Numerischen Simulation von nichtreaktiven und reaktiven turbulenten U berschallstromungen in Staustrahltriebwerken
Von der Fakultat fur Maschinenwesen der Rheinisch{Westfalischen Technischen Hochschule Aachen zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von Diplom{Ingenieur Stefan Sasse aus Ibbenburen
Berichter:
Univ.{Prof. Dr.{Ing. W. Koschel Univ.{Prof. em. E. Krause Ph. D.
Tag der mundlichen Prufung: 23. Oktober 1998 D 82 (Diss. RWTH Aachen)
Berichte aus der Luft- und Raumfahrttechnik
Stefan Sasse
Numerische Simulation von nichtreaktiven und reaktiven turbulenten Überschallströmungen in Staustrahltriebwerken
.
D 82 (Diss. RWTH Aachen)
Shaker Verlag Aachen 1999
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Sasse, Stefan: Numerische Simulation von nichtreaktiven und reaktiven turbulenten Überschallströmungen in Staustrahltriebwerken / Stefan Sasse. - Als Ms. gedr. - Aachen : Shaker, 1999 (Berichte aus der Luft- und Raumfahrttechnik) Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 1999 ISBN 3-8265-6498-7
.
Copyright Shaker Verlag 1999 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Als Manuskript gedruckt. Printed in Germany.
ISBN 3-8265-6498-7 ISSN 0945-2214 Shaker Verlag GmbH • Postfach 1290 • 52013 Aachen Telefon: 02407 / 95 96 - 0 • Telefax: 02407 / 95 96 - 9 Internet: www.shaker.de • eMail:
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Vorwort
Die vorliegende Dissertation entstand wahrend meiner Tatigkeit als Stipendiat im Graduierten Kolleg "Turbulenz und Verbrennung" am Lehr{ und Forschungsgebiet Betriebsverhalten der Strahlantriebe des Institutes fur Strahlantriebe und Turboarbeitsmaschinen der Rheinisch{Westfalischen Technischen Hochschule Aachen. Herrn Univ.{Prof. Dr.{Ing. W. Koschel danke ich besonders fur die Betreuung und die U bernahme des Referats sowie die mir gewahrte wissenschaftliche Betatigungsfreiheit. Ebenfalls mochte ich Herrn Univ.{Prof. E. Krause Ph. D. fur das Interesse an meiner Arbeit und die U bernahme des Korreferates danken. Weiterhin gilt mein herzlicher Dank allen beteiligten Kollegen und Kolleginnen des Institutes, die durch zahlreiche kritische Diskussionen und konstruktive Anregungen zum Gelingen dieser Dissertation beigetragen haben. Hervorheben mochte ich hier Dr.-Ing. Wilfried Rick und Dr.{Ing. Stephane Melen. Mein besonderer Dank gilt meiner Frau Ute. Sie hat mich in dieser Zeit immer wieder neu motiviert und damit einen wesentlichen Beitrag zum Gelingen der Arbeit geleistet.
Aachen, den 23.10.1998
Inhaltsverzeichnis Nomenklatur
iv
1 Einleitung
1
2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen 5 2.1 Allgemeine Gleichungen fur kompressible Fluidstromungen : : : : : : : : :
5
2.2 Turbulente Stromungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
7
2.2.1 Zeitliche Mittelungsansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8
2.2.2 Schlieungsansatz fur die Reynoldsspannungen : : : : : : : : : : : : 11 2.2.3 Transportgleichungen der Turbulenzgroen : : : : : : : : : : : : : : 13 2.3 Anfangs{ und Randbedingungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16
3 Turbulenzmodellierung mit dem k{"{Modell
22
3.1 Die Transportgleichung fur die Turbulenzenergie k : : : : : : : : : : : : : : 23 3.2 Die Transportgleichung fur die Dissipationsrate " : : : : : : : : : : : : : : 24 3.3 Randbedingungen fur das Trubulenzmodell : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 3.4 Logarithmisches Wandgesetz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26
4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
31
4.1 Die turbulente Di usions amme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 4.2 Modellierung der turbulenten Verbrennung : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34
ii
INHALTSVERZEICHNIS 4.3 Der Phasenraum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 4.4 Der Mischungsbruch : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 4.5 Der PDF-Ansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 4.6 Modellierung der Gleichgewichtschemie mit dem PDF-Ansatz : : : : : : : : 45 4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell : : : : 48
5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses
57
5.1 Kompressibilitatsein usse bei nicht{reaktiven Stromungen : : : : : : : : : 57 5.2 Kompressibilitatsein usse bei reaktiven Stromungen : : : : : : : : : : : : : 59 5.3 Kompressible Dissipationsrate : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 5.3.1 Modellierung der kompressiblen Dissipation : : : : : : : : : : : : : 61 5.3.2 Modellierung der verbrennungsbedingten Dissipation : : : : : : : : 61 5.3.3 Modellierung der Druck{Dilatation : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 5.4 Erweitertes k{"{Modell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68
6 Numerische Verfahren
70
6.1 Finite Elemente Approximation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 6.2 Taylor Galerkin-Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 6.2.1 Explizites Zwei-Schritt-Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78 6.2.2 Numerische Dampfung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81 6.3 Galerkin{Runge{Kutta Zwei{Schritt{Verfahren : : : : : : : : : : : : : : : : 84
7 Netzgenerierung
86
7.1 Unstrukturierte Netzgenerierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87 7.2 Generierung von Hybridnetzen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88
INHALTSVERZEICHNIS
iii
8 Ergebnisse
91
8.1 Scramjet-Einlaufe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96 8.2 Ruckspringende Stufe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103 8.3 Scherschichtstromungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111 8.3.1 Nichtreaktive U berschallscherschichten : : : : : : : : : : : : : : : : 113 8.3.2 Reaktive U berschallscherschichten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117
9 Zusammenfassung und Ausblick
120
Literatur
123
Nomenklatur a cp cv D E E e J k L
M M ML
Mt Mc N nk P P p q R rf S T t U u v w x; y Y Z
Schallgeschwindigkeit spezi sche Warme bei konstantem Druck spezi sche Warme bei konstantem Volumen Di usionkoezient Totalenergie Fluvektor innere Energie Massen u turbulente kinetische Energie Flachenkoordinate molare Masse Elementmassenmatrix diagonalisierte Elementmassenmatrix turbulente Machzahl konvektive Machzahl Ansatzfunktion Normalenvektor Ansatzfunktion Produktionsterm Druck Warme u Gaskonstante R = R=M Stochiometriekoezient Quellterm Temperatur Zeit Erhaltungsvektor Geschwindigkeit Geschwindigkeit Geschwindigkeit kartesische Koordinaten Massenanteil einer Spezies Mischungsbruch
NOMENKLATUR
Z 002 ; e i;j " ;
!_ !ij00 i;j w mix
Varianz des Mischungsbruchs Stromungswinkel Dreiecks ache Kroneckerdelta Dissipationsrate von k Integrationsgrenze Karman{Konstante Warmeleitkoezient dynamische Zahigkeit Integrationsgebiet chemische Produktionsrate Wirbelvektor Dichte Spannungstensor Variable Wandschubspannung charakteristische Zeit der Mischung
Kennzahlen: Da Ma Pr Pe Re Sc
Damkohlerzahl Machzahl Prandtlzahl Pecletzahl Reynoldszahl Schmidtzahl
Indizes unten: e; E d i; j; k I; J h n n ref s t t t ox eq
Elementwert dilatational lokaler Knotenwert globale Knotenwert warmebedingte Dilatation Spezieskomponente normal (Richtung) Referenzwert solenoidal turbulent total tangential (Richtung) Oxidator Gleichgewicht
v
NOMENKLATUR
p B
Produktion Brennsto freie Anstromung
a v n
konvektiv di usiv Zeitebene Favre gemittelt Fluktuation
1 Indizes oben: 00
vi
Kapitel 1 Einleitung Die numerische Simulation von Stromungsphanomenen spielt in den letzten Jahren bei technischen Neu- und Weiterentwicklungen eine immer groere Rolle. Mit der standig wachsenden Leistungsfahigkeit der Rechnersysteme im Bereich der Rechengeschwindigkeit und des Speicherplatzes, sind komplexere Stromungssituationen mit immer aufwendigeren Stromungslosern simulierbar. Durch den Einsatz der numerischen Stromungssimulation lat sich schon im Vorfeld einer Entwicklung eine Aussage uber die zu erwartenden Stromungsphanomene und die damit zusammenhangenden Stromungsverluste machen. Die Simulation am Anfang einer technischen Entwicklung ist umso bedeutungsvoller, je innovativer die technische Neuerung ist, d.h. je weniger vorhandene Erfahrungen und Informationen zur Verfugung stehen und genutzt werden konnen. Desweiteren lassen sich durch die Informationen aus numerischen Simulationen gezieltere experimentelle Untersuchungen gestalten, womit e ektivere und vor allem kostengunstigere Versuchsreihen moglich sind. Eine technische Entwicklung, die in den letzten Jahren wieder an Interesse gewonnen hat, ist die Entwicklung von luftatmenden Hyperschallantrieben, die Fluggeschwindigkeiten in Machzahlbereichen von 6 - 10, ermoglichen. Konventionelle Turbotriebwerke lassen bezuglich der Fluggeschwindigkeit einen maximalen Einsatzbereich bis ca Mach = 3 zu. Oberhalb dieser Machzahl wird der Einsatzbereich eingeschrankt, da der spezi sche Impuls der Turboantriebe stark abnimmt. Fur Fluggeschwindigkeiten uber Mach=3 mussen deshalb andere Triebwerkskonzepte verwendet werden. Erste Ideen fur ein derartiges Konzept wurden schon fruh in den Patentschriften von Albert Fono 1928 [1] und Rene Leduc 1935 [2] [3] vorgestellt. Beschrieben werden hier das Triebwerkskonzept fur ein Staustrahltriebwerk und ein Flugzeug, das mit einem solchen Triebwerk angetrieben wird. Vorteil dieser Systeme ist es, da sie den fur die Verbrennung benotigten Sauersto der Luft entnehmen, und nicht wie die konventionellen fur diesen Geschwindigkeitsbereich eingesetzten Raketenantriebe, den Oxidator mitfuhren und damit mitbeschleunigen mussen. Derartige Antriebe konnen fur Hochgeschwindigkeits ugzeuge oder auch fur eine luftatmende Unterstufe eines orbitalen Tragersystems eingesetzt werden. Entsprechende Forschungs- und Entwicklungsprogramme sind in den vergangenen Jahren in verschiedenen Landern, wie
2
Kapitel 1 Einleitung
das 'NASP'-Programm [4] in den USA oder das 'Sanger'-Programm [5] [6] in Deutschland, durchgefuhrt worden. Ein wesentliches Merkmal dieser luftatmenden Hyperschallantriebe nach dem Staustrahlantriebskonzept ist, da sie im Gegensatz zu Turboantrieben keine rotierenden Komponenten wie Verdichter und Turbine besitzen. Die Kompression der Luft erfolgt ausschlielich durch den Aufstaue ekt bei groeren Flugmachzahlen. Die Stromung wird hier uber mehrere Verdichtungsstoe, die durch eine Rampengeometrie ausgelost werden, verzogert, komprimiert in die Brennkammer geleitet. Man bezeichnet sie deshalb auch als RamjetAntriebe. Bedingt durch einen abschlieenden senkrechten Verdichtungssto am Ende der Einlaufgeometrie ndet eine Verzogerung der Stromung auf Unterschallgeschwindigkeit statt. In der Brennkammer wird Treibsto zugefuhrt, verdampft, vermischt und schlielich verbrannt, was mit einem starken Druckanstieg verbunden ist. Die heie, hochkomprimierte Stromung expandiert uber eine konvergent-divergente Duse wieder auf U berschallgeschwindigkeit. Ramjet-Triebwerke haben einen wesentlich hoheren spezi schen Impuls als Raketentriebwerke. Wahrend er bei Raketenantrieben unabhangig von der Flugmachzahl ist, nimmt dieser bei luftatmenden Antrieben mit steigender Flugmachzahl ab. Oberhalb einer Machzahl von Mach = 6 werden die Verluste durch die Verzogerung auf Unterschallgeschwindigkeit uber einen senkrechten Verdichtungssto so gro, da es fur den Triebwerksproze von Vorteil ist, eine Verbrennung des Treibsto s in einer U berschallstromung zu realisieren. Dieser Fall wird als Scramjet-Antrieb (Supersonic-Combustion-Ramjet) bezeichnet. Die Stromungsverhaltnisse in U berschallantrieben sind sehr komplex und bedurfen bei der Triebwerksentwicklung einer genauen experimentellen und theoretischen Analyse. Hier ist grundsatzlich das Gesamtsystem zu betrachten, da zwischen allen Komponenten des Flugsystems, wie Flugzeugrumpf, Triebwerkseinlauf, Triebwerksduse und Brennkammer, eine starke Interaktion besteht. Trotzdem ist eine spezielle Analyse der Einzelkomponenten unverzichtbar. So ist die geometrische Gestaltung des Einlaufbereichs des Triebwerks fur den Wirkungsgrad uberaus wichtig. In den vergangenen Jahren wurden deshalb vielfaltige Untersuchungen zu den Grundlagen der Auslegung derartiger Einlaufgeometrien durchgefuhrt [7] [8] [9]. Die Untersuchungen erstreckten sich sowohl auf Experimente wie auch auf numerische Simulationen [10]. Es hat sich dabei gezeigt, da die Wechselwirkung zwischen der Grenzschicht an der Triebwerkswand und den Verdichtungsstoen eine entscheidende Rolle fur den Wirkungsgrad des Einlaufs hat. Die Stromung aus dem Einlaufbereich wird der Brennkammer zugefuhrt, und die Brennsto zufuhr erfolgt dann ublicherweise bei Machzahlen im Bereich von Mach = 2 bis Mach = 3. Dieses hat einen entscheidenden Ein u auf den Mischungs- und damit auch auf den Verbrennungsproze. Die hohe Geschwindigkeit reduziert den fur die Verbrennung erforderlichen Mischungsproz zwischen der komprimierten Luft und dem zugefuhrten Brennsto . Entsprechende experimentelle [11] und numerische Untersuchungen [12], [13] konzentrierten sich deshalb auf die Verbesserung
3 dieser Mischungs- und Verbrennungsprozesse, um einen guten Triebwerkswirkungsgrad zu erzielen. Zur Losung der Di erentialgleichungen, mit denen die Stromungsprobleme beschrieben werden, sind verschiedene numerische Verfahren im Einsatz. Bis vor einigen Jahren basierten sie im wesentlichen auf den Finite Di erenzen und Finite Volumen Methoden in Verbindung mit strukturierten Berechnungsgittern. Einen U berblick uber diese grundlegenden Methoden ndet man in den Vero entlichungen von Roache [14] oder Peyret, Taylor [15]. Neuere Tendenzen fuhren, insbesondere durch die progressive Entwicklung der Rechnerkapazitat, zur Implementierung von adaptiven Finite Elemente Methoden auf unstrukturierten Netzen [16], [17], [18]. Die Verfahren unterscheiden sich im wesentlichen, neben einer expliziten bzw. impliziten Zeitintegration, in der Raumdiskretisierung der konvektiven Flusse und der entsprechenden numerischen Dissipation zur Stabilisierung von Losungen fur Stromungen bei groen Reynoldszahlen und Machzahlen. Durch die fehlenden Richtungseigenschaften unstrukturierter Berechnungsnetze lassen sich die fur strukturierte Gitter bewahrten Techniken wie 'TVD-Upwind' Diskretisierung oder implizite 'ADI' Verfahren nur aufwendig ubertragen [16], [19]. Aus diesem Grunde werden derzeit uberwiegend explizite Finite Elemente Methoden mit zentraler Fludiskretisierung verwendet [20], [21]. Der Vorteil unstrukturierter Netze liegt gegenuber strukturierten Gittern in der vergleichsweise einfachen Vernetzung von Berechnungsgebieten mit komplexen Berandungen, sowie der Berucksichtigung von ezienten, losungsabhangigen Netzadaptionen. Durch adaptive Generierungsalgorithmen entsprechend der 'Mesh Movement'{, 'Mesh Enrichment'{, oder 'Adaptive Remeshing'{Methode kann die Qualitat insbesondere stationarer Losungen auf der Basis von a priori Fehlerindikatoren erheblich verbessert werden. Im Rahmen dieser Arbeit wird ein numerisches Berechnungsverfahren vorgestellt, das zur Unterstutzung von experimentellen Untersuchungen von Scramjet-Einlaufgeometrien geeignet ist. Es basiert auf den Arbeiten von Vornberger [18] und Rick [22]. Bei dem Stromungsloser handelt es sich um ein Finite{Element Galerkin{Verfahren zur Berechnung von Stromungsproblemen auf unstrukturierten Berechnungsgittern. Die unstrukturierten Berechnungsgitter sind fur die hier auftretenden Stromungsprobleme in besonderer Weise geeignet, da sie losungsabhangig optimiert werden konnen und somit eine gute Au osung lokaler Stromungsphanomene, wie Verdichtungsstoe und Scherschichten, ermoglichen. Zur Au osung von Grenzschichten wird die Erweiterung des unstrukturierten Netzgenerators auf die Kombination mit einem strukturierten Berechnungsnetz im Bereich fester Berandungen vorgestellt. Fur die Berechnung von turbulenten Stromungen ist das k-" Turbulenzmodell [23] zur Schlieung der 'Reynolds'{gemittelten Navier{Stokes{Gleichungen in das Berechnungsverfahren integiert worden. Untersuchungen von Scherschichten mit Geschwindigkeiten
4
Kapitel 1 Einleitung
in hohen Machzahlbereichen haben ergeben, da die Turbulenz in diesen hohen Machzahlbereichen zunehmend durch Kompressibilitatsein usse beein ut wird. Eine korrekte Simulation derartiger Stromungen erfordert eine entsprechende Modellbildung im Rahmen des Turbulenzmodells. Fur eine derartige Modellbildung besteht jedoch ein Mangel an detaillierten experimentellen Daten fur turbulente kompressible U berschallstromungen. Alternativ stehen jedoch in den letzten Jahren Daten von direkten numerischen Simulationen (DNS) zur Verfugung, die durch Losung der kompressiblen Navier{Stokes Gleichungen Informationen uber alle turbulenten Skalen liefern [24], [25]. Die meisten dieser DNS{Daten beziehen sich auf kompressible Scherschichtstromungen [26]. Auf dieser Grundlage haben Sarkar [27], Zeman [28] und Kuznetsov [29] verschiedene Modellansatze entwickelt, die zu einer Erweiterung des k-"-Modell fur kompressible U berschallstromungen fuhren. Zur Veri zierung der implementierten Modelle werden zunachst numerische Simulationen von Scramjet{Einlaufstromungen durchgefuhrt. Es stehen dabei Untersuchungen der Sto{ Grenzschichtwechselwirkungen im Vordergrund. Daruber hinaus wird die Berechnung einer Scramjet{Brennkammerstromung ohne Aufheizung, die mit detaillierten Messungen verglichen wird, vorgestellt. Zur weiteren Demonstration der Kompressibilitatse ekte in turbulenten U berschallstromungen wird eine turbulente Scherschichtstromung untersucht. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit ist Berechnung von reaktiven Brennkammerstromungen. Aus diesem Grund ist ein geeigneter Reaktionsmechanismus fur die H2-LuftVerbrennung zu integrieren. Hier ist es wichtig, ein sehr e ektives Modell zu wahlen, da der entwickelte Stromungsloser auch fur komplexe reaktive Brennkammerstromungen, die eine hohe Netzdichte erfordern und damit sehr rechenintensiv sind, eingesetzt werden soll. Turbulente, nicht vorgemischte Verbrennung kann als eine Interaktion von turbulenter Mischung und chemischer Reaktion angesehen werden. Auch ist der Ein u der Turbulenz auf die Verbrennung nicht mehr zu vernachlassigen. Die Berechnung der Reaktionsprodukte aus den mittleren Erhaltungsgroen fuhrt aufgrund der starken Nichtlinearitat der Produktionsraten [12] zu einer deutlichen Verfalschung der Ergebnisse, wie Untersuchungen ergeben haben [30]. Es hat sich deshalb eine statistische Beschreibung uber einen 'Wahrscheinlichkeits{Dichte{Ansatz' (PDF) als geeignet herausgestellt [31], [32]. In dieser Arbeit wird das PEuL{Modell von Borghi [33], das eine Langrange'sche Beschreibung des Reaktionsprozesses und eine statistische Beschreibung der Reaktionsrate uber den PDF{Ansatz benutzt und bisher nur fur ein Finite Di erenzen Verfahren auf strukturierten Berechnungsgittern existiert, in den Stromungsloser implementiert. Durch diese Kombination von e ektiven Reaktionsmechanismus und den beschriebenen Vorteilen des eingesetzten Finite Elemente Verfahrens auf unstrukturierten Berechnungsgittern, wird die Grundlage fur die Berechnung von komplexen Brennkammerstromungen mit U berschallstromungen und den damit verbundenen Phanomenen der turbulenter Verbrennung mit Kompressiblitats{ und Stoein ussen moglich. Anhand einer reaktiven turbulenten U berschallscherschicht wird das implementierte Verfahren veri ziert.
Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen Zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen steht fur den allgemeinen Fall die Boltzmann{Gleichung zur Verfugung. Sie hat ihre Gultigkeit sowohl fur Stromungen der Kontinuumsmechanik als auch fur stark verdunnte Gase bei freier molekularer Bewegung. Kennzeichnend ist hierbei die sogenannte Knudsen{Zahl, die das Verhaltnis von freier Weglange zu einer Referenzlange darstellt. Fur sehr kleine Knudsen{Zahlen (Kn << 1) kann eine Stromung als Kontinuum angesehen werden. Die Boltzmann{Gleichung ist in ihrer ursprunglichen Form eine integro-partielle Di erentialgleichung und als solche nicht zu losen. Fur sehr kleine Knudsen{Zahlen und fureinen Fourier{Ansatz der molekularen Verteilungsfunktion kann die Boltzmann{Gleichung vereinfacht werden. Durch einen Ansatz erster Ordnung erhalt man die Navier{Stokes{ Gleichungen, die die Grundlage heutiger Stromungsberechnungsverfahren bilden.
2.1 Allgemeine Gleichungen fur kompressible Fluidstromungen Zur Beschreibung kompressibler Fluidstromungen werden die stromungsmechanischen Erhaltungsgleichungen fur Masse, Impuls und Energie, sowie die kalorischen und thermischen Zustandsgleichungen fur ideale Gase verwendet. Fur die Berechnung reaktiver Stromungen kommen dann noch Erhaltungsgleichungen fur die Spezies hinzu. Im einzelnen gestalten sich die Gleichungen, wie folgt: Erhaltung der Masse:
@ @ @ t () + @ xj (uj ) = 0
(2.1)
6 Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen Erhaltung der Spezies:
@ (Y ) + @ Y u ; J = !_ n @ t n @ xj n j j n
(2.2)
@ @ @p @ t (ui ) + @ xj (uiuj ; ij ) + @ xi = 0
(2.3)
@ @ @ t (E ) + @ xj ((E + p) uj ; ij ui + qj ) = 0
(2.4)
Erhaltung des Impulses:
Erhaltung der Energie:
Der Newton'sche Spannungstensor ij ist dabei wie folgt de niert:
! ij = @@ xui + @@ uxj ; 23 @@ xuk ij j i k
(2.5)
Der Warmestrom qj lat sich mit dem Fourier'schen Gesetz beschreiben: nsp nsp X @T ;X @ Yn qj = ; @@ xT ; Dn hn (T ) @@ Yxn = ;cp Pr @x Sc hn(T ) @ x j
n=1
j
j
n=1
n
Hier ist Scn die Schmidtzahl der Spezies n, Pr die Prandtlzahl und hn = mit h0n der Bildungsenthalpie bei 0K .
j
(2.6)
R T c dT + h0 n 0 pn
Der di usive Transport der Spezies wird durch das Fick'sche Gesetz modelliert:
Jj n = Dn @@ Yxn = Sc @@ Yxn j n j
(2.7)
Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase liefert fur die Totalenergie E :
E = e + ui2ui mit der inneren Energie e:
(2.8)
2.2 Turbulente Stromungen
7
e=
nsp X n=1
Yn
ZT 0
cvn dT + Ynhn 0
!
(2.9)
wobei hier mit h0n die Bildungsenthalpie bei 0K bezeichnet ist. Mit der Zustandsgleichung fur ideale Gase kann das Gleichungssystem schlielich geschlossen werden:
p=RT =R
nsp Y X n MT
n=1
n
(2.10)
Hierin bedeuten R die universelle Gaskonstante und Mn die Molmasse der Spezies n. Zur Beschreibung der Temperaturabhangigkeit der dynamischen Viskositat wird die halbempirische Sutherland{Beziehung [34] verwendet:
mit den Groen:
T ref = Tref
! 12 0 1 + S 1 @ Tref A S 1+ T
(2.11)
ref = 1:711 10;5 Nsm;2; Tref = 273 K; S = 110:56 K
2.2 Turbulente Stromungen Turbulenz entsteht durch Instabilitaten des laminaren Stromungszustandes gegenuber kleinen Storungen. Die charakteristische Groe bei der Beschreibung des Umschlags einer laminaren in eine turbulente Stromung ist die Reynoldszahl, welche das Verhaltnis von Tragheitskraften zu Reibungskraften darstellt. Die Tragheitskrafte wirken als Verstarker von Storungen, wahrend die Viskositat des Fluids dampfende Wirkung hat. Dieses bedeutet, da mit wachsender Reynoldszahl die Neigung zum turbulenten Umschlag steigt. Die in dieser Arbeit betrachteten Stromungsprobleme sind alle durch einen turbulenten Charakter gekennzeichnet. Grundsatzlich sind derartige Stromungen mit den NavierStokes-Gleichungen, wie sie in Abschnitt 2.1 vorgestellt wurden, zu berechnen. Dazu muten jedoch auch die kleinsten Wirbelstrukturen geometrisch aufgelost werden. Dieses bedeutet, da die Gitterabstande hochstens deren Ausma besitzen durfen. Geht man davon aus, da die fur die Kolmogorov-Wirbel [35] charakteristischen Groen die Dissipationsrate " und die kinematische Viskositat sind, so ergibt die Dimensionsanalyse das zugehorige Langenma:
8 Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen
das Zeitma:
3 LK "
!1=4
;
(2.12)
1=4 tK "
(2.13)
vK ( ")1=4
(2.14)
und das Geschwindigkeitsma:
Die Dissipationsrate " der Kolmogorov-Wirbel lat sich aufgrund des universellen Gleichgewichts anhand der groen Wirbel abschatzen. Deren kinetische Energie k ist proportional zum Quadrat der mittleren Stromungsgeschwindigkeit u2 . Die Rate, mit der diese Energie transferiert wird, ist proportional zu u=l, wobei l die Ausdehnung der Stromung quer zur Flurichtung ist. Es wird dabei angenommen, da die groen Wirbel einen substantiellen Anteil ihrer Energie wahrend einer Umdrehung verlieren. Es ergibt sich nach Taylor:
" ul
3
(2.15)
Eingesetzt in (2.12) wird das Langenma: 1=4 3=4 LK l u 3=4 = l Re ;3=4
(2.16)
Da die Anzahl der benotigten Gitterpunkte einer numerischen Berechnung proportional L;k 3 ist, steigt jene mit Re9=4. Aus diesem Grund werden direkte Simulationen der Navier{Stokes Gleichungen in der nahen Zukunft auf einfache Geometrien und sehr niedrige Reynoldszahlen beschrankt bleiben.
2.2.1 Zeitliche Mittelungsansatz Im Allgemeinen sind in den Ingenieurwissenschaften die Momentanwerte der Stromungsgroen von untergeordneter Bedeutung. Das Interesse liegt eher bei der Ermittlung der
2.2 Turbulente Stromungen
9
zeitlichen Mittelwerte. Anstatt eine Losung der Navier{Stokes Gleichungen zu suchen, und daraus anschlieend mittlere Groen zu berechnen, werden die Ausgangsgleichungen zuvor statistisch gemittelt. Deren Losung beinhaltet dann direkt die mittleren Stromungsgroen. Durch diesen Proze erhalt man jedoch neue Korrelationsterme, welche die Anzahl der Unbekannten erhohen und zu einem Schlieungsproblem fuhren. Fur die Ermittlung des zeitlichen Mittelwertes einer beliebigen Variablen gilt die folgende Mittelungsvorschrift: t+ Z t = 1 t (xi; t) dt t
(2.17)
wobei das Zeitintervall t, uber das integriert wird, hinreichend gro sein mu gegenuber dem Zeitma der turbulenten Bewegung, jedoch nicht so gro, da Instationaritaten der Grundstromung herausgemittelt werden. Fur inkompressible Stromungen hat O. Reynolds eine Aufspaltung der Momentanwerte der Stromungsgroen in einen Mittel{ und einen Schwankungswert vorgeschlagen: (xi ; t) = (xi ; t) + 0 (xi ; t)
(2.18)
Per De nition gilt fur den Schwankungswert: 0 (xi; t) = 0
(2.19)
Bei der Anwendung der Reynoldszerlegung auf Groen einer kompressiblen Stromung ergeben sich jedoch zusatzliche Korrelationen mit der Dichteschwankung. Zur Vermeidung dieser zusatzlichen Korrelation werden deshalb nach Favre [36] die zu mittelnden Operatoren mit der momentanen Dichte gewichtet, so da gilt: t+ Z t (xi; t) (xi; t) e = 1 t dt = (x ) t
i
(2.20)
Die Favre{Zerlegung der Groe erfolgt analog zu Gleichung (2.18) in den Mittelwert e und die Schwankung 00 : (xi; t) = e (xi ; t) + 00 (xi ; t)
(2.21)
10 Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen Hier ergeben sich die Korrelationen mit der Dichteschwankung zu:
00 = 0
(2.22)
Im Folgenden sind Beziehungen zwischen der Reynolds{Mittelung und der Favre{Mittelung aufgezeigt:
= e 0 00 0 0 00 = ; = ; 6= 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 = 0 0 ; + g 2
(2.23) (2.24) (2.25)
Wendet man diese Mittelung auf Gleichungen (2.1){(2.4) an, so ergibt sich das folgende System der Erhaltungsgleichungen. Erhaltung der Masse:
@ @ e @ t () + @ xj ( uj ) = 0
(2.26)
@ Ye + @ Ye ue ; J + u00 Y 00 = !e_ n j n @ t n @ xj n j j n
(2.27)
Erhaltung der Spezies:
Erhaltung des Impulses:
@ ( ue ) + @ ue ue ; e + u00u00 + @ p = 0 i j @ t i @ xj i j ij @ xi
(2.28)
Erhaltung der Energie:
@ e @ e e e 00 00 e e 00 00 @ t E + @ xj E + p uj + ij + ui uj ui + qj + uj HT = 0 Die mittlere Gesamtenergie Ee ergibt sich zu:
(2.29)
2.2 Turbulente Stromungen
11
ee Ee = ui2ui + e + k
(2.30)
wobei k die turbulente kinetische Energie darstellt, die wie folgt de niert ist:
g 00 00 k = ui2ui
(2.31)
Diese so gemittelten Gleichungen sind genauso exakt wie die ungemittelten, da bis jetzt noch keinerlei Annahmen in die Herleitung eingefuhrt worden sind. Das Gleichungssystem ist jedoch kein geschlossenes System mehr, da aufgrund ihrer Nichtlinearitat und der Mittelung unbekannte Korrelationen u00i u00j und u00j HT00 hinzugekommen sind. Physikalisch gesehen, beschreiben diese Korrelationen den Transport von Impuls und Energie der turbulenten Bewegung. Die Korrelation u00i u00j beschreibt den xi {Impuls in der xj {Richtung und wirkt wie eine zusatzliche Spannung auf das Medium. Sie wird deshalb auch als turbulente Spannung oder Reynoldsspannung bezeichnet. Der Reynolds'sche Spannungstensor gestaltet sich dabei wie folgt:
0 00 2 u u00 v 00 u00 w00 B 00 00 B t = ui uj = @ u00 v00 v 00 2 v 00 w00 u00 w00 v00 w00 w00 2
1 C C A
(2.32)
Die Korrelationen konnen nicht durch die schon vorhandenen Zustandsgroen ausgedruckt werden, was zum klassischen Schlieungsproblem fuhrt und die Verwendung eines Turbulenzmodells notwendig macht.
2.2.2 Schlieungsansatz fur die Reynoldsspannungen Zur Losung des Schlieungsproblems wurde durch Boussinesq [37] ein Wirbelviskositatsmodell aufgestellt. Hierbei wird angenommen, da die Korrelationen in den Erhaltungsgleichungen in Analogie zu den viskosen Spannungen in laminaren Stromungen proportional zu den Geschwindigkeitsgradienten und zu einem zusatzlich eingefuhrten turbulenten Transportkoezienten sind. Die Proportionalitatsfaktoren werden als Wirbelviskositat oder turbulente Viskositat t in der Impulsgleichung und als Wirbeldi usivitat ;t in der Energiegleichung bezeichnet.
12 Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen
;u00i u00j = t @@ xui j @ H 00 00 ;ui HT = ;t @ xT i
(2.33) (2.34)
Es wird die Annahme verwendet, da eine A hnlichkeit zwischen der molekularen Bewegung und der turbulenten Bewegung besteht. Die turbulenten Wirbel werden als Turbulenzballen angenommen, die wie Molekule zusammenstoen und einen Impulsaustausch verursachen. Die molekulare Viskositat ist proportional zu einer Geschwindigkeit und zur freien Weglange der Molekule. Daraus abgeleitet, ist die Wirbelviskositat proportional zu einer charakteristischen Geschwindigkeit der turbulenten Bewegung V und einer charakteristischen Lange Lt dieser Bewegung: t V Lt (2.35) Prandtl [38] hat daraus 1925 das erste algebraische Turbulenzmodell erstellt und die Lange Lt als Mischungsweglange lm [34] de niert. Dieses Turbulenzmodell wurde von vielen Forschern wie Pantakar, Spalding [39], von Karman [40] und van Driest, aufgenommen und weiterentwickelt, wobei die Mischungsweglange durch empirische mathematische Funktionen ersetzt wurde. Aus diesem Modell folgt:
Lt = lm ;
V = lm @@ uy ;
t = lm 2 @@ uy
(2.36)
Die Modelle sind jedoch nur fur relativ einfache Stromungen geeignet, da das Mischungswegmodell impliziert, da sich die turbulente kinetische Energie in einem lokalen Gleichgewicht be ndet. Das bedeutet, da die Produktion und die Dissipation der turbulenten kinetischen Energie an jedem Ort gleich ist und nur lokale Phanomene berucksichtigt werden konnen. Zur Erfassung der Ein usse anderer Teilgebiete mussen Transportmechanismen berucksichtigt werden. Hierzu wurden Turbulenzmodelle entwickelt, die die Transportgroen der Turbulenz mit entsprechenden Di erentialgleichungen losen. Bei Modellen hoherer Ordnung werden die in der Gleichung fur die Impulserhaltung vorkommenden Korrelationen, wie folgt, bestimmt:
e e e ! t =^ ; u00i u00j = t @@ xui + @@ uxj ; 32 @@ uxk ij ; 23 k ij j i k
(2.37)
Die Variable k entspricht dabei der in Gleichung(2.31) de nierten turbulenten kinetischen Energie. Die ubrigen Korrelationen der Form u00j 00 werden analog zum Fick'schen und Fourier'schen Gesetz modelliert:
2.2 Turbulente Stromungen
13
t @ e u00j 00 = ; Sc t @ xj
(2.38)
wobei Sct die turbulente Schmidtzahl ist.
2.2.3 Transportgleichungen der Turbulenzgroen Da alle algebraischen Modelle auf der Annahme des Gleichgewichts von Produktion und Dissipation der Turbulenzenergie basieren, nden E ekte, die aus dem Transport der turbulenten Groen resultieren, keine Beachtung. Diese Annahme ist dann unzulassig, wenn der konvektive oder di usive Transport durch Turbulenz nicht mehr zu vernachlassigen ist, wie es im Bereich von Grenzschichten mit Druckgradienten oder auch in Freistrahl{ und Nachlaufstromungen der Fall ist. Die Beschreibung der Turbulenz anhand der gemittelten Groen ist vor diesem Hintergrund nicht ausreichend. Es wurde deshalb schon fruh vorgeschlagen, Transportgleichungen fur eine oder mehrere charakteristische Turbulenzgroen zu losen. Auf diese Weise war es moglich, die turbulenzbedingten Schwankungen der Variablen als Erhaltungsgroen mit den dazugehorigen konvektiven, di usiven und dissipativen Eigenschaften zu behandeln.
Ein{Gleichungs{Modell Bei den sogenannten Ein{Gleichungs{Modellen wird die turbulente kinetische Energie k aus einer Transportgleichung bestimmt. Die exakte Form der Transportgleichung von k lat sich aus den Navier{Stokes{Gleichungen herleiten. Hierbei wird zunachst fur momentane Groen die Di erentialgleichung fur den x{Impuls mit v 00 und die fur den y{Impuls mit u00 multipliziert. Nach Addition der beiden Gleichungen und anschlieender Mittelung 00 u00 folgende exakte Transportgleichung [41]: gilt fur die Reynoldsspannung ug i j
@ 00 g @ g 00 00 e 00 00 @ t uj uk + @ xi ui uj uk = 00 u00 @ uek ; ug 00 u00 @ uej ; ug j i @x k i @x i i 00 g @ 00 00 00 e ; @ x ui uj uk + ij uk p0 + ik u00j p0 ; ij u00k ; ik u00j i ;u00k @@xp ; u00j @@xp j k 00 @ u00j ! @ u k +p0 @ x + @ x j
k
(2.39)
14 Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen 00
00
i
i
;ij @@ uxk ; ik @@ uxj
Durch Kontraktion der Indizes j und k und unter Verwendung der De nition fur die turbulente kinetische Energie k: g 00 00 k = ui2ui (2.40) ergibt sich fur die turbulente kinetische Energie die folgende exakte Tranportgleichung:
@ @ e g 00 00 @ uej @ t ( k) + @ xi ( ui k) = ; uj ui @ xi 00 00 00 ; @@x ug i k ; ji uj + p0 ui i 00 00 ; ji @@ uxj + p0 @@ uxj ; u00j @@xp i j j
(2.41)
Die physikalische Bedeutung der einzelnen Glieder der k-Gleichung und ihre Modellierung gestaltet sich dabei wie folgt: @ e Konvektiver Transport von k durch die Hauptstromung @ xi ( ui k) 00 u00 @ uej ug Produktion von k durch Interaktion der turbulenten j i @x i Spannungen mit der Hauptstromung 00 k ; ji u00 + p0 u00 ; @@x ug Di usiver Transport von k durch Geschwindigkeitsi j i i bzw. Druckschwankungen
@ u00 ji @ xj i
00 p0 @@ uxj j
u00j @@xp
j
Dissipation von turbulenter kinetischer Energie, dieser Term kontrolliert den Energietransport groer turbulenter Strukturen zu sehr kleinen Strukturen. Dieser Term berucksichtigt die Interaktion zwischen Druck{ und Dichte uktuationen. Es handelt sich hierbei um einen Kompressibilitatsterm. Dieser Term berucksichtigt den mittleren Druckgradienten. Es ist ebenfalls ein Term, der Kompressibilitatsein usse erfat und deshalb fur den inkompressiblen Fall verschwindend klein ist.
2.2 Turbulente Stromungen
15
Die Korrelationen werden nun derart modelliert, da eine losbare Di erentialgleichung fur k entsteht. Fur den im Produktionsterm auftretenden Korrelationsterm wird durch Anwendung des Wirbelviskositatsprinzips der folgende Ausdruck erreicht:
!
00 u00 = t @ uei + @ uej ; 2 @ uek ij ; 2 k ij ; ug j i @ xj @ xi 3 @ xk 3
(2.42)
Fur den Di usionsterm gilt unter der Annahme, da der Gradient proportional den Gradienten von k ist:
t @ k ! @ ug 00 k ; ji u00 + p0 u00 = @ j i @ xi i @ xi + k @ xi
(2.43)
Der Dissipationsterm wird mangels genauerer Bestimmungsgroen mit Hilfe des Langenmaes Lt ermittelt. Das ist eine Annahme, die auf der Unabhangigkeit der Dissipation von der Langenskala beruht. Es folgt dann fur den Dissipationsterm: 3=2 @ u00 ji @ xj = CD kL
i
t
(2.44)
mit der Proportionalitatskonstante CD . Die Modellierung der restlichen Terme wird in einem gesonderten Abschnitt dargestellt. Es handelt sich hierbei um die Terme, die die Kompressibilitatsein usse erfassen und deshalb fur den inkompressiblen Fall ohne Bedeutung sind. In der Praxis erweist es sich die Wahl des geeigneten Langenmaes Lt als zugleich bedeutsam und auerordentlich schwierig. Die Ungewiheit uber diesen Parameter ist in der Regel sehr hoch, so da es wunschenswert erscheint, das turbulente Langenma als weitere Feldgroe zu behandeln. Auf diese Weise kann durch eine zusatzliche gekoppelte Transportgleichung auch die zweite charakteristische Turbulenzgroe ohne empirische Unsicherheiten ermittelt werden.
Zwei{Gleichungs{Modelle Wie oben bereits erwahnt fordert die Dimensionsanalyse zur Bestimmung der Wirbelviskositat eine charakteristische Geschwindigkeit und ein Langenma. Legt man sich mit der Wahl der ersten Variablen auf die Turbulenzenergie k fest, so ergeben sich fur die zweite Variable Z verschiedene Moglichkeiten nach der Vorschrift:
16 Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen
Z = C km Lnt
(2.45)
In der Literatur nden sich vielfaltige Kombinationen (k ; "; k ; !; k ; ; k ; l). Erste Versuche wurden von J.C. Rotta mit einer ad hoc Gleichung fur das Langenma Lt unternommen [42]. Die weiteste Verbreitung und Dokumentation hat jedoch das k{"{Modell gefunden, welches teilweise durch die physikalische Signi kanz der zweiten Variablen " zu erklaren ist, welche die Dissipation von Turbulenzenergie darstellt.
2.3 Anfangs{ und Randbedingungen Iterationsverfahren zu Losung des im vorherigen Abschnitt beschriebenen Gleichungssystems erfordern geeignete Anfangs{ und Randbedingungen. Sie hangen hierbei stark vom jeweiligen Stromungsproblem ab. Grundsatzlich ist es von Vorteil bei einer zu erwartenden stationaren Losung, die Anfangsbedingungen so zu wahlen, da sie schon im Bereich dieser Losung liegen. Hiermit ist es moglich, einen groen Teil der Rechenzeit einzusparen. Daruber hinaus kann eine weit von der spateren Losung liegenden Anfangsbedingung zu Konvergenzproblemen fuhren. Neben den Anfangsbedingungen sind an den Grenzen des Berechnungsgebietes Randbedingungen aufzupragen, die abhangig vom jeweiligen Randtyp und der Stromungssituation sind. Man unterscheidet zwischen Einstrom{ und Ausstromrandern, stromungsfuhrende Rander, wie Ober achenkonturen und periodische Randbedingungen, wie in Abbildung 2.1 dargestellt. Bei der Formulierung der Randbedingen fur stromungsfuhrende Rander kann in Abhangigkeit vom Ein u der Reynoldszahl zwischen zwei Typen unterschieden werden. Bei sehr groen Reynoldszahlen ist der Ein u der Viskositat im Wandbereich vernachlassigbar. Bei diesen sogenannten Euler{Rechnungen wird die Randbedingung so formuliert, da die Normalengeschwindigkeit an der Wand zu Null wird. Ist der Ein u der Reynoldszahl nicht vernachlassigbar, wird die Stokes'sche Haftbedingung angewendet, wobei hier alle Geschwindigkeitskomponenten an der Wand zu Null vorgeschrieben werden. U ber die Vorgabe der Randbedingungen an den Ein{ und Ausstromrandern wird der Massenstrom und das Niveau des Totalzustandes festgelegt [18]. Daruber hinaus ist es hier wichtig, da die Randbedingungen so formuliert sind, da sich keine Re exionen in das Berechnungsgebiet ausbreiten. Die Charakteristikentheorie liefert hierzu eine geeignete Grundlage [43], [44], [45] und ermoglicht die Formulierung eines aquivalenten Systems von Vertraglichkeits- und Randbedingungen ( ohne eine Unter- oder U berbestimmung des Stromungsproblems) unter Berucksichtigung des physikalischen Informationstransportes. Die folgenden Ausfuhrungen sind den Arbeiten von Rick [22] und Vornberger [18] entnom-
2.3 Anfangs{ und Randbedingungen
17
Einstromrand n
periodische Randbedingung
η ξ t
Ausstromrand y Gleit- bzw. Haftbedingung
x
Abbildung 2.1: Arten der Gebietsberandungen men. Zur Herleitung der Vertraglichkeitsbedingungen normal zu den Gebietsberandungen erfolgt zunachst eine Beschreibung der konservativen Euler{Gleichungen in krummlinigen, ober achenorientierten Koordinaten. Danach werden die liniarisierten nicht konservativen Euler{Gleichungen durch A hnlichkeitstransformationen in ihre charakteristische Form uberfuhrt. Mit der Transformationsvorschrift
= (x ; y ) dem Ober achennormalenvektor n,
dem Ober achentangentenvektor t,
;
= (x ; y )
0
1
0
1
1 @ ; @@ y A n = detJ @x @ 1 @ @@ y A t = detJ ; @@ x
(2.46) (2.47)
(2.48)
folgt
@ Ub + @ Fb + @ Gb = 0 @t @ @ ) mit Ub = detJ U , der Funktionsdeterminante detJ = @@ ((x;y ;) Fb = detJ (F t1 + G t2) ; Gb = detJ (F n1 + G n2)
(2.49) (2.50)
18 Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen Durch Anwendung der Kettenregel auf Gleichung (2.49) erhalt man die nichtkonservative Euler{Gleichung. Eine Linearisierung dieser Gleichung zum Zeitpunkt t0 = tn ergibt: @ Ue + Ae @ Ue + Be @ Ue = 0 (2.51) 0 0 @t @ @ 01 B BuC C C mit Ue = detJ B B @vC A p
0 w t t 1 0 w n n 1 0 0 t 1 2 n 1 2 B C B B 0 wt C 0 t1= C 0 wn 0 n1= C e0 = B C B C und Ae0 = B ; B B C B wn n2= C @ 0 0 wt t2= A @ 0 0 A 0 c2 t1 c2 t2 wt 0 0 c2 n1 c2 n2 wn 0
und den kontravarianten Geschwindigkeiten in Normal{ bzw. Tangentialrichtung wn ; wt: wt = u t1 + v t2 ; wn = u nn + v n2 (2.52) Im folgenden wird angenommen, da die Signalausbreitung senkrecht zu den Gebietsrandern statt ndet und somit die Eigenwerte der Jacobimatrix Be 0 die ins Gebiet hinein{ bzw. hinauslaufenden charakteristischen Richtungen festlegen. Durch eine A hnlichkeitstransformation ^0 = T0;1 Be 0 T0 wird Be 0 in eine Diagonalmatrix ^0 = diag (Bi )i=1;:::;4 mit den Eigenwerten von Be0 uberfuhrt. Es folgt die charakteristische Form der Euler{Gleichungen: @ Q + T ;1 Ae T @ Q + ^ @ Q = 0 (2.53) @t 0 0 0 @ 0 @ mit den charakteristischen Variablen Q und den Eigenwerten 0i :
0 1 0 1 wn C ; p=c20 B B C B wn C B wt =n ;1 e C B p CCC 0 = B ; Q = T 0 U = detJ B B C @ wn + c n A @ (wn=n + p= ( c)0) p2 A wn ; c n 0 (;wn =n + p= ( c)0) 2 0 1 0 0p ;1=cp2 1C B B 0 ;n2=n n1=p2n ;n1=p2n C C T0 = B B @ 0 n1=n n2= p2n ;n2=p 2n C A 0 0 c= 2 c= 2 0 0 1 0 0 ;1=c2 1C B B 0 ;np2=n n1p=n p0 CC T0;1 = B B @ 0 n1= p2n n2= p2n 1=p2c C A 0 ;n1= 2n ;n2 = 2n 1= 2c 0
2.3 Anfangs{ und Randbedingungen
19
q
und n = n21 + n22 . Mit den obigen Annahmen kann anstatt der Gleichung (2.51) das lineare hyperbolische System skalarer Gleichungen:
@ Qi + @ Qi = 0 0i @t @
(2.54)
betrachtet werden. Die charakteristischen variablen Qi sind in der ; t Ebene entlang der Richtungen des Informationstransportes dt 1 (2.55) d = 0i konstant (Abbildung 2.2). Ausstromrand (w < 0) t t
Einstromrand (w > 0) t t
Q4
Q3
Q3
Q3
Q4
Q
Q4
Q4
Q
1,2
Q
1,2
Q3
1,2
Gebiet Ma < 1
η
Q
1,2
Ma > 1
Gebiet
η
Gebiet Ma < 1
η
Gebiet
η
Ma > 1
Abbildung 2.2: Informations u in charakteristischen Richtungen Die Zahl der zu spezi zierenden Randbedingungen auf den jeweiligen Gebietsrandern entspricht der Anzahl der ins Gebiet laufenden Charakteristiken (Abbildung 2.2). Fur die Fernfeldrandbedingungen am Ein{ und Ausstromrand hangt die Vorgabe der Randbedingungen vom Vorzeichen der Normalengeschwindigkeit wn (wn > 0 Einstromrand, wn < 0 Ausstromrand) und von der Unterscheidung von Unterschall{ bzw. U berschallstromung ab. Fur das Einstromen mit Unterschall (0 < wn < c) erfordern drei positive Eigenwerte die Vorgabe von drei Randbedingungen, wahrend die charakteristische Variable Q4 aus der berechneten Losung extrapoliert wird ( Index 'e'). Die Randbedingungen waren durch die Formulierung der Variablen Q1 , Q2, Q3 mit den Anstrombedingungen (Index '1')
20 Kapitel 2 Grundgleichungen zur mathematischen Beschreibung von Fluidstromungen festgelegt.
k ; pk =c20 = 1 ; p1 =c20 wtk = wt1 (2.56) wnk + pk = (c)0 = wn1 + p1 = (c)0 ;wnk + pk = (c)0 = ;wne + pe= (c)0 Mit einigen algebraischen Umformungen erhalt man: pk = (p1 + pe) =2 + (c)0 (wn1 ; wne ) =2 k = 1 + (pk ; p1 ) =c20 (2.57) wtk = wt1 wnk = wn1 + (p1 ; pk ) = (c)0 Die korrigierten Variablen ( Index 'k' ) werden zur Bestimmung der Flusse im Randintegral der Gleichung (6.39) verwendet. Fur Einstromrander mit U berschallstromungen (wn > c) mussen entsprechend vier Randbedingungen vorgeschrieben werden, d.h. die Stromung wird vollstandig durch Freistrombedingungen festgelegt. Fur Unterschallstromung (;c < wn < 0) am Ausstromrand mu sinngema wegen eines positiven Eigenwertes eine Randbedingung spezi ziert werden. Unter Aufpragung des statischen Druckes p1 auf den Austrittsrand und einer Extrapolation der charakteristischen Variablen Q1;2;4 konnen die folgenden Beziehungen bestimmt werden: pk = p1 k = e + (p1 ; pe ) =c20 (2.58) wtk = wte wnk = wne + (p1 + pe ) = (c)0 Entsprechend erfolgt eine Extrapolation aller Variablen fur ein U berschallstromung. Zur Losung der Euler{Gleichungen wird die Stromung entsprechend einer Stromlinie tangential zu festen Wanden vorgeschrieben, d.h. korrespondierend zu einer ins Gebiet weisenden Charakteristik wird die Randbedingung wn = 0 vorgeschrieben. Es gilt: w nk = 0 wtk = wte (2.59) pk = pe ; wne (c)0 k = e ; wne (=c)0 Durch die numerische Periodizitatsbedingung (Abb. 2.1) kann das Integrationsgebiet beispielsweise bei Gitterstromungen auf eine Teilung beschrankt werden. Vergleichbar zu einem Knoten im Gebietsinnern konnen dazu fur entsprechende Knoten periodischer Berandungen die Flubilanzen zusammengefat werden. Fur die Berechnung der Navier{Stokes{ Gleichungen werden ebenfalls die obengenannten Randbedingungen verwendet, jedoch mit
2.3 Anfangs{ und Randbedingungen
21
dem Unterschied, da im Randintegral der Gleichung (6.39) die viskosen Spannungen und Warme usse spezi ziert werden mussen. Fur Fernfeldrandbedingungen werden diese Betrage mit der Annahme einer ausgebildeten Parallelstromung vernachlassigt, andernfalls werden die viskosen Spannungen und Warme usse extrapoliert. An festen Wanden wird fur die Impuls{ und Energiegleichung eine strenge Formulierung der Randbedingung verwendet. Nach jedem Zeitschritt wird somit die Fluidgeschwindigkeit, gema der Haftbedingung der Stromung, zur relativen Wandgeschwindigkeit gleichgesetzt [46]. In Tabelle 2.1 sind nun noch einmal alle Vorgaben zur Bestimmung der Randbedingungen zusammengefat. Im Unterschall mu am Eintritt der Druck iterativ bestimmt werden (deshalb der Druck in Klammern), da ansonsten das System u berbestimmt ware. U berschall Rand Unterschall Eintritt pt; Tt; ; pt; Tt; ; ; p Innenstromung Austritt p keine Innenstromung Eintritt 1 ; u1 ; v1; w1 ; (p1 ) 1 ; u1; v1 ; w1 ; p1 Auenstromung Austritt p1 keine Auenstromung Tabelle 2.1: Arten von Randbedingungen
Kapitel 3 Turbulenzmodellierung mit dem k {"{Modell Da alle in dieser Arbeit durchgefuhrten Simulationen auf dem k{"{Modell basieren, soll im Folgenden die Beschreibung der Turbulenzmodelle auf das k{"{Modell beschrankt werden. Die exakte Gleichung fur k wurde bereits erlautert, eine entsprechende Gleichung kann auch fur " aus den Navier{Stokes{Gleichungen hergeleitet werden. Da diese Herleitung jedoch sehr aufwendig ist, werden in diesem Kapitel die tatsachlichen zur Modellierung verwendeten vereinfachten Gleichungen des k{"{Modells vorgestellt. Jones und Launder [47] haben einen Ansatz vorgeschlagen, der die Dissipation aus Gleichung (2.44) beschreibt. Sie fuhrten die Dissipationsrate " ein, die die pro Zeit{ und Masseneinheit durch viskose Krafte aus der turbulenten kinetischen Energie entstehende innere Energie beschreibt: 3=2
" = CD kL
t
(3.1)
Legt man das Energiekaskadenmodell von Kolmogoro [35] zugrunde, so ergibt sich, da die Dissipationsrate uber das ganze Frequenzspektrum der Schwankungsgroen konstant ist. Fur m und n aus Gleichung (3.1) ergeben sich aus einer Dimensionsanalyse und aus einem Vergleich mit Gleichung (2.45) folgende Werte:
m = 32
n = ;1
Hieraus ergibt sich die Wirbelviskositat t in Abhangigkeit von der turbulenten kinetischen Energie k und der Dissipationsrate " zu:
t = C "k
2
(3.2)
3.1 Die Transportgleichung fur die Turbulenzenergie k
23
3.1 Die Transportgleichung fur die Turbulenzenergie k Hier soll noch einmal kurz die Transportgleichung fur die turbulente kinetische Energie k vorgestellt werden, um die physikalische Bedeutung einzelner Terme und deren Modellierung zu erlautern. Die di erentielle Transportgleichung lautet, wie in Abschnitt 2.2.3 bereits beschrieben:
@ @ e @ t ( k) = ; |@ xi ({z ui k)} 1 g 00 00 ; uj ui @@ uxej | {z i} 2 @ 00 k ; 00 u00 + p0 u00 ) ; @ x (| u{zg i } | ji{z j} | {z i} i 3 5 4 00 00 @ u @ u j j ; ji00 @ x + p0 @ x ; u00j @@xp | {z i} | {z j} | {z j} 6 7
(3.3)
8
Schreibt man diese Gleichung in Form ihrer physikalischen Interpretation, so ergibt sich der folgende Ausdruck: A nderung der Turbulenzenergie = konvektiver Transport durch die Hauptstromung (1) + Produktion durch die mittlere Bewegung (2) + Di usion durch Fluktuation der Feldgroen (3)(5) + molekulare Di usion (4) + Dissipation durch die kleinen Strukturen (6) + Kompressibilitatsterme (7)(8). Der Term (7) wird auch als "Druck-Dilatation" bezeichnet. Ist die mittlere Geschwindigkeit gering, kann er vernachlassigt werden. Der Term (8) reprasentiert die Umverteilung des Druckgradienten aufgrund von turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen. Es handelt sich hier ebenfalls um einen rein kompressiblen Ein u. Auf die Modellierung dieser Terme wird in Kapitel 5 naher eingegangen. Unter Vernachlassigung der Kompressibilitatsterme und der Modellierung der ubrigen Terme, wie sie schon in Abschnitt 2.2.3 beschrieben worden ist, ergibt sich schlielich fur die turbulente kinetische Energie k:
24
Kapitel 3 Turbulenzmodellierung mit dem k{"{Modell
! @ ( k) + @ ( ue k) = P + @ + t @ k ; " i t @t @ xi @ xi k @ xi
(3.4)
mit dem turbulenten Produktionsterm Pt :
e e e ! e Pt = t @@ xui + @@ uxj ; 23 @@ uxk ij ; 32 k @@ uxk ij j i k k
(3.5)
Als Unbekannte verbleibt jetzt nur noch die Dissipationsrate " in der Gleichung. Die Bestimmung der Dissipationsrate mittels einer Transportgleichung wird im folgenden Abschnitt erlautert.
3.2 Die Transportgleichung fur die Dissipationsrate " Es ist moglich, eine exakte Transportgleichung fur die Dissipationsrate von Turbulenzenergie " aus den Navier{Stokes{Gleichungen fur die Momentanwerte herzuleiten. Dazu di erenziert man die xi {Komponenten der Impulsgleichung nach xj und multipliziert das Ergebnis mit der kinematischen Viskositat und dem Geschwindigkeitsgradienten @@ xuji . Das Produkt wird dann zeitlich gemittelt. Als Ergebnis erhalt man eine Gleichung bestehend aus 66 zumeist unbekannten Korrelationen, auf deren Wiedergabe hier verzichtet werden soll [48]. Eine Term fur Term vorgehende Modellierung ist daher mit einem nicht mehr zu rechtfertigen Aufwand verbunden. Um dennoch eine praktikable Gleichung fur " zu erhalten, wird ublicherweise eine Analogie zur Gleichung fur die Turbulenzenergie postuliert. Wenn die Transportgleichung fur k, so der Gedanke, aus den Komponenten Konvektion, Di usion, Produktion und Dissipation besteht, so tri t dieses ebenso fur die Groe " zu. Auf diesen U berlegungen basierend wird, wie schon im Standardmodell von Jones und Launder [47], eine vollkommen kunstliche Gleichung fur die Dissipation aufgestellt, indem in der Transportgleichung fur die Turbulenzenergie (3.4) jeweils " fur k substituiert wird. Aus Dimensionsgrunden werden die Modellterme fur Produktion und Dissipation mit dem Faktor "=k multipliziert und erhalten zusatzliche Proportionalitatskonstanten C"1 und C"2. Die Prandtl{Zahl fur die Di usion von " wird mit " bezeichnet.
3.3 Randbedingungen fur das Trubulenzmodell
25
Die Transportgleichung fur die Dissipationsrate ergibt sich schlielich zu:
! @ ( ") + @ ( ue ") = C P " + @ + t @ " ; C "2 "2 i "1 t @t @ xi k @ xi " @ xi k
(3.6)
Die beiden Transportgleichungen (3.4) und (3.6) stellen das Standard{k{"{Modell dar, wobei hier Kompressibilitatsein usse noch nicht berucksichtigt sind. Fur das Standard{k{ "{Modell werden in der Literatur im allgemeinen folgende Werte fur die Modellkonstanten angegeben:
C C"1 C"2 k " 0.09 1.45 1.92 1.00 1.30
3.3 Randbedingungen fur das Trubulenzmodell Fur Fernfeld{Eintrittsrander des Gebietes werden gema einer Dirichletrandbedingung konstante Werte fur k und " vorgeschrieben [49]:
ke = 23 (Tu1 ue1 )
e3=2 "e = clk1 1
; ;
Tu
Turbulenzgrad Langenmastab
(3.7)
l
(3.8)
ImFalle von Eintrittsrandern mit Grenzschichten werden experimentelle Daten der turbulenten kinetischen Energie oder beispielsweise empirische Funktionsverlaufe [50] vorgegeben. Zur Bestimmung der Dissipationsrate wird ein Langenmastab:
l = min (2:5y; 0:5 )
;
Grenzschichtdicke
(3.9)
eingefuhrt [51]. An Austrittsrandern des Integrationsgebietes erfolgt eine Extrapolation nullter Ordnung entsprechend der Gradientenbedingung in Normalenrichtung n:
@ ke = @ "e = 0 @n @n
(3.10)
Fur feste Berandungen werden die Randbedingungen im nachfolgenden Kapitel ausfuhrlich erlautert.
26
Kapitel 3 Turbulenzmodellierung mit dem k{"{Modell
3.4 Logarithmisches Wandgesetz Das bisher vorgestellte k{"{Modell ist nur fur groe Reynoldszahlen geeignet. Im Bereich fester Berandungen verliert es aufgrund der kleinen Reynoldszahlen seine Gultigkeit, so da dieser Bereich durch eine gesonderte Modellanpassung modelliert werden mu. Auerdem wurde eine Au osung des wandnahen Bereiches zu uberaus vielen Gitterpunkten zur Au osung der Geschwindigkeitsgradienten fuhren. An festen Wanden nehmen die turbulenten Schwankungen deutlich ab, so da die viskosen Spannungen an Bedeutung gewinnen. Im untersten Bereich einer turbulenten Wandgrenzschicht, der laminaren Unterschicht, ist die molekulare Viskositat von gleicher Groenordnung oder groer als die turbulenten Scheinzahigkeit. Dieser Eigenschaft mu bei der Modellierung des Wandbereiches Rechnung getragen werden. Durch die Herleitung der universellen Geschwindigkeitsverteilung fur diesen Bereich der turbulenten Grenzschicht lat sich das sogenannte logarithmische Wandgesetz zur Modellierung dieser Zone entwickeln [52], [53], [54]. Im Folgenden soll dieses kurz beschrieben werden. Der Wandabstand y stellt ein charakteristisches Langenma fur den unteren Grenzschichtbereich dar, da er den Durchmesser der turbulenten Wirbel begrenzt. Daruberhinaus sind die Wandschubspannung w sowie die Sto groen charakteristisch fur die Beschreibung der Stromung im Wandbereich. Geht man von einer Schichtenstromung mit vernachlassigbarem Druckgradienten aus, so sind die Konvektionsterme im Wandbereich vernachlassigbar, und die Bilanzgleichung fur den Impuls in x{Richtung reduziert sich auf:
! @ @ ue ; u00 v00 = 0 @y @y
(3.11)
Fur den Bereich unmittelbar an der Wand (y = 0) verschwinden aufgrund der Haftbedingung die mittleren Geschwindigkeiten uei und somit auch ihre Schwankungen uf00 . Damit setzt sich die Wandschubspannung ausschlielich aus den viskosen Spannungen zusammen:
e lim @@ uy = w
y!0
(3.12)
Die Integration von Gleichung (3.11) mit der Randbedingung (3.12) fuhrt zu:
@ ue ; u00 v 00 = w @y
(3.13)
Die Einfuhrung von dimensionslosen charakteristischen Groen ermoglicht eine normierte Beschreibung des Geschwindigkeitsverlaufs in der Grenzschicht.
3.4 Logarithmisches Wandgesetz
27
s
w
Schubspannungsgeschwindigkeit :
u =
Dimensionslose Geschwindigkeit :
e u+ = uu
Dimensionsloser Wandabstand :
y + = y u
Durch eine asymptotische Betrachtung der wandnahen Stromung lat sich diese in zwei Bereiche aufteilen, die viskose Unterschicht und die vollturbulente Schicht. Wie schon erwahnt verschwinden im unmittelbaren Wandbereich die turbulenten Schwankungen. Damit reduziert sich die Gleichung (3.13) zu:
@ ue = w @y
(3.14)
Nach nochmaliger Integration unter der Berucksichtigung der Haftbedingung an der Wand und Verwendung der dimensionslosen Formulierung folgt:
u+ = y+
(3.15)
In dem Bereich der zahen Unterschicht (0 < y + < 11) besteht also ein linearer Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Wandabstand. Mit groer werdendem Wandabstand nehmen die turbulenten Spannungen schnell zu, so da die viskosen Tangentialspannungen gegenuber diesen zu vernachlassigen sind. Fur diesen Fall reduziert sich Gleichung (3.13) zu: ; u00 v00 = w = u2 (3.16) Hier wird die Annahme verwendet, da die Schubspannung w im gesamten inneren Bereich der Grenzschicht konstant ist. Fur die unbekannte turbulente Spannung ;u00 v 00 wird durch die Prandtl'schen Mischungswegansatz eine gute Naherung der folgenden Form gefunden:
; u00 v00 = lm2 @@ uye @@ uye
(3.17)
wobei der Mischungsweg lm proportional zum Wandabstand ist:
lm = y
(3.18)
Kapitel 3 Turbulenzmodellierung mit dem k{"{Modell
28
Es ergibt sich schlielich fur den Geschwindigkeitsgradienten normal zur Wand: @ ue = u @y y
(3.19)
Durch Integration erhalt man dann das logarithmische Wandgesetz fur den vollturbulenten Bereich der Grenzschicht (11 < y + < 300):
u+ = 1 ln y + + C + u
laminare Unterschicht
40 30
(3.20)
logarithmisches Wandgesetz
u+ = y+
20
u+ =
1 ln ( y+ ) + C κ
10
1
10
100
1000
y
+
Abbildung 3.1: Geschwindigkeitspro l einer turbulenten Grenzschicht In Abbildung 3.1 ist das Geschwindigkeitspro l einer turbulenten Grenzschicht und die Modellierung fur die beiden unterschiedlichen Bereiche in halblogarithmischer Auftragung dargestellt. Durch die Verwendung dieser Zusammenhange ist es moglich, die speicher{ und rechenzeitintensive Au osung der laminaren Unterschicht zu vermeiden. Die verwendete sogenannte Zweipunkt{Formulierung [55] der Wandgesetze fur die unterschiedlichen Zonen lautet [56] lautet:
u+ = y + u+ = 1 ln(y + 9)
0 < y + 11 11 < y + 300
(3.21)
3.4 Logarithmisches Wandgesetz
29
Da im Gultigkeitsbereich des logarithmischen Wandgesetzes der konvektive und di usive Transport der Reynolds{Spannungen zu vernachlassigen ist, konnen diese hier als nahezu konstant angenommen werden:
; u00 v00 w
(3.22)
Zur Illustration der Methode sind in Abbildung 3.2 die drei wandnachsten Punkte eingezeichnet. Es ist notwendig , da der zweite Punkt uber der Wand y2 auerhalb der laminaren Unterschicht, im Gultigkeitsbereich des logarithmischen Wandgesetzes, liegt. Mit der Tangentialgeschwindigkeit aus der aktuellen Losung an dieser Stelle kann durch eine Newton-Iteration die Schubspannungsgeschwindigkeit u mittels der Gleichung (3.21), sowie der De nition der dimensionslosen Schubspannungsgeschwindigkeit und des dimensionslosen Wandabstandes berechnet werden. Unter Verwendung des Wandabstandes y1 wird anschlieend die Geschwindigkeit u1 korrigiert. y2
u2
y1
u1
laminare Unterschicht
y yw x
Abbildung 3.2: Gitterpunkte in Wandnahe Fur die Turbulenzenergie k und die Dissipation " erhalt man bei vernachlassigbarer Konvektion und der Annahme eines lokalen Gleichgewichts zwischen Produktion und Dissipation von Turbulenzenergie ebenfalls einfache Beziehungen am Ort y1 . Es besteht hier fur beide Groen eine reine Abhangigkeit von der bekannten Schubspannungsgeschwindigkeit u : 2 k = qu C 3 u " = y
(3.23) (3.24)
30
Kapitel 3 Turbulenzmodellierung mit dem k{"{Modell
Die notwendige Annahme bei der Herleitung des logarithmischen Wandgesetzes war die Konstanz der wandparallelen Schubspannungen. Diese Bedingung gilt fur den inneren Bereich der turbulenten Wandgrenzschicht, so da der erste Gitterpunkt uber der Wand hier angeordnet sein mu. Hieraus ergeben sich gewisse Anforderung an die Netzgenerierung hinsichtlich des Wandabstandes und der Orthogonalitat der Gitterpunktlinien im Wandbereich. Auf diese Problematik wird im Kapitel uber die Netzgenerierung naher eingegangen. Problematisch ist auch die Verwendung der Wandfunktion in der Nahe einer Ablosestelle. Dort mu aufgrund der verschwindenden Wandschubspannung w eine Division durch Null vermieden werden. Auerdem ist in vielen Anwendungsfallen die Annahme eines vernachlassigbaren Druckgradienten in Stromungsrichtung nicht erfullt. Trotz dieser Unzulanglichkeiten ist die Verwendung des logarithmischen Wandgesetzes fur die Berechnung von turbulenten Grenzschichten akzeptabel, da diese Phanomene im allgemeinen lokal begrenzt sind.
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen Di usions ammen sind dadurch charakterisiert, da Brennsto und Oxidator dem Reaktionsort getrennt zugefuhrt werden und sie sich dort durch di usive und konvektive Austauschprozesse erst mischen mussen, bevor eine Reaktion eintreten kann. Die im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Anwendungsfalle beziehen sich auf Di usions ammen in turbulenten U berschallscherschichtstromungen.
u1 Brennstoff
δm u2
δ
Luft
Abbildung 4.1: Zeitgemittelte Scherschichtdicke und Mischungsschichtdicke m Oxidator und Brennsto werden in parallelen Stromungen unterschiedlicher Geschwindigkeit einander zugefuhrt. Aufgrund der Geschwindigkeitsdi erenz bildet sich zwischen der Oxidatorstromung und der Brennsto stromung eine turbulente Scherschicht aus. Die Scherschichtdicke wachst mit der Lau ange an. Innerhalb dieser Scherschicht bildet sich eine Mischungsschicht mit der Dicke m , in der Brennsto und Oxidator sich miteinander mischen. Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 4.1 dargestellt. Die Scherschichtdicke ist abhangig von dem Geschwindigkeitsverhaltnis r und dem Dichteverhaltnis s. Dimotakis [57] gibt fur den inkompressiblen Fall den folgenden Zusammenhang an:
32
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
(r; s) C (1 ; r) 1 + s1=2 x 2 (1 + s1=2r)
9 8 < 1 ; s1=2 = 1 + s1=2 = :1 ; 1 + 2:9 (1 + r) = (1 ; r) ;
(4.1)
mit dem Koezienten C , der von r und s unabhangig ist. Bei der Untersuchung von Kompressibilitatsein usse auf das Wachstum der Scherschicht hat sich gezeigt, da sich mit steigender Machzahl die Aufweitung der Scherschicht reduziert [57] [58]. Dimotakis gibt hier den folgenden empirischen Korrekturfaktor an:
f (Mc1) = 0:2 + 0:8 e3 Mc21
(4.2)
wobei die konvektive Machzahl Mc1 wie folgt de niert ist: 1=2 Mc1 = u1 a; uc mit uc = u11 ++ ss1=2u2 (4.3) 1 Auf diese Problematik des Ein usses der Kompressibilitat wird in Kapitel 5 naher eingegangen. Fur das Verhaltnis von Mischungsschichtbreite zur Scherschichtbreite gibt Dimotakis [57] den folgenden Zusammenhang an:
m 0:49
(4.4)
Es ist hier festzuhalten, da zwischen der Scherschicht und der Mischungszone zwar ein direkter Zusammenhang besteht, jedoch die Mischungszone nicht mit der Scherschicht identisch ist. Betrachtet man den Reaktionsproze, so erkennt man, da die Reaktionszone ihrerseits wieder direkt von der Ausdehnung der Mischungszone abhangt, da erst durch den turbulenten Mischungsproze die Reaktionspartner zusammengefuhrt werden. Das bedeutet jedoch auch, da durch die reduzierte Wachstumsrate der Scherschicht bei hoheren Machzahlen der Reaktionsproze mageblich beein ut wird. Im Folgenden wird auf diesen Reaktionsproze naher eingegangen. Die Grundlagen fur diesen Teil der Arbeit entstammen den Untersuchungen von Borghi [33], Verwisch [59] und Melen [60].
4.1 Die turbulente Di usions amme
33
4.1 Die turbulente Di usions amme In U berschallbrennkammern, wie sie in Scramjet{Antrieben betrieben werden, gelangen Brennsto (im allgemeinen wird hier Wassersto H2 verwendet) und Luft als Oxidator getrennt in den Brennraum. Die Mischung, die stark von turbulenten di usiven Austauschprozessen beein ut wird, erfolgt also erst in der Brennkammer. Die chemische Reaktion ndet im Bereich dieser turbulenten Mischungszone statt, wobei sich hier eine turbulente Di usions amme ausbildet. Die Position der Di usions amme wird dabei durch das stochiometrische Mischungsverhaltnis bestimmt. In Abbildung 4.2 ist ein eindimensionaler Schnitt durch eine derartige Di usions amme dargestellt. Hier sind die Massenbruche von Oxidator, Brennsto und Produkten uber einen Schnitt durch die Reaktionszone aufgetragen. Wahrend auf der einen Seite nur Oxidator und auf der anderen Seite nur Brennsto vorhanden ist, ndet in der Mischungszone D eine di usive Mischung beider statt. Im Bereich der Reaktionszone R werden die Reaktanden aufgrund der chemischen Umsetzung verbraucht, und es bildet sich ein Maximum der Produkte aus. Die Reaktion lat sich durch eine Global{Reaktion beschreiben:
F + Ox ! P
(4.5)
Das stochiometrische Massenverhaltnis berechnet sich dabei aus:
MOx mst = M F
(4.6)
Fur diese Problemstellung ist die turbulente Damkohlerzahl :
Da = t
c
(4.7)
eine charakteristische Kenngroe: sie gibt das Verhaltnis zwischen den turbulenten Zeitskalen und den chemischen Zeitskalen an. So nimmt bei einer unendlich schnellen Reaktionsgeschwindigkeit die Damkohlerzahl den Wert Unendlich an. Die Reaktionzone R wird dabei unendlich klein. Dieser Fall stellt eine Grenze fur die in dieser Arbeit betrachteten Anwendungsfalle dar. Es ergeben sich schlielich zwei Probleme bei der Modellierung turbulenter U berschall{ Di usions ammen: zum einen die Modellierung der Turbulenz und zum anderen die Modellierung der Auswirkungen der Fluktuationen auf die chemischen Reaktionen.
34
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
Y Y
Y
Ox
Y
P
F
Oxidator
Brennstoff
δ
R
δ
D
x
Abbildung 4.2: Eindimensionale Betrachtung einer Di usions amme
4.2 Modellierung der turbulenten Verbrennung Fur die Berechnung der chemischen Reaktion in einer reaktiven Stromung ist es erforderlich, Transportgleichungen fur die einzelnen an den Reaktionen beteiligten Spezies zu losen:
@ @ @ @ t ( Yn ) + @ xi ( Yn ui ) = @ xi (Jin) + !_ n
(4.8)
Dabei wird die Di usion Jin durch das Fick'schen Gesetz:
Jin = Dn @@ Yxn i
(4.9)
beschrieben. Die Behandlung turbulenter reaktiver Stromungen erfordert die bereits erwahnte Mittelung der Transportgleichung nach Favre. Diese Mittelung fuhrt dann zur folgenden Di erentialgleichung:
e @ e @ e e @ g 00 00 @ t Yn + @ xi Yn ui = @ xi Jin ; u Yn + !_ n Die Di usion aufgrund der turbulenten Austauschprozesse wird durch
(4.10)
4.2 Modellierung der turbulenten Verbrennung
35
e 00 Yn00 = ; t @ Yn ug Sctn @ xi
(4.11)
modelliert, wobei Sctn die turbulente Schmidtzahl der Spezies n ist. Zur Losung der Gleichung (4.10) ist es weiterhin notwendig, eine geeignete Modellierung der mittleren Produktion !f _ n zu nden. Fur die mittlere Produktion kann keine Funktion der mittleren chemischen Zusammensetzung und der mittleren thermodynamischen Stromungsgroen angesetzt werden, sondern es gilt:
e e !e_ n 6= !_ n ; T; Y1; ; Yensp
(4.12)
Zur Verdeutlichung dieses Umstandes betrachten wir den Ein u der turbulenten Fluktuationen auf die mittlere chemische Produktionsrate am Beispiel einer bimolekularen Reaktion der Form:
A+B !C +D Nach dem Arrhenius{Ansatz ergibt sich die fur die Spezies A:
!e_ A = ;2 kf MYA YMB A
B
mit
kf = Cf T e; TTa
wobei Ta die Aktivierungstemperatur der Reaktion und Cf eine reaktionsspezi sche Konstante sind. Nach der Mittelung nach Favre ergibt sich fur die Produktionsrate:
h !e_ A = ; M 1M YeA YeB g kf + YA00 YB00 g kf A B g 00 00 e g 00 00 e g 00 00 00 + kf YB YA + kf YA YB + kf YB YA
(4.13)
Aus Gleichung (4.13) ist zu ersehen, da die Produktion einer Spezies in komplexer Weise durch die turbulenten Fluktuation bestimmt wird und sich nicht alleine aus den gemittelten thermodynamischen Stromungsgroen und der lokalen mittleren Gaszusammensetzung der Stromung berechnen lat [12]. In einer etwas allgemeineren Formulierung des mittleren chemischen Quellterms lat sich dieser Ein u berucksichtigen:
36
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
!e_ n (x) = R R T R
Y1
RYYnsp !e_ n ; T ; e P
Y1 ; ; Ynsp Y1 ; ; Ynsp ; x d d T
; T ;
d
(4.14)
Y1 d Ynsp
Die Funktion Pe ; T ; Y1 ; ; Ynsp ; x wird hier als Joint{Probability{Density{ Function oder kurz JPDF [61] an der Stelle x bezeichnet. Dabei gibt die JPDF de nitionsgema:
P
; T ; Y1 ;
;
Ynsp ; x
d d T d
Y1 d Ynsp
die Wahrscheinlichkeit an, mit der an der Stelle x die Groen im Intervall + d , T im Intervall T + d T , liegen. In den folgenden Abschnitten wird dieses naher erlautert und auf die Modellierung der turbulenten chemischen Quellterme mit der JPDF eingegangen.
4.3 Der Phasenraum Durch die turbulenten Austauschprozesse ist der lokale physikalische Zustand, zu einem beliebigen Zeitpunkt in einer Stromung nicht mehr eindeutig bestimmt. An jedem Ort und zu jeder Zeit besteht die Moglichkeit, da verschiedene Zustande herrschen, die einer Zufalligkeit unterliegen. Die Wahrscheinlichkeit verschiedener Zustande ist dabei sehr unterschiedlich und hangt in starkem Mae von der Turbulenz ab. Zu jedem Zeitpunkt lat sich ein N {dimensionaler Raum de nieren, wobei N die Anzahl der zur Beschreibung des augenblicklichen physikalischen Zustandes benotigten schwankungsbehafteten Variablen ist. Dieser sogenannte Phasenraum beschreibt dann die Gesamtheit aller moglichen Variationen dieser schwankungsbehafteten Variablen zu einem beliebigen Zeitpunkt an einem bestimmten Ort. In Abbildung 4.3 ist beispielhaft der Phasenraum der Temperatur T und des Mischungsbruchs Z dargestellt. Zu den N stochastisch unabhangigen Variablen korrespondieren N zufallsabhangige physikalische Variablen (x; t). Jedem Wert von steht ein Gasgemisch mit bestimmten thermodynamischen und chemischen Werten gegenuber. Der Raum, der durch die stochastisch unabhangigen Variablen aufgespannt wird, wird als Phasenraum bezeichnet. In der Realitat handelt es sich hier jedoch nicht um vollig voneinander unabhangige Variablen, sondern sie unterliegen den instationaren Bilanzgleichungen. Dadurch wird der Raum der moglichen Variationen eingeschrankt auf die Bereiche, die diese Bilanzgleichungen erfullen
4.3 Der Phasenraum
37
Wahrscheinlichkeitsraum physikalischer Raum x
P(Z;x 1 ,t1 )
ψ
T
ψ
T
ψ
Phasenraum
Z
P(Z;x 1 ,t2 )
ψ
T
x1
∼ Z
ψ
ψ
t1
Z
P(Z;x 1 ,t3 )
Z
ψ
t2
Z
ψ
Z
ψ
t3
Z
Zeit
Abbildung 4.3: Phasenraum der Temperatur und des Mischungsbruchs an einer Stelle x1 zu verschiedenen Zeiten t ψ
ψ
ψ
1 1
1
1 2
A
A
C
a)
0 3 0
b) 0.5 3
1
0 2 2 0 1 ψB
0.5
c) 0.5
1 ψB
0 3 0
Abbildung 4.4: Mogliche Gebiete im Phasenraum
1 0.5
1 ψB
A; B
[62]. Fur den Fall einer Einschrittreaktion und eines identischen Di usionskoezienten fur alle Spezies lat sich der erlaubte Variationsbereich im Phasenraum genauer angeben. In Abbildung 4.4 ist der erlaubte Bereich fur die Entwicklung der stochastischen Variablen dargestellt.
38
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
Abbildung a) stellt die Mischung von einer Spezies A mit einer anderen Spezies B
dar. Die Einschrittreaktion beider Spezies miteinander fuhrt zu einer dritten Spezies C . Fur eine reine Mischung der Spezies ohne Reaktion liegen allen moglichen Zustande auf der Linie 1{2. Fur den Fall einer unendlich schnellen Reaktion, also einer Gleichgewichtschemie, liegen alle Zustande auf den Linien 1{3 und 2{3. Ansonsten liegen alle mogliche Zustande zwischen diesen beiden Grenzkurven.
Abbildungen b) und c) stellen dasselbe Gebiet einmal im A; B {Raum und einmal
im B ; C {Raum dar. Hier liegt wiederum eine Mischung zwischen den Spezies A und B vor, wobei A inert ist. Zusatzlich ndet eine Reaktion der Spezies B mit einer weiteren Spezies C zu einem Reaktionsprodukt D statt. Fur den Fall der inerten Mischung liegen alle Zustande auf der Linie 1{2. Fur die Gleichgewichtschemie liegen die Zustande auf der Linie 1{3{2.
Die Trajektoren der Reaktionen liegen zwischen den vorher beschriebenen Grenzkurven im Phasenraum. Die Trajektoren reprasentieren die chemische Veranderung eines Partikels, das sich im physikalischen Raum bewegt. Im Allgemeinen wird der Trajektor im Phasenraum wie folgt de niert: = (y ) mit
d n (y ) = ( ) n dy
(4.15) (4.16)
Hier stellt n ( ) den mittleren Quellterm fur kleine Skalen der chemischen Reaktion dar. Die Groe y ist hier der zuruckgelegte Weg auf einem Trajektor ausgehend von einem willkurlich gewahlten Startpunkt 0 . Der Trajektor der Reaktion beschreibt hier, ausgehend von einem Zeitpunkt y0 und einer homogenen Mischung des Gases fur eine Zusammensetzung = 0 , die Zusammensetzung = (y ) zu einem Zeitpunkt y0 + y . Es wird also die A nderung der chemischen Zusammensetzung eines Partikels entlang eines Trajektors der Reaktion beschrieben. Da die Dimension des Phasenraumes im allgemeinen, entsprechend der Anzahl der unabhangigen Variablen, sehr hoch ist und damit auch dessen numerische Behandlung sehr aufwendig wird, ist eine Reduzierung der Dimension erforderlich. Die Einfuhrung des Mischungsbruches zur Beschreibung der lokalen Flammenstruktur kommt dieser Anforderung entgegen.
4.4 Der Mischungsbruch
39
4.4 Der Mischungsbruch Die Di usions amme kann als ein Stromungsfeld beschrieben werden, in dem zwei unterschiedliche Stromungen aufeinander tre en, wobei der eine Stromungsteil den Oxidator ohne Brennsto anteile enthalt und der andere Stromungsteil aus dem Brennsto ohne Oxidatoranteile besteht. Geht man in der reaktiven Mischungszone von einer Einschritt{ Globalreaktion aus:
F + Ox ! P
(4.17)
so ergeben sich die Produktionsterme wie folgt zu:
!_ P = ; !_ F = ; !_ Ox = !_ MP MF MOx
(4.18)
Die Produktion !_ kann dabei uber den Arrhenius-Ansatz bestimmt werden: nOx !_ = n k e(; REaT ) YFnF YOx
mit
(4.19)
n = nF + nOx
Das stochiometrische Massenverhaltnis berechnet sich aus: m = MOx st
MF
(4.20)
Durch die Einfuhrung des Mischungsbruches kann dieses Stromungsfeld in seiner lokalen chemischen Zusammensetzung in einfacher Weise beschrieben werden. Der Mischungsbruch stellt dabei die Summe aller Elementmassenbruche dar. nsp X Z = nj Mj Y (4.21) j
n=1
Mn
n
In einem System, das nur aus einer Brennsto zufuhr und einer Oxidatorzufuhr besteht, lat sich damit fur den Mischungsbruch schreiben:
Z = ZZF ;;ZZOx;0 F;0
Ox;0
(4.22)
40
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
Fur reinen Brennsto nimmt der Mischungsbruch den Wert 1 an und fur reinen Oxidator den Wert 0. In Abbbildung 4.5 ist dieser Sachverhalt noch einmal skizziert. Z
=0
Y
=Y
Y
=0
Z
=1
Y
=0
Y
=Y
0
Oxidator
Ox F
1
Z
Ox,0
Z=0.5 y Brennstoff
Ox F,0
y x
F
Abbildung 4.5: Mischungsbruchverlauf fur eine Di usions amme Fur den Mischungsbruch Z kann eine Erhaltungsgleichung hergeleitet werden, wenn man die Summe aller Erhaltungsgleichungen fur die chemischen Komponenten bildet. Dabei werden gleiche Di usivitaten und spezi sche Warmekapazitaten fur alle chemischen Komponenten angenommen. Die chemischen Quellterme heben sich dann gerade zu Null heraus. Der Mischungsbruch wird damit im Gegensatz zu den chemischen Spezies nicht von der chemischen Umsetzung beein ut. Die Erhaltungsgleichung fur den Mischungsbruch Z lautet damit:
@ @ @ @Z @ t ( Z ) + @ xi ( ui Z ) = @ xi Scz @ xi
!
(4.23)
Durch die in Kapitel 2 beschriebene Mittelung der Gleichung ergibt sich:
! @ Ze + @ ue Ze = @ @ Ze ; (ug 00 Z 00 ) i i @t @ xi @ xi Scz @ xi
(4.24)
Der zweite Term in der Klammer auf der rechten Seite stellt hier den turbulenten Austausch dar, der entsprechend der turbulenten Di usion modelliert wird:
e 00 Z 00 ) = ; T @ Z (ug i T @ xi
(4.25)
4.4 Der Mischungsbruch
41
Damit ergibt sich schlielich fur die gemittelte Transportgleichung des Mischungsbruchs Z folgender Ausdruck:
! @ Ze + T @ Ze @ Ze + @ ue Ze = @ i @t @ xi @ xi Scz @ xi T @ xi
(4.26)
Neben der Transportgleichung fur den Mischungsbruch wird eine zweite Transportgleichung fur die Varianz Z 002 aufgestellt. Hiermit sind dann auch statistische Aussagen uber Z moglich. Die gemittelte partielle Di erentialgleichung fur Z 002 lautet damit:
0 1 @ Zg002 + @ ue Zg002 = @ @ @ Zg002 ; (u00g 00 2 )A Z i i @t @ xi @ xi Scz @ xi e
00 Z 00 @ Z ; 2 ug i @x
i
00g 00 ; 2 D @@ Zx @@ Zx i i
(4.27)
Auch hier ergeben sich durch die Mittelung wieder unbekannte Terme, die modelliert werden mussen. Im Folgenden soll kurz die Bedeutung der einzelnen Terme und ihre Modellierung angegeben werden:
0 1 @ @ @ Zg002 ; (u00g 00 2 i Z )A Di usiver Transport: Er wird analog zur Transportglei@ xi Scz @ xi chung fur den Mischungsbruch modelliert durch: ! @ @ Ze + T @ Ze @ xi Scz @ xi T @ xi e 00 Z 00 @ Z 2 ug i @x
i
Produktionsterm von Z 002 : Auch hier wird eine analoge Modellierung durch den folgenden Ausdruck gewahlt:
e e 2 T @@ xZ @@ xZ T i i
42
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen 00g 00 2 D @@ Zx @@ Zx i i
Dissipation von Z 002 : Dieser Term spielt bei der lokalen Struktur der Reaktionszone eine bedeutende Rolle [63]; es ist deshalb wichtig, eine qualitativ hochwertige Modellierung fur ihn zu wahlen. Schreibt man die Dissipation als: Zg002 Z mit einer charakteristischen Zeit Z und der einfachen Annahme, da diese charakteristische Zeit fur die Dissipation der Fluktuationen von Ze proportional zur charakteristischen Zeit fur die Dissipation der Fluktuationen der Geschwindigkeit ist:
e CZ = T mit T = k"e ; Z
so lat sich schlielich fur die Dissipation der folgende Ausdruck schreiben: e CZ Zg002 "e k Es ergibt sich schlielich fur die Varianz des Mischungsbruchs die Transportgleichung:
! @ Zg002 + @ ue Zg002 = @ + T @ Ze i @t @ xi @ xi Scz T @ xi e !2 e + 2 T @@ xZ ; CZ Zg002 "e k T i
(4.28)
Das einzige verbleibende Problem ist die Wahl der Konstante CZ , die mageblich die Dissipation der Varianz des Mischungsbruchs beein ut. In der Literatur ndet man hierzu problemabhangig sehr unterschiedliche Werte [64] [65] [66]. Es ist eine Spanne von 0.64 bis 2.4 zu nden. In dieser Arbeit wurde fur CZ der Wert 2.0 gewahlt. Dieser Wert hat sich auch bei Vergleichsrechnungen mit Ergebnissen von Melen [60] bewahrt. Fur ScZ ist der Wert 0.9 eingesetzt worden.
4.5 Der PDF-Ansatz
43
4.5 Der PDF-Ansatz Betrachtet man die turbulente Verbrennung als einen schwankungsbehafteten stochastischen Proze, so stehen mathematische Ansatze zur Beschreibung dieser Vorgange zur Verfugung. In der Turbulenz ist jede stochastische Variable, wie die Geschwindigkeitskomponenten, die Temperatur oder die Spezieskonzentrationen, eine Funktion der Erhaltungsgroen an der Stelle x zur Zeit t und ist deshalb eine stochastische Funktion (x; t). Eine vollstandig statistische Beschreibung einer stochastischen Funktion ist durch die probability{density{function, kurz PDF, oder Wahrscheinlichkeits{Dichte{Funktion, gegeben. Die stochastischen Funktionen stehen dabei in direktem Zusammenhang mit den entsprechenden physikalischen Variablen . Die PDF P ( ; x; t) d ist de niert als die Wahrscheinlichkeit, da sich die Variablen (x; t) in einem Intervall < (x; t) < + d be nden. Die Berechnung des Mittelwertes der schwankungsbehafteten Variablen an einem Ort x und zu einem Zeitpunkt t erfolgt durch die Integration:
Z
e x; t) = (x; t) Pe ( ; x; t) d (
(4.29)
wobei n (x; t); n = 1; 2; ; N die schwankungsbehafteten physikalischen Variablen und d = d 1; d 2 ; ; d N ein kleines Gebiet im N {dimensionalen Phasenraum reprasentiert. Da die numerische Handhabung des N -dimensionalen Phasenraum die Rechenkapazitaten heutiger Rechner ubersteigen wurde, ist eine Reduzierung der Dimensionen des Phasenraums unumganglich. Deshalb werden die thermodynamischen Variablen von den thermochemischen Variablen entkoppelt betrachtet. Die PDF P ( ; x; t) ist somit die statistische Beschreibung der Gaszusammensetzung und der Vorgange, die diese bestimmen, wie chemische Reaktionen und Mischungprozesse. Wie im Abschnitt 4.4 dargestellt lat sich fur eine Di usions amme die Gaszusammensetzung uber den Mischungsbruch beschreiben. In turbulenten Stromungen ist der Mischungsbruch schwankungsbehaftet, wobei die statistische Beschreibung der Schwankungen durch die Wahrscheinlichkeits{Dichte{Funktion moglich ist. In Abbildung 4.6 ist der Verlauf dieser PDF an verschiedenen Orten innerhalb einer Mischungszone schematisch dargestellt. Alle Funktionsverlaufe in Abbildung 4.6 lassen sich durch eine renormalisierte abgeschnittene Gau{Funktion mit angesetzten Delta{Funktionen an den Enden approximieren:
P ( Z ) = ( Z ) + (1 ; Z ) + e;(
Z
;)2 =(22 )
(4.30)
44
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
P(Z) P(Z) Oxidator 0
Z
1 0
Z
1
0
Z
1
P(Z) P(Z) Brennstoff 0
Z
1
Abbildung 4.6: Verlauf der PDF{Funktion fur den Mischungsbruch in einer Scherschicht nach R. W. Bilger [67] mit den positiven Konstanten ; ; und und der Konstante mit positivem Wert im Intervall 0 < Z < 1 und Null auerhalb. Die Normalisierung von P ( Z ) fur das Intervall 0 < Z < 1 liefert:
= (1 ; ; )=
" ! !#) =2 erf 1p; + erf p 2 2
(q
(4.31)
Die vier unabhangigen Parameter in Gleichung (4.30) ermoglichen eine sehr gute Approximation verschiedenster Funktionsverlaufe. Demgegenuber steht jedoch, da fur die Berechnung von P ( Z ) auch vier Momente von Z erforderlich sind, was fur die mathematische Behandlung der Funktion mit groem Aufwand verbunden ist. Reduziert man die Funktion jedoch auf zwei unabhangige Parameter, so lat sich die PDF durch den Mischungsbruch Z und dessen Varianz Z 002 bestimmen. Eine fur viele Anwendungsfalle brauchbare Alternative ist hier die Approximation mit der {Funktion, mit P ( Z ) = 0 fur Z < 0 und Z > 1. Ansonsten gilt:
Pe ( Z ) = R 1 0
;1 ;1 Z (1 ; Z ) ;1 (1 ; ) ;1 d Z Z Z
(4.32)
4.6 Modellierung der Gleichgewichtschemie mit dem PDF-Ansatz
45
10.0 2
Z" =0.002 8.0
Z=0.3
6.0 P(Z)
4.0 Z"2=0.2
2
Z" =0.02
2.0 0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Z
Abbildung 4.7: Verlauf der {Funktion fur verschiedene Werte der Varianz mit
e ; Ze ) ! ;1 = Ze Z (1g Z 002 = (1 ; Ze ) e Z
In Abbildung 4.7 sind die unterschiedlichen Verlaufe der PDF fur ein Z und unterschiedliche Varianzen Z 002 dargestellt. Fur groe Werte der Varianz kommt der Verlauf der {Funktion dem einer Delta{Funktion nahe, wahrend er fur kleine Werte der Varianz dem der Gaufunktion gleicht.
4.6 Modellierung der Gleichgewichtschemie mit dem PDF-Ansatz Sind die charakteristischen Zeiten der chemischen Reaktionen sehr viel kleiner als die des konvektiven und di usiven Transports, ist die Hypothese einer unendlich schnellen Reaktion gerechtfertigt. Man spricht auch von einer Gleichgewichtsreaktion. Fur diesen Fall reagieren Brennsto und Oxidator sofort, wenn sie aufeinandertre en. Dieses bedeutet, da es unmoglich ist, da beide zur selben Zeit am selben Ort zu nden sind. Die Reaktionszone ist in diesem Fall auf einen unendlich dunnen Bereich bei einem stochiometrischem Mischungsverhaltnis beschrankt. Beschreibt man die Zusammensetzung mit
46
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
dem Mischungsbruch Z , so ist diese Stelle entsprechend mit Zst bezeichnet. Unter der Annahme, da die Schmidtzahl der verschiedenen Spezies gleich der des Mischungsbruchs ist, und einer identischen Lewiszahl von Eins fur alle Spezies, sind die Massenbruche und die Totalenthalpie eine lineare Funktion des Mischungsbruches Z . Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 4.8 graphisch dargestellt. Totalenthalpie H t
Massenbruch Y
Quellterm Inerte
H t
Brennstoff Oxidator
Produkt 0
Z
st
1 Mischungsbruch Z
Abbildung 4.8: Gleichgewichtschemie fur eine Globalreaktion Die lokale innere Struktur der Flamme bestimmt uber die Wahrscheinlichkeits{Dichte{ Funktion von Z die Mittelwerte der charakteristischen Variablen:
Z Yen = Yn( Z ) Pe ( Z ; x; t) d
Z
(4.33)
mit Pe ( Z ; x; t) der gemittelten PDF des Mischungsbruches:
Pe ( Z ; x; t) = P ( Z ; x; t)
(4.34)
Die mathematische Beschreibung der Massenanteile der Spezies in dem uber{ und dem unterstochiometrischen Bereich gestaltet sich dabei wie folgt: Die Grenze ist das stochiometrische Mischungsverhaltnis. Es berechnet sich zu: YOx;0 Zst = Y m F;0 st + YOx;0
(4.35)
4.6 Modellierung der Gleichgewichtschemie mit dem PDF-Ansatz
47
Fur 0 < Z < Zst und ausreichendem Oxidator gilt : YOx;eq = YOx;0 1 ; ZZ st YF;eq = 0
(4.36)
Fur Zst < Z < 1 und ausreichendem Brennsto gilt: YOx;eq = 0 YF;eq = YF;0 Z1 ;; ZZst
(4.37)
st
Im Falle einer turbulenten Stromung ist der Mischungsbruch Z eine schwankungsbehaftete Funktion. Fur eine im Mittel stationare Stromung und groe Reynoldszahlen lassen sich aus den Bilanzgleichungen fur den Mischungsbruch und dessen Varianz die gemittelten Funktionswerte berechnen aus:
Ze = Zg002 =
Z +1
;1 Z +1 ;1
Z Pe ( Z ; x; t) d z
Z
(4.38)
; Ze 2 Pe ( Z ; x; t) d
(4.39)
z
Fur die Wahrscheinlichkeits{Dichte{Funktion wird die bereits in Abschnitt 4.5 beschriebene {Funktion mit dem Mischungsbruch und dessen Varianz als Steuergroen verwendet. Der gemittelte Massenbruch der einzelnen Spezies ist allgemein gegeben zu:
Yen =
Z1 0
Yn;eq ( Z ) Pe ( Z ; x; t) d
(4.40)
z
Konkret ergibt sich:
Z1 Z1 YeF = 1 Y;F;Z0 Z Z Pe ( Z ) d Z ; 1 ;ZstZ YF;0 Z Pe ( Z ) d st st st st Z Zst Z Z st YeOx = YOx;0 0 Pe ( Z ) d Z ; YZOx;0 Z Pe ( Z ) d Z st 0 YeP = 1 ; YeF ; YeOx
Z
(4.41)
48
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell Fur den Fall einer unendlich schnell ablaufenden chemischen Reaktion, gibt es zwei Modelltypen, die den Ansatz uber die Wahrscheinlichkeits{Dichte{Funktion verwenden. Zum einen kann eine Transportgleichung fur die PDF gelost werden, was sehr rechenzeitintensiv ist, zum anderen besteht die Moglichkeit die Entwicklung der PDF aus Erhaltungsgroen zu bestimmen. Ein derartiges Modell ist das PEuL{Modell (Probabiliste Eulerienne Lagrangienne{Modell), das von R.Borghi und E. Pourbaix [68] vorgeschlagen wurde und von der Annahme ausgeht, da der mittlere chemische Quellterm !f _ n mittels einer Wahrscheinlichkeits{Dichte{Funktion Pe ( 1; ; N ; x; t) ausgedruckt werden kann. Es wird die Information uber die mittlere Turbulenz der Stromung an einem Ort verwendet, wobei der Transport eines schwankungsbehafteten Stromungspartikels im Phasenraum und nicht im physikalischen Raum betrachtet wird. Dieses hat den Vorteil, da man die Momentenmethode mit dem Vorteilen des Wahrscheinlichkeitsansatzes nutzen kann, ohne die sehr rechenzeitintensiven Informationen einer Monte{Carlo{Methode in Kauf nehmen zu mussen. Die Entwicklung eines schwankungsbehafteten Partikels im Phasenraum wird durch die Trajektoren, die durch Projektion der Skelettlinie der PDF gebildet werden, bestimmt. Pope [69] hat gezeigt, da die Verwendung einer Transportgleichung fur die PDF aquivalent ist zu einem Lagrange{Modell, das die Verfolgung der Fluidpartikel und die Berechnung ihrer Trajektoren im Phasenraum beinhaltet. Diese Trajektoren lassen sich mit Hilfe des Systems der instationaren Bilanzgleichung fur alle Spezies festlegen. Das PEuL{Modell bietet damit also den Vorteil einer Erhaltungsgleichung fur die PDF in einem homogenen Stromungsfeld. Fur die Beschreibung der A nderung einer Spezies kann somit die folgende Gleichung geschrieben werden:
d yn = Yen ; yn + !_ i dt Y
(4.42)
wobei Yen der mittlere Massenbruch aus den Eulergleichungen ist. Mit der beschriebenen Gleichung ist es nun moglich, ausgehend von einem Anfangszustand die Entwicklung der Partikel an jedem Punkt der Stromung zu bestimmen. Der Verlauf der PDF im Phasenraum ergibt sich somit durch die Integration der Di erentialgleichung. Fur den nicht{ homogenen Fall verandert sich die PDF im physikalischen Raum. Es existiert dann nicht mehr nur ein einziger Trajektor fur Yn im Phasenraum sondern mehrere, da Yen und Y
uktuieren. Die Projektion dieser multidimensionalen PDF in eine Ebene ist sehr kompliziert.
4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell
49
Die statistische Beschreibung des physikalischen Zustandes fur den inhomogenen Fall lat sich jedoch mit einer Superposition von mehreren statistischen Beschreibungen von homogenen Milieus approximieren. P(YOX ,Z) 1
Gleichgewichtschemie
~
0
Y
YOX YOX
Trajektor des homogenen Milieu
Zst
~
Z
max
1 Mischung
Abbildung 4.9: Trajektoren fur die Bestimmung von Pe (
YZ
ox; Z ; x; t)
Fur den Fall der Di usions amme liefert die Konstruktion dreier Trajektoren im Phasenraum, wie in Abbildung 4.9 dargestellt ist, die Grundlage der Berechnung der Quellterme. Da es sich hier um einen inhomogenen Reaktionsfall handelt, ergibt sich die Losung durch Superposition verschiedener Trajektoren. In Abbildung 4.10 ist fur die (T; YZ ){Ebene der Verlauf dieser drei Trajektoren skizziert. Die Kurve Cy(3) entspricht dem homogen Reaktionsfall. Die Kurven Cy(1) und Cy(2) resultieren aus dem Fall der reinen Mischung und dem Fall der Gleichgewichtsreaktion. Im Folgenden soll die Berechnung der einzelnen Trajektoren kurz vorgestellt. Ausgehend von der Gleichung (4.42) ergibt sich fur die einzelnen Trajektoren ein Gleichungssystem der Art: (k) d yox(k) = Yeox ; yOx (k ) dt Y + !_ Ox d yF(k) = YeF ; yF(k) dt Y
(4.43) (4.44)
wobei k = 1; 2; 3 entsprechend der einzelnen Trajektoren Cy(1) , Cy(2) und Cy(3) gewahlt ist.
50
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
T C(2) Y
Tad
C(3) Y C(1) Y
0
YZst
1
YZ
Abbildung 4.10: Temperaturverlauf uber den Massenbruch fur die drei Trajektoren Yox
∼ Yox,1
∼ Yox
YZ
st
∼ YZ
YZ
Abbildung 4.11: Trajektor Cy(1) im Phasenraum
Berechnung des ersten Trajektors Cy(1) Dieser Trajektor (Abbildung 4.11) wird durch die reine turbulente Mischung bestimmt. Es liegt hier die Annahme zugrunde, da die Mischungsgeschwindigkeit unendlich gro ist gegenuber der Reaktionsgeschwindigkeit. Es gilt:
Yeox ; yox >> !_ (1) ox Y
(4.45)
4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell
51
Der chemische Ein u ist gegenuber der Mischung vernachlassigbar; damit folgt aus Gleichung (4.43) bzw. (4.44):
d yox(1) = Yeox ; Yox(1) dt Y d yz(1) = YeZ ; yz(1) dt Y
(4.46)
Durch Umstellen der Gleichungen und der Elimination der Zeit Y erhalt man:
d Yox(1) = Yeox ; yox(1) d yz(1) YeZ ; yz(1)
(4.47)
Fur den Fall 0 < yz < YeZ : Mit den Startwerten yz;0 = 0 und yox = yox;0 ergibt sich n+1 yoxn+1 = Yeox ; yox;0 e yz YZ + yox;0
(4.48)
Fur den Fall YeZ < yz < 1: Mit den Startwerten yz;1 = 1 und yox = yox;1 ergibt sich n e yoxn = xox;1 ; Yeox yz ; Ye Z + Yeox (4.49) 1 ; Yz Die Berechnung des Quellterms !e_ (1) ox gestaltet sich dabei fur die beiden Segmente wie folgt:
!e_ (1) ox =
Z1 0
!_ ox(1)(yox(1); yz(1) ; T (1) ; (1) ) Pe ( z ; x; t) dyz
(4.50)
Es ist hier sehr wichtig diesen Term zu berechnen, da er mageblich fur die Selbstentzundung durch die lokale Temperaturerhohung in einem U berschallregime verantwortlich ist.
Berechnung des zweiten Trajektors Cy(2) Dieser Trajektor (Abbildung 4.12) wird durch die Gleichgewichtschemie bestimmt. Die chemische Reaktion lauft hier unendlich schnell ab. Fur diesen Fall setzt sich der Trajektor aus beiden Anteilen der rechten Seite von Glei(2) l chung (4.42) zusammen. Der Quellterm !_ ox;eq at sich in dieser Formulierung nicht direkt
52
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
Yox
∼ Yox,1
∼ Yox
∼ YZ
YZ
st
YZ
Abbildung 4.12: Trajektor Cy(2) im Phasenraum bestimmen, so da man zusatzliche Informationen benotigt. Ausgehend von den folgenden Gleichungen: d Yox(2) = Yeox ; yox(2) + !_ (2) ox;eq d tp Y;eq (2) (2) e d yz = YZ ; yz d tp Y;eq fuhrt die Elimination der charakteristischen Zeit der Produktion tp auf: (2) (2) e (2) e (2) = d Yox YZ ; yz ; Yox ; yox !_ ox;eq (2) Y;eq Y;eq d yz
(4.51)
(4.52)
Die chemische Reaktion wird hier jeweils von der unterreprasentierten Spezies bestimmt.
Fur den Fall yz > Yzst
bestimmt der Brennsto anteil die Reaktion: (2) yF = d yF(2) = 0 d yz Damit gilt: e (2) = !_ (2) m !_ F(2) = ; YF mit !_ ox st F
und
Y;eq
yox(2) = Yzst ; YeZ (YF;0 mst + Yox;0)
(4.53) (4.54) (4.55)
4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell
53
Fur den Fall yz < Yzst :
bestimmt der Oxidatoranteil die Reaktion: (2) !_ F(2) = yox und Y;eq
yox(2) = 0
(4.56)
Zur Losung der Gleichung ist des weiteren notwendig, die charakteristische Zeit Y;eq zu kennen. Eine einfache Moglichkeit ist, sie gleich der charakteristischen Zeit der Turbulenz zu setzen: e Y;eq = C2 k" (4.57) r
Eine weitere Moglichkeit ist die Berechnung des Quellterms mittels einer eigenen Eulergleichung: (2)n;1
n yeox;eq ; yeox;eq !e_ (2) F = dt
(2)n
mit
n;1 1 n;1 @ n (2) (2) + 1 yeox;eq + yeox;eq @t " @ ye(2) ue2 (2) !#n @ yeox;eq 1 @ i ox;eq + D ; @ xi @ xi @ xi
(4.58)
@ = ; X @ yen;eq uei @t @ xi n
und (2) = yeox;eq
Z1 0
yox(2) ( z ) Pe ( z ; x; t) dyz
In dem Code ist die erste Losung mit Gleichung (4.57) verwirklicht. Die Implementierung des PEuL{Modells ist somit in jeden numerischen Code moglich, ohne eine zusatzliche Gleichung fur diesen Trajektor zu losen.
Berechnung des dritten Trajektors Cy(3) Fur den homogenen Fall ergibt sich der Trajektor Cy(3) im Phasenraum, wie er in Abbildung 4.13 dargestellt ist. Es wird hier angenommen, da die charakteristische Reaktionszeit in der Groenordnung der charakteristischen Zeit der Mischung ist, d.h. es gilt:
Y / T
(4.59)
54
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
Yox
∼ Yox,1
∼ Yox
YZ
st
∼ YZ
YZ
Abbildung 4.13: Trajektor Cy(3) im Phasenraum Der Quellterm entlang des Trajektors wird mittels des Arrhenius{Gesetzes berechnet. Aus Gleichung (4.43) ergibt sich hier der folgende Ausdruck:
d yox = 1 Ye ; y + !_ (y ; y ) d yz YeZ ; yz ox ox ox ox f Y
(4.60)
Fur einen bessere numerische Stabilitat ist ein halbimpliziter Algorithmus gewahlt worden:
d yox = f n+1 + (1 ; ) f n d yz ! d yox = @ f @ y + f n d yz @y ! @ f n dyox = dyz f + dyz @ y @ y 1 dyox = dyz t f n 1 ; dyz @@ fy
(4.61)
mit dem Faktor , der die Implizitat steuert, und
e f= e 1 Yox ; yox + !_ ox(yox; yf ) Y (YZ ; yz ) Durch Einsetzen von f ergibt sich dann:
(4.62)
4.7 Modellierung der Nichtgleichgewichtschemie mit dem PEuL{Modell
e 1 dyox = e dyz (Yox ; yox ) + !_ ox Y dy z (YZ ; yz ) 1 ; (YeZ ;yz ) @@ !y_ oxox Y ; 1
55 (4.63)
Die Groe yox berechnet sich schlielich aus:
yoxn+1 = yoxn + dyox
(4.64)
In analoger Weise berechnet sich der Quellterm: _ @y !_ oxn+1 = !_ oxn + @@!ox y x ox n
o
(4.65)
Gewichtung der drei Trajektoren Die Berechnung der oben beschriebenen Kurven geben das erste Moment der reagierenden Spezies unter Verwendung der 'presumed' PDF gut wieder. Fur den homogenen isotropen Fall gilt:
Z1 yeox(3) = yox(3)( z ; x; t) Pe ( z ; x; t)d z = Yeox 0
(4.66)
Im Gegensatz dazu ergibt sich fur Di usions amme die Groe Yeox aus einer Kombination aller drei Kurven Cy(1) , Cy(2) und Cy(3) zusammen:
X Pe ( ox; z ; x; t) ' k ( 3
k=1
ox ; yox ( z ; x; t)) Pe ( z ; x; t)
(4.67)
Fur den Fall yeox(3) > Yeox wird die chemische Reaktion durch die Kurve Cy(3) unterschatzt und eine Kombination mit der Kurve fur die Gleichgewichtsreaktion Cy(2) ist notwendig.
und
yeox = yeox(3) + (1 ; ) yeox(2) e (2) !e_ ox = !e_ (3) ox + (1 ; ) !_ ox
(4.68) (4.69)
56
Kapitel 4 Modellierung turbulenter Di usions ammen
Fur den Fall yeox(3) < Yeox wird die chemische Reaktion durch die Kurve Cy(3) uberschatzt und eine Kombination mit der Kurve fur die Mischung Cy(1) ist notwendig.
und
yeox = yeox(3) + (1 ; ) yeox(1) e!_ ox = !e_ (3) e (1) ox + (1 ; ) !_ ox
(4.70) (4.71)
Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses Von ganz besonderer Bedeutung fur die Stromungsberechnung bei hohen Machzahlen ist die Kompressibilitat des Mediums. Durch die Kompressibilitat bedingt, gewinnen die Fluktuationen der thermochemischen Variablen, wie Dichte, Temperatur und Druck, immer mehr an Bedeutung. Die Modellierung von Kompressibilitatsein ussen wird daher in diesem Kapitel gesondert vorgestellt. Dabei ist zu unterscheiden zwischen nichtreaktiven und reaktiven Stromungen.
5.1 Kompressibilitatsein usse bei nicht{reaktiven Stromungen Der Ein u der Kompressibilitat lat sich anhand der Aufweitung einer Scherschichtzone zweier kompressibler Stromungsmedien erlautern. Die Breite der turbulenten Scherschicht wachst mit der Koordinate der Hauptstromungsrichtung x. Fur hohe Stromungsmachzahlen wird dabei eine drastische Reduzierung der Wachstumsrate @@ x gegenuber dem inkompressiblen Fall beobachtet [70]. Dieser Fall stellt eine Kombination der verschiedenen kompressiblen E ekte dar. So ist z.B. die turbulente Dissipation " durch die Schwankung der Volumendilatation stark erhoht, wodurch in groem Mae Turbulenzenergie k abgebaut wird. Die turbulente Vermischung wird folglich kleiner und die Breite wachst langsamer an. In Abbildung 5.1 ist die Aufweitung einer kompressiblen Scherschicht im Verhaltnis zur inkompressiblen Scherschicht uber die konvektive Machzahl dargestellt [70] [71] [72] [73]. Man erkennt, da mit steigender Machzahl die Aufweitung der Scherschicht reduziert wird und asymptotisch einen Wert von ca. 20% des inkompressiblen Falls erreicht. Dieser Fall verdeutlicht die Notwendigkeit der Modellierung von Kompressibilitatstermen. Bei Betrachtung der exakten Transportgleichung fur die turbulente kinetische Energie k kann man zwei Klassen von Termen unterscheiden, in denen sich der Ein u der Kom-
58
Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses
Papamoshou und Roshko Chinzei Clements und Mungal Hall
δ(Mc1)/δ(0)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.0
0.5
1.0 Mc1
1.5
2.0
Abbildung 5.1: Scherschichtwachstum in Abhangigkeit von der konvektiven Machzahl pressibilitat manifestiert. Zum einen sind es Korrellationen der Form p0 u00j;j , die auch als Druck{Dilatation bezeichnet werden, zum anderen Terme der Form ;u00j P j . Zur Modellierung dieser Terme haben Sarkar [74] und Zeman [28] eine Aufteilung der Dissipation " in einem inkompressiblen Anteil, der als solenoidale Dissipation "s bezeichnet wird, und einen kompressiblen Anteil, der als Dilatations{Dissipation "d bezeichnet wird, vorgeschlagen:
" = "s + "d
(5.1)
Als charakteristische Groe fur die Groe des Kompressibilitatsein usses ist die turbulente Machzahl Mt gewahlt worden:
p
Mt = c2 k
mit
p
c = RT
(5.2)
5.2 Kompressibilitatsein usse bei reaktiven Stromungen
59
5.2 Kompressibilitatsein usse bei reaktiven Stromungen Die turbulente Verbrennung hat einen groen Ein u auf den Wert der mittleren Dilatation und dessen Fluktuation. Die zusatzlichen Terme, die in der Transportgleichung fur die turbulente kinetische Energie k auftreten, konnen wie folgt charakterisiert werden [75], [29]. Der Kompressibilitatsterm, der die Druck{Dilatation wiedergibt, lat sich fur Di usions ammen weitestgehend vernachlassigen. Der Term, der den Ein u des Druckgradienten beinhaltet, kann in nichtisobaren Stromungen gegenuber den Produktionstermen aufgrund der Geschwindigkeitsgradienten uberwiegen. Im Falle von Di usions ammen mit verschwindenden Druckschwankungen kann die Dichte als Funktion des mittleren Mischungsbruchs Z ausgedruckt werden. Damit ist es dann moglich, diesen Term nach Zheng [76] wie folgt zu beschreiben:
1 d @ p ;u00i @@ xp = u00g i Z 00 d Z @ x i i Ze
(5.3)
Neben diesen Ein ussen wird die Dissipation aufgrund von zusatzlichen Dilatationseffekten gesteigert, die durch die freiwerdende Reaktionswarme bedingt sind. Die lokale Erhohung der Temperatur fuhrt zu einer Reduzierung der Reynoldszahl, und damit zu einer Relaminarisierung der Stromung [77]. Insgesamt ergibt sich ein groer Ein u des Verbrennungsprozesses auf die Turbulenz, da durch Fluktuationen der Verbrennung wiederum Fluktuationen im Geschwindigkeitsfeld hervorgerufen werden, die ihrerseits die Verbrennung mageblich beein ussen. Dieses fuhrt zu einer sehr starken Interaktion von turbulenter Stromung und Verbrennungsproze, die sich indirekt auch auf die Turbulenz auswirkt.
5.3 Kompressible Dissipationsrate Zum Verstandnis der Modellansatze von Sarkar und Zeman soll hier die Dissipation der turbulenten kinetischen Energie naher betrachtet werden. Die in der Turbulenzenergiegleichung auftretende isotrope Dissipation lat sich wie folgt ausdrucken: 00 " = ji00 @@ uxj i
(5.4)
60
Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses
mit dem Tensor der Dehnungsgeschwindigkeiten:
ji00 = u00i;j + u00j;i ; 23 u00k;k ij
(5.5)
Unter der Annahme, da die Korrelationen zwischen den Fluktuationen der Geschwindigkeitsgradienten und der Viskositat vernachlassigbar sind und durch Einfuhren der Schwankung des Wirbelvektors !ij00 als:
!ij00 = 12 u00i;j ; u00j;i
(5.6)
" = !ij00 !ij00 + 2 u00i;j u00j;i ; 32 u00i;iu00i;i
(5.7)
ergibt sich:
Schlielich lat sich fur homogene Turbulenz annehmen, da gilt:
2 u00i;j u00j;i u00i;i
(5.8)
Dies ist auerdem eine gute Approximation fur inhomogene Turbulenz bei groen Reynoldszahlen. Unter Berucksichtigung all dieser Annahmen erhalt man fur die unterschiedlichen Dissipationsraten die Ausdrucke:
"s = !ij00 !ij00
und
"d = 43 u00i;iu00i;i
(5.9)
Die Dilatationse ekte konnen weiter aufgeteilt werden, und zwar in einen Teil, der rein durch die Kompressibilitat des Fluids hervorgerufen wird und einen Teil, der bei reaktiven Stromungen durch die freiwerdende Reaktionswarme bedingt ist:
mit der Dilatation:
"d = 43 u00i;iu00i;i = 34 d00 2
(5.10)
d00 = u00i;i und d = dc + dh (5.11) In den folgenden Abschnitten sollen nun die unterschiedlichen Modellierungen der Dissipation durch die kompressible Dilatation "c und der Dissipation durch die freiwerdende Reaktionswarme "h vorgestellt werden.
5.3 Kompressible Dissipationsrate
61
5.3.1 Modellierung der kompressiblen Dissipation Sarkar [74] und Zeman [28], [78] kamen trotz unterschiedlicher Ansatze zu einer ahnlichen Modellierung der Dilatations{Dissipation. Beide setzen als charakteristische Variable die turbulente Machzahl Mt an. Sarkar postuliert, da "c "sich aufgrund von schnellen turbulenten Zeitskalen relativ zu "s andert". Konsequenterweise folgt hieraus, da die Dilatations{Dissipation monoton mit der turbulenten Machzahl Mt anwachst. Zeman hingegen geht von sogenannten "Shocklets" aus [28]. Es handelt sich hierbei um kleine Stosyteme, die ausschlielich die Dilatations{Dissipation steigern, wobei unterhalb eines bestimmten Schwellenwertes die Dilatations{Dissipation verschwindet. Sarkar schlagt nach einem Vergleich mit DNS (Direkt{Numerical{Simulation) Daten [27], [24], [25] folgenden algebraischen Ansatz fur die Dilatations{Dissipations vor:
mit
"c = 1 Mt "s
(5.12)
1 = 1
Der von Zeman [79] vorgeschlagene Modellierungsansatz fur die Dilatations{Dissipation gestaltet sich hingegen wie folgt:
mit
"c = 1 F (Mt ) "s
(5.13)
( ;[(Mt ;Mt0 ) = 0 ]2 fur Mt Mt0 F (Mt ) = 1 ; e 0 fur Mt < Mt0 Zeman wahlte fur die Modellkonstanten die Werte: 1 = 0:75 Mt0 = 0:10 0 = 0:60 Da die Ansatze von Sarkar und Zeman zu vergleichbaren Ergebnissen bei der Simulation fuhren, ist im Rahmen dieser Arbeit das programmiertechnisch gunstigere Modell von Sarkar verwendet worden.
5.3.2 Modellierung der verbrennungsbedingten Dissipation Zur Berechnung der Dilatations{Dissipation "h , die durch die freiwerdende Reaktionswarme bedingt ist, betrachtet man zuerst eine reaktive Scherschicht ohne Vormischung
62
Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses
und mit kleiner Stromungsgeschwindigkeit. In diesem Fall ergibt sich die Dilatations{ Dissipation nur aus dem Anteil, der aus freiwerdender Reaktionswarme resultiert. Unter der Annahme einer Gleichgewichtschemie und einer konstanten Lewis{Zahl von Eins fur alle Spezies lat sich der momentane Massenanteil der Spezies und die Temperatur als Funktion des Mischungsbruches ausdrucken [80]:
Yn = Yn (Z ) T = T (Z ) Unter der Annahme, da @ p=@ t = 0 ist, gilt fur die Dichte eine Funktion des Mischungsbruches Z :
= RpT = p
R Pnsp n=1
1
Yn(Z ) T (Z ) Mn
(5.14)
Die Dilatation d kann nun wie folgt geschrieben werden:
@ ui = 0: @ xi ! ui @@ xZ = @@x D @@ xZ i i i ! @ 1 @ @ u i d = @ x = @ Z @ x D @@ xZ i i i
(5.15) (5.16) (5.17)
Durch Erweitern und Ausdi erenzieren von Gleichung (5.17) ergibt sich:
! !2 2 ;1 d = @@ xui = ; @@x ;1 @@ Z D @@ xZ ; D @@ xZ @@ Z 2 i i i i
(5.18)
Fur groe Reynoldszahlen kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlassigt werden:
@ ui = ;D @ Z @ xi @ xi
!2
@ 2 ;1 @ Z2
(5.19)
Die Dilatations{Dissipation, die durch die Reaktionswarme bedingt ist, berechnet sich zu:
5.3 Kompressible Dissipationsrate
63
00 !2 "h = 43 @@xui i !2 ! 2 1 @ 2 = 43 D2 @@ xZ2 @Z i
(5.20)
Kuznetsov [75] schlagt fur die Modellierung dieses Ausdrucks die folgende Formulierung vor:
"h = 43 = 43
! @ u00i 2 @xi ! 1 @ 2 "Z "s 1=2 F D @Z 2
(5.21)
mit der Dissipation des Mischungsbruchs Z :
"Z = 2 D @@ xZ @@ xZ i i
(5.22)
Die Modellierung dieses Terms erfolgt durch:
"Z = Cr Ze 002 "ks
(5.23)
mit 0:8 < Cr < 3:0. Mit der Annahme gleicher molekularer Di usion fur alle Spezies ergibt sich fur die Funktion F = 1. Es verbleibt jetzt noch die Berechnung des letzten unbekannten Terms in Gleichung (5.21) 1 @ 2 @ Z . Hierzu werden im Folgenden einige funktionelle Zusammenhange zur Berechnung der Temperatur T als Funktion des Mischungsbruchs Z vorgestellt. Die Beziehung zwischen der Totalenthalpie und dem Mischungsbruch lat sich dabei wie folgt formulieren:
Z = HHT (Z );;HHTOx TB
mit HT (Z ) = hT + 12 (u2 + v 2) + k
TOx
(5.24)
64
Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses
wobei HT (Z ) die Totalenthalpie des Gemisches ist:
HT (Z ) cp T +
nsp X n=1
0 YnHform + 12 (u2 + v 2) + k n
(5.25)
Fur die in dieser Arbeit ausschlielich betrachtete Reaktion H2 + 12 O2 ! H2O ist die Bildungsenthalpie fur alle beteiligten Spezies Null, auer fur das Reaktionsprodukt H2 O. Damit lat sich nun fur die Temperatur die Beziehung aufstellen:
1 0 HT (Z ) ; 21 (u2 + v2) ; k ; YP Hform P cp 1 1 2 2 0 Z (HTB ; HTOx ) + HTOx ; 2 (u + v ) ; k ; YP Hform P cp
T
(5.26)
Es ergeben sich zwei Schranken fur die Temperatur. Die eine ist durch die reine Mischung von Oxidator und Brennsto gegeben, die andere Schranke ist die Temperatur, die durch die Gleichgewichtschemie gegeben ist. Im Folgenden wird die Berechnung des noch unbekannten Terms aus Gleichung (5.21) fur beide Extremwerte vorgestellt. Hierbei liegt auf der Brennsto seite reiner Wassersto und auf der Oxidatorseite reiner Sauersto vor.
Gleichgewichtschemie Fur den Fall der Gleichgewichtschemie lassen sich die Massenanteile der Spezies direkt aus dem mittleren Mischungsbruch Z berechnen:
Fur den stochiometrischen Fall gilt: YO = YH = 0 mit 2
Fur 0 < Z < Zst: YO2 YH2 YH2O T
Zst = Y
2
YO2;0 H2;0 mst + YO2 ;0
= 1 ; ZZst = 0 = hZZst i 0 Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 ; Hform (Z) H2 O Zst
(5.27)
(5.28) 1
cp
Die Dichte lat sich hier in Abhangigkeit vom Mischungsbruch ausdrucken:
5.3 Kompressible Dissipationsrate
65
(Z ) = pRcp A1B " Z # mit A = M1 1 ; ZZ + M1 st H2 O Zst O2 Z 0 B = Z hTH2 ; hTO2 + hTO2 ; Hform H2 O Zst Hieraus ergibt sich fur den gesuchten Term: 1 @ @Z
!2
2 6 = 64;
;
1
MO2
(5.29)
; MH2OZ MO2 1 Zst Z 1 ; Zst + MH2 O Zst 1
1
1
0 32 h ; h ; Hform Y 1 5 H2 O O2 ;0 Zst TH2 TO2 Z 0 Z hTH2 ; hTO2 + hTO2 ; Hform Zst H2 O
(5.30)
Fur Zst < Z < 1: YO2 YH2 YH2O T
= 0 = Z1;;ZZstst = h1 ; Z1;;ZZstst Z;Zst i 0 Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 ; Hform 1 ; 1;Zst H2 O
(5.31) 1
cp
Die Dichte in Abhangigkeit vom Mischungsbruch lat sich schreiben als:
(Z ) = pRcp A1B (5.32) " # mit A = M1 Z1 ;; ZZst + M1 1 ; Z1 ;; ZZst H2 st H2O st Z ; Zst 0 B = Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 ; Hform 1; 1;Z H2 O st
Hieraus ergibt sich fur den gesuchten Term: 1 @ @Z
!2
2 6 = 64;
1
MH2
; MH2O 1;Zst H2 ZM Z;Zst ;Zst 1 1;Zst + MH2 O 1 ; 1;Zst 1
1
1
0 32 1 hTH2 ; hTO2 + Hform H2 O 1;Zst 5 (5.33) ; 0 Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 ; Hform 1 ; Z1;;ZZstst H2 O
66
Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses
Mischung ohne Reaktion Bei reiner Mischung berechnen sich die Massenanteile der Spezies und die Temperatur des Gemisches wie folgt:
YO2 YH2 YH2O T
1;Z Z 0h i Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2 = = =
(5.34) 1
cp
Die Dichte berechnet sich aus:
(Z ) = pRcp A1B " # mit A = M1 (1 ; Z ) + M1 Z O2 H2 h i B = Z (hTH2 ; hTO2 ) + hTO2
(5.35)
Hieraus ergibt sich fur den gesuchten Term: 1 @ @Z
2 = 4;
!2
; M1H + M1H 1 1 MO (1 ; Z ) + MH Z #2 ; Z (h hTH; h; hT)O+ h TH TO TO 2
2
2
2
2
2
2
2
(5.36)
2
Kombination der Extremwerte Die mittlere Dichte wird unter Verwendung der PDF durch den folgenden Ansatz berechnet:
=
"Z 1 e # P (Z ) dZ ;1 0 (Z )
Fur eine beliebige Variable Q berechnet sich dann der Mittelwert zu:
(5.37)
5.3 Kompressible Dissipationsrate
Q=
67
Z1 0
Q(Z ) (Z ) Pe (Z ) dZ
(5.38)
Hier wird fur die Wahrscheinlichkeits{Dichte{Funktion P2eine {Funktion in Abhangigkeit von Z und Z 002 verwendet. Damit ergibt sich fur 1 @@ Z schlielich: 1 @ @Z mit
!2
= 1 @@ Z
!2
+ (1 ; ) 1 @@ Z mix
!2 eq
(5.39)
= ;;mix eq mix
Fur die Dilatations{Dissipation "h durch die freiwerdende Reaktionswarme ergibt sich damit der folgende Ausdruck in Abhangigkeit von der solenoidalen Dissipation "s:
"h = 46 Cr Ze 002 "ks ( "s )1=2 1 @@ Z
!2
(5.40)
Fur die Modellkonstante Cr ist der Wert 2 gewahlt worden.
5.3.3 Modellierung der Druck{Dilatation Bei der Betrachtung der Transportgleichung fur die turbulente kinetische Energie k (2.41) zeigte sich die Existenz einer Korrelation zwischen Druckschwankungen und Fluktuationen der Geschwindigkeitsdivergenz, welche als Druck{Dilatation bezeichnet wird (p0 d0 ). Physikalisch stellt die Druck{Dilatation die Kompressionsleistung der Volumen{Dilatation dar. Mit den U berlegungen der letzten Abschnitte lat sich vermuten, da auch dieser Term in Abhangigkeit von der turbulenten Machzahl Mt zu modellieren ist. Sarkar et. al. [27] nutzen wiederum die Ergebnisse von direkten numerischen Simulationen homogener Scherstromungen, um das Problem zu analysieren. Dabei spalten sie die Druckschwankungen in schnelle und langsame Schwankungen auf. Es zeigt sich, da erstere mit der Produktion von Turbulenzenergie verbunden sind, wahrend letztere von der Dissipation "s abhangen. Sarkar schlagt deshalb das folgende Modell zur Simulation der Druck{Dilatation vor[81]:
p0 d0 = ; 2PtMt2 + 3"sMt2
(5.41)
68
Kapitel 5 Modellierung des Kompressibilitatsein usses
Gleichzeitig wird fur die Modellierung der kompressible Dissipation "c die Modellkonstante 1 aus dem Sarkar{Modell entsprechend angepat, so da sich schlielich fur die Konstanten ergibt:
1 2 3 0.50 0.40 0.20
5.4 Erweitertes k{"{Modell Die in den letzten Abschnitten beschrieben Modellansatze fur die Modellierung der Kompressibilitatsein usse auf die Simulation der Turbulenz in kompressiblen Stromungsmedien fuhrt zu der im folgenden beschriebenen Erweiterung des k{"{Modells. Melen hat in seiner Dissertation [60] festgestellt, da die Modellierung der Druck{Dilatation vernachlassigt werden kann fur die Simulation von reaktiven Scherschichten, wenn die Modellkonstante 1 fur die kompressible Dissipation "c zu 1 gewahlt wird. Es ergeben sich damit schlielich fur das kompressible k{"{Modell die beiden folgenden Transportgleichungen:
k{Gleichung:
! @ ( k) + @ ( ue k) = P + @ + t @ k ; " i t @t @ xi @ xi k @ xi
(5.42)
"{Gleichung:
! @ ( " ) + @ ( ue " ) = C P "s + @ + t @ "s ; C "2s s i s "1 t "2 @t @ xi k @ xi " @ xi k
(5.43)
mit der turbulenten Viskositat:
t = C k"
2
(5.44)
Wobei sich die Dissipationsrate " bestimmt durch:
" = "s + "c + "h
(5.45)
5.4 Erweitertes k{"{Modell
69
Die einzelnen Anteile berechnen sich dann aus:
"c = 1 Mt "s
(5.46)
und
"h = 46 Cr Ze 002 "ks ( "s )1=2 1 @@ Z
!2
Fur die Modellkonstanten werden dann folgende Werte gewahlt:
1 Cr C C"1 C"2 k " Sarkar 1.00 2.00 0.09 1.45 1.92 1.00 1.30 Zeman 0.75
(5.47)
Kapitel 6 Numerische Verfahren Die Losung der partiellen Di erentialgleichungen erfordert ein numerisches Verfahren, da die Losung in einem raumlich begrenzten, diskretisierten Gebiet approximiert. Hierbei wird das Berechnungsgebiet in kleine Teilgebiete unterteilt, wobei diese Untergebiete sich nicht uberlappen durfen und das gesamte Berechnungsgebiet luckenlos ausfullen mussen. In der Fluidmechanik kommen fur den zweidimensionalen Fall hauptsachlich Drei- und Vierecke und im dreidimensionalen Fall Tetraeder- und Quaderelemente zum Einsatz. Allen heute verwendeten Verfahren ist die Annahme gemeinsam, da mit zunehmender Netzdichte und einer zur Di erentialgleichung konsistenten Formulierung der Di erenzengleichungen die numerische gegen die exakte Losung konvergiert. Zur Losung der Euler- und Navier-Stokes Gleichungen werden vorwiegend Finite Di erenzen- (FDM), Finite Volumen-(FVM) und in den letzten Jahren zunehmend Finite Elemente-Methoden (FEM) verwendet. Finite Di erenzen-Methoden sind auf die Formulierung der Erhaltungsgleichungen in Divergenzform zuruckzufuhren. Ihre Anwendung beschrankt sich auf strukturierte Berechnungsgitter. Die Di erentialquotienten der Erhaltungsgleichungen werden direkt durch Differenzenquotienten aus Taylorreihenentwicklungen ersetzt. Im Gegensatz zu den Di erenzen-Verfahren verwenden Finite Volumen und Finite Elemente Methoden eine integrale Formulierung, die jedoch jeweils auf einer unterschiedliche Formulierung der Erhaltungsgleichungen basieren. Bei den Finite Volumen-Formulierungen wird die Integralform verwendet:
Z @ U~ Z ~ n d; = 0 d
+ H~ @t
;
(6.1)
Die Finite-Elemente Methoden ergeben sich hingegen aus der Divergenzform der Erhaltungsgleichungen multipliziert mit einer beliebigen Testfunktion :
6.1 Finite Elemente Approximation
Z
71
Z ~ @@ Ut d + rH~ d = 0
(6.2)
Der Vorteil der beiden letztgenannten Verfahren gegenuber Finite-Di erenzen Methoden ist ihre Anwendbarkeit auf unstrukturierten Berechnungsgittern. Die Verwendung unstrukturierter Netze bietet den Vorteil einer einfachen Vernetzung komplexer Geometrien mit der Moglichkeit einer e ektiven lokalen Netzverfeinerung zur Erhohung der Genauigkeit der Losung in Gebieten mit groen Gradienten. Im Rahmen dieser Arbeit wurde die Methode der Finiten Elemente verwendet, die im Folgenden naher erlautert werden soll.
6.1 Finite Elemente Approximation Wie schon erwahnt ist zur Integration der Erhaltungsgleichungen eine Diskretisierung des Berechnungsgebietes in nicht uberlappende Teilgebiete, den Elementen notwendig. In der vorliegenden Arbeit wurde ausschlielich das Dreieck als Elementtyp verwendet und somit beziehen sich auch alle folgenden Ausfuhrungen auf diesen Elementtyp. Die Integration uber ein Element erfordert zunachst eine Approximation des Funktionsverlaufs u ber das Element. Fur die Dreieckselemente verwendet man beispielsweise konstante, lineare oder quadratische Interpolationspolynome der Form:
U (x; y ) U~ (x; y) = c0 = c0 + c1 x + c2 y = c0 + c1 x + c2 v + c3 x2 + c4 xy + c5 y 2
(6.3) (6.4) (6.5)
Da die hoheren Ansatze schlechte Stabilitatseigenschaften haben, insbesondere bei groen Nichtlinearitaten wie zum Beispiel im Falle von Verdichtungsstoen, werden in der Fluidmechanik uberwiegend lineare Ansatze verwendet [21]. Eine aquivalente Darstellung von linearen Ansatzen ergibt sich durch die Bildung von Linearkombinationen sogenannter Form- oder Ansatzfunktionen mit den diskreten Losungsfunktionen. Im Folgenden werden hierzu zwei Ansatzfunktionen unterschieden, die bei der Diskretisierung verwendet werden:
stuckweise konstante Ansatzfunktion PE stuckweise lineare Ansatzfunktion NI
72
Kapitel 6 Numerische Verfahren
wobei sich das Subscript E auf einen Elementwert, gebildet im Elementschwerpunkt, und das Subscript I auf einen Knotenwert bezieht.
X U~ (x; y; t) = P (x; y; t) UE X E U~ (x; y; t) = NI (x; y; t) UI
(6.6) (6.7)
Fur PE und NI gilt, da sie nur im betre enden Element bzw. Knoten den Wert Eins besitzen und in allen ubrigen Elementen bzw. Knoten den Wert Null haben [82]:
( y ) 2 E PE = 10 :: ((x; x; y) 3 E ;
( x; y ) = (x; y )I NI = 10 :: ((x; y ) 6= (x; y )I
(6.8)
Anschaulich ist in Abbildung 6.1 der globale Verlauf fur das Dreieckselement E und einen Knoten I dargestellt. 1
1
E I
Abbildung 6.1: Ansatzfunktionen fur PE und NI Im Hinblick auf die numerische Integration ist es fur Dreieckselemente gunstiger, die Ansatzfunktionen lokal zu de nieren. Bei der stuckweise konstanten Ansatzfunktion ist dieses trivial. Die linearen lokalen Ansatzfunktionen Ni im Element lassen sich im ebenen Fall mit Hilfe von Flachenkoordinaten L1 ; L2 und L3 darstellen. Diese lokalen Koordinaten lassen sich fur ein Dreieck mit den Knoten 1,2 und 3 wie folgt aus den globalen Koordinaten x; y bestimmen:
x = L1x1 + L2x2 + L3 x3 y = L1y1 + L2y2 + L3 y3 1 = L1 + L2 + L3
(6.9)
6.1 Finite Elemente Approximation
73
Lost man dieses Gleichungssystem nach Li auf, ergibt sich: 1 x + c1 y 2 x + c2 y 3 x + c3 y L1 = a1 + b2 ; L2 = a2 + b2 ; L3 = a3 + b2
(6.10)
mit der Dreiecks ache :
1 1 1 = det x1 x2 x3 y y y 1 2 3
(6.11)
und den Konstanten a1 ; b1 und c1 :
a1 = x2 y3 ; x3y2 b1 = y2 ; y3 c1 = x3 ; x2
(6.12)
Die anderen Konstanten (a; b; c)i=2;3 folgen aus dem zyklischen Vertauschen der Indizes. N
N
i
k i
k
k i
j
N
j
k i
j
j
Abbildung 6.2: lokale Ansatzfunktionen Ni Abbildung 6.2 zeigt den Verlauf der lokalen Ansatzfunktionen fur die drei Knoten des Elementes.
74
Kapitel 6 Numerische Verfahren
Fur einen angenommenen Funktionsverlauf U u ber zwei Elemente ergibt sich damit die stuckweise konstante Approximation und die stuckweise lineare Approximation nach Abbildung 6.3. Der genaherte Verlauf ist dabei durch gestrichelte Linien dargestellt.
Abbildung 6.3: stuckweise konstante und lineare Funktionsapproximation Die globalen Ansatzfunktionen NI ergeben sich aus den lokalen Ni durch eine Vereinigung aller am Knoten I beteiligten Elemente mit der Forderung NI = Ni (vgl. Abbildung 6.3).
6.2 Taylor Galerkin-Verfahren Die Losung der in Kapitel 2 aufgestellten Di erentialgleichungen mit Hilfe der Finiten Elemente-Methode basiert auf einem Galerkin-Verfahren in Verbindung mit einer Integration uber das Berechnungsgebiet nach der Methode der gewichteten Residuen. Im Folgenden soll anhand einer zweidimensionalen Transportgleichung das Verfahren der Finiten Elemente-Methode erlautert werden:
@ U + @ Fx + @ Fy + S = 0 @t @x @y
(6.13)
Analog zum Lax{Wendro Verfahren [14] fuhrt die zeitliche Taylorreihe zweiter Ordnung zu:
U n+1 = U n + t @@Ut + O(t2) n
(6.14)
Durch Einsetzen von Gleichung (6.13) in (6.14) erhalt man unter Vernachlassigung des Abbruchfehlers eine explizite Losung von U n+1 :
6.2 Taylor Galerkin-Verfahren
U n+1
75
= U n ; t
@ Fxn + @ Fyn + S n @x @y
!
(6.15)
Analog zu Gleichung (6.2) wird die Gleichung (6.15) mit einer beliebigen Testfunktion multipliziert und in eine Integralformulierung uberfuhrt. Hier wird vorausgesetzt, da die Losung des Problems unabhangig von den Integrationsgrenzen ist.
Z
!
Z Z n @ Fn U n+1 d = U n d ; t @@Fxx + @ yy + S n d
(6.16)
Ersetzt man nun die Funktion U nach Gleichung (6.7) durch die angenaherte Funktion U~ ergibt sich ein Satz von Restgliedern, die sogenannten Residuen. Bei der Wahl der geeigneten Funktionsapproximation ist auf die Di erenzierbarkeit der Operatoren zu achten. In diesem Fall genugt eine lineare Ansatzfunktion dieser Anforderung. Das Verfahren der gewichteten Residuen nach Galerkin [83] [82] erhalt man durch Ersetzen der beliebigen Funktion aus der Gleichung (6.16) durch stuckweise de nierte Testfunktionen I , bzw. mit den stuckweise linearen Ansatzfunktionen I = NI .
Z
NJ
X
Z X @ NI Fxn X @ NI Fyn X n! NI UI d = ;t NI @x + @ y + NI S d (6.17)
mit UI = UIn+1 ; UIn . Das Gleichungssystem (6.17) liefert ein System algebraischer Gleichungen zur Losung der genaherten Funktion U~ auf dem Berechnungsgebiet . Dabei entspricht die Anzahl der Gleichungen der Zahl der Wichtungsfunktionen I . Da die Ansatz- und Wichtungsfunktionen nur im betrachteten Element ungleich Null sind, kann die Integration auch auf Elementebene durchgefuhrt werden. Das Integral u ber die Summe der Ansatzfunktionen ergibt sich jetzt als Summe der Einzelintegrale uber die Elemente. Mit der elementweisen Betrachtung werden aus den globalen Ansatz- und Wichtungsfunktionen - groe Indezierung - nun lokale Funktionen - kleine Indezierung:
XZ e e
Nj Nid e Ui = ;t
! Nj @@NxI Fxn + @@NyI Fyn + NI S n d e
e
XZ e
(6.18)
In der Methode der Finiten Elemente ist es ublich, eine Schreibweise mit Elementmatrizen zu wahlen. Durch Einfuhren dieser Elementmatrizen ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
76
Kapitel 6 Numerische Verfahren
X e
Mij Ui = ;t Kij Fxn + Lij Fyn + 3e S n
(6.19)
mit den Matrizen
0R N 1 N1 Mij = BB@ RR N2N1 NN 0 R 3 @N11 N1 @x Kij = BB@ RR N2 @N@x1 N3 @N1 0 R @N@x1 N1 @y Lij = BB@ RR N2 @N@y1 N3 @N@y1
RNN RNN 1 R N1N2 R N1N3 C C R N2N2 R N2N3 A d e 3 2 3 3 R N @N2 R N @N3 1 1 @x @x C R N @N2 R N1 @N 3 C @x R 2 @x A d e R N2 @N @N3 2 N 3 @x 3 @x 1 R N @N R N @N 2 3 1 @y R N @N2 R N1 @N@y3 C C R N2 @N@y2 R N2 @N@y3 A d e 3 @y 3 @y
(6.20) (6.21) (6.22)
Die Matrix Mij wird dabei als Elementmassenmatrix bezeichnet [82]. Aufsummiert in eine Gesamtmatrix fuhrt Gleichung (6.19) zu einem Gleichungssystem der Form:
MU = tRS
(6.23)
Hier ergibt sich der Vektor RS aus der Multiplikation der Matrizen Kij und Lij mit den entsprechenden Fluvektoren und dem Quellterm S n . Die Berechnung der Integrale in den Gleichungen (6.20-6.22) erfolgt bei den Ansatzfunktionen hoherer Ordnung numerisch mit Hilfe von Gauquadraturen. Bei linearen Ansatzen, wie sie hier verwendet werden, kann die Integration auch analytisch durchgefuhrt werden. η
y
1
x
1
ξ
Abbildung 6.4: Koordinatentransformation Dazu werden die Elemente in unverzerrte Stammelemente uberfuhrt und die Integration in Flachenkoordinaten ausgefuhrt. Diese Abbildung eines beliebigen Dreiecks in der x ; y
6.2 Taylor Galerkin-Verfahren
77
Ebene auf ein Stammelement in der ; Ebene wird in Abbildung 6.4 dargestellt. Als Transformationsvorschrift gilt mit L1 = N1 = und L2 = N2 = mit N1 2 [0; 1] und N2 2 [0; 1]:
x = x1 N1 + x2N2 + x3 (1 ; N1 ; N2) y = y1N1 + y2N2 + y3 (1 ; N1 ; N2)
(6.24)
Die Jakobimatrix J lat sich wie folgt berechnen:
J=
@x @ N1 @x @ N2
@y @ N1 @y @ N2
!
x3 y1 ; y3 = xx1 ; 2 ; x3 y2 ; Y3
!
(6.25)
Fur die Integrale der folgenden Gleichungen ergeben sich unter Berucksichtigung der Konstanten bj und cj aus der Gleichung 6.12:
Z
Ni Nj d =
Z
ZZ
NiNj dx dy =
Z1 1Z; 0 0
NiNj det J dNi dNj
(6.26)
bj Z1 1Z;N det J dN dN Ni @@Nxj d = = 2 i i j
(6.27)
cj Z1 1Z;N det J dN dN Ni @@Nyj d = = 2 i i j
(6.28)
0 0
Z
0 0
Die Elementmassenmatrix ergibt sich zu:
0
1
2 1 1 Mij = 12e BB@ 1 2 1 CCA 1 1 2
(6.29)
und fur die Matrizen K und L lat sich schreiben:
0
1
0
1
y2 ; y3 y2 ; y3 y2 ; y3 y3 ; x2 x3 ; x2 x3 ; x2 Kij = 16 BB@ y3 ; y1 y3 ; y1 y3 ; y1 CCA Lij = 61 BB@ x1 ; x3 x1 ; x3 x1 ; x3 CCA (6.30) y1 ; y2 y1 ; y2 y1 ; y2 x2 ; x1 x2 ; x1 x2 ; x1
78
Kapitel 6 Numerische Verfahren
Damit sind die grundlegenden Vorgehensweisen zur Losung von partiellen Di erentialgleichungen dargestellt worden. Sie werden in den nachsten Unterkapiteln zur Losung der Navier-Stokes Gleichungen angewendet.
6.2.1 Explizites Zwei-Schritt-Verfahren Aus dem klassischen Lax-Wendro -Verfahren ist von Donea [84] ein Ansatz fur das explizite Taylor-Galerkin Zwei-Schritt Verfahren entwickelt worden. Das Verfahren lat sich mit Hilfe einer Taylorreihe zweiter Ordnung in der Zeit und der Substitution der Zeitableitung des Losungsvektors durch die Ortsableitung der Flusse darstellen. Dabei wird auf eine semidiskrete Formulierung zuruckgegri en, indem die zeitlichen Ableitungen mit einem nite Di erenzen Schema und die raumliche Ableitung durch die Anwendung der Finiten Elemente Methode dargestellt werden konnen. Geht man von einem System partieller Di erentialgleichungen der folgenden Form aus:
@ U + @ Fia = @ Fiv + S a + S v @t @x @x
(6.31)
so ergibt eine Taylorreihenentwicklung in Zeit um U n : n 2 2 n U n+1 = U n + t @@Ut + 2t @@ Ut2 + O(t3)
(6.32)
Nach einer Umstellung der Gleichung und der Vernachlassigung des Restgliedes folgt aus Gleichung (6.32): n U n+1 = U n + t @@t U n + 2t @@Ut
!
(6.33)
Der Klammerausdruck kann hier als eine Losung zum Zeitpunkt U n+ 12 betrachtet werden. Somit ergibt sich aus Gleichung (6.33) das Taylor-Galerkin 1Zweischrittverfahren mit einem Pradiktorschritt, in dem die Losung zum Zeitpunkt U n+ 2 berechnet wird, und einem Korrektorschritt, der zur Losung zum Zeitpunkt U n+1 fuhrt. Durch das Ersetzen der Zeitableitungen durch die Flusse und die Produktionsterme ergibt sich fur den Pradiktorschritt: a n ! U n+ 12 = U n + 2t S a jn ; @@ Fxk k
(6.34)
6.2 Taylor Galerkin-Verfahren
79
sowie fur den Korrektorschritt:
1 0 a n+ 12 v n+ 21 U n+1 = U n + t @S ajn+ 12 ; @@ Fxk + S v jn+ 12 + @@ Fxk A k k
(6.35)
Hier ist zu beachten, da die Erhaltungsgroen zum Zeitpunkt tn und tn+1 auf den Eckpunkten des Elements vorliegen und mit einer stuckweise linearen Ansatzfunktion approximiert werden. Zum Zeitpunkt tn+ 12 liegen die Erhaltungsgroen als Elementwert vor und werden durch eine stuckweise konstanten Ansatzfunktion abgebildet. Die Anwendung der Methode der gewichteten Residuen fuhrt beim Pradiktorschritt zu Gleichung (6.36). Dieses wird auch als Kollokation im Teilbereich bezeichnet.
XZ e
PePeUrn+ 2 d = 1
XZ e
Pe NiU n d + 2t
XZ e
! i a n Pe NiSiajn ; @@ N F j x ki d (6.36) k
Aus Gleichung (6.36) folgt fur die Berechnung des Elementwertes Ue :
! 3 3 3 X X X i a n F j U n+ 12 = 13 Uin + 2te 13 Siajn ; @@ N ki i=1 i=1 i=1 xk
(6.37)
Im Pradiktorschritt nden nur die konvektiven Flusse Berucksichtigung, weil zum Zeitpunkt t = tn nur lineare Funktionsverlaufe im Element und somit nur erste Ableitungen in den Flussen berucksichtigt werden. Der Korrektorschritt wird nach der Galerkin Methode mit den linearen Wichtungsfunktionen Ni gebildet. Damit folgt aus Gleichung (6.35):
XZ e
0 Z X X Z @ PeFkae n+ 12 NiNj Uj d = t @ NiPe Sea jn+ 12 d ; Ni @ x d
k e
e
1 1 n + Z Z v 2 X X + NiPe Sev jn+ 12 d + Ni @ @PexFke d A (6.38) k e
e
Hier wird die Integration elementweise durchgefuhrt. Da in Gleichung (6.38) die Flusse konstant uber die Elemente sind und keine sinnvolle Ortsableitung gebildet werden kann, wird der Greensche Satz angewendet und die Gleichung in ihre 'schwache' Form uberfuhrt. Diese Formulierung reduziert die Anforderung der Glattheit der Losung U auf Kosten der Stetigkeitsanforderung bei der Wichtungsfunktion [18].
80
Kapitel 6 Numerische Verfahren
XZ e
0 Z X Z @ Ni a n+ 12 X d Fke j Ni Nj d Uj = t @ Ni d Sea jn+ 12 + e @ xk e
XZ X Z @ Ni v n+ 12 d Fke j + Nid Sev jn+ 12 + e
e @ xk 1 XZ XZ a n v n + Ni Nj d;Fke j ; NiNj d;Fke j A e ;
(6.39)
e ;
Die Berechnung des Randintegrals fuhrt im Gebiet wechselweise zu sich aufhebenden Summanden, so da dieses ausschlielich am Gebietsrand aufgestellt wird. Die Flusse im Randintegral werden dabei zum Zeitpunkt t = tn bestimmt. In Abbildung 6.5 sind die Bilanzraume fur den zellzentrierten Pradiktorschritt und den knotenzentrierten Korrektorschritt dargestellt.
Abbildung 6.5: Bilanzraume fur den Pradiktor und den Korrektorschritt Durch die Summation der gesamten Elementbeitrage, einschlielich der Beitrage der Randelemente, erhalt man fur jeden Zeitschritt ein lineares Gleichungssystem der Form:
M U = RS
(6.40)
Eine Invertierung der Matrix M wurde einen groen Speicherplatz- und Rechenzeitbedarf erfordern. Ein von Donea und Guilian [85] vorgeschlagener iterativer Algorithmus wie er in Gleichung (6.41) dargestellt ist, der A hnlichkeiten mit einem Jacobi-Verfahren hat, fuhrt jedoch auf ein Gleichungssystem, bei dem keine Invertierung der Massenmatrix M notwendig ist und elementweise eine Matrix-Vektor Multiplikation durchgefuhrt wird.
MU U = RS ; M L
;1
+ U ;1
U 0 = 0
(6.41)
6.2 Taylor Galerkin-Verfahren
81
Die Matrix ML wird als sogenannte lumped mass Matrix bezeichnet, bei der die Zeileneintrage auf die Diagonale summiert worden sind und sich somit eine reine Diagonalmatrix ergibt. Die lumped mass Matrix berechnet sich aus der Summation uber die Elemente gema Gleichung (6.42):
ML =
X e
0 1 4 0 0C X e B MijL =^ 12 B@ 0 4 0 CA e 0 0 4
(6.42)
Die Massenmatrix M wird dabei nicht abgespeichert, da die Matrix-Vektor Operation MU durch eine Summation auf Elementebene durchgefuhrt wird. Das Gleichungssystem (6.41) ist so gut konditioniert, da drei Iterationsschritte zum Erhalt einer hinreichend genauen Losung des Erhaltungsvektors ausreichen. Wird auf eine stationare Losung hin konvergiert, so reicht es aus, das Inkrement alleine aus der rechten Seite und der lumped mass Matrix zu bestimmen.
RS U = M
L
(6.43)
Dies fuhrt auf ein Verfahren, welches von zweiter Ordnung genau im Raum und unter Anwendung der Iteration ( = 3) auch in der Zeit ist.
6.2.2 Numerische Dampfung Die im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Stromungsprobleme zeichnen sich durch das Auftreten von Diskontinuitaten, in Form von Verdichtungsstoen und Scherschichten aus. Dies fuhrt bei den nichtlinearen konvektiven Termen zu Diskretisierungsfehlern, die mit Oszillationen im Bereich der Diskontinuitaten verbunden sind und letztlich in der Instabilitat der Losung enden. Durch zusatzliche dissipative Terme konnen diese Oszillationen vermieden werden. Analog zur physikalischen Viskositat kann die Losung durch Hinzufugen von kunstlicher Viskositat uber mehrere Gitterpunkte verschmiert werden [14]. Diese Dampfung der Losung sollte jedoch auf den Bereich von Diskontinuitaten beschrankt bleiben, um die damit verbundene Beein ussung der Losung moglichst gering zu halten. Bei dem hier beschriebenen Verfahren wird eine druckgesteuerte Dampfung nach dem Verfahren von McCormack [86] angewendet. Eine aquivalente Formulierung wird von Peraire [87] vorgeschlagen, um das Verfahren auch auf Finite Elemente Methoden anzuwenden. Die Steuerung der Dampfung geschieht uber die normierte zweite Ableitung des Druckes.
82
Kapitel 6 Numerische Verfahren
P e (M ; ML) p SI = P j(M ; M )j p L e
SI 2 [0; 1]
(6.44)
Der Steuerterm SI nimmt im Bereich von Diskontinuitaten den Wert Eins an und ist in Gebieten mit konstantem Druck vernachlassigbar klein. Die Glattung der Losung erfolgt nach jedem Zeitschritt und ist konservativ, da die Summe aller A nderungen im Element und somit auch im Gebiet den Wert Null ergibt:
mit
UIns+1 = UIn+1 + tI DI DI = cd M;LI1
X Se (Me ; MeL ) U n+1 e te
(6.45) (6.46)
Die Konstante cd bestimmt hier die Starke der Dampfung. Bei Stromungen mit Machzahlen uber Drei reicht die soeben beschriebene Dampfung nicht mehr aus bzw. fuhrt zu stark verschmierten Losungen, da aus Stabilitatsgrunden die Dampfung sehr hoch gesetzt werden mu. Eine Alternative ist hier das von Rick [88] in den Stromungsloser implementierte 'Flux{Corrected {Transport' (FCT) Verfahren. Die FCT{Methode wurde ursprunglich von Boris, Book [89] [90] [91] vorgeschlagen und durch Zalesak [92] als mehrdimensionales Schema weiterentwickelt sowie durch Parrot, Christie [93] Lohner, etc [94] auf die Methode der Finiten Elemente Methode zur Losung von Di erentialgleichungen erweitert. Numerische Verfahren zweiter oder hoherer Ordnung neigen in der Nahe von groen Gradienten zu Oszillationen, wahrend Verfahren erster Ordnung die Gradienten schwingungsfrei au osen. Verfahren erster Ordnung haben jedoch eine nur unzureichende Genauigkeit fur die Stromungsberechnung. Das FCT-Schema basiert nun auf der Berechnung eines konservativen antidi usiven Flusses, als gewichtetes Mittel der Flusse eines monotonen und eines Schemas hoherer Ordnung. Fur das Schema hoherer Ordnung wird das Taylor{Galerkin Zweischrittverfahren verwendet. Das monotone Schema ergibt sich aus demselben Verfahren mit einem zusatzlichen Di usionsoperator (6.46). Schema hoherer Ordnung:
ML Uh+1 = t RS + (ML ; M) Uv ML Ul = t RS + D(U n)
Schema erster Ordnung: mit
D(U n) = cd (M ; ML) U n
(6.47) (6.48)
6.2 Taylor Galerkin-Verfahren
83
Die Losung nach jedem Zeitschritt ergibt sich dann aus der Kombination beider Losungen.
U n+1 = Uln+1 + C (Uh ; Ul )
(6.49)
Der Limiter C vor dem zweiten Term der rechten Seite ist dabei so zu wahlen, da keine neuen Oszillationen angeregt werden. An dieser Stelle soll der eigentliche FCT-Algorithmus kurz skizziert werden. Fur eine detaillierte Beschreibung des Verfahrens sei auf die Arbeiten von Morgan und Peraire [46] und speziell fur den verwendeten Stromungsloser auf die Arbeit von Rick [88] verwiesen. Der FCT-Algorithmus lat sich in sechs Schritte unterteilen: 1. Berechnung des 'low{order Element{Flusses` LEC mit einem Schema erster Ordnung, das eine monotone Losung garantiert. 2. Berechnung des 'high{order Element{Flusses' HEC mit einem Schema hoherer Ordnung. 3. Berechnung des 'antidi usiven Element Flusses'.
AEC = HEC ; LEC 4. Berechnung der neuen Losung niedriger Ordnung.
Ul = U n +
X e
LEC = U n + Ul
5. Limitierung des 'antidi usiven Flusses', so da die Losung U n+1 frei ist von Extrema, die nicht auch in Ul oder U n zu nden sind.
AEC c = Ce AEC 6. Berechnung der neuen Losung.
U n+1 = Ul +
mit 0 Ce 1
X e
AEC c
Wichtig bei dem Verfahren ist hier die geeignete Wahl des Limiters. Dieses wird in der Arbeit von Rick [88] detailliert beschrieben.
84
Kapitel 6 Numerische Verfahren
6.3 Galerkin{Runge{Kutta Zwei{Schritt{Verfahren In Verbindung mit der Berechnung von reaktiven Scherschichten hat sich gezeigt, da die Verwendung des Taylor{Galerkin{Verfahrens nicht zu schwingungsfreien stationaren Losungen fuhrt, da die Dampfungseigenschaften nicht ausreichend sind. Der Einsatz eines Runge{Kutta{Zweischrittverfahrens mit seinen guten Dampfungseigenschaften fuhrte demgegenuber zu einer wesentlich besseren Losungsqualitat. Im Folgenden soll das Verfahren kurz beschrieben werden. Ausgehend von der schwachen Residuenformulierung:
Z
Z Z e NJ @@Ut d ; @@ Nx J Fek d + NJ Fek nk d; = 0 k
;
(6.50)
und einer stuckweise linearen Funktionsapproximation: Ue = Ni Ui ; Fek = NiFki mit Fki = Fk (Ui )
(6.51)
lat sich die nachfolgende Galerkin-Finite Element-Gleichung herleiten:
X e
ML Ut =
X Z @ Nj XZ N Nj Nink d; Fki i d Fki ; e e @ xk e ;e
(6.52)
Die im Randintegral auftretenden Flusse in Normalenrichtung werden unter Berucksichtigung der Charakteristikenbedingungen berechnet. Das Aufsummieren der Elementbeitrage entsprechend der Gleichung (6.52) fuhrt zu einem Gleichungssystem der Form: ML Ut = R(U ) (6.53) Aufgrund der verwendeten zentralen Diskretisierung mit fehlenden dissipativen Anteilen in den numerischen Flussen bleiben hochfrequente Storungen in der Losung ungedampft. Aus diesem Grunde wird zur Dampfung dieser Oszillationen ein dissipativer biharmonischer Operator D(4) hinzugefugt. Da jedoch dieser Dampfer 4. Ordnung nur fur die Berechnung von glatten Gebieten der Losung geeignet ist, wird zusatzlich entsprechend Gleichung (6.46) ein Laplace Operator 2. Ordnung zur Unterdruckung von nichtlinearen Instabilitaten in der Nahe von Verdichtungsstoen verwendet. Es ergibt sich damit das folgende Gleichungssystem: (6.54) ML Ut = R(U ) + D(2) ; D(4)
6.3 Galerkin{Runge{Kutta Zwei{Schritt{Verfahren
85
Zur Zeitintegration des Gleichungssystems wird ein 5{Schritt Runge{Kutta Schema in Verbindung mit einer Relaxation durch lokale Zeitschritte zur Berechnung stationarer Stromungen verwendet. Die dissipativen Terme werden nur in den ersten beiden Teilschritten berechnet und bleiben fur die restlichen Teilschritte 'eingefroren'. [95] [96]:
Uj(+1) = UJn + tJ M;LJ1 RJ (U () ) + (Dj(2) ; Dj(4)) mit 0;;4 = 1=4; 1=6; 3=8; 1=2; 1 = 0; ; 4
(6.55)
= min(; 1)
Die Koezienten gewahrleisten eine erhohte Stabilitat auf Kosten einer reduzierten Zeitgenauigkeit von maximal O(T 5 ) auf O(t2). Die kunstlich dissipativen Terme werden mit dem lokalen Zeitschritt skaliert, um eine zeitunabhangige stationare Losung zu gewahrleisten. Der lineare biharmonische Operator D(4) wird durch die zweifache Anwendung eines Laplace Operators erhalten:
DJ = M;LJ1 (4)
" # X (4) X ; 1 (M ; ML) ML (M ; ML ) U e te e
(6.56)
Die Beitrage des Operators D(4) werden zur Erzielung von oszillationsfreien Losungen in Bereichen von Verdichtungsstoen, in denen der Operator D(2) wirksam ist, ausgeblendet [96]. Dieses geschieht durch die folgenden De nition von (4) :
(2) (4) = max 0; c(4) d ; cd Se wobei Se das arithmetische Mittel der Knotenwerte SJ (6.44) ist.
(6.57)
Abschlieend sei noch erwahnt ,da fur das Galerkin{Runge{Kutta Verfahren im Vergleich zum Taylor{Galerkin Zwei{Schritt{Verfahren zwar ein erhohter Rechenaufwand pro Zeitschritt notwendig ist, jedoch dieser durch eine bessere Konvergenz bei erhohter CFL|Zahl ausgeglichen wird.
Kapitel 7 Netzgenerierung Fur die numerische Stromungssimulation ist es notwendig das Berechnungsgebiet durch ein Berechnungsnetz abzubilden. Im Rahmen dieser Arbeit werden zweidimensionale unstrukturierte Dreiecksnetze verwendet. Unstrukturierte Berechnungsnetze bieten die Moglichkeit, auch beliebig komplexe Gebietsberandungen zu vernetzen. Daruber hinaus haben unstrukturierte Netze den Vorteil, die Netzstruktur der Losung optimal anzupassen, so da immer eine ausreichende Netzdichte zur Au osung von Gradienten im Losungsvektor gewahrleistet werden kann. Nachteilig bei unstrukturierten Netzen ist die notwendige indirekte Adressierung. Da alle Punkte ungeordnet im Berechnungsgebiet liegen, mussen uber ein sogenanntes Element{ Knoten{Verzeichnis die Knoten zu Elementen zusammengefat werden. Fur die unstrukturierte Vernetzung eines Berechnungsgebietes werden hauptsachlich zwei unterschiedliche Verfahren angewendet. Bei der Delaunay{Triangulation [97] werden die Knoten im Berechnungsgebiet verteilt und anschlieend moglichst optimal so verknupft, da nur wenig verzerrte Elemente entstehen. Bei der in dieser Arbeit verwendeten 'Advancing{Front{Methode' wird das Netz ausgehend vom Gebietsrand in das zu vernetzende Gebiet hinein generiert [98] [99] [18]. Dabei werden die Knoten und Elemente gleichzeitig gebildet. Fur bestimmte Anwendungen ist es nachteilig, da bei unstrukturierten Berechnungsnetzen die direkte Zuordnung von Netzknoten nicht oder nur sehr aufwendig moglich ist. Hier ist es dann von Vorteil strukturierte mit unstrukturierten Berechnungsnetzen zu kombinieren, um eine direkte Zuordnung von Netzknoten in strukturierten Netzbereichen zu erhalten. Hassan [19] verwendet einen explizit{implizit Algorithmus in Verbindung mit einer moglichst orthogonalen strukturierten Unterschicht an Wanden. Auch in dieser Arbeit werden im Bereich fester Berandungen zur besseren Au osung von Grenzschichten und fur die Anwendung des bereits beschriebenen logarithmischen Wandgesetzes strukturierte Netze eingesetzt [100]. Der verbleibende Bereich wird unstrukturiert vernetzt, wodurch hier die Vorzuge der losungsabhangigen Netzanpassung ausgenutzt werden konnen.
7.1 Unstrukturierte Netzgenerierung
87
Im Folgenden soll nun kurz auf die Generierung unstrukturierter Berechnungsnetze eingegangen werden und anschlieend die Generierung kombinierter strukturierter{ unstrukturierter Hybridnetze vorgestellt werden.
7.1 Unstrukturierte Netzgenerierung Der erste Schritt bei der Generierung eines unstrukturierten Berechnungsnetzes ist die De nition der Gebietsberandung. Der Gebietsrand setzt sich aus verschieden Randsegmenten zusammen, die sich in Geometrie und Funktion unterscheiden. Fur die Beschreibung einer Geometrie stehen dabei von Liniensegmenten, Kreisbogen, Splines bis hin zu einer expliziten Vorgabe einer beliebigen Geometrie anhand von Randpunkten eine Vielzahl von Moglichkeiten zur Verfugung, so da im Prinzip fur die Komplexitat der Gebietsberandung keinerlei Einschrankung besteht. Fur die spatere Stromungsberechnung unterscheidet man zwischen Eintritts{, Austritts{, und stromungsfuhrenden Randern. Nachdem der Gebietsrand de niert ist, wird er eindimensional diskretisiert, d.h. mit Knoten belegt, und bildet somit eine Front, deren Frontstucke zu Grundseiten noch zu generierender Elemente werden. Durch Hinzufugen von weiteren Knoten im Gebietsinnern und dem Verbinden von Knoten zu Elementen wird das Gebiet Schritt fur Schritt vom Rand aus mit Elementen ausgefullt. Dabei wird die Front kontinuierlich aktualisiert, so da sie immer das noch zu vernetzende Gebiet umschliet. Dieser Vorgang wird solange fortgesetzt, bis das gesamte Gebiet luckenlos vernetzt ist. Diese auch als 'Advancing Front Methode' bezeichnete Vorgehensweise ist von Greza [101] ausfuhrlich beschrieben worden. Um nun nicht nur eine vollstandige Vernetzung zu gewahrleisten, sondern auch Ein u auf die lokalen Netzcharakteristika zu nehmen, werden uber ein sogenanntes Hintergrundnetz, spezielle Netzparameter vorgegeben, die die Elementgroe und Gestalt festlegen. Das Hintergrundnetz stellt eine sehr grobe manuelle Vernetzung des Berechnungsgebietes dar, an dessen Elementknoten die Netzparameter festgelegt werden. Die drei Netzparameter:
Elementhohe Elementstreckung S Streckungsrichtung sind in Abbildung 7.1 graphisch dargestellt.
88
Kapitel 7 Netzgenerierung
Sδ δ y
α x
Abbildung 7.1: De nition der unstrukturierten Netzparameter
7.2 Generierung von Hybridnetzen Die Generierung von Hybridnetzen soll am Beispiel einer sehr spitzen Geometrie, wie sie in Abbildung 7.2 dargestellt ist, erlautert werden [100]. Diese Geometrie stellt eine Extremsituation fur die Netzgenerierung dar und kommt in der Form im Allgemeinen nur sehr selten vor. Fur die Demonstration der Netzgenerierung ist sie jedoch sehr anschaulich, da hier die Robustheit der Methode deutlich wird. Begonnen wird wie bei der rein unstrukturierten Vernetzung zuerst mit der De nition der Randgeometrie. Danach werden die Randpunkte generiert. Es entsteht eine sogenannte "Front", die eine Aneinanderreihung von Liniensegmenten darstellt. Das zu vernetzende Berechnungsgebiet liegt immer links des Frontverlaufs, der in Abbildung 7.2 durch die Pfeile dargestellt ist. Die Front wird im Verlauf der Netzgenerierung aktualisiert, so da dieses immer gewahrleistet bleibt. In den Randknoten werden Normalenvektoren errichtet, auf denen dann die Knoten des strukturierten Netzes verteilt werden. Die Verteilung erfolgt entsprechend der Anzahl der Elementschichten und der vorgegebenen Gitterabstande. Hier kann durch die Vorgabe der Netzknoten die gewunschten Eigenschaften des strukturierten Netzes genau festgelegt werden. Die zur Verfugung stehenden charakteristischen Parameter des strukturierten Netzes sind:
Anzahl der Gitterlinien Gitterlinienabstand Verteilung der Gitterlinien auf der Normalen
7.2 Generierung von Hybridnetzen
89
Zu diesem Zeitpunkt wird die Festlegung der Knoten ohne Berucksichtigung moglicher zukunftiger U berschneidungen von Elementen durchgefuhrt (Abb. 7.2). Nachdem alle
Abbildung 7.2: Randknotengenerierung und Belegung der Normalenvektoren mit Gitterpunkten Knoten des strukturierten Netzteils festgelegt sind, werden schichtweise die Knoten zu Rechteck{Elementen zusammengefat. Hierbei wird mit der wandnachsten Elementschicht begonnen. Wahrend der Generierung der Elemente wird uberpruft, ob es zu U berschneidungen mit anderen Elementen oder zu deformierten Elementen, wie sie in Abbildung 7.3 dargestellt sind, kommt. Die Forderung, da alle Knoten auf Wandnormalen liegen, fuhrt in Geometrien mit spitzen Winkeln oder kleinen Abmessungen zu U berschneidungen oder zu konvexen Elementen, die fur eine spatere Unterteilung der Rechteckelemente in Dreieckelemente ungeeignet sind. Entsprechende Elemente, sowie auch alle uber diesem Element
ß
Überschneidung von
Deformation eines
Negative Fläche
zwei Elementen
Elements, da ß > 180°
eines Elements
Abbildung 7.3: Elementdeformationen bei der Elementgenerierung liegenden Elemente, werden verworfen. Diese U berprufung erfolgt aus Rechenzeitgrunden nicht mit allen bereits existierenden Rechtecken, sondern nur mit der Front. Knoten, die
90
Kapitel 7 Netzgenerierung
Abbildung 7.4: Schichtweise Generierung der Rechteckelemente noch nicht in das Berechnungsnetz integriert sind, sind als Kreise dargestellt. Sobald sie zu einem Element gehoren werden sie als ausgefullte Kreise dargestellt. In Abbildung 7.4 erkennt man, da es im unmittelbaren Bereich der Ecke zu Elementuberschneidungen kommt und die beteiligten Elemente ausgesondert werden. Es wird so eine Elementschicht nach der anderen generiert, bis alle Knoten vernetzt sind. Die so entstandenen Rechteck{ Elemente konnen nun je nach verwendetem Stromungsloser als Rechteck{Elemente erhalten bleiben oder jeweils in zwei Dreieck{Elemente unterteilt werden, wie in Abbildung 7.5 dargestellt. Der nun noch verbleibende Teil des Berechnungsgebietes lat sich unstrukturiert vernetzen. Die hier beschriebene Methode zur Generierung von Hybridnetzen zeichnet sich
Abbildung 7.5: Schichtweise Generierung der Rechteckelemente durch eine groe Robustheit bei beliebig komplexen Gebietsberandungen aus. Dadurch, da Elemente, die problematisch hinsichtlich der Netzgenerierung sind, von vornherein weggelassen werden, ist gewahrleistet, da immer ein Netz erstellt werden kann. Durch diese sehr rigorose Vorgehensweise ist es notwendig, da der Anwender ein besonderes Augenmerk auf die problematischen Geometriebereiche hat, um zu uberprufen, ob das Berechnungsnetz dort den Anforderungen des Stromungslosers genugt.
Kapitel 8 Ergebnisse In den bisherigen Kapiteln wurden Grundlagen fur die Simulationen von kompressiblen reaktiven Stromungen dargelegt, die in den Code implementiert sind. Mit diesem Code wurden eine Vielzahl von Simulationen fur Stromungen von Scramjet{Antrieben durchgefuhrt. Die Simulationsergebnisse, die in den nachsten Abschnitten vorgestellt werden, beziehen sich auf unterschiedliche Teilbereiche von Scramjet{Antrieben.
Duse Brennkammer Isolator Einlauf
Abbildung 8.1: Skizze eines Scramjet-Triebwerks
92
Kapitel 8 Ergebnisse
Ein Scramjet{Antrieb lat sich in vier groe Baugruppen unterteilen, wie in Abbildung 8.1 dargestellt ist. 1. Einlauf: Hier wird die U berschallstromung uber mehrere Schragstoe verzogert und in den Einlaufkanal umgelenkt. 2. Isolator: Der Isolator ist ein Kanal zwischen dem Einlauf und der Brennkammer. Die Schragstoe aus dem Einlauf werden zwischen den Kanalwanden re ektiert, so da sich ein sogenannter "shock train" ausbildet. Dadurch werden Storungen, die sich im Grenzschichtbereich aus der Brennkammer in den Einlaufbereich ausbreiten konnten, abgedampft (isoliert). Dieses ist fur einen sicheren Betrieb eines ScramjetAntriebs unumganglich. Am Ende des Isolators konnen je nach Bauform Einspritzsysteme fur die Brennsto zufuhr angebracht sein. 3. Brennkammer: Hier ndet die Verbrennung des zum Teil schon im Isolator eingebrachten Treibstoffes statt. Die Di usionsverbrennung wird dabei von der Art des Einspritzsystems bestimmt. Zur Flammenstabilisierung konnen Stufen oder sogenannte Flammenhalter angeordnet sein. Durch die Warmezufuhr erfolgt ein Anstieg des Wanddruckes langs der Brennkammer. 4. Duse: Die Duse dient zur eigentlichen Schuberzeugung durch die Expansion des Verbrennungsgases. Um einen ersten Eindruck von den Stromungsverhaltnissen in einem Scramjet-Triebwerk zu bekommen, ist fur die oben vorgestellte Geometrie eine Eulerrechnung d urchgefuhrt worden. In den Abbildungen 8.2 bis 8.4 sind die Isobaren dargestellt. In Abbildung 8.2 erkennt man die drei schragen Verdichtungsstoe, die durch die Rampen erzeugt werden. Am Ende der Rampen wird die Stromung mit einer Prandtl{Meyer Expansion in den Triebwerkskanal umgelenkt. Man erkennt hier, wie die drei Rampen-Stoe auf die obere Lippe des Einlaufs tre en und von dort in den Kanal re ektiert werden. Dieses stellt hier einen Sonderfall dar, da ublicherweise die Stoe dieser Auenverdichtung vor der Lippe liegen und der nach innen laufende Sto von der Lippenspitze induziert wird. Der re ektierte Sto d urchlauft dabei den Expansionsfacher und wird durch ihn zur unteren Kanalwand hin umgelenkt. Von der konkaven Ecke an der oberen Lippe wird ein Sto induzier t, der sich ebenfalls in den Isolator hinein fortp anzt. Im Isolator ndet dan n eine Re exion der Stoe zwischen den Kanalwanden statt, wie in Abbildung 8.3 zu sehen ist. Dieser sogenannte "shock train" setzt sich bis in die Brennkammer fort (Abb. 8.4). Hier wird die
93 Stromung uber eine ruckspringende Stufe expandiert, wodurch unmittelbar hinter der Stufe ein Rezirkulationsgebiet, das zur Verbrennungsstabilisierung dient, ensteht. Hinter dem Rezirkulationsgebiet wird aufgrund der Stromungsumlenkung ein Rekompressionssto induziert. Vergleicht man nun die Wanddruckverteilung der Eulerrechnung in Abbildung 8.5 fur die untere (Lippe) und obere Kanalwand (Rampe) des Scramjets mit Messungen des russischen Forschungsinstitutes TsAGI [102] in Abbildung 8.6, so ergibt sich rein qualitativ eine sehr gute U bereinstimmung. Sowohl bei den Rechenergebnissen wie auch bei den Meergebnissen, sind die Drucksprunge uber die schragen Verdichtungsstoe und der Druckabfall uber den Expansionsfacher zu erkennen. Auch die Store exionen im Isolator stimmen gut uberein. Hier ist anzumerken, da die Druckspitzen in den Meergebnissen gegenuber den Rechenergbnissen deutlich abgedampft sind. Die Erklarung hierfur ist die in der Realitat auftretende reibungsbedingte Sto-Grenzchicht-Wechselwirkung. Der Druckabfall im Bereich der Stufe wie auch der folgende Druckanstieg aufgrund des Rekompressionsstoes ist ebenfalls gut zu erkennen. In Abbildung 8.6 sind zusatzlich noch die Ergebnisse fur eine Wassersto einspritzung mittels einer Einspritz nne kurz vor der Brennkammer mit anschlieender Reaktion dargestellt. Es ist hier ein deutlicher Druckanstieg in der Brennkammer festzustellen. Auerdem erkennt man die stabilisierende Wirkung des Isolators, da der Druckanstieg in der Brennkammer sich nicht uber die Wandgrenzschicht in den Einlaufbereich hin fortp anzt. Dieses bedeutet fur den Betrieb des Scramjets, da der Druckanstieg aufgrund der Verbrennung in der Brennkammer hier nicht zum Blockieren des Einlaufs fuhrt. In den nun folgenden Abschnitten werden ausgewahlte Bereiche und Stromungsphanomene detaillierter untersucht. Im ersten Abschnitt werden numerische Simulationen von unterschiedlichen Einlaufstromungen vorgestellt. Diese Berechnungen entstanden im Rahmen eines Hyperschalltechnologieprogramms, an dem die deutsche Luft{ und Raumfahrtindustrie, sowie das russische Forschungsinstitut TsAGI beteiligt waren. Dieses Programms diente der Entwicklung von Scramjet{Technologie [102]. Im zweiten Abschnitt wird die nicht-reaktive U berschallstromung u ber eine ruckspringende Stufe gezeigt. Fur diese Geometrie, die in Scramjet-Brennkammern zur Flammenstabilisierung eingesetzt wird, liegen detaillierte experimentelle Ergebnisse von McDaniel [103] vor, die zur Validierung des Stromungslosers herangezogen werden konnten. Im dritten Abschnitt wird die Stromung einer U berschallscherschicht vorgestellt. Dieser Stromungstyp tritt beim Einspritzen von Treibsto in die U berschallstromung einer Scramjet-Brennkammer auf. Hier werden sowohl die Mischungsprozesse als auch die Reaktionsprozesse numerisch simuliert und mit numerischen Ergebnissen von Melen [60] verglichen.
94
Kapitel 8 Ergebnisse
Abbildung 8.2: Isobaren im Einlaufbereich (Eulerrechnung)
Abbildung 8.3: Isobaren im Isolator (Eulerrechnung)
Abbildung 8.4: Isobaren in der Brennkammer und der Duse (Eulerrechnung)
95
P/P t
Rampe Lippe
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
x/h Ma = 6.3
Abbildung 8.5: Berechnete Wanddruckverteilung Eulerrechnung P/P t ohne
mit
Verbr.
Verbr.
Rampe Lippe
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
x/h Ma = 6.3
H2
Abbildung 8.6: Gemessene Wanddruckverteilung von TsAGI
55
96
Kapitel 8 Ergebnisse
8.1 Scramjet-Einlaufe Im Rahmen des Hyperschalltechnologieprogramms wurden verschiedene Geometrien fur Scramjeteinlaufe untersucht. Es handelt sich hierbei um eine ebenen Drei-Stodi usor, der in einen Rechteckkanal mundet, wie er in Abbildung 8.7 dargestellt ist. Wie bereits erwahnt soll durch eine optimale Gestaltung des Einlaufs eine moglichtst verlustarme Verzogerung und Kompression der Stromung erreicht werden. Fur eine feste, nicht variable Geometrie lat sich dieses Optimum nur fur eine Auslegungsmachzahl und den damit verbundenen Stromungsparametern erreichen. In kleineren bzw. hoheren Flugmachzahlbereich entfernt sich die Funktionfahigkeit des Einlaufs vom Optimum. Die Geometrie ist somit innerhalb der Abmessungsrandbedingungen, derart auszulegen, da neben dem Auslegungspunkt auch das Betriebsverhalten uber das gesamte Flugmachzahlspektrum optimiert ist. Eine Skizze der auftretenden Stromungsphanomene ist in Abbildung 8.7 dargestellt. Die StoßExpansionsfächer
Grenzschichtwechselwirkung
Schrägstöße
Abbildung 8.7: Skizze der Scramjeteinlauf{Stromung Stromung tri t auf mehrere hinterainanderliegende Rampen. Durch die jeweilige Umlenkung werden Verdichtungsstoe induziert. Die Starke der Umlenkung bestimmt hier die Kompression und die damit verbundenen Verluste. Abschlieend erfolgt eine Umlenkung mittels einer Prandtl{Meyer Expansion in den Triebwerkskanal oder auch Isolator. Durch die sehr komplexe Stokon guration und eine starke Sto{Grenzschicht{Wechselwirkung wird hier die Qualitat der Einlaufgeometrie bezuglich der Stromungsverluste und einer storungsfreien Anstromung in die Brennkammer bestimmt. Die Ergebnisse der durchgefuhrten Simulationen zeigen, da starke Verdichtungsstoe im Kanalhals zu Grenzschichtablosungen fuhren. Diese Abloseerscheinung lat sich anhand der Skizze in Abbildung 8.8 erlautern. Der einfallende Sto verursacht aufgrund des Drucksprungs im unmittelbaren Bereich der Wand ein Ruckstromgebiet und damit eine Ablosung der Grenzschicht [104]. Durch die damit verbundene Aufdickung der Grenzschicht wird die Stromung am Beginn der Ablosezone umgelenkt. Diese Umlenkung induziert einen Kom-
8.1 Scramjet-Einlaufe
97
pressionsto der sich vom Anfang der Ablosezone her ausbildet. Die Stromung wird am Scheitelpunkt der Abloseblase abermals umgelenkt, was zu einem Expansionsfacher fuhrt. Am Ende des Rezirkulationsgebietes wird die Stromung wieder wandparallel umgelenkt, wodurch ein Rekompressionssto erzeugt wird. In den folgenden Abbildungen sind die Kompressionswellen
er ch sfä n sio an Exp Grenzschichtrand
Rezirkulationsgebiet
Abbildung 8.8: Skizze einer Sto{Grenzschicht Interaktion Ergebnisse der numerischen Simulationen dargestellt. Bei der Berechnung wurde das k{" Modell eingesetzt und fur die Dampfung der FCT-Algorithmus verwendet. In Abbildung 8.9 ist ein Ausschnitt des Berechnungsnetzes fur eine Einlaufgeometrie, die fur eine Anstrommachzahl von Mad = 6:25 ausgelegt ist, dargestellt. Der Ausschnitt be ndet sich direkt am Anfang des Triebwerkskanals, wo die erwarteten Stromungsphanomene, wie Store exion und Sto{Grenzschicht{Wechselwirkung auftreten. Man erkennt die verfeinerte Netzstruktur im Bereich der Stoe und im Grenzschichtbereich. Im unmittelbaren Wandbereich kommt ein strukturiertes Berechnungsgitter fur die Anwendung des logarithmischen Wandgesetzes zum Einsatz. In Abbildung 8.10 sind die Isolinien der Dichte dargestellt. Man erkennt die drei schragen Verdichtungsstoe. Von der obere Einlau ippe wird ein weiterer Verdichtungssto induziert, der sich in den Triebwerkskanal hinein erstreckt. Erkennbar ist auerdem die Wandgrenzschicht auf der Rampe, sowie der Expansionsfacher an der konvexen Ecke der Rampenseite. In Abbildung 8.11 sind die Isobaren dargestellt. Deutlich zeichnet sich das Rezirkulationsgebiet auf der unteren Kanalseite ab. Die Kompressionsstoe vor und hinter der Rezirkulationsblase sind ebenfalls gut zu erkennen, wie auch der Expansionsfacher auf dem Scheitelpunkt der Blase. In der Darstellung der Isolinien der Machzahl in Abbildung 8.12 ist die sich ablosende Grenzschicht auf der unteren Kanalseite ebenfalls gut erkennbar. Auch die Wanddruckverteilung in Abbildung 8.13 zeigt die Stromungsphanomene, wie sie in den Isoliniendarstellungen zu sehen sind. So sind auf der unteren Kontur die drei Drucksprunge uber die Verdichtungsstoe mit der sich anschlieenden Expansion zu sehen.
98
Kapitel 8 Ergebnisse
Darauf folgt der Drucksprung des Kompressionsstoes vor dem Rezirkulationsgebiet und der konstante Druckverlauf innerhalb des Gebietes. Abschlieend folgt dann der Druckanstieg durch den Verdichtungssto am Ende der Rezirkulationsblase. Die Stoe werden danach zwischen den Kanalseiten re ektiert, wobei ihre Starke stetig abnimmt.
Abbildung 8.9: Netzgeometrie fur den Einlauf Mad = 6:25
Abbildung 8.10: Isodichtelinien fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3
Abbildung 8.11: Isobaren fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3
8.1 Scramjet-Einlaufe
99
Abbildung 8.12: Isomachlinien fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3
P/P t
Rampe Lippe
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
x/h Ma = 6.3
Abbildung 8.13: Wanddruckverteilung fur Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3
100
Kapitel 8 Ergebnisse
Die bei dieser Einlaufgeometrie festgestellte Ablosezone im Einlaufquerschnitt ist fur einen sicheren und stabilen Betrieb eines Scramjettriebwerks nicht von Vorteil, da sie durch die damit verbundene Querschnittsverengung die Neigung zum Blockieren der Stromung verstarkt. Es ist deshalb notwendig, die Geometrie hier so abzuandern, da dieses Ablosegebiet deutlich reduziert wird. Der Einlauf wurde daraufhin verlangert und die Rampenwinkel damit verkleinert. In Tabelle 8.1 sind die entsprechenden Variationen angegeben. Die nun etwas verminderte Starke der Stoe fuhrte zu einer deutlichen Reduzierung der Rampenwinkel Lange Rampe 1 Rampe 2 Rampe 3 Rampe 4 Original 522 mm 9:5 16:7 24:7 6:0 Modi kation 622 mm 7:5 15:0 20:0 5:0 Tabelle 8.1: Geometrievariation Ablosezone und damit auch zu einer Reduzierung der Stromungsverluste. Die Abbildungen 8.14 und zeigen diese Verkleinerung des Rezirkulationsgebietes anhand der Isolinien der Machzahl. Die modi zierte Geometrie stellt also eine wesentliche Verbesserung gegenuber der Originalgeometrie dar. Sie wurde von TsAGI daraufhin experimentell untersucht. Diese Ergebnisse konnten zum Vergleich mit entsprechenden numerischen Simulationen fur die modi zierte Geometrie herangezogen werden. Die numerischen Simulationen wurden hier mit dem k{" Modell durchgefuhrt. In Abbildung 8.15 sind die experimentellen Ergebnisse als Wanddruckverteilung fur eine Ma = 7 Anstromung dargestellt. Hier ist fur die Druckverteilung auf den Rampen eine sehr gute U bereinstimmung mit den numerischen Ergebnissen festzustellen. Dieses bedeutet, da die Anstrombedingungen gut eingehalten worden sind. Die Expansion an der konvexen Ecke auf der unteren Kanalwand wie auch die ersten Store exionen werden ebenfalls von der numerischen Simulation gut wiedergegeben. Danach sind gewisse Abweichungen zu erkennen, die durch die Storung der Stromung durch eine im Experiment vorhandene Druckme nne im Einlaufkanal, zu erklaren sind. Es hat sich hier im Experiment wie auch in der Rechnung gezeigt, da diese neue modi zierte Einlaufgeometrie zu keinen groeren Abloseerscheinungen im Einlaufkanal fuhrt. Auch der Vergleich fur eine Anstrommachzahl Ma = 8 in Abbildung 8.16 zeigt zwischen dem Experiment und der numerischen Simulation eine qualitativ gute U bereinstimmung. Die Abweichungen im Bereich der dritten Rampe und die etwas mehr verschmierte Au osung der Verdichtungsstoe lat sich durch die sehr hohe Machzahl erklaren, die fur die numerische Simulation im Grenzbereich der Stabilitat liegt und eine verhaltnismaig hohe Dampfung erfordert, die zur Verschmierung der Verdichtungsstoe fuhrt. Im weiteren Verlauf werden jedoch die Expansion, die durch den Druckabfall an der konvexen Ecke der unteren Berandung gekennzeichnet ist, und die Re exionen der Verdichtungsstoe gut
8.1 Scramjet-Einlaufe
101
a) Originaleinlauf
b) modifizierter Einlauf
Abbildung 8.14: Isomachlinien fur den Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 6:3 wiedergegeben. Auch hier sind Abweichungen durch den Einbau einer Druckme nne im Einlaufkanal im Experiment zu erklaren.
102
Kapitel 8 Ergebnisse
P/P t [-]
Exp. Rechn.
Rampe
0.015
Lippe
0.010
0.005
0.000 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x [m]
20° 15° 7,5°
Abbildung 8.15: Wanddruckverteilung fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 7
P/P t [-]
Exp. Rechn.
Rampe Lippe
0.005
0.000 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x [m]
20° 15° 7,5°
Abbildung 8.16: Wanddruckverteilung fur den Einlauf Mad = 6:25 bei einer Anstrommachzahl von Ma = 8
8.2 Ruckspringende Stufe
103
8.2 Ruckspringende Stufe In diesem Abschnitt soll die numerische Simulation einer Stromung, wie sie in einer Brennkammer fur U berschallverbrennung auftritt, vorgestellt werden. Zur Validierung der Rechnung standen Medaten von McDaniel et al. [103] zur Verfugung. Die Geometrie einer derartigen Brennkammer ist sehr einfach und kann als ein Kanal mit einer ruckspringenden Stufe beschrieben werden, wie in Abbildung 8.17 dargestellt ist.
z 40
x 30
y 0
10
20 x [mm]
Abbildung 8.17: Skizze des Stromungskanals Die Stromung wird der Brennkammer aus dem Einlaufbereich mit einer Machzahl von Ma = 2 zugefuhrt. In dem hier vorgestellten Validierungsfall wird von einer storungsfreien Anstromung ausgegangen, um eine leichter zu kontrollierende Stromungssituation zu gewahrleisten. Die Stosyteme aus dem Einlaufbereich, wie sie im vorangegangenen Abschnitt vorgestellt worden sind, werden nicht mitberucksichtigt, da hier ein Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen, die eine storungsfreie Anstromung beinhalteten, im Vordergrund steht. Die in der Brennkammer auftretenden Stromungsphanomene sind in Abbildung 8.18 skizziert. Die Mach 2 Stromung wird mit einer Prandtl{Meyer{Expansion u ber die Stufe umgelenkt. Die Stromung lost sich dabei von der Wand ab und legt sich erst nach einer gewissen Distanz stromabwarts wieder an die Wand an. Die Stromung wird dabei von Mach 2 auf Mach 2.6 beschleunigt. Am Wiederanlegepunkt wird durch die abermalige Umlenkung der Stromung in wandparallele Richtung ein Rekompressionssto auf Mach 2.1 induziert. Im unmittelbaren Bereich hinter der Stufe bildet sich ein Rezirkulationsgebiet aus. Dieses Rezirkulationsgebiet dient im Scramjet{Betrieb als Flammenhalter und
104
Kapitel 8 Ergebnisse
stabilisiert bzw. ermoglicht damit die Verbrennung.
Abbildung 8.18: Skizze der charakteristischen Stromungsphanomene Die Messung von Stromungsparametern in U berschallstromungen erfordert den Einsatz von beruhrungslosen Memethoden, um Storungen im Stromungsfeld, hervorgerufen durch den Einsatz von Sonden in der Stromung, zu vermeiden. Hier bieten sich auf Lasern basierende Mesysteme an. McDaniel nutzte in dem hier beschriebenen Stromungsfall die laserinduzierte Fluoreszenz von Jodmolekulen [105]. Dabei werden der Stromung beigefugte Jodmolekule durch einen Laserstrahl angeregt und deren Fluoreszenzsignal mit einem Photomultiplier aufgezeichnet. Aus den Frequenz{ und Phasenverschiebungen der Signale konnen dann die Temperatur [106], der Druck und die Geschwindigkeit [107] [108] bestimmt werden. Es wird hier die Laser{Induced{Iodine{Fluorescence (LIIF) Technik, die eine punktweise Messung ermoglicht, und die zweidimensionale Planar{Laser{Induced{ Iodine{Fluorescence (PLIIF) Technik eingesetzt [109]. Die Ungenauigkeit dieser Methoden liegt bei 2 - 6%. Fur die numerische Simulation ist das Berechnungsgebiet unstrukturiert vernetzt worden, wie in Abbildung 8.19 dargestellt ist, wobei im Bereich der Stufe eine Netzverfeinerung zur besseren Au osung des Ablosebereiches und des Rezirkulationsgebietes zu nden ist. Desweiteren sind die Bereiche, in denen der Expansionsfacher bzw. der Rekompressionssto erwartet wird, mit kleinen Elementen vernetzt worden. Die festen Berandungen sind fur die Anwendung des logarithmischen Wandgesetzes mit einem strukturierten Netz belegt. Als Randbedingungen wurde am Eintritt, entsprechend der Charakteristiken einer U berschallstromung, eine Dirichlet`sche Randbedingung vorgeschrieben.
8.2 Ruckspringende Stufe
105
y [m] 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000 -0.010
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
x [m]
Abbildung 8.19: Netzgeomtrie Im einzelnen ergeben sich die folgenden Randbedingungen: P0 = 274 kPa T0 = 300 K Ma = 2 P1 = 35 kPa T1 = 167 K u1 = 518 m/s Am Eintritt wird zudem ein Grenzschichtpro l am unteren und oberen Kanalrand vorgegeben, wobei die Grenzschichtdicke jeweils 1.45 mm betragt. Bei der numerischen Simulation des Stromungsproblems wurde das Taylor-GalerkinZweischrittverfahren eingesetzt. Die Turbulenz ist mit dem k{"{Modell unter der Berucksichtigung von Kompressibilitatse ekten modelliert worden. Im Bereich der festen Berandung wurde das logarithmische Wandgesetz verwendet. In den nun folgenden Abbildungen werden die Ergebnisse der Berechnungen mit den experimentellen Ergebnissen verglichen. In Abbildung 8.20 sind die Isobaren der Rechnung dargestellt. Im Vergleich mit Abbildung 8.21, in der die Isobaren der PLIIF{Messung dargestellt sind, zeigt sich eine sehr gute U bereinstimmung. Im unmittelbaren Bereich hinter der Stufe, im Ablosegebiet, wird im Experiment ein etwas niedrigerer Druck erreicht als in der Rechnung, was mit der Kondensation der Jodmolekule im Rezirkulationsgebiet zu erklaren ist, wodurch die Druck und Temperaturmewerte gesenkt werden [103]. Beim Vergleich der Temperaturisolinien der Rechnung in Abbildung 8.22 mit den experimentellen Ergebnissen in Abbildung 8.23 ergibt sich ebenfalls eine sehr gute U bereinstimmung. Die etwas niedrigeren experimentellen Temperaturwerte im Wandbereich sind durch die Streuung des Fluoreszenzsignals bei den PLIIF-Messungen in diesem Gebiet zu erklaren [103].
106
Kapitel 8 Ergebnisse
Einen genaueren Vergleich der numerischen Ergebnisse mit den experimentellen Ergebnissen ist mit den drei Schnittgeraden, die senkrecht zur Kanalachse durch das Stromungsfeld gelegt wurden, moglich. Die erste Schnittgerade (Abbildung 8.24) liegt bei einer x{Koordinate von x=5.58 mm nach der Stufe und damit in der Rezirkulationszone. Man erkennt die Druckabsenkung hinter der Stufe. Im Geschwindigkeitspro l der u{Komponente erkennt man die Beschleunigung der Stromung im Expansionsfacher und die Ruckstromung im Wandbereich der Rezirkulationsgebietes. Insgesamt ist eine gute U bereinstimmung mit den Meergebnissen festzustellen. Der zweite Pro lschnitt (Abbildung 8.25) liegt bei einer x{Koordinate von x=9.54 mm am Ende des Rezirkulationsgebietes. Der Expansionsfacher ist deutlich breiter an dieser Stelle und somit sind auch die Gradienten geringer. Man erkennt, da die Ruckstromung nur noch sehr gering ist und somit die Wiederanlegung der Stromung kurz bevor steht. Auch hier zeigen die numerische Simulation und das Experiment vergleichbare Ergebnisse. Insbesondere bei den Geschwindigkeitskomponenten ist die U bereinstimmung sehr gut, d.h. die Stromungswinkel werden durch die Rechnung sehr gut wiedergegeben. Im dritten Pro l (Abbildung 8.26), das weit hinter der Wiederanlegezone bei x=21.21 mm liegt, erkennt man das schon wieder deutlich ausgepragte Grenzschichtpro l. Die Druckverteilung zeigt den nun schon fast die gesamte Kanalhohe ausfullenden Expansionsfacher mit dem sich unten anschlieenden Rekompressionssto, der sich in einem Drucksprung zeigt. In den Abbildungen 8.27 und 8.28 sind abschlieend das Geschwindigkeitsvektorfeld der numerischen Rechnung und des Experimentes dargestellt. Die Verbreiterung des Stromlinienabstandes ist die Expansion der Stromung uber die Stufe deutlich erkennbar. Auch das Rezirkulationsgebiet hat in der Rechnung eine gegenuber dem Experiment vergleichbare Ausdehnung. An dieser Stelle sei erwahnt, da durch die Berucksichtigung der Kompressibilitatsein usse im Turbulenzmodell eine deutlich verbesserte U bereinstimmung mit dem Experiment erreicht werden konnte(vergl. Tabelle 8.2). So liegt die Lange des Rezirkulationsgebietes bei der Simulation mit Kompressibilitat wesentlich naher an den experimentellen Ergebnissen. Durch die Berucksichtigung der Kompressibilitat wurde die Turbulenz Lange des Rezirkulationsgebietes k{"{Modell ohne Kompressibilitat 10,80 mm 11,22 mm k{"{Modell mit Kompressibilitat Experiment [103] 11,46 mm Tabelle 8.2: Lange des Rezirkulationsgebietes im Bereich der Scherschicht um ca. 7,3% abgesenkt, wodurch die nun weniger turbulente Stromung zu einer Vergroerung des Rezirkulationsgebietes fuhrt.
8.2 Ruckspringende Stufe
107
0.99 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.45
0.45
0.5 0.6 0.7
0.8
0.9
Abbildung 8.20: Druck{Isolinien (P=P1 ) Rechnung
Abbildung 8.21: Druck{Isolinien (P=P1 ) PLIIF Messung [103]
108
Kapitel 8 Ergebnisse
1.05
1.1
1.2
0.95 0.9 0.85
0.9 1.6
0.95 1.2
1.05 1.3
Abbildung 8.22: Temperatur{Isolinien (T=T1 ) Rechnung
Abbildung 8.23: Temperatur{Isolinien (T=T1) PLIIF Messung [103]
8.2 Ruckspringende Stufe
T/Too P/Poo T/Too P/Poo
Z/H
5.0 4.0
LIIF LIIF Rechn. Rechn.
3.0
6.0 4.0 2.0
1.0
1.0 0.5
1.0
1.5
0.0 -0.5
2.0
PLIIF LIIF Rechn. Rechn.
3.0
2.0 0.0 0.0
V/Uoo U/Uoo V/Uoo U/Uoo
5.0 Z/H
6.0
109
P/Poo T/Too
0.0
0.5
1.0
1.5
V/Uoo U/Uoo
Abbildung 8.24: Pro lschnitt Position x=5.58 mm
T/Too P/Poo T/Too P/Poo
Z/H
5.0 4.0
LIIF LIIF Rechn. Rechn.
3.0
6.0 4.0 2.0
1.0
1.0 0.5
1.0
1.5
0.0 -0.5
2.0
PLIIF LIIF Rechn. Rechn.
3.0
2.0 0.0 0.0
V/Uoo U/Uoo V/Uoo U/Uoo
5.0 Z/H
6.0
P/Poo T/Too
0.0
0.5
1.0
1.5
V/Uoo U/Uoo
Abbildung 8.25: Pro lschnitt Position x=9.54 mm
T/Too P/Poo T/Too P/Poo
Z/H
5.0 4.0
LIIF LIIF Rechn. Rechn.
3.0
6.0 4.0 2.0
1.0
1.0 0.5
1.0
P/Poo T/Too
1.5
2.0
PLIIF LIIF Rechn. Rechn.
3.0
2.0 0.0 0.0
V/Uoo U/Uoo V/Uoo U/Uoo
5.0 Z/H
6.0
0.0 -0.5
0.0
0.5
V/Uoo U/Uoo
Abbildung 8.26: Pro lschnitt Position x=21.21 mm
1.0
1.5
110
Kapitel 8 Ergebnisse
Abbildung 8.27: Geschwindigkeitsvektoren Rechnung
Abbildung 8.28: Geschwindigkeitsvektoren Messung [103]
8.3 Scherschichtstromungen
111
8.3 Scherschichtstromungen Im letzten Abschnitt wurde die Stromung durch eine U berschallbrennkammer ohne Treibsto zufuhr gezeigt. In diesem nun folgenden Abschnitt werden Stromungssimulationen vorgestellt, die mit der Treibsto zufuhr in eine derartige Brennkammer zusammenhangen. Der Treibsto , in diesem Fall Wassersto , wird mittels eines Einspritzsystems in die Brennkammerstromung eingebracht. Der Betrieb der Brennkammer hangt dann entscheidend von der Mischung des Brennsto stroms mit der Brennkammerstromung ab. Die Reaktion des Treibsto s erfolgt in der Mischungszone, so da sich ein Di usions amme ausbildet, die aufgrund der hohen Reynoldszahlen einen turbulenten Charakter hat. Zur Validierung des Stromungscodes und des implementierten Reaktionsmodels ist eine Modellstromung gewahlt worden, die sich ausschlielich auf die Mischungs{ und Reaktionszone unmittelbar nach dem Zusammentre en von Brennsto { und Oxidatorstrom beschrankt, wie in Abbildung 8.29 dargestellt ist. Berechnungsgebiet Reaktionszone Luft
Wasserstoff Mischungszone
Abbildung 8.29: Luft{Wassersto Di usions amme Desweiteren wird die Interaktion mit Verdichtungsstoen, die in einer realen Brennkammer aus dem Isolator herauswandern, in diesen Untersuchungen nicht berucksichtigt. Im Folgenden sollen die verwendeten Randbedingungen kurz erlautert werden. Am Eintritt in das Berechnungsgebiet wird ein Scherschicht mit endlicher Ausdehnung und einem Pro l fur den Mischungsbruch, wie in Abbildung 8.30 dargestellt, vorgeschrieben. Fur den Geschwindigkeitsverlauf uber die Mischungszone am Eintritt sieht das Pro l analog aus.
112
Kapitel 8 Ergebnisse
Y
0.01m
0
1
~ Z
Abbildung 8.30: Eintrittspro l fur die Scherschichtsimulationen Die turbulente kinetische Energie am Eintritt wird in Anlehnung am die Arbeit von A. Stoukov [110] vorgeschrieben. Hier wird von einer Fluktuation der Geschwindigkeit in der Form u0 = A U0 sinx mit A = 0:05 ausgegangen. Damit gilt:
u0 u0 = A2 U02 sin2 x 2 2 u0 u0 = A 2U0 Daraus ergibt sich fur die turbulente kinetische Energie k:
k = 12 u0u0
2 2 kinit = A 4U0
=)
Schlielich wird ein Eintrittspro l der Form:
0 @ u 1 ek = A2 + @ @y A kinit @u 4 @ y max
(8.1)
vorgeschrieben. Die charakteristische turbulente Zeit T wird am Eintritt fest vorgeschrieben, womit sich damit fur die Dissipation der folgende Ausdruck ergibt:
T 10;4s
=)
f 104 "K
(8.2)
8.3 Scherschichtstromungen
113
Zur Charakterisierung der Scherschicht wird die konvektive Machzahl nach Papamoschou [70], die einen Parameter fur die Kompressibilitat der Scherschicht darstellt, verwendet:
s U2 mit c = p Mc = Uc1 ; 1 + c2
(8.3)
8.3.1 Nichtreaktive U berschallscherschichten Zur Validierung der numerischen Rechnungen soll hier der Fall einer nichtreaktiven Scherschicht untersucht werden. Als Referenz dienen die Arbeiten von Brown und Roshko [111], Papamoschou [70] und das NASA Langley Experiment von Kline et. al. [112]. Zur Berechnung der Aufweitung der Mischungszone mit der Lau ange wird die Breite der Zone betrachtet, fur die gilt, da der Mischungsbruch im Bereich von 0:01 < Ze < 0:99 liegt.
1.0 Experiment Langley Experiment Papamochou u. Roshko Experiment Elliot u. Samimy Rechnung mit Sarkar Modell Rechnung ohne Sarkar Modell
0.9 0.8 0.7 0.6 δω/δωinc
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Mc
Abbildung 8.31: Experimentelle und numerische Ergebnisse zur Reduzierung der Wachstumsrate von Scherschichten mit zunehmender konvektiver Machzahl In Abbildung 8.31 sind verschiedene experimentelle und numerische Ergebnisse fur die Abhangigkeit der Wachstumsrate der Mischungszone von der konvektiven Machzahl dargestellt. Die Aufweitung der Mischungszone ist hier bezogen auf die Aufweitung einer
114
Kapitel 8 Ergebnisse
inkompressiblen Mischungszone aufgetragen. Fur eine inkompressible Scherschicht lat sich die Wachstumsrate nach Papamoschou [70] berechnen durch:
q 2
U2 1 C 1 ; U1 1q+ = 0!inc = d! ! dx 2 1 + UU21 12
1
(8.4)
Hier wird die Konstante C! =0.181 gewahlt. Die experimentellen Ergebnisse zeigen, wie der Ein u der Kompressibilitat mit zunehmender konvektiver Machzahl zunimmt, wobei sich die Wachstumsrate der Mischungszone fur den kompressiblen Fall sich gegenuber dem inkompressiblen Fall reduziert. Die numerischen Simulation zeigen ein analoges Verhalten. Durch den Einsatz des Sarkar-Modells konnte hier eine hohere U bereinstimmung mit den experimentellen Daten erreicht werden. Fur den Fall einer Scherschicht mit der konvektiven Machzahl von MC = 0:86 ergibt sich aus dem Vergleich mit numerischen Simulationen von Melen [60] eine sehr gut U bereinstimmung. Hier wurde zur De nition der Wachstumsrate der Scherschicht die folgende Vorschrift gewahlt:
u = U @1eu; U2 (8.5) @ y max Es zeigt sich, wie in Abbildung 8.32 zu sehen ist, ein identischer Verlauf sowohl fur den Fall 0.08
δω
0.06
ohne SarkarModell ohne Sarkar Modell (Melen) mit Sarkar Modell mit Sarkar Modell (Melen)
0.04
0.02
0.00 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x [m]
Abbildung 8.32: Verlauf der Wachstumsrate einer Scherschicht mit Mc = 0:86 mit Kompressibilitatsmodell wie auch fur den Fall ohne Sarkar-Modell. Die Schwankungen
8.3 Scherschichtstromungen
115
und die Abweichungen im hinteren Bereich lassen sich mit der ungenauen Berechnung der Gradienten im unstrukturierten Berechnungsgitter erklaren. Durch die lineare Interpolation in Bereichen mit groeren gestreckten Elementen entstehen dort Ungenauigkeiten. Im Folgenden soll nun eine Scherschicht mit einer konvektiven Machzahl von Mc = 0:42, deren Randbedingungen in Abbildung 8.33 dargestellt ist, betrachtet werden. In diesem Abschnitt werden zunachst die Ergebnisse einer nicht-reaktiven Berechnung vorgestellt und mit entsprechenden Rechnungen von Melen verglichen. Im anschlieenden Abschnitt folgen dann die Ergebnisse der Berechnungen mit Reaktionsmechanismen. In Abbildung 8.34 ist die Vernetzung des Berechnungsgebietes dargestellt. Die MischungsT=930 K, P=1.013 bar, Mc=0.42, Uc=2485.35 Luft
U2 =1780 m/s
U1 =3000 m/s
H2
Z2 =0
Ma =2.97 2
YO2 =0.232 YN2 =0.768 0.4 m
Z1 =1 YH2 =1.
Ma1 =1.3 2m
Abbildung 8.33: Luft{Wassersto U berschallscherschicht zone ist dabei mit einem deutlich feineren Gitter vernetzt, wahrend die aueren Bereiche mit einem groben Netz bedeckt sind. y [m] 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x [m]
Abbildung 8.34: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Netzgeometrie
116
Kapitel 8 Ergebnisse
In Abbildung 8.35 lat sich anhand der Isolinien des Mischungsbruchs deutlich die Aufweitung der Mischungszone mit zunehmender Lau ange erkennen. Die Aufweitung hangt dabei, wie bereits erlautert, von der konvektiven Machzahl Mc ab. Aufgrund von Reibungskraften erwarmt sich die Scherschicht im Zentrum. Die Temperay [m]
Z [-]
0.10
0.917 0.833
0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.750 0.667 0.583 0.500 0.417 0.333 0.250 0.167 0.083
x [m]
Abbildung 8.35: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Mischungsbruch turerhohung hangt hier bei von der Groe der Gradienten ab und nimmt mit zunehmender Aufweitung der Scherschicht ab, wie aus Abbildung 8.36 abzulesen ist. Abbildung 8.37 zeigt einen Pro lschnitt normal zur Scherschicht, in dem die Temperatur y [m]
T [K]
0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
959 956 954 951 948 946 943 940 938 935 933
x [m]
Abbildung 8.36: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Temperaturisolinien und die turbulenten Groen dargestellt sind. Im Vergleich mit Rechnungen von Melen zeigt sich eine gute U bereinstimmung. Man erkennt, da aufgrund der Scherkrafte die turbulente kinetische Energie im Zentrum der Scherschicht maximal wird.
8.3 Scherschichtstromungen
117
2
T [K] 960.0 950.0
2
k [m /s ] 50000.0 Melen Rechn.
40000.0 30000.0
Melen Rechn.
20000.0
940.0
10000.0 930.0 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 Y [m] 2 2 ε [m /s ] 3.0e+08 2.0e+08
Melen Rechn.
1.0e+08
0.0 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 Y [m] 2 Z" [-] 0.05 0.04 0.03
Melen Rechn.
0.02 0.01
0.0e+00 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 Y [m]
0.00 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 Y [m]
Abbildung 8.37: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Schnitt bei x = 1.5 m
8.3.2 Reaktive U berschallscherschichten Im folgenden Abschnitt wird nun die zuvor vorgestellte Scherschicht unter reaktiven Gesichtspunkten untersucht. Zunachst wird von einer Gleichgewichtschemie ausgegangen. In diesem Fall reagieren die beiden Reaktionspartner sofort miteinander, wenn sie aufeinander tre en. In Abbildung 8.38 sind die Temperaturisolinien fur diesen Fall dargestellt. Man erkennt, da die drastische Temperaturerhohung aufgrund der Reaktion schon unmittelbar am Beginn der Scherschicht auftritt. Mit der Annahme einer Gleichgewichtschemie lat sich also die Zundverzogerung, die sogenannte 'ignition delay time' nicht simulieren. Zur Simulation dieses Phanomens sind Berechnungen mit dem PEuL{ Modell durchgefuhrt worden. Hier wird die Interaktion von Mischung und Verbrennung berucksichtigt. In Abbildung 8.39 erkennt man deutlich die verzogerte Reaktion anhand der sehr viel spater und langsamer einsetzenden Temperaturerhohung. Der Verlauf der Isothermen stimmt gut mit den Isolinien des bei der Verbrennung entstehenden Wassers uberein (Abb. 8.40). Die Verbrennung wird hier durch die Temperaturerhohung aufgrund der Reibungskrafte (Abb. 8.36) in der Scherschicht bedingt. Diese Temperaturerhohung uberschreitet die Aktivierungsenergie und fuhrt zur Bildung von Reaktionsprodukten. Die dabei freiwerdende Warme verstarkt die Reaktion und fuhrt schlielich zur vollstandigen Zundung der Di usions amme.
118
Kapitel 8 Ergebnisse
y [m]
T [K]
0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2153 2041 1930 1819 1707 1596 1484 1373 1262 1150 1039
x [m]
Abbildung 8.38: reaktive Luft{Wassersto U berschallscherschicht, Temperaturisolinien (Gleichgewichtschemie) y [m]
T [K]
0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2139 2029 1919 1810 1700 1590 1480 1370 1260 1150 1040
x [m]
Abbildung 8.39: Luft{Wassersto U berschallscherschicht, Temperaturisolinien (PEuLModell) Beein ut wird dieser Proze von der turbulenten Mischung, die sich in der Varianz des Mischungsbruchs manifestiert. Betrachtet man die Varianz des Mischungsbruchs, wie in Abbildung 8.41 dargestellt, so ist ein Maximum im Zentrum der Mischungszone festzustellen. Die Groe der Varianz hangt dabei von den Gradienten des Mischungsbruchs und den turbulenten Ein ugroen k und " ab. Das Maximum ist hier aufgrund der groen Dichteunterschiede von Luft und Wassersto zur Seite des Wassersto s verschoben. Diese Verschiebung ist auch bei der Verteilung der turbulenten kinetischen Energie k in Abbildung 8.42 festzustellen. An dieser Stelle sei erwahnt, da bei der Verwendung des Taylor-Galerkin{ Zweischrittverfahren keine stabilen Losungen moglich waren. Erst die Verwendung des Runge{Kutta{Verfahrens ergab eine vergleichbare Losungsqualitat fur diese reaktive Scherschicht, wie sie in der Arbeit von Melen [60] dokumentiert ist.
8.3 Scherschichtstromungen
119
y [m]
H2O [-]
0.10
0.200 0.182 0.164 0.146 0.127 0.109 0.091 0.073 0.055 0.036 0.018
0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x [m]
Abbildung 8.40: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Wasseranteil (PEuL{Modell)
y [m]
2
Z" [-]
0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.035 0.032 0.029 0.026 0.022 0.019 0.016 0.013 0.010 0.006 0.003
x [m]
Abbildung 8.41: Luft{Wassersto U berschallscherschicht Varianz des Mischungsbruchs
y [m]
2
0.05 0.00 -0.05 -0.10 0.0
2
k [m /s ]
0.10
0.5
1.0
1.5
2.0
40195 36541 32887 29233 25579 21924 18270 14616 10962 7308 3654
x [m]
Abbildung 8.42: Luft{Wassersto U berschallscherschicht, turbulente kinetische Energie
Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick Ziel der vorliegenden Arbeit war es, einen vorhandenen Stromungsloser fur die kompressiblen, reibungsbehafteten Navier{Stokes{Gleichungen so zu erweitern, da die Berechnung von turbulenten U ber{ und Hyperschallstromungen moglich ist, wobei auch turbulente reaktive Stromungen berucksichtigt werden sollten. Dazu werden zunachst die fur die Berechnung turbulenter reaktiver U ber{ und Hyperschallstromungen gultigen Gleichungen zusammengestellt und Moglichkeiten zu ihrer numerischen Simulation entwickelt. Das numerische Verfahren basiert auf einem Finite Elemente{Algorithmus nach der Taylor{Galerkin{Methode. Es ndet Anwendung auf unstrukturierten Berechnungsnetzen, die in besonderem Mae fur die Berechnung von Stromungen mit Diskontinuitaten geeignet sind. Derartige Netze erlauben eine losungsabhangige Netzanpassung an lokale Stromungsphanomene wie Verdichtungsstoe oder Scherschichten. Fur eine optimale Erfassung von turbulenten Wandgrenzschichten wird im Bereich von festen Berandungen das unstrukturierte Netz mit einem strukturierten Berechnungsgitter kombiniert. Dieses ermoglicht hier den Einsatz des logarithmischen Wandgesetztes zur Modellierung des unteren Grenzschichtbereiches turbulenter Grenzschichten. Die Generierung dieses strukturierten Unternetzes wurde im Rahmen dieser Arbeit optimiert und fur eine beliebig komplexe Geometrie anwendbar gemacht. Im Vordergrund stand eine maximale Robustheit bei einer groen Ein umoglichkeit auf die Netzstruktur. Der hier entwickelte Generierungsalgorithmus ist in seiner Struktur so gestaltet, da eine Erweiterung auf dreidimensionale Berechnungsgitter moglich ist. Der Stromungsloser wurde fur die Anwendung auf turbulente U ber{ und Hyperschallstromungen angepat. Fur die Turbulenzmodellierung bei diesen Stromungsverhaltnissen ist das k{" Modell durch die Modellierung der Kompressibilitatsein usse erweitert worden. Im Bereich fester Berandungen wurde das logarithmische Wandgesetz eingesetzt. Anhand von numerischen Simulationen turbulenter Scramjet{Einlaufstromungen konnte der Stromungsloser fur nichtreaktive U berschallstromungen veri ziert werden. Der Vergleich mit experimentellen Ergebnissen, die am russischen Institut TsAGI erstellt wurden, zeigte eine zufriedenstellende U bereinstimmung. Aufgrund der numerischen Ergebnisse
121 fur eine Scramjet{Einlaufgeometrie konnte diese durch eine Modi kation derart optimiert werden, da die Verluste im Einlaufbereich verringert wurden. Die Ablosezone im Einlaufkanal ist dabei deutlich reduziert worden, was durch erneute Berechnungen und Messungen bestatigt wurde. Die numerischen Ergebnisse fur O -Design Machzahlen zeigte ebenfalls eine zufriedenstellende U bereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. Ein weiteres Validierungsbeispiel war die Berechnung einer U berschallstromung uber eine ruckspringende Stufe. Hier konnte ein Stromungfall numerisch simuliert werden, der typisch fur eine Scramjet{Brennkammer ist und zudem von McDaniel sehr gut experimentell untersucht und dokumentiert worden ist. Der Vergleich der turbulenten Berechnung mit den experimentellen Ergebnissen zeigte eine sehr gute U bereinstimmung. Durch die Modellierung der Kompressibilitatsein usse konnte diese U bereinstimmung noch deutlich gesteigert werden. Es hat sich hier gezeigt, da der Stromungsloser sich gut fur die Berechnung derartiger Stromungen eignet. Zur Berechnung von turbulenten reaktiven U berschallstromungen wurde der Stromungsloser fur die Implementierung des PEuL{Verbrennungsmodells von Borghi erweitert. Hierzu wurde der Stromungsloser auf ein Mehrkomponentengasgemisch erweitert. Beim Vergleich unterschiedlicher Stromungsloser hat sich gezeigt, da fur die Berechnung reaktiver Stromungen der Galerkin{Runge Kutta Stromungsloser gegenuber dem Taylor{Galerkin Verfahren zu stabileren Losungen fuhrt. Die Veri zierung dieses erweiterten Stromungslosers fur turbulente reaktive U berschallstromungen erfolgte anhand verschiedener U berschallscherschichtstromungen, wie sie in Scramjet{Brennkammern auftreten konnen. In einem ersten Test wurde die Stromung einer nichtreaktiven Scherschichtstromung untersucht. Es zeigte sich aus dem Vergleich mit Meergebnissen, da bei der Mischung und der Aufweitung der Scherschicht unter der Verwendung des Sarkar{Modell fur den Ein u der Kompressibilitat auf die Turbulenz eine gute U bereinstimmung erzielt werden konnte. Wie schon bei der Stromung uber die ruckspringende Stufe konnte die U bereinstimmung durch die Einbeziehung der Kompressibilitatsein usse deutlich verbessert werden. Der Vergleich der Ergebnisse mit numerischen Ergebnissen von Melen zeigte eine vergleichbar gute Ergebnisqualitat. Die Berechnung einer turbulenten reaktiven Scherschichtstromung konnte aus dem Vergleich einer Berechnung mit einer Gleichgewichtschemie und dem PEuL{Modell validiert werden. Wahrend bei der Gleichgewichtschemie der Zundverzug nicht simuliert werden konnte, zeigte sich im berechneten Beispiel beim Einsatz des PEuL{Modell, das Nichtgleichgewichtse kte berucksichtigt, ein Zundverzug, der mit Ergebnissen von Melen ubereinstimmt. Der im Rahmen dieser Arbeit erweiterte Stromungsloser fur turbulente reaktive Scherschichtstromungen konnte fur eine einfache Scherschicht veri ziert werden. Weiterhin ist gezeigt worden, da ein weiter Bereich von Stromungsphanomenen in Scramjet{Antrieben,
122
Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick
wie Verdichtungsstoe, Rezirkulationsgebiete und Sto{Grenzschicht{Wechselwirkungen simuliert werden konnen. Damit sind die Instrumente gescha en worden, um in einem nachsten Schritt die Interaktion von turbulenten reaktiven Scherschichten mit Verdichtungsstoen zu untersuchen. Hier kann vor allem das Zundverhalten derartiger Scherschichten untersucht werden [113]. Es ist hier eine Erweiterung der Turbulenzmodellierung durch alternative Turbulenzmodelle, die die Anisotropie der Turbulenz in reaktiven Scherschichten berucksichtigt, notwendig. Hier sind verschiedene Ansatze von einer Erweiterung des implementierten k{"{Modells bis zur Verwendung von Reynolds{Stress-Modellen denkbar. Fur eine ezientere Berechnung ist einen Parallelisierung der Stromungsloser von Vorteil. Damit konnte vor allem die Berechnung der turbulenten Speziesquellterme deutlich beschleunigt werden.
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Lebenslauf Personliche Angaben: Name: Stefan Sasse Geburtstag: 4. August 1965 Geburtsort: Ibbenburen Familienstand: verheiratet, 2 Kinder Schulausbildung: 07/71 { 06/75 07/75 { 06/81 07/81 { 06/84 Wehrdienst: 10/84 { 12/85 Studium: 10/86 { 07/92 Tatigkeiten: 09/92 { 09/96 seit 10/96
Mauritius{Grundschule Ibbenburen Stadtische Realschule Ibbenburen Abschlu: Mittlere Reife Stadt. Johannes{Kepler{Gymnasium Ibbenburen Abschlu: Allgemeine Hochschulreife Grundwehrdienst beim 4. FlaRak{Bataillon 25 in Lohne Maschinenbau an der RWTH Aachen Fachrichtung: Luft{ und Raumfahrt Abschlu: Diplom Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehr{ und Forschungsgebiet Betriebsverhalten der Strahlantriebe, Institut fur Strahlantriebe und Turboarbeitsmaschinen der RWTH Aachen Siemens AG, KWU, Mulheim a.d. Ruhr
