G. Grioli • C. Truesdell ( E ds.)
Non-linear Continuum Theories Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Bressanone (Bolzano), Italy, May 31-June 9, 1965
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-11032-0 e-ISBN: 978-3-642-11033-7 DOI:10.1007/978-3-642-11033-7 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma 1966 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E. )
lo Ciclo
- Bressanone - dal 31 maggio
a1 9 giugno 1965
"NOX-LINEAR CONTINUUM THEORIESn
Prof, C, Truardell eoordiReteri: prof, et, orieli
B. COLEMAN-M. E . GURTIN : Thermodinamics and wave propagation in E l a s t i c and Viscoelastic media
Pag. 1
L.DE VITO : Sui fondamenti della Meccanica d i s i s t e m i Continui (11)
pag. 19
G. FICHERA : P r o b l e m i elastostatici con a1 contorno
pag. 107
ambigue condizioni
G. GRIOLI : Sistemi a trasformazioni r e v e r s i b i l i
109
W. NOLL : The foundations of Mechanics
11
159
R. A. TOUPIN : Elasticity and Electro-magnetic
11
203
CHAO-CHENG WANG : Subfluids
It
345
CEWTlZO I N T E R N A Z I O X A L E M A T E M A T I C O E S T I V O ('2. I. M. E. )
B. C O L E M A N M.E. GURTIN
T H E R M O D Y N A M I C S A N D W A V E P R O P A G A T I O N IN E L A S T I C -AND V I S C O E L A S T I C
MEDIA
Corso tenuto a Brecsanone dal 31 maggio a1 9 giugno 1965
THERMODYNAMICS AND WAVE PROPAGATION IN ELASTIC AND VISCOELASTIC MEDIA by
D. Coleman
Bernadrd
Mellon Institute, Pittsburgh Morton E . Gurtin Brown University Providence
In continuum physics the word wave is used with s e v e r a l distinct to s o m e it is
meanings. To s o m e a wave i s a sinusoidal disturbance, any
m e m b e r of a c e r t a i n c l a s s
and t o
of solutions t o a hyperbolic equation,
o t h e r s it is a propagating singuiar s u r f a c e .
(Christoffel,
Here we follow
Hugoniot, Hadamard, and Duhem and use the word in the
l a s t sense; thus, r e s p e c t to the
e t o be a s u r f a c e , moving with
we define a z
m a t e r i a l , a c r o s s which s o m e kinematical variable, such
a s the acceleration o r the velocity, s u f f e r s a jump discontinuity. In the present age of sonic booms and nuclear explosions , even the layman is f a m i l i a r
with "shock wavesn
.
To find, howe~rer, applications f o r a
general theory of
propagating singuiar surfaces, one does not have to
t u r n to the l a t e s t
accomplishments of physics ; it suffices t o think c a r e -
fully of the
motion of an object s t r u c k with a h a m m e r .
Here we review s o m e a s p e c t s of the c l a s s i c a l theory of propagation
in elastic m a t e r i a l s
and discuss recent extensions
wave of
the c l a s s i c a i theory to m a t e r i a l s with m e m o r y .
Let xi(Xj, t ) give r i a l point which occupies
*we
the spatial position a t time the position
use Cartesian t e n s o r notation.
X. in J
t
of the mate-
the r e f e r e n c e configuration.
- 4 -
-
B. Coleman
According t o (t)
=
the
M. E. Gurtin
Duhem-Hadamard c l a s s i f i c a t i o n s c h e m e , a s u r f a c e
is a
wave of o r d e r
if
N
the
N1 t h - o r d e r d e r i v a t i v e s
Z , but all l o w e r d e r i x.(X., t ) exhibit jump discontinuities a t 1 J v a t i v e s a r e continuous a c r o s s , I A s h o c k i s a wave of o r d e r 1;
of
.
that t)
is,
a -
xi(X., t ) i s continuous , but the velocity x . = xi(X., J at J a X . ( X t ) show jumps the d e f o r m a t i o n g r a d i e n t F . . = IJ ax; 1 k'
and
.
across 1
At
an
. acceleration
J
wave
second
derivatives, such
C)
0
a s the
acceleration
L
x . = q?;xi(x., t ) , a r e t h e f i r s t t o s u f f e r jumps; 1 J at hence , a n a c c e l e r a t i o n wave i s a s i n g u l a r s u r f a c e of o r d e r two. O u r i n t e r e s t h e r e is in waves
with
In the t e r m i n o l o g y
N
the s p e e d
the r a t e
Z
particles
along
instantaneously s i t u a t e d
t h e amplitude
of wave of
order
;
and Toupin [1960, 2 1 and
of T r u e s d e l l
T r u e s d e l l [1961, 2 1 , of advance of
22
of propagation i t s unit on
Z
V
normal
.
A
N i s a vector
of
a wave 1 i s
relative t o the
convenient m e - a s u r e of s . defined by 1
Let formula*
.
the Piola
- Kirchboff
s t r e s s tensor
S . . be defined 1J
by t h e
Whenever a n index i s r e p e a t e d in a product of two t e r m s , s u m mation o v e r that index i s understood.
- 5 -
B. Coleman- M. E , Gurtin
SikFjk = T . . 1J
P
where
T . . i s the familiar s t r e s s t e n s o r of Cauchy
r
and
1J
sent
mass
density. F o r an elastic material,
influences
a r e ignored,
S is ij
i s the p r e -
when thermodynamic
a function
of
the deformation g r a -
dient : S . . = S. . ( F ) 1J 1J ki
(3) The c l a s s i c a l
Fresnel-Hadamard theorem
asserts
that for
any
s
and speed of propagation V i of an acceleration wave traveling in the direction n must obey k the propagation condition m a t e r i a l obeying
where the t e n s o r
Ericksen
[ 1953
(2) the amplitude
Qij(nk), called the acoustic
, 11 ,
condition
of
(4)
Even incluences
21 ,
[ 1961,
of compressible elastic m a t e r i a l s , have
elastic waves
order
with
and
allow
N
> 2
Qij(nk)
in elasticity S ij
is
*x
given
by
working in the theory of isotropic incompres-
sible hyperelastic m a t e r i a l s , and Truesdell t h e theory
tensor,
must given
theory one to depend
a l s o obey by
(5)
should not
working in
shown that
all -
the propagation
. include thermodynamic
only
on
Fkl
but
also
-
F o r the mos t general statement of the Fresnel-Hadamard Theo r e m , and for a detailed discussion of i t s consequences, s e e Trusdell 11961, 21
- 6 -
on a thermodynamic variable such cific ,
1'
F. ., 0 ,
and
1J
(6),
one
Onthe
then
waves
a
a r e taken
a
a s the t e m p e r a t u r e
t o be continuous
0
o r the spe-
a c r o s s t h e wave;
homothermal if , in
wave i s said to be
hand,
the wave of
M. E. Gurtin
addition to
has
other
theorem
-
q. In the thermodynamic theory of acceleration waves,
entropy
An acceleration to
B. Coleman
if,
in
place
i s called homentropic
of
.
(7)
,
It is the content
-
of the f i r s t
Duhem, that homothermal (homentropic) acceleration
in
elastic
in
(5)
sae Fdnh c n theorem
materials
is taken of
(4) , proveded that the derivative
obey
a t constant
Duhem
temperature
(entropy)
.
The
gives the physical circumstances in which
acceleration waves a r e homothermal o r homentropic : Every a c c e l e r a tion wave in an e l a s t i c m a t e r i a l obeying F o u r i e r ' s law of heat conduction ry
with positive-definite t h e r m a l conductivity i s homothermal: eveacceleration wave in
heat i s
Y
homentropic
an elastic material which
does not conduct
.
* The two t h e o r e m s of Duhem a r e explained and given proofs by Truesdell [ 1961 , 2 1
.
modern
- ,[
An elastic m a t e r i a l s t r a i n function function @ ;
of
i. e . ,
(3)
B. Coleman
-
M. E. Gurtin
i s said to be hyperelastic if the s t r e s s -
i s obtained by
differentiating a s t o r e d energy
if Sij(FkL ) =
It i s a f a m i l i a r a s s e r t i o n
6 (Fkz, 1.
a F 1~ ..
of c l a s s i c a l thermodynamics that e v e r y ela-
s t i c material i s hyperelastic in the sense that
s.1J.(Fu
(11)
where and
i s the E
the
A theorem m a t e r i a l the
It follows from
enternal
this
tensor
result
the classical equations (10) of an
elastic m a t e r i a l
tropic waves.
Helmoltz
of Hadamard
acoustic
(Fkt ,771
2
1J
specific
specific
a a F..
,771 =
free
.
energy asserts
, then and
that
must
(5)
for
IL = a
E
-8
TJ
,
hyperelastic
be s y m m e t r i c :
first
(ll),
energy
theorem
that
the
of
Duhem, and
acoustic
tensor
must be s y m m e t r i c in homothermal and homeri-
B. Coleman
-
M . E . Gurtin 4
The recent y e a r s
have s e e n t h e development of general t h e o r i e s
of non-linear m a t e r i a l s with memorye
.
In these studies it i s a s s u m e d
that the present s t r e s s depends not only on the p r e s e n t value of the s t r a i n but
also
on the past history of the s t r a i n ,
and one a t t e m p t s
t o solve problems without specializing the functional expressing this deLet us
pendence.
.
val
a,
[o,
define a function
) a s follows;
dt) k1
over
the half-closed inter-
n< s < a,. This
function
tion
gradient
i s just
i s called
.
equivalent and -
to
the
define a
The past history
the r e s t r i c t i o n
F") (s) a g r e e s (r)kL fined f o r s=O.
the historv ur, t o t i m e of
F;
Obviously,
past history
all
of t h e p r e s e n t to b e
Following a
t i s given i s determined when F k0) can
the deforma-
s
\
0 but i s
left
unde-
a knowledge of the history
F(r)ke.
material
of
F ( ~ ) of the deformation gradient (r)kE t o the open interval (0, a) ; i. e . ,
F Ice ( ~ )(s) f o r
with
a knowledge
simple
,+,
t
value No11
material
.
For
F ( ~ ) is kc ,*, F k g ( t ) = :F : (0)
11958,
1] ,
we
for which the s t r e s s
such
a material
we
write
' s e e , for example, r h e works of Green and Rivlin [1957, 1 1 , No11 0958, 1,l C o l e m a n a n d N o l l 6960, 11[1961, 1 1 , and Wang [1965, 7 1, which a r e s u m m a r i z e d and extended in the exposition of Truesdell and No11 l.1965, 6 1.
- 9 -
Here
S..
that f o r
a general
t h e p r e s e n t value
gradient,
we w r i t e (14)
in
and
(15),
we s e e
history
1J
depends on 1J of the d e f o r m a t i o n S,.
the f o r m *
(t) S- l J. . (F(r)kl
1J
for short,
simple material
and t h e p a s t
S. = where,
M. E . Gurtin
a functional ; i. e . . a function whose a r g u m e n t i s a ( t ) , and whose value is a t e n s o r , Fkl S . . . When we wish
emphasize
both
-
is
-1J
function, to
B. Coleman
. .FkL
,
= F ( ~ )(0). On c o m p a r i n g ( 3 ) Fkl kl t h e e l a s t i c m a t e r i a l s c o n s i d e r e d in t h e p r e -
we put that
~ i o u ss e c t i o n a r e t h o s e s i m p l e m a t e r i a l s f o r which t h e dependence (t) Sij(F(r)w; Fkc ) on the p a s t h i s t o r y F (( r~) i)j i s negligible. H e r e we do not a s s u m e that influence of F ( ~ ) on S c a n be (r) ij neglected; we a s s u m e m e r e l y that t h i s influence i; compatible with t h e p r i n c i p l e of fading m e m o r y ; used
by
Coleman
and
t h e m a t i c a l t h e intuitive r y distant
Let
us
h here
a s m o o t h n e s s postulate 1 1 to
11 [1961,
that s t r a i n s
occurred
denote
by
by differentiating
value of deformation
(16).
idea
[ 196C,
with
render ma-
which o c c u r r e d in t h e ve-
p a s t should have a s m a l l e r influence on the p r e s e n t s t r e s s
than S t r a i n s which
obtained
No11
i.e.,
is no
in
S. .(F.(t . ) t h e f o u r t h - o r d e r t e n s o r - 1 ~ kt mn the s t r e s s with r e s p e c t to t h e p r e s e n t DF
gradient
summation
the r e c e n t p a s t .
holding fixed the p a s t h i s t o r y :
over
k
and
I
in equations
(15) and
- 10 This tensor sponse t o s m a l l Equation
role
(16)
defines into
the thermodynamics of The theory under
a linear
functionals
in the theory
memory is
the moduli f o r
s t r a i n impulses superimposed
mapping functionals tral
1 , 2 1 gives
11964,
B. Coleman
of
instantaneous r e (t) Flee
on
at time
11965,
D~
1-41 and in
1964, 1, 2 1
memory
.
s u r f a c e s propagating in m a t e r i a l s with
not an empty subject. Among the m a t e r i a l s subsumed
the c l a s s of simple m a t e r i a l s
with
fading
memory a r e t h e
materials
of
the theory of l i n e a r viscoelasticity. In that theory, Sips
[1951,
,
Lee
11
and
Kanter
1 1 have exhibited explicit
solutions
others showing acceleration
acceleration that
gives r i s e t o Recently
general gation
11965.
materials
theorems given
o r greater
in
material
- Truesdell
traveling with
I,
1-4
in
Chu
we
to construct
waves. F u r t h e r , showing shock and
.
have been able
with
[1962,
equations
simple fluid with fading
nonlinear field equations
non-linear
Ericksen
exact solutions
a special
have the following extension and
elementary e x e r c i s e
1 1 has obtained
waves for
and
the dynamical
from
11966,
an
of
,
It
these solutions
is
2 1
11953,
showing shock waves. Pipkin
t.
mn o p e r a t o r plays a cen-
this
wave propagation
of singular
Gurtin
differential operator
;
m a t e r i a l s with
- M. E.
to
memory
extend
memory the c l a s s i c a l
to
propa-
the previous section. F o r example, we [1965,
4 ] of
the
Fresnel-Hadamard
t h e o r e m s . Consider a wave of o r d e r
the direction
fading memory
;
such
n a
k
in
a general
wave o b e p
2
simple
the propaga-
B. Coleman
tion condition
, and
(4)
the t e n s o r
of
Q. .(nk) , now called the instan-
i s given by the following remarkably
simple
(5) :
F o r the validity of this in front
>' E. I. Gurtin
1J
taneous acoustic t e n s o r , generalization
-
theorem
the past history of the m a t e r i a l just
of the wave may be a r b i t r a r y , subject only to c e r t a i n natural
.
t a m e n e s s hypotheses
Of course, we know that the s t r e s s in a general m a t e r i a l with
memory depends not only on the history of the deformation gradient but a l s o on the history of a thermodynamic variable. Hence, (14) should be replaced by e i t h e r
S.. = 1J
where the function tion
(20)
7
e(t) i s
5. . ( F(kt L) , J t ) -lJ
the history
) ,
of the temperature a d the func-
( t ) the history of the specific entropy
(s) = e ( t - s ) ,
(t) (s) = v ( t - s )
o < s < w .
* Propagation conditions of the type (4) a r e known for acceleration waves in s e v e r a l special m a t e r i a l s ; for elastic m a t e r i a l s (2. 18) was derived by Hadamard [1901, 1 1 and for the theory of linear viscoelasticity by H e r r e r a and Gurtin 6965, 5 1. We have recently seen a manuscript by Varley p965, 7 1 in which he a r r i v e s at (4) for acceleration waves in m a t e r i a l s of integral type.
- 12 -
-
B. Coleman
is a s s u m e d , it is a l s o
When (18)
c i f i c Helmholtz the histories
free (t) Fk2 ,
and
heat
that
sent
the
temperature
*
energy
M. E. Gurtin
r e a s o n a b l e t o a s s u m e that t h e s p e i s given
by
a functional
e
of
&t)
and
flux v e c t o r gradient
q, depends
=a
gm
not
only on the p r e -
I
but a l s o
axm
on
F ( ~ ) and k1
e(t)
When
(19)
is
assumed,
it
is r e a s o n a b l e
s p e c i f i c i n t e r n a l e n e r g y i s given
Starting from man
assumptions 1 ] has
[1964,
compatible with
by a functional
shown
only
if
and
relations,
fading
t h e s e functionals
s.( F k( tL) ,d t ) ) =
c
1J
D
F.. 1J
where
is t h e o p e r a t o r
with
memory
defined in
memory
'
FtL and n ( t ) ,.
of
$. .
that the functionals
t h e p r i n c i p l e of the
postulate that the
s o m e w h a t m o r e g e n e r a l than
of t h e r m o d y n a m i c s
g- through
to
-1J
these, and
$,
Cole,
- 1J
are
a n d the s e c o n d law
a r e d e t e r m i n e d by p-
p ( d t ) , e ( t ) ),
- kZ
(16). T h e s e
the classical
relations
gene-
r e l a t i o n s (10) and
- 13 and
(11) for e l a s t i c Even
brought
when the history
ma1 and homentropic
by
(17)
ction
tive
(4) s t i l l
holds f o r homother-
[ 1965,
-Sij F(:
I.
3,4
replaced
by
For
Q; ; i s
ir.sl:antaneous acoustic thensor
(~ib))
of the wave,
to
condition
is
'J
, G'~)) ,
and
given the fun-
is
held fixed in the computation
homectropic acceleration
of the derivais
waves
D~ 7, (t' , pq
$.-1JF
, T ' ~ ) ) and the function Prl of the entropy at the wave, is held fixed in
ap-
the histo-
(16) and
(17).
These observations extend to m a t e r i a l s with m e m o r y the f i r s t of
Iluhem. The second theorem of Duhem
zation
[1965,
I:
3, 4
In
wave i s h o m e n t ~ o p i c . Here; aq: t e r i a l f o r which - 2 ,
a
-
of heat, e v e r y accele-
a non-conductor , evevy acceieration
by a definite condcctor,
we mean a ma-
computed
is always
using
(22),
definite t e n s e r . The
with
lations
q
*
,
po-
procf cf the theorem i s straightforward
uses
a generalization
i.e., 11
[ 1964,
a mate-
of t h e r e -
(24;. We should like
t h e following e x t e n s ~ o n tion
a
m
for a definite c c ~ d u c t o r, the proof for a non-conductcr, rial
theorem
a l s o has a d i r e c t gencrali-
a definite conductcr
ration wave i s homothermal ; in
sitive
ho-
the history of the t e m p e r a t u r e rip to the moment of
(16). F o r
plied ry
-lJ
,
0
arrival
5..
of a t h e r m o d y ~ a m i c variable
acceleration waves
waves the
with
Gurtin
materials
in, the propagation
mothermal
- X'I. E.
13. Coleman
(12) :
to
bring
i1965,
The relations
(24)
t o the a t t e ~ t i o n of 4 1 of the c l a s s i c a l imply thar,
and homentropic
s y m m e t r y condi-
even in
m e m o r y , the i n s t a n ~ a n e c u sa c o u s ~ i ct e n s o x f o r
experimenters
a m a t e r i a l with
both
waves a r e always s y m m e t r i c t e n s c r s in
homothermal ?he s e n s e
B.Coleman of equation
(12)
. This
ing t h e physical Truesdell materials,
[1961,
theorem
3,l
(24). F o r t u n a t e l y ,
working in the t h e o r y of e l a s t i c
h a s found s i t u a t i o n s in which
city can test the symmetry
M . E. Gurtin
a p p e a r s t o supply a method of t e s t -
a p p r o p r i a t e n e s s of the r e l a t i o n s 2 1[1964,
-
m e a s u r e m e n t s of wave velo-
of t h e a c o u s t i c t e n s o r . His a n a l y s e s
can
be applied with s m a l l modifications t o the theory d a c c e l e r a t i o n w a v e s e n t e r i n g a g e n e r a l m a t e r i a l with m e m o r y of t h e wave had a l w a y s been a t r e s t in
which
previous to a r r i v a l
a fixed configuration.
REFERENCES
,
,J. H a d a m a r d , Bull. Soc. Math. F r a n c e
R . Sips,
.J. P o l y m e r
J. L. E r i c k s e n ,
Sci.
2
,
5C-68.
285-293.
J. R a t i o n a l Mech. Anal.
2, 329-337.
E. H. L e e % L. K a n t e r , J. Appl. P h y s . 24, 1115-1122. u w
A. E. G r e e n 1
& R . S. Rivlin,
Arch. Rational
Mech. Anal.
1-21.
wJ
W. Noll,
Arch. Rational Mech
B. D. C o l e m a n br W. No11 C. T r u e s d e l l
. In :
ries
5,
. Anal.
z,
197-226
355-370.
& R . A. Toupin,
The classical
Fliiggets Encyclopedia of Physics,
B.D. Coleman
6
C. T r u e s d e l l ,
.
311,
'L
Mech. Anal.
B. -T. Chu, X a r c h 1962, A R P A r e p o r t
239-249.
$,
from
225-793.
Y
,?:
W. ~ 0 1 1 , R e v . Mod. P h y s .
Arch. Rational
field theo-
263-296. t h e Division
of E n g i n e e r ~ n g , B r o w n U n i v e r s i t y . B. D.
Coleman, Arch. Rational
B. D. C o l e m a n , C. T r u e s d e l l , Haifa,
Arch. Rational
&9Y, 1, 1-19
C o l e m a n , ck M. E.
. A%,
B. D.
,l7;
23 '-254
1962, pp. 187-199.
R a t i o n a l Mech. Anal.
nal
NIech. Anal.
Internat. Sympos. Second-Order Effects,
B. D. C o l e m a n , & M . E . ~ u r t i n ,
B. D.
Mech. Anal. ,I> 1-46.
.
Gurtin.
Arch. Rational
M e c h . A-
M.E. Gurtin ,
Arch. Rational
Mech.
4
Coleman
Anal. 19.5
I. H e r r e r a , R . , A r c h .
1965
4
B. D. C o l e m a n 19 5
.vJ
5
.
I.H e r r e r a ,
h
M. E. G u r t i n , A r c h . R a t i o n a l M e c h . Anal.
R . b M. E. G u r t i n , Q u a r t . Appl. Math.
?2
360-364. 6
C. T r u e s d e l l b, W. Noll, mechanics,
The
n o n - l i n e a r field t h e o r i e s
In : F 1 6 g g e t s E n c y c l o p e d i a of P h y s i c s ,
212 ,
in p r e s s .
1966
Arch. Rational
Mech. Anal.
Ll, L8,
7
E. V a r l e y ,
8
C. -C. Wang,
1
A. C. P i p k i n , Q u a r t . Appl. Math. , in p r e s s .
A r c h . R a t i o n a l Mech. Anal.
of
3, 215-225. 117-126.
C E N T R O INTERNAZIONALE MATEMATICO E S T I V O
(C.J. M. El )
..L. D E VITO
SUI FONDAMENTI D E L L A MECCANICA D E I S I S T E M I CONTINUI (11)
C o r s o tenuto a Bressanone da13 lmaggio a1 9 giugno 1965
SUI FONDAMENTI DELLA
MECCANICA DEI
SISTEMI CONTINUI (11) di Luciano De Vito Universitb- Roma In un recente Mazzaroli ordine di fa
- in
lo scrivente, ( I ) 81 6
e idee,
uno
lavoro, in collaborazione
dei
proposto dal Suoi c o r s i
tra
il
cominciato
dott,Innocente
a sviluppare un
Prof. Gaetano F i c h e r a giB alcuni alllIstituto
Nazionale
di
anni
Alta Matems-
tica -relative all~introduzione di un punto di vista "globaleIt nella teor i a della
"Meccanica dei s i s t e m i c o n t i n ~ i ' ~ in . luogo del punto d i
vista
"puntualen che pih
vista
"globaleU,
rappresentate benst
da
s p e s s o viene adottato
volume e di s u p e r f i c i e non aaranno pih
integrali
(in s e n s o ordinario) di funzioni continue,
da funzioni di
a110
studio
continuiu , p e r il
insieme affatto a r b i t r a r i e
delle
B
caso dei c o r p i
.
numerabil-
alltimpostazione
della I1Statica d e i s i s t - m i
indefinitamente e s t e s i . VerrA o r a qui
limitati (includendovi anche il c a s o dei c o r -
Strumento essenziale p e r tale studio B l a tore
purchb
pervenuti
equazioni cardinali
esposto il c a s o d e i corpi pi "fluidit1 )
Secondo tale punto di
l e f o r z e di
mente additive. Nel sucitato lavoro s i ed
.
nozione
di
"vet-
dotato di divergenza in s e n s o debole (o in senso integrale) " ,
che r i e n t r a , come c a s o particolarissimo, nella pih generale nozione di
k - m i s u r a dotata di
differenziale
in
s e n s o debole1$ introdotta
L. De Vito e I. Mazzar01i:~Suifondamenti della Meccanica s t e m i coritinuiw , Memorie Acc. Naz. Lincei , v. VII , 1965
.
dei s i -
L. De Vito da G. F i c h e r a (2)
. Alla
considerazione
-
"Staticatl p e r corpi limitati ne quindi quello
premettere
delle equazioni cardinali della
second0 llattuale
lo studio dei vettori
sono, appunto, dedicati
i primi
vista
-
convie-
a divergenza debole e a gradiente debole. A ta-
(strettamente connesso) delle funzioni
l e studio
punto di
.
paragrafi
1 . Notazioni In tutto
quel
c3
che segue, ci
nel quale penseremo introdotto un
euclideo
il
punto
denoteremo siano
2
,x
xi=
del
in
,x , con 1%; (avendo
0
si
di
Con
il
la
3)
detto
a1
%'
con
a
(a,& )
la
gli
intervalli ( s u p e r i o r -
fissato
s i s t e m a cartesiano
di
x
, oppure,
I
su1 piano ove gli
delltaggiunzione di un mult'i-
llintervallo
a
funzione , intenderemo s e m p r e
termine
j3)
riferimento c a r t e -
coppia
meno
indichere-
)
nel
]
relazione
)
sisterna di
(conj:??
XI.
punto,
con
(con
x'.
x'.
con
poi
definiti
, con
,
proiezione 'ortogonale
indicato
intendono
, r e a l e , di
a tre
E~
di
3
plo
di
l e coordinate
aperti) 2
indici
re
E3
di
introdotto. Denoteremo
mente 1
generic0
arbitrario
x
ortogonale. Se . con
riferimento c a r t e s i a n o mo
r i f e r i r e m o s e m p r e a110 spazio
sottintendendo
delltasse reale.
una
funzione scala-.
%ettorialett, un vettore
componenti r e a l i pensato come funzione del
punto
x
;
invece
tlfunzione vettorialetl u s e r e m o s p e s s o semplicemente il t e r m i n e
tlvettoren
. Se
con
c h e r e m o sempl-e l e trodotto
in
sempre
una
indichiamo
U,
un vettore , con
sue componenti rispetto
. Con
misura
i
(cio6
simboli& ,
u.,,u.,,l,bj
indi-
a1 s i s t e m a cartesiano in-
z~(B)
, = ~(B)denoteremo @
una funzione definita sui boreliani
B
( 2 ) G. F i ~ h e r a : ~ S p a di z i k - m i s u r e e di forme diffe, n,.ialitl.P r o c . Intern. Symp. on Linear Spaces, J e r u s a l e m 1960, I s r a e l Ac.of Sciences & ~ u r n a n i t i & , Pergamon P r e s s , 1961.
L. De Vito
numerabilmente so
o vettoriale ; in questo
additiva) s c a l a r e
sottintenderemo s e m p r e
che e s s a s i a a t r e componenti ( l e compo-
nenti c a r t e s i a n e d i p , , rispetto con /CC, ,pa, p3 ) simbolo
D
-
.
Con
un dominio nica
a1
sistema
il t e r m i n e
dominio
intenderemo s e m p r e
g o l a r e n (nel s e n s o d i
nellfinterno di su
per
delle porzioni di
3 D (4) ,
che
; inoltre
per
deve
variare
di
f
dominio regolare. che indichiamo
deve
che ad essere
finito di interno
ogni
f c PD e
TK
uno almeno
"propriamente
intendiamo
che
g/) composta
ad
3D, di
X
di
D
re&
una u-
esistere
IfD ,
con ogni
un
e s s i ed
'
di classe
delle
quali s i
numero p o s i t i v ~ ~ ~ < I
l f i n s i e m e descritto dal punto
su
in guisa tale .di
s e m p r e "penetrante"
su
)3D s i a la
Dq
una
superficie rego-
completa frontiera ;
di un
infine, la trasformazio-
/
)" c(O.fg) associa
invertibile. Si potrh a l l o r a r i c o p r i r e
dominii ad
che denoteremo con il
superficie regolare
l a r e semplice e chiusa, che costituisce
ne
cib
ogni
ogni fissato~t(0,'$,),
~ , 3 + ~ J ( f a1)
-
saranno indicate
semplice e chiusa, t a l e inoltre che s i a possi-
, continuo a1 v a r i a r e
ciascuna
compone tale
p
~:~-x~
dominio
r e g o l a r e , avente l a frontiera
bile definire un v e r s o r e J(X)
1
un
~ i c h e r a ' ~)) ; con
superficie r e g o l a r e
second0 ca-
il
punto Z=]+Y~@~
con un numero
che ciascun punto inoltre, p e r ogni r(
di
YD s i a
,l f i n s i e m e
( 3 ) ~ f r .G. . Fichera: " P r e m e s s e ad una teoria generale dei problemi a1 contorno p e r l e equazioni differenzialiH , Corsi 1st. Naz. Alta M a t . , 1958, pag. 52. (4) L e nozioni di "dominio regolare", "porzione di superficie regolare" etc. sono qui intese nel s e n s o precisato in : Picone-Fichera , "Trattato di Analisi Matematica , Tumminelli editore , 1956 , Roma .
L. De Vito
TK s i a rappresentabile, a
1
pezziw,
definito
sul
con una trasformazione continua e "di claSse
rettangolo
;1 = 4 2 ; t
I (0
ti, 4 , 2
e llimmagine
. P e r ogni &.
0)
, denoteremo
T, f)
con
sui
la
di
b2)
indicheremo
t4,b2 j variabile
5
,
in
tt ~
U
'3
3
Con
talora useremo
detta,
per
ad
porzione
particolare,
u K 0 : t 2 )6
ongi
I(
, il
di
5
in punti
defidefini-
&.
di
funzione del
punto
IBi c l a s s e 1 a pezzil' vettore che, nella r a p -
, coincide con
ogni y
G
una funzione
6
pensata come poi
il
il vettore di com-
K , ~ L ( K , s a r a indicato con il simbolo $ n d g D ~ . 3t2 indicheremo s e m p r e l a n o r m a l e interna a yyj anche
propriamente r e g o l a r e superficie
l a t&
5 . Se
in corrispondenza
presentazione ponenti
, e quindi , in
r)D
anche che,
flgD s i a 5 Sche o < R ( ~ e p e r
tale
.
punti
sia
di
da' :P < ~ ; ' (0(tiSl-&;t!0; I i ( i ; i J i z l J 2 Se b
con kK(ti,
su
di
3 ,
spazio cartesiano
possiamo s u p p o r r e
llimmagine
( o < ~ ; <;Ii= 4,2 ; 0
5
dello
O< t $4; i; 1.2 ;- 6 6 1% 2;
da
nella detta trasformazione,
(
RK
di c l a s s c /l)l
il simbolo Y
D .
&
3D
. Diremo
di c l a s s e
poi
che
il dominio
s e l a s u a frontiera
6 una
Con Cm(~])si indichera l l i n s i e m e delle funzioni di c l a s s e ,r In
con
C (\')quello delle fudrioni di O m -
D- gD
D
;
2m(p)che hanno supporto conteauto i n
;con g ( ~ ) l ' i n s i e r n edelle funzioni di modulo di potenza p-esima
somrnabile in
v
seeondo ~ e b e s g G e 16 , f - ~ ( + r n ( ~ ,) con 9 * ( 0 ) l 1 i n s i e m c delle
funzioni di g T ( ~ D ) c h eposseggopo d e r i v a t e p r i r n e (in s e n s o generalizzato) in e s e i kJpuna funzione lebseguiana in un insieme L lebesgu(5) Se iano, dicendo c n e & sommabile in L , intendiamo che & quasi ovunque limitata in L o, c o m e anche s i dice, pseudolimitata in L Converre-
VI
mo
poi che,
p e r ?=+a, 'ii simbolo
(lflpdx)*/l)
significhi
.
.p&&~.uyiB. i
- 25 L. De Vito
D
, di modulo di potenza
delle funzioni d i &"I(D) generalizzato) in D
/P - e s i m a
sommabile in
D , con ~9''(0)l'insieme
che posseggono derivate p a r z i a l i p r i m e (in s e n s o
, di modulo di potenza T- e s i m a sommabile in
D
,
f l ' t i 3 9 ) l t i n s i e m e delle funzioni & definite s u 9 0 , a venti modulo d i potenza ?' - e s i m a sommabile s u gD e , s e ?>d , tal; che, p e r ogni , risultino l e funzioni di 6 :
S + m , l c q $+mi
con
~~(t:&,t')- MK c t : t x l .k
con
V(8) l l i n s i e m e
sulla famiglia d i
tutti
analogamente, s e m o l a totalita r e l i a n i di
I)D
B
t 2 )/gtyt2
/P s+a;
delle i
m i s u r e r e a l i ( s c a l a r i o vettoriali) definite
B di L 3 ; V(R) intendere-
boreliani contenuti nel boreliano
& un
boreliano di
delle m i s u r e r e a l i contendti in
$p
.
con
( s c a l a r i o vettoriali) definite s u i bo-
. Porremo
inoltre :
L. De Vito
Se
ove
J
VP (g)&
una
&
!A
misura
l a v a r i a z i o n e totale
d i p introducono,
L e n o r m e t e s t & definite tura etc
di
.
spazio
normato
Seguiteremo
,
s i m b o l i )D('&
3
normato
Z'(~D)
s a r i denotato con
+{,,=d
poi
2
sempre
rispettivamente
) con
.
etc. (7)
di
l a convenzione
e
come
indicare etc.
il d u a l e
g'(D),Jf(>t)
n o r m a t i con i m e d e s i m i
e la norma
di
noto, una s t r u t -
insiemi
L o s p a z i o duale ;k
, porremo:
.
su
spazi
l), f.l: T"
che
V(B)
a
r i s p e t t i v a m e n t e negli
a indicare i detti
Converremo il duale
appartenente
di
S~ con I(
in
9 ,q', 7"
con
(cioe L!- +
di
p
1
uno s p a z i o
&
4
:4,
IL* .
etc.
i++. 4 p' 9 '++
t m e viceversa.
2 . Divergenza debole di un v e t t o r e Sia
u.
un
d i v e r g e n z a debole A
E-(D-YD)t a l e
p e r ogni
vertore
di
L'(D). Si dice
D - ~( Dr a p p r e s e n t a t a da
su
q u e s t a condizione
(rappresentata
14.
& dotato di
una m i s u r a ) s e e s i s t e
che :
p@), e l a m i s u r a /U.
Si diche
.he
che
,
chiamasi
U.
&
,
univocamente
d i v e r g e n z a debole
dotato
di
di
divergenza debole su-
d a una m i s u r a ) s e e s i s t e / l t ~ V ( ~ t)a l e
( 6 ) C f r . loc. c i t . in(') p . 214
d e t e r m i n a t a da s.u ?-I)/).
9
che :
.
('I) Gli spaziIi9:~l)p)sono s t a t i introdotti d a E . G a g l i a r d o c f r . E. Gagliardo, " C a r a t t e r i z z a z i o n i d e l l e t r a c c e s u l l a f r o n t i e r a r e lative a d . alc.une c l a s s i di funzioni in n v a r i a b i l i n , Rend. S e p . Mat. Univ. d i Padova , 1957
.
L. De Vito
ogni Y Et4(p).
per
E t ovvio
che :
Se W C ~ ( D )B
I.
e di divergenza debole
2 (L
11.
allora & B
FEV(U-JJ@U - I)- IfD , r i s u l t a / i i ( ~ ) y ( 5 )
l(D) B dotato di divergenza debole ,.t(~1 / ( ~s)u D
anche
dotato di
In generale, dotato
di
to
divergenza
invece, non B
divergenza
debole
debole
D-&)
e s i s t e un
vettore
identicamente
debole 6
nulla,
D .
V(D)
Sia
cosi
debole
stenziale
di
su
segua
ha p e r b
ME&'(^)
che ~,4
B dota-,
che ;
1.(~&9)
dotato
tale
di divergenza debole s u
che u+u0 s i a dotato
c((')D) = -pt(D-40)
di divergenza
s i consideri
definita ~ ~ B > / M [ ~ ~ D - & D ) ] D > ~ . ~ ( F o ' ) D ) , Esiste allora ; ( &'(D) che ha p e r diver-
/u"(~)=0 .
genza
Si
dalltessere
d i divergenza d e b o l e / ~ ~ I I ( D - $ ~ )
infatti q ~ v & ~ ) t a l eche
la/eV(D) Si ha :
D-gD, .
-V(~.I@ D.49 RC 1)-lfD
debolepe
v e r o che,
su
su
111. Se Uc&~p dotato
D-rfD ,
divergenza
:P(B)=)./L((~) p e r ogni boreliano
riesce
di
v
divergenza d e b o l e r c ~ j ~ ,
di
boreliano @C D-yD.
p e r ogni
e
dotato
D
la
7
(come
segue da un
principio e s i -
G. ~ i c h e r a ' ~e) dalla diseguaglianza d i Poincare :
( 8 ) ~ f rG. . Fichera: "Alcuni r e c e n t i sviluppi della t e o r i a dei problemi a l contorno p e r I t equazioni a l l e derivate parziqlin, Atti Convegno Internaz. sulle equazioni a deriv. parziali , T r i e s t e , 1954
.
L. D e Vito w
ll v e t t o r e l4,
ha
per
differisce
da
bole
su
I)-3Dnulla.
Se
I/t
0
per
un
& dotato d i
V - 3V .
su
divergenza
r e l i a n i contenuti
in
D-i)D,
d i v e r g e n z a debole
con
dira
anche,
in
rappresentata,
nei
do the LCE ,<,"(I!)
tal caso, puwi
di
di
D
( su
)
una
ha c o m e divergenza
misura
3. Gradiente Sia tata
di
sura
per Si
gradiente
vettoriale)
se
dice
che
ogni
una
C4(0)
su
debole
f 5 duv- LhDican-
1)-40( s u V
divergenza
continua
&u;
) la
debole
suD-,i)
con d e n s i t a / f ~ ' ? o )
debole funzione
di
J'
.
.-
Si
dice
che
s u D-3y( r a p p r e s e n t a t o
2- do-
M/
da
una mi-
e s i s ! e . ~ ~ ~ ~ / ( l j - 3 y ) a l ce h e :
e
eU ,
il gradiente
dotata
1.b
da
con
divergenza funzione
debole
ha c o m e
q!-; d i c e s i l a
indichek~
ha
dalla
assolutamente
debole
ogni fie @"(D)
presentata
per
una
b
si
&
D-,)p,
funzione e ~ L ~ ' ( ~ ) i n t e n d i a r ncoh e
f 4 6 ; 1 ( ~ )l a
e
(A,
che
D
su
a s s o l u t a m e n t e continua s u i bo-
"densitaft
d ~ v e r g e n z a g e n e r a l i z z a t a (locale) si
P-gDl a b e quindi
su
v e t t o r e i h o C - & 4 ( ~ h e ha d i v e r g e n z a de-
l a m i s u r a /tC &
se
e
debole
misura)
;
E l ovvio
che :
~ v% .
4
dotata
pradiente se
il
&
di-
debole
s u D- >D$
debole
esistepeV(~)tale
gradiente
gradiente
debole
debole
su
j 3
%
.
rap-
che :
di a
V (D)%
%
D
D
.
L. De Vito
e di gradiente debole boreliano
p;;c D- ap su
6c D-&D .
V. Se allora U &
usg(J)) dotata di
2 ~ 3 )(6) : ~p e r
anche di gradiente
.Se %EL'(!?) 6 dotata
allora riesce:
seguente
M,
La dimostrazione successivi paragrafi 7
ha
questo
intacto,
debole
sea: -
1P-+,9) genza nulla
ctht
su
come
per
dotata
Se
k 6 ,u(~)=$,+ d~
s u 1)
=0
t e o r e m a seguirj. dai
in
risultati dei
P-9Y. & noto, che
-)+D
perch6
,&c 1 / ( ~ - 3 ~ ?
di una funzione y c f & 4 ( ~ )
ogni vettore
di gradiente d e b o l e f i e vQ-/f1>).u
D
e
le
& che r i e -
q-c6'~~) che abbia
, alIora, c o m e & noto. 4/
second0 Tonelli
e
V(I))
BC~-qD.
V l i . Condizione n e c e s s a r i a e sufficiente
il gradiente
D - 3 ~,
gradiente d e b o l e p e ~ @ - $ ~
e 8
4. Gradiente debole Si
di
boreliano
di
I) ,
teorema :
anche dotata di gradiente debole ,p t p e r ogni
cv(l))
.
h
fi ( f j ) z P ( ( j )
ogni
d e b o l e p e ~ ( ~ 9 & ~ e- 9r i~e s c e :
5c Q - l f D
ogni boreliano
Sussiste anche il VI
gradiente debole,&
&
dotata
.'$n risultap(~)$(b,er
1)-
diver-
D-qI)
e se,
& a s s o l u t a k e n t e continua
componenti di
a
4
sono le derivate
'lo)
.
parziali p r i m e , in
senso
generalizzato,
ni
del
1 , si
avrii allora : L,i t
,f!=
C$?adk(intendendo il gradiente in s e n s o generalizzato). Se inoltre
paragrafo
di
c o n l e nutazio-
t ~ )S r.r i v e r e m o
anche
( 9 ) ~ f L. r . S. S c h r a r t z "Theorie d e s distributions", Act. Sci. Industr. P a r i g i , 1957, t. I. p. 59 . . ( l o ) Cfr. G. F i c h e r a , loc. cit
.
in")
, cap. 111 .
L. De Vito s i ha : LLE
&'(L?)s a r h
segue
&.
'5+:.p
t
v4'P(D)
*I
essere y t
per
8': D), +
I( (
w
L L ~
" t ~ k o m e6
noto, dallo
e risulta : '
$P:F(p)
,
&lIgto) 6 r<,p:p (0) (1
AL-yfto)
J f 6 ~ c 3 I;* ? ' < + W , . ~ ~ J ;,rstkt~, 34,(+2
1 &.pi<*
ogni ut MQ:"~?) 9 inoltre, s e j < + < r ~ s, i ha, di pis, ycCO(D). allora U , risulta dotata di gradiente debole s u
lyb~'' '(D),
Se poi u.
\)- 31) rappresentato dalla m i s u r a assolutamente continua p ( 3 )
= 5,@u
dr(lO) VIII. Se k e
.
&1(D)
& dotata di
gradiente debole ,u c
-
V ( ;; ,,I.?
~ a : : ~ e ~ ~ ( ~ ~ e~ r ~i e s, c,e :, < r ~ + .
Dato che U ,
e
Y ( D - ~ ) , risulta
un nucleo
Se
Per
U,
KG
debole
g T t ~p e)r ogni ,pl(+
s u D-$1)
una m i s u r a
.
~ i ~a ~ ( " f )
(I2)
regolarizzatore nel s e n s o di F r i e d r i c h s ( I 3 ) e poniama
6
ongi
ha p e r gradiente
r e g o l a r e C I) - '9 9 r i u s c i r P :
un dorninio propriamente
x c D'
, non
appena
r(l
6
abbastanza
grande, s i avrh :
" ~ f r .S. L. Sobolev: ItSu un teorema di analisi funzionalett, Math. Sbornik , 1938 e E. Gag1iardo:"Proprieta d i alcune c l a s s i di funzioni in piu variabiliv, Ricerche di Mat., 1958 ( e bibliografia qui citata). L e limitazioni p e r p, p t , c o m e & noto , sono l e migliori possibili.
. in (10) .
( 1 2 ) c f r . loc. cit. in (9) ( 1 3 ) c f r . lo&.cit.
-
&
I A ~ C X )=
31
jD ex
-
~ k - f jI.( (
L. De Vito
J ) ~ =J
donde, con un facile calcolo : (14)
lIObad"*I18q(D)< Vr< D - 4 0 ) , m > m . Detta K(D~) l a varieta l i n e a r e dei vettori di g*<~')che hanno divergenI
(9)
I
-
za debole
'
su
contenuta
I)'
qui e
da
si
(8)
trae
.Qa lm>co lo,
9 p e r ogni
NE
q,CQ')
che, in
ove pensiamo
Allora tinuo r u tutto
FD'
(11) e , p e r ogni talchb di
(9),
pub F,l
imbolo
q,(D'),\,&
forza di
d Q i ~, p)e r
ogni VC%(D>~ ha:
= u d u . d ~ =- {Dl u, Avv dx
{ D l ~ xy Da
in
il
limite:
d r =-IDl a c ~ w dx r t 5' (Y)
r4
funzionale lineare
1k7,jJ
e continuo sulla varieta
di a v e r introdotto la norma :
11
riesce :
essere
,&?D')
che e s i s t e finito
prolungato
(che seguiteremo
in un funzionale l i n e a r e e cona denotare con il medesimo
) tale che :
11 D' I\AacDIJ*
q,(D'),
risulta
FD, Lm<~) che hanno
riesce : ortogonale divergenza
VCD- N)
5,.
K d;v-v alla varieta
debole
su
dx =
- FDI(v),
?JDI
di tutti i vettori
Dt
identicamente
( 1 4 ) ~ u e s t aproprieta dellebt, & s t a t a osservata da .I. S e r r i n : "On the Differentiability of functions of se;eral variables", Arch. Rat. Mech. Analysis", 1961 .
L . De Vito
nulla. Consideriamo
nelltincognita
ora
I'equazione :
L3"(9. Dato che F0, 1 fl0', p e r il citato principio e s i -
( ;
stenzale di G. Fichera, la (12) a v r 8 soluzione, in forza della seguente formula di maggiorazione : (13) la quale 6 duale, nel razione
ove s i a s s u m a
(5)3
K4
/((I)')=
Tale soluzione s a r 8 ,
P)
ovviamente, unica a meno delltaggiunzione dl una costante. P e r principio d i
dualit& di G. F i c h e r a e p e r (11) s i a v r a :
Se o r a , confe "funzione di proval1 , in (12) , a s s u m i a m o una C E avremo : Ne viene
che
bf,
differisce da
e quindi r i e s c e : 4 6
b
%
Pr
dei
quali
l a r e . supponendo O < J
1)'
in
(14)
inoltre, p e r
Possiamo o r a a s s u m e r e , come l i
D'
alla definizione di dominio
<:yo.
Sia W E
ivi uniformemente
, s i ha
:
propriamente rego-
.
;-*I>
prolungata a tutto 17) ,
lipschitziana; inoltre esistono
( I 5 ) Cfr. G. Fichera, loc. cit. in (3) , p . 38
EY 0,
p e r una costante'
C1(9). P e r ogni punto ,
\ - ( ~ ) ~ Y ~ + ~ x ( ~ > I = Q [ ~ + ~ ~ ~ ~LaY ~ )v] . ,cosi
.
uno qualsiasi dei dom,-
9
~oniamo: risulta
il
b
due costanti
.;> J
L . De Vito
o,,,A L
, dipendenti s o l o d a
D , tali
che
R I " 6 - " d v ~ x ~ . j , o f l l < l p ~ ~x(=xp ~+ ~ - t ) ~ f4)RI l - +y:ifithO Esiste allora
una
L
costante
p
(dipe dente s o l o da
) tale che :
I-
fo.
<
11
11 corl.*ll&3/2 ( Dl) Kh, ( D) (L+.I ) @ 4.. 'vcC'(~1). Se ne deduce che, c o m e c o s t a n t e
4
p e r ogni
ogni volta
che
(dipendente s o l o
e
da
, si pub
K~,,,(D)([~$
)
K(D)SK,~>,~ (D~J
assumere
il numero
Da (15) s i t r a e a l l o r a :
I u t ~ l l g ~ ~ ( D l I<Jh,r(U(~t$ ) /I/u.II~(~-~~>
~2
qui s c e n d e subito
f a t t o che,
&VV= 0
.
t e debole
per
su
IX
.
-
31,
4c-8 (
in v i r t h
del
citato p r i n c i p i o
E &T~D) , 1d.fk 312
c(
( 6 ) P poi
U),La maggiorazione
o g n i h GV(~-lj*rtogonale
esiste
4. Gradiente
il
D
da
d i a t a conseguenza
sia
Dy ,0<3<
Dli
vkCD9
di G. E'ichera
a ciascuna ,che
ha
imme-
O4
v ~ C (0)
/ 1 ~c o m e
-
del con
gradien-
0 - 90 . debole
Condizione
gradiente
D
su
necessaria
debole
su
e
D
p E V(Q:)
sufficiente di
una funzione
4~&A(~)
?I che
riesca:
p e r ogni N
I
E e4(0) che
L a necessitti un
intervallo
prolunghiamo
/U
abbia
divergenza
nulla
.
P ovvia. M o s t r i a m o l a sufficienza. Se indichiamo con chiuso, in
contenente
[)
nel p r o p r i o interno, e s e
una,$~v-(r)ponendo,
per
ogni
SJCT :
L . De Vito
NB)=/GC(B~~) , l a condizione (16) implica, p e r z a di $ €g4( 1)che ha p e r gradiente debole Sia
ora
nu110
in
/\r
un
D
deduce (4) p e r
vettore
C
(
C
ogni ~ e C ' ( i ) ) e
costante) in quindi
V(D)verifica
X. S e r e
di
su
eA( 7 )
7-47 l a /KI
identicamente
-
-
d a l l t e s s e r e , p e r ogni s i f f a t t o l :
;
=
qualsiasi
il t e o r . VII, l t e s i s t e n -
genza nulla, e s i s t e
una ed una
(4). Tale soluzione
appartiene
ha
~
p e r gradiente debole s u
l a (16) p e r
sola soluzione a gJAcD)e
)(
e quindi di
ME
&
0-'3D la /u. .
lap.
verifica l a diseguaglianza:
-
soluzione
i3''(~). UI
B evidente
(17) B conseguenza del principio esistenziale,
che ha p e r
I*
P e r il t e o r . VIII s i ha :
L ' u n i c i t l di
D
.
Z E 23'2fi))
I1 s u s s i s t e r e
gih ricordato, d i
G.
Fichera. Supponiamo o r a che tamente (h
i gig
continua di
citati
(4)
numeri
verificante
#EgT(~).
Sobolev
(16),sia
il
si
D-&)
costante
e da D -
.
H
la
ha: L(~~'"cD)ove
teorema : una
assolu-
Allora. poiche la soluzione
(unica) ha p e r gradiente debole s u
. Esiste
T'J?
V(D),
limitazioni giP indicate p e r la maggiorazione
ha pertanto XI
densith
r i s u l t a t i di
verificano l e Si
con
l a p
T'J?
( D)
s
i 4 (della ~ )equazione
K costante indipendente da & . Dalla dimostrazione precedente appare che ogni % E E(D) di (4) d i f f e r i s c e p e r una costante da una su
d s i~
ogni ~ c ~ f ' @ a v e n t e diver-
con -
gradiente debole
~
1' D . Allora ( A : ~ -soddisfa c
11 Il,g~~(~) K 1 / I/vcD)
(I7)
b
/CC rff
, per e t
(5b;+
, dipendente solo dai
t a l e che, p e r ogni U E ~ f t D ) a v e n t ep e r
0
L. De Vito
gradiente
dehole
su
D
la
= JB
misurap(B)
4 dx ,/ . g $ q ( ~ ) ,
riesce :
11 "'I$PkD)'
( I 8)q\T
H,:p(@
I(&lI&'pcD)
; 1 6 T 1 < * W ,9-3 ;1 < ~ ' < + 0 0 , 3 < q 2 4 t 0 0 .
4 ,f<+<3 In particolare, dalla ( 1 8 )
segue :
?:.p
G?'< $?@ ,,ir .pc3 ;4 $*'<+a, +=3 ;* ~ , D ~ ~ +~c
6. T e o r e m i
tore
divergenza
dlesistenza e formule di maggiorazione p e r l1opera-
debole
D.
su
XII. Condizione n e c e s s a r i a e sufficiente
D
s i a la divergenra debole s u
di
un
perchi! la m i s u r a
vettore
/u'V(u)
b(eJ4(L?)eche r i e s c a
p [D)=O E ' immediata conseguenza ziale di
G. F i c h e r a , gi5 citato,
delllapplicazione del principio esistenalla equazione ( 2 ) e della formula di
maggioraz ione
che P
inclusa XI11
403) V E
nella
.S ~ / CV(D)& I ~
tale
che
/IA(D~=o,
esistono
U E & l ( ~ ) c h e hanno p e r divergenla debole s u
F i s s a t o comunque appartenente a
)D('&
q <3/2
$q(~)
con q b 3 / 2
in corrispondenza
tra
di
. In generale . E s i s t e una
ad un qualsiasi
divergenza debole s u
essi
D
,
ve
D
,
C1
infiniti vettori la m i s u r a
P-
nl& s e m p r e alrneno uno
non ve nl& alcuno che appartenga
K q .< ~ -) , d ( q < h , t a l e che, u ( - g ~ ~ ) a v e n t/LC e per
costante
vettore
risulta :
L. De Vito
con
0 %
4
no divergenza -
& vettori M o E
s i intende l ' i n s i e m e
D
a
debole
19CD)&.e
an--
identicamente nulla.
Dall'applicazione del citato principio e s i s t e n z i a l e di G. F i c h e r a e dalla (2)
(20)
s i trae
4J
l'esistenza d i una soluzione
( t e r m i n e noto & ,
)
/K(D)=o La (21lq
verificante la condizione
appartenente
a
)D('$
. L'esistenza 3'2 ,
un fissato
(nel
e s i s t e n z i a l e di G. F i c h e r a
+
l a di maggiorazione ( n e c e s s a r i a ) (20)
, con XIV
-
f & 3 , non
.S e p E V(Q&
mente continua
P Vera.
t a l e che p
con densit5
E&4~~)
vettori
di
pj 3<79 .
di F i c h e r a ) della
.
P evidente
Se, p e r
in corrispondenza ad ongi~€V&)conp(b)=~esistes-
s e una soluzione I* di ( 2 ) contenuta in principio
duale
senso
di infinite autosoluzioni
dell'equazione
di compatibilit5
9
con
s u s s i s t e in quanto duale
(20)#
Lh
che
t6 &+cD)
$ ' ( D )
,
in virth
del citato
dovrebbe s u s s i s t e r e con
?<3
.
la
iormu-
Ma & noto che
~ ~3 )e =s e /IC
e
,,rr q2+e), esistono
hanno p e r divergenza debole s u
assolutainfiniti
D
e riesce :
I,( 4 ( 3'2
, 1s q'stoo; q=3h, q= +m
44 ql(+@ ;~ / l < ~ < t m , ~ ~t m.s d &
,s i a ?$/"+q=3.
ove s i convenga che, p e r
specificato nell'enunciato del t e o r e m a precedente. L e
e
sono
le
migliori possibili
U
ha il s ~ g n i f i c a t o
9. . . limitazioni p e r
.
Li
La t e s i segue facilmente dall'applicazione del principio di e s i s t e n za e di
(5)+I
)Q
dualit5 d i delle
G. F i c h e r a alla equazione (2) e dalle diseguaglianze
quali
le
(22) S,S '
sono
l e duali. Se la limitazione
f o s s e migliorabile ( r i s p e t t o a di
q'
) , p e r il citato
G. 14'ichera dovrebbe s u s s i s t e r e la formula
L. De Vito
v d r \Vp e r I ( ? < 3
di m a g g i o r a z i o n e & l ~ ~ + d ~ ~,
>
@(DJ
, il
ch'e invece non
ri
&*(D)
di
dovrebbe
In v i r t a
Uk gnita
in
aventi
quindi solo da e s a m i n a r e il
la
0, e s i s t a
.f! . Detta
divergenza
debole
=-I0
del
citato principio
v ~ & ~avente ~ < per ~ ) la
su
D
totalita d e i vettocontenuta
ind('&),
v d ~
esistenziale di G. Fichera. lleauazione
d ~VEX , con
'Vx/
My2
+
ad
t e r m i n e noto / ~ i y ~ ) e incod
ammette soluzione in corrispondenza e riesce :
I I U + d* particolare, questa diseguaglianza
e cib
e ( c o m e fu esplicitamente no-
allora aversi :
E&*(D)
gonale
D
debole s u
e p e r qualche
allora, p e r assurdo, che, p e r ogni
SD{ dx=
e tale che divergenza
e possibi
. Resta
tat0 da ~ b b o l e vnel luogo c i t a t o j
. Supponiamo
+WD)
, come
& noto , 6
ad ogni
orto-
v
~ KII{II.J~~ I ~ ~ & dovrebbe s u s s i s t e r e
per
U E C i)) ~
assurdo.
T e o r e m i dtesistenza e formule di maggiorazione p e r l l o p e r a t c ~ r e divergenza
debole
su
D-4-Do
Assegnato c o m u n q u e / ( ~ t = v ( ~ - 8 ~ esistono ) infiniti vettori che hanno divergenza debole Fissato
comunque
appartenente
&
a
q<3/2
essi
&yD) . In generale. non
PCD) - '1)3/2 con
in eorrispondenza divergenza
t r a di
su
debole
ad su
. Esiste
un qualsiasi
una
ve
nle
costante
/Ic.
s e m p r e almeno uno
ve n'e alcuno
vettore
D-GD,risulta :
coincidente con
H
@($yD)
che appartenga
( D)
t a l e che,
/U
L. De Vito
ove
c o n B a si
p e r divergenza Segue
\
intende
liinsieme
-D-+D
debole
dalltapplicazione del
G. F i c h e r a alla equazione
ziale di
vettori
di &yD)che h::nno
la misura identicamente nulla.
su
immediatamente
dei
e
(1)
principio
dalla formula
razione :
.
esisten-
di maggio-
.
(D) Jlw d.pcO) ,p>3, wet2
the 6 inclusa nella
.
XVI
"Cu 9
/LI~V(()-J)~~) una m i s u r a assolutamente continua con densitj. ,
/
,/e k91(0) esistono infiniti vettori K F & t ~ ) c h e hanno s u D-)JD eriesce: ddbol; /U
p e r divergenza
(24)9,1t
; 4 < 3 ' < ~ . 23, ,I(?< (ove s i convenga che, p e r q, ficato e
specificato
71
sono
Segue
dal
per /v
ie su
genza
D
esiste
le
migliori possibili
.
s i ha
un
IAl=[wD7" D{dr su
con
migliorare
N
) ;
2
ha
il s igni-
per
.
ye
5D f! d r =
A ~ D 'he) {B
i(
l e limitazioni
per
per
perfettamente
del t e o r . XIV
.
ha
Allora, p e r i i
p e r divergenza d ~ b o -
.
la misura e
.
aUdx= l i t U 1 ~ & y D )
Allora, il vettore
D-&D
un ragionamento
strazione
49;u)e
?I
vettore
r a r e l e limitazioni p e r di
,j
t e o r . XVI, in b a s e alla seguente osservazione. Posto -
la m i s u r a p ( ~ ) =
debole
; P 2 ( i ( < t @j+ , 3I-c9r b i . < t
di(?&+a
, =a&
*q 9 t e o r e m a precedente. L e limitazioni
nel
C=/?-(WDJ~~+ dx
t e o r . XIV
:4
Sia r('~~*~~‘$i;ilec I ~ r ha per d i r r r -
/1L . L1impossibilitB di rniglio-
q'
segue da quella e
/r'
analog0
in relazione ad un
- nota -
alla (19),
r+
fatto nella dimo-
L. De Vito
8. T r a c c i a s u l contorno p e r funzioni dotate di g r a d i e n t e debole
su I>-$D. Sussiste
teorema :
.Se M ~ & ' ( ~ha) g r a d i e n t e debole s u I)-PD r a p p r e s e n -
XVII tat0
il seguente
dalla m i s u r a
r-
e s i s t e una ed una s o l a funzione
ode delle s e e u e n t i ~ r o ~ r i e :t a
1) r i e s c e :
ove i l i m i t i devono p e n s a r s i fztti prescindendo da un i n s i e m e di m i s u r a nulla 2)
per
O V ~ Ke 3 ) s i ha :
(27)
) di
'I.'x'1i4G3D)
+
un conveniente
ed
ove
in
i n s i e m e di m i s u r a nulla ;
/1@ljd_l~4D~
t( P
4) p e r ogni
una c o s t a n t e dioendente
solo
3
D .
da
v c c4(L)) r i s u l t a :
Dimostriamo n e di superficie
l a (25)
regolare
.
r
B a s t e r a f a r v e d e r e che, p e r ogni porziocontenuta
u[r+yztrg-u?r)ldm o limitarsi contenuta
'p'Iv(D- aD)J D P 1
una c o B a n t e dipendente s o l o da privato
( O,fo
-
'1 .-
11 '1144()fD
'26'
ove
7;
s u s s i s t e l a f o r m u l a di maggiorazione
in
un
9
in
qD
L u[x+paJ= g->o
a c o n s i d e r a r e il
caso
in
, riesce :
r
h\r.
u4(y)
cui
piano. P o s s i a m o quindi s u p p o r r e che
sia
sia con-
- 40 tenuta nel
piano
1O -
tervallo
~
1
di
tale
(, x l + ~ < p 'kitkl;t24 J tenga llintervallo 1='
come v e r s o r e
Y(X)
e
s i0a
~
piano
&;+a
~ ix Ji
dalla chiusura
(definito dalle limitazioni anche che
delltin-
~''2 .
D
con-
~;;%(~kl'tO) . Assurneremo v e r s o r e normale interno . Con l e con
;
per-)"r
notazioni introdotte in
costituita
. Supporremo
) 0
L. De Vito
il
-
1 , s i t r a t t a allora
di mostrare
che
esiste
g4(1;;) tale che : L((T$)M*($)JdjL=o,L 4(f,2+j=u*($d.j
una 14X(2;)sM X ( X ' + $ i * ~ ~
C->oS. P. ~111i.i prescindendo da un conveniente insie-
fatti m e di m i s u r a
nulla
per
/U ; e a %; ( n e l piano 1 '= 0
positiva e negativa di
4 10
rispetto
la:
vallo riesce :
del
I,i
. Indicate con
delltasse reale
con
X'
~(9. E)
l a derivata parziale di
senso
p e r ogni interval-
contenuto
in
Io2;
e per
ogni inter-
contenuto, con la s u a chiusura, in ( Q;O ),
2 $ ! ~ ~ ~ ~ ~ ;. ~ l ) ~ ~
4,ui(~-~;%i~:)=$ Post0
le variazioni
a:
, con 4i(f<0,
si
( 1 6 ) c f r . loc. cit. in (1) pp. 215 e segg. ( I 7 ) C f r . loc. cit. in (1) t e o r . IX. 5 e
'd
.
ha:
t e o r . 111. 2
.
L. De Vito
Dal t e o r e m a d i
$)
' ~ ( j $; :i?:
esiste
Beppo Levi s i t r a e allora che @ sommabile in
q. o. il limite
mite B sommabile
in
1y;
in
0
34"~.
: ad g ,
di 9' u
uniformemente rispetto
1:
$; : & & ' +Cr 3! ;a ')' c h e tale li,,f
V
e riesce :
6e;c.
k-5 C+O ia: - (91 J,o{;~~)~~'= Analog0 ragionamento s i
l a funzione
. z->o -
'S&;
-721
fare p r
.
.$')d7i 2''
qpi .
Se ne conclude
che e s i s t e q . o. il limite
a1 v a r i a r e
di
Ma s i ha:
mentare di scelto
un
opportuno insieme d i m i s u r a nulla(18)
fuori
di un
finito il limite ( q . o. in
L
I*
certo
insieme
di
. Ne
viene che.
m i s u r a nulla, e s i s t e
1 ;) 9
($,a')= k ( a \ ? 3 +
.U(I&),.;%;I=u*cgy
6+ 0<+oG#i Jf ove, nel calcolo del limite, s i prescinda da u conveniente insieme di m i s u r a nulla p e r
2
. I1 limite- N'(;li)
risulta
0
uniformemente rispetto
a 1
;cl ;
3 3
riesce
(18)cfr.. Loc. cit. in (1) , t e o r . V. 5
sommabile s u
5
0
8
; e,
- 42 L. De Vito
ove i i i m i t i s i intendano fatti p r e s c i n d e n 8 0 d a un conveniente i n s i e m e di m i s u r a nulla rispetto a
per
1:
3 E.
, si
. Dalla uniformita di t a l e r e l a z i o n e di l i m i t e t r a e i m m e d i a t a m e n t e l a d i m o s t r a z i o n e di (25) .
D i m o s t r a z i o n e di (26)
prescindendo, p e r
.
Bastera limitarsi a provare
2 , da un cgnveniente
insieme di
che :
m i s u r a nulla.
Dalla p r e c e d e n t e d i m o s t r a z i o n e s i deduce, t r a l l a l t r o , c h e , p u r di p r e s c i n d e r e d a un
conveniente i n s i e m e di m i s u r a nulla, r i e s c e :
D i m o s t r a z i o n e di ( 2 7 )
(301 con
.
Bastera f a r vedere che risulta :
5 1 i * " i g ~ l dw(( ~ xla:
I~(ri$.lldx+Yi(~
f 9' costante
I:;
indipendente
da
,,. . Dalla
( I 9 ) C f r . 1oc.cit. in(') , t e o r . 111.2 e t e o r . IX. 5
dimostraiione prece-
.
L. De Vito
dente s i
trae :
,
I
i
q . o.,donde , p a s sI
lu~l,~')ld~i+L~(J,. k do
a1 limite, p e r f+ 0 :
L a proprietk 4) s i ottiene subito , passando a1 limite, p e r f ->0$ nella relazione
L'indipendenza di di cui alla definizione di
&*
7
dominio
>
s*P' ~@,?oo)
dalla p a r t i c o l a r e s c e l t a del v e r s o r e
propriamente regolare, & di verific?
immediata. L a funzione masi traccia di
k* ,
K
P e r l a funzione
su
d i cui si & provata l l e s i s t e n z a e ltunicitA, chia-
C)r)
(20)
t r a c c i a s u s s i s t o n o anche i seguenti t e o r e m i .
- d A ( ~ha) p e r
XVIII. Se K E
&
,
&a s u a t r a c c i a s u
ove
/('
2
@p
.
gradiente debole
appartiene a
gp2(~)
su
D-&D
la a i s u r a
e, indicata con 4 4k
, riesce :
una costante dipendente s o l o da
D.
( 2 0 ) ~ a l nozione e d i t r a c c i a 6 s t a t a data da G. F i c h e r a nel 1949(cfr. G. Ficher a , llSulllesistenza e s u l calcolo delle soluzioni dei problemi a1 contorno rel.ativi alltequilibrio di un coppo elastico", Ann. Sc. Norm. Sup. P i s a , 1950, Pubblicazione dell1INAC n. 248, 1949) e r i p r e s a , pih t a r d i , da Stampacchia ( c f r . G. Stampacchia, llProblemi a1 contorno p e r equazioni di tip0 ellettico a derivate p a r z i a l i e questioni di calcolo delle variazioni connesse", Ann, di Mat. pura e appl., 1952)
L. De Vito
L a ( 3 1 ) si deduce immediatamente applicando il gia pi0 esistenziale e di dualith di
G. F i c h e r a alltequazione
ePGV(b,qD) e ltincognita e 4 E$~'~(D)o&'(QJ)) spazio L3Y~))nr(J3j)) e normalizzato mediante la norma )I 11 s
ove il t e r m i n e
60
citato princi-
noto
lkqo)
I1 flgq,, +I XIX . L( E Irz_p€Y(D-T)D),e Se /Cc QE. &?(D) , la t r a c c i a u*
ha p e r gradiente debole su 6
D- .;'D
assolutamente continua con densith
di
U
su
~
~
appartiene a
e riesce :
&(I) u+eaA.ll&
(33kl\+4
=
rpl~',?~
f
n
~
limitazioni
4
non
con
il t e r m i n e densith
essere
f.
noto ,&
&T[D)
@ ;
una
migliorate.
Se o r a si tiene p r e s e n t e
g"('3D )
dette., come segue
perb,
m i s u r a assolutamente continua
Itincognita
spazio $(b)(~&f'(&~)nOrmalioeato
tenente a
~
.I
possono
Si consideri, anche questa volta, ltequazione (32) ove, ora,
'
soddisfano l e seguenti limitazioni:
?48d+c0 Tali
~
4(,
@
una funzione dello
con l a norrna: che
con
una l4 E
, .pl, q~~
+)
a)elfSP(~) verificanti l e limitazioni s o p r a
dai noti r i s u l t a t i di Sobolev (21) ( e t a l i limitazioni
(21) Cf r . L.S. Sobolev ed E. Gagliardo loc. cit. in ( 1 1 )
~
L. De Vito non sono migliorabili, come osservato da Sobolev), llapplicazione del citat0 principio
dualit& di G. Fichera alltequazione (32). consente di
di
.
dimostrare subito il teorema
e l contorno &r
0 . -cia,
funzioni dotate di ~ r a d i e debole a su D
P e r il teor, V e per quanto detto nel n.precedente, ri ha che ogni h m ~ i o n edotata di gradiente debole ru porriede traccia ((* no1 renro prooirato I. numero precedente e guindi rurrirtoru r ) D no, per tale tracciaj tutte 1e propriot8 inciteate nei teorr, XVII r XVIII, Si ha inoltro : la mirura XX. 80 ha come gradimte debole ru
D
-y ~ d * ( ~ )
D
/(( E V ( D ) , i .u appartiene traccia r u &D , rierce:
a
-
con -
indipendente da
e, indicata con K*
la rua,
%CB)= JB(uu + osA)p &-p CS) U.
.
Si consideri llequazione
ove il termine contenuta
noto
nello
appartiene
spazio
1) (1; 11 ~ k ~ ~ yL1applicazione " * / b ~del~
con
principio
dualitl di G. Fichera alltequazione (35) (tenendo presente
l a proprieth
4) delle tracce ) consente di provare immediatamente
llasserto.
]MI.
norma
coppie
normalizzato di
la
delle
VCD) , e ltincognita .B (u,/*) con U ekU?l)),&$ V@o) a
& UE
g(o)u
e r gradiente debole s u
D
la misur.
L . De Vito
/t
4 V(V)
riesce
i
( 1
ove
:
r'3k
I*
rr\* @
12 la porzione di
posta t r a i
equazione uniforme
Y X dp
JiD di superficie r e g o l a r e contenuta
una porzlone
'
=(
do-
GD
punti
che corrisponde a
5' di r&D
e
quelli
di
40
in
1D
4
nella -
GDp
dalla
x=?tf&~) 3 3 ~ 3 4ye+D , . Tale relazione di l i A i t e @ a1 v a r i a r e di r( su 130 ; inoltre il limite deve inF)D -
-
t e n d e r s i eseguito prescindendo da un insieme di m i s u r a nulla p e r variabile
la
.
C J
Se c i poniamo nel c a s o particolare considerato nella d i m o s t r a zione del t e o r . XVII ( il che, d'altra parte, non & r e s t r i t t i v o rispetto a1 c a s o generale) ,
facendo uso delle notazioni la introdotte, s i vede
subito che, p e r quasi tutti gli riesce :
E
negativi e abbastanza vicini a zero.
-
5 =-p:(J:{ 'z2 i ~ ( 3i)d8i
donde, passando
a1
limite, p e r f-+ 0
L1uniformitB, rispetto
a
IUi, d i questa
dai risultati del t e o r . XVII.
,
rat), J:';
'(rg
x i
9)
s i trae :
relazione di
l i m i t e j segue
d
Da qui, in particolare , s i t r a e che XXII (,t
E
V(D)
.
Se q F a 4 ( ~ ) h a p e r gradiente debole s u
p e r ogni boreliano s u i boreliani
U * l a t r a c c i a di
indicata con
D
di LD-
,
, e si ha quindi che. l a m i s u r a
T)D
la rnisura
P
risulta :
c o s i definita
:,u*($~)= JR Y X ~ / K .30
@
super-
L. De Vito
ficialmente
avendo
assolutamente continua. Risulta inoltre :
indieata con
Vitali) della m i s u r a rispetto
&
la
dG , fic64~)
d e r i v a t i bidimensionale (nel s e n s o d i definita
all'ordinaria m i s u r a di
calcolo del limite
2 (L
XXIII. sentato
da
boreliano
EC D
XXIV abbia
6d4(~) ha gradiente /Lc 6 V(D)
una m i s u r a
, la traccia di-
. Condizione continua
e che l a t r a c c i a
e
debole
sep(6)
/;CD&
u
su
D
con densit&
di
2
-
{G
A''<%+ e tali
limitazioni
D
rappre-
p e r ogni
n lla.
B+(D) , sia
- M6@t?(D) ha t r a c c i a nulla
.
&d du
rappresentato
XXV. Se
.
=
su
n e c e s s a r i a e sufficiente perch&
gradiente debole
asso1utamente
PD,Nel
,
p r e s c i n d e r e da un insieme oppor-
9 .
tun? d i m i s u r a nulla p e r l a variabile
di $b -
849
boreliani
Lebesgue sulla superficie
s i intende di
(37)
sui
, 44?(3 ;44pk+co, E r
9
5
da una m i s u r a
wP:qD)
& che
nulla. su
/jD
, riesce
:
?=3;4d+~k-nx,, 3 4 ~ s + m migliori
9 1
w-
w. 10. P r o p r i e t & delle t r a c c e
XxvI. & ha
delle funzioni dotate d i gradiente
~*b)6~~"(3~)~ rc ?~+CO,i 4 TS+m come t r a c c h &L &D h
, esiste g*
una
debole.
u evj.rrD,,
e riesce :
una ed
ove
nulla
tat0
llinsieme
@D
I . I
su
m e delle 1(
costante dipendente solo
(cioe
&?'(D)
delle
da
u 6 Q(YlfaThe f a n n o t r a c c i a "
in forza del t e o r . XXIV,
che hanno gradiente debole s u
da una m i s u r a assolu-arnente
D
continua con densita
E
& 1:insieI TI
rappresen-
&Ty Se
u * E C O ( ~ ~ D ) O A ~ ~ ( ~ ~ De s i)s t,e I ~ ~ ~~ F+C ~O (, D ) ~ Q ~ . P ( D )
/rD
che ha come t r a c c i a
(11 u t OI&~!J ~ 11 Y
itrt kk,
(39jT ove -
e
?'-
l ' i n s i e m e delle funzionl
XXVIl. Se IC.:
A"~(&~j
(40k14
(n) //
j? < t c f . i a s u a t r a c c i a
e risulta:
)/
(eb)
~ * l ~ ~ ~ : p
I Teoremi E. Gagliardo
riesce
~ c ' ~ ~ ~ ~ ~ J I?~ P ( ~ ) *) ~ ~ 1 * ( , , , 1 1 dl C"(ij))rlx"':ijche hanno t r a c c i a nulla s u ?n
R',, (D) cOs?.actb dipendente
con da
Q: 1'
54 (i;)con - 4 1 1.".
e
Ri:,
solo
XXVI e XXVII, nel c a s o
( c i r . lac. cit. in
(''1
X U/ . appartiene a
0) Jl IIMr:
da
rp;?, D .
7)'=~
P(o)
, sono
s t a t i dati
; 1;estensione qui indicata
s i consegue, sostanzialmente, con l e s t e s s e dimostrazioni di d 0 (22) 11 t e o r . W(VI; non s i stesse
la
(
per
e questa diseguaglianza nel c a s o del piano
~ s t e n d ea1 c a s o
ql>,p .
, sarebbe a-che
Se infatti
11 U*ll
Gagliar. sussi-
r r/3DjG li"%t~
& assurd,a; p e r constatarlo basta far r i c o r s o ,
alla successione
!u,,,(~))
( 2 2 ) ~ u e s t tie o r e m i di Gagliardo sono s!ati successivamente generalizzati da v a r i i Autori ( c f r . S. V. Uspenskii Iloklady Akad. Kauk. 1960)
.
AN
= m-P@-r"..)"(r4+ 4/m)-"11'
dopo
aver
scelto
11. T r a c c i a
per
e
i vettori
e
XXVIII. debole n o
- 9
su
ed un
solo
in
guisa
dotati
il
v a l o r e del funzionale ;
,possiede divergenza
la
(41)
/LL)
con
(P
(lineare e continuo s u
RpCD),!~/u yDj+ IJYlr(D-8Dl
come untequazione
Ib
il t e r m i n e noto
XXIX debole s u
. % yet(@
D-I)D.
I
6 costituito
u ~ & ~ J ) , ~ <6 ~ V(D-))D, < M ,(lo spazio ove va-
principio esistenziale
detta equazione, s i ottiene
ltincognita 6 -
ove
r i a il t e r m i n e noto s i p e n s a n o r m a l i z z a t o con l a n o r m a ) ) Applicando il
:
riesce :
p'F [ P T ~ D ) ~ A ~ . F ( ~ D )edJ
C O P P ~ ~
/)-4D 9
" 'lrcr ~ -~.~j f~ij +D)(J*g
Si congideri llelemento
su
r a p p r e s e n t a t a da una m i s u r a P C ~ ( ~ - g ~ , s i s t e
n A*J?(~) calcolato s u
dalla
divergenza debole
44 s <+oo
,
T 3< ,~2 p ' P4+ 7'
:
e l e m e n t o r p E ~ c 0 ( ~ D ) ~ A ~ ~ ( ~ Dtale ) ~ ~ 2che 3)
s < y , v )indica (42)
t a l e che
di
LQ(~)
L . De Vito
P 4 0
e di
dualit5 di
JI=lI 'kvD)
G. F i c h e r a
~ ( -&Ij 0 ).
alla
la tesi.
. con
contenuta
d(q<+a,
,&
dotato di divergenza
in &9rD),14 9 1 ( + 4
,
e s i s t e uno ed
( 2 3 ) ~ t i n s i e m eC . ( n ~ ) r ) ~ ~ % ~ )qui e pensato come spazio normato con la nor"" di / ~ ' / P ( & D ) '
L. De Vito
P \['i "(,3D)~*
un solo e l e m e n t o
e r-i e s c e -
tale che :
:
\
<'Rp\? CD) (11 "IIkLD)+
)IQN /$'J'(QDJ"
(44)
I1 simbolo
I fi~lkqtDj)*
ha significato analog0 a quello p r e c i s a t o nel
)
t e o r e m a precedente. Ida dimostrazione P analoga a quella del t e o r e m a p r e cendente.
~'(GD)
Naturalmente, s e e s i s t e una funzione
cpf v(4~)) p e r cui r i e s c a :
misura
50u
(oppore una
.
dx + {,, qDYdp=- f R D v d p ) v e C ' ( ~ ) ,( py dr (oppure <~,y-> , 5 vL((P ) e quindi, in t a l case , il (oppure
'3D
X@Y
le
9D , = [ f l : ~ ( + ~ ~ % i potra identificare
con
la m i s u r a
1/-(~3y)
Cp,g
norninazione traccia r e che hanno
di
la fum ione
) che, d t a l t r a parte,
funriona-
y6$4(r)~j(o
@ univocamente
. Questa c i r c o s t a n r a giustifica la denot r a c c i a di w s u / 3 ~ (pih p r e c i s a m e n t e s a r e b b e l a --
I
determinata dalla
con
v>=
(45) ( 2 4 )
di H x )I ) che esistono dei vettori divergenza debole
identicamente nulla) zione n& una m i s u r a
e per
.
s i dA al. funzionale
-e
su
E t per6
da nota-
-
s i possono facilmente c o s t r u i r e
D-!>D
i quali l a
anche molto r e g o l a r e traccia
(P
non
che
(ad e s .
t? nP una fun-
.
Caso p a r t i c o l a r e della (44)
e
la seguente
:
( 2 4 ) ~ a t u r a l m e n t e la , rappresentazione(q,V> = Y Y ~ Vanche , nel suddett o caso, s u s s i s t e solo p e r W C C ~ C D ) mentre, in g n e r a l e , e s s a non potra s u s s i s t e r e p e r una qualsiasi ~6 p e n s a r e a1 c a s o 4 2 ~Saran. no indicate, in seguito, a l t r e rappresentazioni p e r il funzionale
basta
f'
.
- 51 L . De Vito
jotx.
D-gp
divergenza debole s u indicata
con
debole
l'insieme
9
su
in
, & dotato di
g4tD), q
'
&
2 .$I ., -
contenuta
1 ~ 4 ' : 1 * ( ~ ~ ) ] * l a sua t r a c c i a s u
I'
ove
con 4 c g (+ m -
Se il vettore ~4,cLq(p)
dei
contenuta
vettori
. I1
f-q(/)) ,.
in
.I(.i'.
di
che hanno divergenra teorerna
non & v e r o p e r
Se s i considera l'equazione ; (42)
~ 1 .
irai ,-
$,
'0
1)
del principio, alla
(48),
,
d ,
.,-t
i',,,,
i/
ove il t e r m i n e noto C O P P ~(~M ,
1,{
appartiene
;
con
gig citato,
D
a
[ A r ' p ~ ~ ~ ) l ? ) iItincognita ~ B
)
di e s i s t e n z a
tenendo conto della (40)
T'lP
is
, la t e s i segue dall 'app1ic;izione e di dualits
di
G. F i c h c r a
.
In p a r t i c o l a r e , p e r ogni V E ~ ' < D ) r i e s c e :
ed
anche :
*o
( I I N + W O ~ ~ ~ Q ~ ~ ~ + Wq,ql
Riguardo quest'ultima, jlZTx311 p
'
s
,
~ C J + % ) ~ I ~ ~ . ( ~ < R ~ I ; ~~( DX) ~ I J ~ Q ~ ~ ~
(50).11q0
-
4 s q\
p(.3!?)]r( \I"Xvlli.'i7D)iSi
pub
inoltre a s s u m e r e
anche
<
-1
dato
L. De Vito che l a (50),,q, segue
da
Se poi il vettore una funzione
di
test&
Una
fatto
03
V(&V) 9
s c a l a r e , tali
D-3J)
rappresentata da
, con l o
q'
con Q)
di
,
r, r' classe
stesso
ragiona-
appartenenti a ~ : * ( ~ ~ ) 1 :
& fornita dal seguente teorema:
~ ~ [ ~ : f ' ( r ) ~ ) _con 7*
1.
, esistono
q l & + c O
a
YD
su
debole s u
s i vede che r i e s c e :
D
Sia
.
ha divergenza
rappresentazione d e i funzionali
XXXI. tenenti a
r(q
ha t r a c c i a
x9'r1)~)
che s u s s i s t e quali s i siano
t
con
p)
bt&Q
gQ1O)) , e d
contenuta in mento
(50)q,ql
due m i s u r e O(
la p r i m a vettoriale a due componenti
l
5 q ' appar-
e la seconda
che :
=JDD~da'+j yUd,,,/~'..doc per
AIc
ogni
mere in -
C4(/3-D)
49 . & ip<+m
( s i pub a s s u m e r e
g(l)y) - kq'(lfv)
mersi
(in
d
=_
0
,
ed il c a s o
C( )
'
(
pl<+
) si
pub
assu-
) assolutamente continua con densit&
.& =j
P= 1 , qualunque s i a
e
llunico
pub a s s u 1
che goda di detta proprieta
El conseguenza di t e o r e m i noti sulla rappresentazione dei funzionali l i n e a r i e continui negli spazi
w4',
m a pub e s s e r e ridimostrato subito facen-
do r i c o r s o a1 principio esistenziale d i G . Fichera. Bastainfatti applicare t a l e principio alllequazione
( 2 5 ) ~ ntutte l e formule (47) (49) (50) (51) l l i n s i e m e to con E ~ ( ~ ) c o mapparirti e dai t e o r e m i del n. 16.
W
.pub e s s e r e sostitui-
-1;I
I,. De Vito
e
ove (PE/&~n):+(8D)]* coppia@
',01)
il
terrnine noto,e l'incognita & costituita dalla
il(9.D)
di m i s u r e d i
. tenendo conto d r l l a
formu-
la di maggiorazione
e. per f =
Da qui XXXII debole d i lJ-D -
p
ricordando
l si
deduce il
. I1 vettore p
che
7 ~ )4 . 9(+ co
&.
(
D.~D .
contenuto in il
un piano
piano
na spiccata nei punti
Ihb8,,(r)~ 12!74,9
seguente t e o r e m a .
V(D./)D)
coincidente con
I(
xl,
di
Esistono a l l o r a una famiglia di intervalli del piano (27)
0
un
insieme a p e r t o
che, p e r semplicitg , supponiamo
. Ammettiamo
abbia
f Ia:1 . 9
, ,possegga diuerpenza
che
la
normale in1.ere-
ltorien?azione d e l l t a s s e y'
, elementare ovunque decsa in
, contenuti
in
Z
. 7
,
, una m i s u r a o(' nel c a s o T<+m
I
+<
r(+d
dovuta a C. B. Morrey; c f r . ttFunctions of s e v e r a i variables and absolute continuityu Duke Math. J. v. 6, pp. 187-215, 1940. 2 7 ) ~ e g u e n d oG. F i c h e r a , d i r e m o che una famiglia di insiemi B "elementar e " s e & chiusa rispetto a1 prodotto e s e inoltre la dlfferenza t r a due suoi qualsiansi insiemi pub p o r s i come unione di un numero finito di insiemi della famiglia s t e s s a a due a due disgiunti. I>icer.do che una famiglia d i insiemi d i & tlovunque d e n s a t t , intendiamo che la famiglia totalmente additiva minima che la contiene B quclla dei borsliani di .
L. De Vito
definita s u i boreliani
Ec9(r) r+o*
tali
Se -
I,. y
vettore 'j'- (a due componenti)
un
i
u
l a n o r m a l e interna
B
a
pub
con densit5
( D)
in
con densit5 in
, O('
Q'
%
& ,
pure
@
<
.
un intervallo
a
Xic4<&"4
zone N
q;t2
v
Se o r a s i
e s i passa
.
s
(
ed 0
.
assolutamente continua assolutamente continua
. I1 limite, nella precedente r e l a r i o n e ,
&'~z),4(qlg+m
1;,
Sia
J
di -
piano
si intende fatto rescinde en do da un conveniente i n s i e m e d i
Per L -
12,E[12,(
x'
punti
91%: s u l
a
.
assumere
f?! .yA))*Ar n e
indica l a normale interna i
c(=,a,
ed
che :
5
ove 3Cx) ove -
di
i
< 8 .'
)
(
*
di
definito dalle limitazioni q " 3
. Sia ,
4
4
m i s u r a nulla
.
I
f
2
> 12 .
)
Si consideri l a fun-
eve s i
e
post0 :
tiene p r e s e n t e che, in b a s e a1 t e o r e m a precedente , r i e s c e :
a1 l i m i t e , in questa
relazione, p e r
E -7
(3
, prescin-
L. De Vito
dendo da un conveniente insieme di scegliere
l'intervallo
ovunque densa
&
per
,
pur di
in una conveniente famiglia elementare
,
in
12. T r a c c i a p e r i
Poiche
m i s u r a nulla
s i ottiene la tesi.
vettori dotati di divergenza debole s u
i vettori
$*(D)
di
che hanno divergenza debole
D-qD,
hanno anche divergenza debole s u proprieta di tale t r a c c i a
D
la nozione di t r a c c i a e le
considerate nel numero precedente, seguitano
.
a s u s s i s t e r e anche p e r i vettori dotati di divergenza debole s u Di pih , questa volta s i XXXIII. su -
9
,
pub d i r e che :
Se il vettore K. 6
p
&'(D)
ha divergenra d e b o l e p e V(@
$D
la sua traccia su
e precisamente dalla
suD
?i rappresentata
da una misura
s t e s s a , pensata come elemento di
V@D) .
I1 t e o r e m a & ovvio Da t e o r . XXXII segue subito che : XXXIV. I1 vettore
rappresentata dalla m i s u r a to
&D
di
Xi
.
. Esistono
, tali che :
,
di,
di
0
!2
allora una famiglia di
intervalli
2
un
D
insierne a p e r -
un. piano, che, p e r semplicit5 , sup-
piano
spiccata nei punti
densa s u
.-
il
in
divergenza debole su
. ga-
V(D)
p
, contenuto
poniamo coincidere con male interna
g ( ~possegga )
U. E
del piano
. Ammettiarno
che la nor-
abbia l'orientazione dell'asse elementare, ovunque x ( =
0
, contenuti in
L. De Vito
ove il limite s i
intende fatto prescindendo da un opportuno insieme di
m i s u r a nulla p e r
t
.
Naturalmente, la relazione d i & uniforme
rispetto
1%;; s e
a
e s s e r e assolutamente continua s u
limite
(52)
p
l o fosse, la
{la:]
,
, in generale, non
anche e s s e r e totalmente singolare. El da notare che, anche s e fosse
assolutamente continua s u
l e , concludere che la
P
1
( 5 2 ) 6 uniforme r i s p e t t o
. In effetti, s e y(q2')x U (5 2 ')
a
il suddetto limite fosse uniforme, a l l o r a la funzione r i s u l t e r e b b e convergente in m o s t r a r e , con
9
, non s i potrebbe, in g e n e r a -
$*(I)
, p e r 130,
esempi, che, in generale, cib
laddove s i puh
non s i verifica. Rife-
r i a m o c i , p e r semplicitg, a1 c a s o del piano.1'oniamo :
essendo
Q
il quadrat0 : 0<7'< $
una qualsiasi funzione p e r p a r t i s i ha :
di
C '( Q)
,
. Per
0( x 2 ( (1/2
1.
.
Sia o r a 'L/
, con integrazione
- 57
L. De Vito
Con un calcolo, s i verifica che, quale s i s i a
8,
I->D
Iq
1 +JY-(x:I)J~(x~z)~Y~=o. Neviene:
0 P e r t a n t o il vettore
C4(a) ,
4)- 6
dy
ug&v
Q
ha divergenza debole s u
risulta:
= 0.
identicamente
nulla (6 c h i a r o come l e definizioni qui date d i divergenza debole trasportino a1 c a s o del piano). Ne viene che l a t r a c c i a di
X' = 0 y(X4,0)
si
e
identieamente nulla. El p e r b evidente
~ ( r : f =) q ( ~ $ non)a m m e t t e
prescinde
per
Q
di
ogni
limite
da un conveniente insieme
IX1 c ~d ),
intervallo
Con questo
M,
esempio
si
per di
si
s u l lato che
, neppure s e
f-> 0
misura
sj
nulla
.
Inoltre,
ha :
& visto,
dunque, che p e r l a t r a c c i a d i
un vettore dotato d i divergenza debole non sussistono, in generale, l e analoghe della (25) e della (26) (relative a l l a t r a c c i a di tata
di gradiente).
della
(27)
El
. Basta,
facile vedere che non s u s s i s t e neppure l a analoga
per
questo, nel c a s o
bidimensionale, considerare
l a successione di vettori : ~ ( ~ ' ( M2~ ) , * ) ~ ) ) con ;i'/x'l"-'~?),si
ha
riesce
una funzione do-
wNC
&
CYQ) = (7
ove
~ ' ~ ) = ~ ) l y ~ l ~ 4 @ ? Lto= 1(/*
1
1
2
Qz(o
quale
si
sia
q
,44q<+d.
s e s u s s i s t e s s e la analoga d i (27) e cioe : j 4 9 1 ~ x ~ l ~ r 4 ~ ( l l ~ 4 y a + ~ ( 9 - I ~ nel c a s o attuale s i avrebbe : de
&
I-)oo
504 l m ( ~ ' l x ) ( d x ' = ~
XXXV.
%p
V(D)
5; 1 UY(~,~~)J d X a a )I
U@")
l(e9(Q)
, il che t? falso. & t a l e che
(D) = 0
e s e riesce :
don-
- 58 L. De Vito
esistono infiniti vettori e
fi
ove 11% genza sono
@
debole s u
4 e$qcl~)
che hanno p e r divergenza debole
gD
per traccia
llinsieme
D
dei vettori
di
,
(F
iQcD)
e riesce :
che hanno diver-
identicamente nulla. L e limitazioni
4,gl,
?If
le migliori possibili. I1 t e o r e m a
dfesistenza
e l a formula di maggiorazione
e di dualit5 di G.
con0 rispettivamente dal principio esistenziale Fichera,
facendo r i c o r s o
zione (33)
+'
J
(nel senso
a1
s i dedu-
t e o r . XIX ed alla formula d i maggiora-
l a duale della quale l a ( 5 3 I q , q', Q , ~ ?'I di F i c h e r a ) El poi facile vedere, in virtb della gi5 o s -
TI,
.
s e r v a t a non migliorabilit5 delle limitazioni p e r
-~J,T',?I1
relative alla
, che l'unico c a s o da e s a m i n a r e , a i fini di una eventuale (33)TjTl,4,, , il seguente : q=-$ 7 1< migliorabilita delle limitazioni p e r q , ql, q l l
+
'qk+&, qll= 1 . Se ta
la di
Consideriamo
(53)qlql,qll
, q , qil
[:"(D)
dapprima l a situazione: sussistesse
, indicata con
?j-
in
Q= 2 2 ,4
riferimento
< q1<+w,q1:4 .
a questa s c e l -
l a totalit5 dei vettori
dotati d i divergenza debole s u
D
della forma
L. De Vito
p-
&'?u),
)
con { z &N c ,U(B)-f { dx + W? B del citato principio esistenziale di G. F i c h e r a
in v i r t ~
s i potrebbe enunciare la
seguente proposizione : llequazione
& ~ d , t + 1 4 D * t K r ~ y d r = - j D ~ ~gd el u, j con t e r m i n e noto ed incognita (u,u*), u ~ $ ~ ? D , ) u),u"c&~(+B) 9
D
$6g3(~)
ammette
soluzione in corrispondenza ad ogni
nale ad
gcgyo)
e r i e s c e , p e r ogni soluzione
+)I U ~ + ~ I ~ ~ ) ~ ( D ) pI aIr t~i c/o l/ aJr e~, ~quindi, I ~
che s i a ortogo-
:Y(JU+~.%~
p e r ogni u ,&(D)
si
ha :
D1altra p a r t e , questa disegueglianza & falsa' perch6 implica che ogni
~ ( e & f ? ~ ) avente gradiente caso
q = 22 1 ql= +a,ql'= 1
'(D)
in
, con
& continua s u
un
gP .
Nel
ragionamento analog0 a quello ora
esposto, - s i perviene alla d i s e g u a g l i a n z a $ l u + C d A ~ L ~ o + ~ ~ * d ~ / B m ~ ) 6 ~ ~ ; l a quale Dal
& falsa,
t a t a da una modificando
LqcD) a
Se U
E ~ ( V )
m i s u r a assolutamente continua U,
con ltaggiunzione d i
divergenza debole s u \r,
que p r e f i s s a t a p u r o h e Se r e &Q(D) -
:
ha divergenza debole s u
risulti
soddisfino
,
i D
l e limitazioni
3
.
, modificando
a divergenza debole s u
lk,
di
.
, di d e n s i t ~ f i ~ ~ ~
identicamente nulla, s i una t r a c c i a F-l-$4?;7~)comun-
D
& dx
cui a l k
ed inoltre (53)4 , 9',9"
ha divergenza d e b o l e / ~ c V ( ~ ) =
con ltaggiunzione d i
D-l)l)
rappresen-
un conveniente vettore di
0-qD -
D
D-4-
su
) 3 ~
f a r e in mod0 cheyabbia s u
11,ql, (?I1
.
s i vede.
t e o r . XXXV s i deduce subito che
XXXVI.
pub
I
come subito
un vettore
di
~YD)
identicamente nulla, s i pub s e m p r e f a r e
L. De Vito
in mod0 che
abbia
IA,
sata. contenuta
13. Altri
in
teoremi
XXXVII. E s i s t e
d'esistenza e
divergenza
e
purche s i a
formule di maggiorazione p e r
una costante
llinsieme
comunque prefis-
divergenza debole
( p e r ogni y~
e
(P
una t r a c c i a
>J)
L''[>D) con ,cqlld+g
l'operatore di
yeei(~)
su
tale che, p e r ogni
CYD)
dei
) riesce :
di ( -
vettori
nulla. Le limitazioni p e r
e
4
(&
per
e y ~ ) ) h e hanno non sono
q'
migliorabili. E t conseguenza della p a r t e n e c e s s a r i a del
principio esistenziale di
G. F i c h e r a , in relazione a i t e o r e m i di esistenza
XXXVIII. @
c'(D) &c
ha
!/6 g Q ' ( 0 ) , E r
? < 9' 6 r m
,
d i v e r ~ f e n z adebole 3
XI11 , XIV, XV, .XVI
esiste
u
vettore ye
la funzione -
I)--@
2 yiesce
k,
ove con
s i @ indicato l'insieme dei
hanno divergenza debole
su
in generale non e s i s t e alcun genza debole Sia
3
su
< ql<+OO
D-$D vettore
vettori
identicamente
D-@D & / . . Sia f{.n f (A
e
E ' ( D )
di
6
C'?'Z)) che
nulla. Se
iil;jl
che abbia p e r diver-
una successione
.
di polinomi
L. De Vito
[
convergente ad
$Q?D)
in
(,
che abbia divergenza eguale ad
di
risulta
Co(p)
l a chiusura, in
&
0
un vettore
di
, della variet3
si
un
elemento a1
limite, p e r
01
a3
,,,I
qtstao
rema
fosse vero
dualit& di
ql < 3
per
, in virth del principio
esistenziale di f;4
& assurdo.
Analogamente s i vede che : XXXIX
I1
s i riduce immediatamente a1 c a s o di p r i m a . Se il teo-
~ ' > 3 / e~ cib
.~e
1,
eOcD)
.
(D)
con 3 9 5 + @ , -
un vettore
u
lcio& l a
m i s u r a a s s . cont. d i densit3
gD ,
m e dei
G. F i c h e r a .
( p a r t e n e c e s s a r i a ) , dovrebbe s u s s i s t e r e la (54)
G. F i c h e r a
la su
eyD)q
D
conseguenza del principio d i
caso
/ ) . Esiste
V ~ X )
D a1 quale {U converge in , nella r e l a z i o n e l u, r~pdwhrdx~-&(,vdr,
N o
ottiene
La (55) C
dei vettori
If l ~
~ I C C ~ ( D-A, )
de normalizzato con la norma l J ~ l ( = Paseando
/LTO
che hanno divergenza nulla (tale spazio quoziente s i inten-
( p)
allora
C~D)
di
D . In forza di convergente in C ?))I%
nei punti
f&,,,]
, l a successione
(54ITj4 ove
e s i a K,
vettori
che ha
e sussiste di
p e r divergenza
8 ,1/1,
la (55) ove p e r b
e0(D)
t
che hanno
JD &
/y-(
C'CD)
d*= 9
debole s u
1)
e quindi avente t r a c c i a nulL
0
e , questa volta,
divergenza debole, s u
identicamente nulla. XL. P e r ogni vettore
con
riesce:
l'insie-
D
,
L. De Vito
ove -
e
L e limitazioni Segue Fichera
e
l'insieme dei vettori
q,qi, q u
per
& '0))che hanno divergenza
principio esistenziale di G.
dalla p a r t e n e c e s s a r i a del
e
dal
t e o r . XIX.
9 (propriamente r e g o i a r e ) di c l a s s e 2, Esiste 5 (pe c Tw), d ~ t J ~ ~ y d w. =
XLI. Siano
,
con 3 6 ql<+Oo -
u g C 0 ( ~ ) che
ha p e r
ID+.
divergenea
debole
GD . Riesce
e t a l e che
uxY=
ove /( -
una costante dipendente solo
No
su re
@
D
if
l'insieme
6
nulla.
sono l e migliori possibile.
dei
identicamente
vettori
nulla. La
di
un
su
D-91) la
4
da
D e
ed ove
:
che
Po@)
che
limitazione p e r
ql
hanno divergenza non
ql
pub
esse-
funzioni
di
migliorata.
{{, f C*(V) che converge v e r s o # JD#&dl = JD # d x . s i a { A ] una Sia 3-c
gl(+d
9I))
che
{4$hd~=
YgDCf
C2(
t a l e che
e2@) .
inkqto) successione
a
in
(eve
dei
0
Se
ora
si
che -
l ~ , , ]converge,
4fo
B la di
&'(D)
vettori passa
a1
etaleche di
fTl3-D)
d~
s i ha
insieme @ nulla )
converge
cna successione di
. E s i s t e ,p e r ogni hrv,= & in p , L V , X V ? = ~ ~ , s u
(56)m,gl,a la E
. Sia
in
f~nzioni di
e taie
C ~ P
, un vettore
@p
.
W,CCI(D)
In f o r z a
di
em/flo , v e r s o una C
chiusura, in '(p) , dello c e hanno divergenza
limite,
p e r /M+w , nella identiti
- 63 L. De Vito
~ ~ ~ x @ u d r = - ~ ~ ~ ~ d r - $ s4 i Dottiene 4 ~ d l~a ,t e s i , nel
.
36 ql<+ fl
. I1
Fichera
La ( 5 7 ) B
conseguenza del principio di dualit5
q'=+o~,
caso
p r i m a . La non migliorabilitg
, giP o s s e r v a t a ,
quella
p3-
Sia o r a the
Dtz
e se
,U
ha
i / ( y ) e una
D,-gDI
in
p
/v-
11 duale
v*
misure
O(
di
V(D)
un
misura
G.
c a s o di
segue
da
c D-G~)
assolutamente continua
vettore i* t la
ae(~,)I)$q~q& 4
,
HVI/~= Il vll ,
/V
mlsura
4 d p 1 /L,
P
riesce;
dei vettori di $ q 4 ( h ) 0 ~ Z ~ 4 ) h e hanno identicamente nulla. delle
, se
N-
3L ( A )
C4(D) in cui s i s i a +~ I Y / / ~ ~ ~ ~ ~ ) E
, sarP
+
densit3
in
.d3l W~ n2) 4
54,) Tz PC. \
sui
l'insieme delle
boreliani
contenuti
d Q ( ~ , ), ove la norma B
L Y
2 1
lo
spazio
ove
l a norma
delle B
sui
,4( q & + ~
cosi
definita :
Sia poi
tale
dominio propriamente r e -
, con densit3
assolutamente continue
e con
DL-gb1
di
t e o r . XXXVIII.
pure,
debole
l o spazio
introdotta l a norma :
in
un
divergenza
U g
Sia
a1
q'
per
,1(Q<+m; 3 / 2 < q , ( - t f l , % ~ q ~ + r r l ; ? + 9.r
per
B llinsieme vergenza debole s u
2 s
imitazioni
in e s a m e
il seguente t e o r e m a .
0 , esiste
4,';
'
delle
esso
allora
contenuti
(I>)=
riduce immediatamente a1
un dominio propriamente r e g o l a r e
Se /(CG XLII. boreliani
si
relativa
V - (a-%~,)sia,
golare. Sussiste
caso
funzioni
ll 1 1 1= h 99 ,$I 11
,/-
di
6bh(D,i # ~ l $()b~ ) )I
11
t o
di-
p2 |
, s a r 2 lo spazio delle
s e ++w,
11 duale funzioni
py
di
ove l a n o r m a
6 :
'I I L ~ J * ( I J ~ ~9 ~I ~~ ~QI ~I (~ ~~ ~ ~ .() D ~ ) )
)/ull
L a t e s i del t e o r e m a segue facilmente dalla applicazione del principio esistenziale e di dualit2 d i
G. F i c h e r a a l l a equazione:
TDu xcpxdv d r = con t e r m i n e noto
QE
*
-
lDvda
e incognita r e
8*
,y e C 4 ( ~ )
TqT411)l
Da qui segue, in p a r t i c o l a r e , che s u s s i s t o n o l e seguenti formul e d i maggiorazione
2 C91(?/2 ; 4 < S 4 < + ~?
,q , 4 l , q 2
;1d
943
,. 4
7, < 3/*; ,
1,
"On sono migliorabili.
14. Gradiente "forte"
su ,4
Si dice
D-4) ( D)
che se
tale che
u t&fl(~) l dotatodi esiste
una
gradiente
successione
u
"forte8$€
dP(~)
di funzioni d i
L. De Vito
E' noto iT seguente t e o r e m a :
XLIII. L a funzione (L C L ~ ' ( U ) S J
bole viene
su di
J )-)$p
D- &D
S D
che
p
10
spazio
fO(l))
(28).
~VD) l ? " ~6 dotato ~ )d i eradiente "forte "tE { u ,,f
=kW
di funzioni di
I I U ~ - ~ N [ ~ ~ ~ / )/ " ~ ~ a - & / ~ . p L D ) - o .
m->w XLIV. L a funzione
L?(D)
&-
h a come gradiente
, . I < f & t ~ AC~)'(+CJ , , eve s i con-
s e e s i s t e una succession e
t a l e che
6
&
RmcD)
come
a6
6 dotata di gradiente f o r t e
e solo s e
i l vettore
assumere
Si dice
se
I
:
D
se
i(
t&pt~) 6 dotata
e solo
il v e t t o r e
,
asrumere come L a dimostrazione
14
se
u.
t@
l o spazio
di gradiente f o r t e
ha
,.lc q g
/4
come gradiente d e b k e su +
ove si conviene di
c O ( ~ )..
pub condursi in
mod0 analog0 a quello s e -
guito da Gagliardo nella c i t a t a dimostrazione del t e o r e m a precedente (si veda anche l a dimostrazione del teor. L )
Diremo che U &&?)I))
.
h ~ p r a d i e n t e" f o r t e l ' e
rappresentat2
dalla m i s u r a
( 2 8 ) ~ f r . ~ . G a g l i a r dloc. o cit.in (11) ove i l t e o r e m a 6 d i m o s t r a t o in ipot e s i molto generali e p e r dominii limitati ed a f r o n t i e r a "localmente lipschitziana" t r a i quali r i e n t r a n o i dominii propriamente r e g o l a r i V. M. Babich: " ~ u lprobleche qui vengono considerati. Cfr. anche m a del prolungamento delle funzioni" Uspekhi Matematicheskikh Nauk, v. 54, 1953, relativamente a dominii di c l a s s e 1 .
L. De Vito
s e e s i s t e una successione
forte su
D
2.
se
r-
(C
qui
U,
t a l e che:
.D
4
RPBy+Lmn~ac P h a come g r a z e n t e 'debole s u J 'si intende l o spazio e .
rappresentato dalla
,,
Se
d i funzioni di C'(1))
T W , 14.)ktd, 4 3 p g 60 p l g + q ,g PC+& 2 supponiamo the L a funzione u E $ P ' ( D ) & dotata d i gradiente
c&Q(D),(pcg't4~)je e solo
1"
f
I < PC +m,
XLV. K SO di classe
sia
[kc
misurar(fj"={
V fr r u
O
6 dotato d i gradiente forte nel s e n s o detto soprgM6.
anche dotato di gradiente debole, rappresentato dalla medesima misur a che ne r a p p r e s e n t a i l
gradiente forte. Mostriamo i l viceversa. Con-
s i d e r i a m o dapprima i l c a s o una
!~Q<+N,
successione d i funzioni
Alla costruzione di
44 q
~ + a 3 , 4 q 3 Q ~ Sia ~ ~ .
fy*f
di ~ y + 1 > ) t a l e che :
una t a l e successione s i pub provvedere,
ad esempio, con i l metodo degli o p e r a t o r i r e g o l a r i z z a t o r i second0 FriedriChs
f, +
(38)
(63)
. Sia
E eyp)
t a l e che
%=
su
gp . P e r
riesce:
4 , R u - ~ ~ + ~ I ~ ~<: RTy T ( (~D)) B I P ~ - s ~ ? I : Y ~ ~ ~ I
"' u
,I,-+
& l ' i n ~ i e m edelle funzioni di
cia
yfi
nulla nu
hD;d a
(62) (63) segue :
IJ'..p ) che hanno t r a c -
(D
L. De Vito 6 una b a s e p e r
Dato che
(cfr. t e o r . XLIV) e s i s t e W, Posto
u,=
<-
con l a m e t r i c a di
]I
t a l e che
6
M -T&+w,
I ->a3
, da qui
W (,
Se poi
i4(~)
/Il=+eO
6
e da (62) viene che {d,!
verifica l e (61).
, dovrP n e c e s s a r i a m e n t e e s s e r e y &(D)
e i n t a l c a s o l ' a s s e r t o & banale.
Diveruenza D i r e m o che
il
"forte" s u vettore U E
& ~ D ) ,l < Q
D-&) l a funzione e s i s t e una successione I u,.
(+
,- S
divergenza "forte" se
E' evidente che :
XLVI. S_e I,t6&yD) ha p e r
zione
{
5
'
/
Lq'(u) a
,allora
che s u s s i s t e il
XLVII. @ 4 debole
su
p e r divergenza f o r t e su l o spazio
t o.
" 6AQ(U) u
l a funzione
D-&D
su
J)-/)n
teorema inverso :
-) $D
s u D-OD l a fun-
h a p e r divergenza debole
44 qh+@, 4 & q 1 < + d
Mostriamo genza
&
divergenza f o r t e
{
Consideriamo dapprima i l c a s o
ha p e r d i v e r -
"~),a110ra
LC.
, ove s i assuma,come
1 6 ql( q (+a . L a
&
dm ,
dimostrazio-
ne , in t a l caso, C del tutto analoga a quella, citata, d i Gagliardo r e lativa a l t e o r . XLIII, cioC a l gradiente. Siano 3, ,St,.
..,z,
sfere
a p e r t e che ricoprano
D . Se
L. De Vito
-
5K C D - &p, 6 facile c0s:ruir.e v e t t o r i di c4(D) tale C ~ E :
una successione
iL(:)(l)
di
S i p ~ b, ad esempio, r l c o r r e r e a1 metodo degli o p e r a t o r i r e g o l a r i z z a t o r i di allora
F r i e d r i c h s . Sia o r 3 r;
1 = S OD. k
the e s i s t a un nhmero pcsitivo
per ogni n y m r r o posilivo
l o eguale a
-
dei
K
siffatto vile v e t t o r e c3
p e r ogni funzione
s e m p r e possiin mod0 tale
l*iniiems
a.
x,
d
D
di modu-
, ottenuto tsaslando
(29)
. pe,3r
, poniamc
s i prib c o s t r u i r e En
condizio-
of(
XE&
2l;( (X)=V(M+O),
'
co
e In
t a l e che:
.. scbitn dal t e o r . d i Vitali sr.1 passaggio e i limife sotto
segno di i n t r g r z i e . Poich6
2
: porremo
,C-, verifica.nte l a seguente & s2 e s i s t e un vettore w
dcfinita i n
W
&
ricoprirnento di
, s i a interno
corrispondenza ad o g n i i 7 0
come segue
QD,
P e r l e ipotesi fatte s u
K
bile pensare d i a v e r e s e g i i t o i l
ne:
SK()&M#
t s l e che
CC? 0))
J - c D-gD,
e s i s t e , come s ' 6 o s s e r v a t o ,
tale che:
Ma si ha:
-5 S
= 11 u K-'K
lbyTe) j
donde:
I '!-".SI~(~)
+
11
D
5
rw
-
dfR
I I?'cl,)
CL.
&
(29) gode di tale proprieta anche s e non Si pub, anzi, v e d e r e che propriamente r e g o l a r e , purch6 abbia l a f r o n t i e r a "localmente lipschitziana".
L. De Vito
c-f
i e da (65) viene :
11 ;,5-~Ilk~(jKl'1
/ I & ~ ' ( ~<~2 )z , esi-
@ c p E ~ y T ) , r e s t aprovato che, in corrispondenza ad ogni
2a successione irc$'(x)]
di funzioni d i
P e r completare l a dimostrazione,
nente : r ->a
xy
t a l e che :
nellfattuale ipotesi, b a s t e r a
o n s i d e r a r e una .partizione dellfunithtf: va a l l e s f e r e a p e r t e
~'(90c )
4m $ ,Q(")(I~)
e p o r r e ~?,,(jC)=
(k) (K) tKHCY) U,,,(2). Riesce
1
1 I ub-Mlkq(D) 50.
inoltre : 1
Icum
11
indi, in t a l c a s o I1 c a s o 1
< q '< q ,
s i t r a t t a in mod0 del tutto analogo.
P r i m a di p a s s a r e a c o n s i d e r a r e gli a l t r i casi, dobbiamo d a r e un n a di completezza. XLVIII. Sia 4
6 q(+@ (s i a q=+@ ). L f i n s i e m e
anno divergenza nulla in ),
9
nelllinsieme dei vettori
:enza debole s u
D-&D
dei vettori
, & denso, con l a m e t r i c a di
ekyo) (dei vettori E C*(D)
identicamente nulla.
Consideriamo dapprima il c a s o 1
. sia{
v E c l ~
&'(D)(*
) che hanno
cg4@)e
supponia-
. E s i s t e a l l o r a una funzione l(6Ae(~) come gradiente d e b ~ l es u D . Ne viene l f e s i s t e n z a di una suctali che k m a 11 UiUH&fpcDl = 0 (teor. di funzioni d i ti(D)
s i a ortogonale a me$,/
. Allora,
se
la, p e r ogni
L q ( ~ ha) divergenza debole s u s i avra :
\,
,&*
ydu,
J).,>D 0
identicamene quindi,
- 70 L. De Vito
Spu#dx;l.
passando a1 limite p e r n->a :
Da qui mi t r a e subito l l a s s e r t o n e l
c a s o 4
. Sia
f
noto,
s i a ortogonale a
q.
E s i s t e allora. come
(anzi€CC)(D))che ha p e r gradiente debole s u
Sia o r a p/!
e
D
supponiamo che
vE
il vettore
f
un vettore
8
d i i (1))avente divergenza debole s u
gw@)
, e quindi r i e s c e :
9-40
identi-
camente nulla. P e r l a p r i m a p a r t e del t e o r . XLVII gig dimostrata (cioe quella relativa a1 c a s o
C '(p)
I l(q\(q$+m),
tale che:
a
Dalla (66) s i t r a e , p e r ogni
e passando a1 limite p e r
u
*,
4
bt.
Sia
E ,&'(D)
la
identicamente di
o:;
LYV4& = ?,
t a l caso, provato l t a s s e r t o .
a
caso
ortogonale
q , +cc, a
. Sia
data una m i s u r a
/fig . E s i s t e una
funzione
tale che :
* t CCD)
strata
quale
:
, in questa relazionr , s i ha :
Esaminiamo , da ultimo il
V(D)
-6 { d x
:
h4.7;
m-)
Resta , dunque , anche in
r
e s i s t e una successione
(caso
L4(Dl
un vettore
dotato
nulla. P e r
di
divergenza
che
:
D-~B
l a p r i m a parte del t e o r . XLVII gi2 dimo-
q ~ 9 ' z - t ~), e s i s t e una successione f tale
debole s u
~ ] di
vettori
L. De Vito
ID
[la (67) s i t r a e , p e r ogni &L : ~ a s s a n d oa1 limite per 41-loo
~ d e , anche in
tal
I+
divg- d~
= - $wWd4
:
caso, l'asserto.
Possiamo o r a riprendere e completare l a dimostrazione del
r. -
XLVII. Consideriamo il caso 2
d S ' ( ~che )
un vettore
) -gD. 11 vettore
ha
yv
. Dato
(
4
ed ha divergenza debole su
tori
c 4(Dl
di
cedimento VII si 2
teor. XLVIII, che converge
esi-
?< q 1
, appartiene a
D-YDidenticamente nulla. esiste una successione f &!, ] di a U, in ,&'(D) .~ o n i l
YD)
ttanto, in forza del
/ aqtD),
come divergenza debole su
, per l'ipotesi
4 jl(-M
che
indicato nella prima parte della dimostrazione del teor.
pub
costruire una successione
) Ka ]
di vettori di
C'(0'
che:
ora, posto
.de viene
(A,
=
m
k,,
+
s i ha :
l'asserto. I1 caso ,j
< q
si t r a t t a in mod0 perfetta-
nte analog0 a questo.
16. Divergenza "forte" su
Diremo rte"
su
D
D.
che il vettore ~ 6 8 , " ( @ 14 l a funzione
ge LqN 4 6
<+ 00 ~'<+OO
, ha per divergenza s e esiste una succes-
L. De Vito sione > & ,I{, -
.
E' evidente
XLIX.
dhe :
(s)) ha
U . C
p e r divergenza f o r t e s u
{ E & q ' ( ~ ) , allora
funzione
D
O1 C (D) t a l e dhe :
di v e t t o r i di
k
ha p e r
&
6.
D
divergenza debole s u
Mostriamo o r a il t e o r e m a inverso. L . E
+
genza debole s u
D
divergenza f o r t e
su
l a funzione
D
la
C°CD)
l o spazio
Consideriamo dapprima i l
{
4
. z ~ ~ $ y ~ ) h a p r d i v e r -
e ~ q ' ,( a~l l o r a
U,
ha p e r
, ove s i a s s u m a c o m e
c a s o .( g (:Q
a!D:
q (+ tO . Siano 5 52
r m a di " cilindro c i r c o l a r e r e t t o definito" che ,,,,S hu dei c a m p i a f oricoprano 5) . Se Sk C , & facile c o s t r u i r e una s u c c e s sione
D
il*r
d i vettori
di
&->a0(/jutL ullB~(Z;) N
ricorrendo, p e r
K
Sia o r a che
1)
esempio, a g l i
pcD)
/&src))=~,
+//&U$)-$
-
o p e r a t o r i r e g o l a r i z z a t o r i di F r i e d r i c h s .
S4fl
i
. P e r l'ipotesi
s i a propriarnente r e g o l a r e , si pub s e m p r e a s s u m e r e il
ricoprimento d i
v
in
guisa t a l e che, s e K
1) e s i s t e un punto
xoc
m a d i coordinate c a r t e s i a n e ortogonali l'in s i e m e
f)o~+f , siano sod-
s$&Dsiffatto che, introdotto un opportuno s i s t e -
disfatte l e seguenti condizioni:
Xo,
t a l e che:
c h e T f ) g ~ # k ~ o r r e mJ o
tale
)
TK
risulti
7: 3 :33
con origine in
definito dalle seguenti limitazioni:
L. De Vito
RK
ove: definita
6 i l raggio del cilindro
nel
cerchib
continua e d i c l a s s e
+
1 3 '1 .c< 1 RK I
2
7 1, 7 2
(paramet ri
S
(J:?J)
;
e
una funzione
(chiuso) d i centro l'origine e raggio
1
a pezzi, t a l e che
) ;
2 ) e s i s t e un n u m e r o positivo
6 n
nmero
5,
t a l e che:
/ jv
,ivi
.\
j3= ( j : ~ ; ,
s i a l a rappresentazione p a r a m e t r i c a di
R,
TflGD
positivo maggiore
di
JC(0,$,)
.
e t a l e inoltre che l'insieme definito da
-'
D
& contenuto nel complementare di
Denotiamo con
con
e con
%
JK
l'insieme definito da :
x(f:pj,
)3'1~+15~1' G ( ~ ~ ,5 1 ~
1;
quello
-S 1,
definito d a :
quello definito
Pensiamo o r a di prolungare. k l o r e zero. E' chiaro che vergenza debole s u
a-
p e r ogni
la
K.
da:
ed
#
, cosi
S e tale 1-: rflM
prolungata nel
ek-e,-6,
? 3 ~
D
fuori di
con il
va-
prolungata , 6 d'otata d i di-
-3: P )(?)
divergenza debole coincide con l a U (X )
mod0 detto. Poniamo ove
3
2
(f:
Mk
e
rappresenta
L. De Vito
il punto
n e l nuovo r i f e r i m e n t o
)(
.
F i s s a t o S>,J
esiste
61)o(.f <So)
(come si & s o p r a osservato).
S- TfJk J ,l a
le, su pub
costruire
. Poniamo inoltre, per
I1 v e t t o r e
Si pub anzi s u p p o r r e che
N>
y-b
e
d
J1,6
N* ove
Xh(*- I+) "
e
no soddisfatte l e 6
in
(70) ; s e poi si
"5
1,
. si
d Y
:
D-4D . Se,
infatti, ad e s e m -
d x4,(1-3) uUk(p)dif-
) , B noto che. p e r
contenuto in
riesce:
possa prolungarsi a tuttolo spazio
un nucleo r e g o l a r i z z a t o r e
1
e
&5 ..
p e r divergenza debo-
C < ( I ,5 ) t a l e che
in mod0 da a v e r e supporto contenuto pio, si a s s u m e
&A<)h a
. Poiche
funzione
un vettore
$<4
t a l e che, p e r
JE
7
nel s e n s o di
Friedrichs
abbastanza piccolo, r i s u l t a -
o s s e r v a che il supporto d i U$
C
, si vede che r i s u l t a :
e quindi il supporto di a tutto l o C
spazio
in mod0 che ' s i a
contenuto in
D-TfD
soddisfatta l a condizione : supporto di r ~ - , ~
. Da (69) (70)
segue, d ' a l t r a p a r t e ,
L. De Vito P e r completare
l a dimostrazione b a s t e r a o r a r i c o r r e r e ad una "partizio-
ne dell'unita "esattamente come s i B fatto nella dimostrazione della p r i m a p a r t e del teor.XLV11 sfruttando l'ipotesi I1 c a s o 4
.
Q'<
si t r a t t a in mod0 perfettamente analogo.
P e r includere gli a l t r i
casi
(cioB 4 ,( Q < 4 ' , < + ~ )
non c'B
relazione a1 t e o r . XLVI:
che d a r i p e t e r e l a dimostrazione fatta in
sfruttando il seguente t e o r e m a d i completezza ,
analogo a1 t e o r .
XLVIII : LI. tori
B
El
D
). L'insieme
Lq(D)
l a metrica di
C '(b)
(&
& yo)
(dl C '(D))
e JP&)ha
debole
B perfettamente analoga a
quella ' d e l teor. XLVIII. che
nell'insieme
) che hanno divergenza
identicamente nulla. L a dimostrazione d i questo t e o r e m a Diremo
dei vet-
che hanno divergenza identicamente nulla in
denso, con
dei v e t t o r i di
=+w
(+
|
['(,)
di
y
Sia /I ,(q
divergenza "forte" s u
D
rappresen-
t a t a dalla m i s u r a
s e e s i s t e una successione
M
]
4< 4<+@,
E' evidente che: LII.
u
di vettori
e k S [ ~ha) divergenza
dalla m i s u r a (71)
allora
&
di
C4(D)
t a l e che:
* '<+a; rdqif~+~G
forte su
rappresentata
h a come divergenza debole su
D
L. De Vito
l a misura
P o
Mostriamo, viceversa, che:
*
LIII.
& di classe 2
D
debole su
rappresentata dalla m i s u r a la misura
m e divergenza f o r t e s u
ove
ha divernenza
e se
si convenga di a s s u m e r e come
analogamente, come
is(+!))
(71)y - a l l o r a
LC
h a co-
P
LU(~)
l o spazio
l o spazio
C "(PO)
E s a m i n e r e m o , intanto, i p r i m i t r e c a s i
.
.Facciamo,
'()))
2
dapprima,
l'ipotesi : (73) Esiste allora misura
gQ(D)che ha p e r divergenza debole s u D
kt(
p(~)rI y
d ~(teor.
XXXV) e r i e s c e
B n w
(7')
la
. p e r (53)p,t:q,,
4hq II .'+ < Up,,,,, 0;/I'
uot
ove debole s u funzioni di
'oIInDj
& l'insieme
D
ylk?ltRDl
dei vettori d i & Q ( D )
identicamente nulla. Sia
C2(&D)
tali
E s i s t e u,,, t C4(v)tale che:
& u,=
dalla precedente diseguaglianza
divergenza
una successione di
{Y*
che :
,
che hanno
J I ~ ~ - f I =o. l~ql~,~~~ 0 in
D
, =
si t r a e a l l o r a :
su
3::
;
- 77 -
L. De Vito
C (0). con DLY/,=O 1
P e r il t e o r . L1 e s i s t e quindi un vettore Wn E t a l e che
1
- , k.'(~) -0
d - M , + w-11 + I ->w P o s t 0 k.= - u~ , s i ha bole s u
D
data dalla m i s u r a
e (D) 04
L) l'esistenza di W,
Dunque ,
{~,r-w,)
P la
/IT- ( ~ . - & * ) A * ~ J I ~ ~ U O ~ ~ ) = ~ .
44-N
$q(D)j
inoltre bll a v r a divergenza de-
p(b)=
# dz .
N e viene (teor.
t a l e che:
successione d i cui
alla t e s i , nelle attuali
ipotesi. Se l a (73) non P soddisfatta, poniamo
ove
e
X
6 il vettore d i componenti
jDTax,0
4r
donde
(f
C = ---
. Si ha:
x :x2> x
d ~ 0 =. In t a l
mod0 c i si P ricondot-
t i a1 c a s o precedente. Esaminiamo o r a il c a s o
q=+&,./& q'_c+co,
dimostrazione o r a esposta, con
l a sola avvertenza di f a r u s o del teor.
XLI (in luogo del teor. XXXV) p e r riguardo all'esistenza d i &' l a formula d i maggiorazione (57) (in luogo della (53)
IP.f';?"
conseguire l a
(74) , nella quale, naturalmente, l'insieme
sostituito con
quello dei vettori
su
D
di
C 3 ( ~ )che hanno
identicamente nulla.
Esaminiamo, da ultimo, il c a s o : s e m p r e s u p p o r r e , a me p r i m a si un vettore d i
'(
I)
t a l e che
q - 22
B visto : ;X
Y=
0 I
' ?8u
u
, e del) per
andra
divergenza
4 ' ?''= ~
. Possiamo
0
a
$D
N
LI
(cfr. teor.
- 78 L. De Vito N
XXVI) ; ed anzi a
L3''(~),
ed h
( D) . I1 vettore
&?I2
-.
4-
dotato di divergenza debole s u
p(5)=f$-~;)dx.
dalla m i s u r a
-
s a r g U,
zL
. Si
l e componenti d i
C*) I* ;-
el(~)
D rappresentata
uiE C'CU)
E s i s t e quindi
che km 1) -u
(teor. L). Siano P') e tale u ;6 e p e r il teor. L )
appartiene qyindi
u
ha
t a l e che:
zit &"(@.sia
O. ~ i s u l t a( p e r
(38IAJj
-4 , ,M 4 r , ~ ~ ; i - ~ ~ ) - u o ~ i w , , f ~ o ~ ~11 ~v ( ~ )lkq(,wj, L 43)
No€
E s i s t e quindi
c 0)
(l
(7)
W'
( ~ )
t a l e che:
rccW)f
Dalla
(40)
Indicato
1 ;:-
si t r a e :
<,A con
U\
il
,
Z ~ * - U V ~ - C ; ~ ) H. ~ , ~ ~ ~ =
vettore che ha p e r i - e s i m a componente
~ C ~ & sw i ha ~ a l l o) r a iche ~ ~ '
t e s i nel c a s o Altre
q=$,q
l a f o r m a (71) ) perch6
=
qll=
1
.
6 l a successione di c u i
alla
caratterizzazioni di tip0 "forte" p e r i v e t t o r i dotati d i d i v e r -
genza debole s u LIV.
I
t a l e che
Sia
D
(con divergenza
rappresentata d a una m i s u r a del-
sono date dai seguenti teoremi.
y
di c l a s s e
2. Condizione
u t kq(J) abbia divergenza debole su
n e c e s s a r i a e sufficiente
D -
rappresentata da
una m i s u r a della f o r m a (71) , h che e s i s t a una successione
L. De Vito
u ,E C'(D)
t a l e che:
,&,*
convenendo d i a s s u m e r e come e a D c h e a YD) L a condizione Come s i & visto
j$dx=(
sia
. , r~ f~
.I,( Q < tm, ?< qf<+m,
C
C ovviamente sufficiente. Mostriamone l a necessits.
nella dimostrazione precedente, possiamo s u p p o r r e che d l i = ~ . s i a ~tale~ che: ~ ~ (jr,D$Cdlr;~ ~ ( ~ ~ )
,
& ham
y ' l l $ ~ " (=~0~ ) , E s i s t e & \ ( C 4 ( ~ )tale che: & ul, = 0 h D ,L ~ x ?U~BD =. E s~i s t e~ U'))I('"$
ha
per
divergenza debole
(teor. XXXV se
ove
s e qi1<+-
q''(+o~
U q.
NoE
pub
(57)
1c s"
D
la r n i s u r a p ((j) =
e t e o r . XLI
.
s e ql!=+oo )
q11=+a)
se
su
vettori
di
che
U Y=
modificare
u-
'
r''
&(?ItD)
che hanno diver-
identicamente nulla. Dal teor. LI segue che ~
4 in
'
guisa
@A M ->aI Sia
Rnm
e s a r a (cfr. (53)
It ~ ' - U ~ + ~ ~ I(IIy-q*ll&9U(I)> I I & ~ ~ ~ )I C
l t i n s i e m e dei
&
genza debole si
e
su
che
. Riesce:
t a l e che
u:~C'C~,),
I
U'-~"~I&~~~~.,=O
D).
U116
riesca
Esiste
g1"C91~*)(
u:t
e ' ( ~t a)l e 0
(teor. L ) :
La successione ma. LV
. Sia D
C di
quella di
classe
cui
alla
2. Condizione
tesi
del
necessaria e
teoresuffi-
L. De Vito ciente perch&
su -
~~,GP(D) .
/<+a3
r a p p r e s e n t a t a dalla
, abbia
divergenza debole
E ~ ~ Y 9 0 ) f D ) r 6 q&l ~ +che c m e s i s t a una successione
ju.3
I
yq
cpdr
misuraP(~,bm
con u,eC -
*
TD),
t a l e che :
& U*= convenendo
\3
'
La sufficienza Siano
M+@
1~
* x " - y I l ~ ~0.t ~ ~ ~ ~ , =
d i a s s u m e r e come &
10
ovvia. P r o v i a m o
( 4 % Cyl)~) ~ e
donde l a tesi.
4% C
e
spazio
0
l a necessita.
C"
(0)
'
tali
che:
9
17. Alcuni t e o r e m i
& c a r a t t e r i z z a z i o n e ~ e rl e funzioni
d
_
~
aj
g r a d i e n t e debole.
II'(v) abbia
LVI. Condizione n e c e s s a r i a e sufficiente p e r c h @ p e r gradiente debole nu b che s i a
a)
p e r ogni
w 0-09
D- 9~
((au
5>
il vettore /?E&+/Jrdpk9 ,? 4fg7L14
soddisfatta l a seguente condizione :
& '(D)
ed
contenuta in
avente divergenza debole
4 st( D)
, riescaa;
&VV
D dr= - { T ' ~ x ,
L. De Vito La condizione
e
a)
ovviamente sufficiente. Proviamone l a necessi-
, la tesi
t i . Nel c a s o f < ~ ( + 6 0 , 4gT1<+03 t e o r . XLIII (teor. XLIV) Nei c a s i
I <9
(teor. XLVII). Sia precedente
il
/P= 4
,
ricordando solo
il
f~
ed inoltre l e
funzioni
L
una costante
tale
t e o r e m a di
D
su
Lebesgue
,
+
indicato
U
sul
caso
. El
facile con-
t e o r . XLIII (teor. XLIV)
da Gagliardo, nel c a s o at-
delle seguenti proprieta :
che, q.0. r i s u l t i
D-$D
passaggio
/u,),( L
( D)
ogni
(su
a1
t e ? ~ ).
U,,, risultano equipseudolimitate
corrispondenza ad
genza debole
1)s 4
di cui a1
, gode
+@
che deve e s s e r e
caso:
procedimento
?;
l a n e c e s s i t i segue dal t e o r . L
; c i s i riduce subito
ll
l a successione
e costruita con
in
4
considerare
s t a t a r e che
lora,
Ora'PzQO,f
l)=tm,
Rimane da
tuale
.
immediata conseguenza del
C
)
cio& e s i s t e
(30)
. Si
avente
contenuta J 4 ( D )
ha aldiver-
. in v i r t b del
a1 limite sotto segno
di
inte-
grale:
donde
si
trae
facilmente l ' a s s e r t o .
$' iD) D-&D (zD
LVII. Condizione n e c e s s a r i a e sufficiente perch& U 6
.I( una
, abbia
+
misura
/cc
per
gradiente
C che e s i s t a
debole
F €[&*(D~*
su tale
)
che
( 3 0 ) ~ r rE. . ~ a ~ l i a r d,loc o cit. in ( I 1 ) ; p e r controllare questa proposizione, basta t e n e r presente che l e successioni costruite con gli operat o r i regolarizzatori d i F r i e d r i c h s godono delle suddette p r o p r i e t i .
L. De Vito
w C ~ ~ C D avente )
~r m i contenuta
&
~ o n s i d e i i a m o I1
caso
in
6L4'(~) s i a dotato
cui 1*
,rappresentato
dimostrazione B analoga a quella
del
da
una misuraA
C (D)
consideri
l a quale gode
un dominio
s e /P'=+co
si
ha
'R+m
1I
& 11
avente divergenza debole
su
"-
,-
.
,,,,,
1I
=O
m
P e r ogni
e
per
0'appartenente
Da qui, tenento
a
di gradiente
EV(D-~D). La
f ~ 4 3di
funzioni
/3e
.p'<+a;
9
lld41D50, e l e funzioni d i {U Ne viene , p e r ogni W e &Oi)Cp)
D'
appartenente a
5
nr-?@='
riesce:
)
p r o p r i e t l : comunque s i
L jDlu,d*v~dr-D' u d
(76) Inoltre
delle seguenti
p'< D- gp, r i e s c e
"-91, equipseudolimitate
no
(uD-$D
t e o r . VIII. Si costruisce, con l o
s t e s s o procedimento 13 indicato, una successione di
D
& ovviamente sufficiente. Proviamone l a n e c e s s i t l ,
D - gl)
debole s u
.
q1(P)
La condizione
divergenB3 debole BY
so-
&q1(j3')
l ~ ~ d. *
ogni w E&*(~') avente divergenza debole s u
&ql(
conto di
D')
,
risulta :
(76) , viene l t e s i s t e n z a del limite (finito) :
-- -
( 3 1 ) ~ e lc a s o ?&+&, l e , p r o p r i e t &di o p e r a t o r e regolarizzatore second0
,) seguono subito dalla definizione di riedrichs.
L. De
P e r la
si
(77)
ha
che
risulta
[=,,I
e s s e r e una
Vito
funzionale l i n e a r e
7
e continuo
s u LO3(l)')e quindi, passando a1 l i m i t e p e r M 3 m in (78)
(e ricordando (76) ) , s i ottiene l ' a s s e r t o , relativamente ad un qualsiasi dominio D'C
D-ifD . L s
va, a i fini
del
condizione
in
klkb)
da
una
mod0 che
ed abbia ora
su
il dominio
mente regolare. La
D7
dominio
la
U ,
, p e r quasi
-
su
il
(/C
in
di
cui
cui
da
+
D-59
gradiente debole caso
contenente
cost prolungata
bb
rappresentato
(3(5(y0
su
un
v (6-i)b).
misura
Esaminiamo debole
non @ , p e r b , r e s t r i t r i -
conseguimento della nostra t e s i , dal momento che &
pub s e m p r e e s s e r e prolungato in suo interno,
D'c D-gD
unar
sia
appartenga a rappresentato
dotata di
gradiente
e V(D> . Sia
alla definizione di
nel
dominio
3
propr9ia-
, ovviamente, dotata di gradiente debole
C
tutti
i
l c (G,?,)
, rappresentato
dalla mi-
sura:
Fp(DS) h 5(4-4%) +
Poniamo:
Conveniamo poi liani
contenuti
p r i v i di punti tutti
i
'j'c
di in
in
prolungare l a m i s u r a
v
P f
definendola eguale
comune con
(0,f ,)
I
&qJ'C
abbastanza
. Si piccoli
su a zero
ha dunque, :
tutti sui per
i
bore-
boreliani quasi
V"5 (D) g V(D-.I.D)+ s9D uY:
avendo indicato con
l a t r a c c i a di
dr+d
$D
su
M,
e ricor-
dando che:
(il limite & fatto prescindendo da un conveniente insieme di m i s u r a nulla ). La funzione
per
D
gradiente debole s u Se o r a poniamo
(sara
uYE
( e quindi anche s u
tutti i f
D-@D
f @ ~ ~, ha)
) la m i s u r a r
f
:
> elCD)
per 4
D
relazione a1 dominio fatto
( Y ) , p e r quasi
f
> di
un c e r t o
ed alla funzione
nella dimostrazione del t e o r . VIII, s i vede
9 yy
per
END),
), ripetendo, in
, un ragionamento
che e s i s t e finito il
limite
p e r ogni q in
e &"
ed
kDO(~)inoltre :
p e r tytti
;
i
yo)
y ~ ( 0 ~
avente divergenza debole s u
F
[&
D
contenuta
(~)_1*e risulta:
abbastanza
piccoli. D'altra
parte s i ha
L. De Vito
~
i
4
~
~
), A
e di
~
cU) equipseudolimitate (a1 v a r i a r e e', ) ~ ' + 00 •
'I
r'=
Ne viene:
d l = IDwfhvvdx5 JDrr(LYY d x
p e r ogni
del tip0
y
PoichC , p e r ogni
detto,
e
:.
quindi
5
L(
&vwhz= -$(y),
' k . 5&.~&d~=k&wd
del tip0 sudetto, r i e s c e :
/V
D,
590
si ha a l l o r a con /V
che e s i s t e finito il limite
appartenente alla predetta
If9(")l 4~ 1 ~ L1asserto
C
cosi
LVIII. Sia
.f&)i f(@;risulta
5 - i 5'
c l a s s e . D'altra parte s i ha
~ : IF(v)/ ~ d Pl( iv//~k q ) )~. Ne
l
D
completamente provato. di
classe
2
. Condizione
l(c&fil)) abbia p e r gradiente debole ~ p ( b ) ={&+( ( ~pd~ % { d ' ( ~~ E ,) J !~ ?'(~D) 8 Bnso ficiente perch&
vc
O.C
D)
, avente p e r
La t e s i segue subito
dal
I1 t e o r . LVIII 6 v e r o <+m,4
come
segue subito dal )
+"'/r~
9
senza alcuna limitazione con
t o.
n e c e s s a r i a e sufsu
D
e
la
mi-
che, p e r
l a mi-
divergenza debole s u
t e o r . XLV.
anche
(q'ktca;f=3,?'=+4fU= tm;
Cf"'t@
viene~~k(~)J).:
nei seguenti casi:
7
~ = 3 , 4 y k t oiqc p t ? t @ ; u p < 3 , r ~ q ~ ~ , ~ + * 6 $
t e o r . LIIboppure
!<,P<+~, I < +',(+rn , .I <
come segue dal t e o r . LIV per T,'!);Q se
&*
; ed C v e r o anche
si
identifica
L. De Vito 18. Alcuni t e o r e m i
di caratterizzazione p e r l e funzioni
dotate
di divergenza debole
. Condizione n e c e s s a r i a
LIX
D-PD
p e r divergenza debole s u
ogni ~ ~ & ' f ' (ed ~ )avente
b) p e r
j) -
3~
) contenuto
dal
. Nei
bole s u U~COCD)
-
(&u,,-/lL;;ed
conseguenza del
.
Sia o r a
q=l
,
,
q. l = t m
c'(D)(di
. Esi( )
)
(SU
si
ha
ltasserto.
C'(D)
,p + m , q = I . E s i s t e una successione I
(di
['(v)
inoltre l e funzioni
p e r ottenere
LC,
n e introdotta nella l e vedere che
3
)
U
=-IF divu,dr D
tale c h e : & u llujujt,(D) 4460
sono
basta p r e n d e r e in
c
0
equipseudolimitate in
?
D, 9
considerazione l a s u c c e s s i o ~
dimostrazione d e l t e o r e m a XLVIII (teor. L ) ; & faci-
e s s a gode delle proprietP o r a dette nella ipotesi u&,?l)),
Alloia, passando a1 limite , p e r 4 su
-
'D
, da ultimo
funzioni di
debole
:~~%x@vd~=-{~/d
riesce
o . per il , / dlvak-/? (teor. L ) . Passando a1 limite, p e r q->a , nella identit&: d x = -1n ~ d l v 4 , d x , ove g€&'(l))ha gradiente deD v D-8D contenuto in km(L')-e quindi &
Sia
3(0
;
4 < q < + . 9 q1=+co;L ? = + O ~ ) ~ I ( Q ~ + ClDa, necessi-
5
ih
{;,X@Y
&
44 qg~0.7,+g ql<+oc E!! D
~ 1 % costituita di fum ioni d i
-&k 11 hr -)00
t e o r . XLII
.
casi
t e o r . XLIV (teor. XLIII)
ate una successione t a l e che
Ld(p),
in
Rqb) -
debole
q1<+a3 l a t e s i & immediata
{
t e o r . XLVII (teor. L ) tP segue
gradiente
/-c
b) & ovviamente sufficiente. Proviamone l a necessi-
L a condizione tP. Nel case
) l a funzione
(E
seguente condizione, p e r
the s i a soddisfatta l a
di
e sufficiente perch& (LC&q(D)abbia
, che s u s s i s t e p e r (SU
D-(Y)
, nella identita ogni 4-6
) contenuto
in
jDK,* @ud
r-
~ T vavente ) gradiente
$'(D)
, s i ottiene l a
L . De Vito tesi.
LX. Condizione n e c e s s a r i a e sufficiente perch& & ~ ~ ~ D ) ~ , 4 q ~ + m abbia p e r
divergenza
b che e s i s t a
debole s u
Fc [~
p-$9
) una m i s u r a
(E
LW@) avente gradiente debole s u D t o in PCD) . per
ogni
vt
La condizione B
th
. Consideriamo
debole s u
caso
. Si c o s t r u i s c a una
c' IU,]
(E
D.3D
ovviamente sufficiente. Mostriamone l a
dapprima il
/)-3p
P
~ (J* 0 t a)l e che:
in
cui
l.c
abbia
successione
{ ~ , j di
) contenu-
necessidivergenza vettori di
che goda d i proprieth analoghe a quelle della successione
(1))
indicata nella p r i m a
LVII ; naturalmente l a
p a r t e della dimostrazione del t e o r .
(76) deve e s s e r e o r a sostituita con
l a seguen-
te: (76')
L ' *->& lD)
che s u s s i s t e r a p e r ogni
p'
appartenente
Si perviene c o s i
che:
k q ( ~ ';) l a
all'rsistenza di
corrispondenza ad ogni
e tale
a
funzione N.G&*(~~) avente gradiente debole s u
del
un tip0
FD,
(77) andra sostituita con l a
rk*(D')J* tale che,
detto,
risulta :
in
L. De Vito
q
Supponiamo o r a
su
j)
Per
X
appartenenete
-05
E
<+&
> d e guindi
. Sia
v~flI))avente
gradiente
&'f)(~). Poniamo:
a
porremo:
9
~ $ C r + l - ~ ( / ) ] = ~ ~ q + ( 2 t - f,~geJD, ~ ( j ) ~~ ~ ~ , c k c p . Dato che
e
fly( x ) tre
ha
,V
ed anzi
W ~&,?(D) E
che, p e r
ogni
ycC0So)
Da (80)
ed a n z i
Tonelli
visto che in
D
.Inol-
fl
tale
. e s i s t e una
risulta:
l A'cD.q,
11
ne deduce:
subito
)~LD
:
Si ha poi
Se
su
1/)) =~ 11 ~ llL~cDl ~
11 wy 1
(82)
nulla
assolutamente continua second0
zrc &&(D)
f
traccia
costante
~'k+~~-~)
6 M 11
s i trae:
Da (83) viene: k x + ~ ~
Esiste
quindi
(82) s i t r a e :
finito
il
d*
limite :
sDkxwvdr.
& Fp ( v ) , 0
y/2
f
~(4 b (81) ,
L. De Vito
Se ne deduce e
F f ~k*(~)]* . Passando
, allora l e
"funzioni
MCo(D)/) e '( D)
; in
d i provan risultano appartenere a
t a l caso, servendosi del metodo indicato da
Gagliardo (32) B possibile c o s t r u i r e una successione
['(D)
d i funzioni di
i-
t a l e che
ove
L
lora
si
una
costante
Consideriamo
D . Sia
Dc D
opportuna, indipendente da m
a-
6
il
un
caso
dominio
. Prolungando
, con
CI
q=j .
ora
il
valore
. Se al-
,nella relazione
p a s s a a1 limite , p e r M->&
s i ottiene l l a s s e r t o p e r su
. Se poi B
(85) , s i ha l l a s s e r t o , p e r Q > d
tenendo p r e s e n t e
4- d
a1 limite, p e r f + C , in (84).
in
cui
I&
abbia divergenza debole
propriamente r e g o l a r e t a l e che e
6
fuoii
di
zero, s i vede che l a Li,
D
h,
a tutto
, cosi' prolunga-
, prolungata nel mod0
ta, ha p e r
divergenza debole s u
detto. Con
i l procedimento indicato s o p r a s i viene a c o s t r u i r e una sucdi
cessione { k r l
funzioni
della seguente proprietA :
tale che
t r a l l a l t r o , godono
D C D1-'f~;
D1cc-9E
c 0'-' 3 ~ ' e quindi
corrispondenza
ad ogni
~ ~ r ( ( ~ ) a v e n tgradiente e debole s u
6
in
contenuto in mod0
p e r l e proprieta
(32)
e
l e quali,
ha +$a,,,
V-&I)
(87
D'
se
C' (D)
si
definitivamente
in
di
l aU ,
D
che
(R?(D) risulti:
, preventivamente
I&(
prolungato
$'(6).
Yf?lm(G),
della successione
;
:
a tutto
S i ha inoltre,
& d $ D ~ I x @ ~ d x = ~ ~ s Z a g ~ d ~ - ~ & t . i ~ y. u d v h x Cfr. loc. cit. in (11)
.
- 90 il supporto di
U;
Poichg il prolungamento di
. Si
5Q
& M+a7
Da (86) viene a l l o r a che e s i s t e i l limite Sia
L. De Vito
dlr = F(N)
ha, p e r ogni Y
da
D
a
del tip0 o r a detto :
pub e s s e r e fatto in mod0 che
s i avra :
F ,$ [ & w c ~ *
Ne viene LXI
.Sia D
e quindi, passando
d i c l a s s e 2. Condizione n e c e s s a r i a e sufficiente p e r -
chg U Eg(i)) abbia p e r divergenza debole ' 5 3 C dx +JRn4 f d p c o n { ~2'CD) rispondenza ad)ogni
a1 limite, nella (86), p e r
vekPt~)
,
su
la m i s u r a r
& q1Yv-Lp,)
@
(8)-
che, in c o r -
avente p e r gradiente debole s u
D
k.
L a t e s i segue subito dal t e o r r XLV. I1 t e o r LXl& v e r o anche nei s e guenti
casi
ri(~
<=4,9':4;
f
nel c a s o
1 G~(+Q,
4
g.!
9:i ,
,.(
q'c.ar, i-q $ 9 ' 1 < + ~come segue subito dal teor. LI11, e
~ c-, ~ ~1 s & m , P ' ~ o m e segue dal t e o r . LIV e d b v e r o
anche senza alcuna limitazione p e r
.
:i'' se .
s i idkntifica
,{*
con
C '.
19. Alcune definizioni relative a i poliedri ed a l l e famiglie quasi totali
d i poliedri.
L. De Vito
P e r poliedro mitato
E~
di
qui
i 3 , che indicheremo
di
si
intendera s e m p r e un
con
f
dominio l i -
, avente p e r frontiera
una
unica superficie r e g o l a r e semplice e chiusa contenuta nelllunione di un numero finito d i
piani;
&f
ltintersezione di
con ciascuno
piani b costituito da un numero finito di dominii
di tali
bidimensionali connes-
s i , a due a due disgiunti; ognuno d i tali dominii (bidimensionali conness i ) b una faccia di se
sono
M
P
tenente $K escluso
che r i e s c a
x K< f )
no
e
del
-?
denotato
nel s e n s o
x,(P)
:_
piano
t,( f )
&(P),
b sprovvista d i
p
l a faccia
$$P ;
una faccia
da
numero
8, f
pfiP ;
e
sara
dominio limitato del pia-
chiamata bordo
f
diconsi v e r t i c i di
bk f
finito
di di
p
;
della faccia
, nei quali l a c u r v a
3,,E
di
due
facce distinte di
un
insieme
od
finito
anche
i punti
che sono
f
l a curva
distinti
-
di
,
se
non
v e r t i c i di
appartenente a
%f
dicesi : ltintersezione
e
vuota,e costituita da
(eventualmente vuoto) di punti isolati
una almeno
Bk f
b costituita
l a t o della faccia
f
%1
o v e r t i c i del-
segmenti; ogni segment0
e congiungente due v e r t i c i
per
un
di
un numero finito di rette; l a frontie-
i punti di $)K
del bordo
vertici
ciob
pK1
ogni faccia
tangente, s i chiamano i v e r t i c i d i
almeno un
) ;
e
(naturalmente non
, avente p e r frontiera unlunica curva r e g o l a r e sempli-
dominio piano
e indicata con
&+&
(tt=d.,,,',L
o r a detto) ; il piano con-
z,(j!)
con
c e chiusa contenuta nelltunione di r a del
9- !
s a r a indicata con
l e facce d i sarh
& un poligono
f
delle due facce ) e d a un
(che sono
insieme finito
(eventualmente vuoto) di segmenti; ognuno di questi segmenti che s i a contenuto nelllinterserione d i due facce distinte
$f
e &
s i a contenuto propriamente in alcunsegmento appartenente
e
che non
L. De Vito
dicesi
p
spigolo del poliedro
sono due
vertici di
delle due facce d i
2
necessariamente di
i due e s t r e m i di uno spigolo d i -f' e ciascuno d i e s s i C v e r t i c e di almeno una
1
che
;
si
intersecano nel
entrambe
in (3))
.
Con
%,(P)
E~
e
zero di
. Ogni
poliedro
s e n s o di
Fichera
l e facce)
un dominio propriamente regolare nel
dettospigolo ( m a non
indicheremo s e m p r e l a r e t t a ortogonale
un
fissato
poliedro
identicamente nulla s u 'ogni
-
. Sia
J~
wK
boreliano
una
definita sui boreliani del piano
misura
indicheremo
( s i t r a t t a di Sia inoltre
di
porzione
in uno spigolo d i f
l a famiglia
tutti i
E T,
boreliani d i
che non
abbia punti
(vettoriale a
comune con l a delle m i s u r e
in comune
t r e componenti)
faccia
VK
.
una m i s u r a
~ ~ (e 9identicamente ) nulla
boreliano che non abbia punti in
{'??I
passante p e r l o
. Sia hL,
E
di
(vettoriale, a t r e componenti) definita s u con
( c f r . 1 0 ~ .cit.
zk( f ) . Parlando
a1 piano
lunque segment0 (di lunghezza positiva ) contenuto
p
ovviamente
intenderemo s e m p r e , nel seguito, un qua-
di s ~ i g o l odel poliedro Sia
e
s u ogni
gMa . Con
t e s t e introdotte
una famiglia costituita da un numero finito di elementi)
. f . r~ {af ~ ] una
famiglia di
m i s u r e (vettoriali a t r e
componenti ) t a l e che: la) indicato con
e
il
generic0 piano
ina m i s u r a definita s u i
su
tutti
quei
0
2) indicato
si 3O) s e
y
t
con ha
rt
boreliani
boreliani
-1 il
che non
piano che
di
orientato
di
E~
, Tz
, identicamente nulla
hanno alcun punto in comune con ha orientazione opposta a quella di
T _ -~- 7 i Z j
denota
(ove / Y I = I
il piano
, Y 1% t e )
dttenuto traslando
del
un numero
8,
reale) e s e
vettore & il bore-
L. De Vito
liano del
Z
di
~t
vettore
.
mabile
, l a funzione
che
relazione a
-p
un
Z
e
( il
K
p)
a
che i l
8, i ~ ] 1)% f
2I%(f )
comune
e s i s t e un
xK(f ) pub
coincidere
con
fi
& di discontinuit& p e r
che contenga almeno un
lato
;
di
9 r,(p)"asportabile di frontiera" in
PC
&
se: composta
&
non
0$)
di
facce
/)2
1
) sono contenute in
hanno
alcuno dei p r o p r i
(con W > M n &
Mt con
"asportabile internott in
fi
1
di
m e n t r e l e rimanenti 41t e r n i in
& localmente som-
nessuna porzione di spigolo di
piano
,t4,
prime
&
,TI(( f')
poliedro
1) l a frontiera
le
di
:
& d i discontinuita p e r
Diremo
2)
nessun
piano
111) nessuna delle r e t t e di
gK
1C
nessuno spigolo e
d e i piani
11) p e r nessun
quali
8
se :
gp
giace su
relazione
il boreliano
t ; vi ( q t )
di
poliedro
]
vertice,
qualcuno
traslando
=t
Diremo I) nessun
ottenuto
delle
9 punti
in-
;
poliedro
di
E
che gode delle seguenti pro-
prieta : 4)
nessuna delle facce
z4 (8 , nessuno
l e porzioni di spigolo 5) nessuno
a piani
del
6) nessun
7)
degli tip0
pian o
--
dei v e r t i c i di
spigoli
a piani
nessuno degli giace
su
x k( y )
di
gy
discontinuita
del tipo
spigoli e neasunn del;
e nessuno dei vertici di
ze( ) ; xK( F) &
nessuna r e t t a di
di -p appartiene
qK
per
che contenga qualche
appartiene
fi lato
;
di
gk(j')
L. De Vito
6 d i discontinuita p e r l a m i s u r a
8) nessuno dei piani (33) l e m i s u r e /;ir, . R E ' evidente che i n relazione
a
di qualcuna del6 un poliedro "asportabile di frontiera"
,
p,&, &),{z].
d i poliedri di PI, d i c e s i quasi totale i n relazione a 7 {z? Una famiglia
0
1 su ogni r e t t a me
/v
N/L
.
R
p
opphre be
3'
4,
E3
J
(3)
e s i s t e un i n s i e -
f-
fp s i verifica che:
p e r i quali
$A,P{
"asportabile internb" relativamente a
"asportabile d i frontiera" in relazione a B
,53
di m i s u r a l i n e a r e lebesguiana nulla siffatto che
6 un poliedro
P
contenuti in
se:
' ' passante p e r lo z e r o di I
contenga tutti e s o l i i poliedri di 2'
/53
" asportabile
I
zK(f)i n t e r s e c a
interno",
in pun-ti che non appartengono a
; la
retta
' )
w
B "asportabile di frontiera" e s i s t e un poliedro -? di se verificante, r i s p e t t o a l e 3) 8 ) , tale che
1
4O
non
interseca
20
Q~
(F)
. Equilibrio
p 7 p,pj,{q
- )
)
in punti d i
r"
..
fi*
di un corpo limitato.
P r e n d e r e m o in considerazione soltanto "corpi limitati" che s i a no schematizzabili con poliedri
(del tipo p r e c i s a t o nel p a r a g r a f o
precedente). In a c c o r d 0 con l e considerazioni svolte e con l e definizioni (33)Con cib intendiamo che i l piano &(I) non contiene alcun boreliano bidimensionale , di m i s u r a lebesguiana bidimensionale nulla, che s i a contenuto anche in qualche piano del tip0 e t a l e che
R
(9)
v
(13)+0.
'TL
L. De Vito
date in relazione a i corpi "indefinitamente e s t e s i " nel lavoro citato in
, si s u p p o r r h d i s c h e m a t i z z a r e l a f o r z a d i m a s s a agente s u l corpo rappresentato dal poliedro , con una misura#vettoriale
C
a t r e cornponenti) definita su tutti i boreliani e che penseremo, poi,definita agenti
delle m i a u r e v e t t o r i a l i
FK
boreliani di
(9)ed
hanno punti
in comune con hR
J su la
9
contenuti i n
s u tutti i boreliani
l a 'con il v a l o r e z e r o fuori d i e s t e r n e di superficie"
B
di
E ? prolungando-
; s u p p o r r e m o inoltre che l e "forze
r)p
possano c h e m a t i i t a r s i con
y. e s i m a delle quali 6 definita s u i
6 'identicamente nulla s u i boreliani che non
3
; da ultimo a m m e t t e r e m o che gli
"sforzi interni" a t t r a v e r s o porzioni piane contenute in
si pos-
sano s c h e m a t i z z a r e rnediante una famiglia di m i s u r e
[ ~ fverificante l e
1 )
se
di un
2')
) del paragrafo p r e c . , nel s e n s o che
3
poliedro
"asportabile interno" relativamente a
"di f r o n t i e r a t ' in
(O
l e porzioni d i I1 corpo
!3&P f ) ,
relazione a sia
bJ{%\15]) 10
'Isforzo" a t t r a v e r s o
rappresentabile con l a m i s u r a
limitato, schernatizzato d a
9 , s a r i detto
"in equilibrio sotto l'azione della f o r z a di m a s s a e superficie
(%\
7A,jx],{$]
, delle f o r z e
tale che p e r o@i
risulti:
(89) se
'l~k(P)
, e degli s f o r z i 1'7.1 ", s e e s i s t e una famiglia
q u a s i totale di poliedri relativa a
p {P)S
%P 6 l a faccia 9,p ,
6 "asportabile interno" in relazione a
.
P /U,{Z]e
di
- 96 L. De Vito
se Ove
2
I \
6 "asportabile di f r o n t i e r a t ' in
Z 4(
5
relazione a
3 q, )
)
)
J
rk(P)ed ove s i @ convenuto di sc.eglier@llorientamento dei
zi(Y) I 0 ) Y e r s u l'interno P,
K
piani
rispettivamente di
I
Questa definizione di equilibrio p e r un
.
e di
"corpo limitato "pub
r i c o n d u r s i a quella relativa ad un "corpo indefinitamente esteso" (cfr. lavoro citato in ('I ) LXII
famiglia
. Condizione
lyjP
mediante il seguente teorerna : n e c e s s a r i a e sufficiente perch6 e s i s t a una
q u a s i totale di poliedri
in relazione a
pp@-?~f, J
J
s u ogni poliedro della quale siano soddisfatte l e (88) (89) oppure (91) (second0 che il
poliedro
sia
(90)
"asportabile interno" o "di frontie-
r a " ) 6 che, posto
e s i s t a una famiglia q u a s i totale d i poliedri
relativa a
t a l e che , p e r ogni poliedro
(34)
2
{_PI
abbia n6 v e r t i c i nC spigoli
P
. i l quale non
nC porzioni di spigolo contenute in
?# 9,
risulti : (92)
/"(P)=
zx
RzR(p)(gk?)
-
Mostriamo tiva a
l a necessitA. Sia
qp,[fif,{@]
{Ifp l a farniglia quasi totale r e l a -
, di cui all'ipotesi. Come famiglia{ff
(34) Cfr. definizione d i famiglia q u a s i totale r i s p e t t o a in ( 1 ) p. 212
.
quasi in 1oc.cit.
L. Dc Vito
totale relativa a
/U ,{.r:i '
di cui alla t e s i a s s u m i a m o l a famiglia quasi
,
, da
totale determinata da $Z l a sulla r e t t a
rispetto
(relativo intersezioni
$
di con
<9
Sia
ed
ne porzioni
9
ortogonali ad
, allora,
, nessun
piano
ad
/3p -
e
nessuna
di
coincidere
Nk
-) nessun
pk
P
di
- in.forza delllipotesi fatta s u r e t t a d i z,,(e)contenente qualche lato d i $K - come segue dal fatto che {P) per ' k ( k ) o l t r e che a
"asportabile internon in relazione a Inoltre
, nessun
piano
z&)
qualcuno
v e r t i c e , nessun
pub
pub g i a c e r e s u
tinuitl per
'
con
2-4d:
giacere su
-,nessuh v e r t i c e , nessun spi-
) ; inoltre nessun piano
{rn]
$
ne
4 9 . Se
pub spigolo
golo e nessuna porzione d i s p i g o l o d i
totale h l a t i v a a
abbia
dovr& e s s e r e contenuto in
Z n ( f t?)
porzione d i
p--
1 non
ne v e r t i c i contenuti in
ancora pef l a definizione d i
llipotesi fatta s u
& e d i discontinuit&
llconcentrazionill d i qualcuna del-
inoltre supponiamo che
definizione
e conte-
, nonche dalle intersezioni
contenga
il poliedro
dalle
oppure almeno uno spigolo
piani ortogonali
di spigolo
ZL(3))- p e r l a
spigolo
dei piani di
K
che
,Q
aggiungendo a ciascun
-
( infatti
dei
/J
una faccia
di ciascuno dei
spigoli
d i m i s u r a nul-
if)p ) l l i n s i e m e pL costituito
di ciascuno
per l a misura u ,
f
) ottenuti
oppure almeno un v e r t i c e di
a .
a
alla famiglia
con
nenti almeno
/Vk
insiemi
passante p e r llorigine (di cui alla definizione d i famiglia
{f]
quasi t otale
i 1e dagli
f, p,
(t $
I-
per
zk(2) sarA di discon-. & - ; infine, nessuna , s a r & di discontinuitl & una famiglia quasi
- . Pertanto 1 . s a r a
i n t e r s e c a F\., @)
(v
in punti di
n/
"w!)
L. De Vito
& C )JL Cv
dato che
p c i ~ ) ~, e
p e r costruzione. Allora s a r l
quindi, i n corrispondenza ad e s s o , saranno verificate l e (88) (89) che
, i n t a l caso, rispettivamente con l e
coincidono
F C P-gP
e p(~):p(S)per
(92) (93) dato che
S C 53-4.3P . se~(t??)~@a,
ogni
l e (92) (93) sono verificate per& 6 , in corrispondenza di e s s e , ambo i
m e m b r i della eguaglianza
s e a1 ragionamento fatto
sono nulli; infatti, i n ba-
poco s o p r a , dovrP e s s e r e
aupponiamo dapprima che
s i a connesso
a
10
il poliedro
come
f
stesso. Sia h a
1) d e l p a r a -
zA(p>-
-
l"Jk
, nessuno spigolo pub g i a c e r e s u 3-P
1%
-
di
in f o r z a della definizione d i
o porzione d i spigolo, e nessun v e r t i c e a n c o r a in f o r z a della definizione di
-
, nessuno spigolo o porzione di
spigolo e nessun v e r t i c e
di
1
Le
4) 5) 6 ) 7 ) d e l paragrafo prec. sono soddisfatte i n
pub
giacere
su
-
0
in f o r z a dell'ipotesi fatta
-
L a 8) d d paragr. prec. segue d a l fatto che contiene per
"concentrazioni" d i
alcun
interseca
valore d i
/HK (
P)
&
. Inoltre,
in punti
di
p e r costruzione e dato chb, interseca Saranno
'
M K( 2 ) allom
in.' punti
-
di
grafo prec. in conseguenza del fatto che: nessuna faccia T), del tip0
che
in relazione a
6 un poliedro verificante l a p r o p r i e t a
appartiene a piani
e
. F a c c i a m o vedere
"asportabile d i frontiera"
9,,f~, [ r ] , { ~ assumendo j intanto che
P C (ep . Conside-
P(\(T-49)#*, oqp# #
r i a m o , d a ultimo, il c a s o in cui s i a 6 un poliedro
a ciascuna
'essendo di
z,( f ) -. 1, ( -P )
( p e r l a definizione di nessun p i a n o z H
If] . nessun ,
.i
1.
mod0 evidente.
N
hl,cp)dato c h e N
su
non
pT
)
*CP). ze'(P1
VM.(PI C
z4 (1)
ha quindi
909 {PI
'nr (PI soddisfatte in corrispondenza a d e s s o l e (90) (91)
9'
L. De Vito
, in particolare,
e quindi
ove
Z K ( p =_)
zq(Pn7).Si noti
o r a che
( p e r l a propr. 5) )
e quindi :
Poiehe ogni
,
Da qui ne
(93)
.
Se
x z h xha
il s u p p o r t o c
d a . (90)' e da (90)"
P/) 9
non
ponenti connesse
dr) , r i s u l t a
segue
& connesso
(92)
;
. In mod0
s i r a g i o n e r a sulle
come si & o r a ragionato s u
analog0 s i otties u e singole corn-
-pop . L a necessit,
6 c o s i provata.
Mostriamo, adesso, l a sufficienza. S a a
ed a
{ (jr7
q u a s i totale r e l a t i v a a
l a famiglia d i cui
,
di
fit
di m i s u r a
p a s s a n t i p e r l'origine
lineare
quasi totale r i s p e t t o
all'ipotesi. Come famiglia
, d i cui alla tesi,
l a famiglia q u a s i totale d e t e r m i n a t a
mi
poliedri
da
,
lebesguiana
assurniamo
e dagli nulla
insie-
sulle r e t t e
(di acuialla definizione d i famiglia q u a s i totale
L. De Vito
) ottenuti aggiungendo a
ciascun
( relativo . alla
l'insieme costituito dalle intersezioni con Z
)
dei piani ortogonali
ad
R-
nonch6 dalle intersezioni con
sia
di ciascuno
dei piani ortogonali
h
9
. Sia
almeno un v e r t i c e d i
famiglia
7
che sono di discontinuita p e r
tenenti almeno una faccia di
p
/&
ad
e con-
o almeno uno spigolo di
ora
1(
(PJd?
o
e supponiamo che
"asportabile interno" ; a l l o r a d o v r l e s s e r e
39'
PC?-
(come si vede con un ragionamento gia fatto nella dimostrazione della necessita)
. P e r l a definizione
di
fl
si
ha che nessun piano
r X( t ) di discontinuit& p e r / -~ c inoltre, dato che 6 anche zK(P)contenente l a t i A;+ ! nessuna r e t t a d i p {!la infine , dato che NR< h/n , nes6 d i discontinuita ;
6
;
)
z;(P
sun piano
P E{P]
si ha
X r , ~ ~ )
interseca
e
inoltre
5
m,(~) in
non
porzioni di spigolo sontenute in
ha n6
punti d i
. Allora
)/
%cr,
v e r t i c i n6 spigoli
(essendo
2
"asportabile in-
-P
t e r n ~ " ) .Saranno quindi verificate, in corrispondenza a1 detto (92) (93)
/Cc
l e quali
e
rnentre
ora s i
mo che
coincidono, rispettivamente, con
possono
p
verificante
ha
sia
4)
...
-C
fuori
xK(7)
di
la
s u boreliani di
99
e supponia-
8)
. Facciamo
vedere che s i pub
{PI . V,/, vwk(p)\',cg-)
appartenere a
imporre
Intanto s i
a
ha che il
H
interseca
6 d i discontinuit5
Inoltre, p e r
(88) (89) dato che
9-33 . Sia adesso f€{pfp M K ( F ) fuori
N n t K td~a t)o c h e
di alcuna delle
, le
llasportabile di frontiera". E s i s t e r l a l l o r a
l ' u l t e r i o r e condizione d i piano
d i f f e r i r e t r a l o r o solo
n6
per
F4 7)
di
@ ) e quindi
Cv
anche
zk(P) C
.Inoltre
( p r o p r . 6 ) ) e non contiene
"
concentrazioni"
(propr. 8)) e quindi non 12 d i discontinuita per/-
, nessuna r e t t a di
rK (F) che
non
.
contenga qualche
L. De Vito lato
pe{f]
ha li
3,.(7) , 6 di
di
. Inoltre,
n6 porzioni
di
(p) . P e r t a n t o si
discontinuit5 p e r 4zK
N
per
la
non
4),
spigolo giacenti
ha n6
. Allora, in corrispon. In particolare si ha:
su
N
denza
-p
a
inforzadella
sono
5).Si
verificate l e (92) (93)
hapoi
'M
,7L&q(p)<~&r)=~Ksr (7rp) nltd
come 6 ben evidente, e quindi r i s u l t a nea
v e r t i c i n6 spigo-
P .
soddisfatta
X,(P)
l a (90) in relazio-
Analogamente s i controlla che s u s s i s t e l a (91) in relazione a 1
detto
p
.
I1 t e o r e m a Dal
LXII 6 c o d
dimostrato.
teor. LXII t e s t 6
dimostrato,
e dai
'
t e o r r . I. 6 , I I , 6 , 1.10;
si deduce subito il seguente t e o r e m a
11.10 d i loc. cit. h
n i s c e l a traduzione in "equazioni deboli"
che for-
delle equazioni dell'equilibrio
LXIII, Condizione n e c e s s a r i a e sufficiente perch6 , in spondenza (88)
a
2 ,,
... (91) s u ogni poliedro
totale d i poliedri
essendo &!.
b
-P
relativa
m i s u r a vettoriali
( r j ) = o s ~ oeni
{
esista a
di
soddisfatte
una opportuna famiglia quasi
9) ,{GI, i ~ ,fe che e s i s t a n o t r e
( d i componenti
5
t a l e che siano
corri-
che non
&;-
b
) tali che:
in comune
con
L. De Vito
esiste
/u.
3
{go;
sfacente
e f ~ sono ) tali
quasi totale
la m i s u r a Se -
4
e
famiglia quasi tot ale
sono (88)
'
{!fa
verificante
10(;61
dir
!3,
(35)
[ ~ verificate f
esiste
s u i boreliani
3iz
:
/CL
'
(94) (95)
& - egima componente d i
come
corrispondenza ad e s s i
. un s i s t e m a {&j soddi(88) . .. (91) ( i n riferimento ad una opportuna famiglia relativa a Tp,@],@) si ottiene assumendo verificante
le
che, in
t a l i che,
... (91) ( p e r
relativa
in
ogni p o l i d r o d i una opportuna
,
a
corrispondenza ad e s s i ), u n s i s t e m a
(94) (95) si ottiene assumendo : A
Da qui
e dai t e o r e m i sull'operatore d i divergenza debole (dei
paragrafi precedenti ) si t r a e , in particolare, che, assegnati ad a r b i -
/GC Ek i&(a))],
trio l a forza di massa
e la forza
con,U(a)=xl(
e s i s t e un s i s t e m a d i pressioni
{
c k verifica,
equazione d i equilibrio denza ad ogni nua con den'sitP teoremi
piano
1q
in relazione
e s t e r n a di superficie a
p
ed
a
(88) o (90) , e t a l e inoltre
Z , 4
'
la misura
4 4 3k
di regolarizzazione e
$Yz
. E'
sia
interne
la prima
che, in corrispon'
assolutamente conti-
o r a evidente
di traccia per
,
che tutti i
l e funzioni dotate di
divergenza debole, dati nei paragrafi precedenti , si traducono in a l t r e t tanti t e o r e m i di regolarizzazione all'interno e s u l contorno p e r l e so. . - -(35) P e r l e notazioni qui usate cfr. loc'. ~ i t .in ( I )
L. De Vito luzioni
della p r i m a equazione dell'equilibrio Inoltre, dai risultati del paragrafo
dal
teor.
LXII
LXIV denza
,
verificante (88)
{R]
una opportuna
famiglia q u a s i
, e tale
"r
ove -
6
p
l a misura esiste misura (88)
2 6 di
versore normale
il
, p ( x p ~ &'(p)
funzione
... (91)
fefp
,
sono
che
tali
e s i s t e uno a
la
(96)
poliedri
,P
che e s i s t a una
gradiente debole
su
che,
in
corrispondenza
/P(*) fuori
-
ad e s s i ,
3
la
ed un solo s i s t e m a soddisfacente le una opportuna
?,~,m,
sBr
farhiglia )
e
quasi tota-
l a ( 9 6 ) , ed e s s o /
~ ~ ( 6 ~~ ~) ) ~d ) d(eve ~
determinato dalla relazione di
con
8
il
valore
si pensi
z e r o ).
sono t a l i che, in corrispondenza ad e s s i , 1e 8 8 (91) ( in r'iferimento ad una
% %
...
verificante
opportuna famiglia quasi e
>
a
avente p e r gradiente debole su
relativa
z/iL esiste Fir3
totale di
ogni
inoltre che r i e s c a
che abbia p e r
( in riferimento ad
prolungare
.. (91) s u
%pc~)=pt~)-~,~~[5n~~(~
{ qmt$'(7) p
d e l loc. cit. in
.
(1)
n e c e s s a r i a e sufficiente perch6 in ' c o r r i s p o n -
esista di
poliedro
(90)
si deduce che :
. Condizione
a
14
(88)
totale
ff f 9
r e lat iva
, e s i s t e una ed una sola funzione
ha p e r gradiente debole su
determinata dalla relazione
la
/p(y,=
misura
dlri.
?/,F],{4])
7
ed e s s a
6
=*
LXVP Condizione n e c e s s a r i a e sufficiente il
a
d * ) t e4(9>
s i s t e m a (88)
perch6, in corrispon-
. . (91)
(96) a m m e t t a
L. De Vito
[ ~) 6fc h e
soluzione (nell'incognita
$py$iisOp e r ogni
v~c'?$.)
avente divergenza nulla.
I due
t e o r e m i o r a dati possono i n t e r p r e t a r s i come t e o r e m i
relativi all'equilibrio d i
corpo
"fluido" ideale (schematizzato
ove, in a c c o r d 0 con l e definizioni date nel del loc. cit. in (1) s i intenda per corpo "fluido" (ideale) un
d a l poliedro n. 14
p
un
)
.
c o r p o p e r il quale l e "pressioni interne" sono schematizzabili con m i sure
*z
soddisfacenti
sempre normali
(96) , cio6
a l l a superficie
con m i s u r e vettoriali
che sono
a t t r a v e r s o l a quale l e dette " p r e s s j o -
ni" agiscono. Allora, i t e o r e m i di regolarizzazione e di t r a c c i a p e r l e funzioni dotate di gradiente debole sono a l t r o che t e o r e m i
(dati nei p a r a g r a f i
precedenti) non
d i regolarizzazione all'interno e sulla frontie-
r a p e r l a soluzione del s i s t e m a
(88)
... (91) (96) .
- 107 Gaetano F i c h e r a P r o b l e m i 6laltostatici con ambigue condizioni 81 contorno.
Gli argomenti esposti in questa conferenza sono s t a t i pubblicati nef seguenti l a v o r i di G. Fichera:
[ 11 P r o b l e m i elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni a1 contorno - atti Acc. Naz. dei Lincei (Memorie) , s e r i e VIII , v. VII, 1964
.
121 Elastostatics problem with unilateral constraints: the Signorini problem with ambiguous boundary conditions - Seminari dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica 1962-63 , Ediz. Cremonese, Roma 1965.. [ 3 ] Semicontinuity of Multiple Integrals in Ordinary F o r m Archive f o r Rational Mechanics and Analysis - vol. 17, n.5, 1964
.
[ 4 3 Un t e o r e m a generale di semicontinuita p e r gli integrali multipli e sue applicazioni alla F i s i c a Matematica - Atti del Simposio Lagrangiano Acc. Scienze Torino, 1963
.
r 5 3 The Signorini elastostatics problem with ambiguous boundary conditions - Proceedings of the Intern. Symposium "Applications of the theory of functions in Continuum ~ e c h a n i c s " Tbilisi (URSS) , 1963
.
L a r i c e r c a cui l a conferenza si r i f e r i s c e t r o v a s i compiutamente esposta in [ 1 1 11 lavoro [ 23 6 una traduzione in lingua inglese [ 1 1 I1 lavoro [ 3J contiene un t e o r e m a generale di di semi-continuith, sul quale si fondano i t e o r e m i di esistenza contenuti 4J e 1 5 1 sono esposizioni riassuntive, tenuin t 1 J L e note t e in Congressi, del lavoro [ 1 1 L a conferenza tenuta in Bressanone, a1 C o r s o C.I. M.E. , B s t a t a conforme a quanto esposto in C 4 3 e [5]
.
.
.
.
.
C E N T R O INTERNAZIONALE M A T E M A T I C O E S T I i r O (C. I. M. E . )
G. GRIOLI
S I S T E M I A TRASFORMAZIONI R E V E R S l B I L I
C o r s o t e n u t o a B r e s s a n o n e d a l J l m a g g i o a1 9 giugno 1965
SISTEIflI
X
'TRASF'ORMAZIONi
EEVERSIBILI
di Giuseppe Grioli ( Universita di Padova)
I Qualcke--premessa dI Cinematica delle deforrnazioni finite Eicniami indispensabili di teoria deile m a t r i c i . Quando o c c o r r a ,
)
u s e r b il linguaggio della t e o ~ i adelle mairici.
P e r chiarezza, r i c h i a m e r b
gii elementi fondamentali di cili f a r b uso quaiehe -4oita. Siano
due m a t r i c i quadra:e
di ordine 3. P e r pr.~dc':t; sl;n?ender& l a matrice
quadrata
In g e n e r a l e , risulta
ab f ba
Indicherb con B l a m a t r i c e coniugata di
Si ha s e m p r e
ab =
Indicherb can
a :
ba . Ca
la m a t r i c e complementare di
m a t r i c e quadrata che ha per elementi i c o m p l e m e d i aih
di
a Con
.
Si ha
a , cia* q l ~ e l l a
Aih degli elementi
C(ab) = CbCa.
a - ' indicherb l a ma'irice inversa di
quadrata soddisfacente allluguaglianza
a
, cioe l a m a t r i c e
G. Grioli
. con Jil simbolo di Kronecker e A determinante
ilA
Da
aihAlh =
di
a , segue
Si ha inoltre, (ab)-l = b-la-l ,
(6)
Se un vettore
C a - I = ( ~ a ) - ' , Det
.
a-'
.
1 Det a
=-
s i rappresenta mediante l a m a t r i c e v1
v
(7)
v2 v3
il prodotto
Se
a
w
B i l vettore
ax
e s p r e s s o dalla m a t r i c e
B s i m m e t r i c a esistono, come B ben noto, almeno t r e d i r e -
zioni mutuamente ortogonali, c a r a t t e r i z z a t e dai v e r s o r i
B parallel0 a
i l vettore del s i s t e m a della m a t r i c e
.
arlul = > u r a
.
u(~)
Ognuno dei vettori
u ( i ) , per l e quali -
B soluzione
I vettori y(i) caratterizzano l e direzioni unite
. e
La m a t r i c e s i a 1 , s i ottiene da
v
un r o t o r e quando i l vettore
1 , qualunque
mediante uno spostamento rigido con un punto
-
113
G. Grioli
unito. Sussiste i l teorema: condizione n e c e s s a r i a e suffidiente affinche
7
s i a un r o t o r e 6 che risulti
Per la matrice
a
sono invarianti l e quantith
e s i ha, evidentemente,
2)
Sulla- .corrispondenza t r a due d i s g e configurazioni di un medesknr -
s i s t e m a continuo
.
Di ur, medesimo s i s t e m a continuo
due configurazioni C, C'. Siano P e
P I
S
s i cozsiderino
due punti corrispondenti e
yi ,
xi l e l o r 0 coordinate rispetto alla medesima t e r n a trirettangola levogira di riferimento di origine 0. La corrispondenza t r a C e C ' & c a r a t t e r i z z a t a dalle relazioni (12)
x i = xi ( y 1 ~ y 2 , y 3 ) ,
eventualmente dipendenti dal tempo, o l t r e che da a l t r i parametri. L e relazioni invertibili (12) soddisfano a tutte l e bea note c w d i zioni di regolarita imposte dal l o r o significaio meccanicc. risulta (13)
=
11 x i , h l l > O ,
ove l a virgola denota derivazione rispetto alle
yh
.
Post0 (14 )
a
p {ayi)d \. ~
,
d ~ f = \( d 4~ . b
In ~ a r t i c o l a r e
". Grioli risulta dP1 = adP
(15) ove
a
6 la matrice
Ci consideri l a m a t r i c e
Si h a , evidentemente,
brs = bsr
(18)
Ne segue l l e s i s t e n z a d i almeno t r e direzioni unite gole p e r b.
Sia T ' una
ad e s s a r i s u l t a
d
s e con
b;
= n
7
0
= b; 7 0
.
b
Rispetto
Si pub dunque p o r r e
,
s i denotano i coefficienti principali di
t i diagonali della m a t r i c e
.
mutuamente t r i r e t t a c
( o l a ) t e r n a trirettangola unita di b.
brs = ~ ( r f s ) brr ,
(19)
'
brr 7 0
b , cioe gli
elemen
r i s p e t t o a1 riferimento T ' .
In generale l a determinazione dei
dr ) presuppone l a
b1 ( e dei r
risoluzione di unlequazione di t e r z o grado. Tutto cib indica l'esistenza di una m a t r i c e uguaglianza d2 = dd = b ,
(20) p e r l a quale r i s u l t a (21) Si consideri l a (22)
r
s = r
matrice = ad-'
I
D7°.
d
determinata dalla
G . Grioli P e r essa risulta (23)
(1 1 = 1 e i n o l t r e - = d - l ;ad p -i $)
;
Si ha dunque apche (24)
f
=
$J
e
$
d-lbd-l
;
d-lddd-l
;
1.
& un r o t o r e per il quale &
a = yd Xella corrispondenza c a r a t t e r i z z a t a da (12)
d
caratterizza la
deformazione (allungamenti, variazione di volume, estensioni superficiali, ecc. ), f) l a rotazione locale. L a determinazione di
d
e
p
non & facile.
Signorini l o ha fatto in qualche caso. Accanto a l l l u s o delle m a t r i c i matrice &
e
d
&
, s e con y
ers = 7[ U r ,s
s i denota l o spostamento P P ' ,
1
(26)
6 fondamentale quello della
definita dall'uguaglianza
L e componenti di sono
b
+
r
+
ui, r U i ,
che per semplicita chiamerb c a r a t t e r i s t i c h e di deformazione (nonostante tale denominazione spetti alle F n a j r o p r i e t a di
3
Err
minima.")
e alle
2 E r s (r f s )).
Sia c un intorno s f e r i c o del generic0
punto P di C e Q un qualunque punto di c. Sia Q' il corrispondente di Q nella corrispondenza c a r a t t e r i z z a t a da (12). Si supponga che il raggio
r
di
c
,
s i a tanto piccolo da poter r i t e n e r e che in
s i a costante ed e s p r e s s a dalla s u a determinazione in cadrA per l a rotazione locale Sia
R
c
la matrice P
.
Lo s t e s s o a c -
e per l a deformazione pura
un qualunque spostamento rigido a p a r t i r e da
C
a
e
d .
Q1' il cor-
(1). G. GRIOLI " ~ n aproprieta di m i n i m ~nella Cinematica delle deformazioni finite - " Boll. U. M. I. S. 11, A . 11, -5 p. 452 (1940).
G. Grioli Q
rispcndente d l
i ~ .R
.
Chiamasi divario relativo a i due spostamenti
1
considerati (quello effettivo e =
(27)
R ) e alla p o r z i ~ n e c
1
QIQVI
l a quantita
dc
Sussiste il t e o r e m a : T r a tutti g1i spostamecti rigidi operanti s u c
quello che rende minimo il divario
-in
D & l o spostamento rigido locale
contennso nell2 spostamento effettivo CC'.
P
Ir. a l t r i t e r m i n i l o s p ~ s t a m e ~ rt ai g i d ~minimante della iraslazi9ne
= PP' per l a rotazlonz
D & il prodotto
f) v a l i ~ t a t ain
P
P e r rendersene con:o basta o s s e r v a r e che essendo $I e stanti entro (28)
se
QQ'
e
d
c , s i ha I
-PQ +
t
+
QQ" = -PQ
f dPQ ,
+
t'
+ f'PQ,
sono l a traslazione e i l rotore che compongono
Ke segue , data l a costanza in
c
di
e
R
.
d ,
Si riconosce facilmenie c h r il m i n i n c di D s i consegue per e
y'=fJ
co-
.
g =t
G. Grioli
Sul potenziale 1'
termodinamico
Concetto di revereibilith. -
Parlando di sistemi a trasformazioni
revereibili intenderb riferirmi a corpi nello schema del continuo per i quali in corrirpondenza a ogni l o r 0 traeformazione infinitesima b soddiefattr (con riferimento all'unith di volume di uno rtato di riferimento) lluguagliansa
' ove dQ denotr la quantitl di calore crerorbitr, T
luta alla quale avviene l a traeformazione e delllentropia E. In a l t r i termini,
1b
dE
la temperrtura r r e o il differenziale esatto
il fattore integrante di
dQ.
T
E t ben noto come, introdotto il potenziale termodinamico
detto
energia libera (ove U b ltenergia interna ) , da ( I ) , ( 2 ) e dal
primo principio della termodinamica segua
(3)
dl(i ) + EdT = -dJ
,
ove dl(i) rappresenta il lavoro delle forze interne corrispondente alla trasformazione considerata. Se ltespressione di
dl (i) & del tipo
G. Grioli
oltre alla dipendema di J
21
Corpi elastici.
dalle
tr
e da T.
Nell'ambito della teoria delle deformazioni finite
s i danno varie definizioni di corpo elastico. In senso molto lato, si s u ~ l e chiamare corpo elastico iin sistema continuo per il quale l o s t r e s s dipende ed 6 determinato dallo stato attuale, precisamefite, dalla conoscenza delle caratteristiche di deforrnazione e dells ternperatura. Pih restritti~ramente, pub d i r s i corpo elastico un corpo per il quale non solo s i presenta l a circostanza precedente, ma inoltre l o s t r e s s desiva da un potenziale. Da alcuni Autori tali corpi soco detti iperelasticl e non 6 detto che l e due categorie non s i identifichino. 10 userb un concetto di corpo elastic0 consollo a quello abituale nella scuola italiana (Signosioi) che in r e a l t & ,
PUP
essendo f o ~ m a l n e n t e
pih i-estrittivo di quelli sopra enunciati, sernbra pih dente zoncetts fisico. Si dip&, eio8; corpo elastic0 un
vicino a1 eorrisponeorpo a f r a s f o r -
mazioni reversibili che ammette una configurazione di equilibria spontaneo - cio6, in assenza di forze esterne attivi. (ma non necessariame? t e di vincoli) - a ternperatura T da quella configurazione
0
tale che per ogni spostamento a p a r i i r e
e per ogni To contenuta in un certo intervallo
- il lavoro risulti nullo s e l o spostamento & rigido, negativo i n ogni al-
t r o caso. Una tale definizione implica l'esistennza di un potenziale termodinamico da cui l o s t r e s s deriva, cio& lliperelasticitA e contiene in effetti una condizione di stabiliii3 che pub non e s s e r e verificata. Cib accade, ad e s . , nel caso di un cilindrs costreito da vincoli agenti sulle basi ad avere
G. Grioli
una lunghezza d i y e r s a da quella naturale
-
esente, questa,da s t r e s s
-.
Se l a variazione d i lunghezza r i s p e t t o a110 s t a t o naturale ha raggiunto un c e r t o valore s i
p r e s e n t a un c a s o di instabilith che
di soddisfare l a condizione r i c h i e s t a dalla definizione
non p e r m e t t e s o p r a data. Na-
t u r a l m e n t e , s i pub p a r l a r e , pih semplicemente di m a t e r i a l e (non di corpo) elastico, intendendo
con
cib un m a t e r i a l e
con cui s i
pub
c o s t r u i r e un corpo elastico. Si pub o s s e r v a r e c h e un
tnateriale
elastico non pub a v e r e l'energia
l i b e r a dipendente dalle c a r a t t e r i s t i c h e di deformazioni solo p e r t r a m i t e del determinante funzionale D. Infatti, s e c o s i fosse il lavoro delle forze interne r i u s c i r e b b e nu110 p e r senza variazione di i fluidi
ogni t r a s f o r m a z i o n e i s o t e r m a
volume. In p a r t i c o l a r e , sotto l a definizione data,
non viscosi, in p a r t i c o l a r e i gas, non s o n o c o r p i elastici. Una d i v e r s a definizione di s i s t e m a a t r a s f o r m a z i o n i r e v e r s i b i l i .
3
E t i n t e r e s s a n t e o s s e r v a r e che nella definizione p r i m a data di corpo elastico
s i p u b s o p p r i m e r e l a condizione che il s i s t e m a s i a a t r a s f o r -
mazioni r e v e r s i b i l i
. Intendo
d i r e che @ possibile d i m o s t r a r e che
l t i p o t e s i delltesistenza di una configurazione a p a r t i r e dalla cluale il lavoro delle f o r z e interne P negativo p e r ogni non rigido implica come
come conseguenza che il s i s t e m a s i i i
sformazioni r e v e r s i b i l i , cioe l a (1) Sia e
B
A
una configurazione
(6)
non
CI
tra-
.
uEa configurazione soddisfacente a t a l e
uno spostamento rigido. RisulterP
spostamento i s ~ t e r n l o
raggiungibile da
A
cor.diziont medknte
G. Grioli
p e r due distinti
Infatti
,
sia ,
,
cammini
per
assurda
AX.SarP
certamente
ipotesi,
Ne segue
che p e r motivi
p e r un
di
continuita implica
A1 sufficientemente vicino ad
Dunque il lavoro delle f o r z e s o l o & negativo
ma
. Si riconosce
ciclo za
chiuso, anche
di
Quanto
interne nel passagio da
neppure dipende dal cammino
conseguenza il lavoro nu110
A, c o n t r a r i a m e n t e alllipotesi.
p e r ogni
ciclo
chiuso
a l l o r a facilmente che lo s e non p a s s a n t e p e r
B stato mostrato
costituisce,
a
B non
p e r c o r s o . Di
passante p e r
s t e s s o capita p e r A
una funzione potenziale p e r l a quale
A
. Ne
4
6
(,s:l.i
segue llesi.z;'t~n-
r~sulta
in effetti, un t e o r e m a giP
dimostrato da Caprioli s t r a r e che
( 2 ) ma s i pub andare un
F
in r e a l t a che
non
r a a l t r o che p e r una funzione della sistema
5
relazioni
avanti e dimo-
pub differire dallt energia libesola t e m p e r a t u r a assoluta e che il
a trasformazioni r e v e r s i b i l i
.A
tal fine s i richiamino l e
dovute a i p r i m i due principi della termodinamica :
(12)
d Q +
Si
pub s e m p r e p o r r e
se
con
d(i) E 2
to delltentropia
e da
f
d F
= d U,
si
0
d TQ g d E .
rappresenta l t i r r e v e r s i b i l e
. Da (12) , (13) segue
Supposto E, F , U stato
pb
dipendenti da
T
da un
(14)
certo
segue,
per
numero di
accrescimen-
p a r a m e t r i di
ogni trasformazione
isoterma
Insieme alla scelta Da
(15)
I1 sisterna
. .
segue 5,
3 allora
pertanto , a
pub d(i) E
considerarsi la scelta = 0
.
trasformazioni reversibili. T)a
-2 '$
i'
( 1 5 ) sc
-.
L. CAPRIOLI ItSu un c r i t e r i o p e r l t e s i s t e n z a delltenergia di deformazione 11 Boll. Un. Mat. Ital. S . 111, 10 - , p. 481 (1955)
G. Grioli
gue inoltre ,
>F -
Sd
-
S t i I1
significato
espresso
L o schema quello
in
F = J + cq ( T )
della funzione della sola t e m p e r a t u r a
rappresentazione euleriana pih
semplice
cui
la
dalla conoscenza d i
di
sistema
e
tipi pih
cui stato anche a1
continuo
configurazione 8 a ogni un vettore
tridimensionale
generali
s i sistemi
continui,
ad
o l t r e che da un
conoscenza delltorientamento di un
generico elemento materiale,
senza
6
istante individuata
rappresentante l o
attuale & individuato
dalla
passaggio
(T) 8
lagrangiana dello s t r e s s ,
generico punto di una configurazione di riferimento pirsi
.
a
dalla uguaglianza
Sulla
4)
>ki
spostamento d e l
. Possono
conce-
e s . , quelli il
vettore spostamento t r i e d r o associato
neppure escludere che nel
da una configurazione a u n t a l t r a
tale t r i e d r o
p o s s : ~ de-
formarsi. La
necessita
senta n e c e s s a r i a in
senso
della
di
tali
p e r l a individuazione dello
molto lato,
cio8
c a r a t t e r i s t i c h e d i tensione s o l e siano
conoscenza
sufficienti
a
elementi
stress
S.
!re-
attuale, i r l i e s u
senza una n e c e s s a r i a s i m m e t r i a delle e,
anzi
individuare
, senza
che neppure queste da
lleffettivo stato
tensionale nel
corpo. La Meccanica d i
tali
sistemi
-
in
particolare,
delle m i c r o -
G. Grioli
strutture
-
10
seguito mi r i f e r i r b
nel
riale
& molto complessa e,
-
semplice
stamento dello
a1
caso
sostanzialmente, ancora da f a r s i .
, generalmente,- con
pih semplice che l a conoscenza dello spo-
e della t o m p e r a t u r s s i a sufficiente p e r l a determinazione
stress,
supponendo,
anzi,
che questo s i a individuato dalla
conoscenza delle s o l e c a r a t t e r i s t i c h e di
tensione
deformazioni
finite. Ho detto
cui
tB. P e r e s s i
lo
simmetriche,
quella delle c a r a t t e r i s t i c h e
coppie di
ltenergia
materiale semplice
. Lo
Yrs
Cosserat
. Invece
stress
nello
legame
tensionale & individuato di
attuali-
da due m a t r i c i non
tensione
e quella delle
a trasformazioni
reversibili
stesso
accade p e r la m a t r i c e s i m m e t r i c a lagrandia-
stress;
le
dipende
& di
studio oggi
l i b e r a dipende dalla t e m p e r a t u r a e dalle c a r a t t e r i s t i c h e di
deformazione
ove
qualche punto
contatto.
P e r ogni
na dello
stato
il
simmetri-
nelltambito delle
generalmente perch& in
c o n s i d e r e r b s i s t e m i pih complessi
ove
supposto
c a s o che, del r e s t o , non & affatto semplice
che,
l a l o c u z i o n ~mate-
in tra
le
caratteristiche
la
matrice
stato
attuale :
Xrs
le
sono
sono
generale,
p
le
simmetrica
caratteristiche
dalla rotazione e p ' :
di
tensione che
viola-
r a p p r e s c :ts
euleriane
locale,
di
di
ic:
tensione,
tenuto conto
del
G. Grioli
Si
ponga 1
q =
(21)
Tenuto
Comincio
conto
segue
una direzione
q,
a l l o r a l a direzione
P -v t? unita
supposto
(23)
q
A
(20) , (21)
l ' o s s e r v a r e che s e
. Infatti,
ove
(I, 24) , da
di
con
la matrice
j3'
d p d .
un
t?
=
1
-v per
t?
unita p e r
la
matrice
U, =
p, s i
Xv -
coefficiente numeric0
e
post0
ha
Di
conseguenza
Condizione
:
una t e r n a trirettangola ottenuta
da
In quella
di
metrica
-
q
hanno
Tp
termini,
-
q
che
mediante la gli
sia
per
l a t e r n a unita esiste
p'
Per
convincersene,
sori
degli
si
.
dato Ne
la
unita
terna per q
che
se
riferimento,
gli
.
ottiene da che
q
sim-
segue che
principali :
basta r i c o r d a r e
della t e r n a di
di
affincht?
che
&
- 1 s i.a
certamente,
rotazione
s t e s s i coefficienti
assi
unita
e sufficiente
mediante l a rotazione
TP
altri
necessaria
i sono i v e r -s elementi d i una
G. Grioli
qualunque Di
conseguenza,
terna di
unita
se
di
Pa,
si
Se segue
che
-c i
q
sono
e
-c i
rs le
= Q
Xrs
dalla rotazione
espressi
i
dipendono
Y
mentre
I sono
-
ha
le
e , inoltre
I
2 E yrs
matrice
versori
C~
della
invece
le
tensioni
Ers
1
nei
sistemi
oltre
che
dalla
quella
dei
dipende
.
Y
rs (per l e sole
fluidi non v i s c o s i
solo
e i , ne dalle Ers principali
. In
partico-
princ'ipali X. dipendono .. 1 dalle s o l e c a r a t t e r i s t i c h e di
-
temperatura
presenta
Si
della
semplici l e t e n s i o h
, c'ome l e
deformazione
'$V,is.
corrispondente
dagli
)( dipendono s o l o dai p a r a m e t r i \f . e dalle lare,
assi
parametri
dipendono
locale,
Yrs
degli
quelli
da c e r t i
da
-
.
per
X. ) 1
i
una
quali
proprieta la
analoga a
p r e s s i o n e at'tuale
dalle c a r a t t e r i s t i c h e di deformaz'ione
(pkr tramite di
'1 Cib non
a p p a r e naturale,
viscoso ogni
riano,
5
quando
direzione @
riducendosi
Sul concetto
l a Jh'
di
a
isotropia
si
pensi che p e r un
fluido
direzione unita p e r lo s t r e s s u n ' omotetia
. E1ben
eule-
.
noto che
il concetto
di i-
sotropia, c o m e 6 abitualmente presentato, e s p r i m e , sostanzialmelite, llindipendenza dalla stress rispetto
e
strain
direzione delle relazioni costitutive
. Cib
a l l e rotazioni
si e,
che legano
t r a d u c e nelllinvarianza di t a l i
relazioni
nel c a s o di s i s t e m i che ammettono un
G. Grioli
potenziale da cui
deriva
p a r a m e t r i fondamentali
lo
stress,
alla dipendenza di
s o l o a t t r a v e r s o un c e r t o
esso
dai
numero d i invarian-
ti. Tuttavia
& possibile d a r e una condizione
di
isotropia
alla quale, s e
a s s u n t a come definizione, pub indubbiamente a t t r i b u i r s i una maggiore ampiezza poich& non
pub
s t a categoria di s i s t e m i
e s c l u d e r s i che e s s a abbracci
m a t e r i a l i , almeno
zione di p a r z i a l e i s o t r o p i a , e,
una pih va-
p e r e s p r i m e r e una condipub r e n d e r e pih agevole l a
comunque,
conoscenza della determinazione della s t r u t t u r a analitica del potenzial e termodinamico
.
Si supponga che
d
unite.
Segue che anche
Poichb
l e direzioni
(22)
da quelle
l l i m m a g i n e in zione unita
C1
di
Questa di sistema
le
di
P' s i
ottengono, in
,
un
.
tensione
definizione l a dipendenza
&
.
a (21) ,
d
& dire-
di d a r e l a seguente definlzione a
una
sistema &
x
.
s i deduce che
una qualunque direzione unita di
C
unite di d
base
,
mediante l a rotazione
deformazione di
l e medesime direzioni
medesime direzioni
osservazione p e r m e t t e
unita
Tale esprimente
abbiano
isotropo (3) : Con riguardo
unita
direzione
di
q di
ha
e viceversa
zione di riferimento, zione
q
unite
di
(3
e
ha
isotropo
per
completamente
deterrninata configuras e o g ~ l dire-
immagine
equivalente
delllenergia l i b e r a
in
a
C!
ur,a --
qut:.!:
dalle c a r a t t e r i s t i c h e d i
( 3 ) ~ ut a l e mod0 di c a r a t t e r i z z a r e l l i s o t r o p i a dei m a t e r i a l i s e m p l i c i vedi A. SIGNORINI w T r a s f o r m a z i o n i termoelastiche finitev Memoria I, Ann. Mat. P u r a e Appl. S. IV., 22, p. 136 (1943) e I. GASPARINI I1Sopra una p r o p r i e t a c a r a t t e r i s t i c a dei s i s t e m i i ~ o t r o p i ~ ~ B oUn. l 1 . Mat. Ital. 2, 13- 18
G. Grioli
deformazione di s i s t e m i
attraverso i t r e
semplici a trasformazioni
questo c a s o
la lor0
,
costitutive
nel d a r e l a definizione di
mandone
reversibili
concettualmente pih vasta in
8
pendente dalle equazioni taneo
l o r o invarianti principali
ma anche in
quanto formalmente indi-
m e n t r e s e m b r e r e b b e spon-
isotropia r i f e r i r s i ad e s s e , a f f e r -
invarianza rispetto
sformazioni (come,
nel caso.
a un
certo
del r e s t o , 8 abitt.de
gruppo
fare (4) )
di
.
tra-
Si consideri un s i s t e m a semplice l a cui energia l i b e r a dipenda
&
dalle
e ,
rs
solo
attraverso i
pertanto, isotropo
nel
tre
invarianti
senso
abituale. Ilenotando con
ltinvariante l i n e a r e della m a t r i c e concordemente
e
tenuto
copto
trae
facilmente
riconosce,
cosl
subito che
p
e
cosi
d )
. Di
(5)
direzioni (vedi
unite
(21))
direzioni quelle
701
1 0 )
1
e quello
si
da
Si
a
( e
ha l e medesime
unite di
pure
&
p'
di
,
d
direzioni sono
e
p .
principali. I1
le
Vedi , ad e s . , Handbuch Der (C. TRUESDELL and TOUPIN
&
sistelra I, 11,
quadratic0 (definiti di
hanno
le
medesime
conseguenza anche di
a
immagini
in
unite
Physik , Band
e C'
d
q e
le
di
11111 , pp. 700-
G. Grioli
Si mazione
i
p' . Se
terna
per
unita
coefficienti
riferimento spondenza Di ogni
Da le
T,
E
Dal
Ei
che
i
biunivoca con conseguenza
i
tre i
per.
= cx &c
matrice )
. Di
coefficienti
confront0
Llenergia
f3
&
,
llenergia
rispetto invarianti
il
lavoro
(29)
libera
delle
dipende,
che individuaterna di
sono in
forze
dalla
corri-
p
, si
si
cio&,
i ~ t e r n e -per
.
configurazione
unite
di
alla
T
cop r i f e r i m e n t o
(31)
i s i pub
a una presupposta
ha l e m e d e s i m e direzioni
con
con
(Qi
principali
la
riferisce
libera
l'espressione
nel passaggio
di
per
.
Ej)
ha
si
denotano
t r e parametri
tre
principali
di
ci
si
conseguenza,
di defor-
una direzione unita
e
e
T,,
della
segue, -r -r a una vicinissima,
r
(vedi (21)
r
(dato
direzione unita
&
di
trasformazione isoterma- s i
La
Y
C'
in
principali della
llorientamento
ogni
llelernento conside-a:o
e s p r i m e r e mediante gli no
che
abbia p e r immagine
matrice alla
invece ,
supponga,
attua-
q
e d
, detti
ha
deduce
solo
dalle
E
r
. Quindi
G. Grioli solo
dagli
6)
invarianti
principaii, c. d. d.
.
Qualche osservazione s u l l l i s o t r o ~ i ad i s i s t e m i con c o ~ ~ di i e contatto. Nel c a s o d i un s i s t e m a continuo con possibilita
di uno s t a t o
tensionale determinato dalla m a t r i c e non
simmetrica
e da una seconda, p w e non s i m m e t r i c a che rappresenta 'rs l a distribuzione delle coppie d i contatto, si riconosce c h e llenergia
-
libera
nell'ipotesi che il
sistema
sia
m a t i c ~ , completamente d e s c r i t t o dalla mento
-
non pub dipendere,
, dal
di vista cine-
conoscenza del vettore sposta-
o l t r e che dalla
dalle
punto
c a r a t t e r i s t i c h e di deformazione e nite dalle uguaglianze (5)
temperatura, a l t r o
dalle variabili
rs
che defi-
(33) con
essendo
A lm D Se
.
minante alla
,
T
untespressione (35)
dl
il
=
del
complemento T
t
-2
( 13
1
I Trs(
+?I
ne! cs 1C.er\m l a m a t r i c e e i m m e t r i c a asi.:;iata
algebrico &
,
il
rs
+
di
lavoro delle forze
irterne
tip0
(i) =
Trs
d&
Qrs d y r s
( 5 ) ~BRESSAN . "Sui s i s t e m i continui nel c a s o asimrnetrico Ann. Mat. P u r a e Appl. S. IV , V LXII (1963)
.
.
ha
G. Grioli
L a p a r t e s i m m e t r i c a della m a t r i c e euleriana dello T' =
(p + /?)
1
analoga
, verifica ltuguaglianza
alla
.
(20 )
Si supponga
che
come
immagine
in
C'
plica
che
e
T
Con
d
direzione
una direzione le
riferimento a una t e r n a unita
di
llenergia
libera s i
dalla t e m p e r a t u r a
vi
ogni
abbiano
mentre
aventi Si
il
pensi
e
uno
spostamento
soddisfacente alla condizione
m a non
irrotazionale
yr
non
siano
tutti
della di
-U
r, s e t r e nulli
.
s, r Un
d
abbia (il che im-
T'
medesime direzioni unite ) d
si
E
r
che nel
.
ha allora
pensare dipendente,
significato
d( u
unita unita
rs, dalle
dalle
medesimo a
pub
attuale
d
stress,
e
o l t r e che
da t r e p a r a m e t r i numero precedente.
a p a r t i r e dalla configurazione
) # O ) ,
in
mod0
ragionamento
che
i
comp1etanle:lte
analog0 a quello
svolto nel numero precedente, tenuto conto che in
(35)
il
manca o r a
t e r m i n e dipendente dalle
conclusione che l t e n e r g i a l i b e r a dipende dalle mite Tenuto
dei
t r e invarianti
conto
di
principali.
Qrs
, porta alla
& rs solo
per tra-
G. Grioli
vale
il
viceversa
I1 un
comportamento r i s p e t t o alla
tale
tip0
nel c a s o di metrica
.
ne
non
ed &
degli
sforzi
coppie di contatto
con cib e s a u r i t a , in trice
. Anzi,
di
che s i
s e s i trattasse
quanto l a p a r t e non
ha
sim-
di
un
interviene n e l l t e s p r e s s i o n e del
s i m m e t r i c a d i qvella
ma-
lavoro delle f o r z e
inter-
d e t e r m i n a t a dalltequazione dei momenti
.
r i g u a r d o alla m a t r i c e delle cop-
contatto. Detta
l a matrice pie ,
quello
di
l a questione d e l l t i s o t r o p i a s a r e b b e
Qualche osservazione conviene f a r e in pia
isotropia
s i s t e m a semplice, p e r quanto concerne l a p a r t e
della m a t r i c e
sistema senza
di
continuo & , p e r t a n t o , analog0 a
di
un
proprieta
si
euleriana ha (6)
generalmente
non s i m m e t r i c a di t a l i
cop-
con
ove
%
dipende
&
un
parametro
dalle ,qr,
solo
costitutivo per
. Poich& l'energia
t r a m i t e delle
PI
, si
libera
J
ha
( 6 ) ~GRIOLI . ltElasticitB a s i m m e t r i c a v A n n . Mat. P u r a e Appl. IV, V. 4, 389-418 (1960)
G. Grioli
e
, (42) , (43) s e g u e
da(41)
che s i
semplificano
in
(39) , danno
, tenuto conto di
Le
(45)
Un
ragionamento
analog0
a quelli
precedenti m o s t r a che
n e n e c e s s a r i a e sufficiente affinchC
y
& che e s s a s i a llimmagine
d Qd ce
. Soltanto
Q
che adesso
la
coppie
di contatto
Q, cioe s e l a
si
tutto analoga a quella una analoga c a direzione
una direzione s i a unita p e r C1 di
si
unite
pub
pub
e s s e r e s i c u r i che l a m a t r i -
(mutuamente ortogonali), dato
simmetrica,
per i
sistemi
caso contrario
con riferimento semplici
( c e r t a m e n t e e s i s t e n t e ) di Q
p a r l a r e d i isotropia in s e n s o
s i s t e m i s e m p l i c i m a solo in di
t r e direzioni unialle
dQd
lecita
? F o r s e & da p r e -
non s e m p r e s i a leci-
lato, in s e n s o lato, come p e r
mod0
.
. El
, con riferimento allfuni-
che nel c a s o delle coppie di contatto
c a direzione unita
di
a s s u m e r e una definizionedi ,$d.ropia del
valida
definizione in unita
e
Q
la
una direzione unita
& s i m m e t r i c a . C e r t o che s e esistono
te per
to
non
a m m e t t a t r e direzioni
che e s s a non
sumersi
in
condizio-
parziale con riferimento
i
all1uni-
G. Grioli
7
Su qualche possibile tipo di l i b e r a . L a det5rminaz:one
s t r u t t u r a analitica d e l l t e n e r g i a s p s r i m e n t a l e deiltenergia l i b e r a &
praticamente impossibile s e nor_ s i che ne definiscano in qualche caso
meno complesso dei
esperienze di lizzabili
-
(I, 11, D)
mod0 l a strSuttura analitica, anche nel
s i s t e m i semplini iaotropi. E t noto che l e
trazione e p r e s s i o n e
p o s s o ~ odeterminai.-e
mo soltanto
.
hanr~o indicazioni p r e l i m i n a r i
-
che sorzo l e pib facilmente r e a -
(7) il poienziale termodinamico i s o t e r -
nelItinterno di una linea deilo
Molti l a v o r i
per
l a determinazione del
mico i s o t e r m o a t s m p e r a t u r a T plici isotropi di cui
sclc
spazio
mi
definito, nei occuperb
tridimensionale
potenziale termodinacascr
in questo
dei s i s l e m i s e m numero, dalla
uguaglianza
sono
legati a i
nomi
di
molti
Venant, Voigt, Kotter, Southwell,
A ~ t 0 r . i ' ~quali ) ad
e s . , De Saint-
Hencky, Seth, Murnaghan,
ski, Riz, Novozilov, Baker, Eircksen, IIanin and Reiner, Boa-Teh
Zvolin-
Csonka, Chu
Smith, Rivlin, ecc. In Italia , in questo campo, i l a v o r i pih
( 7 ) ~SIGNORINI . ItTrasformazioni termoelastiche finitett , Memorln p. 27 (1949) . Ann. Mat. P u r a e Appl., S. IV , 30 -
.:,
(" P e r untesaurien?e bibliografia in pi-opusito vedl C. TRUESDE1,L "The mechanical fsundations -- of elasticity - and fluid dynamicsn J. Ra;. Mech. 2X 1 125-300 (1952 e "Corrections and additions t o the Mechanical foundations of elasticity ard fluid dynamics J. Rat. Mech. 2 , 593 616 (1953)
"
G. Grioli
interessanti. sono da
ricordare i
dovuti a Signorini. Nel Suo indirizzo sono lavori
di
altresl ~ o l o t t i ( ,~ ~ ) o r d o n i ( l O e) Manacorda (11)
Una naturale tendenza (o
per
il
d i potenze,
porta a costruire
per llenergia libera
potenziale termodinamico i s o t e r m o ) uno a p p r o s s i m a t e di
W
T'
stress. Tuttavia, po d i
s i riconosce l a possibilitP
espressione esatta dellfenergia libera
e s p r e s s i o n i polinomiali
per
Innanzitutto, r i c o r d o unicamente dalle
non accade
per
che , sulla b a s e
matrice solo
nel
( Xrs ( caso
Lrs
per le
l a dipendenza di
3
e
dello
c o s t r u i r e qualche ti-
c h e dia luogo a effettive
delle
stress.
(20) , s i ricono-
lagrangiane
dirs (e dalla t e m p e r a t u r a ) , l o s t e s s o
l a matrice euleriana
vato, cib capita s o l o
di
s i costrui-
l e c a r a t t e r i s t i c h e e u l e r i a n e dello
s c e che m e n t r e l e c a r a t t e r i s t i c h e d i tensione pendono
sviluppo in s e r i e
a r r e s t a n d o l o a un c e r t o t e r m i n e . In t a l mod0
scono e s p r e s s i o n i polinomiali
.
tensioni dalle
1 xrSl . Come 6
principali, sole
spostamenti irrotazionali
Xi
Y
stato osser-
. Per
lfintera
& rs ( e da T ) s i ha :
=
1,,
-
s, r
=O
.
(')c. TOLOTTI ffDeformazioni e l a s t i c h e finite: onde o r d i n a r i e d i discon4 tinuita e c a s i tipici d i solidi e l a s t i c i isotropi "Ren. Mat.App1. S. 34-59 (1943) . li,
( l O ) pG. . BORDONI "Deduzione di unfequazione d i s t a t o dei solidi dalla teo-
r i a delle t r a s f o r m a z i o n i t e r m o e l a s t i c h e finite "Rend. Acc. Naz. Lincei, 6 , 1-7 (1953) S. VIII, V. XIV, -
.
( l l ) ~MANACORDA . X "Sul l e g a m e s f o r z i deformazione nelle t r a s f o r m a -
zioni finite di un mezzo continuo isotroponRiv. Mat. Univ. di P a r m a , 4 di m e z z i elastici; 31-42 (1953) Non t r a t t a s i , in questo caso, tuttavia, s u s s i s t e un l e g a m e s f o r z i deformazione del tip0 (48)
.
.
G. Grioli In generale, l e relazioni
da
equivalenti a quelle 1
=-E[ I Sr s
(48)
Xrs
ove s i
5 posto
essendo &(9) ce
(20) , (28) s i
+
, I10 ) e D'"
deducono, nel c a s o d i isotropia,
di F i n g e r :
(9) 2 r nrs~
gli
invarianti
principali
dell
matri-
E' possibile e s p r i m e r e l e c a r a t t e r i s t i c h e euleriane d i tensione come funzioni delle c a r a t t e r i s t i c h e
d i deformazione dello sposta:riento
inverso :
Nel c a s o
isotropo,
si
ottengono
le espressioni
G. Grioli
ove
&
e , naturalmente , s i
pensa
l f e n e r g i a libera e s p r e s s a mediante gli (i) invarianti principali I ( 1 , 1 I(i) D(i) della (12)'. Signorini ha mostrato come siano possibili p e r le Xrs delle e s p r e s s i o n i e s a t t e di secondo grado nelle (i) 1nvece rs le X non possono e s s e r e l i n e a r i nelle & (i) , in quanto in rs rs tal c a s o il potenziale termodinamico i s o t e r m o avrebbe
.
.
ltespressione
con ria
d
di
costante,
e s s e r e definita In generale
mi
di grado
n
m(i) e n(i) siano re
l a quale
, nelle
( 1 2 ) A . SIGNORINI (13)A. SIGNORINI
l a condizione (i)
grado
siano dei polinors , s i traduce in quella che I ( ~ ,)
che
degli
le
X
invarianti principali
n,n-1 e n-2
(7)
.
cit. nota (7)
.
. Loco cit . nota . I.oco
soddisfa alla condizione necessac o m t e facile riconoscere (13)
positiva,
&rs funzioni tali
rispettivamente di
non
nelle
(i)
& rs
da risuita-
. Tali
espres-
G. Grioli sioni dovranno soddisfare a l l e condizioni di integrabilita del s i s t e m a che immediatamente s i deduce da (53) :
Una
k
quastione analoga s i
pub
p o r r e sulla b a s e delle (48) , (49), ( 5 0 ) a
i n t e r e s s a n t e c o n s t a t a r e che a1 c o n t r a r i o d i quanto accade quando ci
'
, per le X sono invece possibili e s p r e s s i o n i rs rs , almeno p e r quanto riguarda l a condizione che
s i r i f e r i s c a alle
(i)
l i n e a r i nelle
& rs il potenziale termodinamico r i e s c a definito positivo. In t a l c a s o
con
el, w 2
nelle (48) s i deve a s s u m e r e
,d 3 costanti
( supposto il s i s t e m a omogeneo )
dedotte da (50y , portano
- nellfipotesi
Lie condizioni
d i integrabilita
che lo stato
di riferimento s i a naturale ( e s e n t e da str.ess)
alle espressioni
a l l e quali
corrisponde il potenziale termodinamico
.
-
subto
G. Grioli
A1 potenziale leriano
termodinamico
P -y.[P"
+
=
(59)
Si riconosce subito che il
(58)
corrisponde lo s t r e s s eu-
.
2 2 ' 1 coefficiente
deve e s s e r e
posi-
tivo(14)1nfatti, tenuto conto che gli invarianti principali e i coeffil?) cienti principali della & coincidono rispettivamente con quelli della
, s i pensi a una deformazione del corpo p e r
E/
s i abbia
1'"
condizione che
r
se
> 0
P
s i traduce
=
la
0
;
in corrispondenza r i s u l t a
w':
r i s u l t i definita
. Tale condizione
> 0 , l a condizione in
non tutte uguali
quella che p e r a
@
D")
positiva
w(') T
ogni
scelta
sia delle
<1
. La
irnplica a l l o r a
anche sufficiente
che
l a quale
. Infatti , posto
definita positiva e.
1
positive e
uno l a funzione
-
(14)vale l a p6na di o s s e r v a r e che s e s i sviluppa l l e s p r e s s i o n e (58) d i sino alle potenze di second0 grado nelle u e quella (59) d i (1 T r sino a quelle di p r i m o grado s i ottengono l e nbfe formule della t e o r i a classica lineare, pur di identificare con quello dei due coefficient i di Ham6 che & s e m p r e positivo e di supporre uguale a 0,25 i l valore del coefficiente d i Poisson . El quasi superfluo r i m a r c a r e che p r o p r i o questo @ ii valore di quel coefficiente (o p r e s s o a poco ) p e r un g r a n numero di solidi elastici
w'?'
.
G. Grioli sia
poaitiva.
Osservo subito che da
s i deduce che l e t r e derivate parziali allora e solo
allora che e i a
valori delle
e
i
e
s i ha
Si conclude , pertanto che
in
e
1
1
p r i m o della
= e
= e
2
2
= e
= e
3
= 1
u( ei annullano
. Inoltre,
= 1 la
q
p e r tall
che aaeume
tralore nullo, ha llunico punto d i stazionarieta c h e B un minimo, il che dimostra l a sufficienza
della condizione
>0
.
Pub a v e r e interesse vedere quaE sianole espressioni corrispondenti alla (58) del potenziale termodinamico e dello s t r e s s euleriano mediante l e caratteristiche dello spostamento inverso. A t a l fine comincio con l ' o s s e r v a r e che p e r l a m a t r i c e
Ne segue
G. Grioli S i ha , inoltre ,
I
(i) - l - I I (1+2& (i)l I (1+2& ) I I I(1+2 -5 (i))
3+4
p)+ 4 1 1
(1)
Dalltuguaglianza d i m a t r i c i e s p r e s s a da (66) segue lluguaglianza dei r i spettivi invarianti
. Di conseguenza,
e tenere in (58) l a trovata e s p r e s s i o n e di 1 D(?) = , p e r d e d u r r e l a richiesta e s p r e s -
Basta a l l o r a s o s t i t u i r e presenteche sione
di
&
w(~) T
di
p'
-
.-
Corrispondentemente, sione
da (67) s i deduce
;
sulla b a s e
delle
(52)
, (53) s i ottiene l t e s p r e s -
G. Grioli
Sulllenergia l i b e r a come funzione di stat^ c a r a t t e r i s t i c a delle
8)
capacita meccaniche di un s i s t e m a m a t e r i a l e
.
Di solito, l a co-
noscenza delle capacith meccaniche di reazione di un s i s t e m a continuo determina l e variabili da cui l l e n e r g i a l i b e r a pub e deve dipendere ma & interessante o s s e r v a r e che vale i l viceversa. Intendo d i r e che s e in
qualche mod0 s i & potuto s t a b i l i r e da quali variabili tura
- llenergia libera
- oltre
la tempera-
dipende, cib determina, dal pzntc di vista mec-
canico, il tipo d i s i s t e m a continuo. Rimane precisamente determinato quali tipi di reazioni e s s c B
capace d i e s p l i c a r e a t t r a v e r s o gli elemen-
ti superficiali. Si consideri, ad e s . , un s i s t e m a
- oltre
che dalla t e m p e r a t u r a
-
continuo la cui energia l i b e r a dipenda
esclcsivamente dal determinante D(& ). rs
Post0
segce, p e r
ogni
trasformazione
P e r llinterno corpo s i
Da
(27) segue
ha,
quindi,
isoterma
G. Grioli
Quindi
Da (73) , (75) segue
che tenuto presente che 6
A
is, s
= 0
, dB , in definitiva,
I1 principio d e i l a v o r i virtuali porta, allora, subito a l l e equazioni
da cui s i riconosce
che
il s i s t e m a ha solo l a capacita di
r e a g i r e con
delle pressioni e l a impossibilita di uno stato d i equilibrio con
forze
superficiali e s t e r n e che non abbiano questo c a r a t t e r e . Ho voluto c o n s i d e r a r e il
c a s o semplice dei fluidi non viscosi a titolo
d i esempio, p e r c h i a r i r e quanto p r i m o affermato. In mod0 altrettanto semplice 6 possibile riconoscere che s e l'energia l i b e r a dipende s o l o dalle c a r a t t e r i s t i c h e di ce.
deformazione t r a t t a s i
di
un s i s t e m a sempli-
G. Grioli
Vorrei, o r a invece, c o n s i d e r a r e in mod0 un pb che
ltenergia libera
dipenda
delle s u e d e r i v a t e p r i m e t i dello s i pub
stato
di
dallo
pih e s t e s o
spostamento
e seconde rispetto
riferimento. In mod0
solo
variabili
per tramite
alle coordinate dei
completamente x
s u p p o r r e che l l e n e r g i a l i b e r a dipenda dalle
-x
il c a s o pun-
equivalente
r, s
e dalle
definite dallleguaglianze
r, l m
Supporr'o, cioe,
Dalllessere il il
fatto
per l e dello
sistema
essenziale quali
stato
in
a trasformazioni
che
esistono
lavoro
trasformazione isoterma assume
[ Si ponga
delle funzioni
corrispondenaa a ogni
d i riferimento i l
r
reversibili elemento di
delle f o r z e
si
Z)rs T r i m ' volum dC
interne, p e r ogn i
l'espressione
35
r,ss ' Z r ~ m =
deduce
jar,
Im
G. Grioli Tenuto conto delle uguaglianze
ove l a s b a r r e t t a indica derivazione rispetto alle coordinate xs dei punt i dello stato attuale, con qualche trasformazione s i riconosce che alla e s p r e s s i o ~ elagrangiana (8i) del lavoro delle f c r z e interne corrisponde; p e r llelemer.to d C ' di volurne dello stat3 attuale, l ' e s p r e s s i o n e euleriana
I1 lavoro delle f o r z e interne por l l i n t e r o corpo, cor. riferimento alla con
figurazione aiiuale e a uno spostamento infinitesimo a p a r t i r e da e s s a P , pertanto,
Supporrb a d e s s c , quantunque c i b Ron s i a n e c e s s a r i o , ,-he s u l corpo agig s c a n o nello s t a t o attuale delle f o r z e d i m a s s a I;"dCf, supzrficiali f ' d s ' e dei momenti d i m a s s a e superficiali M'dC1, g l d c '
.
Supporrb, ir.oltre,
e s p r e s s i , rispettivamente da
che l a ro:azioce
d's
lccale s i a
determinata dalla conoscenza del vettore du_ che c a r a t t e r i z z a i l pas-:aggio dalla configurazione C ' a una vicinissima:
'
(86) ove &
'P9
trr9 (duq)lp
j
P il t e n s o r e di Ricci dello spazio euclideo tridimensionale.
Conseguentemente, il lavoro delle f o r z e e s t e r n e P e s p r e s s o da
G. Grioli
In base a (85), (87) e a1 principio dei lavori virtuali, l a condizione di equilibrio nella configurazione C 1 s i traduce nella condizione analitica
da r i t e n e r s i vaiida p e r ogni spostamento virtuale dg. Da (88) s i t r a e il s i s t e m a equivalentc di equivalente di equazioni:
(89)
d
Yrim,lrn - 1 r r . s - - &
9
i p rMhp+Frt
= O
,
(in
c') ,
Comincio con l t o s s e r v a r e che l a seconda delle (90) m o s t r a che s u 8' Yrlm & e m i s i m m e t r i c o r i s p e t t o agli indici r , l , p e r ogni m:
Poichg l e (89), (90) sono valide anche p e r ogni porzione del corpo, ove, naturalmente, f t , &, si interpretino quali sollecitazioni e s t e r n e p e r c!l~ella porzione, pur essendo dovute ad a l t r i elementi del corpo, s i deduce ,:he l e (91) valgono in ogni punto d i C'. E s i s t e r P a l l o r a una m a t r i c e
vrssoddisfacente a l l e uguaglianze
G. Grioli
Si consideri l a m a t r i c e e m i s i m m e t r i c a
s i riconosce facilmente che l e (89), (90) s i scrivono (in C 1 )
dalle quali s i deduce facilmente che l e anioni meccaniche che si t r a s mettono a t t r a v e r s o un qualunque elemento superficiale d o ' di n o r m a l e n sono traducibili nella forza -
n1 d ~ ' pia l a coppia di momento rs s In a l t r i termini, l o stato tensionale in ogni punto della X
nf d ~ ' . rs s configurazione attuale 6 c a r a t t e r i z z a t o dalle m a t r i c i non s i m m e t r i c h e
Y
I x w l , Ivrsl.
Non pub c e r t a m e n t e p e n s a r s i che i l s i s t e m a possa r e a g i r e a rotazioni
locali che siano indipendenti dallo spostamento u_, cio& indipendenti d a l l a matrice
f)
.
Infatti, s e c o s l f o s s e nella e s p r e s s i o n e (87) delle f o r z e
e s t e r n e s i dovrebbero aggiungere i t e r m i n i
ove da
r a p p r e s e n t a una rotazione
locale aggiuntiva e indipendente
u, L1applicazione del principio dei lavori virtuaIi, in t a l e c a s o ,
implicherebbe p e r llequilibrio.
G. Grioli
El a l t r e s i
da o s s e r v a r s i che l a emisimrnetria del s i s t e m a ,
6 dovuta alllipotesi che l a rotazione locale s i a unicamente quelrlm La possibilitP di equilibrio in presenl a e s p r e s s a dalla m a t r i c e f
Y
.
za di sollecitazioni e s t e r n e con coppie superficiali 6 subordinata dunque alla condizione che llenergia l i b e r a s i a una t a l e funzione delle x r ,
-x
,
da d a r luogo, in base a (87) a e s p r e s s i o n i delle sodr,lm rlm disfacenti alle (91) . Se cosf non fosse s e m b r e r e b b e che il s i s t e m a continuo possa s t a r e in equilibrio solo con sollecitazioni e s t e r n e prive d i coppie superficiali ( m '
r
= 0)
, pur non essendo escluso che in tal
c a s o vi siano delle coppie interne di contatto. La questione andrebbe, perb, ulteriormente chiarita, almeno dal punto di vista analitico.
G. Grioli
Questioni analitiche connesse con una visione integrale del problema
fondamentale delltelastostatica l i n e a r e .
Vincoli in superficie 1)
P r e m e s s e . La formulazione del problema analitico connesso
a quello meccanico delltequilibrio elastic0 discende naturalmente da una impostazione di tip0 integrale
derivante dalla d i r e t t a applicazione dei
principi fondamentali della Meccanica. Tuttavia,
l a sua esplicitazione
viene fatta in f o r m a differenziale e s e m b r e r e b b e sostanzialmente impossibile f a r e diversamente, p e r lo meno in quei problemi nei quali i dati a1 contorno riguardano gli spostamenti, p e r l a p r e s e n z a di vincoli in superficie. Naturalmente , tale esplicitazione presuppone la derivabilith dell e c a r a t t e r i s t i c h e d i tensione,
fatto questo che non discende
affatto dai
principi fondamentali della Meccanica. Una trattazione
che possa, p e r -
tanto, p r e s c i n d e r e da tale proprieth di derivabilita &,
quindi, da prefe-
r i r s i a quella
in forma differenziale.
Tale possibilita, m i p a r e s i
p r e s e n t i s e n z t a l t r o almeno
nel
c a s o linearizzato classico, p u r d i s t a b i l i r e l a possibilita di inversione d i un c l a s s i c o t e o r e m a s e n z a di vincoli a stabilire,
-
dopo a v e r l o opportunamente p r e c i s a t o
in superficie
- : il
in p r e -
t e o r e m a di Menabrea. Si viene cosi
t r a l t a l t r o , una p a r t i c o l a r e forma del t e o r e m a di esistenza.
Si consideri in
forma euleriana il
s i s t e m a fondamentale di
equilibrio :
(in
c') ,
(SU
6')
.
G. Grioli
s i pub d i m o s t r a r e che ogni soluzione delle (1) soddisfa l e infinite equazioni integrali
ove o il
2,
, T2
. r3
assumono tutti i possibili valori positivi i n t e r i
valore zero. Se
le
c e v e r s a , cioe
XrS e
soddisfacenti alle (3) sono derivabili, vale il vi-
possihile d i m o s t r a r e che ogni soluzione derivabile
di (3) verifica l e equazione (1) In a l t r i t e r m i n i c t e equazioni di s e degli
.
l a piena equivalenza t r a il s i s t e m a delle
Cauchy e quello delle equazioni
s t r e s s derivabili
integrali (3) nella clas-
m a l a c l a s s e delle soluzioni del s i s t e m a (3)
b c e r t a m e n t e pih vasta diquella delle soluzioni di quadrat0 sommabile del s i s t e m a di
Cauchy.
PoichC, come & s t a t o ossel-vato, la derivabilita
e
dello s t r c s s non
prevista, in generale, dai principi fondamentali, s e m b r a natur,.ie
s o s t i t u i r e a1 s i s t e m a ( I ) , il s i s t e m a (3)
che deve c o n s i d e r a r s i
ci.
..
l a traduzione analitica delle conseguenze delle leggi fondamentaii della Meccanica. Naturalmente, lo studio del
s i s t e m a (3), come, del r e s t o , anche
quello delle ( I ) , presuppone l a ccnoscenza del campo
dtintegrazione,
fatto che non s i verifica nel c a s o delle deformazioni finite. Se e s s o fos-
G. Grioli se
assegnato s a r e b b e possibile dalle ( 3 ) d e d u r r e delle limitazioni p e r
l o s t r e s s ma cib
non capita in generale. Invece, nel c a s o della t e o r i a
l i n e a r e c l a s s i c a llinconveniente non s i p r e s e n t a in te, il campo dlintegrazione viene identificato nota configurazione d i r i f e r i m e n t o D1ora in poi
mi
riferirb
zione identificherb, quindi l e giane
Yrs
trgrazione) classe
e le
.
x.
1
con l e
yi
quanto, notoriamen-
- comtC
- con
la
, C. appunto a tale caso. Nella t r a t t a -
x r, s
(ai fini
con
l e componenti lagran-
della derivazione o dell1in-
Supporrb , pertanto, che lo s t r e s s r e a l e appartenga alla delle soluzioni dela s i s t e m a
con l e
e s p r e s s e da
Lo s t r e s s reale b
quello
congruente e nel c a s o di forze
assegnate a1 contorno pub individuarsi, nella c l a s s e quello
lecito
che rende minimo un c e r t o
r
, quale
funzionale. T r a t t a s i in r e a l t a del-
llapp\icazione del c l a s s i c 0 t e o r e m a di
Menabrea.
Se, p e r b , esistono vinooli in superficie o, in particolare, una p a r t e a s s e g n a t i gli spostamenti, come s e nale operante unicamente sulllincognito s t r e s s lo s t r e s s
rv
sono ivi s u
ne potrh t e n e r conto?
Si t r a t t e r h di a s s i c u r a r s i che & a n c o r a possibile c o s t r u i r e minimo in una c e r t a c l a s s e
ovunque
il quale
contenuta in
minimante alla soluzione del problema
r
un funzio-
- se
amrnette
- d& luogo con
di equilibrio elastico.
G. Grioli
Intendo d i r e che lo
stress
cost
determinato
ma dB anche luogo - a t t r a v e r s o note formule centi l e condizioni imposte dai
non solo
-a
e
congruente
spostamenti soddisfa-
vincoli. E f da o s s e r v a r s i , t r a
lfaltro,
che cib costituisce una precisazione del t e o r e m a di e s i s t e n z a : condizione n e c e s s a r i a e sufficiente affinche il problema analitico connesso a quello meccanico r a n t e sullo s t r e s s vincoli in
a m m e t t a soluzione
-
T r a t t a s i , in un
a1
r,,-
- a m m e t t a minimo nella c l a s s e
c e r t o senso, di un postulazione integrale del
problema fondamentale, in quanto non
associato
che un c e r t o funzionale ope-
da p r e c i s a r s i di volta in volta in dipendenza dei
superficie
equivalenza, in
e
cfC
-
come s i 8 o s s e r v a t o
-
generale, t r a il s i s t e m a di equazioni integrali ( 3 ) funzionale da m i n i m i z z a r e e il
sulllincognito spostamento
problema a1 contorno
che s i deduce da (1) esprimendo l o s t r e s s
mediante l e s u e derivate e precisando l e condizioni di vincolo superficiale
.
P e r concludere questa p r e m e s s a , o s s e r v o che s e l a s u c c e s s i o n e cornpleta dei polinomi mali (4)
- t?
in
C,
ogni s t r e s s
ove l e
della c l a s s e
e s p r i m i b i l e mediante l a s e r i e
I=
+
in
r,, -
2 cioe
\ p.1
ortonor-
, -01uzione di
G. Grioli sono
opportune combinazioni l i n e a r i di soluzioni di
mini, a1
s i s t e m a ( 4 ) C sostituibile
2)
S u l l ~ i n v e r s i o n edel che l o
.
altri t e r (6)
t e o r e m a di Menabrea. Conseguense analitiche.
stress
minimante il
volta s a r h considerato, nella c l a s s e zione di tale proprieta &,
. In
s i s t e m a d i sestuple
funzioni di quadrat0 sommabile
convergenti v e r s o
Ammetterb
il
(4)
r,
funzionale che d i volta in
, s i a congruente.. La dimostra-
sostanzialmente, analoga a quella ben nota
valida nel caso che sulla frontiera siano ovunque assegnate l e f o r z e superficiali, c a s o
che neppure considererb
Si supponga, invece c h e
.
s u una parte
della frontiera del
, mentre sulla
corpo s i a impost0 un determinato spostamento, rimanente p a r t e siano
note l e
forze
. Se
= 0 s i & nel c a s o
del
vincolo di incastro. O c c o r r e c a r a t t e r i z z a r e , in ogni c a s o che s a r a considerato, la classe
r,,'
delle
reazioni vincolari d i cui il vincolo &
capace. Come avviene nel c a s o delllincastro, s u p p o r r b che a d e s s o il vincolo possa e s p l i c a r e qualunque s i s t e m a di reazioni vincolari ; l a
rV1cio& , contiene
classe plicati in
punti
di
e .
ogni
I1 funzionale da a s s o c i a r e
W(Y)
alle
possibile
(4)
s i s t e m a di vettori ap-
&
& l a forma cpadratica definita positiva nelle
e s p r i m e l l e n e r g i a potenziale e l a s t i c a e El d a t e n e r s i p r e s e n t e che a d e s s o
le
@
Y rs
una reazione viAcolare. vanno
costrui-
- 153 G. Grioli t e in
base
a
(5)
ove l e
reazioni
or . I1 minimo d i
tutti
stress
gli
fr
si
identifichino s u
va c e r c a t o nella c l a s s e
A(Y)
YrS soddisfacenti
con
le
r,,
di
alle ( 4 ) , a1 v a r i a r e comunque di
subordinatamente alla sola condizione di e s s e r e in equilibrio con l e forze e s t e r n e assegnate (tale condizione @ , del r e s t o , e s p r e s s a dal(4) p e r
le stesse
2,=72=23=0 e da talune di e s s e p e r Z l + T 2 + T 3 t 4
.
Non i? difficile r i c o n o s c e r e che la condizione di minimo di s i traduce in
ove i? dalle
vp =
Y rs
quella che r i s u l t i
-
u',
, essendo
up
&Ip-
minimante e 'la (9) vale p e r
s i m m e t r i c h e e delle
9r
lo
spostamento indotto
ogni scelta delle
verificanti il s i s t e m a
E t facile riconoscere che l l i m p o s t a condizione di minimo impone l t a n nullarsi delltintegrale
Cib significa che tore stione
-q
il
equilibrato cib
6
vettore su
@
. In
su
ortogonale
a ogni vet-
una visione integrale della %que-
sufficiente, significando che lo
spostamento
5'
subor-
G. Grioli dinato dallo s t r e s s minimante, uno
a1
te osservare
che s e , restringendo l a c l a s s e
Yrs
s i ammette l a derivabilith delle
zioni
di
vincolo
sono
differisce da
ove s i c e r c a l a soluzioe di
u_I
su
di un vettore definito in
0
, l e condi-
verificate localtmente. Cib, in particolare,
s i riconosce subito nel c a s o che llassegnato vettore
-
quel-
spostamento rigido ma @ interessan-
lo prescritto ne
pih p e r
-6
in media s u
Infatti, si supponga che l e
C
e
, derivabile in C.
su
verifichino 1 s i s t e m a
'r
PS
sia la traccia
differenzisle
e t o in
pub c o n s i d e r a r s i come l a t r a c c i a s u C
e su
-5
e
derivabile,
-6
di
a1 p a r i
un vettore definini-
di
u
e
Da
u_'
(11) , (12) segue a l l o r a
c h e data l a l a r g a a r b i t r a r i e t a di
"r,s + "s,, rigido.
e
quindi
l a coincidenza
E l interessante c o n s i d e r a r e il c a s o vi s i a un
appoggio
Yps implica
v_ con uno
che s u una parte,
l i s c i o unilaterale
s u support0 rigido. In tal c a s o
di
llannullarsi di
che
spostatnento
-B
di 6
p e r semplicith supporrb
da minimizzare il
funzionale
- 155 nella si
classe
delle
identifichino
tale
soluzioni delle
con
l a reazione
G. Grioli
(4), (5) ove le
s u e
f,
4,. = $ ll,. . 11 modulo 4
di
reazione deve soddisfare unicamente alla condizione
e a quella che erprime l a condizione di equilibrio di tutte l e form
rrterne,
La condizione dl minimo
B (Y)
dl
mi
traduce
nella
relazione
ove
donota
nulla
e
mento
-e2la= parte -
subordinato
valida per
ogni
sfacenti alle
dallo
(10) , ove,
l a reazione
che
la (16)
ove
q
ha
dallo
u_l
e
denota
non
sposta-
trSsimmetriche e di 9r soddiper&, il vettore q- & parallel0 e cancorde ad e s s a sulla parte 0 2
-
F
(.
minimante risulta
segno
stress
come prima lo
b
minimante. La (16) B da ritenersi
stress
nulla. Si riconosce facilmente
implica che siano soddisfatte
q 2 0 su
to
ove l a reazione minimante
scelta delle
a n_ su tutta ove
di
arbitrario
. Le
su
(17) mostrano
minimante
B
in
e4
e
le
relazioni
soddisfa
che lo
alla condizione
spostamento
media ortogonale
subordina-
a ogni
vettore
G. Grioli
ortogonale alla
normale al'a
l e forze e s t e r n e ) s u
-
5,
superficie di
appogglo (in equilibrio con
ove non c t e distacco e , invece, forma, in
media, angolo non
ottuso con ogni vettore parallel0 e concorde a quel-
l a normale che s i
6 supposta
vincolo
ove
orientata v e r s o l a parte consentita dal
c l & distacco. L e condizioni d i appoggio
sono, cioe ,
soddisfatte in media. Qu:..ndo s o p r a s i fonda snlltipc?esi che nello stato di equilibrio
-
e s i s t a un'effettiva zona d i appoggio, cioe che Inoltre, che comunque s i divida un
la
5,
non svanisca.
in due
parti
a r b i t r a r i o s i s t e m a di reazioni parallele e concordi a
delle due p a r t i
accada che
5
su
una
possa e s s e r e s e m p r e equilibrato da un s i s t e m a di
reazioni agenti s u l l l a l t r a parte, parallele a
n
. Tali
ccndizioni sono
generalmente soddisfatte nei c a s i concreti, in p a r t i c o l a r e nel c a s o di un appoggio piano Anche o r a & interessante o s s e r v a r e che s e c i s i pone in una c l a s s e di
funzioni
dotate di proprieth di regolarita
l e del c a s o dell'incastro
analoghe a quel-
s i r i e s c e a d i m o s t r a r e che lo spostamento
subordinato dallo s t r e s s minimante verifica delle due coppie
di
c o m t & richiesto
dal vincolo
ir. ogni punto
condizioni
di
appoggio
unilaterale
.
di
8 una
C E N T R O INTERNAZIONALE M A T E M A T I C O ESTIVO ( C . I. M. E . )
Walter NOLL
THE FOUNDATIONS O F MECHANICS
Corso tenuto aBressanone dal 31 maggio. a1 9 giugno 1965
THE FOUNDATIONS O F MECHANICS by Walter No11
1. I n t r o d u c t i o n
.
"Classical mechanicstt i s based upon the concepts
of absolute space and absolute time. Even the natural philosophers of of the Renaissance realized, however, that s p a c e has physical relevance only with r e s p e c t to a f r a m e of reference.
Only relative, not absolute,
velocities can be physically detected. Absolute accelerations cannot be detected by purely kinematrical means, but they have a dynamical effect, namely inertia. It i s to account for inertia that Newtonian and Eulerian mechanics
employ absolute space. It was c l e a r l y recognized only
cently that t h i s i s the the effect of the
only r o l e
re-
that absolute space may play, and that
dependence of s p a c e on the f r a m e of reference in all
considerations unrelated
to inertia must be taken into account by means
of principles of frame-indifference. Use of an absolute s p a c e i s not the only way of accounting for inertia. It i s possible, a s interaction between
Mach has proposed, t o r e g a r d
inertia a s an
the bodies of o u r immediate environment and the
r e m a i n d e r of the universe. This i s not unnatural, because it i s a fact of experience that fixed s t a r s and more
the inertial
presumably
o r less at rest.
f r a m e s a r e just those in which the
the other m a s s e s of the u n i v e r s e appear
If inertia i s thus
treated on an
equal footin;:
with other physical interactions, it i s no longer n e c e s s a r y t o introduce an absolute space a t all. In t h e s e l e c t u r e s nics
I s h a l l attempt to show how c l a s s i c a l mecha-
can be based on a space-time s t r u c t u r e in which absolute space
does not e n t e r a s an ingredient
.
If this
nneo-classicaln space-time
structure
i s used,
it i s no
longer
n e c e s s a r y t~ impose principles
of frame-indifference, because f r a m e s of reference a r e now introduced only a posteriori; they The use of
a r e not
implicit in the basic concepts.
llneo-cla'ssicall' space-time i s especially
appropriate
in those branches of mechanics in which inertia plays only a minor r o l e , a s i s the
case, for example, in
various disciplines of visco-elasti-
city. The natural languages r e f l e c t the fact that we humans live on t h i s solid e a r t h , which i s always available a s the f r a m e of reference for o u r everyday experiences. It was perphaps natural, therefore, that science should have been Cop'ernicus, by
led t o r e g a r d space a s a n absolute. It was
proposing that the e a r t h 'should be regarded a s moving
around the sun, who eventually succeeded in convincing the scientific world that the e a r t h should be dethroned from i t s place a s the absolute f r a m e of reference. However, heavy
reliance on
the natural philosophers of the Renaissance lishing absolute s p a c e altogether. Use t i c mathematics makes it easy
dard
2.
prevented them from abo-
of the methods of modern axioma-
to introduce conceptual s y s t e m s that a r e
f r e e from the prejudices implied by the lectures,
natural language by
natural languages. In these
I shall employ the axiomatic language that has become
in most branches of pure mathematics d u r i l t g the past teri
stanyears.
Mathematical preliminaries.
A , vector s p a c e
i s a s e t of elements
i s endowed with a mathematical tion and
s t r u c t u r e defined
a s c a l a r multiple operation
as
follows.
u, v, w , . by
a sum
. . , which opera-
(Al)
With any two elements u, v sum -
+v
u
V.
E
(A21
F o r any u, v
(A3)
F o r any
(A4)
T h e r e exist a zero-element -0_ that
(A5)
u
(S2)
such
With any
u
numbers)
rUE
n$.
F o r any
r
An additional
u
F o r any U
For
r (S5)
u
any
can associate an opposite = 0.
E
E
= set
(
of
all
we can associate a s c a l a r multiple
,
and
e
c
7)
we
E (77
have
U)
=
T)U.
r (S4)
and
E
+ (-u)
u
+ (v + w).
= u
with the property
E
p w e
6
+ v) + w
.
@
E
that
real
(
(S3)
= u all u
E
u+v = v+u.
V w e have (u
E
With e v e r y element u -u
(Sl)
V w e have
E
u, v, w
+0
we can associate a
E
+
E
v a n d E. , q
E
and E
E
(e+
we have
rl
)u=
au.
any
u, v s
Kwe have 6 (u
+ v)
=
u+ ev.
F o r any
inner
u
E
v w e
product s p a c e
s t r u c t u r e defined by
have
is an
a vector space endowed with
inner
product
operation
a s fol-
lows : (11)
With
any two e l e m e ~ t s u, v
an inner product (12)
F o r any
(13)
F o r any
u,
G,
( 6 ~ ) v. .
u
v
v
E E
.v
E
we
' i and E
r
v w e can associate an
v. have E
11
% we
.
v = v
have
. u. E (u
. v) =
(14)
F o r any
(15)
For
u, v, w
any
u
we
E
v , u # O
E
The following abbreviations
The
rules
of the axioms texbooks on
have
wehave
(A1)-(15) listed
.A
u.u>O.
a r e customary :
of elementary l i n e a r
the subject
u . ( v + w ) = u .v + u . w .
algebra a r e all
above, a s i s shown in the
set
u
ments i s the zero-vector. The number of elements in can be shown to depend only
not
on the s e t . This
of
ZP . A
x,
.. .
y,
of
to
a
will
function
one
mappings
i.e.,
have
holds
for
.cxo
&
the
is
d which
d(x, y )
satisfy the Euclidean The group
a a
every p a i r
E
axiom
of
by
k
a set
the
and
dimension
themselves, give
,
whose
2&
. The
function
stated
below
onto
of d
itself
each d
consists
which
defined
pair
(x, y )
will
be
assumed
of
all
one-to-
preserve
distances;,
that
(x, y )
of
points. Of c o u r s e ,
a
is
the composition
in
elements
with a s t r u c t u r e
a s s o c i a t e s with
isometries
of
property
of elements
on the s p a c e
i s called
be called points, endowed
a number
a maximal linea-
commutative group.
Euclidean point-space
by a distance of points
dim
the axioms (A1)-(A5) ,
We note that the s t r u c t u r e
number
standard
u i s s a i d to 1' " " n combination of the ele-
of elements
be linearly independent if no non-trivial l i n e a r
r l y independent s e t
consequences
of
the group-product the
mappings
W. Noll
b
and
&.
It
m a y happen t hat
properties
a contains
(El)
is c o m m u t a t i v e , i . e . , v o u = u o v when u, v
(E2)
i s t r a n s i t i v e ; i . e . f o r any two
(E3)
If
v 0
ged ,
then
'
i. e . ,
can
(E4)
0
be
it
unchanged,
E
a l l points -
that
(i)
x
unchan-
E
a inner pro-
the v e c t o r addition coincides
u o v = u
+ v,
denotate t h e identity mapping
of
and
(ii)
onto
by
u s e t h e notations
(2.3)
u+v = u o v , u+x=x+u=u(x)
It f 1 I s f r o m
(El)-(E3)
that if
exactitpone
'p s u c h
that u
-x
u
E
x, y
+x
= y
E
(. i s
. We
u = y - x
there
denote t h i s u
is
by
when. y = u + x
The r u l e s suggested by t h e notations (2. 3 ) and Uniqueness
'p
give,
, s o that
(2.4)
ce
0
.
v(x) = y
the identity mapping.
with the composition :
and
x
3/.
E
x, y . E
endowed with the s t r u c t u r e of
duct s p a c e s u c h
We s h a l l
point
it l e a v e s
is
points
?r s u c h that
E
'vl e a v e s one
E
v(x ) = x
u =y
'p having the
(El)-(E4) :
t h e r e i s a mapping v
o
a subgroup
theorem.
that s a t i s f i e s
(2. 4) a r e valid.
T h e r e i s a t m o s t one i n n e r product s p a -
the a x i o m s
.v
P r o o f : Assume that and satis* s p a c e s that ( E l ) - ( E 4 ) . We W r i t e
(El)-(E4) . h
are
two
inner
product
(2.5)
u = y - x
when
y=u+x,
L L E v
u = y - x
when
y = u + x ,
k €E
h
A
noting that a c a r e i u l and mapping
f
distinction between
n e c e s s a r y . Choosing
is
of
(2.6) It
??' by
onto
c l e a r that
f
is
E
u,
v
be arbitrary
E
A
h
, v
u = f(u)
a r b i t r a r l y , we define a
t h e condition
that
onto, and that
and
put
= f(v), it follows
f r o m (2. 6) that A
(2.9)
x=q+G, y = q + G , y = x + ( v - u ) .
Applying
(2.2)
to the cases
when
u
i s r e p l a c e d by
u we obtain 2 A A 2 (v-U) =(v-U)
(2.10) In p a r t i c u l a r ,
when
u =
(2.11) holds
in 'LP
f(0) = 0.
Putting
-
t h e point-differences
q r
one-to-one and
(2.7)
v
,
q+u=q+f(u)
is
Let
A
b
v for
all
(2.12)
v
E
2
Repeated u s e of
= 0, (2. 10) shows
2
b2 2 = v =f(v)
v
-
, if
-2v. u)u
t h e s q u a r e s c o n c e l and (2.13)
3
.v.Hence v
we
2
we
that
expand
(2. 10)
2 = v -2v. u+u2,
have A
u = v
(2.13)
.
. u = f(v) . u f(v) . f(u) . A
shows that
A
v
-
u and
(2. 14) holds f o r in
all
(2.14)
[ f ( :v1
+ € 2 ~ 2 -) P
C
.
e
we i n f e r
-P
Putting
from
2f(v2)
equal
(15)
to
1
Un =
:
0
the t e r m
in
brackets
that
A
i. e.,
that
Actually, and
f
is
a linear transformation
(2.13) shows
that
f
also
of .Font0 p r e s e r v e s the inner product,
hence i s a n inner-product-space. i s o m o r p h i s m between
$.
If
we c a n
'v
follow that Let
,
and
x
E
x = q + u.
that
show
f i s the identity
that
coincide
6
and
We
a s inner
v
mapping
it
will
product s p a c e s .
be a r b i t r a r y .
then d e r i v e
' p and
from (2.6)
Put
and
= x..4
(2.15)
x + v = ( q + u ) + v = q + ( u + v )= q + f ( u + v ) (2.16)
=
Since (2. 16) Since
+ (f(u) + f ( v ) ) = ( q + f ( u ) (q + u) + f(v) = x + f ( v ) .
= q
is
valid
t h i s i s valid
t h e identity
for
for
all
is
one -
s u c h that
its
v 6
group
T h e uniqueness t h e o r e m exactly one
(El)-(E4)
.
This
@ '
it
follows
that
we conclude t h a t
Euclidean axiom :
@.
i n n e r product s p a c e
admits
x
f(v) = v.
f i s indeed
Q. E . D.
mapping.
We now l a y dwn the d
all
+ f(v)
of with
isometrics the
above shows that
inner
space
a d m i t s a t 1c:lst
properties Euclidean
product s p a c e is
T h e d i s t a n c e function
(El)-(E4). point
spnc.c,
with the p r o p e r t i e s
c a l l e d the t r a n s l a t i o n s p a c e
of
i t s e l e m e n t s a r e called s p a t i a l v e c t o r s . T h e i s o m e t r i c s of an
Euclidean s p a c e
f,
a r e characterized
;
Representation theorem : Let ry
isometry
where
Q
Proof:
&
of
iL
has
q
6
E
a representation
i s an orthogonal transformation of the translation
The mapping
Q
defined
(2.18)
Q(V) =
v*=ICL O
.
' V U ~
( E l ) - ( E 4 ) . The
It i s
(E4) can be obtained from that defines
ufvPtu.v
Q(U)=
, Q(€
when U)
=
(r
itself ; i. e . ,
Q
i s an Q
of
'v.
-1
.CL
c i
a
of
onto i t s conjugate
Y*has
space s t r u c t u r e of
* Q(u) = u
the p r o p e r t i e s required f o r
W'
'LC by t r a n s p o r t via Q; , Q(v) = v* , and € u'
=
i. e . , one
(6 u)* when
u)*.
The uniqueness theorem de. Hence
o
easily shown that
inner product
space
by
40 v
i s an isomorphism of the subgroup
U+
be chosen a r b i t r a r i l y . Then eve-
'w and v',
implies that
inner product space
automorphism
i s an orthogonal transformation of
Applying the mapping 4 O V = Q(v) o
&
must coinciof
2/L
onto
I+.
t o the point
q
E
c,
we obtain
Substitution
of
x - q
= v into (2. 19) yields the d e s i r e d
r e s u l t (2. 1 7 ) .
Q. E. D.
3.
Neo-classical space-time. The event-world of neo-classical space-time i s a s e t
s e elements cal
e , f,
.. .
s t r u c t u r e defined
a r e called
events,
, who-
endowed with a mathemati-
by a time-lapse function
7
and a distance func-
tion -
, subject t o t h e axioms
6
(TI)
With any p a i r 7
(T2)
(e, f )
(e, f ) of events i s associated a t i m e - l a p s e
e, f
(3.1)
11/L
E
F o r any
(T4)
F o r any
e , f, g
e
or
T
that
fl and
E
e is
earlier
t
E
R
there
is
a
f
(e, f ) = t .
T
(e, f ) = 0. The
T
(f, e )
any
o r later
(e, f) < 0, respectively. Two
mu1taneo.u~ if
T
E
such that We s a y
-
(e, f ) =
T
(T3)
(Dl)-(D3) , below.
R.
E
F o r any
(T1)-(T4) ,
set
than i f
events
e, f
of a l l
T(e, f ) > 0
a r e said t o
si-
be
p a i r s of simultaneous
events
(T2) that (e, e ) E
i s called the simultaneity-relation. It follows from for
any
follows
e
c
that
'w
and
that
(e, f )
if
E
(e, f )
8
and
8
Therefore, the relation
is
it i s an equivalence relation. mines
a partition
taneous events
such
e
E
(f, e )
8 ,'
then
E
/8
. From
also
(T3) it
(e, g)
E
&
reflexive, s y m m e t r i c , and transit:
d
3
:
deter-
of simul-
that
The c l a s s e s J' c l- will If
(f, g)
if
of the world of events into c l a s s e s
8 instants.
8
E
$
c Y,
=
u
J El-
7 x 7 .
be called
instantaneous s p a c e s o r
we s a y that
t h e event e happens
simply at
the
3 .
instant
The at
value ? ( e , f )
which
e
and
f
a t i m e - l a p s e function
Physically,
(e, f)
by
familiar
8
with clocks a r e i n t e r -
of the t i m e - l a p s e function. experiences
with
such
6 associates
T h e d i s t a n c e function E
of s i m u l t a n e o u s
events a
For
e a c h instant
J
gives The
of
ar,
F o r all
instants
Physically, the result ing
ent
3
,
is
(Dl)
made a t
s J of
E
dim
'9 =
r e f l e c t s t h e fact
of
thousands of
years
4
f.
point
space. by
3 measur-
S ( e , f) of t h e d i s t a n c e func-
that
each distance measurem(D2)
and
of e x p e r i e n c e with
(r):?) dist:inc!e
measurements. automorphism
An mapping
of
d i s t a n c e s ; i. e
onto
.,
an
a
itself
of
t h e event-world V i s
which
automorphism
,
to&J
8
Euclidean
a p a r t i c u l a r instant. The a x i o m s
a r e the a b s t r a c t
e and
of d i s t a n c e m e a s u r e m e n t s with
sticks a r e interpreted to be values
tion. T h e axiom
6 (e, f)
c o r r e s p o n d i n g t r a n s l a t i o n s p a c e will be denoted
*VJ. (D3)
measurements.
number
, the r e s t r i c t i o n
the structure
The axioms
with e a c h p a i r ( e , f)
c a l l e d the instantaneous d i s t a n c e between (D2)
and
t h e r e f o r e , t o define
i s possible,
between i n s t a n t s
7
7
reflect
(Dl)
happen. It
the i n s t a n t s
r e s u l t s of t i m e m e a s u r e m e n t s
p r e t e d t o be v a l u e s (T1)-(T4)
depends only on
preserves
a
time-lapses
satisfies
one-to-one and
f o r all, e
for all .
E
e, f
Nand
c
U?
We write
for the s e t o f 'all images under a Consider, in particular,
instants
'U, of
a subset
of
,
J
.
M.
By ( 3 . 5 ) and
( 3 . 6)
we have (3.9) Adding
7
( 3 (
1 ,J'a
) to
#I=
" 1 . J1 .
( 3 . 9 ) and uslng
(A.
;( ] , J a ) = ; ( J , l
(3.10)
L)
wt. u t l ~ ~ , , ,
")=s, b
which depends only on ted
and may be called the time-shift
a
with the automorphism
a
associa-
.
It i s easily s e e n that (3.11)
J a = {f
The r e s t r i c t i o n of
a
to
I ~ ( e , f ) = s for s o m e a
7
e
EY).
i s a Euclidean-space isomorphism of
!fa .
onto
In general, (3.12)
we define for
3
6
r
Y + s = {f I ~ ( e , f )= s for s o m e
It i s easily s e e n
that
is
r
a mapping of
3 +
s
E
e
E
3
1
and that the mapping
onto itself such that
Y +g+ s
3
4.
World l i n e s . world
A worldiline e a c h instant
3
is a singleton,
is
4
a s u b s e t of
with t h e p r o p e r t y t h a t f o r
r,
a
i . e . e a s e t with only one e l e m e n t
Cl
Let
motions. f r a m e s of r e f e r e n c e .
and
.
b e two world l i n e s , s o that
2
T h e d i s t a n c e between
.t
We s a y
l2
and
L
a t t h e instant
2
i s defi-
ned by
that
c w - r e l a t e d ) if times
d
4
and
( g + s ) for
continuously
A world
somela
differentiable
ble, analytic) a s a function
of
motion of c l a s s
and hence a l l
,
((?-related
3
a f;
is
n
.'>
s. cn(c*,
W
C ) i s a collection
$
of
c n ( c r n , c w ) - r e l a t e d and which h a s
t h a t t h e s e t of e v e n t s
$(
9)
is a closed s u b s e t of the instantaneous s p a c e
Note :
related
(infinitely m a n y t i m e s differentia-
world l i n e s any two of which a r e the property
cn -
are
defined by
8
, for each
Two w o r l d - l i n e s in a world motion need not
T h e union of two world motions of c l a s s
cn
'
3
E
r.
be disjoint.
need not be 'of c l a s s
A world motion i s called r i g i d if f o r any two m e m b e r world-lines
and
k 2 , the
distance
( 4 . 3 ) i s independent of
9 .
Of c o u r s e , a r i g i d world motion is analytic. A r i g i d world motion e a c h event
e
i s called a f r a m e of r e f e r e n c e
6
W i s a m e m b e r of
E
exactly one
wordline
On a f r a m e of r e f e r e n c e , we c a n define a d i s t a n c e function
d
if. x €6.
by put-
ting d(x, Y ) = 8 ( ~ ( 38 ) Y(
(4.5)
It i s e a s i l y s e e , be c o n s i d e r i n g tion
d
endows
6 with
Euclidean point-space,
the structure
of a t h r e e - d i m e n s i o n a l
which i s i s o m o r p h i c t o e a c h of the instantaneous
Indeed, the mapping f r o m
where
x(J)
into
6
given
3 .
A f r a m e of r e f e r e n c e
n a t u r a l i s o m o r p h i s m between t h e t r a n s l a t i o n
7 .
and
T h i s i s o m o r p h i s m i s given
(4.7)
v Let
s
fl
E
.
--
and
6
v
(3)
+ s ) EY 4-
x S.
6 such
E
@ also
spaces
gives r i s e to a
ird
that
e3 b e defined by
+ v ) ( J ) - x ( J ).
x
3
7 is given. There ( 3 ) = e . Consider E
(Y+s)= x(J+
e* =
x' ( J ) E
2.
is f . ~ a c t l y
the
Sect
.
2 we
have
.%.nt
x' €6'' s u c h that
s;.
T h e mapping
Of c o u r s e , t h i s i s o m e t r y depends on the choice of t h e o r e m of
and
-5
e .. e* dt.;ined
in t h i s m a n n e r c l e a r l y i s a n i s o m e t r y of t h e instantaneous s p a c e
ntation
of
'by
T h e r e i s exactly one worldline x*
9
and
be two f r a m e s of r e f e r e n c e , l e t
6%
(4.8) Let
= (x
A s s u m e now that a n event e
one worldline x(J
by
i s defined a c c o r d i n g t o ( 4 . 1) , i s a n a t u r a l i s o m o r p h i s i n
onto
6
, that the d . s t a n c e func-
(Dl)-(D3)
spaces.
from
Y
S.
.
By t h e r e p r e s e -
a r e l a t i o n of the f o r m
f(s)
where
.pg .
and where
E
Q ( s ) i s an orthogonal transformation of
We have
s = 0 Eq. (4.9) m u s t reduce to
because for
In g e n e r a l , f(s) and
@
and
if and only if, f o r s o m e (and hence a l l )
.7 e r
Q(s) in the representation
, t h e functions
given
. Define
We s a y that
cn
4
x
(
7)
defined
If this i s the
cn .
and a f r a m e of
relative t o
if
@
L
s. The velocity of
a s a function of
f(s)
reference
are
by
cn
is
cn .
( 4 . 9 ) a r e of c l a s s
t
cn
is of c l a s s
c a s e , (4.9) i s called a change of f r a m e of c l a s s Assume that a wordline
properties.
easily proved :
T h e o r e m : The union of t h e f r a m e s
€@ I\
e.
=
Q ( s ) need have no continuity
However, the following r e s u l t i s
and
e*
x' ( y + s ) i s of c l a s s $ relative t o @ i s
by
The acceleration of
L
at
3
d ds
(4. 13)
relative t o
i s defined
by
d s=O
ds
2
We a l s o can define instantaneous velocities -and -.-- ....acceleration -. . . . ... . . .a-s m e m b e r s of
v3
,
obtained from
phism from ' p a o n t o
9
A world-motion
?(J) and 5 given
IL
( 3 ) via
-
the
natural i s u m o r -
by ( 4 . 7 )
i s called
c"-regular
if ( i ) it i s
of
W. Noll
n c'lass C , ( i i )
k)- ,& 3 in
1.
c
7
defined
by
IL i n t e r s e c t , and (iii) the s e t
( 4 . 4 ) i s a closed piecewise
smooth region
n Consider a C - r e g u l a r
rence
. We
q?
a world related
)
no two worldlines in
s a y that
motion
q?
of c l a s s
world motion IL and a f r a m e of refen i s C -admissible for IL if & U IL is n cn . Any two C -admissible f r a m e s a r e
by a change of f r a m e of c l a s s n Let ,J, be a C - r e g u l a r world
. We define 4 p ( 5 )= {x lx E
cn motion
and
n a C -admi-
q?
ssible frame (4.14)
6 , x($) = (
(3)
for
t
some
E
d~
1
A
The region
(J)
consist of a l l
the worldilines of image of the region
at
IL
the instant
B (y' $
morphism (4.6). If x
those worldlines of
cy
.
any number
s
E
3. . Also, 5(\jjC $
'defined by (4.4) under the natural iso-
8,
We write the dependence of
we can then
y
on
Thus we have defined f u n c t i ~ n s 4
cn-
such that
determine
by the condition
It i s c l e a r that
is the i n v e r s e
is given, in view of the condition (ii) f o r
r e g u l a r motions, t h e r e is exactly one
Given
6 which intersect
x, s , and
J
Y
in the form
X Y (x, 0) = x .
(4. 19) The following t h e o r e m
has a somewhat tedious proof, which will be
omitted h e r e . if
Theorem :
frame
for
~ ( y C)
the
world
-z7 (x.. s;
x
4
We call of
$3
d ~ . then the functicns
s , the mapping region
n a C - r e g u l a r motion and
IL i s
@
onto
X7
.;,
$
cn-admissible n C and, f o r each
in
with r e s p e c t
@
of conventional kinematics. Examples
of t h e
.
function at the instant
to the
frame @
i s possible to introduce most
7
cn
i s a diffeomorphism of c l a s s
relative deformation
motion
help of the function
a r e of c l a s s
s o m e o t h e r region
the
a
@
.
Withthe
of the concepts
are :
Velocity :
Acceleration: d2
(4.21) =
ds
Velocity gradient :
Stretching ; (4.23) Spin : -
v
(4.24)
1
Y
(x) = - I 2
" (x) 4
v3 via the natural i s o m o r p h i s m ( 4 . 7 ) . The r e s u l t i n g instantaneous
It i s possible t o t r a n s p o r t t h e s e vectcrs in into v e c t o r s in of
Q
onto
9 "LP
Y
and t e n s o r s o v e r
defi~ed
by
- 3 (XIT I @
and t e n s o r s
over
'P
velocity, acceleration, velocity
.
choice of the f r a m e 6 stretching i s
gradient, and spin will depend on the
It t u r n s out, however, that the instantaneous
the s a m e f o r all
f r a m e s . The proof of this fact i s analogous
t o t h e proof of frameindifference f o r the stretching in conventional kimatics. This no& dependence on the f r a m e suggest that thore should be a d i r e c t definition for the instantaneous s t r e c t h i n g a definitior. which makes n o us? cf any f r a m e . 11
Let There
a C - r e g u l a r motion IL
e x i s t s exactly two wo-ld lines
We define a
function
6 :
p, (?J
(4.26)
s (e,f,s)= S ( C (
It i s easily s e e n
that
6 i s of
be given
and let e , f
4
E
,
m
,
$ (7)
)(
3.+s),
%
such
IL
€2,(3). that
- 8 by
m(y+ s)).
cn .
class
Put
7i8(e. f. s ) 1 2
"e, k
f ) = dk
1
and define A (e) k Ak(e)
space
Rivlin-Ericksen that d e s for
= ve V f s k ( e , f )
i s a s y m m e t r i c second-order
translation
A
(e) i s
a direct
s=O k q n - 2
ds
7
tensor
. We
I
f=e
a
tensor
over the instantant-ous
A ( e ) the k-th instantanec:~.. k associated with the motion. It can be s: i4.n
call
twice the instantaneous
stretching
definition of this stretching.
and henc:t,
111 ..,.
-
5.
Bodies We now introduce a n e w p r i m i t i v e concept, that of a m a t e r i a l uniR ,
verse
c o n s i s t i n g of
bodies
. . . . The
A,B, C , .
c ,
endowed with a s t r u c t u r e defined by a relation
R is
universe
subject t o t h e
(B1)-(B6) , below.
axioms
C e r t a i n p a i r s of bodies
<
A (B2)
I
A = B
(B3)
[
If
B
(A, B) a r e r e l a t e d
if t h i s i s t h e c a s e and
if and only if both
A
B and
The
axioms
<
and
s a y that
A L B
C, then
B
by
and
; we
4
A
write
i s a p a r t of B.
B
A.
A 4 C.
(B1)-(B3) s t a t e that
is
(
a p a r t i a l o r d e r i n g of
n. If
B
write
A
$, C 1 4 A
.
D
we s a y that D = B v C,
C 4 A we c a l l If { B, C ) 4 D
if
{B, C ) < A
{ B , C ) L A implies
d e t e r m i n e d by
B
i s a common part
A
{ B , C )and
of
implies
D 4A
{ B , C 1 and we w r i t e
s o that
A l e a s t envelope m a y o r
may
and C. If of
not e x i s t , A cB
{B,C ) C B V C C A . but if it does, it i s
A
D = B A
1.
1)
A
DL.!R , C 1
If
i s the
gre:ttr.st
C, s o that
A<{~,C)im~liesA L B
(5.2)
{B, C
A d D we s a y that
{B, C l a n d w r i t e
uniquely
and A L C we s a y that
{B, C 1 and w r i t e
( {B, C 1 i m p l i e s
c o m m o n p a r t of
In
and
an envelope
i s the l e a s t envelope of
(5.1)
and if
A
CL{B,C).
t h e r e i s a g r e a t e s t common p a r t it i s unique. Envelopes, t h e
envelope, c o m m o n p a r t s , and t h e g r e a t e s t c o m m o n p a r t collection of bodies a r e
greatest
of a n a r b i t r a r y
defined in a s i m i l a r m a n n e r . L e t { ~ ~ \ i t 1 3 bs uec h :
a oollection, its m e m e r s A i m a r k e d with indices i t a k e n f r o m a n index s e t I If t h e
least
evelope
of
the
collection
exists,
we
denote
it
.
by
Ai ; if t h e g r e a t e s t c o m m o n p a r t e i i s t s , we denote i t by
i eI
Two bodies
.
no common p a r t universe body
R
. We
a,
A
and
B
A
iGI Ai
a r e s a i d t o be s e p a r a t e if they have
It will b e convenient t o adjoin t o the m a t e r i a l
two i m p r o p e r bodies, t h e null-body extend the r e l a t i o n 4 t o
0 and t h e u n i v e r s a l
t h e extended u n i v e r s e
by putting (5.4)
OLA(m
. We
A h B A
A
$2'.
E
have
(5.5) if and only if
all
, when extended by ( 5 . 4 ) , r e m a i n s a p a r -
Of c o u r s e t h e r e a l t i o n tial ordering
for
=
0,
A,B
E
SZ
and B a r e s e p a r a t e .
T h e following r u l e s a r e e a s i l y e s t a b l i s h e d : (1)
A c B
(2)
If
if
andonly
A L B
and if
(5.6)
if
A R B = A o r
A A C, B
A V B = B.
C exist, then
A
A A C C B A C .
(3)
If
A C B and
(4)
If
A
(5)
If
A A B
(5.8)
if
4 B and and
A V C, B
if
It
.
is p o s s i b l e
e x i s t , then
B A C = 0 , then
B A C exist,
(A A B) provided e i t h e r
C
A
A
C = 0
.
then
C = AA(BAC) = A A B A C ,
(A A B ) A C o r that
A
A I\ B
A
A A ( B A C) e x i s t . C
e x i s t s but A A B o r BAC d o
We a r e (B4)
For
now ready to
s t a t e the next axiom :
A e R
each body
with the property
t h e r e i s exactly one body e R e { A, A ) have neither a common p a r t nor
that
an envelope ; i. e . , (5.9)
oe
A ~ A ~ = Ao V, A ~= C Q
The body i s called the e x t e r i o r of the body A. If we put e = oo , oo = 0, then ( 5 . 9 ) i s valid for all A t R t . It follows d i r e -
ctly from
t h e definition of
that ( A ~ =) ~A
(5.10) holds for e v e r y
A
52'
E
(5.11)
. Also, AcB
which i s a consequence of l a t e s that the c n v e r s e If
of
of
of
Hence
= 0.
The next axiom postu-
B have no common p a r t , then
A is
B.
A C B if
By (5.12)
e
and rule (4). 1 (5. 11) i s valid :
It follows from (BC) and r u l e (5. 12)
AhB
(5.9)
A and the e x t e r i o r
a part
implies
and (5.10) we have
(5. 11) that
and only if A
<
A
A
B~ = 0
B if and only if
.
B
e
A
(A~)~=o.
, using (5.12) again, we find that
(5.13) The following
A
if
and only
if
propositiorls a r e c o r o l l a r i e s of
be a collection of
bodies, If
V ieI
B~C.
.
(5. 13) : Let
{A: li
E
I )
1
A. exists. 1
s o does
A irI
(A:)
and
If
A
L/
A, exists, s o does
I
(A: ) and
ieI
l
The following r e s u l t i s basic to the theory of Lemma: Assume that A2 A B,
and
A1, A2, and
B a r e bodies
A v A exist. -Then 1 2 {A1 A B,
(5.16)
bodies : and
that
A1 A B,
weFave
A2A B
143,A1 v
A21;
furthermore, if (5. 17) and (5.18)
1 (5.19)
then
Proof: and
D
It follows from the definitions
Ai A C ( Ai
< A1 v A2,
Assume now that (5. 17)
Suppose
and
that
( 5 . 1 ) and (5. 2) that
i = 1, 2, which immediately gives
(5. 17) and
(5. 18)
hold. It
By (5.18) we have
i s a common
part
E 4 D L B , and
of { I), C
hence
e
(5. 16).
follows from
( 5 . 11) that
E
A i C( ~ C,
} , i.e.
Now,
if
then
Gi l E
valent
Gi
is a common
p a r t of
,
( E , Ai
by ( 5 . 2 2 ) and h e n c e
G. 4 { B, Ai 1, which i s equi1
to
(5.24)
G. ( A . 1
Using
rule
(4)
A
1
we i n f e r f r o m
B,i=l,2
(5.24)
.
and
(5.20) that
<
r u l e (4)
1
G. = 0, 1
i s equivalent f o
On t h e o t h e r hand , it
The relations
The
Al v A2
follows
means
(5.21)
< E~
from
( 5 . 2 6 ) and) (5. 27)
have shown that by
which
(5.12) , we i n f e r f r o m
Applying (5. 10) and
= 0 . But
e C = 0.
.
1
(5.23) i m p l i e s
which
A
1
( 5 . 2 2 ) we a l s o have G: ( E ce and hence, by 1 e , G. = Gi A Gi (Gi A C = 0 , i. e . G. = 0 We have shown
But by (5.23) and
that
G,
implies
(5.25) that
, o r by
A.
1
<E
~ i =, 1, 2,
(5. 13) , t o
(5. 21) and (5. 18) that
E = 0. We
c a n both hold only if E = 0, which m e a n s
(5. 12) t h i s i s equivalent following
that
t o (5. 19)
four propositions
that
D A
ce=
. Q. E . D.
a r e e a s y consequences of t h e
Lemma : (A)
( I f AlhB,
(B)
II
A
(5.28)
2
A B , and
(A1 v A 2 ) A B
provided e i t h e r If
A1 v B,
A1 V A2
the left
exist,
then
=(AIAB) v(A2AB),
hand s i d e o r t h e r i g h t hand s i d e e x i s t s .
A V B and 2
A1 A A2 e x i s t , then
(5.29)
(A1 A
A2) v B = (A1 V B) A (A2 V B) ,
provided e i t h e r the left hand side o r the right hand s i d e exists. If
(C)
and
A 4 B
(a, aa)
1 if
B exist, then B = (A A
a) "(A'*
B) ,
nnd only if
C=AAB'
BdA,
( B , 8s)
(A) i s an immediate corollary of the L e m m a : (B) e 0 A1 and 8' and ualng ( 6 . 1 4 ) rsaulte f r o m ~ p p l y i n g (4) to A l Proposition
.
.
and (6, 15) ; (C) carresponda to the epecial case (A)
. To prove
from
(D) , a s s u m e that
(5. 31)
i. e . that
C
Using Be
Al
r
( 5 . 3 1) holde. Then
(5.12) and (5. 10) we infer from
= C
. Using
(5.31)
1
(5.32)
have
= B and hence, by (C) ,
Also, (5. 31)
(B6J
I
.
A
0
of
B (: A follows e (5. 31) that CLB , 2
ovc
= C,
conversely , that (5.32) holds. We then
which proves A AB
-
and (A) we obtain
A A B ~= ( B V C ) A B ~= ( B A B ~ V ) ( C A B ~ )=
. Assume,
A , A2
0 =OAA=(BAB~)AA = B A ( B e / \ A) = B A C ,
which proves
We now s t a t e the final a s i o m : If
A, B
AA B
E
It follows from
E
R a r e not s e p a r a t e , then the g r e a t e s t common
part
R exists. (B6) that in the extended universe
(5.3) , A t \ B exists
A, B
f o r all
R1 exists
E
operations
. By
51'
E
always also. Equations (5.28) and and
h
A V B = ( A ~ AB
(5. 1 5 ) , the l e a s t envelope
~
)
(5. 29) s t a t e that the
V a r e distributive with r e s p e c t to one another. This
fact, together with
axiom
(B4), can be
e x p r e s s e d by
saying that R'
i s a complemented distributive lattice. Suppose = {Pi
Ii
that a body
2
i s given. A finite collection
B
=
. . . ,n ) i s
called a partition of B if n (5. 33) B = V P , and P , A P . = O if i f j . i=l 1 1 J We s a y that the partition = { P , li = 1, . . . , n1 i s a refinement of
X
if
= 1,
for each
.. . , m
1 which
is
Proof :
.
P . E X s u c h that Pit ( P.. J J = {P. li = 1, . . , n $. Ij = 1 J
is a
Any two partitions
Theorem : = 1,
, there
Pif
.
1
)have a common a
refinement of
The required
i = 1 , . ., n,
j = 1,.
of both
laws
(5.29)
The axioms
i . e. ,
R and q
both
8
q=
there nm
The fact that these p a r t s
and
follows
i s a partition
.
refinement consists of the
. . ,m .
a refinement (5.28),
refinement ;
.
parts
do indeed form
easily from
J
the distributive
Pi A Q.<{ Pi, Q. 1 . Q. E. D. J J (B1)-(B6) and the theorems derived from them r e -
,
and f r o m
.
flect o u r common s e n s e experiences with physical bodies. It r y h e r e to m k e the mathematical description of bodies any imbedding in
Pi A Q , ,
llspaceu, simply because t h e r e
i s necessa-
independent of
i s no such thing a s
flspacefl in o u r developement. The following purely the concept of a (K)
let
Let
mathematical special examples i l l u s t r a t e
m a t e r i a l universe :
R1 consist of all
s u b s e t s of an a r b i t r a r y s e t
( r e p r e s e n t s e t inclusion. We
A' v B = A U B (union) and
= A
have C
A4B
X and
= A 0 B (intersection),
(complement)
.
The Newtonian me-
~
chanics X
of particle s y s t e m s can be based on such a universe
when
i s a finite s e t .
(8 )
Let
R 1 consist of all
<
topological space and let
c l o s u r e s of oper, s e t s in an a r b i t r a r y r e p r e s e n t s e t inclusion. In this c a s e the
A, B i s -not always t h e i r inter-
greatest common p a r t of two bodies
A
section. but r a t h e r
h
B
= A ~ OB' (a superimposed
.
interior and a superimposed b a r denotes the c l o s u r e ) velope of a collection
;~ 1 . i i
1s
I
.
denotes the The l e a s t
en-
V A 1 = -i, i. e. by ~ E I ~ E I of the s e t s in the collection.
given by
the closure of the union of the i n t e r i o r s
A.
This least envelope i s equal to the union
i €1
-
1
if the collection
i s finite, but not necessarily if it i s infinite. The e x t e r i o r of a body e c is A = A , i . e . the closure cf the complement. Let
(?)
R
consist of all finite unions of closed polyhedra and
closed e x t e r i o r s of
polyhedra in
axioms of a m a t e r i a l universe
a Euclidean space.
when
R s a t i s f i e s the
r e p r e s e n t s set inclusion.
4
Greatest common p a r t s , least envelopes, and exJeriors a r e given by the s a m e formulas a s in example Let
( 6)
R
boundaries, in
( k )
.
consist of ali closed regions with piecewise smooth a Euclidean space. If
represents
4
se: inclusion, then
the axioms (B1)-(B5) a r e satisfied, but (BG)is n ~ t .Since this exa nple i s of importance in conventional continuum rable ting
6.
to
develop the mechanics of material universes
(B6). However,
I have not
bc ..esi-
without p c ~ s ',!a-
ye? been able to do so.
Systems of forces. We a s s u m e that
R
mechanics, it may
an event world
a r e g ~ v e n . A f o r c e system f
W and a material
universe
i s then defined by the following condi-
tions :
(Fl)
I With
1 dies Ii -fY
e a c h instant
I
each
p a i r (B, A )
:he f o r c e e&ed
bo-
vector
A on
by
y .
B1, B 2
01 sepa;ate
B a t the
a r e mutually s e p a r a t e then
If
1 holds
for all
(6.2)
I.
c
separate
then-
L Y ( B , A l v A 2 j = f Y- ( B , A1'' - t -f 2 ( 8 , ~ ~ )
holds f o r . a l l
1 With
instants
B a r e mutually
2'
(F4)
and
i s a s s o c i a t e d an instantaneous
v, called 3
(B. A) r
.- instant A,
(F2)
R
in
3 EY
each
; I
E
r.
instant.
r
z
we can
11f t h e m a t e r i a l u n i v e r s e
R
i s a c l a s s of s e t s , a s it. i s in
in the p r e v i o c s section, then the conditions
( F 1 ) - ( F 4 ) m a y roughly be d e s c r i b e d a s r'ollc.ws ; f function
of two
a poslPive n u m b e r
( R , A ) of s e p a r a t c bodies and every p a r t i -
Ihclds f o r e v e r y p a i r
the e x a m p l e s given
assoc:ia?e
s e t variabies,
-'5
1s a \,ectc;:- -.. >!ued
finitely additive in d!ach
variakhic,
!ad
of bounded v a r i a t i o n in the f i r s t v a r i a b l e .
B
R
i s separate from its exterior e E R , it i s meaningful t o c o n s i d e r f ( B , B ), which is: caller! t h e -Y r e s u l t a n t f o r c e e x e r t e d on 13 a t the instant We s a y t h a t t h e Since e v e r y body
E
e B
force system
.
i s balanced a t
c e vanishes for all
bodies,
t h e instant
i.e. if
3'
if
this resultant for-
I
.
R
h o l d s f o r all
E3
T h e o r e m : If
:he f o r c e s y s t e m
E
(6.5)
f ,(i3,Aj =-f
-Y
-4
holds for all p a i r s Proof; equal. A
A
i s balanced a t the instant
f
If A #
B = 0
(D) of
(A,B)
both s i d e s o f . (6.5) vanish
B~ , :hen
because
Sectian
then
(A, B ) of s e p a r a t e b o d i e s .
A = B~ , t h e n
If
J"
A v B = C
A an6
and hence a r e
R e x i s t s . Of c o u r s e , w e h a v e
5
3 a r e s e p a r a t e . It f o l l o w s f r o m
proposition
that
5
e e B = C A A , A = C A R a n d h e n c e , by ( 5 . 15), B'
(6.6)
=
ce,/ A,
A
e
e
= C VB.
We have e e e = ~ B V A ) ' , , A = B A (A A A ) = B A
ceA A which m e a n s that
ce
and
B
tion (F3)
ce
it follows
-I
(3,B E ) = f !B, -$
fx(A,A -
e
-2' f
,
-3
A
A
-I
(A, c e ) = f
-J
-3
-J -3
( B , A) , (A,B).
(F2) yields
(C, c e )
.
( 6 . 7 ) and o b s e r v i n g (6.83
(A, A ~ -) f
f
4-
(A,ce)+f
B = 0, condition
zJ
(B,se)+ f
(B, c e )
- !i
-J
e (i3,C ) = + f
A d d i n g t h e turc e q u a t i o n s - J
A) = f
) = f , ( A , c e v B) = f
C = A v B and !
ce v
(C, c e ) = f
-3
we
( B , A)
obtain
+f
that
, t h e condi-
( 6 . 6)
gives f
(6.9)
A a r e separate. Similarly,
a r e s e p a r a t e . T h e r e f o r e , i n v i e w of
(6.7) Since
and
o =o,
-3
( A , B)
Now,
if t h e f o r c e s y s t e m
and hence (6.5)
i s balanced, the left s i d e of
m u s t hold.
(6.9) vanishes
Q. E. D.
In w o r d s , the conclusion ( 6 . 5 ) of the t h e o r e m s t a t e s t h a t t h e f o r -
B on A
c e e x r t e d by This statement r e , when
i s opposite t o t h e f o r c e e x e r t e d by
may
A on
b e c a l l e d t h e law of action and reaction.
B.
Therefo-
the f o r c e s y s t e m i s balanced, then t h e law of action and
r e a c t i o n holds ,r
( B , A ) of s e p a r a t e
Consider a pair {PI P
P d B ) b e t h e s e t of a l l
52,
bodies,
parts
P
Let of
RB =
B. We wish t o defi-
1
ne integration of r e a l valued functions
(6. 1 0 ) with
- R
& : RB
respect to a force system. C o n s i d e r f i r s t t h e s p e c i a l c a s e when t h e r e i s a partition
P i i = 1,
. . ., n
B
of
and
numbers
@ ( P )= m a x j@i
(6. 1 1 ) In p a r t i c u l a r ,
I pi^
(aa , . . . , @ ) s u c h that n
P $- 0 I.
we have
(6.12)
@
(P) = @
We define t h e i n t e g r a l of
@
with r e s p e c t t o t h e f o r c e s
by
P C Pi e x e r t e d by A
n
(6. 13) Consider With
when
each
f @df - (A) = Z @ . f ( P i , A ) . B i = I r3' now a n a r b i t r a r y function of t h e type
partition
R
= {P. 1
i = 1
. . ., n
(6. 1U)
.
of B, we a s s o c i a t e the
sum
(6. 14) We s a y
that
is
integrable with r e s p e c t t o t h e f o r c e s e x e r t e d by
A
if
t h e r e is a n
property:
whenever E
J
instantaneous
is
a refinement
151 . If
of
31
the following
such
that
the vector u
it e x i s t s ,
i s denoted by
-u =
(6.16)
and is called the i n t e g r a l by -
with
J -
0 we c a n find a p a r t i t i o n
For every&
R'
vector
I
ddf
#
with
B
of
(A)
-7
E
Vr
respect
t o the f o r c e s
exerted
A.
he
liar
i n t e g r a l t h u s defined
i s a g e n e r a l i z e d v e r s i o n of t h e
fami-
~ i e m a n n - ~ t i e l t j z si n t e g r a l . Let
-w
(6.17) be a function
'2
RB
1
. y defined by (6. 10) . A s s u m i n g t h a t
t h e type
exists for each
a r ?$ it
. (w(P) ) integral 1
6 (P) = a the
i s easily
seen t o on
Hence t h e r e i s a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n this
a
whose v a l u e s a r e instantaneous v e c t o r s . If
6 =a
the function of
:
for
(a.
6
r%j, then
PLB
is
w)df . (A) - -3' B depend l i n e a r l y on 2.
'3whose
value f o r
i n t e g r a l . T h e t r a n s p o s e of t h i s l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n
2
is
will be de-
noted by
I w_ e df- 3
(6.18)
(A),
B s o that
T
(6.19) holds f o r be denoted
[ f w _ ~ d f - ( A )l a all by
a
B
6
'9
-J
=
1 ( a - w)df ( A ) - -r
B
T h e t r a c e of the t r a n s f o r m a t i o n
(6.18)
will
w - @df
tr [
7.
R
universe
(K3)
(A).
I I
With
we a s s u m e t h a t a n event world
is
defined
each
body
motion n ( B ) n
c
(B)
Given
B
in
of a c l a s s
i s associated
a non-empty world
c W ).
cn(c*,
the s e n s e that
A L. B
implies
77
(A)
C
e
E ? ~ ~ ) ( J ) and any neighborhood
e
(K2)
space
,
J
there
is
a
{/of
part
that
(7.2)
" s p a c e n than
n
(7.1)
such
Roughly,
R
E
instantaneous
P L B
kinematical p r o c e s s
.
any event
e in the
and a m a t e r i a l
by t h e following conditions :
of c l a s s
is monotone
n
.A
a r e given
cn ( c ~ , c W )
(K2)
w.df
- -J
B
Dynamical p r o c e s s e s . A s before,
(K1)
I= f
(A)
-3
B
E
Bn
states
that
any of i t s p a r t s ,
c
L.K
a body h a s a l w a y s occupies
and (K3)
s t a t e s t h a t a body
rilore
has a r -
bitrarily ttsmalltt p a r t s every where. T h e following t h r e e p r o p o s i t i o n s a r e i m m e d i a t e consequences of (K2) : (i) If
A
and
(7.3) (ii)
then
c n(A) fl n ( B )
If n(A)fln(B) A
and
B
(7.5)
I
a r e not s e p a r a t e ,
n (A A B)
(7.4) then
B
Theorem :
a r e separate. n (A)
If
A
#
B~ then
.U
=fi
(iii)
n (B)
for all
If
c n(A
A f Be then '4B )
instants
.
Proof :
is c l e a r f r o m
It
(7.7)
9
Suppose
now t h a t
(7.5;
(?' U&
n (A;
that
(B)(')c"%
t h e r e is a n e v e n t e
(7.8)
€ ~ , ( A YB)
(A r B )r,j'). such
that
i 7)
but
P'
Since follows
( A ) (.J) is a c l o s e d s u b s e t of t h e i n s t a ~ t a n e o u s s p a c e ( 7 . 9 ) t h a t tht.ra
from
is a
n e i p b o r h o o d L/f
of
2
ii
e suc.1; t l ~ ; ~ t
(7.10) By
(K3)
( 7 . 8 ) w e c a n find a p a r t
and
(7.11) such
that p n ( P )(
(7.12) Taking the intersection
(7.10)
9
that
(P)
that
result and
(7. 12)
(7.12)
of
(2)0 S n i A ) (3) n (1')
It f o l l o w s
fl
(7. 1 1 ) s h o w
that
3
with
n(a) = B, a n d h e n c e
must
PC B
be separate
.
Therefore,
w e obtain
(7. 13) We conclude
that
if
f7.8)
holds.
(f),
we infer
fro111
that
.a.
n (A) =
A
and
p
3 ) 4. ~
then
also
:
T'<
tie.
'his
using
( K 2;
.;d
W. No11
which
.
proves It i s not
In fact
Q. E.D.
(7.7)
it i s possible that
(7.14) If
P
7.
and
t r a t e at
77
we s a y that
there a r e parts
Q
a r e coincident
and
A
a
force w -
pose that
system
each
part
-f
P
we can consider the
the
instantaneous
a r e no
matter
by s o m e
the p r o c e s s denote i t s
7
be s o m e
which
y.
separate
A
n
this
with
E
This
body
integral
different
by
from
to
(6.18),
that
is
B.
every worldline Sect. 4)
.
L
tn
(B)
though
w -
S2
. For
P c RB of the
to the f o r c e s
If this i s the c a s e no resulting integral
w
that
6
a function
i s integrable for
the forces exerted by
even
of
B
(P).Having done
n
with r e s p e c t
from
but
instant and sup-
a s s o c i a t e s with
selection, we say
respect
1.
each worldline 2 an
a
a worldline L
A
now has
and we a mea-
Sect. 6.
F o r example, suppose that
(cf.
the instant
Consider
t
B
that
p a r t s and yet
how the C s n(P) a r e selected, and if t h e
i s independednt of
that
interpene-
such
5.
w_ ( 2 )
vector body
and
a kinematical p r o c e s s n Let
in-
such
which associates with
function
yet
Q < B A
at
(6.17) and hence may be integrable
exerted
ning
there
we select
so,
type
and that
w_ ( 4 ) t
vector
in (7.6).
a r e coincident a t the
we s a y
i s given.
i s a function
instantaneous
not only
by A
V
7).
B
a r e in contact
B
and
a r e s e p a r a t e and
B
and
P
fi
by
8n
=
A
. If
the instant
We a s s u m e now that also
Y
(A)
If
we s a y that
and
A
i9
(7.14) holds
stant
U
legitimate to replace
is is
a f r a m e of r e f e r e n c e and
of c l a s s
c1
relative
to
#
Then
we c a n a s s o c i a t e with but
(4.12)
also
each
L
the' corresponding
E
n (B)
not only t h e velocity
instantaneous velocity
(7. 16) The integral
defined at
in
at
a c c o r d a n c e with
the
the frame a good
that
of
of r e f e r e n c e proof
of
table conditions, n ,
y
instant
C&
the i n t e g r a l
(7.17)
have not
resultant
that
for all
o f working
(7.17)
if t h e following
force
a c t i n g on
-J
((3)
g
- g
E
J
relative to
B
been
able to devise
(7.17)
under
be chosen
sui-
t h e kinematical p r o c e s s
bodies
BE
d,
a r e such
R .
is independent of t h e
two conditions B
e f.(B, B ) =
Let
yet
of the i n t e g r a l
exists
(7. 18)
=
I
e x e r t e d on
f , and t h e f r a m e of r e f e r e n c e
of r e f e r e n c e if and only
(ii)
.
and we h e r e a s s u m e
the force system
The
the f o r c e s
existence
Theorem : The r a t e (i)
, is c a l l e d t h e r a t e of working
(6.20)
at
are
satisfied:
3
t h e instant
frame vanishes:
2
a r b i t r a r i l y a n d define
p_
by
_p
(I!)=
€9.
Then
/ i s a symmetric tensor
o v e r 'p
7
-
*
I p
T h e skew p a r t of the i n t e g r a l moment at
about
t h e instant
resultant
g
E
J .
moment
r e s u l t a n t moment on
7 of If
on
B. B
B,
d f J (A)
is called the
the forces Exerted on B by A f e A = B then t h i s r n o d e n t is c a l l e d t h e Thus, c n d i t i o n
vanishes
at
(ii) states
t h e instant
7
that
the
-
Proof:
h
Let
stantaneous
(7,201
be
two
$* of
velocity r e l a t i v e t o
(3)
x
in acoordance e
of r e f e r e n c e . T h e in-
t h e worldline 1 is
given
by
c d, s a t i e f i e s
with
Now,
frames
*
-4 -7
where
*
and
.
(4. 11)
*
-+ x
=
(J
+ s ) (3)e = x
( 3 +a) (J) a r e r e l a t e d by
(4.9) , i . e .
Taking
into
.
(7.20) , (7.16)
account
t h a t differentiating
, (7.21) , and (A. l o ) , we find s and
.(7,22) with r e s p e c t t o
putting s = O
then
gives (7.23)
v* ( c ) =
where
d
-, J = - d s
(7.24) If we substitute
rate
(7.26) Since
(W
we s e e that
Now, s i n c e
f
(7. 23) n
for the
1,ce)
'Y
( 1
=
of working =nJ
-p) -w
= tr
'
(7.26)
0
1
+
w
8
(6) ,
W p
-
d = d s Q(s)
1 s;o
.
into t h e formula
j (B)
$(B)
1
+
(B)
'v
.
B -2 relative t o
+2
.
df (B')
-3
the
frame
f df
-r (Be)
B ( p 8 w) ] and
[W
may b e w r i t t e n
Q(s) is orthogonal, t h e t e n s o r 0
W
+
&*
(W
,
we find
p 1. dfJ(B
e
)
.
B [ df ( B ~ )= f (B, B ~ ) , -5' B -3
g ~ v e n by (7.24)is skew.
4
M o r e o v e r , t h e f r a m e a * c a n b e chosen s u c h that bed instantaneous v e c t o r and Thus, it follows frame
6-
if and
fran
-3
Q.E.D.
tric. and
a force
2 will
system
t e of working ( 7 . 17) i s independent
, for
system
-f i s a l w a y s
for all
bodies and a l l
the f o r c e s y s t e m
induces
(B) =
a
K ( B , g ) is s y m m e -
J
kinematical
process
a dynamical p r o c e s s if the r a -
all instants J
a of
E
rand
all
bodies
of r e f e r e n c e . The t h e o r e m
just
B
E
R,
proved
the r e s u l t a n t m o m e n t s vanish
t h e event-world
i s defined
a s follows (B)
both n a n d
peas
;
na
i s defined
.
defined in
by
(3.8)
. -fa r a( A ,
i s defined t o
B)
obtained f r o m ?a by m e a n s of t h e i n n e r product s p a c e i s o m o r p h i s m f r o m a
-f .
= { ~ ~ l L r n ( B 1 ,)
according to
t h e instantaneous v e c t o r in
in fact c a r r y
Y
a transformation
a
by
LF.
( B ) for every
n
-f alone, but t h e s e c o n d involves
(7.29)
induced
i s any p r e s c r i -
i n s t a n t s . T h e f i r s t of t h e s e conditions r e s t r i c t s
on dynamical p r o c e s s e s
4a
of
balanced and if
An autornorphism
where
j
e ( B , B ) v a n i s h e s and
be called
of t h e f r a m e
7
( n ,f) i s a dynamical p r o c e s s if and only if t h e f o r c e
i m p l i e s that
Sect. 3
n
( n , Jf , consis,.ting
A pair
be
f
E
a n y p r e s c r i b e d skew t e n s o r o v e r
W
(7127) that
only if
u
-
f
-J
(A, B ) z L Y
7
'p onto 2.r Y I' a
It i s e a s i l y s e e n that the t r a n s f o r m a t i o n ( 7 . 2 8 ) d o e s
dynamical p r o c e s s e s into dynamical p r o c e s s e s .
8.
Constitutive
classes g e n e r a l way, the mechanical p r o p e r t i e s of bodies can
In a v e r y
means of c l a s s e s of dynamical p r o c e s s e s .
be described by
mechanical property of
a
body
i s then e x p r e s s e s by saying that t h e
body
can participate only in p r o c e s s e s that
ning
this property. A constitutive c l a s s
class
(A, B)
A certain
for a p a i r
belong t o the
c l a s s defi-
(A, B) of s e p a r a t e bodies i s a
of dynamical p r o c e s s e s satisfying the following two con-
ditions : ( n ,f) and
Let
( n t , f ' ) be two dynamical p r o c e s s e s such
f
-J for
1
all instants
for a11
parts
l(8.3) If
(A, B) = f and
J E r
of
P
-
tomorphism
1 Condition
r
x
(A, B) of
a
(Cl)
then
(A, B)
such
A
(n,r)cd(A,B) ( n, f )
'
-J
that
or
B
Then
ifandonlyif (
7 7 4
(n',ll)
2 (A, B)
fa )
the event-world
[ I ct
.
concerns
only
A
and
the idea that events have no r o l e in
.
and
B
. This rema-
The condition (C2) e x p r e s s e s
individuality beyond that
conferred to
a dynamical p r e c e s s .
In a complete mechanical thory, a constitutive should be p r e s c r i b e d f o r
A
au-
(A, B)
B ; what happens to the
inder of the universe should be irrelevant them by t h e i r
for every
e x p r e s s e s the requirement that
should d e s c r i b e the machanical interaction between interaction
rk(A,B).
every pair
(A, B)
class
(A, B)
of s e p a r a t e bodies. The
of t h e theory i s then to determine the p r e c e s s e s that belong
object
all of these to dy
A
J
c l a s s e s . Usually, however, it i s only a p a r t i c u l a r bo-
that
is
of
A
and
(B, C) , (B,
the C;
as
the c e n t e r
a,d e s c r i b e
B
(B. Ae) ,
taken
/,
exterior A,
of
interest
. The
classes
B
the interaction between the p a r t s Ae , while the c l a s s e s ,&
world
= 0 , d e s c r i b e the internal p r o p e r t i e s of A.
B4C
We shall now d e s c r i b e how Newtonian psrtji:le mechanics fits into the the framework developed h e r e :It is assumed that the m a t e ~ i a universe i i'i
-
contains a distinguished body A, called the p a r t i c l e s y s t e m
-
ii
{ P.
1
. The particle s y s t e m A 1, . . ., n whose elements
called t h e p a r t i c l e s
i s assumed to have Pi
of the s y s t e m . Each
a partition
have no p a r t s .
The
part
is
of
A
P. are 1
the l e a s t
envelope of finitely many of these particles. F o r each all n
( A ~ ) is
a
of one
relative 1
1
dynamical p r o c e s s e s
only
P.
P. the constitutive c l a s s
to
( n ,Lj with
the
t i , which e f r a m e n (A ) ;
(ii)
(Pi) =
i s assumed (ii)
p-ope-ties
($3
t o be
: (i)
consists of
class C
the force exerted by
2
Ae on
i s given by A ~ )=
(8.4)
where mass of
e (Pi, A ) consists of
the following
f r a m e of r e f e r e n c e ;
world-line
X
m of
ti
& ( P 1. , A
i
is a
prescribed
Pi , and
a t the instant
If constitutive
Pi
and
class
of
where
-lJ a.
3 relative the
'
positive number, called
~ d) e s c r i b e s the inertial
and the r e m a i n d e r
- m .1-a1 . J is
to
the i n e r s , ; ~ l
the instantaneous acceleration
the f r a m e
n ( A ~ ). The c l a s s
interaction between the particle I].
universe
.
P , a r e t w o d i f f e r e n t particles, then the J ( P i , Pj) consists of all dynamical
processes
such
and such
Where
that
F.. is a
p r e s c r i b e d real-valued function
1.1
and
1
tion,
P . .-In the the J F . i s given by
(8.6)
c a s e of
Fij(s) the
m.'
the
vitational m a s s e s
of the
the gravitational
mechanics
Pi
Newtonian
which
.
between
theory of gravita-
positive
. The theory
numbers, called fits
the
gra-
the observed data when
m a s s e s a r e taken t o be proportional
m a s s e s , a fact for
variable.
m' m' i i S
-
=
a r e prescribed
1
of a r e a l
the "forces- t a w u for the interaction
1J
where
n (Pi) = ( F j a r e singletons
that
This function d e s c r i b e s P.
( P i ) = t t i ) and
n
to
the inertial
t h e r e i s no good explanation within c l a s s i c a l
In conventional continuum
mechanics m a t e r i a l p r o p e r t i e s a r e de-
s c r i b e d by means of constitutive equations. These involve p r o c e s s e s that a r e described in t e r m s of of an absolute space the s e t
&
of
related to
and
and
and
(x2,
T
~
a numerical time-scale,
makes u s e
represented
r e a l numbers. A neo-classical event-world
31
)6
(8.7)
v+
by mappings
properties : if
lowing
space-time , which
classical
(x,,~ )
C X t o~ T
e 2 E &f
6
%that
E x 4 corresponds
then
(el, e2) =
T
1
-
@can
have to
by
e
be
the fol-
1
E
~ . f , ~
2 '
and (8.8) when e
1 mapping
6 ( e l > e 2 ) = d (x1,x2) and will
e
a r e simultaneous, i.e. when 2 be called a representation of
= 7 1 2 . Any such the event-world &
7
Suppose sponds
t o t h e event
corresponds t o f r o m the
where
e
e
in
in the
T ) and
theorem
q
where
.
a
is
tations
on
number
dynamical
If
easily
,
in
where
s p a c e of
Q(T ) i s a n
<
and
,
constitutive equations a r e
to
de-
s e n s e d e s c r i b e d above, they should
p r o c e s s e s , independent
of t h e r e p r e s e n -
u s e d t o d e s c r i b e t h e s e p r o c e s s e s . Hence constitutive equations
should be i n v a r i a n t
"principle of m a t e r i a l f r a m e
llprinciple of m a t e r i a l objectivity" in conventional
( C l ) on
T h e condition justify
another
point
should depend
by t h e f o r c e s
bodies
occupy
question
J(B,C)
in in for
equation
indifferencef1o r
mechanics.
principle states that the s t r e s s tensor only
on
. Now
of the point
i s determined
contained
This
principle of conventional continuum mechanics: the
s m a l l neiFborhoof
which
-
.
constitutive c l a s s e s c a n b e employed t o
p r i n c i p l e of l o c a l action. T h i s a
(8.9)
under t r a n s f o r m a t i o n s of t h e f o r m
requirement is called
tive
(xS,
Sect. 2 that
the translation
t e r m i n e constitutive c l a s s e s in the b e conditions
of
a r e points of
y
corre-
second r e p r e s e n t a t i o n . It follows
representation
C(
t h e f i r s t r e p r e s e n t a t i o n , while
orthogonal t r a n s f o r m a t i o n
at
(x, T)
that two r e p r e s e n t a t i o n s a r e given and that
regions5
instantaneous
these for
bodies
the
( 3 ) and (B) neighborhood
space should
stress
an
arbitrarily
the s t r e s s t e n s o r
f y(B,C) , w h e r e -
an aribitrarily s m a l l the
the motion of
B
t e n s o r . By
an rc-ent
C
and
:.re
fi
2 . The
give
at
rise
( f ) that a r e "(C) of the event in
constitutive c l a s s e s to
a
constitu-
( C l ) t h e motion
of
bodies hood hip
that of
the
occupy regions event
under
outside
the a r b i t r a r i l y
consideration does not
o r non-memership of p r o c e s s e s in
m a y be sor. A
disregarded in more precise
developement
the constitutive
formulation of this
of the theory of s t r e s s
in these l e c t u r e s .
the
class
equation
s m a l l neighboraffect m e m b e r s -
& (B, C) for the
and hence
s t r e s s ten-
idea must await a p r e c i s e
within the framework presented
C E N T R O INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E . )
R . A . Toupin
" E L A S T I C I T Y AND E L E C T R O - MAGNETIC ,,
Corso tenuto a Bressanonedal 31 maggio a1 9 giugno 1965
ELASTICITY AND ELECTRO- MAGNETISM by R.A. Toupin (I. B. M. R e s e a r c h Center, Yorktown Heights, N. Y. ) The purpose of these p r e l i m i n a r i e s tion ,
i s t o introduce the
terminology, and principal mathematical
the c o u r s e of t h e l e c t u r e s . development
These will allow
of the physical theory. The
an
nota-
r e s u l t s t o be used in easy, uninterrupted
results
presented h e r e may
be found in g r e a t e r detail in the following s o u r c e s : Geometric Integration Theory H. Whintney Princeton University P r e s s (1957) Ricci- Calculus J. A. Schouten Springer- Verlag (1954) ~ i n i t eDimensional Vector Spaces P. Halmos T e n s o r Fields J. L. Ericksen Appendix, Classical Field T h e o r i e s Handbuch d e r Physik, 1111 l(1960)
R. A. Toupin
1. COTENSORS
vn
Let of u.,
vn
...
will
and
denote an
x?al vector space. Elements
be denoted 5y botdface, lower c a s e
will
e . , linear
n-dimensional
be called
in
each
vectors.
A
real
argument) function
Latin l e t t e r s , V,
valued multilir.ear
r
of
vectors i s called
R,
an r - c o t e n s c r .
Thus,
tensor
, denoting the r e a l numbers by R a n r-coiensor i s a
. Thus
multilinear
denoting the real numbers
(i.
by
an r- co-
mapping
where
wrn
=
vn
i s the r-fold Cartesian product by
l o w ~ r case, The s u m
in
( 11
is
vn.
Cotensors
of any two c c t e n s o r s a r e defined
, we
c a s e Greek o r Latin r-cctensors
vn will
be denoted
Gi-eek boldface l e t t e r s .
by a r e a l number
As
of
vrlX. . .
a
and the product cf
by the r.elations
always denote r e a l numbers l e t t e r s . With
certain r
a cotensor
lin2ar
by
lightface, '.,\r.er
these definitions, t h e s e t of space
which
we denote by
;il:
i _,
n dim (V ) = n . U'F! call vn the c a r r i e r space of r v r . n n r = 1 , we write V and call the elements of V , For n n covectors. The space of c o v z c t o r s . is calied the conjugate of -V" .
and
More generally, the space of ments
of any l i n e a r space
r e a l valued l i n e a r functions of the L is
called
the conjugate
space
eleL'
Let
,
i
= 1
. . .,n
2,
denote a b a s i s
vn .
s e t of v e c t o r s ) in the c a r r i e r s p a c e v
vn
E
has
(linearly independent
Then an a r b i t r a r y vector
the representation
where the components uniquely determined
v
i
by
of
with r e s p e c t to the b a s i s and
5
summation convention wherein, if ven t e r m of a n expression
e..
-1
As
in
(1:.2)
the s a m e l e t t e r
in both a s u p e r i o r
e. are 1
we u s e the
appears
in
a gi-
and inferior position
(not a t the s a m e level, however) , summation o v e r the corresponding index s e t i s implied without
writing
index s e t i s not c l e a r from the sed
the summation
sign.
When the
context, the summation sign will be u-
. It i s evident that
an
r-cotensor
i s uniquely determined
by i t s s e t of values
For
r = 1, the s e t of
convectors
E
a r e linearly independent and constitute a b a s i s covectors. The s e t s b a s e s for Every
vn
e . and
-1
sJ
has
, i = 1, 2,.
. ., n defined
in the space
Vn
s o related a r e called reciprocal
and 'the conjugate space
covector
i
vn' t h e representation
of
R. A . Toupin
v
and if
is
represented
%):(
(1.6)
as
in
= v
More g e n e r a l l y , now, f o r
( 12
then
i
r
a. 1
>
1,
the
n
r
r - c o t e n s o r s defined
a r e linearly independent and constitute a b a s i s
in
tensor
basis
basis
carrier
space
of
corresponding to the
V
vn
nof
V n
sentation
where the t e n s o r components
-
The t e n s o r product of
6 i s the ( r + s)-cotensor
The tensor tensor
components
components
of
of
.
Every r-cotensor
a
e.
-1
2
in the
has the r e p r e -
of a_ a r e given by ( 1 . 3 ) . (i) an r-cotensor and an s - c o t e n s o r a
@
-
called the
V n
-
a r e given
@
and
defined by
_4
by
in t e r m s
of the
R. A . Toupin
2.
TENSORS AXD 141XE9 'iTZPJSO3S
A
muiti1inea.r
real
v a l ~ e d fllnction T . i T S 11
-
.3,
where = T I
'j
rn
is t h e All
r-fold Cartesian
that h a s
the roles in t h e
of
been n
and
terminology.
)(V
n
p r o d u c t of
said
b .7
n
4
in
Y... V
n
'Jn, i s c a l l e d can
1
now
an
r-tensor *.
be repeated
with
in.'.~;.:hang~d and with obvious c h a n g e s n ir. ~ n r : i c ~ l a r ,e v e r y r - t e : l s o r T has the re-
J'
presentation
-r(11
where the tensor cornpccznts
The tensor i s defined
product in
obvious
The s e t cf
_T
@J
S
of
o!
an
T_
a r e given
r,-tensor
and
an
analogy t c t h e t e n s o r p r o d u c t of
all r.-'enscrs
with
a:lditicn
and
by
s-tensor r-cr,tensors.
muliiplicatc ~n by
s c a l a r s defined by
' I n T e n s o r a n a l y s ~ s ,ir is c o m m o n t o c a l l a n r - t e n s o r a t e n s o r of rank r. But we s h a l l u s e t h e t e r m r a n k of a t e n s o r in a n e n t i r e l y d i f f e r e n t s e n s e below ; her.ce , :vc avoid t h e c o m m o n terminology here.
R . A . Toupin
a ) = hz(%1922,. ( A ~ ) ( Z ~ , .E.~. ,, -r
. . , -r a
r
vn
is a l i n e a r s p a c e
of
dimension
r
n.
n c (V ) = V ; i. e . , the spa& of c o v e c t o r s i s t h e n C of t h e s p a c e conjugate of t h e s p a c e of v e c t o r s . T h e conjugate (Vn) By definition,
of c o v e c t o r s
is,
by definition, what we have c a l l e d
the s p a c e of
vnl . Now v n , t h e c a r r i e r s p a c e , h a s t h e s a m e d i m e n as vnl ; hence, they a r e isomorphic. T h e n a t u r a l i s o m o r p h i s m vn+ vnl i s defined by
1-tensors sion O :
It
is c u s t o m a r y t o denote
?(x)
and
by t h e s a m e l e t t e r and not n 1 - t e n s o r s whose c a r r i e r s p a c e V
t o distinguish between v e c t o r s and
i s the c o r r e s p o n d i n g s p a c e of v e c t o r s . We but the n a t u r a l i s o m o r p h i s m in
and a l l t h e s e a g r e e m e n t s should be kept
mind. More g e n e r a l l y now,
space
r-cotensors has t k
of
r-tensors
and,
isomorphism tensor
-
T = v -1
:
hence,
@ v
-2
@
.. . @
by (2.5) and s e t
9_T)=511 @
C
the
conjugate s p a c e (V r ) of the n s a m e dimension a s the s p a c e vnr of
they a r e isomorphic,
4 : vnr s i m p l e if
adopt t h i s convention h e r e ,
-
C
(Wnr)
. Define
distinct. T h e natural
i s defined a s follows. Call a n r-
it i s t h e t e n s o r
xr
but
product of
--
a ( T ) for every
r-vectors ; simple r-covector
L ~ Q o . . . @ ~ ~ ) = ~ ( L-r~) , ~ ~ ~ . . . , v
R . A . Toupin
if
T
_S
and
Z
every
a r e simple,
r-tensor
sors
but
T
i s the s u m
a(_T) for
C
and
_T
arbitrary
(V r ) n
6
i s then defined
Here,
as
between
a r e denoted
spect
a
( 1)
and
of
vector vector
established
the t e n s o r
by ( 2 . 7 )
symbol
.
drawn
called
a
from mixed
an
re-
<(TJ
, and
2 and
with
.
re-
a r b i t r a r y collection of
r - t e n s o r unless
illustrate the general c a s e
Then
T_
Thus,
... vr . It suffices to
r
V and vnr nr now, a r e a l valued multilinear function
arguments is
( 2 . 6 ) define
it i s conventional not
z(T_)and
T ( ~ ) a r e the components of
spaces
r-ten-
~ ( x.)
to a r b i t r a r y tensor b a s e s in
r
r
=
by the common
More generally,
simple. But
natural l ~ d m o r p h i s mbetween Vn
"co-cotensorst'
lated by the natural isomorphism
where
( 2 . 5 ) and
in the c a s e of v e c t o r s and I - t e n s o r s ,
to distinguish and
necessarily
by
2(?)(21
(2.7)
. Hence,
. The
vnr
not
of a finite number of simple
(cf., the representation ( 2 . 1 ) )
-
+S
by the c a s e
V = V = 1
2
r = 2
.
- :vnxurn-R,
M
s a y . Let
e.
l
and
-
E
a
, i = 1, 2,
. . ., ,
a = 1, 2,
. . .,
m be bases
R . A . Toupin
urn
in
vn
and
by
its
components
Let
WJ
,
+ gN and
Then, t h e s e t
of
of dimension
mn.
defined
. Then,
respectively
b e defined
all
such
i s uniquely d e t e r m i n e d
by
mixed t e n s o r s
A basis.in
Wmn
is a linear space
consists
in
W
mn t h e m non e l e m e n t s
by
M
and a n
arbitrary
where
t h e components of Consider
E
W
has
mn
M_
the
, the
the s p e c i a l c a s e
the conjugate s p a c e of the s e c o n d
representation
M
ia
, a r e given by
of t h e above
where
vn =
. Then ,
argument
(2.10).
U
m
,
and we s e t
@
(2.14)
where
the
Laand
4
E
-4
-
= M( a£, E )
-k
a r e reciprocal,
E
-a
(L 4 ) = a E . T h u s , a
(2.15)
6 Every
such
mixed t e n s o r
_M d e t e r m i n e s
a unique l i n e a r t r a n s f o r -
R . A. Toupin mation
defined a s
where
follows :
??( (u) (Urn)C
by the natural bases
in
is
that unique element
isomorphism
(cf. 2 . 4 )
of
. With
urn determined respect to tensor
urn
Um and
where
a r e the components of determines
a
g *-. In
a
linear transformation
3'" : U m
+ U
defined
m
I$' (3)(L) = 3 (2,L) and the tensor components of M'& = E ( M W ( 2 9 ) ) a r e also equal, respectively, P b
P
nents
3 . These
of
Ma
with the usual
rules
i s traditional not to and
to
denote
wing we shall
use
,+defined by to the compo-
definitions justify and a r e
and conventions of by
, M'
the common
symbol
absolute notations o r
consistent
tensor algebra. There, it
between
distinguish
all three
3
s i m i l a r way, the mixed tensor
the
, and
2 . In
kernel
-"*
M
the follo-
index notations
of tensor algebra interchangeably according to whichever s e e m s most efficient
and
expressive
of tensors, cotensors, components applications, introduced e . g. a s
a
as a into
1
these
a given context. By the componenls
o r mixed tensors we have been
mixed tensor, the physical
- tensor
in
'
and
defined above
r-tensor, theory with not
--
shall always mean tensor or a
. In
the physical
r-cotensor specific
a, vectorlor
i s generally
logical mean<.ng;
a8 a linear transfor-
R. A . Toupin
mation of s o m e vector space, and not a s a mixed tensor, but then the n a u r a l isomorphism established above i s ,used freely to operations in which the mixed tensor, r - t e n s o r , a different logical role.
or
define other
r-cotensor plays
- 215 R. A . Toupin 3. THE SYMMETRY PARTS O F TENSORS AND COTENSORS
Let
be a
-
L:
(3.1) of an
nonsingular
vn
l i n e a r transformation
- vn vn . Then &
n-dimensional vector s p a c e
induces
a linear
t e n s o r transformation
in the space
V
of r - c o t e n s o ~ s having
transformation
?!I
i s defined by
then L
-r
. More
-r
i s said
to
be invariant
generally, let
Then if
for every
L
-r is an invariant
U CV n
in some s e t
under
vn
a s c a r r i e r space. The
the t e n s o r transformation
be a p r o p e r subspace of
!L
) of t e n s o r transformations, then U -r subspace under the s e t of transformations (1, . -r
Consider the s y m m e t r i c
(permutation ) group
r integers
=
t e r m s of
H ( 2 ) by
V r ' n
and
an a r b i t r a r y
let
r-cotensor
...
r 1 2 3 nl 3 3---77
2
we
sr
sr
on the
. Then
first
, in
define the r-cotensor
R. A. Toupin
The r-cotensor
--
--
H a i s called an
=%(%I
n ( a + &)
(3.7)
every
permution
It in this
2 c sr
+
isomer
5Q.I ,
determines
of a -
. Defining
~ ( A Z )==hQ-(c).
a
l i n e a r transformation
i s e a s y to s e e that every linear transformation way
commutes with
e v e r y tensor transformation
- -
defined L : -r
D L ( a ) = -Lr -n- ( a ) .
(3.9)
More generally, now , consider the enveloping algebra
-
of the s y m m e t r i c group An
in
. Define
sr
E+ R_ , and
Vnr by
- --
(3.10)
( n + n ) a = IT%+
Then , each element
determines
a
of
?a,
Ar!
,
( A ~= S &nE
l i n e a r transformation
The algebra
2
element
I
(3.13)
each
such that
A!'
.
say,
above and
where
the transformations
A ~ !
possesses
of
V n
_ I
, defined by the
a resolution of i t s
identity
.
, = J
J -1 + -2
J
-k'
+...
k = 1
, 2,
+ J , -P
. .., p is
idempotent and irreducible and
R. A . Toupin
Irreducible means
that
- -
there
e x i s t s no decomposition of any
J into --h
-
J = A + B such that 4 and B a r e idempotent and -h AB = E3 = 0 F r o m the existence of the resolution of the identity (3. a sum
--
.
13) it follows that
try
parts
e v e r y r-cotensor =
-Q
5k(2)a s
a
can be resolved into symme-
follows :
and ode has
If
-
Lka-
=
a+B-
2 ,
and
r-cotensors resolved
into
a
is
product
said t o ha
of
have s y m m e t r y r-cotensors
of the s a m e s y m m e t r y
class
of (k)
symmetry
. Hence,
( k jare
? '
a s follows :
a direct
sum
n
s u m of subspaces of
;.-+cotensors
(Some of t h e s e subspaces may be empty ; i. e., 0.
{ k ) . The
of
given
r
is
symmetry.
may have dimt=nsion
1 If
subspaces subspaces
follows f r o m
the commutativity
property
(3.9; that t:?e
v kr
of r-cotensors of given s y m m e t r y n L of V of e v e r y tensor transformation -r
a r e in-v.aridilt ;
n
R . A . Toupin
Theorem: (Weyl) The resolution of invariant subspaces ma1 decomposition mations
V into a d i r e c t sum n r - c o t e n s o r s of given s y m m e t r y is a maxi
of
of n in
(3.17) of
under the s e t of
r
1 induced V -r e a r transformations { & I of set
{ L
of all
by
vn
a l l tensor
the s e t of a l l
. In other
transfor-
non singular
{k} is
words, if
vn
nonsingular l i n e a r transformations of
linthe
and
the
corresponding s e t of t e r s o r transformations induced i n Vnp, then no prok p e r pubspaee of any Vnr, k 1,2, ,p i s i c v a ~ i a r tunder the s e t [kJ
. ..
If always 2 of
r > 1, 2
the number
. Amongst
these
r > 1 i s the c l a s s of
and the c l a s s
of
p ( r ) of s y m m e t r y c l a s s e s symmetry classes
p
{k) i s
for e v e r y value
s y m m e t r i c r - c o t e n s o r s for which
" -- - , = a
.
sr
f ~ erv e r y permutation
antisymmetric
--n a = - , na = %
-- -
r-cotenso=
for
which
for
every
even permutation
for
every odd permutation
-n
.
F o r brevity, antisymmetric r - c o t e n s o r s a r e called r - c o v e c t o r s . The subspaces of s y m m e t r i c and antisymmetric r-cotensors a r e denoted For
by the special
symbols
r = 2 , the resolution
position
V (nr)
and
(3.17) reduces
V
#I'
t o the
respectively. familiar
decom-
R.A. Toupin of
2-cotensors into their s y m m e t r i c and antisymmetric p a r t s . But for
where, in general,
U i s not empty.
a r e the components of a n r - c o t e n s o r s with r e 1 2.'," r . 1 spect to s o m e b a s i s e , we denote t h e components of the s y m m e t r i c If
Qi
and antisymmetric p a r t s
of
5 by
a
respectively.
where
5,
= 0, 1
for
All that h a s nor changes f o r -
is a l i n e a r linear
induced by
been
said above
r-tensors,
where
The definitions
perhaps
is
defined
i i2 . . . i r T = T
of
and a
il i2. . . i r '
. hr
for r-.cotensors holds. with with
orie exception
of the c a r r i e r
transformation L
..ir)
ever? and odd p s r m ~ t a t i o l ? ~respectively. ,
transformation
tensor
(ili2.
of the space
. If
spade
vn ,
of
r-tensors
then the
by
ci
@ 1
( 3 . 3 ) and
el2@
kr
...
e.
-1
.
L
r (3,.19) imply that
vnr
mi-
R. A . Toupin where
2=
s o that
L
r
T ()'
and
i s defined.
2
-r r - t e n s o r s a r e denoted by
-
, provided that i s non-singular -r The subspaces of a n t i s y m m e t r i c and s y m m e t r i c = L (aj
V [dr
and
~ ( " l ', )
respectively
we call antisymmetric r - t e n s o r s , r - v e c t o r s . k I i s a tensor of s y m m e t r y c l a s s { k ) and
. For
brevity, sor
of
symmetry
(3.21) It
follows
that
class
{
hj
, then
Zh
a coten-
R.A. Toupin 4. THE GRASSMAN Let
V
direct sum
n
b e an
c a r r i e r space ]= V
. The
vn
a
-r respectively, and
Y
space
The e x t e r i o r
+n +
(;)+
L. -s
be
and let
(antiaymm e t r i z e r ) that
. ., n
i s the
J -€.I
6)
n
= (l+l)
having
s p a c e of
= 2
n
an r - c c v e c t o r be the idempotent
projects
Vnr
( G r a s s m a n ) product
the
common
s c a l a r s , and
into
zr V Cs
. and an s-covector, linear tracsformation v r : [n I
i s the
( r + s j -covector
by
In words, t h e e x t e r i o r
is the a n t i s y m m e t r i c factor
duct and
r = 0,1, 2 , .
r-coveclcrs,
dim ( G j = I Let
ral
vector s p a c e and c o n s i d e r the
i s the space of covectors. Then
n
(4.2)
defined
n-dimensional
(Grassman space)
of the s p a c e s of V
ALGEBRA
(r+s)/r the
prcduci of p a r t of t h e i r
! sj .
property
From
an
r - c o v e c t o r and an s-ccvi..:cor
tensor
product t i m e s
the associativity
of
the nullie-
the t e n s o r
pro-
R. A . Toupin
it follows
s o that
that
the e x t e r i o r
or~r-s
(4.6)
( A -r
) V-sE
E =
ko, -&I s
a
G
-
=
rs
& a V ( J ~ + -2) =a-r V -S -r
Also,
-
product defined
and
then
=
-r
V
-s
we define
A corresponding algebra
we denote
if
C G
where
and
V
and
Y
-s '
aV
-r
( A b ) =
-s
,...,
% = ( ~ ~ , z a ~ ) and -n space
their product by
: Gx G
l i n e a r associative
which
-r
a r e any two elements of the G r a s s m a n
the bilinear mapping
d e t e r m i n e s tha
but
esv-%.
. ~ h u s , if
E
. ., -nB
+a
(4.4) is associative,
by
by
!:r G'
is
(
with
C
f (2,
G r a s s m a n algebra
defined in the
5, G ,
-G
). Since
same
C
G
way
2 = aL V , G)
(
in
the space
is the conjugate of
~ ( u i) s defined and
given
by
.
G,
R . A . Tocpin
A set
vn
is
of
l i n e a r i y independezt
(covector)
v :
"-2
exists v
a set
v -2v
-
v
of
i s diviscr
and
of
Let ment
s . a basis
-1
called
and
of
general
Every
v
- .-.
if
Cr
w
3
cnly
=
p
.i r- 1
:kl
, there
. It
v
"r
v
= 0
thsre
exists an
is
a divi-
is k r . ~ w cthat
(r-1)
-
is
with
r e s p e c t t o each argu(?- 1) a s e t of n
~ ~ u r n b e rof linearly ir,cleyecder:t c o v e c t c : ~ ir. i h i s th th the p r a n k ofThe p rank 31 2 - S e r s ~ r s
.
mixed
t e n a c r e i s defined
r a n k of an r-=o.iector
2 - c o v e c t ~ r (2-tense?) i s always
simple
zers.
defined by
G-
r-co~ector
-, a
2-covectors :
ther.
ir
the o k . i l ~ 2arl:.::.t:r,us ~
of an r-vecto?. has crle a#.
the s a m e value, wkich is called simply i t s
of the
in
r-;rector
a voctc,?, then
if
. The
is
the
from
.any r-cc.t-.nsor. The2
(pi a. .
set
if
v
.-..?
--- *-u v v
, s a y the
covectors
ai>d
if and
be
cf
way.
only
5 snch that
vector
or,!y
... , ,, ...
...,
i s an 1.-vectcr if
,
is dlfferzct
'*"
.
-P
w
,
w B ' J ~ ' J la simple - if a r d only i f t h e r e -r r-vectors I~, G, v such that w = -r -r
v...vv
If sor -
of
ar.d
1C
. ..b v
V
V sr
An r-vector
-1
C~CV~Z~VS)
-rozt-rs
&.
.
The
a n sven n l ~ m b e r It' c.
^r
.is
cf
2s
:
is t'-.:: ranli
exp;-~ssible a s t t i s - ~ mof
s
R.A. Toupin where
the
if the
ti
,
F
-P Y
p = 1,2, -p8 a r e the fj r s t y
-P ' -P m a t r i x of components
..., s
2s elements of a b a s i s in
% with
of
a r e linearly independent. Thus, respect
t o such
vn, the
a b a s i s h a s the
values
I laij I I= diag ( Q.. (4.12) where Q i s the 2x2 matrix If
or
-r
.v
r
= v
r
I-? ill
is a n
r-covector and
-
. ci r is
The i n t e r i o r is
then
defined
(4.15)
(v-~+~/\
0. 0.
... 0).
$ a n r-vector, t h e i r s c a l a r product
defined by
product
of
an
( r + s ) -covector
product
of
an
( r + s ) -vector
Cr =
r+s
and an s - v e c t o r
by
The i n t e r i o r t o r i s defined
.. Q .
and
an
by
.( k r V
, for
all
a-r .
s-covec-
R. A . Toupin
5. DUALITY
5 #
Let
vn . Every
0 be a n
n-covector
with a n
ple ; t h e r e f o r e , t h e r e e
i
, i
5
Let
exists such
e.
e.
are
-1
ding
tensor
the
other
space is
sim-
a linearly independent s e t of covectors
that
n-vector defined by the
reciprocal
of vectors :
-1
If the
carrier
n-dimensional c a r r i e r space
denote the corresponding
set
have
. ., n
1.2,.
=
a r b i t r a r y n-covector with
the b a s i s
components
E12
values
component
of
vectors
. .. n
E
e
of
=+I
and
.
in
vn ,
and
then
the correspon-
given
e12...p
by
= + l . The value of e v e r y
e - is determined by the values
.
of
two components and t h e antisymmetry of E and 5 i i i The components E 2' ' ' " and e a r e called the permuili2.. . i n tation symbols. Note that e v e r y linearly independent set of these
vectors e
5
. These
e
-1
. (i. e., e v e r y b a s i s ) determines should perhaps
e (i) to indicate t h e i r
5
nents of
a
given
be distinguished
dependence on
E(i) ,
a corresponding
~ ( i with )
by writing
and
E ( i ) and
e ' The compo-i r e s p e c t t o another b a s i s ,,e .
the
basis
R. A. Toupin say, do not, in general, have the valilcs given symbols
. Rather,
(5.3)
they a r e determined
E.(,i t ) = (det -
-
e ( i t ) = (det
5)- 1
si
i s the m a t r i x jt combination of the set
where
It follows that of
i.
The
formation mation
1
the
, 7-
ili2.. j1j2.
g
where terms
.i r .J,
and
e
are
E
where a
6
s o defined is
. More
linear
the
identity t r a n s -
generally, the identity t r a n s f o r -
has e --i
t e n s o r components n j.n V given by
the n-vectcr
and
independent
(5.6) pcict up
and c ~ n d e n s e dnotation
v e c t o r s and
a
@ ~ ( i i)s independent
= EJi)
i i i k k 1 2 ' - ' r 1'" n - r
of an a r b i t r a r y li!lear:y like
-
2
te~sor
vnr - vnr
= (lln-r)!
as
1
arbitrary basis
Formulas cient
:
ei,
e. :
1
8
relations
~ ( i ,) defines the
-
mixed t e n s o r 3 1 : hn-.v n r l I
r e s p e c t to an
(5.6)
mixed
which
by the general
,
S ) EJi)
-
(5.4)
by the permutation
e
2 j r k 1"' kn - r
j
n-covector defined in
set
the
with
of
need
when. dealing with
vectors. for
a m o r e effi-
components
of r-
r-coveetors. F o r
i s antisymmetric in
the indices
i
1
"'
i
r'
let
us
write
R.A. Toupin
a
... ...( i ) ,
let
us
and
for
the contracted
occurs
in
(5.6),
write
where
and
&
a r e general
the s c a l a r product defined notation,
in t e r m s
and, m o r e from
product s u c h a s
the For
of
(4.13) i s
components
tensors. Thus, f o r examples, given
in the condensed
by
di)
, when the value of r i s clear by a (i\ ., o r unimportant for the meaning of the t e r m
briefly, context each
in
mixed
choice
of
and
E
'v
we
can
show
.
that the
mappings
defined
have
Thus,
by
the
p
property
and
are
1-1
and
onto.
y-
r
is called
the
9
r
of kept ces
in of
and
is
:Itr
mind
that
r-vectors
called the
duality
depends
on
the
choice
e
Because
of
the
relations
determine different related
by
a
dual of
.
a It m u s t be -r isomorphism between t h e s p a -
and ( n - r ) -covectors
Dl
-.
the
of b a s i s
established by used
( 5 , 4 ) , two
D
t o define bases
e . and
-1
and and e.
-1
e and e . are -1' -i determinant 1 ; i . . by
i s o m o r p h i s m s unless
transformation
with
a
unimodular transformation. The i n t e r i o r
and
exterior
products
r - v e c t o r s introduced above and t h e duality
of
r - c o v e c t o r s and
mappings based on an
n-vector and n-covector a r e r e l a t e d t o the c l a s s i c a l c r o s s product of Gibbsl
vector analysis in the following way : Definition
of
cross
product :
R. A. Toupin 6. QUADRATIC
FORMS
is
s y m m e t r i c if
A
symmetric
with
respect
2-cotensor i s called to
rank
of
g
singular. If
is
g. If
either the
a quadratic
argument
rank
is
has a common
n,
g(x,1)> 0
is
g
(<0) for
value
called the
#
0
E
vn ,
tive (negative) definite ; otherwise,
g
can
g . . = g (ei, e . ) = 1J J diagonal m a t r i x defined
always
be
dig ( 1 1 in
this
:he
.-1-1.. 0 way
canonical
0 )
that
. The
called the signature
form
of
the
of
m a t r i x of
g.
It
is
components
is
basis
also g.. 1J
.
Ee --i
g
by
called
(cf. the discussion
2)
defined
is
is
such
indefinite. A
& i s nonsingular, then the mapping
If in
found
rank
nonsingular; otherwise, all
is
. Its
form
by
1-1
and
onto
geometry
where
plays
central
a
a
. In
physical
particular and
theories
and
nonsingular
dominant
role,
it
in
Riemannian
quadratic
form
i s customary
to
g identi-
R. A . Toupin fy the elements and t o r e g a r d
L
them
"samen vector. H e r e and ry
vn
and t h e i r
merely
denote
of
g* -1 by
are
special
of
and
inverse. More generally now, r-covector
"raising and
fundamental defines
of
the general
with
a
the
case
svection an
of
an
, the
by
t
customag * by g aB,
gt and i t s components by
concerning
of
representations
the inverse
notation its
g
-
to denote the components These
different
( v ) under
g
we shall denote the covector ( ) 1 g* (2)by a f .Also, while it i s
the vector
we shall
as
images
rules
of t e n s o r
loweringn of indices
s y m m e t r i c , nonsingular "raising" all
g'a4
by t r a n -
%-cotensor the indices
isomcrphism
defined by
and
"loweringv a l l the indices
of
an
r - v e c t o r defines
the
inverse
transformation
and one has
Every non-singular quadratic form an
isomorphism
between
the s p a c e s
in V
n V determines such and
V
lnr I
.
R. A. Toupin The ieomorphieme dratic forme
gr e
rrletod
in
thie
way
by different
let8 e
by linearly independent
mi
qua-
g(i)
a r e dietinct, a s a r e the duality traneformatione
g(i1) determined
and
determined
g;
zi, not
and
unimedular trrnriormation,
Let
denote
the B e t e ~ m i n s n t of
el the
value
E
m
the quadpatie
determinant
depends
en
&
form the basis
, Note used
t o define
I
Two ordered linearly independent rets el
xi,
in related
vn
a r e $@id to
by
a traneformation
have
the name
with
positive determinant
they a r e said to have opposite orientation. ordered
cn . (p, --iv
n e the tation say
same ;
Gn
E
and
=
tion has the This define (6.11)
provided
v
--i
) and ( v n ,
and , .v
have
+1
if
same
definition
of
Gn
a
and
the set
-
is
e . used to define the
qn
as
independent
Q(i). One then has *- 1 r(n-r) &r = D = (-)
v . ) determi-
-1'
the s a m e orieh--
vn,
set
-1
orientation
are
: otherwise,
oriented
tn . now
if they
it i s an oriented n-di-
otherwise, they a r e regarded a s different
Consider
where
?
and
together with an
A
linearly independent s e t of vectors in
mensional vector space
xi
vecterr
orientation
that the
g
lg I
D-l
and of
G;
E
the
a
dual transforma-
= -1 otherwise.
basis
used
to
R. A. Toupin
7. CHAINS
AND
Let
COCTlASNS
A~ denote
vn. We
slations
. ..,
p, q,
n-dimecaional
call elements
points. Poinrs letters
an
for the image cf
aye
donot2d
e:c.
p
unique element
We s a y
that
1
points
s
r'
The s i m ~ l e x s
(7.1)
s
;.*+I pcints
of
p=po+
r
a
i=l
i
frcm
and the elements of
x,
to
q
..pr
of
{ v
r-vectors The
-. ) .
i O
of
the v e r t i c e s of
points
A
Euclidean
ve definite qaadratic
r
is
given
p
given by
vi =Pi-Po' --
by the
independent.
criontation
of
the
set
1
r-vector
s -r
(7.2)
s
cf points (p. q)
p.
caiied
set
in the
,
the p a i r
-1
of
Latin
and
and it i s a s s c m e d that the v e c t o r s { v . ) a r e lineayly The orientation
tran-
i s determined by giving an
C
i-
poplp2.
consists
,.
with
by lightface, lower-case
n V defined by
of
the vector
set
vectors
the trans:!ation
An oriented ?-simplex ordered
V
affine space
We wri'is
unckr
f o r the
of
P
s
of
" -i r!
Vl
-I-
s
I"
is
defined
Y2V..-VVr
.
space
E~
fo;m
I(&, L) in the translation space
is
an
by
affine space with
a
positi-
vn
.
:he
7 . r
r-direc:io~.
--
-r
=-
where givenls
% 15
\&I
\%I
-
W e call
An ?-cube
-r
r
-
r vectors
w h e r e the
5Lr ( E r ~ Z r )*
h.?j
'J
whose
dsfinlticc h a s been
s
r - v c l - ~ n e of
r s ;he s e t of
p=p0 +
(7.5)
is defined by
r
q
C
r
in
, the
1s
t
=
9
9
~ ; , e d r a t i : fc-m
is ',!Is
s
r-simplex
S
d
(7.3)
of a n
d
-r
7
Z j =!
a
i
xi,
poil:.:s
r
.
g i v ~ nby
O
. ai-2 i i 2 e a r l y j~:clspi::irrr, ar?d thc crientaticm
1
.
i s the crien'istion d e t c - r n i n z d by t h e set :)i r v e c t c ~ s:y-; I. T h e point = + -F21 -i-I in (7.,?) i s t h e .?ent.?r cf :r The Pe '0 r - v e c t o r of t is L_ :: v V y_,'(/. .\/v its r d i - ~ c t i o r . is d = r -1 -r .-? = t / It 1 , and If__/ is i t s r-volume. of
tr
.
.
-r
-:?
AF. r - c h a i n
c
q
C A' ?-
of nolioverlapping
her
is a l i n e a r ccmbination of a f;ni!c
r-simplexes
c 0 e f f i c i e r . t ~ .Two r - s i m ~ l e x e 3 c r T ) c!
is
s-simplex, pcicts; of If
r
s < r.
by
points
c
t h e srnpty
-
-1 s
as 1 a
2
r
seJ.
By 13
0
s
ra
r
r
a
, a -:1, 2,
ar?d
r
is
s
ct
r
=
a
wiih
rea'
, cl- t h e pcin:;
meant
bilt
r s
...
the
~ m p t yset.
opposite
a
s
ra
:i
o i sr; cf
c ~ m p ~ i s i n gt h e s a m e
with ct
.:n.-
a-e r o n o v s r l a p p i ~ l -
c:
t h e simple:;
, acr?
s
:
s
cf ~ ~ i r : : si'i
mean:
the simplex a
1
set
o-ientation
a r e two 7-chains
. in
R. A. Toupin
, we define
A" SO
that
the An
F: C
r
'
hc
C
set
r-cochain
R ,
of
r r
+
q
c1 a s r
of
all
r-chains
is a
real-valued
F
r-chains.
the r-chain in
X .
( h a + T c1
in i s
a
)sr a a linear space.
l i n e a r function,
R. A. Toupin
8. COCHAINS DEFINED BY INTEGRATION O F r-COVECTOR FIELDS Let
An be an affine
field in -
is
p c
a tensor
vn .
Let V
T('p)
fin,
and
I
norm
V with
carrier
space
vn
=
.v
p(x.v)
CC
in t e r m s
T. If
field
= p-q
of
T
define c e r t a i n n o r m s
which
we may define
is continuous
with r e -
I
I 1
assigns t o each point
a r b i t r a r y positive definite quadratic f o r m in
respectively;
'
q'
.Atensor
vn
translations
a t e n s o r space
a tensor
spect to the n o r m that
in
with
T: A ~ V - which
1 p-q I
and
q
the continuity of other
mapping
be an
I _T I
s o that in
a
space
then it i s continuous with r e s p e c t t o any q ' defined in this way, We s a y this t o emphasize
the considerations of t h i s section
of the positive definite quadratic form
a r e independent of the choice
3
.
Set V TJp,
then,
if
a tensor
the
limit
with
v) = exists,
carrier
call it the gradient of for
each
p
R
C An be a
p
E
An
R , we s a y
the
the field
point
that
v
T
is
If
V T ( p ) and
V x (p) i s
defined
T
i s continuous a t each
point
T
i s continuous
in R. If 0 8 T
we s a y
and hence i s
. Let
is 1-smooth R ,
v
An
at
smooth
p.
a tensor
exists and i s continuous or
each
l i n e a r in
.
; we denote it by
is
A ~ If .
- X(P)
C
vn
VT
of
that
is
T
at
, then
region
v
space T
X(p+tv) t
lim t - 0+
point
p
E
in in
R , we
R. If
W
s a y that
T
e x i s t s and i s continuous in
2-smooth in
way, we define r-smooth t e n s o r fields
field
R. Proceeding i n t h i s
in regions
R
of
An.
-
236
R. A. Toupin
An r-covector field
in
c o : An
of a tensor call
an
The integral
as
V
brl
A ~ an , r-form
in
of a n r - f o r m
an
over
all,
of
>0
in
brevity, we shall An.
an r-chain,
we s e t
to define the integral of
Now for e v e r y value as
field
follows. F i r s t of
s o that it suffices
expressed
-
a special case
is
field defined m o r e generally above. F o r
r-covector
is defined
An
co
an r-simplex
an r-simplex s
over
s
r
can be
r'
(subdivided)
r-chain of the f o r m
N(€ )
where
each
s has r 6
the s a m e r-direction
.
as
s
r'
and diam
..
< E diam be any sequen(s ) , (q a r b i t r a r y ) Let S1, S2,. (s q r q r c e of such subdivisions of s such that 0 F o r the subdivir k sion Sk , l e t p fi be the c e n t e r of the simplex s Set k rA '
An elegant proof that the l i m i t ent by
of the sequence Whitney
. It
S1, S2,
follows
...
from
if
- .
(8.4) e x i s t s co
is
and
continuous
the definitions (8.2) and
is in
independp is given
(8.4) that
- 237 R. A . Toupin every
continuous r - f o r m F(a9
and that
is called F
ie
+
determines I)
.A
r - f o r m r in
exirtr r continuour simplex a r+1C R
3
ar+l
a s follows
denotes
: if
ir the r - c h r i n
( r t l ) -form
the boundary
8
given
RCA"
unique
ha8 v e R i e e 8
by
the r u m
of
0
I8
is 8-smooth, then
called r e g u l a r
rot
in
R
much that, f o r
o
[pop1,, pr+J
art* - -
,
oriented then
r-rimplexer
sr(pOp1.. . P , + ~ - ~ ,
F
r-cochain
cochain defined in this way
of the simplex
...,P , + ~ ) denotes
where
a
.
there
where
n
a continuous r-cochain. If the r - f o r m 8-rmooth
every
A
b a t ) = ~ F ( w +) bF(a
A continuour
if
in
the simplex with
r
r+1
ordered
with p omitted. Po P1 ' ' ' P r + l r+l-t With these definitions, the famous theorems of Gauss, Stokes,
vertices
Kelvin, PoincarB, and others may be viewed a s a special c a s e of the Divergence theorem; Every smooth r - f o r m a regular r - f o r m
A
R; moreover, for smooth
proof of the divergence theorem
and chains. Later, and the definition smooth
in
(p
CJ
in RC A" -
is
,
i s not difficult fo simplexes
we shall consider r - f o r m s in a s m o o t h manifold, of
will
be extended t o
smooth
manifolds embedded in a smooth manifold
manifolds and
. In this
way we get
R. A. Toupin
a quick proof of the divergence theorem regions
cp=
regular
r-form
only if
the
An r - f o r m
continuous
co i s
regular
(r-1)-form
r-form
n
Every
is closed (irrotational) in R
co
, in other words, an r-form
0. Thus
if and
wider c l a s s of
A".
in
A
for a much
F'(
circulation f r e e
in
R
a
potential
circulation f r e e r - f o r m
rot
irrotational in
has
W)
such that, throughout
n
called
is
r-chain
is
y
if
if R,
R
the property
there co = rot
exists a n.
The
of the circulation f r e e r - f o r m co.
in an a r b i t r a r y
region
R
~ is A
irrational, (8.8)
Ja c r
where
a.
(rot
a 'r
we have used
But
trary
=j
co
is
R
-
)
=J
aa c r
every
circulation
n =
aa c r
the property
it i s not t r u e that
region
=
o
.
= 0 of the boundary operator
irrotational free. (Let
r-form v
R 2
be
in a n a r b i -
the annulus
p = p + v , a 5 IL1 g b , a >O, b > 0 , in E and let co be the 0 1-form with components (0, 1) in every polar coordinate s y s t e m f o r
is the origin.) Whitney has shown , however, that e v e r y Po irrotational r - f o r m co in a starshaped region R C An i s circulation
which
f r e e in tential
n
A",
and
for
co in
The potential
n
if the r - f o r m co = n
+ rot
Y
he has
givsn
an
explicit construction of
R.
of a circulation f r e e r - f o r m = rot
where
a po-
Y
n
is
in R, then
co = rot
any r e g u l a r
co i s not unique. Clearly, nt
in
(r-2)-form.
R also where
nt=
~
R. A. Toupin 9. CONTINUOUS r- GOVECTOR FIELDS DXFI?JED E Y CERTAIN
r- COCHAINS In the previous section, the continuous I.-cochain fined f a r every continuous
r-form
be shown how every r-cochain a
unique r-form
cochains aad
n
GJ
of
F
.
the proof
zl
of the existence of
Whitneyts theorem to be
by experts in continuum
this section, it will
certain class determines of this c l a s s of
m ( F ) a r e due to Wliitney.
Wlzitneyts work, for
has wide applicatloss in continuum
s e of
. In
v (F) The charaererization
I shall sketch here in scme deteil it
in A
F ( v ) was de-
I feel that
mechanics. A very special ca-
discussed bclcw will be recognized
rr-echa~icsa s a Rew- and novel approach to
the concept of s t r e s s and the existence of a s t r e s s tensor. In classical field theories, r-forms
r e p r e s e l t the most
basic and primitive
physical quantities. The electrornagr~et~c field, the grzvilional charge
and current
fields, and the
field, the
s t r e s s tensor (a verior-valued
2-form) a r e familiar examples. Biat the
concept of a field (r-form) is
sophisticated indeed (except, perhaps, a 0-l'orm) for it c a r r i e s with it the r a t h e r complicated notion of its r-diTeciion at each point ve that the concept of a r e a l valued l i - ~ a rfunction of chains l i e s closer
t o phyysizal int-liticn than
concerns physical theo-
ry, the definitions of the basic physical qientiiic-s t o
the more traditional
of
cccur will be
r-cozhains. To make contactwith
tie^ which i:ltroduces
f o r c e o r thc. e l e ~ t s o ~ a g n e t ifield z as following results.
r-simplexes or
the concept of an r-form.
Therefore , in the part of these lecturos which
given in t e r m s or" the values
. I belie-
ill" gravitational field of
primitives we shall need
the
R. A. Toupin
An r-cochain
F: Cr 'R
is
s e m i - s h a r p if
(a) F o r each bounded region such
that
each
for
r
point
any
U [.(p) of d i a m e t e r
s
N~
that
(b) F o r such
An , t h e r e exists an
R C
p
E
An
and
s
(r+l)-simplex and
I
> 0 t h e r e exists a
E
contained
r+l p,
center
in
the
C
r-cube
(c) One may choose c in (b) such that f o r any r-simplex n and vector EV (the translation space of An)
-
T s i s the simplex consisting in the s e t of points v r translated by and having the s a m e .orientation a s s In ( c )
r
Theorem (Whitney) : If
exists
a continuous
In other
F
is
r-covector field
words,
.
of s
r
a s e m i - s h a r p r-cochain, t h e r e CP
such
that
e v e r y s e m i - s h a r p r-cochain i s a continuous
r-cochain. The proof Lemma r - v e c t o r s such (1) w
of
the theorem
rests
in
p a r t on the following
(Whitney) ; Let w be a r e a l valued function of s i m p l e that is
homogeneous
of degree
one :
R . A . Toupin r+1 s w ( z r 6 ) = 0, f o r e v e r y (r-l-1) -simplex fi =o r+l r+l' is given by Z s the boundary of -r & ' %r+I
=
(2) where
fi =o
(In words, on
the
the l a s t
conditjon
- oriented
r+l
r-vectors
plex i s z e r o . ) Then t h e r e
In other in v
-r
of
than
exists
a unique
. I present
given
by
of the faces
with
a somewhat
.
lo_
We show
that it
2-simplex with faces by
. Suppose
having 1-directions,
uniqueness
of
...v
v ). -r
1 r=l,
in each argument. and consider
5, -: , and L-5.
a
Then ,
(2) ,
+ F(:-u
F(:) and
which
z=-%
proves that
i s illustrated v -i
) 5
+ F(-x)
= 0
,
(1) ,
using
o r , setting
with
su'ch that
(1) and (2) is l i n e a r
. The
v 1 -2
homogeneous of d e g r z 5
must be l i n e a r
every ( r + i ) -sim-
s i m p l e r proof of the linearity
x2,. . .,--r v ) = cc!v v -1
is
of
properties
F(xl; Then , by (1) , F
of the values of w
r-covector
r-covector
Whitnoy
Set
sum
a unique
words, e v e r y w
and defines
i s immediate
r e a d s , the
= pi
,
F
is
linear
if
r = 1. The general c a s e r > 1
sufficiently be c a s e r = 2. Consider the
- po , i = 1,2, 3,
pOp1p2p3 the v e r t i c e s
3-simplex of
s. It
s
R. A . Toupin
follows
from
for
linearly i~dependent
all
ments for
q ,
every
(2) that
x2,z3 >
a
, a x 2 , and a -3 v
by
0
xl, x2,x3 . In
,
(9.1) replace the
argu-
respectively. Then,
'
Now-use(1) to obtain
Divide a" 0
(9.3)
by
a
. The
limit
of the resulting expression
for
is
Now using ( I ) , the antisymmetry
of
F,
-
and setting -v = w , -3
one gets F;v +w, v ) = F ( v v ) + F ( z , -2 -- -1 -2' -- 1 which
proves
symmetry, an
F
the linearity of
in
its
xl) ,
f i r s t argument. By anti-
it is l i n e a r a l s o in the second argument. Hence,
antisymmetric, multilinear function of two v e c t o r s i. e.,
E'
is
is a
(P
2-covectcr. Proof of the main t h e o r e m : Let s o that (a),
(b),
and
..
5 . Let
sl, s2,.
p
having
the common
2,
... . Suppose that
be a s e m i - s h a r p cochain
( c ) hold. Choose any point
rection and
'F
diam
be
a sequence of
r-direction
(9.)-+ 1
0
. Set
2
;
p
and
an r-di-
r - s i m p l e x e s containing
-
d = s ./I s . -1
-1
I , i=1, q
Toupin
R.A.
(9.5)
o ( p . 9 = lim F(si)/
i
Existence
s
Let s
and
C U[(p)
of the
any r-simplex with
. Then
T ~ Xk
that
uniqueness
be
1 zi I
.
limit
is
9
'00
= l , 2
,...., n
5
r-direction
one can choose an r-cube
C S ,k
proved a s follows : such
that
containing
7
p such
and
n (9.6) for
every
t
1
>0
F,
, by property
By property
(c)
so
summing (9.8) o v e r
that
by
of
. Then
it
follows
the
that,
s
F,
( a ) of
-
for
each
values
of
value
k,
of
k,
R. A . Toupin
,
Therefore
Dividing
For
by
each g
The inequality nypair
This (9.5)
s
proves
. Using
IT 1
1 sj
one
, choose
(9.10)
E
gets
1
holds
1 s IE
=
f o r every
and
slC Ur (p)
the
existence
(9.11)
it 'is
/(2N)
and
also
. Then sC
uniqueness
easy
tokthat
U I (p)
of v
the
; hence,
limit
for a-
in
(p, $) is continuous
in the argument
si, i = 1 , 2 , .
where
-
ction J
p :
d
each
= 1 2 . .
contains
..
of
is
a
Using
property
(9.14)
I m ( ~$) . -
From
the
(c) of
m(pt, $)
definition function
s
Then
s'
2'.
."
s
n
F
we
.
I <6 of
f:
f o r e v e r y simplex 1'
of r - s i m ~ l o x e s with the
with
i
Riemann
-'R
,
-
i
ar.d eazh
s! ,
J of which
-
, where v =p-pl.
s = T
S! ~1
i
. For
,
= lp-pti~
(p)
.
f'
5 . Cut each
sic.'?
.,p, Id p cf a 's that ,
ic:eg?al
it now fol.lows
r-direction
of diam < I
p
r-dire-
now gct
fcr all
the
point
r-di~ec;ior, d ,
pl. We may choose
(9.12) becomes
s
contains
sequence with
Then
xes
a sequence
which
the point
continuous
is
s
s . let 1
into p.
1
E
si .?les
1
.
R. A . Toupin
hence,
I
F(s)-
o(p.$)dp
I 5
Is1 ;
r
S
which
proves To t h i s
been
.
(8.14) point,
only the p r o p e r t i e s ( c ) is
used. P c o p e r t y
( I ) and (2)
the properties defined such
of
121 =
1. Define
invoked
to
t h e Lemma.
for r-directions
only
that
now
(a) and ( c ) of Now
o ( p , ~ )for
that
9
has
o (p, $) h a s been
e , only f o r
i
;
prove
have
F
simple
all simple
r-vectors
r-vectors
by setting
1111 v $ , v l IL I 1 .
= CP(P*Z) Since, by definition,
f o r all lemma
real
and l e t
sA
a. Hence,
Q
p
6
sA be
asA =
. Then
:
s
s
be s
an
s.
SFU I
. Then
v(p, -$) ,
satisfies
interior
, where
(p) f o r
=A
the r+1
A 5 ho and
the f i r s t condition of
point
contracted towards
1%*1 Let
-
L)
(p,
. Let
set
v (p, $) =
p
sA
I
by
( r + l ) -simplex
the
factor A
a r e the oriented
I. I let
of an
--d i
i A
r
the
and
f a c e s of
IEilS
be the r-direction of
R . A . Toupin
, by
Also
property
1
Hence,
(b) ,
!as
A
a
1
and
dividing
lemma p.
which
that
the
is
an
corresponding
continuous
is
the
direction direction
y
w (p,
r
-
I
12s
L) has
property
r-covector
for
(2) each
cf
the
value
of
~ ( p ) by
d -r
d
-r
r-form
r-form).
assertion
Remark
the
arbitrary,
follows
denote a
is
E
Define
and is
. If
~ d p , Ai)I I 2.A i r A we get
by
Since
' e 1 a z A ! 5r €1aS-l~ .
)I
'
Q'(p.$)dpi
on such
i s given by rp
is
also
the
field
by
cc (i. e .
,
cp
Then
of the
notation. that
r-covector
theorem.
Let
d%(p) be
r-volume I d s (p)
denoqed
by
of
I
an r-vector
with
r-
s t Cs
with
r-
, the integral
of
any
. Then
R. A . Toupin
Other
expressions
be the
Fjs)
are as
duality transformations
trary
follows
,.
defined
n-covector and quadratic f o r m
independent of of
fo?
the
q
and
g(i). Set
t o define
A
4
D(,i)h@ = m, E1(i) d z = d z y
Then ,
A
The quantities and
of
p. But the
form
or
n-form
definition
S
of
formulas
-
d z depend on
rn i s
-
@
arbi-
these
is
on the orientation
.
a quadratic form as
independent
s
u. Nevertheless,
of classical
vector
many of the
continuous funcof
any on
quadratic
the
r-form
standard and traditio-
analysis r e s t and to exhibit
upon
the possibility
the relation
s o m e of the r e s u l t s in the physical theory involving r - f o r r ~ ! s
and known c l a s s i c a l r e s u l t s , it is n e c e s s a r y t o like
only
of
D(i, p) ; itsS value depends only
of these alternative rsepresentations, between
respect to an
could even be chosen
integral
E ( i ) and
and on the oriented r-simplex s. To use the r e p r e [=-I (g. 19) m a s k s t h i s ir?.dependence and the simplicity o f the
A"'V
sentations
nal
A
an n-covector. These
tions
w:
-
, 2 , d z , and
Let
The f i r s t
the second depends
n-covector used
r
with
:
(9.19)
. In
f o r m s defined
introduce e x p r e s s i o n s
p a r t i c a l a r , in c l a s s i c a l vector analysis, the (n-r-1) by
R. A. Toupin
div div a r e called
the
natural
(9.21)
then
appears
59
in
the
dp =
5
and in
-
j -1 dQ s i m i l a r guises
cp
,
cp
= D rot
cp
,
of
(p
following guises : rot
dfl
(-1 n'n-r)
5
s
,
(div
= (-)n
3). df: ,
(div )
.de
S
with
replaced
, respectively.
a regular r-form
S
=
s
= D rot
o r t h e definition
S
(9.23)
A
cp
and absolute divergence of
The divergence t h e o r e m (7.5)
-
.
by
.
Eq.
R. A. Toupin 10. SMOOTH MANIFOLDS the lectures, it is not a s -
In the physical t h e o ~ j .considered in sumed
that
space
o r space-time
and
requi-
a definition
cf
of
r-forms
a s m ~ o t h marifold. We sketch h e r e the theory a s
presented
fields
affine space, and we
re
in
r-covector
is an
a theory of integration
by Whithney.
An n-dimensional system
smooth manifold Mn i s a mathematical n t h e following s o r t . M i s a connected topological s p a c e
of
with
open
nate
systems
system
is
of
open
an
. ..
U, U' ,
sets
together
i in s o m e i ' homeomorphism
index
x
a
s2t
in
with
a fixed
fine space. A finite o r d e m . n e ~ a b l e s e t
ui
= wi(Oi)
is derined
from
co7nr in
an
some
open
We require
hlc. if
set
that
the
1
.
O..C 0 . and
h
lJ
in
A
into
gradient
of the
0 UJ. #
U.
0,
:
1J
exist
and
be
shown that =
r ij(p)
.Y
ccntincous
.
( p , 1 ) is
each
p
linear
1J
w ..
defined
1J
-
x( p )
and space
of
is
n
in
the
domain
a
cf
ij
open
set
that
Ow,,
has
. The manifold
A ~ .
Ei.(p)
-v
y.
. It
can be
.(p, L) =
1J
l i n e a r transformation coordinate
in
by
i t s domain
: hence,
LJ
u
' j = ' ij a mapping
t
1
A , The
manifold have the property p
1J
throughout in
-1
is
IJ
the translation smooth
in
n-dimensional af-
0 . other
lim + t-0
=
coordinate
then
w ..(p+tx)
.. ( p
(10.2)
of coordi-
coordinate patches
1J
some
of
. Each
set
M ~ ,
into
a collection
systems rank M~
in
vn,
of a n
at
is s-smooth
-
-
351
R. A.. Tcupin if eaclr
u .. i s smooth
definzd, .
e x i s t s al?S i s :or;tinac,-.:s)
If a Mn
and
the;? rl
M
subset
such
. Any
o; t h e
that
the
of
-
.
t h
11
the<
,
0;
Y
0
Henc2farth,
afiothar
.
wit:?
rl
M
n .
defined
1s
r=
r-srncoth
a.li
by
systerrl M
-
M"
f-.?
oi
Ivil
,
,:
Consider w h i c l ~ contaiil
ai'i
about
5
such x. )
that
Then
(resl!ire) M = R
,
'
that x
3 '
i s a real-valued
i
a cx-me-t.?J
3
in
M'
cur*:.?
deficej
open
21 ;\I1 .
by
y, fl,.
..
pi>.i.n..i x c M ~ We . may a s s u m e , w i t h c ~ t
-
that ihe domain
and
R
honeorLle~;-phism
%
ihz smooZ:~ curyrzs
a giver;
in geileralit?., 0
is
0 ' M- o b t a i ~ e d
i
s-smoc~th parametriyed
f
of Caor-
n
er:e
an
O C R,
in
M
orient
.
when
functior? i r l
torrns
r. >. s,
M;
0:
i-
k-amcoth manii'o!.d M 1 s .<. k , i f . f where
i s s-sznoc'ih ,
M1
i
s-smooth
n
cover
A ~ a, r --------a l r n i r s i X e c o c z i i ~ a t es x s-tem fcr n a tax-dinatc s y s t e m of :)I , i s meant any
C
f:
.X
M1 = R
point
U
ali pcsitive,
in
defi?ed , i s s-smoc\th WW1' er,
!css
j,
of c o s r d i i ~ a t cs y s t e m 3 w
set
1
A ma~sl.lg
set
where
and
I
1 arc?
IVY..
any rnapphg
ca:i
i' spy
admlssi5le coo:.dir!ate ir.to
det
i
12
man;fald
Y
composing
M~
all
szch that
Jacobians
the oriented
d!.nate s y s t e m s
0
'J
r ! related t o cr:e cf tke Y by a J i pasitivg Jacobian i s a p-r e f z r r e d coordinate
In an s - s m a c t h
m:
ior
Y:,
c ~ c r a i n z t esystz;=l
t r a n s f ~ r m a t i c n wi:h
by
.
vP
U: exists
i s orientable ar:d
iVn
system
if
.
1.l
i(O;
.
cf eacb x
. L e t '/.
U; ( W e s z y that -1' I. = r f is deiined 1 i E
f,
fl,.
..
ct:r.:?izs
51 a c o o r j i n a t e sys-tern
I
y
1
near
i s a c ~ o r d i ~ l a system te 0.
R.A. Toupin
c e of
. Call
ticular t
a
two smooth
call
is
independent x
of
tiple
in
parametrized
-!
the vector
set
Mn
vn
e
i equivalent curves (;
multiplication
of
the law
their
of
of
x). The
~ ( x +) ~ ( x ), and
in
passthrough of
c l a s s of x. We
the corresponding
~ ( x +) ~ ( x )and the mu1
Mn is defined by addition and of the
systems, we
see
in
vn.
From
the lineari-
representations corresponthat the definition
of
is
independent of coordinate system. n The s e t of all vectors ~ ( x )at x in M forms an n-dimensional n vector space vn(x) , the tangent space of M a t x . Each coordinate
w
system
2
of
equivalence
sum
representations
ding to two coordinate
,
Mn which
transformation
x equivalent (in par-
-
a representation
at x
the translation spa-
= v Y . .(;!) this definition i IJ J the coordinate system. By a ve-
we mean an
curves in
h%(x) of vectors
ty of
. Since
; ;
vn,
in
curves through
-i = .cit
~ ( x ) at
smooth
a vector
is
-1
n ) if
of equivalence ctor
i.
,
Then , by definition
#
i
Ax(x)
of Mn about
x
defines
an isomorphism
, ~ ( x )the equivalence class of smooth curves having the representation f . in the coordinate system -1 i' The n-dimensional vector spaces vn(x) and v n ( x t ) , x # x1 , thouth isomorphic, a r e distinct. In general, ~ ( x +) u ( x t ) i s not defiwhere
ned
. One
Yi(p,$i)
=J(x)
could define ~ ( x +)
in some coordinate system in
U.; but such 1
A mapping
a definition
w
-
by adding their
%(XI)
i *
is
provided x and not
xt
independent of
representations were both Y i .
R. A. Toupin
of 0p.e
m a ~ i f o l di.r.ta another i s r e g u l a r
smooth
Let
x = f(X)
X,
Y
and
Y. be a
-
C
R
some
m P E A , v
E
sformation
of
v'.
' J ~into
i s coritinuolls a t ai nition, of regularity at X
.
and
f
y,
about
x.
, by definition,
if V f
Y
Mn
cf
system
of
M~
Then
f
is
r e g ~ l a r at m all X 6 M and
Ya
vn(x) ,
and
the mapping
Vf
is
independent an
V f =
of
defines
x = f(X) , space
of
of
a
a
is of
linzar
of
the coordinate s y s t e m s
cpen
QcM~
set
i s regular Nln, Y
if
it i s r e g u l a r 4 c r
the coordinate
systems
and '7 x u between
i
Vm(x),
if it
vn
Y
and
respectively. The gradient of
d s f i ~ e a by
vf = i defined
\
-- 1
V. .r iJ
•
every
for
X
E
n M , arid
:-:%
-
the
.
1
dz?irii-
cocrdizate s y s t e m s . Its value at apoint, P .f n TI !XI , t ~ a ~ s f o r m a t i o Vf(X) n : vm(x)
the tangent Mn at
and
ther.
v,
f
tior. i s independent M~
it
;
Mm and
vm
is
defi-
1
the i s o m o r p h i s m s V
between
(10.7) The gradient
in
X
-
XCr Q
Now
establish
a ~ i
The mapping f is regular at 1 w = Y . (XI and h a s rank m. This
r ~ g u l a r in
each
.
ai =
i s a !inear :.-an-
f a i(p:
1
is
absut -1
Am i ~ t o A ~ Let .
. Then
vm
coordinats
1
a coordinate s y s t e m
a
maps
,
if t k following holds.
space
of
pcint
f(X)
M~
.
at X
into
t h s tarig2r.t
R. A . Toupin INTEGRATION
11.
IN
MANIFOLDS
A t e n s o r whose at
a
x. A
point
x
tensor
of
field
carrier
space i s
the
a smooth
manifold
M~ i s called
in
a
manifold
is
a
tangent
space
vn(x)
a tensor at
function
k
T: such
that
same
all
continuous
p =r of
lUn
i
nk T(x) e V (x) n x; and T(x) i s or
s-smooth
-1
P
provided
s
of
the
general
in
concept
bilinear
the
of
Of
values
Mn\
E
a tensor
J
of
k
and
a r e the
x.) The field
at
representation
y
T
is
.(T) defined by
1
V in any c o o r d i m t e s y s t e m n ' i This definition of smooth-ness s-smooth E
.
system
a
regular
previous section
of
a
in
a n r-smooth manifold
is
mapping f : M~ an
' Mn
example of the mor*e
multi-point tensor. We may view P f a s
function
mixed t e n s o r field
in
because only
ned
. (The
coordimte
It i s a M~
x
5 r.
The gradient considered
(x);
if i t s
(x) , v -E V" , k n M i s continuous o r
i s independent
a
-fVn
at every
point
in of
over special Mn
M
.
~ In . general,
s u b c a s e s of
it i s not
m =n
is
a Of
field defi-
R.A. Toupin
Let
be
(p
a n r-cotensor
be regular. Then in
we define
a corresponding
m Uk c V (X) , x = f(X),
each Now
been
has
combinations
s of
extend
definition
this
sets
in
all,
consider
let
- PIn
IWm
:
r-cotensor field
defined only f o r
simplexes
the open
with
the
an
to
in
an
R
property
that
wr
I
for
fw(cp)
for all
E
such
that
This
defines
cp
with
respect
an
arbitrary
= sup
{Q :
vn o r An, R I el < co then
.
defined
R,
summable o v e r
. We
then
so
realvalued function in
R,
I
certain
need also R.
. Say that E
exists
wish to
and c e r t a i n open
cp
a
is
of
summable
polyhedron
P
>0
polyhedra
c~
also is
there
QC R
and
exists
open
positive Q
C
summable
is
cp
linear
-P. f
if
for
. We
vn.
6
following Whitney. F i r s t
there
every
An
simplexes
An
if
Then
(p
is
in
An
1 jQ
(11.3)
cp
simplexes and
affine s p a c e
curvilinear
n-form
set
VfU = Vf (X, U ) ---k --k
and
a manifold. This can be done
over
over
M~ and
in
by
M~
where
is
field
the ncp
R,
a
over
R
fact
that
where r is
~f ,
( m e t r i c ) in the
polyhedron 1 < and, if
JH W
R C An.
sets
definite Q
a number
(p
cc,
and
theref0re.j
cp
R i s summable
any bounded
continuous
R. A. Toupin The next result we need be any one
- one
open
RlC
set
ous
n-form
ble
over
R1
then
y
where
patch
of
In this
n
as
set
0. If
(I)rr r
i
spt ( v ) C-Ui where
a preferred
next
case, Mn ,
let
Ui
i s a coordi-
coordinate s y s t e m
7 wi ) i 'and we s e t
that Z ni
where
e
U i'
of
of
M ~ ,
the coordinate
formula ( 11.5).
s p t ( v ) i s not contained be a partition set
the
real-valued x
independent
the r:ansformation
i the finite
of
i ( ~ ) = 0,
rr i s
of
follows from
property. Let a
v f o r any compact smooth oriented rnan y e n o t e the closure of t h e s e t of points
we s e t
Suppose
cover
5
M I
That this definition system
R C An onto the
set
&
R,
M"
-
J (p) > 0 in R. Let cp be a continuf summb:-le o v e r R t . Then f+ vis summa-
.
r
nate
in
mapping of the open
with -
Aln
Next we define n M Let rpt (.)
nifold x
regular
i s the transformation formula. Let f
and
in
of unity with
orient M~ i smooth functions
71 y ( x )
vi(x) = ni(x)v (x)
. Then
= 1,
.
x
Jui v i
1'
Then n.
1
in
e Mn
Ui
.
the following
of coordinate patches U.
Y
any
i = 1, 2,
. . .,X
one can construct
.
M~
such
that
E x p r e s s m(x)
i s defined a s
above,
R. A. Toupin The definition (11.7) canz be shown to be independent of the partition of unity
and the coordinate systems
f n,i Now 1st
5
such that
R
a neighborhood
i
be any open .subset of an oriented manifold compact. Let
is
w
of R.
(P
be any continuous n-form
Mn defined in
Then there exists a finite cumber of coordinate
-R,Mn . Define(x)the= 1, 7x a"Us above. . Set
,
.j preferred coordinate systems of
Then
, for some neighlorhood
Again, it can be shown
this
patches
Ui which
cover
1
n
i
i
that
of the coordinate systems We record h e r e
r.1
(P
i
=n
i
m and
of
ry
the r e a d e r
Whitney1s versioc
to
Whitneyts
smooth image of a polyhedron
. To state the theorem
descripticn
M,
boundary of M)
and
edges and vertices of manifold,
x s ( aM which,
- a 0M)
of unity
Z xi.
of the divergence theorem of
a standard
n-manifold,
is a standard n-ma-
of Kellogg
we need a t least the following partial
and
a closed subset
a closed subset
a connected compact aM of M (cail it the
az) . E-a %
of
-
,a0M
of
2
is a smooth
a
(call it the
oriented
smooth manifolds. At each point
t h e r e is defined an
tho smooth
manifold
n-dimen-
of
outward normal vector ~ ( x#) 0,
by continuity, is defined at points
orientation
m is independent
of a standard n-manifdd. There is
topological space,
Bional
(
book. lt can be remarked that even in A is a standard n-manifold,
and every regular region in the sense nifold
of
the partiti:nR
in manifolds. F o r the complete definition
I refer
define
definition
and
U of
z- a
of
M-
near
is fixed by
the
x. The
R. A . Toupin
ordered n-1
set
{v(x)
.
vl(x).
. .., vn- 1(x)
elements determine the orientation
containing
the
(a)
point
x.
Let
v i s defined,
and i s r e g u l a r
-
in
(b)
is
(c)
rot
is
-
over
such
that
aM
in
- i-M- ,
- -BE,
aM
summable
aE- a0M
p a r t of
an n-form
a fi,
summable
c~
the
continuous, and bounded
-
M
of
be
v
of vectors, where the l a s t
over
M
- aE .9.
Then v=
aOE
13,
Hencefort,
when
'
shall abbreviate
the
(11.9)
given
by rot
about
x
Q
to read
Q
and
1,
rot v
jaE smooth
and
M
is
(x) =
Y.'
~
is
M~
~ e t f:
r-form
and in
Mr
S n
of a
over smooth
in
the every
2-smooth,
.
any r e g u l a r
rot
v
any coordinate
mapping
of
is
system
an oriented
n-dimensional smooth in
Mn. Then
ftv
i s an
we s e t
R
r
be
S '= 5
defines
is
is i (7.7)
manifold into an
and
.
, where x
l e t v be an r - f o r m
(11.11) This
V
defined
M~
r-dimensional smooth manifold
V
1
3 Y1p
.
meaning i s c l e a r from the context we
v= When
rot v
jh;- aa
f* v ,
R1
R an
r-form
r-dimensional
smooth
integral
manifold
in
.
= f(R)
of
M~
. If
R'
v =
manifold
f(E),
Mn ,
in
or
and
piece
EC
R1
Mr
prcvided of
the
Rf,
3R - 3
f*
E,
0
(?-l!-f2rm cp
and
is f*
v
regular rot
.
I s contir.uoiis
in is
R,
f*
ssrnrnahle
in
v
soms
neighlscrhood
i s summable over
R.
over
R. A. Toupin 12. CURVILINEAR r-COCHAINS n M be
Let t e systems
Y
A" , we call ar
r-chain
i
an n-dimensional
is
Mn
s , is 1
of chains of
UiC
. If
Mn
r i(s) a curvilinear
in
where each
-
Oi
'
an
g e r s o r zero. We drop
the adjective
ning is
it. The s u m
clear
in the s a m e in
M~
then
without
is
a
SSi
as
in
in
positive
.
of
r-chains
linear function
of
r-chains in
in the l a s t section
in
in
A curvilinei c = Za s . 1'
= sum
o r negative inte-
"curvilinearfl when
r-chains
as
r-simplex
sin s j
Mn,
of
wis defined
Mn
with coordina-
of the form
the s u m
way
an
is
r-simplex
simplex i a are
dimension,
manifold
s C Oi
expression
a curvilinear
lower
smooth
in
the mea-
is defined
Mn
A ~ .An r-cochain
-
i
M ~ If.
c =Za s:, L
and we s e t
w is independent of i t s representation a s a 1 c r-simplexes. Thus, every r - f o r m co in Mn , summable
The value of sum
of
over
every
r-cochain in
a
curvilinear
in
Mn by
neighborhood
r-simplex
(12.1). If of
c,
the
(cf.,
if
rot
5
smooth ,
w is 8
for
then
the definition
By the triangulation theorem oriented form
manifold Mr
=
si
can
(r-1)-form
regular
o =
d
~ J Y
,
rot of
for
o,
smooth
be expressed a s
. Thus,
is
Q
then
(12.2) and
n M , determines a unique
in
for
o =
7
Y
i an r-form
manifolds,
aV
(
in
w).
An ).
every compact
a curvilinear r-chain of the
any compact r-dimensional
manifold
R. A . Toupin in
M'
M ~ ' and
lation
like
r-cochzin ous
or
any
(12.2)
regular
with
defifisd
(r-1)-form
c replaced
by integration
s-smooth
accordingly
of as
n in M , we
(p
by
. We
Mr
an r - f c r m
s a y that in
v
the r-foi-m
have a r e an
i s continu-
is coctinuoxs o r
(p
s-smccth. The t h r e e terize
properties
a s e m i - s h a r p r-cochaln
have an immediate invariant But
since
Thus,
U . C M~
Sf
=
F
y
is
then
S,
an F
which
charac-
do not
r-cochains i n a manifold.
conditions, c s i n g the coordinate systaded in t e r m s of the
of curvilinear
r-simplexes
of the ccrreaponding
r-cochain is
9
affine space
significance for
= st
and
1
if
-. 1
an
the p r o p e r t i e s can be
- 1 (s)
i n v e r s e images in s o m e
in
they a r e purely local
s t e m s of a manifold,
)
(a), (b), and jc) of
in
values of the r-ccchain.
M~ and we s e t
called s e m i s h a r p
contained
if and
F(s)
= F'js'),
only i f
F1 is
1
semi-sharp.If r-cochains sharp o
follows that s e m i - s h a r p
in
a manifold
r-cochain
in
M"
such
v in
ous
r-form
this
same rule
in that Mn
are
in 1-1
M~ determine
F(c)
=
defines
cf association
r-cochains
5
.
continuous
correspondence. E v e r y a
wand, C
and
uniq"e
semi-
continusus r - f a r m
conversely, eve:.-y continu-
a , uniqae s e m i - s h a r p r-cochain
by
R. A. Toupin
13. MOTIONS AND INVARIANT COCHAINS Let
Mm
. Let
indicated
n and M denote smooth manifolds of the dimensions
OC R
denote a connected open s e t
of
r e a l numbers.
Then a r e g u l a r mapping
.
i s called a p a r a m e t r i z e d motion of M~ in Mm The t r a j e c t o r y of n m a point X ' E M is the smooth parametrized curve fX: 0 ' 1M , f (t) = f(X, t ) X When
. The orbit of
X
i s the s e t of points { x; x = f(X, t),
m = n+l , define a motion
of
M~ a s
a smooth
rnap-
ping
such that V f 1 has Mn
: Mn+l .-
ft
(13.2)
i s the
theorem, it
set
rank of
n
in
Mn+1
. The orbit
b; fl(x) = X 1.
points
can be shown
Mn of a
point
X
E
Using the implicit function
that e v e r y connected piece ofan orbit i s
a smooth parametrized curve
in M. Thus, when m = n
+ 1, t h e r e i s no
n distinction locally between motions and p a r a m e t r i z e d motions of M n+ 1 But the orbits of a motion may not be connected r in M
.
that motions and p a r a m e t r i z e d motions
in the l a r g e a r e not
in 1
-
correspondence. Moreover,
the existence of motions depends on tltc
c h a r a c t e r of the manifolds
Mn
and
Mm
. In
the following we shall b e
concerned only with local p r o p e r t i e s of motions and p a r a m e t r i z e d tions only. f-' : M ~ + '
1 ~ ~ 0 -
m = n + 1 Then (12.1) has a unique smooth n M x 0 which consists in two smooth mappings
Assume now that inverse
.
1
- 263 R. A. Toupin
- Mn
f1 : Mn" ghout
i t s domain
motion ; m
ni-1 T : &!I
and
'3 T
and
.:
-- 0 , has
where r a ~ k1.
r. + 1; d e i e r m i n e s a ~::[email protected] mc:ic,n
V f 1 has
rank
n t.h:n'i.-
T h c s , e v e r y p;lrametrized f l , b i t r.ct con;.erselg.
Two p a r a m e t r i z e d motions wtth the s a m e 0rbrf.s a ? t e r m i n e one
and
. eazh psin? x 6 LJ = the s a m e mction kr t h i s c o c s t r ~ ~ t i o r .Thrc7;gh n = f(M XO) in t h e r a n g e of i t h e r e p a s s x c c e ar.d only one t r a j e c :cry.
y_!x:
Let
6
- ~ ~ ( denote xj t h e tangent T.-er?ar of t h e t r a j e i t c : y
through x. F ? c m Pk,e r e g u l a r i t y assump'iicn, t h e v e c t o r field s e values velocity
in
c m t l n c o u a . We c a l l t h i s ve,-tor field in U, t h e n+ 1 field of the p a r a m e + . r i z e d m o t l m f. If f t : M ' Mn i s U
is
a moticn, then a t and
each
x in
Feint
the domain of
only one l i n e a r l y independent p?fipni. v e c t n r
c t o r fields i n the d c m a i n of
of
1" s u c h
that
V fl;x; with p r o p e r valu.; ze:o
~ e tf+: M~
XIn+
(13.5) of a n open set
be defined
7
utC
M~"
f l , 3 f1 h a s fine
~ ( x j 0 s u c h that
is i h c equi..~aicncec l a s s o? smoc:h
T h e velocity field of a mc;icr.
vector
v with '.he-
: Ut
+
onto
by
f 0 is a
;;'x;
a t e a c h point..
~r?p?-
f (X) = ijX, t j
. 'Then
set
\,I""'
t
Ut.C
an
opsn
Ut+
. I\.*
have {13.6)
ve-
T 0 -- 1 (the identity) ,
T,
.T
,=
T
T+T
.
R . A . Toupin
s be any curvilinear r-simplex in U t t i s a curvilinear r-simplex in Ut+T Let Mn+ 1 . Then Let
.
(13.7)
5
'
F(st,
. Then (P
st+ = TT (st)
be an r - f o r m
in
Q
S
t+ 7
i s defined s t'
such tion
f,
stC Ut. If
for a l l
we s a y that or
integration
that of
the
Theorem : Let velocity field
y and the F(st, 7 ) i s
a-(st+
7 )
st + T 1 ;
(13.8)
F(st) , defined by
r-cochain
7
=J
s t+
regular
(P
v be
the
in the range
f o r . each
[ v A rot
motion. f
. Let
motion f. Then , if
o are
in
s t
+ rot (v
.
the
r-form of
f,
and
A w)
I
.
7
consider the value
differs
I) , I = { t;
r - f o r m under the mo-
F(st, T ) be defined by (13.7)
" d 7
VF
invariant
of r f o r all
invariant r-cochain under the
differentiable
To prove
a
an
(r-1)-form v A
dF(s
dary
an
of the p a r a m e t r i z e d
(13.8)
The quantity
is
(P
corresponding
is
co
F ( s t , y ) i s independent
from
7< t Q
(I+
of
the integral T
'3,
by
of
rn over
a n integral
of
tile
i:~,~!t~-
rn ovc.r
R . A. Toupin where
we
have used
the regularity
of
. But
cp
be expressed a s iterated integrals,
right can
+11
v n (rot .P )
dln
(13.9) by
and taking the
7
r-cochain
5
F =
point
called
field -
v.
linearly
"=
-
cp
)
.
coordinate curves are that
given cp
of
by
the
to
of
respect
v
cp
at
x.
made
is then
to
given
motion
f
the vector defined by any
-D(cp) and
rot
an
(13.8 ) and
deriving them
.
div
by
a r e the tangent
formulas
IG,.
(Gx~)
4 ) ~ v+ div
the formulas in
and the
rp
r-form
&
Set
a coordinate system, then
i s smooth. But
weaker hypotheses
The continuous with
define
differentiation
dividing
the parametrized
duality transformation
D(& Q ) = (div v
used
f.
of
-
the vectors
. Thus,
if
of vectors
The dual
cp
pare regular, then
A
under
of
the
set
v
only
derivative
independent
D (rot
and
v
(VAO).
r t t ' 0 yields the formula (13.8).
and
cp
range
E(x) be
(13.11) If
the
Lie
Let
if
of
lim
a r e invariant
cp
v
in
the
if -
that
with velocity field
at each
q + I I drjSc+;ot
have used the regularity
It follows
is
t+r
=jIdm$ st + r v n r o t we
vn m
JJS
t+ r (13.9)
where
the integrals on the
vectors to the cp
and
div
cp
A
cpandaAdprovided (13.11) hold under the
14. PHYSICAL UNITS. PHYSICAL DIMENSIONS
.
TITIES
Weyl has
remarked :
"However ,
not only points
a r e required to be represented by
reproducible symbols, but also every bther and when
AND PHYSICAL QUAN-
passing
to physics
all s o r t s
kind of geometric entity,
of physical quantities like
velocities, forces, field strengths, wave functions, and what not, expect a similar sympolic treatment. One often acts a s though once the points have been submitted to it by fixing a frame of refe rence for them, all these other things will follow sions.
This is
be
fixed
at random
measure-
so a s t o make the scheme of refe-
complete. F o r the purposes
tions
necessitating further provi-
certainly not true; a t least further units of
ment have to rence
suit without
of these lectures, the following formal defini-
will be adopted. F o r a discussion of the historical
use and deve-
lopment of the concepts and mathematics of physical units and sions,
see
Ericksenls
cal Field Theories,
Appendix on Tensor
is vector different from zero
dimensional vector space . I J E. U
a
is
U
basis
in some linear space is said
i.e.
,
if
f
nerally now, if gree
-n
k
is
a f;
The Classi-
Vol. 11111, Handbuch d e r Physik.
A physical unit unit
Fields in
dimen-
called
for
U.
U1 X U2 X
... X
Uk ,
a one-
a unit space. Thus, any physical A
function
f; U
t o have physical dimension
homogeneous
in the argument
-
in
function
of degree
Un ' L we write
L
with n
[g
values if
.
-n. More ge-
is homogeneous of
de-
- 267 R.A. Toupin n
phys. dim. f In quantity is
an
these
lectures
and u s e
it
r-cochain
homogeneous
[gl
=
we
. .. 1=k
r e s t r i c t the use
~
of
.
+
9
the t e r m physical
t h e following A physical quantity n s o m e manifold M with v a l u e s which a r e
only t o
in
functions
of
mean
a
dent physical w i t s . Thus, if
...
U a = 1,2, N of indepenr;.a ' a physical quantity, it h a s a defi-
set F
nite physical dimension, and if
is
F
M~ s u c h
e x i s t s a n r - f o r m in
n 2 LJ2
is s e m i - s h a r p o r continuous, t h e r e
that
and we w r i t e
with
suitable
values
In p a r t i c u l a r , if
The r e a l F
number in -
for
phys. dim. F =
c measured
lies
closest
a s that t e r m
use
in F
of the t e r m
units
N
.
; ~ ( 2is) called
measured l1
in
in
units
U
k
.
the der:.
physical quantity1' in t h e s e l e c t u r e s
t o t h e concept and definition is u s e d
"l'.."
, w e write,
) is c a l l e d the amount of t h e physical quanti-
F(c,
of the physical quantity Our
the exponents
t h e l i t e r a t u r e of
of a n uextensivell quantity thermostatics.
R. A. Toupin LECTURE ELECTRIC
I
CHARGE AND MAGNETIC FLUX
In the application
of
mathematics to
the calculation of e l e c t r i c a l quantities, I shall endeavour in the f i r s t place to deduce the most general conclusions from t h e data a t o u r disposal, and in the next place to apply the r e s u l t s can be chosen.
to the simplest c a s e s that
" J. C. Maxwell
I. 1. INTRODUCTORY REMARKS
The electrodynamics of elastic r i n g applications
in
media finds important enginee-
the phenomena of photoelasticity and piezoelectri-
city. The c l a s s i c a l theories of these effects embraced a s special c a s e s by the t i c field in lectures
and of
many o t h e r s a r e
general theory of the electromagne-
m a t e r i a l media t o be presented in these l e c t u r e s . The
will s t r e s s a n
o r d e r l y introduction of the physical concepts
and laws of nature which a r e common t o a broad c l a s s of special theories
.
We begin with a mathematical theory of electricity and magnetism of
and only
later
introduce the mechanical and kinematical concepts
length, time, force, s t r e s s , energy, and momentum. It i s conlmon
knowledge that modern concepts of lenth, t i m e , and their origins in concepts a r e not
the theory
simultaneity had
of electricity and magnetism and that these
entirely consistent with the Newtonian viewpoint.
R. A. Toupin
One objective
of the
treatment of the electromagnetic field
given
here is to t r a c e again these origins. I. 2.
ELECTRIC CHARGE AND MAGNETIC FLUX It is possible to understand the classical equations of
Maxwell
and Lorentz governing the electric, magnetic, charge, and current fields in t e r m s of only three primitive concepts 1) the distribution
of
magnetic
2)
the distribution of
3)
the universal relation
.
flux
electric charge between these
two distributions For
this purpose we begin by taking the concept of an event
mitive and undefined, just
as
&.
if
ptions
or principles
by
We
A1 : The set smooth
to of
the f i r s t of
some
eighteen
and assum-
be introduced in the course of the lectures. all
events
will be denoted
is
an
orientable
4-dimensional
by lower case Greek l e t t e r s
, etc. The coordinates of an
the index
ranges
case
will
indices
To each, assign a r e a l
L2
down
events, event-space,
manifold. Events
E"
lay
pri-
a point i s primitive and undefined in
Euclidean geometry. We call the set of all denote
as
where
over the values
oriented is
a r e denoted 1,2,3,
a
2-dimensional submanifold
F(t2 unit of
by
E&
,
E
I,
, where
and 4. Greek lower
always have this same range.
number
&
event
E
6 2C 1we
, f ) called the magnetic flux through magnetic flux.
R.A. Toupin
A. 2. Magnetic phys. dim
. [ g- I .
It follows co ,
flux is
from
a continuous
A2
a
continuous
that t h e r e e x i s t s a n
2-form
I,
in
qt2* $1;
(2.1)
2-cochain in
such
Jico(&)
t:
[
with
electromagnetic field
that
8
phys. dim. w = [ ipl. A3: ( F a r a d a y l s Law of
every cycle
c2c
of
Magnetic
law
of
magnetic induction follows
electromagnetic potentials
, such that
the
Induction) The magnetic flux
vanishes,
From Faraday's stence
of
, regular
magnetic flux through any
the exi-
1- f o r m s in
is given
f,
&
by
(2.3)
3 €J2
where
(2.5)
rot
a = W.
The distribution
of
magnetic flux does
que electromagnetic potential
k2
, then
does a
(2.6) where
s o also
b
is
1
for
o'
= a + rot
not
if & s a t i s f i e s given
determine
(2.3)
for e v e r y
by
F ,
a n a r b i t r a r y r e g u l a r 0-form in
a uni-
( s c a l a r field).
R. A. Toupin elecNext we introduce the definition a n d c e r t a i n p r o p e r t i e s of t r i c charge
in
p r e c i s e analogy with magnetic flux.
t 3 ~weg assign
3-dimensional submanifold of events
C ( L3 ,
9)
.
e l e c t r i c charge A4; E l e c t r i c
charge
C = [Q -1
phys. dim.
According
to
charge-current field,
e v e r y cycle
t h e r e exist
a continuous
c3
follows
A4
there
such
that
is zero
from
.
the
exists
in
law
of
charge-current potentials
phys. dim
n =
rot
.
n = w
a
3-form
Y
t. and , the
in
of Charge) The e l e c t r i c charge of
that
(2. 18)
3-cochain
in units of
.
(Law of Conservation
A5.
It
is
a r e a l number
t3measured
called the e l e c t r i c charge of
%
To each oriented
CQ7, e
conservation
,
2-forms
of
charge
in
,
su
elat ,I
R. A . Toupin The charge distribution does not determine a unique charge rent potential.. does
If
given
TI'
n satisfies
an
When a r e not on
=TI+
T I
6 is
arbitrary
only continuous
and the law
of
conservation
rot
Moreover, if
and
c~
expressible
in
y
t e r m s of
smoothness rule
commonly
out
if
to
folds, regular
to
A2
can
&
of
c h a r g e - c u r r e n t field
Faradayls
electric
be
,
=
0
.
in in
law of
inducti-
charge a r e equivalent
and
A2
each. Then
local conditions a r e
equations,
of
magnetic flux and is
A4
already
so
into
Lin cj =
replace
0
A2
,
(
number such and
sufficien-
a r e the following alternati-
an r - f o r m in a' finite
sever.
and charge-current fields
the applications Call
A4.
,
these
applications. Weaker assumptions
subdivided 1
0
the distributions
include all and
=
electromagnetic fields
=
in
the
the differential
of
considered
tly general ves
.
in
a r e smooth ,
Y
e l e c t r i c charge assumed to
1-form
conditions
(2.13)
the
13,
but r e g u l a r , then
rot
But
rot
the electromagnetic field and
t o the local
, then s o a l s o
(2.9) for e v e r y
by
(2.12) where
cur-
that A4
piecewise r e g u l a r of standard manithe by
r-form is
R.A. Toupin A2'. tial
There e x i s t s
such
through
2
any
A4': tial
that
7,
units
that
-
Q is
given
exists the
given
F a r a d a y t s law of
electric
in
each
in
units
of .--@
piecewise r e g u l a r charge-current poten3 e l e c t r i c charge in m e a s u r e d in
by
magnetic
charge
now
=
16
* .
tt((C)
a63 induction
follow
the electromagnetic
as
and
the law
of conservation
consequence of
field
and
A21 and
A4'
the charge-current
by rot
c~ = Y
11.3.
measured
a
of
a r e given
flux
electromagnetic poten-
by
c ( t 3 , 8)
(2.4')
field
the magnetic
'is
There
such
a piecewise r e g u l a r
IL,
rot n
=
.
DISCUSSION No definitions
tlnlagnetic flux p e r unit a r e a w o r of "electric
of
charge p e r unit volumev have been given
. No
concept of lengkit, a r e a ,
volume, o r of time has
can
be inferred
been used nor
definitions and properties
from the
assigned thus f a r t o magnetic flux and ele-
c t r i c charge. The definitions
and p r o p e r t i e s of magnetic flux and e l e c t r i c
charge
generality must be attributed to Bateman
given
and Kottler.
h e r e in
this
R . A . Toupin
If a c o o r d i n a t e s y s t e m a choice i s
coordinates
components of the
-
where
2'= 9 g ,
of
coordinate
the
electromagnetic
where
introduced in
about an event
made for the unit of e l e c t r i c charge,then
4
rent field* has a value a t If the
is
and
charge
and
-
unit
charge
a r e transformed,
s*&, a r e the components
of
the
transformation. Similarly, the components
field
.
*dGF(\ ,Q,)
these
c u r r e n t field undergo the transformation
under
. These laws
-
of
, and
the c h a r g e c u r -
represented by components
the
E
gradlect of
the
the transformation
of transformation for the comonents
of the lectromagnetic and charge-current fields w e r e discovered, a f t e r some trial
-
'
e r r o r , by Lorents. F r o m the present viewpoint, these
transformation formulas a r e consequences of the definitions of magnetic flux and e l e c t r i c charge. We s e e that these transformation formulas merely reflect the fact that e l e c t r i c charge and magnetic flux, relative t o given units, a r e numbers assigned to c e r t a i n s e t s of events, a i d tliat these numbers do not depend in any way upon
coordinate s y s t e m s ,
o b s e r v e r s , measuring apparatus, clocks, rigid rods, o r anything e ; ,e of that nature.
R. A
. Toupin
LECTURE. I1 THE AETHER RELATIONS Ah-
TI-IE METRICAL
STRUCTURE O F EVENT-SPACE "As eve-ryone knows, :he g r e a t p a r t in
the physics
a e t h e r played a of .the nineteenth cen-
tury; bzt in the f i r s t decade of rhe twentieth, chienfly a s observe the
a r e s u l t of the failu.re c f a t t e m p s to e a r t h ' s mcticn relative
t o the
eather, and the a c c e ~ t a n c e of the principle that such attempts must always fail, the word laether' fell out of favwcr, and it became customary to r e f e r t o the interplanetary s p a c e s a s 'vacuoust, the
vacuum
.being conceived a s rrle?e emptiness,
having no p r o p e r t i e s except -that of pxpagatlng electromagnetic waves. But with the development of quantum electrodynamics, the vacuum has .com e to be regarded a s the s e a t of 'zero-poir,tl oscillations of t h e e l e c t r o n a g n e t i e field, of the ' z e r o pointt fiuctaticns of electnic-charge and c u r r e c t , arid of
a 'polarisaticn c a r ~ e s p o n d i n gt o a
dielectric constant different t r s m unity. It s e e m s absurd to retain the nazne 'vacuum1 f c r an entily s o r i c h in p h y s k a l prcpcrties,
and the historical
word laether' may fitly be retsined. E. T. Whittaker
R . A . Toupin
11. 1. INTRODUCTORY REMARKS In the f i r s t events was
l e c t u r e i t was
assumed
only that the s e t of a l l
a smooth 4-dimensional manifold. Two physical quantities
represented
by
a 2-cochain and
a
3-cochain in
flux and e l e c t r i c charge, respectively,
-
two unit s p a c e s
Q
and
-
. The
were
called magnetic
introduced along with
distributions of magnetic flux
and e l e c t r i c c h a r g e w e r e considered independently of one another and w e r e r e s t r i c t e d only by
induction and the law of
Faraday's law of
conservation of charge. These two familiar laws of the r y of electromagnetism a s s u m e the form of in the present formalism, viz.,
c l a s s i c a l theo-
very simple a s s e r t i o n s
that magnetic flux and e l e c t r i c charge
a r e exact f o r m s (potential f o r m s ) in event-space. But anyone f a m i l i a r with t h e c l a s s i c a l theory of Maxwell and Lorentz tromagnetic field always d e t e r m i n e s a
knows that the elec-
unique distribution of charge
and current, s o that these distributions a r e not independent. If the aether
has a
"metricaln structure
electromagneric equations t u r e must l i e in flux and r e d from
electric
was done
the relation between
inferred from the
by Lorentz, then t h i s s t r u c -
the distributions of magnetic
charge since, a s we have s e e 3 it
the p r o p e r t i e s
t h i s l e c t u r e will
as
that can be
be 1::fer-
of e i t h e r distribution separately. The a i l , , of
be to show how
of magnetic flux and
cannot
the rlation between the distributior-i;
e l e c t r i c charge assumed by
the c l a s s i c a l theory
actually determines a cone (the light cone ) a t each event. 11. 2. THE AETHER The c l a s s i c a l
RELATIONS relation between the distributions of magnetic
flux and e l e c t r i c charge may be characterized
as
follows.
R. A. Toupin certain
A6: A
l i n e a r function
K ( d ) of
the electromagnetic
field i s a charge-current potential.
v4 ( 2 ) of f,
More fully now, consider the tangent s p a c e at
an
event
of 2-covectors linear space
[Qj
-
. Then
such
v
potential.
We call must (2.3)
and
the
6-dimensional
at
having phys. dim. [ @(< ) [ Qlof 2-covectors -
V 142 I , according t o
that the
where
E
is
field
7
,
A6
.,
(Q) given C
linear
I , and the
at t h e r e exists
by
( 6 , Q) .&
the electromagnetic field
space
is
a
V
(c)c$~
k2J
%
6-dimensional
having phys. dim. linear transforma-
=
K( f
,Q(f ,
a
) )
,
a charge-current
Thus
the mapping
K ,
the a e t h e r
tensor. It i s c l e a r
that
we
have phys
. dim.
[K =
-1
iQ - J
We postulate now the following p r o p e r t i e s of the a e t h e r t e n s o r which
suffice to c h a r a c t e r i z e A7 : Invariant
it uniquely.
properties
of
the a e t h e r tensor.
P I : E l e c t r i c and Magnetic Reciprocity
R.A. Toupin where
<
of
>O i s
k2 )
( i . e. , i s independent
a constant
, and I
is
the identity
transformation
in
phys. dim. k2 =iq2 @-2 1, = - P 2 : Symmetry. Let be the duality t r a n s f o r V
h21
[@I
mation
defined
Define
by
an a r b i t r a r y
the bilinear
4-vector
.
2( P ) by K ( q , n ) = j Z ( 1 ) K ( p ) 4 property i s the a s s e r t i o n that V
A
K( c ~ , for
e v e r y p a i r of
P3: Existence of
at E
(P)
0
. The
symmetry
A
2-covectors,
and n
cp
.
p u r e e l e c t r i c fields. T h e r e exists (covector)
v4(e) , say,
in
, such that for e v e r y s i m p l e 2-covector
having
<
.
K ( r, cc)
'1) =
l e a s t one direction 4
:
K( cc , n ) in
(quadratic) form
A
at
A
(1)
E
,
a s a factor
depending on
and the orientation the dual
k(o, o )
>
0 of
the units of charge
of
the
4-vector
and flux
which
.
transformation
ii(o,e) defines
I1 3. LORENTZ FRAMES Let Then
tensor
a
e a y e i. , a L
of 2-vectors space
eJ E ) be at E ,
V 2 7 ( F ) of *4 1(:
and
basis
in
C , Eav
is
a
basis
t (Ea(e E
2-covectors
a r e then
the tangent
defined
at by
< . L.
in
space
the space
) = ( ja ) i s
4
V ( e.) of ~.4':( r )
a b a s i s in the L. The components of the a e t h e r
R. A. The a e t h e r t e n s o r
has in
a total
of
36
independent components that
6 X 6 matrix. The rows and columns
can
be a r r a n g e d
a square
can
be a r r a n g e d according t o the values of the p a i r s
t e n s o r indices. We shall
Toupin
( a b ) of the
u s e t h e conventional ordering, (14), (23), (24),
(311, (34) > (12) Theorem space
I1
.I
v 4 ( € ) of
t h e aether tensor
B
is
u7
the
2
of
a
pure
t o prove
,
( 6 ) , for
which the components of
Lorentz f r a m e a t 6 ,
and
the
and magnetic flux a r e called natural Lorentz
.A
space-like
L e m m a 11.1.
4
three
divisor i s a
In o r d e r
the components of:
matrix
V
charge
and the remaining
a time-like
2
X
e4( 6 ) of
units. The vector t o be
e l e c t r i c charge and
0
(3.2) i s called a
corresponding units
a r e said
of
@
= d i a g ( B , B, B )
e a( < ) in
have the values
like , -
and
z
e a ( € ) in the tangent
have the canonical values
A basis K
basis
that, relative to this basis,
K(~')
where
Q
and units
magnetic flux such
(3.2)
: T h e r e exists - a
frame
is
s a i d t o be
e l ( < ) , e2(C ) , and
elements
timee3(< )
simple electromagnetic field with e l e c t r i c field
Theorem
The 2-covectors
11. 1
q
.
we u s e
and
(p
K(
Q
the following ) a r e linearly
. in-
dependent. Proof; Suppose Q=
a K(v ) for
P 1 it
then
some
Q?
real
follows that
i s proportional number
to
a . Then 2 K((p) = a k (p =
-
K( v) s o that
-
2 K( Q) = a K ( Q ) 2 2 a k , or
. By
-
280
R. A. Toupin
2 2 k )K
(1 + a a,
K( c p )
#
Since
0.
(V) =
0 , which
L e m m a 11. 2 : K(cp) is a l s o
ctor
Proof :
P2 P1
2
> 0 , this
proves the If
,cp)
this l a s t we
y) =
= r~ E A
'P
Proof.
0
is
0 is
simple
then
the 2-cove-
if and only
any- 4-vector
if
and we define
and
v
.
.
.
n a r e l i n e a r l y independent and have are
K(
cp)
divisor. 2 E ( K ( v ) , K ( n )) = -k E ( V , n ) a s
s a m e methods 11. 2 above.
#
E
a common divisor, then s o a l s o with
#
cp
cp.
.
L e m m a 11. 3 : If
pendent
simple 2-covector,
But E(K(cp), K ( v ) ) = K ( c p , K(cp) ) Using 2 K ( cp) D(rp ) Thus using i s equivalent t o 2 2 K ( V ) ) = -k cp D(rp ) = - k E(cp ; c p ) , which
D
E(K(v) ,
proves the l e m m a
r e a l solution f o r
A
expression
have
no
simple. 2-covector
A
has
lemma. a
is
cp
= E ( c p , V ) = 0, where
det cp E( v
k
and
K( cp) l i n e a r l y inde-
can
be
a common
and p r o p e r t i e s
of
K as
in
shown using the
the proof
of
Lemma
'
Proof of
Theorem
[Q - -@ - 2 ], if follows
11. 1 :
that
F i r s t of
all, from
2 phys. dim. k =
one may choose the units of e l e c t r i c charge
and magnetic flux such that k2 = 1. Then , for such a choice of 2 the units, K = I F r o m t h e existence of pure e l e c t r i c fields (pro4 1 perty P3) t h e r e exists a covector r ( 4 ) such that Icp, cp) 2 0
- .
f o r the simple covector
.
1 e V
c
, where t
' is
2
any covector lineqrly
independent of Then by L e m m a s 11.1 and 11-2 the 2-kovectoP .. 1 1 2 3 v Set K(. v ). is s i m p l e and linearly independent of K( v ) = E \I 1 1 ) > 0 that the covecIt then follows from E( cp , K ( . ) ) = K( cp ,cp 1 2 3 4 tors E , E , E , and E a r e l i n e a r l y independent. Nowset
'
.
'
'.
R. A. Toupin
q2
V
=E
4
. Since
V
and
' a r e l i n e a r l y independent
e
and have
2
a common factor, it follows from L e m m a 11.3 that K( e ) and 1 K ( q ) a r e linearly independent and have a common factor. By P 3 this 2 ' 2 2 common factor cannot be E €else we would have K( e ,(p ) = 0 ; 3 hence the common factor must be E (i. e. , a covector propor3 2 tional to E ) Thus K(. cp .) = n v e 3 for s o m e value of the cove2 ctor But e and K( rp ) have a common factor a l s o since 1 2 A ; 2 2 1 E(
.
.
'
.' This
.
common factor cannot be E * ; 1 2 3 1 hence it must be proportional to Thns K(cp ). = a e v E . 3 3 4 3 f o r s o m e value of a . Now s e t e = e Y E Ther. K( @ ) has a 2 3 factor in common with K ( q ) This factor cannot be E ( P 3 a3 1 gain ) ; hence we can s e t K( cp ) = w' \/ 6 for s o m e value of g. 1 But g ' d e h a s a factor in common with C V and t h i s cannot be3 2 K ( v ) = b E' d E f o r s o m e vzlue ef t Cbcosing now a s ; hence I
the s y m m e t r y property
P2
' .
.
.
.
c3
4
a b a s i s in V ($) the four l i n e a r l y independdnt vectors cal t o the four covectors
e'l
(2)
recipro-
we find that the components of K ha-
(2)
ve the canonical values s e t forth in ( 3 . 2 ) excebt that in place of s o m e of the b
. But
1' s and -1's t h e r e a p p e a r the unknown s c e l a r values of a and
f r o m the condition K~ =
a and of b must both
+1
-
1 we may deduce that the values of
, and t h e theorem is proved.
11. 4. THE LIGHT CONE Two quadratic a r e conformal other. A
.
if
forms
q
and
q = a q1 ; i. e .
,
quadratic form with signature
a cone The cone i s the
s e t of
q1 in if
any vector s p a c e
vn'
one be proportional to the (1, 1,
all vectors
. . ., 1, - 1) determines
sllch
that
q(v, v) = 0
R. A. Toupin
Every
quadratic form in the s a m e conformally equivalent
mines the
s a m e cone. C o n v e r s e l y , we can show that the cone of a
quadratic form of signature
(1, 1,
of the form. To s e e this r e c a l l TI)
i s determined by
- q(u, u) -
U+V)
q(v, v) )
1) determines t h e quadratic
,...
that any s y m m e t r i c bilinear f o r m
i t s values
. Now
required t o show
It is
..., 1, -
factor , i. e. , d e t e r m i n e s the conformal c l a s s
f o r m uniquely u p t o a q(u,
c l a s s deter-
I
q(w, w ) because q(u, v) = ( q ( + v ,
suppose that ql(u, u) = 0 whenever q(u,u)=O.
that q' =aq . L e t e
i-1,
i'
..n. be a b a s i s s i c h that
q:e., e.)=diag(l, I 1, -1). Then q1(eA: en, e + e ) = 0 f o r A = l , 2,..n-lbecause 1 J n e S e belongs t o the ccne of q. F r o m thesic conditions on qt deduce that A n 1 ql(eA, en) = 0, and that ql(eA, eA9 + q' ( e e ) = O.But u = - ( e +e n* n 2 A B)+ + e n i s a l s o an element of the cone of q for A f B ; hence, qlju, u) = 0. If this of
q1 a l r e a d y
condition
, then using the p r o p e r t i e s
be expanded
established we get
. .,
ql(eA, eB) = 0,
for
A
#
B
.
Therefore, q l ( e l , e . ) = diag(a, a , . a, -a), which proves the a s s e r t i o n . J The adjoint q of a quadratic f o r m q with signature 1
1,
-
1
determines
a cone of
convectors in
V ( E) satisfying 4
qt(4 , 4 ) = 0 . Theorem that, for
all
c~vectors
f o r one of the determines
!I. 4 . 1 : T h e r e exists a
the
a 1 , a 2 , B~
quadratic f o r m s cone.
s
unique cone
and
q(v, v) in
B2
in
4
V (
E)
such
,
the conformal
c l a s s which
R. A . Toupin Proof; be
the
K
in
Let
ea
reciprocal
be
a
Lorentz
frale
b a s i s . The definition
of
at
4
Let &*'
abd
t h e quadratic
form
V
( 4 ) depends l i n e a r l y upon t h e choice of the 4-vector € 21I used t o define the duality transformation. Choose f o r this 4-vector, E = e
e
1
magnetic flux and
of
f o r the
the
components tion
s o that
K
units of
components
The r o w s
. Let
v e3 y e4
2
and of
2
=
natural
- 1 .For
c h a r g e and of
K
this
flux we
have
E,
the following values
K :
the
are
six
labeled
by s i x m a t r i x of independent according
(14), (23), (24), (31), (34), (12)
indices
choice of basis, of
,\
columns of ,\
units be chosen f o r c h a r g e and
range over the values
used
1,2,
and
to
conven-
(11; 3.2). Now l e t Latin
in 3.
the s a m e
One
easily verifies
that ftijkl
(4.3) F r o m this
equation
(4.4) On
we
9+ j l may
qij = 6 i j taking t h e
11 = _+
Now
= 9
use
determinant
1 ; hence ,
- q
ti1
deduce det
1
of
this
lqrs
+ jk
'4
= gik g j l
- 6il
ik
find
that (let
that
11. equality
we
R. A. Toupin and
(4.5)
t o deduce that
(4.7)
q
Finally,
from
, (4.7) , and
(4.5) Ki4j 4
(4.8)
= 9
one gets qt44
frame
q =[a is
tj4 =
=
+
&IJ,
+
q+ij
--
-
&ij
1 when
and a l s o
-&ij
..
q*iJ
3 Z
E
i~
show
a that
if
c
a
determined by
(t)is a K (the light
an
- 5 %51,
i
i=l
a
q
by
(4.10) where
ti4
, then the cone
at 6
cone) is given -
-
qt44
- 1 when
proves the theorem
Lorentz
tij
;
qt44 = This
.
t j 4 =-,
a r b i t r a r y factor of
proportionality.
11. 5. THE ELECTROMAGNETIC SYMMETRY GROUP
The a e t h e r s y m m e t r y group
as
follows. Every
s v4 ( 6 ) + Q
(5.1) induces
K ( 6 ) determines
tensor
a
non-singular
+ r
---
linear
the t e n s o r
space
W
-
v4(f) + Q ..-
transformation
+ -.-r
transformation
= V
a n element. The transformation
electromagnetic
non-singular
0
in
the
b21(e )@V
T
S
h2((1 )
is defined
by
- r-b f
which
the condition
K is
. .
(Q u ! L6 )
where and
-B
tic
'cB
--
a r e defined
- -
v =0
. The
v
= (S(4), S(
V
. . S(u)
)
by the corresponding transformation
S
S(v) )
.-
= TS(K)
.
= a v
,
v
conditi~ns a
i s an element of
and
i
the electromagne-
s y m m e t r y group if and only if
i. e
if and only
if the a e t h e r
the induced transformation TS , then
where V
an
invariant t e n s o r under
if
K
is
invariant under
. Hence the
i s the light cone determined by K
s o also
for
. But
TS
ctromagnetic s y m m e t r y group (5.1)
is
tensor
i s a subgroup
ele-
of the transformations
which
Ti is
the l i n e a r transformation
( E ) of s y m m e t r i c dimensionless
tr~:~formations
S
induced by
2-cotensors at
defined by the condition
S E
.
in the s p a c e The group of
(5.5)
is the conformal
Lorentz group. The electromagnetic s y m m e t r y group
i s a subgroup of
the conformal Lorentz It has been
.
group
established that the a e t h e r tensor has the r e p r e s e n -
tation K = k
( e
2
v e
('5.6) where
is
k
k = 1 defines
ments
of
a
3
) . j ( E
+ cyclic
a s c a l a r with
natural
.
Lorentz
units
1
v
E
4
2 3 ) - e l " e4)@(€ V c )
permutations
of 1 , 2 , 3,
. dim. [ -Q - I. 9 and iP . The e a
phys
for
frame at
Rz
a: ( e and C
)
.
,
The condition a r e the ele-
=(re.
The t r a n -
sformations
S
in
4
the tangent s p a c e new and (5.7)
old
of
of
a non-singular
flux and
we deduce that a
under
TS
is
other
mation,
words,
(5.8)
under
convinces
a r e both
himself
necessary
transformation of
a r e the rations
charge. F r o m the
of the
representation
n e c e s s a r y condition
det
for
K
to
be
s ) = + l .
the transformation
and the absolute value
1. One now
linear
that
2 - - 1 (sign In
9
and 2 - and
5 ,
at
units
K
invariant
have the form
- V (5) is
4
s : V (5)
where
(5.1)
of that
S
must
be
a proper transfor- 1 must be Q@
-- -
the product the
and sufficient
two conditions that
K
be
(5.5)
and
invariant
T~
11. 6. DISCUSSION Taking
the relation
between
the distributions
of e l e c t r i c ::bar-
g e and magnetic flux a s a s t a r t i n g point, we have shown how this ri.lation d e t e r m i n e s defined
an
a
unique cone of directions at
have
electromagnetic s y m m e t r y group a s the invariance group cf
the a e t h e r t e n s o r which charge and
each event. We
d e s c r i b e s completely how the distributions of
flux a r e related in the classical theory' This s y m m e t r y
group t u r n s out to be a c e r t a i n subgroup of the transformations in
a
R. A . Toupin 6-dimensional 4
V ( t ) of
ctric
vector space,
the manifold
charge
of
and magnetic
the
direct s u m
events, flux. If
and
of
the tangent
space
the two unit s p a c e
the units
of e l e c t r i c
of ele-
charge
and
magnetic flux a r e held fixed, then the subgroup of the electromagnetic s y m m e t r y group defined conformal
by that condition t u r n s out to
Lorentz group
4
of transformations of
V ( E)
hand, an i m p r o p e r conformal Lorentz transformation accompanied by an improper transformation
be the proper
. On
the other 4
of
V (
of the unit s p a c e
E)
when
+@Q'
--
of determinant -1 i s an e l e c t r o m a p e t i c s y m m e t r y element. Thus, oddly enough, the statement commonly made that Maxwell's equations a r e invariant under the Lorentz group of transformations (transformations which leave a quadratic form of signature correct
for
two
usually
made uned the
(1, 1, 1, -1) invariant) i s not quite
opposing accounts. F i r s t of all, this statement i s agreement
flux have been fixed upon
and not
case, the Lorentz
does not
group
of electromagnetic s y m m e t r y
that the units
of
subject to transformation. In this contain the ccrresponding subgroup
transformations. Moreover, if the
units a r e held fixed, since only p r o p e r transformations then contained
in
the corresponding subgroup
m e t r y transformations, thys subgroup does group. On the
charge and
of
V
4
!E ) a r e
of electromagnetic sym-
not contain the full I.:rentz
other hand, i f transformations of the units of e l e c t r i c
charge and ,magnetic flux a r e properly taken
into account (they arr.
certainly of equal importance to the transformations of the tangent spac e ) we
have s e e n
that
Maxwell's equations a r e invariant under certain 4 i m p r o p e r transformations of V ( E ) provided they a r e accompanied by an appropriate improper
transformation of the unit space
cp @ Q_ . -
R. A. Toupin LECTURE I11 ACTION
AND GRAVITY
These physical hypotheses, however, a r e entirely alien f r o m the way of looking at things which I
adopt, and one object which I have in
view is
that s o m e of
those who wish
to study
electricity may, by reading this t r e a t i s e , come t o s e e that t h e r e i s another way of subject, which
treating the
is no l e s s fitted to explpain the
phenomena, and which, though in s o m e p a r t s it may appear l e s s definite, corresponds, a s I think, m o r e faithfully with in what ded.
o u r actual knowledge, both
it a f f i r m s and in what
it leaves
undeci-
ti
J. C. Maxwell
111. 1. INTRODUCTORY REMARKS An
essential
qualitative difference between e l e c t r i c charge and
gravitational o r inertial m a s s i s that charge a p p e a r s to o c c u r in Nature with e i t h e r sign, but m a s s o c c u r s with but one sign. Thus charge and m a s s a r e essentially different
qualities
of m a t t e r requiring essential-
ly different mathematical representations. How
can we introduce in a
natural way t h i s essential difference within the present framework of concepts and mathematics? how
Maxwell's
We
have s e e n
equations for the
ge-current field can be viewed
as
in the f i r s t two l e c t u r e s
electrolliagnetic field and conditions upon
the c h a r -
the distributions
R. A. Toupin of two physical quantities, e l e c t r i c c h a r g e and magnetic flux. E a c h of t h e s e p h y s i c a l quantities h a s been r e p r e s e n t e d m a t h e m a t i c a l l y
as a
l i n e a r function of oriented, s u b m a n i f o l d s of e v e n t s ; t h e f i r s t by a l i n e a r function of
3-dimensional submanifolds, the s e c o n d by
a l i n e a r function
of 2;dimensional suhmcnrfclds. In n e i t h e r of t h e s e c a s e s would it be n a t u r a l o r even possible t o introduce
a condition that t h e d i s t r i b u t i o n s T h e s i t u a t i o n is different, howe-
b e positive e v e r y w h e r e L o r negative). v e r , i n the c a s e of an
orientable
a linear
function of 4 - d i m ~ n s i o n a l submanifolds in
embedding s p a c e of 4-dimensions. T h e 4-dimensional
o r i e n t e d c u r v i l i n e a r s i m p l e x e s in e v e n t - s p a c e c a n b e divided into two equivalence c l a s s e s cf s i m i l a r l y o r i e n t e d s i m p l e x e s . T h i s cannot be done with s i m p l e x e s of l o w e r dimension. T h u s i t is n a t u r a l t o s e e k a t h e o r y and r e p r e s e n t a t i o n of m a s s connected In s o m e way with the s i m plexes of dimension four by
. If
in
a 4-ccchain in e v e n t - s p a c e ,
a phys:cal quantity is r e p r e s e n t e d
it is p o s s i b l e t o introduce t h e condition
that the value of the cochain, f o r any fixed choice of the p h y s i c a l unit, has
t h e s a m e s i g n on e v e r y s i m i l a r l y o r i e n t e d 4-simplex in
t u r n s out form
that m a s s itself
sign
on
action which of
such
is not t h e n a t u r a l quantity which
a class,
but r a t h e r a quantity w e
we m a y think of a s r e l a t e d
a 3-simplex over a
r c the i n t e g r a l
6.
In
is of uni-
shall call of t h e n : a s s
1 - s i m p l e x in a t i m e - l i k e d i r e c t i o n . T h e s e
r e m a r k s a r e inteded only t o guide the intuition, s i n c e f o r m a i definitiorbs of
mass
and
action a r e given
later.
111. 2 . ACTION A N D GRAVITY We introduce two m o r e unit
-Q
and
-@
,
and
two
spaces
corresponding
A -
and
_G alongside -
physical quantities c a l l e d
R.A. Toupin action and gravity . A8: Action
is
phys. d i m . [ Al It follows
that
there exists
event-space with
a continuous
a given
%
t
in
.
A ( & 4 , A ) of
that the action submanifold
a continuous 4-cochain
measured in units
of
4-form
oriented
(-dimensionale
$
action
in such
P
is given
by
possible
t o di-
and phys. dim.
(2.2)
Now
A ,
by
i s orientable
&
vide the oriented simplexes of s i m i l a r l y oriented and
&- . A8: if
same
S
orientation
I41. -
=
P
4-simplexes,
and class
St (
. Thus
into
two equivalence
Denote t h e s e
are
E+
any
or
it i s
two )
c l a s s e s of
two c l a s s e s
4-simplexes
, then
action
by
c,
+
in
the
has
the
property
Now e v e r y continuous there
exists
a regular
in
6
n in
&
4-cochain 3-form
has such
a
potential. Thus that
As
in the
n
c a s e c:'
the electromagnetic and
i s not uniquely determined by
satisfies
(2.4)
then s o =
nr
(2.5) where
is
8 Gravity
also
+
n
any r s g a l a r a
is
the
charge-current pcten?iais,
disb?rib.~ticnof action.
If
n
does rot
,
6
2-icrm
physical
(, .
in
quantity
with
phys. dim.
[GI . I
A9, Gravity
is
It follows from field -
,
Y
of any
a 1-form
curve
given
6
in
a continaous
1-cochain in w e p t - s p a c e .
A9
that t h e r e
in
,
measured
e x i s t s a w i q u e gravita:ional 1 such +ha: the gravity G(f_ . & j
in
units
of
gravity
is
by
A10:
The gravitatjonal
Accordingly,
C
if
field
is ci:-cuiation
i s any closed
fr.te.
smooth
r=;-,:c &
:.
-,
(2.7) el
It follows f r o m +,regular
0-forms
A10
that t h e r e
(scair
exist
fields) in
6
gravitationai
, s ~ c h that
pctentials
,
R. A. Toupin
and
In
(2.8)
. The
4
+
and
gravitational
an
points of t h e o r i e n t e d
curve
is d e t e r m i n e d by the d i s t r i b u t i o n
potential
of g r a v i t y only t o within the g r a v i t y
a r e the end
6-
additive constant. What
of a c u r v e is e q u a l t o
the difference
we have called
between t h e values
of the gravitational potential a t i t s two end points.
111.3. THE GRAVITATIONAL AETHER RELATION Guided
now by
g e and m a g n e t i c
the
way that the d i s t r i b u t i o n s of e l e c t r i c c h a r -
flux a r e r e l a t e d in
Maxwell's theory, we s h a l l i n t r o -
duce a connection between t h e d i s t r i b u t i o n s of a c t i o n which, up
to
this
point,
A1 1: T h e r e
of
L(y ) is a We s h a l l distinguish plays
it
treated a s
independent.
exists a linear transformation
of t h e s p a c e of space
have been
and g r a v i t y
1-forms
3-forms
in
potential call
from
f,
of
L
in
6
with
with
phys. dim.
phys.dim.
-
.-
gravitational a e t h e r t e n s o r
so K
E
#
0
be
an
a s to which
r e l a t i n g the d i s t r i b u t i o n s of c h a r g e and
flux. Let
tl~al
action.
the
in
-
[dsuch
the ( e l e c t r o m a t n e t i c ) a e t h e r t e n s o r
t h e analogous r o l e
[G - jir.ti, the
a r b i t r a r y 4 - v e c t o r in
V
[44
1
( 4 ) and
R. A. Toupin s e t D ( a ) = d u a l a = EAa, w h e r e
is
a
n
any r-covector at 6 . Then
I,
defined by
is a
bilinear f o r m i n
A12:
The
bilinear
, aether tensor
L
The definition
of
of a 4-vector E. Since A
L
determines tensor V
(e)
4 cone
up
determines, not defined by
- . The
phys. dim.[ AG-I 1 --
V ( 6 ) with 4 form is
A
L in
A
L
defined by the gravitational
s y m m e t r i c and has
t e r m s of
all
such
to
a factor. Thus
signature
L depends on
the choice
4-vectors a r e proportional,
L
the gravitational a e t h e r
a quadratic form, but a cone of directions in
A
L( a, a ) = 0
connection
--
. We
call
t h i s cone the gravitational
between gravity and electromagnetism i s
established in p a r t by A13: The light cone and the gravitational cone coincide at every event
.
111.4. GRAVITATIONAL
INVARIANCE GROUP AND THE hIETRICAi
STRUCTURE OF EVENT-SPACE The gravitational invariance group i s defined in the s a m e way a s the electromagnetic invariance group with we consider
the s e t of all
K
transformations
replaced
by L. Thus
R . A. Toupin of the six-dimensional vector s p a c e consisting in the d i r e c t s u m of the tangent
s p a c e at
transformation
in the t e n s o r
L
of which the s e t
<
and
i s an element
. The
transformations TS( L ) = L
The t r a n s f o r m a t i o n s
defines
S
a
s
transformations
gravitational S
such
that
are
of
the
forh
(4.5)
in
must
V4(<), be
i t follows A12
there exists
a
such
Lorentz
frame
e
a
that the
at
and A1 3 that
thni. L ( < ) is
by 1
2
L(<)= ~ l r ' vr 2 v e 3 @ . 4+ r v r v
I
is
a
constant
is
a subgroup of the confor-
transformations. It follows f r o m
where
such
.
unique cone in
invariance group
m a l Lorentz given
. Each
space
of a l l
L
G -
and
induces a l i n e a r transformation
(4.4)
Since
_A -
the two unit s p a c e s
and
4 3
R. A . Toupin One s e e s
f r o m this
conditions
for
One
-1
then
verifies
=
2
-_A G-
S
that
L
element a r e
s
) -4 0,
-2
.
of ;
of
E,
be
and
det
L 2
=
and
L
a symmetry
e
a
an 4
a
is
E = e
, where
Lorentz
frame
-I
L: V4(< ) [G_ (4.10)
det
L
1 e
-.
V
4
a
a
a r e both
conformal n e c e s s a r y and
element. A
L
arbitrai-.y 4-vector
4 0. L e t V
v
s
(4.9) ,
and
Consider now the s y m m e t r i c t e n s o r terms
that n e c e s s a r y
that the t h r e e conditions,
Lorentz transformation, (4.8), sufficient
of
a symmetry
) sign(det
sl
ldet
(4.9)
t o be
S
(A -G
(4.8) and
representation
defined E
#
in (3.2) in
0. F o r e v e r y choice
e v e e and 2 3 4 and r a a r e reciprocal
at
. Now
<
we have
(C) [ -A I.
2 4 = GI r l )[ Y ~ ( r) V t ( r 3 ) v L ( r ) I A
and A
phys.dim. det L
(4.11) If
E'
= a
E, det
It follows
depends
that
only on
then
=
A
[A -
-
4
A
L ' = a L and
"L t = a 4
a
-2
-
G -
-4
we s e e h
det
L
the s y m m e t r i c t e n s o r
orientation
of
E
1
= a
g
and
+
that 2
h
det L defined
. by
sets
R. A. Toupin
(4.14) Thus
we s e e
-1
=[ b GI, -
gi
phys.dim. that
the gravitational
det
g < O
aether
.
t e n s o r determines a C
unique g (
(up to sign ) s y m m e t r i c tensor field g ' and cotensor field +. g lakg =&@) with s i g n a t u r e + ( l , 1, 1, -1). The gravitational sym-
67
metry
group
-
'F
can
be characterized alternatively a s the subgroup of
p r o p e r transformations
where
TS
space If
i s the
smooth,
relation
endows
s t r u c t u r e defined dim.
linear
of s y m m e t r i c g
--
(4.5)
such
transformation
2-cotensors
then
it
at
seem
is
event-space with by
1 , det
a fundamental g
that
:0
.
<
induced
by
having phys.dim.
that
the
S
in the -1
[A - G -
gravitational
.]
aether
a smooth (pseudo) Riemannian metric tensor
+g
with
phys.
R. A. Toupin LECTURE IV MOTION O F CONTINUOUS MEDIA The some that
idea
of motion
implies the existence of
m e a n s of recognizing again and again the entity moves. By extending the idea
cal point we have the concept of a which
we shall
s t a r t with
call
a
mathemati-
moving point
a n e l e c t r i c a l point and we may
the fundamental hypothesis (a,
pendent quantities fy
of
an e l e c t r i c a l point
6 , 6/ and
that t h r e e inde-
) a r e sufficient
to speci-
distinguish it from o t h e r s "
.
H. Baterman
IV. 1. INTRODUCTORY REMARKS It
i s worth emphasizing that nothing in the preceding l e c t u r e s
depends in
any way upon
a m a t e r i a l medium. Thus it
the concept of motion stands
or
the concept of
independently of whatever
i s nciw
s a i d about continuous media and motion. One of t h e e a r l i e s t questions
r a i s e d by the new mechznlc.: of
special relativity theory concerned the concept and definition of r:,i,, motion. In c l a s s i c a l mechanics, a rigid motion points pair
is of
defined points
by
the condition
in the s e t
at
each
of any s e t of rriarc.:ial
that the distance between instant
of
every
time remain invariant
in time. In the Minkowski manifold of special relativity theory, an stant
of time is
rections
at
each
not defined.
We have
event. Born was
the
given , r a t h e r , a cone of first
t o consider
indi-
the problem
of extenging o r t r a n s f e r r i n g the c l a s s i c a l notion of a rigid motion t o the new kinematical setting of Minkowski space. The concept and definition of a rigid motion of a continuos medium i s an essential preliminary to a relativistic theory of e l a s t i c response. Essential a l s o t o an extension of c l a s s i c a l continuum mechanics t o the m o r e general space-time manifolds of general relativity is the concept and definition of velocity and acceleration. The objective in this l e c t u r e will be to show how the counterparts of these c l a s s i c a l kinematical i d e a s can be defined in a natural way in a manifold of events in which t h e r e i s given at each event a cone of directions corresponding to a m e t r i c field
g
with
IV. 2. MOTION OF MATERIAL MEDIA We shall consider only 3-dimensional m a t e r i a l media. A 3-dimensional m a t e r i a l q e d i u m i s an orientable smooth manifold of
dimension 3, which we denote by
@t
, together with any additional
s t r u c t u r e which may be assigned t o it. In what follows, the only properties of
w,hich will be used a r e those which follow f r o m the
definition of a smooth manifold. The points of by
X , X',
372-
a r e called m a t e r i a l points and will be denoted
X W , e t c . A motion of
??b i s a smooth mapping
R. A. Toupin of a s e t of e v e n t s
6'onto )lL s u c h t h a t
point in the domain of with p r o p e r value
f
is t h e s e t of e v e n t s
h a s r a n k three a t e v e r y
and s u c h that t h e p r o p e r v e c t o r of
is t i m e - l i k e .
0
f
{ < f( 5 ) = X
T h e o r b i t of a m a t e r i a l point
1 e x p e r i e n c e d by the point
X
i s c a l l e d t h e world-line of X. A s r e m a r k e d in the p r e l i m i n a r i e s
X and
j)
12,
f r o m what h a s been a s s u m e d and the i m p l i c i t , function t h e o r e m i t follows that l o c a l l y the w o r l d - l i n e of e v e r y m a t e r i a l point is a smooth
6 . In
p a r a m e t r i z a b l e c u r v e in
o t h e r w o r d s , a motion m a y be r e p r e -
s e n t e d l o c a l l y as a mapping
where
(y
is a n open s e t of r e a l n u m b e r s .
respect t o the parameter,
g
f
T h e gradient of, f
is a p r o p e r v e c t o r of p f
with with
p r o p e r value z e r o ; i t is tangent t o the world-line of the point X + a t t h e event f l ( X , T ). T h e world-velocity field of t h e motion is t h e n o r m a l i z e d field of time-like tangent v e c t o r s
It should p e r h a p s be pointed out that t h e d i r e c t i o n of
v, e i t h e r
f o r w a r d o r backward, depends on t h e p a r a m e t r i z a t i o n of t h e world-lines.
A s yet we have introduced non a s s u m p t i o n s which tlisting~ti+.i
t h e f u t u r e f r o m t h e past. T h u s one should k e e p in mind t h e dependence of
v
upon t h e p a r a m e t r i z a t i o n .
c o r r e s p o n d e n c e with
v
by
Let
g; i. e . ,
vT
b e the c o v e c t o r s e t in
defined b y
the w o r l d - a c c e l e r a t i o n of t h e motion i s defined by
vt ( u ) = g(v, u). Then
R. A. Toupin
(z. 4 '
a'=
(rot vt
A v.
- l ] , phys a t (v) = 0 Note a l s o that phys. dim. v = [ ~ 1 1 -1 -2 , where we T- , phys dim. .-a t = vt =[&G-
Note that
l&
1
dim.
T_ -
introduce the notation companies a
&c,-l.for
= +
T I)
. t h e -time dilation which ac-
i-A G/=G- 1C; of transformation&'= A -. ,.- ' 2 -.
the units of action and
gravity. Only the sign of the acceleration i s affected by the choice of these units and it i s independent of the parametrization of the motion. t o . introduce the symbol
In what follows it proves convenient s
which
sg(u,
U)
<9
depends this
on
has
the
value
if
u
is
the
units by
dependence
plus a
of
one
or
minus
time-like vector. action
writing
and
one such
The value of
gravity. We may
phys. dim.
that s
indicate
s = [ A ~ - ' T-2] -
.
IV. 3. RIGID MOTIONS The
\7 f
gradient.
of a motion ( 2 . .I) determines
a linear
mapping
of
the
tangent
space
space
of
covectors
define
a symmetric
by
the
.
at bilinear
~ - l (,A) n =
(3. 2)
and
in
show that
C
-1
is
material In
manifold
terms
function
of
+
positive definite
V
of
-
372
into
the
f
and
g
material
covectors
we -1
C
.-
,/f(-l~,
. Set
w
=
V f ( n ) . By
a
f. v = 0 , where
hypothesis,
i s time-like. But then g(v,u),
and
v3(8 )
ce of is
positive
tion '
L
. It
vt
is
follows
positive
definite,
0
which
that
s
vector and
, where
time-like. Hence the set
V f ( W 3 ) c o n s i s t s in covectors each of like covector
the velocity
~ ( v =) g t ( w , vt) =
is
vt
v is
of
vt.
u =
image vectors
i s normal to the time-
gt restricted
t o this subspa-
definite. Therefore,
C-'defined in (3. 2)
and phys. dim. C - ' = [z-2].
It i s seen that a mo-
f '((L in &determines a s e t of positive definite quadratic forms
C(J) ; f
(7 ) = X 1 in each
i s locallv rigid at /W1 in a single element i. e.
tangent
space
/rl .
A motion of
X if and only if this s e t of forms consists
, if and only if
The above definition of a locally rigid any parametrization
w3(x) of
f ( 5 ) = f( motion
5') --, C ( 1 )
is
=
independent
of the motion. If a parametrization
C(3 I )
.
of
i s given, mo-
r e ,familiar geometric results emerge, but it i s important t o distinguish those results which depend on
the parametrization
from those which
do not. Let
'
r :
that
one and such
(3)
surfaces
R be a regular mapping of
3 ( 1' into the r e a l numbers
a neighborhood of has rank
j
that
= constant
s p+.v=- 1. Then
each is
such
the events in that
V
T
member of the family of level
space-like. We may
IT( 12)T ( 1') I .where
choose
7-
.~ch
a r e events an-
and
perienced by a given material point X i s the interval of propertime meas:.lred along the world-line of X be.tween the We of
may
view
embeddings
(2. 2)
fl
of
as
t
a in
events
oneparameter
.
The
I'
and family image
F2 .
R.A. Toupin
ft( in
T
3 . 6
),
f o r each value of
c, ,and the s u r f a c e s f
in common i f In
4
7
f
I
(
7
;$, 7
, i s a smooth 3-dimensional surface ) and f
T
(
i]L,
7') have no points
7:
1 2 of the p r e l i m i n a r i e s it was shown how a motion of &b
determines a o n e - p a r a m e t e r family of motions of defined by
The gradient, v T
,of t h i s points point transformation is a linear
7
v4( e )
transformation of the tangent space 4
V (4, 1,
e7=
onto the tangent space
T7 (4. Let the quadratic f o r m g7 be defined by
and suppose that the p a r a m e t e r derivative of the m e t r i c field
t
g
is p r o p e r time.
Then the Lie
with r e s p e c t t o the-velocity field v
of the motion is given by
Let a superposed dot denote differentation with r e s p e c t to t. On verifies by d i r e c t calculation that
It. A. Toupin 4
is t h e projection of V ( 6 ) onto t h e s u b s p a c e w h e r e Pv= I+ s v@vT 3 V ( < , v ) of v e c t o r s at,: n o r m a l t o t h e -?elocity, and u is t h e uniqu.?
solution of
P g f ' (U)= Pv. u
. It
fo!l3ws
f r o m ( 3 . 5 ) that.
and sufficient condition t h a t a motion b e locally rigid a t
6.
X
necessary is that
t h e restriction of the L i e d e r i v a t i v e of t h e m e t r i c field with r e s p e c t t o 3 t h e velocity field of t h e motion t o t h e s u b s ~ a c e s V ( 6 , v ) . f ( < ) = X vanish. 'rhe d i f f e r e n t i a l equations e x p r e s s i n g t h i s cocdition have t h e f o r m
T
w h e r e a s e m i - c o l o n d e n o t e s c o v a r i a n t differentiation, vL v e l o c i t y - f i e l d ( c o v a r i a n t differentation, v components of
v), and the a a
is the
is t h e .-elocity field ( c o v a r i a n t
a r e the components of t h e a c c e l e r a t i o n
defined in (2.4). T h e t e n s o r U is c a l l e d L3or.n'~r a t e of s t r a i n t e n s o r .
V. 4. MEASURE O F RELATIVE STRAIN AND ROTA'I'ION The transformation
is a non-singular l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n
of the
subspace of
space-like v e c t o r s
onto the corresponding
these
s u b s p a c e s we
F o r brevity, l e t and
at
have t h e induced
to
the velocity at
et+ . In each of
the event metric
u s denote the inner product gv(u, w,< t ) by (u, w ) ~ , 3 w a r e e l e m e n t s of V ( 5 ,v) We define the
.
where
u
adjoint
transformation
(4.4)
space
normal
(u'
F7
definite
and
(e,
U #
F'
7
by the
Wit+
condition
T
=P7U , W )
.
Then
i s positive
if
u
We
call
E
V
3
v),
self-adjoint
in
the
s e n s e that
0 , and
) the r e l a t i v e s t r a i n m e a s u r e . Let C7(-t be the self-adjoint positive definite s q u a r e root of C 2 T D 7 = C 7 and D 7 = D r . Set
D7 (< t ) ( et) s o that
so
that
Then
we
This
follows
Thus
the
rotation and
may
the
the
terms
C T (5 t ) and
independent
right-hand ssary
and is
7
.
of
side
components the
T
of
sufficient
that
X
(4.12)
the relative
C
strain
the
th
of
the
configuration the
defined
is
which
condition
measure
one h a s
this
s e n s e that
relative at
(et).
T7
tensor
. But
a in
=
the
that
is
5t+7
a k = s ( g a 8 + s v a vE ) . v By definition, a motion
where
X
RT
at
of
i s i s o m e t r i c in
7
observation
m a t e r i a l about
the configuration
between
of
from
R
that
transformation
of
In
is
assert
if is
following in
(3.2)
and
only if
'*B({+T) on thz
t h e only t e r m
depends a
on
motion
measure
.
relation
7
be
;
hence,
a nece-
locally rigid
C (5 ) be independent T t
at
R. A. Toupin LECTURE
V
MASS, STRESS, ENERGY, ENTROPY, AND MOMENTUM It will be r e m e m b e r e d that when
Faraday ,
studying the curvature of l i n e s of force
in electrostatic fields, had noticed a n apparent tendency of adjacent lines to r e p e l each other, as
if
each tube of
force w e r e inherently
disposed to distend laterally; and that in addition t o this repellent o r diverging f o r c e in the t r a s v e r s e direction, he supposed a n attractive o r contractile force to be exerted a t right angles to
it,
that i s
to say, in the direc-
tion of the lines of force. Of
the existence of these p r e s s u r e s and
tensions
Maxwell
was
fully persuaded; and
he determined analytical expressions suitable to r e p r e s e n t them. The tension along the lines of f o r c e must
be
supposed to
manitain the
pon-
dermotive force which
a c t s on the conductor
on which the l i n e s
force terminate; and
i t may of units
of
therefore be
measured
(in the system
we a r e now using) by the f o r c e which i s
exerted on unit a r e a of the conductor, i. e . , 2
. The
E /8
or
DE/ 8
angles
to
the l i n e s
of
p r e s s u r e at
a
right
force must then be
R.A. determined s o the
aether
a s to
satisfy the
is to be
in
Toupin
condition that
equilibrium."
E. T. Whittaker
V. 1. INTRODUCTORY REMARKS
Nothing considered thus tions
or
properties
f a r depends
of s t r e s s ,
The electromagnetic field and introduced a s densities
of
energy,
in any
entropy, o r
momentum.
the gravitational field have been
physical quantities called magnetic flux and defined
gravity. They have not been
in the traditional way in t e r m s of
the force exerted on charge, c u r r e n t , and m a s s ; "mechanicaln attributes
way upon defini-
been
nor have any other
assigned them. The principles of balan-
ce of energy, momentum, and angular momentum, and the elementary concepts of classical
force and inertia which suffice a s suitable framework for
continuum mechanics do n o t extend in a completely natural general space-time manifolds considered here. We
way to the m o r e seek
a s y s t e m of mechanical principles sufficiently general to include
Einstein's
relation
between
distribution of energy and theory of
motion
with
electromagnetic
an
V. 2 INERTIAL
Recall
the curvature
of space-time and the
momentum, yet specific enough to ertl v.act>
and entropy production
in
a continuum inter^
field.
MASS that
action
is
a 4-cochain
in
6
and
that
. i 'l?g
R. A. Toupin where
zable
the
is
1-1
Let
a
so
that
density
motion we
of
of
a
action. material
a r e given
1%
medium
be
parametri-
a congruence of
world-lines by a
= V f ' (where
t
mapping
such is
that
the
tangent field
everywhere
5
sg(i, 5 ( ) < 0 . Define
time-like,
det V
(2.3J
J
(2.4)
phys.dim.
It follows
f r ~ m the
A
Let define
the
riant to
v field
under v
motion
the
proportional
its
-
.
identies
that
J
to
inertial
the
motion
Lie the
J
the parameter) by
fT
of
is
the action
mass
velocity
the world-tube
vanishes. It if
Jacobi
be in
is
-45-z)-
density of
Let
A tensor
=
denote the dual
I-1
t
if
its
said
to
derivative velocity
field
be
of
fi
Lie
a
. Then
is
motion said
derivative absolutely
with r e s p e c t vanishes. If
p
we
by
p .
of
density
to cp
of
to
be
with
is
an
inva-
respect
invariant anyfield
fi . under t k e A
r-form
v
,
R . A . Toupin from
which
riant
if
we s e e
and
only
In particular, is
the
With
that
induced these
in
was
'112
field
the
locally
in
medium. We consider of
the
r-form
invariant
that
i s absolutely inva-
under
l e c t u r e we showed
about
where
invariant
mind
we
come t o the
a
class
inertial
mass
the inertial of
X
a point
gv
for
a motion,
it
motion.
rigid
metric
remarks
is
previous
the consitutive relation
vlaue
invariant
if
absolutely invariant under
motion of
of
an
if a s c a l a r
Recall
if
that
material
~ ( 6 a)t
that a if
under the
and
only
motion.
important concept
mass
of
a continuous
media for a given
which
event
the
i s given
by
. ..
N is .a. s e t of fields in the world-tube of r/Z called where w , a s =1,2, a s t a t e variables. Different functions U d.efine different m a t e r i a l s of the class,. We
say
that the s t a t e of the m a t e r i a l
motion
i s rigid and if
motion
is
A 14
rigid
is
Replacement
invariance
mass of
each
under
in
under the
satisfies
the
invariant
absolutely invariant
= 0 for
a
X
motion
if the if
ttr
arbitrary
Material Indifference) The
Theorem
of
and
w
iv
invariant
i s invariant
= 0,
f
andV
. (Principle of
mass
the inertial
f q
about
inertial
whenever the state
motion. ;
If
the constitutive
function
U for
the principle of m a t e r i a l indifference and
the s t a t e variables
w
a
implies
its
absolute
invariance,
. Set
Proof g
in
tion
U.
of
g,
this
B U ~
if
for
u
if
A
point,
are
a
point
by
one gv
sees
v a
the
that
principle
is
th'e
rigid
is
for
the a s s e r -
independent of U
motion
the va-
differentiable in
we
of the
r
a
is
indifference,then
field
of
a iocally ri-
have
acceleration. Choosing
proportional to
A
(2.12)
of m a t e r i a l
veiocity
components
and that
is
value
the condition
the
for
aa
A = 0 at
g
satisfies
motion. But
where
to
this
is equivalent t o
U
of
a s we do,
equivalent
is
r vi@vf and i n s e r t
replacement theorem
Assuming,
arbitrary
gid
+
the resulting value
r.
lue
g = gv
The
that
then
sufficient for
v7 a t that a the replacement of
'
But
i s uniquely determined by the gradient of f' gv f a 'tL' and the B r n s t r a i n m e a s u r e s CAB's(gV)aF f ,A , B which proves the corollary : E v e r y constitutive relation of the type (2.9) is
equivalent
to
one of
the
form
R.A. Toupin provided that invariance lute invariance
of the s t a t e variables
.
w
a
implies their abso-
V. 3. ENTROPY AND THE CLAUSIUS-DUHEM INEQUALITY
Anlongside
the f o u r basic physical quantities, magnetic flux,
.:
I
e l e c t r i c charge, gravity , and action we
now s e t a fifth and l a s t called
entropy. A 15: Entropy
where
the
is
w
i s a continuous
entropy
field
4-cochain in event-space.
and
is
the
unit
of
en-
tropy. phys.dim.
C S ~,
o=
%
and S(C
(3.2)
if
6
and
4
4
, 8)
S(€'
are
l4
8 2 )
0
s i m i l a r l y oriented.
Let a
and
c4
p a r a m e t r i z e d motion of a conituous medium be given 4 4 4 consider the entropy S ( 6 ( r ) , z ) of ( r ) = T , ( 6 ) where
f..
a
is
medium
and
Define the te
of
fixed
p
oriented
suppose
entropy
reduction
submanifold in t h e world-tube of the
that the
parameter
flux
relative
of
entropy
is
proper
to the material, @
/9
by
q/8
setting
t i m e . Then
and the r a -
R. A . Toupin
where lute
8 P 0 is
factor later
t e m p e r a t u r e . It i s phys. dim.(
(3.5) Thus
a
the s i g n
depends
t 4, and
compares
on
of
the
assumed
-he )
sign
entropy
of
E4
by
the
L
unit
of time, of
from
material
medium. The sign
is
identified
a
set
translation
independent
with
A
h v = 0,
that
= phys. dim. (
obtained
however,
be
iP e )
the entropy produced in
the direction the
to
the absoand
-1 .
=I ST -- 2
&4
defined
by
of entropy, the orientation
since the definition of events along
&
4
and
of
of
@/i3
a set6
the world-lines of
4 ( 7 )
a
of the product
of
the orientation
of
f,
and
the
unit of entropy.
A 16:
(The
depending
only
nition
the
of
on
Clausius-Duhem Inequality)
the direction
r a t e of production
. For
of the t i m e s t e p of entropy.
every
d arin
- 4
. ,either
the
defi-
None
of
distinguish
out assumptions
between
past
and
future
events along a
line. But hte Cl ausius-Duhem inequality the inequality sign
in
(3.8)
(3.8) allow one t o
before
holds
given
provides this
for
world-
distinction . 4 The l e a s t one
at
6 .
if
Clausius-Duhem ineqnality a s s e r t s that the entropy of a s e t of 4 events ( 7 ) obtained by advancing the s e t into the future
6
along the
t,
the
world-lines
entropy
lateral
of
a
of
m a t e ~ i a l medium i s never l e s s that
plus whatever
entropy
has flowed a c r e s s the
boundary o r the corresponding segment of the world-tube.
V. 4 SOME DIFFERENTIAL INDENTlTIES
Before considering cord
some results Let
which
will
, a = 1?27
t(a)
components
equations
... N
manifold. Then
the components
set
of fields
respect
w a
a r e given
ves
of
the
a coma with
with in
terms
manipclations.
of the manifold
of
a set
set of
of a differec-
cf such fields In
the Lie derivat?..uc of the
to the vector
cf the
we d i g r e s s to r e -
denote the ordered
field, o r the components of
the
tion
mction
e a s e the f c r m a l
in s o m e coordinate s y s t e m
tiable t e n s o r
where
of
field
t(a) and
the
with componerlts
w
partial dr- ,a?:-
t(a) by
followed by
respect
an index denotes partial
diffcr~ntla-
to the corresponding coordinate. The ccefficients
F ( ~ ) a r e tor-stants independent of :he coordinates. All partial (b) fi derivatives in the formula (4.1) may be replaced by the c o r r e -
R. A . Toupin sponding also
covariant
the formula r e m a i n s
t r u e . Thus we
have
where lence
a of
semi-colon
t5
denote covariant
and
(4.1)
wa In
derivates and
= wa
(4.2) follows
F
differentiation. The equiva-
from
+ I Y % 1w P .
particular,
since
g =bP= 0
. The
Lie
derivative
and t k partial derivative
commute :
Suppose continuous denote
is f:
fT
medium
by
A
a one-parameter is
smooth
in
!fl\
fiq,is
. Then
o f7
and Ca
family all
its
a
. Now of
parametrized has
motion
components
which
of we
a naw
suppose that
such
motions
arguments. Set
of
such that
R . A. Toupin
ah
T h e n we
m a y a s s e r t that *T ( 0f , )
o r , in t e r m s of
over
next
an
particular,
coordinate
oriented
in
let
.
patch
value
0.
W
4- f o r m
A
the
f ( o fT =
+
aA
a
The submanifold m a y in
a ( r. f ' )
=
components,
Consider gral
af' -
W O : =
(4.7)
6
be
taken
us
as
small
denote any
e v e n t - s p a c e and i t s i n t e -
..
a s s u m e that
Let
d ( < ) in
in
u/
as
one
p l e a s e s s o that,
it l i e s e n t i r e l y within a s i n g l e the
coordinate
dual system
.
of is
given
1
(4. 11) where
K
a smooth
is
of t h e c o o r d i n a t e of
the
K' =
Rpab
basis
V-cR ,,-
such
system
arC.
the K
function and
of
t1
=
E
, where curvature
Rag
K
function
me
has
our the
=
= R ilabI1, R
tensor
satisfying
its arguments depending
v e c t o r s . T h e functions. R
is
functions every
Suppose that
of
gab
on
t h e orien,.ation
4-y R , =
g f a b ~ a pand
a r e e x a m p l e s of
h y p o t h e s e s . We identity
indepencirnt
show
that
for
R . A . Toupin
(4.12) where
is t h e to
Hamiltonian
g.
proved of
This as
or
Lagrangian
well-known and
follows. L e t
point
T,
transformations -a
= a 5 ( 4 , ~ ) / a r1
wa
Thus
f
this
w
. But
vallishes highest
Using
up
to
C
on
then
that
boundary
of see
g that
ally
the
respect
may
be
o n e - p a r a m e t e r family = 1
T , ( L ~ ) =f+4
w = o on
implies
of y with
theorem
T,
and
let
. Then
boundary
a f/ 4
of
that
of
(m-1) , w h e r e
order
derivative
( 4 . 4 ) we
the
quoted be
. Let
= 0
whenever
derivatives the
such
N vanishes
the region
if
7
-
oft
derivative
together
m
appearing in
is
the
with i t s order
t h e function
of K
.
and
this
which
must
fold
for
e v e r y vector
vanishes
with
its
derivatives up
boundary. We interior
then
point
Recall systems
w
to
we must proves
the
asse-tion
in
classical
mechanics the
A
equation
of d e g r e e s
q i a ) , a = 1, 2,
generalized coordinate
at
each
..
COYTINUOUS MEIIIUAI
OF
f i ~ i t e number
j m - I ) on the
have (4.12)
MOTION
a
c4
in
order
OF
that with
that
& 4 , which
of
V. 5. EQUATIONS
of
conclude
field
. ..
of
motion
of freedom with
N may be
stated
in
the form t
for
all
variatiots
~ of(
I
a ~ specified ~
c l a s s . The
coe!ficients
a r e the generalized forces. The specification of a p a r t i c u l a r Q(a) dynamical s y s t e m consists in laying down constitutive relations for
the
of the
kinetic
coordinates
propose
equations
manifold
cone of directions Consider material
T
and
q(a) and
1,agrange
space-time
the
energy
the action
medium
their for
for which,
g ( 5 ) that
I?/,
the
.
time
at
a
each
forces in
terms
d e ~ i v a t i v e s .H@rc we shall
a continuous
varies of
generalized
medium
event,
smoothly segment
in a general
we a r e given
from point to point. of
a
world-tube of
a
R. A . Toupin
and suppose that the motion where
-
1
f
comparison
is
motions
t4 flL
of
a
given
3%
of
. Let
w = grad A
;?li0 - t
:f
by
one-parameter family
of
(5.2)
is
neighboring
ft
Suppose that (5.3) where lation
The
the of
inertial
the
to
derivatives
different
from
theories
follow
but
for
structure
of
on
all w
g ( 4 ) and
(5,O)
call
For
each
and
is
given
(a)
these
(a) A
=w
by
a
constitutive r e -
comparizon
the
U
metric
might
depend on
tensor
is
not
too
. More definite and special for
the s t a t e variables
w
(a)' a r e interested in exposing the common systems.
( 5 , A ) be fields
(a)
Let such
g ~ ( 5 )= that
g( 4 ,0) =
( 5 ) . Let
(a)
quantities
which
choices
dynamical
= w
for
case (5.4)
we
such
g ( 4 , A ) and
and
ff
specific
moment
of
materials
the special
the
w
p
form
generalization
higher
mass
the variations
state
and
of
motion
g and of
w
(a)
1?1 , the
.
function
R . A. Toupin
is
differentiable
is
given
respect
to
we
posed
star
view
have
used
the
denotes
the
linear
of
(5.7)
we
setting
This
is
Lagrange
with
c ~ n s t i t u t i v e equation (5.4)
the
The besatisfied
Lagrange for
some
) of the (a) the c a s e of
equation
motion
As
point
constitutive expressing and the
equations for
the
inertial
mass
in
have before us
which
one
can
fit
theory
of
most
motion and to
be
class
a of
metric,
generalized functions o r addition
is
system
to
variational
deformation by
equation
of
to
variations and
the s t a t e
adopt
variables.
the view
forces
that
QaF and
functionals
of
the constitutive
the
'21)
. a
r ~ i ~ i ~ ~
the dynamical s y -
merely a framework
e v e r y more
demonstrated
w Qa'
forces
dynamical
a r e required t o specify
we
the s u p e r -
a/aA +
the
mechanics, we
these quantities a s s t a t e variables
for
(5.8) i s
the
s t e m . What
remains
derivative
.
specified
(w, Sg. Sw
for
A . Its
, and
the generalized
LC
equation
(4.8)
operator
define
Q ( ~ )by
tion
parameter
identities
and
in
the
by
where
In
t4
with
definite special a continuous
into case
of
a
medium. This
examples. The nature of
the
sy-
R. A. Toupin
stem
and of
geometrical the
the
properties
detailed
lized
special
nature
forces. But
these constitutive
of
we
the
to
generalized
at (a) the s a m e
V. 6 THE
assume are
Principle
w
on the physical
of
in
Local
the
and upon (a) for the g e n e r a special case,
with
Determinism) The
values
5' not
and
w
every
( Q a f , Q ( ~ ))
by
events
that
consistent
force
world
variables
constitutive relations
shall
uniquely determined and
depends
assigned t h e s t a t e
relations
A 17 : (The each
theory
at
of
later
an
the
event
fields
that
5
value of
6 is g,
o f?
belonging
line.
ELECTROMAGNETIC
AND GRAVITATIONAL STRESS-ENER--
GY-MOMENTUM TENSORS As degrees may
in of
the
freedom,
possess
classify
case
the
force
is
these
special
of
part
the mechanics or
all
a potential. What
we
generalized
considered types
forces
the of
sum
of do
into of
foces,
of
s y s t e m s w i t h finite
the
generalized f o r c e s
now
is
types;
to
a given generalized
f o r c e s of
we consider
essentially
various iirst
types. Of
electrolnagnetic
forces. Consider
the
scalar
function
phys.dim. where
( w , w ) denotes
(@I
the
=
[
_A I
-
quadratic
, form
in
the
space
of
R. A . Toupin 2-covectors
defined
of
the
is
the constant
so
2
-k21 =
uA
function
defined
of
a
the
whose
fi
is
the
fields
g
over
that
phys.dim. (
tensor
4
in
9:' --
of
K
5
1 (11.2)
fine s t r u c t u r e constant.
[B - - -k - l ] .
=
integral
action of
aether
a
g I-) a s
g(and with
k
the
and
cP
v electromagnetic
and
an
v is
oriented
s e t . The
the dual of
E4
symmetric
is
the
tensor
field
by
the
electromagnetic The
covariant
gy-momentum
Its
,
field
constant
phys. dim.
4-form
is
metric
appearing in
(6.2)
a
the
p r e l i m i n a r i e s . The
that
The
by
value
measure momentum
tensor
i s the of
the is
stress-energy-momentum tensor.
divergence of yields the
generalized rate
to
electromagnetic s t r e s s - e n e r -
electromagnetic Poynting
Lorentr
a t which
converted
the
force
f
electromagnetic
other
forms
of
(" ('0)
which
energy
energy
and
identity
is
a
and monien-
tum. In
analogy
with
the
gravitational field
action
2
The
constant
gravitational
above, ( r)
a'
by
has
we
define
the
density
of
R.A. Toupin phys. dim.
(6.6) The
gravitational
and
the gravitational
The
generalized
rate
at
converted
which into
Finally,
where
K
is
a' =
[
-1 - I. G_
stress-energy-momentum
Poynting
identity
gravitational
force
gravitational
field
other
f o r m s of
energy
and
a
scalar
function
of
the
assume
phys. dim.
as
special
scalar K
(g)
a " has
to
a
2
that
Later
identity)
exhibit
has
case
the
has
one
land
and
independent
so
that
motion
and
-
=
tensor
the action of
phys.dim. kI
of
curvature.
the relativi-
[G_ - 1.
theory
of
chooshes
K
whatever
Bianchi
metric
(€9
a'
Einstenls
c u r v a t u r e . But
one
momentum.
let
We
(6.10)
defined by
fa i s m e a s u r e of the ( Y) energy and momentum i s
any
ty constant
is
is
-1 derivatives having phys. dim. [ -A Gother field quantities. We call G
its
tensor
choice
identity
(or
= R
be
,
gravitation
where
made a special
for
H the
c a s e of
is function that
R. A. Toupin
satisfied
by
V. 7. THE It the
the
Einstein
INTRINSIC has
been
(g)
that
the action
density
A
u
is
oi
form A
where
e the
density
material
the
=
of
field
The
intrinsic
Substituting
where
T w
(a)
J
and
and
mass
the
motion p
f
is are
(7. 1)
the such
A
that
the
satisfies defined
of
tk in
a material
principle terms
of
medium by
7
for u one
elastic
I,
is
stress-energy-momentum
from
(el
P
inertial
indifference
metric
J
det
bles
T
STRESS-ENERGY- MOMENTUM TENSOR assumed
(7.1)
of
stress-energy-momentum tensor
tensor
is
defined
by
gets
s t r e s s tensor.
If the
replacement
theorem
s t a t e variaapplies,
R. A. Toupin
then the velocity vector
v
elastic
and
Hence
stress
tensor
, the velocity
is
a characteristic
vector i s
direction
of
the
a c h a r a c t e r i s t i c vector of intrinsic
stress-energy-momentum t e n s o r ,
and the
proper
7.alue
is
p r e c i s e l y the action density itself.
V. 8 SOME FURTHER COMTITUTIVE RELATIONS AND THE ENTROPY EQUATION
T~~ , b = (jl,
If
("1
co
,
, g) i s
Y
a stress-energy-momentum
tensor, we call
(b) the density P
(P
=
A
of
is
relative
the
= s ~ a b v f vT (b) a L.
energy
intrinsic
electromagnetic energy because the definition
of
relative
the corresponding type. Thus A
energy, , E
i s the relative (cp)
density, etc. The adjective ltrelativell i s used of the energy density depends on the
matter a t that event, and such
energy (except in the c a s e of
t r i n s i c energy)
quantity
ds
upon
a relative
in the
sense
that
the i n it
depc?~-
the motion.
Now
which
is
velocity of
set
serves
to define the
dissipative
s t r e s s - m o m e n t u m tensor,
R . A. Toupin
A 18 : The
Assumption
relative
A 18
energy-momentum
then
Thus
the
implies
relative
to
A 18
now
the
we
define
is
given
only f o r m s
gravitational, case
a
complete
stress-
by
energy
the
energy vanishes
if
T
intrinsic, electromagnetic, Consider
that
tensor
complete
according
dissipative
where
by
of
and one
relative
energy a r e
metrical. of the s t a t e variables
in the constitutive function for the inertial m a s s i s (a) 0 . W e now write the constitutive relation entropy field
w
(2.9)
in
the
(8.6)
scalar measure
The
form p
Alternatively,
Lagrange
the
and of
= J-l
T U ( g , v f
preferably, entropy
equation
and
(5.8)
let
,
, a
a
=
w
(a')
" n
J a
1
-
.
be the absolute
set
takes
the
more
explicit
form
- 326 -
L where
4
is
6
4
t ,the
According tensor
has
R. A. Toupin
a
absolute
temperature
A 18,
to unique
the
and
dissipative
decomposition
of
the
stress-homentum form
lr ; =.O is the d i s s i p a t i v e s t r e s s , and S (d) 6 QaE v , h v = 0 , i s the heat flux . (dl E a Suppose now that the L a g r a n g e equation m u s t
where
ha=
Q
arbitrary
variations
Necessary
conditions
Substituting
for
(8. l l ) , one
gets
where
a
respect
to The
T
of
for
class
are
and
superposed proper-time equation
the
hold
Q(d)
dot
from
denotes ( )
along
a
(8: 3)
va
a
and
( 8 . 9 ) in
( i . e. ,differentiation with
world-line
of
the
motion)
.
R . A . Toupin
a consequence
: v
Using the
(8. 1 1 , will
of
entropy
:6
+ s ha
sipation
l P 0
va+
this result
function
The
-fa
function
( a, E l
vt a
Y
equation
given
serve
the
v~
yr- f a
((PI
Clausius-Duhem
dissipation
a1 "(dla 6
=
with
is
@
:
called
e n t r o p y equation.
v7 = T v 7 = 0 , we a (el a put in t h e f o r m
(dl c a n be
equation
(2
Comparing
sa6
= 0 ,
'fl
be
aw(al)
we
and
this
that
- h a (in 101) , a
- ac
(3.4)
find
f
see
qal,
that
1
the dis-
by
inequality as
guides
expression
for
in t h e c o n s t r u c t i o n of
the
spe-
cial theories. The which
dissipation
represents
i s converted t o the this
energy
to
the
also
where in
a
motion
neutral
body
( f
( ). va e l e c t r o m a g n e t i c field e n e r g y
of
energy. Depending on the n a t u r e of
for
but
the c h a r g e - c u r r e n t
of
ti
a
field,
that t h i s t e r m
ener$.v s o
s o m e of is
related
issipation function (8. 15) contains
l e s s familiar
= O) ((PI
-fa
forms
gravitational
rigid
term
which
Joule heat. The
the
the
at
relations
analogous
IL i s
contains
rate
appears a s heat
so-called
the
the
other
constitutive
fundtion
term
potential. T h u s we may non-heat entropy is
conclude that
conducting, e l e c t r i c a l l y produced
a t the r a t e
R. A. Toupin
Thus
if the gravitational constant
absorbed by a particle in
at
#
0, entropy i s produced o r
e v e r y motion with
invariant
state
$
w ( ~ . ) = 0) in which that particle does not move on a s u r f a c e of conv stant gravitational potential. In Einstein's theory of gravitation a ' = 0 , s o (
that these r e m a r k s do not apply. An alternative when it i s not assumed that a t = 0,
i s to a s s u m e that one of the s t a t e variables
w
i s the (a') gravitational potential s o that the inertial m a s s of a particle depends on the gravitational potential which it experiences. Moreover, one can
ad ust this dependence in such
j
absorbed in
a rigid
a
way that no entropy i s produced o r
motion of the medium in which all. the other s t a -
t e variables a r e invariant. This r e q u i r e s that we s e t (8.18) the general solution
where
0
is
zero
except
In this
case,
independent of of
is
the gravitational potential. If (8. 19) be
motion (8. 12) with all forces s e t equ;,! to
inertial and gravitational f o r c e s a s s u m e the
e v e r y m a t e r i a l point
of its m a s s . If it of
aJ,
of which
assumed, the equations
free
--
-at;
moves on
be further assumed that
curvature, the
orbits
lie very close to the c l a s s i c a l
f
specia! for-nl
an orbit independent is
an affine space
determined by (8. 20) when a ' Newtonian orbits. The perihelia,
J,
<< 1
rather
than advancing a s in Einstein's theory. r e c e s s slowly at a somewhat
R . A. Toupin l e s s e r amount p e r revolution. Of c o u r s e , nothing which h a s b e e n a s s u med
in
the general
curvature
F I E L D EQUATIONS
A n e c e s s a r y and
(8.7)
a ' $ 0 , o r t h a t the
of e v e n t - s p a c e v a n i s h .
. EINSTEIN'S
V. 9
t h e o r y r e q u i r e s e i t h e r that
s u f f i c i e n t condition that the L a g r a n g e equation
hold f o r u n r e s t r i c t e d v a r i a t i o n s of t h e m e t r i c field i s
o r , equivalently,
if one c h o o s e s where
and
C
is
for
the function
I\
t h e function ~"T!--~R+C), (g) -1 the c o s m i c a l constant, phys. d i m . C = [GA - - - 1 , then P
--
(9. 2) b e c o m e s
Einstein's
r e l a t i o n between t h e c u r v a t u r e of
s p a c e - t i m e and the distribution of
s t r e s s , e n e r g y , and momentum. It
is of c o u s e a s s u m e d in E i n s t e i n ' s t h e o r y
assumed to
t h a t what we
which
T
that
a''
#
0, but it is a l s o
have called t h e gravitatiqnal constant
:it
p r o p o r t i o n a l is equal z e r o . Under t h i s Bssump-
is (Y
tion
,
that
the geodesics
t h e n u m e r i c a l value of the r e l a t i v i t y constant c a n be s o chosen
classical
orbits
of a s i n g u l a r solution of
T
= 0 l i e c l o s e t o the (g) of e l e c t r i c a l l y n e u t r a l point p a r t i c l e s . In Einbtein's
t h e o r y of gravitation,
what we have called t h e gravitational field
y
e x e r t s no f o r c e on m a t t e r and d o e s not influence i t s motion in any way. In the s p e c i a l t h e o r y of relativity,
it i s a s s u m e d a p r i o r i that
R. A . Toupin event-space i s
affine and that
the
components
of
the m e t r i c a l field
(the light cone) a r e constant in an affine coordinate s y s t e m of
(, .
Thus,
in special relativity, a s in c l a s s i c a l mechanics, the metrical and temporal s t r u c t u r e of the menifold of events i s laid down a s a postulate at the outset and not affected in any way energy and
by the distribution of s t r e s s ,
momentum. The Lagrange equation
tions
consistent
from
the
with
viewpoint
the constraint
s g = 0, which
is
natural
of the special theory. Thus equation (9. 1 ) ,
does not apply in the special theory. Both theory of relativity a r e sumptions thus f a r .
holds only for v a r i a -
the general and the special
e m b r a c e d a s special c a s e s of o u r general a s -
LECTURE .VI ELECTRODYBAMICS OF DIELECTRIC MEDIA "
It was
that the
the
great
merit
brought about a change h e r e in
vincing fashion In principle, ding
to
dered a s
H. A . Lorentz
of
a con-
a field e x i s t s , a c c o r -
him, only in empty space. Matter-consiatorns-is the only s e a t
of e l e c t r i c
charges, between the material p a r t i c l e s t h e r e i s empty space, the s e a t of the electromagnetic field, which is created by the position and velocity of the point charges which a r e
located or1 the material
particles. Dielectricity, conductivity, e t c . , a r e determined exclusively by the type of mechanical tie connecting the particles, of which
the bodies
consist. The particle-charges c r e a t e the field, which , on the other hand, e x r t s forces upon the charge of the particles, thus determining the motlon of the l a t t e r according to Newton's law of motion. If one c o m p a r e s this *it11 consists
Newton's s y s t e m , the change
in this : action at a distance i s replaced
by the field,
which thus a l s o
diation. Gravitational account because
IS
describes
usually not
of ~ t srelative
the r a -
taken into
s m a l l n e s s ; its
consideration, however, was always
possible by
means of the enrichment of the s t r u c t u r e of the field
i . e . , expansion of
field. The gards
Maxwell's
law
of
the
physicist of the present generation r e -
the point of view achieved by Lorentz a s the
R . A . Toupin only possible one; a t that time, was
a
surprizing
however, it
and audacious step, without
which the l a t e r development whould not have been poeeibla.
" A. Einetein
V. I. INTRODUCTORY REMARKS It In significant of relstivity that
to the hiatorieal
development of the principle
Einatcinla famoua paper of
iB06 waa entitled, 'Elek-
trodynamlk bewegter K o ~ p e r ~The ' lactu~ser t a an attempt to nummariac by a amall eet
thin
point
r@prsaent
number of explicit aaaumptiona, a
of general phyalenl principles common t a a l a r g e claaa of m o r e
special
and specific mathematical theories of the electromathetic field
in material media and of the consequent motion such media. These
and deformation of
e m b r a c e and a r e consistent with a vast variety of
different t h e o r i e s of m a t t e r , motion, gravitation, and electromagnetism. They
r e p r e s e n t but a framework into which one can fit m o r e specific
theories characterized by different descriptions of the s t a t e of a medium and
by different constitutive relations relating that s t a t e to the inertial
m a s s and the generalized f o r c e s . One of the e a r l i e s t c l a s s of problems in the new relativity mechanics to be attacked by Einstein, Minkowski, Abraham, Batema, and many o t h e r s , was the construction of a theory of the electromagnetic field in zed
a moving and deforming medium c h a r a c t e r i -
in p a r t by l i n e a r constitutive relations
R. A . Toupin
for the
corresponding medium
at rest
me. Maxwell, Lorentz, Voigt, and o t h e r s constitutive relations like which
in
s.)me inertial 1,orentz f r a -
had demonstrated how linear
(1. 1) and l i n e a r generalizations of them
include the effects of
s m a l l deformation could
account with
elegance and simplicity for many of the known optical and electro-mechanical p r o p e r t i e s ction
of
relations
of solids and fluids. This e a r l y work on the
constru-
" r e l a t i ~ i s t i c counterpatrts ~~ of known classical constitutive like (1. 1) for stationary media to the c a s e of
deformable media, and
the
moving and
controversy surrounding the apparently
contradictory r e s u l t s different investigators i s described in the excellent article
by Pauli. It
i s difficult t o
perceive in this e a r l y work general
physical principles not conditioned by the linearity of the underlying classical
corlstitutive relations under consideration and
which could be
relied upon to guide the construction of the corresponding theory of motion of dielectric media in which the polarization i s not a linear function
of the electromagnetic
field. Thus we
have
abandoned these
e a r l i e r methods of reasoning and in this concluding lecture attempt to sohw how the general principles established thus f a r can guide the construction and physical interpretation of
a m o r e definite special the-
o r y of
does not r e s t
deformable dielectric media which
concept of
upon
the
absolute time and Euclidean space.
V. 2. NON- WAGNETIC P E R F E C T DIELECTRICS
In ordinary t e r m s , by a perfect dielectric one means a perfect e l e c t r i c a l insulator. More formally now, we shall dielectric a s follows. It is a m a t e r i a l
define a perfect
medium in the s e n s e
used in the
R . A. Toupin
previous l e c t u r e s . Let
r, be
a
the charge points
v
be
charge potential
the velocity in
of
the world-tube of the medium. Thus
t;>
of any oriented s e t
of the medium, and let
events experienced by
is
given
In a perfect dielectric medium, t h e r e
exists
such
by
a charge-potential
a
i s equivalent
to
that
A 7)
If
the dielectric medium
of
This
denotes
equation
a divisor of
the dual
asserts
, then
a
of
(2. 2)
that the velocity vector
.
a charge-potential
a t each
event i s A
Thus t h e r e e x i s t s a field
P
such
that (2.4) A
Now
P
is
relation
(2.4)
a term
n )t
uniquely
since
one
proportional
determined may
to
v
A
we
field
that It
where
shall
is
and
to any solution
of
v
and the (2.4)
for
that
o.,
P .
vT
=
a s s u m e as p a r t
of
the definition of the polarization
it s a t i s f i e s ( 2 . 5 )
should be K
o
and obtain another solution. 'l't~ere
one solution , however, such
i s only
and
add
by
.
r e m a r k e d that according t o
the a e t h e r t e n s o r and
9
is
A6,
K(d ) ,
the electromagnetic
R.A. Toupin
field,
is
events
also
a
c h a r g e potential,
whether
m a t t e r e x p e r i e n c e s the
in question
o r not. T h i s i s
the 1,orentz viewpoint. T h u s we
of
must
a l s o have
But
the
potential
charge,
it
uniquely d e t e r m i n e d by the d i s t r i b u t i o n of then
one would
implied
at
infer
all
by
that
r e m e m e b e r e d , is not
be
c h a r g e . If t h i s w e r e t r u e , A
K ( d ) = dual ( P
what h a s
been
v) , and t h i s i s not
v
a s s u m z d above. R a t h e r , one
can
only i n f e r t h a t
$
at3 a ~ 3f o r e v e r y submanifold of e v e n t s points of
a perfect
a r e regular
(2.7)
v),
i
e x p e r i e n c e d by the m a t e r i a l
i s equivalent
[ ~ ( m )I= r o t
rot
o r , taking t h e dual
of t h i s
A
K( 6) and
P V v
to
(b
[ dual
i
v ) 1,
equation,
div [ K ( @ )1 = div ( P d v ) ,
(2.8 ' ) which
we c a n
also
write
in
the form D = K(d) +
div D = 0 ,
(2.9) Equation charge, tric
(F
d i e l e c t r i c . A s s u m i n g that
forms,
(2.8)
A
dual
K(d) =
(2.9)
is
current,
one
p a i r of
Maxwell's
v dl?. equations r e l a t i n g ti?
e l e c t r i c , and magnetic fields
in
a p e r f e c t dielec-
medium. One s e e s
also
from
the above
that t h e dual ,
n Y
, of the
R. A . Toupin c h a r g e - c u r r e n t field
0
in
a
dielectric has
whe-re P =
f 6 . We
charge
Xound charge, and
\
or
Note that Y
where
its
a
zation
/I
call. -div P , the density of
(2.10) does not
into
I\
in
=
an
is
5
form
polarization
the c u r r e n t of polarization.
,
always correspond t o a decomposition of
components
;'
the special
along
v
and
normal to
the acceleration. Thus the
accelerated
current
medium is not a'lways
v
of
since
polari-
perpendicular
to
the velocity a s i s the polarization. We
next a s s u m e
the inertial
mass
for
this special of
J
= u
a
theory of
simple
dielectrics that
dielectric medium i s
a function
In
words,
the inertial
the deformation assumption
gradient,
one excludes
mass
is a
function
of
the m e t r i c field,
the entropy, and the polarization. By his any consideration
of dielectrics
which
such
example, s t r a i n gradienteffgcts, o r diffusion.
a s , for
might be considered
of many other aspects
The s t a t e variables o and required their
in this
do
the replacement theorem
invariance
ce. F o r
P
under
the
motion
in
not
a more general theory
have
of Lecture implies t h e i r
reason, we replace the s t a t e variables
the property V
viz. , that
absolute invarian0
and
P ,
R. A. Toupin which
appear
measures
of
most
natural
entropy
and
in
the
polarization
i?=J
(2. 15)
n = ~7~
In t e r m s of
components
relative
tes
X
and
in
7%
n
(2.16) Since
SavT
P = 1 where v 3 v ( f ,v) . Thus
,
r e s ll a
the
(2.13)
The the
the
is
j?t
.
as
the
a
unique
projection of
to
one of
of each
is
hl
u
,
measu-
. Also,
,gradient the
A
.
rr 1s
metric,
constitutive
the
dual
of
respect
a
relation
2-form :r!
to
0-forms, o r s c a l a r fields in
it
may
be
the world-tubs
the s t a t e v a r i a b l e s in the constitutive
inertial
motion
of
!fL
applies. Thus
4
V ( 6 ) onto
of
the form
, but with of
solution
the polarization
the deformation
the
assumed,
the
a
gradient. Therefore, the
manifold 1% set
has
function
(2.18) for
ment t h e o r e h rence i s
is
is
measure
Therefore,
relation under
a
$2
s c a l a r entropy m e a s u r e
equivalent
material
vT
and
deformation
polarization
viewed ,)f
of
( , this l a s t equation r e a d s
in
equation
3
v
the metric,
function
and
-s
an a r b i t r a r y s y s t e m of coordina-
xA a
= J
by
G .
f
to
€
this
= 0,
a
A
defined
by the s c a l a r
2
(2.14)
about
f i r s t instance,
if .it if
mass is
is
absolutely
invariant,,
invariant
and t h e replace-
the principle of h a t e r i a l
e v e r y constitutive relation
for
indiffe-
the inertial
mass
R. A. Toupin is equivalent
to
one
It c a n
be
shown
must
be
independent C,
,
Consider A = (X ,
then 7
)
,
in
I1
w
7
the
,
of
the form
s e v e r a l ways now t h a t of
t7
and
y
vector
f.t One way
this is
a r e s c a l a r fields
w~
fields
the p a r a m e t e r
of
=&
('I-')
the
motion
function
as in
axr
.
U
follows. Since one h a s
, where
X r=
One then h a s
But
so gets
that
.
computing
'
a 2 xr
in
each
of
two
alternative
ways one
-
339
R . A . Toupin
All t e r m s
but o n e in
a r e l e f t with
the l a s t
equality c a . n c e l
e a c h o t h e r a n d we
t h e condition 0
which
m u s t hold f o r
all
motions
U
i m p l i e s t h a t t h e function
Consider
next
the
pose
n
c/,,
by
that the
where
Lagrange
is
c o o r d i n a t e s y s t e m s . Rut t h i s
independent
Lagrange equation
c t r i c and d e n o t e t h e g e n e r a l i z e d measure
and
of
p
f? Thus
( 8 . 7 ) for a perfect diele-
force conjugate t o the polarization a i s t h e fine s t r u c t u r e c o n s t a n t . Sup-
e q u a t i o ~ l holds
for
a r b i t r a r y variations
of t h e c l a s s
This
will
imply
The
that
e l e c t r o m a g n e t i c e n e r g y - m o m e n t u m v e c t o r in a p e r f e c t
dielectric h a s the special f o r a h
On
taking
one
gets
and
the
Lie
t h e following
relation
of
( 2 . 15)
between
with r e s p e c t
to
t h e c u r r e n t of p o l a r i z a t i o ~ ~
. C o n s i d e r next
in
derivative
the dissipation
hand. U s i n g t h e r e s u l t s
(2. 27)
function
(8. 15)
, ( 2 . 2 8 ) , and
for the case
( 2 . 2 9 ) just
esta-
R. A. Toupin blished, we find that
the dissipation function can be e x p r e s s e d in the
form
where force
the
conjugate to
The the
dissipative-roatary
the polarization
electromotive
medium
is
component
defined
intensity
of the generalized
is
given
at
a
by
point
in
the world tube of
by
(2.32) Since (2.33) we find
that
be expressed
the polarization in
the alternative A
& (d)A "
(2.34)
term
in
the dissipation function can
form c
-- t
(d) a
pa ,
where,
Now let
d = {S
(2.36) denote entropy
I
(dl
theset
of fields
production
whose values
in the medium
.
d e t e r m i n e the r a t e
of
The constitutive relations for
'
R.A. Toupin
dielectrics consist inertial m a s s , at
each
in
and
the function
the
event in the
minism,
A.[qX)]
is
f,'
,
( g,
Whatever may they
this
These
form
- Duhem
these
a r e the
m a l insulator,
constitutive which
is
relations
for
is
value
at
each
mation class
a
t r a n s p a r e n t , optically passive, and a perfect
except
event
gradient of
media
for
2-form is
and is
with
a perfectly elastic, ther-
properties
r
than 6 (X),
is
all
where
the field varia-
consistent
A
insulator. The next simplest c l a s s of
The constitutive relations
local deter-
@*O.
electrical these
motion
constitutive relations,
the condition
inequality
of the
f t ( X ) not l a t e r
of
(€1
A
principle of
of the values of
simplest constitutive relation for
Clausius
terms
the
a t events
be the explicit
in
to
a functional
must be consistent with The
71/12
medium. According
P)
value determine the
giving the values
world-tube of
and s t a t e of
bles
relations
the
whose
U
that they this
called a
may
class
the
function
be
optically active.
a r e of the f o r h
gyration coefficient whose of the values
electromagnetic
non-dissipative
dielectrics s h a r e s
in
field the
at
of
the
defor-
that event. This
sense
that
9
=
0.
= diag(l,ljTl) a6 in appropriate units, and if the velocity of the medium relative i v , t o t h i s f r a m e a s measured by the f i r s t . t h r e e components
If a
Lorentz
frame exists
such
that
R. A. Toupin i = 1, 2, 3 of
the velocity vector i s every s m a l l compared with 2 3 i i ; i. e . , V = C v v 1 , in the units c h o s e ~ ~ a n d i=l r a t e of change of the inertial m a s s (internal energy)
unity if the is
<<
everywhere
small
in
the s e n s e
I,,-l t h e theory field
in
"A
v2
:
of
motion
of
dielectrics
them
based
on
(2. 38)
tical purposes from in
El
that
dynamical
and
of
the
electromagnetic
i s indistinguishable
the c l a s s i c a l theory theory
of
of
for
all prac-
such media described
elastic d i e l e c t r i c s "
.
Thus it i s
unne-
c e s s a r y t o repeat h e r e the way in which s i m p l e solutions o r approximate solutions of the system of equations proposed h e r e can be constructed and interpreted electromagnetic and
physically
is
on
side
by
is
the concept
necessary
to
side a s
of
known qualitative
electromechanical p r o p e r t i e s of elastic d i e l e c t r i c s .
The present treatment relies
in t e r m s
superior
to the one given
and p r o p e r t i e s of absolute time. Whenever it
t r e a t both inertia and in
the c a s e
of
the e l e c t r o m gnetic field
the dynamics of dielectrics, a
c l a s s i c a l t r e a t m e n t of the f o r m e r leads inevitably t o a preferred r e s t . Such s e , and
frame a frame
a Lorentz
of is
both Galilean (inertial)
in s o m e
sense
5
at
in the c l a s s i c a l sen-
view of the e l r c t r o r n a g l e -
f r a m e s a r e a t r e s t relative
While the effects of motion relative small
the existence of
r e f e r e n c e - r e i a t i v e to which the a e t h e r
f r a m e f r o m the point of
t i c equations. All such
e a r l i e r which
to this c a l s s
to
one another.
of f r a m e s i s
(an assumption which must be made for s t r i c t
logical ihterpretation of the c l a s s i c a l theory), certainly the relativistic t r e a t m e n t given h e r e which does not r e s t on such an hypothesis, can claim g r e a t e r simplicity.
C E N T R O INTERNAZIONALE M A T E M A T I C O E S T I V O ( C . I. M. E . )
CHAO-CHENG WANG
SUBFLUIDS
Corso tenuto a Bressanone dal 31 maggio a1 9 giugno
1965
SUBFLUIDS by Chao- Cheng Wang
This
l e c t u r e concerns
a c l a s s of simple m a t e r i a l s
simple subfluids, o r m o r e briefly subfluids. rials
called
These a r e s i m p l e mate-
for which the isotropy group contains a dilatation g r o u p , i. e . , a
group of a l l
unimodular p u r e s t r e t c h e s
. In
r l y independent directions can
1
and reflections in t h r e e linea-
other words, a dilatation group,
be indexed by a linearly independent s e t
e3)
{el, r e a l numbers "J
, such that a t e n s o r A
1'
A
2' 'IAl
A e --
i
such
3
A 2 A 3 [=
=Ai
ei
A
-
E
h
-
of t h r e e v e c t o r s , s a y -.
h
-
t h e r e exist
that and
1, for
.
i = 1, 2, 3
F r o m this definition it i s obvious that w.thout l o s s of generality we can choose ; e . ' t o be unit vectors. We call the l i n e a r l y inde-1
pendent s e t
of
The unit v e c t o r s
vectors { e . )
e.
are
-1
In c l a s s i c a l by a
unit -
a
-1
then called
s e t of a x e s axes -
crystallography a c r y s t a l
of
of
h, -
-h.
c l a s s i s characterized
crystallographic group. These crystallographic groups a r e
groups of the orthogonal group. According The constitutive equation of T (t) -
=
t o No11 [2]
sub-
the groups
a simple m a t e r i a l i s of the form
3 ($)
, M)
Where T(t) i s the Cauchy s t r e s s tensor a t ' m e t, M i s an arbit r a r y lo 1 r e f e r e n c e configuration,, and F i s a function whose value FE' ( s ) , s,lo ; m) i s the deformation gradient relative t o M at t i m e t - s . F o r m o r e details of the theory of simple m a t e r i a l s we r e f e r t o [ l I.
,
(If
C. C. Wang
corresponding to the c r y s t a l c l a s s e s define various types of
solids. It i s -
simple
known that t h e r e exist a l s o infinitely many subgroups of
the unimodular group that a r e not conjugate2
to subgroups of the ortho-
gonal group. According to Coleman 1 3 7 a simple m a t e r i a l for which the isotropy group i s not conjugate to a subgroup of the orthogonal group i s called a simple liquid c r y s t a l
. For
a simple liquid c r y s t a l t h e r e e x i s t s no
reference configuration for which the isotropy group i s a subgroup of the orthogonal group. F r o m the definition, it i s obvious that a conjugate of a dilatation group i s again a dilatation group. Since a dilatation group does not p r e s e r v e the inner product, up of the orthogonal
group. T h e r e f o r e
it
i s never a subgro-
a subfluid i s a simple liquid
i s a simple liquid c r y s t a l . T h e r e a r e infinitely many types of s i m p l e liquid c r y s t a l s that not subfluids. It t u r n s out that among all s i m p l e liquid c r y s t a l s are a distinguishing feature of subfluids i s this : The local configuration of a subfluid i s always tion of c e r t a i n
characterized by the density and the
orienta-
m a t e r i a l l i n e a r manifolds. F o r example, a s i m p l e ma-
t e r i a l f o r which the isotropy group i s the group of all
unimodular
2 ~ o l l [2] proved that the transformation r u l e of the isotropy group of a s i m p l e material relative to change of r e f e r e n c e configuration i s a conJugation whithin the general l i n e a r group-, i . e . , if M and N a r e two reference configuration and and g are .=N the corresponding isotropy group , then
gM
where
G_
maps
M
onto
N.
'
C. C. Wang
subfluid
is
never an isotropic m a t e r i a l
Relative t o a s e t of axes, subgroups
which
5
.
the component m a t r c e s
c h a r a c t e r i z e the 14
type of
of the 14
subfluids a r e listed
in the following table.
5
According t o No11 [ 2 1 a simple material i s isotropic if t h e r e e x i s t s a reference configuration f o r which the isotropy group contains the full orthogonal group. T h e r e exist only two types of isotropic m a t e r i a l s : simple fluids and isotropic simple solids.
C. C. Wang Component m a t r i c e s
Type number 1
(Simple
fluids)
a
b
c
d
e
f
g
h
i
ldetl
= 1,
a, b, c ,
... a r e
arbitrary
real
numbers.
2
3
4
5
6
7
a
b
O
c
d
O
e
f
g
a
b
c
d
e
f
o
o
g
a
b
c
0
d
e
O
O
f
a
b
c
O
d
O
O
O
e
a
b
c
O
d
O
0
0
e
a
b
O
c
d
O
O
O
e
or
a
b
c
O
O
d
O
e
O
-
C.C. Wang
8
9
10
a
0
b
c
a
0 O
d
o
e
a
0
0
b
c
O
d
o
e
a
0
0
b
c
O
O
O
d
o
r
b d
0
0
O
c
e
0
Generated by the union of types 12-14.
11 12
a
0
0
O
a
O
0
0
a
0
b
0 , o r
0
0
b , o r b
0
0
o
o
c
c
o
o
o
c
o
a
0
0
O
a
O
O
b
b
O
O
o
o
c
o
c
a
0
0
.O
b
0
o
o
c
13
14
To s e e
that
these
ma in group theory. I Definition. independent
set
A if
0
14
shall 0
every
=
{
,
o
r
o
types a r e exhaustive,
s t a t e a definition
2,
three
,
,
vectors
..
of
we need a l e m -
first. of v e c t o r s i s are
called
linearly
C. C. Wang
independent. Lemma
Let
e el, -2,
{
-e3 9 f
the union of the dilatation ifi)
, respectively,
of this types
lemma is of
groups
h
generates the full given
subfluids
in
is
[5
mine the most general
from
present
M
is
-
maps
F::; N(t)
onto
N(t-s),
axes
{ei ),
.A
proof
of the
14
lemma. i s to d e t e r ar-
the form
, M)
reference,
7
i s the relative
equation i s of
configuration.
as
=
of this
concerning subfluids
3
=
N(t)
T (t) where
completeness
s e t . Then
of the constitutive equation. F o r a n
the r e f e r e n c e
configuration
with
unimodular group
1 . The
the constitutive
(t)
-k
independent
#
a direct consequence
b i t r a r y simple m a t e r i a l
T
9
5
The next important problem
where
be an
f
f
,
m a t e r i a l frmae-indifferende it can be shown
we choose the
equation
(1)
reduces to
N(f) )
deformation
s6 [ o, w
If
history, i. e . ,
. From
-
F ( ~(s) )
(t) the principle of
' that (2) reduces
to
the
form
6
For rence
the statement of and the proof of
the principle of m a t e r i a l frame-indiffe(3) we r e f e r to [ 1 1
.
C. C. Wang
where
c(~) -0)
is
the relative
c(') -(t)
(a)
The superscript sition.
For
the
From certain
-(t)
T
N(t)
is
constituitive
the table
subfluid
.
of
s i m p l e fluids
figuration tly,
=
T
(s)
$1
-
8
T F ( ~ ) (s) in (t) it is e a s i l y s e e n
-
equation
by
that
the
to
the
(t),
i (t)} 3
i2 (t),
a r manifolds red -
basis
sets
of
at
time
which t.
It t u r n s
represents We
out
of
(4)
denotes
that
the
transpo-
local
con-
call
the dilatation g r o u p s
configuration of a that f o r set
of
of
e a c h type
unit
vectors.
the p r e f e r r e d m a t e r i a l line-
the
set
of t h e subfluid. T h e p r e f e r r e d b a s i s
axes
s ~ [ o w, ) .
and the orientation
of subfluid we c a n a s s i g n a l i n e a r l y independent i
by
the form
local
density
l i n e a r manifolds.
defined
by t h e d e n s i t y f ( t ) . Consequen-
reduces
we s e e
i s characterized
tensor
(s)
(t)
characterized
above
material
Cauchy-Green
tii
(t) } a
i s chosen
t h a t a r e contained
preferfrom
the
in
. Using t h e p r e f e r r e d b a s i s and the d e n s i t y a s t h e r e p r e s e 2 ~ ( t ) , we c a n w r i t e the constitutive equation of a ntation of N(t) subfluid
as
follows:
C. C. Wang
F r o m the principle functional
for
all
i s isotropic,
theorem
of
(8)
i'.e.,
Q .
orthogonal t e n s o r s
sentation form
of m a t e r i a l frame-indifference we observe that the
of
Cauchy
the constitutive
T(t)
ij
(t)kl
satisfies
Hence
we
and obtain
the relation
can
apply the r e p r e -
the following reduced
equation
. /, (t),
= Q qt)
it
g12(t)* gz3(t). g13(t)):li(t)
a
i.(t) J
where g a b (t)
(9)
= -i a ( t )
a r e the components
is
of
.i,(t)
the m e t r i c tensor, and
the component representation
of
the relative
I
with r e s p e c t t o the p r e f e r r e d stitutive
equations
c a s e s of
(8)
There id
is
an1
also
elastic
.
of For
For a
subfluid
general
basis
{ ji
various types
m o r e details special
elastic m a t e r i a l
called a hyperelastic 7
the
a r e several an
=l,2,3,
a,,
(t) )
.
The
of subfluids
we r e f e r theories
it
Cauch
to
Y- Green exact
theory
of
con-
a r e special
15 1
.
of subfluids. If a subflu-
i s called an elastic subfluid. If
p o s s e s s e s a stored-energy function then subfluid.
tensor
These
it i s
hyperelastic subfluids have
hyperelastic m a t e r i a l s
we r e f e r to [l 1.
C.C. Wang
s o m e very interesting properties. It up of the stored-energy i s different f r o m ction
8
. It
seems
t u r n s out
that the
isotropy gro-
function of a hyperelastic sufluid generally
the isotropy
group
of
i t s mechanical r e s p o n s e fun-
that
these hyperelastic subfluids
a r e the f i r s t examples e v e r given that
exhibit this 'interesting property; The constitutive equations tain types of hyperelastic subfluids a r e very simple can be shown of Types
where {
1-4
that the constitutive are as
i . ) i s the
-1
follows
preferred
equations
of
. For
of c e r example, it
elastic
subfluids
9
basis
and
a( P
)I
, b( , P
)
That a hyperelastic m a t e r i a l may have two distinct isotropy groups one for the s t o r e d energy function and one f o r €he response functionwas f i r s t r e m a r k e d by Truesdell [ 6 ] However he did not give any explicit example.
.
9
Notice (12) and ( 13) a p p e a r to be the s a m e equation, yet r e a l l y the vector i in (12) i s the unit tangent to an invariant 3 line , while the vector i in (13) i s the unit normal t o an invariant plane. F o r -t%e detail of the p r e f e r r e d b a s i s we
-
r e f e r to [5
I
C. C. Wang c(
Q
)
are arbitrary
subfluids ons
b(
of
f
functions
Types and
)
, however, I
1-4 c(
of the density,
$
.
7
can
For h y ~ e r e l a s t i ~
p r o v e that
m u s t r e d u c e t o l i n e a r functions in
)
i.e. ,
There
is
no r e s t r i c t i o n induced on
e l a s t i c fluid given
is
.
If t h e
stress
and a l i n e a r l y fluid.
hyperelastic,
in [ 5 1
in
we c a l l
There
also
been
for
worked
particular,
T h e proof
a subfluid i s the s u m
viscous p a r t ,
has
a ( Q). In [ I 1 ).
(cf.
The constitutive equation
subfluids
i n c o m p r e s s i b l e subfluids. T h e s e
& No11
[71
, [8 1
of
7
,
every (15)
is
of a n e l a s t i c p a r t
the subfluid a Newtonian s u b the v a r i o u s out
t y p e s of Newtonian
explicitly in r e f e r e n c e [ 5
a r e c e r t a i n dynamical p r o b l e m s that c a n
sly by Coleman
the functl-
p r o b l e m s have been for incompressible
I.
be t r e a t e d f o r studied previous i m p l e fluids.
T r u e s d e l l , C.JNol1, nics. T o a p p e a r a s
Noll,
W.
W., T h e n o n - l i n e a r F i e l d T h e o r i e s of M e c h a Handbuch d e r P h y s i k , vol. 11113.
Arch. Rational
Coleman,
Mech. Anal.
B. D . , S i m p l e l i q u i d c q s t a l s
-
(1958159) 197-226. A r c h . R a t i o n a l Mech.
Anal. (1965). C o l e m a n , B. D. & Noll, W. , A r c h 87-111. Wang, C. Mech
-
C.,
. Anal.
R a t i o n a l Mech. Anal. 1 5 (1964)
A g e n e r a l t h e o r y of s u b f l u i d s
(1965)
Truesdell, C.,
.
.
P r o c . Nat. A c a d . S c i .
C o l e m a n , B. D. & Noll, W., C o l e m a n , B. D. & Noll, W . , (1959) 289-303.
Phys Arch
.
-
Arch. Rational
-
5 2 (1964), 1081-1083.
Fluids, 5 (1962) 840-843.
. Rational
Mech. A n a l .
-3