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X > < K • • • )> X, + auront evidemment, avec les cosinus X, \x, v, des relations semblables a celles que les formules (6) et (9) etablissent entre les quantites a,
•••!
et r le nombre des variables qui se trouvent exclues de la substitu-
( . ) quand elle est reduite a son expression la plus simple. Non T>
\
seulement on aura (4)
« + b + C + . . .-+- 7'= 71,
attendu que les divers groupes a,
[3, y ,
...,
I,
[j.,
...,
v,
devront renfermer en somme les n — r lettres auxquelles se rapporte la substitution ( . ); mais, de plus, on conclura evidemment de ce qui
182
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS AJ
sera le plus petit nombre
divisible a la fois par a, par b, par c, . . . . Considerons maintenant en particulier, parmi les variables x, y, A)
et
nommons u l'une de ces dernieres. Comme nous l'avons remarque, la variable u se trouvera exclue de la substitution ( . ) reduite a son expression la plus simple; mais, d'autre part, rien n'empechera de mettre cette variable u en evidence, et de la considerer comme formant a elle seule un facteur circulaire du premier ordre, savoir, le suivant: u I.
u'
On pourra meme presenter ce facteurdu premier ordre sous une forme analogue a celles des facteurs circulaires
en ecrivant simplement(«) au lieu de ( u) > de meme qu'on ecrit (x, y).
II suit de cette observation que, dans la formule (4), on peut regarder la lettre r comme exprimant le nombre des facteurs circulaires du premier ordre, renfermes dans la substitution (^\ • Ajoutons que, dans la formule (4), deux ou plusieurs des nombres a,
b,
c,
...,
r
peuvent etre supposes egaux entre eux. Si Ton se place dans cette hypothese, et si, pour plus de commodite, on suppose la substitu-
( R\J equivalente au produit que Ton obtient quand on multiplie A
entre eux / facteurs circulaires de l'ordre a, g facteurs circulaires de l'ordre b, h facteurs circulaires de l'ordre c,
QUE L'ON PEUT FORMER AVEG DES LETTRES DONNEES. 183 r facteurs circulaires du premier ordre; la formule (4) se trouvera evidemment remplacee par la suivante : (5j)
/ « + gb -h he -+•. . . + r — n.
Une substitution quelconque (
) sera dite reguliere, lorsqu'elle
sera, ou une substitution circulaire, ou le produit de plusieurs substitutions circulaires de meme ordre. Elle sera irreguliere dans le cas contraire. Cela pose, l'ordre d'une substitution reguliere est evidemment 1'ordre de ses facteurs circulaires; de plus, toute substitution reguliere est une puissance d'une certaine substitution circulaire. Ainsi, par exemple, la substitution reguliere O , u) ( 7 , v){z, w)
est le cube de la substitution circulaire O, y, s, u, v, w).
Enfin, etant donnee une substitution reguliere qui renferme plusieurs variables x, y, z, . . ., celles de ses puissances qui ne se reduiront pas a l'unite seront des substitutions regulieres qui renfermeront necessairement toutes ces variables. Au contraire, les puissances d'une substitution irreguliere seront, les unes irregulieres, les autres regulieres; et celles qui seront regulieres renfermeront un moindre nombre de variables. Ainsi, par exemple, la substitution irreguliere (x, y, z) («, c),
qui renferme les variables x,
7,
z,
u,
v,
aura pour cinquieme puissance la substitution irreguliere (x, z , y ) ( u , v),
qui renfermera encore les cinq variables donnees; mais elle aura pour carre, pour cube et pour quatrieme puissance les substitutions regu-
184
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
lieres (x,z,y),
{u,o),
{x,y,z),
dont chacune renfermera deux ou trois variables seulement. II est bon d'observer que si, apres avoir substitue a 1'arrangement A un autre arrangement B, on veut revenir de 1'arrangement B a 1'arrangement A, cette seconde operation, inverse de la premiere, sera repre/B\
•
/AN
sentee, non plus par la notation I AJ> mais par la notation ^ B J - En consequence, il est naturel de dire que les deux substitutions (B)
sont inverses l'une de l'autre. Cela pose, il est clair que, si la substitution (
,A,
) fait passer a la place de x une autre variable y, la substi-
tution inverse ( B J fera passer, au contraire, x a la place de y. Si la / r> \
substitution ( . ) se reduisait a une substitution circulaire du second ordre, en sorte qu'on eut, par exemple, 'Bs
elle aurait pour effet unique d'echanger entre elles les deux variables x, y, et se confondrait avec la substitution inverse = (/,
x).
Ajoutons que les facteurs circulates de (^\
seront evidemment
inverses des facteurs circulaires de ( . ] • II. — Extension des notations adoptees dans le premier paragraphe. Substitutions semblables entre elles.
Considerons n variables independantes .
.
,
x,
y,
...,
z,
et soient A,
B,
C,
D,
...
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 185 les arrangements divers qui peuvent etre formes avec ces variables. Rie"n n'empechera de representer par de simples lettres P, Q, R,
...
les substitutions qui consistent a remplacer ces arrangements l'un par l'autre, et de prendre, par exemple,
Cela pose, les diverse^ puissances d'une substitution P se trouveront representees par les notations P°—i
P
P2
P3
et si Ton nomme i l'ordre de la substitution P, c'est-a-dire la phis petite des valeurs entieres de /pour lesquelles se verifie la formule (I)
P'=i;
alors, en designant par k et par / des nombres entiers quelconques, on aura (2)
En generalisant la formule (2), on est naturellement amene a considerer non seulement des puissances positives, mais encore des puissances negatives de la substitution P. En effet, pour assigner une signification precise a la notation P-<,
il suffit d'etendre, par analogie, la formule (2) au cas meme ou / devient negatif. Alors on trouve (3)
P^=P«-',
et, en particulier, (4)
p- 1 —P'- 1 .
Si, pour fixer les idees, on suppose i = 6, et on aura p - i = P « = ( a ; , z, y){u, OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
9). H
186
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
La substitution P ' n'etant pas distincte de la substitution P ' ~ \ il en resulte que cbacun des produits PP- 1
on P- 1 P
se reduit, comme on devait s'y attendfe, a p;_po— j .
Done, par suite, si Ton a
P~' sera la substitution qui, multipliee par (^ ) , donne pour produit
l'unite, e'est-a-dire la substitution f B ) ! inverse de (Anotations P,
Ainsi, les
P- 1
designent generalement deux substitutions inverses l'une de l'autre. Ajoutons que 1'inverse de la substitution P' sera evidemment P~'. Deux substitutions etant toujours inverses l'une de l'autre, quand leur produit est l'unite, on en conclut que la substitution PQ a pour inverse Q ( P ~ \ et que, pareillement, la substitution VhQk a pour inverse Q~ A P- ft . Deux substitutions distinctes
seront dites semblables entre elles, quand elles offriront le meme nombre de facteurs circulaires et le meme nombre de lettres dans les facteurs circulaires correspondants, en sorte que les facteurs circulaires, compares deux a deux, soient de meme ordre. D'apres cette definition, deux substitutions circulaires de meme ordre seront toujours semblables entre elles, et Ton pourra en dire autant de deux substitutions regulieres qui, etant de meme ordre, offriront le meme nombre de facteurs circulaires. Ainsi, par exemple, la substitution circulaire de second ordre (x,y)
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 187 sera semblable a chacune des substitutions (x, z),
(x, u),
...,
(y,z)
La substitution du troisieme ordre (x, J. *)
sera semblable, non seulement a son carre
raais encore a chacune des substitutions O > 7.
u
);
(x, z , a),
...,
( j , z , u),
...,
(u, v, w ) ,
Ainsi encore les trois substitutions regulieres, du second ordre, que Ton peut former avec quatre variables x, y, z, u, savoir : (x, y ) ( z , u),
(x,z)(y,u),
(x,u)(j,z),
sont semblables l'une a l'autre. Etant donnees deux substitutions P, Q semblables entre elies, on peut toujours ecrire la seconde au-dessus de la premiere, de telle sorte que les facteurs circulaires de meme ordre se correspondent deux a deux. Alors, aux diverses variables que renfermait la substitution P, correspondront, dans la substitution Q, d'autres variables qui remplaceront les premieres. Cela pose, concevons que Ton presente les deux substitutions P, Q sous les formes
en prenant pour A un arrangement quelconque, et en nommant C celui que Ton obtient, lorsque dans l'arrangement A on remplace chaque variable par la variable correspondante, prise dans la substitution Q. II est clair que les deux substitutions
quand elles seront semblables l'une a l'autre, deplaceront, de la meme maniere, les variables qui occupaient les memes places dans les
J88
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
arrangements A et C. Done alors, si Ton ecrit l'un au-dessus de l'autre, d'une part, les arrangements A et C, d'autre part, les arrangements B et D, les variables qui se correspondront dans les arrangements A et C se correspondront encore dans les arrangements B et D, produits, le premier, par Implication de la substitution P a l'arrangement A; le second, par l'application de la substitution Q a l'arrangement C. Done on aura, dans 1'hypothese adniise,
Reciproquement, si la condition (5) est remplie, les deux substitutions
appliquees la premiere a l'arrangement A, la seconde a l'arrangement C, deplaceront certainement, de la meme maniere, les variables qui, dans ces deux arrangements, occupaientlesmemes places. Done, par suite, ces deux substitutions devront o.ffrir le meme nombre de facteurs circulaires, et le meme nombre de lettres dans les facteurs circulaires correspondants, e'est-a-dire qu'elles seront semblables 1'une a l'autre. II est bon d'observer que les arrangements ci-dessus designes par les lettres A, B, C, D sont censes comprendre generalefnent toutes les variables que Ton considere. Done, pour trouver les variables qui doivent se correspondre dans les arrangements A et C, il est necessaire de mettre en evidence toutes les variables, et non pas seulement celles qui se trouveraient renfermees dans les valeurs des substitutions P, Q, reduites a leurs plus simples expressions. Ainsi, par exemple, si les substitutions P, Q, formees chacune avec cinq des six variables x
>
se reduisent aux suivantes
y,
z,
u,
v,
«-,
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 189 elles seront semblables l'une a l'autre. Mais, si Ton veut les presenter sous la forme
A, B, C, D etant des arrangements qui verifient la condition (5), on devra commencer par mettre en evidence les six variables x,
y, z, u, c, w,
dans chacune des substitutions P, Q, en introduisant dans la substitution P le facteur de premier ordre (V), et, dans la substitution Q, le facteur (x). Alors, en ecrivant Q au-dessus de P, de maniere a faire correspondre les uns aux autres les facteurs circulaires de meme ordre, on trouvera
et, par suite, on pourra prendre C=yzuvwx.
Si Ton adopte effectivement ces valeurs de A et de C, on trouvera encore B = PA, = yzxvuw,
D = QB = zuywvx,
et, par suite, on aura non seulement A/
\xyzuvw)
mais aussi D\
(zuywvx\ = 1
I = ( 7, s. «i v, w, x) =
Donc, les arrangements A, B, C, D seront, comme on devait s'y attendre, du nombre de ceux qui verifient la formule (5). Concevons maintenant que, les deux substitutions
etant semblables l'une a l'autre, et representees a Taide de quatre
190
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
arrangements A, B, C, D qui verifient la condition (5), on pose i=
R.
Alors on tirera de la formule (5), non seulement
mais aussi
:s)=(c)=»-D'ailleurs on aura identiquement
Done, eu egard aux formuies
(it:
)=p-
on aura encore 1 Q =: RPR" .
(6)
Si l'on posait g
lal formule^S) deviendrait (7)
Q =:S"1PS.
Nous pouvons done conclure, de ce qui precede, que P etant une substitution quelconque, toute substitution semblable a P sera de la forme RPR-1,
ou, ce qui revient au meme, de la forme S-'PS.
En d'autres termes, toute substitution semblable a P sera le produit de trQis facteurs dont les deux extremes seront inverses Pun de Vautre, le facteur moyen etant precisement la substitution donnee P. Reciproquement, tout produit de trois facteurs dont les deux extremes seront deux
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 191 substitutions inverses Vune de I'autre, le facteur moyen etant la substitution P, sera une substitution semblable a P. On peut remarquer encore que de la formule (6) on tire
En consequence, deux substitutions P, Q sont semblables ljune a I'autre, lorsqu'elles verifient une equation de la forme (8)
QR = RP.
Concevons maintenant que P, Q soient deux substitutions quelconques semblables ou dissemblables. Les produits PQ, QP seront certainement des substitutions semblables entre elles. En effet, si Ton pose (9)
R = PQ,
S = QP,
on en conclura, d'une part, P^Q->S, et-, par suite, R = Q-«SQ; d'autre part, Q = P-'R, et, par suite, SrrzP-'RP.
On arriverait encore a la meme conclusion, en observant que des formules (9) on deduit immediatement l'equation (10)
RP = PS,
analogue a la formule (8). On peut done enoncer la proposition suivante : TfiEORfeME. — Les deux produits que Von peut former avec deux substitutions donnees, en prenant Vune ou Vautre pour midtiplicande, sont deux nouvelles substitutions, non seulement de meme ordre, mais encore semblables entre elles. Ainsi, par exemple, si Ton multiplie i° (x, y) par (y, 2); 20 ( j , z)
192
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
par (x,y), on obtiendra, dans le second cas comme dans le premier, une substitution du second ordre, et Ton trouvera (7, z)(x,y)
= (x,z,y),
(x,y)(y,
x) =
(x,y,z):
HI. — Sur les diverses formes que peut revetir une mime substitution, et sur le nombre des substitutions semblables a une substitution donnee.
Soit P l'une des substitutions que Ton peut former avec n variables x, y, z, . . ., etposons .. .n.
Si Ton presente cette substitution sous la forme d'un rapport qui ait pour termes deux des arrangements composes avec les variables x, y, z, . . ., alors, comme nous l'avons remarque dans le paragraphe I, on pourra prendrepour denominateur de ce rapport un quelconque de ces arrangements, et par suite, en laissant toutes les variables en evidence, on pourra presenter la substitution P sous N formes diverses. Ainsi, par exemple, si Ton prend n = 3, on aura N = 6, et la substitution du second ordre par laquelle on echangera entre elles les deux variables x, y, pourra etre presentee sous l'une quelconque des six formes lyxz\ \ocyz)
ty*c\ \xzy)
\yzx)
\yxz J
\zxy)
\zyx}
Le nombre des formes que peut revetir une meme substitution P se trouve notablement diminue lorsqu'on l'exprime a l'aide des facteurs circulaires dont elle est le produit, et que, pour representer chaque facteur circulaire, on ecrit entre deux parentheses les variables qu'il renferme, en les separant par des virgules, et placant a la suite l'une de l'autre deux variables dont la seconde doit etre substitute a la premiere. Alors le nombre des variables comprises dans chaque facteur circulaire indique precisement l'ordre de ce facteur, et le plus petit nombre qui soit simultanement divisible par les ordres des divers facteurs represente l'ordre i de la substitution P. Alors aussi toute
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES JJOANEES. 193 variable qui reste immobile quand on effectue la substitution P, doit etre censee. comprise dans un facteur circulaire du premier ordre, qui renferme cette seule variable, et, par suite, un tel facteur, represents par l'une des notations (*)>
(y), (*),
•••,
est equivalent a l'unite. Les facteurs circulaires du premier ordre disparaitront toujours, si la substitution donnee P est reduite a son expression la plus simple. Mais ils reparaitront necessairement si Ton veut mettre en evidence toutes les variables. II importe de connaitre le nombre des formes differentes que peut revetir, dans cette hypothese, la substitution P. On y parvient aisement de la maniere suivante : Supposons, pour fixer les idees, que la substitution P, etant de I'ordre i, renferme / facteurs circulaires de I'ordre a, g facteurs circulaires de I'ordre b, r facteuro circulaires du premier ordre, en sorte que r exprime le nombre des variables qui restent immobiles quand on effectue la substitution P; on aura necessairement (i)
af-h bg + . ..+
r=n.
Supposons encore qu'apres avoir exprime la substitution P a l'aide de ses divers facteurs circulaires, representes chacun par une serie de lettres comprises entre deux parentheses, et separeespar des virgules, on veuille determiner le nombre to. des formes semblables que Ton peut donner a la substitution sans deplacer les parentheses, et, par consequent, sans alterer les nombres de lettres comprises dans les facteurs circulaires qui occupent des rangs determines. Tout ce que Ton pourra faire, pour modifier la forme de la substitution P, ce sera ou de faire passer successivement a la premiere place, dans chaq'ue facteur circulaire, une quelconque des lettres comprises dans ce facOEuvres de C. — S. II, t. XIII.
2.5
194
xMEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
teur, ou d'echanger entre eux les facteurs circulaires de meme ordre. Par suite, pour obtenir le nombre to des formes, semblables entre elles, que peut revetir la substitution P, il suffira de multiplier le produit des ordres de tous les facteurs circulaires par le nombre ( I . 2 .
. . / ) ( l . 2 .
. . £ • ) . . . . ( I . 2 . . . 7 " )
des arrangements divers que Ton peut former avec ces facteurs, lorsque, sans depla'cer les parentheses qui les renferment, on se borne a echanger entre eux de toutes les manieres possibles les facteurs circulaires de meme ordre. On aura done (a)
co = (t .2 . . . / ) (JL .2 . . . g) . . . (i .2 . . . r)aSbs.
Ainsi, par exemple, si Ton prend n — 5, a = 3, f=
. ..
i, / • = i, la fo.r-
mule (2) donnera co = (r . 2 ) 3 =
6.
Effectivement, si Ton Qiet.en evidence les cinq variables x,y, dans la substitution
z, u, v,
composee avec trois dc ces variables, on pourra la presenter sous la forme
et, sans deplacer les parentheses, on pourra donner a cette meme substitution six formes semblables, savoir : (jo,y,
.= ) ( « ) ( « ' ) >
( y , •=, « ) ( « ) ( ' ' ) ,
(#,y,
s
( y ,z , x ) ( v ) ( u ) ,
)(f')(«),
(•:•, x , ; ) ' ) ( « ) ( < • ) ,
(z.,x)Y){i>){u).
II sera maintenant facile de calculer le nombre des substitutions semblables entre elles, et a une substitution donnee P, qui peuvent etre composees avec n variables En effet, nommons 1 •>
1 >'
n»
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 195 ces substitutions semblables a P. Supposons d'ailleurs que Ton represente chacune d'elles par le produit de ses divers facteurs circulaires, en mettant toutes les variables en evidence, et en assignantaux parentheses des places determinees. Enfm, concevons que Ton donne a chacune des substitutions P, P', P", ... toutes les formes qu'elle peut revetir dans cette hypothese. Si Ton nomme ra le nombre total des substitutions P, P', P", . . ., et co le nombre des formes sous lesquelles se presentera chacune d'elles, le produit wra exprimeranon seulement le nombre total des formes que revetiront la substitution P et les substitutions semblables a P, mais encore le nombre N des arrangements divers que Ton peut former avec n variables. Car on devra evideniment retrouver tous ces arrangements, en suppriinant les virgules et les parentheses dans les diverses formes obtenues. On aura done C0C5 ==
(3)
N,
la valeur de N etant N
I . 2 . . . 71;
et, par suite, on aura encore N
U)
Si la substitution P renferme / facteurs circulaires de l'ordre a, ^facteurs circulaires de l'ordre b, . . ., enfin r facteurs circulaires du premier ordre, on aura, en vertu de la formule (2), w =
( i . 2 . . . / ) ( 1 . 2 . . . g)
. . . ( 1 . 2 . . . r)aJ'b«
. . .,
et par consequent la formule (3) donnera ^
;
( 1 . 2 . . . / )
( 1 . 2 . . . g )
... ( 1 . 2 . . .
r ) . . .
« / / > * . , .
Si maintenant on designe par la somme des valeurs de m correspondantes aux divers systemes de nombres qui peuvent representer des valeurs de a, b, c, . . ., propres
196
MEM01RE SUR LES ARRANGEMENTS
a verifier l'equation (i) ou, en d'autres termes, si Ton designe par 2nr la somme des valeurs de m correspondantes aux diverses manieres.de partager le nombre n en parties egales ou inegales, alors 2kr devra etre precisement le nombre total des substitutions que Ton peut former avec n lettres. On aura done (6)
2ro = N,
et, par suite, eu egard a la formule (5), . 2 . . . f)
. . ai'b«ch
( i . 2 . . . g) ( i . 2 . . .h).
. . .
Cette derniere equation parait digne de remarque. Si, pour fixer les idees, on pose n = 5, on trouvera
et, par suite, l'equation (7) donnera I
5
I
I
4
I
2
1 1
3
1
1
2
1.2 2 2
I.2'3
1
I. I. 3 2
1
1.2.3.4.5
'
ce qui est exact. IV. — Resolution de Vequation lineaire et symbolique par laquelle se trouvent liees Vune a fautre deux substitutions semblables entre elles.
Soient P, Q deux substitutions semblables entre elles, formees avec n variables x
- >
y
,
•',
• • • ,
ou d u moins avec p l u s i e u r s de ces v a r i a b l e s ; et s u p p o s o n s (1) (2)
P = («, P, y , ...,-n )(l, p , v, . . . . p ) . . . («p)(z) ( + ) . . . , Q = (a', (3', / , . . . , Y I ' ) ( V, p.',v', . . . , p ' ) . . . ( ? ' ) ( x ' ) ( + ' ) • • • ,
a', P', f , . . ., r / ; V, {JJ, V', . . . , p', . . . ; cp', •/, ty, ... d e s i g n a n t les variables q u i , dans la s u b s t i t u t i o n Q, o n t pris les p l a c e s q u ' o c c u p a i e n t les variables a, (3, T , . . ., Y] ; X, ;J., v, . . ., p , . . . ; ? > Xt ^ . . . d a n s la s u b s t i t u t i o n P . R e p r e s e n t o n s p a r A et
C
QUE L'ON PEUT FQRMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 197 les arrangements auxquels se reduisent les'seconds membres des formules (i) et (2), quand on y supprime les parentheses et Ies virgules placees entre les variables, en sorte qu'on ait (3) (4)
A= a j 3 y . . . 7 ) X j j ! , v . . . p . . . c p ^ d / . . . , C = a ' | 3 y . . . yj'A'fji'v'... p ' . . . (f'-i'ty1....
Enfin, soient (5)
B = PA
et
D = QC
les nouveaux arrangements qu'on obliendra en appliquant a 1'arrangement A la substitution P, et a l'arrangement C la substitution Q. On trouvera (6)
B = | 3 y . . . V) « ( j t v
. . . p 1 . . . 0 j_ <\i . . . ,
(7)
D = p ' / . . . n'a'fi'v' • • • p'A' • • •
Par consequent, les variables qui, prises deux a deux, se correspondaient mutuellement dans les arrangements A, C, se correspondront encore dans les arrangements B, D; et cela devait etre ainsi, puisque les substitutions semblables P, Q, presentees sous les formes sem-' blables (1) et (2), ont eu precisement pour effet de deplacer de la meme maniere les variables semblablement placees dans les arrangements A et C. On aura done
Cela pose, faisons, pour abreger,
On aura, par suite, (9)
D = RB,
C = RA;
et des equations (9), jointes aux formules (5), on tirera D = RPA,
D = QRA,
par consequent (16)
QRA = RPA,
198
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
et (II)
QR^RP.
Reciproquement, si les substitutions P, Q sont liees entre elles par une equation semblable a laiormule ( n ) , alors, en appliquant a un arrangement quelconque A la substitution QR = RP,
on retrouvera l'equation (10), et, en posant, pour abreger,
ou, ce qui revient au meme, B —PA,
C = RA,
on tirera de l'equation (10) D = RB,
R=
On aura done alors
et, par suite, les substitutions
seront semblables l'une a l'autre, puisque, en vertu de la formule (12), elles devrontdeplacer de la meme maniere les variables qui se correspondent dans les deux termes de ia substitution
11 importe d'observer que les deux membres de la formule (i i) sont les produits qu'on obtient en multipliant les deux substitutions semblables P et Q par une nouvelle substitution R dont la premiere puissance entre, dans 1'un des produits, comme multiplicande, et dans l'autre produit, comme multiplicateur. Pour obtenir cette nouvelle
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. J99 substitution R, il suffit d'exprimer la substitution P a l'aide de ses facteurs circulaires, en mettant toutes les variables en evidence, et d'ecrire au-dessus de P la substitution Q, presentee sous une forme semblable a celle de P, puis de transformer les deux substitutions Q, P en deux arrangements C, A par la suppression des parentheses et des virgules placees entre les variables. Ces deux arrangements C, A seront les deux termes d'une substitution R qui verifiera la formule (i i). II y a plus : d'apres ce qui a ete dit ci-dessus, toute valeur de R propre a verifier cette formule sera evidemment fournie par la comparaison des deux substitutions semblables P, Q, superposees l'une a l'autre, ainsi qu'on vient de l'expliquer. D'ailleurs, en laissant P-sous la meme forme, on pourra donner successivement a Q diverses formes semblables a eelle de P, et semblables entre elles, dont le nombre w sera determine par l'equation (2) du paragraphs precedent; et, par suite, il est clair que la substitution R admettra un nombre w de valeurs distinctes. Done, si Ton resout par rapport a R la formule (11), c'est-a-dire Vequation symbolique et lineaire a laquelle doit satisfaire la substitution R, on obtiendra un nombre co de solutions diverses corresponclantes aux diverses formes de la substitution Q. Si, en supposant connues, non plus les substitutions semblables P, Q, mais l'une d'elles, P par exemple, et la substitution R, on demandait la valeur de Q determinee par la formule (11), ou, ce qui revient au meme, par la suivante
on remarquerait que, pour passer de la valeur de P, donnee par la formule (1), a la valeur de Q, donnee par la formule (2), il suffit de faire subir aux variables x, y, z, . . . les deplacements par lesquels on passe de la valeur de A, donnee par la formule (3), a la valeur de. C, donnee par la formule (/j), c'est-a-dire les deplacements qui sont indiques par la substitution R. En operant ainsi, on obtiendrait la seule valeur de Q qui verifie la formule (i3).
200
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
Nous savons done maintenant resoudre les deux problemes suivants : PROBLEME
I. — Etant donnees n variables x, y, z, . . . et deux substi-
tutions semblables P, Q, formees avec ces variables, trouver une troisieme substitution R qui soitpropre a resoudre l'equation
lineaire
RP = QR. Solution. —Exprimez la substitution P a 1'aide de ses facteurs circulaires, en mettant toutes les variables en evidence, puis ecrivez audessus de la substitution P la substitution Q, presentee sous une forme semblablo a celle de P. Supprimez ensuite les parentheses et les virgules placees entre les variables. Les deux substitutions Q, P seront ainsi transformees en deux arrangements qui seront propres a representer les deux termes de la substitution R. Corollaire. — Les substitutions P, Q peuvent ne renfermer qu'une partie des variables x, y, z, . . . •, mais, pour obtenir toutes les solutions de l'equation RP = QR, on devra, comme nous l'avons dit, mettre toutes les variables en evidence, meme celles qui ne seraient renfermees dans aucune des deux substitutions P, Q, si ces substitutions etaient reduites a leur plus simple expression. II en resulte que, les substitutions P, Q restant les memes, le nombre des solutions de l'equation symbolique lineaire RP = QR croitra en meme temps que le nombre des variables x, y, z, . . . . Pour eclaircir ce qu'on vient de dire, supposons que les substitutions'P, Q, reduites a leur plus simple expression, soient deux substitutions circulaires du second ordre, et que Ton ait
Si les variables x,y, sente sous la forme
z, . . . se reduisent a trois, alors, P etant pre-
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 201 Q pourra etre presente sous Tune des formes semblables
et, par suite, la valeur de R devra se reduire a l'une des substitutions :xys
ou, ce qui reyient au meme, a l'une des substitutions (y, s)>
(x, z> y)-
Si, au contraire, Ton considere quatre variables x, y, z, u', alors, P etant presente sous la forme (*,y)
(=)(«)>
Q pourra etre presente sous l'une quelconque des.formes semblables (x, z )( y ) \ u ) ,
.(-, x )( j ) («.),
(•>-, z ) ( u ) ( y ) ,
(s, x )( « )
(y),
et, par suite, R pourra etre l'une quelconque des quatre substitutions (xzyu\
fsxyu\ '
\xyzu I
(xzuy\ '
\xyzu J
fsxuy\ '
\xyzuj
' \xyzu J
ou, ce qui revient au meme, l'une quelconque des quatre substitutions ( j > •=),
( ^ =, y ) ,
( y , •=, « ) . . ( • » » - ; • « ; y ) -
II. — iltant donnees n variables x, y, z, . . ., et deux substitutions semblables P, Q, formees avec ces variables, trouver la substitution Q semblable a P, et delerminee par la formule PROBLEME
Q = RPR-1. Solution. — Expriraez la substitution P a l'aide de ses facteurs circulaires, puis effectuez dans P les deplacements de variables indiques par la substitution R, en operant comme si P representait un simple arrangement. Corollaire. — Pour resoudre ce second probleme, il n'est pas necessaire de mettre toutes les variables en evidence, comme on doit le faire generalement quand il s'agit d'obtenir toutes les solutions du OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
26
202
MEMO IRE SUR LES ARHA NOEMENTS
premier; et Ton peut se servir de substitutions reduites a leurs plus simples expressions. Si, pour fixer les jdees, Ton prend
alors, en appliquant la regie ci-dessus etablie, on trouvera, quel que soit d'ailleurs le nombre des variables donnees, RPR-1 = (,:, x),
P R P - ' = (J, z, T).
Si Ton supposait, au contraire, P = (.r, j ) ,
R=(..r,
S
)(y,
u),
on trouverait RPR-i= (s, u),
PRP-' = (j, z) (x, u).
V. — Sur les facteurs primitifs cVune substitution donnee.
Nommons P l'une des substitutions que Ton peut former avec n variables et concevons que l'ordre i de cette substitution ait ete decompose en facteurs a,
b, r,
premiers entre eux; enfin, soit / un nombre entier quelconque. En vertu d'un theoreme precedemment etabli (p. 164), on pourra toujours satisfaire a l'equivalence +
|
+
^+...^ = /
par des valeurs entieres de a, [3, -y
(mod0
D'ailleurs, i etant l'ordre de
la substitution P, une equivalence de la forme ; s / ' + / ' + . . . (mocW)
entrainera toujours I'equation p/—
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 203 Done la formule ( i ) entrainera la suivante : ^
P
"
1
et comme, en posant, pour abreger, (2)
P"=U,
P*=V,
P ;: =W,
on aura encore '8
-
'
on tirera definitivement de la formule (i), jointe aux equations (2), (3)
P'=U«VPWr....
Dans le cas particulier ou / se reduit a 1'unite, les exposants a, (3, y, ... sont uniquement assujettis a verifier l'equivalence (4)
M
h y- + - + . . . j EEE 1
(mod / ) ,
et la formule (3) donne (5)
P = U a ViWT....
II est bon d'observer que, l'ordre i de la substitution P etant la plus petite valeur entiere et positive de /propre a verifier l'equation P'=t,
l'ordre de la substitution
ou la plus petite valeur entiere et positive de k propre a verifier la formule sera necessairement Pareillement, les ordres des substitutions
se trouveront represented par les facteurs b, c, . . . du nombre i.
204
MEMO1RE SUR LES ARRANGEMENTS
Concevons a present que, p, q, r, . . . etant les facteurs premiers de i, on ait (6)
pfq
i=
On pourra prendre (7)
a = pf,
b = qt,
c = r*,
...,
et, par suite, les nombres pf,
qK, r \
...
exprimeront les ordres respectifs des substitutions
u, v, w , .... D'ailleurs, d.'apres ce qui a ete.dit a la page 182, l'ordre d'une substitution quelconque P est divisible par l'ordre de chacun des facteurs circulaires de P. Done l'ordre _// de la substitution U devra etre divisible par l'ordre de chacun des facteurs circulaires de U. Done, puisque les diviseurs de pf ne pourront etre que des puissances du nombre premier p, la substitution U jouira de cette propriete remarquable, que les ordres de ses divers facteurs circulaires seront tous des puissances d'un meme nombre premier/). Pareillement, les ordres des divers facteurs de la substitution V, ou W, . . ., seront tous des puissances du nombre premier y o u r , . . . . D'autre part, puisque Ua represente le produit de a facteurs egaux a U, que V° represente le produit de (3 facteurs egaux a V , . . ., il resulte de la formule (5) que la substitution P peut etre decomposee en facteurs dont chacun se confonde avec Tune des puissances de P designees par les lettres U, V, W, Cela pose, les substitutions U,
V, W ,
...
joueront, par rapport a la substitution P de l'ordre i, un role analogue a celui que les facteurs p f ,
q
e
, >•>>•,
...,
dont chacun est une puissance d'un nombre premier, jouent euxmemes par rapport au nombre entier i. On peut remarquer aussi que les substitutions U, V, W, . . . represented des puissances de P des-
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTHES DONNEES. 205 quelles on peut deduire toutes les autres a l'aide des formules (3) et (5). Elles offrent done encore, pour cette raison, une certaine analogie avec certaines racines des equations binomes, savoir, avec celles qui sont designees sous le nom de primitives, et qui, elevees a des puissances diverses, reproduisenttoutes les autres racines. Pour conserver le souvenir de ces diverses analogies, nous dirons que les substitutions
u
v w
determmees par les formules (2) sont les facteursprimitifs de la substitution P. De plus, nous appellerons substitution primitive celle qui n'aura d'autres facteurs primitifs qu'elle-meme, ou, en d'autres termes, celle dont l'ordre sera une puissance d'un nombre premier. Cela pose, la substitution z , u) ( c ,
(x,y,
formee avec six variables, sera une substitution primitive du quatrieme ordre, representee par le produit de deux facteurs circulaires dont les ordres 2 et 4 se reduiront a la premiere et a la seconde puissance du nombre premier 2. Au contraire, la substitution circulaire P = («, J, z, u, v, w),
dont l'ordre est exprime par le nombre 6 = 2.3,
sera decomposable en facteurs primitifs, representes chacun par Tune des substitutions regulieres U = P s = ( . r , z, v) ( j , «, w),
V = P a = ( ^ , u) (y, v) (z, »>).
Effectivement, en adoptant les valeurs precedentes de U et V, on trouvera U2V =
P'—P;
et, par consequent, P = U'-V. Enfin, si Ton pose ?
(
)(
)
206
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
P sera une substitution du sixieme ordre, que Ton pourra decomposer en facteurs primitifs represents cliacun par l'une des deux substitutions circulaires et que Ton deduira encore de ces facteurs a l'aide de la formule
VI. — Sur les derivees d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systemes de substitutions conjuguees.
Etant donnees une ou plusieurs substitutions qui renferment les n lettres x, y, z, . . ., ou du moins plusieurs d'entre elles, je nommerai substitutions derivees toutes celles que Ton pourra deduire des substitutions donnees, multiplies une ou plusieurs fois les unes par les autres, ou par elles-memes, dans un ordre quelconque; et les substitutions donnees, jointes aux substitutions derivees, formeront ce que j'appellcrai un systeme de substitutions conjuguees. L'ordre de ce systeme sera le nombre total des substitutions qu'il presente, y compris la substitution qui offre deux termes egaux et se reduit a l'unite. Lorsque les substitutions donnees se reduisent a une seule P, les substitutions derivees se confondent avec les puissances de P et forment un systeme de substitutions conjuguees qui est d'un ordre repr6sente par l'ordre de la substitution P. Le systeme de toutes les substitutions que Ton peut former avec n lettres x, y, z, . . . est evidemment un systeme de substitutions conjuguees. Si Ton nomme A,
B , C,
...
les divers arrangements qui peuvent etre formes avec les n variables x,y, z, . . ., les substitutions comprises dans le systeme dont il s'agit seront 'A\
/B*
et le nombre N de ces substitutions, ou l'ordre du systeme, sera determine par la formule
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 207 Soit maintenant (2)
j , p)# Q, R,
...
un systeme quelconque de substitutions conjuguees. D'apres la definition meme d'un tel systeme, on devra toujours reproduire les memes substitutions, rangees seulement d'une autre maniere, si on les multiplie separement par l'une quelconque d'entre elles, ou bieri encore si l'une quelconque d'entre elles est separement multipliee par eile-meme et par toutes les autres. Done, si Ton nomine S l'une quelconque des substitutions (2), les divers ternies de la serie (3)
S, SP, SQ, SR,
...,
-oil bien encore de la serie (4)
S, PS, QS, RS,
....
se confondront avec les termes de la serie (2) ranges dans un nouvel ordre. Ajoutons qu'il est facile d'etablir les propositions suivantes : I. — Lordre d'un systeme de substitutions conjuguees relatives a n variables est toujours un diviseur du nombre N des arrangements que V on p cut former avec ces variables. THEOREME
Demonstration. — Supposons que le systeme donne soit celui que presente la s.erie (2), et nommons M l'ordre de ce systeme. Si la serie (2) se confond avec la serie (1), on aura precisement, M = N; dans le cas contraire, designons par U, V, W, . . . des substitutions qui fassent partie de la serie (1) sans appartenir a la serie (2). Si Ton nomme m le nombre des termes de la serie (5)
V,
1
Vv,
...,
le tableau
(6)
1 '• u, v w.
P, UP,
Q, UQ,
R, UR,
...,
VP, WP,
VQ, WQ,
VR, WR,
..., ....
208
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
offrira m suites horizontales composees chacune de M termes, et tous les termes de chaque suite seront distincts les uns des autres. Si, d'ailleurs, deux suites horizontales differentes, par exemple la deuxieme et la troisieme, offraient des termes egaux, en sorte qu'on eut VQ = UP, on en conelurait
V = UPQ-1,
ou simplement
v = us, S = PQ-' etantun terme de la serie (2). Doncalors, dansle tableau (6), le premier terme V de la troisieme suite horizontale serait dejaun des termes de la seconde. Done tous les termes du tableau (6) seront distincts les uns des autres, si le premier terme de chaque suite horizontale est pris en dehors des suites precedentes. Or concevons qu'en remplissanttoujourscette condition, on ajoute sans cesseau tableau(6) de nouvelles suites, en faisant croitre ainsi le nombre m. On ne pourra etre arrete dans cette operation qu'a l'instant oil le tableau (6) renfermera les N termes compris dans la suite (1); mais alors on aura evidemment (7)
N = mM.
Done M sera un diviseur de N. Corollaire. — II est bon d'observer qu'au tableau (6) on pourrait substituer un autre tableau de la forme
(8)
i, U, V,
P, PU, PV,
Q, QU, QV,
K, RU, RV,
W,
PW,
QW,
RW,
II. — Vordre d'un systeme de substitutions conjuguees est divisible par Vordre de chacune de ces substitutions. THEOREME
Demonstration. — Supposons toujours que le systeme donne soit celui que presente la serie (2). Si Ton nomme a l'ordre de la substi-
QUE L'ON P"EUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 209 tution P, la suite (5) devra renfermer en premier lieu les substitutions (9)
i,
Pa,
P,
Pa~\
...,
Soit d'ailleurs Q l'une des substitutions qui appartiennent a la serie (2) sans faire partie de la suite (9). La suite (2) renfermera les substitutions (10)
Q,
P 3 Q,
PQ,
...,
P^Q,
et aucune de celles-ci ne pourra se confondre avec l'une des substitutions j 1
P
L
-I
Pa-I
P2
r
>
J
• • • 1
r
. J
car si Ton avait,par exemple, on en conclurait Q = P*-*. Soit encore R une substitution qui fasse partie de la suite (2), sans etre renfermee, ni dans la suite (9), ni dans la suite (10). La suite (2) renfermera necessairement les substitutions R,
P 2 R,
PR,
...,
P«-iR;
et aucune de ces dernieres ne sera comprise, ni dans la suite (9), ni meme dans la suite (10); car, si Ton avait, par exemple, on en conclurait R = PA-*Q.
En continuant ainsi, on partagera facilement la suite des substitutions coniuguees i,
P,
Q,
R,
...
en plusieurs suites,
(11)
1,
P,
P»,
..,,
P«-s
Q, R,
PQ, PR,
P*Q, P'-R,
..., ...,
P-iQ, PfllR,
dont chacune renfermera a substitutions diverses. Done, si Ton QEuvres de C. — S. II, t. XIII.
17
210
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
nomme M le nombre des substitutions conjuguees i,
P , Q , R, ...,
ou, ce qui revient au meme, 1'ordre de leur systeme, M sera un multiple de a. Corollaire. — II importe d'observer qu'en operant toujours de la meme maniere, on pourrait intervertir 1'ordre des facteurs, et substituer ainsi au tableau (i i) un tableau de la forme
(12)
THEOREME
I,
p,
p»,
..., p - ' ,
Q,
Q P , QP», . . . , Q P - i ;
R,
RP, RP2, . . , ,
RP—i,
III. — Soient P, Q
deux substitutions, la premiere de Vordre a, la seconde de Vordre b; et supposons ces deux substitutions permutables entre elles, en sorte qu'on ait (13)
QP = PQ.
Si d'ailleurs, h, k etant deux entiers quelconques, I'equation (14)
P*Q*=i
ne se verifiejamais, excepte dans le cas on Von a (15)
P''=i,
Q*=i,
les deux substitutions P, Q et leurs derivees composeront un systeme de substitutions conjuguees dont Vordre sera precistment le produit ab. Demonstration. — En effet, soit S une derivee quelconque des deux substitutions P, Q. Cette derivee sera le produit de facteurs egaux, les uns a P, les autres a Q; mais, en vertu de la formule (i3), 1'ordre dans lequel ces facteurs seront ecrits pourra etre interverti arbitrairement. Done on pourra faire en sorte que chacun des facteurs egaux a P precede chacun des facteurs egaux a Q, et reduire S a la forme
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 211 Cela pose, comme les valeurs distinctes de Ph repondront aux valeurs o,
i,
2,
. . . ,
a — i
de 1'exposant h, et les valeurs distinctes de QA aux valeurs O,
I,
2,
. . . ,
b — 1
de 1'exposant k, il est clair que les valeurs distinctes de S seront toutes comprises dans le tableau P2, P*Q,
i, Q,
P, PQ,
Q2,
P Q 2 , P2Q2,
. . . , p«-s . . . , P«-^Q, ..., P«-iQ2,
Elles seront done representees par les divers termes de ce tableau, si ces termes sonttous inegaux entre eux. Or, e'est ce qui arrivera certainement dans l'hypothese admise; car, si I'on suppose (18)
PAQ*=P'''Q*',
h, h' designant deux nombres dont chacun soit inferieur a l'ordre a de la substitution P, et k, k' deux nombres dont chacun soit inferieur a Tordre b de la substitution Q, Pequation (18) donnera (19)
P^-A'Q^'^j;
et puisque, dans l'hypothese admise, la formule (i4) entraine toujours les formules (i5), l'equation (19) entrainera les suivantes : desquelles on tirera (20)
P*'=P*.
Q*"=Q*.
Done, si les conditions (20) ne sont pas remplies, l'equation (18) ne pourra subsister, et Pon peut affirmer que deux termes distincts du tableau (17) auront des valeurs distinctes. D'ailleurs les termes de ce tableau, qui renferme a lignes verticales et b lignes horizontals, sont en nombre egal ail produit ab. Done, dans l'hypothese admise, ce produit representera precisement le nombre des valeurs distinctes
•212
M E M 0 1 R E SUR L E S A R R A N G E M E N T S
de S, ou, ce qui revient au meme, l'ordre du systeme des substitutions derivees de P et de Q. Observons au reste que, dans l'hypothese adraise, on aura identiquement et qu'en consequence les substitutions (17) se confondront respectivement avec celles que renferme le tableau [1, Q, Q«,
(21)
P2, QP», Q»P»,
P, QP, Q*P,
••-, Pa-\ ..., Q P — , . . . , Q2P«"', 1
4
2
Q*-<, Q*-'P, Q -'P ,
1 fl
....
Q*- P -'-
Des raisonnementsentierementsemblables a ceuxdont nous venons de faire usage suffiraient encore pour etablir les propositions suivantes : THEOREME
IV. — Soient P,
Q,
diverses substitutionspermutables (22) et
QP = PQ,
R,
...
entre elles, en sorte qii'on ait
RP = PR,
...,
RQ = QR,
...;
nommons
a l'ordre de la substitution
P,
b I 'ordre de la substitution
Q,
c l'ordre de la substitution
R,
Si, d'ailleurs, h, k, I, . . . etant des entiers quelconques, (23)
Vequation
pAQiR/...— ,
ne se verifie jamais, excepte dans le cas ou I'on a ( 2 4) les substitutions
P*=I,
Q*=I,
R'=I)
...;
P, Q, R, . . . et lews derivees composeront
un systeme
de
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 213 substitutions conjuguees dont Vordre sera precisement le produit abc. . . des ordres des substitutions donnees V, Q, R, . . . . Corollaire. — II est clair que l'equation (23) entrainera toujours les equations (24), si les substitutions P,
Q, R,
...,
reduites a leurs plus simples expressions, sont formees avec des variables diverses, en sorte que jamais deux de ces substitutions ne renferment la meme variable. En effet, eoncevons que les substitutions P,
Q, R,
...
soient formees, la premiere avec les seules variables a, (B, y, . . ., la seconde avec les seules variables ~k, \x, v, . . ., la troisieme avec les seules variables 9, y.,
...,
h, k, I, . . . etant des nombres entiers quelconque. Cela pose, pour appliquer a un facteur quelconque une substitution de la forme S = P*Q*R'..., il suffira de faire subir aux variables a, (3, y, . . . les deplacements indiques par la substitution P7t, aux variables \, \J., V, . . . les deplacements indiques par la substitution Q'% aux variables
par la substitu-
MEMOIRS SUR LES ARRANGEMENTS On peut enoncer encore la proposition suivante : THEOREMEV.
(25)
— Soient P, Q, R, •••
diverses substitutions formees avec des variables diverses. Non seulement ces substitutions seront permutables entre elles, mais, de plus, itant jointes a lews derivees, dies fourniront un systeme de substitutions conjuguees, qui sera d'un ordre represente par le produit des ordres des substitutions P. Q, R, . . . . Corollaire. — Si la serie (25) renferme une seule substitution de l'ordre a, une seule de l'ordre b, une seule de l'ordre c, . . .; l'ordre du systeme des substitutions P, Q, R, . . . et de leurs derivees sera le produit abc. . . . Si, au contfaire, la serie (2.5) renferme h substitutions de l'ordre a, k substitutions de l'ordre b, I substitutions de l'ordre c, . . ., ces diverses solutions, jointes a leurs derivees, composeront un systeme dont l'ordre sera represente par le produit ahbkcl
VII. — Sur les sjstem.es de substitutions primitives et conjuguees.
Soient P une substitution reguliere qui renferme n variables x, y, z, . . ., a l'ordre de cette substitution, b le nombre de ses facteurs circulaires; les trois nombres a, b, n seront lies entre eux par la formule n = ab.
Cela pose, concevons que Ton range sur b lignes horizontals distinctes, et sur a lignes verticales, les n variables comprises dans P, en placant a la suite l'une de l'autre, dans une meme ligne horizontale, les variables qui se suivent immediatement dans un meme facteur circulaire de P. On obtiendra encore une substitution reguliere Q de l'ordre n, en prenant pour facteurs de Q a substitutions circulates de l'ordre b, dans chacune desquelles seraient placees, a la suite l'une
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 215 de 1'autre, les variables que renferme une meme ligne verticale. De plus, il est clair que les deux substitutions P, Q, dont l'une aura pour effet unique d'echanger entre elles les lignes verticales, tandis que 1'autre aura pour effet unique d'echanger entre elles les lignes horizontales, seront deux substitutions permutables entre elles, par consequent deux substitutions dont les derivees seront toutes comprises dans chacun des tableaux
Q P,
P2, QP2, Q2P2,
T
P
P2
Q, QS
PQ, PQ2,
P 2 Q, PQ2,
Q6—i
PQ*~'
P20*~'
1,
(0
(2)
Q, Q2,
p, QP, 2
P«—i
...,
QP-',
...,
Q'P",
Ua—I
-.., ...,
Pa~% P- 2 <; p
et formeront un systeme de substitutions conjuguees de 1'ordre n = ab. Si, pour fixer les idees, on pose n = 4 =; 2 x 2,
alors, avec les quatre variables x, s,
y, u,
rangees sur deux lignes horizontales et sur deux lignes verticales, on pourra composer les deux substitutions regulieres P = (x, y ) { z , u )
et
q=z(x, z)(y, u),
q-ui seront permutables entre elles; et ces deux substitutions formeront, avec leurs derivees i
et
PQ=QP,
216
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
un systeme de substitutions conjuguees i,
P,
Q, PQ qui sera du quatrieme ordre. Pareillement, si Ton pose
alors, avec les six variables x,
y,
z,
U,
(',
W,
rangees sur deux lignes horizontales et sur trois lignes verticales, on pourra composer les deux substitutions regulieres
qui seront permutables entre elles; et ces deux substitutions formeront, avec leurs derivees, un systeme de substitutions conjuguees qui sera du sixieme ordre. Au reste, ce dernier systeme ne sera autre chose que le systeme des puissances de la substitution circulaire (,x, w, 7 , u, z, v),
dont P et Q represented les facteurs primitifs. Au lieu de ranger les n variables donnees sur b lignes horizontales et sur a lignes verticales, on pourrait representer ces variables par une seule leitre s affectee de deux indices, et representer meme les deux systemes d'indices par deux nouveaux systemes de lettres «,
( 3 , y , ...,
A, p . , v ,
....
Ainsi, par exemple, on pourrait representer les six variables x, y, u, c,
z, w
par
et alors les substitutions p
= («, 7, - ) ( « , C,W),
Q =
(SC,
u)(y,
V)(S,
W )
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 217 s'offriraient sous les formes
qui rendraient sensible la propriete qu'ont ces deux substitutions d'etre permutables entre elles. Concevons mairitenant que le nombre entier n = abc. . .
soit decomposable en plusieurs facteurs a, b, c, . . . ,.egaux ou inegaux. Alors on pourra representer n variables diverses X,
J,
S,
...
par une seule lettre s affectee de plusieurs indices, le nombre I de ces indices etant egal au nombre des facteurs a, b, c, . . ., et representer meme les divers systemes d'indices par divers systemes de lettres «,
P , y , -..,
I,
( i , V,
...,
Cela pose, les substitutions P, Q, . . . qui, etant exprimees a 1'aide des lettres a., [3, y, . . ., X, [x, v, . . ., cp, •/__, <\>, . . ., se presenteront sous les formes (3) P = (a, fi, T, . . . ) ,
Q = (A,^,v, . . . ) ,
R = (
seront evidemment des substitutions permutables entre elles, la premiere de l'ordre a, la seconde de 1'ordre b, la troisieme de l'ordre c; et elles composeront, avec leurs derivees, un systeme de substitutions conjuguees dont l'ordre sera n =
abc....
Ajoutons que, si les substitutions (3) sont exprimees a Faide des n lettres chacune d'elles sera une substitution reguliere qui renfermera toutes ces lettres, P etant le produit de - facteurs circulates de l'ordre a, QEuvres de C. — S. II, t. XIII.
28
218
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
Q etant pareillement le produit de ^ facteurs circulaires de l'ordre b. Dans le cas particulier ou les I facteurs a, b, c, . . .
deviennent
egaux entre eux, on a n = a',
et les substitutions P,
Q,
R,
...
forment avec leurs derivees un systeme de a1 substitutions diverses qui sonttoutes de l'ordre a, si a est un nombre premier, al'exception de celle qui se reduit a l'unite. Au reste, les propositions diverses auxquelles nous venons de parvenir peuvent encore etre generalisees, ainsi que nous allons l'expliquer. Considerons toujours un systeme de n variables x,
j ;
s,
....
Soient d'ailleurs a un nombre entier egal ou inferieur a n, et ha un multiple de a contenu dans n. Enfin, concevons qu'avec ah variables, prises au hasard, on forme h groupes divers composes chacun de a lettres, et nommons (4)
P,, Ps, -.., PA
h substitutions circulaires de l'ordre a, dont chacune soit fofmee avec les variables comprises dans un seul groupe. Ces substitutions etant permutables entre elles, le systeme de ces meraes substitutions, et de leur derivees, sera de l'ordre ah.
Ajoutons que, si a est un nombre premier, le systeme dont il s'agit renfermera seulement des substitutions regulieres de l'ordre a, dont quelques-unes, savoiry les substitutions (4) et leurs puissances, se reduiront a des substitutions circulaires de l'ordre a. Soient maintenant b un nombre egal ou inferieur a h, et kb un multiple de b contenu dans h. Avec plusieurs des precedents groupes que j'appellerai groupes de premiere espece, on pourra composer des groupes de seconde espece, dont chacun embrasse b groupes de pre-
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 219 miere espece, et dont le nombre soit egal a k. Cela pose, nommons (5)
Qx,
Q,,
. . . , Q/c
des substitutions dont chacune consiste a permuter circulairement entre eux les b groupes de premiere espece compris dans un seul groupe de seconde espece. Chacune des substitutions (5), exprimee a l'aide des variables primitives, sera une substitution reguliere equivalente auproduit dea facteurs circulairesdont chacun sera de l'ordre b\ et ces substitutions seront permutables, non seulement entre elles, mais encore avec les substitutions (4). Par suite, le systeme des substitutions (4) et (5), et de leurs derivees, sera de l'ordre ahbk.
En continuant ainsi, on etablira generalement la proposition suivante : I. —- Conside'rons un systeme de n valuables x, y, z, . . . . Soient d^ailleurs a un nombre entier, egal ou inferieur a n, et i = ha un multiple de a contenu dans n. Soient encore b un nombre entier, egal ou inferieur a h, et kb un multiple de b contenu dans h. Soient pareillement c un nombre entier, egal ou inferieur a k, et le un multiple de c contenu dans k, . . . . On pourra toujours former, avec i variables arbitrairement choisies, un systeme de substitutions conjuguees dont Vordre sera representepar le produit THEOREME
ahbkcl
Corollaire. — En supposant les nombres a, b, c, . . . tous egaux a un meme nombre premier^, on deduit immediatement du theoreme I la proposition suivante : II. — Conside'rons un systeme de n variables. Soit dJailleurs p un nombre premier egal ou inferieur a n. Soient encore i = hp un multiple de p contenu dans n, kp un multiple de p contenu dans h, Ip un multiple de p contenu dans k, . . . . Avec i variables arbitrairement choisies, onpourra toujours former un systeme de substitutions conjuguees et primitives, dont Vordre sera represent^par le produit THEOREME
220
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
Corollaire. — Rien n'empeche d'admettre que dans le theoreme precedent on designe par hp le plus grand multiple de p contehu dans n, par kp le plus grand multiple de p contenu dans h, par Ip le plus grand multiple d e p contenu dans k, . . . . Alors se reduit(') a la plus haute puissance de p qui divise exactement le (*) Soit p-t la plus haule puissance de p qui divise exactement le produit N = i . 2 . 3 . . . n. Pour que ph+k+i+...
s e r eduise
a pf, il sera necessaire et il suffira que Ton ait
Or, eflectivement, on sait que l'exposant f de la plus haute puissance de p, qui divise N, est la somme des entiers contenus dans les fractions n
n
n
— >
— 1
—„ 5
P
P-
' • •'
P2
et il est clair "que, dans 1'hypothese admise, ces entiers seront precisement les nombres representes par h, k, I, .... Au reste, on peut arriver tres simplement a 1'equation ph+k+i+...—,pf
de la maniere suivante : Soient, comme ci-dessus, hp le plus grand multiple de p contenu dans n, kp le plus grand multiple de p contenu dans h, Ip le plus grand multiple de/> contenu dans /c, Evidemment/?-/, ou la plus haute puissance d e p qui divise le produit
sera en raeme temps la plus haule puissance de p qui divisera le produit Done, par suite,
p.2p.3p.
. .hp = 1.2.3. . .hp'1.-
sera la plus haute puissance de p qui divisera le produit i. 2.3 . . . h ; mais kp etant le plus grand multiple de p contenu dans h, pi-'' sera encore la
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 221
produit et, par suite, on obtient, a la place du theoreme II, la proposition suivante : THEOREME
III. — Considerons un systeme de n variables x, y, z,
....
Soient d^ailleurs p un nombre premier, egal ou inferieur a n, i le plus grand multiple de p contenu dans n, et pf la plus haute puissance de p qui dinse exactement le produit
Avec plusieurs
des variables x, y, z, . . . choisies arbitrairement
en
nombre egal a i, on pourra toujours former un systeme de substitutions primitives conjuguees, qui sera de Vordrepf. plus haute puissance de p qui divisera le produit p .ip .Zp..
.kp = i.2.Z.
..
kp k .
Done, par suite, ! — pf-h-k
E pk
r
sera la plus haute puissance de p qui divisera le produit i . 2 . . . A.
En continuant ainsi, on reconnaitra que les plus hautes puissances de p qui diviseront les produits i . 2 . 3 . . . « ,
i . 2 . 3 . . . / i ,
1 . 2 . 3 . . . A,
r . 2 . 3 . . . / ,
sont respectivement les divers termes de la suite pJ,
pJ
, p J ~ n , pJ—"~
A
~,
....
Or, cette meme suite aura necessairement pour dernier terme et comme ce dernier terme sera aussi de la forme on aura definitivement ou, ce qui revient au meme,
...
222
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
Pour montrer une application des principes que nous venons d'etablir, considerons en particulier cinq variables x^
y^
Zj
it)
\ f
et supposons d'ailleursp = 2. On aura, dans ce cas, n = 5,
N = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120,
i — l^ — ip,
h = i,
k =
i,
et, par suite, f=h
+ k = 3,-
p/=4-2 =
8.
Done, si Ton prend au hasard quatre des cinq variables donnees, on pourra toujours, avec ces quatre variables, par exemple avec x, y, z, u, former un systeme de substitutions regulieres conjuguees, qui sera d'un ordre represents par le nombre 8. Effectivement, partageons les quatre variables oc,
r,
z,
u
•#,
7,
-,
u,
en deux groupes
composes chacun de deux variables, et nommons
deux substitutions circulaires du second ordre, dont chacune soit formee avec les variables comprises dans un seul groupe. Soit, de plus, Q =
{x,z)(y,u)
la substitution qui consiste a echanger les deux groupes •*; Z,
y, II,
l'un contre l'autre. Les trois substitutions Pi,
P5,
ei
Q
seront permutables entre elles, et, en les joignant a leurs derivees, On obtiendra un systeme de huit substitutions regulieres et conjuguees,
QUE L'ON PEUT FORMER AVEG DES LETTRES DONNEES. 223 qui seront respectivement i, Pd, P2, P.P., Q, P 4 Q, P a Q, P.P.Q,
ou, ce qui revient au meme, i,
(x,y),
(x,z)(y,u),
(x,z,y,u),
(z, u),
(x,y)(z,
(x, u, y, z),
u), (x,u)(y,z).
Concevons maintenant que les variables donnees x,
y,
s,
u,
f>, w
soient au nombre de six, et que Ton prennep = 3. Alors on aura n = 6,
N = i . 2 . 3 . 4 - 5 . 6 = 720, f' = 6 = 2 p ,
h = 2,
et, par suite, / = A = a,
pf=¥ = 9.
Cela pose, on conclura du theoreme III qu'avec les six variables x, y, z, u, v, w on peut former un systeme cle neuf substitutions regulieres et conjuguees. Effectivement, partageons ces six variables en deux groupes x,
y,
u,
v, w,
z,
composes chacun de trois variables, et nommons Pi=(«, I, z),
P2=(w, (', *>)
deux substitutions circulaires du troisieme ordre, dont chacune soit fbrmee avec les variables comprises dans un seul groupe. Ces deux substitutions seront permutables entre elles, et, en les joignant a leurs derivees, on obtiendra un systeme de neuf substitutions regulieres et conjuguees qui seront respectivement 1,
P,,
P?,
p pa
|j p p pa
pa p pa pa
ou, ce qui revient au meme, 1,
O , y, -)>
(^i
(u,i>,w),
(x,y,z)(u,<',w),
(as, z , y ) ( u , v, w ) ,
(u,w,c),
(a-,y,z)(u,u;t'},
( x , z,y ) (u, w, v).
=J
y),
22k
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
Concevons, enfin, que les variables donnees x,
j , z,
u, c, w
etant toujours au nombre de six, on prenne p = 2. Alors on aura non seulement n = 6,
N=
i.a.3.4-5.6,
mais encore z' = n : = 6 = 3/>,
h = 3,
A==i,
et par suite Cela pose, on conclura du theoreme III, qu'avec les six variables x, y, z, u, v, w on peut former seize substitutions primitives et conjuguees. Effectivement, partageons ces six variables en trois groupes
*, r, Z,
It,
C,
(V,
et nommons P, = (ar,.y),
P s =(s, w),
P3=(P,
w)
trois substitutions circulaires du second ordre dont chacune soit formee avec les variables comprises dans un seul groupe. Soit, de plus,
la substitution qui consiste a echanger les deux premiers groupes x
i
y>
Z,
II,
i'un contre 1'autre. Les quatre substitutions P.,
P s , P;. et Q
seront permutables entre elles; et, en les joignant a leurs derivees, on obtiendra un systeme de seize substitutions primitives et conjuguees qui seront respectivement P,P,P;i, Q. p p p i s aQ,
P2P;1, p
iQi P,P 3 Q,
p 3 p 1; P . P " , P SQ, P 3 P,Q,
p
3Q,
P,P,Q;
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 225 ou, ce qui revient au meme, I,
{*>,?),
{x, y) (z, u) {v, w), (x,z){y,u), (x, u){y,z)(t>,
(*,«),
(z,u){v,w), (x,z,y,u),
w),
(V,W),
(v,w)(x,y),
{x,y)(z,u),
(x, u, y, z),
(x, u,y,z)(v,
w),
(x, z) (y, u) (V, w),
(x, z, y, u) (u, w),
{x,u)(y,z).
II est bon d'observer que ce dernier systeme de substitutions conjuguees renferme, avec 1'unite, trois substitutions circulaires du second ordre, savoir {x, y),
(z, w),
(p, w),
huit substitutions regulieres du second ordre, savoir {z,u){c,w),
{c,w)(x,y),
{x,y)(z,u),
(x,z)(y,u),
( x ,u )(y, z),
et O , . 7 ) 0 , u)(v,
w),
{x, z)(y,
u)(v,
w),
{x, u) (y, z) (c, w),
deux substitutions regulieres du quatrieme ordre, savoir {x, z,y,
M),
{X,
u,y,
z),
dont Tune est le cube de l'autre; enfin deux substitutions primitives du quatrieme ordre, savoir O , 3, y , u)(o, w ) ,
(x, u, y , z)(v, w ) ,
dont l'une est encore le cube de l'autre. VIII. — Sui* les diverses puissances dhine meme substitution.
Soient P une substitution quelconque, et i l'ordre de cette substitution. Les diverses puissances de P, ou, ce qui revient au meme, les derivees diverses de P, se reduiront aux divers termes de la suite (i)
i,
P,
P2,
•••,
P'"1,
dont le premier peut encore etre represente par P ° ; et si, en nommant r un des nombres (a)
o,
i ,
2,
. . . , «
— i ,
on designe par / un entier qui, divise par i, donne r pour reste, la CEuvres de C. — S. II, t. XIII.
29
226
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
formule l —r
(mod/)
entrainera la suivante p/=P'\
Soient maintenant les divers facteurs circulaires de P formes avec des variables qui sont toutes distinctes les unes des autres. L'equation (3)
P-UW...
entrainera la suivante Pl—%ilv1^«,?'...,
(4)
quel que soit l'exposant Z; et, comme les divers facteurs c\ll, V1, W1, ... de la substitution P' sont formes avec des variables diverses, le seul cas ou la substitution V1 ne deplacera aucune variable sera evidemment celui ou chacun des facteurs 11/, V1, W, . . . remplira cetle meme condition. En d'autres termes, pour queil'on ait (5)
F=i,
il sera necessaire et il suffira que Ton ait separement (6)
OL'=i,
V!—i,
%Ol=i,
D'ailleurs, les diverses valeurs entieres et positives de / propres a verifier la formule (3) seront l'ordre i de la substitution P et les multiples de cet ordre. Pareillement, les diverses valeurs de I propres a verifier l'une quelconque des formules (4) seront l'ordre du facteur circulaire qui entre dans cette formule et les multiples de cet ordre. Cela pose, il est clair que la plus petite des valeurs positives de / propres a verifier la formule (3) ou l'ordre i de la substitution P, devra etre le plus petit nombre divisible a la fois par les ordres des divers facteurs circulaires It, V,°W, Ainsi se trouve rigoureusement etablie la proposition que nous avons deja indiqueepage 182, et que Ton peut enoncer comme il suit: THEOREMS
I. — Vordre d'une substitution quelconque P, reprtsentee
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 227 par le produit de plusieurs facteurs circulaires 01,
V,
-W,
....
est le plus petit nombre qui soit divisible par Vordre de chacun de ces facteurs. Soit maintenant h un nombre entier quelconque, et posons (7)
S = P*.
La substitution S sera l'une quelconque des derivees de P. D'ailleurs, l'equation (7) entrainera la suivante (8)
S'=P W ,
et, par suite, la formule (9)
S'=i
donnera (10)
VM—i.
Done l'ordre de la substitution S, ou la plus,petite des valeurs de / propres a verifier la formule (9), sera en meme temps la plus petite des valeurs de / propres a verifier la formule (10) et, par consequent, 1'equivalence (n)
hi = o
(modi),
ou, ce qui revient au meme, la plus petite des valeurs de / qui rendront le produit hi divisible par i. Or, si Ton nomine 9 le plus grand commun diviseur de h et de i, les seules valeurs de I qui rendront le produit ^divisible par i seront le rapport g et les multiples de ce rapport. Done l'ordre de la substitution S = Pft sera precisement le rapport g> et Ton pourra enoncer encore la proposition suivante : II. — Soit P une substitution de Vordre i. Soient, de plus, h un nombre entier quelconque, et 9 le plus gand commun diviseur des entiers h et i. L'ordre de la substitution Vk sera represents par le rapport \. THEORSME
228
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
Corollaire. — Pour que ^ se reduise a i, il est necessaire et il suffit que Ton ait 0 = i, c'est-a-dire que le plus grand comraun diviseur de h et de i se reduise a l'unite; en d'autres termes, il est necessaire etil suffit que h soit premier a i. D'ailleurs, lorsque cette condition se trouve remplie, h est necessairement premier a chacun des facteurs de i, par consequent a l'ordre de chacun des facteurs circulates
de la substitution P. Done alors les ordres de ces divers facteurs sont respectivement egaux a ceux des substitutions atA, vh,
W\
et la formule Ph—1ih%->h-Wh...,
(12)
qui se deduit immediatement de l'equation (3), fournit pour valeur de P/l une substitution semblable a la substitution P. On peut done enoncer encore la proposition suivante : THEORIME
III. •— P etant une substitution de Vordre i, les substitutions
qui seront de cet ordre, parmiles disperses puissances deV, se confondront avec les puissances dont les degres sont premiers a i. De plus, ces substitutions seront toutes semblables a P; en consequence, la suite i,
P,
P>,
...,
P<-'
offrira autant de termes semblables a. P quily rieurs a i et premiers a i.
a de nombres entiers infe-
Corollaire. — Soit 6 un diviseur quelconque de i, et posons (i3)
i=8j.
En vertu du deuxieme theoreme, une puissance P/l de P serade l'ordre ./ = g lorsque h sera de la forme
k etant premier a j . Or, dans cette hypothesc, en faisant, pour
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 229 abreger, (15)
P9=z0,
on trouvera (16)
P*=0*;
et comme, en vertu de la formule (i5), ® sera une substitution de l'ordrey, on conclurade la formule (i6), jointe au troisieme theoreme, que P/l est une substitution semblable a P°—©. Enfin il est clair que le nombre h determine par la formule (i4) sera inferieur a i et premier a i, si le nombre k est inferieur a j et premier a j . Cela pose, on pourra evidemment enoncer la proposition suivante : THEOREME
IV. — P etant une substitution de Vordre i, 6 un diviseur
quelconque de i, et j la valeur entiere du rapport-?., les substitutions qui seront de Vordre j , parmi les diverses puissances de P, se confondront avec les puissances dont les degre's, divises par 6, donneront pour quotients des nombres entiers premiers a j . De plus, ces substitutions seront toutes semblables a P°; en consequence, la suite i,
P2,
P.
P'-1
...,
offrira autant de ter/nes semblables a P° quHl y a de nombres entiers inferieurs a j et premiers a j ' . Pour montrer une application des theoremes qui precedent, considerons en particulier la substitution circulaire de meme ordre P = (a;, Y-. z, u, v, w).
Dans ce cas le nombre i= 6
aura pour diviseurs, outre l'unite, les nombres 2,
3,
6,
et les puissances distinctes de P seront .
p
pi
p:s
p*
p,5
230
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
D'ailleurs, parmi les nombres o,
i, 2, 3, 4, 5,
qui representeront les degres de ces puissances, deux seulement, savoir : i et 5, seront premiers a 6; deux autres, savoir 2 et 4, seront les produits du diviseur 2 par des facteurs 1 et 2 premiers a 3 = -; enfin le seul ncunbre 3 pourra etre consitlere comme le produit du diviseur 3 par un facteur 1 premier n = y Done, en vertu des theoremes III et IV, parmi les cinq puissances de P distinctes de l'unite, on trouvera deux substitutions cireulaires du sixieme ordre, savoir P
et P \
deux substitutions cireulaires du troisieme ordre, savoir P2
et P*,
et une seule substitution circulaire du second ordre, savoir Ps.
On aura effectivement p
= (^J 7> z, «, f, «"), P 5 = (x, w, v, K, z,.y), V*-=(x, z, P ) ( J , u, w), P 4 = ( « , (•>, z){y, (v, u), ¥*={x, u)(y, P)(Z,W).
Lorsque l'ordre de la substitution P est represente par un nombre premier, alors, en vertu du theoreme III, les puissances de P distinctes de l'unite sont toutes semblables a P. Ainsi, par exemple, si Ton prend pour P la substitution reguliere du deuxieme ordre P
= O> J , -z)(«, v, w),
les puissances de P distinctes de l'unite, savoir P
P2
sont toutes deux des substitutions regulieres du troisieme ordre. On trouvera, en effet, P*=(x, z,y)(u, w, v).
Pareillement, si I'on prend pour P la substitution circulaire du
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 23J cinquieme ordre P = (x, J , 5 , u,
v),
les quatre puissances de P distinctes deTunite, savoir p
D2
p;i
p/,
seront toutes des substitutions circulaires du cinquieme ordre. On aura, en effet, P —{x,r, p : i
; , u, <;),
= ( a ? , u, J, (', s ) ,
P^—(x, z, u, 4
P = ( a ? , o, u,
y,'u), z,y).
Lorsque la substitution P est, comme dans le premier et le dernier des exemples precedents, une substitution circulaire, alors, en vertu des principes etablis dans le paragraphe I (p. 179), toute puissance Vh de P est le produit de plusieurs facteurs circulaires de meme ordre, et par consequent une substitution reguliere dont 1'ordre se confond avec Q. 9 etant le plus grand commun diviseur de h et de i. Ajoutons que la substitution P/l renfermera toutes les variables comprises dans la substitution circulaire P. Si la lettre P represente, non plus une substitution circulaire, mais une substitution reguliere equivalente au produit de plusieurs facteurs circulaires OL,
V,
W,
...
dont chacun est de 1'ordre i, alors, 9 etant toujours le plus grand commun diviseur de i et de h, les divers facteurs
uk, vh, de la substitution P/l determineepar la formule (12) renferment toutes les variables comprises dans P, et se reduisenttous a des substitutions regulieres de 1'ordre g- 11 en resulte qu'on peut en dire autant de la substitution Vh elle-meme. On peut done enoncer encore la proposition suivante : V. — Soient P une substitution reguliere de I'ordre i, et h un nombre entier quelconque, Soient encore 9 le plus grand commun dinTHEOREME
232
MEMOIRE SUll LES ARRANGEMENTS
seur des nombres h, i, et j la valeur entiere du rapport y Alors Vh sera une substitution reguliere de Vordre j , dans laquelle se trouveront comprises toutes les variables que renfermait la substitution P. Corollaire. — Lorsque l'ordre i de la substitution reguliere P est une puissance pf d'un nombre premier p, les deux diviseurs de i, represents par G et./, se reduisent eux-memes a des puissances de^? d'un degre inferieur ou tout au plus egal a / , et le theoreme V fournit la proposition suivante : VI. — Nommons P une substitution reguliere dont l'ordre soit une certaine puissance pf d'un nombre premier p. Soient, de plus, h un nombre entier quelconque, et ps la plus haute puissance de p qui divise h. La substitution Vh sera une substitution reguliere de l'ordre THEOREME
Pf
dans laquelle se trouveront comprises toutes les variables que renfermait la substitution P. Supposons maintenant que P represente une substitution sinon reguliere, du moins primitive, c'est-a-dire une substitution reguliere ouirregulieredontl'ordresoitunepuissance^d'un nombre premier/). Alors P sera necessairement le produit de plusieurs substitutions regulieres
u, v, w , ..., dont les ordres pf,
ps,
...
se trouveront represents par diverses puissances de p correspondantes a des exposants / ' &\ • • •) qui pourront etre censes former une suite decroissante, / etant le plus considerable d'entre eux. D'ailleurs, si Ton designe par h un nombre entier quelconque, l'equation (r7)
P
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES UONNEES. 233 entrainera la suivante (18)
P'»
et de l'equation (18), jointe au theoreme VI, il resulte evidemment que Vh sera, comrae P, une substitution primitive. Enfin il suffira de poser, dans ['equation (18), ou plus generalement h = kp«,
k etant premier ajo, pour reduire a 1'unite la substitution V71, et a plus forte,raison les substitutions W/l, . . . . Mais alors, en vertu des formules V*=i,
W*.=
i,
jointes a l'equation (18), on aura (19)
P*=U*.
Done la puissance Ph de la substitution P sera equivalente a la puissance \]h de la substitution reguliere U, et Ton conclura du theoreme VII que, dans 1'hypothese admise, l'ordre de la substitution P/l se reduit encore a pf~s. D'autre part, comme la substitution P /l —U'' comprendra toutes les variables renfermees dans U, elle sera certainement distincte de 1'unite. On peut done enoncer la proposition suivante : VII. — Nommons P une substitution primitive dont l'ordre soil la puissance pf d^un nombre premier p. Si Von designe par h un nombre entier quelconque, P/l sera encore une substitution primitive qui aura pour ordre une certaine puissance de p. Concevons maintenant que Von decompose P en facteurs representes par des substitutions rigulieres THEOREME
u, v, w , ..., dont les ordres pf,
pn,
...
formeni une suite decroissante. Si Von prend pour h, ou le second terme p8 de cette suite, ou le produit de ce second terme par un nombre k premier dp, alors Vh sera une substitution distincte de Vunite, non seuleQEuvres de C. — S. II, t. XIII.
3o
234
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
mentprimitive, mais reguliere et de I'ordre pt's, dans laquelle se trouveront comprises toutes les variables que renfermait le premier facteur regulier U de la substitution P. Pour montrer une application du theoreme VII, considerons la substitution primitive du quatrieme ordre P-=(X,
V, .= , « ) ( • ' ) «')•
On aura, dans ce cas, U = (x,y,
z, u),
V = (P,
w),
Cela pose, on obtiendra evidemment un nombre h equivalent au produit &e pg— 2 par un facteur premier a p, si Ton prend
Done, en vertu du theoreme VIII, pa
sera une substitution reguliere de I'ordre pfS— 2.
On trouvera effectivement Ps=(tf, z)(y,
u).
Supposons a present que la substitution P de I'ordre i ne soit ni reguliere, ni meme primitive. Alors, en nommant/) l'un quelconque des facteurs premiers de i, et en posant i=pl,
on conclura du theoreme II que P r est une substitution de I'ordre p. Done, puisqu'une substitution dont I'ordre se reduit au nombre premier p est necessairement reguliere, on pourra enoncer la proposition suivante : VIII. — Soient P une substitution quelconque reguliere ou irreguliere, i I'ordre de cette substitution, et p fun quelconque des facteurs premiers de i. On pourra toujours choisir le nombre entier I de THEOREME
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 235 maniere a faire coincider la puissance V1 de P avec une substitution de Vordrep. Dans ce qui precede, nous avons generalement suppose que les exposants des puissances d'une substitution donnee P etaient positifs. Cette supposition embrasse tous les cas possibles, puisqu'on peut ajouter a un exposant quelconque un multiple quelconque de I'ordre i de la substitution donnee, et transformer ainsi un exposant negatif en un exposant positif. D'ailleurs, / etant un nombre entier quelconque, il est facile d'etablir, a l'egard des substitutions de la forme P- 1
et
P-',
les deux theoremes que nous allons enoncer. IX. — Quelle que soit la substitution P, la substitution inverse P~' sera toujours semblable a P. THEOREME
Demonstration. — En effet, nommons i I'ordre de la substitution P. On aura P-i=P<-i;
et, comme le nombre i—i sera premier a i, on conclura du theeremelV, que P*-1 est semblable a P. Corollaire. — Soit maintenant I un nombre entier quelconque. L'inverse de P', c'est-a-dire la substitution qui, etant multipliee par PVdonnera pour produit l'unite, sera evidemment P~'. Car, si l'on nomme /' un exposant positif assujetti a verifier la condition Z'ES — /
(modi),
on aura non seulement P' ' = P-',
mais encore et, par suite, P'P-'=i.
Done, en vertu du theoreme IX, on pourra enoncer encore la proposition suivante :
236
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
X. — P etant une substitution quelconque, et I un nombre entier quelconque, la puissance negative V1 de P sera toujours semblable a la puissance positive V1. THEOREME
IX. — Des substitutions permutables entre elles.
Soient P,
Q
deux substitutions formees avec les n variables x,
y,
z,
Ces deux substitutions P, Q serontpermutables entre elles si elles verifient l'equation lineaire et symbolique (!)
QP = PQ.
Done, la substitution P etant donnee, il suffira, pour obtenir une substitution Q permutable avec P, de resoudre l'equation (i). Si d'ailleurs on nomme co le nombre des formes diverses et semblables entre elles que Ton peut faire prendre a la substitution P en l'exprimant a l'aide de ses facteurs circulaires, et, mettant toutes les variables en evidence, w sera precisementle nombre des solutions diverses de l'equation (i), ou, ce qui revient au meme, le nombre des valeurs diverses de la substitution Q. Ajoutons qu'en vertu des principes etablis dans le paragraphe IV, on devra, pour obtenir Q, ecrire au-dessus de la substitution P la meme substitution sous une seconde forme semblable a la premiere, puis reduire les deux formes de la substitution P a de simples arrangements en supprimant les parentheses et les virgules placees entre les variables, et prendre ces arrangements pour les deux termes de la substitution chercheeQ. D'autre part, ainsi que nous 1'avons deja explique page 193, tout ce que Ton pourra faire pour modifier la forme de la substitution P, ce sera, ou de faire passer successivement a la premiere place, dans chaque facteur circulaire, une quelconque des lettres comprises dans ce facteur, ou d'echanger entre eux des facteurs circulaires de meme
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 237 ordre. Cela pose, comme le produit de plusieurs facteurs circulaires de meme ordre est ce que nous appelons une substitution reguliere, il arrivera necessairement de deux choses l'une : ou P sera une substitution reguliere equivalente au produit de plusieurs facteurs circulaires de meme ordre qui tous seront echanges circulairement entre eux quand on passera de la premiere forme de P a la seconde; ou, du moins, P sera le produit de plusieurs substitutions regulieres, dont chacune remplira la condition que nous venoris d'indiquer. Arretons-nous d'abord a la premiere hypothese, et, en admettant que P se reduise au produit de h facteurs circulaires dont chacun soit de l'ordre a, nommons di,
s,
s,
...
ces memes facteurs que nous supposerons echanges circulairement entre eux dans l'ordre indique par la substitution (eft,
S,
«, . . . ) .
Puisqu'il suffira d'operer cet echange pour passer de la premiere forme de P a la seconde, il est clair que, dans ce passage, chacune des variables qui appartiennent au facteur (K. se trouvera remplacee par une variable correspondantequiappartiendra au facteur 2>, puis celleci par une troisieme variable appartenant au facteur V>, et ainsi de suite. Cela pose, soit a la variable qui occupait la premiere place dans le facteur
le facteur circulaire qui renferme la variable a dans la substitution Q. La suite des variables (2)
a, |3, y, ..., A, fx, v, ...,
cp, %, +,
...
pourra etre evidemment decomposee en plusieurs autres suites ( *, p , y , ..., I
(3)
A,
W,
^
V,
. . . ,
'
?! X' +!
•••!
238
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
formees chacune avec des variables qui se succederont dans l'ordre indique par la substitution / ,-n
*<*
( 0\,
&
\
ty
fc>,
• • - /)
en sorte que, dans chacune des lignes horizontales du tableau (3), le premier terme represente une variable tiree du facteur
il est clair que, si Ton nomme b le nombre total des termes renfermes dans ce meme tableau, et 9 le nombre des. suites horizontales qui le comparent, on aura (4)
b = 6h.
Ajoutons que le nombre b des termes compris dans le tableau (3) sera precisement l'ordre de la substitution circulaire ( a , (3, y ,
. ..,
A, [j., v ,
. . .,
. . .)•
Soient maintenant
les variables qui, dans les facteurs circulaires
ou plutot dans les cercles indicateurs correspondants, suivent immediatement les variables «, (3, y, ..., >., p, v, ..., 9, x, ^,
....
Soient pareillement
les variables qui, dans les memes cercles indicateurs, suivent immediatement les variables
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 239
Chacune des suites (5), (6), . . . renfermera, comme la suite (4)> b termes differents, et ces termes seront encore propres a representer les variables qui succederont les unes aux autres, en vertu d'un facteur circulaire de la substitution Q. Cela pose, si Ton nomme 01,
V,
W,
...
les divers facteurs circulates de Q, tous ees facteurs seront de meme ordre, et Ton pourra supposer 0 1 = ( a , (3,
(7)
..,
V == <«'. <«', (3', (3', y = («", (3", y",
A,
A', P-', V ,
...,
A",
^", v",
?'. X'
...,
? * , x ' ,
•••),
D'autre part, les variables qui succederont les unes aux autres, en vertu du facteur circulaire 61 de la substitution P, seront evidemment (8)
« , ' a ' , « ' , ...;
A, X', A", . . . ;
Pareillement, les variables qui succederont les unes aux autres dans le facteur S de la substitution P, seront
De meme aussi les variables, qui succederont les unes aux autres dans le facteur © de la substitution P, seront (io)
y, y',y". •••; v.v'.v',...;
+,+',+',...,
etc. On aura done encore .; I, A', A", . . .; S = ((3,(3 , (3", . .• ; F- F-', JJI", . . . ; ', 7", • •.; v, v\ v", . . .; =
(«,«
v
v
v'
A.' A. 1
+ ,+'
x". •••)+"',•••)•
Observons d'ailleurs que, si Ton nomme k le nombre des facteurs circulaire s 01,
V,
-W,
....
de la substitution Q, les diverses variables comprises dans la substitu-
210
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
tion 6\ pourront etre reparties entre ]esk suites verticales du tableau a,
a\
a ,
.. •
1,
V,
I",
...,
(12)
qui renferme, comme le tableau (3), 0 lignes horizontals. Done l'ordre a de la substitution 01, represente par le nombre total des termes du tableau (12), sera a = Bk.
(i3)
Remarquons a present que, dans l'hypothese admise, les substitutions P, Q, toutesdeuxregulieres, seront determinees parlesformules
et que les n variables donnees x,
y,
...
z,
se confondront avec les variables comprises dansles seconds membres des formules (7), ou, ce qui reyient au meme, dans les seconds membres des formules (11). D'ailleurs ces memes variables, dont le nombre n se trouvera represente par chacun des produits egaux ah,
Qhk,
bk,
pourront etre reparties entre les divers tableaux
(16)
a,
(3,
y,
...
a',
(3',
v',
-.
a",
(3",
• " J
*
> • ,
/a,
•
)
/
.
•
V,
v',
..
A" ^". v",
..
*
'
>
* * 1
X> (17)
•
• " 1
?'>•
x',
?")
X", • •>
W
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. dont le nonibre sera 6, et dont chacun renfermera non seulement h lignes verticales, mais encore k lignes horizontales. Cela pose, on conclura immediatement des formules (11), que, pour obtenir, dans l'hypothese admise, l'un quelconque des facteurs circulaires di,
s.
«,
...
de la substitution P, il suffit d'ecrire a la suite les unes des autresj en les placant entre deux, parentheses et les separant par des virgules, les variables qui appartiennent, dans les tableaux ( i 5 ) , (16), (17), etc., a une ligne verticale de rang determine. On conclura, au contraire, des formules (7), que, pour obtenir l'un quelconque des facteurs circulaires 01,
V,
%C,
...
de la substitution Q, il suffit d'ecrire a la suite les unes des autres, en les plac.ant entre deux parentheses et les separant par des virgules, les variables qui appartiennent, dans les tableaux(15), (16), (17), etc., a une ligne horizontale de rang determine. Remarquons encore que, le nombre des lignes horizontales ou verticales comprises dans chacun des tableaux ( i 5 ) , (16), (17), etc., etant designe, pour les lignes horizontales par la lettre k, et, pour les lignes verticales, par la lettre h, on tirera immediatement des formules (7) 0L''=(«, I, 9, ...)(<3, fx, x , ...)(y, v, <J,, . . . ) . . . , (18)
W =
( « " , V,
V',
. . . ) ( £ " , F.\ x ' , • • • ) (/,
V , V,
•..)...,
et des formules ( i i ) il*— (a, I;
6 * = ( y , v, ^, . . . ) ( / , v', f , . . . ) ( v " , v", + ' , . . . ) . . . ,
D'autre part, les equations ( i 4 ) d o n n e r o n t ;ao)
f OEavres de C. — S. II, t. XIII.
Q /! = W'VHO't....
242
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
Done, eu egard aux formules (18), (19), chacune des substitutions PA, Q'' sera equivalente au produit de tous les facteurs circulaires que renferme le tableau (a, I, f, . . . ) , CP, F-> %>•••), (y, v> +>•••), (a\ v,
Done, si Ton nomme 0 le produit de tous ces facteurs circulaires, on aura simultanement (22)
p*=e,
Q'!=©,
et, par suite, ( 2 3)
P*=Q A .
De plus, 6 etant precisement le nombre des variables comprises dans chaque ligne verticale du tableau (3), lavaleur commune ©de Vk et de Q'1 sera evidemment une substitution reguliere de l'ordre 0; et, d'ailleurs, a la seule inspection dutableau (21), on reconnaitra immediatement que, pour obtenir 1'un quelconque des facteurs circulaires de la substitution ©, il suffit d'ecrire a la suite les unes des autres, en les renfermant entre deux parentheses et en les separant par des virgules, les variables semblablement placees dans les tableaux (i5), (16), (17), etc. Remarquons enfin qu'en vertu des formules ( n ) , u n facteur quelconque de P, le facteur dl par exemple, renfermera une ou plusieurs des variables comprises dans cliacun des facteurs circulaires de Q, et que, reciproquement, en vertu des formules (7), un facteur quelconque de Q, le facteur 11 par exemple, renfermera une ou plusieurs variables comprises dans chacun des facteurs circulaires de P. II est aise d'en conclure que, dans Thypotheseadmise, on ne pourra decomposer les deux substitutions P, Q, toutes deux regulieres et permutables entre elles, en facteurs qui soient distincts de ces substitutions elles-memes, et qui, compares deux a deux, restent permutahles entre eux. En effet, pour qu'une telle decomposition fut possible, il
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 243 faudrait qu'avec une partie des variables donriees %,y,z, ..., on put former deux substitutions S, &, permutables entre elles, qui eussent respectivement pour facteurs circulaires, la premiere un ou plusieurs des facteurs 61, "§, "5,. . ., la seconde un ou plusieurs des facteurs 11, V, "W, . . . . Or, cette derniere supposition devra etre evidemment rejetee; car, d'apresla remarque enoncee, la substitution # nepourra renfermer un seul des facteurs 6i, "§, <&,... sans renfermer une ou plusieurs des variables comprises dans chacun des facteurs 11, V, °W, . . . , et, si cette condition etait remplie, la substitution £> deviendrait necessairement equivalente au produit de tous les facteurs 11, V, "W, . .. Done alors & et % renfermeraient toutes les variables donnees, etnon plus seulement une partie de ces variables. Jusqu'a present nous avons suppose, d'une part, que P etait une substitution reguliere, e'est-a-dire equivalente a un produit de facteurs circulaires de meme ordre; d'autre part, que ces facteurs circulaires etaient tous echanges circulairement entre eux quand on passait d'une premiere forme de P a une seconde forme distincte de la premiere, afin d'obtenir, par la comparaison de ces deux formes, une substitution Q permutable avec la substitution P. Dans le cas general ou la lettre P designe une substitution quelconque, cette substitution reguliere ou irreguliere peutdu moins etre consideree comme le produit de plusieurs substitutions regulieres 2, s., ee.,..., dont chacune remplit la condition que nous venons d'indiquer. Alors on a
et aux substitutions regulieres 2, a,, s.,
qui representent divers facteurs de P, correspondent des facteurs de Q represents eux-memes par d'autres substitutions regulieres 2, &, a*,...,
MEMOIHE SUR LES ARRANGEMENTS de sorte qu'on a encore (a5)
Qz=saa....,
le facteur 3> etant permutable avec le facteur # , le facteur 2>, avec le facteur '<%,, et ainsi de suite. Lorsque les facteurs % <&•, <&», ... se reduisent a un seul facteur % les facteurs &,&•,&,, ... se reduisent aussi a un seul facteur S, et Ton se trouve ramene au cas particulier que nous avons examine ci-dessus. Mais ce cas particulier est le seul cas ou les substitutions P, Q soient permutables entre elles sans pouvoir etre decomposees en facteurs plus simples qui, compares deux a deux, restent permutables entre eux. Cela pose, il resulte des principes etablis dans ce paragraphe, qu'on peut enoncer les propositions suivantes : I. — Soient P, Q deux substitutions permutables entre elles] mais que Von ne puisse decomposer en facteurs plus simples qui, compares deux a deux, restent permutables entre eux. Ces substitutions seront toutes deux regulieres et de la forme de celles qiion obtient dans le cas on, avecplusieurs systemes de variables, on construit divers tableaux qui renferment tous un meme nombre de termes compris dans un mSme nombre de lignes horizontales et verticales, et ou, apres avoir place ces tableaux a la suite les uns des autres dans un certain ordre, on multiplie entre eux, d'une part, les facteurs circulates dont Vun quelconque offre la serie des variables qui, dans les divers tableaux, appartiennent a une ligne horizontale de rang determine; d'autre part, les facteurs circulaires dont Vun quelconque offre la serie des variables qui, dans les divers tableaux, appartiennent a une ligne verticale de rang determine. Ajoutons que, dans Vhypothese admise, les deux substitutions regulieres P, Q satisfont a Vequation de condition THEOREME
h e'tant le nombre des facteurs circulaires de la substitution P, et k le nombre des facteurs circulaires de la substitution Q.
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES.
Corollaire I. — Concevons qu'en faisant usage des notations precedemment adoptees, on nomme n le nombre des variables comprises dans chacune des substitutions P, Q; a l'ordre de la substitution reguliere P; b l'ordre de la substitution reguliere Q ; 9 le nombre des tableaux mentionnes dans le theoreme I. Les nombres a, b, n, seront lies aux nombres h, k, 6 par les formules (26)
a = 9k,
b = 9h,
n = 9hk,
et l'ordre de la substitution PA = Q/l sera precisement le nombre 6 determine par la formule .
.
.
a
b
n
ab
8 =z — = — = — = — ,
(27)
de laquelle on tire encore (28)
9-.
Corollaire II. — Pour montrer une application du theoreme T, supposons qu'avec les variables x,
r,
z,
u,
c,
H-,
s,
l,
on construise les deux tableaux ( x,
r,
(29)
i =; 'a,
^
. ,,
t.
Le facteur circulaire qui presentera, ecrites a la suite l'une de l'autre, les quatre premieres lignes verticales des deux tableaux sera ( , r , z, r , 5 ) ;
et le facteur circulaire semblablement forme avec les quatre variables comprises dans les secondes lignes verticales des deux tableaux sera (r, u, w, t).
246
MEM01RE SUR LES ARRANGEMENTS
Au contraire, le facteur circulaire qui presentera, ecrites a la suite l'une de l'autre, les quatre variables comprises dans les premieres lignes horizontales des deux tableaux sera (x, J, P, W),
etle facteur circulaire semblablement forme avec les quatre variables comprises dans les secondes lignes horizontales des deux tableaux sera (Z,
U,S,t).
Cela pose, il resulte du theoreme I que, si Ton prend (31)
P=
(x,z,t>,s)(y,u,w,t)
Q=
(x,y,v,w)(z,u,s,t),
et (32)
P, Q seront deux substitutions permutables entre elles, c'est-a-dire deux substitutions qui verifieront la formule PQ = QP, ou, ce qui revient au meme, la formule P = QPQ- 1 . Effectivement, il suit d'une regie precedemment enoncee (page 201) que, pour obtenir le produit QPQ-S il suffit d'exprimer la substitution P a l'aide de ses facteurs circulaires, puis d'effectuer dans P les deplacements de variables indiques par la substitution Q, en operant comme si P representait un simple arrangement. Or, en ecrivant, a la place de la substitution 1 arrangement
P=
(x,z,v,s)(y,u,w,t),
et en appliquant a cet arrangement la substitution Q = O , 7 , ?, w)(z, u, s, t),
ontrouverait QA =.yuwtvsxz.
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. Done, en vertu de la regie que nous venons de rappeler, on aura
ou, ce qui revient au meme,
Ajoutons que, dans le cas present, 2 etant tout a la fois le nombre des facteurs circulaires de P et le jiombre des facteurs circulaires de Q, on aura Done, le theoreme I donnera encore PS=Q8. Enfin la valeur commune des deux substitutions P2, Q2 devra etre, conformement a une remarque precedemment faite, le produit des quatre facteurs circulaires du second ordre (33)
(z, s ) , (u, t ) ,
dont chacun est forme avec deux variables qui occupent la meme place dans les tableaux (29) et (3o). Effectivement on tirera des formules (3i)et(3a) P* =
Q*=(x,v)(y,u>)(z,s)(u,t).
Corollaire III. — Si les divers tableaux formes avec les n variables que renferment les substitutions P, Q se reduisent a un seul, alors P, Q seront deux substitutions regulieres du genre de celles dont nous nous sommes deja occupes dans le paragraphe VII (page 217), et dont les proprietes deviennent evidentes quand on represente les variables qu'elles renferment a l'aide de deux especes d'indices. appliques a une seule lettre. Alors aussi l'equation entrainera les formules /c = a, k=b, P*=QA=l'."
248
MEM01RE SUR LES ARRANGEMENTS
Supposons, pour fixer les idees, qu'avec les six variables
on construise le tableau (34)
!!'
w.
Alors, en prenant pour P une substitution dont chaque facteur circulaire renferme les deux variables comprises dans une meme ligne vertical e du tableau (34), on trouvera (35)
P = (a;,u)(y,
v)(z,w).
Au contraire, en prenant pour Q une substitution dont chaque facteur circulaire presente, ecrites a la suite l'une de l'autre, les trois variables comprises dans une meme ligne horizontale du tableau (34), on trouvera (36)
Q=
(a:,y,z)(u,o,fV).
Or, les substitutions P, Q, determines par les formules (35), (36), seront certainement permutables entre elles; car elles se reduiront au cubeet au carre de la substitution du sixieme ordre (X,
W ' , 7 , U,Z,
V).
De plus, le nombre k se confondant avec l'ordre a = i de la substitution P, et le nombre h avec l'ordre b = 3 de la substitution Q, l'equation (23) donnera P»=Q»=i.
Corollaire IV. — Si la substitution P se reduit a un seul facteur circulaire, alors tout ce que Ton pourra faire pour modifier la forme de P, ce sera de faire passer successivement a la premiere place l'une quelconque des variables ecrites a la suite Tune de l'autre dans ce memefacteur. Gelapose, les deux arrangements auxquels sereduiront les deux formes assignees a P quand on supprimera les parentheses et les virgules placees entre les variables, representeront evidemment les deux termes d'une substitution qui sera une puissance de P. Done la substitution Q se confondra necessairement avec l'une de ces puis-
QUE L'ON PEUT FORMER AVEG DES LETTRES DONNEES. 249 sances. Alors aussi le tableau unique, construit avec les diverses variables, ne renfermera plus qu'une seule ligne verticale. THEOREME II.
— SoientY*, Q deux substitutionspermutablesentreelleset formees avec les n variables Jf,
X,
Z,
Si ces deux substitutions ne sontpas de la forme indiquee dans le theoreme I elles pourront, du moins, etre decomposees en facteurs correspondants Cp
Ct>
-*•)
•*')
"~">
"
CT> - * " )
1
U
•
' '1
•
•
»
• • • 1
qui, prisdeux a deux, seront de cette forme et, par consequent, permutables entre eux. Corollaire I. — Soit w le nombre des formes diverses et semblables entre elles que Ton peut donner a la substitution P en l'exprimant a l'aide de ses facteurs circulaires, et mettant toutes les variables en evidence; co sera precisement le nombre des solutions diverses de l'equation symbolique et lineaire QP = PQ, resolue par rapport a Q (voir § IV, page iyg); ou, ce qui revient au meme, w sera le nombre des substitutions permutables avec P, qui pourront etre formees avec les n variables x, y, z, . . .. D'ailleurs, comme nous l'avons deja remarque, il suffira, pour obtenir une valeur de Q, d'ecrire, au-dessus de la substitution P exprimee a l'aide de ses facteurs circulaires, la meme substitution sous une seconde forme semblable a la premiere, puis de prendre pour termes de la substitution Q les deux arrangements auxquels se reduiront les deux formes de P quand on supprimera, dans ces deux formes, les parentheses et les virgules placees entre les diverses variables. Enfin, il peut arriver que la substitution P renferme des variables immobiles qui disparaissent quand on la reduit a sa plus simple expression; et il est clair que, dans le passage d'une premiere forme de P a une seconde, on pourra OEuvres de C. — S. II, t. XIII,
02
250
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
echanger entre eux arbitraireraent les facteurs circulaires du premier ordre formes avec ces variables immobiles. II en resulte que les variables immobiles de P peuvent, dans la substitution Q, composer des facteurs circulaires quelconques. Done, pour obtenir les diverses valeurs de Q, il suffira toujoursde multiplier les diverses substitutions formees avec les variables immobiles de P, par les diverses valeurs de Q que Ton obtiendrait en laissant de cote ces memes variables et en supposant la valeur de P reduite a sa plus simple expression. Corollaire II. — Pour montrer une application des prineipes etablis dansle precedent corollaire, supposons que, les variables donnees x,
y,
z,
u,
v,
w,
s,
t
etant au nombre de huit, la substitution P, reduite a sa plus simple expression, renferme seulement les six variables X,
J,
Z,
U,
(•>,
W,
etsoit determinee par laformule (35)
P=
{x,u)(y,t>){z,fV).
La meme substitution, quand toutes les variables seront mises en evidence, pourra etre presentee sous la forme (3 7 )
P=
(x,u)(y,v)(z,W)(s)(t).
D'ailleurs, si on laisse de c6te les deux variables immobiles s, t, le nombre des formes semblables entre elles, sous lesquelles on pourra presenter la valeur de P fournie par l'equation (35), sera exprime [wow-la formule (2)de la page 194J par le produit I.2.3.2:»=48.
Done avec les six variables x,
y
z,
u,
v,
w,
on pourra former 48 valeurs diverses de Q, e'est-a-dire 48 substitutions dont chacune sera permutable avec la substitution P. Au contraire, si Ton fait entrer en ligne de compte les deux variables s et t,.
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 251 Ie nombre des formes, semblables entre elles, sous lesquelles on pourra presenter la valeur de P fournie par l'equation (37), sera ( l . 2 ) ( l . 2 . 3 . 2 : 1 ) = 2.48 = 96.
Done, avec les huit variables x
-> y,
z,
«,
<', w,
s,
t,
on pourra former 2 x 48, ou 96 valeurs diyerses de Q, e'est-a-dire 96 substitutions dont chacune sera permutable avec la substitution P. II y a plus : "pour obtenir les 96 valeurs de Q que Ton peut former avec les huit variables x
,
y,
z,
«.
f,
*,
s,
t,
il suffira de multiplier les 48 valeurs de Q, formees avec les six variables x,
y,
z,
u,
0,
w,
par les deux substitutions 1
et.(5,O,
qui peuvent etre formees avec les variables immobiles de P; et a chacune des valeurs que Ton pourra obtenir par la substitution Q, en laissant de cote les deux variables s, t, correspondra une seconde valeur qui sera le produit de la premiere par le facteur circulaire (s, t). Ainsi, par exemple, a la valeur de Q determinee par l'equation (36), e'est-a-dire par la formule Q. =
ix,y,z){u,v,w),
correspondra une seconde valeur de Q determinee par la formule Q=
(x,y,z){u,v,w)(s,t),
et permutable, comme la premiere, avec la substitution P. Avant de terminer ce paragraphe, nous allons encore etablir, a l'egard des substitutions permutables entre elles, quelques propositions qui paraissent digues d'etre remarquees. THEOREME
III. — Designonspar Q, R, S,
...
252
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
diverses substitutions dont chacune soit permutable avec une substitution donneeV. Leproduitdedeux ou deplusieursdes substitutions Q,R, S , . . . multipliees Vune par I'autre dans un ordre quelconque, sera encore permutable avec la substitution P. Demonstration. — En effet, lorsque chacune des substitutions Q, R, S,
...
sera permutable avec P, on aura (38)
QP = PQ,
RP = PR,
SP = PS,
. ..,
ou, ce qui revient au meme, (39)
Q = PQP-',
R = PRP-',
S = PSP-S
Or, on tirera immediatement des equations (3g) (40)
QR = PQRP-\
QRS = PQRSP~S , ...,
ou, ce qui revient au meme, (40
QRP = PQR,
QRSP = PQRS,
...;
et il resulte immediatement des formules (41), que chacun des produits QR, QRS,
...,
formes par la multiplication de deux ou deplusieursdes substitutions 9, R, S,
...,
est permutable avec la substitution P. Corollaire. — Designons toujours par n le nombre des variables •x,
r,
z ,
...
comprises dans la substitution P, et par to le nombre des formes, semblables entre elles, que peutprendre P exprime al'aide de ces variables; w sera le nombre total des substitutions permutables avec P qui pourront etre formees avec les n variables x,y,z, . . . . Soient (^)
i,
Q1; Qs,
...,
Q (1 ,_,
ces memes substitutions, dont 1'une se reduira toujours a l'unite. En
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 253 vertu du theoreme III, les derivees des substitutions Q1? Q,, . . . , QM_, seront toutes permutables avec P . Done ces derivees seront.toutes comprises dans la serie (42)> et cette serie oflfrira un systeme de substitutions conjuguees. On peut done enoncer encore la proposition suivante : IV. — Une substitution quelconque P e'tant forrnee avec les n variables x, y, z, . . ., les diverses substitutions formees avec lesmemes variables, et permutables avec P, offriront un systeme de substitutions conjuguees. THEOREME
Exemple. — Soit (43)
P=
(x,y)(z,u).
Le nombre des formes, semblables entre elles, que pourra prendre la substitution P exprimee a l'aide des quatre variables x, y, z, u, sera 1 . 2 . 2 ' - = 8.
Done ces memes variables pourront former huit substitutions permutables avec P. D'ailleurs, pour obtenir ces huit substitutions, il suffira de comparer ala forme souslaquellePsepresente dans la formule (43), les huit formes, semblables entre elles, que peut acquerir P exprime a l'aide des variables x, y, z, u. Ces huit formes, savoir (x,y)(s,u),
(y,.x)(:,u),
(x,y)(u,z),
(j,x)(u,s),
{z,u)(x,y),
{z,u){y,x),
(u,z)(x,y),
(u,z)(y,x),
se reduiront, si Ton supprime les virgules et les parentheses, aux huit arrangements xyzu, yxzu, zuxy, • zuyx,
xyuz, azxy,
yxuz, uzyx.
Done, en vertu de la regie enoncee a la page 200, les huit substitutions permutables avec P seront les suivantes : xyzu\ xyzuj' zuxy\ xyzuj
[yxzu\ \xyzuj' fzuyx\ \xyzuj
!xyuz\ \xyzuj (uzxy\ \xyzu J
fyxuz \xyzu (uzyx \xyzu
254
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
ou, ce qui revient au meme, les suivantes : c i, {x,y), ( (w,z)(y,u), (x,z,y,u),
(*> «)> {x,u,y,z),
(^,.r) (*,«)> (x,u)(y,z).
Or, il est aise de s'assurer que, si Ton multiplie ces huit substitutions par l'une quelconque d'entre elles, les huit produits ainsi obtenus se confondront avec ces memes substitutions, rangees seulement dans un nouvel ordre. Done le systeme des huit substitutions permutables avec P sera, conformement au theoreme IV, un systeme de substitutions conjuguees.
X. — Sur les systemes de substitutions permutables entre eux.
Considerons n variables x,
y,
z,
...,
et formons avec ces variables deux systemes de substitutions conjuguees, l'un de Tordre a, l'autre de l'ordre b. Representons d'ailleurs par (1)
i,
Pi, P
s
, -.., P*_,,
les substitutions dont se compose le premier systeme, et par (2)
h
Q15 Q , , . . . ,
Q ^ ,
celles dont se compose le second systeme. Nous dirons que les deux systemes sont permutables entre eux, si tout produit de la forme VnQk
est en meme temps de la forme Q*PA.
II pourra d'ailleurs arriver, ou que les indices h et.* restent invariables dans le passage de la premiere forme a la seconde, en sorte qu'on ait P/,Q*= QtP,,,
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 255 ou que les indices h et k varient dans ce passage, en sorte qu'on ait P A Qt=Q 4 .PA',
h', k' etant de nouveaux indices, lies d'une certaine maniere aux nombres h et k. Dans le premier cas, l'une quelconque des substitutions (i) sera permutable avec l'une quelconque des substitutions (2). Dans le second cas, au contraire, deux substitutions de la forme Vh, Q/t, cesseront d'etre generalement permutables entre elles, quoique le systeme des substitutions de la forme P^ soit permutable avec le systeme des substitutions de la forme Q/(. Supposons maintenant que, les systemes (1) et (2) etant permutables entre eux, on nomme S une derivee quelconque des substitutions comprises dans les deux systemes. Cette derivee S sera le produit de facteurs dont chaeun sera de la forme Ph ou Q,f, et Ton pourra sans alterer ce produit: x° echanger entre eux deux facteurs dontl'un serait de la forme P/(, 1'autre de la forme Q/c, pourvu que 1'on modifie convenablement les valeurs des indices hetk; 20 reduire deux facteurs consecutifs de la forme P/, a un seul facteur de cette forme; 3° reduire deux facteurs consecutifs de la forme Qk a un seul facteur de cette forme. Or il est clair qu'a 1'aide de tels echanges et de telles reductions, on pourra toujours reduire definitivement la substitution S a l'une quelconque des deux formes P*Q*, Q*P/.. On peut done enoncer la proposition suivante : THEOREME (I)
I. — Soient I,
Pi,
P,,
-..,
Pa-,
1,
Q,,
QS,
...,
Q 6 _,
et (2)
deux systemes de substitutions conjugue.es, permutables entre eux, lepi-emier de I'ordre a, le second de Vordre b. Toute substitution S, derivee de substitutions (1) et (2), pourra itre reduite a chacune des formes PAQ*,
Q*PA.
256
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
Corollaire. — Concevons maintenant que Ton construise les deux tableaux I,
(3)
Qv Q,, Qi_,, T
(4)
"a—u
Pi,
Qs-iP,, P
QJ-IP,, P
I,
ri,
jra,
O Qo
PO P 0,
PO P,Q,
..., . . .,
Qj-iP*-,; P ' *a—i)
P O P«_ 0'
Q*-M
Deux termes pris au hasard, non seulement dans une merae ligne horizontale, mais encore dans deux lignes horizontals difFerentes du tableau (3), seront necessairement distincts l'un de Tautre, si les series (i) et (2) n'offrent pas de termes communs autres que Punite. Car, si en nommant h, h! deux eniiers inferieurs a a, et k, k' deux entiers inferieurs a b, on avait, par exemple, (5) Q.P^Q^P,,, sans avoir a la fois h'—h
et k'—k,
l'equation (5)entrainerait la formule
en vertu de laquelle les deux series offriraient un terme commun qui serait distinct de l'unite. Done, dans 1'hypothese admise, les divers termes du tableau (3) qui offrira toutes les valeurs possibles du produit Q*P/., seront distincts les uns des autres, et, par suite, les derivees distinctes des substitutions (1) et (2) se reduiront aux termes de ce tableau. Done le systeme de substitutions conjuguees, forme par ces derivees, sera d'un ordre represente par le nombre des termes du tableau (3), e'est-a-dire par le produit ab. On pourra d'ailleurs evidemment
QUE L'ON PEUT FORMER AVEG DES LETTRES DONNEES. 257 remplacer le tableau (3) par le tableau ( 4 ) ; et, par consequent, on peut enoncer la proposition suivante : THEOREME II.
— Les mimes choses Hantposees que, dans le theoreme I, les derivees des substitutions (i) et (2) formervnt un noweau systeme de, substitutions qui seront toutes comprises dans le tableau (3), ainsique dans le tableau (4); et Vordre de ce systeme sera leproduit ab des ordres a, b des systemes (1) et (2), si ces derniers systemes n'offrent pas de termes communs autres que Vunite. On peut encore demontrer facilement la proposition suivante, qui peut etre consideree comme reciproque du second theoreme : THEOREME
III. — Soient
(1)
1,
P±,
P2,
...,
Pa_15
(2)
1,
Ql5
Q,,
...,
Q4-1,
deux systemes de substitutions conjuguees, le premier de I 'ordre a, le second de Vordre b, qui n 'offrentpas de termes communs autres que Vunite. Si les derivees de ces deux systemes forment un noweau systeme de substitutions conjuguees, dont Vordre se reduise au produit ab, toutes ces derivees seront comprises dans chacun des tableaux (3) et (4), et, par consequent, les systemes ( 1 ) ^ ( 2 ) seronlpermutables entre eux. Demonstration. — En effet, dans l'hypothese admise, chacun des tableaux (3.), (4) se composera de termes qui seront tous distincts les uns des autres, et qui seront en nombre egal a celui des derivees des substitutions (1) et (2). Done il renfermera toutes ces derivees, dont chacune sera tout a la fois de la forme QftP/t et de la forme PAQA. Considerons maintenant le cas particulier ou les divers termes de la suite (1) se reduisent aux diverses puissances (6)
1,
P,
P»,
-..,
P*-1
d'une substitution P dont l'ordre est represente par la lettre a, et ou pareillement les divers termes de la suite (2). se reduisent aux diverses puissances (7)
'. Q > Q s . •••• Q OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
6
-
1
33
258
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
d'une substitution Q dont l'ordre est represents par la lettre b. Alors, pour que le systeme des substitutions (6) soit permutable avec le systeme des substitutions (7), il suffira que les deux suites (8)
P 2 Q,
.-.,
P^Q
Q , QP> . Q P V
•••>
QP"-1
Q,
PQ,
et (9)
offrent les memes termes ranges dans le meme ordre ou dans deux ordres differents. En effet, cette condition etant supposee remplie, tout produit de la forme P;'Q sera en meme temps de la forme QP7", le nombre hi pouvant etre distinct du nombre h. Done, par suite, tout produit de la forme -phQ-2-
sera aussi de la forme et meme de la forme
QPA'Q,
h" pouvant etre distinct de h et de hi. Generalement, toute substitution de la forme p/.Q*
pouvant etre consideree comme le produit de k facteurs egaux a Q par le multiplicaleur P'% on pourra, sans alterer cette substitution, echanger successivement le facteur P'* avec chacun des facteurs egaux a Q, pourvu que chaque fois on modifie convenablement la valeur de l'exposant A; et lorsque, en vertu de semblables echanges, les k facteurs egaux a Q auront ete deplaces de maniere a preceder tous les facteurs egaux a P, la substitution
se presentera evidemment sous la forme Q*P''#. On peut done enoncer la proposition suivante : THEOREME
IV. — Soient P, Q
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 259 deux substitutions distinctes, la premiere de Vordre a, la seconde de Vordre b. Si les deux suites Q, P Q , P'-Q, ..., P*-iQ, Q, Q P , QP», ..., QP*-i offrent precis&ment les mimes termes ranges dans le mime ordre ou dans deux ordres differents *alors les deux systemes de substitutions conjuguees I
P
P2
Pa—1
et i, Q , Q% ..., Q*->, formes, Vun avec les diverses puissances de P, Vautre avec les diverses puissances de Q, seront deux systemespermutables entre eux. De ce dernier theoreme, joint aux theoremes I et II, on deduit immediatement la proposition suivante : V. — Les mimes choses etantposees que dans le theoreme IV, admettons, en outre, qu'aucune des substitutions THEOR^ME
P
P2
p
ne se retrouve parmiles substitutions Q, QS .-., Q6-S en sorte que l'equation P A = Q* ne se verifie jamais, excepte dans le cas oil Ton a P''—i,
Q*=i.
Alors toutes les derivees des deux substitutions P,Q seront comprises dans chacune des formes
la valeur de k devant rester la raeme quand on passera de la premiere forme a la seconde; et, par suite, ces derivees offriront un systeme de substitutions conjuguees dont l'ordre sera le produit ab. Corollaire. — Dans l'hypothese admise, les diverses derivees des
260
MEMO1RE SUR LES ARRANGEMENTS
substitutions P, Q se confondront evidemment avec les divers termes du tableau
(10)
Q, Q»,
P, PQ, PQ 2 ,
P2, P2Q, P*Q«,
~\b—t
PC\b—1
Pand—1
et aussi avec les divers termes du tableau P, QP, Q 2 P,
Q, Q», 1
,
XI. —
P2, QP 2 , Q2P2,
Q6-»P,
substitutions arithmetiques et des substitutions
geometriques.
Considerons n variables , y,
Supposons, d'ailleurs, que Ton represente ces diverses variables par une meme lettre x successivement affectee des indices o,
i,
2,
...,
«—i;
et, en consequence, a la place de ecrivons
.-,
. ..,
(i)
Enfin concevons que Ton regarde comme pouvant etre indifferemment remplaces l'un par l'autre deux indices, dont la difference se reduit a un multiple de n; en sorte qu'ori ait, pour toute valeur entiere positive ou meme negative de /,
Pour reproduce la suite (i), ou du moins les termes de cette suite
QUE L'ON PEUT FORMEU AVEC J)ES LETTRES DONNEES. 261 ranges dans un nouvel ordre, il suffira d'ajouter aux indices de ces divers termes une meme quantite h, ou bien encore de multiplier ces indices par un meme nombre r premier a n. Dans le premier cas, a la place de la serie (i), on obtiendra la suivante
Dans le second cas, au contraire, la serie (i) sera remplacee par celle-ci \
/
^-01
Xir)
Xr,
• •
M
^{ii— l)r>
II est bon d'observer qu'au terme xL de la serie (i) correspond le terme xl+h de la serie (2), et que le rapport arithmetique des indices l + h, I,
qui affectent la lettre x dans ces deux termes, se reduit precisement a la constante h. Au contraire, au terme xL de la serie (1) correspond le terme xH de la serie (3), et le rapport geometrique des indices rl,
I,
qui affectent la lettre x dans ces deux termes, se reduit precisement a la constante r. Pour ce motif, en supposant, comme ci-dessus, que les variables donnees sont representees par une seule lettre successivement affectee des indices o,
1,
2,
...,
n — i,
nous appellerons substitution arithmetique la substitution qui consiste a remplacer chaque terme de la serie (1) par le terme correspondant de la serie (2), et nous appellerons, au contraire, substitution geometrique la substitution qui consiste a remplacer chaque terme de la serie (1) par le terme correspondant de la serie (3). Celapose, la substitution arithmetique la plus simple sera la substitution circulaire (4)
V=(xll,xux%)
...,#„_!),
qui consiste a remplacer generalement xL par xl+l, et il suffira evidemment d'elever celle-ci a la puissance du degre A pour obtenir la substitution qui consiste a remplacer generalement xt par xl+h. Ainsi, la valeur de P etant determinee par la formule (4), chaque terme de la
262
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
serie (i) se tr.ouv.era remplace par le terme correspondant de la serie (2) en vertu de la substitution circulaire ou reguliere P \ Soit maintenant Qla substitution geometrique qui consiste a remplacer generalement le terme xt de la serie (1) par le terme correspondant xH de la serie (3) en sorte qu'on ait
Alors, k etant un nombre entier quclconque, la substitution Q/; sera celle qui consiste a remplacer la variable xl par la variable xrH\ et, par suite, pour que Ton ait identiquement (6)
Q*=i,
il faudra que Ton ait, quel que soit I, (7)
rkl=l
(modn).
D'ailleurs, r etant, par hypothese, premier a n, la formule (7), que Ton peut ecrire comme il suit (rk—i)Z
donnera
= o
rk—iso
(mod«),
(modn),
ou, ce qui revient au meme, (8)
rk=\
(modn).
Done I'equation (6) entrainera toujours la formule ( 8 ) ; et l'ordre i de la substitution geometrique Q, e'est-a-dire la plus petite des valeurs de k, pour lesquelles se verifiera I'equation (6), sera en meme temps la plus petite des valeurs de k pour lesquelles se verifiera la formule (8). n etant un nombre entier quelconque, et r l'un des nombres premiers a n, l'exposant k de la puissance a laquelle il faut elever la base r pour obtenir un nombre equivalent, suivant le module n, a un reste donne, est ce qu'on nomme Vindice dece reste. Cela pose, le nombre i, ou la plus petite des valeurs de k pour lesquelles se verifie la formule (8), n'est evidemment autre chose que le plus petit des indices
QUE L'ON PEUT FORMER AVEG DES LETTRES DONNEES. 263 de l'unite. Ce meme nombre i est encore celui qui indique combien l'on peut obtenir de restes differents en divisant par n les termes de la progression geometrique i , . r,
r\
r\
...,
et qui, pour cette raison, a ete designe, dans un precedent Memoire, sous le nom d1indicateur. En consequence, on peut enoncer la proposition suivante : I. — n etant un nombre entier quelconque, etr etant Vundes nombres premiers a n, Vordre de la substitution geometrique Q, determinee par la formule (8), se confond avec Vindicateur i relatif a la base r. Concevons a present que, h, k etant deux nombres entiers quelconques, on forme, avec les variables
les trois substitutions Y'\ Q* et Ces substitutions consisteront evidemment, la premiere a remplacer Tindice /d'une variable quelconque par 1'indice I •+• h, la deuxieme a remplacer 1'indice /par 1'indice rkl, et la troisieme a remplacer 1'indice I par 1'indice r*(l + h). Au contraire, h! etant un entier distinct de h, la substitution
consisterait a remplacer 1'indice / d'une variable quelconque par 1'indice h'+rH. Done on aura generalement (9)
Q*P*=P*'Q*,
si l'on a A'+r*/^/•*(/ +A),
264
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
ou, ce qui revient au meme, si Ton a h'=rkh.
Mais alors l'equation (9) donnera
et il est d'ailleurs facile de s'assurer que cette derniere formule s'etend a des valeurs entieres quelconques non seulement positives, mais encore negatives de h. On peut done enoncer generalement la proposition suivante : IL — Representons n variables distinctes par une meme lettre x successivement affectee des indices THEOREME
o,
1, 2, . . . , n — 1,
et concevons que Von regarde comme powant etre indifferemment remplaces Vunpar Vautre deux indices dont la difference se reduit a un multiple de n. Soit d^ailleurs r un nombre entier,premier a n. Enjin soient P,
Q
deux substitutions, Vune arithme'tique, Vautre geometrique, determinees par les formules (4) et (5), c^est-d-dire deux substitutions qui consistent, la premiere a remplacer Vindice I d'une variable quelconque par Vindice I -+-1, la seconde a remplacer Vindice I par Vindice rl. Alors on aura, pour des valeurs entieres quelconques de h, etpour des valeurs entieres et positives de k, (10)
Corollaire I. — Poser l'equation (10), e'est dire que l'equation (.9), savoir A = P'''Q*, subsiste quand les exposants h, h! verifient la condition h'=t*h.
D'ailleurs, de cette derniere formule, combinee avec l'equation r!=i
(mod/i),
QUE L'ON PEUT FORMER AVEG DES LETTRES DONNEES. 265 on tire, en supposant k < i, r'.h'=rkh
(mod/i),
ou, ce qui revient au raeme, h = rl-kh'
(mod/i),
et plusgeneralement, endesignantpar i' un multiple de isuperieur kk, h = rl'-kh'
(modrc).
Done, poser I'equation (10), e'est dire encore que l'equation (9) subsiste quand les exposants h, h' verifient la condition h = rl'-kh'.
II resulte de ces observations qu'on peut, dans la formule (9), choisir arbitrairement l'un quelconque des exposants h, h'. II en resulte aussi que tout produit de la forme QkPh
est en meme temps de la forme
et reciproquement, la valeur de l'exposant h devant seule varier quand on passe d'une forme a l'autre. Done, en vertu de l'equation (9), les diverses puissances de P, savoir (11)
i,
P,
V\
...,
P*-i,
offrent un systeme de substitutions permutables avec le systeme des substitutions (12)
1,
Q,
QS
•••,
Q'"1,
qui represented les diverses puissances de Q. Corollaire II. — II est bon d'observer encore que la substitution arithmetique P et celles de ses puissances qui ne se reduisent pas a l'unite, deplacent les n variables donnees QEuvres de C. — S. II, t. XIII.
34
266
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
Au contraire, la substitution geometrique Q, determinee par la formule ( 5 ) , ou, ce qui revient au meme, par lasuivante,
laisse immobiles la variable x0 quand n est un nombre impair, et les deux variables x0, xn quand n est un nombre pair. La mime propriete devant evidemment appartenir a celles des puissances de Q qui different de l'unite, il est claif que les deux substitutions P, Q ne pourront jamais verifier la formule
excepte dans le cas ou Ton aura PA=i,
Q*=I.
Corollaire HI. — Les deux corollaires precedents, joints au theoreme III du paragraphs X, entrainent evidemment la proposition suivaftte : III. —Les memes choses etant posies que dans le the'oremeU, les denvees des deux substitutions P, Q seront toutes comprises sous chacune des deux formes THEOREME
et composeront un systeme de substitutions conjuguees ordre represents par le produit
qui sera d'un
ni,
i etant V indicateur correspondant a la base r, c'est-d-dire la plus petite des valeurs de kpropres a verifier la formule ( 8 ) . Nota. — On arriverait encore aux memes conclusions en observant qu'il suffit de poser/c = i dans l'equation ( i o ) pour obtenir la formule
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 267
Or, il resulte de cette derniere formule que les deux suites Q,
PQ,
P*Q,
...,
p»-»Q,
QP,
2
...,
QP»-'
Q,
Q P,
offrent les raemes termes, ranges seulement dans deux ordres differents. Cela pose, il est clair que le theoreme III sera une consequence immediate du theoreme V du paragraphe X. Soit maintenant a un diviseur de n, distinct de l'unite; et posons (15)
v = - , a
(16)
R— P«.
R sera precisement la substitution arithmetique qui consiste a remplacer xt par x n, ou, ce qui revient au meme, par x^. D'ailleurs on a
tirera de l'equation (io), en y remplacant h par ah, et ayant egard a la formule (16), (17)
Enfin, comme la substitution R et ses puissances d'un degre inferieur a v deplaceront toutes les variables donnees, tandis que la substitution Q et ses puissances d'un degre inferieur a i laissent immobile au moins la variable x0, il est clair que les deux suites P',
...,
pv-i,
1,
P,
i,
Q , Q S -.., Q'-" 1
n'offriront pas de termes communs autrcs que l'unite. Cela pose, des raisonnements semblables a ceux dont nous avons fait usage pour etablir le theoreme III suffiront pour deduire de la formule (17) la proposition suivante : IV. — Les mimes choses etantposees que dans le theoreme II, nommons v un diviseur de n distinct de Vunite, et soit R la substitution arithmetique qui consiste a remplacer generalement xL par cct+w. Les de'rivees des deux substitutions R, Q seront toutes comprises sous chacune des deux formes THEOREME
Q*R'S -RAQ*,
268
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
et composeront un systeme de substitutions conjuguees qui sera d'un ordre reprisente par le produit v i.
Appliquons maintenant Ies theoremes que nous venons d'etablir a quelques exemples. Suppbsons d'abord n — 7, r— 3. Alors Ies deux substitutions P, Q, determinees par Ies formules (18) (19)
P —(«;„, xlt x2, xit x,r, x-, x6), Q = (xu x?j, x2, x6, xlr, xs),
seront, la premiere du septieme ordre, la seconde du sixieme ordre. On aura done i = 6; et, en effet, le nombre 7 etant pris pour module, 6 sera I'indicateur correspondant a la base r= 3, puisque, dans la •progression geometrique 3 o,
3a 23 o , o ,
34 35 26 o . a , J ,
• • • )
3 6 sera le premier terme qui, divise par 7, donne pour reste l'unite. Cela pose, on conclura du theoreme III que Ies substitutions arithmetique et geometrique P, Q, determinees par Ies formules (18), (19), composent, avec leurs derivees, un systeme dont l'ordre estrepresente par le produit 6.7 = 42.
Supposons en second lieu n= 7, r=i. Alors la substitution geometrique Q, determinee, non plus par la formule (19), mais par la suivante (20)
Q=
(xi,xi,x,,)(x3,x
sera du troisieme ordre. On aura done i = 3; et, en effet, le nombre 7 etant pris pour module, 3 sera I'indicateur correspondant a la base 2, puisque, dans la progression geometrique
23 = 8 sera le premier terme qui, divise par 7, donne pour reste l'unite. Cela pose, on conclura du theoreme III que Ies substitutions
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 269 arithmetique et geometrique P, Q, determinees par les formules (18) et (20), composent, avec leurs derivees, un systeme dont l'ordre est represents par le produit
Supposons encore n — 9, r— 1. Alors les deux substitutions P, Q, determinees par les formules (2l) (,22)
Xt, Xz, Xlr, a? 6 , XG, a? 7 , OSS),
r = ; {&0, xu m —
x
\ i>
^2)
^4i
^Si
^5 ) (^3)
^-0)1
seront, la premiere ?du neuvieme ordre, la seconde du sixieme ordre. On aura done i = 6; et, en effet, le nombre 9 etant pris pour module, 6 sera l'indicateur correspondant a la base 2, puisque, dans la progression geometrique
2° = 64 sera le premier terme qui, divise par 9, donne pour reste l'unite. Cela pose, on conclura du theoreme III que les deux substitutions arithmetique et geometrique P, Q, determinees par les formules (21) et (22), composent, avec leurs derivees, un systeme dont l'ordre est represents par le produit 6.9 = 54. Supposons enfin qu'a la substitution Q, determinee par la formule (22), on joigne, non plus la substitution P, determinee par la formule (21), mais la substitution R, dont la valeur est fournie par l'equation R = P3,
( 2 3)
ou, ce qui revient au meme, par la suivante (24)
R =(-*••<» #3,
X
i)
(^1.
X
>>1 Xl)
iXi1
X
o1
X
»)-
Alors R sera une substitution arithmetique de l'ordre
270
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
et Ton conclura du theoreme IV que les substitutions arithmetique et geometrique Q, R, determines par les formules (22) et(24), eomposent, avec leurs derivees, un systeme dont l'ordre est represents par le produit 3.9 = 27.
Pour un module quelconque n, 1'indicateur i depend de la base r, et devient un maximum quand cette base r est une racine primitive correspondante au module n. Si Ton nomme I cet indicateur maximum, chacun des indicateurs qui correspondront aux diverses bases representees par les divers nombres premiers a n sera egal a I ou a un diviseur de I. D'ailleurs, si Ton suppose n =z pfqs . . .,
p et q, . .-. etant les facteurs premiers de n, 1'indicateur maximum I sera le plus petit nombre entier divisible a la fois par chacun des produits pf-'(p-i),
qe-^q — i),
...,
1'un de ces produits, savoir celui qui repondra au facteur 2, devant etre remplace par sa moitie quand n sera pair et divisible par 8. Si n se reduit a une puissance d'un nombre premier et impair p, en sorte qu'on ait n—pf;
on trouvera l-=pf-*{p-i)=.n(*-l\.
Si n se reduit a un nombre premier/), on aura simplement
Eu egard aux remarques qu'on vient de faire, les theoremes III et IV entraineront evidemment les propositions suivantes : THEOREME V.
— Les me'mes choses etant posees que dans le theoreme II, si Von nomme r une des racines primitives correspondantes au module n, et I Vindicates maximum relatif a ce module, cest-d-dire le plus petit des indices de Vunite" correspondants a la base r, la substitution geome-
QUE LON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 271 trique Q, qui aura pour objet de remplacer gendralement Xi par xri, sera de Vordre I. Alors aussi les derivees des deux substitutions P, Q seront toutes comprises sous chacune des deux formes
et composeront un systeme dont l'ordre sera represents par le produit n I.
Corollaire. — Si n est un nombre premier, on aura simplement I = « — i,
et, par suite, les derivees des deux substitutions P,
Q
composeront un systeme dont Tordre sera represents par le produit n (n — i).
VI. — Les m£mes choses etant posies que dans le theoreme V, soil v un diviseur de n autre que Vunite, et nommons R la substitution arithmetique qui consiste a remplacer generalement xt par xl+v. Les derivees des deux substitutions Q, R seront toutes comprises sous chacune des deux formes THEOREME
et composeront un systeme dont Vordre sera exprimepar le produit vl. Au lieu de representer les diverses variables par une meme lettre successivement accompagnee d'indices divers, on pourrait continuer a les representer par differentes lettres x,
y,
-•,
....
puis assigner a chaque variable un numero propre a indiquer, ou le rang qu'elle occupe dans la serie de ces lettres ecrites a la suite l'une de l'autre, suivant un ordre determine, ou, mieux encore, ce meme rang diminue de l'unite. Alors la substitution designee par Q dans les
272
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
theoremes precedents serait celle qui consiste a remplacer la variable correspondante au numero I par la variable correspondante au nuniero rl, ou-plutot au numero equivalent au reste de la division du produit rl par le numero /. Supposons, pour fixer les idees, n = 5; alors cinq variables representees par les lettres x, j , s,
u, v
pourront etre censees correspondre aux numeros 0,
I,
2,
3,
4.
Alors aussi, en multipliant les quatre derniers numeros par le facteur r, on obtiendra les produits r,
2r,
3/-, 4'";
et, si Ton pose r = i, ces produits, divises par 5, donneront pour restes 2,
4,
I,
3.
Ainsi, dans cette hypothese, la substitution designee par Q aura pour effet de substituer aux variables dont les numeros etaient I,
2,
3,
4,
les variables dont les numeros sont 2,
4,
i,
3,
c'est-a-dire de substituer aux variables les variables On aura done Q = (f,z,
e, u).
Cela pose, on conclura du theoreme II que les derivees des deux substitutions (a5)
p
= ( ^ , 7 , = , u , v),
Q=
(y,s,v,u)
sont toutes comprises sous chacune des formes P*Q*,
QUE L'ON PEDT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 273 et que l'ordre du systeme de ces derivees est egal au produit 5.4 = 20
des nombres 5 et 4 qui representent les ordres des substitutions P et Q. Effectivement les derivees des substitutions P, Q dontles valeurs sont donnees par-les formules (25) se reduiront aux vingt substitutions comprises dans le tableau
(26)
r
P
pa
03
Q,
QP,
QP*,
QP3,
Q:!,
Q 3 P, Q 3 P 2 ,
Q3P3,
pt
QP", Q3P'-,
ou, ce qui revient au meme, dans le suivant:
(27)
1, (7, z, v, u), (7, <;) (•=, «) (7, x, P, z)
(x, j , z, u, c), (x, z, c, 7, u), (x, u, y, v, z), (x, v, u, z, j), (v, x, z, 7), (z, u, x, 0), (x, 7, u, z), (a, v. 7, x), ; («, f) (<, x), (^, u) (7, z), (z, x) (u, c), (c, s) {x, 7), (z, i>, x, u), (a, x, 7, f), (f, 7, z, x), (x, z, u, 7).
Ajoutonsqu'en vertu de la formule-(io), on aura generalement (28)
Q*PA—ps'AQ*,
et, par suite, QP = P 2 Q ,
QP2 = P 4 Q ,
(29)
QP3 = P Q , 2p3 = P'-Qs : ptQ3)
QP4 = P 3 Q , Q*P*=PQ», Q3pt— P2Q3
XLI. — Sur diverses proprietes remarquables des systemes de substitutions conjuguees.
Considerons n variables y,
Le nombre total N des arrangements, ou bien encore des substitutions que Ton pourra former avec ces variables, sera represente par le produit N=i.a.3...n; OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS et l'un quelconque des systemes de substitutions conjuguees, formes avec ces memes variables, sera toujours d'un ordre exprime par un diviseur de N. De plus, ces systemes jouiront encore de diverses proprietes remarquables dont quelques-unes ont ete deja etablies dans le paragraphs VI. Je vais maintenant en demontrer quelques autres, qui se trouvent exprimees par les theoremes suivants : THEOREME
I. — Formons avec n variables X,
V,
Z,
...
deux systemes de substitutions conjuguees; et soient (1)
i,
Pn
P,,
...,
IV-,,
(2)
1,
Qa,
QS)
••••,
Qi-j,
ces deux systemes, le premier de Vordre a, le second de Vordre b. Soit d'ailleurs I le nombre des substitutions R pour lesquelles se venfient des equations symboliques et lineaires de la forme (3)
RPA=QtR,
h etant l'un quelconque des entiers 1,
2,
...,
a —1,
...,
b — i.
et k Vun quelconque des entiers 1,
2,
Le nombre I, divise par le produit ab, fournira le meme reste que le nombre N =
i.2.3...n,
et Von aura, en consequence, (4)
I= N
(modab).
Demonstration. — Faisons, pour abreger, (3)
J= N-1.
Parmi les substitutions que Ton pourra former avec x, y, z, ..., celles pour lesquelles ne se verifieront jamais des equations semblables a la
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 275 formule (3) seront en nombre egal a J. Nommons U l'une de ces dernieres substitutions. Les divers termes du tableau U, (6)
Qt-U, Q 2 U,
UP,
UP 2 ,
...,
Q,Uf . Q5UF
QiUP^,
Q a UP 2 ,
seront tous inegaux entre eux. Car, si Ton avait Q*UPA=Q*.UP*-,
et, par suite, (7)
UPAP^ = QrQA,U,
sans avoir en meme temps P / , = PA
et
Q , . = Qt,
on reduirait l'equation (5) a la forme (8)
en posant Mais alors, des deux substitutions ^E, &, dont l'une au moins serait distincte de l'unite, la premiere representerait encore un terme de la serie (i), et la seconde un terme de la serie (2). Done la formule (7) ou (8), consideree comme propre a determiner U, serait semblable a l'equation (3), et la substitution U se reduirait, contre I'hypothese admise, a l'une des valeurs de R. Soit maintenant V une substitution nouvelle qui, etant formee avec les variables x, y, z, . . . , ne se reduise ni a l'une des valeurs de R, ni a aucune des substitutions comprises dans le tableau (6). Les divers termes du tableau
v, (9)
Q,v, Q.v,
VP,, QiVP,, Q 2 VP 15
VP 2 ,
...,
VP a _j,
QiVP,, Q,VP,,
..., ...,
QtVP^, Q.-VP^-i-
276
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMEiNTS
seront encore tous inegaux entre eux, et merae ils seront distincts de tous ceux que renferme le tableau ( 6 ) ; car, si Ton avait Q t UP A = Q/cVP,,, on en conclurait (to)
V — Qp Q^UPAPA' ;
puis, en posant, pour abreger,
on reduirait l'equation (9) a la formule (11)
V=
2US;
et, comme les deux produits £, 2> representeraientencore, le premier un terme de la serie (1), le second un terme de la serie (2), il est clair qu'en vertu de la formule ( n ) , V se reduirait, contre l'hypothese admise, a l'un des termes renfermes dans le tableau (6). En continuant de la sorte, on repartira les J substitutions, pour lesquelles ne se verifieront jamais des equations semblables a la formule (3), entre plusieurs tableaux que Ton deduira successivement du tableau (6), en remplagant dans celui-ci la substitution U, qui represente le premier terme, par une autre substitution V, ou W; etc. D'ailleurs, les termes qui se trouveront renfermes dans chaque tableau, en nombre equivalent au produit ab, seront tous inegaux entre eux. II y a plus : les termes que comprendra le systeme des divers tableaux seront encore tous distincts les uns des autres, si l'on a soin de prendre pour premier terme de chaque nouveau tableau une substitution non comprise dans les tableaux deja formes. Cette condition etant supposee remplie, le nombre total des termes compris dans les divers tableaux sera necessairement le nombre represents par J. Done le nombre J ou N —I sera un multiple du nombre des termes renfermes dans chaque tableau, e'est-a-dire du produit ab. Done les nombres I et N, divises par le produit ab, fourniront le meme reste. Corollaire. — Si les deux systemes de substitutions conjuguees,
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 277 mentionnes dans le theoreme I, se reduisent a un seul, alors, a la place de ce theoreme, on obtiendra la proposition suivante : THEOR^ME
II. — Soit a Vordre cfun systeme de substitutions conjuguees i
P A
•*>
P 1
1)
p
21
r
• • • !
a — n
forme'es avec les n variables x,
y,
z,
...;
et nommons I le nombre des substitutions Rpour lesquelles se verifient des equations de la forme (12)
•RPA
h, k etant des nombres entiers egaux ou inegaux, pris dans la suite o,
i,
2,
...,
a
—i.
Le nombre I, dwise par le carre de a, fournira le mime reste que le produit N =
i.2.3...re,
en sorte qu'on aura (i3)
(moda2).
IsN
Corollaire. — Si a2 surpasse N, la formule (i3) donnera necessairement I=
04)
N>
et, par suite, une substitution quelconque R sera du nombre de celles pour lesquelles peut se verifier l'equation (12). Revenons maintenant a la formule (3). Gette formule exprime evidemment que les deux substitutions Ph, Q*,
dont la premiere est 1'un des termes qui suivent l'unite dans la serie (1), et la seconde 1'un des termes qui suivent l'unite dans la serie (2), sont semblables Tune a l'autre. Done il sera impossible de satisfaire a l'equation (3) si aucune des substitutions p r
H
p r
p 25
• • • )
l
a—±
278
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
n'est semblable a l'une des substitutions Qi,
••-,
Q,,
Q*-i-
Done alors on aura =
0,
et la formule (4), reduite a celle-ci (15)
N= o
(modab),
exprimera que le norabre N est divisible par le produit ab. En consequence, on peut enoncer la proposition suivante : THEOREME
III. — Formons avec n variables x,
y,
z,
...
deux systemes de substitutions conjuguees, et supposons que ces deux systemes etant, le premier de Vordre a, le second de Vordre b, renferment, outre Vunite, d'une part, les substitutions (16)
Pt,
P,,
...,
P*-!,
Q.,
•••,
Qi-i-
d''autre part, les substitutions 07)
Q,,
Si aucune des substitutions (16) n'est semblable a Vune des substitutions (17), le nombre N —1.2.3...«
sera divisible par le produit ab. Le theoreme que nous venons d'enoncer entraine encore e>idemment la proposition suivante : THEOREME IV.
— Soient 1
P
p
!>
Qi.
Qi,
p
et ...,
Qa-t
deux systemes de substitutions conjuguees, le premier de Vordre a, le second de Vordre b, formes Vun et Vautre avec les n variables
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 279 Si le produit ab riestpas un diviseur du nombre N =
i.2.3...n,
alors, des substitutions P 1>
P f
2)
r
• • •)
p a—l v
une ouplusieurs seront semblables a une ouplusieurs des substitutions Qi,
Q,,
•••,
Qa-i-
Corollaire I. — Soient maintenant p un nombre premier, egal ou inferieur a n, et pf la plus haute puissance de p qui divise le produit N =
i.2.3...«.
D'apres ce qui a ete dit dans le paragraphe VII (p. 221), on pourra former avec les n variables x, y, z, . . . un systeme de substitutions primitives et conjuguees qui sera de l'ordre />/; et rien n'empechera de supposer que Ton prend ces memes substitutions pour termes de la suite !)
QD
Q2,
•••,
Qj-i-
Or, dans cette hypothese, b etant egal a p:f, ie produit ab ne pourra diviser N si a est divisible par p\ et, d'ailleurs, chacune des substitutions qu Q.2, ..., Q6_M etant une substitution primitive dont l'ordre sera represente par l'un des nombres P<
P2i
• • •,
Pf>
aura pour derivees d'autres termes de la suite 1,
Qd, Q
2 !
..., Q ^ , , ,
parmi lesquels (yoir\& theoreme Vllf du paragraphe VIII) on trouvera au moins une substitution reguliere de l'ordre p. Done, en vertu du theoreme IV, si l'ordre a du systeme de substitutions
est divisible par le nombre premier p, l'une au moins des substi-
280
MEMOIRE SUR LES ARRANGEMENTS
tutions P4,
P5,
• • •)
" a—1
sera reguliere et de l'ordre p. Corollaire II. — Si Ton represente par des lettres diverses P,
Q, R,
•••
les substitutions qui, dans le theoreme IV, sont designees a l'aide d'une seule lettre P successivement affectee des indices i,
2,
3,
...,
a — i,
et si, d'ailleurs, on nomme M l'ordre du systeme des substitutions coniueuees S
i,
P,
Q,
R,
..-,
alors la proposition etablie dans le corollaire I sera reduite a celle dont voici l'enonce : THEOREME (18)
V. — Soit M l'ordre du systeme des substitutions i,
P,
Q,
R,
conjuguees
...
formees avec les n variables x, y, z, . . ., et nommons p un nombrepremier egal ou inferieur a n. Si M est divisible par p, Vune au moihs des substitutions P, Q, R, ... sera une substitution reguliere de Vordre p. Corollaire. — Lorsque le nombre premier^ devient superieur a -> urie substitution reguliere et de l'ordre p, formee avec les n variables x,y, z, ..., ne peut etre qu'une substitution circulaire. Done le theoreme VII entraine encore la proposition suivante : THEOREME
VI. — Sou M Vordre du systeme des substitutions *.
p
.
Q, R,
conjuguees
...,
formees avec les n variables x, y,z, . . ., et nommons p un nombre premier egal ou inferieur a n, mais superieur a - • Si M est divisible parp,
QUE L'ON PEUT FORMER AVEC DES LETTRES DONNEES. 281 Vune au moins des substitutions P,
Q, R,
-..
sera une substitution circulaire de Vordrep. Pour montrer une application du theoreme VI, supposons que, n etant egal a 5, les variables donnees soient x,
y, z,
u,
v.
Au module 5 correspondent, d'une part, les racines primitives i et 3, d'autre part, l'indicateur maximum n —1 = 4,
dont les diviseurs
I,
2,
4
representeront les divers indicateurs correspondants a des bases quelconques; et Ton conclura du troisieme des theoremes demontres dans le paragraphe XI, qu'avec cinq variables on peut former non seulement une substitution circulaire du cinquieme ordre, mais encore un systeme de substitutions conjuguees dont l'ordre soit represente par le produit 5 X 2 =10,
ou par le produit 5x4== 20.
Ainsi, en particulier, on pourra former, avec les cinq variables x, y, z, u, v, le systeme du vingtieme ordre que composent les substitutions ecrites dans le tableau (27) de la page 273. Cela pose, il resultera immediatement du theoreme VI que tout systeme du dixieme ou du vingtieme ordre, forme avec les cinq variables x, y, z, u, v, comprendra, comme le systeme dont il est ici question, des substitutions regulieres dont les ordres serontrepresentes par les facteurs premiers des nombres 10 et 20, c'est-a-dire des substitutions circulaires du cinquieme ordre et des substitutions regulieres du deuxieme ordre. D'apres ce qu'on a vu dans le paragraphe VI (theoreme II),l'ordre M d'un systeme de substitutions conjuguees 1, OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
P,
Q,
R,
... 36
282
MEM01RE SUR LES ARRANGEMENTS, ETC.
est divisible par l'ordre de chacune des substitutions P, Q, R, . . . , et en consequence par a, si a represente l'ordre de la substitution P. La proposition reciproque se verifie, en vertu du theoreme Vf, quand a est un diviseur premier de M, c'est-a-dire qu'alors un systeme de substitutions conjuguees ne peut etre de l'ordre M sans renfermer au moins une substitution de l'ordre a. Mais on ne devrait plus en dire autant si, 1'ordre M du systeme n'etant pas un nombre premier, a representaitun diviseur non premier deM, par exemple le nombre M lui-meme. Alors, en efl'et, il pourrait arriver que le systeme ne renfermat aucune substitution de l'ordre a. Ainsi, en particulier, si Ton pose P = (^,j)(.s,
U),
Q=(x,g)(y,u),
R = PQ = QP,
les quatre substitutions i,
P,
Q,
R
formeront, comme on l'a deja remarque dans le paragraphe VII, un systeme de substitutions conjuguees; et ce systeme du quatrieme ordre ne renfermera pourtant point de substitutions du quatrieme ordre, mais seulement trois substitutions regulieres du deuxieme ordre, attendu que P, Q, R se reduiront a {x,y)(z,u),
(a!,s)(y,u),
(x,u)(y,z).
MEMOIRE SUR
LES LIGNES QUI DIVISENT EN PARTIES EGALES LES ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES ET SUR
LA ROTATION D'UNE DROITE MOBILE DANS L'ESPACE
Nous allons, dans ce Memoire, reunir diverses formules de Geometrie analytique, a l'aide desquelles nous rechercherons plus tard les proprietes de deux systemes de courbes tracees sur une meme surface . 1. — Sur les lignes qui divisent en parties egales les angles formes par deux droites.
Considerons d'abord deux droites qui, partant d'un meme point 0, se prolongent indefmiment dans des directions determinees OA, OB. Supposons d'ailleurs que, le point 0 etant pris pour origine des coordonnees, tous les points de 1'espace soient rapportes a trois axes rectangulaires de x, y, z; et que les cosinus des angles formes par les deux droites OA, OB, avec les demi-axes des x, y, z positives, soient designes, pour la premiere droite, par pour la seconde droite, par
a , (3 , y ; a,, (3,, yr
Si, a partir du point 0, on porte sur les deux droites donnees des longueurs OA, OB, dont chacune soit representee par l'unite; alors a, [3, y seront precisement les coordonnees du point A, et a,, (3;, y les coordonnees du point B. Par suite, les differences <*,—«!
3,—(3,
y , - y
284 SUR LES LIGNES QUI DIVISENT EN PARTIES EGALES representeront precisement les projections algebriques de la longueur AB complee a partir du point A. Ajoutons que, si Ton designe par C le milieu de AB, les demi-sommes
representeront les projections algebriquesde la droite OC, comptees a partir du point 0. D'autre part, si Ton nomme o Tangle aigu ou obtus, mais inferieur a deux droits, qui se trouve compris entre les directions OA, OB, Tangle -o sera aigu, et Ton aura evidemment OC = cos > 2
2
Enfin, pour obtenir le cosinus de Tangle que forme avec le demi-axe des x, y ou z positives une droite prolongee dans une certaine direction, il suffit de diviser la projection algebrique d'une longueur mesuree dans cette direction par cette longueur meme. Done, pour obtenir les cosinus des angles formes par la direction AB avec les demi-axes des coordonnees positives, il suffira de diviser les differences <*,—«; P,—P> y,— y par 2 sin-; et si Ton nomme A, (/,, v ces trois cosinus, on aura (i)
Agc'~°tJ .
^ ~
0
p
y>-y
. 0
. 0
2 sin -
2 sin -
2 sin -
2
2
2
Au contraire, pour obtenir les cosinus X/f y.t, v, des angles formes par la direction OC avec les demi-axes des coordonnees positives, il suffira de diviser les trois demi-sommes «,+ a
y,-
par cos-, en sorte qu'on aura encore (2)
i = a'~ha,
P, + P(
2
2 COS2
COS 2
v
_ y, + y 2COS2
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES.
285
Observons au reste que la direction OC est precisement celle de la ligne qui divise en parties egales Tangle S compris entre les directions OA, OB. Quant a la direction AB, elle est evidemment parallele a celle d'une ligne qui diviserait en parties egales, non plus Tangle o compris entre les droites donnees, mais Tangle n — o compris entre Tune de ces droites et le prolongement de Tautre. Ainsi, en definitive, les valeurs de ~ki: jx;, v, determinees par les formules (2), et les valeurs de X, {/,, v determinees par les formules (1), representent les cosinus des angles formes, avec les demi-axes des coordonnees positives, par deux lignes qui divisent en parties egales les angles 8 et it — 0 compris entre les deux droites donnees, ou entre Tune de ces droites et le prolongement de Tautre. Supposons maintenant que a, (3, y et a,, (3;, y, representent les cosinus des angles formes avec les demi-axes des x, y, z. positives, non plus par deux droites qui partent de Torigine des coordonnees, mais par deux droites dirigees d'une maniere quelconque dans Tespace. Alors ce qu'on nommera Vangle des deux droites ne sera autre chose que Tangle 0 compris entre deux droites paralleles partant d'un meme point; et, si Ton designe toujours par A ; , \t.t, vr ou par ~k, [K, vies cosinus des angles formes, avec les demi-axes des x, y, z positives, par les lignes qui diviseront en parties egales Tangle S ou son supplement, les formules (1) et (2) continueront de subsister. II est bon d'observer que les equations (1) peuvent etre remplacees par la seule formule (3) v '
2sin- = ^ — = ^ ^-—h 1, 2 A p v
et les equations (2) par la seule formule 3 (4)
2 COS - = 2
a,+ a -AT
[3, + (3 =
—
y, + y
- = ' - ! •
'-•
D'ailleurs les cosinus a, p, y des trois angles formes par une meme droite avec les demi-axes des x, y, z supposes rectangulaires, verifieront toujours la condition (5)
a3+p2+y2=I)
286 SUR LES LIGNES QUI DIVISENT EN PARTIES EGALES et Ton aura pareillement (6)
oc? + p? + y? = i-
On trouvera de meme et (8)
*
Enfin, Ton aura, d'une part, sin o = 2 sin - cos - , 2
et, d'autre part,
,3
cos o = cos2
2
2
. .a
sin- - • 2
Cela pose, on tirera des formules (3) et (4), non seulement 2 sin 3 = rr
>
et, par suite,
mais encore (10)
sin,
=
2 _
cos - _
et, par suite, cos (5 =
La formule ( n ) , bien connue depuis longtemps, est celle qui sert a exprimer le cosinus de Tangle compris entre deux droites en fonction des cosinus des angles que forment ces deux droites avec les demi-axes des coordonnees positives, supposes rectangulaires. Quant a la formule (9), elle exprime simplement que les deux lignes qui divisent les quatre angles formes par deux droites en parties egales sont perpendiculaires entre elles.
a
Les valeurs de sin- et de cos-> tirees des equations (10), sont res2 1 — 3
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES.
287
pectivement sin
~=
\/(«,-
(12)
cos - = i
Si J'on substitue ces memes valeurs dans les formules (3) et (4), on trouvera
Lorsque les valeurs de a, (3, y, a,, |3?, yr seront donnees, celles de X,. [j., v, X/5 [x, vr se deduiront immediatement des formules ( i 3 ) et (i4)Si les deux droites donnees representent une droite mobile consideree successivement dans deux positions diverses, alors, en designant par Aa, A[3, A-y les accroissements que prendront les cosinus a, [3, y quand on passera de la premiere position a la seconde, on aura
et, par suite, la formule (i3) donnera simplernent (15)
= A<x
— A(3
= Ay
^(Aa)2^-(A(3)2+(Ay)2
tandis que la premiere des formules (12) donnera (16)
sin-=-V / (Aa)'-+(A(3) 2 + (Ay)2.
II. — Sur la rotation dfune droite mobile dans Vespace.
Concevons qu'une droite se meuve dans l'espace de maniere que sa position et sa direction varient, par degres insensibles, avec la valeur d'une certaine variable independante, qui sera designee par t; et supposons d'abord, pour plus de simplicite, que cette droite mobile ait constamment pour origine un certain point fixe 0 . Concevons encore que, ce point fixe etant pris pour originedes coordonnees, on rapporte
288 SUK LES LIGNES QUI DIVISENT EN PARTIES EGALES tous les points de l'espace a trois axes rectangulaires des w, y, z. Enfin, considerons deux directions distinctes et successives de la droite mobile. Si Ton nomme a, (3, y les cosinus des angles que forme, avec les demi-axes des coordonnees positives, la premiere de ces deux directions, et si Ton indique, a l'aide de la caracteristique A, 1'accroissement que prend une fonction quelconque de la variable independante, tandis que la droite mobile passe de la premiere direction a la seconde, Tangle 8 compris entre les deux directions sera determine par l'equation (16) du paragraphe I, c'est-a-dire par la formule <3
i
,
•—
7
sin - = - v/(Aa) 2 +(Ap) = +(Ay) 2 ;
(i)
2
2
et cet angle representera ce qu'on peut appeler la rotation de la droite mobile, dans le passage d'une direction a Fautre. Soient d'ailleurs OA, OB deux longueurs egales a Tunite, qui se mesurent, a partir de l'origine 0 des coordonnees, sur les deux directions successives de la droite mobile, et nommons \, \x, v les cosinus des angles formes, avec les demi-axes des coordonnees positives, par la droite AB comptee ii partir du point A. On aura encore, en vertu de la formule (i5) du paragraphe I, Aa ~ AS ~ Ay ~ yj£^j*+ (AS)*+ (Ay)5' ou, ce qui revient au meme, (3)
— — ^
— ^ — /~A—~
et si Ton divise les deux membres de l'equation (3) par 1'accroissement At de la variable independante t, on trouvera (4)
i_Aa
I At
=
2
A
l
=
p. At
^Ay_
v At~Y
//Aay
[At)
/Aj3y +
\Al)
/Ay\2 +
\Al)
Si au contraire on divise par A^ les deux membres de l'equation (i), celle qu'on obtiendra pourra etre presentee sous la forme suivante : (5) sin | -
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES.
289
Concevons maintenant que l'accroissement At de la variable independante devienne infiniment petit; Tangle o deviendra lui-meme infiniment petit, aussi bien que les accroissements Aa, A(3, Ay des variables a, (3, y : alors, fandis que At decroitra indefiniment, la fraction Yt> c'est-a-dire le rapport entre Tangle o et l'accroissement de la variable indepejtidante, convergera vers une certaine limite que nous nommerons le module de rotation de la droite mobile. En designant par « cette limite, et en observant que, pour des valeurs infiniment petites de At, les rapports — 0
2 . i ' sm - o
Aa It'
Ap "AT'
Ay At
2
convergent eux-memes vers les limites i,
Dtoc,
D,|3,
D,y,
on tirera de la formule (5) « = \/(TV) 2 + (D,|3)2+(D/y)'-.
(6)
De plus, quand A^ deviendra infiniment petit, la formule (4) donnera evidemment (y)
i D < a = - D t p = i D £ y = ^(Dta)*+(D((3)»+(D/y)S
ou, ce qui revient au raeme, (8)
j D / a = A D t p = i D l y = «;
et Ton en conclura (a)
,
Dt«
X=
—— >
D(p -w =
— - >
Dcy v=
—'- •
Mais alors aussi, Tangle o etant infiniment petit, les deuxautres angles du triangle isocele OAB seront sensiblement droits, et, par suite, la base AB de ce triangle sera sensiblement perpendiculaire a chacun des cotes OA, OB. II y a plus : les droites OA, OB etant deux aretes du QEuvres de C. — S. II, t. XIII.
37
290 SUR LES LIGNES QUI DIVISENT EN PARTIES EGALES cone qui a pour sommet le point 0 et pour generatrice la droite mobile, le plan qui renfermera ces deux aretes se rapprochera indefiniment, pour des valeurs infiniment petites de o, du plan qui touchera le cone suivant l'arete OA. Gela pose, les valeurs de 1, \i., v, det.er.minees par les equations (9), exprimeront evidemment les cosinus des angles formes, avec les demi-axes des coordonnees positives, par une perpendiculaire menee a la droite mobile dans le plan tangent au cone qu'elle decrit, cette perpendiculaire etant d'ailleurs dirigee dans le sens qu'indique le mouvement de rotation de la generatrice du cone. Nous representerons generalement le module de rotation a par une longueur mesuree sur la perpendiculaire dont il s'agit, et dirigee dans le merae sens qu'elle. Des lors les projections algebriques de ce module sur les axes des a?, j , z seront evidemment exprimees par les trois produits 8V,
ou, ce qui revient au meme, eu egard aux formules (9), par-les trois derivees D«a,
D,(3;
D,y.
Nous avons suppose jusqu'ici que la droite mobile OA passait constamment par un point fixe 0. Si cette condition n'etait pas remplie, on pourrait imaginer une seconde droite qui, partant d'un point fixe de l'espace, resterait constamment parallele a la droite mobile OA, et le module de rotation de cette seconde droite, transports parallelement a lui-meme, de maniere a offrir pour premiere extremite un point de la droite mobile, serait ce que nous appellerions le module de rotation de cette derniere. Ainsi defini, le module de rotation de la droite mobile se confond avec la limite du rapport qu'on obtient quand on divise Tangle infiniment petit compris entre deux directions de cette droite, successivement consideree dans deux positions infiniment voisines, par l'accroissement qu'acquiert la variable independante, tandis que Ton passe de la premiere direction a la seconde. Ajoutons que ce meme module se mesure sur une perpendiculaire menee a la premiere direction dans le plan qui la renferme, et qui est parallele a la seconde
LES" ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES.
291
direction, ou plutot sur le demi-axe dont s'approche infiniment cetle perpendiculaire, prolongee a partir d'un point situe sur la direction de la droite mobile, dans le sens indiqueparle mouvement de rotation de cette droite. Cela pose, soient toujours : t la variable independante; a, (3, y les cosinusdes angles formes par la droite mobile OA avec les demi-axes des x, y, z positives; « le module de rotation de la droite mobile; ~k, [i., v les cosinus des angles formes par le module de rotation « avec les demi-axes des x-, y, z positives. Les quantites «, A, \x, v se trouveront generalement liees aux cosinus a, (3, y par les formules (6), ( 9 ) ; et, en consequence, les projections algebriques du module « seront exprimees par les trois produits (10)
•i'K = I>i<x,
»/a=:D^(3,
«v^D«y.
II est bon d'observer que les cosinus a, [3, y des trois angles formes par la droite mobile, avec les demi-axes des coordonnees positives, verifient l'equation de condition (11)
o(2+(32+ya=i.
Or, de cette equation, differentiee par rapport a t, on tire
et par suite, eu egard aux formules (10), (12)
ocl -+- (3fx + yv = o .
Le resultat auquel nous venons de parvenir pouvait etre aisement prevu, car l'equation (11) exprime simplement que la direction du module a est perpendiculaire a celle de la droite mobile. Quel que soit, sur line droite mobile, le point a partir duquel se mesure le module de rotation de cette droite, il est clair que la direction de ce module variera generalement, comme la direction de la droite elle-meme, avec la variable independante t. On pourra done
292 SUR LES LIGNES QUI DIV1SENT EN PARTIES EGALES rechercher non seulement le module de rotation « de la droite mobile, mais encore le module de rotation u du module a, puis le module de rotation du module u, . . . . On trouvera ainsi successivement ce que nous appellerons les modules de rotation des divers ordres de la droite mobile, le module du module etant designe sous le nom de module du second ordre, tout comme la differentielle de la differentielle d'une fonction quelconque est designee sous le nom de differentielle du second ordre. Si d'ailleurs on represente par
?> X. + les cosinus des angles que formera le module du second ordre u, ou plutot la direction de ce module, avec les demi-axes des x, y, z positives, les quantites v ,
A, JJL, v
et les cosinus a, |3, y. Done le module du second ordre u, et les cosinus a>, ^, <\> des angles qui determinent la direction de ce module, se deduiront des cosinus k, \i, v, al'aide des equations
De plus, aux formules (11) et (12) on pourra joindre les formules semblables =
o,
dont la seconde exprime que les directions sur lesquelles se mesurent les modules du premier et du second ordre sont perpendiculaires l'une al'autre. On obtiendra des resultats du meme genre, en considerant les modules de rotation des ordres superieurs au second. Ajoutons que des equations (12), (16), differentiees par rapport a t, on deduira des formules nouvelles. Ainsi, ep particulier, la formule (12 V
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES.
293
donnera 4- ocD^A 4- (3D,p. + yD,v = o.
Mais, des formules (10) jointes a Tequation ( i 5 ) , on tirera « =zlDta 4- p.D^p + vDzy.
On aura done encore « -4- «D,A -+- (3D,/JI 4- yD*v = o,
ou, ce qui revient au meme, (17)
8 = - ( « D t X + |3Dtfi + yD(v),
puis on tirera de l'equation (17), jointe aux formules (i4)» 8 = — u(a
D'ailleurs le trinome acp + [3x + y^ represente le cosinus de Tangle forme par la droite mobile avec la direction du module u. Done, si Ton designe par w une longueur mesuree dans la direction de la droite mobile, et par (co, u) Tangle compris entre cette direction et celle du module u, on aura //\ \ c<9 + Px + y4 l== c o s \ w ! v ) )
(18) et, par suite, (ig)
8 ^ — v cos^co, vj.
Cette derniere equation fournit immediatement la proposition suivante : THEOREME
I. — Le module de rotation du premier ordre d'une droite
mobile est numeriquement
egal au module de rotation du second ordre,
projete sur cette droite. Mais la droite mobile et son module de rotation du second ordre, projete sur elle-meme, sont diriges en sens inverse.
Soient maintenant a,
b,
c
2% SUR LES LIGNES QUI DIVISENT EN PARTIES EGALES les cosinus des angles formes, avec les demi-axes des x, y,. z positives, par une perpendiculaire au plan qui renferme a la fois la droite mobile et son module de rotation a du premier ordre. On aura non seulement (20)
<xa + (36 +
yc~o,
mais encore (21)
\a -+- p.6 + vc = o,
et, par suite, (22)
ft
h
r>
f3v — yp.
y X — ctv
cxp.— [3X
Comme on aura d'ailleurs (23)
a2+6
2
+ C 2 — I,
et, en vertu des equations (11), (12), (i5), (j3v = (a 2 + (32 + y 2 ) (X2 + (JL2 4- v2,) — (aX + (3p. + vv ) 2 = 1,
on tirera de la formule, (22) a
b\
pv — yfx
j/X — av
c
^
a/A — (3X
La formule (24) fournira, pour a, b, c, deux systemes de valeurs correspondants aux deux directions, opposees l'une a l'autre, suivant lesquelles peut se prolonger une droite perpendiculaire au plan qui renferme a la fois la droite mobile et le module a. Si entre ces deux directions on choisit celle qui reduit le double signe ± au signe -f-, dans le second membre de la formule (24), on aura simplement . f, {%
a
'
b
c
(3v .— yp ~ yl — av ~ ocp. — j3X
=
' '
et, par suite, c = ap. —
Goncevons k present que la droite mobile qui formait, avec les demiaxes des x, y, z positives, des angles dont les cosinus etaient a, (3, y,
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES.
295
soit remplacee par une nouvelle droite, savoir, par celle qui forme, avec Jes demi-axes des coordonnees positives, des angles dont les cosinus a, b, c se deduisent des equations (26). Nommons 0 le module de rotation de cette nouvelle droite, et /, m, n les cosinus des angles formes par la direction de ce module avec les demi-axes des x, y, z positives. Des relations semblables a cellesque les formules (6) et (10) etablissaient entre les quantites «,
(3, y
et
8, A, p., v
subsisteront encore evidemment entre les quantites a,
b,
c
et
8, I, m,
n.
Done le module 6 et les cosinus /, m, n se deduiront des cosinus a, b, c a l'aide des formules (27) (28)
d = \f(Dlay-h{T>tb)* 9l — Dta, 6m = Dtb,
D'ailleurs, en ayant egard aux formules (10), on tirera des equations (26) (29)
T>ta — (3D,v — yD,p.,
V>Lb — yV>L\ - «D4v,
Dtc = s D
f
— (3D,A,
et, par suite, (3o)
«D ! a + |3D(6 + yD,c = o1
ce que Ton pourrait aussi conclure de 1'equation (20), differentiee par rapport a t et combinee avec les formules (10) et (26). De plus, 1'equation (23), differentiee par rapport a t, donnera
et des formules (3o), (31), jointes aux equations (28), on tirera (32)
al + bm -+- en = o.
Or, pour obtenir les equations (32), qui sont lineaires par rapport a /, in, n, il suffit evidemment de remplacer, dans les equations (12) et (21), A par /, p. par m, v par n. Done les valeurs des rapports j > j>
296 SUR LES LIGNES QUI D1VISENT EN PARTIES EGALES tirees des formules (32), seront respectivement egales aux valeurs des rapports £, y tirees des formules (i 2) et (19), et l'on aura a
m
v
n
ou, ce qui revient au meme, I
m
n
puis, en ayant egard a l'equation (i5) et a la suivante, (34)
P+m'-+n* = i,
on conclura de la formule (33) I
m
n
Done la direction, sur laquelle se mesurera le module de rotation 9, ne pourra etre quela direction sur laquelle se mesurait deja le module de rotation a, ou la direction opposee. On arriverait encore, sans calcul, aux memes conclusions, en se bornant a comparer les formules (32) aux formules (12) et (21), et en observant que ces formules fournissent, pour direction du module 6 ou du module a, celle d'une perpendiculaire aux deux droites qui forment, avec les demiaxes des x, y, z positives, des angles dont les cosinus sont, d'une part, a, 8, y, et, d'autre part, a, b, c. D'ailleurs, rien ne determine aprioi'ile signe qui doit preceder l'unite dans le dernier membre de la formule (35). On peut done enoncer la proposition suivante : II. — Si, apres avoir construit le module de rotation* d'une droite mobile, on eleve une perpendiculaire au plan qui renferme a la fois ce module et la droite elle-meme, le module de rotation 6 de cette perpendiculaire et le module de rotation « de la droite mobile se mesurerontsur un meme axe; mais Us pourront offrir ou une direction unique, ou des directions opposees. THEOREME
Revenons maintenant aux formules (29). De ces formules, jointes
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DRO1TES.
297
aux equations ( T 4 ) et (28), on tirera 0/—u((3iji — yx)i
(36)
8m = v(y
0« =
et par suite, eu egard a la formule (34),
ou, ce qui revient au meme, (3 7 )
e = vs/{^ — yiY H- (yep — «<];)*-
Mais, d'autre part, en ayant egard aux formules (11), (18) et a l'equation
(38)
x » + t j , . = I)
on trouvera == ( a 2 + (3*-+ ya) ( 9 2 + X 2 + f 2 ) — (a? = 1 — cos2^w, uy^rsin 2 ^ co, vj.
Done la formule (37) donnera
Mais u sin(^w, u j representeraevidemmentle module du second ordreu projete sur un plan perpendiculaire a la direction de la droite mobile. Done la formule (3g) entrainera immediatement la proposition suivante : THEOREME
III. — Si, apres avoir construit les deux premiers modules de
rotation dhine droite mobile, c est-a-dire les modules de rotation du premier et du second ordre a et u, on eleve une perpendiculaire au plan qui renferme a la fois ce module et la droite elle-meme, le module de rotation de cette. perpendiculaire
se deduira aisementdu module du second ordre u,
et sera numeriquement
egal a la projection de ce module sur un plan
perpendiculaire
a la droite.
En ayant egard a l'equation identique
(s\\ OEwres
de C. — S. II, t. XIII.
.
2
(/\ 38
298 SUR LES LIGNES QUI DIVISENT EN PARTIES EGALES on tire immediatement des formules (19) et (3()) (4o)
a«+fl«=i;*.
On arriverait aussi a la meme conclusion, en observant que Ton tire des formules (28) et (29)
et de cette derniere, jointe aux formules (11), (17) et (14),
On peut done enoncer encore la proposition suivante : IV. — Si, apres avoir construit les deux premiers modules de rotation d'une droite mobile, e'est-a-dire les modules du premier et du second ordre « et u, on eleve une perpendiculaire au plan qui renferme a la fois le module du premier ordre a et la droite elle-mime, le module de rotation 0 de cette perpendiculaire offrira un carre 0% qui, e'tant ajoute au carre a2 du module du premier ordre a, donnera poursomme le carre ua du module du second ordre u. THEOREME
Jusqu'ici nous n'avons point specifie la nature de la variable independante t. Dans le cas particulier ou cette variable represente le temps, et ou la droite mobile OA passe par un point fixe 0, le module «, e'est-a-dire le module de rotation du premier ordre de la droite OA, n'est evidemment autre chose que la vitesse du point A situe sur la droite mobile a l'unite de distance du point fixe. Done alors le module de rotation a se reduit a ce qu'on doit appeler la vitesse angulaire de rotation de la droite mobile. Alors aussi, pour etablir directement les formules (10), il suffit d'observer que, le point 0 etant pris pour origine,
representeront, d'une part, les coordonnees du point A, et, d'autre part, les projections algebriques de la vitesse de ce. meme point, ou, ce qui revient au meme, les projections algebriques de la vitesse angulaire de rotation de la droite OA.
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES.
299
Si, le temps t etant toujours pris pour variable independante, la droite motile OA se meut d'une maniere quelconque dans I'espace, en changeant de position et de direction par degres insensibles, mais sans etre assujettie a passer constamment par le raerae point fixe 0, la vitesse angulaire de rotation de cette droite ne sera autre chose que la vitesse angulaire de rotation d'une droite parallele, par consequent d'une droite qui formera les raemes angles avec les axes coordonnes. Done, si Ton nomme toujours a, (3, y les cosinus des trois angles formes par la droite mobile avec les demi-axes des x,y, z positives, la vitesse angulaire « de cette droite offrira encore des projections algebriques representees par les trois derivees Btoc, Dtp, D-ty, et ces trois derivees seront encore liees a la vitesse angulaire et aux cosinus \, [i., v des angles que formera la direction de la vitesse a, avec les demi-axes des x, y, z positives, par les equations (9). III. — Modules de rotation d"1 une droite mobile qui s^appuie constamment sur une eourbe donnee.
Supposons qu'une droite mobile s'appuie constamment sur une eourbe dont les coordonnees, relatives a trois axes rectangulaires, soient representees par Nommons s Tare de cette eourbe, compte positivement dans un certain sens, et aboutissant au point (x, y, z). Prenons cet arc pour variable independante, et soient
les fonctions de s qui represented les cosinus des angles formes, par la droite mobile prolongee dans une certaine direction, avec les demiaxes des x, y, z positives. Enfin, A* etant un tres petit accroissement attribue a l'arc s, nommons S Tangle infiniment petit que decrit la droite mobile tandis que son point d'appui sur la eourbe donnee par-
300 SUR LES LIGNES QUI DLVISENT EN PARTIES EGALES court l'arc infiniment petit A*; en sorte que o designe Tangle compris entre les deux directions extremes de la droite mobile conrespondantes aux deux extremites de Tare As. Si par la premiere de ces deux directions on fait passer un plan parallele a la seconde, et si, dans ce plan, on porte une longueur numeriquement representee par le rapport -^, sur une perpendiculaire a la premiere direction, cette perpendiculaire etant prolongee dans le sens indique par le mouvement de rotation de la droite mobile OA; le rapport dont il s'agit, ou. plutot la limite « vers laquelle convergera ce rapport, tandis que Tare elementaire As deviendra de plus en plus petit, represented, en grandeur et en direction, d'apres les definitions adoptees dansle paragraphe II, ce qu'on devra nommer le module de rotation de la droite mobile. Soient d'ailleurs les cosinus des angles formes, par la direction du module a, avec les demi-axes des coordonnees positives. Les valeurs des quantites a.
X, ,(x, v
seront celles que fourniront les equations (6) et(io) du paragraphe II, quand on y remplacera la variable independante t par la variable independante s. On aura done « = v/(D.^)2+(D.!(3)2+(Dj;j/j^
(0 et (2)
«A =
D,a,
«JJL =
DS(3,
«v =
D s y.
Pareillement, si Ton nomme u le module du module de rotation de la droite mobile, ou, en d'autres termes, le module de rotation du second ordre, et
u
= v/( D ^ ) 2 ^ " ( D S 7 ) ^ T D 7 V 7 ,
U(D = Dtl,
U^=D(fX,
V<\) = DtV.
Enfin, si par un point de la droite mobile on eleve une perpendicu-
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DRO1TES.
301
laire au plan qui renferme, avec cette droite, son module de rotation du premier ordre, non seulement cette perpendiculaire, prolongee dans un certain sens, formera, avec les demi-axes des x, y, z positives, des angles dont les cosinus a, b, c seront determines par les formules (5)
a = <3v — yp.,
b~ly
— av,
c = «p. — (3A;
mais, de plus, le module de rotation G de cette perpendiculaire, consideree comme fonction de Fare s pris pour variable independante, sera determine par la formule (6)
e = y( D j a) 2 +(D,&r-+(D,c) 2 ,
et se mesurera sur le meme axe que le module a, sans que Fon puisse toutef'ois affirmer qu'il se mesurera dans le meme sens. Soit maintenant w une longueur mesuree sur la droite mobile, et sur la direction meme qui forme, avec les demi-axes des x, y, z positives, les angles dont les cosinus sont representes par a, p, y. Si Fon se sert de la notation (w, u) pour exprimer Fangle compris entre les directions de o> et de u, on aura, en vertu des formules (19), (39), (4o) du paragraphe II, //\ \ //\ \ (7)
» = —u cos\ci), uy,
a = v sin\w, 0),
et, par suite, (8)
H"--\-Q-1=I>-.
Done, si Fon projette le module du second ordre u : i°sur la droite mobile; 20 sur un plan perpendiculaire a la direction de cette droite, les projections ainsi obtenues seront exprimees numeriquement par le module du premier ordre a et par le module 6; et ces deux derniers modules pourront representer les deux cotes d'un triangle rectangle qui aurait pour hypotenuse le module «. Concevons a present que Fon designe par les lettres
302 SUR LES LIGNES QUI DLVISENT EN PARTIES EGALES les rapports inverses des modules en sorte qu'on ait P=\:
(9)
et, par suite, K1
i p
)
Chacune des quantites
pourra etre representee, comme le module qui lui correspond, par une longueur portee sur la direction de ce module. On peut meme observer qu'elle se trouvera tout naturellement representee par une longueur, si Ton exprime, suivant l'usage, les angles par dejimples nombres. Car la quantite p, par exemple, etant l'inverse da module g qui represente la limite du rapport ^> sera elle-meme la limite du rapport j - Elle sera done de meme nature que ce rapport et, par suite, de meme nature que Tare As, si Tangle o est reduit a un simple nombre. Done alors la quantite p sera de la nature des longueurs. Ajoutons qu'en vertu des formules (9) ou (10), les equations (1), (2), (3), (4), (6) donneront
(11) (12)
J l = pY)scx,
/j. = pD,(3,l
v=pD.vy,
V ( , ) ' - + (t)sby~ -[-
Observons enfin que, la longueur 1 etant mesuree sur la direction du module u, Tangle (w, u) pourra etre encore exprime par la notation («, 1). Done les formules (7), jointes aux equations (10), don-
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES.
303
neront ,
a
.
(ID)
i
t
p
K
- =
/ / \ \
ii.
cos\6j,t-/> v
— = - sin\co, x
• '
r
-c
tandis que la formule (8) donnera
Pour montrer une application tres simple des formules diverses que nous venons d'etablir, considerons, en particulier, le cas ou la droite mobile se confond avec la tangente menee a la courbe proposee par Textremite de 1'arc s, c'est-a-dire par le point dont les coordonnees sont x,y, z; cette tangente etant d'ailleurs dirigee dans le sens suivant lequel se mesurentles arcs positifs. Dans ce cas, les cosinus a, (3, y des angles formes par la droite mobile avec les demi-axes des x, y, z positives seront respectivement (18)
a = D,a;,
(3 = D , j ,
y = D, = .
AloVs aussi o sera Tangle compris entre les deux tangentes menees par les deux extremites de l'arc As. En d'autres termes, 3 sera ce qu'on nomme Vangle de contingence; et, comme Tare A^, compte a partir de l'extremite de l'arc s, sera d'autant plus courbe que Tangle 8 sera plus considerable, le rapport As
representera naturellement ce qu'on peut appeler la courbure moyenne de Tare As. Ajoutons qu'en faisant decroitre indefiniment Tare As, on verra sa courbure moyenne converger yers une certaine limite « qui sera precisement ce qu'on appelle la courbure de Tare s, mesuree a Textremite de cet arc. Done cette courbure ne differera pas du module de rotation de la tangente, determine par la formule (i). Quant aux cosinus \, |j., v des angles formes, avec les demi-axes des x,y, z positives, par la ligne sur laquelle se mesurera le module a, ils seront determines par les formules (2) desquelles on tirera, eu egard a la
304. SUR LES LIGNES QUI DIVISEN.T EN PARTIES E* GALES formule ( i ) , y
D,a
D,|3
Du.y
ou, ce qui revient au meme, eu egard aux equations (18), I
IX
V
I
Vfsc
D*y
D-z
y/(D| xf+ (D|j) 2 -t- (Dfs)5
Done cette ligne sera non seulement une perpendiculaire a la tangente, ou, en d'autres termes, une des normales menees a la courbe par le point {x, y, z), mais encore celle de ces normales qui a ete designee sous le nom de no/male principale, et qui se trouve comprise dans le plan osculateur (voir les Lepons sur les applications du Calcul infinitesimal a la Geometrie, t. I, p. 2 8 r ) ( 1 ) .
Si la courbe donnee se reduit a un cercle, Tangle de contingence 0 sera equivalent a Tangle au centre qui renfermera Tare As entre ses As
cotes. Done le rapport — representera le rayon du cercle, et ce rayon sera encore represents par la limite ^ de ce rapport, c1est-a-dire par la longueur p. Done, dans un cercle, le rayon p est Tinverse de la courbure a, et, reciproquement, la courbure a est Tinverse du rayon p. Done, si, apres avoir designe par a la courbure d'une courbe quelconque en un certain point (x, y, z), on nomme p une longueur liee a la courbure a par la premiere des equations (9), cette longueur sera le rayon d'un cercle qui offrira la meme courbure que la courbe, ou, en d'autres termes, elle sera ce qu'on appelle le rayon de courbure de la courbe donnee au point (x, y, z). Si cette meme longueur est portee, a partir du point (x, y, z), dans le sens suivant lequel se mesurait le module de rotation de la tangente, elle aboutira au point appele le centre de courbure, et le cercle decrit de ce dernier point, comme centre, avec un rayon egal au rayon de courbure, sera le cercle qui aura un contact du second ordre avec la courbe, et que Ton nomme, pour cette raison, le cercle osculateur {voir les Lemons deja citees). Gela (') OEuvres de Cauchy, sevie Jl, I. V, p. 290.
LES ANGLES FORMES PAR DEUX DROITES.
305
pose, il suffira evidemment d'attribuer aux cosinus a, (3, y les valeurs fournies par les equations (18), pour que la valeur de p, determinee par la formule (i i), represente le rayon du cercle osculateur, et pour que les valeurs de X, \i, v, determinees par les formules (12), representent les cosinus des angles formes, avec les demi-axes des x,y, z, positives, par la droite menee du point (x, y, z) au centre de courbure. Observons, au reste, que les equations ainsi obtenues, savoir : (21)
_=V/(D»?+(
(22)
X=
P D,
a
jj,
F-
entrainent la formule (20), a laquelle on parvient en egalant entre elles les quatre valeurs que ces memes equations fournissent pour le rayon de courbure p. Considerons maintenant, parmi les modules de rotation de la courbe donnee, celui qui est du second ordre. Ce module, determine par la formule (3), et mesure dans une direction qui forme, avec les demiaxes des coordonnees positives, des angles dont les cosinus cp, ^, <\> se determinent par les formules (4), sera ce que j'ai nomme la seconde courbure, et ce que M. de Saint-Venant appelle la cambrure de la courbe proposee. L'inverse de ce meme module, ou le rayon x,, determine par la formule (i3), sera le rayon de seconde courbure, ou le rayon de cambrure, qui se mesurera sur la droite tracee de maniere a former, avec les demi-axes des coordonnees positives, des angles dont les cosinus 9, y^, ty seront determines par les equations (i4)- Supposons d'ailleurs que par le point (x, y, z) de la courbe donnee on mene une droite perpendiculaire au plan osculateur. Cette droite, etant perpendiculaire a la tangente et au rayon de courbure, sera precisement celle qui, prolongee dans un certain sens, forme, avec les demi-axes des x, y, z positives, des angles dont les cosinus a, b, c se determinent par les formules ( 5 ) ; et si, en nommant 9 le module de rotation de cette droite, on represente le rapport inverse de ce module par une longueur r mesuree sur cette meme droite dans le sens que nous venons d'indiquer, la longueur r, le rayon de courbure p et le rayon OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
39
306 LES LIGNES QUI DIVISENT EN PARTIES EGALES, ETC. de cambrure t verifieront la formule (17), en vertu de Iaquelle - et seront les deux cotes d'un triangle rectangle qui aura pour hypotenuse -• Ajoutons que si Ton designe par w une longueur mesuree sur la tangente a la courbe donnee, dans le sens suivant lequel se mesure positivement 1'arc s, et par \w, t) Tangle que forme cette tangente avec le rayon de cambrure, les longueurs p et r seront liees a la longueur x, et a Tangle \(o, x>) par les equations (16). La formule (17) a ete donnee par M. de Saint-Venant (dans le Tome XIX des Comptes rendus des seances de VAcademie des Sciences), et, comme il Ta remarque luimeme, elle se trouve implicitement comprise dans une equation de M. Lancret.
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPRIETES DES
RESULTANTES A DEUX TERMES I. — Formules analytiques:
Considerons deux systemes de variables dont les unes, en nombre egal a n, soient representees par les lettres italiques (1)
X,
J,
Z,
...,
les autres, en pareil nombre, etant representees par les lettres romaines (2)
x,
y,
z,
....
Concevons, d'ailleurs, que Ton range quatre de ces variables sur deux lignes horizontales et en meme temps sur deux lignes verticales, en plagant, dans la premiere ligne horizontale, deux termes de- la suite (1) et, dans la seconde ligne horizontale, les termes correspondants de la suite (2). On obtiendra ainsi un tableau de la forme (3)
et si, apres avoir construit, avec les quatre termes de ce tableau, les deux produits dont chacun a pour facteurs deux variables situees lion seulement dans les deux lignes horizontales, mais encore dans les deux lignes verticales, on retranche le second produit du premier, la difference ainsi trouvee, savoir, xj—yx,
308
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPRIETIES
sera une resultante composee seuleraent Aedeux termes, l'unpositif xy, 1'autre ne°-atif — xy. Or, les resultantes de cette espece jouissent de quelques proprietes qui meritent d'etre remarquees, et dont l'enonce fournit diverses propositions que nous allons etablir. THEOREME
I. — Soient U,
V
deux fonctions homogenes et lineaires des n variables x, y, s,
...;
et nommons U,
V
ce que deviennent les fonctions u, v quand on remplace les n variables x, y, z, . . . par n autres variables x,
y,
z,
....
La resultante formee avec les quatre termes du tableau
(4) cest-a-dire la difference
U,
V,
u,
v,
UV — UP,
sera une fonction homogene et lineaire des resultantes (5)
xy — xy,
xz — xz,
...,
yz — yz,
...,
dont chacune est fournie par un tableau qui renferme quatre termes, savoir, deux termes quelconques de la suite x,
y, z,
pareillement
...,
e'crits au-dessus des termes correspondants de la suite x
, y, z,
Demonstration. — Supposons (6)
u^ATx-h
Fy+ Zz-h...,
v
— Xx + Yy -+• Zz + . . . ,
X, Y, Z, . . ., X, Y, Z, . . . etant deux suites de coefficients constants. Puisque u et v sont ce que deviennent u et v quand aux variables x, y,
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
309
z, . . . on substitue les variables x, y, z, . .. ; les equations (6) entraineront les suivantes : (7)
u
y
Cela pose, on aura identiquement (8)
uv — uv=
(JTx + Ty^-Zz + ...)(Xx + Yy-+-Zz+...) — C^Tx + Yy -+- Zz + .. .) (Xx + Yy + Zz+.. . ) .
Or, en vertu de l'equation (8), la resultante binome u\ — uc sera evidemment composeedeplusieurs parties respectivement proportionnelles aux coefficients X, Y, Z, . . . . D'ailleurs, la partie proportionnelle au coefficient X, etant le produit de ce coefficient par la difference x\ — x p = ( X x + Y y + Zz -\-. . .)x — (Xx -\-Yy — x j ) •+• Z ( a ? z
+ Z«+...)x
- X 2 ) + . . . ,
sera, ainsi que cette difference elle-meme, une fonction homogene et lineaire de plusieurs termes de la suite (5); et Ton pourra en dire autant des diverses parties qui, dans le developpement de la resultante «v — UP, seront respectivement proportionnelles aux coefficients Y, Z. Done cette resultante sera une fonction homogene et lineaire des divers termes de la suite (r>). II. — Les memes choses etant posies que dans le theoreme precedent, ecrivons Vune au-dessus de Vautre, non settlement les deux suites de variables THEOREME
.
.
(9)
(
x
i
i x
It
y
z
• ••
i
i
z
mais encore les deux suites de coefficients X,
Y,
Z,
Y
Y
7
...,
qui representent les constantes par lesquelles les variables x, y, z,
...
se trouvent respectivement multipliees: i° dans la fonction u; i° dans la
310
MEMO1RE SUR QUELQUES P R 0 P R 1 E T E S
fonction v\ etconsiderons, outre les resultantes (5)
x y — xy,
x z — xz,
...,
y z — yz,
...,
dont chacune est formee avec quatre termes compris dans deux lignes verticales du tableau (9), les resultantes semblables (11)
jY-xr,
qui se deduisent
...,
JTZ-KZ,
des premieres quand
rz-Yz...,
on remplace
les termes du
tableau (9) par les termes correspondants du tableau (10). / / suffira de multwlier chaque terme de la serie (5)/>ar le terme coirespondant de la serie ( n ) , puis d'ajouter entre eux les diversproduits ainsi formes,
pour
obtenir une somme equivalente au produit de la resultante UV — UP,
en sorte qu'on aura (12)
uv — uv = l(JTY — XY){xy — xj),
le signe Z indiquant une somme de termes semblables entre eux. Demonstration. — En effet, pour obtenir le coefficient de l'un des termes de la serie (5), par exemple da binome xy — xj,
dans le developpement de l'expression UV — UP,
il suffira de chercher le coefficient du produit xy dans le developpement du second membre de la formule (8). D'ailleurs, ce dernier coefficient sera evidemment celui que Ton obtiendra si Ton suppose reduits a zero tous les termes de la serie (1), a l'exception du premier x, et tous les termes de la serie ( 2 ) , a l'exception du second j ; et, comme, dans cette hypothese, on aurait u = Vj,
v
= Yy,
par consequent uv — uv=(JTY — X Y)xy,
nous devons conclure que, dansle developpement general de l'expres-
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
311
sion uv — uc,
le coefficient du binome xy — xy
sera XX — XY. Corollaire. — Si, dans la formule (12), on substitue, pour u, v? u, v, leurs valeurs tirees des formules (6), (7), on obtiendra I'equation identique (i3)
(JTx+-Ty
+ Zz+...)(Xx-hYy
+ Zz-+-...)
— (JTx + r y + Z z + . . . ) ( X ^ H - Y j + Z^ + . . . )
Cette equation, qui etait deja connue, comprend evidemment les theoremes I et TI. THEOREME III.
— Soient
(14)
U,
9,
(V,
V,
W,
...
et (15)
U,
...
deux suites composees d'un pareil nombre de termes, dont chacun represente une fonction
homogene et lineaire des n. variables x, y, z, . . . .
Soient encore (16)
u,
v,
w,
U,
V,
W,
...
et (17)
...
ce que deviennent les deux premieres series quand on remplace les variables x, y, z. . . . paries variables x, y, z, . . .. Concevons, d'ailleurs, que Von ajoute entre eux les termes de la serie (i4) ou ( J 6), respectivement multiplies par les termes correspondants de la serie (i5) ou (17), et construisons ainsi les quatre sommes ^l8^
1 Q— C/u+
La resultante
PP-QQ,
312
MEM01RE SUR QUELQUES PROPRIETES
formee avec ces quatre sommes, dependra uniquement des binomes qui representent les divers termes de la serie (5), et sera une fonction de ces binomes, non seulement entiere, mais encore homogene et du second degre. Demonstration. — Concevons qu'avec les termes des suites (1/4) et (16), pris quatre a quatre, on forme les resultantes (19)
wv — u p ,
uw — uw,
...,
f w—vw,
. ..,.
et, avec les termes correspondants des suites (i5) et[(17), les resultantes (20)
UY — UV,
UW-VW,
...,
F W — YW,
....
Eu egard au theoreme II, il suffira de multiplier chaque terme de la serie (19) par le terme correspondant de la serie (20) pour obtenir la resultante On aura done (21)
le signe 2 indiquant une somme de termes semblables entre eux. D'ailleurs, en vertu du theoreme I, chacun des binomes (19) ou (20) sera une fonction homogene et lineaire des termes de la serie (5). Done tout produit de la forme
sera une fonction de ces memes termes, entiere, homogene et du second degre, aussi bien que la resultante binome PV-QQ, represents par une somme de semblables produits. Corollaire I. — II est bon d'observer qu'en vertu des formules (18), P sera une fonction des variables x,y, z, . . ., non seulement entiere, mais encore homogene et du second degre. De plus, P sera evidemment ce que devient P, et Q ce que devient Q, quand on remplace les variables x,y,z, ... par les variables x, y, z,
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
313
Corollaire II. — Si Ton reduit les fonctions
u, v, w, ... aux variables les fonctions U, V, W, ... se reduiront elles-memes aux variables x,
y , z , ...,
et la valeur de P, determines par la premiere des formules (18), deviendra P = ux + vy + wz + . . ..
Si d'ailleurs les fonctions lineaires, par lesquelles les variables x,y, z, . . . se trouvent respectivement multipliees dans cette valeur de P, sont representees, non plus par diverses lettres
mais a l'aide de la seule lettre P successivement aff'ectee des indices x, •y, z, . . ., c'est-a-dire a l'aide des notations p
p
p
et si, pareillement, pour exprimer ce que deviennent ces memes fonctions lineaires quand on remplace les variables x, y, z, . . . par les variables x, y, z, . . ., on se sert, non plus des lettres U,
V,
W,
. . . ,
mais des notations p
p
p
alors, a la place du theoreme III, on obtiendrala proposition suivante : THEOREME (22)
IV. — Soient Px,
Py,
P.,
...
n fonctions homogenes et lineaires de n variables x, 7, z,
...,
et nommons (23)
Px, GEuvres de C. — S. II, t. XIII.
40
314
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPRIETIES
ce que deviennent les fonctions Px, Pr, Pz, . . . quand on remplace les n variables oc,y, z, . . . par n autres variables J,
X,
Z,
Concevons, d'ailleurs, que Von ajoute entre eux les termes de la suite ou de la suite P
P
P
respectivement multiplies par les variables X,
J,
S,
...,
x,
y , z,
...;
oupar les variables et nommons P,
les quatre sommes ainsi obtenues, P etant celle qui renferme les seules variables x, y, z, . . ., et P celle qui renferme les seules variables x, y, z, . . ., en sorte qu'on ait
La resultante formee avec ces quatre sommes, dependra uniquement des binomes qui representent les divers termes de la serie (5), et sera une fonction de ces binomes, non seulement entiere, mais encore homogene et du second degre. Corollaire I. — II est bon d'observer qu'en passant du theoreme III au theoreme IV on obtiendra, au lieu de l'equation (21), la formule ( 25 )
PV - QQ = 2(PxPJ-'P*Pr)
(xj - xy).
Supposons maintenant que, s, t etant deux termes quelconques de la suite « >
)
'
:
- ,
•
•
•
,
et s, t les deux termes correspondants de la suite x
>
y ,
z
,
••-,
UES RESULTANTES A DEUX TERMES.
315
on designe par Pst le coefficient de* dans la fonction lineaire Ps. Alors Pst sera une constante qui represented encore le coefficient de t dans la fonction lineaire P s ,et laformule (25) pourras'ecrirecommeilsuit: (26)
PP-QQ = 2{P,Pi-PtPt){st-at),
le signe 2 indiquant une somme de termes semblables entre eux. Comme on aura d'ailleurs
il suffira de substiluer aux formules (6) et (7) les formules (27), pour oblenir, a la place de l'equation (12), l'equation semblable (28)
P , P , - P.-Pt=2(P,,xPt,r-
Pt,*P.,y)
(xy-xy).
Cela pose, on tirera de la formule (26), jointe a l'equation (27), • (29)
PP - QQ = 22{Pt,xPt.y-Pt,xP,,r) (st-st)
(xy-xy),
les deux signes 22 indiquant une double somme de termes semblables que Ton obtiendra en remplac.ant successivement chacun des binomes st — st,
xy — x j
par les divers termes de la serie (5). Ajoutons qu'en vertu de la premiere des equations (27), on aura
(3o)
X -\-yPx.y + Z Px,z + • • • , Py = xPy>X + yPy.y + Z P'y,£ + . . . , Ps = xPz,x + yPs.y + xPtiS-h...,
et qu'en consequence la premiere des formules (24) donnera - PY.X) +
tandis que la seconde donnera (3a) Q =
316
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPR1ETES
Au contraire, la quatrieme et la troisieme des formules (24) donneront (33)
P = x'~Px<x + y 2 P y ,y4- z 2 Pz,z+--X:T -+-
Pr,x) +
(34) Q=x Corollaire II. — Si le coefficient constant de * dans />, devient generalement egal au coefficient constant de s dans P«, en sorte qu'on ait (35)
Pt,s=Ps,t,
alors les formules (3i), (32) donneront P = ^ Px,x + j 2 /> r , r + z*Pz,z +..
(36) et
(3 7 )
(? = + (xy
D'ailleurs, les valeurs des coefficients p
p
p
p
p
p
pouvant etre choisies arbitrairement, la fonction P determinee par la formule (36) pourra etre, parmi les fonctions entieres de x, y, z, ..., l'une quelconque de celles qui seront homogenes et du second degre. Quant a la fonction P, elle sera toujours ce que devient P quand on remplace les variables x, y, z, . . . par les variables x, y, 2, . . . , en sorte qu'on aura (38)
P = x2P.r>.E + f-Pr>y
+ 7?P:z + . ..
Ajoutons que, si Ton designe par s, t deux quelconques des termes de la suite * >
y
,
- ,
• • • ,
et par s, t les deux termes correspondants de la suite x
>
y ,
z
,
•••,
il suffira, pour obtenir la valeur de Q determinee par l'equation (37),
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
317
de remplacer geheralement, dans la valeur de P, le carre s2 d'une variable par le produit ss, et le produit st de deux variables par la demi-somine
— • Enfin, comme la valeur de Q ainsi formee ne sera
point alteree quand on echangera entre eux les deux systemes de variables X,
J , Z, . . . ,
x,
y , z, ...,
il en resulte qu'on aura, dans l'hypothese admise, (39)
Q = Q,
et que, par suite, la resultante sera reduite a la forme PP — Q\ Cela pose, l'equation (29) deviendra •(4o)
PV - Q%=22(P.,xPt,r-Pt,xP.,r)
(*t - sO {xj - xy),
et le theoreme IV entrainera evideniment la proposition suivante : THEOREME V.
— Soit P une fonction des n variables x,
y,
s,
...
entiere, homogene et du second degre. Nommons P ce que devient P quand on remplace les n variables &, y, z, . . . par n autres variables x, y, z, . . . . Enfin, nommons Q ce que devient P quand on y remplace les carres a, , y , -. , . . .
des variables cc, y, z, . . . par lespi'oduits xx,
vy, zz,
...
et lesproduils xy,
xz, ..., yz, ...
des variables x, y, z, . . ., combinees deux a deux, par les demi-sommes xj-{-xy
xz-+-xz )
2
v
: j
2
yz-hyz • • • • f
j
2
. . . .
318
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPRIETES
La difference dependra uniquement des binomes xy — xy,
3Jz — xz,
•...,
yz—yz,
...,
et sera une fonction de ces binomes•, non seulement entiere, mais encore homogene et du second degre. Ajoutons que si s, t etant deux quelconques des variables x, y, z, ..., on designe par PSiS le coefficient du carre s2, et par Q,Psi le coefficient duproduit st dans la fonction P, on aura non seulement (36)
P = x* Px.x -+- y"- Pr,r + & Pz,z + • • •
mais encore (4o) PP - Ql=22{P,,xPt,y—PttXP.,r)
(st - at) (xy - xy),
les deux signes 22 designant une double somme de termes semblables, que I'on obtiendra en remplagant successivement, dans le second membre de la formule (4o)> chacun des binomes st —.st, xy — xy par les divers termes de la suite (5). Corollaire I. — n etant le nombre des variables x, y, z, ..., nombre des termes de la suite (5) sera n(n~1\ cessivement chacun des binomes st — st,
e^ en
le
rempla?ant suc-
xy — xy
par ces divers termes dans le produit (40
(Ps,a:Pt,y—Pl,XPs,r) (s t - S t) (xy
-
Xj),
on obtiendra, en tout,
produits dont la somme constituera le second membre- de 1'equation (4o), ou la valeur de la difference PV — Q\ D'ailleurs, Iorsque
DBS RESULTANTES A DEUX TERMES.
319
les deux binomes -51 — st,
xy — xy
deviennent egaux, c'est-a-dire lorsqu'on suppose s = x,
t=y,
et, en consequence, s = x,
t = y,
le produit (4i) se reduit au suivant: (42)
(Px,*Pr,r-
Ply) {ooy -
xy)\
Enfin, lorsque lesdeux binomes si— s
xy—xy
restent distincts, le produit (4i) est evidemment egal a un autre produit de la meme forme, savoir, a celui qu'on obtient quand on echange les deux binomes entre eux. Done les produits qui representeront les divers termes de la double somme comprise dans le second membre de l'equation (4o) seront de deux especes, et, parmi ces produits, les uns, en nombre evidemment egal a n (n — i) 2
seront de la forme (42)> tandis que les autres, etant de la forme (4i) sans etre de la forme (J\is), seront deux a deux egaux entre eux. Ajoutons que le nombre de ces derniers sera evidemment exprime par la difference (43)
[
2 J
a '
de sorte qu'en representant ce nombre par iN, on aura (44)
i\'= {-n~~ 2 ) ( r t ~ I ) r a ( / l + I )
Corollaire II. — Pour montrer une application du theoreme V, supposons que les variables x, y soient reduites a deux, et qu'en consequence la fonction P soit de la forme (45)
P = aaii+ by'- + a exj •,
320
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPRIETIES
a, b, c etant des coefficients constants. Alors on aura n(n —
et, comme la suite (5) ne renfermera plus qu'un seul terme, l'equation (4o) se trouvera reduite a (46)
PP - Q*=(Px>xPy
P},y) (xy -
xyf.
Comme on aura d'ailleurs, dans cette hypothese,
l'equation (46) donnera
En substituant, dans la formule (47 )> aux fonctions P, P, Q leurs valeurs deduites de la formule (45) a l'aide des regies indiquees dans l'enonce du theoreme V, on obtiendra l'equation identique (48)
(ax%-\- bj'--\- 2cay) ( a x ! + by--\- 2cxy) — [axx •+- byy -+- c(xy + xy) \= (ab - c») (xy - xyy,
qui a ete donnee par Lagrange dans les Memoires de Berlin de 1773. Corollaire III. — Supposons maintenant que les variables x, y, z, . . . soient au nombre de 3, et qu'en consequence la fonction P soit de la forme (49)
Pr=ax"'^r by^+cz^-h 2 dyz -+- iez-x +
ifxy,
a, b, c, d, e, /designant des coefficients constants. Alorson aura
et si 1'on pose, pour abreger, (50)
X=yz~yz,
y = zx — zx,
%'=xy~xy,
les termes de la serie (5) sereduiront, abstraction faite des signes, aux trois binomes designes ici par les trois lettres 3£, % g . Cela pose, la formule (4o) donnera (51)
PP -
DES RESULTANTES A DEUX TERMES-
321
A, B, C, D, E, Fetant des constantes determinees par les equations A = Py.yPz,z ~ ?ls,
D = P;,xPx,y- Px,xPy,z,
C = P-r rP« — P'
F— P
P
Comme on aura d'ailleurs P
— ri
p
— „
p
—f
les equations (52) donneront A = bc—d1, D = ef— ad,
(53)
B=zca — e'\ E = fd — be,
C=ab—f\ F=de - cf.
Enfin, si, dans la formule (5i), on substitue aux fonctions P, P, Q leurs valeurs deduites de la formule (49) a I'aide des regies indiquees dans 1'enonce du premier theoreme, on obtiendra J'equation identique (54) (a«2-l- 6j--9+ cz--+- 2 dyz -+- lezx -+- ifxy) X (a s.2 H- b y2 + c z'2 + i dyz + 2 e zx + 2 fxy) — [CUDS. -+- byj
-+- czi
+ d(yz
-+- jz)
+ e(s\
-f- zx)
+ f(xy
+
xr)]!
que Ton pourrait deduire de l'une des formules donnees par M. Binet dans le XVIe cahier du Journal de VEcole Polytechnique. Corollaire IV. — II est bon d'observer que les coefficients constants p
p
±x,xi
1
p y.y-i
*z,z)
p • • •i
M
p x,yi
r
x,zi
P • • •;
* y,zi
• • •i
renfermes dans les seconds membres des formules (36) et (4o)> S0| it precisement lesmoities des derivees du second ordre de la fonction P. En effet, de Fequation (36), dififerentiee deux fois de suite par rapport a une meme variable, ou par rapport a deux variables distinctes, on deduit immediatement les formules /> (55)
• '•
=-m
P, pry=-Bi
2
QEuvres de C. — S. II, t. XIII.
2
J
p, pz-=-m
p,
...,
2
4t
322
MEMOIRE SUR QUELQUES P R O P R I E T E S
toutes comprises dans la formule generate (56)
Ps
qui subsiste dans le cas meme ou Ton suppose t ~ s. Ajoutons encore qu'en vertu des equations (55), la formule (36) donnera (5 7 )
2P = x2D%P -+- ,?•*&* P + =-D_; P + ...
Au reste, Tequation (57) peut se deduire immediate-ment du theoreme des fonctions homogenes. Effectivement, en vertu de ce theoreme, la fonction P, etant homogene et du second degre par rapport aux variables x, y,z, . . ., verifiera la formule
tandis que les fonctions D....P, D, P, J):P, . . ., etant homogenes et du premier degre, verifieront les formules 1 5
( 9>
®vP~~
et il est clair qu'en substituant dans l'equation (58) les valeurs de D.ci>,
DV7^, D ; / > , ...,
fournies par les equations (5g), on retrouvera la formule (57). Observons enfin que les equations (3o), jointes aux formules (55), donneront
Py = ± (xD,,.By P + P. = - (xT>xDzP
y
D»
-+-yDyD;P
P + zD3DvP + zDi
Done, eu egard aux formules (59), on aura
+...), P + ...),
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
3:23
Ainsi, dans l'hypothese qui nous a conduits au theoreme V, les fonctions precedemment representees par les notations p
p
p
se reduisent aux moities des fonctions derivees
11. — Interpretations geometriques de plusieurs formules etablies dans le premier paragraphe.
Plusieurs des formules etablies dans le paragraphe I admettent des interpretations geometriques qui meritent d'etre remarquees et que nous allons indiquer. Supposons d'abord que la suite x,
y,
.;,
...
renferme seulement deux variables x, y, et eoncevons que ces deux variables representent les coordonnees d'un point mobile. La distance r de ce point a l'origine sera determinee par la formule
Supposons d'ailleurs que a, b,c,k etant'des quantites constantes, le point mobile (x, y) soit assujetti a rester sur une courbe du second degre representee par l'equation (1)
ax"--+- by'1 -+- %cxy = A'.
Gette courbe sera une ellipse ou une hyperbole, qui aura pom- centre l'origine des coordonnees; elle sera une ellipse si Ton a ab — c - > o,
k > o.
Elle sera une hyperbole si Ton a ab — c"-
et, dans cette derniere hypothese, il 'suffira de changer le signe du second membre de la formule (i) pour obtenir l'equation (2)
ax--+- by"- + 2cxr = — A'
324
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPRIETIES
d'une seconde hyperbole conjuguee a la premiere, deux hyperbolex conjuguees etant celles qui, avec le meme centre et les memes asymptotes, offrent des axes reels respectivement egaux et paralleles aux deux cotes d'un rectangle dontles diagonales sont dirigees suivant ces asymptotes. Concevons a present que par le point (x, y) on mene une tangente a la courbe representee par l'equation ( i ) ou ( a ) , et nommons I, -n les coordonnees courantes de cette tangente. On aura (3)
(ax^-Lj){l-x)
+ (cx + by)(r\ —y) = o,
et par suite, eu egard a l'equation (i), (4)
ax^ + byn + c(xn + ly) = k,
ou, eu egard a l'equation (2), (5)
ax\ -f- byn -+- c(x-t) 4- \y) = — k.
Ajoutons que, pour obtenir l'equation de la parallele menee a cette tangente par l'origine des coordonnees, il suffira de remplacer k par zero dans la formule (4) 011 (5 ). L'equation de cette parallele sera done de la forme (6)
ax^ + byn + c(jc-n +'£,y)— o.
Soient maintenant x
, y
les coordonnees d'un nouveau point situe sur 1'ellipse representee par l'equation (1) ou sur l'une des hyperboles conjuguees representees par les equations (1) et (2). On aura encore (7)
ax 2 4- 6y 2 + 2cxy = k,
OU
(8)
= — k.
Soit d'ailleurs x le rayon mene de l'origine au point (x, y), en sorte qu'on ait (9) j^-f. x=
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
325
Si ce rayon est parallele a la tangente menee par le point (&, y) a la courbe (i), on verifiera l'equation (6) en posant On aura done alors (10)
axx-h byj + c(xy + xy) = o.
Si, au contraire, le rayon s n'est pas parallele a la tangente dont il s'agit, il suffira de le prolonger indefiniment dans les deux sens pour qu'il rencontre cette tangente en un certain point dont les coordonnees £, r\ verifieront l'equation (4), et dpnt la distance a l'origine sera une longueur c, determinee par la formule (ii)
s = v/?
Mais alors, en posant, pour abreger,
e = ss
(12)
on aura necessairement (I3)
—h
.V
's
y
X
le double signe ± devant etre reduit au signe -+- ou au signe —, suivant que les deux longueurs s, c, se compteront, a partir de l'origine, dans le meme sens ou dans des sens opposes. Or, de l'equation (i3), reduite a la forme x
j
— 8'
et combinee avec l'equation (Zj), on tire (i4)
axx -+- brj + c(xj + xy) =±9k,
par consequent,
On peut done enoncer la proposition suivante : I. — Soient 7*, s deux rayons mene's de Vorigine des coordonnees supposees rectangulaires, le premier a la courbe representee par THEOREME
326
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPR1ETES
Vequation (i), le second a Vune des courbes representees par les equations (i) et (2). Soit, de plus, q la longueur mesuree, a partir de Vorigine, sur le rayon s indefiniment prolonge dans les deux sens, jusqud la tangente menee a la courbe (1) par Vextremite du rayon r. Enfin nornmons x, y les coordonnees de Vextremite du rayon r, et x, y les coor-* donnres de Vextremite du rayon s. Les deux longueurs s et c, seront dirige'es, a partir de Vorigine, dans le mime sens ou dans deux sens opposes, suivant que la quantite axx + byy + c(xj + xy) I sera positive ou negative, et la valeur numerique de cette quantite sera precisement la valeur du rapport
Corollaire I. — Lorsque la tangente menee par le point (x, y) a la courbe (1) est parallele au rayon s, la longueur represented par q devient infinie. On a done alors 0 = o, et, par suite, 1'equation (i5) se reduit, comme on devait s'y atlendre, a la formule (10). Corollaire II. — Concevons a present que, par l'extremite du rayon s, e'est-a-dire par le point (x, y), on mene une tangente a la courbe (1) ou (2), sur laquelle est situe ce meme point; et nommons p la longueur mesuree, a partir de l'origine, sur le rayon r indefiniment prolonge, dans les deux sens, jusqu'a la tangente dont il s'agit. Alors, en posant (•16)
~d=~,
P on prouvera, comme ci-dessus, que 0 se reduit a la valeur numerique de la quantite axx + byy -i- e(xy -+- xy) I: ' '"~" Done les valeurs de 6 fournies par les equations (12) et (16) seront egalesentre elles, et 1'on aura ('7)
i = H,
DES RESULTAiNTES A DEUX TERMES.
327
en sorte que les deux longueurs p, <; seront respeclivement proporlionnelles aux deux longueurs r, s. Cette derniere proposition peut etre consideree comme ofPrant une interpretation geometrique de la formu-le (3g) du paragraphe I, et, comme cette formule, elle exprime la propriete qu'a la fonction byy + r(xy
-+- xy)
de n'etre pas alteree quand on echange entre eux les deux systemes de variables x
' y-
Corollaire III. — Supposons maintenant que le rayon s aboutisse, comme le rayon r, a la courbe represented par l'equation (i). Alors, non seulement les longueurs p et c, seront respectivement proportionnelles aux longueurs r et s, mais, de plus, ces quatre longueurs etant comptees a partir de l'origine, p se mesurera dans le sens de r, et <; dans le sens de s, si la quantite axx + byy -+• c (xy -+- xy)
est positive. Au contraire, si cette quantite devient negative, la direction de p sera opposee a celle de r, et la direction de q opposee k celle de s. Done, par suite, les longueurs r, s, d'une part, et les longueurs p, c,, d'autre part, representeront des cotes homologues de deux triangles semblables dont les bases seront paralleles. On peut done enoncer encore la proposition suivante : THEOREME
II. — Soient r,
s
deux rayons menes du centre d'une ellipse ou d'une hyperbole a deux points de cette courbe. Soient encore
deux longueurs mesurees depuis le centre de la courbe : i° sur le rayon r indefiniment prolonge jusqua la tangente menee par I'extremite du
328
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPRIETES
rayon s; 2° sur le rayon s indefiniment prolonge jusqu'd la tangente menee par Vextremite du rayon r. Les deux longueurs p, Q seront respectivement proportionnelles aux deux longueurs r, s, et la droite qui joindra les extremites des deux longueurs p, Q sera parallele a la droite quijoindra les extremites des deux longueurs r, s. Corollaire I. — Le theoreme precedent est l'un de ceux auxquels on setrouve conduit par les proprietes connues des diametres conjiigues de l'ellipse et de 1'hyperbole. D'ailleurs, ce theoreme devient evident quand la courbe proposee se reduit a un cercle; et, du cas ou la courbe est un cercle, on passe facilement au cas ou la courbe est une ellipse, en observant que toute ellipse peut etre considered comme la projection orthogonale d'un cercle dont un diametre est egal et parallele au grand axe de l'ellipse, et dont le plan forme, avec le plan de l'ellipse, un angle qui a pour cosinus le rapport du petit axe au grand axe. Corollaire II. — Le theoreme IT fournit un moyen tres simple de mener, par un point donne P d'une ellipse ou d'une hyperbole, une tangente a cette courbe. En effet, soit 7- le rayon mene du centre de la courbe au point donne, et faisons coincider le rayon s avec l'un des demi-axes de l'ellipse, ou avec un demi-axe reel de l'hyperbole. L'extremite S du rayon s sera un sommet de la courbe, et la tangente menee a, la courbe par ce sommet sera perpendiculaire au rayon s. Nommez R le point ou cette tangente rencontrera le rayon r indefiniment prolonge; par ce point R, menez une parallele RT a la droite PS, qui joint le point donne P au sommet S; et soitT le point ou le rayon s, indefiniment prolonge, rencontrera la droite RT. La tangente menee a la courbe par le point donne P devra passer par le point T, ce qui permettra de la construire immediatement. Corollaire 111. — Si le centre de la courbe proposee s'eloigne a une distance infinie de 1'origine des coordonnees, cette courbe se transformera en une parabole, et les droites sur lesquelles se mesuraient les rayons /-, s, en deux droites parallels a 1'axe de la parabole. Done,
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
329
pour mener une tangente a une parabole en un point donne P, il suffit de mener, par le sommet S de la parabole el par le point P, deux droites, Tune perpendiculaire, Tautre parallele a I'axe de la parabole, de mener par le point R, ou ces deux droites se coupent, une parallele RT a la droite PS, puis de joindre le point T, ou la droite RT rencontre I'axe de la parabole, avec le point P. En operant ainsi, on obtient pour ST une longueur egale a la projection de la distance PS sur I'axe de la parabole, ce qui devait etre, attendu que, dans le cas ou, en supposantles coordonnees rectangulaires, on prend le sommet S pour origine, et I'axe de la parabole pour axe des abscisses, l'abscisse du point P est tout a la fois la projection de PS sur l'aire de la parabole et la moitie de la sous-tangente correspondante au point P. Concevons maintenant que Ton combine 1'equation (i4)> jointe a la formule (7) ou (8), avec 1'equation identique (18)
{.ax'- -+- byv-+ icxy) (ax a + 6y 2 + 2cxy) — [axx -\- byy + c(xy -{- x j ) ] 2 = {ab — c-) (xv — -\r)%
deja obtenue dans le paragraphs I. On trouvera ainsi ± k- — Q'1 A-2 = (ab — c 2 ) ( x y — xy ) 2 ,
et en posant, pour abreger, ab — c-
on aura simplement
le signe ± devant etre reduit au signe + ou au sigrie —, suivant que le point (x^ y) sera situe sur la courbe representee par Tequation (1), ou sur la courbe representee par 1'equation (2), c'est-a-dire, en d'autres termes, suivant que les deux rayons r, s aboutiront a une meme courbe ou a deux courbes distinctes. D'autre part, si Ton nomme 0 Tangle \r,s) compris entre les directions des deux rayons /• et s, on aura, en vertu d'une formule connue, (2I)
xy — xy—±r.ssin3. OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
42
330
MEMOIRE SUR QUELQUES P R O P R I E T E S
Done la fbrmule (20) donnera (23)
± 1 - ^
=
7-2.?2 sin2ci -g—-
II reste a savoir ce qu'exprime, dans la formule(a2), la constanteiT, dont la valeur est fournie par l'equation (19). Or, on peut facilement resoudre cette question, a l'aide de l'equation (22) elle-meme, en presentant cette equation sous la forme /•-.s2 s i n 3 d
ou, ce qui revient au meme, puisque Ton a
e = s-, s sous la forme ±
I
et en attribuant aux rayons ;•, ,f des valeurs determinees. En effet, supposons d'abord que la courbe representee par l'equation (1) soit une ellipse, et notnmons a, b les deux demi-axes de cette ellipse. Alors, en posant r = a,
.s = b,
on aura smo=:i,
5 =
et, par suite, l'equation (23), dans laquelle on devra reduire le double signe ± au signe + , donnera
Supposons, en second lieu, que l'equation (1) represente une hyperbole, et nommons a le demi-axe reel de cette hyperbole, b etant le demi-axe reel de 1'hyperbole conjuguee. Alors il suffira de poser
pour que la direction du rayon s se reduise a la direction de l'une des
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
331
asymptotes de l'hyperbole (i), et pour que <; represente la longueur mesuree sur cette asymptote entre le centre de l'hyperbole et la tangente menee a cette courbe par l'un des sommets. Mais la portion de la tangente comprise entre ce sommet et l'asymptote sera precisemenf le demi-axe reel b de l'hyperbole conjugueea celleque Ton considere, et cette portion aura pour mesure le produit 5 sin^r, s / = s smo.
Done, en posant on aura necessairement S sin5 = b,
et, par suite, on reduira 1'equation (24) a la formule (26)
K = -a*b».
Les equations .('25) et (26) peuvent aussi etre demontrees directement avec la plus grande facilite. En effet, lorsque la courbe representee par 1'equation (1) est une ellipse, ses demi-axes a et b sont les valeurs maximum et minimum du rayon r determine a l'aide de cette equation, jointe a la formule (27)
/•>=*» +
.}'*,
et, par suite, ils se confondent avec les deux valeurs de 7-fournies par le systeme des deux equations (28)
— u) — c 2 = o ,
(a — u)(b
ll=
09)
A
~?-'
Done alors 1'equation (28), que Ton peut reduire a la forme (3o)
» 2 — {a + b)u -hab
— c5=o,
etant resolue par rapport a u, offrira pour racines les deux rapports k
!i
et le produit de ces rapports sera equivalent a la constante ab — c2, en
332
MEM01RE SUR QTJELQUES PROPRIETES
sorte qu'on aura 7,-2
A
7fl
—i-- = ab — c-,
et, par suite, ab — c2
ou, ce qui revient au merae, K —a2b-.
Si, au contraire, la courbe representee par l'equation (i) est une hyperbole, le demi-axe reel a ou b de cette hyperbole ou de l'hyper bole conjuguee sera la vzleur maximum de 7-deduite de la formule(27), jointe a l'equation (i) ou (2). Done alors a ou b sera la valeur reelle et positive de r, qui se deduirade l'equation (28),jointe alaformule (29) ou a la suivante : Done, par suite, k —
k ——
et
seront les deux racines de l'equation (27), et Ton aura 7.2
TTT,
=ab
— c".
et kab — c-
ou, ce qui revient au meme, K=-a»bs.
En resume, si la courbe representee par l'equation (1) est une ellipse, la valeur de K sera determinee par la formule (25), et, en consequence, l'equation (22), dans laquelle on devra reduire le double signe ± au signe 4-, donnera (32)
1—02—0^
la valeur de © etant (
33
)
®—
r
ab
DES RE-SULTANTES A DEUX TERMES.
333
Au contraire, si la courbe represented par 1'equation (i) est une hyperbole, la valeur de K sera determinee par la formule (26); et, en consequence, 1'equation (22) donnera e2q=i = 0'-,
(34)
la valeur de © etant toujours determinee par la formule (1), et le double signe qp: devant etre reduit au signe — ou au signe + , suivant que l'extremite du rayon s sera situee sur 1'hyperbole (1) ou sur l'hyperbole (2). II importe d'observer que le produit rs sin d = rs sin\r, s
represente l'aire du parallelogramme construit sur les rayons r, s, tandis que le produit ab
represente l'aire du rectangle construit sur les demi-axes a, b. Cela pose, la quantite designee par &, dans 1'equation (33), representera evidemment le rapport de ces deux aires, et les formules (32-), (34') entraineront les propositions suivantes : THEOREME III.
— Soient:
a, b les deux demi-axes d^une ellipse; ?•, s deux rayons menes du centre de I'ellipse a deux points de cette courbe; 0 = \r, s) Vangle compris entre ces rayons; c, une longueur mesuree sur le rayon s entre le centre de I'ellipse et la tangente menee a cette courbe par Vextremite du rayon r; enfinposons .
s 5
n
rs sin 8 ab
en sorte que % represente le quotient qiCon obtient quand on divise Vaire du parallelogramme construit sur les rayons r et s par l'aire du rectangle construit sur les demi-axes a et b. Les deux rapports 0, 0 verifieroht la
33k
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPRIETIES
formule r-+®2=i,
(35) TuEORfeME IV. — Soient:
a le demi-axe HeldCune certaine
hyperbole;
b le demi-axe reel dhine seconde hyperbole conjugu.ee a la premiere; r un rayon mene du centre commun des deux hyperboles a un point dela premiere; s un rayon mene du meme centre a un nouveau point de la premiere hyperbole, ou a un point quelconque de la seconde; o = yr, s) Vangle compris entre les rayons /", s; Q une longueur mesuree sur le rayon s entre le centre commun des deux hyperboles et la iangente menee a la premiere par Vextremite du rayon r; en/in posons S
ab
en sorte que & represente le quotient quon obtient quand on divise Vaire du parallelogramme construit sur les rayons r et spar Vaire du rectangle construit sur les demi-axes a et b. Les deux rapports 6, ® verifieront la formule (36)
0a—0= = ± i ,
le signe ± devant etre reduit au signe + ou au signe —, suivant que le rayon vecteur s aura pour extre'mite un point situe'sur la premiere ou sur la seconde hyperbole.
Lorsque le rayon s devient parallele a la tangente menee par l'extremite du rayon r, on a evidemment ?=
oo,
0=
0,
et 1'on tire de la formule (35) ou de la formule (36), dans laquelle le signe ± se trouve reduit au signe —,
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
335
par consequent, (37)
rssin3 = ab.
Mais alors les rayons r, s, qui ofl'rent pour extremites deux points d'une meme ellipse ou de deux hyperboles conjuguees, sont deux rayons conjugues, c'est-a-dire les moities de deux diametres conjugate de l'ellipse ou des deux hyperboles; et l'equation (37), presentee sous la forme L\is sin<5 = 4 a b ,
exprime line proposition bien connue, savoir, que Vaire du parallelogramme construit sur les diametres conjugues 27*, 2s, est equivalente a Vaire du rectangle construit sur les axes 2a, 2b. On pourrait encore deduire des theoremes III etIV diverses propositions relatives a l'ellipse ou a l'hyperbole, dont quelques-unes serablent dignes d'attention. Nous citerons comme exemples les deux suivantes : THEOREME V.
— Soient, dans une ellipse, a, b les deux demi-axes; s, t deux rayons conjugues; r un rayon quelconque; 0, £ les angles \r, s), \r, t), que forme le rayon r avec les deux rayons s ett. On aura (38)
r-(,i- sin-o + 1'- sin 2 ^) — a - ] j 5 .
Demonstration. — Soient p, ?' les longueurs mesurees, sur la direction du rayon ;•, a partir du centre de l'ellipse jusqu'aux deux tangentes menees a cette courbe par les extremites des rayons s et t. On aura, en vertu du theoreme III, /•26-2 s i n - o r '
1
r%t* sin 3 £
r'1
336
MEMOIRE SUR QUELQUES PROPRIETES
Mais, d'apres une proposition etablie dans les Exercices de Mathematiques (IIP volume, page 5o ( ' ) , on aura aussi (4o). par consequent,
7
+
^
z =
^'
p'2~
p'J
Done les formules (39), combinees l'une avec l'autre par voie d'addition, produiront la suivante r'1 (s 2 sin 2 8 -+- C- sin 2 1
qui coincide avec l'equation (38). THEOREME VI.
a b s, r
— Soient :
le demi-axe reel d'une premiere hyperbole; le demi-axe reel d"1 une seconde hyperbole conjuguee a la premiere; t deux rayons conjugues de la premiere et de la seconde hyperbole; un rayon quelconque de la premiere hyperbole;
8, E les angles \r, s), \r, t) que forme le rayon r avec les deux rayons s ett. On aura (4 1 )
r
" (L" sin 2 e — s" sin2<5) = a 2 b 2 .
Demonstration. — Soient f\ p'
les longueurs mesurees, sur la direction du rayon r, a partir du centre commun des deux hyperboles jusqu'aux deux tangentes menees a ces courbes par les extremites des rayons s et t. On aura, en vertu du theoreme IV, a" 2 b 2
~~ p 2
lj
a2b2
~'pi~h1'
Mais, d'apres une proposition etablie dans les Exercices de Mathema(!) CEuvres de Cauchy, serie II, t VIII, p. C5.
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
337
tiques (IIP volume, page 52) ( 1 ), on aura aussi
par consequent,
Done les formules (42), combinees l'une avec l'autre par voie de soustraction, produiront la suivante
qui coincide avec l'equation (/|i). Si, dans l'equation (38), on fait coincider le rayon 7-avecle demiaxe a, alors, en nommant JJ., v les angles formes avec ce demi-axe par les rayons conjugues s, t, on trouvera s2 sin2/j. -+- r- sins-v = b 2 .
(44)
Si, au contraire, on fait coincider le rayon vecteur r avec le demi-axe b, perpendiculaire au demi-axe a, les valeurs numeriques de sin 3, sins
se reduiront evidemment aux valeurs numeriques de COSjJl,
COSV.
Par consequent, on trouvera ^ c o s 2 ^ - ] - «2cos2v = a2,
(45)
puis on tirera des formules (44), (45), combinees l'une avec l'autre par voie d'addition, s 2 +£ 2 =a 2 +b ! .
(46)
Si, dans l'equation (4i), on fait coincider le rayon?-avec le demi-axe reel a, alors, en nommant [jt,, v les angles formes avec ce demi-axe par les rayons conjugues s, t, on trouvera £2sin2v — s 2 sin 2 fjt=rb 2 . (Euvres de Cauchy,
serie II, t. VIII. p. 67.
OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
43
338
MEMOIRE SCR QUELQUES PROPRIETIES
Si maintenant on remplace l'hyperbole a laquelle appartiennent le rayon s et le demi-axe.reel a, par l'hyperbole conjuguee a laquelle appartiennent le rayon t et le demi-axe reel b perpendiculaire au demi-axe a, alors, a la place de la formule (47), on obliendra la suivante : (48)
s- cos 2 p. — t- cos 2 v = a 2 ;
puis on tirera des formules (47), (48), combin6es entre elles par voie de soustraction, Les formules (44), (45), (46), (47), (48), (49) expriment des proprietes connues des rayons conjugues d'une ellipse ou de deux hyperboles. II est bon d'observer encore que, si Ton nomme 1 Tangle \s, t) compris entre les deux rayons conjugues s, t, ces rayons seront lies a Tangle 1 dans les theoremes V et VI, par Tequation (50)
st sin t = ah,
analogue a la formule (37). Dans les formules (38), (4J)> (5°), ' e s lettres
representent des angles dont chacun est cense positif et inferieur a deux droits. On pourrait, d'ailleurs, introduire dans les deux premieres, a la place des angles 0, z, Tangle 1 et un anglepolairep mesure a partir du rayon s, jusqu'au rayon t, en considerant Tangle p comme positif ou comme negatif, suivant qu'il se mesurerait dans le sens de Tangle 1 ou en sens inverse. Alors on trouverait (51)
sind=±sin/»,
sin £ = ± sin (p — i),
et les equations (38), (In) deviendraient respectivement (5'J)
r*[s- sin-p -+- I*- sin-(/j —-.)] = a s b 2 ,
(53)
1--[I*- sin 3 (/j — 0 — s- sin 2 7; ] = a'b"2 ,
les longueurs s, t des deux rayons conjugues pouvant etre determinees
DES RESULTANTES A DEUX TERMES.
339
en fonction de i a l'aide de la formule (46) ou (49)> e^ de la formute (5o). Lorsque les directions des deux rayons conjugues demeurent fixes, les longueurs s, t de.ces deux rayons demeurent constantes, ainsi que la quantite i. Alors l'equation (44) ou(45), ne renfermantplusd'autres variables que le rayon vecteur mobile 7- et Tangle polaire p forme par ce rayon mobile avec un rayon fixe s, devient {'equation polaire d'une ellipse on d'une hyperbole. Cette equation polaire suppose, d'ailleurs, que le centre de la courbe est pris pour origine des coordonnees. Si Ton fait coincider le rayon s avec le derni-axe a, on aura t = hh,
= a,
Done alors l'equation polaire de l'ellipse se reduira, ainsi qu'on devait s'y attendre, a la formule (54)
r s (a 2 sin 2 ^ + b a cos 2 /9) = a 2 b 2 ,
et l'equation polaire de Thyperbole, a la formule (55)
r-(h- cos*p — a2 sin-p) = a 2 b-.
Si la suite x,
r ,
:•,
...
renfermait trois termes au lieu de deux, on pourrait considerer ces trois termes x, y, z comme representant les coordonnees rectangulaires d'un point mobile. Alors aussi, a la place de l'equation (48) du paragraphe I, on obtiendrait l'equation (54) du meme paragraphe; et, en reeherchant Tinterpretalion geometrique dont cette equation serait susceptible, on se trouverait conduit a certaines proprietes d'un ellipso'ide ou de deux hyperboloides conjugues. Mais ces proprietes, etant relatives a des points situesdans un plan diametral, se reduiraient, en derniere analyse, a des proprietes d'une ellipse ou de deux hyperboles conjuguees, et, par consequent, aux theoremes que nous avons deduits de la formule (48) du paragraphe I.
MEMOIRE SUR LA
THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES I. — Considerations generates.
La consideration des projections orthogonales, qui permet d'etablir assez facilement les theoremes fondamentaux des deux trigonometries et de la geometrie analytique, a quelquefois 1'inconvenient d'introduire dans le calcul un grand nombre de lettres destinees a representer, avec les longueurs mesurees sur certaines droites, les trois projections de chacune de ces longueurs. Mais on peut remedier, au moins en partie, a cet inconvenient, et, en abregeant la demonstration des theoremes, donner au langage analytique plus de precision et plus de clarte, a l'aide d'une notation tres simple que je vais indiquer en peu de mots. Soient r,
s , t:
...
diverses longueurs dont chacune se mesure suivant une droite determinee et dans un sens determine. Non seulement nous designerons par (r, s) le plan qui renfermera, ou les deux longueurs r, s, ou deux droites paralleles aces deux longueurs, et par \r,s), suivant l'usage, Tangle que formera la direction de r avec la direction de*; mais, de plus, nous emploierons la notation sr
pour representer la projection absolue de s sur une droite menee perpendiculairement a r dans le plan (r, s), et, pareillement, nous
ME MO IRE emploierons la notation tr,,
pour representer la projection absolue de t sur une droite perpendiculaire au plan (r, s). Ces conventions etant adoptees, Tangle (r, s), compris entre deux longueurs mesurees dans des directions quelconques, pourra etre un angle aigu ou obtus.par consequent Tun quelconque des angles renfermes entre les deux limites extremes o, %. Mais Tangle (s,sr), compris entre une longueur s et la projection absolue de cette longueur sur une droite perpendiculaire a la direction de r, seratoujours un angle aigu renferme entre les limites extremes o, -• D'ailleurs on etablira sans peine les propositions suivantes : THEOREME 1.
— Soient /•,
s
deux longueurs dont chacune se mesurera suivant une droite determinee et dans un sens determine. L'angle aigu \s, srj aura pour complement Vangle \r, s) ou le supplement de \r, s), en sorte que Von aura (
(i)
/
\
\
.
/
/
\
\
•
COS\J, .?,./= s i n \ r , sj,
(
/
S
s
-
\
/
/
s i n \ 5 , 5,y = ± c o s \ r ,
\
\
sj.
Demonstration. — En effet, Tangle compris entre deux droites qui ne sont pas situees dans un meme plan, n'etantautre chose que Tangle compris entre deux autres droites paralleles aux deux premieres et situees dans un meme plan, il suffira, pour etablir generalement le theoreme 1, de le demontrer dans le cas ou les trois longueurs r,
s,
s,.
sont renfermees dans un seal plan (/-, s). Mais alors le theoreme devient evident, puisque (r, .v), \s,sr) representent deux angles formes, par la direction de s, avec les directions de /• et de s,., c'est-adire de deux longueurs mesurees sur deux axes qui se coupent a angles droits. THEOREME II.
— Les memes choses etant posies que dans le theoreme I,
SUR LA THE0R1E 1)ES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 343 on aura (2)
S , . = SCOS^S, Sr),
et
(3)
, s,-=s sin \r, s).
Demonstration. — En effet, si Ton divise par la longueur s la projection absolue de cette longueur sur une droite quelconque, on obtiendra pour quotient, comme on sait, le cosinus de Tangle aigu compris entre la direction de s et la droite dont il s'agit. Done, en faisant co'incider cette droite avec celle sur laquelle se mesure, la projection s,, on aura -
s
I /\\
= COS\S, SrJ,-
ou, ce qui revient au raeme, 1/ \ \ S,—S
COS\.S, SrJ,
et par suite, en egard a la premiere des formules ( i ) , s,.= s sin \r, sj. THEOREME
III. — Soient r, s, t
trois longueurs dont chacune se mesure suivant 'une droite determinee et dans un sens determine. Supposons d'ailleurs que, des longueurs Sr,
tr,
mesurees sur deux droites perpendiculaires a r, la premieres,, soit projete'e sur la seconde tr. La projection ainsi obtenue sera la mime que la projection de s sur tr, et Von aura (4)
/\
,JCOS.\i',
lr/=S,.COS\Sr,trJ.
Demonstration. — Pour que le theoreme III se trouve generalement deinontre, il sufh'ra evidemment de Tetablir dans le cas ou les trois longueurs r, s, t partent d'un meme point 0. Si, d'ailleurs, comme on peut le faire, on prend pour ^r la perpendiculaire abaissee sur /• de
MEMOIRE l'extremite A de la longueur s, et si, par la direction de r, on mene un plan perpendiculaire a tr, les projections absolues de s et de ^ r sur t,. se confondront l'une et l'autre avec la perpendiculaire abaissee du point A sur ce plan. Done ces deux projections, representees paries valeurs numeriques des deux produits SCOS\S,'t,.J,
S,.COS\Sr, trj,
seront egales entre elles. D'ailleurs, ces deux produits seront tous deux positifs si les directions des longueurs s, t se mesurent d'un meme cote du plan dont il s'agit, et tous deux negatifs dans la supposition contraire. Done les deux produits SCOS(S, tr),
SrCOS(sr, tr)
offriront, dans tous les cas, non seulement des valeurs numeriques egales, mais encore le meme signe; done ils seront egaux, et la formule (3) sera verifiee. Corollaire I. — Si, apres avoir substitue, dans la formule (3), la valeur de sr tiree de l'equation (2) ou (3), on efface, dans les deux membres, le facteur commun s, on obtiendra l'equation (0)
COS\S, tr)=COS\S,
SrJCOS\tr,
Sr),
OU
m (b)
(^)
• (^)
cos\5, tr/=sm\r,
(^A sjcos\tr,srj.
Corollaire If. — La direction de s,.:t etant, comme celle de t,., perpendiculaire a la direction de r, on pourra, dans les formules (4), (5), (6), remplacer tr par s,.tt. Done les formules (5), (6) entraineront les suivantes : (7)
COs($,.*rJ=COsU J,.)cos(s,v, Sr),
(*>
cos\s,sr>tj=sm\r,
sjcos\sr>t,
D'ailleurs les longueurs Sr,
tr,
Sr,i,
sr).
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 34.5 dont les trois directions sont perpendiculaires a la direction de r, peuvent etre censees renfermees dans un meme plan, la direction de sr
cos\Sr,i,s,.)=&ia\sr, tr),
en vertu de laquelle la formule (8) se reduit a (10)
cos^s, sr,t)= sin\r, 5/sin\5,-, tr).
En consequence, on peut enoncer la proposition suivante : THEOREME
IV. — Soient r,
s, I
trois longueurs dont chacune se mesure sur une droite determinee et dans une direction diterminee. On aura cos\s, t,-J= sin^r, s)cos,\sr,
et , srit)=sm\r,
sjsin.\sr, tr).
Supposons maintenant qu1 un point mobile P passe de Vorigine 0 d'une certaine longueur r a I'extremite A de cette meme longueur, en parcourant les divers cdtes u, v, w, . . . d'une portion de poly gone qui joigne le point 0 au point A, et attribuons a chacun de ces cdtes la direction indiquee par le mouvement du point P. Si Von projette les diverses longueurs r,
u,
v,
w,
...
sur la direction d'une autre longueur s, la projection algebrique de r sera equivalente (voir la page 157) a la somme des projections algebriques des longueurs u, v, w, . . ., et Von aura, en consequence, (/\\ (11)
(/\\
(/\\
(/\\
r cos\r, sj— u cos\w, sj-h v cos^c, s/+ w-cos\w, «/ + . . . . QEuvres de C. - S. II, t. XIII.
44
346
MEM01RE
Si Ton reduit a trois les longueurs u, v, w, . . . , elles exprimeront les cotes d'un parallelipipede dont /• sera la diagonale, et alors la formule ( n ) donnera (12)
(/\\
u
(/\\
v
l/\\
w
(/\
cos\r, sj— -cos\«, s)+ -cos\r, sj + -cos\w, s
Si, d'ailleurs, on pose, pour abreger,
U, V, W representeront les trois dimensions de ce parallelipipede, mesurees sur des droites perpendiculaires aux faces. Enfin, comme, en projetant les longueurs r et u sur la direction V, on obtiendra evidemment pour projection la longueur f/elle-meme, on aura encore V = r cos\r,
et, par suite, .
u r
cos\r, U) cos \ u
On trouvera de meme : V
COS
r
r
cos I r, W {/\ \'
cos^w, W)
et en substituant les valeurs precedentes de - , - , - dans la formule (12), on en tirera , V) COS\M, U)
COSVJ,
^cos\r, V
COS(P, V) ( / \ \
(/ \
\
Ajoutons que cette derniere formule continuera evidemment de subsister : i° quand on echangera entre elles les longueurs r, s; i° quand
SLR LA THEORJE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 347
on remplacera chacune des longueurs u, v, w, V, V, IF par line autre longueur portee sur la meme direction, ou meme sur la direction opposee, attendu que, dans le second membre de la formule (i5), c'haque terme reste inalterable, quand deux des cosinus qu'il renferme viennent a changer de signe. Cela pose, il est clair que, dans la formule (i5), les lettres u, v, w pourront etre eensees representer trois longueurs quelconques mesurees, a partir d'un seul point 0 , dans trois directions arbitrairement choisies, et les lettres U, V, W trois autres longueurs quelconques mesurees, a partir du meme point 0 , dans trois directions respectivement perpendiculaires aux trois plans (c, w), (w, a), (u, c), la longueur U etant mesuree du meme cote que u par rapport au plan (v, w), la longueur F d u meme cote que v par rapport au plan (w, u), et la longueur W du meme cote que w par rapport au plan («, v). On se trouve ainsi ramene au theoreme de la page i58. D'ailleurs l'equation (i5), qui renferme ce theoreme, comprend, comme cas particulier, la formule bien connue (16)
cosyr, s}= cos\/', u)cos\s, u)-+- cos\r, vjcos\s, c/+cos\r, vt')cos\s, wj,
qui se demontre de la meme maniere, et qui se rapporte au cas ou les trois longueurs U,
V,
(V
se mesurent sur trois axes perpendiculaires entre eux. Si les longueurs r, s etaient comprises dans le plan (», r), liquation (16) donnerait (17)
cos\r,s)=cos\r, ujco$\s, uj+cos\r, v/cos\s, v).
II y a plus; pour que l'equation (17) subsiste, il suffit que l'un des angles (^ \
(
)
Vs' " 7
devienne droit, c'est-a-dire, en d'autres termes, que l'une des longueurs r, s se mesure sur une droite, ou comprise dans le plan (w, c),
348
MEMOIRE
ou parallele a ce plan. Enfin l'equation (16) se reduira simplement a //\\
(18)
//\\
f/\)
cos\r, s)=cos\r, u/cos\s, uj,
si les droites sur lesquelles se mesurent les longueurs/v s sont perpendiculaires, l'une a la direction de v, l'autre a la direction de w. Mais alors, des deux-longueurs v, sv, l'une, etant perpendiculaire aux directions de ret de u, sera, par suite, perpendiculaire au plan(r, u), tandis que l'autre, etant perpendiculaire aux directions de s et de u, sera perpendiculaire au plan (s, u). Done, puisque les longueurs v, w se coupent a angles droits, les plans {r, u), (s, u) se cotiperont euxmemes a angles droits. Reciproquement, si les deux plans (r, u), (s, u) se coupent a angles droits, alors, pourobtenir trois directions perpendiculaires entre elles, il suffira de joindre a la direction de u les directions de deux longueurs v, w mesurees sur deux droites respectivement perpendiculaires a ces deux plans, et l'equation (16) se reduira immediatement a la formule ( J 8 ) . En resumant ce qu'on vient de dire, on obtient les trois propositions suivantes, dont la premiere, connue depuis longtemps, renferme les deux autres comme cas particuliers. THEOR£ME V.
— Soient «,
V, W
trois longueurs mesurees sur trois axes rectangulaires, et i\
s
deux autres longueurs mesurees sur des droites quelconques. On aura cos\r, s)= cos\r, wycos^, « / + cos^r, PJCOS^J, ^y-f- cos\r, w/cos^, w/THEOREME
VI. — Soient a, v
deux longueurs mesurees sur deux axes qui se coupent a angles droits, et r, s deux autres longueurs dont l'une se mesure sur une droite comprise duns
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 349 leplan ( u} v) ou parallele a ce plan. On aura cos\r, s/=cos\r, THEOREME
ujcos\s, u)+ cosvr, v)cos\s, cj.
VII. — Nommons a
une longueur mesurie dans une direction quelconque, et r, s
deux autres longueurs dont les directions soient telles que les plans (r, u), (J, «) se coupentd angles droits. On aura
f
(
(
COS\7", SJ=COS\j%
UJCOS\S,.u
Corollaire. — Pour deduire du theoreme precedent la formule(5), il suffit de remplacer les trois longueurs par les trois longueurs Sr,
I,;
S,
qui remplissent evidemment la condition enoncee, attendu que les plans 0, Sr) et (tr, Sr),
dont l'un peut etre cense renfermer la direction de /', l'autre etant perpendiculaire acette meme direction, se coupent a angles droits. II. — Sur les relations qui existent entre les cosinus et sinus des angles que forment Vune avec Vautre trois droites paralleles a un meme plan.
On deduit aisement des principes etablis dans le paragraphe I les relations qui existent entre les sinus et cosinus des angles que forment entre elles trois droites paralleles a un meme plan, ou, ce qui revient au meme, trois droites comprises dans un meme plan et prolongees indefiniment a partir du meme point 0 dans trois directions determinees. En effet, nommons /',
S,
t
trois longueurs mesurees dans ces trois directions, et u, v deux autres
350
ME MO IRE
longueurs qui se raesurent sur deux axes rectangulaires traces a volonte dans le plan des trois premieres. La formule (17) du paragraphe I donnera (1)
cos\r, s}=cos\r,
ujcos\s, uj+cos\r,
cjcos\s, vj:
D'ailleurs, la direction de st etant perpendiculaire a celle de t, rien n'empechera de prendre u = t,
i' = st.
On aura done encore (2)
(\ (\ cos\/-, s)= cos'y/-, ljcos\s, IJ-+-
l COS\J;
\ ( s,j cos\s, sL
Si, dans cette derniere formule, on echange entre elles les longueurs r, s, on trouvera
//\\
t/\\
c o s \ / ' , . v / = c o s \ / ' , t/cos\s,
f/\\
//'\\
t)-\- cos\.?, ftjcos\r,~rL)
(/\\
;
puis, en substituant a la longueur s la longueur s,, on obtiendra l'equation ( / \ ^1 (s~<\ ( ^ \ cos\r,st)=cos\>*,, Si/cos\r,riJ
(3)
entierement semblable a la formule ( 5 ) du paragraphe I. Cela pose l'equation (2) donnera (4)
cos\ r, xj=cos\r,
tjcos\s,
tj+ cosy/*, rtjcos\.s,
Stjcosyrt,
s,J.
Mais, d'aulre part, rt, st etant perpendiculaires a t, on aura cos\r, r , / = sin\/-, /y,
cosl^, .9,/= sin\.«, t).
Done la formule (4) pourra etre reduite a (5)
cos(A)=cos(7' : ' X /)cos(A)+sin(A-) S in(.r V )
Enfin, puisque les longueurs i\, s, se mesureront sur des droites situees dans un meme plan, et perpendiculaires a t, on aura necessairement
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGOiN ALES. 351 et, par suite, (6)
cos I/-, s)=cos\r, t)sm\s, t)±s'm\r, t)sin\s, tj,
le signe ± devant etre reduit au signe — ou au signe -H, suivant que les directions des longueurs r, s comprendront ou ne comprendront pas entre elles la direction de la longueur t. La formule (6) et celles que Ton peut en deduire par des echanges operes entre les trois longueurs /•,
s,
t,
exprimentdes relations existantes entre les cosinus et sinus des angles v, tj,
\t,rj,
\r,s),
que forment, l'une avec l'autre, les directions de ces trois longueurs. Concevons que, pour abreger, on represente ces trois angles a l'aide des trois lettres a,
b, c.
Alors, si les directions des longueurs r, s comprennent entre elles la direction de la longueur t, on aura \/\ s)=a -h b,
et, par suite, la formule (6), dans laquelle le double signe ± devra etre reduit au signe —, donnera ( -)
cos{a + £>):= cos a cos b — sin a sin b.
Si, au contraire, les directions de r et de s sont situees d'un meme cote par rapport a la direction de t, on aura
et, par suite, la formule (6), dans laquelle le double signe ± devra se reduire au signe + , donnera (8)
cos(a — b) = cosacosb + sinasinb
On se trouve ainsi ramene aux formules connues qui determinent le
352
MEMOIRE
cosinus de la somme ou de la difference de deux angles a, ben fonction des sinus et cosinus de ces deux angles. A la verite, la demonstration ici donnee de ces formules semble exiger que chacun des angles a, b soit positif et inferieur a deux droits. Mais evidemment les formules (7), (8) ne seront pas alterees si Ton fait croitre ou diminuer Tun quelconque des angles a, b d'un multiple de la demi-circonference TC. Alors, en effet, chacun des termes que renferment ces formules conservera la meme valeur numerique en changeant ou en ne changeant pas de signe, suivant que le multiple en question sera le produit de r. par un nombre impair ou par un nombre pair; et, d'ailleurs, il est clair que, pour obtenir un angle quelconque, positif ou negatif, il suffira toujours de faire croitre ou diminuer un certain angle positif, inferieur a deux droits, d'un multiple de ft. Done, pour que les formules (7), (8) se trouvent generalement demontrees, il suffit de les etablir dans le cas particulier ou chacun des angles a, b reste compris entre les deux limites extremes o, it. Si, dans les formules (7), (8), obtenues comme on vient de le dire, .•n
on remplace a par a + -> on obtiendra immediatement les equations 2 connues (9) (10)
sin(a H- b) = sina cosfe + sin6 cosa, sin (a — b) = sinacos£ — sin b cosa,
qui determinent le sinus de la somme ou de la difference de deux angles a, b, en fonction des sinus et cosinus de ces deux angles. Enfin, des formules (7), (8), combinees l'une avec l'autre par voie d'addition, on tirera immediatement (11)
cos (a-1- b) -+- cos (a — b) = 2 cosa cos 6,
puis, en posant a-hb = pt
a—b = q,
on trouvera
II est bon d'observer que, si, dans la formule ( 4 ) , on substitue a la
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 353 longueur s la longueur ts, on obtiendra la suivante : (io)
c o s \ / \ / , , / = c o s \ r , t)cos\t,
t,,J'+ c o s \ / \ rLj cos\.v,, /. ( /c
D'ailleurs si, dans la formule (3), on echange entre elles les deux lettres s et t, on en tirera (14)
cos I r. tsj = cos \ rs, ts) cos \ r, rs).
Ajoutons que, si une droite mobile, comptee a partir du point 0, tourne autour de ce point de maniere a s'appliquer successivement sur la direction de s, puis sur la direction de t, une longueur mesuree sur une perpendiculaire a la droite mobile s'appliquera successivement, non sur la direction des.deux longueurs sL, ts, situees, la premiere, du meme cote que s, par rapport a t, la seconde, du meme cote que t, par rapport a s, mais sur Tune de ces deux directions et sur le prolongement de Tautre. Done, par suite, Tangle \ts, st) sera egal, non pas a Tangle \s, t), mais au supplement de \s, t), et Ton aura //s\
/\ \ cos\s t(, t.,J = — cos\s,
tJ.
Or, en vertu de ce'tte derniere formule, jointe a Tequation (i4)> ^a formule (i3) donnera (16)
cos\/;,, ls)cos\r, rJ=cQS\r,-t/cos\t,
/.
Mais, d'autre part, on aura / /\\
//\N
cos\r, rs)=sin\r, s ) ,
//\\
. //\\
c o a \ r , r, / = s i n \ / ' , ? / ,
(/\)
. f/\\
c o s y / , / . , / = : sin\.v, //.
Done la formule (16) pourra etre reduite a (17)
c o s l r , , / J s i n y / - , . ? / = c o s \ r , tjs\n\s,
tj— s i n \ / - , / / c o s \ . s - , t.)coi\r,,
is).
Cela pose, en representant, comme ci-dessus, par a et b les deux angles \s, t), \r, t), et supposant d'abord que les directions r, s comOEuvres de C. — S. IT, t. XITI.
.'f5
354
MEMOIRE
prennent entre elles la direction de la longueur t, on trouvera cos\r,5, tx)=i,
cos\r,. st) = —
en sorte quel'equation (17) se reduiraimmediatemental'equation (9). Si, au contraire, les. directions de r et de s sont situees d'un meme cote par rapport a la direction de t, on aura COSW'/. S,J =
I,
et, de plus, on \/\ s)=
b — a,
cos I/*.„ ?%,,' = — i,
en sorte que l'equation (17) se reduira simplement a l'equation (10).
III. — Sur la resolution des triangles rectilignes. Soient r, s, t les trois cotes d J un triangle quelconque. Si, en prenant le cote r pour base, on adopte les notations etablies dans le paragraphe I, on pourra representer la hauteur par .y,. et par t,.. On aura done (1)
. ? , . = /,..
Mais, d'autre part, on aura [voir\& formule (3) du paragraphe I] (2)
.<;,.= s s i n ^7", s),
l,-=l
sin\r,
t).
Done la formule (1) donnera .v sin \r:
s)=t
s i n \ r , I,
ou, ce qui revient au meme, sin \t, r)
sin \r, s;
•t
/
Cette derniere equation devant subsister quand on echange entre eux
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 355 les cotes r, s, on en conclura • (\
(
sm\s
f
_ sm\t, r) _sm\r, s
Si maintenant on nomine «, P, 7 les trois angles du triangle respectivement opposes aux cotes 1\
S,
t,
Tangle \s, t) se reduira evidemment, ou a Tangle a, ou au supplement de a, et Ton aura, par suite, sin\.s, / / = sina.
On trouvera de meme sin\i(, 7 7 ^ sin(3, sin\7', s)= siny.
Done la formule (4) pourra etre reduile a sin a r
(4)
sin (3 s
siny t
On se trouve ainsi ramene a cette proposition bien connue, que dans un triangle les cotes sont proportionnels aux sinus des angles opposes. Rappelons d'ailleurs que, dans la formule (4), les trois angles positifs seront toujours lies entre eux par la formule a + ^ + y — n,
(5) de laquelle on tire
71 — a = 15 + y.
et, par suite, (6)
sina = sin(P 4-"/),
cosa = — cos(|3 + y).
Or, comme je Tai fait voir dans VAnalyse algebrique ( note I) ( 1 ), et dans les Resumes analytiques, on peut, des equations (/|), (5), (6) jointes a ( ' ) CEuvres de Cauchy,
seric II, I. Ill, p. 3 5 ; .
356
ME MOIRE
la formule (12) du paragraphe II, ou bien encore aux equations (7) et (9) du meme paragraphe, deduire immediatement, avec la plus grande facilite, les diverses formules de trigonometric qui servent a la resolution des triangles rectilignes. En terminant ce paragraphe, nous observerons que, si Ton multiplie la base r du triangle donne.par la hauteur .v,. correspondante a cette base, le produit rsr,
ainsi obtenu, sera equivalent au double de la surface du triangle. Done, si Ton nomme A cette surface, on aura v
(7)
1
1
.
/ / \ \
A = - rsr= —rssin\r,
sj.
IV. — Sur la trigonometrie.spherique.
Soient r,
I
s,
trois longueurs mesurees, a partir d'un meme point 0, dans trois directions determinees. Ces trois longueurs seront les trois aretes d'un certain angle solide tri.edre forme par les trois plans 0 , /),
(I, / • ) ,
(r. s);
et comme .?,.,
/,.
representeront les projections absolues des longueurs s, t sur des perpendiculaires elevees, dans les deux plans (r, s), (r, t), a la commune intersection ;• de ces deux plans, il est clair que
representera Tangle diedre oppose, dans Tangle solide dont il s'agit, a Tangle plan (x, 1). Cela pose, faisons, pour abreger, b=\l,
r),
r=[r,s),
et tracons, sur la surface de la sphere dont le rayon est l'unite, le
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGOAALES. 357 triangle dont les sommets coincident avec les points ou cette surface est traversee par les directions des aretes r, s, t. Les six lettres a,
b,
c;
(3,
a,
y
representeront les trois cotes du triangle spherique construit com me on vient de le dire, et les trois angles opposes a ces cotes. Ce n'est pas tout; si Ton pose, pour abreger, les trois lettres Ji, S,
T
representeront les projections absolues des trois longueurs
sur trois droites respectivement perpendiculaires aux trois plans (5,0,
(','•).
('••,-0;
et les trois longueurs /-,
s,
/,
considerees comme aretes d'un tetraedre, formeront, avec les faces opposees a ces aretes, des angles dont les sinus seront respectivement egaux aux cosinus des trois angles X, [j., v, determines par les formules i={r,n),
f.=U, a),
v=\t,r).
J'ajoute que les relations existantes entre les angles a,
b,
c;
a,
p,
y;
I, p,
v
pourront etre aisement decouvertes a l'aide des principes etablis dans le paragraphe I. Entrons, a ce sujet, dans quelques details. Observons d'abord que si, apres avoir construit un parallelipipede dont les aretes soient les trois longueurs /•,
s,
I,
on prend pour base de ce parallelipipede le parallelogramme dont les cotes sont les longueurs S-,
t,
358
MEMOIRE
et pour base de ce parallelogramme l'arete t, l'aire A du parallelogramme et le volume V du parallelipipede se determineront par les formules (1)
A = tsh
\=Ars.h
desquelles on tirera (2)
V = tstrJ:t.
Comme on aura, d'ailleurs, S(=5cos\5, S[J^ s sin\5, l),
et la formule (2) donnera (/\\ (3)
(
,
\ = mtsm\s, t)cos\r, r.%tj-
Done, si Ton designe par Qrst le volume du parallelipipede, on, ce qui revient au meme, si Ton pose (4) on aura
* = ^ ' 0 = s i n \ 5 , t)cos\r,
r^,J.
Si, dans cette derniere formule, on echange entre elles les lettres ;•, s, t, on obtiendra deux nouvelles valeurs de 9, et Ton trouvera (5)
0 = s i n \ 5 , i ^ c o s V / - , i\ L)= s i n ^ , r y c o s ^ , sCirJ=
s m \/-,
s)cos\l,.-tr,s
ou, ce qui revient au meme, (6)
//V\ / / \ \ / / \ \ //"x\ //\\ / A \ 6 = sin\4\ ^cosW'; fi)=sin\t, /)coa\s, b)=sin\i-, s)Cos\t, TJ,
par consequent (7 )
0 = sin a cos A = sin 6 cos p. = sine cosv.
La valeur de 0 fournie par chacune des equations ( 5 ) , ( 6 ) , ( 7 ) n'est evidemment autre chose que la valeur de V correspondante au cas ou Ton aurait /• =
1,
,s- =
1,
1 =
1,
e'est-a-dire le volume du parallelipipede qui a pour aretes trois longueurs equivalentes a l'unite, et mesurees, a partir du point 0, surles
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORT HOGONALES. 359 directions de r, s, t. Ce volume est d'ailleurs sextuple du volume du tetraedre, que Ton peut construire avec les memes aretes, et que, pour abreger, je designerai par la notation (/•, .v, t). II est bon d'observer encore que, les directions des longueurs S et T etant perpendiculaires a la direction de r, celle-ci sera perpendiculaire au plan (5, T). Pareillement la direction de s sera perpendiculaire au plan (T, R), et la direction de t au plan \R, S). Done, si, com me on peut le supposer, les trois longueurs R, S, T se mesurent, ainsi que r, s, t, sur des droites qui partent du point 0, le tetraedre (i-, s, t), qui aura pour aretes les trois longueurs r, s, t, et le tetraedre (R, S, T) qui aura pour aretes les trois longueurs R, S, T, jouiront de cette propriete remarquable, que les aretes de I'un serontperpendiculaires aux faces de 1'autre. Ajoutons que, si une face mobile, et limitee par l'arete r, tourne autour de cette arete de maniere a s'appliquer successivement sur la face (r, t), puis sur la face (r, $), une longueur mesuree a partir du point 0, dans une direction perpendiculaire au plan de la face mobile, s'appliquera successivement non sur les directions des longueurs S, T situees, la premiere du meme cote que s, par rapport au plan (r, t), la seconde du meme cote que t, par rapport au plan (r,s), mais sur 1'une des deux directions S, T et sur le prolongement de 1'autre. Cela pose, les deux triangles spheriques qui auront pour sommets les points ou les aretes des deux tetraedres (t; s, t), (R, S, T) traverseront la surface de la sphere dont le rayon est I'unite, seront evidemment ce qu'on appelle deux triangles supplementaires I'un de 1'autre, e'est-a-dire deux triangles dont I'un a pour cotes les supplements des angles de 1'autre. Soit maintenant & le volume du parallelipipede qui aurait pour aretes trois longueurs equivalentes a I'unite, et mesurees, a partir du point 0, sur les directions de R, S, T. A la formule (5) on pourra joindre la suivante (8)
0=sinU, = sinl./?, S)co*\T.
360
ME MO IRE
Mais les longueurs r, Rs,n dont chacune sera perpendiculaire au plan (S, T), se mesureront, a partir du point 0 , surune memedroite; et com me Tangle aigu, forme par cette droite avec la direction de R, pourra etre represents par chacune des notations
{r,n),
{A,BStT),
on aura necessairement [/i,fis,T) = I r,fi). On trouvera de meme
(7^,.)=(O'); done Pequation (8) donnera (9)
& = sin{s, T)cos\jCft)=sm\T,
Ii)cos\s, $)=sin{ji,
SJcos\i,
Tj,
ou, ce qui revient au meme, (10)
@ = sin a cos A — sin (3 cos p. = siny cosv.
Si Ton combine entre elles, par voie de division, les formules (7). et (10), on sera immediatement conduit a la suivante Q &
sin a sin a
sin b sine sin(3~~"siny
D'ailleurs K represente evidemment ici le rapport des volumes des parallelipipedes, ou bien encore des tetraedres dont les aretes equivalentes a Punite se mesurent, d'une part, sur les directions des longueurs r, s, t, d'autre part, sur les directions des longueurs R, S, T. On se trouve done ainsi ramene a la proposition connue dont voici Tenonce : I. — Un triangle, trace sur la surface de la sphere dont le rayon est Vunite, offre des cdtes dont les sinus sont proportionnels aux sinus des angles opposes a ces memes cdtes, ou, ce qui revient au meme, aux sinus des cdtes du triangle supplementaire, le rapport entre les sinus des cotes correspondants des deux triangles etant pricisiment le rapport THEOREME
SDH LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 361 entre les volumes des deux tetraedres qui outpour arUes les rayons menes du centre de la sphere aux sommets de ces triangles. Les sinus des angles a, b, c, a, (3, y, et les cosinus des angles A, ,u, v ne sont pas settlement lies entre eux par les formules (7), (8); ils verifient encore certaines equations dont l'une coincide avec 1'equation (7) ou (10) du paragraphe I, tandis que les autres se deduisent de celle-ci a l'aide d'echanges operes entre les trois lettres /•, s, t: Telle est, par exemple, l'equation ( ^
(12)
(
\(
cos\/', >Y
que le septieme theoreme du paragraphe I peut fournir immediatement, attendu que le plan {r5, rsA) passant par deux droites perpendiculaires a s sera lui-meme perpendiculaire a s, et, par suite, au plan (r, r3) qui renferme la longueurs. Comme on aura d'ailleurs [voirles formules (1) et (9) du paragraphe I] (/\) . f/\\ cos\r, /•,)^sin\r, si,
(•^^\ cos\/\., rs.tj=
l'equation (12) pourra etre reduite a (i3)
cos\r,-rSit)=
sin\r.
ou, ce qui revientau meme, a (i/ t )
cos A = sine sin (3.
On etablira de la meme maniere les six equations comprises dans les trois formules cos A = sin b siny = sin c sin |5, cos/jt. = sin c sin a = sin a sin y, cos v = sina sin{3 r= sin b sina,
(15)
desquelles on tire non seulement sina sina
sinb sinf3
sine siny
mais encore (16)
cos A cos pi c o s v = sina sin& sine sina sin [3 siny. OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
46
362
MEMO IKE
Ajoutons que, des formules (i5), combinees avec les equations (7) et (10), on tire 00 — sin a sin a cos2 A = sin a sin b sine; sin a sin {3 siny,
et, par consequent, eu egard a la formule (16), (17)
cos A cos p. cos v = 0 0 .
On se trouve ainsi conduit au theoreme qui s'enonce dans les termes suivants : II. — Deux triangles supplementaires Van de Vautre etant traces sur la surface de la sphere dont le rayon est V unite, les trois rayons menes du centre de la sphere aux somrnets du premier triangle formeivnt, avec les trois rayons menes du meme centre aux sommets correspondants du second triangle, trois angles dont les cosinus offnront unproduit equivalent au produit des volumes des deux parallelipipedes qui auront pour aretes, Vun les trois premiers rayons, Vautre les trois derniers. THEOREME
On pourrait encore, des formules (7), (10), (11), (i5), deduire immediatement les equations ©2
rf-
(18)
sin a sin6 sine = —,
sin a. sin (3 siny = — •
qui, jointes a la formule (16), reproduisent l'equation (17). Aux diverses formules que nous venons d'obtenir, on peut joindre les equations (5) et (17) du paragraphe If, qui continuent de subsister dans le cas meme ou les trois longueurs r, s, t cessent d'etre renfermees dans un meme plan. En effet, pour etablir generalement ces equations, il suffira de recourir au theoreme VI du paragraphe 1. Concevons, pour fixer les idees, que Ton veuille etablir la formule (5) du paragraphe II, en supposant, comme ci-dessus, que les trois longueurs r, s, t se mesurent, dans trois directions quelconques, a partir d'un meme point 0. Le theoreme VI du paragraphe I donnera (^9)
( ) ( c o s \ / \ s)=cos\r,
\ / u)cos\s,
\ / u)+cos\r,
v]cos\s,
y),
u, v etant deux longueurs nouvelles mesurees sur deux droites per-
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 363 pendiculaires l'une a l'autre, et tellement choisies que le plan (u, r) soit parallele a l'une des longueurs r, s. Or ces conditions seront effectiveraent remplies si Ton prend U =
t,
f —
Si,.
puisque alors le plan (/./, v) pourra etre cense se confondre avec le plan (,r, t), et que d'ailleurs st sera perpendiculaire a t. En consequence, on tirera de la formule (19) (20)
cosy/-, s) = cosy/-, t)cos\s, t)-Y- cosyr, si) cosys, s,J.
Mais, d'autre part, on aura [voirla formule (5) du paragraphe 1] cosyr, St/= cosyr,
rtjcos\ri,
Done la formule (20) donnera , , (21)
(/\\
(/\\
(---)
cosyr, ?/—cosyr, t/cos\s,
(/\\
(/\\
(I
t) + cosyr. r,ycos\s, 5/ycosy)
Enfin l'on aura [woir la premiere des formules (1) du paragraphe lj cos^r, rt)= sinyr, t),
cosys, sL)= sinys, t).
Done la formule (21) pourra etre reduite a ( 22 )
cosyr, 5 / = cosyr, t)cos\s,
I) -+- sin I r, ^ysiny^, i/cosy/7, sj.
Ainsi, en partant du theoreme VI du paragraphe I, et raisonnant, d'ailleurs, comme dans le paragraphe II, on etablit immediatement, pour tousles cas, la formule (5) de la page 35o, et il est clair que Ton etablira generalement de la meme maniere la formule (17) de la page 353, e'est-a-dire 1'equation (23) • sinyr, s)cosyr,, ts) = cosyr, i/siny*, tj— sinyr, iycosy*,
Ajoutons qu'en vertu des notations adoptees, les formules (22), (23) pourront s'ecrire comme il suit : (24) (25)
cose = cos a cos b -+- sin a sin b cosy, sine cos(3 = sin a cosb — sin6 cosa cosy.
36',,
ME MOIRE
Si, aux formules (22), (23), on joint celles que Ton peut en deduire a 1'aide d'echanges operes entre les trois lettres r, s, t, on obtiendra en tout neuf equations, savoir, trois equations semblables a la formule (22), qui pourront s'ecrire comme il suit : (26)
' c o s a = cos6 cose 4- sin6 sine cosa, I cosb = cose cosa 4- sine sina cos(3, [ cose = cosa cosb 4- sinasinZ> cosy,
et six equations semblables a la formule (23) qui pourront s'ecrire comme il suit :
(28)
sina cos6 = sina cosy = [ sinb cosy = . ' — ^ cos a = [ sin c cos a = I sin c cos6 =
sin c cosb — sin b cose cosa, sin 6 cose — sine cosb cose; sina cose — sin c cosa cos-S, . sin c cosa — sina cose cosb; sin b cosa — sin a cosb cosy, sin a cosb — sin b cosa cosy.
D'ailleurs, pour obtenir les equations (27), il suffit de substituer, dans la deuxieme et la troisieme des formules (26), la vaieur de cos a fournie par la premiere; et, par suite, on peut, de l'equation (24), tirer, avec la plus grande facilite, non seulement les trois formules (26), mais encore les formules (27), (28), (29). II y a plus : on peut, comme on sait, deduire de la seule equation (24), ou, ce qui revient au meme, de la premiere des equations (26), les principales formules de la trigonometrie spherique, telles qu'on les trouve dans un grand nombre d'ouvrages et de memoires, entre lesquels on doit remarquer le Memoire insere par Euler dans les Ada Academioz Petropolitanae de l'annee 1779. Avant de terminer ce paragraphe, je rappellerai, en peu de mots, comment ces deductions s'effectuent. D'abord, si Ton echange entre eux les deux triangles spheriques supplementaires l'un de l'autre, dont le premier a pour cdtes a, b, c, et pour angles a, 6, y, on obtiendra, non plus les formules (26), (27), (28), (29), mais celles qu'on en deduit quand on y remplace «,
l>,
<•-,
Cf.,
6,
y
SUR LA THE0R1E DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 365 par r. — x,
.IT —S,
r. — y. - — a, n—b,
n — c;
c'est-a-dire les equations (3o)
,, (3a) (33)
| I ( /
cos a = smb sin y cosa — cosb cos v, cos6 := sin y sin a cosb — cosy cos a, cos y — sin a sin 6 cos c — cos a cos 6; since cos & := sin y cos § + sin 6 cosy cosa, sin a cos c = sin 6 cos y -+- sin y cos S cos r/; sin6 cose = sin a cos y + sin y cos a cosb, _ ' ' sin6 cosa = sin y cosa + sin cc cosy cos6; sin y c o s a = sin6 cosa + sin a cos6 cosr. sin y cos i = sin a cos 6 + sin § cos a cos c.
Observons d'ailleurs : i" que les equations (2-7), (28), (29) sont lineaires par rapport aux trois sinus sin«,
sin b,
sinr 1 ,
et les equations (3i), (32), (33) par rapport aux trois sinus sin a,
sin 6,
siny;
2 0 q u e , p o u r d e d u i r e les e q u a t i o n s ( 3 i ) , ( 3 2 ) , ( 3 3 ) des e q u a t i o n s ( 2 7 ) , ( 2 8 ) , ( 2 9 ) , il suffit de r e m p l a c e r , d a n s ce!les-ci, sin a,
sin b,
sine
sina,
sinS,
siny.
par II resulte immediatement de ces observations, que les valeurs des rapports sin b
sin c
sin«
sin a
determinees par deux quelconques des equations (27), (28), (29), se confondent avec les valeurs des rapports sin 6 sina'
sin y sina'
determinees par deux des equations ( 3 i ) , ( 3 2 ) , ( 3 3 ) . Done l'equa-
366
MEMOIRE
tion (24) entraine avec elle les deux formules (34.)
sin 6
sinb
siny
sine
si n a
sin a
sin a.
si n a
comprises I'une et I'autre dans la suivante : since y
sin 6
—:
(OO)
'
~
sin a
sin,y
T
~~:
si n o
}
sine
et, par consequent, dans la formule (11). Au reste, on peut encore deduire immediatement la premiere ou la seconde des formules (34), des equations (33) ou (32), jointes aux formules (26). Ainsi, par exemple, quand on elimine sin y entre les equations (33), on obtient la formule sin 6 sin a
(cosa— cosfe cose) cos € (cos b — cose cosa) cosa'
qui, etant jointe aux deux premieres des equations (26), reproduit la formule (34). Lorsque, etant donnes les trois cotes a, b, cd'un triangle spherique, on veut determiner 1'un des angles a, 8, y, il suffit de recourir a l'une des equations (26). S'agit-il, par exemple, de fixer la valeur de Tangle y ou w-,, st); on aura en vertu de I'equation (24), ,.,„. (36)
cosy=
c o s e — c o s a cosb ^-7 : sjnasino
Alors aussi on deduira sans peine les valeurs des. lignes trigonometriques • y y sin - ,
cos -
•>.
2
de I'equation (36), jointe aux deux formules • , V
sin2 - =
1 — cos y
L,
„y
1 -+- cosy 2
et, en posant, pour abreger, a -\- b -+• <• =
SUR LA THE0R1E DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 367 on trouvera sin a sin b
3^ sin a sin b
On pourra meme, de ces deux dernieres formules, tirer immediatement les valeurs de sin -
tans y
_
2
•• y y 2 sin i- cos '-,
2 COS2
2
:•>.
etl' on trouvera ainsi (38)
= t / 8
n
•>,
siny
(/? — a ) s i n ( / 7 — /
[
sin/> sin(/> — c)
'1 sin,7sin( p —- a ) s i n ( p
- - b) s,\n(p
—
«•-•)]
sin a sn
par consequent, siny sin c
/[sin
/7 — a ) s i n ( /i — b) sin(j9 — sin a sin b sin c
Le second membre de la derniere equation n'etant pas altere, quand on echange entre eux les sommets et, par suite, les cotes du triangle spherique que Ton considere, le premier membre devra jouir de la meme propriete; d'ou il resulte qu'on peut encore revenir immediatementde l'equation (3Q) a la formule (35). D'ailleurs, l'equation (3c)) pouvant s'ecrire comrae il suit 2 y/sinp sin (p — a) sin (p — b) sin [p — r ) ] — s i n « s i n £ siny,
donnera, eu egard aux formules (7) et (i5), (4o)
0 =z 2 \/'f s i n / ? s i n {p — a) s i n ( / ; — b) s i n ( p — <••)].
L'equation (4o) entraine evidemment le theoreme dont voici l'enonce : THEOREME
III. — Soient rt,
b,
c
MEMOIRE
368
les trois cdtes d'un triangle spherique, trace sur la surface de la sphere qui a Vunitepour rayon, et p le demi-perimetre de ce triangle. Leproduit des sinus des quatre angles P, P — a< P~b,
P~ r
offrira, pour racine carree, la moitie du volume du parallelipipede dont Us aretes seront les rayons menes du centre de la sphere aux trois sommets du triangle spherique ou,ce qui recient au mime, le triple du volume du tetraedre constfuit avec ces arStes. 11 est bon d'observer que chacune des formules (36), (37), (38) determine completement la valeur de Tangle y, toujours positif et inferieur a deux droits, ou, ce qui revient au meme, la valeur de Tangle y-> toujours positif et inferieur a un.droit. Cela pose, il est clair que les formules (37), (38), qui se pretent d'elles-memes aux calculs par logarithmes, fournissent le moyen de resoudre tres facileme4nt un triangle spherique dont les trois cotes sont connus. Les formules analogues que Ton deduira de celles-ci, en substituant au triangle spherique propose le triangle supplementaire, fourniront le moyen de calculer les cotes a, b, c, du premier triangle, lorsque ses trois angles a, 6, y seront connus. Supposons, pour fixer les idees, qu'il s'agisse de calculer le cote c. Alors, en posant ot -+- 6 H - y =
2TCT,
et remplagant, dans les formules (37), (38), a, n — a,
TT
b,
— 6.
TT
c,
p,
y
— y,
7T — c,
TO,
on trouvera c
COS- = 4 /
9.
. sin
,, . l.U)
c ~. —
2
/fcosfro — a)cos(nr—6)1
V
~
:
L
: >
sin«sin 6
J
/ r c o s n T c o s ( K r — y)l i / \
V L
c /[ tang - = i / \
:
\
•
since sinb
'•'
J
,
coscrcos(ro — y) ^^—- "
"1
.
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 369 Quant a la resolution d'un triangle spherique, dans lequel on eonnait deux cdtes et Tangle compris, ou un cote et les deux angles adjacents a ce cote, elle se tire sans peine des considerations suivantes. Concevons que Ton combine par voie d'addition ou de soustraction les deux formules (29). On trouvera ainsi : ..„.
I (cosst -1- cos 6) s i n c = (1 — cosy) sin (a + b), I (cos 6 — cos a) sine = (1 -4- cosy) sin (a — b).
Mais, d'autre part, on tirera de la formule (35) ,v / x
s i n a -+- sin 6
(44) par consequent,
sina
sina — sin 6 sina — sin b
sin b
siny sine'
(sina -+- sin6) sine :=_siny (sina -+- sin b), (sin a — sin 6) sin e = sin y (sin a — sinb).
(45)
Enfin, on aura identiquement „ a+ 6 a— co s a + cos 6 = 2 cos cos 2
sin a + sin 6 = 2 sin
a —
-cos •
.
. cos 6 — cos a .=: 2 sin.
. _
sin a — sin 6 = 2
<x_-\- 6 .
. a— 6
sin
a —
— sin ———
— cos
a +
2
et, par suite, tang a -I- 6 2 a —6 tang 2
sin a -4- sin 6 cos a -+- cos 6 cos 6 — cos a sin a -t- sin 6
cos 5 — cos a sin a — sin 6 sin a — sin 6 cosa + cos§
Done, eu egard aux formules (43) et (45), on trouvera a+ 6 laiijf
(46)
2 a— 6 2
sin y sin a -4- sin b 1 -4- cos y sin (a — b}. » — ^_ : > 1 — cosy sin(a + b) siny sina—sinb 1 + cosy sin(a— b) siny sina — sir siny sina -F sin b 1 — cosy sin (a -— :
ou, ce qui revient au meme, tang
a +6 2
(47) tang
a —b
OEuvres de C — S. II, t. XIII.
2
cos
2
COS
a +b
sin a —
b
2
sin
2
2
a-h b 2
y cot'- • 2
2
MEMOIRE
370
Si Ton remplace le triangle spherique donne par le triangle supplementaire, on devra, dans les formules (47), remplaceia,
par
7T — a ,
b,
7T — S,
c,
a,
7T — y ,
6, y
7T — a ,
n — b,
n—c.
On aura done encore cos tang
(48)
2 b
=
cos
a.— B 2— 6a -+-
j
g
,
2
. a— 6 , sin a —b 2 c tangs = stang-> 2 . a+ 6 &2
puis on en conclura cos-
= cot (49)
a -+- b [c tang-> 2 °2
cossin
= cot
a—b
sin
D'ailleurs, les formules (43) peuvent s'eerire comme il suit cos
(5o)
a+ 6 2
cos
a —6 2
=
. a -+- 6 . a — 6 sm sin =
sm(a i-: sine
) . 2ay sm - ,
2
sinT a — 6 ) 2 „ y i-; -cos —; sin c
et, en ayant egard aux deux equations identiques c . c sine tang- == 2 sin2 -} 2
3
. c c sine c o t - = 2 cos2 -, 2
2
on tire des formules (49), combinees avec les formules (5o) par voie
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 371 de multiplication ou de division, ; sin 2 -
, •=
2
cos ^
=
2
2a COS -±±
,=
2
1,
cos ^
2 C
2.
, sin 2 t
2
= sin £L±* 2
cos -
2
sin
2
sin-
= cos 2
2
2 2
,
6
sin 5 s
,
-2
2
cos -
=i sin n2
s
2, . 2„ C
2
-
2
. „ C
sin 2 -
2
2
Pour reduire ces dernieres aux equations connues cos (52)
a + 6 22
c a + b . y cos - = cos — sin i-}
cos
a —§ . c . a -+- b . y sin - — sin sin '-1
22
22
. ot-t-6 c a —b y in cos - = : cos cos '-•> 22
22
. oc — 6 . e .•a —b y sin sin - = sin cos '-?
22
2,
2
22
il suffira d'extraire les racines carrees de chaque membre, puis d'observer : i° que, chacun des angles a
b
— ) 1
\c
—)
1
a
— 5
S
— )
1
y
—)
1
1
1
etant inferieur a un droit, chacune des lignes trigonometriques . c sm-i 2
c cos—) 2
. y sin1) 2
y cos - )
. a + b .oc + 6 a—b sin •> sin > cos ,
2
2,
2
tY
sera positive; i° qu'en vertu des formules (I9), cos nus affecte du meme signe que les deux quantites cot Un
a -+- b )
cos
cos
a —6
2 I
2
S
sera un cosi-
a-h b ;
sinus affecte du meme signe que les deux quantites cot
a —b 5
. a—b
sin
•
Les formules (47) et (48), analogues a celle qui, dans la Trigonometrie rectiligne, sert a la resolution d'un triangle dans lequel on connait deux cdtes et Tangle compris, constituent ce qu'onappelle les analogies de Neper. Observons d'ailleurs qu'on les reproduira imrae-
372
MEMOIRE
diatement si Ton combine entre elles, par voie de division, les formules(52). Lesformules (47), jointes a Tunequelconque des formules (48) ou (52), fournissent le moyen de resoudre completement un triangle spherique dans lequel on connait deux cotes a, b et Tangle compris y. En effet, un tel triangle etant propose, on pourra deduire immediatement des formules (47) les demi-sommes a+ 6 2
a— '
2
renfermees, la premiere entre les limites o, n, la seconde entre les limites —-> -+-->et, par suite, les angles a, 6; puis de Tune quelconque des formules (48) ou (52), la valeur de - comprise entre les limites o, -» et, par suite, la valeur de c. Pareillement les formules (48), jointes a Tune quelconque des equations (47) °u ($2), fournissent le moyen de resoudre un triangle spherique dans lequel on connait un cote c et les deux angles adjacents a, S. En effet, un tel triangle etant propose, on pourra deduire immediatement des formules (48) les demi-sommes a -4- b
a —b
2
2
comprises, la premiere entre les limites o, TT, la seconde entre les limites — - , + - » et, par suite, les cotes a, b; puis, de Tune quelconque des formules (47) ou (52), la valeur de - comprise entre les limites o, ^> et, par suite, la valeur de y. Si Ton donnait, dans un triangle spherique, deux cdtes a, b et Tangle a oppose a Tun d'eux, ou deux angles a, § et le cote a oppose a Tun d'eux, on commencerait par determiner Tangle S ou le cote b, a Taide de la formule (35) reduite a sin 6 sin b
sin a sin a
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 373 mais a la valeur de sin 8 ou de sin b, tiree de cette formule, correspondraient deux valeurs de Sou de b, egalement admissibles, et representees par deux angles, l'uri aigu, l'autre obtus. D'ailleurs, les cdtes a, b et les angles a, 8 etant supposes connus, on pourrait deduire la valeur dec de I'unequelconque des equations (48), et la valeur de y de 1'une quelconque des equations (47)Dans le cas particulier ou l'un des angles du triangle spherique, Tangle y par exemple, se reduit a un angle droit, on a cosy = o,
siny:=i,
et les formules (24) et (35) se reduisent aux suivantes : (53) . „ ..
cos c = cos a cos b, sin oc sin 8 1 sin a sinfe sine'
dont la derniere peut etre remplacee par les deux equations (55)
sin a = sin a sine,
sin b = sin 6 sine.
Alors aussi les formules (3o) donnent (56)
cosa-= cosa sin6,
cosS = cos6 sinot.
On doit remarquer d'ailleurs que cesdiverses equations peuventtoutes se deduire directement du theoreme VII du paragraphel. La premiere, c*est-a-dire l'equation (53), qui subsiste entre les cotes a, b etl'hypotenuse c d'un triangle spherique rectangle, est precisement, comme on l'a fort bien observe, celle qui remplace le theoreme de Pythagore, quand on passe de la geometrie plane a la theorie des figures tracees sur la surface d'une sphere. Ajoutons qu'en reduisant cosy a zero, et siny a l'unite, on tire des formules (27), (28), (29), (3o), (3i), (32),
(59)
tafaga = tangc cos 6, ( tang& = tangc cosa, ( sine cos a = sin b cos a, \ sine cos 6 = sin a cos b, tanga tang§ cose = 1 , sin a cos c — cos 6 cos a, 1 sin6 cose = cosa cos6.
374
ME MOIRE
Au reste, les equations (67), (58), (59), (60) pourraientse deduire immediatement des formules (53), (55), (56), ou, ce qui revient au meme, de l'equation (53) jointe aux deux formules sin a (61)
cos 6
. ,,
sin b
coscc
S
Laformule (53), jointe aux equations (07) et (58), fournit immediatement la resolution d'un triangle spherique rectangTe, dans lequel on connait les trois cotes, puisqu'un tel triangle etant donne, on peut deduire, i° le cote inconnu de la formule ( 5 3 ) ; 20 les angles a, § des equations (57.) ou (58). Les formules (56) et (5g) fournissent immediatement les trois cotes a, b, c d'un triangle spherique rectangle dans lequel on connait les deux angles a, 6. Si Ton connaissait un angle a avec un cdte adjacent b ou c, le second des deux cotes adjacents a Tangle a serait determine par Tune des formules (57) et Ton se trouverait ainsi ramene au cas ou deux cotes etaient connus. Enfin, si Ton connaissait, dans un triangle spherique rectangle, un angle a et le cote oppose a, on ne pourrail plus, comme dans les cas precedents, determiner chaque angle ou cote inconnua Taide de son cosinus ou de sa tangente, c'est-a-dire a Taide d'une ligne trigonometrique a Iaquelle repond toujonrs un seul angle compris entre les limites o, n. Mais l'equation (54) fournirait la valeur de sine, a Iaquelle repondraient deux valeurs de c egalement admissibles, et representees par deux angles, I'un aigu, Tautre obtus. D'ailleurs a etc etant connus, la resolution s'acheverait comme dans le premier cas. Si le triangle spherique, dont les cotes sont a, b, c et les angles a, S, y, etait trace sur la surface d'une sphere decrite non plus avec le rayon 1, mais avec Ie~rayon 1, le triangle spherique semblable, trace sur la surface de la sphere dont le rayon serait Tunite, aurait evidemment pour cotes —>
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 375 les angles etant toujours a, 6, y. Done alors aux formules trouvees dans ce paragraphe, on devrait substituer celles qu'on en deduit, quand on remplace a, b, c par -? -> -• V. — Sur la reduction de la trigonometrie spherique a la trigonometrie rectiligne.
Ainsi que Lagrange l'a remai'que, les formules de la trigonometrie spherique peuvent etre aisement reduites a celles que presente la trigonometrie rectiligne. Cette reduction permettant de mieux saisir les analogies qui existent entre les formules correspondantes des deux trigonometries, il n'est pas sans interet devoir comment elle s'effectue. Or on peut etablir a ce sujet une regie tres simple, que nous allons demontrer en peu de mots. Nommons a, b, c les cotes et a, 8, y les angles d'un triangle spherique trace sur la surface de la sphere dont le rayon est i. Ces cotes et ces angles auront entre eux les relations qu'expriment les formules etablies dans le paragraphe IV, quand on y remplace a, b, c par a b c t
t
x,
Concevons maintenant que, dans les formules du paragriaphe IV, modifiees comme on vient de le dire, le rayon t devienne infiniment grand. Les angles -> -•> - deviendront infiniment pelits, et, apres avoir developpe les sinus, cosinus et tangentes de chaque angle infiniment petit en series ordonnees suivant les puissances ascendantes de cet angle, on pourra faire disparaitre le rayon -c de chaque formule en y reduisant - a zero. II y a plus : les formules nouvelles auxquelles on parviendra, en operant de cette maniere, co'incideront evidemment avec celles que Ton deduirait des equations diverses etablies dans le paragraphe IV, en considerant chacun des angles representes par a, b, c, ou par une fonction lineaire de a, b, c, comme une quantite infiniment petite du premier ordre, et en negligeant les infiniment petits
376
MEM01RE
d'ordre superieur par rapport aux infiniment petits d'ordre inferieur; elles seront done homogenes par rapport aux cotes a, -b, c, si Ton donne ce nom aux equations et formules qu'on obtient en egalant a zero des fonctions homogenes de a, b, c. D'autre part, lorsquedeviendra nul, eUinfini, le triangle spherique trace sur la surface de la sphere, dont -c etait le rayon, se transformera evidemment en un triangle rectiligne. On peut done enoncer la proposition suivante : — Considerons Vune quelconque des formules de trigonometric spherique qui lient entre eux les trois cdtes a, b, c et les trois angles a, 6, y rf'wn triangle spherique trace sur la surface de la sphere qui a pour rayon Vunite. Pour que cette formule devienne applicable a un triangle rectiligne dont les cdtes seraient encore reprdsentes par a, b, c, et les angles par a, 6, y, il suffira de la rendre homogene par rapport aux cdtes a, b, c, et d'operer comme si, ces cdtes e'tant infiniment petits du premier ordre, on negligeait les infiniment petits d'ordre superieur par rapport aux infiniment petits d'ordre inferieur. THEOREME.
Corollaire I. — Si Ton veut, en operant comme on vient de le dire, rendre homogenes les formules (27), (28), (29) du paragraphe IV, il suffira d'y pousser l'approximation jusqu'au premier ordre dans revaluation des sinus et cosinus des arcs consideres comme infiniment petits; il suffira done d'y remplacer les sinus des arcs a, b, c par ces arcs eux-memes, et leur cosinus par l'unite. Done, en vertu du theoreme enonce, les equations analogues aux formules (27), (28), (29) du paragraphe IV seront, dans la trigonometrie rectiligne, (1) a= 6 cosy -+- ccosy,
b = c cosa -+- a cosy,
c = acosS + b cosy.
Effectivement, etant donne un triangle rectiligne dont les cotes sont representes par a, b, c et les angles par a, 6J, y, on peut etablir immediatement chacune des formules (7), en projetantles trois cotes sur la direction de l'un d'entre eux. Corollaire II. — En operant comme dans le corollaire I, e'est-a-dire
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 377 en remplacant le cosinus de chacun des angles a, b, c par l'unite, et en ayant egard aux equations (7), (8), (9), (10) du paragraphe II, on reduira les formules (3o), (3i),(32), (33) du paragraphe IV aux six equations (a)
=—cos(6 + y), I since =
sin(o-Ky),
c'osS——cos(y + a),
cosy =—cos(a + S),
sin6 =
siny==
sin(y + a),
Or il resulte de ces dernieres que les sinus et cosinus des angles 6 + y, y + a,
ot-f-6
sont en meme temps les sinus et cosinus des angles n — a.
% — 6,
n — y,
et que, par suite, Tangle est un terme de la serie O,
27T,
4TT)
Done, puisque, chacun des angles a, §,y etant inferieur a TI, la diffe rence a' -+- 6 -+- ~f — it devra rester inferieure a 2 it, cette difference sera necessairement nulle, et les equations (2) entraineront la suivante : (3)
a,+ 6 + y —re.
Done, en partant des formules (3o), ( 3 i ) , (32), (33) du paragraphe IV, on se trouve ramene a celle qui exprime que, dans un triangle rectiligne, la somme des trois angles est egale a deux droits. Corollaire III. — En operant comme dans le corollaire I, e'est-a-dire en remplagant les sinus des arcs a, b, c par les arcs eux-memes, on reduira la lormule (35) du paragraphe IV a la suivante : (4)
sin a sinS — =
siny —=—'
qui s'accorde avec 1'equation (4) du paragraphe III. Corollaire IV. — Lorsque les cotes a, b, c sont infiniment petits du premier ordre, on peut en dire autant de la demi-somme> CEuvres de C. — S. II, t. XIII.
> de la 48
378
ME MO IRE
demi-difference ^—— , et du demi-perimetre p==
a-h _ b -+- c
Alors aussi, pour rendre homogenes les formules (37), (38), (39), (47) du paragraphe IV, il suffit evidemment d'y remplacer le sinus de chaque arc infmiment petit par cet arc lui-meme et son cosinuspar l'unite. Done, en vertu de ces formules et du theoreme enonce, les cotes a, b, c, les.angles a, S,j etle demi-perimetrep d'un triangle rectiligne quelconque sont lies entre eux par les equations
(5)
sin^-2 =
V |
ab \
,. (7) ''
tang b
a. + 6 . y r=coti-, 2 2
tang b a
a. — 6 =
I'
a— b y rcot^-a-+- b 2
Parmi ces equations, les trois premieres sont celles qui s'appliquent le plus aisement a la resolution d'un triangle rectiligne dont les trois cotes sont connus. Ajoutons que l'avant-derniere se deduit encore de la formule et que la derniere, jointe a cette meme formule, fournit le moyen de resoudre un triangle rectiligne dans lequel on connait deux cotes a, b et Tangle y compris entre ces cotes. Corollaire V. — Lorsque, en considerant les cotes a, b, c comme infmiment petits, on veut rendre homogene, par rapport a ces cdtes, 1'une des formules (26) du paragraphe IV, par exemple la formule (24), ou, ce qui revient au meme, l'equation (36) du meme paragraphe, il ne suffit plus de pousser 1'approximation jusqu'aux infmiment petits du premier ordre dans 1'evaluation des sinus et cosinus des arcs a, b, c, et de substituer ces arcs a leurs sinus, en remplacant leurs cosinus
SUR LA THE0R1E DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 379 par l'unite. II devient necessaire de faire entrer en ligne de compte les infiniment petits du second ordre, et de prendre, en consequence, pour valeurs approchees de sina,
sinb,
les quantites a,
,
b
i
cosa, a2 ,
cosb, 62 ,
i
2
cose, c2 ,
i
2
2
cosacosft,
i
ai+bi 2
Cela pose, en rendant homogene, par rapport aux cotes a, h, c, l'equation (24) ou (36) du paragraphe IV, on obtiendra laformule connue c 2 =a 2 +6 2 —2abcosy,
(8) OU , . (9)
a~-\- 62 — c2 cosy = lab
qui, en vertu du iheoreme enonce, devra, dans un triangle rectiligne quelconque, determiner le cosinus d'un angle en fonction des trois cotes. Dans le cas particulier ou Tangle y devient nul, l'equation (24.) du paragraphe IV se reduit a l'equation (53)'du meme paragraphe. Alors aussi l'equation (8), reduite a la formule c2 = a s + 6 2 ,
(10)
reproduit le theoreme de Pythagore, ainsi qu'on devait sJy attendre, puisque, dans la trigonometrie spherique, ce theoreme se trouve remplace par la formule (53) du paragraphe IV, ou, en d'autres termes, par le theoreme VII du paragraphe I. VI. — Sur les relations qui existent entre les systemes de coordonnees rectilignes relatives a deux systemes d^axes conjugu.es.
Nommons x,
7,
z
les coordonnees d'un point mobile P, rapportees a trois axes quelconques menes par 1'origine 0, et X,
r,
Z
380
MEMOIliE
les coordonnees du meme point mobile, rapportees a trois autres axes conjugues aux trois premiers, c'est-a-dire a trois autres axes menes par la meme origine perpendiculairement aux plans des y., z, des^, x et des x, y. Supposons d'ailleurs, pour plus de commodite, les demiaxes des X, Y et Z positives situes par rapport aux plans coordonnes desy, z, des z, xetdesx,y, desmemes cotesqueles demi-axes des a?, y et z positives. Enfin soient x,
y,
z
et
X,
Y,
Z
six longueurs mesurees a partir de l'origine 0, d'une part sur les demiaxes des x, y, z positives, d'autre part sur les demi-axes des X, Y, Z positives. Les deux angles solides (x, y, z),
(X, Y, Z),
dontles aretes auront pour directions celles de x, y, zet de X, Y, Z, seront, comme les deux triangles spheriques auxquels ils repondent, supplementaires l'un de l'autre. Cela pose, si, enconsiderant le premier de ces angles solides, celui qui a pour aretes les demi-axes sur lesquels se mesurent les trois longueurs x, y, z, on nomme a,
b,
c
les angles plans opposes a ces aretes, «,
§>
7
les angles diedres opposes a ces angles plans, et A,
p., v
les angles aigus que forment ces trois aretes avec les demi-axes perpendiculaires aux plans des faces opposees, on aura
Ajoutons que, si Ton nomme r le rayon vecteur mene de l'origine 0 au
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALE S. 381 point mobile P, on aura, en vertu des formules (12) de la page 160, , . .
(2)
COS \r,X) x — r trU, Xj ees'
cos\r, Y)
cos\r, Z)
cosl,y, Yj
COSU,
Si maintenant on echange entre eux les deux systemes d'axes conjugues, alors, a la place des formules (2), on obtiendra les suivantes : (3)
^_r:
;r-^-, cos\x, X)
F= i
——, cos\y, 1)
Z=r
. cos\z, Z)
D'autre part, comme on l'a vu dans le paragraphe I, la consideration des projections orthogonales fournit immediatement la formule (i5) de la page 346, par consequent les formules(10), (11) des pages 159, 160. Done, s etant un rayon mesure toujours a partir de 1'origine 0, mais distinct de r, on aura encore ...
(/\\
cos\r, xj cos\s, XJ
cos^r, y) cos\s.Y/
cosVx, X^
cos^y, Y^
cos\r, z) cos\s, Z) cos\z, Z
et COS \l
"M
cosVr, XJ cosU, xj
« Si
~,
r
cosl,x, Xj
cosl^YJ cosVs, j) —1—
~i
r~~"
cos\y, Y)
cosVr, Z) cos\s, V ~1
——
COS\Z,
_—
Z
Ajoutons qu'en vertu des formules(2), (3), les equations (4), (5) se reduiront aux deux suivantes : //\ \ (6)
(-^-\
( /s^\
(-^ ^
r cos\r, s) = x cos\5, xy + jKCosV*, y / + z cos\5, z ),
et (7)
rcos\r, 5) =vrcos\s, X) -+- Fcos\s f Y) -h Zcos\s, Z)
e'est-a-dire a deux equations semblables Tune a l'autre, et dontchacune peut se deduire directement de la formule (5) de la page i58. Cela pose, pour obtenir les valeurs des coordonnees x, y, z exprimees en fonctions lineaires des- coordonnees X, Y, Z, ou les valeurs de X, Y, Z exprimees en fonctions lineaires de x, y, z, il ne restera plus
382
ME MO IRE
qu'a substituer, dans les formules (2), les valeurs de /\ \ / /> \ ( /\ cos\'~, Xj, cos\r, Yy, cos\r, /
tirees de l'equation (7), ou, dans les formules (3), les valeurs de ,
cosV'*, y / , cos \r, z/,
tirees de l'equation (6). Si Ton a egardaux equations (1), les formules(2), (3) deviendront (8)
x =
cos (r, XJ ^ , cos A cos \r, x)
(q)
X = r ^ ' \ ^ \ cos A
u
v= r
cosV'', YJ
eosV^, Z/
cos p. Y i = = rr
cosU', s 3 7) /
7
' - ' Z, cos p.
Z = s5
cosjr, z) cosv
et Ton tirera des formules (6), (7), / A \ /• cos V r, x ) =x -+- y cose + s cosb,
/M /•cos\( r, j ) = x cose + y -+- z cosa, /'cos\ r, z ) =x cosb -+- y cosa -+• z ;
rcoi\r, (11)
X j :=.!' — Fcosy — ZcosS, , = — X cosy + F — Zcosa,
[ /-cos\r, z ) = — X c o s S — Fcosa + Z.
Or ces dernieres, combinees avec les formules (8), (9), donneront (12) A r=
x+ ; y cose + z- cos b r
>
COSA
_ X— Fcosy — ZcosS cos A
/ —
x cose + j + ; cosa i
Z=
COSJJl
_ — Z'cosy + Y — Zcosa cos p.
x cos6 + r cosa + s >
COSV
~
_ — Z c o s S — Fcosa +'Z cosv
Remarquons d'ailleurs que chacune des equations (12), (i3) se trouve comprise, comme casparticulier, dans la formule (16) dela page 161, de laquelle on pourrait les deduire immediatement. II est bon d'observer que les equations (12), presentees sous les formes x -+-y cosa -+- z cosb = ^-Fcos A, «cosc + j + ; cosa = F cos p., xcosb-hy cosa + ^ = Z cosv,
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 383 peavent etre facilement resolues par rapport a x, y, z. Concevons que, pour abreger, Ton designe par K la resultante formee avec les neuf termes du tableau i,
cose,
cos 6,
cose,
i,
cos a,
cos#,
cosa,
i;
puis par A,
B, C, D, E, F,
les resultantes formees avec les memes termes pris quatre a quatre dans deux lignes horizontales, et dans deux lignes verticales, en sorte qu'on ait (16)
K=L — cos2 a — cos2 b — cos2c -t- 2 cos a cos b cose
et (in •
— 1 — cos2 a,
B — i — cos2 b,
I D = cosbcosc — cosa,
C = i — cos2c,
E = cosccosa—cosb,
F — cosacosb — cose.
Les valeurs de A, B: C pourront etre reduites a (18)
A = s,in*a,
B = s,m*-b,
C=sinsc,
et, en effectuant la resolution des formules (i4)> par rapport a x, y, 3,, on trouvera AJf 00*1+ FFcos[j. -h EZ cosv
K (19)
4- DZcosv — FA cosA 4- JBFCOSJJ. _ .,
- DFcosjx4- CZ cosv
K
Or ces dernieres valeurs de x, y, z devront s'accorder avec celles que fournissent les equations (i3), quelles que soientd'ailleurs les valeurs attribuees aux variables X, Y, Z. Done les coefficients constants, par lesquels ces variables se trouvent multipliees, doivent etre les memes dans les formules ( i 3 ) et (19). Cette seule observation fournit immediatement la formule (20)
K = A cos 2 A == B cos 2 p. = C cos 2 v _ COS fJL COSV
cos a.
COSV COS \
„ COS A COS [J.
cos 6
cos y
384
MEMOIRE
de laquelle on tire, eu egard aux equations (18), /f=sin 2 acos' 2 X = sin 2 6 cos'2^ = sin2 e cos'-v,
(21)
et, par suite, (22)
0 = sin
6 etant une quantite positive liee a if par Tequation Bi=K.
(23)
Ajoutonsque, de la formule (20), jointe aux equations (16), (17), (22), on tirera cos a — cos b cose cos v. = sin b sine cos b — cos c cos a cos 6 = sine sin a cose — cos a cos£> cosy = — . '
sin a sin b
Enfin, si, dans l'equation (23), on substitue pourZsa valeur, on trouvera (25)
92 = i — cos2 a — cos2 b — cos2 c -t- 2 cos a cos b cos c.
Si, au lieu de tirer les valeurs de x, y, z des equations (12), on comparait les valeurs de X, Y, Z, tirees des equations (i3), a celles que fournissent les equations (12), alors, a la place des formules (22) et (24), on obtiendrait les suivantes : (26)
0 = sin a cos 'A = sin 6 cos JLX = sin y cos v, ,' cos a + cos 6 cosy I
COS Ct
1
,
•.
(27)
1
'
•_
sin 6 sin y.
,
cos 6-4-cosy1 cos a
cos c =
cosy H- cos a cos 6 '—. : ,
COS 6 =
r: siny sinoc
,
sin a SIHD
@ etant une quantite determinee par la formule ( 9 -%)
0 2 = i — cos 2 a. — cos-6 — cos 2 y — 2 cosa cosS cos y.
Les formules (22), (24), (26), (27) coincident avec les formules (7), (26), (10) et (3o) du paragraphe IV. Ainsi, les equations fonda-
SUR LA THE0R1E DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 385 mentales de la trigonometrie spherique sont comprises parmi celles auxquelles on se trouve conduit par la comparaison des formules (12) et(i3). Au reste, il est juste d'observer que les formules etablies ou rappelees darns ce paragraphe, et les demonstrations que nous en avons donnees, ne different pas, au fond, des formules et demonstrations presentees par M. Sturm, dans un Memoire que renferme le Tome XV des Annales de Mathematiques de M. Gergonne. Telle est, en effet, la conviction qu'a produite en nous une etude approfondiedece Memoire. Seulement il nous semble que les notations dont nous nous sommes servis donnent au langage analytique une clarte, une precision nouvelles. Dans le Memoire de M. Sturm, les angles formes par le rayon vecteur r avec les axes coordonnes des x, y, z, prolonges du cote des coordonnees positives, et avec des perpendiculaires aux plans de ces axes, sont exprimes a 1'aide des notations
et ces expressions sont admises dans des formules ou l'auteur designe avec nous, para?, y, z, les coordonnees de l'extremitedu rayon r. Pour rendre les notations uniformes et plus precises, il nous parait utile de considerer toujours, dans l'expression (r, s) ou \r, s), employee pour designer un angle, les lettres r et s comme representant deux longueurs absolues, mesurees dans des directions determinees, et de remplacer, en consequence, dans l'expression \r, s), la lettre s, non par la lettre x ou par le systeme de deux lettres yz, mais par une longueur nouvelle x ou X, mesuree sur le demi-axe des x positives, ou sur un demi-axe perpendiculaire au plan des yz, quand il s'agit de representer Tangle forme par ce demi-axe avec la direction du rayon vecteur r. Observons encore que, si la formule (4) ou (5) n'est pas ecrite en toutes lettres dans le Memoire de M. Sturm, elle peut, du moins, etre consideree comme comprise dans les equations qu'il a donnees, et specialement dans les formules (i3) et (18) du Memoire OEuvres de C. — S. 11, t. XIII.
49
386
MEMOIRE
cite, c'est-a-dire, en d'autres termes, dans les equations (2) et (6), d'ou on la deduit immediatement, et d'ou l'auteur a effeetivement deduit celle en laquelle elle se transforme dans le cas particulier ou Ton fait coincider le rayon vecteur s avec le rayon vecteur r. Remarquons a present que Ton pourrait tirer encore les equations fondamentales de la trigonometrie spherique, et specialement la formule (20), non plus des equations (i4)> resolues generalement par rapport kx, y, 2, quelles que soient d'ailleurs les valeurs attributes aux variables X, Y, Z, mais des equations (10), resolues par rapport a x, y, z, pour des positions particulieres et determinees du rayon ;\ En effet, concevons d'abord que Ton fasse coincider le rayon r avec la longueur X, mesuree sur le demi-axe des X positives. Alors la formule (8)donnera ,
r cos A
/'cosy cos p.
/'cos 6 cosv
et les formules (10) se reduiront a celles-ci : 1 r cos A = x' -+- y cos c -\~ z cos b, ' o ="*• cose + 7 -\-z cosa, [ o = x cosb + y cosa -+- z.
(3o)
Or, des equations (3) resolues par rapport a x, y, s, on tirera x
y
Iz
r cos A
ou, ce qui revient au meme, ,r, ,
A
(02)
_
x
F =
_
E =
_
y
K —
z
r cos A
puis, en substituant dans la formule (32) les valeurs de x, y, z, fournies par les equations (29), on trouvera K cosy
cosS
cosA;
par consequent, K= A cos'X = - F -sX
co ^co cosy
= =-E E
^A. cos 6
On trouvera de meme, en faisant coincider le rayon r avec la Ion-
SUR LA THE0R1E DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 387 gueur Y, mesuree sur le demi-axe des Y positives, D
,
^cosucosv cos a
^ cosy
puis, en faisant coincider le rayon r avec la longueur Z mesure" e sur le demi-axe des Z positives, TS
n
*
_,COSVCOsA
K = 6 cos2 v = — /? —
_COSUCOSV
3— — — Z)
COS 6
!-
;
COSOt
et il est clair qu'en reunissant les trois valeurs precedentes de K, on reproduira precisement la formule(2o). II est bon d'observer que les numerateurs des fractions qui, dans les formules (24), representent les cosinus des angles a, 6, y, se reduisent precisement aux resultantes -D,
-E,
~F,
formees chacune avec quatre termes du tableau (i5). D'ailleurs, ce tableau est precisement celui qu'on obtient quand on reduit a son expression la plus simple chacun des termes du suivant : x, x), cosVx, y), cosVx, z), /\ \ cosVy,x./, cos\y, y/, cosV.y, z ,x/, cos^x, z j , cos^z, y), cos\z, z COS
(33)
Done, la forme la plus naturelle des equations (24) est celle a laquelle on arrive quand aux numerateurs des rapports qui expriment les valeurs de cosoc, cos£, cosy, on substitue trois resultantes, dont chacune est formee avec quatre termes du tableau (33). Concevons, en particulier, que dans la valeur de cosy, determinee par la derniere des equations (24), ou, ce qui revient au meme, par la suivante : F COS V =
'
:
:
T
>
sin a sin 0
on substitue la valeur de — Fdeduite du tableau (33), savoir / /\ \ (/\\ / /\ \ ( /\\ F = cos^x, y ) cos\z, z/ — cos \x, %) cos^y, z | .
388
MEMOIRE
on tfouvera ~~~.,— cosy-
(
' y ))( ( »
) —cos (x, z ) c o s ( y , z )
sin
Comme on devait s'y attendre, l'equation (34) se reduira simplement a la formule (35)
_
0S
C0S
U> y) — c-os(x, z)cos(y, z sin\x, zjsin V y, z )
si Ton a egard a l'equation identique cos
Mais la formule (34), qui conserve mieux que la formule (35) la trace des operations a I'aide desquelles on Ta construite, est aussi plus elegante et plus facile a retenir, puisque le numerateur de son second membre est la difference de deux produits de memes dimensions, dont le second se deduit du premier par un echange opere entre les lettres qui occupent la seconde place dans les deux expressions y;, \z, z). II est bon d'observer encore que la formule (25) coincide avee ['equation (4o) du paragraphe IV. En effet, on tire de cette derniere equation (36)
9 2 = 4 sin/? sin(/> — a) sin (p -~ b) s i n ( p — c ) ,
la valeur de ip etant ou, ce qui revient au meme, (57) 0-=4sin
sin
V
^
/
D'ailleurs, les deux formules 2 sinp sin q = c o s ( / j — q) — cos(/> + q ) ,
2 cosp cosq = cos(p ~q) + cos(p + q),
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 389 donneront, d'une part, . a + b-hc.b-\-c'— 1 sin sin —
a
. c + a — b . -a+b— 2 sin sin
c
2
= c o s a — cos(t> + c), = cos (6 — c) — cosa,
2
\
I
1
et,xl'autre part, cos(& + c) -+- cos(b — a) = 2 cost cose, ,,
.
.,
.
COS2&+COS2C
cos(o + c) + cos(o — c) =
-„,
= 1 — cos2i& — cos 2 c.
Done, on tirera de la formule (37) 0 2 = [cosa — cos(6 +"c)] [cos(6 — c) — cosa] = i — cos 2 a — cos 2 b — cos 2 c + 2 cosa cosb cose.
Ajoutons que, si au triangle spherique dont les cotes sont a, b, c, on substitue le triangle spherique supplementaire, on obtiendra, au lieu de la formule (36), la suivante : (38)
@2=r— 4 cosn? cos(rn — a ) cos(ra — 6) COS(GT — y),
et que l'equation (28) co'incidera precisement avec la formule (38), Avant de terminer ce paragraphe, nous allons encore deduire des equations (2), (3), (4), (5), (6), quelques formules qui meritent d^6tre reraarquees. Si, dans l'equation (6), on remplace successivement la lettre s par chacune des lettres r, x, y, z, alors, comme l a observe M. Sturm dans le Memoire deja cite, on obtiendra successivement les formules (39)
r = x cos\r,-xj cos\r,-xj ++ jcosVr, j V y ) + s cos\r, z (^\ (^) (^ r cos\r, x / =00 +JK COS\X, J/ -+- z cos\x. z r cos \r.y / =x cos \ x, y j -+- y + s cos V y,
C/\\
YA\
r cos V,r, z / =: x cos\x. zj-\-y
f/\A cos\y, z / + z,
dont les trois dernieres coincident avec les formules (10), tandis que
390
MEMOIRE
la premiere multipliee par /•, puis combinee avec les trois dernieres, reproduit l'equation connue J, z) + 2zxcos\z,xJ + ixy cosVx,y}.
En operant de la meme maniere, on tirera de la formule (7) : (42s) r*-— P + r 2 + Z 2 +2 J-ZCOS(YTZ) + iZXcosiz^X)
+2XFcos(x, Y).
Si dans l'equation (6) on echange entre eux les rayons r, s, alors, en nommant ce que deviennent les coordonnees x, y, z quand on passe de l'extremite du rayon r a l'extremite du rayon s, on trouvera (43)
* c o s \ r , s / = * ' c o s \ r , x ^ -j- j ' c o s \ r . y) •+• 2 ' c o s \ r , z ) ;
et de l'equation (43), multipliee par r, puis combinee avec les equations (4°); on tirera la formule (44)
7\?cos\r. s) =xx'-h yy'-h zz'-\- (yz'-+-y'z) cos\y, + {zx'-\- z'x) cosl,z, x) + (xy'-\- x'y') cos\x, y).
qui est 1'une de celles que M. Binet a donnees dans le Tome XV du Journal de Vfccole Poly technique. Pareillement, si Ton nommeX, T, Z' ce que deviennent les coordonnees X, Y, Z quand on passe de l'extremite du rayon r a l'extremite du rayon s, on obtiendra la formule (45)
rscos\r,s) = XX' + YY>' + 22' + {YZ1 + Y'Z) cos ( Y/Z ) + (2X'+ 2'X) cos(z^) + {XV'+X'Y)
COS(X^Y),
donnee encore par M. Binet. De plus, si dans les formules (44), (45). on substitue les valeurs de x, y, z, X, Y, Z,
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS 0RTH060NALES. 391 tirees des formules (2), (3), et les valeurs semblables de • v1
T1
-1
\>
y
yi
on obtiendra deux equations dont la premiere a ete indiquee par M. Sturm, dans le Memoire cite, et dont la seconde sera .„ I/\ \ cosyr, x) cosy*, x) cosyr, y) cosy*, y) cosyr, z) cosy*, z (i\b) cosyr,*/— / /\ \ ' / "/\ \" : l / /\ \ \
pn?
\ v
OUo
\ -A. ^ -/V
i
p<"i^
\ V
/
l_^v/D
\
Y /
y » .1
/
cosyr, y) cosy*, z/ + cosyr, z/ cosy*, y^ cosyy, Y/ cosyz, Z/
(/\\
(/\\
(^\
(/\\
cosyr, z/ cosy*, xj -+- cosyr, x) cosy*, z/ cos cos cos (2, ZJ cos(x, XJ H
cosVr, xjcosys. y) + cos(r, y ) cosjs. x) (
ou, ce qui revient au meme, eu egard aux formules (1), /x
.( . cosy/",
/x
(s^) (s^\ ( \y/ cosy/',( z/\ cos ) cosyf-M r, — x)—cosy5, x) -|— cosyr, y• /-rcosy*, ,?/ — — ~-r -f— COS 2 A
COS 2 |JL
COS!V
syr, y/ cosy*, z) -+- cos\5, y/ cosyr, z,
cos a
COS/7. COSV
cosyr, z/ cosy*, x) -+- cosy*, z/ cosy/-, x - cost cosv cosA ( S\\ /AV (/\ cosyr, xj cosy*, y} + cosy*, x/ cosyr. y. cos A cos p.
'
Enfin, si 1'on fait co'incider le rayon s avec le rayon r, les formules (44')> (45) se reduiront aux formules (4i),(42)> la formule(4) ou (5) sera reduite a l'equation / /\ V ( 'X \ cosyr , x) cosyr, X ^
/ / \ \ ( /V\ cosyr, y) cos \r, i / cosyy, XJ
(/\\ (/scosyr, z^ cosyr, Z cosyz, Z/
que Ton trouve deja dans le Memoire de M. Sturm, et les for*
392
MEM01RE
mules (46), (47) donneront ( S\\
( ^
2
_cos Vr, x;
)
<•(
3
cos Vr, yj
cos(r. y)cos(r, z)
^
cos-\r, z (^f\\
cosj/-, zjcosjr. x)
cosVy, Y^cosUr 2 /
cos^z, Z/cosVx,
+ 2
cos\x, X j cosVy, Y
ou, ce qui revient au meme, (So)
1=
cos 2 A 2
cos 2 p.
cos\r, zjcosU, xj "r cos v cos A
2
cos 2 v COSD
2
c
cosficosv
cosVr, xycosVr, y/ L u s ., COSACOS|JL.
/•
La formule (46) ou (47) est celle qui sert a exprimer generalement le cosinus de Tangle compris entre deux directions donnees, en fonction. des cosinus des angles formes par ces deux directions avec trois axes quelconques rectangulaires ou obliques. La formule (49) ou (5°) fournit la relation connue qui existe entre les cosinus des trois angles formes par une seule direction avec les trois axes que Ton considere. Dans le cas particulier ou les axes coordonnes des x. y, 2 sont rectangulaires, ils se confondent avec les axes conjugues, c'est-a-dire avec les axes coordonnes des X, Y, Z, en sorte qu'on a X = x,
Y = y,
Z=z.
Alors aussi, chacun des angles a, b, c, a, 6, y etant droit, et chacun des angles 1, [/., v etant reduit a zero, chacune des quantites cosa;
cos 6, cose
s'evanouit, et chacune des suivantes sJna,
sinb,
sine,
cosA,
cospt,
cosv,
se reduit a Tunite. En consequence, les formules (10), (22), (41), (44),
SUR LA THE0R1E DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 393 (47), (5o) se reduiseht aux equations connues ( /\ \ (/\ \ (51) (52) (53) (54) (55)
/ /\ \
x = r cos \r, x.) ,
/ = = rcosv', y/. s = /-cos\r, z^ 6 = 1, 2 r =a'24-j-+s2, fs = xx' -+- yy' -+- as', (/\\ /A\ //\\ cos Vr, ^J = cos\r, xj cos\5, x/ //\\ (/\\ . ( A\ //\\ + cos\r, y/ cos\s, y/ 4- cos\r, zy cos\s, z), 1 = cos 2 \r,x) -+- cos 2 \r,y)-\- cos2(,r, z ) . .
(56)
Supposons maintenant que des axes coordonnes, l'un, par exemple l'axe des z, soit perpendiculaire aux deux autres, c'est-a-dire aux axes des x et y, Tangle compris entre ces deux derniers axes pouvant d'ailleurs etre aigu ou obtus. Alors, le plan des x, y, etant en meme temps le plan des X, Y, l'axe des Z viendra se confondre avecTaxe des z, en sorte qu'on aura (57)
Z=z,
v = o.
Alors aussi on aura evidemment (58)
«= S= a= 6 = - ,
y — c,
par consequent, cos a = cos 6 = cos a = cosZ> = o, cosy = cose, !
sin a = sin 6 = sina:^ sini = 1, sin y = sine,
et les formules (i5) de la page 322 donneront (60)
cosA = cos p. =r sine,
cosv = i.
Au reste, la seconde des formules (60) se tire immediatement de la seconde des formules (57), et quant a la premiere des formules (60), on peut la deduire de cette seule consideration que les axes des X et Y, tous deux renfermes dans le plan des x,y, seront, dans Thypothese admise, perpendiculaires, le premier a Taxe des y, le second a QEuvres de C. — S. II, t. XIII.
5o
3%
MEMO IRE
l'axe des x. Les valeurs des angles «,
6,
a,
6. y,
[J-,
I,
v
et celles de leurs sinus et cosinus etant determinees par les equations qui precedent, les formules (12), (i3), (22), (26), (4i), (44), (47), (5o) donneront as+y cose (01 ) v
'
(62) x (63)' (64) (65)
.1 =
r
/' = = '
-•
„
~ >
&
J
j
sinr A — Kcosrx—— : >
Sine J—Xcosc r, r= = -> z=Z; sin c s i n c, 6 =••' & 2 2 r"=a;"- + j + s + . -zxycosc; «cos(r, 5)^a?a;'H-ixy'+s.s'4- (a?j'+«'j) cose;
cos\r. a I = (66)
as cose+y
T
5
sin-c
t/\\
(/\\
V\ l/
(/\\
cos \r, xj cos\*. y) -+- cos\«, x/ cos\r, 2
sin c
Ajoutons que, si des deux rayons vecteurs r, s\e premier est perpendiculaire a l'axe des x, et le second a l'axe des j , on aura cos(r,x)=o,
cos(5,y)^^o.
Done alors la formule (66) se trouvera reduite a l'equation ... (07)
(/\) (/\) / / \ \ cos\r, s/ = cos\r, z) cos\^, z/
cose (y\\ (/\\ ^-5—cos\«, x/ cosVr, y/,
que Ton peut ecrire comme il suit : (68)
cos\r, z) cos\s, z ) — cos\/\ .y^ =
sine tange
la valeur de c etant toujours D'ailleurs, en vertu de la formule (35), le premier membre de l'equation (68), pris en signe contraire et divise par le produit r, z/1sin\s, () zj,
donne pour quotient le cosinus de Tangle diedre oppose a Tangle
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 395 plan \r,s) dans l'angle solide {r, s, z). Done l'equation (68) entraine la proposition suivante : — fetant donnis trois axes des x, y, z dont le troisieme est perpendiculaire aux deux premiers, si Von nomme THEOREME.
x
i
y,
z
trois longueurs mesurees sur ces trois axes, a partir de Vorigine, dans le sens des coordonnees positives, etr, s deux droitesqui, partant elles-memes de Vorigine, soient respectivement perpendiculaires la premiere a I'axe des x, la seconde a Vaxe desy, le cosinus de Vangle diedre oppose a Vangle plan \r, s) dans Vangle solide (r, s, z) sera egal au rapport cos\s, x) cos\r, y) t/\\ . t/\\ . (/\\ (VV s i n \r, z) s\n\s, zj sin\x, j) tang\x, y
pris en signe contraire. Nous montrerons, dans un autre Memoire, comment Ton peut faire servir cette proposition, ou, ce qui revient au meme, la formule (67) a la recherche de l'equation differentielle que verifie generalement le cosinus de Tangle compris entre deux lignes tracees sur une meme surface courbe. VII. — Suj' la transformation des coordonnees rectilignes et d^autres coordonnies de meme espece.
Nommons x,
r, :•
les coordonnees d'un point mobile P rapportees a trois axes quelconques menes par l'origine 0 . Soient d'ailleurs x,
y,
z et
X, Y, Z
six longueurs mesurees a partir de l'origine 0, d'une part sur les demiaxes des x^y, z positives, d'autre part sur trois perpendiculaires aux plans coordonnes des y,z, des z, x, desx,y; etsupposons, pour fixer les idees, ces perpendiculaires prolongees a partir des plans coor-
396
ME MO IRE
donnes des memes cotes que les demi-axes descoordonnees positives, en sorte que chacun des trois angles
se reduise a un angle aigu. Enfin soient
de nouvelles coordonnees du point P, relatives a de nouveaux axes rectilignes qui continuent de passer par 1'origine 0 ; et supposons que, pour ce nouveau systeme d'axes, les longueurs precedemment representees par , y, z, X, Y, Z
deviennent x
n
On passera des coordonnees x,.y, j-aux coordonnees xt, y{, z,, et reciproquement, par le moyen d'equations toutes semblables a l'equation (16) de la page 161, par consequent a l'aide des formules JJCOSVX,
x,=
XJ •+• jcosVy, x j + z cos^z, X 4 / . — ^
cos
x
COB Vx,
U,xJ
Y.i) -+•'y cos \ y, Yt / 4
(i)
cos((yi y , Yj cos \z, Zs
a;cos\ cos \z,,
Zj
ou a l'aide des formules cos vy-j, Xy + s , cos^z^, Xj
5.1 cos\x,j, as.
cos\x (2)
( y =
a;,
cos\x,, Y ) -\-jicos(5
Zx COSVZj,
cos\y.» COS \ X ^ ?
s, cosVzj
Lt ) —
cos
En vertu de ces formules qui etaient deja connues [voir en particulier
SUR LA THE0R1E DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 397 le Memoire de M. Sturm, insere dans le Tome XV des Annales de Mathematiques de M. Gergonne], les coordonnees xif j , , z., seront des fohctions lineaires de x, y, z, et reciproquement. D'ailleurs, en resolvant les equations (2) par rapport aux coordonnees nouvelles
on obtiendra, pour ces coordonnees, des valeurs qui devront evidemment coincider avec celles que fournissent les formules (1), quelles que soient d'ailleurs les valeurs attributes a x, y, z. Done les constantes qui representent les coefficients de x, y, z, dans les formules (1), pourront etre exprimees en fonction des constantes qui representent les coefficients de cct, y^, z{ dans les formules (2), et reciproquement, en sorte qu'on pourra obtenir neuf equations de condition entre lescosinusdes six angles
et les cosinus des angles formes : i° par les directions des longueurs x, y, z avec les directions des longueurs X,, Y ( , Z,; 20 par les directions des longueurs x<, y,, z, avec les directions des longueurs X, Y, Z. Dans le cas particulier ou les nouveaux demi-axes des coordonnees positives coincident avec ceux sur lesquels se mesurent les longueurs X, Y, Z, les nouvelles coordonnees du point P, relatives a ces nouveaux demi-axes, sont precisement celles que, dans le paragraphe Vf, nous avons representees par les trois lettres X, V, Z. Alors aussi les formules ( i ) e t ( 2 ) sereduisent aux formules (12), (13) du paragraphe VI* et les equations de condition, que verifient les coefficients renfermes dans ces formules, aux six equations comprises dans la formule (20) du paragraphe VI. Lorsque les axes coordonnes d e s x { , y i r z, secoupenta angles droits, les directions des longueurs X,, Y,,.Z, se confondent avec celles des
398
MEMOIRE
longueurs x,, y,, z,, et, par suite, les formules (i) donnent simplement i x.y — a?cos(x, x,) + y cosly, xj +2cos(z, x t ), (3)
\ j,=:iccos(x, y j + j c o s i y , y, j + ^ c o s ( z , ya ), [ zi^x
cos\x, z, ) + JK cos\y, z, / + ,s cos\z, z,,/.
Pareillement, lorsque les axes des x, y, z se coupent a angles droits, les directions des longueurs X, Y, Z se confondent avec celles des longueurs x, y, z, et, par suite, les formules (2) deviennent simplement x = xt cos\x, x, ) +7, cosVx, y j + z, cos\x, zj, j ^ ^ c o s l y , x , ) + j , cos(y, y^.j + a, cosly, z j , 5 = » ! COS \ Z, X., / -+- J j COS \ Z, y 4 j + S.j COS \ Z, Z, ) .
Si les deux systemes d'axes coordonnes sont rectangulaires, les formules (4) subsisteront en meme temps que les equations (3). Concevons maintenant qu'il s'agisse de transformer les coordonnees obliques en coordonnees rectangulaires
relatives encore a trois axes qui passent par l'origine 0 , et supposons que ces trois axes, prolonges dans le sens des <-y
c\l
cy
positives, soient respectivement ceux sur lesquels se mesurent les trois longueurs En d'autres termes, supposons que le demi-axe des X positives se confonde avec le demi-axe des ^positives; le demi-axe des ^ p o s i tives, avec une droite menee, dans le plan des a;, y, perpendiculairement a l'axe des x, et dirigee de maniere a former, avec le demi-axe desypositives, un angle aigu; enfin le demi-axe des ^ positives, avec
SUR LA THE0R1E DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 399 une droite perpendiculaire au plan des a;, j , et dirigee de maniere a former, avec le demi-axe des z positives, un angle aigu. En remplacant dans les equations (3) et (2), x
\,
y\,
3
i
par
X,
•§,
y,
et x,, y.,, z, par x, yx, zx „ on trouvera ( /\ \ ,;xy,
(
(5)
=zx -+- jcosVy, x/ + s cos Vz,; = jcos(,y; y x ) + s c o s ( z , y x ),
et
>=
s C
° S \ Z , Z*,y), x,
XJ
co COS
cos
(6)
,(C
coss ( z X i y , Y J
cosVy, YJ Z
D'autre part, les trois longueurs «X, Y, z pourront etre censees se confondre, en grandeur comme en direction, avec les trois longueurs X y , z;
y-L, X)
^x, y ?
et si, en considerant Tangle solide (x, y, z), on nomine : a, b, c les trois angles opposes aux trois aretes x, y, z; a, 6, y les trois angles diedres opposes a ces angles plans; X, [j., v les angles aigus formes par les trois aretes x, y, z avec les perpendiculaires aux trois faces opposees a ces aretes, on aura
(50c)=»,
400
ME MO IRE
Cela pose, en ayant egard aux formules ( i ) , (6), (8), ( 9 ) des pages 3ZJ2 et 344? on trouvera cos\y, xj = cose, cos(y, y j = sin(x, y) = sine,
cos\z, x / = cose,
cos(z, y j = sin (z, x) cos(yx, zx) = sin 6 cos a,
( -^^ ^
( ^-'\
cos\z, z x y y = cos\z, x / = : cosv, cos(zx>y,X) = cos(z, Y ) = — c o s S ,
cos(zx>y, Y) = cos(,Z; Y) =— cosy,
De plus, les longueurs yx,
Y = y2jX,
Z = z XjT
etant toutes trois comprises dans un meme pian perpendiculaire a l'axe des x, et les deux longueurs
etant, dans le plan dont il s'agit, perpendiculaires l'une a l'autre, Tangle aigu aura pour complement Tangle
ou son supplement a. On aura done cos\yx. Y ) = sin a,
et Ton trouvera de meme cos\xy, X) = sinS.
Enfin, les plans des deux angles
U,-,yJ, etant perpendiculaires Tun a l'autre, puisque le premier de ces deux plans, c'est-a-dire le plan des x, y, passe par Taxe des y, tandis que Je plan \x,, x, J est perpendiculaire au meme axe, le septieme theo-
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 401 reme de la page 349 donnera cosVyx, X) = cos\xy, yx) cosVxy, X) = cos(xy, y j sing; et comrae evidemment Tangle
sera le supplement de Tangle \x, yj — c, la valeur precedente de cos(j x , XJ deviendra cos\yx, X/ =— cose sinS.
Done, en definitive, si Ton exprime, en fonction des neuf angles a,
b,
c,
a,
6,
y,
I,
p.,
v,
les coefficients de x, y, z ou de X, ^), ^ , renfermes dans les seconds membres des formules (5) et (6), ces formules se reduiront aux suivantes : (7)
3C = x + y cose + z cosS, y =y sine + z sinb co&tx, % = z cosv, °£ sin6 cose + ^ cos6 cos A y sina — ^ cosa , cos p.
(8)
cosv
On ne doit pas oublier que, dans les formules (7), (8), les trois cosinus cos>.,
cosp.,
cosv
c,
6,
sontlies aux sinus des angles a,
b,
a,
y
par les equations (i5) de la page 36i, cequiperraetd'eliminer les trois angles A,
[J.,
v.
Si, pour fixer les idees, on tire des equations dont il s'agit des valeurs OEwres de C. — S. II, t. XIII.
5i
402
MEMOIRE
de cosX, cos [A, cosv, exprimees a l'aide des seuls angles b,
c, a, 6,
deja renfermes dans les formules (7) et (8), on aura cos). = sine sin6,
COS/JI. =
sincsina,
cosv = sin b sin a;
et, par suite, les formules (7), (8) donneront X = x -+• y cos c + z cos b, -+- z sine cos a, ^ sin a; a? = X — y cote — ^ cosecc cotS, y = (y — |J cota) cosecc, z == 5J coseca cosec#.
(10)
Les equations (9), (10) s'accordent avec des formules deja connues. Elles offrent cela de remarquable, qu'elles renferment seulement les deux angles plans b = \z,x),
c=\x,jj
formes par les demi-axes des y et z positives avec le demi-axe des x positives, et Tangle diedre a compris entre les plans des deux angles b, c. Les deux dernieres des equations (10) remplissent aussi cette condition, a laquelle la premiere des equations (10) satisfera elle-meme, si Ton substitue, a la place de cot6, sa valeur deduite des formules (27) et (35) du paragraphe IV. En effe.t, ces formules donneront sina cosS = sine cos6 — sinfe cose cosa, sin a sin 6 = sin b sin a,
et, par suite, . sine cos b — sin b cose cos a cotb= , :—;—r sino sin a
puis on en conclura co\.b — cosa cote cosecc cotS = . sin a
Done, les formules (10) peuvent s'ecrire comme il suit: /, " sina (u)
[
/ — ^\
SUR LA THEORIE DES PROJECTIONS ORTHOGONALES. 403
Au reste pour obtenir immediatement les formules (i i), il suffit de resoudre, par rapport a x, y z, les equations (9). Dans le cas particulier ou le point P est I'un de ceux que renferme le plan des x, y, les ordonnees z et ^ s'evanouissent. Alors les relations lineaires qui, en vertu des formules (9) et ( n ) , subsistent entre les coordonnees x, y et S£, °$, se reduisent aux suivantes : (12.)
5C = a;
+
qu'il serait d'ailleurs facile d'etablir directement.
MEMOIRE SUR LBS
FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES I. —• Des expressions imaginaires. de leurs arguments et de leurs modules.
Ainsi que je ]'ai remarque dans mon Analyse algebnque, une expression imaginaire n'est autre chose qu'une expression symbolique de la forme a + §\/~- i,
a, 6 designant deux quantites reelles. On dit que deux expressions imaginaires sont egales, lorsqu'il y a egalite de part et d'autre : i° entre les parties reelles a et y; 2° entre les coefficients de v — 1, savoir, § et 0. L'egalite de deux expressions imaginaires s'indique, comme celle de deux quantites reelles, par le signe = , et il en resulte ce qu'on appelle une equation imaginaire. Cela pose, toute equation imaginaire n'est autre chose que la representation symbolique de deux equations entre quantites reelles. Par exemple, I'equation symbolique — 1 = y -+-
equiva'u't seule aux deux equations reelles ^. L'emploi des expressions imaginaires, en permettant de remplacer deux equations par une seule, offre souvent le moyen de simplifier les calculs et d'ecrire sous une forme abregee des resultats fort compliques.
M)6
ME MO I R E
Tel est m e m e le mntif principal p o u r lequel on doit continuer a se servir de ces expressions qui, prises a la lettre et interpretees d'apres les conventions generalement etablies, ne signifient rien et n'ont pas desens. Le signed—i n'est en quelque sorte qu'un outil, un instrument de calcul, qui peut etre employe avec succes, dans un grand nombre de cas, pour rendre beaucoup plus simples et plus concises, non seulement les formules analytiques, mais encore les methodes a l'aide desquelles on parvient a les etablir. Deux expressions imaginaires qui ne different l'une de 1'autre que par le signe du terme que renferme \J — i, par exemple tx-{-&\J—i,
a — 6y/—i,
sont ce qu'on appelle conjuguees. Concevons maintenant que Ton effectue 1'addition ou la multiplication de deux ou de plusieursexpressions imaginaires, en operant d'apres les regies generalement etablies, comme si \/— i etait un facteur reel dont le carre fut egal a — i . On obtiendra pour resultat une nouvelle expression imaginaire, qui seracequ'on appelle la somme ou le produit des expressions donnees. II est d'ailleurs naturel d'indiquer cette somme ou ce produit a l'aide des notations adoptees pour representer la somme ou le produit de quantites reelles. C'est ce que Ton faittoujours. Lorsque Ton multiplie l'une par Tautre deux expressions imaginaires conjuguees, le produit devient reel. On a effectivement (1)
(a + 6y/~)(a — 8 sf^l) = a* + &. Dans le cas particulier ou les quantites reelles a,
6
se reduisent au cosinus et au sinus d'un meme arc GJ, alors, del'equation (i) jointe a la formule (2)
cos 2 ra+sin 2 ro = i,
on tire (3)
(cosro+i/— isinnr)(cos5j— y / ~
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES. 407 Toute expression imaginaire oc + 6\/—~i
peut etre presentee sous la forme (
+\/— i sinnr),
p designant une quantite positive et GT un arc reel. Effectivement, si Ton pose <x -+- 6 y — i = p(coss7 -+- \J— i sinro),
ou, ce qui revient au merae, (4)
« = pcos5T,
S = psincj,
on tirera des equations (4), jointes a la formule (2), p 2 =a 2 +6 2 ,
(5) puis, en supposant p positif, (6) (7)
et il est clair qu'on pourra satisfaire aux equations (7) par une valeur reelle, et meme par une infinite de valeurs reelles de Tare m. Le facteur p, dont la valeur unique se determine par la formule (6), est ce qu'on appelle le module de l'expression imaginaire
l'arc ra est ce que je nommerai I argument de cette expression. Si w designe une des valeurs de cet argument, on verifiera generalement les equations (7) en prenant (8)
nr = c>)
k etant un nombre entier quelconque; et, par suite, les diverses valeurs de Targument raformeront une progression arithmetique dont la raison sera la circonference 2%. Ajoutons que, si Ton designe par cp un arc reel quelconque, une seule des valeurs de Targument GJ se
MEMOIRE trouvera renfermee entre les limites
Comme il suffira de changer le signe de rs pour transformer l'une dans I'autre les deux expressions <x -+- 6\/— i = p(cos'5j + \J— i sinnj),
« — &\J— i = p(cos7S — \J— i sincy),
il est clair que deux expressions imaginaires conjuguees offrironfc toujours, avec un module coramun equivalent a la racine carree de leur produit, deux arguments egaux, au signe pres, mais affectes de signes contraires. Si Ton multiplie l'une par I'autre les deux expressions imaginaires y/—i sin70,
c o s s j ' + \ / — I sinro',
dont or, xs' representent les arguments, et dont les modules se reduisent a 1'unite, on trouvera (9)
(cosBT-i- \J—i sincj)(cos70'+ \j— 1 sinTir') = cos(trr+ m') + \J— 1 sin(m -\-w').
Par suite, si Ton multiplie l'une par I'autre les deux expressions imaginaires a •+• S \/— 1 =
P(COSTU
-f- \J— 1 sincr),
ct'+ 6 ' \ / ~ 7 = p'(cosro'+ \J—1 sin70');
dont les modules p, p' peuvent differer de 1'unite, on trouvera non seulement (10)
(a + S^TT) ( « ' + 6' v/ == T)= « « ' - 6S'+ («6'+ a'6) \ / ^ 7 ,
mais encore (11) (a + 6 v / Z 7 i ) ( a ' + 6 ' V/11^) = pp'[cos(ro + m') + \ / ^ 7 sin (ro + 70')]. II suit de la formule (10), que le produit de deux expressions imaginaires a pour module le produit de lews modules, et pour argument la somme de leurs arguments. D'ailleurs, le produit pp' etant, en vertu des formules (10) et (1 r), le module de l'expression imaginaire aa'— 66'+ (ocg'+ a 'g) y / ^
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES 1MAGINAIRES. 409 l'equation ( 5 ) donnera p2p/2= (««'— 6S')2 + («S'+ a'6)3, ou, ce qui revient au meme, (12)
(a 2 -+6 2 )(«' 2 +§' 2 ) = (««'— 66') 2 -+-( aS '+a'6)' 2 .
La formule (9) n'est autre chose que la representation symbolique des deux equations reelles qui servent a exprimer le cosinus et le sinus de la somme de deux arcs en fonctions des sinus et cosinus de ces deux arcs. La formule ( n ) , appliquee au cas ou les quantites a, a', 6, §' deviennent des nombres entiers, fait voir que, si Ton multiplie l'un par l'autre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carres, le produit sera encore une somme de deux carres. Si Ton multipliait l'une par l'autre trois, quatre, etc. expressions imaginaires, alors, a la place de la formule (11), on obtiendrait une formule analogue de laquelle on conclurait que le produit de plusieurs expressions imaginaires a pour module le produit de lews modules, et pour argument la somme de leurs arguments. II. — Des variables imaginaires.
Lorsqu'on suppose variables les deux quantites reelles s, t, ou au moins l'une d'entre elles, 1'expression imaginaire x determinee par la formule (i)
X = S + t\J—I,
est ce qu'on appelle une variable imaginaire. Si Ton nomme r le module et p Targument de la variable imaginaire x, on aura generalement (a)'
x = r(cosp -+- \J—1 sinp),
r, p etant lies a s et t par les formules (3)
s = rcosp,
t=rsmp;
et il sera necessaire que des deux quantites /• etp, l'une au moins, soit variable avec x. CEuvres de C. — S. II, t. XIII.
52
410
MEMOIRE
Rien n'empeche de eonsiderer les quantites reelles s, t comme representant les coordonnees rectilignes d'un point situe dans un plan donne. Alors les diverses valeurs de x que Ton deduira de la formule (i), en attribuant aux variables s, t divers systemes de valeurs, correspondront aux diverses positions que pourra prendre un point mobile P dans le point dont il s'agit. Si les coordonnees s, t sont non seulement rectilignes, mais rectangulaires, le module /• et 1'argument p, lies a s et t par les formules (3), representeront le rayon vecteur mene de l'origine a ce point, et Vangle polaire que decrira ce rayon vecteur en tournant autour de l'origine consideree comme pdle; par consequent, r et p seront ce qu'on appelle les coordonnees polaires du point P. Si, dans l'equation(i), on fait converger la variable s vers une certaine limite S, et la variable t vers une cerfaine limite T, la variable x convergera elle-meme vers une limite correspondante X qui sera determinee par la formule Une expression imaginaire variable est appelee injiniment petite lorsqu'elle converge vers la limite zero, ce qui suppose que, dans l'expression donnee, la partie reelle et le coefficient de \f—i convergent en meme temps vers cette limite. Cela pose, representons par a + 6 \/—i = p(cosnj -4-y/— i sinnr)
une expression imaginaire variable, a, 6 designant deux quantites reelles auxquelles on peut substituer le module p et l'argument GJ. Pour que celte expression soit infiniment petite, il sera necessaire et il suffira que son module p soit lui-meme infiniment petit. Ill- — Sur les fonctions de variables imaginaires et sur celles de ces fonctions que Von nomme entieres ou rationnelles.
Les variables imaginaires peuvent etre soumises, aussi bien que les variables reelles, a diverses operations dont les resultats sont des
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES. 411 fonctions de ces variables. Ces fonctions se trouvent completement definies quand les operations ont ete definies elles-memes et quand on a completement fixe le sens des notations employees dans le calcul. Ainsi, par exemple, en vertu des definitions et conventions admises dans le paragraphe 1, la somme ou \& produit de plusieurs expressions imaginaires
ne sera autre chose que l'expression de meme forme a laqnelle on parvient quand on ajoute entre elles, ou quand on multiplie l'une par l'autre les expressions donnees, en operant, d'apres les regies etablies pour les quantites reelles, comme si \]—i etait un facteur reel dont le carre fut egal a — i; et cette somme ou ce produit s'indiquera toujours a l'aide des notations dont on se serf pour representer la somme ou le produit de quantites reelles. Done, si Ton nomme a,, b,
c,
...,
x,
y,
z,
...
plusieurs constantes et variables imaginaires, les valeurs des fonctions de x representees par les notations x -+- a,
x + a + b,
...,
ax,
abx,
abcx,
...,
et des fonctions de x, y, z, . . . representees par les notations x+y,
x-+-y-+-z,
. . .,
xy,
xyz,
. ..,
axyz,
....
seront toujours completement determinees. De la notion des produits, on passe immediatement, comme Ton sait, a celle des puissances entieres. En effet, si Ton designe par n un nombre entier quelconque, et par x une variable reelle, la nltoie puissance de x, representee par la notation xn, ne sera autre chose que le produit de n facteurs egaux a x. Or, il suffira evidemment d'etendre cette definition et cette notation au cas meme ou la variable x devient imaginaire, pour que la fonction xn
soit toujours completement determinee.
MEM01RE Si Ton nomme r l e module et p l'argument de x, alors, en vertu de la derniere des propositions enoncees dans le paragraphe I, xh aura pour module le produit rn de n facteurs egaux a 7-, et pour argument la somme np de n quantites egales ap. On aura done xn— r'\cosnp + y/— i sin np).
(1)
Ces principes etant admis, une fonction d'une ou de plusieurs variables imaginaires pourra etre consideree comme completement determinee, quand elle resultera d'une ou de plusieurs operations dont chacune sera une addition, une multiplication ou l'elevation d'une expression imaginaire variable a une puissance entiere. En effet, pour obtenir la valeur d'une telle fonction, il suffira d'eflectuer, Tune apres l'autre, les operations dont il s'agit. Les fonctions ainsi construites avec des variables imaginaires sont appelees fonctions entieres de ces variables, cJest-a-dire qu'on leur donne le nom assigne aux fonctions de rneme nature, construites avec des variables reelles. Cela pose, les fonctions entieres de variables imaginaires jouiront evidemment des memes proprietes que les fonctions entieres des variables reelles, et verifieront les memes formules. Ainsi, en particulier, la somme ou le produit de plusieurs variables imaginaires, tout comme la somme ou le produit de plusieurs variables reelles, ojfrira une valeur independante de I'ordre dans lequel les additions ou les multiplications seront effectuees. Ainsi encore les deux formules (x -hy) (x—y)=a;i — y-, ( x + if = a" + 2xy -+- j 2 ,
et les formules plus generales (2) (3) (4) (5) (6)
xn — yn=(x
— y) (xn-1~\~xn-2y + . . . + xy'1-1 -+-yn),
(x 4- y)n~xn-\- nx'l~ly -\
i
1 Xn-'-y*--\- . . .-+- y'\
xm+n=xmx'1, (xy)'l=xnyn, (xn)m=zxmn,
dans lesquelles m et n designeront des nombres entiers quelconques,
SUR LES FONOTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES. W3 subsisteront pour des valeurs imaginaires, aussi bien que pour des valeurs reelles des variables x, y. Les operations inverses de 1'addition et de la multiplication peuvent etre effectuees sur des variables imaginaires, aussi bien que sur des variables reelles. II est naturel de designer, sous les memes noms, dans les deuxcas, ces operations inverses et leurs resultats, et de representer ces resultats a l'aide .des memes notations. C'est ce que Ton fait, autant qu'il est possible. Entrons, a ce sujet, dans quelques details. Etant donnees deux variables reelles ou imaginaires x ety, la soustraction ou l'operatioli inverse de 1'addition consiste a trouver, par exemple, une nouvelle variable z qui, ajoutee a la variables?, reproduise la variable y, et verifie en consequence la formule (7)
X +
Z=Y.
Le resultat de la soustraction s'appelle difference. Or, comme pour tirer de 1'equation (1) la valeur de z, il suffira d'ajouter — x aux deux membres, il est clair que la difference z de y a x sera determinee par la formule (8)
*=y-x,
et represented, pour des valeurs quelconques de x et y, par la notation y — x-
Ainsi la soustraction peut etre reduite a 1'addition; et, pour soustraire la variable x de la variable y, il suffira d'ajouter a cette derniere la variable — x . La division n'etant autre chose que l'operation inverse de la multiplication, pourdiviserj par^, il suffira de chercher la valeur de-qui, multipliee para?, reproduity, et verifie en consequence la formule (9)
xz=y.
Le resultat de la division s'appelle quotient ou rapport geometrique. Le quotient d e j par x s'indique, pour des valeurs quelconques reelles ou
MEM01RE imaginaires de x, a l'aide de la notation X
en sorte que l'equation (9) entraine toujours la suivante (10)
* =
%••
D'ailleurs, si Ton nomme r, r' le module des variables x,y, leurs arguments, on aura x = r(cos/? + \J— 1 sinp),
etp,p'
y = r'(cosp'+ \J~-1 sin/?'),
et, pour tirer la valeur de z de l'equation (9), reduite a la forme /^(cosjj-t-y^i sin/?) = /-'(cos/>' + \J—i sin/?'),
il suffira evidemment de multiplier les deux membres : i° par le facteur -; 20 par le facteur cos/) — \J— 1 sin/?.
En operant ainsi, on trouvera, pour des valeurs du rapport - = z, (11)
^ = T:[COS(P' — />)-
et Ton pourra, en consequence, affirmer que le rapport de deux expressions imaginaires a pour module le rapport de leurs modules, et pour argument la difference de leurs arguments. Cette proposition, quipourrait evidemment se deduire de celle que nous avons enoncee a la fin du paragraphe I, prouve que le quotient de deux variables imaginaires est toujours completement determine, a moins que le diviseur y ne s'evanouisse avec son module /•. Dans le cas particulier ou y se reduit a l'unite, le rapport z, reduit a -» devient ce que nous appelons l'expression ou la variable inverse dex. Alors la formule(n) donne fi2)
- = - ( c o s / ) — \/—1 sin/?).
Done Vinverse - de la variable imaginaire x offre un module inverse du
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES. 415 module de x, avec un argument egal, au signe pres, a Vargument de x, mais affecte d'un signe contraire. Comme on aura d'ailleurs, en vertu des formules(u)et(i2),jointes a la formule (i i) du paragraphe I,
il est clair que, pour diviser y par x, il suffira de multipliery par l'inverse de x. Ainsi le rapport de deux variables imaginaires est le produit de la premiere par Vinverse de la seconde. Cette proposition, jointe a celle que nous avons enoncee tout a l'heure, permetde substituer une multiplication a une division. Une fonction d'une ou de plusieurs variables imaginaires estappelee rationnelle lorsqu'elle est le resultat de plusieurs operations dont chacune se reduit a une addition, a une multiplication, a la formation d'une puissance entiere, ou a une division. Cela pose, les fonctions rationnelles de variables imaginaires jouiront evidemment des memes proprietes que les fonctions rationnelles de variables reelles, et verifieront les memes formules. Ainsi, en particulier, toute fonction rationnelle pourra etre reduite au rapport de deux fonctions entieres; et, de plus, un tel rapport ne sera point altere si ses deux termes sont multiplies ou divises par un meme facteur. Ainsi, encore, on tirera de la formule (4), pour des valeurs imaginaires, aussibien que pourdesvaleurs reelles de x,
Ajoutons que, pour obtenir une definition generale de x"\ dans le cas ou m designe une quantite reelle, positive, nulle ou negative, mais dont la valeur numerique est un nombre entier, il suffira d'etendre la formule (i4) au cas meme ou l'exposant m devient nul ou negatif. En effet, si, n etant un nombre entier quelconque, Ton remplace successivement, dans cette formule, m par zero et par — n, on trouvera
4,16
ME MO I R E
et arn
(16)
=^'
II est bon d'ob.serverqu'en- designant, corame ci-dessus, parr le module et par p Targument de x, on tirera de la formule (16), jointe aux equations (i) et (12), (7
— \J— 1 sin 7i/?).
Cela pose, si Ton nomme a une quantite positive ou negative dont la valeur numerique soit un nombre entier n, on aura, en vertu des formules (1) et (17), (18)
xa=ra{cosap
4- \J — 1 sinap).
IV. — Sur les fonctioris algebriques et irrationnelles de variables imaginaires.
On est conduit a la notion des fonctions algebriques et irrationnelles, lorsqu'on cherche a effectuer l'operation inverse de celle qui a pour objet l'elevation d'une variable a des puissances entieres, ou ageneraliser l'emploi de la notation par laquelle on exprime ces puissances, et a etendre cet emploi au cas meme oules exposants deviennent fractionnaires ou irrationnels. Pour bien comprendre ce que nous devons dire ,a ce sujet, il est necessaire de rappeler d'abord en peu de mots la definition generale des racines et la definition des puissances fractionnaires ou irrationnelles d'une quantite positive. L'operation inverse de celle qui a pour objet l'elevation d'une variable a la «i6mo puissance, la lettre n designant un nombre entier quelconque, c'est ce qu'on appelle Yextraction de la ratine du degre n. Ainsi, extraire la racine niime de la variable reelle ou imaginaires, c'est tout simplement chercher une autre variable y dont la rcli!me puissance reproduise a?, en sorte qu'on ait (1)
yn=x.
D'ailleurs cette equation admet generalement n racines dont une seule
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES. kVt est reelle et positive, quand on suppose que la variable ce elle-meme est reelle et positive. Adoptons cette supposition, et, en designant, suivant l'usage, par '\jx la racine rci6me et positive de x, faisons, pour abreger, (2) On aura
X = tyx.
(3)
x = x»;
et si, en nommant a un nombre entier quelconque, on eleve les deux membres dela formule (3) a la puissance du degre a, on trouvera Xa=Xna.
(4)
Or, pour obtenir la definition generale de xa, dans le cas ou 1'exposant a devientfractionnaire, il suffirad'etendre a ce cas la formule(4). En effet, si, dans cette formule, on remplace successivement a par - etpar—. elledonnera n
r
n -
Hi
Xn=:X,
(5)
iC" = x'»;
I
n
en sorte que x ne differera pas de '\Jx. II y a plus; si Ton attribue -> la successivement a la constante a les valeurs negatives — -> D
n
m
formule (4) donnera (6)
.r"=x-',
x~" = x-">; a
et, par suite, la quantite positive x~ seratoujours inverse de xa, c'esta-dire egale a ^> tout comme, en vertu de la formule (16) du paragraphe III, x^1 est inverse de x, et x^"1 de x m . Ajoutons que, si la constante a, etant positive ou negative, a pour valeur numerique un nombre irrationnel jx, on pourra obtenir de ce nombre irrationnel des valeurs aussi approchees que Ton voudra, exprimees par des nombres fractionnaires. Or, soit — une de ces valeurs approchees. En vertu de la definition generalement admise par les geometres, les puissances irrationnelles x
et x~V-
ne seront autre chose que les limites vers lesquelles convergeront les OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
53
418
MfiMOIRE
puissances fractionnaires m Xn
et
X
_ m 'l,
tandis que ledegredel'approximation croitraindefiniment. D'ailleurs, cesdernieres puissances sereduisant toujours adeuxnombres inverses Tun de l'autre, on pourra en dire autant de leurs limites, en sorte qu'on aura encore (7)
*r*=±.
En resume, si la variable x est reelle et positive, alors, parmi ses racines du degre n, c'est-a-dire parmi les valeurs d e y propres a verifier l'equation (i), une seule sera reelle et positive. Si, en designant cette racine positive par la lettre x, on veut determiner completement la valeur de la fraction X",
il suffira, quand l'exposant a sera fractionnaire, de recourir a l'equation (4), el, dans le cas contraire, de faire converger un exposantfractionnaire vers la limite a, Considerons maintenant le cas general ou la variable x est imaginaire. Nommons /• le module, et p l'argument de cette variable. Les diverses racines n16mes de x seront toujours les n valeurs de y propres a verifier l'equation (i). Soient p etc* le module et l'argument del'une quelconque de cesvaleurs; on aura, non seulement x = /;(cos/> -+- \J— i sin/)),
y — p(cosc7 -+- \/— i sinro),
mais encore, en vertu de la formule (i) du paragraphe III, yn= p"(cos«t»y -\-\f— i sinrecr);
et puisqu'a une expression imaginaire donnee correspond toujours un seul module, les deux modules P",
r
des expressions egalesy" et a? seront necessairement egaux entre eux. On aura done (8)
p"=r;
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES. M9 et, par suite, la valeur d e j " etant reduite a yn= r(cosnro + \J— i sin/icr),
I'equation (i) donnera \/— i sinresj= cosp + \J— i sin/?,
ou, ce qui revient au meme, (9)
cosntry = cos/?,
siimnj — sin/?.
Or, on tirera de l'equation (8) ill—
ou, ce qui revient au meme, 1
p = r'T.
(10)
De plus, en vertu des formules (9), Tare 'nxn admettra une infinite de valeurs equidistantes; mais, commeces valeurssereduirontauxdivers termes dJune progression arithmetique dont la raison sera la circonference 2 1 , elles coi'neideront precisement avec les diverses valeurs que peut admettre l'argument p de la variable x. Done, par suite, les diverses valeurs des inconnues nr et y seront celles que Ton pourra deduire des formules
et •1
(12) x '
,
Y = rn(cos— + J— 1 siniJ v \ n n
en y substituant pour/) l'un quelconque des arguments de la variablea?. II importe beaucoup de distinguer les unes des autres les diverses valeurs d e j qui peuvent setirer de la formule (12), et Ton s'exposeraitaintroduire une etrange confusion dans le calcul, si on les designaittoutes indistinctement par la notation
II est done necessaire de n'appliquer celte notation qu'a une seule des racines «ii!mes de x, convenablement choisie. D'ailleurs, la racine que
420
MEMO1RE
Ton choisira devra evidemment remplir deux conditions. En premier lieu, elle devra se reduire, pour une valeur reelle et positive de x, a la racine que nous representons alors par la notation •I
xn.
ou
En second lieu, elle devra se reduire a \j— i> quand on posera n = 2 etx = — 1. Orces conditions seront remplies si, dans le second membre de la formule (12), on reduit toujours Tangle p a celui des arguments de la variable x qui se trouve compris entre les limites — it, -t- it, en faisant coincider p avec la limite superieure it, dans le cas particulier ou la variable a? deviendrait reelle et negative. En effet, 1'argument p etant choisi comme on vient de le dire, on aura : i° pour une valeur reelle et positive de x,
P = o,
f = °>
<* = >-;
2 0 pour a? = — 1, et n = 2, p 7t - = -' n 1
et la formule (12) donnera, dansle premier cas, 1
1
y=r" = x"="\fx\
dans le second cas, Le choix que nous venons d'indiquer est celui auquel nous nous arreterons, et, en consequence, nous poserons
p etant Targument de x compris entre la limite inferieure — TZ, qu'il ne doit jamais alteindre, et la limite superieure it, qu'il atteindra si Ton attribue a la variable x une valeur reelle, mais negative. II est bon d'observer qu'on satisferait encore aux deux conditions enoncees si, dans la formule (i3), on attribuait toujours a Targument_/>
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINA1RES. 421
une valeur comprise entre les limites
w -+- n,
1'une de ces limites etant exclue, et v etant un angle positif inferieur a 7i; ou meme si, en considerant Targumentjo comme representant un angle polaire, on faisait varier cet angle polaire, suivant l'usage rec.u dans la geometrie analytique, entre les iimites 7t—
7T=
sans lui pennettre neanmoins d'atteindre jatnais la plus grande de ces deux limites. Mais, dans cette derniere hypothese, il suffirait d'attribuer a la variable x, supposee reelle et positive, un accroissement infiniment petit, dans lequel le coefficient de \J — i fut negatif, pour que la fonction n\jx changeat brusquement de valeur ; et Ton evite cet inconvenient en s'arretant a la supposition que nous avons admise. En resume, nous supposerons toujours, dans ce qui va suivre, la valeur de 'sjx determinee par la formule (i3), dans laquelle 1'argument p de xne pourra varier que depuis la limite — 71 exclusivementjusqu'a la limite n. inclusivement. Le sens de la notation \Jx etant ainsi fixe, si 1'on pose, pourabreger, x ="\/x,
on aura X =
X",
et meme on tirera de cette derniere formule, en elevant les deux membres a une puissance entiere dont le degre soit represents par a, jr,a
-. net
On se trouvera ainsi ramene a l'equation (/|), deja etablie pour le cas ou la variable x etait reelie et positive, et 1'on peut ajouter que, si, dans cette equation, Ton substitue a x = \/x sa valeur tiree de la formule (i3), on verra reparaitre I'equation(i8) du paragraphe lll.savoir, (i^)
x"= /'"(cosa/; 4- \/—i
sinap).
Cela pose, rien n'empechera d'etendre les definitions et conventions admises dans le cas ou la variable etait reelle et positive, au cas ou
422
MEMOIRE
cette variable devient imaginaire. C'estce que nous ferons; et, en consequence, pour definir la valeur de afl correspondante a des vale.urs fractionnaires positives ou negatives de l'exposant a, nous etendrons a ces valeurs fractionnaires de a l'equation (4)r ou, ce qui revient.au meme, la formule ( i 4 ) ; puis, quand l'exposant a deviendrairrationnel, nous regarderons la puissance irrationnelle of comme la limite vers laquelle convergera une autre puissance dont l'exposant fractionnaire s'approchera indefiniment de la limite a. Nous parviendrons ainsi a fixer, pour une valeur reelle quelconque de l'exposant a, le sens qui devra etre attache a la notation xa, et qui se trouvera, dans tous les cas, determine par la formule(i4). On nomme fonction algebrique irrationnelle celle qui est le resultat de plusieurs operations algebriques dont chacune se reduit a une addition, a une multiplication, a une division, ou a la formation d'une puissance entiere, fractionnaire ou irrationnelle. Les fonctions algebriques irrationnelles de variables imaginaires jouissent de proprietes analogues a celles des fonctions algebriques irrationnelles de variables reelles, et verifient des formules du meme genre, seulement plusieurs de ces formules ne subsistent que sous certaines conditions, et entre certaines limites, quand les variables deviennent imaginaires. Ainsi, par exemple, a, b, c, . . . etant des exposants reels quelconques, et cc,y,z, . . . des variables imaginaires, les formules
subsisteront pour une valeur quelconque de x. Mais on ne pourra pas en dire autant des formules (16)
xaya=
{xy)a,
xayaza=
{xys)a,
et si Ton represente par P,
P', P " ,
•••
les arguments des variables
en supposant chacun de ces arguments superieur a la limite — IT,
SUK LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES. mais inferieur ou tout au plus egal a n, les formules (16) subsisteront sous la condition que la somme
p + p' ou
p+p'+p",
des arguments des diyerses variables soit elle-meme superieure a — r-., et inferieure ou tout au plus egale art. V. — Sur les fonctions exponentielles, trigonometriques et logarithmic/ues de variables imaginaires.
Ainsi que nous l'avons remarque dans le paragraphe III, une fonction de plusieurs variables imaginaires oflre une valeur coinpletement determinee, quand elle se reduit a une fonction entiere de ces variables. II y a plus; cette proposition, qui reste vraie quel que soft le nombre des termes compris dans la fonction entiere, peutetre evidemment etendue au cas meme ou le nombre de ces termes devient infini, et ou cette fonction est representee par la somme d'une serie convergente. Pour qu'une telle fonction soit completement determinee, il suffitque Ton attribue a la variable ou aux variables qu'elle renferme, des valeurs qui laissent subsister la convergence de la serie. Cela pose, concevons qu'une fonction de x, represenlee par une certaine notation, soit developpable, pour des valeurs reelles de la variable a? en une serie ordonnee suivant les puissances ascendantes de cette variable. Si cette serie reste convergehte pour des valeurs imaginaires de cc, comprises entre certaines limites, elle offrira un moyen facile de fixer entre ces limites le sens de la notation dont il s'agit; et, pour y parvenir, il suffira de considerer cette notation comme propre aexprimer la somme de la serie, tant qu'elle demeure convergente. Pour montrer une application de ces principes, considerons en particulier les trois fonctions que J'on nomme exponentielle neperienne, cosinus et sinus, et que Ton represente par les notations ex,
cosa;,
sin x,
la lettre e designant la base des logarithmes neperiens. En raisonnant
MEMOIRE comme je l'ai fait dans mon Analyse algebrique, on etablira sans peine les formules connues e:v=
(i) w
(2) v
'
X*
cos« = i
X
H
1.2
X*
1
I
X"
1
., 1 .2 .0 X
I.2 .
1-....
sina;=
Xs
5+...,
1 1 . 2 . 0
et Ton prouveraque les series comprises dans les seconds membresde ces formules restent convergentes pour une valeur quelconque reelle ou imaginaire de la variable x. Cela pose, pour fixer, dans tons les cas possibles, le sens des notations ex,
cos*1,
sin x,
il suffira evidemment de suivre la regie enoncee et d'etendre les formules (1) et (2) au cas meme ou la variable x devient imaginaire. Ajoutons que, si Ton designe par A une quantife positive et par ale logarithme neperien de A, I'equation A = ea
(3)
entrainera la suivante (4)
A*=e™,
quand la variable x sera reelle ; et qu'il suffira d'etendre la formule (4) au casouir deyiendra imaginaire, pour fixer, dans ce dernier cas, le sens qui devra etre attache a la notation ^. x .Aureste, pour determiner, dans tous les cas possibles, la valeur de Vexponentielle Av, il suffirait encore de la considerer comme une expression propre a representer toujours la somme de la serie convergente, qui represente le developpement de cette meme exponentielle, dans le cas ou x est reel. Les exponentielles, les sinus et lescosinus, definis comme on vient de l'expliquer,jouissent, quand les variables sont imaginaires, de plusieurs proprietes remarquables. Quelques-unes de ces proprieties, par exemple celles qu'expriment les formules (5)
{ ^
= «"•*'•.
( A*+y=A-';.Ay, ( cos(a? +
)
\
sin (a; -1-y) ~ %\wx COSJK + sinjK
sinj,
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES. 425 sont precisement ceiles qu'offraient deja les fonctions semblables de variables reelles. D'autres proprietes des memes fonctions se rapportent specialement au cas oil les variables deviennent imaginaires. Telle est, en particulier, la relation importante qui existe entre les deux lignes trigonometriques smx, cosa? et ex^~\ Cette relation, qu'Euler a decouverte, et qui se deduit immediatement des formules (i) et (2), se trouve exprimee par la suivante (7)
ex */=ri = cos x -+- \J— 1 sin x.
Elle entraine immediatement les deux equations (8)
en vertu desquelles le sinus et le cosinus d'un arc reel x peuvent etre exprimes a l'aide d'exponentielles que je nomme, pour cette raison, trigonometriques, c'est-a-dire a l'aide d'exponentielles dont les exposantsn'offrentpas de parties reelles. Les coefficients de \j~ 1, dans ces exposants, sont les arguments des exponentielles trigonometriques. Si, la variable x etant supposee non plus reelle, mais imaginaire, on nomme r le module, et p l'argument de cette variable, on aura, en vertu de la formule (7), jointe a l'equation (2) du paragraphe II, (9)
x = i-eP^~'.
Ainsi une variable imaginaire quelconque est equivalente au produit de son module par V exponenlielle trigonometrique qui a pour argument V argument meme de la valuable. L'operation inverse de celle qui donne pour resultat une exponentielle, fournit precisement ce qu'on appelle un logarithme. Ainsi, par exemple, les divers logarithmes neperiens de x nesont autre chose que les diverses valeurs de y propres a verifier la formule (10)
e-y=js.
Dans le cas particulier ou la variable x est reelle et positive, un seul des logarithmes neperiens de x, celui-la meme que Ton designe par la OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
54
426
MEMO IRE
notation \(x), estreel et positif. Dans le cas-ou x devient imaginaire, on tire desformules (9) et (10) (11)
ey=r
eP^-'.
Soit d'ailleurs y = u -+- v \J— 1
une quelconque des valeurs de y, les lettres u, 9 designant deux quantites reelles. La premiere des equations (5) donnera
Done l'exponentielle ey aura pour module eu, et pour argument v. Mais, en vertu de laformule(n), lameme exponentielle a pour module r, et pour argument Tangle p. Done, puisqu'a une expression imaginaire correspondent toujours un seul module et une infinite d'arguments qui forment les divers termes d'une progression arithmetique dont la raison est 2 u, on aura, d'une part, e"=r,
par consequent (12)
«=
](/•),
et, d'autre part, (13)
(,=p,
p designant I'un quelconque des arguments de la variables. Done, par suite, les diverses valeurs dey seront toutes comprises dans la formule
Parmi ces valeurs, il importe d'en choisir une a laquelle on applique constamment la notation \{x), Or, pour y parvenir, il est naturel de nous conformer encore ici a la regie que nous avons suivie dans le precedent paragraphe, quand nous avons fixe le sens qu'il convenait d'attacher a la notation xf'. C'est ce que nous ferons, et, en consequence, nous supposerons
lalettre/) designant, non plus I'un quelconque des arguments de la
SUR LES FONCTIONS'DE VARIABLES IMAGINAIRES. variable x, mais celui des arguments de cette variable qui, etant superieura la limite—n, est en meme temps inferieur, ou tout au plus egal a ri. Cet argument s'evanouira quand la variable a? sera reelle et positive, et alors, x etant egal a r, la formule (i5) sera verifiee, puisqu'elle donnera 1 (a?) = 1 (r). Apres avoir fixe, comme on vient de le dire, le sens qui devra etre attache, pour des valeurs quelconques reelles ou imaginaires de x, a la notation \(x), ou, en d'autres termes, la valeur du logarithme neperien que cette notation represente, on determinera sans peine le sens qu'il convient d'attribuer generalement a d'autres notations par lesquelles on exprime, quand x est reel, des fonctions dont la definition peut se deduire de celle du logarithme neperien; par exemple, le sens qu'il convient d'attribuer aux notations xa,
l'exposant a etant reel ou imaginaire, et la lettre L indiquant un logarithme pris dans un systeme dont la base A differe du nombre c. En effet, pour y parvenir, il suffira d'etendre les formules
xa =
(17)
eal'-M,
qu'il est facile d'etablir, quand x et a sont reels, au cas meme ou x et a deviennent imaginaires. Cette convention etant adoptee, on aura, en vertu des formules (i5)et (16),
ou, ce qui revient au meme, (18)
L(^) = L(r
De plus, si Ton pose a = a. -+- 6 \/— r,
a et 6 etant reels, on aura
128
MEMO IRE
et, par suite, la formule (17) donnera xa—-
g
a \{r) — 6p
e[a/i
+ 6 l(rj] / — I ,
e[zp
+ S\(r)]\/~^
ou, cequi revient au meme, (ig)
xa—rx
e-%p
Dans le eas particulier ou l'exposant a est reel, on a <x = a,
,6 = o ,
et ['equation (19), reduite a (20)
xa=raeaP^\
peut encore, en vertu de la formule (7), s'ecrire comme il suit : (21)
a3 a = r"(cosa/> + \/—1 sinap).
On se trouve ainsi ramene, par la consideration des exponentielles, a la valeur de xa determinee par la formule (14) du paragraphe IV; et Ton voit en meme temps que cette formule, relative au cas ou l'exposant a est reel, peut etre non seulement etendue au cas ou l'exposant devient imaginaire, mais encore remplacee avecavantage par une autre, plus concise, savoir, par I'equation (20). Considerons mainteriant I'operation inverse de celle par laquelle on determine le cosinus ou le sinus de la variable x. Cette operation donnera pour resukat une nouvelle variable y qui verifiera la formule (22)
OU (20)
Si d'ailleurs x, etant reel, offre une valeur numerique inferieure a l'unite, une seule des valeurs de y sera representee par la notation arc cosx,
a l'aide de laquelle nous designons toujours un arc renferme entre les limites 0, TI, OU par la notation arc sin a;,
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES. 429 a l'aide de laquelle nous designons toujours un arc renferme entre les limites — - , -t- --• En etendant les memes notations au cas ou x devient 2
2
imaginaire, on doit necessairement appliquer chacune d'elles a une valeur de y tellement choisie, que cette valeur coincide, quand j est reel, avec la fonction alors exprimee par arccosrr, ou par arcsina?. Cette condition est remplie quand on determine arccosa? et arcsino; a l'aide des formules que j'ai donnees dans mon Analyse algibrique, et que je vais rappeler. Si Ton pose, pour plus de commodite, x = .? -+- t \J— i,
y-— it + v \J— i,
s, t, u, v etant reels, la formule (22) donnera s -\- t J— 1 = c o s (u-hvJ—
1) =
cos it —
sin u J— 1,
ou, ce quirevient au meme, 1 ~t \ v
e -\- e
M;
__
2
e '
.^
e 2
On aura, par suite, S
(25)
e"=
cosw
l
e
= , sm«
t
e-''=cos a
etl'on en conclura S*cos 2 «
r_ sin 2 ?/
De cette derniere formule, combinee avec l'equation
on deduira sans peine les valeurs de cos 3 «, s i n 2 « ; et, en posant, pour abreger,
\ /[/' + '>'2+ r 2 \ 2
(26)
2
]
,1
1 + S" -4- «2
;
s2— e-\-
(
2
on trouvera (27)
cos 5 u =
s-
/
2
J z2
43G
MEMOIRE
D'ailleurs, en vertu de la premiere des formules (24), s et cosu seront des quantites de meme signe. Done la premiere des equations (27) donnera g
(28)
cosu = g-
On satisfait a l'equation (28) en posant (29)
« — ± arc cos-= zb 2/fTr,
k etant un nombre entier. Mais, si l'on veut que la variable y = u -+- v \J— 1
se reduise a la quantite reelle arc
quand x, etant reel, offrira une valeur numeriqiie inferieure a l'unite, e'est-a-dire, en d^autres termes, quand on aura t = o,
et, par suite, il faudra necessairement supposer, dans la formule (29), k=o, et reduire en meme temps au signe + le double signe place devant Tare qui a pour cosinus le rapport -~; il faudra done prendre (3o)
j< = arccos-=o
La valeur de u etant ainsi determinee, sinu sera positif, a moins que / ne s'evanouisse, et la seconde des equations (27) donnera, en general,
Cela pose, la premiere des formules (25) donnera (32)
^ = 1(5+7"),
le double signe qz devant etre reduit au signe — ou au signe -H, sui-
SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES IMACxINAIRES. 431 vant que t sera positif ou negatif. Comme on aura d'ailleurs
les formules (26) donneront
et, par suite, la valeur de v pourra etre reduite a (33)
v=
la determination du signe devant s'effectuer conformement a la regie enoncee. En d'autres termes, on aura .=-^i(5 +
(34)
n
t
et celle des valeurs de qu'il conviendra de representer par la notation arc cosa?, sera determinee par la formule $ JP (35)
arc cosic:= arc cos ^ — — \j— 1 1 (S + T), o t
ou, ce qui revient au meme, par la formule (36)
arc cos.2; = arc cos •= zp \J— 1 1 (S •+- 7"), o
le signe -j= devant etre reduit au signe — ouau signe + , suivant que t sera positif ou negatif. Lorsquea?, etantreel, offre une valeur numeriqueinferieure a l'unite, on a, comme nousl'avons deja remarque, 5 = i,
T=o>
et, par suite, l'equation (36) devient identique, s etant alors egal a x. Mais si Ton suppose que x, etant reel, offre une valeur numerique superieure a l'unite, ou, en d'autres termes, si Ton suppose
MEMOIRE les equations (26) donneront S — s,
et le second membre de la formule (36) se trouvera reduit a (3 7 )
+y-Ti(s + v/*T:^).
Pour ne laisser planer aucune incertitude sur le sens qui devra etre attribue dans tous les cas a la notation arc cos 2;,
il sera necessaire de faire disparaitre le double signe qui affecte le produit(37), a l'aide d'une convention nouvelle. Celleque nousadopterons consiste a reduire le double signe au signe —, c'est-a-dire au signe qu'on obtient quand on considere la valeur nulle, attribuee a I, comme la liraite d'une valeur positive infiniment petite. Quant a la valeur de arcsina?, il suffit, pour la determiner completement, d'etendre a des valeurs quelconques reelles ou imaginaires de la variable x, l'equation (38)
arc sina; + arc cos3? = — <
qui subsiste toujours quand x est reelle. Cela pose, on aura generalement (3g)
arcsin^=
arc cos*;.
Les logarithmes, les puissances a exposants quelconques reels ou imaginaires, et les arcs de cercle qui repondent a des sinus ou cosinus donnes, verifient, quand les variables deviennent imaginaires, des formules analogues a celles qui se rapportaient au cas ou les variables etaient reelles. Seulement plusieurs de ces formules ne continuent de subsister que sous certaines conditions, et entre certaines limites. Ainsi, par exemple, etant des variables imaginaires, et a, b, c, . . . des exposants quelconques, les formules (4o)
XaXh=Xa+h,
X"Xh X'==: Xa+b+c,
SUB LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINA1RES. 433 subsisteront, il est vrai, pour une valeur quelconque de x; mais on ne pourra plus eti dire autant des formules (4i)
xaya= (xy)a,
x"yaza={xyz)a,
ni des formules (4a)
l(x) + l(y) = l(xy),
\{x) + \{y) + \{z) = \{xyz),
et si Ton represente par P,
P>,
p», . . .
les arguments des variables x, y, z, . . ., en supposant chacun de ces arguments superieur a — it, mais inferieur ou tout au plus egal a u, les formules (4i)» (4s) subsisteront sous la condition que la somme P+p',
P+p'+p",
•••
des arguments des diverses variables soit elle-meme superieure a — it, et inferieure ou tout au plus egale a it. On pourra combiner entre elles les diverses notations dont nous avons jusqu'ici determine le sens, et alors on obtiendra des fonctions de fonctions ou des fonctions composeesdontlesvaleurs seront encore completement determinees. Si ces fonctions nouvelles renferment des exponentielles, des logarithmes, des sinus et cosinus, elles seront du nombre de celles que Ton nomme fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonometriques, etc. Parmi les fonctions trigonometriques, on doit distinguer les fonctions rationnelles de sinus et cosinus, particulierement celles de ces fonctions rationnellesqui, pourdesvaleurs reelles de la variable, sont representees a l'aide de notations particulieres. Pour fixer completement le sens de ces memes notations, il suffit evidemment d'etendre les formules qui etablissent les relations existantes entre les sinus, les cosinus et les fonctions dont il s'agit, au cas meme ou la variable devient imaginaire. Ainsi, par exemple, les valeurs des fonctions tang#,
cota;, seca?, coseca;
peuvent toujours etre, quel que soit x, completement determinees a GEuvres de C. — S. II, t. XIII.
55
MEMOIRE l'aide des formules sin x
cosx tc
>
, i seca; = cosa?
sin a:
Les conventions admises dans ce Memoire donnent une extension nouvelle a diverses formules, et particulierement a celles qui renferment les fonctions representees par les notations ](x),
h(x),
x«.
Dans mon Analyse algebrique, et dans mes precedents Ouvrages, je m'etais borne a employer ces notations dans le cas ou la variable x offraitunepartie reelle positive. En se conformant aux regies ci-dessus etablies, on pourra, sans inconvenient, faire encore usage de ces raeraes notations dans le cas ou la partie reelle de x sera negative. Au reste, les conditions auxquelles on satisfait en attribuant aux notations dont il s'agit, et specialement a la notation xn, la valeur que nous avons indiquee, pourraient etre, comme nous 1'avons remarque dans le paragraphe IV, remplies de diverses manieres. On pourrait, par exemple, supposer que, dans les equations (i5), (21), et dans les formules du meme genre, p est un angle polaire assujetti a varier, suivant l'usage, entre les limites 71, 211. Gette supposition est precisement celle qui a ete admise par M. Ernest Lamarle, dans un Memoire sur la convergence des series. Mais, comme on l'a dit dans le paragraphe IV, elle entrainerait une variation brusque de la fonction x° et meme des fonctions i(x), L(x), dans le voisinage d'une valeur reelle et positive de x. Ajoutons qu'elle entrainerait aussi la discontinuity de certaines fonctions auxquelles il peut etre utile de conserver le caractere de fonctions continues. Telle serait, en particulier, la fonction (1 -hx)a qui, dans,la supposition dont il s'agit, deviendrait fonction discontinue non seulement de la variable x, mais encore de son argument/?, pour une valeur du module r inferieure a l'unite. Dans un prochain Memoire, je reviendrai sur la nature et les proprietes des fonctions de variables imaginaires, et je les envisagerai d'une maniere speciale, sous le rapport de la continuite, en designant
SUK LES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINA1RES. 435 toujours sous le nom de fonctions continues celles qui regoiventdes accroissements infiniment petits quand on fait varier infiniment peu les variables elles-memes. P.-S. — Depuis que j'ai redige ce Memoire, j'ai rencontre, au bas de l'une des pages de celui que M. Bjoerling a publie sur le developpement d'une puissance quelconque reelle ou imaginaire d'un binome, une Note ou il est dit que cet auteur a presente a l'Academie d'Upsal une Dissertation sur l'utilite qu'il peut y avoir a conserver dans le calcul les deux notations cca, l(x), dans le cas meme ou la partie reelle dea? est negative. M. Bjoerling verra que, sur ce point, je suisd'accord avec lui. II reste a savoir si les conventions auxquelles il aura eu recours, pour fixer completement, dans tous les cas, le sens des notations xa, 1 (x), sont exactement celles que j'ai adoptees moi-meme; et, pour le savoir, je suis oblige d'attendre qu'il me soit possible de connaitre la Dissertation dont il s'agit.
NOTE SUR
LES MODULES DES SERIES Soit (1)
«0,
«!,
M,,
...
une serie dont un designe le terme general correspondant a l'indice n, ce terme general pouvant d'ailleurs etre reel ouimaginaire. Designons d'ailleurs par la notation mod un
le module de ce terme general, et par u la limite unique, ou du moins la plus grande des limites dont s'approche indefiniment, pour des valeurs croissantes du nombre n, l'expression i
(mod un)n.
La quantite positive u sera ce que nous appellerons le module de la serie (i). D'apres ce qui a ete demontre dans VAnalyse algebrique, la serie sera convergente si Ton a (2)
U
divergente si Ton a (3)
u>i.
De plus, si, pour des valeurs croissantes de n, le module du rapport
s'approche indefiniment d'une limite fixe, cette limite sera precisement le module de la serie (i).
438
NOTE
Soit maintenant ( 4 )
•••!
« - : . « - i > " o i
« i ,
» 2 >
•••
une serie qui se prolonge indefinimenl dans deux sens opposes, de maniere a offrir deux termes generaux u,t
et
ii _H,
correspondant, le premier a l'indicen, le second a 1'indice—n. Concevons d ailleurs que, le nombre venant a croitre, on cherche la limite unique, ou la plus grande des limites dont s'approche indefinimentchacune des expressions i
i
(mod«,,)",
(mod «_„)"; i
et representons par u la limite de (mod «„) ", par u, la limite de (mod «_„)".• Les deux quantites positives u,
u,
seront les deux modules de la serie (4), qui sera convergente si ces deux modules sont inferieurs a l'unite, divergente si l'un d'eux ou Si les deux a la fois deviennent superieurs a l'unite. II est bon d'observer que le module d'une serie prolongee indefiniment dans un seul sens n'est point altere dans le cas ou le rang de chaque terine est diminue d'une ou de plusieurs unites, en vertu de la suppression clu premier, ou des deux premiers, ou des trois premiers, . . . termes. Pareillement les deux modules d'une serie prolongee indefiniment en deux sens opposes ne seront point alteres si Ton deplace simultanernent tous les termes en lesfaisant marcher vers la droite ou vers la gauche avec celui qui servait de point de depart pour la fixation des rangs et des indices. Considerons a present une serie (5)
a0,
a,M,
a,x*-,
ordonneesuivant les puissances entieres et ascendantes d'une variable reelle ou imaginaire ac, Noramons r le module de cette variable, et/>
SUR LES MODULES DES SERIES.
439
son argument, en sorte que Ton ait
Soit d'ailleurs a le module de la serie CQ
Cly ,
,
Cl-i ,
. . . ,
c'est-a-dire la plus grande limite dont s'approche indefiniment, pour des valeurs croissantes de n, l'expression •I
(mod a,,)'\.
Comme on aura
mod (anx'L) = rn mod an,
on en conclura !
1
(mod anxn)n= r (mod.a,,)",
et, par consequent, il est clair que le module de la serie (5) se reduira au produit a/\
Done la serie (5) sera convergente si Ton a i a/- <
divergente si Ton a
i
ou
/• <
ar > i
ou
r > -• a
-;
a i
Considerons enfin une serie (6)
...,
a_ ; ,r^%
a—^x-',
a0,
a^x,
cu_x-,
...
ordonnee a la fois suivant les puissances ascendantes et suivant les puissances descendantes de la variable x. Si Ton nomine a la plus grande des limites vers lesquelles converge, pour des valeurs croissantes de n, Texpression (mod a,,)",
et a;, la plus grande des limites vers lesquelles converge 1'equation (mod «-,,)",
les deux modules de la serie (6) seront evidemment
NOTE et, par suite, la serie (6) sera convergente si le module r de x verifie les deux conditions i
r>a,;
-»
divergente si r verifie les deux conditions r > ->
r < a,,
ou seulement l'une d'entre elles. En resume, il y aura generalement deux limites extremes, l'une inferieure, l'autre superieure, entre lesquelles le module 7-de^pourra varier, sans que la serie (5) ou (6) cesse d'etre convergente. Soient k,,
k
ces limites extremes, k designant la limite superieure. D'apres ce qu'on vient de dire, on aura, pour la serie (6), (7)
k , = a,,
k=^, a
et, par suite, les deux modules de la serie (6) seront
r D'ailleurs, k, devra etre remplace par zero si la serie (6) est reduite a la serie (5). Ajoutons que la quantite k sera certainement la limite extreme et superieure du module r si, la serie etant convergente pour r < k , la somme de cette serie devient infinie pour r— k, et pour une valeur convenablement choisie de l'argumentp. Pareillement, k7 sera certainement la limite extreme et inferieure du module r si, la serie (6) etant convergente pour r > k , , la somme de cette serie devient infinie pour /• = k,, et pour une valeur convenablement choisie de Targument/). En effet, une serie ne peut acquerir une somme infinie sans devenir divergente, et par consequent sans offrir un module egal ou superieur a l'unite.
SUR LES MODULES DES SERIES.
441
Lorsque les divers termes d'une serie sont fonctions d'une certaine variable x, la nouvelle serie qu'on obtient en substituant a chaque terme de la premiere sa derivee prise par rapport a x, doit naturellement s'appeler la serie derivee. Concevons, pour fixer les idees, que la premiere serie se reduise a la serie (5), dont le terme general estanxn, ou raeme a la serie (6), dont ies termes generaux sont
alors la serie derivee aura pour terme general le produit
ou bien elle aura pour termes generaux les produits — na—nx-'l~i,
nanxn~l.
D'ailleurs, comme on a — «a._,jic-"-J = — nx~l (a^nx~n),
nanx'1^ = nx~'
(anxn),
on en conclut que les deux expressions (9)
\_modL(—na-nx-"-i)f,
[mod
{nanx«-')]"
s'approchent indefiniment, pour des valeurs croissantes de n, des produits que Ton obtient quand on multiplie respectivementles quantites positives a,r~'
et a/*
par la limite de l'expression
Enfin, cette limite qui se confond avec la limite fixe du rapport () -.
—
H
ni—J
1
n
se reduit a l'unite. Done les limites des expressions (9) se reduiront simplement aux produits a,r~l OEuvres de C. — S. II, t. XIII.
el
a/\ 5G
V*1
NOTE SUR LES MODULES DES SERIES.
Done le. module ou les modules de la serie (5) ou (6) seront en meme temps le module ou les modules de la serie derivee. Nous avons ici suppose que Ton differentiait une seule fois chaque terme de la serie donnee (5) ou (6) ; mais, apres avoir ainsi obtenu ce qu'on doit appeler la serie derivee du premier ordre, on pourrait former encore la derivee de celle-ci, puis la derivee de sa derivee,. . . , et Ton obtiendrait alors, a la place de la serie (5) ou (6), des series derivees de divers ordres. Or, de ce que nous avons dit tout a l'heure, il resulte evidemment que le module ou les modules de toutes ces series serontpri,cisement le module ou les modules de la serie (5) ou (6).
TABLE DES MATIERES DU TOME XIII. Pages.
Memoire sur l'analyse infinitesimale PRSLIMINAIRES. — Considerations generales I. Notations II. Sur la continuite des fonctions. de leurs derivees et de leurs differentielles. Proprietes diverses des differentielles III. Formules generales pour la differentiation des fonctions d'une ou de plusieurs variables IV. Proprietes des differentielles et des fonctions derivees des divers ordres V. Sur Tanalyse des caracteristiques Memoire sur le calcul des variations PRftUMiNAiRES. — Considerations generales • I. Definitions. Notations II. Sur la continuite des fonctions et de leurs variations. Pro.prietes generales des variations de plusieurs variables ou fonctions liees entre elles par des equations connues III. Formules generales, propres a fournir les variations des fonctions d'une ou de plusieurs variables IV. Proprietes des variations des divers ordres V. Sur la variation d'une integrale definie simple ou multiple.*. . VI. Sur les diverses formes que peut prendre la variation d'une integrale definie simple ou multiple VH.-Comparaison des formules etablies dans les troisieme et quatrieme paragraphes. Differentiation dune integrale multiple, relativement a une variable distincte de celles auxquelles se rapportent les integrations VIII. Sur la variation partielle qui, pour une integrale definie, simple ou multiple, correspond aux variations propres des fonctions renfermees sous le signe I IX. Sur les reductions que Ton peut eft'ectuer, a l'aide d'integrations par parties, dans les variations d'une integrale definie, simple ou multiple , ,
9 9 i4 22 3/j 38 43 5g 5g 61
70 81 88 98 io4
111
118
123
kkk
TABLE DES MATIERES Pages.
Sur le mouvement de rotation variable d'un point qui represente, dans un plan donne, la projection d'un autre point doue, dans l'espace, d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un certain axe.
i45
Note sur un theoreme de geometrie analytique
i53
Note sur quelques propositions relatives a la theorie des nombres
i63
Memoire sur les arrangements que Ton peut former avec des lettres donnees, et sur les permutations et substitutions a l'aide desquelles on passe d'un arrangement a un autre 171 I. Considerations generales 171 II. Extension des notations adoptees dans le premier.paragraphs. Substitutions semblables en Ire elles 184 III. Sur les diverses formes que peut revetir une meme substitution, et sur le nombre des substitutions semblables a une substitution donnee 192 IV. Resolution de l'equation lineaire et symbolique par laquelle se trouvent liees Tune a 1'autre deux substitutions semblables entre elles 196 V. Sur les facteurs primitifs d'une substitution donnee 202 VI. Sur les derivees d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systemes de substitutions conjuguees 206 VII. Sur les systemes de substitutions primitives et conjuguees. . . 2i4 VIII. Sur les diverses puissances d'une meme substitution 225 IX. Des substitutions permutables entre elles 236 X. Sur les systemes de substitutions permutables entre eux 254 XI. Des substitutions arithmetiques et des substitutions geometriques 260 XII. Sur diverses proprietes remarquables des syslemes de substitutions, conjuguees 273 Memoire sur les lignes qui divisent en parties egales les angles formes par deux droites, et sur la rotation d'une droite mobile dans l'espace I. Sur les lignes qui divisent en parties egales les angles formes par deux droites II. Sur la rotation d'une droite mobile dans l'espace III. Modules de rotation d'une droite mobile qui s'appuie constamment sur une courbe donnee
283 283 287 200
Memoire sur quelques proprietes des resullantes a deux termes 307 I. Formules analytiques II. Interpretations geometriques de plusieurs formules etablies dans le premier paragraphe 3 23 Memoire sur la theorie des projections orthogonales I. Considerations generales
3^ x 3^r
DU TOME XIII. Pages.
II. Sur les relations qui existent entre les cosinus et sinus des angles que forment 1'une avec l'autre trois droites paralleles a un meme plan III. Sur la resolution des triangles rectilignes IV. Sur la trigonometrie spherique V. Sur la reduction de la trigonometrie spherique a la trigonometrie rectiligne.. . VI. Sur les relations qui existent entre les systemes de coordonnees rectilignes relatives a deux systemes d'axes conjugues. VII. Sur la transformation des coordonnees rectilignes en d'autres coordonnees de meme espece Memoire sur les fonctions de variables imaginaires I. Des expressions imaginaires, de leurs arguments et de leurs modules II. Des variables imaginaires III. Sur les fonctions de variables imaginaires, et sur celles de ces fonctions que Ton nomme entieres ou rationnelles IV. Sur les fonctions algebriques et irrationnelles de variables imaginaires V. Sur les fonctions exponentielles, trigonometriques et logarithmiques de variables imaginaires Note sur les modules des series
FIN DE LA TABLE DU TREIZIEME VOLUME.
349 354 356 3y5 379 3g5
4°5 409 410 4i6 423 437
