Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen

Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen Vom Fachbereich Maschinenbau an der Technischen...

Author: Marc Gugau

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Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen Vom Fachbereich Maschinenbau an der Technischen Universit¨at Darmstadt zur Erlangung des Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigte

Dissertation vorgelegt von Dipl.-Ing. Marc Gugau aus Eberbach

Berichterstatter: Mitberichterstatter: Tag der Einreichung: Tag der m¨ undlichen Pr¨ ufung:

Prof. Dr.-Ing. B. Stoffel Prof. Dr. rer. nat. M. Sch¨afer 01.12.2003 20.01.2004

Darmstadt 2004 D 17

Die vorliegende Arbeit entstand w¨ahrend meiner T¨atigkeit als Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Turbomaschinen und Fluidantriebstechnik der Technischen Universit¨at Darmstadt zwischen Dezember 1998 und November 2003. Die Thematik war eingebunden in das von der Deutschen Forschungsgemeinschaft unterst¨ utzte Graduiertenkolleg Modellierung und ” numerische Beschreibung technischer Str¨omungen“ , dem ich als Kollegiat angeh¨oren durfte. An erster Stelle gilt mein herzlicher Dank Herrn Prof. Dr.-Ing. B. Stoffel, Leiter des Fachgebietes Turbomaschinen und Fluidantriebstechnik, f¨ ur die Anregung zu dieser Arbeit, deren Fortgang er jederzeit kritisch und wohlwollend unterst¨ utzt und zu deren Gelingen er durch zahlreiche wertvolle fachliche Diskussionen wesentlich beigetragen hat. Herrn Prof. Dr. rer. nat. M. Sch¨afer, Leiter des Fachgebietes Numerische Berechnungs¨ verfahren im Maschinenbau, m¨ochte ich f¨ ur die bereitwillige Ubernahme des Koreferates sowie die kritische Durchsicht der Arbeit danken. Herrn Prof. Dr.-Ing. R. Schilling, Leiter des Lehrstuhls f¨ ur Fluidmechanik an der TU M¨ unchen, gilt mein Dank f¨ ur die freundliche Bereitstellung des Navier-Stokes Programms NS3D im Quellcode, wodurch wichtige Teile der vorliegenden Arbeit erst erm¨oglicht wurden. Mein besonderer Dank gilt seinem Mitarbeiter, Herrn Dr.-Ing. Romuald Skoda, f¨ ur seine stete fachliche Unterst¨ utzung und große Hilfsbereitschaft in allen Fragen zum Code. Allen meinen Kolleginnen und Kollegen w¨ahrend meiner gesamten Zeit am Fachgebiet darf ich f¨ ur die ausgesprochen gute Zusammenarbeit und die hervorragende Arbeitsatmosph¨are danken. Besonderer Dank geb¨ uhrt den Herren Dr.-Ing. Alberto Tamm und Dipl.-Ing. Stephan Meschkat f¨ ur die Bereitstellung ihrer experimentellen Daten sowie die damit verbundenen zahlreichen fachlichen Diskussionen, die ich sehr zu sch¨atzen weiß, sowie meinen Studien- und Diplomarbeitern f¨ ur ihren unterst¨ utzenden Einsatz.

Hiermit versichere ich an Eides statt, die vorliegende Arbeit selbst¨andig und nur unter Verwendung der genannten Hilfsmittel angefertigt zu haben.

Marc Gugau

Darmstadt, 28. November 2003

Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen und Abk¨ urzungen

iii

Abbildungsverzeichnis

ix

Tabellenverzeichnis

xii

1. Einleitung 1.1. Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Stand des Wissens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Zielsetzung und Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 5

2. Fehler bei CFD f¨ ur Turbomaschinen 8 2.1. Fehlerquellen bei CFD-Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Modellierungsfehler bei Turbomaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Numerikfehler bei Turbomaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Beschreibung turbulenter Str¨ omungen 3.1. Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ans¨atze zur Turbulenzbeschreibung . . . . . . . . . . . 3.3. Statistische Turbulenzmodelle - RANS“ . . . . . . . . ” 3.3.1. Reynoldsmittelung und Modellierungsans¨atze . 3.3.2. RANS-Modelle und Instationarit¨at - URANS“ ” 3.3.3. Lineare Wirbelviskosit¨atsmodelle . . . . . . . . 3.3.4. Erweiterte Wirbelviskosit¨atsmodelle . . . . . . . 3.4. Wandbehandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Sekund¨arstr¨omungen, Rotation, Stromlinienkr¨ ummung 4. Numerik 4.1. Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. L¨osungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . 4.4. Gittergenerierung . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Implementierung des KC-Turbulenzmodells

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in NS3D

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18 18 21 23 23 28 29 38 42 44

. . . . .

47 48 52 54 56 57

5. Validierung der Turbulenzmodelle 5.1. Rechteckkanal mit 180◦ -Kr¨ ummer . . . 5.2. Drallstr¨omung in Modellbrennkammer 5.3. Asymmetrischer Diffusor . . . . . . . . 5.4. R¨ uckspringende Stufe . . . . . . . . . . 5.5. Bewertung der Validierungsergebnisse .

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60 61 63 65 67 69

6. Modellbildung der Pumpen 70 6.1. Laufrad einer nS 28 Radialpumpe mit Ringdiffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2. nS 20-Radialpumpe mit Kreisquerschnitt-Spiralgeh¨ause . . . . . . . . . . . . . . 74 6.3. nS 26-Radialpumpe mit Trapezquerschnitt-Spiralgeh¨ause . . . . . . . . . . . . . 79 7. Bestimmung von Kennlinien 7.1. Bestimmung integraler Gr¨oßen bei Kreiselpumpen 7.2. Laufradkennlinien der nS 28 Radialpumpe . . . . . 7.3. Kennlinien der nS 20 Radialpumpe . . . . . . . . . 7.3.1. Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung . . 7.3.2. Einfluss des Turbulenzmodells . . . . . . . 7.4. Kennlinien der nS 26 Radialpumpe . . . . . . . . . 7.4.1. Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung . . 7.4.2. Einfluss des Turbulenzmodells . . . . . . .

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83 83 87 92 92 96 102 102 105

8. Analyse innerer Str¨ omungsvorg¨ ange 108 8.1. Str¨omungsprofile der nS 28 Radialpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.2. Str¨omung an den Laufradaustritten der Gesamtpumpen . . . . . . . . . . . . . . 112 8.3. Str¨omung in den Messebenen der Gesamtpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9. Zusammenfassung und Ausblick

140

ANHANG

140

A. Validierung der Turbulenzmodelle 143 ◦ A.1. Rechteckkanal mit 180 -Kr¨ ummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 A.2. Asymmetrischer Diffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 B. Kennlinien und Wirkungsgrade

145

C. Str¨ omungsprofile im Diffusor nS 28

146

D. Laufradkanalaustritt nS 20 und nS 26

147

E. Messebene der Pumpen nS 20 und nS 26 150 E.1. Wechselwirkungen Laufradkanal-Messebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 E.2. Vergleich Ensemblemittelwerte“ CFD/EXP nS 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 ” E.3. Vergleich Ensemblemittelwerte“ CFD nS 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 ” i

Literaturverzeichnis

156

ii

Formelverzeichnis und Abku ¨rzungen Lateinische Buchstaben A

Koeffizientenmatrix

A

Fl¨acheninhalt [A] = m2 / Eintrag in Koeffizientenmatrix

a

Schallgeschwindigkeit [a] =

~a

Beschleunigung [~a] =

aij

Anisotropietensor

b2

Laufradaustrittsbreite [b] = m

C1 - C 7

Modellkoeffizienten LCL-Modell [58]

Cµ ,C²1 ,C²2

Modellkoeffizienten im k-²-Modell [55]

m s

m s2

Cµf ,Cp1 ,Cp2 ,Cp2 ,... Modellkoeffizienten im KC-Modell [49] Cf

Wandschubspannungskoeffizient

Cp

Wanddruckbeiwert

CpR

Druckr¨ uckgewinnungsfaktor im Diffusor

~c

Absolutgeschwindigkeit (Vektor) [~c] =

cr

Radialkomponente der Absolutgeschwindigkeit

cu

Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit

cax

Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit

cp

spezifische W¨armekapazit¨at bei konstantem Druck [cp ] =

cv

spezifische W¨armekapazit¨at bei konstantem Volumen [cv ] =

D

Durchmesser [D] = m

E

Deformationsgeschwindigkeitstensor in Symbolschreibweise

E F

m s

J kgK J kgK

Mittelpunkt des Kontrollvolumens im Osten der betrachteten Zelle C

/F

D

konvektive / diffusive Fl¨ usse

f1 ,f2 ,fµ

Low-Reynolds-Koeffizienten im k-²-Modell [58]

g

Ortsbeschleunigung [g] =

H

F¨orderh¨ohe [H] = m

Hv

F¨orderh¨ohenverlust [Hv ] = m

h

Enthalpie [h] =

I

Einheitstensor in Symbolschreibweise

m s2

J kgK

iii

m2 s2

k ~k

turbulente kinetische Energie [k] = Volumenkr¨afte [~k] = N3

L M

charakteristisches L¨angenmass [L] = m Moment [M ] = N m

m ˙

Massenstrom [m] ˙ =

n

Drehzahl [n] =

~n

Normalenvektor

P

Leistung [P ] =

Pk

Produktion turbulenter kinetischer Energie

p

Statischer Druck [p] = P a

p0 oder ptot

Totaldruck [p0 ] = P a

Q

Volumenstrom einer Pumpe [Q] =

R

allgemeine Gaskonstante R =

r

Radius [r] = m

~r

Ortsvektor im beschleunigten Bezugssystem

S

Quelle

Sij

Deformationsgeschwindigkeitstensor

s

Axialposition im Radialdiffusor [s] = m

s0

Breite des Radialdiffusors

T T

charakteristisches Zeitmass [T ] = s Spannungstensor in Symbolschreibweise [T] =

t

Zeit [t] = s

U u+

charakteristisches Geschwindigkeitsmass [U ] = ms dimensionslose wandtangentiale Geschwindigkeit

uτ

Wandschubspannungsgeschwindigkeit [uτ ] =

u2

Umfangsgeschwindigkeit am Laufradaustrtitt [u2 ] =

~u, ui

Geschwindigkeitsvektor allgemein [~u] =

ui uj · ρ V˙

Reynoldsspannungstensor [ui uj · ρ] =

w, ~ wi

Relativgeschwindigkeit (Vektor) [w] ~ =

~x, xi

Ortsvektor im Inertialsystem

x, y, z

kartesische Raumrichtungen im Inertialsystem

x/H

dimensionslose Laufl¨ange

y

Wandnormalenrichtung

y z

m

+

Volumenstrom

kg s

1 s Nm s

/ Mittelpunkt des Kontrollvolumens

m3 s J 287.1 kgK

m3 s

iv

·

kg m3

m s

dimensionsloser Wandnormalenabstand Schaufelanzahl

m s

m s

m2 s2

N m2

m s

Griechische Buchstaben α

Abstr¨omwinkel / Unterrelaxationsfaktor

β

Partitionsgrenze im KC-Modell

Γ

Diffusionskoeffizient

δij

Kronecker-Delta

ε

Dissipationsrate [²] =

εij

Dissipationsterm in der Transportgleichung des Reynolds-Spannungs-Tensors

²ijk

Permutationstensor

η

Wirkungsgrad

µ

molekulare oder dynamische Viskosit¨at [µ] =

ν

kinematische Viskosit¨at [ν] =

νt

turbulente Wirbelviskosit¨at [νt ] =

ρ

Dichte [ρ] =

σk ,σ²

Modellkonstanten im k-²-Modell

σkp ,σkt ,σ²p ,σ²t

Modellkonstanten im KC-Modell

τij

Spannungstensor in Indexnotation

τW

Wandschubspannung [τW ] =

φ

skalare Str¨omungsvariable oder Laufraddrehwinkel

Φ

Spiralumfangswinkel

ψ0

Druckzahl

ψth

theoretische Druckzahl

ω

turbulente Dissipationsrate oder Drehfrequenz [ω] =

Ωij ~ Ω

Rotationsgeschwindigkeitstensor

ωred

reduzierte Frequenz

m2 s3

m2 s m2 s

kg m3

N m2

1 s

~ = Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Bezugssystems [Ω]

Subskripte 1 2 A a amb ax d E e

kg ms

Laufradeintritt Laufradaustritt Bilanzebene am Austritt einer Pumpe Absolutkomponente Umgebung Axialkomponente deterministisch Bilanzebene am Eintritt einer Pumpe Ostseite eines Kontrollvolumens v

1 s

ef f F G h / hyd i i, j, k, l in K KL La ME max mech min N out P p r ref rsr S Sp sek t th tot / 0 u vol W

effektiv Fluid auf die Gesamtpumpe bezogen hydraulisch auf das innere der Pumpe bezogen Z¨ahlindex Eintrittsrand des CFD-Rechengebietes Kolmogorov Kato-Launder bez¨ uglich des Laufrades bez¨ uglich der Messebene maximal mechanisch minimal Nennbetriebszustand / Knotenanzahl / Nabe Austrittsrand des CFD-Rechengebietes Mittelpunkt der wandn¨achsten Zelle Produktionsbereich im KC-Modell Radialkomponente Referenzstelle Radseitenraum Saugmund bez¨ uglich der Spirale sekund¨ar turbulent / Dissipationsbereich im KC-Modell / translatorisch theoretisch Totalgr¨oße Umfangskomponente volumetrisch Wand bei Str¨omungsvariable / Welle bei Moment

Superskripte φ0 φ∗ φn φm φneu

Schwankungsgr¨oße / Korrekturgr¨oße vorl¨aufige Gr¨oße / Zeitgr¨oße als Ortsgr¨oße dargestellt Gr¨oße zum Zeitschritt n Gr¨oße zum Iterationsschritt m Gr¨oße zum neuen Iterationsschritt

vi

Symbole φ¯ φ φ˜ ∆φ / δφ D φ Dt ∂ φ ∂t dV dS £ ∇

gemittelte Gr¨oße Orts- und zeitgemittelte Gr¨oße modifizierte Gr¨oße / zeitperiodische Gr¨oße Differenz Materielle Ableitung Partielle Ableitung Volumenintegral Fl¨achenintegral Auswerteoperator Nabla-Operator

Kennzahlen ∆t CF L = v ∆x

Ma = Re =

c a U ·L ν

nS = n N ·

Courant-Friedrichs-Levy-Zahl Machzahl Reynoldszahl

0.5 QN 0.75 HN

spezifische Drehzahl [nS ] =

1 min

Abku ¨rzungen AB AIAA AiF ATL BEP BP CDS CFL CFD DGL DNS DS / SS ERCOFTAC EVM FR FVM HOT

Turbulenzmodell nach Abid [1] American Institute of Aeronautics and Astronautics Arbeitsgemeinschaft industrieller Forschungsvorhaben Abgasturbolader Best Efficiency Point, optimaler Betriebspunkt einer Pumpe Betriebspunkt einer Pumpe Central Differencing Scheme Courant-Friedrichs-Levy Computational Fluid Dynamics Differentialgleichung Direkte Numerische Simulation Druckseite / Saugseite (des Pumpenlaufradkanals) European Research Community on Flow, Turbulence and Combustion Eddy Viscosity Modell, LEVM / NLEVM Linear∼ / Nonlinear∼ Frozen Rotor Finite Volumen Methode Higher Order Terms vii

IAHR KA KC KV LCL LES LDV LowRe / LR LU ME MINMOD MP MPI NS3D QUICK RANS RB RKE RNG RRF RSM RSR RST SM / TR SP SIMPLE SIP SKE SST TFA TKE ¨ TL / UL TM UDS URANS VDMA WG WF

International Association of Hydraulic Research Laufradkanal mehrskaliges k-²-Turbulenzmodell nach Kim und Chen Kontrollvolumen nichtlineares k-²-Turbulenzmodell nach Lien, Chen und Leschziner Large Eddy Simulation Laser-Doppler-Velocimetrie Low Reynolds Number Lower Upper Messebene Diskretisierungsverfahren nach Harten [34] Mixing Plane Message Passing Interface Navier-Stokes 3 Dimensional Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics Reynolds-Averaged-Navier-Stokes Randbedingungen Realizable-k-² - Turbulenzmodell Renormalization-Group - Turbulenzmodell Rotating Reference Frame Reynoldsspannungsmodell Radseitenraum Reynoldsspannungstensor Sliding-Mesh, bzw. transiente Laufrad-Spirale Kopplung Staupunkt der Laufradschaufel Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations Strongly Implicit Procedure Standard-k-² - Turbulenzmodell Shear-Stress-Transport - Turbulenzmodell Turbomaschinen und Fluidantriebstechnik Turbulente Kinetische Energie ¨ Teillast / Uberlast (Betriebszust¨ande einer Pumpe) Turbulenzmodell Upwind Differencing Scheme Unsteady Reynolds-Averaged-Navier-Stokes Verband Deutscher Maschinen- und Anlagenbau Wirkungsgrad Wandfunktion

viii

Abbildungsverzeichnis

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Ursachen und Einteilung von Fehlern bei CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kopplung zwischen Laufrad und Spiralgeh¨ause . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellierung eines einzelnen Laufradkanals ohne Kopplung . . . . . . . . . . . Modellierung der Laufrad-Spiralgeh¨ause Kopplung mit Frozen-Rotor -Methode Rechengitter nS 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakteristische Werte (links) und Richardson-Extrapolation (rechts) . . . .

. . . . . .

9 11 13 14 16 17

3.1. Energiespektrum (links) und Modellvariablen nach Kim und Chen [49] (rechts) 28 3.2. Geschwindigkeitsverteilung in Wandn¨ahe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1. Entwicklungsfelder Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2. Kontrollvolumen und Notation eines dreidimensionalen kartesischen strukturierten Gitters (West, East, North, South, Bottom, Top) . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3. Schematischer Ablauf eines sequentiellen L¨osungsalgorithmus . . . . . . . . . . . 53 5.1. Schema des Rohrkr¨ ummers und typisches Str¨omungsbild . . . . . . . . . . . . 5.2. Druckbeiwerte Cp beim Rohrkr¨ ummer, konvexe und konkave Seite . . . . . . . 5.3. Schubspannungskoeffizient Cf beim Rohrkr¨ ummer, konvexe und konkave Seite 5.4. Cµ -Faktor Kanalkr¨ ummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Stromlinien bei Brennkammer Drallstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Rezirkulation und Axialgeschwindigkeit bei Drallstr¨omung . . . . . . . . . . . 5.7. Cµ -Faktor Drallstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Stromlinien beim asymmetrischen Diffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Begrenzung des Abl¨osegebietes beim asymmetrischen Diffusor . . . . . . . . . 5.10. Koeffizienten Cp und Cf beim asymmetrischen Diffusor an unterer Seite . . . . 5.11. Typisches Str¨omungsbild und Rechengitter (Jeder 5. Gitterknoten) . . . . . . 5.12. Begrenzung des Abl¨osegebietes bei r¨ uckspringender Stufe . . . . . . . . . . . . 5.13. Koeffizienten Cp und Cf bei r¨ uckspringender Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Rechenzeitvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

61 61 62 62 63 64 64 65 65 66 67 68 68 69

6.1. Pumpe frei abstr¨omend in schaufellosen Ringdiffusor (links) nach Aysheshim [3] und modelliertes Rechengebiet (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2. Blocktopoloie nS 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.3. Modellierte Diffusorbreite und zugeh¨origes WF-Rechengitter im Bereich Schaufelhinterkante f¨ ur beide Rechengebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ix

6.4. Rechengitter im Bereich Schaufelvorderkante links f¨ ur Wandfunktionen, mitte und rechts f¨ ur LowRe-Wandbehandlung . . . . + 6.5. Dimensionsloser Wandabstand y bei Q/QN = 1.2 mit WF (links) und LR (rechts) entlang Schaufelsehnenl¨ange an DS und SS . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Versuchspumpe nS 20: Pr¨ ufstand, 3D-CAD Modell und CFD-Domain . . . . . . 6.7. Geometriedaten der Radialpumpe nS 20 f¨ ur CFD-Modellierung . . . . . . . . . . 6.8. Rechengitter im Bereich Spiralsporn (links), Laufradhinterkante (mitte) und Laufradvorderkante (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Blocktopologie des Rechengitters der Radialpumpe nS 20 mit RSR . . . . . . . . 6.10. Versuchspumpe nS 26: Pr¨ ufstand, 3D-CAD-Modell und CFD-Domain . . . . . . 6.11. Rechengitter im Bereich Laufradvorderkante, -hinterkante und Spiralsporn . . . 6.12. Geometriedaten der Radialpumpe nS 26 f¨ ur CFD-Modellierung und Einteilung der Fluid-Zonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9.

Druckzahlen auf Gittern WF-1 und WF-3, vgl. Tab.6.2 . . . . . . . . . . . . . . Laufradwirkungsgrade auf Gittern WF-1 und WF-3, vgl. Tab.6.2 . . . . . . . . Druckzahlen auf Gittern WF-1 und LR-2 - Einfluss der Wandbehandlung . . . . Druckzahlen auf Gittern WF-3 und LR-4 - Einfluss der Wandbehandlung . . . . Mi ns 28-Laufradkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckr¨ uckgewinnungsfaktor CpR im Diffusor, Gitter 1/3 (Tab.6.2) . . . . . . . . F¨orderh¨ohe und inneres Moment nS 20-Pumpe, Turbulenzmodell RKE . . . . . . Sekund¨arwirkungsgrade nS 20-Pumpe, Turbulenzmodell RKE . . . . . . . . . . . Hydraulische Wirkungsgrade nS 20-Pumpe (RKE), berechnet in ME (links) und Laufradaustritt R2 (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. Innerer Wirkungsgrad nS 20-Pumpe, Vergleich SM und FR (links) und Vergleich verschiedener Berechnungsmethoden aus transienten Ergebnissen (rechts) . . . . 7.11. F¨orderh¨ohe nS 20-Pumpe bei FR- und SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM . . . . 7.12. Inneres Moment nS 20-Pumpe bei FR- und SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM . 7.13. Innerer Wirkungsgrad aus Moment nS 20-Pumpe, FR/SM, verschiedene TM . . . 7.14. ηh aus ME-Auswertung (links) und R2 -Auswertung (rechts) der nS 20-Pumpe bei SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.15. Innerer Wirkungsgrad aus ME-Auswertung (links) und R2 -Auswertung (rechts) der nS 20-Pumpe bei SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM . . . . . . . . . . . . . 7.16. F¨orderh¨ohe und inneres Moment ns 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17. ηsek ns 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.18. Laufrad-Druckzahlen ψ0 und ψth transient ns 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . 7.19. Innere Wirkungsgrade ns 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.20. Kennlinien ns 26-Pumpe, Parameter Turbulenzmodell und Kopplungsart . . . . .

73 74 74 75 76 78 79 80 81 88 89 89 90 90 91 93 94 94 95 97 97 98 100 100 103 103 104 105 106

8.1. Str¨omungsprofile cr /u2 , cu /u2 und T u der ns 28-Pumpe in der Messebene . . . . 108 8.2. Str¨omung um Schaufelvorderkante bei Q/QN = 1.0 mit SKE-WF (links) und SKE-LR (mitte und rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.3. Druckbeiwert Cp bei Q/QN = 1.2 entlang Schaufelsehnenl¨ange an DS und SS und Umstr¨omung der Schaufelhinterkante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 x

8.4. Feld der Faktoren Cµ und β bei Q/QN = 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Kanalbezeichnung und Massenstr¨ome durch Laufradkanal nS 20-Pumpe . . . . . 8.6. Massenstr¨ome durch Laufradkan¨ale nS 20-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. FR-Varianten nS 20-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Kanalbezeichnung und Massenstr¨ome durch Laufradkanal nS 26-Pumpe . . . . . 8.9. Massenstr¨ome durch Laufradkan¨ale nS 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10. Schwankung des Kanalmassenstroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11. Str¨omungsprofile am Laufradkanalaustritt nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 . . . . . . 8.12. Sekund¨arstr¨omungen im Spiralquerschnitt der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 . . . . 8.13. Sekund¨arstr¨omung am Laufradkanalaustritt nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 . . . . . 8.14. Str¨omungsprofile am Laufradkanalaustritt nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 . . . . . . 8.15. Sekund¨arstr¨omungen im Spiralquerschnitt der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 . . . . 8.16. Sekund¨arstr¨omung am Laufradkanalaustritt nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 . . . . . 8.17. Typisches Str¨omungsfeld am Laufradaustritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.18. Str¨omungsprofile in der Messebene der nS 20-Pumpe, Q/QN = 1.3 . . . . . . . . 8.19. Mittlerer statischer Druck CFD/EXP in der ME der nS 26-Pumpe . . . . . . . . 8.20. Mittlere Geschwindigkeitskomponenten CFD in der ME der nS 26-Pumpe . . . . 8.21. Mittlerer statischer Druck CFD/EXP in der ME der nS 20-Pumpe . . . . . . . . 8.22. Geschwindigkeitskomponenten CFD in der ME der nS 20-Pumpe . . . . . . . . . 8.23. Querschnittsverlauf der nS 20-Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.24. Wechselwirkungen der Radialkomponente CFD (nS 20, Q/QN = 0.9) . . . . . . . 8.25. Wechselwirkungen der Umfangskomponente CFD (nS 20, Q/QN = 0.9) . . . . . . 8.26. Wechselwirkungen der Umfangskomponente CFD (nS 20, Q/QN = 1.3) . . . . . . 8.27. Geschwindigkeitsfeld CFD der nS 26-Pumpe, ortsfest“ Φ = 0◦ und zeitfest“ ” ” φ = 24◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.28. Radialgeschwindigkeit CFD/EXP der nS 26-Pumpe ortsfest“ Φ = 0◦ . . . . . . . ” 8.29. Vergleich CFD/EXP in der ME der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 . . . . . . . . . . 8.30. Absolutgeschwindigkeit CFD/EXP der nS 20-Pumpe ortsfest“ an Φ = 270◦ . . . ” 8.31. Vergleich CFD/EXP in der ME der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 . . . . . . . . . .

xi

111 112 113 114 115 116 116 117 118 120 120 121 122 123 125 126 127 128 129 129 131 131 132 134 135 136 137 138

Tabellenverzeichnis

2.1. Einzelgitter f¨ ur Gitterunabh¨angigkeitsstudie der Radialpumpe nS 26 . . . . . . . 16 3.1. 3.2. 3.3.

Modellkoeffizienten und D¨ampfungsfunktionen von k-²-Modellen . . . . . . . . . 32 Modellkoeffizienten LCL-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ¨ Ubersicht der Anwendung von Turbulenzmodellen auf Pumpentestf¨alle . . . . . 46

4.1. Beitr¨age zu Koeffizientenmatrix und Quelltermvektor . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.1. L¨ange des Abl¨osegebietes beim asymmetrischen Diffusor . . . . . . . . . . . . . 66 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

Maschinendaten, Versuchsparameter und Meridianschnitt nS 28 . . . . . . . . . . Gittergr¨oßen Radialpumpe nS 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maschinendaten und Versuchsparameter der Radialpumpe nS 20 . . . . . . . . . Gittergr¨oße der einzelnen Fluidzonen und des gesamten FLUENT-Modells nS 20 Aufteilung und maximale Blockgr¨oße pro Zone der nS 20 Radialpumpe . . . . . . Gittergr¨oße der einzelnen Fluidzonen und des gesamten FLUENT-Modells nS 26 Maschinendaten und Versuchsparameter der Radialpumpe nS 26 . . . . . . . . .

71 73 76 77 77 81 82

8.1. Einschwingweg der Kanalstr¨omungsfelder l¨angs Spiralumfang in Kanalumfangsl¨angen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

xii

1

1. Einleitung 1.1. Einfu ¨hrung Die Str¨omung in Turbomaschinen ist generell durch eine hohe Komplexit¨at gekennzeichnet. Einfl¨ usse von Rotation, Druckgradient, Instationarit¨at, Turbulenz, m¨oglicher Mehrphasigkeit bei hydraulischen Maschinen sowie Instabilit¨aten bei extremen Lastzust¨anden machen eine genaue Vorhersage der Str¨omung zu einer sehr anspruchsvollen Aufgabe. Aus diesem Grund waren die M¨oglichkeiten der rechnergest¨ utzten Simulation, kurz CFD (Computational Fluid Dynamics), f¨ ur Turbomaschinen schon immer sehr attraktiv. Ein immer h¨oheres Niveau der physikalischen Modellierungsebene einhergehend mit rasant steigender Leistungsf¨ahigkeit der Rechner und verbesserter Effizienz numerischer Methoden haben die CFD in den letzten Jahren zu einem wirtschaftlichen und dem Experiment gleichwertigen Entwicklungswerkzeug gemacht. Die Potenziale der numerischen Berechnung liegen bei hydraulischen Turbomaschinen einerseits bei der Vorhersage des Betriebsverhaltens sowie andererseits bei der Analyse innerer Str¨omungsvorg¨ange, die experimentell gar nicht oder nur sehr aufw¨andig zug¨anglich w¨aren. Ein großer Vorteil gegen¨ uber der Messung ist somit die gleichzeitige Verf¨ ugbarkeit des gesamten Str¨omungsfeldes. Weiterhin bietet sich die schnelle und kosteng¨ unstige Durchf¨ uhrung von Parameterstudien an, z.B. Geometrie- oder Lastvariationen. Obwohl die CFD bei Radialpumpen, hydraulischen Turboarbeitsmaschinen radialer Bauart, schon auf einem sehr hohen Entwicklungsstand angelangt ist, kann man bisher keinesfalls auf experimentelle Untersuchungen verzichten. Diese sollten zusammen mit der CFD eine optimale Kombination bei der Entwicklung darstellen. Der in diesem Zusammenhang oft genannte Numerische ” Pr¨ ufstand“ als u ¨bergeordnetes Entwicklungsziel bedarf noch einiger Entwicklungs- und vor allem Validierungsarbeit. Letztere ist als der Prozess des Nachweises der korrekten Berechnung physikalischer Zusammenh¨ange mit einem CFD-Code zu verstehen. Aufgrund der starken Wechselwirkungen zwischen rotierenden und stillstehenden Bauteilen einer Turbomaschine besteht gr¨oßtenteils Einigkeit u ¨ber die Notwendigkeit der gekoppelten Berechnung aller Bauteile. Der Einfluss des Grades der Vereinfachung bei der Modellierung dieser Kopplung auf das numerische Ergebnis ist allerdings von mehreren Faktoren abh¨angig, nicht zuletzt von der Bauart der Maschine. Neben diesem wird heute als wichtigster Einflussfaktor auf die G¨ ute einer numerischen Berechnung die Modellierung der Turbulenz angesehen. In der Literatur ist kein universelles, f¨ ur alle Anwendungsf¨alle gleichermaßen gut geeignetes Turbulenzmodell bekannt. Die korrekte Modellierung der in allen Pumpenbauteilen turbu1

1.2. STAND DES WISSENS

2

lenten Str¨omung ist daher ein noch ungel¨ostes Problem. Die somit erforderliche Validierung verf¨ ugbarer und als geeignet erscheinender Turbulenzmodelle kann anhand der Quantifizierung des Einflusses auf das Gesamtergebnis erfolgen.

1.2. Stand des Wissens Die Anwendung rechnergest¨ utzter numerischer Methoden ist sehr eng mit der Leistungsf¨ahigkeit der verf¨ ugbaren Computer gekoppelt. Obwohl die mathematischen Methoden der heutigen numerischen Str¨omungsberechnung schon lange zuvor bekannt waren, ist der anwendungstechnische Durchbruch der CFD erst der Bereitstellung der f¨ ur ein ausreichendes Niveau physikalischer Modellierung notwendigen Rechner ab Mitte der achtziger Jahre zu verdanken. Die seither stetig zunehmende Popularit¨at l¨asst sich z.B. anhand einer Statistik von Ruprecht [84] an der seit 1986 stetig steigenden Anzahl der Beitr¨age zum IAHR-Symposium aus dem Gebiet der Numerik oder auch dem seit Beginn der neunziger Jahre stetigen Zuwachs der Kundenanzahl kommerzieller CFD-Anbieter belegen (Quelle: FLUENT Anwendertreffen 2003). W¨ahrend zu Beginn der industriellen Anwendung bis gegen Ende der neunziger Jahre die Numerik-Codes fast ausschließlich auf sehr teuren Workstations“ zum Einsatz kommen ” konnten, geht die Entwicklung der letzten Jahre im Zusammenhang mit einer sehr effektiven Parallelisierung der Codes hin zu kosteng¨ unstigen, meist linuxbasierten PC-Clustern“ . Dies ” macht die Methode nicht nur schneller, sondern auch aus finanzieller Sicht attraktiver, wodurch die Weiterentwicklung sicherlich noch beschleunigt wird. Bei der Auslegung von Kreiselpumpen bedient man sich noch heute mit gutem Erfolg grundlegender, in der Fachliteratur [73],[114],[109] beschriebener theoretischer Methoden und Gestaltungsrichtlinien. Mit einer eindimensionalen Betrachtung unter Verwendung empirischer Ans¨atze f¨ ur Verluste kann bereits das Betriebsverhalten der Maschine recht genau simuliert werden, wie z.B. von Patel [72] oder Lauer [56] umgesetzt. Mit dem Ziel der genaueren Vorhersage der dreidimensionalen Laufradstr¨omung wurden zun¨achst Potenzialverfahren unter Vernachl¨assigung der Reibung und mit rotationsfreiem Geschwindigkeitsfeld eingesetzt. Die Theorie von Wu [121] erm¨oglicht die Anwendung eines quasi-3d Euler-Verfahrens, indem mehrere 2d-Stromebenen in Meridian- und Schaufelschnitt einander u ¨berlagert werden. Eine Vereinfachung dieser Methode nach Schilling [90] benutzt unter der Annahme der Rotationssymmetrie nur eine repr¨asentative Meridianstromfl¨ache. Mit einem reibungsfreien 3d-Euler Verfahren kann auch die durch viskose Effekte beeinflusste Str¨omung in Turbomaschinen [54],[35] schon recht genau berechnet werden. Diese Methode bietet sich bereits zur Untersuchung von Stufen-Wechselwirkungen an, wie z.B. Riedel [80] bei einer Pumpe oder Fatsis et al. [23] bei einem Turboverdichter zeigen. Zur Berechnung der dreidimensionalen und reibungsbehafteten Str¨omung in Pumpen m¨ ussen Navier-Stokes Verfahren eingesetzt werden, die durch Erweiterung zu den Reynoldsgemittelten Navier-Stokes Gleichungen auch turbulente Effekte mit ber¨ ucksichtigen k¨onnen. Diese Verfahren sind heute Stand der Technik und bereits Gegenstand vielf¨altiger numerischer Untersuchungen. Reibungsbehaftete turbulente Laufradstr¨omungen untersuchen z.B. Ritzinger [81] sehr detailliert oder Shuliang [98] und erhalten Erkenntnisse u ¨ber Druckverteilung und 3d-Geschwindigkeitsfeld im Laufrad. Die reibungsbehaftete, rotationssymetrische Str¨omung nur im Radseitenraum berechnet Schenkel [88]. 2

1.2. STAND DES WISSENS

3

Diese Arbeiten zeigen aber auch das grunds¨atzliche Problem der Wahl der Randbedingungen bei der numerischen Berechnung einzelner Bauteile oder Stufen einer Turbomaschine, wodurch auch erhebliche Konvergenzproblemen auftreten k¨onnen. Die gekoppelte Berechnung mehrerer oder aller Bauteile der Maschine als logische Konsequenz erm¨oglicht zudem erst die Berechnung von Wechselwirkungen zwischen den Bauteilen. Eine grunds¨atzliche Fragestellung bei der gekoppelten Berechnung ist die numerische Modellierung der Relativbewegung von Laufrad und Leiteinrichtungen. Die beiden m¨oglichen quasi-station¨aren“ Ans¨atze der direkten Kopplung, kurz FR (Frozen Rotor ) und der Stu” fenmittelung, kurz MP (Mixing Plane), die in Kapitel 2 ausf¨ uhrlich beschrieben werden, vernachl¨assigen die instation¨aren Terme der Navier-Stokes Gleichungen, wodurch im Modell keine Relativbewegung stattfindet. Trotz dieser Vernachl¨assigung benutzen viele Autoren diese Ans¨atze, welche zun¨achst einen deutlichen Zeitvorteil gegen¨ uber instation¨aren Methoden haben. Sedlar et al. vergleichen beide Methoden bei einer Radial- [94] und einer Axialpumpe [95], Muggli et al. untersuchen eine Pumpturbine [67] und verschiedene Autoren simulieren eine Laufraddrehung durch Mittelung verschiedener einzelner Relativpositionen, z.B. v.Hoyningen-Huene [37] oder Chen [14]. Sekund¨arstr¨omungen bei gekoppelter station¨arer Berechnung untersucht Majidi [60], den Einfluss der Radseitenr¨aume bei Optimierung des Spiralgeh¨auses ber¨ ucksichtigt Zimnitzki [123]. Obwohl manche der aus Stufenwechselwirkungen resultierenden Effekte ausreichend genau mit den quasi-station¨aren Ans¨atzen bestimmt werden k¨onnen, muss man bei genauerer Untersuchung auf die instation¨are Kopplung zur¨ uckgreifen. Insbesondere die großen Tr¨agheitskr¨afte in einer Kreiselpumpe machen dies erforderlich, wie Treutz [115] an einer Kunststoffpumpe mit sehr großer Spaltweite zeigt. Diese sehr anwendungsnahe Untersuchung einer nS 35-Pumpe liefert in hervorragender Weise das Betriebsverhalten der Maschine. Instation¨are Wechselwirkungen in Stufen und Radseitenr¨aumen hydraulischer Maschinen untersucht ebenfalls Fritz [26]. Sowohl Potenzial-Interaktion als auch die Effekte instation¨arer Nachl¨aufe zwischen Laufrad und beschaufeltem Radialdiffusor analysiert Shi [96]. Einen Vergleich der verschiedenen Kopplungsmethoden pr¨asentieren Dick [16] f¨ ur eine Radialpumpe und Kaechele et al. [43] f¨ ur eine Pumpturbine in beiden Anwendungsarten. Als zusammenfassendes Resultat zeigt sich unter den quasi-station¨aren Ans¨atzen die direkte Kopplung (FR) bei Radialmaschinen, insbesondere bei Turbinen als vorteilhaft, w¨ahrend die Stufenmittelung (MP) eher f¨ ur Axialmaschinen geeignet ist. Dies kann aus eigenen Untersuchungen einer ATL-Turbine [30] und eines ATL-Verdichters [31] best¨atigt werden, bei dem aufgrund der großen radialen Erstreckung des unbeschaufelten Diffusors aber auch die Stufenmittelung erfolgreich ist. Besonders bei Radialpumpen mit kleiner radialer Diffusorweite ist die Methode der Stufenmittelung ungeeignet. Die direkte Kopplung wird auch h¨aufig im Zusammenhang mit einer Mittelung einzelner Resultate aus verschiedenen Relativpositionen als tauglich eingestuft, was vor dem physikalischen Hintergrund des Modells zweifelhaft erscheint. Die quasi-station¨aren Ans¨atze werden beim Vergleich mit instation¨arer Kopplung immer eher kritisch bewertet und letztere Methode vor dem Hintergrund der Genauigkeit deutlich bevorzugt.

3

1.2. STAND DES WISSENS

4

Nur sehr wenige numerische Untersuchungen an Radialpumpen besch¨aftigen sich mit dem Thema der Turbulenzmodellierung, obwohl diese h¨aufig als Ursache eines nicht zufriedenstellenden Resultates genannt wird. S¨amtliche oben genannten Arbeiten beschr¨ankten sich auf ein einziges Turbulenzmodell, welches sicherlich eher nach praktikablen als physikalischtheoretischen Kriterien ausgew¨ahlt wurde. Neben dem Standard-k-²-Modell finden sich nur wenige Ausnahmen, wie z.B. bei Treutz [115], der das SST-Modell (Shear Stress Transport) nach Menter [61] einsetzt und seine guten Ergebnisse bez¨ uglich Kennlinien auch darauf zur¨ uckf¨ uhrt. Neben der Aussage von Ng und Tan [68], die f¨ ur Turbomaschinenanwendungen zumindest Zweigleichungsmodelle empfehlen, sowie zahlreichen grunds¨atzlichen Bemerkungen zur theoretischen Vorhersagef¨ahigkeit von Turbulenzmodellen, findet sich in der Literatur noch die Untersuchung von Ojala et al. [69], in welcher der Einfluss der Ber¨ ucksichtigung von Rotationseffekten im Turbulenzmodell durch drei m¨ogliche Varianten beschrieben wird. Diese drei Modellvarianten liefern allerdings nur unwesentliche Unterschiede bez¨ uglich F¨orderh¨ohe und Geschwindigkeitsprofilen, deutliche Abweichungen aber bei der turbulenten Viskosit¨at. Ausf¨ uhrliche Gegen¨ uberstellungen der Ergebnisse verschiedener Turbulenzmodelle am realen Anwendungsfall Radialpumpe sind in der Literatur nicht zu finden. Die grunds¨atzliche Problematik und Herausforderung der Validierung von Turbulenzmodellen bei Pumpen l¨aßt sich wie folgt zusammenfassen: • Turbulenzmodellierung wird allgemein als Hauptursache eingeschr¨ankter Voraussagef¨ahigkeit numerischer Methoden bei Turbomaschinen angesehen. • Einfache“ Turbulenzmodelle (TM) liefern bereits brauchbare Ergebnisse. ” • Theoretisch besser geeignete“ Modelle liefern nicht zwangsl¨aufig bessere Ergebnisse. ” • Es gibt wenige Aussagen, welches TM f¨ ur Pumpen bez¨ uglich Ergebnis, Konvergenz, Schnelligkeit, Handhabbarkeit, etc., das am besten geeignete ist. • Es besteht noch deutlicher Validierungsbedarf, beispielsweise auch bez¨ uglich des Zusammenhangs zwischen TM, Wandbehandlung und berechneten Verlusten. ¨ Einen guten Uberblick vorhandener Arbeiten zu dieser Thematik gibt Casey [11]. Ein zus¨atzliches Problem stellt die Abh¨angigkeit vom verwendeten Code dar. Iaccarino [39] demonstriert dies mit der Berechnung eines 2d-achsensymmetrischen Diffusors mit drei unterschiedlichen kommerziellen CFD-Programmen. Trotz identischer Berechnungsparameter erh¨alt er mit gleichem TM (k-²-Modell mit Launder-Sharma Erweiterung) unterschiedliche Ergebnisse, was auf unterschiedliche Implementierung des Modells oder der Diskretisierungsverfahren hinweist. Ein Turbulenzmodell-Vergleich mit unterschiedlichen CFD-Codes ist demnach ebenfalls problematisch. W¨ahrend der starke Einfluss der Turbulenzmodellierung bei axialen Turbomaschinen mit vergleichsweise kleinem Druckgradienten schon lange Gegenstand der Forschung ist, da hier die korrekte Vorhersage der sehr stark vom TM abh¨angigen Transitionslage und -l¨ange ein wichtiges Thema ist, gibt es bei radialen Turbomaschinen erst wenige Erkenntnisse auf diesem Gebiet. Aussagen zum Stand der Technik der Turbulenzmodellvalidierung an radialen Turbomaschinen lassen sich wie folgt zusammenfassen: 4

1.3. ZIELSETZUNG UND VORGEHENSWEISE

5

• Viele der wichtigen Effekte sind nicht viskoser Natur, daher liefern Euler-Methoden auch gute Ergebnisse und die Notwendigkeit der TM-Validierung besteht nicht in gleicher Art wie bei Axialmaschinen. • Statistische Zweigleichungsmodelle mit Wandfunktionen werden u ¨berwiegend eingesetzt. • Es gibt bislang keine Validierung nichtlinearer k-²-basierter Modelle. • In der Literatur sind keine Anwendungen von LowRe Modellen bei Pumpen zur Aufl¨osung der Wandgrenzschicht bekannt. • Der Einfluss von Modifikationen k-²-basierter Modelle zur Ber¨ ucksichtigung von Rotationseinfluss auf das Betriebsverhalten ist gering [69]. • Es gibt keine Aussagen u ¨ber die Problematik der deterministischen Instationarit¨at bei Reynoldsmittelung. Neben den statistischen Turbulenzmodellen gibt es bislang keine Literaturhinweise auf Anwendung h¨oherwertiger Modellierungen wie Grobstruktursimulation (Large Eddy Simulation) oder Direkte numerische Simulation bei Pumpen. In der vorliegenden Arbeit kommen ausschließlich die auf absehbare Zeit f¨ ur den industriellen Einsatz interessanten statistischen Turbulenzmodelle zum Einsatz.

1.3. Zielsetzung und Vorgehensweise Wie oben genannt sind zwei der wichtigsten Einflussfaktoren bei der numerischen Berechnung radialer Turbomaschinen erstens die Art der Laufrad-Spirale Kopplung und zweitens die Turbulenzmodellierung. Die vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zum besseren Verst¨andnis der relativen Wichtigkeit beider Einfl¨ usse liefern. Dies soll durch einen qualitativen sowie insbesondere auch quantitativen Vergleich der mit unterschiedlichen Ans¨atzen bzw. Modellen berechneten Ergebnisse erreicht werden. Die Validierung erfolgt hierbei nicht nur im direkten Vergleich numerischer Ergebnisse, sondern auch mit experimentellen Daten, die f¨ ur alle berechneten Maschinen in unterschiedlicher Form vorliegen. Die Vorhersagef¨ahigkeit der Kopplungsarten wird anhand des berechneten Betriebsverhaltens und der Laufrad-Spirale Wechselwirkungen bewertet. Turbulenzmodelle werden vor allem anhand der berechneten Kennlinien und Geschwindigkeitsverteilungen verglichen. Ein weiterer wichtiger Aspekt dieser Arbeit sind die M¨oglichkeiten der Darstellung von Wechselwirkungen relativ zueinander bewegter Bauteile. Die dynamischen Wechselwirkungen werden ebenso dargestellt wie zeitgemittelte Verteilungen von Str¨omungsgr¨oßen. Im direkten Vergleich mit Messungen zeigen sich hier in besonders beeindruckender Art und Weise, wie die M¨oglichkeiten der CFD zum besseren Verst¨andnis der Str¨omungsvorg¨ange im Inneren der Maschine beitragen k¨onnen.

5

1.3. ZIELSETZUNG UND VORGEHENSWEISE

6

Im folgenden Kapitel werden zun¨achst die beiden zu validierenden Einfl¨ usse detailliert erkl¨art und in den Kontext der m¨oglichen Fehlerquellen bei CFD-Berechnungen eingeordnet. Die in dieser Arbeit benutzten Turbulenzmodelle wurden unter anwendungsorientierten Gesichtspunkten ausgew¨ahlt und in Kapitel 3 ausf¨ uhrlich beschrieben. Es werden statistische Wirbelviskosit¨atsmodelle getestet, die eine geringe Sensitivit¨at gegen¨ uber den bei Turbomaschinen selten bekannten turbulenten Eintrittsrandbedingungen aufweisen. Der kommerzielle Str¨omungssimulationscode FLUENT [25] stellt einige bekannte Turbulenzmodelle dieser Klasse zur Verf¨ ugung und bietet weiterhin die verschiedenen M¨oglichkeiten der Laufrad-SpiraleKopplung an. Das Programm kann daher direkt als Werkzeug f¨ ur die in dieser Arbeit angestrebten Untersuchungen eingesetzt werden. Neben den von FLUENT angebotenen und im industriellen Einsatz befindlichen Turbulenzmodellen werden zus¨atzlich das nichtlineare LCL-Modell [58] sowie das KC-Modell mit variablem Zeitmaß [49] eingesetzt, die beide k-²basiert sind. Somit k¨onnen zus¨atzliche, f¨ ur Pumpen wichtige Effekte in den Turbulenzmodellen erfasst werden. Als Werkzeug wird daher ein zweiter Numerikcode mit der M¨oglichkeit des direkten Eingriffs ben¨otigt. Der am Lehrstuhl f¨ ur Fluidmechanik der TU M¨ unchen entwickelte Navier-Stokes Code NS3D konnte im Rahmen dieser Arbeit um das mehrskalige KC-Modell erweitert werden. Der Einfluss der Aufl¨osung des wandnahen Bereichs wird anhand eines Vergleichs von Wandfunktionen und LowRe-Wandbehandlung untersucht. Dies erfolgt mit dem NS3D-Code, in den verschiedene LowRe-Modelle u.a. im Zuge vorangegangener Arbeiten am Fachgebiet TFA [9],[113] implementiert wurden. Die numerischen Grundlagen, bezogen auf den hier vorliegenden speziellen Anwendungsfall, und Besonderheiten der beiden verwendeten CFD-Codes werden in Kaptitel 4 vorgestellt. Das in NS3D neu implementierte KC-Turbulenzmodell wird anhand einiger Testf¨alle, die pumpenspezifische Str¨omungsph¨anomene abdecken, in Kapitel 5 validiert. Kapitel 6 behandelt die detaillierte Beschreibung der ausgew¨ahlten Pumpen und deren numerische Modellierung. Die insgesamt drei Radialpumpen mit unterschiedlichen Merkmalen sind alle am Fachgebiet TFA experimentell untersucht worden, so dass umfangreiche Messergebnisse vorlagen. Aufgrund der Auswahl dieser Maschinen k¨onnen die zu treffenden Aussagen und Schlussfolgerungen auf eine breitere Basis gestellt werden. Ausgehend von einer speziellen, frei abstr¨omenden Versuchspumpe, die sich wegen des fehlenden Spiralgeh¨auses und der daraus resultierenden vereinfachten Modellierung optimal zur Validierung der Turbulenzmodellierung mit Variation der Wandbehandlung eignet, sollen nachfolgend die Laufrad-Spirale Wechselwirkungen an zwei kompletten Kreiselpumen untersucht werden. F¨ ur alle Maschinen wurden neben Kennlinien auch Str¨omungsgr¨oßen im Radialdiffusor bestimmt, welche zum Vergleich mit den numerischen Ergebnissen herangezogen werden. Die ausgew¨ahlten Pumpen sind • nS 28 Radialpumpe : Pumpe frei abstr¨omend im Luftversuch • nS 26 Radialpumpe : Pumpe mit Trapezquerschnitt-Spiralgeh¨ause, Fluid Luft • nS 20 Radialpumpe : Pumpe mit Kreisquerschnitt-Spiralgeh¨ause, Fluid Wasser

Das aus Sicht des Anwenders zun¨achst wichtigste Merkmal, das berechnete Betriebsverhalten dieser Maschinen, wird ausf¨ uhrlich in Kapitel 7 diskutiert. Detaillierte Untersuchungen zu 6

1.3. ZIELSETZUNG UND VORGEHENSWEISE

7

Laufrad-Spirale Wechselwirkungen f¨ ur den quasi-station¨aren und transienten Fall werden abschließend in Kapitel 8 pr¨asentiert. Zus¨atzlich erfolgt der Vergleich dynamischer Messungen im Radialdiffusor mit transienten CFD-Ergebnissen. Zusammengefasst soll die vorliegende Arbeit auf zwei Gebieten neue Erkenntnisse liefern, die in der pr¨asentierten Art und Weise noch nicht untersucht bzw. dargestellt wurden. Zum einen wird der direkte Einfluss des Turbulenzmodells und der damit verbundenen Wandbehandlung bez¨ uglich Vorhersagef¨ahigkeit integraler Kenngr¨oßen an verschiedenen Pumpen analysiert. Weiterhin f¨ uhrt die Anwendung quasi-station¨arer oder transienter Modellierung der Laufrad-Spirale-Kopplung zu deutlich voneinander abweichenden charakteristischen Resultaten, die mit Hilfe unterschiedlicher Darstellungsm¨oglichkeiten aufgearbeitet werden. Die Validierung der transienten numerischen Ergebnisse im Vergleich mit instation¨aren Messdaten im Radialdiffusor stellt die wesentlich gr¨oßere Herausforderung an die Numerik dar als die Vorhersage von Kennlinien und wird ausf¨ uhrlich untersucht. Die Resultate der Arbeit sollen dem Anwender eine Entscheidungshilfe f¨ ur die Auswahl des Turbulenzmodells und der Kopplungsmodellierung sein. Die M¨oglichkeiten und Grenzen der quasi-station¨aren Kopplung in Abh¨angigkeit der zu berechnenden Maschine sowie die Vorteile und die Notwendigkeit der Anwendung transienter Kopplung in Abh¨angigkeit der zu erzielenden Ergebnisse sollen besser abzusch¨atzen und einzuordnen sein. Schließlich kann die Kenntnis der Wirkung dieser Einflussfaktoren von großem Nutzen bei der Interpretation der Ergebnisse sein.

7

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2. Fehler bei CFD fu ¨r Turbomaschinen Berechnungsfehler in der CFD k¨onnen zu teilweise betr¨achtlichen Abweichungen der Ergebnisse von der realen Str¨omung f¨ uhren. Die Forderung, beim Vergleich numerisch ermittelter Ergebnisse einer realen Str¨omung mit Messdaten derselben f¨ ur beide Vergleichswerte eine Bandbreite des abgesch¨atzten Fehlers mit anzugeben, ist daher legitim. Bei der Darstellung der Messwerte ist dies mit einem gewissen Aufwand verbunden, aber mit den Methoden der Fehlerrechnung [17] grunds¨atzlich m¨oglich. Das h¨aufige Ausbleiben dieses Fehlerbalkens bei numerischen Werten h¨angt mit der Schwierigkeit zusammen, diesen in vergleichbarer Weise auch nur ann¨ahernd zu bestimmen, wobei der notwendige Aufwand von untergeordneter Rolle ist. Als Ursache sind die vielf¨altigen Einflussfaktoren zu sehen, die ein numerisches Ergebnis verf¨alschen k¨onnen. Nur eine einzige dieser Fehlerquellen, der Diskretisierungsfehler, kann mit mathematisch fundierten Methoden tats¨achlich bestimmt werden. Die Angabe eines Fehlerbalkens eines numerischen Wertes nur aufgrund dieses Fehlers ist demnach zweifelhaft, zumal der Einfluss anderer Fehlerquellen deutlich gr¨oßer sein kann. Zur Absch¨atzung einer Fehlerbandbreite numerischer Ergebnisse ist es somit unerl¨asslich, zum einen s¨amtliche m¨ogliche Fehlerquellen zu kennen und zum anderen f¨ ur einen speziellen Anwendungsfall die jeweiligen Einfl¨ usse gegenseitig wichten zu k¨onnen. In diesem Kapitel werden daher zun¨achst die allgemeinen Fehlerquellen bei CFDBerechnungen vorgestellt, danach die f¨ ur Turbomaschinen bedeutenden und zum Gegenstand der Untersuchungen in der vorliegenden Arbeit gewordenen Modellierungsfehler vorgestellt. Abschließend wird am Beispiel eines Pumpenlaufradkanals die Absch¨atzung des Diskretisierungsfehlers diskutiert.

2.1. Fehlerquellen bei CFD-Berechnungen Eine Diskussion um Fehler und Unsicherheiten des Simulationswerkzeuges CFD sowie um die M¨oglichkeiten zu deren Absch¨atzung erfordert eine einheitliche Terminologie. Dies wird umso wichtiger, je vielf¨altiger die Anwendungsgebiete des Werkzeuges sind. Die in dieser Arbeit verwendeten Definitionen gehen zur¨ uck auf Roache [78] sowie eine Richtlinie der AIAA [2]. Die Tatsache, dass beide Ver¨offentlichungen erst aus dem Jahr 1998 datieren, zeigt die schwierige Zug¨anglichkeit des Fehlerbegriffes in der CFD. Die ben¨otigten Definitionen lauten Fehler: Der Gesamtfehler ist der Unterschied zwischen numerisch berechnetem Wert und dem der realen Str¨omung; Unterteilung in Modellierungsfehler und Numerikfehler Verifikation: Prozess der Bestimmung der Numerikunsicherheit 8

2.1. FEHLERQUELLEN BEI CFD-BERECHNUNGEN

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Validierung: Prozess der Bestimmung der Modellierungsunsicherheit Da es nahezu unm¨oglich ist, bei einer technischen Anwendung die jeweiligen Fehler genau zu bestimmen, wird in diesem Zusammenhang auch von Unsicherheit gesprochen. Die Fehlerquellen, die das Ergebnis einer CFD-Berechnung beeinflussen, sind in Abb.2.1 entsprechend des Zeitpunktes ihres Einflusses in der chronologischen Abfolge des Prozesses einer CFDBerechnung aufgef¨ uhrt. Auf Vollst¨andigkeit wird kein Anspruch erhoben, die wichtigsten

Abbildung 2.1.: Ursachen und Einteilung von Fehlern bei CFD

Faktoren in Bezug auf Turbomaschinen sind enthalten. Der Gesamtfehler l¨asst sich nach Abb.2.1 unterteilen in Modellierungsfehler, Diskretisierungsfehler und L¨osungsfehler, wobei die Summe der letzten beiden als Numerikfehler bezeichnet wird. Modellierungsfehler Der Modellierungsfehler ist der Unterschied zwischen tats¨achlichem Wert Φreal und der exakten L¨osung Φ(~xP , tn ) des die Str¨omungsphysik beschreibenden Satzes von Differentialgleichungen. Dieser Fehler entsteht vor der Anwendung numerischer Methoden und ist teilweise vom Benutzer beeinflussbar. Er umfasst s¨amtliche Vereinfachungen und Annahmen, die bei der mathematischen Modellbildung entstehen k¨onnen, wie beispielsweise • Festlegung der geometrischen R¨ander und der Randbedingungen • Annahmen bez¨ uglich Stoffwerte 9

2.2. MODELLIERUNGSFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

10

• Wahl der Gleichungen zur Berechnung der Turbulenz • Ber¨ ucksichtigung zeitabh¨angiger Vorg¨ange Diese Fehlerquellen sind nur sehr schwer oder gar nicht quantifizierbar und k¨onnen eigentlich nur aufgrund von Erfahrungswerten f¨ ur spezielle Anwendungsgebiete und großer Genauigkeit bez¨ uglich des ersten Punktes minimiert werden. Numerikfehler Den Unterschied zwischen exakter L¨osung der DGL Φ(~xP , tn ) am Ort ~xP zum Zeitpunkt tn und der exakten L¨osung des diskreten linearen Gleichungssystems ΦnP nennt man Diskretisierungsfehler. Er entsteht, da die diskreten Gleichungen eben nur Approximationen der DGL sind. Bei einem konsistenten Diskretisierungsschema muss dieser Fehler f¨ ur immer feinere Rechengitter und kleinere Zeitschritte gegen Null gehen. Eine Absch¨atzung dieses Fehlers ist mit einer Richardson-Extrapolation m¨oglich und wird zum Abschluss dieses Kapitels diskutiert. Bei der Beschreibung der diskreten Punkte im Raum, der Gittergenerierung, m¨ ussen die in Kapitel 4 benannten Qualit¨atsmerkmale beachtet werden, um den Diskretisierungsfehler aufgrund schlechter Netzqualit¨at zu minimieren. S¨amtlichen in dieser Arbeit vorgestellten Rechnungen liegt eine Studie zur Gitterunabh¨angigkeit des verwendeten Rechennetzes zugrunde. Durch die Verwendung iterativer L¨osungsverfahren ist die exakte L¨osung der diskreten Gleichungen nie das tats¨achliche Ergebnis einer numerischen Berechnung. Den Unterschied fn bezeichnet man daher als L¨osungsfehler, die Sumzwischen ΦnP und der berechneten L¨osung Φ P me aus L¨osungsfehler und Diskretisierungsfehler als Gesamtnumerikfehler. Der L¨osungsfehler entsteht aufgrund • Abbruch der iterativen L¨osung (Konvergenzkriterium) • Rundungsfehler durch endliche Darstellung der Zahlen im Rechnerspeicher • Fehler im Programm-Code Den Iterationsfehler kann man recht gut u ¨ber den Verlauf der Residuen der L¨osungsvariablen kontrollieren. Rundungsfehler k¨onnen durch Zahlendarstellungen im Speicher des Rechners entstehen. Bei Unsicherheit diesbez¨ uglich empfiehlt sich eine doppelt genaue Darstellung mit 16 Bit. Der Einfluss dieses Fehlers ist aber eher vernachl¨assigbar und kann mit einer geeigneten Wahl der Referenzwerte f¨ ur die Berechnung minimiert werden. Fehler im Programmcode k¨onnen vor allem bei neuen Code-Versionen nie ausgeschlossen werden.

2.2. Modellierungsfehler bei Turbomaschinen Unter Validierung von CFD-Berechnungen f¨ ur radiale Turbomaschinen ist nach oben genannter Definition die Absch¨atzung des Einflusses verschiedener Ursachen f¨ ur Modellierungsfehler zu verstehen. Als bedeutender Faktor ist die Turbulenzmodellierung separat ausf¨ uhrlich in Kapitel 3 beschrieben. Die exakte Abbildung der Geometrie wird bei den sehr komplexen Bauteilen Laufrad und Spiralgeh¨ause h¨aufig vereinfacht, indem beispielsweise die Schaufelvorderkante mit der gew¨ahlten Netzaufl¨osung nicht sauber abgerundet ist oder Kanten und 10

2.2. MODELLIERUNGSFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

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Abbildung 2.2.: Kopplung zwischen Laufrad und Spiralgeh¨ause

Hinterschneidungen vernachl¨assigt werden. Ein solcher Einfluss bez¨ uglich einer Diffusorbreite wird in Kapitel 7 diskutiert. Einen vernachl¨assigbaren Fehler macht man mit der Festlegung konstanter Stoffwerte bei der Berechnung hydraulischer Maschinen. Die Annahmen konstanter Dichte und dynamischer Viskosit¨at ist f¨ ur das Fluid Wasser gerechtfertigt und wird daher angewendet. Es ist zwar bekannt, dass auch bei Pumpen ein leichter Temperaturanstieg aufgrund von Str¨omungsverlusten auftritt, dennoch ist er vernachl¨assigbar gering und rechtfertigt nicht die zus¨atzliche L¨osung der Enthalpiegleichung. Die richtige Wahl der Randbedingungen ist f¨ ur jede numerische Berechnung von grundlegender Bedeutung. Bei elliptisch/parabolischem Charakter der instation¨aren Bewegungsgleichungen k¨onnen Vorg¨ange im Inneren des Str¨omungsgebietes, z.B. eine Staupunktwirkung durch die Schaufelvorderkante, bis zum Eintrittsbereich r¨ uckwirken. Es ist daher neben der physikalisch korrekten Angabe der Eintrittsrandbedingung erforderlich, das geometrische Rechengebiet deutlich vor den eigentlich interessierenden Bereich auszudehnen. Es hat sich bei Pumpen als sinnvoll erwiesen, vor dem Laufrad den Zustr¨omkanal in einer L¨ange von ein bis drei Saugmunddurchmessern in die Modellierung einzubeziehen. Als Randbedingung wird der gemessene Volumenstrom in eine konstante Geschwindigkeit umgerechnet. Die bei Pumpen u ¨bliche Austrittsrandbedingung konstanter Druck kann ebenfalls ein Modellierungsfehler sein. Die bei realen Pumpenanlagen vorhandene Druckrohrleitung kann auf die Druckpulsationen aus der Laufrad-Spirale Kopplung d¨ampfend wirken. Durch eine konstante Druckrandbedingung ist dies nicht m¨oglich, die Druckpulsationen sind daher im gesamten Rechengebiet im Druckfeld deutlich zu sehen, nicht jedoch in den Geschwindigkeitsfeldern. Die dennoch vorgenommene Verl¨angerung des Druckstutzens kann trotz numerischer Dissipation diese R¨ uckwirkung nicht verhindern. Der u.a. von M¨ unch [64] nachgewiesene Einfluss der Wandrauhigkeit auf Pumpenkennlinien wird in dieser Arbeit vernachl¨assigt, alle Berechnungen wurden bei ideal glatter Wand mit Haftbedingung durchgef¨ uhrt. Insbesondere f¨ ur die m¨oglichst korrekte Berechnung der Laufrad-Spirale-Wechselwirkungen ist die mathematische Beschreibung der Kopplung zwischen rotierendem Laufrad und stillstehendem Spiralgeh¨ause von entscheidender Bedeutung. Die vorhandenen M¨oglichkeiten sowie deren Vor- und Nachteile werden nachfolgend erl¨autert und diskutiert. Zun¨achst soll kurz auf die grundlegende Bedeutung dieser Instationarit¨at eingegangen werden. 11

2.2. MODELLIERUNGSFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

12

Modellierung der Laufrad-Spirale Kopplung Die Str¨omung in einer Turbomaschine ist immer periodisch instation¨ar und wird durch die Interaktion zwischen sich drehendem Laufrad und stillstehenden Bauteilen wie Saugrohr und Spiralgeh¨ause der Str¨omung von außen aufgepr¨agt. Jede Str¨omung dieser Art kann durch zwei charakteristische Zeitmaße beschrieben werden, die Konvektionszeit tC (Convection) und die Zeit der periodischen Instationarit¨at tD (Disturbance). Bei Turbomaschinen steht tC f¨ ur die Zeit, die sich ein Fluidteilchen im Rotor aufh¨alt, w¨ahrend tD f¨ ur die periodisch instation¨are St¨orung der Rotorstr¨omung durch stromab des Rotors befindliche, stillstehende Bauteile steht. Diese k¨onnen eine Nachleitbeschaufelung oder ein Spiralgeh¨ause sein. Aus dem Verh¨altnis dieser Zeitmaße folgt nach Hodson [36] die Kenngr¨oße der reduzierten Frequenz ωred f¨ ur axiale Turbomaschinen. Angewendet auf radiale Turbomaschinen erh¨alt man mit der Anzahl der Leitradschaufeln zS und der Drehzahl n ([n] = 1s ) die Beziehung ωred =

lR · z S · n tC = tD w¯R

(2.1)

wobei lR und w¯R f¨ ur die mittlere L¨ange einer Stromlinie durch den Rotor und die mittlere Relativgeschwindigkeit eines Partikels entlang dieser Bahn stehen. Die Kenngr¨oße ωred macht allgemein eine Aussage u ¨ber die relative Wichtigkeit oder den Einfluss der instation¨aren Effekte. Es ist allerdings nicht m¨oglich, aus der reduzierten Frequenz bereits auf die quantitativen Auswirkungen der Instationarit¨at zu schließen. Um aus ωred bei einer Turbomaschine zu einer Aussage u ¨ber die m¨ogliche numerische Modellbildung der Rotor-Stator bzw. Laufrad-Spirale Kopplung zu gelangen, ist die Bedeutung wie folgt: • ωred ≈ 1 : Die Zeit, die sich ein Fluidteilchen im Rotorkanal aufh¨alt ist genauso groß wie die Zeit zum Passieren einer Statorteilung. Bei einer Radialmaschine ohne Leiteinrichtung im Diffusor w¨are die Anzahl der Statorschaufeln zS = 1 und somit gleichbedeutend mit dem Spiralensporn. Das heißt f¨ ur diesen Fall, ein Fluidteilchen passiert, w¨ahrend es sich im Laufrad befindet, jeden Umfangspunkt des Spiralgeh¨auses genau einmal. • ωred < 1 : Ein Fluidteilchen durchl¨auft den Rotorkanal schneller, als sich der Rotor an einer Statorteilung vorbeibewegt. Bei der Radialmaschine mit Spirale verl¨asst das Fluidteilchen das Laufrad noch bevor sich dieses einmal gedreht hat. • ωred > 1 : Ein Fluidteilchen h¨alt sich l¨anger im Rotorkanal auf, als der Rotor f¨ ur die Passage einer Statorteilung ben¨otigt. Bei der Radialmaschine mit Spirale passiert ein Fluidteilchen im Laufrad jeden Punkt im Spiralgeh¨ause genau ωred -mal. F¨ ur den Fall ωred ¿ 1 spricht man auch von einer quasi-station¨aren Str¨omung. Dies bedeutet, ¨ die Konvektionszeit ist sehr klein und Einfl¨ usse der zeitlichen Anderung werden kaum bemerkt. Die Str¨omung verh¨alt sich dann station¨ar, obwohl ein Zeiteinfluss vorhanden ist. Wie im folgenden noch gezeigt wird, liegt die reduzierte Frequenz bei radialen Turbomaschinen in einem Gr¨oßenbereich, der eigentlich keine quasi-station¨are Berechnung zul¨asst. Dennoch werden solche Methoden in der Praxis oft eingesetzt. Die Gr¨ unde liegen vor allem im deutlich 12

2.2. MODELLIERUNGSFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

13

Abbildung 2.3.: Modellierung eines einzelnen Laufradkanals ohne Kopplung

h¨oheren Aufwand f¨ ur eine transiente Berechnung, verglichen mit einem quasi-station¨aren Ansatz. Die in der Literatur bekannten und in dieser Arbeit verwendeten Methoden der numerischen Laufrad-Spirale Kopplung werden nachfolgend in der Reihenfolge ansteigender Komplexit¨at vorgestellt. Einzelner Laufradkanal ohne Kopplung Bei dieser einfachsten dreidimensionalen Berechnungsmethode eines Laufrades wird nur ein einzelner rotationsperiodischer Laufradkanal, wie in Abb.2.3 dargestellt, betrachtet. Der separierte Laufradkanal wird von periodischen R¨andern eingegrenzt, der Diffusorbereich wird radial verl¨angert, um eine numerisch einwandfreie Druck-Austrittsrandbedingung zu erm¨oglichen. Bei diesem Ansatz wird eine station¨are L¨osung berechnet, die Gleichungen werden im rotierenden Bezugssystem gel¨ost, daher die Bezeichnung RRF-Ansatz (Rotating Reference Frame). Die Drehung des Laufrades bewirkt zus¨atzliche Scheinkr¨afte in den Impulsgleichungen im Relativsystem, wie in Kapitel 3 beschrieben. Die Anwendbarkeit dieser Methode setzt allerdings eine in Umfangsrichtung gleichm¨aßige Druckverteilung am Austritt voraus, was bei realen Turbomaschinen mit Spiralgeh¨ause nicht der Fall ist. Dennoch ist der Vorteil dieses Ansatzes offensichtlich die Einsparung eines Großteils des Laufrades, was ihn f¨ ur Parameterstudien pr¨adestiniert. Von Aysheshim [3] wurde am Fachgebiet TFA eine frei abstr¨omende Pumpe vermessen, um f¨ ur numerische Parameterstudien mit diesem Ansatz eine experimentelle Datenbasis zu schaffen. Im frei abstr¨omenden Fall wird das Spiralgeh¨ause weggelassen, um eine rotationsperiodische, zeitunabh¨angige Druckverteilung im Diffusor zu erhalten. Bei Pumpen, die mit Spiralgeh¨ause vermessen wurden, ist dieser Ansatz nur f¨ ur Studien zur Gitterunabh¨angigkeit geeignet. Das Rechengitter jeder der in dieser Arbeit vorgestellten Turbomaschinen wurde auf diese Art u uft. Es ist zu beachten, dass die Anwendung f¨ ur ¨berpr¨ den Fall einer gesamten Pumpe mit konstanter Druckrandbedingung einen deutlichen Modellierungsfehler darstellt. Eine gute M¨oglichkeit zur separaten Untersuchung der Laufradstr¨omung bietet dieser Ansatz unter Verwendung des zeitperiodischen Druckes als Austrittsrandbedingung, sofern dieser bekannt ist. Zum Studium der Laufrad-Spirale Wechselwirkungen ben¨otigt man eine der nachfolgenden Methoden

13

2.2. MODELLIERUNGSFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

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Abbildung 2.4.: Modellierung der Laufrad-Spiralgeh¨ause Kopplung mit Frozen-Rotor -Methode

Kopplung mit Frozen-Rotor -Methode Bei relativ zueinander bewegten Bauteilen in einem Modell stellt sich zun¨achst die Frage der minimalen Gr¨oße des Rechengebietes. Die bei axialen Turbomaschinen mit ungleicher Rotor-Stator Schaufelanzahl oft angewendete Praxis der Skalierung von Rotor und Stator, um ein m¨oglichst kleines rotationsperiodisches Rechengebiet zu erhalten, ist mit Spiralgeh¨ausen nicht m¨oglich. Bei Modellierung von Laufrad und Spirale muss bei radialen Turbomaschinen mit Spiralgeh¨ause zwingend die gesamte Maschine berechnet werden. Bei der Frozen-Rotor -Kopplung (FR) werden Laufrad und Spirale in verschiedenen Bezugssystemen jeweils station¨ar berechnet, die Kopplung erfolgt, wie in Abb.2.4 angedeutet, in jedem Knoten der Netz-Ber¨ uhrebene (Interface) durch einfache Transformation des Geschwindigkeitsvektors vom Relativsystem des Laufrades in das Absolutsystem des Spiralgeh¨auses. Es findet keine Rotation des Laufradnetzes statt, d.h. die Relativposition zwischen Laufrad und Spirale bleibt w¨ahrend der Rechnung unver¨andert (“frozen“). Diese numerisch recht robuste Methode liefert theoretisch ein Str¨omungsbild vergleichbar einer Momentaufnahme der realen Str¨omung. Da allerdings auf die instation¨aren Terme der Navier-Stokes Gleichungen verzichtet wird, kann der Einfluss von Tr¨agheitskr¨aften nicht wirksam werden. Ist dieser Einfluss jedoch groß, nimmt die Str¨omung einen nicht realen Zustand an. Dann wird auch bei tats¨achlich transienten Rechnungen das Ergebnis einer FR-Rechnung zu keinem Zeitpunkt erreicht. Mit dem FR-Ansatz ist es grunds¨atzlich m¨oglich, eine Wechselwirkung zwischen Laufrad und Leitrad zu ber¨ ucksichtigen. Bei radialen Turbokraftmaschinen liefert der Ansatz ein deutlich besseres Ergebnis und ist hier geeigneter als bei Turboarbeitsmaschinen. Kopplung mit Mixing-Plane-Methode Nur der Vollst¨andigkeit halber wird die zweite quasi-station¨are Methode kurz beschrieben. Bei der Mixing-Plane-Kopplung werden beide Teilbereiche des Rechengebietes gem¨aß Abb.2.4 ¨ station¨ar im jeweiligen Bezugssystem berechnet. Die Kopplung erfolgt durch Ubergabe der zuvor f¨ ur jeden Teilbereich stufengemittelten Werte am Interface als Randbedingung f¨ ur den jeweils anderen Teilbereich. Theorie und Anwendung dieses Ansatzes wird z.B. von Galpin et.al. [28] f¨ ur radial und axial durchstr¨omte Kopplungsebenen detailliert erl¨autert. Erfolgreich eingesetzt wird der Ansatz bei mehrstufigen axialen Turbomaschinen, da hier pro Stufe nur eine oder wenige Teilungen im Modell ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Bei radialen 14

2.3. NUMERIKFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

15

Turbomaschinen ohne Nachleiteinrichtung mit kleinen radialen Abst¨anden zwischen Laufrad und Spiralsporn und großen Schwankungen der Str¨omungsgr¨oßen in Umfangsrichtung ist der Ansatz nur bedingt bis gar nicht geeignet und wird daher in dieser Arbeit nicht verwendet. Kopplung mit Sliding-Mesh-Methode Die transiente Berechnung der Gesamtmaschine unter Verwendung der Sliding-Mesh-Kopplung (SM) ist der realen Physik am n¨achsten und stellt im Vergleich zu den zuvor vorgestellten Kopplungsmethoden keinen Modellierungsfehler dar. Beide Teilbereiche werden direkt u ¨ber eine Hilfsfl¨ache gekoppelt im Absolutsystem berechnet. Die Hilfsfl¨ache wird zu jedem Zeitschritt ¨ neu berechnet und erm¨oglicht die konservative Ubergabe der Fl¨ usse am Interface. Der Gitterbereich des Laufrades dreht sich mit jedem Zeitschritt relativ zum Gitter des Spiralgeh¨auses um einen der Gr¨oße des Zeitschrittes entsprechenden Winkel. Zu jedem neuen Zeitschritt wird dann eine neue L¨osung berechnet. Durch Zusammenf¨ ugen der einzelnen Zeitschritt-L¨osungen erh¨alt man eine zeitabh¨angige Gesamtl¨osung, integrale Werte m¨ ussen u ¨ber eine Umdrehung gemittelt werden. Der Vorteil des SM-Ansatzes ist die Darstellung der tats¨achlich instation¨aren Physik der Maschine. Als Nachteil ist der im Gegensatz zu den quasi-station¨aren Ans¨atzen erh¨ohte Bedarf an Rechen- und vor allem Auswertezeit zu nennen. Einen Vorschlag zur Einsparung von Rechenleistung bei transienter Berechnung eines radialen Turboverdichters mit SM-Ansatz macht Hillewaert [35] mit der Speicherung und phasenverschobenen Abfrage periodischer Randbedingungen bei nur einem vorhandenen und rotierenden Laufradkanal. Der Vorschlag stellt eine interessante Alternative zur Berechnung des kompletten Laufrades dar. Die bei diesem Modell erforderliche Speicherung der Randbedingungen an den periodischen R¨andern (vgl. Abb.2.3) zu jedem Zeitschritt ist allerdings auch aufw¨andig, zus¨atzlich m¨ usste noch die Einhaltung der Kontinuit¨atsgleichung zu jedem Zeitschritt u uft und gegebenenfalls ¨berpr¨ korrigiert werden. Das Modell wird in dieser Arbeit nicht eingesetzt, bei allen transienten Berechnungen wurde die Gesamtmaschine mit SM-Ansatz modelliert.

2.3. Numerikfehler bei Turbomaschinen Die Methodik zur Absch¨atzung des Numerikfehlers ist bei allen numerischen Berechnungen gleich. Die Minimierung des L¨osungsfehlers kontrolliert man u ¨ber den Verlauf der Residuen ¨ und charakteristischer integraler Werte. Die notwendige Uberpr¨ ufung der Konsistenz eines Diskretisierungsverfahrens liefert direkt den Diskretisierungsfehler. Ein konsistentes Diskretisierungsverfahren liefert auf feiner werdendem Gitter einen immer kleineren Diskretisierungsfehler. Die Methodik zur Bestimmung des Diskretisierungsfehlers nach Sch¨ afer [87] wird nachfolgend am Beispiel eines Pumpenlaufradkanals gezeigt. Das Verfahren basiert auf der mehrmaligen Berechnung eines identischen Testfalles auf mindestens drei systematisch verfeinerten Gittern. Die ohnehin erforderliche Bestimmung eines Rechennetzes, das eine gitterunabh¨angige L¨osung liefert, kann mit dem Ansatz von Richardson [79] zur Quantifizierung des Fehlers genutzt werden. Als Diskretisierungsverfahren wird ein upwind -Verfahren zweiter Ordnung gew¨ahlt. Die in dieser Arbeit berechnete nS 26-Radialpumpe wird mit sechs Rechengittern bei systematisch 15

2.3. NUMERIKFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

grob ↓ ↓ ↓ ↓ fein

Gitter 1 2 3 4 5 6

Anzahl a 0.75 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0

Abstand h 16/3 4.0 8/3 2.0 4/3 1.0

Gesamtknoten 5054 12630 34554 79322 248610 604569

16 Gesamtelemente 3940 10512 30352 71918 232560 575344

Knoten Elemente

1.2827 1.2015 1.1384 1.1030 1.0690 1.0508

Tabelle 2.1.: Einzelgitter f¨ ur Gitterunabh¨angigkeitsstudie der Radialpumpe nS 26

verkleinertem Knotenabstand h bzw. vergr¨oßerter Knotenanzahl a in einer Raumrichtung vernetzt. Die Gr¨oßenverh¨altnisse der einzelnen Gitter zueinander sind in Tabelle 2.1 angegeben. In Abb.2.5 ist der Kanaleintrittsbereich mit Gitter 4 dargestellt. Eine Verdopplung der Knotenanzahl a in eine Raumrichtung bewirkt bei einem dreidimensionalen Gitter etwa eine 8-fache Knotenanzahl. Der blockstrukturierte Aufbau des Rechennetzes l¨asst nicht immer eine exakte Verdoppelung bzw. Halbierung zu, daher die leichten Abweichungen in den Knotenanzahlen zwischen den Gittern 2, 4 und 6 sowie 1, 3 und 5. F¨ ur die Berechnung des Diskretisierungsfehlers eh mittels Richardson-Extrapolation nach Gleichung (2.2) ben¨otigt man die L¨osungen Φh , Φ2h und Φ4h auf drei Rechengittern mit jeweils verdoppeltem Abbildung 2.5.: Rechengitter nS 26 Knotenabstand h, 2h und 4h. Die Ordnung p des angewendeten Diskretisierungsverfahrens wird zuvor bestimmt. ´ ³ −Φ4h log ΦΦ2h Φh − Φ2h h −Φ2h eh = (2.2) p= log2 2p − 1 Zur Bestimmung der Ordnung p des Verfahrens werden die f¨ ur das Problem charakteristischen 2∆p0 2c2u integralen Werte ψ0 = ρu2 2 und ψth = u2 sowie der daraus resultierende Laufradwirkungsgrad ηh,La = ψψth0 direkt am Laufradaustritt bestimmt. Die Ergebnisse sind in Abb.2.6 links dargestellt. Alle drei Werte zeigen asymptotische Konvergenz und streben einem Grenzwert, der gitterunabh¨angigen L¨osung zu. Somit kann p1 mit allen drei L¨osungen der Gitter 2, 4 und 6 sowie p2 mit den L¨osungen der Gitter 1, 3 und 5 bestimmt werden. Die erhaltenen Ordnungen und die damit berechneten Diskretisierungsfehler eh1 und eh2 sind in Abb.2.6 rechts dargestellt. Den h¨ochsten Wert f¨ ur die Ordnung p1 = 1.79 erh¨alt man aus dem Wirkungsgrad auf den Gittern 2, 4 und 6, der Mittelwert betr¨agt p ≈ 1.4 f¨ ur alle sechs Balken im Diagramm. Itter [40] berechnet f¨ ur einen Laufradkanal einen Wert von p ≈ 1.6. Die vom Programm angegebene zweite Ordnung wird demnach nicht erreicht. Der mittlere Diskretisierungsfehler aus allen sechs Balken in Abb.2.6 rechts betr¨agt nur etwa eh ≈ 0.2%. Es muss allerdings angemerkt werden, 16

2.3. NUMERIKFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

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Abbildung 2.6.: Charakteristische Werte (links) und Richardson-Extrapolation (rechts)

dass die hier angegebenen Werte nicht mit allen bestimmbaren integralen Werten der Pumpe, wie z.B. der Druckdifferenz berechnet werden k¨onnen. Trotz dieser Einschr¨ankung liegt der ¨ Wert f¨ ur p in einem sinnvollen Bereich. F¨ ur die Ubertragung des Diskretisierungsfehlers auf den Gesamtkontext kann demnach von einem sehr geringen Einfluss auf den Gesamtfehler ausgegangen werden. Weiterhin ist es bemerkenswert, dass trotz der sechs sehr unterschiedlich feinen Netze nahezu konstante integrale Werte berechnet werden. Der Einfluss der Netzaufl¨osung auf die bei Pumpenberechnungen in erster Linie interessierenden Daten ist demnach gering, wenn die Wandbehandlung f¨ ur die eingesetzte Turbulenzmodellierung den wichtigsten Regeln entspricht, welche in Kapitel 3 erl¨autert werden.

17

18

3. Beschreibung turbulenter Str¨ omungen In diesem Kapitel wird ausgehend von den grundlegenden M¨oglichkeiten, turbulente Str¨omungen zu beschreiben, die Theorie aller in dieser Arbeit eingesetzten Turbulenzmodelle ausf¨ uhrlich erkl¨art. Die speziellen Eigenschaften und theoretischen F¨ahigkeiten dieser Modelle werden im Kontext der Gesamtthematik Turbulenzmodellierung herausgestellt. Technische Str¨omungen werden mathematisch vollst¨andig durch die unten angegebenen Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie beschrieben. Sie gelten sowohl f¨ ur laminare als auch turbulente Str¨omungen. Analytische L¨osungen dieses gekoppelten, nichtlinearen Gleichungssystems sind allerdings nur f¨ ur wenige Spezialf¨alle bekannt, so beispielsweise ¨ f¨ ur einige laminare Schichtenstr¨omungen [106]. Den Ubergang von laminarer zu turbulenter Str¨omungsform bestimmt die Reynoldszahl, die definiert ist als Re =

U ·L ν

(3.1)

mit einer das Str¨omungsproblem charakterisierenden Geschwindigkeit U und einer makroskopischen L¨ange L sowie der kinematischen Viskosit¨at. Sie stellt das Verh¨altnis von Tr¨agheits- zu Z¨ahigkeitskr¨aften dar, d.h. je gr¨oßer Re, desto geringer ist der Einfluss der Viskosit¨at. Ab einem bestimmten Wert von Re, der oft aus Versuchen bekannt ist, liegt eine turbulente Str¨omung vor. Analytische L¨osungen der Erhaltungsgleichungen f¨ ur turbulente Str¨omungen k¨onnen mit Aus¨ nahme einiger wichtiger Ahnlichkeitsl¨osungen [42],[112] nicht bestimmt werden. F¨ ur technisch ¨ relevante Str¨omungen, die meist turbulent sind, sind Ahnlichkeitsl¨osungen wenig praktikabel. Eine wesentlich g¨ unstigere Methode ist die Anwendung numerischer Berechnungsverfahren zur Bestimmung m¨oglichst genauer N¨aherungsl¨osungen.

3.1. Erhaltungsgleichungen Die Erhaltungsgleichungen werden zun¨achst im Inertialsystem dargestellt, danach f¨ ur ein rotierendes Bezugssystem, das f¨ ur die Berechnung von Str¨omungen in Turbomaschinen von großer Bedeutung ist. Inertialsystem Zur Beschreibung von kompressiblen und reibungsbehafteten Str¨omungen steht das folgende Gleichungssystem, bestehend aus den differentiellen Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse (3.2), 18

3.1. ERHALTUNGSGLEICHUNGEN

19

Impuls (3.3) und Energie (3.4) zur Verf¨ ugung. D% ∂% = + ∇ · (%~u) = 0 Dt ∂t

(3.2)

∂ ∂% + (%uj ) = 0 ∂t ∂xj

(3.2b)

D (%~u) = −∇p + %~k + ∇ · T Dt

(3.3)

∂ ∂p ∂ ∂ (%ui ) + (%ui uj ) = − + %ki + τij ∂t ∂xj ∂xi ∂xj

(3.3b)

D (%h0 ) = ∇p + %~k · ~u + ∇ · (~u · T) − ∇ · ~q Dt

(3.4)

∂(%h0 ) ∂%uj h0 ∂p ∂ui ∂ + = + %ki ui + τij − qi ∂t ∂xj ∂t ∂xj ∂xi

(3.4b)

Diese Gleichungen sind in Vektorschreibweise in jedem Koordinatensystem g¨ ultig, in der jeweils auch angegebenen Indexschreibweise (b) jedoch nur in kartesischen Koordinatensystemen. Die Energiegleichung wird in der h¨aufig gebrauchten Form der Erhaltung der Totalenthalpie angegeben und nur bei kompressiblem Fluid ben¨otigt. Die thermische Zustandsgleichung p = p(%, t) und die kalorische Zustandsgleichung h = h(%, t) kommen f¨ ur diesen Fall noch hinzu, der W¨armestromvektor ~q wird aus dem Fourierschen W¨armeleitungsgesetz ~q = −λ∇T gewonnen. In dieser Arbeit wird bei allen Berechnungen von inkompressiblem Fluid ausgegangen, die Energiegleichung demnach nicht gel¨ost. Der Tensor T in den Erhaltungsgleichungen wird im allgemeinen als Spannungstensor bezeichnet. F¨ ur Fluide mit newtonschem Materialverhalten und unter Annahme verschwindender Druckz¨ahigkeit (Stokessche Hypothese; ausf¨ uhrliche Herleitung in Schlichting [92]) lautet der Spannungstensor im allgemeinen kompressiblen Fall 2 T = 2µE − µ(∇~u) · I 3 µ ¶ ∂ui ∂uj 2 ∂uk τij = µ + δij − µ ∂xj ∂xi 3 ∂xk

(3.5) (3.5b)

In dieser Gleichung steht µ f¨ ur die molekulare oder dynamische Viskosit¨at des Fluids, E ist der Deformationsgeschwindigkeitstensor und I der Einheitstensor. Der Tensor T wird auch oft als Reibungsspannungstensor bezeichnet, so z.B. von Spurk [106], da er nicht den Druck, sondern nur Anteile aus den viskosen Reibungsspannungen enth¨alt. Trotzdem soll in dieser Arbeit weiterhin T nach Gleichung (3.5) als Spannungstensor bezeichnet werden.

19

3.1. ERHALTUNGSGLEICHUNGEN

20

Rotierendes Bezugssystem Werden die Bewegungsgleichungen im rotierenden Bezugssystem gel¨ost, dann m¨ ussen die durch die Rotation hervorgerufenen Beschleunigungen durch zus¨atzliche Terme in den Momentengleichungen ber¨ ucksichtigt werden [5]. Wenn das Relativsystem gegen¨ uber dem Inertialsystem eine Translation mit der Geschwindigkeit v~t und eine Rotation mit der Winkelgeschwinigkeit ~ ausf¨ Ω uhrt, dann gilt mit dem Ortsvektor ~r im Relativsystem f¨ ur die Relativgeschwinigkeit w ~ und die Absolutgeschwindigkeit ~c im Inertialsystem ~ × ~r ~c = v~t + w ~ +Ω

(3.6)

wobei f¨ ur die Berechnung von Turbomaschinen v~t verschwindet. Die differentielle Form des Impulssatzes lautet dann f¨ ur ein beschleunigtes Bezugssystem unabh¨angig vom gew¨ahlten Koordinatensystem " # ~ d Ω Dw ~ ~ × w) ~ × (Ω ~ × ~r) + % + ~a + 2(Ω ~ +Ω × ~r = −∇p + %~k + ∇ · T (3.7) Dt dt Die gegen¨ uber dem Impulssatz im Inertialsystem zus¨atzlichen Terme in Gleichung (3.7) wirken wie Volumenkr¨afte, die zu den ¨außeren Kr¨aften hinzukommen. Man bezeichnet sie auch als Scheinkr¨afte, weil sie nicht auf ¨außere Kr¨afte zur¨ uckzuf¨ uhren sind und nur f¨ ur den Beobachter im Relativsystem wirken. Die einzelnen Kr¨afte pro Volumeneinheit in Gleichung (3.7) bezeichnet man wie folgt: Die F¨ uhrungskraft des Relativsystems selbst ist %~a = % DDtv~t , also gleich Null, wenn der Ursprung des Relativsystems sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt oder in Ruhe ist. Letzteres ist bei Turbomaschinen der Normalfall. Den zweiten zus¨atzlichen Term ~ × w) %(Ω ~ bezeichnet man als Corioliskraft. Dieser Term verschwindet nur dann, wenn das ~ = 0) oder f¨ Relativsystem keine Rotation ausf¨ uhrt (d.h. Ω ur solche materielle Punkte, die im rotierenden System ruhen. Beides ist f¨ ur Turbomaschinenstr¨omungen auszuschließen, daher erf¨ahrt jedes Fluidteilchen in einem Turbomaschinenlaufrad eine Corioliskraft. Diese Kraft wirkt bei radialen Turboarbeitsmaschinen entgegen der Drehrichtung und etwa in tangentialer Richtung. Ein Fluidteilchen wird also, angenommen es wirke nur die Corioliskraft, zur ~ × (Ω ~ × ~r) stellt die Zentrifugalkraft dar und Schaufeldruckseite hin abgelenkt. Der Term %Ω wirkt immer radial nach außen. Dieser Term wird nur dann zu Null, wenn das Relativsystem nicht rotiert, daher ist die Zentrifugalkraft bei Turbomaschinen immer vorhanden. Der letzte Term auf der linken Seite von Gleichung (3.7) ist nur dann von Null verschieden, wenn sich die Rotationsgeschwindigkeit zeitlich ¨andert. Bei Turbomaschinenberechnungen mit konstanter Drehzahl kann man diesen Term daher vernachl¨assigen. Mit diesen Vereinfachungen werden die Kontinuit¨ats- und Impulsgleichung im rotierenden Bezugssystem f¨ ur die Berechnung von Turbomaschinen zu

%

D% ∂% = + ∇ · (%w) ~ =0 Dt ∂t

(3.8)

Dw ~ ~ × w) ~ × (Ω ~ × ~r) + ∇ · T = −∇p + %~k − 2%(Ω ~ − %Ω Dt

(3.9)

20

¨ 3.2. ANSATZE ZUR TURBULENZBESCHREIBUNG

21

Da f¨ ur diese Gleichungen keine analytischen L¨osungen der technisch relevanten turbulenten Str¨omungen m¨oglich sind, muss man numerische N¨aherungsl¨osungen des Gleichungssystems bestimmen. Zur numerischen Berechnung turbulenter Str¨omungen gibt es verschiedene Ans¨atze der Beschreibung der Turbulenz.

3.2. Ans¨ atze zur Turbulenzbeschreibung Turbulente Str¨omungen werden charakterisiert durch eine stochastische Verteilung aller Str¨omungsgr¨oßen in Raum und Zeit. Dies impliziert direkt die Dreidimensionalit¨at und Instationarit¨at jeder turbulenten Str¨omung, die zudem stark rotationsbehaftet und dissipativ ist. Turbulente Bewegungen erstrecken sich u ¨ber einen großen Bereich von L¨angenskalen. Die gr¨oßten Skalen, durch das integrale L¨angenmaß Lt gekennzeichnet, sind maximal von der Gr¨oßenordnung des Sr¨omungsgebietes und vor allem diffusiv bestimmt. Die kleinsten 3 turbulenten Skalen sind die Kolmogorov-Skalen f¨ ur L¨ange ηK = ( ν² )0,25 , Geschwindigkeit υK = (ν · ²)0,25 und Zeit τK = ( ν² )0,5 . Sie sind stark dissipativ bestimmt, d.h. sie dissipieren die turbulente kinetische Energie, die von den großen Skalen u ¨ber die Energiekaskade zugef¨ uhrt wird. Diese Charakteristika turbulenter Str¨omungen m¨ ussen von den Ans¨atzen zur numerischen Berechnung beachtet werden. Nachfolgend sind die wichtigsten Methoden vor dem Hintergrund der Anwendbarkeit f¨ ur Turbomaschinen in der Reihenfolge abnehmender Genauigkeit und zunehmender Modellierung kurz beschrieben und diskutiert.

DNS - Direkte Numerische Simulation Der naheliegendste Ansatz aus mathematischer Sicht ist die direkte L¨osung der instation¨aren Erhaltungsgleichungen (3.2), (3.3) und (3.4). Das numerische Berechnungsgebiet muss hierzu allerdings r¨aumlich und zeitlich so fein diskretisiert werden, dass die kleinsten auftretenden turbulenten Skalen noch aufgel¨ost werden. Die zur r¨aumlichen Diskretisierung erforderliche Knotenanzahl N f¨ ur eine Raumrichtung ergibt sich nach Tennekes und Lumley [112] aus dem Verh¨altnis des integralen turbulenten L¨angenmaßes Lt zum Kolmogorov L¨angenmaß nach N≥

3 Lt = Ret4 ηK

(3.10)

Dieses Verh¨altnis kann unter der Voraussetzung der Gleichheit dissipierter und produzierter turbulenter Energie, durch die turbulente Reynoldszahl Ret (siehe Gleichung (3.30)) ausgedr¨ uckt werden. Diese wird aus der mittleren Geschwindigkeit und dem integralen L¨angenmaß ´ [24] etwa zwei Gr¨oßenordnungen kleiner als die gebildet und ist nach Ferziger und Peric makroskopische Reynoldszahl. Da eine turbulente Str¨omung immer dreidimensional ist, wird die erforderliche Knotenanzahl proportional zu N 3 . Die Bedingung f¨ ur die erforderliche zeitliche Aufl¨osung M kann aus dem Verh¨altnis der f¨ ur die Simulation erforderlichen Zeit T zum Kolmogorov-Zeitmaß ermittelt werden: M≥

1 T = Ret2 τK

21

(3.11)

¨ 3.2. ANSATZE ZUR TURBULENZBESCHREIBUNG

22

¨ Uber die f¨ ur numerische Stabilit¨at erforderliche CFL-Zahl wird die zeitliche der r¨aumlichen Aufl¨osung zugeordnet. Man erh¨alt schließlich eine Abh¨angigkeit der f¨ ur die Simulation notwen3 digen Rechenoperationen N M von Ret nach N 3 M ∼ Re3t

(3.12)

Pope [75] gibt beispielsweise eine N¨aherungsformel N 3 M ∼ 160 · Re3t an. Der Aufwand f¨ ur eine DNS steigt also proportional zur dritten Potenz der turbulenten Reynoldszahl. Aufgrund der somit enorm hohen Anforderungen an Speicher- und Rechenkapazit¨at bleibt das Anwendungsgebiet der DNS daher vorerst auf Str¨omungen relativ kleiner Reynoldszahl beschr¨ankt. Diese Art von Berechnungen sind allerdings von großer Bedeutung, da sie als eine Art numerisches Experiment eine hervorragende Datenbasis liefern, an denen Ans¨atze zur Modellierung der Turbulenz validiert und verbessert werden k¨onnen. Eine in dieser Absicht durchgef¨ uhrte DNS von Kalitzin, Wu und Durbin [44] eines Niederdruckturbinenkanals bei Re = 1.48 · 105 liefert hervorragende Aussagen u ¨ber die Entwicklung turbulenter Gr¨oßen im Kanal und zeigt den enorm hohen Aufwand mit 86 Millionen Gitterpunkten sowie die Schwierigkeit, Randbedingungen f¨ ur die turbulenten Schwankungsbewegungen zu formulieren. Auf dieses Problem weist auch Janicka [42] hin, was die Methode auch unter der Annahme ausreichender Rechnerkapazit¨at f¨ ur beliebige technische Anwendungen recht unpraktikabel macht. Ein weiterer Aspekt beim Gleichstellen einer DNS Datenbasis mit experimentellen Daten ergibt sich aus der grundlegenden Forderung einer Ensemble-Mittelung letzterer, die eigentlich auch f¨ ur DNS Berechnungen erforderlich w¨are. F¨ ur die ¨okonomische numerische Berechnung technischer Str¨omungen ist es daher noch unabdingbar, die Turbulenz nicht aufzul¨osen, sondern mit geeigneten Ans¨atzen zu modellieren. Die wichtigsten sind nachfolgend kurz erl¨autert.

LES - Large Eddy Simulation Die globale Struktur einer Str¨omung wird vor allem von den energietragenden großskaligen Wirbeln des Turbulenzspektrums bestimmt, welche f¨ ur Transportvorg¨ange verantwortlich sind. Das Verhalten der kleinskaligen Wirbel hingegen ist viel universeller, d.h. nahezu unabh¨angig vom betrachteten Str¨omungsproblem. Weiterhin weisen sie viel eher isotrope Turbulenz auf, eine Eigenschaft, die sie der statistischen Modellierung erst zug¨anglich macht (vgl. auch unten). Eine Tiefpassfilterung der Erhaltungsgleichungen trennt die r¨aumlichen Skalen, so dass das erhaltene Gleichungssystem auf einem gr¨oßtenteils gr¨oberen Gitter als bei einer DNS berechnet werden kann. Die großen Turbulenzwirbel werden hierbei dreidimensional und instation¨ar simuliert, w¨ahrend die herausgefilterten kleinen Wirbel mit einem geeigneten Ansatz modelliert werden (SGS, Sub-Grid Scale Model ). Hierbei w¨ahlt man einfache statistische Modelle, beispielsweise das algebraische Modell nach Smagorinsky [103], oder dynamische Modelle, die den Vorteil haben, dass die Filterweite nicht konstant ist, sondern w¨ahrend der Berechnung aus den aktuellen Ergebnissen dynamisch angepasst wird. LES-Simulationen sind schon heute in der industriellen Anwendung vertreten. Anwendungsgebiete sind vor allem solche Str¨omungsprobleme, die grunds¨atzlich eine instation¨are Betrachtung erfordern, die weiterhin von m¨oglichst wenigen verschiedenen L¨angenskalen beschrieben werden und nur wenig von 22

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

23

Wandeinfl¨ ussen gepr¨agt sind. Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist folglich die Verbrennungssimulation. Turbomaschinen hingegen weisen einige Merkmale auf, die sich ung¨ unstig auf die Anwendbarkeit auswirken. Einerseits treten sehr verschiedene L¨angenmaße auf, andererseits wird die Str¨omung stark von Wandeinfl¨ ussen dominiert, was eine hohe r¨aumliche Aufl¨osung in diesem Bereich erfordert [42]. Vor diesem Hintergrund werden in j¨ ungster Zeit hybride Verfahren mit statistischer Behandlung des wandnahen Bereiches entwickelt, wie beispielsweise von Spalart [104] vorgeschlagen. Als Eintrittsrandbedingung einer LES werden auch r¨aumlich und zeitlich korrelierte Daten der turbulenten Variablen ben¨otigt. Diese kann man einerseits separat aus einer zus¨atzlichen, verl¨angerten Zulaufstr¨omung berechnen, andererseits ist die Vorgabe randomer Verteilungen m¨oglich. Eine vereinfachte und vielversprechende M¨oglichkeit zur Bereitstellung pseudo-turbulenter“ Randbedingungen aus randomen Daten wird von ” Klein [52] vorgestellt. Der starke Einfluss der Eintrittsrandbedingungen ist vor allem bei nicht wanddominierten Str¨omungen erkennbar, daher bleibt die Wandbehandlung bei LES f¨ ur Turbomaschinen als noch wichtigstes Problem.

3.3. Statistische Turbulenzmodelle - RANS“ ” Bei der numerischen Berechnung von Turbomaschinen ist man prim¨ar an integralen Gr¨oßen interessiert und somit an zeitlichen Mittelwerten auch turbulenter Gr¨oßen. Aufgrund der gegen¨ uber den zuvor beschriebenen Modellierungsans¨atzen niedrigeren Modellierungsebene statistischer Turbulenzmodelle erh¨alt man mit diesen direkt den gesuchten Einfluss: Die Wirkung der Turbulenz im zeitlichen Mittel auf die mittleren Str¨omungsgr¨oßen Druck und Geschwindigkeit. Trotz einiger im folgenden herauszuarbeitenden Nachteile statistischer Modelle werden sie noch einige Zeit Stand der Technik sein, wie beispielsweise Durbin [19] betont. Statistische Turbulenzmodelle beruhen auf einem Ansatz, der von Reynolds bereits 1895 vorgeschlagen wurde, der Aufteilung einer Str¨omungsgr¨oße φ in einen mittleren Anteil φ und in einen fluktuierenden Anteil φ0 φ(xi , t) = φ(xi , t) + φ0 (xi , t)

(3.13)

Da alle statistischen Modelle auf diesem Ansatz beruhen, werden sie auch als RANS“ -Modelle ” (Reynolds-Averaged-Navier-Stokes) bezeichnet. Den Arbeitsbereich der statistischen Modelle zeigt Abbildung 3.1. Im dargestellten Energiespektrum, d.h. Energiedichte eines turbulenten Wirbels in Abh¨angigkeit von der Wellenzahl, modellieren statistische Modelle den gesamten Frequenzbereich, w¨ahrend die LES nur die großskaligen Wirbel und die DNS das gesamte Frequenzspektrum direkt berechnen.

3.3.1. Reynoldsmittelung und Modellierungsans¨ atze Die Durchf¨ uhrung der Reynoldsmittelung, Grundlage aller statistischen Turbulenzmodelle, ist abh¨angig von der Art der Str¨omung. Die allgemein g¨ ultige Art und Weise der Reynoldsmittelung zur Bestimmung von φ ist eine Ensemble-Mittelung“ . Hierbei wird eine Str¨omungsgr¨oße ” φ n-mal an einem festen Ort xi immer zum gleichen Zeitpunkt des gleichen Experiments, bzw. 23

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

24

bei zeitperiodischen Vorg¨angen immer nach Ablauf einer Periode, gemessen und anschliessend durch die Anzahl der Messungen geteilt. Ã n ! 1 X (k) φ(xi , t) = lim φ (xi , t) (3.14) n→∞ n k=1 Diese Art der Reynoldsmittelung muss auf Str¨omungen angewendet werden, die im zeitlichen Mittel instation¨ar sind, beispielsweise periodisch instation¨are Str¨omungen in Turbomaschinen. F¨ ur Str¨omungen, die im zeitlichen Mittel station¨ar sind, kann man auch u ¨ber einen ausreichend großen Zeitraum messen und u ¨ber diesen mitteln. In diesem Fall stellt die Reynoldsmittelung eine echte Zeitmittelung dar, im Fall der Ensemble-Mittelung nicht. Wird eine Zeitmittelung auf eine periodisch instation¨are Str¨omung angewendet, so muss der Zeitraum, u ¨ber den gemittelt werden soll, einerseits deutlich gr¨oßer als das turbulente Zeitmaß, andererseits aber deutlich kleiner als das Zeitmaß der periodischen Instationarit¨at der Hauptstr¨omung sein. Dies f¨ uhrt bei Turbomaschinen schnell zu Problemen, daher ist hier immer von einer Ensemble-Mittelung auszugehen. Dieser Mittelwert ist dann gleichbedeutend mit der Summe aus einem zeitgemittelten Wert und der periodischen Fluktuation der Hauptstr¨omung. Nur der Vollst¨andigkeit halber wird hier noch erw¨ahnt, dass man bei sehr seltenen Str¨omungen mit homogener Turbulenz, also turbulenten Schwankungen unabh¨angig von der Raumrichtung, auch eine r¨aumliche Mittelungsvorschrift anwenden kann. Die Zerlegung nach Gleichung 3.14 wird nun in die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen eingesetzt. Man erh¨alt nach Mittelwertbildung sowie unter Vernachl¨assigung zus¨atzlicher Volumenkr¨afte, der Annahme konstanter Dichte und Viskosit¨at und Anwendung der Regeln f¨ ur die Mittelung korrelierter Gr¨oßen [106] die reynoldsgemittelten Navier-Stokes Gleichungen ∂ui =0 ∂xi

(3.15)

∂ui ∂ui 1 ∂p ∂ 2 ui ∂ + uj =− +ν − (u0 u0 ) ∂t ∂xj % ∂xi ∂xk ∂xk ∂xj i j

(3.16)

Diese unterscheiden sich in der Struktur nicht vom Gleichungssystem der Momentanwerte (kompressible Gleichungen (3.2b) und (3.3b), alle Gleichungen werden ab hier nur noch in Indexschreibweise angegeben), es erscheint lediglich als neue Unbekannte der Tensor u0i u0j . Diese Korrelation der Schwankungswerte wird, multipliziert mit der Dichte, als Reynoldsspannungstensor (im folgenden RST) bezeichnet. Durch diesen zus¨atzlichen Term l¨aßt sich das Gleichungssystem mathematisch nicht mehr schließen, was man auch als Schließungsproblem der Turbulenz“ be” zeichnet. Die Beschreibung oder Modellierung des RST durch bekannte Str¨omungsgr¨oßen und mit Hilfe empirischer Korrelationen kann man demnach im weitesten Sinne als statistische Turbulenzmodellierung bezeichnen. Ein ideales Turbulenzmodell sollte hierbei so wenig komplex wie m¨oglich sein, dennoch aber die wesentlichen physikalischen Ph¨anomene beschreiben k¨onnen. Um den RST zu beschreiben, gibt es grunds¨atzlich zwei M¨oglichkeiten: • Bereitstellen einer Transportgleichung f¨ ur den RST 24

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

25

• direkte Modellierung des RST

Reynoldsspannungsmodelle Die Transportgleichung des RST gewinnt man durch Einsetzen der Aufspaltung der Str¨omungsgr¨oße nach Gleichung 3.13 in die Navier-Stokes-Gleichung und anschließende Subtraktion der reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen. Das Ergebnis sind die Transportgleichungen der Schwankungsbewegungen. Nach weiteren Rechenschritten, die ausf¨ uhrlich 0 0 bei Janicka [42] dargestellt sind, erh¨alt man die Transportgleichung f¨ ur ui uj wie folgt µ µ ¶ ¶ ∂u0i u0j ∂u0i u0j p0 ∂u0i ∂u0j 0 0 ∂uj 0 0 ∂ui + uk = − u i uk + u j uk + + ∂t ∂xk ∂xk ∂xk ρ ∂xj ∂xi {z } | | {z } Produktion

−

∂ ∂xk |

Ã

u0i u0j u0k +

Druck-Scher-Korrelation

(3.17)

!

p0 u0j ∂u0i u0j p0 u0i ∂u0i ∂u0j δik + δik − ν − 2ν · ρ ρ ∂xk ∂xk ∂xk {z } {z } | Dissipation

Diffusiver Transport

Die Transportgleichungen des RST beinhalten nun selbst Tripelkorrelationen der unbekannten Schwankungsbewegungen, das Schließungsproblem wird also auf eine h¨ohere Ebene verlagert. Auch hier m¨ ussen Modelle f¨ ur die Terme des diffusiven Transports, u.a. der Tripelkorrelation, sowie f¨ ur die Druck-Scher-Korrelation und den Dissipationstensor bereitgestellt werden. Man spricht von Reynolds-Spannungs-Modellen“ (RSM), die durch die Beschrei” bung jeder einzelnen Komponente des RST mit einer eigenen Transportgleichung die Physik der Turbulenz bez¨ uglich Unterschieden in den Komponenten des RST nat¨ urlich wesentlich besser ber¨ ucksichtigen k¨onnen. Aus numerischer Sicht sind diese Modelle allerdings deutlich aufw¨andiger. Einerseits m¨ ussen die zus¨atzlichen Gleichungen gel¨ost werden, andererseits sind RSM numerisch weit weniger robust als algebraische Turbulenzmodelle, die man bei direkter Modellierung des RST erh¨alt. Da in der vorliegenden Arbeit kein Turbulenzmodell auf der Basis eines RSM verwendet wurde, wird hier auf eine weitere Diskussion der Modellierungsans¨atze verzichtet und lediglich auf eines der bekanntesten RSM nach Launder, Reece und Rodi [57] verwiesen. Eine f¨ ur die nachfolgend vorgestellten Wirbelviskosit¨atsmodelle wichtige Gr¨oße ist die der turbulenten kinetischen Energie k, welche u ¨ber die Spur der reynoldsschen Spannungen definiert ist: 1 k ≡ u0i u0i 2

(3.18)

Eine exakte Transportgleichung f¨ ur die turbulente kinetische Energie k erh¨alt man aus der Kontraktion der Bilanzgleichung des RST (3.17) zu ¸ · 1 0 0 ∂k ∂k ∂ 1 0 0 0 ∂k ∂u0 ∂u0i 0 0 ∂ui ν + uj = −ui uj + − ui ui uj − p uj − ν i ∂t ∂xj ∂x ∂xj ∂xj 2 % ∂xk ∂xk | {z } | {z j} ²

Pk

25

(3.19)

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

26

wobei mit Pk die exakte Produktion und mit ² die Dissipation turbulenter kinetischer Energie k bereits definiert sind.

Wirbelviskosit¨ atsmodelle Wirbelviskosit¨atsmodelle (EVM - Eddy Viscosity Models) bilden in der praktischen Anwendung von Turbulenzmodellen noch die gr¨oßte Gruppe. Sie basieren auf der direkten Modellierung des RST unter der Annahme der Existenz einer turbulenten Wirbelviskosit¨at. Grundlage hierf¨ ur ist die von Boussinesq [8] postulierte Analogie zwischen molekularen und turbulenten Spannungen. In Anlehnung an das Materialgesetz Newtonscher Fluide werden die Reynoldsspannungen proportional der Scherrate angenommen: µ ¶ ∂ui ∂ui 0 0 (3.20) −ui uj ∼ νt + ∂xj ∂xj Die turbulente Wirbelviskosit¨at νt ist keine Stoffeigenschaft, sondern eine vom momentanen, lokalen Str¨omungszustand abh¨angige Gr¨oße. Unter der Vorraussetzung des turbulenten Gleichgewichts und der Isotropie l¨asst sich mit Hilfe der Dimensionsanalyse nachweisen, dass νt nur von je einem charakteristischen Geschwindigkeitsmaß Ut und L¨angenmaß Lt abh¨angt [42]. Als turbulentes Geschwindigkeitsmaß dient die Quadratwurzel der bereits oben definierten (3.18) turbulenten kinetischen Energie k. Eine Einteilung der Wirbelviskosit¨atsmodelle kann nun nach der Anzahl der ben¨otigten Transportgleichungen zur Bestimmung der turbulenten Viskosit¨at bzw. von Ut und Lt vorgenommen werden. Verwendet man ausschließlich algebraische Beziehungen, so spricht man von Nullgleichungs-Modellen, wie beispielsweise der Prandtlsche Mischungswegansatz. Entsprechend l¨osen Eingleichungmodelle genau eine Transportgleichung, wie im Falle des f¨ ur aerodynamische Str¨omungen entwickelten Modells von Spalart und Allmaras. Zweigleichungsmodelle l¨osen f¨ ur beide charakteristischen turbulenten Maße je eine Transportgleichung. Die bekanntesten Zweigleichungsmodelle sind das Standard-k-²-Modell und das k-ω-Modell. Auch die Definition der die Turbulenz beschreibenden Geschwindigkeits- und L¨angenmaße ist ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal. Ein anderer Ansatz zur Klassifizierung von Wirbelviskosit¨atsmodellen liegt in der Tensorordnung der im Modell ber¨ ucksichtigten Terme einer allgemeinen algebraischen Gleichung f¨ ur 0 0 ui uj , womit man in lineare und nichtlineare Modelle unterteilen kann. Der Modellierungsansatz einer algebraischen Gleichung f¨ ur u0i u0j beruht auf der Annahme einer nahezu homogenen Turbulenz bei hohen Reynoldszahlen. Wie beispielsweise von Pope [76] gezeigt, l¨asst sich dann herleiten, dass der RST eine lokale, d.h. nur an einem bestimmten Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt g¨ ultige Funktion des mittleren Geschwindigkeitsgradienten, eines Zeit- und eines L¨angenmaßes ist. Benutzt man f¨ ur das Zeit- und L¨angenmaß die turbulente kinetische Energie k und deren Dissipation ² gem¨aß 3

k Tt = ²

k2 Lt = ² 26

(3.21)

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

27

so erh¨alt man die funktionale Abh¨angigkeit u0i u0j

·

∂ui =F , Lt , T t ∂xj

¸

(3.22)

Unter Anwendung der Invariantentheorie sowie mit Hilfe des Cayley-Hamilton-Theorems zeigt ∂ui gibt. NachLumley [59], dass es 18 voneinander unabh¨angige Invarianten des Tensors k² ∂x j dem weiterhin die von den unabh¨angigen Invarianten abh¨angigen Koeffizienten bestimmt sind, folgt die allgemeine algebraische Beziehung f¨ ur die lokale Beschreibung des RST, die hier in dimensionsbehafteter Form und nur bis zu quadratischen Termen angegeben wird: u0i u0j 1 = δij 2k 3 µ k ∂ui ∂uj + + a2 ² ∂xj ∂xi µ 2 k ∂ui ∂uk + a4 2 · ² ∂xk ∂xj µ k 2 ∂ui ∂uj · + a6 2 ² ∂xk ∂xk µ k 2 ∂uk ∂uk · + a7 2 ² ∂xi ∂xj

¶ 2 ∂ui − δij 3 ∂xi ¶ ∂uj ∂uk 2 ∂ui ∂uj + · − · δij ∂xk ∂xi 3 ∂xj ∂xi ¶ 1 ∂ui ∂ui − · δij 3 ∂xj ∂xj ¶ 1 ∂ui ∂ui − · δij (+HOT ) 3 ∂xj ∂xj

(3.23)

Eine genaue Herleitung dieser Gleichung sowie die restlichen Terme h¨oherer Ordnung finden sich bei Bauer [6]. Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass Gleichung (3.23) nur lokal unter der Annahme homogener Turbulenz gilt, was eine starke Vereinfachung bez¨ uglich tats¨achlicher technischer Str¨omungen darstellt. Wirbelviskosit¨atsmodelle lassen sich je nach der Ordnung der im Modell ber¨ ucksichtigten Terme der allgemeinen algebraischen Beziehung (3.23) zur Berechnung des RST unterteilen in lineare und nichtlineare, meist quadratische oder kubische Wirbelviskosit¨atsmodelle. Ein u ¨bersichtliches Schema zur Hierarchie statistischer Turbulenzmodelle gibt Jones [117], wobei er entsprechend der in den Modellen enthaltenen Physik in unterschiedliche Modellierungsebenen einteilt.

Turbulentes Energiespektrum Die oben eingef¨ uhrte Annahme der Existenz genau eines, f¨ ur das komplette Turbulenzspektrum g¨ ultigen charakteristischen turbulenten Geschwindigkeits- und L¨angenmaßes stellt eine idealisierte Vorstellung dar. Tats¨achlich sind die Skalen, auf denen der Energieaustausch in idealer turbulenter Str¨omung erfolgt, auf ein breites Frequenzspektrum verteilt. Unter idealer Turbulenz wird hier eine homogene, statistisch station¨are und isotrope Turbulenz vorausgesetzt. In diesem Fall stellt sich das turbulente Energiespektrum, d.h. die Energiedichte E turbulenter Strukturen in Abh¨angigkeit einer Wellenzahl κ, wie im linken Teil der Abbildung 3.1 doppeltlogarithmisch aufgetragen dar. Das Energiespektrum l¨asst sich in drei Gebiete unterteilen. Bei kleinen Frequenzen finden sich die großen, energietragenden Wirbel (Bereich 1 in Abbildung 3.1), die direkt Energie von der Hauptstr¨omung erhalten und diese u ¨ber 27

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

28

Abbildung 3.1.: Energiespektrum (links) und Modellvariablen nach Kim und Chen [49] (rechts)

Wirbelstreckung hin zu kleineren Skalen bei gr¨oßeren Frequenzen u ¨bertragen. Produktion turbulenter kinetischer Energie findet bei diesen großskaligen Wirbelstrukturen statt, welche u ¨ber die integralen turbulenten Zeit- und L¨angenskalen Tt und Lt charakterisiert sind. Im Dissipationsbereich (Bereich 3) wird die turbulente kinetische Energie schließlich dissipiert. Dieser Bereich wird auch Gleichgewichtsbereich genannt, da nur hier ein Gleichgewicht zwischen Produktion und Dissipation turbulenter kinetischer Energie vorliegt. Der Energietransfer von großskaligen zu kleinskaligen Turbulenzstrukturen, auch als Energiekaskade bezeichnet, bewirkt einen zeitlichen und r¨aumlichen Unterschied zwischen Produktion und Dissipation turbulenter kinetischer Energie. Alle Zweigleichungs-Wirbelviskosit¨atsmodelle, die wie oben beschrieben von einem f¨ ur das komplette Turbulenzspektrum g¨ ultigen charakteristischen turbulenten Geschwindigkeits- und L¨angenmaß ausgehen, k¨onnen somit keine Mechanismen der Energiekaskade ber¨ ucksichtigen. Dies ist nur dann m¨oglich, wenn die turbulente Wirbelviskosit¨at mittels verschiedener turbulenter Zeitmaße berechnet wird. In dieser Arbeit wird zu diesem Zweck ein Wirbelviskosit¨atsmodell mit variablen Zeitmaßen eingesetzt, welches vier Gleichungen zur Berechnung von νt benutzt.

3.3.2. RANS-Modelle und Instationarit¨ at - URANS“ ” Bei der Anwendung von RANS-Turbulenzmodellen auf instation¨are Str¨omungen muss lediglich die Zeitableitung in den das Modell beschreibenden Transportgleichungen mit ber¨ ucksichtigt werden. Instationarit¨aten k¨onnen dabei entweder extern aufgepr¨agt sein, wie die f¨ ur diese Arbeit wichtige Relativbewegung zwischen Rotor und Stator bei Turbomaschinen, oder aus internen Str¨omungsvorg¨angen entstehen, wie beispielsweise Kavitation oder der Wirbelzopf im Diffusor einer Francis-Turbine [85]. Dies ist eine zun¨achst gerechtfertigte Vorgehensweise, wobei die erhaltenen Ergebnisse Interpretationsspielraum lassen. Ursache ist die zurecht fraglich erscheinende Zeitintegration zuvor zeitgemittelter Gr¨oßen, insofern die Reynoldsmittelung als eine solche angesehen wird. Spalart [104] spricht in diesem Zusammenhang von UR” ANS“ (Unsteady RANS) und fordert f¨ ur eine korrekte Anwendung eine Trennung der Zeitskalen der koh¨arenten Grundstr¨omung und der u ¨berlagerten, stochastischen turbulenten Schwankung. Dies bedeutet, die Frequenz einer periodischen Instationarit¨at in der Grundstr¨omung fd m¨ ußte 28

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

29

im turbulenten Energiespektrum deutlich vom Frequenzspektrum der turbulenten Schwankungen ft getrennt sein, n¨amlich eine deutlich niedrigere Frequenz aufweisen, was in der Literatur als Spectral-Gap-Problem bekannt ist. Wie die Ausf¨ uhrungen von Eulitz [22] zeigen, kann dies insbesondere bei axialen Turbomaschinen nicht immer eingehalten werden. Vielmehr liegt die deterministische Frequenz in Abh¨angigkeit der Drehzahl und der Reynoldszahl sehr h¨aufig genau im Bereich maximaler turbulenter Energie. Obwohl die Frequenz der periodischen Schwankungen bei Pumpen i.a. niedriger sein wird als bei axialen Turbomaschinen, ist dieses Problem grunds¨atzlich auch bei Pumpen relevant. Aufgrund zahlreicher erfolgreicher Anwendungen von URANS auf Str¨omungen, bei denen die deterministische Frequenz genau im turbulenten Energiespektrum liegt, bewertet Durbin [19] diese Modelle auf eine andere Art und Weise. Unter der Voraussetzung, dass die Reynoldsmittelung keine Zeit- sondern eine Ensemblemittelung darstellt, was sie tats¨achlich ist und wodurch sich die Form der reynoldsgemittelten Transportgleichungen nicht ¨andert, setzt er als Bedingung f¨ ur die Anwendbarkeit von URANS lediglich die Existenz eines die deterministische Schwankung darstellenden, ausgepr¨agten engen Sprungs im Turbulenzspektrum voraus, unabh¨angig von dessen Frequenz. URANS-Modelle liefern auch dann gute Ergebnisse, wenn fd ≈ ft gilt, was nach oben gesagtem eigentlich ein SpectralGap-Problem ist. Es zeigt sich einerseits, dass URANS-Modelle, ebenso wie RANS-Modelle, station¨are L¨osungen liefern, wenn das Frequenzspektrum der Str¨omung nicht diese ausgepr¨agte Frequenz einer deterministischen Schwankung aufweist, wie beispielsweise bei der Umstr¨omung einer Kugel oder der r¨ uckspringenden Stufe, die in Kapitel 5 untersucht wird. Andererseits ist es ¨außerst schwierig, mit URANS-Modellen station¨are L¨osungen f¨ ur Probleme mit ausgepr¨agter deterministischer Frequenz zu berechnen, wie z.B. bei massiver Abl¨osung am Profil [118]. Die Modelle liefern also statistisch gesehen korrekte Ergebnisse. F¨ ur die Anwendung bedeutet dies, dass eine Str¨omungsgr¨oße φ nicht in zeitgemittelten Wert ¯ φ und periodischen Wert φe aufgeteilt werden muss, sondern nur als Ensemble-Mittelwert φ angesehen werden kann, der beide Anteile enth¨alt, und den turbulenten Schwankungswert φ0 . Die Aufgabe des Turbulenzmodells besteht also darin, geeignete Schließungsans¨atze f¨ ur die Be0 rechnung der turbulenten Schwankungen φ zu finden. Eine Zeitmittelung u ¨ber die betrachtete Rechenzeit T aller Ensemble-Mittelwerte φ sollte dann ein Schritt des Postprocessing sein, um zeitliche Mittelwerte der Gr¨oße φ zu bestimmen: Z 1 φT = φ(¯ x, t)dt (3.24) T Diese Vorgehensweise ist direkt auf Pumpenberechnungen mit der deterministischen Frequenz fd = n · zB (Drehzahl · Schaufelzahl) u ¨bertragbar und rechtfertigt somit die Anwendung von URANS-Modellen.

3.3.3. Lineare Wirbelviskosit¨ atsmodelle Lineare Wirbelviskosit¨atsmodelle beruhen auf dem bereits erw¨ahnten Ansatz von Boussinesq [8]. Die Annahme der Proportionalit¨at turbulenter Spannungen zur Scherrate der Hauptstr¨omung resultiert im Gradientenflussansatz (3.25), oder auch Wirbelviskosit¨atsansatz, in dem die turbulente Wirbelviskosit¨at νt in der Funktion eines Proportionalit¨atsfaktors eingef¨ uhrt 29

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

30

wird. −u0i u0j

= νt

µ

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi

¶

2 − kδij 3

(3.25)

Das Problem der Berechnung des RST wird somit auf die Notwendigkeit der Berechnung der turbulenten Viskosit¨at νt reduziert, welche wiederum u ¨ber ein charakteristisches integrales Zeitund L¨angenmaß bestimmt werden kann. Die Gleichung des Gradientenflussansatzes (3.25) l¨asst sich auch aus der allgemeinen konstitutiven Gleichung des RST (3.23) gewinnen, indem man nur die linearen Terme ber¨ ucksichtigt. Durch die lineare Kopplung des RST mit dem Deformationsgeschwindigkeitstensors Sij (3.26) entsprechen sich die Hauptachsen beider Tensoren. Somit kann die in den meisten technischen Str¨omungen vorhandene Anisotropie des RST mit linearen Wirbelviskosit¨atsmodellen nicht erfasst werden. µ ¶ 1 ∂ui ∂uj + (3.26) Sij = 2 ∂xj ∂xi ¨ In Str¨omungen mit pl¨otzlichen Anderungen von Sij liefern diese Modelle demzufolge schlechte 0 0 Ergebnisse, da sich ui uj in diesen F¨allen anders verh¨alt, als mit Gleichung (3.25) berechnet. Somit sind Str¨omungen, welche die folgenden Eigenschaften aufweisen, f¨ ur die Anwendung linearer Wirbelviskosit¨atsmodelle theoretisch schlecht geeignet: • pl¨otzliche Querschnitts¨anderungen • Stromlinienkr¨ ummungen und allgemein starke Dreidimensionalit¨at • starker Einfluss von Rotation • Grenzschichteffekte wie z.B. Abl¨osung Alle diese Eigenschaften weisen Str¨omungen in Turbomaschinen auf. Dennoch werden lineare Wirbelviskosit¨atsmodelle nach wie vor mit gutem Erfolg bei der Berechnung von Pumpen eingesetzt. Die Vorhersagef¨ahigkeit f¨ ur Pumpenstr¨omungen einiger der wichtigsten linearen Zweigleichungsmodelle, die im folgenden vorgestellt werden, soll im Rahmen der vorliegenden Arbeit bewertet werden.

Standard-k-²-Modell (SKE) Das k-²-Modell, das in seiner Standard-Form bereits 1972 von Launder und Spalding [55] vorgeschlagen wurde, ist mit großer Wahrscheinlichkeit das Turbulenzmodell, dessen St¨arken und Schw¨achen am hinl¨anglichsten bekannt sind. Da die Vorteile des Modells vor allem in guter numerischer Stabilit¨at aufgrund seiner dissipativen Eigenschaften, einem hohen KostenNutzen-Effekt und seiner guten Anwendbarkeit auf unterschiedlichste technische Str¨omungen begr¨ undet sind, wird es trotz seiner bekannten M¨angel noch immer sehr h¨aufig eingesetzt. Die turbulente Viskosit¨at wird nach Gleichung (3.27) mit Hilfe der turbulenten kinetischen Energie k und deren Dissipation ² berechnet, welche gem¨aß den Gleichungen (3.21) das 30

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

31

turbulente Zeit- und L¨angenmaß repr¨asentieren. νt = C µ · fµ ·

k2 ²

(3.27)

Hierzu m¨ ussen Transportgleichungen f¨ ur k und ² gel¨ost werden. Aus der exakten Transportgleichung f¨ ur k (3.19) werden die unbekannten Korrelationen (zweiter Term der rechten Seite) mittels eines Gradientenflussansatzes modelliert, indem die diffusiven Fl¨ usse proportional zum Gradienten von k angenommen werden. Eine analoge Vorgehensweise f¨ uhrt zu einer exakten Gleichung der Dissipation ², deren Modellierung zur Transportgleichung (3.29) f¨ uhrt. Eine ausf¨ uhrliche Herleitung ist beispielsweise bei Wilcox [119] nachzulesen. Da beide Gleichungen unter der Voraussetzung einer vollausgebildeten turbulenten Str¨omung bei hoher Re-Zahl modelliert wurden, sind sie in der N¨ahe fester W¨ande, wo viskose Effekte gegen¨ uber turbulenten Spannungen dominieren, nicht g¨ ultig. Um sie dennoch in diesem Bereich anwenden zu k¨onnen, gibt es die folgenden M¨oglichkeiten: ¨ • Uberbr¨ uckung der viskosen Unterschicht der Grenzschicht mittels Wandfunktionen • Erweiterung der Gleichungen mittels D¨ampfungsfunktionen f¨ ur Low-Reynolds-Number Bereiche ( LowRe-Modelle“ ) ” Die Transportgleichungen mit Low-Reynolds-Erweiterungen (3.28),(3.29) sowie die Gleichung der turbulenten Viskosit¨at (3.27) beinhalten die D¨ampfungsfunktionen f1 , f2 und fµ . ·µ ¶ ¸ νt ∂k ∂k ∂ ∂k ν+ + Pk − ² + uj = ∂t ∂xj ∂xj σk ∂xj ·µ ¶ ¸ νt ∂² ² ∂² ²2 ∂ ∂² ν+ + C ²1 f 1 P k − C ²2 f 2 + uj = ∂t ∂xj ∂xj σe ∂xj k k

(3.28) (3.29)

Setzt man die D¨ampfungsfunktionen zun¨achst zu 1, dann beschreiben die Gleichungen (3.28),(3.29) und (3.27) das nur f¨ ur hohe Reynoldszahlen g¨ ultige Standard-k-²-Modell. Dieses muss dann in Wandn¨ahe mit Wandfunktionen die viskose Unterschicht u ucken, was zu ¨berbr¨ besonderen Randbedingungen f¨ ur k und ² f¨ uhrt (siehe Kapitel 4). Die Verwendung der D¨ampfungsfunktionen erweitert die G¨ ultigkeit des Modells f¨ ur Str¨omungsbereiche in Wandn¨ahe, indem sie die Wirkung der Turbulenz in diesem Bereich d¨ampfen“ . Grenzbetrachtungen des asymptotischen Verhaltens turbulenter Str¨omungsgr¨oßen ” in Wandn¨ahe liefern die z.B. bei Unger [116] angegeben Bedingungen, welche durch Wahl der D¨ampfungsfunktionen gegeben sein m¨ ussen. Beispielsweise wird ein mit dem Wandabstand kubisches Anwachsen der turbulenten Viskosit¨at gefordert. Realisiert wird dies mit dem Faktor fµ in Gleichung (3.27), der von seinem Maximalwert 1 in vollturbulenter Str¨omung bei Ann¨aherung an eine Wand dieses asymptotische Verhalten gew¨ahrleisten soll. In ¨ahnlicher Weise wirken die Funktionen f1 und f2 , um die Gr¨oßen k und ² zu d¨ampfen. In der Literatur existieren eine Vielzahl vorgeschlagener LowRe-Modelle, die sich haupts¨achlich in der Formulierung der D¨ampfungsfunktionen unterscheiden. In den meisten Modellen werden 31

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ” Koeffizient Cµ σk σ² C ²1 C ²2

SKE 0.09 1.0 1.3 1.44 1.92

fµ

1.0

f1

1.0

f2

1.0

Pk0

LowRe-k-² Abid 0.09 1.0 1.4 1.45 1.83 µ (tanh (0, 008 · Rey )) · 1 +

Ã

1 − 92 e h

µ

1.0

Re2 − 36t

¶!

µ

· 1−e

2 = 1.33 1 − 0.3e(−Ret )

iµ

³

−

32 LowRe LCL 2/3 ¯ ¯ 1.25+S+0.9 Ω

4

3 Ret4

Rey 12

1.0 1.3 1.44 (1 + Pk0 /Pk ) 1.92 ¢ ³ ¡ 1 − e(−0.0198Rey ) · 1 +

¶

1.0

´¶

k Pk + 2ν 2 y

5.29 Rey

¶

´

³ ´ 2 1 − 0.3e(−Ret ) 2

e−0.00375Rey

(3.33)

Tabelle 3.1.: Modellkoeffizienten und D¨ampfungsfunktionen von k-²-Modellen

diese Funktionen in Abh¨angigkeit der turbulenten Reynoldszahlen Ret und Rey sowie des dimensionslosen Wandabstands y + ausgedr¨ uckt. k2 ν² √ ky Rey = ν r yuτ y τW + y = = ν ν ρ Ret =

(3.30) (3.31) (3.32)

¨ Einen guten Uberblick der bekanntesten Modelle sowie der Wirkung der D¨ampfungsfunktionen im einzelnen geben Patel [70] oder Unger [116]. In der vorliegenden Arbeit soll keine Bewertung der unterschiedlichen LowRe-Modelle untereinander erfolgen, sondern ein Vergleich gegen¨ uber Modellen mit Wandfunktionen. Daher wird nur das LowRe Modell nach Abid [1] ausgew¨ahlt, dessen Tauglichkeit f¨ ur transitionale Str¨omungen einerseits von Unger [116] nachgewiesen wurde und das andererseits ausreichend gutes Konvergenzverhalten aufweist. Weiterhin sind die D¨ampfungsfunktionen dieses Modells nicht von geometrischen Gr¨oßen abh¨angig, was f¨ ur die Anwendbarkeit in komplexen Geometrien wie Pumpen von Vorteil ist. In Tabelle 3.1 sind die Modellkoeffizienten sowie die D¨ampfungsfunktionen des Standard-k-²-Modells, des LowRe-k-²-Modells nach Abid und eines erst im n¨achsten Kapitel vorgestellten nichtlinearen Wirbelviskosit¨atsmodells angegeben. Der Term Pk in Gleichung (3.28) repr¨asentiert die Produktion turbulenter kinetischer Energie, dessen exakte Berechnung aus der exakten Gleichung von k (3.19) folgt. Unter Verwendung des Boussinesq-Ansatzes und mit der Definition des Deformationsgeschwindigkeitstensors nach

32

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

33

Gleichung(3.26) vereinfacht sich die Berechnung des Produktionsterms von k zu ¢ ¡ 2 2 2 2 2 2 Pk = 2νt Sij Sij = 2νt S11 + S22 + S33 + 2S12 + S13 + S23

(3.34)

Kato-Launder Modifikation

Der Produktionsterm Pk des k-²-Modells nach Gleichung (3.34) berechnet in Str¨omungsgebieten mit dominierenden Normalkomponenten von Sij eine deutlich zu große Produktion turbulenter kinetischer Energie. Dies trifft insbesondere auf Staupunkte zu, also Schaufelvorderkanten und ¨ Spiralzunge in Turbomaschinen. Bei Profilumstr¨omungen kann die Uberproduktion zu falschen Ergebnissen bez¨ uglich Grenzschicht und Profilnachlauf f¨ uhren, wie von Kistner [51] gezeigt wurde. Abhilfe bringt die Berechnung von Pk mit Hilfe des antisymmetrischen Rotationsgeschwindigkeitstensors nach Gleichung (3.35), der in Staupunktn¨ahe verschwindet. µ ¶ 1 ∂ui ∂uj Ωij = (3.35) − 2 ∂xj ∂xi Diesen Umstand nutzen Kato und Launder [45] in ihrer Produktionsterm-Modifikation und schlagen vor, Pk in Abh¨angigkeit von Sij und Ωij gem¨aß Gleichung (3.36) zu berechnen. Pk,KL = 2νt

p p Sij Sij Ωij Ωij

(3.36)

Diese Modifikation bringt in Staupunkten deutlich realistischere Produktionsraten f¨ ur k als der Standard-Ansatz nach Gleichung (3.34), wie sich am Beispiel einer ebenen Potenzialstr¨omung auch leicht im Vergleich mit der exakten Produktionsgleichung nachweisen l¨asst. Allerdings ist die Wirkung der Kato-Launder Modifikation selbstverst¨andlich nicht nur auf Staupunkte beschr¨ankt. Nachteilig wirkt sich insbesondere aus, dass mit Pk,KL keine k-Produktion in rotationsfreier Scherstr¨omung vorausgesagt wird, jener Str¨omung, f¨ ur die das Standard-k-²Modell kalibriert wurde. Weiterhin wird f¨alschlicherweise verst¨arkte k-Produktion in einfachen rotierenden oder wirbelbehafteten Str¨omungen vorausgesagt. Da diese Str¨omungsformen in radialen Turbomaschinen auftreten, erscheint der Einsatz der Kato-Launder Modifikation hier als nicht unbedingt sinnvoll. Eine gute Zusammenfassung der Staupunkt-Problematik gibt Durbin [20]. Zur Umgehung des bei Turbomaschinen dennoch zu beachtenden Staupunktproblems bietet sich die M¨oglichkeit, ein vor dem Hintergrund physikalischer Realisierbarkeit modifiziertes k-²-Modell einzusetzen.

Realisierbares“ k-²-Modell (RKE) ” Der Zusatz realisierbar“ beim k-²-Modell bezieht sich auf eine Erweiterung des Standard” Modells, um physikalischen Realisierbarkeits-Bedingungen zu gen¨ ugen. Realisierbarkeit ist eine der grundlegenden Anforderungen an Turbulenzmodelle. Damit ein Turbulenzmodell physikalisch sinnvolle Ergebnisse liefert, sind die folgenden Bedingungen, die von Schumann

33

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

34

[93] u ¨bersichtlich dargestellt werden, einzuhalten (nicht u ¨ber Indizes summieren): k ≥ 0, ² ≥ 0

(3.37)

u0α u0α ≥ 0 ¡ ¢2 u0α u0β ≤ u0α u0α · u0β u0β

(α = 1, 2, 3)

(3.38)

(α 6= β ∨ α, β = 1, 2, 3)

(3.39)

Direkt einsichtig ist Bedingung (3.37), nach der sowohl die turbulente kinetische Energie als auch deren Dissipation nicht negativ sein k¨onnen. Die etwas st¨arkere Bedingung (3.38) fordert dar¨ uberhinaus, dass die turbulenten Normalspannungen nicht negativ werden k¨onnen. Zus¨atzlich muss nach Bedingung (3.39) die Schwarz’sche Ungleichung erf¨ ullt sein, nach der das Quadrat einer turbulenten Scherspannung immer kleiner oder h¨ochstens gleich dem Produkt der zugeh¨origen turbulenten Normalspannung sein muss. Noch st¨arkere Anforderungen an Realisierbarkeit stellt Lumley [59], der anstatt Bedingungen f¨ ur den RST zu formulieren, mit u0 u0

einem Invariantendreieck des zugeh¨origen Anisotropietensors aij = ik j − 23 δij die physikalisch m¨oglichen Zust¨ande der Turbulenz grafisch darstellt. Hierauf soll im Rahmen dieser Arbeit nicht n¨aher eingegangen werden. Wichtig f¨ ur Turbomaschinenanwendungen ist allerdings die Tatsache, dass der BoussinesqAnsatz bei gen¨ ugend großen Beschleunigungsraten negative turbulente Normalspannungen produzieren kann, wie Ungleichung (3.40) zeigt. ∂u1 ² > ∂x1 k · 3Cµ

(3.40)

Moore und Moore [66] weisen darauf hin, dass diese kritische Beschleunigungsrate bei Turbomaschinen sehr schnell erreicht werden kann. Bei konstantem Faktor Cµ bewirkt dann die negative turbulente Normalspannung eine zu hohe k-Produktion. Demzufolge zielen alle Ans¨atze zur Ber¨ ucksichtigung der Realisierbarkeit darauf ab, die oben genannten Bedingungen einzuhalten und somit zu große Verh¨altnisse von Pk /² und damit verbunden ein unkontrolliertes Wachstum turbulenter kinetischer Energie zu verhindern. Erreicht wird dies durch eine Reduzierung der turbulenten Viskosit¨at, indem der Faktor Cµ in der Gleichung (3.27) zur Berechnung der turbulenten Viskosit¨at nicht mehr konstant gehalten wird, sondern abh¨angig ist ¯ des Deformations- und des Rotationsgeschwindigkeitstensors. von den Invarianten S¯ und Ω q kp k ¯ ¯ ˜ ij Ω ˜ ij ˜ ij = Ωij − ²ijk ωk S= 2Sij Sij Ω= 2Ω Ω (3.41) ² ² wobei mit ωk (~ω ) die Drehfrequenz im rotierenden Bezugssytem benannt wird. Die in der vorliegenden Arbeit verwendete Modifikation des Standard-k-²-Modells zur Einhaltung der Realisierbarkeits-Bedingungen basiert auf der Arbeit von Shih et al. [97]. Der Koeffizient wird berechnet nach Cµ,r =

1 √ ¯2 4 + 1, 732 S¯2 + Ω

34

(3.42)

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

35

Dieser Ansatz ist implementiert in NS3D als auch in leicht abge¨anderter Form in FLUENT und nur g¨ ultig f¨ ur hohe Reynoldszahlen. Die zus¨atzlich in NS3D implementierte Erweiterung nach Moore und Moore [66] auf LowRe Str¨omungen lautet Cµ,r =

1 ¢1 ¯ 2,4 2,4 2, 74 + 1, 9 S¯2,4 + Ω ¡

(3.43)

wonach f¨ ur Cµ der kleinere Wert nach Gleichung (3.43) oder nach Cµ · fµ eingesetzt wird. Das realizable-k-²-Modell in FLUENT beinhaltet außerdem im Vergleich zum Standard-k-²-Modell eine Modifikation der ²-Gleichung, durch welche die Aufweitungsrate eines runden Freistrahles deutlich verbessert berechnet werden kann [25]. Im Vergleich zu Gleichung (3.29) werden andere Quellen- und Senkenterme f¨ ur die Dissipation ² verwendet. Der Quellterm ist nicht mehr linear abh¨angig von Pk sondern wird in Abh¨angigkeit von S¯ angegeben, was eine verbesserte Trennung des spektralen Energietransfers bewirken soll [25], weiterhin wird im Senkenterm die Singularit¨at an festen W¨anden durch k im Nenner (3.29) vermieden. Diese Modifikation der ²-Gleichung in FLUENT ist vermutlich die Ursache eines bei radialen Turbomaschinen schlechteren Konvergenzverhaltens gegen¨ uber dem Standard-k-²-Modell. Als Hauptunterschiede zwischen Standard-k-²-Modell und seiner realizable-Modifikation lassen sich ein variabler Koeffizient Cµ , sowie in FLUENT ver¨anderte Quellen- und Senkenterme der ²-Gleichung zusammenfassen. Die Gleichung f¨ ur k (3.28) ist in beiden Modellvarianten identisch.

Renormalization Group - Modell (RNG) Dieses Modell l¨asst sich bei den linearen Zweigleichungs-EVM einordnen, obwohl es nicht von den reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen abgeleitet wurde. In der Renormalization-Theorie werden ausgehend von den Navier-Stokes-Gleichungen der Momentanwerte iterativ enge Frequenzb¨ander der kleinskaligen, isotropen turbulenten Schwankungen abgeschnitten. In den erhaltenen neuen k-²-Gleichungen erscheint eine modifizierte, effektive Viskosit¨at, die von integralen turbulenten Skalen abh¨angig ist. F¨ ur eine detaillierte Ableitung dieser Theorie wird auf die grundlegende Arbeit von Yakhot und Orszag [122] verwiesen. Das in FLUENT implementierte Modell auf der Grundlage der RNG-Theorie wird ausf¨ uhrlich beschrieben von Choudhury [15]. Die analytisch abgeleitete Differentialgleichung zur Berechnung der effektiven Viskosit¨at νef f = ν + νt ist f¨ ur große und kleine Reynoldszahlen g¨ ultig, das Modell ben¨otigt demnach keine LowRe-Erweiterungen.   ν ³ν ´ 1, 72 efν f νef f k ef f = ∂  q  = q¡ (3.44) ∂ ²ν νef f ¢3 ν ν − 99 ρ3 ν

F¨ ur hohe Reynoldszahlen vereinfacht sich Gleichung (3.44), so dass die turbulente Viskosit¨at wie im Standard-k-²-Modell nach Gleichung (3.27) mit Cµ = 0, 0845 als konstantem Koeffizienten berechnet wird. Es ist beachtenswert, dass mit diesem v¨ollig anderen Ansatz eine nahezu identische Gleichung f¨ ur νt bei hoher Re-Zahl erhalten wird. Die Transportgleichungen der 35

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ” turbulenten Gr¨oßen k und ² lauten f¨ ur das RNG-k-²-Modell · ¸ ∂k ∂k ∂k ∂ αk (ν + νt ) + Pk − ² + uj = ∂t ∂xj ∂xj ∂xj · ¸ ∂² ∂² ² ∂ ²2 ∂² α² (ν + νt ) + C²1 Pk − C²∗2 + uj = ∂t ∂xj ∂xj ∂xj k k

36

(3.45) (3.46)

Die Modellkonstanten sind nicht experimentell bestimmt, sondern lassen sich ebenfalls aus der RNG-Theorie analytisch ableiten. Die inversen effektiven turbulenten Prandtl-Zahlen werden mit αk = α² = 1, 393 angegeben. Allerdings ist nur der Koeffizient C²1 im Quellterm der ²Gleichung konstant, im Koeffizienten des Senkenterms steckt nach Gleichung (3.47) ein Zusatzterm, der eine Verbesserung gegen¨ uber dem Standard-k-²-Modell in Str¨omungen mit raschen Scherungen bringen soll. ³ ´ η Cµ ρη 3 1 − 4,38 kp C²∗2 = 1, 68 + 2Sij Sij mit η= (3.47) 3 1 + 0, 012η ²

Der zweite Summand in Gleichung (3.47) ist in funktionaler Abh¨angigkeit des Schubparameters η und wirkt je nach dessen Gr¨oße wie ein zus¨atzlicher Quell- oder Senkenterm. Eine Vergr¨oßerung des mit C²2 multiplizierten Senkenterms bewirkt eine verminderte Dissipation und somit eine erh¨ohte turbulente Viskosit¨at. Dies trifft zu, wenn η < 4, 38 ist. Andererseits wird die turbulente Viskosit¨at ged¨ampft, wenn η > 4, 38 wird, also bei hohen Scherraten. Der Zusatzterm bewirkt somit eine νt -Reduzierung bei hohen Scherraten, dennoch wird darauf hingewiesen, dass das RNG-Modell im Sinne der oben angegebenen Bedingungen nicht realisierbar ist. Eine verbesserte Sensitivit¨at des Modells gegen¨ uber Stromlinienkr¨ ummung verglichen mit dem Standard-k-²-Modell wird von FLUENT [25] angegeben, trotzdem kann man aus der Theorie nicht pauschal die bessere Eignung f¨ ur radiale Turbomaschinen ableiten. Aufgrund der bemerkenswerten theoretischen Eigenschaften des Modells, seiner relativen Einfachheit und seiner Verwandschaft zum Standard-k-²-Modell wird es innerhalb dieser Arbeit als eines der zu vergleichenden Modelle ausgew¨ahlt.

Shear Stress Transport - Modell (SST) Dieses Modell geht zur¨ uck auf die grundlegende Arbeit von Menter [61], der durch Kombination der beiden Zweigleichungsmodelle k-² und k-ω ein Baseline Blending Modell vorschl¨agt. Die Idee hierbei ist, die Vorteile beider Modelle aus aerodynamischer Sicht zu nutzen sowie die jeweiligen Nachteile zu vermeiden. Als wesentliche Schw¨ache des k-²-Modells wird diesbez¨ uglich ¨ die schlechte Sensitivit¨at bei ung¨ unstigem Druckgradienten angesehen. Durch Uberproduktion turbulenter Viskosit¨at kann es in aerodynamischen Str¨omungen dieser Art zu versp¨ateter oder gar ganz ausbleibender Abl¨osung der Grenzschicht kommen, wie beispielsweise von Kline et al. [53] berichtet oder in der vorliegenden Arbeit in Kapitel 5 ausf¨ uhrlich untersucht. Als Hauptursache wird die L¨angenmaß-Gleichung in Wandn¨ahe angesehen, die außerdem im 36

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

37

Falle der LowRe Erweiterung bei Integration durch die viskose Unterschicht wegen Steifheit numerische Probleme bereitet. Das k-ω-Zweigleichungsmodell von Wilcox [120] l¨ost neben der k-Gleichung eine zweite, die spezifische turbulente Dissipationsrate ω = k² (oder auch turbulente Frequenz) beschreibende Gleichung. Der große Vorteil dieses Modells ist seine relativ einfache Formulierung innerhalb der viskosen Wandschicht. Im Gegensatz zur ²-Gleichung, die nur mittels D¨ampfungsfunktionen bis zur Wand integriert werden kann, ben¨otigt die ω-Gleichung diese nicht, sondern beinhaltet Dirichlet-Randbedingungen (vgl. Kapitel 4), was aus numerischer Sicht einen Stabilit¨atsgewinn bringt. Der wichtigste Nachteil des k-ω-Modells liegt in der starken Abh¨angigkeit der turbulenten Viskosit¨at von Randbedingungen f¨ ur ω in der freien Str¨omung. Im Baseline Blending Modell werden nun die Vorteile verkn¨ upft, indem der innere Teil der Grenzschicht mit dem k-ω-Modell und der ¨außere Teil der Grenzschicht sowie der Rest des Str¨omungsgebietes mit dem k-²-Modell berechnet werden. F¨ ur die Formulierung des Modells werden die k-² Gleichungen in eine k-ω-Form u uhrt, wobei zus¨atzlich der Cross-Diffusion¨berf¨ Term Dkω entsteht. Beide Gleichungen werden dann mit einer blending-Funktion multipliziert und anschließend addiert. Die Gleichungen haben danach folgende Form: · ¸ ∂k ∂ ∂k ∂k (ν + σk νt ) + Pk − β ∗ kω (3.48) + uj = ∂t ∂xj ∂xj ∂xj · ¸ ∂ω ∂ ∂ω ∂ω ω + uj = (3.49) (ν + σω νt ) + α Pk − βω 2 + Dkω ∂t ∂xj ∂xj ∂xj k Die turbulente Viskosit¨at wird berechnet nach νt =

k ω

(3.50)

Alle in den Gleichungen (3.48) und (3.49) vorhandenen Koeffizienten werden mit Hilfe einer blending-Funktion aus den Koeffizienten-S¨atzen der beiden Grundmodelle (Indizes 1 und 2) gem¨aß Gleichung (3.51) f¨ ur einen beliebigen Koeffizienten φ berechnet. φ = F1 φ1 + (1 − F1 ) φ2

(3.51)

Die in FLUENT [25] benutzten Koeffizientens¨atze sowie deren exakte Berechnung differiert hierbei leicht von den Angaben im Basismodell nach Menter [61]. Auf eine Angabe der Koeffizienten wird an dieser Stelle verzichtet und auf die entsprechende Literatur verwiesen. Der in Gleichung (3.49) neu hinzugekommene Term Dkω berechnet sich nach Gleichung (3.52) Dkω = 2 (1 − F1 ) ρσω2

1 ∂k ∂ω ω ∂xj ∂xj

(3.52)

Die eigentliche blending-Funktion F1 wird definiert gem¨aß Gleichung (3.53). Sie muss ausgehend vom Wert 1 an einer festen Wand innerhalb eines gewissen Wandnormalenabstandes die Gleichungen des k-ω-Modells bereitstellen und zum Grenzschichtrand hin gegen 0 gehen sowie

37

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

38

außerhalb der Grenzschicht verschwinden. ¡

¢ F1 = tanh Φ4

Ã

mit

Φ = min max

Ã √

500ν k , 2 0, 09ωy y ω

!

4ρkσω2 , Dkω y 2

!

(3.53)

Das noch immer ung¨ unstige Verhalten dieses Basismodells bei stark ung¨ unstigen Druckgradienten soll mit einer Erweiterung zum Shear Stress Transport - Modell verbessert werden. ¨ Hintergrund ist die deutliche Uberlegenheit von Turbulenzmodellen, welche eine Transportgleichung f¨ ur turbulente Schubspannung beinhalten. Die Annahme, dass turbulente Schubspannung innerhalb einer Grenzschicht proportional zu k sein muss, ist bei Zweigleichungsmodellen, die auf dem Boussinesq-Ansatz beruhen, nicht gegeben. Abhilfe schafft eine modifizierte Berechnung der turbulenten Viskosit¨at gem¨aß Gleichung (3.54), mit der sichergestellt wird, dass νt in Bereichen mit großer Schubspannung nicht schneller anw¨achst als k.   νt =

k ω

 · 

max

·

1 , α∗

1 √

2Ωij Ωij F2 a1 ω

 ¸ 

(3.54)

Die Wirkung dieser Modifizierung wird durch die Funktion F2 , die ¨ahnlich F1 definiert ist und hier nicht angegeben wird, auf Str¨omungsbereiche in Wandn¨ahe beschr¨ankt, so dass νt im u ¨brigen Str¨omungsgebiet nach Gleichung (3.50) berechnet wird. Der Faktor α ∗ ist eine zus¨atzlich in FLUENT [25] eingef¨ uhrte D¨ampfungsfunktion. ¨ Die Uberlegenheit des SST-Modells im Vergleich zum Basismodell, zu k-² und k-ω zeigt ¨ Menter [62] f¨ ur transsonische Außenstr¨omungen. Das Modell zeigt seine Uberlegenheit bei Str¨omungen mit ung¨ unstigem Druckgradienten und bei Abl¨osungen, obwohl darauf hingewiesen wird, dass die Vorhersagef¨ahigkeit bez¨ uglich Wiederanlegebereichen abgel¨oster Str¨omungen nicht entscheidend verbessert wird. Grunds¨atzlich erfordert das Modell keinen nennenswert erh¨ohten Rechenzeitbedarf gegen¨ uber den zuvor vorgestellten Zweigleichungsmodellen. Zudem wurde das Modell von Treutz [115] mit sehr gutem Erfolg zur Berechnung von Pumpenkennlinien eingesetzt. Aus diesen Gr¨ unden wird es innerhalb dieser Arbeit als eines der zu vergleichenden Turbulenzmodelle ausgew¨ahlt.

3.3.4. Erweiterte Wirbelviskosit¨ atsmodelle Nachdem das vorige Kapitel den wesentlichen Merkmalen der grundlegenden linearen Wirbelviskosit¨atsmodelle vorbehalten war, sollen nachfolgend zwei Variationen dieser Modellklasse vorgestellt werden.

Nichtlineare Wirbelviskosit¨ atsmodelle ¨ Trotz der fundamentalen Uberlegenheit der Reynoldsspannungsmodelle (RSM) gegen¨ uber den linearen Wirbelviskosit¨atsmodellen (LEVM) werden sie in der Praxis eher selten angewendet. Ursachen sind mit Sicherheit die vergleichsweise komplexe Form der Gleichungen und die damit verbundenen, gr¨oßeren numerischen Schwierigkeiten bei der L¨osung. Die Vernachl¨assigung 38

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

39

der Anisotropie des RST in LEVM bedingt die Unf¨ahigkeit dieser Modelle, Einfl¨ usse von Stromlinienkr¨ ummung oder Systemrotation auf die Turbulenz zu beschreiben. Eine Alternative bieten nichtlineare Wirbelviskosit¨atsmodelle (NLEVM), welche die Wirtschaftlichkeit von LEVM, aufgrund der Einfachheit des Boussinesq-Ansatzes und numerischer Robustheit, mit der M¨oglichkeit verbinden, die Anisotropie des RST berechnen zu k¨onnen. Wirbelviskosit¨atsmodelle werden als nichtlinear bezeichnet, wenn zur Berechnung des RST außer der im Boussinesq-Ansatz vorhandenen linearen Abh¨angigkeit vom Deformationsgeschwindigkeitstensor Sij auch h¨oherwertige Kombinationen von Invarianten von Sij und Ωij herangezogen werden. Bei der Herleitung dieser Modelle gibt es zwei verschiedene Ans¨atze, die beide zur allgemeinen konstitutiven Gleichung (3.23) zur Berechnung des RST f¨ uhren, wie von Pope [76] in einer grundlegenden Arbeit dargestellt. Je nachdem, bis zu welchem Grad nichtlineare Terme aus Gleichung (3.23) zur Berechnung des RST ber¨ ucksichtigt werden, spricht man von quadratischen oder kubischen Wirbelviskosit¨atsmodellen. Durch Einbeziehung der h¨oherwertigen Terme k¨onnen die folgenden Eigenschaften turbulenter Str¨omungen erfasst werden, wie exemplarisch an geeigneten, einfachen Str¨omungskonfigurationen von Bauer und Haag [7] gezeigt. • Quadratische Terme Nur die quadratischen Terme k¨onnen die Anisotropie des RST berechnen. Dies wird im Kapitel zu Sekund¨arstr¨omungen n¨aher erl¨autert. • Kubische Terme Auswirkungen von Systemdrehung und Stromlinienkr¨ ummung auf Turbulenz k¨onnen nur mit Hilfe der kubischen Terme berechnet werden. Um wesentliche, die Turbulenz beeinflussende Effekte der in Turbomaschinen anzutreffenden Str¨omung erfassen zu k¨onnen, sollten also sowohl quadratische als auch kubische Terme ber¨ ucksichtigt werden. F¨ ur diese Arbeit wird daher das kubische Wirbelviskosit¨atsmodell nach Lien, Chen und Leschziner [58], im folgenden LCL genannt, ausgew¨ahlt. Dieses Modell basiert auf einem quadratischen Modell von Shih et al., das f¨ ur hohe Reynoldszahlen entwickelt wurde und den Realisierbarkeitsbedingungen gen¨ ugt. Lien erweiterte dieses Modell um kubische Terme und f¨ ur LowRe Anwendungen, um die Wirkung bei gekr¨ ummten Grenzschichtstr¨omungen zu untersuchen. Die Transportgleichungen des LCL-Modells entsprechen denen f¨ ur k (3.28) und ² (3.29), entsprechend berechnet sich die turbulente Viskosit¨at nach Gleichung (3.27). Die Koeffizienten des Modells sind in Tabelle (3.1) angegeben. Die Realisierbarkeitsbedingung erkennt man an der Formulierung von Cµ , durch S¯ im Nenner reduziert sich νt in nahezu rotationsfreien Str¨omungen mit großen Scherraten. Die Koeffizienten der allgemeinen konstitutiven Gleichung C1 bis C7 werden in Tabelle 3.2 angegeben. Die Wirkung der nichtlinearen Terme ist gegeben durch die verschiedenen einzelnen Terme des C1 3/4 Cµ (1000+S¯3 )

C2 15/4 Cµ (1000+S¯3 )

C3 19/4 Cµ (1000+S¯3 )

C4 −10Cµ2

C5 0

C6 −2Cµ2

Tabelle 3.2.: Modellkoeffizienten LCL-Modell

39

C7 2Cµ2

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

40

RST bei der Berechnung der Produktion von k, die nach der exakten Gleichung (vgl. Gleichung 3.18) erfolgt. Weiterhin bestehen direkte Interaktionen zwischen individuellen Termen des RST und Geschwindigkeitsgradienten der Hauptstr¨omung [6].

Nichtlineares Wirbelviskosit¨ atsmodell mit variablem Zeitmaß Alle bisher beschriebenen Wirbelviskosit¨atsmodelle gehen von der Annahme aus, dass das komplette turbulente Energiespektrum mit einem einzigen Zeitmaß abgebildet wird. Somit ¨ werden Anderungen im großskaligen Produktionsbereich auch immer sofort im kleinskaligen Dissipationsbereich wirksam. Entsprechend der Theorie der turbulenten Energiekaskade geschieht dies aber mit einer zeitlichen Verz¨ogerung. Insbesondere bei sich schnell entwickelnden ¨ instation¨aren Str¨omungen bzw. bei schnellen zeitlichen oder r¨aumlichen Anderungen von Randbedingungen, wie bei Turbomaschinen der Fall, reagieren nur die großen Skalen schnell, w¨ahrend die kleinen Skalen erst mit einer gewissen Verz¨ogerung antworten [107]. Die folgerichtige Idee der Aufspaltung des Turbulenzspektrums in unterschiedliche Zeitmaß-Bereiche geht ´ [33], der eine feste Partitionsgrenze vorschl¨agt, und Schiestel [89], der zur¨ uck auf Hanjalic das Spektrum in mehrere Intervalle unterteilt, aber auch feste Partitionsgrenzen annimmt. Die Besonderheit des in der vorliegenden Arbeit eingesetzten Turbulenzmodells nach Kim und Chen [49], nachfolgend KC-Modell genannt, ist die lokal variable, d.h. l¨osungsabh¨angige Partitionierung des Turbulenzspektrums. Neben der Produktion und Dissipation von TKE, die auch in den meisten klassischen Modellen ber¨ ucksichtigt wird, berechnet dieses Modell zus¨atzlich eine lokal im Str¨omungsfeld variable Energiekaskade und somit eine zeitlich verz¨ogerte Dissipation. Der Energiefluss“ der TKE von Produktion u ¨ber die Energiekaskade zur Dissipation ist ” rechts in Abb.3.1 schematisch dargestellt. Die Schließung des Modells wird demnach erreicht durch 4 Transportgleichungen f¨ ur die turbulenten kinetischen Energien im Produktions- und Dissipationsbereich, die Energietransferrate und die Dissipation: ·µ ¶ ¸ ∂kp ∂kp ∂ νt ∂kp + uj − ν+ = P k − ²p (3.55) ∂t ∂xj ∂xj σkp ∂xj ·µ ¶ ¸ νt ∂kt ∂kt ∂kt ∂ ν+ = ²p − ²t (3.56) + uj − ∂t ∂xj ∂xj σkt ∂xj ·µ ¶ ¸ ²2p ∂²p ∂ νt ∂²p P2 P k ²p ∂²p + uj − ν+ = Cp1 k + Cp2 − Cp3 (3.57) ∂t ∂xj ∂xj σep ∂xj kp kp kp ·µ ¶ ¸ ²2p νt ∂²t ∂²t ∂ ²p ²t ²2 ∂²t ν+ = Ct1 + Ct2 + uj − − Ct3 t (3.58) ∂t ∂xj ∂xj σet ∂xj kt kt kt

Die Partitionierung des Turbulenzspektrums, wie rechts in Abb.3.1 dargestellt, wird festgelegt u ¨ber das Verh¨altnis des Anteils der turbulenten kinetischen Energie im Produktionsbereich zum Anteil im Dissipationsbereich, beschrieben durch die beiden skalaren Gr¨oßen kp und kt . Die Transportgleichungen f¨ ur den Anteil der Energietransferrate ²p und der Dissipationsrate ²t 40

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

41

schließen das Gleichungssystem. Vergleicht man dieses Modell mit dem Standard-k-²-Modell, so beschreibt die Summe aus kp und kt die gleiche physikalische Gr¨oße wie k, w¨ahrend ²t der Dissipationsrate ² entspricht. Die Produktion von TKE wird entsprechend dem SKE-Modell berechnet und ist die Quelle von kp , welches gem¨aß Gleichung (3.57) dissipiert wird als Energietransferrate ²p . TKE im kleinskaligen Bereich des Energiespektrums wird beschrieben durch kt , erh¨alt Energie aus der Energietransferrate und dissipiert diese als ²t . Die Gleichungen (3.57) und (3.58) enthalten als Quellterme sogenannte variable Energietransfer-Funktionen“ , jeweils der erste Term der ” ´ [33] verwendet wurden. Bei verst¨arkter Produktion Pk rechten Seite, die bereits von Hanjalic wird auch der Energietransfer ²p gr¨oßer, dementsprechend muss auch mehr dissipiert werden, daher w¨achst ²t u ¨ber ein gr¨oßeres ²p mit. Die jeweils zweiten Terme der rechten Seite von (3.57) und (3.58) sind die eigentlichen Quellterme dieser Gleichungen und werden (ganz analog zu den entsprechenden Termen im SKE-Modell) mit dem jeweiligen Zeitmaß in der Dimension konsistent gemacht. Gleiches gilt f¨ ur die Senkenterme, die jeweils dritten Terme der rechten Seite mit negativem Vorzeichen. Die turbulente Viskosit¨at wird ¨ahnlich dem SKE-Modell berechnet, wobei die Dissipationsrate durch die Energietransferrate ersetzt wird und der Koeffizient Cµf = 0, 09 dem des SKE-Modells entspricht. νt = Cµf ·

(kp + kt )2 ²p

(3.59)

Der effektive Koeffizient Cµ zur Berechnung der turbulenten Viskosit¨at aus TKE und Dissipationsrate ist somit keine Konstante, sondern ergibt sich implizit aus der L¨osung nach Cµ = Cµf ·

²t ²p

bzw.

ν t = Cµ ·

(kp + kt )2 ²t

(3.60)

Der so berechnete, lokal variable, effektive Koeffizient Cµ wird somit, wie z.B. in experimentellen Untersuchungen von Rodi [83] nachgewiesen, kleiner, wenn das Verh¨altnis aus Produktion zu Dissipation groß ist und umgekehrt. Die Trennung des Turbulenzspektrums wird demnach f¨ ur Pk > ²t zu hohen Wellenzahlen in den Dissipationsbereich verschoben, und f¨ ur Pk < ²t in den Bereich kleiner Wellenzahlen in den Produktionsbereich. Die lokale, variable Partitionsgrenze des Turbulenzspektrums kann man anhand der skalaren Feldgr¨oße β ablesen, die das Verh¨altnis zwischen kt und kp darstellt und sich aus der L¨osung ergibt. κ2 kt q −1 =β= kp σep · Cµf ²²pt · (Cp3 − Cp2 − Cp1 )

(3.61)

Im Falle der Gleichgewichtsturbulenz, also Pk ≈ ²t gilt auch ²p = ²t bzw. Cµ = Cµf und somit wird die Partitionsgrenze von den in Gleichung (3.61) angegebenen Modellkoeffizienten bestimmt. Mit dem von den Autoren angegebenen Koeffizientensatz ergibt sich f¨ ur turbulente Str¨omungen im Gleichgewichtszustand ein Wert β = 0, 25. Die Koeffizienten werden wie folgt angegeben: 41

3.4. WANDBEHANDLUNG

42

σkp = 0, 75 Cp1 = 0, 21 Ct1 = 0, 29

σkt = 0, 75 Cp2 = 1, 24 Ct2 = 1, 28

σep = 1, 15 Cp3 = 1, 84 Ct3 = 1, 66

σet = 1, 15 κ = 0, 41

Die exakte Herleitung und Kalibrierung dieser Modellkoeffizienten ist bei Kim und Chen [50] nachzulesen. Die Gleichung der turbulenten Viskosit¨at (3.59) ist kompatibel mit der wandnahen Theorie der Mischungswegl¨ange und der in Kapitel 3.4 beschriebenen numerischen Methode der Wandfunktionen. Die Wand-Randbedingungen dieses Modells werden gem¨aß der Standard-Wand-Funktionen-Analyse abgeleitet und werden zur Berechnung von kW und ²W dort angegeben. Da diese Gleichungen unter der Annahme der Gleichgewichtsturbulenz im wandnahen Bereich abgeleitet wurden, muss gelten ²t,W = ²p,W = ²W sowie Gleichung (3.61) f¨ ur die Aufteilung von kW auf kp,W und kt,W (vgl. Kapitel 4.5). Der offensichtliche Nachteil des KC-Modells liegt im leicht erh¨ohten Rechenaufwand, da zur Bestimmung der turbulenten Viskosit¨at vier Transportgleichungen gel¨ost werden m¨ ussen. Eine Quantifizierung dieses Mehraufwandes wird bei den Validierungstestf¨allen in Kapitel 5 genannt.

3.4. Wandbehandlung Die korrekte Behandlung turbulenter Gr¨oßen an festen W¨anden hat einen entscheidenden Einfluss auf die Qualit¨at numerischer Ergebnisse. Dies gilt im Besonderen f¨ ur die Simulation von Turbomaschinen, deren Str¨omung deutlich von Wandeffekten dominiert wird. Die hohe lokale Reynoldszahl in der Kernstr¨omung sinkt innerhalb der Wandgrenzschicht mit steilem Geschwindigkeitsgradienten bei Ann¨aherung an die feste Wand stark ab. In gleichem Maße verschiebt sich die Dominanz turbulenter Spannungen in der freien Str¨omung hin zu verst¨arktem Einfluss ¨ viskoser Spannungen. Dieser Ubergang innerhalb der Grenzschicht kann in drei verschiedene Bereiche aufgeteilt werden, wie in Abb.3.2 dargestellt. Im kleinen viskosen Bereich in direkter Wandn¨ahe f¨ ur y + < 5, innerhalb dessen der Einfluss turbulenter Spannungen verschwindet, gilt der lineare Zusammenhang u+ = y + zwischen den dimensionslosen Gr¨oßen wandtangentiale Geschwindigkeit u+ und Wandnormalenabstand y + , die nach Gleichung (3.62) definiert sind. r r u ρ τW y y + + u = (3.62) =u y = uτ = uτ τW ν ρ ν Die³ Wandschubspannungsgeschwindigkeit uτ folgt aus der Wandschubspannung τW = ´ du ¨ ρν dy . Nach einem Ubergangsbereich folgt der Bereich der G¨ ultigkeit des logarithmiW

schen Wandgesetzes nach Gleichung (3.63), das den Zusammenhang zwischen u+ und y + in einem Gebiet etwa zwischen 30 < y + < 500 beschreibt. u+ =

1 · ln(y + ) + C κ

(κ ≈ 0, 4

C ≈ 5)

(3.63)

Die Grenzen dieses Bereiches sind in der Literatur nicht einheitlich festgelegt und numerisch teilweise Erfahrungswerte, es finden sich Angaben f¨ ur die obere Grenze zwischen 200 und bis u ¨ber 42

3.4. WANDBEHANDLUNG

43

Abbildung 3.2.: Geschwindigkeitsverteilung in Wandn¨ahe

500. Die in diesem Kapitel vorgestellten Turbulenzmodelle wurden f¨ ur hohe Reynoldszahlen entwickelt, ihr G¨ ultigkeitsbereich innerhalb der Grenzschicht endet im logarithmischen Bereich. F¨ ur die numerische Behandlung des wandnahen Bereiches ergeben sich somit grunds¨atzlich verschiedene M¨oglichkeiten. Unter Verwendung der oben beschriebenen D¨ampfungsfunktionen k¨onnen die Gleichungen bis zur Wand integriert werden. Die turbulente kinetische Energie verschwindet an der Wand, die Dissipationsrate dagegen weist einen endlichen Wert ³ 2 auf. ´ Die korrekte aber numerisch schwied k rige Randbedingung an der Wand lautet ²W = ν dy2 und wird nach einem Vorschlag von W

Chapman und Kuhn [13] f¨ ur das in dieser Arbeit verwendete Modell nach Abid durch die einfachere Bedingung (3.64) ersetzt. ²W = ν ·

4kP − ²P yP2

(3.64)

Mit Index W ist der Wert direkt an der Wand, mit Index P der Zellmittelpunkt der wandn¨achsten Zelle gemeint. Aufgrund sehr steiler Gradienten von k und ² sowie lokaler Maxima in unmittelbarer Wandn¨ahe ist bei Verwendung von LowRe Erweiterungen ein sehr feines Rechengitter in Wandnormalenrichtung erforderlich. Im Zellmittelpunkt P muss ein Wandnormalenabstand der Gr¨oßenordnung y + ≈ 1 eingestellt werden und weiterhin m¨ ussen etwa 20 − 30 Knotenpunkte innerhalb der Grenzschicht liegen. Diese hohen Anforderungen an die Netzaufl¨osung kann man mit Hilfe von Wandfunktionen umgehen. Diese u ucken den wandnahen Bereich, indem die Variablen k und ² im ¨berbr¨ wandn¨achsten Punkt P berechnet werden, der in diesem Fall innerhalb des logarithmischen Bereiches liegen muss (yP+ > 20 ÷ 30). Unter der Voraussetzung eines lokalen Gleichgewichts zwischen turbulenter Produktion Pk und Dissipation ² in der logarithmischen Schicht folgt nach Durbin und Pettersson Reif [21] f¨ ur die Wandschubspannungsgeschwindigkeit eine Abh¨angigkeit von k gem¨aß Gleichung (3.65). uτ = Cµ0.25 · k 0.5 43

(3.65)

¨ ¨ ¨ 3.5. SEKUNDARSTR OMUNGEN, ROTATION, STROMLINIENKRUMMUNG

44

Der Zusammenhang zwischen Wandschubspannung τW , die als Randbedingung f¨ ur die Impulsgleichungen ben¨otigt wird, und der Geschwindigkeit im Punkt P folgt aus Gleichung (3.65) zu τW

uP κρCµ0.25 kP0.5 yP = · yP ln(y + ) + κC

(3.66)

Die Produktion Pk,P und die Dissipationsrate ²P berechnen sich gem¨aß den Gleichungen (3.67) Pk,P = τW ·

Cµ0.25 kP0.5 κyP

²P =

Cµ0.75 kP1.5 κyP

(3.67)

Die Gleichung der Dissipation wird hierbei nicht an der Wand gel¨ost, sondern im Punkt P berechnet und als Randbedingung gesetzt. Als Forderung an das Rechennetz bei der Verwendung von Wandfunktionen sollten neben des passenden y + -Wertes des wandn¨achsten Zellenmittelpunktes noch mindestens f¨ unf weitere Gitterpunkte innerhalb der Grenzschicht liegen, wenn Grenzschichteffekte wie W¨arme¨ ubergang oder Abl¨osung berechnet werden sollen. Die Absch¨atzung des beim Netz einzustellenden yP Wertes vor der Gittergenerierung ist anzustreben, aber nur bei einfachen Anwendungsf¨allen W m¨oglich. Die damit umgeschriebene mit bekanntem Wandschubspannungskoeffizient Cf = 2τ ρu2 Gleichung (3.62) liefert als Bedingung f¨ ur den Wandabstand yP ν yP = y + U∞

s

2 Cf

(3.68)

Formeln f¨ ur den Koeffizient Cf in ausgebildeter turbulenter Rohrstr¨omung oder ebener Platte finden sich z.B. bei Schlichting [92]. Das recht breite Band m¨oglicher yP+ -Werte kommt der Berechnung von Pumpen entgegen, hier muss meist die gesamte Bandbreite ausgenutzt werden.

3.5. Sekund¨ arstr¨ omungen, Rotation, Stromlinienkru ¨mmung F¨ ur die Bestimmung der Str¨omungsverluste durch Reibung ist die korrekte Berechnung der ¨ Sekund¨arstr¨omungen erforderlich. Einen guten Uberblick der in Turbomaschinen auftretenden Sekund¨arstr¨omungen gibt Lakshminarayana [54]. Sie werden grunds¨atzlich in zwei Arten unterteilt. Sekund¨ arstr¨ omungen erster Art sind die Folge von Druckunterschieden und Grenzschichteffekten [77, 92] und treten bei Wirkung von Scheinkr¨aften (Coriolis- oder Zentrifugalkr¨afte) sowohl in laminaren als auch turbulenten Str¨omungen auf. Zentrifugalkr¨afte bewirken im Pumpenlaufrad eine Str¨omung in der Kanalmitte zur konkaven Schaufelseite hin. Einen gr¨oßeren Einfluss bei u ¨blichen Drehzahlen hat die Wirkung der Corioliskraft, die eine Str¨omung in der Kanalmitte entgegen der Drehrichtung verursacht. Beide Effekte k¨onnen sich bei radialen Turbomaschinen abh¨angig von der Schaufelform verst¨arken oder entgegengesetzt wirken. Die Turbulenzmodellierung hat keinen Einfluss auf die korrekte Vorhersage von Sekund¨arstr¨omungen erster Art.

44

¨ ¨ ¨ 3.5. SEKUNDARSTR OMUNGEN, ROTATION, STROMLINIENKRUMMUNG

45

Sekund¨ arstr¨ omungen zweiter Art dagegen treten grunds¨atzlich nur in turbulenten Str¨omungen auf und sind die Folge der Anisotropie des Reynoldsschen Spannungstensors, wie z.B. von Gessner [29] analytisch nachgewiesen. Diese Art der Sekund¨arstr¨omungen wurde von mehreren Autoren experimentell beschrieben, z.B. von Yokosawa [27], sowie von Huser und Biringen [38] numerisch mittels DNS eines viertel Rechteckkanals berechnet, bei dem sich die typischen Eckenwirbel mit Richtung von der Kanalmitte diagonal zur Ecke hin einstellen. Die treibende Kraft ist hierbei die Differenz der turbulenten Normalspannungen im Kanalquerschnitt. Aus Gleichung (3.23) erh¨alt man f¨ ur die Normalkomponenten des Reynoldsspannungstensors bei Ber¨ ucksichtigung nur der linearen Terme 2 u01 u01 = u02 u02 = u03 u03 = k 3

(3.69)

Dies bedeutet aber, dass Wirbelviskosit¨atsmodelle die Sekund¨arstr¨omungen zweiter Art nicht berechnen k¨onnen. Nur mit h¨oherwertigen Turbulenzmodellen, welche auch quadratische oder kubische Terme zur Bestimmung des RST nutzen, k¨onnen diese berechnet werden, wie z.B. Speziale [105] zeigt. Nachweisbar ist dies mit der analytischen Berechnung der Differenz der turbulenten Normalspannungen in der Ebene der Sekund¨arstr¨omungen, unter Ber¨ ucksichtigung auch quadratischer Terme aus Gleichung (3.23), womit folgt "µ ¶ µ ¶2 # µ ¶2 2 ∂u k ∂u k ∂u 0 0 0 0 + C 3 νt u3 u3 − u 2 u2 = C 1 ν t − (3.70) ² ∂z ∂y ² ∂z Die resultierende von Null verschiedene Differenz ist somit die treibende Kraft in einer Ebene senkrecht zur Hauptstr¨omungsrichtung (Index 1). Die Wirkung gekru ¨ mmter Stromlinien und von Systemrotation auf turbulente Str¨omungen sind in der Literatur hinl¨anglich bekannt und von vielen Autoren beschrieben. Beide Einflussfaktoren sind f¨ ur Turbomaschinenanwendungen von Bedeutung. Turbulenz wird infolge der Wirkung der Zentrifugalkraft bei der Durchstr¨omung eines gekr¨ ummten Kanals auf der konkaven Seite angefacht und der konvexen Seite ged¨ampft. Der Druckgradient wirkt in Richtung der konvexen Seite, verhindert somit das Anwachsen turbulenter Wirbel an dieser und vergr¨oßert das turbulente L¨angenmaß an der konkaven Seite. Die Wirkung der Systemrotation auf die Turbulenz bedingt eine D¨ampfung auf der vorauslaufenden Kanalseite durch Corioliskr¨afte. Bei Pumpen ist im Normalfall die Saugseite konkav gekr¨ ummt und im Sinne der Betrachtung eines einzelnen, umlaufenden Laufradkanals die vorauslaufende Seite. Somit wirken in diesem Fall beide Einfl¨ usse entgegengesetzt. Aufgrund hoher Drehzahlen dominiert der Einfluss der Corioliskraft, somit wirkt die Pumpensaugseite d¨ampfend auf Turbulenz und die Druckseite anfachend. Bei der Ber¨ ucksichtigung dieser Effekte in Turbulenzmodellen ist einerseits der Erh¨ohung des turbulenten L¨angenmaßes auf der die Turbulenz anfachenden Seite und andererseits der ausgepr¨agten Anisotropie des RST Rechnung zu tragen. Letzteres ist wie oben dargelegt nur mit nichtlinearen Wirbelviskosit¨atsmodellen zu erreichen. Zur Beeinflussung des L¨angenmaßes finden sich in der Literatur unterschiedliche Ans¨atze, die entweder mit Modifikationen des 45

¨ ¨ ¨ 3.5. SEKUNDARSTR OMUNGEN, ROTATION, STROMLINIENKRUMMUNG

46

Verh¨altnisses von Produktion zu Dissipation oder direkt der turbulenten Viskosit¨at arbeiten. Einige der oben beschriebenen Modelle beinhalten bereits solche Modifikationen, insgesamt lassen sich die folgenden Ans¨atze unterscheiden: ¯ • Ber¨ ucksichtigung der Realisierbarkeit durch Abh¨angigkeit des Cµ -Faktors von S¯ und Ω • Modelle mit variablem Zeit- bzw. L¨angenmaß • L¨angenmaßmodifikation u ¨ber eine Richardson-Zahl • Modifikation des ²-Senkenterms u ¨ber eine Richardson-Zahl ¯ abh¨angig, wobei Die Richardson-Zahl ist ein Stabilit¨atsparameter, idealerweise von S¯ und Ω verschiedene Definitionen bekannt sind, z.B. von Khodak [46]. Demnach bewirkt ein negativer Wert erh¨ohte Produktion und ein positiver Wert erh¨ohte Dissipation der Turbulenz. Somit bietet sich die M¨oglichkeit, mit diesem Parameter die Dissipation oder direkt den Faktor Cµ zu beeinflussen. Beide Ans¨atze im Standard-k-²-Modell implementiert sowie eine realisierbare Erweiterung nach Shih vergleichen Ojala et al. [69] am Beispiel eines Pumpenlaufradkanals im Bestpunkt. Obwohl die Modelle deutlich unterschiedliche Verteilungen turbulenter Viskosit¨at zwischen DS und SS liefern, ist der Einfluss auf die F¨orderh¨ohe und die Geschwindigkeiten am Austritt des Kanals eher vernachl¨assigbar. Die Autoren vermuten deutlichere Abh¨angigkeiten ¨ vom eingesetzten Turbulenzmodell in Teil- oder Uberlastbetriebszust¨ anden. Insbesondere unterscheiden sich die Erweiterungen mit Ri-Zahl nicht vom Shih-Modell, weshalb in dieser Arbeit von Untersuchungen mit Ri-Modifikationen abgesehen wird. Abschließend sind alle der in diesem Kapitel ausf¨ uhrlich beschriebenen Turbulenzmodelle in Tabelle 3.3 bez¨ uglich ihrer Anwendung in dieser Arbeit zusammengefasst. Die nS 20-Pumpe wird beispielsweise unter Verwendung der FR-Kopplung und von Wandfunktionen mit f¨ unf verschiedenen Turbulenzmodellen berechnet, wobei sowohl FLUENT als auch NS3D als Werkzeug ben¨otigt werden. Pumpe nS 28 Wandbehandlung WF LR Kopplungsart SKE o o RKE o RNG SST LCL o o KC o o NS3D x FLUENT

nS 20 WF WF FR SM x x x x x x x x

nS 26 WF WF FR SM x x x x x x x x

o

spezielle Modelleigenschaft Standard-k-² (Referenzmodell) Realisierbare Erweiterung des SKE auf anderer Grundlage basierend Kombination k-² / k-ω nichtlineare Berechnung des RST mehrskaliges Viergleichungsmodell

¨ Tabelle 3.3.: Ubersicht der Anwendung von Turbulenzmodellen auf Pumpentestf¨alle

46

47

4. Numerik Zu den drei wichtigsten Einflussfaktoren auf die G¨ ute einer numerischen Berechnung z¨ahlen neben dem Gebiet der Turbulenzmodellierung auch die Erzeugung numerischer Rechengitter und die verwendeten numerischen Verfahren zur Diskretisierung und L¨osung der str¨omungsbeschreibenden Differentialgleichungen. Die meisten Entwicklungsarbeiten auf dem Gebiet der Numerik besch¨aftigen sich mit einem dieser drei Bereiche, die sich gegenseitig bedingen und beeinflussen, vgl. Abbildung 4.1. In dieser Arbeit wurde auf dem Gebiet der numerischen Verfahren keine Validierungsarbeit geleistet, sondern es wurden bekannte und f¨ ur den Anwendungsfall Radialpumpen geeignete Verfahren ausgew¨ahlt und eingesetzt. Diese numerischen Verfahren und die Vorgehensweise bei der Gittergenerierung sollen in diesem Kapitel vorgestellt werden. Hierbei soll auch vor allem auf die Verfahren eingegangen werden, die in den beiden verwendeten Programmen implementiert sind. Zum Einsatz kamen der Str¨omungsl¨oser des kommerziellen Softwarepakets FLUENT (Version6.0) und der am Lehrstuhl f¨ ur Fluidmechanik der TU M¨ unchen speziell f¨ ur Turbomaschinenanwendungen entwickelte Navier-Stokes Code NS3D, der im Rahmen einer inzwischen mehrj¨ahrigen Institutskooperation f¨ ur diese Arbeit im FORTRAN-Quelltext zur Verf¨ ugung gestellt wurde. Der Beitrag des Fachgebietes TFA der TU Darmstadt besteht hierbei vor allem in der Implementierung und Validierung von Turbulenzmodellen speziell f¨ ur Turbomaschinenanwendungen, wie beispielsweise im Zusammenhang mit der Transitionsmodellierung bei Thurso [113] oder Breitbach [9]. Details zur im Rahmen dieser Arbeit erfolgten Implementierung des mehrskaligen Turbulenzmodells nach Kim und Chen [49] in NS3D werden zum Abschluss dieses Kapitels vorgestellt. Beide genannten Codes basieren auf der Methode der Finiten Volumen (FVM), ein Dis-

Abbildung 4.1.: Entwicklungsfelder Numerik

47

4.1. DISKRETISIERUNG

48

kretisierungsverfahren, das sich aufgrund seiner Konservativit¨at f¨ ur str¨omungstechnische Anwendungen gr¨oßtenteils durchgesetzt hat. Bei konservativen Verfahren erf¨ ullen auch die diskreten Gleichungen noch das Erhaltungsprinzip der zugrundeliegenden DGL’s, weitere wichtige Eigenschaften der FVM-Diskretisierungsverfahren k¨onnen bei Sch¨ afer [87] nachgelesen werden. Der inkompressible Code NS3D arbeitet mit einer nichtversetzten Anordnung der L¨osungsvariablen auf blockstrukturierten, nicht-orthogonalen Gittern. Details zum Aufbau des Codes und der implementierten numerischen Methoden finden sich bei Ritzinger [81] oder ´ Skoda [99], insgesamt basieren große Teile auf den Ausf¨ uhrungen von Ferziger und Peric [24]. Nachfolgend eine kurze Zusammenfassung der in der vorliegenden Arbeit verwendeten numerischen Methoden.

4.1. Diskretisierung ¨ Die Diskretisierung umfasst zum Einen die Uberf¨ uhrung der DGL’s in ein f¨ ur diskrete Punkte g¨ ultiges lineares Gleichungssystem und zum Anderen die geometrische Erzeugung dieser Punkte im Raum. Letzteres wird im Unterkapitel Gittergenerierung behandelt. Die zu diskretisierenden Erhaltungsgleichungen lassen sich nach Janicka [42] alle in die allgemeine Form der Gleichung (4.1) f¨ ur die skalare Variable Φ u uhren. ¨berf¨ µ ¶ ∂Φ ∂ ∂ ∂ (4.1) ΓΦ + SΦ (ρΦ) + (ρuj Φ) = |{z} ∂xj ∂xj ∂xj |∂t {z } {z } Quelle | {z } | instation¨ arer Term

Konvektion

Diffusion

Die Gleichung (4.1) ist in integraler Form der Ausgangspunkt der Diskretisierung nach der FVM. Die konvektiven und diffusiven Terme werden u ¨ber den Gauß’schen Integralsatz in Oberfl¨achenintegrale umgewandelt. Die erhaltene Gleichung (4.2) gilt dann f¨ ur ein beliebiges Kontrollvolumen (KV) im Gitterverband. Ein dreidimensionales KV eines strukturierten Gitters wird u ¨blicherweise gem¨aß Abbildung 4.2 benannt. Z Z Z Z ∂ ∂Φ ρΦ dV + ρΦuj nj dS = ΓΦ nj dS + SΦ dV (4.2) ∂t ∂xj V

S

S

V

Die Gleichung enth¨alt Oberfl¨achenintegrale der konvektiven und diffusiven Terme sowie Volumenintegrale des Quellterms und des instation¨aren Terms. Diskretisierung der Oberfl¨ achenintegrale Die Diskretisierungsverfahren sollen nun durch geeignete Approximationen f¨ ur die Oberfl¨achenintegrale die Werte der Variablen Φ auf den Seiten der Kontrollvolumina berechnen. ¨ Uber den Mittelwertsatz der Integralrechnung lassen sich zun¨achst die Fl¨ usse der Oberfl¨achenintegrale durch die jeweiligen Seitenmittelwerte ausdr¨ ucken, wobei noch keine N¨aherung gemacht wurde. Die f¨ ur den Mittelwertsatz ben¨otigten, unbekannten Gr¨oßen auf den KVSeiten werden jetzt u ¨ber Approximationsverfahren bestimmt, die gebr¨auchlichsten sind die Mittelpunktsregel, Trapezregel oder Simpson’sche Regel [87],[24]. Die sowohl in FLUENT als 48

4.1. DISKRETISIERUNG

49

Abbildung 4.2.: Kontrollvolumen und Notation eines dreidimensionalen kartesischen strukturierten Gitters (West, East, North, South, Bottom, Top)

auch NS3D implementierte und von zweiter Ordnung genaue Mittelpunktsregel approximiert das Oberfl¨achenintegral u ¨ber eine KV-Seite durch das Produkt aus Wert in der Seitenmitte und der Fl¨ache der entsprechenden Seite. Der Wert in der Seitenmitte muss aus den bekannten Werten in den KV-Zentren approximiert werden. Bei den hierf¨ ur gebr¨auchlichen Verfahren unterscheidet man zwischen konvektiven und diffusiven Termen der Gleichung (4.2). • Diffusive Terme Die Diskretisierung der diffusiven Fl¨ usse (F D ) ergibt exemplarisch f¨ ur die Ostseite (e) des KV der Abbildung 4.2 im Falle eines orthogonalen Gitters die folgende Approximation ¶ ¶ µ µ Z ∂Φ ∂Φ ΦE − ΦP D Fe = ΓΦ nj dSe ≈ ΓΦ · nj · δSe ≈ ΓΦ · nj · δSe (4.3) ∂xj ∂xj e xE − x P Se

Der Gradient auf der KV-Seite (e) wird demnach durch Werte in den benachbarten Gitterpunkten P und E interpoliert. Dieses CDS-Verfahren (Central Differencing Scheme) ist von zweiter Ordnung genau und kann daher sinnvoll zusammen mit der Mittelpunktsregel angewendet werden. Sowohl FLUENT als auch NS3D diskretisieren diffusive Fl¨ usse mit diesem Verfahren. In NS3D ist zus¨atzlich f¨ ur nicht-orthogonale Gitter ein DeferredCorrection-Schema [24] u ¨berlagert. Die Interpolation des Gradienten nach Gleichung (4.3) wird hierbei implizit behandelt, die Differenz aus Interpolation u ¨ber den Normalenvektor der KV-Seite und u ¨ber direkter Verbindungslinie der Zellmittelpunkte explizit. Einzelheiten zur Implementierung finden sich bei Ritzinger [81]. • Konvektive Terme F¨ ur die Darstellung der konvektiven Fl¨ usse (F C ) wird ebenfalls die KV-Seite e gew¨ahlt. Die Diskretisierung bei Anwendung des UDS-Verfahrens (Upwind-Differencing-Scheme) liefert Z C (4.4) Fe = ρuj Φnj dSe ≈ ρuj nj δSe Φe ≈ ρuj nj δSe ΦP | {z } Se

m ˙j

Der Variablenwert auf der KV-Seite e wird bei positivem m ˙ (Massenstrom durch Seite e von Punkt P nach Punkt E gerichtet) durch den Wert im KV-Zentrum P approxi49

4.1. DISKRETISIERUNG

50

miert, bei negativem m ˙ durch den Wert im KV-Zentrum E. Es wird also jeweils stromauf (upwind ) interpoliert. Das UDS-Verfahren ist von erster Ordnung genau und hat somit die g¨ unstige Eigenschaft uneingeschr¨ankter Stabilit¨at, es weist allerdings eine hohe numerische Diffusivit¨at auf. Aus diesem Grund kann es optimal zur Berechnung einer ersten N¨aherungsl¨osung eingesetzt werden, zur Berechnung der endg¨ ultigen L¨osung empfehlen sich h¨oherwertige Verfahren. Die Verwendung des zweiter Ordnung genauen CDSVerfahren f¨ ur konvektive Terme ist ung¨ unstig, da es in Abh¨angigkeit der lokalen PecletZahl zu oszillierenden L¨osungen kommen kann. In NS3D ist ein Flux-Blending-Verfahren als Linearkombination eines UDS und CDS Verfahrens implementiert, das mit Hilfe eines konstanten Faktors β den Fluss nach Gleichung (4.5) berechnet. Φ = βΦCDS + (1 − β)ΦU DS

(4.5)

Die Genauigkeit des Verfahrens wird allerdings durch die Wahl des unbekannten Faktors β limitiert, der klein genug f¨ ur eine noch stabile L¨osung sein muss. Ein Verfahren zweiter Ordnung ist das QUICK-Verfahren (Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics) in Verbindung mit der Mittelpunktsregel. Dieses Verfahren benutzt neben P und E noch einen dritten Punkt stromauf zur Approximation von Φe . Es interpoliert zwischen CDS und einem UDS zweiter Ordnung mittels Wichtungsfaktor, der das Verfahren zu einem upwindorientierten Verfahren macht. Dennoch zeigt es in der Anwendung gelegentlich Oszillationen und schlechtere Konvergenz als reine UDS-Verfahren. Da auch keine verbesserten Ergebnisse zu erzielen sind, wird es in dieser Arbeit nicht eingesetzt. Ein UDS-Verfahren zweiter Ordnung f¨ ur strukturierte und unstrukturierte Gitter ist in FLUENT implementiert und wird als Basis der Berechnungen mit FLUENT in dieser Arbeit verwendet. Das Verfahren zeigt sich stabiler als das QUICK-Verfahren und f¨ uhrt zu L¨osungen gleicher Qualit¨at. Mit Hilfe einer Richardson-Extrapolation gem¨aß Sch¨ afer [87] wurde eine Ordnung dieses Verfahrens von 1, 65 bestimmt. Das Verfahren berechnet den Wert der Variablen Φ auf KV-Seite e nach Gleichung (4.6) aus der Summe des Wertes im stromaufliegenden Punkt und des Gradienten dieses Wertes. Φe = ΦP + ∇ · ΦP · 4~x

(4.6)

Mit 4~x wird der Abstandsvektor des Punktes P zur Zellseitenfl¨ache e bezeichnet. Der Gradient von ΦP berechnet sich aus den fl¨achengewichteten Werten von Φ auf den Fl¨achen des KV, die Fl¨achenwerte selbst werden als Mittelwerte mit den angrenzenden KV-Zentrenwerten approximiert. Somit wird Φe im dreidimensionalen Fall aus den KVZentrenwerten von vier KV bei Tetraedern und sechs KV bei Hexaedern berechnet. Diskretisierung der Volumenintegrale Beim Volumenintegral der Quellterme in Gleichung (4.2) ist keine weitere Interpolation notwendig, die Mittelpunktsregel liefert direkt die Approximation u ¨ber das Produkt aus Variablenwert

50

4.1. DISKRETISIERUNG

51

im KV-Zentrum und Zellvolumen. Z

SΦ dV ≈ SΦ,P · δVP

(4.7)

V

Diskretisierung des instation¨ aren Terms Im Gegensatz zu den rein station¨aren weisen die instation¨aren reynoldsgemittelten Impulsgleichungen, welche nur die erste Zeitableitung enthalten, einen parabolischen Charakter auf. Dies f¨ uhrt zum Kausalit¨atsprinzip der Zeitkoordinate, die eine eindeutige Richtung aufweist, wodurch keine R¨ uckwirkungen zuk¨ unftiger Ereignisse eintreten k¨onnen. F¨ ur die Berechnung eines instation¨aren Transportvorganges wird demnach lediglich eine Anfangsverteilung φ(~x, t 0 ) der gesuchten Variablen φ zum Zeitpunkt t0 ben¨otigt. Bei instation¨aren Berechnungen von Turbomaschinen hat sich hier das Ergebnis einer quasi-station¨aren Berechnung bew¨ahrt. Die Techniken der Zeitdiskretisierung unterscheiden sich nach Sch¨ afer [87] in der Art der Approximation der Zeitableitung, der Anzahl der hierbei verwendeten Zeitebenen und im Zeitpunkt der Auswertung der Ortsdiskretisierung (£(φn ), Superskript n steht f¨ ur den aktuellen Zeitschritt). F¨ ur die Approximation der Zeitableitung werden meist finite Differenzen eingesetzt. Entsprechend des Auswertezeitpunktes der Ortsdiskretisierung (konvektive und diffusive Terme sowie Volumenintegral) teilt man in explizite und implizite Verfahren auf. Die expliziten Verfahren verwenden zur Bestimmung der Variablenwerte zum neuen Zeitpunkt tn+1 nur Ortsl¨osungen bereits bekannter Zeitschritte. Das einfachste explizite Verfahren ist das Euler-Verfahren nach Gleichung (4.8), Z ¢ ¡ δVP ∂ (4.8) ρΦ dV ≈ ρP · φn+1 − φnP {= £(φnP )} P ∂t ∆tn V

welches mit einer Vorw¨artsdifferenz erster Ordnung einen bekannten Zeitschritt zur Approximation benutzt. Ein h¨oherwertiges explizites Verfahren ist beispielsweise das Runge-Kutta Verfahren. Charakteristisch f¨ ur explizite Verfahren ist die vollst¨andige Entkopplung der Gleichungen n+1 f¨ ur φ an verschiedenen Gitterpunkten. Sie sind daher genauer als implizite Verfahren bei kompressiblen Vorg¨angen wie Schallwellenausbreitung oder Verdichtungsst¨oßen. Nachteilig ist ¨ die langsame ¨ortliche Informations-Ausbreitung bei Anderung von Randbedingungen. Dies h¨angt mit der direkten Kopplung von Gitterweite und Zeitschrittweite zusammen. Notwendige Bedingung f¨ ur numerische Stabilit¨at ist die Einhaltung der Courant-Friedrichs-Levy Bedingungen, wonach ∆t maximal so groß sein darf, dass konvektiver Transport pro Zeitschritt nur bis zur n¨achsten Zelle kommt. Da hier die kleinste Zelle im Gesamtgitter ausschlaggebend ist, kommt dieses Verfahren bei der Berechnung von Pumpen, bei denen f¨ ur eine zeitkonvergente L¨osung mindestens drei Laufraddrehungen zu rechnen sind, nicht in Frage. Hier sind aus mehreren Gr¨ unden implizite Zeitdiskretisierungsverfahren zu bevorzugen. Der Mehraufwand an Rechnerleistung f¨ ur implizite Verfahren wird durch die unbedingte Stabilit¨at deutlich ausgeglichen, es gibt keine numerischen Einschr¨ankungen bei der Wahl der Zeitschrittweite. Das implizite Euler-Verfahren nach Gleichung (4.9) verwendet f¨ ur die Zeitapproximation drei Zeitebenen und

51

¨ 4.2. LOSUNGSVERFAHREN

52

ist zweiter Ordnung genau: ∂ ∂t

Z

V

ρΦ dV ≈

© ª δVP 3φn+1 − 4φnP + φn−1 P ρP · P = £(φn+1 P ) ∆tn 2

(4.9)

Die Ortsdiskretisierung erfolgt zum unbekannten Zeitschritt, somit sind alle Variablen der neuen ¨ Zeitebene gekoppelt. Anderungen in Randbedingungen wirken sich ohne zeitliche Verz¨ogerung in jedem Gitterpunkt aus. Da dies bei inkompressiblen Str¨omungen auch vom mathematischen Typ der Str¨omung her der Fall ist, eignet sich das Verfahren hier besser als ein explizites. Das implizite Euler-Verfahren unterscheidet sich vom station¨aren Problem lediglich durch einen zus¨atzlichen Quellterm in der Ortsdiskretisierung und einen Zusatzterm in der Koeffizientenmatrix und geht f¨ ur ∆t → ∞ in ein station¨ares Problem u ¨ber. Alle instation¨aren Berechnungen von Pumpen in der vorliegenden Arbeit wurden aus den oben genannten Gr¨ unden mit einem impliziten Euler-Verfahren zweiter Ordnung in der Zeit diskretisiert. Der entscheidende Vorteil ¨ ist die freie Wahl des Zeitschrittes, der nur aufgrund physikalischer Uberlegungen erfolgen kann.

4.2. L¨ osungsverfahren Bei dem in dieser Arbeit f¨ ur alle Berechnungen sowohl mit FLUENT als auch mit NS3D angewendeten L¨osungsalgorithmus werden die Transportgleichungen der einzelnen Variablen sequentiell und iterativ gel¨ost. F¨ ur das Gesamtfeld jeder Variablen wird ein implizites lineares Gleichungssystem aufgestellt, das entkoppelt von allen anderen Variablen iterativ gel¨ost wird. Als ¨außere Iteration wird hierbei der Gesamtprozeß der einmaligen sequentiellen L¨osung aller Variablen bezeichnet, eine innere Iteration ist die L¨osung des linearen Gleichungssystems einer einzelnen Variablen. Der Ablauf des beschriebenen L¨osungsalgorithmus ist schematisch in Abbildung 4.3 dargestellt. Aus der Diskretisierung folgt f¨ ur alle zu berechnenden Transportgleichungen sowie f¨ ur die Druckkorrekturgleichnug eine lineare algebraische Gleichung (4.10) f¨ ur die Variable Φ in einem beliebigen KV. X Ai Φi = SP (4.10) AP ΦP + i

Die Koeffizienten A folgen aus den oben vorgestellten Diskretisierungsverfahren, der Index i l¨auft in Abh¨angigkeit des verwendeten Diskretisierungsschemas u ¨ber die das KV umgebenden Zellen. Das zu l¨osende lineare Gleichungssystem erh¨alt man aus der Aufstellung der Gleichungen aller KV, wobei sich eine Koeffizientenmatrix A ergibt, die f¨ ur das L¨osungsverfahren g¨ unstig nur auf der Hauptdiagonalen und wenigen symmetrisch angeordneten Nebendiagonalen besetzt ist. Als L¨osungsverfahren dieses Gleichungssystems haben sich iterative Verfahren bew¨ahrt, das Gauß-Seidel-Verfahren in FLUENT und das auf einer unvollst¨andigen LU-Zerlegung der Koeffizientenmatrix basierte SIP-Verfahren (Strongly Implicit Procedure) nach Stone [110] in NS3D. Die Koeffizientenmatrix ¨andert sich mit jeder ¨außeren Iteration, somit ist eine sehr genaue L¨osung der inneren Iteration nicht notwendig und eine relativ geringe Anzahl Iterationen ist hier deshalb ausreichend. Die Anzahl der ¨außeren Iterationen ist durch ein zu definierendes 52

¨ 4.2. LOSUNGSVERFAHREN

53

Abbildung 4.3.: Schematischer Ablauf eines sequentiellen L¨osungsalgorithmus

Abbruchkriterium festzulegen, bei station¨aren Str¨omungen meist das Abfallen des Summenresiduums aller Gleichungen um etwa drei Gr¨oßenordnungen. Zur Verbesserung der Stabilit¨at des Verfahrens werden u.a. die in den inneren Iterationen berechneten neuen L¨osungen Φneu der Variablen Φ unterrelaxiert. Die L¨osung zum neuen Iterationsschritt Φm wird gem¨aß Gleichung (4.11) mit einem Faktor α zwischen alter und neuer L¨osung interpoliert. Φm = (1 − α) · Φ(m−1) + α · Φneu

(4.11)

Druckkorrektur In kompressiblen Str¨omungen steht mit der Kontinuit¨atsgleichung eine M¨oglichkeit zur Verf¨ ugung, das Dichtefeld direkt zu bestimmen und u ¨ber eine Zustandsgleichung auch das Druckfeld zu erhalten. In inkompressibler Str¨omung fehlt eine Gleichung f¨ ur den Druck, nur der Druckgradient ist in den Impulsgleichungen enthalten. Dies erfordert die Bestimmung des Druckfeldes mittels iterativer Druckkorrekturverfahren. Der Druck wird hier als Parameter behandelt, der nach jeder ¨außeren Iteration solange variiert wird, bis mit dem erhaltenen Druck- und Geschwindigkeitsfeld sowohl Kontinuit¨ats- als auch Impulsgleichungen erf¨ ullt ∗ sind. Dies ist f¨ ur die erste L¨osung der Impulsgleichungen (ui ) zum neuen Iterationsschritt m+1 mit einem gesch¨atzten Druck (z.B. pm aus der letzten Iteration) zun¨achst nicht der Fall. Mit der Definition der Korrekturgr¨oßen u0i nach Gleichung (4.12) derart, dass um+1 die i 53

4.3. ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN

54

Kontinuit¨atsgleichung erf¨ ullt, kann man eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Druckkorrektur p0 m+1 herleiten, da ui gleichzeitig die Impulsgleichung erf¨ ullen muss. um+1 = u∗i + u0i i

pm+1 = pm + p0

(4.12)

Bei der anschließenden Bestimmung des Druckfeldes wird die Druckkorrektur noch unterrelaxiert. Das SIMPLE-Verfahren (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) nach Patankar [71] vernachl¨assigt in der Bestimmungsgleichung f¨ ur p0 die Geschwindigkeitskorrekturen in den Nachbarzellen der betrachteten Zelle. Im erweiterten SIMPLEC-Verfahren (Consistent) werden diese Werte mit ber¨ ucksichtigt. Beide Verfahren stehen in FLUENT und NS3D zur Verf¨ ugung. Es konnten jedoch in dieser Arbeit keine Vorteile des SIMPLEC-Verfahrens festgestellt werden, daher wurden alle vorgestellten Berechnungen mit dem SIMPLE-Verfahren durchgef¨ uhrt. Konvergenzkriterien Als konvergent bezeichnet man im strengen Sinne ein Diskretisierungsverfahren, das auf feiner werdenden Rechengittern ein numerisches Ergebnis liefert, das der L¨osung der Differentialgleichung immer n¨aher kommt. Eine Aussage u ¨ber die Konvergenz eines Verfahrens erh¨alt man nur u ¨ber die Analyse dessen Konsistenz und Stabilit¨at durch Gitterunabh¨angigkeitsbetrachtungen. In der Praxis wird, eigentlich nicht ganz richtig, eine iterative L¨osung mit gewissen Eigenschaften auch h¨aufig als konvergent bezeichnet. In der vorliegenden Arbeit wird im Sinne dieser nicht korrekten Bezeichnung eine station¨are L¨osung als konvergent angesehen, wenn die Summenresiduen aller Gleichungen um mindestens zwei Gr¨oßenordnungen gefallen sind. Als zus¨atzliches Kriterium wird der iterative Verlauf mehrerer integraler Gr¨oßen beobachtet. ¨ Bei station¨aren Rechnungen wird eine weitere Anderung unter 1% aller wichtigen Gr¨oßen als Kriterium bewertet. Bei Pumpen sind dies z.B. der Massendefekt zwischen Ansaug- und Druckstutzen sowie die massengewichteten Dr¨ ucke in diesen Ebenen. Bei zeitechten Simulationen ist der zeitliche Verlauf insbesondere der Massenstr¨ome aus dem Laufrad ein Kriterium f¨ ur eine periodische L¨osung. Die Summenresiduen der Gleichungen innerhalb eines Zeitschrittes m¨ ussen dabei um mindestens zwei Gr¨oßenordnungen fallen.

4.3. Anfangs- und Randbedingungen Die station¨aren, inkompressiblen reynoldsgemittelten Impulsgleichungen haben einen elliptischen Charakter, es werden daher Randbedingungen auf allen R¨andern im Raum ben¨otigt. Bei zus¨atzlicher Instationarit¨at u ¨berlagert sich ein parabolischer Charakter. Die iterative L¨osung der diskretisierten DGL’s erfordert Randbedingungen auf allen R¨andern und eine Anfangsverteilung aller zu l¨osenden Variablen. Bei instation¨arer Rechnung wird die station¨are L¨osung als Anfangsbedingung zum Zeitpunkt t = t0 eingesetzt. Nachfolgend eine Beschreibung der f¨ ur Pumpen erforderlichen Randbedingungen: • Eintrittsrand Der Eintrittsrand sollte bei elliptischen Problemen nicht zu nah am eigentlich interessie54

4.3. ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN

55

renden Str¨omungsgebiet liegen. Bei Pumpen befindet er sich mindestens um eine Saugmunddurchmesserl¨ange stromauf vor der saugseitigen Messebene. Es werden feste Geschwindigkeiten oder Profile als Dirichlet-RB vorgegeben. F¨ ur die Turbulenzgr¨oßen hat sich aufgrund meist fehlender Messdaten die Angabe eines gesch¨atzten Turbulenzgrades von T u = 5% und ein L¨angenmaß von L = 1/10 des Saugmunddurchmessers bew¨ahrt. Die turbulenten RB haben bei den in dieser Arbeit verwendeten Turbulenzmodellen keinen nennenswerten Einfluss auf das Ergebnis. Die Umrechnung von Tu und L auf k und ² erfolgt bei isotroper Turbulenz nach kin =

3 (T u · Uin )2 2

3

²in = Cµ4 ·

1.5 kin L

(4.13)

• Austrittsrand Am Austrittsrand wird f¨ ur den Druck eine Dirichlet-RB vorgegeben, wobei ein mittlerer Fl¨achendruck angenommen wird. Wegen konstanter Dichte ist der Absolutwert des Druckes unwichtig, es wird nur u ¨ber Druckdifferenzen bilanziert. Gefordert wird allerdings eine ausreichende Distanz des Austrittsrandes von der Spiralgeh¨ausezunge, um m¨ogliche R¨ uckwirkungen zu minimieren. Im Falle einer R¨ uckstr¨omung, die nicht ganz auszuschließen ist, werden Eintrittsrandbedingungen gesetzt. F¨ ur Geschwindigkeiten und Turbulenzgr¨oßen sind Neumann-RB vorgesehen, d.h. diese werden nicht vorgegeben, sondern aus dem Str¨omungsgebiet extrapoliert. • Symmetrierand Symmetrier¨ander k¨onnen als reibungsfreie W¨ande“ angesehen werden. Die Normalkom” ponente der Geschwindigkeit betr¨agt Null, die Komponente parallel zum Rand sowie die skalaren Gr¨oßen weisen einen verschwindenden Gradienten auf. • Feste W¨ande An undurchl¨assigen W¨anden werden aufgrund der Haftbedingung Geschwindigkeiten relativ zur Bewegung der Wand zu Null gesetzt. Auch turbulente kinetische Energien sowie deren Gradient in Wandnormalenrichtung verschwinden. Die Dissipationsrate hat an der Wand einen endlichen, von Null verschiedenen Wert und wird entsprechend der gew¨ahlten Wandbehandlung, wie in Kapitel 3.4 beschrieben, bestimmt. • Periodischer Rand Diese sind hilfreich bei sich periodisch wiederholenden Berechnungsgebieten, wie die Schaufelteilung bei Turbomaschinen. Periodische R¨ander treten immer paarweise auf, wobei eine exakt identische Knotenverteilung auf beiden R¨andern vorausgesetzt wird. Der Fluss, der den einen Rand verl¨asst, wird auf der entsprechenden Zellfl¨ache des zweiten Randes eintreten und umgekehrt. Diese Randbedingung wird immer ben¨otigt, wenn nur ein Schaufelkanal einer Pumpe separat berechnet wird. • Station¨ares Interface Block Interfaces werden in NS3D an allen sich ber¨ uhrenden Bl¨ocken ben¨otigt. Es sind Matching oder Non-Matching Interfaces m¨oglich, je nachdem ob die Knotenverteilung 55

4.4. GITTERGENERIERUNG

56

auf den beiden benachbarten Blockseiten identisch ist oder nicht. Bei ungleichen Knotenverteilungen ist jedoch darauf zu achten, dass zumindest eine der Indexrichtungen eine identische Knotenverteilung aufweist. Die Zuordnung der Indexrichtungen zweier Bl¨ocke ist dabei frei w¨ahlbar, was eine f¨ ur Pumpen sehr wichtige Option darstellt. Die numerische Implementierung des Informationsaustausches ist konservativ, Einzelheiten finden ´ [24]. sich bei Ferziger und Peric Da FLUENT nicht blockstrukturiert aufgebaut ist, finden sich dort keine MatchingInterfaces, angrenzende Fluidzonen werden bei identischer Knotenverteilung zu einer Einzelnen zusammengezogen. Bei der Verwendung von Non-Matching-Interfaces muss nicht gegenseitig auf die Knotenverteilung geachtet werden, diese ist v¨ollig frei w¨ahlbar. Bei allen Rechengittern, die f¨ ur beide Codes zug¨anglich zu machen waren, musste allerdings auf die strengere Bedingung von NS3D geachtet werden. • Bewegtes Interface Ein Interface zwischen relativ zueinander bewegten Bl¨ocken ist f¨ ur die zeitechte Berechnung von Rotor-Stator-Interaktionen bei Pumpen erforderlich. In FLUENT und NS3D ist dies mit der Sliding-Mesh-Methode implementiert, die mit einer lokal unstrukturierten Datenverwaltung arbeitet und Konservativit¨at gew¨ahrleistet. Bei NS3D wird wie beim station¨aren Non-Matching-Interface eine Matching-Knotenverteilung in einer der beiden Indexrichtungen gefordert.

4.4. Gittergenerierung Die in dieser Arbeit benutzten Gitter gen¨ ugen den allgemein u ¨blichen Gitter-Qualit¨atskriterien, die z.B. von Casey und Wintergerste [12] in zusammenfassender Form dargestellt werden. Die Qualit¨atskriterien in abnehmender Bedeutung sind • Skewness ( Schr¨age“) ” Maß f¨ ur die geometrische Verzerrung (Abweichung vom Idealzustand) einer Einzelzelle • Aspect Ratio ( Seitenverh¨altnis“) ” L¨angenverh¨altnisse der Seiten einer einzelnen Rechteckszelle • Smoothness ( Sanftheit“) ” Gr¨oßenunterschiede benachbarter Zellen im Gitterverband • Clustering ( Anh¨aufung“) ” Verteilung der Knotendichte im Gitterverband Die ersten beiden Kriterien gelten f¨ ur eine Einzelzelle und sind leicht messbar, wogegen die beiden letzten Kriterien f¨ ur einen Zellenverband gelten, demnach nur schlecht objektiv messbar sind und somit mittels subjektiver Einsch¨atzung beurteilt werden m¨ ussen. Dies gilt insbesondere f¨ ur das letzte angegebene Kriterium, das wohl aus diesem Grund auch selten als solches benutzt wird. Die f¨ ur die berechneten Turbomaschinen erzeugten Rechengitter werden in Kapitel 6 vorgestellt, die Gitter der Validierungstestf¨alle in Kapitel 5 bei den jeweiligen F¨allen. Als 56

4.5. IMPLEMENTIERUNG DES KC-TURBULENZMODELLS IN NS3D

57

Werkzeug wurde in allen F¨allen der kommerzielle Gittergenerierer GAMBIT benutzt, der am Fachgebiet im Rahmen der FLUENT-Lizenz verf¨ ugbar war. Das Programm ist sehr flexibel und erm¨oglicht neben der Erzeugung hochwertiger elliptischer Rechengitter den Aufbau der kompletten zugrundeliegenden Geometrie. Da fast alle erzeugten Rechennetze sowohl FLUENT als auch NS3D zug¨anglich gemacht werden mussten, war es dringend erforderlich, die Geometrien blockstrukturiert aufzubauen, was insbesondere bei radialen Turbomaschinen einen enormen Arbeitsaufwand bedeutet. F¨ ur NS3D muss jeder Einzelblock des blockstrukturierten Gesamtnetzes im TECPLOT-Punktformat vorliegen. Hierzu wird zun¨achst die TECPLOTBlockformat Schnittstelle (ASCII) von GAMBIT genutzt und jeder Block einzeln exportiert. Als sehr nachteilig erwies sich die Tatsache, dass die von GAMBIT vorgenommene und nicht beeinflussbare Zuordnung der ijk-Richtungen eines Blocks zuf¨allig war. Um unn¨otig großen Speicherbedarf zu vermeiden war es aber zwingend notwendig, diese Zuordnung im Nachhinein zu ver¨andern, um beispielsweise große Knotenanzahlen verschiedener Bl¨ocke immer auf die gleiche Index-Richtung zu legen. Hierzu wurde im Rahmen dieser Arbeit eine Schnittstelle programmiert, um jede beliebige Indexausrichtung eines vorhandenen Blockes erzeugen zu k¨onnen und anschließend in TECPLOT-Punktformat zu u ¨bersetzen. Damit ist es m¨oglich, beliebige 3D-Rechennetze mit GAMBIT zu erzeugen und NS3D zug¨anglich zu machen.

4.5. Implementierung des KC-Turbulenzmodells in NS3D Das Turbulenzmodell nach Kim und Chen berechnet ein l¨osungsabh¨angiges Feld β, das die lokale Verschiebung der variablen Partitionsgrenze im Energiespektrum repr¨asentiert. Es ben¨otigt hierzu und zur Bestimmung der turbulenten Viskosit¨at vier Transportgleichungen, die sequentiell nach L¨osung der Druckkorrektur berechnet werden (vgl. Abb.4.3). Die L¨osungsreihenfolge der Variablen ist hierbei kP , kt , ²P , ²t . Danach wird die neue turbulente Viskosit¨at entsprechend Gleichung (3.59) sowie ein neues Feld β nach Gleichung (3.61) berechnet. Das Feld der Partitionsgrenze wird nicht f¨ ur die iterative L¨osung ben¨otigt, es dient lediglich der Kontrolle der Rechnung und l¨asst sich daher auch in einfacher Weise aus den vorhandenen Variablen im ¨ Nachhinein bestimmen. Der besseren Ubersichtlichkeit wegen und aufgrund der offensichtlichen ¨ Ahnlichkeit der Gleichungen f¨ ur kP und ²P mit den Gleichungen f¨ ur k und ² des Standard-k-²Modells werden die vorhandenen Variablenbezeichnungen innerhalb des Codes NS3D direkt f¨ ur kP und ²P genutzt. Die Abweichungen sind an den entsprechenden Stellen zu implementieren. Neue Variablen m¨ ussen f¨ ur die Gleichungen f¨ ur kt und ²t definiert werden. Die konvektiven und diffusiven Terme der vier Transportgleichungen des Modells haben bis auf unterschiedliche Koeffizienten im Diffusionsterm die gleiche Form. Es k¨onnen daher sehr einfach die im Code vorhandenen numerischen Schemata genutzt werden. Bei der numerischen Behandlung der Werte, die physikalisch nur positive Werte annehmen k¨onnen, ist zwischen Quell- und Senkentermen zu unterscheiden. Quellen, d.h. Terme mit positivem Vorzeichen in der Transportgleichung, sollen explizit behandelt werden. Dies bedeutet, ihr Anteil geht als bekannter Wert der vorherigen Iteration in den Quellterm der aktuellen Iteration ein. Senkenterme, mit negativem Vorzeichen, werden implizit behandelt, d.h. ihr Anteil wird der Koeffizientenmatrix der aktuellen Iteration zugerechnet. Diese Vorgehensweise f¨ordert die Diagonaldominanz der Koeffizientenmatrix A und somit die Konvergenz und Stabilit¨at des numerischen Verfah57

4.5. IMPLEMENTIERUNG DES KC-TURBULENZMODELLS IN NS3D Gleichung

Beitrag zur Koeffizientenmatrix A

kPm ktm

Beitrag zum Quelltermvektor S

(m−1) ²P (m−1) kP (m−1) ²t (m−1) kt (m−1) ²P p3 km P (m−1) ²t t3 km t

²m P

C

²m t

C

58

Pkm (m−1)

²P Cp1 Ct1

Pkm 2 m + kP 2 ²m P (m−1)

kt

(m−1)

Pk m ·²P m kP (m−1) ²m ² Ct2 P ktm t

Cp2

+

Tabelle 4.1.: Beitr¨age zu Koeffizientenmatrix und Quelltermvektor

rens [87],[24]. Die Terme der Transportgleichungen werden gem¨aß Tabelle 4.1 zum Vektor der Quellterme und zur Koeffizientenmatrix aufgeteilt. Die Superskripte bedeuten m f¨ ur die aktuelle Iteration und (m − 1) f¨ ur die vorherige Iteration. Als Vorgabe f¨ ur die Implementierung der Randbedingungen war darauf zu achten, dass f¨ ur die Anwendung des Modells im Vergleich zum Standard-k-²-Modell m¨oglichst wenige zus¨atzliche Einstellungen vorgenommen werden m¨ ussen. Die Umsetzung erfolgte derart, dass nur zwei Parameter als Eingabeoption hinzukommen, die f¨ ur die Aufteilung von k und ² auf kp und kt bzw. ²P und ²t zust¨andig sind. Am Eintrittsrand wird wie gewohnt nur ein Turbulenzgrad und ein L¨angenmaß ben¨otigt. Mit der Annahme eines turbulenten Gleichgewichtszustandes (Pk ≈ ²) gelten die Beziehungen nach Gleichung (4.14). kP ≈4 kt

²P ≈1 ²t

(4.14)

Das Verh¨altnis zwischen kp und kt ist in NS3D nicht fest, sondern als Eingabeparameter einstellbar und bedingt die Aufteilung der vorgegebenen Werte kin und ²in auf kP,in und kt,in bzw. ²P,in und ²t,in . Die gleiche Bedingung (4.14) wird f¨ ur die Randbedingungen an festen W¨anden benutzt. F¨ ur die Gleichungen kp und kt gelten Haftbedingungen an der Wand und verschwindender Gradient in Wandnormalenrichtung. Analog zur Theorie der Wandfunktionen wird zun¨achst die Produktion von kP im wandn¨achsten Zellmittelpunkt wie folgt berechnet:

Pk,P = τW

Cµ0.25

´0.5 ³ 1 (kP,P + kt,P ) 1+βP κ · yP

(4.15)

In die Produktion geht nur der Anteil des Produktionsbereiches der turbulenten kinetischen Energie ein. Dazu muss zuvor der aktuelle Wert βP in der wandn¨achsten Zelle bestimmt werden. Ebenso folgerichtig aus Gleichung (3.67) berechnet sich die Energietransferrate ² P nach ²P,P

Cµ0.75 (kP,P + kt,P )1.5 = κ · yP

(4.16)

Wie im Kapitel Wandbehandlung beschrieben, wird ²P,P direkt als Quelle im Punkt P vorgeschrieben, die Koeffizientenmatrix zu Null gesetzt. Die gleiche Vorgehensweise wird f¨ ur die 58

4.5. IMPLEMENTIERUNG DES KC-TURBULENZMODELLS IN NS3D

59

Wandrandbedingung von kt und kP gew¨ahlt, beide werden nach Gleichung (4.17) bestimmt und als Quelle in Punkt P direkt vorgeschrieben. kt,P = (kP,P + kt,P ) ·

βP 1 + βP

²t,P = ²P,P

(4.17)

Diese Implementierung erwies sich als numerisch sehr stabil mit einem Konvergenzverhalten ¨ahnlich dem des Standard-k-²-Modells. Die Initialisierung der Felder erfolgt aus den angegebenen Feldern f¨ ur k und ², wobei die Aufteilung von sehr geringem Einfluss auf die Rechnung ist. Es wird der Ansatz (4.18) gew¨ahlt, der im CFD-Code PHOENICS [74] vorgeschlagen wurde und auf der Annahme des Abfalls homogener Turbulenz beruht. kP = 0.4k

kt = 0.6k

²P = 0.4²

²t = ²

(4.18)

Bei Aufsetzen einer neuen L¨osung mit KC-Modell auf eine konvergierte L¨osung mit k-²-Modell werden die Variableninitialisierungen ebenso vorgenommen. Alle restlichen Randbdingungen bed¨ urfen keiner gesonderten Behandlung f¨ ur das KC-Modell. Die Implementierung in NS3D l¨auft sehr stabil bei gutem Konvergenzverhalten. Die Validierung des Modells anhand ausgew¨ahlter Testf¨alle erfolgt im n¨achsten Kapitel.

59

60

5. Validierung der Turbulenzmodelle ¨ Validierung ist definiert als der Prozess der Uberpr¨ ufung der Modellierungsunsicherheit eines physikalischen Modells. Dies kann zweckm¨aßig durch den Vergleich der mit dem Modell erhaltenen Ergebnisse mit experimentellen Daten erfolgen. Verifikation dagegen bedeutet die ¨ Bestimmung der Numerikunsicherheit, d.h. die Uberpr¨ ufung der korrekten Implementierung eines mathematischen Modells derart, dass das numerische Ergebnis korrekt die konzeptionelle Beschreibung der Physik durch das Modell wiedergibt. Vor diesem Hintergrund ist die Verifikation und Validierung jedes neu in einen numerischen Code implementierten Turbulenzmodells unerl¨asslich, bevor es f¨ ur konkrete Anwendungsf¨alle eingesetzt werden kann. Eine reine Verifikation eines Modells muss gem¨aß den Erl¨auterungen in Kapitel 2 an einem Str¨omungsproblem mit analytisch bestimmbarer L¨osung erfolgen. Da diese F¨alle technisch meist uninteressant sind, werden Verifikation und Validierung des KC-Modells hier gemeinsam durchgef¨ uhrt. Es wird hierzu an geometrisch einfachen Konfigurationen getestet, f¨ ur die m¨oglichst genaue experimentelle oder numerische DNS-Daten vorliegen. Einerseits wird damit die korrekte Implementierung, andererseits gleich die Vorhersagef¨ahigkeit bestimmter Str¨omungsph¨anomene u uft. Zu diesem Zweck stehen eine Vielzahl von dokumentierten ¨berpr¨ Standard-Testf¨allen inklusive Messdaten zur Verf¨ ugung. F¨ ur diese Arbeit wurden f¨ unf Testf¨alle aus der ERCOFTAC-Datenbank vor dem Hintergrund der Relevanz des jeweiligen Falls f¨ ur Str¨omungen in Turbomaschinen ausgew¨ahlt. Die Testf¨alle decken die Str¨omungsklassen station¨are und instation¨are abl¨osende und wiederanlegende sowie drallbehaftete Str¨omungen ab. Eine ausf¨ uhrliche Dokumentation der numerischen Berechnung dieser Testf¨alle ist bei Schaad [86] zu finden, w¨ahrend im Rahmen der vorliegenden Arbeit nur die wichtigsten Ergebnisse kurz dargestellt werden. Eine Validierung des KC-Modells soll nicht nur im Vergleich mit Messdaten erfolgen, sondern im Vergleich mit den bereits im Code vorhandenen Modellen SKE, RKE und LCL soll die Leistungsf¨ahigkeit des Modells eingeordnet werden. Obwohl die LowRe-Versionen des SKE- und des LCL-Modells bei diesen Testf¨allen teilweise besser abschneiden, werden im Hinblick auf den Anwendungsfall Pumpe hier ausschliesslich die Varianten mit Wandfunktionen ber¨ ucksichtigt. F¨ ur eine Berechnung mit einer LowRe Variante des KC-Modells sei wiederum auf die Arbeit von Schaad [86] verwiesen. Es bietet sich somit die M¨oglichkeit des direkten Vergleichs der Potenziale der vier verschiedenen, aber verwandten Turbulenzmodelle. Nachfolgend werden die einzelnen Testf¨alle und die berechneten Ergebnisse sequentiell beschrieben.

60

¨ 5.1. RECHTECKKANAL MIT 180◦ -KRUMMER

61

5.1. Rechteckkanal mit 180◦-Kru ¨mmer Der ebene Kanal mit Rechteckquerschnitt stellt aufgrund der turbulenzinduzierten Eckenwirbel schon alleine einen schwierigen Testfall dar. Bei zus¨atzlichem 180◦ -Kr¨ ummer ist vor allem der Abl¨osebereich hinter dem Kr¨ ummer von Interesse und Hauptaspekt des nachfolgenden Vergleiches. Aus diesem Grund wird die Str¨omung als zweidimensional betrachtet. Die Geometrie und das typische Str¨omungsbild mit Abl¨osung ist in Abb.5.1 dargestellt. Experimentelle Un-

Abbildung 5.1.: Schema des Rohrkr¨ ummers und typisches Str¨omungsbild

tersuchungen an dieser Konfiguration mit begleitenden numerischen Berechnungen wurden von Monson et al. [65] durchgef¨ uhrt. Das numerische Rechengitter wurde daran angelehnt mit 241 · 71 · 3 Knoten aufgel¨ost, in Kanalbreitenrichtung wurde an den ¨außeren Knoten ei¨ ne Symmetrierandbedingung aufgepr¨agt. Uber die Eintrittsgeschwindigkeit 32 ms und eine um eine Gr¨oßenordnung erh¨ohte Dichte wird eine Reynoldszahl von 106 eingestellt. Die Modelle 1

1

C − Kanalwand innen

C − Kanalwand aussen

p

0.5

p

0.5

0 −0.5

0

−1 −0.5

−1.5

SKE KC RKE LCL EXP

−2 −2.5 −3

−5

0

5

10

15

20

SKE KC RKE LCL EXP

−1

−1.5

25

x/H

−5

0

5

10

15

20

25

x/H

Abbildung 5.2.: Druckbeiwerte Cp beim Rohrkr¨ ummer, konvexe und konkave Seite werden anhand der dimensionslosen Kenngr¨oßen Druckbeiwert Cp = 2(pW − pref )/ρu20 und Schubspannungskoeffizient Cf = 2τW /ρu20 auf beiden Kr¨ ummerseiten verglichen. Beide sind in den Abbildungen 5.2 und 5.3 jeweils u ¨ber der dimensionslosen Laufl¨ange x/H auf der inneren 61

¨ 5.1. RECHTECKKANAL MIT 180◦ -KRUMMER

62

und ¨außeren Kanalwand aufgetragen. Anfang und Ende des Kr¨ ummerbogens sind als senkrechte gestrichelte Linien erkennbar. Die Abl¨osung ist in den Cp -Verl¨aufen am leichten Knick erkennbar, da der Druck in der Abl¨osung kaum ansteigt. Nur mit den Modellen RKE und KC erh¨alt man eine Abl¨osung, auch das experimentell bestimmte kleine Minimum auf der konkaven Seite stimmt bei KC am besten. Sehr deutlich zu sehen ist das Versagen des SKE und des −3

15

x 10

−3

15

x 10

C − Kanalwand innen

C − Kanalwand aussen

f

f

10

10

5

5

SKE KC RKE LCL EXP

0

−5 −10

−5

0

5

10

15

SKE KC RKE LCL EXP

0

−5 −10

20

−5

0

x/H

5

10

15

20

25

x/H

Abbildung 5.3.: Schubspannungskoeffizient Cf beim Rohrkr¨ ummer, konvexe und konkave Seite

62

09 0. 0.09

0. 08

09 0.

0.08

0.09

0.09

00.0 .00980.0. 6 08

0.08 0.07

0.04

00.1.1

0. 09

0.08 05 0.0.04

LCL Modells bei den Cf -Verl¨aufen, die im Bereich der Abl¨osung negativ werden m¨ ussen. Die zugeh¨origen Profile von Geschwindigkeit und TKE sind im Anhang enthalten. Sie zeigen sehr sch¨on die F¨ahigkeit des KC- und des RKE-Modells, auf der konkaven Seite des Kr¨ ummerbogens eine gr¨oßere TKE als auf der konvexen Seite zu berechnen. Diese lokal unterschiedliche Verteilung von Produktion und Dissipation turbulenter kinetischer Energie stellt 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 eines der wichtigsten Vorteile des 0.09 0.09 0.09 8 0.1 0 . 0 0.06 KC-Modells dar. Sie l¨asst sich gra04 0. 0. 1 fisch entweder durch den in Kapitel 0.1 0889 0406700.70. .0 0.09 0.09 0.00..00.0 0 6 0.09 0.09 0.0.08 0 3 vorgestellten β-Faktor oder auch 5 0.0 anschaulich durch den direkt mit 0.07 diesem korrelierten Cµ -Faktor dar0.0 90 0.1 0.1 .10 0.1 0.09 2.120.1 0.1 stellten. Der Cµ -Faktor folgt direkt 0.1 0.1 0.1 0.0 0.11 90 aus der Rechnung als Verh¨altnis von 0.11 .09 0.0 9 .1 0.1 0 ²t zu ²p multipliziert mit dem kon0.09 stanten Faktor 0.09 (vgl. Kapitel 3) und ist in Abb.5.4 dargestellt. Beim Abbildung 5.4.: Cµ -Faktor Kanalkr¨ ummer SKE-Modell gilt Cµ = 0.09 = const, beim RKE-Modell wird der Faktor u ¨ber die Realizibility-Bedingungen angepasst. Bereiche mit Cµ ≤ 0.09 haben demnach mehr Produktion als Dissipation, bei Cµ ≥ 0.09 entsprechend

¨ 5.2. DRALLSTROMUNG IN MODELLBRENNKAMMER

63

umgekehrt. Diese Aussage bezieht sich allerdings nur auf das Verh¨altnis von Produktion Pk zu Dissipation ²t , das in einem Gebiet niedriger absoluter Turbulenzproduktion dennoch hoch sein kann. W¨ahrend der Faktor im Wandbereich immer der Konstanten des SKEModells entspricht, befinden sich Gebiete mit vergr¨oßertem Verh¨altnis Pk /²t auf der konvexen Kr¨ ummerseite, besonders im Bereich des Eintritts in den Kr¨ ummer. Im Nachlauf der Abl¨osung befindet sich ein Gebiet mit verh¨altnism¨aßig mehr Dissipation als Produktion. Als Fazit dieses Testfalls ist festzuhalten, dass nur das RKE- und das KC-Modell in der ¨ Lage sind, die Abl¨osung bei guter Ubereinstimmung mit dem Experiment zu berechnen. Vom SKE-Modell ist bekannt, dass es bei diesem Testfall versagt, das schlechte Ergebnis des LCL-Modells ist eventuell auf das zweidimensionale Rechengebiet zur¨ uckzuf¨ uhren, da die St¨arken dieses Modells in der Erfassung der Anisotropie des RST liegen. Bei Verwendung des LowRe-Originalmodells erh¨alt man auch die Abl¨osung.

5.2. Drallstr¨ omung in Modellbrennkammer Str¨omungen in Kreiselpumpen sind insbesondere im Spiralgeh¨ause stark drallbehaftet. Die Vorhersagef¨ahigkeit von Turbulenzmodellen bei Drallstr¨omungen ist vor allem in der Verbrennungstechnik wichtig, daher wird der ERCOFTAC Testfall einer Modellbrennkammer ausgew¨ahlt (Workshop TU Darmstadt, 2001), zu der von Roback und Johnson [82] durchgef¨ uhrte Messungen vorliegen. Im typischen Str¨omungsprofil der Abb.5.5 erkennt man zwei rotationssymmetrische Rezirkulationszonen. Am Einstr¨omrand in der unteren H¨alfte des linken Randes wird

Abbildung 5.5.: Stromlinien bei Brennkammer Drallstr¨omung

einer zentralen axialen Komponente im inneren Teil eine tangentiale Komponente im ¨außeren Teil u ¨berlagert. An der oberen H¨alfte des linken Randes hinter der Einstr¨omkante bildet sich sofort eine kleine Abl¨osung mit Rezirkulation. Die zweite, deutlich gr¨oßere Rezirkulationszone bildet sich dann weiter stromab. Vergleichskriterium der Turbulenzmodelle ist die axiale Erstreckung der großen Rezirkulationszone. ´ [41] u Die Geometrie und das Eintrittsprofil wurden von Jakirlic ¨bernommen. Die Geometrie wird mit 141 · 71 · 6 Knoten diskretisiert, wobei ein Zylindersegment von 10◦ mit 6 Knoten in Umfangsrichtung mit Rotationsperiodizit¨at an den Seiten gew¨ahlt wird. Bei einer Drallzahl von 0.45 betr¨agt die Reynoldszahl 47.500. Das Rechengebiet erstreckt sich nicht ganz bis zur Zylinderachse, um ein strukturiertes Rechengebiet zu erm¨oglichen. Als Vergleichskriterium wird hier die Gr¨oße der berechneten Rezirkulationszonen gew¨ahlt. Diese sind in Abb. 5.6 im linken Diagramm mit unterschiedlicher Achsenskalierung zu erkennen, 63

¨ 5.2. DRALLSTROMUNG IN MODELLBRENNKAMMER

64

bestimmt mit der Methode verschwindender Axialgeschwindigkeit. Man sieht also nicht die Gr¨oße der Rezirkulationszonen, sondern genau deren Mitte, w¨ahrend die Kurven zum Wiederanlegepunkt f¨ uhren. Am besten spiegelt das SKE-Modell die experimentellen Daten wieder, 0.06

1

Rezirkulationszonen

Cax Kanalmitte

0.05 0.04

0.5

r [m]

0.03 0.02

0

SKE KC RKE LCL EXP

0.01 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

−0.5 0

0.1

0.2

z [m]

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

z [m]

Abbildung 5.6.: Rezirkulation und Axialgeschwindigkeit bei Drallstr¨omung

0.09

´ [41] u dies stimmt mit den Erfahrungen von Jakirlic ¨berein, nicht aber mit denen von Kim und Chen [49]. Das KC-Modell bestimmt eine deutlich zu große Rezirkulationszone. Auch im Diagramm der Axialgeschwindigkeit in der Kanalmitte (Abb.5.6 rechts) haben alle Modelle Probleme, nach Wiederanlegen der Str¨omung das sich ausgleichende Str¨omungsprofil vorherzusagen. Insbesondere die Resultate des LCL-Modells sind nicht zufriedenstellend, obwohl gerade dieses Modell den Rotationseinfluss im TM theoretisch am besten abbildet. Das Feld des Cµ -Faktors ist in Abb.5.7 wegen der besseren 0.04 0.09 0.14 ¨ Ubersichtlichkeit nur im Eintrittsbereich der Modellbrennkammer bis zu einer axialen L¨ange von etwa 0.15m dargestellt. Bei großem Verh¨altnis 0.0 9 9 0.0 9 0.0 Produktion zu Dissipation turbu9 0.0 lenter kinetischer Energie wird der 0.09 Koeffizient Cµ lokal kleiner und um0.09 gekehrt. Die gr¨oßten Werte f¨ ur Cµ 0.09 sind im engen inneren Bereich der radial nach außen abgelenkten KernAbbildung 5.7.: Cµ -Faktor Drallstr¨omung str¨omung mit etwa 0.12 zu finden. Dieser schmale Streifen wird von einem Band mit kleinerem Cµ umschlossen, in dem sich die die Rezirkulation antreibende Scherschicht befindet. Grunds¨atzlich ist der Faktor klein bei starken Scherschichten und groß bei ausgeglichenen Str¨omungen. Auf die Darstellung von Geschwindigkeitsprofilen wird aufgrund der stark streuenden Messdaten verzichtet. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass bei diesem Testfall das SKEModell am besten abschneidet, w¨ahrend die drei h¨oherwertigen Modelle allesamt Schw¨achen 0.09

0.09 0.09

64

5.3. ASYMMETRISCHER DIFFUSOR

65

zeigen. Das KC-Modell ist wiederum das am wenigsten dissipative Modell und berechnet die gr¨oßte Rezirkulationszone. Wie schon beim Kr¨ ummer kann die rotationsperiodisch gew¨ahlte Geometrie eine Ursache des schlechten Ergebnisses des LCL-Modells sein.

5.3. Asymmetrischer Diffusor Die vom positiven Druckgradienten gepr¨agte Str¨omung in ebenen Diffusoren neigt ab einem ¨ bestimmten Offnungswinkel zum Abl¨osen. Beim ERCOFTAC Testfall des asymmetrischen Diffusors (Workshop Universit¨at Helsinki, 1999) l¨ost die Str¨omung an der unteren, um 10o geneigten Wand ab, w¨ahrend an der oberen, geraden Wand keine Abl¨osung gefunden wird. F¨ ur diesen Fall liegen Messdaten von Buice und Eaton [10] vor. Ein typisches Str¨omungsfeld mit ansteigendem Druck und Abl¨osegebiet ist in Abb.5.8 zu sehen. Die Str¨omung ist zweidimensio-

Abbildung 5.8.: Stromlinien beim asymmetrischen Diffusor nal und eignet sich daher gut als numerischer Testfall. Die Geometrie wird mit 171·51·3 Knoten diskretisiert mit Symmetrierandbedingungen in Kanaltiefenrichtung. Das Eintrittsprofil wird als ausgebildete Kanalstr¨omung vorgegeben, die Reynoldszahl gebildet mit der Geschwindigkeit in der Kanalmitte betr¨agt Re=20.000. Der Vergleich mit den Modellen erfolgt anhand Schubspannungskoeffizient und Druckbeiwert auf beiden W¨anden und der Darstellung des Abl¨osegebietes. Nur das RKE- und das KC-Modell

Abbildung 5.9.: Begrenzung des Abl¨osegebietes beim asymmetrischen Diffusor k¨onnen die Abl¨osung an der unteren Wand berechnen. F¨ ur beide Modelle sind in Abb.5.9 die das Abl¨osegebiet einh¨ ullenden Kurven dargestellt. Anders als bei der Drallstr¨omung werden diese Kurven aus Integration in Wandnormalenrichtung der wandparallelen Geschwindigkeiten ermittelt. Das KC-Modell berechnet sowohl Abl¨osepunkt als auch Wiederanlegepunkt am besten, wie Tabelle 5.1 verdeutlicht. Druckbeiwert und Schubspannungskoeffizient an der unteren 65

5.3. ASYMMETRISCHER DIFFUSOR Modell Abl¨osepunkt Wiederanlegepunkt

66 EXP 7 28

SKE -

RKE 9.5 24

KC 7.5 29

LCL -

Tabelle 5.1.: L¨ange des Abl¨osegebietes beim asymmetrischen Diffusor

Kanalwand in Abb.5.10 best¨atigen das gute Abschneiden des KC-Modells. Die Abl¨osung ist anhand des verz¨ogerten Druckanstiegs bzw. des negativen Schubspannungskoeffizienten zu erkennen. Beim RKE-Modell ist die Abl¨osung noch deutlich erkennbar, w¨ahrend SKE und LCL ¨ fast identisch und abweichend von den Messdaten verlaufen. Ahnlich den zuvor besprochenen −4

10

1

x 10

Cp − Kanalwand unten

Cf − Kanalwand unten

0.8

5

0.6 0.4

0 −10

0

SKE KC RKE LCL EXP

0.2

0

10

20

30 x/H

40

50

60

−5 −10

70

SKE KC RKE LCL EXP 0

10

20

30

40

50

60

70

x/H

Abbildung 5.10.: Koeffizienten Cp und Cf beim asymmetrischen Diffusor an unterer Seite

Testf¨allen hat das KC-Modell auch hier Probleme mit der Vorhersage der sich ausgleichenden Str¨omung nach der Abl¨osung. Dies ist entweder im dort zu flachen Cf -Verlauf oder in den im Anhang enthaltenen Geschwindigkeitsprofilen zu sehen. W¨ahrend im Bereich der Abl¨osung sowohl Geschwindigkeit als auch TKE vom KC-Modell sehr gut wiedergegeben werden, wird die ¨ Ubereinstimmung mit der Messung bei Axialpositionen stromab der Wiederanlegung schlechter. Dennoch sind die Ergebnisse der u ¨brigen untersuchten Modelle in allen Punkten dem KC-Modell unterlegen. Auf die Darstellung des Cµ Faktors wird ab jetzt verzichtet. Wie schon beim Testfall des Kr¨ ummers k¨onnen das SKE- und LCL-Modell mit WF-Wandbehandlung die Abl¨osung nicht vorhersagen. Es muss dennoch darauf hingewiesen werden, dass insbesondere das LCL-Modell in seiner urspr¨ unglichen LowRe-Formulierung bei diesem Testfall ein deutlich besseres Ergebnis liefert, wie z.B. von Skoda [100] gezeigt. Von den untersuchten Turbulenzmodellen liefert das KC-Modell beim asymmetrischen Diffusor bez¨ uglich aller Kriterien die deutlich besten Ergebnisse.

66

¨ 5.4. RUCKSPRINGENDE STUFE

67

5.4. Ru ¨ckspringende Stufe Die r¨ uckspringende Stufe zeichnet sich im Gegensatz zum Rohrkr¨ ummer und dem asymmetrischen Diffusor durch den an der Stufenkante geometrisch festgelegten Abl¨osepunkt aus. Als Vergleichskriterium bietet sich somit die vorhergesagte L¨ange der Rezirkulationszone hinter der Stufe an. Experimentelle Referenzdaten lieferten die Messungen von Driver und Seegmiller [18]. Diese untersuchten das Verhalten der an der r¨ uckspringenden Stufe abgel¨osten

H

7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 710-611-512-413-31 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x/H

x/H

Abbildung 5.11.: Typisches Str¨omungsbild und Rechengitter (Jeder 5. Gitterknoten)

xH

Str¨omung unter verschiedenen Druckgradienten, welche u ¨ber eine im Winkel variabel einstellbare Gegenkontur erzeugt wurden. Die Str¨omung kann durch das relativ große Verh¨altnis von Kanalh¨ohe (12H) zu Absatzh¨ohe (H) als zweidimensional angesehen werden, die Reynoldszahl liegt bei 3.7 · 104 . Bei der Aus- und Bewertung dieser Art Str¨omung ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Wiederanlegel¨ange experimentell als Ensemblemittelwert bestimmt wurde, da keine station¨are Str¨omung vorliegt. Zudem weist die Instationarit¨at keine ausgepr¨agte Frequenz auf, weshalb numerisch mit URANS-Modellen keine zeitperiodische L¨osung ermittelt werden kann. Die L¨osung schwingt sich immer auf eine station¨are L¨osung ein, was von Durbin [19] postuliert und f¨ ur diesen Fall von Schaad [86] auch u uft wurde. Folgerichtig sind auch hier, wie bei ¨berpr¨ den vorangegangenen Testf¨allen, ausschließlich station¨are Berechnungen durchgef¨ uhrt worden. Die Darstellungen in der vorliegenden Arbeit beschr¨anken sich auf den Fall der geraden Ge´ [41] verwiesen. genkontur, f¨ ur weitere Parameterstudien wird auf Schaad [86] oder Jakirlic Das typische Str¨omungsfeld mit Stromlinien und Druckkonturlinien ist in Abb.5.11 links dargestellt, das zugrundeliegende Rechengitter mit jedem f¨ unften Gitterknoten rechts. Die beiden Bl¨ocke des Rechengebietes werden mit 31 · 81 · 3 und 121 · 121 · 3 Knoten diskretisiert, womit der dimensionslose Wandabstand zu y + ≈ 25 eingestellt wird. Die Bestimmung der Ausdehnung des Rezirkulationsgebietes erfolgt gem¨aß der Beschreibung beim asymmetrischen Diffusor. Diese Zone ist in Abb.5.12 dargestellt. Der aus den mit LDV gemessenen Geschwindigkeitsprofilen ermittelte Anlegepunkt liegt bei einer Laufl¨ange von x/H ≈ 5.3. Das SKE- und das LCL-Modell, deren Ergebnisse wieder sehr ¨ahnlich sind, liegen diesem Wert am n¨achsten, w¨ahrend mit RKE ein Wert x/H > 6 und mit KC sogar 67

xH

¨ 5.4. RUCKSPRINGENDE STUFE

68

x/H ≈ 7 berechnet wird. Vergleicht man diese Darstellung mit den Kurven der Kennzahlen C p (obere und untere Wand)und Cf (untere Wand) in Abb.5.13, die mit einer anderen Messtechnik bestimmt wurden, so f¨allt zun¨achst eine Diskrepanz zwischen den gemessenen Werten auf. Beim Cf -Verlauf ist der Wiederanlegepunkt bei der Laufl¨ange x/H ≈ 6 zu finden, die Ausdehnung der Rezirkulation ist demnach gr¨oßer als mit der Geschwindigkeitsmessung bestimmt. Die Autoren [18] weisen darauf hin und begr¨ unden dies mit einer sehr wandnahen Ausdehnung SKE KC RKE LCL EXP

Ablösegebiet 1

y/H

0.5 0 0

1

2

3

4

5

6

x/H Abbildung 5.12.: Begrenzung des Abl¨osegebietes bei r¨ uckspringender Stufe

der R¨ uckstr¨omung, die mit der LDV-Messung nicht erfasst werden kann. Jedoch konnte weder mit den hier vorgestellten Berechnungen noch mit einer LowRe-Wandbehandlung ein solches Ph¨anomen festgestellt werden. −3

x 10 0.25

0.25

C − Kanalwand oben p

0.2

0.2

0.15

Cp − Kanalwand unten

4

0.15

3

0.1

2

0.1

Cf − Kanalwand unten

0.05 0.05 SKE KC RKE LCL EXP

0 −0.05 −0.1 −5

0

5

10

15 x/H

20

25

30

35

1

0

SKE KC RKE LCL EXP

−0.05 −0.1 −5

0

5

10

15 x/H

20

25

30

35

SKE KC RKE LCL EXP

0 −1 −5

0

5

10

15

20

25

30

35

x/H

Abbildung 5.13.: Koeffizienten Cp und Cf bei r¨ uckspringender Stufe

Beim qualitativen Vergleich der vier Turbulenzmodelle zeigt sich erneut das schon bekannte Verhalten. SKE und LCL unterscheiden sich nur geringf¨ ugig, w¨ahrend RKE bez¨ uglich der Wiederanlegung zwischen den beiden zuvor genannten und dem KC-Modell liegt. In der sich ausgleichenden Str¨omung nach der Wiederanlegung sind keine Unterschiede zwischen den Modellen zu erkennen, was vermutlich auf das sehr große Stufenverh¨altnis zur¨ uckzuf¨ uhren ist.

68

5.5. BEWERTUNG DER VALIDIERUNGSERGEBNISSE

69

5.5. Bewertung der Validierungsergebnisse Zus¨atzlich zu den oben diskutierten Testf¨allen wurde eine r¨ uckspringende Stufe mit einer extern aufgepr¨agten Instationarit¨at durch periodische Masseneinblasung direkt an der Stufenkante untersucht (ERCOFTAC-Testfall beim Workshop Universit¨at Darmstadt, 2001). Weiterhin wurde die Lauff¨ahigkeit der implementierten LowRe-Version des KC-Modells am Testfall der station¨ar angestr¨omten Stufe nachgewiesen, die jedoch aufgrund der schlechten Konvergenzeigenschaften nicht weiter verfolgt wurde. F¨ ur Details dieser Untersuchungen sei auf die Arbeit von Schaad [86] verwiesen, auf eine Vorstellung hier wird verzichtet. Die korrekte Implementierung des Modells wurde somit an mehreren Testf¨allen mit den f¨ ur eine Pumpe wichtigen numerischen Anforderungen Multiblock, Instationarit¨at und Wandfunktionen nachgewiesen. Die Leistungsf¨ahigkeit des KC-Modells zeigt sich vor allem bei den aufgrund des Druckgradienten zur Abl¨osung neigenden Str¨omungen. Hervorragende Ergebnisse erh¨alt man beim Rohrkr¨ ummer und beim asymmetrischen Diffusor sogar mit einfacher WF-Wandbehandlung. Die beim SKE-Modell zu große Produktion turbulenter Viskosit¨at in Scherschichten l¨aßt diese immer zu stark wachsen, wodurch einerseits eine Abl¨osung verhindert wird und andererseits eine fr¨ uhzeitige Wiederanlegung bei der Stufe erfolgt. Das urspr¨ unglich f¨ ur LowRe konzipierte LCLModell ist in seiner WF-Version trotz der nichtlinearen Berechnung der turbulenten Viskosit¨at keine Verbesserung zum SKE-Modell. Das RKE-Modell dagegen liefert deutlich bessere Ergebnisse, w¨ahrend das KC-Modell von den getesteten die geringste turbulente Viskosit¨at erzeugt. Interessant ist hier auch ein Vergleich der einzelnen Rechenzeiten, der in Abb.5.14 dargestellt ist. Hierzu wurde ohne Konvergenzkriterien eine identische Anzahl von Iterationen gerechnet. Mit dem SKE-Modell als Referenz Rechenzeit in % liegen die drei erweiterten Modelle LCL allesamt h¨oher. Die algebraische KC ¨ Uberpr¨ ufung und eventuelle AnRKE passung des Cµ -Faktors im RKESKE Modell ben¨otigt 9.5% zus¨atzliche 0 20 40 60 80 100 120 140 Rechenzeit, die L¨osung der beiden zus¨atzlichen Transportgleichungen Abbildung 5.14.: Rechenzeitvergleich des KC-Modells 25%. Am l¨angsten mit +35% dauert die nichtlineare Bestimmung der turbulenten Viskosit¨at im LCL-Modell. Die um etwa ein Viertel erh¨ohte Rechenzeit des KC-Modells gegen¨ uber dem SKE-Modell bewegt sich somit in einem annehmbaren Rahmen. Als deutlicher Vorteil des KC-Modells gegen¨ uber dem RKE-Modell ist die ¨ahnlich verminderte Berechnung einer turbulenten Viskosit¨at zu nennen, ohne dass eine rein algebraische Limitierungsfunktion eingef¨ uhrt werden muss. Das KC-Modell erf¨ ullt zwar nicht die physikalischen Regeln der Realisierbarkeit, kann aber dennoch die Ursachen, die zur Formulierung dieser Regeln f¨ uhren, von sich aus vermeiden. Es ist damit sogar auf einer h¨oheren physikalischen Modellierungsebene einzuordnen als das RKE-Modell. Weiterhin zeigt sich die numerische Implementierung als ¨ahnlich robust wie das SKE-Modell, bei gleich guter und schneller Konvergenz f¨ ur die hier untersuchten Testf¨alle.

69

70

6. Modellbildung der Pumpen Die als Anwendungstestf¨alle ausgew¨ahlten Maschinen werden in diesem Kapitel vorgestellt. Es handelt sich um drei Versuchspumpen radialer Bauart mit unterschiedlicher spezifischer Drehzahl. F¨ ur alle drei Maschinen liegen detaillierte Messdaten vor, die am Fachgebiet TFA im Rahmen experimenteller Forschungsarbeiten entstanden sind. Neben den wichtigsten Daten zu den Maschinen wird jeweils die Umsetzung in numerische Modelle erl¨autert.

6.1. Laufrad einer nS 28 Radialpumpe mit Ringdiffusor Die Versuchspumpe mit der spezifischen Drehzahl nS 28 wurde im Rahmen eines VDMAForschungsvorhabens in verschiedenen Konfigurationen von Aysheshim [3] aufgebaut und untersucht. Die Versuchsvariante des in einen unbeschaufelten Ringdiffusor frei abstr¨omenden Laufrades ist im Schnittbild in Abb.6.1 dargestellt. Die experimentellen Untersuchungen wa-

Abbildung 6.1.: Pumpe frei abstr¨omend in schaufellosen Ringdiffusor (links) nach Aysheshim [3] und modelliertes Rechengebiet (rechts)

ren Teil eines Verbundprojektes zur Bereitstellung von Messwerten zur Validierung des parallel entwickelten Codes NS3D. Messergebnisse und Referenzdaten aus grundlegenden numerischen Berechnungen zu diesem Testfall wurden von Aysheshim [4] bzw. Skoda [101] ver¨offentlicht. Der Versuch wurde f¨ ur die Betriebspunkte 0.8 ≤ Q/QN ≤ 1.2 aus messtechnischen Gr¨ unden mit Luft durchgef¨ uhrt. Die wesentlichen Geometriedaten der Maschine und die f¨ ur die Simulation wichtigen Parameter sind in Tabelle 6.1 angegeben. Die Pumpe wurde speziell im Hinblick auf die Verwendung der Messwerte als Validierungsdaten numerischer Berechnungen eines einzelnen Laufradkanals konzipiert. Aufgrund des schaufellosen Ringdiffusors kann von 70

6.1. LAUFRAD EINER NS 28 RADIALPUMPE MIT RINGDIFFUSOR Bezeichnung Nabendurchmesser Saugmunddurchmesser Laufradaußendurchmesser Durchmesser Messebene 2 Austrittsdurchmesser CFD Laufradaustrittsbreite Diffusorbreite Schaufelanzahl Dichte statische Temperatur dynamische Viskosit¨at Volumenstrom im BEP Eintrittsgeschwindigkeit im BEP Drehzahl

71

Wert DN = 135mm DS = 227mm D2 = 390mm DM E2 = 397mm Dout = 450mm b2 = 28mm s0 = 30mm z=7 kg ρ = 1, 154 m 3 Tamb = 15K kg µ = 1.773 · 10−5 ms 3 V˙ = 993 mh Uin = 10.55 ms 1 n = 4000 min

Tabelle 6.1.: Maschinendaten, Versuchsparameter und Meridianschnitt nS 28

rotationsperiodischen Bedingungen ausgegangen werden. Die in Kapitel 2 beschriebene Berechnungsmethode eines einzelnen Laufradkanals kann demnach angewendet werden. Sowohl im Versuch als auch in der Simulation kann bei den erreichten Machzahlen von inkompressibler Str¨omung ausgegangen werden. Die charakteristischen Str¨omungsgr¨oßen der Pumpe sind f¨ ur den Bestpunkt (BEP, Best Efficiency Point) nachfolgend angegeben. V˙ N0.5 0.75 HN

spezifische Drehzahl

nS = n ·

Re am Laufradeintritt

Rein,N =

Re am Laufradaustritt

Reu2 =

Machzahl am Laufradeintritt

M ain,N =

Machzahl am Laufradaustritt M au2 =

ρ µ

ρ µ

1 = 26.8 min

· Uin (DS − DN ) = 63000

· u2 · D2 = 2.07 · 106 √Uin κRT

√ u2 κRT

= 0, 032

= 0, 24

Im Rahmen dieser Arbeit wird die beschriebene Versuchsvariante zur Simulation einer reinen Laufradstr¨omung mit dem Ziel der Validierung des Einflusses der Turbulenzmodellierung und der Wandbehandlung benutzt. Die Berechnung eines Pumpenlaufradkanals mit numerischer Aufl¨osung der Wandgrenzschicht ist hier von besonderem Interesse. Der durchgef¨ uhrte Vergleich beider Wandbehandlungen f¨ ur einen einzelnen Laufradkanal bzw. gar eine gesamte Pumpe ist in der Literatur noch nicht dokumentiert. Das zu modellierende Rechengebiet ist in Abb.6.1 rechts und in Tabelle 6.1 im Meridianschnitt dargestellt. In der Messebene ME1 stromauf des Laufrades liegt eine ausgeglichene Rohrstr¨omung vor. Von Skoda [101] wurde nachgewiesen, dass die verk¨ urzte Modellierung des Saugrohres keinen signifikanten Einfluss hat. Es wird daher wie in Abb.6.1 rechts dargestellt mit verk¨ urztem Saugrohr gerechnet. Als Eintrittsrandbedingung wird eine aus dem Volumenstrom des Betriebspunktes bestimmte konstante Axialgeschwindigkeit vorgegeben. Da keine 71

6.1. LAUFRAD EINER NS 28 RADIALPUMPE MIT RINGDIFFUSOR

72

Turbulenzgr¨oßen am Eintritt bekannt sind, wird ein Turbulenzgrad von 5% und ein L¨angenmaß L = 0.1 · DS angenommen, woraus man mit den in Kapitel 4 angegebenen Gleichungen kin und ²in bestimmen kann. Der Radialdiffusor wird bis zu einem Radius von Dout = 450mm modelliert. Die dem blockstrukturierten Rechengitter zugrundeliegende Blocktopologie wurde von Skoda und Einzinger [102] entwickelt und f¨ ur diese Arbeit zur Verf¨ ugung gestellt. Die Schaufel wird von einem C-Netz umschlossen, das sich gut f¨ ur eine gleichm¨aßige Wandaufl¨osung eignet. Die abgedrehte Laufradhin6 5 terkante hat sich f¨ ur diesen Fall als optima4 le Geometrie erwiesen [101]. F¨ ur die beab1 2 sichtigte Auswertung in dieser Arbeit musste die vorhandene Blocktopologie leicht modifiziert werden, so dass alle verwendeten Rechengit3 ter eine Blocktopologie gem¨aß Abb.6.2 aufweisen. Zum einen wird ein zus¨atzlicher Block eingef¨ ugt, um am Radius der Messebene eine durch einen Blocklaufindex definierte Ebene zu erhalAbbildung 6.2.: Blocktopoloie nS 28 ten (Blockgrenze zwischen 5 und 6). Die Auswertung kann damit exakt am Radius RM E2 erfolgen. Weiterhin wird ein geometrischer Modellierungsfehler weitgehend vermieden, indem die reale Diffusorbreite ab der Messebene modelliert wird. Direkt hinter dem Laufradaustritt weitet sich die axiale Breite um je 1 mm von b2 auf s0 , was im Originalgitter durch den automatisierten Gittergenerierer nicht ber¨ ucksichtigt war. Im Modell weitet sich das Netz ab der Messebene auf die reale Diffusorbreite, da bedingt durch den C-Netz Block eine der Realit¨at entsprechende Aufweitung direkt ab Laufradaustritt nicht m¨oglich war. In Abb.6.3 sind die beiden WF-Rechengittervarianten mit verschiedenen Diffusorbreiten dargestellt. F¨ ur jede der beiden Modellvarianten werden je zwei Rechengit-

Abbildung 6.3.: Modellierte Diffusorbreite und zugeh¨origes WF-Rechengitter im Bereich Schaufelhinterkante f¨ ur beide Rechengebiete

72

6.1. LAUFRAD EINER NS 28 RADIALPUMPE MIT RINGDIFFUSOR

73

ter, f¨ ur Wandfunktionen und LowRe-Wandbehandlung erzeugt. Auf dem groben Netz wird ein dimensionsloser Wandabstand von y + ≈ 30 ÷ 40 und auf dem feinen y + ≈ 1 ÷ 2 eingestellt. Die y + -Verl¨aufe entlang der mittleren Schaufelsehnenl¨ange auf DS und SS sind f¨ ur beide Gitter in Abb.6.5 dargestellt. Das C-Netz um die Schaufeloberfl¨ache muss beim feinen Netz, wie in Abb.6.2 angedeutet, wegen der hohen Knotenanzahl in zwei Bl¨ocke unterteilt werden, w¨ahrend beim groben Netz ein Block gen¨ ugt. Die Bezeichnung der einzelnen Gitter und deren Gr¨oße sind in nachfolgender Tabelle zusammengefasst. Die Gitter in der mittleren StromebeGitter WF-1 LR-2 WF-3 LR-4

Diffusor A A B B

Wandbehandlung WF LowRe WF LowRe

Knotenanzahl 85425 803403 88774 898195

Knoten Nabe-Decks. 17 51 17 51

Tabelle 6.2.: Gittergr¨oßen Radialpumpe nS 28

ne zwischen Nabe und Deckscheibe sind in Abb.6.4 dargestellt. Deutlich zu erkennen ist die Blockaufteilung und die extrem feine Vernetzung in Wandnormalenrichtung f¨ ur LowRe. Bei

Abbildung 6.4.: Rechengitter im Bereich Schaufelvorderkante links f¨ ur Wandfunktionen, mitte und rechts f¨ ur LowRe-Wandbehandlung

diesem Anwendungsfall wird bez¨ uglich der Relativbewegung kein Modellierungsfehler gemacht. Der Einfluss der realen Diffusorgeometrie wird untersucht. Insgesamt bleiben im Vergleich zur realen Str¨omung die folgenden Modellierungsfehler bestehen und m¨ ussen bei der Ergebnisbewertung ber¨ ucksichtigt werden. • Nichtber¨ ucksichtigung der Radseitenraum-Spalte der Maschine • Deckscheibe ist an Stirnseite real abgerundet (vgl. Abb.6.1) • ideal glatte W¨ande werden angenommen • reale Diffusorbreite erst ab Radius der Messebene

73

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE 80

4

y+ Schaufelmitte

70

3

50

2.5

40

2

30

1.5

20

1

10 0.2

0.5

DS SS

BP:120 SP

0.4

0.6

y+ Schaufelmitte

3.5

60

0.8

DS SS

BP:120

HK

74

SP

0.2

0.4

0.6

0.8

HK

Abbildung 6.5.: Dimensionsloser Wandabstand y + bei Q/QN = 1.2 mit WF (links) und LR (rechts) entlang Schaufelsehnenl¨ange an DS und SS

6.2. nS 20-Radialpumpe mit Kreisquerschnitt-Spiralgeh¨ ause Als erste von zwei kompletten radialen Turbomaschinen wird eine Kreiselpumpe mit der spezifischen Drehzahl von nS 20 als Anwendungsfall ausgew¨ahlt. Es handelt sich um eine im Rahmen eines AiF-Forschungsvorhabens am Fachgebiet TFA von Tamm [111] speziell entwickelte Versuchspumpe zur Erforschung des Wirkungsgradpotenzials von Kreiselpumpen. Die Pumpe im experimentellen Versuchsaufbau ist in Abb.6.6 dargestellt. Zielsetzung war die Quantifizierung

Abbildung 6.6.: Versuchspumpe nS 20: Pr¨ ufstand, 3D-CAD Modell und CFD-Domain des Einflusses verschiedener, den Gesamtwirkungsgrad bestimmender Parameter. Durch die dazu notwendigen konstruktiven Besonderheiten des Versuchsstandes sowie die Messungen von Teilwirkungsgraden eignet sich die Pumpe gut f¨ ur eine numerische Validierung. Die W¨ande der Maschine sind f¨ ur eine der Versuchskonfigurationen poliert und somit als hydraulisch glatt anzusehen. Dies entspricht der Modellierung der Wandfunktionen in Turbulenzmodellen. Die Pumpe kann durch Variation des druckseitigen Dichtspaltes entlastet oder unentlastet betrieben werden. Der unentlastete Fall ist hierbei numerisch einfacher zu modellieren, da fehlerfrei auf diesen Spalt verzichtet werden kann. Die radiale H¨ohe des saugseitigen Dichtspaltes des Radseitenraumes kann definiert eingestellt werden und aufgrund der sehr steifen Ausf¨ uhrung der Lagerung als im Betrieb konstant angesehen werden. Das Spiralgeh¨ause hat eine Symmetrieebene normal zur Drehachse des Laufrades, was f¨ ur die ohnehin aufw¨andige blockstrukturierte 74

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE

75

Vernetzung dieses Bauteiles von Vorteil ist. Die f¨ ur die Modellerstellung wesentlichen Geometriedaten sind in Tabelle 6.3 angegeben und in Abb.6.7 bezeichnet. Die Pumpe wird im Wasserversuch betrieben. Mit den eingestellten Stoffwerten gelten f¨ ur die Pumpe im Bestpunkt die folgenden Kennzahlen: - spezifische Drehzahl nS = n ·

V˙ N0.5 0.75 HN

- Re am Laufradeintritt Rein,N = - Re am Laufradaustritt Reu2 =

ρ µ

ρ µ

1 = 19.03 min

· Uin · DS = 3.3 · 105

· u2 · D2 = 7.4 · 106

- Reduzierte Frequenz nach Gleichung (2.1) ωred ≈ 0.8 Da die Pumpe sowohl mit FLUENT als auch mit NS3D mit dem gleichen Rechennetz berechnet werden sollte, mussten bei der Gittergenerierung die Anforderungen beider Codes ber¨ ucksichtigt werden. Die von NS3D geforderte blockstrukturierte Gitteranordnung ist somit diesbez¨ uglich maßgeblich. Das gesamte Rechengebiet wurde in 36 strukturierte Teilbl¨ocke zerlegt, die Aufteilung und die maximale Knotenanzahl eines Blockes innerhalb einer Fluidzone sind in Tabelle 6.5 angegeben. Der blockstrukturierte Aufbau des gesamten Rechennetzes der Pumpe ist der Abb.6.9 zu entnehmen. F¨ ur eine effektive blockstrukturierte Topologie von Saugrohr und Saugmund ist es erforderlich, einen willk¨ urlichen inneren Durchmesser Di einzuf¨ uhren (vgl. Abb.6.7). Der dadurch entstehende Modellierungsfehler ist vernachl¨assigbar, da die Eintrittsgeschwindigkeit nur unwesentlich um 1% erh¨oht werden muss. Bei der Berechnung

Abbildung 6.7.: Geometriedaten der Radialpumpe nS 20 f¨ ur CFD-Modellierung mit dem unstrukturierten Solver von FLUENT k¨onnen mehrere Teilbl¨ocke vereinfachend zu Fluidzonen zusammengefasst werden. Dies erfolgt zweckm¨aßig derart, dass Bl¨ocke mit identischen Randbedingungen eine separate Fluidzone bilden. Das Gesamtmodell wird nach Abb.6.7 in insgesamt sechs Fluidzonen (F1 bis F6) aufgeteilt. S¨amtliche relativ zum Inertialsystem rotierenden Bauteile der Pumpe sind Teil der Fluidzone F2 des Laufrades. Der Anschluss an die angrenzenden Fluidzonen (F1, F2, F5 und F6) erfolgt mittels Grid-Interfaces, entlang derer die angrenzenden Fluidzonen bei transienter Rechnung aneinander vorbeigleiten (Sliding-Mesh). 75

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE Bezeichnung Saugmunddurchmesser aussen Saugmunddurchmesser innen (f¨ ur Gitterblockstruktur) Laufradaußendurchmesser Durchmesser Messebene Laufradaustrittsbreite Diffusorbreite Laufradaustrittswinkel Schaufelanzahl Dichte dynamische Viskosit¨at Volumenstrom im BEP Eintrittsgeschwindigkeit im BEP Drehzahl

76

Wert DS = 100mm Di = 10mm D2 = 260mm DM E = 266mm b2 = 16.5mm s0 = 25mm β2 = 27.7o z=6 kg ρ = 998.2 m 3 kg µ = 1.003 · 10−3 ms 3 V˙ = 93.55 mh Uin = 3.35 ms 1 n = 2000 min

Tabelle 6.3.: Maschinendaten und Versuchsparameter der Radialpumpe nS 20

F2 wird beim FR-Ansatz in einem rotierenden System berechnet, alle angrenzenden W¨ande rotieren relativ zur Fluidzone, so dass sich insgesamt die tats¨achliche Rotationsbewegung im Inertialsystem ergibt. Die Aufteilung des Gesamtgitters in Fluidzonen ist in Tabelle 6.4 angegeben. Da f¨ ur das blockstrukturierte Rechengitter ausschliesslich Hexaederzellen verwendet wurden, konnte eine sehr gute Gitterqualit¨at mit einem mittleren Skewness-Wert von 0.183 erzielt werden. Die Maximalwerte liegen bei 0.836 und finden sich im Laufradaustrittsbereich. Das Rechengitter in den interessantesten Bereichen ist in Abb.6.8 dargestellt. Gut zu erkennen ist die gew¨ahlte Blocktopologie sowie die resultierende Zellenverteilung mit optimierter Gitterqualit¨at.

Abbildung 6.8.: Rechengitter im Bereich Spiralsporn (links), Laufradhinterkante (mitte) und Laufradvorderkante (rechts)

Die Relativbewegung zwischen Laufrad und restlichen Bauteilen wird mit dem FR-Ansatz und transient mit bewegtem Laufrad modelliert. Beide Ans¨atze werden bez¨ uglich ihrer Vorhersagef¨ahigkeit bewertet. Die Anwendung des MP-Ansatzes ist f¨ ur diese Pumpe nicht zu empfehlen. Der unbeschaufelte Radialdiffusor dieser Pumpe weist eine so geringe radiale 76

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE Nummer F1 F2 F3 F4 F5 F6 -

Fluidzone Saugrohr Laufrad Spiralgeh¨ause Druckstutzen vorderer Radseitenraum hinterer Radseitenraum Gesamtpumpe (incl. Interfaces)

Knotenanzahl 90.000 382.157 136.011 10.777 132.000 137.440 896.079

77

Zellenanzahl 82.800 393.744 126.720 9.504 90.720 96.320 799.808

Tabelle 6.4.: Gittergr¨oße der einzelnen Fluidzonen und des gesamten FLUENT-Modells nS 20 Bauteil Saugrohr Interfaceblock Saugrohr-RSR Laufrad-Saugmund Laufrad-Kan¨ale Diffusor rotierend Diffusor station¨ar Spiralgeh¨ause mit Druckstutzen Radseitenraum hinten Radseitenraum vorne

Anzahl der Bl¨ ocke 2 1 6 6 1 1 6 6 6

max. Knotenanzahl (i · j · k) 26 · 91 · 21 7 · 181 · 21 30 · 51 · 21 27 · 51 · 17 27 · 181 · 8 27 · 182 · 5 25 · 199 · 8 12 · 181 · 16 32 · 181 · 9

Tabelle 6.5.: Aufteilung und maximale Blockgr¨oße pro Zone der nS 20 Radialpumpe

Erstreckung auf, dass eine ausgeglichene Str¨omung, d.h. vor allem ohne R¨ uckstr¨omung, f¨ ur keinen Betriebspunkt gegeben ist. Um eine m¨oglichst realistische Modellierung zu gew¨ahrleisten, wurden die Radseitenr¨aume bei dieser Pumpe ber¨ ucksichtigt. Am Eintritt des Rechengebietes wird die Geschwindigkeit normal zum Einstr¨omrand, also ohne Drall, entsprechend dem Betriebspunkt eingestellt, die Kennlinie wird zwischen 0.5 ≤ Q/QN ≤ 1.3 berechnet. Als Austrittsrandbedingung am um 2 Austrittsdurchmesser verl¨angerten Druckstutzen wird ein Gegendruck vorgegeben. Turbulenzgr¨oßen am Eintritt wurden nicht gemessen und daher mit den Formeln aus Kapitel 4 bestimmt. Die zur Validierung der Turbulenzmodellierung an dieser Pumpe herangezogenen Modelle arbeiten alle mit Wandfunktionen. Die erforderliche Gittergr¨oße f¨ ur eine LowRe-Wandbehandlung wurde im vorherigen Kapitel verdeutlicht und ist zum Zeitpunkt dieser Arbeit mit den vorhandenen Ressourcen f¨ ur eine gesamte Pumpe nicht wirtschaftlich durchf¨ uhrbar. Bei dem verwendeten + Gitter wurden dimensionslose Wandabst¨ande von 30 < y < 500 eingestellt. Als Turbulenzmodelle wurden neben dem Standard-k-²-Modell als Referenz dessen realisierbare Variante, das RNG-Modell sowie das SST-Modell mit FLUENT berechnet. Zur Gegen¨ uberstellung wird eine L¨osung mit dem KC-Modell unter NS3D berechnet. Eine station¨are L¨osung mit FR-Ansatz ben¨otigt insgesamt etwa 1000 Iterationen und kann dann als Initialisierungsfeld f¨ ur die transiente Berechnung genutzt werden. Die Zeitschrittweite wurde so festgelegt, dass sich das Laufrad mit jedem Zeitschritt um 2◦ dreht. Bei jedem 77

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE

78

Zeitschritt werden zwischen 5 und 7 Iterationen ben¨otigt, um ein Abfallen der Residuen auf den Ausgangswert zu erreichen. Die Konvergenz der transienten Berechnung wird u ¨ber den Verlauf des Massenstromes durch einen Laufradkanal, durch den statischen Druck am Eintritt und das Rotormoment kontrolliert. Nach 2 bis maximal 3 Laufraddrehungen stellt sich eine zeitperiodische L¨osung ein, die zur Auswertung erforderlichen Daten werden w¨ahrend der darauf folgenden letzten Umdrehung gesichert. Bei Variationen wesentlicher L¨osungsparameter der transienten Berechnung zeigt sich eine leicht merkbare Abh¨angigkeit von der Anzahl der Iterationen pro Zeitschritt, wogegen die Zeitschrittweite in weiteren Grenzen variiert werden kann, ohne dass sich das Ergebnis a¨ndert. Mit den berechneten L¨osungen dieser Pumpe kann

Abbildung 6.9.: Blocktopologie des Rechengitters der Radialpumpe nS 20 mit RSR zun¨achst der Einfluss des verwendeten Turbulenzmodells auf integrale Pumpenkenngr¨oßen direkt quantifiziert werden. Zus¨atzlich k¨onnen Auswirkungen auf Str¨omungsgr¨oßen im Inneren der Maschine verglichen werden und somit Aussagen u ¨ber den tats¨achlichen Nutzen theoretisch besser geeigneter Turbulenzmodelle getroffen werden. Weiterhin bietet insbesondere die Datenmenge der transienten L¨osungen eine Vielzahl von M¨oglichkeiten, die Wechselwirkungen zwischen Laufrad und Spiralgeh¨ause darzustellen und zu bewerten. Die CFD-Daten k¨onnen, entsprechend aufbereitet, zum erweiterten Verst¨andnis der komplexen Str¨omungsvorg¨ange im Kopplungsbereich beitragen. Im Vergleich mit den Ergebnissen der quasi-station¨aren FR-Berechnung lassen sich deutlich die Vor- und Nachteile der jeweiligen Methoden zur Berechnung der Laufrad-Spirale Kopplung zeigen. Abschließend seien die bei der Modellierung der nS 20-Pumpe verbleibenden Modellierungsfehler genannt, die bei der Bewertung der Ergebnisse bedacht werden m¨ ussen. • Hohlraum an Nabeinnendurchmesser, um blockstrukturierte Netztopologie zu erm¨oglichen (real: normales Rohr) • Schaufelvorderkante spitz zulaufend, vgl. Abb.6.8) (real: runde Vorderkante mit sehr kleinem Radius) • Konstanter Gegendruck als Austrittsrandbedingung (real: Druckschwankungen in Druckleitung) 78

¨ 6.3. NS 26-RADIALPUMPE MIT TRAPEZQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE

79

6.3. nS 26-Radialpumpe mit Trapezquerschnitt-Spiralgeh¨ ause Die zweite im Rahmen dieser Arbeit vollst¨andig modellierte Radialpumpe ist eine Spiralgeh¨ausepumpe, die als konstruktive Besonderheit einen trapezf¨ormigen Spiralenquerschnitt aufweist. Der Versuchsstand wurde von Meschkat [63] am Fachgebiet TFA aufgebaut, wobei mit dem Fluid Luft gemessen wurde, so dass kein geschlossener Kreislauf notwendig war und die Pumpe direkt in die Umgebung f¨ordert. Ziel der Messungen war die Bereitstellung integraler sowie instation¨arer Daten, die zur Validierung numerischer Berechnungen zur Verf¨ ugung stehen sollen. Der Versuchsstand, die Pumpe im CAD-Modell sowie das daraus resultierende CFD-Modell sind in Abbildung 6.10 zu sehen. Der sehr kurz ausgef¨ uhrte Druckstutzen (im

Abbildung 6.10.: Versuchspumpe nS 26: Pr¨ ufstand, 3D-CAD-Modell und CFD-Domain Foto links in Abb.6.10) erm¨oglicht ein einfaches, stufenloses und sehr genaues Positionieren der jeweiligen Messsonden (Traversiervorrichtung im CAD-Modell in Abb.6.10) am Spiralumfang durch Drehen des Spiralgeh¨auses. Die somit gewonnenen Daten, insbesondere in 5◦ Umfangswinkelabstufungen im Bereich des Sporns, eignen sich optimal zum Vergleich mit numerischen Ergebnissen. Sowohl bei den Messungen als auch aus den numerischen Ergebnissen wurde schnell eine Verschiebung des Bestpunktes hin zu kleineren Volumenstr¨omen erkannt. Dies wird sp¨ater ausf¨ uhrlicher diskutiert, an dieser Stelle werden aber bereits die Kennzahlen der Maschine im Betriebspunkt Q/QN = 0.8, der dem Bestpunkt am n¨achsten kommt, angegeben. - spezifische Drehzahl nS = n ·

V˙ N0.5 0.75 HN

- Re am Laufradeintritt Rein,0.8 = - Re am Laufradaustritt Reu2 =

ρ µ

ρ µ

1 = 25.4 min

· Uin · DS = 7.2 · 104

· u2 · D2 = 1.8 · 106

- Reduzierte Frequenz nach Gleichung (2.1) ωred ≈ 1.0 Die Reynoldszahlen liegen etwas niedriger als bei der nS 20-Pumpe, von vollturbulenter Str¨omung kann in beiden F¨allen ausgegangen werden. Die wesentlichen geometrischen Daten der Pumpe sowie die wichtigsten Parameter und Stoffgr¨oßen sind in Tabelle 6.7 angegeben. Die Pumpe wird ohne Radseitenr¨aume modelliert, da der Schwerpunkt der Untersuchungen hier auf den instation¨aren Laufrad-Spirale Wechselwirkungen liegt. Motivation zur numerischen Simulation war unter anderem ein zu Beginn der Messungen nicht erkl¨arbares zeitliches 79

¨ 6.3. NS 26-RADIALPUMPE MIT TRAPEZQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE

80

Verhalten des Abstr¨omwinkels im Spornbereich, das aber nicht durch RSR-Einfl¨ usse verursacht werden konnte. Die Vernachl¨assigung der RSR erfolgte unter diesen Gesichtspunkten, sie muss aber bei Darstellung der Kennlinien ber¨ ucksichtigt werden. Die sonstige Vorgehensweise

Abbildung 6.11.: Rechengitter im Bereich Laufradvorderkante, -hinterkante und Spiralsporn bei der Modellerstellung entspricht in weiten Teilen der nS 20-Pumpe. Der rechteckige Austrittsquerschnitt des Spiralgeh¨auses wird um das dreifache der gr¨oßeren Seite verl¨angert, um die in diesem Bereich auftretenden Str¨omungsabl¨osungen vom Austrittsbereich fernzuhalten. In gleicher Absicht wird das Saugrohr um drei Durchmesser verl¨angert. Obwohl eigentlich nicht f¨ ur diese Arbeit ben¨otigt, wurde das komplette Rechengitter, um es grunds¨atzlich einer Berechnung mit NS3D zug¨anglich zu machen, wiederum blockstrukturiert aufgebaut. Das Saugrohr wurde zu diesem Zweck, wie schon oben geschildert, innen hohl modelliert. Obwohl der Trapezquerschnitt des Spiralgeh¨auses str¨omungstechnisch eher ung¨ unstig ist, erleichtert er das blockstrukturierte Vernetzen erheblich. Die Laufradvorderkante wird im Gegensatz zur nS 20-Pumpe tats¨achlich rund und somit geometrisch korrekt modelliert. Dadurch werden f¨ ur das gesamte Laufrad mehr Bl¨ocke ben¨otigt, was die Einsparung bei der Spirale aufgrund des Trapezquerschnittes kompensiert. Die Blocktopologie und die erreichte Gitterqualit¨at ist in den Ausschnitten des Rechengitters in Abbildung 6.11 gut erkennbar, die schlechtesten Zellen finden sich wiederum im Bereich des druckseitigen Laufradaustritts. F¨ ur die Berechnung der Pumpe mit dem Solver FLUENT konnten wieder Einzelbl¨ocke, f¨ ur die gleiche Randbedingungen gelten, zu einer Fluidzone zusammengefasst werden. Ohne die RSR konnte mit vier Fluidzonen (F1 bis F4), wie in Abbildung 6.12 dargestellt, gearbeitet werden. Fluidzone F2 wird von allen relativ zum Inertialsystem rotierenden W¨anden begrenzt. Die Trennung zwischen F3 und F4 ist aus Gr¨ unden der Modellrandbedingungen nicht notwendig, sondern ist eine Folge der nachtr¨aglichen Verl¨angerung des Spiraldruckstutzens. Die Gr¨oße der einzelnen Fluidzonen ist in Tabelle 6.6 angegeben. Die Gesamtzahlen von Knoten und Zellen entsprechen ungef¨ahr denen der nS 20-Pumpe und h¨angen vor allem vom erforderlichen Wandabstand der ersten Zelle, Anforderungen an die Gitterqualit¨at sowie subjektiven Qualit¨atskriterien ab. Die Gesamtknotenanzahl ergibt sich nicht wie die Gesamtzellenanzahl aus der Summe der Einzelteile, da FLUENT f¨ ur die Gitter-Interfaces zwischen rotierenden und stillstehenden Fluidzonen zus¨atzliche Hilfsfl¨achen ben¨otigt. Die Kopplung dieser Fluidzonen wird bei der nS 26-Pumpe entsprechend der nS 20-Pumpe sowohl mit dem FR-Ansatz als auch transient berechnet, auf den MP-Ansatz wird aus oben genannten Gr¨ unden verzichtet. Die Eintrittsrandbedingung 80

¨ 6.3. NS 26-RADIALPUMPE MIT TRAPEZQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE

81

Abbildung 6.12.: Geometriedaten der Radialpumpe nS 26 f¨ ur CFD-Modellierung und Einteilung der Fluid-Zonen Nummer F1 F2 F3 F4 -

Fluidzone Saugrohr Laufrad Spiralgeh¨ause Druckstutzen Gesamtpumpe (incl. Interfaces)

Knotenanzahl 96.390 394.331 178.066 19.136 698.112

Zellenanzahl 88.704 358.400 164.252 17.050 628.406

Tabelle 6.6.: Gittergr¨oße der einzelnen Fluidzonen und des gesamten FLUENT-Modells nS 26

errechnet sich aus der zum Betriebspunkt geh¨origen drallfreien Geschwindigkeit, die Kennlinie wird zwischen 0.5 ≤ Q/QN ≤ 1.2 berechnet. Die verwendeten Turbulenzmodelle in FLUENT sind wiederum SKE, RKE, RNG und SST, jeweils mit Wandfunktionen. Die Vorgehensweise bei der Berechnung, d.h. Initialisierung, Konvergenz, Anzahl der Iterationen etc. ist entsprechend der nS 20-Pumpe. Die wichtigsten Ziele der Berechnung dieser Pumpe sind vor allem die Untersuchung der instation¨aren Str¨omungsph¨anomene im Bereich der Spiralzunge aufgrund der Laufrad-Spirale Wechselwirkungen. Zus¨atzlich kann der Einfluss des verwendeten Turbulenzmodells auf die Kennlinien quantifiziert werden. Zur Untersuchung dieser Zusammenh¨ange stehen somit insgesamt zwei Pumpen unterschiedlicher Bauart zur Verf¨ ugung. Abschließend seien auch f¨ ur diese Pumpe die verbleibenden Modellierungsfehler genannt, die bei der Bewertung der Ergebnisse bedacht werden m¨ ussen: • Hohlraum an Nabeinnendurchmesser, um blockstrukturierte Netztopologie zu erm¨oglichen (real: normales Rohr) • Konstanter Gegendruck als Austrittsrandbedingung (real: Druckschwankungen in Druckleitung) • Verzicht auf RSR 81

¨ 6.3. NS 26-RADIALPUMPE MIT TRAPEZQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE Bezeichnung Saugmunddurchmesser aussen Saugmunddurchmesser innen (f¨ ur Gitterblockstruktur) Laufradaußendurchmesser Durchmesser Messebene Laufradaustrittsbreite Diffusorbreite Schaufelanzahl Dichte dynamische Viskosit¨at Volumenstrom im BEP Eintrittsgeschwindigkeit im BEP Drehzahl

82

Wert DS = 246mm Di = 20mm D2 = 405mm DM E = 417mm b2 = 29.15mm s0 = 34.3mm z=7 kg ρ = 1.205 m 3 −5 kg µ = 1.7 · 10 ms 3 V˙ = 879.31 mh Uin = 5.1732 ms 1 n = 3000 min

Tabelle 6.7.: Maschinendaten und Versuchsparameter der Radialpumpe nS 26

• Verl¨angerung des Spiraldruckstuztens (real: frei ausblasend, vgl. Foto in Abb.6.10)

Bedarf an Rechnerressourcen S¨amtliche in dieser Arbeit vorgestellten Berechnungen wurden auf dem fachgebietsinternen Linux-Rechnercluster durchgef¨ uhrt. Das mit der Zeit gewachsene heterogene PC-Cluster besteht momentan aus sechs 700 MHz AMD-Athlon Rechenknoten mit je 500 MB Arbeitsspeicher, weiteren sechs 1GHz AMD-Athlon Rechenknoten mit je 1GHz Arbeitsspeicher, einer 1.5 GHz AMD-Athlon Doppelprozzesor-Maschine mit 2GHz Arbeitsspeicher und einer 2.6 GHz Intel-Xeon Doppelprozessor-Maschine mit 4GHz Arbeitsspeicher. Somit stehen 14 Prozessoren unterschiedlicher Leistungsf¨ahigkeit als Rechenknoten zur Verf¨ ugung. Die Parallelisierung des NS3D FORTRAN Codes erfolgt u ¨ber MPI-Bibliotheken, wodurch jeder Block des Rechengebietes einen eigenen Prozess ben¨otigt. Idealerweise wird daher einem Gitterblock genau ein PC-Prozessor zugeordnet. F¨ ur den ung¨ unstigen Fall, dass die Anzahl der Gitterbl¨ocke die verf¨ ugbaren Prozessoren u ussen Pro¨bersteigt, wie bei den beiden Pumpen nS 20 und nS 26, m¨ zessoren mehrfach belegt werden. Die maximale Anzahl der Gitterbl¨ocke ist daher so gering wie m¨oglich zu halten. Bei Rechnungen mit FLUENT ist dieses Problem nicht vorhanden, da das gesamte Rechengebiet wahlweise auf einem oder mehreren Prozessoren verteilt werden kann. Hier ist eher die Speicherbelegung als Grenze zu sehen, die messbar unterhalb des maximalen Arbeitsspeichers liegen muss. Die blockstrukturierte Vernetzung der beiden Pumpen macht sich in diesem Zusammenhang positiv bemerkbar, da das Verh¨altnis von Knoten zu Zellen jeweils etwa eins betr¨agt (vgl. Tabelle 6.4 und 6.6). Unstrukturierte Netze weisen ein Verh¨altnis deutlich kleiner als eins auf, wodurch der Arbeitspeicherbedarf erheblich ansteigt. Beide Pumpen erreichen bei je einem Rechenknoten eine Speicherauslastung von etwa 600 MB bei instation¨arer Rechnung.

82

83

7. Bestimmung von Kennlinien Das wichtigste Ergebnis der numerischen Simulation einer Kreiselpumpe sind aus anwendungsorientierter Sicht die berechneten Kennlinien. In diesem Kapitel soll daher die Vorhersagef¨ahigkeit von CFD-Rechnungen bez¨ uglich integraler Pumpenkenngr¨oßen untersucht werden. Ausgehend von der Definition der betrachteten integralen Gr¨oßen sowie einer grunds¨atzlichen Diskussion der numerischen und experimentellen Zug¨anglichkeit und somit Vergleichbarkeit dieser Gr¨oßen werden sequentiell die Ergebnisse der berechneten Radialpumpen vorgestellt. Ziel der Untersuchungen ist eine Validierung der Einfl¨ usse der beiden oben beschriebenen Modellierungsunsicherheiten Turbulenzmodellierung und numerische Behandlung der Laufrad-Spirale Kopplung. Am Beispiel des ns 28-Laufradkanals werden zudem Turbulenzmodelle mit Aufl¨osung der Wandgrenzschicht zum Vergleich mit Wandfunktionen herangezogen.

7.1. Bestimmung integraler Gro ¨ßen bei Kreiselpumpen Zur Beurteilung der G¨ ute einer Kreiselpumpe dienen in erster Linie die messtechnisch erfassbaren integralen Gr¨oßen F¨orderh¨ohe H, Drehmoment M und Wirkungsgrad η. F¨ ur verschiedene Betriebszust¨ande aufgetragen ergeben diese die Kennlinien der Maschine. Beim Vergleich experimentell und numerisch ermittelter Kennlinien ist eine vergleichbare Auswertung von entscheidender Bedeutung, daher soll an dieser Stelle n¨aher auf die Bestimmung eingegangen werden. Der Wirkungsgrad einer Pumpe l¨asst sich nach Stoffel [109] in mehrere Teilwirkungsgrade aufteilen, die alle anteilig den Gesamtwirkungsgrad der Maschine ηG beeinflussen, wie z.B. M¨ unch [64] und Tamm [111] experimentell quantitativ zeigen. ηG = ηi · ηmech = ηh,La · ηh,Sp · ηrsr · ηvol · ηmech

(7.1)

Der mechanische Wirkungsgrad ηmech ergibt sich aus dem Verh¨altnis des inneren, d.h auf das Fluid wirksamen Momentes Mi zum messbaren Wellenmoment MW . Die Differenz beider Momente ist das messtechnisch nur aufw¨andig zu bestimmende Reibmoment in Lagern und Dichtungen. Das numerisch durch Summation der Umfangskomponenten der viskosen Kr¨afte und Druckkr¨afte u ¨ber alle Wandzellfl¨achen der rotierenden Oberfl¨achen erhaltene Moment entspricht dem inneren Moment Mi . Somit ist der numerisch berechnete Wirkungsgrad der Pumpe ein innerer Wirkungsgrad ηi , der multipliziert mit dem unbekannten ηmech den Gesamtwirkungsgrad liefern w¨ urde. 83

¨ 7.1. BESTIMMUNG INTEGRALER GROSSEN BEI KREISELPUMPEN

84

Zur Bestimmung des inneren Wirkungsgrades gibt es unterschiedliche M¨oglichkeiten. Die erste und einfachere Methode bildet nach Gleichung (7.2) das Verh¨altnis zwischen hydraulischer Leistung Ph und innerer Wellenleistung Pi durch eine Gesamtbilanz u ¨ber die Maschine. Die Leistung Pi folgt direkt aus Drehzahl und innerem Moment. ηi =

Ph ρ · g · V˙ · H = Pi ω · Mi

(7.2)

Die F¨orderh¨ohe H bestimmt man hierbei numerisch aus den massenstromgewichteten Totaldruckdifferenzen u ¨ber die dem Experiment entprechenden Bilanzfl¨achen an Ein- und Austritt. Bei instation¨aren Rechnungen muss noch arithmetisch u ¨ber alle Zeitschritte einer Laufraddrehung gemittelt werden. Die geod¨atischen H¨ohendifferenzen werden im Experiment wie in der Numerik nicht ber¨ ucksichtigt. Die experimentell zum Totaldruck beitragenden Geschwindigkeiten bestimmt man aus dem Volumenstrom und den Querschnittsfl¨achen der Messebenen, die Dr¨ ucke sind statische Wanddr¨ ucke, daher spricht man in diesem Zusammenhang auch von statischen Kennlinien. H=

ptot,A − ptot,E ρ·g

(7.3)

Bei der zweiten M¨oglichkeit zur Bestimmung des inneren Wirkungsgrades ηi bildet man das Produkt der Teilwirkungsgrade entsprechend der Aufteilung in Gleichung (7.4). ηi = ηh,La · ηh,Sp · ηrsr · ηvol

(7.4)

Diese Teilwirkungsgrade sind experimentell oft unbekannt, da nur aufw¨andig zu ermitteln. Numerisch liegen s¨amtliche Teilwirkungsgrade vor, wenn die gesamte Maschine inklusive RSR berechnet wird. Die experimentellen Teilwirkungsgrade liegen bei der berechneten n s 20-Pumpe vollst¨andig vor, bei der ns 26-Pumpe sind diese unbekannt, auch daher wird auf die Modellierung der RSR hier verzichtet. Da die Str¨omung im Radseitenraum der Pumpe ein Reibmoment verursacht, folgt ηrsr aus dem Anteil des Radseitenraummomentes Mrsr am inneren Moment. Das im Laufrad tats¨achlich auf das Fluid u ¨bertragene Moment MF wird also um mechanisches Reibmoment und Radseitenraummoment vermindert. Der Volumenstrom durch das Laufrad einer Pumpe ist immer gr¨oßer als außerhalb der Pumpe gemessen, da der Volumenstrom V˙ rsr durch den RSR mitgef¨ordert werden muß, somit ist ηV ol das Verh¨altnis von außen gemessenem zu Laufrad-Volumenstrom. Beide fasst man auch zum Sekund¨arwirkungsgrad ηsek zusammen, der gem¨aß Gleichung (7.5) numerisch einfach bestimmbar ist. ηsek = ηrsr · ηvol =

Mi − Mrsr V˙ · Mi V˙ + V˙ rsr

(7.5)

Der hydraulische Wirkungsgrad der Maschine ist das Produkt aus beiden Teilwirkungsgraden in Laufrad (ηh,La ) und Spiralgeh¨ause (ηh,Sp ). Die Bestimmung von ηh,La liefert genauere Informationen zur Beurteilung der Energieumwandlung im Laufrad. Diesen Teilwirkungsgrad ermittelt 84

¨ 7.1. BESTIMMUNG INTEGRALER GROSSEN BEI KREISELPUMPEN

85

man recht aufw¨andig aus Messungen so nahe dem Laufradaustritt wie m¨oglich. Hierbei werden an mehreren, jeweils festen Spiral-Umfangspositionen (Z¨ahler i) Totaldruck und Abstr¨omwinkel α ensemble-gemittelt gemessen und der Position des drehenden Laufrades zugeordnet. Alle ucke werden als Differenz zum jeweiligen Druck vor dem Laufrad erfasst. ¨ortlich gemessenen Dr¨ Man erh¨alt die typischen Weg-Zeit-Diagramme“ des Laufradaustritts bei Pumpen, bei denen ” man aus Kenntnis der Abtastfrequenz eine Zeit einem Drehwinkel φ des Laufrades zuordnen kann. Dies wird f¨ ur mehrere Axialpositionen s durchgef¨ uhrt und man erh¨alt die Felder ptot,i (φ, s) und αi (φ, s). Aus Totaldruck, statischem Druck und Abstr¨omwinkel berechnet man nun die Absolutgeschwindigkeit ca gem¨aß s ptot,i (φ, s) − pi (φ, s) ca,i (φ, s) = (7.6) 0, 5 · ρ Hiermit ergeben sich die Felder der Umfangs- und Radialgeschwindigkeit gem¨aß den nachfolgenden Gleichungen, wobei aufgrund der meist kleinen α-Winkel die u ¨ber den Kosinus berechnete Umfangskomponente die weniger fehlerbehaftete ist. cu,i (φ, s) = ca,i (φ, s) · cos αi (φ, s)

cr,i (φ, s) = ca,i (φ, s) · sin αi (φ, s)

(7.7) (7.8)

Die entsprechenden Felder des statischen Drucks folgen bei Verwendung einer EinlochZylindersonde direkt aus der Kalibration der Sonde [3],[111]. Bei numerischen Berechnungen liegen mit dem Ergebnis s¨amtliche Felder aller St¨omungsgr¨oßen vor. Es muss allerdings betont werden, dass die Gr¨oße φ des numerisch berechneten Feldes cu,i (φ, s) sofort eine echte Ortsgr¨oße ist, wogegen in Gleichung (7.7) mit φ eine umgerechnete Zeitgr¨oße gemeint ist. In Kapitel 8 wird hierauf noch genauer eingegangen, da dies beim ortsaufgel¨osten Vergleich der Str¨omungsgr¨oßen im Diffusor von entscheidender Bedeutung ist. Beim Vergleich integraler Gr¨oßen spielt dies keine Rolle. Um aus den Feldern der Str¨omungsgr¨oßen die Kennlinien des Laufrades bestimmen zu k¨onnen, m¨ ussen geeignete Mittelungsverfahren einen integralen Wert in der Messebene liefern. Die experimentellen Daten werden nach Gleichung (7.9) massenstromgewichtet u ¨ber die Breite s des Diffusors und u ¨ber den Umfang φ einer Schaufelteilung oder des gesamten Umfanges 2π gemittelt. Bei Mittelung u ¨ber den gesamten Umfang muss das zeitabh¨angige Drucksignal der Messung zun¨achst in einen Drehwinkel umgerechnet werden und danach eine geeignete Mittelung aller Messpositionen erfolgen, so dass schließlich eine Verteilung f¨ ur einen festen Zeitpunkt u ¨ber eine gesamte Laufraddrehung vorliegt. R R (c2u (φ, s) · c2r (φ, s)) ∂φ∂s s φ R R (7.9) c2u = (c2r (φ, s)) ∂φ∂s s φ

Die numerischen Ergebnisse werden ebenso massengewichtet u ¨ber den gesamten Umfang gemittelt, zus¨atzlich muss eine Fl¨achenwichtung durchgef¨ uhrt werden, da die Gr¨oßenunterschiede der Zellen dies erforderlich machen. Dies wird f¨ ur jeden Zeitschritt einer Laufradumdrehung durchgef¨ uhrt, da f¨ ur jeden Zeitschritt das gesamte Str¨omungsfeld vorliegt. Anschliessend wird eine arithmetische Mittelung u uhrt. Mit den derart gemittelten ¨ber alle Zeitschritte durchgef¨ 85

¨ 7.1. BESTIMMUNG INTEGRALER GROSSEN BEI KREISELPUMPEN

86

Gr¨oßen in der Messebene kann der Laufradwirkungsgrad unter der Voraussetzung einer drallfreien Laufradzustr¨omung (c1u = 0) nach Gleichung (7.10) aus dem Verh¨altnis von Druckzahl ψ0,La (7.11) zu theoretischer Druckzahl ψth,La (7.11) bestimmt werden. ηh,La =

ψ0,La

ψ0 ptot,2 − ptot,E = ψth ρ · u2 · c2u

¡ ¢ 2 · ptot,2 − ptot,E = ρ · u22

ψth,La =

(7.10)

2 · c2u u2

(7.11)

Die Druckzahlen sind dimensionslose Kennzahlen, die mit dem Faktor (u22 )/(2g) in Laufradf¨orderh¨ohen (HLa bzw. Hth,La ) umgerechnet werden k¨onnen. Die experimentelle Bestimmung des hydraulischen Laufradwirkungsgrades erfolgt in der Messebene im Diffusor. Der Radius dieser Messebene ist festgelegt durch den minimal m¨oglichen radialen Abstand zur Laufradhinterkante bei voller Funktionsf¨ahigkeit der eingesetzten Messonde. Dieser Abstand betr¨agt meist zwischen 3 und 5 mm. Die Messungen von Hambrecht [32] zeigen eine sehr deutliche Abh¨angigkeit der f¨ ur die Kennlinien wichtigen gemittelten Daten f¨ ur p0 und cu vom gew¨ahlten radialen Abstand. Die Umfangskomponente nimmt mit zunehmendem radialen Abstand demnach schneller ab als der Totaldruck. Der in der Messebene experimentell bestimmte hydraulische Laufradwirkungsgrad wird somit nach Gleichung (7.10) zu groß sein. Aus den numerischen Ergebnissen ist es m¨oglich, ηh,La sowohl in der dem Experiment entsprechenden Messebene als auch direkt am Laufradaustritt zu ermitteln. Bei Vergleichen ist es somit wichtig zu wissen, an welcher Radialposition die Daten ermittelt wurden. Der hydraulische Wirkungsgrad der Spirale ηh,Sp schließlich wird dann aus der berechneten Laufradf¨orderh¨ohe HLa (bzw. ψ0,La ), welche der Summe aus Gesamtf¨orderh¨ohe H und F¨orderh¨ohenabfall im Spiralgeh¨ause HV,Sp entspricht, und der Gesamtf¨orderh¨ohe H nach Gleichung (7.12) bestimmt. ηh,Sp =

H ptot,A − ptot,E H = = HLa H + HV,Sp ptot,2 − ptot,E

(7.12)

Je nach radialer Auswerteposition (r2 oder rM E ) von ηh,La ¨andert sich somit auch ηh,Sp , und zwar abnehmend bei zunehmendem Radius.

86

7.2. LAUFRADKENNLINIEN DER NS 28 RADIALPUMPE

87

7.2. Laufradkennlinien der nS 28 Radialpumpe Die in Kapitel 6 vorgestellte ns 28-Radialpumpe wird in der Konfiguration frei abstr¨omendes Laufrad untersucht. Das CFD-Modell wurde ohne RSR erstellt. Aufgrund der rotationssysmmetrischen Str¨omungsbedingungen im schaufellosen Radialdiffusor muss nur ein Laufradkanal mit passendem Diffusorteil berechnet werden. Dies bietet die M¨oglichkeit der Analyse des Einflusses der Wandbehandlung. Ergebnisse werden daher nur mit dem NS3D-Code vorgestellt, da mit diesem eine numerische Aufl¨osung der Wandgrenzschicht erfolgen kann. Zum Vergleich mit den experimentellen Daten werden die in Kapitel 5 zur Anwendung gekommenen Turbulenzmodelle herangezogen. Zus¨atzlich wird die LowRe Erweiterung nach Abid des SKE Modells (nachfolgend und in Diagrammen SKE-LR) und die LowRe-Version des LCL Modells (dito LCL-LR) verwendet. Alle Berechnungen wurden quasi-station¨ar im rotierenden Bezugssystem durchgef¨ uhrt. Konvergenz wird nach 5000 Iterationen erreicht, bei Teillast-Betriebszust¨anden ist die Konvergenz schlechter, es muss konservativer unterrelaxiert werden. Dies zeigt sich bei manchen Ergebnissen f¨ ur Q/QN = 0.8, wenn es in der Austrittsebene zu partieller R¨ uckstr¨omung kommt. Das LCL-LR Modell konvergiert nur bei sehr starker Unterrelaxation zu Beginn der Rechnung, wobei zus¨atzlich eine Startl¨osung eines anderen Turbulenzmodells notwendig ist. Die konvektiven Terme werden mit dem MINMOD-Verfahren nach Harten [34] diskretisiert. Dieses Flux-Limiter -Verfahren begrenzt lokal den konvektiven Fluss auf der Zellfl¨ache, der kein neues Maximum sein darf, bei gleichzeitiger globaler Erhaltung der Ordnung des Verfahrens. Stabile Bereiche eines Diskretisierungsschemas lassen sich grafisch in einem Normalized Variable Diagram ablesen, in der sich das MINMOD-Verfahren als bereichsweise Kombination stetiger, linearer Funktionen darstellen l¨aßt [100]. Zus¨atzlich wurde mit einem Flux-Blending-Verfahren dem konvektiven Fluss ein UDS-Beitrag u ¨berlagert, wobei der Faktor β nahe eins gew¨ahlt wird. Kennlinien werden entsprechend dem Versuch im Bereich von 0.8 ≤ Q/QN ≤ 1.2 bestimmt. Messtechnisch werden die Kennlinien mit Hilfe einer Einloch-Zylindersonde ermittelt. In einer station¨aren Messung werden die ben¨otigten Gr¨oßen vor dem Laufradeintritt gemessen, w¨ahrend in der Messebene die Gr¨oßen instation¨ar erfasst werden. Eine Ensemblemittelung und anschließende massenstromgewichtete Mittelung u ¨ber den Umfang, wie oben beschrieben, liefert die nach Gleichung (7.11) ben¨otigten Mittelwerte. Die Vorgehensweise bei der Auswertung der numerischen Daten ist entsprechend. Da bei diesem Anwendungsfall keine Laufrad-Spirale Wechselwirkung stattfindet, beschr¨ankt sich die Darstellung von Kennlinien dementsprechend auf das Laufrad. Integrale Gr¨oßen in Diagrammen werden der einfacheren Vergleichbarkeit wegen jeweils auf die gleiche Art dargestellt wie bei der zugeh¨origen experimentellen Arbeit [3]. Die Zuordnung der vier benutzten Gittervarianten erfolgt in Tabelle 6.2. In Abbildung 7.1 sind die nach Gleichung (7.11) berechneten dimensionslosen Druckzahlen des Laufradkanals f¨ ur die Gittervarianten WF-1 und WF-3 dargestellt. Die beiden oberen Diagramme resultieren aus dem Gitter mit vereinfachter Diffusorbreite b2 , die beiden unteren Diagramme aus dem Gitter mit realer Diffusorbreite s0 ab ME. Man erkennt zun¨achst die recht genaue Bestimmung der theoretischen Druckzahl ψth des Laufrades (auf den Index La wurde hier verzichtet) in den beiden linken Diagrammen. 87

7.2. LAUFRADKENNLINIEN DER NS 28 RADIALPUMPE 1.25

1.2

88

ψ

ψ

0

th

1.15

1.2

1.1 1.15 1.05 1.1

1.05

1

EXP ske rke KC LCL

0.8

0.95

Gitter : 1 0.9

1.0

1.1

1.2

EXP ske rke KC LCL

0.8

Gitter : 1 0.9

Q/QN

1.0

1.1

1.2

1.1

1.2

Q/QN

1.25

1.2

ψth

ψ0

1.15

1.2

1.1 1.15 1.05 1.1

1.05

0.8

1

EXP ske rke KC LCL

0.95

Gitter : 3 0.9

1.0

1.1

1.2

0.8

Q/QN

EXP ske rke KC LCL

Gitter : 3 0.9

1.0

Q/QN

Abbildung 7.1.: Druckzahlen auf Gittern WF-1 und WF-3, vgl. Tab.6.2

Der Einfluss des Turbulenzmodells ist eher gering, alle Modelle liefern eine h¨ochstens 1- bis 2-prozentige Abweichung von den experimentellen Daten, die als Punkte (EXP) eingetragen sind. Der mit dem LCL-Modell berechnete Wert bei BP Q/QN = 0.8 ist auf ein schlecht konvergiertes Ergebnis mit deutlicher R¨ uckstr¨omung am Austritt zur¨ uckzuf¨ uhren. Die gew¨ahlte Diffusorbreite beeinflusst mit WF nicht den Wert von ψth . Deutlichere Abweichungen von den experimentellen Ergebnissen sieht man bei den tats¨achlichen Druckzahlen ψ0 in den beiden rechten Diagrammen. Es ist auff¨allig, daß ψ0 unabh¨angig vom Turbulenzmodell f¨ ur alle BP zwischen 5 und 10% zu ¨ hoch berechnet wird. Bei Uberlast werden Unterschiede zwischen den TM deutlicher, wobei das SKE Modell den Messwerten noch am n¨achsten ist. Die resultierenden hydraulischen Laufradwirkungsgrade nach Gleichung (7.10) sind in Abb.7.2 dargestellt. Folgerichtig sind die berechneten Werte allesamt etwa 5% zu groß. Auch hier ist kein deutlicher Einfluss des TM zu ¨ wo wiederum das SKE-Modell etwa 2% n¨aher bei der Messung liegt als erkennen, außer bei UL, seine theoretisch besser geeignete realizable-Variante RKE. Die beiden anderen TM, LCL und KC, liegen f¨ ur alle gezeigten Diagramme meist in der Mitte zwischen SKE- und RKE-Modell. Eine nennenswerte Beeinflussung der numerischen Ergebnisse durch die Vereinfachung der realen Diffusorbreite kann bei Verwendung von WF nicht nachgewiesen werden. In den nachfolgenden Diagrammen wird auf den Einfluss der Wandbehandlung eingegangen. 88

7.2. LAUFRADKENNLINIEN DER NS 28 RADIALPUMPE 1.05

1.05

η

h,LA

1

0.95

0.9

0.9

0.85

0.85

0.75

0.8

EXP ske rke KC LCL

0.8 0.75

Gitter : 1 0.9

1.0

η

h,LA

1

0.95

0.8

89

1.1

1.2

0.8

EXP ske rke KC LCL

Gitter : 3 0.9

Q/QN

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.2.: Laufradwirkungsgrade auf Gittern WF-1 und WF-3, vgl. Tab.6.2

Druckzahlen und Wirkungsgrade werden hierzu f¨ ur die beiden verwendeten LowRe-Modelle zusammen mit ihren entsprechenden WF-Varianten dargestellt. Abbildung 7.3 zeigt die Ergebnisse auf den Gittern mit vereinfachter Diffusorbreite f¨ ur die LowRe-Version des LCL Modells (LCL-LR im Diagramm), das k-²-LowRe Modell nach Abid (SKE-LR) sowie die jeweiligen Modelle mit WF (LCL-WF und SKE-WF). Die Kennlinien aus den LowRe Rechnungen liegen in 1.3

ψ

ψ

1.3

0

th 1.2

1.2 1.1 1.1

1

0.8

1 EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR 0.9

0.9

Gitter : 1 / 2 1.0

1.1

1.2

0.8

Q/QN

EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR 0.9

Gitter : 1 / 2 1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.3.: Druckzahlen auf Gittern WF-1 und LR-2 - Einfluss der Wandbehandlung beiden Diagrammen deutlich zu hoch, wobei das LCL-LR Modell noch die besseren Ergebnisse liefert. Die tats¨achlichen Druckzahlen ψ0 sind numerisch schwieriger zu bestimmen als ψth , da hier die Verluste eingehen. Verluste im Laufrad werden beispielsweise verursacht durch Mischungsverluste, die infolge von Str¨omungsabl¨osungen oder R¨ uckstr¨omungen auftreten. Zus¨atzlich wichtig sind Reibungsverluste, die im Navier-Stokes-Rechencode ber¨ ucksichtigt werden und deren korrekte Bestimmung stark von der gew¨ahlten Wandbehandlung abh¨angt. Auch Sekund¨arstr¨omungen liefern einen Beitrag zu erh¨ohten Reibungsverlusten. Dies wird numerisch am Beispiel eines einfach durchstr¨omten Rechteckkanals, der experimentell von Huser und Biringen [38] zur Validierung von nichtlinearen Turbulenzmodellen untersucht wurde, mit dem 89

7.2. LAUFRADKENNLINIEN DER NS 28 RADIALPUMPE

90

1.3

ψ

ψ

1.3

0

th 1.2

1.2 1.1 1.1

1

0.8

1 EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR 0.9

0.9

Gitter : 3 / 4 1.0

1.1

1.2

0.8

Q/Q

EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR 0.9

Gitter : 3 / 4 1.0

1.1

1.2

Q/Q

N

N

Abbildung 7.4.: Druckzahlen auf Gittern WF-3 und LR-4 - Einfluss der Wandbehandlung

SKE-Modell getestet. Beim Vergleich der Druckverluste u ¨ber die Kanall¨ange konnte ein h¨oherer Druckverlust bei Verwendung der LowRe-Variante nachgewiesen werden, obwohl mit diesem linearen Modell keine turbulenzinduzierten Eckenwirbel entstehen (vgl. Kapitel 3). Der erh¨ohte Druckverlust kann demnach nur auf eine gr¨oßere Wandreibung zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Die Abh¨angigkeit des Schaufelmomentes Mi 0.5 inneres Moment Mi [Nm] von der gew¨ahlten Wandbehandlung ist in 0.45 nebenstehender Abb.7.5 dargestellt (keine Messdaten vorhanden). Das Schaufelmoment 0.4 ist bei LowRe-Wandbehandlung (die beiden oberen Kurven) gr¨oßer als bei WF, somit 0.35 k¨onnen die Beobachtungen am RechteckkaSKE WF 0.3 LCL WF nal best¨atigt werden. Neben der erh¨ohten SKE LR Gitter 1/2 Wandreibung bei LowRe treten zus¨atzlich starLCL LR 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 ke Sekund¨arstr¨omungen und Abl¨osungen im Q/QN Diffusor auf. Diese tragen noch st¨arker zu gr¨oßerer Druckdifferenz und damit verbunden Abbildung 7.5.: Mi ns 28-Laufradkanal gr¨oßerem Moment und kleinerem ψ0 bei. Die LowRe-Wandbehandlung kann demnach als Verbesserung bez¨ uglich Berechnung von Verlusten gegen¨ uber der WF-Wandbehandlung angesehen werden. Negativ ist allerdings die ungenaue Vorhersage der theoretischen Laufradkennlinie. Die resultierenden Laufradwirkungsgrade sind im Anhang enthalten, wobei alle Kurven verglichen mit den experimentellen Daten zu hoch sind. Außerdem ist kein deutlicher Einfluss der Wandbehandlung oder der gew¨ahlten Diffusorbreite zu erkennen. Letztere macht sich dennoch beim Druckr¨ uckgewinnungsfaktor CpR des Diffusors bemerkbar, ein Maß f¨ ur die G¨ ute des Diffusors. In einem radialen Diffusor berechnet sich CpR nach Lakshminarayana [54] aus dem Verh¨altnis von tats¨achlicher Druckerh¨ohung zu idealer Druckerh¨ohung bei reibungsfreier Str¨omung. Bei der vorliegenden Konfiguration kann man CpR f¨ ur das kurze Diffusorst¨ uck aus den berechneten Daten in der Messebene (Index ME), dem Austritt des Str¨omungsgebietes (Index out) und den 90

7.2. LAUFRADKENNLINIEN DER NS 28 RADIALPUMPE

91

Referenzdaten am Eintritt (Index E) nach Gleichung (7.13) berechnen. CpR =

pout − pM E pout − pM E = ρ 2 A2 ρu2 2 c (p0,E − pE ) A2E + 8 2 · ψth 2 ME

(7.13)

ME

Experimentelle Vergleichsdaten stehen hier nicht zur Verf¨ ugung, die numerisch mit WF ermittelten CpR -Werte sind in Abbildung 7.6 dargestellt, ein Vergleich zwischen WF und LR Werten im Anhang. Es ist deutlich zu erkennen, dass CpR bei Teillast absinkt, vor allem 0.3

0.3

C

pR

Diffusor

C

pR

0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15 ske rke KC LCL

Gitter 1 0.8

Diffusor

0.9

1.0 Q/QN

1.1

ske rke KC LCL

Gitter 3

1.2

0.8

0.9

1.0 Q/QN

1.1

1.2

Abbildung 7.6.: Druckr¨ uckgewinnungsfaktor CpR im Diffusor, Gitter 1/3 (Tab.6.2)

bei realer Diffusorbreite. Dies liegt an den ung¨ unstigen Str¨omungsbedingungen mit Abl¨osung am Diffusoreintritt in Teillast. Bei LowRe-Wandbehandlung neigt die Str¨omung noch st¨arker zur Abl¨osung, eine gerichtete Str¨omung liegt dann teilweise nicht mehr vor. Dies erkl¨art die schlechten CpR -Werte in Teillast und bei LowRe. Als Fazit dieser Untersuchungen kann einmal die verbesserte Berechnung der tats¨achlichen Laufradkennlinie mit LowRe-Wandbehandlung und zum anderen die bessere Bestimmung der theoretischen Kennlinie mit WF-Wandbehandlung festgehalten werden. Beim Wirkungsgrad sind die Unterschiede verschwindend, auch die Vernachl¨assigung der realen Diffusorbreite wirkt sich nicht negativ auf diesen aus. Trotz der eigentlich optimalen Eignung dieses Testfalls f¨ ur die Anwendung des numerischen Modells werden Schwierigkeiten mit abl¨osender und umkehrender Str¨omung bei Teillast festgestellt. Um diese zu vermeiden, m¨ usste der Radialdiffusor experimentell und numerisch noch wesentlich ausgedehnt werden, um an der der Stelle der Druckrandbedingung eine ausgeglichene Str¨omung ohne Abl¨osung oder R¨ uckstr¨omung gew¨ahrleisten zu k¨onnen.

91

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE

92

7.3. Kennlinien der nS 20 Radialpumpe Die in Kapitel 6 vorgestellte nS 20-Radialpumpe wurde experimentell mit einer Vielzahl von Parametervariationen untersucht. Als f¨ ur die Berechnung am besten geeignete Konfiguration wurde die Variante mit der maximalen radialen Spaltweite von 5/10mm im saugseitigen RSR-Spalt bei druckseitig unentlastetem Betrieb ausgew¨ahlt. Modellierungsfehler mit einem druckseitigen Leckagestrom wurden somit ausgeschlossen, außerdem ist der numerisch oft mit Problemen verbundene Radialspalt maximal. Eine polierte Oberfl¨ache aller Pumpenbauteile, einschließlich des eigens zu diesem Zweck achsensymmetrisch teilbar ausgef¨ uhrten Spiralgeh¨auses, gew¨ahrleistet eine zweifelsfreie Anwendung der Wandfunktionen bei glatten Oberfl¨achen f¨ ur turbulente Str¨omung in der Numerik. Die statischen Kennlinien der Maschine (vgl. Gleichung (7.3) und (7.4)) werden mittels Drehmomentmesswelle, magnetisch induktiven Durchflußmessern und statischen Drucksensoren an Ein- und Austritt der Pumpe aufgenommen. Eine dynamische Einloch-Zylindersonde wird eingesetzt, um unter Verwendung der oben beschriebenen Mittelungsverfahren den hydraulischen Laufradwirkungsgrad (vgl. Gleichung (7.10)) zu bestimmen. Zur Bestimmung des inneren, mit CFD-Berechnungen vergleichbaren Momentes diente eine spezielle Versuchsanordnung, in der u ¨ber ein hydrostatisches Lager als Teil einer Doppellagerung die Lagermomente der eigentlichen Lagerung der Pumpenwelle an einem Dehnungsmessstreifen abgelesen werden konnte. Das Reibmoment in den Gleitringdichtungen wird in einem Vorversuch ohne Laufrad mit Hilfe einer externen K¨ uhlwasserversorgung der Gleitringdichtung gemessen. Die experimentelle Bestimmung der vom Radseitenraum verursachten Sekund¨arwirkungsgrade einer Pumpe (vgl. Gleichung (7.5)) ist sehr aufw¨andig und erforderte in diesem Fall den Aufbau eines eigenen RSR-Pr¨ ufstandes. Unter der Originalpumpe vergleichbaren Betriebszust¨anden, u uft mit Hilfe von Druckmessungen, wurde das Moment auf der RSR-Kontur der Deck¨berpr¨ scheibe sowohl undurchstr¨omt als auch bei verschiedenen Spaltweiten gemessen. Gleichzeitig wurde der RSR-Volumenstrom gemessen. Obwohl Sekund¨arwirkungsgrade nicht an der Originalkonfiguration des nS 20-Pr¨ ufstandes ermittelt wurden, k¨onnen diese Daten dennoch zum Vergleich herangezogen werden [111]. Zun¨achst werden nur die numerischen Ergebnisse des RKE-Turbulenzmodells aus beiden verschiedenen Laufrad-Spirale Kopplungen mit den experimentellen Daten verglichen. Dies ¨ bietet aufgrund der dann nur zwei Parameter eine bessere Ubersichtlichkeit, um die zuvor beschriebenen zwei M¨oglichkeiten der Berechnung des inneren WG nachzuvollziehen. Die transiente Kopplung wird in nachfolgenden Diagrammen mit SM, die quasi-station¨are Kopplung mit FR bezeichnet. Anschließend erfolgt eine Gegen¨ uberstellung der mit verschiedenen TM bei gleicher Kopplungsart berechneten Kennlinien.

7.3.1. Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung In Abbildung 7.7 sind die statischen“ Kennlinien der F¨orderh¨ohe und des inneren Moments f¨ ur ” die berechneten Betriebspunkte 0.5 ≤ Q/QN ≤ 1.3 mit dem Turbulenzmodell RKE dargestellt. ¨ Eine sehr gute Ubereinstimmung der transienten mit der experimentellen F¨orderh¨ohe mit leich92

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE 60

93

90

inneres Moment M [Nm]

Förderhöhe H [m]

i

55

80

50 70 45 60 40 50 35 30 25

EXP SM FR 0.6

EXP SM FR

40

TM : rke 0.7

0.8

0.9

1.0

TM : rke 1.1

30

1.2

Q/QN

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.7.: F¨orderh¨ohe und inneres Moment nS 20-Pumpe, Turbulenzmodell RKE

ten Abweichungen nach unten bei starker TL und in der N¨ahe des Bestpunktes ist zu erkennen. Die FR-Kennlinie knickt bei 0.9 deutlich nach unten ab und liefert unbefriedigende Ergebnisse ¨ Da das innere Moment diesen Knick nicht aufweist, muss die Ursache bei der Str¨omung bei UL. im Spiralgeh¨ause liegen. Bei FR-Kopplung f¨ uhrt eine viel zu hohe Massenstrombeaufschlagung des Laufradkanals direkt stromauf vor dem Spiralsporn, die n¨aher in Kapitel 8 erl¨autert wird, zu einer Fehlanstr¨omung des Spiralsporns wegen zu großer Abstr¨omwinkel α. Die resultierende starke Str¨omungsabl¨osung f¨ uhrt zu erheblichen Verlusten an F¨orderh¨ohe. Obwohl das innere Moment davon unbeeinflusst ist, f¨allt die im Vergleich zum Experiment zu geringe Steigung der Kurve auf. Die transiente Momentenkennlinie liegt auf einem um etwa 1% zu hohen Niveau, jedoch bei gleicher Steigung wie die experimentelle Kennlinie. Die beiden numerischen Momentenkennlinien schneiden sich in dem Bereich, in dem bei FR-Kopplung mit dem ausgeglichensten Str¨omungsfeld gerechnet werden kann (vgl. auch Kapitel 8). Das innere Moment wird vor allem von Druckunterschieden zwischen Schaufelsaug- und -druckseite verursacht, ¨ zu kleinen viskose Kr¨afte spielen eine untergeordnete Rolle. Die bei TL zu großen sowie bei UL Schaufelmomente bei FR-Kopplung sind eine direkte Folge der starren Kopplung. Da es zu keiner Durchmischung“ der Druckverteilung im Diffusor kommen kann, liegen bei TL sowohl ” im Mittel ein gr¨oßerer mittlerer Druck als auch extremere Druckamplituden vor, verglichen ¨ sind die Zusammenh¨ange identisch mit umgekehrten mit der transienten Kopplung. Bei UL Verh¨altnissen. Aus diesem Grund schneiden sich die beiden numerischen Momentenkennlinien im Bereich der ausgeglichensten Diffusordruckverteilung. Diese Zusammenh¨ange werden im nachfolgenden Kapitel n¨aher untersucht. Wie bereits oben erl¨autert, l¨asst sich der innere Wirkungsgrad auch aus dem Laufradwirkungsgrad und den Sekund¨arverlusten bestimmen. Die Sekund¨arwirkungsgrade nach Gleichung (7.5) in Abbildung 7.8 werden demnach ben¨otigt. Die experimentellen Daten, als Punkte eingetragen, wurden am RSR-Pr¨ ufstand ermittelt, die Einzelwerte als Kreuze im Bestpunkt an der nS 20 Pumpe. Die jeweiligen Unterschiede im BEP sind eher gering, daher ist der Vergleich der numerischen Ergebnisse mit den Messdaten des RSR-Pr¨ ufstandes vertretbar. 93

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE

94

1

1

RSR−WG η

RSR

Vol−WG η

[%]

vol

[%]

0.98 0.95 0.96 0.9 0.94

TM : rke 0.9

0.6

0.7

0.85

EXP ns20 EXP rsr SM FR

0.92

0.8

0.9

1.0

1.1

EXP ns20 EXP rsr SM FR

TM : rke 0.8

1.2

0.6

0.7

0.8

Q/QN

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.8.: Sekund¨arwirkungsgrade nS 20-Pumpe, Turbulenzmodell RKE

Der RSR-WG im linken Diagramm wird von der Rechnung sehr genau wiedergegeben, wobei kein nennenswerter Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung sichtbar ist. Beim volumetrischen WG im rechten Diagramm sind die Unterschiede zwischen Messung und Numerik deutlicher, die Abweichungen betragen bis zu 5% in starker TL. Trotz dieser Abweichungen sind die ¨ Ubereinstimmungen aller drei Kurven erstaunlich gut, wobei dies den bemerkenswert geringen Einfluss der Kopplungsmethode impliziert. Auch vor dem Hintergrund der im allgemeinen als unzureichend monierten groben Netzaufl¨osung mit WF im RSR sind diese Ergebnisse erstaunlich. Neben den Sekund¨arverlusten muss der hydraulische Laufradwirkungsgrad bestimmt werηhyd (ME)

ηhyd (R2)

1.1

1.1

1.0

1.0

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7 0.6

ηh,La (ME) ηh,Sp ηh,G (ME)

0.7 0.6

TM : rke

EXP (1/10) 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ηh,La (R2) ηh,Sp ηh,G (R2)

TM : rke

EXP (1/10) 1.1

1.2

0.6

Q/Q

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/Q

N

N

Abbildung 7.9.: Hydraulische Wirkungsgrade nS 20-Pumpe (RKE), berechnet in ME (links) und Laufradaustritt R2 (rechts)

den. Wie bereits oben diskutiert, kann dieser experimentell nur in der ME ermittelt werden. 94

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE

95

Numerisch dagegen kann ebenfalls direkt am Laufradaustritt ausgewertet werden. In Abb.7.9 sind die Ergebnisse beider Methoden, berechnet nach Gleichung (7.10), dargestellt. Auf die Berechnung des hydraulischen Laufradwirkungsgrades aus den Daten der FR-Rechnung wird verzichtet, es werden ausschliesslich transiente Ergebnisse pr¨asentiert. Dies ist begr¨ undet in der extrem ungleichf¨ormigen Ausbildung der Str¨omung im Diffusor, wie im nachfolgenden Kapitel ausf¨ uhrlich dargestellt. Eine Berechnung des inneren WG u ¨ber den hydraulischen WG macht bei FR-Kopplung aus diesem Grund keinen Sinn. Die experimentellen Daten, bekannt und dargestellt als Punkte nur im BEP, sind demnach in beiden Diagrammen identisch. Im linken Diagramm sind die numerischen Daten in der ME ausgewertet worden, rechts dagegen direkt am Laufradaustritt R2 . Der hydraulische Laufradwirkungsgrad, als oberste durchgezogene Linie, erreicht bei Auswertung in der ME teilweise Werte gr¨oßer als 100%. Ursache ist die schon oben beschriebene unterschiedliche Abnahme von cu und p0 im Radialdiffusor. Numerisch kann dies best¨atigt werden, da ηh,La an R2 ausgewertet tats¨achlich kleiner ist. Unerwartet liegt jedoch der experimentelle Wert exakt auf der Kurve der Auswertung an R2 und nicht an ME, wo eigentlich gemessen wurde. Weiterhin ist auch hier, wie schon bei der ns 28-Laufradkennlinie, der hydraulische Laufradwirkungsgrad relativ konstant u ¨ber alle Betriebspunkte, vor allem bei R2 ausgewertet. Die Kurve des hydraulischen Spiralenwirkungsgrades folgt jetzt direkt nach Gleichung (7.12), der hydraulische Gesamtwirkungsgrad der Maschine als Produkt ist die unterste Kurve, bzw. der unterste Punkt, in beiden Diagrammen. Der innere Wirkungsgrad der Gesamtmaschine ist jetzt mit drei M¨oglichkeiten bestimmbar und in Abbildung 7.10 dargestellt. Aus F¨orderh¨ohe und innerem Moment, vgl. Abb.7.7 innerer WG η (M ) [%] i

0.95

i

0.9

innerer WG η [%] i

0.9 0.85

0.8

0.8 0.75

0.7

0.7 η (M ) i i η (sek,ME) i η (sek,R ) i 2 η (EXP)

0.65

0.6

TM : rke 0.6

0.7

0.6

EXP SM FR 0.8

0.9

1.0

1.1

0.55

TM : rke

i

1.2

0.6

Q/Q

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

N

Abbildung 7.10.: Innerer Wirkungsgrad nS 20-Pumpe, Vergleich SM und FR (links) und Vergleich verschiedener Berechnungsmethoden aus transienten Ergebnissen (rechts)

und Gleichung (7.2), folgen die im linken Diagramm aufgetragenen Kennlinien ηi (Mi ). Beide numerisch ermittelten Kurven liegen unterhalb der Messwerte, die FR-Kennlinie knickt entsprechend dem Momentenverlauf bei 0.9 nach unten ab. Insgesamt liefern die transienten 95

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE

96

Kennlinien im Vergleich mit den Messungen die deutlich besseren numerischen Ergebnisse. Das leicht zu große Moment verschiebt die Wirkungsgradkennlinie um etwa 3% nach unten. Die numerische Bestimmung der Schaufelmomente ist nach allgemeiner Auffassung deutlich anf¨alliger f¨ ur Fehler bei Rundungen oder Interpolationen als die Bestimmung des hydraulischen Laufradwirkungsgrades. Im rechten Diagramm der Abb.7.10 sind die gleichen experimentellen Daten wie im linken Diagramm dargestellt, weiterhin identisch ist die durchgezogene Linie, welche ηi (Mi ) bestimmt aus dem Moment darstellt. Zum direkten Vergleich sind zus¨atzlich die inneren Wirkungsgrade aus den transienten Berechnungen, bestimmt u ¨ber die Sekund¨arwirkungsgrade aus Abb.7.8 und die hydraulischen WG aus Abb.7.9 aufgetragen. Theoretisch m¨ ussten die beiden Kurven ηi (Mi ) und ηi (sek, R2) zusammenfallen. Die Abweichung beider Kurven kann demnach auch als G¨ utekriterium der numerischen Berechnung dienen. Eine Abweichung der beiden Kurven von durchschnittlich etwa einem Prozent ist diesbez¨ uglich ein hervorragendes Resultat. Den gr¨oßten inneren Wirkungsgrad ηi (sek, M E) erh¨alt man aus dem hydraulischen Laufradwirkungsgrad ausgewertet in der ME. Aus bereits genannten Gr¨ unden liegt diese Kurve wohl zu hoch. N¨aher an der Realit¨at sollte die mittlere Kurve ηi (sek, R2) liegen, die tats¨achlich den experimentellen Werten mit einer Abweichung von etwa 1 bis 2% am ehesten entspricht. Die gr¨oßten Differenzen finden sich wiederum, wie schon bei der auch in ηi eingehenden F¨orderh¨ohe beobachtet, im Bereich von Q/QN ≈ 1.1. Allerdings zeigt eher die gedachte Kurve der experimentellen Daten in diesem Bereich eine leichte Abweichung nach oben. ¨ Abschließend kann somit von einer sehr guten Ubereinstimmung der numerischen transienten Kennlinien mit den experimentellen Daten gesprochen werden.

7.3.2. Einfluss des Turbulenzmodells Nachdem grundlegende Zusammenh¨ange der m¨oglichen darzustellenden Kennlinien aufgezeigt wurden, soll nun im Folgenden die Abh¨angigkeit dieser Kennlinien vom verwendeten Turbulenzmodell untersucht werden. Zu den vier mit FLUENT verwendeten Modellen SKE, RKE, RNG und SST kommt das KC-Modell mit dem Code NS3D hinzu. Im Rahmen dieser Arbeit werden aus zeitlichen Gr¨ unden keine transienten Berechnungen mit NS3D aufgenommen, so dass sich die Darstellung von Kennlinien mit dem KC-Modell auf die FR-Kopplung beschr¨anken muss. Die mit beiden Laufrad-Spirale Kopplungen jeweils verf¨ ugbaren numerischen Daten werden nachfolgend zusammen mit den experimentellen Werten gezeigt. Abbildung 7.11 stellt zun¨achst die erzielten F¨orderh¨ohen dar. Unabh¨angig von der Art der Kopplung sind die Unterschiede zwischen den Resultaten der einzelnen Turbulenzmodelle mit h¨ochstens 2% sehr klein, d.h. auch im Vergleich der beiden Codes. W¨ahrend alle Kurven beider Kopplungsmethoden bei TL nahezu zusammenfallen und auch nahe den Messwerten ¨ Unterschiede. Alle mit FR berechneten F¨orderh¨ohen knicken von liegen, zeigen sich bei UL ¨ TL kommend bei Q/QN = 0.9 oder 1.0 nach unten ab. Die Probleme, die F¨orderh¨ohe bei UL vorherzusagen, sind demnach nicht Folge einer m¨oglichen unzureichenden Turbulenzmodellierung, sondern auf die Kopplungsmethode zur¨ uckzuf¨ uhren. Bei den transienten Kennlinien ¨ nicht. Die beste besteht dieses Problem mit Ausnahme des RNG-Modells bei starker UL ¨ Ubereinstimmung der transienten Kennlinien mit den experimentellen Werten liefern das 96

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE 60

60

Förderhöhe H [m]

Förderhöhe H [m] 55

55

50

50

45

45 40

40 35 30 25

97

EXP SKE RKE RNG SST KC (NS3d) 0.6

0.7

35 30

Kopplung FR 0.8

0.9

1.0

1.1

25

1.2

EXP SKE RKE RNG SST 0.6

Kopplung SM 0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Q/Q

N

Abbildung 7.11.: F¨orderh¨ohe nS 20-Pumpe bei FR- und SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM

RKE- und das SST-Modell, wobei eigentlich alle TM innerhalb eines gedachten Fehlertoleranz¨ eine leicht zu niedrige F¨orderh¨ohe bandes liegen. Mit allen TM wird im Bereich geringer UL ¨ jeweils kleiner sind. berechnet, w¨ahrend die Abweichungen sowohl bei TL als auch gr¨oßerer UL Der durchaus stetige Verlauf insbesondere der SST Kennlinie in diesem Bereich legt jedoch die Vermutung einer Abweichung der Messdaten nahe. Auch f¨ ur die inneren Momente l¨aßt sich keine Beeinflussung durch das TM nachweisen, vielmehr sind die Unterschiede zwischen den Kurven in beiden Diagrammen der Abb.7.12 noch geringer als bei der F¨orderh¨ohe, mit Ausnahme des KC-Modells. Das Moment setzt sich zusammen aus 90

90

inneres Moment M [Nm]

inneres Moment Mi [Nm]

i

80

80

70

70

60

60 EXP SKE RKE RNG SST KC (NS3d)

50 40

Kopplung FR 30

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

50

EXP SKE RKE RNG SST

40

Kopplung SM 30

1.2

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Q/QN

Abbildung 7.12.: Inneres Moment nS 20-Pumpe bei FR- und SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM einem sehr großen Anteil aufgrund von Druckunterschieden zwischen DS und SS der Schaufeln und einem relativ kleinen Anteil infolge viskoser Reibung vor allem in den RSR. Unterschiede zwischen den beiden Codes bestehen lediglich im viskosen Reibmoment und um genau diesen 97

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE 0.95

0.95 0.9

98

innerer WG ηi (Mi) [%]

0.9

0.85

0.85

0.8

0.8

0.75

0.75

i

i

0.7

0.7 EXP SKE RKE RNG SST KC (NS3d)

0.65 0.6 0.55

innerer WG η (M ) [%]

Kopplung FR 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.65

EXP SKE RKE RNG SST

0.6 0.55

Kopplung SM 0.6

1.2

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Q/QN

Abbildung 7.13.: Innerer Wirkungsgrad aus Moment nS 20-Pumpe, FR/SM, verschiedene TM

Anteil ist folglich die KC-Kurve nach unten verschoben. Wie schon im vorherigen Abschnitt besprochen, ist das Reibmoment von der gew¨ahlten Wandbehandlung abh¨angig, deren korrekte Implementierung aber an den Testf¨allen in Kapitel 5 nachgewiesen wurde. Somit ist der Grund f¨ ur die zu geringe Vorhersage des Reibmomentes mit dem KC-Modell noch unbekannt. Das numerisch berechnete Laufradmoment infolge von Druckkr¨aften ist nicht vom Turbulenzmodell abh¨angig, sondern wird vor allem von der gew¨ahlten Laufrad-Spirale Kopplung und damit von der berechneten Druckverteilung im Diffusor bestimmt. Ein weiterer Aspekt ergibt sich bei der gezeigten geringen Abweichung der berechneten Momente. Jeweils alle vier mit FLUENT berechneten Kurven in beiden Diagrammen der Abb. 7.12 sind nahezu identisch, wurden aber aus verschiedenen Rechnungen und somit Datens¨atzen erzeugt. Somit muss sich ein Interpolationsfehler bei der Bestimmung des Momentes bei jedem Datensatz in gleicher Art und Weise ausgewirkt haben, was auf eine vorangige Abh¨angigkeit vom Rechengitter hinweist. Das qualitativ hochwertige Gitter kann demnach ein Grund sein, warum die inneren Wirkungsgrade einerseits aus Moment und andererseits aus hydraulischem Laufradwirkungsgrad bestimmt, sich nur sehr gering voneinander unterscheiden (vgl. Abb.7.10). Der aus dem Moment bestimmte innere Wirkungsgrad ist in Abb.7.13 f¨ ur FR und SM dargestellt. Entsprechend den H-Kurven knicken die FR-Wirkungsgrade im linken Diagramm ¨ nach unten ab, w¨ahrend die SM-Wirkungsgrade einen normalen, stetigen Verlauf bei UL aufweisen. Wegen des zu kleinen Reibmomentes liegt der mit dem KC-Modell berechnete ¨ innere Wirkungsgrad zu hoch, und mit Ausnahme des UL-Bereiches damit am n¨achsten den Messwerten. Nur die genaue Kenntnis der Einzelwirkungsgrade dieser Pumpe verhindert hier die Annahme, das KC-Modell sei den u ¨brigen Modellen u ¨berlegen. Dieses Beispiel zeigt anschaulich, wie eine ung¨ unstige Summation von Fehlern zu einem scheinbar korrekten Ergebnis f¨ uhren kann. Bei den H- und Mi -Kurven der FLUENT-Modelle sind keine deutlichen Unterschiede zwischen den einzelnen TM erkennbar, dennoch f¨allt hier die RNG-Kurve als diejenige mit dem gr¨oßten Wirkungsgrad und am n¨achsten den Messdaten gelegene auf, ins98

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE

99

besondere bei SM-Kopplung. Hier liegen die drei anderen TM etwa um 1.5% niedriger auf gleichem Niveau. Negativ anzumerken ist das Abknicken der instation¨aren RNG-Kurve bei ¨ was zusammen mit den FR-Ergebnissen im allgemeinen auf ein aus numerischer Sicht sehr UL, ¨ ung¨ unstiges Uberlastverhalten der Maschine hinweist. Nimmt man anstelle des Abknickens einen stetigen Verlauf der FR-Kurven an, so w¨ urde der berechnete Bestpunkt tats¨achlich etwa bei Q/QN = 1.0 liegen, erkennbar an den SKE- und RNG-Kurven in Abb.7.13. Aufgrund der falschen Steigung der Momentenkurve erg¨abe sich aber, vorausgesetzt den Fall einer stetigen F¨orderh¨ohe, eine um den Bestpunkt gekippte“ ” Wirkungsgradkurve. Dies bedeutet, die Abweichungen zur gemessenen Kurve nehmen bei ¨ Teillast immer mehr zu, wie in Abb.7.13 zu sehen, w¨ahrend sich bei Uberlast beide Kurven, im Falle eines dort stetigen Verlaufes, ann¨ahern w¨ urden. Auch dies k¨onnte zu falschen Schlussfolgerungen der Berechenbarkeit von ηi f¨ uhren, erst die Kenntnis der einzelnen Beitr¨age relativiert das Ergebnis. Der transiente Wirkungsgrad ist verglichen mit den experimentellen Daten etwas nach unten ¨ hin. Dieser zunehmende Abstand kommt verschoben, mit zunehmendem Abstand zu UL von den nahezu parallel nach oben verschobenen Momentenkurven aller TM mit einer leicht gr¨oßeren Steigung als die gemessene Kurve ( vgl. Abb.7.12). Der relativ flache Verlauf im Bereich des Bestpunktes ist eine Folge der dort abgeflachten F¨orderh¨ohe. Zusammen bewirken diese beiden Faktoren eine Verschiebung des transient bestimmten Bestpunktes um etwa 10% zu Teillast hin. In der oben beschriebenen Art und Weise wurden die inneren Wirkungsgrade auch u ¨ber die sekund¨aren und hydraulischen Laufradwirkungsgrade ermittelt. Die mit verschiedenen Turbulenzmodellen berechneten Sekund¨arwirkungsgrade der Pumpe sind in Anhang B enthalten. Sowohl das Turbulenzmodell als auch die Kopplungsmethode haben keinen nennenswerten Einfluss auf ηvol . Beim RSR-Wirkungsgrad weicht nur das KC-Modell ab, die verschiedenen TM in FLUENT zeigen sich gr¨oßtenteils unbeeinflusst. Beim transienten volumetrischen WG sind kleine Schwankungen zwischen den TM bei Teillast vorhanden, insgesamt wird ηvol zu groß berechnet, d.h. der tats¨achliche Volumenstrom im Spalt ist ein wenig gr¨oßer als berechnet. Bei ¨ sind die berechneten Werte f¨ UL ur ηvol besser, da ein zu klein berechneter Spaltvolumenstrom weniger stark gewichtet eingeht. Die aus den instation¨aren Rechnungen bestimmten Laufradwirkungsgrade sind in der Abb.7.14 dargestellt. In der Messebene ausgewertet ergeben sich die Kurven im linken Diagramm, die insgesamt h¨oher liegen als die direkt am Laufradaustritt ermittelten Daten im rechten Diagramm. Letztere verlaufen insgesamt flacher mit weniger stark ausgepr¨agtem Maximum deutlich kleiner als 1, das im Bereich 0.8 ≤ Q/QN ≤ 1.0 liegt. Das Turbulenzmodell hat mit Ausnahme des TL-Bereiches keinen Einfluss auf ηh,La (R2). Auch bei ηh,La (M E) sind die Unterschiede zwischen den TM bei TL am deutlichsten, obwohl im gesamten Betriebsbereich Abweichungen zwischen 1 und 2% auftreten. Interessanterweise wird ¨ den der maximale Laufradwirkungsgrad bei TL mit dem RKE-Modell berechnet, das bei UL ¨ kleinsten WG vorhersagt. Uber den gesamten Bereich gesehen berechnet das SST-Modell den h¨ochsten WG. Weiterhin ist auch hier, wie schon bei ηi (Mi ) das durchaus ausgepr¨agte Optimum beim BP 0.9 zu finden. Aus diesen Kennlinien folgen direkt die inneren Wirkungsgrade der Pumpe in Abb.7.15. 99

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE

1.025

η

h,La

(ME) [%]

100

1.025

1.0

1.0

0.975

0.975

0.95

0.95

0.925

0.925

0.9

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

h,La

(R2) [%]

0.9

SKE RKE RNG SST

0.875

η

SKE RKE RNG SST

0.875

1.2

0.6

0.7

0.8

Q/Q

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/Q

N

N

Abbildung 7.14.: ηh aus ME-Auswertung (links) und R2 -Auswertung (rechts) der nS 20-Pumpe bei SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM

Zusammen mit den transienten Ergebnissen der vier TM sind die experimentellen Daten 0.95 0.9

0.95

innerer WG η (sek,ME) [%]

0.9

i

0.85

0.85

0.8

0.8

0.75

0.75

0.7

0.7

0.65

0.55

Kopplung SM 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

i

0.65

EXP SKE RKE RNG SST

0.6

innerer WG η (sek,R2) [%]

EXP SKE RKE RNG SST

0.6 0.55

1.2

Kopplung SM 0.6

Q/QN

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.15.: Innerer Wirkungsgrad aus ME-Auswertung (links) und R2 -Auswertung (rechts) der nS 20-Pumpe bei SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM

berechnet aus den statischen Kennlinien dargestellt. Bei beiden Auswerteverfahren, links ME und rechts R2 , liegt das berechnete Optimum beim Bp 0.9. Da aus oben genannten Gr¨ unden eher die Kurven ηh,La (R2) der Realit¨at entsprechen, liefern das SST- und das RKE-Modell die besten Wirkungsgrade. Eine Abflachung der Kurve kann wiederum im Bereich des experimentellen Optimums festgestellt werden, wie schon bei der Berechnung u ¨ber das Moment. Sowohl Verschiebung des Optimums als auch Abflachung der Kurve im BEP erh¨alt man demnach unabh¨angig von der Art der Bestimmung von ηi . Beim Vergleich aller Kurven der Abb.7.14 kann das gew¨ahlte TM allerdings als Verursacher ausgeschlossen werden. Den deutlichsten, wenn auch noch immer relativ geringen Einfluss des TM bei allen in diesem Kapitel vorgestellten 100

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE

101

Kennlinien ist beim Laufradwirkungsgrad am Laufradaustritt ausgewertet festzustellen. Obwohl in dieser Arbeit keine mit dem KC-Modell berechneten transienten Kennlinien enthalten sind, l¨asst das FR-Ergebnis einige Schlussfolgerungen zu. Die ebenfalls abknickende ¨ F¨orderh¨ohe mit sehr guter Ubereinstimmung mit allen FLUENT-Berechnungen zeigt einerseits die Lauff¨ahigkeit des Modells und andererseits die schlechte Eignung der nS 20-Pumpe f¨ ur FR-Rechnungen. Auch das durch Druckunterschiede verursachte Laufradmoment wird korrekt bestimmt, nur das viskose Reibmoment in den RSR ist zu hoch. Eine Erkl¨arung hierf¨ ur fehlt noch, auch weil der RSR-Massenstrom mit FLUENT-Ergebnissen und Messungen zusammenpasst. Insgesamt lassen die quasi-station¨aren Kennlinien gleich gute transiente Resultate wie die oben gezeigten erwarten. Zusammengefasst sind die wichtigsten Erkenntnisse der numerischen Berechnung der Kennlinien der nS 20-Pumpe wie folgt: • Der Einfluss der Kopplungsmethode ist deutlich gr¨oßer als der des Turbulenzmodells • Wegen Abl¨osung am Spiralsporn ist die nS 20-Pumpe eine ung¨ unstige FR-Geometrie ¨ nach unten ab • Die F¨orderh¨ohe knickt mit FR-Kopplung bei UL • FR und SM berechnen unterschiedliche Steigungen des inneren Momentes • Die Sekund¨arwirkungsgrade sind unabh¨angig von der Kopplungsmethode und dem TM (Ausnahme ηrsr (KC)) und stimmen gut mit Messdaten u ¨berein • Das Maximum der transient berechneten Wirkungsgrade ist zu Q/QN ≈ 0.9 verschoben • Der innere Wirkungsgrad wurde mit unterschiedlichen Methoden berechnet mit dem Ergebnis u ussiger Resultate sowohl untereinander als auch im ¨bereinstimmender und schl¨ Vergleich mit Messwerten • Gesamtwirkungsgrade sind immer kritisch zu bewerten, da fehlerhafte Einzelfaktoren sich ung¨ unstig zu einem scheinbar guten Endresultat summieren k¨onnen (z.B. ηi (KC))

101

7.4. KENNLINIEN DER NS 26 RADIALPUMPE

102

7.4. Kennlinien der nS 26 Radialpumpe Die experimentellen Untersuchungen der ns 26 Radialpumpe wurden mit dem Fluid Luft durchgef¨ uhrt. Der Pr¨ ufstand konnte daher als offener Kreislauf ausgef¨ uhrt werden, die Pumpe f¨ordert direkt in die Umgebung. Die Pumpe wurde direkt f¨ ur die Bereitstellung experimenteller Daten zur Validierung numerischer Codes und Methoden konzipiert. Besondere Beachtung hierbei wurde auf die Str¨omungsgr¨oßen am Laufradaustritt gelegt, so dass eine experimentelle Datenbasis instation¨arer Messwerte f¨ ur die Dokumentation der Laufrad-Spirale Wechselwirkungen zur Verf¨ ugung gestellt werden konnte. Im Gegensatz zur nS 20-Pumpe wurden keine Momente gemessen. Demnach sind verglichen mit der nS 20-Pumpe nicht s¨amtliche Kennlinien und Wirkungsgrade experimentell verf¨ ugbar. Die Bestimmung der F¨orderh¨ohe erfolgte mit Hilfe einer Volumenstrommessd¨ use und statischer Druckmessungen im Saugkanal. Die Dichte zwischen Ein- und Austritt ¨andert sich um etwa 2%, numerisch wird daher von konstanter Dichte ausgegangen. Unter Verwendung der tats¨achlichen Dichte und der Querschnittsfl¨achen werden die experimentellen Totaldr¨ ucke bestimmt. Die statischen Eintrittsdr¨ ucke liegen hierbei unterhalb des Umgebumgsdrucks, der am Austritt als statischer Druck eingesetzt wird. Zus¨atzlich werden die RSR-Volumenstr¨ome gemessen, so dass der volumetrische WG bestimmt werden konnte. In der Messebene nach dem Laufrad der Pumpe wurden experimentell einige ungew¨ohnliche Str¨omungszust¨ande festgestellt. Die genaue Untersuchung dieser Str¨omungszust¨ande sollte daher das wichtigste Ziel der numerischen Berechnungen sein. Aus diesem Grund wurde auf die Modellierung der RSR verzichtet. Als Ausnahme wurde eine FR-Rechnung mit einem Komplettmodell der Pumpe, einschliesslich der RSR durchgef¨ uhrt. Zweck war die Bestimmung der Sekund¨arwirkungsgrade, die wie oben gezeigt von der Kopplungsart nahezu unabh¨angig sind. Nachfolgend werden zuerst die numerisch bestimmbaren Kennlinien exemplarisch f¨ ur nur ein Turbulenzmodell zusammen mit den jeweils vorhandenen experimentellen Daten dargestellt und diskutiert. Anschliessend erfolgt ein Vergleich der mit verschiedenen TM vorhergesagten Kennlinien.

7.4.1. Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung In Abbildung 7.16 sind die statischen“ Kennlinien F¨orderh¨ohe und inneres Moment f¨ ur die ” berechneten Betriebspunkte 0.4 ≤ Q/QN ≤ 1.2 mit Turbulenzmodell RKE dargestellt. Bei dieser Pumpe ist zun¨achst kein Abknicken der FR-Kurve festzustellen, zudem liegt diese n¨aher bei den gemessenen F¨orderh¨ohen. Wie schon zuvor berechnet man mit SM-Kopplung eine gr¨oßere F¨orderh¨ohe. Der Einfluss des RSR ist aus den FR-Berechnungen mit RSR bekannt (Kurve FR(RSR) im Diagramm), die F¨orderh¨ohe wird nach links unten verschoben. Die recht deutliche quantitative Abweichung der F¨orderh¨ohen von bis zu 20% ist zum einen auf die Vernachl¨assigung des RSR und zum anderen auf die sehr starke Str¨omungsabl¨osung im gekr¨ ummten Druckstutzen zur¨ uckzuf¨ uhren. Dadurch liegt numerisch im Radialdiffusor ein leicht erh¨ohtes Druckniveau vor. Die Momentenkurve zeigt ¨ahnliche Charakteristika wie bei der zuvor untersuchten Pumpe. Die SM-Kurve liegt h¨oher bei gr¨oßerer Steigung verglichen mit der FR-Kurve. Bei Hinzunahme des RSR verschiebt sich die Momentenkurve bei gleichbleibender Steigung deutlich nach oben. Die zur Ermittlung von ηi (sek, R2 ) ben¨otigten Sekund¨arwirkungsgrade werden aus der FR102

7.4. KENNLINIEN DER NS 26 RADIALPUMPE

103 3

350

Förderhöhe H [m] 300

2.5

250

2

200

1.5

150

1

100 50

EXP SM FR FR (RSR) 0.5

0.6

0.5

TM : rke 0.7

0.8

0.9

1.0

0

1.1

inneres Moment Mi [Nm]

SM FR FR (RSR) 0.5

0.6

TM : rke 0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Q/QN

Q/Q

N

Abbildung 7.16.: F¨orderh¨ohe und inneres Moment ns 26-Pumpe

Rechnung bestimmt, da hier keine deutlichen Unterschiede zur SM-Rechnung zu erwarten sind. Volumetrischer und Radseitenraum-Wirkungsgrad sind in Abb.7.17 dargestellt. Die Verl¨aufe beider Kurven entsprechen qua1.05 litativ denen der nS 20-Pumpe, ansteigend zu Sekundär − WG ¨ Uberlast hin. Der berechnete und experimen1 telle volumetrische Wirkungsgrad stimmen sehr gut u ¨berein, w¨ahrend ηrsr ebenso wie das Wel0.95 lenmoment nicht gemessen wurden. Verglichen mit der nS 20-Pumpe ist ηvol hier deutlich n¨aher 0.9 ηrsr (FR) bei 1, was auf den kleineren Radialspalt von nur η (FR) vol TM : rke η (EXP) 0.3mm bei zudem kleinerem Verh¨altnis von Ravol 0.85 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 dialspalt zu R2 zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Eine guQ/QN ¨ te Ubereinstimmung von ηvol ist demnach mit einem guten Rechengitter und Wandfunktionen Abbildung 7.17.: ηsek ns 26-Pumpe durchaus erreichbar, wenn man nicht an genauerer Untersuchung der Str¨omungsvorg¨ange im RSR interessiert ist. Die f¨ ur den Wirkungsgrad jetzt noch ben¨otigten Laufraddruckzahlen wurden auch experimentell bestimmt. Die Vorgehensweise wurde oben beschrieben und auch bei der nS 20-Pumpe angewendet. Gemessene und berechnete theoretische und tats¨achliche Druckzahlen sind in Abb.7.18 dargestellt. Die CFDKurven wurden aus der transienten Rechnung wiederum einmal direkt am Laufradaustrittsradius R2 = 202.5mm und einmal in der Messebene RM E = 208.5mm bestimmt. Der schon oben beschriebene Effekt des zu großen hydraulischen Laufradwirkungsgrades bei Berechnung in der Messebene ist auch hier zu erkennen. Die numerische tats¨achliche Druckzahl ψ0,La im linken Diagramm ¨andert sich kaum von R2 zu RM E , w¨ahrend die theoretische Druckzahl ψth,La im rechten Diagramm bei RM E schon deutlich abgesunken ist. Auffallend in diesen Diagrammen ist vor allem die Diskrepanz zwischen den berechneten und gemessenen Werten. Direkt verglichen werden m¨ ussen die experimentellen Werte mit den CFD-Kurven in der Messebene. 103

7.4. KENNLINIEN DER NS 26 RADIALPUMPE

104

Druckzahl Laufrad ψ

Th. Druckzahl Laufrad ψ

0,La

th,La

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8 0.6

0.8 EXP CFD (ME) CFD (R )

TM : sst

2

0.5

0.7

0.9

0.6 1.1

1.3

EXP CFD (ME) CFD (R ) 0.5

Q/QN

TM : sst

2

0.7

0.9

1.1

1.3

Q/QN

Abbildung 7.18.: Laufrad-Druckzahlen ψ0 und ψth transient ns 26-Pumpe

Bei allgemein zu großer Steigung ist die Abweichung bei Teillast betr¨achtlich, was einerseits auf die Vernachl¨assigung der RSR im numerischen Modell zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Der saugseitige Einfluss der stark drallbehafteten RSR-Str¨omung ist vor allem bei TL erheblich. Andererseits ist nach Meschkat [63] die Totaldruckmessung mittels Zylindersonde mit einer nicht zu vernachl¨assigenden Unsicherheit verbunden, wodurch insbesondere die gemessene ψ0,La -Kurve fehlerbehaftet sein kann. Weiterhin ist bei den Verl¨aufen der Druckzahlen bemerkenswert, dass in großen Bereichen der experimentellen und numerischen Kennlinien die tats¨achlichen Druckzahlen gr¨oßer als die theoretischen sind. Eine Ursache ist die schon oben beschriebene unterschiedliche Abnahme von Totaldruck und Umfangskomponente. Eine weitere Ursache ist ein speziell bei dieser Pumpe auftretendes Str¨omungsph¨anomen, auf das in Kapitel 8 noch ¨ ausf¨ uhrlich eingegangen wird. In großen Teilen der Kennlinie, besonders bei Uberlast, kommt es im Bereich des Spiralsporns, vermutlich aufgrund des großen radialen Abstandes zwischen Laufradaustritt und Spiralsporn von 10.2mm und des zus¨atzlich großen Sporndurchmessers von 16mm, zu einer Art Versperrung und lokalen Richtungsumkehr der Umfangskomponente. Im Inertialsystem gesehen str¨omt die Luft vor dem Sporn entgegen der Laufraddrehrichtung. Bei gleichzeitig vorliegender positiver Radialkomponente liefert dies nach Gleichung 7.11 einen negativen Beitrag zur theoretischen Druckzahl, w¨ahrend der Totaldruck zumindest bei der numerischen Auswertung einen positiven Beitrag erh¨alt. Der deutlich zu große hydraulische Laufradwirkungsgrad bei dieser Pumpe wird also einerseits von der Lage der Messebene (R2 +6mm) und andererseits von einer lokalen Str¨omungsumkehr der Umfangskomponente verursacht. Die aus den Druckzahlen resultierenden inneren Wirkungsgrade der Pumpe sind im linken Diagramm der Abb.7.19 dargestellt. Zus¨atzlich ist in beiden Diagrammen dieser Abbildung die Kurve des aus dem inneren Moment berechneten Wirkungsgrades als durchgezogene Kurve dargestellt. Im linken Diagramm erkennt man im Vergleich der drei WG-Berechnungsmethoden die schon bekannte Systematik. Den gr¨oßten Wert von ηi berechnet man bei Auswertung des Laufradwirkungsgrades in der Messebene (ηi (sek, M E)), den kleinsten Wert von ηi bei Berechnung u ¨ber das Laufradmoment (ηi (Mi )). Wie schon bei der nS 20-Pumpe liegt der am 104

7.4. KENNLINIEN DER NS 26 RADIALPUMPE 1.2

105

1.2

innerer WG η (M )

innere Wirkungsgrade

i

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.2

η (M ) i i η (sek,ME) i ηi (sek,R2) 0.5

0.6

i

0.4 SM FR

TM : rke 0.7

0.8

0.9

1.0

0.2

1.1

Q/QN

0.5

TM : rke 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Q/QN

Abbildung 7.19.: Innere Wirkungsgrade ns 26-Pumpe

Laufradaustritt ausgewertete Wirkungsgrad zwischen den beiden anderen und wird als der sicherste angesehen. Die Abweichung der beiden Wirkungsgrade ηi (Mi ) und ηi (sek, R2 ) kann wiederum als eine Kontrolle der G¨ ute der numerischen Daten angesehen werden. Man hat hier gr¨oßere Abweichungen als bei der nS 20-Pumpe, was nur zum Teil auf Nichtber¨ ucksichtigung des RSR zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Grunds¨atzlich erweist sich die nS 26-Pumpe aufgrund der extremeren Str¨omungszust¨ande in den f¨ ur die Auswertung wichtigen Bereichen als ungeeigneter f¨ ur die numerische Validierung. Als positiv erweist sich bei dieser Pumpe die gute Eignung f¨ ur die Berechnung mit der FR-Kopplung, wie auch rechts in Abb.7.19 zu sehen. Den sauberen Verl¨aufen von F¨orderh¨ohe und Moment entsprechend zeigt sich ein nur geringer Unterschied zur transienten Kurve. Beide Kurven sind deckungsgleich im sowohl numerisch als auch expe¨ rimentell bestimmten Bestpunkt der Pumpe bei Q/QN = 0.8. In Teillast und Uberlast liegt die FR-Kurve erwartungsgem¨aß niedriger als die transient berechnete. Die nS 26-Pumpe zeichnet sich demnach durch eine FR-geeignete Geometrie mit großem radialen Abstand zwischen Laufradaustritt und Sporn aus. Die reduzierte Frequenz ist mit ωred ≈ 1 gr¨oßer als bei der nS 20-Pumpe.

7.4.2. Einfluss des Turbulenzmodells Nachfolgend wird die Abh¨angigkeit der gezeigten Kennlinien vom verwendeten Turbulenzmodell untersucht. Die Ergebnisse der vier TM werden jeweils f¨ ur eine der beiden m¨oglichen Kopplungsmethoden verglichen. S¨amtliche Diagramme sind in Abb.7.20 zusammenfassend dargestellt. Die erste Zeile zeigt die Ergebnisse der FR-Rechnung. Obwohl die Unterschiede bei den statischen Kennlinien zwischen den TM insgesamt eher gering sind, berechnet das SKEModell die geringste F¨orderh¨ohe. Alle FR-Rechnungen liefern hier gute Resultate, die gr¨oßten Abweichungen zur Messung treten allerdings im Bestpunkt auf, wo alle TM am n¨achsten beieinander liegen. Diese Tendenz zeigen alle FR-Kennlinien. Die gute Eignung der Pumpe f¨ ur FR-Modellierung zeigt sich auch in diesen Diagrammen, unabh¨angig vom TM erh¨alt man auch 105

7.4. KENNLINIEN DER NS 26 RADIALPUMPE

106

3

350

1.2

innerer WG η (M )

inneres Moment M [Nm]

Förderhöhe H [m] 300

2.5

250

2

200

1.5

i

i

i

1

0.8

0.6 150 100 50

1 EXP SKE RKE RNG SST 0.5

0.5

Kopplung FR 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0

SKE RKE RNG SST 0.5

0.4

Kopplung FR 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.2

SKE RKE RNG SST 0.5

Kopplung FR 0.6

0.7

0.8

Q/Q

Q/QN

0.9

1.0

1.1

1.0

1.1

Q/Q

N

N

Statische Kennlinien ns 26-Pumpe in Abh¨angigkeit des TM (CFD, FR) 3

350

1.2

innerer WG η (M )

inneres Moment M [Nm]

Förderhöhe H [m] 300

2.5

250

2

200

1.5

150

1

i

i

i

1

0.8

0.6

100 50

EXP SKE RKE RNG SST 0.5

0.5

Kopplung SM 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0

SKE RKE RNG SST 0.5

0.4

Kopplung SM 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.2

SKE RKE RNG SST 0.5

Kopplung SM 0.6

0.7

Q/QN

Q/QN

0.8

0.9

Q/QN

Statische Kennlinien ns 26-Pumpe in Abh¨angigkeit des TM (CFD, SM) 1.6 1.5

1.6

Th. Druckzahl Laufrad ψth,La

1.5

1.4

1.4

1.3

1.3

1.2

1.2

1.1

1.1

1 0.9 0.8

1

SKE RKE RNG SST 0.5

0.9

Auswertung ME 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.8

η

Druckzahl Laufrad ψ0,La

h,La

− ME

1.1 1 0.9 0.8

SKE RKE RNG SST 0.5

0.7

Auswertung ME 0.6

0.7

Q/QN

0.8

0.9

1.0

1.1

0.6

SKE RKE RNG SST 0.5

Auswertung ME 0.6

Q/QN

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Q/QN

Laufradkennlinien nS 26-Pumpe (Auswertung in ME) in Abh¨angigkeit des TM (CFD, SM) 1.1

1.1

ηh,G − ME

ηh,G − R2

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.6

SKE RKE RNG SST 0.5

0.7

Auswertung ME 0.6

0.7

0.8

Q/QN

0.9

1.0

1.1

0.6

SKE RKE RNG SST 0.5

Auswertung R2 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Q/QN

Laufradwirkungsgrade ns 26-Pumpe in Abh¨angigkeit des TM (CFD, SM) Abbildung 7.20.: Kennlinien ns 26-Pumpe, Parameter Turbulenzmodell und Kopplungsart 106

7.4. KENNLINIEN DER NS 26 RADIALPUMPE

107

in Betriebspunkten weit abseits vom Optimum gute Resultate. Mit der transienten Kopplung erh¨alt man gr¨oßere F¨orderh¨ohen als bei FR-Kopplung, wie in der zweiten Zeile der Abb.7.20 dargestellt. In Teillast sind gr¨oßere Diskrepanzen zwischen den einzelnen TM zu erkennen, w¨ahrend die Kurven im restlichen Betriebsbereich fast identisch sind. Gleiches gilt f¨ ur das transiente Moment und den inneren Wirkungsgrad. Die Abweichungen in Teillast werden vermutlich vom fehlenden RSR verursacht, dessen Einfluss auf die Laufradstr¨omung vor allem in Teillast von Bedeutung ist. Die Auswirkungen auf die transienten Laufraddruckzahlen sind entsprechend und ausgewertet in der ME in der dritten Zeile dargestellt. Hierbei ist eine gute ¨ Ubereinstimmung der beiden h¨oherwertigen Turbulenzmodelle RNG und SST festzustellen, w¨ahrend das SKE-Modell in Teillast deutlich absinkt, unabh¨angig von der Auswertebene. Die aus den Laufraddruckzahlen und den Sekund¨arwirkungsgraden berechneten hydraulischen Gesamtwirkungsgrade sind in Abb.7.20 in der unteren Zeile enthalten. Die Auswertung in der Messebene (links) liefert wiederum gr¨oßere Werte als bei Auswertung direkt am Laufradaustritt (rechts). Die teilweise großen Diskrepanzen, besonders bei Teillast, sind wie bereits diskutiert nicht in erster Linie auf die Turbulenzmodellierung zur¨ uckzuf¨ uhren. Dennoch ist durchaus auffallend, dass das SKE-Modell bei Teillast durchweg die niedrigsten Kennlinienwerte aller TM liefert. Die Ursache bei der bekannten Schw¨ache der zu großen Dissipation des Modells zu suchen w¨are naheliegend, die nur geringf¨ ugig besseren Werte des RKE-Modells sprechen allerdings dagegen. Das grunds¨atzliche Problem der extremen Str¨omungszust¨ande mit hohem turbulenten Schwankungsanteil [63], welche mit den verwendeten Turbulenzmodellen nicht erfasst werden k¨onnen, ist die wahrscheinlichere Erkl¨arung. Abschliessend kurz zusammengefasst sind die wichtigsten Erkenntnisse der Kennlinienberechnung bei der nS 26-Pumpe wie folgt: ¨ • Nur qualitativ gute Ubereinstimmung mit Messung, da RSR im numerischen Modell vernachl¨assigt wurde. Quantitativ Verschiebung der Kennlinien nach oben. • Einfluss der Kopplungsart ist auch hier dominierend, aber in geringerem Maße als bei der nS 20-Pumpe ¨ • Pumpe ist geeignete FR-Geometrie, gute Kennlinienverl¨aufe auch in Teil- und Uberlast ¨ bei guter Ubereinstimmung mit Messung • Transiente statische Kennlinienwerte sind gr¨oßer als quasi-station¨are ¨ • Bestpunkt zu Q/QN = 0.8 verschoben (in Ubereinstimmung mit Experiment) • Einfluss des TM ist wiederum eher gering, im Bestpunkt gibt es nahezu keine Abweichung • Die saubersten“ Kennlinien liefert das SST-Modell in allen Betriebspunkten ” • Auch hier schl¨ ussige Berechnung des transienten inneren Wirkungsgrades mit unterschiedlichen Methoden

107

108

8. Analyse innerer Str¨ omungsvorg¨ ange 8.1. Str¨ omungsprofile der nS 28 Radialpumpe Die Str¨omungsprofile in der Messebene der frei abstr¨omenden nS 28-Pumpe wurden von Aysheshim [3] im Betriebsbereich 0.8 ≤ Q/QN ≤ 1.2 mit einer Zylindersonde gemessen. Die experimentellen und berechneten Daten sind fl¨achengewichtet umfangsgemittelt f¨ ur den Best¨ punkt in der Abb.8.1 dargestellt. Gleiche Diagramme f¨ ur Teil- und Uberlast sind im Anhang B enthalten. Die Geschwindigkeiten sind bezogen auf die Laufradaustrittsgeschwindigkeit von Deckscheibe zu Tragscheibe aufgetragen. Entlang der Diffusorbreite sind die Knoten des ver0.13

0.7

c /u r

0.12

2 0.65

0.11

EXP SKE RKE KC LCL

14

cu/u2

12

EXP SKE RKE KC LCL

Tu [%]

10 0.1

0.6

8

0.09

0.07 0.06

6

0.55

0.08

4 EXP SKE RKE KC LCL

Deck

0.5

Diffusorbreite

2

BP:100 , Gitter:1

BP:100 , Gitter:1 Trag

Deck

Diffusorbreite

BP:100 , Gitter:1 Trag

Deck

Diffusorbreite

Trag

Gitter WF-1 bei Q/QN = 1.0 0.13

0.7

c /u r

0.12

2

EXP SKE LCL

14

cu/u2

Tu [%]

12

0.65

0.11

EXP SKE LCL

10 0.1

0.6

8

0.09

4

0.07 0.06 Deck

6

0.55

0.08

0.5 EXP SKE LCL

Diffusorbreite

2

BP:100 , Gitter:2

BP:100 , Gitter:2 Trag

Deck

Diffusorbreite

BP:100 , Gitter:2 Trag

Deck

Diffusorbreite

Trag

Gitter LR-2 bei Q/QN = 1.0 Abbildung 8.1.: Str¨omungsprofile cr /u2 , cu /u2 und T u der ns 28-Pumpe in der Messebene wendeten Rechennetzes positioniert, bei Aufl¨osung der Wandgrenzschicht in den Diagrammen der unteren Zeile ist nur jeder zweite Knoten dargestellt. Zus¨atzlich zu den Geschwindigkeitsprofilen wurden experimentelle Daten des Turbulenzgrades bereitgestellt. Diese wurden mittels einer instation¨aren Geschwindigkeitsmessung mit Hitzdrahtanemometer und Filterung der transformierten Daten im Frequenzbereich mit anschließender R¨ ucktransformation 108

¨ 8.1. STROMUNGSPROFILE DER NS 28 RADIALPUMPE

109

bestimmt. Der numerisch berechnete lokale Turbulenzgrad kann nach Gleichung 4.13 direkt umgerechnet werden und ist zusammen mit den Messdaten in den beiden rechten Diagrammen dargestellt. Zun¨achst auffallend sind die großen Unterschiede der Kurven einzelner Turbulenzmodelle bei gleicher und vor allem bei unterschiedlicher Wandbehandlung. Das SKE-Modell mit WF liefert bei der Radialkomponente als einziges Modell einen Verlauf mit einem Minimum in der Diffusormitte, w¨ahrend die anderen Modelle den experimentellen Verlauf mit zwei kleinen Minima zumindest qualitativ vorhersagen. Deutliche Unterschiede bez¨ uglich aller Verl¨aufe zeigen die LowRe-Modelle, wobei das LCL-Modell sehr gut die gemessene Radialkomponente trifft, w¨ahrend die LowRe-Variante nach Abid des SKE-Modells keine guten Resultate liefert. Erstaunlich ist auch die erheblich zu niedrig berechnete Umfangskomponente, die experimentell als sicherer gilt als die Radialkomponente. Beim Turbulenzgrad ist ein Vergleich bei Verwendung von Wirbelviskosit¨atsmodellen immer ¨außerst fragw¨ urdig, da die teilweise sehr großen gemessenen lokalen Fluktuationen mit dieser Art der Turbulenzmodellierung, die ausschließlich vom lokalen Geschwindigkeitsgradienten abh¨angig ist, meist nicht erfasst werden k¨onnen. Obwohl teilweise große Diskrepanzen zwischen gemessenen und berechneten Kurven bestehen, zeigt dieser Testfall doch sehr deutlich den großen Einfluss der Wandbehandlung auf die Str¨omung im Laufradkanal. Je nachdem, ob die Wandgrenzschicht aufgel¨ost wird oder nicht, stellen sich im Radialdiffusor v¨ollig unterschiedliche Geschwindigkeitsprofile ein. Beispielsweise ¨ kommt es bei LowRe-Wandbehandlung im Gegensatz zur Uberbr¨ uckung der Grenzschicht mit WF h¨aufig zu Abl¨osungen an den Diffusorw¨anden, vor allem bei Teillast an der Deckscheibe. Dies bewirkt die oft starke Verschiebung der Radial- und auch Umfangskomponente zur Tragscheibe hin. Bei WF-Wandbehandlung kommt es meist nicht zu Abl¨osungen im Radialdiffusor. In ¨ahnlicher Weise wirkt sich die Art der Wandbehandlung an der Schaufelvorderkante aus. Saugseitig kommt es bei Aufl¨osung der Grenzschicht in einem kurzen Bereich hinter dem Staupunkt zu einer Abl¨osung und R¨ uckstr¨omung, wie in Abb.8.2 dargestellt. Die Abl¨oseneigung DS

SS

SP

Abbildung 8.2.: Str¨omung um Schaufelvorderkante bei Q/QN = 1.0 mit SKE-WF (links) und SKE-LR (mitte und rechts) ¨ ist aufgrund des Anstr¨omwinkels bei Teillast gr¨oßer. Bei Uberlast Q/QN = 1.2 berechnet das LowRe-Modell nach Abid eine Abl¨osung, w¨ahrend das LCL-Modell schon keine Abl¨osung mehr liefert. Alle Turbulenzmodelle mit WF berechnen hier keine Abl¨osung, auch nicht das KC-Modell, das eigentlich den Ausf¨ uhrungen in Kapitel 5 zufolge hierzu in der Lage sein sollte. 109

¨ 8.1. STROMUNGSPROFILE DER NS 28 RADIALPUMPE

110

Eine Erkl¨arung kann eine zu geringe Aufl¨osung der Wandgrenzschicht mit dem WF-Gitter sein, das in diesem Bereich einen dimensionslosen Wandabstand von maximal y + ≈ 70 (vgl. Abb.6.5) aufweist. Bei den Abl¨osungen der Testf¨alle in Kapitel 5 wurde durchweg mit h¨oherer Wandaufl¨osung gearbeitet. Es kann allerdings auch m¨oglich sein, dass die LowRe-Rechnung eine Abl¨osung auf der Saugseite nur aufgrund der station¨aren Modellierung liefert. Instation¨are Vorg¨ange wirken auf abgel¨oste Str¨omungen oft stabilisierend und f¨ordern ein Wiederanlegen, so dass bei transienter Modellierung die periodischen Druckfluktuationen das Abl¨osen an der Saugseite verhindern k¨onnten. ¨ Typische Verl¨aufe des Druckbeiwertes Cp bei Uberlast entlang der Schaufelsehnenl¨ange von Staupunkt (SP) zu Hinterkante (HK) auf einer mittleren Stromfl¨ache zwischen Deck- und Tragscheibe zeigt die Abb.8.3 im linken Diagramm. Auf der Druckseite erkennt man einen fast 10

C Schaufelmitte p

0 −10 −20 −30 −40

LCL−LR SKE−LR WF

−50

BP:120 SP

0.2

0.4

0.6

0.8

HK

Abbildung 8.3.: Druckbeiwert Cp bei Q/QN = 1.2 entlang Schaufelsehnenl¨ange an DS und SS und Umstr¨omung der Schaufelhinterkante identischen Verlauf der beiden LowRe-Kurven, w¨ahrend die WF-Kurve erst gegen Ende der Schaufel das gleiche Niveau erreicht. Die Verl¨aufe auf der Saugseite unterscheiden sich deutlicher, wobei von den LowRe-Modellen das LCL-Modell das niedrigste Minimum, aber keine Abl¨osung und das SKE-Modell noch eine Abl¨osung liefern. Die Minima der LowRe-Modelle sind etwas stromab verschoben. Wie auch auf der Druckseite treffen sich alle Kurven nach etwa 70% Sehnenl¨ange um danach zusammen zu verlaufen. Die Unterschiede zwischen den Cp -Verl¨aufen sind somit gr¨oßtenteils auf die erste H¨alfte der Sehnenl¨ange beschr¨ankt. An der Hinterkante liegt auf der Druckseite ein kleinerer Druck vor als auf der Saugseite, was sowohl in den Cp -Verl¨aufen als auch im rechten Bild der Abb.8.3 zu sehen ist. Daraus resultiert eine wandnahe Sekund¨arstr¨omung entlang der Schaufelhinterkante von der Saug- zur Druckseite hin, wie an den Vektoren zu erkennen. Wie bereits in Kapitel 5 gezeigt, ist die Besonderheit des KC-Modells die lokal variable Trennung des Turbulenzspektrums in Produktions- und Dissipationsbereich. Darstellen kann man diese Bereiche als Felder des berechneten Cµ -Faktors nach Gleichung (3.60) oder des β-Faktors nach Gleichung (3.61). Beide Felder sind in Abb.8.4 dargestellt. Ein kleines C µ 110

¨ 8.1. STROMUNGSPROFILE DER NS 28 RADIALPUMPE

111

bzw. ein β-Wert gr¨oßer als 0.25 stellt sich dort ein, wo das Verh¨altnis von Produktion zu Dissipation groß ist und umgekehrt. Bereiche mit verst¨arkter Turbulenzproduktion finden sich entlang der Schaufeldruckseite und im Nachlaufbereich der Druckseite. Im Nachlaufbereich der Saugseite sowie insbesondere in der Kanalmitte befinden sich Zonen erh¨ohter Dissipation. Gleichgewicht zwischen Produktion und Dissipation liegt bei Cµ = 0.09, das dem konstanten Wert des SKE-Modells entspricht, bzw. β = 0.25 vor. Obwohl das KC-Modell keine verbesser-

β

Cµ

0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1

Abbildung 8.4.: Feld der Faktoren Cµ und β bei Q/QN = 1.0

ten integralen Werte liefert, bietet es als einziges die M¨oglichkeit der Lokalisierung der Zonen erh¨ohter Turbulenzproduktion. Die wichtigsten Erkenntnisse der Untersuchung der mit verschiedenen Turbulenzmodellen berechneten Laufradstr¨omung sind nachfolgend zusammengefasst. • Es wird ein deutlicher Einfluss des Turbulenzmodells und vor allem der Wandbehandlung auf die Geschwindigkeitsprofile in der Messebene nachgewiesen ¨ • Insgesamt ist die Ubereinstimmung mit den experimentellen Daten nicht zufriedenstellend, vor allem bei der Umfangskomponente • Bei LowRe Wandbehandlung kommt es zu Abl¨osungen im Radialdiffusor und auf der Saugseite im vorderen Schaufelbereich • Der Druckbeiwert ist vor allem an der Schaufelvorderkante stark von der Wandbehandlung abh¨angig

111

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

112

8.2. Str¨ omung an den Laufradaustritten der Gesamtpumpen Nachdem im vorherigen Abschnitt auf den Einfluss der Wandbehandlung der Turbulenzmodellierung eingegangen wurde, liegt der Schwerpunkt von jetzt an beim Vergleich der Kopplungsmethoden. In diesem Kapitel wird das Verhalten der Str¨omung am Laufradaustritt eines Schaufelkanals an fester Relativposition (FR) oder umlaufend (SM) untersucht. Wie gleich zu Beginn gezeigt werden wird, unterscheiden sich die meist unzureichenden Resultate der FR-Kopplung sehr stark von denen der transienten Kopplung, so dass die Darstellung der zeitabh¨angigen Berechnungsergebnisse den gr¨oßten Teil der nachfolgenden Diskussionen ausmacht. F¨ ur den Laufradaustritt der Pumpen liegen keine Messdaten vor, so dass in diesem Abschnitt nur ein Vergleich der numerischen Daten untereinander erfolgen kann. Da bei den nachfolgend gezeigten Auswertungen keine nennenswerten Unterschiede der Resultate mit verschiedenen Turbulenzmodellen gefunden wurden, wird kein Vergleich diesbez¨ uglich gezeigt. Alle Darstellungen wurden, falls nicht anders angegeben, aus Rechnungen mit dem SKE-Modell ermittelt.

Massenstrom durch Laufradkan¨ ale Das Verhalten eines einzelnen Laufradkanals innerhalb des Str¨omungsgeschehens der Gesamtmaschine kann sehr anschaulich anhand des integralen Wertes des Massenstromes durch diesen Kanal verdeutlicht werden. Bei konvergierter station¨arer FR-L¨osung ist die Summe der Kanalmassenstr¨ome immer gleich dem Gesamtmassenstrom durch das Laufrad, w¨ahrend bei zeitperiodischer L¨osung der Kanalmassenstrom u ¨ber eine Umdrehung gerade dem Laufradmassenstrom geteilt durch die Anzahl der Schaufeln entspricht. Die Bezeichnung der einzelnen Laufradkan¨ale der nS 20-Pumpe bei FR-Kopplung und die Umfangsposition in Form des Winkels φ des betrachteten Kanals bei transienter Kopplung sind in Abb.8.5 dargestellt. Den Massenstrom durch Kanal 1 bezogen auf den Gesamtmassenstrom durch das Laufrad Massenstrom Laufradkanal [%] 20 18 16 14 0.5 0.9 1.3

12

0°

Sporn

180°

Drehwinkel φ

270°

360°

Abbildung 8.5.: Kanalbezeichnung und Massenstr¨ome durch Laufradkanal nS 20-Pumpe u ur verschie¨ber eine gesamte Umdrehung 0◦ ≤ φ ≤ 360◦ zeigt das Diagramm in Abb.8.5 f¨ dene Betriebspunkte. Der prozentuale Mittelwert des Massenstromes betr¨agt 16.67% und 112

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

113

ist als gepunktete Gerade zus¨atzlich eingezeichnet. Alle Kurven zeigen ein zeitperiodisches Verhalten u ¨ber eine Umdrehung. Auffallend sind vor allem die Lagen der Maxima, Minima und der beiden Durchg¨ange der Kurven durch die Mittelwertgerade an jeweils fast identischen Umfangspositionen f¨ ur alle Betriebspunkte. Den ersten Extremwertwert durchlaufen die Kurven, wenn die Saugseite des betrachteten Kanals gerade unterhalb des Spiralsporns steht. ¨ Bei Teillast bedeutet dies ein Minimum w¨ahrend bei Uberlast ein Maximum vorliegt. Der Kanalmassenstrom w¨achst bei TL mit zunehmendem Abstand vom Sporn zun¨achst an, um nach einem Maximum nach etwas mehr als halber Umdrehung mit Ann¨aherung an den Sporn ¨ sind genau umgekehrt, wobei die Amplituden der wieder abzunehmen. Die Verh¨altnisse bei UL ¨ Die beiden Schnittpunkte“ aller Extremwerte bei TL etwa doppelt so groß sind wie bei UL. ” ◦ Kurven liegen etwa 50 stromauf (entgegen der Drehrichtung) des Sporns und 95◦ stromab (mit der Drehrichtung) des Spiralsporns. Dies bedeutet, der Kanal liefert w¨ahrend 145◦ Drehung in der N¨ahe des Sporns den vom Druck im Druckstutzen aufgezwungenen Massenstrom und gleicht diese Abweichung vom Mittel w¨ahrend der restlichen 215◦ wieder aus. Mit einer ¨ 1.3 sind Schwankung von 11% ≤ m ˙ Ka ≤ 20% bei TL 0.5 und 15.5% ≤ m ˙ Ka ≤ 19% bei UL die Massenstromschwankungen im Laufradkanal groß. In Abb.8.5 sind außer den markierten ¨ 1.3 und Q/QN = 0.9 die Kurven aller berechneten Betriebspunkte Kurven f¨ ur TL 0.5, UL enthalten. Man erkennt eine verschwindende Schwankung beim Betriebspunkt Q/QN = 0.9, f¨ ur den anscheinend die u ¨ber den Umfang ausgeglichenste Druckverteilung im Spiralgeh¨ause vorliegt. Diese Erkenntnis passt mit dem in Kapitel 7 gefundenen besten Wirkungsgrad bei diesem BP zusammen. Tr¨agt man die Massenstr¨ome durch die einzelnen feststehenden Kan¨ale entsprechend der in Abb.8.5 eingestellten Relativposition mit einer FR-Rechnung auf, ergibt sich auf den ersten Blick ein ¨ahnliches Bild, wie in Abb.8.6 im linken Diagramm zu sehen. Das erste Extremum Massenstrom im Laufradkanal [%]

Massenstrom im Laufradkanal [%]

Massenstrom im Laufradkanal [%]

30

25

25

20

20 18

20 15

16

15 10

10

14 5

5 0.5 0.9 1.3

0 1

2

3

4

Laufradkanal

5

6

SM 0.5 FR 0.5 SM 1.3 FR 1.3

0

1

0°

Sporn

180°

Drehwinkel φ

270°

360°

12

0°

SM 0.9 FR 0.9 SM 1.0 FR 1.0 Sporn

180°

Drehwinkel φ

270°

360°

Abbildung 8.6.: Massenstr¨ome durch Laufradkan¨ale nS 20-Pumpe

stromauf des Sporns f¨allt in Kanal 2, w¨ahrend des zweite Extremum stromab des Sporns nicht eindeutig einem Kanal zuzuordnen ist. Auch bei FR-Kopplung zeigt der BP Q/QN = 0.9 die geringsten Schwankungen der einzelnen Kan¨ale, w¨ahrend die Kurven abseits des Optimums viel gr¨oßere Schwankungen zeigen als die transienten Kurven. Vor allem bei TL treten derart extreme Unterschiede auf, dass von einer ausgeglichenen Str¨omung nicht mehr gesprochen werden kann. In Kanal 2 tritt bei den beiden TL-Betriebspunkten 0.5 und 0.6 sogar eine R¨ uckstr¨omung auf, d.h. der Kanal 2 direkt stromauf des Sporns tr¨agt bei TL nicht zur F¨orderh¨ohe bei. Es 113

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

114

¨ treten Schwankungen von −8% ≤ m ˙ Ka ≤ 27% bei TL 0.5 und 14% ≤ m ˙ Ka ≤ 22% bei UL 1.3 auf. Diese im Vergleich zur transienten Rechnung sehr großen Unterschiede zwischen den einzelnen Kan¨alen f¨ uhren zu stark erh¨ohten Verlusten und erkl¨aren den schlechteren Wirkungsgrad bei FR-Kopplung. Im direkten Vergleich der transienten und FR-Rechnungen bei TL ¨ im mittleren und im BEP im rechten Diagramm der Abb.8.6 wird dieser Sachverhalt und UL verdeutlicht. Die Kanalpositionen der FR-Rechnung wurden an die entsprechende transiente Umfangsposition (maßgeblich ist die Saugseite) verschoben. Bei jetzt gleicher Skalierung sind die viel zu großen Schwankungen der FR-Kopplung viel deutlicher. Weiterhin f¨allt auf, dass die Wendepunkte der transienten Kurven bei gr¨oßeren Umfangspositionen liegen, was auf die Ber¨ ucksichtigung der Massentr¨agheit im Falle der zeitabh¨angigen L¨osung zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Im rechten Diagramm ist nochmals verdeutlicht, dass die ausgeglichenste Str¨omung nicht bei Q/QN = 1.0, sondern bei Q/QN = 0.9 vorliegt. Die starken Schwankungen der Kanalmassenstr¨ome bei FR-Rechnungen legen die Vermutung nahe, durch mehrfaches L¨osen der Gesamtpumpe mit jeweils anderer Relativposition des Laufrades zum Spiralsporn und anschliessender Mittelung aller Einzelergebnisse ein ¨ahnlich gutes St¨omungsfeld zu erhalten wie nach Zeitmittelung einer transienten L¨osung. Diese Vorgehensweise wurde von einigen Autoren vorgeschlagen und durchgef¨ uhrt. Eine Mittelung einiger unzureichender Ergebnisse kann jedoch kein zufriedenstellendes Str¨omungsfeld liefern. Dies wird best¨atigt anhand Variationsrechnungen mit der nS 20-Pumpe im Betriebspunkt Q/QN = 1.0, der zun¨achst f¨ ur das Optimum gehalten wurde. Von Korrell [47] wurden insgesamt 6 FR-Rechnungen mit jeweils um 10◦ gedrehtem Laufrad durchgef¨ uhrt, womit alle m¨oglichen Relativpositionen innerhalb eines 10◦ -Intervalls abgedeckt sind. Die Ergebnisse sind in Abb.8.7 zusammen mit den bereits bekannten Kurven des BP 1.0 aus dem rechten Diagramm der Abb.8.6 dargestellt. Jede der 6 Einzelkurven steht f¨ ur einen Laufradkanal an jeweils 6 festen Relativpositionen in 10◦ -Intervallen. Am Abbildung 8.7.: FR-Varianten nS 20-Pumpe jeweils ersten Punkt der Einzelkurven steht die Saugseite eines Kanals gerade am Spiralsporn, am jeweils vierten Punkt ist der Kanal um 30◦ verdreht, so dass gerade die Kanalmitte am Spiralsporn steht (entsprechend der Position in Abb.8.5). Die Verbindungslinie dieser jeweils vierten Punkte entspricht der FR-Kurve 1.0 aus Abb.8.6. Es ist an dieser Darstellung zu erkennen, dass in Abh¨angigkeit der zun¨achst frei w¨ahlbaren Relativposition ganz unterschiedliche Kanalmassenstr¨ome erhalten werden. Den f¨ ur alle Kan¨ale jeweils mittleren Massenstrom liefert die vierte Winkelposition, die der Abb.8.5 entspricht. Aus diesem Grund kann man bei FR-Rechnungen durch entsprechende 114

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

115

Wahl der Relativposition die extremen Schwankungen wenigstens einigermaßen in Grenzen halten. Es wird hierbei noch darauf hingewiesen, dass die Wahl der Relativposition keinen nennenswerten Einfluss auf integrale Werte hat, die Unterschiede im Wirkungsgrad liegen innerhalb einer Bandbreite von unter 1%. Auch eine Mittelung aller sechs Einzelresultate kann demnach nicht mit einer transienten Rechnung verglichen werden. Vielmehr verst¨arken sich bei manchen Relativpositionen einer FR-Rechnung die ung¨ unstigen Verh¨altnisse der Laufraddurchstr¨omung. Ein anderer interessanter Sachverhalt aus Abb.8.7 ist am besten im Optimum abzulesen. Sowohl die transiente als auch die FR-Kurven bei verschiedenen Winkelpositionen zeigen zun¨achst ein Abfallen des Massenstromes mit zunehmendem Umfangswinkel, um im Bereich um 270◦ ein lokales Maximum aufzuweisen. Dieses Ph¨anomen ist auch bei genauerem Hinsehen in den transienten Kurven aller Betriebspunkte (Abb.8.5) als kleiner Wendepunkt im Bereich des davorliegenden kleinen Minimums bei etwa 230◦ zu sehen. Somit kann ein zun¨achst vermuteter Fehler der FR-Kurven ausgeschlossen werden, vielmehr verst¨arkt sich dieses Ph¨anomen noch bei Verwendung des FR-Ansatzes. Ursache ist, wie im folgenden Abschnitt noch gezeigt werden wird, eine leichte Unstetigkeit im Querschnittsverlauf des Spiralgeh¨auses. Die oben ausf¨ uhrlich beschriebenen Diagramme sind nachfolgend entsprechend f¨ ur die nS 26Pumpe aufbereitet. Abbildung 8.8 zeigt zun¨achst die Bezeichnungen der einzelnen Kan¨ale und des Umfangswinkels. Grunds¨atzlich zeigen die Kurven ein ¨ahnliches Verhalten wie bei der Massenstrom Laufradkanal [%] 18 16 14 12 0.5 0.8 1.2

10

270°

Sporn

90°

Drehwinkel φ

180°

270°

Abbildung 8.8.: Kanalbezeichnung und Massenstr¨ome durch Laufradkanal nS 26-Pumpe nS 20-Pumpe, so dass die zwei mehr oder weniger gemeinsamen Schnittpunkte aller Kurven als allgemeing¨ ultig angesehen werden k¨onnen. Die Lage des ersten Extremums am Sporn ist identisch, die Schaufelsaugseite des Kanals 1 steht entsprechend der Abb.8.8 dann genau unterhalb des Sporns. Das zweite Extremum der Kurven an der dem Sporn gegen¨ uberliegenden Seite ist nicht eindeutig einer gemeinsamen Umfangsposition zuzuordnen. Im Vergleich zur nS 20-Pumpe ist der vom Sporn direkt beeinflusste Umfangsbereich um etwa 20◦ ausgedehnter, der gegen¨ uberliegende Bereich entsprechend kleiner. Damit zusammenh¨angend liegen die beiden Extrema der nS 26-Pumpe n¨aher zusammen, d.h. der Wechsel der Massenstromextrema des Kanals nach Passieren des Sporns ist ein deutlich schneller Prozess als bei der nS 20-Pumpe. Die mit FR-Kopplung erhaltenen einzelnen Kanalmassenstr¨ome sind im Bereich 0.4 ≤ Q/QN ≤ 115

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN Massenstrom Laufradkanal [%]

Massenstrom Laufradkanal [%] 30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

0.4 0.8 1.2

0 1

Massenstrom Laufradkanal [%] 20

15

5

5

2

3

4

5

Laufradkanal

6

7

SM 0.5 FR 0.5 SM 1.2 FR 1.2

0

1

270°

116

Sporn

90°

Drehwinkel φ

180°

270°

10

270°

SM 0.8 FR 0.8 SM 1.0 FR 1.0 Sporn

90°

Drehwinkel φ

180°

270°

Abbildung 8.9.: Massenstr¨ome durch Laufradkan¨ale nS 26-Pumpe

1.3 im linken Diagramm der Abb.8.9 dargestellt. Bei dieser Pumpe wurde die in Abb.8.8 gezeigte Relativposition des Laufrades gew¨ahlt, die wie oben gezeigt, nicht die optimale Position ist. Als Resultat erh¨alt man das stromauf des Sporns liegende Extremum nicht bei allen ¨ 1.2 sind im BP im gleichen Kanal, sondern in Kanal 1 oder 2. Die Kurven TL 0.5 und UL mittleren Diagramm den transienten Kurven gegen¨ ubergestellt. Auch hier sind die Differenzen der Extremwerte bei FR-Kopplung wieder mehr als doppelt so groß wie bei transienter Kopplung. Im rechten Diagramm sind f¨ ur jeweils beide Kopplungsarten die BP 0.8 und 1.0 zusammen gezeigt. Bei dieser Darstellung wird sehr deutlich, dass beim Betriebspunkt 0.8 die ausgeglichenste Druckverteilung im Spiralgeh¨ause vorliegt. Der optimale BP der Pumpe ist demnach, wie schon in Kapitel 7 anhand der Kennlinien gezeigt, Q/QN = 0.8. Als abschliessender Vergleich beider Pumpen zur Thematik Kanalmassenstrom werden in Abb.8.2 die prozentualen Schwankungen u ubergestellt. ¨ber eine Umdrehung gegen¨ Die Diagramme zeigen die Resultate der transienten Rechnungen f¨ ur alle Betriebspunkte. Die 70 Schwankung des Kanalmassenstromes kleinsten Schwankungen zwischen maximalem 60 über eine Laufraddrehung [%] und minimalem Kanalmassenstrom haben bei50 de Pumpen in ihrem Bestpunkt, 0.8 bzw. 0.9. 40 Wie schon in den Diagrammen oben gezeigt, steigen die Schwankungen zu Teillast hin we30 ¨ sentlich st¨arker an als zu Uberlast hin. Die20 ses Verhalten ist bei der nS 20-Pumpe st¨arker nS20 10 ausgepr¨agt, die auch insgesamt eine geringere nS26 Tendenz zu Schwankungen zeigt. Dies gilt of0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 ¨ sondern auch f¨ Q/QN fensichtlich nicht nur f¨ ur UL, ur TL, wenn man die BP nicht direkt, sondern im Verh¨altnis zum jeweiligen Bestpunkt vergleicht. Abbildung 8.10.: Schwankung des Kanalmassenstroms Die Vergleiche der Massentr¨agheitseffekte beider Pumpen zeigen einen deutlichen Vorteil der nS 20-Pumpe f¨ ur transiente numerische Berechnung. Die Ursache f¨ ur die insgesamt ausgeglichenere Diffusorstr¨omung dieser Pumpe d¨ urfte neben der geringeren Drehzahl vor allem die vorteilhaftere geometrische Gestaltung des Spiralenquerschnitts sein. 116

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

117

Str¨ omungsfelder am Kanalaustritt Im n¨achsten Abschnitt werden die Str¨omungsfelder am Austritt des Laufradkanals zweidimensional gezeigt. Es werden aufgrund der oben genannten unzureichenden Resultate der FR-Rechnungen im Diffusorbereich ausschliesslich transiente Ergebnisse vorgestellt. Außerdem beschr¨anken sich die Ausf¨ uhrungen auf ein einziges Turbulenzmodell. Es hat sich herausgestellt, dass keines der untersuchten Turbulenzmodelle ein von den gezeigten Ergebnissen deutlich abweichendes Bild der Str¨omung liefert. Die nachfolgenden Darstellungen sind demzufolge als eine Visualisierung der inneren Str¨omungsvorg¨ange der Maschine an einem der Messtechnik sehr schwer zug¨anglichen Ort zu verstehen. Abbildung 8.11 zeigt die Felder der Geschwindigkeitskomponenten in Absolutkoordinaten der nS 20-Pumpe im Bestpunkt 0.9 bezogen auf die Laufradgeschwindigkeit u2 zu einem festen Zeitpunkt. Das verwendete Turbulenzmodell der transienten Berechnung ist das SKE-Modell.

Abbildung 8.11.: Str¨omungsprofile am Laufradkanalaustritt nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 In der oberen H¨alfte der Abbildung befindet sich die Mitte des betrachteten Kanals gerade am Spiralsporn, wie die Laufradskizze der aktuellen Umfangsposition φ = 120◦ zeigt. Die untere H¨alfte der Abbildung zeigt den gleichen Laufradkanal 90 Zeitschritte sp¨ater, am Umfangswinkel φ = 300◦ . Es werden jeweils Radialkomponente (links oben), Umfangskomponente (rechts oben) und Axialkomponente (links unten) u ¨ber den gesamten in die Ebene projizierten Schaufelkanal gezeigt. Konsistent zur Skizze der Pumpe w¨are die Drehrichtung von links nach 117

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

118

rechts, bzw. von DS zu SS, die Tragscheibe des Laufrades befindet sich oben. Obwohl an allen Umfangspositionen bzw. zu allen Zeitschritten die R¨ uckwirkungen des Spiralsporns im Laufradkanal zu sehen sind und somit eigentlich der gesamte Diffusorbereich vom Sporn beeinflusst wird, treten die deutlichsten Auswirkungen selbstverst¨andlich in unmittelbarer Spornn¨ahe auf. Im restlichen Umfangsbereich stellt sich dagegen ein Str¨omungsfeld relativ konstanter Form am Kanalaustritt ein. Dieses einigermaßen konstante Feld a¨ndert u ¨ber einen ¨ gewissen Umfangswinkel mit Anderung des Gegendruckes nur sein Absolutlevel, ohne dass sich das grundlegende Aussehen des Feldes a¨ndert. Demzufolge kann man diesen Bereich als einen vom Sporn nicht direkt beeinflussten Umfangsbereich bezeichnen. Die Umfangsposition φ = 300◦ befindet sich innerhalb dieses Bereichs, somit kann das sich grunds¨atzlich einstellende Str¨omungsfeld anhand dieser Position erl¨autert werden. Das Maximum der Radialkomponente mit etwa 0.2 u2 ist auf die Druckseite des Schaufelkanals verschoben. Nahe der Tragund Deckscheibe in der saugseitigen Kanalh¨alfte und an der Saugseite selbst findet fast kein Massenstrom aus dem Kanal statt. An der Saugseite befindet sich das Maximum der Umfangskomponente mit 0.8 u2 , das zur Druckseite hin auf etwa 0.5 u2 abf¨allt. Der wesentlich gr¨oßere Abstr¨omwinkel stellt sich also an der Druckseite der Schaufel ein. Erstaunlich ist vor allem die Axialkomponente, die sich relativ symmetrisch zur gedachten Kanalmitte zwischen Deckund Tragscheibe einstellt. Sogar im betrachteten Bestpunkt erreicht diese Komponente mit maximal etwa 0.08 u2 an Deck- und Tragscheibe in der N¨ahe der Saugseite fast die H¨alfte der maximalen Radialkomponente. Die Axialkomponete ist von den Deckscheiben zur Kanalmitte hin gerichtet, wie an der eingezeichneten Vorzeichenrichtung zu erkennen. Die Ursache dieser hohen Axialkomponente, die nicht zur F¨orderh¨ohe beitr¨agt, sondern Verluste verursacht, sind Sekund¨arstr¨omungen im Spiralgeh¨ause. Im Vorgriff auf die im n¨achsten Abschnitt untersuchten Str¨omungsverh¨altnisse im Diffusor werden diese Sekund¨arstr¨omungen schon hier zur Erkl¨arung der hohen Axialkomponente gezeigt. In Abbildung 8.12 sind f¨ ur f¨ unf Spiralquerschnitte an verschiedenen Umfangspositionen diese Str¨omungen qualitativ dargestellt. Das sich einstel-

φ = 90◦ , innen

φ = 180◦

φ = 270◦

φ = 0◦

φ = 90◦ , aussen

Abbildung 8.12.: Sekund¨arstr¨omungen im Spiralquerschnitt der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 lende Wirbelsystem ist bei allen Positionen erkennbar. Bei den Winkelpositionen φ = 270 ◦ und φ = 90◦ , innen sind zus¨atzlich die Spalte der RSR eingezeichnet. Es bilden sich zwei Sekund¨arwirbel, die von der in die Mitte des Schaufelkanals gedr¨angten Radialkomponente angetrieben werden. Im unteren Teil der Abb.8.11 ist diese auf die Kanalmitte konzentrierte Radialkomponente gut zu erkennen. Diese Str¨omung ist deutlich zur Deckscheibe (DS) des Laufrades hin gerichtet und bildet an der Außenseite der Spirale zwei R¨ uckstr¨omungen entlang der Spiralenaussenwand. Diese R¨ uckstr¨omungen teilen sich vor Erreichen des Laufrades in 118

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

119

einen Teilstrom in den RSR sowie einen Teilstrom zum Schließen des Wirbels auf, wobei der zirkulierende Teilstrom am Laufradaustritt die starke Axialkomponente bewirkt. Dieses Sekund¨arwirbelsystem ist u ¨ber den gesamten Spiralumfang vorhanden. Die gr¨oßten Wirbel findet man immer n¨aher der Saugseite der Schaufel, wo die gr¨oßte Axialkomponente vorhanden ist. An der Schaufeldruckseite mit großer Radialkomponente werden diese Wirbel kleiner und st¨arker an die Aussenwand der Spirale gedr¨ uckt. Die starken Auswirkungen des Spiralsporns auf das Str¨omungsfeld des Laufradaustritts sind im oberen Teil der Abb.8.11 zu sehen. Der Sporn, der zu diesem Zeitpunkt gerade in der Mitte zwischen DS und SS steht, bewirkt durch Versperrung eine stark verminderte Radialkomponente. Aufgrund der noch vorhandenen, aber wegen des kleinen Querschnitts bis in das Laufrad gedr¨ uckten Spiralsekund¨arwirbel (vgl. Abb.8.12, linkes Bild) wird die Radialkomponente an den Laufradscheiben dort sogar negativ. Bei der Umfangskomponente ist kein großer Unterschied im Vergleich zur Umfangsposition φ = 300◦ zu erkennen. Dies ¨andert sich deutlich ¨ bei anderen Betriebspunkten. Die entsprechenden Abbildungen f¨ ur Teillast und Uberlast sind im Anhang D enthalten. Bei Teillast ist die Radialkomponente wegen des geringeren Durchflusses insgesamt kleiner. ¨ Uber den gesamten Umfang stellt sich auf dem saugseitigen Kanalbereich eine kleine Zone leichter R¨ uckstr¨omung bei gleichzeitig vergr¨oßerter Umfangskomponente ein. Beim Vorbeilaufen am Spiralsporn stellt sich vom Kanal aus gesehen wenige Grad in Drehrichtung vor der aktuellen Spornposition eine starke R¨ uckstr¨omung in den Kanal ein, w¨ahrend im gleichen Kanal stromab und noch weiter stromauf des Sporns eine verst¨arkte Ausstr¨omung einsetzt. Die direkte Wirkung des Sporns ist bei TL leicht stromauf verschoben, was durch den h¨oheren Gegendruck im Druckstutzen und die deswegen in Richtung stromab des Sporns ausweichende Radialkomponente erkl¨art werden kann. Die Sekund¨arwirbel in der Spirale bleiben auch bei anderen Betriebspunkten weitgehend erhalten, lediglich die Zirkulationsgebiete werden bei ¨ Uberlast aufgrund der vergr¨oßerten Radialkomponente mehr an die Spiralenwand gedr¨ uckt. ¨ Ein ¨ahnlich ausgeglichenes Str¨omungsfeld wie im Bestpunkt stellt sich bei Uberlast an der vom Sporn entfernten Stelle φ = 300◦ ein. An der spornnahen Position φ = 120◦ ist wie bei Teillast, aber mit anderen Auswirkungen, sehr deutlich die aktuelle Position des Sporns selbst am Str¨omungsfeld des Schaufelkanals zu erkennen. Wie auch bei TL ist die direkte Wirkung des Sporns leicht in Richtung des Gebietes des h¨oheren Gegendrucks, also stromab des Sporns, verschoben. Auch hier versucht die Radialkomponente in Richtung des kleineren Gegendrucks ¨ in Drehrichtung vor dem Sporn liegt. In diesem Bereich kommt es auszuweichen, der bei UL daher zu verst¨arkter radialer Ausstr¨omung, w¨ahrend stromab des Sporns eine Stauwirkung einsetzt. Nachdem gezeigt wurde, dass die Wechselwirkungen zwischen Laufradkanal und Spiralsporn in erster Linie Auswirkungen auf die Radialkomponente haben, bietet die Darstellung der Sekund¨arstr¨omung in Abbildung 8.13 weitere M¨oglichkeiten zur Veranschaulichung. Die Sekund¨arstr¨omung selbst wird nach einem Vorschlag von Ritzinger [81] aus der Axialkomponente sowie der Umfangskomponente abz¨ uglich der impulsgemittelten Umfangskomponente gebildet. Die gew¨ahlte Definition der Sekund¨arstr¨omung besagt eine zur Saugseite gerichtete Str¨omung bei gr¨oßerer Umfangskomponente verglichen mit der impulsgemittelten Umfangskomponente und umgekehrt. Bei Umfangsposition φ = 300◦ liegt eine a¨ußerst komplizierte 119

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

φ = 120◦

120

φ = 300◦

Abbildung 8.13.: Sekund¨arstr¨omung am Laufradkanalaustritt nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 ¨ Form der Sekund¨arstr¨omung vor, die keine Ahnlichkeit mit einer rein durch Coriolisbeschleunigung hervorgerufenen Kanalsekund¨arstr¨omung aufweist. Die geneigte Linie, auf welche alle Stromlinien im mittleren Bereich des Kanals zulaufen, entspricht einer Linie verschwindender Axialkomponente. Eine viel deutlichere Trennlinie zwischen Stromlinien, die zur Saugseite oder zur Druckseite laufen, existiert bei Umfangsposition φ = 120◦ . An dieser Trennlinie befindet sich gerade der Spiralsporn, der die sekund¨are Kanalstr¨omung stromauf und stromab ¨ des Sporns aufteilt. In Teil- und Uberlast ist ein noch deutlicherer Sporneinfluss vorhanden. Die beschriebenen, numerisch berechneten dreidimensionalen Str¨omungsverh¨altnisse am Laufradaustritt k¨onnen anhand der nachfolgenden Ergebnisse der nS 26-Pumpe best¨atigt werden. Abbildung 8.14 zeigt die entsprechenden Str¨omungsfelder am Austritt des Laufradkanals in gleicher Anordnung der Diagramme wie bei Abb.8.11. Es ist mit Q/QN = 0.8 wiederum

Abbildung 8.14.: Str¨omungsprofile am Laufradkanalaustritt nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 120

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

121

der Bestpunkt der Pumpe an den Umfangspositionen φ = 24◦ und 60 Zeitschritte sp¨ater an φ = 204◦ dargestellt. Bei umgekehrter Drehrichtung ist auch hier das Maximum der Radialkomponente an der Druckseite sowie das Maximum der Umfangskomponente an der Saugseite zu finden. An der vom Sporn entfernten Position in der unteren H¨alfte der Abbildung zeigen sich bei allen Komponenten ausgeglichene Str¨omungsprofile, die sich in ihrer Form mit der Zeit in diesem Bereich der Spirale kaum ver¨andern. Die Axialkomponente hat auch hier mit maximal 0.1 u2 an der Saugseite einen der Radialkomponente nahekommenden Wert. Die Symmetrielinie ist allerdings zur Deckscheibe hin verschoben. Dies erkl¨art sich anhand der ebenfalls auftretenden Sekund¨arwirbel im Spiralgeh¨ause, wie in Abb.8.15 zu erkennen. Die 5 gezeigten Querschnitte sind an vier Umfangspositionen gem¨aß der Bezeichnung in Abb.8.8 verteilt. Im trapezf¨ormigen Querschnitt der Spirale stellt sich, wie auch im runden Querschnitt

φ = 0◦ , innen

φ = 90◦

φ = 180◦

φ = 270◦

φ = 0◦ , aussen

Abbildung 8.15.: Sekund¨arstr¨omungen im Spiralquerschnitt der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 der nS 20-Pumpe, u ¨ber den gesamten Umfang ein System von zwei gegenl¨aufigen Wirbeln ein. Der Unterschied zur nS 20-Pumpe besteht vor allem in der etwas st¨arker ausgepr¨agten Symmetrie dieser Sekund¨arwirbel, die vor allem in hier nicht dargestellten Betriebspunkten ¨ in Teil- und Uberlast auftritt. Im gezeigten Bestpunkt ist die radiale Hauptstr¨omung, welche das Wirbelsystem antreibt, eher in Richtung Tragscheibe gerichtet. Ursache hierf¨ ur kann der im Modell fehlende RSR sein, wodurch der deckscheibenseitige Massenaustritt fehlt, der eine Verkleinerung des Wirbels auf dieser Seite bewirken w¨ urde. Aus diesem Grund ist bei der nS 26-Pumpe die radiale Innenstr¨omung in das Spiralgeh¨ause zur tragscheibenseitigen Wand gerichtet. An dem grunds¨atzlichen Auftreten des Sekund¨arwirbelsystems besteht allerdings kein Zweifel. Die eher ungew¨ohnliche Querschnittsform des Spiralgeh¨auses macht dies ohnehin sehr wahrscheinlich. Das Verschwinden der Wirbel an den Spiralwandaussenseiten bei der Umfangsposition φ = 0◦ , aussen (Abb.8.15, ganz rechts) wird von einer starken Abl¨osung an der konkaven Seite des Druckstutzens und damit verbundenen Verschiebung der Wirbel in den Druckstutzen verursacht. Dieses starke Abl¨osen innerhalb des Druckstutzens konnte auch am Pr¨ ufstand pragmatisch mit Hilfe einer Fadensonde nachgewiesen werden. Bei der transienten numerischen Berechnung der Originalkonfiguration der Pumpe, d.h. mit dem sehr kurzen Druckstutzen (vgl. Abb.6.10) stellte sich diese starke Abl¨osung nahe des Austrittsrandes sehr schnell als numerisch problematisch heraus, weshalb letztendlich mit deutlich verl¨angertem Druckstutzen gerechnet wurde. Beim Vorbeilaufen des Kanals am Spiralsporn ist dessen R¨ uckwirkung wieder sehr deutlich. ◦ Zur Zeit der Kanalposition φ = 24 in Abb.8.14 befindet sich die Mitte des Schaufelkanals gerade am Sporn, der besonders die Radialkomponente beeinflusst. Die aufgrund des kleinen Spiralquerschnitts wieder bis in den Kanal zur¨ uckreichenden Wirbel bewirken genau an dieser Stelle eine große von den Seitenw¨anden zum Kanalinneren gerichtete Axialkomponente und 121

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

122

eine damit verbundene negative Radialkomponente an den Kanalscheiben. Die Struktur der Umfangskomponente bleibt erhalten, lediglich stromauf des Sporns ist eine leichte Versperrungswirkung des Sporns erkennbar. Bei den im Anhang D enthaltenen Abbildungen der ¨ Str¨omungsprofile in Teil- und Uberlast ist das gleiche Verhalten der Str¨omung wie bei der nS 20-Pumpe zu beobachten. Die lokale starke Versperrungswirkung des Sporns, die damit verbundene Verschiebung der Spiralwirbel in den Laufradkanal und folglich negative Radialkomponente an den Kanalscheiben ist deutlicher ausgepr¨agt als im Bestpunkt. In Teillast ist ¨ diese Zone mit etwa 10◦ in Richtung DS leicht stromauf, in Uberlast mit etwa 10◦ in Richtung SS leicht stromab bezogen auf die tats¨achliche Spornposition (0.5 zwischen SS und DS) verschoben. Die direkte Wirkung des Sporns ist also immer um etwa 10◦ des Kanalumfangs in Richtung des h¨oheren Gegendrucks verschoben. ¨ Bei Uberlast verschieben sich die Spiralwirbel wegen der hohen Radialkomponente stark an die Seitenw¨ande der Spirale und reichen nicht mehr bis ganz zum Laufradaustritt zur¨ uck. Eine ¨ eher kleine Axialkomponente in Uberlast ist die Folge. Das prinzipielle Aussehen der in Abb.8.16 dargestellten Sekund¨arstr¨omung ist vergleichbar der nS 20-Pumpe. An der vom Sporn entfernten Position stellt sich eine zur Tragscheibe hin

φ = 24◦

φ = 204◦

Abbildung 8.16.: Sekund¨arstr¨omung am Laufradkanalaustritt nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 verschobene starke Sekund¨arstr¨omung in Richtung Saugseite ein. Die zur Druckseite hin gerichtete Teilstr¨omung beschr¨ankt sich auf einen kleinen Bereich niedrigerer Umfangsgeschwindigkeit. Der Einfluss des Sporns ist wieder sehr deutlich bei Umfangsposition φ = 24 ◦ an der Trennlinie der in Richtung Druck- und Saugseite aufgeteilten Teilstr¨omungen erkennbar. Beim Vergleich des Umlaufweges eines Kanals, innerhalb der sich das stark vom Sporn beeinflusste Str¨omungsfeld wieder ausgleicht, zeigen sich Unterschiede zwischen beiden Pumpen. Als ausgeglichen wird das Str¨omungsfeld dann angesehen, wenn sich die charakteristische Form, die f¨ ur beide Pumpen an den dem Sporn gegen¨ uberliegenden Umfangspositionen gezeigt wurden, eingestellt hat. Den hierzu erforderlichen Umlaufweg eines Kanals ist in Tab.8.1 ¨ f¨ ur verschiedene Betriebspunkte angegeben. Keine Unterschiede bestehen bei Uberlast, beide Pumpen ben¨otigen etwa 1.5 Kanalumfangsl¨angen zur Einstellung des ausgeglichenen Str¨omungszustandes, d.h. der u ¨bern¨achste Laufradkanal muss dann gerade zur H¨alfte am Sporn vorbeigelaufen sein. Im Bestpunkt hat die nS 20-Pumpe bereits nach einem Kanal bzw. 60◦ die St¨orung durch den Sporn ausgeglichen, w¨ahrend die nS 26-Pumpe 1.5 Kanall¨angen ben¨otigt. Zudem erreicht die nS 26-Pumpe in Teillast w¨ahrend des gesamten Umlaufes kein ausgeglichenes S¨omungsfeld, sondern zeichnet sich durch extreme Instationarit¨at aus. Insgesamt zeigt die Kanalaustrittsstr¨omung der nS 20-Pumpe ein schnelleres Einschwingen der 122

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN nS 20 nS 26

BEP 1.0 1.5

Teillast 3.0 -

¨ Uberlast 1.5 1.5

123

Kanalumfangsl¨ange 60◦ 51.4◦

Tabelle 8.1.: Einschwingweg der Kanalstr¨omungsfelder l¨angs Spiralumfang in Kanalumfangsl¨angen

instation¨aren Vorg¨ange und ein saubereres zeitperiodisches Verhalten.

Bewertung der Erkenntnisse zur Str¨ omung im Laufradkanal Alle in diesem Abschnitt gezeigten Ergebnisse ¨andern sich nicht bei Wahl eines anderen Turbulenzmodells aus der Gruppe der in dieser Arbeit untersuchten. Bei der Darstellung der mittleren Laufradkanalmassenstr¨ome zeigt sich ein sehr deutlicher Unterschied zwischen transienter und quasi-station¨arer Laufrad-Spirale Kopplung. Ohne tats¨achliche zeitechte Drehung des Laufrades stellt sich eine ¨außerst extreme Massenstromverteilung in den Einzelkan¨alen ein, die eine weitere Untersuchung der sich einstellenden Str¨omung am Laufradaustritt als nicht sinnvoll erscheinen l¨asst. Auch eine Mittelung mehrerer FR-Ergebnisse mit unterschiedlichen Laufrad-Spirale Relativpositionen bringt diesbez¨ uglich keine Verbesserung. Die transiente Kopplung hingegen liefert ein von beiden Maschinen best¨atigtes typisches zeitliches Verhalten des Einzelkanals. Insbesondere die betriebspunktunabh¨angige Umfangsposition der Extremwerte sowie der Durchg¨ange beim Umfangsmittelwert sind beachtenswert. Die reduzierten Frequenzen ωred beider Maschinen sind im Bereich um 1, d.h. w¨ahrend sich ein Partikel im Laufradkanal befindet, ist dieser der gesamten umfangsabh¨angigen Variation des Gegendrucks ausgesetzt. Das Fehlen dieses variablen Gegendrucks f¨ uhrt bei FR-Kopplung zu extremen Kanalmassenstr¨omen. Die Darstellung der in die Ebene projizierten zeitabh¨angigen Str¨omungsfelder am Kanalaustritt zu festen Zeitpunkten zusammen mit Sekund¨arstr¨omungen im Spiralgeh¨ause erlaubt einen detaillierten Einblick in die dynamischen dreidimensionalen Str¨omungsvorg¨ange. Bei beiden Pumpen konnte ein typisches Str¨omungsfeld nachgewiesen werden, das in Abb.8.17 grob skizziert ist. Bereiche hoher Radialkomponente sind vor allem auf der Druckseite und etwas schw¨acher entlang einer inneren Zone bis kurz vor die Saugseite zu finden. Flankiert wird diese Zone von Bereichen an Trag- und Deckscheibe mit hoher Axialkomponente Abbildung 8.17.: Typisches Str¨omungsfeld am jeweils in Richtung Kanalmitte. DieLaufradaustritt se werden von starken Sekund¨arwirbeln im Spiralgeh¨ausequerschnitt verursacht. Die Wirbel sind u ¨ber den gesamten Umfang vorhanden und jeweils an der Schaufelsaugseite st¨arker ausgepr¨agt. In den geometrisch unterschiedlichen Querschnittsformen beider Pumpen treten die Wirbelsysteme bei allen Be123

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

124

triebspunkten auf. Die h¨ochste Umfangskomponente tritt an der Schaufelsaugseite auf und f¨allt bis zur Druckseite auf den etwa halben Wert ab. Die Auswirkungen auf die sehr komplexe Sekund¨arstr¨omungsstruktur im Kanalaustritt wurden ebenfalls gezeigt. Die starken R¨ uckwirkungen des Spiralsporns auf die Laufradstr¨omung konnten anhand der Str¨omungsfelder des am Sporn vorbeilaufenden Kanals erl¨autert werden. Die Radialkomponente reagiert hier mit partieller R¨ uckstr¨omung und Ausweichen stromauf sowie stromab des Sporns. Insgesamt konnte mit den Darstellungen ein Einblick in zeitabh¨angige dreidimensionale Str¨omungsverh¨altnisse am Laufradaustritt gegeben werden.

8.3. Str¨ omung in den Messebenen der Gesamtpumpen Nachdem zuvor das Verhalten des rotierenden Laufradkanals beschrieben wurde, soll in diesem Abschnitt die Str¨omung im Absolutsystem des Radialdiffusors n¨aher untersucht werden. Die Lage der Messebenen in den Radialdiffusoren der Pumpen wurde in Kapitel 6 gezeigt. Ausgehend von den Erkenntnissen der vorangegangenen Kapitel, nach denen die transiente Kopplungsmethode der quasi-station¨aren Kopplung bez¨ uglich der Voraussage von Kennlinien und vor allem der Kanaldurchstr¨omung deutlich u ¨berlegen ist, beschr¨ankt sich die Auswertung der Ergebnisse in den Messebenen auf die transienten Berechnungen mit FLUENT. Im Gegensatz zum vorherigen Abschnitt k¨onnen hier wieder Vergleiche mit experimentellen Daten durchgef¨ uhrt werden. Wie schon in Kapitel 7 beschrieben, erfordert dieser Vergleich aufgrund der besonderen Art der sequentiellen Aufnahme von Messdaten eine Transformation der berechneten Felder, welche in diesem Kapitel vorgestellt und angewendet wird. Als Messebene wird eine Zylindermantelfl¨ache mit konstantem Radius bezeichnet, auf der die Messsonden durch axiale Verschiebung an die einzelnen Messpunkte positioniert werden. Die Numerik liefert zu jedem einzelnen Zeitschritt das vollst¨andige Str¨omungsfeld auf dieser Fl¨ache, z.B. das Geschwindigkeitsfeld ~c (Φ, b, t) mit der axialen Breite b des Diffusors. Der Spiralumfangswinkel Φ bezeichnet eine im Absolutsystem ortsfeste Umfangsposition in Diffusor bzw. Spirale, w¨ahrend der im vorherigen Abschnitt gebrauchte Winkel φ den Laufraddrehwinkel bezeichnet. Der Einfachheit halber sind beide gem¨aß den Abbildungen 8.5 ¨ und 8.8 deckungsgleich. Das Geschwindigkeitsfeld ~c (Φ, b, t = tn ) der nS 20-Pumpe in Uberlast Q/QN = 1.3 ist in der Abb.8.18 u ¨ber ein Drittel des gesamten Umfangs, 30◦ ≤ Φ ≤ 150◦ , also jeweils 60◦ vor und hinter dem Spiralsporn und u ¨ber die gesamte Diffusorbreite von Deckzu Tragscheibe dargestellt. Die Geschwindigkeit ist wie schon oben in ihre Komponenten aufgeteilt, die jeweils auf u2 bezogen sind. Die aktuelle Position des Laufrades ist rechts unten und zus¨atzlich als gestrichelte Linie in den drei Konturplots zu sehen und entspricht dem Winkel φ = 120◦ . In den drei Einzelbildern ist jeweils die aktuelle Laufradkanalposition auch deutlich anhand der Geschwindigkeiten erkennbar. Zwischen Druckseite des Laufrades, die knapp 30◦ stromauf des Sporns steht, und Sporn bildet sich eine Zone sehr stark erh¨ohter Radialkomponente. Aufgrund der Versperrung durch Druckanstieg stromab des Sporns bei ¨ wird die Radialkomponente stromauf des Sporns erh¨oht und stromab sogar teilweise UL negativ. Die Umfangskomponente reagiert mit starker Verz¨ogerung stromab des Sporns und einer Verlagerung des Maximums zur Druckseite hin. Nahe Trag- und Deckscheibe sind in 124

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

125

Abbildung 8.18.: Str¨omungsprofile in der Messebene der nS 20-Pumpe, Q/QN = 1.3 ¨ stark ausgepr¨agt, resultierend aus der Radialkomponente die R¨ uckstr¨omgebiete auch in UL den Sekund¨arstr¨omungen im Spiralgeh¨ause. In der Axialkomponente machen sich diese ebenso bemerkbar, insgesamt zeigt sich aufgrund der direkten Sporneinwirkung ein sehr diffuses Feld der Axialkomponente. Wie schon beim Laufradkanal zeigt eine positive Axialgeschwindigkeit von der Trag- zur Deckscheibe. Diese Darstellungsart veranschaulicht vor allem im zeitlichen Ablauf die dynamischen Vorg¨ange am Spiralsporn, sie ist aber zum Vergleich mit Messungen eher ungeeignet. Zum einen ist der direkte Vergleich von Feldern aus Messung und Rechnung immer eher qualitativ und zum anderen ist keine Parameterabh¨angigkeit darstellbar. Daher m¨ ussen die Daten zum Vergleichen in Diagrammen gemittelt werden.

Zeit- und axialgemittelte Verteilungen in der Messebene F¨ ur die axial- und zeitgemittelte Darstellung der Felder der Str¨omungsvariablen statischer Druck und Geschwindigkeitskomponenten m¨ ussen diese zun¨achst f¨ ur jeden Zeitschritt einer Laufraddrehung in axialer Richtung gemittelt werden. Wie in Abb.8.18 zu sehen, besteht neben der starken Abh¨angigkeit der Felder in Spiralumfangsrichtung ebenso eine deutliche axiale Abh¨angigkeit. Durch die Axialmittelung geht demnach Information verloren. Bei Pumpen ist die Abh¨angigkeit der Str¨omungsgr¨oßen von der Umfangsposition im Spiralgeh¨ause von gr¨oßerer Bedeutung als die Variation in axialer Diffusorbreitenrichtung. Zudem sind die dynamischen Wechselwirkungen zwischen Laufrad und Spirale vor allem auf variierende geometrische Bedingungen in Umfangsrichtung zur¨ uckzuf¨ uhren. Die axialgemittelten Felder φ (Φ, t) werden danach u ¨ber alle Zeitschritte einer Umdrehung gemittelt und man erh¨alt die charakteristischen Kurven φ (Φ) f¨ ur einen bestimmten Betriebspunkt. Zum Vergleich dieser Kurven f¨ ur alle berechneten Betriebspunkte ist es zweckm¨aßig, die einzelnen Kurven φ (Φ) jeweils auf ihren Umfangsmittelwert zu beziehen, so dass sich alle Kurven um ihren Mittelwert, eine horizontale Linie bei eins, bewegen. Die statischen Dr¨ ucke p (Φ) aller berechneten und einiger gemessener Betriebspunkte der nS 26-Pumpe sind in Abb.8.19 bezogen auf den jeweiligen 125

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

126

Umfangsmittelwert pm dargestellt. Die prinzipielle Wirkung des Sporns auf die zeitgemittelten 0.5 0.8 1.2

p/pm axial− und zeitgemittelt 1.01

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

p/pm zeitgemittelt 1.01

1.0

1.0

0.99

0.99

CFD 270°

Sporn

90° 135° Spiralwinkel Φ

180°

EXP 270°

270°

Sporn

90° Spiralwinkel Φ

180°

270°

Abbildung 8.19.: Mittlerer statischer Druck CFD/EXP in der ME der nS 26-Pumpe

Str¨omungsverh¨altnisse im Radialdiffusor ist in dieser Abbildung gut zu erkennen. Die geringen Unterschiede zwischen Maxima und Minima der Kurven resultieren aus der bezogen auf den Absolutwert sehr geringen Druckerh¨ohung der Pumpe. Zwischen den Kurven f¨ ur Teillast 0.5 ¨ und Uberlast 1.2 sind die dazwischenliegenden BP in Intervallen von Q/QN = 0.1 in Reihenfolge zu finden. Der Spiralwinkel in Laufraddrehrichtung bildet die Abszisse der Diagramme, d.h. der Spiralsporn befindet sich bei Φ = 0◦ . Am Spiralsporn schneiden alle Kurven ihren Mittelwert. Die Teillast-Kurve f¨allt von ihrem Maximalwert kurz vor dem Sporn zur¨ uck auf ¨ ihren Minimalwert direkt nach dem Sporn, w¨ahrend die Uberlast-Kurve zum Spiralsporn hin stetig abf¨allt, um am Sporn auf den Maximalwert anzusteigen. An dieser Darstellung ist auch ersichtlich, dass die Spirale der nS 26-Pumpe f¨ ur Q/QN = 0.8 optimal arbeitet, da diese Kurve fast u ¨ber den gesamten Umfang entlang ihrem Mittelwert verl¨auft. Der neben dem Sporn als zweiter Schnittpunkt aller Kurven untereinander bzw. mit ihrem eigenen Mittelwert auffallende Winkel befindet sich an Umfangsposition Φ = 135◦ . Folgerichtig herrscht an dieser festen Umfangsposition unabh¨angig vom Betriebspunkt immer der zeit- und umfangsgemittelte Druck im Radialdiffusor. Die gemessenen Dr¨ ucke im rechten Diagramm der Abb.8.19 zeigen qualitativ den gleichen Verlauf wie die berechneten Kurven. Der Schnittpunkt aller Kurven ist allerdings im Unterschied zur CFD um etwa eine Schaufelteilung zur Umfangsposition ¨ Φ = 190◦ verschoben. Qualitativ kann demnach eine Ubereinstimmung zwischen Messung und CFD insofern festgehalten werden, dass beide Methoden einen Punkt am Umfang der Spirale finden, an dem immer der mittlere Druck vorliegt. Die Berechnung des genauen Ortes des Umfangsmittelwertes entspricht jedoch bei dieser Pumpe nicht den Messwerten. Die in gleicher Weise ausgewerteten Verl¨aufe der Radial- und Umfangskomponente der Geschwindigkeit sind in Abb.8.20 zu sehen. Auch die Kurvenschar der Geschwindigkeitskomponenten schneidet sich jeweils außer am Sporn noch an genau einem zweiten Punkt am Spiralumfang. Dieser liegt bei der Radialkomponente bei einem relativ großen Umfangswinkel Φ ≈ 255◦ und bei der Umfangskomponente sehr bald stromab des Sporns bei Φ ≈ 45◦ . Im Bereich 80◦ ≤ Φ ≤ 200◦ a¨ndern sich die zeitlichen Mittelwerte der Geschwindigkeitskom126

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN 3.5 3

2

cr/cr,m axial− und zeitgemittelt

2.5

127

cu/cu,m axial− und zeitgemittelt

1.5

2 1.5

1

1 0.5

0.5

0 −0.5 −1 −1.5 270°

0

0.5 0.8 1.2 Sporn

90° Spiralwinkel Φ

180°

270°

−0.5 270°

0.5 0.8 1.2 Sporn

90° Spiralwinkel Φ

180°

270°

Abbildung 8.20.: Mittlere Geschwindigkeitskomponenten CFD in der ME der nS 26-Pumpe

ponenten kaum, um dann im restlichen Umfangsbereich um so st¨arker zu variieren. Die Radialkomponente erreicht in unmittelbarer Spornn¨ahe im zeitlichen Mittelwert den etwa ¨ direkt vor dem Sporn. Bei dreifachen Umfangsmittelwert, bei TL direkt nach und bei UL Teillastbetriebszust¨anden und sogar noch fast im BEP kommt es sogar im zeitlichen Mittelwert in einem kurzen Bereich stromauf des Sporns zu teilweise sehr starker R¨ uckstr¨omung. F¨ ur alle Kurven, die dort unterhalb der horizontalen Linie bei Null verlaufen, trifft dies zu. Auch in diesen Darstellungen sind wiederum f¨ ur Q/QN = 0.8 die geringsten Abweichungen vom Mittelwert entlang des Umfangs zu beobachten. Weiterhin ein bemerkenswertes Verhalten ¨ zeigt die Umfangskomponente. F¨ ur Uberlastbetriebszust¨ ande wird diese direkt hinter dem ¨ die bei Sporn aufgrund des stark ansteigenden Druckes stark abgebremst. Bei starker UL, dieser Pumpe f¨ ur den Fall Q/QN = 1.2 gegeben ist, kommt es hier sogar zur Umkehr der Str¨omngsrichtung, d.h. die Umfangskomponente str¨omt entgegengesetzt zur Laufraddrehrichtung entlang des Sporns zur¨ uck in das Gebiet niedrigeren Druckes. Dies ist umso erstaunlicher, weil dieser Sachverhalt bei dieser Pumpe nicht nur zu bestimmten Laufradpositionen, sondern sogar im zeitlichen Mittelwert auftritt. Dieser ungew¨ohnliche Str¨omungszustand kann direkt mit den gemessenen Schwankungen im Abstr¨omwinkel in diesem Bereich zusammenh¨angen. Da die Frequenz dieser Schwankungen im Bereich von ein bis zwei Laufraddrehungen liegt, kann dieses Problem numerisch aber nicht genauer untersucht werden. Anhand der nachfolgenden in gleicher Art und Weise ausgewerteten Daten der nS 20-Pumpe kann nachgewiesen werden, dass der beschriebene Verlauf der Umfangskomponente nicht u ¨blich, sondern ein spezielles Problem der nS 26-Pumpe ist. Zun¨achst aber erfolgt in Abb.8.21 der Vergleich des gemittelten Druckes mit experimentellen Daten. Im Versuch wurde der Druck an 12 gleichm¨aßig u ¨ber den Umfang verteilten Positionen an der Wand des Spiralgeh¨auses gemessen, wodurch die Aufl¨osung der Kurven im Bereich des Sporns nicht so hoch ist wie bei der nS 26-Pumpe. Die einzelnen Messpunkte sind im rechten Diagramm zus¨atzlich eingezeichnet, die tats¨achlichen Maximalwerte d¨ urften zwischen dem letzten Messpunkt vor und demjenigen am Sporn liegen. Die Kurvenverl¨aufe entsprechen grunds¨atzlich denen der nS 26127

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

128

Pumpe, wobei die Amplituden aufgrund der gr¨oßeren relativen Druckerh¨ohung entsprechend gr¨oßer sind. Der charakteristische zeitgemittelte Druckverlauf im Spiralgeh¨ause kann von den Messungen best¨atigt werden, dennoch weisen die gemessenen Kurven ein anderes Druckniveau ¨ auf, was verschiedene Ursachen haben kann. Beide Uberlastkurven bei Q/QN = 1.2 haben ¨ auch quantitativ eine gute Ubereinstimmung, die gemessene Teillastkurve bei Q/QN = 0.55 liegt aber niedriger als die berechnete Kurve bei Q/QN = 0.6. Dieser zu hohe Druck vor allem in Teillast wurde auch schon bei der nS 26-Pumpe beobachtet. Die Ursache ist eine sehr starke Druckpulsation mit der Frequenz (n · z)−1 . Bei jedem Vorbeilaufen einer Schaufel am Spiralsporn macht sich diese Druckspitze im gesamten Str¨omungsfeld bemerkbar. In den zeitgemittelten Druck geht diese Druckspitze z − mal ein und f¨ uhrt zu einem zu hohen Mittelwert. Die Ursache dieser periodischen Druck¨ uberh¨ohung ist zum einen die Dirichlet-Randbedingung des Druckes am Austritt, der keine Druckvariation u ¨ber den Austritt zul¨asst. Ein weiterer Grund ist das weiter unten beschriebene instation¨are Verhalten der Radialkomponente der Geschwindigkeit, die entscheidend vom Sporn beeinflusst wird. Die Amplitude der Radialkomponente wird genau dann unterdr¨ uckt, wenn die Schaufel am Sporn vorbeil¨auft. Das in diesem Moment fehlende Geschwindigkeitspotenzial macht sich sofort in einem Druckstoß bemerkbar. Da numerisch ein inkompressibles Verfahren angewendet wird, ist dieses Verhalten ¨ der Str¨omung im Zusammenhang mit den gew¨ahlten Randbedingungen verst¨andlich. Uber die Druckkorrekturgleichung muss der Druck ung¨ unstige Str¨omungsbedingungen ausgleichen, die aufgrund starrer Randbedingungen entstehen k¨onnen. Trotz dieses offensichtlichen Problems, das nur u ¨ber eine grundlegende Untersuchung m¨oglicher auf die Druckpulsation mindernd wirkender Randbedingungen gekl¨art werden k¨onnte, ist eine ¨ qualitativ sehr gute Ubereinstimmung der zeitgemittelten Druckverl¨aufe im Radialdiffusor zwischen CFD und Experiment vorhanden. Bei der nS 20-Pumpe liegt zudem der bereits oben 1.5

0.5 0.9 1.3

p/p axial− und zeitgemittelt m

2

0.55 0.7 0.9 1.0 1.2

p/p zeitgemittelt m

1.25

1.5 1

1

0.75

0.5

EXP

CFD 0 0

Sporn

180 Spiralwinkel Φ

270

360

0.5 0

Sporn

180 Spiralwinkel Φ

270

360

Abbildung 8.21.: Mittlerer statischer Druck CFD/EXP in der ME der nS 20-Pumpe erw¨ahnte zweite Schnittpunkt der berechneten Kurven bei Φ ≈ 320◦ sehr nahe beim experimentellen Wert von Φ ≈ 335◦ . Auch in dieser Beziehung ist das Resultat der nS 20-Pumpe im Vergleich zur nS 26-Pumpe n¨aher den experimentellen Daten. Ein auffallend ungew¨ohnliches Verhalten zeigen die Druckverl¨aufe und noch deutlicher die Geschwindigkeitskomponenten 128

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

129

aller Betriebspunkte im Bereich Sporn ≤ Φ ≤ 270◦ . Sowohl in geringem Ausmaß in den gemessenen Kurven erkennbar, als auch wesentlich st¨arker ausgepr¨agt bei den CFD-Kurven zeigen die Druckverl¨aufe keinen stetig steigenden bzw. fallenden Verlauf, sondern ein lokales Maximum bei Φ ≈ 200◦ . Viel deutlicher ist dieser Effekt bei Radial- und Umfangskomponente in Abb.8.22 zu sehen. In der Radialkomponente ist an dieser Umfangsposition ein ausgepr¨agtes 3.5 3

c /c r

r,m

1.5

axial− und zeitgemittelt

c /c u

u,m

axial− und zeitgemittelt

2.5

1.25 2 1.5

1.0

1 0.5 0

0.75 −0.5

−1.5 0

0.5 0.9 1.3

0.5 0.9 1.3

−1 Sporn

180 Spiralwinkel Φ

270

360

0.5 0

Sporn

180 Spiralwinkel Φ

270

360

Abbildung 8.22.: Geschwindigkeitskomponenten CFD in der ME der nS 20-Pumpe Minimum und bei der Umfangskomponente eine Art Wendepunkt zu erkennen. Die Ursache dieser unerwarteten Verl¨aufe ist der Querschnittsverlauf A (Φ) in Umfangrichtung, dessen erste eine kleine Unstetigkeit aufweist. Abbildung 8.23 zeigt A (Φ), man erkennt Ableitung ∂A(Φ) ∂Φ leicht den Knick in der Kurve. Bei der geometrischen Ausf¨ uhrung der Spirale entwickelt sich

Abbildung 8.23.: Querschnittsverlauf der nS 20-Spirale deren Querschnitt u ¨ber dem Umfang vom Rechteck zum Kreisquerschnitt. Bei der Erzeugung der Spline-Fl¨achen im CAD-Programm kann es daher zu dieser Unstetigkeit im Querschnitt kommen. Das CFD-Modell wurde direkt aus der CAD-Oberfl¨achengeometrie u ¨bernommen, wobei eine ung¨ unstige Fehlerfortpflanzung zu st¨arkerer Auspr¨agung der Unstetigkeit beim 129

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

130

CFD-Modell gef¨ uhrt hat. Aufgrund des Verlaufs von A (Φ) in Abb.8.23 ist eine Auswirkung auf die Str¨omung, die sogar auf Unstetigkeiten in der zweiten Ableitung reagieren w¨ urde, zu erwarten. Andererseits ist eine solch starke Wirkung auf die Geschwindigkeitskomponenten doch u ¨berraschend. Der ebenfalls in den experimentellen Druckverl¨aufen in Abb.8.21 leicht erkennbare Knick l¨asst auf das Vorhandensein der Geometrieunstetigkeit auch in der realen Pumpe schließen. Ohne die Auswertung der Geschwindigkeitskomponenten w¨are dieser geometrische Modellierungsfehler, bzw. ung¨ unstige Querschnittsverlauf, der sich in integralen Gr¨oßen nicht bemerkbar macht, nicht aufgefallen. Aus den gemittelten Geschwindigkeiten lassen sich weitere Sachverhalte ablesen. Die Radialkomponente erreicht einen Maximalwert, der etwa dem 2.5-fachen des Mittelwertes entspricht. Bei fast allen Teillast-Betriebszust¨anden kommt es im zeitlichen Mittel stromauf des Sporns zur R¨ uckstr¨omung. Die Maxima der Umfangskomponente befinden sich direkt stromab des Sporns. ¨ Bei Uberlast bewirkt der hohe Gegendruck eine starke Verringerung, es kommt allerdings nicht zur Str¨omungsumkehr, wie bei der nS 26-Pumpe beobachtet. Der niedrige Druck stromab ¨ des Sporns bei Teillast f¨ uhrt zu einer starken Uberh¨ ohung der Umfangskomponente, die in Abb.8.22 bei Q/QN = 0.5 zwar nicht im zeitlichen Mittel, aber zu bestimmten Zeitpunkten sogar gr¨oßer als die Laufradgeschwindigkeit u2 werden kann. Die Untersuchung des zeitlichen Verhaltens der axialgemittelten Komponenten erm¨oglicht also noch detailliertere Einblicke in die Wechselwirkungen zwischen Laufrad und Spirale, so dass manche Effekte erst erkl¨art werden k¨onnen. Dies wird nachfolgend gezeigt. Zusammenfassend kann zur zeit- und axialgemittelten Darstellung festgehalten werden, dass der qualitative Verlauf der Geschwindigkeitskomponenten als grob entgegengesetzt zum Verlauf des Druckes bezeichnet werden kann. Ansteigender zeitgemittelter Druck entlang des Spiralumfanges bei TL geht also mit abnehmender Radial- und Umfangskomponente einher und umgekehrt. Diese als charakteristisch zu bezeichnenden Kurvenverl¨aufe wurden anhand beider Pumpen sowohl numerisch als auch experimentell best¨atigt.

Axialgemittelte, zeitabh¨ angige Verteilungen in der Messebene Der Zweck dieser Darstellungen ist die M¨oglichkeit der direkten Veranschaulichung der Wechselwirkungen der Geschwindigkeitskomponenten zwischen Laufradkanal, Messebene und Spiralsporn. Aufgrund der bisherigen Erkenntnisse werden nur Ergebnisse der nS 20-Pumpe gezeigt. Weiterhin wird auf einen Vergleich verschiedener Turbulenzmodelle verzichtet, da dieser Einfluss f¨ ur die zu diskutierenden Wechselwirkungen vernachl¨assigbar ist. Auf die betriebspunktabh¨angigen Besonderheiten wird jedoch genauer eingegangen. Die axialgemittelte Radialgeschwindigeit in der ME (ME cr (Φ, t)) der nS 20-Pumpe zu zwei festen Zeitpunkten f¨ ur BP Q/QN = 0.9 ist zusammen mit der von oben bekannten zeitgemit¡ ¢ telten Kurve cr (Φ) 7−→ ME cr (Φ) in Abb.8.24 dargestellt. Zus¨atzlich ist als blaue Kurve die axial u ¨ber die Laufradbreite gemittelte Radialkomponente eines Laufradkanals (KA cr (Φ, t)) sowie deren zeitgemittelter Wert (KA cr (Φ)) als blauer Punkt eingezeichnet. Der aktuelle Zeitschritt bzw. die aktuelle Laufradposition relativ zur Spirale ist somit an der Position der Laufradkanalkurve zu erkennen, die sich mit voranlaufender Saugseite entlang des Umfangs Φ bewegt. Im linken Bild befindet sich die Mitte des betrachteten Laufradkanals gerade am 130

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN 3

3

Cr/Cr,m

2.5

2.5 2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5 ME cr(Φ) ME c (Φ,t) r KA c (Φ,t) r KA cr(Φ)

0 −0.5

Sporn

Cr/Cr,m

BP=90

2

−1 0

131

180

270

BP=90

ME cr(Φ) ME c (Φ,t) r KA c (Φ,t) r KA cr(Φ)

0 −0.5 −1 0

360

Sporn

180

270

360

Abbildung 8.24.: Wechselwirkungen der Radialkomponente CFD (nS 20, Q/QN = 0.9)

Spiralsporn, bzw. am Drehwinkel φ = 90◦ gem¨aß Abb.8.5, und im rechten Diagramm an Drehwinkel φ = 270◦ . Die Kurve der Kanalradialgeschwindigkeit KA cr (Φ, t) geht an DS und SS auf Null zur¨ uck, da an der Wand keine Radialkomponente vorliegt. Dieser Wert ist deswegen im Bild enthalten, da er die Position des Laufradkanals optisch gut abgrenzt. Die entsprechenden Darstellungen f¨ ur die Umfangskomponente sind in Abbildung 8.25 enthalten. ¨ In Anhang E finden sich jeweils gleiche Darstellungen f¨ ur Teil- und Uberlast. Bei allen BP

1.15

1.15

1.1

1.1

1.05

1.05

1

1

0.95

0.95 ME c (Φ) u ME c (Φ,t) u KA c (Φ,t) u KA c (Φ)

0.9 0.85

ME c (Φ) u ME c (Φ,t) u KA c (Φ,t) u KA c (Φ)

0.9 0.85

u

0.8 0

Sporn

180

270

u

360

0.8 0

Sporn

180

270

360

Abbildung 8.25.: Wechselwirkungen der Umfangskomponente CFD (nS 20, Q/QN = 0.9) erkennt man die stark erh¨ohte Radialkomponente auf der DS des Laufradkanals sowie die Anzahl der Schaufeln an diesen Amplituden in der ME. Im zeitlichen Mittel verschwinden diese Amplituden, da in Richtung SS die Radialkomponente deutlich unter den Mittelwert sinkt. Im Bestpunkt unterscheidet sich der Verlauf der Radialgeschwindigkeit nicht wesentlich zwischen Kanalaustritt und ME, lediglich die Amplituden werden abgebaut. Die R¨ uckwirkung des Spiralsporns in den Laufradkanal zeigt die jeweils linke Darstellung, bei der ME c r (Φ, t) auf Null und KA cr (Φ, t) noch auf ein Viertel des Mittelwertes zur¨ uckgeht. In nachfolgenden, nicht 131

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

132

dargestellten Zeitschritten bewirkt die im Kanal sich ausbildende zweite Amplitude auf der SS eine zus¨atzliche, kleinere Amplitude in der ME, die erst ab Φ ≈ 180◦ wieder ausgeglichen ¨ macht sich dies st¨arker bemerkbar. Am Sporn erf¨ahrt der Kanal bei wird. In TL und UL TL eine starke, lokale R¨ uckstr¨omung. In deren Folge und aufgrund des niedrigeren Drucks stromab bildet sich eine sehr starke zweite Amplitude, die sich auf die ME auswirkt. Anstelle der sechs Amplituden in der ME findet man bei Teillast deren sieben, die sich im Verlauf des Umfangs nicht ausgleichen. Nur kurzzeitig, wenn die Schaufel gerade fast komplett unter ¨ findet sich im Bereich den Sporn l¨auft, sind nur sechs Amplituden vorhanden. Auch in UL stromauf und stromab des Sporns ein sehr ungeordnetes Bild der Radialkomponente mit starker ¨ Uberh¨ ohung stromauf des Sporns. Im jeweils rechten Bild, bei dem sich der Kanal im vom ¨ Sporn unbeeinflussten Umfangsbereich befindet, erkennt man die eher geringe Anderung von Kanalaustritt zu Messebene. Die Verl¨aufe der Kurven ME cr (Φ, t) und KA cr (Φ, t) sind dort ¨ weichen meist sehr ¨ahnlich und verlaufen im BEP auch auf gleichem Niveau. In TL und UL diese Kurven quantitativ f¨ ur Radial- und Umfangskomponente st¨arker voneinander ab, weil die Kurve ME cr (Φ, t) in Umfangsrichtung st¨arker schwankt und auf ihren Umfangsmittelwert bezogen ist. Die Kurve KA cr (Φ, t) ist auf den Mittelwert der aktuellen Kanalposition bezogen und liegt demnach auf anderem Niveau. Die Umfangskomponente ist an DS und SS jeweils gleich der Laufradgeschwindigkeit u2 und ¨ grenzt sich somit im Bild gut ab. Die starke Uberh¨ ohung an der SS im Laufradkanal wird bis zur ME gr¨oßtenteils abgebaut, so dass in ME cu (Φ, t) pro Schaufelteilung zwei Maxima erkennbar sind. Die negativen Amplituden entstehen aufgrund der starken Abnahme der Umfangskomponente auf der DS des Laufradkanals. Insgesamt zeigt ME cu (Φ, t) deutlich weniger Schwankung bezogen auf den Mittelwert als die Radialkomponente, im BEP werden minimal 80% erreicht, wenn die Schaufeldruckseite gerade den Sporn passiert. In Abb.8.25 sieht man ¨ zu zwei anderen Zeitpunkten minimal 90% und maximal 105%. Bei Teil- und Uberlast sind die Schwankungen erwartungsgem¨aß st¨arker, wie im Anhang E und in Abbildung 8.26 bei ¨ Uberlast zu sehen. In dieser Abbildung ist besonders der Bereich direkt stromab des Sporns C /C BP=130 u u,m 1.3 interessant. Durch den dort vorlie1.2 genden hohen Druck wird, wie schon 1.1 oben beschrieben, die Umfangskom1 ponente im zeitlichen Mittel auf 0.9 0.8 nur noch etwa 55% des Umfangs0.7 mittelwertes verz¨ogert. Viel st¨arker 0.6 ME cu(Φ) ist dieser Effekt im zeitabh¨angigen ME cu(Φ,t) 0.5 KA cu(Φ,t) Verlauf, wo ME cu (Φ, t) genau dann 0.4 KA cu(Φ) auf weniger als 30% absinkt, wenn 0.3 0 Sporn 180 270 360 die Schaufeldruckseite gerade den Sporn erreicht. Die in Richtung DS Abbildung 8.26.: Wechselwirkungen der Umfangskomohnehin niedrigere Umfangskompoponente CFD (nS 20, Q/QN = 1.3) nente wird im Extremfall so stark verz¨ogert, dass wie bei der nS 26-Pumpe gesehen, R¨ uckstr¨omung entgegen der Laufraddrehrich132

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

133

tung einsetzt. Bei dem hier gezeigten BP der nS 20-Pumpe tritt dieser Fall nicht ein. Nach dem Einfluss des Sporns wird relativ schnell das typische Profil mit Erh¨ohung an der Kanalsaugseite und Minimum an der DS erreicht. Zusammenfassend kann die zeitabh¨angige, axialgemittelte Darstellungsart als geeignet zur Veranschaulichung der dynamischen Str¨omungsvorg¨ange im Radialdiffusor bezeichnet werden. Obwohl durch die Axialmittelung Information verloren geht, erh¨alt man vor allem im zeitechten Ablauf einen sehr guten Eindruck, der zum Verst¨andnis der tats¨achlichen Wechselwirkungen beitr¨agt. Durch diese Art der Darstellung kann fr¨ uhzeitig ein ung¨ unstiges Zusammenspiel von Spiralgeh¨ause und Laufrad erkannt werden. Als Indikatoren hierf¨ ur k¨onnen beispielsweise dienen: • Große quantitative Unterschiede in den positiven und negativen Amplituden im BEP • Auspr¨agung der R¨ uckstr¨omung in den Laufradkanal bei TL ¨ • M¨ogliche Umkehr der Umfangskomponente bei UL • Unstetigkeiten im zeitgemittelten Verlauf Eine entsprechende zeitechte Darstellung gemessener Str¨omungsgr¨oßen im Radialdiffusor w¨are nur teilweise und mit sehr großem Aufwand machbar. Dies verdeutlicht nochmals die vielf¨altigen M¨oglichkeiten der Darstellung numerischer Ergebnisse. Mit Ausnahme der statischen Druckmessungen wurden in diesem Kapitel noch keine experimentellen Daten zur Validierung herangezogen. Die berechneten Geschwindigkeiten k¨onnen in den Messebenen mit Daten aus instation¨aren Druckmessungen verglichen werden.

Vergleich CFD/Messung instation¨ ar in der Messebene Zum Gegen¨ uberstellen instation¨arer Messdaten mit numerischen Ergebnissen im Radialdiffusor muss eine Besonderheit beachtet werden, die sich aus der Art und Weise der Aufnahme der Messdaten ergibt. Dies soll anhand der nS 26-Pumpe erl¨autert werden, gilt aber in gleicher Weise auch f¨ ur die nS 20-Pumpe. Das linke Bild der Abb.8.27 zeigt alle Spiralwinkel Φ, bei denen eine instation¨are Messdatenerfassung durchgef¨ uhrt wurde. Zur genaueren Untersuchung der Vorg¨ange am Spiralsporn betr¨agt das Intervall um den Sporn 5◦ , ansonsten 30◦ . Das Laufrad steht im Bild an der Position φ = 0◦ , also mit der Schaufel direkt am Sporn. Die Messdaten werden ensemble-averaged ermittelt, indem u ¨ber die Steuerung des Messzeitpunktes ein Messwert an einer Position (Φ, b) n-mal zur immer selben Relativposition des Laufrades ◦ φn = φstart + n · 360 aufgenommen wird. W¨ahrend einer Umdrehung des Laufrades k¨onnen z also z Werte aufgenommen werden. Eine Mittelung aller Werte u ¨ber viele Laufraddrehungen liefert den Ensemblemittelwert an der Umfangsposition (Φ, b) zum Zeitpunkt“ t1 . Dieser ” Vorgang wird mehrfach mit jeweiliger Verschiebung des Startwinkels φstart , bzw. der Laufradrelativposition zu den Messzeitpunkten, wiederholt, bis eine gesamte Laufradteilung erfasst ist. Bei der nS 26-Pumpe sind dies 119 einzelne Positionen, so dass zum Messzeitpunkt“ t119 ” 133

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

Cr / u2

φ=24°

C /u

Φ=0°

r

134

2

0.2

0.1

0.15 0

0.1 Trag

−0.1 0.5 SS*

0.8

0.6

0 SS

0.4

0.2

DS*

Trag

0.05 0.5 0.8

Deck

0.6

0.4

0.2

DS

Deck

Abbildung 8.27.: Geschwindigkeitsfeld CFD der nS 26-Pumpe, ortsfest“ Φ = 0◦ und zeitfest“ ” ” φ = 24◦

gerade die n¨achste Schaufel an der Messonde steht. F¨ uhrt man dies noch f¨ ur verschiedene Axialpositionen b aus, so erh¨alt man eine Darstellung entsprechend dem mittleren Diagramm in Abb.8.27. Die ensemblegemittelte Radialgeschwindigkeit bezogen auf u2 ist u ¨ber axialer ◦ Breite und Laufradlaufzeit“ an der festen Spiralumfangsposition Φ = 0 aufgetragen. Es ” handelt sich demnach um eine Art Weg-Zeit-Diagramm, da die Messwerte in Umfangsrichtung keine Ortsgr¨oße, sondern eine Zeitgr¨oße darstellen. Im Diagramm bedeutet daher DS“ , dass ” die Schaufeldruckseite zu diesem Messzeitpunkt an der absoluten Umfangsposition Φ = 0◦ steht. Dies ist die u ¨bliche Art der Darstellung experimenteller Ergebnisse, wobei die Umfangsposition nicht als Ortsgr¨oße bezeichnet werden sollte, da die einzelnen Messwerte zu verschiedenen Zeiten aufgenommen wurden. In Abbildung 8.27 im rechten Diagramm ist das direkte Ergebnis einer CFD-Rechnung gezeigt. Eine numerische Berechnung stellt die Felder aller Str¨omungsvariablen zu einem beliebigen Zeitpunkt immer komplett zur Verf¨ ugung. Zeigt man die Radialgeschwindigkeit in der Messebene bei einem Laufraddrehwinkel von φ = 24◦ , bei der die Mitte des Laufradkanals gerade an der Umfangsposition Φ = 0◦ steht, so erh¨alt man das Feld zum gleichen Zeitpunkt, was den entscheidenden Unterschied zum Experiment ausmacht. In dieser Darstellung ist die Umfangsrichtung eine echte Ortsgr¨oße. Deutlich erkennbar ist der bereits bekannte Einfluss des Sporns, der eine verminderte Radialgeschwindigkeit genau in der Mitte zwischen DS und SS bewirkt. Der deutliche Unterschied der beiden Diagramme in Abb.8.27 zeigt die Notwendigkeit einer Umrechnung der numerischen oder der experimentellen Daten, um einen direkten Vergleich u ¨berhaupt zu erm¨oglichen. Hier wurde der Weg der Umrechnung numerischer Daten gew¨ahlt. Um von der zeitfesten“ CFD-Darstellung zur ” ortsfesten“ Darstellung der Messwerte zu gelangen, wird wie folgt vorgegangen: ” • Festlegen der z Zeitpunkte, zu denen sich ein bestimmter Ort einer Schaufelteilung an einem ortsfesten Umfangswinkel Φ befindet • Mittelung der axialen 2d-Verteilungen aller Schaufeln zu diesem Zeitpunkt an diesem Ort • Wiederholen f¨ ur alle m¨oglichen Zeitschritte, bis eine gesamte Schaufelteilung am Ort Φ vorbeigelaufen ist • Zusammenf¨ ugen aller 2d-Verteilungen der einzelnen Zeitpunkte 134

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

135

Das Ergebnis dieser Vorgehensweise ist das mittlere Diagramm der Abb.8.27, das auf CFDDaten basiert. Die 2d-Kurve etwa bei Umfangsposition 0.45 in der Momentaufnahme des rechten Diagramms wird quasi separiert, mit den anderen Schaufeln an gleicher Position gemittelt und an der richtigen Zeitposition“ (Zeitpunkt 0.45∗ ) eingef¨ ugt. ” Einschr¨ankungen sind sofort erkennbar, da sich erstens die Ensemblemittelung“ der CFD” Daten auf eine Laufraddrehung bzw. z Einzelwerte beschr¨anken muss. Weiterhin wird die Aufl¨osung einer Teilung, im Experiment frei w¨ahlbar und mit 119 (nS 26) bzw. 164 (nS 20) festgelegt, in der CFD von der Anzahl der Zeitschritte pro Umdrehung begrenzt. Eine Umdrehung der nS 26-Pumpe wurde mit 120 Zeitschritten aufgel¨ost, daher kann die Schaufelteilung mit maximal 17 Punkten aufgel¨ost werden, bei der nS 20-Pumpe sind es immerhin 30 Punkte f¨ ur eine Teilung (jeweils Anzahl der Zeitschritte pro Umdrehung geteilt durch Anzahl der Schaufeln z). Durch diese Umrechnung kann direkt der Vergleich der Felder CFD/EXP erfolgen. Das linke Diagramm der Abbildung 8.28 zeigt die aus der Numerik umgerechnete Radialgeschwindigkeit aus Abb.8.27 in die Ebene projiziert und im rechten Diagramm die ¨ entsprechende gemessene Verteilung. Obwohl die quantitative Ubereinstimmung nicht gegeben ist, best¨atigt der qualitative Vergleich zun¨achst die Richtigkeit der angewendeten Methodik. In

Abbildung 8.28.: Radialgeschwindigkeit CFD/EXP der nS 26-Pumpe ortsfest“ Φ = 0◦ ” beiden Diagrammen erkennt man druckseitig* eine erh¨ohte Radialkomponente, jeweils etwas st¨arker zur Tragscheibe hin. W¨ahrend bei etwa 0.6* eine R¨ uckstr¨omung gemessen wird, liefert die Rechnung dort nur verschwindende Radialgeschwindigkeit. Die Ursache der berechneten sehr starken R¨ uckstr¨omung an der Tragscheibe ist die oben beschriebene Sekund¨arstr¨omung im Spiralgeh¨ause. Im Experiment scheint diese weniger stark ausgepr¨agt, weil sich an der Tragscheibe die gr¨oßte Radialkomponente einstellt. Da sich diese Felddarstellungen besser zum qualitativen als zum quantitativen Vergleich eignen, werden nachfolgend durch Mittelungen Kurven generiert, die einfacher vergleichbar sind. Die Felder k¨onnen entweder in axialer Richtung gemittelt und u ¨ber die Teilungszeit aufgetragen werden oder umgekehrt. Beide M¨oglichkeiten werden angewendet, so dass man f¨ ur jede Messposition Φ je zwei Vergleichsdiagramme erh¨alt. Abbildung 8.29 zeigt diese beiden Darstellungen, axial- und teilungsgemittelt, f¨ ur je zwei feste Umfangspositionen, Φ = 0◦ und ◦ Φ = 180 im Bestpunkt Q/QN = 0.8 der nS 26-Pumpe. In der oberen H¨alfte der Abbildung wird die Radialkomponente und in der unteren H¨alfte die Umfangskomponente verglichen. Bei dieser Darstellungsart ist es auch wieder m¨oglich, den experimentellen Daten verschiedene numerische Ergebnisse mit dem Parameter Turbulenzmodell gegen¨ uberzustellen. Die 135

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

136

Resultate der bereits in Kapitel 7 bei Kennlinienvergleichen herangezogenen Turbulenzmodelle zusammen mit den Messwerten sind in Abbildung 8.29 enthalten. In Anhang E finden sich ¨ die entsprechenden Vergleiche bei Teil- und Uberlast. In allen Diagrammen erkennt man Φ=0°

Φ=180°

cr/u2

0.2

0.2

0

0

−0.2

−0.2

SS*

0.8

0.6

0.4

Φ=0°

0.2

DS*

SS*

r

0

0

−0.2

−0.2 0.4

0.6

Φ=0°

0.8

0.8

Trag

cu/u2

Deck

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2 0.8

0.6

0.4

Φ=0°

0.8

0.2

DS*

cu/u2

SS*

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2 0.2

0.4

0.6

0.8

0.4

Trag

Deck

0.6

Φ=180°

0.8

0.6

0.4

Φ=180°

0.8

0.6

Deck

0.2

0.8

0.6

SS*

0.4

Φ=180°

2

0.2

0.2

0.6

c /u

0.2

Deck

0.8

0.2

0.4

0.6

cr/u2

0.2

DS*

c /u r

2

0.8

Trag

cu/u2

0.2

DS*

cu/u2

0.8

Trag

Abbildung 8.29.: Vergleich CFD/EXP in der ME der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 ¨ eine qualitativ gute Ubereinstimmung zwischen Rechnung und Messung. Ein Einfluss der Turbulenzmodellierung ist vorhanden, kann allerdings im BEP als vernachl¨assigbar bezeichnet ¨ werden, wo alle Modelle nahezu identische Kurvenverl¨aufe liefern. Bei Uberlast und vor allem bei Teillast ¨andert sich dies, wobei allerdings kein Modell die eindeutig besten Ergebnisse berechnet. Auff¨allig bei Teillast ist der falsche qualitative Verlauf der teilungsgemittelten RKE-Kurve, w¨ahrend die anderen Modelle zumindest qualitativ richtig liegen. Noch am ehesten zu empfehlen ist das SST-Modell, das dem experimentellen Verlauf meist am n¨achsten ¨ liegt. Die bei Uberlast extrem auffallende Differenz zu den gemessenen Werten bei Position ◦ Φ = 0 , d.h. direkt am Sporn, liegt an den bereits oben erw¨ahnten Problemen im Experiment aufgrund von Schwankungen des Abstr¨omwinkels, die numerisch nicht erfasst werden k¨onnen. ¨ Der Vergleich innerer Str¨omungsgr¨oßen am Sporn der nS 26-Pumpe ist daher in Uberlast problematisch. Bei allen Betriebspunkten ist die Vorhersage der Radialkomponente sowohl vom Verlauf als 136

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

137

auch von der Gr¨oße her zufriedenstellend, w¨ahrend die Umfangskomponente bis zu 20% zu niedrig berechnet wird. Diese Abweichung wurde auch schon bei der nS 28-Pumpe in der Umfangskomponente gefunden. Beide Pumpen arbeiten mit Luft und wurden numerisch ohne RSR modelliert. Da bei der verwendeten Messtechnik die Umfangskomponente als weniger fehlerbehaftet als die Radialkomponente gilt, muss die Abweichung von der numerischen Modellbildung verursacht werden. Wie zu Beginn dieses Kapitels gezeigt, sind die Geschwindigkeitskomponenten stark abh¨angig von der Wandbehandlung, so dass die Wahl von Wandfunktionen hier eine Ungenauigkeit verursacht. Weiterhin ist das mit FLUENT benutzte UDS-Diskretisierungsschema zweiter Ordnung nicht genau genug und untersch¨atzt die Umfangskomponente. Aufgrund des kleinen Abstr¨omwinkels bildet die Str¨omungsrichtung mit den Gitterzellen im Bereich der Messebene einen ung¨ unstigen Winkel. Da der Abstr¨omwinkel in Umfangsrichtung und zudem in Abh¨angigkeit des Betriebspunkts stark variiert, ist eine Verbesserung nicht durch Gitterver¨anderung, sondern nur mit einem hochwertigeren Diskretisierungsschema m¨oglich. Bei Vergleichen mit Messwerten der nS 26-Pumpe muss immer der im CFD-Modell fehlende RSR ber¨ ucksichtigt werden, weshalb die Absolutwerte nie u ¨bereinstimmen sollten. Rein vom qualitativen Verlauf der Kurven in Abb.8.29 kann aber eine gute numerische Vorhersage best¨atigt werden. Obwohl die entsprechenden instation¨aren experimentellen Messungen bei der nS 20-Pumpe nur im BEP vorliegen, sind zum Zweck des Vergleichs unter den TM in Anhang E auch Be¨ triebspunkte in Teil- und Uberlast dargestellt. Die Auswahl der Spiralwinkel Φ muss auf wenige beschr¨ankt bleiben, die wichtigsten Positionen sind direkt am Sporn und um 180◦ gedreht. Die numerischen Daten der Absolutgeschwindigkeit wie oben beschrieben aufbereitet und in eine ortsfeste“ Darstellung am Spiralwinkel Φ = 270◦ (vgl. Abb.8.5) umgerechnet zeigt die ” Abbildung 8.30. Als gestrichelte Linien ist in beiden Diagrammen die Laufradaustrittsbreite b 2

Abbildung 8.30.: Absolutgeschwindigkeit CFD/EXP der nS 20-Pumpe ortsfest“ an Φ = 270◦ ” eingezeichnet. Auch hier erkennt man wie schon bei der nS 26-Pumpe eine u ¨berraschend gute ¨ qualitative Ubereinstimmung. Bei der teilungsgemittelten Darstellung von cr /u2 und cu /u2 f¨ ur ¨ Q/QN = 0.9 in Abb.8.31 ist bei beiden Spiralpositionen eine bessere Ubereinstimmung mit dem Experiment festzustellen als im BEP der nS 26-Pumpe. F¨ ur die Axialmittelung sind auch bei der nS 20-Pumpe gr¨oßere Diskrepanzen als f¨ ur die Teilungsmittelung vorhanden. Verursacht wird dies von der in der CFD zu stark vorhergesagten R¨ uckstr¨omung an Deck- und Tragscheibe. Im diesem Zusammenhang zeigt sich erneut die nicht optimale Wandbehandlung mittels 137

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

0.15

0.15

0

0

Φ=90°

−0.15 SS*

0.8

0.6

c /u r

0.4

0.2

DS*

SS*

0.15

0.15

0

0

Φ=90°

−0.15 Deck

0.2

0.4

cr/u2 0.6

0.8

0.6

Trag

Deck

0.4

Φ=270° 0.2

0.4

0.6

c /u r

2

0.2

DS*

cr/u2 0.8

Trag

0.9

Φ=90°

Φ=270°

cu/u2

0.7

0.7

0.5

0.5 0.8

0.6

0.4

0.2

DS*

0.9

SS*

0.8

0.6

0.4

cu/u2

0.2

DS*

0.9

Φ=90°

Φ=270°

c /u u

2

0.7

0.7

0.5

0.5

Deck

0.8

−0.15

0.9

SS*

Φ=270°

−0.15

2

138

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

Deck

0.2

0.4

0.6

c /u u

2

0.8

Trag

Abbildung 8.31.: Vergleich CFD/EXP in der ME der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 Wandfunktionen, welche eine noch exaktere Vorhersage des inneren Str¨omungsfeldes in der N¨ahe der Schaufeln und der Diffusorw¨ande verhindert. Insgesamt ist aber beim Gesamtmodell der nS 20-Pumpe eine sehr gute Berechnung der instation¨aren inneren Str¨omungsfelder im Radialdiffusor m¨oglich. Beim Vergleich der Leistungsf¨ahigkeit der einzelnen Turbulenzmodelle sind im BEP wiederum keine signifikanten Unterschiede festzustellen. Im Anhang E erkennt man bei beiden Pumpen vor allem in Teillast Unterschiede zwischen den teilungsgemittelten Kurven. Das SST-Modell liegt bei allen Darstellungen etwa zwischen den Extrema anderer TM. Aufgrund der fehlenden Messwerte in anderen BP als im BEP kann dieses Modell jedoch nicht zweifelsfrei als das am besten geeignete eingestuft werden.

Bewertung der Erkenntnisse zur Str¨ omung in der Messebene Zur Untersuchung der Str¨omung im Radialdiffusor wurden in diesem Abschnitt ausschließlich instation¨are FLUENT-Ergebnisse dargestellt. Die zeitabh¨angigen zweidimensionalen Geschwindigkeitsfelder vermitteln einen Eindruck von den dynamischen Vorg¨angen in der Messebene, die von der Wechselwirkung zwischen rotierendem Laufrad und Spiralgeh¨ause 138

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

139

verursacht und gepr¨agt werden. Mit der Reduzierung der Dimension der Abh¨angigkeit der berechneten Geschwindigkeitsfelder durch axiale Mittelung kann die Wechselwirkung zwischen Laufradkanal und Spiralsporn anschaulich dargestellt werden, in dieser Arbeit aber nicht zeitecht , sondern nur zu verschiedenen Zeitpunkten. Diese Darstellungsart, die auf experimentellem Wege nicht in gleicher Art und Weise m¨oglich ist, l¨asst ein ung¨ unstiges Zusammenspiel zwischen Laufrad und Spirale schnell erkennen. Der Einfluss der Turbulenzmodellierung wurde hier nicht weiter verfolgt, da sich die gezeigten Effekte mit dem TM nicht a¨ndern. Zum Vergleich mit statischen Druckmessungen im Spiralgeh¨ause werden die axialgemittelten Kurven zus¨atzlich zeitgemittelt. Bei Auftragung dieser charakteristischen Kurven f¨ ur mehrere Betriebspunkte in einem Diagramm zeigt sich als Besonderheit ein auch experimentell gefundener Schnittpunkt aller Kurven im jeweiligen Umfangsmittelwert an einer bestimmten Spiralumfangsposition. Bei der nS 20-Pumpe stimmt der berechnete Punkt mit dem gemessenen fast u ¨berein, bei der nS 26-Pumpe besteht eine Differenz von einer Schaufelteilung. Grunds¨atzlich bieten diese Darstellungen einen Nachweis u ute der Auslegung des Spiralgeh¨auses. ¨ber die G¨ Bei der nS 20-Pumpe wirkte sich z.B. eine leichte Unstetigkeit im Querschnittsverlauf der Spirale in unerwartet deutlicher Art und Weise aus. Das verwendete Turbulenzmodell hat keinen nennenswerten Einfluss auf diese zeitgemittelten Kurven, sie werden von der instation¨aren Potenzial-Interaktion zwischen Laufrad und Spiralgeh¨ause bestimmt. Als ung¨ unstiges numerisches Ergebnis bleibt festzuhalten, dass das berechnete Druckniveau im Radialdiffusor zu hoch ist, w¨ahrend die qualitativen Druckverl¨aufe dem Experiment entsprechen. Die Ursache d¨ urfte die eingeschr¨ankte Wahl der Austrittsrandbedingung sein. Der Vergleich instation¨arer Daten erfordert die Anpassung der in der Messebene zeitfesten“ ” numerischen Daten an die ortsfesten“ Messungen. Die angewandte Methodik liefert zwei” ¨ dimensionale Felder an festen Spiralumfangspositionen, die eine gute Ubereinstimmung mit den gemessenen Feldern aufweisen. Eine anschließende Mittelung u ¨ber eine Teilung oder u ¨ber die Diffusorbreite erm¨oglicht einen Vergleich mit verschiedenen Turbulenzmodellen. Im BEP ¨ und bei Uberlast sind die Unterschiede zwischen den Modellen vernachl¨assigbar, bei Teillast deutlicher. Insgesamt liegt dann das SST-Modell zwischen den Extrema der u ¨brigen Modelle. Geringe Diskrepanzen zu den Messwerten werden vor allem im BEP der nS 20-Pumpe gefunden. Eine zu kleine Umfangskomponente wird vermutlich vom Diskretisierungsschema verursacht. Im betrachteten Bereich werden die Gitterzellen mit ung¨ unstig flachem Winkel durchstr¨omt. Insgesamt wurden in diesem Kapitel einige verschiedene Methoden vorgestellt, die Str¨omungsvorg¨ange und Wechselwirkungen im Radialdiffusor zu veranschaulichen und anhand von Messwerten, soweit verf¨ ugbar, zu validieren.

139

140

9. Zusammenfassung und Ausblick Die vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zur Vertiefung und Erweiterung der notwendigen Kenntnisse zur numerischen Berechnung von Kreiselpumpen liefern. Die Thematik ist einzuordnen in eine Vielzahl wissenschaftlicher Arbeiten u ur Turbomaschinen ¨ber Validierung von CFD f¨ i.a. und Kreiselpumpen im speziellen. Zwei in diesem Zusammenhang immer genannte Einflussfaktoren auf die numerische Vorhersagef¨ahigkeit sind die m¨oglichen Modellierungsfehler durch erstens Beschreibung der Turbulenz und zweitens Formulierung der Kopplung relativ zueinander bewegter Bauteile. Vor allem eine unzureichende Turbulenzmodellierung wird heute als eine der wichtigsten Ursachen eingeschr¨ankter Vorhersagef¨ahigkeit eingestuft. Hauptziel der Arbeit ist die Validierung der qualitativen und quantitativen Einfl¨ usse dieser beiden Modellierungsunsicherheiten auf globale und lokale Str¨omungsgr¨oßen. Neben der Beurteilung der Vorhersagef¨ahigkeit von Kennlinien stellt besonders der Vergleich instation¨arer Messdaten im Radialdiffusor eine meist wenig beachtete Herausforderung an die Numerik dar - er ist daher ein wichtiger Bestandteil dieser Arbeit. Ben¨otigt werden hierzu experimentelle Vergleichsdaten, die aus fachgebietsinternen Pr¨ ufst¨anden zur Verf¨ ugung gestellt wurden. F¨ ur den Anwender sollen die gewonnenen Erkenntnisse Entscheidungshilfe bei der Modellauswahl und Grundlage f¨ ur die Interpretation der Ergebnisse sein. Als Anwendungstestf¨alle werden drei Kreiselpumpen unterschiedlicher Bauart und spezifischer Drehzahl ausgew¨ahlt. Eine nS 28-Radialpumpe frei abstr¨omend in einen schaufellosen Diffusor bietet die M¨oglichkeit der Anwendung rotationsperiodischer Randbedingungen bei Modellierung nur eines Laufradkanals. An dieser Pumpe kann deswegen der Einfluss der numerischen Aufl¨osung der turbulenten Wandgrenzschicht untersucht werden. Die Gesamtpumpe mit Spiralgeh¨ause muss bei den beiden Radialpumpen nS 20 und nS 26 modelliert werden, wobei nur bei der nS 20-Pumpe auch der Radseitenraum ber¨ ucksichtigt wird. An den beiden kompletten Kreiselpumpen k¨onnen zum einen die quasi-station¨are und die transiente Kopplung von Laufrad und Spirale und andererseits verschiedene Turbulenzmodelle jeweils unter Verwendung von Wandfunktionen verglichen werden. F¨ ur die numerische Formulierung der Kopplung bei Kreiselpumpen mit unbeschaufeltem Radialdiffusor kommt außer der zeitechten Sliding-Mesh-Methode nur die quasi-station¨are Frozen-Rotor -Methode in Frage. Alle numerischen Rechengitter werden komplett blockstrukturiert aufgebaut. Dies bewirkt nicht nur eine sehr gute Netzqualit¨at, sondern war aufgrund der verwendeten Numerik-Codes FLUENT, als kommerzielles Programm, und NS3D [99], ein blockstrukturierter Navier-Stokes Code, auch erforderlich. Die Auswahl der zu validierenden Turbulenzmodelle beschr¨ankt sich auf Vertreter der Klasse statistischer Wirbelviskosit¨atsmodelle, die f¨ ur die Anwendung bei 140

141 Kreiselpumpen aus verschiedensten Gr¨ unden Stand der Technik sind. Neben dem Standardk-²-Modell werden einige erweiterte Modelle eingesetzt. Mit FLUENT kommen neben einer realisierbaren Erweiterung noch das SST-Modell [61] und das RNG-Modell [122],[15] zum Einsatz. Aufgrund der eingeschr¨ankten Programmierm¨oglichkeiten bei FLUENT wird zudem das mehrskalige Modell nach Kim und Chen [49] in NS3D implementiert sowie das nichtlineare LCL-Modell [58] zum Vergleich herangezogen, um die grunds¨atzlich stark eingeschr¨ankte physikalische Modellierungsebene der Wirbelviskosit¨atsmodelle im Hinblick auf die Eigenschaften der Str¨omung in Pumpen zu erweitern. Eine Validierung des in NS3D neu implementierten KC-Turbulenzmodells anhand einiger ERCOFTAC Standard-Testf¨alle zeigt dessen F¨ahigkeiten im Vergleich mit dem Standard-k-² Modell, dessen realisierbarer Variante und dem nichtlinearen Modell jeweils mit Wandfunktionen. Bei geringf¨ ugig erh¨ohter Rechenzeit ist das KC-Modell am wenigsten dissipativ und zeigt sich bei abgel¨osten Scherschichten den u ¨brigen meist u ¨berlegen. Diese Vorteile bei den speziellen Str¨omungskonfigurationen der Testf¨alle werden bei der nS 28-Pumpe jedoch nicht best¨atigt. Keines der untersuchten Turbulenzmodelle weist eine ¨ eindeutig herausragende Ubereinstimmung mit den Messwerten auf, vor allem die Umfangskomponente wird meist zu klein berechnet. Die Aufl¨osung der Wandgrenzschicht mittels ¨ LowRe-Erweiterung bewirkt, verglichen mit der Uberbr¨ uckung der viskosen Unterschicht mit Wandfunktionen, eine Verbesserung der Geschwindigkeitsprofile im Radialdiffusor und der tats¨achlichen Druckerh¨ohung im Laufrad, die ein Maß f¨ ur die Verluste darstellt. Zudem sind Auswirkungen auf die Ausbildung der Grenzschicht vor allem der Schaufelsaugseite festzustellen. Im Gegensatz dazu bleibt der hydraulische Laufradwirkungsgrad sowohl von der gew¨ahlten Wandbehandlung als auch dem Turbulenzmodell nahezu unabh¨angig. Auch die Kennlinien als integrale Vergleichsgr¨oßen der beiden kompletten Kreiselpumpen sind nur wenig sensitiv gegen¨ uber dem verwendeten Turbulenzmodell. Unter den Wirbelviskosit¨atsmodellen macht sich ein Vorteil in der theoretischen Formulierung des Modells nur unwesentlich in globalen Gr¨oßen bemerkbar. Der Einfluss der Laufrad-SpiraleKopplung auf F¨orderh¨ohe, Laufradmoment und Wirkungsgrade ist wesentlich deutlicher, aber bei beiden Maschinen unterschiedlich ausgepr¨agt. Bei Ber¨ ucksichtigung des RSR stimmen die transient berechneten und experimentellen Kennlinien gut u ¨berein, w¨ahrend die ¨ quasi-station¨are F¨orderh¨ohe bei Uberlast nach unten abknickt. Als Ausnahme passen die Sekund¨arwirkungsgrade bei der nS 20-Pumpe unabh¨angig vom Turbulenzmodell und der Kopplungsart sehr gut mit den Messwerten zusammen. Der fehlende RSR verschiebt die Kennlinien bei der nS 26-Pumpe nach oben, wobei dennoch ein qualitativer Vergleich m¨oglich ist. Insbesondere die FR-Kopplung liefert bei der nS 26-Pumpe sinnvolle und auch deutlich bessere Ergebnisse als bei der nS 20-Pumpe. Insgesamt gesehen kann die Charakteristik beider Pumpen von allen Turbulenzmodellen und beiden Kopplungsmethoden qualitativ und mehr oder weniger quantitativ gut vorhergesagt werden. Als G¨ utekriterium des transienten numerischen Ergebnisses liefern unterschiedliche Auswertemethoden einen fast identischen inneren Wirkungsgrade der nS 20-Pumpe. Zu bevorzugen ist die transiente Kopplung, obwohl die FR-Kopplung sinnvolle Kennlinien liefern und mit Einschr¨ankung als vorl¨aufiges Resultat akzeptiert werden kann. G¨ unstige Voraus141

142 setzungen einer Pumpe f¨ ur die Anwendbarkeit der FR-Kopplung sind eine m¨oglichst kleine reduzierte Frequenz (ωred ¿ 1), eine große radiale Erstreckung des Diffusors und eine geringe Abl¨oseneigung der Str¨omung am Spiralsporn. Bez¨ uglich der Kennlinien ist dann selbst mit der einfachen FR-Kopplung auch bei Teillast ein bedingt brauchbares Ergebnis zu erzielen. Die wirkliche Schw¨ache dieses Ansatzes und die unbedingten Vorteile der transienten Berechnung zeigt erst die Analyse der inneren Str¨omungsvorg¨ange. Der zeitlich variierende Massenstrom im rotierenden Laufradkanal zeigt ein typisches, vom Betriebspunkt unabh¨angiges Verhalten. Bei den ortsfesten Kan¨alen der FR-Kopplung treten dagegen unphysikalische, extreme Schwankungen bis hin zu R¨ uckstr¨omung bei Teillast in einzelnen Kan¨alen auf, weshalb diese Resultate im Radialdiffusor nicht ausgewertet werden. Das zeitliche Verhalten des Einzelkanals wird zus¨atzlich analysiert und eine typische Geschwindigkeitsverteilung aller Komponenten und der Sekund¨arstr¨omung am Laufradaustritt dargestellt. Die Str¨omungsverh¨altnisse am Laufradaustritt werden von der zeitgemittelten Druckverteilung und den Sekund¨arwirbeln im Spiralgeh¨ause beeinflusst. Die dynamischen Wechselwirkungen zwischen Laufrad und Spiralgeh¨ause lassen sich durch Auswertungen der Daten in der Messebene des Radialdiffusors in unterschiedlicher Art und Weise darstellen und tragen so zum genaueren Verst¨andnis der instation¨aren Vorg¨ange bei. Auch die zeitgemittelten Verl¨aufe lassen bereits ein ung¨ unstiges Zusammenspiel zwischen Laufrad und Spirale erkennen. Beim Vergleich mit station¨arer Druckmessung liefert die Numerik zwar qualitativ korrekte Kurvenverl¨aufe, aber aufgrund der Dirichlet-Druckrandbedingung am Austritt insgesamt zu große Amplituden. Dennoch erh¨alt man bei der Validierung der Geschwindigkeitsfelder anhand ¨ instation¨arer Messdaten eine erstaunlich gute Ubereinstimmung mit allerdings deutlicherer Abha¨angigkeit vom Turbulenzmodell als bei den Kennlinien. Die f¨ ur diesen Vergleich erforderliche Anpassung der numerischen Daten wird vorgestellt. Die Gegen¨ uberstellung transienter Berechnungsergebnisse unter Verwendung verschiedener Turbulenzmodelle mit instation¨aren Messdaten verdeutlicht die momentanen M¨oglichkeiten und Grenzen der Numerik bei Kreiselpumpen. Bei der Wahl der Kopplungsmethode sollte m¨oglichst die zeitechte Laufraddrehung gew¨ahlt werden. Trotz sowohl quasi-station¨ar als auch transient teilweise sehr gut vorhergesagter Kennlinien besteht bei den instation¨aren Geschwin¨ digkeitsfeldern im Radialdiffusor nur eine qualitativ gute Ubereinstimmung mit Messdaten bei insgesamt geringem Einfluss der statistischen Turbulenzmodellierung. Unter den verwendeten Modellen hat sich, wenn u ¨berhaupt eines bevorzugt werden kann, das SST-Modell bei den meisten Vergleichen hervorgetan. Eine Kombination dieses Modells mit den g¨ unstigen Eigenschaften des KC-Modells in der Freistr¨omung w¨are anzudenken. Verbesserungspotenzial liegt in der Aufl¨osung der Wandgrenzschicht, die allerdings f¨ ur eine Gesamtpumpe noch nicht wirtschaftlich durchf¨ uhrbar ist. Gleiches gilt f¨ ur Modelle basierend auf LES, u ¨ber deren Einsatz bei Pumpen man sich zuk¨ unftig Gedanken machen muss. Weiterhin bietet zum einen die Formulierung der Austrittsrandbedingung, die variabel auf Druckspitzen reagieren sollte, und andererseits das Diskretisierungsschema f¨ ur konvektive Terme besonders im Bereich des Radialdiffusors aus der Sicht numerischer Methodik M¨oglichkeiten zur Verbesserung.

142

143

A. Validierung der Turbulenzmodelle A.1. Rechteckkanal mit 180◦-Kru ¨mmer 1.6

U/U

ref

1.4

(φ=0)

1.2 1 0.8 0.6

SKE KC RKE LCL EXP

0.4 0.2 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/H 2

U/U

ref

SKE KC RKE LCL EXP

(φ=90)

1.5

U/Uref (φ=180)

1.6 1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

1 0.6 0.5

SKE KC RKE LCL EXP

0.4 0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0

0.2

0.4

r/H

0.6

U/U

ref

1.6

0.8

(x/H=2)

0.6

SKE KC RKE LCL EXP

0.4 0.2 0

1

r/H

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y/H

Geschwindigkeitsprofile an verschiedenen Laufl¨angen φ bzw. x/H 60 3

2 ref

10 ⋅ k/U

SKE KC RKE LCL EXP

(φ=90)

50 40

120

SKE KC RKE LCL EXP

103 ⋅ k/U2 (φ=180) ref

100 80

120 ref

80

30

60

60

20

40

40

10

20

20

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0

0.2

0.4

r/H

0.6 r/H

0.8

1

0

0

0.2

0.4

0.6 y/H

Profile turbulenter kinetischer Energie an verschiedenen Laufl¨angen φ bzw. x/H Uref = mittlere Kanaleintrittsgeschwindigkeit 143

SKE KC RKE LCL EXP

103 ⋅ k/U2 (x/H=2) 100

0.8

1

A.2. ASYMMETRISCHER DIFFUSOR

144

A.2. Asymmetrischer Diffusor −3

6

1

x 10

C − Kanalwand oben p

C − Kanalwand oben

5

0.8

f

SKE KC RKE LCL EXP

4

0.6

3

0.4

2

SKE KC RKE LCL EXP

0.2 0 −10

0

10

20

30 x/H

40

50

60

1

70

0 −10

0

10

20

30

40

50

60

70

x/H

Schubspannungskoeffizient Cf an oberer Kanalwand 6

6

6

u/ub bei x/H=13.6

u/ub bei x/H=16.9

u/ub bei x/H=20.3

5

5

5

4

4

4

y/H 3

y/H 3

y/H 3

2

SKE KC RKE LCL EXP

1 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

2 1 0

0.6

6

2

SKE KC RKE LCL EXP 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 0

0.6

6

u/ub bei x/H=29.7 5

5

4

4

4

y/H 3

y/H 3

y/H 3

2

SKE KC RKE LCL EXP

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

2

0.2

0.3

0.4

0.5

2

SKE KC RKE LCL EXP

1 0

0.6

0.1

0.6

u/ub bei x/H=39.9

5

0

0

6

u/ub bei x/H=23.7

0

SKE KC RKE LCL EXP

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

SKE KC RKE LCL EXP

1 0

0.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Geschwindigkeitsprofile an verschiedenen axialen Positionen x/H

5

k/u2b bei x/H=16.1

5

k/u2b bei x/H=19.5

5

4

4

4

3 y/H

3 y/H

3 y/H

2

2 SKE KC RKE LCL EXP

1 0 0

0.005

0.01

0.015

0.02

2 SKE KC RKE LCL EXP

1 0 0

k/u2b bei x/H=29.7

0.005

0.01

0.015

0.02

SKE KC RKE LCL EXP

1 0 0

0.005

0.01

Profile turbulenter kinetischer Energie an verschiedenen axialen Positionen x/H ub = mittlere Kanaleintrittsgeschwindigkeit 144

0.015

0.02

145

B. Kennlinien und Wirkungsgrade 1.05

1.05

η

h,LA

1 0.95

0.95

0.9

0.9

0.85

0.85

0.3

η

h,LA

1

CpR Diffusor 0.25

0.2

0.8 0.75

EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR

0.8

0.8 0.75

Gitter : 1 / 2

0.9

1.0

1.1

1.2

EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR

0.8

0.15

0.9

1.0

Q/Q

1.1

1.2

0.8

Q/Q

N

SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR

Gitter 3/4

Gitter : 3 / 4

0.9

1.0 Q/Q

N

1.1

1.2

N

Laufradwirkungsgrad ηh,La und Druckr¨ uckgewinnungsfaktor CpR im Diffusor der nS 28-Pumpe 1

1

1

RSR−WG η

RSR

Vol−WG ηvol [%]

[%]

0.98

0.98

0.95

0.96

0.96

0.9 EXP ns20 EXP rsr SKE RKE RNG SST KC (NS3d)

0.94

RSR−WG ηRSR [%] 0.92

Kopplung FR 0.9

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

0.94

EXP ns20 EXP rsr SKE RKE RNG SST

0.92

Kopplung SM 0.9

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

EXP ns20 EXP rsr SKE RKE RNG SST KC (NS3d)

0.85

Kopplung FR 0.8

0.6

0.7

0.8

Q/QN

Q/Q

N

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/Q

N

Sekund¨arwirkungsgrade der nS 20-Pumpe 1.6 1.5

1.6

Th. Druckzahl Laufrad ψth,La

1.5

1.4

1.4

1.3

1.3

1.2

1.2

1.1

1.1

1 0.9 0.8

1

SKE RKE RNG SST 0.5

0.9

Auswertung R2 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.8

ηh,La − R2

Druckzahl Laufrad ψ0,La

1.1 1 0.9 0.8

SKE RKE RNG SST 0.5

Q/QN

0.7

Auswertung R2 0.6

0.7

0.8

Q/QN

Laufradwirkungsgrade der nS 26-Pumpe

145

0.9

1.0

1.1

0.6

SKE RKE RNG SST 0.5

Auswertung R

2

0.6

0.7

0.8

Q/QN

0.9

1.0

1.1

146

C. Str¨ omungsprofile im Diffusor nS 28 Profile cr /u2 , cu /u2 und T u in der ME bei Diffusorbreite 28 mm

0.14

r

0.12

25

0.8

c /u

2 0.75

0.1 0.7

EXP SKE RKE KC LCL

c /u u

2 20

EXP SKE RKE KC LCL

Tu [%]

15

0.08 0.65 0.06 0.04 0.02

10 EXP SKE RKE KC LCL

Deck

0.6

5

0.55

BP:80 , Gitter:1 Diffusorbreite

BP:80 , Gitter:1

BP:80 , Gitter:1 Trag

Deck

Diffusorbreite

Trag

Deck

Diffusorbreite

Trag

Gitter WF-1 bei Teillast Q/QN = 0.8

0.14 0.12

20

0.8

cr/u2

0.75

EXP SKE LCL

cu/u2

18 16

0.7

0.1

EXP SKE LCL

Tu [%]

14

0.65

12

0.6

10

0.08 0.06

8

0.55

6

0.04 0.02

0.5 EXP SKE LCL

Deck

4

0.45

BP:80 , Gitter:2 Diffusorbreite

2

BP:80 , Gitter:2 Trag

Deck

Diffusorbreite

Trag

BP:80 , Gitter:2

Deck

Diffusorbreite

Trag

Gitter LR-2 bei Teillast Q/QN = 0.8 0.18

0.7

cr/u2

0.16

0.65

EXP SKE LCL

14

cu/u2

12

0.14

EXP SKE LCL

Tu [%]

10

0.6 0.12

8 0.55

0.1

6 0.5

0.08 0.06

Deck

4 EXP SKE LCL

0.45

Diffusorbreite

2

BP:120 , Gitter:2

BP:120 , Gitter:2 Trag

Deck

Diffusorbreite

¨ Gitter LR-2 bei Uberlast Q/QN = 1.2

146

BP:120 , Gitter:2 Trag

Deck

Diffusorbreite

Trag

147

D. Laufradkanalaustritt nS 20 und nS 26

Str¨ omungsprofile am Laufradkanalaustritt der nS 20-Pumpe

Nomineller BEP Q/QN = 1.0 bei nS 20-Pumpe

147

148

Teillast Q/QN = 0.5 bei nS 20-Pumpe

¨ Uberlast Q/QN = 1.3 bei nS 20-Pumpe 148

149 Str¨ omungsprofile am Laufradkanalaustritt der nS 26-Pumpe

Teillast Q/QN = 0.5 bei nS 26-Pumpe

¨ Uberlast Q/QN = 1.2 bei nS 26-Pumpe 149

150

E. Messebene der Pumpen nS 20 und nS 26 E.1. Wechselwirkungen Laufradkanal-Messebene Wechselwirkungen der Geschwindigkeitskomponenten der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.5 6

6

C /C

5

r

BP=50

r,m

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

−1

r

BP=50

r,m

−1 ME cr(Φ) ME cr(Φ,t) KA cr(Φ,t) KA cr(Φ)

−2 −3 −4 0

C /C

5

Sporn

180

270

ME cr(Φ) ME cr(Φ,t) KA cr(Φ,t) KA cr(Φ)

−2 −3 −4 0

360

Sporn

180

270

360

Radialkomponente 1.4

1.4

Cu/Cu,m

Cu/Cu,m

BP=50

1.3

1.3

1.2

1.2

1.1

1.1

1

1

0.9

0.9

ME c (Φ) u ME cu(Φ,t) KA cu(Φ,t) KA c (Φ)

0.8

BP=50

ME c (Φ) u ME cu(Φ,t) KA cu(Φ,t) KA c (Φ)

0.8

u

0.7 0

Sporn

180

270

u

0.7 0

360

Umfangskomponente

150

Sporn

180

270

360

E.1. WECHSELWIRKUNGEN LAUFRADKANAL-MESSEBENE

151

Wechselwirkungen der Geschwindigkeitskomponenten der nS 20-Pumpe, Q/QN = 1.3 3

3

Cr/Cr,m

2.5

Cr/Cr,m

BP=130 2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5 ME c (Φ) r ME cr(Φ,t) KA cr(Φ,t) KA c (Φ)

0 −0.5

BP=130

ME c (Φ) r ME cr(Φ,t) KA cr(Φ,t) KA c (Φ)

0 −0.5

r

−1 0

Sporn

180

270

r

−1 0

360

Sporn

180

270

360

Radialkomponente Cu/Cu,m

1.3

Cu/Cu,m

BP=130 1.3

1.2

1.2

1.1

1.1

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

ME c (Φ) u ME cu(Φ,t) KA cu(Φ,t) KA c (Φ)

0.5 0.4

BP=130

ME c (Φ) u ME cu(Φ,t) KA cu(Φ,t) KA c (Φ)

0.5 0.4

u

0.3 0

Sporn

180

270

u

0.3 0

360

Umfangskomponente

151

Sporn

180

270

360

E.2. VERGLEICH ENSEMBLEMITTELWERTE“ CFD/EXP NS 26 ”

152

E.2. Vergleich Ensemblemittelwerte“ CFD/EXP nS 26 ” Vergleich Messung/CFD in der Messebene der nS 26-Pumpe, Q/QN = 1.2

0.1

0.1

0

0

−0.1 SS*

Φ=0° 0.8

0.6

−0.1

cr/u2 0.4

0.2

DS*

SS*

0.1

0.1

0

0

−0.1 Deck

0.2

−0.1

Φ=0°

cr/u2 0.4

0.6

Φ=0°

0.4

0.8

Trag

Deck

Φ=180° 0.8

0.6

0.4

0.6

Φ=180°

cu/u2

0.8

0.2

0.2

DS*

0.8

Trag

Φ=180°

cr/u2 0.2

0.4

cr/u2

cu/u2

0.6

0.0

0.4

−0.2 SS*

0.8

0.6

0.4

Φ=0°

0.4

0.2

SS*

DS*

0.8

0.6

Φ=180°

c /u u

0.4

2

0.8

0.2

0.2

DS*

c /u u

2

0.6

0.0

0.4

−0.2 Deck

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

Deck

152

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

E.2. VERGLEICH ENSEMBLEMITTELWERTE“ CFD/EXP NS 26 ”

153

Vergleich Messung/CFD in der Messebene der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.4 Φ=0°

0.1

cr/u2

0.1

0

0

−0.1

−0.1

−0.2

−0.2

SS*

0.8

0.6

0.4

Φ=0°

0.1

0.2

DS*

SS*

r

2

0 −0.1

−0.2

−0.2 0.4

0.6

0.8

Trag

0.1

Deck

0

−0.1

−0.1

Φ=10°

−0.2 0.8

0.6

c /u r

Φ=180° 0.2

0.4

0.6

0.4

0.2

Φ=350°

−0.2

2

DS*

SS*

0.1

0

−0.1

−0.1

Φ=10°

−0.2 0.2

0.4

c /u r

0.8

0.6

0.4

0.6

0.8

Φ=350°

−0.2

2

Trag

Deck

0.2

0.4

0.6

Φ=180° 0.8

0.8

0.6

0.6

0.4 SS*

Φ=0°

DS*

c /u r

2

0.8

Trag

c /u r

2

0.2

DS*

0.8

0.6

u

0.4

0.2

DS*

SS*

0.8

0.6

0.4

Φ=180° 0.6

0.6

Φ=0° 0.2

0.4

0.6

0.8

2

0.8

Trag

c /u u

2

0.2

DS*

c /u u

2

0.4

c /u u

r

2

0.8

0.4

c /u

0.4

c /u

0.8

Deck

0.2

0.1

0

Deck

0.4

0.1

0

SS*

0.6

0.1

0

0.2

0.8

cr/u2

c /u

−0.1

Deck

Φ=180°

2

Trag

Deck

153

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

E.3. VERGLEICH ENSEMBLEMITTELWERTE“ CFD NS 20 ”

154

E.3. Vergleich Ensemblemittelwerte“ CFD nS 20 ” Vergleich TM in der Messebene der nS 20-Pumpe, Q/QN = 1.3 −0.15

−0.15

0.15

0.15

0

0

Φ=90°

−0.15 SS*

0.8

0.6

r

0.4

2

0.2

−0.15 DS*

SS*

−0.15

−0.15

0.15

0.15

0

0.2

0.4

cr/u2 0.6

0.8

Trag

Deck

0.65

0.2

0.55

Φ=90°

0.0 0.8

0.6

c /u u

0.4

0.4

0.2

DS*

SS*

0.65

0.2

0.55

Φ=90°

0.0 0.2

0.4

c /u u

0.6

0.8

Φ=270° 0.2

0.4

0.8

0.6

Trag

Deck

154

0.4

Φ=270°

0.45

2

0.6

Φ=270°

0.45

2

0.4

Deck

0.6

−0.15

0.4

SS*

0.8

c /u r

2

0.2

DS*

0

Φ=90°

−0.15 Deck

Φ=270°

c /u

0.2

0.4

0.6

cr/u2 0.8

Trag

cu/u2 0.2

DS*

c /u u

0.8

2

Trag

E.3. VERGLEICH ENSEMBLEMITTELWERTE“ CFD NS 20 ”

155

Vergleich TM in der Messebene der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.5 Φ=90°

0.15

c /u r

0

0.6

0.4

Φ=90°

0.2

DS*

c /u r

SS*

0

−0.15

−0.15 0.2

0.4

0.6

Φ=60°

0.15

0.8

Trag

cr/u2

Deck

0

−0.15

−0.15 0.6

0.4

Φ=60°

0.15

0.2

DS*

cr/u2

SS*

0.2

0.4

0.6

Φ=120°

0.8

0.6

0.4

Φ=120°

0.2

DS*

c /u r

2

0.8

Trag

cr/u2

0.2

DS*

cr/u2

−0.15 0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

0.9

Deck

0.2

0.4

0.9

0.7

0.6

Φ=270°

0.8

Trag

c /u u

2

0.7

0.5

Φ=90° 0.8

0.6

0.5

c /u u

0.4

2

0.2

DS*

0.9

SS*

0.8

0.6

0.9

0.7

0.4

Φ=270°

0.2

DS*

c /u u

2

0.7

0.5 Deck

2

0

−0.15

SS*

0.4

Φ=270°

0.15

0

Deck

0.6

0.15

0

0.8

0.8

0.15

2

0

SS*

r

−0.15 0.8

0.15

Deck

c /u

0

−0.15 SS*

Φ=270°

0.15

2

Φ=90° 0.2

0.4

0.5

c /u u

0.6

0.8

2

Trag

Deck

155

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

156

Literaturverzeichnis [1] Abid, R.: Assessment of Two-Equation Turbulence Models for Predicting Transitional Flows. Workshop on Transition and Turbulence, New York, Springer Verlag, 1992, S. 485-497 [2] AIAA Guide: Guide for the Verification and Validation of Computational Fluid Dynamics Simulation. G-077, 1998 [3] Aysheshim, W.: Experimentelle Untersuchung der Wechselwirkung zwischen Laufrad und Leitrad und der Turbulenz in einer radialen Kreiselpumpenstufe. Dissertation TU Darmstadt, 2001 [4] Aysheshim, W.: Numerical and Experimental Investigation on a Centrifugal Pump Stage With and Without a Vaned Diffuser: Experimental Part. 20th IAHR Symposium, Charlotte, August 2000 [5] Batchelor, G.K.: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge Univ. Press, Cambridge, England 1967 [6] Bauer, W.: Berechnung turbulenter Str¨omungen mit starken Stromlinienkr¨ ummungen beziehungsweise mit Rotation. Dissertation TU Darmstadt, 1998 [7] Bauer, W., Haag, O.: Comparison of Different Non-linear Eddy-Viscosity Models for Engineering Applications. John Wiley & Sons, 1998 [8] Boussinesq, J.: Theorie de l’´ecoulement tourbillant. Memoires present´es par diverse savants a` l’academie des sciences de l’institut de France, Vol. 23, No. 46, Paris, 1877 [9] Breitbach, C.: Numerische Berechnung transitionaler GrenzschichtStr¨omungen in axialen Turbinengittern. Dissertation TU Darmstadt, 2002 [10] Buice, C.U., Eaton, J.K.: Experimental Investigation of Flow Through an Asymmetric Plane Diffuser. Report No. TSD-107. Stanford University, USA, 1997 [11] Casey, M.V.: Validation of Turbulence Models for Turbomachinery Flows a Review. Engineering Turbulence Modelling and Experiments 5, 2002 156

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Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen

Informal Private Debt: Ein Beitrag zur innovativen Finanzwirtschaft von Unternehmen

Faustus Von Mileve: Ein Beitrag Zur Geschichte Des Abendländischen Manichäismus

Stromungsmechanischer Beitrag zur Planung von Herzoperationen

Kontaktmechanik und Reibung: Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation (German Edition)

Grundlagen der numerischen Mathematik

Personaltheorie als Beitrag zur Theorie der Unternehmung

Die wissenschaftliche Zuganglichkeit von Kriminalitat: Ein Beitrag zur Erkenntnistheorie der Sozialwissenschaften

Identifikation und Ausschöpfung von Up-Selling-Potenzialen: Ein Beitrag zur Segmentierung von Aufsteigern

Berechnung von Drehstromnetzen

Ein Beitrag zur Ableitung regelbasierter Modelle aus Zeitreihen German

Hethitische Orakel, Vorzeichen und Abwehrstrategien: Ein Beitrag zur hethitischen Kulturgeschichte

Stilanalytische Untersuchungen zum Kolosserbrief als Beitrag zur Methodik von Sprachvergleichen

Okonomik der Marke: Ein Beitrag zum Theorienpluralismus in der Markenforschung

Der Resilienzprozess: Ein Modell zur Bewaltigung von Krankheitsfolgen im Arbeitsleben

Die Wunderheilungen von Epidauros. Ein Beitrag zur Geschichte der Medizin und der Religion (Philologus Suppl. XXII, Heft III)

Die arabische Literatur der Juden : ein Beitrag zur Literaturgeschichte der Araber, Grossenteils aus Handschriftlichen Quellen

Ein Beitrag zur Kenntniss der Cephalopodenfauna der Ornatenthone im Gouvernement Rjäsan (Kussland)

Risikomanagement in der Immobilienwirtschaft: Ein Beitrag zur Verbesserung der Risikoanalyse und -bewertung

Von der Papyrologie zur Romanistik

Handbuch Validierung in der Analytik

Ein Beitrag zur Integration von Sensoren in eine anthropomorphe kunstliche Hand mit flexiblen Fluidaktoren German

Strategisches Mehrmarkencontrolling: Ein Beitrag zur integrierten und dynamischen Koordination von Markenportfolios

Ein Märchen von der Scheibenwelt

Ein Beitrag zur Verbesserung und Erweiterung der Lidar-Signalverarbeitung fur Fahrzeuge German

Biomasse in Baden-Wurttemberg - ein Beitrag zur wirtschaftlichen Nutzung der Ressource Holz als Energietrager German

Der verwaltungsrechtliche Vertrag: Ein Beitrag zur Handlungsformenlehre (Forschungen aus Staat und Recht) (German Edition)

Soziologie der Jesusbewegung. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte des Urchristentums, 4. Auflage (Theologische Existenz Heute 194)

Die Minderung der Schadensersatzpflicht im spanischen Recht: Ein Beitrag zur Vereinheitlichung des europaischen Schadensrechts

Die groсe Lüge - Beitrag zur Kriegsschuld-Frage

Sophilos: Ein Beitrag zu seinem Stil (Keramikforschungen)

Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen

Informal Private Debt: Ein Beitrag zur innovativen Finanzwirtschaft von Unternehmen

Faustus Von Mileve: Ein Beitrag Zur Geschichte Des Abendländischen Manichäismus

Stromungsmechanischer Beitrag zur Planung von Herzoperationen

Kontaktmechanik und Reibung: Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation (German Edition)

Grundlagen der numerischen Mathematik

Personaltheorie als Beitrag zur Theorie der Unternehmung

Die wissenschaftliche Zuganglichkeit von Kriminalitat: Ein Beitrag zur Erkenntnistheorie der Sozialwissenschaften

Identifikation und Ausschöpfung von Up-Selling-Potenzialen: Ein Beitrag zur Segmentierung von Aufsteigern

Berechnung von Drehstromnetzen

Ein Beitrag zur Ableitung regelbasierter Modelle aus Zeitreihen German

Hethitische Orakel, Vorzeichen und Abwehrstrategien: Ein Beitrag zur hethitischen Kulturgeschichte

Stilanalytische Untersuchungen zum Kolosserbrief als Beitrag zur Methodik von Sprachvergleichen

Okonomik der Marke: Ein Beitrag zum Theorienpluralismus in der Markenforschung

Der Resilienzprozess: Ein Modell zur Bewaltigung von Krankheitsfolgen im Arbeitsleben

Die Wunderheilungen von Epidauros. Ein Beitrag zur Geschichte der Medizin und der Religion (Philologus Suppl. XXII, Heft III)

Die arabische Literatur der Juden : ein Beitrag zur Literaturgeschichte der Araber, Grossenteils aus Handschriftlichen Quellen

Ein Beitrag zur Kenntniss der Cephalopodenfauna der Ornatenthone im Gouvernement Rjäsan (Kussland)

Risikomanagement in der Immobilienwirtschaft: Ein Beitrag zur Verbesserung der Risikoanalyse und -bewertung

Von der Papyrologie zur Romanistik

Handbuch Validierung in der Analytik

Ein Beitrag zur Integration von Sensoren in eine anthropomorphe kunstliche Hand mit flexiblen Fluidaktoren German

Strategisches Mehrmarkencontrolling: Ein Beitrag zur integrierten und dynamischen Koordination von Markenportfolios

Ein Märchen von der Scheibenwelt

Ein Beitrag zur Verbesserung und Erweiterung der Lidar-Signalverarbeitung fur Fahrzeuge German

Biomasse in Baden-Wurttemberg - ein Beitrag zur wirtschaftlichen Nutzung der Ressource Holz als Energietrager German

Der verwaltungsrechtliche Vertrag: Ein Beitrag zur Handlungsformenlehre (Forschungen aus Staat und Recht) (German Edition)

Soziologie der Jesusbewegung. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte des Urchristentums, 4. Auflage (Theologische Existenz Heute 194)

Die Minderung der Schadensersatzpflicht im spanischen Recht: Ein Beitrag zur Vereinheitlichung des europaischen Schadensrechts

Die groсe Lüge - Beitrag zur Kriegsschuld-Frage

Sophilos: Ein Beitrag zu seinem Stil (Keramikforschungen)

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