CAMBRIDGE LIBRARY COLLECTION Books of enduring scholarly value
Mathematical Sciences From its pre-historic roots in simple counting to the algorithms powering modern desktop computers, from the genius of Archimedes to the genius of Einstein, advances in mathematical understanding and numerical techniques have been directly responsible for creating the modern world as we know it. This series will provide a library of the most influential publications and writers on mathematics in its broadest sense. As such, it will show not only the deep roots from which modern science and technology have grown, but also the astonishing breadth of application of mathematical techniques in the humanities and social sciences, and in everyday life.
Oeuvres complètes Augustin-Louis, Baron Cauchy (1789-1857) was the pre-eminent French mathematician of the nineteenth century. He began his career as a military engineer during the Napoleonic Wars, but even then was publishing significant mathematical papers, and was persuaded by Lagrange and Laplace to devote himself entirely to mathematics. His greatest contributions are considered to be the Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique (1821), Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823) and Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie (1826-8), and his pioneering work encompassed a huge range of topics, most significantly real analysis, the theory of functions of a complex variable, and theoretical mechanics. Twenty-six volumes of his collected papers were published between 1882 and 1958. The first series (volumes 1–12) consists of papers published by the Académie des Sciences de l’Institut de France; the second series (volumes 13–26) of papers published elsewhere.
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Oeuvres complètes Series 2 Volume 10 Augustin L ouis C auchy
C A M B R I D G E U N I V E R SI T Y P R E S S Cambridge New York Melbourne Madrid Cape Town Singapore São Paolo Delhi Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York www.cambridge.org Information on this title: www.cambridge.org/9781108003230 © in this compilation Cambridge University Press 2009 This edition first published 1895 This digitally printed version 2009 ISBN 978-1-108-00323-0 This book reproduces the text of the original edition. The content and language reflect the beliefs, practices and terminology of their time, and have not been updated.
(EUVRES COMPLETES
D'AUCTIISTIN
CAUCHY
IEUVRES COMPLETES
D'AUGUSTIN CAUCH1 PUULIEES SOUS LA DIRECTION SCLENTIPigUE
DE L'ACADEMIE DES SCIENCES ET SOTS LES AUSPICES
DE M. LE M1NISTRE DE I/INSTRUCTION
SERIE. -
PUBLIQUE.
TOME \.
PARIS, GAUTH1EK-V1LLARS ET FILS, DU
B U R E A U
D E S L O N G I T U D E S ,
IMPR1MEURS-L1BRA1RES
D E L ' E C O L E
Quai des Augustins, 55. M DCCC XCV
P O L Y T E C I I M
()I ' E ,
SECONDE SERIE. I. -
MEMOIRES PUBLIES DANS DIVERS RECUEILS AUTRES QUE CEUX DE
L'ACADEMIE.
II. — OUVRAGES CLASSIQUES. HI. -
MtiMOIRES PUBLIES EN CORPS D'OUVRAGE. IV. - MEMOIRES PUBLIES SEPAREMENT.
ORuvres
de C. — S. II, t. X .
III.
MEMOIRES PUBLIES EN CORPS D'OUVRAGE.
RESUMES ANALYTIQUES DE TURIN.
DEUXIEME EDITION REIMPRIMEE
DAPRES
LA PREMIERE
EDITION.
S MALYTIQUES PAR
M. AUGUSTIN LOUIS CAUCHY MEMBRE DE LACADEMIE
DES SCIENCES DE PARIS ,
DE LA SOCIETE ROYALE DE LONDRES , ETC
\
TfJMIM
DE L'IMPRIMERIE ROYALE 1833.
RfiSUMfiS ANALYTIQUES. AVERTISSEMENT.
L'experience de l'enseignement m'a prouve qu'on peut simplificr encore sur plusieurs points l'etude de l'Analyse. D'autre part, des recherches approfondies sur differentes branches des Sciences mathematiques m'ont conduit a des resultats nouveaux et a de nouvelles methodes qui fournissent la solution d'un grand nombre de questions diverses. Deja quelques-unes de ces methodes se trouvent indiqueos dans des Notes que renferme le Bulletin des Sciences, et presentees avec plus d'etendue dans les deux Memoires lithographies en I 8 3 I et i832. En attendant que je puisse donner a ces matieres de plus amples developpements par la publication de Traites speciaux, ou la reprise des Exercices de Mathematiques•, j'ai pense qu'une serie d'articles destines a offrir le resume des theories les plus importantes de l'Analyse, soit anciennes, soit nouvelles, particulierementdes theories qu'embrasse l'Analyse algebrique et des methodes qui en rendent l'exposition plus facile, pourrait interesser les geometres et ceux qui s'adonnent a la culture des Sciences. Tel est le but que je me propose dans le present Ouvrage, qui paraitra par cahiers a des epoques plus ou moins rapprochees les lines des autres, suivant le plus ou moins de temps que les circonstances me permettront d'y consacrer.
OEuvres de C. — S. II, t. X.
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RESUMES ANALYTIQUES. § I. — Sur les nombres figures.
Designons par (m\ le nombre des produits qu'on peut former avec m lettres a, b, c, ... eombinees n a n. Parmi ces produits, le nombre de ceux qui renfermeront la lettre a sera evidemment
et le nombre de ceux qui renfermeront seulement les m — i autres lettres b, c, . . . sera (m — i)n.
On aura done (0
(m)n=(m
— i)n-h(m
—
i)n^.
De plus, si Ton forme : i° les produits qui renferment la lettre a et dont le nombre est (m — i)n_{; 20 les produits qui renferment la lettre b et dont le nombre est encore (m — i)n-x, . . . , on obtiendra en tout m(m — i)n-x
produits. Mais, en operant de cette maniere, on obtiendra n fois chaque produit; car, si n = 3, par exemple, le produit abc sera compris, et parmi ceux qui renferment la lettre a, et parmi ceux qui renferment la lettre b, et parmi ceux qui renferment la lettre c. Done (2)
(m)n— ^(m —
i)^.
Observons enfin qu'on aura evidemment (3)
(m)i = m9
et que, a chaque produit forme avec n lettres prises dans la suite a, b, c9 . . . , correspond un seul produit forme avec les m — n lettres restantes; d'ou il suit qu'on trouvera generalement (4)
(m)n=(m)tn_n.
Si au nombre m, qui doit toujours etre egal ou superieur a nf on
RESUMES ANALYTIQUES.
11
attribute successivement les valeurs n,
n-t-
J,
« + 2,
. . .,
Texpression (m)n engendrera la suite des nombres
qu'on appelle les nombres/igures de l'ordre n. Ceux du premier ordre seront, en vertu de la formule (3), les nombres naturels i,
...;
2, 3, 4,
et generalement ceux du premier, du second, du troisieme ordre, etc. composeront la seconde, la troisieme, la quatrieme, . . . ligne horizontale du triangle arithmetique de Pascal, savoir i,
i,
i,
i,
i,
i,
i,
i,
i,
i,
...
?
( 2 ) 1 , ( 3 ) ! , ( 4 ) i , ( 5 ) t , ( 6 ) , , ( 7 ) 1 ? ( 8 ) t , ..., i,
( 3 ) 2 , ( 4 ) 2 , ( 5 ) 2 , ( 6 ) 2 , ( 7 ) 2 , ( 8 ) 2 , ..., i,
( 4 ) 8 , ( 5 ) , , ( 6 ) 3 , ( 7 ) 3 , ( 8 ) 3 , ..., 1,
( 5 ) 4 , ( 6 ) 4 , ( 7 ) 4 , ( 8 ) 4 , -.., (6)5, (7)5, (8)5, ...,
1, •
1,
(7)e, ( 8 ) 6 , ..., 1, ( 8 ) 7 , ...,
ou I,
I,
i,
2,
3, 3,
4,
5,
6,
10,
4,
10,
I,
i,
it
6, 20,
5,
6,
7, 21,
28,
35, 35,
56,
21,
56,
r
28,
7o,
Dans ce Tableau, les termes de la premiere suite sont tous egaux a l'unite. De plus, le premier terme de chaque nouvelle suite, equivalent lui-meme a l'unite, est avance d'un rang vers la droite par
12
RESUMES ANALYTIQUES.
rapport au premier terme de la suite precedente; et chaque nouveau terme d'une suite quelconque est, en vertu de la formule (i), la somme qu'on obtient lorsqu'on ajoute au terme precedent de la meme suite le nombre qui se trouve immediatement au-dessus. II en resulte que le n™me terme de la suite des nombres figures de l'ordre m -hi est la somme des n premiers nombres figures de l'ordre m. On a done (5)
i -h {m -+- I) W H- (m -h 2)m-h- . . + (m -h n — \)m=(m
-h
n)m^.
Aii reste, la formule (5) peut etre deduite immediatement de la formule (i). De la formule (2) on tire successivement
et, par suite, m
(6) V
m — 1 m — 2
{m)n— — • } 71 71 — I 71 — 2
;
V
771 — (71 — 1)
r71 — (71 — J )
OU
Cela pose, la formule (5) donnera i -+- (m -h i) H
I. 2
(8)
i ) . . . ( / i - l - / n — 1)
• /i (/? H- 1). . . ( n 4 - m )
. 2 . . .ni
Ainsi, en particulier, (9)
* + 2 +"
(10)
1H-34-6-K..-
. ( I I )
, I +
4
.
+I 0
+...+
2
n(n -h i) n(n -hi) (n -h 2) 2 ~ 2.3
71(71 -hi) (n-h —3
2) n(7i -hi) (n-h = . - ^
2) (71 -h 3) ,
RESUMES ANALYTIQUES.
13
En vertu de Tequation (9), les sommes des n premiers termes des progressions arithmetiques o,
a,
1,
a-\-b,
2,
(/i —
. . . ,
3,
a-\-2b,
...,
1),
a -\-(n
—
i)b
seront respectivement n (n — ] (12)
O+ !
et
= nla 4Le second membre de la formule (12) ou (i3) est le produit do n par la demi-somme du premier et du dernier terme de la progression quo Ton considere. Si Ton indique la somme des n premiers termes d'une suite par la lettre S placee devant le rieme terme, les equations (9), (10), (11) pourront s'ecrire comme il suit S [ n(n
n)
-hi)~]
b
'[
—
n
^n
+
]
2
^
n(n + i)(n + =
2) »
K
L
J
*
2^3
J~
2TI74
'
et Ton en conclura n (n -f-
1)
2
n( n
O(n3
n(n + :O ( / i H H 2 ) ( « •
Si des boulets de meme diametre sont distribues, dans plusieurs
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RESUMES ANALYTIQUES.
couches superposees, de maniere a figurer une pyramide triangulaire, et dans chaque couche sur plusieurs files paralleles, de maniere a figurer un triangle equilateral, le nombre des boulets compris dans une couche triangulaire, ou dans la pyramide, se trouvera determine par la formule (9) ou (10), et sera ce qu'on nomme un nombre triangulaire ou un nombre pyramidal Done les nombres triangulaires et pyramidaux se confondent avec les nombres figures du second et du troisieme ordre. § II. — Developpement du produit de plusieurs binomes, ou d'une puissance entiere et positive de Viin d'entre eux; theoreme de Fermat sur les nombres premiers. Considerons m binomes differents de la forme jr-\-a,
x 4- b,
x -+- c,
. ...
En les multipliant Tun par l'autre, on aura (0
(X ^- a) (X ^r b) (X -t- C) . . . -h.. .) x711-1 -+- (ab -+- ac + . . . -h be -+-. . .)xm~2-{-'. . .-\-abc.
de plus, en posant a = b = c zzz. . .,
on trouvera a + ^ + c + . . . = ma — ( m ) ^ , ab -h ac -\~.. . + be -h. . . = (;n) 2 a 2 , abc. .. = am.
Done, par suite, (2)
(x-\-a)m = xm-^ (m)laxm-1-i-
(m)2a2xm~2-{-.
..-ham.
Dans le second membre de Tequation (2), les coefficients des diverses puissances de x et de a, savoir (3)
1,
(^)i,
(rn)u
...,
(m)2,
(m)l9
1,
sont precisement les nombres qui composent la (m-hi)iime
colonne
.. ;
RESUMES ANALYTIQUES.
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verticale du triangle arithmetique de Pascal, et le coefficient de am-nxn
fiQ
ou
n a
Xm~n
est (rn)n=
(4)
(m)m_n
ou,.en vertu de la formule (7) du § I, (5)
m{m
— T ) . . .(m
— n -h 1)
in(m
— I)...(/I +
I)
1 . 2 . . . ( m — n)
1 .2 . . . n
On peut s'assurer que les fractions contenues dans les deux membres de la formule (5) sont egales en les reduisant au meme denominateur. Si Ton pose successivement m z=z 2,
m = 3,
m = 4»
m = 5,
. ..,
on trouvera, en prenant pour coefficients les divers termes des colonnes verticales du triangle arithmetique, (x -+- a)2= x1-±- lax -Ha2, (x-\-a)*— (x H- a ) 4 = xk
Lorsque dans la formule (2) on pose a = 1, elle donne
Si Ton fait de plus x = 1, on trouvera (7)
2m~ 1 -h (/n)i-f- (
Done les divers coefficients, dont le nombre est ra + i, fournissent une somme egale a im. Lorsque m est un nombre premier, tous les termes de la suite contenue dans le second membre de la formule (7) sont, a l'exception du premier et du dernier, des multiples do m. Done
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RESUMES ANALYTIQUES.
alors im divise par m donne 2 pour reste. Dans le meme cas, n etant un nombre entier quelconque, (/H-i) w
divise par m donne, en vertu de la formule (6), le meme reste que nm-hi, et par suite (n -hi) m — (n -4- 1)
donne le meme reste que nm— n.
Done 2W— 2 etant divisible par m, on pourra en dire autant de 3m — 3, puis de 4m — 4> • • • 9 et generalement de
Done, si n n'est pas divisible par le nombre premier m, nm~K divise par m donnera l'unite pour reste, ce qui constitue le theoreme de Fermat sur les nombres premiers. Lorsque dans l'equation (1) on remplace a, b, c, ... par — a, —.b , — r, ..., on en tire (8)
(x — a)(x
— b)(x
— c)..
. — xm-hAlxm-1-hA2xm-2-{-.
. .-+-
\m9
les valeurs de Ai9 A2, ..., Am etant A2 — ab -1- ac -f-. . . -h be -+-. . ., (9)
A w = (— i)mabc..
. =
§ III. — Des variables et des fonctions en general, et, en particulier, des fonctions entieres d'une seule variable. Relations qui existent entre les coefficients des puissances entieres et positives d'un binome. On nomme quantite variable celle que Ton considore comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs differentes les unes des autrcs. On appelle, au contraire, quantite constante toute quantite qui
RESUMES ANALYTIQUES.
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recoit une valeur fixe et determines. Lorsque les valeurs successivement attribuees a une meme variable s'approchent indefiniment d'une valeur fixe, de maniere a finir par en differer aussi peu que l'on voudra, cctte derniere est appelee la limite de toutes les autres. Ainsi, par exemple, la surface du cercle est la limite vers laquelle convergent les surfaces des polygones reguliers inscrits, tandis que le nombre de leurs cotes croit de plus en plus, etc. Lorsque les valeurs numeriques successives d'une meme variable decroissent indefiniment, de maniere a s'abaisser au-dessous de tout nombre donne, cette variable devient ce qu'on nomme un infiniment petit, ou une quantite infiniment petite. Une variable de cette espece a zero pour limite. Lorsque les valeurs numeriques successives d'une meme variable croissent de plus en plus, de maniere a s'elever au-dessus de tout nombre donne, on dit que cette variable a pour limite Xinfini positif, indique par le signe oo, s'il s'agit d'une variable positive, et Xinfini negatif- indique par la notation — x>, s'il s'agit d'une variable negative. Lorsque des quantites variables sont tellement liees entre elles que, la valeur de l'une d'elles etant donnee, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on con^oit d'ordinaire ces diverses quantites exprimees au moyen de l'une d'entre elles, qui prend alors le nom de variable independante, et les autres quantites, exprimees au moyen de la variable independante, sont ce qu'on appelle des /onetions de cette variable. Lorsque des quantites variables sont tellement liees entre elles que, les valeurs de quelques-unes d'entre elles etant donnees, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on concoit ces diverses quantites exprimees au moyen de plusieurs d'entre elles, qui prennent alors le nom de variables independantes, et les quantites restantes, exprimees au moyen des variables independantes, sont ce qu'on appelle des fonctions de ces memes variables. Les diverses expressions que fournissent 1'Algebre et la TrigonoOEiwres
de C. — S . I I , t . X .
3
18
RESUMES ANALYTIQUES.
metrie, lorsqu'elles renferment des variables considerees comme independantes, sont autant de fonctions de ces memes variables. Ainsi, par exemple, ax,
xm,
Ax,
L.r,
...
sont des fonctions de la variable x;
sont des fonctions des variables x% y ou x9 y et z, . . . . Lorsque des fonctions d'une ou de plusieurs variables se trouvent, comme dans les exemples precedents, immediatement exprimees au moyen de ces memes variables, elles sont nominees fonctions explicites. ?rfais, lorsqu'on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c'est-a-dire les equations auxquelles ces quantites doivent satisfaire, tant que ces equations ne sont pas resolues algebriquement, les fonctions, n'etant pas exprimees immediatement au moyen des variables, sont appelees fonctions implicites. Pour les rendre uxplicites, il suffit de resoudre, lorsque cela se peut, les equations qui les determinent. Par exemple, soit y une fonction implicite de cc determinee par l'equation L y = x.
Si Ton nomme A la base du systeme de logarithmes que Ton considere, la merne fonction devenue explicite par la resolution de liquation donnee sera y — kx.
Soit maintenant y une fonction de x, qui, pour chaque valeur de x intermediaire entre deux limites donnees, admette constamment une valeur unique et finie. La fonction y sera CONTINUE par rapport a x entre les limites donnees, si entre ces limites un accroissement infiniment pelil de la variable x produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-meme. On dit encore que la fonction y est, dans le voisinage d'une valeur particuliere attribute a la variable x, fonction continue de cette variable, toutes les fois quVlle est continue entre
RESUMES WALYTIQLES.
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deux limites de x, meme tres rapprochees, qui renferment la valour dont il s'agit. Enfin, lorsqu'une fonction cesse d'etre continue dans le voisinage d'une valour particuliere de la variable x, on dit qu'elle devient alors discontinue, et qu'il y a, pour cette valeur particuliere, solution de continuite. D'apres ces definitions, A etant un nombro et a une quantite constante, chacune des fonctions a-\-,r>
a — .Vy
a.iy
a
—, ,v
./•",
A'r,
Lu-
sera continue dans le voisinage d'une valeur finie attribuee a la variable r, si cette valour se trouve comprise, pour les fonctions a -\- ./•,
(f — .r,
#.r,
A a ',
entre les limiti^s x = — cc, x = cc; pour la fonction
ontro les limites x = — ao, x — o, on bion entre les limites x = o, x = -x>; enfin, pour les fonctions
entre les limites x — o, x = cc. La fonction - devient discontinue pour x = o. II semble qu'on devrait nommer fonctions algebriques toutos cellos quo fournissent los operations de l'Algebre. Mais on a reserve partioulieremont ce nom a celles quo Ton forme en n'employant quo les premieres operations algebriques, savoir l'addition ot la soustraction, la multiplication et la division, enfin l'elovation a dos puissances fixes; ot, des qu'une fonction renferme dos oxposants variabl<;s on dos logarithmes, olle prend le nom de fonction exponentielle ou logarithmic/lie. Los fonctions quo Ton nomme algebriques se divisent on fonrtions rationnelles ot fonctions irrationnelles. Los fonctions rationnelles sont
20
RESUMES ANALYTIQUES.
celles dans lesquelles la variable ne se trouve elevee qu'a des puissances entieres. On appelle, en particulier, fonction entiere tout polynome qui ne renferme que des puissances entieres de la variable, et fonction fradionnaire ou fraction rationnelle le quotient de deux semblables polynomes. Le degre d'une fonction entiere est l'exposant de la plus haute puissance de x dans cette meme fonction. La fonction entiere du premier degre s'appelle aussi fonction lineaire, parce que dans l'application a la Geometrie on s'en sert pour representer 1'ordonnee d'une ligne droite. Toute fonction entiere ou fractionnaire est par cela meme rationnelle, et toute autre espece de fonctions algebriques est irrationnelle. Les definitions precedentes etant admises, considerons une fonction entiere de x du degre m, c'est-a-dire un polynome de la forme P = koxm +• k,x"1-1 -+-. . . 4- km-xx
(i)
-I- km.
Si, dans ce polynome, on pose x = a -+- z, il se changera en une fonction entiere de z, de sorte qu'on aura, quel que soit z, koxm
-+- k{ xm~" -+- k2xm~2
-+-. . . -f- AOT_j x + A,n
et, par consequent, quel que soit x, A (2)
r>m () <X-
_l A. ~rm — \ _i —1~ I \ \ L I I
A W/z —2 _i_ _j_ A -r» _ i _ A .rl 2 *-*/ i • • • I J ^ / / z 1 " ^ ~1— t\.fji
le coefficient Co etant precisement egal a Ao. Done tout polynome ordonne suivant les puissances descendantes et entieres de x pent etre transforme en un autre polynome ordonne suivant les puissances descendantes et entieres de x — a. Lorsque le polynome (i) est algebriquement divisible par un facteur du premier degre et de la forme x — a, e'est-a-dire lorsqu'on a P = koxm+ k^x"1-'-^. . . -+- km^x~h km=(x
— a)Q,
Q designant une nouvelle fonction entiere du degre m — i , il est clair
RESUMES ANALYTIQLJES.
21
que ce polynome s'evanouit pour x = a; en d'autres termes, or = a est une racine de I'equation Aoxm-{- A^r"1-1-^.
(3)
. . + A/w_iJ?-f-
Am=-o.
Reciproquement, lorsque a est une racine de I'equation (3), Cm se reduit necessairement a zero dans le second membre de la formule (2), et cette formule donne
(
= U* ~ a) [C o (* -a)'*-*
H- C,(J? - fl)'»-2 + . . . + C w _, J ;
done alors le polynome (1) est divisible par ,r — a, ou est de la forme (3)
P = (x — a)Q.
Si b designe une seconde racine de I'equation ( 3 ) , b ctant different de a, alors en posant x = b on fera evanouir le produit P = (x — a)Q et par consequent le polynome Q, puisque x — a ne s'evanouira pas pour x = ft. On aura done encore Q = (.T-
b)\\
et, par suite, P
(
R designant un polynome du degre m — 2. En continuant ainsi, on prouvera que, si I'equation (3) admet m racines distinctes a,
b,
c,
. . .,
le polynome P sera le produit des facteurs ^ — a,
a; — b,
x — c,
par une fonction entiere du dogre zero, e'est-a-dire par un coefficient constant qui ne pourra differer de Ao; en sorte qu'on aura (6)
P — A0(-r - a ) ( x - b ) ( . i '
— c)....
±2
RESUMES ANALYTIQUES.
Done alors 1'equation ( 3 ) pourra etre presentee sous la forme (7 )
A, (x - a) (x -
b) ( x - c). . . = o.
Le premier membre de l'equation (7) ne pouvant s'evanouir qu'avec l'un des facteurs x — a,
x — b,
x — c,
. . .,
il en resulte que l'equation ( 3 ) du degre m ne saurait admettre plus de m racines distinctes. Soit maintenant B 0 .r w ' + B 1 ^ " - ' + . . . + B / ; M ^ + B/H
(8)
une nouvelle fonction entiere de x d'un degre ou egal ou inferieur a m, Bo pouvant etre nul. Si cette nouvelle fonction devient egale a la premiere pour plus de m valeurs distinetes de x, on aura necessairement Car, dans le cas contraire, la difference entre les fonctions (1) et (8 ) se reduisant a zero, pour plus de m valeurs distinctes de x, Tequation (A o - Bo)a?'" + (A t -
B{)x"1-'
+ . . . + A // ,_ 1 -
Bm_[ = o
serait une equation du degre m qui admettrait plus de m racines, ce qui est absurde. On peut done enoncer la proposition suivante : TIIEOREME
I. — Si deux fone Lions entieres de la variable x
deviennent
egales pour un nombre de valeurs de celte variable superieur au degre de chacune de ces fonctions,
les coefficients des puissances semblables de x
seront les memes dans les deux fonctions dont il sagit.
On en deduit comme corollaires ces a litres theoremes : II. — Dans deux fond ions entieres de x, les coefficients des puissances semblables de x sont les memes, lorsque ces deux fonctions son I egales, quel que soil x. TIIEOREME
TIIEORKME
III. — Dans deux fond ions entieres de x, les coefficients des
RESUMES ANALYTIQUES.
23
puissances semblables de x sont les memes, lorsque ces fonclions
deviennent
egales pour toutes les valeurs entieres de la variable x ou meme pour toutes les valeurs entieres qui surpassenl une limite donnee. THEOREMS
y,
IV. — Dans deux fonctions entieres deplusieurs variables x,
z, . . . , les coefficients des produits des puissances semblables de x, y,
z9 . . . sont les memes, lorsque ces fonclions
deviennenl egales pour des
valeurs quelconques des variables. THEOREME
V. — Si deux fonclions entieres de plusieurs variables x.
y,
z, . . . deviennent egales pour des valeurs entieres quelconques de x, y, z, . . . ou meme pour loutes les valeurs entieres qui surpassent des limites donnees, les produits des puissances semblables de x, y, z, . . . ojfriront les memes coefficients dans ces deux fonclions qui, par suite, seront identiquement egales, quelles que soient les valeurs attributes a x, y, z, . . . .
Pour montrer une application de ces theoremes, multiplions rune par l'autrc les deux fonctions entieres
k, I etant deux nombres entiers quelconques. On trouvera pour produit, en faisant, pour abreger, k + 1= n9 (9)
(1 + ,r)n=z 1 H- A{ x H- A 2 ^ 2 + . • .-+- An-i&n~l-\-
^",
le coefficient de x'n etant, dans le second membre de la formule (9), (10)
A;|I=; (*)/#I+(A');ll-i (/)i-H (£)/;z_2 (Z)s + . . . +(k){ ( l ) m _ x + (/),„.
D'ailleurs on aura encore (n)
le coefficient de x'"> dans le second membre de la formule (11), etant
2k
RESUMES ANALYTIQUES.
et, puisque, en vertu du theoreme II, les coefficients de xm dans les seconds membres des formules ( 9 ) et ( i r ) devront etre egaux entre eux, on aura necessairement
ou, ce qui revient au meme, ( k 4- /) ( k 4- / — i ) . . • ( k 4- / — m4-
i)
I .'2 . . .lil
1 .2 . . . m k(k (13)
— j ) . . .(k
1 .2 . . . ( m — 1) — m-f-3)
1(1
1.2...(m — 2 )
/
1
—1) 1.2
4—0 /(/—!)...(/ — m4-3) 1.2
I .2 . . .(m — 2)
k
1(1 — i ) . . . ( / — m 4 - 2 )
1(1 — i ) . . . ( / — / ; ?
i
i . 2 . . . ( m — i)
\ .1.
.
+
0
.m
Enfin, cette derniere formule, devant siibsister pour toutes les valeurs entieres de k et de /qui surpassent le nombre m, continuera de subsister, en vertu du theoreme V, quand on y remplacera les nombres entiers k, /par des quantites quelconques x, y. On aura done, quels que soient x ety,
i .2 . . .m _
x(x
— i)...(x
x(x ' 4)
— m-\-i)
x (x
— 1). . .(.r — m 4 - 3)
y
>'(_y — 1)
1.2...(/?? — 2)
'
— i )...(./• — m 4- 2 )
1.2
(.r — 1) y(y — 1). . . (' j — m 4- 3) 1.2
1 .2 . . . ( m —
j ( 7 — 0 ---(r — w + a) \
1
1. 2 . . . ( m
—
r)
2)
r ( . r — 1). . . ( 7 — m 4 j . 2 ...///
Si, dans la formule ( i 4 ) , on remplacc x par — .r et y par — j , ou
RESUMES ANALYTIQUES.
25
bien encore y par — y9 sans remplacer en meme temps x par — x, on obtiendra les suivantes :
i . 2 . . .m )
(
)...(^ + m - 2 )
1 . 2 . ..771
x (x -4- i ) . . . ( x -f- 77i — 3) y(y
1.2
-+-i) y ( y - f - 1 ) . . . ( y -t- 771— 3) 1.2
x
I
-\- i)
I . 2 . . . ( 771 — 2 )
x(x
y
1 . 2 . ..(771 — I)
I . 2 . . . ( 771 — 2 )
X(y
+ i)...(r + m - 2 )
I
y ( y -f-1). . . ( y -+-771 — 1)
I . 2 . . . ( 771 — I )
I . 2 . . . 771
( x — y ) ( # — y — 1). . . ( x — y — 77i-f-1) 1 . 2 . . . 771 / / * / /y»
T
/ /jn
\
.
Tyi
t
HP ( HT
j \
\ \
I . 2 . . . 771
(
Y*
77'}
I
I . 2 . . . ( 77i — I )
i
o
\
'I/
I
|
I . 2 . . . ( 771 — 2 )
1.2
_!_ x(x — T) y ( y + I). . . ( y n - m —3) 1.2
I .2 . . . ( m — 2)
_ ^ y ( y - f - i ) . . .(iy + m--2) "^
I
_^ y ( y +
1 . 2 . ..(771 — I )
i ) . . . (y 4-m —r) ^ 1 . 2 . ..771
Si maintenant on pose, dans la formule (16), x — m, elle donnera I — 77iy 4-
1.2
1.2
772(771 — i) y ( y + i). 1.2
(17)
_
r . 2 . . . (771 —
2)
y(y-i-i) . . . (y-\-77i — 2)
_l_ 771 -1
-—'• I . 2 . . . ( 771 —
III I)
y(y -+- i) . . . (y + 77i — i) : \ . 2 ... 771
— ( m — y)(m — i-^y )...(i— y)^ I . 2 . . . 771
'
puis on conclura de cette derniere : i° en prenant pour y un nombre OEuvresde
C. — S . I I , t . X .
4
26
RESUMES ANALYTIQUES.
entier n qui fasse partie de la suite i, 2, 3, . . . , m, I
m{m —
{ 1 — 7?^(/^)1^
T) (/i + • i ) 2 — . . .
(18) m (
±
1}
^9
(n + m - 3) w _,=p m(n -h i n - 2)OT_1
ou, ce qui rcvient au meme, ,
,
(
m(m
>
)
— i),
(
n
.
)
20 en posant j =
(20) jn{m
— 1) . 2
(2/7? — 2 ) w
§ IV. — Resolutions deplusieurs equations simultanees du premier degre.
Soient donnees entre n inconnues
/z equations du premier degre de la forme
(0
y
> a.2x
^_^ etant des quantites quelconques. Si Ton combine entre elles, par voie d'addition, les formules (1) respectivement multiplies par les facteurs (2)
A w - ! , Art_2,
A7i_3,
...,
A
u
Ao,
RESUMES ANALYTIQUES. on en conclura et, par suite,
pourvu que, apres avoir choisi ces facteurs de maniere a verifier les conditions Ao6,1-1 -+- Aibfl_2^-.
. .+• An_2b1 +A f l _,& 0 = °> W_!CO
=
o,
(4) . . . 4- A ^ - a ^ H- A ^ _ 1 ( ^ o = o,
on pose
et
Considerons en particulier le cas ou les equations (i) deviendraient X
ax
(7)
a^x
+
y
-{-by
it
u
4- hv
= k,
2
4- b y x 4-
c'est-a-dire le cas ou les divers coefficients de chaque inconnue seraient, ainsi que les seconds membres des equations donnees, les differents termes d'une progression geometrique, le premier terme de chaque progression etant l'unite. Dans ce cas particulier, les conditions (4), reduites aux suivantes
(8)
28
RESUMES ANALYTIQ UES.
exprimeront seulement que b,
c,
•> g>
h
sont racines de l'equation (9)
AQX"-1-^
At a?*-* 4 - . . .4- An-2x
4-A/l_1=o.
Elles seront done satisfaites, si Ton determine les facteurs
de maniere que Ton ait, quel que soit x, (10)
b) {x — c ) . . .{x — g) {x — h ) ,
c'est-a-dire si, apres avoir choisi arbitrairement la valeur de A o , on prend A2
=A0(bc+...-t-bg-hbh
^_, = ±Aok.,
+
...-\-gh),
.gh.
Alors les equations (5), (6) donneront
(T3)
X == A0(k — b) (k — c) . . . (k— g) (k ~ h),
et par suite la formule (3) deviendra _ (/,- __ b) (k — c). . . (k — #) (k — h) On trouvera de meme (/x_a)(k-c)...(k-g)(k-h)
( A - - a ) ( / • - & ) ( A- - c ) .
..(/.
RESUMES ANALYTIQUES.
29
Ainsi, par.exemple, les valeurs de x, y, z propres a resoudre les trois equations x-±
y -h z = i ,
ax-^fry
^-Cz = k,
fix -+- b2y -+- c2z = k2
seront (16) )
x=
(*-l>)(k-c) (a — b)(a — c)'
(k-c)(fc-a) (b — c)(b — ay
y
„ _ Z
(k-a)(k-b) (c — a) (c — b)
Dans les formules (i4)> le denominateur de la fraction qui represente la valeur d'une inconnue est le produit de toutes les differences qu'on obtient lorsque du coefficient de cette inconnue pris dans la seconds des equations (7) on retranche successivement les coefficients clr toutes les autres inconnues. Pour trouver le numerateur de la meme fraction, il suffit de substituer clans le denominateur la lettre k au coefficient de l'inconnue que Ton considere. Si Ton veut reduire au meme denominateur les fractions qui representent les valeurs des diverses inconnues, on pourra prendre evidemment pour denominateur commun le produit des binomes (17)
b — a;
c — a,
c—b;
...,
h — a,
h — b,
...,
h — g;
c'est-a-dire le produit de toutes les differences qu'on obtient quand, apres avoir dispose les lettres a,
b,
c,
...,
g,
h
dans un ordre quelconque, par exemple dans l'ordre alphabetiquc, on retranche successivement de chaque lettre toutes celles qui la precedent. Effectivement, si Ton choisit Ao de maniere que la formule (12) se reduise a (18)
T> =z (b - a) (c — a) (c — b). .. (h - a) (h - b) .. . {h - g>),
les equations (14) pourront s'ecrire comme il suit (19)
X ^ = p >
^
=
Y p '
"
y
r = =
V P'
30
RESUMES ANALYTIQUES.
les quantites X, Y, . . . , V etant ce que devient le produit P quand on y remplace successivement par la lettre k chacune des lettres a9b9 ...9h. Le produit P, determine par l'equation (18), jouit d'une propriete digne de remarquc, a l'aide de laquelle on peut etablir directement les formules (19). C'est qu'il se change toujours en — P quand on echange entre elles deux quelconques des lettres a,
by
c,
...,
g,
h.
Alors, rn effet, le binome qui renferme les deux lettres echangees entre elles changera evidemment de signe; et, de plus, le produit des deux binomes qui renferment ces deux lettres avec une troisieme, se confondant necessairement, soit avec le produit des differences qu'on obtient quand on retranche la troisieme lettre des deux premieres, soit avec ce dernier produit pris en signe contraire, ne changera ni de valeur ni de signe apres l'echange dont il s'agit. Ajoutons que, si Ton developpe le produit P, en multipliant les uns par les autres les binomes (17), le developpement ainsi obtenu se composera de divers produits partiels affectes les uns du signe -h, les autres du signe —, et dans chacun desquels la somme des exposants des lettres a,
b,
c,
. . .,
g,
h
sera equivalente au nombre des binomes (17), e'est-a-dire a (20)
1 + 2 + 3 + . . .-h (n —
J)
= —
-'•
Le premier de ces produits partiels, forme par la multiplication des premiers termes des divers binomes, sc reduira simplement a (21)
a°b]c2. .
.gn-2hn~K
Si Ton suppose en particulier n = 2, on trouvera
ou, ce qui revient au meme, (22)
P — a°bl — alb°.
RESUMES ANALYTIQUES.
31
Si Ton suppose, au contraire, n = 39 on aura (23)
V = a<>blc*— a°b*cl + alb2c°
— a1 bQ c2 + a* b° cl —
a*blc°.
Done alors, dans chacun des produits partiels que renfermera le devo loppement de P, les exposants des lettres a, b ou a, b, c seront respectivement egaux aux deux ou trois premiers termes de la suite des nombres naturcls (24)
O,
I,
2,
3,
. ..,
et tous ces produits partiels se deduiront les uns des autres par des echanges operes entre les exposants dont il s'agit. Or on pent affirmcr qu'il en sera generalement ainsi, et que tous les produits partiels dont se composera le developpement de P seront semblables au produit (21) et se deduiront de celui-ci par de simples echanges operes entre les indices o,
i,
2,
...,
n — 2,
n — i.
Effectivement, soit aPb^cr. . . gslil
(25)
Tun quelconque des produits partiels, de ceux, par exemple, qui sont affectes du signe + , en sorte qu'on ait (26)
P — aPb(icr. ,.gshl-{-
On tirera de la formule (26), en echangeant entre elles les deux lettres a et b, . . .gshl-+-
ou, ce qui revient au meme, (27)
P =—
Done le developpement de P ne pent renfermer un terme affecte du signe + ot de la forme '.
..gshl
sans renfermer en meme temps un terme affecte du signe — et de la
32
RESUMES ANALYT1QUES.
forme ir'est-a-dire un second terme qui se deduise clu premier par un echange opere entre les exposants des deux lettres a, b, mais qui soit affecte d'un signe contraire. On arriverait encore a une conclusion toute semblable si le premier terme etait Tun de ceuxqui sont affectes du signe —. Done les differents termes eontenus dans le developpement de P, etantreunisdeux a deux, produiront des expressions de la forme (28)
aPbic1'. . . gslil —
en sorte qu'on aura (29)
V = (aPb* — a*bP)cr. ,.gsh(-h
Or le binome (28) s'evanouit toutes les fois que les exposants p, q deviennent egaux. II en resulte qu'on verra disparaitre, dans le developpement de P, tous les termes oil deux lettres diverses a, b seraient elevees a la meme puissance. Done, si le produit (25) est un de ceux qui ne disparaissent pas, les exposants p,
q,
r,
...,
s,
t
des differentes lettres y seront tous distincts les uns des autres; et, comme l'cxposant de chaque lettre ne pourra surpasser le nombre de relies des differences b — a, c — a, c — b,
. . ., h — a, h— b,
. . .,
h—g
qui la renferment, e'est-a-dire le nombre n — 1, les exposants P,
q> r,
...,
s,
t
ne pourront etre evidemment que les nombres O,
I,
2,
. . . ,
/I — I .
Done, en definitive, dans le developpement de la fonction (3o)
P = a° blc\..
gn-^ hn~l — . . . ,
RESUMES ANALYTIQUES.
33
tous les termes se deduiront du premier par des echanges operes entre les exposants des differentes lettres, et deux termes, dont Tun se deduira de Tautre par un seul echange opere entre deux exposants, seront toujours affectes de signes contraires. Si Ton clove les quantites a,
b,
c,
. . .,
,;%
h
a des puissances dont les degres soient respectivement egaux aux nombres <>,
i,
2,
. . .,
n — 2,
// — i
ranges dans un ordre quelconque, le produit do ces puissances sera toujours Tun des termes affectes du signe -+- ou du signe — dans le second membre de la formule (3o). En effet, pour deduire ce produit du premier terme il suffira d'operer des echanges successifs : [° entre IVxposant o ot celui que portera la lettre a dans le nouveau produit; 2° entre Texposant i et celui que portera la lettre b dans le nouveau produit, etc. Cela pose, representons par la notation
la somme qu'on obtient quand, au produit
pris avec le signe + , on ajoute tous ceux qu'on pout en deduire a Taide d'echanges operes entre les exposants o,
i,
2,
. . .,
n — 2,
n —i,
chacun des nouveaux produits etant pris avec le signe -+- ou le signe —, suivant qu'on le deduit du premier a Taide d'un nombre pair ou d'un nombre impair d'echanges successifs. On aura P = S ( ± a ° ^ c 2 . . . #«- 2 h"-1),
(32 )
et les formules (21), qui fournissent les valeurs de x, j , z OEuvrcsdeC—
S. II, t. X.
u, r, 5
34
RESUMES ANALYT1QUES.
propres a verifier les equations (i), pourront s'ecrire comrae il suit
(33)
r =
Concevons maintenant que, dans le developpement de P, on remplace les exposants des differentes lettres a, b9 c, ..., g, h par des indices. Alors, au lieu de l'equation (29), on obtiendra la suivante : (34)
P = (apbq—aqbp)cr..
.gslit-\-
Or cettc derniere valeur de P pourra etre presentee sous la forme (35)
P = Ao^-i -h Ai«ra-2 + - • •-+- Ki-^i
-+- A^-i^oj
Ao, A,, . . . , An_..2, An_i etant des sommes de produits formes avec les coefficients 0 O , O{, . . . , 0 w _ i , COt Cl9 . . . , C/t —1, • • • ,
go, g\y
• • • ? gn — lj ^o? " 1 ? • • • » h/i—i ?
et, comme elle s'evanouira, en vertu de l'equation (34) 9 si Ton suppose a0—-b0,
ai — bi,
...,
an^ { — &„_,,
on peut affirmer que les quantites AQ,
Ai,
. . .,
A'/j—gj
A// — 1,
renfermees dans l'equation (35), verifieront la premiere des conditions (4). On prouverait de meme que les quantites dont il s'agit verifieront la deuxieme, la troisieme, etc., enfin la derniere des conditions (4). Done ces quantites pourront servir a l'elimination des inconnuesj, z, ..., u, v entre les equations (1), et la valeur de x sera donnee par la formule (3), pourvu qu'on determine X par la formule (6), ou, ce qui revient au meme, pourvu qu'on appelle X ce que devient l'expression (5)quand on y remplace la lettre a par la lettre k.
RESUMES ANALYTIQUES.
35
Done, en definitive, les valears des inconnues x,
y , . . ., u, v9
propres a verifier les equations (i), seront des fractions, dont on obtiendra le commun denominateur P en remplacant les exposants des lettres a, b,
S(
g
la somme qu'on obtient quand, au produit
pris avec le signe -+-, on ajoute tous ceux qu'on peut en deduire a Faide d'echanges operes entre les indices o,
J,
2,
3,
. ..,
n—
2,
n — i,
chacun des nouVeaux produits etant pris avec le signe -+- ou le signe —, suivant qu'on le deduit du premier a Taide d'un nornbre pair ou d'un nombre impair d'echanges successifs; on aura (37)
P = S(±a o 6 1 c 2 ...^_ 2 ^-i),
et les valeurs de x9 y, z9 . . . , u9 v9 propres a verifier les equations ( i ) , se presenteront sous la forme
(38)
S(±: ,—
36
RESUMES ANALYTIQUES. Si, pour fixer les idees, on reduit les equations (i) a / aox -h boy
(3g)
coz = k0,
-H
< fli^ + ^ j + c ^ - z z / M ,
( a.2r -h b2y + r 2 G = A',,
on trouvera ,
__ S(=b k0bxc2) _ k0bvc2 — k0blci -+- kl b2c0 — /M ^ o c 2 4 S(±<70 ^ic 2.) aoblc.2^aob.2cl-\-alb2Co — a{ boc2-h a^boci---a^b1c{i
On arriverait au meme resultat, en presentant la premiere des equations (16) sous la forme 4l
^ ^
X
_ (b-k)(c-k)(c-b) ~ {b — a) {c — a) {c — b ) '
puis developpant les deux produits ( b — k ) ( c —k ) ( c — b ) ,
(b — a ) ( c — a ) ( c — b),
et remplacant dans les developpements les exposants des lettres par des indices. Sous ces conditions, la formule (4 1 ) peut etre censee fournir la valeur de la premiere des inconnues que renferment les equations (3$). Gette valeur qui, prise a la lettre, serait inexacte et ne peut devenir exacte que par suite des modifications enoncees, est ce qu'on nomme une valeur symbolique de Finconnue dont il s'agit. L'equation (4O> consideree sous ce point de vue, est ellc-meme une equation symbolique. Goncevons a present que m •+- i inconnues, representees par ^'o,
xl9
. . .,
x m,
soient determinees par m + i equations du premier degre et de la forme x0
=k0,
I 4 2 ]
m(m — T ) .r.2 + . . . + xtn = km
RESUMES ANALYTIQUES.
37
On tirera successivement de ces equations
ot generalement, si Ton dosigne par n un quelconque des nombres entiers renfermes ontre les limites o, m, on obtiendra pour valeur de xn une fonction lineaire des quantites
Soit en consequence (43)
,rn — A o kn -+- A t A*,,., + A 2 A«_ 2 H- . . . + A«_ t /M 4- Aw Ao.
Dans le cas particulier ou les quantites (44)
A o , A-j, A 2 ,
. . . , A-yi,
se reduiront aux differents termes d'une progression gcometrique de la forme (45)
A'°=i,
A,
AS
...,
A-,
on aura simplement (46 )
xn ~ AoA-'*+ A t A"- 1 + A2 A"1-2 - h . . . + A«_, A + A,,.
D'autre part, il est clair que, dans ce cas, on verificra les equations ( 4 2 ) en posant .r -t- i = A,
r = A— i
et xn = a:'' =
(k-i)'',
ou, ce qui revient au memc, (4- )
ar#l = k"> -
nk»-i
H- n([l~l]
A : " " 2 - . . . =p «A: d b i .
Les formules ( 4 6 ) , ( 4 7 ) devant s'accorder entre d i e s , il en resulte qu'on aura, quel que soit k, A o A-'1 4 - A x A-"" 1 4- A 2 A*'1 - - 4 - . . . 4 - A ; | _ ! A 4 - A,,
(48)
= A" -
nk»-1 4 - '1^—21 J . '2
/ri-s_...+:
WA-
d= ;
38
RESUMES ANALYTIQUES.
et, par suite, / /
^
(49 )
i
4
Ao—i,
. / ? ( / *
Ai~—n,
— i )
A2=
;
.
j
•••>
A
An.-i = qz n,-
_,_
A,,— _ i .
Done la valeur generale de #„, determinee par la formule (46), sera (5o )
Jcn — kn — nkn . ,
^ Au reste, on peut arriver directement a l'equation (5o) en combinant entre elles par voie d'addition les n premieres des formules (42) respectivement multiplies par les coefficients ) T,
— n,
^_ ,
-..,
q=w,
dzi,
puis ayant egard aux formules (19) et (20) du § III, ou plutot a celles qu'on en deduit quand on echange entre elles les lettres m et n. Done, en definitive, les valeurs de
propres a verifier les equations (42), seront
/,
(
/,
5 T )
f / 1 I ocin — km — mkm-x
m
(m — l) / ~f km_, — .. .qz mkx ±
-\
k0.
Si, dans les formules (42) et (5i), on remplaee simultanement les quantites .r ( ) ,
^Tj,
Jo,
• • •>
3'mj
A\2?
. . .,
km
A0,
A^J,
j
k\
/»o
km
a
a-
am
par les rapports •vl
«
^2
ci-
-r m 1
a"
RESUMES ANALYTIQUES.
39
on en conclura que les valeurs des inconnues
propres a verifier les equations
a .ru=
(m —
_i_ ma"1
l
x^ zL anlx0 ~
km,
sont respectivement
153)
, = A% — 2 ^ ^ ! -+- a1 kQ,
' A//2
^ ^
—
n
_ 2 —:- . • • —(- 171CL
l\ j H I
Si Ton suppose, en particulier, a = — i, les formules (02) deviondront 1\
X§
= =
A1,
(54) m(m — \) 1.2
et Ton en tirera
(55)
J x2 = /:2 -h 2 A*, - H A o , ( m — 1)
A'i-h Ao
40
RESUMES ANALYTIQUES. § V. — Formules
cVinterpolation.
Vinterpolation consiste a determiner la valeur exacte ou approchee d'une fonction d'apres un certain nombre de valeurs particulieres supposees connues. Considerons specialement une fonction entiere u de la variable x. D'apres ce qui a ete dit dans le § III, cette fonction sera completement determinee si elle est du degre m et si Ton en connait m -f- i valeurs particulieres. Soient
ces m -+- i valeurs particulieres correspondantes aux valeurs ,T0,
«X'i,
X*,
. . . ,
Xm
— i,
XIn
de la variable x. Si Ton suppose d'abord que les valeurs particulieres de u se reduisent toutes a zero, a Texception de la premiere u0, la fonction u, devant alors s'evanouir pour x = xi9 pour x = x2, . . . , enfin pour x = xm, sera divisible par le produit (x — xx)
{x — x,).
. .(x
—
xm )
et sera, par consequent, de la forme u — a ( x ~ x x ) ( x — x 2 ) . . .(.r -
.r/w),
a ne pouvant etre qu'une quantite constante. De plus, u devant se reduire a u() pour x = x0, on en conclura i<{) — a ( x 0 — x
{
) (x{) — a-%). . . ( x { ) — x , n )
et, par suite, y .1 o
- X j j \ XQ
X 2 ) . . . ( Xy — .1'
m
J
De memo, si les valeurs particulieres de u se reduisent toutes a zero, a l'excoption de la scconde ui9 on trouvera — 1
etc.
(-r — x 0 ) ( x — x * ) . . . ( x - - x m ) (./'i — x 0 ) { x i — x 2 ) . . . { x x — • / ' „ , ) '
RESUMES ANALYTIQUES.
VI
Enfin, si elles se reduisent toutes a zero, a l'exception de la derniere um, on trouvera (x u =
utl
x0)
{ xm
(x
<^0 ) \ xm
xA).
. . (x
Xl)...{
x,n-x)
U'm
X,n _ j
En reunissant les diverses valeurs de u eorrespondantes aux diverses hypotheses qu'on vient de faire, on obtiendra pour somme un polvnome en x du degre m qui aura evidemment la propriete de se reduire a u0 pour x = x0, a uK pour x = xi9 . . . , a um pour x = xm. Ce polynome sera done la valeur generale de u qui resout la question proposee, en sorte que cette valeur generale se trouvera determinee par la formule (2)
\ u
m
m — xin— I
qui est la formule d'interpolation de Lagrange. En vertu de la formule (i), si la fonction u du degre m doit s'evanouir pour les valeurs particulieres o,
i,
2,
...,
m — v
de la variable x, et se reduire a l'unite pour x = m, on aura . (o )
_ x ( x it —
— i ) . . .(x
—
m-+-i)
i. 2 . . . m
•
Lorsque les valeurs particulieres de x representees par
se reduisent aux differents termes de la suite o,
i,
2,
...,
m,
alors, pour obtenir la valeur generale de u, il suffit evidemment dc OEuvres
de C. — S. II, t. X .
6
RESUMES ANALYT1QUES. supposer (4)
x(x
«=
x{x
—
— i ) . . .(x
—
i. 2. . . m
I .2
et de choisir les coefficients
de maniere a verifier les equations
(5) ( m — i)
m=
um.
Or on verifiera ces dernieres (voirle § IV) en prenant
— ux—
i/ 0 ,
(6) ( m — i)
I .2
,,_2 — • . .=p /?2Wj± Mo.
Done la valeur generale de u sera
(7)
f
-H
um—mum-
Si Ton suppose en particulier
on aura (8)
«0=o,
1 . 2 . . . /?J
RESUMES ANALYTIQUES. et les formules ( 6 ) , ( 7 ) donneront a0 =
1
a
(9)
0,
3 t 2rn
__ 2 m
1 3 >
« „,_, =
( m — i)'« — ( m — i) { m — 'i)m -+•. . . ± ( m — i ) ,
m(m
w
— i)
1.2
.2.3
i
+ [,,,-,
) . . . (x — //2 H— I ) 1.2
|
I . 2
.../??
D'aulre part, comme, dans le cas dont il s'agit, on aura, quel que soit^r, x(x
xm = a0 -+- a{ x (11)
— i) 1.
2
<
x(x
— \). . . (x — in -h 2 ) 1 .2 . . . ( m
—
.r (.r — i ) . . . (.r —
1)
1 .2 . .
WJ H - I )
.tn
on en conclura 1. 2 . . . m i . 2 . . . ( m — r)
+ 2 +...
H-(wi
— 1)]
.2. . .m
= o
ou, ce qui revient au meme, /
«
m
= 1 . 2 . 3 . . . / ? ? ,
— \)m (12)
i «
m
- i=
I - 2 . . . (/?l— l) [ 1 4 - 2
4 - . .- 4 - ( / «
— I)] =
1.2...
On aura done encore mm — m (m — 1 ) m H
(m — 2 ) ' n —. . . ± m = 1. 2 . 3 . . . m, 1. 2 ?—
fm —0'"—(m —i
f)
RESUMES ANALYTIQUES. la formule (10) pourra etre reduite a I xm = x ( x — i ) . . . (x — m 4- i) -+-
(i4)
m{m —T)
3'«-l— 2 m H- 1 j? (d? — 1) (.2? — 2 ) H
1.2
x(x
— i)...(x
2"1-1— I tf
— m 4 - 2)
( # — I) 4 - .r.
Si, dans cette derniere, on change x en — x, elle donnera mini — 1) m
= j ( x + 1 ) . . .(x 4- /n — 1)
. . . Jc(x H - I ) . . .(j? + m —2) )
x(x
1.2
j
+ i)(.r + 2 ) +
—.r(x
4- 1) i t -/•.
i
Lorsque ra est de la forme p designant un nombre premier impair, la premiere des equations (i |) so reduit a (16)
i .2. 3 . . . m = m
m
— m(m — J ) " * 4 -
m n 1
^~^
(m — 2 ) m — ...—
m ;
(4t, comme alors, en vertu du theoreme de Format sur les nombres premiers, les puissances
divisoes par/? donneront Tunite pour reste, il est clair que le second membre de l'equation (16), divise par/?, fournira le meme reste que la somme in (m — 1) 1—m 4
— • . . — m = (1 — 1 ) m — \ = — 1.
Done, lorsque p = m -h 1 est un nombre premier impair, le produit (17)
1.2.3.
..m,
divise par/?, donne pour reste — 1, ou en d'autres termes ce produit, an
RESUMES ANALYT1QUES.
^5
nombres premiers. Car, si le nombre m + 1 admet d'autres diviscurs que lui-meme et runite, chacun de ces diviseurs, se confondant necrssairement avec Tun des nombres 2 , 3 , . . . , m, divisera le produit I . 2 . 3 . . .m,
d'ou Ton doit conclure qu'il ne saurait diviser la somme I -+- 1 . 2 . 3 . . . 771.
Si les valeurs particulieres de x, representees par xK, a?2, . . . , xm9 se reduisaient aux differents termes de la progression geometrique T
r
r2
1,
/,
/ ,
rm • • • ,
/
y
alors, en posant on aurait, pour determiner les facteurs inconnus a 0 , ai9 . . . , am9 des equations lineaires dont les premiers membres seraient semblables aux premiers membres des formules ( 7 ) du § IV, et par suite on obtiendrait les valeurs de a 0 , a,, . . . , am en ajoutant les equations dont il s'agit, apres les avoir respectivement m u l t i p l i e s par les coefficients des diverses puissances de x dans les developpements des produits (a-—
1) ( # - # • « ) . . .
(3?-/•"*), >
(x — 1) (x — r)
. . .(x
— /•
/w 1
- ).
On trouverait ainsi u = (18)
u,n— (/'4- / >2 4-. . . + rm)iim-x-+-. r^-1)
. .± /v 2 . . .rmu0
^^.t
Observons enfin que, des formules (7) et (18), on deduira facilement celles qui seraient relatives au cas oil les valeurs particulieres dc ,r coincideraient avec les differents termes d'une progression quolconque, soit arithmetique, soit geometrique.
46
RESUMES ANALYTIQUES.
§ VI. — Des series convergentes et divergentes, et en
particulierdecelles
qui represented les developpements des puissances entieres et negatives d\in
binome.
On appelle serie une suite indefinie de quantites (1)
UOy
Ul9
...
Ui9
qui derivent les unes des autres suivant une loi connue. Ces quantites elles-memes sont les differents termes de la serie que Ton considere. Soit (2)
Sn=U0+
Ux-h.
. .+
Un-l
la somme des n premiers termes, n designant un nombre entier quelconque. Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme sn s'approche indefiniment d'une limite finie s, la serie sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la serie. Au contraire, si, tandis que n croit indefiniment, la somme sn ne s'approche d'aucune limite fixe, la serie sera divergente et n'aura plus de somme. Dans Tun et l'aulre cas, le terme qui correspond a l'indice n, savoir un9 sera ce qu'on nomme le terme general. II suffit que Ton donne ce terme general en fonction de l'indice n pour que la serie soit completement determinee. Si, dans le cas ou la serie est convergente, on pose (3)
s—
sn-^rn--
rn sera ce qu'on appelle le resle de la serie prolongee jusqu'au ^ieme t e r m e .
L'une des series les plus simples est la progression geometrique (4)
1,
*-,
x\
.r-\
...
qui a pour terme general x\ En la substituant a la serie (1), on aura
RESUMES ANALYTIQUES. et, par suite, I
I —XT{
X — I
I — X
Xn—
On peut mettre cette valeur de sn sous la forme sn=
I— X
I— X
et, comme, pour des valeurs croissantes de n9 la valeur numerique de la fraction I — X
converge vers la limite zero ou croit au dela de toute limite, suivant qu'on suppose la valeur numerique de x inferieure ou superieure a l'unite, on doit conclure que dans la premiere hypothese la progression (4) est une serie convergente qui a pour somme
tandis que, dans la seconde hypothese, la memo progression est uno serie divergente qui n'a plus de somme. Si, dans la premiere hypothese, on prend sn pour valeur approchee de sf i'erreur commise sera mesuree par la valeur numerique du reste (8)
rn =
i — x
On indique generalement la somme (Tune serie convergente par la somme de ses premiers termes saiivie de points ou d'un etc. Ainsi, lorsque la serie (i) sera convergente, on aura
et Tequation (7) donnera, si la valeur numerique de x ne surpasse pas Tunite, (9)
'
•••— j _
x
—
18
RESUMES ANALYTIQUES.
II resulle de cette derniere formule que la progression geometrique I,
JT,
OC*,
X \
. . .
a pour somme la premiere des puissances negatives entieres du binome i — x.
Kn vertu des definitions ci-dessus adoptees, pour que la serie (i) soil convergente, il est necessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indefiniment la somme sn vers une limite fixe : en d'autres termes, il est necessaire et il suffit que, pour des valours infiniment grandes de^, les sommes
different de la limite s, et par consequent entre elles, de quantites infiniment petites. D'ailleursles differences respectives enlre la premiere somme sn et les suivantes sont respectivement s
n-\-\
^tt==
Urn
Done, pour que la serie (i) soit convergente, il est d'abord necessaire que le terme general ua decroisse indefiniment, tandis que n augmente. Mais cette condition ne suffit pas, et il faut encore que, pour des valeurs croissantes de n, les differentes sommes
c?es(-a-dire les sommes des quantites
prises, a partir de la premiere, en tel nombre que Ton voudra, finissent par obtenir constamment des valeurs numeriques inferieures a toute
RESUMES ANALYTIQUES.
49
limite assignable. Reciproquement, lorsque ces conditions sont remplies, la convergence de la serie est assuree. 11 resulte encore de ces principes que, si une serie convergente est uniquement formee de termes positifs, la convergence continuera de subsister, lorsqu'on changera les signes de tous ces termes ou de quelques-uns d'entre eux. Car, en operant ainsi, on ne pourra que diminuer la valeur numerique de la somme des termes qui suivront un terme quelconque. Pour plus de commodite, nous designerons dorenavant par (io)
Uo, U
l f
U2,
...
les valeurs numeriques des differents termes de la serie (i), de sorte qu'on aura ufl—\]n
ou
un = —\]n
suivant que un sera positif ou negatif. Cela pose, il est clair que, si la serie ( i o ) est convergente, la serie (i) sera convergente a plus forte raison. De plus, il sera facile d'etablir la proposition suivante : THEOREME
I. — Soil Q la limite ou la plus grande des limites vers lesla racine nieme de la
quelles converge, tandis que n croit indefiniment, valeur numerique de un, c est-a-dire I'expression
La serie ( i ) sera convergente si Ton a & < i ,
et
divergente si Ion a
Q>i.
Demonstration.
— En effet, soit U un nombre renferme entre les
limites i et 12. On aura, dans la premiere hvpothese,
Alors, si n vient a croitre au dela dv toute limite, les plus grandes valeurs de
en s'approchant indefiniment de 12, finiront par devenir inferieures OEuvres deC — S. H, t. X.
7
50
RESUMES ANALYTIQUES.
a U, et en meme temps les plus grandes valeurs numeriques de un deviendront inferieures a U". Done, dans la premiere hypothese, les termes de la serie
finiront par devenir (abstraction faite des signes) inferieurs aux termes rorrespondants de la progression geometrique i,
U, U S ...,
U», U«+S
...,
et, comme cette progression sera convergente, U e t a n t < i, la serie (i) sera elle-meme convergente. Au contraire, dans la seconde hypothese, on aura a>u>i. Alors, si n vient a croitre au dela de toute limite, les plus grandes valeurs de (± uny, en s'approchant indefiniment de D, finiront par devenir superieures a U, et les plus grandes valeurs numeriques de un superieures a Un. Done alors on trouvera, dans la serie
un nombre indefini de termes superieurs aux termes correspondants de la progression geometrique i
FT
[T2
TT"
T T /i -K I
par consequent, un nombre indefini de termes superieurs a l'unite, U etant > i; et la serie (T) sera necessairement divergent^. Si, pour des valeurs croissantes de n, la valeur numerique du rapport
e'est-a-dire la fraction
converge vers une limite fixe 0, alors, en designant par £ un nombre
RESUMES ANALYTIQUES.
51
aussi petit que Ton voudra, on pourra donner au nombre m entier unr valeur assez considerable pour que, n etant egal ou superieur a m, chacun des rapports m-hi
TT
'
I]
et, par suite, la moyenne geometriquc entre ces rapports ( ' ) , ou le quotient
4'
(-)
U"
restent compris entre les quantites &-e,
£2-be.
Si maintenant on fait croitre indefiniment Ie nombre n sans changer la valeur de m, l'expression i
U"
convergera vers la limite et l'expression (12) vers la meme limite que la suivante :
Done la limite de cette derniere, devant rester comprise entre les quantites ii — e, Q + £, quelque petit que Ton suppose le nombre £, coincidera necessairement avec la limite £1 de la valeur numerique du rapport
On peut done enoncer le theoreme suivant : THEOREME
II. — Sz, pour des valeurs croissantes de n, la valeur nume-
(*) Lorsque n quantites positives a, a\ a!\ . . . sont toutes superieures a un nombre donn6g-, et toutes inferieures a un autre nombre donne //, le prodait aa'a".., est evidemment compris entre les limites g w , hn; et, par suite, la racine n{'me de ce produit ou la moyenne geometrique entre les quantites a, a', a", . . . se trouve elle-m^me comprise entre les deux nombres g, h.
52
RESUMES ANALYTIQUES.
rique du rapport ^ ^ converge vers une limite fixe Q>, la serie ( i ) sera convergente ou divergente suivant que cette limite sera inferieure ou superieure a Vunite.
Lorsque, la serie (i) etant convergente et composee de termes alternativement positifs et negatifs, la valeur numerique \]n du terme general decroit sans cesse pour des valeurs croissantes de n, alors, la valeur du reste rn pouvant etre presentee sous la forme rn =
ou sous la suivante
selon que le premier terme u0 est positif ou negatif, le reste rn change de signe quand on fait croitre n d'une unite. Par suite, la somme s de la serie est comprise entre sn
et
sn^ri.
On peut done enoncer la proposition suivante : THEOREME III.
— Lorsque, une serie convergente etant composee de termes
alternatwement positifs et negatifs, la valeur numerique de chaque terme est inferieure a celle du terme precedent, la somme de la serie est comprise entre le premier terme et la somme des deux premiers, entre cette derniere somme et celle des troispremiers,
etc.
Si Ton multiplie par une constante a les differents termes de la serie (i), on obtiendra la suivante (i3)
au
0
, aul9
au
2
, ...
dans laquelle la somme des n premiers termes, savoir „_!) = asn
convergera vers une limite fixe as si la somme des n premiers termes de la serie (i) converge vers une limite fixe s, et ne convergera vers
RESUMES ANALYTIQUES.
53
aucune limite dans le cas contraire. Cette remarque suffit pour etablir le theoreme suivant: THEOR£ME
IV. — Si Ion muliiplie les differents iermes de la serie ( J ) par
une constante a, la nouvelle serie ainsi obienue sera convergenie ou divergenie suivant que la serie ( i ) sera elle-meme conver genie ou diver genie, et Von aura dans le premier cas (i4)
auo-\- aiii-h au2-+-. . . = a(u0-^
u
)
Corollaire. — Si, dans l'equation (i4)> on change a en - , on trou-
vera (10)
1 a
a
a
a
Si, les series
etant convergentes et ayant pour sommes respectives s, s\ s\ . . . , on fait Snz=z Uo -4- Wt + . . . - h «„_!,
alors, pour des valeurs croissantes de n, sn convergera vers la limite s, sn vers la limite s\ ..., et par suite les sommes
des n premiers termes des series qui auront pour termes generaux
convergeront vers les limites s 4-5',
s -h sf -}- s\
54
RESUMES ANALYTIQUES.
On peut done encore enoncer ce theoreme : V. — Lorsque plusieurs series sont comergentes,
THEOREME
Vaddition
de leurs termes generaux fournit le terme general d'une nouvelle serie qui est elle-meme cowergente
et dont la somme resulte de ^addition
des
sommes des series proposees. On a, en vertu de ce theoreme, (i6)
(« 0 4- «,-+- M2
THEOREME
VI. — Si, les deux series
08) convergentes et ay ant pour sommes respectives s, s\ chacune de ces deux series reste convergentelorsquon reduit ses differents termes a leurs valeurs numeriques, alors la serie
dont le terme general est u{ ( ' „ _ ! 4 - . . . 4 - un-\ «'t 4 - un r 0 ,
sera elle-meme convergente et aura pour somme le produit ss', en sorte quon trouvera (u 0 4- uv -h u2 4- . . .) (20)
Demonstration. — Soient ^ , ^ les sommes dos n premiers termes des series (18), et s"n la somme des // premiers termes de la serie (19). Representons par m le plus grand nombre entier compris dans
n
~ \
RESUMES ANALYTIQUES.
55
et supposons d'abord que les differents termes des series ( i 8 ) soient tous positifs. On aura evidemment, dans cette hypothese,
ou
Concevons maintenant que Ton fasse croitre n au dela de toute limite. Le nombre m, qui ne peut etre que ^ — - ou n~2,
eroitra lui-memo
indefiniment, et les deux sommes sn9 sm+i convergeront vers la limito s, tandis que sn vts'm+i convergeront vers la limite s'. Par suite, les deux produits sns'n9 sm+lsrm+i et la somme s"n9 comprise entre ces deux produits, convergeront vers la limite ss'; ce qui suffit pour etablir le theoreme enonce. II on resulte aussi que l'expression i Sns'n—S"n= U,l_1 ^ _ t + ( M « - i V 2 + Un-2Vn-l) + • • •
convergera, dans l'hypothese dont il s'agit, vers la limite zero. Supposons a present que, les differents termes des series (18) conservant les memes valeurs numeriques, tous ces termes, ou quelquesuns d'entre eux, viennent a changer de signe, ce changement no pourra que diminuer la valeur numerique du second membre do la formule (21). Done cette valeur numerique, ou celle do la difference "H.
convergera encore, pour des valeurs croissantes de n, vers la limito zero, et s"fl vers la limite ss' du produit sns'ir Done alors la serie (19) sera encore convergente et aura pour somme le produit ss'. Lorsque, les termes do la serie (1) renfermant une certaino variable xy cette serie est convergente et ses differents termes fonctions continues de x dans le voisinage d'une valeur particuliere attribuee a
56
RESUMES ANALYTIQUES.
cette variable, la somme sn des n premiers termes, le reste rn et la somme s de la serie sont encore trois fonctions de la variable x, dont la premiere est evidemment continue par rapport a x dans le voisinage de la valeur particuliere dont il s'agit. Cela pose, considerons les accroissements que recjoivent ces trois fonctions, lorsqu'on fait croitre r d'une quantite infiniment petite. L'accroissement de sn sera, pour toutes les valeurs possibles de n, une quantite infiniment petite, et celui de rn deviendra insensible en meme temps que rn9 si Ton attribue a n une valeur tres considerable. Par suite, 1'accroissement de la fonction s ne pourra etre qu'une quantite infiniment petite. De cette remarque on deduit immediatement la proposition suivante : VII. — Lorsque les differents termes de la serie (i) sont des fonctions d'une variable x, continues par rapport a cette variable dans le voisinage d'une valeur parliculiere pour laquelle la serie est convergente, la somme s de la serie est aussi, dans le voisinage de cette valeur particuliere, fonction continue de x. THEOREME
Considerons a present une serie ordonnee suivant les puissances cntieres et positives de x, c'est-a-dire une serie de la forme (22)
a09
axx,
a2^2,
...,
et soit u> la limite ou la plus grande des limites vers lesquelles converge, pour des valeurs croissantes de /z, la racine rcieme de la valeur numerique de an ou Texpression ( ± an)n. Comme la limite ou la plus grande des limites de sera il estclair que la serie (22) sera convergente quand la valeur numerique du produit &x sera inferieure a l'unite, c'est-a-dire quand la valeur numerique de x sera inferieure a - ? et divergente quand la valeur numerique de x deviendra superieure a - . Ajoutons que co sera
RESUMES ANALYTIQUES.
57
precisement la limite de la valeur numerique du rapport a^±±* si, pour des valeurs croissantes de n, cette valeur numerique converge effectivement vers une limite fixe. On peut done enoncer ce theoreme : THEOREME
VIII. — Si co designe la limite ou la plus grande des limites
de V expression ( ± an)n, ou bien encore une limite fixe vers laquelle converge, tandis que n croit indefiniment, la valeur numerique du rapport
la serie ( 2 2 ) sera eonvergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites I
(23)
I
— J
CO
H
5
CO
ct divergente pour toutes les valeurs de x situees hors de ces limites. Si la serie (22) est eonvergente pour des valeurs numeriques de x inferieures a un nombre donne c, ce nombre sera necessairement inferieur ou tout au plus egal a - , et la serie (22) continuera d'etre eonvergente quand on remplacera chaque terme par sa valeur numerique. Cela pose, on deduit immediatement du theoreme VI la proposition suivante : IX. — Si deux series ordonnees suivant les puissances entieres et positives de x, savoir THEOREME
sont convergentes pour des valeurs numeriques de x inferieures a un nombre donne c, la serie (25)
aobo,
{ a Q b i + aib^)ji'y
( a o b . 2 + - aY b { - h a 2 £ 0 ) . r " 2 ,
...
sera elle-meme eonvergente entre les limites • I' = — C, OEiwres
de C. — S. I I , t. X .
X =
-1- C, S
58
RESUMES ANALYTIQUES.
et Von aura, pour des valeurs de x renfermees entre ces limites, ( 2 ^)
(a 0 4- a, x 4- a^x* 4- . . .) (b 0 4- 6, x 4- b2x* 4-. . .) • ,
2
Corollaire I. — Si deux ou plusieurs fonctions de x representees par v, s, ... sont developpables en series convergentes ordonnees suivant les puissances entieres et positives de x pour des valeurs de x comprises entre les limites — c, -he, le produit yz... sera, pour les memes valeurs de x, developpable en une semblable serie. En supposanty = z = .>., on obtient cet autre corollaire : Corollaire IL — Si une fonction de x representee pary est developpable en une serie convergente de la forme y ^^ a^-\- ci1x -\- a2x2 -\- . . .
pour des valeurs de x comprises entre les limites — c9 4- e, le carre, le cube dey et ses diverses puissances seront, pour les memes valeurs de x9 developpables en de semblables series, de sorte qu'on aura K'2
— a\ 4- 2 a0 a{ x 4- (2 a0 a% 4- a\) x2 4- - . .,
7 3 = a ^ 4 - 3 a ^ a 1 ^ 4 - ( 3 a 0 2 « 2 4 - 3 a u a 2 ) ^ 2 H - . . .,
X. — Lorsque deux series convergentes, ordonnees suivant les puissances entieres et positives de x, conservent des sommes egales pour toiites les valeurs numeriques de x quine surpassentpas un nombre donne, ces deux series sont necessairement identiques. THEOREME
En effet, admettons que, pour des valeurs numeriques de ,r intVrieures a c, on ait constamment a0 4- av x 4- a 2 x14- . . . = bQ 4- bx x 4- b2 x2 -h . . .,
on en conclura, en supposant x = o, et, par consequent, « 1 4-a 2 .r4-. . . = 6, 4- btx 4- . . .,
RESUMES ANALYTIQUES.
59
puis, en posant do nouveaa x = o, et ainsi de suite. Concevons maintenant que dans la formule (5) on attribue ii la variable x un accroissement a, dont la valeur numerique soit tres petite et inferieure a celle de i — x. Cette form ale don n era r — (./•
J 4- (x 4- a) 4- (x 4- a)'2-H- . .4- (x 4- a ) " " 1 :
(27)
1 —
(>
et, comme on aura 1 1 —
1 —x —a
1 — x
1— x
(i-.r)»
i - x
on trouvera encore 4 - [x"-1-*-
(n — i) axn~'2-{-
(n — i)2a2xn~*•+
/i 2 a ^
a"-1;
. ..4-
- . . . - a J [ x __
r
•+"
— xf
(1 —.
puis, en multipliant successivement la somme 1 — J : ' (1 — .r) 2
(i — xf
par les differents termes du polynome (1 — xn) — naxn~l
— (n),a2xn~2
— . . . - - a'?,
et ayant egard aux formules (14) et (26), on tirera de l'equation ( 28 + ^ 2 + . . . + x"-1 H- [1 -f- 2x 4- 3,r 2 + . . . 4 - {n — 1) .r« -f- [ i 4 - 3 x 4 - 6 x 2 4 - . . . 4 - ( / i — i) 2 .r"
1 — xtl 1
nx"-ll
- ^ ' ) ' 2 "" 1 - ^ J a ~ (i — xy
1 — ./• J a
+
''''
60
RESUMES ANALYTIQUES.
D'ailleurs, en vertu du theoreme X, les coefficients des puissances semblables de a devront etre les memes dans les deux membres de l'equation (29). On aura done encore X'u
I I
I— X
—X
n xn
Xn
I
(3o) (
H- 3x 4- 6x* 4-. . . 4- (n —
— xf
xn
(/i)2.r'*-i —x
(i — x)*
et generalement i)m^xn-m
. . .-h (n —
(30
(n)m-xxn-m+l
nxn n
— x)'
1 1
(1 — x)" -
'"
1—1
D'autre part, il est facile de s'assurer que la serie (32)
1,
(m ),„_!#,
{ni^ri)m_xx\
. .,
(n — i ) ^ ^ - "
1
,
qui a pour terme general (33)
(/n_}_/i_1)m_1^?
reste convergente pour toute valeur numerique de x inferieure a l'unite. Car, pour deduire la serie (32) de la serie (22), il suffit de poser atl— (m + n — i)m_x ~ (m 4- n — i)n,
et Ton trouve alors an-h\
m-\- n
atl
n 4-1
m —1
Or, si Ton fait croitre indefiniment le nombre n, sans changer la valeur de m, la valeur precedente du rapport - ^ convergera vers la limite co = J. On aura done aussi i = 1, et la serio (32), en vertu du theoreme VIII, sera convergente pour les valeurs de x renfermees entre des limites x = — 1, x = + 1. Done, pour de semblables valours
RESUMES ANALYTIQUES.
61
de x, I'expression (33) et celle qu'on en deduit en remplaeant n par n — m -h i, savoir (A)/I,-I^-"I+1,
(34)
deviendront infiniment petites en meme temps que - • Par consequent, si, la valeur numerique de x etant inferieure a l'unite, on fait croitre indefiniment le nombre n, les quantites x>
dont les premieres sont ce que devient la derniere quand on attribuc successivement a m les valeurs particulieres i, 2, 3, . . . , convergeront toutes vers la limite zero, et Ton tirera de la formule (3i) 1 4- (//i ),„_!# 4- (m 4- i) m _!^ 2 4- (m 4- 2)m_lx:i-h.
(35)
. .—
_
ou, ce qui revient au meme, T
(1 — x)"1
On trouvera, par exemple, 14-
4-
<#3 H- . • • =
1
1— x 1
(37) 1 4 - 3 x 4 - 6 x2 4 - 1 o xz 4 - . . . = -,-
Ajoutons que l'equation (35) ou (36) peut encore s'ecrire comme il suit: /onx (38) V
/
v i-^-'"=:H
m
I
^H
m(m-^-i) 1.2
_ -^2H
m(m 4-1) (m 4- 2) o3 - \ .r 4- . . . 1.2.3
Si dans cette derniere on remplace x par — x, on obtiendra la suivante / o x / x (39) (1 + x)-»=i
m
-
-jx
+
m(m-\-\) ~ ^ -
, - ^2
m(m+ i)(/n+2) , L —f^3 " ^
+
*' ''
62
RESUMES ANALYTIQUES.
qui subsiste, comme la formule (38), pour des valeurs numeriques de x infericures a 1'unite. Enfin, si dans la formule (35) on remplace x par -> celle qu'on obtiendra, savoir (4o)
{x -+- a)"'1—-a-"1— —a-'"-lJC+ '"(m
+
( r " ' - 8 ^ - . . .,
1.2
I
subsistera pour des valeurs numeriques de x inferieurcs a celles de a, et sera precisemeiit ce que devient la formule (2) du § II, quand on y remplace m par — m. § VII. — Developpements des exponentielles ex\
kx.
Si, dans la formule (6) du § II et la formule (38) du § VI, on remplace x par a, elles donneront , v (1)
, N (i + a ) m
m2a2 ( H1.2 \
=
1.2
\
m3 a}
1\ H
m)
H
m)
/
1 \ (
2
i.2.o\
m ) \
m
m) \
m
1 .2.6
\
Si maintenant on fait croitre indefiniment le nombre m et decroitre indefiniment la valear numerique de a, mais de maniere que le produit ma
converge vers une limite finie x, les divers termes du second membre, dans chacune des formules (1) et (2), s'approcheront sans eesse des differents termes de la serie (3)
I,
.r,
- 1 — , -^
-,
1.2
,J
I .2.
. ..,
qui restcra convcrgente pour une valeur finie quelconque dd la variable x. En effet, le terme general do la serie (3) sera
RESUMES ANALYTIQUES.
03
:t, si Ton pose I
an ~
1.2. . V
an
n -+-1
le rapport
convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite co = o. Done la serie (3) sera eonvergente pour toutes les valeurs finies de x comprises entre les limites i
X IZZ
=
00,
i X TUL — — 00,
o
o
c'est-a-dire pour une valeur finie queleonque de la variable x. Ola pose, en admettant que Ton ait (4)
\\m(m<x)=zx,
on tirera des formules ( i ) et ( 2 ) x*~
x'^
1.2
1.2.3
II y a plus : pour que la formule (4) entraine la formule (5), il n'est pas necessaire que 7n, venant a croitre indefiniment, conserve toujours une valeur entiere. Car, si Ton nomme [JL une quantite positive qui croisse indefiniment tandis que a diminue, mais de maniere qii(k Ton ait (6)
lim(jma) = «r,
et m le nombre entier immediatement inferieur a ^, alors, p. etant renferme entre les deux nombres m, m-f i,le rapport — > compris entre 1 et n
> aura pour limite Tunite. Done la formule (6) entrainrra
les formules (4), (5), et, comme on aura d'ailleurs JX
(1 + a)^~ [(1 + «)'»]'",
JX
(1 - a)-^= [(1 - a)-'»] m ,
6k
RESUMES ANALYTIQUES.
par consequent, -a)w,
lim(i -
on trouvera encore
La formule (6) sera verifiee, si Ton suppose
puisque, dans cette hypothese, on aura constamment [IOL = X. Alors la formule (7) donnera -
—-
x
2
x%
+ 1.2
5 1.2.0
puis, on reduisant a? a l'unite, et nommant e la somme do la serie ( 3 ) pour x = 1, en sorte qu'on ait (9) xy/
e=
n- n
i
1
1
+ . . . = 2,7182818 J
1 . 2 1 . 2 . 3
on trouvera 1
(10)
1
lim(i -h a)^— lim(i — a ) ~ " a = e.
On aura, par suite, (u)
lim(i -h a)^-zzi lim(i — a)~"=e a : ,
et Ton tirera de la formule (11), jointe a la formule (8), 1.2
1.2.3
Le nombre e est celui qui sert de base au systeme des logarithms qu'on appele hyperboliques 011 neperiens. L'equation (12), qui fournit le developpement d'une exponentielle de la forme ex en une serie ordonnee suivant les puissances ascendantes de ,r, subsiste quelle qur soit la valeur finie attribuee a la variable a\
RESUMES ANALYTIQUES.
65
Si, a etant positif, on prend x = ma, les formules ( i ) , (2) donneront 3
^
/
1.2 \
{16 )
(1—a)
a
2
— i + a?-t--
i\ 1
mj
/
(n
i. 1 22 \\
x* H
1
1.2.3 \ 3
\
mJ 771
( -
1\ / m/ \
/
\ /
i. 2.6 \
m) \
2 1
m 2
m
et de ces dernieres, comparees a l'equation (12), on tirera
par consequent
La formule (i5) subsiste pour une valeur positive quelconque de a. Observons encore que, en vertu de l'equation (12), la formule (7) sera reduite a (16)
lim(i + a)fJ' = lim(i — oc)-^—ex.
Done l'equation (6) entrainera toujours la formule (16). Soit maintenant A une quantite positive quelconque. Designons a l'aide de la lettre caracteristique L les logarithmes pris dans le systeme dont la base est A, et a l'aide de la lettre caracteristique 1 les logarithmes neperiens, pris dans le systeme dont la base est e. Enfin soit a
(17)
= lA = u
(1)
le logarithme neperien de A. On aura (18)
k = e*
( J ) Le logarithme x — L j du nombrey, dans le systeme dont la base est A, n'est autro chose que l'exposant x de la puissance a laquelle il faut elevcr A pour obtenir >. e'esta-dire la valeur de y propre a verifier l'equation y = Ax. Gela pose, soient x — Uy et b = L'A les logarithmes de y ot de A, relativement a une OEuvres de C. — S. II, t\ X .
9
66
RESUMES ANALYTIQUES.
et, par suite, (19)
A*=e"*=i
+ ax + —
+ 7^73 + • ' •
ou, ce qui revient au raeme, (20)
A
*=i
+
*1A +
^21A2 ^31A3 -r7~ + r ^ 3 H ' - " -
Cette derniere formule subsiste, comme 1'equation (12), pour une valeur finie quelconque de la variable x. § Vllf. — Des series doubles ou multiples. Nombres de Bernoulli.
Soient (0
des quantites quelconques rangees sur des lignes horizontales et verticales, dc maniere que cliaque serie horizontale ou verticalo renferme une infinite de termes. Le systeme de ces quantites sera cr qu'on pent appeler une serie double, et ces quantites elles-memes soront les differents termes de la serie, qui aura pour lerme general
m, /w'designant deux nombres entiers quelconques. Pareillemeiit, on nouvelle base A' distincte de A. On aura
et. par suite, x'= b.r,
- = b.
Done le rapport entre les logarithmes x\ x d e j , dans deux systemes differents. conserve la meme valeur b, quel que soitjr. Si Ton pose en particulicr A'=
_ 1A _ \JI _ _i_ ~ LA *" Lc ~ Le"
RESUMES ANALYTIQUES.
67
peut imaginer une serie triple, dont le terme general ,m', m"
serait unc fonction donnee des trois indices on nombres entiers m, m',m"9 une serie quadruple, ..., et finalement une serie multiple dont le terme general serait une fonction de divers indices m, m\ m", rri", ..., chacun de ces indices pouvant recevoir successivement Jes valeurs entieres o,
i,
2,
3,
4,
—
Cela pose, nommons sn la somme formee par l'addition d'un nombre fini ou meme infini de termes de la serie multiple, cette somme etant composee de maniere qu'elle renferme au moins tous les termes dans lesquels la somme des indices est inferieure a n, et que jamais elle ne comprenne un terme correspondant a des indices donnes, sans renfermer en meme temps tous les termes qu'on en deduit en remplacant ces memes indices, ou quelques-uns d'entre eux, par des indices moindres. Si, toutes les fois que les deux conditions precedentes sont remplies, la somme sn converge, pour des valeurs croissantes de n9 vers une limite fixe s9 la serie multiple sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la serie. Dans le cas contraire, la serie multiple sera divergente et n'aura plus de somme. Si, dans le premier cas, on pose (2)
s=
sn-hrn9
rn sera le reste de la serie multiple, et ce reste, qui representera ce qu'on peut nommer la somme de tous les termes non compris dans sn9 deviendra infiniment petit pour des valeurs infiniment grandes de n. Enfin, si Ton pose clans le meme cas
2
=
S3—S2,
68
RESUMES ANALYTIQUES.
ct generalement (4)
vn=sn+l — sn,
la serie simple (5)
?
0
, *'i> v
2 9
...
sera elle-meme une serie convergente qui aura pour somme s, pour terme general vn, et pour reste rn. Comme, d'apres ce qu'on vient de dire, les termes non compris dans la somme sn se reduiront, soit aux differents termes dans lesquels la somme des indices est an moins egale a n, soit a une partie de ces memes termes, on peut evidemment enoncer la proposition suivante : I. — Une serie multiple sera convergente si, dans cette serie, les termes oil la somme des indices devient au moins egale a ny etant ajoutes les uns aux autres en lei nombre et en tel ordre que Von voudra, fournissent une somme qui devienne infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n. THEOREME
11 y a plus : si tous les termes de la serie multiple sont positifs, eette serie ne pourra etre convergente sans que la condition que nous venons d'enoncer soit remplie, et, dans ce cas, on pourra evidemment, sans detruire la convergence de la serie, changer les signes de tous ses termes ou de quelques-uns d'entre eux. On peut done encore enoncer cet autre theoreme : II. — Une serie multiple est toujours convergente, lorsque les valeurs numeriques de ses differents termes forment une serie converTHEOREME
gente. Si les differents termes de la serie proposee etaient les uns positifs, les autres negatifs, il pourrait arriver que la serie Cut convergente, et que les termes dans lesquels la somme des indices serait au moins egale a n, etant ajoutes les uns aux autres dans un certain ordre, ne donnassent pas toujours une somme infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n. Cette remarque est applicable meme aux
RESUMES ANALYTIQUES.
69
series simples. Ainsi, en particulier, si Ton considere la serie simple (6)
1
I
I
2
5
4
n 4-1
n
on aura I
(7)
I
sn=i
, i
I
h 5 — T +. ..± 5 4
2
-;
/J
et, comme les valeurs numeriques des differences n 4- i 2—
s
n
i —
— sn —
seront toutes renfermees entre les limites T
(9)
T
T
n -+- i
qui deviennent infinimentpetites pour des valeurs infiniment grandes de n, on peut affirmer que la somme sn convergera pour des valeurs croissantes de n vers une limite fixe 5, et que la serie (6) sera convergente. Mais, si, au lieu d'ajouter les uns aux autres les termes n -+• 2
n -\- \
n + 3
pris dans l'ordre 011 ils se trouvent, on venait a intervertir cet ordre en choisissant parmi eux des termes affectes du meme signe, par exemple, les suivants 1
n 4- 2 n
a -h 2
3V
la valeur numerique dela somme de ces derniers termes, savoir + n -{- 2
________
n 4- 4
1
~ • • • T~ o
*
70
RESUMES ANALYTIQUES.
surpasserait evidemment le produit i
i
n x 6n r-=3? 6
6n
6
et cesserait d'etre infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n. Lorsqu'une serie multiple est uniquement composee de termes positifs, alors, pour que la condition enoncee dans le theoreme I soit remplie, et par suite, pour qu'on soit assure de la convergence de la serie, il suffit evidemment qu'en adoptant, pour former la somme designee par sn9 un des differents modes qui peuvent satisfaire aux conditions precedemment indiquees, on obtienne une valeur de sn qui converge vers une limite fixe s9 tandis que n croit indefiniment. De cettc remarque, jointe au theoreme [I, on deduit immediatemont la proposition suivante : III. — Nommons sn la somme formee par Vaddition d'un nombre fini ou meme infini de termes d'une serie multiple, cette somme etant composee de maniere quelle renferme au moins tous les termes dans lesquels la somme des indices est inferieure a n, et que jamais elle ne renferme un terme correspondant a des indices donnes, sans renfermer en meme temps tous les termes qu'on en deduit en remplagant ces memes indices par des indices moindres. Si, dans un cas particulier oil ces deux conditions soient remplies, la somme sn et celle qu'on obtient en substituant aux differents termes qui la composent leurs valeurs numeriques convergent I'une et Vautre vers des limites fixes, il en sera de meme dans tous les cas, et la serie proposee sera convergente. THEOREME
Scolie. — II est important d'observer que les deux sommes dont il s'agit ici convergeront vers des limites fixes, si la serie (;>) et celle en laquelle la serie ( 5 ) se transforme lorsqu'aux sommes de termes designees par p0, vK9 v29 . . . on substitue les sommes des valeurs numeriques de ces memes termes sont Tune et l'autre convergentes. Considerons, pour fixer les idees, une serie double, par exemple la serie ( i ) . Si cette serie est convergente, alors, en prcnant pour sn la
RESUMES ANALYTIQUES.
71
somme des termes dans lesquels les indices offrent une somme inferieure a n, on trouvera
et la serie (5), reduite a \II)
WQ^Q,
" o , 1 ~^~ " i 0)
" o 2 ~^~ " l , 1 ~t~ " 2 , 0 ?
• • • 1
sera une serie simple convergente, dont la somme s ne differera pas de celle de la serie double. Si, dans le meme cas, on prend pour sn la somme des termes oil le premier indice est inferieur a n, on trouvera (12)
^ = " « , o +
"»,i +
"»,2+ - ••;
par consequent, chacune des series horizontales comprises dans le Tableau (1) sera convergente, et les sommes de ces series convergentes, savoir o»o
'
0,1
'
"0,2
'
' ' ' 9
"i,o+
"1,1 +
"1,2 + • • ->
"2,0+
"2,1+
"2,2 +
- • •>
formeront elles-memes une nouvelle serie convergente dont la somrai1 sera encore s. Enfin, si Ton prend pour sn la sornme des termes de la serie double ou le second indice est inferieur a n, on trouvera
par consequent, chacune des series verticales comprises dans le Tableau (1) sera convergente, et les sommes de ces series convergentes, savoir "0,0
+
"l,0
+
"2,0
T'
• • • f
"0,1+
"l,l+
"2,1 +
"
.,
"0,2+
"l,2+
" 2 , 2 + - • •>
formeront a leur tour une nouvelle serie convergente dont la somme sera encore s. Ajoutons que du theoreme III et du scolie placr a la
72
RESUMES ANALYTIQUES.
suite de ce theoreme on deduira immediatement la proposition suivante : THEOREME
IV. — Si des trois series simples ( n ) , ( i 3 ) , ( i 5 )
Vuneest
convergente et demeure convergente, tandis que I'on remplace les quantites u0>09 uuo, uQ {y u2)09 . . . par leurs valeurs numeriques, les deux autres serontpareillement
convergentes, et la serie ( i ) sera une serie double con-
vergente, dont la somme ne differera pas de celles des trois series simples dont
ilsagit.
Pour exprimer que s represente la somme de la serie ( i ) supposee eonvergente, nous ecrirons simplement *
^0,0 4~ WQ } I
4- «i, 0 H- uux
(16)
Soit maintenant z une fonction de deux variables ac9 y. Pour que cette fonction soit developpable en une serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de x, y, c'est-a-dire, en d'autres termes, pour que z puisse etre considere comme equivalent a la somme d'une semblable serie, il ne suffira pas, comme on pourrait le croire au premier abord, que z soit developpable en une serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de x, et le coefficient de chacune de ces puissances en une serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de y, en sorte qu'on ait (17)
z — w o 4- uYx -4u0 —
(18) = a^ 4- a2>ly 4- a 2j2
et, par suite,
RESUMES ANALYTIQUES.
73
mais, en vertu du theoreme IV, ^ sera effectivement developpablo en une serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de x, j , je veux dire, que s sera la somme de la serie double
120)
si le second nombre de la formule (19) conserve une valeur finie et determinee, lorsqu'on y remplace les variables x, y et les coefficients ^0,0?
^0,l>
^0,2>
• • •>
#l,0>
^1,1)
a
\,°>1
• • •>
a
2,0>
a
2A">
^2,2>
• •*
par leurs valeurs numeriques. Pour eclaircir ce qu'on vient de dire par des exemples, concevons d'abord que Ton veuille developper, suivant les puissances entieres et positives de x, y% le produit 1 — x 1— y
Alors, pour des valeurs de x, y propres a remplir les deux conditions ^2
(21)
J
2
on aura ( r\ o \ \ A JL )
1-
II
I —
-J
i — x i — y
i—y
X
I I
'
1 — /
I 1
X-
I r
• • • f
1 — /
*
(23)
et, par suite (24)
i—xi—y
Or, comme la formula (24) continuera de subsister quand on y remplacera les variables x, y par leurs valeurs numeriques, on peut affirmer que, si les conditions (21) sont remplies, le produit J
1
1— x 1 — y OEuvits
dc C. — S . I I.
X
1O
TV
RESUMES ANALYTIQUES.
sera developpable en une serie convergente ordonnee suivant les puissances ascendantes de x, y, en sorte qu'on aura 14-
-=
L-X
I— )
7 -+-
y- -+- •
4- x 4- X/ + ^7 2 H- •
(35)
4- ^"2 4- x- y 4- ^r2 72 H- .
qu'alors aussi chacune des lignes horizontales ou verticales comprises dans le second membre de la formule (25) offrira une serie simple convergente, et qu'il en sera encore de meme de la serie simple
ce qu'on peut aisement verifier en ecrivant les divers termes de cette derniere comme il suit : - y2
x—y
— —
^r3 — 7 3 ?
—
,^-4 •?
Considerons en second lieu lafonction
\-JC-
-7
Si Ton suppose remplies les deux conditions (28)
7*
.r*<(i-yy,
on aura 1
1 x r= h ; ; 4- 7 - y 1 — 7 (1—7J(1—.;
(29) 1
x /
T
=14-
1—y
(So)
(]
_
IT^Tf
)2
•
)'4-
X'4- )••'+
— 1 + 2 7 4- 3_r 2 4- 4.v' 4 - . = 1 + 3 j 4- 6(>'2 4- io) : < + .
RESUMES ANALYTIQUES.
75
et, par suite, 27
: —x —y
Toutefois, on ne saurait conclure de la formule (3i) qu'on ait toujours, quand les conditions (28) sont remplies,
-\- x -\-ix (32)
y:i
y
• x — y
y -+- 3.2? y2 -+-
l\x yz -h . . .
-+- x'1 -h 3.r 2 y -+- 6^r 2 y 2 -+- xs -4- Z| .r * y -4- i o d?d y2 + 2 O ^ r - i - . . .
et que, en consequence, la serie simple 1,
x -h r,
^ 2 -f- 2 xy -1- y2,
^3+
3 x/-
c'est-a-dire la progression geometrique
soit alors necessairement convergente; car il est visible que cette progression sera divergente, lorsque les variables x, y etant negatives recevront des valeurs numeriques inferieures a 1'unite, mais dont la somme surpassera 1'unite, par exemple lorsqu'on supposera X = —
-,
3
0
et, par suite,
Alors, cependant, les conditions (28) seront remplies. Mais, si, la valeur numerique de y etant inferieure a 1'unite, la valeur numerique de x ne surpasse pas la plus petite des deux quantites
la formule (3i) continuera de subsister, tandis qu'on y remplacera les
76
RESUMES ANALYTIQUES.
variables x, y par leurs valeurs numeriques, et entrainera l'equation (32). Concevons a present que, pour des valeurs numeriques de x inferieures a c, la fonctionj de x puisse etre developpee en une serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de x9 et que, pour des valeurs numeriques de y inferieures a c\ la fonction z de y puisse etre developpee en une serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de j , de sorte qu'on ait, entre les limites x = — c, x = c,
ct, entre les limites y — — c', y — c\ (34)
5=
6 o + 6 l t y + *s
Les quantites y2, y'\ . . . pourront elles-memes, pour des valeurs numeriques de x inferieures a c, etre developpees en series convergentes ordonnees suivant les puissances entieres et positives de x, a Taide des formules {2aoa,-
(35;
(voir le § VI, theoreme IX, corollaire II), et Ton aura, par suite, (36)
z -— bo-\- b^ctQ-h ciyjc + a,x--\-
. ..)-+- b,{al -+- 2aoa{x
H- . . .) H - . . . .
Toutefois, on ne devra point conclure de la formule (36) que z soit developpable en une serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de x, et que Ton ait (37) z — M - « o ^ + ^ 2 + - + (a151 + 2aofl1^ + ,,,)lr + ( a ^ 1 + , , , ) , i 2 + ) i (
pour toutes les valeurs numeriques de x qui, etant inferieures a c, fournissent des valeurs numeriques de y inferieures a c'. Mais, en vertu du theoreme II, la formule (37) deviendra, pour une valeur
RESUMES ANALYTIQUES.
77
donnee de x, une consequence necessaire de la formule ( 3 6 ) , si les series comprises dans les seconds membres des formules ( 3 3 ) , (34) restent convergentes quand on reduit chaque terme a sa valeur numerique apres avoir substitue dans la premiere serie la valeur donnee de x, et dans la seconde serie une valeur de y egale a la somme des valeurs numeriques des termes de la premiere serie. Or e'est ce qui arrivera necessairement, si Ton attribue a x une valeur numerique inferieure a c, et pour laquelle la somme des valeurs numeriques des termes de la premiere serie soit inferieure a c'. On peut done enoncer la proposition suivante : THEOREME
V. — Supposons que, pour des valeurs numeriques de x infe-
neures a c9 y soit developpable en une premiere serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de x, et que, pour des valeurs numeriques de y inferieures a c'9 z soit developpable en une seconde serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives dey; z sera developpable en une nouvelle serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de la variable x, pour toute valeur de cette variable choisie entre les limites — c, -+- c de telle maniere que la somme des valeurs numeriques des termes de la premiere serie soit inferieure a c .
Supposons, pour fixer les idees,
(38)
y=*--i-
et
On tirera de Tequation (38), pour une valeur quelconque de la variable x, x
/
J
2
2.3
2.3.4
et de la formule (39), pour une valeur numerique de y inferieure a Tunite, (40
- = l+\
78
RESUMES ANALYTIQUES.
On aura done Xs
X
2 ~" 273
X* +
\
7 X 4 ~~ "' ' /
/ — — — +
I 2 '
-f-
2.3.4
2.3
par consequent x
x 2
x6
x> 24
(43)
\
' \ 8
8
Vi(i
7
pour toutes les valeurs de x qui rendront / J < r , c'est-a-dire pour toute valeur positive de ^ et pour toute valeur negative comprise entre les limites o, — i , 2 5 o . . . , le nombre 1,200... etant la racine positive unique de l'equation (44)"
-
+ —o H
•A
2 .O
5—,+...= !
on
'2 .6.4
-z=2. X
Or il no resulte pas de la formule ( 43) que la fonction
— e~
soit developpable, pour toutes les valeurs positives de x, en une serie convergente ordonnee suivant les puissances ascendantes de J\ et que I'on ait par suite, en prenant x > o,
j —
e-'v
1 5 )
/i
\\b
1
8
5
72
ou, ce qui revient au meme, 16 )
7
= 1 + - , / -1- - - - - —
Mais, en vertu du theoremo V, la formule ( 42) ou (43) entrainera
RESUMES ANALYTIQUES.
79
I'equation (46) si la valeur positive ou negative de x est comprise rntre les limites — I,25o. . . ,
-f- I , 2 5 o . . . ,
puisqu'alors les valeurs numeriques des termes de la seric comprise dans le second membre de la formule (4o) fourniront une somme inferieure a l'unite. En calculant les coefficients des diverses puissances dv x dans lc second membre de la formule (45), on s'assure facilement que ceux de la troisieme et de la cinquieme puissance se reduisent a zero. Or on peut demontrer qu'il doit en etre de meme des coefficients de toutes les puissances de degre impair superieures a la premiere, c'esta-dire que la difference (47)
— ^ . - - -
developpee suivant les puissances entieres et positives de x doit uniquement renfermer des puissances de degre pair. En effet, cette difference, pouvant s'ecrire comme il suit (48)
2
i — e "x
2
_ e2 — e
ne change pas de valeur quand on y change le signe de x. Son devo loppement, devant jouir de la meme propriete, ne saurait renfermer les puissances impaires de la variable x. Observons encore que Texpression
1.1.6
'2'3
J .2.3.4-'-)
2 . 0 . 4 . :>
pouvant etre presentee sous la forme i-(--i \2.3
T~i-^ 2.3.4-5
+ •••) + ;
( —3 \ 2 . 3
H
T-r^ 2.3.4-)
"+" • •
) ~~ - • ;
p o u r t o u t e v a l e u r n u m e r i q u e d e a- i n f e r i e u r e a u n o m b r e 2 , 1 7 9 . . . ,
80
RESUMES ANALYTIQUES.
c'est-a-dire a la racine positive de l'equation ^2
x
1.6
\
e
e
2JC
2.0.4-5
sera dans ce cas, en vertu du theoreme V, developpable en une serie convergente ordonnee suivant les puissances ascendantes de x. Done la fonction z
— e X
en
que Ton deduit de l'expression (4f))* rempla<jant x par -> et, par suite, Texpression (48) seront developpables en series convergentes ordonnees selon les puissances entieres et positives de la variable x pour toute valeur numerique de cette variable inferieure au nombre 4,35 ... = 2(2,179.. •)• Done la formule (rj6) subsistera pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites
II y a plus : comme, poar de telles valeurs de x, le produit de la somme 1 2
H
X
• "
1 x6 1.2
1 x* 3o 1 . 2 . 3 . 4
1 4^
x{' 1.2.3.4-5.6
par la difference i — e~r, a laquelle on peut toujours substituer son developpement, savoir X1 X
J.2
1.2.3
so irduira identiquement a x9 en vertu de la formule (46), on peut affirm or que cette formule subsistera pour toute valeur de x inferieure au nombre c, si ce nombre est tel que la s6rie 2
'
6 1.2'
3o 1 . 2 . 3 . 4 '
4?- 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 '
roste convergente entre les limites x = - c, x = c. Done, par suite,
RESUMES ANALYTIQUES.
81
la formule ^
e~ x e*—e-
'
x
6 1.2
3o 1 . 2 . 3 . 4
42 j . 2 . 3 . 4 . 5 . 6
' " '
que Ton deduit de requation (46), en y remplaganta? par ix, subsistera pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x = — icy x = ic. Nous prouverons plus tard que le nombre c9 dont il s'agit ici, est precisement egal a -• Quant aux facteurs numeriques
<-»
!' B' U
qui, dans les seconds membres des formules (46) et (5i), se trouvent pris tantot avec le signe 4-, tantot avec le signe —, et multiplies par les divers termes des developpements des fonctions e
1
|
e
et
1, 2
ils sont ce qu'on appelle les nombres de Bernoulli. § IX. — Sommation des puissances entieres des nombres naturels. Volume d'une pyramide a base quelconque. A l'aide des principes etablis dans les paragraphes precedents, on peut aisement determiner la somme des m^mes puissances des nombres naturels 1,
2,
3,
...,
n,
savoir (1)
i + 2m+3"l + .. . + nw=S(«M).
En effet, comme on a n(n -+- 1) = n^-\- n, n(n -+- 1) ( n -+- 2 ) = /z3 -+- 3n 2 -f- 2 n , n(n + 1) (n 4- 2) (n -h 3) = / i 4 + 6/i 3 H- 1 i/i 2 4- 6/z,
OEuvres de C. — S. II, t. X.
82
RESUMES ANALYTIQUES.
les formules ( i 5 ) du § I donneront
et, par consequent,
2.3
(3)
ou, ce qui revient au meme, #l(/H-i)
H-2
2.3
(4)
I -+-
2.3.5
II est bon d'observer que, en vertu des formules (4), on aura H-8
+ 27
RESUMES ANALYTIQUES.
83
Ainsi, on particulier, on trouvera i-f- 8 4- 27 -H 64 = (1 •+- 2 4- 3 + 4 ) 2 .
On pourrait facilement deduire les formules (3) ou (4) de l'equation (14) ou (i5) du § V. Effectivement, si Ton pose x = n dans l'equation (i5) du § V, on en tirera ,(* + m - 2 ) + • . ,
K(/I + 1 ) . ,
1.2
(6) 1 __ 2'*+I [ .2
et, par suite, m
~^> S[n(n
-
+ 1).. .(n -h m -
2)]
1.2
(7) I .2
puis on conclura de cette derniere, combinee avec les formules (i5) du§I, c
.
m.
S(nm)—
n ( n H- 1). . . ( n -f- m) ; -±
1 i m + i
-
m —\ 2
.
n(n-hi).
..(/i-t-m
—1)+...
(8) 1.2 2
m-1
— 1 n(n
H-
1) (/i -4- 2) , n(n -h 1)
En operant de la meme maniere, on tirera de la formule (i4) du § V (n + i)/i...(/i - m + 2 4-...
/n
n(/i — 1) (/i — 2)
(9)
1.2
/i(/a — 1) 3
I
(/z
-H
1) ^
2
Si, dans Tune des formules (8), (9), on pose successivement 771 =
1,
771 =
2,
m =
3,
...,
on retrouvera precisement les formules (3) ou (4).
84
RESUMES ANALYTIQUES.
On pourrait encore faire servir les nombres de Bernoulli au calcul de la somme S(nm). En effet, cette somme est evidemment le coefficient de Xn
i. 2.3.. . m
dans le developpement du polynome V
enx—\ j — e-x
e»a?—-i ex — j
/
suivant les puissances ascendantes et entieres de la variable x. On a d'ailleurs, quel que soit x, (v n );
n2x2
enx— i = nx-\
h-
i .2
nzx* 5
i .2.3
-t-...=
n2 x
( x[n-\ \
i .2
1
nz x% \ = 4- . . . ,
i.2.3
/
et, pour des valeurs numeriques de x inferieures a i,25o.... (voir le paragraphe precedent), X
v'-'
l
-
e
I
- x -
L
2
X2
I
6
Xk
I
1.2
I
X6
3o 1.2.3.4
les coefficients 1
1
1
6
3o
42
que renferment le troisieme terme et les suivants, etant precisement les nombres de Bernoulli. Cela pose, on tirera de la formule (10), pour des valeurs numeriques de x inferieures a i,25o...,
1.2
n
2
nz x2
\ I
1
1 x2
1
2
61.2
301.2.3.4^421.2.3.4.5.6
puis, en developpant le second membre de la formule (i3), suivant les puissances ascendantes et entieres de la variable x, et egalant entre oux les coefficients des puissances de meme degre renfermees dans les
RESUMES ANALYTIQUES.
85
deux membres, on trouvera
2
4
2
2
-\
4
2
J 2.3.5
3o
et generalement S(w»«) =
^ ^
+
77Z4-I +
+- «
f
„
2 02 30 2.3-4 _^_ m ( / n — i ) ( m — 2 ) ( m — 3 ) ( / n — 4 ) 42 2.3.4.5.6
n W
_5_
Les^deux premieres des formules (4) ou (i4) fournissent le moyen de calculer le nombre des boulets dont se composent des piles a base carree ou rectangulaire, telles qu'on les construit dans les arsenaux; et d'abord, si des boulets sont distribues dans plusieurs couches superposees, de maniere a figurer une pyramide a base carree, le nombre des boulets compris dans cette pyramide se trouvera evidemment determine par la seconde des formules (i4)« De plus, si le carre qui servait de base a la pyramide, et dont chaque cote renfermait n boulets, se change en un rectangle dont les deux cotes renferment, le premier n, le second n-\-m boulets, et la pyramide elle-meme en un prisme tronque termine superieurement, non par un boulet unique, mais par une file d e m + i boulets places a la suite Tun de l'autre, le nombre total des boulets contenus dans le prisme tronque sera evidemment m -+-1 + i{m
-+- 2 ) -+- 3 ( m + 3 ) - h . . . 4 - n(m
-+- n)
86
RESUMES ANALYTIQUES.
ou, ce qui revient au meme, 06) La formule (16) fournit la regie connue, en vertu de laquelle on obtient le nombre des boulets que contient une pile a base carree, en multipliant le facteur n(n-hi)
c'est-a-dire le nombre des boulets compris dans Tune des faces obliques et triangulaires de la pile, par la somme 2 n -\- i
c'est-a-dire par le tiers du nombre des boulets compris dans l'arete qui termine la pile, et dans les cotes de la base paralleles a cette arete. Si, apres avoir divise par nm+i les deux membres de la formule (8), (9) ou (i5), on fait croitre indefiniment le nombre n, le rapport - et ses diverses puissances s'approchant alors indefiniment de la limite zero, on trouvera (17)
lim—-—: m
Ainsi, en particulier, si Ton pose successivement m = 1, m = 2, on trouvera
09)
On peut appliquer les formules (18) et (19) a revaluation de la surface d'un triangle ou de la solidite d'une pyramide, en operant comme il suit. Considerons d'abord un triangle dont la base soit B et la hauteur H.
RESUMES ANALYTIQUES.
87
Divisons cette hauteur H en n parties egales a (20)
h=n
par n — i droites paralleles a la base B. Les portions de ces droites qui se trouveront renfermees dans le triangle seront respectivement b,
2by
3 6,
. ..,
(n — i)6,
la valeur de b etant
Cela pose, concevons, en premier lieu, que les deux angles du triangle adjacents a la base B soient aigus. L'aire du triangle sera evidemment superieure a la somme des aires des rectangles inscrits qui auraient pour bases les longueurs 6,
26,
3 6,
. ..,
(n — 1)6,
et inferieure a la somme des aires des rectangles circonscrits qui auraient pour bases les longueurs b,
iby
36,
...,
(n — 1 ) 6 ,
nb = B ,
la hauteur de chaque rectangle inscrit ou circonscrit etant la distance h entre deux paralleles consecutives. Done, si Ton prend pour valeur approchee de l'aire du triangle la somme des aires des rectangles circonscrits, savoir (22)
bh-i-2bh
+ ...-±-nbh
= bhS(n)
= ^ p
BH,
BH
Terreur commise sera inferieure a l'aire nbh = — du plus grand des rectangles circonscrits. Si maintenant on fait croitre indefiniment le BH
nombre /z, l'erreur commise — decroitra sans cesse, et la limite de 1'expression (21), qui sera, en vertu de la formule (18), (23)
^BH,
offrira la veritable valeur de l'aire du triangle propose.
88
RESUMES ANALYTIQUES.
Si Tun des angles adjacents a la base B devenait obtus, on arriverait encore aux memes conclusions en substituant aux rectangles ci-dessus mentionnes des parallelogranimes construits sur les memes bases, et dont les cotes pourraient etre paralleles a Tun des cotes du triangle donne. Considerons a present une pyramide a base triangulaire ou polygonale. Nommons B la base de cette pyramide, H sa hauteur, et divisons cette hauteur en n portions egales a
par n — i plans paralleles a celui de la base B. Les sections faites par ces plans dans la pyramide seront semblables a la base B, et les aires de ces sections seront respectivement by
(\b,
gb,
. ..,
(n —
i)2b,
la valeur dc b etant (25)
b
=JT*-
Cola pose, le volume de la pyramide sera evidemment superieur a la somme des volumes des prismes inscrits qui auraient pour bases les sections dont il s'agit, et inferieur a la somme des volumes des prismes circonscrits qui auraient pour bases les memes sections et la base de la pyramide, la hauteur de chaque prisme etant la distance h entre les plans de deux sections voisines, et ses cotes etant paralleles a une droite menee de Tun quelconque des points interieurs de la base B au sommet de la pyramide. Done, si Ton prend pour valeur approchee du volume de la pyramide la somme des volumes des prismes circonscrits, savoir (26)
W + 4M + 9 ^ + . . . + n*bh = bh S(/*2) = ^nP BH,
Terreur commise sera inferieure au volume n2bh = — du plus grand des prismes circonscrits. Si maintenant on fait croitre indefiniment le
RESUMES ANALYTIQUES.
8!)
RTT 1
nombn n9 Terreur commise — decroitra sans cesse, et la limite d
5BH,
offrira la veritable valeur du volume de la pyramide proposee. § X. — Formules pour revaluation des logarithmes. Developpement du logarithme d'un binome. En prenant les logarithmes neperiens des quantites que renferme la formule ( i 5 ) du § VII, on en conclut
On aura done, pour des valeurs positives de a, (2)
l(i +
a ) < a
ct (3)
_i(I_a)
=
Ajoutons que, en vertu de la formule (10) du § V, chacun des deux rapports qui constituent le premier et le dernier membre de la formule (1) aura pour limite l'unite, quand a deviendra infiniment petit. Soient maintenant x une quantite quelconque, n un nombre (kntier tres considerable, et
Le binome \-\-x sera le dernier terme de la progression arithmetique (5)
1,
1 4 - a,
i + 2a,
OFAivres de C. — S. II, t. X.
...,
n - ( w —j)a,
i +
«a, 12
90
RESUMES ANALYTIQUES.
ot I'on aura identiquement
D'autrc part, m etant un nombre entier compris entre les limites o, n, on aura '
l
i 4- m a
~^~ i-\- ma'
I+
(W +
I)«
'
i + (w + i)a'
et par suite les formules ( 2 ) , (3) donneront, pour des valeurs positives de x, (W +
+
a_ i - h /? ma
I)«1
i + /n«
J
(8)
De ces dernieres, combinees avec la formule (6), on tirera
les valeurs de 1M, lit, etant respectivcment ,
N
(10) ,
,,
11 =
a
1
H-a
,
a
i-f-2a
h . . -H
a
a
I+ (/I-I)C(
1
a
a
> i-h/ia a
Lorsque ^r et, par suite, a deviennent negatifs, la formule (9) doit etre remplacee par la suivante (12)
Si Ton prend pour valeur approchee de l(i 4- x) la quantite II 011 la demi-somme
L
(i 3)
:
1 (i 4 - x) =
» c'est-a-dire si Ton pose
i 4- a
1
-h. . . 4 i 4- 2 a
1 i ~j- ( n — i) a
°L i 4- a y.
KESUMES ANALYTIQUES.
91
ou bien
;
04)
2
i+ a
i + 2a
< 2
il est clair que l'erreur commise ne surpassera pas, dans le premier )
*i, — m — a
—
—
(XX
=
——-—->
et, dans le second cas, la moitie de cette valeur numerique. Done cette erreur deviendra infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de n ou, ce qui revient au meme, pour des valeurs infiniment petites de a, et l(i + x) aura exactement pour valour la limito vers laquelle converge le second membre de la formule (i3), tandis que a s'approche indefiniment de la limite zero. Lorsque la valeur de x est ronformee entre les limites — T, + I , c'est-a-dire lorsqu'on a .r s
06)
alors, en designant par m un nombre entier inferieur ou tout au plus ogal a n, on a generalement (17) y '
= a — m of + m- o? — mz ak + . . . , 1 4- m a
rt par suite la formule (i3) donne
011, ce qui revient au memo, ,S(/i)
,^(/i)
,S(/r)
Si maintenant on fait croitre indefiniment le nombre n, alors,
02
RESUMES ANALYT1QUES.
ayant egard aux formules (17), (18) du § IX, on reduira liquation (19) a la suivante T
(-.20)
l(i-h.r) = ^ —
7C
V
:
h -
^
+
Otto derniere fournit la valeur exacte de l(i -f- # ) , toutes les fois que la valeur numerique de x ne surpasse pas l'unite. Alors la serie (2.)
.r,
- ^ ,
- | ,
y,
"•
est necessairement convergente, ce qu'on peut demontrer directement, attendu que le coefficient an dc jcnf dans cette serie, etant reduit a
la valour numerique du rapport - ^ sera la fraction n H-
1
J
?
=H
a
n
qui, pour des valours croissantas de n, s'approche indefiniment de la Iimite 1. Ajoutons quo la serie (21) sera encore convergent^ pour .r = 1, et qu'on aura par suite
mais qu'elle deviendra divergente pour x = — i, ce qu'il rtait facile de prevoir, puisqu'on a (23)
1(0)
=-00.
Enfin, si dans la formule (20) on remplace x par —x, x1
=x
+
,r:i
on en tirora
,r''
_ + _ + _ + ....
Lorsque, a 1'aide dcs formules (i'3), (14) ou (20), on aura calcule la valeur exactc ou approchee de l(i + x), pour en deduire celle de
f
R E S U M E S ANALYTIQUES.
J3
la lettre L indiquant un logarithme pris dans le syslemr dont la base serait, non plus lc nombre e, mais un autre nombre quelconque A, il suffira de recourir a Tequation
L(I-J-J-),
L(i -+- x)
he _ L A _
_ i
IA 5
l(i-h.r) ~~I7 ~ T T ~ de laquelle on tiro L(n-.r)=LeI(i + *)
L(i + .r) = ^ j ^ 1 - •
ou
Si dans los formules (20) 01(2")) on remplace x par — > olios donnoront, pour dos valours numeriques de x inferieures a cellos do a, or
ic~
tv
2, LI
y'*
/'^ O LI
LL Lt
ot
(97)
L(« + x) = L« + f j - ^ + ^ - ^ + . . .
^ XI. — Developpement d'une puissance quelconque d'un binome. Comme on a idontiquement 1 -4- x = e 1 ( 1 + a ; ',
(J)
on en conclura, on ayant egard a la formule (20) du § X, el supposant la valeur numeriqiie de x inferieure a l'unite, (2)
2 + 3
1 -\- x = e
'*
+
'".
On aura done alors, quello que soit la valeur positive ou negative dr Texposant [/., / 3 \ 1 o 1
/ 1 y y
I - /y* \\}-> p r^ « ^ ^* — " *>
\
2
3
f
ot, par suite, X'>
X I
2
,
3
RESUMES ANALYTIQUES. l, ce qui revient au meme, {1+X)*=l+P(x-T X2
+
1--J
XZ
(5)
II Xk
, _l_ . 2 24
2
x* x'*
Or, dans l'hypothese admise, la somme xz
xa
eonservera line valeur finie et determinee quand on remplacera les differents termes dont cette somme se compose par leurs valeurs numeriques, et Ton pourra en dire autant des sommes que renferment les seconds membres des formules (4) et (5). Done alors la formule (5) entrainera la suivante = i -h \xx
2
2
(6) 1
4"
24
II/^2 ,
4r
'- r - • •
9
qui se reduit a 1.2.0
(7)
:-3) 1.2.3.
Pour determiner immediatement le coefficient de xtl dans lc second membre de Tequation (7), il suffit d'observer qu'cn vertu de la forrnule (4) ce coefficient sera une fonrtion entiere de \L du degre n, et que le meme coefficient, devant so reduire evidemmenl a zero pour les valeurs o, 1, 2, 3, . . . , n — 1 de Texposant [JL, puis a Tunite pour u. = 71, so oonfondra necessairement avec le rapport ix ((J. — 1 ) . . . ([x — n -f- 1) —
1.2. ..n
_
j
RESUMES ANALYTIQUES.
95
c'esl-a-dire avec la valeur de u que fournit l'equation ( 3 ) du § V, quand on y substitue la lettre [K a la lettre x. Si dans Tequation (7) on remplace x par — x et fj. par — JJI, on obtiendra la suivante (8)
(,-J)-|i=I J
.2
Cette derniere formule subsiste, comme l'equation (7), pour des valeurs numeriques de x comprises entre les limites x =1: 1.
x —— 1,
Si Ton considere, en particulier, le cas oil Ton a 2
les formules (7) et (8) donneront A
1
1
1.3
3
1.3.5
et / v (v J O )
l / ,~i (1 — x) - = 1 + -x-\ 2
i « 3 „2 1 . 3 . 5 .3 I.3.5.T , =7 d: H Q - ^ + 7 - 7 ^ + 2,4 2.^.6 2./J.6.8
L'equation (9) fournit le developpement en serie de la racine carree du binome 1 -+- x, quand la valeur numerique de x est inferieure a 1'unite. De meme, en pos&nt successivement \J~ = ^9 (J. = 7? •••» on deduirait de l'equation (7) les devcloppements en series de la racinr cubique, de la racine quatrieme, . . . de ce meme binome. Goncevons a present que Ton generalise les notations employees dans le § I, et que Ton destgne par
les coefficients de x11 dans les developpements des binomes (i^-x)v- et
(i-x)-v-
suivant les puissances ascendantcs et entiere» de x, [L representant
06
RESUMES ANALYTIQUES.
une quantite quelconque et n une quantite entiere, positive, nulle ou negative. Alors on aura, pour n > o,
1.2.
..a
i")
pour n = o, lors meme que [i. deviendrait nul,
entin, pour /? < o,
les formules (7), (8) poiirront s'eerire comme il suit
Si dans l'equalion (7) on remplace x par - , on obtiendra la suivante
1.2
OUe dcrniere, qui subsiste pour des valours numeriques do x inferiouros a cellos de a, est precisement ce que devient la formule (2) du § II quand on y remplace m par [x. § XII. —
Trigonometric.
lino longueur, comptee sur uneligne droite ou courbo, pout, comme loute ospoce de grandeurs, etre represontee soit par un nombre, soil par une quantite positive ou negative, savoirpar un nombre lorsqu'on a simplement ogard a la mesure de cotte longueur, et par une quanlile, e'est-a-dire par un nombre precede du signe + ou —, lorsquo Ton considero la longueur dont il s'agit comme portee a partir d'un
RESUMES ANALYTIOUES.
97
point fixe, sur la ligne donnee, dans un sens ou dans un autre, pour servir soit a Taugmentation soit a la diminution d'une autre longueur constante aboutissant a ce point fixe. Le point fixe dont il est ici question, et a partir duquel on doit porter les longueurs variables designees par des quantites, est ce qu'on appelle Y origine de cos memes longueurs. On peut choisir a volonte le sens dans lequel on doit compter les longueurs designees par des quantites positives; mais, ce choix une fois fait, il faudra necessairement compter dans le sens oppose les longueurs qui seront designees par des quantites negatives. Dans un cercle dont le plan est suppose vertical, on prend ordinairement pour origine des arcs Textremite 0 du rayon tire horizontalement de gauche a droite, et c'est en s'elevant au-dessus de ce point que Ton compte les arcs positifs, c'est-a-dire ceux que Ton designe par des quantites positives. Dans le meme cercle, lorsque le rayon so reduit a Tunite, la quantite positive ou negative s qui represente un arc sert en meme temps a representer Tangle au centre compris entre les rayons menes a Torigine et a l'extremite de cet arc. Alors, pour obtenir ce qu'on nomme le sinus ou le cosinus de Tare ou de Tangle s, il suffit de projeter orthogonalement le rayon mene a Textremite do Tare : i°sur le diametre vertical; 2° sur le diametre horizontal. Si Ton prolonge ce meme rayon jusqu'a la rencontre des tangentes menees a la circonference par le point 0, origine des arcs, et par Textremite superieure P du diametre vertical, les parties de ces tangentes interceptees entre la circonference et les points de rencontre seront co qu'on appelle la tangente et la cotangente trigonometrique de Tare s. Enfin les longueurs comptees sur le rayon prolonge entre le centre du cercle et les points de rencontre seront la secante et la cosecante du meme arc. Les sinus et cosinus, tangente et cotangente, secante et cosecante d'un arc ou d'un angle s sont co qu'on nomme ses lignes trigonometriques. On designe encore quelquefois sous ce nom deux longueurs appelees sinus verse et cosinus verse, dont la premiere est comprise entre Torigine do Tare s et la projection de Textremite de cot arc ORuvres de C. — S. II, t. X.
]
3
98
RESUMES ANALYTIQUES.
surle diametre horizontal, tandis que la seconde est comprise entre Textremite superieure du diametre vertical et la projection de l'extremite de Tare sur le meme diametre. Si Ton represente suivant l'usage par 7T= 3 , l 4 l 5 9 2 6 . . .
le rapport de la circonference au diametre, la circonference entiere, dans le cercle qui a pour rayon l'unite, sera exprimee par 211, la moitie de la circonference par u, et le quart par £• Cela pose, il est clair que, pour obtenir l'extremite de l'arc 011
s —
(n etant un nombre entier), il faudra porter sur la circonference, a partir de rextremite de Tare s, dans le sens des arcs positifs, ou dans le sens des arcs negatifs, une longueur egale a zniz, e'est-a-dire parcourir n fois la circonference entiere dans un sens ou dans l'autre, ce qui ramenera necessairement au point d'oii Ton etait parti. II en resulte que l'extremite de Tare S±
2 11 TT
coincide toujours avec celle de Tare s9 et que ces deux arcs ont precisement les memes lignes trigonometriques. D'apres ce qui a ete dit ci-dessus, le sinus ct le cosinus verse d'un arc se mesurent sur le diametre vertical, le cosinus et le sinus verse sur le diametre horizontal, la tangente trigonometrique et la cotangente sur les tangentes menees a la circonference par I'origine des arcs et par l'extremite superieure du diametre vertical, enfin la sec^nte et la cosecante sur le diametre mobile qui passe par l'extremite de Fare. De plus le sinus, le cosinus, la secante et la cosecante ont pour origine commune le centre G du cercle, tandis que I'origine 0 des tangentes et des sinus verses se confond avec Torigine des arcs, I'origine P des cotangentes et des cosinus verses etant l'extremite superieure du diametre vertical. Enfin on est generalement convenu de representer par des quantites positives les lignes trigonometriques de Tare s
RESUMES ANALYT1QUES.
99
dans le casou cet arc est positif et moindre qu'un quart de circonference; d'ou il suit que Ton doit compter positivement le sinus et la tangente de bas en haut, le cosinus verse de haut en bas, le cosinus et la cotangente de gauche a droite, le sinus verse de droite a gauche, enfin la secante et la cosecante dans le sens du rayon mene a l'extremite de Tare s. En partant des principes que nous venons d'adopter, on reconnaitra immediatement que le sinus verse et le cosinus verse sont toujours positifs, et de plus on determinera sans peine les signes qui doivent affecter les autres lignes trigonometriques d'un arc dont l'extremite est donnee. Pour rendre cette determination plus facile, on concoit le cercle divise en quatre parties egales par les diametres horizontal et vertical, et ces quatre parties sont respectivement designees sous le nom de premier, deuxieme, troisieme et quatrieme quart du cercle. Les deux premiers quarts de cercle sont situes au-dessus du diametre horizontal, savoir le premier a droite et le deuxieme a gauche. Les deux derniers sont situes au-dessous du meme diametre, savoir le troisieme a gauche et le quatrieme a droite. Cela pose, si Ton cherche les signes qui doivent etre attribues aux diverses lignes trigonometriques d'un arc autres que le sinus verse et le cosinus verse, suivant que Textremite de cet arc tombe dans un quart de cercle ou dans un autre, on trouvera que ces signes sont respectivement Dans Dans le i er quart de cercle. le 2e
Pour le sinus et la cosecante Pour le cosinus et la secante Pour la tangente et la cotangente...
-t— —
-f-f-
Dans le 3*. — —
Dans
le 4*. — —
On peut remarquer a ce sujet que le signe de la tangente et de la cotangente est toujours le produit du signe du sinus par le signe de cosinus. Deux arcs represents par deux quantites s, t sont appeles supplemerits Tun de l'autre, lorsqu'on a (j)
S-t-t
=
K.
100
RESUMES ANALYTIQUES.
Us seront complements l'un de l'autre si Ton a
V
2
'
Alors on se trouvera evidemment ramene a 1'extremite de l'arc
(3)
*=?-''
si Ton porte son complement /, dans le sens oil Ton comptait primitivement les arcs negatifs, non plus a partir de 1'origine commune 0 des arcs et des tangentes, mais a partir de 1'origine P des cotangentes qui coincide avec 1'extremite de Tare -• Done a la place d'un arc s on r
2
obtiendra son complement t, si, 1'extremite de Tare restant la meme, on transporte 1'origine de cet arc de 0 en P, et si Ton convient en meme temps de compter les arcs positifs, non plus dans le sens OP, mais dans le sens PO. D'ailleurs, en operant ainsi, on echangera evidemment le rayon CO mene a 1'origine des tangentes, et sur lequel se mesuraient les cosinus positifs, centre le rayon CO mene a 1'origine des cotangentes,. et sur lequel se mesuraient les sinus positifs. Done le cosinus, la tangente et la cosecante de Tare s se confondront avec le sinus, la tangente et la secante de son complement t, en sorte qu'on aura generalement s),
cots = tang (
s),
cosecs = sec(
s\>
Comme, dansle triangle rectangle qui a pour hypotenuse le rayon, et pour deuxieme cote le cosinus ou le sinus, le troisieme cote est evidemment egal au sinus ou au cosinus, on pcut affirmer que le sinus et le cosinus d'un meme arc s sont lies entre eux par 1'equation
De meme, en considerant le triangle rectangle qui a pour cotes la secante, la tangente et le rayon mene au point 0, ou la cosecante, la
RESUMES ANALYT1QUES.
101
cotangente etle rayon mene au point P, on trouvera sec2s — i -+- tang2s
(6) ou
cosec2s = 1 -+- cot2s.
(7)
Ajoutons que, ces triangles rectangles etant semblables entre eux, les cotes du premier ou les valeurs numeriques de coss, sins, 1
seront proportionnels aux cotes du second, c'est-a-dire aux valeurs numeriques de 1, tangs, sees,
et aux cotes du troisieme, c'est-a-dire aux valeurs numeriques de cots,
1, cosecs.
Done les valeurs numeriques des lignes trigonometriques tangs, sees, cots, cosecs
seront respectivement egales aux valeurs numeriques des rapports sins coss'
1 coss'
coss sins'
i sins'
et, comme elles seront positives ou negatives en meme temps que ces rapports (t>oz> ci-dessus le Tableau relatif aux signes), on aura necessairement /ox
(8)
sins taii2:s=: coss ,
, 1 s e c s = coss ?
coss 4 cots = -^—, sins
, 1 cosecs — sins
En fin sivs et cosivs, c'est-a-dire le sinus verse et le cosinus verse dr Tare s, seront evidemment determines par les formules (9)
sivs = 1 — coss,
cosivs = 1 — sins.
Done toutes les lignes trigonometriques d'un arc a peuvent etre facilement exprimees a l'aide du sinus et du cosinus de cet arc.
102
RESUMES ANALYTIQUES.
Les extremites du cosinus et du sinus d'un arc etant precisement les projections de l'extremite de Tare : i° sur le diametre horizontal, 20 sur le diametre vertical, il est aise de voir que les arcs s
et
—s
ont le meme cosinus, mais des sinus egaux et des signes contraires. Done (10)
cos(— s) — coss,
sin(— s) = — sins.
On trouvera de meme (u)
cos (7: + 5 ) = - coss,
sin(7r-+- s) = — sins
et generalement, en designant par 2^-1-1 un nombre impair quelconque, (12)
c o s [ s z b ( 2 A -4- I)TTJ = — cos^?,
s i n | > ± : (ik -+-1)71] — — s i n s .
On aurait, au contraire, en designant par ik un nombre pair, (13)
cos(5=b 2kiz) = coss,
sin (5 dz 2 kit) = sins.
Entin, si Ton remplaee s par — s dans les formules (11) et dans les suivantes (14)
cos( - — s) = sins, / \2
sin! \2
s ) = coss, /
on en tirera (15)
cos (TI — s) = —coss,
sin (TT — s) = sins
et (16)
cos( — h s ) =— sins, \2 /
sin ( — h s ) = coss. \2 /
On pourra done exprimer en fonetion de sins et de coss les sinus et cosinus des arcs 71
— s,
- zb s,
7rdzs,
sdzikn,
s d z (2k -4- I ) T T ,
et meme leurs autres lignes trigonometriques, dont les valeurs se de-
RESUMES ANALYT1QUES.
103
duiront aisement des formules ( 8 ) , ( 9 ) , combinees avec les equations (10), (11), (12), ( i 3 ) , (14), ( i 5 ) , (16). Observons encore que, s etant un arc quelconque, le rapport - sera necessairement compris entre deux termes consecutifs de la progression arithmetique ...,
— 3 , — 2,
— 1 ,o,
1,
2,
3,
...,
indetiniment prolongec dans les deux sens. Soit m le terme le plus voisin du rapport - , m designant une quantite entiere positive ou negative. On aura
£=m±9'
(17)
0 representant un nombre inferieur ou tout au plus egal a \\ puis, en posant, pour abreger, ± 6-n — a, on tirera de l'equation (17) s — m iz H- a,
(18)
a designant un arc positif ou negatif, mais renferme entre les limites _ ?, + - . Cela pose, les formules (12) et (i3) donneront 2
2
(19)
cos.? = cosa,
sin.s=sina,
si la valeur numerique de m est paire, et (20)
cos5 = —cosa,
sin5 = — sina,
si la valeur numerique de m est impaire. Concevons maintenant que a, (3 represented les deux angles aigus d'iin triangle rectangle. Ces angles etant complements Tun de l'autre, a, [3 seront deux quantites positives inferieures a - et liees entre elles par l'equation (21)
«+ P _ - -
104
RESUMES ANALYTIQUES.
Soient d'ailleurs a le cote oppose a Tangle a , b le cote oppose a Tangle p, et c Thypotenuse. Le triangle dont il s'agit sera semblable a tous ceux qui offriront les memes angles, par consequent a celui qui, dans le cercle decrit avec un rayon equivalent a Tunite, aurait pour premier cote le cosinus de Tare a, et pour hypotenuse le rayon mene a Textremite de cet arc, le second cote etant alors egal a sin a. Done les cotes a,
b, c
du premier triangle seront proportionnels aux cotes homologues du second, e'est-a-dire aux trois quantites sin a = cos [3,
cos a = sin [3,
i,
en sorte qu'on aura (22)
a
-—— —
sina
b
— c,
cosa •
Lorsque des cinq quantites a,
(3, a,
b, c
deux sont donnees, on peut aisement, a Taide des formules (21), (22), determiner les trois autres, pourvu que los quantites donnees no soient pas.les deux angles a, (3. En effet, si Ton donne un des angles a, p, Tautre se deduira immediatement do Tequation (21). Done alors Tangle a sera connu, et, si Ton donne on outre une dos trois longueurs a9 b, c, la formule (22) fournira los valours dos doux autres. On trouvora, en particulier, si a est connu, (23)
b — acotcc,
c = rtcoseca;
si b est connu, ( 2 4)
^/ = ^tanga,
c = Z>seca,
et, si c est connu, (25)
a = csina,
b~ccosot.
RESUMES ANALYTIQUES.
105
Si Ton donnait deux des trois longueurs a, b, c, on determinerait immediatement Tangle a par Tune des trois equations / -v
.
v 2 o)
a
sin a =—5 c
b
cos OL = — > c
a
tanga=—? b
puis on obtiendrait la troisieme longueur en operant comme dans la premiere hypothese. Deux droites tracees arbitrairement dans Tespace sont censees former entre elles les memes angles que formeraient deux autres droites paralleles aux premieres et passant par un meme point. Gela pose, etant donnees deux droites, situees ou non dans un meme plan, qui comprennent entre elles Tangle aigu a, et une longueur c mesuree sur la premiere droite, si Ton projette orthogonalement cette longueur : i° sur la seconde droite, 2° sur une droite qui soit perpendiculaire a la seconde dans un plan mene par celle-ci parallelement a la premiere, les deux projections se reduiront evidemment aux deux cotes a, b d'un triangle rectangle dans lequel Thypotenuse egale a c formerait avec le cote b Tangle a. Par suite, on deduira de la seconde des equations (24), jointe a la seconde des equations (25), le theoreme que je vais enoncer. TIIEOREME I.
— Une longueur c mesuree sur une droite est equivalente a sa projection sur un axe quelconque multipliee par la secante de Vangle aigu a que cette droite forme avec Vaxe. La projection elle-meme equivaut a la longueur c multipliee par le cosinus de Vangle OL. Gonsiderons a present, dans un cercle dont le rayon serait R et le diametre Tare compris entre deux rayons qui formeraient entre eux un angle double de Tangle aigu a. Get arc sera represents par 2a si R se reduit a Tunite, par 2Ra dans le cas contraire; et, si Ton nomme a la corde de ce meme arc, {a sera le cote oppose a Tangle a dans le triangle rectangle qui aura pour hypotenuse Tun des rayons ci-dessus menOEuvres de C. — S. II, t. X.
'4
106
RESUMES ANALYTIQUES.
titmnes. Celapose, on tirera de la premiere des formules (25), en y remplacant a par {a et c par R, (27)
f r t= R s i n o c ,
a =
2
D
i
par consequent a
sina
=D.
D'ailleurs, les deux portions de la circonference situees de part et d'autre de la corde a seront evidemment des segments capables des angles a, IT — a, qui offrent le meme sinus. On peut done enoncer la proposition suivante : II. — Dans un cercle quelconque, le rapport qui existe entre la corde dun arc el le sinus de lout angle inscrit dont les cotes comprennent entre eux ce meme arc equivaut au diametre. THEOREME
Soient maintenant a, b, c les trois cotes d'un triangle quelconque, et a, p, y les angles opposes a ces cotes. Les quantites a, (3, y, toutes trois positives et inferieures a TT, seront liees entre elles par liquation (28)
a -+- (3 + y = 7T.
De plus, si Ton nomme D le diametre du cercle circonscrit au triangle, on aura, en vertu du theoreme II, ( 2Q )
~~;
sin a
;
-~:
snip
;
ZZZ \j
.
siny
Enfin, si, en prenant le cote c pour base du triangle, on nomme h sa hauteur, a, b deviendront les hypotenuses de deux triangles rectangles qui auront pour cote commun la hauteur A, les angles opposes a ce cote commun etant respectivoment Tangle [3 ou son supplement 7: — p (\t Tangle a ou son supplement T: — a. Dour, en ayant ogard aux formules sin(7T— a) — sina,
s i n (71 — (3) = s i n (3,
RESUMES ANALYT1QUES.
107
on trouvera, dans tous les cas, (30)
A — a sin[3 = b sina.
Ajoiitons que la base c du triangle donne sera evidemment egale a la somme des cotes non communs des triangles rectangles, si les deux angles a, (3 sont aigus, et a la difference des memes cotes, si Tun de ces angles, a par exemple, devient obtus; d'oii il suit qu'on aura, dans le premier cas, (31)
c = a cos (3 -+- b cos a
et, dans le second cas, c = <2cos|3 — b COS(T: — a).
Or, en combinant la derniere formule avec Tequation cos(7i — a) = — cos a,
on retrouve precisement la formule (3i), qui est ainsi demontree, lors meme qu'un des angles a, (3 cesse d'etre aigu. Lorsqu'on pose y = -> les formules (28) et (29) se reduisent, comme on devait s'y attendre, aux formules (21) et (22). Observons encore que la formule (3o) entraine evidemment l'egalite des rapports a sin a
b sin (3 ^
et s'accorde ainsi avec la formule (29). Lorsque dans un triangle on donne trois des six elements a,
b,
c,
a,
(3,
y,
on peut aisement determiner les trois autres a l'aide des formules (28), (29), (3o), (3i), pourvu que les elements donnes ne soient pas les trois angles a, [3, y. Dans cette derniere hypothese, on ne pourrait evidemment determiner que les rapports existants entre les cotes. Mais, si Ton donne un cote a avec deux angles, apres avoir calcule le troisieme angle a l'aide de la formule (28), on connaitra certainement
108
RESUMES ANALYTIQUES.
a et a, par consequent v
a sin a
}
par le moyen de laformule (29), de laquelle on tirera (33)
b — Dsin(3,
c= \
Si Ton donne deux cotes b, c, avec Tangle (3 oppose a Tun d'eux, on connaitra encore (34)
sin(3
puis, on obtiendra successivement y, a et a par le moyen des formules (29) et (28), desquelles on tirera (35)
siny = —>
a = T. — (P + y),
a=Dsina.
Si Ton donne deux cotes b et c avec Tangle compris a, alors, pour determiner a et (J, on aura les formules (3o) et (3i) ou ( a sin (3 = Z^sina, (36)
M
f a cos(3 =: c — b cosa,
avec la suivante (3 7 )
cos 2 [3-hsin 2 p = i,
et Ton en conclura : i° en eliminant a (38)
COt(3 =
|
2 0 en eliminant [5 (39)
a- = 6 2 + c 2 - 2 6c cos a.
D'ailleurs, p etant connu, on pourra calculer y et a comme dans le cas precedent. Enfin, si Ton donne les trois cotes a, 6, r?, on determined
RESUMES ANALYTIQUES.
109
l'angle a par le moyen de l'equation ( 3 g ) , de laquelle on tire (4o)
puis D, (3 et y par le moyen de la formule (32) jointe a celles-ci (40
sin(3=^>
y=
n-(a-hP).
Lorsque dans la formule ( 3 i ) on substitue les valeurs de a, b, c tirees de la formule (29), savoir
on en conclut siny — sin a cos[3 -t- sin [3 cos a.
En combinant cette derniere avec la formule (28), de laquelle on tire siny = sin(7i — a — (3) m sin (a + (3),
on trouvera (42)
sin (a -h (3) = sin a cos (3 4- sin.(3cosa.
La formule ( 4 2 ) s ^ trouve ainsi demontree dans le cas oil a, [5 sont deux quantites positives propres a representer deux angles d'un triangle quelconque, c'est-a-dire deux quantites positives dont la somme ne surpasse pas le nombre IT. Elle subsistera done, si a et [3 sont deux angles aigus; et de plus, si, a, (3 etant deux angles aigus, on remplace clans l'equation ( 4 2 ) a P a r TC — a, la formule ainsi obtenue, savoir sin(7r — a - h | 3 ) = s i n ( 7 r — 2 ) cos (3 + sin (3 COS(TT — a ) ,
ou (43)
sin (a — (3) = sin a cos (3 — sin (3 cos a,
subsistera certainement dans le cas oil -R — a -f- (3 sera inferieur a IT, c'est-a-dire dans le cas ou Ton aura a>(3.
110
RESUMES ANALYTIQUES.
D'ailleurs, en ayant egard aux equations sin(— a) =— sin a,
cos(— a) = cosa,
sin(— (3) = — sin (3,
cos(— (3) = cos [3,
sin (— a — (3) = — sin (a -f- (3), sin(— a + ( 3 ) = — sin (a — (3),
on reconnaitra sans peine : i° que, pour obtenir l'equation (43), il suffit de remplacer dans l'equation (42) (3 par — [3; 20 qu'on n'altere point les formules (42) et (43) quand on y remplace simultanement a par — a et (J par — p. Done la formule (42) subsiste pour toutes les valeurs positives ou negatives de a et de (3 renfermees entre les limites
>H 2
2
Soient maintenant .r, j deux arcs quelconques positifs ou negatifs. D'apres ce qui a ete dit plus haut, on aura (44)
x r=z
m, n designant deux quantites entieres positives ou negatives, et a, (3 deux quantites comprises entre les limites — TC, -h TT. Cela pose, pour passer de l'equation (f\i) a la suivante (4-5)
sin (a? + (3) = sinx cosp + sin [3 cosx,
il suffira d'observer que Ton a sin ( m r . -\- a -f- (3) = sin ( a -+- (3), sin (/?i7T -h a ) cos (/?* 7T -I- a)
= sin a, = cos a,
quand w est pair, et s i n (;?z7T + a - h ( 3 ) : = — s i n ( a -+-(3), s i n ( m r r -+- a ) ( h a )
= — sin a, = — cos a,
quand /TZ est impair. Par la meme raison, de la formule (45) on deduira immediatement celle-ci (46)
sin(a? -+-r) — s i n ^ c o s j -
RESUMES ANALYTIQUES.
Ill
Si dans cette derniere on remplacey par — y, elle donnera (47)
sin(# — / ) = s\nx cos/ — s i n / cos^r.
Enfin, si dans les formules (46) et (47) on remplace x par - — x, on en tirera (48)
cos(x — y) = cosx cosj 4- sinx sin/,
(49)
cos(^r 4-/) = cos# cos/ — sin^r sin/.
Les formules (47% (48), (49) subsistent, comme la formule (46), pour des valeurs quelconqiies positives ou negatives des arcs x et y. Les formules (46), (49) pouvant s'ecrire comme il suit sin (x 4-/) = (tang3? 4- tang/) cosx cos/, eos(.r 4-/) = (1 — tang^r tang/) cos.# cos/,
on en conclut, en divisant la premiere par la seconde, /cr v (5o)
/ t a n g ( x 4- r ) =
tanc:.r 4 - t a n pg jLv - —5
t — tangxtang/
puis, en remplaganty par — y, b
^
tang.r— tang/ 1 4-tang^tang/
De plus, si dans les formules (46), (49% (5o) on pose 7 = a?, elles donneront (52)
s i n 2 ^ = 2 sin^r cos^r,
(53)
cos2^7 = cos2^? — sin2^r = 2 c o s 2 ^ — 1 = 1 — 2 sin 2 ^,
,?>,, (54)
. tang2.r=:
2tanu\r ——
On tire encore des formules (46), (47% (48), (49) sin (x 4 - / ) 4- sin (x — / ) = 2 sin x c o s / , sin (x 4 - / ) — sin (x — y) — -'2 sin / cosx, (55)
< COS(cT — / ) 4- COS(^ 4 - / ) = 2 COS^r COS/,
— y) — cos(^ 4 - / ) ~ 2 sin x sin / ;
RESUMES ANALYTIQUES. puis, en posant
c
ou, ce qui revient au meme,
on en conclut sin/? —sin? _ tang{(^> — g)
sm/> (56) S/> COS ? -hCOS/>
En combinant la premiere des equations (56) avec la formule (29), on trouvera y
tang{((3 — y) _ sin (3 — siny ___ b — c tang ^((3 -h y) ~~ sin (3 -1- siny ~ 6 + c
Or, de cette derniere, jointe a l'equation (28), on deduira les suivantes (58)
•.
tang-
fl2
— T ~: *- —
o u i —-, cot
0 -t- C
2
a l'aide desquelles on peut dans un triangle determiner immediatemcnt les angles (3 et y? quand on connait Tangle a et les cotes qui le comprennent. Les formules (52) et (53) donnent (5g)
sin a = 2 sin - c o s - , 2
(60)
2
cosa =: 2 c o s 2 - —.1 =1 — 2 sin2 - • 2
2
En combinant la formule (60) avec l'equation (3g), on trouve (6i)
a" 2 = (6 H- c ) 2 — 2 6c cos 2 - = (b 6c s i n - - ; (6 — c ) 2 - h 2 6
RESUMES ANAL\TIQUES.
113
puis, en observant que, dans un triangle quelconque, on a a
0
7r
< < 2 2
et que, en consequence, a
.
a
Sill - 5 C O S 2 2
doivent etre positifs, on tire des formules (6i) et (59) (62)
cos * = I R a + ft+^ + be 2 2I
c - ^ J 1
/£I9v
. OL
(63)
1 [(a-+-b
sin - — - : 2 «,•
2L
— c) (a —
b-+-c)~]2
'—
'
^c
J
,
__ l"(ff H- 6 H- Q (6 -t- c — ^) (c + a — 6) (a -hft—
Chacune des formules (62), (63), (64) peut etre substitute avec avantage a la formule (4o), quand il s'agit de determiner les angles d'un triangle dont on connait les trois cotes a% b, c. Si d'ailleurs on nomme h la hauteur du triangle, le cote c etant pris pour base, la surface -ch sera, en vertu de la formule (3o), egale a - be sin a, 2
et, en vertu de la formule (64), a ys(s — a) (s —ft)(s — e),
s representant le demi-perimetre
a -+-ftH- c
Tantquel'arca restepositifetinferieur a?u, alors, cos- et sin- etant necessairement positifs, on tire de la formule (60) a
(6o)
)s- = i / cos-
\>
/i-hcosa
\
2
9
.a \• sin-=i/ —
2
y
A Taide de ces dernieres equations reunies a la formule COST: = — 1, on determinera sans peine les sinus et cosinus des arcs representes OFAivrcs
de C. — S I I , t . X .
T
^>
114
RESUMES ANALYTIQUES.
par le troisieme, le quatrieme, . . . terme de la progression geometrique 71
(66)
7T
2 7 1 , -7T, - ,
71
^
g>
En y joignant les sinus et cosinus des arcs TC et 2ir, on trouvera 7T
71
COS27T = I ,
COS7T = — I ,
C0S-=O,
sin 2TT=:O,
sin7r=:o,
sin-—i, 2
I
7T _
COS r — —-7
2
'
q
V 2 + \j 1
COS- —
y/2
;
2
°
(6;: . 7 1
.
7T
sin
I
. 71
= —> 4 y/2
sin -5 =
7
On aura par suite 7T
(68)
/
A
(60)
tang27- = o, >
V
tan^7r = o,
,
,
sec27i = i ,
I
7T
t a n g - = - ? 2 0 2O ,
s e c 7 i = — 1,
7
T
I
,
7
°
1
/
-
,
7
1
2
sec — r=
v
4
/ 2 —
t a n g ^ 8^24-^/2
sec7—v/2>
s e c - = -> 2
71
t a n g - = i , °4 4
8
_
=?
\/a+v/2
On peut encore determiner facilement les sinus et les cosinus des arcs compris dans la progression geometrique 2 71
71
7T
7T
et d'abord, comme dans un triangle Tegalite des trois cotes a, b, c entraine l'egalite des trois angles a, (3, y, on conclura de la formule (28) que j represente un quelconque des angles d'un triangle Equilateral. Gela pose, on tirera des formules (4o)» (t>4)» ^ n y faisant a = b — c, j
7T —
COSTT
_ j
2
3
.
7T
J.
sin --
2
etdeces dernieres, reunies aux equations (02), (53), (65), on deduira le systeme des formules COS
7T
— —> 2
7T
cos-
0
2
COS
12
-i
7T
V 2 — \/3
12
2
(70 .
2 7T
sin ^ -
sin
7T
3
2
sin -
I 2
sin
RESUMES ANALYTIQUES.
115
On aura par suite ( 72)
tang^ =-N/3,
tangly/3,
173)
s6c^=-2,
sec^=2,
5
3
3
tangj = - 1 , b V3
tang-^ =
sec£ = 4 , 6 v/3
sec^ =
I2
I2
Au reste, on peut etablir directement la formule .
71
7T
2TT
I
sin ^ = cos 7; ~ — cos - - r= - ,
en observant que Tare rr a pour complement ^ pour supplement -„-? et que 2sin^ represente le cote de Thexagone inscritau cercle dont le rayon est l'unite. Observons encore que, si Tare 2a est renferme entre les limites o, T:, cet arc, dans le cercle qui a pour rayon l'unite, sera necessairement plus grand que sa corde 2 sina et plus petit que la somme 2 tanga des deux tangentes menees par ses extremites et prolongees jusqu'a leur rencontre mutuelle. On aura done alors 2 sin a < 2 a < 2 tans: a = 2
sina •> cosa
puis on en conclura a
K < sina
1
cosa
ou, ce qui revient au meme, (74)
1>
sina
>cosa.
Gette derniere formule, n'etant point alteree quand on y remplace a par — a, subsistera certainemen t pour toutes les valeurs de a comprises entre les limites — - , -• II est d'ailleurs facile de s'assurer qu'elle 2
2
*
s'etend a toutes les valeurs de a renfermees entre les limites — - , H-u.
Si maintenant on suppose que la valeur numerique de a diminue et
116
RESUMES ANALYTIQUES.
s'approche indefiniment de la limite zero, on aura (-5)
limcosa — i .
Par suite, la formule (74) donnera (-(-">)
lim
sina
= 1,
et de cette derniere, combinee avec Tequation (7 )), on tirera encore sin a lim
=1,
a cosa
ou, ce qui revient an meme, (77)
lim-~^ =1. § XIII. — Des expressions imaginaires et de leurs modules.
En Analyse, on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison do signes algebriques qui ne signifie rien par elle-meme, ou a laquelle on attribue une valeur differente do celle qu'elle doit naturellement avoir. On nomme de meme equations symboliques toutes colles qui, prises a la lettre et intcrpretees d'apres les conventions generalement etablies sont inexactes, ou n'ont pas do sens, mais desquelles on peut deduire des resultats exacts, en modifiant et alterant selon des regies fixes ou c(ks equations elles-memes ou les symboles qu'ellcs renfermont. L'emploi des expressions ou equations symboliques est souvent un moyen de simplifier les calcnls ct d'ecrire sous une forme abregec des resultats assez compliques en apparencc (Test ce qu'on a deja vu dans le § IV, ou la formule (l\\ Vfournit une valeur symbolique trcs simple de I'inconnue x assujettic ii vrritior l(^s equations (39). Parmi les expressions ou equations symboliques dont la consideration est de qnelquc importance on Analyse, on doit surtout distingucr cellos que Ton a nominees imaginaires. Nous allons inontrcr comment Ton pout otro conduit a on faire usa^o.
RESUMES ANALYTIQUES.
117
D'apres ce qu'on a vu dans le paragraph?, precedent, le sinus et le cosinus de Tare x-hy sont donnes en fonction des sinus et cosinus des arcs x et y par le moyen des formules (0
-+-/) = cos^rcos/ — sinxsin/, sin (x -+- y) = siiur cos/ -h sin / cos.r.
Or, sans prendre la peine de retenir ces formules, on a un moyen fort simple de les retrouver a volonte. II suffit, en effet, d'avoir egard a la remarque suivante : Supposons que Ton multiplie Tune par l'autre les deux expressions symboliques cos.r- -+- \J— i $\nx, cos/ -i- \J— r sin / ,
en operant d'apres les regies connues de la multiplication algebrique, comme si y — i etait une quantite reelle dont le carre fut egal a -— i. Le produit obtenu se composora de deux parties : Tune toute reelle, Tautre ayant pour facteur sj — i; et la partie reelle fournira la valeur de cos( x -+-y ), tandis que le coefficient de \j — i fournira la valeur de sin(# -+-y ). Pour constater crtte remarque, on ecrit la formule + 7 ) n- V— [ sin( (2)
= ( cosx 4- \j— J sin x) ( cosy 4- \/— L sin/ ).
Les trois expressions que renferme l'equation precedente, savoir \J— 1 s i n . r ,
cos y -+- \ — 1 sin 1*,
c o s ( x -\-y) 4 - v' — J s i n ( , r
-+-y).
sont trois expressions symboliques qui ne peuvent s'interpreter d'apres les conventions generalement etablies, et ne represontent rien de reed. On les a nominees pour cette raison expressions imaginaires. L'equation (2) elle-meme, prise a la lettre, se trouve inexacte et n'a pas dr sens. Pour en tirer des resultats exacts, il faut, en premier lieu, developper son second membre par la multiplication algebrique, ce qui
118
RESUMES ANALYTIQUES.
reduit cette equation a cos(\r •
— cos # cos j — sin^?sin/-h (sin^cos/ ~f- sin/cos#)v^~ i.
II faut, en second lieu, dans 1'equation (3), egaler la partie reelle du premier membre a la partie reelle du second, puis le coefficient de V — i dans le premier membre au coefficient de \j — i dans le second. On est ainsi ramene aux equations (i), que Ton doit considerer comme implicitement renfermees l'une et Tautre dans la formule (2). En general, on appelle expression imaginaire toute expression symbolique de la forme a, b designant deux quantites reelles, et Ton dit que deux expressions imaginaires a -h b\ — 1 ,
c -\~ d \]— 1
sont egales entre elles lorsqu'il y a egalite de part et d'autre : i° entre les parties reelles a et c; i° entre les coefficients de y— 1, savoir b et cL L'egalite de deux expressions imaginaires s'indique, comme celle de deux quantites reelles, par le signe ~ , et il en resulte ce qu'on appelle une equation imaginaire. Cela pose, toute equation imaginaire n'est que la representation symbolique de deux equations entre quantites reelles. Par exemple, 1'equation symbolique a -u b\
-1-- c •+• dsj— [
equivaut seule aux deux equations reelles a -.= c,
b = cL
Lorsque dans 1'expression imaginaire a -\- b V
1
le coefficient b de \j — 1 s'evanouit, le terme bsl-~i est cense reduit a zero, et IVxpression elle-meme a la quantite reelle a. En vertu de
RESUMES ANALYTIQUES.
119
cette convention, les expressions imaginaires comprennent, comme cas particuliers, les quantites reelles. Les expressions imaginaires peuvent etre soumises aussi bien quo les quantites reelles aux diverses operations de l'Algebre. Si Ton effectue en particulier l'addition, la soustraction ou la multiplication (Tune ou de plusieurs expressions imaginaires, en operant d'apres Jes regies etablies pour les quantites reelles, on obtiendra pour resultat une nouvelle expression imaginaire quiseracequ'onappellela^o/wme, la difference ou le produit des expressions donnees. Par exemple, si Ton donne seulement doux expressions imaginaires a -f- h \ — i , c + d v — i , on trouvera (i)
(a-\-b v/-^i) 4- (c + d\J'--i) — a -+- c -t- ( b -+- d ) \J~~i,
(5)
{a + bsj~^~i) — (c -hd\f^1)=
(6)
(a -h b\J— i) x (c + d\j~ i ) .-_= ac— bd-f- {ad^- bc)\J!— i.
a — c -+- ( b — d ) \J~i ,
II est bon de remarquer que le produit de deux ou plusieurs expressions imaginaires, comme celui de deux ou plusieurs binomes reels, restera le meme, dans quelque ordrc qu'on multiplie ses differents facteurs. Diviser une premiere expression imaginaire par une seconde, e'est trouver une troisieme expression imaginaire qui, multipliee par la seconde, reproduise la premiere. Le resultat de cette operation est le quotient des deux expressions donnees. On se sert pour l'indiquer du signe ordinaire de la division. Ainsi, par exemple, a -f- b\l— i c -h d \J— i
represente le quotient des deux expressions imaginaires a H- b \ - i, c -+- d\[^~i. Elever une expression imaginaire a la puissance du degre m< m designant un nombre entier, e'est former le produit de m facteurs egaux a cette expression. On indique la puissance rri*me de a -f- b \ — i
120
RESUMES ANALYTIQUES.
par la notation ( a 4- by — i)'".
On dit que deux expressions imaginaires sont conjuguees Tune a l'autre, lorsque ces deux expressions ne different entre elles que par le signe du coefficient de \f^i. La somme de deux semblables expressions est toujours reelle ainsi que leur produit. En effet, les deux expressions imaginaires conjuguees a 4- by'— i,
a— by— i
donnent pour somme ia et pour produit a2 4- b2. La derniere partie de cette observation conduit a un theoreme relatif aux nombres et dont voici Tenonce : THEOREME
I. — Si Ton multiplie l'un par Vautre deux nombres entiers
dont chacun soit la somme de deux carres, le produit sera encore line somme de deux carres. Demonstration. — Soient a- 4- b1,
r- -+- d2
les deux nombres entiers dont il s'agit, a2, b2f c2, d2 designant des carres parfaits. On aura evidemment les deux equations (7)
j (a-+-b y - i ) ( c + d\J— i ) — ac — bd 4- (ad n- be) y— r , ) ! (a — b\l— i ) (c — dsj~i) = ac — bd — (ad -+- bc)\!~i,
rt, en multipliant celles-ci membre a membre, on obtiendra la suivante <8)
(« 2 4- b'1) (c2-hd-)
-1 (ac — bd)2-}- (ad 4- be)2.
Si Ton echange entre elles dans cette derniere les lettres a et b, on trouvera <^9)
(a2-4-b2) (c2-hd2) - • ( ac + bdf+
(ad— be)\
II y a done, en general, deux manieres de decomposer en deux carres
RESUMES ANALYT1QUES.
121
le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme do deux carres. Ainsi, par exemple, on tire des equations (8) et (9)
On voit par ces considerations que Temploi des expressions iniaginaires peut etre d'une grande utilile, non seulement dans TAlgebre ordinaire, mais encore dans la theorie des nombres. Quelquefois on represente une expression imaginaire par line seulo lettre. (Test un artifice qui augmente les ressources de l'Analyso et dont nous ferons souvent usage. Une propriete remarquable dc toute expression imaginaire a -h b\j— 1, o-'ost de pouvoir so mettre sous la forme p(cos0 -h sl — 1 sinfl ), 0 designant une quantite positive et 0 un arc reel. En effet, si Ton pose Tequation symbolique (10)
a -4- b\j— 1 = p(cos9 4- v^—
1
sin^)
ou, 00 qui revient au meme, les deux equations reelles (11)
a=zpcos9,
^ = psin^,
on tirera (r>)
p — s/a'-^-b-,
et, apres avoir ainsi determine la valeur du nombre p, il no restera, pour verifier completement les equations (10), qu'a trouver un are 0 dont le cosinus et le sinus soient respectivement
Or on tire des formules (i3) sin i
122
RESUMES ANALYTIQUES.
D'ailleurs si Ton designe generalement par la notation arctang^r
Tare qui, ayant x pour tangente, offre la plus petite valeur numerique possible et se trouve en consequence renferme entre les limites 7T
71
2
2
on verifiera la formule ( i 4 ) en posant b Oz=miz-\- arc t a n g - ?
(15)
n representant une quantite entiere positive ou negative. Enfin, comme tout arc renferme dans les limites
> H— a un cosinus po2
2
r
sitif, on peut affirmer que Tare G determine par la formule (i5) offrira un cosinus positif si n est pair*e'est-a-dire si Ton a (16)
9=±. 2A:: -j- arc tang-> a
k etant un nombre entier quelconque, et un cosinus negafif si n est impair, e'est-a-dire si-Ton a (17)
Q-=z±(ik -\-\)T»-\- arc tang--
C,ela pose, de Tequation (i4)» presentee sous la forme sin 0
on deduira immediatement la formule cos^
sin#
el, par consequent, les equations (r3), pourvu que Ton determine 0 f 1 ) En general, de la formule
5 a
=
P= Y b
c
=
'' '!
RESUMES ANALYTIQUES.
123
par la formule (16) quand a sera positif, et par la formule (17) quand a sera negatif. Dans Tune et l'autre hypothese, le nombre entier k pouvant recevoir une infinite de valeurs, on obtiendra aussi une infinite de valeurs de G propres a verifier les formules (11) ou, ce qui revient au meme, les formules (10). En resume, si Ton pose • ox
/
i.!&)
b
p —y/a 2 4-&,
J = arc t a n g a- ?
et si Ton designe par k un nombre entier quelconque, on aura, dans le cas oil a sera positif, (19)
a 4- b\/— 1 = p [ c o s ( C : ± 2kn)-+- \/— 1 sin(£
par consequent (20)
a 4- b\J— i = p(cos?4- \J— isinC) (cos2A~7r ± sj— 1 sin2 ATT),
et, dans le cas oil a deviendra negatif, (21)
a -+- b\J— i = p j c o s [ C = t ( 2 A" - M ) T T ] + v / — ^ s i n [ ? ± ( 2 A- 4 - I ) T T ] j ,
par consequent (22)
a-hb \/^~i = p(cos?4- \f^i
sin?)[cos(2A-4-i)7r±: \/^T s i n (2 A- 4-1) 7: | .
Comme on a d'ailleurs (•i3) (24)
cos2 Am 4- \J—J si cos ( 2 k 4 - J ) 7 T ± : v/— 1 sin (2 A'4- I)TU = — I ,
dans laquelle a, p, y, . . . , a, b, c, . . . represented des quantiles quelconques, on lire
ai
- fa-
ca
^ (fl 4- ^ 4- r2 4- - . .
et, par suite,
- = £ = 1 =
~ ^
-=b v/«2
... —
^-
le double signe ± devant etre nkhiit au signe 4- quand la fraction - est positive, el au signe — dans le cas contraire.
124.
RESUMES ANALYTIQUES.
les formules (20), (22) donneront, si a est positif,
et, si a est negatif, (26)
a +
Au reste, il est facile de voir que la formule (19) coincide avec l'equation ( 2 J ) , etla formule (21) avec Inequation (26). Lorsque 1'expression imaginaire a 4- b \j — 1 se trouve ramenee a la forme p(cos-5 -+- v^—~i sin^), la quantite positive p e&t ce qu'on appelle le module de cette expression imaginaire. Comme des quantites^, b supposees connues on ne deduit pour le module p qu'unc valeur unique determinee par la formule (12), on peut evidemment enoncer la proposition suivante : THEOREME
II. — L'egalile de deux expressions imaginaires
entraine
toujours Vegalite de leurs modules. II suit encore de la formule (12) que deux expressions imaginaires eonjuguees
a-\-b\J—1,
a — b\J-r~\
ont pour module commun la racine carree de leur produit. Lorsque, b etant nul, Texpression imaginaire a -1- b y— 1 se reduit a la quantite reelle a, la formule (12) donne simplement >=
da1.
Ainsi le module (Tune quantite reelle a se reduit a sa valeur numerique sja1. Toute expression imaginaire qui a zero pour module se reduit elle-meme a zero, et reciproquement, comme le sinus et le cosinus d'un arc ne deviennent jamais nuls en meme temps, il en resulte qu'une expression imaginaire ne peut so reduire a zero qu'aulant que son module s'evanouit. Observons enfin que les definitions donnees dans le § III des va-
RESUMES ANALYTIQUES.
125
riahles infiniment petites et infiniment grandes, des fonclions continues ou discontinues, explicites ou implicites, entieres ou fractionnaires, etc., doivent etre etendues au cas meme ou les variables et Irs fonctions dont il s'agit deviennent imaginaires, Toute expression imaginaire dont le module se reduit a l'linile, etant de la forme cos.r -+- \J— i s i n . / ,
on effectucrasans peine la multiplication, la division ou relevation a des puissances entieres d'une ou plusieurs expressions imaginaires qui auraient. l'unite pour module. En effetde la formule (2) on deduil immediatement la suivante ( c o s . ? - - H \J— 1 s i n . / - ) ( c o s y 4 - y/— 1 s i n r ) ( c o s ; -f- \J— 1 s i n z). =
..
c o s ( . r + / + ; + . . . ) + y/— 1 s i n (
quel que soit le nombre m des variables x, y, z, de la formule (2), en y rempla^ant .r par x — v,
De plus on lircra
[ c o s ( ^ — y) -+- \J— 1 sin(.r — y ) ] ( cos y -+-\''— 1 s i n j ) =z cos./' + \J— 1 sin./-,
ou, co qui revient au memo, / ox (2<S)
cos./' -+- \l— 1 sin r ^__ cos y ~\~ y— 1 s i n y
/ . cos (.r — v) 4- v — l sin (./• — y ) ;
et, de la formule ( 2 7 ) , en posant x =y — z = *.., (29)
( cos,r -h \J— 1 s i n . r ) m i = c o s m . r -+- \''— i sin/?*./.
Cola pose, il deviendra facile d'effecluor la multiplication, la division ou relevation a des puissances entieres d'unc ou de plusieurs expressions imaginaires dont les modules ne se reduiraient pas a Tunite. Car, si Ton pose a H- b \/~^~i = p (cos0 -+- v/— 1 sin9), a>+. v
v / z r ^ = p'(cos0 ; + s/^i sin9;>
126
RESUMES ANALYT1QUES.
p, p', o " , . . . etant des quantites positives, et 0, 9\ 0", . . . des arcs reels, on aura evidemment a 4- b \[=i) ( a ' + 6' v / = i ) U " + = pp'p*.. .(cos0 + v/^TsinO) (cos0'4- yCTTsinfl') (cos0"4- y/— ' sin9")..., 4_fty/H7 _ p cos0 4- v/~ i sing f ' a + ft^ V/H7 "" p' cos 9 H- sj~i sin 9' a
puis on en conclura, en ayant egard aux formules ( 2 7 ) , ( 2 8 ) , (29), (3o)
, = pp'pff.. • [cos(9 -H ^ ' + 0"-+-...) + \J— 1 sin(0 + e ; 4- 0" _
=
£ [ c o s ( e _ Q^^sjZT, P
b\f^i)m=z
S in(0
- 0')],
p"1 (cos7?i0 4- /—~isinm0).
De ces dernieres equations on deduit immediatement la proposition suivante : III. — i e produit, le quotient et les dwerses puissances entieres d'une ou de plusieurs expressions imaginaires ont pour modules le produit, le quotient et les dwerses puissances de leurs modules. THEOREME
On peut encore demontrer facilement cet autre theoreme : IV. — La somme de deux expressions imaginaires offre, ainsi que leur difference, un module compris entre la somme et la difference de leurs modules. THEOREME
Demonstration. — En effet, soient a+-b y/— i = p (cos 6 4- v/^TsinQ),
a' 4- b' \/~i = (pf cosO' 4- \J~i sin 0')
deux expressions imaginaires quiaient pour modules p et p', la somme et la difference de ces deux expressions, savoir (p cos 9 4- p' cos6') 4- (p sin 0 4- p' sin 0') y/H~T (p cosO — p! cosO') 4- (p sin0 — p'
s'mdr)\/^l,
RESUMES ANALYTIQUES.
127
auront pour modules deux quantites positives dont les carres seroni respectivement (33) (p cos0 •+- p' cos9')2 + (p sin0 + p' sin#')2 = P2+- ipp' cos(2 — 6') + p'-
ct (34)
(p cos# — p' c o s 9 ' ) 2 4 - (p s i n ^ — p' s i n # ' ) 2 = p 2 — 2 p p ' c o s ( # — 0') -t- p / 2 .
D'ailleurs, cos(6 — 0') etant renferme entre les limites — i,
+i,
chacune des quantites (33), (34) sera comprise entre les limites
et sa racine carree entre la somme p + p' et la valeur numerique de la difference p — p\ ce qui sulfit pour la demonstration du theoreme IV. Corollaire. — La somme de plusieurs expressions imaginaires offre un module inferieur a la somme de leurs modules. § XIV. — Des series
imaginaires.
Soient respectivement (i )
t'o,
( 2 )
( T '
<1u o
i*2>
,( T ' i , « '
• • •y 2
, . . . ,
^ r u W ,
n
' ' ' •> ...
deux series reelles, et posons uo=
co
en sorte qu'on ait generalement
La suite des expressions imaginaires (3)
w
0
,«
n
w
-i»
•••»
"«'
•••
formera ce qu'on appelle une serie imaginaire. Soit
1*28
RESUMES ANALYTIQUES.
la somme des n premiers termes de cette serie. Selon que, pour des valcurs croissantes de /z, sn convergera ou non vers une limite fixe s, on dira que la serie (3) est coiivergente et qu'elle a pour somme cette limite, ou bien qu'elle est divergente et n'a pas de somme. Le premier eas aura evidemment lieu si les deux sommes reelles r 0 -f- ('i + . . . - + - «'„_!,
ronvergenl elles-memes, pour des valeurs croissantes de n9 vers des limites fixes, et le second cas, dans la supposition contraire. En d'autrcs termes, la serie (3) sera toujours coiivergente en meme temps ([lie les series reelles (i) et (2). Si ces dernieres, ou Tune d'elles seuloment, deviennent divergeiites, la serie (3) le sera pareillement. Si, dans le cas oil la serie est coiivergente, on pose (5)
s=
sa+rn,
rn sera ce qu'on appellc le reste de la serie prolongee jusqu'au ^ieme. Dans tous les cas possibles, le terme de la serie qui correspond a Tindice n, savoir ost ce qu'on nomme son terme general. Soit pn le module de ce termc, en sorte qu'on ait
zn designant une quantite positive et 0/4 un arc reel. Les scries (1), (2), (3 ) deviendront respcctivement (7)
p0cos^0,
pi c o s 9,,
p,cos^2,
...,
(8)
posin0o>
px sin&j,
p2 sin^,,
. ..,
\- y — i sin0 o ),
p,( cos 52 -h v/^T sin 02"),
RESUMES ANALYTIQUES.
129
ct, comme la valeur numerique du sinus ou du cosinus d'un arc reel ne saurait surpasser l'unite, il est clair que, si les modules (10)
p
0
,p
1 ?
p
2
, ...
forment une serie convergente, les series (7), (8), par consequent la srrie (9), seront elles-memes convergentes. On peut done enoncer cr theoreme : I. — Pour qu une serie imaginaire soil convergente, il stiff it que les modules de ses differents termes forment une serie reelle convergente. THEOREME
On prouvera encore facilement que, pour etendre les theoremes 1, II, IV, V, VI, VII du § VI au cas oil la serie u0,
u
l 9
u , , ...,
u
n
, ...
devient imaginaire, il suffit de substituer dans ces theoremes les modules des termes a leurs valeurs numeriques. Ainsi, en particulier, on etablira sans peine la proposition suivante : II. — Soit O la limite ou la plus grande des limites vers lesquelles converge, tandis que n croit indefiniment, la racine nieme du module pn de urn ou bien encore une limite fixe vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes de n9 le rapport THEOREME
La serie (3) sera convergente si Von a £2 < i, et divergente si ton a
Demonstration. — En effet, si Ton a £2< i, la serie (10) etant convergente, la serie (3) le sera elle-meme, en vertu du theoreme I: et si Ton a £1 ^> i, les plus grandes valeurs du module 00
?»=(*'»•+-«»)*
croitront avec n au dela de toute limite, ce qui ne peut arriver qu'auOEuvres de C. — S. I I , t . X .
I7
130
RESUMES ANALYTIQUES.
tant que les plus grandes valeurs numeriques des deux quantites
ou au moins de Tune d'entre elles, croissent de meme indefiniment. Done, si Ton a i i > T, Tune au moins des series ( i ) , (2) sera divergente, ce qui entrainera la divergence de la serie (3). Considerons a present une serie ordonnee suivant les puissances entieres et positives de la variable x, savoir (12)
a09
aYx9
a2x2,
Pour etendre les theoremes VIII, IX, X du § VI au cas ou, les coefficients a0, al9 a2, . . . etant imaginaires, la variable x est elle-meme imaginaire ou de la forme (13)
x = r(co$t -\- \J— 1 sin*),
r designant une quantite positive et t un arc reel, il suffira evidemment de substituer dans ces theoremes les modules de x, de an, de an+i9 ... a leurs valeurs numeriques. Ainsi, en particulier, on deduira immediatement du theoreme II la proposition suivante : THEOREME
III. — Si, pn etant le module de aa% co designe la limite ou la
plus grande des limites de (pn)n> ou bien encore une limite fixe vers laquelle converge, tandis que n croit indefiniment, le rapport
la serie (12) restera convergente, tant que le module r de x sera inferieur a -> et deviendra divergente lorsquon aura r^> --•
L'une des series imaginaires les plus simples est celle qu'on obtient en supposant que, dans la progression geometrique
la variable x soit imaginaire et determines par Tequation ( i 3 ) . Si Ton
RESUMES ANALYTIQUES.
131
nomme sn la somme des n premiers termes de cette progression, on trouvera, comme dans le § VI, *.=
'
I — X
I — X
Dailleurs le module de xn etant la ri*me puissance du module r de x, ce module et, par suite, celui du rapport xn I— X
deviendront infiniment petits ou infiniment grands pour des valeurs infiniment grandes de n, suivant que Ton aura r < i ou r > i. Done, si Ton a r < i , sn s'approchera indefiniment, pour des valeurs croissantes de n, de la limite s determinee par l'equation I
X
et la progression (14) etant convergente offrira pour somme —-—, en sorte qu'on aura (16)
— X
Mais, si le module r de x devient superieur a Tunite, la serie (i4) sera divergente et n'aura plus de somme. II resulte effectivement du theoreme III que la serie (14) sera convergente quand on aura r < 1, et divergente quand on aura r > 1. Si Ton posait (17)
^r = G(COS£H- \J— 1 sin^),
z designant une quantite positive ou negative et / un arc reel, le module de x ne serait autre chose que la valeur numerique de z, et l'equation (16) donnerait, pour des valeurs numeriques de z inferieures a Tunite, 1 -i- s ( c o s £ H - y / ^ T s i n O -+-^ 2 (cos2^ + \ — 1 s i n 2 ^ ) 4(18)
1 — z cos t — z sin t \J— i
132
RESUMES ANALYTIQUES.
Comme on a d'ailleurs (i — zcost — zs\nt\J—T)(i
— 3cos£ + z sin t\J— 1)
2
2
= (i — 3 c o s 0 + (- s i n O = i — 2- cos* -h z2
et, par suite, ,
j — z cos t-h z sin t \J—1 i-zzcost
-zco*t-zshus/-
la formule (18) pourra s'ecrire comme il suit 1 4- z cos t + z- cos 21 -+-... •+• (z sin t H- ^2 sin 21 + . . .) y/— - Z2
i — 1Z COSt - h 3-
et comprendra les deux equations reelles l + 3 COS t -+- Z1 COS 2 ^ - + - . . . = (20)
<
f
z sin t -I- z- sin 2t -\-. . . =
\
— 2 ^ COS<^
qui subsisteront, ainsi qu'elle, pour des valours de z comprises rntre les limites (21)
3 = — I,
3=rl.
En appliquant le theoreme III aax deux series -,
y
,
(.3)
qui, pour des valeurs reelles de ^r renfermees entro les limites ~ T, + 1, represented les developpements des fonctions l ( n - # ) , (i + .r)^, et, supposant \x reel, on prouverait encore que, pour des valeurs de .r imaginaircs et determinees par l'equation (17), ces deux series sont ronvergentes comme la serie (14), (ant que z demeure compris ontvc les limites (21).
RESUMES ANALYT1QUES.
133
Quant a la serie (24)
'•
*'
—J
""
7^3'
qui, pour des valeurs reelles de x, represente le developpement de r r , on la trouvera convergente pour toute valeur imaginairc, mais finie, de la variable x. § XV. — Des exponentielles imaginaires. Developpements des fonctions cosa?, sina?. Designons a Tordinaire par e la base des logarithmes neperiens, et par A un nombre quelconque. Si la variable x ost reelle, les deux fonctions Aa'
ex,
seront toujours developpables par les formules (12) et (20) du § VII en series convergentes, ordonnees suivant les puissances entiercs et positives de xn en sorte qu'on aura (i)
ex — n -
XH
V
1.2
^
(2)
-\
^—/
I .2
I
.2.6
D'autre part, comme, en posant a,,=
1.2...n
ou
i .2...n
on en conclut an
n -hi
an
n
+
puis, en faisant croitre indefiniment le nombre /?, ^±] an
= o
,
134
RESUMES ANALYTIQUES.
il suit du theoreme III du paragraphe precedent que les series (3)
i,
x,
xl
5
o '
1.2
I .2.5
(4) resteront convergences si la variable x devient imaginaire, sans que son module se reduise a ± oo, c'est-a-dire pour toute valeur imaginaire et finie de x. Cela pose, apres avoir demontre I'equation ( 2 ) dans le cas ou la variable x est reelle, concevons qu'on etende celte equation au cas meme ou la variable x devient imaginaife, et qu'on s'en serve alors pour fixer le sens de la notation Ax, c'est-a-dire pour definir une exponentielle imaginaire. En prenant
on reduira la formule (2) a la formule (1), par laquelle se trouvera definie l'exponentielle i m a g i n a i r e ^ ; et, comme, en remplacant#par .rlA dans I'equation (1), on fera coincider son second membre avec celui de I'equation ( 2 ) , il est clair qu'on pourra fixer encore le sens des notations A*,
ex
a l'aide de la formule (1) jointe a la suivante : (5)
A*=zevlA.
Observons maintenant que I'equation (1) du § VII pouvant etre etendue au cas ou a etx deviennent des expressions imaginaires, on en tirera, comme dans le § VII, (6)
lim(i 4- a)m — i-\- x +
(- -—* 1.2
1 . 2 . . . 3
h '" ' '
pourvu que, le nombre entier m venant a croitre indefiniment, 1'expression imaginaire a s'approche indefiniment de la limite zero, mais de maniere a verifier la condition (7)
lim(ma) =n .r.
RESUMES ANALYTIQUES.
135
On aura done, sous cette condition, (8)
quelle que soit la valeur reelle ou imaginaire de x. Ainsi, en particulier, comme on verifiera la condition ( 7 ) , en posant X a = —?
m
la formule (8) donnera generalement (9)
e*=lim(^n--
Si dans la formule (9) on remplace x par y9 on obtiendra la formule semblable /
y\m
ey=l\m I n - — , m \ )
et de cette derniere, jointe a la formule (9), on tirera (10)
,. f ex e? =z lim n
1/ xy [ x -h y -{ —
D'ailleurs, si Ton pose xy\ m V
ml
on en conclura l i m m a = lim i V
»
m
par consequent Done la formule (10) pourra etre reduite a (11)
exer=ex+y.
Si dans cette derniere on remplace x et y par x\k et ylA, on trouvera, en ayant egard a l'equation (5), (12)
kxky=
kx+y.
Ainsi lesformules (11), (12), qui expriment une propriete fondamon-
136
RESUMES ANALYTIQUES.
tale des exponentielles dont les exposants sont reels, s'etendent au ras meme oil les exposants deviendront imaginaires. Ajoutons que de ees formules on deduit immediatement les suivantes
quel que soit le nombre m des variables x9 y, z, . . . ; puis, en posant x=y
=
z=...9
(15)
emx — (ex ) m ,
(16)
Amx~(Ax)m.
Entin, si dans les formules ( u ) et (12) on remplace x par x — y, on en deduira immediatement les deux suivantes : ex
(17) (18)
eX V
~
= Vr'
k
*~~y=%-
Conccvons a present que dans l'equation (9) on ecrive cc\j—i au lieu do x, et que dans la formule ainsi obtonuo, savoir (ig)
^ ^ - ^ = 11,
on attribue a x une valeur reelle. Si Ton pose (20)
7' = li-\r — \ ,
t = arc tang —,
on aura
\f::ri sinmt). De plus, comme, en vertu de la seconde des formules (20), Fare / aura
RESUMES ANALYTIOLES.
137
pour limite zero, Inequation (77) du § XII donnera lim -—— = lim — = 1 t mt
011, ce qui revient au meme, lim mt = .r. E n t i n , p u i s q u e la p r e m i e r e d c s e q u a t i o n s ( 0 ) , ( 7 ) ( $ V I I ) e n t r a i n e t o u j o u r s la s e c o n d e , et q u ' o n a e v i d e m m e n t ,. m x2 ,r2 lim — lim — =z o, 2 m~
2 /?^
on trouvera encore in
lim/t/w = lim
J-H
:
=el)=i.
- )
Done on tirera de Tequation (20) /
(23)
lim
j-
,
\
r n
1 + -- v — 1 1 / \ m >
,
=cos^rn-v'—isin^r, ^
et la formule (19) donnera (24)
ex\l-i = =
COSJ? -+- sj—1 sin.r.
Ainsi toute expression imaginaire qui a l'unite pour module et pout en consequence s'ecrire commo il suit cos.r -h \/— 1 s i n x ,
x designant un arc reel, se confond avec une exponentielle imaginaire et dela forme ex\r~x.
Si Ton attribuait a x une valeur en partie reelle, en partie imaginaire, si, par exemple, on supposait •r — y -+-3 v - [ > y, z designant des quantites reelles, on tirerait do la formule ( n ) , OEuvres
de
C. — S . I I , t . X .
J<S
138
RESUMES ANALYTIQUES.
jointe a la formule ( 2 4 ) , er+-v/-"T=i ey(cosz 4-\/—1 sine).
(•irj)
Si dans cette derniere equation on remplace y et z par j l A et ^1A, on on conclura, eu egard a la formule ( 5 ) , (26)
A r + s v - 1 = A ^ [ c o s ( ^ l A ) -4- sj — 1 s i n ( s LA)J.
Los formules (26;, (27) fournissent immediatement les valours des oxponentielles correspondantes a une valeur imaginaire quelconque de la variable x. Lorsque dans la formule (24) on remplace x par — x, on obtient la suivante e~W -1 = cos.r — v - J sificT,
(27)
de laquelle on tire, on la combinant avec la formule (24),
011, ce qui revient au meme, (29)
cos^=
2
,
sinjrzz: 2 y/— 1
Ces dernieres formules subsistent, comme les equations (24) et (27), pour une valeur reelle quelconque de la variable x. En les etendant au cas meme ou x devient imaginaire, on pourra s'eri servir pour fixer dans ce dernier cas le sens des notations cos^r,
sin.x.
Si a l'aide de 1'equation (1) on developpe, suivant les puissances entieres et positives, le premier membre de la formule (2^1 ), on trolive ra sin.r = 1 + , , r v'—1 — ' i.2
J__ . , 1.3.3
v
r>
_
1.2.;;./;
RESUMES ANALYT1QIES.
139
par consequent ,' \ cos.r=,-
.r---
x' +
—
l r j
_...,
(3.) X
Les formules (3i), qu'on peut aussi dedaire des equations ( 29), subsistent pour des valeurs finios quelconques, reelles 011 imaginaires do la variable x. De la formule (24), jointe aux formules (20), ( 22), (20 ), ( 26) du § XI1J, il resulte quo, si a, b designant deux quantites reelles quelconques, on pose (3^)
p - - y a--\- b1,
? —arctan^-5
on aura, pour des valeurs positives de a, non soulement (33)
a
+ bs/~i
-^p^V111,
mais encore (34)
a -4- b \—\
— p el v'""7 e--'^
\~x,
k designant un nombre entier quelconque, ot pour des valeurs negatives de a, non settlement (35)
oeY^-{,
a + b \J— 1 = —
mais encore (36)
a 4- b\~~\
— oe^~[
e±(^+Dizy/^i t
En resume, on aura (37)
a^-b
v''—T 1= p e6 v /ZT ,
la valour de 6 devant etre determineo par la premiere ott la socondo des deux formules (38)
^ =
;±'?.A-T:,
(39)
8 = Z±
(2A--hi)7:,
liO
RESUMES ANALYTIQUES.
suivant que la quantite reelle a sera positive ou negative. On peut done enoncer la proposition suivante : THEOREME
I. — Toute expression imaginaire a 4- b \ — \
est le produit dun module reel p z=. sjal-v- b1 par une exponentielle imaginaire de lafonne
el dans laquelle 0 designe un arc reel determine par Vune des equations ('38), ( 39 ). A l'aide du theoreme I, joint aux formules (i3), (io), (17), il sera tres facile d'effectuer la multiplication, la division ou Televation a des puissances entieres d'une ou de plusieurs expressions imaginaires dont les modules ne se reduiraient pas a l'unite. Car, si Ton pose a + b v r ~^7 - - per> v'~\
a'+V
\"—\ = p'e9'V: "l, a" H- b"\r—7 =
p"e§"\!~\
p, p\ p\ ... etant des quantites positives, et G, 0\ 6/x, ... des arcs reels, on trouvera (4o)
(a!+b\r^l)(at-hb\r—i)
(a!f 4 - ¥
( a-h b s/'7^)"1 =
( 4^)
v/-^7).
. . — po'p"...
e^^'^"-^-^
pme"^^.
II est aise de s'assuror que la formule (34) s'accordo avec la formule (33), et la formule (36) avec la formule (35), attendu qu'on a generalement ( 13 )
e^-k^-i
— C 0 S 2 A-TT ± v - - 7 sin 2 A-71 r= 1,
RESUMES ANALYTIQUES.
liJ
II y a plus : si t designe un arc reel, on ne pourra evidemment satisfaire a Inequation imaginaire
ou, ce qui revient au meme, aux deux equations reelles (46)
COS^mif,
silU=:O
qu'en posant (4;)
t--.±ik'K,
et attribuant au nombre k une valeur entiere. Pareillement on ne pourra satisfaire a l'equation imaginaire US)
e'^irz—i
ou, ce qui revient au meme, aux deux equations reelles (49')
cos£~ —i,
sin£ — o
qu'en posant (5o)
*™
§ XVI. — Relations qui existent entre les sinus ou cosinus des multiples dun arc et les puissances entieres des sinus et cosinus du meme arc. Si dans la formule (i5) du paragraphe precedent on remplace x par x \i — 1, elle donnera
ou, ce qui revient au meme, \l— 1 smmx = ( cos^-f- y7— is \
cos"'—\r sin3
— 1 —
1V2
RESUMES ANALYTIQUES.
On aura done i
cosm.r — cos'w.r — (m ) , cos" 1 " 2 ^ sin8a? -H (m )4 cos'"-*.*? sin kx —.
(i)
1 r ==/w cos'"-
on, < e qui revient au meme, i c o s / H . r i- [ i — (m.), t a n g 2 r -+- ( m ) 4 t a n g 4 . r — . . . ] c o s ' " . r , ( 'I )
'
I s i n m r - - [m t a n g \ r — (m)z
tang;i.r -+-...] cos/M.r,
puis on en conclura m tangx — (m )$ tang 3 x -+-. . .
(b )
Si, pour fixer les idees, on pose successivement m = i, m = m — 4, . . . , les formules (i) et (3) donneront
sin2.r r= 2 :
2 tang^r ang2#_ — langr^' cos3^' = cos^.r — 3 cos./' sin-.r, sin3 j-1= 3 < w7)
2 tang3.r
( (8) ,
v
(Q) v ;
4
3 tang^r — lang3jr' ^ ^—, i — 3 tang-./s
-h sin 4 ./
( sin4^" ~ 4 c o s 3 x s i n x — \ cos
4 ( t a n g , / — tani; >3 .jr)
tang4^=—-—:—— > & i — 6 tang 2 ./--hianir*
Les formules ( i ) , dont les seconds membres entrainent (oujours un nombre tini de termes, peuvent servir a determiner rosm,r et sin//?.r en fonction de s i n ^ ctde cos^r. On peut aussi exprimer les puissances de s i n x et de cos.r en fonction des sinus et cosinns des arcs multiples de x. En effet, on tire des
RESUMES ANALYTIQUES. formules (28) du paragraphe precedent (10)
2"'(y — 1 )'» s\n'"x — e'nxf-[ — me<m-'^x\Zl
+ ...
puis on en conclut : i° en supposant m impair cos'".*- = — - - [ " c o s / n ^ + m c o s ( / ? i — i)x (ID
<
+ .
^
I sin"'./ •-
^-^— f sin m x — m sin {in — 2) x + . . . + ( m )m _ , sin x\;
20 en supposant m pair -+- in cos{m — 2 ) x -+-. . . (12)
. . .qz {m)m
Si, pour fixer les idees, on pose successivement/??= 2, m = 3, m = 4 on tirera^des formules (11) et (12) • + l
I),
& )
\
i4)
( cos3^r = T (cosSx + 3 c o s x ) , 1 , . o ( sin 3 x =: ^ (sin ox — 3 sin.r),
( sin-.r—.-!-(—cos2^r + i),
cos^.r = {(cos l\x + 4 cos 2 x + 3), sin 1 ^ = {(cos4-^ — 4 cos2.x + o),
§ XVII. — Sommation des sinus ou cosinus dune suite dares representee par les differents termes d une progression
arithmetique.
Considerons une suite d'arcs en progression arithmetique ou do la forme (.)
9,
O-ht,
0+2*,
...,
0 + (/< — i ) * ,
1U
RESUMES ANALYTKHES.
0, /designant deux quantites reelles etnnn nombre entier quelconque. On aura COs0
4 - e o s ( 0 - M ) H - C O S ( 0 - 4 - 2 0 + . . . 4 - C O S [ 0 + (n —
r- I s i n 0 4 - s i n ( 0 4 - t) 4 - s i n ( 0 4 - it)
i)t]
- K . . - h s i n [ 0 4 - ( n — i ) J ] | v"— i
D'autre part, si dans la formule (i5 ) du § XIV, savoir (3)
I+ a.+
^+...+dr-.=iz^: = |i£ii:
on pose on trouvera enl\-\
i
2;
l e
v
e
2
ou, ce qui revienl au meme, _ J
2 sin - \
On aura done par suite
i
( 6 - >+«Ov/^
—
j
v
—i
2 sin — 5l^ (/ L"
\ t -t- nt) — sin(0 — | Q _^ cos(0 -— 11) — cos (0 — i / 4- nt) 2 sin-
2 sin-
2
•>
<>t la formula ( 2) fournira les deux equations reelles -J- C O S ( 0 4 - 0 - h r o s ( 0 4 - 2 1) - H . . . 4 - C O S [ 9 4 - (n — i ) ^ | ~ -
S l r t
(0 ~
2^ +
n/
l_I
2 sin
-
2 sin -
RESUMES ANALYTIQUES.
U5
Si dans les equations (5) Tare 0 se reduit a zero, elles donneront —I)f = i + 2
^"JJ
\i
.
t
sin N
i
t
i c o s (/i — T )
2
2
:>
— i) t — - cot
^
sin
2
Si dans les memes equations on pose nt = -±~ ou / = — , leurs seconds membres s'evanouiront. Enfin, si Ton pose nt=-
ou t = - , on
trouvera ul - 9
)
COS0 •
) sin
71 — 2 //
(7)
sin
Soit maintenant s une longueur comptee sur une droiti^ AB que renferme un certain plan OO'O"; que dans le meme plan on mene par le point 0 : i° une perpendiculaire MN a la droite AB; 12° n autres droites qui comprennent entre elles des angles egaux dont chacun aura evidemment pour mesure le rapport 'MX
11
2/1
Le systeme de ces dernieres droites offrira une espece de rose des vents; et, si Ton nomme 0 le plus petit des angles qu'elles formenl avec la droite MN, 6 sera compris entre les limites o, —
Ajoutons
que les diverses droites dont sera composee la rose des vents formeront avec MN des angles respectivement egaux aux differents termes de la progression arithmetique '• OEuvres
M
-«'
de C. — S. II, t . X .
n
Ii6
RESUMES ANALYTIQl ES.
Cela pose, soient <
et, par suite, + «!-+-.. .4- «„._! = .? I sin0 -i- sin( 6 + - ) -+- sin( 0 + — ) 4-. , . + sin ( 6 -+- " ~
Soit d'ailleurs pi la moyenne arithmetique entre les projections a^ «,, . . . , an_i de longueur s, en sorte qu'on ait
On tircra des formules ( 8 ) <>t ( 9 ) , jointes a la seconde des equations ( 7 ), cos( — \ 1 tl
71
sin — •? n
par consequent 7:
sin — (JO)
s = nix
—
V 2 /'
/
Done, puisque 0 est compris entre les limits o, —, on ronclura de Tequation d o ) que la longueur s est renfermee entre les limites sin -— in
l
n) .
RESUMES ANALYTIQUES.
147
ou, si Ton fait, pour abreger,
entre les limites
Concevons a present que le nombre n croisse indefiniment. L'arc 71
a = -— 111
s'approchera indefiniment de la limite zero, et les rapports
de la limite i (voir le § XII). Done, pour des valeurs infinios de /?, les expressions (12) deviendront egales entre elles et a ^TUJJL, et l'on pourra en dire autant de la longueur s. Ainsi se trouve demontree la proposition suivante : THEOREME
I. — Si Von nomme /i le nombre des droites dont se compose
une rose des vents tracee dans un plan quelconque et p. la moyennc arithmetique entre les projections sur ces droites d'une longueur rectiligne. s mesuree dans le meme plan, celte longueur sera precisement equivalente a la limite vers laquelle converge le produit \ 7l(J.
(I3)
pour des valeurs croissantes de n.
Si, en attribuant au nombre n une valeur considerable, on prend ^ufji pour valeur approchee de s, l'erreur commise sera represented par la valeur numerique de la difference s —
\n[i,
et, puisque la longueur s est renfermee entre les quantites (12), nous pouvons conclure que Terreur commise sera equivalente au produit
148
RESUMES ANALYTIQUES.
de ^uf/. par une quantite renfermee entre les limites 04) D'ailleurs, en vertu des formules (3i) du § XV, les difference J
sin a a
a2 / COS OC — 1.2
—
sin a a
i\ I— 3/
a1.2.3
i.2.3.4*5
a4
/ —-7 i . :>.. 3.4 \
i a2
i\ i — j >/
+
i
i •>
i . 2.3
o
\ 3 34 seront developpables en series coiivergentes dont les termes alternativement positifs et negatifs offriront des valeurs numeriques de plus en plus petites, lorsqu'on supposera et, par suite, 2/i ^ 4
Done alors, en vertu du theoreme III du 8 VI, on aura a1
sin a
n'2
< x
— b
i
2/4 nl
et sin a oc
aJ
7T-
i
o
12
n
— cos a < — — — --1 ,
par consequent / Av (ID)
tan^a —
puis, en supposant par suite _ 71
et ayant egard aux conditions
I<
TT- sec a .
i -;
RESUMES ANALYTIQUES.
U9
on tirera des formulos (i5), (16) sina a
i n-
tanga a
T n-
On peut done enoncer la proposition suivante : THEOREME
II. — Les memes choses etant posees quc dans le theoreme L
si V on prend pour valeur approchee de s la quantite
Verreur commise ne siirpassera pas le produit de cctte valeur approchee par — > pourvu que le nombre entier n ne soil pas inferieur a 3.
§ XVIII. — Relations qui existent entire le perimetre d un polygone plan et les sommes des projections des elements de ce perimetre sur diverses droites. Rectification des courbes planes. THEOREME
I. — Un poly gone etant trace dans un plan quelconquc. si
I O7i nomme n le nomb7*e des d7^ottes do7it se compose une rose des vents construite dans le meme pla7i, A la somme des p7Y)jections absolues des divers cotes du poly gone sur I'une de ces droites, 31 la moyenne arithmetique entre les valeurs de A correspondantes aux divc7~ses droites et S le perimetre du poly gone, on aura sensiblentent, pour des valeurs considerabies de n, ([)
S =
TTTTM.
De plus, si le nombre entier n surpasse 2, Verreur que I on commettra en prenant -,TCM pour valeur approchee de S sera inferieure au produit de cette valeur approchee par —- • Demonstration.
— Soient s, s1, slf,
les longueurs des divers cotes du polygone, et
150
RESUMES ANALYTIQUES.
les moyennes arithmetiques entre les projections de s, ou de s'9 ou de s\ ... sur les diverses droites dont se compose la rose des vents. On aura evidemment S :- S
et, par suite,
=\ D'autre part, si Ton prend pour valeurs approchees de s,
s',
s',
les quantites les erreurs commises, en vertu des theoremesl et II du paragraphe precedent, seront respectivement inferieures aux produits de ces quantites par —,• Done l'erreur commise sur la somme
sera inferieure au produit de — par la somme
Cette erreur commise etant tres petite pour des valeurs considerables de 7i, on aura sensiblement alors
Corollaire I. — II est clair que la demonstration precedente est applicable, non seulement a un polygone f'erme, mais aussi a un polygone ouvert, e'est-a-dire a une portion de polygone et meme a un systeme de polygones ou de portions de polygones, quel que soit d'ailleurs le nombre de leurs cotos. Corollaire II. — Dans le cas particulier ou Ton consider© un polygone convoxe et ferme, la somme A des projections des rotes du polygone sur une droite est evidemment double de c<> qu'on pourrait appeler la projection du polygone, e'est-a-dire double de la longueur IK qui ren-
RESUMES ANALYTIQUES.
151
ferme tous les points de cette droite avec lesquels peuvent coincider les projections de points pris au hasard sur le perimetre du polygone. Par suite, la moyenne arithmetique M entre les diverses valours de A correspondantes aux diverses droites dont se compose la rose des vents sera double de la moyenne arithmetique JH entre les diverses valeurs de It qui representeront les projections du polygone sur ces diverses droites ou, si Ton veut, les dimensions du polygone rnesurees parallelement a ces memes droites. On pout done encore enonccr la proposition suivante : THEOREME
II. — Etant donne dans un plan quelconque un poly gone
convexe et ferme, si Von nomme n le nombre des droites dont se compose une rose des vents construite dans le meme plan, JVI la moyenne arithmetique entre les projections du polygone sur ces diverses droites et S le perimetre du polygone, on aura sensiblement, pour des valeurs considerables de n, (2)
S = 7TJfl.
De plus, si le nombre entier n surpasse 2, Verreur que Von commettra en prenant TZ Ml pour valeur approchev de S sera inferieure au produit de cette valeur approchee par — •
Concevons maintenant que les polygones dont il est question dans les theoremes I et II soient inscrits a des courbes donnees. Si les cotes de ces polygones deviennent infiniment petits <»t lc nombre de ces cotes infiniment grand, le perimetre de chaque polygone aura pour limite la longueur ou le contour de. la courbe circonscrite. Par suite, on deduira immediatement des theoremes I r.t II ceux que nous allons enoncer: THEOREME
III. — Etant donne dans un plan un contour quelconque S,
si Von nomme n le nombre des droites dont se compose une rose des vents construite dans le meme plan, A la somme des projections absolues des diverses parties du contour sur une des droites et M la moyenne
arith-
metique entre les valeurs de A correspondantes aux diverses droites, on
152
RESUMES ANALYTIQUES.
aura sensiblement, pour des valeurs considerables de n, (i)
S = -JirM.
De plus, si le nombre entier n surpasse 2, Verreur que I on commetlra en prenant -TTM pour valeur approchee de S sera inferieure au produit de cette valeur approchee par — •
CoroUaire L — O theoreme subsisterait encoro si Ton representait par S le systeme d'une ou de plusieurs longueurs, mesurees sur une on plusieurs lignes droites ou courbes fermees ou non fermees. CoroUaire II. — La valeur approchee de S etant calculee a Taide de la formule (1), Terreur commise ne depassera pas la neuvieme partie de cette valeur, si Ton prend n = 3, la vingt-cinquieme partie si Ton prend n = 5, et la centieme partie si Ton prend n= 10. Dans le premier et lo second cas, M sera la moyenne arithmetique entre les sommes des projections absolues des elements de S sur trois ou cinq droites respectivement paralleles aux cotes d'un hexagone ou d'un decagone regulier. CoroUaire III. — Si S represente le systeme de plusieurs courbes fermees et tracees dans 1'interieur d'un cercle decrit avec le rayon R, si d'ailleurs on suppose que le systeme de ces courbes ne puisse etre traverse par une droite en plus de im points, on aura evidemment A< 2m.2R
et, par suite,
puis, en observant que la formule ( 2 ) devient rigoureusement exacte pour des valeurs infinies de n, on tirera de cette formule, jointe a la condition ('i)9 (4) THEOKEME
S<m.2TrR. IV. — Elanl donnee dans un plan quelconque une courbe
convexe etfermee, si Von nomme n le nombre des droites dont se compose
RESUMES ANALYTIQUES.
153
une rose des vents construite dans le meme plan, M la moyenne arithmetique entre les projections de la courbe sur ces dwerses droites et S le perimetre de la courbe, on aura sensiblement, pour des valeurs considerables de n,
Be plus, si le nombre entier n surpasse 2, Verreur que Von commettra en prenant TC J H pour valeur approchee de S sera inferieure au produit de cette valeur approchee par
\ .
Corollaire / . — Une courbe convexe est, comme Ton sait, celle qu'une droite ne peut traverser en plus de deux points. Cela pose, concevons que S represente le perimetre d'une courbe fermee et convexe, tracee dans l'interieur d'un cercle dont le rayon soit R. On tirera de la formule ( 4 ) , en y posant m = 1, S<27lR.
Corollaire II. — Si S represente la circonference d'un cercle decrit avec le rayon R, la projection de S sur une droite quelconque, et par suite la quantiteM elle-meme, se reduiront evidemment au diametre 2R. Done alors la formule (2) donnera, comme on devait s'y attendre, (5)
S = 27rR.
§ XIX. — Sur les puissances fractionnaires,
ou irrationnelles, ou nega-
tives d'une expression imaginaire. Resolution des equations binomes et de quelques equations trinomes. Pour rendre plus clair ce que nous avons a dire sur les puissances fractionnaires, ou irrationnelles, ou negatives des expressions imaginaires, il sera utile de rappeler d'abord les definitions relatives aux puissances des nombres. Elever A a la puissance du degre x (x etant positif), e'est chercher OEuvrcs de C. — S. II, t. X.
20
154
RESUMES ANALYT1QUES.
un autre nombre qui soit forme de A par la multiplication, comme x est forme de l'unite par Taddition. Pour bien comprendre la definition precedente, il faut distinguer trois cas, suivant que x est entier, fractionnaire ou irrationnel. Lorsque x designe un nombre entier, ce nombre est la somme de plusieurs unites. La puissance de A du degre x doit done alors etre le produit d'autant de faeteurs egaux a A qu'il y a d'unites dans x. Ainsi, par exemple, si Ton prend
on aura
A 3 ~AAA.
Lorsque x represente une fraction — (m et n etant deux nombres entiers), il faut, pour obtenir cette fraction : i° chercher un nombre qui repete n fois reproduise l'unite; 2 0 repeter m fois le nombre dont il s'agit. II faudra done alors, pour obtenir la puissance de A du degre — : i° chercher un nombre B tel que la multiplication de n faeteurs egaux a ce nombre reproduise A; 2° former un produit dc m faeteurs egaux au nombre B. Quand on suppose en particulier m = i, la puissance de A que Ton considere se reduit a celle dont le degre est ^> et se trouve determinee par la seule condition que le nombre A soit equivalent au produit de n faeteurs egaux a cette meme puissance. Si, pour fixer les idees, on suppose a? = f, alors aux equations
correspondront les deux suivantes :
Lorsque x est un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus approchees. On prouvc facilement que, dans la meme hypothese, les puissances de A mar-
RESUMES ANALYTIQUES.
155
quees par les nombres rationnels dont il s'agit s'approchont de plus en plus d'une certaine limite. Cette limite est la puissance de A du degre x. D'apres les definitions qui precedent, la premiere puissance d'un nombre n'est autre chose que ce nombre lui-meme. Sa seconde puissance, ou son carre, et sa troisieme puissance, ou son cube, sont les produits de deux ou trois facteurs egaux a ce meme nombre. Quant a la puissance du degre zero, elle sera la limite vers laquelle converge la puissance du degre xy tandis que le nombre x decroit indefiniment. II est aise de faire voir que cette limite se reduit a l'unite, d'oii il resulte qu'on a, en general, (i)
A°=i.
Ajoutons que, si Ton designe par x, y, z des nombres quelconques, on etablira facilement les formules (2)
(3)
A
(4) et que, si dans Tequation (2) on pose x-\-y = s9 on en tirera, pour des valeurs de x inferieures a s, (5)
A
'-*=J?'
La formule (5), etendue au cas ou x devient superieur a s, par exemple au cas oil s s'evanouit, sort alors a definir les puissances negatives de A. C'est done uniquement comme definition d'une puissance negative du degre —x que Ton pose l'equation
(6)
A-=£.
En partant de cette derniere formule, on prouvera sans peinc que les equations (2), (3), (4), (5) subsistent lors meme que les nombres^, y, z, ..., s9 ou quelques-uns d'entre eux, se changent en des quantites negatives.
156
RESUMES ANALYTIQUES.
Dans l'elevation du nombre A a la puissance dont le degre esta?, le nombre A s'appelle racine, et la quantite x, qui marque le degre de la puissance, se nomme exposant. Extraire du nombre A la racine du degre x, c'est chercher an nouveau nombre B qui, eleve a la puissance du degre x, reproduise A; ce nouveau nombre sera evidemment la puissance de A du degre -? puisque, en vertu de la formule (4), on aura
Soit maintenant a + b \J— i une expression imaginaire quelconque, a, b designant deux quantites reelles. En generalisant les notions que nous venons de rappeler, on obtiendra les definitions suivantes relatives aux puissances fractionnaires ou negatives de a -+- b \j— i. Extraire la racine ri6m€ de l'expression imaginaire a -f- b \J— i , ou, en d'autres termes, elever cette expression a la puissance du degre (n designant un nombre entier quelconque), c'est former une nouvelle expression imaginaire dont la puissance nvitme reproduise a -\-b \j — i . Ce probleme admettant plusieurs solutions, comme on le verra tout a l'heure, il en resulte que l'expression imaginaire a -+- byj— i a plusieurs racines du degre n. Pour elever l'expression imaginaire a-\-b \J~ i a la puissance fractionnaire du degre ^> il faut, en supposantla fraction — reduite a sa plus simple expression : i° extraire la racine n^me de l'expression donnee; 20 elever cette racine a la puissance entiere du degre m. Enfin elever l'expression imaginaire a^-b \j — 1 a la puissance negative du degre — m ou — ^ ou — ^ , c'est diviser l'unite par la puissance du de^re m9 ou -> ou —• D
n
n
En vertu des definitions precedentes, extraire la racine n[*me de l'expression imaginaire a 4- bsj— 1, c'est determiner les valeurs imaginaires de x qui verifient l'equation binome (7)
xn=a-\-b\J~i,
RESUMES ANALYT1QUES.
157
que Ton peut aussi presenter sous la forme xn=pe^>Fi9
(8)
pourvu que, les valeurs de p et*( etant (9)
p=z0fc 2 +6 2 ,
h C ^ arc tang-
et k designant un nombre entier quelconque, Ton prenne (10)
0
si la quantite a est positive, et (11)
0 =
si la quantite a est negative. Or il est clair qu'on verifiera l'equation (12)
xn —
en prenant pnen
ee
n v
et l'equation
en prenant
II y a plus : on peut aisement s'assurer que toutes les racincs dr Tequation (8) sont comprises dans la formule (i3) lorsque a est positif, et dans la formule (io) lorsque a est negatif. Effectivement representons par une quelconque des valeurs de x propres a verifier l'equation (8), r etant un module positif et t un arc reel. En vertu du theoreme III du § XIII, on aura
158
RESUMES ANALYTIQUES.
et, commo l'equation (8) donnera / .« e /i/>Fi = :pe
8 / 1
v- ,
on en conclura : i° si a est positif,
puis, en multipliant de part etd'autre par l'exponentielle
e-W-\
par consequent [voir les formules (45), (47)» (48) et (5o) du § XV]
2° si a est negatif, par consequent nt — ( C ± T T ) =±:2A"7r,
^ = - dz
—-
Si Ton suppose en particulier rt-i,
b =
o,
on trouvera et Tequation (7) ou (8), reduite a (16)
x"=i,
aura pour racines les diverses valeurs de x que Ton peut deduire de la formule •2ATC ,
(17)
.r = e* — <=r\
cm prenant pour k des nombres enticrs. J'ajoute que, pour obtenir toutes Jes racines de l'equation (16), il suffira d'employer les vabuirs entieres de k comprises entre les limiles o, - . En offo.t, considerons valeur de k situee hors de ces memes limites, et soil alors h Je
RESUMES ANALYT1QUES.
159
nombre entier le plus voisin du rapport - • La difference entre les deux nombres h, - sera tout au plus = - , de sorte qu'on aura r
n
(18)
2
*
-=A±-, n n
k'
— etant une fraction egale ou inferieure a -> et par suite k' un nombre entier inferieur ou tout au plus egal a -• Or, comme on tirera successivement de la formule (18) =. 2 h
TT
±:
— e
il en resulte que, sans alterer les valeurs de x fournies par la formule (17), on peut y remplacer le nombre entier £, lorsqu'il est situe hors des limites o, -> par un autre nombre entier compris entre les memes limites. Si Ton reduit le nombre k : i° a sa limite inferieure, c'est-a-dire a zero; 20 en supposant que n soit pair, a la limite superieure --> on obtiendra les seules racinesreelles quepuisseadmettre Tequation (16), savoir (19)
et
x —\
x — — 1,
la seconde disparaissant toujours lorsque n est impair; les autres racines, correspondantes aux valeurs I,
2,
6,
. . .,
-
du nombre k, si n est impair, et aux valeurs n — 2
1.,
a,
3,
...,
-
r
-
du meme nombre ^, si /z est pair, seront imaginaires et conjuguees deux a deux. Done l'equation (16) offrira, si n est impair, une raeinr
160
RESUMES ANALYT1QUES.
reelle et n — i racinos imaginaires; si n est pair, deux racines reelles et n — 2 racinos imaginairos. Le nombre total des racines distinctes sera dans tous les cas egal au degre n de l'equation (16). En combinant la formule ±1*2F/Ti
x= e
n
2kn
, i
= cos
. 2/C7T
±\J— i sin n
n
avec los formules (67), (71) du § XII otposant successivemont n — 3,
n ~ 4,
. . .,
on trouvera, pour les racines imaginaires de l'equation # 3 = 1, 31 2
2
pour los racines imaginairos de l'equation ooh = r,
Si Ton suppose dans Tequation (7) a = — 1,
b = o,
on trouvera encore p = i,
Z = o,
ot l'equation (7) ou (8), reduite a (20)
xn = — r,
aura pour racines les divorses valours de x quo Ton pout deduire de la formule (21)
x — e~
n
r
y
,
en prenantpour k des nombres entiers. Do plus, comme la difference entre lc rapport 2 /»+ 2/1
RESUMES ANALYTIQUES.
161
et le nombre entier h le plus voisin de ce rapport sera evidemment une fraction de numerateur impair, inferieure ou tout au plus egale a {; par consequent une fraction de la forme 2 k'
in
ik ' + i etant un nombre impair egal ou inferieur a n; comme d'ailleurs la formule
lL±l=h±?*J±± in
in
entrainera les suivantes 2 k -+- i
a /<•' + i 7T =
2 A 7T ±
77,
2A+1
il est clair qu'on obtiendra toutes les racines distinctes de Inequation (20), en attribiiant successivement au nombre k toutes les valeurs entieres comprises entre les limites o,
• Au reste, k nc peut
atteindre la seconde de ces limites ct devenir egal a
qu'autant
que n est impair, et c'est alors seulement que Tequation (20) admet une racine reelle, savoir (22 )
x —— 1.
Les autres racines correspondantes aux valeurs /i— 3 O,
I,
2,
...,
du nombre k, si n est impair, et aux valeurs O,
I,
2,
du meme nombre k, si n est pair, seront evidemment toutes imaginaires et conjuguees deux a deux. Done l'equation (20) ofTrira, si n est impair, une racine reelle et n — 1 racines imaginaires, si n est OEuvres
de C. — S . U ,
t. X .
2 I
162
RESUMES ANALYTIQUES.
pair, n racines imaginaires. Le nombre des racines distinctes sera done toujours egal au degre n de cette meme equation. En combinant la formule ±(a*+l»ic
jc = e
—
n
( 2 A- + l)7T ,
=:cos-
/
—± v ~
•
(2A--hl)7T
r sin
~
avec les formules (67), (7 r) du § XII, et posant successivement 11 — 2,
n == 3 ,
ft
= 4,
• • •»
on trouvera, pour les racines imaginaires de Tequation x2 = — 1, .rzzie
2
=±^—1;
pour les racines imaginaires de l'equation x3 = — 1, a- = e
3
-— - ±:—J— J; 2
2
pour les racines imaginaires de l'equation x'1 = — 1,
ou plus simplement
etc. D'apres ce qu'on vient de voir, les racines n*me* reelles ou imaginaires de charune des quantites — 1, - h i sont en nombre egal kn. D'ailleurs, pour obtenir loules les valours dc x que donne la formula (1 >) ou (1,)), il suffit de multiplier successivement Tune de ces valeurs, par exemplc 0(1
par les diverses racines de l'unite du degre n, ou bien encore de multiplier la seule expression (•J3)
p"e"
RESUMES ANALYT1QUES.
163
par les racines n[*mes de l'unite, si a est positif, et par les racines /z kmes de — i, si a est negatif. Ajoutons que, dans le premier cas, l'expression ^23) sera precisement une des racines n[*mes de a -h b \J— i, c'esta-dire une valeur particuliere de x propre a verifier Tequation ( 7 ) . Cette valeur particuliere est celle que nous designerons par la notation
dont nous ne ferons usage qu'autant que la partie reelle de l'expression imaginaire renfermee entrc les parentheses sera positive. Cela pose, en admettant que p et c( soient determines par les formules (9), on aura, pour des valeurs positives de a, (25)
pnen
—{a^-b\f^~\)n,
et, pour des valeurs negatives de a, j
(26)
1
^
p"^-
1
—(— a—
b\/~i)
n
Par suite, on tirera des formules ( i 3 ), (K> ) : i° pour des valeurs positives de a, (27)
x = ( a + b y/— 1)" e~
n s
;
20 pour des valeurs negatives de a, (28)
x — (—a-
b\/~^~iYe±
^~>~l
et Ton pourra enoncer la proposition suivante : THEOREME
I. — Le nombre des racines distinctes de Vequation binome xn-=^ a -\- b\ — r
est egalau degre n de cette equation. Ces racines ont un module commun equivalent a la puissance - du /nodule de a-\-byJ—i . Elles sont repirsentees, pour des valeurs positives de a, par les seconds membres des for-
16V
RESUMES ANALYTIQUES.
mules (i3) ou (27); pour des valeurs negatives de a, par les seconds membres des formules (i5) ou (28); et, pour les obtenir toutes, il suffit de multiplier successivement I'line d'entre ellesparles diverses racines nihmes de I'unite, cest-a-dire par les diverses valeurs de lfexpression (29)
e
»
Les racines niemes de a + b \' — 1 etant representees par les seconds membres des equations (i3) ou (i5), les puissances mulDes de ces racines (m etant un nombre entier premier ari),ou, en d'autres termes, les diverses,valeurs de la puissance de a-hb\J— 1 du degre —•> seront evidemment comprises, si a est positif, dans la formule m
m
y
1
2 km 71 ,
o~-eT^^\~~~^r^1
(30)
et, si a est negatif, dans la formule jn
(3.)
my ,
p-e-'^'e
(2 k-+-l) in 7T / — [
—^
Dans le premier cas seulement, l'une de ces valeurs sera de la forme - -
pn e n
Cette valeur, qu'on obtiendra en posant dans la formule ( 3o) k = o, est celle que nous designerons par la notation m
( < 2 H _fc v / IT7)' 1
(32)
de sorte que, en supposant les quantites p,'( determinees par les equations (9), on aura, pour des valeurs positives de a, m
(33)
m
v T
p e
—
m
11
= r . ( a + 6 V' "')1'.
et, pour des valeurs negatives de a, (34)
^^~'-(~a-b\f^\y.
RESUMES ANALYTIQUES.
165
Par suite, les diverses valeurs de la puissance de a-\-b\j—i
du
degre — peuvent se deduire, pour des valeurs positives de a, de la formule (35)
(a
^\
+
et, pour des valeurs negatives de a, de la formule (36)
-.a-bsJ-iY e
II est bon d'observer que chacun des facteurs (3 7 ) (38)
e±~^^-\ e~~
'-1,
compris dans les formules (3o) et (3i), ou (35) et (36), se reduit a Tune des racines n™mes de la quantite + i ou — i. II est d'ailleurs facile de s'assurer qu'on obtiendra successivement toutes les racines, en attribuant successivement au nombre k, dans la formule ( 3 ; ) , les valeurs entieres comprises entre les limites o, -? et, dans la formule (38), les valeurs entieres comprises entre les limites o,
n
~',
pourvu que, suivant l'hypothese admise, le nombre m soit premier a n. Observons encore que, en vertu des formules (25) et (32), on aura generalement, pour des valeurs positives de a, (3 9 )
(a+^-i)^
Si Ton divise l'unite par la puissance de a-hb\j — i du degre ™, c'est-a-dire par le produit (3o) ou (3i), on obtiendra la puissance de a -+- b \J — i du degre — — • Les diverses valeurs de cette puissance seront comprises, si a est positif, dans la formule (4o)
166
RESUMES ANALYTIQUES.
el, si a est negatif, dans la formule m n
o
m i
e
n y—1
e
^
(2A--t-l)/w7T .,—-l v —
Dans le premier cas seulement, Tune de ces valeurs sera de la forme
Cette valeur, qu'on obtiendra en posant dans la formule (4o) k = o, est celle que nous designerons par la notation
de sorte que, en supposant les quantites p et C determinees par les equations ( 9 ) , on aura, pour des valeurs positives de a, (44)
p
n
e
"^
=z(a-^b^i)
\
et, pour des valeurs negatives de a, f-ne-ni^=(__a_bsjzrl)~~\
(45)
En general, m et ^ etant des nombres entiers quelconques, les deux notations (46)
(a+
seronl, comme la notation
(a + bs/~iY, uniquement employees dans le cas oil l'expression imaginaire renfermee entre les parentheses offrira une partie reelle positive, a moins la fraction — ne se reduise a un nombre entier. n
m se reduit a un nombre entier m alors les notaSi la fraction — % n tions (46) pourront etre employees, quel que soit le signe de la quantite a, et de la formule (-'17)
« + b\ — 1 —pe^^
RESUMES ANALYTIQUES.
167
on deduira immediatement les deux suivantes : (48)
(a-hb
\/~i)m=p>» e'm^~*,
(a + b sj^\)'tn—p-^
e~^
^ .
Si, au contraire, — ne se reduit pas a un nombre entier, alors, en posant, pour abreger, n
on tirera des formules (33) et (44 )> mais seulement pour des valeurs positives de a, (49)
(« +
L7equation (4Q) subsistant pour toutes les valeurs entieros ou fractionnaires de la quantite positive ou negative designee par (j., l'analogie nous porte a l'etendre au cas meme ou la quantite p. devient irrationnelle. C'est ce que nous ferons desormais. En consequence, si [i. est irrationnel, la notation
sera employee pour designer le produit
c'est-a-dire la limite vers laquelle converge Texpression
tandis que Ton fait converger la quantite positive ou negative ± — vers une limite egale a jx. La resolution de l'equation (7) entraine celle d'une equation trinome de la forme (5o)
x*n-h pxn-{- q = o.
En effet, cette derniere, pouvant s'ecrire comme il suit
168
RESUMES ANALYT1QUES.
pourra etre remplacee, si C - q est positif, par le systeme des deux equations binomes comprises dans la formule (52) o t,
si El — q est negatif, par le systeme des deux equations binomes
comprises dans la formule
Si n se reduit a I'unite, Tequation ( 5 o ) sera reduite a Tequation du second degre (V|)
x^-^px -+- q — o
et admettra deux racines reelles inegales et comprises dans la formule
si Ton a i 56)
deux racines imaginaires inegales comprises dans la formule ( 37 )
si Ton a
enfin deux racines reelles egales et determinees par la formule (59)
x=-E,
RESUMES ANALYTIQUES.
169
si Ton a (60)
El=q.
En terminant ee paragraphe, nous ferons, relativement aux racines /?iemes c j e l' un ite representees par les diverses valeurs de l'expression (29), une observation qui n'estpas sans importance. Si Ton pose, pour abreger, l=.e^'~[
(61)
et si Ton nomme /, /' deux quantites entieres positives ou negatives, mais tellement choisies que /'— / ne soit pas divisible par /?, les expressions 2JJZ n
(62)
ITIZ
/Zr
V—e
V'—e n
,
.--• v
seront deux racines ^ m e s de l'unite distinctes Tune de 1'autre, puisque la difference 2/7T 1— e
n
2/"TC ,—
„
n
e
2/7T
—
n e
— -/
S(/'-/)TC — - \
\ 1 — e
n
f
ne peut s'evanouir qu'autant que
est un nombre entier. Done les expressions (62) seront deux racines niemes j e l' u n ite distinctes Tune de 1'autre, si la difference /'— Zest inferieure a n, d'ou il resulte que, pour obtenir toutes les racines de l'unite du degre n, il suffit de prendre h termes consecutif's de la progression geometrique . . . , > - 3 , I - 2 , X - 1 , 1 , X1, X2, X3, . . . ,
(63)
indefiniment prolongee dans les deux sens, par exemple les termes 1 , X, X2, . . . ,
(64) OEuvres
de C — S. I I , t . X.
X"-1. 22
170
RESUMES ANALYTIQUES.
§ XX. — Logarilhmes des expressions imaginaires et logarithmes imaginaires des quantites reelles. Soit a -+- b\l— i
une expression imaginaire quelconque, a, h designant deux quantites reelles. Ce qu'on appelle Ic logarithme de a -f- b sj — i dans le systeme dont la base est A, c'est une seconde expression imaginaire a-\-$\j — i, dans laquelle les quantites a, (3 sont tellement choisies que Ton ait hf'+W-1 = a+• b ^~i
(1)
et, par consequent, eu egard a la formule (5) du § XV, (2)
e^+M^^^za-t-bs/^l.
Ainsi, en particulier, un logarithme neperien de a-hbsj—i sera une expression imaginaire a + ft\/— i tellement choisie que Ton ait (3)
e*+M~i~
a
+
D'ailleurs, si Ton fait (4)
p — sja1-^ fr2, ? = arc t a n g - ,
et si Ton designe par k un nombre entier quelconque, on trouvera, pour des vale'urs positives de a, (5)
a + b\j — I =7.
et, pour des valeurs negatives de a, (6)
a -f- b\J — i — p e\
Cela pose, il est clair qu'on verifiera la fommle (3), si a est positif, en prenant1 (7)
RESUMES ANALYTIQUES.
171
et, si a devient negatif, en prenant a + p^jz=lp-h[C±(2A--M)7r]v/:=:T.
(8)
II y a plus : on peut aisement s'assurer que la formule ( 7 ) ou (8) fournira tous les logarithmes neperiens de Texpression imaginaire a 4- b\j — 1. Car, en vertu du theoreme II du § XIII, le module e* du premier membre de Inequation (3) devra se confondre avec le module p de l'expression a 4- b \] — 1. On aura done
D'autre part, si, en adoptant la valeur precedente de a, on reduit k a zero dans la formule (5) ou (6), on tirera de cette formule, jointe a l'equation (3) : i° pour des valeurs positives de a,
par consequent
20 pour des valeurs negatives de a,
par consequent
On prouvera de meme que les valeurs.de a -4- {3-V~~ I Pr9pres a verifier la formule (2), ou les logarithmes de a 4- b\J — 1 relatifs au systeme dont la base est A, sont tous compris, pour des valeurs positives de a, dans la formule
et, pour des valeurs negatives de a, dans la formule (.0)
g+
p^r-I=1-£±tc±(^ + O]^!=::Lp
+ (C
17-2
RESUMES ANALYTIQUES.
Si Ton suppose, en particulier, a + bsj— i = ± i, par consequent p = o, £ = o, les formules (7), (8), ou (9), (10) donneront pour les logarithmes neperiens de + 1, non seulement zero, mais encore toutes les expressions imaginaires de la forme (11)
±ikv:\J— 1
ou
± ikv: LesJ— 1,
et, pour les logarithmes neperiens de — 1, toutes les expressions imaginaires de la forme (12)
z±z ( 2 A * - [ - i ) 7 r \/— i
o u ± (2k - H
i)r*Lesf^-1.
Generalement, si a -\- b \j — 1 se reduit a une quantite reelle a, on pourra, en vertu des formules (7), (8), ou (9), (10), considerer romme logarithmes de a : i° si a est positif, toutes les expressions comprises dans la formule (13)
\a±i2kv:\J—J on
La±2kr.Le\J—1;
20 si a est negatif, toutes les expressions comprises dans la formule (14)
1(— a)±(2k^i)n\/~-^i
ou L(—a)±.(2k~^-i)Le\J— 1.
Observons d'ailleurs qu'on peutobtenir toutes ces expressions en ajoutant a Tune quelconquc d'entre elles, par exemple, lorsque a est positif, au logarithme reel la ou L a , les divers logarithmes imaginaires de l'unite. Lorsque, b n'etant pas nul, a est positif, 1'un des logarithmes de a -f- b\J— 1, savoir celui qui correspond a une valeur nulle d(^ A\ est precisement 05)
lp + ?\/—1 °u Lp + £Le\/'~i,
suivantque Ton prend pour base le nombre e ou le nombre A. C'est ce logarithme que nous designerons par la notation (16)
\(a + b\J~\) ou L(a + bsJ-\),
dont nous ne ferdns usage qu'autant que la portion reelle de l'expres-
RESUMES ANALYTIQUES.
173
sion imaginaire renfermee entre les parentheses sera positive. O l a pose, en admettant que p et £ soient determines par les formules (4j, on aura, pour des valeurs positives de a, (17)
et, pour des valeurs negatives de a, ]
(18)
Par suite, les divers logarithmes de l'expression a + b\/ — r se deduiront, pour des valeurs positives de a, de la formule (19)
\(a+
b\/~^~\)±ik-\J^~i
011
L { a + b \ f ^ ~ \ ) ± i /
et, pour des valeurs negatives de a, de la formule (20)
l(—a—b\J~— ~i)±(2k-t-i)v:\/^~i
011 L(—a—b\J—~i)±{*k+ t)ix\r— 7.
L'inspection de ces diverses formules conduit immediatement a la proposition suivante : I. — Une quantite reelle ou une expression imaginaire quelconque a toujours une infinite de logarithmes imaginaires, dont Vun devient reel lorsque Vexpression donnee se reduit a une quantite positive. De plus, pour obtenir tous ces logarithmes, ilsuffit d'ajouter a Vun d entre eux les divers logarithmes de Vunite compris dans la formule THEOREME
±ikiz\j—1
ou
±: 2 k v: L e \j—1.
Ajoutons que, en vertu des formules (17) et de la formule (49) du § XIX, on aura toujours, en designant par .rune expression dont la partie reelle soit positive, (21)
Ltf^j^zzULr
et (22)
^=e\Llx
174
RESUMES ANALYTIQUES,
Soient maintenant (23)
x = a-+-b\f~i9
y = a'+b'\f=l,
s= *'+
plusieurs expressions imaginaires dont les parties reelles a,
a',
a",
soient positives. Si, en designant par
leurs modules, on pose $ = arc tang -, a
£ ' = arc tang—? &
?" = a r c t a n g —, ci
•••>
on trouvera
et, par suite, (25)
xyz. . . z=^pp'p;/. . . e (v^'+C'+--.)v / - 1 .
Si d'ailleurs Tare
est compris entre les limites
, -+- - , la partie reelle du produit xy
sera positive, et Inequation (25) entrainera les suivantes
qu'on pourra encore ecrire comme il suit: j 1(^7-. • • ) = 1^+ 1/4-
Pareillement, si, a etantpositif et \x designant une quantite reelle quelconque, le produit uX, reste compris entre les limites — - , -+- - , la pre2
2
RESUMES ANALYTIQUES.
175
miere des equations (23) donnera, non seulement (27)
xv>=(a-]- bsJ^iy
mais encore
ou, ce qui revient au meme, ( Ainsi les formules (26), (28), qui sont generalement vraies lorsque x, y, z designent des quantites reelles positives, en vertu des proprietes fondamentales des logarithmes reels, ne peuvent pas etre etendues, sans de notables restrictions, au cas ou x, y, z9 . . : deviennent imaginaires. Dans ce dernier cas, les formules (26) subsisteront si, les valeurs de x, y, z, . . . etant determinees par les formules (23), et leurs parties reelles a, a\ a!\ ... etant positives, la somme b
(29)
b'
b"
arc tang- -+- arc tang— 4- arc tang— + . . .
reste comprise entre les limites
> -+--? et les formules (28) si, la
quantite a etant positive, le produit (30)
b fx arc tang a-
reste compris entre les memes limites. § XXI. — Des series imaginaires doubles ou multiples. Si Ton suppose que les quantites comprises dans le tableau (1) du § VIII se changent en autant depressions imaginaires, la serie double, dont ces quantites etaient les differents termes, deviendra
176
RESUMES ANALYTIQUES.
une serie double imaginaire, dont le terme general sera represents par m9 m! etant deux nombres entiers quelconques. Pareillement on peut imaginer une serie imaginaire triple dont le terme general , m', m"
serait une fonction imaginaire des trois indices entiers m, m'9 m", et tinalement une serie imaginaire multiple dont le terme general serait une fonction imaginaire de m indices m,
?nf,
m",
m'\
.. ,
rhacun de ces indices pouvant recevoir successivement les valeurs cntieres O,
I,
2,
3,
4,
Cela pose, nommons sn la somme formee par l'addition d'un nombre tini ou meme infini de termes de la serie multiple, cette somme etant o.omposee de maniere qu'elle renferme au moins tous les termes dans losquels la somme des indices est inferieure a n9 et quc jamais elle no comprennc un terme correspondant a des indices donnes sans ren(Vrmer en meme temps tous les termes qu'on en deduit en remplaeant ces memes indices ..ou quelques-uns d'entre eux par des indices moindres. Si, toutes les fois que les deux conditions p r e c e d e n t s sont remplies, la somme sn converge pour des valeurs croissantes de n vers une limite fixe &, la serie multiple sera dite convergent^
et la limite
on question s'appellera la somme de la serie. Dans le c$s contraire, la serie imaginaire multiple sera divergente et n'aura plus'de somme. Si, dans lc premier cas, on pose
rn sera le reste de la serie imaginaire multiple, et ce reste, qui representera ce qu'on peut nommer la somme de tous les termes non compris dans stl9 deviendra infinimfent petit pour des valeurs infiniment
RESUMES ANALYTIQUES.
177
grandes de n. En partant de ces definitions, on prouvera sans peine que, pour rendre les theoremes I, II, III, IV, V du § VIII applicables aux series imaginaires multiples, il suffit de substituer dans ces theoremes les modules des differents termes a leurs valeurs numeriques. Ainsi, en particulier, on pourra enoncer les propositions suivantes : THEOREME
I. — Lorsque les modules des divers termes d'une serie ima-
ginaire multiple forment
une serie reelle convergente, la serie imaginaire
est elle-meme convergente, THEOREME
II. — Supposons que, pour un module de la variable n infe-
rieur a c, la fonction y de x soit developpable en une premiere serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de x, et que, pour un module de la variable y inferieur a c\ la fonction
z de y soit
developpable en une serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de y; z sera developpable en une nouvelle serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de x, toutes les fois que le module de x, etant inferieur a c, produira pour les termes de la premiere serie des modules dont la somme sera inferieure a c\
Pour montrer une application du theoreme II, supposons que, la valeur de x etant imaginaire, on prenne X2
V
";
"
I
X*
1.2
1 . 2 . 3 " '
Comme les series comprises dans Jes seconds membres des formules (i) et (2) seront convergentes, la premiere pour tout module de la variable x inferieur a l'unite, la seconde pour toute valeur imaginaire et finie de la variable j , on tirera de ces formules, en attribuant aicun module r < i, /
x2
x'6
\
p.2 /
x2
x*
Or, en vertu du theoreme II, le second membre de la formule (3) OEuvres de C. — S. II, t. X.
'
2
3
178
RESUMES ANALYTIQUES.
devra se reduire pour p . < i a la somme d'une serie convergente ordonnee suivant les puissances entieres et positives de x. D'ailleurs, ce second membre, coincidant pour des valeurs reelles de x avec le second membre de la formule ( 4 ) du § XI, se transformer, par cette reduction, en celui que presente la formule ( 7 ) du meme paragraphe. On aura done, pour r < 1, — i) ({JL— 2) 1.2
1.2.
En d'autres termes, tant que le module de x restera inferieur a l'unite, la fonction y determinee par la formule (1) verifiera l'equation
1.2
1.
Si Ton suppose, en particulier, [JL = 1, la formule (4) donnera simplemen t (5)
e^ =
n-.r.
§ XXII. — Developpements des fonctions l ( i + o ? ) , L ( i + a?), (1 + x)vdans le cas ou la variable x devient imaginaire. Concevons que Ton attribue a la variable x une valeur imaginaire et de la forme (0
J? = /*e^- 1 =(
v),
r designant un module positif et t un arc reel. Si Ton fait, pour abreger, (2)
5=: arc tang
et si Ton designe par [/. une quantite reelle, on trouvera, pour toutes les valeurs positives de n - r c o s / f par consequent pour toutes les
RESUMES ANALYTIQUES.
179
valours du module p comprises entre les limites o, i, (3)
(4) (5)
i 4 - #
=
(
i
4
-
2
.
I(i -\-x) — - 1 ( H - ir cos £4- /•*) 4-.9\ (14- xY—
p (i 4- 2 r cos t 4- r a ) 2 ^ V - 1 =
D'autrc part, on supposant la variable a? reelle et comprise entre les limites — i, - h i , nous avons trouve (6)
1(I + J?)
— x— '
h— 2
(7)
(i + ^ = i - | - p -+ ^ ^ r 1.2
2
O
f
^
f
^
I . !2 .
J'ajoutc maintenalit que les formules (6), (7) subsistent encore, pour des valeurs imaginaires de x, lorsque le module r est inferieur a l'unite. C'est co que Ton demontrera sans peine en operant comme il suit. Concevons que, la variable x etant imaginaire et son module inferieur a l'unite, on pose (8)
, = *_£!+£!_...,
ce qui est permis, puisque alors la serie comprise clans le second membre de la formule (8) est convergente. La formule (8) entrainera l'equation (9)
— 1 4- x
(voir le paragraphe precedent). Done y sera Tun des logarithmes imaginaires et neperiens de i -\-x. En d'autres termes, on aura y — (10)
l ( l -\- X) = . ) ' = P 2/i 71 V*— 1 = ^
H -o- — . . .4= 2 A-7T v/— I,
180
RESUMES ANALYTIQUES.
k designant un nombre entier, par consequent
et (12)
^ sin3* — ...=p
suz
5
On tire d'ailleurs de la formule (12) rshu 3' S i
/
arCtang
'
et, comme, en vertu du theoreme VII (§ VI), la somme r sin ^ 2
sin 2 £ -H -^ sin 31 — . . . 3
sera, pour des valeurs de r comprises entre o et 1, fonction continue de chacune des variables r et t, il est clair qu'on pourra en dire autant du second membre de l'equation (i3). Done ce second membre variera par degres insensibles, avec r et t, entre les limites /' = o, r=i9 / = — cc, t = 00. Cette condition ne pourrait etre remplie si, r et t venant a varier par degres insensibles, la quantite entiere ±k changeait brusquement de valeur. Done, pour toutes les valeurs de r e t 1 comprises entre les limites dont il s'agit, ± k conservera une valeur constante egale a celle que fournit requation (12) pour r = o, e'esta-dire une valeur nulle, et les formules (10), (12) devront etre reduites, la premiere a la formule (G), la seconde a la suivante :
Si Ton suppose, en particulier, t = -, l'equalion (14) donnera (i5)
arc t a n g / — / • —
- + _ _ . . . ;
et, comme cette dernicre ne changera pas de forme quand on y rem-
RESUMES ANALYTIQUES.
181
placera r par — /-, on en conclura, en ecrivant x au lieu de ± r, qur Pequation (16)
arctang# = x
— -+-
...
subsiste pour toutes les valeurs reelles de x comprises entre les limites X = — I,
X — I.
Si Ton prend x = 1, on aura arc tang 1 = y, et, par consequent, 4
(17)
7 T z = 4 ( l — I -t- I — - + . . . ) = 3 , l 4 l 5 9 2 6 5 d 5 7 / \
On trouvera encore, en altribuant a x une valeur imaginaire dont le module soit inferieur a Tunite, (18)
L ( n - x ) = l(H-Lz-)Le = fj'— — -4- ^ — ...\he. 2 \ ^
Observons maintenant que, la variable x etant toujours positive et son module inferieur a l'unite, la formule (8) entraine, non seulement l'equation (9), mais encore celle-ci
1.2
( a designant une quantite positive quelconque). On aura done encore ' <
'
1.2
'
1.2.3
ou, ce qui revient au meme, — 1) ( a — 2
Done la formule (6) continue de subsister dans le cas oil x, etant imaginaire, offre un module r < f. Alors, en egalant entre elles, dans les deux membres de la formule : i° los parties reelles, 20 les quantitrs
182
RESUMES ANALYTIQ UES.
qui sont multiplies par \f^~i, on obtient les deux equations i u(u —l) i r cost + /- 2 ) 2 cosps = i + [X?-cost + -———r*cos2t—
...,
;20)
i .2 71
on trouSi dans ces dernieres, jointes a la formule (2), on pose / = j> 2' vera I
s — arc tangr,
r = tangs,
I
1
(1 -H 2r cost 4- r2)2 = (1 -t- r 2 ) 2 = sees = — - ,
ct, par suite, (21)
/ s i n [is —
fji t a n g s — ^ ^ ~ ^ ^
~~" 2 ^ t a n g 3 s 4 - . . .
cosV-s,
ou, ce qui revient au merne, cos/as — [1 — (fx)2 tang 2 s + ( a ) 4 tang4.^ — . . .]cosH-s, (22)
sinps — [juttangs—
(/JL)3
tang 3 s + . . . ]
puis on en conclura r
1 — ([*)2 tangos
Comme d'ailleurs les equations ( 2 2 ) , ( 2 3 ) ne changent pas de forme quand on y remplace s par — s, il est clair qu'elles subsistent, quelle que soit la quantite p., pour toutes les valeurs de s comprises entre les limites (2/+)
s = — a r c tang 1 = — 7? 4
s = arc tang 1 = ?4
Lorsque Texposant ^ se reduit a un nombre entier m, les equations ( 2 2 ) , ( 2 3 ) se reduisent aux equations ( 2 ) et ( 3 ) du §XVI, et peuvent alors etre etendues a des valeurs quelconques de Tare s.
TABLE DES M1TIERES DES RESUMfiS ANALYTIQUES.
Pages 9
AVERTISSEMENT
I.
Sur les nombres figures
10
II.
Dcveloppement du produit de plusieurs binomes, *ou d'une puissance entiere et positive de Fun d'entre eux; theoreme de Fermat sur les nombres premiers
14
Des variables et des fonctions en general, et, en particulier, des fonctions entieres d'une seule variable. Relations qui existent entre les coefficients des puissances entieres et positives d'un binome
16
IV.
Resolutions de plusieurs equations simultanees du premier degre
26
V.
Formules d'interpolation
jo
VI.
Des series convergentes et divergentes, et,en particulier, de celles qui representent les developpements des puissances entieres et negatives d'un
III.
binome
46 x
x
VII.
Developpements des exponentielles e , A
fri
VIII.
Des series doubles ou multiples. Nombres de Bernoulli
66
IX.
Sommation des puissances entieres des nombres naturels. Volume d'une pyramide a base quelconque Formules pour 1'evaluation des logarithmes. Developpement du logarithme d'un binome
89
XI.
Developpement d'une puissance quelconque d'un binome
9.3
XII.
Trigonometrie
96
XIII.
Des expressions imaginaires et de leurs modules
116
XIV.
Des series imaginaires
127
XV.
Des exponentielles imaginaires. Developpements des fonctions cos.r, sin.r...
i33
XVI.
Relations qui existent entre les sinus ou cosinus des multiples d'un arc et les puissances entieres des sinus et cosinus du meme arc
i'4i
X.
81
184 TABLE DES MAT1ERES DES RESUMES ANALYTIQUES. Pages
XVII. Sommation des sinus ou cosinus d'une suite d'arcs representee par les differents termes d'une progression arithmetiquc ". 143 XVIII. Relations qui existent entre le perimetre d'un poly gone plan et les sommes des projections des elements de ce perimetre sur diverses droites. Rectifications des courbes planes '•. • 149 XIX. Sur les puissances fractionnaires, ou irrationnelles, ou negatives d'une expression imaginaire. Resolution des equations binomes ct de quelques equations trinomes 133 XX.
Logarithmes des expressions imaginaires, et logarithmes imaginaires des quantites reelles T70
XXI. Des series imaginaires doubles ou multiples. XXII. Developpements des fonctions l(n-.z), L(i-+-x), (i + ^r)^ dans le cas ou la variable x devient imaginaire 178
NOUVEAUX EXERCICES DE
MATHEMATIQUES {EXERCICES DE PRA&UE).
DEUXIEME EDITION RE 1 MP R I ME E
D'APRES LA PREMIERE EDITION.
QEuvres de C — S. II, t. X.
Ce travail a ete l'objet de deux editions distinctes, ou, plus exactement. il y a eu deux tirages separes de la meme edition. Le premier, destine aux savants frangais, a paru en France sous le titre suivant : Nouveaux Exercices de Mathematiques, avec une preface {voir page 189) expliquant comment ils faisaient suite aux anciens Exercices de Mathematiques composes pendant les annees 1826 ai83o. Le second a paru a Prague, sous le titre suivant : Me1moire sur la dispersion de la lumiere. II etait precede d'un Avis au Lecteur, qu'on trouvera plus loin (voir page 193), et qui fait connaitre les motifs de cette edition speciale.
D E
P A R
M. AUGUSTIN LOUIS CAUCHY, MEMBRE DE L'ACAD^MIE DES SCIENCES DE PARIS, DE LA SOCIETE ROYAXJE BE LONDRES, ETC.
IMPR1ME CHEZ JEAN SPURNY.
NOUVEAUX EXERCICES DE
PAR
Xja bienveillance avec laquclle les georaetres, et les personnes adonne'es a la culture des sciences, ont acceuilli les deux ouvrages que j*ai publies, a Paris sous le litre d'Exercices de Mathematiques , a Turin sous le litre de Resumes analytiques. m'encourage a faire paraitre aujourd'hui un troisieme recueil destine a offrir le de*veloppement des theories exposees dans les deux premiers, et les resultats aux quels de nouvelles recherches m'auronl conduit. On sait assez quels evenements m'ont fait un devoir de renoncer aux trois chaires que j'occupais em France, et quelle voix auguste k pu seule me determiner a quitter encore la chaire de Physique Mathema tiqne que le Roi de Sardaigne avait daigne me confier.
Mais ce n'est pas sans doute
aupres des descendants de Louis XIV, aupres de ces Priuces protecteurs si eclairds lettres et des sciences, que je pourrais me croire dispense de faire de continuels
( IV ) efforts pour contribuer a leurs progrfes,
Les nouveanx Exercices paraitront comme
les precedents par livraisons qui, s'il e9t possible, car snr cette terrq et dans ce siecle surtout on ne saurait r^pondre du lendemafn, se succederont a des dpoques pen dloign^es les unes des autres,
Les premieres llvraisons ofiriront en totality le
Mdmoire sur la dispersion de la Iuroiere, Me'moire dont tes deux premiers paragraphes seulement ont etc* deja publies en 1830. A la deVniere Iivraison de chaque anne*e sera' jointe une table des matieres.
MEMOIRE SUR
LA DISPERSION DE LA LUMIERE PAR
M. A. L. CAUCHY, MEMBRE DE L'ACADEMIE DES SCIENCES DE PARIS, DES SOCIETES ROYALES DE LONDRES, DB BERLIN, DE PRAGUE; ETC.
PUBLIE PAR LA SOCIETE ROYALE DES SCIENCES DE PRAGUE.
PRAGUE, CHEZ Jf. G, CJH,VE9
LIBRAIRE.
uu i l y a environ nn an, qtfe M&Hsiew Ji. X. Cauchy*
connn par des
ouvrages qui le inettent au rang des premiers mathematiciens, presenta a la Sooiete royale des Sciences son dernier traite, Dispersion de la Lumidre,
intitule: Memoire stir la
pour le recevoir an nombre des dissertations, que
cette Societe public de temps a aulfe, et ;quMl surpassait tous les traites semblables d'autres ecrivains dans cette par»tie> et qu'en consequence les sciences physico-mathejnatiques feraient, par »cette publication, un progres considerable; & la Societe royale accepta le manuscrit de M Cauchy* ORwresde
pour le faire imprimer.
C. — S. II, t. X.
'r°
IV Mais, eomme, par des presentations supplemental de ia continuation du manuscrit, le traits depassaii ies bornes d'une dissertation, il m pouvait $tre re<jis dans la sine de celles9 que la Soci&6 royale public de temps ea temps j et il a du 6tre imprim^ comma im euviage s^par^ et ind^pendanf. OB a choisi pour cet effet, tin plus grand format, savoir k format in-quarto afin de mieus rendre Ies longues formules: et ies tables tris - etendues de Pauteur, et de mettre au jour une edition aussi elegante et correcte que possible
Prague, le 10 juin 1836.
La Societe royale des Sciences de Prague en Boheme.
NOUVEAUX EXERCICES
MATHEMATIQUES. CONSIDERATIONS GENERALES.
Dans un Memoire precedent, nous avons fait voir comment les lois de propagation et de polarisation de la lumiere pouvaient se deduire des equations aux differences partielles qui representent le mouvement d'un systeme de molecules sollicitees par des forces d'attraction ou de repulsion mutuelle (voir le Ve Volume des Exercices de Mathematiques). Toutefois, comme les formules ( n ) de la page I 3 I du IVe Volume des Exercices ( 1 ), auxquelles nous avons eu recours, no sont qu'approximatives, les lois que nous avons etablies ne sont pas rigoureusement exactes. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que, dans l'enonce de ces lois, on ne trouve rien qui soit relatif a la nature de la couleur. Or la dispersion des couleurs par le prisme prouve que, dans les corps transparents, la vitesse de propagation de la lumiere n'est pas la meme pour les differentes couleurs. D'ailleurs les physiciens qui ont adopte Thypothese des ondulations lumineuses supposent avec raison que la nature de chaque couleur est determines par la duree plus ou moins grande des oscillations des molecules de Tether, de meme que la nature du son produit dans un corps solide ou fluide est determinee par la duree plus ou moins grande des oscillations des molecules de ce corps. II est done naturel d'admettre qu'il existe une relation entre la vitesse de propagation de la lumiere et (i) OEuvres de Cauchy, S. IL T. IX, p. 166.
196
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
la duree des vibrations lumineuses. Or cette relation ne saurait se deduire des equations aux differences partielles inscrites sous le n° 11, a la page I 3 I du IVe Volume des Exercices ( ' ) . Mais il importe de remarquer que ces equations se tirent elles-memes de formules plus generates que j'ai donnees dans le Ill e Volume (p. 190 et suiv.) ( 2 ). Frappe de cette idee, M. Coriolis me conseilla de rechercher si la consideration des termes que j'avais negliges en passant des unes aux autres ne fournirait pas le moyen d'expliquer la dispersion des couleurs. En suivant ce conseil, je suis heureusement parvenu a des formules a l'aide desquelles on peut, non seulement assigner la cause du phenomene dont il s'agit, mais encore en decouvrir les lois qui, malgre les nombreux et importants travaux des physiciens sur cette matiere, etaient restees inconnues jusqu'a ce jour. Pour que Ton puisse saisir plus facilement les principes sur lesquels repose l'analyse dont je vais faire usage, je reproduirai d'abord en peu de mots les equations differentielles qui determinent le mouvement d'un systeme de molecules sollicitees par des forces d'attraction ou de repulsion mutuelle. § I. — Equations differentielles du mouvement d'un systeme de molecules sollicitees par des forces d'attraction ou de repulsion mutuelle. Considerons un systeme de molecules ou points materiels distribues arbitrairement dans une portion de l'espace et sollicites au mouvement par des forces d'attraction ou de repulsion mutuelle. Soient m la masse d'une de ces molecules; m, m\ m\ ... celles des autres, et supposons que, dans un etat d'equilibre du systeme, x, j , z designent les coordonnees de la molecule m rapportees a trois axes rectangulaires; x -4- Ax, y -f- Ay, z 4- A^ les coordonnees d'une autre molecule m; r la distance des molecules in et m;
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
19?
a, p, y les angles formes par le rayon vecteur r avec les demi-axes des coordonnees positives. Admettons d'ailleurs que Tattraction ou la repulsion mutuelle des deux masses nt et m, etant proportionnelle a ces masses et a une fonction de la distance r, soit representee, au signe pres, par (0
mmf(r),
f(r) designant une quantite positive lorsque les masses m, m s'attirent, et negative lorsqu'elles se repoussent. La resultante des attractions ou repulsions exercees sur la molecule m par les molecules m, m', ... aura pour projections algebriques sur les axes coordonnes (2)
mS[/wcos«f(r)],
m S[m cos(3 f(/•)],
m S[/w cosy f(r)],
la lettre S indiquant une somme de termes semblables, mais relatifs aux diverses molecules m, m\ . . . , et, puisque le systeme est, par hypothese, en equilibre, on aura necessairement (.3)
S[m cosaf(/')] = o,
S[/racos(3f(/-)] = o,
S[mcosy f(r)] = 0.
Ajoutons que les quantites Ax, Ay9 As pourront etre exprimees'en fonction de r et des angles a, (3, y par les formules (4)
Aj?==rcosa,
A/ = rcos(3,
A^> = rcosy.
Supposons maintenant que, le systeme venant a se mouvoir, les molecules m, m, m\ ... se deplacent dans Tespace, mais de maniere que la distance de deux molecules m et m varie dans un rapport pen different de l'unite. Soient, au bout du temps t,
des fonctions de x, j , z, t qui represented les deplacements tres petits de la molecule m, mesures parallelement aux axes coordonnes. et la distance des deux molecules m, m. La quantite tres petite t expri-
198
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
mera la dilatation lineaire mesuree suivant le rayon vecteur r\ et, comme les coordonnees respectives des molecules m, m deviendronf x •+• £ ,
x 4-^
les projections algebriques de la distance r(i + s) seront evidemment
ou, ce qui revient au meme, /•cosa + A^,
On trouvera par suite (5)
( r c o s | 3 + Arj) 2 H- (/-cosy + A?) 2
/-2(n-£)2=(
et Ton en conclura (6)
/
2
I
= 4 / i + - (cos a A£ H- cos (3 An -h cosy AC) H- -^ (A£2-h An2 + AC2).
D'ailleurs, au bout du temps /, le rayon vecteur mene de la molecule m a la molecule m formera, avec les demi-axes des coordonnees positives, des angles dont les cosinus seront representes, non plus par (7)
cos a =: —>
cosy = — ' r
mais par cosa i -+-•
(8)
r £
cos (3 -
Ay-
I 4-- £
/•(1H-
A?
cosy -
•1
En consequence, l<^s projections algebriques de la force motrice resultanto des attractions ou repulsions cxercees par les molecules m,
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQUES.
199
m\ . ; . sur la molecule m, deviendront respectivement egales aux trois produits m S m cos a H mS
(9)
1
—— — r) i+e AYA f[/-(i + s)] -^— ml cosS H r \ /" / I+ £ \ /
mS m cosy n
tandis que les coefficients de m dans ces produits, savoir m cosa H
i + £
r AY)
(10)
r
'(•
iw[ cosy n
1 + £
representeront les projections algebriques de la force acceleratrice qui sollicitera la molecule m, et qui sera due aux actions des molecules m, m\ D'autre part, si Ton prend x, y, z, t pour variables independantes, les projections algebriques de la force acceleratrice capable de produire le mouvement observe de la molecule m pourront etre representees par les expressions dt*
puisque \, YJ, C designent les deplacements tres petits de la molecule m mesures parallelement aux axes de cc,y9 z. Done, si le mouvement est uniquement du aux actions moleculaires, on aura /•(i + £)] I+ £
—-5 = S m (cos a -\-—7 m[ COS(3H
V G^2
^
cosy n
,
r )
/•(i + e)]
i+e I+ £
Concevons a present que, les deplacements £, yj, C et leurs difl'e-
200
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
rences finies etant consideres comme des qaantites infiniment petites du premier ordre, on neglige, dans les seconds membres des formules ( I I ) , les infiniment petits des ordres superieurs au premier. Alors, comme on aura, en vertu de l'equation (6), (12)
£ = - ( c o s a A£ -h cos(3 ATQ + cosy AC),
on ne devra conserver dans le calcul que la premiere puissance de e, et, en faisant, pour abreger,
on trouvera
Par suite on tirera des formules (i i), reunies aux equations (3),
g
=S [/n^p A?] +S [mf{r)e cosy]
ou, ce qui revient au memo,
g
= S [„« f^±^AL)
A5 ] + 8
cosa/(r) Agj ^^n ^ - ^
|-m CQ8«cosP/(r) Ai]-j +
j" m co*aco*yf(r) ^
]j + g j
M±^ll_m
Ag] 4- S [ m ^l^Lfill
g
A ,] + S AJ
+ 8
f
s^y/(,)
Tclles sont les equations propres a representer le mouvement d'un systrme de molecules qui, elant solliciteos par des forces detraction ou de repulsion mutuelle, s'ecartent trijs peu des positions qu'elles occupaient dans un etat d'equilibre du sysleme.
EXERCICES DE M ATHEMATIQUES.
201
^ II. — Integration desequations etablies dans le paragraphs precedent. Quelles que soient les valeurs generates de £, YJ, £ propres a verifier les equations (16) du paragraphe precedent, on pourra toujours les supposer developpees en series d'exponentielles dont les exposants soient des fonctions lineaires des variables indepondantes cc,y9 z. En d'autres termes, on pourra representer 2j, yj, £ par des expressions de la forme (i)
u, i\ (T1 designant des constantes arbitrages, mais reelles, a, b, c des fonctions reelles ou imaginaires de x, y, z, t, convenablement choisies, et le signe 2 indiquant uni3 somme de termes semblables les uns aux autres, mais correspondants a divers systemes de valeurs des constantes arbitrages u, r, w. Cela pose, soienl ^, e, f les parties reelles des fonctions a, b, c, et — JJ, — I), — i les coefficients de y — i dans ces memes fonctions. Les formules (i) deviendront
< Y] = 2 ( r — I) N/ 11 "^) e^'^+^+^-V 2 7 ,
(2)
Comme on aura d'ailleurs (3)
ef«a?+^*-«-ws)vc:T=cos(£/.r + r / - 4 - « ^ ) -f-
on tirera des equations (2), en developpant les produits renfermes sous le signe S et supprimant les parties imaginaires dans les valeurs de 2j, Y), ^ qui doivent rester reelles, / I = i [b cos(z/^r + c r 4- ^ ^) H- 3 sin (w.r -f- r j - H- »r^)], (4)
I
YJ
= i [c cos( w.r H- r r + tr^) + \) sin (war -h r / + w z)]9
( C = 2 [( cos(«.r -4- r>- -h
26
202
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQUES.
Soient maintenant (5)
( a »H-^+^)"*=A-
et («)
x=«,
j=*.
*=<•
Les constantes a, 6, c verifieront la formule a2-^-b--\-c2=i
(7)
et representeront les cosinus des angles formes par une certaine droite OP avec les demi-axes des coordonnees positives. Do plus, comme on tirera des equations (6) (8)
11 z= Aa,
^ = kby
w = Ac
et, par suite, (9)
LIT + r j + w^ = A-(«.r + by -h c^),
il est clair qu'en posant, pour abreger, (10)
-c=z ax -\- by -+- cz,
on reduira les equations (4) aux suivantes : = 2(I> cosAt + (n)
< V = 2(e cosAt, -h I) ( C = 2(f cos kt -+-1 sinA-t).
Alors t representera la distance du point (cc,y9 z) a un plan OO'O" mene par l'origine et perpendiculaire au demi-axe OP, cette distance etant prise avec le signe -f- on avec le signe —, suivant qu'elle se mesiirera dans le meme sens quo le demi-axe OP, ou en sens inverse, a partir du plan 0 0 ' 0 " dont l'equation sera {12)
ax -h by -h cznno.
II reste a faire voir comment on pourra trouver les valeurs des coeffi-
NOWVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
203
cients tr, e, f, fl, I), i exprimees en fonctions de la variable / et des constantes arbitraires k, ay b, c. On y parviendra sans peine a l'aide des considerations suivantes. Considerons d'abord le cas particulier ou chacune des inconnues \9 y], "C serait representee par un seul des termes compris sous le signe £ dans les formules (i i), c'est-a-dire le cas oil Ton aurait \ ==i> cos At -h Y) —
t cos At -i- I) sin At,
? = f cosAi^ -+- i si
Alors, en indiquant par la caracteristique A Taccroissement que recoit line fonction de cc9y9 z9 quand on fait croitre x de Aa?, j de Ay, ^ chk A^, et par la lettre S Tangle que forme le rayon r avec le demi-axe OP, on trouvera (14)
cos5 = a cosa 4- b cosj3 + c cosy;
puis on tirera : i° de l'equation ( i o ) , jointe aux formules ( 4 ) du § I, (15)
At = a A.r -h- b A/ -h c A^ =: /• cos5
et, par suite,
S
A c o s £ t = cos(A:t-f- A^At.) — cos At = — [i — c o s ( A / ' c o s d ) ] cosA-t — sin(Av cos<5) sin At, A sin At — sin(A^ -+- k Ar) — sin At = — [i — COS(AT cos 5)] sin At + sin(A/' cos<5) cos At;
2° de la premiere des equations (i3) j A£ = — (b cos At + gsinA-t) [i — cos(Arcos5)] (
4- (g cos At — b sin At) s i n ( A r c o s ^ ) .
Done, si Ton prend pour variables independantes t et /, au lieu de x% y,
z9 t9 on aura simplement
(18)
204
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
ou, ce qui revient au meme, sin ( A T cos 3) d?
on trouvera de meme 9)
.
A
Arj = — 2Y) s i n 2
/Arcos3\
sin (A*/-cos 3) dn k d-c
A^ = — 2£ sir
En substituant les valeurs precedentes de A£, AY), A£ dans les equations (16) du § I et faisant, pour abreger, i o*
I -C? = (20)
nfamff/ 1 )
s
—
. /ATCOs3\~l
sina
— sin2
0)1 = S
+s
O
1 f2w/(/ lA i)
_ . _/ATCOS3 cos 2 asin 2
~
^ - cos-S sin2
M- S
\
. , / A T cos 3 VI + S^Yimf(r) S f2/wf(/-) sin2
^ = | —7^ -j
o
Y2mf(r)
r> — g (21)
(—^7]
L±J.
.
o
C0S [3 CQSy
L r
2
.Sm /ATCOS3\1
"^
( ~^ jj^
,/ATCOS3\"|
sm2
/
. \ I
V^mf(r) . /ATCOS3\~| ) = oS ^ - ^ cos y cos a sin29 I j , ,
_ [2m
I —S yf
—S
L
f(r)
'
.
0/ATCOS3\~I
'1^-L cos a cos 3 sin2 f o
——^ sin (AT COS3) /l7
'
J
—1
4- S
; 2
TLZSLI cos a sin(ATcoso) , Kr
L
J
>3)| + S \ l ^ cos2(3 sin(kr cos 3)1, cos3
(32)
S V^—
(23)
C0S ,
^
z= S — ~ — - cosy cos a sin (AT COS3) L
= S \ m { ^ cos a cos[3 sin (AT cos 3)1
cos2y sin (AT COS3)
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
205
on en conclura
,d\
(24)
^,dv\ d
dt"
Les equations(24) se simplifient lorsque, dans Tetat d'equilibre du systeme propose, les masses des molecules m, m\ m"9 ... sont deux a deux egales entre elles et distribuees symetriquement de part et d'autre d'une molecule quelconque m sur des droites menees par le point avec lequel cette molecule coincide. En effet, comme la valour de cosS determinee par Tequation (i4)> et par suite les termes dont se composent les sommes indiquees par le signe S dans chacune des formules(22), (23), changent de signe en meme temps que les cosinus des trois angles a, p, y, il est clair que ces termes, compares deux a deux, seront, dans le cas dont il s'agit, equivalents au signe pres, mais affectes de signes contraires. Done alors les coefficients designes par ^, 9tU, JZ,\ $', ^ , Si' s'evanouiront, et les equations (24) §e reduiront a dt* (25)
dt-
Les equations (25) fournissent le moyen de determiner, au bout du temps t, les trois fonctions £, Y], £, ou, ce qui re-vient au meme, les six fonctionstr, e, f, g, 1), i, lorsque Ton connait les valeurs initiates de ces memes fonctions et de leurs derivees prises par rapport a /. En effet, representons par
206
NOUVEAUX EXERGIGES DE MATHEMATIQUES.
les valeurs initiales de £, f\, ?, *S *> *> %>
^> *>
et par les valeurs initiales de — y ^^
—5 (?£
—' tf£
"T~> v^
~^~> Ot
"7"' Ot
T7> Qt
~77? Ot
3T7" Ot
On aura, en vertu des formules (i3),
(26)
= f0 cos At + t0 sin At, ^ — lij cos At -f- g! sin At, (27)
< Y]i = fi cos At -+-1]! sinAt,
( d =^ ft cos At 4- \i sin At,
et Ton pourra deduire des equations (25) les valeurs de £, vj, 4( relatives a un instant quelconque, en suivant la methode que nous allons indiquer. Soient x , afc, 3 les cosinus des angles que forme, avec les demiaxes des x, y, z positives, une droite OA menee par l'origine et prolongee dans un certain sens. On aura (28)
<>t la droite OA sera representee par la formule (29)
x
y
z
X
Db
G
Soit encore (3o)
8 = X ^ + iP«>yj -h 3 ? .
La valeur de a, determinee par la formule (3o), representera le deplacement de la molecule m mesure parallelement a la droite OA, et sera
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
207
positive si ce deplacement se compte dans le meme sens que la direction OA, mais negative dans le cas contraire. D'ailleurs, si Ton combine par voie d'addition les formules (25) apres avoir multiple les deux membres de la premiere par x , de la seconde par ift>, de la troisieme par G, et si Ton choisit X, afi>, G, ou plutot le rapport - p y> de maniere que les trois fractions
deviennent egales entre elles, on trouvera, en designant par s1 la valeur commune de ces trois fractions, (32)
5? = - • - •
Or il existe trois valeurs de ^2 propres a verifier la formule (33)
et, par consequent, les trois equations (-£,— 5 2 ) cAo 4 - cftlfc
(34) desquelles on tire (35) = o.
De plus, a ces trois valeurs de s2 correspondent trois systemes de valeurs pour les rapports y > ~•> et, par consequent, trois droites OA', OA", OA/;/ avec lesquelles on peut faire coincider successivement la droite OA. Enfin, il resulte de la forme des equations (34) que ces trois droites se confondent avec les trois axes de la surface du second degre representee par l'equation (36)
4^x24-Jlly24- 0bz24- 2$yz4- s^zx 4- 2^.\y = i,
208
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQUES.
x, y, z designant de nouvelles coordonnees relatives a de nouveaux axes rectangulaires qui seraient menees par le point 0 parallelement aux axes des x, y, z; et Ton peut ajouter que, dans le cas oil cette surface est un ellipsoide, les trois valeurs de - sont precisement les carres des trois demi-axes. Done, a l'aide de la formule (32), on pourra determiner, au bout du temps /, les trois emplacements de la molecule m mesures parallelement aux trois axes de rdlipsoide et, par suite, a trois droites perpendiculaires entre elles. Si Ton designe cos trois deplacements par a', a", *'" et les valeurs correspondantes de *i>, ift>, z par
on lirera de la formule (3o)
(3?)
8"=
et, comme on aura d'ailleurs
(38)
' J U " -4- lft>' )»!>ff
=
o,
puisque les trois droites OAX, OA% OAW se coupent a angles droits, on conclura des formules (87)
x" ( C — 3 r «r 4- C" 8f/ 4- 3
Quant aux valeurs generales dc »', a'', »w, on les deduira de I'equation (32) en operant comme il suit.
NOUVEAUX EXERCICES J)E MATHEMATIQUES.
209
Soient a0, a, les valeurs initiates de « et de — On aura (4o)
«0=oA9^0
(40
«1==^J1
ou, ce qui revient au meme, (42)
« 0 = (*QX
4 - c oiib 4 - f 0 G ) c o s A t 4 - ( $ 0 A 4-- lj o ilb 4 - t 0 G ) sin A t ,
(43)
» , = (b1JU + ^Ub + fiG) cos At 4- (9^1) 4- ^ilb -+- Tt C ) sin Art,
et Ton tire de l'equation (32) (44)
»=
8j
c cosstdt
/
Jo
ou, en d'autres termes, -h eos(/it — .vf)
a = ( Uo X - j - c0 lib 4- f0 G )
~
^
,
^»^ + to G)
-h (flo
— st)
'2
+
/ Jo
-t — st)~\ )\
I (t»! Jlo 4- Cjili) H- ^ G) L
2
J
Cela pose, faisons, pour abreger, t>0 cos Art 4- 9o sin A-t = o ( t ) , c0 cos Art 4- f ) o s i n A ' t = r x ( t ) '
(46)
f0 cosA-t 4 - 1 0 sinAt = ^ ( t ) , t»! cos A:^ 4- 0! sinA-t zz $ ( v ) ,
(47)
^i cos A-t 4- l)i sinAt = n X ( t ) , ft cos A-t 4-
et (48)
| = a.
Les fonctions (49)
9(0, %(t), +(0, *(
representeront les valeurs initiales de „
di
do
dK
^ *' -' ^' ^7' W OEiwres de C. — S. II, t. X.
7
at.
210
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
et Ton tirera de l'equation (44), reunie aux formules (42), (43), '6 =
n% ±-
Conccvons maintenant que, les trois valeurs de s2 propres a verifier l'equation (35) etant positives, les valeurs correspondantes et positives de s soient designees par s\ s", s'" et les valeurs correspondantes de (2 par Q!', Q", Q". La formule (5o) donnera -hfr(t —Q'f)
v0 (5i)
r
I + X b"—
{
(53)
En substituant les valeurs precedentes de a', «/7, «/7/ dans les equations (3Q), on obtiendra pour £, yj, '( des fonctions de t et de t qui auront la double propriete de satisfaire, au bout d'un temps quelconque t9 a,ux equations (25) et de verifier, pour une valour nulle de t, les conditions
Les inconnues £, yj, c( et a', a", «'", ou les deplacements de la molecule m mesures parallelement aux axes des x, j , z et a ceux de l'ellipsoide (36), etant determinees comme on vient de le dire, on en dcduira sans peine la vitessc co de la molecule m au bout d'un temps
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
211
quelconque t. En effet, si Ton projelte cette vitesse : i° sur les axes des x9y9z\ 20 sur les axes de l'ellipso'ide (36), on trouvera pour projections algebriques, dans le premier cas, dl
df\
dK
di'
W
Tt'
dt
dt
/£K\
dans le second cas dt '
et par suite on aura
II est bon d'observer que les equations (5i), (52), (53) sont toutes trois comprises dans la formule (5o), de laquelle on les deduit en prenant successivement s = s\ s = s"9 s = s"r. Si d'ailleurs on pose (58)
ou, cc qui revient au meme, (60)
c r ( t ) = (boX + c o ill) -+- f 0 G ) c o s Av 4 - ($0X
4 - l)0^i> H- t 0 G ) s i n A t ,
(61)
I I ( t ) = (&! JL + fjifi) - h f, G ) c o s A t 4 - (01<JU - h I)! \(l) 4 - » i G ) s i n A t ,
la formule (5o) sera reduite a (62)
«=r^-^
h/
dt.
Dans le mouvement que representent les equations (39) reunies aux formules (5i), (52), (53), les deplacements et les vitesses des molecules dependent des seules variables x> et t. Done, au bout d'un temps, quelconque t, ces deplacements et ces vitesses seront les memes pour les molecules situees a la meme distance %• du plan represeate par 1'equation (12). Lorsque, a l'origine du mouvement, les vitesses et les deplacements
212
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
des molecules sont paralleles a Tun des trois axes de l'ellip'soide (36), les fonctions a(x), II(t) determines par les formules (60), (61), et Tinconnue a determinee par l'equation (62) s'evanouissent pour deux des valeurs de s representees par s', s\ /'; en d'autres termes, deux des deplacements absolus et les vitesses absolues des molecules restent toujours paralleles au meme axe de l'ellipsoide. Si, dans le cas dont il s'agit, celui des deplacements a', a", a'" qui differe de zero etant designe par a, les valeurs initiates de a ct ^ , savoirur(t) e t l l ( t ) , verifient la condition (63)
n(t)z
la formule (62) donnera (64)
» = fc
Alors la valeur de a sera la meme pour les molecules situees, au bout du temps t, a la distance x du plan O'O"OW represents par l'equation (12), et pour les molecules situees au bout du temps / -f A?, a la distance x -+- At, la quantite At etant determinee par la formule (65)
At =—£2 A*.
Done le mouvement d'une molecule quelconque m se transmettra immediatement a d'autres molecules voisines situees du cote des t negatives, et la vitesse avec laquelle le mouvement se propagera dans une direction perpendiculaire au plan OO'O", ou la valeur numerique de -£t fournie par Inequation (20), sera precisement la constante positive Q. De plus, corame la fonction ny(t-), determinee par liquation (60), reprend la meme valeur quand on y fait croitre x de ~, il A'
est clair que la fonction a = cj(t, + Q^) reprendra la meme valeur quand on attribuera Taccroissement ~ a la variable i, ou l'accroissement -r^> a la variable /. Gela pose, faisons (66)
l=™
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
213
et
Si, au bout du temps /, on divise Tespace en une infinite de tranches par des plans paralleles les uns aux autres, et correspondants aux valeurs de -c qui reproduisent des valeurs donnees de la fonction a et de sa dmvee -r-> la constante / representera evidemment Tepaisseur de chaque tranche, tandis que la constante T representera la duree des oscillations isochrones, successivement executees par une molecule* Nous nommerons ondes planes les tranches dont nous venons de parler, et, pour fixer les idees, nous supposerons ces ondes comprises entre des plans traces de maniere qu'au bout du temps t 1'epaisseur de Tune d'elles soit divisee en parties egales par le plan auquel appartient Tequation (68)
* = —Qt
ou (69)
ax + by + CJS •=. — Qt.
Alors on aara constamment (70)
8 = ^T(O)
et
-J-=£2GT'(O)
0c
ou, ce qui revient au meme, {71)
azzzboX-f c0lll> + f 0 3
et
— =A^(0 o =/l>4-l)o^ H-io^)
pour tous les points situes dans les plans qui diviseront en parties egales les epaisseurs des differentes ondes, et (72)
«= '
ou, ce qui revient au meme, dt
214
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
pour les points situes dans les surfaces planes qui separeront ces memes ondes les unes des autres. De plus, la vitesse de propagation d'une onde plane, c'est-a-dire, en d'autres termes, la vitesse de deplarement du plan (68) ou (69), mesuree dans une direction perpendiculaire a ce plan, sera constante, en vertu de la formule (68), et representee par (3. Comme on aura d'ailleurs, en vertu des formules (66), (67), (74) OU
il est clair que la vitesse (2 sera en raison directe des epaisseurs des ondes et en raison inverse des durees des oscillations moleculaires. finfin on tirera des equations (48), (66), (67) /
£\
. 2 7 1
k =
(76) (77)
~
y
s~k&=—,
et par suite la formule (60), qui determine s en fonction de k pour une direction donnee au plan OO'O", pourra servir encore a determiner T ou Q, en fonction de /. Done il existera generalement une relation entre la vitesse de propagation ii d'une onde plane et son epaisseur /. Si la condition (63) etait remplacee par la suivante (78)
n(t)
=
a=
5j
la formule (62) donnerait (79)
Alors la valeur de a serait la meme pour les molecules situees au bout du temps / a la distance %, et au bout du temps / 4- A/ a la distance t. + At du plan 0 0 ' 0 " , la quantite At etant determines par l'equation (80)
At
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
215
Done le mouvement d'une molecule quelconque m se transmettrait immediatement a d'autres molecules voisines, situees du cote des x positives, et la vitesse avec laquelle le mouvement se propagerait dans une direction perpendiculaire au plan 0 0 ' 0 " , ou la valeur de ~ fournie par 1'equation (68), serait toujours la constante positive £2. Dans ce cas, on pourrait encore diviser l'espace en une infinite do tranches ou ondes planes egales de meme epaisseur, a l'aide des plans paralleles au plan OO'O", et correspondants aux valeurs de t qui reproduisent les valeurs de a et -^ fournies par les equations (72) et (73). Alors aussi l'epaisseur de Tune des ondes serait divisee en deux parties egales par le plan auquel appartiendrait 1'equation
OU
(82)
ax 4- by ~\- cz =
Qt,
et les formules (80) et (71) continueraient de subsister pour tous les points situes dans les plans qui diviseraient en parties egales les epaisseurs des differentes ondes. Enfin, l'epaisseur / d'une onde plane, sa vitesse de propagation £2 et la duree T des oscillations moleculaires verifieraient toujours les equations (66), (67), qui entraineraient encore les formules (74)* (75), (77)Si les fonctions w(i-), n ( t ) ne verifiaient ni la condition (63), ni la condition (78), le mouvement ne cesserait pas d'etre determine par les trois formules (5i), (52), (53), dont chacune est semblable a la formule (62), et on pourrait le considerer comme produit par la composition de six n^ouvements pareils a ceux que representent les equations (64) et (79). Les ondes planes, eorrespondantes aux six mouvements dont il s'agit, se propageraient dans l'espace avec des vitesses deux a deux egales entre elles, mais dirigees en sens inverses, et representees par 12', (2", £2W. Si, au premier instant, les deplacements et les vitesses des mole-
216
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
cules, mesures parallelement aux axes coordonnes, etaient representes par des sommes de termes semblables a ceux que renferment les seconds membres des formules (26), (27), en sorte qu'on eut £0 = 2(b 0 cos At 4- g0 sin At),
(83)
YJ O = 2(e 0 cosAt 4- lj0 sinAt,),
?0 = 2(f0 cos At 4- i0 sin At), £, = l(^l cos At 4- gt sin At),
(84)
Y), = ! ( ? ! cosAt 4- \)i sinAt), ?! =z2(fi cos At-4- ii sinAt)
ou, ce qui revient au meme,
(85)
vy '^) 4- i 0
(86)
COS(M# 4- ^7
^5) 4- 0
cos(ux 4- r#y
z) 4- l)i
^ 4- vy
4- vy 44- r j 4-
la fonction t etant toujours determinee par la formule (10), et le signe 2 indiquant I'addition de plusieurs ou meme d'une infinite de termes correspondants a divers systemes de valeurs des constantes a, b% c, k ou u, r, w\ alors, a la place des formules (39), on obtiendrait les suivantes (»7)
n = 2(ii\>'8'4- UW4-
les valeurs de «', «", «w etant encore celles qui se deduisent des equations (5i), (52), (53), jointes aux formules (46), (47). Alors aussi le inouvement du systeme pourrait etre considere comme produit par la composition de plusieurs ou meme d'une infinite de mouvements semblables a ceux que represented les equations (64) et (76). II est bon d'observer que, dans les formules (85), (86), (87), les
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
217
sommes indiquees par le signe 2 peuvent etre composees de termes tres peu differents les uns des autres, et se changer, par suite, en integrates definies. Concevons, pour fixer les idees, que Ton remplace le signe 2 par trois signes f, indiquant une integration triple effectuee par rapport aux quantites u, v, w entre les limites — so, 4- x . Substituons en meme temps aux coefficients
j > » "" <»' 9" "•' '"
(88)
( K
*M
i {,
3 l
, I)!,
ti
et aux fonctions 8
(89)
W
'
'
80=:5T(i:),
8/r
'
8V/
'
8!=:XI(t)
des produits de la forme ( BQ du dv dw, t&0 du dv dw, £0 du dv dw, <60 du dv dw, $0 dudv dw, %odu dv dw,
et 0 du dv dw, 0'du dv dw, 0"du dv dw, %'" du dv dw,
(90
0 O du dv dw = no(t) du dv dw,
0 t du dv dw = H a (-o) du dv dw.
Alors, au lieu des formules (85), (86), on obtiendra les suivantes £0 = /
/
/
[Bo cos(«^ --h vy 4- vvz) 4- 6 0 sin( ux 4- vy 4- t^^)] «f^ dv dw,
J — 00 ^ — 00 ^ — 00
•» 00
(92)
j 0 == /
/-»oo
/
/-»00
[d50 cos(w.r 4- t ; / 4- wz) 4- ^0 sin( w^ 4- r K 4- ^ - ) ] du dv dw,
/
J— 00 J — 00 *-/— 00
/•- r00 /•* 0 = /
r
/
t^ r o
c o s
(
W i
vy 4- (r
^-co^-oo^-oo
^,00
oo
(93)
^,00
y^ co / - » 0 0
I /
/
00 ^ — 00 ^ —
\ = I
4- ws)] du dv
^ e c
(
[ € t cos(z^r 4- r>' 4- ^ - ) -I- $1 sin(«.r 4- r j 4- i r : ) ] dudv dw, »
I [$i cos(ux 4- r j 4- vvz) 4- ^1 sin(^.r 4- r / 4- ^^)] r/^ dv dw,
J— 00 *J— 00 J— 00
OEuvrcsde
C. - S. II, t. X .
218
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
dans lesquelles
pourront etre des fonctions quelconques de z/, v, w. De plus, les formules (6o), (6i), (62) donneront + (<60cJl>-i-Jpoi&-h3o2) sin At, (90)
/ r^ (9b)
Il^t) =
(${X
4 - ^ D l , -f- ^
8 ) c o s A-. +
(6KAD 4- ^ i ^ b +
Jt 9 ) sin A,,
n_n0(t
w
—
et Ton en deduira les valeurs de &, &', &'" en attribuant a x, Kb, 3 Irs trois systemes de valeurs x\
iib', 3 r ; x", ifc", a'7; ^C, o)Lw, 3 //; . Cela
pose, les valeurs de \, Y], C? precedemment determine< i s par les equations (87), deviendront
1= f
f
f (X'0'-+-JV'0"+.
) da ch d\v,
J — oo t / — oo J — oo CO
(97)
/
/ ^ 00
/
y-* OO
I
=T f f
(lib'0' + il!/ 0;/ + ilb//r 0 w ) ofo dv dw.
J— * ft/_ oo «/ _ o
On peut choisir les coefficients
de maniere que les valeurs de
fournios par les equations (92), (93), so reduisent a dos fonctions quelconques de x9y, z, savoir a (98) (99)
?(^, y, 5),
?o= +(J7, 7 , 5),
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
219
En effet, comme on a generalement, quelle que soit la fonction
':)'^ = ii^f fff fffell[X~X)S/~
(FOG)
toutes les integrations etant effectuees entre les limites — ao, on, ce qui revient au meme,
— I—j J I j j j j ZOS(ux-\-K\y->ri\'z) cos(^X-M'fJH-a'v)/(A, \L,v)dXd\*.dvdiidvdw
(
(ioi)
\11Z
sin (u .r •+- vy 4- tv z) sin (u X -+- i• ;JL -+- «' v) /(X, JJL, v) d\ d\x dv da dvdw,
il est elair qu'on fera coincider les equations (92), (93) avec les formules (95), (96), si Ton prend
Mri)
= ( — ) J ) j cos(wX-f-^{Jt-f-«'v) cp X,[ji,vj^X
6 0 = ( 7 ^ ) j f J sin(«X-M-(jt.-wv'v) cp(X.
=( — j J j j COs(wX-f-rp.-h(vv) ^(X, \L,v)d\d\).dv,
i5o=( —;) / / / sin(^X+ pp.4-fvv) y (X,
= ( — ) / / / cos(^X-M'u-wt'v)
30 = (—
\17Z J J J *J
\17Z/
— \ — ) / / / cos^X -f-i'iji-f-(rv)4»(X, u. v)dld\xdv,
©1= (•—) / / / si
\11Z J *J 'J '•'
—j
(io3)
/ / / sin(wX-i-ciJH-(i'vj ^ ( ^ J J I-' J
\'2 71/ J J J
r / 7 cos(wX + C[Ji-h(i'v)X(X,[Ji,v)^X^|Jir/v.
Y f ('f(l}h)W(l)dldd
^ ! = (—J J I I sin(w
J, = C — V f f fsm(u \IT:I
*J J J
En ayant egard a ces dernieres formules, on tirera des equations (94) et( 9 5) (10/,) n o ( t ) = ( — ) \1'K/
(io5)
n!(i,)
f f f[&> cp(X,fJL,v)-Hl)b Y(X,[JL,V)-HG *J J J
220
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMAT1QUES.
ou, ce qui revient au meme, 6) no(i) = (;pYyyy[nAoo(X,^
(io;)" n^O^^Y/yy^^X,^)^ Si, apres avoir deduit de l'equation (96), reunie aux equations (106), (107), les valeurs de 0', 0", 0"\ . . . , on les substitue dans les formules (97), ces formules representeront les integrates generates des equations (i5) ou (16) du § I, pourvu que les valeurs de s2 determinees par la formule (44) soient reeltes, et que, dans l'etat d'equilibre du systeme propose,tesmasses m\ m'\ m'\ . . . des diverses molecules soient deux a deux egales entre elles, et distribuees symetriquement de part et d'autre d'une molecule quelconque m sur des droites menees par le point avec lequel cette molecule coincide. Dans les formules (102), (io3), et(io4), (io5), ou(io6), (107), les integrations relatives aux variables A, [M, V doivent etre, comme dans l'equation (100), generalement effectuees entre les limites -co, + x . Toutefois, si les valeurs initiates des emplacements £, YJ, t et des vitosses -T^J -^? ~••> c'est-a-dire les fonctions dt at at cp(.r, y, z),
Z (.r,
y, z),
(.r, y, z),
O(J:-, 7 , z),
X(..r, r , z),
W(.r, y, z),
ne differaient de zero que pour des valeurs de x, y, z correspondantes aux points situes dans un certain espace, par exemple aux points renfermes entre deux surfaces courbes, deux surfaces cylindriques et deux surfaces planes representees par des equations de la forme (108)
z "Fo(.r,y)9
z
=Fl(jc9y)9
(no)
r = xQ9
-^ = ^ i ,
on pourrait evidemment, danstesformules dont il s'agit, supposer tes integrates prises entre les limites 011)
V
(lI2)
|UL=f o (X),
(i I 3 )
A 7IZ. ,./'«,
= F O ( X , /JL),
v =1 Fi(X, JJL), fJLZZlf^X),
X ~ ./'. .
NOUVEAUX EXERGIGES DE MATHEMATIQUES.
221
§ III. — Application des formules precedentes a la theorie de la lumiere. Supposons que le systeme de molecules, mentionne dans les deux precedents paragraphes, soil le fluide ethere dont les vibrations produisent la sensation de la lumiere. Pour determiner les lois suivant lesquelles de semblables vibrations, d'abord circonscrites dans des limites tres resserrees autour d'un certain point 0, se propageront a travcrs ce fluide, il suffit de considerer dans le premier instant un grand nombre d'ondes planes (voir la page 2i3) qui se superposent dans le voisinage du point 0, et d'admettre que, les plans de res ondes etant peu inclines les uns sur les autres, les vibrations des molecules sont assez petites pour roster insensibles dans chaque onde prise separement, mais deviennent sensibles par la superposition indiquee. Le temps venant a croitre, les ondes dont il s'agit viendront successivement se superposer en differents points de l'espace, et Ton nomme rayons lumineux la droitc qui renferme tous les points de superposition. Toutefois, pour que ce rayon soit unique lorsque 1'elasticite de Tether n'est pas la meme en tous sens, il est necessaire que, dans chaque onde consideree isolement, les vitesses et les deplacements des molecules soient paralleles a Tun des trois axes de l'ellipso'ide represente par Tequation (36) du § II. Alors le rayon lumineux sera ce qu'on appelle un rayon polarise parallelement a cet axe, et, si Ton nomme / l'epaisseur d'une onde plane, Q sa vitesse de propagation, T la duree des oscillations moleculaires, on aura (x)
QT=/.
Ajoutons que, si Ton pose
(5)
A =
27T
27T
* -
2TT - r -. T ?
222
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
los valeurs de ^> pour trois rayons polarises parallelement aux trois axes de l'ellipsolde, seront precisement les carres de ces trois demiaxes. Observons d'ailleurs que, si Ton nomme r le rayon vecteur mene du point 0 a une molecule voisine m; a, (3, y les angles formes par ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnees positives; a, b, c les cosinus des angles formes avec ces demi-axes par une droite OP perpendiculaire au plan de l'onde; 8 Tangle compris entre cette perpendiculaire et le rayon vecteur r, on aura [voir l'equation (i4) du §11] (4)
cosd = a cosa -\- b cos(3 -h c cosy,
ka = it,
kb == r,
kc = (r,
on tirera de Inequation (4) (6)
k coso = a cos a -h e cos|3 -h tr cosy.
Cela pose, les coefficients ^, OIL, X , a\ ^, JI, renfermes dans l'equation de rdlipsoide ci-dessus mentionne, c'est-a-dire dans la formule
se trouveront, en vertu de l'equation (6) jointe aux formules (20), (21) du § II, determines comme il suit:
,8,
< =O+ g ,
*=O+
les valeurs de t) et x? etant (10)
(II)
V
=
v =
m((r) -—
1 — cos[r(« cosot + ccos[3 +u-cosy)]
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQ UES.
223
Lorsque, au premier instant, lcs vitesses et les deplacements des molecules dans une onde plane sont effectivement paralleles a Tun des trois axes de l'ellipsoide represents par l'equation (7), cos deplacements et ces vitesses restent constamment paralleles au meme axe, la lumiere se trouve polarisee parallelement a cet axe, et l'onde plane se propage avec une vitesse constante £i, sans jamais se subdiviser. Mais il n'en est pas toujours ainsi, et Ton peut concevoir une onde plane dans laquelle au premier instant les vitesses et les deplacements des molecules cesseraient d'etre paralleles a Tun des trois axes do l'ellipso'ide. En effet, pour composer une onde de cette espece, il suffit de reunir trois ondes planes tellement choisies que, dans la premiere, la seconde et la troisieme, la lumiere se trouve polarisee parallelement au premier, au second et au troisieme axe de 1'ellipsoide, et d'admettre que, dans l'onde composee, la vitesse ou le emplacement d'une molecule est representee par la diagonale du parallelepipede qui aurait pour cotes trois longueurs propres a rcpresenter cette vitesse ou ce deplacement dans chacune des trois ondes composantes. Alors, le temps venant a croitre, l'onde composee se subdivisera en ses trois composantes, qui se propageront a travers le fluide ethere avec trois vitesses differentes. Ainsi, lorsque l'elasticite de Tether n'est pas la meme en tous sens, une onde plane, dans laquelle la lumiere n'etait point polarisee, se partage generalement en trois ondes planes, dans lesquelles la lumiere est polarisee suivant trois directions distinctes; et par suite un rayon de lumiere non polarisee se partage en trois rayons de lumiere polarisee suivant les trois directions dont il s'agit. Comme, en laissant les trois cotes d'un parallelepipede diriges parallelement a trois axes donnes, on peut toujours tracer ces cotes do maniere que la diagonale devienne parallele a une droite choisie arbitrairement, on doit conclure de ce qui a ete dit ci-dessus que, dans une onde plane de lumiere non polarisee, les vitesses et les deplacements des molecules peuvent etre paralleles a une droite quelconque. Les coefficients £, D1L, 3K>9 9, ^, a renfermes dans l'equation (7) et,
±lk
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
par suite, les lois de polarisation de la lumiere dans une onde plane dependent, non seulement de la constitution geometrique du fluide ethere, c'est-a-dire du mode suivant lequel ses molecules se trouvent distributes dans l'espace, mais encore de l'epaisseur /de l'onde plane et de sa direction, c'est-a-dire des cosinus a, b, c des angles formes par la perpendiculaire au plan de l'onde avec les demi-axes des coordonnees positives, ou, ce qui revient au meme, des trois quantites u — ka,
r = kb,
if = kc.
Nous dirons que Telasticite du fluide ethere est la meme en tous sens autour d'un point quelconque 0, si la constitution de ce fluide est telle que 1'ellipsoide (7), qui determine les lois de polarisation d'une onde plane passant par ce point, conserve une forme invariable, tandis que Ton fait varier la direction du plan de l'onde, et si d'ailleurs la position de cet ellipso'ide est uniquement dependante de la direction de ce plan. Alors, tandis que Ton fera tourner le plan cle l'onde sur lui-meme, la surface de 1'ellipsoide devra toujours passer par les raemes points de l'espace et du plan. Done cet ellipso'ide devra etre de revolution autour de la droite perpendiculaire au plan de l'onde; et, de plus, l'axe de revolution ainsi que le rayon de Tequateur, etant independants de la direction du plan de l'onde, demeureront constants, quelles que soient les valeurs attributes aux trois quantites a, b> c. Nous dirons que l'elasticite du fluide ethere est la meme en tous sens autour d'un axe quelconque parallele a un axe donne, par exemple a l'axe des z, si la forme de 1'ellipsoide (7) depend uniquement de Tangle compris entre le plan de l'onde et l'axe des z, et si cet ellipsoide tourne seulement autour de cet axe en meme temps que la perpendiculaire au plan de l'onde. Cela pose, il sera facile d'obtenir les conditions analytiques propres a exprimer que l'elasticite de Tether est la meme en tous sens autour d'un point quelconque, ou autour d'un axe quelconque parallele a Taxe des z. On y parviendra effectivement a Taide des considerations suivantes.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATIIEMATIQUES.
-2-25
Outre le systeme des trois axes coordonnes des x, y, z, considerons un second systeme d'axes rectangulaires des xi9 y,, z, qui partent de la meme origine 0 que les trois premiers. Supposons d'ailleurs que les axes des x<, y 4 , z | f apres avoir d'abord coincide avec les axes des x, y, z, s'en separent et entrainent dans leur mouvement le plan de l'onde et la droite perpendiculaire a ce plan, en sorte que cettr droitr passe de la position OP a u n e nouvelle position OQ, l'epaisscur / de l'onde restant invariable. Le rayon vecteur r9 dont la direction n'aura pas change, formera : i° avec les demi-axes des x, y, z positives les angles a, (J, y, et avec les demi-axes des x]9 y i 9 z, positives d'autivs angles a,, f^, y , ; 20 avec les droites OP et OQ des angles S, o,, determines par l'equation ( 4 ) et par la suivante (l2)
COSOj = a COSa! -1- Z? COSpt H- C COSyM
de laqaclle on tirera, en ayant egard aux equations (5), (13 )
A' 0 0 8 ^ ! = U COS^i + i' COSpj -f- (V COS^!.
Soient maintenant
ce que deviennent les quantites <_,
aiv, dz>9 $ ,
^,
c»i, n , v ,
determinees par les equations (8), (9), (10), (11), quand on remplace a, p, y par a,, (3,, y,, en sorte qu'on ait
''
=
les valeurs de TD,,
t),
=
{ m f(r) f OEuvrcsdeC—
S . l l , t . X.
226
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Les deux ellipsoides qui determineront les lois de la polarisation pour les ondes planes perpendiculaires aux deux droites OP, OQ seront represented, le premier par liquation (7), le second par la suivante :
De plus, le second ellipso'ide sera pareil au premier et place a Tegard des axes coordonnes des x,, yn zi comme le premier Test a Fegard des axes coordonnes des x, y, z, si Ton a (19)
J^A = £ ,
DM>1 = DTL,
(20)
c
^i
£1 =<$,
=%
£t>, = DLf &t
=Jl.
Enfin, ces dernieres conditions, si elles doivent etre verifiees quels que soient u, vy w, pourront etre remplacees par les deux suivantes : (21)
Vtz=XD9
\ l) i = \ t ; .
*
Effectivement, il suit des equations (8), (9), (14) et (i5) que les conditions (19) et (20) peuvent etre presentees sous la forme
M
Or les formules (22), (23) seront evidemment verifiees, si Ton a pour des valeurs quelconques de u, v, w V)l = V,
\c)l = t?.
Reciproquement, si les conditions (22) et (23) subsistent pour des valeurs quelconques de u9 v, w, alors, en vertu des conditions (23), les trois quantites
et, par suite, les trois quantites
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
227
seront seulement fonctions, la premiere de u, la seconde de v, la troisieme de w. Done ces trois quantites ne pourront, comme l'exigent les conditions (22), acquerir une valeur commune tD — tD| 9 qu'autant que cette valeur commune sera une quantite constante, e'est-a-dire independante des trois variables u, v, w. D'ailleurs, lorsqu'on pose k = o, et, par suite, u = o, p = o, w = o, on tire des equations (10) et(i6) t) = o,
t)1 = o,
XD — t ^ o .
Par consequent, dans Thypothese admise, on aura generalement t ) — XD, = o
ou, ce qui revient au meme, (26)
©i = w,
et les conditions (22) se reduiront a (
i
)
(
aw 2
?
i
)
^
a^ 2
(
,
)
,
d«>2
De ces dernieres, jointes aux conditions (23), on conclura que les quantites (24) se reduisent a des constantes; et, comme, en vertu des formules ( n ) , (17)* les expressions <W du
_ &Q_ dv dw
d-Qx da
dVj dv
dX\ dw
s'evanouiront pour des valeurs nulles de u, v, w, il est clair qu'on aura generalement (a8)
du
Done la difference se reduira elle-meme a une constante qui sera encore nulle, attendu que f?i et t? s'evanouissent en meme temps que les trois variables u, v, w. On aura done encore, dans l'hypothese admise, (29)
±2$
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
et les formules (21), ou (26) et (29), seront alors une consequence necessaire des conditions (22) et (23). Pour que l'elasticite de Tether puisse etre censee rester la meme en 4ous sens autour d'un point quelconque, il est necessaire et il suffit evidemment que, des deux ellipso'ides representes par les equations (7), (18), le second soit toujours pareil au premier et place a regard des axes des x,, yi9 z, comme le premier Test a Tegard des axes des x, y, z; par consequent il est necessaire et il suffit que les conditions (21) soient toujours verifiees, c'est-a-dire que ces conditions subsistent quelles que soient les valeurs de u, v, w et quel que soit le nouveau systeme d'axes rectangulaires des x{ , y<, z{. Si Ton demande les conditions necessaires pour que Telasticite de Tether puisse etre censee rester la meme en tous sens autour d'un axe quelconque parallele a l'axe des z, ces conditions ne cesseront pas d'etre exprimees par les formules (21), qui devront subsister encore, independamment des valeurs attribuees a u, v9 w, non plus quels que soient les nouveaux axes des x | f y,, zi9 mais seulemont quels que soient les nouveaux axes des x, et y |f l'axe des z, etant superpose a Faxe des z. II nous reste a developper les conditions (21) et a montrer les diverses formules qui s'en deduisent. Observons d'abord que, en vertu des equations (10), ( u ) , (16), (17), jointes aux formules (4) et (i3), les conditions (21) peuvent s'ecrire comme il suit : * (3o)
S
^
[i - cos(kr cos3t)] — S
LfAri [1 /,»CoS* 3, (3.)
Ainsi les conditions necessaires et suffisantes pour que Telasticite de Tether puisse etre censee rester la meme en tous sens autour d'un
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHE MATIQUES.
229
point quelconque ou autour d'un axe quelconque parallele a Taxe des z se reduisent a ce que les deux quantites (32)
— - - [i — cos(Avcoso)] ,
(33)
ne changont pas de valeur quand on y remplace Tangle o compris entre le rayon vecteur r et la droite OP par Tangle o, compris entre le rayon vecteur r et la droite OQ; les droites OP, OQ pouvant etre choisies arbitrairemcnt dans le premier cas, et etant assujetties dans le second a la scule condition de former toutes deux le meme angle avec Taxe des z. Observons encore : i° que, en vertu des equations ( 5 ) , w, r, w representent evidemment les coordonnees d'un point P situe sur la droite OP a la distance k du point 0 et verifient la condition k2 =
(64)
M-H-
r- + (vL,
de laquelle on tire (35)
/{ =
^lti^r^i.9
20 que si Ton nornme u, r, w les coordonnees d'un point Q situe sur la droite OQ a la distance k du point 0, il suffira de substituer la droite OQ a la droite OP pour deduire des formulas (6) et (35) les deux suivantes (36)
A-r.oso^ «i cosa-H \\ cos[3 + wt cosy,
dans lesquelles on devra remplacer wK par w, si les droites OP, OQ forment le meme angle avec Taxe des z. Cela pose, les conditions necessaires et suffisantes pour que Telasticite de Tether puisse etre censee rester la meme en tous sens autour d'un point quelconque ou bien autour d'un axe quelconque parallele a Taxe des z, c'est-a-dire
230
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
les conditions (3o) et (3i) pourront s'ecrire comme il suit
s (38)
=s s (39)
=s
—-^
i — COS|>(M cosa + c cos(3 + w cosy)]
"lliLl fi( Ml c o s a
=^[t(.
+
,
,,,cos(3 + w, cosy)2+ C ° S *- r ( "' COS|>(M
v cos(3
cosa + r
cosy)H '-11
les q u a n t i t e s v a r i a b l e s uK, vi9 wK se t r o u v a n t liees avec les q u a n t i t e s u% v, w p a r l ' e q u a t i o n (4o)
I / J + ^ + W^II'-H
(*+«>*,
qui, dans le second cas seulement, se partage en deux autres, savoir «I+<'F«2+^
(40
wx=w.
On verifie la formule (4o)'en supposant (42)
r1=o,
w1 = o,
w1 = dz V /'^ 2 -H^-H^ 2 =±:A-.
En vertu de cette supposition, les formules (38) et (3g) deviennent I § ^LALL
1 _ cos [r(u cos a + ccos(3 -+- n'cosy)] j — cos(£rcosa)]
mf(r) (44) = S
Reciproquement, si ces dernieres subsistent, quelles que soient les valeurs de u, v9 w> leurs premiers membres ne seront point alteres quand on y remplacera les quantites u, v, w par d'autres quantites ul9 v{, w^ propres a verifier l'equation
NOBVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
231
Done les equations (43), (44), deduites des formules (38), (3g), entraineront a leur tour ces formules auxquelles on pourra les substituer sans inconvenient. D'autre part, comme on aura generalement cos[r(w cosa + v cos(3 + wcosy)] r2 = J (wcosa -h f cos|3 -h wcosy)2 T
COS(AT
(u cosa -f- v cos(3 H- wcosy)4
A 2 cos 2 aH
cosa) = i .1.2 r
= 1 1.2
^—^ A:4 cos 4 a 1.2.3.4
• ( i t 1 4 - ^2 4- w2) cos 2 a '
il suffira d'egaler entre eux les termes qui, dans les deux membres des equations (43) et (44)> representeront des fonctions homogenes de u9 v, w du degre in pour obtenir les formules (45) S[mr 2 ^ 1 f(r)(wcosa + ^cos(3n-^cosy) 2w ]=:A:^S[mr 2w - 1 f(r)cos2*a] et (46) S[mr*n-*f(r) (ucosa-h PCOS(3 -
dont la premiere devra etre etendue a toutes les valeurs positives du nombre entier n9 et la seconde a toutes les valeurs de n qui surpassent Tunite. Enfin, comme les deux expressions ( u cos a -h v cos (3 -+- w cos y )2/%
A"2^ ( « 2 H- ^2 n- (v2)'%
etant developpees, fournissent, la premiere des termes de la forme .
i . 2 . 3 . . >2/z
uivv-w" cos* a cos^fi cos v y,
' ( 1 . 2 . . . X ) ( l . 2 . . .fJL) ( 1 . 2 . . . V )
r
'
dans lesquels les exposants A, [JL, V, lies entre eux par l'equation (47 )
X 4- /JH- v = 2 « ,
232
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
peuvent etre pairs ou impairs, et la secondc des termes de la forme i .2.3. . .n
\( I . 2 .
,
n\
. . - I . 2 . . . —
2M
V - „
2/ V
1 . 2 . . . -
2
1 . 3 . 5 . . . ( 2 / 2 — I)
(1.2. . .7)(l.2.
..f/.)(l.2...v)
dans lesquels les exposants X, pi, v sont toujours pairs; comme d'ailleurs les formules (45) et (46) doivent subsister independamment des valeurs attributes a u, v, w et offrir clxacune dans le premier et dans le second membre les mernes puissances de u, v, w multiplies par les memes coefficients, on tirera de ces formules : i° pour des valeurs impaires de A, de [JL OU de v, (48)
S[»i/l2fl-1 f(r)cos^
et (49)
S[7?zr2«-3/(^)eos)acosfJ'(3cosvyl—o;
2° pour des valeurs paires de X, p. et v (50) Stmr*-- 1 f(/0 cos>-acos^Pcosvy] = i ^ ^ ' = ^ ^
f(r)cos»"a]
et (51) S[ittr»"-V(/-)-cos^^
le nombre n, dont le double equivaut a la somme \ + p. •+- v, pouvant etre quelconque dans les equations (48), (5o), mais devant surpasser Tunite clans les equations (49), (5i). Ainsi, en particulier, on conclura des formules (48), (5o), en posant n = r, S [mr f(/•) cos|3 cosy] = S[mr f(r) cosy cosa] = S[mr f(#-) cosa cos|3] = or S[mr f(r) cos 2 a]
=S[mr
f(r) cos2(3]
= S[/wr f(r) cos 2 yj;
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMAT1QUES.
233
et des formules (4o)> ( 5 i ) , en posant n = 2, S[/rcr/(/-)cos ( 3 c o s 3 y ] =
S [/>*/•/(/•) cos ycos 3 ^]== S[/w/-/(r) cos a c o s 3 ^ ]
S[/ra/*/(r) cos 3 (3 cos y ] = S[mrf(r) S[m/-/(/')cos2(3cos2y]= J-S[/7z/'/(/-) cos 4 a]
cos 3 y cos a ] = S [ m r / ( r ) cos 3 a cos ^ i — o,
S [ m r / ( / - ) cos2y cos 2 a] =
zz= | S [ m / * / ( r ) cos4(3]
S[mrf(r)
cos 2 a cos 2 ^]
= i$[m?'/(?') cos4y].
Ajoutons que des formules (48), (49), (5o), (5i) on peut remonter immediatement aux formules (4 1 )* (4^)» par consequent aux formules (43), (44)» ainsi qu'aux formules (38), (39). Done, en definitive, les formules (48), (4o)» (5o) et (5i), etendues a toutes les valeurs positives du nombre entier /i, ou du moins, s'il s'agit des formules (49) et (5i), aux valeurs entieres de n qui surpassent Tunit<\ expriment les conditions necessaires et suffisantes pour que Telasticite de Tether puisse etre censee roster la meme en tous sens autour d'un point quelconque. Lorsque ces conditions sont remplies, on tire des equations (10) et (i r) jointes aux formules (43) et (44) (52)
r) = sj ~^-
(53)
[1 - cos( A-r cosa)] j,
V ^ i ^ ^ cr
C O S
o s a
+
t
l
D'autre part, si, apres avoir fait, pour abreger, U-^r
(54)
K = ••/.•*=
V2~h
,
on designe par
les derivees du premier et du second ordre d(* V considers commc fonction de K, on trouvera dK OEuvres
dt C. — S. IF, t. X .
dK
OK
231
NOUVEAUX EXERC1GES DE MATHEMATIQUES.
et, par suite,
En consequence, les formules (8), (9) donneront (56)
41 = t) + %?'+ w2 V",
(57)
9 =
D\L = V -i-1?'-+- ^2^%
X =z t)
etl'equation (7), c'est-a-dire Tequation de l'ellipsoide qui determine les lois de la polarisation, deviendra (58)
tp//(«x-hry4-
Pour reconnaitre plus aisement la forme de cet ellipsoide, concevons que Ton fasse coincider Taxe des z avec la droite OP perpendiculaire au plan de Tonde. Comme on aura dans cette hypothese u = 0,
c = o,
la formule (34) donnera «> =
±k,
et la formule (58) sera reduite a -+- (t) -+- K>r) (x 2 4- J--H z 2 ) = 1.
D'ailleurs, en vertu de ce qui a ete dit plus haut (page 229), les valeurs de X), i?, et par suite celles de
N O U V E A U X E X E R C I C E S DE M A T H E M A T I Q U E S .
-235
le carre du demi-axe de revolution etant (60
V) 4 - < ? ' -
Au reste, la discussion de l'equation (58) conduirait immediatement auxmemes conclusions. Ainsi, comme nousl'avions prevu (page 224), lorsque Telasticite de Tether est la meme en tous sens autour d'un point quelconque, rellipsoide qui determine les lois de polarisation d'une onde plane est de revolution autour de la droite perpendiculaire au plan de l'onde; et dans cet ellipsoide l'axe de revolution ft le rayon de Tequateur ne dependent pas des quantites a, b, c, mais seulement de la quantite k renfermee dans les valeurs de tD, t? que fournissent les equations (02) et (53). Ajoutons : i° que les formules (53) et (55) jointes a l'equation (54) donneront sin(krcosa)~
r
k dk A" (j/i
/L"
\
r
I
7*
|I—
kr cos a
20 qu'en developpant suivant les puissances ascendantes de k les de niers membres des formules (52), (62) et (63) on en tirera y >4
v
__ fri § mrf(r^cos2(X
^
(65)
(66)
A- ! t?'=2A- 8 S
__ £4 g ^ / • 3 f ( ^ * ) c o s 4 a ^
1.2
j.2.3.4
1.2.3
1.2.3.4.5
t
2
3
4^v S ——2
3
^ 5
A.6 g
»ir s f(/•) cos 6 a
1.2.3.4.5.6.7 H 6A:6 S x
2
3 ^ 5
6 ?
—
Chacune des series comprises dans les trois formules qui precedent offre, pour coefficients des puissances paires et ascendantes de k, des sommes dans lesquelles la fonction f(r) o u / ( r ) se trouve successi^ vement multipliee par D'ailleurs Taction moleculaire, par consequent les fonctions i\r),
236
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQUES.
/ ( / • ) , ne conservent de valeurs sensibles que pour dq tres petites valours de r; et, comme, d'autre part, r etant une quantite tres petite du premier ordre, r*y r'% . . . seront des quantites tres petites du troisieme, du cinquieme ordre, . . . , il est clair que, clans les series en question, les coefficients des puissances successives de k doivent decroitre tres rapidement. Si Ton reduit ces memes series a leurs premiers termes, on obtiendra seulement des valeurs approchees de
vt alors, en faisant, pour abreger, mrf(/-)cos 2 a
/a , ( 6 )
h
mr /(/')cos 4 a
I
S
L
R
on trouvera (68)
V = k*I,
^'=A- 2 R,
k9-V'=2k*R.
En vertu des formules (5) et (68), les equations (56) et (07) se reduisent a (In,)
(
=
(70)
C
J?=
(
On aura d'ailleurs, en vertu des formules (5o) et (5i) jointes aux equations (67), I __G™rf(/-)COS22 i — 5 1.2
/ x (~I)
(-2)
1 <
I
J.2.3
7727- f ( r ) C 0 S 2 ( 3
_ O
~~
1.2
zzz
77^/'f(7')C0S 2 y r . 1 . 2» L
1.2.3
~~
j .2.3
___ g w/'/(/-)cos 2 Pcos a y _ s ^7-/(r)cos 2 ycos 2 cx _^_ ~mrf(r)
cos2a cos2(3 _
et par consequent les coefficients, represents ici par les lettres I etR, ne differeront pas de ceux quo determinent les formules (37), (39) de la page 199 du IIP Volumo des Exercices de Mathematiques ([ ). r 1 ) OEuvres
de Cauchy,
S. II, T. VI1J, p . > ) 8 .
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES.
237
Cela pose, il suffira evidemment de diviser par k2 les valours procedentes de !^,
0 ) 1 , dZ,
<£, ^ , ^(1
pour obtenir, comme on devait s'y attendre, celles que fournissent los equations (45), (46) de la page 27 du Ve Volume ( ' ) . Si nous designons, comme nous l'avons fait ci-dessus (§ II), par s\ s", s'" les trois valeurs de s correspondantes aux trois rayons polarises dans lesquels se divise generalement un rayon quelconquc,
seront les carres des trois demi-axes de Tellipsokle qui determine les lois de la polarisation. Done, lorsque cet ellipsoide, etant de revolution, se trouve represente par Tequation (58), ou, ce qui revient au meme, par l'equation (09), deux des rapports (78) sont egaux a Texpression (60), et le troisieme a Texpression (61), en sorte qu'on pout prendre (75)
/ ^
O
+
^
+
^ ^
(
Alors aussi, en vertu des equations (3), (74) et (70), les trois quantites £2', £2", IT, e'est-a-dire les trois vitesses de propagation des trois ondes pianos dans lesquellcs se divise generalement une onde primitive de lumiero non polarisee, se reduisent a celles que determinent les formules (76) (77)
Par suite, des trois ondes planes dont il s'agit, les deux premieres, so propageant avec la meme vitesse, se superposeront do maniore a n'on plus former qu'une seule, dans laquelle la lumiorc sera polarisor OEuvres de Cauc/tj; S. II. T. IX, p. 399.
238
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQUES.
parallelement au plan de l'equateur de l'ellipsoide represente par Tequation (58), ou, ce qui revient au meme, parallelement au plan de Tonde primitive, tandis que, dans la troisieme, la lumiere sera polarisee perpendiculairement a ce plan. Cela pose, la troisieme onde disparaitra si les deplacements et les vitesses des molecules etherees dans le premier instant sont paralleles au plan de l'onde lumineuse, et alors il n'y aura plus de polarisation. Au reste, pour que la polarisation de la lumiere devienne tout a fait insensible dans les milieux dont l'elasticite est la meme en tous sens, il n'est pas absolument necessaire que la troisieme onde disparaisse, et il suffit, comme un jeune geometre, M. Blanchet, en a fait la remarque, que le rayon correspondant a cette troisieme onde soit du nombre de ceux qui echappent au sens de la vue. On con^oit, en effet, que, en raison de la trop grande ou trop courte duree des oscillations de Tether, l'oeil peut cesser de percevoir certains rayons, de meme que, en raison de la trop grande ou trop courte duree des oscillations des molecules aeriennes, Toreille cesse de percevoir des sons trop graves ou trop aigus, et Ton pourrait encore supposer l'oeil organise de maniere a percevoir les vibrations des molecules etherees quand elles sont dirigees dans les plans des ondes lumineuses, mais non lorsqu'elles deviennent perpendiculaires a ces memes plans. Quoi qu'il en soit, en faisant abstraction de la troisieme onde, designant par T la duree des oscillations des molecules etherees, et posant [*wla formule (3)] 271
on aura, en vertu de la formule (74), (78)
*»=t) + \;",
ou, ce qui revient au meme, eu egard aux formules (52) et (62),
(79)
, + g
'
ra/(r)cos5« f '* L
sinj^cosa) Avcos cos a
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
239
ou bien encore, eu egard aux formules (64) et (65), s* = A2 S (80)
-
A-4 S
/w/• c o s 2 a
r
x
I .2
1.2
cos 4 a .3. .4 5
'•) c o s 2 a ]
6
mr cos a 1.2.3.4.5.61
Telle est Tequation qui, dans un milieu dont Telasticite reste la memo en tous sens, lie entre elles les deux quantites 27T
* = -y
27T
et
par consequent les deux quantites T et /, c'est-a-dire la duree des oscillations moleculaires du fluide ethere et l'epaisseur d'une onde plane. Lorsque, dans les equations (74)* (75), (76), (77), on substituc a ID, *" leurs valeurs approchees tirees des formules (68), on trouve (81)
s'2 =.s / / 2 =A' 2 (R-+-I),
(82)
s"'2 — £ 2 (3R-f-I),
(83)
Q'2 = £l"~ = R -h 1,
(04)
11 = ^
+
1.
II suit des deux dernieres que, dans un milieu dont l'elasticite reste la meme en tous sens, les vitesses de propagation des ondes planes correspondantes au rayon visible et au rayon invisible ont respectivement pour valeurs approchees (85)
(R-+-I)2
et
(3R +
I)2,
ce qui s'accorde avec les resultats obtenus dans le Ve Volume des Exercices (page 4 0 (*)• Passons maintenant au cas oil Telasticite de Tether reste la meme OEuvres de Caucliy, S. II, T. IX. p. 416.
^0
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
rn tous sens, non plus autour d'un point quelconque, mais seulement autour d'un axe quelconque parallele a l'axe des z. Alors les conditions (38), (39) devront etre remplies seulement pour les valeurs de //,, yM
<>t, en vertu de cette supposiXion, les conditions (38), (39) deviendront . si\m I7 \^__ cos[r(u cos a 4- r ces|3 4- u'cosj/)]j
/ /
s (SS)
m J/f(r)r., (v/ y
o v, ^(«cosa-H ^cos(3-f-a^cosy) 2 H
cos[/-(wcosaH-rcos(3-h(T^cosy)]l| [ ^ ^
i I m /7/n r *T2 cos//• =b (« 2 4-^ 2 ) 2 cosa-h (pcosy i [ =_ S Jy } -J-[±(« 2 + r 2 ) 2 cosa4-(rcosyj 4- — L ^ — 011, ce qui revient au meme, /7Z f ( /*) 1
r
,
._ 1
o
J—^ j 1— cos [/•(
I /
\
,, (m f(r) f cos[/*(/^ n 24 S — 42K (// cos a 4- v cos H 3o + w cosv) —
^
( r -l
i \m /*(/•), T / / , f = hj — ^ ^ ^ H— (/l
ir
COSQC 4-t
;
cos5 4-n 1 cosy)ll) '— >
/•*
J)
.x-i V cos!/-[it (A2— i v 2 ) 2 c o s a 4 - u c o s y ] M ) cosa-h trcosyj 4 -1-
le double signe ± pouvant etre reduit arbitrairemont soit au signe 4soit au sign(k —. Reciproquement, si les equations (89), (90) continurnt de subsister, tandis que u, c variant, mais de manierc a verifier toujours la formule (34) ou u--\- v2—. k2— u-2,
iNOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
241
elles ne seront point alterees quand on remplacera dans leurs premiers membres les quantites u9 v par d'autres quantites ui9 v{ propres a verifier la formule u] -+- c 2 =z k2 — w2=
u* -+- r 2 ;
et par consequent les equations (87) et (88), ou (89) et (90), que nous avons deduites des formules (38), (3g) jointes aux formules (41), entraineront a leur tour ces formules auxquelles on pourra les substituer sans inconvenient. Done, pour que l'elasticite de Tether reste la meme en tous sens autour d'un axe quelconque parallele a l'axe des z, il est necessaire et il suffit que les formules (87), (88) subsistent, non seulement quelles que soient les valeurs de w, mais encore quelles que soient les valeurs de u, v. Or, s'il en est ainsi, en developpant les cosinus que ces formules renferment en series convergentes, puis egalant entre eux les termes qui, dans les deux membres des memes formules, representeront des fonctions homogenes de u, r, w du degre 2^, on obtiendra les equations (91) Sfmr2"-1 f(r) (u cos a 4- ccos(3 +
[
12/t
i
±(u2-h
c2)2cosa + (vcosyj
suivant les puissances ascendantes de w dans les deux membres de chacune des formules (91), (92), on tirera de ces formules : i° pour des valeurs impaires de v, V
(g3) S[w/-2"-' f(r) (M cosa + r cos(3)2"-v cosvy] =± (« 2 + c 2 )"" ^ S[w/'2"-» f(r) cos-"- v ^ cosvy]
et V
S[mr 2fl - 3 /(r) (u cosa + r cos|3)2"-v cosvy] = ± (« 2 + ^ 2 )"~ 2 S[/wr2»-3/(/-) cos2"-va cosvy], OEuvrcsde
C. — S. II, t. X.
31
2i2
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
le double signe ± pouvant etre remplace a volonte par le signe 4- ou par le signe —; 20 pour des valeurs paires de v, r*n-1 f(r) cos 2 «- v a cosvy]
r*-'1-1 f(/') (u cos a -+- r cos^) 2/ *- v cos v y] = (u2
(cp
et v cosp) 2 t t " v cosvy] = (w2-+- P 2 )""" * S[/n/- 2 »- 3 /(r) cos 2 "' v a cosvy].
(96)
Les equations (93), (94) n'etant pas alterees, tandis que leurs seconds membres changent de signes, on doit en conclure que ces seconds membres sont rigoureusement nuls. On aura done, pour des valeurs impaires de v, S[mr2'1-1 f(r) cos2*-va cosvy ] — o, S[/?i/- 2 ^- 3 /(r)cos 2 ^- v acos v y] = o,
(97 ) (98)
et par suite les equations (93), (94) se reduiront a (99)
Sf/nr2'1-1 f(r) ( ucosa -+- rcos(3)2/l~v cosvy] = o,
(100)
S[/?ir2/l-3/(/-) (tfcos« + rcos(3)2/*-vcosvy] = 0.
Enfin, comme les deux expressions ( « c o s a + ('cos(3) 2 "- v ,
(«2+ P2)""*
etant developpees fournissent, la premiere, des termes de la forme I . 2 . 3 . . . ( 2 a — v)
dans lesquels les nombres X, p., v, lies entre eux par Fequation (47)
X + ^ + v = 2 /i,
peuvent etre pairs ou impairs, et, la seconde, lorsque v est un nombre pair, des termes de la forme I . 2 . 3 . . . ( II
1 .2.
_
. . 1
) ( I . 2 .
. . '-
3.4-6. . . ( a / t - v ) ( 3 '
4
/ ) ( 2 4 f * )
M>t- ,,__
1.3. ..(X — I ) . I . 3 . ..(fx — 1 ) 3
(
)
i.a.3...(a«-v) (
X
)
(
y
)
u'vV,
NOOVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
243
dans lesquels A, [JL sont pareillement des nombres pairs, on tirera des formules (99), (100), (95) et (96) : i° pour des valeurs impaires de A, de u. ou de v, (48)
S[m/'2*-
et (49)
S[m/ i2/i - 3 /(r) cos^acos^P cosvy ] = o;
20 pour des valeurs paires de X, \i et v, (101)
Sfmr 2 "- 1 f(r) cos^acos^S cosvy] = I ' 3 ' " ^ "" / T ^ I ' 3 "^ f X ~" 1 ^ STmr2"-1 f(r) cos2"- v a cosvyl r
'
i.3.o...(2/i — v — i)
L
w
''
et (102)
S[/nr 2/ *- 3 /(r) cos x a cos^p cosvy] — ' " ' \ j —
^
*' S[/nr 2 / i - 3 /( r ) cos' 2 "-^ cosvy],
le nombre entier n dont le double equivaut a la somme X 4- p. + v pouvant etre quelconque dans les equations (48), (101), mais devant surpasser l'unite clans les equations (49)> (102). II importe d'observer que les conditions (48), (49)> deja obtenues dans le cas oil l'elasticite de Tether etait censee rester la meme en tous sens autour d'un point quelconque, renferment comme cas particuliers les conditions (97), (98). Ajoutons que des formules (48), (49)> ( I O T ) e* (102) on pent remonter immediatement aux formules (99), (100), (95) et (96), ou meme aux formules (91), (92), par consequent aux formules (89), (90), qui peuvent a leur tour etre remplacees par les equations (38), (39) jointes aux equations (4 1 )- Done en definitive les formules (48), (49), (101) et (102), etendues a toutes les valeurs positives du nombre entier;?, ou du moins, s'il s'agit des formules (49) et(io2), aux valeurs entieres de n qui surpassent l'unite, expriment les conditions necessaires et suffisantes pour que l'elasticite de Tether puisse etre censee rester la meme en tous sens autour d'un axe quelconque parallele a Taxe des z. Lorsque ces conditions sont remplies, on tire des formules (10)
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. et ( n ) jointes aux formules (87) et (88) (io3) lO = s f " - ^ - ^ | i —cos/-[±(« 2 +(' 2 )*cosa+
^
1
r
-12
[ i [ ± ( u 2 + r 2 ^ c o s a + <<> cosy J +
cos) r[ ± ( w 2 4 - t ' 2 ) 2 c o s a 4 - w cosy ( 7*
et, comme dans ces dernieres on peut supposer le double signe ± arbitrairement reduit soit au signe 4-, soit au signe —, il est clair qu'on pourra prendre encore pour valour de 10 ou de t? la demi-somme des resultats obtenus dans ces deux suppositions. En operant ainsi et ayant egard aux formules [ O 2 4 - c2)"2 cosa H-trcosy J -f- [—- (M 2 -H (;2)'2 cos a -h «vcosyj 2
= (u 2 -h v2) cos 2 a 4- w- cos 2 y, cos(r[(u2-\-
r 2 )' 2 c o s a + t v c o s y \ ] 4- cos(/•[— ( a ' 2 + p 2 ) 2 c o s a 4- w c o s y j j = 2 c o s [ / ( w2 4- r 2 ) ¥ c o s a J cos ( A T c o s y ) ,
on trouvera (io.">) XD = S
(106) ^ = S
: —-
m f(r)
(1 — c o s [ r ( w 2 4 - i^2)2 c o s a j c o s ( n v cosy) j ,
(u2-\~ v2) cos2a 4- w2cos2y
cos[r(w 2 4- v*)* cosa] cos(nrcosy)
En resume, XD ett? seront seulement fonctions des quantites variables u24-<;2
et \v*.
D'autre part, si, apres avoir fait, pour abreger, (107)
K1 = | ( « 2 4 - ^ 2 ) ,
Ks = i « * ,
on designe par les derivees du premier et du second ordre de %? eonsidere comme fonction de K,, par
^J
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
245
les derivees du p r e m i e r et du second ordre de \> considere comme fonction de K o , et par la derivee du second ordre de
«.
(108)
dKf du
—— — u>
-=— — r,
dK, -j-^—iv, dw
et, par suite,
(ill)
'
dw da
En consequence, les formules (8), (9) donneront 12)
et Tequation (7), c'est-a-dire Tequation de l'ellipsoide qui determine les lois de la polarisation, deviendra
2
Lorsque le plan de l'onde primitive coincide avec le plan de x, y, on a <2 = o,
6 = 0,
c= ± i ;
on en conclut w = o,
^ = o,
w—±k,
et la formule (114) se reduit a (n5)
(t)4-\ c > 1)(x 24-y2 )4-(t)4-^ 2H-\\2 r-)z- 2 = i.
Done alors, comme il etait facile de le prevoir, l'ellipsoide (7) est dr
246
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHE MATIQUES.
revolution autour de l'axe des z, et dans cet ellipsoide le carre du rayon de l'equateur est t) -f- Vt
le carre du demi-axe de revolution etanl
Done, si Ton nomme generalement Cl', £l\ 0!" les vitesses de propagation des trois ondes planes dans lesquelles se divise une onde primitive de lumiere non polarisee, on pourra prendre, dans le cas particulier dont il s'agit,
(M7,
et les deux premieres ondes, sc propageant avec la meme vitesse, se superposeront de maniere a n'en plus former qu'une seule. C'est ce qui arrive dans certains cristaux ou les deux rayons polarises que l'neil pout apercevoir, et qui produisent ce qu'on appelle la double refraction, se confondent des que le plan de l'onde devient perpendioulaire a un certain axe nomme Yaxe optique du cristal. Sans rien changer a la direction de l'axc des z, on peut disposer du plan des y, z, de maniere a simplifier l'equation ( n 4 ) . Effectivement, on y parviendra en faisant coincider le plan des y, z avec celui qui, passant par l'axe des z, sera perpendiculaire au plan de l'onde. Alors la droite OP, perpendiculaire au plan de l'onde, se trouvera comprise dans le plan des y, z; et comme on aura par suite Uz=z O,
la formule (34) donnera
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. En consequence, l'equation ( n 4 ) deviendra
(118)
Dans cette derniere, le double signe ± pourra etre reduit arbitrairement soit au signe -h, soit au signe —. D'ailleurs, en vertu de ce qui a ete dit precedemment (page 229), les valeurs de tD, \<;, et par suite celles de
Cela pose, soient i
le carre du demi-axe qui, dans l'ellipsoide, coincide avec la trace du plan de l'onde primitive sur le plan mene par le point 0 perpendiculairement a l'axe des z, et i
i
les carres des demi-axes de l'ellipse (119). Les vitesses do propagation G',
G", QT
des trois ondes polarisees seront determinees par les formulas (120)
^/2=7iJ
a
"1=Iir>
a
*t=~F'
2i8
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
la valeur de s'2 etant (121)
5'*=t)+^i,
tandis que s"2, s'"2 representeront les deux valeurs de s2 propres a verifier l'equation S2__
[ t ) + ^ 4 . < ? l f l ( * » - ^ 2 ) ] J | > 2 ~ ( O + ^ 2 + ^2,2^ 2 )]
Lorsque le plan de l'onde primitive est perpendiculaire a l'axe des z, ou, ce qui revient au meme, lorsqu'on a u = o,
c = o,
= =b k,
l'equation (122) se reduit a (123)
[ 5 2 - (t) H- \(^ )] [S*- (V) -H ^ a + ^2,2^)] = o.
On peut done prendre alors (124)
* " 2 = V + Vl9
s"'^— V -f- \()2-f- t? 2t2 A' 2 ;
et, en combinant les formules (120) avec les formules (121), (12/4), on se trouve immediatement ramene aux equations (116), (117). Lorsque le plan de l'onde primitive passe par l'axe des z, e'esta-dire lorsqu'on a w -= o,
1'equation (122) se reduit a (125)
[ s 2 - (V 4- \ \ 4-
V
]
On peut done prendre alors (126)
sn=K)-hi?i9
safi='Q+>V1 + >Qltlk*.
iVlors aussi l'equation (i 18), reduite a (127)
(t9-i-'(? 1 )x 2 4-(t) + \ t ) 1 4-\ t > 1 , 1 /^)y 2 +(l')4-\ c > 2 )z 2 =i,
represente un ellipso'ide qui a pour axes les axes coordonnes; et Ton peut aifirmer que, des trois ondes planes produites par la subdivision
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
249
de l'onde primitive, dont le plan renferme l'axe des z, les deux premieres se composent de lumiere polarisee parallelement a deux axes rectangulaires compris dans ce plan, et dont Tun est Taxe des z, tandis que la troisieme se compose de lumiere polarisee perpendiculairement au plan de l'onde. Enfin, lorsque Taxe des z se trouve incline d'une maniere quelconque sur le plan de Tonde primitive, les quantites s"2, s'"2 determinees par Tequation (122) coincident avec les deux valeurs de s2 donnees par la formule
(128) *
"
<
^
Observons encore que l'equation (127) peut etre presentee sous la forme I2
( 9)
( ( ^ -+- \^) (x2 + y2-f- z2) + ^lti (ux + vy + wzf
et que cette equation, devenant semblable a l'equation (58), lorsqu(k les differences ^-V;i,
(i3o)
^1,2-^1,1,
^2,2-^1,1
s'evanouissent, represente alors, comme l'equation (58), un ellipsoide de revolution, qui a pour equateur le plan de l'onde primitive. Done, si les differences (i3o), sans etre nulles, sont tres petites, Tellipsoide represente par l'equation (129) differera peu d'un ellipso'ide de revolution qui aurait pour axe de revolution la droite OP menec par le point 0 perpendiculairement au plan de l'onde; et, des trois ondes de lumiere polarisee produites par la subdivision d'une onde primitive, les deux premieres offriront des vitesses de propagation peu differentes entre elles, et des molecules etherees dont les vitesses propres seront dirigees suivant des droites sensiblement paralleles au plan de chaque onde. C'est effectivement ce qui arrive quand la lumiere traverse un cristal doue de la double refraction. OFAivres deC—
S. II, t. X.
32
250
XOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
§ IV. — Propagation des ondes lumineuses dans un milieu oil Velasticite de Vether reste la meme en tous sens. Considerons un milieu dans lequel Telasticite de Tether reste la meme en tous sens. Alors, comme on l'a dit (page 223), des trois ondes planes dans lesquelles se divise generalement une onde plane de lumiere non polarisee, les deux premieres, se propageant avec la meme vitesse, se superposeront de maniere a n'en plus former qu'une seule, dans laquelle la lumiere sera polarisee parallelement au plan de Tondo primitive, tandis que clans la troisieme la lumiere sera polarisee perpendiculairement a ce plan. De plus, la troisieme onde disparaitra, si c'est dans le plan meme de Tonde primitive que sont diriges les deplacements et les vibrations initiates de molecules, et alors il n'y aura plus de polarisation. On arrive a la meme conclusion, en substituant dans les equations (2.5) du § II les valeurs de £, 3)1, Db, <£, ^, A que fournissent les equations (56), (07) du § III pour le cas oil l'elasticite de Tether reste la meme dans tous les sens. Effectivement, apres la substitution dont il s'agit, les formules (25) du § II se reduisent a
! ~
(I)
Si maintenant on ajoute les formules (1) apres avoir multiplie los deux membres de la premiere par u, de la seconde par r, de la troisieme par (p, et si Ton a egard a l'equation (2)
//»+
on trouvera
(3)
*W±£±^
=-(O
^^Wi=/C29
NOCJVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
251
Cela pose, en tenant compte des formules ( 2 6 ) , (27) du § II, on deduira sans peine de l'equation ( 3 ) la valeur generale de
puis, apres avoir substitue cette valeur dans chacune des formules ( r ) , on tirera de ces dernieres formules les valeurs des trois inconnues £, Y), £. Lorsque les deplacements et les vitesses des molecules de Tether sont primitivement paralleles au plan de l'onde lumineuse, les valeurs initiales des deux quantites d'F
dr]
_ + ,_
_
s'evanouissent, et l'equation (3) donne generalement ul -1- Vf\ H- <^'C = o .
(4)
Par suite, en posant, pour abreger, (5)
^tH\^
,
on reduit les formules (1) a
Or on tire des formules (6) sin.st 3
(7)
} = Y)o COS St
s sin.st L__—,
sin.st
£0, Y)o, l ( 0 , ^ , Y),, ^ designant les valeurs initiales de di W
dn OK Tt' dt'
D'ailleurs ces valeurs initiales que determinent les equations ( 2(1
252
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
et (27) du § II, jointes a l'equation (8)
tz=iax -f- by -+- cs
011, ce qui revient au meme, a la formule (9)
kt
devront verifier des conditions semblables, soit a la condition (78), soit a la condition (63) du § II, si Ton veut obtenir seulement des ondes lumineuses dont la vitesse de propagation soit dirigee dans le meme sens que la droite OP, 011 des ondes lumineuses dont la vitesse de propagation soit dirigee dans le sens oppose, la droite OP etant celle qui forme, avec les demi-axes des coordonnees positives, les angles dont les cosinus sont respectivement (10)
a=v
b=r
c=T
Dans le premier cas, on aura
la vitesse de propagation d'une onde etant
et, des formules (7), (10), (11) jointes aux equations £0 = &o c o s A t - f - 0o s i n At — 9 ( 1 ) , Y] 0 =
c0 c o s At -+- \]0 s i n At =z ^ ( t ) ,
£ 0 z= f0 c o s At -+- i 0 s i n A t = ^ ( t ) ,
on tirera / I. = ^o cos (At — st) -h g0 sin (At — si) =
< Q = f0
cos
( k t — ^ ) H- l)o s i n (A*t —* ^ ) = x ( fc — £2^)»
[ C = f 0 c o s ( A t — st) -h t 0 s i n ( A t — st) = ^ ( t — Q ^ ) .
Dans lo second cas, les formules (14) devraient etre remplacees par
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
253
celles qu'on en deduit en substituant aux binomes kt — st,
h—
Qt
kt,-{-st,
i-t-Qt.
les binomes Ajoutons que, l'equation (4) devant etre verifiee independamment des valeurs attributes a t et a /, par consequent pour des valeurs do k-c — st
egales a zero et a ^? on trouvera, entre les constantes arbitraires c
^o>
o>
*o>
0o>
')o> *o>
des relations exprimees par les formules (l$)
ubo-h
r c o - h HPf0 — °>
«0o~H <'*)o+ w t o = o
ou, ce qui revient au meme, par les formules 0—o,
desquelles on tirera (17)
«?(O
Soient maintenant a',
6',
cr
et
a\
b\
c"
les cosinus des angles formes avec les demi-axes des coordonneos positives par deux nouvelles droites OQ, OR perpendiculaires entre ellcs et a la droite OP. Posons d'ailleurs (18)
a1 cp(t) + V x(t) + C ^ ( 0 = w(t)
Les trois axes OP, OQ, OR etant rectangulaires entre eux, aussi bien que les axes des x9 j , z9 on aura, non seulement (20)
, „ , „ , „
,r
„
—
'
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. mais encore ) bc-^btc!+b"c"—o,
ca-{-cfar-hcffaff=zo,
ab -f- a'b'+- a"b"~ o ;
et, par suite, des formules (17), (18), (19), respeetivement multiplies par a, a\ a" ou par b, b', b\ ou enfin par c, c\ c\ on tirera
En consequence, les formules (14) donneront
( 2 3)
Observons d'ailleurs que, si Ton fait, pour abreger, (24)
a'&o-f. ^'ro-hc'fo^^,
« / Bo+^ / | )o+c / t
on conclura des formules (18), (19) jointes aux equations (i3) ( zs(t) — 3cosA'i H-B sinA-t,
(26)
(I I ( )
Dans le cas particulier ou le plan de I'onde primitive devient parallele a Taxe des z9 et ou la droite OP, renfermee dans Tangle que comprennent entre eux les demi-axes des x et des y positives, forme avec le premier de ces demi-axes un angle aigu represents par T, on a (27)
tf
= cosr,
& = sinr,
c = o.
Dans le meme cas, en faisant coincider la droite OQ avec un demi-axe mene dans le plan des x, y perpendiciilairement a la droite OP, et la droite OR avec le demi-axe des z positives, on trouvera (28)
tf'=siiiT,
b'=z — COST,
c'—o
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
255
et (29)
a"=o9
b"=o9
c"=\.
Par suite, les formules (23) donneront (30)
^ = sim:js5{t — Qt)9
n=—cosrm(z
et, comme on tirera de l'equation (8) (31)
t = ^ c o s r + y sinr,
on aura definitivement i = (32)
sinT5j(xcosT4- j sinT — £lt),
•fl = — COST 73(x COST 4- y sinT — , £ = H(x COST 4- y sinT — Qt),
les fonctions uj(t), Il(r-) etant toujours determinees par les formules ( 2 6 ) , ou, ce qui revient au meme, eu egard a l'equation (12), J^l cos[A-(^ COST + / s i n r ) — 5^] 4- B s i n [ / c ( x COST 4- y SIIIT) — ^^] j ,
(33)
n — — C O S T J 3 cos[k(& £ =
COST 4 - J sinT) — 5^] + 1 3 sin [A-(.r COST 4- y sinT) — 5/ ] j ,
Remarquons encore que l'equation (5) ou, en d'autres termes, l'equation (78) du § III peut etre remplacee par la formule (80) du menu1 paragraphe; et que, si Ton fait, pour abreger, (34)
( - , ) - . . = 8 ^ ^ i l [ f(r)+ _i_ /(r ) CO s.«J,
cette formule donnera simplement (35)
5 2 = a!X: 2 4- a,A 4 4- a3A-64-
De cette derniere jointe a la formule (12) on conclura (36)
^ 2 =a 1 4-a. 2 A- 2 4- a3A^4-
D'ailleurs, en designant par / l'epaisseur d'une onde piano et par T la
st],
256
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
duree des oscillations moleculaires du fluide ethere, on aura, comme dans les paragraphes precedents,
(38)
,=%.
II est important d'observer que, en vertu de la formule (38), la quantite s depend uniquement de la duree des oscillations moleculaires, c'est-a-dire de la nature de la couleur, tandis que, en vertu de Tequation (35) jointe aux formules (12) et (37), les quantites k, £2 et / dependent simultanement de la couleur et de la nature du milieu dans lequel se propagent les ondes lumineuses. Quant a Tangle T, il depend uniquement de la direction des plans paralleles qui renferment ces memes ondes. § V. — Sur la refraction de la lumiere. Considerons deux milieux separes par le plan des yz, dont chacun soit tel que Tether y offre la meme elasticity en tous sens, et dans Tun desquels se propagent des ondes lumineuses dont les plans soient paralleles a Taxe des z. L'existence de ces ondes, que nous nommerons incidentes, entrainera la coexistence : i° d'un second systeme d'ondes propagees dans le premier milieu, et que Ton nomme reflechies; 20 d'un troisieme systeme d'ondes propagees dans le second milieu, et que Ton nomme refracte'es. Car, en faisant abstraction de ces ondes reflechies et refractees, on ne pourrait satisfaire aux conditions rela-. tives a la surface de separation des deux milieux. Nous avons montre, dans le Bulletin des Sciences, comment de la remarque precedente on peut deduire, non seulement les lois de la reflexion et de la refraction de la lumirre, mais encore la determination de la quantite de lumiere polarisce par reflexion et par refraction sous une incidence donnee, la loi de Brewster sur Tangle de polarisation complete et les formules inserees par Fresnel dans le n° 17 des
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
237
Annales de Chimie et de Physique. Nous nous bornerons pour l'instant a deduire de la meme remarque la loi de la refraction, en admettant, commc Texperience le prouve, que la reflexion ne change pas la nature de la couleur, et que Tangle d'incidence est egal a Tangle de reflexion. Pour un seul des trois systemes d'ondes incidentes, reflechies ou refractees, les deplacements £, yj, £ de la molecule lumineuse correspondante au point (x, y, z) se trouveraient determines par des equations seniblables aux formules (33) du § IV. Ajoutons que, dans le passage des ondes incidentes aux ondes reflechies, les quantites s et T ne varieront point, ni meme les quantites /c, £2, /, puisque les premieres dependent uniquement de la couleur, les autres de la couleur et de la nature du milieu. Quant a Tangle d'incidence T, on devra le remplaeer, lorsqiTon passera des ondes incidentes aux ondes reflechies, par son supplement - — T, afin d'exprimer que les deux angles d'incidence et de reflexion sont egaux entre eux; et par suite on devra dans ce cas changer seulement le signe de la premiere des deux lignes trigonometriques COST, sinT. Cela pose, soient ^i,
»i,
*i,
*i
ce que deviennent les coefficients
quand on passe du systeme des ondes incidentes au systeme des ondes reflechies, et s',
T,
//,
Q\
/',
3',
I,
3,
iV,
(£', Bf
cc que deviennent les quantites s,
T,
k,
SI,
i?,
quand on passe du systeme des ondes incidentes aux ondes refracices. Si Ton considere a la fois les deux systemes d'ondes propagees dans le premier milieu, on devra, pour ce milieu, remplaeer les equations (3 5) OEuvres
de C. — S. II, t. X .
33
258
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
du § IV par les formules ;;=
sinrj^l cos[/c(
I
sinr 13li cos [A*(— #
4-
j YI =
—COSTJ21
cos[A(
^cosr 4-7 sinr) — st] 4- J3 sin[*( COST 4-7
x
COST 4-7
sinr) — st]\
sinr) — st] 4- 9t sin [A(—a? COST 4-7 sin r) — S*]J,
^cosr4-7sinr) — ^] 4-B sin[A(
a?
COST 4-7
sinr) — st]\
4- COST I ^! cos [A (— x COST 4-7 sinr) — ^ ] 4-B1 sin[A(—
# c o s T - f - / s i n r ) — st] + 1 sin[A(
3? COST -+- / s i n r ) — st] J
-r Ci cos[A(— xCOST -f- y sinr) — st] + l i sin[£(— 57 COST -h 7 s i n r ) — st][.
On trouvera au contraire, pour le second milieu, /H — (2)
sinT'|2l'cos[A:'(d7COST'+/sinr') — 5^] + 33'sin[£'(,#cosr'+ j s i n r ' ) — srt]\,
Y) = — cosT'p^cosf^^cosT'-HjsinT 7 )— ^ ] +8 / sxn[/: / (j?cosT'-h7sinT / ) — ^ ] j , T') — s't].
D'ailleurs la surface de separation des deux milieux et des deux masses de fluide ethere qui s'y trouvent comprises coincide, lorsque ces deux masses sont dans I'etat naturel, avec le plan des y, z represente par l'equation (3)
x — o;
et, pour que ces deux masses restent contigaes Tune a l'autre pendant la duree du mouvement, il est necessaire que la valeur de £, relative a un instant donne et a un point donne de la surface de separation, ne soit point alteree, quand on passe de la premiere masse a la seconde. Enfin, comme, en posant «r = o, on tire de la premiere des equations (1) (4) 1 =
SUIT [(21
4- 3j) cos (ky sinr — st) 4- (55 4- 9t) sin (ky sinr — st)]
et, de la premiere des equations (2), (5)
£= sinr'[3 f cos(A'7 sinr'— s'I) 4- Wsin(k'y sint'— s't)],
la condition que nous venons d'enoncer donnera %i) cos(ky sinr — st) 4- (13 4- 9t) sin (ky sinr — st)] - sr t) 4-13' sin (k!y sinr'— s' t)],
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
259
si toutefois on admet que Ton puisse, sans erreur sensible, ne pas tenir compte des legeres modifications que peut apporter le voisinage du second milieu a la valeur de 2j, determinee par la premiere des equations (i), et le voisinage du premier milieu a la valeur de <;, determinee par la premiere des equations (2). Observons maintenant que, Inequation (6) devant subsister independamment des valeurs attributes aux variables y et t, les coefficients des puissances semblables de y et de t devront etre egaux dans les deux membres de cette equation developpes en series convergentes, ordonnees suivant les puissances dont il s'agit. De CPUC seulr consideration on deduira immediatement les formules (7)
(3 H- ^ J s i n T ^ a ' s i n r ' ,
(8 -f- i3t) sinr = S'sinr1,
(8)
£sinr = ^^sinT',
(9)
s = s'y
auxquelles on parvient encore tres simplement de la maniere suivante : Si Ton pose y = o et / = o : i° dans l'equation (6); 20 dans cett(k meme equation, differentiee une, deux ou trois fois de suite par rapport a t, on en tirera successivement
^ ^ h' sinr', = 5/3i3/ sinr'.
Or la premiere des equations (EO) jointe a la quatrieme, et la second e jointe a la troisieme, entraineront les formules (7) et l'equation
de laquelle on conclura, en extrayant les racines carrees positives des deux membres Si Ton posait / = o dans l'equation (6), differentiee une, deux ou
'2G0
NODVEAUX EXERGIGES DE MATHEMATIQUES.
trois fois, non plus par rapport a /, mais par rapport a y, on obtiendrait trois nouvelles formules, qui, jointes aux formules (10), entraineraient, non seulement les equations (7) et (9), mais encore l'equation (8). La seconde de ces nouvelles formules serait (11)
k sinT(J -f- 8i) sinr = A-'sinr' Wsinr',
ct, en la combinant avec la seconde des formules (7), on obtiendrait immediatement 1'equation (8). EQ vertu de 1'equation (9), la quantite s, reciproquement proportionnelle a la duree T des oscillations moleculaires du fluide ethere, ne varie pas dans le passage d'un milieu a un autre, et par consequent la refraction ne change pas la nature de la couleur. Done, si un rayon de lumiere rouge, apres s'etre propage dans l'air, traverse un liquide tel que l'eau, il paraitra rouge encore a un observateur dont l'oeil serait plonge dans ce liquide. Quant a 1'equation (8), elle donnera , N (2)
sinr'
k
SUIT
D'ailleurs, en nommant 0, Of les vitesses de propagation de la lumiere dans le premier et le second milieu, on aura, en vertu de la formule (12) du § IV, O - *
et, par suite,
Done 1'equation (12) pourra etre reduite a Si1
Or la formule (i5) mbntre que le rapport du sinus d'incidence au sinus de refraction est constamment egal au rapport entre les vitesses de propagation de la lumiere dans le premier et le second milieu. Cette
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
261
conclusion se trouve, comme Ton sait, confirmee par Texperienco ; car, en faisant varier Tangle d'incidence pour un rayon (Tune couleur donnee qui tombe sur la surface d'un corps refringent, on obtient toujours le meme rapport entre les sinus des deux angles d'incidenrc et de refraction. Le rapport entre les sinus de Tangle d'incidence T et de Tangle de refraction T' est ce qu'on nomme Yindice de refraction. Si Ton design** cet indicc par 0, on aura, en vertu de la formule (12), fl
_
sinr _
kf
et, par suite, (16)
k'=Qk.
§ VI. — Applications
numeriques.
Lorsque, dans un milieu transparent, Telasticite de Tether reste la meme en tous sens, la duree T des oscillations moleculaircs du flnid(? ethere se trouve liee a Tepaisseur /d'une onde plane par Tequation (1)
s 2 = ai/x 2 -!- a2A'''-f- a 3 / : 6 - h . . .
[voir la formule ( 3 J ) du § IV], dans laquelle on a 2 71
*=«.
(3,
D'ailleurs, la vitesse de propagation O d'un rayon de lumiere etant donnee par la formule
a= f
(4) on aura encore (5)
£22 =
a1-l-a2A-2+a3A-v-h-...
Dans les seconds membres des equations (1) et (5), comme dans les
202
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
series que renferment les formules (64), (65), (66) du § III, les coefficients &1>
<*2>
<*3>
des puissances ascendantes de k decroissent tres rapidement, et la valeur generate de a,,, determinee par la formule
est une quantite tres petite de 1'ordre 2 / z - i , dans le cas oil la distance r de deux molecules d'ether, assez rapprochees pour exercer Tune sur 1'autre une action sensible, est consideree comme tres petite du premier ordre. Ajoutons que, si un rayon d'une couleur determinee se refracte en passant d'un premier milieu dans un second, la nature de la couleur, et par suite chacune des quantites T, s, restera invariable, tandis que les quantites k,
%
I
se changeront dans les suivantes (7)
k'=9k,
(8)
Q'=|,
(9)
r=
l v
0 designant 1'indice de refraction. Alors aussi les coefficients
obtiendront des valeurs differentes dans le premier et dans le second milieu. Un tres habile observateur, Frauenhofer, a deduit d'experiences faites avec beaucoup de soin les indices de refraction pour sept rayons colores, correspondants a certaines raies que presente le spectre solaire, et determine les diverses valeurs que prennent ces memes indices lorsqu'on fait passer les sept rayons de l'air dans des prismes de
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
263
verre ou de cristal, remplis ou entierement formes de diverses substances liquides ou solides. Les substances employees par Frauenhofer sont:Pcau, une solution de potasse, l'huile de terebenthine, trois especes de crownglass, et quatre especes de flintglass. Ajoulons que, deux series d'experiences sont relatives a l'eau, et deux autres a la troisieme espece de flintglass. Le Tableau suivant contient le resultat des experiences de Frauenhofer, relatives aux sept rayons qu'il a designes par les lettres B, C, D, E, F, G, EL Pour plus de commodity nous representerons les valeurs de 0, correspondantes a ces memes rayons, par O
o
0 TABLEAU
I.
Indices de refraction pour les rayons B, C, D, E, F, G, H de Frauenhofer. SUBSTANCES REFRINGENTES.
i re serie 2e serie Solution de potasse , Iluile de terebenthine.., i re espece Crownie espece . . . , dass. 3e espece i re espece . . . . ae espece Flintic 3e espece. ie sene. glass. i serie. 4e espece, Eau.
1*
8
i,33o935 1,331712 1,333577 i,33o9 77 1,331709 1,333577 1,399629 I,4oo5i5 1,{02805 1,470496 i,47i53o i,474434 1,524312 1,52 5299 1,527982 r, 5-258321,526849 1,529587 T,554774 1,55 5933 1,559075 1,602042 r,6o38oo 1,608494 1,623570 1,625177 i,63o585 [,626564 1,628451 1,633666 1,626596 1,628469 1,633667 [,627749 [,629681 i 7 635o36
-
1,33585t 1,337818 f,335849 1,337788 i,4o5632 1,408082 i,478353 1,4817)6 1,531372 1,03.1337 1,533oo5 1,536o5*2 1,563i5o i,56674i i,6i4532 1,620042 i,6^7356 i,643466 [,64o544 1,646780 1,640495 1,646756 I,642024 1,048260
e,.
a.
1,341293 1 1,341261 1 1,412579 1,4i6368 1,4881981 ,5 54684! f ,539908 1 : i , >4165- 1 >46566 i,5735>5 1 1,630772 [,640373 i 7 6554o6 1 ,666072 , i,658849i ,669680! T,658848 1 ,669686 1,660285 1 ,671062
D'autres experiences de Frauenhofer determinent les valeurs de / ou les epaisseurs des ondes dans l'air pour les sept rayons B, C, I), E, F, G, H. Nous designerons par ^l>
*2>
hy
'4?
4>
Ui
h
ces epaisseurs, qui, dans les experiences de Frauenhofer, se trouvent
26i
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES.
oxprimees en cent-millioniemes de pouce. Si Ton multiplie les nombres que ce physicien a trouves par 2,7070, afin de reduire les memes longueurs en dix-millioniemes de millimetre, et si Ton effectue le calcul par logarithmes, on obtiendra le Tableau suivant, dans lequel i designe un nombre entier. TABLEAU
fjpaisseur
II.
des ondes dans Vair pour les rayons B, C, D, E, F, G, H de Fraue/ihofer.
Valeurs de // en cent-millioniemes do pouce....
i = 1.
1 = 2.
/ = 3.
25^1
•-44 2 r )
217 >
i=
6.
r >?o
i = 7.
l45 I
Logarithmes decimaux de ces nombres 4o5oo47 3847H7 3374593 2884728 2') 2610 3 2000293 1616674 4321883 43^4883 4'3-.J488'J 4 > > 4 8 8 3 432.1S83 4324883 4324883 Log(^707) Sommos... 837493o 8[7*.iooo 7(;9947ti 7209O11 6850986 0325176 5 9 4i55 7 It en dix-millioniemes de millimetre
6878
G>64
58S8
5 ->Xo
4843
4291
3928
11 suit de la formule (9) que, etant donnee Tepaisseur / ou lt des ondes dans l'air pour Tun des rayons B, C, D, E, F, G, H, on obtiendra l'epaisseur des ondes /; ou /•, pour le meme rayon refraete par lYau ou par une autre substance, en divisant la premiere epaisseur par l'indice de refraction. Cela pose, on deduira sans peine des Tableaux I ct II les epaisseurs des ondes correspondantes aux sept rayons ct aux diverses substances considerees par Frauenhofer. En offectuant le calcul par logarithmes et a l'aide des Tables de Callet, on obticnt les resultals compris'dans les Tableaux suivants :
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU
265
III.
Determination des logarithmes des indices de refraction et de leurs complements.
VALEURS DE i.
i= 1.
/ = 2.
i = 3.
i = 4.
1,330935
1,331712
i,333577
1,33585i
1,337818 1,341293
i,344i77
1241454 98 16
1244064 33 7
1249930 229 23
1257414 163 3
1263912 33 26
1274935 293 10
1284316 227 23
1241568
1244104
1250182
1257080
1263971
1273238
1284566
Compl.ouLf ^- ) • 8758432
8755896
8749818
8742420
8736029
8724762
8715434
1,33o977
1,331709
i,333577
i,335849 1,337788 1,341261
1,344161
1241454 229 23
1244064 29
1249930 229 23
1257414
1274935 i95 3
1284316
29
1263587 260 26
1241706
1244093
1250182
1257573
i263873
1275133
1284517
8758294
8755907
8749818
8742427
8736127
8724867
8715483
1,399629
I,4OO5I5
I,402805
1,4o56J2 1,408082 1,412579 1,416368
1460039 62 28
1462831 3i 16
1469958
1478617
1486027
93 6
247 6
1499885 216 28
I5II553
16
L(0/)
1460129
1462878
1469974
1478716
1486280
1500129
I5I1762
Compl.ouL( Q- j.
8539871
8537122
853oo26
8521284
85i372O
8499871
8488238
o,-
1,470(96
i,47i53o
1,4744°>4
r, 478353 1,481736
1,488198
i,493874
1674355 267 18
1677603
I686I53
1697626
1707603
1726321
89
'89 12
ii7
264 23
1742925 204
9
88 18
1674640
1677(11)2
1686234
1697782
1707709
1726608
1743141
Compl.ouLf 7- ) • 832536o
83223o8
83i3746
83o22i8
8292291
8273)<>2
8256859
6/ .2
*n CO
u
L(6;)
•S CO
c
cs
s
L(0/)
0/
1 = 6.
# = 7.
194
184 25
|
Solution de potassc.
w Compl.ou L( — )•
i3o
1 = 5.
CD
c ©
~£ CD
L(6/)
OEuvrcs
de C. - S . I I , t . X .
34
12
266
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQUES.
TABLEAU
VALEURS DE I.
8 6*
6
l: = 5.
1 = 6.
i' = 7.
1,327982
1,53i372
1,534337
1,539908
r,544684
1833268 25 7 26
1840949 228 6
i85o6o3
I859IO3
199 6
85 20
i874ga5 23
1888160 226
I,524312 1,525299
29 CO Cu
«'= 4.
/ = 2.
£ = 1 .
1830704 c/T
III (suite).
11
L(6,)
1830739
I83355I
1841183
i85o8o8
1859208
1874948
1888397
Compl.ouLf ^- )•
8169261
8166449
81.58817
8149192
8140792
8l23O52
8iu6o3
0,-
1,525832 1,526849
1,529387
1,533oo5
1,536o52
I ,54l657 I,5I6566
1834976 86 6
1837822 ii4 26
1845493
i(S55422
1863912 142
1879717
•228
20
6
20
i835o68
1837962
1845743
1855436
1864060
1879878
1893685
u
Compl.oul, ( 7T- )•8164932
8162038
8154257
8i44^64
8135940
8120122
8io63r5
d
1,554774
i,555933
1,559075
1,56315o
1,566741
I,573535
1,579470
1916466 196
1919817
1928461 196 i4
1939868 'i3 9
I949858 in 3
I968667
84 8
1984921 193
L(6/)
1916673
'9 99°9
1928671
1940007
!9i997
2
1968764
1985114
Gompl.ouLf ~ )•
8o83326
8080091
8071329
8059993
8050028
8o3i236
8014886
6/
1,602042 i?6o38oo 1,608494
I,6I|53-2
1,620042
[,630772 i,64o373
2046625 109 5
205l302
2093160 107
II
2o8o38o 81 5
5
2123741 58 7 5
2i49233 186 8
Wo
2046739
2o5 r 5o2
2064[96
2080466
2093262
2123933
2149427
Compl.ouL( tj- )•
7953261
7948498
7935804
7919534
7904738
7876067
785o573
ai oo" *CN rn
L(6;)
I4I
1893499 169 J
7
o
1
11
a CO in (/> 03
1 a, ©
1
2063941 244
83 i4
NOtJVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU
YALEURS DE i.
« = 1.
,-1
1,623570
1,625477
2104523 188
2109603
267
III (suite).
1 = 4.
1 = 5.
i,63o585
T,637356
1,643466
i,0554oO
2141283 i33 16
2157433 15 9 16
2189030 16
183
19
2123208 214 i3
2104711
2109810
2 123435
2141432
2157608
2189046
22[6g38
7895289
7890190
7876565
7858568
7842392
7810954
7783062
i,626564
1,628451
1,633666
1,64o544
1,646780
i,658849
1 ,669680
2112541 161 11
21 [761 I
160 16
2149762 106 11
2166145 212
2197940 io5
22261i\ 209
2112713
2117748
2i3i633
2149879
2166357
2198069
7887287
7882252
7 86836 7
7850121
7833643
7801931
•s
T,626596
1,628469
[,633667 1,640495
1,646756
i,658848
[,669686
?
21I254I
160
16
2117611 160 24
19
2U9498 23 9 i3
2166145 I 32 16
2197940 10 5 21
2226l24 209 16
2U2798
2117795
2i3i636
21497J0
2166293
2198066
2226349
7887202
7882205
7868364
7833707
7801934
7773651
0/ o T)
188
CS CO cd
1 Compl.ouLf r- j /
i
I,666O72
\
CU
CO
8/
cT o -CD CO CO
1 34 3
24 2226333
CO cd
Compl.ouL( ^ j-
1 1 L(6/) co
Compl.ouL( — y
^
6 o
'a
Compl.ouL (7j- )•
.5 Li-
*
1,627749
1,629681
i,635o36
1,642024 1,048260 1,660285
1,67106'
•21 15744 107
2135178 80 16
2153732 53
2170099 158
2201604 210
222976\
24
2120810 214 3
i3
5
2ll58y5
2121027
2135274
2153796
2170257
2201827
2229926
7884125
7878973
7864726
78^6204
7829-43
11
7770074
268
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU
IV.
Determination des epaisseurs des ondes dans les diverses substances, ces epaisseurs etant exprimees en dix-millioniemes de millimetre.
serie.
Ki)
I,
1
8749818
8742420
8736029
8724762 8715434
8172000
7699476
7209611
6850986
6325176
Somme.. . 7133362 6927896 6449^9-1
59520JI
5587015
5o49938
4656991
4415
3937
3620
3i99
2922
8749818
8742427
8736127
8724867 8715483
7699I76 7209611
6850986
6325176
Somme.... 7133224 6927907 6449^94 5952o38
5587II3
5o5oo43
46570^0
5i68
49^9
serie.
8758294 8755907 8172000
L(/6)
«
W
fipaisseur Z J = ^- • • 5i68
4415
3937
3620
3.»
2922
8537122
853oo26
8521284
85i3 7 2O
8499871
8488238
8172000
7699476
7209611
6850986 632 5176
59} 1557
Somme.... 6914801 6709122
6229502
573089J
53647o6 4825O47 4429795
potasse.
49^9
853 9 8 7i
Solutio
•§
1 = 6.
8758432 8755896
U
=
i = 5.
i = 3.
/ = 1.
VALEURS DE i.
fipaisseur /;=-!.•• 4 9 l 5
j
4687
3/42
3439
3o3 7
829229T
8273392
832536o 83223o8
8313746 83o22i8
8374930 8172000
7>OC)6II
6850986 6325176
60 I 3222 5511829
5143277 4598368
Somme.... 6700290 Epaisseur/;= •--- •
6494308
4678
446i
8169261
8166449
8158817 8149192
8172000
7699476
3993
3558
3268
2883
2773
4198416 2629
lass, ece.
1
LUt) \
7209611
8ui6o3
8140792 6850986 6325176
Somme.... 6544191 6338449 58 58293 53588o3 499'778 4450228 4o53i6o
f fipaisseur/;= —•• •
45i3
43o4
3853
3435
3i56
2786
2543
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
TABLEAU
VALEURS DE i.
IV (suite).
1 = 7.
£=3.
i=L
8164932
8162038
8154257
8i44564
8l35940
83 7 4 9 3o
8177.000
7G9947G
7209611
6850986
6539862
6334o38
5853 7 33
5354175
4986926
44152<)S
4047872
4^99
3849
343i
3r53
2783
2540
8080091
8071329
8059993
So 50028
8o3i236
8014886
8172000
7699476
7209611
6850986
6325176
5941557
6252091
5770805
5269604
4901014
4356412
3956443
4219
3776
3365
3091
2727
2487
7953261
7948498
79358o4
7919534
7904738
7876067
7850573
83 7 4 9 3o
8172000
7699476
7209611
6850986
6325176
59 {i557
Somme... . 63.28191
6120498
563528o
5129145
4755724
4201243
37921 ;>o
4o 9 3
366o
-,03,
239 4
7895289
7890190
7876565
7 858568
7842392
781095<
7783062
8374930
8172000
7699476
7209611
6850986
6325I76
5941557
Somme.... 6270219
6062190
5576041
5068179
4693378
41 >6i3o
3724619
4237
4o38
36n
3212
2592
23 58
7887287
7882252
7868367
785012 I 7833643
7801931
7773667
837493o
8172000
7699476
72O961I
6850986
63'i5i76
5941557
6262217
6054252
5567843
5OJ9732
468{629
4127107
3715224
4o3i
36o4
3206
2941
2586
2352
iglass, Dece.
>S
269
Somme....
fipaisseur l'£= -L. - - 45o8
i = 7.
8120122
8106315
59^557
r
lass, ece.
8o83326
/ = 6.
Somme... . 6458<,56
2£ fipaisseur l't = y- • • •4 424
4 s
MO
Flintglc
CO CO
fipaisseur l'L = ^ • • •
CD
.8
1 Flintglc
CO
L(/;)
Epaisseur //== ^-- • •
1 en
ti
r
Somme
fipaisseur l'i= K- " - 4229
270
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU
i = 1.
i = 2.
7887202
7882205
VALEURS DE I.
i
o o
CO
S-f
CO
« rd
Flintgl
tt) L(fc) Somme
espece. 3
1 = 4.
i = 3.
1 = 5.
/ = 7.
1 = 6.
7868364 785o25o
7833707 7801934
777365i
8374g3o 8172000 7699476 7209611
6850986 6325i 7 6
5g4r557
5567840
5o5 9 86i
4o3i
36o4
3206
7884125
7878973
7864726
8074930
8172000
7699176
6259055
6050973
4028
6262132 6o542o5
fipaisseur ^- = jf • • 4229 •
L
U) Hh)
vrr C/T
IV (suite).
Somme....
4684693 4127110 3715208 2586
2352
7846204 7829743
779^i;3
7770074
72096[1
6850986
6325176
5 9 4i55 7
5564202
5o558i5
4680729
4123349
3711631
36oi
32o3
2938
2584
2351
2941
Flintgla
rr.
£paisseur/J = ^-» • •
4226
En resume, les epaisseurs des ondes dans l'air et les autres substances etant exprimees en dix-millioniemes de millimetre, ees epaisseurs seront, d'apres les experiences de Frauenhofer, representees par les nombres que renferme le Tableau ci-joint. TABLEAU
V.
Epaisseurs des ondes en dix-millioniemes de millimetre. VALEURS DE i.
/,. Air /'•.
Eau
Solution de p otasse Huile de tere benthine... ,. ireespece... 2 e espece... Crownglass. 3 C espece... i re espece... 2 e espece... 3° espece... Flintglass .. 4<: espece...
i = 1.
* = 2. « = 3.
6878 5i68
6564
49 1 ' 3 4678 45i3 45o8
4929 4687 446i 43o4 4299
4294 4237 4229 4226
4o 9 3 4o38 4o"ii 4028
5888 44-i J ,\ 197 3993 3853 3849 3776 366o 36o4 36oi
,-L
i= 5.
526O
4843
3937
3620 3439 3268 3i56 3i53 3091 2989 2947 2941 2 9 38
3742 3558 3435 343i 3365 3258
3212 3206 3203
, = c. 4291 3199 3OJ7
2883 2786 2783 2727 2631 2592 2586 2 584
3928
2922 2773 2629 2543 2487 2394 2358 2352 235i
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
271
II est important d'observer q u e , en appliquant a Tequation ( i ) lr theoreme de Lagrange sur le retour des suites, on en tire la valeur de k2 developpee en une serie de la forme
D'ailleurs, pour determiner les coefficients b , , b 2 , b 3 , . . . , il suffira de substituer dans Tequation ( 9 ) les valeurs de s2, S\ S\ . . . deduites de l'equation ( i ) , savoir a 2 A4 4 - a 3 2 a x a 2 A6 - h . . . ,
Alors l'equation ( 9 ) deviendra A:2= a^A^-f- (a 2 b!-h a 2 b 2 )A- 4 -H(a 3 b r
et Ton en conclura ajbj^zi,
asbj-f- 2 a ! a 2 b 2 + a j b 3 — o ,
par consequent
a2bt
a2
(TO)
a 3 bi + 2 a, a 2 b 2 __
a, a3 — :
Gela pose, la formule (9) donnera __
2
a2 a
i
%
a . a 3 — a a | 6__ a
i
Or, puisque dans le cas ou la distance rde deux molecules assez rap-
272
NOUVEAUX EXERCICES J)E MATHEMATIQ UES.
prochees pour exercer une action sensible Tune sur l'autre est consideree comme tres petite du premier ordre, les quantites
sont des quantites tres petites du premier, du troisieme, du cinquieme, ... ordre, il est clair que, dans le meme cas, les quantites a2 a;'
a3 a
et, par suite, les coefficients de s\ s\ . . . dans le second membre de la formule ( n ) , seront des quantites tres petites du premier, du second ordre, etc. Done ces coefficients decroilront tres rapidement aussi bien que les coefficients de s'29 s'1, s6, . . . dans le second membre de la formule (9). Si, dans le second membre de l'equation (1), on conserve seulement le premier, les deux premiers, les trois premiers termes, etc., on obtiendra diverses valours approcliees de s2, savoir (12)
5J=a1*»,
(13)
5 2 z=a,A: 2 +a 2 A*S
(1 \)
s* = a! A-8 + a2 A* + a3 A6,
ot, si Ton substitue la premiere de ces valeurs approcliees dans les differents termes qui composent le second membre de la formule (11), res differents termes deviendront — (a,—
Or les coefficients des puissances successives de k1 etant du meme ordre dans la serio (i5) et dans colle que renferme l'equation (1), il est naturel d'en conclurc qu'on "obtient le meme degre d'approximalion lorsque, dans les seconds membres des equations (1) et (11), on conserve le memo nombro do termes. En consequence, aux for-
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
273
mules (12), ( i 3 ) , (i4)» etc. doivent correspondre les suivanles A-2=i-
(16)
'•1
(17) (i8)
qu'on peut encore ecrire comme il suit (19)
k*=blS*,
(20)
k*=bls*+bis'*9
(21)
/i 2 =z b!5 2 -h b 2 s 4
C'est, au reste, ce qu'il est facile de verifier a posteriori. En eflet, la formule ( n ) entraine immediatement la formule ( c 6 ) . Pareillement, la formule ( i 3 ) s'accorde avec la formule (17), de laqueile on tire (22)
2 as
V V^ a 2 y
a2
ou, ce qui revient au meme,
(23) v
S 2 " a2 — ]
2a2
et, par consequent, en negligeant les termes 2
A
,
0 •—- A ,
. . . .
Or ces derniers sont respectivement comparables pour leur petitcsso aux termes que Ton a negliges dans le second membre de 1'equation (1) pour OEuvres de C. — S. II, t . X.
35
274
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES.
reduire cette derniere a la formule (i3), puisque les qiiantites ai
a;
sont respectivement du cinquieme, du septieme ordre, etc., aussi bien que les quantites ci3,
a
4
,
....
On prouverait, par des raisonnements semblables, que la formule (i4) s'accorde avec la formule (18), etc. Cherchons maintenant jusqu'oii les experiences de Frauenhofer permettent de pousser le degre d'approximation, c'est-a-dire combien de termes ces experiences permettent de conserver dans Tequation (i), ou, ce qui revient au meme, dans la formule (i i). Lorsque dans la formule ( n ) on ecrit sn et kn au lieu de s et k, on on tire
puis, en posant successivement n = i, n = 2, n = 3, ...,
5
Or si, dans le second membre de la formule (11) ou (24), on conserve seulement un, deux, trois, . . . termes, on pourra en eliminer le coefficient bn ou les deux coefficients b , , b 2 , ou les trois coefficients b , , b 2 , b;3, . . ., a l'aidc de la premiere, ou des deux premieres, ou des trois premieres, etc. des formulcs (25), etl'on trouvera, dans le premier cas,
dans \o second cas,
= -"—-i -1\
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
275
dans le troisieme cas, 7^2
C2
x /C2
II est bon d'observer qu'on peut deduire directement les equations (26), (27), (28) de la formule de Lagrange pour rinterpolation, en oonsiderant A2 s'1
comme une fonction entiere de $2, dont le degre soit Tun des nombres o, i, 2, — Ajoutons que la formule (26), si Ton y pose n = i, la formule (27), si Ton y pose n = 3, la formule (28), si Ton y pose n = 4, ..., pourront s'ecrire comme il suit : (29)
7T, =°>
(3o) -7r—2 - p - -
kr,
=0,
— sl)
sl(sl — s \ ) ( s l — s l ) ( s l —si)
Generalement, si Ton conservait n — \ termes dans le second membrr de l'equation (a4)> on tirerait de cette equation, ou, ce qui revient an memo, des equations (25),
(32)
ce que Ton peut demontrer directement comme il suit.
i>76
NOUVEAUX EXEKCICES DE MATHEMAT1QUES.
En designant par i un nombre entier inferieur a n, on tire de la formule d'interpolation, ou bien encore de la formule relative a la decomposition des fractions rationnelles,
(sl-sl)(sl-sl)...(s-i-sfl) ' (s*-s*)(s*-s\)...(**-*'„) , (si -s\) (si -si)... (si- si) 2
(3.")
(s*-s\)(s*-sp...(s'--s*_l)
puis, en cgalant entre eux les coefficients de membres de Tequation (33), on en conclut : i° Pour i < n — i,
,,.
dans les deux
o =
(341
sl-s*)(sl-sl).
..(si-
2° Pour i= n — i ,
(s\-s\)(s\-s\)...(sl-s\) (35)
S i ) (Si - S i ) . , . (Si - 5 « )
Or, si Ton a egard aux formules (34), (35), les n premieres des for-
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES.
277
mules (25), respectivement muUipliees par les coefficients
o2 / ,.2
C2
e
puis combinees entre elles par voie d'addition, donneront si(sl-sl)
-si).
• • (si —
s
a
k\ (36)
^2 /^2
C2
S
/ C2
n\Sn
^2 \
e
(si - s i ) .
2 \ / Q>
C2
• • (st
— s'l
/ C 22
CC2
\
— Sl ) \Sa — ^2 ) ' ' • \Sn —
)
S
et il est clair que cette derniere equation se reduira simplement a la formuie (32), si, dans le second membre de la formuie (24), par consequent de chacune des formules (25), on conserve seulement les n — 1 premiers termes, ce qui revient a poser bn — o,
=
0,
Lorsqu'on passe de Tair a un autre milieu, la quantite k doit etre remplacee par k'= 9 k
dans I9equation (3a), qui se change alors en cette autre formuie Q\k\
(37)
s\(s\-s\)(s\-s\)
.(s\-s%)
^n O. '•I 1 c->
S
n \ Sn ^~
e
S
2 \ / C2
I ) \ Sn —
O2
S
2
278
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Si d'ailleurs on pose, pour abreger, k
\
(38)
et si l'on represente les carres des indices de refraction par
de sorte qu'on ait
/designant un nombre entier quelconque, les formules (32) et (37) deviendront respectivement <4O
K,
(42)
K1®14- K2©2 + K3©3 + . . . + K re ©«= o.
+K2
+K,
+...4-K,
=0,
Enfin, si Ton passe successivement de Fair a d'autres milieux refringents de diverses natures, et si, dans ce passage, k devient successivement (43)
Qk,
Q'k,
Q"k,
...,
alors, au lieu de la formule (41), on obtiendra un systeme d'equations do la forme K ^ H- K 2 0 2 H- K 3 0 3 4-. . . -f- Kn®n~
(44)
pourvu que Ton pose (45)
Bt=et
o,
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
279
c'cst-a-dire pourvu que Ton designe par (W
Qh 0;, ©i, ...
les carres des indices de refraction relatifs aux divers milieux dont il s'agit. On ne saurait, clans les formules ( 4 i ) , (42), (44), supposer n = 2, car alors les formules (4r), (42), reduites a K{ -f- K2 = o,
1 ^ 0 , 4- K 2 0 2 = o,
donneraient simplement @< = 0 2 , et par suite la dispersion cesseraif d'avoir lieu. On aura done au moins n = 3. Ajoutons qu'il suffira d'eliminer les quantites Ki,
K2,
K3,
. ..,
Kn,
ou plutot les rapports K
entre l'equation (42) et n — 1 des equations (44)» pour obtenir, entre les valeurs de ©!,
02,
...,
0,3,
relatives a n — 1 substances diverses, une equation de condition qui devra etre sensiblement verifiee, lorsqu'on pourra, sans erreur sensible, reduire a ses n — 1 premiers termes la serie comprise dans le second membre de la formule (9) ou (24). Cela pose, en attribuant successivement a n les valeurs entieres et croissantes 3, 4> • • •» o n pourrait chercher la premiere de ces valeurs pour laquelle se verifient, sans erreur sensible, les equations de condition du genre de celles que nous venons de mentionner, et decider ainsi jusqu'ou les experiences do Frauenhofer permettent de pousser le degre d'approximation. Mais on arrivera plus promptement au meme but a Taide des considerations suivantes. La formule (42) determine ©„ en fonction lineaire des seules quantites 01?
02?
• • ">
0/i-l*
280 NOUVEAOX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. Des formules semblables determineraient 0^ +l , @«+2, . . . en fonctions lineaires des memes quantites, et generalement le caractere propre d'une valeiir de n assez considerable pour qu'on puisse, sans erreur sensible, reduire la serie (9) ou (24) a ses n — 1 premiers termes, r'est que n des quantites ©1,
©1, ©1,0 4 , ...
seront toujours liees entre elles par une equation lineaire sans lerme constant, et dans laquelle les coefficients resteront independants de ta nature du milieu refringent. (^oncevons maintenant que, par les notations (47)
S © / , S'©,, S^©/, ...,
on designc plusieurs des polynomes contenus dans la formule generale (48)
±©,±02+03+...,
r'cst-a-dire autant de sommes des quantites
prises tantot avec le signe + , tantot avec le signe — ; de sorte que, en appliquant le calcul aux experiences de Frauenhofer faites sur sept rayons, Ton ait par exemple s ; e,=
01 + 0 2 + 0 3 + 0 4 _ 0 5 _ 0 6 _ 0 7 )
I S'"0( = - 0 1 + ©2 + 0 3 - 0 v - 0 5 + 0 6 + 0 7 , Representons, au contraire, par les notations (5o)
2©,, 2©;., 2"eh . . .
plusieurs des polynomes compris dans la formule generate (50
±©/±©;±©-±...,
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATIIEMATIQUES.
281
c'est-a-dire autant de sommes formees avec les diverses valeurs de
correspondantes a une memo valour de i9 mnis relatives aux diverses substances, et concevons, par exemple, que
representent les sommes des valeurs de
relatives a toutes les substances, que
representent ce que deviennent les precedentes sommes quand on y change les signes des termes relatifs aux diverses especes de flintglass, etc. Enfin, decomposons @, en diverses parties representees par cj.
5."
en sorte qu'on ait (52)
0 ; = ?Ji -+- 2rJ -h % 4-
En admettant que les lettres caracteristiques S, S\ . . . , I , 1', . . . appliquees separement ou simultanement a ces diverses parties gardent les memes significations que lorsqu'on les applique a &i9 vt indiquent toujours des sommes formees de la meme maniere, on aura encore / S 0 / = S %i -(- S ?s't + S ^'- -f-.. ., j S'0 ( - = S ' 2 r / H - S ' S ; + S T ? ;
(53)
I
+..., 1
10;
=2St
•+-!;&;• + 2 & # ;
-;-...,
(54)
OEiwres de C—
S. II, t. X .
36
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQDES. et
Cela pose, revenons a la formule (&)>
voyons d'abord quelles
consequences on aurait pu deduire de cette formule et des autres semblables s'il eut ete permis d'y supposer n = i. Dans cette hypothese, de Fequation (4 2 )» reduitc a (.MS)
K 1 0 1 + K 2 0 2 —o,
on aurait tire K,'
W2-~
puis, en remplacant le premier des milieux refringents par le second, 0;
K,
et, par consequent, 0,
^
0;
0; = 0;
ou, ce qui revient au meme, ^ 0;
0^ 0;'
On aurait trouve de la memo maniere 0i_01 0;
"»;'
et finalement _
„
%
„
_
^
0; ~~ 0 ; " " 0; "" 0; " 0; - 0;
Or plusieurs fractions egales entre elles sont encore egales a celle qu'on obtient en divisant la somme de leurs numerateurs ajoutes les uns aux autivs ou pris les uns avec le signe + , les autres avec le signe —, par la somme de leurs denominateurs ajoutes pareillement los uns aux autrcs ou pris avec les memes signes que les numerateurs.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEM ATIQUES.
283
Done la formule (58) entrainerait la suivante
qu'on peut ecrire comme il suit ^
S ^ ~" S0^'
et dans laquelle il est permis de remplacer la caracteristique S par Tune des caracteristiques S\ S", Observons d'ailleurs que, si Ton pouvait considerer comme egaux les rapports compris dans la formule (58), et attribuer les differences de leurs valeurs reduites en nombres aux erreurs d'observation, le moyen d'attenuer rinfluence probable de ces erreurs sur la determination de la valeur commune des rapports dont il s'agit serait de faire concourir egalement a cette determination les carres des sept indices de refraction, et par consequent de substituer le nouveau rapport ((3I)
S0', ~ 0;-+- 0; + 0;4- 0; -i- 0;-h 0; + 0;
a tous les autres, attendu que les deux termes de ce nouveau rapport seraient sept fois plus grands que les moyennes arithmetiques entre les termes correspondants des premiers, et que, selon toute apparence, les erreurs d'experience dans
etant, les unos positives, les autres negatives, produiraient dans \r polvnome 0 1 + 0 2 + 0;3 +. 0 4 + 0 5 + 0G + 0T
une erreur de beaucoup inferieure a la soinme de leurs valeurs numeriques ou, ce qui revient au meme, a sept fois la moyenne arithmetique entre ces valeurs. Si le second des milieux refringents etait remplace successivement par le troisieme, par le quatrieme, etc., alors, au lieu de la for-
28i
NOUYEAUX E\ERCICES DE MATHEMATIQUES.
mule (60), on obtiendrait les suivantes :
On aurait done generalement dans Thypothese admise 0t _ 0; _ 0; _ 0: s0,-~" S0;.~ S0;; S07
(62)
'
Or le moyen d'attenuer l'influence probable des erreurs d'observation sur la determination numerique de la valeur commune des rapports compris dans la formule (62) serait de substituer le nouveau rapport / (< 2 \
^
i
—
j
1
1
1
• * *
a tous les autres, cc quo Ton prouve par les raisons ci-dessus alleguees pour la substitution du rapport (61) aux rapports (58). On tiiv effectivoment de la formule (62) 2S0,ou
On obtiendrait de la meme maniere les diversos equations
.ifi)
N O U V E A U X E X E R C I C E S DE M ATHEM VF1 Q [ ES.
-2S5
qui pouvent etre romplacees par la seule formule
(67)
A
=
A =A
=
A
0
*
=
0 =
* = 0? = sef-
Si Ton pouvait, en realito, considerer comme egaux les rapports compris dans la formule (58) ot attribuer les differences do leurs valours reduitcs en nombres aux crreurs d'observation, alors les valeurs do e,, 02, 03, 04, e s , 0G, 07, determinees par les formulos (66), meriteraient plus do oonfiancc quo les valeurs observees. Mais il n'en est pas ainsi, car nous avons vu qu'il n'etait pas possible do supposer n = 2 dans Toquation ( V-) (it do la reduire ainsi a Toquation (56). En consequence, los seconds membres des formulos (66) doivont etre considores comme reprosentant, non los valeurs exactes, mais seulement d(ks valours approohees de 0 1?
02,
03,
04,
05,
06,
07.
Designons ces valours approchees par on sorte qu'on ait
ot par A©, la valeur de la difference 0,-Sr,,
'dc sorte qu'on ait encore (69)
©! = & ! + A0 2 ,
0 2 =3" 2 -f- A0 2 ,
...,
07r
: - 7 + A0 T .
On tirera des equations (68) (70)
3r1 + 3r2 + ... + 3r 7 =Se / = e1 + 0 s -h... + e7,
ot les formules (69), combineos entre elles par voie d'addilion, donneront (71)
A0!-!- A02-h A03-h A0.-H A03-H A06-h A0 T =o
ou
S A0/=o.
286
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES.
Cola pose, cherchons ce qui arriverait si, clans la formule (42) et dans les autres semblables, on pouvait, sans orreur sensible, supposer n = 3. Alors cette formule, se reduisant a
el devant subsister independamment de la nature du milieu refringent, entrainerait la suivante
de laquelle on tirerait, en la joignant aux trois premieres des equations (68),
Or, en substituant dans la formule (72) les valours de 0,, ©., 0 3 tirees des equations (69), ot ayant egard a la formule (7^), on obtiondrait la suivante
qui determinerait A03 en fonction lineaire des deux quantites A0 n A02. Des formules semblables determineraient A0/(, A03, A06, A07 on fonction des monies quantites, ot la substitution des valeurs do A0 3 ,
A0 4 , A0 5 , A0 G , A0 7
ainsi delerminees dans Fequation (71) fournirait entro los seulos quantites A01? A02 une equation nouvolle dontlos coefficients seraiont eneore independants de la nature du milieu refringent. On aurait done, en vertu do cette equation nouvelle, o( on designant par A0- co
}
A02
A0'2
011, ee qui revient au m e m o , A0 t _ A02 A0; "" A 0 ; '
NOUVEAUX EXEttCICES DE MATHEMATIQ UES.
287
On trouvorait dc la memo manierc A0i _ A0 3
A0; A0, _ A0, A0; ~ A©;'
et finalemcnt , 177
)
A0L _ A0, _ A0^ A0V _ A05 A0B A07 A0~; ~ A©; — So; ~" A©; ~ A©;' " A©; ~~ A©; '
Supposons maintenant que Ton designe par S'0,- Tun des polynomes compris dans la formule ( 4 8 ) , et par £ 0 , Tun des polynomes compris dans la formulc (61), en choisissant les signes de maniere que S' A0; represente, au moins pour Tune des substances, la somme des valeurs numeriques de A0,, A02, A03, A04, A05, A06, A07, et que represente la somme des valeurs numeriques de S r A0',
S'A0/,
S'A0';,
En operant comme on Ta fait, lorsque de Tequation ( 5 8 ) on a siiecessivement deduit les formules ( 0 9 ) , ( 6 2 ) , ( 6 4 ) , ( 6 7 ) . on deduirail de la formule ( 7 7 ) celles qui suivent : A0! _ S^A0fA0; ~ s 7 !©;-'
(78) A0, _
A0', _
A0",
_
(79) A0 8
( °)
<
^TA^T
\:
A0,
"
A0> "
"
A0 3
A0V
(81
A0 ;i
__
A0 6
__
A0 7
__
S'A©/
•im
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Par suite, on aurait
Si Ton pouvait, en realite, considerer comme egaux les rapports compris dans la formule (77), et attribuer les differences de leurs valeurs reduiies en nombres aux erreurs d'observation, alors les valeurs de A0,,
A0 2 , A0 3 , A0 4 , A©5, A0 6 , A0 7 ,
delerminees par les formules (82), meriteraient plus de confiance que l(*s valeurs imniediatement deduites des experiences. Dans le cas contraire, les seconds membres des formules (82) pourraient etre consideres comme representant, non les valeurs exartes, mais seulement des valours approchees de A0,,
A02, A03, A04, A05, A06, A07.
s ces valeurs approchees par
sor(e qu'on ait 2'S'A©; (83)
:
el par
la valour do la difference
^=FS'A4;.S'A0"
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEM ATIQ UES.
289
do sorte qu'on ait encore (84)
A0 1 =a' 1 -|-A 2 0 1 ,
A0., = ^ 2 4-A 2 0 2 ,
...,
A07 = :-'7-hA207.
On tirera des equations (83), en ayant egard a l'equation (71), a; + a; + a; + a; -+- a; -+- a; + a; = o
(85)
011, r.(» qui revient au meme, sa; = o,
<M)
et de plus
D'ailleurs les equations (84) sont toutes comprises dans la ioruiule generate
et de rette dorniere jointe aux formules (71), (86), (87) on conclura SA20/=o,
(89)
S'A204-=:o.
Cela pose, cherchons ce qui arriverait si, dans la formule (4^) et autres semblables, on pouvait, sans erreur sensible, supposer n ~ 4. Alors cetto formule, se reduisant a (90)
K ^ , 4- K202 + K 3 0 3 + K 4 0 ; = <.,
et devant subsister quel que fut le milieu refringent, entrainerait la suivante (91)
K ^ + KaSeo + K s i e a + K ^ G ^ o ,
de laquelle on tirerait, en la combinant avec les quatre premieres des formules (68), (92)
K ^ ! + K2a, + K3a3-+- K-a4 = o.
D'ailleurs, en siibstituant dans la formule (90) les valours de 0i, OJluvrcsdeC—
S. I I , t. X .
e2,
0 3 , ©;, %J
290
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQ UES.
tirees des equations (69), et ayant egard a la formule (92), on obtiendrait la suivante (98)
Kt A0X + K2 A02 + K3 A0 3 + K4 A 0 ^ o;
et, celle-ri devant encore subsister independamment de la nature du milieu que Ton r.onsidere, on en conclurait
puis, en ayant egard aux quatre premieres des formules (83), (9.))
K^'j -+- K3'2-f- K 3 ^3H-K 4 ^' 4 =:o.
Enfin, en substituant dans la formule (93) les valeurs de A0,,
A0 2 , A0 3 ,
A0 4 ,
tirees des equations (84), et ayant egard aTequation (95), on trouY(krait (96)
K1 A2 0 1 -t-K 2 A2 0 2 -hK 3 A2 03-f-K 4 A 2 0 4 =o.
En vertu de la formule (96), A2©,, deviendrait une fonction lineaire des trois quantites A201? A^02, A203. Des formales seinblables determineraient A2@5, A2@c, A2©7 en fonctions lineaires des memes quantites, et la substitution des valeurs de A204, A205, A20C, A207 ainsi determiners, dans les equations (89), fournirait entre les seules quantites A 2 0j,
A202.
A203
deux equations nouvelles qui donneraient pour les rapports
deux valeurs independantes de la nature du milieu refringent. On aurait done, en vertu de ces equations nouvelles et en designant par
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMAT1QUES.
291
A2©,'ce que devient A2©, qifand on passe du premier milieu au second, __ A 2 ©; A © 2 ~~ LA 2 ©;' 2
A 2 © 1 _ A 2 ©; A2©3 ~ A 2 ©;
ou, ce qui revient au meme, A202 A-2©;
A2 0 3
— A 2 © ; ~~ A2©;
On trouvcrait plus generalement A~© t __ A-© 2 _ A-© 3 _ A 2 ©4 __ A'2©5 _ A 2 © 6 _ A 2 © 7 |
puis, en designant par la somme des valeurs numeriques de A 2 ©!,
A 2 © , , A2©3,
A2©4,
A2©5,
A - © 6 , A'-©7,
au moins pour Tune des substances, par
la somme des valeurs numeriques de S / ; A 2 ©;,
s"A2©;., s"A2©';,
...,
ot raisonnant sur la formule ( 9 7 ) comme sur la formule (77), on obtiendrait, non plus 1'equation (81), mais la suivante I A 2 ©! _ (98)
de laquelle on tirerait
(99)
A2©2 A205
_
A2©3 A206
_
A2©4 A207
292
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Si Ton peut, en realite, considerer comme egaux les rapports compris dans la formule (77), et attribuer les differences de lours valeurs reduites en nombres aux erreurs d'observation, alors les valeurs do 2
02,
A203,
5,
A 2 0 6 , A207
determinees par les formules (99) meriteront plus de confianee quo les valeurs immediatement deduites des experiences. On pourrait pousser plus loin ces calculs, et, s'il arrivait que, pour rendre sensiblement exactes la formule (4 2 ) e* les autres semblables, on dut y supposer n — 5, alors en faisant, pour abreger, &
(100)
et posant d'ailleurs (101)
A201 = r^;-f-A301,
A202 = ^ + A 3 0 . 2 ,
...,
A207 = : ^ : + A
on tircrait des formules (100), ( I O I ) , jointes aux equations (89), J=—o,
(102)
do3)
et, par suite, (104)
SA 3 0 r -=O,
S'A'ft/zno,
9>''&%t=O>
puis, do la formule (42 ), reduito a O°5)
K 1 0 1 4-K 2 0 2 4-K : { 0 3 ^K. v 0 v +K J i 0 5 r=o
et, jointo aux equations (68), ( 6 9 ) , (83), (84), ( r o o ) , (101), (106)
K'1A301H-K2A302+K3A^03+KVA304H-
Enfin, de cctle derniei'e equation et des autres semblables reunies
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQ UES.
293
aux formules ( i o 4 ) , on conclurait que les quantities A301?
A3 0 2, A303, A 3 0 4 , A 3 0 5 , A 0 6 ,
A07
conservent entre elles des rapports independants de la nature du milieu refringent et verifient, par consequent, la formule IO
( 7)
A30t_A302 A 3 ©;
A3©;
A:503
)v __ A 3 *^ _ A 3 0 6 _ A*®j . i*W. ~ A 3 0; "" A 3 0 1 ; A 3 0; ~~ A 3 ©;
puis, en designant par
S';/A30,-
la somine des valeurs numeriques de A301? A302, A303, A30,, A30,, A30G, au moins pour Tune des substances, par
la sommr des valeurs numeriques cle
vX raisonnant sur la formule (107) comme sur les formulas ( 7 7 ) et ( 9 7 ) , on obtiendrait, non plus les equations (81) et (98), mais la suivante (108)
de laquelle on tirerait
('09)
A302
&8L A 3 0 fi
_
A304
•294
NOUVEAXJX EXERC1CE6 DE MATHEMATIQUES.
Si Ton peut en realite reduirc la formule (42) a la formule (io5), considerer par suite comme egaux les rapports compris dans la formule (97) et attribuer les differences de leurs valeurs reduites en nombres aux erreurs d'observation, alors les valours de A301? A302, A303, A304, A305, A30C, A307 determinees par les formules (109) meriteront plus de confianee que los valeurs immediatement deduites des experiences; et, en posant
(no)
2"f A 3 0 .
- s^A3©; puis designant generalement par la difference on sorte qu'on eut (in)
A3©!--^-^-A40H
A 3 © 2 =:&2+ A402,
on trouverait pour valeurs des differences
des quantites du meme ordre que les erreurs d'observation. En resume, si Ton veut savoir jusqu'oii les experiences permettent de pousser 1'approximation, ou, ce qui revient au meme, combien de termes doivent renfermer les equations lineaires qui, comme l'equation ( 42); subsistent entre les quantites ®1,
©2, ©3, ©4,
-..,
independamment de la nature du milieu refringent, on calculera, pour
NOWVEADX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
295
les divers rayons et pour les diverses substances, les valeurs successives do A 0 , , A 2 ©,-,
(112)
A3©,, A*©/, ...
a Taide des equations 02, 2
A0,= ^+A-0h
A 0 2 = ^ ; + A ©,,
...,
©7=^7 + A07,
...,
A 0 7 = : - : - ] - A207,
(n3)
A3©,,
'T^^'^ +
jointes aux formules /
20, j |
^—^
^' —
.JI!L
^^
20, ,J .•)
O Vf / ,
L_ Q' \G\.
^"""S'S'A©,-//_ 2'^A2©!
r^—^
Off —
"
^
20^ O V-'/,
2
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C' A(^.
-~ 2'S'A©,^n ^A 2 ©^
ff
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—;—
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C/ A/A
7
~ ^S'A0 f ^;/ !"A207
"
-1- S^A3©/
dans lesquelles on designe par S0,-,
S'A0,-,
S'A 2 ©,-,
S'^A 3 ©/,
...
les sommes des valeurs dc 0,,
A 0 / ? A2©,, A30M
...
relatives aux divers rayons, mais prises tantot avec le signe -+-, lantot avec le signe —, de maniere a se reduire, du moins pour cort substances, aux sommes des valeurs numeriqiies, et par
les sommes des valeurs numeriques de S©,-,
S'A0,-, S^
296
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
relatives aux diverses substances. II suffira de continuer le calcul des differences representees par A20M A30M A*»,,
A0,,
..,
jusqu'a ce que Ton parvienne a des differences comparables aux erreurs d'observation. On pent d'ailleurs aisement reconnaitre la nature de res erreurs et se former une idee de leur etendue, en comparant entre elles deux a deux les valeurs de 0,- que fournissent deux series d'experiences faites sur la meme substance, par exemple les deux series d'experiences faites par Frauenliofer sur Teau ou sur la troisieme espece de flintglass. I l y a plus : comme on aurait generalement par ronsequent A0,zr:o,
si 1'on pouvait sans erreur sensible reduire le second membre de la formule (9) a son premier terme; A0,- = :-;,
par consequent A'0, = o,
si Ton pouvait sans erreur sensible reduire le second membre de la formule (9) a ses deux premiers termes, etc., il est rlair que les diffrrents termes de la suite A20M
A0,,
A30,,
A*0/f
...
srront respeclivement comparables aux coefficients ^2,
^.i.
b;,
b5,
...
des quatrieme, sixieme, liuitieme, dixiemc, ... puissances de s dans le second membre de l'equation (9), et qu'en consequence A®/sera du meme ordre que b 2 , A2@, du meme ordre que b 3 , A3©,- du meme ordre que h]9 A7'©, du meme ordre que b 5 , etc. Or, si la distance de deux molecules d'ether, assez rapprochees pour exercer Tune sur
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
297
l'autre une action sensible, est consideree comme une quantite Ires petite du premier ordre,
seront, en vertu des remarques faites sur la formule ( n ) , des quantites tres petites du premier, du second, du troisieme, du quatrieme, ... ordre. En consequence, non seulement les coefficients b2,
b3,
*b4,
b
B
, ...,
mais aussi les differences des divers ordr.es, savoir
et leurs valeurs approchees, ou les quantites (n5)
:-;.,
&;, s y , y ?
9
...,
determinees par les equations (n4)> formeront generalement des suites decroissantes jusqu'au moment oil les differences deviendront de meme ordre que les erreurs d'observation. Remarquons encore que chacune des quantites (i i5) obtiendra pour les divers rayons des valeurs diverses qui, en vertu des equations (i i4)» devront toutes garder les memes signes, ou toutes a la fois changer de signes, lorsqu'on passera d'une substance a une autre. Or il est clair que les differences A0,,
A 2 0 ; A 8 ©,-,
A * 0 , , ...,
dont les quantites dont il s'agit representent des valeurs approchees, devront generalement satisfaire a la meme condition, tant qu'elles ne seront pas devenues assez petites pour etrc du meme ordre que les erreurs d'observation. Enfinles formules ( n 3 ) et ( u 4 ) entraineront, comme on l'a deja remarque, les equations de condition
OEuvres
de C. — S. II, t. X.
38
298
NOUVEAUX EXERCICES I)E MATHEMATIQUES.
etSA ©, = 0,
(117)
SA20,-=o,
S'A20, = o,
{SA 3 0,= o,
S'A^^o,
S"A'0,^o,
auxquelles on pourra joindre les suivantes que Ton forme de la meme maniere: 2 a, = 26,, 2&?=o,
(118)
2 A 0,-=o,
>/=o,
(•19)
2A*e,= 0 ,
2'A 3 0,^o, ;
Si l'on posait, pour abreger, /- Pt (.20)
-*
_ 2'A6, ~2'S'Ae,'
2S0/ l'A0, 2'S'Ae,' 2"A20,
2'A07
7
2"S"'Ai0/'
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. les formulcs ( n 4 ) ;
se
299
reduiraient a
51 = cc1S®i,
2r2 = a2S0,-,
l&'^p.S'Ae,,
Sr'^^S'A©,-,
2
(' *') < Sr; = yt S"A 0,-,
...,
S, = a7S0,-,
....
2r'7 = f37S'A0,-,
2
&*, = y2 S" A 0,-,
...,
&; = y7S"A20,-,
rt Ton tirerait des equations (120), jointes aux equations (117),
8(3/= o,
Les formules (116), (117), (122) fournissent divers moyens do verifier Texactitude des valeurs de A0,, A*0h
A30,,
...;
Sr,., &;., 2r;
...;
a/,
p,,
y/,
d/f
...
(leduites de Inexperience a l'aide des equations ( n 3 ) , ( n 4 ) » (120), (T2l).
Venons maintenant aux applications numeriques des diverses formules ci-dessus etablies, et d'abord calculons par logarithmes les carres des indices de refraction ou les valeurs de 0, pour les rayons B, C, D, E, F, G, H do Frauenhofer et pour les diverses substances employees par eel habile observateur. Ces valeurs seront fournies par le Tableau suivant.
A7OUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
300
TABLEAU
301
VI.
Determination des valeurs dc 6,.
EAU.
1.(6,)
SOLUTION (le potasse.
lereben1" espece.
thi lie.
2* espece.
I" serie.
2" si'rie.
124i568
I241706
l46oI29
1674640
I83O739
2483136 24834L2 2921
•292O25S
3349280
3661478 367010O
OI23
'97
i35 [33
18
2
215
1fLINTGLASS.
(2R0WN&LASS.
HUILE
111
i835o68
1427
0016
5i
120
37
112
3° espece.
1916670
r° espece.
2046739
2 e espece
2IO47I1
3' espeee,
3C espece,
I1'" serie.
2 C serie.
21I27I3
21I2798 21 IO875
3833346 4093478 4209.422 4225426 4226696 557O 33o6 3413 54<>6 4o 36
65
i33
5i
8
[
Lf0 2 )
1244093
462878
2488208 2488186 8067 8067
2920756
141 123 18
26 16
111
16 4
10
i3
2O
5662
94
1677692
98
1837962 '9I99O9 2O)l5o2
2109810
1250182
'..
L(03) 0294
I250l8'2
3
5
U69974
16862-54
25oo364 2939948 3372608 9810 2396 0294
70
70
49
49
•2\
21
i38
2II7795 2121027
2117-48
3356384 3667102 3676924 3839818 4io3oo4 4219620 4235496 4235590 4242064 2878 5408 5571 1954 7031 538i 5795 9769 94 9 3
98 21
I83355I
7' 56
129
i5
17
49 36
126 118
73
8
1
127
88
82
19 16
100
u5 12
6
3
2
1,773457 .,773449 1,961442 2,165402 2,326538 2,331269 2,420927 2,672176 2,642177 2,65i854
e3
i639
i,77i387 I ,771000 1,958961 2,162360 2,323527 2,328164 2,4i7322 2,566538 2,635981 2,645712 2,6458l6 2,649668
©i
L(0 3 )
4" espece.
112 100
i84n83 1845743 1928671 2064196 2123435 3682366 23 11
55
2i3i633
•
1
'
6 5 I 9 I
•2,655 861
»
2i3i636 2135274
3691486 3867342 4128392 4246870 4'263 266 4263272 4270048 1416 83oo 6867 31 Go 3(6o 70
56
5
28 18 10
92
13
84
8
106
112
98 8
98
71 65 C
I,778429 1,7784*9 1,96786a a,i73955 2,334730 2,339637 2,430716 2,587^55 a,65S8o8 a,668865 a,6688*9 2,673344
L(0> )
125758O
1267373
L(@/)
25i5i6o 4922
4922
743O
238
224
2
220
220
56 4o
4
16
i47«7«6
1697782
2967432
3395564 3701616 1614 55o8
i85o8o8
2
1855436
1940007 2080466 .,4.432 a 149879 2 f/,975O
•2103796
4282864 4299758 43995OO 946O 9621 2806
4307692
3710872 388ooi4 o863 79946
9
09' 1
76-21
68 53
21
58
17
49
.37 i3o
4O 32
7' 65
r5
4
9
7
8
6
1,784497 1,784492 [,970801 2, i85528 2,345ioi 2;35oio5 2,443438 2,606712 2,68og36 2,691384 2,691226 2,6962^4
L(0.) L(e.)
1263971
1263873
I.48628O
2527942 2627746 7660 7802
235i
14o 122
18 03
1707709
1809208
1864060
1949979- 2095262
34.15418 3718416 3728120 3899944 5334 8016 9807 8249
•2157608
2166357 2166293
4t90524 43i52i6 4332714 4332586 4340614 2577 2577 o466 5o83 0417
186 170
209
84
197
79
104 92
£3 7 124
58 5o
129
128
16
12
5
12
i3
8
2
9
167
2170267
•37
9
97 96 1
1,789767 1,789677 1,982695 2,195543 2,354190 2,359457 2,454677 2,624535 2,700981 2,711886 2,711806 2,716761
L(66)
1275238
1275133
1500129
1726608
L(0 6 )
2500476 2600266
300020S
O3l2
0070
0082
3453216 3749896 3759756 3937628 42.47866 4378092 7981 7 5o6 9 865 3i49 9744 7837
164 145
196 191
176
67
3i
174
59
18
18
16
2
8
i3
4
r3
19
1874948
1879878
12
1968764 2i23g33
22
2189046
111
2198069
2198066 2201827
43g6138 4096132 44o3654 358o 6011 6011 127 126
121
in
74 63
1
10
11
I,799068 1,798981 1,995381 2,214734 2,371317 2,376707 2,476012 2,659418 2,740370 2,761781 2,761776 2,756547
L(07 )
1284566
1284517 , 011762 .743141
L(07)
2669r32
2569034 3023524 3586282 3776794 3787370 3970228 8860 33oc 6164 oi83 6704 7249
9101
2.4
i74 169
2l5 195
118 117
7
5
20
1
3x
e7.. .
1888397
1893685
1986114
2149427 22i6g38 4298854 8814
2-226333
2226349 2229926
4433876 4462666 4452698 4459852 3720 2616 2616 9776
90 73
121
45 35
4o 32
5o
82
76
109
141
47
78
62
17
12
TO
8
10
3
4
14
t,806813 1,806772 1,O06099 2,23166 I 2,386049 2,391867
2,690825 2,775796 2,787832 2,787853
302
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
En comparant entre elles deux a deux les valeurs de 0/ qui, dans le Tableau precedent, repondent aux deux series d'experienccs faites sur l'eau et sur la troisieme espece de flintglass, on obtient les variations suivantes : TABLEAU V I I .
Variations de %t dans le passage d'une serie d'experiences a une autre.
i = 1. ^ i r e serie e,-. Eau ee , . ( 2 serie
i = 2.
i = 3.
r,7 7 r38 7 1,773457, 1,778429 i,77i5oo 1,773449 1,778429
Variations de 0 / . . . 0,0001i3 I Flintglass. i i r e serie. 2,645712 " ' I 3e espece. ( 2C serie. 2,6458i6 l
-o,600008 0,000000
i= L
1,784497 1,789757 1,784492 1,789677 -o,ooooo5
2,65x854 2,668865 2,69i384 2,668869 2,691225
2,651912
Variations de 0 / . . . 0,000104 o,oooo58
i= 5.
J = 7.
1,799068 1,8o68i3 1,798981 1,806772
-0,000080 -0,000087 -0,00004i
2,711886 2,711806
0,000004 -0,000159 -0,000080
2,751781 2,787832 2,701776 2,787853 -0,ooooo5
0,000021
Ainsi les valeurs de 0 , , deduites des experiences de Frauenhofer, admettent des erreurs comparables aux nombres o,ooon3, o,ooor59 renfermes dans les quatrieme et septieme lignes horizontales du Tableau VII; et, dans l'application des formules ( n 3 ) , (n4)> o n doit continuer le calcul jusqu'a ce que Ton obtienne des differences comparables a ces memes nombres. D'ailleurs, on deduira sans peine du Tableau VI les sommes representees dans les formules ( n 4 ) P a r S0,-, 20, et 2S0,-, les diverses valeurs du rapport 80/
relatives aux diverses substances et les logarithmes de ces valeurs. La determination de ces quantites est 1'objet du Tableau suivant qui donne, en outre, pour chaque substance, la moyenne arithmetique entre les diverses valeurs de 0,, c'est-a-dire la valeur de la quantite 0 determinee par Tequation (i23)
0 — i S 0 / =
H
'
1 +
"2~
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CO
0
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0
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304
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Diverses conditions, que remplissent, comme on devait s'y attendre, les nombres obtenus dans ce Tableau, servent a prouver l'exactitude de nos calculs. Ces conditions se trouvent comprises dans les trois formules ^ s e ^ s i e ^ i g s , 142460,
S01 j^w.=l* =28,30606.
7
On ne doit pas s'inquieter de la difference 0,000002 entre le second membre 1 de la deuxieme formule et le nombre 0,999998 place a la S 0tin delalisnehorizontalequi renferme les valeurs de y^r-? l'omission de la septieme decimale dans chacune de ces valeurs suffisant pour produire dans leur somme une erreur egale a la difference dont il s'agit. En partant du Tableau VIII, on pourra determiner par logarithmes les valeurs approchees de &i9 0 2 , . . . , que nous avons representees par &,, Sr2, . . . dans les formules ( n 3 ) , ( I I 4 ) > desquelles on tire generalement, en ayant egard a la formule (i23), (124)
2r,=:^:£0,
ou, ce qui revient au merne,
Or, la difference 20,- — 20 etant generalement beaucoup plus petite que 20/, il y aura quelque avantage a remplacer la formule (T24) par la formule (123) et a calculer, au lieu du produit (1,6)
^lQh
le produit plus petit
attendu que de ces deux produits le premier contiendraaussi bien que 0/ sept chiffres significatifs, et le second cinq seulement, Tapproximalion etant poussee jusqu'auchiffrc decimal qui exprime des millioniemes. D'ailleurs, dans le produit (12G), le facteur
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
305
et son logarithme sont immediatement donnes pour chaque substance par le Tableau VIII, et, quant au facteur 2®;— 2@, on en determinera sans peine les diverses valeurs avec leurs logarithmes, a I'aide de ce meme Tableau, en operant comme il suit. TABLEAU
IX.
Determination des valeurs de 20*—20.
VALEURS DE i.
20;/
i = 1.
i = 2.
i= 3.
1 = 4.
i= 5.
i = 1.
1 = 6.
soMMEs.
20
27,876836 27,926463 28,060899 28,235463 28,391960 28,692092 28,9587 J2 198,142460 28,3o6o66 28,306066 28,3o6o66 28,306066 28,306066 28,3o6o66 28,3o6o66 198,14 24 Cn
20,-20
-0,429230 -0,379603 -0,245167 —0,070603
0,085899
6326901
0,386026 O,652676 - 0,00000 .>
9894496 125
8488232
9339881
34
5866098 68
8l46 9 3 7 4O
5793262
L[=p(20;-20)].... L(20)
6326901 45i8 79 5
5793962 4518795
3894621 4518795
8488232 4518795
9 33 9 88i
4518795
5866i66 45i8 79 5
8146977 4JI8795
Difference. .
1808106
1274501
9375826
3969437
4821086
1347371
3628r82
-0,015104 -0,013411 -0,008661 -0,002494
o,oo3o35
o,oi3638 o,O23o58
0,000001
20 20; 20 Xl
I 20; 7 20
20,2S0;
0,984836
0,986589
0,991339
0,997506
i?oo3o35
1,oi3638
1,O23o58
7,000001
0,140691
0,140941
0,141620 o,i425oi
0,143291
o,i448o5 O,I46I5I
1,000000
Aux diverses valeurs de 2©; — 20 nous avons joint ici celles des 50-
^0-
rapports -^zr e t WTS~ = a/» °[ui servent a prouver la justesse de nos calculs, attendu qu'elles doivent verifier et verifient, en effet, avec une exactitude suffisante, les deux conditions et
280/ = 1
ou
Observons d'ailleurs qu'il suffirait de multiplier les diverses valeurs du rapport y^-
prises dans le Tableau IX par les diverses valeurs de
S@; prises dans le Tableau VIII pour obtenir les quantites 2r,, &2, — En determinant ces memes quantites a Taide de la formule (T25), on obtiendra les resultats que renferme le Tableau suivant. OEuvres de C. -
S. II, I. X.
^9
306
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. 307 TABLEAU X .
Valeurs de 2r,-.
EAU.
SOLUTION de poUsse.
HU1LE de lerebentbine.
FLINTGLASS.
CROWNGLASS.
SOBIMES. 1TO espece.
2* espece.
3° espece, 1" serie.
'A* espece, 2' serie.
4* espece.
1" serie.
2° serie.
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9189626
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6326901
6326901
6326901
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5696681
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L
(se)-
V espece.
2" espece.
3° espece.
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9796982
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5793296
5793296 ^5793296
5793296
5-93296
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4237467
4678710
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4992350
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5449801
5573l87
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5590265
5597498
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1,786201 1,786186 1,978320 2,189883 2,348779 2,353887 2,448260 2 , 6 I 5 3 5 I
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2,701331
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2,705825 28,306066
1,762247 1,762232 1,951789 2 , I 6 O 5 I 5 2,317280 2,322320 2,415427 2,580277 2,654637 2,665104 2,666096 2,66 9 538 27,926461 8ooo5o8
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3674512
3691603
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1,786201
1,786186
1,978320
2,189883
2,348779
2,353887
2,448260 a,6i535i
2,690721
1,770730
1,770715
1,961185
2,170916
2,3a843G
2,333499
•2,427055
2,592699
2,667416 2,677934 2,677925 2,682389 28,060899
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8285201
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2,701331
2,701322
2,705825 28,306066
8292434
-0,004455 -0,0044*5 -0,004934 -o,oo5462 -0,oo5858 -0,005871 -0,006107 -o,oo6523 -0,006711 -0,006738 -0,006738 -0,006749 -0,070601 2,690721 2,701331 2,701322 2,705826 28,306066
1,786201
1,786186 1,978320 2,189883 2,348779 2,353887 2,448260 2,6r535i
1,781746
1,781731
1,973386
2,184421
2,342921
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9339881
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9339881
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9339881
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5866166
5866166
5860106
5866i66
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3622671
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0,024359
0,026979
0,029863 0,032032 0,o32IOI
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8146977
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NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. 308
Si Ton retranche les valeurs precedentes de &,, 2r r22,, . . . des valeurs de &i9 @2, . . . fournies par le Tableau VI, on obtiendra pour restes les diverses valeurs de A©, que nous allons presenter.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
309
Les nombres compris dans la derniere colonne verticale du Tableau XI servent a prouver la justesse de nos calculs; car cos nombres, qui represented les diverses valours de
verifient avec une exactitude suffisante los equations
que Ton deduit immediatement des formules (i i/\) et (i i3). Les valeurs de A©,-, que fournit le Tableau XI, etant, abstraction faite des signes, bien superieures aux variations de 0, renfermees dans les quatrieme et septieme lignes horizontales du Tableau VII, il on resulte qu'on ne peut, sans erreur sensible, reduire los seconds membres des formules (i) et (9) a leurs premiers termes et la formule (42) a la formule (56). Au reste, nous avions deja pressenti 00 resultat, en nous fondant sur cette soule consideration quo, s'il en etait autrement, la dispersion se trouverait aneantie. En partant du Tableau XI, on determinera sans poino, a l'aidc dos formules (120), (121) et (113), les diverses valours de (3,, (32, . .., j37, &;, Sr;, . . . , %; A7®,, A®2, . . . , A©7. AlorsS'A©, designera la sommo des valeurs numeriques de A@, relatives aux divers rayons, mais soulement a Tune dos substances, a l'eau par oxomple, de sorte qu'on aura (129)
S/A0i = A0 1 + A 0 2 4 - A 0 3 - H A 0 , - A0 5 -A0 6 -A0 7 ,
ot IfS'M&i representera la somme dos valeurs numeriques de S'A0,-, e'est-a-dire evidomment la somme dos valours de A©,- prises avec le signe — lorsqu'elles se rapportent a Tune des espoces de flinti
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NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMAT1QUES.
311
Comme on devait s'y attendre, les nombres obtenus dans le Tableau XII verifient rigoureusement les deux conditions S2 A0, = 2S A0,,
S'2' A0, = 2'S' A0,,
et, avec une exactitude suffisante, celles que comprennent les formules S A0; = 0,
1 A0,- = o,
S' 1A0,. = IS' A0,- = o,
ce qui prouve la justesse de nos calculs.
S (3, = o,
S' P/ = i,
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. 313
312 TABLEAU
XIII.
Valeurs de &/ el de A20,- exprimees en millioniemes.
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SOLUTION de potasse. T serie.
HUILE terebentliine.
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CROWNGLASS.
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0487661 0508282 9862877 685 9 7 3 9 9668448 9519092 739(661 9129099 0988777 1222063 7217738 1286166
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3U
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQUES.
Dans le Tableau XIII, les valeurs de &;, A0,, A20, sont exprimees en millioniemes. Ainsi, par exemple, de ce que dans la premiere colonne verticale les valeurs de &;, A 0 1 ?
se trouvent representees par les quantites 12451,
12272,
—179,
on doit en conclure que Ton a pour Peau (i r e serie) 3^ — 0,012451,
A0j=- 0,012272,
A 2 0 1 = — 0,000179
ou, ce qui revient au meme, ' 1000 oooSrj = 12 45i,
1 000000 A 0 ! = 12 272,
1000 000 A 2 0 t — — 179.
D'ailleurs comme, dans le Tableau, plusieurs des valeurs de A2©/, particulierement celles qui sont relatives a l'huile de terebenthine ainsi qu'a la premiere et a la quatrieme espece de flintglass, sont, abstraction faite des signes, notablernent superieures aux variations de 0/ renfermees dans les quatrieme et septieme lignes horizontales du Tableau VII, on doit en conclure qu'on ne peut, sans erreur sensible, reduire le second membre de la formule (1) ou (9) a ses deux premiers termes, et la formule ( 4 2 ) a la formule (72). Concevons maintenant que Ton designe par
la somme des valeurs de A2@; relatives aux divers rayons, mais seulement a Tune des substances, par exemple a la solution de potasse, que nous choisirons ici de preference, attendu que cette substance est celle pour laquelle la plus petite des valeurs numeriques de A2©, est la plus grande possible, et que generalement on doit moins craindre de voir un changement de signe produit par les erreurs d'observation dans la valeur de A©,, lorsque cette valeur s'eloigne davantage de zero.
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NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
316
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317
XV.
Valeurs de 5" et de A30, exprimees en milUoniemes
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V espfece. 2' scrie.
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42
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76
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34
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•
68
—21 —1
— 16 56
20
—31
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—65
116
—34
17'
—48 /7 —29
— '9 - 6 ; —
—65 — 63
48
J85 —0,000002 0,000001 91 —9* 0,00000001
L(v 4 )
7320484 574o313 7874605 974o5og 2764618 1702617 1-109091 6937269 63i4438 243o38o 7611761 1227165 •2738973 2738973 2738973 2738973 2738973 2738973 •2738973 2738973 2738973 273897J 2738973 2738973
L(±»l;
0239457 8479286 oO13578 •2479182 35o359i till 5go 7148064 9676242 9033411 5169353 0380734 4966138
A301
106
7°
1 [5
— 177
—36
—28
61
58
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—60
-48
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—117
—12
—35
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— 52
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-67
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0,000000
2764618 1702617 4409091 6937269 631 {438 •2i3o38o 7641761 2227165
7874605
2O92177 2692177 2692177 •2692177 •2692177 2O92177 2O92177 2G92177 2692177 -2G92177 2692177 2692177
L(^)
0212(561 8-132 [90 0366782 2 {3-2686 5456793 1'91794 7101268 9629446 9006515 3122557 0333908 491934 >.
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9 |3">7<> 1943379 '943579 '9(3579
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1
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10
-31
0,000001
3029763 30)976 3 3029765 30-2976 j 3029765 30-29763
0 3 3 0 2 4 9 8770078 090',370 277027. 5794383 {732.382 7438856 9967034
— >3
— 3
3
'.76461s 170-2617 1 109091 6937269 .)3i{{38 2.13o38o 7641761 2227163
7874605 00-29763 3029765 3029765
— 12 3
—15
35
— 'i-1
A
10
—3
73-2048.',
\j(— •f1)
L(q=2f?)
—51
9 164063 7683892 9818184 1684088 ',708197 3040196 6332670 8880848 8238017 4">73939 958334O 1170741 9 15
L(-f-S"A 2 0,-). .
—108
276.(618 1702O17 4409091 6937269 631 ({38 • 2 { 3 o 3 8 o 7611761 2227165
•913579 "913579 '913379 '913579 19I3579 '913579 '913 579 19I3579 L(+2r;,
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—33
— 123
189
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16
99 •21
113
)3 i {203 5 JG01 {•> 06715-26 52-,6930 86
35
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117 51
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— 336
O , O( >(>(>(> I
—3{3
O , (HHHIO 1
—7
( 1 , ( 1 1 1 ( 1 ( 1 III
318
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES.
On aura (i3o)
S'/A20t-=-A201-A202H-A203-+-A204-f-A205-f-A206-'A207,
ot, en d^si^nant par
S"S"A20,
la somme des valeurs numeriques de S^A2©, relatives aux diverses substances, on determinera sans peine, a Faide des formules ( n 4 ) et (i 13), les valeurs de y,, y2, . . . , y7,
SrJ, &;, . . . , ^ , A*0t, A302, . . . , A*07,
telles que les presentent les deux Tableaux XIV et XV. Comme on devait s'y attendre, les nombres compris dans le Tableau XIV verifient rigoureusement les deux conditions S"2"A20;:=:i;"S'/A20/,
S'ltf&^lW&i,
et, avec une exactitude suffisante, celles que comprennent les formules
**e qui prouve la justesse de nos calculs. Dans le Tableau XV, les valeurs de
sont exprimees en millioniemes. Ainsi, par exemple, de ce que, dans la derniere colonne verticale, les valeurs de y;
et &j
son! representees par les quantites —121, 6 3 ,
on doit en conclure que Ton a pour l'eau ( i r e seric) $1 — — o, ooo r 21,
^ 3 = 0 , oooo63
ou, ce qui revient au meme, 1000 000^':=— 121,
1000 000^3=63.
Parmi les valeurs de A2©,, que fournit le Tableau XV, une seule,
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
319
0,000171, relative au troisieme rayon et a la premiere espece de flintglass, surpasse le nombre 0,000159 qui represente la plus grande des valeurs numeriques de 0; comprises dans la septieme ligne horizontale du Tableau VII, et ne la surpasse pas assez notablement pour qu'on ne puisse a la rigueur l'attribuer elle-meme aux erreurs d'observation. Nous pourrions done nous regarder comme suffisamment autorise a ne pas pousser plus loin les calculs, et admettre qu'on peut, sans erreur sensible, reduire le second membre de la formule (1) ou (9) a ses trois premiers termes, et la formule (J\i) a la formule (g4)Cependant un examen attentif des valeurs de A0,, donnees par le Tableau XV, nous conduit a supposcr que dans chacune de ces valeurs il existe une partie independante des erreurs d'observation, ordinairementplus grande que ces erreurs, et qu'il est bon de ne pas negliger. Effectivement, si cette supposition est conforme a la verite, la plupart des differences A30t,
A302,
...,
A307
devront conserver les memes signes que leurs valeurs approchees, representees par ct, comme ces dernieres quantites, en vertu des formules (114), <*onserventtoutes les memes signes, ou toutes a la fois changent de signes, lorsqu'on passe d'une substance a une autre, les differences
devront, sauf quelques exceptions peu nombreuses, remplir la mrme condition. Or, a Tinspection du Tableau XV, on reconnait sans peine : J° que cette condition est rigoureusement remplie lorsqu'on passe, dc la 4e espece de flintglass a la 3 e espece (i r e serie) ou a Thuile de terebenthine; 20 que, si pour chacune de ces trois substances on nomme SwA30,- la somme des valeurs numeriques de A3©,- relatives aux divers rayons, et prises en signes contraires, e'est-a-dire, en d'autres termes, si Ton pose +• A302-+- A 3 0 3 - A30- — A 3 0 5 + A 3 0 6
TABLKAU XVI.
Yaleurs de SWA3©,-, 2'"A3©,- et 2*S'A»e,.
A 3 0,.
A302.
d'6 3 .
A 3 0,.
A 3 0..
"
A20G.
A»e,.
/\ DOOO'lh) 0,000069 O OOOO3 \ -O,oooo45 0,000006 0,000006 -0,000010 I ile serie. • . . . . Eau. < . , . —o 000020, 0,000006 0 oooo34 -0,000012 -O,ooooi4 -0,000009 0,000022 ( 2 seno Solution de DOtasse . . . r> noon T O o,ooooi5 O OO()O9(> -o,oooo3o —o,oooo33 0,000037 —o,ooooo5 Huile de terebenthine 0,000082 -o,oooo44 -0,000153 0,000117 0,000046 -0,000008 -o,oooo36 i re espece O,OOOOl4 -0,000023 0,000020 -0,000012 -0,000046 o,oooo38 0,000008 Crownglass. 2e espece -O,OOOO23 ~o,0000[5 0,000072 -o,oooo35 o,oooo35 -0,000073 0,000037 3e espece O,OOOO24 -0,000008 -0, oooo34 0,000018 0,000006 0,000009 -0,000016 i re espece -0,000154 o,oooo4o 0,000171 -0,oooo56 -0,000106 -0,000008 0,0001r5 ie espece -0,000057 0,000061 -0,00002-9 0,000025 -0,000042 0,000047 -0,000004 Flintglass.. 3 e esp., i re serie. o,oooo5i -0,000015 -0,000048 0,000010 o,oooo5i -0,000014 -o,oooo38 3e esp., 2 e serie. 0,000062 0, ooooo5 0,000002 —0,000067 0,000057 0,000010 -0,000066 4e espece 0,000097 -0,000090 -0,000094 0,000087 0,00004i -o,oooo34 -0,000007 ve
& (Eau, potasse, i et i espece de crownglass et de flint- -O,OOO3T7 o,oooi53 o,ooo328 -0,oooi65 glass CD Les autres substances.... o,ooo3 16 -0,000r52 -0,000327 0,000165 -0,000001
//;
0,000001
0,000001
0,000000
-0,ooo633 -o,ooo3o5 —o,ooo655 o,ooo33o
2'" A* 6/ 3
-0,000200
S A 3 0-.
S'" A 3 0-.
-0,0000Q7
0,000002
0,000196
2922561
o,oooo53
-o,oooo55
-0,000002
0,000108
o334a38 1643529 6866363 9395193 6434527 9867717 8020893 I73i863 356O259 0043214 6532125
0,000073
—0,000073
0,000000
0,000146
-0,000241
0,000245
0,000004
-0,000486
o,oooo43
-0,000044
-0,000001
0,000087
0,000021
-0,000023
-0,000002
-0,000049
0,000048
-0,000001
0,000044 -0,000097
o,ooo3i8
-o,ooo3i6
0,000002
0,000634
0,000075
0,000001
-0,000Tl5
-0,000074 0,000112
0,000149 -0,000227
-0,000049
O, OOOO52
-0,0c0225
0,000225
-o,ooooo3 0,ooooo3
-0,000101 -0,000450
0
-0,oooi63
0,000001
0,000000
2 8 ^ 3 6;
o,ooooo3
0,000401 -0,000075 -0,000326
2"'S'"A3 0;
0,002725
8oizlo3" 4353665
4842QQ8
8I6>4I3
5i85i39
4353665
4353665
6o3i444 4353665
8750613 4353665
5132176
4353665
L(+8/).....
3660372
0489333
3808748
o83i47i
1677779
4396948
077851i
-0,23229
0,11193
0,24037
-0,12110
0,001364
0,000201 -0,000037 0,000001
-o,i47«
6
0,02752
-o,ooi36i
/// W
L(S S A30 / )
4353665
0,11963
L(±S w A s e £ ).
O,OOOOQQ
o,oooo38 0,oooi63
L t e S A 0/) L(Z'"S'"A30;)
8/
A30t
G
o
EA30,-
A 3 0 2 + A'^3
+ A 3 0 6 + A307. +A 3 0 s -hA 3 0 s .
S8;
o,49945
-o,5oo55
-OjOOlIO
4353665
SW8,1,00000
NOUVEACJX EXERCICES DE MATH^MATIQUES.
321
la condition ci-dessus enoncee sera generalement satisfaite dans le passage d'une substance a une autre, sauf de legeres exceptions relatives a un tres petit nombre de rayons et a des valeurs de A3©, ordinairement tres rapprochees de zero. Si d'ailleurs on designe par
la somme des valeurs numeriques de A3@, relatives aux diverses substances, on determinera aisement, a l'aide des formules (120), (121) et (113), les valeurs de 3i, *„
..-, 37;
37, 3j, .-., 3?;
A*«t, A*02, ..., A*07,
telles que les presentent les Tableaux XVI et XVII. Comme on devait s'y attendre, les nombres compris dans le Tableau XVI verifient rigoureusement les deux conditions S'"2 A30; = 28^ A3©,-,
S'"!/" A30,- =
l"'S'"tf®h
et, avec une exactitude sufflsante, celles qu'expriment les formules S A30, = 0, 8 3 / = 0,
1 A30; = o, S'd/ = o,
S"2 A30,- = IS" A30,, S"di = o,
ce qui prouve la justesse de nos calculs.
QEuvresdeC. — S.U, t. X.
S>'8t = i9
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
322
323
TABLEAU X V I I .
Valeuis de &f el de A4®,- exprimees en miUioniemes.
EAU.
2 C serie.
1'" scrie.
FLINTGLASS
C R O W N C L A S f 5.
1IUILK
SOLUTION de potasse.
Icrobenthine.
1" espece. 2° espece. 3' espcoc. 1" espece. 2e espece.
3* espece, 3* espece. 4' espece. 2" serie. 1™ serie.
Z-Tf*"""
292256l 0334238 1643529 6866363 9395193 6434527 9867717 8020893 I 7 3 I 8 6 3 3560259 OO432I4 6532125 3660372 3660372 3660372 3660372 3660372 3660372 3660372 3660372 3660372 366o372 366o372 3660372
L(+^)
6582933 3994610 52O39OI 0626735 3o55565 0094899 3528089 1681265 5392235 7220631 37O3586 OI92497
A3©,
-46 —58
A40
— 12
37
'
-34
u3
—29
—10
82
-4
24
—31
—10
23
-147
14
—23
24
-154
34
—13
I
—20
7
-35
53
23
io5
0,000000
-57
5i
62
97
—0,000001
39
—8
—0,000001
—22
—2
L(±S'"A3©,-)... . 2922561 0334238 1643529 6866363 9395193 6434527 9867717 8020893 1731863 356o259 0043214 6532125 0489333 0489333 0489333 0489333 o48g333 0489333 0489333 0489333 o48g333 o48g333 0489333 0489333
L(8 2 )
L(+3|?)
l:e @'2 *«
341i8g4 0823571 2132862 7355696 9884526 6923860 0357050 8510226 2221196 4049592 0532547 7021458 22
12
69
6
47
-6
i5
-54 -44
—23
5 —15
—1
10
—33
—20
16
10
—II
—8 3
4o —3i
17 61
—25
—5o
0,000002
—15
5
—90
0,000001
44
10
16
-4o
—0,000001
—11
2922561 o334238 1643529 6866363 9395193 6434527 9867717 8020893 1731863 356o25g 0043214 6532125 3808748 3808748 3808748 3808748 3808748 3808748 3808748 3808748 3808748 3808748 3808748 3808748
h(~^~^"' )
6731309 4142986 5452277 0675111 3203941 0243275 3676465 1829641 5540611 7369007 385ig62 0340873 47 34
26
— 117 —153
11
— 23
0,000001
72
—34
—29
— 55 —48
— 108
20
152 171
-24
34
25 16
21
A38,
2
-94
0,000001
A'0 3
—13
8
— 9
— 36
— 1
61
— 11
'9
— 05
7
26
14
0,000000
36
?(tTf0i)
2922561 O334238 1643529 6866363 9393193 6434527 9867717 8020893 I73i863 356O259 oo43214 6532125 0831474 0831474 0831474 0831474 0831474 0831474 o83i474 o83i474 o831474 0831474
L(+3I)
3754o35 1165712 2475oo3 7697837 0226667 7266001 0699191 8852367 2563337 4391733 0874688 7 3635 9 9 -24
•34
—13
-45 A40
—21
1
*
— 18
59
— 11
117
—12
—35
18
-77 -56
— 18 25
27
—3o
10
-67
54 —0,000002 87 0,000000
12
58
—1
—3o
6
21
43
— •7
—79
33
12
12
L(±S'"A30,-)
2922561 0334238 1643529 6866363 9395193 6434527 9867717 8020893 I73i863 356o25g 6532125 '677779 1677779 1677779 1677779 1677779 1677779 '677779 1677779 l677779 1677779 1677779 1677779
L(=F3*)
46oo34o 2012017 332i3o8 8544142 1072972 8ii23o6 1545496 9698672 3409642 5238o38 1720993 8209904
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— 22
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—3 9 12
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7319509 4731186 6040477 1263311 3792141 o83i475 4264660 2417841 6i>.88n 8957207 444°i62 0929073
4 47
-8 -14
—3 10
-34
0,000001
— 25
43
—6
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—22
0,000004
—12 —0,ooooo3
6434527 9867717 8020893 1731863 3560259 0043214 6532125
L(S7)
0778511 0778511 07785n 0778511 0778011 0778511 0778511 0778511 0778011 0778511 0778511 0778511
L(+3?)
3701072 I1I274<] 2422040 7644871 0173704 72i3o38 0646228
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—66
-54 —7
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—38 —
—51
•17
o, 000001
0,000000
324
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Dans le Tableau XVII, les valeurs de
sont exprimees en millioniemes. Ainsi, par exemple, de ce que, dans la onzieme colonne verticale, la valeur de A404 se trouve representee par — 79; on doit conclure que Ton a pour la troisieme espece de flintglass (2 e serie) A 4 0 4 = — 0,000079.
D'apres le Tableau XVII, la plus grande des valeurs numeriques de A ©,-, representee par le nombre 4
0,000079,
n'atteint meme pas la moitie du nombre 0,000159,
qui represente la plus grande des valeurs numeriques des variations de 0/ comprises dans la 7e ligne horizontale du Tableau VII. Done les diverses valeurs de sont comparables aux erreurs d'observation, d'oii il resulte que, dans Tapplication de nos formules aux experiences de Frauenhofer, on prut, sans erreur sensible, reduire le second membre de l'equation (1) ou (9) a ses quatre premiers termes, et la formule ( 4 2 ) a la formule(io6). Ily a plus, d'apres ce qui aete dit ci-dessus (page 294) : lr-s valeurs de A3©, immediatement deduites de l'expcrience meriteront une confiance moindre que les valeurs do A3©,- tirees des equations (109) et representees par
ou, en d'autres termes, celles quo Ton tire des formules ( r n ) en y remplacant generalemcnt A4©/par zero. Done aussi les valeurs de 0, deduites de I'experience et fournics dans le Tableau VI meriteront moins de confiance que les valeurs corrigees de 0, qu'on tirerait des
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
325
equations (i i3) en y remplacjant generalement A40, par zero. D'ailleurs, comme, en vertu des formules (i i3), on aura ('32)
»*=&*•
les valeurs corrigees de &i9 ou celles qu'on obtiendra en remplagant, dans le second membre de l'equation (i32), A 4 0,par zero, seront evidemment les diverses valeurs du polynome (i33)
3r, + 3; + 9r?+ 9?= »/ - A*0,,
Cela pose, on tirera sans peine des Tableaux XI, XIII, XV et XVII le Tableau suivant, qui offre, non seulement les valeurs de 0/ immediatement deduites de 1'experience, mais aussi les valeurs corrigees de 0/ ou, en d'autres termes, les valeurs de
et montre comment ces dernieres valeurs se trouvent formees par l'addition des quantites
326
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
327
TABLEAU XVIII.
Valeurs de 0 , et de 0, — A4©,.
EAU.
1" serie.
s,
HUILE de tcrebentliine.
SOLUTION de potasse.
2" serie.
CROWNGLASS.
FLINTGLASS.
2* cspece.
3* espece, 1" serie.
SOMMES. 1" especc.
3" ospece.
I , 7 5 9 I l 5 1,759100 i,94832i 2,156676 2,3l3l62 2,3l8l93 9962 io3ro 1245 I 5400 125lO 10782
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1" espece.
2' espece.
y espece, 2° serie.
k° espece.
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2,4ni35 6104
1,958937 2, i6-23gi 2,323493 2,328177 2,417321 2,566545 2,636oo3 2,645714 2,645777 2,649576 27,876837 —22 •—2 — I —8 -i3 — 3i 24 34 39 —4
1,771387 i,77i5oo 1,958961 2,162360 2,323527 2,328164 2,417322 2,566538 2,635981 2,645712 2,6458i6 2,649568 27,876836
1,762247 1,762232 1,951789 2 , I 6 O 5 I 5 2,317280 2,322320 2,415427 2,580277 2,654637 2,665104 2,665og5 2,669538 27,926461 8 9 52 5485 —8i83 —12557 —i325o —13237 — 13447 9265 4852 1 11242 11188 9689
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2,328436 2,333499 2,427055 2,592699 2,667416 2,677934 2,677926 2,682389 28,060899 —556o —853i 0726 6295 —9002 6082 -9i36 I -8993 —55 — 16 -48 —3i —21 —65 i85 2 —19 11 I 52 —23 36 21 — -21 —55 —108 I
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328
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Dans le Tableau XVIII, ainsi qu'on devait s'y attendre, les valeurs numeriques des quatre quantites
torment generalement une suite decroissante. Les seules substances pour lesquelles cette condition ne soit pas toujours remplie sont 1'huile de terebenthine, la premiere espece de flintglass et la troisieme espece de flintglass (i r e serie). Encore, pour les substances dont il s'agit, les exceptions sont-elles seulemont relatives a la valeur numerique de SJ qui devient superieure, pour certains rayons, a la valeur numerique 2^. Dos calculs ci-dessus developpes nous avons deduit cette conclusion importante que les differences du quatriome ordre, representeos par AA&t et determinees par le moyen des formules ( n 3 ) jointes aux formules (121), etaient, pour les diverses substances, des quantites comparables aux erreurs d'observation. Cette conclusion se trouve confirmee par la determination des valeurs qu'on obtient pour A4©, lorsque l'air est substitue au milieu refringent. Alors, en effet, chaquo rayon cessant d'etre refracte, on a generalement
ot par suite les valeurs de A4©,, deduites des formules ( n 3 ) , (121), sont celles que presente le Tableau suivant.
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330
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Comme on devait s'y attendre, les nombres compris dans le Tableau XIX verifient, avec line exactitude suffisante, les conditions exprimees par les formules
D'aillours, dans ce Tableau comme dans les precedents, les valeurs de S'A0;,
S"A0,-,
S"A0;
sont respectivemenl S' A0, =
A0, -4-A02 + A 0 3 + A 0 , — A0 5 — A0 6 — A0 7 ,
S " A 2 0 / = L — A 2 © , - A 2 0 2 +A 2 0 3 -hA' 2 0 4 -t- A20;j-f- A 2 0 G - A 2 0 7 ,
Dans le meme Tableau, la plus grande des valeurs numeriques de A''©,, representee par le nombre 0,000122, est inferieure au nombre 0,000139 qui represente la plus grande des valeurs numeriques des variations de 0, comprises dans la ^e ligne horizontale du Tableau VII, et par consequent elle reste comparable aux erreurs d'observation. II est bon d'observer que les valeurs de
^ournies par le Tableau XVIII, e'est-a-dire, en d'autres termes, les valeurs de 0/ calculees pour les substances auxquelles se rapportent les experiences de Frauenhofer, et corrigees d'apres les principes cidessus exposes, representent les diverses valeurs d'une meme fonction lineaire des seules quantites
que desormais nous designerons, pour abreger, par
u, u\ u\ uw.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIOUES. Effectivemcnt, si Ton pose [ U = S 0/=
© 1 + 0 2 + © 3 + © 4 + © 3 + 8 6 + ©7,
(i35) U" = S" 0 , - = - 0 , - ®,-k 03+ 0*+ 05+ 0 6 - 0 7 , I T = S"Gi=-
0 2 + 0 2 + 0 3 " © 4 - ©3+
on t i r e r a s u c c e s s i v e m e n t des formules ( u 3 ) c t ( i 2 i )
,-) i= S ' 0 — US'a,-— Ur—
puis
A2©,- ~ 1 0 , - ^ = 1 0 , -
a—
(U'-
puis encore
A 3 0 t -=: A 2 0 / — J j
S ^ A 3 © / ^ S W 0, - U S " a , - ( U ' — US'a7-)S/J7(3,-
- [U* - US^a,-- ( U ' - US'a,-) S^ f -] S//;y, ;
t enfin
Or, en substituant les valeurs precedentes de
331
332
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
dans le premier membre de l'equation (133), on tirera de celte equation (i36)
4- | W-
US"*,-- ( U ' - U S ' a O S ^
_ [U f f - US'a,—- (iy-
US'*,-) S"(3,]
Telle est la formule qui sort a determiner la valeur corrigee de &i9 ou, ce qui revient aumeme, la valeur de@/ — A'©,, en fonction lineairo dr
u, u;, u% rr. D'ailleurs on reconnaitra sans peine que, si le second membre de la formule (i36) est substitue a la place dc ©<•— A*0£- dans les quatre quantites
ces quatre quantites, reduites a leur expression la plus simple a 1'aide des equations (122), deviendront, comme on devait s'y attendre, U = S0f-?
U r = Sr0,,
U"= S"0,-,
Wf=^"f0i.
Dans la formule (136), les valeurs de U \ W, Urrr
U,
varient landis que Ton passe d'une substance a une autre; mais les valeurs de aussi bien que celles de a/f ^-, yz, S/, sont independantes de la substance que Ton considere et determinees par les equations 4
—a-6—aG—a7,
a 2 4 - a 3 H- a v -1- a ;i -1- a c — a 7 ,
(i37) ,63 y-2
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIOUES.
333
D'autre part, les valeurs de *i>
Pi,
y,-, Oi
lirees des Tableaux IX, XII, XIV et XVI sont les suivantes. TABLEAU
Valeurs
XX.
de ai9 (3,, y,-, <5,-.
SOMME
1.
'••
3.
\.
5.
des valours
7.
6.
11 time ri-
ques. &i . • • 0,140691
0,183469 Yi • • • -0,21484 —0,23229
0
,-4 09-i-
0 ,16
I869
- 0 ,08 380
0,142001
0 , 11201\
0,039643
0
,i448o3
- 0 ,029104 - 0
,169-9
- 0 ,3oi34i 0
0
,143291
0 , 1461 "> 1 • ,000000
,999999
- o , IMO6
0,18789
0
,.8o87
0
,oi564
- 0 ,20090
1 ,000000
24037
-0,12110
-0
,..f7.G
0 ,027) 2
0 ,11963
1 ,000000
193
-0
141620
0,
0,
Cela pose, on trouvera Sf oci =
(i38)
o,565753 — 0 , 4 3 4 2 4 7 =
o,i3i5o6,
S"a/ =
0,072217 — 0,427783 =
o, i44434>
Sw
o , 5 - 3 5 i 7 — o,426483 =
o, 147034,
r
S '|3/ = — 0,547001 + 0,452998 = — 0,094003, S//r (3, ~ — o, 6 9 4 0 1 2 + 0 , 3 0 5 9 8 7 = — o, 388oa5, Swy,- = — o,65846 - h o ? 3 4 i 5 4 == — 0,31692.
Aux valeurs corrigees de ©/, fournies par le Tableau XIX, 011, ce qui revient au meme, par la formule (i36) et representees par
correspondront des valeurs corrigees de 0£-, que nous repres<Miterons par
33V
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQUES.
et qui seront determinees, non plus par la formule (4°)» ma is par Tequation (i3 9 )
©/-A*©,^^—A*0,) 8 ,
de laquelle on tire
par consequent
Lorsque, a Taide de la formule (i4°)> on veut calculer la valeur de A40,avec six decimales, on peut sans inconvenient reduire cette formule a Oil
En effet, comme, des valours numeriques de A4©, fournies par le Tableau XVII, la plus grande, savoir 0,000079, reste inferieure au noml>re 0,0001 et donne en consequence pour valeur de
a plus forte raison pour valeurs d ?
8
(0/ etant plus grand qu<1 Tunite), des nombres inferieurs a 0,00000001,
Terreur produite dans le second membre de la formule ( i 4 ' ) par Tomission du terme
ne s'elevera pas a un cent-millionieme. 11 y a plus : on peul en dire autant de Terreur produite par I'omission du terme dont il s'agit et dr
NODVEAUX EXERC1CES DE M ATHEMATKJ UES.
335
tous ceux qui le suivcnt, car on tire de l'equalion ( i 4 ° ) A1©,
. , = «,-*'«,- AM.,= »,(• - y / , - * • < ) = ou, ce qui revienl au meme,
V^D'
2 9/
Or, pour tirer laformule (»4 2 ) de la formule (i 43), il suffira d'omi'ttre dans cette derniere le terme
0? evidemment inferieur au produit 2 -
— I
et, a plus forte raison, au produit O,OOOT
i -h y/i — o,oooi 0,0001/
2
\
o,oooi o,oooo5
-z- — I ) z i :
-^—j^——^- =
r,oooooooo5 -y—
Si maintenant on substitue dans la formule ( 1 4 - ) l(k^ valeurs de Oz et de A'1©^ quo fournissent les Tableaux III et XVII, alors, en elFectuant le calcul par logarithmes, on obtieadra les valeurs de
et de A'^e,que renferme le Tableau suivant.
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NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. 336
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
337
Inexactitude des valeurs de A4@, comprises dans le Tableau XXI sr trouve confirmee par les observations suivantes. Les formules (IT7) donnent
S' A 4 0 / =
A' f 0j + A 4 0 2 -+- A 4 0 3 + A' f 0 4 — A 4 0 5 — A 4 0 G — A 4 0 7 = o,
S'^A40;—-.— A 4 0 , -h A 4 0o -h A40.» — A 4 0r •— A 4 0-H- A40fi H- A 4 0 7 = O.
D'autre part, si Ton nomme q la moyenne arithmetique entre les valeurs extremes de —^ c'ost-a-dire entre ^- et ~» de sorte qu'on ait
la difference entre ^ et ? ne surpassora jamais i
i /
i
i )>
par suite, la difference entre A 4 0 , = -^-A4©,- et le produit ^A4@, ne surpassera jamais la quantite
Or la difference entre les valeurs de 7- et -^y calculees a Taide du Tableau III, dans lequel on trouve leurs logarithmes, sera Pour Pour Pour Pour
l'eau la solution de potasse l'huile de terebenthine le crownglass, i' e espece » 2e e s p e c e . . . . » y espece.... re Pour le flintglass, i espece » 2e espece a 5e espece » 4° espece
OEuvres
d e C—
S . II, t . X .
o,75i3 — 0,7440 = 0,7145 — 0,7060 = 0,6800 — 0,6694 = o,656o — 0,6474 = o,6554 — 0,6466 = 0,6432 — 0,6331 = 0,6242 — 0,6096 = 0,6159 — 0,6002 = 0,6148 — 0,5989 = 0,6143—0,5984 =
0,0073 0,008 > 0,0106 0,0086 0,0088 0,0101 0,0146 0,0157 0,0159 0,0159. ^
338
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Done le quart de cette difference sera, pour toutes les substances employees par Frauenhofer, inferieure a 0,0160
4
=
°'
a plus forte raison a 0,01; efc, comme, dans le Tableau XVII, la plus grandc des valeurs numeriques de A4©,- est representee par le nombre 0,000079, il est clair que le produit (146), e'est-a-dire la difference entre A4©/ et le produit restera inferieure a un millionieme. Done les valeurs de A4 0/ et celles du produit ±sAA®i9 exprimees en millioniemes, seront representees par les memes nombres, de sorte que, en s'arretant a la 6e decimals on aura
Cola pose, des formules (i44) multiplies par ^ on tirera S A40,- =
(•48)
A 4 ^ + A ^ . 2 + A ^ 3 + A4&4+ A 4 0 5 + A 4 0 6 + A ^ 7 r z o,
S' A40; = A4 03— A*0k— A4 05
=
o.
Or, si Ton combine suecessivement la premiere des equations (148) avec la seconde, puis avec la troisieme, on en conclura
puis A 4 0 3 +A 4 0 4 +A 4 0 5 -
(it, par consequent, ([49)
A 4 0 t 4- A 4 0 2 z z r - ( A * 0 , + A 4 0,) =• A 4 0 5 + A 4 0 6 = -
A407.
Done les quatre quantites (i5o)
A4^+A402,
A4 03 + A4 6k,
A4054-A406,
A407
doivent etre egales, au signe pres, et alternativement affectees de signes contraires. Pareillenient, de la premiere des equations (148) combinee avec les deux dernieres, on conclura que les quatre quantites
doivent etre egales, au.signe pres, et alternativement affectees de signes contraires. Ces conditions se trouvent effectivement remplies avec une exactitude suffisante pour les valeurs de A4®, que fournit le Tableau XXI, comme le prouve celui que nous allons tracer. TABLEAU
Valeurs
EAU. ie
l scrie.
A40 A 4 09 A403 A 4 0~ A4 0 6
.
4
18 — 5 — 8
2° serie. — 2 2
3
4
A0 A4 0,-i- A40 A'"0 3 -h A«0 6
4
HUILE de terebenthine.
1'° espece.
9 o 3
— II 3 —12
II — II 0
— 4 — 4
2O
0
— 9
— 11 12
potasse.
i3
0 I
o
4
12
2
12
3
— 8
7
4
9
— 8 8
—13 i3
— 4 6 — 5 5
XXII.
W
4
de A 0/, A ^ -4- A 0 2> . . . exprimees
SOLUTION
en millioniemes.
5
FLINTGLASS
CROWNGLASS. e
2 espece.
-
8 — 8
7
0 O 1 — I
— 2 I I I
9 — 8 9 — 8
— 11 10 — IO 11
ir — 12 12 —II
2O — 10 i3
-24 J\ 10 IO
-
e
3 espece.
4 3 4 3
re
l espece.
.esp.ce.
3ereespece. l serie.
CD
3e espece, 2e serie.
O I
— 2 — 10
I
12
i4
3
— 4 2
6 7
2O i3
— 5
5 8 —24
— 3 4
— 4 — 8
— 6
5
i3
f3
— 2
i
12
— 7
-
i
— 12
2 — 3 3 o
4
— 7
10
3 — 3 3
A 4 0 ; > + A4 0 4 A* 0 5 -4- A*0 C
4
o < >
—
—
i — i
— 12 12
7 — 7 7 — 7
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7 — 7 7
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4 espece. — 2 — 12
14 10
— 8
—16
-i4 —16
'7 -16 12 —12 12 —1 1
14 —
2 2
— 3 2
340
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Les resultats fournis par le Tableau XXI peuvent encore etre invoques a 1'appui des conclusions precedemment enoncees, suivant lesquelles les valeurs de A4®,-, et par suite celles de A4Q,-, doivent etre comparables aux erreurs d'observation. Effectivement, lorsqu'on passe de Tune a l'autre des deux series d'experiences faites sur l'eau et la troisieme espece de flintglass, les valeurs de 0,- presentent les variations ci-dessous : TABLEAU
XXIII.
Variations de Q[ dans le passage d'une serie d' experiences a une autre. i= 1. fl
°"
0,.
F L a u
i= 2.
i= 3.
i = 4.
i= 5.
1 = 6.
1 = 7.
i,330965 1,331712 1,333577 T, 33585i 1,337818 i,34i2 9 3 i , 3 4 4 i 7 7 ( i re serie i,330977 1,331709 i,333577 i,335849 r,337 7 88 1,341261 1,344162 ' ( 2fc serie Variation de 0Z*... 0,000042 —o,ooooo3 0,000000 -0,000002 -o,oooo3o -O,OOOO32 -0,000015
1 ,62845T i,635666 1,64o544 1.646780 1,658849 1,669680 Flintglass. | 3 e c s P f e c e > ' r s 8 | ™ : 1,626564 1,626596 1,628469 i,633667 1,640495 1^646756 T,658848 1,669686 Variation de 0 / . . .0 ,oooo32 0,000018 0,000001 -0,000049 -0,000024 -0,000001 0,000000
Ainsi les valeurs de 0,- fournies par les experiences de Frauenhofcr admettent des erreurs comparables aux nombres 0,000042,
0,0000/49,
renfermes dans les 4e et ^e ligncs horizontales du Tableau XXIIL Or ces nombres surpassent evidemment les nombres 0,000020
et
0,000024,
qui, dans les Tableaux XXI et XXII, representent les plus grandes valeurs numeriques de A4GZ. Comme on Ta deja remarque, les valeurs de &£ deduites de l'observation meritent moins de confiance que les valeurs corrigees de 0,-, representees par 0,-—A*©,-. Pareillement les valeurs de 0,- fournies par Tobservation doivent meriter moins de confiance que les valeurs corrigees de 0£-, representees par 0, — A40, et inscrites dans le Tableau suivant.
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CROW!
341 NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQUES.
342
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Les valeurs de A4G, et de 6, — A'19; que renferme Ie Tableau XXIV peuvent etre directement deduites de Tequation ( r 4 2 ) ou (*47) jointe a la formule (i36). D'ailleurs, si Ton substitue aux valeurs de »1,
£>2,
©3,
04,
05,
06,
07,
que fournissent Tune des series d'experiences faites sur 1'eau ou la troisieme espece de flintglass, les moyennes arithmetiques entre les valeurs deduites de la premiere et de la seconde serie, les formules (i 35), (136) et meme la formule (147) fourniront pour chacune des quantites U,
U\
U",
IT,
A*©,-
et
A* 6/,
non Tune des deux valeurs correspondantes aux deux series dfexperiences, mais une troisieme valeur qui sera la moyenne aritlimetique entre les deux premieres. II y a plus : le calcul n'etant point pousse au dela des millioniemes, l'equation (4o)> presentee sous la forme (i 52)
ei==s/^
donnera, dans la meme hypothese, pour chacune des quantites 9i,
Ou
K
Qk, K
06,
K
une valeur egale a la moyenne aritlimetique entre les valeurs fournies par les deux series d'experiences faites sur Teau ou la troisieme espece de flintglass. C'est du moins ce que Ton prouvera sans peine, en ayant egard a 1'extreme petitesse des variations que subit @; dans le passage de la premiere serie d'experiences a la seconde. Dece qu'on vient de dire il resulte que, pour chacune des quantites 9h
A4(9,-
et
Bi — frQn
les deux valeurs relatives a l'eau ou a la troisiemo espece de flintglass, et inscrites dans deux colonnes verticales du Tableau XXIV, peuvent etre remplacees par une troisieme valeur, qui sera la moyenne aritlimetique entre les deux premieres, ct meritera evidemment plus de confiance. En operantde cettemaniere, on reduira le Tableau XXIV \\ celui que nous allons tracer.
TABLEAU
Valeurs
SOLUTION de potasse.
EAU.
6,
" r
••»;;••••
O7-A^07...
lr* espDce.
2e espece.
3e espece.
l r0 espece.
2 espece.
3° espece.
4e espoce.
I,524312
i,525832
1 ,554774
I,602042
I,62357O
1,626580 5
1,627749
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1,399620
1,47O5O7
I,5243oi
1,525836
1,554774
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1,529587
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1,527982
1,529567
1,559079
1,608488
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1,636662
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1,53i372
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1,481745
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1,493874 7
1,544684
i,546566
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1,640373
—1
10
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1,666072 7
1,669683 —9
1,671062
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1,344174
1,416376
1,493867
1,544685
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.,64036,
1,666079
1,669692
1,671048
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tcrebenlhine.
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I747O496
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FLINTGLASS.
GROWNGLASS.
HUILE de
1,399629 9
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I,330956 3
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de
XXV.
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10
i4
3U
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. § VII. — Suite des applications numeriques.
La valeur corrigee de 0,-, qui dans le paragraphe VI se trouve representee par ot determinee en fonction de U, U', U", U'" par la formule (i36), no verifie qu'approximativement la condition de se red u ire a l'unite, quand on remplace Tun des milieux refringents par l'air (voir le Tableau XfX), ce qui revient a supposer TT
TT /
T 111/
T T //
Mais on pourrait modifier nos formules de maniere que cette meme condition se trouvat rigoureusement remplie. Pour y parvenir, il suffira de considererla quantite©, que determine, dans le paragraphe VI, Tequation (i23), comme representant la premiere valeur approchee de chacune des quantites
et de substituer en consequence aux equations (i i3), ( n 4 ) ^ es for~ JS suivantes 01=0-hA01, 2
,0! z=2r;-i-A 0 1?
02=0+A02,
...,
2
A02 = ^ ; + A 0 2 ,
...,
= 5'2'-}-A402,
...,
0 7 = 0 4-A0 7 , A07
=2r;-hA207,
A 3 0 7 =r^-+-A 4 0 7 ,
e1 + e, + e,+ e, + e, + e« + e7 & (2)
!A30, i— v'/'s^A 3 ©;
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v///A3|a "— y s ; / / A 3 0 t -
A
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMAT1QUES.
345
dans lesquelles on designe par S0,,
S'A©,,
S^A2©/,
S'^A3©,-,
...
les sommes des valeurs de ©,-, A©,, A20M A ©M
...
relatives aux divers rayons, mais prises tantot avec le signe -+-, tantot avcc le signe —, de nianiere que les valeurs numeriques de ces sommes se reduisent, du moins pour certaines substances, aux sommes des valeurs numeriques, et par 2'S'A©,-, 2"S" A2©,-, 2"SW A3©,-,
...
les sommes des valeurs numeriques de S'A©,-, S^A2©,-, S'^A3©,-,
...
relatives aux diverses substances. Effectivement, si Ton remplace le milieu refringent par l'air, ce qui revient a poser generalement 0,-=i,
on tirera des formules ( i ) et ( 2 ) : i"
0 —_ ]
et, p a r suite,
A©/z=z <>,
q u e l q u r soil i\
done aussi S'A©/= o; v
^-= o
et, p a r suite,
A 2 0 Z = <>,
q u e l q u e soil i,
A 3 ©/^!},
quel que soit I,
A10/ = o,
quel que soiw,
done aussi S / / A 2 0 l -= o; 3°
^1=0,
et, par suite,
done aussi S /// A 3 0 / -= o; 4"
^/'—°?
et, par suite,
etc. Done, en definitive, les formules (1) et ( 2 ) d o n n e r o n t , q u a n d on substituera l'air au milieu refringent, A©/=o,
A2©#-=o,
OEutres de C. — S. II, t. X .
&&> = <>,
A*©l- = o, 44
3M3
\OUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
et, par consequent, 0._A0,-—0,— A2©,— © , - A30, = 0,— A40, = . . = i.
D'aillours les formules (i) different des formules ( n 3 ) du paragraphe VI en un seul point, savoir, que les valeurs de A®, s'y trouvent determines, non plus par des equations de la forme ©,•—5,4-A©,-
ou
A©, = ©,•-&,-,
mais par des equations de la forme ©f-=© + A©/
ou
A0/=0/~0.
Du reste, les nouvelles valours de A©,, comme les premieres, s'evanouiraient si Ton pouvait reduire la formule (4^) du paragraphe VI a la formule (56) du meme paragraphe, puisqu'on aurait alors 0 1 = 0 2 = ©3 = 0 4 — 0, - ©,. — 0 7 — 0.
Done les nouvelles valeurs de A©,, comme les premieres, seront des quantites du meme ordre que b 2 . Elles satisferont aussi, comme elles, a 1'equation Kt A0X n- K2 A0 2 -H . . . + Kn A0 ; , - • o,
que Ton deduira i m m e d i a t e m e n t des e q u a t i o n s ( 4 0 et ( 4 ^ ) du paragraphe VI, jointes aux formules 0 ^ 0 + AB,,
0 2 = 0 + A0 2 ,
...,
e / l = : © + A©«;
et r'est a l'aide des memes regies que, dans les formules ( n 3 ), § VI, et ( J ) , § VII, on deduira successivement les valeurs de A2©,, A30#-, A*0/, . . . des valeurs deja calculees de A©,. Enfin les formules ( i ) et ( 2 ) , aussi bien que les formules ( I i 3 ) e t ( n 4 ) du paragraphe VI, entraineront les conditions (116), (i 17^), (118), (119) du paragraphs VI, a l'exception de la premiere des conditions (116) et de relies des conditions ( r i 8 ) , (119) qui renferment le signe 2 . Cela pose, en raisonnant toujours de la meme maniere, on prouvera que les formules (Y), comme les formules ( n 3 ) , § VI, fournissent: i° des valeurs de A0,, A20,, A30M A'0,, . . .
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
347
respectivement comparables aux coefficients b2,
b 3 , b , , b 5 , ...,
par consequent des valeurs de A'0, comparables aux erreurs d'observation, puisqu'on a vu qu'on peut sans erreur sensible supposer 1>5 = o; 2° des valeurs de ou valeurs corrigees de 0,, qui pourront etre substitutes aux valeurs de 0, directemenl tirees des experiences, et meriteront memo plus dc confiance que ces dernieres. Si Ton fait, pour abreger,
(3)
les formules ( 2 ) d o n n e r o n t I &'x = (3, S' A©,,
2r'2 = & S ' A©,,
. ..,
27;= ?7 S' A©,,
(4)
et Ton tirera des equations ( 3 ) jointes aux equations (117), § VI,
(5)
'*V = °>
Si maintenant on applique aux experiences de Frauenhofer les formules ( 0 , ( 3 ) et ( 4 ) , alors, en partant des valeurs de 0 donnoes par
3^8
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
le Tableau VIII du paragraphe VI, on reconnaitra que les sommes desi gnees par S'0,-,
S"©,-, S"0f-
peuvent rester eomposees comme l'indiquent les equations (49) du meme paragraphe; et, en posant en consequence S'0| =
©2 + ©, + 0, + 04 — ©5 - ©6 - ©7,
S"©,- = - ©! — ®, + ©, + ©, + 0 3 + ©(i — ©7? 8 ^ 0 / = — 0! + ©, + ©3 — ©4 — ©5 + ©6 + ©7,
on obtiendra successivement les valeurs de A0/f
fr,
&;., A20f-, 7,, 3r';, A:i0,, o/? &';, A^e,-
que fournissent Irs Tableaux suivants. Les nombres compris dans la derniere colonne verticale du Tableau I servent a prouver la justesse de nos calculs; car ces nombres, qui representent les diverses valeurs des trois sommes 1/0,
1'®,; 2'A0,,
dont chacune so compose uniquement de termes positifs, verifient les formulas - 2'A0 2 ,
...,
2'© 7 =: 2® •+- i'A© 7 ,
que Ton deduit immediatement des premieres des equations (1 *>3 ).
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349
NOUVEAUX EXERCICES I)E MATHEMATIQUES.
TABLEAU
II.
Valeurs de (3/.
A0,.
e ( llCs6ri ' I 2 e seri c Solution de p otasse Huile de tere Den thine... ire espece. Crown glass. 2 e espece. 3 e espece. Eau hm
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3
I
2e 3e 3e 4e
espece espece), i re e espece , 2 espece
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*A03.
A0a.
-O,OI2744 -0,012737 -0,016878 -O,O2448l -O,O2224l -0,022618 -0,027333 - O , O 4 8 8 T 3 -O,o43l76 -O,O48544 serie.. -o,o556i9 -0,049477 serie.. -o,o555o6 -O,o494lO —0,056257 -0,049964
ou 2' A0,
-o,oi4686 -0,019359 -0,027523 -0,025252 -0,025720 -o,o3o938
-0,007772 -0,007757 -0,OIO458 -0,015928 -0,014049
-0,001704 -0,001694 -0,002519 -o,oo4355 -0,003678 -0,003782 -0,017544 -0,004822 -0,028096 -o,oo8639 -0,009785 -0,032466 -0,009947 -0,010097 —0,03248 I -0,009581
o,oo3556 0,003491
0,012867 0,020612 -0,037034 0,012795 o,o2o586 -0,036874 0,017061 0,027779 -0,049214 o,oo566o o,O2485i 0,041778 -0,072287 o,oo54n 0,022538 0,037270 -O,O6522O 0,005570 0,022820 0,037980 -0,066373 0,006417 0,027752 0,046466 -0,080637 0,009184 0,044067 0,075474 -0,128724 0,010260 0,049649 0,085073 -0,144982 0,oio555 o,o5o45o o,o865oi -0,147509 0,010484 o,o5o454 o,o8653i -0,147466 0,010936 0,050722 0,086624 -0,148283
0,379603
6326901
5793262
3894496
S'A0..
0,00006*1 -0,000002 0,000001 0,000002 -0,000001 -o,ooooo3 -0,000002 0,000001 0,000002 -o,ooooo3 p, ooooo3 -0,000001
-0,074069 -0,073746 -0,098429 -0,144576 -0,13o439 -O,i32743 -0,161272
34
125
E'S'AB;
-0,257449 -0,289966 -0,295016 -0,294935 -0,296565 2,249204
8488232
933988.
5866098 68
8146937
352O28I
5866i66 3520289
8146977
3520289
3520289
2345877 5679
4626688 6675
198
i3
L(=4-2'A0/) L(:2'S'AO;)
6326901 3520289
5793296 352O289
3894621 3520289
8488232 3520289
9339881
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0,168772
0,109002
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L(-S'A0 ( )
S A0-.
0,245 I67 0,070603 -0,085899 -0,386026 -0,652676
0,429230
6/467
A0.,H-A02 + A0 3 +A0 4 .
A07.
A0 r i .
A0 r
3520289
8
o,o3i39O -0,038191 -0,171628 -0,290181
L(2' S'AO^)
Pi + P2 + o,5ooooo
&*,
-o,5ooooo
0
Comme on devait s'y attendre, les nombres compris dans ce Tableau verifient rigoureusement la condition et, avec une exactitude sutfisante, celles que comprend la formule SA0, = o.
II y a plus : ils verifient en toutc rigueur les deux premieres des conditions (107), savoir
1
8696365 86 77 385 9901231 1600963 1154076 I23OI16 2075590 4106912 4623471 4698441 4697264 4721200
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
351
TABLEAU
III.
2
Valeurs de &', et de A ®,- exprimees
EAU. 1
r* scrie.
2"scrie.
SOLUTION de polassc.
HUILE lerebenLhlne.
352
en
millioniemes.
CROWNQLASS.
FLINTGLASS
SOMMES. r° espece. V cspece. 3° cspece. t'° espece. 1" esp&ce.
3 e espece, 1" scrie.
3° espece, 4° espece. 'j." scrie.
L(—S'Ae,-) L(Pi)
86g6365 8677335 9951231 1600963 1154076 ia3ou6 2075590 4106912 4623471 4698441 4697264 472I2OO 2806612 2806612 2806612 2806612 2806612 2806612 2806612 2806612 2806612 2806612 2806612 2806612
L(—3r'J
1502977 '483 9 9 7 2737843 4407575 3960688 4036728 4882202 6913524 743oo83 75o5o53 7303876 7527812
*', Ae,
—14135 -14074 —18784 —27590 —24893 — 25332 —30777 -4gi3i —55336 - 563oo —56284 —565g5 —O,42923l -14814 — 14686 —19359 —27523 —25252 —25723 —3og38 -488i3 -5474O —55619 —555o6 -56 2 5 7 —O,42923o
A^e,
-612
-679
L(—S'A0;)
Mpi) L(-2r'2)
s;,
67
— 359
— 161
-39i
3i8
596
681
778
338
A2 0 2
86g6365 8677385 9931231 1600963 1 15.4076 I23ou6 2075590 4106912 4623471 4698441 4697264 4721200 2273007 2273007 2273007 2273007 2278007 2273007 2273007 2273007 2273007 2273007 2273007 2273007 0969372 0950392 2204238 3873970 3427083 35o3i23
4348597
6379919 6896478 6971448 6970271 6994207
—291
—243
S'Ae,-)
—266
—8l
— 227
— 2l5
—it5
274
3g4
3i3
367
88 —0,000002
MP,)
8696363 8677385 9931231 [600963 II54O76 I23ou6 2075590 4106912 4623471 4698441 4697264 4721200 0374332 0374332 0374332 0374332 0374332 0374332 0374332 0374332 2374332 037433-2 0374332 0874332
U-3',)
9070697 9021717 o3o5563 1975295 1528408 160J448 3449922 4481244 4997803 5072773 5o7i5g6 5og553a
—8074 -So3g — 10729 -15759 — l42l8 —14469 —17579 -28062 —31607 —3-2157 —32148 —323?.6 —7772 - 7 7 5 7 —io458 -I5 9 28 — l4049 — 14250 -17544 - 28096 - 3 I 9 I 3 —3a466 —32453 —3248i
*s A03
282
302
A'-0 3
EAU.
.—^—1" serie.
L(— S'Ae,)
L(PO L(—&i) Sr'4 A0t
2" soric.
271
SOLUTION de potassc.
— 169
HUILE lerebeQlliino.
169
219
35
-34
CKOWXGLASS.
—3o6
—3og
— 3o5
— 1 55
r° especc. •2" cspSce. 3° espece. 1" esp&ce. -' espece.
3C espece. 1
V espece.
36643o8 3645328 4999174 65689O6 6122019 6198059 7043533 9074855 959l4l4 9666384 9665207 9689143 —2325 — 2 3 1 5 —3090 —4538 —4095 — 4167 — 5 o 6 2 —8081 — 9102 —9261 -9258 — g 3 o g —O,O7o6o3 — 1704 — 1694 —2519 —4355 -3678 —3782 —4822 — 8639 — 9 7 8 5 —9947 —10097 - 9 5 8 1 —O,O7o6o3 621
571
i83
417
385
240
—558
—683
—686
—83g
—272
L(*») *.
451.5957 4496977 5750823 74ao55-3 6973668 7049708 7895182 9926504 o443o63 o5i8o33 o5i6856 0540792 11074 q832 11267 n3a6 5522 5070 6l5 9 2829 2816 11264 4982 3759 10260 iog36 566o io555 10484 5570 3556 9184 54l I 4375 6417 349i
LC—S'Ae,)
727
675
616
i38
429
5oo
258
—648
—814
—712
—780
86g6365 86 77 385 99 3123 I 1600963 1154076 I23on6 2075590 4106912 4623471 469844i 4697264 4721200 2345877 2345877 2345877 2345877 2345877 2345877 2345877 2345877 2345877 2345877 2345877 2345877
L(2r'6)
1042242 1023262 2287108 3946840 3499953 3575993 4421467 6452789 6969348 7o443i8 7043141 7067077
A0S A30 6
S'Ae,-)
L(-PT)
L(Sr' 7 ) 2r'7
0,000000
O,085900 O,o85899
— 3 g o —0,000001
L(-PG)
*;
O,000000
SOMMES. 3" espece. 2 e st-rie.
86g6365 8677385 9931231 1600963 1154076 i23on6 2075590 4106912 4623471 4.698441 4697264 4721200 5819592 0819592 5819592 58 i95g>. 58I959-2 5819392 0819592 5819592 5819.592 58ig5g2 5819592 58ig5g2
A 2 0j
O,245l67
FLINTGLASt
Lc—S'Ae,-) L(-P.) A0 3
O,245l67
8696365 8(')77385 993i23i 1600963 1 154076 I23oi16 2075590 4106912 4623471 4698441 46g7264 472I2OO 496794J 4967943 4967943 4967943 1967943 4967943 49(>7943 4967943 4967943 (967943 4967943 4967943
621
A*04
L<
0,000001
— 12501 -12446 —16612 — 24400 —220l4 —224o3 — 27218 —43450 —48g38 —4979° —49777 —5oo52 —0,379601 —12744 -12737 —16878 —24481 —22241 —22618 —27333 -43176 -48544 —4g477 —49410 —49964 — O,3796o3
A0,
L(
-575
12712 12867
12637 12795
16893 17061
248i3 24851
22387 22538
•22782 22820
27679 27752
44i85 44067
49766 49649
5o638 5o45o
50619 50454
5o8gg 50722
155
i38
168
38
I5I
38
73
—118
— 117
— 188
— 165
— 177 —0,000004
o,386o3o 0,386026
86g6365 8677385 983i23i 1600963 1154076 I23OI16 2075590 4106912 4623471 46g844i 4697264 4721200 4626688 4626688 4626688 4626688 4626688 4626688 4626688 4626688 4626688 4626688 4626688 4626688 3323o53 33o4o73 4557919 6227601 578076/, 58568o4 6702278 8733600 9250159 932509 9323952 g347888 21400 2o536
28562
4i953
A07
21493 20612
-'•7779
4.1778
3785i 37270
3852O 37980
46798 46466
74707 75474
84i43 85075
856o8 865oi
85585 8653i
A20,
—881
-814
-783
-175
—581
—54o
—332
767
932
893
946
86057 86624
0,652677 0,652676
567 —0,000001
TABLEAU I V .
I aleurs de y,.
A20S.
AH-),.
•jo pic
Solution de [otasso Huile de terc benthinc i ie espece 2e espece e Grownglass. 3re especc i especc 2e espece 3e esp., i re serie. 3e esp., ie serie. Flintglass.. | c espece Sommcs V /\2@. V" \ 2 0 . 17v" A2©-') L( V "S" A 2 0'
L(+Y/)
-0,000679 -0,000612 -0,000575 0,000067 -0,000359 -0,000391 -0,000161
o7ooo3i8 0,000596 0,000681 0,000778
o,ooo338
-0,0002 43 -O,OOO29I -O,00O266 -0,O00O8l -O,OOO227 -0,0002 r5 -0,000115 0,000274 0,000394 0,000313 0,000367 0,000088
0,000302 0,000282 0,000271 -0,000169 0,000169 0,000219 0,000035 -0,000034 —0,000306 -o,ooo3o(j -o,ooo3o5 -0,000[55
0,000621 0,000621 0,000571 0,000183 0,000417 o,ooo385 0,000240 -0,000558 -0,00068) -0,000686 -0,000839 -0,000272
0,000727 0,000675 0,000616 -0,000138 0,000429 0,000500 0,000258
Aa06.
0,000155 0,000138 0,000168 0,000038 0,000152
A207.
-O,OOo88l -0,000814 -0,000783 -0,000175 -0,000581
o,oooo38 -o,ooo54o
0,000073 - 0 , ooo332 -0,000118 0,000767 -0,000814 -0,000117 0,000932 - 0 , 0 0 0 7 l } -o,oooi83 0,000893 -0,000780 -0,000165 0,00o() /j(> -0,000390 -0,000177
A203+A2B. A20t +A 2 0 5 -tA 2 0.. +Aa0,i A207.
o,ooi8o5 0,001716 0,001626 0,000190 0,001166 0,001142 0,000606 -0,001358 -0,001920 -0,001890 -0,002089 -0,0c0994
-0,0018o3 -0,001717 -0,001624 -0,000189 -0,001167 -0,001146 -0,000608
o,ooi359 0,001922 0,001887 0,002091 0,000993
SA 2 0 t .
0,000002 -0,000001 0,000002 0,000001 -0,00000r -0,00000\ —0,000002 0,000001 —0,000002 -0,ooooo3 0,000002 -0,000001
0,002711 o,ooi436 -0,001109 -o,oo3o38 -0,oo334 \ —0,000760 0,004ro5 (Flintglass Les autres sub- -0,0027 to -o,ooi438 0,001109 o,oo3o38 o,oo3343 -0,000761 —0,00 |io6 ( stances 0,000001 -0,000002
0,000000
0,000000 —0,000001
0,000001 -0,000001
—O,()O >4'21 -0,002874
0,002218
0,006076
0,006687
O,OOl521 -0,008211
458{868 5186192
3.(59615 5186192
7836178 5186192
8252313 5186192
5186192 2154602
-0,[6423
9398676 -0,08707
8273{23 0,06720
2649986 0,18408
3o66ru 0,20259
1821292 5186197 6635100 0,04688
9!'19361 5186192 3957769 Y3+TV+Y5+YBI Yi+Ys+Y7 -0,50006 °»4999'J
-o,2/,87<)
S" Aa0..
o,oo36o8 o,oo3433 o,oo325o 0,000379
o,oo2333 0,002288 0,001214 -0,002717
-o,oo384> -0,003777 -0,004180 -0,001987
-o,oi65o3 o,oi65o5 2S"AH-)/ X"S"A20/ L(S SfA!6/)
'
SY/ -o,00011
0,00000
o,o33oo8 5186192 S
"Y/
1,00001
Commo on devait s'y altcndre, les nombres compris dans ce Tableau vcrifient rigoureusement les deux conditions e(, avec nne exaelitnde suffisantc, celles quc comprennent les formules ce ([ui prouvc la jnstesse de nos calculs.
5572665 5356738 5118834 578(^392 3679147 359{56o 0842187 4340896 5845574 5771470 6211763 2981979
354
NOUVEA.UX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. 355 TABLEAU
V.
3
Valenr.t cle 5" el de A ©,- exprimees en millioniemes.
EAU. . — ^ — ' •-l'e serie.
—
lerebenIhine.
FLINTGLASS
CROWNGLASS.
HUILE
SOMMES. 3" especc. lrc especc. 2* espece. Z" especo. 1" espece. 2" espece. 1'° serie.
4° especc.
2" sdrie.
L(-Yi)
577M7O 62H763 2981979 5572665 5356738 5 u8834 5786392 3679147 3594560 0842187 4340896 2154602 2154602 2154602 2 154602 2154602 2154602 2l546o2 2154602 2l546o2 2154.602 2154602 2l546o2
L(T3rI)
7727267 7011340 7273436 7940094 5833 7 4 9 5749162 2996789 6495498 8OOOI76 7926072 8366365 5 I 3 6 5 8 I
yt
—593
—564
-534
—62
—383
—376
A26,
—679
—612
-575
67
-359
-391
—86
-48
-41
129
A
*6'
L(+ S"A20,)
—15
24
— '99
38
446
63 I
620
686
3i8
596
68l
778
—128
—35
6l
326 —O,O0O0O2 0,OOOOOI 338 12
L(-Yi)
5572665 5356 7 38 51i8834 6786392 3679147 359456o 0842187 4340896 5845574 6771470 6211763 2981979 9398676 9398676 9398676 9398676 9398676 9398676 9398676 9398676 9398676 9398676 9398676 9398676
L(q;3r;)
497I34I
47554M
-314 —243
—291
3" A302
—283
—33
— 203
-199
—106
237
335
329
364
—266
—81
—227
•—2l5
— 115
274
394
3i3
367
88 —0,000002
-48
-24
—16
—9
37
59
3
—85 —o,ooooo3
—J6
i73
Lf+S"A 2 0,-). .
5572665 5356738 5ii8834 5786392 3779147 35g456o 0842187 4340896 5845574 5771470 6211763 2981979 8273423 8273423 8273423 8273423 S273423 8273423 8273423 8273423 8273423 8273423 8273423 8273423
L(+SJ)
3846o88 3 6 3 O I 6 I 3392257 4o5g8i5 1952570 1867983 9ii56io 26i43« 9 4i18997 4044893 4485i86 1255402 242
^r
Oo
Aie/>
004
*
218
25
82
— 183
—258
—254
—281
271
—169
i5 7 169
i54
282
219
35
—34
—3o6
—3og
— 3o5
—134 —155
5i
53
— 191
12
65
—47
•49
—48
—53
—24
—21
•
•
•
•
632 621
598
70
57I
183
429 417
421
621
-43
— 11
— 27
u3
— 12
— 30
3 372665 3356738 joOOiai
L(-^&"si
7 3i
727
Aie
-4
«
L(-<-S"A20,). ...
5u8834 5786092
223
385 17
—5oo '—538
—707 — 683
— 58
—695 —686
-76c
—300
0,000000
—83g
—272
0,000000
9
—70
9-1
0,000000
4340896 3845574 5771470 6211763 2981979
3679147 3594560
695 673 —20
658 * 616 —42
77 138
473
61
-44
464
246
—55o
5oo
2.58
—648
-778 —814
36
12
-98
—36
-7O5
—712
53
- -847 —780
67
—4o3
0,000001
— 3 g o —0,000001 i3 —0,000002
5356738 5ii8834 5786392 3679147 3594360 08.(2187 4340896 5845574 5771 (7°6211763 2981979 6635100 6033100 6635ioo 6635100 >03 > 100 6635100 6633100 6633100 6635ioo 6035100 6633ioo 6633ioo 1753904 2 4. '• 1 4 9 2o,314247 166
158
15o
135
i38
168
38
— 11
—20
18
21
17
'.04O0OJ 9617079
2 1^0074
ro8
43
io5
56
-125
73
— 118
'77 — 117
—183
—193 —165
-92
38
17
7
Oo
—9
28
—85
-67
537266J 5336738 5i i8834 5786392 36791 ,7 0937769
3957769 3967769 3957769
-17.'
—o,oooooi 0,000001 0,000002
0842187 |31o896 384557, 3771 '(7° 1211763 2981979 3957769 093-769 '957769 3957769 3957769
9"'3oi34 9314507 8076603 97i4'6i 7636916 7552329 17999'6 8298665 98o33j3 9729239 0(69532 69397(8
Cj,
—898
—85
—808
.\2H-
—881
-81.',
— 783
4o
23
AH),
0,000001
3 o 6 6 1 •>. 1 3o06i2i 3o66121 3066121 3066121 0066121 3o66ia 1 3066121 3066121 3066121 3066121
M . — ~>o)
L(+-^)
0,000000
8608786 8 (22859 8184953 8832513 >74'J268 66O0O81 0908008 7407017 8911695 883 7 5 9 i 9277884 6048100
A»e s
Lf+S"A ? 0/)
—0,000001
>9«'079 2649986
3 5 9 4 •:> G o 08-11187 i 540896 584 > >74 2649986 2649986 •..649986 264998G
•
L(+S"A-6,-)
A20C
r r
0,000001
822.651 800672( 7768820 84363 7 8 632913o 8244546 3492173 6990882 8493060 8421456 8801749 0631965
2r?
6
231
5S56738 J118834 578639a •Mi 19986 2649986 2649986 •>.fi.j<jg86
L(±&* v )
>
—0,ooooo3
4517510 5i85o68 3077823 2 99 3236 0240863 3739572 524425O 5.70,46 5610439 238o655
8
7.
3r»
A
—!•
2* serie,
SOLUTION do potasse.
17
— 5 80 — 175
— 581
—81
—
—569
29
3O2
671'!
95O
—332
767
902
—3o
91
21
494 893 — 17
946
—9
0,000001
307 —0,000001
73 —0,000002
TABLEAU VI. Valeurs
A30t.
de Sim
A + A 3 6.4-A3 B7. +A
A305.
—0,000086 0,000071 0,000069 -O,OOOO43 -0,000004 -0,000011 i re serie -0,000048 0,000008 o,oooo5i -O,OOOOIJ -0,000020 -0,000020 2e serie -0,000041 0,000017 o,oooo53 -O,OOOO27 -0,00004> 0,000018 Solution de polasse 0,000129 -0,000048 - 0 , 0 0 0 1 9 4 0,0001i3 0,000061 O,0O00>I Huile de terebenthine . . . , re 0,00002 i -0,000024 0,000012 -0,000012 -o,oooo44 0,000043 i especo., Crown«;lass.. 2° espece.. -0,000015 -0,000016 0,000 0.6 5 -0,000036 0,oooo36 -0,000067 o,oooo38 -0,000009 -0,0000i7 0,000017 0,000012 0.000017 3e espece.. -0,000128 0,000007 0,000149 -o,oooo58 -0,000098 0,000007 i re espece. e -o,oooo35 0,0000^9 -0,000048 0,000024 -0,000036 0,000000 2 espece. bp \ 3 e espece, r p serie. 0,000061 -0.000016 -o,oooo55 0,000009 0,000053 -0,000009 e 3 espece, 2° serie. 0,000092 o,ooooo3 -O,OOOO>| —0,000070 0,000067 0,000028 e 4 espece 0,0000i2 -0,000085 -0,00002 1 0,00000/1 0,00001) -o,oooo85 e e Eau,potasse, i' et2 esp. de crowngl. et flinty].,J-0,000329 O,OOOl52 O,OOO342 -0,oooi63 -0,000208 0,000000 les autres substances. o,ooo332 -o,oooi55 -0,ooo34i 0,000163 0,000206 -0,000028 S A3 6/ o,ooooo3 -o,ooooo3 0,000001 0,000000 -0,000002 0,000002
Eau.
Difference
-0,00066]
o,ooo3o7
8202015 4i79329
4871384 4479329
3722686 -0,2357
0392053 0,1094
0,00068] -o,ooo325 -0,000414 8344207 4479329
5 I3I176
3364878
06528j7
4479^29
0,243' . -0,1162
0,0207
,O000T1
,000110
,ooo3o3 ,00003 2 ,000013 ,000067 ,000284 —0,000047 0 ,OOOI 20 0 ,000089 0 ,000119
,000004
-0 —0
0
000000 000003 000001 000002 00000\ 000002 000000 000000
0 - 0 000004 0 000002 0 000001
0 ,000270 0 ,000158 0 ,000220 - 0 ,000605 0 ,000062 0 ,000026 - 0 ,000136 0 ,ooo568 0 ,000091 - 0 ,000250 - 0 ,000176 - 0 ,000237 0 ,00i401
xs"'A3e/
-0,000002
55i45oo 1479329
3(5495r
0
- 0 ,000069 0 ,000284 0 ,000047 - 0 ,000127 —0 ,000087 —0 ,000118
-0 0 -0 -0 0 -0
0 0 0 0 -0
- 0 ,001404
7634280
1690674
0 ,oooo3o
-O ,oooi33 -O ,000079
L(±S w A s e £ ).
0,000177
o,ooo356
4479> 2 9
0 ,OOOl37 0 ,000079 0 ,oooi13 —0 ,ooo3o2
(
-0,000179
o,oooo58
6170003 4479 3 2 9
-0,1476
O,000017 o,oooo4o 0,000025 -0,000081 -0,000001 0,0000 29 -0,000030 0,000091 —0,000024 -0,000047 -0,000094 0,000073
SA30..
e%e,
1035171 0,1269
• y III
S'"A3fc>/
L(S "S"'A 3 B/) 82+83+^+87 0,5oo5
81+ 3 4 +8 6 - 0 ,499^
SO; - 0 ,OOIO
- 0 ,ooooo3 0 ,002805
4479^9
S'"8; I,OOO
Comme on devait s'y attendre, les nombres compris dans ce Tableau verificnt rigoureuscment les deux conditions et, avec une exactitude sufiisante, celles que comprennent les formules ce qui prouve la justesse de nos calculs.
4313638 1986571 jj83o4() 7817554 7923917 4149734 i33538() 7543483 9731279 2979400 2455127
3747484
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
357
TABLEAU
VII.
Valeuis de &™ el de A4@, exprimecs
SOLUTION lie
millioniemes.
FLINTGLASS
IIUILE
SOMMES.
tcreben-
polasse. 1" scrie.
en
CROWNGLASS.
EAU.
358
tbine.
2* serie.
1™ espece. 2° espece.
3 e espece. 1" cspece.
3"espeee,
2 e espeec.
l
ro
serie.
3"esprce. 2° serie.
4° espece.
L(±S"' A3 ©,).... 43i3638 1986571 3483o49 7817554 7923917 4M9734 1335389 7543483 9731279 39794OO 2455127 3747484 3722686 3722686 3722686 3722686 3722686 3722686 3722686 3722686 3722686 3722686 3722686 3722686
L(+S7) •* I
8o36324 5709257 7205735 1540240 1646603 7872420 5o58o75 1266169 3453965 7702086 6177813 7470170
-64 —86
-37 -48
—53
143
-41
129
—22
— 11
12
-14
—15
—6
32
24
—15
38
— 128
39
—9
6
6
— 22
—35
59 6l
92
—13
2
5i
56
o,ooooo3
12
o,ooooo3
-4!
0,000000
1335389 7543483 9721279 39794OO 2455127 3747484 43i3638 I98657I 3483o4g 7317554 7923917 o3g2o55 0392055 0392055 0392055 o392o55 0392055 0392055 0392055 o3g2o55 o3g2o55 0392055 0392055
L(+3?)
X
47o56g3 2378626 3875,o4 8209609 8315972 4541789 1727444 7935538 OT23334 4371455 2847182 1139339
3o
17
8 -9
4i
•7
—66 -48
—7
18
24
3
—15
62
10
-24
—16
—9
37
-3i
-19
-25
6
—19
59
—27 — 16
49
11
22
3
—26
0,000000
—85
—O,ooooo3
-59 —o,ooooo3
1335389 7543483 9731279 2455127 3747484 3864878 3864878 3864878 J864878 3864878 3864878 3864878 3864878 3864878 386I878 3864878 3864878
[ ,( ~T" [5 A * 0 /),«...4313638 1986571 3483o4g 7817554 7923917
L(+9?)
8178316 585,449 7347927 16S2432 1788795 8014612 5200267 I4O836I 5596157 7844278 632O005 7612362 66
38
60
5i
54 53
—6
i3
—1
138
—17
1 19
—3
>9
-•4
11
i5
-194 -•17
23
7i
SOLUTION do potasse. 2° serie.
-43 — 55
— 24
8
19
—.58 O,000001
>7
IIUILU le re be filh ine.
1™ cspece. 2 B espece.
3 C espdee.
I1'8 esp6ce. 2" cspeco.
3° cspece.
3'; csp&ce,
1" serie.
2 e scrie.
V esp6co.
L(+S"'A30,-) L(-84)
1335389 7543483 9731279 3979400 2455127 3747484 4313638 1986571 3483o4g 7817554 7923gi7 0602847 O652847 0652847 0652847 o652847 0652847 06528Z17 0652847 0652847 065284-7 0652847 0652847
L(q=3^)
4966485 26394l8 4i358g6 8470401 8576764 4802581 1988236 8ig633o O384I26 4632247 3IO7974 44oo33i
Srr
—3i
— 18
A3 0 4
-43
— 1 I
^
—12
7
—26 —27
70 n3
43
—1
—7 —12
—5
—3 —36 33
16 17 1
—66 -58
8
— II 24
29
20
28
9
— 70
94
35
•—20
—90
i33538g 7543483 9731279 3979400 2455127 3747484 4313638 ig865 7 i 3483o4g 7817554 7923917 1690674 169067/i 1690674 1690674 1690674 1690674 169067.! 169067 i 1690674 1690674 1690674 1690674
L(q=&g)
6004312 0677245 5173723 9508228 9614591 584o4o8 3o26o63 9234157 1421953 5670074 4I458OI 5438i58
M05
-4o —4
—23
36
3
—20
-43 -42
89
" 9
—4
61
-44
36
20 12
-84 -98
—9
-,8
—35
4o
—8
-a
—36
37 53
26 67
—22
16
4.
0,000001 0,000000
' 66 —0,000001
L(+S"'A30;) . L(-3g)
A:* 0 5
o,ooooo3
FLINTGLASS.
CItOWNGLASS.
F.AU.
1" sorio.
— 33
12
6 65
-.47
0,000000 i3 —0,000002
35 —22
—0,000002
L(=fcS"'A30;). ... 4313638 1986571 3483o4g 7817554 7923917 4i49734 [335389 7543483 9731279 39794oo 2455127 3747484 3154951 3154951 3154951 3154g51 3154g5i 3154951 3154951 3i54g5i L(+2r;')
7468589 5l4l522 6638ooo 0972505 1018868 73o4685 449o34o 0698434 2886230 7i3435i 5610078 6902435 5
—13
1
1
2
—20
18
21
43
-67
7
60
—5 —9
—4
— 11
—3 *7
12
!s 6 0 ;
28
-85
0,000000 0,000002
— 17
—23
i3
34
42
—68
20
C
AVee
—58
-4
32
—80
0,000002
6
L(S7)
3
43i3638 1986571 3483o4 9 7817554 4i49734 1335389 7543483 9731279 3979400 2455127 3747484 1035171 1035171 1035171 1035171 io35i7i 1035171 io35i71 1035171 1035171 1035171 5348809 3021742 4518220 885'.>.72;, 89.59088 5i84go5 237o56o 8578654 0766450 5014571 3490298 4782655 ' 34
20
— 17
-32
—22
— 1
29
—3o
72 91
12
40
—77 -81
3
17
28 25
8
A 3 ©,
-24
-47
-94
— 3 o —0,000001 73 —0,000002
A 4 ©,
— '7
20
-3
—4
—9
26
—13
19
—36
—15
—72
io3 —0,000001
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
359
D'apres le Tableau qui precede, la plus grande des valeurs numeriques de A'©,-, represented par lc nombre o,oooio3,
est de beaucoup inferieure au nombre 0,000109
qui represente la plus grande des valeurs numeriques des variations dc 0, comprises dans la 7e ligne horizontal du Tableau VII du § VI, d'oii il resulte encore que, dans l'application de nos formules aux experiences de Frauenhofer, on peut, sans erreur sensible, reduire le second membre de l'equation (i) ou (9) (§ VI) a ses quatre premiers termes. II y a plus : en raisonnant comme clans le § VI, on prouvera que les valeurs de 0, deduites de Texperience meritent moins de confiance que les valeurs corrigees de 0, qu'on tirerait des equations (1) en y rempla^ant generalement A'0, par zero. D'ailleurs, comme en vertu des formules (1) on aura (7)
0; = 0 + &;•+ 3? + &? + A*0O
les valeurs corrigees de 0/, ou celles qu'on obtiendra en remplaeant, dans le second membre de l'equation (7), A0, par zero, seront evidemment les diverses valeurs du polynome (8)
0 + % + % H- Sr? = 0,— A^0,,
Cela pose, on tirera sans peine des Tableaux I, III, V et VII le Tableau suivant qui offre, non seulement les valeurs de &( immediatement deduites de l'experience, mais aussi les valeurs corrigees de 0, ou, en d'autres termes, les valeurs de
et montre comment ces dernieres valeurs se trouvent formees par l'addition des quantites 0, &;, &?, &J'.
360
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU
VIII. 0,-—A'0,-.
Valeurs de %, 2r?,
EAU. 1" serie.
e
2 serie.
SOLUTION de potasse.
HUILE dc tcrcbenthine.
361
FLINTGLASS.
CROWNGLASE i.
SOMMES. 1" especo.
2® espece.
3° espece.
1™ espece.
2° espece.
3° espece, 1" serie.
3" espece, 2' scrie.
i*e cspdce.
1,97832O 2,l89883 2,348779 2,353887 2,448260 2 , 6 I 5 3 5 I 2,690721 2,7Oi33i 2,7Ol322 2,705825 28,3o6o66 — I 4 I 3 5 —14O74 —18784 —27590 -24893 —25332 —30777 — 4 9 I 3 I —55336 —563oo —56284 —565g5 -O,42923l 631 446 -2 326 —376 —62 —333 686 620 —534 -593 — 199 -564 —134 0 —22 56 —6 143 -i5 32 4i —53 —64 59 -37
0 *'. ^
1,786201
•M
I,786(86
©1 — A*©!. 1,771409 i,77i5n 1,958949 2,16237/ 2,323488 2,328173 2,417316 2,566532 2,635994 2,645710 2,645765 2,649612 27,876833 6 -i3 2 6 5i 3 — 1/ A*©! -44 —22 —II 12 39 -9
© ! . . . [,771387 1,771500 I , 9 5 8 9 6 I 2,(6236o 2,323527 2,328164 2,417322 2,566538 2,635981 2,645712 2,6458i6 2,64g568 27,876836
1,786201 1,786186 i,978320 2,189883 2,348779 2,35388 7 2,448260 2 , 6 I 5 3 5 I 2,690721 2,7Oi33i 2,701322 2,705825 28,306066 —I25OI —12446 —16612 —244oo —22014 —22403 —27218 —4345o - 4 8 g 3 8 —49790 —49774 —5oo52 -0,379601 335 237 329 —106 —33 i73 — 203 1 —283 364 —299 -3t4 —'99 62 —66 —15 —27 10 —26 3 0 24 3o — 19 7 17
0 -'s •'s ^2
0 2 - A * 0 2 . . 2,773416 1,773458 A*02 4i —9
2, i65384 2,32656g 2,33i288 2,420921 2,572200 2,642128 2,65i843 2,651890 a,655g2o 27,926466 n 6 —25 22 18 -3i 49 -3 7 —19 -59
I,96I449
© 2 . . . 1,773457 1,773449 2,961442 2,165402 2,326538 2,331269 2,420927 2,572175 2,642177 a,65i854
2,65igi2
2,65586i 27,926463
1,786201 1.786186 i,978320 2,189883 2,348779 2,353887 2,448260 2 , 6 I 5 3 5 I 2,690721 2,701331 2,701322 2,705825 28,3o6o66 -8074 — 8039 — 10729 —15759 —14218 — 14469 —17579 —28062 —31607 —32157 —32148 —3a326 -0,245167 82 —183 —258 25 154 -254 218 —281 242 23l —134 i57 —33 i38 23 6 -147 i5 -61 38 —58 54 -43 66 —2
0 S'S
a; &j
0 S -A*0 S .. i,778435 1,778416 1,967863 2,174002 2,334733 2,339578 2,430730 2,587244 2,6588 7 9 2,66885g 2,66885o 2,673307 28,060896 11 —3 i3 6 — >4 —6 37 -47 —71 3 19 A*e3
e s ..
s 1 ,7784ag i,77 i2<) ,,967862
•>., 173c|55
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1,786201 1,786186 r,978320 a,189883 2325 —2315 —3090 — 4538
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1,789757 1,789677 1,982695 2,195543 2,354190 2,359457 2,454677 2,624535 2,700981 2,711886 2,711806 2,716761 28,391965
1,786201 1,786186 1,978320 2,189883 2,348779 2,353887 2,448260 2 , 6 I 5 3 5 I 2,690721 2,701331 2,701322 2,7o58a5 28,3o6o66 16893 24818 22782 27679 12657 22387 44i85 12712 49766 5o633 5o6ig 50899 o,386o25 i5o io5 56 108 i58 166 — 125 —1 -174 17 —193 —92 — '77 5 1 —3 1 —13 3 12 6 2 0 ^ —4
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s; Sr'e •3 6
© 6 — A * e 6 . . 1,79908J 1,799004 i, 99 5368 2,214700 2,371275 2,376775 2,475992 2,65g423 2,740312 2,75i 7 85 2,751744 2,706627 28,692090 i3 42 20 —68 —5 A'-0 6 —23 34 58 32 —80 — 17 -k
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,799°68 1,798981 i, 99 538 2,2(4734 2,371317 2,376707 2,476012 2,65g4i8 2,740370 2,751781 2,751776 2, 7 5654 7 28,692092
,786201 1,786186 (,978320 2, (8g883 2,348779 2,35388; 2,448260 2 , 6 I 5 3 5 I 2,690721 2,701331 2,7013-22 2,705825 28,306066 28562 38520 21400 46798 74707 4ig53 2i493 3785 [ 84i43 856o8 85585 86057 0,652677 —808 -854 —302 —58o -569 676 -898 956 —94 1040 94o 1 494 8 28 20 72 3 12 34 —22 —3a — 17 —77 —1 —3o
0 7 — A * 0 7 . . i,8o683o 1,806752 2,006102 2, -,?.31665 2,386o58 2,3 9 i841 2,494739 2,690806 2,775832 2,787847 2,787925 2,792346 28, 9 &8 7 43 —3 26 20 —13 — 17 -36 A'>07 —4 -9 —72 19 —15 io3 —1
1,806813 1,806772 2,006099 2,23i66i 2,386o4g 2,391867 2,494726 2,690825 2,775796 2,787833 2,787853 2,792449 28,958742
OF.uvres de C. — S. II, t. X.
362
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Dans le Tableau VIII, ainsi qu'on devaits'y attendre, les valeurs numeriques des quatre quantites (9)
0, -•, % &7
forment generalement une suite decroissante. La seule substance pour laquelle cette condition ne soit pas toujours remplie est l'huile de terebenthine. Encore, pour cette substance, les exceptions sont-elles seuloment relatives a la valeur numerique de SJ, qui devient superieure, quand il s'agit des rayons B, C, D, F, a la valeur numerique deS1;. Les valeurs de 0/ —A*0 f .
fournies par le Tableau VIII, c'est-a-dire, en d'autres termes, les carres des indices de refraction, calcules pour les rayons et les substances auxquelles se rapportent les experiences de Frauenhofer, et corriges d'apres les principes ci-dessus exposes, se reduisent evidemment, pour chaque substance, a sept valeurs particulieres d'une meme fonction lineaire des quantites Pi>
7o
0;,
et pourchaque rayon a des valeurs particulieres d'une fonction lineaire des soules quantites (m)
0=!S0,-,
U'=S / 0 / ,
Uff=zS"0£9
U'ff=§mei.
En effet, on tirera successivement des equations ( i ) et ( 4 ) A0;=0,-0, S / A 0 / = S ' ( 0 / — 0) = S / 0 / — 0— If'— 0,
puis y- 0/ = A0, - SrJ = 0, - 0 - (U' - 0 ) (3,-,
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
363
puis encore
t— [U"- 0 - ( U ' t enfin
Or, en substituant les valeurs precedentes do
dans le premier membre de l'equation ( 8 ) , on tirera de cette equation ('0 Telle est la formule a l'aide de laquelle la valeur corrigee de 0/, ou, ce qui revient au meme, la valeur de 0/ —A*0,-, se trouve determinee pour ehaque substance en fonction lineaire des quantites (3/,
y/, 8i
qui varient avec les divers rayons, et pour ehaque rayon en fonction lineaire des quantites 0, u, u', tr qui variant avec la substance que Ton considere. D'ailleurs on reconnaitra sans peine : i° que, si le second membre de la formule (i i) est substitue a la place de 0,— A4©/ dans les quatre sommes
ces quatre sommes, reduites a leur expression la plus simple en vertu des equations (5), deviendront, comme on devait s'y attendre,
2° que, en substituant l'air au milieu refringent et posant en consequence 8i = i,
0 = ^ = ^
= ^
=
1,
on reduit le second membre de la formule (i i) a Tunite.
NOUVEAUX EXERCICES 1)E MATHEMATIQUES.
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36i
NOUVEAUX EXERCICES DE M ATHEMATIQUES.
365
Pour tirer de la seule formule ( n ) les valeurs corrigees de 0, relatives aux divers rayons et aux diverses substances, il suffirait d'y substituer aux quantites 0, U' — 0, . . . , (S£-, y«» $t ' e s valeurs do 0,
i* = S'
t de (3,-,
fournies par les Tableaux I, II, III, IV, V, VI, VII ou, ce qui revirnt au meme, par les Tableaux IX et X. Alors les valeurs de
S'fr, S"fr, S'yh deduites des formules (6), ou, cc qui revient au meme, des formules (137) du § VI, deviendront respectivement 'p,-= 0,430573 — 0,569427 =—o,i38854, (12)
3; = o, 315965 — o, 684o35 = — o, 368070, yt = 0,27751 — o, 72250 = — 0,44499*
Aux valeurs corrigees de 0,, fournies par le Tableau VIII, ou, ce qui revient au meme, par la formule (11), et representees par
correspondent des valeurs corrigees de 6;, que nous representerons par 0
et qui seront determinees par la formule (139) du § VI, a laquelle on pourra substituer encore la formule ( i 4 2 ) du meme paragraphe, savoir
Or, de cette derniere formule, combinee avec le Tableau III du § VI et le Tableau VII du § VII, on tirera, en effectuant le calcul par logarithmes, les valeurs suivantes de Oj'A^i
etde A*0,-.
TABLEAU \ 1 .
/ el de A'0/, e.rprimees en
1 (dears de KAU.
Ditlerence.. .
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3424 2170
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5 1 2
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FLIXTGLASS
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SOLUTION do p.Hnsso
— 2 L(04)
HUII.K do tr roll on thine.
millioniemes.
2226
—22
7898 62 31
Les valeurs precedentes de A4©, doivent satisfaire aux memes conditions que les valeurs de A40, contenues dans le Tableau XXII du § VI, ct fournir, pour les quantites (i5o)ou ( I 5 I ) du meme paragraphe, des valeurs numeriques egales, mais affectecs de signes contraires. Ces conditions se trouvcnt effectivement remplies o avec une exactitude suffisante, coinme le prouve le nouveau Tableau que nous allons tracer.
TABLEAU
Valeurs
EAU.
A'O A4 0 AUJ3 AUJ, AHJ-
— 8
4 — 3 5 3
— 4
A*07
7
n
AW) AUj. 2 -t- A 4 0 7 . . . . A*0^-h A ' 0 r ....
— 8 9 9
— 9 11 — i
i3 — 10
—u X 4 —3
8
o
i — i
7
2 — I
— 2
4
— 5
i3 —13 i3 — i3
oo
.
o o — 3 5
— J G — JG I5
l'° espece.
CO CO CO CO
— 9
4
i — 4 4
-— 3
G
en
millioniemes.
FLINTGLASS
CROVTNGLASJ3.
1
'
i3 — G — (5
potasse.
HUILE de terebenthine.
1
A W ) ; i 4 _ A^ 0 G . . .
A'-oJ
2e serie.
15 2
de A0Z-, A4 0,-f- A 4 0 2 , . . . exprimees
SOLUTION
l' e serie.
XII.
2" espece.
3e espece.
— 3 — G
2 2
19 — 11
- 4
lre espece.
2e espece.
3ereespece. l serie.
2
— 4
I
16
— 8 3
3
7 6
0 3 G
2
15 —22 11
- 4
— 7
8
— 4
6
— 9 8 — 9 <S
4 — 4
— G 5 — G G
11 — 11 11 — 11
- 4 4 - 4 4 — 4
2 — 2 1 — 2
— 4 4
1 — T
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5
368
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Les resultats fournis par les Tableaux XI ou XII peuvent encore etre invoques a 1'appui de l'assertion precedemment emise, suivant laquelle les valeurs de A4©/, et par suite celles de A4G,, doivent etre comparables aux erreurs d'observation. Eftectivement, il resulte du Tableau XXIII (§ VI) que les valeurs de 6; donnees par les experiences de Frauenhofer admettent des erreurs comparables aux nombres 0,000042, 0,000049? et ces nombres surpassent notablement les nombres 0,000027, 0,000037, qui, dans les Tableaux XI et XII, representent les plus grandes valeurs numeriques de A49,. Si Ton retranche les valeurs de A4 6; fournies par le Tableau XI des valeurs de 6; donnees par le Tableau I du § VI, on obtiendra les valeurs corrigees de 9; ou, en d'autres termes, les valeurs de
telles que les presente le Tableau XIII. Si maintenant on remplace les deux valeurs d'une meme quantite, qui correspondent aux deux series d'experiences faites sur l'eau ou la troisieme espece de flintglass par la moyenne arithmetique entre ces deux valeurs, on reduira le Tableau XIII au Tableau XIV.
TABLEAU
XIII.
aleurs de Ot — A4#/.
SOLUTION de potasse.
IIUILK de. lerebent fiine.
CUOWNGLASS.
i —A*0,
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•, 5*5832 1,354771
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1,333577
,333577 r,407805
A''O, 1,333572 1,{0280)
0;-—
1,527983 1,579568
7
9°79
,608491 1,630607
,533oi6 1,56315o
,6i453o 1,607345
,^08087 T,481736 1,031337 1,536052 1,566741 — 3 —3 i3 —9 1,48174 1,{17579 [,{88198
r,3{1299
1 T
,341770 1,4[757{
,341177 1,3{1167 1 ,{16J6
.07
>J }
,33 5855 i,335846 i,{o5()37 T,{78338 1,531374
—6 0,;— A''O6.
,527982 1,029587 1,559075 r,608494 i,63o585 1,633666 1,633667 —1 •1 6 —22 3 '-4
I,637356
,3378o5
i,53{3{8
,6700^2
-4
566-{
,536o3g
i,311i83 1,3{{155 1,416369
,63366|
,629681 — 18
,635o36 11
,63366i 1,63502
,6-4054 i 1,640495
11
—27
,647021 7O
,64o5'22 1,642004
,t>4^ {66 [ ,646780 1,646756 1,6{8260 12 5 7 ,043473 [,6{6775
,6{6-44 1,6i8767
,1)3 990 b I,5{I65 7 I,'J7>).>) 1,630777 1,655{06 6 18 1 1
,658849 i,658848 1,66028) — 1 10
,039894 i,5{.6 79 1,573579
,65885o 1,658838
,660309
1 ,66607*2 1,669680 1,669686 — 11 — 27
3I
,63o 7 7 { 1,655388
1,193*71 [,511681 1 ,546)66
—6 0 7 —A'-0 7 .
4 C espece.
,626580
I,62845I 1,628469 3 7
—8
,533oo5 1,56315o o — 11
,337788
3" ospece, 2* serie.
,626564 1,626596 1,6-277/49 16 1 -14 1,626563
,33585i i,335849 1,405632 1,47^353 3 15 \
1 ,3)7818 i3
3e espece, lre serie.
I , J2DJO91,576855 1,5 53931 1,60JK08 1,675462 1,62844^ 1,628462 1,629699
—16
03—
—4
1,602040
—6
1,331697
I,6^3570
1,525299 1 ,576849 1,555933 1,603800
—3 02_
I ,6o r 2O / |> J
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1,524299
,331709 r ,400 51r)
0,.
2e espece.
lr* esp^cc.
,33oc)35 i,330977 i ,399609 1,470496 — 5
Oi
FLINTGLASS.
J,5{6558
1
^79171 1,6{0367
,666o«Sj 1,669684
,669708 1,6710 31
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. 370
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,63
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
371
En comparant les Tableaux XII et XIII aux Tableaux analogues qui portent les numeros XXII et XXIV dans le § VI, on reconnait que les changements apportes dans le § VII aux formules a l'aide desquellos on determine les valeurs corrigees de 0,- font tres peu varier ces memcs valeurs. Effectivement, les differences entre les valeurs dr A40, que fournissent les Tableaux XXII du § VI et XII du § VII, etant exprimees en millioniemes, seront telles que les offre le Tableau suivant. TABLEAU X V .
Differences entre les valeurs de A40f- obtenues dans les § VI et VII.
I Pour i = i
4
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—17
Done, pacmi ces differences, celles qui se rapportent au cinquiemr rayon ou bien a la 3 e espece de flintglass (i r e serie), lorsqu'on les considere abstraction faite de leurs signes, ne surpassent pas i millionieme; celles qui se rapportent aux trois especes de crownglass nck surpassent pas 3 millioniemes; et toutes generalement sont (abstraction faite de Jeurs signes) inferieures a io millioniemes, a Texception toutefois de celles qui sont relatives a la 4e espece de flintglass et dont les valeurs numeriques s'elevent auplusa 12 ou 17 millioniemes. Au reste, comme, des deux systemes de formules employees dans les § VI et VII, le dernier seul a la propriete de reduire exactement les indices de refraction a l'unite quand on remplace le milieu refringent
372
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
par l'air, il est clair qne les valeurs de A4 6,- et de 0, — A'0/ fournies par les Tableaux XII, XIII et XIV du § VII meritent plus de confiance que les valeurs fournies pour les memes quantites par les Tableaux XXII, XXIV et XXV du § VI. Si dans la formule (i i) on pose, pour abreger, u = U' — 0, V ={]"— 0 — ( C —
on tirera de cette formule (15)
0,- — A 4 0 ; = 0 -h Ufii + 1Dy£- -f- ID^,
puis, en negligeant A'1©,, qui est, comme on l'a vu, comparable aux errcurs d'observation, on trouvera (16)
0 / = 0-h1l[3J- +Vy/H-UDd,..
A l'aide de 1'equation (16), jointe au Tableau X, on determinerait immediatement, pour une substance quelconque, des valeurs de &£ tres voisines de celles que fourniraient les observations, si Ton connaissait les valeurs des quatre coefficients 0, IK, D, W relatives a la substance dont il s'agit. Ajoutons que ces coefFicients pourraient se deduire, moyennant les formules (14) et (12), des valeurs supposees connues des quatre quantites 0,
U',
U%
[]'f/.
Mais, comme on ne saurait obtenir directemont et sans recourir a l'experience les valeurs de ces quatre derniercs quantites, ce qu'il y aura de mieux a faire sera de faire servir quatre valeurs particulieres de 0, donnees par l'observation, par exemple celles de
a la determination de 0, 11, D, W, ou, ce qui revient au meme, a la determination de la valeur generale de 0,. On y parviendra facilemenf en operant comme il suit.
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
373
Si dans 1'equation (16) on pose successivement i — \y
* = 3,
i = 5,
1 = 7,
cette equation donnera
07)
05— 0
Or, des formules (17), jointes au Tableau X, on pourra deduire les valeurs de 0, n, v, w exprimees en fonctions lineaires de e lf
0 3 , 0 5 , e7-
Par suite, la valeur generate de 0,, que determine 1'equation (16), deviendra elle-meme une fonction lineaire de 0 , , 0 3 , 0 5 , 0 7 . On arriverait encore aux memes conclusions de la maniere suivante. Si Ton combine, par voie de soustraction, la premiere des Tormules (17) avec la formule (16), on aura
puis, en divisant les deux membres par ^ — (3,, et posant, pour abreger,
(l8)
yI=
p7=£'
*'=£=&'
on trouvera (19)
f'" %* —^i^-^yi-hWS-.
Si Ton combine encore, par voie de soustraction, la formule (KJ) avec celle qu'on en deduit en posant i=3, c'est-a-dire avec 1'equation (20)
-73
-Q~
— U -f-
y3 -|-
3>
374
NOU.VEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES
on aura
puis, en divisant les deux membres par y• — y'3, et faisant, pour abreger,
on trouvera 0,-0,
0,-0,
Enfin, si Ton combine, par voie de soustraction, la formule (22) avec celle qu'on en deduit en posant i = 5, c'est-a-dire avec l'equation ©5-01 (3 . - ( 3 ,
(23)
©»-©. (33-
W
on aura 0,-0,
0' . - © 1
© 5 - 01
P< - (3,
(3, - 1 3 ,
( 3 8 - Pi
0 3 ~ 0i (3 3 — Pi
.
y'i-
ou, ce qui revient au meme, Pi(
0, (3,
0 3 -0
1
( 3 3 — (3 1
^
P 5 — Pi
7'5 —
y'l- - / *
r,'.\
e p3— Pi 7'
et comme, en prenant i= 7, on tirera de cette derniere equation 0« (25)
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^
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- * '
l'elimination de 10 enlre les formules (24) et (25) donnera 0 , - 0 , _ ©,—©t Q.
;a6)
P.
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73
ft
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ LJES.
375
ou, ce qui revient au meme,
Alin de montrer Tutilite de la formule (27), supposons quo pour une substance quelconque on ait deduit dc l'experience les valeurs de 0,representees par »1,
®3,
©5, ^T
et correspondantes aux rayons B, D, F, H de Frauenhofer. Pour tircr de la formule (27) les valeurs de ©, correspondantes aux rayons C, E, G, il suffira d'y poser successivement
D'ailleurs les formules (18) et (21) jointes au Tableau X fourniront les valeurs de y)., oi9 0] comprises dans le Tableau XVI. II y a plus : si Ton pose, pour abreger, (
^
p -P/-P,
r
_ ((3, —fiocy;—/,)
_ ( [3 r -p 1 )(y;-y;)(o;-o-)
la formule (27) sera reduite a
( 9) I 0 / =0 1 +B / (03-e 1 ) + c
" I
+ D j ^ - O i - B ^ O ^ 00-^[Os-Oi-83(03-0,)]J.
376
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU XVI.
Determination des valeurs de yfh d'j et ty.
i.
P/ P. P/-P.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
SOMMES.
o,190836 0,168772 0,109002 o,o3i39o -OjO38i9i -0,171628 -0,290181 O,000000 0,190836 0,190836 0,190836 0,190836 0,190836 0,190836 0,190836 i,335852 0,00000 -0,022064 -o,o8i834 -0,159446 -0,229027 -0,362464 -0,481017 -i,335852
-0,16423 -0,08707 0,06720 0,18408 0,20259 0,04608 -0,24876 -0,00011 -0,16423 -0,16423 -0,16423 -0,16423 -o,i6423 -0,16423 -o,i6423 -1,14961
*{i Yi
0,00000
Y'— Yi 0/ Oi 0 / — Oj
0,07716
o,23i43
o,2564
o,3626
1,6502
564453o 3598867
3228599 5592649
9270109 6821605
o,345i
0,4792
0,1195
3644197
54(9659 2026137
45i4859
Yi-
-3,497!
Y3
-2,8280
-2,8280 -2,8280
Yi— Yi
-0,6691
A h a;— a;
0,0879
0,0000
5437080
?
-1,6492
-0,1476 -0,2357
L(+Y»
3393522
2045663
-2,1845
-1,6016
-2,8280
-2,8280
0,0207
763595o
24485o4 0,1757 -2,8280
-16,9680
6,4523
0,0000
o,6435
1,2264
2,2478
3,0037
68o5i68 9 i2 9 338
0770679 2026137
9439889 3598867
4089180 5592649
5594278 6821605
1942608
7675830
- 9,785i
0,0000
-5,8558
-5,8558
-5,8558
-5,8558
-35,1348
5,io63
5,4720
5,1484
5,1020
11,o436
99o5653 8254910
7081063 8o85486
7381461 o88632i
7116723 35i 7 5 7 7
7077405 4776566
L(O';)
16.50743
8995577
649^140
35 99 i46
23oo839
%i—?A L[±(3';-3'^].
-io,5i57 v
874754^ 5841022 849653i 8772673 -°,7495 -o,3838 -0,7074 -o,7538 -24,0912
L[q=(o',— 8'8)].. L[+(Y/-Yi)]-. 3/
0,0010
-o,5802 -2,8280
5379450 3436842
-15,6409 -5,8558 - 5,8558 -5,8538
1,14930
-0,2357
-0,1162 -0,2357
9 i2 9 338
o,2io3i -o,o8453 0,1269 -0,2357
0,2435 -0,2357
L[±(T/-Yi)].. L[-(pi— Pi)]..
L[-(P/-Pi)lL(-Si)
o,36682
0,1094 -0,2357
8873922 3436842
L(o,~30
o,3483i
-0,2357 -0,2357
14,6243 4,46i8
7,9352 4,4618
4,4618 4,4618
2,2904 4,4618
1,6986 4,46i8
3i,oio3 22,3090
10, l6'2J
3,4734
0,0000
-2,1714
-2,7632
8,7oi3
0070006
5407548
3367398
44»4i23
Or, les logarithmes des rapports B,, C,, D,-, et par suite ces rapports eux-memes, se calculeront aisement a l'aide du Tableau XVI et offriront les valeurs comprises dans le Tableau suivant.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
377
TABLEAU XVII.
Valeurs de B,, C,-, D,.
I.
4.
3.
5.
343684a 9i29338 2026137 3598867 8o85486 o886321
L[-(Pi-Pi)] L[=F(Yi- "':,)]
8254910
Somme L[ + (8J-8Y)]
Sornmo
L(+D/) Dt
2.
1.
7.
6.
5592649 6821605 3517577
4776566
1691752
0111623
4485i88 9110226 139S171
0070006
5407548
3367398 44i4i2'i
1761758
5519171
2477624 6012294
6012294
6012294
6012294
5719464
9506877
646533o
0,00000 0,03759 0,00000 -0,08927 0,00000
o,443i3 1,00000
L [ ± ( p £ — PiXyi— Y'S)].
T691752
0111623
L[-(P5-Pi)(T'5-Y'i)].
4485i88
4485i88
4485i88 9110226 1598171 4485i88 4485f88
L(=pCz-)
7206364
5626435
|625o38 7112983
O,00000 -0,03236 0,00000 0,3653o 1,00000 2,90072 5,14397
C/
3436842 9129338 2026137
L[—(p/—Pi)] L[—(Pa—Pi)]
9 i2 9 338
9129338 9129338 9129338 9i2933<S
MB*)..
4307504
2896799
0,00000 0,26963 1,00000
B/
3598867 3592649 6821605
4469529 64633n
1,9484i 2,79868 4,42926
7692267
5,87796
Pour montrer une application de la formule (29), concevons que Ton y substitue les valeurs de @<, 0 3 , @5, 0 7 , tirees du Tableau VIII (§ VI) et relatives a la solution de potasse. On aura (30)
© , = 1,958961,
3 = 1,967862,
65=1,982695,
0 7=2,oo6o99>
et Ton en conclura (31)
0 3 — 0 1 = 0,008901, OEuvres
de C. — S. I I , t . X .
;
— 0 j = 0,023734,
07—0j—o,
48
378
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
puis, en ayant egard au Tableau XV, 0 5 —0 1 —B 3 (0 3 —0 1 ) = 0,023734 —0,024911 = —0,001177, 0 7 _ 0 J _ B 7 ( 0 3 — 0 t ) = 0,047l38 — 0,052320=r — O,OO5l82,
0^0^6,(03-0 1 )-C 7 [0 5 —0 l —B 5 (0 3 —0i)]=-o,oo5i82 + o, =0,000872.
Par suite, la formule (29) deviendra (33)
0; = 1,958961 4-0,008901B/—0,001177 C;-+- 0,000872D,.
Si dans cette derniere on pose successivement 1 — 2,
i = 4,
i — 6,
les valeurs correspondantes de @<> calculees a Taide du Tableau XVII, seront celles que presente le Tableau suivant. TABLEAU
XVIII.
Valeurs de 0 2 , 0 4 , 0 6 deduites des valeurs de &l9 0 3 , 0 5 , 0 7 et relatives a la solution de potasse.
4.
2.
L(-+-D/) L(8 7 2 )
5749464 94o5i65
Somme 0,000872 Dt LC=4=C/) Lfll77)
Somme —
0,0011776/
L(B/) L(8QOI)
...
9 5o68 7 7
94o5i65
6.
646533o 94o5i65
5154629
8912042
o,oooo33
—0,000078
5870495 o,ooo386
7206564 0707765
5626435 0707765
4625o38 0707760
7914329
6334200
53328o3
0,000062
—0,ooo43o
—O,OO34T4
43o75o4 9494388
2896799 9*94388
64633i1 9494388
Somme
3801892
2391187
5957699
0,008901 B/
0^002400
0,017343
0,039425
e,
1,958961 2400 6a 33
1,908961 17343 —43o -78
L,958961 39425 -34i4 386
1,961456
I
>975796
1,995358
O,OO8QOI B/
—0.001177C/ 0,000872 Di 6/
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIOUES.
379
Ainsi, pour la solution do potasse, lorsqu'on fait servir los valeurs de ®1>
®3> ®5>
®7>
fournies par l'experience, a la determination des valeurs de
on trouve (34)
02 =
0, = 1,975796,
I,96I456,
0 6 = i, 99 5358.
D'ailleurs les valeurs de @2, ©,, 0 6 , fournies par les experiences dv Frauenhofer, sont respectivement (voir le Tableau VIII, § VI) (35)
0 2 = i,96r442,
0 4 = 1,975801,
0 6 =i,995381.
Les differences entre ces dernieres valeurs et les precedentes, savoir (36)
—0,000014,
—o,ooooo5,
—o,000023,
sont comparables et meme notablement inferieures, comme le prouvt1 le Tableau VII du § VI, aux plus grandes erreurs que comportent les observations. Si dans la formule (29) on pose, pour abreger, (37)
'"" r i — r>i— t>7^f — **5 \ ^ i — ^1**1) — t>i— t>7 " i — £>5^/>
cette formule donnera (38)
0 ; = D;(07 — 0j) -f- E,-(05— 0j) + F?(03— ©,)-+-©!
ou, ce qui revient au meme, \ 09)
\Ji
^1
u i
£ji
r 1) U j -f-
i
3-1
t
5 —r~
/
7•
D'ailleurs, des formules (37), jointes au Tableau XVII, on deduira facilement les valeurs suivantes des coefficients que renferment les formules (38) et (39).
380
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU XIX.
Valeurs de Dh E,-, F t .
2.
0,03759
LC-+-D-)
4.
6.
—0,08927
o,443i3
9 5o68 7 7
646533o
L(C,)
7112983
7112983
7112983
L(+C7D;) c.
2862447
6619860
35783i3
—o,o5256
0,3653o
2,90072
-CD,
—o,i933i
0,45918
—2,27946
Ei
—0,24587
0,82448
0,62126
3907055
9161801
7932734
L(B5)..,
4469529
4469529
4469529
L( + B5E;)
8376584
363i33o
2402263
5749464
9506877
646533o
L(B7)
7692267
7692267
7692267
L(+B 7 D;)
3441731
7'99J44
4i57597
B;
0,26963
1,94841
4,42926
—0,22089
0,52470
—2,60471
0,68811
-2,30745
-i, 7 38 7 i
F;
o,73685
o,i6566
0,o8584
L(F,)
8673791
2T92177
9 3368 9 7
I
1,00000
1,00000
J,00000
—0,03759
0,08927
—o,443i3
0,24587
—0,82448
—0,62126
—0,73685
—0,16566
—0,o8584
0,47143
0,09913
—o,i5o23
6734172
9962051
1767567
L ( — E-)
-B7D(
— Ei -F, I —D/-E;-Fj L[+(I
D<
E
'
F<)1
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
381
En consequence, on tirera de la formule (38) 0 2 = 0, + 0,73685(03— 0 0 - 0,24587(0 5 - 0X) + 0,03759(07—00, (4o)
0 4 = 0 1 + 0,16566(03-00 + 0,82448(05— ©1) — 0,08927(07—00, 0 6 = 02 + 0,08584(03—00 + o,62i26(0 5 - 0 0 + 0,44313(07-0,),
et de la formule (3g) 02 —
o,47i43©i + o,73685®3 5 —0,08927©,,
6 = —0,15023®! H-o,o85840 3 -h 0,6212665 +o,443130 7 .
Les formules (4°) ou (4 1 )* appliquees a une substance quelconqiie, donneront pour cette substance les valeurs de 02,
0V,
06
quand on aura deduit de Fexperience celles de »!,
03,
©5,
®7.
Pour montrer un exemple de cette application, considerons de nouveau la solution de potasse. Alors les valeurs des quantites &n @3, @5, 0 7 et de leurs differences successives seront fournies par les equations (3o), (3i), et la substitution de ces valeurs dans les formules (40) ou, ce qui revient au meme, dans la formule (38), donnera naissance au Tableau suivant.
382
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES, TABLEAU XX.
Valeurs de 0 2 , 0 4 , 0 6 deduites de la for mule (4o) et relatives a la solution de potasse.
2.
4.
6.
L(F/)
867379i
L(03-0i)
9 4 9 4388
2192177 9494388
9336897 9494388
L[(0 3 -0i)F,]
8168179
1686565
8831285
.
3907055 3753709
9164801 3753709
7932734 3753709
L[= F (0 5 -0 1 )E,-j
7660764
2915510
1686443
L(-+- D{)
L(07-0i)
5749464 6733712
9606877 6733712
646533o 6733712
L[+(0 7 -0i)D / ]
2483176
6240589
3199042
0! F;(0 3 - 0 X ) E;(05—©i) 0/(07-0!)
1,95896i 65 5 9 — 5835 1771
1,968961 i4;5 19568 — 4208
1,968961 764 i4745 20888
0,-
1,961456
i,975796
i,995358
i.
L(q=E;)
L(05-0i)
Or ce Tableau, comme on devait s'y attendre, reproduit preeisement les valeurs de @2, @4, @0 ci-dessus deduites de la formule (29) et determinees par les formules (34). On pourrait faire servir les valeurs de A4©/, donnees par le Tableau VII, a la determination des valeurs corrigees de @i que fournirait la formule (4o) ou ( 4 0 appliquee successivement aux diverses substances. Observons, en effet, que ces formules, comprises ellesmemes dans Tequation (38) ou (39), sont deduites d'une equation qui ne subsiste qu'approximativement, savoir de l'equation (16), qui devient rigoureuse, et se transforme en Tequation (i5) lorsqu'on y remplace ©, par 0
en substituant a ©f la valeur observee. II en resulte qu'a leur tour
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
383
les equations ( 3 8 ) et ( 3 9 ) deviendront rigoureuses si l'on y remplacr ®1»
03,
^5?
®7»
®i
par ©,-A*©,,
0 3 -A*0 3 ,
0 5 -A 4 0 5 ,
0 7 -A 4 0 7 ,
©,-A*©,-.
Ainsi, par exemple, les valeurs observees de 01,
0.3, 05,
07, ©i
verifient en toute rigueur l'equation f
[0 / A 0 , I
( i D , E , F , ) ( 0
1
A 0
1
)
•+- F / ( © 3 - A*03) -h E , ( 0 5 - A 4 0 5 ) + D , ( 0 7 - A 4 © 7 ).
Or on tire de cette derniere formule
(43)
= 0,-- A40,-+ (1 - D — E,-- F£) A'^i
Done le second membre de l'equation (39), 011 la valour corri^ee de ©z fournie par cette equation, est la somme des deux qnantites 0,—A 0Z et
(44)
( i - D / - E ^ ~ F / ) A 4 8 1 + F/A4©8-hEl-A*©4+D/A*©7,
dont la premiere se trouve, pour chaque substance et pour chaqur rayon, immediatement donnee par lo Tableau VIII, tandis que la seconde pent etre facilement deduite des valeurs obtenues pour A401?
A403,
A^0 5 , A 4 0 7 .
Si dans Texpression (44) on pose successivement
384
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQUES.
cette expression acquerra, eu egard au Tableau XIX, les formes suivantes : I
o,47i43 A ^ - h o,73865 A 4 0 3 - 0,24587 A 4 0 5 -t- o,o3 7 5 9 A 4 0 7 , 0,09913 A 4 0 4 +0,16566 A 4 0 3 + 0,82448 A 4 0 5 — 0,08927 A 4 0 7 ,
(45) (
3 4-0,62126
A 4 0 5 + o,443i3A 4 0 7 .
Comme des valeurs numeriques de A4®,-, exprimees en millioniemes et fournies par le Tableau VII, la plus grande io3 est seule composee de trois chiffres, chacune des autres renferme deux chiffres au plus, il est clair que, dans revaluation en nombres des polynomes (45), on pourra, sans erreur sensible, reduire chaque coefficient a ses deux premiers chiffres decimaux et, par suite, ces polynomes eux-memes aux trois suivants : 0,47 A 4 0j + 0 , 7 4 A 4 0 3 —o,25 A 4 0 5 + o , o 4 A 4 0 7 ,
(46)
0,10 A40X + 0 , 1 7 A 4 0 3 + o,82A 4 0 5 — 0,09 A 4 0 7 , - o,i5 A 4 0! 4- 0,09 A 4 0 3 + 0,62 A 4 0 5 -h o,44 A 4 0 7 .
En substituant dans ces derniers polynomes les valeurs de A4®,, A4®3, A4®5, A4®7 tirees du Tableau VII, et retranchant des resultats ainsi calcules les valeurs de A4©,, on obtiendra les corrections que doivent subir les valeurs de @; fournies par l'experience pour se transformer en celles que donneraient les formules (3g). Les corrections dont il s'agit se trouvent determinees, pour chacun des trois rayons C, F, G de Frauenhofer, dans le Tableau que nous allons tracer.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
385
TABLEAU XXI.
Corrections
de ®2> @4> ®e exprimees
GROWNGL ASS. — - ^ • ^ ~-~ .«
SOLUTION de potasse.
~EALU.
a.
I*
— 22 — I I
—6 36
A*07
—17
20
— 10
—5
o,74A*03.. .. —4
10
— 1
o,47A*0i....
i3
3
FL INTGLi w
3Q
c —9 59 - 1 4 y 4o 26 —13
—9
6 _7 —35
—2
-4 44
— 10 •2
3 —6 8 -52 5 3 1
18
3
—10
o,o4A*67....
—i
1
0
0
0
1
0
Somme . . . . - 2 4
5
7 —35 2 5 3 i 18 — 3 i — 1 9 —7 —9
—5
—53
14
56
5o
—1
1
—1
4
2
<>
-8
0
3o
1
7
-o,ogA*e7....
2
—2
Somme . . . .
29 — 12
1
A4e4
- I
Correction de 0 4 .
4i
— o , i 5 A^1 0 j . . . .
3
o,ogA*03
— l
—1
—6
2
0
-23 -29 0
1
14
27
5
—3
4 15
—1
— 54
0
•>5
49
11
22
i
1
—8 — '9
—63
—1 —I
0
—4
0
5
2
- 6 — 17
—22
25
—1
—2
—4
12
i5
3
34 — 18 6 —9 48
I
j
—3
7i
5 — 6 3
—20 —90
35
-59
J
- I
—
2 I
—2 1
2 • *>
0
66
]
i38 —91
I
2
0
—8
-
—I
—6
1
2
3
J
—5 —9 —14 —r> —8 — 16
10
14 —9 —21 — 3 2 43 —13 20 —68 1] 42 34 —17 — 23 16
11 ]
J I —28
35
1
2
2
8
—6
—2
de C. — S. II, t . X .
4
—72
4 —10
3
9
OEuvres
2
i3
73
-74
—1
24 —21
— 12 — 18
—2
I
9
i
—2
10
I
Q
I
33 —7
1
-44
io3
40 -io3 —1 [
- 1 1
—5 —7 r > — ' 9
—22 — J J
M) - 3 6 —15
1
22
37
0
f
0
—8
33
6
]
—1
o,62A*0s....
Correction de 06-
5i
z
6 —2 3
—6 — 32 —24 4o —7 43 — J —33 — 1 - 1
1
7
2
— 2 — 12
o,44A*67.... Somme . . . .
11
T
—4
35
9
—2
i3
—j
7
o.ioAie,.... o,i7A^03 o,82A^A5...
6
— 1 —"47 98
2
Correction d e 0 2 . —65
i
'a
—1
4i
0
tL
-9
*
r.
ml
— o,25A*05....
At0
millioniemes.
O O
I '->
A*e 3 A40
en
—33
j
1
—1
-34
->s 4-92
2 5 —14
—3
—:>2.
4^ >
—1
4 —13 32 -4
42
4
—80
8 -45
12}
7
—0
386
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQ UES.
Pour atteindre une plus grande exactitude, nous avons, dans les multiplications, remplace les valeurs approchees des coefficients de A4©,, A 4 0 3 , . . . , c'est-a-dire les nombres
ecrits a la marge du Tableau XXI, par les nombres
c'est-a-dire par les valeurs des memes coefficients prises dans les expressions (45), toutes les fois que la reduction de Tun de ces coefficients a sa valeur approchee pouvait augmenter ou diminuer d'une unite le dernier chiffre du produit. La derniere colonne verticale du Tableau XXI, composee de sommes qui se deduisent les unes des autres et dont chacune, comme on devait s'y attendre, differe tres peu de zero, sert a confirmer la justesse de nos calculs. Si Ton fait subir les corrections indiquees par le Tableau XXI aux valeurs de 02,
®4,
®6
deduites de Texperience, on obtiendra celles que determinerait la formule (39) et que presente le Tableau XXII. La derniere colonne verticale de ce Tableau, composee de sommes qui se deduisent les unes des autres, sert a confirmer la justesse de nos calculs.
TABLEAU X X I I . Valeurs
EAU.
l
re
scrie.
V serie.
SOLUTION do polasse.
corrigees
IIUILE de terebenthine.
de 0 2 , 0 4 , 0 O en vertu
de la fonnule
CHOWNGLASS.
(3g).
FLINTGLASS. SOMMES.
i re espece.
2e espece.
3e espece.
lr0 espece.
2" espece.
3° espece, l re serie.
3 e e^i>ftce. 2e scrie.
4C espece.
1,773457 T,773449 I,96l442 2,l654O2 2,326538 2,331269 2,420927 2,J72I75 2,642177 2,63i854 2,65l9I2 2,65586i 27,926463 5o —io3 — I I 4O 8 3 56 —53 — 11 —63 74 14 Correction. 0->
Val. corr. .
r,773392 1,773463 I,96lf56 2,i65349 2,326594 2 , 3 3 i 3 i 9 2,420916 2,5722l5 2,642074 2,63i843 2,631915 >,655935 27,926471
e4 Correction. Veil. corr..
e, Correction. V;il. corr. .
1,784492 1,970801 2 , T 8 5 5 2 8 r,343iOT 2,35oio5 2,443438 2,606712 2,680936 2,691384 2,691225 2,696244 28,235463 4i
—6
—5
-
7
5
73
—8
-19
-63
35
T38
—9i
1
en
> H
i,78453S [,784486 I>97579(» 2,185453 2,345082 2,350178 2,44343o 2,606693 2,680873 2,691419 2,69i363 2,696153 28,235464
1,799068 1,798981 r,9953,Si 2,2i4734 s , 8 7 i 3 i 7 2,376707 2,476012 2,6594l8 2,7Jo37o 2,751781 2,751776 2,756547 28,692092 — 35 — 22 111 33 —33 8 12 2 —6 -74 37 -4 —92 —4 5
O
1,7991 of 1,7990 1 8 1,093339 2 , 2 l 4 ( > 7 C ) 2,3712 [3 •2,376818 2,i7 5 979 >,659422 2,74 0-278 2,731789 2,751731 2,756669 •28,692086 CO
388
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Les valeurs corrigees de 0 2 , 0 4 , 0O que fournit le Tableau XX, etant deduites chacune des valeurs de 0; correspondantes a quatre rayons differents, savoir aux rayons B, D, F, H de Frauenhofer, meritent plus de confiance que les valeurs de 0 2 , 0 4 , 0O directement fournies par l'experience, puisque chacune de ces dernieres est tiree d'une seule observation. Mais on doit avoir plus de confiance encore dans les valeurs corrigees de 0 2 , 0 4 , 0 6 que presente le Tableau VIII, et qui s'y trouvent representees par 0 2 -A*0 2 ,
0 4 -A*0 4 ,
0 6 -A*0 6 ,
puisque, a la determination de chacune d'elles, concourent les observations faites, non plus seulement sur quatre rayons, mais sur les sept rayons B, C, D, E, F, G, H. Cette conclusion se trouve d'accord avec la remarque facile a faire que les corrections de 0 2 , 0 4 , 0 fi , determinees dans le Tableau XXI, offrent en general des valeurs numeriques superieures aux valeurs numeriques correspondantes des quantites A 4 0 2 , A 4 0 4 , A40C, qui representent au signe pres dans le Tableau VIII les corrections de 0 2 , 0 4 , 0 6 . Effectivement, dans le Tableau XXI, la correction de 0 2 , par exemple, est, pour toutes les substances, excepte pour la 3 e espece de flintglass, la difference qu'on obtient quand on retranche la quantite A402 d'une autre quantite affectee d'un signe contraire, en sorte que les valeurs numeriques de ces deux quantites s'ajoutent pour former celle de la correction de 0 2 . Au reste, les plus grandes des valeurs numeriques des corrections de 0 2 , 0 4 , 0O exprimees en millioniemes dans le Tableau XXI, ou les quantites 0,000122,
o,oooi38,
sont encore inferieures au nombre 0,000159,
qui represente la plus grande des valeurs numeriques des variations de 0, comprises dans la 7e ligne horizontal du Tableau VII du § VI, ct, par consequent, se trouvent renfermees entre les limites que comportent les erreurs d'observation.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
389
§ VIII. — Remarques sur les resultats obtenus dans les paragraphes precedents. En etablissant les formules a l'aide desquelles ont ete calcules les nombres que renferment les divers Tableaux des deux derniers paragraphes, et specialement le Tableau VIII du § VII, nous avons suppose que, dans chaque substance, Telasticite de Tether restait la meme en tous sens, et qu'en consequence les milieux traverses par la lumiere etaient du nombre de ceux qui offrent les phenomenes de la refraction simple. Dans cette supposition, les quatre quantites dont sc composent les valeurs corrigees de ©,, c'est-a-dire les quantites designees dans le Tableau VIII du § VII par /
T
\
fa
'V
°r";
doivent, comme on l'a dit, former generalement, abstraction faite de leurs signes, une suite decroissante. Mais nos formules pourraient cesser d'etre rigoureusement applicables si Tune des substances possedait, meme a un faible degre, la propriete de faire subir aux rayons lumineux une refraction double, et alors la condition ci-dessus enoncee, savoir que les valeurs numeriques des quantites (i) forment une suite decroissante, pourrait cesser d'etre verifiee, surtout pour la substance dont il s'agit. Or, dans le Tableau VIII du § VII, la seule substance pour laquelle la condition enoncee ne soit pas toujours remplie est l'huile de terebenthine. Done l'inspection de ce Tableau nous conduit a penser que, si Tune des substances employees par Frauenhofer produit a un faible degre la double refraction, ce doit etre l'huile de terebenthine. Effectivement, M. Biot a reconnu que le plan de polarisation d'un rayon lumineux, et par suite le plan mene par le rayon et dans lequel se deplacent les molecules d'ether, change plus ou moins de direction lorsqu'il a traverse une couche plus ou moins epaisse d'huile de terebenthine; et cette observation, comme nous le verrons plus tard, prouve que l'huile de terebenthine possede, quoiqu'a un faible degre, la propriete d'etre dou-
390
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
blement refringente. Si, en raison de cette circonstance, on exclut l'huile de terebenthine des calculs relatifs a la determination des valeurs corrigees de @;, alors, a la place des Tableaux II et suivants du § VII, on obtiendra ceux que nous allons former. D'abord, si des sommes representees dans le Tableau II (§ VII) par 2'A©/ et 2'S'A©,
on retranche les valeurs de A0,
et
S'A0,
relatives a l'huile de terebenthine, on obtiendra pour ces memes sommes et pour (3.,- de nouvelles valeurs qui seront fournies par le Tableau suivant. TABLEAU
I.
Valeurs de (3;.
i.
S'A0;
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0,401707 0,355i22 0,229239 0,066248 -0,080239 -o,36ii75 -0,610898 2,104628
L(±2'A0;)... 6039094 55o3775 3602886 8211728
9 o43855
5577177
7859688
L(2'S'A0;)... 3231754 323i754 323i754 .3231754
3231754
3231754
3231754
LO-i-pO
5812101
2345423
4627934
h
s'S'A'e...
2807340 2272021 0371132 4979974
S'p*
0,[90868 0,168734 0,108921 0,031477 -o,o38i25 -0,171610 -0,290264 o,999999
Si maintenant on joint les nouvelles valeurs de $t aux valeurs de S'A©, que presente le Tableau II du § VII, on deduira successivement des formules (4), (3) et (1) de ce meme paragraphe les valeurs des quantites SrJ, A20;, yr, 2rJ, A30,, 3,; &?, comprises dans les Tableaux que nous allons tracer.
TABLEAU I I .
Valeurs de A 2 0, et de yt.
A'©a.
i r e serie
-O,OOO677 -0,000246 - 0 , 0 0 0 6 l 0 -0,000294 -O,OOO572 -0,000270 r e espece -o,ooo355 -0,000232 2e espece -0,000387 -0,000220 3 e espece -o,oooi56 -0,000121 i re espece 0,000326 0,000264 2e espece o,ooo6o5 o,ooo383 3 e esp., i r e serie. 0,000690 O,OOO3O2 I3e esp., 2 e serie. 0,000788 o,ooo356 ' 4 e espeee o,ooo348 0,000077
Eau. 2e serift Solution de potasse Crownglass.
Flintglass..
2 A2€);
0,000000 -0,000001
2
£"A 9/
LCzn y,-) 7/
.
A2©,
A»8,.
A2©6.
A2©7.
0,000296 0,000276 0,000263 0,000159 0,000209 0,000022 -0,oooo54 -0,000329 ~o,ooo333 -0,000328 -0,000179
0,000627 0,000627 0,000579 0,000428 0,000396 o,000254 -o,ooo535 -o,ooo658 -0,000661 -0,000813 -0,000246
0,000732 0,000679 0,000622 O,OOO438 0,000509 0,000269 -0,ooo631 -0,000795 -0,000692 -0,000760 -0,000371
o,oooi56 0,000139 0,000170 o,oooi53 0,000040 0,000076 -0,000114 -0,000112 -0,000177 -0,000160 -0,000172
-0,000888 -0,000820 -0,000791 -0,000592 -o,ooo55i -o,ooo345 0,000746 0,000908 0,000869 0,000922 0, ooo54 2
A'^ A2©.J+A2©4 3 2 +A 2 © 5 +A 2 © 6 . + A © 2 + A © 7 .
0,00)811 0,001721 0,ooi635 0,001178
o,oon54 0,000621
-o,ooi334 -0,001894 -0,ooi863 -0,001061 -0,000968
-0,00l8ll -0,001724 -0,ooi633 -0,001179 -0,001158 -0,000622 o,ooi33C 0,001896 0,001861 0,002066 0,000967
SA 2 ©..
-o,oo55i4 -0,002765
)
-0,016246 0,016246
0,000000
2S"A2 0 ;
0,00000
0,001469 -0,007974
£"S"A2 0 ;
0,032492
L(S"S"A2 0 / )
5117764
0,000002 0,000002 0,000000 -0,000001 0,002448 0,005824 0,006498
74x4668 5117764
4416951 5117764
3888n4
765221J
5117764
5117764
8127797 5117764
1670218 5117764
9016762 5117764
2296904
9 2 99^7
8770350
253445o
3oioo33
6552454
3898998 Ys+Y^+Ys+Yel
Yi+Ys+Y7
O
-O,5OO2I
-0,16970
-o,o85io
0,07534
0,17924
°>]9999
S"A2©..
0,003622 0,000000 o,oo3445 -o,ooooo3 0,003267 0,000001 0,002357 -0,000001 0,002312 -0,000004 0,001243 -0,000001 0,000002 -0,002670 0,000002 -0,003790 -0,000002 -0,003724 o,ooooo5 -0,004127 -0,000004 -0,001935
Flintglass 0,002757 o,ooi382 -0,001223 -0,002913 -0,003249 -0,000735 0,003987 Les autres sub-0,002757 -o,ooi383 0,001225 0,002911 0,003249 0,000734 -0,003987 stances
Somnles
Lf2" LCL"
A»8 a .
o,o452i
-0,24541
3 49978
SY/ -0,0004
S'Y* °,99999
L(±S"A 2 ©.).
558 9 484 5371892 5141491 3723596 363 9 8 7 8 0944711 4265i13 5786392 5710097 6i56345 2866810
TABLEAU 111.
Valeurs
A 3 0,.
A36S.
-0,000062 0,000062 i re serie 2e serie -0,000025 —0,000001 Solution de polasse -0,000017 0,000008 i r e espece. 0,0000,45 -o,oooo3i Crownglass.. 2e e s p e c e . . . o,ooooo5 -0,000023 3 e e s p e c e . . . o,oodo55 -o,OOOOT5 -0,000127 0,000037 i re espece -o,oooo38 0,000060 2e espece o.oooo58 -0.000015 3 e espece, i r e serie. 0,000088 o,ooooo5 3 e espece, ie serie. 0,000020 -0,000088 4e espece
Eau.
A30..
A30,.
-0,000022 -0,000008 -0,000008 -0,000001 0,000016 0,0000[o -0,000010 -0,000017 0,000025 0,000017 -0,000007 -o,oooo3i 0,000022 0,000011 -0,000019 0,000006 -o,oooo33 O,OOOO46 -0,000013 o,oooo35 -0,000018 0,000047 -0,000065 0,000016 -0,000072 o,oooo3i 0,000020 0,000020 -0,000040 0,000147 -o,oooo56 -0,000097 0,000007 0,000091 -0,000022 -o,oooo43 0,000021 -0,000037 -o,oooo52 0,000007 o,oooo53 -O,OOOOO9 -o,oooo45 -0,000017 -0,000073 o,oooo65 0,000027 -0,000091 -o,oooo33 0,000101 0,000016 -0,000085 0,000067 0,000023
A0-
0,000076
O,oooo23 o,oooo58 -0,000017
-0,000076 -0,000025 -o,oooo55 0,000018
o,oooo34 o ,000106 0,000282 -0,000280 o;oooo54 -o,oooo54 -0,000121 0,000118 -0,000076 0,000080 -0,000139 0,000137
-0,000037
-0,000107
SA30,..
L(±S wA 30.).
O,OOOl52 1818436 o, oooo|8 68T24T2 o,ooooo3 0,0001i3 0530784 -0,000001 -o,oooo35 5440680 -o,ooooo3 -0,000071 8542584 -0,000001 -0,000213 3283796 0,000002 o,ooo562 7497363 0,000000 0,000108 .O334238 -o,ooooo3 -0,000239 3783979 0.000004 -o,oooi56 1931246 -0,000002 -0,000276 4409091 0,000000
-0,000002
Eau, potasse, flintglass, -0,000269 0,000166 o,ooo[6o -o,oooo54 -0,000167 o,oooo63 0,000104 i r e et 2 e espece Les autres substances... 0,000271 -0,000167 -o,oooi58 o,oooo54 0,000168 -0,000066 -0,000106
-0,000990
0,000001 -o,ooooo3 -0,000002
-0,000007
0,00000'
IT A* 6/.
8/
de A 2 0 , et de
-0,000001
0,00000:
0,000000
-o,ooo54o
o,ooo333
2951271
2951271
5024271 2951271
0334238 2951271
4372667
2273171
2073000
-0,2737
0,1688
0,1612
o,ooo3i8 -0,000108 -o,ooo335
0,000983
0,000129
0,000210
0,001973
1105897 2951271
3222193 2951271
2951271
2951271
7382967
2299177
8r54626
0270922
3+§6+87
-0,0547
-0,1698
o,o654
0,1064
o,5oi8
1+ O4+ Og
-0,4982
0,004
1,0000
393 NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
39k
TABLEAU I V .
Valeurs de 0 , %, 5'!, S™, 0, — A 4 0, e/ A 4 0,.
r" serie.
Ci
0 2r'.
FLINTGLASS.
CROWNGLASS.
EAU.
2" serie.
SOLUTION ile polasse.
l'e espece.
2* espece.
3' espece.
1" espece.
3e espece, V scrie.
2° espece
SOMMES. 3' espece, 2' serie.
4' espece.
I,786201 1,786186 1,978320 2,348779 2,353887 2,44826o 2,615351 2,6go72i 2,7Ol33l 2,701322 2,7O5825 2 6 , I l 6 l 8 3 — 56294 —566o5 —0,401707 — 14076 - 1 8 7 8 7 —248g7 —25336 —30782 —49 l 3 9 —55345 —6l5 —555 700 —585 643 453 — 4oo — 21 1 632 328 — 392 — 3i 43 -42 10 I —13 —3o 58 65 — 154 76 19 •>,
0, —A*0, —20
1,771512 1,958947 2,323492 2,328178 2,417325 •2,566511 2,635989 —12 35 —3 27 —8
—7
2,645771 2,649624 — 56 45
I
2,6458l6 2,64g568 25,714476
©i
I , 7 7 l 3 8 7 i,77i5oo 1,958961 2,323527 2,328164 2,417322 2,566538 2,03 3981 2,745712
0
y
I,786201 1,786186 1,978320 2,348779 2,353887 2,448260 2,615351 2,090721 2,701331 2,7Ol3'22 2,705826 26,Il6l83 - 1 2 4 9 8 -12443 —1OO08 — 2 2 0 0 9 —223g8 —27212 —43440 —48927 —49779 - 4 9 7 6 6 —5oo4i —0,355i2i 0 —201 -293 —106 35i -278 227 — 3o8 3i7 — 197 i63 —6 —1 — 12 8 — 36 —4o 18 —26 26 19 95 —47
A1©,
',773421 1,773438 36 —9
,960433 2,326363 2,33i28o 2,420906 2,5/2233 2,042i35 2,651829 2 , 6 3 I 8 8 I 2,055go2 25,761061 — 25 —11 —11 21 — 58 0 25 3i 42
,773457 1,773449 1,960442 2,326538 2,331269 2,420927 2,572175 2,642177 2,65i854 2,651912 2,65580i
02
1,786201 1,786186 i,97832t> 2,348779 2,353887 2,448260 2,615351 —8068 —8o33 —10721 —14208 — i4459 — 17066 —28042 260 178 24O •74 273 —201 94 8 —6 18 —34 —11 24 9'
0
2,7OI33I 2,701322 2,705825
—31584 —3?. 133 —281 —286 17
32125
—3n —25
25,761061
2.6,II6I83
—32302 —0,2292(1 0 -.46 —1 -44
ll~^&3
i,77843o 1 ,7784-). 1 ,967863 2,334743 2,339591 2,430754 2,587199 2,658868 2,603878 2,668861 2,673333 25,886941 — i —1 —13 8 56 46 — 38 -60 8 — 13 11 3
0:,
[,778429 1,778429 1,967862 2,33473o 2,339637 2,430716 2,587255 2,6588o8 2,008863 2,668869 2,673344
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26,477360
2,371.317 2,370707 2,476012 2,639{i8 2,740370 2,731781 2,751776 2,736547
26,477358
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26,116183
1 io55 11247 11307 0,080239 981.5 11244 —82 5 -758 4.62 —534 -387 —745 2 —18 26 12 -95 47 2,359422 2,454693 2,62.4537 2,701000 2,711874 2,711767 2,716792 26,196423 35 — 16 —2 12 — 3i — i -19 39 2,359457 2,434677 2,624535 2,700981 2,711886 2,711806 2,716761 26,196422
1,786201 1,786180 r,g78320 2,348779 2,353887 2,448260 2,61535i 2,690721 2,70i33i 2,701322 2,700825 12711 12(350 2767 5 50627 22385 22780 44181 5o6i4 5o8g4 i68gi . 164 130 50 — 168 -187 107 — 171 io5 -87 — 121 i48 10 — 16 J —5 —10 — 18 -M 37 7 7 " — 1 8
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-39 1,789737 1,789677 1,982695 2,354190
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6148 249 36
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— 3O7 —8
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2, -0 1322 2,705825 856og 86085 ioi3 475 — 16 —25 — 2C
85632 9'4
26,116183 0,610898
1,8o683o 1,806752 2,ooGion 2,386o58 2,391843 2,49i7i3 2,090794 2,775825 2,787852 2,78792*: 2,792351 26,727082 —17 —1 —20 20 3 -33 -70 —9 9* i,8oOSi3 1,806772 2,ooGogc 2,386o_i 9 2,091867 2,49472* 2,690725 2,775796 2,787882 2,787853 2,79244< 26,727081
NOUVEAUX EXERCICES DE MATIIEMATIQUES.
393
Pour abreger, nous avons omis ici les Tableaux analogues aux Tableaux III, V et VII du § VII, c'est-a-dire ceux qui servent a determiner les valeurs de f f
b
A2 A
V'
'J I 9
Aii reste. Inexactitude de ces valeurs peut etre aisement verifiee a Taide des seuls Tableaux que nous venons de presenter. Ainsi, en particulier, pour obtenir les valeurs de
relatives a Teau (i r e serie), il suffira d'ajouter respectivemenl aux logarithmes de Pi,
'/u
<5i,
pris dans les Tableaux I, II et III, c'est-a-dire aux nombres 2807340,
2296904,
4372667,
les logarithmes des valeurs de S"A20;,
-S'A0/,
S/;/A3e/
relatives a l'eau ( i r e serie), pris dans ces memes Tableaux et dans lc Tableau II du § VII, c'est-a-dire les nombres 8696365, 5589484,
I8I8436.
Les sommes formees, comme on vient de le dire, savoir i5o37o5,
7886388, 6191103,
representeront les logarithmes decimaux des nombres o,oiZji37,
o,ooo6i5,
0,000042,
qui, pris avec le signe —, offriront precisement les valeurs de cy
o-'f
•^ 1 9
~* 1 9
c-"' *J 1
inscrites dans le Tableau IV. 11 sera d'ailleurs facile de verifier, a
396
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
l'aide de ces valeurs, celles que nous avons assignees a
car on tirera des equations (i) du § VII, en ayant egard au Tableau II de ce meme paragraphe, A 2 0 i = A0 1 — ^ = —0,014814 + 0,14137
=—0,000677,
A 3 0 t i=: A 2 0! — S"j = — 0,000677 "+" o,ooo6i5 = — 0,000062, A 4 0 i = : A 3 0i — ?s"l = — 0,000062 + 0,000042 = — 0,000020.
Dans le Tableau IV, ainsi qu'on devait s'y attendre, les valeurs numeriques des quatre quantites
torment, pour chaque substance et pour chaque rayon, une suite decroissante. Les valeurs corrigees de ©, ou les valeurs de
que fournit ce meme Tableau, sont toutes comprises dans les formules (11) ou (16) du § VII, desquelles on peut les deduire, en substituant aux quantites 0,
1K = S'A0;,
t> = S"A 2 0;,
tt) = SWA30i-
et les valeurs que nous venons d'employer, et qui se trouvent reunies dans les Tableaux V et VI. Quant aux valeurs des trois sommes representees dans la formule dont il s'agit par les notations S'fr,
S'y/f S"y,,
on les deduira sans peine des formules (6) du § VII, et Ton trouvera / S" pt= 0,430662 — 0,569337 —— o, 138675, (2)
j S"y i =o,3i5 7 8o-o,6842i 9 =:-o,368439, «yi = 0,29025 —0,70974 =—0,41949.
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397 NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
398
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Aux valeurs corrigees de &i9 fournies par le Tableau IV et representees par correspondront des valeurs corrigees de 0; que nous representerons encore par et dans lesquelles on determinera A4Q, avec une approximation suffisante a Faide de la formule (i3) du § VII. Effectivement les valeurs de A'O, ainsi obtenues, et inscrites dans le Tableau suivant, verifient seiisiblement la double condition de fournir, pour les quantites (i5o) ou pour les quantites (i51) du § VI, quatre valeurs egales au signe pres, mais alternativement affectees de signes contraires. TABLEAU
VII.
4
Valeurs de A 0;, . . . exprimees en millioniemes.
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NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
399
Au reste, les valeurs de A%, inscrites dans le Tableau precedent, different tres peu de celles que fournissait le Tableau XII du § VII. En effet, les differences entre les unes et les autrcs, etant exprimees en millioniemes, sont telles que les offre le Tableau suivant.
TABLEAU V I I I .
Differences entre les valeurs de A^Q; obtenues dans les §§ VIII el VII.
EAU.
FLINTGLASS.
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Done ces differences sont generalement tres petites et inferieures ou tout au plus egales a io millioniemes, si Ton en excepte une qui s'eleve a i4 millioriiemes seulement. En retranchant les valeurs de A4Q; fournies par le Tableau VII des valeurs de 0, donnees par le Tableau I du § VI, et remplagant les deux valeurs d'une meme quantite qui correspondent aux deux series d'experiences faites sur l'eau ou la troisieme espece de flintglass par la moyenne arithmetique entre ces deux valeurs, on obtiendra les valeurs corrigees de 6/ ou, en d'autres termes, les valeurs de
inscrites dans le Tableau suivant.
400
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES. TABLEAU IX.
Valeurs de Qt — A*0,.
SOLUTION EAU.
de potasse.
FLINTGLASS.
CROWNGLASS. l r e esp^ce.
2e csp^ce.
3° esp6ce.
l' c cspece.
2B esp^ce.
3C esp6ce.
4C esp6ce.
0,-A^O, 1,330963 1,399624 I,5243o[ 1,525837 1,554775 I,6O2O34 1,623572 1,626574 1,627766
o 2 —A*e 2 1,331705 [,4oo5i9 I,525307 i,526853 [,555926 [,6o38i8 1,625464 l,62845l [,629694 e 3 — A^O 3 . i,333576 [,402805 1,527986 [,529572 1,559087 1,608477 i,63o6o3 1,633668 i,635o33 e 4 — A * O V . .,33585o 1,4o563'2 1,531371 [,533oi2 05—A*6S. [,408086 [,534350 1,536o4i 1,337796 6 G — A ^ 0 6 . I , 3 4 I > 8 5 \y\\i~)~\ 1,539892 1,541676 oT -A*e 7 . .,314.69 i , 4 i 6 3 6 8 1,54{687 i,546558
i,563i46 I , 6 I 4 5 4 O [,637348 1,64o533 1,566746 1,620043 1,643472 1,646760 i,57352.{ 1,630781 1,655390 [,658842 i,57947:> i,64o364 1,666082 1,669697
1,641998 1,648269 1,66o3o5 1,671033
D'apres ce qui a ete dit, les valeurs corrigecs de 6,-, representees ici par 0/— A'O,, doivent meriter plus de confiance que les valeurs de 0, fournies par les observations, ou meme que les valeurs de 0,- — A46,calculees dans les §§ VI et VII. § IX. — Sur la propagation de la lumiere dans les milieux ou sa vitesse reste la meme pour toutes les couleurs. On ne peut douter que, dans le vide, c'est-a-dire dans cet espace dont l'etendue effraye ('imagination et au travers duquel les rayons des astres parviennent jusqu'a nous, la vitesse de la lumiere ne reste la meme pour toutes les couleurs. Autrement les etoiles nous apparaitraient, non plus comme des points brillants, mais comme des bandes lumineuses et tres etroites qui offriraient a nos yeux les diverses nuances du spectre solaire. Ainsi le fluide ethere, lorsqu'il est seul, et que sa constitution naturelle n'est pas modifiee par la presence des corps ponderables, a la propriete de transmettre avec la meme vitesse les rayons diversement colores, par exemple les rayons rouges et les rayons violets. II y a plus : Tether parait conserver encore cette propriete lorsque ses molecules se frouvent en presence de celles d'un
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES.
401
corps gazeux; du moins jusqu'a ce jour on n'a pu decouvrir dans les gaz aucune trace de la dispersion des couleurs. Done, sous certaines conditions, la vitesse de propagation de la lumiere, ou la quantite representee par £}, dans le § II et les suivants, doit devenir independante de Tepaisseur / des ondes lumineuses. En d'autres termes, les formules ( i ) et ( 3 ) du § III, savoir (1)
i2T = /
et (2)
S=
k'Q,
doivent, sous certaines conditions, fournir pour la duree T des vibrations lumineuses une valeur proportionnelle a /, et pour la quantite (3)
s - ^
une valeur proportionnelle a celle de / r\
,
(4)
A =
2 77 T
-
C'est de la recherche de ces conditions que nous allons maintenant nous occuper. Considerons des vibrations lumineuses propagees dans le vide, ou generalement dans un milieu ou Telasticite de Tether reste la mo me en tous sens. Alors les quantites s et k seront liees entre elles par la formule (79) ou (80) du § III. On pourra meme debarrasser cette formule de Tangle a, en ayant egard aux equations (5o) et (5i) de la page 232, et a Tequation identique cos 2 a H- cos 2 (3 + cos 2 y = 1.
(5)
Effectivement, en vertu de cette derniere, et en etendant les sommes indiquees par le signe S a toutes les valeurs paires de X, jx, v qui verifient la condition
(6)
U ^ + -=», 2
C. — SA\,
t.X.
2
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NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMAT1QUES. on trouvera S [w/' 2 «- l f(r)] = S [mr*n-lf (r) (cos2a -+- cos2(3 j.2.3...n
y
(7)
1. 2 . . . -
1. 2 . . . *-
2/A
S[mr 2 n - 1 f(r) cos x a cos^(3 cos v y] 1. 2 . . . -
2/ V
2
puis on conclura de Pequation ( 7 ) combinee avec la formule (5o) du §111 •S[mrin~li
(8)
.--,„..-,* P - 3 . . . f t — 0 i.3...(a — J ) i.3...(v —1)" UL
V
1-
1.2. . . -
D'ailleurs, en designant par x, y, z des variables quelconques, on aura, en vertu d'une formule connue,
1.2...-
1.2...2
1. 2. D . . . n
puis on tirera de cette derniere equation, en y posant x—y=z=|
et multipliant les deux membres par 2",
(9) sr 1 ' 3 --^ 0 —~~ [. 2 . . . 2
1 . 2 . . . 2
Done la formule (8) donnera
et, par suite,
3.5...(2w —
1.2.3... n
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
403
Pareillement, on tirera de la formule (5) jointe a l'equation ( 5 i ) du § III 2ft-hi
Gela pose, la valeur de s1 determinee pai4 l'equation (So) du meme paragraphe deviendra
(12)
<
-*'brot^i Hi-D'autre part, comme la formule ( i 3 ) du § I donne
on aura generalement, pour une valeur quelconque du nombre entier n,
(2/1 (2 /i + 3) r-
2/^4-3
dr
et, en consequence, l'equation (12) pourra etre reduite a m r1
5 i.2.3
T- S
dr
7 1.2.3.4.5
m d[r«f(r)]
7
J~
—S
9 1.2.3.4.5.6.7
Enfin on a evidemment
1.2.3
7 1.2.3.4-5
/*
r
\i.2.3.4-5
1.2.3.4.5.6.7
1.2.3.4.5.6.7
dl^-I kr
7
2
dr
W
9
1
1.2.3
1.2.3.4-5.6.7.8.9
1
/
k- \
cos kr
sink — kr
1
/ o
i
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. Done la formule (i/|) poun*a s'ecrire comme il suit: |
m
d? Aii reste, la formule (i5), comme nous le prouverons dans un autre Memoire, pourrait encore se deduire immediatement de la formule (79) du § III. Les formules (79) et (80) du § III, ou la formule (i5), a laquelle on peut les reduire, se rapportent au cas ou, les conditions (48), (49), (DO), ( 5 I ) (§ III) se trouvant remplies, la propagation de la lumiere s'effectue de la meme maniere en tous sens; et nous devons ajouter que ce phenomene, qui a rigoureusement lieu dans le vide, subsiste approximativement dans les divers milieux, puisque, dans les corps doues de la double refraction, la difference entre les vitesses de propagation des rayons ordinaire et extraordinaire est generalement fort petite. Or les conditions que nous venons de rappeler se verifient toujours, comme il est facile de s'en assurer, lorsque, dans les sommes indiquees par le signe S et qui sont de Tune des formes S[7n/>2"-1f(/-)cosxacos^(3cosvy],
S[>?zr2/*-3/(>') cos* a cos^(3 cosvy],
les sommations relatives aux angles a, p, y, compris entre le rayon vecteur r et les demi-axes des coordonnees positives, peuvent etre remplacees par des integrations aux differences infiniment petites et relatives a deux angles auxiliaires/?, q lies aux trois premiers par les equations (16)
cosa~cos/?,
cos[3 = sinpeos^,
cosy — sin/> sinq,
Tangle/? etant celui que forme le rayon vecteur r avec un axe fixe, et Tangle q celui que forme un plan fixe mene par Taxe fixe avec le plan mobile qui renferme le meme axe et le rayon r. II est done naturel de penser qu'on obtiendra une premiere approximation des mouvements de Tether dans tous les milieux, et probablement avec une grande precision les lois de son mouvement dans le vide, si Ton change les som-
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEM VTIQUES.
405
mations doubles relatives aux angles/?, q en integrations doubles, ou meme les sommations triples relatives aux variables/?, q, r en integrations triples. Alors, en designant par p la densite de Tether au point avec lequel coincide la molecule in; par m une seconde molecule dont les coordonnees polaires soient/?, q, r; par F(r) une fonction du rayon vecteur r qui s'evanouisse pour r = cc, et par TT le rapport de la circonference au diametrc, ou le nombre 3,14159263..., on trouvera (17)
S[/7iF(/')]=/
/
1
pr-F(r)s\np
dr dg dp,
le signe S s'etendant, dans le premier membre de l'equation (18), a toutes les molecules m distinctes de tn, et
representant deux valeurs de r, dont la premiere soit nulle ou bien equivalente a la plus petite distance qui separe deux molecules voisines d'ether, la seconde infinie ou du moins assez grande pour que, dans Texpression S[/wF(r)], la somme des termes correspondants a des valeurs plus considerables de rpuisse etre negligee sans erreur sensible. Comme on aura d'ailleurs
X
sinp dp = 2,
I
dq = 2TC,
on pourra, en supposant la densite p constante, reduire la formule (17) a (18)
S[/nF(r)] = 4Trp f
r"-F(r)dr9
et par suite i'equation ( i 5 ) donnera
(19)
*> = ^P f'd[± Jr.
(cosAr- ^
+ ^
406
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Or, pour de tres grandes ou de tres petites valeurs de r, le produit / i / \
sin kr
y3j I C O S Kt
-
1
\ k \ (20)
t
1
3
kr ,2
i —T~ 7- ,
3
cos AT A2
sinAr A3r
1 k'2rh 5 1.2.3
1 A-4/-6 71.2.3.4- 5
developpe en un trinome ou en une serie ordonnee suivant les puissances ascendantes de r, pourra etre remplace sans erreur sensible par le premier terme de son developpement; et ce premier terme, vis-a-vis duquel tons les autres pourront etre negliges, sera, pour de tres grandes valeurs de r,
et, pour de tres petites valeurs de r, 1
A-r4
5 1 .2.3
1 60
Done la formule (19) donnera sensiblement
Supposons maintenant r0 = o, rx — cc. L'equation (21) fournira pour s2 une valeur finie, positive et differente de zero, dans deux cas dignes de remarque, savoir : i° quand le produit (22)
7'2f(/')
se reduira, pour une valeur infiniment grande de la distance r, a une constante finie et positive; 20 quand le produit (23)
r*f(r)
se reduira, pour une valeur infiniment petite de r, a une constante finie mais negative. Le premier cas aura lieu, par exemple, si Ton suppose (24)
Hr)=p>
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
407
G designant une constante positive, et alors la valeur de $2, reduite a (20)
5J=^pG,
deviendra independante de la quantite k. Pareillement, le second cas aura lieu si Ton suppose (26)
f(r)
=_l*,
H designant encore une constante positive, et alors la valeur de s9 determinee par I'equation
deviendra proportionnelle a k. Comme d'ailleurs le produit (28)
mmf(r)
represente l'attraction ou la repulsion mutuelle des deux molecules tn, m, la quantite f(r) etant positive lorsque les masses m, m s'attirent, et negative lorsqu'elles se repoussent; il resulte des formules (24) et (20), ou (26) et (27), que la quantite s deviendra independante de k, si deux molecules s'attirent en raison inverse du carre de la distance qui les separe et proportionnelle a k, si deux molecules se repoussent en raison inverse de la quatrieme puissance de cette distance. Au reste, pour obtenir la formule (25), il ne sera pas absolument necessaire d'attribuer a la fonction f(r) la forme que presente I'equation (24), et il sufFira, par exemple, de supposer
r-
S(r) etant une nouvelle fonction qui se reduise a G pour r = ao, sans devenir infinie pour r-~ o. Pareillement, pour obtenir la formule (27), il suffira de supposer (3o)
f(r) =
^ :
408
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
S(r) etant une fonction de r qui se reduise a H pour r = o , sans devenir infinie pour r = <x>. C'est ce qui arriverait, en particulier, si Ton posait £(r)z=Ke-ar
ou
£(r)
~Ue-arcosbr,
et, par suite, Jle-a>'cosbr ou
f()
a, 6 designant des constantes reelles dont la premiere serait positive, etc. De la formule (27), combinee avec la formule (2), on tire
(32)
*=gpH.
En vertu de cette derniere, la vitesse de propagation O des vibrations moleculaires devient independante de la duree de ces vibrations. On peut done eonsiderer la formule (27) comme propre a representer la loi de propagation de la lumiere dans le vide ou meme dans les gaz; et alors Faction mutuelle de deux molecules d'ether doit prendre Tune des formes qui repondent a l'equation (27), de telle sorte que, dans le voisinage du contact, cette action soit repulsive et reciproquement proportionnelle au bicarre de la distance. Roemer et Cassini ont remarque, les premiers, que les eclipses des satellites de Jupiter, calculees d'apres les observations faites pour une distance donnee de cette planete a la Terre, cessaient d'etre aper^ues aux epoques determinees par le calcul lorsque cette distance venait a croitre ou a diminuer. En comparant Tavance ou le retard qui avait lieu dans l'observation de chaque eclipse avec la diminution ou l'accroissement de la distance des deux planetes, ils en ont conclu que la lumiere emploie 8 m i3 s ou 493 secondes sexagesimales de temps pour parcourir un espace egal au rayon moyen de 1'orbite terrestre, e'esta-dire 39229000 lieues de 2000 toises chacune ou de 389807318111. II en resulte que la vitesse de propagation de la lumiere est de 79 752 lieues ou environ 310177 5oom. Done, en prenantle metre pour unite de Ion-
NOUVEAUX EXERCICES DE MATH^MATIQUES.
409
gueur et la seconde sexagesimal pour unite de temps, on aura, dans les formules (2) et (32), (33)
£2=:3io 177500
et
Lft =
8,4O,I6IO3.
Celapose, l'equation (32) donnera (34)
pH = 22o,68(io)12
environ.
La valour du produit pH determinee par la formule (3o) etant tres considerable, il est necessaire qu'au moins Tun des facteurs de ce produit soit un tres grand nombre. D'ailleurs, si, pour plus de simplicity, on suppose que les masses de toutes les molecules d'ether soient egales entre elles, et si Ton prend alors la masse d'une molecule pour unite de masse, le facteur H representera Tintensite de la repulsion qu'exerceraient, Tune sur l'autre, deux molecules d'ether placees a i m de distance, dans le cas oil Ton etendrait a des distances quelconques la loi de repulsion determinee par la formule (26), et ci-dessus etablie pour de tres petites distances. Or nous n'avons point de raisons de croire que le facteur H ainsi defini ait une valeur considerable. Nous devons plutot penser qu'il offre une valeur tres petite, ou, en d'autres termes, que la vitesse propre a mesurer la force repulsive dont il s'agit, c'est-a-dire la vitesse communiquee par cette force dans la premiere seconde sexagesimal a chacune des deux molecules prises dans l'etat de repos, et placees en presence Tune de l'autre a i m de distance, serait une vitesse tres peu considerable, en vertu de laquelle chaque molecule ne parcourrait en une seconde de temps qu'un espace represente par une tres petite fraction du metre. Mais il est essentiel d'ajouter que, dans l'hypothese admise, la densite de Tether ou le facteur p se reduira au nombre des molecules etherees comprises sous l'unite de volume, c'est-a-dire sous le volume de i mc . Cela pose, de l'equation (34), presentee sous la forme p = 22 9 68(io) 12 g,
(35)
il resulte seulement que, pour obtenir la millionieme partie de p, OEuvres de C. — S. II, t. X.
02
410
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES;
c'est-a-dire le nombre de molecules d'ether comprises dans i mmc , on doit repeter plus de vingt-deux mille millions de millions de fois le nombre vraisemblablement deja tres considerable qui se trouve exprime par 7j-
Si Ton nomme ID la densite moyenne du globe terrestre, evaluee comme celle de Tether vient de l'etre, c'est-a-dire la valeur moyenne du nombre des molecules de matiere ponderable comprises dans ce globe sous le volume de i mc , et G la valeur moyenne de l'attraction qu'exercent Tune sur l'autre deux de ces molecules, placees a i m de distance; le rapport
representera Faction des memes molecules placees a la distance r; et, comme, en nommant H le rayon moyen de la Terre, on trouvera le volume du globe terrestre sensiblement egal a
rintensite g de la pesanteur a la surface de la Terre aura pour mesure le produit des trois facteurs
On aura done (36)
^—^BGB.
De cette derniere formule, combinee avec l'equation (3a), on tirera (37)
IDG.
pH = io
8
D'ailleurs, en prenant le metre pour unite de longueur et la seconde sexagesimale pour unite de temps, on a trouve, a l'Observatoire de Paris, # = 9,8088,
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQUES.
Ml
et le rayon moyen de la Terre, exprime en metres, est environ n = 6 366 745. Par suite on tirera de l'equation (36) (38)
DG = 0,0000003678
et, de l'equation (37), environ
Comme le nombre 3D des molecules du globe comprises sous le volume d'un metre cube ne peut etre suppose que tres considerable, il resulte de l'equation (38) que l'intensite G de la force qui represente Fattraction de deux de ces molecules placees a un metre de distance doit etre fort petite et de beaucoup inferieure a
c'est-a-dire a un millionieme. Quant a l'equation (39), elle donnera (4o)
|
|
et Ton en deduira une tres grande valeur du rapport g> a moins toutefois de supposer, ce qui n'est guere probable, que la repulsion H de deux molecules d'ether transporters a un metre de distance, sans que la loi de repulsion se trouve alteree, surpasse extraordinairement l'attraction G de deux molecules ponderables placees a la meme distance. En rejetant cette derniere hypothese et supposant au contraire le nombre H comparable au nombre G, on conclura de la formule (4°) que, dans un espace qui renferme seulement quelques molecules de matiere ponderable, les molecules d'ether se comptent par mille millions de millions. On peut dire en ce sens que la densite de Tether est considerablement superieure a celle des gaz, des liquides ou meme des solides. Mais cette proposition cesserait d'etre exacte, et Ton pourrait meme soutenir la proposition contraire si Ton
412
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
prenait pour mesure de la densite le poids des molecules comprises sous Tunite de volume, au lieu du nombre de ces molecules. Si Ton applique la formule (32) a la propagation de la lumiere, non seulement dans le vide, mais aussi dans les milieux ou Ton n'apergoit nulle trace de dispersion, par exemple dans Tair atmospherique, si d'ailleurs on nomme p'
et
QI
ce que deviennent la densite p de Tether et la vitesse £1 de la lumiere quand on substitue Tair atmospherique au vide, ou plus generalement le nouveau milieu au vide, on aura simultanement 4 71
4?T , 7
r^la
7
et, par suite, —7- =
P
OU
P
-pr
vV
=
-p •
VP
En vertu de cette derniere formule, la vitesse de propagation de la lumiere, dans les milieux qui ne dispersent pas les couleurs, serait proportionnelle a la racine carree de la densite de Tether dans ces memes milieux. D'ailleurs, si Ton nomme 6 Tindice de refraction de la lumiere passant du vide dans le milieu que Ton considere, on aura f voir la formule (8) du § VI] (4*)
fi'=|,
et par suite la formule ( 4 0 donnera
(43)
P'=£.
Or, comme Tindice de refraction G surpasse toujours Tunite, la valeur de p' determinec par Tequation (43) sera toujours inferieure a celle de p. Ainsi Implication de la formule (32) aux divers milieux qui ne dispersent pas les couleurs nous conduit a supposer que la densite de Tether, ou le nombre des molecules etherees comprises sous Tunite
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
413
de volume, est plus considerable dans le vide que clans tout autre milieu. Au reste, en vertu de la formule (43), la diminution de densite de Tether, quand on passera du vide dans un gaz quelconque, devra etre generalement fort petite, attendu que, pour tous les gaz, Tindice de refraction 0 differe tres peu de l'unite, et que pour chacun d'eux la valeur de 0 — i fournie par Tobservation ne s'est jamais elevee a 16 dix-milliemes. L'indice de refraction de l'air atmospherique peut etre determine directement pour une temperature donnee et sous une pression donnee. C'est ce qu'ont fait MM. Biot et Arago, qui ont trouve cet indice egal a 1,000294 pour la temperature zero et sous la pression representee par une colonne de mercure de 76 centimetres de hauteur. On peut aussi deduire le meme indice des observations astronomiques, et Ton trouve alors pour sa valeur moyenne le nombre 1,000276.
En multipliant par ce dernier nombre les diverses valeurs de lt que fournit le Tableau II du § VI, c'est-a-dire les epaisseurs des ondes lumineuses mesurees dans Fair et correspondantes aux rayons B, C, D, E, F, G, H de Frauenhofer, on obtiendra les epaisseurs de ces ondes dans le vide, telles que les presente le Tableau suivant. TABLEAU
I.
Epaisseur des ondes dans le vide, en dix-millioniemes de millimetre.
Valeurs de U dans Fair..
i = l.
« = 2.
i = 3.
i=L
i = 5.
i = 6.
i = 7.
6878
6564
5888
5260
4843
4291
3928
83 7 4 9 3o 8172000 7699476 7209611 6850986 6325176 5 9 4155 7 0001198 0001198 0001198 0001198 0001198 0001198 000r198
Logarithmes L(r, 000276)
Sommes...
8376128 81731.98 7700674 7210809 6852184 6326374 5942755
Valeurs de k dans le vide.
6880
6566
588 9
5i6i
4844
4292
39M)
kik
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQUES.
Ainsi les epaisseurs des ondes lumineuses sont un peu plus grandes dans le vide que dans l'air. Mais, tandis que Ton passe de Tair dans le vide, la variation de Tepaisseur d'une onde ne s'eleve point au dela de 2 dix-millioniemes de millimetre, et reste toujours inferieure a 3 dix-milliemes de cette meme epaisseur; d'oii il resulte que la variation dont il s'agit pourrait etre negligee comme comparable aux erreurs des observations qui ont fourni les valeurs de /, exprimees en cent-millioniemes de pouce et inscrites dans le Tableau II du § VI. En joignant le Tableau qui precede aux formules (i), (2), (3), (4) et a l'equation (33), prenant toujours le metre et la seconde sexagesimale pour unites de longueur et de temps, effeetuant les calculs par logarithmes et designant par (44)
N= i
le nombre des vibrations lumineuses qui se succedent Tune a Tautre dans une seconde de temps, on obtiendra sans peine, pour les rayons B, C, D, E, F, G, H de Frauenhofer, les valeurs de k,
T,
N et s
et de leurs logarithmes, donnees par le Tableau suivant.
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU
415
II.
Valeurs de k9 T, N, s.
INDICATION DES RAYONS.
B.
G.
D.
E.
F.
G.
H.
8376128 8173198 7700674 7210809 6852i84 6326374 5942755
LI
••(?) L(aiu)
1623872 1826802 2299326 2789191 3147816 3673626 4o57245 7981799 7981799 79^799 7981799 79*1799 798i799 7981799
Logarithme de k = ^- • 9605671 9808601 0281125 0770990 1129615 1655425 2039044 8376128 8173198 7700674 7210809 685'U 84 6)26374 5942735 4916103 49i6io3 4916103 J916103 4916108 4916103 49i6io3
LI
LQ
Logarithme de T = - • • •3460025 3257095 2784571 2294706 1936081 1410271 1026652
Logarithme de N = - • • • 653 9 9 7 5 6742905 72r5429 7705294 8063919 8589729 8973348 L(27U)
7981799 79 8l 799 7981799 798i799 7981799 798i799 7981799
Logarithme de s= — • 4521774 4724704 5197228 5687093 6045718 6671528 6955147
-i-*
9132
9569
[0669
11943
12971
14640
15992
(i oooooo )3T
2218
2117
1899
1696
1562
i384
1267
10 N (r oooooo)2
45o8
4724
5267
58 9 6
G4o3
7227
789^
2833
2968
33o 9
3704
4023
454i
4960
1000
I
(ioooooo)2
En egalant les nombres que renferment, dans le Tableau II, les quatre dernieres lignes horizontales aux produits places en avant de ces memes lignes, on en conclut immediatement les valeurs de k, T, N, s relatives aux divers rayons. Ainsi, par exemple, de ce que pour le rayon B le produit ^ N (ioooooo) 2
est sensiblement egal a 45o8, il resulte que le nombre des vibrations
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
lamineuses accomplies dans ce rayon en une seconde de temps est la dixieme partie de 45o8 millions de millions, de sorte que, pendant ce court intervalle, environ 45i millions de millions de vibrations se succedent Tune a l'autre. Pour obtenir la duree de chacune de ces vibrations, il faudra egaler le produit (i oooooo ) 3 T
au nombre 2218 et, par suite, la duree de chaque vibration, dans le rayon B, sera representee par la fraction ,,„.
22l8 ( I OOOOOO ) 3 '
qui est un peu plus grande que (46)
1000(1oooooo)2
Si au rayon B on substituait le rayon C ou D, il faudrait a la fraction (45) substituer le rapport 18QQ
21 17 j
(ioooooo)
3
ou
VJ
(ioooooo) 3
qui differerait encore tres peu de la fraction (46). Done, si Ton partage une seconde de temps en 1000 millions de millions de parties egales, deux de ces parties representeront a tres peu pres la duree d'une vibration lumineuse dans les rayons B, C, D places vers l'extremite rouge du spectre solaire. Cette duree ne surpasserait que d'un quart environ Tune des memes parties dans le rayon situe vers l'extremite opposee du spectre parmi les rayons violets. Lcs epaisseurs des ondes relatives aux couleurs principales du spectre solaire et aux limites de ces couleurs ont ete determinees par Fresnel avec une grande precision. Ces epaisseurs, exprimees en millioniemes de millimetre, sont telles que les presente le Tableau suivant.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
417
TABLEAU III.
Valeurs de /, exprimees en millioniemes de millimetre.
LIMITES DES COULEURS PRINCIPALES.
Violet extreme Violet indigo Indigo bleu Bleu vert Vert jaune Jaune orange Orange rouge Rouge extreme
4o6 439 439 49'2 532 071 596 643
COULEURS PRINCIPALES.
Violet Indigo Bleu Vert Jaune Orange Rouge
423 449 475 5u 583 620
Les valeurs precedentes de /, mesurees dans l'air, ne seront pas sensiblement alterees si Ton passe de l'air dans le vide; car ce passage, en les faisant varier dans le rapport de 1 a 1,000276, n'ajoutera pas meme a chacune d'elles le tiers de sa millieme partie. En les divisant par la vitesse £2 de lalumiere dans le vide, on obtiendra, pour les couleurs principales etpour leurs limites, les durees des vibrations de Tether. Ces durees seront comparables a l'intervalle de temps insensible qui resulte de la division d'une seconde sexagesimale en millc millions de millions de parties egales, et leurs rapports avec ce memo intervalle se trouveront exprimes par les nombres que renferme le Tableau que nous allons tracer.
OEuvres de C. — S. II, t X.
53
418
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU
Rapports
entre les durees des vibrations d'une seconde
IV.
de V ether et la toooooot/oooouooo sexagesimal.
COULEURS PRINCIPALES.
L1MITES DES COULEURS PRINCIPALES.
Violet extreme Violet indigo Indigo bleu Bleu vert Vert jaune Jaune orange Orange rouge Rouge extreme
1,28 1,42
1,72 J,84 2,08
Part^e
Violet Indigo Bleu Vert Jaune Orange Rouge
i,36 i,45 i,53 i,65 1,78 1,88 2,00
En divisant l'unite paries rapports inscrits dans le Tableau IV, etmultipliant les quotients obtenus par mille, on parviendra aux nombres qui expriment combien de millions de millions de vibrations successives s'executent pour une couleur donnee dans une seconde de temps. Ces nombres sont ceux que presente le Tableau suivant. TABLEAU
V.
Nombres qui expriment combien de millions de millions de vibrations successives s'eff'ectuent en une seconde sexagesimal.
LIMITES DES COULEURS PRINCIPALES.
Violet extreme Violet indigo Indigo bleu Bleu vert Vert jaune Jaune orange Orange rouge Rouge extreme
764 707
676 63o 583 543 520 481
COULEURS PRINCIPALES.
Violet Indigo Bleu Vert Jaune OrangG Rouge
7 35
691 653 607 563 532 5 00
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
419
Ainsi, dans le rayon rouge du spectre solaire, les molecules de Tether effectuent environ cinq cents millions de millions de vibrations par seconde. A ce nombre prodigieux, il faut ajouter presque sa moitie pour obtenir le nombre des vibrations par seconde dans le rayon violet. Au reste, on peut determiner approximativement le nombre des vibrations que presentent les rayons places vers le milieu du spectre solaire, en operant comme il suit. En une seconde sexagesimale, les vibrations des molecules d'ether renfermees dans une onde plane se transmettent aux molecules que renferment d'autres ondes comprises entre des plans paralleles jusqu'a une distance d'environ 80000 lieues, de telle sorte que les vibrations commencent dans la deuxieme onde quand elles s'achevent dans la premiere, qu'elles commencent dans la troisieme quand elles s'achevent dans la deuxieme, et ainsi de suite. Or les diverses ondes etant contigues les unes aux autres, il suit de ce qu'on vient de dire que, pour obtenir la duree de la vibration des molecules etherees dans une seule onde, il faudra diviser une seconde sexagesimale en autant de parties qu'il y a d'epaisseurs d'ondes dans une distance de 80000 lieues. D'ailleurs chacune des lieues que Ton considere ici est de 2000 toises ou environ 4ooom; chaque metre se compose de iooo mm , et il resulte du Tableau III que l'epaisseur d'une onde, pour les rayons places vers le milieu du spectre, est d'environ un demi-millieme de millimetre, et qu'en consequence chaque millimetre renferme environ 2000 epaisseurs semblables. Done le nombre des vibrations executees par les molecules d'ether dans une seule onde plane et en une seconde de temps, pour les rayons situes vers le milieu du spectre, sera sensiblement egal au produit des facteurs 80000,
4 000 >
1000
et
2000,
e'est-a-dire a 6/+o 000 000 000 000,
ou a 640 millions de millions. II resulte des Tableaux II et V que ce dernier nombre represente effectivement le nombre des vibrations par
420
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHE MATIQUES.
seconde dans le rayon F de Frauenhofer, qui est un rayon bleu situe dans le spectre solaire vers la limite du bleu et du vert. Les nombres compris dans le Tableau V different de ceux que Ton trouve dans le Traite de M. Herschel sur la lumiere. En recherchant la cause de cette difference, j'ai reconnu qu'elle devait etre principalement attribute a ce que les epaisseurs d'onde ou longueurs d'ondulation adoptees par cet auteur, et relatives aux diverses couleurs ou a leurs limites, different assez notablement des valeurs de / inscrites dans le Tableau III et donnees par Fresnel. En terminant ce paragraphe, nous ferons observer que, dans les milieux qui ne dispersent pas les couleurs, les valeurs de k relatives a deux rayons differents conservent entre elles, en vertu de la formule (7), le meme rapport que les deux valeurs correspondantes de s. Ce rapport est done, ainsi que les valeurs de s, independant de la nature du milieu que Ton considere, pourvu que la dispersion soit nulle; en sorte qu'il reste le meme, par exemple, dans le vide et dans Fair atmospherique. On peut en dire autant du rapport entre deux valeurs diverses de /, qui est toujours l'inverse du rapport entre les valeurs correspondantes de k. Si, pour fixer les idees, on divise successivement la valeur lK de /, qui repond au rayon B de Frauenhofer, par les valeurs de /relatives aux autres rayons, e'est-a-dire par les quantites
on trouvera pour quotients les nombres dont les logarithmes sont (47)
0202930,
0675454,
II653IO,,
i523o,44>
2049754,
2433373,
(•'est-a-dire les nombres (48)
1,0478,
I,I683,
1,3078,
i,42o3,
i,6o32,
1,7512.
Or ces derniers nombres representeront dans Tair et dans le vide, non seulement les valeurs des rapports
NOUVEAUX EXERCICES DE MATH^MATIQ UES.
421
mais encore celles des rapports ty
k*
x
(00)
h
h
h
*B
*7
V V V *T V Tx
ou meme des suivants / t: \ (01)
^2 —y Si
^3 —j Sj
$k —y 5j
$o —5 5j
*^6 ^7 —) — • S\ Si
§ X. — Considerations nowelles sur la refraction de la lumiere. Les lois de la refraction simple, telles que Pexperience les donne, se trouvent comprises dans les formules (8) et (9) du § V. Or il est important d'observer que la methode a Paide de laquelle nous avons etabli ces formules les reproduira encore si Pon suppose que les valeurs des deplacements £, YJ, t relatives soit au premier, soit au second milieu, et tirees en consequence soit des equations (1), soit des equations (2), fournissent, pour les points situes sur la surface de separation, des valeurs egales d'une fonction lineaire quelconque de ces memes deplacements et de leurs derivees prises par rapport aux variables independantes x> y, t. En effet, designons par « la fonction lineaire dont il s'agit. Si Pon y substitue les valeurs de £, vj, ^, qui representent les deplacements moleculaires dans le rayon incident, c'est-a-dire les valeurs de 2j, yj, ^ donnees par les equations (33) du § IV, « deviendra une fonction lineaire des sinus et cosinus de Pare k(xcosz -+- ysinr) — st,
en sorte qu'on aura, par exemple, (1) « — € cos[k(x COST -f- y sinr) — st] -h ^ sin[ k(x COST + y sinT — st)]y
les coefficients € , S etant uniquement fonctions des quantites (2)
%,
%,
€,
B9
s,
Soient maintenant ou
k,
COST,
sinT.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. co que deviennent les coefficients <£, £
quand on passe du rayon incident au rayon reflechi ou refracte, c'esta-dire quand on remplace les quantites (2) par les suivantes (3)
a,,
Bj, Cj, B19 s9 k,
2T,
9',
sinr
—COST,
ou par (4)
€',
W,
sr,
kr,
COST',
sinr'.
En considerant a la fois les deux systemes d'ondes propagees dans le premier milieu, on devra, pour ce milieu, remplacer la formule ( i ) par la suivante (5)
«=
(B cos[£(
^PCOST -t-y
sinr) —sf\-^£
sin[A^(
^COST
+ / s i n T ) — st]
4- (Bico&[k(— arcosT + y sinr) — st] + l 1 sin[A'(—^COST -H/siriT) — st],
tandis qu'on trouvera par le second milieu (6)
8=
<£'cos[£'(.z? C O S T ' H - J s i n r ' ) — s't] -h £' sin [kr(& COST'-T y sinT^) — s't].
Si maintenant Ton suppose que les deux valeurs precedentes de « deviennent egales entre elles pour les points situes sur la surface de separation des deux milieux et correspondants a x = o, on aura (€-4- (Bi) cos(ky
(7)
•— Wcos(k'y
sin-u — st) 4- {£ -\- £x) s i n ( k y sinT — st) siriT'— s't) -+- £f sin(k'y
sinT ; —
sft).
Or, cette derniere equation deyant subsister independamment des valeurs attributes aux variables y et /, les coefficients des puissances semblables de y et de / devront etre egaux dans les deux membres developpes en series convergentes ordonnees suivant les puissances dont il s'agit; et de cette seule consideration on deduira immediatement les formules (8) (9)
<£ +
£-^£, = £',
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
423
auxquelles on parvient encore tres simplement de la maniere suivante. Si dans l'equation (7) on pose, pour abreger, (10)
kys'mz — st = Y,
— £ = - (Y—
kysinz),
on obtiendra la formule / («H-<£1)cosY+(4F-t-4F1)sinY
, .
1 =
(11)
< I
«'cos[~-Y+(Vsinr'- - k sinr) y\ Is
\
s
)
J
\
-h iT'sin - Y-H (A^sinr'— - ks'inr ) y ,
qui devra subsistor a son tour, quelles que soient les valeurs de Y ei dey. Or, le premier membre etant independant de y, le second devra l'etre pareillement, ce qui entraine la condition sr /r^inr 1 — - £sinr. s
(12)
Gela pose, la formule (11) deviendra (13)
(€ + (Bx) cos Y 4- ( i 4- ^ ) sinY = € ' c o s ( - Y^ -+- ^ s i n f- Y ) , x
S
et, comme, en remplagant Y par — Y, on en tirera
(
sl \
(s'
- Y j — if'sin
on aura encore
Si maintenant on reduit Y a zero dans la premiere des formulas ( i 5 ), elle donnera (16)
Done cette formule donnera generalement (17)
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. Cette derniere devant subsister, quel que soit Y, entrainera 1'equation (18)
s'—s,
qui reduira la seconde des formules (i5) a (19)
£ + £l = £'
et l'equation (12) a (20)
/ / s i n r ' = /rsinr.
On se trouve ainsi ramene aux equations (8) et (9), dont les deux dernieres coincident avec les formules (8) et (9) du § V. En supposant que la fonction lineaire « des deplacements £, YJ, £ et de leurs derivees relatives kx,y,t se reduise simplement a la variable £, on ferait coincider les equations (8) avec les formules (7) du § V. Mais adopter ces formules, ce serait admettre, comme nous l'avons deja observe, que Ton peut sans erreur sensible ne pas tenir compte des alterations produites par le voisinage du second milieu dans la valeur de \ que determine la premiere des equations (1) du § V, ou par le voisinage du premier milieu dans la valeur de \ que determine la premiere des equations (2) du rneme paragraphe. A la verite, en prenant successivement pour a la variable £, ou, ce qui revient au meme, la vitesse -^> puis la composante, parallele a l'axe des#, de la pression supportee par un plan perpendiculaire a cet axe, puis enfm les composantes, paralleles aux axes des y et z, de la pression supportee par un plan perpendiculaire a l'axe des z, on deduirait immediatement des equations (8) eelles que j'ai donnees dans le Bulletin des Sciences de M. de Ferussac pour l'annee i83o, et qui s'accordent si bien avec les formules et les experiences de Fresnel, quand on suppose que la densite de Tether reste la meme dans tous les milieux. Mais les principes developpes dans le § IX ne nous permettent plus d'adopter cette derniere hypothese; et d'ailleurs il n'est pas suffisamment demontre
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
425
que la variable \ et les pressions ci-dessus mentionnees doivent, dans le voisinage de la surface de separation de deux milieux, conserver la meme valeur, tandis qu'on passe de Tun a l'autre. Des recherches approfondies sur ce sujet delicat m'ont conduit a un nouveau principe de Mecanique, propre a fournir, dans plusieurs questions de Physique mathematique, les conditions relatives aux limites des corps et aux surfaces qui terminent des systemes de molecules sollicitees par des forces d'attraction ou de repulsion mutuelle. Ce principe, que je developperai dans un autre Memoire, etant applique a la theorie de la lumiere, on en conclut que, dans le voisinage de la surface de separation de deux milieux, les deplacements £, vj, £ des molecules d'ether relatifs, soit au premier milieu, soit au second, devront fournir les memes valeurs de «, si Ton prend pour a Tune quelconque des trois fonctions dn dz
d'C, dx
dZ dy'
d'i dy
d\ dzJ
dn Ox'
ou bien encore si Ton suppose \ (22)
~~
dx
dy
dz '
\dz
dry
<
/ dZ dt\
(d\
dn \
\ " l ~ C a \ ^ + ^ / ~ h a \dy^ dxy ay b, c designant les cosinus des angles formes par la normale a la surface cle separation des deux milieux avec les demi-axes des coordonnees positives. II estbon d'observer que la valeur de a, determineepar Tequation (22), represente la dilatation lineaire de Tether mesurec suivant cette meme normale. Lorsque, les deux milieux etant separes Tun de l'autre par le plan des 7 , z9 on suppose Taxe des z parallele aux plans des ondes lumineuses, et par consequent perpendiculaire au plan d'incidence, on a clans la formule (22)
et, de plus, 5, YJ, C deviennent independants de z. Done alors, en chanCEuvres de C. — S. U, t. X.
^>4
426
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
geant, ce qui est permis, le signe de la premiere des differences (21), on trouvera que les fonctions (21) et (22) peuvent etre reduites a dy
dx
dy
dx ox
Done, si Ton nomme £', y\\ Xj ce que deviennent les deplacements \, Y), *( tandis que Ton passe du premier milieu au second, on aura, pour les points situes sur la surface de separation, e'est-a-dire pour x = o, dx
dx'
dy
dx
dy
dx
et (25)
dn_dV
dZ_d?m
dx
dy
dx
dy
Lorsque dans les equations (24) et (23) on substitue a c, -/j, c( les seconds membres des formules (1) du § V, et a ^', YJ', Xj les seconds membres des formules (2) du meme paragraphe, on obtient les lois de la reflexion et de la refraction qui ont lieu a la surface des corps transparents, avec les diverses formules que contiennent les deux lettres adressees a M. Libri les 19 ct 27 mars, et imprimees dans le n° 14 des Comples rendus hebdomadaires des seances de VAcadernie des Sciences,
pour 1'annee i836. On deduit aussi des conditions (24) et (25) les lois de la reflexion operee par la surface exterieure d'un corps opaque ou par la surface interieure d'un corps transparent, dans le cas ou Tangle d'incidence devient assez considerable pour qu'il n'y ait plus de lumiere transmise, e'est-a-dire dans le cas oil la reflexion devient totale (voir a ce sujet les deux lettres que j'ai adressees a M. Ampere les i er et 16 avril i836). Comme je l'ai montre dans ces differentes lettres, les formules auxquelles conduisent les conditions (24) et (^5), non seulement determinent l'intensite de la lumiere polarisee rectilignement par reflexion ou par refraction et les plans de polarisation des rayons reflechis ou refractes, mais encore elles font connaitre les diverses circonstances de la polarisation circulaire ou elliptique pro-
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
427
duite par la reflexion totale ou par la reflexion operee a la surface d'un corps opaque et, en particulier, d'un metal. D'ailleurs, les divers resultats de notre analyse se trouvent d'accord avec les lois deja connues, particulierement avec les formules proposees par MM. Fresnel et Brewster, ainsi qu'avec les observations de tous les physiciens. Aii reste, je reviendrai sur ces resultats dans de nouveaux Memoires, ou je deduirai directement des equations (i5) du § I les lois des divers phenomenes lumineux, y compris les phenomenes de l'ombre et de la diffraction. § XI. — Sur la relation qui existe entre la vitesse de
propagation
de la lumiere et I'epaisseur des ondes lumineuses.
Pour unecouleur donnee, la duree T des vibrations lumineuses, ou, ce qui revient au meme, la quantite S=z
(0
—
reste la meme dans les differents milieux. Mais I'epaisseur /des ondes lumineuses, aussi appelee longueur d'ondulation, et, par suite, le rapport /
x
,
k =
(2)
27T T
,
devront, si Ton adopte la theorie exposee dans ce Memoire, se trouver lies a la vitesse de propagation (3)
fl
= i
parla formule (i) ou (5) du § VI, c'est-a-dire par l'equation (4)
s2 7^ = ^ 2 = a ! - f - a2A"2-+- a3A4 + . . . ,
en vertu de laquelle Q,2 se developpera en une serie convergente ordonnee suivant les puissances ascendantes de k. D'ailleurs, en
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. posant, comme dans le § VI, ()
b
b
b
on tirera de l'equation (4) (6)
A ? = h152 + b 2 ^ + b3.s6 +
Les coefficients a |f a2, a3, . . . , b,, b 2 , b3 que renferment les seconds membres des equations (4) et (5), dependent de la nature du milieu dans lequel se propage la lumiere; les quantites k, (2 dependent en outre de la valeur attribute a s, c'est-a-dire de la couleur. Dans le vide et dans les milieux qui ne dispersent pas les couleurs, par oxemple dans l'air atmospherique, les coefficients a2,
...,
a3,
b2,
b3,
s'evanouissent; alors la formule (4), reduite a (7)
~
£2»
exprime que la vitesse de propagation O est independante de s, et s2 proportionnel a k2. Concevons maintenant que, les valeurs de k et de O etant relatives al'air atmospherique, on designe par (8)
k'=Bk
ce que devient la quantite^lorsqu'on substitue a I'airunautre milieu. La valeur de 0, determinee par l'equation (8), ou, ce qui revient au merae, par l'equation (16) du § V, ne sera autre chose que Tindice de refraction d'un rayon lumineux qui passerait de Fair dans le noaveau milieu que Ton considere, et la formule (6) deviendra (9)
^2=02A'2=b152-hb2^H-b356H-....
Si dans cette dernierc formule on remplace s par sa valeur tiree de l'equation (3), on trouvera (10)
02=b1^2-hb2^v524-b3iiGr +
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEM ATIQUES.
42!)
Done en posant, pour abreger, (II)
b1Q2=a,
b2Gv=b,
b3ft6 = c,
on aura simplement e 2 .= a-4-b5 2 +f.^-h
(j2)
On ne doit pas oublier que, dans les formules (10) et ( n ) , O> represenle la vitesse de propagation de la lumiere dans Fair, vitesse qui reste la meme pour toutcs les couleurs. Soient maintenant 0i,
02,
03,
0*,
0S,
06,
0,
les valeurs de 0 relatives aux rayons B, C, D, E, F, G, H de Frauenhofer, et ^2>
$19
^3>
'^i >
^oi
^6>
^7
les valeurs eorrespondantes de s. Si Ton designe par i Tun quelconquo des nombres entiers i,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
et si Ton pose en outre (i3)
0i=5?,
la formule (12) donnera Or il resulte des calculs developpes dans les §§ VI, VII, VIII qu'on peut, sans erreur sensible, reduire le second membre de Tequation(4) ou (6), et par consequent le second membre de la formule (i(\), a ses quatre premiers termes. Done cette formule pourra s'ecrire comme il suit : (i5)
0 f -= a -h bs}-\- csf-t- bsf.
D'autre part, on pourra encore negliger A'1©,- dans le premier membre
430
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQ UES.
de la formule (i i) du § VII, et reduire cette formule a 0,z= 0 -+- ( C - e ) ( 3 / + [ I F - 0 - ( U ' - 0)S"(3;]y; (16) +
JU'"- 0 - ( U ' - 0)S / / / (3 / - [ U " - e - ( I T -
les valeurs de 0,
U',
U",
U"
etant oelles que fournissent les equations (io) et (6) du § VII, savoir 0 =ise,-=
0! -+- 0 2 -4- 0 3 -4- 0, 4- 0 5 -4- 0G J
(17)
^=8'©/=
0^024-03+04-05-^6-^7,
et Ton tirera de ces dernieres equations combinees avec la formule (i4) 0
=a+7
7 7 r S' si+ Ir
(18)
" = a-f- b
les notations S^2, S ' J ? , Sr/^2, S w s 2 , S^-, . . . exprimant ce que deviennent les sommes designees par S©,, S'®i9 S'7©,-, Sm®£ dans les equations (17), quand on y remplace 0, par s2£ ou par s*9
Enfin
il est clair que la substitution des valeurs de
e,, 0, u', w9 fournies par les equations (i5) et (18), transformera les deux membres de Tequation (16) en deux fonctions lineaires des quantites (19)
a,
b,
c,
qui varient avec la nature du milieu refringent. Or, ces deux fonctions devant etre egales entre elles, quel que soit le milieu refringent,. on peut en conclure que dans Tune et l'autre les coefficients des
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES.
431
quantites (19) devront etre les memes. Par suite, l'equation (16) dcvra continuer de subsister si, dans cette equation et dans les formules (17), on remplace ©,- par Tune queleonque des quatre quantites (20)
1, sj, s'u s«i9
ce qui revient a supposer, dans les formules (i5) et (18), Tune des quantites a, b, c, ^ reduite a I'unite et les trois autres a zero. Remplacer ©, par I'unite, c'est substituer l'air au milieu qui devait refracter la lumiere. Alors on trouve, non seulement 0 , - = i , mais aussi 9 = D'=nff=U"=i,
et l'equation (16) devient identique, comme on l'a deja remarque (p. 363). Remplacons maintenant, dans l'equation (iG), %t par s", n designant l'un des trois nombres entiers 2, 4, G, et faisons, pour abre^r, s'l-y- ,^-h s'j (•21)
g' — S' S?=
s'l-*- s'^-h 4 4 - s'l— S^— Sf>—
g" = §"sr}=z — s'l- s\-+- 4 - h sl+ 5^
l'equation (16), jointe aux formules (17), donnera
L'equation (22) fournira pour ^ des valeurs approchees de divers ordres, si Ton reduit le polynome que renferme le second membre au seul terme Q ou a la somme de ses deux, trois, quatre premiers termes, et, si Ton nomme bs'l,
A2s'l
Ws[l, &''s'{
les differences finies des divers ordres qui doivent completer les
432
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
valeurs approchees dont il s'agit, on aura rigoureusement I
(23))
=
+ ( s ' - «) ft +- W-
s
s - ( « ' - 6) S'^^y.-H A8 5?
On trouvera, par suite,
puis on en conclura
ou, ce qui revient au meme, S ' A S? = gf - g, , - [S'-
S
-
(qf-
q) S" }y
de sorte que la formule (23) donnera
(26)
_ _ . . „ . . . .
[
= ± Ss? 4- fa S'As? 4- y£ S"AS5? 4- 3/ S^A3*;* 4- A*5?
et pourra etre remplacee par le systeme des equations
(27)
/iz" 7 ? , . , + !'i
I \ z * ? « + 4^'
De plus, la formule (22), reduite a
fournira precisement pour s" la valeur que Ton tirerait de l'equa-
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
433
tion ( 2 6 ) ou des equations ( 2 7 ) , en y posant (29)
A*s? = o.
On tire des equations (2) et (3) (30)
5—
Qkzzz2i:QH.
Si, dans cette derniere formule, on suppose 0 , k et / relatifs a Fair atmospherique, la valeur de O sera la meme pour toutes les couleurs; et, en designant par les valeurs de k, I relatives a s — sh on trouvera par consequent S'l = £lnk? =
(32)
(27Z&)nlin.
Soient maintenant Ak", A2X;", . . . , M]?\
A 2 /T",
. . . ce quo deviennent
3
les differences A^, A *", . . . determinees par le systeme des equations (27), quand on remplace dans ces equations s" par knt ou par lju. On aura (33)
( kf = { S k1; + AA-?, < 2 ( A A^ S"A2Af+ A3A-?,
(04)
<
(
/7" = | S / r
I A2/7"-— S/rA2/7/l
AAi? = (3; S' AA"? + A2*?, A3A? = ^-
+A/7",
A/7" =(3,S'A^+A 2 /r%
-HA 3 /7",
A 3 /7 / ' = S // A 3 /7 /Z
-I-A 4 /7";
puis on tirera des formules ( 3 3 ) , ( 3 4 ) , combinees avec les equations (27) et ( 3 2 ) ,
j (35)
}
y
A2Af = (&
)
I A3A- = ( g
(36;
Cela pose, en multipliant les deux membres de l'equation (28) par OEiwres de C. — S. II, t . X .
•>•*>
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHEMATIQUES. ~ ) ou par
—^
> on en conclura
( 37 )
A? = { S kf + (3, S' AAf + y, S" A2 A? + <J* S/;/A3 k?,
(38)
^7"= 5 S/7"-h ^ / S'A/7 /i -hy,-S // A 2 /7 rt + 3,- S /;/ A 3 /7\
Les formules (37) et (38), entierement semblables a Inequation (28), fournissent precisement les valeurs de k1lt et de I'/2 que Ton tirerait des equations (33) et (34) en y posant (3 9 )
A*A-? = o,
A4^=:o.
Les valeurs de 6,, ou des indices de refraction, determinees par les experiences de Frauenhofer, sont composees chacune de sept chiffres, et le Tableau XXIII du § VI montre que Ton peut compter sur Texactitude des cinq ou six premiers chiffres. Les valeurs de /, n'ont pu etre determinees avec la meme precision, et, pour chacune d'elles, on ne peut regarder comme exacts que les trois ou quatre premiers chiffres. II en resulte que, dans les valeurs de ki9 si9 et par suite dans les valeurs de /7", k", s'l, on ne saurait compter sur l'exactitude du cinquieme chiffre et des suivants. On ne doit done pas etre surpris, lorsqu'on veut appliquer au calcul des differences finies des divers ordres de s'l* k'l, I]'1 les formules (27), (33) ou (34), de trouver les differences finies du troisieme ordre, sensiblement nulles, aussi bien que les differences finies du quatrieme ordre, e'est-a-dire comparables aux variations que produisent les erreurs d'observation. Or e'est precisement ce qui arrive. Si, pour fixer les idees, on applique les formules (27) a la determination des differences finies As'U
A*-sf,
Azs[l,
et si Ton prend pour unite de temps, non plus la seconde sexagesimale, mais le quotient que fournirait la division de cette seconde en mille millions de millions de parties egales, alors, en faisant usage des logarithmes de ± ^ et de qz y, renfermes dans les deux premiers Tableaux du § VI, et posant successivement n =.- 2, puis n = 4, on obtiendra les valeurs de s% As", A-s", A;*s'l comprises dans les Tableaux suivants.
435
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU I.
Valeurs de sj, Asf, A2sf,
6.
7.
4,023
4,54i
4,960
6045718
6571528
6955I47
2091436
3i43o56
3910294
[3,7220
16,1862
20,6208
24,6o53
102,9177 102,9175
4.
2.
3.
2,833
2,968
3,3o9
3,704
L(*)
4521774
4724704
5197228
5687093
L(*?) si is,? A*?
9043548
9449408
O394456
1374186
8,0233
8,8093
10,9508
1. *i
M±fc)
5.
A3 sj.
14,7025
14,7025
14,7025
14,7025
14,7025
14,7025
14,7025
-6,6792
-5,8932
1,483 7
5, 9 i83
9,9028
2807340
2272021 5391941
58i2ioi 5391941
2345423 5391941
4627934
5391941
-3,7517 -0,9806 0371 1.32 4979974 5391941 5391941
8199281
7663962
5763073
0371915
1204042
7737364
0019875
SOMMES.
Ssj
-6,6o58
-5,8398
-3,7697
-1,0894
i,3i95
5,9393
10,0459
0,0000
A**?
-0,0734
-o,o534
0,0180
0,1089
0,1642
-0,0210
-0,143i
O,0002
2296904 7323938
9299187 7323938
8770350 7323938
253445o 7323938
3oioo33 7323938
6552454 7323938
3898998 7323938
9620842
5623i25
6094228
9858388
0333971
3876392
1222936
-0,0916
—0,0460
0,0407
0,0968
0,1080
0,0244
-0,1325
-O,OOO2
0,0182
-0,0074
-0,0227
0,0121
o,o562
-o,o454
-0,0106
0,0004
6.
7.
A**?
S'A.v?
0,0002 -34,6094
L(—S'A.r,2).. Somme... PiS'A.*? L(=PT/) L(S//A2.vf)... Somme...
102,9177
5391941
S'AVv? o,54o
S'"A2.?? -0,1726
TABLEAU II.
Valeurs de sj, A ^ , A**?, i.
L(4) si
*s»* A4
M^P*)
1.
2.
3.
4.
8087096
8898816
0788912
2748372
4182872
6286112 7820588
64,3 7 4
77,604
119,920
188,294
261,992
426,218 6o5,423 [742,825
248,975
248,975
248,975
248,975
248,975
248,975
248,975 1742,825
-184,601 -171,371 -129,055
-60,68i
-13,017
176,243
356,448
4979974 5812101
4627934 0379903
2807340 0379903
2272021 0379903
0371132 0379903
L(-S'A4).. Somme... 3187243 2651924 O75io35 -208,317 -«84,i5 9 -118,879 P*-S'A4 23,716 12,788 -10,176 \*s$ •2296904 8770350 9299187 L(+Y<0 L(-S'At,f). 1827085 1827085 1827085 Somme... 4123989 1126272 o597435 Yi-S'A*.^*....
A*.vJ
25,846
-2,13o
12,961 0,173
-it,475
1,299
5.
SOMMES.
S4 0,000
0379903
0379903
2345423 0379903
5359877
6192004
2725326
6007837
-34,355
41,610
187,298
316,799
-o,oo3
-26,326
-28,593
-11,o55
39,649
o,oo3
253445o 1827085
3oioo33 1827085
6552454 1827086
3898998 1827085
436i535
4837118
8379539
6726083
-27,299
-3o,459
-6,866
37,377
-4,i69
2,272
o,973
i ,866
1742,825
s1 A 4 -1091,416
0,066 -0,062 |
S"A*.V; -i52,3o3
436
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Pour s'assurer que les valeurs de A*s[l, renfermees dans les dernieres lignes horizontales de ces deux Tableaux, sont, en effet, comparables aux variations que produisent dans les valeurs de snt les erreurs d'observation, il suffit de calculer les diverses valeurs de A3/, ou de -j1* en supposant que Ton designe par
ce que devient /, en vertu de la formule (32), quand on remplace dans cette formule s'j par A 3*?. ?
'l
Or, dans cette supposition, on tire de la formule (32) si — A3sf = (27r£2)» (lt — A 3 /,-)-"
(4o)
et, par suite, ou (40 D'ailleurs, A3*'2 etant tres petit par rapport a s"9 le second membre de l'equation (4i) se reduira sensiblement a i A 3 sf
et cette equation elle-meme a (42)
T"~~^^T
Entin les valeurs de __ 1 A35? n
sr}
tirees des Tableaux I ou II, et par suite les valeurs correspondantes , A3/; / -r-^ seront, (en vertu de la formule (4 2 )» celles que presente le de -y-^ H
Tableau suivant.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU I I I . 3
Valeur
A /,de —^ deduites
2.
1.
Pour n = i 1 9 ' A3//
k
0,0182
3.
-0,0074 -0,0227
4.
0,012[
(42).
6.
5.
0 ,o562 -0
8,0233
8,8093
10,95o8
13,7220
16 ,1862
-0,0011
0,0004
0 ,0010
-o,ooo4
- 0 ,0017
20
- 0 ,0106
,60 5 3
I A3.9?
2
.y?
Pour n = 4 ] 4 ' A 3 /;
de la formule
-2,13o
-o,i73
64,374
77,604
\Z
1 r9
[88,294
0 ,0011
0 ,0002
2 ,272 1,866 -4 ,169 261,992 4*5 ,218 6o5 ,423
i A3,yJ 0,0083
0,0006
- 0 ,0027
-0,0013
-0 ,0018
0 ,0025
- 0 ,0009
D'autre part, en ayant recours a diverses experiences suecessives, dans son Memoire sur la diffraction, pour determiner l'epaisseur des ondes lumineuses qui donnent naissance a un certain rayon, et supposant cette epaisseur exprimee en millimetres, Fresnel a obtenu des nombres qui varient entre les limites o,ooo635
et o,000640,
dont la difference, divisee par le plus petit, donne pour quotient environ 0,0079.
Done, puisque ce quotient surpasse, et meme assez notablement, tous les nombres renfermes dans la quatrieme et la derniere ligne horizontale du Tableau III, si Ton en excepte le seul nombre o,oo83, qui differe peu du quotient dont il s'agit, nous devons conclure que les valeurs de A3^2 et A 3 ^, renfermees dans les Tableaux I et II, sont comparables aux variations que produisent dans les valeurs de S* les erreurs d'observation. La meme conclusion se deduirait aussi des ex-
438
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
periences de Frauenhofer, qui fournissent pour les epaisseurs des ondes lumineuses des variations du meme ordre que les experiences de Fresnel. On peutdonc negliger A3 si,
dans les formules (27), (33), (34), et par suite S'"A3,??,
S^A 3 *?,
S'^A 3 /^,
dans les formules (28), (37), (38), ce qui permet de reduire les trois dernieres formules a (43) (44)
s? = jSs? +.(3,S'As? H-y;S"A2s?, *? =\Sk'[-hPi&'M? 4-y;S"A2*?,
(45)
ljn = $ S li» + fa S'&lj" + yt S»A2 lj\
Si, dans la formule (43), on pose successivement n — 2 et n = 4, on en tirera, eu egard aux Tableaux I et II, sf — 14,7026 —
(46)
34,6o94(3; H-
o,54oy,-,
5^ = 248,975 —1091,416 (3^ — 152,303)/^
ou, ce qui revient au meme, (3Z — o,oi56oy, = 0,42481 —0,028894
(47)
sf,
/ = 0,22812 — 0,0009(624^^,
puis on conclura de ces dernieres equations _ 7l
0,19669
0,028894
~~~~ O , I 5 5 I 5 "*" O , I 5 5 I 5
fii=z
2 Sl
0,00091624 O,I55I5
4 Si
>
o,or56oy, + 0,42481— 0,028894^^
ou plus simplement (48)
(3,•=
o,4o5o3 — 0,0259885? — 0,00009215J,
y*—— 1,2677 + 0 , 1 8 6 2 3 s}~
o,oo59o55,9?.
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
439
Si d'ailleurs on pose, comme a la page 3^2, tf —[]"— e _ ( U ' — 0)S"(3,=--S"A20/, W=z U'»- 0 - ( C - 0) S'"^ - [ U " - 0 - (U'-0)S"(3,]S'"y^ S^A8©/,
c'est-a-dire, si Ton prend pour 0, % w, w les nombres renfermes dans le Tableau V du § VIII, on reduira la formule (16) a (50)
0; = 8 + ^
+ Vy£ -h Wdi;
puis, en negligeant dans le second membre le terme W8i9 qui est du meme ordre que A3^ ou A3@f, on trouvera (51)
0 . —0_ f _Hcp i --f-H)y i-.
Cela pose, on tirera de la formule ( 5 i ) jointe aux equations (4&) i 0 ; : = 0 - h o , 4 o 5 o 3 1 K — 1,2677^ — (0,026988 IX — o, 18623H))sf (52) — (0,0000921 W 4-O,oo59o55ifl ) s /
(
et, par suite, (53)
0/=o
+ bsf-t-ts},
les valeurs de a, b, c etant / a = 0 -\- o,4o5o31!t—1,2677^, (54)
b=:—0,025988 HI-h 0,18623m, ( c=—0,0000921H — o,oo59o55tfl;
puis, en ecrivant simplement 6'2 au lieu de 0 / = ^ ^
et
s2 au lieu de sf,
on aura definitivement (55)
9*=za H-b,s 2 +^ 4 .
En substitiiant dans les formules (54 ) a la place de 0, III, 11 les nombres que renferme le Tableau V du § VIII, on obtiendra les valeurs de a, b, c comprises dans celui que nous allons tracer.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. NH
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11
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
kki
Parmi les logarithmes que renferme le Tableau IV, les uns, savoir ceux des valeurs numeriques des quantites
ont ete extraits de la derniere colonne verticale des Tableaux II des §§ VII et VIII. D'autres logarithmes, savoir ceux des nombres 0,19969 yi r?
n
1,2677 —
0,18623 =
O,O28894 gg g >
w ~~ O,OOO9l624 O,OOO5QO55 = — — * » •
et 0,0000921 = o,oi56o x 0,0069055 = —7^—- (o,oo59o55),
04,6094
ont ete, pour plus de precision, deduits des logarithmes des nombres dont ces,coefficients representent les produits ou les rapports. C'est ainsi qu'on trouve, par exemple, 1,(1,2677) = 1,(19669) —
L(I55I5)
= 2937823 — 1907618 = io3o3o5.
On peut d'ailleurs confirmer Inexactitude des valeurs de a, b, c fournies par le Tableau IV, de la maniere suivante. On tire de la formule (53) (56)
0 = -}S®;= IT 4- | b S 5 ? + \t $S}.
Or, si Ton substitue dans le second membre de l'equation {56) les valeurs de a,
b, c, SsJ, Ssf;
fournies par les Tableaux I, II et IV, on retrouvera les valeurs de 0 fournies par Texperience, comme le montre le Tableau suivant.
OEuvresde
C. -
S. II, t. X.
442
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. TABLEAU
V.
Valeurs de 0 lirees de la form ale (56).
CROWNGLASS.
EAU. —
^a
l
re
I^I
— -
r serie.
serie.
SOLUTION de potasse.
lre espece.
2 6 espece.
FLINTGLASS.
3e espece.
lro esp6ce.
2 e espece.
3° espece, lrc serie.
3° espece. 2° serie.
U°espece.
L(b).... L(iS*|).
4l4873l 4079175 5oo5658 5830627 5888653 6456 777 79I929I 8344143 8434446 8386098 8660923 167392I 1673921 1673921 1673921 1673921 1673921 167392I 1673921 1673921 1673921 1673921
Somme.
5822652 5753096 6679579 7004548 7562374 8130698 9593212 OOl8o64 0108367 0060019 0334844
L(c)....
i633io5 1319393 0096208 •>787536 1532049 8761601 5964871 69I08l5 6917444 7I22II8 5883o53
L(W).
396i558
396i558 396i558 3961558 3 9 6 I J 5 8
Somme.
5594663
52809J1 4057766 6749094 5493607 2723159 9926429 0872373 0879002 1083676 9844611
a
0
396i558 396l558 396l558 3961558 396l558 396i558
1,7 51609 1,731950 I,9343II 2,292959 2,297191 2,38i364 2,51 4461 7,578o8l 2,586562 2,587096 2,588i6o 38218
37611
46554
56293
57050
65o23
91059
100417
102527
IOI39I
IO8OI5
—36i6
-3374
—2546
-473
-354
1872
9 832
12225
12243
12834
9649
1,786201 1,786187 T,978319 2,348779 2,353887 2,448259 2,6i5352 2,690723 2,701332 2,701321 2,705824
En adoptant les valeurs de a, b, t fournies par le Tableau IV, on aura Pour l'eau, i re serie
Q'2 — i ,751609 4- 0,0025994s2— 0,000014565s4,
2e serie
»
0 2 = i ,751950 4-0,OO2558is 2 —o,ooooi355os 4 ,
Pour la solution de potasse
02== 1,934311 4- o,oo3i664s 2 — 0,000010224s4,
Pour le crownglass, i re espece
Q*~ 2,292959 4-0,0038288s 2 —0,000001900s 4 ,
»
2e espece
(92 = 2,297191 4- o,oo388o3s 2 — 0,000001423s4,
»
3 e espece
Ql— 2,38i364 4- o,oo44226s 2 4- 0,000007519s4,
flintglass,
i re espece
0 2 = 2,514461 -1- 0,0061934s 2 4- 0,000039490s4,
»
2e espece
02 = 2,578081 4-0,0068299s 2 4- 0,000049100s4,
»
3 e espece, i re serie
0-= 2,586062 4- 0,0069734524- 0,000049175s4,
2e serie
62— 2,587096 4- 0,0068962s 2 4- o,oooo5i548s4,%
Pour le
»
» 4e espece
Q2— 2,588i6o + 0,0073467s 2 n- o,oooo38753s 4 .
NOUVEAUX EXERCIGES DE MATHtiMATIQUES.
443
En substituant successivement dans chacune des formules (37) les valeurs de s correspondantes aux rayons B, C, D, E, F, G, H de Frauenhofer, c'est-a-dire les valeurs de s£ comprises dans le Tableau I, on obtiendrait des valeurs de 02, et par suite des valeurs de 6, tres peu differentes de celles que l'experience a donnees. Au reste, pour trouver les differences des unes aux autres et constater l'accord des formules (57) avec les observations, il n'cst pas meme necessaire d'effectuer la substitution dont il s'agit. On arrive plus facilement au meme but a l'aide des considerations suivantes. La formule (5o), c'est-a-dire, en d'autres termes, la formule (16) de la page 372 ne subsiste qu'approximativement. Mais, comme nous l'avons deja remarque (p. 383), cette formule deviendra rigoureuse si Ton y remplace @,par ©,— A4©,, en attribuanta 0, la valeur fournie par les observations. Pareillement les formules (43) et (5i) deviendront exactes, si Ton y remplace snt
par
e t %t
snt— A3 s? et
0, — A 3 0,,
et attribuant a s?9 0, les valeurs fournies par les observations, c'esta-dire qu'alors on aura rigoureusement (58)
s?— Azs?= ijSsf-hfitS'&?-+-ytS"&*s?
et (5 9 )
0,—A»e,= e + *(3,+ Dy/.
Effectivement l'equation (58) se deduit immediatement des trois premieres des formules (27), et l'equation (59), que Ton peut encore ecrire comme il suit (60)
0 ~ A80/=^80/+p/
est, aussi bien que l'equation (i33) de la page 325, une consequence
kkk
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
necessaire des formules ( n 3 ) du § VI. D'ailleurs, pour obtenir Inequation (53), il a suffi d'eliminer de la formule (5i) les valeurs de P/, yt tirees des equations (46) auxquelles se reduit la formule (43) quand on y pose successivement 71 = 2, n = l\\ et, si au lieu des formules (43), (5i) on emploie dans l'elimination dont il s'agit les formules (58), (5g), on trouvera de la meme maniere (61)
© — A 3 0 ; = a 4- b(s? — A3s?) + t(si—
Azs$).
Done, en vertu de ce qui a ete dit ci-dessus, la formule (61) sera exacte, si Ton y substitue les valeurs de s£ et 0, fournies par 1'experience, en attribuant a Ms*, A3*?, A3©, les valeurs precedemment calculees et comprises dans les Tableaux I, II, ainsi que dans le Tableau III du § VIII. Or on tire de la formule (61) (62)
a -1- bsf-h ssl=z®f+- b A35?-H t b£s\— A3©,-,
et le premier membre de la formule (62) est precisement la valeur de @i= 0; ou de 02 que fournit chacune des equations (53), (55), (37). Done, pour obtenir les valeurs de 6? que determinent les formules {57 ), il suffira d'ajouter aux diverses valeurs de ©,= 02 fournies par l'experience les valeurs correspondantes du trinome (63)
li=
b A3*? + c A 3 ^ - A 3 ©,,
qui se trouvent comprises dans le Tableau suivant.
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
445
TABLEAU V I .
Valeurs de X; = b &zsf -h rA3^* — A 3 0, exprimees
en
GROWNGLASS.
EAU.
millioniemes.
FLINTGLASS.
©
1
P.
Cu
©
© -
bA3*2 cA3^ — A30j
X* 3
bA ^
2
47 3i 62
47
58
70
29 25
22
17
4 -45
140
IOI
97
29
69
—23
—28
2
2
0
— 2 9 0
I
—8
3i
23
l6
-29
3
— 19
cA3^ — A3^
2 —62
x,
—79
—
-59
— 5 8
—19 — 23
— 18 — 1 3 — 16 — 17
— IOI
— 9 2 —102
3
b A ,?
2
— A3 0 3
X3 3
2
bA i 4 •••••• C A3 S^ -A304 ^4
b
x5 bA3^2 C A 3 .?*
*
in
8
bA3^2
— 2 8
— 33
A 3? 0
X7
-60
—60
—158
'9 —35
72
-147
43
64 52
— 7 0 — 125
— 18
-48
42
83
84 48
46 —2
54
— io5
-4i -41
126
I 34
72
3i
—51 -54 —9 — 7 5 88
-i57
67 17
27
-167 5o 33
-73 -84 83
89 38
38
48
—31
56
—21
3o
169
no
125
206
26
249
348
384
4i3
9'2
392 92
388
74
96
—20
97
37
-53
-65
72 -16
243
5i 9
5i3
43i
4i9
469
281 —3io
—3i7
-174 -176 —201 6 8 65 —20 -46
-123 —212
-237
"*
-46 —65
— 9 0 -119
64
168
—165
—7 -59
5o
73 — IOI
—3i3 - 3 3 4 — 203 —2l5 -162 85 9 —27
—555 - 4 n
—252 - 4 5 3
—574
-5i3
-47
— 6 6
—72
-74
17
90
112
112
117
•11
45
9i
62
83
i3
—3 -16
4o
—83 -68 — 32
—60
10
— II
-9 i5
-i55
245
—25
— 52
—8
-141 5i
218
-34 —23
—5i
10
—3 47
43 17 — 22
38
—2
—100
so
— no —83 —58 —88 —20
—88
—3 33
56
127
—2
2l5
190
—33 -46 — 1 — 7 i5 -37
124
-87
178 i44 — 25 -19 3i 10 129
10
— 6 — J9
64
—27 1
57 —36
38
-49 -43
cA3,?* —
38 — 10
— 118 — 116 61
o"
i56
35
8
—8
— 7 2
*"*
— io5 — io5
—6
39 —27
p. -0
© •/I
8l n3 71 3 — l 6 -84 —5 —55 127
47 — 1 18
— 10
-A306
h
3i —13
22
146
^i 5* \ 3 £)
3i
1 -i
A
espece.
©
0
CXI
©
espece, 1° serie.
«•©
espece.
SOLUTIO de potass
" serie.
K 6
-67
-73
-78 «S8 —67
i35 -57
446
NOUVEAUX EXERCICES DE MATH^MATIQUES.
Ainsi, par exemple, si Ton ajoute a la valeur de @, trouvee pour l'eau (i r e serie), c'est-a-dire a ©1 = 1,771387
la premiere des valeurs de X fournies par le Tableau VI ou le nombre o,oooi4o,
on obtiendra pour somme le nombre 1,771627,
qui represente precisement la valeur de 62 a laquelle on parvient en posant dans la premiere des formules (57) $ = .?! = 2,833,
L(s) = 4521774.
Pareillement, si de la valeur de @6 relative au flintglass (2 e espece), c'est-a-dire de 0 6 = 2,740370,
on retranche le nombre 574, qui, pris avec le signe —, represente la valeur de Xo correspondante a la meme substance, on aura pour reste le nombre qui est precisement la valeur de 02 a laquelle on parvient en posant dans la huitieme des formules (57) 5 = ^=4,541,
L(s) = 6571528.
Au reste, Texactitude des valeurs de X, comprises dans le Tableau VI peut etre confirmee comme il suit. Les formules (117) du § VI donnent
On aura de meme, en designant par n Tun des nombres entiers 2 et 4, (64)
SA 3 5?=o,
S'A3s?:=o,
S v A 3 5f=o,
447
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. et par suite on tirera de l'equation (63) S lt =
>
(65) Enfin de ces dernieres equations combinees entre elles on conclura (66)
7 1 -f-> 2 =r-(X 3 4-A 4 )=:A 5 +X 6 = ->, 7 .
Done les quatre quantites (67)
5i14-X2,
X3+A4,
devront etre egales au signe pres et alternativement affectees de signes contraires. Or cette condition se trouve effectivement remplie avec une exactitude suffisante par les valeurs deX, quefournitle Tableau VI, comme le prouve celui que nous allons tracer. TABLEAU
Valeurs de Xj
VII.
h X4, . . . exprimees en millioniemes.
EAU.
FLINTGLASS.
CROWNGLASS.
©
2 '£
•©
SOLUTI de potas
g © ©
©
©
a
a ©
a
© '©
a
©
U
h
68 61 85 32 63 —62 - 8 4 - 6 7 —32 —61 62 63 33 67 86 —60 — 8 3 -68 - 3 2 —60
-9 T2
—9 10
g" ©
0 •-
a .£; a
G^
i
58 66 — 6 2 — 8 2 - i 3 7 62 —68 83 i33 -58 66 - 8 2 —136 58 62 -67 83 i35 — 57
D'apres ce qu'on vient de dire, les valeurs de G2 fournies par les equations (57) coincident avec celles que Ton deduit de la formule (68)
2=0;+
en attribuant a 0, les valeurs donnees par l'experience et a X£- les valeurs tres petites que presente le Tableau VI. Or on tire de la for-
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. mule (68) (69)
6= (ei-h'kif=(Qj+'ki)*
= 0 i + ± |^ — J | | - f - - . . ;
et, comme, pour chacune des valeurs attribuees a A; et a 0/, le troisieme terme et les suivants, dans le dernier membre de l'equation (69), offriront une somme inferieure a un millionieme, on pourra sans erreur sensible reduire cette equation a Q — Qi^r1-
(70)
-±.
Done la difference entre la valeur de G determinee par Tune des formules (57) et la valeur de 6/ donnee par Fexperience se reduirasimplement a la quantite (70
=
^
^7a"'
dont les diverses valeurs se tirent aisement du Tableau VI, et se trouvent comprises dans celui que nous allons tracer. TABLEAU.
VIII.
l
Valeurs de \dj "k£ exprimees en millioniemes. CROWNGLASS.
EAU.
FLINTGLASS.
B
6
d
?pcce.
SOLU de po
icric.
53 d 0 «>
d
o
d 0
d
1 .2
d
P.
0
<£ ^*
53
Pour i — 1.... 2
— 3o
3.... —38 4.... i5
38 -6
35 —10
-34 —36
IO I
—23
4
23 —2
—41
-6 -6
49
18
— 22
—11
IO
-37 -14 — 20
8
-74 —15 —13 — 22 52 34 38 63
-26
—28
20 10 8 12 3 12 127 142 5.... 4i 48 67 80 55 78 160 i56 I3I 6.... — 18 — T6 -44 -69 -34 — 8 0 —i3g — 173 —155 — 167 -104 3 —20 25 7.... — 2 2 —31 -24 — IO — 19 40 — 17 '9
23
( i = iet2.
w
1) | ) rj2
\
32
3 et 4 •— 23 —31 23
5et6.
7
—
22
25
11
-24 — II
32 2 3 -3i -24
I I
— IO
21
—
—21 21
-19
2
21
4
—22
3
—20
—2
21
— 19 — 2 5 25
-4a
18
4i - 1 8 18 — 17 —24 —40 40 25 19 — 17 17
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
449
Dans le Tableau VIII nous avons joint, pour chaque substance, aux diverses valeurs de les sommes de ces valeurs prises deux a deux a partir de celle qui correspond a i = i, c'est-a-dire les valeurs des quatre quantites Aj
A.?
A^
2 0,
2 0,'
2 03
A 4.
2 04'
A5
Ag
A-
2 05
2 06
2 07
Eii ayant egard aux formules (65) ou (66) et raisonnant, comme dans le § VI (p. 337 et 338), on demontre saiispeine que les quantites(72) doivent etre sensiblement egales, au signe pros, et alternativement affectees de signes contraires. Or cette condition se trouve en effet remplie, avec une exactitude suffisante, par les quantites comprises dans les quatre dernieres lignes horizontales du Tableau VIII; ce qui prouve la justesse de nos calculs. D'apres le Tableau VIII, la difference entre la valeur de G determinee par Tune des formules (07) et la valeur de 0, fournie par l'experience est generalement inferieure, abstraction faite du signe, aun dix-millieme. Il n'y a d'exception que pour le flintglass, dans le cas oil Ton pose i = 6 ou i = 7, et alors meme la difference dont il s'agit, prise, abstraction faite du signe, ne depasse jamais 173 millioniemcs, ou environ un dix-millieme trois quarts. Les formules (57) reproduisentdonc, avec de legeres variations, les valeurs de 0,- fourniespar Texperience. Toutefois les variations dont il s'agit deviennent, pour certains rayons et certaines substances, superieures aux variations observees dans le passage d'une serie d'experiences a une autre ; puisque ces dernieres variations, d'apres le Tableau XXIII du § VI, n'ont jamais surpasse la moitie d'un dix-millieme. Ainsi les equations (07), appliquecs a la determination des valeurs de 02 et de 0, n'atteignenl pas le meme degre de precision que les formules etablies dans les §§ VI, VII et VIII, par exemple les formules (11), (27) et (3 9 ) (§ V1I\ desquelles on deduisait pour @i= 0?, et par suite pour 6,-, des valours dont Texactitude etait comparable ou meme superieure a celle des O E u v r e s d e C—
S. II, t . X .
<>7
450
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
resultats directement fournis par l'experience. Mais il est juste de romarquer que les coefficients renfermes dans les equations (57), ou los valeurs de a,
b, c
relatives aux diverses substances, dependent a la fois des valeurs de G et de / fournies par l'experience, les unes avec sept chiffres, les autres avec quatre chiffres seulement, tandis que les coefficients compris dans les formules des §§ VI, VII et VIII dependent uniquement des valeurs observees de G. Pour cette raison, en etablissant les formules (37), on a du negliger les differences du troisieme ordre, dont on avait tenu compte dans les §§ VI, VII et VIII. On ne doit done pas s'etonner que, pour certains rayons et certaines substances, les nombres compris dans le Tableau VIII surpassent un dix-millieme et s'elevent jusqu'a un dix-millieme trois quarts environ. Les plus grands nombres que renferment les Tableaux VI et VIII etant 574 et 173 millioniemes, il en resulte que les formules (57) determinent les valeurs de G2 a 5 ou 6 dix-milliemes pres et les valeurs de 8 ii 1 ou 2 dix-milliemes pres. Comme d'ailleurs, dans les Tableaux I et II, les valeurs de s2 sont toutes inferieures a 25 et celles de s* a 606, il est clair qu'on pourra simplifier les formules (57), en supprimant les deux derniers chiffres decimaux dans les coefficients de s2 et de s\ car cette suppression produira, dans la valeur de Q2, une variation inferieure a la somme des produits 25 x 0,00001 = 0,0002.5
et
606 x 0,0000001 = 0,0000606,
par consequent inferieure au nombre o,ooo3io6,
<>t a plus forte raison a 0,000674.
Aprils cette suppression, les deux valeurs de chaque coefficient b ou c, correspondantes a deux series d'experiences faites sur la meme substance, seront, comme on devait s'y attendrc, tres peu differentes
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
ho\
Tune de l'autre, et si Ton remplaee ces memes valeurs par leur demisomme, si de plus on supprime encore les deux dernieres decimales dans les valeurs de a, on reduira les formules (57) aux suivantes : 02— 1,7518 4- o,oo25852— o,ooooi4i.?>f,
I Eau
(73)
Solution de potasse
# 2 = 1 ,g343 -h o,oo3i7^ 2 — o,0000102s'%
Crownglass, i r e e s p e c e . . . .
d2— 2,2930 4- o,oo383s2— 0,00000195*,
»
2e e s p e c e . . . .
Q2—. 2,2972 4 - 0 , oo388s2—o,oooooi4
)>
3e e s p e c e . . . .
0 2 = 2,38i4-H o,oo442^ 24- o,ooooo7554,
i r e espece.. ..
02.-= 2,5i45 4- o,oo6i95 2 4- o,0000395s4,
»
2e espece...
0 2 = 2,5781 4 - 0 , oo683524- 0,0000491^,
»
3 e espece.....
0 2 = 2,5868 + o,oo693,?24-o,oooo5o454,
»
4e e s p e c e . . . .
62= 2,5882 4- o,oo735s 2 4-o,oooo388s v .
Flintglass,
Si, en designant par £2 la vitesse de propagation de la lumiere dans Fair, on pose (74)
^
= J
'
on tirera des formules (5) et (r 1) (75)
a!=aJ,
a2 = — abJ2,
a 3 =a(2b-—ac)5 3 .
Par suite, si Ton reduit le dernier membre de la formule (4) a ses trois premiers termes, on tirera de cette formule, en supposant les valeurs de ii et de k relatives, non plus a Fair, mais a un milieu quelconque, (76)
= ^
aJ[
rC
puis on en conclura (77)
s'— a J [ ^ 2
ou, ce qui revient au meme, (78)
s2=a3k"2~
Si Ton continue de prendre pour unite de temps le quotient qu'on
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQUES.
obtient en divisant une seconde sexagesimale par mille millions de millions, c'est-a-dire par (io) 1 5 , on devra, dans les formules (77) et (78), aussi bien que dans la formule (55), attribuer aux coefficients a, b, c les valeurs que fournit le Tableau V. Si, au contraire, on prend simplement pour unite de temps la seconde sexagesimale, on devra diviser les valeurs de b tirees du Tableau V par ( J O ) 3 0 et les valeurs de b2 et de c par (io) 0 0 . Alors la formule (77) donnera ^-0,00808-^+0,000873^],
r k3
$
Pour la solution depotasse....
j — ^ = 4,97 2
Pour le crownglass, i espece.
' U°)
kk oo8:5
\j^yi ~ °'
JJ^i + O,OOO263
2
s re
12
kk
r k
k*
T
= 4> 9,35 —---- — 0,00700 -+-0,000113 \, l_(10) (io)- s (I0)+2'
7 7 7 ^ = 4 ' l 8 5 8 TTT^n - °'°°7O7 7 - ^ 1 + 0 , 0 0 0 ; 1 (r-n) (
»
oL cspeco. l
Ks9)\
——r=:4)Oo7o -—— T —0,00740
(io) 3 0 •s 2
Pour le llintglass, i re espece...
^'
J
[(IO) r /« 2
/y
~ >
h0,000061
(io)-*
'
A"4
,
(ioJ* 3 J / 6 ~i
——- = 3,8241 7^—77; —0,009.41-—— — 0 , 0 0 0 0 5 2 — ^ , \^ V
})
4e espece...
S2
' (io)3
r
yr.2
^ ;
#6
"1
= 3,71.52 I ,, — o,oio55 1-0,000016 , L(^j 1 + (io) 28 (IO)«J
la valeur de k etant variable, non seulement avec la couleur, mais encore avec la substance que Ton considere, et determinee par 1'equation
Si dans les seconds membres des formules (79) on ecrivait Q/E; au lieu de k, les valeurs de k deviendraient relatives a Fair, et seraient telles que les presente le Tableau suivanL
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIQUES.
453
TABLEAU IX.
Valeurs de k dans Vaif,
INDICATION DES RAYONS.
B.
C.
D.
F.
E.
G.
H.
L(Z)
837493o 8172000 7699476 7209611 6850986 6325176 6941557
1625070 1828000 2300524 2790389 3149014 3674824 4o58|43 7981799 7981799 7981799 7981799 7981799 7981799 7981799
L(2^) 9606869 9809799 0282323 0772188 I I 3 O 8 I 3 1656623 2040242 Logarithmes de k = —->
k
o,9i35
(1O)7
°,957'
1,0672
i,i9i6
1
,2974
i,4614
1,5996
En multipliant une des valeurs de -.—^ tirees du Tableau IX par la valeur de 0 relative au meme rayon et a une substance donnee, on k obtiendra la valeur de -,—~= relative au rayon et a la substance dont il (io)7
J
s'agit. Ainsi, par exemple, en faisant usage des logarithmes, on trouvera, pour les valeurs de k relatives a la solution de potasse, celles que fournit le Tableau suivant. TABLEAU
X.
Valeurs de k relatives a la solution de potasse.
INDICATION DES RAYONS.
LO Lk (air)
B.
G.
D.
E.
F.
G.
II.
1460129 1462878 1469974 1478716 1486280 1500129 1511762 9606869 9809799 0282323 0772188 u3o8i3 1656623 2040242
LA* (solution de potasse). 1066998 1272677 1752297 2250904 2617093 3i56752 3552004
—^—(solution de potasse). 1,278.5 (10)'
i,34o5
i,497O
1,6792
1,8269
2,0686 2,265"
i54
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Or, si Ton substitue ces dernieres valeurs de :—^ dans la seconde des equations (79) ou, ce qui revient au meme, dans la formule (8o)
9
on obticndra, comme on devait s'y attendre, des valeurs de ^—r^ e t de T-AT^ sensiblement egales aux valeurs de s2 et de s renfermees dans (JO)15
°
le Tableau I, et telles qu'on les trouve inscrites dans celui que nous allons tracer. TABLEAU
XL
%
Valeurs de s tire'es de la formule (70).
INDICATION DES RAYONS.
4,9712
(
I o
B.
C.
D.
14,016
8,9329
m
E.
F.
G.
H.
16,591 21,272
-o,i08i -o,i3o6 -0,203 -0,322 -o,451 -0,741 -1,066 6
A -V2 (IO)30
s (io; 1 3
0,0057
0,0076
o,oi5
0,029
8,0232 8,8099 10,953
2,833
2,968
3,3io
0,102
16,189 20,633 24,63o
3,7O4
4,024
4,542
4,963
Les differences qui existent entre les valeurs de s ou de * fournies par les Tableaux I et XI sont inferieures aux variations que produisent les erreurs d'observations. Effectivement, on tire des formules (2) et (3) (81)
l
et, si Ton substitue dans l'equation (81) les valeurs de s fournies par
455
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
le Tableau XI, en prenant pour ii la vitesse de propagation de la lumiere dans Tair, c'est-a-dirc en posant
on obtiendra les valeurs suivantes des longueurs d'ondulation dans Pair : TABLEAU X I I .
Valeurs de I ttrees de la formule
B.
INDICATION DES RAYONS.
En dix-millioniemes de millimetre En cenl-millioniemes de pouce
(81) jointe
C.
D.
6879 6564 588 7 2541
2425
•>i;>
du Tableau
E.
F.
XL
G.
II.
5260 4842 4289 3926 1943 1789 i585 i4">o 1
Or, si Ton compare les valeurs de / inscrites dans la derniere ligne horizontale du Tableau XII a celles qui ont ete fournies par l'experience et que nous avons placees en tete du Tableau II (§ VI), on reconnaitra qu'elles ne different point les unes des autres, si Ton en excepte toutefois les valeurs relatives au rayon H. Observons d'ailleurs que la difference des nombrcs 1451
et
i45o
qui, dans les deux Tableaux, representent l'epaisseur des ondes relatives au rayon H, exprimee en cent-millioniemes de pouce, se reduit a une seule unite de l'ordre indique par le dernier chiffre, et que les experiences de Frauenhofer qui determinent les epaisseurs d'ondes, exprimees en cent-millioniemes de pouce, fournissent souvent pour un meme rayon des nombres dont les derniers chiffres different entrc eux d'une ou de plusieurs unites. C'est en observant les phenomenes produits par des reseaux composes de fils metalliques paralleles les uns aux autres, que Frauenhofer a obtenu les nombres inscrits en tete du Tableau II (§ VI),
V56
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
savoir. (a)
254i, 2425, 2175, 1943, 1789, i585,
I45I.
On peut consulter a ce sujet le Memoire lu par ce physicien a l'Academie de Munich le 14 juin 1823. Les nombres dont il s'agit y sont donnes dans les premieres pages et se trouvent, a la fin du Memoire, remplaces par les suivants : (b)
...,
2422,
2175,
1945,
1794,
1587,
1464.
Les epaisseurs d'ondes representees par les nombres (a) et transformees en millimetres ont ete adoptees par quelques physiciens (voir cntre autres la Physique de Pouillet). D'autres physiciens, Herschel par exemple, ont adopte les epaisseurs d'ondes representees par les nombres (b), en placant a la tete de ceux-ci le premier des nombres (a). Par consequent ils ont suppose que les longueurs des ondes, cxprimees en cent-millioniemes de pouce, etaient represented, pour les rayons B, C, D, E, F, G, H, par les nombres (c)
2541, 2422, 2175, 1945, 1794*
1687, i464.
Les deux suites de nombres (a) et (c) sont completement d'accord dans le premier et le troisieme terme. Elles s'accordent encore sensiblement dans le quatrieme et le sixieme; mais elles different assez notablrment dans le septieme ou dernier terme. D'ailleurs les formules etablies dans le present Memoire permettent de faire servir trois termes supposes connus a la determination des quatre autres, ainsi que nous allons le faire voir. En raisonnant comme dans le § VII (p. 373 et 374), et ncgligeant les differences du quatrieme ordre, ou meme celles du troisieme, on deduira des formules (5o) et (5i) d'autres formules propres a determiner la valeur generate de 0/, quand on connaitra les valeurs partimlieres de
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
457
ou meme simplement les valeurs de 0
1HI
('\
Ces formules coincideront avec l'equation (27) du § VII et avec cello qu'on en deduit quand on supprime Ie dernier terme du second membre, par consequent avec la suivante
1
&••
LJi
(8?.)
la valeur de y',- etant
Pareillement, en supposant toujours que Ton neglige les differences finies du troisieme ordre, e'est-a-dire les quantites
on deduira des equations (4'3)> (44)» (-15) d'autres equations qui ser viront a determiner les valeurs generales des quantites o
n
i n
j - n
quand on connaitra lours valeurs particulieres correspondantes a trois valeurs donnees de i. Ainsi, par exemple, en posant n = 2, et regardant comme connues les valeurs de /r 2 correspondantes a i = 1, / = 3, i= (3, on tirera de Tequation (45)
(84)
<
Si maintenant on fait, pour abreger,
P3— Pi OEuvres
d e C. — S . I I , t . X .
(H6— | J l ) ( 7 G ~ l/'i)
458
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQ UES.
la formule (84) donnera simplement (86)
^^^H-B^^-^J + C/t^-^-Bef^-^)]
ou, ce qui revient au meme, (87)
/r2 = 0 - Di-c^ir + lit 1? H- cti-\
Enfin, si dans les equations (83) et (85) on substitue les valeurs de P/ et de y,- trouvees dans le § VIII, on deduira aisement de ces formules les valeurs de /„
Bh Q et Dt
.comprises dans le Tableau que nous allons tracer.
NOUVEAUX EXERC1CES DE MATHEMATIOUES.
f
i59
TABLEAU X I I I .
Valeurs de y'h B,-, Ci9 D,.
2.
1.
ft.-
3.
4.
5.
G.
SOMME.
6
0,190868 0,168734 0,108921 o,o3i477 -o,o38i25 -0,171610 -0,29026/ O,I9O868 0,19086s 0,190868 9,i9o8C)8 0,190868 0,190868 0,19086S
p/—pi
0,000000 -0,022134 -0,081947 -0,159391 -o,22«S993 0,362478
O,00000 I I ,336076
-o,4«n32 -1,336o 7 5
-0,16970 -o,o85io 0,04521 -0,2454* -0,000 \'\ 0,07534 0,17924 -0,16970 -0,16970 -0,16970 -0,16970 -0,16970 -0,16970 -0,16970 -1,1X790
V // i i
*/,• — v, \i 1 1
.
...
0,00000
o,o«S4<)0
0,21491
—0,1 >7 371
o,245o4
0,34894
0,36969 5678377 3598222
3322 566 5592817
S791532 68>.264o
1,187(7
L[+(Y/-Yi)]
9273704 3450699
3892370 9i3533i
5427508 2024638
L(=PY;)
58231o5
4757039
3402870
2o8oi55
7729749
196SS92
\i
-3,8222 -2,9902
-2,9902 -2,9902
-2,1892 -2,9902
-1,6144 -2,9902
-0,5929 -2,9902
0,1574 -11,o5i5 -:>, 9902 -* 7,94i2
it-iz
-o,832o
0,0000
0,8010
i,37:>8
2,3973
L ( y'- — y' )
92012 >3
9036325 2024638
1385553 3598222
3797224 5592817
4979795 68226(0
L [—(j36— j3x) ( Y Q — Y 3 ) ] •
265i832 93900^1
1060963 93900\1
93900^1
9390041 9390041
1 No2435 9390041
T.f-r C,-)
3261791
1670922
5593734
0,00000
2412094
-0,02119
0,14692
o,36255
1,00000
',74^77
2024638 9i35331
3598222 9i3i>331
5592S17 91 > 5; 31
9135331
2889307
44<^x 9 i
6 4 3 7 4 <^ 6
7(>«;3o9
6457486
6457486 1670922
6457486 539373\
6457486
3261791
6437486 2-4i2394
9/19277
8128408
2O5122O
6457486
8869880
0,27010 -0,09374
i,945o5 0,64989
4,4233* 4,42332
5,87125 7:70882
D,
0,36384
1,29516
1,19070
0,00000 -i,83 : 57
Ct+Ut
0,34^65
1,44208
1,55325
-o,o()48o
3,24318
1 — c-— D/
o,65735
-0,44208 -0,55325
1,09480
0,75682
E[—(P/—Pi)] L [=t (P /—[31) (y'i — Y 3)].
c,
9i)533i
L[—(Ps— pi)] T / T) \
9135331 48i5268
L(B6) L(=FB.G/)
B
B!6
9I3533I
0,00000
En consequence, on tirera de la formule (87) ' /~2= (88)
o,65735/" 2 -4- o,36384/32 — 0,02119/-% 0,14692/"% 2 2 o,362551~-, 1. = — o,5532o l~^ + 1,19070/3 2 2 ? 7 - i,83 7 5-/1,74277 l~G'2.
'•), 1476
6,8897
3 ,23io5
14,29199 O , 0 I '2 [ 3
M>0
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
Si dans ces dernieres equations on substitue les valeurs de /,, /3, /6 qui font partie de la suite (a) ou, ce qui revient au meme, si, en prenant pour unite de longueur un cent-millieme de pouce, on pose 4=2,175,
/!=2,54T,
/6=i,585,
on obtiendra pour '2*
*4>
4>
'7
les valeurs que determine le Tableau suivant. TABLEAU
Valeurs
XIV.
de l2, lk, / 5 , /7 deduites
de la for mule ( 8 7 ) .
2.
4.
5.
7.
L[+-(i —d—D,-)] L(/T2)
8177967 1899906
6455009 1899906
7429214 1899906
0393348 1899906
L[+(i-C,--D,)^ 2 ]
0077873
83549i5
9329120
2293254
L(+D,)
5609104
I I2323J
HV)
32rjo8i4
325o8i4
0758024 3a5o8i4
2642439 325o8i4
L(-+"D/^)
8859918
4374049
4oo8838
3893253
L(q=d)
3261791
1670922
5999414
>9994i4
5593734 ^999414
2412394
L(/e ) L(+C f -/^)
9261205
7670336
I593I48
8411808
0,10181 0,0769] —0,00844
—0,06847 0,27378 0,05848
—0,08^69 O,T4432
0,16956 —o,3884{ 0,69371
0.17028
0,26379
O,3IO33
o,47483
i.
2
(I__C/--DI-)/T2 D//32
C//e2 /7
2
0,2") 170
5999^4
L(/7 2 )
23n636
4212583
4918238
6765382
Wil)
6I558I8
7106292
7459119
8382691
Wt)
3844i8'2
2393708
254o88i
1617309
i>795
I,45I
u
2,423
A i n s i , e n a d o p t a n t c o m m e e x a c t e s l e s v a l e u r s d e lif /3 e t /G r e p r e -
NOUVEAUX EXERCJCES DE MATHEMATIQUES.
461
sentees par le premier, le troisieme et le sixieme terme de la suite (a), nous sommes conduits, par l'application de la formule (87), a remplacer la suite dont il s'agit par cette autre suite de nombres (d)
254T,
2423,
2175,
19^7,
1795,
i585,
145 T -
Si au sixieme terme de la suite (a) on substituait le sixieme terme de la suite (b), les nombres (d) se trouveraient, en vertu de la formule (87), remplaces par les suivants : (e)
2541, 2423, 2175, 1948, ^96,
1587, i454.
En comparant les nombres (d) et (e) aux nombres (a) et (c), on reconnait que, si des deux suites (a) et (c) la premiere s'accorde moins bien avec les suites (d) et (e) dans le second, le quatrieme et le cinquieme terme, elle s'en rapproche beaucoup plus dans le septieme terme, dont la variation, quand on passe de la suite (a) a la suite (d) ou (e), est nulle ou seulement egale a trois unites de Tordre indique par le dernier chiffre, et s'eleve au contraire a treize unites du meme ordre lorsqu'on passe des nombres (c) aux nombres (d). En terminant ce paragraphe, nous ferons observer que les equations (43), (44)> (45) et (5o) ont une grande analogie avec une formule du meme genre que j'ai donnee dans un Memoire lithographic sur Tinterpolation, et a l'aide de laquelle on pourrait encore developper aisement deux des trois quantites 6, s
et
k
ou
l~l
suivant les puissances ascendantes de la troisieme. § XII. — Sur les resullats que fournit Vapproximation du premier ordre, Le Tableau XI du § XI fournit les valeurs approchees de s1 que Ton deduit de la formule (77) ou (78), en supposant les valeurs de a, b, r, JJ relatives a la solution de potasse. Chacune de ces valeurs appro-
462
NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
chees se compose de trois termes dont les deux derniers sont comparables aux valeurs de A©,- et de A2©/, c'est-a-dire aux differences finies du premier et du second ordre; et Ton reconnait immediatement a 1'inspection du Tableau XI (§ XI) que le troisieme terme, c'est-a-dire le terme du second ordre, esttoujours moindre que la centieme partie du premier. II en est ainsi pour toutes les substances, meme pour A6
lYau, quoique le coefficient de -—-^ soit, dans la premiere des formules (79), beaucoup plus considerable que dans les suivantes. Effectivement la valeur de -.—^ relative a l'eau et au ravon H, ou le pro(io)7
°
L
duit 1,3442 X 1^996 = 2,l5o2,
a pour quatrieme puissance le nombre 21,375,
et le produit de ces derniers nombres par le coefficient 0,000378, savoir 21,375 x 0,000373 = 0,00797,
est inferieur a -^. Or ce produit representera evidemment le rapport des termes proportionnels a k6 et a tsr dans le trinome que renferme la premiere des formules (79). II suit de ce qu'on vient de dire que les formules (79) et autres du § XI precedent seront encore sensiblement exactes, si Ton y neglige les termes du second ordre. Alors, en posant, pour abreger, (1)
a3 = %
b3 = ii,
mB = B\
on reduira la formule (76) a (2)
-^ = ^ 2 = t ? ( i - m ^ ) = ti
-Wk\
On pout d'ailleurs etablir directement cette derniere formule de la maniere suivante. Concevons que les vibrations du fluide ethere s'executent dans un milieu oil la propagation du mouvement reste la meme en tous sens,
NOUVEAUX EXERCICES J)E MATHEMATIQUES.
463
et considerons un rayon dans lequel les deplacements moleculaires soient paralleles a l'axe des x. On devra, dans la premiere des formules (16) du § I, supposer = o,
et \ fonction des seules variables independantes j , t. Done cette formule donnera simplement (3)
De plus, A£ etant I'accroissement de la fonction <j, correspondant a I'accroissement Ay ou r cos(3 de la variable y, on aura, par le theoreme de Taylor, A£—
ft^
r2cos2(3<}2£
r 3 cos 3 (3 J 3 ^
r'*cos 4 (3^£
En substituant la valeur precedente de A£ dans Tequation (3), negligeant les sommes qui renferment sous le signe S des puissances impaires de cos(3, et posant, pour abreger, H=S
~
[f(r)^/(r)cos2a]cos2(3J,
(5)
on obtiendra la formule
qui devient
lorsqu'on reduit la serie comprise dans le second membre a ses deux premiers termes. Si d'ailleurs on choisit pour origine des coordonnees un point ou les molecules d'ether ne soient pas deplacees dans
46V
NOUVEAUX EXERCICES J)E MATHEMAT1Q UES.
le premier instant, £ devra s'evanouir quand on supposera simultanement r = o,
t = o,
et Ton verifiera cette condition, ainsi que la formule ( 7 ) , en posant
(8) (9)
l=
Xsm{k(y±&tj\, J2 =z* — WkK 2
r/est a tres peu pres en suivant cette methode que j'avais etabli la formale (2) ou (9) dans un Memoire presents a l'Academie des Sciences le 14 juin i83o. Cette mcme methode a ete publiee, ainsi que les formules (7), (8) et (9), dans le Bulletin des Sciences de M. de Ferussac (t. XIV, p. 9, annee i83o) ( f ) ; et, si elle a ete proposee depuis dans un article du Philosophical Magazine (Janvier i836) comme propre a simplifier l(^s calculs developpes dans le Memoire sur la dispersion, eela tient evidemment a ce que l'auteur de I'article n'avait point sous les yeux le Tome XIV du Bulletin ci-dessus mentionne. Lorsque Ton cpnsidere le terme
comme une quantite dont le carre peut etre neglige, on a (10)
1
et l'equation (2) ou (9) devient ^
( )
A-v'641
C'est sous cette dernirre forme que l'equation (9) a ete presentee et verifiee a I'aide des experiences de Frauenhofer par M. B. Powel dans plusieurs articles que renferment les Philosophical Transactions el le Philosophical Magazine. ( J ) OEavres de Ccatchy, S. II, T. II.
TABLE DES MATIERES DES NOUVEAUX EXERCICES DE MATH&MATIQUES.
PREFACE ET AVIS AU LECTEUR
Considerations generates I.
189
195
Equations differentielles du mouvement d'un systeme de molecules sollicitees par des forces d'attraction ou de repulsion mutuelle
196
II.
Integration des equations etablies dans le paragraphe precedent
mi
III.
Application des formules precedentes a la theorie de la lumiere
221
IV.
Propagation des ondes lumineuses dans un milieu ou l'elasticite de Pettier reste la meme en tous sens
;>5o
V.
Sur la refraction de la lumiere
>.J6
VI.
Applications numeriques
261
VII. VIII. IX.
Suite des applications numeriques 344 Remarques sur les resultats obtenus dans les paragraphes precedents 389 Sur la propagation de la lumiere dans les milieux ou sa vitesse reste la m&me pour toutes les couleurs
400
X.
Considerations nouvelles sur la refraction de la lumiere
XI.
Sur la relation qui existe entre la vitesse de propagation de la lumiere et l'epaisseur des ondes lumineuses 427 Sur les resultats quo fournit F approximation du premier ordre 461
XII.
FIN DU TOME X DE LA SECONDE SfiRIE.
OEuvres de C. — S. II, t. X .
421
TABLE DES MATIERES DU TOME DIXlfcME.
SECONDE SERIE. MEMOIRES DIVERS ET OUVRAGES.
III. — MfiMOIRES PUBLlfiS EN CORPS D'OUVRAGES.
Pases 9-184
RESUMES ANALYTIQUES DE TURIN
NOUVEAUX EXERGICES DE MATHEMATIQUES (EXERGICES DE PRAGUE)
185-464
FIN DE LA TABLE DES MATIERES DU TOME X DE LA SECONDE SERIE.
18986
Paris. — Imprimerie GAUTHIER-VILLARS ET FILS, quai des Grands-Augustins, 55.
