężysto-plastycznemu (MS < M < MP), to zależność pomiędzy momentem M a krzywizną k przybiera postać: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

6

kEJ , k ≤ kS ,   1 k 2 M (k ) =  2σ P S M ⋅  P 1 − 3  k   sgn( k ), k ≥ k S , gdzie k S = Eh .    Przy obciążeniu zależność M(k) jest nieliniowa, a przy odciążeniu − podobnie jak zależność σ(ε) − przedstawia linię prostą o nachyleniu odpowiadającym sztywności w obszarze sprężystym. Po odciążeniu odnotowujemy pewną krzywiznę resztkową (trwałą) k ( r ) . Bardzo istotne jest jednak to, że po odciążeniu w przekroju pozostają również samorównoważące się naprężenia resztkowe (residualne) σ ( r ) . Wyznaczenie naprężeń resztkowych w tym przypadku nie jest trudne. Ponieważ odciążenie ma charakter czysto sprężysty, wyznaczenie naprężeń resztkowych polega na dodaniu liniowego wykresu naprężeń spowodowanego działaniem momentu przeciwnego znaku. W efekcie pozostają pewne naprężenia resztkowe, będące w równowadze z zerowym obciążeniem. Naprężenia te oraz odkształcenia trwałe należy uwzględnić przy ponownym dowolnym obciążeniu przekroju. Aktualny stan naprężenia zależy zatem od historii obciążenia. Ugięcia belek częściowo uplastycznionych wyznacza się za pomocą równania różniczkowego linii ugięcia lub równania pracy wirtualnej z wykorzystaniem zależności M(k). Odciążenie konstrukcji uplastycznionej − podobnie jak w przypadkach punktu oraz przekroju − przebiega sprężyście. Po odciążeniu konstrukcja wykazuje pewne ugięcia resztkowe i pewien stan naprężeń resztkowych, będący w równowadze z zerowym obciążeniem. Mamy tu na myśli nie tylko naprężenia w obrębie poszczególnych przekrojów, ale również naprężenia uogólnione (momenty resztkowe), które mogą pojawić się w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych. W belkach zginanych w sąsiedztwie przekrojów, w których występuje pełne uplastycznienie (stan graniczny) znajdują się fragmenty częściowo uplastycznione, w których moment zginający jest zawarty w przedziale (MS , MP ). Warto tutaj zwrócić uwagę, że zakres strefy uplastycznienia jest tym mniejszy, im większy jest stosunek MS / MP. Stosunkowo małe wymiary tej strefy obserwuje się w prętach o przekroju dwuteowym, dla ktorych MS / MP ≈ 0,85. W związku z tym bardzo często przyjmuje się, że obszar uplastycznienia jest zredukowany do przekroju, w którym występuje moment MP. Ponieważ w przekroju tym jest możliwy swobodny obrót, można przyjąć, że występuje tam pewnego rodzaju przegub, który przenosi stały moment zginający równy MP. Jest to tzw. przegub plastyczny. Koncepcja przegubu plastycznego jest dogodną idealizacją, pozwalającą stosunkowo łatwo wyznaczać zarówno przemieszczenia, jak i nośność graniczną całej konstrukcji.

Zginanie ze ścinaniem Sile poprzecznej − jak wiadomo − towarzyszy zawsze zmiana momentu zginającego. Dlatego udział siły poprzecznej w procesie uplastycznienia przekroju rozważa się zazwyczaj łącznie z działaniem momentu zginającego. Przypadek ten jest niewątpliwie najtrudniejszy i to głównie z tego powodu, że ścisłe określenie naprężeń w danym przekroju wymaga analizy naprężeń w całym pręcie, gdyż stan naprężenia na długości pręta nie jest jednorodny. Trzeba jeszcze dodać, że trudność samą w sobie stanowi wyznaczenie naprężeń sprężysto-plastycznych podczas ścinania, wywołanego przez wyłączne działanie siły poprzecznej Q. Dalsze komplikacje wynikają z faktu, że nie obowiązuje już założenie płaskich przekrojów. Wszystkie wyżej wymienione okoliczności sprawiają, że nawet dla przekroju prostokątnego dysponujemy tylko rozwiązaniami przybliżonymi. Ścinanie nie może zatem występować samodzielnie; w płaszczyźnie przekroju pręta oprócz naprężeń stycznych τxz, pochodzących od siły poprzecznej, występują naprężenia normalne σx, wywołane przez momentu zginający. Rozgraniczenie stanów sprężystego i plastycznego zależy od przyjętego warunku plastyczności. Dla bardzo dużych sił poprzecznych i niewielkich momentów zginających pierwsze uplastycznienie zachodzi we włóknach wewnętrznych leżących na osi obojętnej, powoduje wzajemny poślizg i jednoczesne osiągnięcie nośności granicznej. Gdy moment zginający jest dostatecznie duży, pierwsze uplastycznienie występuje w skrajnych zewnętrznych włóknach pręta. Dalsze powiększanie obciążenia powoduje uplastycznienie włókien leżących bliżej osi przekroju. Charakterystyczne jest to, że naprężenia styczne są Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

7

przejmowane tylko przez wewnętrzną, nie uplastycznioną część przekroju, a ich rozkład opisuje znany wzór: τ=

QS ' , b( z ) J '

gdzie S ' oraz J ' oznaczają odpowiednio moment statyczny i moment bezwładności sprężystej części przekroju. W celu ujednolicenia sposobu podejścia przyjmuje się czasami, że w chwili osiągnięcia nośności granicznej naprężenia normalne we włóknach skrajnych osiągają wartości ±σP , a w środkowej części przekroju naprężenia styczne osiągają wartość τP. Rozkład naprężeń stycznych w tym przypadku wykazuje jednak nieciągłość, która jest statycznie niedopuszczalna.

Skręcanie W stanie sprężystym problem skręcania swobodnego opisuje równanie różniczkowe cząstkowe funkcji naprężeń F(y, z): ∂ 2F

∂2F + = −2GΘ , ∂y 2 ∂z 2

przy czym na konturze przekroju pręta funkcja naprężeń musi spełniać warunek brzegowy Fc ( y , z) = 0. Naprężenia styczne τ xy i τ xz są powiązane z funkcją naprężeń następującymi zależnościami: τ xy =

∂F , ∂z

τ xz = −

∂F . ∂y

Zależności te gwarantują spełnienie różniczkowych równań równowagi wewnętrznej. Naprężenie tx w danym punkcie (y, z) jest równe tangensowi największego kąta nachylenia stycznej do powierzchni F(y, z), tzn. tx = grad F . Wartość momentu skręcającego, obliczona z równań statyki, odpowiada podwójnej objętości bryły ograniczonej powierzchnią F(y, z) i płaszczyzną F = 0:

∫

M = 2 F ( y , z ) dA. A

W obszarze odkształceń plastycznych oraz na granicy obszarów sprężystego i plastycznego wypadkowe naprężenie styczne równa się granicy plastyczności przy czystym ścinaniu ( τ x = τ P ). Odpowiada to nieliniowemu równaniu różniczkowemu: 2

2

 ∂F   ∂F  2   +   = τ P.  ∂z   ∂y  W zakresie deformacji plastycznych słuszne są wszystkie zależności obowiązujące w obszarze sprężystym, z wyjątkiem równania różniczkowego, które można również zapisać w postaci: grad F = τ P = const. Oznacza to, że w obszarze plastycznym kąt nachylenia stycznej do powierzchni funkcji naprężeń F(y, z) w każdym punkcie tego obszaru jest stały. Gdy przekrój pręta jest w pełni uplastyczniony, rzędne funkcji naprężeń F(y, z) odpowiadają rzędnym wzgórza usypanego z piasku na figurze płaskiej o kształcie badanego przekroju. Analogię wzgórza piaskowego zauważył Nadai w 1923 r. Analogię tę − podobnie jak analogię błonową w stanach sprężystych − wykorzystuje się szeroko w badaniach doświadczalnych mających na celu ustalenie nośności granicznej przekrojów o skomplikowanych kształtach. W stanach sprężysto-plastycznych obowiązuje tzw. analogia dachu. Jest to połączenie analogii błonowej z analogią wzgórza piaskowego. Analogię dachu wyobrażamy sobie następująco. Nad konturem rozpinamy przezroczysty „dach” o kształcie wynikającym z analogii wzgórza piaskowego. Na tym samym konturze wewnątrz dachu rozpinamy błonę i poddajemy ją wewnętrznemu ciśnieniu. Po wzroście ciśnienia w obszarach plastycznych błona będzie przylegała do dachu. Przyleganie błony na całej poAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

8

wierzchni dachu odpowiada pełnemu uplastycznieniu pręta, czyli osiągnięciu nośności granicznej na skręcanie. Stan sprężysty obserwujemy, gdy M ≤ MS = τ P ⋅ WS( s) , przy czym dla pręta o przekroju kołowym WS( s) = Jb / R = πR 3 / 2 i oznacza tu tzw. „sprężysty” wskaźnik wytrzymałości na skręcanie. Graniczna wartość momentu plastycznego odpowiada podwójnej objętości wzgórza piaskowego, które dla przekroju kołowego ma kształt stożka o nachyleniu tworzących wynoszącym τP: MP =

2 2 2 4 πR ⋅ h = πR 2 ( Rτ P ) = τ P ⋅ WP( s) = MS , 3 3 3

gdzie WP( s) = 2πR 3 / 3 = 4WS( s) / 3 i oznacza tzw. „plastyczny” wskaźnik wytrzymałości na skręcanie. W stanie sprężysto-plastycznym wykres naprężeń stycznych jest linią łamaną. Po odciążeniu pręta powstają samorównoważące się naprężenia resztkowe.

• Podstawy teorii konstrukcji plastycznych. Nośność graniczna konstrukcji Podstawy teorii plastyczności Do opisu zachowania się materiału plastycznego wprowadza się naprężenia σij, prędkości (przyrosty) przemieszczeń u&i oraz prędkości odkształceń plastycznych ε&ijP , występujące w trakcie płynięcia plastycznego. Płynięcie plastyczne jest procesem, w którym naprężenia nie zależą od skali czasu. Oznacza to, że naprężenia są jednorodną funkcją stopnia zero względem prędkości odkształceń plastycznych. Wynika stąd istnienie warunku plastyczności jako pewnej funkcji skalarnej wiążącej naprężenia, F( s) = 0. Jeżeli ∂ σ ij ∂

ε&klP

=

∂ σ kl , ∂ ε&ijP

to można wykazać, że prędkości odkształceń plastycznych wyraża tzw. stowarzyszone prawo płynięcia: ∂F , ε&ijP = λ& ∂ σ ij gdzie λ& jest pewnym mnożnikiem skalarnym. Zależność powyższa odgrywa rolę równania fizycznego i wskazuje, że wektor prędkości odkształceń jest prostopadły do powierzchni opisanej przez warunek plastyczności. Podstawową własnością procesów plastycznego płynięcia jest dyssypacja energii odkształceń plastycznych. Rozpraszana moc na jednostkę objętości d& musi być nieujemna: d& = σ ij ε&ijP ≥ 0 . P = 0 ), a pomiędzy naprężeniami i odJeżeli nadto materiał idealnie plastyczny jest nieściśliwy (tzn. ε&kk kształceniami występuje związek tensorowo liniowy, to można wykazać, że mnożnik skalarny λ& ≥ 0 . Z nieujemności dyssypacji oraz prawa płynięcia wnioskujemy, że obszar ograniczony warunkiem plastyczności musi być gwiaździsty, tzn. promień-wektor wyprowadzony z początku układu w przestrzeni naprężeń może tylko raz przecinać powierzchnię plastyczności. Dalsze ograniczenie postaci warunku plastyczności wynika z tzw. postulatu Druckera. którego esencją jest stwierdzenie, że przyrost pracy wykonanej w cyklu naprężeniowym na nieskończenie małym przyroście odkształcenia jest nieujemny. Z postulatu tego wynika nierówność:

(σ ij − σ ij ')ε&ijP ≥ 0 , Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

9

gdzie σ ij ' oznacza dowolne naprężenie nie naruszające warunku plastyczności. Z postulatu tego wynika, że

σ&ij ε&ijP ≥ 0 co odpowiada założeniu, że materiał jest stateczny, tzn. wzrostowi (spadkowi) naprężenia towarzyszy zawsze wzrost (spadek) odkształceń plastycznych. Postulat Druckera obowiązuje w ogólnym przypadku materiału plastycznego ze wzmocnieniem. W przypadku szczególnym, gdy materiał jest idealnie plastyczny (bez wzmocnienia) matematyczny sens postulatu Druckera odpowiada zasadzie maksymalnej mocy plastycznej Hilla. Zasada ta odpowiada nierówności: σ ij ε&ijP ≥ σ ij' ε&ijP , z której wynika, że spośród wszystkich dopuszczalnych stanów naprężenia rzeczywisty stan naprężenia σ daje największy przyrost dyssypacji. Jeżeli wykorzystamy prawo płynięcia, to postulat Druckera można zapisać następująco: ∂F ≥ 0, σ ij − σ ij ' ⋅ ∂ σ ij

(

)

co dowodzi, że obszar ograniczony warunkiem plastyczności przy akceptacji postulatu Druckera jest wypukły. Wypukłość warunku plastyczności dla danych prędkościach odkształceń plastycznych i spełnieniu stowarzyszonego prawa płynięcia gwarantuje jednoznaczność stanu naprężenia oraz zapewnia stateczność materiału.

Podstawowe zależności teorii plastycznych konstrukcji prętowych W obliczeniach konstrukcji złożonych rolę uogólnionych naprężeń Yi odgrywają zazwyczaj siły wewnętrzne (siły normalne i poprzeczne oraz momenty zginające i skręcające), a uogólnionymi prędkościami odkształceń e&i są prędkości odpowiednich wielkości kinematycznych (prędkość wydłużeń, kątów ścinania, krzywizn i jednostkowych kątów skręcenia). W modelu idealnie plastycznym moc dysypowana odniesiona do jednostki długości pręta jest opisana wzorem:

∫

D& = σ rsε&rs dA = A

∑ Yi e&i = Nλ& + Qβ& + Mk& + Mθ& ≥ 0. i

Warunek plastyczności jako funkcji sił wewnętrznych w przekroju pręta wyraża funkcja Φ(Yi): Φ(Yi) = 0. Jeżeli Φ(Yi) < 0, to dany przekrój jest sztywny, a siły wewnętrzne są − ogólnie biorąc − nieokreślone. Stowarzyszone prawo można zapisać, jak następuje:  & ∂Φ , ν ⋅ e&i =  ∂Yi 0, 

ν& ≥ 0, Φ < 0,

gdzie ν& jest odpowiednikiem mnożnika λ& w teorii ośrodka plastycznego.

Dwa podstawowe twierdzenia nośności granicznej konstrukcji W teorii nośności granicznej przyjmujemy, że obciążenie konstrukcji Pj jest proporcjonalne do pewnego mnożnika skalarnego µ (jest to tzw. obciążenie proporcjonalne): Pj = µp j , gdzie pj oznacza pewne obciążenie porównawcze. Przy pewnej wartości mnożnika µ nośność konstrukcji zostanie wyczerpana; konstrukcja przekształca się w mechanizm. Stanowi temu odpowiada obciążenie Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

10

graniczne wyznaczone przez graniczną wartość mnożnika µ = µ L . Zasadniczym celem teorii nośności granicznej jest ustalenie granicznej wartości mnożnika obciążenia µ. Statycznie dopuszczalne pole naprężeń uogólnionych Yi0 : − spełnia równania równowagi wewnętrznej i naprężeniowe warunki brzegowe (tzn. jest w równowadze z obciążeniami µp j ), − nie narusza warunku plastyczności, czyli Φ(Yi0 ) ≤ 0 . Kinematycznie dopuszczalne pole prędkości u& *j : − spełnia kinematyczne warunki brzegowe oraz warunki ciągłości, − pozwala ze związków geometrycznych e&i* = e&i* (u*j ) otrzymać niezerowe pole odkształceń,

∫

− określa dodatnią moc obciążeń zewnętrznych L& = µ p j u& *j ds > 0 . Całkowitą moc dyssypowaną w konstrukcji wyraża się następująco: D& =

& = σ ε& dV = ∫ Dds ∫ ij ij ∫ (∑ Yi e&i )ds > 0 , *

s

gdzie

naprężenia Yi*

* *

V

s

spełniają warunek plastyczności w punkcie wyznaczonym przez dany wektor pręd-

kości odkształceń plastycznych e&i* , ale nie muszą spełniać warunków równowagi wewnętrznej. Dla danego u& *j można wyznaczyć taką intensywność obciążenia µ K p j , że moc obciążeń zewnętrznych L& będzie równa wewnętrznej mocy dyssypowanej D& ( tzn. L& = D& ) : µK

∫ p j u& j ds = ∫ ( ∑ Yi e&i )ds = ∫ D& ( Y , e& )ds, *

s

* *

*

s

*

s

skąd otrzymujemy kinematyczny mnożnik obciążenia µ K :

∫ D& ( Y , e& )ds *

µK = s

∫

*

p j u& *j ds

.

s

Wyznaczenie dokładnej wartości mnożnika obciążenia granicznego µ L jest na ogół bardzo trudne. Do jego oceny stosujemy jedno z dwóch podejść: statyczne lub kinematyczne. W podejściu statycznym poszukujemy takiego mnożnika obciążenia µ = µS , który odpowiada statycznie dopuszczalnemu polu naprężeń Yi0 . W podejściu kinematycznym poszukujemy takiego mnożnika obciążenia µ = µ K , który odpowiada kinematycznie dopuszczalnemu polu prędkości przemieszczeń u& *j . W teorii nośności granicznej obowiązują dwa bardzo ważne twierdzenia. Twierdzenie o ocenie dolnej (ocena statyczna): Rzeczywista intensywność obciążenia granicznego jest określona przez największy spośród mnożników obciążenia dla wszystkich statycznie dopuszczalnych pól naprężeń, tzn.

µ L = sup µS .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

11

Twierdzenie o ocenie górnej (ocena kinematyczna): Rzeczywista intensywność obciążenia granicznego jest określona przez najmniejszy spośród mnożników obciążenia dla wszystkich kinematycznie dopuszczalnych pól prędkości przemieszczeń, tzn.

µ L = inf µ K . Z twierdzeń tych wnioskujemy, że zachodzi nierówność jednoczesna:

µS ≤ µ L ≤ µ K . Z analizy twierdzeń o ocenie dolnej i ocenie górnej wynikają między innymi następujące wnioski praktyczne: − dodanie nieważkiego materiału bez zmiany warunków brzegowych nie prowadzi do zmniejszenia obciążenia granicznego, − podwyższenie granicy plastyczności materiału nie obniża nośności konstrukcji, − osłabienie więzów kinematycznych nie prowadzi do podwyższenia nośności granicznej.

Warunki plastyczności wyrażone przez naprężenia uogólnione Oto niektóre przypadki złożonego stanu obciążenia przekroju pręta: 1. Jednoczesne działanie N i M ( n = N / N P ; m = M / M P ) na: a) przekrój prostokątny (b×h): Φ( n, m) = m + n2 − 1 = 0 , gdzie N P = Aσ P = bhσ P , trzymałości na zginanie.

(P)

M P = W ( P )σ P , W ( P ) = bh 2 / 4 , a W

oznacza plastyczny wskaźnik wy-

b) przekrój idealny dwuteowy (Ap, h): Φ(n, m) = m + n − 1 = 0 , gdzie N P = 2 Ap ⋅ σ P

i

M P = 2 Apaσ P = N P a , a Ap oznacza pole przekroju jednej półki oraz

J = 2 Ap ⋅ a 2 , W ( S ) = W ( P ) = 2 Ap a .

A = 2 Ap ,

2. Jednoczesne działanie N i M na pręt o przekroju kołowym Φ (m, n) =

9 2 3 2 1 3 m + n + n − 1 = 0, 16 4 4

gdzie m = M / MS , n = N / N S , przy czym N S = N P . 3. Działanie N i M na pręty wykonane z materiałów znakoczułych. Warunki plastyczności dla materiałów znakoczułych (np. beton) nie wykazują symetrii względem układu osi oznaczających siły wewnętrzne. Jeśli granice plastyczności na rozciąganie i ściskanie oznaczymy odpowiednio przez σ P+ i σ P− , to warunek plastyczności dla przekroju prostokątnego (b×h) można zapisać w postaci: Φ (m, n) = m + (n − ∆σ ) − 1 = 0, 2

gdzie

σ Pśr =

∆σ = (σ P+ − σ P− ) / (σ P+ + σ P− ) (σ P+

+ σ P− ) / 2,

N Pśr = bhσ Pśr ;

oraz

m

=

M/MPśr,

n

=

N/NPśr,

przy

czym

2

M Pśr = (bh / 4)σ Pśr .

4. Działanie N i M na pręty zbrojone włóknami Jako materiał rodzimy (osnowa, matryca) stosuje się najczęściej tworzywa sztuczne, drewno lub beton. Zbrojenie stanowią włókna węglowe lub cienkie pręty stalowe. Jeżeli materiałowi rodzimemu i włóknom zbrojenia przypiszemy cechy materiału sztywno-plastycznego, to dla takiego kompozytu można ustalić warunek plastyczności. Duże znaczenie w konstrukcjach budowlanych mają pręty betonowe zbrojone Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

12

cienkimi prętami (włóknami) stalowymi. Szczegółowa analiza tego problemu prowadzi do krzywej granicznej opisanej dziesięcioma równaniami. Interesujące jest, że maksymalne i minimalne wartości momentu zginającego w przekroju zbrojonym są takie same: Mmax = −Mmin. Wartościom tym odpowiadają jednak różne wartości sił podłużnych.

Uogólnione przeguby plastyczne Osiągnięciu nośności granicznej podczas zginania w przekroju krytycznym towarzyszą nieskończone krzywizny. W przekroju tym obserwujemy bardzo dużą koncentrację odkształceń na bardzo małym obszarze. W celu obliczenia całkowitej wewnętrznej dyssypacji prędkość krzywizny w przekroju x = a jest wygodnie wyrazić za pomocą funkcji Diraca: k& ( x ) = ϕ& ⋅ δ ( x − a ) , gdzie ϕ& jest prędkością wzajemnego kąta obrotu sąsiednich części belki. Jeżeli jedyną niezerową prędkością uogólnionego odkształcenia jest właśnie prędkość krzywizny, to na podstawie własności filtracji funkcji Diraca otrzymujemy: a

D& =

∫

−a

a

D& dx =

∫

a

Mk& dx =

−a

∫ M ( x)ϕ& ⋅ δ ( x − a )dx = M (a ) ⋅ ϕ& = M P ⋅ ϕ& ,

−a

gdzie MP oznacza moment plastyczny rozważanego przekroju. W przekroju krytycznym powstał zatem przegub plastyczny. Koncepcję przegubu plastycznego można rozszerzyć również na pozostałe składowe prędkości odkształcenia. Jeżeli prędkości te są skoncentrowane w przekroju x = a, to można je zapisać następująco: λ& ( x ) = Λ&a ⋅ δ ( x − a ) β& ( x ) = W& ⋅ δ ( x − a ) a

k& ( x ) = ϕ&a ⋅ δ ( x − a ) θ&( x ) = ψ& ⋅ δ ( x − a ) a

      

gdzie Λ&a , W&a , ϕ& a , ψ& a oznaczają odpowiednio prędkości (przyrosty) wzajemnych przesunięć podłużnych i poprzecznych oraz kątów obrotu i skręcenia. Całkowitą moc dyssypowaną w obrębie takiego uogólnionego przegubu plastycznego określa wyrażenie: a+∆ x

& = NΛ& + QW& + Mϕ& + Mψ& > 0 . a a a a ∫ Ddx

a − ∆x

Zwróćmy uwagę, że naprężenia uogólnione N, Q, M i M występujące we wzorze muszą spełniać warunek plastyczności Φ ( N , Q, M , M ) = 0. W płaskich konstrukcjach prętowych, w których dominującą rolę w procesie uplastycznienia odgrywają momenty zginające, warunek plastyczności przyjmuje się w postaci uproszczonej: |M| = MP.

Wyznaczanie obciążenia granicznego konstrukcji Rozwiązanie zupełne problemu nośności granicznej wymaga: − spełnienia równań równowagi wewnętrznej, − nieprzekroczenia warunku plastyczności (Φ ≤ 0), − przekształcenia konstrukcji w mechanizm. Aby n-krotnie statycznie niewyznaczalna konstrukcja prętowa przekształciła się w mechanizm o co najmniej jednym stopniu swobody, warunek graniczny Φ = 0 musi być spełniony w co najmniej n + 1 przekrojach. W konstrukcji zginanej powinno zatem wystąpić co najmniej n + 1 przegubów plastycznych typu „zgięciowego”, jeżeli występuje wyczerpanie nośności konstrukcji jako całości. W pewnych przypadkach może się zdarzyć, że tylko fragment konstrukcji przekształci się w mechanizm. Występuje wtedy zniszczenie częściowe, a liczba przegubów plastycznych jest mniejsza od n + 1. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

13

Do wyznaczenia obciążenia granicznego w praktyce inżynierskiej wykorzystuje się twierdzenia o ocenie dolnej (podejście statyczne) i ocenie górnej (podejście kinematyczne). W najprostszych układach konstrukcyjnych można niekiedy uzyskać rozwiązanie w postaci analitycznej. Badanie ekstremum funkcji prowadzi wówczas do wyniku dokładnego. W podejściu statycznym, w którym poszukuje się pola statycznego nie naruszającego warunku plastyczności, zagadnienie sprowadza się zazwyczaj do obliczenia pierwiastków nieliniowego równania algebraicznego ze względu na mnożnik obciążenia granicznego. W podejściu kinematycznym, w którym poszukuje się rzeczywistego pola prędkości przemieszczeń i związanego z nim pola prędkości odkształceń, problem wyznaczenia nośności granicznej sprowadza się do rozwiązania równania algebraicznego na parametry opisujące mechanizm zniszczenia konstrukcji. W bardziej złożonych układach konstrukcyjnych, o dosyć wysokim stopniu statycznej niewyznaczalności, metody analityczne zawodzą. „Ręczne” obliczenia wykonuje się metodą superpozycji mechanizmów podstawowych. W metodzie tej budujemy s niezależnych liniowo mechanizmów podstawowych, a obciążenie graniczne wyznaczamy z równania mocy dyssypowanej. Liczbę mechanizmów podstawowych można ustalić następująco. Jeżeli liczba przekrojów krytycznych (tzn. takich, w których mogą wystąpić przeguby plastyczne) wynosi r, a stopień statycznej niewyznaczalności jest równy n, to liczba niezależnych mechanizmów s = r − n. Zasadniczy sens omawianej metody polega na wykorzystaniu spostrzeżenia, że rozwiązanie zupełne problemu nośności granicznej uzyskuje się dla pewnego mechanizmu zniszczenia, który można przedstawić jako superpozycję niezależnych mechanizmów podstawowych. Na podstawie twierdzenia o ocenie górnej wiadomo, że dla każdej „złej” kinematyki zniszczenia otrzymujemy obciążenie większe od ścisłej wartości granicznej. Wobec tego należy znaleźć taką kombinację liniową mechanizmów podstawowych, by obciążenie niszczące było najmniejsze. Mechanizmy łączymy w taki sposób, aby uzyskiwać zamykało się możliwie dużo przegubów przy nie malejącej mocy obciążeń zewnętrznych. Metoda superpozycji mechanizmów podstawowych w zastosowaniu do konstrukcji prętowych nie zawsze pozwala uzyskać rozwiązanie zupełne. Dużo zależy tutaj od doświadczenia osoby prowadzącej obliczenia. Ogólna metoda wyznaczania obciążenia granicznego sprowadza się do rozwiązania problemu programowania liniowego. Jest to problem mający bogatą bibliotekę w ośrodkach komputerowych. Kinematyka towarzysząca zniszczeniu konstrukcji nie musi być − ogólnie biorąc − jednoznaczna. Wynika to z faktu, że warunki plastyczności w przestrzeni obciążeń zewnętrznych mają naroża. Wiadomo bowiem, że w narożach prędkości przemieszczeń nie są określone jednoznacznie przez stowarzyszone prawo płynięcia. Nie wpływa to jednak na dyssypację, a w konsekwencji nie zmienia wartości granicznej mnożnika obciążenia wyznaczonego dla różnych kinematyk zniszczenia.

• Przystosowanie konstrukcji sprężysto - plastycznych Istota problemu Problem przystosowania (ang. "shakedown") pojawia się w konstrukcjach sprężysto-plastycznych poddanych obciążeniom zmiennym. Może się zdarzyć, że konstrukcja częściowo już uplastyczniona po kilku cyklach obciążenia może ponownie reagować czysto sprężyście. Mówimy wtedy, że konstrukcja przystosowała się do danego programu obciążenia zmiennego. Przystosowanie nie następi wtedy, gdy pojawi się albo zniszczenie naprzemienne (ang. alternating plasticity) albo zniszczenie przyrostowe (ang. incremental collapse lub ratchetting). W przypadku zniszczenia naprzemiennego odkształcenia plastyczne mają różne znaki; pojawiają się i znikają w każdym cyklu. W efekcie przemiennych odkształceń plastycznych następuje zniszczenie wskutek zmęczenia niskocyklowego po niewielkiej liczbie cykli (por. wzór Coffina). Zjawisko takie obserwujemy np. podczas zginania cienkiego drutu; po kilkunastu zgięciach, w których powstają deformacje trwałe (plastyczne), drut pęka. W przypadku zniszczenia przyrostowego odkształcenia plastyczne w każdym cyklu przyrastają i powodują kumulację deformacji trwałych i nieograniczony wzrost przemieszczeń, równoznaczny z utratą własności użytkowych konstrukcji. Problem ten jest szczególnie widoczny, gdy działają obciążenia stałe, którym towarzyszy cykliczna zmiana temperatury. Konstrukcja przystosowuje się do danego programu obciążenia, gdy po pewnym czasie ustabilizuje się pewne pole odkształceń trwałych εij( r ) . Odkształcenia te powodują wytworzenie się niezmiennego w Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

14

czasie pola naprężeń resztkowych σ ij( r ) , a reakcja konstrukcji na obciążenia jest czysto sprężysta. Zgodnie z twierdzeniem Melana przystosowanie występuje wtedy, gdy suma σ ijE ( x , t ) + σ ij( r ) ( x ) nie narusza nigdzie warunku plastyczności, tzn. gdy

[

]

Φ σ ijE ( x , t ) + σ ij( r ) ( x ) ≤ 0 . Symbolem σ ijE ( x , t ) oznaczono naprężenia wywołane przez dany program obciążenia i obliczone jak dla ciała idealnie sprężystego. W podejściu kinematycznym postuluje się, by energia zużyta na wytworzenie odkształceń plastycznych w całym okresie pracy konstrukcji była wartością skończoną: ∞   σ ij ⋅ ε& p dt  dV < ∞, ij   V 0 

∫∫

gdzie ε&ijp oznacza prędkość odkształceń plastycznych, a σij jest polem naprężeń stowarzyszonym z polem prędkości odkształceń plastycznych.

Przystosowanie belek i ram W układach statycznie wyznaczalnych w danym przekroju pręta naprężenia resztkowe tworzą układ samorównoważący się. Oznacza to, że resztkowe siły wewnętrzne (momenty zginające, siły normalne itd.) są równe zeru. W układach statycznie niewyznaczalnych sytuacja jest bardziej skomplikowana, gdyż występują w nich resztkowe siły wewnętrzne (przekrojowe), które są w równowadze z zerowym obciążeniem zewnętrznym. Towarzyszą temu pewne ugięcia resztkowe. Resztkowe pole sił przekrojowych jest kombinacją liniową sił przekrojowych wywołanych przez poszczególne siły nadliczbowye. W zginanych belkach i ramach o przekrojach idealnie dwuteowych (MS = MP) przystosowanie zachodzi wówczas, gdy po pewnym czasie reakcja konstrukcji będzie czysto sprężysta, tzn. gdy (twierdzenie Melana) max MiE + Mi( r ) ≤ M P ,   min MiE + Mi( r ) ≥ − M P  i jednocześnie max M iE − min M iE ≤ 2 M p . Spełnienie pierwszej grupy nierówności zabezpiecza przed zniszczeniem przyrostowym, a spełnienie drugiej nierówności zabezpiecza przed zniszczeniem niskocyklowym (przemiennym). W nierównościach tych max M iE oraz min M iE oznaczają rzędne momentów zginających w przekroju i obliczone jak dla konstrukcji idealnie sprężystej. Układ momentów resztkowych M i( r ) tworzy się w cyklach plastycznej deformacji konstrukcji w trakcie stabilizacji odkształceń trwałych. W przypadku przystosowania pole momentów resztkowych pozostaje już niezmienne w czasie. Momenty resztkowe są kombinacją liniową momentów pochodzących od sił nadliczbowych: Mi = X j ⋅ mij , gdzie mij oznacza moment w przekroju i wywołany przez działanie siły nadliczbowej

∑

Xi = 1. W podejściu kinematycznym obowiązuje twierdzenie Neala: Konstrukcja przystosuje się do danego programu obciążenia, jeżeli istnieje taki mechanizm ruchu plastycznego, że jest spełniona nierówność: r

∑ i =1

M i* ⋅ ϕ&i

r

≤

max MiE , gdy ϕ& i > 0 M pi ⋅ ϕ&i , gdzie Mi* =  E min Mi , gdy ϕ& i < 0. i =1

∑

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

15

Twierdzenie to dotyczy tylko zniszczenia przyrostowego. W nawiązaniu do terminologii teorii nośności granicznej należy zwrócić uwagę, że mnożnik największego obciążenia µS, dla którego konstrukcja przystosuje się, jest zawarty pomiędzy mnożnikiem obciążenia czysto sprężystego µE a mnożnikiem obciążenia granicznego µL , tzn.: µ E ≤ µS ≤ µ L . Problem przystosowania konstrukcji − podobnie jak problem nośności granicznej − można sformułować w kategoriach programowania liniowego, co pozwala wykorzystać gotowe procedury komputerowe.

• Materiały o własnościach reologicznych Opisem materiałów wykazujących obok innych również cechy ciał lepkich zajmuje się reologia (reo − z greckiego: płynąć). Ściślej biorąc, reologia jest syntezą teorii sprężystości, teorii plastyczności i hydromechaniki. W prawach fizycznych opisujących ciała reologiczne ze względu na obecność efektów lepkich czas występuje w postaci jawnej.

Elementarne modele reologiczne Zasadnicze cechy fizyczne materiałów można opisać za pomocą modeli reologicznych, składających się z trzech modeli elementarnych: − sprężyny opisującej własności sprężyste (model Hooke'a), − suwaka opisującego własności plastyczne (model de Saint-Venanta), − tłumika opisującego własności lepkie (model Newtona). W modelu Hooke’a opory sprężyny (naprężenia) są proporcjonalne do wydłużenia (odkształcenia) σ H = Eε H . W modelu de Saint-Venanta opory suwaka obrazującego tarcie suche są stałe ( σV ≤ σ P ,⋅ ε&V = 0, σV = σ P ⋅ sgn ε&V , ε&V ≠ 0 ). W modelu Newtona opory tłumika są proporcjonalne do 2

prędkości wydłużenia: σ N = η ⋅ ε& N , gdzie symbol η [N ⋅ s/m ] nazywa się współczynnikiem lepkości dynamicznej.

Modele liniowych materiałów lepko-sprężystych Modele materiałów lepko-sprężystych powstają przez łączenie modeli materiałów sprężystych (sprężyn) i modeli materiałów lepkich (tłumików). Jeżeli naprężenia i odkształcenia oraz ich pochodne względem czasu występują tylko w pierwszej potędze, to materiał lepko-sprężysty nazywamy liniowym. Szeregowe połączenie sprężyny i tłumika odpowiada modelowi Maxwella, opisanego następującym równaniem fizycznym:

tr ⋅ σ& + σ = η ⋅ ε& , gdzie tr = η / E i nosi nazwę czasu relaksacji. Model Maxwella bardzo dobrze opisuje jakościowo zjawisko relaksacji, czyli zmianę naprężeń w czasie przy stałej wartości odkształcenia ε(t) = ε0 = const. Równoległe połączenie sprężyny i tłumika tworzy model Kelvina. Model ten bardzo dobrze opisuje zjawisko pełzania, tzn. zmianę odkształceń w czasie przy stałej wartości naprężenia. Równanie fizyczne modelu Kelvina ma postać:

σ = Eε + ηε&. Model standardowy wykazuje doraźne cechy sprężyste materiału. Model ten jest określony trzema parametrami E0, E, η; stanowi on z szeregowe połączenie modelu Hooke'a i modelu Kelvina. Równanie różniczkowe modelu standardowego zapisuje się w postaci: σ + tr*σ& = E *ε + η*ε&, gdzie

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

tr* =

16

EE0 η ηE0 , E* = < E0 , η* = < η. E + E0 E + E0 E + E0

Model standardowy jest uogólnieniem modeli Maxwella i Kelvina. Stałe materiałowe tr* , E * i η* można oszacować na podstawie pomiaru długości osi sprzężonych elipsy przedstawiającej pętlę histerezy po wielu cyklach sinusoidalnego wymuszenia odkształceń bądź naprężeń. Należy dodać, że rozwiązanie zadań liniowej lepko-sprężystości składają się zawsze z iloczynu części odpowiadającej rozwiązaniu sprężystemu i pewnej funkcji czasu (analogia Alfreya). W materiałach lepko-sprężystych funkcja σ(ε) jest podobna do wykresu σ(ε) dla materiału idealnie plastycznego. Zasadnicza różnica między tymi materiałami polega na tym, że prędkość odkształcenia w przypadku pełzania jest zmienna w czasie, a w przypadku płynięcia plastycznego jest stała. Wykres σ(ε) wskazuje jednak na to, że proces deformacji lepko-sprężystych jest nieodwracalny, gdyż towarzyszy mu dyssypacja (rozpraszanie) energii przez element lepki (tłumik). W liniowych materiałach lepko-sprężystych obowiązuje zasada superpozycji Boltzmanna: Jeżeli cykl odkształceń ε1(t) powoduje naprężenia σ1(t), a cykl odkształceń ε2(t) powoduje naprężenia σ2(t), to suma cykli ε1(t) + ε2(t) wywołuje sumę naprężeń σ1(t) + σ2(t). Zasada Boltzmanna obowiązuje również dla cykli naprężeń σ1(t) i σ2(t) wywołujących odkształcenia ε1(t) i ε2(t).

Materiały sprężysto-plastyczne Charakterystyczną cechą materiałów wykazujących własności reologiczne jest lepkość. Materiały sprężysto-plastyczne, jako niewrażliwe na prędkość odkształcenia, nie są zatem ściśle biorąc materiałami reologicznymi. Niemniej jednak własności mechaniczne materiałów sprężysto-plastycznych wynikają również z analizy zachowania się modeli reologicznych złożonych ze sprężyn i suwaków. Przykładem takiego modelu jest model ciała sprężysto-idealnie plastycznego, stanowiący szeregowe połączenie modelu Hooke’a i modelu de Saint-Venanta.

Materiały sprężystolepkoplastyczne Modele tych materiałów mają najbardziej złożona strukturę, składają się bowiem ze wszystkich rodzajów modeli elementarnych, tzn. sprężyn, tłumików i suwaków. Materiały sprężystolepkoplastyczne dzieli się zazwyczaj na dwie zasadnicze grupy: − materiały sprężysto/lepkoplastyczne, − materiały sprężysto-lepkoplastyczne. Materiały pierwszej grupy przed uplastycznieniem są wyłącznie sprężyste; ich lepkość pojawia się dopiero po uplastycznieniu. Materiały grupy drugiej wykazują własności lepkie zarówno w obszarze sprężystym, jak i plastycznym. Oba rodzaje modeli ciał sprężystolepkoplastycznych bardzo dobrze opisują znany z eksperymentów wpływ prędkości i obciążenia na charakterystykę wykresu σ(ε). Model Binghama, opisujący materiał sprężysto/lepkoplastyczny, stanowi szeregowe połączenie sprężyny (model Hooke’a) z modelem złożonym, w którym modele de Saint-Venanta i Newtona są połączone równolegle. Gdy |σ| < σP., model zachowuje się czysto sprężyście; gdy |σ| > σp, to nadwyżkę obciążenia σ − σP·sgnε przejmuje tłumik. Wzrost prędkości obciążenia powoduje podniesienie się krzywej σ(ε), odpowiadające wzmocnieniu plastycznemu. Najprostszym modelem ciała sprężysto-lepkoplastycznego jest model czteroparametrowy. Stanowi on szeregowe połączenie sprężyny (modelu Hooke’a) z modelem, w którym są połączone równolegle model ciała sprężysto-idealnie plastycznego i model Newtona. W modelu czteroparametrowym rejestrujemy dodatkowo podwyższenie początkowej granicy plastyczności w efekcie wzrostu prędkości i naprężenia.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

17

Problemy stateczności • Wiadomości wstępne Bifurkacja stanu równowagi Idealnie sprężysty pręt pryzmatyczny przy pewnej wartości osiowej siły ściskającej zmienia w sposób nagły swą prostoliniową postać i przyjmuje położenie wygięte. Tę nagłą zmianę nazywamy wyboczeniem pręta. Zjawisko wyboczenia jest jedną z form utraty stateczności. Utrata stateczności może nastąpić wówczas, gdy siła osiowa P osiągnie pewną wartość krytyczną Pkr.. Wartości tej towarzyszą zatem dwa stany równowagi odpowiadające prostoliniowej lub krzywoliniowej osi pręta. Na wykresie P − ∆ odpowiada to punktowi, w którym występuje „rozwidlenie” stanu równowagi, czyli tzw. bifurkacja.

Zagadnienie Eulera Zagadnienie Eulera polega na wyznaczeniu siły krytycznej, powodującej wyboczenie pręta, na podstawie analizy równowagi wygiętej postaci pręta. Jedyną przyczyną wygięcia osi pręta jest moment zginający, obliczony po odstąpieniu od zasady zesztywnienia. Tak ustaloną funkcję momentu wprowadzamy do równania różniczkowego linii ugięcia i zakładająmy dodatkowo, że: − krzywizny wygiętej osi pręta są małe, − pomijamy wpływ sił poprzecznych, − pomijamy wpływ skrócenia osi pręta. Okazuje się, że zarówno sił krytycznych, jak i postaci wyboczenia jest nieskończenie wiele. Wyboczenie następuje po wpływem najmniejszej siły krytycznej odpowiadającej pierwszej postaci wyboczenia. Siłę krytyczną wyznacza się z równania przestępnego wynikającego z analizy warunków brzegowych liniowego równania różniczkowego, zbudowanego przy założeniu małych krzywizn. W teorii Eulera funkcja ugięcia jest wyznaczona z dokładnością do stałego, nieznanego mnożnika. Znany jest jednak kształt linii wyboczonego pręta (dla pręta prostoliniowego są to funkcje sinus lub kosinus). Ostatecznym efektem analizy jest wzór: π 2 EJ Pkr = PE = P (1) = 2 , lw gdzie lw = ν l i jest długością wyboczeniową, zależną od warunków brzegowych pręta. Współczynnik długości wyboczeniowej ν dla najczęściej stosowanych warunków podparcia pręta przyjmuje następujące wartości: ν = 0,50 − pręt obustronnie utwierdzony, ν = 0,70 − pręt z jednej strony przegubowy a z drugiej strony utwierdzony, ν = 1,0 − pręt obustronnie przegubowy, ν = 2,0 − pręt wspornikowy. Długość wyboczeniowa odpowiada długości półfali sinusoidy przedstawiającej daną postać wyboczenia. Bezwymiarowy współczynnik ν mieści się w dosyć szerokim zakresie. Na przykład, dla prętów ram dochodzi do kilkunastu a nawet kilkudziesięciu. Przypomnieć trzeba, że J we wzorze Eulera oznacza jeden z głównych momentów bezwładności przekroju pręta. Wobec tego siła krytyczna odpowiada mniejszej wartości stosunku J/lw. Jeżeli zatem warunki brzegowe w obu płaszczyznach głównych są takie same (tj. lwI = lwII ), to J = JII = Jmin.

Uwzględnienie dużych przemieszczeń Teoria Eulera pozwala obliczyć jedynie siłę krytyczną i odpowiadająca jej postać wyboczenia. Jest to tzw. liniowa teoria wyboczenia, gdyż zastosowano liniowe równanie różniczkowe linii ugięcia (problemy stateczności są zawsze nieliniowe i nie obowiązuje zasada superpozycji). Odstąpienie od założenia, że krzywizny są małe, i zastosowanie dokładnego wzoru na skończoną krzywiznę powoduje, że równanie Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

18

różniczkowe linii ugięcia jest nieliniowe, a zależność P(∆) jest jednoznaczna. Jednakowoż okazuje się wówczas, że niewielkiemu zwiększeniu obciążenia ponad siłę eulerowską PE towarzyszą znaczny przyrost ugięć i katastrofalny wzrost naprężeń normalnych. Osiągnięcie krytycznej wartości siły ściskającej odpowiada zazwyczaj stanom awaryjnym (niebezpiecznym), równoważnym z wyczerpaniem nośności konstrukcji.

Wpływ sił poprzecznych i skrócenia osi pręta Uwzględnienie wpływu siły poprzecznej dla dowolnych warunków podparcia zmniejsza wartość siły krytycznej stosownie do zależności: Pkr = P (1) =

PE , k ⋅ PE 1+ GA

gdzie k oznacza współczynnik kształtu przekroju uwzględniający wpływ sił poprzecznych na ugięcia belek. Wpływ siły poprzecznej jest istotny, jeśli pręty są złożone, połączone przewiązkami lub krzyżulcami. W przypadku stosunkowo krótkich prętów wykonanych z materiału o bardzo wysokiej granicy sprężystości istotny wpływ może mieć skrócenie osi pręta przed utratą stateczności. Ostateczny wzór na siłę krytyczną uwzględniający to skrócenie ma postać: Pkr =

2 PE , 4 PE 1+ 1− EA

Odnotować trzeba, że dla PE > EA / 4 wyboczenie pręta w ogóle nie występuje.

Wpływ imperfekcji W praktyce założenia, że obciążenie pręta jest przyłożone idealnie osiowo, a oś pręta jest idealnie prosta nigdy nie są spełnione. Okazuje się jednak, że wymienione odstępstwa nie wpływają w istotny sposób na wartość siły krytycznej. Decydują wszelako o tym, w którą stronę pręt się wyboczy. Ponadto zależność P(∆) jest w tych przypadkach jednoznaczna.

Wpływ obciążeń poprzecznych Analiza wpływu obciążeń poprzecznych na zachowanie się belek ściskanych dużymi siłami osiowymi prowadzi do podobnych wniosków, jak przy omawianiu wpływu imperfekcji. Dla siły ściskającej bliskiej wartości krytycznej odnotowuje się drastyczny wzrost ugięć i związaną z tym utratę nośności konstrukcji. Na podstawie ogólnej analizy można pokazać, że ugięcie belki ∆ można wyznaczać z następującego wzoru przybliżonego: ∆ ( p) ≈ ∆0 ⋅

1 , 1− p

gdzie symbol ∆0 oznacza ugięcie bez udziału sił osiowych, p = P/PE i jest bezwymiarową siłą ściskającą belkę. Powyższy wzór daje bardzo dobre przybliżenie nawet dla dużych wartości p. Warto dodać, że współczynnik zwiększający 1/(1−p) można również stosować do szacowania wpływu imperfekcji, jakkolwiek dokładność takiego oszacowania bywa nieco gorsza. W tym przypadku ∆0 oznacza albo mimośród siły ściskającej, albo strzałkę ugięcia pręta wstępnie wygiętego.

Rozciąganie mimośrodowe Utrata stateczności występuje z reguły w prętach ściskanych. Siły rozciągające na ogół stabilizują ugięcia. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

19

Definicja stateczności. Punkty graniczne i punkty bifurkacji Utratę stateczności definiuje się na ogół jako proces, w którym niewielka zmiana przyczyny powoduje bardzo dużą zmianę skutku. W definicji tej mieści się zjawisko wyboczenia, kiedy niewielka zmiana siły (przyczyny) powoduje dużą zmianę poprzecznego ugięcia (skutku). Zjawisko szerzej pojętej utraty stateczności obserwujemy również w kratownicy Misesa poddanej rosnącej sile pionowej. Ogólnie biorąc, utrata stateczności występuje bądź w punkcie bifurkacji, bądź w punkcie granicznym. W punkcie bifurkacji pokrytyczna ścieżka równowagi przecina się ze ścieżką podstawową i tworzy z nią kąt różny od zera. W punkcie granicznym dP / d∆ = 0 , przy czym sztywność konstrukcji przy dalszej deformacji jest ujemna. Sytuacja taka występuje np. w kratownicy Misesa. Trzeba jednak odnotować, że osiągnięcie punktu bifurkacji nie zawsze oznacza utratę nośności konstrukcji, gdyż stan pobifurkacyjny niekiedy może być nadal wystarczająco stateczny.

• Podejście energetyczne Matematyczna interpretacja zasady minimum energii potencjalnej Przyjmijmy, że Π(T) jest energią potencjalną konstrukcji sprężystej, której stan odkształcenia jest całkowicie określony przez parametr T. Warunkiem koniecznym ekstremum (maksimum lub minimum) energii jest znikanie pierwszej pochodnej (lub wariacji) δΠ. Wobec tego warunek równowagi ma postać: ∂Π = 0 lub δΠ = 0, ∂T a warunkami minimum energii są zależności ∂Π ∂ 2Π = 0, > 0 lub δΠ = 0, δ 2 Π > 0 ∂T ∂T 2 dla wszystkich kinematycznie dopuszczalnych wartości T. Wynika stąd kryterium stateczności konstrukcji: ∂ 2Π > 0 lub δ 2 Π > 0. ∂T2 Jeżeli ∂ 2 Π / ∂T 2 < 0 , układ jest niestateczny, a jeśli ∂ 2 Π / ∂T 2 = 0 , to w celu ustalenia stateczności układu trzeba zbadać znaki wyższych pochodnych (wariacji) energii potencjalnej. Mamy zatem: > 0 stan stateczny,  = c − Pl = 0 stan krytyczny, 2 ∂φ < 0 stan niestateczny. 

∂ 2Π

Z analizy energetycznej, w której przyjęto nieściśliwość osi pręta, wynika, że przyrost energii potencjalnej dla stanie krytycznym jest równy zeru. Prowadzi to do przybliżonego wzoru Rayleigha na obliczenie siły krytycznej w pręcie sprężystym o długości l: l

∫ EJ (t '')

2

dx

Pkr = 0 l

∫ (t ')

, 2

dx

0

gdzie t(x) jest stosownie dobraną funkcją spełniającą warunki brzegowe zadania. Dużo lepsze przybliżenie otrzymamy, jeżeli drugą pochodną t''(x) jako krzywiznę wygiętej osi pręta wyrazimy przez moment zginający. Pewną wadą przybliżeń energetycznych jest to, że zawsze otrzymujemy wyniki obarczone błędem przez nadmiar. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

20

• Stany pokrytyczne. Klasyfikacja punktów bifurkacji W analizie stanów pokrytycznych decydujące znaczenie mają pochodne cząstkowe funkcji energii potencjalnej Π względem parametru odkształcenia konstrukcji T. Problem stateczności w obszarze pokrytycznym rozstrzyga badanie znaku drugiej pochodnej energii potencjalnej. Aby wykazać, że pokrytyczna ścieżka równowagi jest stateczna, trzeba udowodnić, że energia na tej ścieżce osiąga lokalne minimum w punkcie bifurkacji. Ponieważ Π I (0, Pkr ) = Π II (0, Pkr ) = 0, poszukujemy wartości następnych pochodnych. W zależności od charakteru wykresów P(T) punkty bifurkacji możemy podzielić na niesymetryczne i symetryczne. Punkty niesymetryczne charakteryzują się tym, że w punkcie bifurkacji (dla T = 0) Π III ≠ 0 , a pochodna dP / dT ≠ 0 . W symetrycznych punktach bifurkacji Π III = 0 i dP / dT = 0 , natomiast pochodna Π IV może być dodatnia lub ujemna. Jeżeli Π IV < 0 , to symetryczny punkt bifurkacji jest niestateczny. Symetryczny i stateczny punkt bifurkacji występuje, gdy Π IV > 0 . Do bezpiecznej oceny nośności wystarczy zazwyczaj obliczenie obciążenia bifurkacyjnego. Stwierdzenie to nie obowiązuje jednak w przypadku, gdy symetryczny punkt bifurkacji jest niestateczny. Wówczas wpływ imperfekcji objawia się znacznym zmniejszeniem obciążenia krytycznego. Sytuacje, w których występuje niesymetryczny punkt bifurkacji, rzadziej spotyka się w praktyce (np. kratownice o węzłach sztywnych, pewne szczególne przypadki ram, zamknięte powłoki kuliste). Z punktu widzenia bezpieczeństwa konstrukcji przypadki te są jednak bardzo ważne, bo i tu obserwujemy utratę stateczności nawet dla obciążenia mniejszego od obciążenia bifurkacyjnego. Konstrukcje charakteryzujące się niestatecznymi punktami bifurkacji oraz niesymetrycznymi punktami bifurkacji wykazują dużą czułość na imperfekcje i wymagają szczególnej uwagi przy szacowaniu ich nośności. Dodać trzeba, że omówione wyżej i przewidziane teoretycznie zjawiska towarzyszące stanom pokrytycznym zostały potwierdzone eksperymentalnie.

• Wyznaczanie obciążeń krytycznych i form utraty stateczności w prętach prostych Ze względu na kinematykę problemy stateczności można podzielić na dwie grupy: − płaska utrata stateczności, w której wygięta oś pręta po utracie stateczności jest krzywą płaską (wyboczenie giętne, eulerowskie), − przestrzenna utrata stateczności, w której odkształcona oś pręta jest krzywą przestrzenną (zwichrzenie, wyboczenie skrętne, wyboczenie giętno-skrętne).

Płaska utrata stateczności prętów ściskanych. Wyboczenie Równanie różniczkowe linii ugięcia sprężystego pręta prostoliniowego ściskanego siłą P ma postać: [ EJ ( x ) ⋅ w'']''+ P ⋅ w'' = 0, gdzie J(x) oznacza jeden z głównych momentów bezwładności przekroju pręta. Po przyjęciu, że J(x) = J1· ζ(x), gdzie J1 = const, oraz α 2 = P / ( EJ1 ) , otrzymujemy:

[ζ ( x) ⋅ w"]"+α 2 ⋅ w" = 0. Rozwiązanie ogólne tego równania można przedstawić następująco:

w( x ) = C1 ⋅ ϕ1(α , x ) + C2 ⋅ ϕ 2 (α , x ) + C3 x + C4 , gdzie ϕ1 (α , x ) i ϕ 2 (α , x ) są funkcjami, których postać zależy od funkcji ζ(x). Stałe Ci (i = 1, 2, 3, 4) oblicza się na podstawie warunków brzegowych, dwóch na każdym końcu pręta. Po podstawieniu rozwiązania równania różniczkowego do warunków brzegowych otrzymujemy układ czterech równań liniowych jednorodnych ze względu na stałe Ci:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

21

a11C1 + a12 C2 + a13C3 + a14 C4 = 0, a21C1 + a22 C2 + a23C3 + a24 C4 = 0, a31C1 + a32 C2 + a33C3 + a34 C4 = 0, a41C1 + a42 C2 + a43C3 + a44 C4 = 0, gdzie współczynniki aij (i, j = 1, 2, 3, 4) są funkcjami parametru α. Jeżeli

[ ]

Det aij ≠ 0 , to

C1 = C2 = C3 = C4 = 0 . Wówczas rozwiązanie układu na stałe całkowania jest trywialne, co oznacza, że wyboczenie nie występuje, bo w(x) ≡ 0. Aby choć jedna stała całkowania była różna od zera, wyznacznik układu musi być równy zeru. Wtedy oprócz prostoliniowej postaci równowagi pręta mogą wystąpić również krzywoliniowe postacie równowagi. Warunek

[

]

Det aij (α ) = 0 jest zatem kryterium osiągnięcia stanu krytycznego. Rozwinięcie wyznacznika prowadzi do równania przestępnego ze względu na α(P). Najmniejszy rzeczywisty i dodatni pierwiastek tego równania określa najmniejszą siłę krytyczną P (1) = Pkr i pierwszą postać wyboczenia. Pozostałe pierwiastki rzeczywiste i dodatnie określają wyższe siły krytyczne i wyższe postacie wyboczenia. Osiągnięciu siły krytycznej przy wyboczeniu pręta towarzyszy naprężenie krytyczne σkr, które można traktować jako naprężenie niszczące:  π2 E  2 ,  σ kr ( s) =  s σ P − (σ P − σ H ) ⋅ s,  sgr (σ H ) 

s ≥ sgr (σ H ), 0 ≤ s ≤ sgr (σ H ),

J / A , sgr (σ H ) = π E / σ H . Bezwymiarowy współczynnik s nazywamy smukłością pręta, a i oznacza promień bezwładności przekroju. Jeśli s ≥ sgr (σ H ), to naprężenie krytyczne nie

gdzie s = lw / i ,

i=

przekracza granicy sprężystości σ H , a funkcja σ kr ( s) przedstawia hiperbolę Eulera. Naprężenie krytyczne nie może przekraczać wartości niebezpiecznej, odpowiadającej tutaj granicy plastyczności σ P . Wymaganie to jest spełnione dzięki wprowadzeniu smukłości granicznej sgr (σ H ) . Jeśli s < sgr (σ H ), to występuje wyboczenie niesprężyste. Podana wyżej zależność σ kr ( s) dla obszaru niesprężystego odpowiada najprostszemu przybliżeniu wyników doświadczalnych (prosta Tetmajera-Jasińskiego). W ogólności naprężenie krytyczne zależy zarówno od rodzaju materiału (moduł sprężystości, granica sprężystości, granica plastyczności), jak i od wymiarów przekroju poprzecznego oraz warunków brzegowych pręta (smukłość). Nie jest to zatem stała materiałowa, lecz stała konstrukcyjna. W normach projektowania prętów ściskanych stosuje się nieco inne podejście. Praktyczny sposób sprawdzania warunku wytrzymałościowego polega bowiem na spełnieniu nierówności: σ obl =

σ P ≤ σ dop = P , Aϕ ( s ) n0

gdzie ϕ(s) ≤ 1 i jest tzw. współczynnikiem wyboczeniowym, n0 − współczynnikiem bezpieczeństwa większym od jedności i zależnym od smukłości pręta, a σobl − fikcyjnym naprężeniem obliczeniowym. Powyższy wzór obowiązuje zarówno w obszarze sprężystym, jak i niesprężystym. Współczynnik zmniejszający ϕ(s) jest ujęty w tablicach lub opisany wzorami empirycznymi. W przybliżeniu można przyjąć, że ϕ ( s) ≈ σ kr ( s) / σ P ≤ 1.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

22

Przestrzenna utrata stateczności prętów prostych Przestrzenną utratę stateczności obserwuje się w prętach cienkościennych. Do opisu takich prętów stosuje się aparat pojęciowy i metody teorii Własowa oraz teorii zginania prętów cienkich. Podstawowym uproszczeniem przyjmowanym w teorii stateczności jest ograniczenie rozważań do umiarkowanych przemieszczeń i przyjęcie, że oś pręta jest nieskracalna, czyli u(x, 0, 0) = 0. Ponadto akceptuje się założenie o „sztywnym” przekroju poprzecznym. Kinematyka zdeformowanego pręta jest określona jednoznacznie przez trzy funkcje: współrzędne wektora przemieszczenia punktów osi pręta v(x) i w(x) oraz kąt skręcenia całego przekroju względem środka ścinania ψ(x). Równania różniczkowe przestrzennej utraty stateczności można przedstawić następująco: E1 Jω ψ ' ' '− GJ sψ '+ M x + M y v'+ M z w'+ ∆M x1 ( v, w,ψ ) = 0, EJ y w' '− M x v'+ M y + M zψ + ∆M y1 ( v, w,ψ ) = 0, EJ z v' '+ M x w'+ M yψ − M z − ∆M z1 ( v, w,ψ ) = 0, gdzie symbolami ∆Mx1, ∆My1, ∆Mz1 oznaczono dodatkowe momenty pochodzące od obciążeń konserwatywnych i mających charakter sił (tzn. niemomentów). Pierwsze z równań różniczkowych jest słuszne jedynie wówczas, gdy środek ścinania pokrywa się ze środkiem ciężkości przekroju. Jeżeli tak nie jest, to postać tego równania wymaga oddzielnej analizy. W praktyce inżynierskiej najważniejszym przypadkiem przestrzennej utraty stateczności jest zwichrzenie, występujące przy zginaniu prętów. Zwichrzenie objawia się utratą płaskiej postaci zginania przy pewnej krytycznej wartości momentu zginającego. Na przykład, dla pręta wspornikowego o przekroju w kształcie wąskiego prostokąta poddanego czystemu zginaniu moment krytyczny i naprężenie krytyczne oblicza się ze wzorów: π π M M kr = M y kr = ⋅ EJ z GJ s , σ kr = kr = ⋅ EJ z GJ s , 2l 2lWy Wy gdzie y jest osią większego momentu bezwładności. Naprężenie krytyczne oblicza się ze wzoru podanego przy wyboczeniu giętnym dla smukłości określonej wzorem s=

πhl ⋅ 8(1 + ν ) b

,

gdzie l oraz b i h oznaczają odpowiednio długość belki oraz szerokość i wysokość przekroju poprzecznego, a ν jest współczynnikiem Poissona. Przy takim sformułowaniu zagadnienia sprawą podstawową jest określenie smukłości na zwichrzenie, której wartość zależy od sposobu obciążenia i warunków brzegowych. W praktyce możliwość utraty płaskiej postaci zginania uwzględnia się przez zastosowanie współczynnika zmniejszającego naprężenia skrajne, czyli tzw. współczynnika zwichrzenia ϕL. Sprawdzenie warunku wytrzymałościowego polega na spełnieniu nierówności: My σ ≤ P = σ dop , (S) Wy ⋅ ϕ L ( s) n0 gdzie ϕ L ( s) ≈ σ kr ( s) / σ P ≤ 1. Sens współczynnika ϕL jest taki sam jak współczynnika wyboczeniowego ϕ. Trzeba dodać, że gdy zginanie pochodzi od obciążeń poprzecznych, współczynnik ϕL zależy od punktu przyłożenia obciążenia na wysokości przekroju; im wyżej jest przyłożone obciążenie, tym naprężenia są większe. Pręty cienkościenne poddane mimośrodowemu lub osiowemu ściskaniu o przekroju otwartym mogą ulec wyboczeniu giętno-skrętnemu. Ostateczna postać układu równań stateczności giętno-skrętnej przy ściskaniu osiowym jest następująca:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

23

J   E1 Jω ⋅ ψ IV −  GJ s − 0 ⋅ P ⋅ ψ ''− PyS ⋅ w''+ PzS ⋅ v '' = 0,  A  EJ y ⋅ w IV + P ⋅ w''− PyS ⋅ ψ '' = 0, EJ z ⋅ v IV + P ⋅ v ''− PzS ⋅ ψ '' = 0, gdzie

2

2

2

2

J0 = Jy +Jz + A(yS + zS ) = Jb + A(yS + zS ). W przypadku szczególnym, gdy środek ścinania pokrywa się z środkiem ciężkości przekroju, yS = zS = 0. Wtedy równania różniczkowe stateczności przybierają postać: J   E1 Jω ⋅ ψ IV −  GJ s − b P ⋅ ψ '' = 0,  A  EJ y ⋅ w IV + P ⋅ w'' = 0, EJ z ⋅ v IV + P ⋅ v '' = 0, przy czym Jb oznacza tutaj biegunowy moment bezwładności przekroju. Układ ten stanowi w istocie rzeczy trzy oddzielne równania na poszukiwane funkcje ψ ( x ), w( x ) i v ( x ). Dwa ostatnie równania układu prowadzą do eulerowskich sił krytycznych przy wyboczeniu w obu płaszczyznach głównych Pkry = Py = π 2 EJ y / (lwy ) 2 ,

Pkrz = Pz = π 2 EJ z / ( lwz ) 2 ,

a pierwsze równanie układu daje siłę krytyczną odpowiadającą tzw. wyboczeniu skrętnemu. Gdy Jω = 0, siła krytyczna przy wyboczeniu skrętnym nie zależy od długości pręta: Pkrs = Ps = GA ⋅ ( J s / Jb ). Gdy Jω ≠ 0, siłę krytyczną dla pręta obustronnie całkowicie utwierdzonego wyraża wzór: Pkrs = Ps =

A Jb

  4π 2  , E1 = E / (1 − ν 2 ) .  GJ s + E J 1 ω 2 l  

Dla prętów ściskanych osiowo, w których środki ciężkości i ścinania pokrywają się, miarodajna jest najmniejsza siła krytyczna spośród wartości Py, Pz i Ps: Pkr = min( Py , Pz , Ps ) . W ogólności, gdy środki ciężkości i ścinania nie pokrywają się, siłę krytyczną obliczamy przez przyrównanie do zera wyznacznika równań na stałe całkowania. Na przykład dla pręta podpartego widełkowo otrzymujemy:  0 ( P − Pz )  0 ( P − Py )   − PyS  PzS

  − PyS  = 0 . J0  ( P − Ps )  A  PzS

Symetria wyznacznika wskazuje na to, że pierwiastki równania na siłę P są rzeczywiste, a najmniejszy z nich jest siłą krytyczną: Pkr = min( P1 , P2 , P3 ) ≤ min( Py , Pz , Ps ).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

24

Znak nierówności wskazuje, że siła krytyczna obliczona z uwzględnieniem wyboczenia giętno-skrętnego jest zawsze mniejsza od siły eulerowskiej i od siły wywołującej wyłącznie wyboczenie skrętne. Przestrzenna utrata stateczności może również wystąpić przy czystym skręcaniu. Obserwujemy wówczas wyboczenie śrubowe. Pod wpływem skręcania dla dostatecznie dużej wartości momentu M oprócz prostoliniowej może również wystąpić krzywoliniowa (przestrzenna) postać równowagi. W przypadku czystego skręcania pręta pryzmatycznego, którego końce są połączone są z podporami za pośrednictwem przegubów kulistych, a oba główne momenty bezwładności przekroju są równe (Jy = Jz = J) oraz Jω =0 (na przykład pręt o przekroju kołowym), moment krytyczny jest określony wzorem: (1) Mkr = Mkr = 2πEJ / l.

Wygięta oś pręta po wyboczeniu jest linią śrubową. Rozważany przypadek należy do tej grupy obciążeń niekonserwatywnych, w których metoda statyczna daje wynik poprawny. W ogólnym przypadku obciążenia niekonserwatywnego trzeba stosować tzw. dynamiczne kryterium stateczności, które polega na badaniu małych drgań układu.

Stateczność przy obciążeniach złożonych W praktyce bardzo często występują obciążenia złożone, np. jednoczesne działanie siły ściskającej i momentu zginającego. Jeżeli obciążenia złożone są konserwatywne, to powierzchnia stateczności (interakcji) w przestrzeni sił wewnętrznych P1, P2, P3, ...., Pn f ( P1 , P2 ,..., Pn ) = 0 jest wypukła. Wobec tego przybliżony wzór Dunkerleya: n

f ( P1 , P2 ,..., Pn ) =

P

∑ Pikri − 1 = 0 i =1

jest dolnym (bezpiecznym) oszacowaniem stanu statecznego. W przypadku obciążeń niekonserwatywnych może się zdarzyć, że powierzchnia stateczności jest wklęsła i wzór Dunkerleya nie daje oceny bezpiecznej. Dokładne rozwiązanie dla podpartego widełkowo pręta pryzmatycznego, poddanego ściskaniu siłą P i zginaniu momentem My = M przybiera postać: 2

 M   P    +  = 1.  M kr   Pkr  Obecność siły ściskającej zmniejsza wartość momentu, przy którym zachodzi zwichrzenie belki, i na odwrót: obecność momentu zginającego zmniejsza wartość siły ściskającej, przy której zachodzi wyboczenie eulerowskie. Znak momentu zginającego nie wpływa na wartość krytyczną siły ściskającej. W przypadku jednoczesnego ściskania siłą P i skręcania momentem M pręta pryzmatycznego o przekroju zwartym (nie cienkościennym), w którym główne momenty bezwładności są równe (Jy = Jz = J), otrzymujemy następującą krzywą interakcji: 2

 P   M    +  = 1.  Mkr   Pkr  Uzyskana krzywa jest analogiczna do zależności obowiązującej przy jednoczesnym zginaniu i ściskaniu. Z obu wzorów wynika, że rozciąganie pręta (P < 0) ma działanie stabilizujące; wyboczenie występuje wtedy przy większej wartości momentu zginającego bądź skręcającego. W prętach cienkościennych oprócz globalnej występuje również lokalna (miejscowa) utrata stateczności. Polega ona na tym, że w odróżnieniu od stateczności globalnej przekrój poprzeczny deformuje się, a oś pręta pozostaje prostoliniowa. Zjawisko lokalnej utraty stateczności jest charakterystyczne dla poAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 4

PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI

25

włok, a więc i dla prętów cienkościennych, które w istocie rzeczy są długimi powłokami lub układem długich pasm płytowych. Różnorodność form utraty stateczności prętów cienkościennych przy ściskaniu sprawia, że ograniczenie się do wyboczenia giętnego (eulerowskiego) może prowadzić do znacznych błędów. Na przykład, wyboczenie giętne w płaszczyźnie najmniejszej sztywności ściskanego kątownika równoramiennego (duraluminiowego) występuje wtedy, gdy smukłość pręta jest dostatecznie duża. Jeżeli smukłość pręta jest mniejsza, to występuje wyboczenie giętno-skrętne. Z kolei utrata stateczności pręta o bardzo małej smukłości odpowiada wyboczeniu lokalnemu. Naprężenie krytyczne przy lokalnej utracie stateczności oblicza się na gruncie teorii płyt i powłok. Zależy ono od wymiarów przekroju poprzecznego. Lokalne naprężenie krytyczne jest proporcjonalne do grubości ścianki, a ściślej biorąc od stosunku grubości ścianki do pozostałych wymiarów liniowych przekroju poprzecznego.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

1

Í Ï Î

20.1. WIADOMOŚCI OGÓLNE Każda poprawnie zaprojektowana konstrukcja powinna spełniać dwa zasadnicze wymagania: a) bezpieczeństwa, b) ekonomiczności. Termin „ezpieczeństwo” jest rozumiany dosyć szeroko. Chodzi głównie o to, by konstrukcja spełniała dwa warunki: wytrzymałości i sztywności. Dochodzą do tego jeszcze inne wymagania związane ze specyfiką materiałów użytych do wykonania konstrukcji i warunkami eksploatacji (np. w konstrukcjach żelbetowych: rysoodporność, szerokość rozwarcia rys). Dobra konstrukcja musi także sygnalizować przeciążenie poprzez wyraźne ugięcia, rysy, osiadania itp. Najniebezpieczniejsze są bowiem sytuacje, w których zniszczenie konstrukcji występuje w sposób nagły, uniemożliwiający ewakuację ludzi i sprzętu. Względy ekonomiczne wymagają, by koszty wykonania i eksploatacji konstrukcji były możliwie niskie. Koszt wykonania konstrukcji jest zazwyczaj proporcjonalny do jej wagi (masy). Dlatego konstrukcja powinna być jak najlżejsza. Problem ten szczególnie ostro występuje w konstrukcjach lotniczych, w których i koszt eksploatacji jest proporcjonalny do masy obiektu. Miarą kosztu może być również energia zużyta na wyprodukowanie materiałów, transport, wykonanie i eksploatację konstrukcji. Poza wymaganiami bezpieczeństwa i ekonomiczności bardzo często wprowadza się jeszcze inne dodatkowe ograniczenia. Szeroką klasę ograniczeń stanowią tzw. więzy geometryczne, nałożone na gabaryty konstrukcji (maksymalna wyniosłość łuku), wymiary elementów (maksymalne i minimalne grubości płyt, wysokości belek itp.) lub np. usytuowanie krawędzi fundamentów względem konstrukcji nadziemnej. Więzy geometryczne wynikają zazwyczaj ze względów użytkowych lub technologicznych. Dodatkowymi więzami mogą być więzy materiałowe i asortymentowe. Wymienione wyżej wymagania bezpieczeństwa, ekonomii i dodatkowe ograniczenia oraz wymagania użytkowe decydują o wyborze koncepcji konstrukcyjnej projektowanego obiektu. Spełnieniu wymagań bezpieczeństwa towarzyszy dążenie do powiększania wymiarów i ciężaru elementów. Względy ekonomiczne z kolei wymuszają tendencje do obniżenia ciężaru konstrukcji. Ostateczny projekt jest więc pewnym rozwiązaniem kompromisowym. Specjalne miejsce w omawianej tematyce zajmuje optymalizacja projektowania. Każdy projekt spełniający wymagania bezpieczeństwa i ograniczenia dodatkowe nosi nazwę projektu dopuszczalnego. Problem optymalizacji polega zazwyczaj na znalezieniu w zbiorze projektów dopuszczalnych rozwiązania o najmniejszym koszcie. Zadania optymalizacji są bardzo złożone. W dalszym ciągu ograniczymy się jedynie do omówienia problemów bezpieczeństwa konstrukcji.

20.2. WARUNKI WYTRZYMAŁOŚCIOWE 20.2.1. Definicje ograniczeń Wszelkie warunki wytrzymałościowe polegają na ograniczeniu wielkości statycznych: naprężeń, sił wewnętrznych lub obciążeń. Ograniczenie naprężeń σij dotyczy każdego punktu materialnego konstrukcji i odpowiada spełnieniu nierówności: F1 (σ ij , ρk ) ≤ 0, (i , j = 1, 2, 3; k = 1, 2, ...).

(20.1)

Równanie F1 = 0 określa pewną zamkniętą powierzchnię w przestrzeni naprężeń (np. powierzchnię plastyczności), a ρk oznacza parametry opisujące wytrzymałość materiału (np. granicę plastyczności, wytrzymałość doraźną). Bezpieczne stany naprężeń odpowiadają punktom leżącym wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią F1 = 0.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

2

Ograniczenie sił wewnętrznych Yt dotyczy z kolei każdego przekroju konstrukcji i odpowiada spełnieniu nierówności:

F2 (Yt , rk ) ≤ 0, (t = 1,2,...,6; k = 1, 2, ...).

(20.2)

Podobnie jak poprzednio, równanie F2 = 0 opisuje zamkniętą powierzchnię, ale w przestrzeni sił wewnętrznych, a rk oznaczają parametry nośności przekroju (np. moment plastyczny, moment sprężysty). Bezpieczne wartości sił wewnętrznych odpowiadają punktom leżącym wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią F2 = 0. Ograniczenie obciążeń Pm ma charakter globalny i dotyczy całej konstrukcji :

F3 ( Pm , Rk ) ≤ 0, (m = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...).

(20.3)

Równanie F3 = 0 opisuje pewną powierzchnię graniczną w przestrzeni obciążeń, a Rk oznacza parametry nośności całej konstrukcji. Bezpieczne wartości obciążeń odpowiadają punktom leżącym wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią F3 = 0. Konkretne postacie funkcji F1(σij, σk), F2(Yt, rk) lub F3(Pm, Rk) zależą od przyjętej metody projektowania konstrukcji. Metody te omówimy pokrótce w p. 20.5. Spełnienie warunków wytrzymałościowych polega na obraniu takich wymiarów i schematów konstrukcji oraz parametrów wytrzymałościowych materiałów, by były spełnione wymagania typu (20.1), (20.2) lub (20.3). 20.2.2. Ograniczenie naprężeń w punkcie Sens lokalnego warunku naprężeniowego (20.1) objaśniono w rozdziale 7. przy omawianiu hipotez wytężeniowych. Rezultaty zawartych tam rozważań wykorzystamy do analizy warunku wytrzymałościowego odnoszącego się do materiału sprężysto-plastycznego o charakterystyce podanej na rys. 20.1a i odpowiadającego warunkowi plastyczności Hubera-Misesa-Hencky'ego. Dla uproszczenia uwagi przyjmijmy, że w konstrukcji występuje płaski stan naprężenia. Zależność graniczną w tym przypadku można zapisać następująco: F1 = F1 (σ ij , ρ1 ) = σ12 − σ1 ⋅ σ 2 + σ 22 − ρ12 = 0,

(20.4)

gdzie σ1 i σ2 oznaczają nieuporządkowane naprężenia główne (σ3 = 0), a ρ1 jest parametrem wytrzymałościowym materiału i oznacza pewną wartość naprężenia, którą uznaje się za niebezpieczną (nieprzekraczalną). Dla ρ1 = σP otrzymujemy elipsę odpowiadającą pełnemu uplastycznieniu materiału; dla ρ1 = σS otrzymujemy elipsę ograniczającą obszar sprężysty (por. rys. 20.1b). Parametr ρ1 ma zatem sens granicznego naprężenia zredukowanego (zastępczego).

Rys. 20.1

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

3

Decydując się na przyjęcie wartości ρ1 z przedziału < σ S , σ P > trzeba przeprowadzić analizę przystosowania się konstrukcji do założonego programu obciążenia zmiennego. W obszarze sprężystym problem ten nie występuje. Dlatego tradycyjne metody projektowania (np. metoda naprężeń dopuszczalnych), w których posługujemy się tylko warunkiem lokalnym typu (20.1), wymagają, by w każdym punkcie konstrukcji występowały tylko sprężyste stany naprężenia*). W metodzie naprężeń dopuszczalnych jako wartość nieprzekraczalną przyjmuje się naprężenie dopuszczalne σdop , mniejsze od granicy sprężystości σS. Naprężenie to definiuje się następująco: σ (20.5) ρ1 = σ dop = P , n0 > 1, n0 gdzie n0 jest wymaganym współczynnikiem bezpieczeństwa (pewności). W omawianej metodzie współczynnik ten musi być większy od stosunku σP/σS, gdyż w przeciwnym razie obszar dopuszczalny obejmowałby również stany sprężysto-plas-tyczne. Wobec tego n0 > σ P / σ S . (20.6) Dla orientacji podamy, że w przypadku miękkiej stali budowlanej σS ≈ 0,8σP, skąd n0 > 1,25. Obszar dopuszczalny (20.1) opisuje wówczas nierówność (por. rys. 20.1b − linia przerywana): 2 ≤ 0. F1 = σ12 − σ 1 ⋅ σ 2 + σ 22 − σ dop Warunek Hubera-Misesa-Hencky'ego stosuje się do materiałów ciągliwych, które sygnalizują przeciążenie pojawieniem się trwałych odkształceń. Materiały kruche nie wykazują tej własności przy rozciąganiu (rys. 20.2a). Dlatego też w obszarze

Rys. 20.2

naprężeń rozciągających jest uzasadnione przyjmowanie większej wymaganej wartości współczynnika pewności n0(r ) od wartości wymaganej w obszarze ściskania n0(c ) . Ilustruje to rysunek 20.2b, na którym n0( r ) =

OB1 OB > n0( c ) = , OA1 OA

a obszar dopuszczalny odpowiadający nierówności (20.1) został zakreskowany. 20.2.3. Ograniczenie sił wewnętrznych na poziomie przekroju Rozważymy działanie siły normalnej i momentu zginającego na prostokątny przekrój pręta wykonanego z materiału sprężysto-plastycznego (rys. 20.3). Nośność sprężystą przekroju określają dwa parametry wytrzymałościowe: siła normalna NS i moment zginający MS, opisane wzorami:

*)

Wyjątek stanowią tu uplastycznienia występujące na bardzo małym obszarze (np. przy docisku lub nagłej zmianie przekroju). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

4

r1 = N S = σ S ⋅ A, r2 = M S = σ S ⋅ W ( S ) ,

(20.7) (S)

2

gdzie σS oznacza granicę sprężystości równą granicy proporcjonalności σH, a A = bh oraz W = bh /6 oznaczają odpowiednio pole i „sprężysty” wskaźnik wytrzymałości przekroju. Ze wzoru na naprężenia ekstremalne przy mimośrodowym działaniu siły normalnej na przekrój pręta liniowo-sprężystego otrzymujemy nierówność wyznaczającą obszar sprężysty: N A

+

M W (S)

≤ σS ,

skąd F2 ( N , M ; N S , M S ) =

N NS

+

M MS

− 1 ≤ 0.

(20.8)

Górną ocenę nośności plastycznej określają parametry wytrzymałościowe: siła normalna NP i moment zginający MP, wyrażone zależnościami: r1 = N P = A ⋅ σ P , r2 = M P = σ P ⋅ W ( P ) , (P)

(20.9)

2

gdzie W = bh /4 i oznacza „plastyczny” wskaźnik wytrzymałości. Odpowiednia zależność graniczna ma w tym przypadku postać (por. wzór (18.30)): F2 ( N , M ; N P , M P ) =

2

 N  +  − 1 = 0. MP  NP  M

(20.10)

Obszar sprężysto-plastyczny jest określony nierównościami: F2 ( N , M ; N S , M S ) > 0,

(20.11)

F2 ( N , M ; N P , M P ) < 0.

Przyjęcie koncepcji naprężenia dopuszczalnego pozwala wyznaczyć obszar dopuszczalny. Obszar ten, zawarty wewnątrz obszaru sprężystego, wyznaczają siła normalna Ndop i moment zginający Mdop : r1 = N dop = σ dop ⋅ A = r2 = M dop = σ dop ⋅ W

σP N ⋅A= P , n0 n0

(S)

σ M W (S) = P ⋅W ( S ) = P ( P) , n0 n0W

(20.12)

przy czym F2 ( N , M ; N dop , M dop ) =

M M dop

+

N N dop

− 1 ≤ 0.

(20.13)

Z zależności (20.12) i (20.13) wynika, że współczynnik pewności odniesiony do nośności plastycznej przekroju zmienia się w zależności od mimośrodu z N = M / N . Najmniejsza wartość tego współczynnika odpowiada prostej M = 0 i wynosi n0 , natomiast największa występuje dla N = 0 i wynosi

n0 ⋅ (W ( P ) / W ( S ) ) .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

5

Rys. 20.3

W odniesieniu do materiałów zbrojonych poprzestajemy zazwyczaj tylko na warunku plastyczności, a krzywa graniczna przyjęta do projektowania jest zmniejszona proporcjonalnie do współczynnika pewności, zmieniającego się w zależności od znaków naprężeń (rys. 20.4b). Parametry wytrzymałościowe, określające kształt krzywej granicznej, zależą tu od intensywności zbrojenia oraz od stosunku granicy plastyczności zbrojenia i materiału rodzimego.

Rys. 20.4

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

6

Rysoodporność konstrukcji betonowych przeprowadza się na ogół przy założeniu, że materiał jest kruchy. Otrzymuje się wówczas odcinkowo-liniowe warunki graniczne (por. rys. 20.5).

Rys. 20.5

20.2.4. Ograniczenie obciążeń konstrukcji Koncepcja obszaru dopuszczalnego w przestrzeni obciążeń pozwala uwzględnić nie tylko efekty lokalne i globalne, takie jak np. stateczność, nośność graniczną lub przystosowanie konstrukcji. Przykłady obszarów dopuszczalnych przy utracie stateczności w wyniku obciążeń złożonych omówiono w rozdziale 19. Zasadnicze znaczenie w przedstawianej tematyce mają obszary czysto sprężystej reakcji konstrukcji oraz obszary nośności granicznej. Zagadnienia te zilustrujemy dwoma przykładami. Rozważmy najpierw ramę portalową przedstawioną na rys. 20.6a. Jej obciążenie stanowią dwie siły: pozioma Px i pionowa Py. Załóżmy, że pręty ramy są wykonane z materiału sprężysto-idealnie plastycznego (rys. 20.5b), a przekroje prętów są idealnymi dwuteownikami. Oznacza to, że moment plastyczny MP jest równy momentowi sprężystemu MS. Dla uproszczenia przyjmiemy dalej, że pręty ramy są pryzmatyczne, a przekroje słupów i rygla są takie same. Przy wyznaczaniu obszaru sprężystego pominiemy wpływ sił normalnych na wartości naprężeń. Wobec tego osiągnięcie w jakimkolwiek przekroju ramy momentu zginającego równego ± MS odpowiada punktom brzegowym obszaru sprężystego. Ekstremalne momenty zginające występują w czterech przekrojach krytycznych oznaczonych na rys. 20.6a liczbami 1, 2, 3 i 4. Do wyznaczenia obszaru sprężystej reakcji konstrukcji wystarczy zatem badanie wartości momentów zginających tylko w przekrojach krytycznych. Skorzystamy z rezultatów zadania zamieszczonego w p. 17.1. Otrzymujemy (h = l, Js = Jr): M1 = −0,5063Px l + 0,0380 Py l , M 2 = 0,2785Px l − 0,1709 Py l , M 3 = 0,0316 Px l + 0,3101Py l , M 4 = −0,2150 Px l − 0,2090 Py l. Obszar sprężysty wyznaczają warunki Mi ≤ M S (i = 1, 2, 3, 4), co po rozpisaniu prowadzi do czterech nierówności jednoczesnych: 1) − 1 ≤ −0,5063 p x + 0,0380 p y ≤ 1, 2) − 1 ≤ 0,2785 p x − 0,1709 p y ≤ 1, 3) − 1 ≤ 0,0316 p x + 0,3101 p y ≤ 1, 4 ) − 1 ≤ −0,2150 p x − 0,2090 p y ≤ 1, Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

7

gdzie px = Px l / M S , p y = Py l / M S . W rezultacie otrzymujemy ośmiobok zaznaczony na rysunku 20.6f linią ciągłą. Obszar nośności granicznej wyznaczamy na podstawie analizy mechanizmów zniszczenia ramy, po pominięciu wpływu sił normalnych na uplastycznienie. Liczba przekrojów krytycznych wskazuje, że układ ma dwa stopnie swobody. Jako niezależne mechanizmy podstawowe przyjęto mechanizm belkowy I (rys. 20.6c) i mechanizm przechyłu II (rys. 20.6d). Do analizy trzeba przyjąć również mechanizm kombinowany III, przedstawiony na rys. 20.6e (por. zadanie zamieszczone w p. 18.3.7). Dla wymienionych mechanizmów otrzymujemy następujące równania pracy wirtualnej: I: Py ⋅ lϕ& = 4 M P ⋅ ϕ& , II: Px ⋅ hϕ& = 3 M P ⋅ ϕ& , III: Px ⋅ hϕ& + Py ⋅ lϕ& = 5 M P ⋅ ϕ& , skąd po uwzględnieniu, że h = l i MP = MS , wynikają równania brzegu obszaru nośności granicznej: py = 4 px = 3, px + p y = 5.

Rys. 20.6 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

8

Obszar nośności granicznej jest ograniczony przez osiem prostych (linie przerywane na rys. 20.6f) i w przeciwieństwie do obszaru sprężystego jest symetryczny względem osi układu obciążeń px i py . Stany sprężysto-plastyczne odpowiadają obszarowi zakropkowanemu, zawartemu pomiędzy obszarem nośności granicznej a obszarem nośności sprężystej. Występowanie obszaru sprężysto-plastycznego gwarantuje, że przeciążenie konstrukcji będzie sygnalizowane widocznymi odkształceniami trwałymi. Obszar obciążeń eksploatacyjnych powinien być wyraźnie mniejszy od obszaru nośności granicznej i zawierać się w obszarze dopuszczalnym. Jeżeli obszar dopuszczalny wyznaczamy na podstawie koncepcji naprężenia dopuszczalnego, to kształt tego obszaru jest podobny do obszaru sprężystego. Wówczas łatwo zauważyć, że współczynnik bezpieczeństwa mierzony stosunkiem OC/OA zmienia się w zależności od drogi obciążenia. Jeżeli analizę wytrzymałościową odnosimy wyłącznie do stanu nośności granicznej, to obszar dopuszczalny będzie figurą podobną do obszaru nośności granicznej. Współczynnik bezpieczeństwa mierzony stosunkiem OC/OA1 jest teraz stały, jednak „odległość” brzegu obszaru dopuszczalnego od brzegu obszaru sprężystego zmienia się w zależności od drogi obciążenia. Warto jednak zwrócić uwagę, że mogą teraz wystąpić sytuacje, w których obszar dopuszczalny obejmuje również stany sprężystoplastyczne. Jeżeli tak się zdarzy, to trzeba zbadać, czy konstrukcja przystosuje się do danego programu obciążenia.

Rys. 20.7

Problem przystosowania objaśnimy na przykładzie pryzmatycznej belki ciągłej rozważanej już w p. 18.4.3 i przedstawionej na rysunku 20.7a. Wartości momentów w przekrojach krytycznych dla stanu sprężystego wynoszą: 13 3 P1l − P2 l , 64 64 6 6 M 2 = − P1l − P2 l , 64 64 3 13 M 3 = − P1l + P2 l. 64 64 M1 =

Wobec tego obszar nośności sprężystej opisują nierówności: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

9

13 3 p1 − p2 ≤ 1, 64 64 6 6 p1 − p2 ≤ 1, −1≤ − 64 64 3 13 p1 + p2 ≤ 1, −1≤ − 64 64 −1≤

gdzie p1 = P1l/MS , p2 = P2l/MS . Obszar nośności granicznej otrzymujemy z równań pracy wirtualnej dla mechanizmów podanych na rys. 20.7b, c: l P1 ⋅ ϕ&1 = 3 M P ⋅ ϕ&1 , 2 1 P2 ⋅ ϕ& 2 = 3 M P ⋅ ϕ&2 , 2 1 1 m P1 ⋅ ϕ&3 ± P2 ⋅ ϕ&3 = 4 M P ⋅ ϕ& 3 . 2 2 Przyjąwszy, że MP = MS (idealny przekrój dwuteowy) otrzymujemy bezwymiarową postać równań brzegu obszaru nośności granicznej: p1 = 6,

p2 = 6,

m p1 ± p2 = 8.

Oba obszary ilustruje rys. 20.7d (nośność sprężysta = linia ciągła; nośność graniczna = linia przerywana). Założymy obecnie, że obszar obciążeń eksploatacyjnych jest określony przez następujące nierówności: 0 ≤ P1 ≤ P, 0 ≤ P2 ≤ P. Chodzi o to, by wyznaczyć największą wartość obciążenia P. Z analizy sprężystej wynika, że jeśli MS = MP, to Pmax = 4,92 MP/l. Analiza plastyczna prowadzi do wartości Pmax = 5,33 MP/l, przy czym nie mamy pewności, czy konstrukcja przystosuje się do danego obszaru zmienności obciążeń. Stosownie do rezultatu uzyskanego w p. 18.4.3 wiadomo, że konstrukcja przystosuje się, jesli Pmax = 5,05 MP/l. Wartość tę można uważać za maksymalną nośność sprężystą pod warunkiem oszacowania ugięć. Powyższa analiza wskazuje, że przyjęcie współczynnika bezpieczeństwa n0 > 5,33 / 5,05 = 1,055 gwarantuje sprężystą pracę konstrukcji, jeżeli obciążenia zmieniają się stosownie do przyjętego obszaru obciążeń eksploatacyjnych.

20.3. WARUNKI SZTYWNOŚCIOWE Sztywność konstrukcji charakteryzują wielkości kinematyczne pojawiające się na skutek czynników zewnętrznych (obciążeń). Zapewnienie odpowiedniej sztywności konstrukcji polega przede wszystkim na ograniczeniu bezwzględnych wartości przemieszczeń, czyli na spełnieniu nierówności:

u( x1 , x2 , x3 ) ≤ un ,

(20.14)

gdzie un oznacza pewną z góry ustaloną wartość nieprzekraczalną (dopuszczalną, graniczną). W konstrukcjach wykazujących drgania oprócz spełnienia nierówności (20.14) wymaga się również ograniczenia bezwzględnych wartości przyspieszeń. W pewnych szczególnych przypadkach krzywizny elementów konstrukcji nośnej nie mogą przekraczać pewnych wartości granicznych. Sytuacja taka dotyAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

10

czy np. stropów tynkowanych, kiedy zależy nam na tym, by nie następowało pękanie tynku na skutek przekroczenia wytrzymałości na rozciąganie przy zginaniu. Można zadać pytanie, dlaczego ograniczamy przemieszczenia, skoro nośność konstrukcji jest wystarczająca. Chodzi głównie o to, by były spełnione wymagania teorii geometrycznie liniowej, która jest podstawą większości przepisów projektowania konstrukcji. Poza tym bardzo istotne są czynniki estetyczne, psychologiczne i użytkowe. Duże przemieszczenia konstrukcji wpływają negatywnie na samopoczucie ludzi znajdujących się wewnątrz obiektu. Przy bardzo dużych rozpiętościach dźwigarów ograniczenie ugięć bywa konieczne ze względu na swobodne poruszanie się suwnic. Warto zwrócić uwagę, że tendencje do spełnienia wymagań teorii liniowej oraz względy psychologiczne znajdują wyraz w sposobie ustalania wartości przemieszczeń dopuszczalnych, które określa się jako pewną część gabarytów konstrukcji. Na przykład, jeśli dopuszczalne ugięcie belki ustalamy jako pewną część jej rozpiętości: un = l/200 (por. rys. 20.8a), to w istocie rzeczy ograniczeniu nie podlega ugięcie belki, lecz kąt nachylenia cięciwy Φn = 1 / 100 (por. rys. 20.8a). Subiektywna ocena deformacji polega bowiem na ocenie kąta nachylenia cięciwy linii ugięcia, a nie na bezwzględnej wartości ugięcia.

Rys. 20.8

Podczas analizy wartości ugięć trzeba pamiętać, że w przypadku obciążeń niesymetrycznych (por. rys. 20.8b) ugięcie w połowie rozpiętości nie odbiega wiele od ugięcia maksymalnego. Okoliczność ta bardzo ułatwia projektowanie, gdyż nie trzeba poszukiwać współrzędnych położenia punktu, w którym występują przemieszczenia ekstremalne. W praktyce przemieszczenia oblicza się tylko w pewnych z góry ustalonych punktach. Warunek sztywności (20.14) ma charakter globalny, gdyż przemieszczenia każdego punktu zależą w istotny sposób od rozkładu sił wewnętrznych i wymiarów przekrojów w całej konstrukcji. W problemach optymalizacji jako miarę podatności konstrukcji przyjmuje się niekiedy całkowitą energię sprężystą, wyrażoną przez siły wewnętrzne. Dla belek przedstawionych na rys. 20.8a i b energie te, stosownie do twierdzenia Clapeyrona, przyjmują odpowiednio wartości: 1 U= 2

l

∫ 0

l

l

1 1 1 M ( x) 2 dx = q( x) ⋅ u( x)dx = q u( x)dx = ql ⋅ uśr , 2 2 2 EJ

∫ 0

U=

1 ⋅ 2

l

∫ 0

∫ 0

M ( x , xα ) 2 1 ⋅ dx = P ⋅ u( xα ). 2 EJ

Widzimy zatem, że w obu przypadkach całkowita energia sprężysta jest proporcjonalna do ugięć belki. Istotną zaletą tej miary podatności jest fakt, że energia U jest zawsze nieujemna. Własność ta znacznie upraszcza rozwiązanie problemów optymalizacji. Opisaną koncepcję oceny sztywności konstrukcji wprowadził polski uczony Wasiutyński w 1939 roku. Wymagania sztywnościowe spełniamy przez obranie odpowiednich wymiarów (przekrojów) elementów konstrukcji. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

11

20. 4. WYMIAROWANIE Termin „wymiarowanie” oznacza tę część procesu projektowania, w której obieramy wymiary przekrojów i cechy mechaniczne materiałów konstrukcyjnych. Wymiarowanie jest z natury rzeczy procesem iteracyjnym, gdyż każda zmiana przekroju pociąga za sobą zmianę pola przemieszczeń i pola sił wewnętrznych. W układach statycznie wyznaczalnych zmiana sił wewnętrznych spowodowana przeprojektowaniem przekrojów jest związana wyłącznie ze zmianą ciężaru własnego konstrukcji. W układach statycznie niewyznaczalnych zmiana sił wewnętrznych występuje również w konstrukcjach nieważkich, rozkład tych sił zależy bowiem od proporcji sztywności przekrojów. W praktyce projektowej postępujemy zazwyczaj w ten sposób, że najpierw obieramy wymiary przekrojów konstrukcji ze względu na warunki wytrzymałościowe, a potem sprawdzamy warunki sztywnościowe. Sens tej procedury objaśnimy na przykładach. Rozważmy przypadek najprostszy, w którym występuje tylko jeden rodzaj obciążenia zewnętrznego P i jedno ograniczenie przemieszczeniowe u max ≤ un (np. belka nieważka z rys. 20.8b, gdzie

umax ≈ u( xα )). Obciążenie i ugięcie belki muszą zawierać się w obrębie prostokąta w przestrzeni (P, u) o

bokach Pn i un (por. rys. 20.9). Na podstawie warunku wytrzymałościowego obraliśmy takie wymiary przekroju poprzecznego, że P < Pn(1) , przy czym Pn(1) zależy od własności mechanicznych materiału i przyjętego przekroju belki. Jeżeli przemieszczenie umax = u( xα ) wywołane przez siłę P jest mniejsze od (1)

(1)

(1)

un, to projekt belki spełnia wymagania bezpieczeństwa, gdyż punkt A (P , u ) jest zawarty w obrębie obszaru dopuszczalnego. Sytuację tę objaśnia rys. 20.9a. Gdy układ jest liniowo-sprężysty, to droga doj(1) ścia do punktu A jest linią prostą. W innych przypadkach droga ta może być krzywoliniowa. Na rysunku 20.9b przedstawiono przypadek, w którym projekt 1 spełnia warunek wytrzymałościowy, a nie spełnia warunku sztywnościowego. Wobec tego projekt belki trzeba poprawić. Najprostszym rozwiązaniem jest przyjęcie projektu 2, w którym belka pryzmatyczna ma odpowiednio większy przekrój. (2) (2) (2) Wówczas na płaszczyźnie (P,u) otrzymujemy punkt A (P , u ), leżący wewnątrz obszaru dopuszczalnego wyznaczonego przez wartości Pn( 2 ) i un( 2 ) . Trzeba dodać, że Pn( 2 ) > Pn(1) , gdyż powiększenie przekroju spowodowało zwiększenie nośności belki. Jeżeli warunek wytrzymałościowy odniesiemy do naprężenia nieprzekraczalnego Z zależności (20.12) i (20.13) wynika, że współczynnik pewności odniesiony do nośności plastycznej przekroju zmienia się w zależności od mimośrodu z N = M / N . Najmniejsza wartość tego współczynnika odpowiada prostej M = 0 i wynosi n0 , natomiast największa występuje dla N = 0 i wynosi n0 ⋅ (W ( P ) / W ( S ) ) .σn, to obszar dopuszczalny w przestrzeni (σ,u) jest zawsze stały i nie zależy od wymiarów przekroju. Procedurę poprawienia projektu w tym wypadku ilustruje rys. 20.9c. Podobna sytuacja występuje, gdy pierwszy projekt spełnia warunek sztywnościowy, a nie spełnia warunku wytrzymałościowego. Problem ten ilustrują rys. 20.9d, e. Na tych rysunkach widać wyraźniej sens kryterium energetycznego, które w istocie rzeczy ogranicza pole obszaru dopuszczalnego w przestrzeni obciążenie−przemieszczenie. Z tego względu kryterium to prowadzi zazwyczaj do projektów, które spełniają oba warunki bezpieczeństwa: wytrzymałościowy i sztywnościowy. Problem wymiarowania konstrukcji poddanych obciążeniom złożonym przy ograniczeniu przemieszczeń w większej liczbie punktów jest już bardzo skomplikowany. Pewien pogląd na tę sprawę daje przykład ramy z rys. 20.10a, obciążonej siłami Px i Py , gdzie ograniczeniu podlegają przemieszczenia ∆x i ∆y. Obszar obciążeń eksploatacyjnych πe opisują nierówności: Px− ≤ Px ≤ Px+ , Py− ≤ Py ≤ Py+ . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

12

Obszar ten zakreskowano na rys. 20.10b.

Rys. 20.9

Rys. 20.10

Spełnienie warunków wytrzymałościowych polega na takim obraniu przekrojów prętów ramy, by obszar obciążeń eksploatacyjnych zawierał się w obszarze obciążeń nieprzekraczalnych, opisanym nierównością F3(Px,Py) ≤ 0. Obszarowi πe odpowiada obszar De w przestrzeni przemieszczeń ∆x ,∆y. W poprawnie zaprojektowanej konstrukcji obszar De musi zawierać się w obszarze przemieszczeń nieprzeAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

13

kraczalnych Dn (por. rys. 20.10c). Jeżeli wymaganie, by De ⊂ Dn nie jest spełnione, niezbędna jest korekta projektu konstrukcji, polegająca na zmianie przekrojów ramy. Dalsze komplikacje powstają, gdy uwzględnimy ciężar własny konstrukcji nośnej. Zasadnicza trudność wynika stąd, że wartości obciążeń i wymiary obszaru nośności konstrukcji nie są niezależne, lecz są powiązane z wymiarami przekrojów elementów konstrukcji.

20.5. PRZEGLĄD METOD SPRAWDZANIA BEZPIECZEŃSTWA KONSTRUKCJI 20.5.1. Metoda naprężeń dopuszczalnych Metodę tę stosuje się przy założeniu, że konstrukcja jest liniowo-sprężysta. Projekt dopuszczalny w każdym punkcie konstrukcji powinien spełniać dwa warunki: F1 (σ ij( e) ⋅ n0 , ρk ) ≤ 0,

(20.15)

u( x1 , x2 , x3 ) ≤ udop ,

gdzie symbol σ ij( e ) oznacza naprężenia wywołane przez obciążenia eksploatacyjne, n0 − wymagany współczynnik

bezpieczeństwa,

F1 (σ ij( e) ⋅ n0 , ρk ) = 0

ρk

−

parametry

wytrzymałościowe

materiału.

Funkcja:

jest równaniem brzegu obszaru dopuszczalnego w przestrzeni naprężeń. Konkretna

postać tej funkcji zależy od przyjętej hipotezy wytężeniowej. Jeżeli na przykład obowiązuje hipoteza HMH, a współczynnik bezpieczeństwa wynosi n0, to

[

F1 (σ ij( e) ⋅ n0 , ρk ) = F1 (σ ij( e) ⋅ n0 , σ P ) = (σ 11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 ) 2 +

]

+ (σ 33 − σ 11 ) 2 + 6(σ 12 + σ 23 + σ 31 ) 2 ⋅ n02 − 2σ 2P . Gdy hipoteza wytężeniowa jest jednoparametrowa, tak jak np. hipoteza HMH, to wymaganie (20.15)1 jest równoznaczne ze spełnieniem nierówności: σ red ≤ σ dop = σ N / n0 , gdzie σN oznacza granicę plastyczności materiałów ciągliwych lub wytrzymałość doraźną materiałów kruchych. Wartość udop jest ustalana z góry i powinna być tak dobrana, by proces odkształcenia był geometrycznie liniowy oraz by konstrukcja spełniała wymagania użytkowe, estetyczne i psychologiczne. Pewnego komentarza wymaga sposób określenia naprężeń σ ij( e) z uwzględnieniem stateczności i obciążeń dynamicznych. Na przykład przy jednoczesnym ściskaniu i zginaniu pręta ekstremalne naprężenie normalne wyznacza się ze wzoru:

σ ( e) =

N Aϕ

+

M Wϕ L

,

gdzie ϕ i ϕ L oznaczają odpowiednio współczynnik wyboczeniowy i współczynnik na zwichrzenie. Zależność ta wynika ze wzoru Dunkerleya. Jeśli występują obciążenia dynamiczne, wprowadza się współczynnik zwiększający ψ > 1, przez który mnoży się naprężenia wyznaczone przy założeniu, że obciążenie jest statyczne: ( e) ( e) . σ ( e) = σ dyn = ψ ⋅ σ stat

20.5.2. Metoda naprężeń granicznych Istota tej metody polega na wprowadzeniu tzw. współczynników obciążenia αi oraz współczynnika ω, uwzględniającego niejednorodność materiału, charakter obciążeń i warunki eksploatacji konstrukcji. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

14

Współczynniki te stosuje się tylko przy sprawdzaniu warunku wytrzymałościowego. Tak zwane obciąże* nie obliczeniowe P wyznacza się ze wzoru: P* =

∑ Pi(e) ⋅ α i .

(20.16)

Obciążenia Pi( e ) są ustalane dla i-tego rodzaju obciążenia eksploatacyjnego (np. ciężar własny, wiatr, śnieg, temperatura, parcie cieczy, parcie gruntu itp.) i noszą nazwę obciążeń charakterystycznych. Wartości współczynników αi zależą od rodzaju obciążenia i wahają się w granicach < α i− , α i+ > , przy czym

αi− ≤ 1, αi+ ≥ 1. Wartości mniejsze od jedności stosuje się tylko w tych przypadkach, w których zmniejszenie obciążenia powoduje zmniejszenie bezpieczeństwa konstrukcji. Dla obciążeń stałych współczynniki α i− równają się zazwyczaj 0,9, a najmniejsza wartość 0,8 odnosi się do obciążenia gruntem nasypowym. Współczynniki α i+ dla obciążeń stałych nie przekraczają wartości 1,3, a dla zmiennych wartości 1,45. W przypadkach standardowych obciążenia obliczeniowe są z reguły większe od obciążeń charakterystycznych. Współczynnik ω jest liczbą mniejszą od jedności (ω < 1), redukującą wymiary obszaru granicznego opisującego uplastycznienie materiału ciągliwego lub osiągnięcie wytrzymałości doraźnej materiału kruchego. Sens warunku wytrzymałościowego w metodzie naprężeń granicznych objaśnia rys. 20.11. Uplastycznienie (zniszczenie) materiału występuje dla naprężeń σ 1P i σ 2P , spełniających równanie

F1 (σ1P , σ 2P , σ P ) = 0 (linia przerywana). Zredukowany ω-krotnie obszar graniczny odpowiada obszarowi zaznaczonemu linią ciągłą. Granicę tego obszaru opisuje równanie F1 (σ1 , σ 2 , ω ⋅ σ P ) = 0. Jeżeli na konstrukcję działają przykładowo dwa obciążenia P1( e ) i P2( e ) , to końcowy stan naprężenia obliczeniowego odpowiada punktowi A2, wyznaczonemu przez koniec wektora wypadkowego, będącego sumą wektorów OA1 i A1A2, które odpowiadają obciążeniom P1( e )α1 i P2( e )α 2 . Warunek wytrzymałościowy jest spełniony wówczas, gdy punkt A2 leży w obrębie zredukowanego obszaru granicznego. Rysunek 20.11 dowodzi, że w metodzie naprężeń granicznych nie ma sensu klasyczna definicja współczynnika bezpieczeństwa.

Rys. 20.11

W zadaniach liniowych naprężenia graniczne można uważać za sumę naprężeń pochodzących od poszczególnych rodzajów obciążeń eksploatacyjnych:

σ ij* = α1σ ij ( P1( e) ) + α 2σ ij ( P2( e) ) +... Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(20.17) Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

15

Warunek wytrzymałościowy w metodzie naprężeń granicznych można zatem zapisać następująco: (20.18) F1(σ ij* , ωρk ) ≤ 0, gdzie F1(σ ij* , ωρk ) = 0 i jest równaniem ω-krotnie zmniejszonej powierzchni plastyczności lub wytrzymałości doraźnej. Do obliczenia przemieszczeń przyjmuje się obciążenia charakterystyczne (tzn. αi ≈ 1), a warunek sztywności formułuje się identycznie jak w metodzie naprężeń dopuszczalnych: u( x1 , x2 , x3 ) ≤ ugr , (20.19) gdzie ugr oznacza pewną z góry ustaloną graniczną wartość maksymalnego przemieszczenia. Gdy warunek wytrzymałościowy pozwala na zdefiniowanie naprężenia zredukowanego, to wymaganie (20.18) można zapisać w postaci nierówności: * σ red ≤ σ N ⋅ω ,

gdzie σN oznacza naprężenie niszczące.

20.5.3. Metoda odkształceń plastycznych Metodę tę stosuje się wyłącznie w odniesieniu do konstrukcji żelbetowych. Odpowiednią sztywność konstrukcji zapewnia się przez ograniczenie od dołu minimalnych przekrojów prętów oraz grubości płyt i powłok. Projektowanie według tej metody polega zatem tylko na spełnieniu warunku wytrzymałościowego, który ma charakter lokalny, ale jest już zapisany w przestrzeni sił wewnętrznych na szczeblu przekroju. W metodzie odkształceń plastycznych wprowadza się jeden globalny współczynnik pewności n0. Pole sił wewnętrznych Y j( e ) wywołanych przez obciążenia eksploatacyjne oblicza się przy założeniu, że konstrukcja jest wykonana z betonu wykazującego cechy materiału idealnie liniowo-sprężystego. W wyniku przemnożenia tego pola przez współczynnik bezpieczeństwa n0 otrzymuje się statycznie dopuszczalne pole sił wewnętrznych Y j( e ) ⋅ n0 , które − stosownie do głównego postulatu metody − towarzyszy wystąpieniu uogólnionych przegubów plastycznych i przekształceniu się konstrukcji w mechanizm. Procedurę tę objaśniono na przykładzie belki z rys. 20.12. Wymiarowanie polega na dobraniu odpowiedniej ilości zbrojenia w przekrojach niebezpiecznych, których położenie jest znane z rozwiązania sprężystego. Warunek wytrzymałości polega na spełnieniu nierówności:

(

)

F2 Y j( e ) ⋅ n0 , rk ≤ 0.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

(20.20)

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

16

Rys. 20.12

Opisana metoda daje poprawną ocenę nośności granicznej całej konstrukcji, aczkolwiek uzyskane za jej pomocą projekty zazwyczaj nie są optymalne. Wynika to stąd, że z góry narzuca się przebieg sił wewnętrznych w konstrukcji stosownie do rozwiązania sprężystego.

20.5.4. Metoda nośności granicznej Metoda nośności granicznej służy do oceny wytrzymałości konstrukcji. W porównaniu z omówionymi już metodami projektowania istotne jest to, że warunek wytrzymałości ma charakter globalny i odnosi się do przestrzeni obciążeń konstrukcji. Problem projektowania polega na znalezieniu takich wymiarów poprzecznych i ewentualnie zbrojenia konstrukcji elementów, by dany obszar obciążeń eksploatacyjnych znajdował się w obszarze dopuszczalnym. Obszar dopuszczalny jest n0krotnie zmniejszonym obszarem nośności granicznej w przestrzeni obciążeń. Klasyczną metodę nośności granicznej opracowano dla obciążeń jednoparametrowych. Oznacza to, że poszukujemy takiego mnożnika ### układu obciążeń eksploatacyjnych Pj( e ) , by µ ≥ n0 . Warunek wytrzymałościowy w metodzie nośności granicznej można zapisać, jak następuje:

(

)

F3 Pj( e) ⋅ n0 , Rk ≤ 0 ,

(20.21)

gdzie F3 ( Pj , Rk ) = 0 i jest równaniem brzegu obszaru nośności granicznej w przestrzeni obciążeń. Wartość współczynnika bezpieczeństwa n0 powinna gwarantować ewentualne przystosowanie się konstrukcji do danego obszaru zmienności obciążeń. 20.5.5. Metoda stanów granicznych Na metodzie stanów granicznych są oparte wszystkie aktualnie obowiązujące normy projektowania konstrukcji budowlanych. W metodzie tej rozróżnia się dwa zasadnicze stany: − stan graniczny nośności, − stan graniczny użytkowania. Stan graniczny nośności jest po prostu warunkiem wytrzymałościowym, w którym wprowadza się znane współczynniki obciążeń αi i mnożnik materiałowy ω. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

17

W konstrukcjach żelbetowych odpowiada to zmodyfikowanej metodzie odkształceń plastycznych, w której zamiast obciążeń niszczących wprowadza się obciążenia obliczeniowe, a zamiast warunku plastyczności − zmniejszony ω-krotnie warunek plastyczności. Dopuszcza się również stosowanie odpowiednio zmodyfikowanej metody nośności granicznej. Do stanów granicznych użytkowania należą: − stan graniczny przemieszczeń, − stan graniczny pojawienia się rys (żelbet), − stan graniczny rozwarcia rys (żelbet). Warunek bezpieczeństwa w stanie granicznym przemieszczeń polega na spełnieniu nierówności u( x1 , x2 , x3 ) ≤ ugran przy stosowaniu mnożników αi = 1 . Pozostałe stany graniczne są ściśle związane ze specyfiką konstrukcji żelbetowych i nie będziemy ich omawiać.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

1

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 21.1. ZAPIS WSKAŹNIKOWY I WZÓR GREENA-OSTROGRADSKIEGO-GAUSSA W układzie kartezjańskim x, y, z wersory oznaczamy zazwyczaj symbolami: i, j, k. Dużą zwartość i czytelność oraz łatwość zapamiętania wzorów zapewnia tzw. zapis wskaźnikowy, w którym osie układu oznacza się następująco: x1 = x, x2 = y, x3 = z, a wersory e1= i, e2= j, e3= k. Dla wskaźników (indeksów) rezerwuje się litery alfabetu łacińskiego, np. xi (i = 1, 2, 3). Stosownie do tej umowy współrzędne wektora A: Ax, Ay, Az oznacza się przez A1, A2, A3 lub krótko Aj (j = 1, 2, 3). W przestrzeni trójwymiarowej bardzo często powtarza się sumowanie od 1 do 3 względem pewnych wskaźników. Dlatego − zgodnie z umową sumacyjną wprowadzoną przez Einsteina − opuszczamy znak sumy w jednomianie, jeśli indeks sumowania występuje w nim dwa razy. Na przykład: 3

A=

∑ Ai ei = A1e1 + A2e2 + A3e3 = Ai ei , i =1 3

∑ Tij B j = Ti1B1 +Ti 2 B2 + Ti 3B3 = Tij B j , i =1 3

∑ δ pp = δ11 + δ22 + δ33 = δ pp . i =1

Powtarzający się indeks (tzw. wskaźnik niemy) można oznaczyć dowolną literą alfabetu (np. δ pp = δ rr = δ ii ). Pochodną cząstkową względem współrzędnej xi zaznaczamy przecinkiem na poziomie wskaźnika według wzoru: ∂ ( ) = ( ) ,i . ∂xi Na przykład ∂u j ∂ 2 Gi ∂F = F, j ; = u j ,i ; = Gi, kl ∂x j ∂x i ∂x k ∂x l ∂ ( Ai Bkj ) = ( Ai Bkj ) , p = Ai , p Bkj + Ai Bkj , p . ∂x p Tensorem w przestrzeni 3-wymiarowej nazywamy taki obiekt, którego współrzędne przy obrocie układu osi xi do położenia xt', transformują się według następującego prawa: Tp'r '...s' = Tij...k aip'a jr '...aks' , gdzie aip' = cos( xi , x p' ) = a p'i , a liczba wskaźników określa rząd (walencję) tensora. Transformacja wektora (tensora I rzędu) Ap' = Ai aip'

(i = 1, 2, 3; p' = 1', 2', 3').

Identycznie transformują się współrzędne punktów: x p' = x j a jp' . Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

2

Transformacja tensora II rzędu σ p'q ' = σ ij aip'a jq ' (i , j = 1, 2, 3, p', q ' = 1', 2', 3') Dodawanie tensorów i macierzy C = A + B : Ci = Ai + Bi , P = T + S: Pij = Tij + Sij . Mnożenie tensorów

Cijk = Ai B jk , Pijr = Tijk S kr , Φ = RijU ij ,

Mnożenie macierzy C = A B : Cij = Air Brj ,(i = 1, 2 , ..., m, j = 1, 2, ..., n, r = 1, 2, ..., s),

m× n

m× s s × n

u = D x : ui = Dir xr , (i = 1, 2 , ..., m, r = 1, 2, ..., s),

m ×1

m × s s ×1 T

f = x

z : f = xi zi , (i = 1, 2 , ..., n).

1× n n ×1

Iloczyn skalarny wektorów A ⋅ B = A B cosϕ = Ai Bi . Delta Kroneckera 1, i = j , δij = ei ⋅ e j =  0, i ≠ j. Zamiana wskaźnika za pomocą delty Kroneckera Pjδ jr = Pr , na przykład A ⋅ B = Ai B j ei ⋅ e j = Ai ( B jδij ) = Ai Bi . Symbol permutacyjny  0, gdy i=j , i=k lub j=k ,  eijk =  + 1, gdy i , j , k przedstawiają permutację cykliczną liczb 1,2,3 _  1, gdy i , j , k przedstawiają permutację cykliczną liczb 3,2,1. Iloczyn wektorowy C = A × B = eijk e i A j Bk .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

3

Jednostkowy wektor normalny do powierzchni S

n = n1e1 + n2 e2 + n3e 3 = ni ei , n = 1, a współrzędne tego wektora są kosinusami kierunkowymi normalnej do powierzchni S:

ni = cos( n, xi ) , przy czym ni ⋅ ni = n12 + n22 + n23 = 1. Twierdzenie Greena-Ostrogradskiego-Gaussa na zamianę całki powierzchniowej na objętościową: Jeśli w obszarze o objętości V ograniczonym powierzchnią S określone jest pole wektorowe F( x1, x2 , x3 ), ciągłe wraz z pierwszymi pochodnymi, to obowiązuje wzór:

∫ F ⋅ n dS = ∫ divF dV S

V

lub w zapisie wskaźnikowym

∫ Fi ni dS = ∫ Fi ,i dV . S

V

Twierdzenie to jest słuszne również dla pola skalarnego Φ( x1 , x2 , x3 ):

∫ Φ n j dS = ∫ Φ , j dV ; ( j = 1, 2, 3). S

V

21.2. O WEKTORACH WŁASNYCH I WARTOŚCIACH WŁASNYCH TENSORA SYMETRYCZNEGO*) Tensor σjk można traktować jako operator liniowy przyporządkowujący wektorowi nk wektor mi z tej samej przestrzeni, stosownie do transformacji:

mi = σ jk nk .

(a)

Jeśli wektor mi jest równoległy do wektora nk, to wektor nk nazywamy wektorem własnym tensora σjk. W tym przypadku transformacja (a) przybiera postać: σ jk n k = σ n j .

(b)

Liczbę σ nazywamy wartością własną (główną) tensora σjk. Rozważmy przypadek, gdy σjk jest tensorem symetrycznym, czyli σjk = σkj, a jego składowe są liczbami rzeczywistymi. Rozłożymy wektor n j oraz liczbę σ na część rzeczywistą i urojoną: n j = Re(n j ) + i Im(n j ),  σ = Re(σ ) + i Im(σ ), i = − 1.

(c)

Po podstawieniu (c) do zależności (b) otrzymujemy: σ jk [Re(nk ) + i ⋅ Im(nk )] = [Re(σ ) + i ⋅ Im(σ )] ⋅ [Re(n j ) + i ⋅ Im( n j )] . Ponieważ współrzędne σjk są rzeczywiste, zachodzą zależności: σ jk Re(nk ) = Re(σ ) Re(n j ) − Im(σ ) Im(n j ), σ jk Im( nk ) = Re(σ )Im( n j ) + Im(σ ) Re( n j ). Po pomnożeniu pierwszej z tych zależności przez Im(nj), a drugiej przez Re(nj) otrzymujemy:

*)

Według [52].

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

(d)

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

4

σ jk Re(nk ) Im( n j ) = Re(σ ) Re(n j ) Im( n j ) − Im(σ ) Im( n j ) Im( n j ),  σ jk Im( nk ) Re(n j ) = Re(σ ) Im( n j ) Re(n j ) + Im(σ ) Re(n j ) Re(n j ).

Drugie z powyższych równań, dzięki symetrii tensora σjk, można zapisać następująco: (e)

σ kj Re( nk )Im( n j ) = Re(σ )Im( n j ) Re( n j ) + Im(σ ) Re( n j ) Re( n j ) .

Odejmując stronami równanie (d)1 od równania (e) mamy: (f)

[

]

(σ kj − σ jk ) Re( nk ) Im( n j ) = Im(σ ) ⋅ Re ( n j ) Re ( n j ) + Im( n j )Im( n j ) .

Lewa strona równania (f) jest równa zeru, bo σkj = σjk. Wynika stąd, że: (g)

Im(σ) = 0.

Wynika stąd, że wartości własne tensora symetrycznego są rzeczywiste. Oznaczymy przez nk(1) oraz n (2) k dwa różne wektory własne, a przez σ1 i σ 2 dwie odpowiadające im wartości własne tensora symetrycznego σjk. Stosownie do zależności (b) zachodzą równania:

σ jk nk(1) = σ1n(j1) , σ jk nk( 2) = σ 2 n (j2 ) . Pierwsze z nich mnożymy przez n (j2 ) , a drugie przez n (j1) i odejmujemy stronami. Prowadzi to do zależności: (h)

(σ jk − σ kj )nk(1) n (j2) = (σ1 − σ 2 )n (j1) n (j2) .

Lewa strona tego równania jest równa zeru, bo σjk = σkj. Jeżeli σ1 ≠ σ 2 , to (i)

n(j1) ⋅ n (j2) = 0.

Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tensora symetrycznego są zatem wzajemnie prostopadłe.

21.3. FUNKCJA HEAVISIDE'A I FUNKCJA DIRACA W praktyce występuje wiele funkcji, które trzeba definiować przedziałami. Rozważmy np. następującą funkcję: 0, x < a ,  1 1 H ( x − a ) = ⋅ [ sgn( x − a ) + 1] =  , x = a , (a) 2 2 1, x > a.

Rys. 21.1

Jest to tzw. funkcja skoku jednostkowego lub funkcja Heaviside'a (rys. 21.1). W punkcie x = a funkcja H ( x − a ) jest ściśle biorąc nieciągła. Rozwijając ją jednak w szereg Fouriera dla x = a, zakłada się niekiedy, że jej wartość − stosownie do wzoru (a) − wynosi 1/2. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

5

Pochodna funkcji Heaviside'a w tradycyjnym sensie nie istnieje. Pewien pogląd na tę sprawę daje analiza pochodnej funkcji ciągłej, będącej przybliżeniem funkcji H ( x − a ) . Rozważmy mianowicie funkcję przedstawioną na rys. 21.2a i zapisaną następująco:

(b)

x < a − ε, 0,   x − (a − ε ) f ( x − a) =  , a − ε < x < a + ε, 2ε  x > a + ε. 1, 

Rys. 21.2

Pochodna tej funkcji jest określona zależnością (por. rys. 21.2b):

(c)

 0,  1 df = f '( x − a ) =  , dx  2ε  0,

x < a − ε, a − ε < x < a + ε, x > a + ε.

Zwróćmy uwagę na bardzo istotną własność. Chodzi o to, że pole prostokąta odpowiadającego wykresowi pochodnej jest zawsze równe 1, niezależnie od wartości ε. W miarę zmniejszania ε rzędna funkcji f ( x − a ) rośnie, by dla ε = 0 osiągnąć wartość nieskończoną (rys. 21.2c). Ten graniczny przypadek możemy uważać za pochodną funkcji H ( x − a ) . Nazywamy ją funkcją Diraca (delta) i definiujemy następująco: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

(d)

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

0, df  = ∞, δ ( x − a ) = H '( x − a ) = lim ε →0 dx  0,

6

x < a, x = a, x > a.

Funkcję Diraca można sobie wyobrazić jako prostokąt o nieskończonej wysokości i zerowej szerokości oraz o polu równym jedności. Tę ostatnią własność można zapisać następująco: c

∫ δ ( x − a)dx = 1,

(e)

b < a < c.

b

Drugą bardzo ważną cechą funkcji delta jest własność filtracji. Polega ona na tym, że zachodzi zależność (por. rys. 21.3): c

∫ δ ( x − a ) ⋅ g( x ) ⋅ dx = g(a ).

(f)

b

Własność filtracji wynika bezpośrednio z zależności (e).

Rys. 21.3

Rys. 21.4

Wprowadzenie funkcji Heaviside'a i Diraca dało początek tzw. teorii dystrybucji, czyli teorii funkcji uogólnionych. Podstawy teorii dystrybucji powstały już w drugiej połowie XIX wieku, jakkolwiek kompletną teorię i spójny aparat pojęciowy zbudowano w latach czterdziestych obecnego stulecia. Dystrybucje H ( x − a ) i δ ( x − a ) pozwalają w zwarty sposób zapisać i wykonywać całkowanie funkcji nieciągłych. Na przykład obciążenie belki z rys. 21.4 można wyrazić następująco: q( x ) = P ⋅ δ ( x − a1 ) + q ⋅ [ H ( x − a 2 ) − H ( x − a3 )]. Praktyczny sens bezpośredniego całkowania funkcji nieciągłych poznamy przy omawianiu metody zaproponowanej przez Clebscha już w 1862 roku (por. p. 21.4). Użyteczność zapisu dystrybucyjnego można również zaobserwować przy formułowaniu równań pracy wirtualnej, tam, gdzie występują skupione siły lub odkształcenia.

21.4. CAŁKOWANIE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO LINII UGIĘCIA METODĄ CLEBSCHA Metodę Clebscha zilustrujemy na przykładzie belki pryzmatycznej z rys. 21.5a. Równanie różniczkowe linii ugięcia ma postać: (a)

− EJ ⋅ w'' = M ( x ),

przy czym równanie M(x) jest opisane ośmioma różnymi funkcjami w każdym z przedziałów: 0−1, 1−2,...,7−8. W każdym z nich obciążenie belki jest ciągłe. W podejściu klasycznym należałoby rozwiązać osiem równań różniczkowych (a), a szesnaście stałych Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

7

całkowania obliczyć z warunków brzegowych i równań ciągłości funkcji w(x) oraz w'(x) na granicy przedziałów. Sens metody Clebscha polega na odpowiednim zapisaniu równania momentów M(x) w postaci jednej funkcji. Daje to tę korzyść, że niezależnie od charakteru funkcji obciążenia q(x) liczba stałych całkowania odpowiada rzędowi równania różniczkowego (a) i jest zawsze równa dwa. Zasady zapisu funkcji momentów i sposobu całkowania są w istocie rzeczy efektem zastosowania podejścia właściwego teorii dystrybucji. Zasady te można streścić w następujących punktach: a) początek układu współrzędnych (x, w) przyjmuje się na lewym końcu belki, b) wszystkie składowe wyrażenia na moment zginający w przedziale poprzednim muszą powtórzyć się bez zmian w przedziale następnym, c) wszystkie człony wyrażenia na moment zginający powinny zawierać mnożnik n ( x − a i ) , gdzie a i oznacza odległość początku danego przedziału od początku układu współrzędnych, a n − liczbę naturalną, d) całkowanie równania powinno przebiegać bez rozwijania wyrażeń w nawiasach według schematu: (b)

( x − ai ) n +1 1 ( x − ai ) n dx = + C. n! ( n + 1)!

∫

Rys. 21.5 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

8

Pewnego komentarza wymaga spełnienie zasad b) i c). Przy działaniu siły skupionej mnożnik

( x − a i ) n występuje w sposób naturalny, gdyż dla x > ai mamy M ( x ) = − P( x − ai )1 (rys. 21.5b). Wpływ momentu skupionego M0 należy zapisać w postaci wyrażenia M ( x ) = M 0 ( x − ai )0 (rys. 21.5c). Dla najczęściej występujących obciążeń ciągłych wyrażenie na moment zginający układamy, jak następuje: − obciążenie równomiernie rozłożone q (rys. 21.5d):  ( x − a1 ) 2 a1 ≤ x ≤ a2 , , − q 2!  M ( x) =  2 2  − q ( x − a1 ) + q ( x − a2 ) , x ≥ a . 2  2! 2! 

(c)

− obciążenie trójkątne (rys. 21.5e):  qo −  b M ( x) =   − qo  b 

(d)

⋅

( x − a1 ) 3 , 3!

⋅

( x − a1 ) 3 ( x − a2 ) 2 qo ( x − a2 ) 3 + qo + ⋅ , x ≥ a2 . b 3! 2! 3!

a1 ≤ x ≤ a2 ,

gdzie b = a 2 − a1 . Dla x ≥ a2 po lewej stronie kreski pionowej zapisano wyrażenie powtórzone z przedziału poprzedniego. Po prawej stronie kreski pionowej podano wpływ obciążenia „wygaszającego”, likwidującego wpływ obciążenia zapisanego w przedziale poprzednim (por. rys. 21.5d,e). Całkowanie w rozważanej belce przebiega następująco: 1

2

3

4

0

1

2

3

( x − 0)1 ( x − 1)1 ( x − 2) 2 ( x − 4) 2 − EJ ⋅ w" = 56 ⋅ − 32 ⋅ − 12 ⋅ + 12 ⋅ 1! 1! 2! 2! 5

6

7

4

5

6

( x − 5) 0 64 ( x − 6) 3 ( x − 7,5) 2 64 ( x − 7,5) 3 − 24 ⋅ − ⋅ + 64 ⋅ + ⋅ 0! 1,5 3! 2! 1,5 3! 1

2

− 8

( x − 8)1 + 106 ⋅ , 1! 7

3

4

( x − 0) 2 ( x − 1) 2 ( x − 2) 3 ( x − 4) 3 − EJ ⋅ w© = C + 56 ⋅ − 32 ⋅ − 12 ⋅ + 12 ⋅ − 2! 0 2! 1 3! 2 3! 3 5

6

7

8

( x − 5)1 64 ( x − 6) 4 ( x − 7,5) 3 64 ( x − 7,5) 4 ( x − 8) 2 , − 24 ⋅ − ⋅ + 64 ⋅ + ⋅ + 106 ⋅ 1! 4 1,5 4! 5 3! 1,5 4! 2 ! 6 7 1

2

3

4

( x − 0) 3 ( x − 1) 3 ( x − 2) 4 ( x − 4) 4 − EJ ⋅ w = Cx + D + 56 ⋅ − 32 ⋅ − 12 ⋅ + 12 ⋅ − 3! 0 3! 1 4! 2 4! 3 5

6

7

8

( x − 5) 2 64 ( x − 6) 5 ( x − 7,5) 4 64 ( x − 7,5) 5 ( x − 8) 3 , − 24 ⋅ − ⋅ + 64 ⋅ + ⋅ + 106 ⋅ 2! 4 1,5 5! 5 4! 1,5 5! 3 ! 6 7 Na uwagę zasługuje fakt, że stałe całkowania C i D obowiązują dla wszystkich przedziałów, a wartości prawych stron w danym przedziale otrzymuje się po uwzględnieniu wartości ze wszystkich poprzednich przedziałów. Stałe całkowania obliczamy z warunków brzegowych: w(0) = 0, w(8) = 0. Z pierwszego z nich (przedział 0−1) wynika, że −EJ w(0) = C⋅0 + D = 0, skąd D = 0. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

9

Z drugiego otrzymujemy (przedział 7−8):

83 73 64 44 32 − 32 ⋅ − 12 ⋅ + 12 ⋅ − 24 ⋅ − 6 6 24 24 2 5 4 5 64 2 0,5 64 0,5 − ⋅ + 64 ⋅ + ⋅ = 0, 1,5 120 24 1,5 125

− EJ ⋅ w(8) = C ⋅ 8 + 56 ⋅

skąd C = − 288,9 kN · m2. Wykorzystując powyższe rezultaty obliczymy dla przykładu ugięcie w punkcie 3 (x = 4 m) i kąt obrotu w punkcie 2 (x = 2 m):

 43 33 2 4  709,9 ⋅ − 288,9 ⋅ 4 + 56 ⋅ − 32 ⋅ − 12 ⋅  = , EJ 6 6 24   1  22 12  192,8 . ϕ 2 = w' (2) = − ⋅ − 288,9 + 56 ⋅ − 32 ⋅  = EJ  EJ 2 2

∆ 3 = w(4) = −

1 EJ

21.5. CAŁKOWANIE GRAFICZNE Rozważmy całkę oznaczoną z iloczynu dwóch funkcji ciągłych: x2

I=

(a)

∫ p( x)n( x) dx,

x1

gdzie p(x) jest funkcją liniową, a n(x) jest funkcją nieliniową zmiennej x. Z rysunku 21.6 wynika, że: p − p1 (b) p( x ) = p1 + 2 ⋅ x. b

Rys. 21.6

Rys. 21.7

Wobec tego x2

x2

x1

x1

p − p1 I = p1 n( x ) dx + 2 b

∫

∫ x n( x ) dx.

Pierwsza z całek przedstawia pole wykresu nieliniowego An. Druga całka jest równa momentowi statycznemu tego pola względem osi y i wynosi An ⋅ xn, gdzie xn oznacza odległość środka ciężkości wykresu nieliniowego od osi y. Całkę (a) można zatem zapisać następująco: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

10

p − p1 p − p1   I = p1 An + 2 xn An = An  p1 + 2  xn = An p( xn ),  b b  przy czym p(xn) jest rzędną wykresu liniowego dla odciętej x = xn, określającej położenie środka ciężkości wykresu nieliniowego. Ostatecznie uzyskujemy bardzo użyteczną formułę, stanowiącą treść tzw. całkowania graficznego i zwanego czasami sposobem Wiereszczagina: x2

∫ p( x)n( x) dx = An p( xn ).

(c)

x1

Aby obliczyć całkę (a), trzeba znać wzór na pole funkcji krzywoliniowej i położenie środka ciężkości. Wzór (c) obowiązuje oczywiście również wtedy, gdy funkcja n(x) jest liniowa. W mechanice konstrukcji bardzo często wykresem krzywoliniowym jest parabola drugiego stopnia, będąca wykresem momentów pochodzących od obciążenia równomiernego, q = const. Parabola drugiego stopnia ma pewną interesującą własność, którą warto wykorzystać. Okazuje się, że fragment paraboli odcięty dowolnie poprowadzoną cięciwą po „wyprostowaniu” daje zawsze parabolę o wierzchołku leżącym w połowie odcinka A'B' o odciętej xn = ( x A + x B ) / 2 (por. rys. 21.7). Łatwo sprawdzić, że pole takiego odcinka An = (2 / 3)bf , gdzie b jest podstawą, a f wysokością odcinka paraboli. Wszystkie wyżej stwierdzone fakty wykorzystamy do obliczenia całki z funkcji będącej wynikiem przemnożenia wykresów podanych na rys. 21.8:

Rys. 21.8 x2

(d)

2

∫ p( x) n( x) dx = − 3 bf

x1

2  cb  1 2  (d + e) ab  1 +  e + d  +  d + e . 2 2 3 3  2 3 3 

Jeżeli parabola jest wykresem momentów pochodzących od obciążenia q = const, to wiadomo, że

f = qb 2 / 8 . Wówczas do obliczenia całki nie potrzeba nawet pisać równania funkcji momentów. Funkcję liniową najwygodniej jest potraktować jako sumę dwóch trójkątów. Ten właśnie sposób przyjęto przy układaniu wzoru (d). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

11

21.6. METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH Metoda różnic skończonych służy do przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych. Zasadniczy sens tej metody polega na zastąpieniu pochodnych przez ilorazy różnicowe.

Rys.21.9

Rozważmy ciągłą i różniczkowalną funkcję y(x). Pierwszą pochodną funkcji y(x) w punkcie x = xi można w przybliżeniu określić kilkoma sposobami (por. rys. 21.9): +

(a)

dy y −y  ∆y  ≈ ∆   = i +1 i   dx x = xi ∆x i ∆x

(b)

dy y − yi −1  ∆y  ≈  = i   dx x = xi ∆x i ∆x

(c)

+ − dy 1  ∆y   ∆y   ∆y   yi +1 − yi −1 . ≈   =   +    = dx x = xi  ∆x  i 2  ∆x  i  ∆x  i  2 ∆x  

−

Wzór (a) opisuje tzw. różnicę prawostronną („w przód”), wzór (b) − różnicę lewostronną („w tył”) a wzór (c) − różnicę centralną. Jeżeli poprzestaniemy na wyrażeniach liniowych, to zgodnie z twierdzeniem o wartości średniej najlepsze przybliżenie pierwszej pochodnej stanowi różnica centralna. W istocie rzeczy różnica prawostronna jest najlepszym przybliżeniem nie dla x = xi, lecz dla x = xi + ∆x / 2. Podobnie różnica lewostronna jest najlepszym przybliżeniem liniowym dla x = xi − ∆x / 2. Najlepsze liniowe przybliżenie drugiej pochodnej wyraża się następująco:

(d)

+ −  ∆2 y  1  ∆y   ∆y   y − 2 yi + yi −1  = ⋅   −    = i +1 . ≈  (∆ x )2 dx 2 x = x  ∆x 2  i ∆x  ∆x  i  ∆x  i  i

d2y

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

12

Zależności (c) i (d) łatwo uogólnić na pochodne dowolnego rzędu (por. np. Pietrzak, Rakowski, Wrześniowski [35]):

(e)

 ∆n y   ≈  dx n x = x  ∆x n  i i

dny

−   n + n  1  ∆ y  +  ∆ y   , n = 2k − 1,  n   2  ∆x n   ∆x  i  i    k = 1, 2, 3,..., = + −  n n 1 1 − −  1  ∆ y  ∆ y   n −1  −  n −1   , n = 2k ,  ∆x  ∆x  i  ∆x  i    

Rys. 21.10

Ogólnie biorąc problem najlepszego przybliżenia nie jest jednak tak prosty, jak wskazują powyższe rozważania. Dotyczy to w szczególności pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych lub złożonych operatorów różniczkowych. Chodzi bowiem o to, by błąd przybliżeń wszystkich operatorów różniczkowych występujących w równaniu różniczkowym i warunkach granicznych był tego samego rzędu. Analizę błędu przeprowadza się na podstawie rozwinięć funkcji w szereg Taylora lub za pomocą rachunku wariacyjnego. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

13

Na rysunku 21.10 zestawiono najlepsze przybliżenia liniowe pochodnych funkcji jednej i dwóch zmiennych według monografii Timoshenki i Woynowskiego-Kriegera, [50]. Przyjęto tu, że siatka współrzędnych jest kwadratowa, przy czym ∆x = ∆y = a. Dodamy jeszcze, że w ostatnich latach nastąpił znaczny rozwój metody różnic skończonych. Siatki współrzędnych mogą być zupełnie dowolne, a optymalne rozmieszczenie węzłów siatki ustala się na podstawie analizy błędów i charakteru przebiegu funkcji. Należy podkreślić, że metoda różnic skończonych, jak każda metoda przybliżona, daje w pełni wiarygodne wyniki tylko do funkcji regularnych (bez osobliwości, nieróżniczkowalności, nieciągłości itp.).

Rys. 21.11

Zastosowanie metody różnic skończonych zilustrujemy kilkoma przykładami. Wyznaczymy najpierw przybliżony kształt linii ugięcia belki pryzmatycznej, swobodnie podpartej, obciążonej równomiernie (rys. 21.11). Ponieważ układ jest statycznie wyznaczalny (pole momentów jest znane), ugięcie w(x) obliczymy z równania różniczkowego drugiego rzędu: d 2w

(f)

dx

2

=−

M ( x) EJ

przy warunkach brzegowych w(0) = w(l) = 0. Belkę dzielimy przykładowo na cztery części (∆x = a = 0,25l) i dla każdego węzła wewnętrznego układamy równanie różnicowe:  ∆2w w − 2 wi + wi +1 M   = i −1 = − i , i = 1, 2, 3, 4. 2 2 EJ a  ∆x  i Mamy zatem a2 ⋅ 1,5qa 2 , EJ

i = 2:

w1 − 2 w2 + w3 = −

i = 3:

w2 − 2 w3 + w4 = −

a2 ⋅ 2qa 2 , EJ

i = 4:

w3 − 2 w4 + w5 = −

a2 ⋅ 1,5qa 2 . EJ

Z symetrii zadania wynika, że w2 = w4, a z warunków brzegowych, że w(0) = w1 = w(l) = w5 = 0. Wobec tego otrzymujemy ostatecznie dwa równania liniowe na w2 i w3: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

− 2 w2 + w3 = −1,5 ⋅ w2 − w3 = −

14

qa 2 , EJ

qa 2 . EJ

Rozwiązaniem tego układu są wartości: w2 = 2,5

qa 4 ql 4 = 0,00977 ⋅ , EJ EJ

w3 = 3,5

qa 4 ql 4 5 ql 4 ql 4 = 0,01367 ⋅ ≈ ⋅ = 0,01302 . EJ EJ 384 EJ EJ

Widzimy, że maksymalne ugięcie w3 różni się od wartości ścisłej tylko o około 5%. Dokładniejszy wynik otrzymamy przy gęstszym podziale belki.

Rys.21.12

Dla belki wspornikowej z rys. 21.12 obowiązują warunki brzegowe: w( 0) = 0, czyli w1 = 0,  w2 = w0  ∆w   w'(0) = 0, czyli  ∆x  = 2a = 0, zatem w0 = w2 . 1  Równania różnicowe dla punktów 1 i 2 są następujące: w0 − 2 w1 + w2 = 2 Pa 3 / ( EJ ), w1 − 2 w2 + w3 = Pa 3 / ( EJ ). Po uwzględnieniu warunków brzegowych równania te modyfikują się do postaci: w2 = Pa 3 / ( EJ ) − 2 w2 + w3 = Pa 3 / ( EJ ), skąd w3 = 3 Pa 3 / ( EJ ) =

3 3 Pl / ( EJ ) = 0,375 Pl 3 / ( EJ ). 8

Uzyskany rezultat jest większy od wartości ścisłej o około 12%. 3

(wmax = 0,333pl /(EJ). Na zakończenie zbadamy skręcanie izotropowego pręta sprężystego o przekroju kwadratowym. W celu uzyskania zadowalających rezultatów należałoby wprowadzić bardzo gęstą siatkę współrzędnych. Z uwagi na wyłącznie ilustracyjne ujęcie metody różnic skończonych ograniczymy się do siatki, w której występują trzy niewiadome wartości funkcji naprężeń F(y, z). Temat zadania objaśnia rys. 21.13. Funkcja naprężeń musi spełniać równanie różniczkowe cząstkowe: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

∇ 2 F = −2Gθ ,

(g)

gdzie

∇2 =

15

∂2

∂2 + ∂y 2 ∂x 2

przy warunku brzegowym na konturze przekroju pręta Fc = 0. Objętość bryły zawartej między płaszczyzną przekroju a rzędnymi funkcji F(y, z) jest związana z momentem skręcającym M zależnością 1 V = M, 2

(h) a naprężenia τxy i τxz wynoszą: τ xy =

(i)

∂F ∂F , τ xz = . ∂z ∂y

Rys. 21.13

Na rysunku 21.13 uwzględniono własność symetrii funkcji F(y, z) względem osi układu współrzędnych i uwidoczniono rzędne F1, F2 i F3. Wartości brzegowe, stosownie do warunku Fc = 0, są równe zeru: czyli F4 = F5 = F6 = 0. Niewiadome wartości F1, F2 i F3 obliczymy z równań różnicowych ułożonych dla wewnętrznych punktów przekroju pręta (punkty 1, 2 i 3). Równania te są następujące (por. rys. 21.10 i rys. 21.13): 4F3 − 4F1 = − α, 2F3 + 2F5− 4F2 = − α, 2F2 + F1 + F6 − 4F3 = − α,

punkt 1: punkt 2: punkt 3: 2

gdzie α = 2Gθa . Po uporządkowaniu tych równań oraz uwzględnieniu, że F5 = F6 = 0, otrzymujemy układ równań liniowych na wartości F1, F2 i F3: − 4 F1

+ 4 F3 = −α , − 4 F2 + 2 F3 = −α ,

F1 + 2 F2 − 4 F3 = −α . Rozwiązaniem tego układu są wartości: 9 11 7 F1 = α , F2 = α , F3 = α . 8 16 8 Obliczymy teraz objętość V występującą we wzorze (h). W tym celu każdemu punktowi wewnętrznemu przypiszemy pewną powierzchnię. Przyjmiemy, że będą to kwadraty o boku a i środku wypadającym w Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

16

danym węźle siatki współrzędnych. Przydział powierzchni zaznaczono liniami przerywanymi. Zakładamy dalej, że w obrębie powierzchni przypisanej każdemu punktowi rzędne funkcji naprężeń są stałe. Całko2 wita objętość będzie zatem sumą iloczynów pola podstawy a i wysokości „słupka” Fi: 1 V ≈ a 2 ( F1 + 4 F2 + 4 F3 ) = M . (j) 2 Po podstawieniu obliczonych wartości F1, F2 i F3 otrzymujemy: 1  9 4 ⋅ 11 4 ⋅ 7  + a2  + α = M , 8  16 8 2 skąd α = 2Gθa 2 =

(k)

M 14 ,74a 2

.

Bezpośrednio z zależności (k) można obliczyć przybliżoną wartość momentu bezwładności na skręcanie, gdyż: M M , Gθ = = J s 29,5a 4 czyli 4

 b J s = 29 ,5a 4 = 29,5  = 0,115b 4 .  4 4

Ponieważ wartość dokładna Js = 0,141b , więc błąd uzyskanego rezultatu sięga 18%. Maksymalne naprężenie styczne występuje w punkcie 6: τ max = τ xy (0,2a ) =

∂F F3 − F3' . = 2a ∂z

Napotykamy tu na istotną trudność, bo nie znamy wartości F3'. Dla jej wyznaczenia należy ekstrapolować funkcję F(y, z) poza kontur przekroju pręta, korzystając z tego, że równanie różniczkowe problemu skręcania (g) jest słuszne również dla punktu 6: − 4 F6 + 2 F5 + F3 + F3' = −α , skąd (F5 = F6 =0) F3' = −α − F3 = −

15 α. 8

Wobec tego 1  7 15 1,375α ⋅  + α = . 2a  8 8  a Stosownie do wzoru (k) współczynnik α można wyrazić albo przez jednostkowy kąt skręcenia θ, albo przez moment skręcający M . W pierwszym przypadku otrzymujemy: τ max =

(l)

τ max =

w drugim: (m)

τ max =

1,375 ⋅ 2Gθa 2 2,75Gθb = = 0,688 Gθb, a 4 1,375 ⋅ M 14,75a

3

=

1,375 ⋅ 64 M M ⋅ 3 = . 14,75 b 0,168b 3

Wartość wynikająca ze wzoru (l) jest mniejsza od wartości ścisłej tylko o około 1,4% ( τ max = 0,878Gθb ). Wykorzystanie tego wzoru jest jednak uwarunkowane znajomością ścisłej wartości jednostkowego kąta skręcenia. Wzór (m) prowadzi do wartości większej od wartości ścisłej aż o około 3 20% (τmax= M /(0,208b )). W celu polepszenia wyników należy wprowadzić dużo gęstszą siatkę. Wpływ zmniejszenia oczek siatki jest jednak stosunkowo mały. Świadczy o tym np. wartość J s = 0,147b 4 , obliczona dla oczka a = b / 12 (21 niewiadomych !), w dalszym ciągu obarczona dosyć znacznym błędem (4,2%). Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

17

21.7. METODA NEWTONA-RAPHSONA Metoda ta jest uogólnieniem znanej metody Newtona na przypadek układu równań nieliniowych. Sens metody Newtona-Raphsona wyjaśnimy na przykładzie układu dwóch równań nieliniowych, zapisanych następująco:  g1 ( x1 , x2 ) = 0,   g2 ( x1 , x2 ) = 0.

(a)

Chodzi o obliczenie pierwiastków x1* i x 2* , wyznaczających jeden z punktów przecięcia się krzywych g1 i g 2 . Proces obliczania składa się z kolejnych iteracji (przybliżeń). W metodach iteracyjnych kluczowym zagadnieniem jest określenie „recepty” na polepszenie poprzedniego przybliżenia. Założymy zatem, że przybliżone wartości pierwiastków wynoszą x1 i x 2 . Poszukujemy przyrostów ∆x1 i ∆x2 , które dodane odpowiednio do wartości x1 i x 2 dadzą w wyniku wartości bliższe rozwiązaniu ścisłemu. Przyrosty te obliczamy, korzystając z rozwinięć funkcji g1 ( x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 ) i g2 ( x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 ) w szereg Taylora. Jeśli poprzestaniemy jedynie na składnikach liniowych tego szeregu oraz będziemy jednocześnie wymagać spełnienia układu równań (a), to otrzymamy: (b)

 g1 ( x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 ) = g1 ( x1 , x2 ) + g1,1 ( x1 , x2 ) ∆x1 + g1,2 ( x1 , x2 ) ∆x2 = 0,   g2 ( x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 ) = g2 ( x1 , x2 ) + g2,1 ( x1 , x2 ) ∆x1 + g2,2 ( x1 , x2 ) ∆x2 = 0,

gdzie gi , j =

∂gi , i , j = 1, 2. ∂x j

Zależności (b) tworzą układ dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych ∆x1 i ∆x2 :  g1,1 ⋅ ∆x1 + g1,2 ⋅ ∆x2 = − g1 , (c)   g2,1 ⋅ ∆x1 + g2 ,2 ⋅ ∆x2 = − g2 . Rozwiązaniem tego układu są wartości:

(d)

− g1 ⋅ g2,2 + g2 ⋅ g1,2  ∆x1 = g ⋅ g − g ⋅ g , 1,1 2 ,2 1,2 2 ,1   ∆x = g1 ⋅ g2,1 − g2 ⋅ g1,1 .  2 g1,1 ⋅ g2,2 − g1,2 ⋅ g2,1 

Ogólnie biorąc, metoda Newtona-Raphsona w n-tej iteracji wymaga rozwiązania układu równań liniowych na przyrosty niewiadomych ∆xi( n) , a recepta na polepszenie wyniku ma postać: (e)

xi( n +1) = xi( n) + ∆xi( n) ,

i = 1, 2, ..., m,

gdzie m jest liczbą niewiadomych. Zbieżność metody i liczba iteracji zależy w istotny sposób od przyjęcia pierwszego rozwiązania ba( 0) zowego, czyli tzw. punktu startowego o współrzędnych x1( 0) , x2( 0) ,... xm . Metodę Newtona-Raphsona zilustrujemy przykładem liczbowym. Rozważmy układ równań: (f)

 g1 ( x1 , x2 ) = 3x12 + x22 − 4 = 0,   g2 ( x1 , x2 ) = x12 − 2 x2 = 0.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

18

Rys. 21.14

Funkcja g1 ( x1 , x2 ) = 0 przedstawia równanie elipsy, a funkcja g2 ( x1, x2 ) = 0 − równanie paraboli. Po* szukujemy jednego z dwóch punktów P , w którym przecinają się obie krzywe (rys. 21.14). Współrzędne tych punktów obliczone w sposób ścisły wynoszą: x1* = ±1,10050 i x2* = 0,60555. O tym, który z powyższych punktów będzie wyznaczony metodą N-R, decyduje przyjęcie punktu startowego. Jeśli przyjmiemy, że x1( 0) = 1 i x2( 0) = 0,70 , to otrzymamy punkt P. leżący w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych x1 , x 2 . Pochodne funkcji g1 i g 2 obliczamy na podstawie równań (f): g1,1 = 6 x1, g1,2 = 2 x2 , g2,1 = 2 x1 , g2,2 = −2, natomiast przyrosty ∆x1 i ∆x2 na podstawie równań (d). A oto kolejne przybliżenia: x1( 0) = 1,00000; x2( 0) = 0,70000; g1 = −0,51,

g2 = −0,4,

g1,1 = 6,

g1,2 = 1,4,

g2,1 = 2,

g2,2 = −2,0,

∆x1( 0) = 0,10676, ∆x2( 0) = −0,09324, , ; x2(1) = 0,60676; g1 = 0,04291, x1(1) = 110676

g2 = 0,01140,

g1,1 = 6,64056,

g1,2 = 1,21352,

g2,1 = 2,21352,

g2,2 = −2,0,

∆x1(1) = −0,0062, ∆x2(1) = −0,00121,

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

x1( 2) = 1,10056; x2( 2) = 0,60555; g1 = 0,00039,

19

g2 = 0,00013,

g1,1 = 6,60336,

g1,2 = 1,21110,

g2,1 = 2,20112,

g2,2 = −2,0,

∆x1( 2) = −0,00006, ∆x2( 2 ) = 0.

Trzy przybliżenia prowadzą do rozwiązania pokrywającego się w ramach przyjętej dokładności z rozwiązaniem dokładnym: , , x1( 3) = x1* = 110050 x2( 3) = x2* = 0,60555.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

1

Í Ï Î 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH 22.1. DEFINICJE Rozdział 22. dotyczy figur płaskich o równomiernym rozkładzie masy (ρ = const). Rozważane figury reprezentują zazwyczaj przekroje prętów. Dlatego zamiast określenia „figura płaska” stosuje się również określenie „przekrój”. Definicje poszczególnych parametrów geometrycznych figur płaskich wymagają wprowadzenia prostokątnego układu osi współrzędnych x, y (rys. 22.1).

Rys. 22.1

Rys. 22.2

Pole przekroju

∫

A = dA > 0 [m2 ].

(22.1)

A

Momenty statyczne przekroju: − względem osi x Sx =

∫ ydA

[ m3 ],

(22.2a)

∫ xdA

[ m3 ].

(22.2b)

A

− względem osi y Sy =

A

Momenty bezwładności: − względem osi x Jx =

∫ y dA > 0

[ m4 ],

(22.3a)

∫ x dA > 0

[ m4 ],

(22.3b)

2

A

− względem osi y Jy =

2

A

− odśrodkowy (dewiacyjny) J xy =

∫ x dA 2

[ m4 ].

(22.3c)

A

Z podanych wyżej wzorów definicyjnych wynika, że momenty statyczne mierzymy w jednostkach 3 3 długości do potęgi trzeciej (np. [m ], [cm ]). Mogą one przyjmować wartości dodatnie lub ujemne. Mo4 4 menty bezwładności mierzymy w jednostkach długości do potęgi czwartej (np. [m ], [cm ]). Osiowe momenty bezwładności przybierają zawsze wartości dodatnie i są pewną miarą rozproszenia pola figury względem danej osi. Im rozproszenie jest większe, tym osiowy moment bezwładności jest większy. Moment dewiacyjny może być zarówno dodatni, jak i ujemny, a jego wartość bezwzględna jest miarą asymeAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

2

trii figury względem przyjętego układu współrzędnych. Łatwo zauważyć, że jeśli choć jedna z osi układu jest osią symetrii figury, to moment dewiacyjny względem tego układu jest równy zeru (por. rys. 22.2). Wynika to stąd, że iloczyny xydA w odpowiadających sobie punktach wzajemnie się znoszą.

22.2. OSIE ŚRODKOWE, ŚRODEK CIĘŻKOŚCI Oś środkowa to taka oś, względem której moment statyczny jest równy zeru. Środek ciężkości (SC) to punkt przecięcia osi środkowych.

Rys. 22.3

Rys. 22.4

Jeśli osie x0 i y0 są osiami środkowymi, to S x0 =

(a)

∫ y0 dA = ∫ ( y − yc )dA = 0, A

S y0 =

(b)

A

∫ x0 dA = ∫ ( x − xc )dA = 0. A

A

Po rozpisaniu zależności (a) i (b) otrzymujemy: S x0 =

∫ ydA − yc ∫ dA = S x − yc ⋅ A = 0, A

S y0 =

A

∫ xdA − xc ∫ dA = S y − xc ⋅ A = 0, A

A

skąd wyznaczamy współrzędne środka ciężkości xc i yc : Sy S , xc = yc = x . A A

(22.4)

Jeśli znamy położenie środka ciężkości i pole figury, to momenty statyczne tej figury względem osi x, y leżących w odległościach xc i yc obliczamy wprost z równań (22.4): S x = A ⋅ yc , S y = A ⋅ xc . Jeśli figura składa się z n części o znanych polach Ai oraz współrzędnych środków ciężkości xi i yi (i = 1 ,2 ,..., n) , to (por. rys. 22.4): n

Sx =

∑ i =1

n

S xi =

∑

n

Ai ⋅ yi ;

Sy =

i =1

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

∑ i =1

n

S yi =

∑ Ai ⋅ xi .

(22.5)

i =1

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH n

n

xc =

Sy A

∑

3

Ai xi

= i =1 n

∑ Ai

∑ Ai yi

S ; yc = x = i =1 n A

.

(22.6)

∑ Ai

i =1

i =1

22.3. MOMENTY BEZWŁADNOŚCI PRZY PRZESUNIĘCIU I OBROCIE UKŁADU OSI WSPÓŁRZĘDNYCH. KIERUNKI I WARTOŚCI GŁÓWNE Założymy, że znamy wartości momentów bezwładności Jx', Jy', Jx'y' odniesione do układu osi x' i y'. Dokonajmy przesunięcia równoległego układu osi z położenia x', y' do nowego położenia x, y. Pytamy teraz, jakie wartości przyjmą momenty bezwładności Jx, Jy, Jxy odniesione do układu osi x, y, jeśli współrzędne przesunięcia względnego obu układów wynoszą xp i yp (rys. 22.5). Przesunięcie układów opisują równania:  x = x '+ x p ,   y = y '+ y p .

(a)

Po podstawieniu tych zależności do wzorów definicyjnych (22.3) otrzymujemy:

(b)

 Jx = y2dA = ( y'+ y p )2 dA = y'2 dA + 2 y p y' dA + y2p dA,  A A A A A   2 2 2 2 J y = x dA = ( x'+x p ) dA = x' dA + 2x p x' dA + x p dA,  A A A A A  Jxy = xydA = ( x'+x p ) ⋅ ( y'+ y p )dA = x' y' dA + x p y' dA + y p x' dA + x p y p dA.  A A A A A A 

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Rys. 22.5

∫

∫

∫

Rys. 22.6

Prawe strony równań (b) można przedstawić za pomocą parametrów geometrycznych figury związanych z układem x', y' wykorzystując wzory (22.1), (22.2) i (22.3):  J x = J x ' + 2 y p ⋅ S x ' + y 2p ⋅ A,   2 (c)  J y = J y ' + 2 x p ⋅ S y ' + x p ⋅ A,   J xy = J x ' y ' + x p S x ' + y p ⋅ S y ' + x p ⋅ y p ⋅ A. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

4

Jeśli układ osi x', y' jest układem osi środkowych ( x ' = x 0 , y ' = y0 , x p = x c , y p = yc ), to wzory (c) znacznie się uproszczą. Dla osi środkowych momenty statyczne S x ' = S xo = 0 i S y ' = S yo = 0, a równania (c) przyjmą postać:    J y = J y 0 + xc2 A,   J xy = J x 0 y 0 + xc yc A.  J x = J x 0 + yc2 A,

(22.7)

Są to tzw. wzory Steinera, bardzo użyteczne w obliczeniach. Rozważymy teraz, jak zmieniają się momenty bezwładności przy obrocie układu osi współrzędnych. Przyjmiemy, że znane są wartości Jx, Jy, Jxy w układzie osi x, y. Poszukujemy Jx', Jy', i Jx'y' w układzie osi x', y' obróconym o kąt ϕ względem układu x y (rys. 22.6). Współrzędne punktów obu układów są powiązane wzorami transformacyjnymi:  x ' = x cosϕ + y sin ϕ ,   y ' = − x sin ϕ + y cosϕ .

(d)

W celu wyprowadzenia poszukiwanych zależności skorzystamy ze wzoru na zamianę zmiennych w całce podwójnej:

∫ f ( x', y')dA' = ∫ f [ x'( x, y), y'( x, y)]J ⋅ dA,

(e)

A

A

gdzie jakobian

∂x ' ∂x J= ∂y ' ∂x

∂x ' cosϕ sin ϕ ∂y = = 1. ∂y ' − sin ϕ cosϕ ∂y

Po podstawieniu wzorów transformacyjnych (d) do wzorów definicyjnych otrzymujemy:  J = y '2 dA' = ( − x sin ϕ + y cosϕ ) 2 dA =  x' A' A   2 2 2 2  = sin ϕ x dA − 2 sin ϕ cosϕ xy dA + cos ϕ y dA,  A A A  2 2  J y ' = x ' dA' = ( x cosϕ + y sin ϕ ) dA =  A' A   = cos2 ϕ x 2 dA + 2 sin ϕ cosϕ xy dA + sin 2 ϕ y 2 dA,  A A A   J = x ' y ' dA' = ( x cosϕ + y sin ϕ )( − x sin ϕ + y cosϕ ) 2 dA =  xy '' A' A   = − sin ϕ cosϕ x 2 dA + sin ϕ cosϕ y 2 dA + (cos2 ϕ − sin 2 ϕ xydA.   A A A

∫

∫

∫

∫

(f)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Prawe strony równań (f) można wyrazić za pomocą momentów bezwładności związanych z układem osi x, y. Wygodnie też będzie wprowadzić funkcję trygonometryczne kąta 2ϕ:

sin 2 ϕ = 21 (1 − cos 2ϕ );

cos2 ϕ = 21 (1 + cos 2ϕ );

2 sin ϕ cosϕ = sin 2ϕ .

Ostatecznie poszukiwane wzory transformacyjne dla momentów bezwładności przy obrocie układu przyjmują postać: Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

Jx + J y

Jx − J y

 ⋅ cos 2ϕ − J xy sin 2ϕ ,  2 2  Jx + J y Jx − J y  − ⋅ cos 2ϕ + J xy sin 2ϕ , J y' = 2 2  Jx − J y  J x' y' = sin 2ϕ + J xy cos 2ϕ .  2 

J x' =

+

5

(22.8)

Rzut oka na wzory (22.8) pozwala stwierdzić, że po obrocie układu suma osiowych momentów bezwładności nie ulega zmianie. Suma ta określa tzw. biegunowy moment bezwładności Jb. Moment ten jest więc niezmiennikiem:

∫

J b = ( x 2 + y 2 )dA = J x + J y = J x ' + J y ' = const.

(22.9)

A

Szczegółowa analiza wzoru (22.8) prowadzi do wniosku, że niezmiennikiem jest również wyrażenie: 2 I3 = J x J y − J xy (22.10) = J x ' ⋅ J y ' − J x2' y ' = const. W punkcie 22.1 zwróciliśmy uwagę na to, że jeśli jedna z osi układu jest osią symetrii figury, to moment dewiacyjny w tym układzie jest równy zeru. Powstaje pytanie, czy dla dowolnego niesymetrycznego przekroju jest również taki układ osi, w którym znika moment dewiacyjny. Wymaganie, by Jx'y' = 0, stosownie do wzoru (22.8)3, nakłada na kąt ϕ = ϕ0 warunek: Jx − Jy ⋅ sin 2ϕ 0 + J xy cos 2ϕ 0 = 0, 2

(g) skąd

tg2ϕ 0 = −

2 J xy Jx − J y

.

(22.11)

Zwróćmy uwagę, że do identycznego warunku z warunkiem (g) dochodzimy, poszukując ekstremalnych wartości osiowych momentów bezwładności jako funkcji kąta ϕ: dJ y ' dϕ

=−

Jx − Jy dJ x ' = 2⋅ ⋅ sin 2ϕ + 2 ⋅ J xy cos 2ϕ = 0. 2 dϕ

Z powyższych rozważań wnioskujemy, że jest pewien wyróżniony układ osi współrzędnych, określony kątem ϕ0, dla którego osiowe momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne, a moment dewiacyjny znika. Taki układ osi nazywamy układem głównych osi bezwładności (I, II), a momenty osiowe w tym układzie − głównymi momentami bezwładności. Wartości głównych momentów bezwładności obliczamy po wstawieniu kąta ϕ0 z równania (22.11) do równań (22.8)1 i (22.8)2:  2 Jx + J y  Jx − Jy  2  J max = J I = +   + J xy ,  2 2    (22.12)  ... 2  Jx + Jy  Jx − J y  2 J min = J II = −   + J xy . 2 2    Położenie osi I związanej z momentem JI określa się następująco: − jeśli Jx > Jy , to ϕ0 jest kątem pomiędzy osią x a osią I, − jeśli Jx < Jy , to ϕ0 jest kątem pomiędzy osią y a osią I. Najczęściej obliczenia wykonujemy w układzie osi środkowych x0, y0. Wówczas osie I i II nazywamy głównymi środkowymi osiami bezwładności, a momenty JI i JII − głównymi środkowymi momentami bezwładności. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

6

Uważny czytelnik stwierdzi uderzającą analogię między wzorami (22.8)÷(22.11) a zależnościami występującymi w analizie płaskiego stanu naprężenia (p. 1.8). Jeśli we wzorach (22.8) przyjmiemy, że: J x = σ x , J y = σ y , J xy = τ xy , J x ' = σ x ' , J y ' = σ y ' ,

J x' y' = τ x' y' ,

to otrzymamy zależności identyczne z wzorami transformacyjnymi (1.33) dla płaskiego stanu naprężenia. Analogia ta wynika stąd, że momenty bezwładności tworzą płaski tensor drugiego rzędu. Wyjaśnienie tensorowego charakteru momentów bezwładności zamieszczono w p. 22.4. Wobec powyższego koło Mohra, omówione szczegółowo w rozdziale 1. (p. 1.8), jest również ilustracją graficzną wzorów transformacyjnych (22.8). Dla jasności trzeba też dodać, że konstrukcję koła wykonuje się, przyjmując że Jyx = −Jxy ! Ciekawostką jest, że Mohr w 1887 roku obmyślił konstrukcję koła właśnie dla momentów bezwładności.

22.4. PARAMETRY GEOMETRYCZNE PRZEKROJU JAKO WIELKOŚCI TENSOROWE Momenty statyczne nazywają się często momentami pierwszego rzędu (stopnia), a momenty bezwładności − momentami rzędu rzędu (stopnia). Określenia te wynikają z potęg, w których występują współrzędne x, y we wzorach (22.2) i (22.3). Pole przekroju można by nazwać momentem rzędu zero. Nadmieniamy o tym nieprzypadkowo, gdyż pole przekroju, momenty statyczne i momenty bezwładności mają własności tensorów odpowiednio rzędu zerowego, pierwszego i drugiego. Pole przekroju jest skalarem, momenty statyczne Sx i Sy są współrzędnymi wektora, a momenty bezwładności Jx, Jy, Jxy − współrzędnymi tensora dwuwymiarowego. Dla potwierdzenia powyższych uwag wyprowadzimy prawa transformacji momentów statycznych i momentów bezwładności dla obrotu układu współrzędnych. Przyjmiemy najpierw następujące oznaczenia: (a)

 x1 = x , x2 = y; x1' = x ' , x2' = y ' ; M = S , M = S ; B = J , B = J , B = B = J y 2 x 11 y 22 x 12 21 xy  1

Wówczas wzory definicyjne (22.2) i (22.3) można zapisać następująco: Mα =

(b)

∫ xα dA , A

Bαβ =

(c)

∫ xα xβ dA , (α , β = 1, 2), A

a wzory transformacyjne współrzędnych punktów w konwencji sumacyjnej określają znane zależności (por. rozdz. 1.): xγ ' = xα ⋅ aαγ '

(d) lub

(α , β = 1, 2; γ ', δ ' = 1', 2').

xδ ' = xβ ⋅ aβδ '

(e)

W układzie osi obróconych, stosownie do definicji (b) i (c) oraz wzorów (d) i (e), możemy napisać: Mγ ' =

∫ xγ ' dA' = ∫ xα ⋅ aαγ ' dA = aαγ ' ∫ xα dA, A'

Bγ 'δ ' =

A

A

∫ xγ ' ⋅ xδ 'dA' = ∫ xα aαγ ' ⋅ xβ aβδ 'dA = aαγ 'aβδ ' ∫ xα ⋅ xβ dA,

A'

A

A

skąd (f)

 Mγ ' = Mα ⋅ aαγ ' ,   Bγ 'δ ' = Bαβ ⋅ aαγ ' ⋅ aβδ ' .

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

7

Wzory (f) definiują transformację wektora i tensora przy obrocie układu współrzędnych w przestrzeni dwuwymiarowej, co wykazuje, że rzeczywiście momenty statyczne są współrzędnymi wektora, a momenty bezwładności − współrzędnymi tensora. Podobnie jest i w przestrzeni trójwymiarowej, gdzie momenty bezwładności tworzą dziewięć współrzędnych tensora symetrycznego, zdefiniowanych następująco (Karaśkiewicz [24]):   (g) Bij = B ji =  xk xk ⋅ dV  ⋅ δij − xi x j ⋅ dV ; (i , j = 1, 2, 3).   V V 

∫

∫

Tensor bezwładności figury płaskiej jest reprezentowany przez macierz: Jy J=  J yx

(h)

J xy  . J x 

Z postaci tej wnioskujemy, że niezmienniki tensora bezwładności są opisane wzorami (por. również wzory (22.9) i (22.10)): (i)

I1 = I 2 = Jb = J x + J y = J x ' + J y ' = JI + JII = const > 0,

(j)

I3 =

Jy

J xy

J yx

Jx

2 = J y ⋅ J x − J xy = J y ' J x ' − J x2' y ' = JI ⋅ JII = const > 0.

22.5. WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE Analogia między momentami bezwładności a płaskim stanem naprężenia nie jest jednak pełna. Istotna różnica polega na tym, że osiowe momenty bezwładności są zawsze dodatnie, podczas gdy naprężenia normalne mogą być również ujemne. Okoliczność ta nakłada pewne warunki na wartość momentów bezwładności. Ponieważ I 3 = J I ⋅ J II > 0 , więc zgodnie ze wzorem (j) w p. 22.4 musi zachodzić nierówność: 2 > 0, J x ⋅ J y − J xy

skąd (a)

J xy < J x ⋅ J y .

Z nierówności ( x − y )2 = x 2 + y 2 − 2 xy > 0 wynika dalej, że J x + J y − 2 J xy > 0 , skąd (b)

J xy <

Jx + J y 2

.

Ze wzoru (a) wynika, że wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego musi być mniejsza od średniej geometrycznej osiowych momentów bezwładności. Ze wzoru (b) wynika natomiast, że moment dewiacyjny musi być mniejszy od średniej arytmetycznej osiowych momentów bezwładności. Ponieważ średnia geometryczna nigdy nie jest większa od średniej arytmetycznej, zatem miarodajna jest nierówność (a), którą można zapisać następująco: − J x ⋅ J y < J xy <

Jx ⋅ J y .

(22.13)

Nierówność (22.13) dowodzi, że dowolna trójka liczb nie tworzy tensora bezwładności. Nierówność ta − słuszna również dla dowolnego, nieśrodkowego układu współrzędnych − jest właściwie jedynym sposobem kontroli ilościowej obliczonych wartości Jx, Jy, Jxy . Gdy korzysta się z gotowych wzorów lub tablic należy ustalić właściwy znak momentu dewiacyjnego. Najczęściej zdarza się to w przekrojach trójkątnych lub kątownikach. O znaku Jxy decyduje położenie ramion kątownika (lub trójkąta). Rozróżniamy tu 4 przypadki przedstawione na rys. 22.7. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

8

Rys. 22.7

W tablicy IV podano parametry geometryczne najczęściej spotykanych figur płaskich. Tablica IV

22.6. PRZYKŁAD LICZBOWY Dany jest przekrój złożony, przedstawiony na rys. 22.8. Obliczyć: a) położenie środka ciężkości, b) momenty bezwładności względem osi środkowych x 0 , y 0 , c) kierunki środkowych osi głównych, d) główne środkowe momenty bezwładności, e) momenty bezwładności względem osi środkowych x 0' , y 0' , obróconych względem osi x 0 , y 0 o kąt ϕ = −40°. Obliczenia zilustrować kołem Mohra.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

9

Rys.22.8

Rozwiązanie Przekrój składa się z czterech elementów. Dla kształtowników walcowanych (elementy 1, 3 i 4) odczytano z tablic: Element 1. L120×80×10 A = 19,2 cm2 , e y = 1,96 cm, ex = 3,93 cm, tgϕ 0 = 0,436, J min = 57,7 cm4 , J x = 279 cm4 , J y = 99,6 cm4 . Element 3. L100×100×8 A = 15,5 cm2 , e y = ex = 2,74 cm, J min = 59,9 cm4 , J max = 230 cm4 , J x = J y = 145 cm4 . Element 4.[ 200 A = 32,2 cm2 , e = 2,01 cm, J x = 1910 cm4 , J y = 148 cm4 . Zasadnicze obliczenia odniesiono do pomocniczego układu współrzędnych x, y (por. rys. 22.8). a) Obliczenie współrzędnych środka ciężkości całego przekroju Obliczenie wykonamy według wzorów (22.6): (a)

xc =

∑ Ai xi , ∑ Ai

yc =

∑ Ai yi . ∑ Ai

Współrzędne x1, y1 obliczamy ze wzorów na obrót układu: (b)

x1 = x '1 cos ϕ + y '1 sin ϕ , y1 = − x '1 sin ϕ + y '1 cos ϕ ,

gdzie ϕ = −α = −arctg(20 / 15) = 53,13o jest kątem obrotu układu x', y' względem układu x, y (kierunek obrotu układu x', y' przy przejściu do układu x, y jest zgodny z ruchem wskazówek zegara i stąd znak minus). Obliczenie pozostałych wartości xi, yi nie wymaga komentarzy. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

10

Element 1 sin ϕ = sin( −53,13o ) = −0,80;

cos ϕ = cos( −53,13o ) = 0,60,

x '1 = 8 − 1,96 = 6,04 cm, y '1 = 3,93 + 1,0 = 4,93 cm, x1 = 6,04 ⋅ 0,60 + 4,93 ⋅ ( −0,80) = −0,32 cm, y1 = −6,04 ⋅ ( −0,80) + 4,93 ⋅ 0,60 = 7,70 cm. Element 2 x2 = 7,50 cm, y2 = 10,00 cm. Element 3 x3 = 15,00 + 2,00 + 10,00 − 2,74 = 24,26 cm, y3 = 20,00 − 2,74 = 17,26 cm. Element 3 x4 = 15,00 + 2,00 + 10,00 + 2,01 = 29,01 cm, y4 = 10,00 cm. Tablica V

Sumowania występujące we wzorach (a) wykonano w tablicy V. Współrzędne środka ciężkości całej figury ( A = 116,9 cm2 , S y = 1679,0 cm3 , S x = 1239,1 cm3 ): xc =

1679,0 = 14,36 cm, 116,9

yc =

1239,1 = 10,60 cm. 116,9

Zwróćmy uwagę na to, że środek ciężkości całego przekroju musi leżeć w obrębie wieloboku utworzonego przez połączenie środków ciężkości figur składowych. W naszym zadaniu wymaganie to jest spełnione (por. rys. 22.8). b) Obliczenie momentów bezwładności względem osi środkowych x 0 , y 0 Współrzędne środków ciężkości w układzie osi środkowych dla poszczególnych figur składowych obliczamy ze wzorów: (c)

  

xci = xi − xc , yci = yi − yc .

Momenty bezwładności względem osi środkowych wyznaczamy na podstawie wzorów Steinera:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

∑(Jx

) ∑ J + ∑ A (y − y ) , = ∑ ( J + A ⋅ x ) = ∑ J + ∑ A (x − x ) ,

J x0 =

2 + Ai ⋅ yci =

0i

i

(d)

J y0

11

i

i

y 0i

i

∑ (Jx

y 0i

i

i

c

i

i

i

) ∑ Jx

+ Ai ⋅ xci yci =

0i y0i

i

2

i

2 ci

i

J x0 y0 =

x0i

0i y0i

+

i

c

2

∑ Ai (xi − xc ) ⋅ ( yi − y y ). i

Wyznaczenie momentów bezwładności poszczególnych figur względem własnych osi środkowych, równoległych do osi x0 i y0 , tzn. J x0i , J y0i , J x0i y0i , wymaga pewnych dodatkowych obliczeń. Element 1 Najpierw trzeba ustalić momenty bezwładności dla osi x01 i y01 . Na podstawie tablic otrzymujemy: J x01 = 279 cm4 ,

J y01 = 99,6 cm4 .

Moment dewiacyjny J x01 y01 można wyznaczyć kilkoma sposobami, ponieważ znamy zarówno J min = JII , jak i tgϕ0 . Sposób 1. Ponieważ JI + JII = J x01' + J y01' , J I = J x01' + J y01' − J II = 279,0 + 99,6 − 57,7 = 320,9 cm4 .

więc :

Ze wzoru (22.10) na obliczenie niezmiennika I3 otrzymujemy: J x01' J y01' − J x2 y = J I J II , 01' 01' skąd

J x01 ' y01 ' =

J x01 ' J y01 ' − J I JII = 279 ⋅ 99,6 − 320,9 ⋅ 57,7 = 96,3 cm4 > 0,

bo w układzie osi x ' 01 , y ' 01 kątownik jest w położeniu dodatnim. Sposób 2. Ze wzoru na obliczenie tg2ϕ0 mamy ( 2ϕ0 = 2arctg(0,436) = 47,11o ): J x ' − J y01 ' 279 − 99,6 J x01 ' y01 ' = ⋅ tg47,11° = 96,6 cm4 . J x01 ' y01 ' = 01 ⋅ tg2ϕ 0 , 2 2 Sposób 3. Ze wzoru transformacyjnego na Jxy, wyrażonego przez główne momenty bezwładności J I i J II , mamy: 320,9 − 57,7 J − JII J x01 ' y01 ' = I ⋅ sin 2ϕ = ⋅ sin 47,11° = 96,4 cm4 . 2 2 J x01 ' y01 ' = 96,5 cm4 . W celu obliczenia J x01 , J y01 , J x01 y01 wykorzystamy wzory transformacyjne na obrót układu z położenia x ' 01 , y ' 01 do położenia x01, y01 o kąt α = −53,13°.

Do dalszych obliczeń przyjmujemy, że

J x01 =

279 + 99,6 279 − 99,6 cos( −2 ⋅ 53,13° ) − 96,5 ⋅ sin( −2 ⋅ 53,13° ) = 256,8 cm4 , + 2 2

J y01 = 279 + 99.6 − 256,8 = 121,8 cm4 , J x01 y01 =

279 − 99,6 sin( −2 ⋅ 53,13° ) + 96,5 ⋅ cos( −2 ⋅ 53,13° ) = −113,1 cm4 . 2

Element 2 (blacha 250 mm×20 mm) Momenty bezwładności względem osi x02' i y02' Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

12

25,0 ⋅ 2,03 2,0 ⋅ 25,03 = 16,7 cm4 ; J y02 ' = = 2604,2 cm4 . 12 12 Ponieważ osie x ' 02 , y ' 02 są głównymi osiami bezwładności, więc J x02 ' y02 ' = 0. Momenty bezwładności względem osi środkowych x02 i y02 obliczymy podobnie jak dla elementu 1: J x02 ' =

J x02 =

16,7 + 2604,2 16,7 − 2604,2 + ⋅ cos( −2 ⋅ 53,13° ) = 1672,7 cm4 , 2 2

J y02 = 16,7 + 2604,2 − 1672,7 = 948,2 cm4 , J x02 y02 =

16,7 − 2604,2 sin( −2 ⋅ 53,13° ) = 1242,0 cm4 . 2

Element 3 J x03 = J y03 = 145 cm 4 . Moment dewiacyjny J x 03 y 03 obliczymy ze wzorów transformacyjnych wiedząc, że główne osie bezwładności są pochylone pod kątem −45° w stosunku do osi

i J II = 60 cm 4

J x03 y03 =

x 03 , y 03 , a J I = 230 cm 4

230,0 − 66,0 sin( −2 ⋅ 45° ) = −85,0 cm4 . 2

Element 4 Osie x04 i y04 są głównymi osiami bezwładności ceownika. Mamy więc: J x04 = 1910 cm 4 ,

J y04 = 148 cm 4 ,

J x04 y04 = 0.

Dalsze obliczenia według wzorów (d) zamieszczono w tablicy. Momenty bezwładności całego przekroju względem osi środkowych x0 , y0 wynoszą więc: J x0 =

∑ J x + ∑ Ai ( yi − yc )2 = 3984,5 + 868,7 = 4853,2 cm4 , 0i

i

J y0 =

i

∑ J y + ∑ Ai ( xi − xc )2 = 1363,0 + 14920,6 = 16283,6 cm4 , 0i

i

J x0 y0 =

∑ Jx i

i

0i y0i

+

∑ Ai ( xi − xc )( yi − yc ) = 1043,9 + 1736,8 = 2780,7 cm4 . i

Sprawdzenie poprawności uzyskanych rezultatów jest w ogólności niemożliwe. Jednak w celu wychwycenia oczywistych błędów warto zdać się na intuicję oraz sprawdzić nierówności (22.13). W naszym zadaniu przekrój jest rozbudowany wzdłuż osi x0, jest więc intuicyjnie oczywiste, że moment bezwładności J y0 musi być wyraźnie większy od momentu bezwładności J x 0 . Można też oszacować „na oko” znak momentu dewiacyjnego, rozpatrując rozmieszczenie materiału w poszczególnych ćwiartkach układu x0, y0. Na rysunku 22.8 widać, że większa część materiału jest rozmieszczona w ćwiartkach I i III (ćwiartki dodatnie), a więc moment dewiacyjny J x 0 y 0 powinien być większy od zera. Tak wiec przesłanki intuicyjne potwierdzają poprawność uzyskanych wyników. Również nierówności (a) i (b) z p. 22.5 są spełnione: J xy = 2780,7 cm4 < 4853,2 ⋅ 16283,6 = 8890,56 cm4 , J xy = 2780,7 cm4 <

4853,2 + 16283,6 = 10568,4 cm4 . 2

Powyższa krytyczna ocena uzyskanych rezultatów jest konieczna, gdyż − jak wykazuje doświadczenie − największe błędy popełniamy właśnie podczas obliczania wyjściowych wartości momentów bezwładności. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

13

c) Obliczenie kierunków środkowych osi głównych Położenie środkowych osi głównych I i II jest określone przez kąt ϕ0: tg2ϕ 0 = −

2 J x0 y0

J x 0 − J y0

=−

2 ⋅ 2780,7 = 0,4865, 4853,2 − 16283,6

skąd ϕ 0 =

25,94° = 12,97° .Ponieważ J x0 < J y0 , 2

więc kąt ϕ0 jest kątem między osią x0 a osią II. d) Obliczenie głównych środkowych momentów bezwładności 2

JI =

4853,2 + 16283,6  4853,2 − 16283,6  2 4 +   + 2780,7 = 16924,2cm ,   2 2

J II =

4853,2 + 16283,6  4853,2 − 16283,6  2 4 −   + 2780,7 = 4212,6 cm .   2 2

2

Sprawdzimy jeszcze wartość niezmiennika I3: I 3 = J I ⋅ J II = 16924,2 ⋅ 4212,6 = 7,129 ⋅ 107 cm8 = J x0 ⋅ J y0 − J x y 2 . 0 0 e) Obliczenie momentów bezwładności względem osi x ' 0 , y ' 0 , obróconych względem osi x 0 , y 0 o kąt ϕ = −40°. Do obliczenia wykorzystujemy wzory transformacyjne: J x0 ' =

4853,2 + 16283,6 4853,2 − 16283,6 + cos(−80° ) − 2780,7 sin(−80° ) = 12314,4 cm4 , 2 2

J y0 ' = 4853,2 + 16283,6 − 12314,4 = 8822,4 cm4 , J x0 ' y0 ' =

4853,2 − 16283,6 ⋅ sin(−80° ) + 2780,7 ⋅ cos(−80° ) = 6111,2 cm4 . 2

Sprawdzenie I3:

I 3 = 12314,4 ⋅ 8822,4 − 6111,2 2 = 7,129 ⋅ 107 cm8 . Rezultaty obliczeń zawartych w punktach c), d) i e) sprawdzono za pomocą koła Mohra (rys. 22.9). Z rysunku odczytano (w nawiasach podano wartości ścisłe):

ϕ 0 = 13o

(12,97 o ),

JI = 16940 cm4

(16924,2 cm4 ),

JII = 4200 cm4

(4212,6 cm4 ),

J x0 ' = 12390 cm4

(12314,4 cm4 ),

J y0 ' = 8780 cm4

(8822,4 cm4 ),

J x0 ' y0 ' = 6110 cm4

( 6111,2 cm4 ).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

14

Rys. 22.9

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

LITERATURA

1

Í Ï LITERATURA [1] J.ANTONIEWICZ, Tablice Funkcji dla Inżynierów, PWN, 1969 [2] L.BALLENSTEDT, Mechanika Budowli, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1956 [3] M.N.BIELAJEW, Wytrzymałość Materiałów, Wyd. MON, 1956 [4] S.BŁASZKOWIAK, Z.KĄCZKOWSKI, Metoda Crossa, PWN, 1961 [5] W.BOGUCKI, M.ŻYBURTOWICZ, Tablice do Projektowania Konstrukcji Stalowych, Arkady, 1973 [6] J.BRONSZTEJN, K.SIEMIENDIAJEW, Poradnik Encyklopedyczny. Mate matyka, PWN, 1959 [7] Z.BRZOSKA, Wytrzymałość Materiałów, PWN, 1979 [8] W.DERSKI, Podstawy Mechaniki Ośrodków Ciągłych, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1965 [9] W.DERSKI, S.ZIĘBA, Analiza Modeli Reologicznych, PWN, 1968 [10] Z.DYLĄG, E.KRZEMIŃSKA-NIEMIEC, F.FILIP, Mechanika Budowli, PWN, 1974 [11] Y.C.FUNG, Postawy Mechaniki Ciała Stałego, PWN, 1968 [12] A.GAWĘCKI, A.BORUSZAK, Przybliżona teoria skręcania swobodnego ortotropowych prętów pryzmatycznych, Mech. Teor. Stos., 18, 3, 1980 [13] A. GAWĘCKI, Podstawy Mechaniki Konstrukcji Prętowych, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1985 [14] A. GAWĘCKI, Elastic-plastic beams and frames with unilateral boundary conditions, J. Struct. Mech., 14, 53-76, 1986 [15] M. GRYCZMAŃSKI, Wprowadzenie do opisu sprężysto-plastycznych modeli gruntów, Studia z Zakresu Inżynierii Nr 40, PAN Komitet Inżynierii Lądowej i Wodnej, IPPT, Warszawa 1995. [16] E.HELLINGER, Der allgemeine Ansatz der Mechanik der Kontinua, Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, vol. 4, Teil 4, 602-694, 1914. [17] M.T.HUBER, Stereomechanika Techniczna, PZWS, 1951 [18] K.HUSEYIN, Nonlinear Theory of Elastic Stability, Nordhoff International Publishing 1975 [19] R.J.IZBICKI, Z.MRÓZ, Metody Nośności Granicznej w Mechanice Gruntów i Skał, PWN, 1976 [20] A.JAKUBOWICZ, Z.ORŁOŚ, Wytrzymałośc Materiałów, WNT, 1968 [21] M.JANAS, Nośność Graniczna Łuków i Sklepień, Arkady, 1967 [22] P.JASTRZĘBSKI, J.MUTTERMILCH, W.ORŁOWSKI, Wytrzymałość Materiałów, Arkady, 1974 [23] W.JOHNSON, P.B.MELLOR, Engineering Plasticity, Van Nostrand Reinhold Company, 1973 [24] E.KARAŚKIEWICZ, Momenty Bezwładności w Ujęciu Tensorowym, PWN, 1960 [25] J.A.KARCZEWSKI, J.A.KÖNIG, Analiza geometrycznej niezmienności kra-townic przestrzennych, Inżynieria i Budownictwo, 1, 36, 26-29, 1979 [26] W.KRZYŚ, M.ŻYCZKOWSKI, Sprężystość i Plastyczność, PWN, 1962 [27] A.LITEWKA, Wytrzymałość Materiałów, Cz.I. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, 1997. [28] G.E.MASE, Theory and Problems of Continuum Mechanics, Mc Graw-Hill Book Company, 1970 [29] J.MUTTERMILCH, A.KOCIOŁEK, Wytrzymałość i Stateczność Prętów Cienkościennych o Przekroju Otwartym, Wyd. Politechniki Warszawskiej, 1972 [30] J.NALESZKIEWICZ, Zagadnienia Stateczności Spreżystej, PWN, 1958 [31] W.NOWACKI, Mechanika Budowli, PWN, 1974 [32] W.NOWACKI, Teoria Sprężystości, PWN, 1970 [33] B.OLSZOWSKI, Z.STOJEK, Z.WASZCZYSZYN, Zarys Mechaniki Budowli, Wyd. Politechniki Krakowskiej, 1978 [34] S.PIECHNIK, Wytrzymałość Materiałów, PWN, 1978 [35] J.PIETRZAK, G.RAKOWSKI, K.WRZEŚNIOWSKI, Macierzowa Analiza Konstrukcji, PWN, 1979 [36] E.REISSNER, On the theory of bending of elastic plates, J. Math. and Phys., 23, 184-191, 1944 [37] J.ROORDA, The buckling behaviour of imperfect structural systems, J. Mech. Phys. Solids, 13, 1965 [38] J.ROORDA, Problemy stateczności konstrukcji spreżystych, Cz.II pracy zbiorowej pt. Współczesne Metody Analizy Stateczności Konstrukcji, Ossolineum, 1981 [39] A.SAWCZUK, Nośność Graniczna Ram Płaskich, Arkady, 1964 Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

LITERATURA

2

[40] A.SAWCZUK, Wprowadzenie do Mechaniki Konstrukcji Plastycznych, PWN, Warszawa-Poznań, 1982. [41] A.SAWCZUK, M.JANAS, J.A.KÖNIG, Analiza Plastyczna Konstrukcji, Ossolineum, 1972 [42] J.SKRZYPEK, Teoria Plastyczności i Pełzania, Wyd. Politechniki Krakowskiej, 1975 [43] S.STANISŁAWSKI, Podstawy Teorii Sprężystości, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1973 [44] W.SZCZEPIŃSKI, Wstęp do Analizy Procesów Obróbki, PWN, 1967 [45] Teoria Plastyczności, Praca zbiorowa pod red. W.Olszaka, P.Perzyny i A.Sawczuka, PWN, 1965 [46] J.M.T.THOMPSON, G.HUNT, A General Theory of Elastic Stability, J. Wiley and Sons, 1973 [47] S.P.TIMOSHENKO, Historia Wytrzyamłości Materiałów, Arkady, 1966 [48] S.P.TIMOSHENKO, J.M.GERE, Teoria Stateczności Spreżystej, Arkady, 1963 [49] S.P.TIMOSHENKO, J.N.GOODIER, Teoria Sprężystości, Arkady, 1962 [50] S.P.TIMOSHENKO, S.WOINOWSKY-KRIEGER, Teoria Płyt i Powłok, Arkady, 1962 [51] J.WALCZAK, Wytrzymałość Materiałów oraz Podstawy Teorii Spreżystości i Plastyczności, PWN, 1977 [52] Z.WESOŁOWSKI, Nieliniowa teoria sprężystości, CZ.II serii "Mechanika Techniczna", T.IV. Sprężystość, PWN, 1978 [53] Wytrzymałość Materiałów, Praca zbiorowa, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1981 [54] H.ZIEGLER, Principles of Structural Stability, Blaisdell, 1968 [55] J. ZIELNICA, Wytrzymałość Materiałów, Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań, 1996. [56] M.ŻYCZKOWSKI, Obciążenia Złożone w Teorii Plastyczności, PWN, 1973 [57] M.ŻYCZKOWSKI, Podstawy analizy stateczności prętów sprężystych. Cz I. Pracy zbiorowej pt. Współczesne Metody Analizy Stateczności Konstrukcji, Ossolineum, 1981

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater